МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
НОЯБРЬ
ДЕКАБРЬ
6 -1970
СОДЕРЖАНИЕ
Устав школы
К вопросу о роли Н. И. Лобачевского и его идей в жизни и деятельности
И. Н. Ульянова
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В помощь учителям IV—V классов, работающим по новой программе Формирование понятия объема и пространственных представлений в IV классе
Из опыта работы в V классе по новой программе Устные упражнения и обзорные беседы-опросы в IV классе
Решение иррациональных уравнений Использование метода интервалов при решении неравенств некоторых типов
Новое в применении диафильмов Школьники о красоте математики Из опыта проведения факультативных занятий Арифметические прогрессии порядка k
Из писем и заметок
О тестах на дополнение Теорема косинусов
Эксперимент
Из опыта введения понятия производной в средней школе
Внеклассная работа
XII Международная Об индивидуальной работе с учащимися Производные показательной и логарифмической функций
О нахождении экстремума некоторых дробно-рациональных функций
Теорема косинусов для трехгранного угла Письмо в редакцию
Задачи
Занимательная страница Математический календарь на 1970/71 учебный год
Ян Амос Коменский и его время
Иван Евгеньевич Шиманский Николай Иванович Сырнев
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Рецензия на книгу Я. В. Зельдовича «Высшая математика для начинающих» О книге А. А. Столяра «Педагогика математики»
4000 конкурсных задач
О пособии «Алгебра и элементарные функции» А. И. Маркушевича, К. П. Си-
корского, Р. С. Черкасова О книге И. К. Парно «Производная и ее применение к исследованию функций» Первая летняя математическая школа на Северо-Западе'^ССР
Памяти профессора Ивана Яковлевича Де шана Тематический указатель статей, помещенных в журнале за 1970 г.
4
В. н. Молодший
14
М. я. Антоновский, В. Г. Болтянский
23
Ю. И. Малеваный, 3. И. Слепкаиъ
28
А. С. Шепетов
32
В. П. Моденов
36
В. Н. Матвеев
38
Ш. И. Вагапов
41
И. Ф. Гончаров
44
Ф. А. Бартенев
45
Н. Н. Шоластер
47
М. И. Тененбаум
48
Б. А. Милорадов
49
В. А. Гусев
57
И. С. Петраков
64
М. Л. Крайзман
67
Ф. Ф. Нагибин,
М. Д. Чернявский
69
М. Мамедов
69
3. А. Скопец
70
В. М. Розентуллер
71
77
П. Р. Плотников
78
А. И. Бородин
79
И. К. Андронов
82
И. К. Андронов, Б. Н. Белый
83
Г. К. Погонец,
П. В. Стратилатов
84
Н. Я. Виленкин
85
Г. Б. Гуревич
86
В. В. Зорин Т. Б. Игнатьева,
88
А. И. Сагандуков
90
Я. А. Марнянский
91
В. А. Волков, М. М. Рубинов
92
И. К. Андронов
93
И. В. Баранова


Устав школы
Вступил в действие Устав средней общеобразовательной школы —важнейший документ, определяющий порядок и нормы всей жизни нашей школы. Устав отразил более чем полувековой опыт работников просвещения и на основе демократических принципов, передовой педагогической науки и практики наметил перспективы дальнейшего развития системы народного образования.
В Уставе отражены важные перемены в жизни нашей единой трудовой, политехнической школы на современном этапе коммунистического строительства и с учетом новейших достижений науки, техники и культуры четко определены главные задачи средней общеобразовательной школы: .
«...давать учащимся общее среднее образование, отвечающее современным требованиям общественного и научно-технического прогресса, добиваясь получения учащимися прочных знаний основ наук и умения самостоятельно пополнять их;
формировать у молодого поколения марксистско-ленинское мировоззрение, воспитывать у учащихся высокое чувство советского патриотизма — любовь к Родине, своему народу, Коммунистической партии Советского Союза и готовность к защите социалистического Отечества;
обеспечивать всестороннее гармоническое развитие учащихся, их эстетическое и физическое воспитание, укрепление их здоровья, правильную постановку трудового обучения, готовить учащихся к жизни, сознательному выбору профессии, активной трудовой и общественной деятельности».
В каждом разделе Устава — и в общих положениях, и в основах организации учебно- воспитательной работы, и в разделах, определяющих права и обязанности учащихся, учителей, классных руководителей, воспитателей и руководства школы — четко формулируются требования, способствующие реализации этих главных задач.
Известно, что новый учебный план отводит на изучение математики в средней школе 1832 часа, что на 100 часов больше, чем на изучение всех других предметов естественноматематического цикла. Это свиде ельствует о большом внимании к математическому образованию школьников. Однако надо бережно относиться к каждому часу, к каждой ми¬
нуте урока. Новая программа предусматривает формирование у учащихся сознательных и прочных, доведенных до автоматизма навыков вычисления и обеспечения доступного детям повышения уровня обобщения учебного материала, понимания общих принципов и законов, лежащих в основе изучения математических фактов и явлений. Для этого необходим не только большой и творческий ТРУД учителя, но и значительное количество учебного времени. Программа должна быть выполнена полностью в каждом классе, так как исключение каких-либо вопросов программы или недостаточное внимание к ним может нанести ущерб дальнейшей математической подготовке учащихся. Если не проявить необходимой заботы о выполнении требований программы, то нельзя будет в должной мере обеспечить политехническую подготовку учащихся, сформировать у них умение логически рассуждать. Вооружение учащихся прочными знаниями основ наук, формирование коммунистического мировоззрения, развитие познавательных интересов и способностей школьников является согласно Уставу одной из основных обязанностей учителя, который отвечает за качество обучения и уровень знаний своих воспитанников.
Уставом предусмотрено проведение в VII — X (XI) классах факультативных занятий для углубления общеобразовательных знаний и трудовой политехнической подготовки, а также развития разносторонних интересов и способностей учащихся по их выбору. Практика показывает, что многие ученики выбирают из предлагаемых им школами курсов факультатив по математике. Гармоническое сочетание общего обязательного для всех математического образования с потребностями учащихся, проявляющих особенный интерес к математике и основанным на ней разделам науки и техники может быть обеспечено дальнейшим улучшением организации и содержания факультативных занятий по математике.
Устав определяет, что основной формой организации учебно-воспитательной работы является урок. Вместе с тем обучение и воспитание учащихся должно проводиться не только в процессе учебной работы, но и путем внеклассных и внешкольных занятий и общественно полезного труда. И уроки, и
2


внеклассные занятия по математике должны быть использованы для формирования основ научного мировоззрения, развития познавательных способностей, логического мышления, воображения и изобретательности, умения находить и раскрывать причинные связи между явлениями окружающей действительности.
Немалую нагрузку получают ученики в виде домашних заданий по математике. И это естественно, так как при повышении роли теории как решающего условия математического развития учащихся, для сознательного усвоения полученных школьниками знаний необходимо выполнение ими большого количества тренировочных упражнений и задач прежде всего на уроках, а также во время домашних занятий. Однако нагрузка учащихся учебными занятиями не может не иметь предела и должна соответствовать их возрасту и физическому развитию. Одним из резервов для устранения перегрузки школьников домашними занятиями является повышение качества уроков, применение новых эффективных методов преподавания. Уставом предусмотрено, что домашние задания даются учащимся с учетом возможности их выполнения в пределах: в I классе — до 1 часа, во II — до 1,5 часа, в III — IV — до двух часов, в V—VI — до 2,5 часа, в VII — до трех часов, в VIII—X (XI) — до четырех часов. Следовательно, домашние задания по математике надо давать в определенной норме, тщательно отбирая задачи и упражнения, действительно необходимые и достаточные для подготовки учащихся к дальнейшему усвоению курса, помня при этом, что школьники получают задания на дом не только по математике, но и по другим предметам. Необходимо также изучать индивидуальные особенности, условия жизни учеников, проявлять заботу об охране их здоровья, поддерживать связь с родителями и общественностью.
Одной из главных задач средней общеобразовательной школы — дать учащимся прочные знания основ наук — подчинено также требование Устава о том, что освобождение учащихся от уроков для выполнения различных поручений не допускается.
Устав обязывает учащихся старательно учиться, примерно вести себя, активно участвовать в общественной жизни школы и общественно полезном труде, выполнять правила для учащихся, установленные министерством просвещения (народного образования) союзной республики. Деятельность ученического коллектива в школе организуется на основе
самоуправления и направляется на повышение качества учебы, укрепления сознательной дисциплины учащихся и развития их творческой самодеятельности.
В VIII и X (XI) классах устанавливаются обязательные выпускные экзамены, а в IV—VII и IX (X) классах по решению министерства просвещения (народного образования) союзной республики могут устанавливаться переводные экзамены. Для воспитания у учащихся стремления к отличной учебе введено награждение имеющих годовые оценки «5» и примерное поведение похвальными листами, а тех кто достиг особых успехов по отдельным учебным предметам, — похвальной грамотой «За особые успехи в изучении отдельных предметов». Особо отличившиеся учащиеся, оканчивающие средние общеобразовательные школы, награждаются золотой медалью «За отличные успехи в учении, труде и за примерное поведение». Учащиеся, имеющие годовые неудовлетворительные оценки не более чем по двум предметам, получают задания на лето. Вопрос о переводе их в следующий класс решается педагогическим советом школы в зависимости от выполнения этих заданий. Практика показывает, что при хорошей организации летних занятий многие ученики, получившие годовые неудовлетворительные оценки по математике, могут ликвидировать пробелы в знаниях, успешно выполнить осенние проверочные работы и перейти в следующий класс. Об этом не следует забывать особенно сейчас, при переходе школ на новые программы, так как ученик, не успевавший по старой программе и попавший вследствие этого в класс, который начал занятия по новой программе, окажется в очень трудных условиях.
Устав, одобренный постановлением Совета Министров СССР, един для всех школ. В то же время он дает возможность учитывать особенности национальных школ, так как ряд вопросов (порядок проведения выпускных и переводных экзаменов, утверждение Положения о родительском комитете, Положения об интернатах при школах и др.) передается на решение министерств просвещения (народного образования) союзных республик.
В настоящее время учителя ведут большую учебно-воспитательную работу, повышают свою квалификацию, осваивают содержание и методы обучения по новой программе, активно участвуют в общественной жизни, готовятся достойно встретить XXIV съезд КПСС
!•
3


В. Н. МОЛОДШИЙ (Москва)
К вопросу о роли Н. И. Лобачевского и его идей в жизни
и деятельности
Илья Николаевич Ульянов был выдающимся деятелем русского народного просвещения второй половины XIX в. Это подтверждает обширная литература, особенно работы Марии Ильиничны и Анны Ильиничны Ульяно- I вых, Надежды Константиновны Крупской и воспоминания сподвижников и учеников Ильи Николаевича.
Илья Николаевич Ульянов (1831—1886) учился в астраханской гимназии, среди преподавателей которой были воспитанники фи- зико-математического факультета Казанского университета, т. е. те, кому выпало счастье слушать лекции Николая Ивановича Лобачевского. С 1850 по 1854 г. Илья Николаевич был студентом физико-математического факультета Казанского университета. Работая учителем гимназии в Пензе (1855—1863) и в Нижнем Новгороде (1863—1869), инспектором и директором народных училищ Симбирской губернии (1869—1886), И. Н. Ульянов поддерживал постоянную связь с Казанским университетом и попечителем Казанского учебного округа. М. И. Ульянова писала, что Н. И. Лобачевский рекомендовал И. Н. Ульянова на должность преподавателя математики и физики Пензенского дворянского института (гимназия для детей дворян). Эти факты способствовали постановке вопроса о роли Н. И. Лобачевского и его идей в жизни и деятельности И. Н. Ульянова.
В разработке этого вопроса достигнуты некоторые положительные результаты, относящиеся преимущественно к университетскому периоду жизии и педагогической деятельности И. Н. Ульянова в Пензе1. Нижегородский и Симбирский периоды деятельности Ильи Николаевича в плане рассматриваемого вопроса освещены недостаточно, а порой и не совсем верно.
Цель этой статьи — на основе точно установленных фактов кратко описать становление дидактических и методических идей Ильи
1 См.: «Материалы к биографии И. Н. Ульянова». (Публикация документов; вводная статья Б. В. Федоренко), «Исторический архив», 1958, № 2, стр. 24—35.
И. Н. Ульянова
Николаевича Ульянова в части преподавания арифметики .в начальной школе и сопоставить их с соответствующими идеями Николая Ивановича Лобачевского. В ходе изложения будут отмечены факты, освещающие непосредственные контакты Н, И. Лобачевского с Ильей Николаевичем.
Илья Николаевич Ульянов происходил из мещан г. Астрахани. Чтобы поступить в университет, он должен был сдать вступительные экзамены и представить свидетельство об отчислении от общества мещан г. Астрахани. Последнее оказалось составленным не по узаконенной форме. Согласно распоряжению
Н. 	И. Лобачевского этот документ отослали в Астрахань для исправления, а Илья Николаевич был допущен сначала к слушанию лекций в качестве «приватного» слушателя и освобожден от платы за слушание лекций.
Когда Илья Николаевич был студентом,
Н. 	И. Лобачевский в университете не работал; с 1846 г. он был переведен на должность помощника попечителя Казанского учебного округа. Лобачевский, однако, поддерживал с университетом довольно тесную связь. Он обычно принимал активное участие в проведении экзаменов по математическим дисциплинам. Некоторые воспитанники физико-математического факультета Казанского университета, закончившие курс после 1846 г., писали впоследствии, что даже такое эпизодическое общение с Лобачевским давало им много ценного. Особенно признательны Лобачевскому были те воспитанники Казанского университета, которые избрали математику своей специальностью2. Помогал Н. И. Лобачевский и студентам, интересовавшимся преимущественно прикладной математикой: астрономией, физикой и метеорологией; в их числе был и Илья Николаевич Ульянов.
Анна Ильинична Ульянова-Елизарова писала об Илье Николаевиче: «Любимым его пред¬
2 Л. Б. Модзалевский, Материалы для биографии Н. И. Лобачевского, ч. II. Воспоминания бывших студентов Казанского университета, М. — Л., Изд. АН СССР, 1948.
4


метом, горячо любимой им наукой была физика»3. В студенческие годы Илья Николаевич изучал под руководством профессора
А. 	С. Савельева теорию и практику метеорологических наблюдений. Написанная им по окончании университета работа для получения ученой степени кандидата Казанского университета4 была посвящена определению орбиты кометы Клинкерфюса 1853 г. по способу Ольберса. Эта работа Ильи Николаевича была прочитана и одобрена рядом ведущих профессоров и преподавателей физико-математического факультета. Прочел ее и профессор А. Ф. Попов — ученик Н. И. Лобачевского и его восприемник по кафедре математики. Официальный отзыв на эту работу Ильи Николаевича написал профессор астрономии М. А. Ковальский.
«Сочинение студента 4-го курса г. Ульянова,— пишет М. А. Ковальски й,— представляет полное изложение способа Ольберса для вычисления параболической орбиты кометы с дополнениями Энке и Гаусса. Применение этого способа к вычислению элементов кометы, виденной простым глазом в прошлом году, и согласие результатов г. Ульянова с результатами, опубликованными в Astr[onomi- sches] Nachrfichten], показывает, что г. Ульянов постиг сущность' астрономических вычислений, которые, как известно, весьма часто требуют особых соображений и приемов— это сочинение я считаю вполне соответствующим степени кандидата математических наук»5.
При написании работы Илья Николаевич использовал первоисточники на латинском, французском, немецком и русском языках. Ему были известны связанные с темой исследования методы Ньютона, Лапласа, Лагранжа и др. Он очень удачно использовал в работе аппарат математического анализа, доводя все выкладки до числа с требуемой степенью точности.
По окончании университета Илья Николаевич держал и выдержал дополнительный экзамен для получения звания старшего учите¬
3 См.: Юбилейный сборник. «Памяти Ильи Николаевича Ульянова (1855—1925)», Пенза, 1925, стр. 8.
4 К 1814 г. в России были узаконены три ученые степени: кандидата, магистра и доктора. Степень кандидата присваивалась лучшим из окончивших университетский курс и представившим письменную работу на избранную тему. Эта степень кандидата была упразднена в 1884 г. Современная степень кандидата наук соответствует, примерно, магистру.
5 Центральный партийный архив ИМЭЛ при ЦК
КПСС. Фонд 11, ед. хр. 5, опись 1, л. 44, 45. В дальнейшем в ссылках указывается только № фонда,
сд. хр. описи и, если нужно, № листов.
ля математики и физики в гимназиях; и здесь его поддержал Лобачевский6.
В 1855 г. Илья Николаевич подал на имя Лобачевского прошение о зачислении его на должность преподавателя математики в какой-либо гимназии Казанского учебного округа. Зная Илью Николаевича как квалифицированного учителя в вопросах преподавания математики и физики в старших классах гимназии и считая его «надежным и сведущим» в вопросах теории и практики метеорологии,
Н. 	И. Лобачевский рекомендовал его на должность старшего учителя математики Пензенского дворянского института, с «обязательством производить в оном метеорологические наблюдения». Лобачевский предложил Илье Николаевичу явиться к нему перед отъездом в Пензу. Вряд ли можно сомневаться, что эта встреча состоялась. Но содержание их беседы, посвященной, видимо, будущей педагогической деятельности Ильи Николаевича и организации метеорологических наблюдений, осталось для нас скрытым. Впрочем, какое значение придавал Лобачевский систематическим и точно осуществляемым метеорологическим наблюдениям, теперь хорошо известно и проливает дополнительный свет на отношение великого ученого к Илье Николаевичу Ульянову.
В 1839 г. было организовано Казанское экономическое общество7. При Лобачевском общество развернуло широкую деятельность по изучению экономики Поволжья, Урала и Сибири, придало большой размах просветительской деятельности и пропаганде рациональных методов ведения сельского хозяйства, улучшения ремесел и торговли. Учитывая нужды сельского хозяйства, общество содействовало организации метеорологических наблюдений во всех городах Казанского учебного округа, наблюдений систематических и научно обоснованных. В 1851 г. Лобачевский написал особое наставление — по нашей терминологии, методическое письмо,— о проведении постоянных метеорологических наблюдений. Он принимал меры, чтобы метеорологические наблюдения проводились людьми достаточно подготовленными, способными на основании полученных результатов делать соответствующие обобщающие заключения.
В Пензе Илья Николаевич поставил дело метеорологической службы на должную высоту, придав ему отсутствовавший до того вре-
6 Фонд 11, ед. хр. 8, опись 1.
7 Д. С. Гутман, Н. И. Лобачевский и Казанское экономическое общество, «Исгорико-математические исследования», вып. IX, 1956,
5


мени систематический и научный характер8. Итоговые таблицы своих наблюдений Илья Николаевич пересылал в Обсерваторию Казанского университета и Обществу сельского хозяйства Юго-Восточной России. Президент последнего отзывался об этих таблицах как о «поучительных и полезных». В обработанном виде результаты метеорологических наблюдений Ильи Николаевича были использованы впоследствии в нескольких научных изданиях.
Для характеристики Ильи Николаевича как исследователя отметим также следующий факт. На торжественном акте дворянского института (конец 1861 г.) Илья Николаевич прочел доклад «О грозе и громоотводах». Согласно действующим тогда правилам, его доклад был предварительно послан в Казанский университет на отзыв. Отзыв был положительным. Известно, вместе с тем, что в Казанском университете положительные отзывы на такие доклады давались лишь в случае, если они удовлетворяли требованиям, предъявляемым к научным исследованиям обзорного характера 9.
Будучи преподавателем Пензенского дворянского института Илья Николаевич давал заключения о сочинениях учащихся VI и VII классов по русскому языку, а также о сочинениях, написанных ими на французском и латинском языках. Эти отзывы основываются на некоторых прогрессивных идеях, которыми Илья Николаевич руководствовался впоследствии как инспектор, а потом и как директор народных училищ Симбирской губернии. В протоколах заседаний Пензенского дворянского института написано: «Мнение
И. Ульянова о русских сочинениях учеников VII и VI классов состоит в следующем: многие из сочинений учеников VII и VI классов заслуживают одобрения или по развитию самой мысли, или по слогу». Сочинение «Четыре поверия» «показало в авторе желание узнать быт народный и заметить его особенности». Сочинение «О Ломоносове» написано довольно живым слогом и видно, что автор сознавал величие этого гения...». Сочинение «Мои мысли (Русь и Пушкин)» И. Н. Ульянов выделяет особо, так как оно, по его мнению, «согрето теплым чувством Русского к своей родине. Появление Пушкина как необходимого человека для России высказано превосходно»10.
Об одном сочинении И. Н. Ульянов пишет, что хотя оно и «очень удачно, но не произво¬
8 Фонд 11, ед. хр. 22, опись 1.
9 Фонд 11, ед. хр. 23, опись 1.
10 Фонд И, ед. хр. 20, опись 1, л. 11, 12, 34, 48.
Отзывы написаны с 1855 по 1858 г.
дит на читателя большого эффекта потому, что не так кратко выражены мысли».
О лучших сочинениях на латинском языке Илья Николаевич написал: «...некоторые из них отличаются и хорошим слогом и чисто латинскою конструкцией».
Годы деятельности Ильи Николаевича в Пензе показали, что в его лице физико-математический факультет Казанского университета и Н. И. Лобачевский подготовили для России прогрессивно настроенного, высоко квалифицированного, с творческими данными старшего учителя математики и физики в гимназиях.
В 1863 г. Илья Николаевич переехал из Пензы в Н. Новгород и стал работать старшим учителем математики и физики в мужской гимназии. В 1869 г. он получил приглашение занять должность инспектора народных училищ Симбирской губернии и переехал в Симбирск. Что побудило Илью Николаевича принять это предложение? Симбирск не мог сравниться с Н. Новгородом. Согласие на новую должность означало, что старший учитель гимназии должен был стать наставником преподавателей начальных школ.
«Мы думаем,— пишет Мария Ильинична,— что объяснение надо искать в особенностях эпохи, в настроении умов передового общества того времени.
Это была эпоха освободительного движения 60-х годов. Сознание необходимости работать в народе и для народа, которому надо было «заплатить долг», которого нужно было просветить и вывести из темноты, нищеты и бесправия, широко охватило все передовое мыслящее общество России в эту эпоху». Это было время, когда «вся Россия» говорила об образовании. «Лучшие писатели и педагоги того времени: Н. Пирогов, Л. Толстой,
К. Ушинский, Н. Шелгунов, барон Корф и другие — писали по вопросам образования» п. Велась оживленная и плодотворная полемика о путях и методах преподавания, возникали новые школы. Передовые люди из молодежи пошли к народу. Одним из таких людей был Илья Николаевич. Человек гуманный, «одушевленный лучшими идеями конца 60-х и начала 70-х годов», он «не мог остаться глух к освободительному движению, к вызванной этим движением тяге к просвещению народа. Педагогическая работа в средних учебных заведениях перестала удовлетворять его. Ему захотелось «поля работы пошире, хотелось применять ее не для более обеспечен-
11 М. Ульянова, Отец Владимира Ильича Ленина Илья Николаевич Ульянов {1831—1886), Мм Соцэкгиз. 1931, стр, 27,
6


ных учеников гимназии, а для самых нуждающихся, для тех, кому всего труднее получить образование, для детей вчерашних рабов»12.
Илья Николаевич считал темноту и безграмотность деревни «одной из главных причин несчастья и бедности русского народа»13. Борьба против темноты и безграмотности деревни, борьба повседневная и бескомпромиссная стала основной задачей всей его жизни. Этой борьбе Илья Николаевич учил впоследствии и своих учеников.
В 1874 г. работал съезд народных учителей двух уездов Симбирской губернии. Работой съезда руководил Илья Николаевич. Один из его ближайших учеников учитель Петр Малеев прочел на съезде доклад «Задачи народной школы». Малеев утверждал:
1. «Главным распорядителем жизни остается все-таки сам человек: она, в большинстве случаев, покоряется его разумным усилиям, и если он захочет и сумеет, она всегда складывается по его желанию».
2. Сам крестьянин «нисколько не способен выть таким нравственно и умственно сильным человеком, чтобы самому суметь направить свою жизнь и внести в нее разумные понятия».
3. Школа должна помогать крестьянам улучшать свою жизнь. «На школу возлагается обязанность, по возможности, развить все духовные стороны ученика, чтоб приготовить человека сильного умом. Вот прямая цель всякой народной школы» 14.
В условиях дореволюционной России народная школа не могла помочь крестьянам улучшить их жизнь. Для нас, однако, важно другое. Если цель народных школ готовить людей волевых, развитых, то достижению этой цели должны помогать соответственно развитые и все время совершенствуемые дидактика и методика. Методика старой школы, методика механического заучивания и муштры должна быть отброшена.
В Н. Новгороде Илья Николаевич уделял много внимания совершенствованию своего методического мастерства, причем не только как преподавателя гимназии, но и как учителя народной школы. В этой связи характерны два факта. С конца 1864 г. в Н. Новгороде стали проводиться общие заседания препода-
12 Та м же, стр. 28. См. также А. И. Ульянова- Елизарова, Воспоминания об Ильиче, М., 1969,
стр. 6—8.
*3 М. Ульянова, Отец Владимира Ильича Ленина Илья Николаевич Ульянов (1831—1886), М., Соцэкгиз, 1931, стр. 29.
14 И. Н. Ульянов, Отчет о съезде народных учителей Симбирского и Сенгилеевского уездов, происходившем с 1 но 15 сентября 1874 г. в г. Симбирске, Симбирск, 18753 стр, 72—73,
вателей дворянского института и гимназии, посвященные обсуждению вопросов обучения и воспитания. Основным в деятельности этого объединенного педагогического совета было обсуждение новых методов обучения (в том числе и для начальных классов), основывающихся на активном и сознательном отношении учащихся к изучаемым предметам. В части обучения началам арифметики упоминался метод Грубе15. Но внимание Ильи Николаевича привлекали и иные методы обучения арифметике в начальной школе. В Нижегородской гимназии был объявлен конкурс на должность учителя подготовительного класса. Сохранилось письмо Ильи Николаевича от 9(21) декабря 1864 г. к учителю И. П. Петерсону, в котором он советует последнему принять участие в конкурсе и, между прочим, пишет: «Я думаю, что Вам известны все методы наглядного обучения и Вы познакомились с ними на деле в Ясной Поляне»16. В Ясной Поляне работала начальная школа Льва Николаевича Толстого. В этой школе Лев Николаевич проверял на практике разрабатываемые им новые способы образования детей крестьян.
«Чтобы понять до конца, кем был Илья Николаевич,— писала Надежда Константиновна Крупская,— надо почитать «Современник», выходивший под редакцией Некрасова и Панаева, где сотрудничали Белинский, Чернышевский, Добролюбов... Как педагог, Илья Николаевич особенно усердно читал Добролюбова» 17. «Добролюбов покорил и честное сердце Ильи Николаевича, и это определило работу Ильи Николаевича как директора народных училищ Симбирской губернии и как воспитателя своего сына — Ленина,— и других своих детей, которые все стали революционерами» 18.
В какой мере идеи Н. И. Лобачевского о цели, организационных формах и способах преподавания математики могли помочь Илье Николаевичу в повышении его педагогического мастерства, в первую очередь, конечно, в части преподавания арифметики в начальной школе?
15 См. материалы, опубликованные по этому вопросу в журнале «Математика в школе», 1970, № 3, стр. 4—10:
А. 	В. Грубе, Руководство к начальной арифметике в элементарной школе на основании эвристического метода. Пер. с 5-го нем. издания, СПб., 1873; И. И. П а- у л ь с о н, Арифметика по способу немецкого педагога Грубе, СПб., 1860.
*6 Фонд 11, ед. хр. 26, опись 1, л. 2.
17 Н. Крупская, Детство и ранняя юность Ильича, «Большевик», 1938, № 12, стр. 64. О Добролюбове см.: Педагогическая энциклопедия, т. 1, 1964, стр. 766.
18 Н. Крупская, Детство и ранняя юность Ильича,
«Большевик», 1938» № 12, стр. 65—66.
7


Николай Иванович Лобачевский ряд лет руководил организацией народного образования в Казанском учебном округе; его дидактические и методические взгляды нашли отражение в большом числе официальных документов 19. Знал ли Илья Николаевич эти документы? Это неизвестно. Известно другое: во всех публикациях, документах и письмах Ильи Николаевича дидактические и методические взгляды Лобачевского не упоминаются. Следовательно, правильнее поставить вопрос так: в чем сходны и в чем различны дидактические и методические взгляды Ильи Николаевича и Н. И. Лобачевского в части обучения началам Математики?
Дидактические установки Н. И. Лобачевского и И. Н. Ульянова в части начального обучения арифметике во многом совпадают. Вопросы о соотношении формальной и материальной цели обучения, о роли чувственного восприятия в учебном процессе и т. п. Лобачевский и Илья Николаевич решали в основном одинаково, опираясь, по сути, на материалистическое понимание процесса развития у детей познавательных способностей. Они считали, что обучение должно начинаться с чувственных восприятий окружающих предметов и постепенно подниматься к образованию отвлеченных понятий и суждений. О преподавании начал арифметики Лобачевский писал: «Дело состоит в том, что наш ум должен сперва от предметов, прямо действующих на чувства, перейти к числам». Обучение элементам арифметики должно быть организовано так, чтобы все необходимое — счеты, камешки и т. п.— было у детей «под пальцами и перед глазами». Когда круг арифметических понятий, усвоенных школьниками, достаточно расширится, учитель должен разъяснить учащимся основания связей между этими понятиями. Эти разъяснения должны быть проведены учителем путем соответствующих «толкований». Конечно, подчеркивал Лобачевский, такие «толкования» «не дают доказательств строго, но дают чувствовать причины». Лобачевский утверждал также, что учащиеся воспринимают учебный материал наилучшим образом тогда, когда учитель исходит из круга имеющихся у школьников представлений.
Эти идеи Лобачевского разделял и Илья Николаевич. Однако он владел ими в более
19 См.: В. М. Нагаева, Педагогические взгляды и деятельность Н. И. Лобачевского, «Историко-математические исследования», вып. III, 1950; П. Ф. Якунин, О деятельности Н. И. Лобачевского в области народного просвещения; В. Д. Чистяков, О проникновении идей Лобачевского в среднюю школу, «Историко-математические исследования», вып. IX, 1956,
развернутом и детализированном виде на основании: 1) изучения работ Добролюбова, Чернышевского, Писарева, Ушинского, Кор- фа, Песталоцци, Дистервега и других представителей прогрессивной педагогической мысли; 2) учета опыта работы лучших начальных школ своего времени (школы Л. Н. Толстого и Н. А. Корфа); 3) обсуждения этих вопросов с товарищами по работе. В работах названных авторов речь шла преимущественно о том, чему и как учить детей крестьян. Во времена Лобачевского эти вопросы не имели первостепенного значения, и он их специально не рассматривал. На этом, по сути, сходство педагогических идей Лобачевского и Ильи Николаевича кончается; дальше идут различия. Взгляды Н. И. Лобачевского и Ильи Николаевича на организацию учебного процесса несовместимы. Лобачевский считал, что в приходских школах и начальных классах уездных училищ наиболее совершенной системой обучения является Ланкастерская система взаимного обучения20. Для успешного обучения в этих школах, писал Лобачевский, необходимо умение учителя «победить леность и рассеянность детского возраста, Той и другой цели способствует в совершенстве способ взаимного обучения, который разнообразием своим предохраняет учеников от скуки, а выкладками на счетах действует на чувства и посредством сих самих чувств начинает передавать уму их понятия»21,
Лобачевский осуществил ряд мероприятий по подготовке учителей и организации некоторых школ Казанского учебного округа для работы по Ланкастерской системе. Однако надежды, возлагавшиеся Лобачевским на эту систему обучения, во многом не оправдались. При Ланкастерской системе обучения учащиеся сравнительно быстро овладевали навыками чтения, письма и счета, но не приобретали никаких систематических знаний. В силу этого для Ильи Николаевича несостоятельность Ланкастерской системы была вне сомнений. В написанном Ильей Николаевичем наброске программы учительского съезда Симбирской губернии 1872 г., в одном из его пунктов, можно прочесть: «Выводить (ста- раться) способы взаимного обучения Ланкастера»22. Как и Лобачевский, Илья Николаевич много думал над тем, «как возбудить внимание учеников, когда они заметно уста¬
20 Ланкастерская система — система обучения младших учеников старшими под руководством учителя. См.: Педагогическая энциклопедия, т. I, 1964, :тр. 178.
21 Н. И. Лобачевский, Наставления учителям математики в гимназиях. «Труды института истории естествознания», т. II, 1948, стр 556.
22 Фонд 11, ед. хр. 36, опись 1, л, 5,
а


ли», «что сделать, чтобы все ученики были заняты»23. Но решение этих вопросов он искал на других путях. Еще в меньшей мере можно говорить о совпадении взглядов
Н. 	И. Лобачевского и Ильи Николаевича по конкретным вопросам методики арифметики начальной школы. У Лобачевского эти вопросы — особенно для сельских школ — развития не получили. В первой половине XIX в. в России такие вопросы привлекали внимание немногих энтузиастов-педагогов, сторонников наглядного обучения. После освобождения крестьян положение коренным образом изменилось. Возникла необходимость развить методику арифметики соответственно новому пониманию цели сельских начальных школ, развить в деталях, вплоть до рекомендаций для каждого урока, на каждом году обучения. Этой работе отдали много сил К- Д. Ушин- ский, Л. Н. Толстой, Н. А. Корф, В. А. Евту- шевский и многие другие передовые просветители и педагоги, причем каждый из них развивал, вообще говоря, свою методическую концепцию. Учитывались и использовались положительные результаты исследований иностранных методистов, в том числе и А. В. Грубе. Методические рекомендации Грубе по начальному обучению арифметике использовали с изменениями и дополнениями преподаватели ряда школ Петербургской, Костромской, Вятской, Казанской и Харьковской губерний. В 1872 г. в Москве был созван первый Всероссийский съезд учителей народных школ. В числе участников съезда был и Илья Николаевич. На этом съезде лекции по методике арифметики прочел Евтушевский, последователь Грубе.
По мнению Ильи Николаевича, системой обучения арифметике, наилучшим образом отвечающей задачам обучения в начальной школе, была система Грубе, воспринятая и применяемая не догматически, а рационально, с соответствующими изменениями и дополнениями. Один из ближайших учеников и последователей Ильи Николаевича, учитель Алексей Александрович Волков говорил: «При обучении счету мы пользовались методиками Грубе и Евтушевского, но не догматически, а со многими исключениями»24.
Почему Илья Николаевич предпочел другим системам систему Грубе? Как он использовал эту систему во время работы в Симбирской губернии?
23 Т а м ж е, л. 5—6.
24 А. И. Кондаков, И. Н. Ульянов в воспоминаниях учителя А. А. Волкова, «Советская педагогика»,
1939, № 1, стр. 111.
Достаточно правдоподобный ответ на первый вопрос можно найти в высказываниях Пафнутия Львовича Чебышева о системе Грубе. Некоторые соображения по второму вопросу будут высказаны в конце статьи.
В 1863 г. попечитель Харьковского учебного округа представил министру народного просвещения «Первый курс арифметики, составленный по методу Грубе» учителем Ла- довским. Попечитель просил разрешения ввести курс Ладовского во всех приходских и уездных училищах Харьковского учебного округа.
Курс Ладовского был передан П. Л. Чебышеву для отзыва и заключения25.
«Из рассмотрения первого курса арифметики, изданного г. Ладовским,— писал П. Л. Чебышев,— оказывается, что он действительно составлен с полным знанием дела и вполне соответствует своей цели». Вместе с тем П. Л. Чебышев не согласился на введение курса Ладовского в качестве обязательного учебника в низших училищах Харьковского учебного округа. «Я полагаю,— писал П. Л. Чебышев,— что прежде обязательного введения этой методы (т. е. метода Грубе.— В. М.) и вместе с тем курса г. Ладовского во все низшие училища Харьковского округа полезно было бы ограничиться сначала введением этого курса в одни училища Харьковской губернии», предоставить директору училищ учесть этот опыт, «после чего наблюдения свои относительно успешности в его училищах новой системы преподавания начал арифметики сообщить Ученому комитету Министерства просвещения».
П. Л. Чебышев обосновал свое заключение следующими аргументами:
1. Успех «перемены обыкновенной системы преподавания арифметики, с которой так свыклись наши учителя, на систему Грубе... особенно много зависит от искусства учителя».
2. «Опыт показал только преимущество системы Грубе перед системой Ланкастера, далеко не удавшейся у нас, и такой опыт был произведен в самом Харькове, где сравнительно лучше учителя».
Именно «принимая во внимание и сознавая, какой вред может произойти от неудовлетворительного употребления системы Грубе», П. Л. Чебышев и дал приведенное выше заключение на первый курс арифметики Ладовского.
В 1865 г. П. Л. Чебышев рассмотрел второй курс (продолжение) «Арифметики» Ла-
25 См.: П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений, т. V, М.— Л., 1951, стр. 349—350.
9


довского. Этот второй курс Ладовского Чебышев отверг. «Арифметика г. Ладовского,— писал Чебышев,— лишена той точности и ясности в изложении, которые составляют необходимое условие хорошего учебника». В отзыве на второй курс Ладовского П. Л. Чебышев дает, вместе с тем, развернутую и предельно точную характеристику метода Грубе. «Признавая вполне,— пишет Чебышев,— что система Грубе, которой следовал г. Ладовский при составлении первого курса арифметики, особенно хороша для развития умственных способностей детей, что подтверждается и мнениями учителей, я думаю, однако, что этого одного недостаточно еще для предпочтения этой системы всякой другой, где образование многих будет заканчиваться. При изложении арифметики в таких училищах необходимо иметь в виду, чтобы уроки по этому предмету, вместе с развитием умственных способностей, сообщали ученику и те сведения, которые признаны необходимыми для людей, оканчивающих там свое образование».
После этого общего заключения об использовании метода Грубе в начальных училищах П. Л. Чебышев сделал к нему следующие дополнения:
1. «Первоначальный курс г. Ладовского, подобно всем другим, составленным по системе Грубе, служит только указанием, как преподавателю вести учеников к пониманию счета и вычислений».
2. «Хороший преподаватель арифметики, ознакомившись с системою Грубе, найдет возможным воспользоваться ею для уяснения того, что трудно понимается учениками при обучении их арифметике по общепринятой системе в училищах».
За годы деятельности в Ученом комитете Министерства народного просвещения (1856— 1873) П. Л. Чебышев дал отзывы на многие учебники арифметики для начальных школ. Два из них представляют для нас несомненный интерес.
В 1861 г. П. Л. Чебышев дал отрицательный отзыв на «Арифметику» А. Никулина, так как в ней «совершенно опущены все объяснения, необходимые для того, чтобы дать понять ученику, почему при вычислении поступают так, а не иначе. Бессодержательное заучивание различных приемов, предлагаемых в арифметике, не может принести никакой пользы».
В 1859 г. в отзыве на «Собрание арифметических задач для изустного вычисления» Р. Таля П. Л. Чебышев писал:
«Изустное решение арифметических задач много содействует умственному развитию детей... Но чтобы оно могло достигать своей
цели, необходимо при выборе из множества задач, представляющихся на практике, иметь в виду постепенный ход развития числительной способности детей. Упражняясь в решении этих задач, дитя должно незаметным образом перейти от самых легких изустных вычислений до задач, составляющих границу, где необходимо употребление числительных знаков — заставлять же его переходить эгу границу неблагоразумно. Нет никакого сомнения, что при чрезвычайном усилии и продолжительных занятиях можно приучить дитя к решению в уме очень трудных задач, но это ни к чему существенно полезному не поведет, а менее всего может вести к развитию математических способностей... Ни в коем случае не следует заставлять детей умственно решать такие задачи, которые взрослыми и при надлежащем воспитании решаются только при помощи числительных знаков. Особенно нельзя заставлять детей решать в уме задачи алгебраического характера».
Итак, по мнению П. Л. Чебышева:
1) Система Ланкастера показала свою непригодность и должна быть заменена.
2) Система Грубе помогает преподавателю вести учащихся к пониманию счета и вычислений и особенно хороша для развития умственных способностей детей.
3) Устное решение задач, конечно в разумных границах, во многом способствует развитию умственных способностей учащихся.
4) Преподавание арифметики по Грубе в школах, где образование многих будет заканчиваться, должно включать сведения, полезные учащимся для их последующей практической деятельности.
5) Успех использования системы Грубе во многом зависит от искусства учителя.
В 1879 г. Илья Николаевич писал, что дети из крестьянских семейств приходят в школу «с слишком низким уровнем развития»26. Следовательно, на первом году обучения надо было излагать элементы арифметики медленно, шаг за шагом, начиная с чисел первого десятка. Система Грубе давала по этому вопросу детализированные рекомендации, что также привлекало к ней внимание преподавателей начальных школ.
Когда Илья Николаевич прибыл в Симбирск, большинство народных (начальных) школ Симбирской губернии находилось в неудовлетворительном состоянии. В школах работали недостаточно квалифицированные, а порой и полуграмотные преподаватели. Примириться со всем этим Илья Николаевич не
26 Фонд 11, ед. хр. 42, опись 1, л. 16,
10


мог. Один из его учеников писал впоследствии: Илья Николаевич желал видеть в руководимых им преподавателях «не простых ремесленников в важном деле воспитания и обучения, а художников-творцов, сильно вооруженных знаниями»27 (подчеркнуто мною.—
В. 	М.). В этой связи вопросы подготовки квалифицированных учителей народных школ стали для Ильи Николаевича «первой заботой» (М. И. Ульянова). По его инициативе в 1869 г. были открыты двухгодичные курсы при Симбирском приходском училище. Первый год слушатели курсов учились и посещали уроки в приходских училищах. На втором году обучения слушатели давали в этих училищах (пробные) уроки под руководством Ильи Николаевича. Курсы просуществовали четыре года и дали народным школам Симбирской губернии 47 учителей. После закрытия курсов, при активном участии Ильи Николаевича, в селе Порецком была открыта учительская семинария, с трехлетним сроком обучения. Семинария дала Симбирской губернии 86 учителей народных школ.
Немалую роль в повышении квалификации учителей народных школ Симбирской губернии сыграли учительские съезды, которые также работали под руководством Ильи Николаевича. «Для улучшения учебной части и для правильной постановки учебного дела,— писал Илья Николаевич,— необходимо в каждом уезде устраивать учительский съезд, задача которого и состояла бы в практическом ознакомлении преподавателей с лучшими методами обучения предметам, входящим в курс начальных народных училищ» 28.
На съезде народных учителей Симбирского и Сенгилеевского уездов, происходившем в сентябре 1874 г. в Симбирске, показательные уроки по арифметике, как подчеркнул сам Илья Николаевич, «велись по методу Грубе, при помощи шведских счет, кубиков, мер длины и т. п.»29. На съезде учитель Лукьянов прочитал написанную им статью «Элементарная арифметика», посвященную описанию преподавания начал арифметики по Грубе. Лукьянов советовал следовать нижеследующему плану обучения началам арифметики:
«Прежде всего ученики на наглядных по¬
27 М. Ульянова, Отец Владимира Ильича Ленина Илья Николаевич Ульянов (1831—1886), Соцэкгиз, 1931, стр. 47.
28 И. Н. Ульянов, Отчет о состоянии начальных народных училищ Симбирской губернии за 1872 гражданский год, Казань, 1873, стр. 111.
29 И. Н. Ульянов, Отчет о съезде народных учи¬
телей Симбирского и Сенгилеевского уездов, происхо¬
дившем с 1 по 15 сентября 1874 г, в г, Симбирске, Сим¬
бирск, 1875, стр. 8.
собиях доводятся до сознания того, что такое равно, больше, меньше, один и много. Потом доводятся до сознания необходимости измерения этих различий по величине и количеству, т. е. составляют себе понятие о числе. Далее переходят к счету предметов. Счет прямой и обратный; по порядку и через несколько единиц. Далее изучение чисел от 1 до 20. Упражнения при этом состоят в следующем:
X X X X X 1) Образование нового числа X X X X X прибавлением единицы
к числу предшествующему. XXX XX 2) Разложение числа на со- X X X X X ставные его слагаемые самими учениками при посредстве наглядных пособий.
3) 	Приведение в порядок разложения, сделанного учениками. Для закрепления этого порядка в сознании учеников служат письменные упражнения посредством черчения на досках или в тетрадях черточек, кружочков, крестиков и т. п., а потом и посредством цифр и знаков действий».
Чтобы дети могли без затруднений ответить, сколько нужно прибавить к 1, чтобы получить 3 или сколько надо отнять от 3, чтобы вышло 1, «необходимо прежде показать им все это наглядно посредством кубиков, крестиков, кружочков, причем добиваться, чтобы все разложения делались самими учениками. Когда ученики достаточно привыкнут анализировать задачи, тогда, разобрав содержание задачи, нужно добиваться, не делая необходимых для решения ее действий, того, чтобы ученики составили план решения задачи и вывели по этому плану формулу».
При обсуждении статьи Лукьянова один из участников съезда сказал, что в статье не разъяснено, как объяснить учащимся определения сложения, вычитания, множимого и т.п. На это выступление последовало следующее разъяснение Ильи Николаевича. Давать такие определения учащимся начальных школ в начале обучения, сказал он, «значило бы обращаться к одной схоластике. Эти определения сами собой следуют из практических упражнений и являются в виде вывода в конце урока»30.
Обучению арифметике в старшем отделении был посвящен доклад учителя Клюева. «Зачем и с какой целью решаются в школе задачи устные и письменные,— сказал Клюев,— это хорошо объяснено в методике Евтушевско-
30 Т а м же, стр. 59—62. См. в этой связи: К. Д. Ушинский, Избранные педагогические сочинения, т. II, 1939, стр. 194 и 247.
И


го»31. Указав на положительные стороны задачника Евтушевского, Клюев сделал к нему одно характерное замечание: «Относительно задач г. Евтушевского я только должен сказать то, что в них предметы встречаются по большей части незнакомые крестьянским детям, а чтобы избежать объяснений их, на которые тоже уйдет немало времени в сельской школе, то я заменил эти предметы другими, знакомыми детям; суть-то задачи остается одна и та же, только вещи-то, предметы будут другие... Если село торговое или промышленное, то в таком селе и надо налегать на те предметы, которыми торгуют жители или промышляют; тогда и самая задача будет много интереснее для всех детей».
Клюев сказал, что он сообщил своим ученикам правила измерения площадей участков земли, имеющих форму клиньев или полос, которые встречаются около оврагов, лесов и болот.
Все эти замечания Клюева проливают некоторый свет на то, как под руководством Ильи Николаевича учителя народных школ Симбирской губернии использовали в преподавании арифметики метод Грубе и его — так же не ортодоксальных,— последователей: Евтушевского, Паульсона и др.
Результаты работы народных школ Симбирской губернии анализировались и подробно описывались в ежегодных «Отчетах» Ильи Николаевича, которые обычно публиковались. В «Отчете» за 1872 г. можно прочесть: «Преподавание арифметики в большей части школ идет не по способу Грубе, и здесь ученики иногда затрудняются в решении практических задач; но в училищах тех уездов, в которых были устроены учительские съезды, преподаватели, ознакомившись с методом Грубе, ведут дело обучения счету наглядно, при помощи кубиков... счет и т. п.... В этих школах обучение счету начинается с умственного счисления и при том непременно на именованных числах, а затем уже идет письменное исчисление. Ученики при каждом своем действии доводятся прежде до сознания, что и как делать, а потом уже выполняют это действие письменно или на счетах»32. «Обучение счету происходит по способу Грубе»,— пишет Илья Николаевич о преподавании арифметики в приходских училищах г. Симбирска и поясняет: «...ученики сначала постепенно знако-
31 По-видимому, имеется в виду: В. А. Евтушев- ский, Методика арифметики, СПб., 1872 (впоследствии неоднократно переиздавалась).
32 И. Н. Ульянов, Отчет о состоянии начальных народных училищ Симбирской губернии за 1872 гражданский ход, Казань, 1873, стр. 23,
мятся с числами от 1 до 10 посредством палочек, счет и других видимых предметов, а затем усваивают все возможные комбинации над первыми десятью числами посредством умственного и письменного решения практических задач, сначала с легкими, потом постепенно с более сложными условиями»33. Илья Николаевич относился одобрительно к развитию у учащихся навыков устного счета еще и потому, что при его проведении класс оживляется, а «между учениками заметно соревнование, кто скорее сосчитает».
По указанию Ильи Николаевича преподаватели использовали учебники и задачники последователей Грубе —Евтушевского, Воленка, Паульсона, Томаса и др.
Особо неодобрительно отзывался Илья Николаевич о тех школах, в которых ученики «умственному счислению не обучаются», «задачи хотя и решают, но не могут объяснить, почему получается такой результат, а не иной» или даже «затрудняются сказать, сколько в числе десятков, сотен и т. д.», не знают мер длины, веса и т. п. В отчете за 1871 г. Илья Николаевич писал, что ученики одной из школ «не привыкли решать задачи с именованными числами на счетах, так как упражнялись на отвлеченных числах. Сверх того, учитель прежде называет фамилию ученика, а потом уже предлагает задачу, а надо поступать наоборот с целью приучить всех учеников внимательно относиться к словам учителя»34.
Высказывания в пользу эффективности преподавания начал арифметики по методу Грубе содержатся в большинстве написанных Ильей Николаевичем «Отчетов» и других официальных документах с 1869 по 1883 г.35.
В «Отчете» за 1880 г. Илья Николаевич писал: «Курс начальной арифметики распадается на два: на подготовительный и систематический. Первый проходится в двух младших отделениях и состоит в изучении первой сотни; второй — в старшем отделении и обнимает систематический курс первой части арифметики. Оба эти курса должны быть тесно связаны друг с другом, между тем они часто ставятся совершенно отдельно, каждый сам по себе. Но все-таки теперь очень мало таких учителей, которые не придавали бы должного значения сравнению чисел, задачам из жизни практической и словесному счету в разнообразных его применениях. Успехи по арифметике редко бывают плохи; почти везде уче¬
33 Та м же, стр. 47.
34 Фонд 11, ед. хр, 35, опись 1, л. 17—18.
35 См.: Фонд 11, ед. хр. 36, 38, 39, 42, 43, 46, 47, 55,
опись 1,
(2


ники считают быстро, сознательно, с ясным представлением тех оснований, в силу которых счет следует вести известным образом»36.
Итак, после двенадцати лет работы Илья Николаевич смог констатировать, что в подведомственных ему школах Симбирской губернии преподавание начал арифметики по уточненному и детализированному им и его учениками методу Грубе дало более чем заметные результаты. Оставалась, по сути, не решенной лишь одна задача: как сделать результаты преподавания начал арифметики исходным пунктом построения систематического курса арифметики? Развитие методики арифметики в последней четверти XIX и в начале XX в. показало, что эта задача не из легких, что ее решение требует перехода к более совершенной концепции, чем система Грубе. Что удалось Илье Николаевичу сделать для ее решения в последние годы его жизни, мы не знаем. Напомним, что эти годы жизни Ильи Николаевича— как писала Анна Ильинична Улья- нова-Елизарова — были омрачены гонениями и притеснениями, которым стали подвергаться
36 И. Н. Ульянов, Отчет о состоянии начальных народных училищ Симбирской губернии за 1880 г., Симбирск, 1881, стр. 37—38. Фонд 11, ед. хр. 43, опись 1, л. 20, 21; фонд И, ед. хр. 42, опись 1, л. 20.
народные земские школы со стороны царского правительства и реакционно настроенных помещиков. «Пора увлечения народными училищами миновала; земские училища стали заменяться церковноприходскими, к которым у Ильи Николаевича было, конечно, самое отрицательное отношение»37. Заниматься успешно творческим развитием методики арифметики при этих условиях было, конечно, очень трудно.
Илья Николаевич Ульянов работал и руководил учителями народных школ, творчески обобщая и систематизируя новые положительные данные теории и практики педагогического дела. Именно поэтому он не был и не мог быть «правоверным» проводником дидактических и методических идей только Лобачевского, только Ушинского или какого-либо другого выдающегося мыслителя. Он был их соратником в великом, благороднейшем деле просвещения русского народа.
Несомненно, однако, и то, что начальные, исходные данные для такой деятельности Илья Николаевич получил от Казанского университета и Николая Ивановича Лобачевского.
37 «Пролетарская революция», 1922, № 3, стр. 336.
УВАЖАЕМЫЕ ЧИТАТЕЛИ!
Всесоюзный институт научной и технической информации издает информационную литературу по всем основным вопросам науки и техники.
В изданиях ВИНИТИ — Реферативном журнале, Экспресс-информации, сборниках «Итоги науки и техники», Сигнальной информации и других — помещаются рефераты, аннотации, обзоры, библиографические и патентные описания, охватывающие мировую литературу по естественным и техническим наукам, издающуюся в 117 странах мира на 65 языках.
Читайте, выписывайте, используйте!
Реферативные журналы: «Математика» (сводный том в 3 выпусках), «Кибернетика» (2 выпуска сводного тома), «Автоматика, телемеханика и вычислительная техника» (2 выпуска).
Индексы «Союзпечати»: 71472—71479, 71448—71449,
71442—71445, 71450—71451, 71160—71165, 71168—71169.
Экспресс-информацию: «Техническая кибернетика»,
«Вычислительная техника», «Передача информации», «Приборы и элементы автоматики», «Системы автоматического управления».
Сигнальную информацию по автоматике и радиоэлектронике. Индексы «Союзпечати»: 72264—72265,
72096—72097, 72162—72163, 72176—72177, 72232—72233.
Заказы на Сигнальную информацию, «Итоги науки и техники», реферативную и библиографическую картотеки, труды по научной информации и другие издания принимаются по адресу: г. Люберцы-10 Московской обл., Октябрьский проспект, 403, Производственно-из- дательский комбинат ВИНИТИ, Отдел распространения. Тел. 271-90-10, доб. 26-29. Там же вы можете подробно ознакомиться со всей интересующей вас литературой по своей специальности и получить проспекты.
ОТ РЕДАКЦИИ
Журнал «Математика в школе» помещает на своих страницах описание новых наглядных пособий и приборов при условии рекомендации их УМСом Министерства просвещения СССР или лабораторией математики и программированного обучения Научно-исследовательского института школьного оборудования и технических средств обучения АПН СССР. Это относится не только к предметам учебного оборудования, выпускаемым по заказу Министерства просвещения, но и к тем наглядным пособиям, которые могут быть изготовлены силами учащихся под руководством учителя.


МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ IV-V КЛАССОВ, РАБОТАЮЩИМ ПО НОВОЙ ПРОГРАММЕ
М. я. АНТОНОВСКИЙ.
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ (Москва)
Формирование понятия объема и пространственных представлений в IV классе
В предыдущей статье («Математика в школе», № 4. стр. 15—21) мы остановились на некоторых принципиальных вопросах, связанных с понятием объема и его первоначальным изучением в IV классе. Здесь мы дадим вариант изложения этой темы в классе. Сразу же оговоримся, что это изложение содержит максимально полное рассмотрение вопросов, связанных с первоначальными пространственными представлениями, прямоугольным параллелепипедом и понятием объема. Эксперимент, проведенный в 625, 527 и 82 школах Москвы, показал, что такое изложение темы требует 15—16 уроков, в то время как новая программа отводит на этот материал (вместе
с решением задач) несколько меньшее время.
Тем не менее нам представляется полезным дать учителю (а может быть, и учащемуся) такое полное изложение темы. Мы считаем, что учебник математики должен содержать полное объяснение, позволяющее учащемуся в случае необходимости (например, в случае пропуска двух-трех уроков по болезни) самостоятельно разобраться в материале по учебнику. Между тем изложение первоначального геометрического материала в наших учебниках для IV класса традиционно является чрезмерно сжатым. Что такое основание и высота прямоугольного параллелепипеда, что такое его измерение, вопрос о равенстве противоположных граней и о равенстве четверок ребер, как и ряд других вопросов, учебник практически не раскрывает. Поэтому при рассказе материала и при решении задач учитель вынужден сам давать дополнительные разъяснения. Предлагаемое ниже полное изложение темы дает материал для таких необходимых пояснений. Материал может быть использован полностью или частично, может быть изложен единой темой или вкраплен в курс математики IV класса небольшими частями. Возможно, что часть материала целесообразно оставить для более углубленного изучения впоследствии (например, при повторении и закреплении материала в V классе).
§ 1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
1. 	О форме предметов
В жизни мы встречаемся с предметами различной формы. Чемодан и футбольный мяч (рис. 1) могут иметь один и тот же цвет (например, коричневый), они могут быть обтянуты одним и тем же материалом (кожей). Но тем не менее эти предметы совершенно не похожи друг на друга; они имеют разную форму. Две жестяные коробки, показанные на рис. 2, могут иметь один и тот же цвет, но форма этих коробок не одинакова.
Однако часто встречаются предметы, имеющие похожую форму; они могут быть сделаны из разного материала и окрашены в разные цвета, но по форме они напоминают друг друга.
Рис. 1
14


На рис. 3 изображены чемодан, шкаф, почтовая посылка и телевизор. Эти предметы имеют похожую форму. Правда, они отличаются мелкими деталями: у чемодана есть ручка, у шкафа — дверцы. Но если не обращать внимание на эти детали, то можно сказать, что все эти предметы напоминают по форме изображенный на рис. 4 предмет, не имеющий никаких второстепенных деталей.
2. 	Прямоугольный параллелепипед и его грани
Изображенное на рис. 4 тело называется прямоугольным параллелепипедом. Обращенная к нам сторона этого тела имеет форму прямоугольника. Это передняя грань прямоугольного параллелепипеда. Точно такой же прямоугольник имеется сзади. Это — задняя грань. Мы ее не видим. Сверху и снизу имеются еще две грани. Верхняя нам видна. Нижнюю грань мы не видим, прямоугольный параллелепипед стоит на этой грани. Наконец, с боков еще две грани. Правую грань мы на рисунке видим, левую — нет.
Всего у прямоугольного параллелепипеда имеется 6 граней. Каждая грань прямоугольного параллелепипеда имеет форму прямоугольника.
На рис. 5 тоже изображен прямоугольный параллелепипед. Но он не стоит ни на одной из своих граней, а висит. У него по-прежнему 6 граней, но никакую из них нельзя назвать нижней или верхней. О нижней грани мы можем говорить тогда, когда прямоугольный параллелепипед стоит на столе или другой поверхности. Ту грань, на которой параллелепипед стоит, обычно называют его основанием (или его нижним основанием). Противоположная (верхняя) грань называется верхним основанием. Конечно, любую грань можно сделать основанием: ведь мы можем поста-
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 3
вить прямоугольный параллелепипед на любую из его граней.
На рис. 5 видимые грани параллелепипеда занумерованы цифрами 1, 2, 3.
Прямоугольный параллелепипед — это такое тело, у которого шесть граней и каждая грань является прямоугольником«
Э. 	Ребра и вершины
Стороны прямоугольников, являющихся гранями прямоугольного параллелепипеда, называются ребрами прямоугольного параллелепипеда.
На рис. 6 мы видим несколько ребер прямоугольного параллелепипеда: АВ, ВС, CD, AD, АЕ, CG, DH, EH, GH\ еще три ребра нам не видны: EF, BF, FG. Всего у прямоугольного параллелепипеда 12 ребер. Посчитать их можно так: по четыре ребра — у нижнего и верхнего оснований и четыре ребра (на рис. б это ребра АЕ, BF, CG, DH), которые идут от верхнего основания к нижнему.
К каждому ребру примыкают две грани прямоугольного параллелепипеда. Например, на рис. 6 к ребру AD примыкают грани ABCD и ADHE, а к ребру DH — грани ADHE и CDHG.
Концы отрезков, являющихся ребрами прямоугольного параллелепипеда, называются его вершинами.
На каждой грани прямоугольного параллелепипеда имеется 4 ребра и 4 вершины. На¬
Рис. 6
В
С
15


пример, на грани ABCD (рис. 6) лежат ребра АВ, ВС, CD, AD и вершины А, В, С, D. Всего у прямоугольного параллелепипеда имеется 8 вершин: 4 на нижнем основании, 4 на верхнем. К каждой вершине прямоугольного параллелепипеда подходят 3 ребра и 3 грани. Например, к вершине D на рис. 6 примыкают 3 ребра ЛД CD, DH и три грани ABCD, ADHE и DCGH.
4. 	Смежные и противоположные грани
Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней; каждая из них—-прямоугольник. Прямоугольный параллелепипед имеет 12 ребер, каждое ребро представляет собой отрезок. Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин; каждая вершина — это точка.
Две грани прямоугольного параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными гранями. Например, на рис. 5 грани 1 и 3 являются смежными. Грани 2 и 3 тоже являются смежными. На рис. 6 к ребру CD примыкают грани ABCD и DCGH; эти грани являются смежными.
Две грани прямоугольного параллелепипеда, не имеющие общих ребер, называются противоположными гранями. Например, нижнее и верхнее основания являются двумя противоположными гранями. Грани ABFE и CDHG на рис. 6 — противоположные. Всего у прямоугольного параллелепипеда 3 пары противоположных друг другу граней.
Две противоположные друг другу грани прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Например, если вырезать из бумаги прямоугольник, точно накладывающийся на переднюю грань прямоугольного параллелепипеда, то этот же прямоугольник можно точно наложить и на заднюю его грань. Нижнее основание прямоугольного параллелепипеда равно его верхнему основанию, передняя грань равна задней, левая грань равна правой.
5. 	Четверки параллельных ребер
Ребра АЕ и DH (рис, 6) являются двумя противоположными сторонами прямоугольни¬
ка ADHE (т. е. передней грани параллелепипеда). Эти ребра равны и параллельны между собой. Ребро DH равно и параллельно ребру CG — ведь эти ребра являются противоположными сторонами грани CDHG. Все три ребра АЕ, DH, CG равны между собой. Все они параллельны. Но есть и еще одно ребро, которое равно и параллельно этим трем ребрам. Это — ребро BF. Теперь мы имеем четыре ребра: АЕ, Dtf, CG, BF. Все они равны между собой и параллельны. Мы нашли четверку равных между собой и параллельных ребер.
Ребра ВС, AD, EH, FG составляют другую четверку. Все эти ребра тоже равны между собой и параллельны. Но они не равны ребрам первой четверки и не параллельны им.
Имеется еще и третья четверка ребер: ЛВ, CD, GH, EF. Все эти ребра равны между собой и параллельны ребру EF.
У прямоугольного параллелепипеда три четверки ребер. Ребра, принадлежащие одной и той же четверке, равны между собой и параллельны.
6. 	Измерения прямоугольного параллелепипеда
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, принадлежат трем разным четверкам. Например, в вер-, шине А сходятся ребра Л В, AD, АЕ (рис. 6). Длины таких трех ребер называются тремя измерениями прямоугольного параллелепипеда. На рис. 7 выделены три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине. Их длины — 3 см, 7 см и 2 см. Значит, изображенный на этом рисунке параллелепипед имеет измерения 3, 7 и 2 (сантимет- ров).
На рис. 6 нижним основанием параллелепипеда является грань EFGH. Ребра АЕУ BFy CG, DH идут от одного основания к другому. Эти четыре ребра составляют четверку: все они равны между собой и параллельны. Каждое из этих ребер называется высотой прямоугольного параллелепипеда.
Высотой прямоугольного параллелепипеда называется ребро, идущее от основания к противоположной грани.
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
16


Если, например, в параллелепипеде, изображенном на рис. 8, мы примем за'основание грань ABFE, то высотой будет ребро AD (или любое из ребер ВС, FG, ЕН).
Возьмем какую-нибудь вершину, принадлежащую основанию прямоугольного параллелепипеда, например вершину Н (рис. 6). В этой вершине сходятся три ребра: DH, ЕН, GH. Ребро DH является высотой, а ребра ЕН и GH принадлежат основанию прямоугольного параллелепипеда. Их называют длиной и шириной прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина и высота — это три ребра, принадлежащие трем разным четверкам ребер (рис. 9). Длины этих ребер также называют длиной, шириной и высотой прямоугольного параллелепипеда. Значит, длина, ширина и высота — это три измерения прямоугольного параллелепипеда. Два первых измерения (длина и ширина) указывают размеры основания. Высота — третье измерение прямоугольного параллелепипеда.
7. 	Поверхность и каркас прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед — это т е- л о; оно как бы заполнено внутри. Представление об этом теле дает, например, деревянный брусок, выпиленный в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 10). Никаких пустых мест внутри такого бруска нет.
А вот, например, коробка из-под обуви ничего не содержит внутри, хотя внешне имеет такую же форму, как и брусок. Она дает представление о поверхности прямоугольного параллелепипеда. Поверхность составляется из шести прямоугольников (т. е. граней прямоугольного параллелепипеда).Она представ-
Рис. 14 Рис. 15
ляет собой как бы наружную оболочку параллелепипеда. 12 ребер параллелепипеда, взятые вместе, образуют каркас прямоугольного параллелепипеда. Представление о нем можно получить, спаяв вместе 12 проволочек (рис. 11). Имея такой проволочный каркас и заклеив его шестью бумажными прямоугольниками (вместо граней), мы сможем хорошо представить себе поверхность прямоугольного параллелепипеда (рис. 12). Но даже и без такого заклеивания каркас (рис. 11) дает нам совершенно ясное представление о форме прямоугольного параллелепипеда, о его вершинах, ребрах и гранях.
8. 	Развертка прямоугольного параллелепипеда
Нетрудно из шести бумажных прямоугольников склеить закрытую коробочку, представляющую собой поверхность прямоугольного параллелепипеда. (Смежные грани можно приклеить друг к другу с помощью уголков, рис. 13.) Конечно, если теперь разрезать поверхность вдоль всех ребер, то она снова распадется на 6 прямоугольников. Но мы произведем разрез не по всем ребрам. Сначала разрежем поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем ребрам, принадлежащим верхнему основанию. Тогда верхнее основание можно будет приоткрыть, как крышку (рис. 14). После этого разрежем поверхность по четырем параллельным ребрам, которые являются высотами (рис. 15). Теперь поверх-
17


Рис. 17
Рис. 20
Рис. 19
ность легко раскрыть (рис. 16) и превратить в плоский кусок бумаги (рис. 17).
Мы как бы развернули поверхность прямоугольного параллелепипеда. Если теперь обратно произвести все сгибы, а затем проклеить ребра, по которым производились разрезы, то из фигуры, изображенной на рис. 17, снова получим поверхность прямоугольного параллелепипеда. Фигура, изображенная на рис. 17, называется разверткой прямоугольного параллелепипеда.
9. 	Куб
В прямоугольном параллелепипеде, показанном на рис. 18, два измерения (длина и высота) одинаковы. Передняя грань этого параллелепипеда представляет собой квадрат. Задняя — такой же квадрат. Остальные 4 гра¬
ни являются прямоугольниками, причем все они равны между собой.
На рис. 19 изображен прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения одинаковы.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения одинаковы, называется кубом.
У куба 6 граней. Грани куба являются равными между собой квадратами. Все 12 ребер куба равны между собой. На рис. 20 показана развертка куба.
§ 2. ОБЪЕМ ТЕЛА
10. 	Первоначальное понятие об объеме
В графин (рис. 21) вмещается больше воды, чем в стакан. Говорят, что вместимость (или емкость) графина больше, чем вместимость (или емкость) стакана. В графин налито 2 стакана воды. В этом случае говорят, что объем воды в графине равен двум стаканам. Но графин не заполнен до конца. Всего в него входит 5 стаканов. Значит, емкость графина 5 стаканов, а объем содержащейся в нем воды — всего 2 стакана. Если графин налит доверху, то объем содержащейся в нем воды будет равен пяти стаканам.
Не только жидкости занимают объем. В банке, изображенной на рис. 22, находится соль. Она занимает объем. Сейчас в банке 2 стакана соли.
Когда варят варенье, нужно знатъ объем сахара и объем ягод. Например, при варке
Рис. 21
Рис 22
Н


варенья из крыжовника объем ягод и сахара должен быть одинаков. Крыжовника насыпали в кастрюлю 5 стаканов, а песок лежит в пакете (рис. 23). Сколько его? Чтобы измерить объем сахара, его пересыпают, отмеряя стаканами. В пакете оказалось 5 стаканов сахара— как раз столько, сколько нужно.
На рис. 24 изображены детские кубики и рядом с ними картонная коробка. Каждый кубик занимает какое-то место, он имеет объем. В коробку можно поместить 6 кубиков, они занимают столько места, что заполняют всю коробку. Иначе можно сказать так: объем шести кубиков равен вместимости коробки.
Все предметы, окружающие нас, занимают место в пространстве. Все они имеют объем.
11. 	Задача измерения объема
Объем жидкости и сыпучих тел можно измерять стаканами. А как измерить объем твердого тела, например небольшого камня?
Чтобы узнать объем камня, можно поступить так. Возьмем аквариум и нальем его водой примерно до половины. Затем сделаем на стекле черточку, показывающую, до какого уровня доходит вода в аквариуме (рис. 25). Теперь опустим камень в аквариум (рис. 26). Камень погрузится в воду, и вода в аквариуме поднимется выше. Почему? А потому что камень ведь имеет объем, он занимает место. Раньше это место было заполнено водой, а теперь камень вытеснил воду. Куда же девалась вытесненная камнем вода? Она заняла место выше той черточки, которую мы сделали раньше. Теперь сделаем на стекле вторую черточку, показывающую, на каком уровне
Рис 25
Рис. 26
Рис. 24
находится сейчас вода в аквариуме (рис. 26). Сколько же воды поместилось между сделанными двумя черточками (точнее, между старым и новым уровнями жидкости)? Сколько места занимает эта вытесненная камнем вода? Понятно, что она занимает столько места, сколько занимает погруженный в воду камень. Иначе говоря, объем вытесненной жидкости равен объему камня.
Объем погруженного в жидкость тела равен объему вытесненной им жидкости.
Зная это, нам теперь уже нетрудно найти объем камня. Будем вычерпывать стаканами воду из аквариума. Когда мы выльем из аквариума один стакан воды, уровень жидкости немного понизится, но еще не дойдет до нижней черточки на стекле аквариума. Выльем из аквариума еще стакан воды, затем еще. Вылив 5 стаканов воды, мы замечаем, что теперь уровень воды совпадает с нижней черточкой. Значит, объем вытесненной камнем воды был равен 5 стаканам. Но тогда мы можем сказать, что и объем камня тоже равен 5 стаканам.
Погружая твердые тела в жидкость, мы можем определять их объем.
12. 	Единицы измерения объема
Стаканы бывают разной вместимости. Поэтому мерить объем стаканами — способ неточный. Например, в пакет можно насыпать 12 граненых стаканов соли, а тонкостенных войдет 10.
В старые времена материю на Руси отмеряли локтями. Это было неудобно. Купил человек высокого роста 10 локтей материи у низенького продавца, а домой пришел, примерил на свой локоть — еле-еле 9 локтей получилось. Сейчас длины измеряют в миллиметрах, сантиметрах, метрах, километрах, т. е. имеются строго установленные единицы измерения длины. Сантиметр в Москве и в Ленинграде, сантиметр, отмеренный одним человеком и другим,— одинаковы.
Так же обстоит дело и с измерением объема. Для точных измерений надо твердо установить единицы измерения объема, которые были бы одинаковы для всех.
19


50- 45- 40" 35" 30- 2 5" 20- 13- 10- 5 -
Рис. 28
Рис. 27
Разливное молоко отмеряют мерными кружками. При изготовлении их на заводе строго проверяют, чтобы все они имели одинаковую емкость. Емкость такой кружки (т. е. объем вмещающейся в нее жидкости) называют литром. Кроме литровых кружек используют мерные кружки меньшего размера. В каждую из них входит ровно половина большой мерной кружки — половина литра.
При изготовлении лекарств и во многих других случаях нужны более мелкие единицы объема, чем литр. Одной из таких единиц служит миллилитр — тысячная доля литра.
Для отмеривания жидкости в миллилитрах употребляют мензурку (рис. 27)—высокий стаканчик, на стенке которого делениями отмечены миллилитры. Если жидкость в мензурке налита до отметки 5, значит, объем жидкости равен пяти миллилитрам, если до отметки 15, то пятнадцати миллилитрам.
С помощью мензурки и мерных кружек можно измерять объемы не только жидких и сыпучих тел, но и небольших твердых тел.
Измерим объем стального шарика. Для этого наполним мензурку водой примерно до половины и запомним, сколько миллилитров воды мы налили.
Опустим шарик в воду. Вода поднялась на 5 миллилитров. Значит, объем шарика равен 5 миллилитрам.
13. 	Кубические меры
Выберем единицу измерения длин. У нас принято измерять длины в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах, километрах. В Англии пользуются дюймом — единицей длины, примерно равной двум с половиной сантиметрам. Есть и другие единицы измерения длины — футы, мили и т. д. Более того, в ка¬
честве единицы длины мы можем выбрать любой отрезок. Но если уж мы выбрали единицу измерения длин, мы больше не должны менять ее.
Куб, ребро которого равно единице длины, называется единичным кубом (или единицей измерения объема). Чаще всего за единицу измерения длин принимают миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр. В этих случаях единичные кубы имеют специальные названия. Куб, ребро которого равно одному миллиметру, называется кубическим миллиметром. Куб, ребро которого равно одному сантиметру, называется кубическим сантиметром. Так же определяется кубический метр, кубический дециметр, кубический километр.
Объем тела — это число, показывающее, сколько единиц объема содержится в этом теле.
Тело, изображенное на рис. 28, составлено из 5 единичных кубов. Значит, объем этого тела равен 5.
Если, однако, кто-нибудь сообщит, что объем тела равен 5, то мы еще не сможем сказать, сколько оно занимает места в пространстве. Мы только будем знать, что в этом теле помещается 5 единичных кубов. Но как велик сам единичный куб? Об этом нам не сообщили. Если за единицу длины был принят 1 мм, то единичным кубом будет куб с ребром 1 мм. Тело, вмещающее 5 таких единичных кубов, довольно мало. А если за единицу длины был принят 1 м, то единичным кубом является куб с ребром 1 м. Тело, вмещающее 5 таких кубов, довольно велико — чтобы его разместить, нужна целая комната.
Значит, для того чтобы правильно представить себе, сколько места в пространстве занимает тело, нам необходимо знать: 1) каков объем тела; 2) какова единица измерения объемов (т. е. каков единичный куб). Например, мы можем сказать: объем тела равен 5, причем за единицу измерения объемов был принят кубический метр. Здесь указано все полностью, но предложение получилось довольно длинное. Для краткости мы условимся записывать эту мысль так:
объем тела равен 5 куб. м (читается: «объем тела равен пяти кубическим метрам»). Или, еще короче, в виде формулы:
V = 5 (куб. м).
Буква V обычно используется для обозначения объема тела. Запись (куб. м) относится ко всему равенству и является лишь напоминанием о том, что за единицу измерения объемов был принят кубический метр.
20


Иногда говорят и так: «объем тела в кубических метрах», «объем тела в кубических сантиметрах» и т. д. Например, спрашивают: каков объем этого прямоугольного параллелепипеда в кубических метрах? В более подробной формулировке это означает: каков объем этого прямоугольного параллелепипеда, если за единицу измерения объемов принят кубический метр?
14. 	Связь литра с кубическими мерами
На рис. 28 изображено тело, которое можно разрезать на пять кубиков с ребром 1 см. Значит, объем этого тела равен 5 куб. см. Но объем этого тела можно вычислить и по-другому: можно опустить его в мензурку с водой и посмотреть, на сколько делений поднимется вода в мензурке. Тогда мы узнаем, каков объем этого тела в миллилитрах. Если мы это сделаем, то увидим, что объем этого тела равен пяти миллилитрам. Значит, объем тела в кубических сантиметрах и объем его в миллилитрах одинаковы.
Точно так же объем некоторого тела в кубических дециметрах и объем этого же тела в литрах одинаковы. Если, например, объем тела равен 35 куб. дм, то можно также сказать, что его объем равен 35 л.
Чтобы убедиться, что объем в 1 куб. дм в точности совпадает с литром, можно было бы проделать такой опыт. Надо изготовить (например, из стекла) аквариум в форме куба, ребро которого (во внутренней части аквариума) равно 1 дм. Емкость такого аквариума в точности равна 1 куб. дм. Если теперь наполнить до краев литровую кружку водой и перелить эту воду в аквариум, то она до краев наполнит его. Значит, в этот аквариум вмещается ровно один литр жидкости.
Как же могло получиться так, что объем одного кубического дециметра в точности совпал с литром? Случайно ли это? Нет, конечно! Просто при изготовлении образца мерной кружки на заводе размеры кружки рассчитали таким образом, чтобы в нее вместился ровно 1 куб. дм жидкости. Значит, можно
Рис. 29 Рис. 30
говорить об объеме в куб. дм, а можно в литрах— это одно и то же. Чаще всего объем жидкостей или сыпучих тел выражают в литрах или миллилитрах, а при определении объема твердых тел говорят о кубических дециметрах (или куб. м, куб. см и т. д.).
15. 	Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда
Описанным ранее способом — погружением в жидкость — можно найти объем небольшого твердого тела. Но, конечно, этим способом нельзя найти объем дома, объем воздуха в комнате. В таких случаях вместо непосредственного измерения объема производят вычисление объема. Мы должны научиться вычислять объем прямоугольного параллелепипеда.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, изображенный на рис. 29. Измерения этого параллелепипеда равны 3, 4 и 5. Для того чтобы вычислить объем этого прямоугольного параллелепипеда, мысленно разрежем его на единичные кубы (рис. 30). Теперь надо посчитать, сколько получилось единичных кубов — это число и будет объемом рассматриваемого параллелепипеда. Нижнее основание этого параллелепипеда является прямоугольником, стороны которого равны 3 и 4 единицам длины. Значит, его можно разбить на 12 единичных квадратов (ведь 3X4 = 12). На рис. 31 нижнее основание расчерчено на единичные квадраты, на каждый из них можно поставить единичный куб; в результате получим один слой единичных кубов (рис. 32). Сколько единичных кубов в этом слое? Столько же, сколько было квадратов на основании параллелепипеда, т. е. 12. Поставив теперь на каждый из кубов еще один единичный куб, получим еще один слой (рис. 33); в нем тоже 12 единичных кубов. В третьем, четвертом и пятом слоях еще по 12 кубов. Когда установим 5 таких слоев, получим как раз первоначально взятый параллелепипед, составленный из единичных кубов —он имеет измерения 3, 4 и 5 (рис. 30). Теперь нетрудно узнать, каков объем этого
Рис. 31 Рис. 32
/
/
/
/
/
/
/
А
1
1
/
I
1
М
V
21


м - единичный 0 -единичный
отрезок
ку5
Рис. 33
Рис. 34
Рис. 35
параллелепипеда. В нем содержится 5 слоев по 12 единичных кубов в каждом: значит, всего 12 X 5 = 60 единичных кубов.
Объем параллелепипеда, изображенного на рис. 29, равен 60.
16. 	Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Теперь возьмем прямоугольный параллелепипед, имеющий длину а, ширину b и высоту с (рис. 34). На его ребре О А единица длины откладывается а раз, на ребре ОВ она откладывается b раз, а на ребре ОС — с раз. Чтобы найти объем этого прямоугольного параллелепипеда, поступим, как и раньше; разрежем его на единичные кубы. Нижнее основание параллелепипеда имеет площадь аЬ (так как оно представляет собой прямоугольник, имеющий длину а и ширину 6). Значит, нижнее основание можно расчертить на аЬ единичных квадратов (ср. рис. 31) и потому в один слой на основании можно поставить аЬ единичных кубов (ср. рис 32). Во втором слое тоже будет аЬ единичных кубов, в третьем — тоже. Всего будет с слоев кубов (рис. 35). А так как в каждом слое имеется аЬ единичных кубов, то общее число единичных кубов в параллелепипеде равно ab-c, т. е. abc. Значит, объем параллелепипеда равен abc. Мы можем теперь написать формулу объема прямоугольного параллелепипеда
V=abc.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
Важно отметить, что если длины ребер прямоугольного параллелепипеда измерены в некоторых линейных мерах, то объем по этой формуле получается в соответствующих кубических мерах. Например, если длины ребер измерены в метрах, то объем получается в кубических метрах.
17. 	Вторая формула объема прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда можно также вычислить, зная площадь его основания и высоту. Обозначим площадь основания прямоугольного параллелепипеда через S, а высоту — через h (рис. 36). Тогда основание параллелепипеда можно расчертить на S единичных квадратов и потому на основании в один слой разместятся S единичных кубов (ср. рис. 32). Во втором и третьем слоях тоже будет S единичных кубов в каждом. Всего получится h слоев, в каждом из которых будет 5 единичных кубов. Значит, во всем параллелепипеде размещается S-h единичных кубов, т. е. объем этого параллелепипеда равен Sh. Мы получаем вторую формулу объема прямоугольного параллелепипеда:
V=Sh.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.
Если высота измерена в некоторых линейных мерах, а площадь основания — в соответствующих квадратных мерах, то объем по этой формуле получается в соответствующих кубических мерах. Например, если высота измерена в сантиметрах, а площадь основания— в квадратных сантиметрах, то объем получается в кубических сантиметрах.
I
i
, h'F.Tz7?’'?7/ у/.
///// /// 4э // //✓ ' *
Рис. 36
22


18. 	Объем куба
Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра одинаковы. Если длина ребра куба равна а, то по первой формуле находим, что объем куба равен а-а-а.
Произведение трех одинаковых сомножителей, равных а, называется кубом числа а и обозначается через а3.
а-а - а = а?.
Таким образом, для куба, длина ребра которого равна а, получим такую формулу объема:
1/ = а3.
Если, например, ребро куба измерено в де¬
циметрах, то объем по этой формуле получится в кубических дециметрах.
19. 	Переход от одних единиц измерения к другим
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 6 куб. дм. Каков будет объем этого же параллелепипеда в кубических сантиметрах? Для решения этой задачи заметим, что куб с ребром 1 дм имеет объем 1000 куб. см. Это получается по формуле объема куба при а=10 (ведь в одном дециметре 10 сантиметров):
1/= 103=1000 (куб. см).
Значит, прямоугольный параллелепипед, содержащий 6 кубических дециметров, будет иметь объем 6-1000 = 6000 (куб. см).
Ю. И. МАЛЕВАНЫЙ, 3. И. СЛЕПКАНЬ (г. Киев)
Из опыта работы в V классе по новой программе
Третий год в школах Украинской республики осуществляется экспериментальная проверка новых программ и учебников в четвертых и пятых классах. Учителя, работающие в экспериментальных классах, единодушны в мнении о том, что новая программа имеет бесспорные преимущества перед традиционной. Однако, как и в любом новом деле, перестройка содержания школьного математического образования сопряжена с рядом трудностей, преодоление которых — дело авторов учебников, учителей, методистов и всей педагогической общественности.
В данной статье мы ставим целью подвести некоторые итоги экспериментальной работы по новой программе и учебнику V класса в 1969/70 учебном году, в проведении которой мы принимали непосредственное участие. Вместе с тем нам хотелось поделиться своими выводами и соображениями относительно возможностей новой программы и учебника.
В V экспериментальном классе средней школы № 92 г. Киева обучался 31 ученик. Это был единственный V класс в школе, поэтому специального отбора учащихся в экспериментальный класс не было. По новой программе учащиеся работают второй год,
начиная с IV класса. Преподавание велось по учебнику коллектива авторов под редакцией А. И. Маркушевича. Здесь будет идти речь об итогах работы и наших выводах только в связи с изучением арифметического и алгебраического материала, ибо вопросы изучения геометрического материала в V классе — тема отдельной статьи.
Проанализируем итоги работы по новой программе в V классе по основным ее линиям.
1. 	Решение текстовых задач. Как известно, в IV классе учащиеся познакомились наряду с традиционным арифметическим способом решения задач с решением задач с помощью уравнений. Первые уроки в V классе показали, что пятиклассники вынесли из IV класса довольно прочные навыки в решении простых задач алгебраическим способом. Мы ставили целью в V классе дальнейшее совершенствование умений и навыков учащихся в использовании этого метода при решении более сложных задач. В связи с этим следует заметить, что ни в объяснительной записке к программе, ни в методическом руководстве в помощь учителю не указано соотношение между алгебраическим и арифметическим способами решения задач в V классе. У учащихся создается убеждение, что все без исключения задачи следует решать только с помощью уравнений. Мы считаем, что отдельные задачи в учебнике следовало бы предложить учащимся решить обоими способами с тем, чтобы показать преимущество одного из них перед другим. В некоторых задачах использование алгебраического способа является нерациональным, ибо выбор неизвестного" и составление уравнения только занимает вре¬
23


мя и усложняет работу. Цель учителя — научить учащихся сознательно делать выбор между обоими способами. Контрольные работы в нашем классе показали естественную тягу учащихся к арифметическому способу там, где задача решается этим путем без труда, несмотря на то что основной упор делался на решение задач с помощью уравнений. Так, 8 мая в контрольной работе была предложена задача такого содержания: «Ученик прочитал книгу за два дня. За первый день он прочитал 4/5 всей книги, а за второй на 48 страниц меньше. Сколько страниц в книге?»
Из 26 учащихся, выполнявших работу, справились с задачей 25, из них 18 решили ее арифметическим способом. На итоговой контрольной работе 27 мая была предложена задача: «В одном резервуаре 1,9 т бензина, а в другом 7,5 т. В первый ежечасно поступает 0,4 т бензина, а из другого за каждый час выкачивают 0,3 т. Через какое время в обоих резервуарах будет одинаковое количество бензина?» Из 29 учащихся справились с задачей 26, причем все они решали задачу с помощью уравнений.
Как известно, трудным местом в методике изучения обыкновенных дробей было и остается обоснование умножения числа на дробь. Авторы нового учебника отказались от традиционного толкования умножения на дробь как нахождение дроби от числа и это их право.
Однако, по нашему мнению, нельзя полностью игнорировать вековой опыт учителей и методистов в этом вопросе. Речь идет не столько об обосновании правила умножения дробей, сколько о решении задач на нахождение дроби от числа действием умножения на дробь (а не двумя действиями, как это имеет место в учебнике). Нельзя согласиться с тем, что в учебнике при решении задач не подчеркивается то обстоятельство, что дробь от числа находится умножением на дробь. При решении таких задач мы решили полностью следовать учебнику. О результатах нашей работы в таком плане свидетельствует контрольная работа, проведенная в начале сентября 1970 г. в нашем ныне VI экспериментальном классе и для сравнения в VI «б» классе школы № 57, работающем по старой программе. Мы ставили целью выяснить, какие знания и навыки в решении задач и выполнении действий с десятичными и обыкновенными дробями остались у учащихся после летних каникул.
Приводим один из вариантов этой работы.
1) Задача. В первый день туристы
5 , - 4
прошли ^ всего пути, а во второй —у
того, что прошли в первый день. Как велик намеченный путь, если во второй день они прошли 24 км?
2) Выполнить действия
2ТГ ’ С2 24“!»1875) + 21Г :4~
1,1+ 7:(31J -1,625)
Работа показала, что из 28 учащихся экспериментального класса только 7 решили задачу, причем все алгебраическим способом. 12 учащихся пытались решить задачу арифметическим путем, но не справились с решением. Остальные 9, пытаясь решить задачу алгебраически, не смогли это сделать
5
вследствие непонимания того, что от jc 5 А
есть произведение А некоторые, даже
4/5 \
составив правильно уравнение: ~ (“24 * ) ^ = 24, не смогли решить его.
Из 41 учащихся VI «б» класса школы № 57 правильно решили задачу 27 (естественно, арифметическим путем).
2. 	Вычислительные навыки. Когда говорят о новой программе, то, отдавая дань богатству ее идей, часто высказывают опасения по поводу возможностей обеспечения ею достаточно прочных умений и навыков. Долгое время мы тоже придерживались такой точки зрения, тем более что первые уроки в V классе показали, в частности, слабые вычислительные навыки учащихся в действиях с десятичными дробями. Такая же картина наблюдалась и на протяжении трех первых четвертей, ибо 90% допускаемых ошибок при выполнении самостоятельных и контрольных работ приходилось на действия с десятичными дробями. В связи с этим следует сказать, что в учебнике не использованы максимально возможности совершенствования вычислительных навыков. В частности, в примерах на решение уравнений учебник предлагает дроби в основном с одним десятичным знаком. Поэтому нам пришлось систематически предлагать учащимся, особенно в домашних заданиях, примеры на все действия с десятичными дробями.
В IV четверти состояние вычислительных навыков в действиях с десятичными дробями заметно улучшилось. Видимо, время и трениров¬
24


ка сделали свое дело. Последние контрольные работы свидетельствуют о том, что ошибки в действиях с десятичными дробями допускают лишь отдельные учащиеся.
Мы не можем констатировать резких отклонений в особенностях восприятия темы «Обыкновенные дроби» учащимися V экспериментального класса. Для сравнения уровня вычислительных навыков в действиях с десятичными и обыкновенными дробями мы провели 25-минутную самостоятельную работу в V экспериментальном классе, и в V «б» классе школы № 57 такого содержания (приводим один вариант).
Вычислить:
1) 62,92 :5 —g 4-J-.(7-6,3)-3,6 +
+ -^:0,\25;
2)5-г-т:(,2-8т) + 8'1т-
Результаты работы характеризуются следующей таблицей.
Оценки
V класс школы № 92 (экспериментальный)
V «б» класс школы К» 57
«4» и «5»
33%
23%
«3»
48%
23%
«2»
19%
54%
Высокий процент неудовлетворительных оценок у пятиклассников, обучающихся по старой программе, обусловлен в значительной мере тем, что в первом примере многие из них (12 учеников) сделали нерациональный переход от десятичных дробей к обыкновенным. Мы пытались объяснить это тем, что у учащихся V «б» класса более прочные навыки в действиях с обыкновенными дробями (эти дроби изучались раньше и дольше, чем десятичные), поэтому они тяготеют к ним. Однако результаты решения второго примера не подтверждают такого объяснения. Правильно решили второй пример 34% учащихся V «б» класса и 46% экспериментального.
Это обстоятельство в определенной мере подтверждает правильный выбор места десятичных дробей в новой программе.
Последняя контрольная работа, проведенная в этих же классах в начале 1970/71 учебного года, свидетельствует о том, что вычислительные навыки учащихся экспериментального класса по крайней мере не хуже, чем у школьников, обучающихся по старой программе,
3. 	Действия с положительными и отрицательными числами. В отличие от традиционной, новая программа ставит целью изучение рациональных чисел в V классе и вполне обеспечивает достижение этой цели. Выполнение действий с положительными и отрицательными числами почти на протяжении всего учебного года, разнообразные упражнения с целыми числами, десятичными и обыкновенными дробями позволяют выработать у учащихся прочные навыки в действиях с рациональными числами. Об этом свидетельствуют как результаты текущих контрольных и самостоятельных работ, так и в особенности результаты контрольной работы, которую мы провели в мае 1970 г. в V экспериментальном и для сравнения в VI классе школы № 48, работающем по старой программе. Ниже мы детальнее остановимся на результатах этой работы, а здесь только отметим, что ни один из пятиклассников экспериментального класса не допустил ошибки в знаках при непосредственном выполнении четырех арифметических действий с положительными и отрицательными числами, а 17 шестиклассников из 34 допустили такие ошибки. Наряду с этим мы считаем, что уровень развития пятиклассников дает значительно больше возможностей в реализации идеи расширения понятия о числе, чем это сделано в учебнике. В частности, введение отрицательных чисел следует мотивировать не только необходимостью характеризовать величины, изменяющиеся в двух противоположных направлениях, но и потребностями самой математики. После введения отрицательных чисел мы предложили учащимся найти разность 2—5. Они без труда записали результат. В связи с решением уравнений мы обратили внимание учащихся на то, что отрицательные числа дают возможность всегда решать уравнения вида х+а = Ь. О возможностях выполнения действий в разных числовых множествах в учебнике не упоминается, хотя эти вопросы легко и с интересом воспринимаются учащимися. Вместе с тем они являются полезной пропедевтикой к введению понятий кольца и поля, с которыми учащиеся встретятся в будущем.
Наши наблюдения и результаты контрольных работ учащихся показали, что пятиклассники без особых трудностей воспринимают понятие модуля числа, легко определяют модуль конкретного числа. Что же касается решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, то в течение учебного года, когда такие примеры решались, нам казалось, что учащиеся неплохо справляются о
*5


ними. Но проведенная контрольная работа в конце учебного года показала, что только хорошо успевающие учащиеся V и VI классов решили такие уравнения. Это дает право в определенной мере считать нецелесообразным предлагать в V классе подобные примеры для всех. Однако для хорошо успевающих учащихся в порядке индивидуальной работы они безусловно полезны.
Нам кажется неудачным то, что в учебнике модуль вводится вначале не для конкретных чисел, а в общем виде (для числа а). Только после того, как понятие модуля введено и закреплено достаточным числом упражнений, уместно записать определение модуля числа а символически:
а = а, если а — положительное число, а =—а, если а — отрицательное число, а =0, если а = 0.
> нашей практике мы ввели понятие неотрицательного числа и дали учащимся более короткое определение модуля: модуль
неотрицательного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Именно это определение учащиеся охотно формулировали в дальнейшем.
После изучения вопроса о сравнении чисел была введена и такая символическая запись
а
а
-а
при а > 0, при а< 0.
Для решения примеров типа № 67, б, г; 68, б, г и др. целесообразно обратить внимание учащихся на равенство | л | = | —
Соглашаясь с авторами в общей тенденции не отягощать учебник V класса большим количеством определений и правил, мы считаем, что некоторые из них необходимы. В частности, для формирования прочных умений и навыков учащихся в выполнении действий с положительными и отрицательными числами необходимо дать четкие правила. Например, мы требовали от учащихся формулировки правила сложения в виде:
1) Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули и поставить общий знак.
2) Чтобы сложить два числа с противоположными знаками, надо найти их модули, из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа, имеющего больший модуль.
При введении противоположных чисел авторы учебника ограничились примерами и обозначениями. По нашему мнению, уместно после этого определить противоположные
числа как два числа, расположенные на числовой прямой на одинаковом расстоянии от начала отсчета и по разные стороны от него. Правда, нас могут упрекнуть в том, что выражение «число расположено на числовой прямой» не совсем корректно и точнее было бы говорить о положении точки, координата которой выражена этим числом. Но мы считаем такое упрощение в терминологии здесь и в последующем оправданным для учащихся, тем более что такое выражение широко распространено в практике. Кстати, на стр. 16 в п. 5 учебника встречается такое утверждение: «Если а лежит на числовой прямой левее Ь, то а <Ь».
4. 	Тема «Признаки делимости» оказалась вполне посильной и интересной для учащихся, несмотря на то что изложение ее в учебнике значительно отличается от традиционного, например принятого в учебнике И. Н. Шевченко. В этой теме учащиеся впервые встретились с понятием теоремы и необходимостью доказывать в общем виде признаки делимости. Оказалось, что после изучения первой теоремы на следующем уроке учащиеся не только довольно свободно воспроизвели доказательство теоремы о делимости с краткой записью его, но и самостоятельно справились с доказательством домашнего примера № 575.
После проверки домашнего задания мы решили в порядке эксперимента более подробно рассказать о теореме, ее структуре и ввели краткую запись условия и заключения теоремы. Неожиданным для нас оказалось то обстоятельство, что на последующих уроках во всех упражнениях на доказательство (№ 579, 581 и др.) большинство учащихся самостоятельно кратко записывали условие и заключение теоремы.
Особый интерес у пятиклассников вызывали упражнения логического характера типа № 574, где требовалось выяснить, верно ли то или иное высказывание.
Для удобства выполнения записей нами был введен знак : , которым учащиеся охот* но пользовались.
В связи с доказательством теоремы о делимости произведения, решением упражнений для понимания учащихся оказался трудным момент использования в доказательстве утверждения: «Если а делится на с, то а = ck, где k—целое число». В учебнике это утверждение вводится сразу в общем виде. Поэтому очень важно, итобы перед доказательством теорем было рассмотрено несколько примеров, помогающих понять это положение.
26


5. 	Тождественные преобразования. Формирование навыков в выполнении простейших тождественных преобразований (раскрытие и заключение в скобки, приведение подобных членов, перенесение членов уравнения из одной части в другую) и вычисление значений алгебраических выражений по данным значениям входящих в него букв оказались наиболее слабым местом в работе по новой программе в V классе. Об этом свидетельствуют текущие, итоговые самостоятельные и контрольные работы, а также упомянутая выше контрольная работа, проведенная с целью сравнения в конце учебного года в V экспериментальном классе и в VI классе школы № 48, работающем по старой программе.
Вот один из вариантов этой работы.
1) Вычислить значение выражения
(11,69 -а-\-Ь)-с: 36 при а=—9,3, b 12,79,
с = —0,9.
2) Решить уравнение —3^-4 —
-3(2у-37) = 43.
3) Вычислить 13 — 101 — | —7 + 151.
4) Решить у равнения:
а) 	\ х\ — 2 = 7; б) |2 — jc| = 3.
Анализ итогов контрольной работы показал, что характер ошибок, допущенных пятиклассниками, в значительной мере отличен от ошибок, допущенных шестиклассниками.
Если пятиклассники не допустили ни одной ошибки в знаках при непосредственном выполнении действий с положительными и отрицательными числами (а половина шестиклассников при этом ошибались), то количество ошибок в знаке при подстановке числовых значений входящих букв, при раскрытии скобок, при перенесении членов уравнений из одной части в другую у пятиклассников значительно превышает количество ошибок такого характера у шестиклассников. Кроме того, 6 пятиклассников (а в VI классе только один ученик) раскрывали предварительно скобки там, где делать это нерационально. Почти половина писавших работу пятиклассников допустили небрежность в записях (неправильно поставили или опустили скобки там, где этого делать нельзя). Мы объясняем это в первую очередь тем, что программа отводит мало времени на выполнение простейших тождественных преобразований (сравнительно с VI классом). С другой стороны, и в учебнике уделяется недостаточно внимания упражнениям на нахождение числового значения выражения с предварительным раскрытием скобок и нет примеров, по¬
казывающих, что раскрывать скобки не всегда рационально.
Авторы учебника не всегда последовательны в подборе системы упражнений на тождественные преобразования. Так, в п. 21 учебника, где вводится понятие степени числа с натуральным показателем, уместно было бы дать несколько упражнений на вынесение за скобки множителя в примерах вида а2 — 2а, поскольку такого типа преобразования встречаются в теме «Признаки делимости» (см., например, № 602, б).
6. 	Элементы теории множеств. Этот материал программы был воспринят учащимися без труда и с большим интересом. Пятиклассники свободно пользуются терминологией и символикой, правильно выполняют операции над множествами. Мы заметили, что определения математических понятий, опирающихся на понятие множества (например, окружности, круга, оси симметрии и др.), прочно запечатлеваются в их сознании и памяти. Так в начале учебного года мы дали два определения окружности: традиционное, которое дается в учебнике А. П. Киселева, и через понятие множества. В конце учебного года учащиеся формулировали это определение через понятие множества. И все же мы считаем, что основные понятия теории множеств не стали в V классе в полной мере аппаратом при изучении других тем программного материала. По нашему мнению, операции над хмножествами вполне возможно дать перед темой «Делимость чисел», с тем чтобы использовать их при изучении этой темы. Уместно использовать понятие множества и при изучении темы «Диаграммы и графики». Ученики должны (и как показал первый опыт, это возможно) хорошо понимать, что трафик определенной зависимости есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению зависимости. Это, в частности, используется при решении примеров на нахождение по графику значений одной величины по заданному значению другой. Уместным было бы в объяснительном тексте учебника, исходя из конкретных задач, ввести аналитическую запись простейших зависимостей между величинами.
Отмечая безусловную доступность и важность элементов теории множеств в новой программе, мы, однако, считаем необходимым обратить внимание авторов учебника на ;трудность, с которой нам довелось столкнуться при введении определения объединения двух множеств. Эта трудность, в основном связана с тем, что в учебнике нигде четко не сказано о том, что принято условие, со¬
27


гласно которому элементы множества не должны повторяться. Поэтому у учащихся наблюдалась тенденция к механическому объединению всех элементов обоих множеств. Досадно, что и в методическом руководстве для учителя об этом ничего не сказано. И только в третьем номере журнала «Математика в школе» за 1970 г. авторы дали разъяснение к этому определению.
Подводя итоги года работы в V классе по новой программе в целом, добавим следующее. К сожалению, сейчас еще трудно дать
Устные упражнения опросы в
Одной из эффективных форм проверки знаний, сочетающейся с повторением и закреплением пройденного, являются устные упражнения и обзорные беседы-опросы по целому разделу программы. Планируя этот вид работы, следует тщательно отобрать существенные вопросы, отражающие программные требования и цели обучения.
Ниже приводятся примерные вопросы по двум основным темам курса IV класса. Ожидаемые ответы помещены в скобках, иногда лишь в виде указания соответствующих страниц учебника. Однако нужно иметь в виду, что во многих случаях возможны и другие варианты правильных ответов. Задача учителя при проведении таких бесед—направлять учащихся по пути поиска правильных рассуждений и решений, выявлять недостатки в знаниях и умениях, принимать меры по их устранению.
При проведении урока-беседы необходимо добиваться, чтобы все ученики принимали активное участие в работе: слушали ответы
товарищей, исправляли их ошибки, предлагали свои варианты.
Очень важно экономно использовать время урока. Пока вызванный к доске выполняет упражнение или чертеж, пауза заполняется беседой с классом.
Рекомендуемые задания в большинстве случаев связаны сразу с несколькими про¬
количественную оценку общего уровня развития учащихся V класса в связи с введением новой программы. И тем не менее мы можем отметить более высокий уровень математического развития и логического мышления учащихся экспериментального класса, умение их сравнительно свободно пользоваться математической терминологией и выражать свои мысли математическим языком. Этот рост отмечали учителя других школ, побывавшие на уроках в экспериментальном классе.
А. 	С. ШЕПЕТОВ (Москва)
и обзорные беседы- IV классе
граммными вопросами, этим исключается их строгая тематическая классификация. Наряду с упражнениями и вопросами, опирающимися на память и навыки, требующими простого воспроизведения учебного материала, предлагаются и более трудные, рассчитанные на определенное развитие, на умение применять знания, проявляя некоторую творческую самостоятельность.
Вопросы к главе «Натуральные числа»
1. Определить значение переменной, при котором равенство 5 + 15 • 13 = 10а будет верным. Записать процесс решения, вычисления выполнить устно. Как называют в математике такие равенства с переменными? Как называют значения переменных, при которых эти равенства становятся верными? (5 + 15 • (10 + + 3) = 10а; 5+150 + 45= 10а; 200= 10а; а = 20. Уравнения, корни уравнения.)
2. Какой закон удобно применить при умножении 13 • 15? Записать его в общем виде с помощью букв. (Распределительный закон умножения относительно сложения; (10 + 3) X X 15 = 150 + 45 = 195, (а + Ь) • с = ас + Ьс.)
3. Назвать другие законы арифметических действий и записать их в общем виде.
4. Выполнить действия 74 — 24 • 3 4- 2. Какой установлен в математике порядок действий при определении значений выражений, не содержащих скобки? (Стр. 250.)
28


