Author: Рейнольдс А.Дж.  

Tags: движение жидкостей   гидродинамика   общетехнические дисциплины   гидравлика   механика жидкостей и газа   техническая литература   турбулентность  

Year: 1979

Similar

Механика жидкости и газа

Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. Том 2

Турбулентность. Принципы и применения

Кавитация

Text 
                    ТУРБУЛЕНТНЫЕ
ТЕЧЕНИЯ
В ИНЖЕНЕРНЫХ
ПРИЛОЖЕНИЯХ


А. Дж. Рейнольдс
ТУРБУЛЕНТНЫЕ
ТЕЧЕНИЯ
В ИНЖЕНЕРНЫХ
ПРИЛОЖЕНИЯХ
Перевод с английского И. А. ШЕРЕНКОВА
и А. П. НЕТЮХАЙЛО
МОСКВА «ЭНЕРГИЯ» 1979


БЬК 30.123
Р 35
УДК 532.542.4
A. J. REYNOLDS
TURBULENT FLOWS IN ENGINEERING
DEPARTMENT OF MECHANMCAL ENGINEERING,
BRUNEL UNIVERSITY, LONDON
Рейнольдс А. Дж.
Р 35 Турбулентные течения в инженерных
приложениях: Пер. с англ. — М.: Энергия, 1979. — 408 с, ил.
В пер. 2 р. 90 к.
В книге дается систематическое изложение современного состояния
прикладных вопросов турбулентного течения Рассматривается
структура турбулентного течения, законы тепло- и массопереноса в
турбулентных потоках. В каждой главе даются примеры решения
прикладных задач турбулентности, встречающихся в инженерной практике.
В основу книги положены исследования, выполненные автором в Бру-
нельском университете
Книга предназначена для инженеров-гидравликов,
специализирующихся по технологическим процессам, тепло- и массопереносу, для
инженеров-энергетиков, а также может быть полезна научным
работникам и студентам вузов соответствующих специальностей
_ 20303-400 ББК 30.123
Р Т^ГГТ, 2°-79- 1703040000
051(01)-79 6С7
А. ДЖ. РЕЙНОЛЬДС
Турбулентные течения в инженерных приложениях.
Редактор Г. Л. Демидов
Редактор издательства О. А. Прудовская
Переплет художника В. Н. Хомякова
Художественный редактор Д. И. Чернышев
Технический редактор Н. М. Пушкарева
Корректор М. Г. Г у л и н а
И'Б № 1947
Сдано набор 26.02.79 Подписано в печать 13 09.79 Формат 70Xl00Vie
Бумага типографская № 1 Гари, шрифта литературная
Печать высокая Усл. печ л. 33,15 Уч-изд. л. 33,66
Тираж 5500 экз. Заказ 56 Цена 2 р. 90 к.
Издательство «Энергия», 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
(С; John Wiley and Sons, London, New York, Sydney, Toronto, 1974
g Перевод на русский язык, предисловие, издательство «Энергия», 1979.


ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
В предлагаемой вниманию читателей книге известного спе-
циалиста в области гидродинамики и термодинамики А. Рей-
нольдса освещено современное состояние прикладных
проблем турбулентности в различных областях техники, исключая
вопросы турбулентности электропроводящих жидкостей и
течений с температурной и химической стратификацией.
В книге рассмотрены структура турбулентных течений,
турбулентное трение, тепломассоперенос с позиции
современных достижений гидродинамики турбулентных течений для
решения широкого круга прикладных задач.
Приведенный в монографии материал дает основу для
инженерных расчетов турбулентных течений с помощью
уравнений движений, неразрывности, теплопроводности, диффузии
для осредненных гидродинамических полей скоростей,
температуры и концентраций без привлечения уравнений для
моментов турбулентных характеристик. Более сложные методы
с привлечением уравнения турбулентной энергии, потоков
импульса и тепла, которые интенсивно развиваются в
последние годы, частично рассмотрены в заключительном разделе
монографии.
Для специалистов несомненный интерес представит
краткое изложение ряда вопросов теории подобия для процессов
турбулентного переноса на основании «простой» и
«обобщенной» аналогии Рейиольдса. Более полное рассмотрение
основных положений теории подобия для турбулентных течений и
самого механизма турбулентности читатель найдет в
монографиях советских ученых Г. И. Баренблата, А. С. Монина и
А. М. Яглома.
Достоинством книги является сочетание глубокой
физической интерпретации гидродинамических явлений с описанием
способов применения математического аппарата, доступного
инженерам без специальной математической подготовки.
Каждая глава книги заканчивается удачно составленными
упражнениями по решению прикладных инженерных задач,
что позволит не только почувствовать важную роль
турбулентности в прикладных проблемах, но и значительно
углубить знание предмета. В таком изложении книга вполне
может служить учебным пособием для студентов всех
специальностей, связанных с гидро- и аэродинамикой, тепломассопере-
носом.
Список литературы дополнен при переводе работами
советских ученых, так как в книге отсутствуют ссылки на
многие оригинальные работы советских ученых. Эти источники


4
Предисловие к русскому изданию
отмечены звездочуой з списке литературы. Если та или
другая книга иностранных авторов переведена на русский язык,
то в списке литературы представлено только наименование
перевода. Наименования переводов на другие языки не
приводятся. Размерности физических величин при переводе
выражены в системе СИ.
Книга А. Рейнольдса предназначена для научных и
инженерно-технических работников, специализирующихся в
области гидродинамики, гидравлики, гидротехники,
гидроэнергетики, теплотехники, тепло- и массообмена процессов и
аппаратов химической технологиии, а также может быть
использована аспирантами и студентами соответствующих
специальностей для углубленной проработки курса гидродинамики.
Эта книга, несомненно, будет встречена с интересом
советскими специалистами.
Переводчики выражают благодарность Г. Л. Демидову за
большой труд по редактированию перевода.
Переводчики:
докт. техн. наук И. А. Шеренков,
канд. техн. наук А. П. Нетюхайло


ВВЕДЕНИЕ
Г. Ламбу принадлежат слова (Hydrodynamics, 1932 г.*):
«Турбулентное движение. Оно по-прежнему привлекает к себе внимание как
наиболее трудный вопрос нашего предмета». Это мнение Л амба
остается справедливым и теперь. Он высказывается как математик, но и как
инженер также видит, что с турбулентностью связано большинство
проблем механики жидкости. Турбулентное течение охватывает движение
жидкости в широком диапазоне масштабов длины и времени, и наше
представление о турбулентности заметно изменяется в зависимости от
тэго, с какими масштабами приходится .иметь дело. Движения самых
малых и наибольших масштабов не представляют собой загадку,
движения же промежуточных масштабов ставят поистине мучительные
вопросы. Уравнения количества движения Навье —Стокса описывают
мгновенное движение жидкости и дают значительную информацию
: турбулентности самых малых масштабов. Традиционный подход при-
чладной механики жидкости дает интегральные соотношения для
макроскопических характеристик для различных важных в прикладном
отношении течений. В обоих случаях не рассматриваются течения
средних масштабов. С математической точки зрения возникает проблема
замыкания — осреднение основных уравнений движения дает
неизвестных величин больше, чем самих уравнений, и необходима
дополнительная информация, чтобы решить проблему замыкания. С точки зрения
экспериментатора возникает проблема структуры течения, т. е.
представления об отдельных простых элементах турбулентного течения,
которые определяют характерную особенность этого течения.
Будем использовать в этой работе инженерный подход,
рассматривая вначале простые задачи, которые требуют лишь общих
представлений о малых масштабах движения, постепенно переходя к
рассмотрению более сложных процессов и течений с более сложной геометрией.
Соответственно этому используемый математический аппарат,
простейший вначале при рассмотрении течений в каналах, становится более
сложным при исследовании развивающихся течений и наиболее
сложным в последней главе. Исключением из этого является гл. 2, которая
посвящена анализу измерений, однако рассмотрение этого материала
не обязательно для перехода к изучению содержания последующих
глав.
Эта книга предназначена для гидромехаников, аэродинамиков,
инженеров-технологов для использования как на стадии обучения, так и
б практической деятельности, а также для студентов старших курсов.
Азтор попытался увязать вместе прикладные проблемы в этих областях,
пэименяя единый подход, основанный на использовании законов сохра-
* См. также Ламб Г. Гидродинамика. М., Гостехиздат, 1947.


6
Введение
нения и уравнений, описывающих процессы турбулентного переноса.
Предполагается, что читатель обладает знаниями в объеме обычного
вводного курса прикладной гидромеханики. Так как в книге по мере
необходимости рассматриваются ламинарные течения, имеющие
отношение к изучаемым турбулентным течениям, то эта книга может
использоваться и студентами младших курсов или же читателями, не
обладающими основательной подготовкой. Книга может также служить
введением к изучению проблем турбулентности с позиций теории или
эксперимента.
Основная цель этой книги состоит в том, чтобы в рациональном
виде представить методы расчета турбулентных течений, используемых
в инженерной практике, и указать пути обобщения этих методов. Для
достижения этой цели необходимо разработать реалистическую
картину явлений, имеющих место в турбулентных течениях, предложить
соответствующие терминологию и аналитические методы. Таким образом,
книга подготавливает читателя к достаточно уверенному усвоению
специальной литературы по данному предмету.
Приводя численные значения многих параметров, используемых
в анализе, я пытался дать представление о порядке их значений и
проблемах измерения. Многие из этих значений определены достаточно
точно для использования в практических расчетах; однако оценки
некоторых из них основаны на ограниченном количестве экспериментов и
должны использоваться с известной осторожностью. В частности, при
рассмотрении молекулярных характеристик переноса, приведенных
в приложении, следует иметь в виду, что вязкие и термические
характеристики довольно надежны, тогда как диффузионные характеристики
менее точны.
В конце каждой главы приведено значительное количество
аналитических и численных примеров, упражнений и задач, объединенных
общим названием «Упражнения». Они предназначены для лучшего
усвоения и закрепления рассматриваемого в главе материала и для того,
чтобы дать читателю уверенность и более глубокое представление
о предмете, что может быть достигнуто только в результате
самостоятельной проработки вопросов. Эти упражнения адресованы студентам,
проходящим систематический курс обучения, однако и остальным
читателям будет полезно ознакомиться с ними.
Основное содержание книги следующее. В гл. 1 приведены
обычные сведения о предмете, многие из которых известны читателю из
общих курсов прикладной механики жидкости. Гл. 2, содержащая
материал по проблемам измерения, несколько отклоняется от основной
линии изложения, так как в ней преимущественно рассматриваются
статистические аспекты турбулентности. Хотя детальное их изучение не
требуется, определенное ознакомление с этими аспектами является
необходимым для полного понимания сущности методов, используемых
с инженерных расчетах. Основная часть книги содержит три главы,
посвященные течениям в каналах, и три главы — развивающимся
течениям. Первая глава каждого из этих разделов (т. е. гл. 3 и 6) содержит
фундаментальные результаты, которые используются в главах,
посвященных конкретным приложениям — расчету трения, тепло- и массо-
переносу, свободной турбулентности и пограничным слоям. Последняя
глава книги снова возвращает читателя к статистическому подходу:
выводятся уравнения количества движения Рейнольдса и связанные


Введение
7
с ними результаты, которые затем используются для иллюстрации
методов моделирования турбулентных течений.
Я полагаю, что должен принести извинения за то, что в основном
ограничился рассмотрением сплошной среды с постоянной плотностью.
По-видимому, целесообразнее достаточно глубоко рассмотреть
некоторые часто встречающиеся проблемы, чем пытаться охватить все
множество турбулентных течений, имеющих место в технических
приложениях. Выбрав только несколько тем, я сожалею, что не смог рассмотреть
перенос частиц, двухфазные течения, атмосферную турбулентность,
течения с большими скоростями, в которых сжимаемость важна, и
течения, в которых происходят реакции. Я надеюсь, что для читателей,
интересующихся этими вопросами, книга окажется полезной как основа
для дальнейшего их изучения.
Я выражаю благодарность д-ру И. С. Гартшое и д-ру А. Дж. Варт
Смит за прочтение частей рукописи и высказанные замечания о ней.
Я также благодарю мою жену Каролину за помощь при чтении
корректуры и всякую другую помощь.
Я выражаю благодарность за любезное разрешение
репродуцировать целиком или частично следующие материалы (в некоторых
случаях в конце главы указываются источники): рис. 1.3 — с разрешения
Американского общества инженеров-механиков; рис. 2.8, 4.6 и 4.7— из
«Journal of Fluid Mechanics» с разрешения издательства Cambridge
University Press; рис. 3.2, 3.3 и 3.8 благодаря любезности NACA; рис. 4.2
из четвертого тома «Введения в прикладную механику» с
разрешения издательства Academic Press Inc. и проф. Клаузера; рис. 5.3 и 5.6
из публикации [78] с разрешения Бюро военно-морских исследований
США; рис. 6.1, 6.2, 6.3 и 6.5 из публикации [125] с разрешения
издательства Cambridge University Press; фото I с разрешения проф. Кор-
рсина, лаборатории баллистических исследований армии США и
фонда Aberdeen Proving Found; фото II и III с разрешения компании
Armfield Engineering Ltd
А. Дж. Рейнольде


УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Символы поясняются по мере их появления в тексте. Условные
обозначения являются простыми и общепринятыми, в результате чего
некоторые символы используются для обозначения не одного, а более
понятий. Использованы следующие общепринятые условные обозначения:
1. Д л я пульсационных величин. Осредненные по времени
величины обозначаются большими буквами, а
пульсационные—малыми. Черточка сверху (~) обозначает осредненные во времени. Штрих (')
означает среднеквадратичное значение.
2. Потоки и скорости. Точка сверху (•) используется для
обозначения переноса в единицу времени. Некоторые количественные
характеристики, приходящиеся на единицу ширины в плоском течении,
обозначаются штрихом (').
3. Вдоль стенки или в направлении основного
течения принято обозначение координат х, Х\, а скоростей и и £/; в
направлении, нормальном к стенке или в направлении наиболее быстрого
изменения у, х2, г, v и V; в направлении, нормальном к плоскости
среднего течения, z, х3, w и W; q означает равнодействующую пульсаций
скорости.
4. Приближенные значения величин. Обычно символ ^
означает «почти равно»; .—'О(х) означает «имеет порядок х» и —'
означает «что-то подобное» или «имеет подобие» или в анализе
размерности «зависит от ...».
5. Безразмерные группы и комплексы (числа)
обычно обозначаются первыми двумя буквами фамилии в записи прямым
шрифтом.
6. Корреляции и спектры. Специальные обозначения их
приведены в табл. 2.1.
7. Векторные величины выделены жирным шрифтом.
Обозначение тензоров разъясняется в п. 9.1.1.


ГЛАВА ПЕРВАЯ
ПРОБЛЕМЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
В этой главе сформулированы основные проблемы и сделаны
первые шаги к их решению. Она предназначена для читателей, имеющих
некоторое знание предмета и нуждающихся в ознакомлении с
терминологией, принятыми обозначениями, их применением, аналитическими
методами, феноменологическими основами. Это многообразие вопросов,
поставленных в вводной главе, разрешается при помощи исследования
многих «простых» течений; в сущности — это сжатая история развития
наших идей и представлений о турбулентности. Целью этого обзора
является:
1) указать наиболее характерные признаки турбулентных течений;
2) определить термины, обычно используемые при рассмотрении
турбулентных течений;
3) ввести обозначения, используемые при описании турбулентности
и ее эффектов;
4) оценить методы анализа турбулентных движений;
5) сформулировать проблемы, которые турбулентность ставит
перед инженером.
Может показаться необычным, что определение предмета нашего
исследования не сформулировано в самом начале. Понятие
турбулентности фактически будет определено в параграфе 1.5, когда ее
существенные свойства станут ясными в результате рассмотрения некоторых
частных примеров.
1.1. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТРЕНИЕ И ПЕРЕХОДНЫЙ РЕЖИМ ТЕЧЕНИЯ
Трение в трубах
На рис. 1.1 представлены экспериментальные результаты, важные
как для практических расчетов, так и для понимания турбулентности.
Эксперимент схематически показан на рис. 1.1,а: установившееся
течение жидкости происходит в длинной прямой горизонтальной трубе
постоянного диаметра d\ для простоты примем плотность р и вязкость
чидкости jut постоянными. На длине L внутри трубы давление жидкости
адает от рх до рг. Так как сила тяжести не влияет на давление в
горизонтальной трубе, падение давления может быть обусловлено только
- гением, возникающим внутри движущейся жидкости.
Результаты, представленные на рис. 1.1,6, соответствуют трем ви-
i_\i труб. В двух случаях внутренняя поверхность трубы выполнена
_ероховатой с помощью равномерного расположения элементов шеро-
затости (это можно сделать, нанося резьбу на стенку трубы или на-
. :еивая зерна песка на нее). Третий вид трубы — с достаточно гладкой
z г. тренней поверхностью: эта поверхность имеет естественную шерохо-


10
Проблемы турбулентности
[Гл. 1
ватость, определяемую материалом трубы и методом изготовления. Этой
шероховатости свойственна нерегулярность различных параметров. На
рисунке указана относительная шероховатость каждой из трех труб,
т. е. отношение типичной высоты элементов шероховатости k к
диаметру трубы d.
Pi
Рг\
И, &■ —~ 1 __~d\\*~- U.UZ5
г* а)
^ ^—1==4==
JIT
0,01
г
г
-ащМШ-
ПТ
0Ш5
10'
10*
10s
10s
ТТ
в)
Ю
Рис. I.I. Зависимость трения в трубах от турбулентности, иллюстрирующая роль
шероховатости и перехода к турбулентности.
а-экспериментальное определение трения при стационарном течении жидкости в длинной трубе:
ъемный расход жидкости; б — характеристики трения в безразмерном виде; коэффициент
; с'^(/;1_р,)/^ в виде функции числа Рейнольдса Red<—У в логарифмическом масштабе.
■ачо изменение для трех уровней относительной шероховатости kid, где k — эффективная вы-
'^охов1?остИи.1/-диаметр трубы; /-гидравлически гладкая стенк^/-пр^
• при /Ш=1/100- /// — гидравлически вполне шероховатая стенка при /гд=1/1ии, л* — ооласть
rW'oro нежима' течения: UT — область перехода к турбулентности; IT — область турбулент-
пежима течения- в - картина, наблюдаемая при визуализации течения соответствующая
режимам течения на рис. 1.1,6 (краситель вводится по оси трубы).
V — о С
трения
Показ
сота
ре Ж!
лг^ v.
но го
При определении зависимости между падением давления и
расходом жидкости V в трубах, как и при многих расчетах и определении
зависимостей между экспериментальными данными в механике
жидкости результаты удобно представить в безразмерной форме. Введем
число Рейнольдса как безразмерную характеристику скорости потока
(расхода):
(для круглой трубы),
(1.1.1)
где л==мур_ кинематический коэффициент вязкости жидкости.
Используемая здесь скорость
(1.1.2)
(для круглой трубы)
представляет собой среднюю скорость движения жидкости в канале;
Л -площадь поперечного сечения. Падение давления характеризуется
безразмерным коэффициентом трения
(для круглой трубы). (1.1.3)


§ 1.1]
Турбулентное трение и переходный режим
Здесь
1
(р -о) A Td^~^P^
tw= A = j (для кРУгл°й трубы) (1.1-4)
есть среднее касательное напряжение на стенках трубы, которое
действует на смоченную поверхность трубы с площадью Aw и
уравновешивает силу давления (р{—ръ)А. Значение этих безразмерных параметров
будет рассмотрено ниже. Здесь же они используются для
представления эмпирических данных
Обсуждение результатов, представленных на рис. 1.1,6, приведем
в два этапа; на первом рассмотрим левую часть рисунка, где кривые
почти сливаются, па втором — область больших значений числа Рей-
польдса, когда шероховатость труб играет существенную роль.
Результаты, характеризующиеся отсутствием зависимости трения от
шероховатости, наилучшим образом могут быть поняты при-рассмотрении
другого простого эксперимента с потоком в трубе. Рисунок 1.1,в
иллюстрирует результаты наблюдений (впервые сообщенные Осборном Рейнольд-
сом в 1883 г.), полученные при введении в поток струйки краски в
центре прозрачной трубы. Для относительно малых чисел Рейнольдса
струйка распространяется вдоль оси невозмущенной (если не считать
молекулярную диффузию краски). Это установившееся течение без
перемешивания описывается как ламинарное, так как при этом
деформация жидкости аналогична деформации топких пластин (или слоев)
в пачке, скользящих одна по другой. Ламинарное течение соответствует
области А (рис. 1.1,6), в которой коэффициент трения убывает на
логарифмическом графике фактически по линейной зависимости.
При высоких значениях числа Рейнольдса поведение окрашенной
струйки совершенно иное. После того как струйка проходит
невозмущенной некоторое расстояние в трубе, она начинает колебаться из
стороны в сторону и в конце концов исчезает, переходя в размытое пятно,
заполняющее все поперечное сечение. Это неустановившееся течение
с перемешиванием было описано Рейнольдсом как волнистое; сейчас мы
называем его турбулентным. Турбулентный режим соответствует
области С на рис. 1.1,6, где коэффициент трения имеет заметно большее
значение, чем то, которое было бы для ламинарного режима при тех же
числах Рейнольдса.
Переходный режим
Обратимся теперь к анализу режимов течения, промежуточных
между рассмотренными выше; именно здесь переход от ламинарного
течения к турбулентному наиболее очевиден. В этой области (В на рис. 1.1)
с помощью визуализации потока можно обнаружить пятна
неправильной формы или всплески турбулентности, разделенные участками почти
ламинарного течения. Перемежаемость, характерная для
турбулентности, и ее резкое выделение на фоне соседних областей ламинарного
течении является типичной особенностью перехода от ламинарного
режима к турбулентному. По-видимому, активность турбулентности
должна достигнуть определенного порогового значения для того, чтобы
турбулентность поддерживала сама себя; если же возмущение не
достигает требуемого значения, то турбулентность затухает и быстро
исчезает.


12
Проблемы турбулентности
[Гл. 1
Осборн Рейнольде установил, что течение в трубе может стать
турбулентным, если Red>2000; это дает хороший критерий для
определения перехода и оценки многих течений в каналах для инженерных
задач. Однако если вход в трубу очень плавный и окружающая среда
практически неподвижна, то ламинарное течение может
поддерживаться при существенно больших значениях числа Рейнольдса, например,
до Red=50 000. В самом деле, для данного частного случая течения
в трубе из теоретических соображений следует, что не имеется
предельного значения числа Рейнольдса, при котором возможно ламинарное
течение, при условии, что возмущения достаточно малы.
Возникновение переходного режима зависит от устойчивости
исходного ламинарного течения по отношению к возмущениям, налагаемым
со стороны окружающей среды или переносимым от входа. Течение
является неустойчивым, если нарастание энергии возмущений
происходит быстрее, чем ее потери вследствие вязкой диссипации. В данном
частном случае ламинарного течения в трубе очень слабые возмущения
не могут получить необходимого количества энергии из исходного
течения; более того, при достаточно малых числах Рейнольдса это
неспособны сделать даже конечные возмущения.
Важным результатом переходного режима является увеличение
диссипации энергии течения в трубе, т. е. скорости, с которой
механическая энергия среднего течения расходуется на преодоление трения
жидкости. Принимая плотность жидкости постоянной, мы определили
диссипацию как скорость, с которой потоком совершается работа на
преодоление разности давлений. Из уравнений (1.1.1 —1.1.3) следует:
V(Pi—P2)^V3cf—Re*dcf
для данных трубы и жидкости. Рисунок 1.1,6 показывает, что
отношение турбулентной диссипации к диссипации при ламинарном режиме
при том же числе Рейнольдса неизменно возрастает с возрастанием
числа Рейнольдса. В ламинарном потоке диссипация зависит от
градиента скорости основного течения; она больше у стенок трубы, где
скорость изменяется быстрее. Визуализация течения (рис. 1.1,в) наводит
на мысль о том, как осуществляется дополнительная диссипация в
турбулентном течении. Турбулентность включает мелкомасштабное
движение с большими градиентами скорости и соответственно с большими
касательными напряжениями; кроме того, пульсации вызывают
увеличение градиента скорости основного течения у стенки, и его вклад
в диссипацию также возрастает. Для того чтобы выполнялось
наблюдаемое неизменное возрастание скорости диссипации, малые «вихри»
должны становиться еще меньшими по мере возрастания числа
Рейнольдса. Таким образом, диапазон линейных масштабов
турбулентности расширяется с возрастанием числа Рейнольдса.
Пристеночный слой и шероховатость
Рассмотрим теперь влияние шероховатости стенок на трение,
возникающее при течении жидкости в трубе. Как показывает рис. 1.1,6,
эффекты шероховатости довольно малы при ламинарном и переходном
режимах. (Однако следует понимать, что на сравнение результатов для
гладких и шероховатых стенок влияет проблема определения
соответствующего диаметра шероховатой трубы.) Даже после того как
течение стало турбулентным, эффекты шероховатости невелики, если число


§ 1.1]
Турбулентное трение и переходный режим
13
Рейнольдса еще не очень высоко. Только при вполне развитом
турбулентном режиме шероховатость различного вида и размера дает
заметно различные характеристики трения. При наиболее высоких числах
Рейнольдса коэффициент трения зависит только от шероховатости и
почти не зависит от числа Рейнольдса и, следовательно, от вязкости.
Можно отметить две противоположные тенденции поведения трения:
при низких и умеренных числах Рейнольдса даже турбулентное трение
заметно зависит от вязкости, но слабо зависит от шероховатости; при
высоких числах Рейнольдса трение зависит главным образом от
шероховатости стенок и почти не зависит от вязкости.
Из сказанного можно установить некоторые характерные
особенности пристеночного слоя — области течения, примыкающей к стенкам
трубы, поперек которой скорость быстро уменьшается до нуля. Выше
отмечено, что самые малые турбулентные моли, определяемые
вязкостью, неуклонно уменьшаются с возрастанием числа Рейнольдса.
Однако непосредственно у стенки движение жидкости определяется
вязкостью, поскольку турбулентные пульсации подавляются стенкой. Можно
ожидать, что толщина этого вязкого подслоя будет также уменьшаться
с возрастанием числа Рейнольдса и поэтому турбулентность будет
распространяться ближе к стенке.
Эти идеи дают основу для объяснения характера кривых на рис. 1.1,6.
По-видимому, элементы шероховатости не участвуют в порождении
трения, пока они погружены в вязкий подслой. Однако если
турбулентные пульсации проникают к элементам шероховатости, то
напряжение трения передается непосредственно от выступов шероховатости
внешнему течению. Чем больше выступы шероховатости, тем меньше
число Рейнольдса, при котором начинается это взаимодействие.
Согласно этой точке зрения, всякая стенка может быть гидродинамически
гладкой, если ее выступы шероховатости не проникают в турбулентное
ядро течения. Следовательно, гладкость не является абсолютным
свойством поверхности, а зависит также от характера обтекания стенки.
Стенка будет вполне шероховатой, если турбулентность потока
настолько сильна, чтобы проникнуть через вязкий слой к элементам
шероховатости. Для различной шероховатости, обусловленной
большинством процессов обработки поверхности, наблюдается постепенный
переход между условиями гладкой и шероховатой стенки, как показывает
нижняя кривая рис. 1.1,6.
Указанные выводы для пристеночного слоя относятся не только
к возникновению трения. Рассматривая перенос любой субстанции
между твердой поверхностью и турбулентным потоком — импульса,
тепла или растворенного или конденсирующегося вещества, нужно
учитывать структуру пристеночного слоя: вязкий подслой у стенки (если она
гладкая); полностью турбулентное течение на некотором расстоянии от
нее и промежуточный слой между ними. Хотя осредненные по времени
характеристики вязкого слоя и турбулентного ядра сменяют друг друга
плавно, мгновенная картина совсем иная. Происходит перемежающееся
проникание сильно турбулентной жидкости в номинально
нетурбулентный слой, что напоминает вспышки турбулентности в трубе вблизи
области перехода.
Осреднение скорости
Наконец, мы используем пример течения в трубе для ознакомления
с проблемами описания турбулентного поля скоростей. В формулах для


14
Проблемы турбулентности
[Гл. I
'/УУУУУУУУУУУУУУУУ/УУУУУУУУУУУ/УУУУУУ/УУУУУУУ/УУ/У//;.УУУУУУ
и(х71/,1?г;
а)
'(<< у,,*,'////'///////////////* .-///у///А
и(*,уЛ)
числа Рейнольдса pi
коэффициента трения мы указали среднюю»
скорость, определенную через
расход: Ua=VjA. Рисунок 1-2
дает представление о том, как
эта величина связана с
локальными скоростями в трубе.
Аналитически мгновенная
скорость и(х, у, г, t) в точке
потока в трубе и осрелненная по
времени скорость U связаны
соотношением
j
U:
-h \ u('
х, у, г, t)dt,
777Z777777777^^7777777Z777777777777777777777777,
W/УЛ'УУУУУУУУУУУУУУУУУ/У
X
УУУУУУУ/У/У^'
'/'//'//////"
, /////////////////У//////////,
Ua(x)
'/W///////''■'/// '"/////.
(1.1.5)
где ta— промежуток времени
осреднения, который
существенно больше, максимального
временного масштаба
турбулентности. В установившемся потоке
в трубе £/=/(г), где г —
радиальная координата. В случае
общего турбулентного, но номинально
стационарного основного течения
U=J(x, //, г) и изменяется в
пространстве произвольным
образом. В любом случае скорость U
не зависит от времени, если
определяющие характеристики
основного течения остаются
постоянными. Мы 'неявно принимаем, что
молекулярные пульсации
жидкости имеют значительно меньшие линейные и временные масштабы по
сравнению с самыми малыми турбулентными пульсациями. Это обычно
выполняется, если исключить из рассмотрения разреженные газы, что
и будет в дальнейшем предполагаться в этой книге.
Осредненная по времени величина U и средняя скорость Ua
связаны соотношением
Рис. 1 2. Переход к одномерной
аппроксимации распределения скорости в сечении
канала.
а — мгновенное распределение скорости в
сечении; б — осредненное во времени распределение
скорости в сечении; в — осредненное
распределение во времени и по сечению — средняя скорость
одномерной модели.
Ua = -j~\u(x> У> z)dydz,
(1.1.6)
где А — площадь поперечного сечения, а у и г—координаты,
отсчитываемые в этом поперечном сечении. Эта дважды осредненная скорость
Uа иногда называется среднемассовой скоростью. Для потока жидкости
с постоянной плотностью в трубе постоянного сечения Ua постоянна
вдоль потока. Для потока в каналах с изменяющимся сечением Ua—
=f(x), где координата х отсчитывается по оси канала.
Дважды осредненная скорость Ua — это скорость одномерной
модели течения в канале, на которой основано большинство инженерных


§ 12]
Лобовое сопротивление и отрыв
15
задач механики жидкости. Аналогичным образом можно вычислять
дважды осредненные или среднемассовые значения и для других
характеристик потока. Для общей характеристики S, переносимой
жидкостью, наиболее подходящим среднемассовым значением является
не просто осредненное, а взвешенное значение, в котором весовой
функцией является
S>=-u2C$USdA, (1.1.7)
А
где U и S — осредненные по времени характеристики.
1.2. ЛОБОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ОТРЫВ
Лобовое сопротивление кругового цилиндра
Рисунок 1.3 иллюстрирует другое течение, представляющее
большой практический интерес, а именно — обтекание тела, погруженного
в равномерный поток. В рассматриваемом случае тело является очень
длинным круговым цилиндром диаметром d. Скорость невозмущенного
потока обозначим Ux\ p и [х — постоянные плотность и вязкость
жидкости. Снова рассмотрим сопротивление применительно к движущейся
жидкости — в этом случае силу лобового сопротивления D.
На рис. 1.3,а показано, как сила сопротивления зависит от
скорости течения, причем результаты приведены к значению безразмерного
коэффициента лобового сопротивления. В общем случае
CD = -r^—, 0.2.1)
— 9U\A
где А — характерная площадь сечения тела, создающая лобовое
сопротивление; -тгр^Л —динамическое давление потока. Для бесконечно
длинного цилиндра примем
CD = -r^-, (1.2.2)
— 9U\d
где D' — сила лобового сопротивления на единицу длины цилиндра.
■Снова используем число Рейнольдса для учета скорости течения и
вязкости:
Re =ЛА (1.2.3)
Для низких чисел Рейнольдса поведение коэффициента лобового
сопротивления аналогично поведению коэффициента трения (рис. 1.1,6):
он уменьшается с увеличением числа Рейнольдса. Имеется также
внезапное изменение характеристики сопротивления; однако в этом случае
она сначала резко убывает, затем медленно возрастает по мере того, как
число Рейнольдса увеличивается. В дальнейшем снова обратимся к
визуализации течения для объяснения этих особенностей и, в частности,
для того, чтобы выяснить роль, которую играет турбулентность.


16
Проблемы турбулентности
[Гл. 1
^СГШ
V_^-^ 44s
Рис. 1.3. Связь между силой лобового сопротивления кругового цилиндра и трубулент-
ностыо, иллюстрирующая роль отрыва и перехода к турбулентности/
а — зависимость коэффициента лобового сопротивления СD от числа Рейнольдса Re, вычисленного
по диаметру цилиндра; б — картины обтекания цилиндра при росте числа Рейнольдса (по
Морковину), соответствующие указанным на рис 1 3,а режимам Л — установившееся обтекание, В —
пара присоединенных вихрей, осциллирующий след, С — срыв вихрей и образование вихревой
дорожки; D — переход к турбулентности в слоях со сдвигом; Е — ламинарная зона отрыва, за
которой следует турбулентный отрыв, F — переходный режим перед отрывом
Фазы картины течения
Приведем картины течения, основываясь на обзоре Морковина,
посвященного обтеканию цилиндра. Рисунок 1.3,6 дает представление об
общем характере течения вблизи цилиндра при различных числах
Рейнольдса; каждый рисунок показывает мгновенную картину течения,
которую можно получить с помощью струек краски или дыма,
переносимых течением. При рассмотрении этих рисунков необходимо сделать
три оговорки: 1) рисунки дают упрощенное представление о сложной
картине течения, в некоторых случаях картина течения изменяется по
времени; 2) при промежуточных значениях числа Рейнольдса могут


§ 1.2]
Лобовое сопротивление и отрыв
17
быть иные картины течения; 3) течения являются существенно
трехмерными при определенных условиях, чего здесь отобразить нельзя.
С учетом этого можно использовать рисунки для построения довольно
последовательной картины развития потока при возрастании числа
Рейнольдса.
^При малых числах Рейнольдса (режим Л, Re<l) поток,
обтекающий цилиндр, является установившимся, хотя и асимметричным в
продольном направлении в результате замедления потока, вызванного
цилиндром. С увеличением числа Рейнольдса (режим Б, Re=50) поток
становится более асимметричным, за цилиндром появляется пара
присоединенных вихрей и след, т. е. область замедленного потока, которая
простирается вниз по течению, начинает колебаться из стороны в
сторону. Ширина следа уменьшается по мере возрастания числа
Рейнольдса, что согласуется с неуклонным уменьшением коэффициента
лобового сопротивления.
При еще больших числах Рейнольдса (режим С, Re=250) след
содержит двойной ряд равномерно расположенных вихрей: кажется,
что жидкость свертывается в верхней и нижней точках поперечного
селения цилиндра и поочередное распространение из этих двух точек
вихрей является источником сходящихся вихрей, или вихревой дорожки,
в следе. Вихревая дорожка ассоциируется с именем Кармана, который
разработал ее теоретическую модель.
На следующем этапе развития (режим D, Re=104) поток,
непосредственно прилегающий к цилиндру, является фактически
установившимся. Вниз по течению от верхней и нижней точек сечения цилиндра
простираются два слоя со сдвигом, поперек которых скорость резко
изменяется от значения, соответствующего медленному течению в следе, до
значения, соответствующего интенсивному течению во внешнем потоке.
Такой тонкий слой со сдвигом иногда называют вихревой пеленой,
эквивалентной цепочке результирующих линейных вихрей,
расположенных друг за другом. При движении вниз по течению слои свертываются
и образуют вихри, однако они не являются устойчивыми и распадаются
в беспорядочные структурные образования, типичные для
турбулентности. Такая свободная турбулентность развивается в течениях со сдвигом
без непосредственного влияния твердых границ потока. Турбулентность,
формирующаяся вблизи твердых границ, например у стенок трубы или
у поверхности цилиндра, называется пристеночной турбулентностью.
Слово завихренность используется для обозначения вращения
элемента жидкости как в концентрированном вихре (случаи Л и С), так
и в основной массе жидкости потока со сдвигом (случай D). Можно
показать, что для двумерных течений сплошной среды завихренность
(или вращение жидкости) не может возникать в самой массе жидкости,
а формируется на границе с твердой поверхностью. Например, в
течении D завихренность жидкости, движущейся вблизи цилиндра,
переносится вниз по течению вначале в слоях со сдвигом, затем в
образовавшихся вихрях. Однако, когда последние распадаются в спектр
турбулентных движений, происходят значительные изменения.
Неупорядоченные движения турбулентности являются по существу трехмерными,
и это делает возможным порождение завихренности в самом потоке.
В § 1.4 будет показано, как растяжение вихревых линий в трехмерном
потоке увеличивает не только завихренность жидкости, но также и
связанную с ней кинетическую энергию.
2—56


■J 8
Проблемы турбулентности
I Гл. 1
Прежде чем проследить за развитием этих течений при переходе
к высоким числам Рейнольдса, полезно рассмотреть процессы вблизи
поверхности цилиндра. Влияние твердого тела на движение жидкости
осуществляется двумя способами: предотвращением проникания
жидкости через поверхность твердого тела и приведением жидкости
непосредственно на самой поверхности в состояние покоя. Эти условия связи
можно охарактеризовать как условия непроникания и прилипания
(отсутствия скольжения). Первое условие па расстоянии в несколько
диаметров от тела значительно преобразует движение даже для идеальной
невязкой жидкости. Влияние условия прилипания в сильной степени
зависит от числа Рейнольдса. Для очень малого числа Рейнольдса
(режим А) диффузионный эффект вязкости передает влияние неподвижной
поверхности далеко в жидкость, медленно движущуюся вокруг
цилиндра. При несколько большем числе Рейнольдса (режим В), когда
жидкость более интенсивно переносится относительно тела, область,
находящаяся под влиянием вязкости, будет тоньше и появляется четко
выраженный след. Для сравнительно высоких чисел Рейнольдса толщина
вязкой области составляет малую долю диаметра. Эта область малой
толщины, в которой скорости уменьшаются до нуля на поверхности
тела, называется пограничным слоем. Вне этого слоя распределение
скоростей определяется условием непропикапия и видоизменяется в
результате развития течения вблизи тела и в следе.
Как указывалось выше, завихренность порождается там, где
движущаяся жидкость встречается с твердой поверхностью, поэтому
пограничный слой на цилиндре является источником завихренности,
которая переносится вниз по течению в область следа (режимы С и D).
То, каким образом завихренная жидкость покидает поверхность тела,
представляет большой интерес, так как это определяет течение за
цилиндром, а следовательно, и лобовое сопротивление цилиндра.
Жидкость в пограничном слое, заторможенная поверхностным трением,
в конечном счете неспособна двигаться вдоль поверхности против
возрастающего вниз по течению давления. Происходит отрыв >' ндкость
пограничного слоя перестает точно следовать в своем движении за
профилем тела и движется вниз по течению, несколько отклоняясь от него.
Точки отрыва, в которых пограничный слой отходит от поверхности
тела, обозначены на рис. 1.3,6 буквой 5. В некоторых случаях эти точки
перемещаются в результате нестационарности потока за цилиндром.
За точкой отрыва направление течения непосредственно на
поверхности изменяется на противоположное, так что жидкость движется
к точке отрыва сразу с обоих направлений. Между отошедшим
вихревым слоем и твердой поверхностью находится зона сравнительно
медленного рециркуляционного течения, которая расширяется в обширную
область за цилиндром. Эти вихревые течения и слои со сдвигом вокруг
них становятся менее устойчивыми при возрастании числа Рейнольдса,
и область неустойчивого течения и перехода к турбулентности
постепенно приближается к цилиндру.
Рассмотрим поведение пограничного слоя, когда число Рейнольдса
превосходит указанные выше значения. Для режима Е при Re=106
роль отрыва становится более сложной: пограничный слой ниже по
течению от начального отрыва снова присоединяется. Область,
заключенная между временно отделившимся слоем и поверхностью тела,
представляет собой ламинарную зону (пузырь) отрыва со слабым ре-


§ 1.2]
Лобовое сопротивление и отрыв
1<Л
циркуляционным течением. В этом диапазоне чисел Рейнольдса
турбулентность следа и слоев со сдвигом распространяется вверх по течению'
к поверхности цилиндра; пограничный слой за пузырем отрыва
становится турбулентным, и конечный завершающий отрыв является отрывом
турбулентного пограничного слоя.
Именно возникновение перехода в самом пограничном слое служит
причиной резкого падения коэффициента лобового сопротивления,
указанного на рис. 1.3,а. Турбулентное смешение сообщает дополнительную
порцию энергии замедляющемуся пограничному слою, и жидкость у
поверхности способна следовать дальше вдоль цилиндра прежде, чем
произойдет отрыв. Последующее сужение следа и область низкого
давления сразу за цилиндром ведет к уменьшению коэффициента
лобового сопротивления. В области вблизи критического числа Рейнольдса,
при котором коэффициент сопротивления резко уменьшается, картина
течения в значительной мере зависит от уровня турбулентности
набегающего потока и шероховатости поверхности. Это и неудивительно,
так как эти факторы должны влиять на те топкие механизмы, которые
обусловливают возникновение отрыва и переходного режима.
Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса (режим F, Re—107)
приводит к устранению пузырей отрыва и расширению турбулентной
части пограничного слоя за центральную плоскость цилиндра;
коэффициент лобового сопротивления снова медленно возрастает.
Отрывающиеся турбулентные пограничные слои обусловливают появление слоев
со сдвигом, которые сами являются неустойчивыми, что приводит
к дальнейшему порождению турбулентности в следе.
Знание частоты срыва вихрей с цилиндра важно с практической
точки зрения, так как она определяет возбуждение цилиндрических
кабелей, стержней и конструкций, подверженных действию ветра или
водного потока. Доминирующая частота вихрей в следе, пульсаций
лобового сопротивления и подъемной силы определяется числом Струхаля
Sh=^, (1.2.4)
которое зависит от числа Рейнольдса потока и от формы тела. Для
кругового цилиндра Sh~0,2 при 100<Re<Rec и Sh^0,3 при Re>Rec,
при этом частота измеряется в герцах.
Выводы
Изложенные выше результаты относятся к одному классу
движений жидкости, однако они позволяют сделать более широко
применимые выводы, касающиеся неустойчивости, переходного режима и отрыва
потока.
1. Через некоторое время после своего развития ламинарное
течение (в трубах, пограничных слоях) или в отрывных слоях со сдвигом
становится неустойчивым и впоследствии турбулентным. Турбулентная
область в потоке растет с увеличением числа Рейнольдса.
2. Внешнее течение за пределами областей больших значений
напряжений сдвига, не находящееся непосредственно под влиянием
вязкости и турбулентности, модифицируется в результате роста
пограничных слоев, слоев со сдвигом и особенно при появлении точек, в
которых происходит отрыв пограничных слоев. Переходный режим играет
важную роль в определении этих точек.
2*


20
Проблемы турбулентности
[Гл. 1
3. Суммарное сопротивление тела включает две составляющие:
сопротивление трения, являющееся равнодействующей касательных
напряжений на поверхности, обтекаемой потоком, и сопротивление
давления, являющееся равнодействующей давлений, действующих на
поверхность. Как можно ожидать, первая составляющая будет
увеличиваться после наступления переходного режима. Вторая существенно
зависит от расположения точек отрыва и в случае обтекания цилиндра
может уменьшаться вслед за переходным режимом. Результирующий
эффект переходного режима зависит от формы тела, так как
сопротивление трения является главной составляющей для плоских удобообте-
каемых тел, а сопротивление давления является существенным для не-
удобообтекаемого тела, такого, как круговой цилиндр.
Можно рассмотреть два предельных случая, для которых случаи
кругового цилиндра будет промежуточным. Характеристики лобового
сопротивления для плоского тела, расположенного вдоль потока, схожи
с характеристиками для потока в трубе. С другой стороны, для тела
с острыми кромками (например, куб или диск, расположенный
перпендикулярно течению) точки отрыва будут неподвижными в широком
диапазоне чисел Рейнольдса, и можно ожидать, что на коэффициент
лобового сопротивления почти не будут влиять переходный режим и
воздействующие на него факторы. Именно так обстоит дело на
практике.
1.3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ И СМЕШЕНИЕ
Распространение струи
На рис. 1.4 показан другой вид течения, в котором может
развиваться свободная турбулентность, — струя, образованная жидкостью,
истекающей из круглой трубы в большой объем той же жидкости. Для
исходного течения, которое является ламинарным, но обладает
достаточно высоким числом Рейнольдса, имеются две стадии развития
турбулентности, как показано на рис. 1.4,а. На первой стадии
цилиндрический слой со сдвигом между струей и окружающей жидкостью
становится неустойчивым; начальные вполне упорядоченные вихри
распадаются в турбулентность, которая распространяется как внутрь, так и
наружу, и в конечном счете полностью поглощает ламинарное (или
потенциальное) ядро струи. Точка перехода перемещается к соплу с
увеличением числа Рейнольдса. На второй стадии турбулентность может
распространяться только к внешней границе и струя развивается в
соответствии с постоянным взаимодействием между внутренней
турбулентностью и покоящейся внешней жидкостью.
Рисунок 1.4,6 показывает характер изменения во времени
скорости, измеренной в пяти точках. Расположение точек измерений внутри
и вне турбулентной струи показано на рис. 1.4,а. Эти мгновенные
значения скорости, аналогичные представленным на рис. 1.2,а, не
упорядочены по времени. На оси струи (точка А) течение имеет характер,
типичный для вполне развитой турбулентности: нерегулярные
пульсации с широким диапазоном временных масштабов и пиковых значений.
На удалении от оси (точка В) характер записи совсем иной: имеются
промежутки полностью турбулентного движения, разделенные
интервалами, в которых скорость изменяется довольно медленно. Еще дальше
от оси (точка С) наблюдается заметная перемежаемость: продолжи-


§ 1.3]
Распространение и смешение
21
Рис. 1.4. Схема течения в турбулентной струе, иллюстрирующая перемежаемость,
вовлечение и подобие.
а — струя, истекающая из круглого сопла, в котором поток ламинарный, в покоящуюся массу
той же самой жидкости: / — слой смешения; 2 — ламинарное ядро; 3 — вовлечение; б — изменение
скорости во времени на различном расстоянии от оси струи в точках, указанных на рис. \Л,а; в —
изменение осредненной по времени скорости V с расстоянием г от оси струи для двух сечений
в струе за ламинарным ядром: ближнем к соплу (/) и в дальнем (2).
тельные промежутки течения с медленным изменением скорости
сменяются вспышками турбулентной активности. Наконец, во внешнем
потоке в точках, не очень далеко удаленных от струи (точки D и Е),
типичным является медленное изменение скорости, хотя имеются
отдельные вспышки более интенсивного турбулентного движения. Эта
перемежающаяся картина течения подобна той, что наблюдается в трубе
вблизи области перехода и в вязкой области пристеночного слоя.
Перемежаемость в точке в стационарном исходном турбулентном
потоке можно определить численно, используя коэффициент
перемежаемости у, равный доле времени, в течение которого движение
турбулентно, т. е. в течение которого обнаруживаются существенные пульсации
скорости. Анализ изменения скорости во времени в точке С, например,
позволяет установить, что здесь у~0,2. Более общим является
определение коэффициента перемежаемости как вероятности того, что
локальное движение турбулентно.
Значение этих результатов становится яснее при визуализации
потока. Характер мгновенной границы струи, выявленный при введении
густого дыма, показан на рис. 1.4,а (см. также фотографии,
помещенные на рис. 1.5). Только внутри области с нерегулярно движущейся
границей имеется турбулентная зона с сильной завихренностью.
Случайные движения имеют место и вне этой области, однако они вызваны
искажением границы. Соответственно эта граница будет называться


Проблемы турбулентности
[Гл. И
Штшшш


§ 1.3J
Распространение и смешение
23
границей (поверхностью) раздела турбулентности. Область,
заполненная дымом, искажается нерегулярностями, размер которых сравним
с полушириной струи, и, очевидно поперечные движения таких
масштабов служат причиной перемежаемости во внешней области.
Турбулентные движения больших масштабов, которые
характеризуют поверхность раздела, играют важную роль в распространении
турбулентности, т. е. в перемещении поверхности раздела в невихревую
внешнюю жидкость. Этот процесс принято называть вовлечением,
однако в конкретных случаях необходимо проверять, относится ли этот
термин к абсолютному или относительному перемещению поверхности
раздела. Движения больших масштабов сильнее всего взаимодействуют
с осредненным движением и получают энергию из него. Поэтому
процессы порождения турбулентности и вовлечения тесно взаимосвязаны.
Дым, введенный в струю для визуализации, распределяется в
турбулентном потоке весьма равномерно. Это указывает на другую важную
характеристику вполне развитой турбулентности: взаимодействие
движений различных масштабов дает весьма эффективное смешение.
Отчетливость мгновенной границы указывает на то, что внешний поток,
хотя и приводится в движение турбулентностью струи, но не
обеспечивает быстрого перемешивания, требуемого для распространения дыма
и самой турбулентности. Смешение является определяющей
характеристикой турбулентности. В эгом можно убедиться из сопоставления
истинно турбулентного движения и движения частиц, помещенных в
сосуд с желеобразной жидкостью, который находится в быстро
движущемся по неровной дороге автомобиле.
Коэффициент турбулентной вязкости
Рассмотрение турбулентности в струе позволяет установить роль
турбулентности в соотношении между напряжениями и скоростями
деформации в турбулентном потоке. Самое простое предположение
устанавливает связь между средним касательным напряжением и
градиентом средней скорости с использованием эффективного коэффициента
вязкости. Это предположение использует модель, описывающую перенос
напряжений молекулярным движением. Для плоскопараллельного
ламинарного течения (аналогично течению в трубе или в какой-то мере
течению в струе) имеем формулу
называемую законом трения Ньютона, в которой \х не зависит от
скорости деформации. Для плоскопараллельного турбулентного течения
выразим среднее по времени касательное напряжение в виде
, = P(v + 0*i, (1.3.2)
Рис. 1.5. а — турбулентный след за пролетевшей пулей (по Корсину и Кистлеру) (фото
предоставлено проф. Коренным); б —гидравлический прыжок в канале с прозрачными
стенками (фото предоставлено фирмой Armfield Engineering Ltd); в — использование
водородных пузырьков для визуализации отрыва и возвратного течения в
расширяющемся канале (фото предоставлено фирмой Armfield Engineering Ltd).


24
Проблемы турбулентности
[Гл. 1
что было сделано Буссинеском еще в 1877 г. Кинематический
коэффициент Em турбулентного переноса количества движения называется
коэффициентом кажущейся (или турбулентной) вязкости. Он не
характеризует свойства жидкости (в отличие от коэффициента
молекулярной вязкости), а зависит от конкретного вида течения и положения
рассматриваемой точки в течении. В условиях полностью развитой
турбулентности обычно em/v»l и непосредственный вклад молекулярной
вязкости пренебрежимо мал.
Очевидным является проведение дальнейшей параллели между
турбулентным и ламинарным течениями путем предположения постоянства
гт. Основанием для этого служит довольно простое соображение,
заключающееся в том, что и молекулярное, и макроскопическое смешения
дают один и тот же окончательный эффект. С другой стороны,
независимость коэффициента молекулярной вязкости от движения требует,
чтобы масштаб молекулярных взаимодействий, т. е. средняя длина пути
свободного пробега молекул, был намного меньше масштаба длины
среднемассового движения. Это условие не выполняется для
взаимодействий при турбулентности (не выполняется оно и для неныотоновской
хчидкости, даже при ламинарном течении). Заметим, например, что
поперечные искажения границы струи будут лишь в несколько раз меньше
полуширины струи, в пределах которой происходит изменение скорости.
Гипотеза о постоянстве коэффициента турбулентной вязкости
представляется еще менее правдоподобной, если вспомнить о явлении
перемежаемости, которое, по-видимому, означает локальный разрыв
характеристики, описывающей передачу напряжений жидкостью.
Несмотря на эти довольно обоснованные оговорки, измерения в
потоках со свободной турбулентностью показали, что профили средней
скорости весьма схожи с профилями для соответствующих ламинарных
потоков. С другой стороны, изменения средней скорости в
турбулентном пристеночном потоке очень плохо описываются при помощи
гипотезы о постоянстве коэффициента турбулентной вязкости. Такое
наложение друг на друга состоятельности и несостоятельности гипотезы
о постоянстве коэффициента турбулентной вязкости позволяет сделать
два довольно общих вывода. Некоторые фундаментальные
характеристики турбулентных потоков можно рассчитать, используя методы не
более сложные, чем для ламинарных потоков, даже если
определяющие физические процессы являются сложными. Тем не менее при
расширении области применения простой модели турбулентности
необходима экспериментальная проверка ее пригодности, даже если эта
модель оказывается удовлетворительной в других ситуациях.
Таунсенд остроумно использовал гипотезу о постоянстве
коэффициента турбулентной вязкости, применяя ее только для малых
масштабов турбулентности и полагая, что при этом развиваются движения
больших масштабов.
Результаты, подобные приведенным на рис. 1.4, весомо
подтверждают этот постулат «двойной структуры».
1.4. СТРУКТУРА И ПОДОБИЕ
Каскадный перенос энергии
Для того чтобы составить картину определяющих процессов в
турбулентном потоке, на данном этапе целесообразно объединить
некоторые из наших выводов. Отметим, что широкий диапазон частот и мае-


§ 1.4]
Структура и подобие
25
штабов длины является характерным для вполне развитой
турбулентности и масштаб самых больших движений не намного меньше, чем
поперечный размер турбулентного потока. Эти большие движения,
видимо, являются в определенной степени подобными тем возмущениям,
которые первыми становятся неустойчивыми в соответствующем
ламинарном потоке, и аналогично им должны быть способными получать
энергию, чтобы поддержать турбулентность. Кажущийся источник
энергии изменяется от потока к потоку: при течении в трубе это — градиент
давления; в пограничном слое это — внешнее течение; в струе это —
начальная кинетическая энергия жидкости. Отвод энергии независимо от
характера источника можно приписать взаимодействию между осред-
неиным течением и большими, довольно хорошо упорядоченными
турбулентными молями. (Это будет показано аналитически в последующих
главах.) Как мы отмечали, возмущения с интенсивностью, меньшей
некоторой минимальной, вероятно, не способны поддерживать это
взаимодействие.
Рассматривая течение в трубе, мы утверждали, что турбулентные
движения самых малых масштабов с самыми большими касательными
напряжениями служат причиной диссипации энергии турбулентности.
Таким образом, мы приходим к представлению Тэйлора (G. I. Taylor)
о переносе энергии в турбулентном потоке как о каскадном процессе
переноса от движений самых больших масштабов, которые получают
энергию извне; к движениям самых малых масштабов, которые ее
диссипируют. Это представление объясняет наличие широкого
диапазона временных и пространственных масштабов турбулентности: размеры
самых больших масштабов определяются осредненным потоком, а
самых малых — вязкостью жидкости; движения промежуточных
масштабов взаимодействуют с движениями наибольших и наименьших
масштабов, что обеспечивает перенос энергии во всем диапазоне
масштабов. Эти идеи кратко выражены в строках, приписываемых Ричардсону
(Е. Q. Richardson): «Большие вихри содержат малые вихри, которые
питаются их энергией; малые вихри содержат меньшие вихри и так
далее до начала действия вязкости».
Турбулентные движения часто называют вихрями различных
размеров. В пользу этого термина говорит многое: краткость, точное
описание определенных закрученных движений, наблюдаемых при
визуализации потока. Кроме того, турбулентность часто математически
описывают как суперпозицию гармоник, т. е. всякий раз ее можно
интерпретировать как некую ячеистую вихревую структуру. Таким образом, если
известно мгновенное изменение компоненты скорости и вдоль некоторой
линии, то можно записать косинус-преобразование Фурье
оо
u(r)= \a{k) cos krdk (1.4.1)
о
и обратное преобразование
оо
-^ \ U (г) COS krdr, (1-4.2)
О
где координата г отсчитывается вдоль этой линии.
Изменение амплитуды a (k) определяет интенсивность,
свойственную элементом с длиной волны Х = 2я/£, которые можно отождествлять


2G
Проблемы турбулентности
[Гл. i
с вихрями, вносящими свой вклад в суммарное движение. Переменная
преобразования k=2n/'k есть волновое число для этого вклада.
Понятие о вихрях, несмотря на то что оно обосновано
экспериментом и теорией, должно использоваться с осторожностью. Структура
доминирующих движений в большинстве полностью развитых
турбулентных потоков даже приближенно не является ячеистой, и ее нельзя
адекватно представить простой суперпозицией ячеистых элементов.
Истинную сложность турбулентного движения выявить не просто, поскольку
большинство способов визуализации дает только двумерную картину,
тогда как некоторые существенные черты турбулентности являются
трехмерными. Например, крупномасштабные движения, которые
обусловливают распространение струи, кажутся простыми закрученными
движениями, когда рассматривается некоторый участок струн. Более-
тщательное исследование показывает, что эти движения, возмущающие
границу, более похожи на изолированные струи с компенсирующими по,
обе стороны течениями.
Для того чтобы дать более ясную картину процессов в
турбулентных потоках, используют два других элемента — структурные
образования жидкости (моли) и вихревые линии. Рассмотрение моля жидкости
конечного размера помогает, например, выявить механизм передачи
напряжений при турбулентности. Нормальные к осредненному потоку
движения молей (при котором некоторая характеристика, связанная со
скоростью, остается постоянной) определяют механизм передачи
импульса. Расстояние, на котором моль движется без смешения с
окружающей жидкостью, называется длиной пути смешения. За сохраняющую
характеристику моля Прандтль принял количество движения, Тэйлор —
завихренность, и оба получили результаты, имеющие практическую
ценность. Название феноменологические теории иногда используется для
таких эвристических моделей, которые исходят из самых простых
предположений, согласующихся с общим проявлением турбулентности.
Растяжение вихрей
Понятие вихревых нитей может помочь нам получить
представление о процессе переноса энергии между турбулентными движениями
различных масштабов и между осредненным движением и
турбулентностью. Рассмотрим цилиндрический объем жидкости (длина L,
диаметр d, плотность р), вращающийся с постоянной угловой скоростью со.
Его масса, кинетическая энергия и момент количества движения
запишутся в виде
m~>f>Ld2, KE~(9Ld2)d2u2, AM^(9Ld2)cP^ (1.4.3)
Представим себе, что этот вихревой элемент растягивается, причем
момент количества движения остается постоянным (как будет в
случае, если диффузия пренебрежимо мала). Полагая также, что в течение
этого процесса масса постоянна, имеем:
KE^u~d-2~L. (1.4.4)
Итак, растяжение будет увеличивать завихренность и энергию
вращающегося элемента, причем требуемая работа совершается на концах
растягивающегося цилиндра.


§ 1-4J Структура и подобие 27
Так как всякий турбулентный поток можно представить себе в
виде суперпозиции вихревых линии, то мы имеем простую модель
переноса энергии от больших движении к малым, которые подвержены
растяжению из-за крупномасштабных искажений. Заметим, что диаметр,
характеризующий масштаб изменений скорости, уменьшается при
растяжении. Эти процессы можно визуализировать, вводя немного краски
в сосуд, который в это время быстро заполняется водой. Струйки
краски ведут себя почти так же, как вихревые нити в потоке. Особенно
важно то, что общим эффектом искажений является результирующее
растяжение струек; бывает иногда и сжатие, но оно практически
маловероятно.
Из того факта, что растяжение происходит в направлении,
нормальном плоскости вращения вихря, следует важный вывод.
Совершенно ясно, что эта форма переноса энергии требует, чтобы движение
жидкости было трехмерным; параллельные вихревые ячейки не могут
растягивать одна другую. Движение жидкости во всех направлениях
является существенной характеристикой турбулентности; без этого
широкий масштаб движения не мог бы ни установиться, пи сохраниться
Факторы, влияющие на крупномасштабную структуру
Проблемы, затронутые в предыдущих разделах, — идентификация
определяющих структур и процессов в турбулентном движении и их
представление с помощью простых элементов—являются
центральными для понимания и анализа турбулентности. При идентификации
определяющих характеристик некоторых простых турбулентных течений
достигнут известный успех, однако это еще не позволяет включить
полученные результаты в широко применяемую теорию. Трудность создания
такой теории иллюстрирует табл. 1.1, которая показывает, что
определяющие характеристики заметно изменяются в зависимости от вида
течения. Рассматриваются только плоские (или двумерные) средние
течения; иные факторы, которые ведут к изменению характеристик течения,
имеются, например, в осесимметричиых потоках. Уже рассмотрены
пять из шести видов течений, приведенных в табл. 1.1. Шестой вид —
пристеночная струя, возникающая при истечении жидкости вдоль
твердой поверхности в неподвижную пли равномерно движущуюся среду.
Рассмотренными в табл. 1.1 факторами являются количество:
пристеночных слоев, ограничивающих поток; распространяющихся границ
Таблица 1.1
Разнообразие опредэляющих характеристик плоских турбулентных течений
Вид течения
Течение в канале
Пограничный слой
Пристеночная струя
Струя
Слой смешения
След
Количество
пристеночных
сло:в
2 +
1
1
0
0
0
распростра-
11,1Ю1ЦИХСЯ
границ
0
1
1
2
2
2
внешних
тече'пнй
0
1
0 или 1
0 или 1
1 или 2
1
перемен
знака градиента
средней
скорости
1
1
1
1
0
1


28
Проблемы турбулентности
[Гл. 1
раздела турбулентности; возможных внешних течений; перемен знака
градиента средней скорости (последнее показывает, способна ли
турбулентность, порождаемая в поле средних деформаций одного вида,
переноситься в совершенно иное поле деформаций и взаимодействовать
с порождаемой там турбулентностью). По-видимому, каждый из этих
факторов оказывает существенное влияние на крупномасштабные
турбулентные движения, способствуя или препятствуя развитию их
различных форм. Тем не менее вполне вероятно, что определенная степень
универсальности может существовать для малых масштабов.
Автомодельность
Обратимся к рассмотрению более удобных для анализа
характерных особенностей турбулентных течений. Хотя мгновенная граница
раздела, показанная на рис. 1А,а, сильно искажена и быстро изменяется
во времени, ее среднее положение имеет (если расход подводимого
потока постоянный) удивительно простую форму: как только течение
в струе становится полностью турбулентным, ее ширина линейно
изменяется вдоль оси. Более того, оказывается, что угол расширения не
зависит от рода жидкости в струе и окружающем пространстве, если
отсутствуют эффекты сжимаемости и кавитации. Следовательно, осред-
ненное движение и большие масштабы турбулентности не зависят от
плотности, вязкости и числа Рейнольдса при условии, что последнее
достаточно велико, чтобы обеспечить полностью турбулентное движение.
Из этого вытекает, что осредненные по времени касательные
напряжения в потоке пропорциональны осредненным по времени силам инерции
и, таким образом, зависят от плотности, а не от вязкости. Ниже мы
увидим, как это происходит.
Потоки с такими свойствами описываются как потоки, обладающие
подобием по числу Рейнольдса, или, по-другому, большие масштабы
движения не зависят от числа Рейнольдса. В таких течениях вязкость
выполняет пассивную функцию (как в турбулентной диссипации); она
является определяющей для самых малых масштабов, однако не играет
непосредственной роли в определении общей структуры и
интенсивности турбулентности. Когда вязкость все же играет непосредственную
роль в определении среднего течения, например, в пристеночном слое,
большие масштабы уже не будут независимыми от числа Рейнольдса.
Другое простое свойство полностью развитой струи иллюстрирует
рис. 1.4,в, на котором показан профиль осредненной по времени осевой
скорости для двух сечений, достаточно далеко удаленных от сопла.
(Ближе к соплу профили будут с плоской вершиной.) Эти профили,
хотя и различны по ширине и высоте, имеют подобную форму.
Следовательно, деление координат г и U на подходящую масштабную
функцию сведет все семейство подобных профилей к единственной кривой,
представляющей изменение скорости поперек струи во всех сечениях.
Профили и течения с такой характеристикой называются
автомодельными, причем этот термин применим как к ламинарным, так и к
турбулентным потокам. Выше отмечалось, что ширина струи увеличивается
линейно и можно ожидать, что скорость на ее оси Uc будет
уменьшаться, следуя другому степенному закону. Поэтому


§ 1.4 J
Структура и подобие
29
являются приведенными координатами, пригодными для описания этого
течения, причем показатель степени а пока неизвестен, а х отсчитыва-
ется вдоль струи от некоторого виртуального (эффективного) начала,
положение которого учитывает начальное, еще не обладающее
подобием развитие струи. Если профили являются действительно
автомодельными, то приведенный профиль можно представить в виде
Как можно обосновать эти простые выводы, учитывая сложность
турбулентного движения в струе? С физической точки зрения можно
утверждать, что осредненное движение и взаимодействующие большие
элементы турбулентности в таком развивающемся течении должны
находиться в равновесии, при котором они могут расширяться без
изменения своих существенных характеристик. Говорят, что такие структуры
осредненных течений и турбулентности являются автомодельными.
Тогда автомодельность означает, что можно использовать масштабы длины
и скорости осредненного движения, чтобы свести профили к общей
форме, такой, как в уравнениях (1.4.6). Это возможно, если только нет
другого параметра, существенно влияющего на движение. Однако число
Рейнольдса, вычисленное по локальным масштабам ширины и скорости,
в общем случае будет изменяться вдоль потока. Поэтому
автомодельность во многих случаях тесно связана с независимостью движения
больших масштабов от числа Рейнольдса.
Анализ размерностей
При математическом подходе к вопросу о подобии отметим, что
общие характеристики струи определяются рядом основных параметров
жидкости и начального потока и не зависят от турбулентности. Это
обстоятельство является отправной точкой для анализа размерностей и
связанных с ним методов подобия, и можно ожидать, что эти методы
позволят установить некоторые простые характеристики
автомодельного потока. Безразмерные величины, которые получаются, называют
параметрами подобия, так как они связаны с кинематическим подобием
семейств течений.
Анализ размерностей будет часто использоваться в последующих
главах. Как пример его применения, рассмотрим здесь плоский слой
смешения, пограничный слой и след. Осредненная по времени скорость
U в турбулентном слое смешения зависит от координат и от изменения
скорости поперек слоя АС/. Принимая, что течение полностью
турбулентное и плотность постоянная, предполагаем, что вязкость и плотность
не влияют на осредненное движение. Отсюда
U=f(x, у, Д£/). (1.4.7)
Безразмерной однородной формой этого соотношения будет
где функция f является одной и той же для всех слоев смешения
рассматриваемого класса. Вследствие того что число определяющих
параметров мало, получен довольно специфический результат: слой рас-


-30
Проблемы турбулентности
[Гл. 1
ширяется линейно и, конечно, не зависит от числа Рейнольдса.
Несколько неожиданным является то, что средняя геометрия
турбулентного слоя смешения определяется более просто, чем ламинарного слоя,
в котором известную роль играет вязкость.
Можно предположить, что функциональная зависимость для осред-
ненной по времени скорости вблизи плоской пластины, расположенной
параллельно равномерному течению со скоростью Uu имеет вид:
U=f(x, у, L, Uu p, JX), (1.4.8а)
где L — длина пластины. Однородная с точки зрения размерностей
форма этой зависимости имеет вид:
Это соотношение справедливо для пограничного слоя, следа и
внешнего течения. Суммарную силу лобового сопротивления (на единицу
ширины) можно вывести аналогичным образом
D'=f(Uu L, р, ц) (1.4.9)
и записать в форме
Т^=/(^). (1.4.9а)
Именно в такой форме представлены данные о лобовом
сопротивлении на рис. 1.3,а. Результаты (1.4.8) и (1.4.9) позволяют
предположить, что коэффициент лобового сопротивления мог бы заменить число
Рейнольдса в качестве одной из безразмерных величин, определяющей
поле скорости. Однако это заключение не является строго корректным,
и поучительно задаться вопросом о том, где именно данный
правдоподобный анализ оказывается ошибочным.
Приближение пограничного слоя или тонкого слоя
Подчеркнем еще раз одну уже упомянутую выше важную
упрощающую особенность многих турбулентных и ламинарных течений —
малую толщину области с сильными сдвигом и завихренностью. Для
умеренных и больших чисел Рейнольдса угол расширения струи мал,
толщина пограничного слоя составляет малую часть размера тела,
распространение следа происходит медленно. Эти особенности имеют общую
причину—поперечная диффузия (молекулярная или турбулентная)
происходит ^медленнее по сравнению с основным переносом за счет
среднего течения.
Многие характеристики течений в тонком слое можно описать с
достаточной точностью, если использовать упрощенные уравнения
движения. Упрощение достигается в результате пренебрежения членами,
которые относительно малы в силу того, что основное течение почти
плоскопараллельно. Полученные таким образом результаты обычно
называют приближениями пограничного слоя, хотя такой подход применим
к широкому классу продольных течений. Интересно заметить, что
немецкие и французские названия пограничного слоя имеют более
широкое смысловое значение, их буквальным переводом является
«ограничивающий слой».


§ 1.5J
Затухание и случайные процессы
31'
Почти все автомодельные течения являются тонкими в смысле
приближений пограничного слоя, так как многие «тонкие» потоки
потенциально способны расширяться в соответствии с развитием профиля
скорости. Когда поток является и тонким, и автомодельным,
исследователь, которому необходимо рассчитать главные характеристики
течения, находится в особо выгодном положении. Конечно, тот факт, что
поток является тонким, еще не гарантирует того, что он принимает
автомодельную форму. В частности, турбулентные пристеночные
течения обычно не автомодельны, так как требуются различные формы
эволюции турбулентности в пристеночном слое и при взаимодействии
с внешним течением и при распространении во внешний поток.
1.5 ЗАТУХАНИЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Турбулентность за решеткой
Каждое из рассмотренных нами течений имеет источник
механической энергии, расходуемой на поддержание турбулентности, которым
является градиент скорости или давления. Рассмотрим теперь развитие
турбулентности в отсутствие подвода энергии; это позволит более
наглядно выявить процессы переноса и диссипации энергии, которые
происходят (в модифицированной форме) в течениях со сдвигом.
На рис. 1.6 представлена схема канала, в котором осредненная по
времени скорость по существу постоянна как во времени, так и в
каждом поперечном сечении, за
исключением области
тонкого пограничного слоя.
Более того, осредненные по I Шл ~^ ^ -^ --■
времени скорость и давле-' й"----~" —^is/'
ние почти не изменяются
вдоль канала, за
исключением участка сужения, где
они быстро изменяются от
одного ряда значений к
другому. Турбулентность
возбуждается решеткой,
набранной из равномерно рас-
19
■у>
а)
Рис. 1.6. Порождение, затухание и деформация-
турбулентности за решеткой.
а — схема канала, содержащегЬ турбулизирующую
решетку А и резкое сужение В между двумя секциями
постоянного сечения; осредненная по времени скорость
распределена довольно равномерно по большей части
ПОЛОЖеННЫХ СТеОЖНеЙ TVD- каждого сечения; б — изменение интенсивности турбу-
* * • Jr лентности вдоль канала: / — для продольной компонен-
булеНТНЫе СЛеДЫ За НИМИ ты ^?. 2 — поперечной компоненты v2; 3 — кинетической
расШИрЯЮТСЯ 'И СЛИВаЮТСЯ, энергии турбулентности 1.2?2.'
и на небольшом удалении
от решетки характеристики турбулентности почти постоянны по
поперечному сечению канала, за исключением пограничных слоев.
Турбулентность, возбужденная таким образом, называется турбулентностью
за решеткой.
После сглаживания изменения средней скорости под действием
турбулентного смешения турбулентность за решеткой неуклонно затухает,
все большая часть начального запаса ее энергии переносится к малым
вихрям и там диссипируется. Но в участке сужения имеют место
градиенты средней скорости и снова происходит отдача энергии от^средне-
го движения турбулентным движениям. Как только поток пройдет
сужение, устанавливается новая картина спонтанного развития и
затухания турбулентности. Турбулентность, которая развивается в сужении,.


32
Проблемы турбулентности
[Гл. 1
представляет значительный интерес, так как любой элемент жидкости
претерпевает одинаковую среднюю деформацию. Следовательно,
процесс поглощения энергии турбулентностью описывается здесь без тех
осложняющих факторов (обнаруживающихся в потоках со сдвигом, где
линейные масштабы турбулентности и среднего движения сравнимы),
когда каждый элемент жидкости имеет индивидуальную предысторию
чистой деформации, которая зависит от его перемещений по профилю
средней скорости.
Течения жидкости, подобные описанным выше, имеют место в
аэродинамических трубах и других каналах опытных установок: перед
входом в рабочую часть жидкость проходит через решетки (или «хоней-
комб»), которые предназначены для спрямления потока и гашения
крупных возмущений. Затем жидкость ускоряется в сужении и
проходит с большой скоростью через рабочую часть. Таким образом,
описанный выше процесс имеет не только практическое значение, но и
проливает свет ьа определенные фундаментальные аспекты турбулентности.
Обозначения для пульсационных характеристик
На рис. 1.6,6 показано, как изменяется турбулентность вдоль
потока в центральной части канала вне пограничных слоев. Для того
чтобы интерпретировать эту информацию, необходимо познакомиться
с обозначениями, используемыми для описания турбулентности и
среднего движения. В качестве примера рассмотрим изменяющееся
давление в точке в номинально установившемся турбулентном потоке.
Мгновенное значение давления можно представить в виде
Р+Р, (1-5.1)
где в общем случае
P=f{x, у, г)
описывает поле осредненного по времени давления и всегда
P=f(x, У> 2, t)
описывает пульсации относительно среднего значения.
В дальнейшем операция осреднения по времени [см. уравнение
(1.1.5)] будет обозначаться чертой сверху. Так, осреднение давления
дает
ЩГр = Р + -р=Ру (1.5.2)
поскольку по определению среднее постоянной равно самой постоянной,
а среднее пульсации р равно нулю. Если осредняется квадрат или
другая степень мгновенного значения давления, то появляются
дополнительные члены за счет пульсаций:
Ф+pY=р2+2Рр + ?= р2+J\ (1.5.3;
Средний квадрат и среднеквадратичное значение пульсаций явля
ются мерой интенсивности пульсации. Последнее значение будет обо
значаться с помощью штриха; таким образом, р'= (р2)1/2.
Обращаясь к рассмотрению поля скоростей в канале, представлег
ном на рис. 1.6,а, определим компоненты как
U-\-u — в направлении среднего движения, (1.5.4
v и w — перпендикулярно среднему движению.


§ 1.5]
Затухание и случайные процессы
33
Таким образом, U — постоянная средняя скорость (U\ — перед
сужением, U2 — за сужением), и, v и w — турбулентные пульсации. При
этом
u=v=w=0. (1.5.5)
Интенсивность пульсаций по трем координатным направлениям
определяется как
~й\ ~v\ ЙЛ (1.5.6)
Мерой полной интенсивности турбулентности служит средний
квадрат результирующей пульсационных компонент q:
^=7? + ^+^". (1.5.7)
Заметим, что 72<72— мгновенное значение кинетической энергии
турбулентности (на единицу массы жидкости). Интенсивность можно
также выразить с помощью безразмерного параметра
J^?YjU, ' (1.5.8)
который называют по-разному: относительной интенсивностью,
турбулентным числом, уровнем турбулентности или просто интенсивностью.
В качестве приближенной оценки принимается /^1% для
турбулентности за решеткой; /^10% вблизи стенки канала; />10% в струе или
в следе непосредственно за телом.
На рис. 1.6,6 для описания турбулентности используются
компоненты интенсивности и кинетическая энергия турбулентности. Как и
ожидалось, интенсивности неуклонно уменьшаются, за исключением
участка сужения. Хотя сужение потока может увеличить энергию
турбулентности, относительная интенсивность (1.5.8) уменьшается, так как
средняя скорость увеличивается от U{ до U2. Именно в этом смысле
поток в аэродинамической трубе сглаживается под действием сужения.
Из рис. 1.6,6 также видно, что относительные величины
продольной и поперечной компонент изменяются, причем не только в
результате деформации, но и в течение обоих промежутков затухания. Эти
изменения свидетельствуют о селективном затухании и о взаимодействии
турбулентных движений различных масштабов.
Однородная и изотропная турбулентность
В поперечном сечении, отстоящем достаточно далеко от решетки,
где уже произошло полное смешение слоев, генерируемых решеткой,
осредненная предыстория элементов жидкости в точке не зависит от ее
пространственных координат в этом сечении, исключая пограничные
слои. Поэтому осредненные по времени характеристики турбулентности
постоянны в поперечном сечении канала; например, в произвольном
сечении
и2 = const; ^
v2 = const;
да\2
-з— = const.
(1.5.9)
Более того, сразу же после начального промежутка быстрого
затухания последующее затухание происходит настолько медленно, что на
3—56


34
Проблемы турбулентности
[Гл. I
коротких расстояниях вдоль канала (расстояниях, сравнимых с
размерами ячейки решетки и масштабами турбулентности) средние значения
существенно не изменяются. Следовательно, турбулентность является
по существу однородной в области, несколько превышающей ее
линейный масштаб, а ее средние характеристики не зависят от положения.-
Предположение о пространственной однородности значительна
упрощает теоретическое исследование турбулентности. Однородной
турбулентности, хотя она и нетипична для течения в общих случаях, в
которых средние характеристики быстро изменяются в пространстве,,
уделено много внимания в прикладной математике; обзор
исследований, выполненных в этой области, содержится в книге Бэтчелора. Для
того чтобы связать реальную турбулентность за решеткой с моделью*
однородной турбулентности, следует воспользоваться гипотезой Тэйло-
ра; статистические характеристики, измеренные в фиксированной точке,,
через которую переносится равномерным потоком медленно
затухающая турбулентность, идентичны тем характеристикам, которые были бы
определены путем осреднения по большому объему среды с однородной
турбулентностью.
Дальнейшего прогресса в исследовании турбулентности можно
добиться, если предположить, что турбулентность является как
однородной, так и изотропной, т. е. что средние характеристики не зависят от
направления осей координат. Например, в произвольной точке потока
с изотропной турбулентностью
ди\2_ (dv_\2_ (dw\2
дх ) [ду J ~~[дг) ;
/ ди\2 __ I dv \2 /dw \2
(1.5.10>
так как каждая из приравненных средних характеристик измеряется
одинаковым образом независимо от выбора осей системы координат.
Рисунок 1.6,6 показывает, что турбулентность за решеткой не является
изотропной: компоненты интенсивности не равны между собой. Тем не
менее отклонение от изотропии достаточно мало, что позволяет
провести некоторые полезные сравнения между турбулентностью за
решеткой и теоретическими результатами для изотропной турбулентное™. __
Для изотропии недостаточно простого выполнения условия u2—v2=
=ку2; все статистические характеристики турбулентного движения и его
масштабы не должны зависеть от направления. Эти условия не
выполняются в течениях со сдвигом из-за эффекта преимущественной
ориентации среднего движения. Однако этот эффект ослабевает в малых
вихрях, которые непосредственно взаимодействуют не со средним движением,
а только с движением несколько больших масштабов. При
высоких числах Рейнольдса, когда существует широкий диапазон
масштабов, мелкая структура турбулентности, определяющая диссипацию'
энергии, не слишком отличается от изотропной. Эта локальная
изотропия мельчайших вихрей обеспечивает практическое применение
результатов, полученных для изотропной турбулентности, в частности, для
анализа вязкой диссипации. Рассмотрение этого вопроса будет
продолжено в следующей главе.