5. Найти устно значение выражения 172 + + 57 + 28 + 43. Записать действия. Как можно найти сумму четырех и более слагаемых? (172 + 28 + 57 + 43 = 200+100 = 300; стр. 71.)
6. Найти значение выражения 115*27 — -15-27 наиболее рациональным (удобным, коротким) путем; записать применяемый закон в общем виде. (115*27—15*27 = 27* (115—
— 15) =27* 100 = 2700; а с—Ь * с = с (а—Ь).)
7. Найти устно корень уравнения 16х+450—
— 12л: = 454. (450 + 16* — 12* = 454; 450 + 4х = = 454; 4х = 454 — 450; Ах = 4; х = 1.)
8. Что значит вычесть число р из числа а? (Стр. 78.)
9. Как найти неизвестное уменьшаемое? Привести пример и объяснить по смыслу вычитания. (Стр. 85.)
10. Что значит умножить число с на 5? (с • 5 = с + с + с + с + с.)
11. Найти корни следующих уравнений:
а) 	х:\ = 25 (25), б) 17:*/= 17 (1), в) а —
— 0 = 12 (12), г) 45*6 = 0 (0), д) *-0 = 0 (любое число), е). 100— 100 * х — 0 (1),
ж) 	х + 0 * 1 = 3 (3), з) х:х = I (любое число, кроме нуля).
12. Найти множество решений неравенства 7 < у ^ 11 и отметить их на числовом луче. ({8, 9, 10, 11}.)
13. Записать неравенство, решениями которого служит множество Х={4, 5, 6, 7, 8}. (Любое из следующих: 3<х<9, 4 ^ л: < 9, 4 ^ =sS*<8, 3<jc<8.)
14. Прочитать выражение а • b — а: b и найти значение этого выражения при а — 5, b = 1. (Разность произведения двух чисел и частного этих чисел; 0.)
15. Сколько единиц в числе, состоящем из а десятков и 3 единиц? (а • 10 + 3.)
16. Сколько сантиметров в а м Ъ дм 7 см? (100а + 106 + 7.)
17. Одна сторона прямоугольника а дм, другая на 8 см больше. Составить выражения для периметра и площади этого прямоугольника. ((20а + 8)2 см\ (10а + 8) 10а кв. см.)
18. Записать цифрами число девятнадцать миллионов двадцать пять тысяч. Назвать классы, имеющиеся в этом числе.
19. Число 19 025 000 разделили на 20. Назвать старший разряд полученного частного. (Сотни тысяч.)
20. Заполнить таблицу
п
1 | 2 | 3
4
5
6 ] 7
2 п
2л+1 J
1
Какую закономерность можно заметить, рассматривая множества значений 2п и 2п + 1? (Все числа из множества 2п четные, т. е. они делятся без остатка на 2; все числа из множества 2п + 1 нечетные. Можно заметить и другие закономерности.)
21. Решить уравнения: 2*=2, 3*=3, 4х=4, 17л: = 17, 10 000л: = 10 000. Что общего в этих различных случаях? Какую закономерность можно подметить и как ее объяснить? (Во всех случаях один из двух множителей равен произведению. Можно подметить следующий закон: если один из двух множителей равен произведению, не равному нулю, то другой множитель равен единице. Объяснить это можно так. Мы знаем, что 5-1=5. Поэтому корнем уравнения 5л: = 5 служит 1. Другого корня нет, потому что, если изменить один из множителей, то изменится и произведение.)
22. Записать уравнения на основании следующих условий:
а) частное от деления 180 на х больше 36 на 9;
б) произведение 16 и с больше 64 на 2с;
в) разность 100 и у в 10 раз больше 9.
(а) 180: л: — 9=36 или 180: Jf — 36 = 9 и др.;
б) 	16с — 2с=64 и др.; в) 100 — у= 10 • 9 и др.)
23. Начертить развернутый угол АОВ. С помощью чертежного угольника разделить этот угол пополам. Объяснить (обосновать) построение. (Построение основано на том, что прямой угол равен половине развернутого.)
24. Какие фигуры называются равными? Привести примеры равных фигур. (Стр. 56; Примерами равных фигур могут служить все прямые углы; все развернутые углы; два отрезка, порознь равные третьему; любая фигура и ее копия, полученная с помощью копировки, и др.)
25. Какая фигура называется многоугольником? (Стр. 74.)
26. Начертить треугольник и прямую, пересекающую две его стороны. Какие точки этой прямой принадлежат треугольнику? (Все такие точки составляют отрезок, соединяющий точки пересечения прямой со сторонами треугольника.) .
27. Сформулировать свойство ломаной и применить его к сторонам треугольника. (Стр. 42.)
28. Начертить произвольный четырехугольник; отметить на плоскости и соединить отрезком попарно следующие точки: две точки внутренней области, две точки внешней области и две точки, принадлежащие разным областям плоскости, на которые она разделилась данным четырехугольником. Какую особенность в положении отрезков относительно
29


сторон четырехугольника можно отметить? (Первый и второй отрезки могут пересекать, а могут и не пересекать стороны четырех^ угольника в зависимости от расположения точек; третий обязательно пересекает стороны четырехугольника.)
29. Записать формулу объема прямоугольного параллелепипеда. Что обозначает каждая буква в этой формуле? Показать на модели. (Стр. 102.)
30. Как узнать, сколько куб. см в одном куб. м? (Можно применить формулу объема прямоугольного параллелепипеда к кубу, выразив длину ребра в сантиметрах.)
31. Измерения прямоугольного параллелепипеда 20 см, 26 см и 5 см. Каков объем 10 таких параллелепипедов? Записать действия. (20 - 5 • 26 • 10 = 26 • 1000 = 26 000 (куб. см) .)
32. Каким способом можно найти произведение трех, четырех и более сомножителей? (Стр. 104.)
33. Сколько прямых можно провёсти через две точки? (Только одну.)
34. Сколько можно провести лучей через две точки А и 5? (Бесконечное множество, так как начало таких лучей может быть взято в любой точке прямой АВ, кроме точек, расположенных между точками А и В.)
35. Имеет ли прямая линия начало или конец? А луч?
36. Делит ли прямая линия плоскость на две области? (Да.) А луч? (Нет.)
37. Показать на чертеже, что два луча с общей вершиной делят плоскость на две области.
38. Как разделить плоскость на три области? (Для этого достаточно провести три луча из одной точки, которая служит их общим началом.)
39. Четыре точки расположить так, чтобы никакие три из них не принадлежали одной прямой. Сколькими отрезками можно соединить эти точки? Каким способом удобно считать? (Можно указать два рациональных способа: 3 + 2 + 1 и (3-4) : 2.)
Вопросы к главе «Десятичные дроби»
1. 	Найти значение выражения 1,64а + + 3,076 + 2,36а при а = 0,03; 6 = 4 наиболее рациональным способом К Назвать законы арифметических действий, используемые в данном преобразовании. (1,64а + 3,076 +
+ 2,36а = 3,076 + 1,64а + 2,36а = 3,076 + (1,64 + + 2,36)а = 3,076 +4а = 3,07 . 4+4 • 0,03= (3,07 + + 0,03) • 4 = 3,1 • 4 = 12,4. Переместительный и сочетательный законы сложения и распределительный закон умножения относительно сложения.)
2. Устный счет: 4,7*10; 4,70-10; 124,08-1000. Сформулировать правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000. (Стр. 189.)
3. Устный счет: 17,7:10; 24:10; 5,3:100; 2,5 /са: 100. Сформулировать правило деления десятичной дроби на 10, 100, 1000. (Стр. 190.)
7 7 8 21
4. Среди обыкновенных дробей^» рр ТТ’Ж
найти равные между собой и неравные. Записать результат.
/_7 21_. _7_.J7_.J_ \
V 12 36 ; 12 ^ 11 ^ 11 * )
2
5. Отметить на числовом луче числа -g-
4
и -ур Сравнить их. Как называется и как
формулируется соответствующее свойство
дроби? (Стр. 145.)
6. Объяснить равенство: 0,70 = 0,7. =
7
= -jjj- по основному свойству дроби; можно
также сослаться на правило на стр. 161
2 3
7. Сравнить дроби -д- и с помощью изображения их на отрезке.
(1 <2. \ 3 * 4’
2
.3 '
1 Воспитание у школьников постоянного стремления без специального упоминания рационализировать свои действия является одной из задач обучения. Необходимо добиваться, чтобы учащиеся прежде упрощали выражение, а затем находили его числовое значение.
8. Выполнить действие (устно) 6,04 • 0,3 и сформулировать соответствующее правило действия. (6,04-0,3=1,812; стр. 201.)
9. Решить уравнение 24,8 :х= 3,1. (л:=24 8: : 3,1; д: == 8.)
10. Как называются числа при делении и сформулировать правило их нахождения. (Стр. 123.)
11. Что значит число k разделить на число р? (Стр. 117.)
12. Найти корень уравнения х: 7,3=1 и объяснить результат по смыслу деления. (По смыслу деления 1 • 1,73 = х. По правилу умножения на десятичную дробь имеем 1 • 7,3 = = 7,3. Значит, х = 7,3.)
13. Отметить на числовом луче числа 1,8; 2,6 и их среднее арифметическое.
30


14. Сколько градусов содержит угол, составляющий 20% прямого угла? (10% от 90° составят 9°, а 20% — 18°.)
15. Начертить угол АОВ, содержащий 144°. Затем угол АОС, равный 72°, причем так, чтобы луч ОС оказался внутри угла АОВ. Как называется луч ОС по отношению к углу АОВ? (Луч ОС — биссектриса угла АОВ.)
16. С помощью перегибания листа бумаги произвольной формы построить прямой угол, а затем его биссектрису. Пояснить правильность всех построений. (После первого перегибания получается прямая, кбторую можно принять за два противоположных луча, значит, получился развернутый угол. При втором перегибании мы наложили часть развернутого угла на оставшуюся его часть. Две фигуры, которые при наложении полностью совпадают, называются равными. Значит, развернутый угол разделился на две равные части. Мы получили прямой угол, так как половина развернутого угла называется прямым углом, и т. д.)
17. Какая обыкновенная дробь называется правильной? (Стр. 141.) Отметить на числовом луче числа а к k, если а — правильная дробь, k — неправильная. Привести числовые примеры. (На числовом луче а будет между 0 и 1, k — справа от 1.)
18. Как найти делимое, если известны частное, делитель и остаток? Привести числовой пример. (Стр. 148.) Записать в общем виде зависимость между числами при делении — делимым а, делителем п, частным b и остатком г. (а = Ь • п + г, причем г < п.)
19. Выразить в метрах: а) 2 м 4 дм 5 см;
б) 12 м 7 см; в) 4 см. (а) 2,45 м; б) 12,07 м;
в) 0,04 м.)
20. Выразить в тоннах: а) 15 г 45 кг;
б) 	18 кг. (а) 15,045 т; б) 0,018 т.)
21. Расположить следующие десятичные дроби в порядке возрастания: 1,41; 0,9; 0,91; 2,008; 0,88; 0,879. (0,879 < 0,88 < 0,9 < 0,91 < < 1,41 <2,008.)
22. Найти множество натуральных решений неравенства 1,1 <х^. 10. ({2, 3, ..., 9, 10}.)
23. Округлить до единиц: 9,45; 0,9; 0,51; 7,7. Сформулировать правило округления десятичных дробей до единиц. (Стр, 178.)
24. Какие углы называются смежными? (Стр. 164.) Начертить смежные углы АОВ и ВОС так, чтобы их общая сторона была расположена вертикально, горизонтально.
25. Каким свойством обладают смежные углы? (Сумма смежных углов равна 180°.)
26. Как доказать свойство смежных углов? (Не общие стороны смежных углов являются противоположными лучами, значит, образуют развернутый угол, который состоит из двух прямых углов, т. е. содержит 180°.)
27. Какой угол образуют биссектрисы двух смежных углов? Почему? (Такой угол состоит из двух частей, причем каждая составляет половину одного из смежных углов, поэтому вместе эти части по величине составят половину суммы смежных углов, т. е. прямой угол.)
28. Какие углы называются вертикальными? Показать на чертеже. (Стр. 166.) Каким свойством обладают вертикальные углы? (Вертикальные углы равны.)
29. Как проверить это свойство практически и как доказать его с помощью рассуждений? (Стр. 166.)
30. Построить прямоугольник ABCD. Измерить расстояние от вершины А до отрезка BD. Каким инструментом нужно воспользоваться? (Чертежным треугольником.)
31. Дана точка Р. Построить на классной доске прямую КМ, расположенную от этой точки на расстоянии 0,25 м. Сколько таких прямых можно построить? (Сколько угодно, другими словами — бесконечное множество.)
32. Назвать и записать единицы измерения площади. (Кв. мм, кв. см, кв. дм, кв. м, кв. км, а, га; см. стр. 192.)
33. Выразить 1,8 га в арах. (1,8 га = 180 а.)
34. Определить расстояние между пунктами А и В на местности, если на карте отрезок АВ = 5,3 см, а масштаб карты 1 : 100 000. (5,3 км.)
Приведенные выше вопросы, охватывая значительную часть учебного материала, не исчерпывают его. Список их может быть пополнен как за счет аналогичных вопросов, так и за счет тех, которые составит учитель, привлекая другие темы. ,


В. 	П. МОДЕНОВ
(Москва)
Решение иррациональных уравнений
Рассмотрим один из способов решения иррациональных алгебраических уравнений в области действительных чисел, считая в этой области все корни арифметическими.
Иногда удается посредством некоторой подстановки, переходя к новому неизвестному, привести иррациональное выражение к рациональному виду. В таком случае мы будем говорить, что эта подстановка рационализирует рассматриваемое иррациональное выражение, и называть ее рационализирующей.
Идея применения таких подстановок для рационализации иррациональных выражений (а следовательно, для решения иррациональных уравнений, неравенств, вычисления иррациональных выражений и т. д.) заимствована из интегрального исчисления, где аналогичные подстановки применяются при интегрировании иррациональных функций (см., например: Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, М., изд, «Наука», 1966).
Способ решения иррациональных уравнений (или неравенств), основанный на применении рационализирующих подстановок, назовем способом рационализации.
Применяя рационализирующую подстановку, необходимо следить за тем, чтобы область определения нового рационального уравнения, получаемого в результате этой подстановки, соответствовала области определения данного иррационального уравнения. Только при этом условии рационализирующая подстановка приведет рассматриваемое иррациональное уравнение к рациональному уравнению, которое всюду в области его определения эквивалентно данному.
Например, вводя в уравнении
/ (х) = 0, х£Х
вместо х новое неизвестное / с помощью подстановки х = ©(/) (или ^ = ф (jc), где функция ф (л:) — обратная функции <р (t)), получим эквивалентное исходному уравнение
F(t)-О,
(где F (t) = / [<р (/)J), областью определения
которого Т будет множество значений функции t == ф (л:) для всех х£Х.
Рассмотрим рационализацию некоторых выражений, содержащих радикалы, с помощью рационализирующих подстановок и применение этих подстановок при решении иррациональных уравнений.
Для обозначения рациональной функции двух аргументов, т. е. такой функции, которая представима в виде отношения произвольных многочленов от двух аргументов, будем использовать в дальнейшем символ R (и, v).
п
1. Рационализация выражения R{x, ах + Ь)
Выражение вида
R (х, Vax-\-b\ (1)
где R означает рациональную функцию, а и b — постоянные, а п ~ любое целое положительное число, рационализируется подстановкой
t = Vax + b . (2)
Действительно, возводя обе части равенства (2) в п-ю степень, получим t“ = ах + Ь,
откуда х ={П = <р (/), причем функция ср (*) рациональна. Следовательно,
R (х, Vax+b )= R (<р (О, О-
Поскольку рациональная функция от рациональной функции представляет собой также рациональную функцию, то выражение, стоящее в правой части последнего равенства, является рациональным.
Пример 1. Решить уравнение {найти действительные корни)
-*=*- = х-Ъ.
Y х + 2
Решение. Область определения рассматриваемого уравнения л:>0. Рационализирующей подстановкой t = Ух {t 0) это уравнение приводится к эквивалентной ему смешанной системе
*>0,
или (сокращая дробь на t + 2 > 0) системе /2 — t — 6 = 0,
/>0.
Решением последней будет t = 3. Воспользо' вавшись подстановкой, получим л; = 9. Ответ, л = 9.
32


2. 	Рационализация дробно-лннейиых иррациональностей
Аналогично предыдущему доказывается, что функция вида
(з>
где а, Ь, с и d — некоторые постоянные,
а п— любое целое положительное чис¬
ло (дробно-линейная иррациональность), может быть при условии ad ~Ьс =£= О приведена к рациональному виду подстановкой
>=УШ- <4>
Иррациональная функция
/ п m \
К£#••••)'и
рационализируется при помсщи подстановки
‘-УЩт- <6>
где г — наименьшее общее кратное показателей радикалов п, m
Пример 2 (МГУ, Мехмат, 1964).
Решить у равнение
3 3 6
бУх-3 +V X—2=5|/(х-2)(лг-3).
Решение. Будем искать корни данного уравнения в области (х — 2)(х— 3)^>0 (очевидно, что числа х = 2 и х — 3 не являются его корнями). Разделим обе части уравнения
3
на Ух—3:
6+УШ-5уМ--
Полученное уравнение в рассматриваемой области с помощью рационализирующей подстановки
‘-УШ «>°>
сводится к смешанной системе
*2 _ 5* + 6 = о,
*> О,
эквивалентной ему в этой области. Определив решения этой системы = 2 и t7 = 3 и воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения.
Ответ. х^Зщ-, л:2==3щ.
2 Математика в школе, № 6
3. Радоонализзцг'Ш биномиальных выражений
Можно доказать, что выражение
у = хт (а + Ьхп)р, (7)
где а и Ь — постоянные, а показатели степеней т, п — некоторые рациональные числа, допускает рационализирующие подстановки только в трех случаях, когда оказывается целым одно из чисел р, ^ или ^-+ р.
В этих случаях рационализирующими подстановками будут соответственно
Г S
t — Yx, t=Vа, + bxn и
*-У'-^~ ■ №
где г — наименьшее общее кратное знаменателей чисел т и п, s — знаменатель числа р.
Существование указанных трех рационализирующих подстановок доказывает возможность приведения к рациональному виду уравнений Р(х, у) = 0 в первом случае
и Р(хп, у) = 0 во втором и третьем случаях.
Пример 3. Решить уравнение <5* + 2) VT^x + (5* - 7) Ух = 0.
Решение. Область определения уравнения 0<л;-<1. Преобразуем его следующим образом:
(5х + 2) + (5х-7) = 0
(хфО, х — 0 — не корень).
Имеет место третий случай рационализации
(1 , lm. ~
м = —2~ ’ п = \, р = ~2', —+/7=0—целое число^. Следовательно, с помощью под-” становки
‘-УЩ1
иррациональное уравнение приводится к рациональному 2tz — 712 71 — 2 = 0, или
(i — 1) (t — 2) (t—y) “ Определив корни
этого уравнения t1— 1, t2 = 2, и вос"
пользовавшись подстановкой, находим xt =
_ 1 1 _ 4
— 2 ’ Хъ~ 5 » х3 5"-
Ответ. х2= -у-, дг3 = -|-.
33


А. 	Рационализация квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера
Квадратичной иррациональностью назовем функцию вида
R (х, Уах2 + Ьх + с), (9)
где а ФО, Ь и с — некоторые постоянные. Покажем, что это выражение всегда рационализируется одной из так называемых подстановок Эйлера. При этом мы, конечно, будем считать, что квадратный трехчлен ах2 -\-bx-\-c неотрицателен и не имеет равных корней (в противном случае корень можно заменить рациональным выражением).
а) Сначала рассмотрим случай, когда дискриминант D = Ь2 — 4ас < 0. В этом случае знак квадратного трехчлена ах2 -+- bx -f с совпадает со знаком а, и поскольку этот трехчлен положителен (в силу условия D<d 0 равенство трехчлена нулю невозможно), то а >0.
Таким образом, мы можем сделать следующую подстановку:
t = У ах2-1- bx -f с + х У~а
(или t — Yах2-\- Ьх + с — хУа)- (Ю)
Подстановку (10) иногда называют первой подстановкой Эйлера. Докажем, что эта подстановка рационализирует функцию (9) в рассматриваемом случае. Возводя в квадрат обе части равенства
Уах2 + Ьх + с = t — х V~a
(заметим, что t — хУ а^0), получим Ьх-\- с= = t2 — 2 Yatx, так что t* — c
X = 7= = Ф (Л,
2У at + Ь Т W
Va*+*x+c- -т.
где функции <?(t) и <|>(tf) рациональные. Таким образом,
R (х, У ах2+ Ьх+ с) = R(<? (t), ф (0).
В правой части полученного равенства стоит рациональная функция.
б) Рассмотрим теперь случай, когда дискриминант £>> 0, т. е. квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с имеет (различные) действительные корни хх и х.2. Следовательно,
ах2 + Ьх + с = а(х — хх)(х — x2).
Аналогично предыдущему доказывается, что в этом случае функция (9) рационализи¬
34
руется посредством подстановки
• <***■>• (»)
называемой часто второй подстановкой Эйлера.
Замечание 1. Рационализирующая подстановка (11) справедлива при условии х фхг. Следовательно, применяя эту подстановку при решении иррационального уравнения, необходимо проверить, не является ли значение х = хх корнем данного уравнения (иначе возможна потеря этого корня).
Замечание 2. Если с>0, то в этом случае можно положить
VCLX2 + Ьх + с = xt + V с (или Уах2+ Ьх -f- с = xt — Ус ). (12)
Случаи а>0 и с^>0 приводятся один к другому подстановкой х — -i-. Поэтому всегда
можно избежать пользования указанной в данном замечании подстановкой (12).
Пример 4. Решать у равнение]
4х3 + х2 — 4х — 1 +
+ (4л:2— х — 5) У х2+ х + 1 = 0.
Решение. Область определения уравнения — оо<х<оо. Применим первую рационализирующую подстановку Эйлера
t ^ Ух2~^- х 1 х.
Для определения нового неизвестного t получаем уравнение
t(t2 — t — 6) = 0,
корни которого tl= 0, t.y = 3 и t% = — 2.
Воспользовавшись подстановкой, находим
1 8 хх = — 1 и х2= —.
~ , 8 Ответ. хх = — 1, х2 — -J-.
Для рационализации выражения R (л, х2 •+■ рх + q, У ах2 -(- Ьх + с) (13)
применяется дробно-рациональная подстановка
Коэффициенты аир выбираются такими, чтобы в обоих трехчленах одновременно исчезли члены в первой степени. При этом преобразованное выражение принимает вид
R, (t, У At2 + В)
и рационализируется с помощью подстановок, рассмотренных выше»


Мы рассмотрели только некоторые, наиболее распространенные рационализирующие подстановки.
Следует отметить, что, как правило, одно и to же иррациональное уравнение может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению с помощью нескольких различных рационализирующих подстановок. От выбора этих подстановок зависит вид получаемого рационального уравнения.
Пример 5. Решить у равнение (х + 2) (1 + У3-2х-х2) = 3.
Решение. Область определения уравнения -3<х<1. Здесь оказывается эффективной рационализирующая подстановка
t=Y3-2х — х* + х+\ (-2<*<2К2),
применяя которую получаем для определения нового неизвестного t смешанную систему t2 + 2/ - 8 = О,
-2<£<2/2, откуда ^ = 2. Затем, воспользовавшись подстановкой, находим корни исходного уравнения.
Ответ, хj = — 1, х2 = 1.
5. Рационализация с помощью тригонометрических подстановок
Рассмотрим функцию
Я{хУа^ - х*). (15)
Применим рационализирующую подстановку л;--= | а | sin (16)
При этом У а2 — х2 — | а | cos t. Мы считаем, что д: изменяется между — |а| и |а \ (—|а|<;
<*<|a|), a t — между ——и -у-<
■<*<-£-). Поэтому i = arcsinAj. С по-
„ I а I
мощью данной подстановки рассматриваемая функция приводится к следующему виду:
R (jc, У а2 — х2) = R (|а| sin t, |a|cos^).
Функция (15) может быть рационализирована также с помощью подстановки
Jc = |a|cos^, (17)
причем 0 т. е. t= arccos-A.
|й|
Аналогично, функция
R{x,V а2 + х2) (18)
подстановкой
x = |a|tg^ (--J-</<-£-) (19)
приводится к виду /?(ja|tg*, | л | sec /), так как Vа2 + х2 — [ а | sec t,
2*
Для рационализации функции
R (х, Ух2- а2) (20)
можно применить подстановку
* = | а | sec (21)
Выполняя рационализацию выражения
R (л:, У ах2-\- Ьх + с)
с помощью тригонометрических подстановок, необходимо предварительно это выражение привести к одному из рассмотренных выше видов (15), (18) или (20).
Пример 6. Решить уравнение 1 + х3 = (х2 + Зл: — 1) У 1-х2.
Решение. Область определения уравнения: |л:|<;1. Применяя подстановку x = sin^, получаем уравнение
1 -{- sin31 -f- cos31 = 3 sin t cos t, симметрическое относительно функций sin t—x и cos/! = V1 — x2. Следовательно (см.: «Математика в школе», 1968, № 6, стр. 21 —22), это уравнение подстановкой
г = sin t -f cos t — x -f- У1 — x2 (| z | < У2)
приводится к эквивалентной ему смешанной системе
(z3 + 3z2 — 3z — 5 = 0,
1|г|<К"2,
которая имеет решение z= — l.
Откуда х+ уг\—х2= — 1, т. е. х = — 1.
Ответ, х = — 1.
Приведенные примеры не исчерпывают всего многообразия тригонометрических подстановок, применяемых для рационализации иррациональных выражений. Например, функция R (х, У (х — а) (Ь — х)), где а<х<Ь, рационализируется введением новой неизвестной t с помощью подстановки
х = а cos2t-\-b sin21 (о
функция R (х, V(х2 — а2)2) рационализируется подстановкой ^: = |a|sec^ и т. д.
В заключение отметим, что способ рационализации успешно может быть применен также для рационализации иррациональных неравенств, для вычисления и преобразования иррациональных выражений и т. д.
Знакомство школьников с различными рационализирующими подстановками безусловно будет способствовать более успешному изучению в вузе методов интегрирования иррациональных" функций.
35


В. 	Н. МАТВЕЕВ
(Ленинград)
Использование метода интервалов при решении неравенств некоторых типов
В школьном курсе элементарной математики рассматриваются неравенства вида
P(x)Q(x)V О1 (1)
и
y-VO. И\Л> ttvVa, \oguv\/a, (2)
где и и г» —функции от х.
В данной статье мы рассмотрим решение таких неравенств. При решении неравенства (1) будем использовать метод интервалов и укажем серию переходов, часто облегчающих решение неравенств (2).
Рассмотрим неравенство (1), где Р{х), Q (дг) — полиномы. Обозначим его левую часть через F {х),
F(x)^P(x)Q(x)\/ 0. (3)
Разложим F (х) на множители F (х) = а (х— х1У»(х~-х2У7‘. .(х—xk)l>*X X (X2 + ргх + q^ (х2 + р2х + ft)**...
... (х2 + ртх + qm)nm, (4)
где хх <С х2 <... < хк — вещественные нули F (х). Не умоляя общности, можно считать, что 0. Очевидно, что произведение степеней трехчленов с комплексными нулями положительно и не влияет на знак F(x).
Изобразим значения xv х2,хк точками на числовой оси.
Заметим, что если x^>xk, то F (х)~>0. Используя знакопостоянство полинома в интервале между соседними нулями и перемену (сохранение) его знака при переходе через нуль нечетной (четной) кратности, записываем ответ.
Рассмотрим неравенства (2). Решение неравенства вида
wv° <s>
сводится к решению неравенства (1), равносильного неравенству (5).
* Знак V означает «меньше» (<) или «больше» (>)•
36
Пример 1. Решишь неравенство
4х*— Зл:—1 хЦх* — 4) <'V'
Разложим числитель и знаменатель ^евой части на множители
С* 1) (~Х + I)2
хЦх — 2) (х + 2) ^
и запишем равносильное исходному неравенство
4(д: + 2)^-(-х2 (х — 1) (х — 2) <0.
Ответ. х<С— 2, 1<Сх<С2.
Введем серию переходов, рационализирующих решение остальных неравенств (2)2.
1. |x|Vl^=>^2V:l^>(^-1)(^+ 1) V0.
2. uv\Jа(а >0)=ф(й—1) (v — logua)\/0.
2’. uv\f\=$(u — 1)©V0.
3. logttv\/a=$>(u — I) (v — ua)\/0.
3'. logu v V 1 (и — 1) (v — и) V 0- 3". loge®V0=*(«-l)(w-l)V0.
Здесь и и v суть некоторые функции от х. Неравенства, стоящие справа, равносильны исходным в ОДЗ (область допустимых значений) неравенств, стоящих слева.
Покажем справедливость перехода 3. Имеем
\ogav\J а (и> 0, и ф\, ®>0),
или
loge®Vloge«e.
Возможны два случая:
а) и>\ I »-1>0 I
1)\/ иа I v — иа\/0 f
=Р(и — 1) (V — иа) V 0;
б)3и< 1 \ u-l<0 j
v /\иа I v — иа Д 0 ) =$(и — l)(v — иа) V0.
Пример 2. Решать неравенство
(*2 + Л+ 1)'<1.
Замечая, что х2-\-х + 1>0 при всех х, получим
(х2 + х-*г 1 — 1)л:<0, или х2 (л: -f- 1) < 0. Ответ. x<i —1.
Пример 3. Решить неравенство
logi-sm л- cos 2* >2.
2 Знак <=Ф означает «равносильно», знак означает «следует».
* Здесь Д есть знак неравенства противоположного
смысла по отношению к V.


Определим ОДЗ. Имеем
II — sin х >> О,
1 — sin х Ф 1, cos 2 х 0.
ОДЗ: —~ + Kk<^x<^nk, izk<^x<^-\-ък (черт. 1).
Используя переход 3, получим
(1 — sin х — 1) [cos 2х — (1 — sin jc)2] > 0, или
sin2 х (3 sin x — 2) > 0,
т. e.
. 2 sin x > -g-.
Решение последнего неравенства будет
2 2 arcsin у + 2vk < л: О (2& + 1) — arcsin -g-
(черт. 2).
Черт. 1 Черт. 2 Черт 3
Области, входящие в ОДЗ, запишутся так (черт. 3):
arcsin -j- + 2 'xk <С х < + 2-i:£;
—|- + i'(2^+ 1)<л;<[те(2А+1) — arcsin
Рассмотрим одно неравенство с параметром, при решении которого успешно применяются изложенные выше приемы. Пусть дано неравенство
log_^ (а — лг)< 1. (6)
X
ОДЗ: jc>0, jc<a, хф 1.
Отсюда следует, что при й<0 в ОДЗ нет ни одного значения х, и неравенство не имеет решений. Поэтому дальше будем считать а> 0.
Применяя переход 3', получим
(4 -•)(«-*- 4) <°>
или
(х — 1) (xs — ах+1)^-п
X2 ^ ’
откуда в ОДЗ имеем
(х—1)(х2 — ах +1)<0. (7)
Дискриминант квадратного трехчлена
у = х2 — ах -f 1
равен D = а2 — 4.
Пусть £><0, т. е. а2<4, или (поскольку а > 0) 0 < а < 2; тогда у > 0 при любом х, и неравенство (7) равносильно неравенству х — 1 -<0. Учитывая, что в ОДЗ должны выполняться неравенства 0 получаем,
что если 0<а<С1, то 0л:гг, если 1 •< а < 2, то 0 < х < 1.
При D = 0, т. е. при а — 2, получаем в (7) неравенство (х—1)3<;0, и решением в этом случае будет 0<л:<^1.
Наконец, пусть D^> 0, т. е. а >2. Тогда у имеет действительные корни
а — — 4 а + т/~ аг — 4
Xi 2 » *^2 2 *
Очевидно при этом, что 0 <Г <Г -^2» и КР°* ме того, по теореме Виета,’ х1х2=1; поэтому хг < 1 <С х2, и решение неравенства (7) таково:
0<x<jL=j^ELt 1<x<e±£f=±.
Ответ. Если 0<я<С1, то 0<л:<а; если 1-<а-<2, то 0<[х<С1; если а^>2, то
о <* < 1<х<
(черт. 4).
37


Ц1. И. ВАГАПОВ
(г. Казань)
Новое в применении
диафильмов
Татарским отделением Педагогического общества РСФСР выпускаются диафильмы по мг>тематике с дидактическим материалом программированного характера. Эги диафильмы содержат задания, предназначенные для проведения контролируемой самостоятельной работы на первых стадиях усвоения знаний и на этапе первичного закрепления. (Известно, что эти стадии усвоения менее управляемы при традиционных методах обучения, чем другие.)
Разработанный автором дидактический материал по алгебре для VI класса, по алгебре и элементарным функциям для IX класса состоит из следующих трех типов самостоятельных работ:
1) заданий, требующих свободного конструирования ответов, с последующим подтверждением,
2) заданий, составленных по выборочному принципу построения ответов, включающих все альтернативы возможных ответов,
3) заданий с выборочным принципом построения ответов, включающих ряд возможных решений (наряду с ними могут быть и типичные для учащихся ошибочные ответы).
Работы первого типа состоят, в основном, из двух кадров. В первом кадре диафильма дается задание, во втором — подтверждение (иногда с подробной записью хода решения данного упражнения-задания).
Пример 1 (для VI класса)
I кадр
Обозначить на числовой оси точки, изображающие целые числа, абсолютная величина которых больше 2.
II кадр Проверьте свое решение
■ •■с, в, а, , .а в с...
т ■ "Ч I I '-Т™Т I I I " I " 1 I '| I »
-6 -5 -4 -3 -2 -I 0 1 гз 4 5 6
Искомыми точками будут точки А, В, С, ... (т. е. все точки изображающие натуральные числа, большие 2) и Аи ВСи ••• (т. е. все точки, изображающие целые отрицательные числа, кроме —1 и —2).
Более трудные работы первого типа могут состоять из трех и более кадров. В первом кадре дается задание, а в последнем — подтверждение. В промежуточном кадре — указания к решению задания, помогающие наиболее слабоподготовленным ученикам справиться с работой. В некоторых случаях указания к решению задачи имеют характер алгоритмов.
Пример 2 (для IX—X классов)
I кадр
Пост роить график функции у = | sin х | + sin х.
II кадр Проверьте, так ли вы решаете.
sinx, если sinjc!>0—►
—> 2т:и -< х -< it (2п + 1),
| sin л:| = — gjn если sin х <О—»
—» те(2п — 1)<х<2я/г Таким образом,
у = | sin х | -f- sin х =
(2s\nx при 2те/г •<x ■<те(2n -f- 1),
\ 0 при те(2/г — \)<^х<^2ъп.
III кадр Проверьте свое решение.
V k
2
-Зл -2я -л 0
/Л /"\... —/ .
л 2я ЗЯ МЛ X
График искомой функции у = | sin х | + sin х.
Работы второго типа, составленные по альтернативному (выборочному) принципу построения ответов, обращают внимание учащихся на основные вопросы каждого раздела программного материала. Эти работы используются для углубленного изучения теоретического материала. В большинстве случаев выполнение таких работ не сводится к проверке памяти, а требует самостоятельного мышления.
Пр имер 3 (отдельные кадры1 из разных работ для V—VI классов)
1) 	Какое из данных равенств выражает
распределительный сочетательный
закон? , закон умножения?
1 В диафильме каждый кадр состоит из одного задания (в двух вариантах) с соответствующими альтернативами. - ~ - - -
38


1. а + ft = b + a,
2. (a + b) +с = a + (b + с).
3. ab = ba.
4. (ab)-c = a- (ftc).
5. (a + b)- с = ac + be.
2) Какой закон действия выражает равенство
(а + Ь) + с = а + (Ь + с)? | ab = Ьа?
3) Определить, какие законы действий применены при решении примеров
12 + 25 + 8+15= (7 + 12 + 13) * 5 =
= 20 + 40 = 60 =(20+ 12)-5 =
= 100 + 60= 160.
1. Сочетательный закон сложения.
2. Сочетательный закон умножения.
3. Распределительный закон.
4. Переместительный закон сложения.
5. Переместительный закон умножения.
Пример 4 (для IX класса)
Даны две линейные функции у\ — ахх + Ь\ и i/2 = U2X + Ь%.
При каких условиях графики данных функций
1) пересекаются,
2) параллельны или пересекаются?
1. ах Ф #2"
2. ах = а2.
3. Ьх Ф ь2.
4. bx = b2.
При каких значениях а и b система ах — 6у = Ю,
2х - Зу = Ь
имеет
1) бесчисленное множество решений,
2) единственное или бесчисленное множество решений?
1. а = 4.
2. Ъ = 5.
3. а = 4, b Ф 5.
4. а Ф 4, b = 5.
2 Коды ответов: 1) левый вариант — 1,2, правый — 5;
2) левый вариант — 2, правый — 1.
1) единственное решение,
2) бесчисленное множество решений или не имеет решений?
Как будут располагаться на координатной плоскости графики данных функций, если
1) ах — а2, Ьх = 62,
2) Ьх = Ь2?
1. Пересекаются.
2. Совпадают.
3. Параллельны.
4. Пересекаются или совпадают.
5. Пересекаются или параллельны.
6. Совпадают или параллельны.
5. —оо < а < оо, кроме а — \.
6. — оо < Ъ < оо? кроме b = 5.
Несмотря на то что в отдельных работах
альтернативы содержат в себе «подсказку», опасаться этого не следует. Ограничение «поля» поиска правильного ответа на поставленный вопрос теоретически допустимыми альтернативами ориентирует мысль учащихся в нужном направлении, стимулирует активную и самостоятельную работу независимо от степени их подготовленности. Кроме того, при осмысливании и первичном закреплении данной информации одни и те же теоретические положения, вошедшие в число возможных ответов, повторяясь многократно в кадрах диафильма, усиливают глубину впечатления (первоначальный след).
Работы второго типа разработаны так, что каждый вопрос, подлежащий изучению, рассматривается со всех возможных точек зрения, в различных связях. Задания требуют исчерпывающего рассмотрения каждого из возможных случаев, варьирования данных, перегруппировки материалов (смотрите примеры 3 и 4). В процессе выполнения таких нестандартных работ ученик оперирует различными логическими операциями. Во многих заданиях уравнения, функции и т. д. даны в параметрах. Это дает возможность выполнять задания на весьма высоком уровне обобщенности. Условия, налагаемые на параметры, позволяют конкретизировать общие положения, общее изучать через частное. Таким образом, работы второго типа благоприятно влияют на степень запоминания и его прочность. Они помогают ученику привести свои знания в порядок, в логическую систему, создают условия для повышения интенсивности учебно-познавательной деятельности учащихся.
В работах третьего типа хотя и предлагаются ответы на выбор, но в них отражаются не все, а только ряд возможных альтернатив решения данного вопроса, поэтому такие задания мы рассматриваем как промежуточные между работами на свободное конструирование ответов и работами с выборочными ответами. Работы третьего типа составлены так, что сопоставляются родственные или противоположные понятия (скаляр — вектор, тождество — уравнение, определение — теорема, ограничение снизу — ограничение сверху, функция — обратная ей и т. п.).
Пример 5 (фрагменты работ третьего типа
для VI класса)
I кадр
1) 	Определить, какие из данных равенств
ЯвЛЯЮ! СЯ
m


тождествами? ] уравнениями?
1. 2х + 9 = 9 + 2 *.
2. 2х + 9 = 9 + х.
3. (а + 3) — b = а + (3 — 6).
4. 5а + 1 = 21.
5. х + 1 = х.
6. (а + Ь)* 5 — 5а + ЪЬ.
II кадр
2) 	Определить, какие из данных уравнений имеют корень, равный
1? | -1?
1. | х | + 1 = 2.
2. 2х + 3 = 5.
3. 2 I * I + 3 = 5.
4. \ х — 1 I =0.
5. | л: — 1 | = 2.
6. х -— 1 =2.
Как видно из приведенных примеров, программированные задания рассчитаны на отработку относительно небольшой части темы урока, требующей для своего выполнения непродолжительного времени: от 2—3 до 15— 20 мин. Поэтому нужно умело сочетать элементы программированного обучения с другими формами учебной работы, не нарушая классно-урочной системы обучения.
Материал, включенный в диафильмы, представляет собой и методическую разработку рассматриваемых тем учебной программы. Последовательность кадров-шагов подскажет молодому учителю методику построения той части урока, в которой этот материал применяется.
Использование на уроках дидактического материала программированного характера повышает эффективность урока только в том случае, если он применяется систематически на каждом уроке по усвоению новых знаний. Каждый познавательный элемент такого урока, включающий отработку новой информации, должен содержать сообщение новой дозы информации, самостоятельную работу учащихся над содержанием этой информации, проверку самостоятельной работы через контроль или самоконтроль, анализ допущенных ошибок и индивидуальную работу с отстающими на этом уроке.
Распространенной методической ошибкой при работе с программированными учебными пособиями является то, что эти самостоятельные работы используются только для контроля знаний, для накопления оценок и обычно предлагаются учащимся после первичного закрепления. Однако к закреплению можно переходить только после проверки правильности восприятия и понимания данной информации,
и наиболее важным является улучшение управления именно этими этапами усвоения знаний. В этом и заключается основное назначение программированных заданий. Обратная связь устанавливается через контроль с использованием контролирующих устройств или простейших технических средств (маленькая доска с мелками; набор цифр, написанных крупным шрифтом на плотной бумаге; перфокарты и т. п.) и через самоконтроль, который является повторным актом мышления. Самоконтроль имеет и воспитательное значение. Ученики стараются оправдать доверие, которое оказывает им учитель, потому серьезнее относятся к своей работе, тщательно ее проверяют. Если после самоконтроля ученики не могут самостоятельно понять свои ошибки, они спрашивают учителя. Поэтому на первых стадиях усвоения знаний и на этапе первичного закрепления мы рекомендуем обратную связь устанавливать в основном через самоконтроль. Задача заключается в том, чтобы после первичного восприятия знаний самостоятельную работу по осмысливанию и обдумыванию полученной информации каждый ученик был заинтересован выполнить действительно самостоятельно. В противном случае выходные данные могут ввести учителя в заблуждение, что отрицательно скажется на управлении процессом обучения и в конечном итоге на качестве знаний учащихся. Мы считаем, что выставление оценок во время контроля за процессом усвоения новых знаний не способствует созданию психологического «настроя» к восприятию информации у той части учащихся, которые усваивают учебный материал медленнее других или имеют пробелы в знаниях. А от психологического «настроя» зависит и глубина их восприятия. Поэтому проверку усвоения каждой дозы нового материала мьт рекомендуем использовать не для учета успеваемости учащихся, а для осмысления и приведения в систему нового материала. Следовательно, самостоятельные работы, выполняемые учащимися на первых стадиях усвоения знаний, не следует оценивать отметкой.
В заключение можно сказать, что введение в традиционный урок диафильмов с дидактическим материалом программированного характера по математике позволяет установить непрерывную обратную связь в процессе усвоения учащимися новых знаний, следовательно, позволяет влиять на их успеваемость в самом ходе обучения, повышает качество и прочность знаний. Эти выводы подтверждаются результатами эксперимента, проведенного в ряде школ г. Казани и Татарской АССР.
40


И. Ф. ГОНЧАРОВ (Ленинград)
Школьники о красоте математики
«Во всякой науке более или менее есть эстетический элемент, передачу которого ученикам должен иметь в виду наставник».
(К. Д. У ш и н с к и й)
Сущность науки — открытие истины. Наука, как и искусство, умножает знания о жизни, расширяет духовный горизонт человека, Ее цель — путем анализа жизни найти ее законы, открыть гармонию безграничного мира и таким образом способствовать прогрессу на земле. В научном познании красота — это творческая, смелая, оригинальная мысль. Поэзия — это живая мысль, в каких бы формах она ни выражалась.
Чтобы уверенно идти в неведомое — а в этом романтика познавательного поиска,— необходима фантазия, возбуждающая и питающая энергию познающего человека, оплодотворяющая ее. Силой творческого воображения, силой своей научной ориентации человек идет от неизвестного к известному и наоборот.
Огромную роль в восприятии красоты науки имеет выразительность ее аппарата, его целесообразность. Творческий поиск истины, сама истина, ее внутренняя и внешняя выразительность являются основой этой красоты.
В математике привлекают логическая стройность устанавливаемых закономерностей, четкость доказательств, лаконичность языка, содержательность символов, универсальность получаемых результатов, широта обобщений, проникновение в самые различные области знаний и практической деятельности человека.
Почему К. Д. Ушинский и другие выдающиеся педагоги заботились о том, чтобы школьники переживали и понимали красоту науки и учения? Страстное увлечение, влюбленность в познание окружающего мира рождают'умение учиться, без которого в школе с ее обширными программами сегодня ничего не сделаешь. От эмоциональности ученика зависит работа его памяти. Если ученик не равнодушен к изучаемому материалу, если предмет вызывает у него интерес, тогда запоминание происходит как бы само собой, без особых усилий. Человеческая память недолго хранит
то, что не затрагивает чувств. Только там, где разум и чувство, рациональное и эмоциональное в союзе,— только там осуществляется научное понимание жизни. Когда ученик не только учится, но и понимает, что его увлекает в процессе учебы, осознает красоту познания, его отношение к умственному труду становится более глубоким, увлеченность наукой становится чертой его личности. Взволнованное отношение к познанию носит активный характер: она побуждает ученика к самостоятельной деятельности, вызывает жажду творческих поисков. Эмоциональный подъем увеличивает физические возможности. Под влиянием возбуждения ученик нередко справляется с трудностями, непосильными для него в другом состоянии. Он способен к более длительной интеллектуальной работе.
Каким же должно быть обучение математике, чтобы оно волновало ребят? Когда они находят красоту в математике? В поисках ответа на этот сложнейший вопрос можно обратиться к изучению общефилософских принципов обучения и достижений, разработанных дидактикой, к описанию и анализу конкретного педагогического опыта. Но можно обратиться и к самим ученикам. Пусть они сами скажут, когда изучение математики вызывает у них глубокие чувства, яркие переживания, работу ума, памяти, воображения. Анализ их высказываний поможет определить некоторые пути раскрытия красоты математики в школе.
Скажем сразу: исследование, проведенное нами с целью выяснения эстетического отношения школьников к учению, показало, что лишь немногие из опрошенных нами юношей и девушек находят красоту в математике. Тем более важно обратиться к их опыту познания.
Школьники, находящие прекрасное в изучении математики, признают, что изучать математику нелегко. Это напряженная, сложная работа. Для ее выполнения нужно физическое и умственное усилие, усилие воли, памяти, воображения. Но этим она и интересна. «Мне,— пишет девятиклассница,— доставляет величайшее удовольствие что-нибудь сделать полезное или решить какую-нибудь сложную задачу. Это ведь прекрасно — сидеть, мучиться и наконец добиться своего»*
41


Учащихся увлекает сам процесс поисков решения, пути нахождения удачных, оригинальных, лаконичных, т. е. красивых решений. В одних случаях они детально описывают процесс поисков решения, в других — лишь упоминают о нем. Они рассказывают о таких элементах познания, как наблюдение, сравнение, отбрасывание случайного, утверждение правильного. В сочинении одной десятиклассницы есть строки: «Я люблю математику, вижу стройность формул в ней, ритмичность ступенек, ведущих к овладению ею. Когда вижу умное решение задачи — свое или чужое, — всегда про себя или вслух говорю: «Красиво!» Для меня овладение математическими понятиями— это радость и страдание. Иногда ничего не понимаешь, ничего не можешь решить)— тогда на душе тяжело. К счастью, так бывает не всегда. Иногда радость приходит. Переберешь на листке или в голове несколько вариантов решения задачи. Наконец найдешь нужный, самый лучший вариант. Это и есть радость».
Видимо, нам, педагогам, на уроках надо чаще разъяснять сущность красивых математических решений и ориентировать воспитанников на поиски именно красивых решений познавательных задач.
Математическое образование сопряжено с преодолением трудностей. Его пронизывает напряжение физических и духовных сил — один из самых существенных элементов поэзии познания. В нем учениками оценивается по преимуществу красота самого поиска правильного решения, само красивое решение и радостное чувство, с ним связанное. Тут нужно поставить на работу мысль, интуицию, воображение. Приведем в подтверждение нашего наблюдения отрывок из ученической работы. «Сколько воображения нужно, например, математику, чтобы доказать теорему, физику — чтобы открыть новый закон, изобрести аппарат или новый прибор! Есть ли поэзия в науке? Мне кажется, она просто должна быть. Ведь поэзия — это романтика. Романтика — это мечты, воображение. Мечты ученого — это наше будущее. Человек, жаждущий знаний, ищет их везде. Нужно уметь мыслить, воображать, находить необычное в обычном. Для этого мы учимся, чтобы научиться думать, чтобы суметь свои думы и мысли претворить в жизнь Не будем говорить о великих ученых. Обычный школьник, который жаждет знаний, не может обойтись без воображения. Без воображения не решишь даже обычной математической задачи. Думать, мыслить, воображать — это и есть поэзия».
Учащиеся серьезное значение придают спо¬
собности учителя привести в действие работу их ума, воли и воображения. Это побуждает нас, педагогов, ставить учеников в такие учебные ситуации, которые требуют от них именно воображения.
Поэзия изучения математики ощущается учениками тогда, когда они добиваются успеха. Познание, вводящее ученика в «царство математических законов», выступает в сознании ученика как красота, именно такое познание вызывает чувство удовлетворения. Десятиклассник одной школы пишет: «Если я найду какой-нибудь интересный и сложный пример или задачу, требующие крайнего напряжения мысли,— здесь я уже забываю все и часто даже не слышу, когда меня зовут. В таких случаях я люблю порыться в справочниках, учебниках и других источниках, так кая мои познания еще ограничены. И чем труднее задача, тем больше радости и удовлетворения самихм собой испытываешь, решив ее». Еще строки из ученической работы: «Действительно, когда долго не получавшаяся задача решена, я чувствую глубокое удовлетворение. Некоторое время у меня праздничное настроение. Такое чувство возникает у меня после прочитанной хорошей книги. Во втором случае понятно — встреча с чистой поэзией. А в первом? Значит, и в первом есть какая-то поэзия!»
Поэзия изучения математики в школе — это поэзия успешного преодоления интеллектуальных затруднений. Учить учиться, помогать, наталкивать — это основа радостного труда учителя в школе. Школьнику трудно. Помогать ему выполнять эту трудную работу, сочувствовать ему в его поисках — наше призвание.
Ученик должен понимать изучаемое в школе. Однако временами ему полезно входить в тот мир, который не до конца ему доступен. Тогда он приучается к тому, что усвоение науки требует от него сосредоточенного внимания, самостоятельной мысли и творческого поиска. Обратимся к такому факту. Листы литографированных лекций Остроградского о дифференциальном и интегральном исчислении привлекли внимание Ковалевской-девочки. Целые часы она проводила перед этими таинственными листами, пытаясь разобрать хоть отдельные фразы. От долгого, ежедневного созерцания внешний вид многих из формул врезался в ее память. И самый текст их оставил глубокий след в ее сознании, хотя остался для нее непонятным- Когда несколько лет спустя, уже пятнадцатилетней девочкой, Ковалевская брала первый урок дифференциального исчисления у известного преподавателя А. Н. Стран- нолюбского, он удивился, как скоро его учени¬
42


ца усвоила понятие о пределе и о производной, точно знала их раньше. Дело было в том, что в ту минуту, когда учитель объяснял эти понятия, ей вдруг живо припомнилось, что все это стояло на листах Остроградского, и самое понятие о пределе показалось ей давно знакомым. •
Растущего человека привлекают те виды познавательной деятельности, которые пронизаны творческими элементами. Он находит прекрасное в изучении математики тогда, когда перед ним встает проблема, заставляющая его опираться на ранее усвоенные знания и в то же время требующая наблюдательности, соображения, творческой выдумки. Для учеников является бесспорной необходимость связи поэзии школьного учения и творчества. Учение наполняется радостью, романтикой, красотой, когда приходится самостоятельно думать, искать, находить. Эта мысль в разных вариантах встречается в сочинениях. О ней, к примеру, так пишет ученик: «Поэзия не может заключаться в том, что ты в давно выведенную учеными формулу и заученную тобой подставляешь данные задачи, делаешь расчет и смотришь в ответ: правильно! Какой смысл «набивать руку», не заглянув в корень дела? По- моему, гораздо интереснее исследовать, проверять кем-то выведенную формулу, гипотезу, а еще интереснее самому пытаться найти интересную закономерность, может быть, вывести закон. В том, что у тебя «ворочаются» мысли в голове, хотя бы медленно, и заключается поэзия».
Таким образом, есть возможность прийти к выводу о том, что делает, с точки зрения учащихся, красивой их собственную познавательную деятельность по изучению математики. Школьников привлекают следующие психологические компоненты решения математических задач: активная работа мысли, направленная на поиск не просто правильного решения, а красивого решения, т. е. лаконичного, нового, оригинального, не стереотипного; участие в этом процессе творческого воображения; необходимость преодоления трудностей. И хотя это только учебно-познавательная работа, связанная с усвоением основ науки, коренным образом тем самым отличающаяся от поисков истины ученым, но и в ней есть моменты, приближающие ее к процессу работы ученого. Школьники приучаются к исследовательскому методу работы. Этот метод предоставляет им определенную свободу, в корне изменяет весь процесс учения, освобождая его от скуки, се¬
рости. Этот «красивый» метод учения делает само учение радостной деятельностью учащихся.
Нам нужно раскрывать перед учениками сущность эстетических элементов научно-математического познания действительности. Если им чужда эстетика большой математики, они не могут оценить по-настоящему красоту собственного учения. У выдающихся математиков есть немало высказываний о красоте математики.
Н. Е. Жуковский: «В математике тоже есть своя красота, как в живописи и поэзии».
А. Д. Александров: «В науке и технике, в формулах и тонких экспериментах, в теоретических построениях и машинах есть своя внутренняя красота и поэзия».
Поль Дирак: «Общие законы природы, когда они выражены в математической форме, обладают математической красотой в очень высокой степени».
Этот выбор имен, разумеется, далеко не полон. Но если собрать наиболее значительные высказывания ученых-математиков и познакомить с ними юношей и девушек, то отношение многих из них к изучению математики наверняка изменится.
Важную роль в развитии интеллекта ученика, в воспитании его чувства, его эмоциональной культуры играют рассказы об истории математических открытий, о ходе научных поисков, об эстетике научного познания. Большинство учащихся не знакомы с биографиями великих математиков. Математика нередко преподносится школьникам как безымянная. Перед их глазами мелькают теоремы, формулы, законы, а имена их авторов либо упоминаются бегло, либо вовсе не упоминаются. А ведь для растущего человека далеко небезразлично, каков духовный облик исследователя. Для него ученый — связующее звено между наукой и им, учеником. Ученый своим примером показывает, как постигается научная истина, каков путь разума в незнаемое, каково движение пытливой человеческой мысли.
Надо развивать и самосознание учеников. Часто ли мы рассказываем ученикам об увлекательности познания, о красоте исследования, эстетике узнавания? Увы, нет! Они не слышат от нас слов: «поэзия науки», «радость познания», «умственное наслаждение».
«Действительно хорошо преподавать математику может только человек, который сам ею увлечен и воспринимает ее как живую* развивающуюся науку» (А. Н. Колмогоров).


Ф. А. БАРТЕНЕЗ (г. Евпатория)
Из опыта проведения факультативных занятий
В Евпатории всего 7 средних школ, нет не только институтов — нет даже техникумов, а поэтому учительство может рассчитывать только на свои силы. В последние годы в городе сложилась своеобразная система факультативов, весьма различных по форме, содержанию и научному уровню преподавания.
Учителя школ Евпатории большое внимание уделяют внеклассной работе в V—VII классах.
Восьмой год существует КС2 (клуб смекалистых и сообразительных) — своеобразный городской факультатив для семиклассников по решению задач повышенной трудности, а также занимательных задач. Занятия' в клубе проводятся вечером два раза в неделю. Элементы теории вводятся обычно посредством решения серий специально подобранных заданий.
В 1969/70 учебном году в виде эксперимента была организована группа «смекалистых и сообразительных» для учащихся V—VI классов. В одной из школ также в виде эксперимента раз в неделю был введен «нулевой» урок для занятий только с наиболее способными шестиклассниками. Цель занятий — постепенное приобщение школьников к систематической и упорной работе по решению задач повышенной трудности, прежде всего в связи с изучением тех или иных гем школьного курса математики.
Второй ступенью (VIII—X классы) является общегородской факультатив в форме Юношеской физико-математической школы (ЮМШ), которая успешно функционирует уже восьмой год. Каждый преподаватель ЮМШ в течение года проводит занятия в школе только по одной-двум темам. В неделю проводится два вечерних занятия по два урока. В программу занятий включены, например, следующие темы: «Множества», «Определения, аксиомы и теоремы. Аксиоматический метод в геометрии», «Метод координат», «Метод математической индукции и принцип Дирихле», «Векторы», «Решение нестандартных задач» и др. Преподавание этих и других тем мы стремимся построить так, чтобы учащиеся глубже усвоили то, что они изучают в школе. Некоторые преподаватели общеобразовательных школ предоставляют право отдельным учащимся при выполнении домашних заданий заменять тра¬
диционные стандартные упражнения более сложными, например в плане работы ЮМШ. В связи с этим отдельные удачные упражнения, методические находки ЮМШ в несколько упрощенных редакциях постепенно проникают в общеобразовательные школы города.
Программа школы постепенно усложняется, повышается научный уровень преподавания* Например, в этом году в программу вводятся элементы кибернетики. Толчком к этому послужило открытие заочной школы юных кибернетиков при Крымском пединституте, которая помогает нам и пособиями и консультациями.
В одной из школ города сформирован класс из девятиклассников, увлекающихся точными науками. Факультативы проводятся в нем «нулевыми» уроками (2 часа в неделю), т. е. практически введены в расписание. Содержание факультативных занятий, как правило, органически связано с учебной работой по программе школы. В классе заметно повысился общий уровень преподавания математики. Кроме того, значительно повысилась успеваемость среди всех девятиклассников этой школы. В первый класс ЮМШ подано больше всего заявлений восьмиклассниками именно этой школы. Администрация школы довольна результатами эксперимента.
Весьма желательно, чтобы в таких классах преподавание математики ориентировалось в основном на новые программы, а 2—3 часа факультативов были бы введены в сетку учебных часов. Мы считаем такую форму сочетания факультативов и классной работы весьма перспективной прежде всего потому, что наиболее продуктивно используется учебное время способными школьниками, уменьшается их перегрузка.
В городе открыт специализированный физи- ко-математический класс, в котором факультативы введены в сетку учебных часов. Открытие такого класса сыграло большую роль в пропаганде математических знаний среди школьников и способствовало накоплению учительского опыта для перехода к работе по новым программам.
Нам представляется целесообразным в ближайшем будущем открыть целый ряд специализированных классов, а возможно, и небольшую школу, в которой были бы сосредоточены


классы со специализацией по математике, физике, химии и подготовительный VII класс, В VII—VIII классах предполагаем ввести в сетку учебных часов два-три урока факультативов по математике с преподаванием в основном по новым программам с временным добавлением тех тем из ныне действующей программы, которые в ближайшем будущем не будут изучаться в школах.
Обычно к концу учебного года нескольких наиболее способных первоклассников (восьмиклассников общеобразовательной школы) занятия в ЮМШ начинают не удовлетворять. Им мы рекомендуем поступать в специализированный класс, в ЗМШ при университетах, Крымском пединституте и др. Но и для этих ребят полезны, так сказать, «областные факультативы», например в форме месячных летних лагерных сборов МАН (Малой академии наук) Крыма, на которых занятия проводятся учеными научных центров и учеба удачно сочетается с летним отдыхом на Южном берегу Крыма. В течение учебного года такие ребята нуждаются в индивидуальных консультациях и в некоторой учебной литературе, которая обычно предоставляется им из личных библиотек учителей. Лучшие из наших «ма- новцев» неизменно в течение последних пятисеми лет удачно выступали на областных олимпиадах, входили в состав крымской команды на республиканских олимпиадах юных математиков и т. д. Эта небольшая группа школьников обычно проводит определенную работу по линии МАН, оказывает существенную помощь учителям в проведении школьных и городских олимпиад, выпуске газет и т. д.
В организации и проведении всей указанной выше работы большую помощь учительству оказывают местные партийные и советские организации, органы народного образования, городская газета.
Вопросы внеклассной работы не сходят с повесток дня учительских совещаний. Однако очень большую роль играет то обстоятельство, что в городе сложился дружный и работоспособный учительский актив, который всегда поддерживал полезную инициативу коллег по работе. Особенно хотелось бы отметить многолетнюю и большую работу учителей-общест- венников Jl. М. Циниса, С. Г. Пипко и многих других товарищей.
В Евпатории летом открываются десятки пионерских лагерей, создается Артек-2 Украинский. Весьма желательно, чтобы в самом недалеком будущем в городе пионерии, в новом Артеке или в другом месте был бы открыт небольшой лагерь юных математиков для учащихся VI—VII классов сельских школ с использованием опыта лагерей МАН. Чтобы в этом лагере в течение определенного времени проходили своеобразную практику проведения внеклассных занятий учителя-энтузиасты сельских школ и небольших городов. Это не только наше предложение. Об этом говорили преподаватели математики сельских школ на последних лагерных сборах МАН. По их мнению, на селе упор должен быть сделан на всемерное развитие факультативов прежде всего в VI—VIII классах с тем, чтобы наиболее способные школьники сельской местности поступали бы в дальнейшем в школы типа ЗМШ.
Н. Н. ШОЛАСТЕР (г. Коломна)
Арифметические прогрессии порядка и
В математической литературе для средней школы рассматриваются отдельные частные случаи последовательности
II \ъ #2» •••5 ^пу ••• ’
общий член которой ип является многочленом степени k относительно натурального числа п:
ип = а0 пк + ах nk~l + а2 nk~2 +
+ + ak (а0ф 0). (1)
Особое внимание при этом уделяется случаю, когда un=tih. При этом ставится задача об
отыскании суммы п членов этой последовательности (суммирование степеней чцсел натурального ряда). Существуют различные решения этой задачи (см., например, С. И. Новоселов, «Специальный курс элементарной алгебры», § 125). Ниже излагается решение более общей задачи: найти сумму первых п членов последовательности (1). При этом никаких ограничений на коэффициенты' а{ не накладывается. Изложение ведется доступными для учащихся восьмых-девятых классов средствами.
45


Если k—\, т. е. если
un = aoti + ai,
ТО Vn = Un+l — Un = ао-
В этом частном случае последовательность {м„} является арифметической прогрессией с первым членом u\=ao+ai и разностью d=ao. По этой причине удобно в общем случае последовательность {ип} называть арифметической прогрессией порядка k. Арифметическая прогрессия первого порядка является обыкновенной арифметической прогрессией.
Для арифметической прогрессии первого порядка формулу общего члена можно записать в виде:
un=Ao-h2Ai(n—1),
где Л0 = а0 + а1 = й1 и 2A1 = d = a0. Сумма Sn первых я членов данной прогрессии равна:
Sn = их 4~ и2 -f- ... + ип =
= А0п + 2АУ [1 4 2 + ... + (п — 1)] =
= Л0я 4* Л^я (я — 1).
Следующая теорема дает обобщение данных формул в общем случае.
Теорема 1. Если ип — Л0 + 2Ах (п — 1) -(- ЗА2 (я — 1) (я — 2) + + ... + (k + 1) Ак (я — 1) (я — 2)...(я — k), (2)
то
Sn = F (я) = Л0я + Ах п (а — 1) +
+ А2 п (я — 1) (я — 2) + ... +
4- Лйя(я—1) (я — 2)...(/г — k). (3)
Доказательство.
F (я) — F (я — 1) = Л0я 4- Аг я (я — 1) +
4- А2п (я — 1) (я — 2) 4- ••• +
4- Ак я (я — 1) (я — 2)... (n—k) —
— Л0 (я — 1) — Ах (я — 1) (я — 2) —
— А2 (я — 1) (я — 2) (я — 3) — ... —
— Ak (я— 1) (я — 2)... (я — k) (я — k— 1) =
= Л0 -f- 2Л! (я — 1) + ЗЛ2 (я — 1) (л — 2) 4--- Н~ -f (£ + 1) Л/{ (я — 1) (я — 2)... (я — £).
Таким образом,
ип = F (п) — F (п — 1).
Отсюда: щ = F (1) — F (0),
#2 — F (2) — F(l),
46
Щ — F ф) — F (2),
ип = F (п) — F(n— 1).
Почленно складывая данные равенства, получим:
= «1 + «2 + ••• +й„-=/7(«) — F0=F(n),
так так F (0) == 0.
Доказательство теоремы легко провести также методом математической индукции.
Теорема 2. Формулу (1) для ип всегда можно выразить в форме (2).
Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить коэффициенты при одинаковых степенях я в обоих выражениях для и„ и из полученной системы k 4-1 линейных уравнений относительно Л0, Л,, Л2,..., Ак найти эти коэффициенты. Однако для этой цели выгоднее воспользоваться значениями первых k 4- 1 членов последовательности {«„}, так как при этом получим следующую систему уравнений:
их — Л0,
и2= Aq + 2 Аи
и3 = А0 + 2-2А{ + 3-2.!А2,
= Л0+2-ЗЛ1+ 3-3-2Л2-}-4-3-2* 1Л3, (4)
Ufc4-| =: А0 -f- 2kA] -f- 3k (k— 1) A<i -f- + 4k (k-1) (k-2) A3+... +(k+1)! Ak.
Такая система имеет, как известно, единственное решение; из нее легко последовательно найти неизвестные коэффициенты Л0, Л1э...,Л*.
Таким образом, мы получили следующий общий способ отыскания формулы суммы Sn для арифметической прогрессии порядка k: составляем систему (4), находим из нее неизвестные коэффициенты Л0, А{у ...,Л* и затем пользуемся формулой (3), которая и дает нам значение суммы Sn. Рассмотрим примеры.
Пример 1. ип = п3. их = 1 = Л0, и2 = 8 = А0 4- 2Л ],
Я3 =^= 27 = Aq 4~ 4Л^ 4~ 6Л2,
Й4 = 64 =» Лд -j- 6Л| 4* 18Л2 “I- 24Лд.
Отсюда: Л0= 1; А1=>^-; Л2 = 2; Л3=-1-;
5„== 1-я + -уя(я — l)-f 2я(л — 1) (я — 2)4-
+ I- я (я —к) (я - 2) (я - 3) ^|^?+J)j2 4


Пример 2. и„ — а0п2 ахп + а2.
< и1 = а0 + а1 + а.2 = А0,
| #2 = 4#о -}- 2а{ “I- Ло Aq -|- 2А | Й3 = 9&q -J- Зах -J- й2 = А0 -j- 4АХ -j- 6Л2.
Отсюда: А0 = а0-\-ах+а2\ Л^ =
^2 ^ "з^"5 = (#о + #1 + #2) л “Ь
+ ^-^я(я-1) + ^-я(л-1)(л-2) =
= ^-л3
Д0 4" 4“
/г.
3 " 1 2
При а0 = 1 и aj = а2 = О,
„ и2. с __ л8 , п* , П __ п(п±Щ2п + 1)
ип — п , ол— з“Г2+6“ 6
При а0 = ах = 1 и а2 = О,
и„=я(л + 1); <?„
п (п + 1) (п + 2)
r+«2+'f/i =
i2-j-4! Л3,
Примерз. й„ = л2 (я + I)2 (2л + 1).
их = 12 = Лд, и2 = 180 = Л0 + 2j4j, й3= 1008= Л0 + 2.2Л! + 3-2.1Л2,
#4 = 3600=Л„+2 • 3i4j-f-3 • 3 -2Л2 и$ = 9900 == Aq -|- 2 • -f- 3*4* ЗЛ2 ~{~
+4.4.3.2Л3 + 5! A4,
Uq ==s 22 932 = Aq -f- 2 • 5AX -f- 3 '5 *4Л9 -f- -j- 4- 5• 4*ЗЛ3 -}- 5-5-4-3 ‘2A^ -f- 6! Л5. Отсюда: Л0=12; ^j = 84; Л2=110; Л3 = 46; Л4 = 7; A5 = -g-; Sn = 12ti + 84л (л — 1) -j- + 110л (л — 1) (л — 2) + 46л (л — 1)(я — 2) х X (л — 3) -f 7п (л — 1)... (л — 4) + -i- л (л—1)...
...(л —5). В даном случае формулу можно значительно упростить, так как правая часть ее допускает следующее разложение на множители:
с [п(я + 1) (л + 2)]2
з
Материал данной статьи был использован автором на факультативных занятиях в IX классе средней школы.
ИЗ ПИСЕМ И ЗАМЕТОК
М. И. ТЕНЕНБАУМ (г. Новосибирск)
О ТЕСТАХ НА ДОПОЛНЕНИЕ
В журнале № 3 за 1968 г. была опубликована заметка «Один из видов работы с учащимися», в которой авторы делятся опытом использования тестов на вписывание в ходе изучения учащимися функций. Их опыт, бесспорно, интересен и заслуживает внимания (причем не только при изучении функций). Но вряд ли он станет достоянием каждого учителя математики. Ведь карточка с тестом может быть использована всего один раз! Печатать же карточки типографским способом или на ротаторе, как предлагают авторы, т. е. достаточно большим тиражом, для школ недоступно.
Между тем существует способ, позволяющий использовать карточки не один раз, а
многократно. Этот способ на протяжении нескольких лет применяется в школах нашей области на уроках истории и обществоведения, с таким же успехом он может быть применен и учителями математики. Суть его в том, что все пропуски в тесте (мы его называем тестом на дополнение) нумеруются, а ответы ученик записывает на отдельном листе бумаги под соответствующими номерами. Если этот способ применить к образцу теста, предложенного авторами заметки, то карточка станет значительно меньше размером и будет выглядеть следующим образом:
Задание. Исследуйте функцию и начертите ее график в масштабе 1 ед.= (1) мм
Особенности графика
График пересекает ось абсцисс в точках
(2) 	, так как (3) , и ось ординат в точке (4) й так как (5) . График располо-
47


жен в (б) четвертях, так как (7) . Асимптоты графика (8) „
Основные свойства функции
Областью определения функции являются интервалы (9) . Функция изменяется от
(10) до (11) . Функция является четной
(нечетной, не является ни четной, ни нечетной) (12), так как (13) . Ее период (14). Нулями функции являются числа (15) ,
так как (16) . Она положительна на интер¬
валах (17) и отрицательна на интервалах
(18) . Функция возрастает на интервалах
(19) , так как (20) , и убывает на интервалах (21) , так как (22) . Наибольшего значения функция достигает при (23) ,
оно равно (24) . Наименьшее значение
функции равно (25) при (26) .
Поскольку одни и те же карточки с тестом ка дополнение используются много раз, то учитель может напечатать их на машинке или написать от руки.
Как же работать с тестом на дополнение? Каждый ученик получает карточку с тестом. Функция, которую он должен исследовать, записывается на доске, или берется из задачника по указанию учителя, или дается на отдельной маленькой карточке:
№ 17 у = — 2х2 -f- х -f- 3
Тогда ответы ученика выглядят так:
(1) Ю.
(2) (-1; 0) и (1,5; 0).
(3) Ордината точки пересечения графика с осью абсцисс равна 0, т. е. —2я2+я-Ь 3 = 0, откуда Х\ = —1, Х2= 1,5.
(4) (0; 3).
(5) Абсцисса точки пересечения графика с осью ординат равна 0, т. е. х = 0. При этом 0 = 3.
И так далее.
Б. А. МИЛОРАДОВ (г. Рыбинск)
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
После того как дано определение тригонометрических функций произвольного угла, теорему косинусов можно доказать следующим способом.
Пусть дан треугольник ABC и надо доказать, что
а2 = Ь2 + с2— 2bc cos А, где а,Ь,с — стороны треугольника, А — угол, лежащий против стороны а.
Построим прямоугольную систему координт так, чтобы начало ее совпало с вершиной А данного треугольника, а осью абсцисс была прямая с положительным направлением от точки А к точке С, и пусть вершина В находится в верхней полуплоскости. Проведем в треугольнике высоту ВВ{.
Тогда координаты вершин треугольника ABC будут Л(0;0), С(Ь; 0), В(х\у), координаты В1 (дг; 0) (см. чертеж).
В /\BB\C имеем а2= у2+ (6 — я)2 а в /\ABBi. у2— с2—х2. Складывая эти равенства и произведя известные преобразования, найдем: а2 = Ь2 + с2— 2 Ьх; по определе¬
нию косинуса любого угла л:: с = cos Л, т. е. х — с cos А, следовательно, получаем а2—Ь2+с2—26с cos Л, что надо было доказать
Таким образом, видим, что при доказательстве никаких ограничений на угол А не накладывалось: /. А мог быть острым, прямым, тупым.


ЭКСПЕРИМЕНТ
В. 	А. ГУСЕВ (Москва)
Из опыта введения понятия производной в средней школе
Настоящая статья имеет своей целью осветить экспериментальную работу по изучению темы «Производная», проводимую автором в различных школах и классах под руководством члена-корреспондента АН СССР Д. К. Фаддеева и доцента математико-механического факультета ЛГУ М. И. Башмакова (эксперимент, начатый в 1965/66 учебном году, продолжается и до настоящего времени).
Понятие производной, как известно, опирается на сложное математическое понятие предела функции. Обучение школьников в школах с углубленным изучением математики позволяет в той или иной мере знакомить учащихся с понятием предела функции и с некоторыми основными свойствами предела, а затем уже вводить понятие производной.
Знакомство учащихся с понятием производной начинается с вычислений, приводящих от средней скорости изменения функции на отрезке [л:0, л:0 + Длг| к первому представлению об истинной (мгновенной) скорости изменения функции в точке х0. Ясно, что здесь скрывается и наивное представление о предельном переходе. При этом представляется возможной запись V/([x0, х0 + A*])—» f'(x0) при условии, что Дл: неограниченно уменьшается, где V f([x^ х0 + Длс]) — величина средней скорости на отрезке [дг0, х0 + Ьх]9 а У*' (-^0) — величина мгновенной скорости в точке х0 этого отрезка. В этом случае можно употреблять и слово «предел». Однако дальше встает вопрос — либо заниматься пределами функции подробно и отложить вопрос о производной, либо начать изучать производную, не пользуясь теорией пределов.
Дело в том, что на практике почти во всех интересующих школьника случаях соотношение
Ит -№ + £>—О)
доказывается через установление неравенства
-■ *—1 < САх (2)
при всех Ах, не превышающих по модулю некоторого Л>0, т. е. |Дя|^Л, а С некоторая константа.
Задача нахождения такой константы С, при которой для всех |Ал:|^Л выполняется неравенство (2), логически проще и поэтому более доступна для понимания, чем задача подбора для каждого е>0 соответствующего ему 6(e), лежащая в основе общего определения предела функции, а тем самым и производной.
Если рассматривать функции, определенные только на отрезке [а, 61, то без большого ущерба можно считать их ограниченными. В этом случае ограничение |Дх|^Л излишне.
Следует отметить, что многие функции, имеющие производные в обычном смысле, не будут их иметь в смысле нового определения, однако такие функции не рассматриваются в средней школе, а тем более в VII—VIII классах, о которых в основном пойдет речь.
§ 1. НАГЛЯДНОЕ, НЕСТРОГОЕ ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ «ПРОИЗВОДНАЯ»
В данном параграфе приводится изложение материала эксперимента, проведенного в VII классе. Понятие производной появляется из традиционной физической задачи движения материальной точки, необходимости изучения скорости движения в некоторый момент времени. Далее выясняется, что это невозможно сделать средствами, которыми мы располагали. Для нахождения скорости в точке нам и понадобилось изучать производную.
Учащимся давалось определение средней скорости изменения функции на отрезке как


отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента.
Таким образом, средней скоростью изменения функции называем отношение
^,«■*1.
Такое определение оказалось доступным школьнику, оно внешне мало отличается от того определения скорости, которым он располагает из физики.
Теперь вспомним о той задаче, которую мы перед собой поставили. Нам надо найти скорость изменения функции в точке *o6Ui,*2]; т. е. производную в точке х0, что ассоциируется со скоростью движения точки в момент времени to. Какой же подход к решению этой задачи можно предложить? Попробуем уменьшать длину отрезка lxi,x2] так, чтобы точка Хо всякий раз находилась внутри отрезка, и посмотрим, что при этом происходит со средней скоростью.
Для ясности возьмем некоторую функцию, например у = х2, и будем искать скорость ее изменения в точке я = 2 на отрезке [1; 3].
Будем уменьшать длину отрезка [1; 3] произвольно, оставляя каждый раз точку-2 внутри отрезка:
К/([1;3]) = 4;
Vf ([1,6; 2,7]) = 7’29~2’56 = 4,3; Vf ([1)8; 2,3]) — 5’29~3'24 — 4,1: Vf([h8; 2,01]) = 4,043,24 = 3,81; ^([1,999; 2,01]) = 4’040-^(-'=-3-996001 = 4,009;
Можно продолжать уменьшение длины отрезка неограниченно, причем разными способами, например, оставлять точку 2 концом отрезка, а другой конец заставлять изменяться, приближаясь к 2’.
На вопрос, что же разумно принять за скорость изменения функции у = х2 в точке 2, учащиеся, по-видимому, должны сказать, что это есть 4. В нашем эксперименте это было именно так.
Итак, мы можем сделать вывод, что у всякой функции (во всяком случае, у функций, которыми мы к настоящему моменту располагаем) указанными способами мы можем находить приближения к мгновенной скорости с той степенью точности, которая нам требуется.
Описанный процесс можно применить к нахождению производной в любой точке обла¬
сти задания данной функции, т. е. можем получить формулы для вычисления значения производных в любой точке областк Пусть, например, надо найти мгновенную скорость изменения функции у = хъ& точке х0.
Рассмотрим отрезок U0, *о+Д*1 и :<5^дем уменьшать его длину, уменьшая Ах, и каж раз вычислять значение средней скорости.
т г /Г , Л 1ч (*0 + А*)3 — *0
Vf ([«^о» Хо “Ь A-я]) —
= 3x1 + Зх0&х + Ад:2;
V,{[x„ + Щ) - + -
2
-Зх1 + Зх0-?£ + (4f)2; v (\ ( Хо + Аг)3-х3°
vf{[x0, х0+ —J) = =
4
_3^ + 3x„^+(if)2;
V (\х -Г | “х Т)
,'Д|*о»*о + 1024 ]) дЗс
1024
-З^ + Зх,-—- +
Мы замечаем, что члены, содержащие Ах в выражении средней скорости, перестают практически влиять на величину 3x1 при неограниченном уменьшении Ах, а поэтому эту величину мы и принимаем за значение мгновенной скорости функции у = х3 в точке лго-
После нахождения непосредственным вычислением производных некоторых других
функций (например, у = х4, у =—, у = )
замечаем: каждый раз, когда нам удается в выражении для средней скорости изменения функции на отрезке U0, х0+ Ах] выделить часть, не зависящую от Ах; эту часть дальнейшем уменьшении Да: мы и принимаем за производную данной функции в точке Xq. Отсюда делаем вывод, что процесс нахождения производной можно упростить, свести к выделению в формуле средней скорости ч^- сти, не зависящей от Ах, а затем просто отбрасывать часть, содержащую Д*.
Рассмотрим функцию у = (х 7^ di !)•
50


Средняя скорость на отрезке [х0, х0 + AxJ будет

\г /г I л 1\ (-^о + Ал:)2—1 ^б-1
*0 + А*]) = — —Кх
xl— 1 — .г* — 2jr0A,v — Дх2 -f 1 Д* (^— 1) [(х0 И- Ах)2 — 1]  — 2х о — Ах
“ (4 — 0“ + С*о — J) (2х°Ах 'I" д*2) *
I ^ограниченное уменьшение Ах приведет к тому, что значения средних скоростей па соответствующих отрезках будут практически
— 2л'0
не отличаться от величины —5—которая
(4-1)2
принимается за величину мгновенной скорости функции у = -Дтг 3 точке ^o> иначе — за се производную в точке х0.
Весьма интересным и важным является вопрос о нахождении оценки \Vf(\x^ х0 + Ал:])-- — f'(x{))\, т. е. о нахождении оценки приближении значения мгновенной скорости в зависимости от длины отрезка |х0, x0+Ax|, т. е. от Ад:. Построение этих оценок уже совершенно узаконивает действие нахождения производной нашим методом.
В процессе проведения эксперимента мы, конечно, не ограничились введением произ- одной, а рассматривали на том же уровне и вопросы, связанные с приложением производной к исследованию функций и к построению их графиков. Эти вопросы, особенно в их наглядной части, усваивались учащимися и воспринимались ими с большим интересом.
} 2. ВОЗМОЖНОСТЬ СТРОГОГО ИЗЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ «ПРОИЗВОДНАЯ» БЕЗ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ
Желание сделать изложение данной темы ■юлее строгим приводит к двум возможностям. Одна из них — изложение понятия производной, не используя теории пределов,
фугая — поиски возможностей изложения производной традиционным классическим спо- обом.
Познакомимся с так называемым кон-
труктивным подходом к понятию производной.
Определение средней скорости изменения функции на отрезке совпадает с тем, которое )ыло дано выше, однако в отличие от преды- lyuiero рассматриваются более подробно
войства средней скорости.
1. Свойство средней скорости изменения Ьупщии
Теорема 1. Для того чтобы f (х), где jt£[a, pj, была строго возрастающей, необходимо и достаточно, чтобы для любых а и b (а<6), принадлежащих fa, (3J, выполнялось неравенство Vf{\a, 6])>0.
Необходимость. Пусть / (х) строго возрастает на [a, рJ. Тогда для любых а и Ь, принадлежащих [а, р] и а<^Ь, выполняется
неравенство / (Ь) > / (а), но тогда >
>0, а это и значит, что Vf(\a, £])>0.
Достаточность. Пусть V ([а, £])> 0, тогда но Ь>а, следователь-
и — ■ (I
но, / (/•>)> / (а) для любых а и b, принадлежащих [а, р|. Это и значит, что f (х) строго возрастает на |а, р].
Теорема 2. Для того чтобы /(х), где Л'£[а, р|, была лилейной функцией, необходимо и достаточно, чтобы ее средняя скорость была постоянной для каждого отрезка, содержащегося в [a, р].
Необходимость. Пусть /(х) — линейная функция, т. е. f (х) — сх -[- d, тогда
ТЛ /(-"чч (cb-\-d) — (са + d) c(b — а)
Vf{\a, b|) = ь— =с,
так как b Ф а w [а, Ь\с. [а, р]. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть Vf(\а, b]) = с при любом [а, Ь\ с fa, р]. Тогда с = -
причем это равенство справедливо и для любой точки х 6 \а, Ь\. Рассмотрим отрезок \а, jc], содержащийся в \а, Ь\, тогда
Vf([a, x\)-f(xlZfa— = c- Отсюда /(*)-
= сх — с а + /(а). Обозначим / (а) — са через d, а тогда / (л) = сх + d, т. е. f (х) есть линейная функция на [а, х]. Заметим, что f(a) = са — са + f (а), т. е. и в точке х = а значение / (л:) равно значению функции f(x) в точке а.
Теорема 3. Пусть задана функция f (х) на [а, р] и a<x, <р и пусть
найдется р такое, что V.(\a, лг,])>/?,
Vf([xly х.,|)>р,..., К,([*„_!, Р])>/>, тогда Vf(\a, Р|)>р.
Доказательство.
Такое неравенство эквивалентно следующему / («) ~ / (*i) + / (*i) - / (х2) + / (ха) —
-... + /(х„_1)-/(Р)>/;(а- •
— х3 -\-х2 — ... + х ' •


а это неравенство является следствием того, что
fUl + l) — f{Xj) ^
*1 +1 — -V/ ^ F
при любом 0 •</<[«.
Таким образо*м, исходя из неравенства, которое мы доказываем, мы эквивалентными преобразованиями пришли к условию теоремы, значит, утверждение справедливо.
2. Мгновенная скорость изменения функции
В § 1, где шла речь о пропедевтике введения понятия производной, много внимания было уделено вопросу непосредственного нахождения мгновенной скорости. Мы это проделали для наиболее простых функций, например для функции у = х2.
Если затем сравнивать значения средней скорости и мгновенной скорости изменения функции, то при рассмотрении \ Vf{\a, b\) —
—/'(•*) I» гле |a, b] принадлежит области определения функции / (х), а точка х —произвольная точка отрезка |а, bj, то можно заметить, что для рассматриваемых функций верно следующее неравенство \V,([a, b])~
— f (х)! С J Ь — а |, где С есть некоторая константа
Такая закономерность приводит нас к следующему определению производной, которое мы положим в основу всего дальнейшего изложения.
Определение. Пусть задана функция У — f (•*) с областью определения [а, р]. Функция /'(х) с той же областью определения [a, (3J называется производной функции / (х) в точке х, если при надлежащем выборе константы С для всех х£[а, Ь\ с [а, р] выполняется неравенство | Vf ([а, Ь\) — /'(•*))< <С(& — а), причем С не зависит ни от отрезка [a, bj, пи от выбора точки х.
Приведем некоторые свойства функций, имеющих производные, следующие непосредственно из данного выше определения.
1) Ограниченность f (х) при •*€[<*, Р]. Запишем основное- неравенство для отрезка (а, х\:
|1/,([<*, *]) — /'(х0)| =
откуда
I f(x)-f (а) - f (Х0) (X - а)1 < С (х - а)2,
1 Для функции у = х2 справедливость такого не¬
равенства будет установлена несколько позже.
а тогда
1/(*)|<1/(«)1 + 1/'(*о)11*--»1+
+ С(*-а)’<|/(а)| +
+ I /' (-^о) IIP а | + С (Р — «)2 = М,
где М не зависит от х.
2) Ограниченность /' (х). Запишем основное неравенство для всего отрезка |<2, £]: |/(P)-/(«)-/,W(P-a)|<C(P-a),’ откуда
I f (х) j < С (Р - а) + (а)-1 - М,
где М не зависит от д:.
Несложно доказать также ограниченность средних скоростей f (х) и f'(x).
3. При меры
1) Проверим, что функция у = х2, где х б [a, Р], дифференцируема и ее производная равна 2л\ Нам приходится как бы угадывать производную, но для этого у нас есть все возможности, если вспомнить § 1. В дальнейшем ды получим простые правила для вычисления производных. Итак, Vf([at 6]) =
= ~ir-l == ^ + Л, где [а, г>] С (а, Р]; /' (Jf0) = = 2^0, где д:0€[а, 6] с [a, pj. Тогда:
|Vf{[a, b\) — 2л:0| = 16-f a — 2л01 =
= \Ь — х0 + а — х0\ <\Ь — лг0| + \ а — *0|< < 16 — а\+,\Ь — а\ = 2\Ь — а\.
Итак, мы показали, что для любого отрезка [а, Ь\ с: [a, pj и любой точки л0€[а, Ь\ выполнено неравенство
\Vf{[а, Ь\) — 2л'01•<216 — а|.
Это и доказывает, что производная функция х2 раина 2х.
2) Покажем, что функция у = |л:| на отрезке 1-1.1] не имеет производной. Пусть мы нашли требуемую функцию f'(x) и константу С. На ] — х, 0], где Л'>0, запишем основное неравенство
/ (0) / ( х) у, J
-\~i-rm<c\x\.
На [0, х] основное неравенство имеет вид:
Отсюда следует, что расстояние между точками — 1 и -fl ие превосходит числа 2С\х\ при любом положительном х, но этого не может быть, так как это расстояние равно 2, а 2С|л;| может быть сделано меньше 2.


4. Единственность производной
Теорема. Функция не может иметь двух разных производных в одной точке.
Доказательство. Пусть задана функция f (х) на отрезке [a, (3] и пусть f\{xQ) н /2(^0) лве различные производные функции / (х) в точке х0. Можем записать
| VfQa, *J)-/i(-«o)|<Ai(6-a)
И
b\)- f'2{x0)\^k.2(b-a),
где \a, b} а [a, p] и x0 — любая точка из fa, b\. Рассмотрим следующую разность:
| f\ (*„) - А (Хо) 1 = 1 /,' (х0) + vf (fa, b\) - -Vf(\a, *])-/,'(•*«,) |- = |(Vf([a, Ь])-Г2(х0))- ~(Vf([a,bl)-f[(x0))\<
<\Vf([a, b\)-f'2(x0)\ +
+ \Vf([a, b\)-f[{xQ)\Kk{b-a),
где k = -f- k2.
Напомним, что k есть некоторая фиксированная константа, которая не зависит от отрезка [а, Ь\ и от выбора точки х0. Так как отрезок |а, Ь\ мы можем выбирать произвольно, то можно добиться, чтобы k (b — а) было сколь угодно малой величиной. Например, если взять как угодно малое число е^>0, то можно добиться выполнения неравенства k(b — а)< е.
Итак: какое бы малое число е>0 мы ни ззяли, выполняется неравенство |/i(-V0)— — f\ (*о) | < е, но так как /[ (х0) и /' (*„) — некоторые числа, то это неравенство может быть выполнено толбко, если /,' (дг0) = f2 (лг0), а это противоречит нашему первоначальному предположению; значит, производная единственна.
5. Теоремы о производных
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, будем говорить, что функция / (х) принадлежит классу дифференцируемых на отрезке [a, (3J функций, если она имеет производную в каждой точке этого отрезка, и обозначать этот факт будем так: /(х)£
€: А«. Р1-
Теорема 1. Пусть f (х) и g(x) две функции, заданные на отрезке fa, р] и /(•*)€ A*. Pi и £Ч*)€А«. Р1» тогда сумма этих функций f(x) + g(x) также дифференцируема и
(/ (*) + 8 Сх))' = /' (х) -I- gf (х).
Доказательство. Так как f(x)£ €А«, pi 11 g(x)€Ditt,p], то существуют константы С, и С., такие, что
I^,([а, Ь\)-/'(х)\^С(Ь -а)
И
\Vg([ a, b\) - g'(x)l < C(b - а),
где С = min {С,, С.,}. Тогда \V f(\a, Ь])-\- + Vg{\a, b\)-f'{x) - g’{x)\ <2C(b - a). Подставив выражения для средних скоростей и заметив, что
ь--а = 1//+й-([Я, Ь\),
получим
\Vf+s({a, b])-{f{x) + g'{x))\^2C(b-a).
По определению производной функция f{x) + g{x) будет дифференцируема и (/ (х) + g (а*))' == /' (х) -|- g' (л), т. е. производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных.
Теорема 2. Пусть /(a:)€A«.w и £(х)£ € А«. Р1> тогда произведение функций f (x)g(x) также принадлежит А«. и и (f(x)j?(x)Y = -f'(x)g(x)+g'(x)/(x): ”
Доказательство. Рассмотрим х£
(Е fa, b\ с ja, pj и запишем модуль разности между средней скоростью изменения функции f(x)g{x) и ее производной.
lvfe(la, 6l)-(f(x)g(x))'\~.
f (Ь) g(b) — f (а) g (а) __
b — а
- (/' (*) g (x) + g' (x) f (X)) I. Прибавив и вычтя в числителе выражения b\) по / (a) g(b), получим l^,((a. b\)g{b) + Vg([a, b\)/(а) - — f'(x)g(x) — g'(x)f(x) |< <1^/([в. bl)g(b)—g(x)f'(x)\ + + \Vg(\a> *!)/(«)~f(x)g'(x)I = = \Vf([ a, b\) g (b) — g (b) f (jc) +
+ g{b)f,(x)--g(x)f,\x)\ +
+ \V g (fa, b])f (a) — / (a) g' (x) -f- + / (a) S' (•*) — / (a*) g' (л) I
b\)-f'{x)\ +
+ \f'(x)\\g(b)~ ^(x)| +
+ l/(a)ll^([e. ^])-g-'W|-f- + k'W||/(a) — /И|.
Рассмотрим подробно первые два слагаемых: \g(b)\\Vf([a, *])~/'(x)|<
<\g(b)[ С1(6-в) = ЛГ1(*-в),
53


где Мх = Cx\g(b) |,
l/'WlkW-^WKATCa^-jcX < К С2 (Ь — а) = М2 (Ь — а),
где М2 — К С.2, постоянная К появляется из ограниченности производной, а С2 — из ограниченности средних скоростей. Аналогично найдем еще две оценки:
I /(а) 11 Vg([a, b\)-g'(x)\<M3(b-a)
И
\g'(x)\\f(a)-f(x)\<M4(b-a). Окончательно будем иметь:
I Vfg ([<*. Ь\) - (/' (х) g (х) + g' (х) / (х)) | <
а)-
^(М1 + М2 + М3 + М4)(Ь = М(Ь — а), где М = Мг + -М2 + Мг + М4.
Итак, мы доказали, что произведение дифференцируемых функций дифференцируемо и (f(x)g (х)У = /' (х) g (х) + g' (х) / (х).
Теорема 3. Пусть g(x)£D|„, pj и для любого *€[<*.И £■(-*)=£() и |g-(A-)|>C>0, тогда функция
также принадлеж ит Dla, Р) и =
g(x)
S’ U)
~~ (8 (-«))* ’
Доказательство. Рассмотрим [а, Ь\ с [а, (3] модуль разности
g'(x)
для
V±([a, Ь\)
. I g(a) — е (Ь)
( g'ix) \|
\ (g (*))* ) I
I g' (*) I
(b — a) g (b) g (а) - Vg(la. Ь})
g (b)g (а)
Vg da’ *]) g' (х) I ^ (g(x)y |^'
g’ (•*)
+
(g (х)У g’(x)
g (b) g (a) +
(g (x)f g' {x) —
VgiU, *1)1
I g (b) g (a) I g' (x)
+
g (b) g (a) (g (*))!
Рассмотрим отдельно каждое слагаемое
\gr (X) — Vg([a, b])\ ^ 1 1
где Mx станта, £ A«. pj.
l£ (*)^(^)|
X Cl(b — a) 1 1
<
X
г WI kWl M^b — a),
•Cx, где Cj — KOH-
I gib) I I g (я) I следующая из условия, что ^(х)б
g' (х)
g’(х) I
X
g (b) g (a) (g (x))1 | 1^ I X
I g(b)g (a)7 (g (x))* ' I W)2 ~s{b)g (a) I < 1
1
<
\g(b)g(a) |
■U'Mlx
X(g(W —^(a)| +
+ I £ (a) I k (a-) — £(&)|)<Л*4(& — a), где M2 есть выражение, полученное после вынесения b — а за скобку, при этом учитываем, что |g(x) — g(а)|<C2(b — a), a |£(.*)- — £ WI C3 — а), так как средняя скорость изменения функции g(x) есть величина ограниченная.
Итак, имеем, что
g' (х)
<М,(Ь — а) -{-
+ М2 (Ь — а) = М (Ь — а), где М = Мх -J- М2, а это и значит, что функ 1 дифференцируема и ^ — —8'^
ция
g{x) Замечание.
g(x)J (g(x))* • дать такой нестро-
Можно
гий вывод:
(*w-шУ -г'м- (ш)‘+т *' w - "■
отк>'да (гкУ Щ--
Следствие.
/'(*)•
1
+
f(x)g’(x)
g (-«) (jf))’
Г (x)g{x)-g> (x)f{x)
(g (X))*
где /(*)€A«,m h и gW^O ни
при каких дг^[а, pj.
В заключение этого пункта надо отметить, что в идейном отношении доказательства теорем о производных произведения и частного очень просты, хотя и содержат довольно громоздкие выкладки, но и в классическом анализе вывод формул дифференцирования произведения и частного тоже сложен.
6. Применение производной к исследованию функций
Теорема 1. Пусть f(x)£Dla, и возрастает на fa, pj, тогда в любой точке области определения /'(^)>0.
Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть найдется точка х0 на отрезке fa, pj, такая, что f(x0)<0. Пусть х()€\а, b\c=ja, pf. Напишем основное неравенство ll^fa, £|) — /' (л:0)| (6 — а), тог¬
да f'(x0)-C(b-a)<CVf(la, b])<£f'(x0) + -f- C(b — а). Можно подобрать такой отрезок [лгр х2], что f'(x0)+ С(х2~ л,)<0, где х0€[х„ x2J. Но тогда и Vf([xu л*2])<0, однако это противоречит условию теоремы
54


о том, что функция f (х) возрастает на всем отрезке [a, pj. Это противоречие и доказывает теорему.
Теорема 2. Пусть /(•*)££>,“• р) и /(х) убывает на отрезке [а, р|, тогда в любой точке отрезка /'(х)<0. Доказательство этой теоремы ничем не отличается от предыдущей, поэтому мы его не приводим. Однако можно сделать проще: — / (л:) £ А*. Р1> н0 ~ f (х)
возрастает на fa, р], а тогда (— /(лг))'>0, откуда /'(.*:)-< О.
Теорема 3. Пусть в любой точке *€[<*. Р] //(а)>0, тогда функция / (х) возрастает на отрезке [a, pj.
Доказательство. Предположим противное,' т. е. что найдется отрезок [а, Ь\ с С (а, р| такой, что на нем функция f (х) убывает, тогда Vf(\a, £])<0. Из основного неравенства имеем, что /'(.v) <1/^(1 а, Ь\) + -(-С (Ь— а), где xd[a,b\. Докажем, что V f{\a, b\) + С (Ь — а) может быть отрицательной. Для этого разобьем отрезок [а, Ь\ па п равных частей.
Пусть отрезок Д/ = fлг/э такой, что
I/,(Д/)</7, и пусть х0£М, тогда \Vf(M) —
и
/'(*о)<Vf(д0 + С<Р+С
если п > — cjyrrzy то /' (*о) будет отрицательна.
Таким образом, можно так выбрать отрезок \а,Ь\, что Vf(\aib]) + C(b — a) будет отрицательно, а тогда получаем, что f'{x) тоже отрицательна, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие и доказывает теорему 3.
Теорема 4. Пусть /(x)£Z)(a,pl и в лю- оой точке [а, Р| /'(л:)<0, тогда / (х) убывает на отрезке [а, (3J. Доказательство этой теоремы аналогично предыдущей.
Теорема 5 (Ферма). Пусть /(х) £ Z),a, Р) п пусть в некоторой внутренней точке х0 отрезка [а, р] функция / (х) имеет экстремум, тогда f'(xQ)=*0.
Доказательство. Пусть в точке х0 функция /(х) имеет максимум.
Рассмотрим отрезок [a, b|, содержащийся в [а, (3| и содержащий точку л*0 такой, что в силу того, что в х{) функция имеет максимум, для всех х из отрезка [а, Ь\ выполнено f(x)<f(x0).
Предположим, что /'{хп)ф 0. Пусть Выпишем основное неравенство
для отрезка [х0, b] / Vf ([х0, Ъ]) — /' (х0) J < < С | b — х0 (, отсюда
f'(Xo)-C\b-x0l<Vf(lx0,b]).
Мы можем так подобрать точку b, чтобы Vf([x0, b\) было положительно тогда / (6)> > / (х0), а это противоречит условию теоремы, значит, наше предположение неверно, и в точке х0 f'(xо) действительно обращается в 0.
7. Дальнейшее развитие темы
В предыдущих шести пунктах мы довольно подробно осветили все те вопросы, которые необходимы для овладения аппаратом дифференциального исчисления, Весь изложенный материал был проверен при работе в восьмых классах школ с углубленным изучением математики. Заметим, что он включает в себя почти все пункты новой программы из раздела «Начала анализа». Однако для полноты изложения скажем несколько слов о дифференцировании некоторых других элементарных функций.
1) Найдем производную функции у = sin х. Областью ее определения являются все вещественные числа.
Докажем утверждение: производной функции у == sin х в любой точке х0 отрезка
£—-?rj является cos х0. Прежде чем
переходить к доказательству нашего утверждения, необходимо проверить справедливость следующей леммы.
Лемма.. Если -у->л:>0, или ^
то имеет место неравенство:
| sin д: | < | х | < | tg л: |, откуда cos х < < 1,
так как на указанных интервалах cosx и
принимают только положительные значения. Доказательство этой леммы можно найти во многих учебниках по математическому анализу.
Перейдем к доказательству сформулированного выше утверждения.
Рассмотрим произвольный отрезок [хь х2], содержащийся в отрезке £ -^-J, и точ¬
ку х0 любую внутри \хи х2].
Так как утверждается, что cosx0 есть производная функции sin л; на отрезке
в точке x0i то согласно опреде-
55


леиию производной должно выполняться следующее неравенство:
\v *2]) ~ /'(*0) I < СI *2 - хх\, т. е.
Slnt'2~ cos *01 < С | л:2 — ^ |,
Х2 — Хх
cos х0
X2 — Xi х2 -г Хх
2 sin г* cos о
COS
Xi + х2
sin
х2 — х1
■Xi
COS Хк
COS X*
По доказанной выше лемме
Х2 — X j
Хп — X1
COS <С
sin-
<Ь
2
Но тогда, если выражение под знаком модуля обозначить через А, то должно выполняться одно из двух возможных неравенств:
cos
Х2 — Х\ Х2 -f Х\
— cos —^Ц—-
X 2 + XJ
2
— cos х0<^А<^ cos
cos ■
2 COS Xq,
cos xQ < A <[ cos -*2 ~ Xl X
Xcos ■
2
cos x0.
Таким образом, задача сводится к получению нужной нам оценки для правой и левой части.
Рассмотрим
х2 + хг
cos-
COS хп
= 2
sin •
+ Xq
sin
sin
. х2 4- х0
. Xj — х0
sm —5
+
sin «2
X
X
sin
xx + x0
<~2~ \x2
*ol +
Xi — X1
где С — некоторая константа.
Проверим, будет ли это действительно так:
sin х2 — sin Х\
Таким образом, мы получили требуемую оценку, а следовательно, наше утверждение верно.
2) Найдем производную логарифмической функции. Мы хотим доказать следующее
утверждение: (In х)' =
Для вывода формулы дифференцирования логарифмической, функции мы пользуемся тем, что натуральный логарифм от произвольного х > 1 есть площадь под гиперболой2, т. е. заштрихованная площадь есть натуральный логарифм х (черт.^1).
Рассмотрим две произвольные точки хх и х2 на оси Ох (х2 > X\ > 1, черт. 2).
Из понятия натурального логарифма как площади под гиперболой следует, что
(х2 — хх) ~ < In *2 - In < (х2 -Xi) 1 х2
Xi1
откуда
4-<
In х„
X, — X
In Xt _L
^ V
(3)
Но вернемся к тому, что нам нужно доказать, т. е. что (In х)' =ь т. е. мы должны показать, что для любой точки х0 из от-
резка [jCj, х2\, произвольно выбранного из области л>1, выполняется неравенство
<2
Х2 -J- Xt
2 х° *
•1 <1*2 ~ *1 |.
1пдгг — 1пл', 1 Х2 — X, х0
<с\
х2 хх\.
2
В силу полученного
выше
неравенства (3)
Рассмотрим теперь левую часть
мы можем записать, что
х2 — X1 Х2 “f- X1
COS COS —
COS X(
x2
In X2 — In X1
•*0 ^ X2 — Xt
X0 <'' Xi x„'
I COS x2 + COS xt
<
[ COS x2 — COS x0
— cos x0
cos xt — cos x0
2
2 Смотрите, например, статьи в журнале «Математи ка в школе»: А. И. Маркушевич, «Логарифмиче ская и показательная функции в средней школе», 1965 № 3; Р. А. П о г о с я н, «Опыт изучения логарифмиче ской и показательной функции в восьмнлетней школе» 1969, № 3,
56