§ 15]
Затухание и случайные процессы
35
Статистический подход к турбулентности
Рассматривая однородную изотропную турбулентность, мы
вплотную подошли к статистической теории турбулентности, основанной на
анализе статистических характеристик, входящих в дифференциальные
уравнения неразрывности и движения, которые описывают мгновенное
случайное движение. Такой подход к турбулентности будет использован
в гл. 9; здесь же упомянуты лишь некоторые понятия, на которых
основан этот анализ.
Рассмотрим смысл термина «случайный» применительно к
турбулентному движению. В строгой интерпретации он, казалось бы, должен
означать, что скорость в данный момент времени совершенно не зависит
•от скорости в любой другой момент аналогично тому, как результат
^одного бросания игральной кости не зависит от любого другого. Однако
такая интерпретация не подходит для турбулентного движения
сплошной среды, так как здесь имеется связь между скоростями в точках,
достаточно близких в пространстве и времени. Следовательно, термин
«случайный» означает только то, что скорости в двух точках
становятся в среднем менее тесно связанными при увеличении интервала между
этими точками в пространстве и времени. В конечном счете можно
описывать процесс как случайный или как турбулентный поток. За
достаточно длительный промежуток времени изменение скорости в
ламинарной вихревой дорожке отклоняется от строго периодического. Однако
большинство наблюдателей вряд ли опишут это течение как
турбулентное. На протяжении короткого промежутка времени крупные вихри
в турбулентном следе могут быть почти периодическими; однако
большинство наблюдателей опишут это течение как случайное. Давая такую
интерпретацию они, вероятно, учитывали бы уменьшение
упорядоченности в движениях соответственно меньших масштабов.
Теперь, имея определенную трактовку понятия «случайный»,
можно обобщить наши представления о турбулентности: это движение
жидкости, включающее случайное макроскопическое смешение, с
широким диапазоном линейных и временных масштабов. Для достижения
такого широкого диапазона масштабов движение должно быть
трехмерным, вихревым и с конечным значением интенсивности. Согласно
этому определению то обстоятельство, что движения больших
масштабов являются установившимися или почти установившимися,
периодическими или почти периодическими, не относится к существу вопроса,
так как имеется определяющий диапазон случайных макроскопических
движений. Однако и это определение требует известной индивидуальной
юценки при установлении класса турбулентных течений.
Рассмотрим далее природу статистических характеристик
турбулентного потока. Их определение зависит от того, как они изменяются
(или, что более существенно, не изменяются) в пространстве и времени.
До сих пор предполагалось, что турбулентные пульсации
накладываются на номинально установившийся поток. В этом случае средние
значения в данной точке можно найти путем интегрирования в интервале
времени, который намного больше, чем промежутки пульсаций, как
в уравнениях (1.1.5) и (1.5.2). Как будет показано в следующей главе,
их можно найти также с помощью несложных экспериментальных
методов. Эти осредненные во времени значения приняты устойчивыми,
т. е. они должны быть воспроизводимыми при различных начальных
моментах времени и интервалах осреднения.


36
Проблемы турбулентности
[Гл. В
Теперь рассмотрим затухающую однородную турбулентность в
объеме жидкости, в котором отсутствует осредненное движение. В этом
случае не будет устойчивых средних характеристик по времени, но
можно мысленно определить устойчивое среднее ее значение, полагая (что
не всегда возможно), что данная характеристика осредняется по
пространству в некоторый момент времени. Например,
х0 + х
ЦЩ^-L Г [u(x,t)]*dx9 (1.5.11)
х0
где X— линейный размер, намного превышающий линейные размеры,,
типичные для турбулентности.
Если осреднение по пространственной координате устойчиво, т. е.
не зависит от интервала осреднения (достаточно большого), то говорят,,
что переменная величина является стационарной случайной функцией
заданной координаты. Таким образом, если и2 в уравнении (1.5.11) не
зависит от выбора точки хо, с которой начинается интервал осреднения,.
и от размера X (при условии, что он достаточно велик), то и есть
стационарная случайная функция от х. Это дает точную формулировку
того, что турбулентность является однородной в ^-направлении.
Аналогично требование, что и — стационарная случайная функция времени,
является точной формулировкой того, что осредненный поток и
характеристики турбулентности являются номинально стационарными.
Возникает вопрос, как можно определить средние характеристики'
для течения, которое не является ни стационарным, ни однородным,
например для потока через дыхательное горло в легкие. В таких случаях
необходимо воспользоваться средним по ансамблю, полученным по
значениям в соответствующих точках при многократном повторении
процесса. Так, чтобы найти уровень турбулентности в произвольной точке
дыхательного горла, можно рассмотреть п мгновенных значений щ
в одни и те же моменты времени в течение п последовательных циклов
дыхания. Средняя скорость и интенсивность турбулентности
определяются тогда как
-i-Еи,; ±X(Ul-Uy. (1.5.12>
Здесь пульсации скорости рассматривались в качестве примера;
однако эти же идеи применимы и для любых характеристик
турбулентного течения и фактически к любым случайным процессам.
1.6. ДИСПЕРСИЯ И ДИФФУЗИЯ
Турбулентный шлейф
Последний пример этого вводного обзора представлен на рис. 1.7г
дымовая труба выбрасывает в турбулентный ветер нагретую
восходящую струю (или шлейф). Здесь необходимо рассматривать не только
изменение скорости, но и изменение температуры, концентрации
переносимых субстанций, например двуокиси серы и частиц пепла,
образующегося при сгорании. Изменения этих характеристик будут влиять на
общую динамику течения, прежде всего вследствие действия силы
тяжести или архимедовой силы. Температура и концентрация будут (анало-


§ 1.6]
Дисперсия и диффузия
37
гично скорости)
обнаруживать случайные пульсации
в турбулентном потоке и,
в частности, на его
границах.
В такого рода течениях
основной интерес часто
представляет дисперсия
переносимой субстанции, а
турбулентные пульсации
скорости сами по себе
важны только как причина
дисперсии. Поэтому
необходимо посмотреть на
турбулентность с иной точки
зрения, не ограничиваясь уже
только описанием поля
течения и расчетом сил, приложенных к телам. Вместо этого поставим
вопрос о том, что происходит с отдельными частицами в турбулентной
жидкости, и исследуем статистические характеристики семейств частиц,
которые переносятся и диффундируют в турбулентном потоке.
Методы Эйлера и Лагранжа
Два подхода к изучению движущейся жидкости и, в частности,
турбулентного движения называются методами Эйлера и Лагранжа — по
именам двух исследователей механики жидкости. В методе Эйлера
рассматриваются явления в точке, определенные такими функциями, как
и(х, у, 2, /) и Т(х, у, z, t), где х, у, z — координаты точки. Метод
Лагранжа имеет дело с описанием частицы, движущейся в потоке,
определенной такими функциями, как х(х0) у0у z0y t) и Т(х0, y0i z0y /), где х0у
Уо и г0 задают положение частицы в некоторый начальный момент
времени и, таким образом, фиксируют ее. Этим двум описаниям
соответствуют свои экспериментальные методы: сигналы от зафиксированного
датчика дают эйлерово описание, тогда как визуализация потока
переносимыми частицами ближе к лагранжеву описанию.
Средние характеристики турбулентного течения можно описать
с помощью эйлеровой (типа рассмотренной выше) или лагранжевой
статистики. В качестве примера последней рассмотрим ряд частиц,
выбрасываемых одним источником, например, дымовой трубой. Среднее
расстояние, которое они проходят за время /, прошедшее с момента их
выброса, определяется как
*^=4-ад*., о* (1.6.1)
где п — число рассматриваемых частиц и Х\—х0 — расстояние, на
которое переместилась частица. В принципе оба статистических описания
дают эквивалентную информацию о случайном процессе, и одной из
фундаментальных проблем турбулентной дисперсии является
установление соотношений между результатами, полученными с помощью
методов Эйлера и Лагранжа.
Турбулентные движения, вызывающие дисперсию в условиях,
показанных на рис. 1.7, имеют ряд источников. Турбулентность порожда-
Рис. 1.7. Схема турбулентной восходящей струп
(или шлейфа) в турбулентном ветре,
иллюстрирующая турбулентную дисперсию и диффузию.
и— мгновенная картина шлейфа, визуализируемая
переносимым им дымом; стрелкой показано направление
ветра; б— профили осредненных по времени
температуры, скорости и концентрации частиц для фиксирован
ного значения координаты Л'; индекс с обозначает
максимальное значение на центральной линии шлейфа.


38
Проблемы турбулентности
[Гл. 1
•ется в струе, обладающей импульсом и плавучестью. Однако по мере
распространения струи эта локально порождаемая турбулентность
будет ослабевать по сравнению с нестационарностью ветра. В нижних
-слоях атмосферы турбулентность поддерживается двумя процессами:
термической неустойчивостью в результате нагрева земной поверхности
солнцем и механическим трением на поверхности. Последнее
включает, например, следы за строениями и деревьями. Независимо от
источника атмосферная турбулентность будет продолжать рассеивать
частицы, содержащиеся в шлейфе, в течение длительного времени после того,
как этот шлейф перестанет порождать свою собственную
турбулентность.
Коэффициенты турбулентного переноса
Следует ожидать, что по мере распространения шлейфа профили
усредненных по времени характеристик будут принимать простую и,
возможно, автомодельную форму. На рис. 1.7,6 показаны возможные
профили средних скорости, температуры и концентрации переносимых
частиц. Оказывается, что различные субстанции распространяются (или
диффундируют) с различной скоростью, как показано на этом рисунке.
Это позволяет предположить, что перенос количества движения,
энергии и взвешенного вещества поперек потока определяется разными
турбулентными процессами. Для описания этого существует простой
способ— ввести ряд эффективных коэффициентов переноса (или
коэффициентов турбулентного переноса), возможно, по одному коэффициенту
для каждой переносимой субстанции. Таким образом, соответственно
каждой характеристике молекулярного переноса — вязкости,
теплопроводности и диффузии массы — мы имеем эффективную характеристику
переноса, отражающую определенный аспект турбулентного смешения.
Выше мы ввели коэффициент турбулентной вязкости (или
эффективный коэффициент переноса количества движения) г™, в виде
^ = P(v + sm)^, (1.5.2а)
где т — осредненное по времени касательное напряжение в почти
плоскопараллельном потоке. Аналогичным образом можно определить
коэффициент переноса, определяющий перенос тепла турбулентным
движением в почти плоскопараллельном осредненном потоке. Для
молекулярной теплопроводности скорость переноса энергии на единицу
площади выражается законом Фурье в виде
*=-*■!=-р^§. ^
где k — коэффициент теплопроводности и к = — коэффициент
темперу
ратуропроводности; ср — удельная теплоемкость при постоянном
давлении. Распространяя это соотношение на турбулентные течения,
получаем:
Ч = — Pcp(« + Sh)%-, (L6-3)
где q и дТ/ду — осредненные по времени величины, а ел. —
коэффициент турбулентной температуропроводности (турбулентного переноса
тепла).


§ 1.6J
Дисперсия и диффузия
39
Диффузию произвольной субстанции в жидкости можно представить
аналогичным образом. Для молекулярной диффузии закон Фика дает
поток массы на единицу площади в виде
" = -Л|§-, (1-6.4)
где С — массовая концентрация, a D — коэффициент молекулярного
переноса (или диффузии), значения которого зависят от переносимых
вещества и жидкости. Учитывая турбулентную диффузию, имеем:
* = -(*> + 'J%, . (1.6.0)
где N и дС/ду — осредненные по времени величины, a
sd—коэффициент турбулентной диффузии (турбулентного переноса массы) для
данного вещества. В области полностью развитой турбулентности эффекты
турбулентности часто во много раз превосходят молекулярный перенос,
так что
-?-и-£»1. <»-6-f>
Молекулярные коэффициенты переноса жидкости связаны через
числа Прандтля и Шмидта:
К k
Sc - l—
(1.6.7)
Эти числа — характеристики жидкости и переносимой субстанции.
Аналогичным образом введем турбулентные числа Прандтля и Шмидта:
Рг, = -^и Sc, = -^\ (1.6.8)
eh £D
Эти числа — характеристики потока и положения рассматриваемой
точки, а также жидкости и переносимой субстанции. В областях
полностью развитой турбулентности они характеризуют диффузию более
точно, чем их молекулярные аналоги. Молекулярные величины (1.6.7)
изменяются в очень широких пределах, в чем можно убедиться из таблиц,
помещенных в приложении в конце книги. Более того, для жидкостей
числа Прандтля и Шмидтэ существенно зависят от температуры.
Однако в полностью развитом турбулентном потоке механизмы переноса во
многом одинаковы для количества движения, энергии и взвешенных
субстанций, а именно, определяются турбулентным переносом,
возможно, с участием молекулярной диффузии. Полагают, что связующим
звеном этих механизмов переноса является молекулярная диффузия.
Поэтому отношения эффективных коэффициентов переноса (1.6.8) лишь
незначительно отличаются от единицы (например, 2>Рг,>1/2) для
широкого класса течений и жидкостей.
Зачастую при турбулентной диффузии предполагается, что
pr,=Sc<=l. (1.6.9)
Этот простой путь установления связи между характеристиками
переноса и порождения напряжений известен как аналогия Рейнольдах


40
Проблемы турбулентности
1Гл. 1
(по имени,О. Рейнольдса). Эта аналогия будет рассмотрена подробнее
в гл. 5; однако здесь можно высказать два существенных критических
замечания:
1. При определенных условиях разные коэффициенты
турбулентного переноса диффузии далеко не равны между собой.
2. В большинстве представляющих практический интерес случаев
диффузия через практически нетурбулентные области (быть может,
вязкую, часть пристеночного слоя) играет важную роль в суммарном
переносе. Если молекулярное число Прандтля или Шмидта значительно
отличается от единицы, аналогия Рейнольдса будет приводить к
серьезным ошибкам при применении ее ко всему процессу.
Возможно, именно по этим причинам профили на рис. 1.7,6
различаются по ширине. Несмотря на эти ограничения, исходная аналогия и
ее простые модификации дают полезную связь между
характеристиками турбулентной дисперсии и турбулентного переноса напряжений.
В частности, они позволяют использовать обширные данные измерений
трения для расчета коэффициентов тепло- и массопереноса.
Имеются специфические проблемы, связанные с диффузией
тяжелых частиц конечного размера, например, зерен песка в турбулентных
потоках или древесных волокон в жидкой глине. Такие частицы в
меньшей степени реагируют на турбулентные пульсации -скорости:.они
могут быть больше, чем минимальные масштабы турбулентности, и время,
которое требуется для их ускорения, может быть сравнимым с
минимальными временными масштабами.
До сих пор мы рассматривали влияние турбулентности на осред-
ненные профили температуры и концентрации и на суммарные
коэффициенты переноса. Однако важны также и локальные эффекты
турбулентного переноса, например, связанные со сглаживанием неравномер-
ностей распределения концентрации, созданием условий для контакта
реагентов и массопереносом от взвешенных капель, пузырей и частиц
(или к ним).
1.7. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ИНЖЕНЕР
Имеется много аспектов турбулентности, которые не представлены
в рассмотренных в этой главе ситуациях и явлениях, как, например,
роль сжимаемости и разрежения в газовых потоках, эффекты свободной
поверхности, кипения и конденсации в жидких и парообразных средах.
Явления, которые были отмечены в наших примерах, встречаются почти
во всех турбулентных движениях: их можно представить себе как
наименьшие общие знаменатели турбулентности. В последующих разделах
мы систематизируем практические проблемы, связанные с
турбулентностью, и выделим некоторые из фундаментальных вопросов, лежащих
в их основе. Затем мы приведем обзор существующих методов анализа
и расчета и определим позицию, с которой инженер может подходить
к анализу турбулентных потоков.
Круг проблем
Одна важная группа проблем возникает в связи с диссипацией
энергии в турбулентных потоках. Она проявляется различными
путями— как трение жидкости на крыле, лобовое сопротивление корпуса
судна, падение- давления в канале, гидравлические потери в турбома-


§ 1.7] Турбулентность и инженер 41
шине или потери напора в гидравлическом прыжке. Чтобы рассчитать
эти характеристики, необходимо знать, является ли течение
действительно турбулентным, т. е. имел ли место переходный режим.
Необходимо помнить и о существующей проблеме отрыва от твердых границ,
так как она может оказывать существенное влияние на диссипацию,
лобовое сопротивление и подъемную силу, вызываемые течением.
Наконец, в трактовке связанных между собой проблем перехода, отрыва и
возникновения трения необходимо учитывать их зависимость от
шероховатости поверхности.
Во многих ситуациях являются важными силы и давления,
обусловленные самими турбулентными пульсациями. При порывах ветра,
крупных турбулентных движениях в атмосфере строения самолеты могут
испытывать критические нагрузки. Здесь линейный масштаб
турбулентности сравним с размерами конструкции, подвергающейся воздействию
турбулентного потока. Высокочастотные пульсации давления
мелкомасштабной турбулентности также могут быть существенными и приводить
к усталостным повреждениям поверхности, подверженной воздействию
турбулентного потока, или возмущениям в окрестности резонансной
частоты упругой конструкции. В некоторой мере подобный механизм
играет определенную роль в образовании волн на воде: резонансные волны
возбуждаются распределением давления, которое переносится по
поверхности турбулентным ветром. Пульсации давления звуковой частоты,
излучаемые турбулентными струями, являются даже меньшими по
величине, однако они представляют собой одно из самых заметных и
очень неприятных проявлений турбулентности.
С переносом количества движения в турбулентном потоке связан
перенос тепла и вещества. Расчет этого переноса является основой
проектирования теплообменников, бойлеров, ядерных реакторов, где все
зависит от турбулентного переноса энергии между твердой границей и
обтекающей ее жидкостью. Аналогично работа камер сгорания и
химических реакторов также зависит от турбулентности, которая
обеспечивает подвод или отвод тепла и приведение реагентов в контакт. Так как
все эти процессы переноса должны рассматриваться при анализе той
или иной инженерной проблемы, целесообразно установить между ними
аналогию, так чтобы информация, относящаяся к одной проблеме, могла
быть использована для других связанных с ней проблем.
Иногда имеется взаимодействие между переносом и
обусловливающим его турбулентным движением. Например, в процессе горения
турбулентность, которая соединяет реагенты, частично является
результатом интенсивного расширения вследствие выделения тепловой энергии.
В некоторой мере аналогичное взаимодействие между переносом и
турбулентностью происходит, когда вода протекает над размываемым дном
русла. Образование дюн и рифелей на дне естественных водотоков —
одновременно и причина нерегулярных движений в потоке, и результат
воздействия этих движений. Поэтому расчет трения между текущей
водой и размываемым дном связан с расчетом границы, которую поток
вымывает для себя. Аналогичное взаимодействие имеет место между
ветром и песчаными дюнами, дрейфом снега и волнами на поверхности
воды.
Турбулентная дисперсия примесей —тепловых струй, растворенных
веществ или частиц конечного размера — имеет различные и важные
в практическом отношении аспекты. Вероятно, первое, что приходит на


42
Проблемы турбулентности
[Гл. I
ум, — это необходимость уничтожения и рассеяния отходов
человеческой деятельности — тепла при малых температурах теплоносителей,
сточных вод, дыма и копоти. Но дисперсия и диффузия являются
существенно важными во многих естественных процессах, примерами
которых служат распространение пыльцы и спор, кругооборот земной воды
в атмосфере. Самая простая проблема дисперсии — распространение
примеси в однородном поле турбулентности. Диффузия в потоках со
свободной турбулентностью — струях и следах — связана с
перемещением поверхности раздела турбулентной жидкости с окружающей
жидкостью. При рассмотрении дисперсии в потоках, структура которых
равномерна в результате влияния границ, как, например, поверхности
земли или моря, возникают другие трудности.
Из этих примеров становится ясно, что турбулентность нельзя
всегда классифицировать как помеху. Часто турбулентность приносит вред,
увеличивая диссипацию, вызывая нежелательные силы или чрезмерное
охлаждение. С другой стороны, эффекты дисперсии являются
полезными, фактически жизненно важными для сохранения нашей окружающей
среды. При определенных обстоятельствах полезные и вредные эффекты
переплетаются сложным образом. Например, в теплообменниках
турбулентность увеличивает теплоперенос, но также увеличивает и затраты
энергии на перемещение теплоносителя. Или еще пример—
турбулентность, которая переносит пары воды от морской поверхности в
атмосферу, приводит также х образованию способных причинять разрушения
волн. Это должно напоминать нам, что какими бы ни были ее
экономические последствия, действие турбулентности является определяющим
для некоторых из наиболее замечательных и интересных природных
явлений.
Стратегический подход
С прикладной точки зрения турбулентность в первую очередь
необходимо уметь контролировать: подавлять ее, если она нежелательна;
усиливать ее, если она полезна, и получать оптимальный баланс, если
эффекты ее одновременно и полезны и вредны. Этот подход оказался
плодотворным при проектировании самолетных крыльев. С помощью
тщательного расчета оказалось возможным обеспечить ламинарное
обтекание значительной части поверхности и таким образом уменьшить
сопротивление трения. С другой стороны, в некоторых случаях выгодно
ставить турбулизаторы на некотором расстоянии за крылом. Это
предотвращает отрыв потока в результате дополнительного подвода
энергии к нижней части пограничного слоя за счет усиленного смешения;
этим достигается задержка возрастания лобового сопротивления и
падения подъемной силы, возникающих при низких скоростях. Другим
примером контроля является использование добавок для уменьшения
трения в трубах и при обтекании корпусов кораблей — волокон и
полимеров с длинными цепочками, которые подавляют турбулентность
вблизи стенок.
Хотя в области контроля и были достигнуты заметные успехи,
непосредственный контроль над турбулентностью в большинстве случаев
невозможен. Очевидно, что контроль не просто применить к
крупномасштабным естественным потокам в атмосфере, реках и морях.
Попытки контролировать турбулентность во многих инженерных сооруже-


§ 1.7]
Турбулентность и инженер
A3
ниях или устройствах влекут за собой издержки большие, чем те,
которые причиняет неподавленная турбулентность. Тенденция движений
жидкости к неустойчивости настолько сильна, что во многих случаях
нет иного реального выбора, кроме как примириться с этим явлением.
Это приводит ко второму подходу к турбулентности: к попытке
рассчитать ее эффекты для того, чтобы использовать их или, в крайнем
случае, свести до минимума их нежелательные последствия. Так как
всеобъемлющая теория турбулентности отсутствует, большинство
методов прогноза и расчета включает определенную долю эмпиризма.
Методы теории подобия обеспечивают подход ко многим проблемам
практического характера, сокращая объем необходимых эмпирических
данных и давая представление об общих характеристиках и свойствах
сложных процессов. Простые аналитические модели, оперирующие
с жидкими молями (или вихрями), также являются полезными, так как
в ряде случаев позволяют выполнить непосредственный численный
расчет, хотя чаще они дают лишь схему, аппроксимирующую
экспериментальные данные. Поэтому термин полуэмпирический часто
используется для формул, на которых основаны инженерные расчеты. Наконец,
проанализировано несколько задач на основе более рационального
подхода, связанного со статистическими характеристиками пульсаций.
Например, можно рассчитать некоторые характеристики мелкой
структуры турбулентности, реакцию турбулентности на прохождение потока
через решетку или сильно криволинейный канал. Однако и здесь
необходимо использовать ряд экспериментальных данных, чтобы свести
теоретические построения к рабочим формулам.
Из этого обзора становится очевидным, что любая попытка
рассчитать эффекты турбулентности или создать рабочую теорию,
объясняющую ее механизм, требует определенного объема информации о
реальных турбулентных течениях. Поэтому необходимым условием для
изучения турбулентности является умение измерять различные ее
характеристики и параметры. Этот третий подход к турбулентности
будет рассмотрен в следующей главе.
Инженер или преподаватель, начиная изучение турбулентности,
должен решить следующие вопросы. Стремится ли он только к тому
уровню знаний, который необходим для использования эмпирической
информации, или же он будет пытаться овладеть более строгими
методами статистической теории турбулентности? Ответы па эти вопросы,
конечно, будут зависеть от самого индивидуума и от характера
проблем, которые он должен решить. Ответ также будет зависеть от того
времени, когда эти вопросы поставлены, так как наши возможности
анализировать турбулентность разумно (если не кратко) постоянно,
расширяются.
При оценке эффективности использования статистического подхода
в основных уравнениях движения мы должны представлять себе, что
она перекрывается одной фундаментальной проблемой, которая
сложнее трудностей анализа и расчета, возникающих в частных случаях.
Эта трудноразрешимая проблема исходит из процедуры осреднения,
используемой для того, чтобы выявить упорядоченность в хаосе
турбулентного движения. Такую трудность иллюстрирует уравнение (1.5.3):
(р+р)2=р2+*р2-
(1.7.1)


Проблемы турбулентности [Гл. 1
Одна пульсационная величина Р+р_исключается ценой введения
двух статистических характеристик Р и р2. В последующих главах (и
наиболее полно в п. 9.1.2) мы увидим, что это означает для уравнений
движения. Важно то, что в конце концов появляется большее число
неизвестных, чем число определяющих уравнений. Для того чтобы
получить замкнутое и в принципе разрешимое математическое описание
явления, необходима дополнительная информация; поэтому эта
дилемма называется проблемой замыкания. Замыкающие соотношения
должны снова вводить определенные существенные характеристики
турбулентности, исключенные при операции осреднения, и это опять
возвращает нас к проблеме структуры турбулентности, т. е. выяснению
доминирующих элементов в турбулентных течениях. В этом направлении
постоянно достигаются успехи, однако имеется еще несоответствие
между хорошо обоснованной теорией и требованиями инженерных
расчетов.
В результате мы приходим к заключению, что полуэмпирические
методы, разработанные инженерами, будут основой расчетов в
последующие; годы, по крайней мере для определенного круга задач, к
которым они применимы. Для многих течений сложной геометрии, которые
имеют место в технических устройствах, эти методы не позволяют
достичь необходимой точности и надежности, и в необходимых
критических случаях будет оставаться потребность в специфических
экспериментальных исследованиях. Однако прогресс в нашем понимании
турбулентности, способности прогнозировать ее и по существу
контролировать лежит на стыках между экспериментом, обоснованными
полуэмпирическими результатами и более рациональными аналитическими
методами, полученными из статистической теории турбулентности.
Подход, принятый в этой книге, согласуется с современной точкой
зрения инженера на турбулентность. В гл. 2 при анализе результатов
измерений будут введены некоторые статистические понятия. В гл. 9 мы
рассмотрим методы расчета, ставшие практически осуществимыми
благодаря появлению быстродействующих компьютеров. В промежуточных
главах будут использованы простые методы для решения ограниченного,
хотя и важного круга задач, для которых эти методы пригодны.
Рекомендуемая литература
Основная литература [2, 4, 18, 22, 23, 28, 33, 37, 71, 97,
100, 101].
Специальная литература [5, 55, 67, 75, 106].
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Используя анализ размерностей, показать, что результаты измерений трения
при движении жидкости в длинной прямой трубе можно представить в виде с/==
= /(Red, kfd). Какие частные формы применимы при низких и высоких числах Рей-
польдса?
1.2. Ламинарный пограничный слой па плоской пластине растет согласно закону
5 = 5(vA:/f7i)1/2, где б — расстояние, на котором скорость составляет 99% значения
U\ -- скорости невозмущенного потока. При заданном числе Рейиольдса для неустой-
чшюсти потока в трубе оценить числа Рейнольдса Re6 = —^- и ь{ех = ——, при
которых ламинарный пограничный слой становится неустойчивым.
1.3. Для ламинарного потока в трубе при c/Red = const показать, что средняя
диссипация па единицу объема пропорциональна \.i(U^/d)2, т. е. квадрату градиента
.характерной скорости.


§ 1.7]
Турбулентность и инженер
45
1.4. Между вязким подслоем на гладкой стенке и полностью развитым
турбулентным течением находится область пристеночного слоя, в которой и вязкое, и
турбулентное трения существенны. Эксперименты показывают, что эта область определяется
условием:
У (V/P)
1/2
■<50.
а) Для турбулентного потока в трубе Cf = т^ / I -тр р£/2а j=0,079Rerf ' для
гладкой стенки и Re^ < 100 000. Показать, что предельные значения г/ пропорциональны
б) Для трубы диаметром 10 см оценить толщину вязкого и частично вязкого
<слоев при самых низких числах Рсйнольдса, при которых может поддерживаться
турбулентность, и при Red =100 000. При каких высотах элементов шероховатости труба
•будет гидравлически гладкой при этих двух условиях?
в) Как будет изменяться отношение Ua/Uc (Uc — скорость на оси) для двух
случаев, рассмотренных в пункте «б»?
1.5. а) При каком'значении 5 уравнение (1.1.7) определяет среднюю скорость
.(1.1.6)?
б) Каков смысл среднемассовых значений, полученных при S=Ut —^ U2, Т и
€рТ +
U2?
1.6. Довольно устаревший метод оценки уровня турбулентности в
аэродинамической трубе состоит в измерении сопротивления гладкого шара в рабочей части. Соот-
Бстствующая характеристика определяется через число Рейнольд с а (вычисленное по
диаметру шара), при котором коэффициент сопротивления достигает значения 0,3.
а) Для двух аэродинамических труб критические числа Рсйнольдса составляют
100 000 и 400 000. В какой из них поток будет менее турбулентным?
б) Каково сопротивление шара диаметром 15 см при критических условиях во
.второй трубе?
в) Изобразить схематически зависимость сопротивления от скорости для шара,
рассмотренного в пункте «б», и для аналогичного шара, но с сильно шероховатой
поверхностью.
1.7. Предполагается испытать модели в аэродинамической трубе, чтобы оценить
ветровую нагрузку для двух строений: 1) здание-коробка, высота 60 м, в плане
25X15 м и 2) цилиндрическая башня с полусферической крышей, диаметр 5 м, полная
высота 15 м. Расчетная скорость ветра 50 м/с. Площадь сечения рабочей части
аэродинамической трубы 1 м2; во избежание чрезмерного загромождения модель должна
заполнять не более 10% площади. Максимальная скорость в трубе 25 м/с.
В какой мере коэффициенты трения, измеренные в аэродинамической трубе,
будут применимыми для прототипов строений? Как можно обойти трудности, которые
возникают при исследовании строения 2?
1.8. Для турбулентного следа измерения Таунсенда дают следующее изменение
параметров (табл. 1.2) поперек потока (в произвольных масштабах):
Таблица 1.2
У
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
их—и
2,28
1,97
1,27
0,48
0,08
—
VP
0
0,479
0,675
0,485
0,130
0,017
7
1,000
0,996
0,956
0,765
0,519
0,231
ыа
1,50
1,80
1,92
1,25
0,32
0,05
t>2
1,99
1,83
1,42
0,84
0,31
0,08
W2
1,40
1,50
1,52
0,80
0,22
0,04
Найти профили кинетической энергии турбулентности и коэффициента
турбулентной вязкости. Как они изменяются в области полиостью развитой турбулентности?


46
Проблемы турбулентности
[Гл. Г.
Как полученные результаты подтверждают использование постоянного коэффициента:,
турбулентной вязкости?
1.9. Мельчайшие линейные масштабы турбулентности имеют порядок v3/^-1/4,
где е — скорость диссипации энергии на единицу массы жидкости. В газе длина пути
свободного пробега имеет порядок v/a, где а — скорость звука.
а) Вывести условие, при котором турбулентные масштабы будут во много раз.
больше молекулярных (например, в 100 раз). Что это означает в физическом смысле?-
б) Показать, что средняя скорость диссипации в потоке в трубе равна е —
= 2cfU3a/cl и что масштаб турбулентности изменяется тогда как
d Re7F/8 при cf = 0,079 ReJ]/\
в) Используя результаты пункта «б», оцепить два линейных масштаба для
атмосферы и для условий течения, заданных в упражнении 1.4,6. При каких условиях
невозможно четко различать молекулярные и турбулентные масштабы?
1.10. а) Показать, что преобразование Фурье
1 \sm(k0 + k)R s\n(k0-k)R]
*(*) = — [ ko + k + k0-k J
получается из уравнения (1.4.2) для u = cos (k0r) при 0<r</?, u = 0 при r~>R.
Результат проверить подстановкой в уравнение (1.4.1). Каков характер результата при.
f(—^оо? Имеет ли это смысл?
б) Для исследования эффекта степени когерентности функции и (г) рассмотреть
отношение a(k0)/a(0) при R=nn/2k0, где /2=1, 3 ... В пределах какого расстояния,
должна наблюдаться периодичность, если a(k0) будет доминировать в преобразовании?
1.11. Составить таблицу, подобную табл. 1.1, для осссиммстричных потоков. Для.
пограничного слоя и пристеночной струи рассмотреть развитие потока как внутри, таю
и снаружи цилиндров; дополнить таблицу столбцом, указывающим пересечения
расширяющихся турбулентных областей.
1.12. Рассмотреть турбулентную струю, истекающую из круглой трубы в
неподвижный объем той же жидкости. Можно предположить, что осредненная по времени,
скорость на оси Ue и осредненный по времени диаметр струи Ь зависят от потока
количества движения М (который имеет размерность силы), плотности жидкости р и
расстояния х, отсчитываемого вдоль струи от эффективного начала.
а) Использовать анализ размерностей, чтобы показать, что Ь — С\Х и Uc =
= с2(М1р)Ч2/х, где а и с2 — универсальные константы.
б) Показать, что поток массы внутри струи изменяется согласно закону rh^x.
в) Показать, что средняя скорость потока на «границе» струи изменяется как.
х~1 и составляет постоянную долю скорости распространения турбулентной жидкости.
г) Показать, что закон U/Uc = f(r/x) определяет изменение скорости поперек
потока и что он одинаков для любой струи рассматриваемого класса.
1.13. Осредненная по времени продольная скорость в турбулентном следе за
круговым цилиндром равна:
а) От каких определяющих параметров зависят постоянные с\ и сг? Как
последние выражаются через эти параметры?
б) Если трение цилиндра увеличится в 2 раза (при неизменных других
параметрах), то как изменятся дефицит скорости U\—Uc и ширина следа? Если скорость-
потока увеличится в 2 раза при неизменном коэффициенте сопротивления, то как
изменятся дефект скорости и ширина следа?
в) Как дефицит массового расхода изменяется вдоль следа? Что это означает
для линий тока вне следа и для эффективной скорости распространения
турбулентности?
1.14. В круглом следе, в таком, как за шаром, дефицит скорости и ширина
изменяются как U\—UC^'X~2I3 и Ь^х1!3. Как изменяется вдоль следа локальное число Рсй-
нольдса в потоке со сдвигом? Что это означает для турбулентности следа? Какие
выводы можно сделать, применяя те же рассуждения к круглой струе и плоскому следу?'
(упражнения 1.12 и 1.13).
1.15. Хотя иногда можно принять коэффициент турбулентной вязкости
постоянным поперек турбулентного течения в тонком слое, из этого не следует, что эту вели-


§ 1.7]
Турбулентность и инженер
47
чипу можно принять постоянной вдоль потока. Это можно показать следующим
образом.
а) Предполагая, что локальный коэффициент турбулентной вязкости зависит от
•поперечного расстояния Ь, на котором осредненная по времени скорость изменяется
на А (У, показать, что em = KbAU, где К — коэффициент, характеризующий
особенности потока.
б) Учитывая требование, что поток количества движения должен быть
постоянным вдоль течения, показать, что
Ь* (Ш)?= const при а,р = 0,1 или 2
для осесимметричных и плоских струй и следов и для плоского слоя смешения. Как
коэффициент турбулентной вязкости изменяется вдоль этих потоков?
1.16. Для турбулентного потока, описываемого уравнениями (1.5.4), показать, что
полная кинетическая энергия равна -ij-U2 -\-—^-q2. Принимая, что потная энергия
определяется полным давлением (/^+~тгр#2 > найти осредпенную по времени энергию
•среднего потока п турбулентности.
1.17. Таблица 1.3 дает мгновенные значения компонент скорости, измеренные
в некоторой точке через равные промежутки времени.
Таблица 1
U+u
V+v
27
13
41
29
58
0
19
— 1
—7
15
19
2
—3
— 17
18
—31
21
9
— 1
13
62
—9
26
— 18
а) Вычислить 1/\ V", и2 и v2. Если третья компонента W равна пулю, оценить
уровень турбулентности, принимая w'1 — -тр (и2 + v2).
б) Как эти величины отличаются от предполагаемых для изотропной
турбулентности? Если и2 и v2 рассматривать как одну и ту же величину, измеренную в
различных точках, то может ли турбулентность быть однородной?
1.18. а) Предположим, что затухающая однородная турбулентность стремится
к изотропной. Какие данные на рис. 1.5,6 подтверждают эту гипотезу?
б) Объяснить характер реакции турбулентности па равномерное искажение, по-
.казаипос па рис. 1,5,6, рассматривая три перпендикулярные вихревые нити,
первоначально идентичные. Скомбинировать результаты, чтобы показать, как будут изменяться
компоненты первоначальной изотропной турбулентности.
1.19. Измерения в турбулентном потоке дают £/ = 30 м/с и w2 = 0,8 м2/с2.
Предполагая, что пульсации подчиняются нормальному распределению, найти: 1)
стандартное отклонение пульсацпонпого сигнала и 2) вероятности того, что компонента U-\-u
будет выше 31 м/с и ниже 27 м/с.
1.20. Сформулировать гипотезу Тэйлора, привлекая стационарные случайные
функции.
1.21. а) Каково описание Лагранжа для потока, который определен по Эйлеру
как u=U—const? Каково описание Эйлера для потока, который определен по Лагран-
жу как г = г0 и 0 = 6(j+(Do/ (в полярных координатах)?
б) Как при заданном среднем перемещении по Лагранжу (1.6.1) можно
вычислить среднюю конвективную скорость, если поток и турбулентность однородны, -а
частицы малы и имеют ту же плотность, что и жидкость? Какие трудности будут
возникать, если эти условия не выполняются?
1.22. Малые нейтрально плавучие частицы вводятся в турбулентный поток в
трубе и измеряется время, необходимое для прохождения ими расстояния 15 м. Эти
времена для 20 частиц равны: 10,0; 9,2; 9,9; 10,5; 11,0; 8,8; 9,0; 10,1; 10,8; 10,8; 10,2; 9,4;
9,0; 9,8; 9,7; 11,3; 9,9; 10,2; 9,5 с.
а) Объяснить изменчивость интервалов времени и «асимметричный» характер
распределения. Если поток в трубе был бы ламинарным и частицы вводились бы по
поперечному сечению случайным образом, какое распределение ожидалось бы? Как это