Оценим отдельно правую и левую части
_1_
_1_
_1_
*0
X,
I *1*0 I
| Xq Х2 I
2Л0 I
<\х2-х1\, -<1*2-*! |.
Таким образом,требуемая оценка получена, и тем самым мы доказали, что (1пл;)' = —.
Рассуждения для случая 0 < х < 1 вполне аналогичны предыдущим.
Размеры ’ статьи не позволяют затронуть важные вопросы данной темы: производная суперпозиции и обратной функции, теорема
Лагранжа и т. д. Однако все указанные вопросы с успехом могут быть доказаны, основываясь на данном выше определении.
Мы показали, пусть схематично, каким образом может быть формально строго изложена тема «Производная» без использования теории пределов, функций.
Помимо простого желания получить изложение производной, не обремененное теорией пределов функций, ставилась основная задача дать в руки школьнику VIII класса аппарат дифференциального исчисления, полученный лишь на основе известных учащемуся VIII класса фактов.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
И. С. ПЕТРАКОВ (Москва)
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ
С 8 по 22 июля на родине знаменитого математика, одного из основателей неевклидовой геометрии Яноша Больяи проходила XII Международная математическая олимпиада учащихся средних школ. Элементы геометрии Лобачевского — Больяи вошли и в эмблему олимпиады. ^
В олимпиаде приняли участие команды Австрии, Англии, Болгарии, Венгрии, ГДР, Голландии, Монголии, Польши, Румынии, СССР, Франции, Чехословакии, Швеции, Югославии.
Команда СССР была сформирована из победителей IV Всесоюзной математической олимпиады; руководитель делегации доцент М. И. Серов, заместитель руководителя И. С. Петраков. В состав команды вошли:
Александров Алексей — ученик IX класса школы-интерната № 45 при ЛГУ, получивший на Ленинградских городских олимпиадах 1967—1969 гг. первые премии, в 1970 г. — II премию; первые премии на Всесоюзных олимпиадах 1969 и 1970 гг.
Альтлейс Велло — ученик XI класса Ныосской средней школы Тартуского района Эстонской ССР, получивший первые премии в 1969 г. на олимпиадах г. Тарту и Эстонской республиканской олимпиаде, а на Всесоюзной математической олимпиаде — похвальный отзыв I степени; в 1970 г. — первые премии на городской г. Тарту и Эстонской республиканской олимпиадах и II премию на Всесоюзной олимпиаде.
Климов Аркадий — ученик X класса школы-интерната № 18 при МГУ (из Арзамаса), получивший
в 1965—1968 гг. первые премии на Арзамасских городских олимпиадах по математике и физике; в 1968 г. —
I премию на Всесоюзной математической олимпиаде и
II премию на Арзамасской областной физической олимпиаде; в 1969 г. — I премию на Московской городской математической олимпиаде, II премию на Всесоюзной математической олимпиаде и диплом III степени на XI Международной математической олимпиаде в Бухаресте; в 1970 г. — первые премии на Московской городской и Всесоюзной математических олимпиадах.
Копылов Павел — ученик X класса школы № 58 г. Воронежа, получивший на областных воронежских олимпиадах в 1966 г. I премию по седьмым классам, в 1967 г. — III премию по восьмым классам, в 1968— 1970 гг. — первые премии соответственно по восьмым- десятым классам; на Всесоюзных олимпиадах в 1968 г. —- похвальный отзыв II степени, в 1969 и 1970 гг. — третьи премии.
Кор люков Александр — ученик X класса школы-интерната № 18 при МГУ (из г. Гродно). В 1967 г. он получил I премию на Гродненской городской математической олимпиаде и II премию на городской физической олимпиаде, III премию на областной математической олимпиаде; в 1968 г. — первые премии на Гродненских городских математической и физической олимпиадах, II премию на областной математической олим- - пиаде; в 1969 г. — I премию на Московской городской математической олимпиаде и III премию на Всесоюзной математической олимпиаде; в 1970 г. — похвальный отзыв на Московской городской и II премию на Всесоюзной математических олимпиадах.
Линецкий Александр — ученик X класса школы Кя 27 г. Харькова. В 1967, 1968 гг. он получил первые премии на Харьковских областных олимпиадах; в 1968 г. — I премию на Украинской республиканской и III премию на Всесоюзной олимпиадах; в 1969 г. —
III премию на Харьковской областной, II премию на Украинской республиканской математических олимпиадах; в 1970 г. — I премию на Харьковской областной, III премию — на Украинской республиканской и II премию на Всесоюзной математических олимпиадах.
Семеньков Сергей — ученик X класса школы- интерната № 45 при ЛГУ, в 1968—1970 гг. получил первые премии на Ленинградских городских математических олимпиадах, в 1970 г. — II премию на Всесоюзной математической олимпиаде.
Ходулев Андрей — ученик X класса школы-интерната № 18 при МГУ (из г. Калинина). В 1966 г. он получил I премию по пятым классам на Калининской городской математической олимпиаде, в 1967 г. — первые премии по седьмым классам на Калининских го¬
57


родской и областной математических олимпиадах,
в 1968 г. — первые премии по седьмым классам на городской и по восьмым классам на областной математических олимпиадах, III премию — по восьмым классам на Всесоюзной математической олимпиаде, диплом победителя на всесоюзных телевизионных физико-мате- •матической и астрономической олимпиадах, грамоты за
II место по седьмым классам и IV место по восьмым классам на Калининской городской олимпиаде по русскому языку; в 1969 г. — II премию на Московской городской и I премию на Всесоюзной математических олимпиадах, диплом II степени на XI Международной математической олимпиаде в Бухаресте; в 1970 г.—
III премию на Московской городской и I премию на Всесоюзной математических олимпиадах.
23 июня советские участники XII Международной математической олимпиады собрались в Горках Ленинских в экспериментальной школе-интернате АПН СССР памяти В. И. Ленина на двухнедельный тренировочный сбор. Учащиеся отдыхали, купались, набирались сил. Не забывали и о занятиях математикой. Здесь они лучше познакомились с задачами международных математических олимпиад, с порядком проведения олимпиад.
В Венгрии руководители делегаций отобрали задачи для соревнований, отредактировали их, перевели на родные языки и размножили в количестве; достаточном для вручения каждому участнику своей команды. Жюри, как обычно, определило максимальное число очков за каждую задачу.
13 и 14 июля состоялись соревнования. В каждый из дней участники получили на 4 часа по 3 задачи.
1. Дан треугольник ЛВС, М — внутренняя точка стороны АВ. Пусть г\, г2, г — радиусы окружностей, вписанных соответственно в треугольники АМС, ВМС, ABC; pi, р2, р — радиусы окружностей: а) лежащих внутри угла АС В, б) являющихся вневписанными со- ответственно для треугольников АМС, ВМС, ABC.
_ гх г 2 г
Доказать, что ——■ ~ = ■—.
Pi Р2 Р
(Польша, 5 очков)
2. Пусть а, b и п — натуральные числа, большие единицы. Числа а и Ъ являются основаниями двух систем счисления. Числа Ап, Вп имеют одинаковое представление хпхп-\ X\Xq в системах счисления с основаниями а и Ь, причем хп ф 0, xn_i ф 0. Числа, получившиеся после вычеркивания первой цифры хп, будем называть Ап-ь Вп_\.
Доказать, что а > b тогда и только тогда, если
(Румыния, 7 очков.)
3. 	Последовательность действительных чисел а0, аи ..., аПу ... удовлетворяет условию
1 = а0 ^ ах ^ ... ^ ап ^ .... (1)
Последовательность Ьи Ьп,... опреде¬
ляется так:
ft=l * ^ аЬ
Слева направо: А. Линецкий, А. Климов, В. Альтлейс, А. Александров, А. Корлюков, М. И. Серов, С, Семеньков, И. С. Петраков, А. Ходулев, П. Копылов.
Фото главного редактора журнала «Альфа»» (ГДР) Лемана
58 .


Доказатьг а) 0 ^ Ьп < 2 для всех п, б) для данного с, такого, что О ^ с < 2, существует последовательность Яо, «1, ап, ... удовлетворяющая условию (1), такая, что Ьп> с для бесконечного множества индексов п.
(Швеция, 8 очков.)
4. Найти все положительные целые числа п, обладающие следующим свойством: множество {п\ п 4-1; /2 + 2; я + 3; п + 4; /г + 5} можно разделить на два множества так, что произведение всех элементов одного из них равно произведению всех элементов другого.
(Чехословакия, 6 очков.)
5. В тетраэдре ABCD DB ± DC и основание перпендикуляра, опущенного из D на плоскость треугольника ABC, совпадает с ортоцентром этого треугольника. Доказать, что (АВ + ВС + АС)2 ^ 6(AD2 + BD2 + CD2). Для каких тетраэдров имеет место равенство?
(Болгария, 6 очков.)
6. На плоскости заданы 100 точек, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Рассматриваются все возможные треугольники с вершинами в этих точках. Доказать, что среди них будет не более 70%
остроугольных треугольников.
(СССР, 8 очков.)
Среди задач, присланных странами-участницами, были и другие. Например:
1) В треугольнике ABC обозначим через В' и С'
середины сторон АС и АВ, а через Н — ортогональную проекцию точки А на сторону ВС. Доказать, что окружности, описанные около треугольников А В'С', ВС'Н и В'СН, пересекаются в одной точке М и прямая НМ разделяет отрезок В'С' пополам.
(Франция.)
2) Даны действительные числа иг, и2,...,иЛ
и vv Доказать, что
/=1
При каких условиях достигается равенство?
(ГДР.)
3) 	Доказать, что последние две цифры в деся¬
тичной записи чисел 9э9 и 9
q99
одинаковы.
(Австрия.)
4) Пусть Е точка стороны АВ квадрата ABCD, для которого АЕ = -g-АВ. PQ, Pv Р2,... такая последовательность точек периметра, которая обходит квадрат в направлении ABCD (бесконечно
много раз), и для каждого i Pi Р/+, — -тр АВ. Если
Р0 = А или Р0 = Е, то Рп = Р0 для некоторого п. Возможно лч Рп = PQ и для другой точки отрезка АЕ?
(Голландия.)
5) Пусть А1А2...А2П — правильный многоугольник, К — вписанный круг и Р — точка окружности /С. Если ац = ^ AiPAi + Л, где i = 1,..., п, тогда
п
SCOS
tg2 at = 2п i -1 Sin
(Бельгия.)
Наша команда прибыла в Будапешт 9 июля вечером- 10 июля в день заезда всех делегаций мы самостоятельно осматривали город, его дворцы, многочисленные памятники героям венгерского народа. Особенно большое впечатление произвел на всех памятник Тысячелетия на площади Героев и памятник Освобождения, построенный в память погибших в Венгрии Советских воинов-освободителей.
11 июля все участники олимпиады переехали в г. Кестхель, расположенный на берегу озера Балатон. После соревнований, с 15 по 18 июля учащиеся отдыхали, играли в различные спортивные игры, посетили г. Хевиз, где ознакомились с горячим лечебным грязевым озером. 17 июля была совершена пароходная экскурсия в г. Бадачонь.
Пока учащиеся отдыхали после соревнований, руководители делегаций и их заместители проверяли работы. Следует отметить весьма четкую организацию работы жюри и координаторов. Среди венгерских координаторов были хорошо известные нашим читателям четырехкратные участники международных олимпиад Ласло Л о в а ц и Ежеф Пеликан.
18 июля состоялось заключительное заседание жюри. Было решено наградить дипломами I степени участников, набравших от 37 до 40 очков; дипломами II степени — участников, набравших от 30 до 35 очков (36 и 29 очков никто не набрал); дипломами III степени— участников, набравших от 19 до 28 очков. Кроме того, было решено присудить несколько специальных дипломов за оригинальное решение отдельных задач. Немецкий школьник Вольфганг Бурмайстер, участвовавший в олимпиаде в четвертый раз, получил специальный диплом за решение задачи № 3. К сожалению не представляется возможным изложить это решение в данной статье. Он решил задачу в духе теоремы существования, не строя фактически последовательности. По общему мнению, решение Бурмайстера является небольшим научным исследованием математика. За решение задачи № 4 специальные призы были присуждены чехословацкому школьнику Антону Черни, немецкому — Олаф Бёме, венгерским — Ласло Лемперту и Ружа Имре, а за задачу № 6 — венгерским школьникам Баймоцы Эрвину и Ружа Имре.
19 июля все переехали из Кестхеля в Будапешт, а 20 июля состоялись дневная и ночная экскурсии по Будапешту. Участники олимпиады осмотрели город, красивый ансамбль Венгерского парламента, побывали на знаменитом в Венгрии и ее истории острове Маргит, где вечером любовались многоцветным фейерверком фонтана, совершили поездку на тору Геллерт к памятнику Освобождения, посетили наиболее старую и очень интересную часть города — крепость «Рыбацкий Бастион». А 21 июля состоялось вручение дипломов победителям, закрытие олимпиады и ночью советская делегация отбыла на родину.
Дипломы первой степени получили:
Бурмайстер Вольфганг (ГДР)—40 очков, Ружа Имре (Венгрия) —40 очков, Ходулев Андрей (СССР) — 40 очков, Баймоцы Эрвин (Венгрия) — 39 очков, Климов Аркадий (СССР)—39 Ьчков, Сильвермен Бернард (Англия)—39 очков, ГонЧзы v Иштван (Венгрия) — 37 очков.
Диплом второй степени получили:
Александров Алексей (СССР)—35 очков, Берчану Барбу (Румыния) —34 очка, Янкович Владимир (Югославия) — 34 очка, Фюреди Золтан (Венгрия) — 32 очка, Милин Лазар (Югославия)—31 очко, Создович Бра- нислав (Югославия)—31 очко, Шварц Дан (Румыния)— 31 очко, Херве Пепин (Франция)—31 очко, Шефтер Юрген (ГДР)—31 очко, Гологан Раду Николае (Румыния)—30 очков, Фельгенхауер Андреа ш (ГДР) —* 30 очков,
59


Дипломы третьей степени получили:
Бёме Олаф (ГДР) — 28 очков, Хенч Дамир '(Югославия) — 28 очков, Чирич Нинослав (Югославия) — 28 очков, Енч Томаш (ГДР)—27 очков, Освальд Петер (ГДР)—27 очков, Семеньков Сергей (СССР) — 27 очков, Янц Мирк (Югославия) — 27 очков, Стен Олаф Саломонсон (Швеция) — 26 очков, Димка Александру (Румыния) — 25 очков, Лемперт Ласло (Венгрия)— 25 очков, Попеску Драган (Румыния)—25 очков, Альтлейс Велло (СССР) — 24 очка, Димчев Милен Карамфилов (Болгария) — 24 очка, Андре Кабаннес (Франция) —24 очка, Корлюков Александр (СССР) — 24 очка, Кочзы Ласло (Венгрия)—24 очка, Терезиян Степан Агоп (Болгария)—24 очка, Проктер Джон (Англия)—23 очка, Жири Тума (Чехословакия)— 23 очка, Гонгигдорж Раднаасумбэрэлын (Монголия) — 23 очка, Раду Василе (Румыния)—23 очка, Штефан
Таблица 1
Номера задач и число получен¬
ных очков (в скобках — макси-
мально возможное)
Фамилия, имя участника
1(5)
2(7)
3(8)
4(6)
5(6)
6(8)
Александров Алексей . .
5
7
3
6
6
8
Альтлейс Велло
5
6
0
6
2
5
Климов Аркадий .....
5
7
7
6
6
8
Копылов Павел
4
6
0
3
0
2
Корлюков Александр . .
5
7
0
6
6
0
Линецкий Александр . .
1
4
0
6
6
0
Семеньков Сергей ....
1
7
3
6
2
8
Ходулев Андрей .....
5
7
8
6
6
8
Закалош (Чехословакия)—22 очка, Раиман Фреди (ГДР)—22 очка, Штефанеску Дан Каталин (Румыния)— 22 очка, Питер Ейгенрамм (Голландия) — 21 очко, Калдерон Илия Жак (Болгария)—21 очко, Едвардс Джонатан (Англия) — 21 очко, Фербер Стефан (Англия)—21 очко, Джон Францес Сигал (Англия)— 21 очко, Хелена Христова (Чехословакия) — 21 очко, Жан Эрик Христиан Готтлиб (Швеция)—21 очко. Боржак Петер (Венгрия)—20 очков, Жан Хакл (Австрия)— 20 очков, Рудольф Шварц (Чехословакия) — 20 очков, Бэти Чарльз (Англия)—20 очков, Закревски Марек (Польша)— 19 очков, Марк Лаборде (Франция)— 19 очков, Патрик Мер (Франция)— 19 очков, Граб Девид (Англия)— 19 очков.
Результаты решения задач советскими участниками приведены в таблице 1, общие результаты —в таблицах 2 и 3.
Таблица 2
№ задач и максимально возможное число очков (в скобках)
Число участников, получивших указанное число очков
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1(5)
/
61
2
0
4
19
26
2(7)
—
52
27
8
6
6
2
4
7
3(8)
6
3
2
3
1
7
2
4
84
4(6)
—
—
43
25
22
6
4
6
6
5(6)
—
—
42
3
4
8
11
8
36
6(g)
14
5
3
10
3
3
9
7
58
Таблица 3
Страны
Австрия . • , Англия . . Болгария . Венгрия . . ГДР ... • Голландия Монголия . , Польша . . , Румыния. . , СССР . . . , Франция . , Чехословакия Щвеция . . , Югославия . ,
Номера участников и число набранных ими очков
Общее
число
очков
Число полученных дипломов
1
2
3
4
5
6
7
8
I степени
11 степени
III степени
3
20
13
13
17
16
12
10
104
1
39
21
16
20
23
21
21
19
180
1
—
6
11
24
21
18
11
18
24
18
145
—
—
3
39
20
32
37
24
25
40
16
233,
3
1
3
28
40
30
27
27
22
31
16
221
1
2
4
10
15
12
21
16
4
4
5
87
—
—
1
6
7
23
10
8
11
7
6
78
—

1
12
12
12
15
8
13
14
19
105
—
—
1
34
22
18
31
23
25
25
30
208
—
3
4
35
24
39
15
24
17
27
40
221
2
1
3
24
19
19
31
12
9
3
24 .
141
•—
1
4
18
, 18
21
10
22
20
23
13
145
—
—
4
4
4
18
21
10
15
12
26
110
—
—
2
16
28
28
27
34
31
31
14
209
—
3
3
Решения задач XSI Международной математической олимпиады
1. 	Многие участники решали первую задачу, выражая площади треугольников ABC, АМС и ВМС через полупериметры, стороны и радиусы соответствующих вписанных и вневписанных окружностей. Мы приведем с небольшими изменениями решение дру¬
гого характера, более короткое, данное Климовым Аркадием.
Лемма. Пусть ABC = Р; ^ ВАС = а, О — центр вписанной окружности радиуса г, Ох — центр вневпи- санной окружности радиуса р (рис. 1). Тогда
60


Рис. 1
Доказательство. Так как ^ОБА <сОАВ — О А х 0,Д О В х 0,В, то
ЛВ = + /СВ =
•+-
tg
tg-
tg JLtg-i ё 2 5 2
С другой стороны,
ЛВ ■= AN + NB — Р tg ~Y + Р tg -j
Следовательно, г
tg _ tg Л- 2 2
Откуда —
(<s -I- + «г -I-) - с (tg + .г
«т'у
Рис. 2
Доказательство утверждения задачи. Пусть <t£CMB (рис. 2), тогда, по лемме,
±«|.
Pi 2 2
Так как *zCMA — 7, то, по лемме,
-7
/*2
р2
tgXtg“2
tg ctg -L
Перемножив эти равенства почленно, получим Гг.. Г2 =f_ Р to. Т
Pi
Утверждение доказано.
2. 	Приведем с небольшими коррективами решение Корлюкова Александра.
п п п-1
Хф*
к-0
*=0
/г-1
/г=0
Вfi—% -
k-Q
Значит, — Xn<in, Вп—г — Вп хпЬп.
Пусть а> Ь. Тогда ак > bk и JL < _L для любого
k > 1. Так как лг& > 0 для & == п и & = /г — 1 и^>0 для & — 2, то из последних неравенств следует,
п , л
/ 1 ]Л ^ V ■*«-*
I —- — — 1 < 0, а, значит, / . —
что
X хп.
*=0
•*' а*
<
•*я-А
ьк)
Отсюда следует, что
<
k=0
k—Q
2 xn-kan~k 2 хп-фп~и
к- 0
ап
.<
/гг=0
т.е. и. значит. £>£.
что
•*вд”
равносильно
<1
неравенству а последнее
Ап Вп
преобразуется к виду —< —Л_1
•П-П
Пусть
Вп
Проведя все
Вп
рассуждения в обратном порядке, получим
п ^
*=0
61


Так как *„_*><), причем хп^0 и хп-хф 0, то неравенство возможно только при я > Ь. Тем самым утверждение полностью доказано.
3. Приводим с небольшими изменениями решение Ходулева Андрея.
а) По условию 1, Значит,
< 1, а 1 — > 0, следовательно,
ciji #/г
V С1-
к-\ т. е. Ьп > 0.
ak
Докажем, что Ьп < 2.
ak—\ \
С ak ) У CLk
= 2 ^ ^k—1 ^ 2
1 _ "/г —«Л-i =
ак У ак ak ak~\
ak (2 У ак)
,У a k-
У <Чг-1 = 9
ак
У ак-
У ак
ак
По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом
У gft-i
ак
Отсюда
+ ■
1
У ak-i
у
У ак-1 ак
V
У ак
= 2]/. У^~г < _
Як
CLfo
Значит,
*.-2(
k — \
П
-2(-
к = 1
У ак-1 0-
«ft-
^/г
аЬ—\
У ak akY
ak
<
1
У ak—i
£=:1
1
\ /ak 1
ak
<
<
*=1
У «ft-1
= 211
/я*
= 2
Уао Уа„
У а„
<2.
б) Докажем, что последовательность ап = qn, q > 1 удовлетворяет условию задачи.
Действительно, о0 = 1; ак^ак-ъ так как q > 1. Преобразуем Ьт используя формулу суммы л членов геометрической прогрессии
_у л__£*=!.V-Д-
" " Ч а* ) -уаъ
S -
Л=1
*,->.( 1
*=1
7fc — 1
Г
У ак
)"Т7 ■£(1~т)'<71)*'
o-i)
1
fc=l 1-
Ygn j _
■(
> q
_ 1 \ = Уд + 1
У q) у q I qn> Я
nj q \ ^qn /
По условию С < 2, поэтому существует такое Af, что С < Л1 < 2 ^например, Л1 = ^.-~Ь ^ ^. Выберем q
так, чтобы
=iW. Это можно сделать. Действи-
(2)
тельно, тождественными преобразованиями из равенства — * = М получим Yq + 1 = Mq\ Щ —
— Vq — 1 = 0; y~q - 1±.^1 + 4Ai . Yq > 0, по-
2М
этому возьмем Vq
- l + Yl+Ш
2 М
Покажем, что
У q > 1, а значит, и q > 1. Действительно, преобразуем тождественно неравенство ^ > 1,
2М
1 + УI + 4М > ЧМ (так как М > С > 0);
— 2Л1 + /1 +4Л1 + 1 > 0,
— Ш + 2 /1 + 4М + 2 > 0,
— (1 + 4М) + 2/Т+1Ж + 3 > 0,
(3 — УТ+Ш) (1 + УТ+Ш) > 0. (3)
Так как 0 < М <[ 2, то 1 < + 4Л4 <3 и оба со-
множителя в неравенстве (3) положительны. Следовательно, неравенство (3) справедливо, а значит спра- ведливо и исходное неравенство, равносильное ему
.J-.jr ^ > 1, т. е. YЯ > 1» а значит, ^ > 1.
Покажем, что для найденного q существует АГ такое, что для п^> N &„ > С.
Тождественными преобразованиями неравенства Ьп> С получим
УГ9’ + 1
1-
1
/ qn
>С
ИЛИ
М
У qn
>С, 1
У qn
1 М — С
так как Af > С > 0, М2
м9^
М2
то > (ЛГ^С)*
« > l°g? щ — су N - ^
1Можно положить
-[■
. Iog<7 (iM — Cf Г Тем самым задача полностью решена.


решил задачу примерно
4. Альтлейс Велло
следующим способом.
Среди 6 последовательных натуральных чисел по крайней мере одно должно делиться на 5. Если эти числа обладают указанным в задаче свойством, то, значит, два из них делятся на 5. Такими числами могут быть только я и я + 5, т. е, л=>5Ли л + 5 = - Ьк + 5.
При k =* 1 имеем я = .5, но тогда число я + 2 = *=7— простое и содержится только в одном произведении. Следовательно,, равенство произведений невозможно. Значит, &>2 и я >10.
Покажем, что произведение любых двух чисел больше каждого из остальных. Для этого достаточно показать, что я (я -J- 1) > я -|- 5. Действительно, разность я (я 4- 1) — (я + 5) = я2— 5 при я >10 всегда положительна. Следовательно, я (я 4- 1) > я -Ь 5. Из этого следует, что каждое произведение содержит ровно 3 сомножителя. В таком случае имеется 6 возможностей объединения 6 чисел в 2 произведения, учитывая, что меньшее число я и большее я 4- 5 должны входить в разные произведения (вследствие их кратности числу 5).
1) п(п + 1) (я + 2) и (я + 3) (я + 4) (я + 5);
2) я (я + 1) (я 4- 3) и (я -j- 2) (я 4~ 4) (я -f- 5);
3) я (я + 1) (я Н- 4) и (я + 2) (я + 3) (я + 5);
4) п (я + 2) (я + 3) и (я + 1) (я + 4) (я + 5);
5) я (я 4- 2) (я 4- 4) и (я 4- 1) (я + 3) (я + 5);
6)п{п + 3)(п + 4) и (я + 1) (я +2)(п + 5);
Случаи 1) — 5) невозможны, так как каждый из
сомножителей второго произведения больше соответствующего сомножителя первого произведения, а следовательно, все второе произведение больше первого произведения.
Покажем, что и случай 6) невозможен. Пусть я (я -f 3) (я 4- 4) = (я + 1) (я 4- 2) (я 4- 5). Тогда я® 4- + 7я2 4- 12я - я8 4- Зя2 4- 2я 4- 5я2 4- 15я 4- 10, я2 + + 5я 4- Ю = 0. Дискриминант уравнения 25 — 40 = = — 15 < о, значит, уравнение не имеет действительных корней. Поэтому не существует положительных чисел, обладающих указанным в задаче свойством.
5. Приведем с некоторыми изменениями решение Александрова Алексея — ученика IX класса. Он фактически свел задачу к планиметрической, показав, что ее можно решить и без знания стереометрии. В этом отношении его решение своеобразно, хотя и не самое короткое, не самое рациональное,
Пусть О — ортоцентр треугольника ЛВС (рис. 3)
В
Рис. 3
и OD _{_ пл. ABC. Обозначим СО = х, ВО = у, АО = г, DO = ht АВ = с, ВС = а, АС = b Надо доказать, что
(а 4- Ь 4- с)2 < 6 (.AD2 4- BD2 + CD2), (1)
Имеем DB8 4- CD* *=* a*, AD2 =* Л2 4- Почленно сложив равенства DC2 — h2 4- х2 и BD2 = h2 4- у2, получим 2h2 = (CD2 4- BD2) — х2 — у2, или h2 =’
а2-х2-
а* — х2
Тогда AD2 =
+ *2. Не¬
равенство (1) примет вид
fa2 — х2 — у2
(а + b + с)г < 6 (-
+ 22 +
или
(а + Ь + су < 3 (За* — — у2 + 2г2). (2)
Выразим х, у, г через а, Ь, с и АЕ = е. Обозначим
ОЕ = k\ OF = т\ AF = я. г2 — у2 = k2 4- е2
— [k2 4- (с — е)2] = е2 — (с — е)2 = (2е — с) с, г2 — х2=
= (2я — Ь) Ь. Но Д ABF оо д AECt значит, .
п с се
Отсюда
или я
q Ь ’ ь * Следовательно,
/2 се \
*2 — х2^\--^—-Ъ\Ъ. Неравенство (2) примет вид
(а + Ь 4- с)2 < 3 [За2 4- 2се — с2 4- 2се — Ь2J;
(а + Нс)2<3 (3 а2 + 4 се — с2 — Ь2). Равносильными преобразованиями получим а2 4- Ь2 4- с2 4- 2аЪ 4- 2ас 4- 26с <
<9а2 4- У2се — Зс2 — ЗЬ2,
4с2 + 462 4- 2ab -f- 2ас 4- 2Ьс < 8а2 4- 12се и, значит,
4с2 4- 4Ь2 4- 2ab 4- 2ас + 2Ьс — 2а2 < 6а2 4- 12се. Последнее неравенство вытекает из того, что 4с2 + 4Ь2 4- 2ab 4- 2ас 4- 2Ьс — 2а2 <
<4с2 4- 4Ь2 4- а2 4- b2 -h а2 4- с2 4- Ъ2 -f с2 — 2а2 =
= б с2 4- 662 = 6 (а2 4- 2 cb cos ВАС) =
= 6(а2 + 2се) = 6а24- 12^^.
Тем самым требуемое неравенство доказано. Равенство будет иметь место в случае, когда в неравенстве Коши будет иметь место равенство, т. е. когда а2 4" Ь2 — 2аЬу Ь2 с2 — 2Ьс, с2 -}- а2 = 2ас, т. е. когда а = Ь = с. Задача полностью решена.
Многие начинали решение с того, что доказывали перпендикулярность противоположных ребер тетраэдра. Из этого следовало, что все три угла при вершине D тетраэдра — прямые. Это позволяло в правой части доказываемого неравенства боковые ребра заменить сторонами основания и получить неравенство, которое легко сводится к очевидному (читателю предоставляется возможность выполнить самостоятельно все доказательство вторым способом).
6. 	Приводим с некоторыми изменениями р’ешенле Семенькова Сергея.
Сначала доказывается лемма. Если имеется 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, то можно выбрать не менее трех неостроугольных треугольников с вершинами в этих точках.
Пусть выпуклая оболочка этих точек — треугольник (рис. 4). Тогда внутри треугольника будут лежать две из пяти точек, пусть, например, точки D и Е. Тогда каждая из этих^точек служит вершиной трех треугольников и, по крайней мере, два из них неостроугольные. Следовательно, в этом случае всего не менее четырех неостроугольных треугольников.
Пусть выпуклая оболочка пяти точек — выпуклый четырехугольник (рис. 5). Тогда, по крайней мере, один треугольник с вершиной в этих точках неостроугольный. Одна из пяти точек, например £, лежит внутри четырехугольника, а значит, внутри одного из треугольников (на диагонали она лежать не может, так как по
63


Рис. 4
Рис. 5
условию никакие три точки не лежат на одной прямой). Пусть Е лежит внутри треугольника ЛВС. Значит, по крайней мере, два из трех треугольников АВЕ, ВЕС, АЕС — неостроугольные. Следовательно, всего не менее трех неостроугольных треугольников.
Пусть, наконец, выпуклая оболочка — выпуклый пятиугольник. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна 180°‘3 = 540°. В этом случае, по крайней мере, два угла пятиугольника неострые.
Пусть вершины двух неострых углов прилежат к одной стороне. Например, к АВ (рис. 6). Рассмотрим четырехугольник BCDE. Хотя бы один из его углов неострый. Значит, и в этом случае найдется хотя бы три неостроугольных треугольника.
Пусть вершины неострых углов А и С не прилежат к одной стороне (рис. 7). Тогда рассмотрим четырехугольник ACDE. Хотя бы один из его углов неострый. Значит, и в этом случае имеется хотя бы три неостроугольных треугольника.
Лемма полностью доказана.
Рис. 6
Рис. 7
3*Cfoo неостроугольных треугольников,
По доказанной лемме из 100 точек можно выбрать
Но один
и тот же треугольник можно составить из разных пяти точек; т. е. он войдет в Сд7 пятков точек. Таким образом, иеостроугольных' треугольников можно
3-Cfoo
выбрать не меньше, чем <>—, а всего треугольни¬
ку
ков Cj00. Значит, остроугольных не больше С?00 —
'100 3-Cfoo
' С§7
. Отношение их числа к общему числу тре¬
угольников будет равно 3 •С*а
С100'
100
г2
и97 /
•г3
100
3-Cfoo
£97^100
3*100*99-98*97*96-1-2*1*2-3 3
==1“~ 1 - 2*3*4-5-97*96-100*99*98 “ 1 “ 10 ~ 0>7> что и требовалось доказать.
М. Л. КРАЙЗМАН (г. Львов)
ОБ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ РАБОТЕ С УЧАЩИМИСЯ
Внеклассная работа по математике раскрывает перед учителем широкие возможности для повышения уровня математической подготовки учащихся, для развития их сообразительности и умения творчески применять приобретенные знания на практике.
Формы внеклассной работы достаточно разнообразны. Между тем необходимо отметить, что общий недостаток в проведении внеклассной работы по математике состоит в преимущественном использовании коллективных форм работы с учащимися, не содействующих глубокому изучению их индивидуальных наклонностей.
Почетное место должны занять индивидуальные формы работы с учащимися. Остановимся на некоторых из них.
I. 	Математические конкурсы являются важной формой индивидуальной работы с учащимися. С одной сто¬
роны, они позволяют привлечь большое число учащихся к дополнительным занятиям математикой и, с другой стороны, обеспечивают в максимальной мере индивидуальное выполнение учащимися предложенных в конкурсе заданий.
Математический конкурс следует проводить каждое полугодие. Для его проведения необходимо в коридоре школы на видном месте вывесить доску, на которой помещаются условия математического конкурса, очередная серия задач конкурса, список участников конкурса и количество набранных каждым из них баллов.
Укажем примерные условия конкурса.
1. В конкурсе могут принять участие все ученики VII—X классов (VIII—X или IX—X классов).
2. Конкурс на решение 50 задач, разбитых на 10 серий, проводится с 15 сентября по 15 декабря.
3. Серии задач будут оглашаться в такие сроки: 15/IX, 25/IX, 5/Х, 15/Х, 25/Х, 4/XI, 14/XI, 24/XI, 4/ХИ, 14/XII.B каждой серии задачи предлагаются для каждого класса в отдельности.
4. Задачи, в зависимости от трудности их решения, будут оцениваться разным количеством баллов.
5. Решение задания конкурса можно сдавать в течение 10 дней до оглашения условий задач следующей серии.
6. Решение каждой задачи и примера выполняется участником конкурса на отдельном листе, на котором
64


указывается фамилия, класс, номер серии и номер задачи.
7. Трое учеников из каждой параллели классов, набравшие наибольшее количество баллов, считаются, победителями и премируются.
8. Для участников конкурса выделяется еще две премии, независимо от занятого на конкурсе места, за подачу рациональных, оригинальных решений 10 задач.
9. Учащиеся могут подавать на конкурс свои задачи. За каждую оригинально составленную задачу автору засчитывается от 2 до 4 баллов по усмотрению учителя, ведущего математический конкурс.
10. Итоги математического конкурса будут подведены 20 декабря на математическом вечере.
Условиями конкурса можно предусмотреть во втором пункте решение 40 задач, разбитых на 10 или на 8 серий.
Желательно в первой серии поместить задания, доступные для многих учащихся, а затем их постепенно усложнять.
Каждый раз учитель, вывешивая условия задач очередной серии, вывешивает одновременно и список участников, в котором указываются фамилии учащихся, класс и количество баллов, набранных ими при решении задач всех предыдущих серий. Фамилии учащихся идут в порядке параллелей классов и в порядке убывания количества набранных ими баллов.
Соревновательный характер этой формы внеклассной работы обеспечивает индивидуальное выполнение заданий, предложенных на конкурсе.
Приведем пример одной из серий задач конкурса.
VII КЛАСС
1. Разложить на множители
ab(a — Ь) — ас (а + с) 4- Ьс(2а + с — Ь).
(2 балла)
2. Доказать, что биссектрисы углов, прилежащих к одной из непараллельных сторон трапеции, пересекаются под прямым углом в точке, лежащей на средней линии трапеции.
(3 балла)
3. Если 4373 и 826 разделить на одно и то же число, то получим остатки, которые соответственно равны 8 и
7. 	Чему равен делитель?
(2 балла)
4. Угол в 54° разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки.
(2 балла)
5. Два поезда, длиной по 100 м каждый, движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью 45 км в час. Сколько секунд пройдет от встречи машинистов до того, как встретятся кондуктора последних вагонов?
(2 балла)
VIII КЛАСС
1. Из концов отрезка АВ проведены к нему перпендикуляры AM = а и NB = Ь; отрезки МБ и NA пересеклись в точке О. Найти расстояние от точки О до АВ.
(3 балла)
2. В четном трехзначном числе, являющемся точным квадратом, средняя цифра равна сумме крайних. Найти это число.
(3 балла)
3. Решить систему уравнений 12 у z J8_ ^6
j ’ JC4 7 ” 13 *
5. Упростить выражение
1
ху
У 14 -f >/ 10 -f У 21 + |/ 15 1
4-
/14—/10+/”21 —/15 ‘
(2 балла)
IX КЛАСС
- х + у 5 * у+ г
(2 балла)
4. Построить прямоугольный треугольник по двум медианам, проведенным к гипотенузе и к одному из катетов.
(3 балла)
1. Иван, Петр, Семен и их сестры Галя, Ксения и Мария вместе имели 151 орех, причем каждый брат имел на 5 орехов больше своей сестры. Иван имел на 1 орех больше, чем Ксения; Галя и Иван вместе имели 48 орехов, а Семен и Галя вместе имели 52 ореха. Определить, кто является братом и сестрой и по скольку каждый имел орехов?
(4 балла)
2. При каком значении а система уравнений, из которых одно 2ах 4- 6у = 1, а второе геометрически изображается прямой, проходящей через точки (3; 0) и (0; а), имеет бесконечное количество решений?
(2 балла)
3. На изображении равностороннего треугольника ABC в параллельной проекции построить изображение перпендикуляра, опущенного из любой точки /С, взятой внутри этого треугольника, на прямую DE, пересекающую стороны АВ и ВС.
(4 балла)
4. Найти действительные решения системы уравнений
р4у = 2,
\ ху — Z2 = 1.
5. Доказать справедливость неравенства
(а + nb) (Ъ 4- па) ^ ab(n -f I)2, где а> 0; b > 0, п — натуральное число.
X КЛАСС
1. Исключить х из уравнений
( sin х 4- cos х = т,
\ sin3 х 4- cos3 х = п.
2. Построить график функции
sin2 2х
У в | sin 2х | ’
(2 балла)
3. Развертка пирамиды представляет собой квадрат со стороной а. Определить объем пирамиды.
(3 балла)
4. Доказать, что диагонали правильной четырехугольной усеченной пирамиды пересекаются в одной точке.
(2 балла)
5. Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 153. Какой номер имеет пятый дом от начала квартала?
(3 балла)
II. 	Начальной формой индивидуальных заданий учащимся является отыскание различных способов решения одной и той же задачи.
Так, например, ученику предлагается построить треугольник по двум углам и периметру. При этом имеется в виду, что задача будет решена или методом геометрических мест, или методом подобия, или с использованием свойства вневписанной окружности, а именно:
Пусть АК = AN = р, где р — полупериметр треугольника ABC (см. черт.). Если ученик самостоятельно не отыскал третьего способа решения, ему предлагается первоначально решить задачу на доказательство того, что АК = AN = р, а затем на основании установленного
(3 балла)
(3 балла)
(2 балла)
3 Математика п школе № 6
65


свойства выполнить построение треугольника по двум углам и периметру.
Рассмотрим еще такую задачу: «Доказать, что произведение любых четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей есть точный квадрат».
I способ, а (а + 1) (а + 2) (а 4* 3) + 1 = [а (а + 3)] X X [(а + 1) (а + 2)] + 1 = (а2 + За) (а2 + За + 2) + 1 = = (а2 + За)[(а2 4- За) + 2] + 1 = (а2 + За)2 + + 2(а2 + За) + 1 = (а2 + За Ч-I)2.
II способ. Обозначим среднее арифметическое данных четырех последовательных целых чисел через х:
4 (а +■ 1) + (a + 2) + (а + 3)
_3_ 2
3
• а-f- 2
тогда
а(а + 1) (а + 2) (а + 3) + 1 =
-(•»-■г) С,+ "г) (•'+_2_)+i “
- с-—гХ-- 4-)+> —--?*■+тг- -(*—f )■-[(•+-i-Mf-
= (а2 + Зя + 1)2.
III способ базируется на применении метода неопределенных коэффициентов.
Легко заметить, что если выполнить указанные действия, то первый член многочлена будет а4, а свободный член будет равен 1.
Исходя из этого, составляем такое равенство: а(а + 1) (а + 2) (а + 3) + 1 = (а2 + am + I)2.
Положив а — —1, будем иметь (I—m -f I)2 = 1, отсюда /«i = l, m2 = 3. Для контроля положим, что а = —2; тогда (4 — 2т -Ь I)2 = 1 и т\ = 2, т2 — 3. Следовательно, а (а ■+■ 1) (а + 2) (а + 3) + 1 = = (а2 + За •+* I)2.
Если ученик, получивший это индивидуальное задание, не найдет самостоятельно третьего способа решения, ему следует порекомендовать ознакомиться с методом неопределенных коэффициентов, предложив соответствующую литературу.
Такая форма индивидуальной работы несомненно будет содействовать расширению математического, кругозора учащихся, вооружению их новыми методами и приемами решения задач.
III. Значительное место в индивидуальной работе с учащимися должны занять сочинения на математические темы. При этом темы могут быть предложены в трех формах.
1. Ученику дают лишь название темы без каких-либо дополнительных указаний относительно порядка выполнения задания и относительно результата, который при этом надо получить.
2. Попутно с указанием темы учащемуся дают план, в котором указывается последовательность исследований вопросов, раскрывающих тему, но не указываются
окончательные результаты, которые при этом надо получить.
3. Попутно с указанием темы и планом исследования учащемуся указывают свойства, какие он должен установить, или соотношения, которые в результате исследования он должен получить.
Исходя из индивидуальных особенностей каждого ученика, его уровня математического развития и волевых качеств, необходимо в каждом отдельном случае определить, в какой форме целесообразнее дать ему индивидуальное задание.
Приведем пример темы для ученического сочинения.
Форма 1.
Тема. Свойство треугольной пирамиды с прямыми плоскими углами при вершине.
Форма 2.
Тема. Свойство треугольной пирамиды с прямыми плоскими углами при вершине.
План исследования.
а)* Установить относительно углов вид треугольника, лежащего в основании этой пирамиды.
б) В какую точку основания пирамиды проектируется ее вершина?
в) Установить соотношение между высотой пирамиды и ее боковыми ребрами.
г) Найти соотношение между площадями боковых граней и площадью основания.
. д) Установить зависимость между площадью боковой грани и площадью ее проекции на плоскость основания.
е) В какой зависимости находятся между собой суммы квадратов скрещивающихся ребер этой пирамиды?
ж) Зная боковые ребра данной пирамиды, определить углы треугольника, лежащего в ее основании.
з) Определить линейные углы двугранных углов при основании пирамиды, если известны ее боковые ребра.
и) Найти наибольшее значение произведения косинусов линейных углов двугранных углов пои основании пирамиды.
Форма 3.
Тема. Свойство треугольной пирамиды с прямыми плоскими углами при вершине.
План исследования.
Доказать:
а) В оснований пирамиды лежит остроугольный треугольник.
б) Вершина пирамиды проектируется . в ортоцентр основания.
в) Высота h и боковые ребра а, b к с пирамиды связаны соотношением
/г-2 в я-2 + 6-2 + с-2
г) Сумма квадратов площадей боковых граней пирамиды равна квадрату площади основания.
д) Площадь боковой грани есть средняя пропорциональная величина между площадью основания и площадью проекции этой боковой грани на плоскость основания.
е) Суммы квадратов скрещивающихся ребер этой пирамиды равны между собой.
SB2 ^ SC8
ж) cos^ ЛВС - а£7вС; cos ^ВСА = АС:вб
cos ^ ВАС
SA*
АС-АВ • аЬ
3) °0S “ “ /ааЬ* + *
66


COS P =
ас
У a2b2 +• a2c2 + b2c2 * be
cos 7 у ^ ^
■p/*3
и) 	cos a cos p cos 7 < —g—•
Следовательно, наибольшее значение этого произве-
У з
дения равно —g
Иногда полезно одну и ту же тему предложить нескольким ученикам с тем, чтобы сравнить подход каждого из них к решению поставленных в теме проблем.
Ф. Ф. НАГИБИН (г. Киров], М. Д. ЧЕРНЯВСКИЙ! (г. Оренбург)
ПРОИЗВОДНЫЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
В этой заметке мы излагаем один из возможных в условиях средней школы приемов вывода формул, выражающих производные показательной и логарифмической функций. Основой этого вывода служит выделение из семейства показательных функций ах (а > 0, аф 1) функции ех.
Учащимся хорошо известно, что график любой показательной функции проходит через точку (0; 1). Будем рассматривать угол, образованный касательной к графику функции у = ах в точке (0; 1) с положительным направлением оси Ох, Этот угол зависит от значения основания а. Так, при а = 2 он приближенно равен 34°, а при а = 3 — 47°. (Несколько позднее это легко подтвердить вычислениями.) Соображения наглядности подсказывают, что существует график такой показательной функции, для которого рассматриваемый угол равен 45°. Обозначим значение основания а этой показательной функции через е. Получаем показательную функцию у = ех. Таким образом, мы постулируем существование значения основания а, для которого график функции ах обладает следующим свойством: касательная к нему в точке (0; 1) образует с положительным направлением оси Ох угол в 45°. Тем самым из семейства показательных функций выделяется функция ех (черт. 1).
Угловой коэффициент касательной к графику функции у = ех в точке (0; 1) равен tg 45°, т. е. 1. Но он
может быть выражен и иначе. Значению х = 0 дадим приращение Ал:. Соответствующее значение у будет равно е*х. Через точки А (0; 1) и В (Ах; е^х) проведем секущую. Обозначим угол, образованный ею с положительным направлением оси Ох, через (J
0ах
--1
(черт. 2). Имеем tg р
При Ал:->0 секущая перейдет в касательную к графику функции у ■=■ ех в точке А (0; 1) и, следовательно,
еАх — 1
limtgp= lim —т- = tg 45° = 1.
д* -»о д*~»о
Мы получили важное равенство
lim
ДЛГ -*■ 0
е
Ах
= 1.
О)
Воспользуемся им для вывода формулы, выражающей производную функции у = ех. Фиксируем х и даем ему приращение А*. Тогда Ау = ех + — ех,
Ал:
оХ + ЬХ .
ех (е
Ах
Лх
— 1
Ал:
Ал:
Ал:
и, следовательно,
у' = lim = lim ех •— Дл: -> 0 х Ах -» 0
Ах
Ах
„Ьх
= ех- lim -
Ajc->0
1
Ах
3*
67


{е* является постоянным, так как х фиксировано, от так как по (1) Ах не зависит). Итак, (еху = ег
Переходя к выводу формулы производной функции у = ах {а > 0, аф 1), следует предварительно ввести функцию у — In х и натуральные логарифмы. Функция у — In х обратна по отношению к выделенной нами показательной функции у *=*ех. График ее симметричен графику функции у = ех относительно прямой, определяемой биссектрисой первого координатного угла (черт. 2).
Следует отметить, что касательная к графику функции у =® In х в точке (1; 0) образует с положительным направлением оси Ох угол в 45°. Это очевидное свойство графика функции у =* In х сразу же может быть использовано. Возьмем значение jc»1 и дадим ему приращение Ах (1 + Ал:>0). Через точки С (1; 0) и D (1 + A*; In (1 4- А*)) проведем секущую. Пусть Y — угол, образованный этой секущей с положительным направлением оси Ох.
In (1 4- Д*)
Имеем tg 7 д*
In (1 4- Ах)*х и, сле¬
довательно, lim ig 7 — lim In (1 4- Ax)Ax — 1. Мы ПОДЛ---*;',’ ддг->0
лучили еще один важный предел In (14- Ал:) Ах
Пш ддг-» о
1.
(2)
Можно воспользоваться им для вычисления е. В са. 1
Ддг
мом деле, lim in (1 4- А-*)
Ддг 0.
1 и по известному 1
свойству непрерывных функций lim (1 -f Ал)Дд'
Ajr-*0
1_
Ддг
lim 1п(14Ддг) Ддг-»0
1_
Ддг
=* lim ^1п(1+Лж) = e '~
Д x~*0
1
При достаточно малых значениях Ах (1 4- Дл)д* дает приближенные значения е. Так, уже при Ах « -*0,01 имеем 2,692. (Без доказательства учащимся сообщается, что е — иррациональное число.
равное2,718281828459 )
Будем рассматривать показательную функцию у « ах при произвольном основании я(д> 0, аф\). Воспользовавшись известным логарифмическим тождеством а — л1п а цию так: у *=» е ращение Ах. Имеем А у
е1“ **, выразим рассматриваемую функ-
та-х фИКСИруем х и даем ему ПрИ.
In а . (х + Ддг) Апа»х
‘ е
In а*х (Ап. а-Ддг
О,
Ду
Ах
In e.jr
е
ina«Ajr
— 1
In а*х
Ап л*Ддг
-1
Ал * In а
•In а.
Обозначим In а»Ах через t. При Ал: Ajf-^0 и поэтому
Ах
~>0 t «= In а *
lim г -» о
1.
!'Т» п- - - -тжг-)
Ддг
^in а jjin
t-* о
in а»дг
In a — аЛЛп а,
68
Итак, (я*)' in а. (Если учащиеся знают, как находится производная сложной функции, то тот же самый результат может быть найден проще.)
Производная логарифмической функции у *= In х может^ быть найдена применением формулы производной обратной функции. Действительно, функция у — In х обратна функции х « е?, и, следовательно,
по формуле у ——— имеем (In хУ — -Дг — — .
ху 7 еу х
Но тот же самый результат можно получить непосредственным дифференцированием. Дадим фиксированному значению х (х > 0) приращение Ах (х 4- &х > 0). Получим
Ау
Ау
Ал
in
(|+¥) 1п(|+^г)
1п (дг + Ад:) — In л Ах
Ах
Введем обозначение ~r t. При Ал:-^0 —
и, следовательно,
= lim Ддг-*0
ч Ал
-lim
£ —>о
In (1 + t)
_1_
X
in(l 4-0
1.
так как по (2) lim
t -> о *
Остается найти производную логарифмической функции у = Iogfl^ (а > 0, аф 1) в общем случае.
Здесь можно поступить так. Имеем у — logajc. Перейдя к натуральным логарифмам, данную функцию 1пл:
представим в виде у — ~\п а . Поэтому (log^ л:)' —
1
In а
_1
' х In а
' log* л
Выведенные формулы производных от показательной и логарифмической функций позволяют при изучении интеграла ввести и использовать табличные интегралы
+ с- \аХ*х-ш+с>
1
- dx — In ( х | -|- с.
,exdx~~ex
Знание производных и интегралов, о которых мы говорили, значительно расширяет материал для задач и, в частности, позволяет с должной обстоятельностью изучать процессы органического роста.
В заключение отметим, что можно было бы идти иным путем, а именно — выделить из семейства логарифмических функций lo ga х (а > 0, аф I) функцию In Ху а функцию ех определить как обратную ей. Дальнейшие рассуждения изменились бы несущественно. Именно такое изложение рассматриваемых вопросов дано в книге А. Д. Мышкиса «Лекции но высшей математике» (М., «Наука», 1967).


М. МАМЕДОВ (пос. Серахс Туркменской ССР)
О НАХОЖДЕНИИ ЭКСТРЕМУМА НЕКОТОРЫХ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В данной заметке предлагается один из возможных элементарных способов нахождения локального экстремума функции вида
ах2 + Ьх + с У й\Х2 -f- bxx -j- Ci
Пусть N — экстремальное (для определенности, максимальное) значение функции (1). Тогда система
ах2 4- Ьх + с У в\Х2 4~ ЪуХ -}-Ci9 (2)
y = N
очевидно, имеет действительное решение. Приравнивая правые части уравнений системы (2) и упрощая, найдем, что уравнение
(а — atN) х2 + (Ь — btN) х + (с — ctN) = 0 (3)
имеет действительный корень. Поэтому, если уравнение (3) — квадратное (т. е. а — axN ф 0), то его дискриминант D(N) неотрицателен:
D (N) >0.
Теперь рассмотрим систему
ах2 4- Ьх -f с у “ а,х2 + Ь,л: -j- с,’ (4)
y-N + bN,
где ДN — достаточно малое положительное число. Можно показать, что если N— локальный максимум функции (I), то система (4) не будет иметь действительных корней. Следовательно, дискриминант D (N 4- ДАТ) отрицателен: D (N 4- AN) < 0. Из этого нетрудно заключить, что D (N) = 0 (так как число AN > 0 может быть взято как угодно малым). Итак, если Af — максимальное значение функции (1). то дискриминант D (N) уравнения (3) равен нулю. То же справедливо и в случае, если N — минимальное значение функции (1).
Пр имер. Найти максимум и минимум функции *2 + Зх — 1 у “ х* — 3х + 1 •
Пусть N — экстремум этой функции. Тогда, приравнивая правые части уравнений системы х2 4- Зх — 1 у = л:2 — Зх + 1 у= ЛГ
и упрощая, получаем квадратное уравнение
(1 __ N) х2 4- (3 4- ЗАО д: — (1 -f N) = 0 (5)
с параметром N. Если это уравнение квадратное (т. е. АГ=^= 1), то, приравнивая, согласно сказанному выше, его дискриминант нулю, получаем
D (N) = 5АТ2 + 18АГ 4-13-0.
Это — квадратное уравнение относительно N, имеющее корни
tfi- -1, ^2= —2,6.
Ветви параболы, соответствующей трехчлену 5ЛГ24* -f ISN 4- 13, направлены вверх, поэтому сразу можно заметить, что D (Nt 4- AN) > 0, a D (N2 4- AN) < 0 при любом AN > 0. Значит, N1=* — 1 минимум, a N2 = —2,6 максимум данной функции. Значения аргумента, соответствующие найденным экстремальным значениям, определяются из уравнения (о).
3. 	А. СКОПЕЦ (г. Ярославль)
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ ДЛЯ ТРЕХГРАННОГО УГЛА
Зная стороны треугольника, можно вычислить его углы посредством хорошо известной формулы, выражающей теорему косинусов для треугольника. Аналогично обстоит дело и с трехгранным углом. Если даны плоские углы трехгранного угла, то его двугранные углы можно вычислить по формулам, выражающим теорему косинусов для трехгранного угла.
Обычно вывод формулы, связывающей плоские углы и двугранный угол трехгранного угла, проводится средствами векторной алгебры с использованием операции векторного умножения. Но введение этой операции связано с необходимостью рассматривать ориентированное пространство. Между тем искомая формула не зависит от ориентации пространства, подобно тому как теорема косинусов для треугольника не связана с ориентацией плоскости.
Эти соображения приводят к мысли искать такое доказательство теоремы косинусов для трехгранного угла, которое опирается на скалярное произведение
векторов и поэтому не связано с ориентацией пространства. Такое доказательство может быть рассмотрено в курсе стереометрии средней школы, программа которого предусматривает изучение операции скалярного умножения векторов и его применение в изложении теоретического материала и при решении стереометрических задач.
- Приведем два вывода теоремы косинусов для трехгранного угла, которые основаны на применении скалярного произведения векторов.
Пусть ОаЬс — трехгранный угол, О — его вер-
шина, а, Ь, с — реОра. Положим (Ь. с) = а, (с, а) — р,
(а, Ь) = 7. Обозначим линейный угол двугранного угла при ребре а той же буквой а. Наконец, построим на ребрах единичные векторы
04 = А ОВ=~В и ОС = С (И |=1, \В | = 1,
|с| = 1).
Доказательство 1. Опустим из точек В и С на ребро ОЛ или его продолжение перпендикуляры ВМ и CN (см. чеот.) Тогда
ВС = -~“МВ 4- MN 4 WC (1)
69


Здесь
\МВ\= sin7, | AliV | = | cosp — cos7|, |iVC| = sin (
Из (1) следует
ВС2 = ( —Ж+ MN + NCf -
- MB2 + MN2 + 77c2-2Ж.® — ШВ-NC +
+ 2AW-7fC*
Ho
MB-MN = 0, MN-NC*= 0,
£C2 = (B — C)2 «= 1 — 2cos a + 1 = 2 — 2cos a,
MB'NC = | Ж61*| JVC l-cosa *= sin p sin 7 cos я.
Следовательно,
2 — 2cos a = sin2 7 -f (cos p — cos 7)2 +
+ sin2 p — 2sinp sin 7 со s a.
Отсюда после несложных преобразований находим искомую формулу
cos a = cos р cos 7 4- sin p sin 7 cos a. (2)
Полученное соотношение (2), позволяющее по a, р, 7 вычислить а, выражает теорему косинусов для трехгранного угла.
Доказательство 2. Воспользуемся предыдущими обозначениями и чертежом. Имеем:
MB»NC = j МБ |*| NC j-cos а = sin р sin 7 cos а. (3) С другой стороны, учитывая, что M-NC ==*0, получим Ш-NC => (В — M)-NC^ B-NC — м-лгс =
= В-(С — N) = B-C — B-N.
Но N = cosp*^, поэтому
B-N = £(cosp-1) == cos р cos 7.
Таким образом,
MB-NC = cos а — cosPcos7. (4)
Следовательно, из сопоставления (3) и (4) снова получаем (2):
cosa = cosp cos 7 -f sinp sin у cos a.
При помощи теоремы косинусов для трехгранного угла можно успешно решить ряд стереометрических задач вычислительного характера, связанных с нахождением угловых элементов трехгранных и многогранных углов; доказать теоремы, касающиеся свойств плоских и двугранных углов трехгранного и многогранного углов. Это соотношение находит широкое применение в сферической геометрии и тригонометрии, в геодезии и астрономии.
Изучение теоремы косинусов для трехгранного угла в средней школе, по нашему убеждению, весьма целесообразно. Эта теорема позволит значительно расширить и разнообразить круг решаемых в школе стереометрических задач, в том числе и таких, которые имеют практическое значение.
ПИСЬМО В РЕДАКЦИЮ
В течение пяти лет ленинградская детская газета «Ленинские искры» совместно с кабинетом математики Ленинградского областного института усовершенствования учителей проводят заочный математический турнир для учащихся III—VIII классов и математический конкурс «Кто самый смекалистый» для учащихся I—II классов.
Ежегодно заочный математический турнир открывает один из видных ленинградских ученых обращением к учащимся — участникам турнира и присылает несколько задач.
В этом году турнир открыл наш земляк выдающийся математик Герой Социалистического Труда академик Юрии Владимирович JI и н н и к.
Вот какое обращение он направил ребятам:
«Дорогие участники математического турнира газеты «Ленинские искры»!
Пожилой математик скажет вам: математика — наука молодых. В вас надежда отечественной математики. Математика велика и необъятна. Заметно способствует она блеску и величию нашего дорогого отечества. Всегда была она у нас в чести. Вспомните Лобачевского, Чебышева, Маркова, Ляпунова, И они когда-то начинали...
Полюбите эту науку — она принесет вам радость и удовлетворение. Может быть, эти турниры для многих ребят станут началом большого пути в науку. А сейчас начинайте с немногого:с небольших задач для развития смекалки, проникновения. Но и вся математика состоит из небольших «кирпичей». Только не надо лениться. Здесь, как и везде, нужен труд. Желаю вам больших успехов в традиционном турнире.
ю. В. линник
академик. Герой Социалистического Труда»
Вместе с обращением Юрий Владимирович прислал 12 задач. Вот некоторые из них:
1. Как написать число 100 с помощью одних девяток?
2. Какой остаток при делении на 7 получится у числа 51969?
3. Показать, что число 10100 — 1 нельзя представить в виде суммы трех квадратов целых чисел.
4. На квадратном ринге 3 боксера хотят быть возможно дальше друг от друга. Как им расположиться?
5. То же, для 5 боксеров.
6. Построить пример функции / (*), удовлетворяющей тождеству /(лг)«/^-тр^ и отличной от постоянной.
70


С большим удовлетворением участники заочного математического турнира узнали, что за цикл работ по предельным теоремам теории вероятностей группе ученых, в числе которых был и Юрий Владимирович Лин- ник, ЦК КПСС и Совет Министров СССР присудили Ленинскую премию в юбилейном году. Слет друзей газеты «Ленинские искры» послал Ю. В. Линнику следующее письмо:
«Дорогой Юрий Владимирович!
Юные математики Ленинграда и области, участники заочного математического турнира «Ленинских искр» поздравляют Вас с присуждением Ленинской премии в юбилейном году. Мы гордимся, что такой ученый, как Вы, принимал деятельное участие в организации турнира этого учебного года. Присланные Вами задачи было очень интересно решать. Они еще больше возбудили у нас интерес к красивейшей науке — математике,
Позвольте пожелать Вам крепкого здоровья и больших творческих успехов. Просим Вас оставаться другом нашей газеты».
От имени участников слета — друзей газеты письмо подписали участники ЗТМ — победители всесоюзных математических олимпиад: Алексей Александров, Андрей Бабичев, Владимир Володарский и другие.
Главный редактор газеты В. Бианки объявила, что решением редакционной коллегии лауреат Ленинской и Государственной премий, Герой Социалистического Труда академик Юрий Владимирович Линник награжден специальным дипломом газеты и нагрудным значком газеты «Ленинские искры» и журнала «Искорка».
В. М. РОЗЕНТУЛЛЕР
(Ленинград)
ЗАДАЧИ
ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ IV—V КЛАССОВ
831. Имеется два набора чисел от 1 до 20. Из чисел этих наборов составляются всевозможные суммы по два числа (слагаемые одной суммы берутся из разных наборов). Сколько среди этих сумм будет таких, которые делятся на три?
832. Станции наблюдения с номерами от 183 до 282 соединены между собой так, что каждая - из них может передать сведения непосредственно только на станцию, находящуюся от нее седьмой по счету (по часовой стрелке). Может ли начальник станции 225 поздравить с днем рождения своего друга на станции 200 (естественно, с помощью промежуточных станций)?
833. Из 22 спичек сложить прямоугольник наибольшей площади.
834. Можно ли из 37 ниток сплести сетку так, чтобы каждая нитка была связана ровно с пятью другими нитками?
835. В ящике лежат красные, синие, зеленые и желтые шарики. Известно, что красных шариков в два раза больше, чем синих, синих — в два раза больше, чем зеленых, и число желтых шариков больше 7. Сколько шариков каждого цвета лежит в ящике, если всего их 27?
ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ Yl—VIII КЛАССОВ
836. На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие три не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Доказать, что если одна из этих четырех прямых параллельна медиане треугольника, образованного тремя другими, то аналогичным свойством обладает каждая из трех остальных данных пря- .мых (по отношению к соответствующему треугольнику,
образованному тремя другими прямыми).
837. 	Вычислить
3. А. Скопец (г. Ярославль)
У44.. .4 + 11... 1 —66.. .6 .
' 2я л + 1 п
Ю. Нурпеисов (г. Ходжейли Каракалпакской АССР)
838. 	Доказать, что если числа р(р ^ 3) и Юр + 1 простые, то число Ър + 1 составное.
О. 	С. Дубровская (г. Кострома)
839. Найти угол между боковыми сторонами трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
В. П. Чичин (Устьянский р-н Архангельской обл.)
840. Прямой, проходящей через данную точку стороны треугольника, разделить этот треугольник на две равновеликие части.
Д. В. Клименченко (г. Бердянск)
ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ IX—X КЛАССОВ
841. 	В окружности радиуса R проведены два перпендикулярных диаметра АВ и CD. На диаметре АВ дана такая точка М, что ОМ = —-f=~R
у 3
(О — центр окружности). Доказать, что если секущая, проходящая через М, встречает окружность в точках Р и Q, и диаметр CD в точке S, то
1 1 1
+ -
MQ
МР
MS
(при условии, что S и Р лежат с Q по разные стороны от М).
3. А. Скопец (г. Ярославль)
842. 	Дйн четырехугольник ABCD. Известны следующие углы: /_САВ = 30°, Z DBC — 30°, Z A CD = 45°, ZBDA— 45°. Вычислить углы четырехугольника ABCD.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
843. 	Доказать неравенство
lo gba2
lo gcb2 lo gac
a -f b '1 b + с с а ^ a -f b 4- с *
А. 	А. Исаков (г. Прокопьевск Кемеровской обл.)
844. Доказать, что число я2 + я + 1 ни при каком п не делится на 59.
К. К. Калиякбаров (пос. Тургай Целиноградской обл.)
845. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается АВ в точке D, а АС — в точке Е. Доказать, что точки пересечения прямой DE с биссектрисами углов В и С треугольника лежат на одной окружности с точками В и С.
Я. Н. Суконник (г. Киев)
>


846. Доказать, что если система уравнений a sin2 (х -j- у) f b sin2 (x — у) = 2, a tg2 (x -f y) + b ig2 {x y) =*= 2,
a — b
У-тТь
(с неизвестными x, у) имеет решение, то (a2 — b2)2 — — 4ab.
E. А. Боков (ст. Прочноокопская Краснодарского края)
847. Найти положительные решения системы уравнений
I пхi = х2-х$ = x4-xs = Хб • х7 — тх8,
I. Х\ + Х2 = *з + Х4 = Х5 4- *6 = х7 -f хв — т 4- л, где т > 0, п > 0.
С, М. Анчев (г. Тетевен, Болгария)
848. Из точки, лежащей внутри треугольника, проведены перпендикуляры к его сторонам а, Ъ, с; длины этих перпендикуляров равны соответственно х, у, г. Доказать неравенство
A(ayz 4- bxz 4- сху) ^ abc.
Ю. И. Герасимов (Читинская обл.)
849. Доказать тождество
n — k
”4? w W+& e r-n+k п •
ы о
П. С. Панков (г. Фрунзе)
850. Всякое множество пар будем называть графиком. Назовем график G функциональным, если из того, что пары (а,.Ь) и (а, с) принадлежат G, следует, что b = с; назовем график G инъективным, если из того, что пары (а, с) и (Ь, с) принадлежат G, следует, что а — Ь.
В задаче № 825 (№ 5 за 1970 г.) определена композиция G О Н любых графиков G и И. Доказать, что композиция функциональных графиков — функциональный график, композиция инъективных графиков — инъективный график.
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Комбинаторика
851. Придумать такие функции fug, определенные на области действительных чисел, не равные тождественно нулю, чтобы следующие условия
f(xtyfz,u)=* —f (у , X, г, и),
f(x, у, г, и) - —f(y, 2, и, х), g(x, у, г, и, V) — — g(y, Х\ -г, «, v)
g(x, У, 2, и, ©) - —g(y,ztu9v9x)
выполнялись бы для всех значений аргументов.
Применение комплексных чисел
852. 	Внутренние и внешние биссектрисы углов Лг- треугольника А\А2Аз пересекают описанную около него окружность в точках Bi и Ci соответственно (/ = 1,2,3). Доказать, что биссектрисы треугольника АХА2А$ являются высотами треугольника BXB2BZ, а внешние биссектрисы его параллельны сторонам треугольника CiC2C3. Что можно сказать о взаимном расположении сторон тре- игольников BiBfih и BiCfiu?
Нгуен Конг Кви (Ханой, ДРВ)
Метод координат
853, Дана треугольная пирамида SABC с прямыми углами при вершине S и боковыми ребрами SA = а, SB — b, SC — с. Точка Р лежит в плоскости основания пирамиды, SP = р, АР = а1г ВР = Ь1г СР = си Доказать, что
А-р2
а2
■ + '
Ь2
че-
Э. 	Г. Готман (г. Арзамас) Линейная алгебра
854. Дана матрица А = ^ ^ | j; обозначим
рез Z(A) множество таких матриц В, для которых АВ = В А. Доказать, что Z (А) — линейное пространство над полем действительных чисел (относительно обычных операций сложения матрац и умножения матрицы на число), и найти его размерность.
Кольца м поля
855. На множестве К функций действительного переменного, определенных на всем множестве действительных чисел, введем следующие операции; если f, g £ К, то функции f -т g (сумма), fg (произведение) и fOg (композиция) каждому действительному числу х ставЯ1 в соответствие f(x) +g(x). f(x)-g(x) и f[g{x)] соответственно. , Является ли множество К с операциями суммы и произведения кольцом? Тот оюе вопрос относительно операций суммы и композиции.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1970 Г.
731. Кассир аэрофлота должен доставить билеты пяти группам туристов. Три из этих групп ошвут в гостиницах «Дружба», «Россия» и «Минск». Адрес четвертой группы кассиру скажут туристы из «России», адрес пятой скажут туристы из «Минска». Сколькими способами кассир может выбрать порядок объезда гостиниц, чтобы вручить билеты?
Решение. Подсчитаем сначала, сколько существует способов объезда гостиниц, если на порядок объезда не наложено никаких ограничений. Тогда первую гостиницу можно выбрать 5 способами, вторую — 4, так что первые две гостиницы можно выбрать 20 способами; третью гостиницу можно выбрать 3 способами, так что для выбора первых трех гостиниц имеется 20 • 3 *• 60 способов. Наконец, четвертую гостиницу можно выбрать 2 способами, и, таким образом, всего возможно 60 • 2 = 120 способов объезда всех гостиниц.
Условие задачи обязывает кассира ехать в «Россию» раньше, чем в четвертую гостиницу; это сокращает число способов ровно в два раза, так как, очевидно, способов, в которых «Россия» посещается раньше, ровно столько же, сколько способов, в которых она посещается позже. Аналогично в два раза сокращает число возможных способов второе ограничение задачи. Поэтому кассир имеет 30 способов объезда.
732. Какое самое большое и какое самое маленькое значение принимает отношение двузначного числа к сумме его цифр?
Решение. Пусть х, у — соответственно первая и вторая цифры двузначного числа. Так как х Ф 0, то рассматриваемое отношение
10*4-у 9х 9
1 ~ * 4- у “ *4 у “ + Г-
^ X
72


Отсюда видно, что t тем больше, чем меньше отно- у
шение —, и поэтому самое большое значение t -•= 10 получается при у = 0 и любом х, а самое маленькое
у
t = 1,9 — при — = 9, т. е. при х = 1, у = 9.
733. Доказать, что k2 + Ilk — 22 ни при каком k не делится на 361.
Решение. Предположим, что при некотором k число k2 + \\k— 22 делится на 361. Поскольку k2 + 116 — 22 = (k 4- 15) (k — 4) 4- 38 и 38 делится на 19, то произведение (k 4 15) (k — 4) делится на 19; тогда один из сомножителей делится на 19. Так как разность этих сомножителей равна 19, то и второй сомножитель делится на 19. Следовательно, произведение (k+\b)(k — 4) делится на 361. Но тогда 38 делится на 361, что неверно.
734. Вне равностороннего треугольника ABC внутри угла ВАС взята точка М. Угол АМС равен 30°, угол АМВ равен 40°. Найти (в градусах) углы АВМ и ACM.
Решение. Так как угол АМС равен половине угла ABC, то точка М лежит на окружности с центром В радиуса ВА = ВС. Тогда
Z ВМС = Z ВСМ = 70°, Z МВС = 40°;
откуда
/ АВМ = 100°, Z ACM = 130°.
Условие этой задачи, к сожалению, было опубликовано с опечаткой, и поэтому в сводку мы ее не включили. Принося наши извинения по поводу допущенной опечатки, мы считаем нужным отметить, что позиция читателей, написавших о том, что задача решения не имеет, так как в ней не хватает данных, не совсем правомерна. Задача в исходной ее постановке имеет решение; указанных в условии данных достаточно, чтобы сделать некоторые разумные утверждения о нужных углах, например, что искомый угол может быть произвольным, но в определенных пределах. И то, что эти углы не определяются однозначно, не дает оснований считать, что задача «не имеет смысла».
735. В трапеции ABCD боковая сторона CD равна а, а расстояние от середины А В до CD равно Ь. Найти площадь трапеции.
Решение. Проведем через середину К стороны АВ прямую, параллельную CD, и пусть М и N — точки ее пересечения с ВС и AD. Тогда треугольники КВМ и KNA равновелики, и поэтому площадь трапеции ABCD равна площади параллелограмма MNDC, т. е. равна ab.
К сожалению, в условии этой задачи тоже была допущена опечатка, и поэтому мы не включили и ее в сводку.
736. Окружность радиуса R разделена на четное число равных дуг, и на стягивающих хордах, как на диаметрах, построены полуокружности, расположенные поочередно то внутри, то вне данной окружности. Найти площадь фигуры, ограниченной полученной замкнутой кривой.
Решение. Пусть п — число точек деления окружности; соединив точки деления отрезками, получим правильный я-угольник. Теперь легко заметить, что, проведя полуокружности, получим полукруги, расположенные поочередно то внутри многоугольника, то вне его. Следовательно, площадь рассматриваемой криволинейной фигуры равна площади правильного ^-угольника, вписанного в данную окружность.
737. Диагонали, соединяющие противоположные вершины выпуклого шестиугольника, точками пересечения делятся на три равные части. Площадь треугольника, получающегося в пересечении, равна 1. Найти площадь шестиугольника.
Решение. Сделав чертеж, можно увидеть и нетрудно доказать, что данные диагонали разбивают шестиугольник на четыре треугольника и три трапеции. Все четыре треугольника равны между собой, и их общая площадь равна 4.
Каждая из трех трапеций при присоединении к ней треугольника, полученного в пересечении, превращается в треугольник с проведенной в нем средней линией; поэтому площадь каждой трапеции равна 3, а общая площадь трапеций равна 9. Таким образом, площадь шестиугольника равна 13.
738. Решить уравнение
(х2 — а2)2 = 4ах 4- 1.
Решение. Прибавив к обеим частям уравнения 4а2х2, получим (х2 — а2)2 + 4а2х2 — 4а2х2 + 4ах 4 1, или (х2 4- а2)2 = (2ах 4 I)2. Отсюда: а) х2 + а2 = 2ах 4- 1, т. е. (х — а)2 = 1 и, следовательно, Х\ = а + \ и х2 = — а — 1; б) х2 4- а2 = —2ах — 1, т. е. (х + а)2 — — 1. В этом случае решений нет.
Итак, исходное уравнение имеет корни Х\ = а 4 1 и х2 = а — 1.
739. Решить систему уравнений
Ах — у2 — 4у — z2 = 4z — х2 — 1.
Решение. Из данных уравнений следует, что х > 0, */>0, г>0. Докажем, что х = у = г. Пусть, например, х > у у тогда из 4х — у2 — 4у — г2 следует, что у2 > z2 и у > г (ибо у > 0, г > 0). Но тогда из 4у — г2 = = 4z — х2 следует, что г2 > х2 и z > х. Получаем противоречивую систему неравенств х > у, y^>zf г > х. Аналогичные противоречия получим в других случаях. Из равенства х — у — £ имеем х2 — 4х 4 1 = 0 и, сле¬
довательно, х = 2 ± V 3.
Итак, ^система имеет два решения хх = ух = zx —
=2 -f V 3 и х2 == У2 = z2 = 2 *— уг 3.
Заметим, что часть читателей доказывала равенство х = у = г, опираясь только на то, что система не меняется при замене неизвестных друг на друга. Это рассуждение, конечно, неверно. Так, система х -f у — 1, х2 4- у2 = 1 симметрична относительно неизвестных, однако она имеет решения х Ф уу например х = 1, у = о.
740. Из шахматной доски размером 7X7 вырезана угловая клетка. Можно ли оставшуюся часть покрыть костями домино так, чтобы ровно половина из них располагалась на горизонталях доски?
Решение. Приводим решение, данное учащимися математического кружка 145-й школы г. Киева (рук. Габович И. Г.).
Занумеруем клетки, как показано на чертеже. Вертикально расположенная кость домино закрывает два квадрата с четной суммой цифр, а горизонтально расположенная кость домино закрывает два квадрата с нечетной суммой цифр. Допустим, что 12 костей расположено горизонтально и 12 костей — вертикально, тогда те и другие кости покрывают квадраты с общей четной суммой цифр. Но число единиц 21 — нечетное. Следовательно, такое расположение невозможно.
0
1.
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
Q
f
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
О
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0


741. 	Суммы квадратов противоположных сторон вписанного четырехугольника равны а2. Найти радиус окружности.
Решение. Дано АВ2 4* CD2 = AD2 + ВС2 — а2. Пусть Z ADB — а и Z CBD = р. По теореме косинусов имеем: АВ2 = AD2 4- BD2 — 2AD*BD cos a, CD2 = =ВС2 4- BD2 — 2BC-BD cos P, AB2 + CD2=AD2 + BC2 + + 2BD2 — 2AD-BDcosa— 2BC-BDcosfi. Отсюда находим BD = AD cos a + BC cos p.
Следовательно, AC _L BD, а тогда a -f p = 90°. Далее, AB = 2R sin a, CZ) = 2R sin P = 2# cos a, AB2 + CD2 =
a
=4/?2(sin2 a-I-cos2 a) — 4/?2. Отсюда a2—4R2, т. e. R=~2'
742. Доказать, что сумма квадратов медиан треугольника не меньше квадрата его полупериметра.
Решение. По формуле для длины медианы 4m2a + 4mJ + 4m\ - (26* + 2с2 —a2) + (2с2+ 2a*-62) + + (2as + 262 — са) = 3 (a8 + 62 + с2). Ho 3 (a* + 6s +
+ C2) - Л2 + -h C2 + (e2 + 62) + (&a + Cs) + (cs + Й2»
^ a2 _j_ fj2 _{_ cz _|_ 2ab 4- 2be + 2ac = (a -J- £ + c)2 = 4/?2. Следовательно, + ml -f mrc > /?2.
743. Решить неравенство
cos2 x* sin (sin x) 4- sin x- cos (sin a:) >0. Решение. Отметим, прежде всего, что знак sin (sin х) всегда совпадает со знаком sinx и* что при любом х cos (sin л:) > 0. Следовательно, при sinx^O левая часть данного неравенства отрицательна или равна 0, при sin х > 0 она положительна.
Таким образом, данное неравенство равносильно неравенству sin х > 0, решением которого являются значения х из бесконечной серии интервалов
2kn < х < (2k 4- 1) л, k — любое целое число.
744. Решить неравенство
cos(х 4- 3tg х) + (tg X — tg2x)2 ^ — 1.
Решение. Переписав неравенство в виде
. I + cos(x 4- 3 tgх) + (tgх — tg2х)2 ^ О, придем к системе
1 + cos (х + 3 tg х) — 0,
tg х — tg2 х — 0.
Решая эту систему, получим
* + 3tg х - я + 2kn, (x + 3tgx-n + 2Ьс, и J те
х = п% j X «=• +' лтс .
Первая система имеет решение х ==» те (2k 4* 1). Из второй системы получим, что тс «= з~> а это
невозможно ни при каких целых k и п, так как число тс иррационально. Противоречивость последнего равенства можно показать, впрочем, и не ссылаясь на иррациональность числа тс. Известно, Что 3 < тс < 4, но, как легко видеть, ни при каких
12
целых k, п неравенства 3 < ^^ g < 4 не выполняются.
745. Изобразить на плоскости с системой ксь ординат хОу все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению
2 (х* — 2л:2 + 3) (у* — 3у2 + 4) — 7. Решение. Минимум выражения л:4—»2jf* + 3 равен 2 и достигается при х = + 1. Минимум выражения V4 — Зу2 Н- 4 равен 1,75 и достигается при
уг 6
У = ± 2 ' Следовательно, минимум левой части
исходного уравнения равен 7, и поэтому искомому множеству принадлежат только четыре точки:
746. Найти наибольшее значение функции
у в 5л:5 — 138л:2 + 864л: -f 2 на интервале 0 < х < 9,6.
Решение. При помещении этой задачи в отдел избранных задач не предполагалось решать ее с помощью производной, и поэтому такие решения не были засчитаны. Требовалось найти более элементарное решение. Идея изложенного ниже решения— свести задачу к неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим.
Имеем
у = 5х3 — 138л:2 + 864л: + 2 - л: (5л:2—138л: + 864)-f-2==» = х (48 — 5л:) (18 — л:) 4- 2 = z -f 2,
где z = х (48 — 5л:) (18 —л:). Умножим z на произведение ab двух параметров, значения которых выберем так, чтобы в произведении
abz «= ах (48 — 5*) (186 — Ьх)
сумма сомножителей не зависела от х и при некотором х все сомножители принимали одно и то же значение. При а = b 4* 5 сумма постоянна.
Если 6> 0, то на интервале 0 < х < 9,6 все три сомножителя положительны. Из неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим следует тогда, что
(Ь + 5) ■* - (48 — 5х) • (18b — fo)< ( 48 ^ 1 i86 у,
причем знак равенства, а следовательно, и наибольшее значение функции (b -J- 5) bz достигаются тогда, когда сомножители равны между собой, т. е.
(Ь -j- 5) л: = 48 — 5л: - № — Ьх.
48 186
Эта система совместна, если - — -» g^TjTg* Находим b « 2 и х = 4.
Это решение входит в рассматриваемый интервал 0 <х<9,6 и поэтому функция abz — 14г, а следовательно, и функция у в интервале 0 < х < 9,6 при х » 4 принимает наибольшее значение, равное 1570.
747. При каком значении х функция
у = V 4л;2— 12* + 13 + / 4л:2 — 28х + 53 имеет наименьшее значение?
Решение. Представим функцию в виде у =* = ■/ (2^ — уг(2л: — 7)2 4-4 и рассмотрим в
прямоугольной декартовой системе координат точки А (2х; 0), #(3;2), С (7; 2). Тогда у = АВ + АС. Эта сумма будет наименьшей в том случае, когда точка А одинаково удалена от точек В и С (это простая геометрическая задача), т. е. при 2л: = 5, х - 2,5.
Решения этой задачи с помощью производной не были засчитаны их авторам по причине, изложенной в решении предыдущей задачи.
748. Доказать, кто если уравнения
ах2 4- Ьх 4- с = 0 и агх2 4- Ьхх 4- сл = 0 (1)
имеют общий корень, то
(асг — atc)2 « (abt — аф) фсг — Ь^с).
74


Решение. Пусть уравнения (1) имеют общий корень х0. Тогда система линейных уравнений
[ аи -! bv = — с, [ахи ■+- bxv = — cv
и =
А2
где А, «= bct — Ьгс, А2 =* ajC — <2Cj. Отсюда -д-
т. е. А^ — А,А. Если же А = 0, то и At = Д2 = 0, поскольку система (2) совместна. При этом доказываемое равенство выполняется во всех случаях.
Разумеется, эту задачу можно решить и непосредственно, не используя систем линейных уравнений. Заметим, однако, что на этом пути требуется весьма тщательное рассмотрение возникающих особых случаев, чего нет в большинстве присланных решений.
749. 	Точка М лежат внутри треугольника со сторонами а, Ь, с соответственно на расстоянии х, у, z от этих сторон. При каком
а b с
положении этой точки сумма имеет наименьшее значение?
■+ У +-г
Решение. Самое короткое решение этой задачи прислал читатель В. О. Гордон из г. Петровска-За- байкальского. Именно, из очевидного равенства ах + + by + cz = 2S, где S — площадь данного треугольника, простым подсчетом проверяется равенство
■(т
-М,
J
а b
(r-х)* + — (г-
■yf-V-Tir-zf (1)
(г — радиус вписанной окружности). Из этого равенства следует, что рассматриваемая сумма имеет наименьшее значение в точности тогда, когда все слагаемые в правой части обращаются в 0, т. е. когда точка М является центром вписанной окружности.
Можно обойтись и без применения несколько искусственного равенства (1). В самом деле,
25
abc
— + — + — X f у ^ Z
)
= (ах + by -f* cz) ^ х -f у + г ^ + Н с)! (2)
в силу неравенства Коши—Буняковского; при этом равенство имеет место только при
■/ах : ]/ —■ = V by :j/~у- - y'cF:|/"—,
т. е. при х — у — z.
Если просто перемножить выражения в скобках во (2) и полученное сгруппировать подходящим образом, то требуемое неравенство получится без применения неравенства Коши-Буняковского — с помощью среднего арифметического и среднего геометрического.
1C
750. 	Доказать, что при а = -yi+i | справедлив во равенство
(2)
имеет решение и =* x^t v = х0. Если определитель этой системы отличен от нуля, то решение единственное и дается также формулами
Ssin2 2fca sin 2*+2 а
k=0
Решение. Имеем sin2x sin л:
я tg а.
sin 4х 4cos х cos 2х 4 ^ ^х ^ х^т
Применяя полученное тождество, находим, что
1
k-0
k=0
J- (tg 2л+,а —tg a).
Ho 2n+la = n — а, следовательно,
1 1 S--4- Itg(« — «) — tg a] - tga.
751. 	На гипотенузе прямоугольного треугольника или на ее продолжении найти такую точку, чтобы прямая, соединяющая ее проекции на катеты, была перпендикулярна гипотенузе.
Решение. Пусть М — искомая точка, Mt и М2— ее проекции на катеты ВС = а и АС = Ь. Положим, СВ = а и СА = ~Ь, тогда АВ = а — Ь. Если AM = в \(а — b), CMi = ал, СМ2 — №, то из CM=CA-j- + ЛЖ = СМ1 + СЖ2 следует b + X (а — Ъ) = ад + В», X и р = 1 — X. Итак, СМ\ = Хя и СМ2 — СМ2 = Xa — (1—X) Ь. По
откуда а -(1 -Х)6, ЩЖ,
СМГ
условию AB-M2Mi = 0, т. е.
[Ха-(1 — X)Ь\ ■ (а — Ъ) = 0,
отсюда Xa2 + (1 — X) Ь2 = 0. Если а = Ь, то числаХ, а значит, и точки М не существует. Если афЬ,
b2
то х *= ь* — а2
пример, b > а, то AM
и АМ~-
Ь2-
• (а — b). Если, на-
b2 Y а2 -}- b2 AD-AB
Ь2 — а2
AD—BD•
где D — основание высоты, опущенной из вершины прямого угла.
752. 	Пусть а, Ь, с — попарно линейно независимые векторы плоскости Е, рассматриваемой как действительное векторное пространство. Доказать, что если линейное преобразование f плоскости Е удовлетворяет условиям
f(a)=6, f(6)=c, f(c)=a,
то трехкратное последовательное применение преобразования f оставляет неизменным любой вектор.
Решение. Легко проверяется, что /3 (а) = = f (f(f (а))) = а и f*(b) = b. Но векторы а и b ли-, нейно независимы, так что каждый вектор х£Е представляется в виде линейной комбинации аа+$Ь. Следовательно,
/3 (•*) — /* (аа + Р6) = “/* («) + Р/* (6) = «в + рб = X,
что и требовалось доказать (в последнем утверждении мы воспользовались тем, что /3 — линейное преобразование).
75


Заметим, что в условии задачи достаточно было потребовать, чтобы какие-либо, а не любые два из трех векторов а, Ь, с были линейно независимы; решение при этом практически не изменится ввиду равноправия данных векторов в условии. Чуть более сложно проводится решение, если предполагать только то, что не все эти векторы равны между собой.
753. 	Пусть alsaz, .., ап — разлияньуе корни многочлена /(х) степени п. Найти такие числа At, чтобы при любом х ф аь было справедливо равенство
1
гг- 2
а,
/ (л:) л: — щ
i=i
Решение. Запишем рассматриваемое равенство в виде
1
/ (*) — /(« О
X — а.
А\ +■ *•• +
Х — ап
Переходя теперь s левой и правой части к пределу при х-^о-ъ получим равенство
1 =/' (ai) Alt
откуда А, — f'J^y (f'(ai)^0» так K2K все К0РКИ
многочлена /(.*) различны). Аналогично находим
остальные коэффициенты: Ai =
Отметим, что многие читатели в своих решениях не использовали производной, а применили метод неопределенных коэффициентов, получая при этом п
формулу
Ai * —— ak)~*• Для сравнения полу-
Q, д. л.
ченных двух формул для коэффициентов Ai мы рекомендуем практически вычислить эти коэффициенты для многочлена f(x) = xn — 1, что требуется,
например, для интегрирования функции ^
1 *
k- 1
754. Сколько квадратных корней из нуля существует в кольце вычетов по модулю 1152?
Решение. Число а является квадратным корнем из нуля в кольце вычетов по модулю 1152 тогда и только тогда, когда его квадрат (как целого числа) делится на 1152; так как 1152 — 27 • З2, то это осуществляется, очевидно, когда разложение числа а на
простые множители содержит не менее 4 двоек и по
крайней мере одну тройку; иными словами, число а должно делиться на 48. Среди чисел от 0 до 1151 таких чисел 24, и, таким образом, в данном кольце вьь четов имеется 24 квадратных корня из нуля.
755. Указать последовательность {дсп} действительных чисел, удовлетворяющую условию
Wa (Vе (Зл (а с < хп < а + с) &
& g/г (Ь — с < хп < Ь ~Ь с)) а « Ь)
(а, 6, с — положительные действительные числа). Что можно сказать о сходимости такой последовательности?
Решение. Данная логическая формула равносильна следующей:
а а а* (Vе (3'! (а~с<хп<а+с)&
&^п(Ь — с <1 хп < b -(- с) &а ф У).
Эта новая формула означает, что существуют два различных (положительных) числа а и b такие, что в произвольней окрестности каждого из этих чисел (радиуса с) найде1ся по крайней мере один член последовательности. Иными словами, последовательность {л:п} имеет две различные предельные точки; такая последовательность, как известно, не может иметь предела. Примером может служить последовательность 1, 2, 1, 2, ....
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 2 ЗА 1970 г.
Аляев А. В. (г. Пачелма Пензенской обл.) —731—733, 736—739, 741—744, 748. Багдасарян Н. (пос. Гадрут Аз.ССР) —731—733, 736—738. Багдасарян С. С. (пос. Гадрут Аз.ССР) — 731—733, 736—738, 741, 742, 744,
747, 748. Богомолов А. П. (г. Петропавловск Каз.ССР) — 732, 733, 736—745, 747, 748. Бортная М. И. (г. Тетиев Киевской обл.) —731—733, 737, 738, 742, 748, 749. Бу- жинский В. С. (г. Воронеж) — 733, 736—738, 742—745,
748. Букобаев Н. (Восточно-Казахстанская обл.) — 732, 733, 736—738, 742, 747, 748. Ветров К. В.
(г. Братск) —731—733, 736—745, 747. Владимиров А. С. (г. Асбест Свердловской обл.)—731, 733, 736—747,
749 751—753, 755. Войтович Ф. С. (г. Могилев) —
731—733, 736—739, 741—745, 748. Гамолич В. Я
(г. Одесса) — 742, 744, 745, 747, 748, 750—754. Головачев Е. А. (Белгородская обл.)—731—733, 736—739,
741—745, 747—755. Гордон В. О. (г. Петровск-Забай- кальский Читинской обл.),— 741, 742, 744—754. Гот-
лер М. Ш. (г. Вильнюс)—731—733, 736—739, 741—745,
747—754. Давыдов У. С. (г. Гомель)—733, 736—738,
741—751 т 753. Дидковский В. П. (Новоград-Волынский Житомирской обл.)—731—733, 737, 738, 741—748,
750—753, 755. Закарлюк С. С. (г. Наманган) — 736— 738 741, 742, 745, 748. Зубилин Н. И. (Орловская обл.) — 732, 736, 738, 739, 741—745, 748, 749. Казанцев Н. А. (Тюменская обл.)—746—749, 751, 753. Калиниченко Ю. В. (г. Запорожье)—731—733, 736—745,
747 755. Каминский К. П. (Киевская обл.)—732, 733,
736 738, 741—745, 747, 748. Кан А. А. (г. Бирюсинск Иркутской обл.) — 733, 736, 7,38, 745, 748. Карнаухов А. Ф. (пос. Покровка Якутской АССР)—731—733, 736—738,
76
740, 742—748, 751. Крылова О. В. (Мурманская обл.) — 731—733, 736—738, 741—745, 748, 751, 753. Куправа А. Л. (г. Сухуми)—737, 738, 742, 745, 748. Кутепов А. К. (г. Кадиевка Ворошиловградской обл.) —732, 733, 736— 738, 742—745, 747, 748, 751. Мамедов Т. А. (г. Нахичевань) — 732, 733, 738, 741, 748. Манукьян М. О. (г. Пет- роплавловск Каз. ССР)—733, 736—738. 741, 742, 747, 748, 750. Менщиков Л. Е. (Челябинская обл.) — 733, 736—738, 742, 748. Нерсесян П. Н. (пос. Гадрут Аз.ССР) — 731—733, 736—738, 741—744, 748. Никитин В. В. (Рязанская обл.)—732, 736—738, 741, 742, 744, 745, 748. Панченко Я. Е. (г. Невинномысск Ставропольского края) — 73S, 742—745, 748. Погосян Н. Б. (Аз. ССР) — 736—738, 742, 745, 747, 748. Пресный Л. Е. (г. Брест) — 732, 733, 738, 743—748. Рашидов X. Р. (г. Ош Кирг. ССР) — 732, 733, 736—738, 741—745, 747, 748. Рокицкий И. А. (г. Винница)—731—733, 736—738,
742—745, 748, 751, 754. Ручкин Д. Д. (Марийская АССР)—731—733, 737, 738, 741, 742, 745—748. Рым- шин А. П. (г. Петропавловск Каз. ССР) — 731, 733, 736—738, 740—742, 747, 750. Савин Б. В. (г. Слободской Кировской обл.)—731—733, 736—738, 742, 743. Саргсян Г. А. (г. Иджеван Арм. ССР) — 733, 736—738,
741, 742, 747, 748. Симеонов А. А. (г. Бов, Болгария) — 748, 750—753, 755. Суконник Я. Н. (г. Киев)—731 — 733, 736—738, 740—754. Урбан Н. Т. (г. Наманган Узб. ССР)—731—733, 736—738, 741—744, 747, 748. Харченко А. Е. (Хмельницкая обл.) — 731—733, 736—738,
742—745. Цхай Т. Т. (г. Андижан Узб. ССР)—731 —
(Продолжение см. на стр. 96)


ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
От автора: эта история произошла в одном из вузов на вступительных экзаменах.
СЭМ спокойно ждал. Ведь он был СЭМ — спокойная экзаменационная машина. Т минут назад он предложил лохматому абитуриенту простенький пример и рассчи-
Т
тывал получить ответ ну не более чем через t < -g-
минут. Но лохматому этот пример не показался уж очень простым, и первые t\ > t минут он провел в некоторой растерянности. СЭМ даже стал немного нервничать, хотя он и был СЭМ — спокойная экзаменационная машина. Однако лохматый, справившись с первым впечатлением, уже нашел путь решения, его авторучка медленно, но уверенно скользила по бумаге, и к нему постепенно возвращалась прежняя несколько чрезмерная уверенность в себе.
Поэтому СЭМ спокойно ждал. Он не старался подсмотреть, что лохматый пишет там, на своем клочке, хотя в противоречие с распространенным мнением, он мог воспринимать и обычный человеческий почерк, не требуя переработки информации в специальные сигналы. Но помимо всего он был СЭМ — серьезная экзаменационная машина — и понимал, что на серьезном экзамене нужно быть абсолютно точным, а каракули лохматого были больше похожи на крючки вавилонской клинописи, чем на нормальные математические знаки.
Наконец лохматый резко оторвался от стола и поставил решительную точку. Затем, даже не взглянув еще раз на произведение рук своих и ума своего, он набрал на пульте СЭМа решение. При этом он улыбался, счастливый тем, что СЭМу не удалось поставить его в тупик. Конечно, он пережил несколько неприятных минут, когда ему было предложено упростить выражение
/9 + 6а + а2 + /9 — 6а + аг .
Он вообще не любил иррациональных выражений и только твердо знал, что, решая иррациональные уравнения, их надо возводить в квадрат, отчего появляются посторонние корни и происходят разные неприятные вещи. Но ведь это было даже и не уравнение! Однако присмотревшись внимательно к обоим радикалам, он облегченно вздохнул — оба подкоренных выражения были полными квадратами:
9 + 6а + а2 = (3 + а)2, 9 — 6а + а2 = (3 — а)2. Дальнейшее было делом голой техники:
/9 + 6а + а* + /9 — 6 а + а2 = З+а+З— а = 6.
Здесь он и поставил с полным удовлетворением жирную точку.
На пульте СЭМа он набрал ответ — число 6. Но мелодии популярной песни «А у нас во дворе», которую по предварительной договоренности с лохматым исполняло специальное устройство СЭМа в случае правильного ответа, лохматый не услышал. Вместо этого загорелись красные лампочки с номерами 638, 639, с 1032 по 1037, и какая-то зеленая лампочка без номера. От неожиданности лохматый снова растерялся и даже не мог расшифровать этот сигнал. Придя в себя, он понял, что красные лампочки предлагают ему подставить в левую часть а — 4. Сигнал зеленой лампочки так и остался нерасшифрованным, но задание было ясно, и лохма¬
тый погрузился в вычисления. Ему непонятно было, что же все-таки произошло, и, прежде чем подставлять 4 в левую часть, он проверил выкладки. Все было верно! Недоумевая, он принялся выполнять задание, и из-за всех этих волнений его каракули стали еще больше похожи на вавилонскую клинопись.
/9 + 6-4+16 + /9 — М+ 16 » /49 + /Г = 8.
Взглянув на правую часть, он оторопел — ведь там стояло 6! Что за шутки?! Еще раз проверив вычисления, он убедился, что все проделано правильно — в обоих случаях правильно! Но восемь-то не равно шести, уж это ясно.
Глядя на метания лохматого, СЭМ зажег синюю лампочку 24. Это означало «не волнуйтесь, разберитесь во всем по порядку». Ведь это был СЭМ — сочувствующая экзаменационная машина. Это немного успокоило лохматого, и, взглянув в потолок, он начал размышлять.
Ясно, что в числовых выкладках ошибок нет, и подкоренные выражения подсчитаны верно, и корни извлечены правильно. Значит, ошибка в первом рассуждении. То, что 9 + 6а + а2 — (3 4- а)2 и 9 — 6а 4- а2 = = (3 — а)2, тоже очевидно, ведь квадраты суммы и разности слишком элементарные формулы, чтобы в них ошибаться. Остается последнее равенство. Это равенство получилось, когда он извлекал корни
/(3 + а)г = 3 + а, /(3 — а)2 = 3 — а.
Значит, одно из этих равенств неверно. «Но ведь они оба очевидны», — мелькнула мысль, но лохматый сразу отогнал ее — более сомнительных мест во всем рассуждении не было. Он был очень уверен в себе, этот лохматый! Он чувствовал, что собака зарыта именно здесь. Он даже вздрогнул, когда в голову пришла счастливая идея — ведь корень зла в а — 4! Так проверить эти равенства при а = 4, и дело с концом:
/(З+lj2 = /49 = 7 = 3 + 4 — это верно,
/■(3 — 4)2 = yr 1 =1=3 — 4, а это уже ерунда.
Итак, при а = 4
Y (3 — а)2фЗ — а.
Это было странно, но верно, и он сообщил СЭМу свою ошибку. СЭМ удовлетворенно зажег желтую лампочку 211 и попросил решить пример заново.
Дело приняло для лохматого серьезный оборот. Найдя ошибку, он был так доволен, что даже не попытался объяснить ее, понять, почему же при извлечении квадратного корня из квадрата некоторого числа получается не само исходное число, а совсем другое. Но он был совсем не прост, этот лохматый! Ободренный первым успехом, он совсем уже успокоился, и его мысли потекли плавно, не сталкиваясь друг с другом, а каракули стали отходить от вавилонской клинописи, что само по себе было уже некоторым прогрессом.
Он рассуждал «■/9 — 6я -f а2 я записал как У(3 — а)2 и в результате получил неверный ответ 3 — я. Но я его мог записать иначе — как Y(а — З)2 и после извлечения корня получил бы другой ответ: а — 3. И при а = 4 все бы совпало. Так вот где правильный ответ! Впрочем, стоп ... Чем этот ответ лучше предыдущего? Тот неверен при а = 4 а этот, ну скажем ... при а = 1. Зато первый при а = 1 верен. Странно, что же теперь делать?»
Он заметил, что зеленая лампочка с нерасшифрованным сигналом загорелась еще ярче. Она светила мягко, спокойно, и он был уверен, что это хороший сигнал. Как и все спасительные идеи, эта идея пришла внезапно: он вспомнил, что знак радикала, который, кстати, в его каракулях уже принял вполне приличный вид у ,
77