48
Проблемы турбулентности
[Гл. I
согласуется с распределением для турбулентного потока? Каким образом
турбулентность влияет на способность потока в трубе рассеивать взвешенные в нем частицы?
б) Оценить среднюю скорость потока и скорость на оси. Как можно оценить
положение частиц через / = 8,8 с после их введения? Какую связь имеют эти расчеты со-
статистиками Эйлера и Лагранжа?
1.23. Жидкий натрий, используемый для переноса тепла из активной зоны
ядерного реактора, имеет число Прандтля 0,005. Показать, что молекулярный перенос тепла
может быть существенным даже в полностью развитом турбулентном потоке.
1.24. а) Принимая, что аналогия Рсйнольдса (1.6.9) применима ко всему слою со-
сдвигом, поперек которого скорость, температура и концентрация изменяются на Ai,
Аг, А3, показать, что
"У _ д Л/_
РА2г рс/;Д,Д2 ""ДА"
б) Для класса пограничных слоев, имеющих Cf = 0,046 Re^"1/4, показать, что
и что N ^
в) Вывести формулу, по которой можно вычислить q и N для этих пограничных
слоев.
1.25. Рассмотреть одномерную молекулярную диффузию произвольной субстанции
с концентрацией S (на единицу объема) и коэффициентом диффузии К.
а) Предполагая простую диффузию, определяемую законом Фурье или Фнка,.
использовать закон сохранения для элементарного объема и получить уравнение
простой диффузии
dt ~ dy p dy j ■
б) Показать, что при постоянном значении К это уравнение означает, что
соответствующее распределение при заданном масштабе 50 можно представить в виде
-§-=f(Kt, у)
и, следовательно,
в) Простейшая задача этого класса аналитически определяется в виде S =
= S0cos (со/) при у=0 и S—*0 при у—»-оо. Показать, что решение
S
-_ _ е-ау cos fpf — ayj ^ где а _
является допустимым. Чему равна толщина такого нестационарного слоя (до S/So=^
= 0,01)?
1.26. Предполагается, что поток в прямой трубе при установке ряда
разделительных пластин, параллельных оси, может ускоряться и сохраняться ламинарным за счет
наличия достаточно малых каналов. Определить, при каких условиях это вoзмoжнOv
Принять для простоты, что течение в малых каналах аналогично течению в круглых
трубах с суммарной площадью сечения, равной площади сечения исходной трубы.
Принять C/=16/Red для ламинарного потока и c/=0,08/Rey4 для турбулентного.
1.27. Какие из приведенных ниже терминов применимы к турбулентным потокам,
какие — к ламинарным? Если термин применим к обоим режимам, объясните различия
в их значении для этих режимов.
Пограничный слой, перемежаемость, дисперсия, отрыв, рециркуляция, вихрь,
неустойчивость, повторное присоединение, слой со сдвигом, переходный режим, смешение,
подслой, распространение, случайный, завихрение, диссипация, изотропный, затухание,
проводимость, подобие, каскадный перенос энергии, вихревая пелена, линейный
масштаб, число Рсйнольдса, аналогия Рейнольдса, подобие по числу Рейпольдса,
сопротивление трения, средняя скорость, осредненная скорость, гидродинамически гладкий,
коэффициент диффузии, статистическая теория, лагранжево описание, гипотеза Тэйлора.
однородность, автомодельность, вовлечение, сопротивление давления, условия
прилипания, след, одномерная модель, число Прандтля, характеристики переноса.
со у/а
Ж) '


§ 2.1]
Измерение средних характеристик
49-
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЭКСПЕРИМЕНТЫ И ИХ АНАЛИЗ
Экспериментальное изучение турбулентности преследует различные
цели: один исследователь стремится получить эмпирические данные,
которые можно было бы непосредственно использовать в инженерной
практике; другой — изучить только в основных чертах физическую
картину некоторых аспектов турбулентности; третий — получить детальные
характеристики структуры турбулентности для того, чтобы проверить
точность теоретических исследований. В зависимости от поставленной цели
можно использовать различную технику эксперимента: изучаются
интегральные эффекты турбулентности; визуализируется поток для того,
чтобы оценить характер процесса; исследуются собственно пульсации.
Эти три вида информации были использованы в предыдущей главе, где
рассматривались основные проявления турбулентности и ее эффекты.
Данная глава служит лишь только для того, чтобы дать общие
представления об экспериментальном изучении турбулентности;
читатель, который намеревается приступить к экспериментальным
исследованиям, должен обратиться к изучению литературы, список которой
приведен в конце этой главы. Задачи этого вводного обзора можно
сформулировать следующим образом:
1) указать имеющуюся измерительную аппаратуру, тип
информации, которую она обеспечивает, и ее ограничения;
2) ввести терминологию и условные обозначения, используемые при
анализе результатов экспериментальных исследований;
3) проанализировать распределение характеристик турбулентности
в четырехмерном измерении пространства и времени в рамках
рассматриваемой проблемы и возможностей измерений;
4) ввести методы анализа сигналов мгновенных величин и на их
основе рассмотреть некоторые из положений статистической теории
турбулентности.
Для измерения турбулентных пульсаций наиболее широко
используется проволочный термоанемометр с платиновой или вольфрамовой
проволокой (диаметр и длина которой равны, например, 5 и 1 мкм),
нагреваемой электрическим током, изменение которого соответствует
изменению скорости и температуры жидкости в зоне проволоки. Так как
большинство наших знаний о турбулентности черпается именно из
результатов измерений, полученных таким прибором, принципы его
действия будут рассмотрены подробно.
Многие читатели этой книги не будут иметь возможности изучать.
турбулентность на основании использования сложной аппаратуры,
которой располагают специализированные лаборатории. Тогда вряд ли им
удастся точно «осознать» турбулентность. Простейшие эксперименты,
описание которых проводится в различных местах данной книги, в этом
отношении будут полезными. Полезным может оказаться и
непосредственное изучение явлений, имеющих место в реках, атмосфере,
домашних устройствах и промышленных установках, где возникает
турбулентность, которую при определенных условиях можно наблюдать, осязать
и слышать.
2.1. ИЗМЕРЕНИЕ СРЕДНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
В гл. 1 было дано представление о внутренней работе
турбулентности на основании изучения ее интегральных эффектов. Таким образом.
4—56


50
Эксперименты а их анализ
[Гл. 2
многие опыты, предназначенные для получения эмпирических данных
для решения инженерных задач, позволяют достаточно глубоко изучать
турбулентность. Измерения средних скоростей, сил, давлений и
касательных напряжений могут охарактеризовать такие процессы, как
переход, отрыв и турбулентное трение. Измерения средней температуры,
концентрации субстанции и скорости переноса позволяют изучать
некоторые аспекты турбулентного смешения, как, например,
распространение и диффузию субстанции в свободном турбулентном потоке.
Эрозия, конденсация, осаждение — все это позволяет судить о
турбулентном течении, которое их вызывает.
Эффект пульсаций
Приборы, которые используются для измерения средних величин
в развитых турбулентных потоках, часто разрабатываются
применительно к существенно стационарным течениям жидкости. К ним следует
отнести: трубки Пито, манометры, тензодатчики, ртутные термометры,
РН-датчики и т. п. Эти приборы (здесь также могут быть использованы
механические или электрические фильтры) имеют достаточно большую
инерционность, чтобы обеспечить устойчивые показания, не зависящие
от непрерывных пульсаций. При использовании таких приборов для
изучения турбулентных потоков мы иногда предполагаем, что влияние
пульсаций на отсчет среднего значения пренебрежимо мало: либо
потому, что пульсации малы, либо потому, что их эффекты взаимно
компенсируются. Для прибора, сигнал которого S-\-s пропорционален
определенной мгновенной величине F-{-f, последнее предположение может
быть оправданным, так как осреднение
дает S=KF. Такой прибор будет регистрировать простое осреднение по
времени; тарировку в таких случаях можно выполнять в статических
условиях. Если реакция прибора нелинейна, то зарегистрированное
значение будет включать эффект пульсаций. Таким образом, для 5+s=
=K{F-\-f)n имеем:
S+^= 5 ^ KFn Г1 -f 4-п (п — 1) -J-J . (2.1.1)
Здесь статическая тарировка недостаточна для определения
среднего от мгновенной величины. Для достижения высокой точности
необходима либо динамическая тарировка, либо теоретическая коррекция
статического результата.
Трубка Пито
Рассмотрим использование приведенных выше положений (об
измерении средних величин) на примере наиболее распространенного
прибора для измерения скорости потока — трубки Пито, схема которой
представлена на рис. 2.1. С целью упрощения изложения этого вопроса
будем предполагать, что измерения производятся в воздушном потоке
при таких малых скоростях, при которых влиянием сжимаемости
можно пренебречь.
Если течение жидкости установившееся, монтаж соединений трубки
Пито с дифмапомстром спроектирован и выполнен надлежащим обра-


§ 2.2]
Визуализация течения
51
Ро
р
*===**=
л
А
1
—^>J
Pf
зом, то дифманометр будет
измерять pi—р2 как разность полного ро
и статического р давлений. Таким
образом,
Рг-Рг = Р.-Р = ^Г?и\ (2Л.2)
откуда можно определить ско- £/+^
рость U с относительной погреш- i v >
ностью около 0,25%. Бели поток
турбулентный, то давление в точке
отбора будет пульсировать при
изменении направления потока,
скорости и давления. Однако если
в каналах измерительной схемы
происходит существенное гашение возмущений, то 'прибор будет давать,
почти установившиеся показания. Невозможно определить мгновенное
значение давления прямо в точке отбора при данной структуре
внешней тубулентности; однако правдоподобную оценку эффекта пульсаций
можно 'получить, принимая, что пульсация разности давлений имеет
вид:
P.-p = -±p[U' + Kiu* + Kt(v* + *>% (2.1.3)
где и, v и w — пульсационные компоненты скорости в окрестности
датчика и постоянные К\ и /С2-М)(1), т. е. имеют порядок единицы.
Установившуюся измеренную разность давлений можно выразить как
(2.1.4)
Рис. 2.1. Схема приемника полного и
статического давлений в турбулентном
потоке.
Ро — полное давление; р — статическое
давление; Л — дифференциальный манометр.
Рг-Р* = Р*-р = -^Р[иШ + К1и'+КЛ*? + *>%
где постоянные учитывают возмущения в каналах мерной схемы.
Подобные недостатки свойственны и другим инерционным
приборам. Было бы ошибочным считать (если нет определенной
уверенности), что измеренные средние значения не содержат относительной
погрешности <-^0(f2/F2), указанной в уравнении (2.1.1).
Необходимо заметить, что трубка Пито может давать
неустановившиеся показания и в окрестности твердых поверхностей или в области
больших градиентов скорости вдоль или поперек потока.
2.2. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ТЕЧЕНИЯ
Неизбежно возникает необходимость в более детальном
исследовании турбулентности по сравнению с тем, что дает изучение ее
интегральных эффектов. Исторически и с точки зрения достижения
поставленных целей визуализация представляет собой следующий шаг к
исследованию турбулентности. Методы визуализации можно подразделить
на три больших класса в зависимости от получаемой информации:
о потоке в целом; о явлениях на твердых поверхностях или вблизи
них; о явлениях на свободных поверхностях жидкостей (класс, в
некотором отношении промежуточный между предыдущими).
Визуализация внутренней области течения
Некоторые потоки несут естественные маркеры — дым, пузыри газа
твердые частицы или песчинки. Здесь визуализация выполняется непо-


.52
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
средственно, хотя нужно заметить, что более крупные маркеры не
воспроизводят достаточно точно движение жидкости, если их плотность
отличается от плотности жидкости.
Потоки прозрачной жидкости можно визуализировать путем
введения краски, дыма, пузырьков или твердых частиц. Однако
большинство интенсивных красителей имеет тяжелые молекулы и их
молекулярные коэффициенты диффузии намного меньше, чем коэффициенты
переноса количества движения (кинематической вязкости). В
нетурбулентных областях распространение облака красителя будет
осуществляться медленнее, чем распространение количества движения.
Увеличение удельного веса жидкости в результате добавления красителя может
быть существенным. В последние годы многие исследователи
используют метод водородных пузырьков, основанный на применении
электролиза для образования через дискретные интервалы времени множества
мельчайших пузырьков водорода (являющихся маркером потока) в
области проволоки, расположенной поперек потока; облака таких
пузырьков сносятся и деформируются движущейся жидкостью. Можно
использовать и крупные легкие частицы при условии, что влияние разности
плотностей частиц и жидкости не было бы определяющим на
результирующую плотность жидкости или на воспроизводимость движения
жидкости. В этих целях часто применяется полистирол, так как он имеет
нейтральную плавучесть в воде. В атмосфере можно использовать
воздушные шары.
В сильно нагретых жидкостях и газах при значительных
изменениях скорости самопроизвольно возникают разности в плотности и
показателе преломления; эти разности можно создавать и искусственным
путем. На этой основе разработаны теневой метод, шлирен-метод и ин-
терферометрический метод. Интенсивное освещение требуется при
теневом методе; шлирен-метод использует явление различного преломления
света; оптическая интерференция непосредственно реагирует на
изменение плотности. Даже без каких-либо устройств довольно часто можно
наблюдать термическую турбулентность — неустановившиеся
конвективные токи над нагретым телом.
Профиль поверхности потока в открытом канале позволяет выявить
некоторые особенности движения нижних слоев жидкости. По
свободной поверхности можно также разбросать какой-либо порошок или
клочки бумаги. Эти методы особенно пригодны для обнаружения
отрыва и областей рециркуляции течения. Однако искажения поверхности
и капиллярность могут привести к ложным результатам.
Визуализация на твердой поверхности
Нашей основной задачей является определение областей, где
возникают переходный режим течения и отрыв потока. Пучки ниток, jnep-
сти или полосок бумаги, прикрепленные одним концом к твердой
поверхности, обеспечивают непосредственное определение перехода (по их
вибрации) и отрыва (по их среднему наклону). Можно также
использовать зависимость интенсивности таких процессов, как испарение и
сублимация от степени турбулентности. Например, «метод каолина»
использует вещество, которое невидимо в растворенном виде в быстро
испаряющейся жидкости и становится белым после высыхания. Это
позволяет определить область, где происходит переход, так как процесс
высыхания происходит медленнее в ламинарном пограничном слое.


§2.3]
Датчики пульсационных характеристик
53
Касательные напряжения на поверхности обтекаемого тела могут
быть также использованы для определения областей перехода или
отрыва. Окрашенное масло (для того, чтобы оно было видимым) вводится
в поток в области твердой границы, где оно под действием напряжений
распределяется по поверхности: оно концентрируется вдоль линий
отрыва, а за точкой перехода начинает более интенсивно уноситься
потоком. В случае значительного поперечного градиента давления
направления касательных напряжений и линий тока у поверхности в области
вне пограничного слоя могут значительно отличаться. Поэтому
требуется определенная осторожность при интерпретации явлений на
поверхности.
Примеры. Фотографии рис. 1.5 иллюстрируют описанные выше
методы визуализации. На фотографии рис. 1.5,а приведено
изображение следа за пулей, полученное теневым методом визуализации,
который использует наличие градиентов плотности, связанных с
неравномерным распределением энергии и температуры в потоке с сильным
сдвигом. Достаточно ясно наблюдается резкая граница раздела
турбулентного потока и нетурбулентной окружающей среды, включающая
вихревые образования разных масштабов; искажения границы раздела
свидетельствуют о трехмерном характере турбулентности. Видимая
однородность турбулентности в следе кажется сомнительной, так как
«тени» зависят от второй производной плотности и поэтому отражают
процессы мельчайшей структуры.
На фотографиях (рис. 1.5,6 и в) представлена визуализация
потока с помощью водородных пузырьков. Фотография рис. 1.5,6
показывает гидравлический прыжок в лабораторном канале; воздушные
пузырьки спонтанно увлекаются интенсивными движениями в волне и ясно
указывают область интенсивной диссипации. Эта структура в основном
подобна той, которая имеет место при отрыве потока в условиях
внезапного расширения в закрытом канале. И здесь видна резкая граница
между турбулентным потоком и нетурбулентной внешней областью,
которая располагается вдоль дна канала.
На фотографии рис. 1.5,в представлено течение жидкости в
расширяющемся канале. Для наших целей эта фотография не вполне
уместна, так как здесь отсутствует активная турбулентность; однако она
все же показывает, как с помощью маркеров (водородных пузырьков)
можно выявить область отрыва (а) и область возвратного течения или
рециркуляции (в).
2.3. ДАТЧИКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПУЛЬСАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Датчик является устройством, способным передавать энергию от
одной системы к другой. Здесь мы рассматриваем устройства, которые
.воспринимают энергию от турбулентных пульсаций (обычно быстрых и
малых по интенсивности и протяженности) и передают их к
измерительной системе. Следовательно, датчики турбулентности должны быть
малыми, чувствительными и малоинерционными. Кроме того, они не
должны искажать измеряемую величину. В определенных случаях
необходимо потребовать, чтобы они были стойкими к воздействию
окружающей среды (возможно больших динамических нагрузок и
значительных диапазонов температуры и давления).
Смысл слов «малый» и «быстрый» изменяется от одного потока
■к другому. Крупные вихри воздушных потоков в атмосфере могут иметь


54;
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2Г
масштабы, измеряемые в минутах и метрах. Здесь большой по
размерам анемометр типа вертушки (измеритель скорости) будет
обеспечивать приемлемые результаты. Для измерения в пограничных слоях
в сверхзвуковых воздушных потоках, где масштабы измеряются в
долях миллиметра и микросекундах, требуются совсем другие приборы.
Как видно из этих примеров, малые временные масштабы часто,
сочетаются с малыми линейными масштабами. Но это происходит не
всегда. Например, частота, воспринимаемая датчиком, зависит от
скорости, с которой возмущения переносятся относительно него, или,
точнее,—от средней относительной скорости хмежду датчиком и жидкостью.
Таким образом, процесс пульсаций, измеряемый датчиком, зависит от
турбулентности среды и среднего движения жидкости относительно
чувствительного элемента. Когда относительная скорость конвекции U
постоянна и существенно больше, чем турбулентная пульсационная
скорость (как чаще всего и бывает), измеренный процесс весьма схож
с процессом при переносе «замороженной» структуры однородной
турбулентности относительно датчика. 1 ипотеза хэйлора утверждает, что
они полностью эквивалентны. В таких случаях все линейные и
временные масштабы связаны зависимостью L=UT, их отношение прямо
пропорционально конвективной скорости.
Мы рассмотрим только наиболее широко используемые датчики
турбулентности для измерения скорости, концентрации, температуры.,
давления, интенсивности теплообмена и касательного напряжения.
Прежде чем приступить к этому обзору, сделаем некоторые замечания
по общей проблеме измерения величин, которые могут быть
определены через параметры на обтекаемых поверхностях, такие, как давление,
касательное напряжение и интенсивность теплообмена. Для того чтобы
измерить пульсации таких величин внутри основной массы жидкости,
необходимо ввести некоторое тело-датчик (хотя и достаточно малое)
в турбулентный поток. Однако измеряемый процесс связан с
пульсациями скорости по нормали к поверхности датчика. В связи с этим датчик
оказывает существенное влияние на сам процесс, который необходимо
измерить. Отсюда следует, что непосредственное измерение пульсаций
указанных величин возможно только на твердых границах потока.
Однако если исследуемые турбулентные масштабы во много раз
превосходят размеры датчика, то измерения могут быть проведены при
движении датчика вместе с жидкостью. Кроме того, можно указать
приемлемые косвенные методы измерения внутри турбулентного потока:
изменения эффективных касательных напряжений можно определить по
пульсациям скорости, а изменения эффективного теплового потока
можно определить по пульсациям скорости и температуры.
Измерение скорости
Удачным является то, что пульсации скорости, которые являются
одними из основных характеристик турбулентности, могут быть легко
измерены. Проволочный термоанемометр, который
разрабатывался в течение нескольких десятилетий, является теперь
общепризнанным прибором измерения скорости (хотя еще и очень непрочным).
Он имеет малые размеры, малую инерционность, высокую
разрешающую способность и слабо воздействует на поток. В § 2.3 мы подробно
рассмотрим характеристики этого важного прибора. К недостаткам


§2.3]
Датчики пульсационных характеристик
55
проволочных термоанемометров следует отнести:
1) недостаточную прочность и, следовательно, частые поломки из-
за механического воздействия потока с высоким динамическим
напором, особенно если в потоке имеются частицы или капли;
2) повышенную чувствительность на воздействие загрязнений в
виде капель масла или пыли, которые при прилипании изменяют
характеристики прибора;
3) неудовлетворительную работу в капельных жидкостях, если
последние обладают высокой электропроводностью.
Пленочные датчики лишены этих недостатков, однако
имеют меньшее быстродействие и большее отклонение характеристик
сигнала— пульсация от линейных, чем проволочные. Последний недостаток
не является определяющим для потоков капельной жидкости, где
средняя скорость и связанные с ней пульсации на порядок ниже, чем в
потоках газа. Термопленка изготавливается из никеля (площадь
примерно 0,3X1 мм, толщина пленки измеряется в ангстремах), который
наносится напылением на изолирующую подложку из кварца или стекла
и сверху защищается другим слоем кварца (толщиной около 1 мкм).
Установленная на конце малого клинообразного датчика пленка почти
не влияет на турбулентность, и к ней не прилипают загрязнения.
Другим прибором, пригодным для измерения в капельных
жидкостях, является волоконный датчик. Это — нечто промежуточное
между проволочным и пленочным датчиками. Его изготавливают путем
напыления никелевой пленки на кварцевое волокно диаметром около
70 мкм. Его инерционность хотя и достаточна для измерений в
большинстве потоков жидкости, но также ниже по сравнению с
проволочными датчиками и резко падает при частотах выше 200 Гц. Подобные
характеристики имеют и бусин ков ые термисторы
(термометры сопротивления), когда они используются в качестве датчиков
турбулентности.
Нагретые проволочки и пленки не могут обеспечить достаточной
точности при высокой интенсивности турбулентности; об этом
свидетельствует то, что датчик не реагирует на реверсирование обтекающего
■его потока. Устройством, которое позволяет справиться с этой
проблемой, является импульсный проволочный
термоанемометр. Платиновая передающая проволока (диаметром примерно
10 мкм) помещается перпендикулярно между двумя принимающими
проволоками (диаметром около 5 мкм и длиной около 4 мм).
Электрические импульсы в средней проволоке вызывают пульсации тепла,
которые переносятся потоком к одной из принимающих проволок.
Таким образом удается получить статистическую информацию о компоненте
турбулентности по нормали к трем проволокам (в течение длительного
времени и по многим направлениям). Этот прибор характеризуется
большей инерционностью, чем одиночный проволочный датчик. В
настоящее время получить полную информацию о турбулентности с
помощью этого прибора непросто, однако такие датчики являются
весьма перспективными.
Значение скорости, измеряемой с помощью описанных выше термо-
лнемометров, зависит от температуры и сопротивления проволоки.
Перейдя сразу к термоанемометрам, мы пока опустили некоторые более
простые методы, хотя при определенных условиях они могут оказаться
полезными. К ним можно отнести:


56
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
1. Непосредственные наблюдения за взвешенными частицами,
пузырьками или каплями; здесь можно использовать ультрамикроскопы
для того, чтобы определить скорости мельчайших частиц, находящихся
в жидкости в естественных условиях. При этом необходимо яркое
освещение потока и использование обтюратора.
2. Нитевой анемометр: небольшая нить, прикрепленная по
нормали к поверхности, определяет характер потока по своему отклонению.
Этот и предыдущий методы особенно пригодны при низких скоростях;
однако они очень трудоемки в смысле преобразования данных
наблюдений в численные.
3. Датчик в виде аэродинамического профиля: пульсационные
силы, действующие на очень малую несущую поверхность, определяют
поперечную компоненту турбулентности. Подобно этому, вращение
небольшой турбинки можно использовать для измерения завихренности.
Оптические методы измерения скорости имеют определенные
преимущества, так как в этом случае не требуется помещать датчик в
поток. Таким образом, поток остается невозмущенным и измерения могут
быть осуществлены в условиях, при которых датчик мог бы
разрушиться от нагревания, коррозии или химических реакций. При
использовании оптических методов основные трудности заключаются в получении,
адекватных пространственных описаний в данный момент времени в
виде выходных электрических сигналов, которые в дальнейшем могут
быть преобразованы. Эти трудности преодолеваются в современных,
оптических измерительных системах, таких, как доплеровский
лазерный анемометр. В настоящее время он используется в
основном в тех условиях, когда проволочный термоанемометр непригоден;
однако со временем он может составить значительную конкуренцию»
термоанемометрам. Здесь используется эффект рассеяния лазерного,
луча частицами, взвешенными в движущейся жидкости. В любом
потоке всегда присутствуют частицы, однако в ряде случаев добавляются
дым или краска, которые практически не влияют на поток. Частота
рассеянного света зависит от скорости (по величине и направлению)
частиц, движущихся в жидкости; при этом используется эффект
Доплера. Аналогичный эффект наблюдается при относительном перемещении,
источника и приемника звука: частота, регистрируемая приемником,,,
изменяется, когда источник звука проходит приемник.
Измерение температуры
Нагреваемый элемент рассмотренного выше датчика — нагретая
проволока или пленка — реагирует не только на пульсации скорости,
но также и на изменение температуры в жидкости. При измерении,
только скорости это обстоятельство задачу усложняет. Но когда
требуется измерить также пульсации температуры, то оно становится
весьма полезным. Два вида пульсаций можно разделить двумя способами:
1) используя два соседних датчика, один из которых существенно-
нагрет, а другой имеет температуру несколько выше средней
температуры жидкости;
2) снимая показания одним и тем же датчиком при различных
температурах среды.
Такое применение датчиков с нагретой проволокой будет подробно
рассмотрено в § 2.3. Если температура изменяется не слишком быстро.,,
можно использовать термисторы и термопары.


:§ 2.3] Датчики пульсационных характеристик 57
Измерение концентрации
Определение пульсаций концентрации должно быть основано на
измерении хорошо обнаруживаемых свойств переносимого вещества.
Частицы (например, дыма) или изменение прозрачности (что
наблюдается во многих растворах) можно обнаружить путем измерения
поглощения света при его прохождении через жидкость. Электропроводные
растворы можно изучать путем измерения пульсаций электрического
сопротивления между двумя электродами. Если транспортные свойства
жидкости существенно зависят от концентрации, то можно
использовать датчик с нагретой проволокой, так как характеристики
теплообмена существенно зависят от изменения концентрации вещества.
Возникает особая проблема, связанная с измерениями в сущест-
.венно неоднородных потоках, которые несут пузырьки, капли или
частицы. В этом случае трудно измерить не только концентрацию этих
элементов, но и характеристики движущейся жидкости.
Измерение давления
Выше было отмечено, что локальные пульсации давления нельзя
достаточно точно измерить в турбулентном потоке. Однако пульсации
на твердой поверхности можно определить без внесения возмущений
в поток, если датчик поместить заподлицо с поверхностью обтекаемого
тела. Для этих целей часто используются конденсаторные
микрофоны, в которых происходит изменение электрической емкости
в результате прогиба упругой мембраны, особенно в случае, если
пульсации не очень интенсивны. Эти датчики чувствительны в широком
диапазоне частот (обычно от 20 Гц до 40 кГц). При высоких интенсивно-
стях в качестве чувствительного элемента датчика используются пьезо-
кристаллы (например, кварца или баристого титана); здесь изменение
давления вызывает появление электрического заряда внутри кристалла.
Пространственная разрешающая способность является главной
проблемой для обоих таких датчиков турбулентности. Для
чувствительного элемента датчика диаметром 5 мм (почти минимальная из тех,
которые выпускаются промышленностью) самые небольшие
возмущения, которые могут быть точно зарегистрированы, имеют линейный
масштаб примерно 5 см. Так как линейные масштабы турбулентности
минимальны вблизи твердой границы, где устанавливается
чувствительный элемент, изменения давления, связанные с прохождением
вихрей мельчайших масштабов, не будут регистрироваться.
Эта проблема может быть решена, если передавать давление через
небольшое отверстие к прибору, помещенному вне потока. Однако
инерционность прибора будет в этом случае увеличиваться
(максимальные значения частот от 2 до 5 кГц), так как она определяется
временем, необходимым для передачи сигнала от поверхности к
прибору.
Пульсации давления можно оценить качественно некоторыми
специфическими методами. С помощью медицинского стетоскопа, если
его приложить к поверхности, ограничивающей турбулентный поток
(это часто возможно в аэродинамических трубах), можно услышать
турбулентность и даже определить область перехода. Помещая полую
трубку в свободный турбулентный поток, можно услышать турбулент-


58
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
ность и представить себе приблизительную картину изменения интен-
сивностей.
Теплоперенос и касательное напряжение
Пульсации интенсивности теплообмена на твердой поверхности
можно измерить, используя пленочный термометр
сопротивления, подобный пленочному термоанемометру, описанному
ранее. В § 1.6 указывалось, чго турбулентные переносы тепла и
напряжения во многом аналогичны; следовательно, при соответствующей
тарировке можно использовать пленочный термометр как
малоинерционный датчик касательных напряжений.
Как было указано выше, непосредственные измерения касательных
напряжений и теплопереноса в области турбулентного потока обычно
невозможны. Однако они могут быть определены косвенно, путем
измерения пульсаций компонент скорости и температуры. При
постоянной плотности жидкости пульсационный перенос количества движения
в х-направлении через единичную площадку, перпендикулярную к у-на-
правлению равен (р^)^, где и и v — суть х- и ^/-компоненты пульсаци-
онпой скорости. Эффективное касательное напряжение, возникшее
в результате турбулентного смешения, получаем путем осреднения
повремени этой мгновенной величины:
*>7 = — ?UV. (2.3.1)
Пульсация переноса энтальпии через единичную площадку,
перпендикулярную к ^-направлению, равна (pcpQ)v, где 9 — пульсация
температуры, ср — теплоемкость 'при постоянном давлении. Следовательно,
Ъ = рсрШ (2.3.2)
дает эффективную интенсивность теплопереноса под действием
турбулентного смешения.
Зависимости (2.3.1), (2.3.2) определяют лишь действие
турбулентности; молекулярная диффузия также будет вносить свой вклад
в осредненные потоки напряжения и энергии [!см. уравнения (1.3.2) и
(1.6.3) J, хотя он обычно и пренебрежимо мал в полностью
турбулентных областях течения. В § 3.2 будут подробно рассмотрены вклады и-
турбулентного, и молекулярного переносов, а также конвективного
среднего переноса.
Для получения потоков импульса и тепла согласно уравнениям
(2.3.1) и (2.3.2) необходимо предъявить строгие требования к
измерениям: пульсационные скорости и температуры должны быть измерены
в одной и той же точке и в один и тот же момент времени. Ниже мы
покажем, как можно удовлетворить этим требованиям с помощьк>
измерений термоанемометрами.
2.4. ПРОВОЛОЧНЫЙ ТЕРМОАНЕМОМЕТР
2.4.1. КОНСТРУКЦИЯ ДАТЧИКА
Чувствительный элемент анемометра — круглая проволока из-
вольфрама, платины или платинового сплава (10—20% родия).
Использование вольфрама (диаметр имеющейся проволоки 2—5 мкм)
придает датчику прочность и, следовательно, предпочтительнее при
высоких скоростях. Однако проволоку из вольфрама трудно крепить.


§ 2.4J
Проволочный термоанемометр
59
"Платиновая проволока (диаметром до 1 мкм) помещается в
серебряную оболочку большого диаметра (около 10 мкм). Такая
комбинация изготовляется с помощью тонкого волочения платинового
сердечника внутри серебряной оболочки (Волластон-процесс). После того
как такая 'проволока припаяна к державке, серебро вытравливают,
оставляя в качестве чувствительного элемента тонкий 'платиновый
сердечник.
Рис. 2.2. Устройство датчиков проволочного термоанемометра.
•а — датчик с нормальной проволокой: / — чувствительный элемент; 2— изолирующие втулки; 3 —
счесущая вилка; 4 — керамический корпус; 5 — выводы; б — датчик с наклонной проволокой; в —
Х-датчики с двумя проволочками: / — с двумя косо расположенными проволоками; 2 — с двумя
нормально расположенными проволоками.
Рисунок 2.2 иллюстрирует 'некоторые способы установки проволоки
на датчиках. Нормальная проволока обычно помещается
перпендикулярно к основному потоку, она способна реагировать на среднюю
скорость и продольную компоненту пульсационной скорости и в
определенных условиях — на "пульсацию температуры. Чувствительная часть
обычно имеет длину 0,5—3 мм. Платиновая проволока поддерживается
нсвытравленной проволокой, вольфрамовая — муфтами (диаметром до
•30 м'км), изготовленными золочением или омеднением. Эти муфты,
в свою очередь, привариваются или припаиваются к стальным высту-
лам, заделанным в датчик.
На рис. 2.2,6 представлена схема датчика с косой проволокой]
об?ычно номинальный угол сс=45°. Так как нагретая проволока
чувствительна главным образом к компоненте скорости, нормальной к ней,
то косые проволоки можно использовать для измерения компоненты
турбулентности, нормальных к основному потоку. Однако, если
используется одна косая проволока, то для определения каждой
поперечной интенсивности необходимо изхмерения провести дважды,
поворачивая датчик на 180°; дополнительно необходимо знать нормальную
компоненту. Устройства, показанные на рис. 2.2,в, 'позволяют измерить
непосредственно поперечные компоненты: Х-датчик имеет две косые
проволоки; другой датчик имеет две нормальные проволоки. Зазор
в 1 мм должен оставаться между проволоками для минимизации
взаимодействия тепловых следов. Проволоки должны быть идентичными и
располагаться взаимно перпендикулярно, чтобы их сигналы можно было
легко скомбинировать и получить инфорхмацию о компонентах
турбулентности.
Возможны и другие схемы датчиков:
1. Датчики с двумя параллельными нормальными проволоками,
одна из которых может использоваться для измерения пульсаций
температуры.


60
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
2. Датчики с температурной компенсацией, которые поддерживают
постоянную тарировку при медленном изменении температуры потока
(т. е. с периодом изменения более 1 с).
3. Датчики с тремя проволоками, которые могут измерять все три'
пульсационные компоненты (при условии, что экспериментатор имеет
надлежащую аппаратуру для обработки всех сигналов).
2.4.2. ТЕПЛОПЕРЕНОС ОТ ПРОВОЛОКИ
Наша задача заключается в выяснении, как нагретая проволока
работает и что она может измерить. Для простоты будем
акцентировать внимание на измерениях параметров воздушных потоков с
низкими скоростями.
Интенсивность теплопереноса Q/L (на единицу длины) от длинной
и тонкой проволоки, расположенной нормально к равномерному
газовому потоку, движущемуся со скоростью U, зависит от следующих
параметров; d—диаметра проволоки; X — длины пути свободного
пробега молекул газа; Tw, Tf — абсолютных температур проволоки и
набегающего (свободного) потока жидкости; k, v, к—коэффициентов
теплопроводности, переноса импульса (вязкости) и
температуропроводности при температуре набегающего потока.
Безразмерная форма закона теплопереноса может быть
представлена в виде
Nu = /(Re, Pr, ^, Кп), (2.4.1>
где
Nu= ^ ^~
(vlL)k(Tw-Tf) ~ *k(Tw-Tf)
есть число Нуссельта, вычисленное по диаметру проволоки и площади
ее поверхности; Re=£/<i/v— число Рейнольдса, вычисленное тто
диаметру проволоки; Pr = v//c — число Прандтля для жидкости; Tw/Tf —
отношение температур, которое можно использовать для частичного»
учета изменения характеристик жидкости в окрестности проволоки;
Kn = %/d — число Кнудсена, определяющее установление непрерывного
течения в окрестности проволоки.
Обычно нет необходимости включать все эти параметры в закон
теплопереноса. Число Прандтля приближенно постоянно для данного*
газа в обычном диапазоне рабочих температур; оно учитывается при
тарировке в рассматриваемой жидкости. Для газов непрерывное
течение устанавливается при Кп<0,015; при этом роль числа Кнудсена
пренебрежимо мала. Нормальные рабочие условия фактически
соответствуют этому предельному значению; однако если плотности газа
в условиях опыта и тарировки не изменяются существенно, то
тарировка будет компенсировать эффекты нарушения непрерывности.
Мы полностью пренебрегли изменениями плотности, связанными:
с высокими скоростями потока; в противном случае закон (2.4.1)
должен включать еще один параметр — число Маха. Не учитывая
архимедовы силы, мы также исключили и влияние свободной конвекции.
Фактически это важно только при скорости ниже 5 см/с. При
нормальных температурах проволоки теплоперенос излучением также совсем
несуществен.


§ 2.4J
Проволочный термоанемометр
61".■
Для воздуха Коллис и Уильяме оставшиеся параметры представили
в виде зависимостей
Nu(lLV'17---0,24-f0,56Re0'45 при 0,02<Re<44;
\' пг /
(2.4.2).
Nu("lLy'17 = 0,48Re0-51 при 44<Re<140.
Температура, входящая в выражение для коэффициента температур-
ной нагрузки, равна Tm = -j-(Tw-{-Tf) — средней температуре в
пленочном слое у датчика. Первое из этих уравнений, пожалуй, наиболее
применимо к термоанемометрии1. Бели температура свободного 'потока
и температура, зависящая от транспортных свойств потока, остаются
постоянными, и если, кроме того, распределение давления равномерно'
и коэффициент температурной нагрузки не изменяется существенно,
то зависимость между теплопереносом и скоростью 'потока имеет вид:
_ ^_ =Л + В£/°'48, (2.4.3)
*■ W 1 f
где А и В — постоянные. Ранее полученный закон Кинга, на который,
часто ссылаются, имеет вид:
Nu=A + BU1'2.
Теплоперенос от чувствительного элемента термоанемометра
зависит и от других не рассмотренных здесь факторов. Приведем
некоторые из них:
1) неравномерность полей температур и скоростей вблизи концов
чувствительного элемента;
2) накопление загрязнений в процессе измерений: пыли, волокон
и масел — в газах, твердых частиц, слизи и пузырьков — в жидкостях;
3) «старение» — изменение геометрических и физических свойств
датчиков, возникающее при длительном использовании их при высоких
скоростях и температурах;
4) быстрое изменение по значению и направлению турбулентной'
скорости вблизи проволоки;
5) изменение температуры и других характеристик окружающей
жидкости;
6) наклон проволоки относительно направления среднего
движения потока, что связано с проблемой косой проволоки, которая будет
обсуждена ниже.
Следовательно, хотя основная природа характеристик теплопере-
носа от датчика с нагретой проволокой определяется уравнением
(2.4.3), однако точная формула, определяющая этот процесс,
значительно сложнее, чем предлагалось выше.
Многие аспекты первых трех дополнительных факторов могут быть
устранены с помощью тарирования, которое определяет значение по-
1 Хотя эта зависимость широко используется, точная форма закона теплоперсио-
са еще обсуждается, как следует из некоторых ссылок, приведенных в конце этой.'
главы.


•62
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
стоянных и даже показатели степени в уравнении (2.4.3),
соответствующие данному датчику и условиям опыта. Для серии стандартных
датчиков нет необходимости 'подвергать полному тарированию все
датчики. В ряде случаев появляется необходимость повторить
тарирование из-за старения или загрязнения датчика, хотя загрязнение может
быть устранено механическими или химическими способами: путем
кратковременной выдержки при повышенной температуре, продувки
или промывки органическим растворителем или в ультразвуковой
ванне.
Тарирование проволоки (чувствительного элемента датчика)
предусматривает измерение среднего падения напряжения на проволоке
при различных средних скоростях в рабочем диапазоне. Эта процедура
устраняет влияние некоторых из факторов п. 4, так как она
предполагает, что квазистатические характеристики применимы при
динамическом режиме работы. Недавно разработаны методы динамического
тарирования, которые показывают, что это предположение не всегда
обоснованно. При большой интенсивности турбулентности даже
динамическое тарирование может не учитывать резкие изменения
направления потока.
В случае, если поле температур неоднородно (факторы п. 5),—
значительно усложняется закон теплопереноса и, следовательно,
процесс измерений. При этих условиях первое из уравнений (2.4.2)
перепишется как
т^г = 0,2^(^)°',; + 0,56^(^)0',,(^)0'45. (2.4.4)
Для газа при постоянном давлении pr/=const. Для воздуха (и
подобных ему газов) транспортные характеристики аппроксимируются
в виде jx, k~T ' . Кроме того, приближенью
при типичном значении Tw/Tf= 1,7. Следовательно, постоянные в
уравнениях (2.4.3) изменяются приближенно как
B^*(^.j'-"(-f)'-"^.7y*". (2.4.5)
Обе величины (но особенно А) зависят от температуры жидкости.
Это заключение важно в двух случаях:
1) средняя температура воздуха в опытах отличается от
температуры, при 'которой проводилось тарирование. В этом случае
тарирование становится недействительным или требуется, по крайней мере,
его корректировка;
2) в потоках, где имеют место пульсации скорости и температуры,
изменение теплопереноса не будет определять только лишь пульсации
скорости.
Первую проблему можно разрешить путем использования датчиков
■с температурной компенсацией или путем арифметического пересчета
полученных результатов, вторую—путем применения датчиков с мак-


§ 2.4J
Проволочный термоанемометр
63
симально возможной температурой нагрева или разделения сигналов
посредством методов, которые будут рассмотрены ниже.
Средняя температура нити 'поддерживается постоянной с помощью
электрического нагрева в пределах 300°С>Г^> 100°С. Верхний прелел
выбирается таким, чтобы избежать значительных изменений в
свойствах материала, а если нить из вольфрама, то возможность и окисления,
и износа. Нижний предел определяется ошибкой, которая может быть
внесена при малом нагреве проволоки, в частности при пульсациях
температуры жидкости. Когда датчик используется для измерения
в жидкостях, температура проволоки должна выбираться меньшей, чем
для измерения в газе, чтобы не возникали пузырьки. Как было
объяснено выше, для потоков жидкости обычно используют пленочные и
волоконные датчики.
Так как электрическое сопротивление муфт, несущих
чувствительную часть проволоки, значительно ниже сопротивления чувствительного
элемента, то температура муфт почти не отличается от температуры
жидкости. Соответственно температура проволоки будет падать до
этого значения на концах чувствительного элемента. Таким образом,
тепловая реакция датчика зависит от длины проволоки, хотя этот
эффект мал при L/D>200 (т. е. d>\ мм и d = 5 мкм). Во всяком случае,
это является одним из факторов, который компенсируется при
тарировании данной проволоки.
2.4.3. РЕЖИМЫ РАБОТЫ
До сих пор мы не рассматривали источник нагрева проволоки —
электрический ток. Если достигается высокое сопротивление проволоки
в цепи, что легко сделать, то диссипация энергии в проволоке
определяется просто:
Q=PRw=iv9 (2.4.6)
где / и Rw— мгновенные значения силы тока и сопротивления прозо-
локи; V—мгновенная разность потенциалов на датчике.
Разность температур, которая входит в число Нуссельта, можно
выразить как
T9-Tf = ±^L, (2.4.7)
где а — температурный коэффициент сопротивления проволоки; Rf—
сопротивление (ненагретой) проволоки при температуре жидкости.
После подстановки выражений (2.4.6) и (2.4.7) в уравнение закона
теплопереноса (2.4.3) получим:
PRw=IV=(A + BUn) (Rw-Rf). (2.4.8)
Коэффициент а включен в постоянные Л и В, п — показатель
степени.
Широко используются два различных режима работы нагретой
проволоки: при постоянных температуре и токе. В обоих случаях
измеряют разность потенциалов для определения пульсационных
характеристик жидкости. Большинство измерений турбулентности неявно
зависит от существования средней скорости /У, которая значительно-
больше пульсации, так что колебания интенсивности теплопереноса и
разности потенциалов относительно невелики.


,64
Эксперименты а их анализ
[Гл. 2
Работа в режиме постоянного тока
При этом режиме нагревательная цепь выбирается так, чтобы
поддерживать ток практически постоянным; температура Tw и
-сопротивление Rw проволоки реагируют -на колебания U+u. Соотношение
между этими пульсациями можно найти путем дифференцирования
уравнения (2.4.8) при постоянном /:
PRfd.Rw Щ*У „„,„_,„
(Rw-Rf)2 ~~ (Rw-Rt)2 "
Тогда чувствительность проволоки равна:
*,-(")-"-^- <2-«<
Здесь не учтена тепловая инерция проволоки; небольшая
энергоемкость датчика ведет к тому, что при быстром изменении скорости
потока 'происходит изменение температуры с запаздыванием. Бели это
учесть, то оказывается, что
S,= (^ ^(1+^ЧГ1/2, (2.4.10)
где со — частота 'пульсаций, М — постоянная времени. Обычно
постоянная времени составляет примерно 1 м>с и нескорректированный сигнал
резко уменьшается при значении со выше 500 Гц.
Часто 'необходимо исследовать турбулентные пульсации при
существенно более высоких частотах; например, чтобы охватить область
с линейными масштабами примерно 5 мм при скорости течения U—
= 100 м/с, необходимо провести измерения при частотах со= 100/0,005 =
= 2Q кГц. Частоты в этом диапазоне (и даже выше 100 кГц) можно
сохранить путем пропускания 'Сигнала от проволоки постоянного тока
через компенсатор с частотной характеристикой (l-f-M2co2)1/2.
Благодаря этому удается исключить падение сигнала. Надлежащая электрическая
компенсация должна быть выбрана для каждой проволоки и каждых
условий работы путем настройки компенсатора так, чтобы его
постоянная времени соответствовала постоянной времени проволоки. Таким
образом, термоанемометры постоянного тока менее удобны, чем
термоанемометры постоянной температуры. В настоящее время последние
находят самое широкое применение; устройства постоянного тока
применяются в основном для течений с малой интенсивностью турбулент-
лости (ниже 0,1%) и при очень высоких скоростях.
Работа в режиме постоянной температуры
В этом случае температура и сопротивление проволоки
сохраняются приближенно постоянными при 'помощи усилителя в контуре
обратной связи. Проблема термической инерционности исключается и
допустимы частоты до и выше 100 кГц. Исторически же термоанемометры
постоянного тока были первыми и широко использовались, что было
сопряжено с трудностью создания устойчивой системы обратной связи.
Приняв сопротивление проволоки постоянным, из уравнения (2.4.8)
получим:
2RnIdI=2IdV=nBU*-l(Rw— Rf)u.


§ 2.4J
Проволочный термоанемометр
65
Тогда чувствительность проволоки равна:
Чувствительности (2.4.9) и (2.4.11) зависят от параметров системы
почти аналогичным образом. Отношение этих характеристик равно:
Sr 2(RW-Rf)
(2.4.12)
Отсюда 'может показаться, что чувствительность анемометра по-
cтoян]ioгo тока выше; однако следует учитывать, что для анемометра
постоянной температуры можно выбрать более высокий перегрев нити,
так ка'к система температурного контроля автоматически
предотвращает перегорание проволоки при резком снижении скорости.
Заметим, что чувствительность зависит от скорости потока; отсюда
и из уравнений (2.4.3) и (2.4.8) следует, что зависимость скорости от
напряжения является нелинейной. Для турбулентности с низкой
интенсивностью отклонение от линейности незначительно. Но при высокой
интенсивности (более 10% или значительно меньшей, если необходимо
провести детальный анализ сигналов) следует использовать усилитель
с нелинейной характеристикой, обычно называемый линеаризатором,
с тем, чтобы выходной сигнал был пропорционален пульсации
скорости. Нелинейность слабее и легче корректируется в режиме постоянной
температуры, что составляет главные преимущества такой системы.
При интенсивности u//U>20% даже эти системы не дают сигналов,
которые можно надежно интерпретировать.
Пока почти ничего не было сказано о пространственной
разрешающей способности термоанемометров. Последняя накладывает более
сильное ограничение на измерение, чем частотная характеристика.
Рассмотрим течение вблизи стенки при £/=30 м/с и с малыми
масштабами турбулентности (примерно 1 мм), соответствующими оо =
=30/0,001 =30 кГц. Датчиком, имеющим длину чувствительного
элемента около 1 мм, можно надежно зарегистрировать возмущения
с масштабами порядка 5 мм, соответствующими со=6000 Гц.
Измерение температуры
Согласно уравнению (2.4.5) малые пульсации температуры будут
влиять различным образом на тепло'перенос от проволоки. Мы не будем
пытаться определить значения отдельных вкладов, а просто выразим
малые изменения температуры и скорости в виде
dK = SHa + Se6, (2.4.13)
где 9 — пульсация температуры жидкости, Tf -f- 9. Постоянные S(l и SQ
можно найти с помощью тарирования; однако при этом надлежит
определить вклады в измеренный сигнал dV, соответствующие изменениям
и и 9. Решение этой проблемы осуществляется различными путями,
когда чувствительности Su, S б зависят от температуры проволоки или
тока.
3—56


66
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
Рассмотрим только режим постоянного тока. Если в законе тепло-
переноса член, зависящий от скорости, будет доминирующим (что
обычно и имеет место), то уравнение (2.4.8) принимает вид
I2Rwc*BU*(Rw—Rf)
и чувствительность равна:
S» = S^(bW^)I'- (2-4-14)
Чувствительность датчика к температурным пульсациям можно
легко найти, если пренебречь влиянием температуры на плотность
жидкости и ее транспортные свойства. При f/=const, что требуется
Для определения (dV/dTf)u, уравнения (2.4.3) и (2.4.6) с учетом
(2.4.7) дают:
dRw __dV _ dTw—§ ri7\.,—9
Rw - V ~ Tw-Tf a R^-Rf '
Подставив dV=aldTw, получим*
Для небольших токов, для которых Rw^Rf, теперь можно записать:
Sfl~/. (2.4.16)
Отсюда видно, что отношение чувствительностей заметно
изменяется при изменении Tw 'И /. Если проволока холодная, то Su = S7~0 и
она работает как термометр сопротивления. Из уравнения (2.4.12)
видно, что ST падает менее быстро при уменьшении /; следовательно,
режим постоянной температуры не обеспечивает удовлетворительной
работы датчика в качестве термометра. Можно сделать один полезный
вывод относительно работы пр'и высокой температуре: если пульсаций
температуры избежать нельзя и нет необходимости в их измерении, то
их вклад можно минимизировать, используя работу проволоки при
максимально возможной температуре.
Результаты, полученные выше, предполагают два способа
одновременного измерения температуры и скорости:
а) Одновременное применение холодной и нагретой проволок.
Холодная проволока дает сигнал
dV = STb при Sr=al^ (2.4.17)
из которого можно найти непосредственно 6. Нагретая 'проволока дает
dV — Suii-{-SQb. Если сигналы скомбинировать в виде
dV = SB(SLb)-SL(Sji + SBb)=-SLSlM9 (2.4.18)
то можно .получить пульсацию и.
б) Используется одна и та же проволока, работающая при
различных температурах. Так как измерения осуществляются в разные
моменты времени, сигналы нельзя представить в зависимости только
от и или от 9. Однако часто нас интересуют статистические характе-


§2.4J
Проволочный термоанемометр
67
ристики, которые входят в среднеквадратичное значение
комбинированного сигнала:
W= S2J? + S2^6~2 + 2StJSju». (2.4.19)
Если dV2 измеряется для трех рабочих температур, при которых
коэффициенты Su и SB найдены с помощью тарировки, то мы будем
располагать системой уравнений для определения и2, б2, иЬ. При этом
предполагается, что эти величины остаются одними и теми же в процессе
измерений.
2.4.4. КОСАЯ ПРОВОЛОКА
Теплоперенос от тонкой проволоки зависит прежде всего от
компоненты скорости по нормали (к проволоке. Продольная компонента
скорости также оказывает определенное влияние на этот процесс, и
это приводит к зависимости результатов измерений от длины проволоки
и числа Рейнольдса. Опыты, выполненные Шампейном, позволяют
предположить, что эффективная скорость для законов теплопереноса
(2.4.2), (2.4.3), (2.4.8) равна:
Ue= Ur{cos2 ar+k2 sin ccr) l'\ (2.4.20)
где Uг — суммарная скорость у датчика и аг — угол между Ur и
плоскостью, нормальной к проволоке. При 25°<аг<60°
£->0 при L/d>600;
£=0,2 при L/d=200. (2.4.21)
Последний случай типичен для выпускаемых промышленностью
термоанемометров. Для упрощения используем закон косинусов
Ue=Un= Uгcos ar. (2.4.22)
Эта формула аппроксимирует выражения (2.4.20), (2.4.21), причем
Un — компонента скорости по нормали к проволоке.
Задавая компоненты U + u, v, w турбулентного течения у датчика,
находим, что компоненты скорости Un равны (U+u) cos a + v sin a
в плоскости проволоки и w перпендикулярно этой плоскости (здесь
a — угол между нормалью и направлением среднего потока).
Пренебрегая w как величиной второго порядка малости, имеем:
Ue=Un= (U + u)cos a + v sin a.
Снова пренебрегая членами второго порядка малости в целях
упрощения, будем использовать закон Кинга для описания
теплопереноса:
-т^Л7-=Л+Шу2^Л + В(Усоза)1/2 (i + -i-Ji-+4-tga-£.). (2.4.23)
Разумеется, появятся другие члены второго порядка малости, если
воспользоваться полным выражением (2.4.20).
Линеаризованное соотношение между напряжениями и
пульсациями скорости имеет вид:


68
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
Нет необходимости располагать точной формулой, так как
постоянные для каждой проволоки можно найти с помощью тарирования.
Для нашего анализа достаточно заметить, что сигнал от данной косой
проволоки будет иметь вид:
sl = au+(biga)v, (2.4.24)
где ас^Ь. Если для косой проволоки принять а = 45°, что является
наиболее типичным, то оказывается, что чувствительность проволоки
для пульсаций скорости и и v почти одинакова.
Уравнение (2.4.24) ставит ту же задачу, что и (2.4.13): каким
образом можно выделить компоненты из общего сигнала? Ответ
удивительно прост. Рассмотрим вторую точно такую же косую проволоку,
расположенную вблизи первой, но ориентированную под
противоположным по знаку углом. Ее сигнал имеет вид:
s2 = au— (b tg a) v, (2.4.24a)
так KaKtga=tgai = —tg ct2. Соотношения (2.4.24) можно использовать
двояким образом:
а) Х-образный датчик. Сигналы от двух проволок датчика
можно объединить:
sl+s2=2au и s{—s2=(2btga)v. (2.4.25)
Эти сигналы позволяют получить раздельно и и v и могут быть
использованы для получения их статистических характеристик. Третью
компоненту 'скорости можно найти либо путем поворота датчика на 90°
относительно своей оси, либо путем использования трех косых
проволок.
б) Поворачиваемая косая проволока. Х-образные
датчики имеют ряд недостатков: малая пространственная разрешающая
способность; две проволоки должны быть почти совершенно
одинаковыми для того, чтобы получить необходимую точность результирующего
сигнала; конечно, требуются две системы приборов вместе с
соответствующим оборудованием для получения результирующего сигнала. Если
требуется получить только .простейшие статистические характеристики
сигналов для стационарного основного потока, то эти трудности можно
обойти, измеряя среднеквадратичные сигналы дважды при повороте
датчика на 180°. Таким образом, выражения
?; = aV + ф tg a) V + (2ab tg a) ш,
(2.4.26)
s\ = ah? + (b tg a)2 v* — (2ab tg *)ию
позволяют непосредственно получить uv. Простейший путь нахождения
и2 и v2 заключается в использовании обычной проволоки для
независимого нахождения и2.
2.5. ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА
В § 2.3 и 2.4 были рассмотрены датчики, которые можно
использовать для измерения турбулентных пульсаций. Один из них —
проволочный термоанемометр — был рассмотрен более подробно. Но датчики
часто являются только составной частью (физической и функциональ-


§ 2.5]
Измерительная система
69
ной) системы,
предназначенной для получения
необходимой информации о быстроиз-
меняющемся и случайно
пульсирующем течении.
Большинство из рассмотренных ранее
датчиков дают непрерывные
электрические сигналы,
описывающие определенные
характеристики турбулентности;
соответственно мы рассмотрим
системы, которые преобразуют
непрерывные сигналы в ту
информацию, которая
необходима для исследований. Нас
прежде всего интересует, что с
для этого надо и что можно
сделать. Поэтому мы лишь Рис- 2-3- Блок-схема системы для измерения
иногда будем рассматривать характеристик турбулентности.
Л~ „ ~~ А.—датчики; В — усиление сигнала; С — преобразо-
СООТВеТСТВуЮЩИе ЭЛеКТрИЧе- вание сигнала; /-частотное преобразование; 2-
СКИе СХеМЫ численное преобразование, 3 — запись, 4 — анализ;
тт D — выводное устройство.
На рис. 2.3 показана блок-
схема полной системы для
измерения характеристики турбулентного потока. Ее первичными элементами
являются один или несколько датчиков: при этом может потребоваться
такое дополнительное оборудование, как генератор высокочастотных
колебаний, задающий несущие волны в качестве сигналов. На
различных этапах могут быть использованы усилители, но для простоты на
рис. 2.3 они показаны лишь за датчиками. Усилители обычно
необходимы, так как сигналы на выходе датчиков часто весьма малы. Мы
будем принимать, что усиление происходит без искажения «и сигнал
просто линейно усиливается независимо от частоты. На практике
усиление часто совмещают с коррекцией, хотя на рис. 2.3 последняя
показана как элемент обработки сигнала. К сожалению, усиление обычно
сопровождается определенным ухудшением сигнала, связанным с
искажением или внесением электронного шума.
Обработка сигнала
Усиленный сигнал может подвергаться различным операциям.
Соответственно на схеме показаны различные виды обработки сигнала.
Первый вид—усиленный сигнал от датчика некоторым образом
корректируется (уточняется). Мы уже встречались с двумя примерами
коррекции сигнала: частотной компенсацией термоанемометра
постоянного тока и линеаризацией термоанемометра постоянной температуры.
В последние годы широко применяется преобразование
непрерывного сигнала в цифровую форму; это осуществляется отбором сигнала
через дискретные интервалы. Цифровое преобразование позволяет
использовать иные формы коррекции сигнала, например автоматический
ввод в систему тарировочных постоянных или тарировочных
соотношений. Более того, цифровая информация может обрабатываться на
быстродействующих компьютерах с использованием большого
разнообразия современных аналитических методов.


70
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
Существует несколько способов записи цифровой 'информации —
перфорированные карты или ленты и магнитные ленты. Ленты -с
записью 'непрерывных сигналов тоже полезны в отношении обеспечения
как постоянных записей, так и возможности изменения полосы частот
сигнала путем записи и проигрывания при разных скоростях. Последнее
позволяет иметь большее разнообразие выходных устройств и
большую гибкость анализа сигналов, особенно частотного анализа, который
будет рассмотрен ниже. Наконец, запись в реальном масштабе времени
для последующего анализа снимает часть нагрузок с экспериментатора.
Последний вид обработки сигнала, показанный на рис. 2.3,—
анализ сигналов — настолько сложен, что будет рассмотрен отдельно.
Поэтому перейдем прямо к рассмотрению 'последнего блока рис. 2.3—
выходу. Имеется большое разнообразие выходов — от показаний
осциллографа или вольтметра в простейшей системе до численной или
графической информации, которую дают цифровые или аналоговые
вычислительные машины. Иногда используется воспроизводство
сигнала через динамик, что позволяет изучить запись на ленте. Звук
отражает многие основные характеристики турбулентности, в частности
ее перемежаемость и случайный характер. Те, кто слышали этот
сигнал, удивляются сходством его звучания с фоновым шумом, который
прослушивается в радиоприемниках.
Естественно задаться вопросом, насколько надежны выходные
сигналы 'после целого ряда преобразований, в каждом из которых имеются
свои искажения, дрейфы и нелинейности. Следует оговорить, что многие
характеристики турбулентности нельзя измерить с высокой точностью.
На практике многие величины, получаемые теоретически, нельзя
измерить даже приближенно. Если в принципе и существуют методы
получения требуемых результатов, измерения с достаточной точностью
зачастую невозможны, так как нет соответствующего метода
тарирования. Приемлемую точность можно получать независимо от сложности
измерительной системы, если систему можно протарировать как единое
целое, когда тарирующие сигналы подвергаются в точности той же
последовательности операций, что и измеренные сигналы. Та'ким образом,
проблема точности сводится к 'проблеме разработки методов
тарирования, которые:
1) полностью воспроизводили бы экспериментальные сигналы по
амплитуде, частоте и основным статистическим характеристикам;
2) можно было бы интерпретировать через характеристики
турбулентности.
Предположим, например, что мы хотим протарировать датчик
скорости, заставляя его колебаться в неподвижной воздушной среде.
Удовлетворительное тарирование требует:
1) чтобы наложенные колебания охватывали рабочие диапазоны
амплитуды п частоты и содержали соответствующие масштабы
движения;
2) чтобы существовала связь между перемещениями датчика
и пульсациями скорости при обтекании неподвижного датчика
жидкостью.
Возможно, что в действительности эти требования не всегда
выполняются в процессе обычных статических тарировок.


§ 2.5J
Измерительная система
71
Анализ сигналов
Существуют электрические и электронные устройства для
выполнения следующих операций, многие из которых должны быть
реализованы при измерении мгновенных и статистически осредненных
характеристик турбулентного потока:
1. Сложение и вычитание. Требуются для разделения пульсаций
скорости и температуры, а также компонент скорости [см. уравнения
(2.4.18), (2.4.25), (2.4.26)].
2. Умножение и возведение в квадрат. Требуются при нахождении
интенсивности турбулентности, произведений скоростей и 'произведений
скоростей и температуры [см. уравнения (2.4.19), (2.4.26)].
3. Осреднение. Требуется при нахождении средних значений в
рассмотренных выше примерах. Время осреднения должно быть увеличено
при уменьшении наиболее низких частот сигнала; следовательно,
требуется соответствующим образом выбирать аппаратуру и методы
измерений.
4. Фильтрация. Применяется для исключения низких частот
(фильтры верхних частот) или высоких частот (фильтры нижних
частот, которые работают подобно датчику с плохой высокочастотной
характеристикой); комбинация этих двух фильтров — полосовой фильтр.
5. Дифференцирование по времени. Эффективно при выделении
полностью турбулентной части из перемежающейся турбулентности и
при измерении диссипации, которая зависит от градиентов скорости.
6. Вероятностные оценки той доли времени, при которой сигнал
превышает определенный уровень. Это можно использовать при
определении коэффициента перемежаемости и для изучения функции
распределения турбулентных пульсаций.
7. Интегрирование. Используется при осреднении и как составная
часть вероятностных оценок.
Приведем два метода анализа сигналов: корреляционный и
спектральный.
Эти два метода рассмотрены подробно ниже. Они не являются,
строго говоря, отдельными операциями, а систематически используют
такие операции, как фильтрация, умножение и осреднение.
Указанные операции часто должны выполняться в определенной
последовательности. Рассмотрим среднее значение квадрата
производной (dv/dx)2—одной из величин, определяющих турбулентную
диссипацию. Пусть имеем два сигнала, полученные от Х-образного датчика
и пропущенные через пару линеаризаторов. Компоненту v получаем,
вычитая один сигнал из другого. Далее комбинированный сигнал v
дифференцируем по времени, используя гипотезу Тэйлора для связи
производных по времени и пространству:
г г dv dv
ox ^~ dt '
Тогда фильтр нижних частот исключит электронный шум из
сигнала. Наконец, возведение в квадрат и осреднение дают искомую
величину. Если продифференцированный сигнал будет подвергнут
спектральному анализу, то найдем вклад в диссипацию разных
масштабов турбулентности.


72
Эксперименты и ах анализ
[Гл. 2
Условное осреднение
Этот довольно современный метод не будет обсуждаться в этой
книге подробно; однако мы кратко поясним его возможности. Его
обычно называют условной выборкой; однако название, использованное
выше, является более точным. Осреднение берется лишь в тех
интервалах, в -которых выполняется условие выборки:
1 I *
<S> = ^cSdtncdt. (2.5.1)
о / о
Здесь обусловливающая функция: с—фиксированная величина,
когда это условие справедливо; с = 0 в противном случае.
Этот метод можно использовать для исследования отдельных
элементов турбулентного движения, например: 1) только полностью
турбулентной части течения перемежающейся турбулентности; 2) активные
периоды течений при переходном режиме или вблизи стенки; 3)
элементы одного 'ИЗ двух взаимодействующих потоков.
Соответствующими условиями выборки для этих случаев могут быть:
1) для перемежающейся турбулентности — требование, чтобы
хотя бы одна из величин du/dt или d2u/dt2 была большой;
2) вблизи стенки — требование, чтобы произведение u(t)v(t) было
большим;
3) при взаимодействии потоков с мало отличающимися
температурами— требование, чтобы температура рассматриваемого элемента
превышала определенное значение.
На практике оказывается, что большинство условных осреднений
сильно зависит от принятого условия выборки и проницательности
исследователя. Тем не менее этот метод позволяет опытному
исследователю вникнуть в сущность турбулентного процесса. В некотором
отношении этот метод равносилен спектральному анализу и
корреляционному анализу, которые, как будет показано ниже, фактически
эквивалентны друг другу.
2.6. КОРРЕЛЯЦИИ И МАСШТАБЫ
2.6.1. КЛАССИФИКАЦИЯ
В уравнениях (2.3.1) и (2.3.2) осредненные по времени
произведения uv и vQ (и, v и 9 — пульсации скорости и температуры) определяют
перенос 'количества движения и энергии в результате турбулентного
смешения. Из уравнений (2.4.19), (2.4.26) видно, что сигналы
термоанемометра можно скомбинировать таким образом, чтобы получить
такие 'величины. Эти статистические характеристики называются
корреляционными функциями ('корреляциями), причем uv — двойная
корреляция скоростей и vQ— корреляция скорости и температуры. В ряде
случаев вместо корреляции используют термин ковариация.
Величина uv зависит от интеноивностей и -и v, а также от
корреляции между ними, т. е. от степени связи двух 'пульсаций. Эту
зависимость можно представить в виде
uv = Rurv\
где штрих обозначает среднеквадратичные значения и R —
безразмерный коэффициент корреляции, который определяет степень связи ин-


§2.6]
Корреляции и масштабы
73
тенсивностей. Коэффициент корреляции можно определить подобным
способом и для ^9; в общем он отличается от коэффициента для uv.
Такие величины характеризуют среднюю кинематическую структуру
турбулентности независимо от значений пульсаций.
Теперь обобщим понятие корреляции. В развернутом виде операция
uv записывается аналогично как (1.1.5)
uv = -j- Г u(xp, t)v(xp, t)dt. (2:6.1)
to
Здесь хр — характерная координата точки Р, в которой измерены
две компоненты скорости, и t—момент времени, в который
производятся измерения. Рассмотрим далее четыре случая этого обобщения:
1. Одноточечные корреляции между двумя сигналами (s\ и s2),
полученными одновременно в одной точке Р.
2. Автокорреляции между значениями сигнала в моменты времени,
разделенные постоянным интервалом времени т.
3. Временные корреляции — обобщение, включающее два
различных сигнала из одной и той же точки в момент времени, разделенные
интервалом т. Они называются также взаимными корреляциями.
4. Пространственные корреляции между двумя сигналами,
полученными одновременно в двух точках Р{ и Р2, разделенными
расстоянием г. Если в этих точках измеряется одна и та же характеристика,
это называется прямой корреляцией; в противном случае — взаимной
корреляцией.
Возможны и другие случаи (но они не будут рассмотрены в этой
главе):
5. Пространственно-временные корреляции, например корреляции
сигналов, полученных в двух точках, разделенных расстоянием г, при
временной задержке %=r/U, где U — эффективная скорость конвекции.
6. Лагранжевы корреляции, связывающие характеристики частиц,
движущихся в жидкости, с их характеристиками в фиксированный
момент времени.
7. Корреляции высшего порядка любого рассмотренного типа,
например v3, uvdujdy, vQ2. Такие величины входят в уравнения баланса
энергии турбулентности, которые будут рассмотрены в гл. 3 и в общем
виде — в гл. 9.
Рассматриваемые здесь четыре случая обобщения (2.6.1)
—корреляции второго порядка, связывающие только два сигнала. Они
образуют корреляционную функцию
to
где xPi и хР2 — типичные координаты точек Pi и Р2; tx и /2 — моменты
времени, возможно, разделенные фиксированным интервалом. В
общем виде коэффициент корреляции
*=£*-, (2.6.3)


74
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
где s'=(s2)l/2— среднеквадратичное значение. Из простых физических
соображений (или математического результата, известного как
неравенство Шварца) следует, что этот коэффициент должен лежать в
пределах
—1</Ж1.
Максимальное значение R=l достигается, когда s{ = s2, т. е. если
/i—^2 и Р\-^Р2 и два сигнала измеряют одну и ту же характеристику.
Минимальное значение R =— 1 можно получить, например, коррелируя
данную величину с противоположной ей по знаку. При R=0
отсутствует всякая, даже статистическая, связь между пульсациями.
В предыдущем обсуждении предполагалось, что сигналы
непрерывные, но данные определения можно применить и к дискретным
величинам (например, если непрерывный сигнал преобразован в числовую
информацию) путем введения суммирования вместо интегрирования.
2.6.2. ОДНОТОЧЕЧНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ
В этом случае на выражение (2.6.2) накладывается требование
Р\ = Р2 и i\ = t2. Такие корреляции образуются из 'сигналов, измеренных
практически одновременно в одной точке.
В общем случае турбулентного (установившегося) движения тр'И
корреляционные функции и0, vQ, wQ будут определять эффективный
поток тепла, а три корреляции пульсаций скорости и давления ри, pv
и pw (р — 'пульсация давления)—результирующую интенсивность
работы турбулентных пульсаций давления и скорости. Такие корреляции
между скаляром и компонентами скорости можно представить как
Тф и pul9 (2.6.4)
где 1=1, 2, 3, т. е.
Ui = u, u2=v, иъ — т.
В этой тензорной записи корреляции скоростей (uv, uw и т. п.)
имеем:
ujT}, где /=1, 2, 3 и /=1, 2, 3. (2.6.5)
Эти корреляции связаны с касательными напряжениями (например,
U\U,2—uv) и компонентами интенсивности (например, u2u2 = v2). Как
будет показано ниже, последние можно интерпретировать как
эффективные нормальные напряжения, вызванные турбулентностью. Так как
мы часто будем иметь дело с этими величинами, введем ком-пактную
запись
% = ЩЦГ (2.6.6)
Три компоненты щО образуют вектор. Девять компонент образуют
тензор (фактически различны только шесть, так как и1и2=и2и\ и т. п.).
Этот тензор называется тензором двойных корреляций скорости (или
просто тензором корреляций скорости). Тензорные величины требуются
для описания трехмерного поля напряжений, так как каждая
компонента напряжения связана с двумя направлениями: направлением ее
действия и направлением по нормали к плоскости ее действия. В общем
подобным образом можно интерпретировать также трехмерную дефор-


§ 2.61
Корреляции и масштабы
75
.мацию в твердом теле, скорости деформации в жидкости -и моменты
инерции твердого тела. Строго говоря, эти величины—тензоры
второго ранга; в этой терминологии векторы — тензоры первого ранга,
так как их компоненты зависят от одного направления.
Запись, введенная в уравнениях (2.6.4) и (2.6.5), имеет два
преимущества: компактно обозначает несколько компонент и также
определяет ранг тензора посредством числа различных индексов. Тройные
корреляции скорости щ, UjUk (где i, /, k=l, 2, 3) суть 27 компонент
тензора третьего ранга. Посредством термоанемометра или других
датчиков турбулентности можно измерить многие из этих компонент.
Подробнее о тензорной записи будет сказано в п. 9.1.1.
2.6.3. ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ
Запишем теперь уравнение (2.6.2) в частном виде:
' sl(t)si(t + z)=-r f s*(xP> OM-V t + z)dt9 (2.6.7)
a J
to
где т — запаздывание между сигналами. На практике эта задержка
может быть достигнута путем корреляции двух записанных сигналов.
Коэффициент корреляции, определенный из уравнения (2.6.7), имеет
вид:
RW = tt-' (2-6-8)
Автокорреляции входят в выражение (2.6.7) как частный случай
при Si = s(xp, i) и S2=s(xp, /+т). Они могут быть получены путем
корреляции записанного сигнала с его копией, задержанной на
фиксированный интервал времени. Коэффициент автокорреляции
R(z)=s*i=s{t)s« + 'Q), (2.6.9)
так как s'i = s'2 для стационарной случайной функции. В случае
автокорреляции (но не для временной корреляции вообще)
#(т)-И при т-Я). (2.6.10)
В последующем основное внимание будет уделяться важному
частному случаю автокорреляции.
Общий характер зависимости коэффициента автокорреляции от
времени задержки показан на рис. 2.4,а. Видно, что кривая имеет
«плоскую вершину» при т=0. Это можно обосновать следующим
образом: автокорреляция случайной стационарной функции времени
должна быть четной функцией от т, симметричной относительно т=0;
турбулентные движения непрерывны, .причем мельчайшие масштабы имеют
конечный размер; следовательно, существует конечная задержка по
времени изменения сигнала и кривая горизонтальна при т=0. Однако
на практике мельчайшие масштабы иногда сравнимы с
'пространственной разрешающей способностью датчика и этот горизонтальный
участок не наблюдается.


76
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
Рис. 2.4. Коэффициенты корреляции и соответствующие масштабы.
а — зависимость коэффициента автокорреляции от запаздывания, определяющая интегральный
временной масштаб ТЕ; б — изменение коэффициента автокорреляции при малых %, определяющее
временной микромасштаб хЕ; штриховая кривая — парабола, аппроксимирующая R(x) при т = 0;
масштабы на рис. 2Л,а и б различны; в — зависимость коэффициентов пространственной
корреляции от расстояния между точками, показанными на рис. 2.4,г; г — точки, в которых выполнялись
измерения продольной {а—Ь) и поперечной (а—с) корреляций.
Временные масштабы
До 'сих 'пор мы .применяли термин «временной масштаб» довольно
произвольно. Используя кривые автокорреляционной функции, можно
определить масштабы более строго. Масштаб, который характеризует
в точке пространства среднюю продолжительность действия
турбулентности, называется интегральным временным масштабом:
оо
ТЕ = \R(z)dz. (2.6.11)
о
Индекс Е обозначает, что это эйлеров масштаб, который зависит
от предыстории скорости в фиксированной точке и отличается от
интегрального масштаба, найденного по лагранжевой корреляции.
Используя интегральный временной масштаб (2.6.11), мы можем
определить время осреднения ta более точно. Очевидно, необходимо,
чтобы выполнялось условие ta^>TE для получения устойчивых средних
значений турбулентных характеристик. На рис. 2.4,в .показана часть
автокорреляционной кривой в увеличенном масштабе. Кривизна
вершины кривой определяется мельчайшими масштабами турбулентности,
и характеризующее их время можно найти, аппроксимируя верхнюю
часть кривой параболой. С этой целью свяжем предложенную
параболическую аппроксимацию с разложением коэффициента корреляции
в ряд Маклорена
RW=1+(»),+-j-(£)/+......-k)-,


§ 2.6]
Корреляции и масштабы
11
где iE — время, соответствующее пересечению параболы с осью R = 0.
Как указывалось ранее, ^^(^-J —0 при т = 0. Следовательно,
1/2 (2.6.12)
(d2R/dz2)
дает временной микромасштаб (снова по Эйлеру).
Этому результату можно придать более наглядный вид.
Предполагая, что порядок операций осреднения и дифференцирования можно
изменять, получаем из уравнения (2.6.9):
*г(^)=^И0*('+-)]о = ^) \£s(t + .) I =sg-, (2.6.13)
' I Jo
так как при т—0 дифференцирования по t и т эквивалентны. Но
d272 ^'djsds/'cli) о / ds \2 , 0 "5*7 п
так как s2=const (для данного стационарного случайного процесса).
Комбинируя эти два соотношения, получаем:
ds
Тогда временной микромасштаб (2.6.12) можно выразить в виде
,в=и£=-Г, (2.6Л5)
Е [ (ds/dty J
или
ъ—дагг, (2-бЛб)
т. е. просто в виде отношения среднеквадратичного значения сигнала
к среднеквадратичному значению его производной.
Такой анализ можно применять к любому пульсацион-ному
сигналу. На практике временные масштабы турбулентности наиболее
часто определяют с помощью продольной компоненты пульсационной
скорости и, так как ее легче всего измерить. Следует заметить, что
кривые временной корреляции и временные масштабы зависят не
только от структуры турбулентности, но и от скорости, с которой она
переносится относительно точки (точек) измерения.
2.6.4. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ
Теперь рассмотрим два различных сигнала, измеренных в точках,
отстоящих друг от друга на расстояние г и скоррелировалных без
задержки по времени:
М*р)М*р+ ') = -£- J Si(*p> t)s2(xp + rf t)dU (2.6.17)
и
где хр — характерная координата базовой точки Р; расстояние г можно
отсчитывать в любом направлении от Р. Коэффициент 'корреляции


78
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
обозначим как
R(r) = ffit. (2-6.18)
Для прямой корреляции (между значениями одной и той же
характеристики, измеренными в различных точках)
Я(г)-И при г->0. (2.6.19)
Изменения прямой и взаимной корреляции в пространстве можно
получить, -например, ломещая термоанемометр в различные точки вдоль
прямой линии, проходящей через фиксированную точку. Эти изменения
слабее зависят от средней скорости, чем в случае временных
корреляций, хотя различие между скоростями конвекции в двух точках
измерений и влияет на корреляцию. Следовательно, изменение коэффициентов
корреляции в пространстве будет нагляднее определять характеристики
турбулентности.
Рисунок 2.4,в иллюстрирует возможные изменения прямых
корреляций. Изменения пространственных корреляций отличаются от
изменений автокорреляций: при увеличении расстояния между точками
возможны отрицательные их значения и корреляционная функция может
быть асимметричной относительно этого расстояния (это не показано
на рисунке). Асимметричность будет расти, когда характер
турбулентности существенно изменится на интервале, в пределах которого
степень корреляции значительна. Рассмотрим, например, поток вблизи
плоской стенки, средняя скорость которого U(y) лежит в плоскости ху\
при этом R(y)—существенно асимметричная функция,
R{x)—незначительно асимметричная, если течение развивающееся, и R(z) должна
быть симметричной. Для однородной турбулентности симметрия
корреляций будет наблюдаться в любом направлении; для изотропной
турбулентности корреляция будет изменяться одинаково во всех
направлениях.
Способы получения корреляций, приведенных «а рис. 2.4.в, указаны
на -рис. 2.4,2. Показаны три датчика для измерения продольной
пульсации скорости и. Корреляция иаиь = и(х)и(х-\-г), при которой
направление г параллельно направлению измеряемой компоненты скорости,
называется продольной корреляцией, а корреляция им^=и(у)и(у + г)у
при которой направление г перпендикулярно направлению измеряемой
компоненты, — поперечной корреляцией. Обе корреляции стремятся
к и2 при г-ИЗ.
В общем случае (но не для изотропной турбулентности)
потребуются еще другие корреляционные функции, чтобы описать связь
между пульсациями и, а также остальными пульсациями скорости.
Рассмотрим семейство корреляций, которое можно получить из
точечного тензора корреляций Qij = UiUj. Всего имеем 27 величин*
Qij {rk)^tiitij(rk) = urluf}Rij (rk), (2.6.20 )
где k=l, 2, 3 и i, /=1, 2, 3. Здесь Ra — тензор безразмерных
коэффициентов 'корреляции. Все эти функции, вместе взятые, содержат весьма
* Наличие 27 величин не означает, что рассматривается тензор третьего ранга.
Это объясняется тем, что описывается изменение 9 компонент Qij в трехмерном
пространстве.