означает по определению арифметический, т. е. лоло- жительный корень из подкоренного выражения!
Именно поэтому, если а — 3 > 0, как это было при а = 4, верен ответ У9 — 6а -f а2 = а — 3, а при а — 3 < 0, как это было при а = 1, верен ответ У 9 — 6а + а2 = 3 — а. Он не забыл и про «крайний»
случай а = 3, когда У 9— 6аа* равен и а — Зи
3 — а ведь оба эти выражения равны тогда 0. Минутное сомнение — что же предпочесть, а — 3 или 3 — а — и корень расписан:
. — (а — 3, если а — 3 0,
У 9 — 6 а + а2 — J Л Л
(3 — а, если а — 3 < 0.
Но с применением понятия абсолютной величины действительного числа можно записать это более коротко:
У 9 — 6а -{“ а2 == | а — 31.
(При этом знак | J он написан именно так: | |, а не \ / или | /. Но он был достаточно опытен, этот лохматый, и потому вспомнил и о первом радикале, и сразу написал верное равенство:
9 -j- 6а л2 — I 3 а
Следовательно, данное выражение равно | а + 3 I + + \ а — 3 |. Он не успел набрать ответ на пульте СЭМа, потому что его почерк был уже такой четкий, что СЭМ понял все с листа и не боялся ошибиться.
Через несколько секунд раздалась музыка, но это не была обещанная популярная песня «А у нас во дворе» — любимая песня лохматого. Специальное устройство СЭМа исполняло не менее популярную песню «Пусть всегда будет солнце». Ведь это был СЭМ — странная экзаменационная машина.
Но лохматый был слишком взволнован и даже не заметил подмены. Он выиграл этот напряженный поединок. Единственное, чего он не понял, — что означает зеленая лампочка. Но это его уже больше не занимало, и довольный он вышел из аудитории.
СЭМ был доволен. Он не считал себя побежденным — он сам вел лохматого к победе. Скорее всего это даже их общая победа. И поэтому ярко горела зеленая лампочка, назначения которой так и не понял, да и не должен был понимать лохматый, — СЭМ просто улыбался. Ведь это был СЭМ — славная экзаменационная машина.
П. Р. ПЛОТНИКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1970/ 71 УЧЕБНЫЙ ГОД
Январь
3 января — 50 лет со дня рождения советской женщины-математи- ка Изабеллы Григорьевны Башмаков о й. Она родилась в Ростове-на- Дону, окончила Московский университет (1944), кандидат физико-мате- матических наук (1948), доцент (1949), доктор физико-математических наук (1962). Работает в Московском университете. Основные работы И. Г. Баш- маковой относятся к истории античной математики, а также к истории отечественной математики.
5 января —100 лет со дня рождения итальянского математика, члена Национальной академии деи Лин- чеи в Риме Федериго Энрикеса (1871—1946). Энрикес родился в Ливорно. Был профессором Болонского, затем Римского университетов. Его труды относятся главным образом к области проективной и алгебраической геометрии, теории алгебраических уравнений и функций (см. Биографический словарь деятелей естествознания и техники, т. 2, М., 1959).
7 января —100 лет со дня рождения известного французского математика Эмиля Б о ре л я (1871— 1956) — члена Парижской АН (с 1921 г.). Борелю принадлежит инициатива создания нескольких отраслей современного математического анализа. Основная работа Бореля серия «Собрание монографий по теории функций» в течение многих лет оказывает существенное влияние на работы в области теории функций. Ряд работ Бореля посвящен различным вопросам математической физики и теории вероятности. Неко¬
73 '
торые работы Бореля переведены на русский язык, в частности «Элементарная математика» (Арифметика и алгебра— 1922, Геометрия — 1923) (см. Биографический словарь деятелей естествознания и техники, т. 1, М., 1958).
13 января — 70 лет со дня рождения советского математика Владимира Абрамовича Тартаковско- г о. Тартаковский родился в Киеве, окончил Киевский университет (1922), аспирантуру при Ленинградском университете (1928), доктор физико-математических наук (1935), профессор (1936). В 1930—1952 гг. работал я Ленинградском университете, с 1944 г.— в Ленинградском институте точной механики и оптики. Тартаковский известен своими глубокими исследованиями в ряде областей математики (см. «Успехи математических наук», т. XVI, вып. 5, 1961; «История отечественной математики», т. 3, Киев, 1968).
14 января — 60 лет со дня рождения советского математика, академика АН Азербайджанской ССР, заслуженного деятеля науки X а л и л о- в а Заида Исмаил-оглы. 3. И. Халилов родился в Тбилиси, окончил Азербайджанский пединститут (1932), доктор физико-математических наук (1946),! профессор (1946). С 1932 по 1941 г. 3. И. Халилов преподавал в Тбилисском институте инженеров железнодорожного транспорта. С 1942 г. работает в АН Азербайджанской ССР, с 1950 г.— директор Института физики и математики АН Азербайджанской ССР, с 1957 г.— вице-президент АН Азербайджанской ССР,
Основные научные работы 3. И. Халилова относятся к дифференциальным и интегральным уравнениям, математической физике и другим разделам современной математики (см. «Успехи математических наук», т. XVI, вып. 5, 1961).
18 января — 70 лет со дня рождения советского математика, академика Ивана Георгиевича Петровского (см. «Математика в школе», 1961, № 3; «Успехи математических наук», т. XVI, вып. 3, 1961).
31 января — 75 лет со дня рождения советского математика Софьи Александровны Яновской (см,
«Математика в школе», 1965, № 2).
Февраль
10 февраля — 60 лет со дня
рождения советского математика, президента Академии наук СССР, академика Мстислава Всеволодовича Келдыша (см. «Математика в школе», 1961, № 4).
11 февраля — 80 лет со дня рождения советского математика, члена-корреспондента АН СССР Ивана Ивановича Привалова (см. «Математика в школе», 1966, № 1).
16 февраля — 80 лет со дня
рождения советского математика, академика Николая Ивановича М у с- хелишвили (см. «Математика в школе», 1961, № 4).
17 февраля—75 лет со дня
рождения советского математика, члена-корреспондента АН Украин¬
ской ССР Евгения Яковлевича Реме- з а (см. «Математика в школе», 1966, № 1).
А. 	И. БОРОДИН
(г. Донецк)


ЯН АМОС КОМЕНСКИЙ! (1592—1670) И ЕГО ВРЕМЯ
В конце XVI и начале XVII в. в Западной Европе шла борьба между выросшими прогрессивными силами и умирающим средневековьем. Передовая интеллигенция, вышедшая из народа, отстаивала его интересы. Реакционные силы во главе с римским папой воинственно защищали антинародные интересы, создав для этого орден иезуитов. Огнем и мечом реакционные феодалы вместе с католической церковью уничтожали все прогрессивное. Об этом говорят следующие факты.
1. В 1543 г. появилась папская булла, осудившая учение Коперника «Об обращениях небесных сфер». Папа потребовал сжечь книгу Коперника. Так как книга вышла в день смерти Коперника, то смерть спасла его от физического наказания.
2. В 1600 г. был сожжен на костре передовой итальянский мыслитель Джордано Бруно (1548—1600), материалист и атеист, смелый критик средневековой схоластики, лектор университетов Парижа, Оксфорда, писавший «О бесконечности вселенной и мирах».
3. В 1616 г. проходит первый процесс над величайшим математиком, физиком, астрономом Италии Галилео Галилеем (1564—1642), осмелившимся развивать запрещенные римской католической церковью идеи Коперника.
4. В 1619 г. был казнен инквизицией, приняв мученическую смерть на костре, автор «Диалогов о природе» вольнодумец Лючилио В а ни ни (1585—1619), осмелившийся отстаивать антирелигиозные идеи.
5. В 1621 г. в Париже был сожжен Жан Фонта- н ь е, обвиненный в атеизме.
6. В 1633 г. суд инквизиции в Риме вторично привлек к ответственности Галилея, который под страхом смерти вынужден был отказаться от своего убеждения и правильного учения и подписать унизительный текст отречения, «стоя на коленях, в одной рубашке, перед сонмом кардиналов, при большом стечении церковной и светской знати».
Ян Амос Коменский родился в 1592 г. в небольшом моравском городе Нивнице, на землях Западного Славянства, в семье мельника из местечка Комны, от которого и образовалось прозвище простого человека
(из Комны), перешедшее в фамилию Коменский. Отец оттуда и переселился в Нивницу. Семейство Коменских и их дедов входило в народную общину «Моравское братство», являвшуюся религиозно-политическими потомками «гуситов». Известно, что великий чешский патриот и мыслитель Ян Гус (1369—1415), вождь реформизма, вдохновитель чешского освободительного движения за свое учение, резко отступавшее от учения католической церкви, по постановлению Констанекого собора в 1415 г. был сожжен на костре. Последователи Гуса образовали два течения: умеренные и табориты — более радикальное. Табориты были разбиты. «Моравское братство» и являлось остатками таборитов. В общине соблюдалась выборность и забота о больных и бедных. После Белогорской битвы 1620 г. «Моравская община» была разгромлена феодалами и католической церковью.
Амос рано лишился родителей и жил на попечении опекунов. Сначала он посещал братскую школу, 16 лет поступил в латинскую средневековую школу в Преро- ве, изучал схоластические мудрости, как и Ломоносов, он был переростком в школе и особенно остро воспринимал мертвый дух сложившейся средневековой школы. Здесь уже он думал о тяготах школьного учения и освобождении от этого ига. Позднее, в своем труде «Великая дидактика», он писал: «Я сам, один из многих тысяч, несчастный человек, у которого привлекательнейшая весна всей жизни, цветущие годы юности погибли жалким образом, проведенные в схоластических пустяках. Ах, сколько раз, когда мне дано было видеть лучшее, воспоминание о пережитом времени жизни вызывало у меня вздохи из груди, слезы из глаз, боль в сердце! Ах, сколько раз эта боль заставляла меня восклицать: если бы только вернул мне Юпитер прошедшие годы! Но напрасны эти желания: прошедший день не возвратится более; остается только одно, только одно и возможно: насколько мы в силах, позаботиться о наших потомках».
20 лет Коменский был направлен общиной в Гер- борнский университет, связанный с «Моравским братством», чуждый реакционного католического Влияния, хранивший в чистоте учение церкви реформаторов. Этот университет имел четыре факультета: теологический, юридический, медицинский и философский. Коменский изучает теологию и дидактику. В 1613 г. он стал студентом Гейдельбергского университета, где настолько увлекся предметом и методами математики и ее приложениями, что приобрел за большую цену рукописи Николая Коперника «Об обращениях небесных сфер» (печатный подлинник по распоряжению папы римского был сожжен). Коменский завершает образование путешествием по Западной Европе.
В 1614 г. Коменский был назначен руководителем школы в Прерове, в которой он раньше получил среднее образование. Здесь он создает свой первый труд «Правила более легкой грамматики».
Когда Амосу исполнилось 24 года, братство избирает его священником, он женится. В 1618 г. его переводят в г. Фульнек, где он одновременно с обязанностью священника исполняет ректорскую должность в школе братства. Здесь молодой Коменский всей душой отдается воспитанию членов своей общины. Летом он проводит экскурсии для детей, на которых учит их познавать природу. Сам изучает философскую и педагогическую литературу и размышляет. Занялся картографией и выполнил карту Моравии, напечатанную в 1627 г. («Новая карта Моравии, тщательно исполненная на основании прежних»). Эта карта много раз издавалась, и ею пользовались в XVII в.
В 1618 г. началась Тридцатилетняя война (1618— 1648). Чехи отказались признать нового императора и
79


вначале успешно отражали императорские войска, но в 1620 г. потерпели поражение при Белой горе. Начались казни, реквизиция имущества и владений, изгнание священников. В 1621 г. войска католической коалиции берут и сжигают г. Фульнек. В огне погибает библиотека и рукописи молодого Коменского, спасшегося бегством. Возникает чума, от которой умирают жена и дети Коменского. Но даже это тяжелое горе не сломило волю великого патриота. Своим личным примером он вселял в таких же многострадальных соотечественников дух непримиримости.
Среди трудов этого периода наиболее важным является его работа философско-социального направления «Лабиринт мира и рай сердца».
В 1627 г. был опубликован императорский указ, по которому католическое вероисповедание признавалось единственной религией в Чехии. Знати и городским жителям давался шестимесячный срок, в течение которого они должны или перейти в католичество, или покинуть родину, оставив имущество и имения. Этот указ не давал права крестьянам выселяться из Чехии. В 1628 г. более 30 000 семей протестантов: дворяне, купцы, ремесленники и отдельные крестьяне — покинули родину и направились частью в Польшу, частью в Венгрию. Коменский со своими соотечественниками нашел прибежище в Польше и обрел вторую родину в г. Лешно, где стал преподавателем гимназии. Он изучает «Город Солнца» Томмазо Кампанеллы (1568—1639) и европейское реформаторское движение, связанное с церковью, возглавляемой Лютером, Кальвином, Меланхто- иом. Еще в большей степени его увлекли педагогические искания XVI в. Он знакомится с произведениями Франсуа Рабле (1494—1553) «Гаргантюа и Пантагрюэль», Мишеля Мон теня (1533—1592) «Опыты», Вольфганга Ратихия (1571—1635), Пьера Рамуса (1515—1572) «Школьная математика» (профессор Парижского университета), Луиса В и веса (1492— 1540) «О душе и жизни» (испанский педагог-философ, сторонник 'опытного изучения природы), Фрэнсиса Бэкона (1561—1626) «Новый органон».
АмосчКоменский взял из прошлого все лучшее, прогрессивное и приступил к созданию передовой теории педагогики и построенной на ней передовой практики.
Многие прогрессивные философы XVII в. Бэкон, Декарт, Паскаль, Локк, Спиноза, Лейбниц занимались проблемой метода научного познания. Например, основная работа Рене Декарта (1637) называлась «Рассуждение о методе, дабы хорошо направлять свой разум и отыскивать научные истины». Коменский также ищет научный метод педагогики, формирующей разумного человека, ведущего полезную деятельность в намечающихся новых общественных отношениях.
Для Чехии складывались благоприятные условия: в 1630 г. шведская армия взяла Прагу и восстановила протестантское вероисповедание. У изгнанников появилась надежда вернуться на родину. Коменский спешит дописать начатый фунда1У ентальный труд «Дидактика». Рукопись была закончена в 1632 г., но издана позднее. В 1630 г. выходит труд Коменского «Школа материнского лона», а в 1631 г.— «Открытая дверь языков и всех наук», где даны слова в сочетании с реальными предметами в хороших рисунках. Книга быстро получила признание и распространилась во многих государствах: появляется ее перевод в Испании, Англии, откуда завозится в Северную Америку, в Германии, где она была названа золотой книгой, в Швейцарии, Франции. Один из современников Коменского писал о том, что, «если бы Коменский издал только одну эту книгу, он и тогда обессмертил бы себя».
В 1632 г. Коменский издает учебник «Обзор физики», который переиздается в Лейпциге, Амстердаме, Париже, Лондоне, переводится на латинский язык.
В 1632 г. императорские немецкие войска разбили шведов и они отступили из Праги. Это лишило надежды Коменского вскоре вернуться на родину.
Коменский, увлеченный идеями развития педагогической науки, задумал создать новый труд «Дверь вещей, или Врата мудрости». Книга выходит в 1639 г. под названием «Предвестник всеобщей мудрости, в котором основательно, ясно и изящно доказывается необходимость, возможность и польза этого удивительного и совершенно несравненного труда».
В 1635 г.' Коменский был избран ректором гимназии в Лешно. По совету друзей он переводит с чешского на латинский язык основное свое произведение —«Великую дидактику», так как латинский язык был в то время международным языком науки.
Меценат, покровитель наук, Самуэл Гартлиб узнает, что Коменский живет бедно, как изгнанник, посылает ему теплое письмо и некоторую сумму денег и просит прислать подготовленные к печати рукописи. Через несколько месяцев рукописи были изданы под названием «Введение к опытам Коменского. Открытая дверь мудрости, или ееминариум христианской пансофии». В 1639 г. эта книга вышла вторым изданием под названием «Предвестник пансофии» («Предвестник всеобщей мудрости»). Вскоре она издается в Париже и Лейдене, затем в Англии. Это сочинение приковало внимание просвещенных людей Европы. Профессор математики в Гамбурге, Ж- А. Тасс писал: «Каждый уголок Европы горит желанием изучать пансофию». С этой работой ознакомился Рене Декарт. Оценивая этот труд, Декарг признает, что Коменский является «человеком могучего ума и великих идей и, сверх того, обнаруживает благородную ревность к общественному благу».
В конце 30-х годов XVII в. Коменский пишет работу «Кузнец счастья, или Искусство советовать самому себе».
Сенат муниципалитета г. Бреславля установил, что в местной гимназии занятия шли по изданным книгам Коменского, и просил его дать указания, как лучше ими пользоваться. В 1637 г. Коменский послал сенату г. Бреславля «Дидактические указания о способе изучения латинской речи в четырех ступенях, исходя из принципов подготовленной, но неопубликованной «Великой дидактики». В 1638 г. «Великая дидактика» была завершена на латинском языке. Коменский послал эту работу на отзыв своему другу Иахиму Гюбнеру. Последний прислал ответ с опозданием. Отзыв имел замечания отрицательного характера. В связи с этим Коменский решил пока не издавать «Великую дидактику».
Коменский увлекается постановкой ученических спектаклей, для которых он пишет пьесы: «Воскресший циник Диоген», «Патриарх Авраам» и др. Целью их являлось возбуждение у учащихся интереса к учебным занятиям.
В 1641 г. Коменского приглашают в Англию для осуществления идеи пансофии. Находясь в Англии, он написал работу «Путь света», в которой развивает идею всеобщей гармонии и мира между народами и ставит вопрос о создании международного языка. В это время в Англии разгорелась гражданская война, и вопросы культуры были отодвинуты на второй план.
Ожидая исхода политических событий в Англии, Коменский получил приглашение приехать в Швецию, чтобы целиком отдаться научной работе. Перед отъездом он получает приглашение из Франции, но не изменяет своего решения» По дороге в Швецию Коменский ненадолго останавливается в голландских городах, где его с радостью встречали представители местной интеллигенции. Во время пребывания в Лейдене Коменский посетил проживающего там Рене Декарта. Беседа продолжалась более четырех часов.
80


В это время Коменский получил приглашение занять место ректора в Гарвардском университете (Северная Америка). Здесь он узнает, что его труд «Дверь вещей, или Введение в пансофию» переводится на турецкий, арабский, персидский и монгольский языки. По пути в Швецию Коменский был торжественно встречен в Бремене и Любеке.
В 1642 г. он прибыл в Швецию, где ему предложили вести занятия по латыни по его новому методу. Коменский увлекался в это время другим — построением «пансофической школы», и такое предложение его не вполне устраиЕало. Однако, надеясь получить от могущественного в то время Шведского королевства помощь в возвращении чешских изгнанников на родину, Коменский согласился на неинтересное для него предложение. Занявшись практикой и теорией развития своей методики, переданной в книге «Дверь вещей, или Введение в пансофию», Коменский дополняет ее третьей частью «Дворец». В 1647 г. он закончил труд «Новейший метод преподавания языков», основанный на принципах его «Великой дидактики». Не успел Коменский выполнить взятые обязательства перед шведами, как получил приглашения из Голландии и от «братьев», звавших в Польшу и Венгрию. Коменский избирает последнее. В 1648 г. заключением Вестфальского мира заканчивается Тридцатилетняя война и Коменский узнает, что чехи-моравы обмануты в своих надеждах. При дележе европейских земель чешская нация была окончательно отдана во владение немецким Габсбургам с их католической верой, преследующей протестантов.
Рассеянные по Польше, Венгрии, Пруссии, Силезии, «братья» — чехи-моравы — выделили свой актив, который собрался и постановил сохранить свою организацию «братства», избрав своим епископом Яна Амоса Коменского. Вскоре Коменский с семьей из Лешно переселяется в Шарош-Патак — столицу Трансильванского княжества. Здесь выходят его работы: «О культуре
природных дарований или способностей» (1650), «Пан- софическая школа, т. е. школа мудрости» (1651), «Об изгнании из школы косности» (1651), «Похвала истинному методу» (1651), «О пользе точного наименования вещей» (1651), «Правила поведения юношества» (1653), «Выход из схоластического лабиринта на равнину» (1655), «Мир чувственных вещей в картинках, или Изображение и наименование главнейших предметов в мире и действий в жизни» (1658), которая была переведена на все европейские языки. В этой последней книге для классного чтения, увлекавшей подростков и взрослых, изображены явления природы и труд людей, что возбуждало интерес и внимание учащихся. Позднее, в XVIII в., эту работу особенно оценили Гёте и Гер дер за изображение действий, показывающих предметы в движении. Здесь же выходит «Школа-игра, или Живая энциклопедия, т. е. знание практической двери языков».
В 1654 г. Коменский написал трактат «Счастье народа», где изложил нужды народа вообще и венгерского в частности, а в конце обращается к венгерскому князю Ракочи с просьбой защитить угнетенных и очистить Чехию от врагов. Коменский возвращается в Лешно, где занялся с увлечением своими изысканиями в пан- софии.
В 1656 г. вновь вспыхнула война. Жители бросили свои дома и имущество и бежали в леса Силезии. Многие по пути погибли в болотах. Войска разграбили город, и через несколько дней от Лешно остались только груды развалин. Погибло все: архив, библиотека, типография. Коменский потерял свою библиотеку, большую часть рукописей, дом, имущество. Ко всем бедствиям войны присоединились массовые болезни, и чешские изгнанники рассеялись по разным странам. В этот тяжелый момент жизни Коменский получил приглашение из
Голландии, которое он с благодарностью принял. Сенат Амстердама постановил полностью опубликовать сочинения Коменского. Коменский пользовался в Голландии самым почетным гостеприимством. Здесь в 1657 г. появляется его главный труд «Великая дидактика» (на латинском языке): «Великая дидактика, содержащая универсальную теорию учить всех всему или верный и тщательно обдуманный способ создавать по всем общинам, городам и селам каждого христианского государства такие школы, в которых бы все юношество того и другого пола, без всякого, где бы то ни было, исключения, могло обучаться наукам, совершенствоваться в нравах, исполняться благочестия и таким образом в годы юности научиться всему что нужно для настоящей и будущей жизни. Кратно, приятно, основательно, где для всего, что предлагается, основания почерпаются из самой природы вещей; истинность подтверждается параллельными примерами из области механических искусств; порядок распределения по годам, месяцам, дням и часам, наконец, указывается легкий и верный путь для удачного осуществления этого на практике.
...Руководящим началом и целью нашей дидактики да будет следующее: изыскать и открыть способ, при котором учащие могли менее учить, а учащиеся научиться большему, в школах было бы меньше шума, одурения и напрасного труда, а больше тишины, радости и прочного успеха».
На заглавном листе дана виньетка, где написано: «Rebus omnia sponte fluant, absit violenta» («Пусть все свободно течет, прочь насилие»). Дальше идут 33 главы «Великой дидактики». Приведем положения, развиваемые в содержании глав, кроме некоторых, не представляющих, на наш взгляд, значимости для всего труда.
I. 	Человек есть самое высшее, самое совершеннейшее и превосходнейшее творение.
V. Семена образования, добродетели и благочестия заложены в нас от природы.
VI. Человеку, если он должен стать человеком, необходимо получить образование.
VII. Образование человека с наибольшей пользой происходит в раннем возрасте. Оно даже только в этом возрасте и может происходить.
VIII. Юношество должно получить образование совместно, и для этого нужны школы.
IX. Школам нужно вверять молодежь обоего пола.
X. Обучение в школах должно быть универсальным.
XI. До сих пор не было школ, вполне соответствующих своему назначению.
XII. Школы можно преобразовать к лучшему.
XIII. Основою преобразования школ является точный порядок во всем.
XIV. Точный порядок для школы следует заимствовать у природы.
XVI. Общие требования обучения и учения, т. е. как учить и учиться.
XVII. Основы легкости обучения и учения.
XVIII. Основы прочности (основательности) обучения и учения.
XIX. Основы кратчайшего пути обучения.
XX. Метод наук в частности.
XXI. Метод искусств.
XXII. Метод языков.
XXIII. Метод нравственного воспитания./
XXVI. О школьной дисциплине.
XXVII. О четырехступенном устройстве школ в соответствии с возрастом и успехами учащихся.
XXVIII. Очерк (идея) материнской школы.
XXIX. Идея школьного родного языка.
XXX. Очерк латинской школы.
61


XXXI. Об академии, путешествиях и коллегии света.
XXXII. О всеобщей совершенной организации школ.
XXXIII. Об условиях, необходимых для практического применения этого всеобщего метода.
В Голландии Коменский, не переставая заниматься пансофией, особое внимание уделял освобождению своей родной Чехии, составляя обращения к правительствам, послания к «братьям».
Лебединой песней 77-летнего старца Яна Амоса Ко- менскогэ является его автобиографическое сочинение «Единственно необходимое», где он подводит итоги жизни, где говорит: «Вся моя жизнь протекала не в отчизне, а в странствованиях, мое пристанище постоянно менялось, и нигде не находил я себе прочного приюта... вся жизнь проходила в человеческих стремлениях и педагогических исканиях».
15 ноября 1670 г. Ян Амос Коменский скончался и был при большом стечении народа — почитателей его таланта и труда похоронен близ Амстердама, в Наар- дене.
Отметим, что известный математик и философ Готфрид Лейбниц (1646—1716) высоко ценил деятельность Коменского, интересовался проблемой образования народа. Он видел господствующий в школе мертвящий дух схоластики и писал: «Предоставьте мне
дело воспитания, и я изменю лицо Европы менее чем в один век». Он настаивал на том, чтобы в школе теория слилась с практикой, называя образно это «счастливым браком народа с наукой».
Готфрид Лейбниц посвятил памяти Яна Амоса Коменского некролог-стихотворение:
Старец блаженный, жилец иного нового мира,
Ныне открытого нам в правдивых твореньях твоих. Смотришь ли ты на людей дела и безумные распри, Сам свободный от них, иль страдаешь ты там,
Иль созерцаешь сущность вещей и небесные
тайны —
Ты надежд не теряй, трудов твоих смерть
Что земле не даны, в пансофии ж раскрыты тобой.
не осилит,
Твой ненапрасный посев почва уже приняла;
Скоро потомство пожнет, на корню уж богатая
жатва;
Эти созданья твои судьба взлелеет для нас. Мало-помалу яснее становится счастливцам
природа:
Если мы силы сплотим — будет удача во всем. Время придет, о Коменский, когда и тебя,
и деянья,
Думы, заветы твои лучшие люди почтут,
Реформа школы проникнет и к нам.
Многогранные педагогические труды и общественная деятельносгь Коменского явились выдающимся вкладом в развитие передовой педагогической мысли. Основные дидактические положения Я. А. Коменского вошли и в современную теорию обучения.
И. К. АНДРОНОВ (Москва)
ИВАН ЕВГЕНЬЕВИЧ ШИМАНСКИЙ
(К 75-летию со дня рождения)
В январе 1971 г. исполняется 75 лет со дня рождения одного из ведущих украинских методистов-математиков, заведующего кафедрой элементарной математики и методики математики Киевского пединститута им. А. М. Горького, профессора Ивана Евгеньевича Шиманского.
И. Е. Шиманский родился 7(19) января 1896 г. в с. Кер- даны Таращанского района Киевской области. Трудовую деятельность И. Е. Шиманский начал уже в
1914 г. учителем сельской школы. В 1915 г. он поступает в Киевский университет, где слушает лекции таких замечательных педагогов, как В. П. Ермаков, Д. А. Граве. Однако первая мировая война, затем гражданская война, в которой Иван Евгеньевич принимает участие как боец Красной Армии, прерывают систематические занятия в университете. Только в 1922 г. он заканчивает университет и в том же году начинает преподавательскую работу в вузах.
Иван Евгеньевич — один из тех педагогов-математиков Украины, которые стояли у истоков высшей школы молодой советской республики. В 1922—1937 гг. он работал в Киевском гидромелиоративном институте, где прошел путь от преподавателя до заведующего кафедрой высшей математики и заместителя директора по учебной и научной работе. С 1938 г. начинается его работа в Киевском педагогическом институте им. А. М. Горького, прерванная в годы Великой Отечественной войны.
С января 1944 г. возобновилась его работа в Киевском педагогическом институте, здесь с 1953 г. он заведует кафедрой элементарной математики и методики математики, продолжая одновременно читать курс математического анализа. В 1944—1953 гг. Иван Евгеньевич совмещал деятельность в пединституте с работой в Украинском научно-исследовательском институте педагогики, в котором на протяжении нескольких лет заведовал сектором методики математики.
В 1947 г. И. Е. Шиманский при Киевском университете защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата педагогических наук, а в 1964 г. он утвержден в ученом звании профессора.
И. Е. Шиманский — руководитель республиканского методико-математического семинара, ответственный редактор республиканского межведомственного научно- методического сборника «Методика преподавания математики». Семинар и сборник сплачивают методические силы республики, направляют их на разработку
82


актуальных проблем современной методики математики.
Проф. Шиманский является автором отдельных разделов вышедших на Украине и пользующихся широкой популярностью среди учителей школ УССР методических пособий: «Очерки по методике преподавания систематического курса арифметики» (1953, республиканская премия им. К. Д. Ушинского), «Методика решения задач на построение» (1960), «Методика стереометрии» (1956), «Преподавание геометрии в средней школе. Планиметрия» (1953) и других.
И. Е. Шиманский является автором учебного пособия для педвузов Украины «Математический анализ», выдержавшего уже два издания. В этом пособии последовательно проведен принцип профессиональной направленности, что обеспечивает усвоение будущими учителями идей и методов математического анализа, непосредственно касающихся школьного курса математики.
Иван Евгеньевич ведет большую работу по подготовке научных кадров в области методики математики, достойно продолжая дело выдающегося украинского методиста А. М. Я с т р я б а. Под руководством И. Е. Шиманского выполнено и защищено более двадцати кандидатских диссертаций.
И. Е. Шиманский — умелый воспитатель студенческой молодежи, человек большой души. Он пользуется авторитетом и любовью и среди педагогической общественности, и среди студенчества.
Пожелаем юбиляру крепкого здоровья и долгих лет плодотворной научно-педагогической деятельности.
И. К. АНДРОНОВ
(Москва)
Б. Н. БЕЛЫЙ
(г. Киев)
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ СЫРНЕВ
(К 65-летию со дня рождения)
Николай Иванович Сырнев родился 14 декабря 1905 г. в Ленинграде. В 1925 г. поступил на педагогический факультет 2-го МГУ (теперь МГПИ имени В. И. Ленина) и в 1930 г. окончил физико-математический факультет института. С 1927 г., будучи еще студентом, Николай Иванович начал педагогическую работу в качестве учителя математики рабочего университета. С 1935 г. и по настоящее время Николай Иванович преподает математику в средних школах Бауман¬
ского и Первомайского районов Москвы. С 1948 г, Н. И. Сырнев начал преподавательскую работу в Московском областном педагогическом институте имени
Н. 	К. Крупской, где работает и по настоящее время на кафедре высшей алгебры, элементарной математики и методики математики. В 1961 г. он защитил диссертацию на степень кандидата педагогических наук по методике математики, а вскоре ему было присвоено звание доцента. Николай Иванович опубликовал 25 печатных работ по вопросам преподавания математики в школах и в пединститутах. Отметим некоторые из них.
1) «Сборник задач и упражнений по арифметике для 5—6 классов» (в соавторстве с С. А. Пономаревым), который был утвержден стабильным;
2) «Теория и практика приближенных вычислений с трансцендентными функциями»;
3) «Арифметика для 5 и 6 классов средней школы» (в соавторстве с С. А. Пономаревым и П. В. Страти- латовым);
4) «Математика» — пробный учебник для IV класса по новой программе (в соавторстве с С. А. Пономаревым и П. В. Стратилатовым).
Печатные работы Н. И. Сырнева получили признание учителей, они позволяют им улучшать постановку преподавания математики.
Николай Иванович имеет 5 правительственных наград; ему присвоено звание заслуженного учителя школы РСФСР. Член КПСС с 1952 г., Николай Иванович проводит большую работу с учителями школ Московской области. В течение ряда лет он является председателем жюри областных математических олимпиад школьников Московской области, проводимых при Педагогическом институте имени Н. К. Крупской.
Пожелаем дорогому Николаю Ивановичу доброго здоровья, многих лет счастливой жизни и новых творческих успехов в его плодотворной научно-педагогиче- ской деятельности.
Г. К. ПОГОНЕЦ, П. В. СТРАТИЛАТОВ
(Москва)
83


КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
д—гнт1нцммш^ииивдид*11йи!'1-»|1тднди1^м8анм1в^шм
Н. 	Я. ВИЛЕНКИН (Москва)
РЕЦЕНЗИЯ НА КНИГУ Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ» 1
Школьников, посещающих факультативные курсы по математике, привлекают к себе различные стороны древнейшей из наук. Одним нравятся строгие логические построения теории чисел или теории множеств, других тянут к себе сложные головоломные задачи. Но очень многим школьникам хочется знать, как справляется математика с решением задач, которые ставят перед ней физика и техника,
К сожалению, школьный курс математики (а зачастую и вузовский) мало говорит об этом. Причин здесь много: и отсутствие достаточного числа учебных часов, и слабая подготовка учителя математики в прикладных вопросах (ведь пединститутские программы имеют резкий перекос в область чистой теории), и многое другое. А главная причина — отсутствие книг, в которых бы ярко и убедительно раскрывалась мощь математики в решении прикладных задач.
О приложениях мало говорится и в большинстве втузовских учебников. Основное внимание в них уделено доказательству истин, о которых академик А. Н. Крылов говорил, что они становятся менее ясными после доказательства, а не выяснению физических источников математического знания.
Книга Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих» совсем не похожа на такие учебники. Автор не'стремится строить математику строго логически, не обращает внимания на редко встречающиеся исключения.
В этой книге «учащийся рассматривается как друг и союзник, который готов поверить педагогу или учебнику и хочет применить к природе, к технике те математические приемы, которые ему предлагают... В строго логическом подходе вопрос о значении и пользе изучаемых теорем остается в тени. В предлагаемой книге на первом плане показаны именно математические идеи и связь их с изучением природы» (из предисловия автора к пятому изданию). Большое внимание уделяется развитию математической интуиции.
1 Изд. 5, М., «Наука», 1970.
Основное содержание книги составляют главы III, V, VI, VII, VIII, в которых на важных примерах показаны приложения математики к разным вопросам геометрии, теории радиоактивности, оптики, механики тел постоянной и переменной массы, молекулярной физики, электродинамики и т. д.
Автор выбирает задачи, для решения которых нужен минимум сведений из высшей математики (производные алгебраических, тригонометрических и показательной функций, простейшие интегралы, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, самые простые степенные ряды).
Решение задач, как правило, начинается с грубой прикидки, основанной на целом ряде упрощающих предположений. Эти прикидки дают качественную картину изучаемого вопроса. После этого составляется дифференциальное уравнение. При этом автор, как и все физики, пользуется «элементарными площадками», «бесконечно малыми промежутками времени» и т. д., не проводя педантичных предельных переходов.
Решение дифференциального уравнения дает точную формулу, выражающую связь между исследуемыми величинами. Обычно в книгах по математике этим и заканчивается разбор вопроса. Но здесь это лишь начало исследования. После получения точной формулы рассматриваются ее различные частные и предельные случаи, в которых полученная формула имеет более простой вид. Проводятся исследования, позволяющие непосредственно получать упрощенные формулы. Автор подчеркивает роль таких выводов, дающих зачастую ответ в случаях, не поддающихся точным методам. Иными словами, происходит обучение физическому мышлению, прикладной математике. При этом подобраны задачи, которые сами по себе должны вызвать интерес учащихся: радиоактивный распад, цепная реакция, критическая масса, поглощение излучения, реактивное движение, электромагнитные колебания и т. д.
В добавлении к книге разобрана дельта-функция Дирака.
В целом глаг<ы, посвященные приложениям математики, написаны рукой большого мастера. В них крупный физик-теоретик приоткрывает перед учениками «кухню» мышления прикладника. Несколько слабее, на наш взгляд, нг.гшеаны главы I, II и IV, посвященные «чистой математике». Во-первых, было бы естественно начать книгу с главы IV, посвященной понятиям функции и графика: в первых трех главах часто используются понятия, определенные лишь в главе IV. Вряд ли полезно в самом начале знакомства с понятием мгновенной скорости выбирать различные промежутки длины Д£, содержащие t. Не оправданы § 10 и 11 главы I. Ведь все необходимые рассуждения были уже проведены в § 8, где устанавливается выражение пути через скорость, т. е. производная пути. Вообще, в математических главах автор слишком робко пользуется физическими соображениями для доказательства математических утверждений. К сожалению, в § 11 отождествляются понятия первообразной функции и неопределенного интеграла. Нет здесь и геометрического смысла первообразной (а отсюда и геометрического истолкования формулы Ньютона-Лейбница). В главе II не выяснены физический смысл производной сложной функции и параметрически заданной. функции (разложение вектора скорости по координатным осям); выяснение этих вопросов позволило бы установить и физический смысл формулы дифференциала длины дуги. Не показан геометрический смысл числа е как основания показательной функции, при котором график у = ах пересекает ось ординат под углом 45°. Слишком сложен геометрический вывод производных тригонометрических функций — достаточно было провести век¬
84


тор линейной скорости для точки, совершающей равномерное вращение.
Можно было бы указать еще ряд методических (а изредка и математических) недостатков этих глав. Но и эти главы пропитаны духом физики — с самого начала речь идет о физических приложениях математических понятий, все величины рассматриваются как имеющие определенную размерность (вообще, соображение теории размерности физических величин используются на протяжении всей книги).
И несомненно, что изучение этой книги (или ее отдельных глав) на факультативном курсе вооружит школьников подлинным знанием начал прикладной математики, полученным из первых рук, вызовет у них интерес к математике и ее приложениям, будет способствовать устранению имеющегося иногда «чистоплюй- ского» отношения к вычислениям как к чему-то второсортному.
В зависимости от числа часов учителю надо отобрать материал для факультативного курса. При этом следует иметь в виду, что часто различные задачи в книге имеют одну и ту же математическую фабулу, а потому можно ограничиться тщательным разбором одной задачи, а остальные рассмотреть лишь в обзорном порядке. При этом надо учитывать подготовку учеников по физике.
Обязательно надо изучить главы I и II и в случае необходимости главу IV. А потом разобрать главы III, V и VI. При этом надо решать приведенные в книге задачи.
Разумеется, в книге разобраны лишь приложения математики к физике и технике, и, быть может, ее было бы правильнее назвать «Высшая математика для начинающего физика». Но задача создания столь же увлекательных книг по приложениям дискретной математики еще очень далека от разрешения.
Г. Б. ГУРЕВИЧ (Москва)
О КНИГЕ А. А. СТОЛЯРА «ПЕДАГОГИКА МАТЕМАТИКИ» 1
Книга А. А. Столяра резко отличается по содержанию от других руководств по методике преподавания математики. В других учебниках по указанному предмету основное внимание уделяется частным вопросам (как преподавать различные разделы математики);
А. 	А. Столяр справедливо считает, что все это следует отнести на семинарские занятия. В лекционный курс должен входить разбор общих вопросов преподавания математики, что и составляет основное содержание книги Столяра. Следует еще отметить, что особое внимание уделяется поднятию уровня логической подготовки учителя и модернизации преподавания математики.
Книга разбита на 24 лекции; лекция I носит вводный характер; она дает в основном программу дальнейшего курса. Замечу, что изложение в ней несколько растянуто, ее желательно сократить.
Часть I (лекции II и III) носит название «Содержание обучения математике». В ней особенно удачна лекция III: «Модернизация математического образования». Здесь мы найдем много интересных и полезных сведений (совершенно правильно автор, соглашаясь с Фрей- денталем, считает, что нужно не столько изучение современной математики, сколько современное обучение математике. См. «Предисловие к пятому изданию», стр. 7). Уделено специальное внимание школам с математической специализацией и факультативным занятиям.
Часть II (лекции IV—XII) самая удачная в книге; она посвящена методам обучения математике. Весьма ценный материал содержится в лекции IV: «Дидактические принципы в обучении математике». Указаны важные дефекты традиционного обучения (п. 2.2).
Очень интересны п. 3 и 4 («Сознательность усвоения» и «Активность учащихся»); особого внимания заслуживают ценные соображения о педагогической активности и о том, что значит «понимать» (на стр. 70—71 даны интересные примеры формальных знаний). В пункте 5.4 находим весьма важные соображения о роли чертежа в преподавании геометрии, хорошо поясненные двумя примерами (на стр. 79).
1 Минск, изд «Вышэйшая школа», 1969.
Лекция IV очень важная и требует значительного расширения, примерно до 80—100 стр. поскольку отдел «Дидактика» в курсе педагогики излагается неудовлетворительно. Здесь необходимо уделить большое внимание вопросу организации урока по математике, указать те серьезные дефекты, которые здесь часто допускаются, остановиться на вопросе о подборе упражнений и задач и т. д.
В лекции V —« Усовершенствование процессов обучения» — обращают на себя внимание стр. 94—99 (определение отношения между двумя множествами с применением обозначений теории множеств и математической логики). К лекции V следует предъявить ту же претензию, что и к лекции IV: ее следовало развить
более подробно. В частности, необходимо было указать и недостатки программированного обучения.
В лекции VI перед учителем ставится весьма серьезная задача обучения математической деятельности; только на таком пути, как показывает автор, возможна подлинная активность преподавателя. Возникающие при этом вопросы детально освещены в лекции VI и в примыкающих к ней лекциях VII («Математическая организация эмпирического материала»), VIII и IX («Логическая организация математического материала»). В лекции VII трактуются приемы, приводящие в математике к правдоподобным заключениям (опыт и наблюдение, индукция и аналогия). В пункте 2.2 рассказано, как, основываясь на наблюдении и опыте, построить изучение осевой симметрии. На стр. 129 приведен поучительный пример ошибочного применения индукции, взятой из школьной практики. На стр. 130—132 на основе рассмотрения электрической схемы хорошо разъясняется идея изоморфизма. Наконец, в п. 5 детально анализируется процесс обобщения и абстрагирования, поясненный на примере (стр. 134—135).
Ценным является указание о том, как надо исправлять ошибочные определения, даваемые учащимся (стр. 143); здесь следовало только найти более сильные выражения. Очень удачны п. 3 и 4 лекции IX (обучение доказательству и локальная логическая организация). На хорошо подобранных примерах освещены два основные приема поиска доказательства: «движение
вперед» и «движение назад» (стр. 160—163); дан подробный логический разбор доказательств двух предложений (стр. 164—167). Локальная логическая организация разъяснена на детально разобранном примере (стр. 168—170). В то же время следует отметить, чго лекция VIII несколько перегружена логическим материалом, в частности, п. 3, на мой взгляд, совсем излишний.
В специальной лекции. (X) рассмотрен яксиоматиче- ский метод в двух аспектах: как способ построения
85


школьного курса (п. 2) и как предмет изучения (п. 3). Пункт 2 черзвычайно краток и нуждается в значительном развитии. В пункте 3 автор правильно отмечает, что геометрия мало подходит для изучения в школе аксиоматического метода. Для указанной цели рекомендуются две темы: теория коммутативной группы и теория булевой алгебры, которые и разбираются иа стр. 177—188.
Относительно лекции XI («Применение теории»), тщательно разработанной и интересной, ограничусь лишь несколькими замечаниями. В пункте 4 даны весьма ценные указания о том, как надо обучать учащихся умению переводить внематематические задачи на язык математики ( стр. 201—202); там же (стр. 203—205) мы найдем справедливую критику так называемого арифметического способа решения задач. Пункт 5 («Общие методы обучения решению задач») заслуживает, несомненно, гораздо большего развития.
Последняя лекция XII части II посвящена вопросу логического развития учащихся, которое, как убедительно показано автором, в настоящее время является неудовлетворительным. В этом отношении весьма показательно изложенное на стр. 213—215 (задачи 1 и 2). Очень интересны п. 3 и 4 («Методика разъяснения смысла и свойств логических операций» и «Методика анализа рассуждений»).
Часть III, носящая название «Формирование и развитие математических идей в школьном обучении», менее удачна. Совсем слабы лекции XV, XVI («Число»), XVIII («Функция (II)», в которой трактуются понятия предела, производной, интеграла»), XXIII («Меры»). В лекциях XV, XVI по существу нет никакой методики; ознакомившись с ними, читатель все-таки не узнает, как надо вводить понятия отрицательного или иррационального числа; особенно непростительно мало сказано об иррациональных числах.
Лекция XVIII почему-то чрезвычайно кратка, хотя здесь говорится о разделах, впервые включенных в программу средней школы. Лекция XXIII полностью дублирует изложенное в лекциях по высшей геометрии; это как раз то, что не следует включать в курс педагогики математики. На мой взгляд, лекции XV, XVI, XVIII, XXIII должны быть изъяты из книги.
Хорошо разработаны лекции XVII («Функция (I)») и XX («Уравнение и неравенство»). Автор справедливо отвергает исторический подход к понятию функции как неоправдывающий себя; вместо этого предлагается логический метод и подробно показано, как его прово¬
дить на шести различных логических уровнях. В лекции XX с вполне современных позиций рассматривается вызывающий столь многочисленные дискуссии вопрос о том, что такое уравнение, тождество и т. д. Предлагаемая в п. 27 терминология, по-моему, вполне приемлема и целесообразна.
Лекция XIII носит название «Язык»; в ней пропагандируется необходимость приближения языка школьной математики к глубоко продуманному и отличающемуся исключительной четкостью языку математической логики. Очень хорошо разъяснены и проиллюстрированы примерами понятия переменной, терма, формулы, вы- сказывательной формы и т. п. Я только полагаю, что в той же лекции надо было сказать о необходимости уделять специальное внимание обучению школьников математическому языку и показать, как это надо делать.
В лекции XIV («Множество и отношение») дано много материала, необходимость которого спорна.
В лекции XIX («Операция») обращают на себя внимание данные на стр. 314—315 хорошие и весьма полезные упражнения. В лекции XXIV («Идея изоморфизма») очень удачен пример, разобранный в п. 3.3. Лекция XXI («Векторы») и XXII («Геометрические преобразования») бледноваты и содержат мало нового. Пример, данный в п. 3.4 лекции XXI, сомнителен, поскольку едва ли можно установить дистрибутивность скалярного произведения, не опираясь на признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Литература, указанная на стр. 362—364, подразделена на использованную и рекомендуемую (всего 55 + + 14 названий). Я полагаю, что список рекомендуемой литературы надо очень сильно увеличить!
Перехожу к общим выводам. Книга А. А. Столяра «Педагогика математики» содержит в себе очень много весьма ценного материала. Однако в ней многого не хватает; выше я уже указывал некоторые дополнения, которые надо сделать. Теперь добавлю еще следующее: надо дать развернутую критику имеющейся литературы и оценку зарубежных книг, связанных с реформой, осветить переломные моменты в школьном курсе математики (начало алгебры, подходы к геометрии и т. п.).. Необходимо значительно увеличить раздел, посвященный задачам и упражнениям. Уделить особое внимание вопросу о том, как сделать преподавание интересным.
В целом, книга А. А. Столяра есть важный, но только первый,, шаг к созданию полноценного учебника по педагогике (методике преподавания) математики.
В. В. ЗОРИН
(Москва)
4000 КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ
Кто из готовящихся к поступлению во втуз не испытывает тревоги при мысли, что для конкурсного экзамена по математике «коварные» экзаменаторы заготовили задачи таких типов, с которыми он никогда прежде не встречался? Но оказывается, с этими задачами можно ознакомиться заранее. Нет, мы не оговорились: заранее, в течение месяца, года или другого необходимого срока можно тренироваться в решении именно тех примеров и задач, которые будут предложены на вступительном экзамене, и, разумеется, пользоваться при этом любой консультацией. Невероятно, скажите вы, ведь при таких условиях экзамен по¬
просту теряет смысл, так как исключается возможность отбора тех, кто не только обладает достаточными знаниями, но и способен к самостоятельному творческому мышлению, необходимому для решения задач. И хотя такое соображение кажется верным, тем не менее верно и то, что мы сказали выше. Это кажущееся противоречие объясняется очень просто. В 1969 г. под редакцией М. И. Сканави вышел сборник задач по элементарной математике*. В отличие от других сборников, составленных из задач, в прошлые годы уже предлагавшихся иа вступительных экзаме¬
1 В. К. Егер ев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордем- ский, Т. Н. Маслова, И. Ф. Орловская, Р. И. П о з о й с к и й, Г. С. Р я х о в с к а я, М. И. Сканави, Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во втузы, М., изд. «Высшая школа», 1969, 382 стр., 63 коп.
86


нах, новый сборник содержит лишь те, которые могут быть даны на предстоящих конкурсных экзаменах. И хотя сборник находится в свободной продаже и, стало быть, доступен абитуриентам, нельзя не согласиться с авторами, рекомендующими конкурсным комиссиям втузов использовать его, не опасаясь при этом раскрыть «экзаменационные секреты»: ведь книга содержит весьма большое число (4000) конкурсных примеров и задач. В своей совокупности они охватывают всю программу вступительных экзаменов, их решение не требует знаний, выходящих за рамки этой программы.
Сборник состоит из четырех частей. Задачи первых трех его частей (алгебра, геометрия, тригонометрия) предназначены для письменного экзамена. Они разбиты на три группы (А, Б и В) по уровню их сложности. Задачи четвертой части по уровню сложности не распределены, они предназначены для устных экзаменов. В предисловии к сборнику авторы указывают, что «умение решать задачи из группы А должно определить уровень подготовки поступающих, минимально необходимый для получения удовлетворительной оценки по математике на вступительных экзаменах в высшие технические учебные заведения. Успешное решение задач из группы Б требует более прочного усвоения программы, а в группе В собраны задачи, решить которые сможет тот, кто глубоко и обстоятельно изучил элементарную математику...».
Появление указанного сборника и его использование втузами на вступительных экзаменах нам представляется весьма существенным шагом в решении важной и трудной проблемы унификации требований, предъявляемых к математической подготовке абитуриентов. Программы вступительных экзаменов в вузы являются обязательными и едиными для всех вузов страны. Однако фактический уровень требований, предъявляемых к математической подготовке поступающих, определяется не только программой, но и характером задач, предлагаемых на конкурсных экзаменах. А эти задачи очень различны по уровню их трудности. Разумеется, такое различие необходимо для втузов с неодинаковым удельным весом математических дисциплин, но оно не должно быть существенным у втузов, математические программы которых сравнимы по своему объему. При использовании на экзаменах единого для втузов сборника конкурсных задач, известного и доступного абитуриентам, достигается не только унификация, но и полная гласность требований, предъявляемых втузами к математической подготовке поступающих, что способствует как улучшению, так и уравниванию возможностей городской и сельской, молодежи подготовиться к конкурсным экзаменам.
Содержащиеся в сборнике задачи весьма разнообразны по уровню их сложности и могут удовлетворить запросам втузов с различным удельным весом математических дисциплин. Наличие большого числа однотипных примеров и задач вполне соответствует потребностям кафедр математики, так как дает возможность составлять из них необходимое количество равносильных по трудности вариантов письменных работ. Преподаватели школ, подготовительных отделений и курсов при вузах могут с успехом использовать сборник в работе с учащимися. Однако тому, кто недостаточно хорошо владеет элементарной математикой и самостоятельно готовится к конкурсному экзамену, в процессе подготовки пользоваться сборником мы не рекомендуем, так как в нем нет ни решений, ни указаний к решению примеров и задач. Кроме того, однотипные примеры и задачи, родственные по идее и методам их решения, в сборнике не выделены, и самостоятельная работа над ними потребует от неподготовленного учащегося очень большой, но мало эффективной затраты времени. К, решению задач из
сборника целесообразно приступать лишь на заключительном этапе занятий, когда соответствующий раздел программы уже основательно изучен и возникает потребность в самоконтроле. При этом нецелесообразно тратить время на решение многих примеров одного и того же типа. Достаточно решить один или два из них, а остальные научиться лишь узнавать, заканчивая решение на той стадии, когда становится ясным, что пример относится к одному из встречавшихся ранее типов и процесс его окончательного решения затруднений на вызовет. Например, если тема «Тригонометрические уравнения» изучена по учебникам и задачникам, можно приступить к решению тригонометрических уравнений из сборника, сначала из группы А (она содержит 140 примеров), а затем из групп Б (190 примеров) и В (90 примеров). Поскольку сборник содержит весьма большое число (420) таких уравнений и среди них много однотипных, не нужно стремиться решить их все, а ради экономии времени поступать так, как мы посоветовали выше.
Сборник рекомендован Министерством высшего и специального среднего образования СССР в качестве пособия для поступающих во втузы, и эта рекомендация обязывает, на наш взгляд, внести в него дополнения, нужные учащимся, особенно тем, кто самостоятельно готовится к конкурсным экзаменам. Ниже мы выскажем некоторые соображения. Может быть, они окажутся полезными авторам при подготовке книги ко второму изданию.
1. Полное отсутствие какой-либо систематизации задач внутри каждой из групп А, Б и В сборника, по- видимому, продиктовано стремлением поставить учащихся в условия, аналогичные с обстановкой конкурсного экзамена, когда поступающий должен самостоятельно, без подсказки, определить, к каким типам относятся задачи доставшегося ему варианта письменной работы. Однако возникает серьезное опасение, что это приведет к излишней затрате времени и учащийся, самостоятельно готовящийся к экзамену, сумеет рассмотреть лишь небольшую и, может быть, не самую интересную часть задач сборника. Мы не решаемся согласиться с авторами, пренебрегающими одним из этих двух соображений ради другого. Нам представляется преодолимой их кажущаяся несовместимость, если поступить любым из следующих двух способов: либо предпослать каждой из глав набор задач — примеров тех типов задач, которые в этой главе встречаются, либо произвести внутри каждой главы частичную систематизацию — отметить те примеры и задачи с наименьшими номерами, для которых в этой главе есть им однотипные. И в том и другом случае все эти задачи должны быть объявлены как типичные для данного сборника и рекомендованы к решению в первую очередь.
Кроме того, чтобы сборник в большей степени соответствовал своему основному назначению — быть пособием для поступающих, нам представляется целесообразным дополнить его образцами решений типичных примеров и задач.
2. В предисловии к сборнику авторы отмечают, что разделение задач по степени их трудности на три группы имеет условный характер. Конечно, представление об уровне трудности задачи относительно, тем не менее, поскольку такое разделение в сборнике произведено, желательно, чтобы оно опиралось не только на педагогический опыт или интуицию его авторов, но было сделано на основании каких-то объективных, явно сформулированных критериев. Мы понимаем, что это нелегкая задача, по-видимому, для сколько-нибудь удовлетворительного ее решения следует привлечь статистические данные об оценках письменных контрольных работ в тех втузах, которые будут проводить
87