§ 2.6]
Корреляции и масштабы
79
большую информацию о структуре турбулентности, но они .получены
в результате осреднения по времени и, следовательно, не могут дать
необходимую информацию о фазовых соотношениях, существенных для
турбулентности.
Линейные масштабы
Используя пространственные корреляции, можно определить
линейные масштабы аналогично временным масштабам (2.6.11), (2.6.12),
(2.6.15). Интегральный линейный масштаб
• = J*<r>
dr
(2.6.21)
служит мерой средней протяженности (или когерентности) пульсаций.
Для точки в данном 'потоке его величина зависит от коррелируемых
величин и направления вектора г. Например, для пристенных течений
продольный масштаб, основанный на Qn(x), значительно больше
поперечного, основанного на Qu{y).
Наиболее малые масштабы можно измерять микромасштабом
Н~(^Ы/2 (2-6-22)
[ср. с временным масштабом (2.6.12)], если функция JR(r) почти
симметрична вблизи г=0. Для прямой корреляции по аналогии с
уравнением (2.6.15) получаем:
2s2
1/2
(2.6.23)
(ds/dr)2 '
Наиболее часто используемые линейные масштабы основаны на
продольной компоненте пульсации скорости и. Продольный
интегральный масштаб
о
где Rn(ri) =zu(0)u(ri) /и2 согласно уравнению (2.6.20).
микромасштаб обычно берется в виде
(2.6.24)
Продольный
lx — yy^u ~~
(да/дх)2
1/2
(2.6.25)
где Хи определяется по Rn при помощи уравнения (2.6.23). Его иногда
называют микромасштабом Тэйлора.
На практике эти величины обычно находятся не по Rn(fi), а с
помощью применения гипотезы Тэйлора 'к u(t), измеренной в
фиксированной точке. Это дает
да 1 да
Uz И^~-^
дх
U dt •
(2.6.26)
Первый результат можно использовать, чтобы преобразовать
кривую автокорреляции и(0)и(х) в кривую пространственной корреляции,
из которой можно найти Lx. Второе соотношение позволяет
непосредственно определить %х по и2 и (du/dt)2. В турбулентном потоке сущест-


80
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
вуют такие малые микромасштабы, что размер самого датчика не
позволяет произвести непосредственное измерение R(r) вблизи г=0, от
поведения которой зависит X.
Микромасштаб иногда называют диссипативным линейным
масштабом, но это не совсем верно., так как диссипативные масштабы еще
меньше Хх. Более наглядную интерпретацию дает рассмотрение
диссипации турбулентности, особенно применительно к изотропной
турбулентности, для которой скорость диссипации*
■(+?)
3 da2
*=15v(£-)\ (2.6.27)
dt 2 dt \дх
где l/2 Q2 — кинетическая энергия турбулентности. Последнее выражение
может быть приближенно верным для анизотропной турбулентности,
так как малые масштабы почти изотропны (локально изотропны) и
вносят свой вкпад в ди/дх. Комбинируя (2.6.25), (2.6.27), имеем:
f=—тупят- <2-6-28>
Следовательно, линейный микромасштаб определяет временной
масштаб для рассеяния энергии турбулентности, т. е. время, в течение
которого происходит существенное изменение энергии в отсутствие
внешнего подвода энергии:
Td=A,yi0v. (2.6.29)
Масштаб %х является промежуточным между большими
масштабами, получающими и содержащими основную энергию турбулентности,
и наименьшими, которые ее диссипируют. Число Рейнольдса,
вычисленное по %х, часто используется для определения общего уровня
интенсивности турбулентности:
Rex=^. (2.6.30)
Его называют числом Рейнолъдса турбулентности, хотя фактически
требуются разные его модификации, чтобы охарактеризовать различные
масштабы турбулентности. Закон рассеяния энергии можно записать
в виде
d(y/u2) _ Ю
dt —Rey
(2.6.31)
который показывает, что Rex определяет скорость рассеяния энергии
для данной жидкости.
2.7. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
2.7.1. КЛАССИФИКАЦИЯ
Корреляции дают представление о пространственной структуре и
развитии во времени турбулентности. Теперь рассмотрим другой метод
анализа турбулентности, который делит ее на элементы, изменяющиеся
* См., например, [33].


§ 2.7]
Спектральный анализ
в -пространстве и во времени по гармоническому закону. Турбулентное
движение представляют 'при этом в виде суперпозиции периодических
вихрей (ил'и волн) с различными линейными и временными
масштабами и различной их ориентацией в пространстве. Процессы порождения
напряжений, диффузии -и переноса энергии между различными
масштабами движения можно теперь описать через взаимодействие этих
вихрей. Так как уравнения движения нелинейны, то взаимодействия между
вихрями также нелинейны. Эта нелинейность совместно со
случайностью создает особую трудность при математическом анализе
турбулентности.
Суперпозиция гармонических компонент с различными частотами
(или длинами волн) определяется с помощью функции, дающей
зависимость изменения компонент интенсивности от частоты (или длины
волны). Она называется спектральной функцией по аналогии со спект-
Та блица 2.1
Обозначения для корреляций и спектров второго порядка
Помимо указанной функциональной зависимости, каждая величина будет, вообще говоря,
зависеть от положения базовой точки, которое можно обозначить вектором хр или
характерной координатой хр.
Величина
Общие сигналы slf 52
Компоненты
скорости и-»и
Определяющие
уравнения
Точечная корреляция
Автокорреляция
Временная корреляция
Коэффициент корреляции
Частотный спектр
Нормированный спектр
Пространственная
корреляция
Коэффициент корреляции
Одномерный спектр по
волновым числам
Нормирований спектр
Комплексный спектр
Пространственная
корреляция в трехмерном
пространстве
Коэффициент корреляции
Спектр по волновым числам
в пространстве волновых
чисел
Нормированный спектр
Трехмерный спектр
5i (t) S2 (t)
s (t) s{t+z)
F(co)
ФМ
Si (Xp)S2 (Хр + Г)
R(r)
F(k)
Ф (k)
F (k) или ф(k)
Si (xp) s2 (xp + r)
R(r)
F(k)
ф(к)
FT(k)
Qn W
Qij W
Ru M
Eij (со)
Eij/u'iti'j
Qu (r)
*lj(r)
Еи (k)
Eij/u'iii'j
Qij (r)
Rij (0
Elj 00
Eij/a'iii' i
E(k)
(2.6.2), (2.6.6)
(2.6.9)
(2.6.7)
(2.6.8), (2.6.9)
(2.7.1), (2.7.3),
(2.7.8)
(2.7.3), (2.7.4)
(2.6.17), (2.6.20)
(2.6.18), (2.6.20)
(2.7.10), (2.7.11)
(2.7.9), (2.7.10)
(2.7.12), (2.7.13)
(2.7.14), (2.7.15)
(2.7.16), (2.7.17)
(2.7.16)
(2.7.16), (2.7.17)
(2.7.19)
6—5 6


82
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
ром видимого света. Первые типы спектров, которые мы
рассматриваем, следующие:
1. Частотные спектры, связанные с временными корреляциями;
взаимным корреляциям соответствуют взаимные спектры.
Пространственным аналогом угловой частоты (со=2я/7— обратно
пропорциональна периоду) является волновое число (А=2лД —
обратно пропорционально длине волны). Ниже мы рассмотрим несколько
типов спектров по волновым числам.
2. Одномерные спектры по волновым числам, связанные с
пространственными корреляциями в одном направлении и — через гипотезу
Тэйлора—с частотными спектрами.
3. Комплексные спектры, которые можно использовать для
описания пространственных корреляций, которые не являются
симметричными (или четными) относительно г.
Как указывалось ранее [в уравнениях (2.6.20)], такие корреляции
зависят от радиус-вектора между коррелируемыми точками. Обобщая,
мы приходим к понятию спектра в трехмерном пространстве волновых
чисел (функции от вектора волновых чисел). Поэтому рассмотрим:
4. Спектры в пространстве волновых чисел, связанные с
корреляционными функциями, которые изменяются в трехмерном физическом
пространстве.
5. Трехмерные спектры по волновым числам, которые
характеризуют полное действие турбулентности, связанное с определенным
линейным масштабом (независимо от направления).
Спектры, указанные выше, дополняют корреляции второго порядка,
которые были обсуждены в § 2.6. Можно ввести спектры,
соответствующие иным видам корреляции (пространственно-временным, лагранже-
вым и высшего порядка), но здесь это не рассматривается. Мы уделим
основное внимание спектрам, связанным с тензором корреляций
скорости (2.6.20).
Так как обозначения для различных спектров и корреляций
довольно сложны, то для удобства они сведены в табл. 2.1.
2.7.2. ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ
Турбулентность характеризуется широкими диапазонами линейных
и временных масштабов. При математическом осреднении (или
нахождении среднеквадратичных величин) мы включаем в одно среднее
значение вклады от всего диа-пазона частот. Предположим, однако, что
до измерения полный сигнал проходит систему электрических фильтров;
тогда будут регистрироваться только те компоненты, которые
пропускают фильтры. Используя фильтры низких и высоких частот,
которые образуют совместно полосовой фильтр, мы можем в принципе
измерить вклад от узкой полосы частот. На практике частоты среза
не будут резкими, и суммарный сигнал от пары фильтров будет иметь
форму, показанную сплошной кривой на рис. 2.5,а.
Если имеется согласованная система полосовых фильтров (которую
дают стандартные спектральные анализаторы), то можно, переключая
от одного к другому, найти вклад от каждого участка данного
диапазона частот. При низких частотах требуется большое время осреднения
для того, чтобы учесть достаточно большое количество явлений. Этому
требованию может удовлетворить датчик с определенным диапазоном
постоянных времени. Нижнюю границу <оь частотного диапазона


§ 2.7]
Спектральный анализ
83
можно определить по максимальной имеющейся постоянной времени
или по появлению длиннопериодических пульсаций, непосредственно не
связанных с турбулентностью. Верхнюю границу соц- можно оценить по
появлению постороннего электронного шума на высоких частотах или
по ограничениям на частотную характеристику определенной части
электрического оборудования.
Штриховая кривая на рис. 2.5,а определяет вклад в s2 от каждой
полосы частот. Эта функция называется спектральной плотностью или
энергетической спектральной плотностью сигнала. Последний термин
заимствован из электротехники. Терминология, используемая при об-
Чш)
\
/
1 /
/
1 / vr
/
У
1 i
—•>.
\
\
\
\
QJ(p(cu)
'ffcc'Jdcjj V
1 / \ \ \ ^ ^
а)
Рис. 2.5. Частотные спектры.
а — построение частотного спектра по отдельным узкополосным составляющим; вклад
фильтра с номинальными критическими частотами CDi и со2; полная спектральная
плотность; б —возможные формы частотного спектра для эффективного касательного напряжения uv,
энергии турбулентности и2, пульсаций давления У р" и диссипации (du/dt)2.
суждении спектрального анализа, во многом заимствована из
электротехники и акустики. Полный сигнал и его спектральная плотность
связаны соотношением
JF(CD)
day.
(2.7.1)
Иногда удобно использовать нормированную спектральную
плотность
причем
Ф(се) = ф
Г Ф ((I)) d(D = 1 .
(2.7.2а)
(2.7.26)
Очевидно, нормированная плотность имеет размерность времени.
Представляется возможным определить некоторую характерную
частоту, аналогичную интегральному временному масштабу (2.6.11) (но
этого обычно не делают). Чаще спектр характеризуют частотой сом, при
которой спектральная плотность принимает максимальное значение. При
подобном анализе турбулентности обычно имеет место лишь один
максимум, причем для полностью развитой турбулентности вершина его
довольно плоская. Но если имеется преимущественная периодичность
в потоке (как, например, в следе за плохо обтекаемым телом), то


84
Эксперименты а ах анализ
[Гл. 2
максимум ясно выражен. При переходных режимах течения можно
ожидать один или несколько дискретных пиков.
До сих пор мы рассматривали спектральный анализ одиночного
сигнала, в качестве которого могут быть пульсации одной из величин
и, р, du/dt. Эту процедуру можно применить и к произведению двух
пульсационных величин, когда до -перемножения каждый сигнал
проходит через полосовой фильтр. Таким образом, можно получить
взаимные спектры для таких величин, как и(хр, t)v(xv, t) и р(0, t)p(x, t).
Для этих спектров имеем
оо оо
_£!^. = _!_fF(<D)d(D= Гф(и)&> (2.7.3)
О О
как обобщение уравнения (2.7.1), (2.7.2). Здесь
*(») = 9f (2-7-4)
есть нормированный спектр; интеграл плотности взаимного спектра по
всем частотам не обязательно равен единице.
Следует ожидать, что спектры различных характеристик
турбулентного потока будут иметь различные формы. На рис. 2.5,6
представлены спектральные плотности для четырех характеристик: энергии
турбулентности и2, интенсивности пульсаций давления р2у касательного
напряжения uv и диссипации (du/dt)2. Спектральная плотность
умножается на со для того, чтобы выделить высокочастотные составляющие.
Последние хотя и малы по величине, но существуют в широком
диапазоне частот, что затеняется обычным использованием (как и здесь)
логарифмического масштаба для оси со; следовательно, умножение на
со просто восстанавливает их истинное значение.
Заметим, что имеется довольно большое различие в масштабах
вихрей, вносящих вклад в четыре характеристики, показанные на
рис. 2.5,6. Это замечание послужит отправной точкой для анализа
определенных аспектов турбулентности при рассмотрении
нормирования корреляций в § 2.8.
Выясним теперь, какое численное значение масштаба частоты
можно принять для графика, приведенного на рис. 2.5,6. Значения coi
и о)2, при которых плотности энергии и диссипации принимают
максимальные значения, изменяются в широких пределах. Для потока в
трубе при Red = 5-105, соответствующего движению воздуха при £/=30 м/с
в трубе диаметром 25 см, частоты, замеренные в центральной части
трубы, могут составлять: coi = 500 Гц и со2 = 20 000 Гц. В атмосфере
при /7=3 м/с типичные значения будут: a>i ==0,01 Гц (период около
одной минуты) и о)2=10 Гц. Для атмосферы спектральная плотность
также имеет пики вблизи Ы0~5 Гц (период одни сутки) и 3-Ю-6 Гц
(период около 4 суток); они связаны с суточными и длиннолериодичс-
скими изменениями погоды, которые по своему характеру обычно не
являются турбулентными. Длиннопериодические пульсации
наблюдаются во многих других ситуациях и не соответствуют основным признакам
турбулентности. Отсюда на-прашивается дополнительная определяющая
характеристика турбулентности: должны быть такие
взаимодействующие масштабы движения, которые принимают участие в локальном
отводе и диссипации энергии.


§ 2.7]
Спектральный анализ
85
Очевидно, временная корреляция R(t) и спектральная плотность
Ф(со), полученные различными путями, дают одну и ту же информацию
о развитии турбулентности. Эту идею подтверждает тот факт, что
уравнение (2.7.3) устанавливает связь одноточечной корреляции (без
задержки времени) со спектром:
оо
о
Можно показать* посредством алгебраических преобразований, что
временная корреляция и частотный спектр одной и той же
стационарной случайной пульсации связаны парой преобразований Фурье:
оо \
R(i)= Г Ф (со) coscot dw;
6
2 с
ф (со) = — 1 R (z) COScot rfx,
(2.7.5)
где R(x) =sis2ls/is'2 и Ф(со) =Fls'is'2. Здесь со — угловая частота,
измеряемая в радианах в секунду (рад/с), а не в циклах в секунду (Гц).
Чтобы определить эффективность этих соотношений, рассмотрим
непосредственное их применение. Используя уравнение (2.6.14),
находим, что среднеквадратичная со значением производной (du/dt)2 и
корреляция Rn(%) =u(t)u(t+%)/и2 связаны соотношением
Из первой зависимости (2.7.5) находим:
оо
^Г-= — Га>2Ф„ (<*>) COScoxdco, (2.7.6)
О
где Фц(со)—нормированная спектральная плотность величины и2.
Тогда
^)2=_р£„Н*К (2.7.7)
О
где £ц(со) —спектральная плотность и2. Спектр производной содержит
весовой коэффициент со2, который усиливает роль высоких частот. Это
позволяет объяснить существенно различные формы спектров и2 и
(du/dt)2 (рис. 2.5,6).
Спектр Еii (со) является одним из компонентов тензора частотного
спектра i:\7(co), который связан с тензором корреляций скорости
(2.6.6) соотношением
00
<2ч=Пщ=\Е1,(а>)с1<». (2.7.8)
* См., например, [31].


86
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
Соотношения типа (2.7.7) между измеряемыми величинами
полезны с точки зрения использования их в методах измерений и
уменьшения объема необходимой информации. Более того, соотношения между
корреляциями и спектром позволят экспериментатору произвести
рациональный выбор метода измерений. Можно найти либо временную
корреляцию, либо частотный спектр; при необходимости можно вывести
одну функцию из другой.
2.7.3. СПЕКТРЫ ПО ВОЛНОВЫМ ЧИСЛАМ
Как было показано, преобразования между R(x) и Ф(со)
представляют практическую ценность. Такие же зависимости необходимы
между спектром Ф(к) и пространственной корреляцией R(r). Волновое
число аналогично частоте и имеет размерность L-1. С целью упрощения
используем пока косинус-преобразование, хотя его можно использовать
лишь только тогда, когда R{r) —четная функция от г. Тогда
оо
R (г) = С Ф(/г) cos kr dk;
(2.7.9)
ОО
Ф(6) = -£- Г R (r) cos kr dr.
0
Волновое число k = 2n/%, где X — длина волны гармоники; здесь
k измеряется в рад/м. Нормированная спектральная плотность Ф(к)
имеет размерность длины и связана со спектральной плотностью по
волновым числам зависимостью
со оо
О О
Эти соотношения аналогичны уравнениям (2.7.3). Так как
приведенные здесь спектры связаны с пространственной корреляцией вдоль
единственного направления в пространстве, они называются
одномерными спектрами по волновым числам.
Спектр по волновым числам является обобщением уравнений
(1.4.1) и (1.4.2). Но там 'подобный подход применяется к мгновенным
значениям скорости; спектр, полученный таким образом, сам пульса-
ционный и поэтому практически не более полезен, чем пульсации
скорости. Здесь же мы применили этот подход к статистической
характеристике и получили однозначное описание данного аспекта
турбулентности. Все же можно рассматривать компоненты по волновым числам
как приближенно характеризующие «вихри» разного размера.
Преобразования, приведенные выше, часто применяются и к
компонентам тензора корреляций скорости Qij=UiUj(r), представленного
уравнением (2.6.20). Преобразуя каждую из них, получаем
соответствующую систему компонент спектра:
00
Q.. (г) = f Еч (k) cos kr dk. (2.7.11)
6
Так как тензор корреляций скорости Qij часто называют тензором
энергии, то преобразования Ец называются тензором спектра энергии.


§ 2.7]
Спектральный анализ
87
Для простоты мы использовали косинус-преобразование, чтобы
получить спектр по волновым числам. Для корреляций, которые не
являются четными функциями от г, это не годится; здесь нужны четные
и нечетные спектральные компоненты и необходимо включить диапазон
г<0. В этом случае удобно пользоваться комплексным
преобразованием Фурье. Таким образом, мы имеем пару преобразований:
00
R(r)= \<S>{k)eikrdk (2.7.12)
—00
00
ф^) = йГ §R(r)e-ikrdr.
—00
Комплексный спектр можно разделить на действительную и
мнимую части:
<b(k)=<br(k)+i<bi(k). (2.7.13)
Мы пока не учитывали .полностью трехмерный характер
турбулентности -и соответствующий трехмерный характер спектров для ее
описания (в пространстве волновых чисел). Это можно сделать формально,
записывая преобразование по каждой из трех пространственных
координат:
s1 (xlf х2, х3) s2 (х1 -(- r19 x2 -f- r2, x3 -f- r3) =
CO
= J F (kv K, k3) exp [i for. +V. + k3r3)\ dktdk2dk3, (2.7.14)
—00
где Xi — координаты базовой точки, п — расстояние между точками
вдоль координатных осей и h — волновые числа, измеренные вдоль
трех осей.
Это 'Преобразование можно записать более компактно с помощью
векторных обозначений
со
5t(xp)s2(xp + r)= p'(xp)k)e'krdk (2.7.15)
—00
или в нормированном виде
00
R (х„, г) = j Ф (хр, k) eikrdk, (2.7.16)
—00
где к—-вектор волнового числа с компонентами ki, kr — скалярное
произведение к и г; dk=dkldk2dk3— элемент объема в к-пространстве.
Обратное трехмерное преобразование для каждого из соотношений
(2.7.16) имеет вид:
00
Ф(хр,к) = ^ \R(xp,r)e~ikrdr. (2.7.17)
—00
Применяя эти понятия к тензору энергии Qij и соответствующему
ему тензору £*j, видим, что эти тензоры являются функциями двух
векторов Qij(xp, r) и £2-j(xp, k). Следует понимать, что тензорный ха-


88
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
рактер этих величин определяется наличием их связи с компонентами
скорости щ(хр) и Ui(xp + r), а не зависимостью от хр и г (или к). Этот
тензорный характер следует не из того, как девять компонент
изменяются в пространстве, а из того, как их значения в каждой точке
связаны с компонентами скорости г через них — с направлениями
координатных осей.
Соотношение между комплексным одномерным спектром (2.7.i2),
(2.7.13) и комплексным спектром в пространстве волновых чисел
(2.7.16) и (2.7.17) можно установить путем использования одной и
той же точечной корреляции:
со у.
Я(0)= |Ф(/г1)й&,= ]Ф(к)Л,
—ОО —ОС
причем компонента вектора г для одномерного спектра есть Г\.
Заметим, что в обозначениях, используемых здесь и в табл. 2.1, одномерные
спектры и пространственные спектры различаются только по
аргументу: Ф(к{) и Ф(к).
Результат
со оо
Ф(£,)= j \Ф_{к) dk,dkz (2.7.18)
—ОС —ОО
указывает на недостаток одномерного спектра: он не дает энергии
пульсаций, связанной с данным .масштабом возмущений |к|, а лишь
учитывает интегральный эффект таких и некоторых меньших
масштабов (для которых k больше). Это можно лучше уяснить себе,
рассматривая аналогичный спектр, полученный для фиксированной точки, через
которую переносится турбулентность. Возмущение с малой длиной
волны, направление изменения которого ориентировано почти поперек
потока, будет распространяться так же быстро, как и большое
возмущение, направление изменения которого совпадает с направлением
основного потока. С точки зрения волновых чисел это означает, что
продольные компоненты этих двух возмущений равны и оба они вносят
свой вклад в одну и ту же полосу на шкале k\. Этот эффект
называется наложением частот.
Спектр, который не имеет этого недостатка, но остается функцией
лишь одной переменной, можно получить путем интегрирования F(k)
по сферической поверхности в k-пространстве. Трехмерный спектр
FT{k), полученный таким образом, является функцией от k (от
величины вектора к, но не его направления). Так как трех- и одномерные
спектры являются функциями одной переменной, они могут быть
связаны зависимостью, которая определяется геометрией пространства
волновых чисел.
Такой подход часто применяется к кинетической энергии
турбулентности:
ОО
±tf=^E{k)dk, (2.7.19)
О
где трехмерный спектр E(k) называют энергетической спектральной
функцией (спектральной плотностью). Изотропная турбулентность дает


§ 2.7J
Спектральный анализ
89
пример зависимости* между этим видом спектра >и одномерным:
г(*)=т4[тж]. <2-7-20)
где Eu(k) —спектр для u2=Qn.
Зависимость (2.7.20) может быть использована, если спектр Еи
определен в области 0<&<оо, как и зависимость (2.7.11). Это
возможно, так как спектр для изотропной или однородной турбулентности
есть четная функция от k. Если бы спектр был определен в области
—оо<^<оо, как, например, в уравнениях (2.7.12), то спектральные
значения были бы в 2 раза меньше и не появился бы коэффициент 1/2.
Значения компонент других четных спектров зависят аналогичным
образом от выбранной спектральной области.
2.7.4. ГИПОТЕЗА ТЭЙЛОРА
Рассматривая спектры по волновым числам, мы руководствовались
математической аналогией с частотными спектрами. Возвратимся
к основной задаче этой главы — вопросу измерений. Пока не удается
непосредственно измерять спектры по волновым числам. На практике
в этом и нет необходимости, так как их можно найти косвенно двумя
методами;
1) путем Фурье-преобразования пространственных корреляционных
функций;
2) с помощью -применения гипотезы Тэйлора к частотному спектру.
О первом методе почти нечего добавить, так как если
корреляционная функция получена, то несложно построить и
Фурье-преобразование. Второй метод будет рассмотрен довольно подробно, частично
из-за того, что он имеет большое 'практическое значение, и частично
из-за того, что допущения, лежащие в основе гипотезы Тэйлора,
требуют исследования.
Рассматривая турбулентность, переносимую равномерным
основным потоком, Тэйлор утверждал, что последовательность событий в
некоторой фиксированной точке .почти эквивалентна движению
неизменяющейся структуры турбулентности через эту точку. Эта идея уже
оказалась полезной в ряде случаев. В данном случае она позволяет
предположить, что спектральный вклад на частоте со порождается
возмущением с волновым числом k=(o/U, где U — скорость, с которой
возмущение переносится через точку измерения. Кроме того, временная
задержка т эквивалентна промежутку r=Ux в направлении переноса.
Эти постулаты соответствуют уравнениям (2.6.26).
Если использовать соотношения предыдущего параграфа, то
частотный спектр и временную корреляционную функцию (2.7.5) можно
представить в виде
00
R f~) =U [ф (kU) coskr dk
о
и (2.7.21)
Ф (kU) = ^j- f R ' ^Л cos kr dr.
Выведенной, например, в работе [31].


90
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
Сопоставление с уравнениями (2.7.9) показывает, что одномерный
спектр по волновым числам для направления среднего движения можно
выразить как
ф'(£) = г/ф(со) при со = Ш, (2.7.22)
используя измеренный частотный спектр. Этот результат справедлив
при U=(d/k. При этом предполагается, что со и k имеют согласованные
единицы измерений, т. е. обе величины измеряются в циклах или
радианах. Когда это не соблюдается, необходимо ввести коэффициент,
учитывающий уменьшение или увеличение масштаба частоты. Так,
когда со измеряется в циклах (например, в Гц) и k — в радианах
(например, в рад/м), одномерный спектр имеет вид с7Ф(со)/2я.
Экспериментальные и теоретические исследования правомерности
гипотезы Тэйлора показали ее применимость не только для слабой,
почти однородной турбулентности за решеткой (для которой она и была
первоначально предложена), но также для больших участков потоков
с неоднородной турбулентностью. Гипотеза оказывается справедливой,
когда интенсивность турбулентности не слишком высока (например,
u'/U<lO, 1) и «находится в пределах 90—95% внешней части
пограничного слоя. Это позволяет предположить, что гипотеза Тэйлора
применима всюду для свободных турбулентных потоков (но не в области
обратных течений) и в ядре 'потоков в каналах (но не вблизи стенки).
Очевидно, что одномерный спектр по волновым числам,
полученный из уравнений (2.7.21) и (2.7.22), будет точно совпадать по форме
с частотным спектром, из которого он получен. Следовательно,
спектры, представленные на рис. 2.5,6, можно интерпретировать как
одномерные спектры. Однако из одномерного спектра можно (в принципе)
получить трехмерный спектр, используя соотношение типа (2.7.20).
Метод его получения показывает, что в определенных отношениях
трехмерный спектр будет весьма отличаться от исходного частотного
спектра, что и является обоснованием для его введения.
Так как спектр по волновым числам нельзя непосредственно
измерить и он не несет информации, которая 'не содержится в измеряемых
корреляциях и частотных спектрах, то возникает вопрос, нужны ли
спектры по волновым числам? С одной стороны, ответ может быть
только положительным, так как эти спектры занимают центральное
место в литературе, посвященной турбулентности. Некоторые
исследователи, особенно те, которые делают акцент на физические аспекты,
находят, что спектры по волновым числам дают мощные методы
анализа и эффективные способы описания турбулентности. Можно
отметить два определенных достоинства:
1) спектр по волновым числам намного слабее подвержен
влиянию среднего потока, чем частотный, и поэтому позволяет глубже
вникнуть в изучение линейных и временных масштабов;
2) трехмерные спектры нагляднее отражают возмущения данного
размера.
Однако следует сознавать, что существенный вклад в понимание
многих аспектов турбулентных процессов основан непосредственно на
корреляциях.
Рассматривая корреляции и спектры, мы восстанавливаем
некоторые подробности, которые теряются при осреднении, используемом
для упорядочения хаоса турбулентности. В принципе все, что было
потеряно при осреднении, можно восстановить, используя все возраста-


§ 2.8]
Нормирование функций
91
ющее число корреляций (или спектров) 'при статистическом анализе
турбулентности. Можно надеяться, что определенные аспекты
турбулентности можно адекватно списать, используя лишь некоторые
статистические характеристики. Это является возможным решением
проблемы замыкания, поставленлой в § 1.7. Пусть это удается не всегда,
но даже первые попытки использовать статистику позволяют,
несомненно, гораздо глубже понять общие эффекты турбулентности.
2.8. НОРМИРОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИЙ
2.8.1. РАССМАТРИВАЕМАЯ ЗАДАЧА
Рассматриваемая задача состоит в нахождении связи между
экспериментальными данными, полученными для подобных (по
существу) турбулентных потоков, но имеющих различные масштабы
длины, времени и скорости. В качестве таких экспериментальных данных
могут быть, например, частотные спектры, измеренные за решеткой
в турбулентном потоке 'при различных его скоростях, размерах ячейки
решетки и расстояниях от решетки.
Рассмотрим три вида корреляции данных:
1) нормирование крупных элементов турбулентности; здесь
влиянием вязкости пренебрегают, методы корреляции называют
инерционным нормированием и говорят, что движения обнаруживают подобие
по числу Рейнольдса\
2) нормирование мельчайших элементов турбулентности; здесь
роль вязкости существенна и вместе с локальной скоростью диссипации
энергии определяет универсальную мелкомасштабную диссипативную
структуру;
3) нормирование промежуточных элементов турбулентности, тех,
на которые вязкость не влияет, но которые тем не менее приняли
универсальную форму, определяемую только скоростью диссипации;
эта инерционная подобласть постулированной универсальной структуры
будет существовать только в турбулентности, которая обладает очень
широким диапазоном линейных масштабов.
Рассматриваемые здесь методы нормирования применимы, когда
имеет место существенное различие между крупными масштабами
движения, содержащими почти всю энергию, и малыми масштабами,
которые ее диссипируют. В спектральных понятиях это различие
в масштабах 'проявляется в заметном разнесении .положений максимума
энергетического и диссипативного спектров на оси волновых чисел (и
частот). Это иллюстрирует рис. 2.5,6. Различие в этих положениях
существует в большинстве турбулентных потоков, так как крупные,
масштабы не могут зависеть от вязкости, если турбулентность сама
себя поддерживает. Анализ в основном относится к турбулентности
в исходном установившемся движении, которая характеризуется
пульсациями, представляющими собой стационарные случайные функции
времени. Однако иногда будет рассматриваться затухающая
однородная турбулентность. Результаты для малых масштабов предполагают
локальную изотропию, но они могут оказаться пригодными и для
турбулентности, характеризующейся либо стационарностью, либо
затуханием при больших масштабах.
На практике предлагаемые методы нормирования могут не дать
ожидаемой корреляции основной массы измеренных данных. Такая


92
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
неудача может быть результатом ошибки измерений или невозможности
контролировать условия очыта. Что более существенно,
несостоятельность закона нормирования может быть вызвана ошибочными
'Предпосылками, на которых он основывается. Таким образом, нормирование
экспериментальных результатов может обеспечить не только удобное
представление этих результатов, но и проверку точности измерений и
анализа, а также, возможно, и оценку теории, описывающей структуру
турбулентности.
2.8.2. ПОДОБИЕ ПО ЧИСЛУ РЕЙНОЛЬДСА В БОЛЬШИХ МАСШТАБАХ
В § 1.4 отмечено, что определенные характеристики турбулентного
потока, как, например, угол расширения турбулентной струи, не
зависят от числа Рейнольдса среднего течения. Это ведет к заключению,
что крупные масштабы турбулентности непосредственно не зависят от
вязкости, — говорят, что они обнаруживают подобие по числу
Рейнольдса. Выше было показано, как это положение совместно с анализом
размерностей используется для расчета некоторых характеристик
среднего течения. Теперь исследуем роль подобия по числу Рейнольдса для
тех областей корреляционных и спектральных функций, которые
описывают крупные независимые от вязкости элементы турбулентности.
Рассмотрим сначала пространственную корреляцию, определенную
в уравнениях (2.6.18), (2.6.17). Для частного вида потока (например,
для турбулентности за решеткой или течения в круглой струе) можно
предположить, что коэффициент R(xP) r) определяется как
Д~хР, г, U U0, v, (2.8.1)
где хр и г, как и ранее, — характерная координата базовой точки и
интервал расстояния; L0 и U0 — масштабы длины и скорости,
определяемые геометрией границ и средним потоком. Приведем примеры
для L0: диаметр цилиндра, создающего след, толщина 'пограничного
слоя или размер ячейки решетки, генерирующей турбулентность;
примеры для U0: скорость невозмущенного потока вне пограничного слоя,
скорость конвекции, разность скоростей в слое со сдвигом, начальная
скорость струи. Иногда масштаб скорости выбирают в виде
комбинации определяющих параметров; например, для струи масштаб можно
определить в виде U0= (M/p2L2Q) ^ где М — поток количества
движения струи и L2Q характеризует площадь поперечного сечения струи.
И, наконец, так как масштабы длины и скорости крупных элементов
турбулентности тесно связаны с соответствующими масштабами
среднего движения, иногда удобно использовать турбулентные масштабы,
а не масштабы среднего движения.
Возвратимся к рассмотрению коэффициента корреляции (2.8.1) и
представим его в однородной по размерности форме:
*='(£■£-. чу <2-8-2>
Для заданного относительного положения базовой точки xp/L0
подобие по числу Рейнольдса означает, что
R=f(ir)> <2-8-3>
если U0r/v больше определенного значения, при котором эффект
вязкости становится существенным.


§ 2.8]
Нормирование функций
93
Аналогичный анализ интегрального масштаба (2.6.21)
корреляционной функции дает другую формулировку результата (2.8.3). Исходя
из
L^xp, Lo, С/о, v. (2.8.4а)
получаем:
jL=f(Hf-9 ^£l). (2.8.46)
Изменение U0L0/v ведет к изменению только небольшого участка
корреляционной кривой вблизи г = 0; следовательно, при
фиксированном значении xv/L0
L/L0 = const (2.8.5)
при условии, что UqLqjv больше определенного значения. Комбинируя
результаты (2.8.3), (2.8.5), получаем:
* = f(-r) (2-8-6)
при U0r0lv=U0Lolv) (r/L0) больше определенного значения. Это
указывает, что корреляции, измеренные относительно одного и того же
относительного положения для данного класса турбулентных потоков,
попадают на единую кривую, если их построить в виде R=R(r/L),
за исключением малых значений r/L пли L/0Lo/v, для которых
корреляции зависят от вязкости.
Если проанализировать спектры по волновым числам таким же
способом, то получим аналогичные результаты. Определяя
нормированный спектр (2.7.9), (2.7.16) как
Ф~хРу ky L0, U0, v, (2.8.7a)
находим:
£='£-•«-•£■)• <2-87б>
Для данного положения xp/L0 подобие по числу Рейнольдса
означает, что
f- = f(kLt) (2.8.8)
при kv/U0 меньше определенного значения, при котором вязкие
эффекты становятся существенными. Используя выражение (2.8.5), получаем
также
^=f(kL) (2.8.9)
при (v/U0LQ) (kL0) меньше определенного значения. Из анализа
уравнений (2.8.3), (2.8.8) видно, что для данных геометрии границ и
относительного положения базовой точки пространственные корреляции и
спектры по волновым числам не зависят от скорости потока и вязкости
жидкости (без нормирования), за исключением участков,
характеризующих масштабы, подверженные влиянию вязкости.
Для автокорреляций и частотных спектров последнее заключение
неприменимо, хотя в остальном анализ аналогичен проведенному выше.
Для автокорреляции предположим, что
R~xp, т, U U0, v, (2.8.10а)


94
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
откуда
Подобие по числу Рейнольдса означает, что
при фиксированном значении xv/L0 и tv/L20 больше определенного
значения.
Для частотного спектра примем
Ф^хр, со, L0, UQ, v, (2.8.12a)
откуда
Подобие по числу Рейнольдса означает, что
U^_ = ff^_\ (2.8.i3)
при фиксированном значении x33/L0 и coZAj/v меньше определенного
значения. Согласно (2.8.13) Ф(со) будет иметь максимум при
фиксированном значении coL0/f/0. Для потоков с крупномасштабными элементами,
которые близки к периодическим, эта величина называется числом
Струхаля, характеризующим течение и определяемым уравнением
(1.2.4).
Результаты, аналогичные (2.8.6), (2.8.9), можно получить для
временных характеристик турбулентности. Интегральный временной
масштаб (2.6.11) можно представить в виде
ТЕ~хр, L0, U0, v. (2.8.14a)
В однородной по размерности форме результат имеет вид:
:f(£, ^-J, (2.8.146)
откуда
ТЕ^^ (2.8.15)
при тех же условиях, что и (2.8.5). Зависимости (2.8.5), (2.8.15)
показывают, что когда существует подобие по числу Рейнольдса для
большинства элементов турбулентности, интегральные масштабы
изменяются пропорционально масштабам длины и скорости среднего
движения.
Соотношения (2.8.11), (2.8.13) можно теперь представить в виде
R=f&) и 77=f(c°r^ (2,8Л6)
при фиксированном значении xp/L0 и при (v/UoLo) (т/Те) больше
определенного значения или (U0Lo/v) (®TE) меньше определенного
значения. Ясно, что изменение масштаба скорости или длины будет
изменять автокорреляцию и частотный спектр. Обращаясь к уравнениям
(2.7.21), (2.7.22), мы видим, что преобразования, предполагаемые гппс-
^о Е - ' ^п UnLn


§2.8]
Нормирование функций
95
тезой Тэйлора, позволяют частотный спектр, который зависит от
скорости, представить в виде спектра по волновым числам, уже не
зависящего от скорости конвекции (в области подобия по числу Рейнольдса).
Устранение зависимости от скорости ведет к спектру, представляющему
в основном турбулентность. По этой причине экспериментальные
результаты, полученные с помощью частотного анализа, часто представляют
в виде одномерного или трехмерного спектра по волновым числам.
Однако тот же эффект может быть достигнут с помощью нормирования
частот и спектральных величин способом, рассмотренным выше.
Эти рассуждения позволяют предположить, что существует тесная
связь между выводами гипотезы Тэйлора и подобием по числу
Рейнольдса. Следовательно, подобие по числу Рейнольдса будет иметь место,
если турбулентность будет крупномасштабной, не слишком интенсивной
и не слишком неоднородной. Экспериментальные исследования
турбулентности за решеткой говорят в пользу этого утверждения. Также есть
веские данные в пользу подобия по числу Рейнольдса в свободном
турбулентном потоке. Следовательно, как и в случае гипотезы Тэйлора,
лишь в непосредственной окрестности стенки подобие по числу
Рейнольдса не дает правильных соотношений для крупномаштабной
турбулентности.
Нормирование, при котором не рассматривается вязкость жидкости,
часто называется инерционным. Из предыдущего обсуждения
обоснования этого термина не следует, так как мы раесхматриваем
коэффициенты корреляции и безразмерные спектры, уже нормированные по
среднеквадратичным значениям Si и s2. Но предположим, что мы используем
вместо них масштабы £/0 и L0, чтобы минимизиро-вать число
определяющих параметров. Тогда для нормирования корреляционных или
спектральных функций, которые включают в себя эти размерности, следует
ввести некую величину с размерностью силы или массы. Очевидным
выбором является плотность жидкости.
Для иллюстрации явного инерционного нормирования рассмотрим
частотный спектр Ev (со) интенсивности пульсаций давления р2 в
турбулентном пограничном слое толщиной б при скорости внешнего потока
f/i. Примем
£р(со)^со, Uu б, р, (2.8.17)
откуда получаем для нормированного спектра соотношение
lE^L^L.-f(±) (2 8 18)
На протяжении всего изложения материала предполагалось, что
несостоятельность инерционного нормирования связана лишь с
влиянием вязкости на малые масштабы турбулентности. На практике
нормирование часто оказывается несостоятельным на участках
пространственных и временных спектров, соответствующих крупным элементам.
Причины могут быть различными: изменения в условиях опытов,
неоднородность в предполагаемых равномерных условиях на входе или просто
близость стенки канала или конца, выход записи пульсаций за ленту
самописца.
2.8.3. ПОДОБИЕ В МЕЛЬЧАЙШИХ МАСШТАБАХ
Рассмотрим теперь мельчайшие масштабы турбулентности.^
Обсуждение основывается на том факте, что при высоких числах Рейнольдса


90
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
FtM
для среднего течения и
турбулентности существует
значительное различие масштабов,
содержащих энергию и диссипирую-
щих ее. Советский математик
Колмогоров предложил
универсальную теорию равновесия,
содержащую следующие
положения:
I. При достаточно высоких
числах Рейнольдса мельчайшие
масштабы имеют универсальную
структуру (конкретно,
локальную изотропию), которая
статистически не зависит от среднего
потока и крупных масштабов.
II. Энергия, которую дисси-
пируют такие малые масштабы
движения, поступает к ним через
каскадный процесс от крупных
масштабов.
III. Вязкость должна играть
важную роль в диссипирующих
мельчайших масштабах.
Таким образом,
утверждается, что кинематика мельчайших
движений определяется
кинематической вязкостью v и е —
скоростью диссипации энергии
турбулентности на единицу массы жидкости, размерность которой
(длина)2/ (время)3.
На рис. 2.6 сделана попытка проиллюстрировать графически эти
идеи. Здесь показаны трехмерные спектры по волновым числам; их
форма мало отличается от формы частотных спектров, приведенных на
рис. 2.5,6. Представлены спектральная плотность E(k) и диссипативный
спектр k2E(k)\ последний можно получить аналогично частотному
спектру по (ди/dl)2, определенному уравнением (2.7.7). Указанные волновые
числа приближенно соответствуют потоку при UqLq/v=\05 и L0=20 cm
(например, потоку воздуха при 1/0 = 7,5 м/с). Подробнее рис. 2.6 будет
проанализирован ниже. Сейчас же отметим следующее:
1. Область диесипативных масштабов RQ отличается от пблясти
энергосодержащих движений Ru которая находится в окрестности
волнового числа /ee^2n/L, где L — интегральный масштаб турбулентности.
[Для изотропной турбулентности Lxkel2n^0,75, где Ьх — продольный
масштаб (2.6.24).]
2. Область отвода энергии /?4 простирается от минимальных
волновых чисел, которые определяются масштабом среднего движения L0, до
области Ru частично вклиниваясь в нее.
3. Существует поток энергии о г низких к высоким волновым
числам— каскадный процесс передачи энергии. Между областью отвода
R't и диссипации R6 этот поток равномерен и равен скорости
диссипации 8.
*0=2Х/10 *e*Z7C/Lx ЬА=2Х/ЛХ h5=Z7i/ls
Рис. 2.6. Характерные диапазоны
турбулентного движения, иллюстрируемые
трехмерными спектрами энергии E(k) и
диссипации k2E(k). Число Рейнольдса в
рассматриваемом случае (Reo — lO5) является
примерно самым малым, при котором
существует инерционная подобласть. Волновые
числа соответствуют L0—20 см, R{ —
область энергосодержащих движении; R2—
область, свойственная данному течению;
Rz — область универсального равновесия;
R* — область отвода энергии; R5 —
инерционная подобласть; Rq—область диссипации;
/?7 — область инерционного нормирования.


§ 2.8]
Нормирование функций
97
4. Область диссипации RQ (и, может быть, более широкая область
/?з) не зависит от характерных особенностей потока, в котором
генерирует турбулентность, в отличие от области низких волновых чисел 7?2-
Это можно обосновать тем, что движения, поддерживаемые потоком
энергии, становятся все менее упорядоченными и, таким образом,
зависимость их от структуры крупных вихрей ослабевает по мере
переноса энергии ко все меньшим и меньшим масштабам. В конечном итоге
вся упорядоченность теряется и мельчайшие масштабы становятся
изотропными.
Применяя эти положения к типичной пространственной
корреляционной функции, примем
u(xp)u(xp + r)^r,e,v (2.8.19)
для таких достаточно малых г, чтобы корреляция определялась
масштабами движения в пределах универсальной области. Из е и v можно
образовать масштабы длины и скорости:
/. = f^V/4 и «. = И,/4. (2-8-20)
Первая зависимость определяет размер мельчайших масштабов
турбулентности. Экспериментально установлено, что диссипация имеет
место при 0,1<&/S<1, что соответствует линейным масштабам от К=
= 6/s до 60/tS. Эти масштабы определяют область R6 на рис. 2.6. В
однородной по размерности форме выражение (2.8-19) перепишется как
и(хр)и(хр + г) = и*J (-£-) = (sv),/2f [(^г)1/4 г]. (2.8.21)
Подобную процедуру можно применить и к спектру по волновым
числам. Например, для трехмерной энергетической спектральной
функции
E<—k, e, v, (2.8.22а)
откуда
viM/4^
(2.8.226)
для достаточно больших значений k.
Довольно похожие результаты можно получить для универсальных
равновесных областей автокорреляционных функций и частотных
спектров, но анализ будет несколько сложнее, так как следует учитывать
эффекты конвекции.
2.8.4. ИНЕРЦИОННАЯ ПОДОБЛАСТЬ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ МАСШТАБОВ
Дополним еще одним (четвертым) положением теорию равновесия
Для достаточно высоких чисел Рейнольдса существует область
движений, которая имеет универсальную структуру, но и не столь малых,
чтобы подвергаться существенному влиянию вязкости.
Кинематические масштабы этой инерционной подобласти целиком
определяются скоростью диссипации е. Область R$ на рис. 2.6
обозначает такое пересечение инерционной области #7 и универсальной области
R3. Разумеется, при уменьшении числа Рейнольдса и сближении ke и ks
эта область будет исчезать.
7—56


98
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
Для энергетической спектральной функции (2.8.22) имеем в
инерционной подобласти
Е~ky e, (2.8.23а)
откуда
E=yi&2/3k-Wy (2.8.236)
где 7i — универсальная безразмерная постоянная. Спектры, измеренные
при высоких турбулентных числах Рейнольдса, обнаруживают
степенные законы, весьма аналогичные полученному. Небольшое различие
в показателе степени можно приписать (частично) относительно
слабому эффекту крупномасштабной турбулентности — длиннопериодическим
изменениям средней скорости диссипации в пределах малых масштабов.
При анализе коэффициента корреляции (2.8.19) требуется
несколько модифицировать ранее используемую процедуру. Мы имеехМ
u{xp)u{xp-\-r)^r, s. (2.8.24)
Однако с малыми вихрями связано не абсолютное значение
корреляционной функции, а ее изменение. Таким образом, получаем
однородную форму по размерности
и(хр)и(хр + г) = ¥Щ- Ь (erf3, (2.8.25)
где у2 — другая универсальная постоянная.
Значение у2 зависит от рассматриваемой корреляции. Для
изотропной турбулентности (а универсальная область принимается по существу
изотропной) имеются только две различные двойные корреляции
скорости; они однозначно связаны между собой и с энергетической
спектральной функцией. Подробные расчеты дают
V2=l,98vi (2.8.26)
для продольной корреляции (иаиь на рис. 2.4,г) и
72=2,63^ (2.8.26а)
для поперечной корреляции (иаис на рис. 2.4,г). Эксперименты по
проверке этих соотношений для частного вида течения дают тесты
гипотез универсальной теории равновесия. Определение значений
«постоянных» в различных потоках дает дополнительную проверку. Были
найдены значения
7l=l,8±0,5, (2.8.27)
разброс которых можно считать умеренным, учитывая
экспериментальные трудности. Этот результат подтверждает основные положения
теории.
Часть разброса значений универсальных (как следует надеяться)
постоянных может быть обусловлена изменением числа Рейнольдса.
Для определения степени разделения энергосодержащих и диссипирую-
щих масштабов можно использовать различные числа Рейнольдса,
в частности:
1) Re0=t/0Lo/v — число Рейнольдса среднего течения;
2) ReL=u/Lxlv — число Рейнольдса, вычисленное по интегральному
масштабу;
3) Rex — urlxlv — число Рейнольдса турбулентности, определяемое
согласно уравнению (2.6.30).


§ 2.8]
Нормирование функций
99
В этих целях предпочтительным является последнее. По-видимому,
для установления истинно равновесной области требуется значение
#ех >2000 (которое соответствует, возможно, Reo>3-107). Такие
течения обычно имеют место в геофизических или астрофизических
процессах. Зависимости, соответствующие универсальным инерционным
областям, .все-таки применимы и к некоторым пото-кам, масштабы которых
более привычны для инженерных приложений.
Форму зависимости от г и k, предполагаемую теорией равновесия,
можно обнаружить в некотором узком диапазоне при Rex> 100
(соответствующее, возможно, Re0>105), хотя постоянные Yi и у2 будут несколько
отличаться от универсальных значений при очень высоких числах Рей-
нольдса. Данные, приведенные на рис. 2.6, приближенно соответствуют
нижнему предельнОхМу значению Rex. Отметим промежуточное положение
kx = 2%,lx в области линейных масштабов.
Остается найти соотношение между скоростью диссипации е и
масштабами среднего движения UQ и Lo. Чтобы сделать это, введем пятый
постулат:
V. Интенсивность подвода энергии к каскадному процессу
определяется самыми крупными элементами турбулентности, масштабы
которых связаны с маштабами £/с и L0 среднего движения.
Относительно узкая полоса отвода энергии от среднего движения
обозначена на рис. 2.6 как ^4- Теперь имеем
е—С/о, U Хр, (2.8.28)
откуда
*-)■
Можно заключить, что
8 = const р- (2.8.29)
для заданного относительного положения в данном потоке.
Для почти однородной турбулентности за решеткой оказывается,
что
е- 1,6 £1, (2.8.30)
где Lx — продольный интегральный масштаб (2.6.24). Скорость
диссипации при интенсивном порождении турбулентности можно приближенно
оценить, принимая
i^_^-^:J_ (2.8.31)
что связывает энергосодержащие масштабы и масштабы среднего
движения. Эти оценки в общем согласуются с результатами
экспериментальных исследований.
Используя зависимость (2.8.29), можно записать уравнения
(2.8.21) — (2.8.25) через масштабы среднего течения.
В частности, для инерционной подобласти
£=const UMo(kLo)-^3 (2.8.32a)


100
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
ИЛИ
Д [u(xp)u(xp + r)] = consW\ (j~y . (2.8.326)
Как и следовало ожидать, эти соотношения согласуются с
уравнениями (2.8.3), (2.8.8), которые определяют общий характер
инерционного нормирования.
Зависимость (2.8.29) показывает также, что линейные и скоростные
масштабы (2.8.20) диссипирующих элементов связаны с масштабами
среднего движения соотношениями
^ = const (п^-?/4 -х, Re"3'4; (2.8.33а)
^=™<vkY^x*- (2-8'33б)
Заметим, что диапазон линейных масштабов быстро расширяется
с увеличением числа Рейнольдса среднего течения. Характер изменения
скорости диссипации, вытекающий из (2.8.33), можно установить из
уравнений (2.6.27):
это изменение, конечно, согласуется с (2.8.29).
Зависимости отношений линейных масштабов Lo//s и LX\U от
числа Рейнольдса турбулентности можно определить следующим образом.
Используя уравнения (2.6.27), (2.6.28), получаем:
fa' у U\
откуда
Re'=№Y~!!^!.
Подобие по числу Рейнольдса для крупных масштабов
предполагает, что u'~U0 и Lx~Lo, как в уравнении (2.8.31). Следовательно,
Re\<v,Ree (2.8.35)
и первое из уравнений (2.8.33) показывает, что
Lt> Lt> Ь Ь^2- (2-8-36>
Таким образом, число Рейнольдса турбулентности, как и
ожидалось, определяет диапазон масштабов для данного турбулентного
движения. Однако ясно, что для этих целей можно использовать Re0 и ReL-
Рекомендуемая литература
Основная литератур а [4, 5, 16, 20, 21, 22, 24, 30, 32, 33, 44,
47, 49, 55, 70, 104].
Специальная литература [41, 42, 56, 62, 67, 85].


§2.8]
Нормирование функций
101
УПРАЖНЕНИЯ
ZR
2.1. В некоторой точка вблизи стенки канала компоненты интенсивности турбулент-
1 - 4 _ 2 —
ности о ределяются как ~о~ u2/U2 =-тт- v2/U2 =-^ w2/U2 = Cf, где Cf — коэффициент
трения на стенке, U — локальная средняя скорость. Принимая /С1=/С2=1 в
уравнениях (2.1.4), оцепить погрешность в определении скорости с помощью датчика полного
и статического давлений для гладкой (с/=-0,003) и шероховатой (с/ = 0,01) стенок.
2.2. В стационарном потоке с помощью датчика полного и статического давлений
определяется величина /7(1 -f-Л cos2 в)1У2/( 1+Л)1/2, где Л — постоянная, U — скорость
потока, 6 — угол между осью трубки и направлением потока.
а) Показать, что [Uzi+u2-\-(v2+wz)/(\-\-А)]11г дает оценку показания датчика
в турбулентном потоке со средней скоростью Uh направление которой параллельно
оси датчика.
б) Каков будет результат, если указанные направления не совпадают?
2.3. При проведении опытов по изучению диффузии в турбулентной струе
используют индикаторы (красители): 1) в области турбулентной струи, 2) в сущности
нетурбулентной внешней области. В обоих случаях ока- 1
зывается, что концентрация красителя резко падает
на мгновенной границе струи. Почему?
2.4. Расстояния между передающей и двумя при- __^^-,
нимающими проволоками импульсного термоанемомет- У///////Х//Х
ра составляют 2 и 1,75 мм. Датчик помещается в тур- ^///у ''К' \
булентный след, и его ось параллельна направлению
невозмущенного потока. Мгновенные значения
скорости, полученные по рабочим циклам, записанным с
интервалом времени 10 мс (отрицательные значения
соответствуют поступающим на второй приемник), следую
щие: 1,6; 6,4; 4,7; 2,4; 5,5; 7,0; 10,2; 8,1; 8,3; 6,1; 7,9
2,3; 4,0; 3,8; 0,7; —0,6; 1,5; —0,2; —5,4; —3,0; —3,2
1,6; —0,6; 2,0; 5,1; 3,1; 3,9; 7,0; 9,0; 8,2; 9,8; 8,6; 3,9
1,5; 4,1; 5,1; 2,3; 0,2; —1,5; —5,0; —4,7; —2,5; —3,0
—3,1; 0,7; 0,9 м/с.
а) Каков общий характер движения? Какой
диапазон циклов следует использовать?
б) Оценить среднюю скорость, интенсивность и
относительную интенсивность турбулентности.
в) Чем бы отличались результаты, полученные
с помощью обычного проволочного тероанемометра?
(Помнить о поперечных пульсациях!) Предполагая, что сигналы с термоанемометра
снимаются в те же самые моменты времени, оценить по ним среднюю скорость,
интенсивность и относительную интенсивность турбулентности.
2.5. На рис. 2.7 показана схема системы измерения давления, в которой давление
на поверхности р передастся через небольшое отверстие к камере объемом V, где
датчик измеряет давление р\.
а) Предполагая, что изменение плотности составляет лишь малую долю от
среднего значения, показать, что массовый расход в камеру-связан с давлением в камере
соотношением
и
Рис. 2.7. Схема к
упражнениям 2.5 и 2.6.
/ — текущая жидкость; 2—
камера объемом V; 3 ■— площадь
сечения канала манометра А.
- т,
где m=pV\ K=(\/V)dV/dpi и k= (l /p)dp/dpi.
Что характеризуют члены с К и k? При каких условиях одним из них можно
пренебречь?
б) Принимая, что гидродинамическое сопротивление обусловлено потерями на
расширение, так что rh~pC[2(p—/?;)/p]1/2> показать, что время, необходимое для
повышения давления от значения р\ до постоянного значения на поверхности /?2, равно
[m(K+k)/C][2(p2-Pl)/P]^.
з) Принимая, что гидродинамическое сопротивление обусловлено ламинарным
трением, так что rh=r(p—pi), показать, что постоянная времени системы равна
г) Рассмотреть частный случай движения аза через круглую трубку (длина L,
радиус R) к жидкостному манометру (площадь отверстия канала Л, эффективная


102
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
плотность рт). Принимая процесс сжатия адиабатическим, показать, что постоянная
времени равна (8vL/jt/?4) (V/az+pA/pmg), где а —скорость звука в газе.
д) Какие дополнительные эффекты возникнут, если учесть инерцию движения
жидкости в манометре?
2.6. Помимо инерционности, рассмотренной в упражнении 2.5, которая
обусловлена гидродинамическим сопротивлением в соединительных трубках, системы измерения
давления испытывают инерционность, обусловленную конечным значением скорости
звука в передающей давление жидкости.
а) Пренебрегая эффектами, рассмотренными в упражнении 2.5, вывести формулу
для предельной частоты, которая может быть достаточно точно воспринята через
трубку с жидкостью длиной L; скорость звука в жидкости а.
б) Провести вычисления для воздуха и воды, принимая длину трубки равной
2 см. Возможны ли серьезные ограничения, связанные с таким источником
инерционности? При каких условиях эластичность стенки трубы будет существенным фактором?
2.7. а) Выразить коэффициенты турбулентного переноса в уравнениях (1.3.2) и
(1.6.3) через средние произведения (2.3.1), (2.3.2).
б) По аналогии записать соотношение между эффективным потоком массы и
коэффициентом турбулентного переноса массы, связанными с турбулентным смешением.
Каково соотношение, аналогичное уравнениям (2.3.1), (2.3.2)?
2.8. Согласно кинетической теории газов средняя длина пути свободного пробега
молекул для воздуха равна Х=(2-\0~5)Т/р, где |Х1=м, [Т]=К, [р]=Н/м2.
Определить, вызовут ли изменения давления в пределах р = 0,5^-2,0 кгс/см2 существенные
изменения числа Кнудсена для нагреваемых проволок термоанемометров диаметром
2,5 и 70 мкм.
2.9. а) В каком диапазоне скоростей справедливо первое из уравнений (2.4.2) для
нагреваемой проволоки диаметром 5 мкм, работающей в атмосферном воздухе? Как
влияет изменение давления на границы этого диапазона?
б) Оценить числа Re и Nu для проволоки диаметром 5 мкм, работающей при
250СС в атмосферном воздухе с температурой 20°С.
в) Почему закон теплообмена изменяется при Re = 44? При высоких скоростях
потока вихри, сходящие с нагреваемой проволоки, вносят ложные сигналы. При какой
скорости это могло бы начинаться для проволоки диаметром 5 мкм, работающей
в атмосферном воздухе, и для волоконного датчика с диаметром волокна 70 мкм,
работающего в воде?
2.10. Тарировка обычного проволочного термоанемометра, работающего при
постоянной температуре проволоки в равномерном воздушном потоке, дает следующие
результаты (табл. 2.2)
Таблица 2.2
U, м/с
V, В
2,85
6,95
5,55
7,5
9,15
8,0
13,8
8,45
19,05
8,9
21,6
9,05
24,6
9,3
28,29
9,4
а) Вывести для этой проволоки выражения вида V2 = A+BUn.
б) Какова чувствительность проволоки, когда она работает в условиях испытаний
при средней скорости потока (У = 21 м/с?
в) В течение серии опытов температура жидкости Г/ = 30°С (а не 20°С, при
которой проводилась тарировка). Однако проволока работает при тех же отношениях
Tw/Tf и Rw/Rf, что и полученные при тарировке. Построить модифицированную тари-
ровочную кривую и найти чувствительность прибора при (У = 21 м/с. Почему удобно
поддерживать отношение Tw/Tf постоянным?
2.11. Сопротивление вольфрама определяется формулой
^ = ^[1+а1(7-7о)+а2(Г-Г0)2],
где Ro — R (0°С), ai = 4XlO_3, a2 = 8XlO-7 и разность температур изменяется в
градусах Цельсия. Возможно ли, что нелинейность этой характеристики существенна для
нагреваемой проволоки, изготовленной из такого материала?
2.12. а) Показать, что тепловую инерцию нагреваемой проволоки можно учесть,
если прибавить к правой части уравнения (2.48) член CdRw/dt, где C = cwmw/a —
теплоемкость проволоки.
б) Показать, что постоянная времени проволоки равна M = RwC/Rf(A+BUn), где
Ru и U средние значения.


§2.8]
Нормирование функций
103
в) Как изменится постоянная времени при ©=1/М? Каков сдвиг фазы сигнала
в этом случае?
2.13. Рассмотрим две одинаковые косые проволоки, которые дают сигналы
s1 — а (и + v) = V 2аих\
s2 = а (и — v) — V2 аи2,
где и и v — продольная и поперечная компоненты скорости в плоскости проволок;
U\ и и2 — результирующие их проекций на направление под углом 45° к
направлению и.
а) Показать, что для изотропной турбулентности siS2 = 0, uv=0 и u2—s2i/2a2.
б) Показать, что в общем случае корреляция между и и v равна —к- (и2г —и22).
2.14. Величину u2v надлежит определить, используя сигнал от двух одинаковых
косых проволок, которые дают S\,z — ciudLbv. Какие статистические характеристики
величин S\ и s2 должны быть измерены и как их следует скомбинировать?
2.15. Результаты, полученные с помощью Х-образного датчика, очень
чувствительны к небольшим различиям между характеристиками проволок. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим пару проволок, которые одинаковы во всех отношениях, за
исключением их наклона к среднему движению. Выходные сигналы суть S\=au-\-bv и s2=
=au—rbv при г=—tg a2/tg (Хь
а) Вычислить и2, v2 и uv2 через s2b s22, sb s2 и /*.
б) Даны измерения вблизи стенки: s2i=l, s22=2 и SiS2=0,5. Найти и2, v2 и uv
при: 1) ai=—a2=45°, 2) <Xi=45°, a2=—40°.
в) Какая ошибка (в процентах) будет иметь место при определении и2, v2, uv и R,
если вместо фактических условий 2) использованы условия 1)?
2.16. Изобразить блок-схему для измерения: а) среднеквадратичного значения
производной (dv/dx)2; б) одноточечной корреляции скорости и температуры vQ; в) ко-
эффициента двойной корреляции скорости R\2(y)', г) автокорреляции p(t)p(t-\-x)'y
д) микромасштаба Хх; е) частотного спектра £i2(cd); ж) спектра по волновым
числам du/dt.
1 2.17. Указать различие между точными значениями терминов «случайный» и
«некоррелированный». Каков смысл первого термина в повседневном лексиконе?
2.18. Вредный шум из сигнала иногда можно исключить, используя отсутствие
корреляции между ними.
а) Показать, что если каждый из двух сигналов Sr-)-Si и S2-f-S2 содержит
составляющие шума (sb s2) не коррелированные с 5] и 52, то (Si-fS])2=S2i+s2i и (Sr-|-S2)X
б) Обычный проволочный термоанемометр, помещенный в соответствующий канал,
воспринимает не только локальную турбулентность, но и движения жидкости,
связанные с интенсивными плоскими звуковыми волнами, распространяющимися вдоль
канала. Объяснить, как можно определить и2 для локальной турбулентности, анализируя
сигналы от двух одинаковых нагреваемых проволок, расположенных в канале рядом
(но на некотором расстоянии одна от другой).
.в) Объяснить, как можно определить величину сигналов, связанных с
электронным шумом или вибрацией датчика, анализируя сигналы от двух одинаковых
нагреваемых проволок, расположенных в потоке близко одна от другой.
2.19. Найти коэффициент корреляции, связывающий пульсации сигналов,
приведенных в табл. 1.3. __
2.20. Используя данные, приведенные в табл. 1.2, и принимая т/р=—uv:
а) Найти изменение коэффициента корреляции между и и v по толщине следа.
б) Определить его значение в полностью турбулентной области,
мы Efq2L=f{kL, UM/V)?
2.21. а) Найти автокорреляционную функцию величин sin {at) и e~at.
б) Автокорреляционная кривая имеет форму ехр(—т2/Т2). Показать, что
соответствующий интегральный временной масштаб равен (Vn/2)T,
2.22. Будет ли двойная корреляция (второго порядка) обязательно тензором
второго ранга? Какова связь между ними?
2.23. В табл. 2.3 приведены коэффициенты поперечной корреляции пульсаций
:,. возникающих в потоке за решеткой с ячейками 76,2X76,2 мм, скорость потока (/==
=4.57 м/с.


104
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
Таблица 2.3
у, мм
ДпЫ
#, ММ
#11 U/)
0,889
0,981
13,259
0,37
1,27
0,962
25,4
0,18
1,778
0,928
50,8
0,036
2,756
0,851
76,2
—0,022
5,004
0,716
101,6
—0,026
155,4
—0,015
7,214
0,565
203,2
0,00
поп
нос
И II
г о и
про
но к
а) Нсиги Lx и Хх по корреляционной кривой. Чему равен диссипативный времен-
масштао т„> Как изменится турбулентный перенос, если интенсивность турбулент-
гп уменьшится вдвое? Как это связано с гипотезой Тэйлора?
б) Построить графики:
1) #=(1—J/Д.*) exp (—y/Lx);
2) /?=(1-^/А.2,)ехр(-р«ДЧ
а нести на них экспериментальные результаты. Следует ли отсюда какой-либо дру-
способ нахождения Lx и A,*? KJ
2.24. Исходя из условия неразрывности, объяснить, почему Rar отрицательно при
межуточных значениях г, a Rab положительно всюду? Схема получения корреляций
иапа на рис. 2.4,2. "
П?М)
*>пМ
х/<?0 1
У Но 1
Рис. 2.8. График к упражнению 2.26. Масштаб б0~0,7б, где б —суммарная толщина
пограничного слоя.
2.25. Рассмотрим весьма частный случай изотропной турбулентности.
а) Какие значения принимают в каждой точке девять коэффициентов двойной
корреляции скорости R,j(0)?
б) Показать, что Qii(r2)=Q22(n) = Q33(ri)==Qii,(r3).
в)> Показать, что продольная и поперечная корреляция суть единственные
различные функции, требуемые для определения 27 корреляционных функций Qn(rk).
2.26. На рис. 2.8 представлены коэффициенты модифицированной
пространственной корреляции Ri]=iLi{Xp)U](xp-{-r)IUi(xp)Ui(xp), основанные на экспериментальных
данных Гранта для пограничного слоя; сплошные кривые соответствуют #/6—0,035,
штриховые соответствуют #/6^0,45. Какое заключение о турбулентности в
пограничном слое следует из этих результатов?
2.27. Зависимость (2.6.22) справедлива только при условии, что R(r) симметрично
вблизи г=0. Почему? Возможно ли выполнение этого условия?
2.28. а) Используя гипотезу Тэйлора, показать, что интегральный масштаб и
микромасштаб связаны соотношениями LX=UTE и Ах = ~ТГ^-
б) Показать, что диссипативный временной масштаб и микромасштаб времени
синзаны соотношением 20vi:d=Uh2E.


§2.8]
Нормирование функций
105
в) Найти Хе и %& для данных, представленных в табл. 2.3.
2.29. а) Объяснить, как посредством временных корреляций между сигналом
в одной точке и сигналами в нескольких точках, лежащих вниз по течению, можно
определить эффективную скорость переноса некоторой характеристики турбулентности?
б) Предположим, что эта процедура применяется к сигналам от датчика
давления, установленного на стенке, на которой формируется турбулентный пограничный
слой, и что сигналы пропускаются сначала через идентичные полосовые фильтры.
Какие изменения скорости переноса и корреляции можно ожидать при изменении
полосы частот?
2.30. а) Показать, что интенсивность затухающей турбулентности за решеткой
d{U/u'Y ' D_9
определяется выражением , .„ , , ■ = 10 Ке} ~.
б) Найти закон затухания для Re> = const: этот результат должен
соответствовать начальному промежутку затухания приближенно при х/М<200, где М — размер
ячейки.
2.31. Показать, что нормированная плотность частотного спектра связана с
интегральным временным масштабом сигнала соотношением Ф(0) = (2/л)Те- • -
2.32. Обобщить уравнения (2.7.8) и найти зависимости Qij(x) и Ец(со).
2.33. Какие части временных и пространственных корреляций, а также частотного
спектра и спектра по волновым числам соответствуют малым и большим «вихрям»?
2.34. Применительно к турбулентности в трубе и в атмосфере (см. обсуждение
рис. 2.5,6) указать, какие линейные масштабы соответствуют максимуму
энергетического и диссипативного спектров?
2.35. а) Найти спектр по волновым числам, соответствующий:
1) Rn(x)=exp (—xlU)\
2) Rn(x)=exp (~x2/Vx).
Эти продольные корреляции соответствуют (для изотропной турбулентности)
поперечным корреляциям в упражнении 2.23,6.
б) Для каких участков спектра по волновым числам эти результаты скорее всего
будут значимыми?
2.36. а) Используя первое из уравнений (2.7.12), показать, что
1 (г) = \ (фг cos kr — ф; sin kr) dk.
Почему отсутствует вклад мнимой части?
б) Показать, что вещественная часть спектра дает вклад в одноточечную
корреляцию R(Q).
в)1 Найти Фг и Ф, из второго уравнения (2.7.12).
2.37. Одномерный и трехмерный спектры, полученные для одного и того же
сигнала, весьма заметно отличаются при низких волновых числах, но при высоких
волновых числах почти идентичны. Почему?
2.38. а) Используя сферические (полярные) координаты, показать, что уравнение
(2.7.14) можно записать в виде
оо 2% ъ
~s^s2 = | dk Г йф \ dbF (k)k2 sin 9 exp (ikr cos 8).
6 6d
б) Для частного случая изотропной турбулентности F(к) =/(&). Проинтегрировать
по сфере и показать, что
оо
JJ2 = 4iz ^ k2 ^j^P (k) dk.
6
в) Показать, что соотношение E(k)=6jik2Eu(k) связывает спектральную плотность
с одной из компонент спектрального тензора. При изотропной турбулентности £ц(к) =
= f(k). Почему необходимо, следуя обозначениям табл. 2.1 (2.7.20), сохранять
векторный аргумент?
г) Используя соотношение (2.7.20), найти зависимость между £ц(к) и £ц(£). ,


106
Эксперименты и их анализ
[Гл. 2
2.39. а) Показать, что Еп (0) /и2= (2/я) Lx. б) Получить результат
оо
da \
dx J
-Jw„
(k) dk,
примениз:
1) уравнения (2.6.22), (2.6.23), (2.6.57);
2) гипотезу Тэйлора к формуле (2.7.7).
2.40. Частотный анализ пульсаций и в турбулентном потоке за решеткой дает
следующие результаты [скорость конвекции U=\5 м/с, Фп(©)=£и(о)) /и2 табл. 2.4].
Таблица 2.4
to, Гц
1000фП1 с
(о, Гц
1000фп, с
1
6,5
1,5
8,8
3
6,6
5
7,9
10
6,8
15
9,2
30
8,1
100 150 300 500 1000 1500
2,
8 1
,71 0,64 0
,21 0,
042 0,0135
50
5,0
а) Изобразить графически эти результаты в виде спектра по волновым числам
в логарифмических координатах.
б) Сопоставить данные таблицы 2.4 с формулой Ф (&) = (2/л) Lx/ (1+&2L2X), чтобы
найти интегральный масштаб и сравнить графически эту формулу с
экспериментальными результатами. Данный спектр по волновым числам соответствует корреляции 1
в упражнении 2.35,а.
в) Найти автокорреляцию и продольную корреляцию.
г) Найти нормированную спектральную плотность E{k)/u2 в предположении
изотропной турбулентности.
д) Найти 'компоненту £ц(к), используя результат упражнения 2.38,в.
2.41. а) Почему гипотеза Тэйлора менее точна для неоднородной турбулентности
с высокой интенсивностью?
б) Автокорреляционная функция и частотный спектр преобразуются в
пространственную корреляцию и в спектр по волновым числам с помощью гипотезы Тэйлора.
Какие участки результирующих кривых скорее всего ошибочны?
в) Как гипотезу Тэйлора можно проверить экспериментально?
2.42. Можно предположить, что спектральная плотность для затухающей
турбулентности за решеткой зависит от определяющих течение параметров следующим
образом:
E(k, t)^U, М, k, /, v,
где М — размер ячейки решетки.
а) Показать, что E/U2M=f(kM, UM/v, Ut/M).
б) Вывести аналогичные выражения для кинетической энергии турбулентности
1/2<72 и интегрального масштаба L.
в) Какое дополнительное ограничение вносит использование автомодельной
формы E/q*L=f(kL, UM/v)?
2.43. а) Почему спектр величины du/dt не обнаруживает подобия по числу Рей-
нольдса?
б) Каково значение числа Рейнольдса usl8/v, характеризующего наименьшие
масштабы турбулентности? Что это означает?
2.44. а) Показать, что для изотропной турбулентности из соотношения E{k)<^>kn
следует также, что E\\(k)^kn.
б) Какова форма трехмерного спектра диссипации .в области, где £ц(&)^-&п?
в) Какое значение соответствующей постоянной следует ожидать при больших
турбулентных числах Рейнольдса, если Eu(k) имеет вид (2.8.23) в инерционной
подобласти? Какова форма соответствующего частотного спектра? Показать, что эти
результаты можно использовать для нахождения скорости диссипации по данным
измерений одной характеристики турбулентности. -ы
2.45. На стенке канала квадратного сечения при двух значениях средней скорости
(/1==5 м/с и (72=10 м/с измерены пульсации давления под областью {возвратного
течения за уступом высотой /i=0,l м на одной стенке канала. Спектральные плотности
для двух наборов пульсаций даны ниже в табл. 2.5. л-?;.


§ 2.8]
Нормирование функций
107
Таблица 2.5
<0,
&х
Е2
Гц
, (Н/м2)*.с
, (Н/м2)2-с
2,5
18,000
220,000
5
22,000
325,000
10
6300
225,000
25
1200
24,000
50
63
3250
100
6,3
450
200
0,84
27,5
400
0,078
2,0
а) Привести эти результаты в безразмерной форме на основании использования
инерционного подобия. Представить результаты графически в логарифмическом
масштабе и прокомментировать связь данных.
б) Чему равно число Струхаля для такого нестационарного течения? Имеет ли
оно то значение, которого следовало бы ожидать?
в) Показать, что в инерционной подобласти £Р((о)^-а)~1/3 (используя
соответствующий спектр по волновым числам). Какой степенной закон следует из анализа
экспериментальных данных?
2.46. Показать, что LQ/\X
Re!/2
cq- -^ Re^. Как изменяется различие между масш ■
табами L0, Lx, kx и la при росте числа Рейнольдса?
2.47. Средняя длина пути свободного пробега молекул в газе согласно
кинетической теории газов равна А,= 1,57/а, где а — скорость звука.
а) Показать, что отсюда следует Х/1в=\,Би8/а.
б) Показать также, что X/ls ~ MQ Re^j"1/4, M0 = U0/a — число Маха среднего
движения. При каких условиях средняя длина пути свободного пробега сравнима с
наименьшими масштабами турбулентности?
2.48. а) Учитывая, что уравнение (2.8.29) можно записать в виде
дать физическую интерпретацию этих результатов, если u'^U0 и Lx<^Lq.
б) Подставить масштаб (2.8.29) в уравнения (2.8.21), (2.8.22) и записать их
в размерной форме.
2.49. а) Показать, что при условиях (2.8.30), (2.8.31) различные числа
Рейнольдса, характеризующие турбулентность, связаны соотношениями Re0==0,64ReL= 6,8 Re2^.
Заметим, что Res=l во всех случаях.
б) Показать также, что различные линейные масштабы связаны соотношениями
( ^х \2 Lx
0,26 1-у—I =9,4-т—= Re^. Заметим, что здесь принято L0/Ls^=8.
в) Найти ReL, Rex, XX/LQ и ls/L0 при Re0 = 10s и Re0 = 105.
г) Принимая L0=20 и Reo=105, оценить значения волновых чисел, указанных на
рис. 2.6.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ. I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
3 этой и последующих двух главах рассматриваются главным
образом течения в каналах постоянного сечения, весьма важных в
прикладном отношении. Так, в теплообменниках требуемая поверхность
раздела между двумя жидкими теплоносителями обеспечивается путем
прокачки одной жидкости через длинную трубу, окруженную доугой
жидкостью. Другим примером может служить ирригационный канал,,
который с целью упрощения его конструкции и эксплуатации
выполняют с одинаковым сечением на большом протяжении и изменяют в нем
сечение только там, где это необходимо.
Течения в каналах постоянного сечения важны и потому, что -в
некотором отношении они представляют собой наиболее простые турбу-


108
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
лентные движения. За участком развития во всех последующих
сечениях канала характеристики среднего течения и турбулентность
остаются одинаковыми; говорят, что течение становится полностью
развитым. Мы увидим, что законы сохранения, которым подчиняется
движение, существенно упрощаются, если течение статистически равномерно
по одному направлению. Более того, поскольку во всем канале будет
вполне развитая турбулентность, то нет необходимости рассматривать
механизм ее распространения в область, занятую нетурбулентной
жидкостью. Однако эти указанные упрощения в значительной мере
сводятся на нет сложностью явлений .в пристеночном слое, т. е. в области,
прилегающей к стенкам канала, где скорость течения и характер
турбулентности быстро изменяются.
Большая часть приведенных в этой главе результатов относится
к полностью развитым течениям двух видов:
1) плоскопараллельное течение, когда U=f(y), например течение
в центральной части очень широкого русла с плоским дном;
2) осесиммет ричное параллельное течение, когда U=f(r), например
течение в круглой трубе или кольцевом канале. Вместе с тем некоторое
внимание будет уделено более широкому классу течений, частными
случаями которых являются указанные выше;
3) плоское (или двумерное) течение, когда U, V=f(x, у), например
течение на входе в широкий канал или в плоском следе;
4) осесимметричное течение без закрутки, когда U, V=f(xf r),
например течение на входе в круглую трубу или в круглой струе.
Эти более общие результаты будут использованы в гл. 6 при выводе
уравнений, описывающих развивающиеся течения.
В гл. 4 и 5 будут исследованы два класса практических задач:
расчет трения и переноса тепла и массы. В настоящей главе мы рассмотрим
основы этих исследований:
1) использование экспериментальных результатов для общего
построения картины турбулентности в течениях в каналах и пристеночных
слоях;
2) разработка методов описания турбулентного переноса массы,
импульса и энергии;
3) вывод законоз сохранения массы, импульса, механической и
тепловой энергии;
4) введение некоторых простых теоретических моделей, которые
используются для описания турбулентности — турбулентного переноса,
рейнольдсова (турбулентного) потока массы и длины пути смешения.
Эти простые модели используются почти во всех главах этой книги;
однако в гл. 9 будет рассмотрен более реалистический подход к
проблеме описания процессов турбулентного переноса.
3.1. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ТЕЧЕНИЙ В КАНАЛАХ
Для исследования течений в каналах проанализируем некоторые
экспериментальные результаты, относящиеся к важнейшему течению
этого класса— течению в круглой трубе. Но предварительно
рассмотрим общие особенности турбулентности вблизи неподвижной стенки.
Влияние стенки на течение жидкости вызывает противоположные
эффекты. Условие уменьшения тангенциальной скорости до нуля
совместно с действием турбулентности дает очень большой градиент скорости.
Это приводит к значительной диссипации, обусловленной непосредствен-