вступительные экзамены на задачах из этого сборника (в 1969 г. Московский инженерно-строительный институт уже провел такой экзамен).
3. 	Разумеется, при том большом количестве примеров и задач, которое содержит сборник, избежать в нем погрешностей чрезвычайно трудно. Вместе с тем, поскольку он рекомендован втузам для использования
на вступительных экзаменах, это вызовет естественное стремление у учащихся контролировать уровень своей подготовленности на задачах сборника. Встречающиеся в сборнике многочисленные погрешности в ответах, а также в ряде случаев в условиях примеров и задач доставят много хлопот учащимся, особенно тем, кто будет йад ним работать самостоятельно.
О ПОСОБИИ «АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ» А. И. МАРКУШЕВИЧА, К. П. СИКОРСКОГО, Р. С. ЧЕРКАСОВА 1
I
В 1969/70 учебном году при изучении математики в IX классе нами было использовано учебное пособие «Алгебра и элементарные функции» А. И. Маркушеви- ча, К. П. Сикорского, Р. С. Черкасова. Достоинством пособия является то, что непосредственно за изложением теоретического материала следует большое количество интересных упражнений различной степени трудности, предназначенных для работы в классе и самостоятельной домашней работы учащихся. Много упражнений на функциональную зависимость и задач на доказательство. В большинстве разделов содержится не только теоретический материал, но раскрывается и методика его изложения, что значительно облегчает работу учителя.
Так, в главе I рассмотрены подробно примеры исследования линейных уравнений: в главах II, III — различные способы доказательства неравенств на основе предварительно данных свойств числовых неравенств, применение неравенств к исследованию решений задач; в главе V различные случаи решения иррациональных уравнений даны с объяснением причины появления посторонних корней. Такие примеры можно было бы привести и из других глав.
Очень удачным является изложение темы «Линейные уравнения и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными», где графическое решение систем линейных уравнений предшествует теоретическому изложению их исследования. Изучая материал, в такой последовательности, не используя теории определителей, мы добились сознательного и прочного усвоения знаний по этой теме.
В дальнейшем — при решении линейных неравенств, систем линейных неравенств, квадратных уравнений и неравенств — неизменно проводится идея выяснения геометрического смысла решений.
При изучении темы «Степень с рациональным показателем, степенная функция» нами с успехом был использован соответствующий материал учебного пособия, изложенный в главах VI и VII. Особенно хочется подчеркнуть удачное введение понятий корня степени п, арифметического значения корня, степени с дробным показателем и действий над степенями с дробными показателями.
Существенную помощь в нашей работе оказал § 10 (глава VII) «Применение дробных показателей к действиям над радикалами». Четкое, компактное изложение этих вопросов позволило сэкономить учебное время на
1 А. И. М а р к у ш е в и ч, К. П. С и к о р с к и й, Р. С. Черкасов, Алгебра и элементарные функциии. Учебное пособие по математике. Под ред. А. И. Мар- кушевича. М., «Просвещение», 1968.
закрепление материала, а главное, добиться более глубокого усвоения этого материала учащимися.
Прежде чем давать некоторые обобщения свойств степенной функции, авторы сначала дают повторительный параграф «Функция и график. Стремление к бесконечности». Затем уже рассматривают свойства степенной функции с различными показателями и только после того строят графики. Построение графиков функций, исходя из их свойств, позволяет значительно повысить теоретическую и практическую подготовку учащихся.
Остановимся теперь на изложении изучения тригонометрических функций, их свойств и на применении их к решению различных задач.
Удачная последовательность расположения материала по теме «Тригонометрические функции любого аргумента» помогла активизировать учащихся, добиться сознательного усвоения темы, умения использовать полученные знания на практике. Упражнения по этой теме в пособии часто связаны с практическими задачами, а также с задачами из физики. Изучение тригонометрического материала начинается с обобщения понятия угла и дуги, с установления взаимно однозначного соответствия между множеством всех обобщенных дуг (углов) и множеством действительных чисел на числовой оси. Поэтому тригонометрические функции, определенные как функции обобщенных углов (дуг), можно рассматривать как функции, аргументом которых являются действительные числа. Это дает возможность предлагать учащимся сразу же в процессе изучения свойств тригонометрических функций такие, например, вопросы: 1) Каков знак sin 3; cos (—2); tg 5; ctg 9?
2) 	Что больше cos 5 или cos 3; sin (—2) или sin 5; sin 2 или cos 2? 3) Определить знак произведения
sin 2 • cos 3 • tg 4.
Такую последовательность изложения опытные учителя и раньше применяли на практике, но это носило обычно случайный характер, поэтому обоснованное изложение тригонометрического материала в такой последовательности в учебном пособии особенно ценно.
Заметим также, что принятый порядок изложения свойств тригонометрических функций позволил авторам пособия отказаться от специального подробного описания тригонометрических функций числового аргумента. Оказалось достаточным ограничиться очень кратким заключительным параграфом к главе IX «Тригонометрические функции любого аргумента».
Непосредственно за аналитическим рассмотрением свойств тригонометрических функций строятся графики этих функций. Наш опыт показал, что, опираясь на свойства функций, учащиеся не испытывают затруднений в графическом изображении основных тригонометрических функций, а также функций вида: у = 2 sin х\
у = -у- cos х; у = 2 ctg я; у = 1 + cos х и т. п.
Мы не остановились на других главах книги, так как еще не проверили их в своей практической работе. Но ознакомление с ними позволяет нам отметить и глубину и доступность изложения учебного материала. Очень интересна в этом отношении глава об интегрировании.
Пособие коллектива авторов содержит не только обязательный учебный материал по действующей про¬


грамме для старших классов средней школы, но и некоторые дополнительные материалы. В этом отношении особо следует отметить интересные исторические сведения об уравнениях квадратных и высших степеней, о степенях и корнях, о тригонометрических функциях, о квадратуре круга, о прогрессиях, о логарифмах и др.
Читатель найдет в книге и дополнительные материалы, пока не входящие в школьную программу, как-то: применение свойств тригонометрических функций при изучении гармонических колебаний, элементы математического анализа, обобщение основных алгебраических понятий. Ряд вопросов, например, таких, как решение систем линейных уравнений с п неизвестными, геометрическое доказательство формулы для суммы членов арифметической прогрессии, графики суммы членов арифметической и геометрической прогрессий и др., был рассмотрен нами на занятиях кружка. Сведения из истории развития тригонометрии, квадратных уравнений с успехом были использованы в докладах учащихся VIII и IX классов. Эта работа значительно активизировала познавательные интересы учащихся.
Хотя авторы в предисловии пишут, что составленное ими пособие по алгебре и элементарным функциям «позволяет изучать предмет без использования особого сборника задач», однако с этим нельзя согласиться. Хотелось бы иметь больше примеров на решение неравенств методом промежутков, нахождение пределов последовательностей, решение тригонометрических уравнений, решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными и по другим темам. Но несомненно, что в этом пособии каждый учитель найдет много полезного и интересного для своей работы.
Т. Б. ИГНАТЬЕВА
(Москва)
II
-В течение последних двух лет в своей работе в старших классах вечерней (сменной) школы я пользовался учебным пособием по математике «Алгебра и элементарные функции» А. И. Маркушевича, К. П. Сикорско- го, Р. С. Черкасова, под редакцией А. И. Маркушевича. Мне удалось обеспечить этим пособием и учащихся.
В процессе работы выявились существенные достоин^ ства этой книги.
Те главы, содержание которых является непосредственным продолжением курса восьмилетней школы, содержат в пособии повторительный материал, что особенно было полезно в условиях работы в школе взрослых.
Таковы главы: I. Линейные уравнения. IV. Действительные числа. V. Квадратные уравнения. VI. Степень с целым показателем. IX. Тригонометрические функции любого аргумента.
Пособие содержит не только обязательный программный материал, полностью обеспечивающий его изучение в школе, но и элементы математического анализа, включая понятие об интегрировании и его практическом приложении для вычисления площадей и объемов некоторых геометрических фигур, хотя предложенный способ в своей работе мной еще не проверен. Дополнительным материалом является и глава «Гармонические колебания». Пособие завершается большой главой «Комплексные числа», в которой рассмотрена не только теория комплексных чисел и ее приложение к решению квадратных и двучленных уравнений, но и понятия кольца и поля.
Школьная программа ограничивает решение линей- * ных уравнений и систем уравнений только уравнениями с двумя неизвестными. Однако в пособии даны примеры решения систем линейных уравнений со многими
неизвестными. Рассмотрены также не включенные в программу такие вопросы, как решение линейных неравенств с двумя неизвестными, исследование степенной функции с любым рациональным показателем, понятие об обратных тригонометрических функциях. Эти расширения создают известную завершенность изложения соответствующих вопросов и представляют интерес не только для учителя, но и для учащихся, тем более что даны эти дополнения как естественное продолжение основного материала.
Некоторые главы заканчиваются «историческими сведениями», что, конечно, оживляет содержание книги; наиболее подробно освещено развитие учения о тригонометрических функциях.
Теоретическое изложение в пособии всюду сопровождается упражнениями, часто содержащими контрольные вопросы, помогающие учащемуся убедиться, усвоил ли он теоретический материал. Упражнения подобраны почти всюду очень удачно, среди них имеются задачи на доказательство (в части из них предлагается доказать те предложения, которые в основном тексте только сформулированы), на тождественные преобразования, на решение уравнений и неравенств с проведением необходимых исследований, на исследование функций и построение их графиков, а также задачи на составление уравнений. Упражнения в большинстве случаев вполне доступны учащимся для самостоятельной работы. Однако упражнений надо дать больше, особенно если учесть необходимость обеспечить заданиями более сильных учащихся. Следовало бы, по моему мнению, рассмотреть несколько примеров на построение графиков функций, аргумент которых находится под знаком модуля, при этом применить так называемый метод интервалов.
Опыт работы по пособию коллектива авторов показал, что оно написано простым, ясным языком, доступным для учащихся старших классов вечерней школы. Стиль изложения в учебнике хорошо выдержан, обязательный программный материал дан в подробном, хотя и немногословном, изложении, со многими примерами.
Необходимо отметить, что на протяжении всего пособия выдержана одна линия: теоретическое изложение сопровождается геометрическо-графической иллюстрацией. В ряде тем геометрическое истолкование кладется в основу изложения.
Решение линейного уравнения с одним неизвестным трактуется как нахождение точки на числовой прямой; далее множество решений линейного уравнения с двумя неизвестными получается как или пустое множество, или прямая, или плоскость. Такой подход позволил рассмотреть исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, не вводя определителей; выводы получились краткими и достаточно доступными. Замечу только: принятый метод изложения не исключает, полагаю, возможности сообщения учащимся так называемой формулы Крамера (ее в пособии нет), облегчающей практику нахождения решений системы линейных уравнений в наиболее часто встречающихся случаях. Можно было бы также рассмотреть способы проверки решений систем линейных уравнений, этот вопрос не ясен для учащихся.
Принятая система геометрического истолкования решения линейных уравнений облегчает в дальнейшем усвоение решения неравенств не только с одним неизвестным, но и с двумя неизвестными, а в последующих главах исследование квадратного уравнения, црнятие арифметического значения корня, анализ Двойств степенной и тригонометрических функций. чИЙтересны геометрические иллюстрации сумм арифметической и геометрической прогрессий.
Авторы пособия почти всюду отказались от формаль- но-логического изложения. При введении новых понятий в большинстве случаев рассматриваются частные
89


примеры, на них выясняются свойства новых понятий, затем формулируются соответствующие общие математические предложения и даются доказательства. Иногда авторы не спешат с введением новых понятий.
Так, например, уже в VII главе, рассматривая функ-
п __
ции у => хп и у « >Лдс, где х > 0, сказано, что их графики тесно связаны между собой, затем построены их графики и доказывается, что они симметричны относительно биссектрисы первой координатной четверти.
В X главе даются понятия аркфункций и указывается, что, например функции у — sin * и у — arc sin х называются взаимно обратными, при построении их графиков делается ссылка на главу VII. В главе XV график логарифмической функции строится, как график функции, обратной показательной. Общего определения функции, обратной данной, в пособии нет, и понятно почему: оно не нашло бы себе приложения.
Ко всем упражнениям в пособии даны ответы. Это помогает учащимся в их самостоятельной работе.
Хотя стиль изложения теоретического материала, как уже отмечено, доступен для учащихся, но деление на
параграфы неравномерно. В начале книги параграфы кратки, это правильно: учащийся приступает к новому материалу, к новому способу изложения. В дальнейшем параграфы удлиняются, и притом иногда чрезмерно, например: § 3 «Формулы приведения» и § 4
«Понятие об обратных тригонометрических функциях» следовало бы разбить.
Позволю себе сделать несколько замечаний по техническому оформлению книги. Очень часто определения, тексты теорем, выводы напечатаны обычным шрифтом, они не выделены. Это очень затрудняет учащегося, когда ему нужно вспомнить то или иное математическое предложение. В книге нередко производятся неоправданные переносы отдельных элементов математических выражений.
Несмотря на имеющиеся недостатки, и в частности опечатки, о которых сообщено в журнале «Математика в школе» (1969, № 1), пособие коллектива авторов «Алгебра и элементарные функции» вполне может служить учебной книгой для учащихся старших классов средней школы и тем более для самостоятельной работы.
▲. И. САГ АН ДУ КОВ
(Москва)
И. А. МАРНЯНСКИЙ
(г. Николаев)
О КНИГЕ И. К. ПАРНО «ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ»
Изданное большим тиражом пособие И. К. Па р- н о1 может оказать влияние на изучение элементов дифференциального исчисления в школе. Поэтому важно выяснить, что в этой книге удачно, какие положения спорны, а что вообще неприемлемо.
Пособие начинается с рассмотрения общего понятия функции. Эта тема изложена сжато, но в целом четко и последовательно. Однако в определении графика функции (стр. 15) автор почему-то решил назвать общее обозначение функции y = f(x) уравнением. Такая терминологическая вольность неуместна, так как это стимулирует отождествление понятия графика функции с понятием линии, заданной уравнением.
В пособии подробно рассматривается понятие предела. Здесь в основу изложения положено понятие предела переменной величины. В последние годы большинство методистов и авторов учебников отказались от этой устаревшей трактовки понятия предела, так как многолетний опыт показал, что она не обеспечивает четкого понимания вопроса. Однако наиболее серьезные претензии вызывает не сам выбор автором непопулярного подхода, а неудачная попытка изменить и дополнить указанное толкование понятия предела.
Пределом (стр. 16) автор называет не число, а постоянную величину. Термин «момент процесса» заменен словами «стадия (состояние) процесса».
Слишком многословно и неточно определение бесконечно малой (стр. 20): «Итак, переменная величина х называется бесконечно малой в данном процессе, если она, начиная с некоторой стадии процесса, становится и во всех его последующих стадиях остается по абсолютной величине сколь угодно малой (меньше любого положительного числа)».
1 М., «Просвещение», 1968, изд. 2.
В этом определении огорчает не только громоздкость формулировки, но и ошибочность его по существу. Ведь для того, чтобы абсолютная величина переменной величины могла стать «с некоторой стадии» меньше любого положительного числа, эта переменная величина должна была бы, начиная с указаний «стадии», принимать только нулевое значение!
Формулировки указанного типа встречаются и в других местах. В частности, на стр. 30 мы читаем: «Это означает, что достаточно малому изменению аргумента х соответствует сколь угодно малое изменение функции у».
Однако наибольшие возражения вызывает следующее определение предела функции (стр. 24): «...если функция y — f(x) стремится к пределу /, когда х стремится к пределу а, принимая значения, отличные от а, то число /называют пределом функции у = f(x) и пишут...». Нет необходимости подробно объяснять, что такое определение является типичным idem per idem (то же посредством того же).
Как видим, рецензируемое пособие лишний раз продемонстрировало туманность понятия переменной величины. Недаром английский философ Бертран Рассел назвал это понятие «одним из самых трудных для понимания» (цит. по: К. Марк с, Математические рукописи, М., «Наука», 1968, стр. 12).
К недостаткам принятого в книжке изложения теории пределов относится также перечисление шести свойств бесконечно больших величин (стр. 23), которые вопреки данному обещанию (стр. 22) затем нигде не используются.
Обращаясь теперь к анализу основной части пособия — производной и ее применнеием,— следует отметить, что в ней содержится немало полезных для учителя сведений. К ним относятся прежде всего задачи, приводящие к понятию производной. Весьма удачно в методическом отношении проведено сопоставление аналитического определения производной с отысканием углового коэффициента касательной. Заслуживает внимания методическая разработка операции нахождения максимумов и минимумов и исследования функций. Книга заканчивается хорошим подбором задач практического содержания.
Но и в этой части пособия имеются отдельные неточности, упущения, спорные моменты. Вряд ли целе¬
90


сообразно было предпринимать подробное рассмотрение выводов правил дифференцирования и формул для производных: все это имеется не только в ранее изданных пособиях, но и в школьном учебнике Кочетковых. Неясно, почему при изложении теории экстремумов аЕтор ограничился только функциями, дифференцируемыми в каждой точке своей области определения. Ведь этим исключаются такие простые и естественные задачи, как, например, исследование на
JL
экстремумы функций х 3 или \х\. Необоснованным представляется исключение традиционной задачи о касательной из числа задач, приводящих к понятию производной, и рассмотрение ее только после определения производной.
Проводя некоторые преобразования, автор иногда опускает необходимые обоснования и предостережения. Например, на стр. 65 без обоснования записано соот- ношение
( Ах\
lim cos ( х + 2 ) e cos х*
Ьх о >■ '
а на стр. 57 в выводе формулы производной от функции у =уг и, где м — 0, имеется преобразование
У и + Аа — У и Уи -{-А а — Уа Аа
Ах А а Ах*
но нет никаких оговорок, касающихся возможного обращения в нуль приращения А и (подобный недостаток присущ выводу формулы и на стр. 66).
Заметим, что в рецензируемом пособии (как и во многих других пособиях для учителей) подробно доказываются правила дифференцирования и отдельные формулы, а основные факты, необходимые для применения производной, преподносятся без доказательства. Ясно, что строгие доказательства были бы слишком громоздки и сложны для школьников. Но не следует забывать о доказательствах, нестрогости которых примерно того же порядка, что и в школьном курсе геометрии.
Подводя итог, заключаем, что книга И. К. Парно может быть полезной для многих учителей, которые отнесутся к ряду ее положений критически, особенно в части, касающейся теории пределов.
В. А. ВОЛКОВ, М. М. РУБИНОВ (Ленинград)
ПЕРВАЯ ЛЕТНЯЯ МАТШАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА НА СЕВЕРО-ЗАПАДЕ СССР
С 5 по 29 июля 1970 г. в курортной зоне Ленинграда, на станции Сиверская, работала летняя математическая школа (ЛМШ) для учащихся VII—IX классов сельских районов Ленинградской области. В качестве гостей были приглашены школьники из Новгородской, Вологодской и Архангельской областей.
ЛМШ была организована по инициативе комсомольской организации математико-механического факультета ЛГУ при материальной помощи Ленинградского облоно.
Обязанности администраторов, хозяйственников, учителей (они же и воспитатели) выполняли студенты и аспиранты математико-механического факультета ЛГУ.
В школе обучалось 100 учащихся. Отбор в школу проходил на математических районных олимпиадах.
В каждом классе было по 10—12 учеников. Это позволяло работать с каждым учащимся индивидуально.
Занятия в ЛМШ проводились 4 раза в неделю по 4 часа. В каждом классе кроме изучения вопросов, непосредственно связанных со школьной программой, решались нестандартные задачи.
Кроме того, ученики посещали по выбору факультативные курсы: «Элементы теории множеств», «Делимость чисел», «Геометрические преобразования».
Большой интерес у учеников вызвали лекции члена- корреспондента АН СССР Д. К. Ф а д д е е в а, докторов физико-математических наук В. А. 3 а л г а л* лера, В. А. Рохлина, Г. И. Натансона.
Два раза в неделю ученики работали на полях колхоза.
Силами преподавателей-воспитателей было проведено много интересных мероприятий (день рождения Эратосфена, спартакиада, военная игра, экскурсии по Ленинграду и т. д.).
Следует отметить достаточно высокий уровень развития учеников ЛМШ — ребят из сельских школ. Заключительная олимпиада по своей трудности была не ниже трудности ленинградских олимпиад, и ученики ЛМШ успешно с ней справились.
20 учеников ЛМШ приняты в специализированную школу-интернат № 45 при ЛГУ, остальные рекомендованы в ЗМШ при ЛГУ.
Опыт математико-механического факультета ЛГУ (ЗМШ, ЮМШ, лекторская группа, ЛМШ) свидетельствует, что при материальной поддержке органов народного образования и квалифицированной помощи преподавателей студенты университетов и педагогических вузов в состоянии проводить столь важную работу по выявлению способных ребят и заниматься с ними.
Сейчас студенты математико-механического факультета хотят организовать летнюю математическую школу на 300—400 человек для сельских ребят всего Северо- Запада СССР.


ПАМЯТИ ПРОФЕССОРА ИВАНА ЯКОВЛЕВИЧА ДЕПМАНА
(1885—1970)
26 июля 1970 г. в возрасте 85 лет после непродол« жительной болезни в Ленинграде скончался известный педагог-математик и историк математики профессор Иван Яковлевич Депман. Иван Яковлевич Депман родился в эстонской крестьянской семье в местечке Тар- васту. После окончания приходской трехгодичной школы, где обнаружил способности и самостоятельность, по настоянию местного учителя стал готовиться к конкурсному экзамену, чтобы поступить в одну из старейших учительских семинарий в г. Тарту. Напряженно готовясь, он сдает экзамены в 1900 г. и становится прилежным воспитанником семинарии, а после окончания ее в 1903 г. назначается учителем в деревню Тойла. Уча детей, Депман самостоятельно готовится к экзамену на аттестат зрелости. Четыре года уходят на эту подготовку. После сдачи экзаменов на аттестат зрелости в 1907 г. И. Я. Депман поступает в Петербургский университет. В это время в университете увлекали наукой известные профессора: академик А. А. Марков — анализом и теорией вероятностей, член- корреспондент Академии наук Д. К. Бобылев — механикой с экскурсами в историю механики, проф. И. И. Иванов — предметом и методом теории чисел, проф. Ю. В. Сохоцкий — теорией функций, проф. А. И. Введенский — предметом логики. Находясь в университете, И. Я. Депман принимает участие в «Трудах Петербургского общества эстонских студентов» и сотрудничает в эстонской газете «Кийр» («Луч»). В 1912 г. он окончил университет с дипломом первой степени и начал преподавание в женской гимназии в г. Ямбурге. Позднее назначается в мужскую гимназию в г. Смоленск, а перед Октябрьской революцией получает место в Петрограде. Здесь выходит из печати «Русский дар миру» И. В. Макэйма в переводе с английского И. Я. Депмана, в этой книге рассказывается о вкладе русских ученых в мировую культуру с точки зрения английских ученых.
Только при образовании Советского государства в 1917 г. могли развернуться недюжинные силы эстонца математика-педагога: он получает назначение в Вятский педагогический институт. Здесь он выявляет в исследовании свои математические -интересы, связанные с изучением теории вероятностей. С 1925 г. И. Я. Депман переводится в Ленинград и становится преподавателем Педагогического института имени М. Н. Покровского и Педагогического института имени А. И. Герцена и получает звание профессора математики, Здесь протекает его плодотворная работа в течение 45 лет. За почти полувековую творческую деятельность И. Я. Депман выпустил более 200 печатных работ, которые можно разделить на четыре категории: I. История математики (общая и России) — около 60 работ. II. Методика математики (общая и специальная) — около 50 работ.
III. 	Популяризация математики и естествознания как для младших, так и средних и старших классов школы — более 40 книжек. IV. Рецензии и краткие биографии замечательных математиков мира — около 50 работ. Выделим для примера по каждой категории несколько работ.
I. 	1) Карл Гаусс и Дерптский университет. 2) Новое о Н. И. Лобачевском. 3) Новое о деятельности академика М. В. ОстроградскогО. 4) К биографии С. В. Ко-, валезской. 5) К биографии Леонарда Эйлера. 6) Забы¬
тый перевод «Начал» Евклида на русский язык. 7) История арифметики (два издания). 8) Русские математические журналы.
II. 	В ученых записках педагогических институтов Ленинграда (имени М. Н. Покровского и имени А. И. Герцена) и других изданиях. 1) Научно-атеистическая работа учителя на уроках математики. 2) О воспитательном значении математики. 3) О математической культуре учащихся. 4) Исторический элемент в преподавании математики в средней школе. 5) Первые уроки математической логики в школе. 6) Математические увлечения в школе М. Ю. Лермонтова.
III. В изданиях Детгиза и Учпедгиза. 1) Из истории арифметики. 2) Возникновение системы мер и способы измерения величин. 3) Рассказы о математике. 4) Мир чисел и фигур. 5) Русско-эстонский математический словарь. 6) Переписка Ньютонгг. 7) Математика -на службе обороны страны. 8) Задачи Л. Н. Толстого.
IV. 	1) Сто рефератов в реферативном журнале «Математика». 2) Бурбаки и единая математика. 3) Средневековая логика и возникновение математической физики. 4) Из истории математики на территории Эстонской ССР. 5) Академик В. А. Стеклов в Петербургском университете. 6) Замечательные славянские вычислители Г. Вега и Я. Ф. Кулик. 7) Русские ученые во Французской Академии наук.
И. Я. Депман читал лекции по истории математики в ленинградских педагогических институтах, городском и областном институтах усовершенствования учителей, а также в Ленинградском университете.
Большую работу И. Я. Депман проводил по подготовке научных кадров по педагогической специальности и истории математики. Под его руководством успешно были защищены несколько десятков диссертаций. Вероятно, в каждом из сотни имеющихся педагогических институтов в республике имеются ученики проф. И. Я. Депмана. Особенно помогало этой работе собранная проф. И. Я. Депманом большая фундаментальная математическая библиотека на русском и иностранных языках. В его библиотеке имелись также биографии с портретами многих математиков и математи- ков-педагогов, как отечественных, так и зарубежных.
Республиканские конференции, симпозиумы и съезды по истории и методике математики редко обходились без присутствия и активного в них участия проф. И. Я. Депмана. Научная историко-педагогическая деятельность его в области математики получила признание не только в нашей стране, но и за рубежом. Отметим, что проф. И. Я. Депман имел высокие правительственные награды: орден Ленина и медали. Кроме того, И. Я. Депман был награжден значками «Отличник народного просвещения Эстонской ССР» и «Отличник народного просвещения РСФСР». Иван Яковлевич создал историко-методическую школу, подготовил мнйгих творчески работающих учеников, оставил многочисленные труды и библиотеку. Память о нем как большом ученом, педагоге-математике живет, будет жить и давать свои благотворные плоды.
И. К. АНДРОНОВ
(Москва), И. В. БАРАНОВА
(Ленинград)
92


ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ ЗА 1970 г.
Передовые
К началу работы по новой программе, № 4, стр. 2—3. Навстречу XXIV съезду КПСС, № 5, стр. 2—3. Навстречу новому учебному году, № 3, стр. 2—3. Советские учителя выполняют заветы Ленина, № 1, стр. 2—3.
Торжество идей ленинизма, № 2, стр. 3—10.
Устав школы, № 6, стр. 2—3.
К 100-летию со дня рождения В. И. Ленина
Б. А. Агаев, Развитие школьного математического образования в Азербайджане за 50 лет (1920—1970), № 2, стр. 16—20.
П. С. Александров, О призвании ученого, № 3, стр. 10—17.
В. 	Г. Болтянский, Ленинская теория познания и математические абстракции, № 2, стр. 11—16.
Б. В. Гнеденко, В. И, Ленин и развитие математики в Советском Союзе, № 1, стр. 4—12.
В. 	Н. Молодший, И. Н. Ульянов — педагог-математик, № 3, стр. 4—10.
В. 	Н. Молодший, К вопросу о роли Н. И. Лобачевского и его идей в жизни и деятельности И. Н. Ульянова, № 6, стр. 4—13.
Юбилейная хроника
В. 	М. Монахов, Всесоюзные «Педагогические чтения», № 2, стр. 21.
Сообщения из союзных республик, № 2, стр. 22—24.
Лауреаты Государственной премии
Л. Д. Фаддеев, Лауреаты Государственной премии 1969 г., № 2, стр. 25—26.
Научные основы школьного курса математики
А. Н. Колмогоров, Обобщение понятия числа. Неотрицательные рациональные числа, № 2, стр. 27—32.
Методический отдел
Примерное содержание некоторых вопросов новой программы
А. Н. Колмогоров, А. Ф. Семенович, О пробном учебнике геометрии для VI класса, № 4, стр. 21—34.
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Му¬
равин, Из пробного учебника «Алгебра» для VI класса (под редакцией А. И. Маркушевича), № 1, стр. 22—29.
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. С. Му¬
равин, Из пробного учебника «Алгебра» для VI класса (под редакцией А. И. Маркушевича), № 2, стр. 50— 55.
В помощь учителям IV—VI классов, работающим по новым программам
М. Я. Антоновский, В. Г. Болтянский, Формирование понятия объема в IV классе, № 4, стр. 15—21.
М. Я. Антоновский, В. Г. Болтянский, Формирование понятия объема и пространственных представлений в IV классе, № 6, стр. 14—23.
Н. Я. Виленкин, С. И. Шварцбурд, Высказывания, выражения, переменные, № 3, стр. 34—41.
Н. Я. Виленкин, С. И. Шварцбурд, Множества, № 2, стр. 33—38.
Н. Я. Виленкин, С. И. Шварцбурд, Равенства, тождества, уравнения, неравенства, № 4,  стр.  4-11.Н. Я. Виленкин, С. И. Шварцбурд, Структура и некоторые методические особенности учебника «Математика. 4 класс», № 2, стр. 38—42.
Н. Я. Виленкин, К. И. Нешков, С. И. Шварцбурд, А. С. Чесноков, В. Н. Рудницкая, К преподаванию математики в IV классе по новой программе, № 3, стр. 26—34.
Вниманию учителей математики четвертых классов и руководителей методических объединений, № 4, стр. 4.
Л. С. Карнацевич, Желательные дополнения, № 5, стр. 28—30.
А. Н. Колмогоров, А. Ф. Семенович, О пробном учебнике геометрии для VI класса, № 4, стр. 21—34.
А. 	Я. Котов, П. И. Сорокин, О преемственности обучения математике в начальных и четвертом классах, № 2, стр. 42—44.
Ю. И. Малеваный, З. И. Слепкань, Из опыта работы в V классе по новой программе, № 6, стр. 23—28.
К. И. Нешков, А. С. Пчелко, А. С. Чесноков,
С. 	И. Шварцбурд, Тематический план изучения математики в IV классе по новой программе, № 3, стр. 41—43.
А. 	Д. С е м у ш и н, Обучение геометрии в IV классе, № 1, стр. 13—22.
О. Т. Чапичо, Вопросы новой программы IV—V классов в работе методического объединения учителей математики г. Севастополя. № 2, стр. 47—50.
А. 	С. Шепетов, Из опыта работы классов с опережающим обучением, № 5, стр. 25—27.
А. 	С. Шепетов, О некоторых особенностях нового учебника по математике для IV класса, № 2, стр, 45—47.
А. 	С. Шепетов, Устные упражнения и обзорные беседы-опросы в IV классе, № 6, стр. 28—31.
Э. 	Г. Якуба, Первые уроки математики в IV классе по новому учебнику, № 4, стр. 12—15.
Б. И. Александров, В. К. Марков, Задачи с параметрами, № 2, стр. 80—83.
А. 	О. Антонов, Прибор «Весы», № 6, обложка.
Ф. А. Бартенев, Из опыта проведения факультативных занятий, № 6, стр. 44—45.
Н. С. Бахвалов, Н. Н. Кузнецов, Е. А. Морозова, Механико-математический и химический факультеты МГУ, № 2, стр. 58—63.
М. И. Башмаков, О решении уравнений и неравенств, № 5, стр. 45—47.
С. 	А. Белова, А. Г. Мордкович, М. И. Сканави, Опыт проведения телевизионных занятий с поступающими в вузы, №. 5. стр. 53—56.
Я. Б. Бунятов, Пути повышения эффективности обучения учащихся, № 5, стр. 51—53.
Ш. И. Вагапов, Новое в применении диафильмов, № 6, стр. 38—40.
93


Г. Г. Виноградова, О новой программе по черчению, № 4, стр. 35—38.
М. Б. Волович, Г. Г. Левитас, Тетради с печатной основой, № 1, стр. 29—35.
B. А. Вышенский, Л. А. Калужнин, О месте теории множеств и математической логики в преподавании математики в средней школе, № 1, стр. 35—40.
Г. И. Гаврилко, Планиметрический комбайн, № 5, обложка.
И. Ф. Гончаров, Школьники о красоте математики, № 6, стр. 41—43.
Э. 	Г. Готман, О полноте решения геометрической задачи, № 4, стр. 44—48.
C. Г. Губа, Решение геометрических задач на доказательство с помощью прямоугольной системы координат, № 5, стр. 48—51.
B. Н. Касаткин, Полигон логических структур, № 3, обложка.
И. О. Давыденко, Томский политехнический институт, № 2, стр. 72.
Г. В. Дорофеев, Л. Я. Куликов, Математический факультет МГПИ имени В. И. Ленина, № 2, стр. 66—71.
C. М. Ермаков, В. С. Сабанеев, Ленинградский университет, № 2, стр. 64—66.
В.  М. Клопский, М. И. Ягодовский, З. А. Скопец, Повышение активности учащихся на уроках стереометрии, № 3, стр. 43—48.
A. Н. Колмогоров, А. Ф. Семенович, Р. С. Черкасов, Учебные материалы по геометрии для V класса (по новым программам), № 5, стр. 30—45.
Э.  Ю. Красс, В. Н. Теляров, Самодельные приборы для измерительных работ на местности, № 1, обложка.
Г. Г. Маслова, По поводу решения одной задачи, № 2, стр. 86.
B. Н. Матвеев, Использование метода интервалов при решении неравенств некоторых типов, №  6, стр. 36—37.
В. 	П. Моденов, О решении иррациональных уравнений, № 6, стр. 32—35.
П. С. Моденов, А. И. Штерн, Ю. Н. Черемных, М. В. Ломковская, О приемных экзаменах по математике в МГУ в 1969 г., № 1, стр. 42—54.
Е. М. Пасечник, Днепропетровский государственный университет, № 2, стр. 73.
И. С. Петраков, Вступительные экзамены в вузы в 1969 г., № 2, стр. 73—76.
Н. К. Рузин, О постановке вопроса к условию задачи, № 4, стр. 48—49.
А. 	В. Усова, Некоторые вопросы взаимосвязи преподавания физики и математики, № 2, стр. 77—79.
Читателям нашего журнала, № 4, обложка.
A. Н. Чудовский, О требованиях к экзаменационным работам по математике, № 3, стр. 50—60.
Н. И. Шушанский, Новые книги по математике, № 2, обложка.
П. М. Эрдниев, О методе обратных задач, № 1, стр. 40—42.
М. И. Яхин, Некоторые упражнения на действия над рациональными числами, № 2, стр. 85.
Из писем и заметок
Б. А. Милорадов, Теорема косинусов, № 6,
стр. 48.
B. М. Розентуллер, Письмо в редакцию, № 6, стр. 70—71.
М. И. Тененбаум, Об использовании тестов, № 6, стр. 47—48.
А. 	Xарадзе, Письмо в редакцию, № 4, стр. 91.
В помощь начинающему учителю
Контрольные работы по математике на I полугодие 1970/71 учебного года для V—X классов, № 4, стр. 55—64.
Планы работы по математике на I полугодие 1970/71 учебного года, № 3, стр. 51—61.
Л. С. Карнацевич, Развивать самостоятельность, № 1, стр. 55—57.
А. 	Г. Нудельман, Учить учиться, № 1, стр. 57—59.
К. П. Сикорский, Убеждать в необходимости теоретических обоснований, № 1, стр. 59—60.
Материалы Всесоюзных «Педагогических чтений»
Ю. Н. Голишев, Профориентация учащихся в связи с внеклассной работой, № 4, стр. 38—40.
Н. И. Монахова, Один из способов повышения качества знаний учащихся, № 4, стр. 40—42.
Л. З. Наспер, О работе подсекции учителей математики вечерних школ, № 4, стр. 43—44.
В помощь учителям, повышающим свою квалификацию на очно-заочных курсах
И. П. Егоров, Об аксиоматическом построении евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского, № 5, стр. 14—24.
A. И. Маркушевич, Элементы комбинаторики, № 3, стр. 18—27.
Л. Я. Куликов, В. Г. Лемлейн, Новый учебный план подготовки учителей математики, № 4, стр. 8—13.
B. К. Розов, Пути совершенствования подготовки учителей математики в педагогических институтах, № 5, стр. 4—8.
Проблемы. Суждения
К. П. Сикорский, О требованиях к содержанию экзаменационных работ за курс восьмилетней школы, № 5, стр. 57—60.
П. М. Эрдниев, О некоторых вопросах дидактики математики, № 4, стр. 49—55.
Б. С. Эппель, Какие нужны экзамены по математике, № 3, стр. 48—49.
Эксперимент
В. 	А. Гусев, Из опыта введения понятия производной в VII—VIII классах средней школы, № 6, стр. 49—57.
Т. А. Лизогуб, Дополнительные упражнения по теме «Множества», № 4, стр. 64—66.
М. С. Мацкин, Р. Ю. Мацкина, Дифференциал в курсе математики средней школы, № 5, стр. 60—64.
И. А. Павленкова, Об изучении функционального материала, № 1, стр. 60—65.
Н. Н. Шунда, Об использовании свойств функций при решении уравнений и неравенств, № 3, стр. 61—64.
Внеклассная работа
Б. И. Александров, В. П. Моденов, Задачи для девятиклассников — учащихся подготовительных курсов при МГУ, № 3, стр. 66—72.
Н. Б. Васильев, Решение задач, предлагавшихся на заключительном туре Всесоюзной математической олимпиады 1970 г., № 5, стр. 67—71.
Н. Б. Васильев, Е. Г. Глаголева, В. Л. Гутенмахер, Пять лет работы Заочной математической школы, № 3, стр. 64—66.
И. М. Бонтей, Элементарное доказательство теоремы Эйлера, № 3, стр. 71—72.
94


Е. Г. Глаголева, В. Л. Гутенмахер, Новый прием в ЗМШ, № 1, стр. 71—72.
М. Л. Крайзман, Об индивидуальной работе с учащимися, № 6, стр. 64—67.
Э. 	А. Лаудыня, З. А. Скопец, Циклические многоугольники, № 4, стр. 67—72.
B. И. Левин, И. С. Петраков, XI Международная, № 1, стр. 65—71.
Г. Г. Левитас, Н. А. Рятова, Исследование выпуклости элементарными средствами, № 3, стр. 75—76.
М. Мамедов, О нахождении экстремума некоторых дробно-рациональных функций, № 6, стр. 69.
Ф. Ф. Нагибин, М. Д. Чернявский, Производные показательной и логарифмической функций, № 6, стр. 67—68.
Л. М. Пашкова, Четвертая Всесоюзная математическая олимпиада 1970 г., № 5, стр. 65—67.
И. С. Петраков, XII Международная, № 6,
стр. 57—64.
Я. П. Понарин, Сферы, касающиеся граней тетраэдра, № 1, стр. 79—81.
З. 	А. Скопец, Теорема косинусов для трехгранного угла, № 6, стр. 69—70.
Н. П. Тучнин, О сумме внутренних углов замкнутой ломаной линии, № 2, стр. 87.
О. П. Шарова, Применение комплексных чисел к изучению геометрических преобразований, № 1, стр. 74—79.
О. 	А. Шатрова, Различные формы работы с книгой, помогающие развивать познавательный интерес, № 1, стр. 73—74.
C. В. Шведенко, К исследованию элементарных функций на выпуклость и вогнутость. № 3, стр. 72—75.
Н. Н. Шоластер, Арифметические прогрессии порядка k, № 6, стр. 45—47.
Задачи
Задачи для учащихся IV—X классов, № 1, стр. 81— 82; № 2, стр. 88; № 3, стр. 77; № 4, стр. 72; № 5, стр. 71—72; № 6, стр. 71—72.
Избранные задачи, № 1, стр. 82; № 2, стр. 88—89; № 3, стр. 78; № 4, стр. 73; № 5, стр. 72; № 6, стр. 72.
Решения задач, помещенных в № 3 журнала за
1969 г., № 1, стр. 83—87; в № 4 за 1969 г., № 3, стр. 78—84; в № 5 и 6 за 1969 г., № 4, стр. 74—87; в № 1
за 1970 г., № 5, стр. 73—79; в № 2 за 1970 г., № 6,
стр. 72—76.
Сводка решений задач по № 3 за 1969 г., № 1, стр. 87—88; по № 4 за 1969 г., № 2, стр. 89—90; по № 5
за 1969 г., № 3, стр. 84, 86; по № 6 за 1969 г., № 4,
стр. 88; по № 1 за 1970 г., № 5, стр. 79, 93; по № 2 за
1970 г., № 6, стр. 76, 96.
Из истории математики
С. 	А. Ахмедов, Извлечение корня любой степени и формула бинома у Насирэддина ат-Туси, № 5, стр. 80—82.
Занимательная страница
 № 2, стр. 91; № 3, стр. 85; № 4, стр. 89; № 6, стр. 77—78.
Ученые-математики.
Педагоги-математики
И. К. Андронов, Ян Амос Коменский и его время, № 6, стр. 79—82.
И. К. Андронов, Б. Н. Белый, Иван Евгеньевич Шиманский, № 6, стр. 82—83.
А. 	Я. Маргулис, Д. К. Фаддеев, Борис Николаевич Делоне, № 3, стр. 87—88.
Г. К. Погонец, П. В. Стратилатов, Николай Иванович Сырнев, № 6, стр. 83.
Математический календарь
Математический календарь на 1969/70 учебный год, № 1, стр. 88—89; № 2, стр. 90; № 3, стр. 86; на 1970/71 учебный год, № 4, стр. 90; № 5, стр. 82; № 6, стр. 78.
Критика и библиография
Г. П. Бевз, Д. А. Скрыпник, Первые пособия для факультативных занятий по математике, № 2, стр. 93.
Н. Я. Виленкин, Рецензия на книгу Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих», № 6 стр. 84—85.
Э. 	Г. Готман, О книге «Методика преподавания геометрии», № 1, стр. 90—92.
Г. Б. Гуревич, О книге А. А. Столяра «Педагогика математики», № 6, стр. 85—86.
В. 	В. Зорин, 4000 конкурсных задач, № 6 стр. 86—88.
Т. Б. Игнатьева, О пособии «Алгебра и элементарные функции» А. И. Маркушевича, К. П. Сикорского, Р. С. Черкасова, № 6, стр. 88—89.
И. А. Марнянский, О книге И. К. Парно «Производная и ее применение к исследованию функций» № 6, стр. 90—91.
В. 	А. Петров, О пособии И. Т. Бородули для учителей, № 2, стр. 92—93.
A. И. Сагандуков, О пособии «Алгебра и элементарные функции» А. И. Маркушевича, К. П. Сикорского, Р. С. Черкасова, № 6, стр. 89—90.
B. М. Чернов, Полезная книга, № 4, стр. 92—93.
C. И. Шапиро, Полезное начинание, № 1, стр. 92.
За рубежом
Б. П. Бычков, Международная комиссия по математическому образованию, № 5, стр. 83—86.
Л. Дювер, Кружки современной математики для взрослых, № 1, стр. 93—95.
А. 	М. Колдашев, Вопросы обучения математике в журнале «Сурган хумуужуулэгч», № 1, стр. 95.
К. А. Краснянская, Е. М. Соколов, Международное исследование по изучению уровня и характера подготовки учащихся общеобразовательной школы, № 5, стр. 86—92.
П. К. Петрушин, Открытие современной математики детьми 4—7 лет, № 3, стр. 93—94.
Д. Пойя, Обучение через задачи, № 3, стр. 89—91.
Фам Ван Хоан, О выявлении и развитии математических способностей старших школьников в ДРВ, № 5, стр. 93.
Хоанг Чунг, О решении нескольких интересных задач, № 3, стр. 92—93.
Хроника
Б. Н. Белый, «В мире математики», № 1, стр. 96.
В. 	А. Волков, М. М. Рубинов, Первая летняя математическая школа на Северо-Западе СССР, № 6, стр. 91.
А. Ф. Галкина, 28-я конференция математических кафедр пединститутов Уральской зоны, № 4, стр. 94—95.
Г. Д. Глейзер, О работе семинара «Особенности обучения математике в вечерних (сменных) школах» (1965—1970 гг.), № 5, стр. 95—96.
95


К. И. Дуничев, И. С. Петраков, Всесоюзное совещание заведующих математическими кафедрами педагогических институтов, № 5, стр. 94.
Н. А. Ермолаева, В Министерстве просвещения СССР, № 2, стр. 94—95.
Н. 	А. Ермолаева, В Министерстве просвещения СССР, № 5, стр. 94.
X. 	Б. Ливерц, I научный семинар Дальневосточной зоны по методике математики, № 3, стр. 95.
А. Я. Маргулис, В секции средней школы Московского математического общества, № 5, стр. 95.
О Всесоюзном конкурсе на лучшие учебно-наглядные пособия и учебное оборудование, № 2, стр. 95—96.
О работе редакционного совета журнала «Математика в школе», № 3, стр. 95—96.
А. Н. Чалов, IX конференция преподавателей математических кафедр педвузов Юга РСФСР, № 3, стр. 95.
Некрологи
И. К. Андронов, И. В. Баранова, Памяти профессора Ивана Яковлевича Депмана, № 6, стр. 92.
И. В. Баранова, Алексей Иванович Поспелов, № 3, стр. 96.
Елизавета Савельевна Березанская, № 1, стр. 89.
И. Е. Шиманский, В. И. Кухарь, А. В. Михалевский, Давид Моисеевич Маергойз, № 4,
стр. 96.
М. И. Ягодовский, С. И. Шапиро, Николай Александрович Принцев, № 4, стр. 95—96.
(Окончание)
733, 736—745, 747, 748, 750, 751, 753. Чекунова Л. (г. Петропавловск Каз. ССР)—731—733, 736, 737, 740. Чепкасов Г. С. (г. Краснодар)—731—733, 736-*-745,
748—751.. Шило А. В. (г. Брест)—731, 732, 736—738, 742, 744, 746, 748, 751—753. Шнипор Б. Н. (г. Литин Винницкой обл.)—733, 736—738, 740—742, 744, 745.
Юдаков В. А. (пос. Армейск Крымской обл.) — 732, 733, 736-/45, 747—749, 751—754.
Математические кружки: 17-й школы г. Киева (рук. Вайнман Б. Ш.)—731, 738, 741, 742, 748. 145-й школы г. Киева (рук. Габович И. Г.)—731—733, 736—746,
748. 	173-й школы г. Киева (рук. Шейнцвит Р. П.) — 732, 733, 736—739, 741—743, 750, 753. 178-й школы г. Киева (рук. Кушнир И, А.) —731—733, 736—750, 752,
753. 	53-й школы г. Краснодара, VII—VIII кл., (pviL Ким Г. И.) — 731—733, 736—739.
ОТ РЕДАКЦИИ
Рукописи, присылаемые в журнал «Математика в школе», должны быть перепечатаны на машинке через два интервала на одной стороне листа или переписаны от руки чернилами разборчивым почерком также на одной стороне листа с большим интервалом. Желательно присылать два экземпляра рукописи, что сократит срок ее рассмотрения.
Каждая статья должна быть подписана автором и должен быть указан адрес для ответа.
Все цитаты и ссылки на статьи и книги должны быть тщательно выверены. Названия источников цитат или ссылок даются без сокращений, с указанием автора, названия книги или статьи и издания, в котором статья опубликована, места издания, номеров страниц.
Чертежи должны быть пронумерованы. В тексте статьи даются ссылки на соо> ветствующие номера чертежей.
О
Редакционная коллегия;
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б. В. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. С. Ильин, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, О. П. Орешина, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, 3. А. Скопец, А. В. Соколова, П. В. Стратилатов, 3. С. Сухотина, И. Ф. Тесленко, Н. Ф. Четверухин Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Н. И. Васильева Корректор В. И. Шашагин
Адрес редакции: Москва, Г-117, Погодинская ул., 8. Телефон редакции 247-03-74 Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Комитета по печати при Совете Министров СССР
Сдано в производство 22/Х 1970 г. Объем 6 (10,08) п. л. Учетно-изд. л. 12,12
Подп. к печати 27/XI 1970 г. Тираж 332 630 экз Бумага 84xi08Vie Цена 45 коп. Зак. 471
Московская типография № 13 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер., д. 30.


Прибор «Весы»
Предлагаемый прибор предназначен для решения устных задач на сложение, вычитание и деление в начальных классах и для тренировки учащихся средней школы (в частности, учеников IV класса) в решении несложных уравнений I степени с одним неизвестным.
Прибор чрезвычайно прост и может быть изготовлен силами учащихся. Он представляет собой лист картона размером 40 X 80 см, на котором изображены весы (рис. 1). В верхней части листа для крепления «гирь»
Необходимо отметить, что вес указывается только на одной стороне гири. Это позволяет расширить круг задач, которые можно решать, используя данный прибор. Впрочем, на гирях в 500, 200, 100 и 50 г вес Мож- нб указать с обеих сторон: с одной — в граммах,
с другой — в килограммах. Это позволяет воспользоваться прибором и при изучении десятичных дробей.
В верхней части каждой гири делается двойной крючок (рис. 4), что позволяет подвешивать гирю, обращая ее как одной, так и другой стороной к учащимся,
Набор товаров может быть весьма разнообразным (см., например, рис. 3).
Рис. 1
Рис. 5
и «товаров» проделаны отверстия диаметром 0,5 см (их, расположение дано на рисунке). «Гири» и рисунки товаров изготавливаются также из картона. Их изображение и размеры даны на рисунках 2 и 3.
Рис. 6
Прибор можно использовать при решении задач на определение веса товара в ситуациях, представленных, например, на рисунках 5 и б, а также следующих:
1. На левой чаше весов установлена гиря в 3 кг. Сколько гирь весом в 1 кг необходимо поставить на правую чашу, чтобы весы находились в равновесии?
2. Сколько и каких гирь (из имеющихся в наборе)
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 7
Представляется целесообразным иметь следующий можно установить на правую чашу весов, чтобы урав-
набор гирь: 5 кг — 3 шт., 3 кг — 2 шт., 2 кг — 2 шт., новесить гирю в 500 г, .стоящую на левой чаше?
1 лса — 3 шт., 500 г — 2 шт., 200 г — 5 шт., 100 г — 5 шт., 3. Каков вес каждой из гирь, стоящих на левой чаше 50 г — 2 шт. весов (рис. 7), при условии, что они одинаковы?,