§ 3.1J
Турбулентность течений в каналах.
109
но градиентом скорости, и дальнейшей
диссипации, обусловленной порождением
турбулентности. Однако требование нулевой
скорости на стенке вызывает
противоположный эффект: из-за подавления
турбулентности в непосредственной окрестности
поверхности ограничивается перенос
энергии от среднего движения.
Вследствие этих смешанных эффектов
стенки структура турбулентности
существенно изменяется поперек канала.
Наиболее быстрые изменения имеют место
в непосредственной окрестности у стенки:
интенсивность достигает максимального
.значения и затем уменьшается, а
интегральные масштабы длины возрастают линейно
с расстоянием от стенки, хотя они и
ограничены сверху размером канала или
толщиной пограничного слоя. Такой характер
изменения масштабов обнаруживают
результаты для пограничного слоя,
приведенные на рис. 2.8.
График профиля скорости на рис. 3.1 позволяет выявить
несколько областей, на которые можно разделить течение в канале. В
рассматриваемом частном случае течения в круглой трубе основные изменения
происходят в области, занимающей 15% радиуса трубы. Размер
области, непосредственно прилегающей к стенке, дан в увеличенном
масштабе. В действительности толщина областей I и II составляет лишь очень
малую часть радиуса; например, #4//?с*0,001 и y2/R^0,0l при Red—
=105. Несмотря на малую толщину, эти внутренние слои оказывают
влияние на весь поток, так как значительная доля изменения скорости
происходит именно в этих слоях. Стенка трубы на рис. 3.1 схематически
изображена плоской; в действительности же поверхность стенки имеет
неровности, высота которых сравнима с толщиной внутренних слоев.
Рассмотрим последовательно области, указанные на рис. 3-1.
I. Вязкий подслой. Здесь турбулентное напряжение — puv в
уравнении (2.3.1)—пренебрежимо мало, так как и~0. Изменение
средней скорости определяется коэффициентом молекулярной вязкости и
•оно практически линейно, как и в ламинарном потоке. Эту область
также называют линейным или ламинарным подслоем. Последний
термин неверен, так как здесь составляющие и и w остаются
существенными; фактически относительная интенсивность и'/U
достигает здесь своего максимума.
II. Промежуточный (буферный) слой. В этой области вязкие и
турбулентные напряжения сравнимы по величине. Этот слой иногда
называют переходной областью (что довольно хорошо соответствует его
функции); однако такой термин может ошибочно ассоциироваться
с истинным переходом ламинарного режима в турбулентный.
III. Полностью турбулентный слой. В этом слое течение еще
определяется эффектом стенки, однако турбулентность развита уже в такой
степени, что вязкими напряжениями можно пренебречь; Ниже будет
показано, что изменение средней скорости в этой области практически
Рис. 3.1. Изменение средней
скорости у гладкой стенки
трубы, иллюстрирующее
пристеночный слой и его области.
Масштаб областей вблизи
стенки увеличен.
/ — вязкий подслой; // — буферный
слой; /// — полностью
турбулентный слой; IV — ядро течения; А —
пристеночный слой; В — вязкий
слой; С — полностью турбулентное


по
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
следует логарифмическому закону; поэтому эту область часто называют
логарифмическим слоем.
IV. Турбулентное ядро. В развитом течении эта область полностью
турбулентна; однако в отличие от логарифмического слоя течение здесь
определяется влиянием всего периметра трубы.
Эти четыре области можно объединить различным образом.
Области I и II составляют вязкий слой, т. е. область, в которой вязкость
играет значительную роль в возникновении трения и в подводе энергии
из осредненного движения. Вязкий слой такого вида существует только
тогда, когда выступы шероховатости стенки малы по "сравнению с
толщиной слоя; фактически это описание верно в том случае, если выступы
шероховатости не проникают в промежуточный слой. Области /// и IV
образуют область полностью турбулентного течения. Здесь наибольшие
масштабы движения не зависят от .вязкости; они связаны с
возникновением трения и порождением турбулентности, но не диссипации,
которая связана с наименьшими масштабами.
Области /, // и /// образуют пристеночный слой, структура которого
почти одинакова для течений в трубах и каналах, развивающихся
пограничных слоях и пристеночных струях. В каждом случае подвод
энергии можно определить, используя касательное напряжение на стенке.
Так как касательное напряжение обычно слабо изменяется по толщине
пристенного слоя, его часто называют слоем постоянного напряжения.
Многие элементарные результаты для течения в окрестности стенки
получены при упрощающем предположении постоянного касательного
напряжения поперек потока. В § 3.5 и 5.5 мы рассмотрим пристеночные
слои, в которых касательное напряжение изменяется значительно.
С учетом указанной расширенной интерпретации пристеночного слоя
мы должны обобщить понятие ядра течения. Для пограничного
слоя или пристеночной струи больше подходит термин внешний
турбулентный слой со сдвигом; здесь турбулентное движение определяется
пристеночным слоем и имеет много общего с внешней частью следа или
струи. За внешним слоем со сдвигом находится собственно внешнее
течение (в основном не зависящее от пристеночного течения и в
некоторых случаях по существу безвихревое), в которое распространяется
турбулентность.
Вследствие существенного изменения определяющих факторов
структура ядра (или внешнего течения), как и следовало ожидать,
будет различной для разных течений, о чем свидетельствует табл. 1.1.
Однако три часто встречающихся течения (в трубе, плоском канале и
в пограничном слое) имеют одну общую важную особенность:
изменение скорости в ядре (или внешнем течении) мало. Следовательно,
достаточно точный расчет трения и скоростей переноса можно
осуществить и при использовании довольно грубой модели для течения вне
пристеночного слоя.
После установления некоторых предполагаемых особенностей
течения обратимся к экспериментальным результатам, основанным на
измерениях Лауфера. Рисунок 3.2 показывает, как изменяется средняя
скорость течения U и пульсационные составляющие и\ vr и wr от
стенки до оси трубы. Центральная часть трубы и тонкий пристеночный слой
рассматриваются отдельно. Для пристеночного слоя скорости отнесены
к максимальной скорости в центре трубы Uc. Для представленных
данных на рис. 3.2,6, где #//?<0,01, использованы не столь очевидные мае-


§ 3.1]
Турбулентность течений в каналах
111
штабы координат. Можно утверждать, что течение здесь определяется
касательным напряжением на стенке xw, вязкостью \х и плотностью р.
Из этих величин можно образовать следующие масштабы скорости и
длины:
щ
(3.1.1)
Первый из них называется динамической скоростью (или иногда
скоростью сдвига) и в физическом смысле он служит мерой
касательного напряжения на стенке. Если предположение о том, что xw, \x и р
определяют течение в пристеночном слое, является правильным, то
r*iluf
Рис. 3.2. Изменение компонент интенсивности турбулентности и средней скорости для
течения в трубе по измерениям Лауфера при Red = 5-105.
а — область полностью турбулентного течения; б — вязкий и пристеночный слои.
с помощью указанных масштабов соответствующие профили можно
представить так, что они будут иметь одинаковую форму для всех
пристеночных слоев. Отметим, что г// уменьшается по мере увеличения
касательного напряжения; поэтому вязкий слой становится тоньше с
увеличением скорости течения и касательного напряжения на стенке.
Из рис. 3.2 следует, что интенсивность и' в осевом направлении
наибольшая. Максимального значения она достигает вблизи стенки при
yjyf~\5, т. е. заведомо в пределах вязкого слоя. Изменение
относительной интенсивности еще более примечательно: в подслое она
достигает максимального и постоянного значения и'/£/^30%, поэтому
название «ламинарный» для подслоя нельзя считать удачным. Интенсивность
в радиальном направлении v' наименьшая и быстро падает у стенки.
Только в центральной части трубы (r/R<lj3) компоненты
интенсивности достаточно близки по своему значению. Эти данные показывают,
что надежда на использование аналитических результатов, основанных
на изотропии или однородности турбулентности, для описания
крупномасштабной турбулентности в каналах весьма слаба. Тем не менее
представляется возможным предположить, что турбулентность наименьших
масштабов все же может быть приближенно изотропной.
На рис. 3.3 представлены данные о турбулентном касательном
напряжении и турбулентной вязкости турбулентного течения в трубе.
Напряжение, обусловленное турбулентным перемешиванием, определяется


112
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
уравнением (2.3.1): Tt——puv. В полностью развитом течении в трубе
т изменяется линейно (как будет показано ниже); это дает возможность
эффективной проверки методов измерений и указывает путь для
тарировки анемоментров с косым расположением нитей. Изменение в
пределах тонкого вязкого слоя составляет лишь несколько процентов, и на
внешней границе этого слоя т* —т™. Связь коэффициента турбулентной
вязкости с распределениями касательного напряжения скорости
выражается уравнениями (1.3.2) и (2.3.1): гт=—uv/ (dU/dy). В частности,
отметим быстрое возрастание отношения em/v в вязком слое,
продолжающееся линейное возрастание этого отношения в пристеночном слое
и сохранение практически постоянного значения в турбулентном ядре.
О, 05 1,0 р Zr/zw=-u v/u.p
0,2 Ofi 0Л6 0,8 1,0
ylR a)
го tfO во so to-'
у tor 6)
Рис. 3.3. Изменение поперек трубы турбулентного касательного напряжения т* =
и соответствующей турбулентной вязкости ет.
а — область полностью турбулентного течения; б — вязкий и пристеночный слон.
-puv
Эти результаты указывают на конструктивный способ определения
границ подслоя и полностью вязкого слоя. Примем, что граница подслоя
будет определяться как
ytlyf=S, где т*/т„«10%, (3.1.2а)
а граница вязкого слоя как
у21у<=30, где т*/т„^90%. (3.1.26)
Соответствующие значения средней скорости равны:
Uiluf=5 и £/2/И/=13. (3.1.3)
Для изменения скорости, показанного на рис. 3.2 (Red=5Xl05,
гладкая стенка), эти границы соответствуют значениям
[/1/[/с«18% и U2/Uc~47%y (3.1.4)
причем yf/R~ 10~+. Таким образом, средняя скорость на расстоянии
0,3% радиуса трубы возрастает почти до половины максимального
значения, а интенсивность турбулентности и' достигает максимального
значения почти посредине этого тонкого слоя. Относительно низкие
значения эффективного коэффициента вязкости em+v в вязком слое (см.
рис. 3.3) согласуются с очень быстрым изменением скорости в этом
слое.


§ 3.2]
Процессы переноса
Построенная нами картина пристеночной турбулентности вполне
приемлема на настоящем этапе. В § 4.1 мы снова рассмотрим
пристеночный слой и получим полуэмпирические формулы, которые
описывают многие характеристики, отмеченные в указанных выше
экспериментальных результатах. В данной же главе нам нужна лишь
принципиальная модель турбулентности в каналах, которая поможет нам
разработать аналитические методы описания турбулентности.
3.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
3.2.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Данные измерений течения в трубе, представленные на рис. 3.2 и
3.3, показывают, что хотя эффекты турбулентности доминируют в
большей части потока, молекулярная диффузия является важной вблизи
стенки и оказывает косвенное влияние на все среднее течение.
Молекулярная диффузия также играет существенную роль в диссипации
и процессах переноса, имеющих место
в мелкомасштабной турбулентности.
Кроме того, другим фактором, учет
которого необходим при анализе
процессов переноса в турбулентных потоках,
является конвективный перенос осреднен-
ным по времени движением жидкости.
Рассмотрим элементарную плоскую
площадку с единичной площадью,
остающуюся неподвижной в статистически
стационарном турбулентном потоке.
Обозначим мгновенную величину
рассматриваемой характеристики (на единицу
массы жидкости) через S-j-s, а
переменный поток этой характеристики (на
единицу площади в единицу времени)
через элементарную площадку—■ через / + /. Мгновенную компоненту
скорости в направлении у, нормальном к плоскости площадки,
обозначим V+v, как показано на рис. 3.4. Плотность жидкости, которая
принимается постоянной, обозначим через р, а коэффициент молекулярного
переноса характеристики S обозначим через К (размерность его —
площадь на время). В принятых обозначениях мгновенный поток
величины 5
/ + / = - pKd-^±^ + p(S + s)(V + v)
равен сумме конвективного потока и потока градиентной диффузии
аналогично законам Фурье и Фика (1.6.2), (1.6.4).
Осредненный ino времени поток величины 5 будет равен:
/=_P/cg-4-p^ + p^- (3-2Л>
При этом предполагается, что значение К имеет локально
постоянное значение, т. е. не подвержено существенным флуктуациям. Этот
результат показывает, что суммарный поток является следствием:
1) ^молекулярной диффузии, обусловленной градиентом средней
концентрации;
8—56
vy+v
Рис. 3.4. Схема элементарной
площадки, рассматриваемой при
анализе механизмов переноса,
показывающая координатные оси,
компоненты пульсационной скорости
и поток /+/ в положительном
направлении у.


114
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
2) среднемассовой конвекции, -связанной со средней концентрацией
и средней скоростью по нормали к рассматриваемой площадке;
3) среднего переноса, обусловленного турбулентным
перемешиванием, который зависит от степени корреляции величин 5 и v и от их
интенсивности.
Это последняя составляющая формально может быть представлена
в виде диффузионного слагаемого при помощи введения коэффициента
турбулентного переноса:
^=-s*f-- <3-2-2a>
Такое представление уже было реализовано в уравнениях (1.3.2)
и (1.6.3) и (1.6.5), в которых использовался коэффициент
турбулентной вязкости и коэффициенты турбулентного переноса тепла и массы.
Эффект турбулентного перемешивания можно представить и другим
способом — посредством эффективной скорости поперечного переноса Vs
или эффективным потоком массы (или потоком Рейнольдса) Gs:
^=P1/S5 = G5A5, (3.2.26)
где AS— изменение 5 на каком-то конечном интервале Ау. Пригодность
преобразований (3.2.2) зависит от того, можно ли действительно
определить гипотетические величины es, V89 Gs. Этот вопрос будет
рассмотрен нами в § 3.4.
Зависимость (3.2.1) можно использовать для представления потока
данной характеристики в любом направлении в турбулентном течении,
если ввести соответствующие компоненты скорости. При рассмотрении
полностью развитого течения в каналах постоянного сечения два
направления представляют интерес: по нормали к стенкам канала и его
оси и параллельно им. Последнее будет принято в качестве
направления оси х. Кроме того, мы считаем среднее течение везде параллельным
стенкам канала, так что Vee=H7==0. Ниже будет показано, что
турбулентные течения могут быть строго параллельными (в среднем) только
в каналах, поперечные сечения которых осесимметричны, т. е. в круглых
трубах и каналах кольцевого сечения. Однако можно получить
приемлемое приближение параллельного течения в центральной части очень
широкого плоского канала, который можно рассматривать как часть
канала кольцевого сечения, внутренний и внешний радиусы которого
практически равны.
Для того чтобы представить осевую и радиальную составляющие
потока в самой простой из возможных форм, необходимо, чтобы
изменение среднего значения 5 было:
1) одинаковым в каждом поперечном сечении канала;
2) по крайней мере, линейным вдоль канала.
Таким образом, среднее значение 5 может равномерно изменяться
вдоль канала (аналогично тому, как изменяется давление вдоль канала
при равномерном трении на стенке или температура при равномерном
подводе тепла) или оставаться 'Постоянной (аналогично тому, как
остается постоянной средняя по врехМени кинетическая энергия). Такое
полностью развитое параллельное течение с линейным изменением средних
характеристик вдоль канала (если только они вообще изменяются) мы
будем называть линейно-изменяющимся течением. Оно определяется
следующими условиями:


§ 3.2J
Процессы переноса
115
для среднего течения
V=W=Q, U=f{y) или/(г);
для величин, зависящих от турбулентных пульсаций,
uz, uv и т. л.=[(у) или /(г);
dS
S = Si(y)-\r—(x — xl)9
где для всего течения
dS
дх
:COnSl
(3.2.3а)
(3.2.36)
(3.2.4а)
(3.2.46)
для таких характеристик, как средние давление, температура и
концентрация. Индекс i обозначает некоторое эффективное начало.
В линейно-изменяющемся течении осевая (или по направлению
течения) компонента потока имеет упрощенный вид
.dS
Jx = -pKu£- + pSU+9su=9SU + f(y),
дх
(3.2.5)
который основан на следующих рассуждениях:
1) изменение К можно считать малым; во всяком случае,
молекулярный перенос вдоль течения обычно пренебрежимо мал по сравнению
с остальными членами;
2) пульсации 5 статистически независимы от среднего значения 5
и определяются пульсациями скорости и градиентами dSjdx и dS/dy,
которые не зависят от х, поэтому su=f(y).
Из рассуждений вытекает, что поперечная (к направлению течения)
составляющая потока имеет следующий упрощенный вид:
.dS
или
1у = -9Кщ-+930 = *М
Jr = -9K~ + pSv^=f(r).
Интерпретация общего поперечного потока (3.2.6)
(3.2.6)
Таблица 3.1
Вид по/ока (и уравнение)
Масса (3.2.7)
Поперечная скорость-*
Давление (3.2.8)
Продольная скорость-*
Касательное напряжение
(3.2.10)
Давление-> Работа (3.2.13)
Кинетическая энергия
турбулентности (3.2.14)
Внутренняя энергия (3.2.15)
Энтальпия (3.2.16)
Символ
7
Jy
N
—Р
—х
К
' h
Че
%
Величина на
единицу массы
5
С/р
—
и
—
\?
Е
Н
Пульсационная
компонента
5
с/9
V
а
Р
1
-2(q2-q2)
е = cvQ
h= срЬ
Коэффициент
переноса
К
D
0
V
0
V
Ь/9С0
К = k/fCp


116
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
Именно эта составляющая и представляет главный интерес, так
как она определяет перенос между стенкой и основной массой
жидкости. В табл. 3.1 в общих чертах намечены различные пути, с помощью
которых эта составляющая 'потока будет интерпретирована -в
последующих разделах.
3.2.2. МАССОПЕРЕНОС
Преобразуем общее выражение для компоненты потока (3.2.1)
путем введения символов, использованных для описания массопереноса
в уравнениях (1.6.4) и (1.6.5). Эти изменения указаны в первой строке
табл. 3.1:
J-+N — поток массы (масса* субстанции, переносимая через
единицу площади в единицу времени); pS-^-C — концентрация массы (масса1
субстанции на единицу объема);
K-+D — коэффициент переноса массы субстанции в конкретно
рассматриваемой жидкости (площадь на время).
Таким образом, результирующий поток массы определяется
выражением
N = -Dd^- + VC + w. (3.2.7)
Заметим, что коэффициент переноса D может существенно
зависеть от концентрации С и что характеристики среднего движения и
турбулен1кости будут изменяться, когда концентрация С достаточно
велика.
Вклад среднего движения CV будет иметь конечную .величину, если
поток определяется по одному из следующих направлений:
1) любому, кроме по нормали к стенке, направлению в
параллельном потоке, как в уравнении (3.2.5);
2) по нормали к стенке в развивающемся плоском потоке, где £/,
V=f(x, у);
3) по нормали к стенке в полностью развитом, но непараллельном
течении в канале, где U, V, W=f(y, z)\
4) по нормали к сгенке, когда скорость подвода примеси или
основной жидкости значительна; слабое поперечное течение может играть
важную роль в вязком слое, даже если оно несущественно для внешнего
течения.
Паровой конденсатор представляет интересный пример
взаимодействия различных механизмов переноса. Пар неизбежно содержит
небольшое количество остаточных неконденсирующихся газов, обычно
воздуха. Они переносятся паром (СУ) к поверхности конденсации, и
при установившемся процессе этот поток уравновешивается
противоположно направленной диффузией (cv—DdCjdy), дополненной
конвекцией среднего течения (CU). Около поверхности остаточные газы
образу ют оболочку, через которую должен происходить перенос водяного
пара. Так как молекулярная диффузия очень мала, для обеспечения
эффективной работы конденсатора необходимо, чтобы эти газы удалялись
с поверхности в результате совместного действия турбулентного
смешения (cv) и конвективного течения, параллельного поверхности (CU).
Эта величина часто измеряется в молях переносимой субстанции.


§ 3.2J
Процессы переноса
117
3.2.3. ВОЗНИКНОВЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
Рассмотрим, какая информация о напряжениях в турбулентной
жидкости содержится в соотношении (3.2.6). Прежде всего, определим,
что подразумевается под давлением в параллельном потоке. При s-+v
имеем $)sv->pv2, что дает величину переноса ^/-компоненты импульса
в направлении оси у. Рассматривая кубический элемент между стенкой
.и единичной площадкой, показанной на рис. 3.4, получим уравнение
баланса сил
P+p^ = Piv> (3.2.8)
где Р — осредненное по времени давление в жидкости, Pw—давление
на стенке. В этом случае оказывается, что поток //у=—Р, как в табл. 3.1.
Для рассматриваемого полностью развитого параллельного течения
(3.2.9а)
= const.
dx
Это частные формы записи уравнения (3.2.4). Но для полностью
развитого течения v'l=f(y), что приводит к следующему соотношению
для потока в канале:
>
W
= р
wI
<*Pw =
dP\Y
1 dx
■ const.
дР dPw
dx dx
: const. (3.2.96)
Выше установлено, что изменения нормальной компоненты
напряжений, обусловленные перемешиванием, соответствуют изменениям
среднего давления в турбулентной жидкости. Хотя эти изменения
давления малы по величине, однако если они самопроизвольно не
уравновешиваются в результате симметрии течения, то это влечет за собой
важные последствия. Несбалансированные нормальные напряжения,
действуя поперек канала, приводят к возникновению вторичных
течений по нормали к стенкам канала. Интенсивность вторичного течения
определяется требованием, чтобы порождаемые им касательные
напряжения, действующие поперек течения, уравновешивали бы изменения
нормальных напряжений. Только в том случае, когда течение имеет
осевую симметрию или является плоским и очень широким, нормальные
напряжения могут уравновешиваться без отклонения среднего течения
от осевого направления. Таким образом, анализ, основанный на
представлении (3.2.5), (3.2.6) для компонент потока, ограниченный
предположением о параллельном течении (V=W=0), строго применим
только к каналам следующей геометрии: 1) круглая труба; 2) осесимметрич-
ный кольцевой канал; 3) очень широкий плоский канал, хотя он и
должен иметь где-то боковые стенки (если это не кольцевой канал с узким
зазором).
Теперь рассмотрим касательные напряжения, действующие по
направлению оси х на единичную площадку y=const. Произведем
подстановки, указанные в табл. 3.1: Jy-+—т, где х — эффективное касательное
напряжение на верхней (по направлению увеличения ординаты у)
стороне единичной площадки; S-+U — скорость, параллельная площадке;


Течения в каналах. I. Теоретические основы [Гл. 3
Л'-^v — кинематический коэффициент вязкости жидкости. Тогда для
параллельного течения эффективное касательное напряжение
*=*щ- — 9tw = zv-{-zt (3.2.10)
представляет собой сумму средней вязкой составляющей xv и
кажущегося напряжения хи обусловленного результирующим переносом х-
компоненты импульса. Составляющая xt была введена через
коэффициент турбулентной вязкости в уравнении (1.3.2) и в явной форме
в уравнении (2.3.1).
В полностью развитом течении в канале обе составляющие xv
и xt имеют одинаковый знак везде и
как показано на рис. 3.3. Это справедливо и для многих других
турбулентных течений со сдвигом, так как жидкость, притекающая из
области, в которой скорость больше (dU>0), будет гораздо чаще
обнаруживать положительные пульсации (и>0). Поэтому при dU/dy>0
значения и^О будут обычно соответствовать значениям v^O, так что т*=
=—puv>0. Однако эти рассуждения могут не иметь силы, если
существует внезапная перемена знака градиента скорости dUjdy в сочетании
с асимметрией распределения характеристик турбулентности по обе
стороны от точек максимума или минимума средней скорости. Так,
в пристенной струе или в течении в канале с кольцевым сечением
имеется область вблизи максимума средней скорости, в которой ет<0.
Для большинства турбулентных течений в каналах справедливо
соотношение
Однако рис. 3.3 показызает, что т*/Ти<1 при у/Ут<\0 и xv^>xt
в подслое при #/j//<5. Непосредственно на стенке канала как для
ламинарного, так и для турбулентного внешнего течения имеем:
х.= ^ = ^(^)§. (3-2.11)
Нормальное ри2 и касательное puv напряжения представляют
компоненты переноса импульса в турбулентном потоке и связаны с
тензором вторых корреляционных моментов скорости, который был введен
в уравнения (2.6.5), (2.6.6):
zlI = — puiuJ= — pQlJ9 где /,/ = 1,2,3. (3.2.12)
Так как UiU2=u2Ui (и аналогичное равенство имеет место при
индексах 1 и 3, 2 и 3), то в результате имеется только шесть различных
компонент напряжений; этот факт согласуется с условием
уравновешивания крутящего момента, действующего на бесконечно малый элемент
жидкости. Три компоненты напряжений являются нормальными
напряжениями (при £=/); соответствующее напряжение перпендикулярно
к единичной площадке, определяемой индексами i и /. Остальные три
различные компоненты являются касательными напряжениями (при
z=^=/); соответствующее напряжение касательно к рассматриваемой


§ 3.2J
Процессы переноса
119
площадке. Для этих напряжений существует несколько названий:
напряжения смешения, кажущиеся, или рейнольдсовы напряжения.
Уравнения количества движения для турбулентных потоков, в которые
входят эти напряжения, называются уравнениями Рейнольдса.
3.2.4. ПОТОКИ ЭНЕРГИИ
Для того чтобы рассчитать различного рода потоки энергии по
нормали к параллельным средним линиям тока турбулентного течения,
введем .в общую зависимость (3.2.6) пульсации давления, кинетической
и тепловой энергии, как указано в табл. 3.1.
Рассматривая пульсацию давления р, получаем выражение
Wp=Jv, (3.2.13)
которое представляет поток работы, т. е. среднюю интенсивность, с
которой турбулентные пульсации давления производят работу над
жидкостью выше (у>0) единичной площадки (см. рис. 3.4). Слагаемое
молекулярной диффузии не имеет сколько-нибудь существенного
значения и поэтому опущено.
Обозначим кинетическую энергию турбулентности — q2, как в
уравнениях (1.5.7), (1.5.8). Подстановка из табл. 3.1 дает поток
кинетической энергии
;.=—r^f+^w1- (3-2Л4>
Слагаемое, учитывающее молекулярный поток, оставлено, так как
здесь имеет место перенос кинетической энергии, связанный с
диффузией количества движения.
Наконец, рассмотрим перенос, связанный с двумя пульсационными
характеристиками тепловой энергии — удельной внутренней энергией,
обозначенной Е-\-е, и удельным теплосодержанием (энтальпией),
обозначенным H + h. Они, в свою очередь, связаны с пульсациями
температуры / + 0. Молекулярные и турбулентные слагаемые должны расехма-
триваться различным образом. Для первых примем S-+T и pK-^k —
коэффициент теплопроводности. Для последних примем s-^e или Я.
Таким образом, поток внутренней энергии определится в виде
Когда Е=Е(Т), так что dE = cvdT и e=cvQ, где-с„ —удельная
теплоемкость при постоянном объеме для жидкости, получим
альтернативные формулы
^=-*£-+p^=-i£+^ , е-2-15*
Последняя из них соответствует подстановкам, указанным
в табл. 3.1.
Аналогичным образом получим поток энтальпии:
**=-*£-+^=-*1г+^=^^+^ (3-2Л6>


120 Течения в каналах. I. Теоретические основы [Гл. 3
Здесь ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении*.
Последние два выражения в (3.2.16) применимы только при Н=Н(Т).
Эти результаты аналогичны формуле (1.6.3), так как к=к/(рСр)
—коэффициент температуропроводности. Теплоперенос, связанный с
корреляционной функцией температуры и скорости, vQ уже был определен
в уравнении (2.3.2).
Потоки внутренней энергии и энтальпии имеют общее слагаемое,
выражающее молекулярный перенос, но различаются слагаемыми,
учитывающими турбулентное смешение. Однако пульсации при постоянной
плотности связаны соотношением
что дает
vh = ve 4- ~^-
(3.2.17а)
Сравнение уравнений (3.2.15), (3.2.16) показывает, что
Я„ = Че + Р°=Че + &р, (3.2.176)
где Wp — поток работы, определяемый уравнением (3.2.13).
3.3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
3.3.1. ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Рассмотрим основные
сы, количества движения
*\ У №№у1*У№
J/(dJx/dx)dx
dy Ss dxdy
dx
J a
Рис. З.5. Элементарный
кубический объем,
рассматриваемый при выводе общего
закона сохранения. Показан
перенос только для двух измерений;
Jx и J у — компоненты потока
субстанции S и Ssdxdy —
скорость, с которой S порождается
внутри элементарного объема.
соотношения, выражающие сохранение мас-
и энергии в форме, пригодной для описания
турбулентного движения жидкости, с
параллельными линиями тока среднего
течения. Вначале рассмотрим общий
закон сохранения для двумерного среднего
течения, при этом результаты для
параллельного течения будут частным
случаем, дающим представление об
ограничениях, налагаемых условием параллельно-
струйного среднего течения.
Потребуем, чтобы для элементарного
объема, показанного на рис. 3.5,
результирующий выходящий поток какой-либо
субстанции S компенсировался скоростью
порождения этой субстанции внутри
элементарного объема. Тогда
составляющие потока субстанции S(JX и 1У) будут
связаны уравнением
{dJxjdx) dx dy + (dJyldy) dydx = Ssdxdy
* Для рассматриваемой жидкости с постоянной плотностью нет различия между
€р и cv. Оба символа оставлены для того, чтобы полученные результаты в определен-
ном смысле были применимы к жидкости с изменяющейся плотностью.


§3.3]
Закон сохранения
121
ИЛИ
^\dJ± = Ss, (3.3.1)
где Ss — плотность источника субстанции 5 (или при Ss<0 — плотность
стока), причем значение Ss измеряется как масса на единицу объема
за единицу времени.
Чтобы получить результаты для турбулентного течения, введем
в уравнение (3.3.1) компоненты потока
(3.3.2)
Jy = -P^ + pSV + Psv.
dy
Член, выражающий плотность источника в уравнении (3.3.1),
можно интерпретировать следующим образом:
1) в общем случае — как изменение распределения субстанции во
времени, причем 5S=—dS/dt; для турбулентного течения изменение 5
должно быть достаточно медленным, чтобы быть отличным от
пульсаций s;
2) для баланса массы — как химическую реакцию, приводящую
к возрастанию (положительный член, источник) или убыванию
величины субстанции 5 (отрицательный член, стоки);
3) для уравнения импульсов — как градиент давления или силу
тяжести жидкости;
4) для баланса механической энергии — как диссипацию в
тепловую энергию (сток);
5) для баланса тепловой энергии — как диссипацию механической
энергии (источник);
6) для баланса полной энергии — как химическую реакцию,
экзотермическую (источник) или эндотермическую (сток).
Уравнения (3.3.1), (3.3.2) при использовании прямоугольных
декартовых координат непосредственно распространяются на трехмерное
течение. Обобщение этих результатов для полярных (цилиндрических)
координат (г, 9, х), удобных для рассмотрения важных случаев осесим-
метричных осредненных течений, является менее очевидным. При
выводе соотношений, выражающих условие сохранения, необходимо
рассматривать элементарный объем, имеющий форму усеченного конуса.
Так, при осевой симметрии
д± , ±сЩг1 = 3 (3>3.3а)
дх ' г дг s ч
•где радиальный поток определяется просто как
/r = _p/c^-4-psy + pM. (З.з.зб)
Здесь V + v — радиальная компонента скорости. Заметим, что
градиентная производная преобразуется просто как
А_А (3.3.4а)
ду дг > v '


122
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
"£-=■
ох,
(зЧ*
1 д
г дг
dS — *
Г / dS _\1
№ <f
— 5У 1
а производная компоненты потока как
Это следует помнить при преобразовании результата из декартовых
координат в полярные.
Чтобы получить конкретные законы сохранения, удобные для
параллельного линейно-развивающегося течения, введем выражения для
компонент потока (3.2.5), (3.2.6)
Jx=pSU+f(y)\
Jy = — PKj^ + ?sv
и аналогичные результаты для осесимметричного потока. Уравнения
(3.3.1) и (3.3.3) дают соответственно для нлоскопараллельного и
осесимметричного параллельного потоков:
(3.3.5)
+-А. (з.з.б)
Заметим, что слагаемое молекулярной диффузии KdS/dx опущено
в выражении для Jx, в результате чего опущено также слагаемое
d(KdS/dx) /дх в уравнениях (3.3.5), (3.3.6). Даже в ламинарном
течении непосредственная молекулярная диффузия, которой пренебрегают,
обычно очень мала по сравнению с косвенной диффузией по
направлению течения, которую часто называют ускоренной диффузией по
направлению движения потока (или продольной дисперсией). Последняя
слагается из поперечной диффузии в область с большими скоростями
(например Ау>0) с последующей конвекцией вниз по течению и
поперечной диффузии в противоположном направлении (Д#<0).
Результаты для параллельного течения [(3.3.5), (3.3.6)] имеют
гораздо более широкое применение, чем может показаться на первый
взгляд, так как около плоской стенки течение может быть почти
параллельным даже в том случае, когда внешнее течение развивается в
продольном направлении. Кроме того, так как пристеночный слой занимает
лишь небольшую часть ширины канала, часто оказывается возможным
использовать более простые результаты для плоского течения (3.3.5)
при анализе пристеночных течений в трубах и кольцевых каналах.
3.3.2. МАССОПЕРЕНОС И НЕРАЗРЫВНОСТЬ
Необходимо исследовать два аспекта закона сохранения массы:
сохранение массы основной жидкости, плотность которой здесь принята
постоянной, и сохранение массы субстанции, переносимой в эгой
основной жидкости, с локальной концентрацией массы С + с. В
нижеследующем рассмотрении будем принимать концентрацию С малой с тем,
чтобы свойства жидкости и само течение существенно не изменились из-
за наличия примеси.
Чтобы получить уравнение неразрывности для случая постоянной
плотности (отражающее то обстоятельство, что жидкость имеет
постоянную плотность и не содержит расширяющихся или сжимающихся


§ 3.3J
Законы сохранения
123
полостей), положим в уравнениях (3.3.1), (3.3.3) Ss=0, JX=U и Jy,
Jr=V. Тогда имеем соответственно для плоского и осесимметричного
течений:
£+£=<* (3-3.7)
* +± igi=a (3.3.8,
Эти уравнения неразрывности для основной жидкости позволяют
определять вклад среднего течения в общих зависимостях,
выражающих закон сохранения, в более простой форме соответственно для
плоского и осесимметричного течений:
^+1F = 'S(SH-&) + 'C&+V£)='£i (3.3.9а)
Здесь DS/Dt — производная в системе, движущейся со скоростью
среднего течения. Такая производная называется эйлеровой,
конвективной или субстанциальной производной. Заметим, что левая часть
уравнений (3.3.5), (3.3.6) является усеченной формой конвективной
производной. Обобщение на случай трехмерного движения не требует
дополнительных разъяснений.
Теперь рассмотрим закон сохранения для субстанции, переносимой
в основной жидкости. Для простоты снова примем Ss=0. Вводя
компоненты потока в виде (3.2.7) в уравнение (3.3.1) и используя
упрощения, полученные в уравнениях (3.3.9), имеем:
DC д (D дС/дх) д(Р дС/ду) д (7а) д (су) (3 3 10)
Dt ~ дх ' ду дх ду К - • )
Здесь скорость изменения средней концентрации 'представлена
в.виде суммы слагаемых, учитывающих молекулярную диффузию и
турбулентное смешение. Этот результат обобщает уравнение диффузии
классической физики, которое в одномерной форме рассматривалось
в примере 1.25. Двумерная форма имеет вид
£="(£+£) (з-з. id
dt ~"\дхг ' ду2
и определяет изменение распределения концентрации в неподвижной
среде с постоянным коэффициентом диффузии D.
Уравнение (3.3.10) можно записать более компактно, вводя
коэффициенты турбулентного переноса, которые характеризуют
турбулентное перемешивание, как было показано в уравнениях (3.2.2). Однако
для большинства турбулентных течений нельзя считать, что эти
коэффициенты постоянны и что одно и то же значение коэффициента будет
характеризовать перенос в различных направлениях в произвольной точке
турбулентной жидкости.
Обобщенные уравнения диффузии для осесимметричного течения и
параллельных течений с линейно-изменяющейся концентрацией можно
получить из общих соотношений (3.3.5), (3.3.6), используя подстановки
из табл. 3.1 для массопереноса. В принципе можно таким же способом
получить уравнения импульса и энергии для каждого типа турбулент-


124
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
ного течения. Однако практически это не легко осуществить, так как не
всегда просто установить точный вид члена источника. Соответственно,
мы будем каждый раз составлять баланс для рассматриваемой
субстанции и только после этого проводить параллели с общими результатами.
3.3.3. БАЛАНС СИЛ
В полиостью развитом параллельном течении жидкости с
постоянной плотностью распределение средней скорости не изменяется вдоль
течения. Следовательно, действие касательных напряжений на
элементарный объем жидкости в точности уравновешивается действием сил
дх
\У
I у///////?* //////////////л.
V*
6) о
У/////////////////////////////
п
У/////// * /////////////.
*- и
У//////////////////////////////
Л
Рис. 3.6. Баланс сил для параллельного среднего течения.
« — плоское течение в канале; / — напряжения, действующие на элементарный объем; // —
касательные напряжения на стенках канала; б — осесимметричное течение в трубе или в канале
кольцевого сечения; / — напряжения, действующие на тороидальный элементарный объем; // —
касательные напряжения на стенках канала.
давления. Рассмотрим поочередно случаи плоского и осесимметричноге
параллельного течения. Обращаясь к рис. 3.6,а, получим для первого
случая:
dz __дР
dy дх '
Используя уравнение (3.2.9), которое обобщает ранее полученные
результаты для изменения давления в полностью развитом
параллельном течении, запишем баланс сил для всего потока в виде
dz_
.dPw
dx
= согЫ.
(3.3.12)
Здесь принято, что среднее давление изменяется линейно как
в (3.2.4).


§ 3.3J
Законы сохранения
125
Для простоты мы пренебрегаем весом жидкости. Однако эффект
веса жидкости можно учесть при помощи преобразования
Pw-+Pw + pgz. (3.3.13a)
Тогда уравнение (3.3.12) принимает вид
rh dPm
dy cix
■Pg-sin6, (3.3.136)
. л dz
где sin.0 = ^—— уклон канала по отношению к горизонтали.
Интегрирование уравнения (3.3.12) дает линейное изменение
эффективного касательного напряжения x=xv-\-xt поперек течения (как
для ламинарного, так и для турбулентного). Можно отметить три типа
плоскопараллельных течений.
Тип А. Течение Пуазейля (или течение давления)
В этом случае касательные напряжения, приложенные к
жидкости на двух стенках, равны и направлены одинаково.
Напряжения в жидкости связаны соотношением ti=—Vz=xw и баланс сил для
всего канала будет:
^™— ° dx •
Отсюда получаем уравнение, описывающее изменение напряжений
поперек канала:
Тип В. Течение Куэтта (или течение со сдвигом)
В этом случае напряжения на стенках канала равны, но
противоположно направлены. Напряжения в жидкости связаны соотношением
Ti=t2=Tw и баланс сил для всего канала будет:
^ = 0. (3.3.15а)
dx
Отсюда получаем, что напряжения постоянны в поперечном
сечении канала:
x=xw. (3.3.156)
Для образования течения такого типа необходимо, чтобы одна
стенка канала двигалась относительно другой.
Тип С. Комбинированное течение Пуазейля — Куэтта
В этом случае напряжения на стенке в общем случае не одинаковы:
ti^±T2. Баланс сил для всего канала будет:
7^sl (3.3.16a)
dx '
и распределение напряжений имеет вид:
' = ', + ('.-',) += '. + ^ У- <3-ЗЛ6б>


126
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
Этот тип течения имеет место, если:
1) две неподвижные стенки имеют различные шероховатости;
2) одна стенка движется параллельно другой, как -в пленке
гидродинамического подшипника;
3) рассматриваемая среда — газ, который граничите поверхностью
жидкости (возможно, волнистой);
4) рассматриваемая среда —жидкая со свободной поверхностью
(возможно, волнистой); касательные напряжения здесь будут очень
малы.
Возвратимся к рассмотрению осесимметричного параллельного
течения. На рис. 3.6,6 показан элемент поперечного сечения кольцевого
канала. Снова используя уравнение (3.2.9) для того, чтобы переписать
градиент давления, получаем для всего потока:
1 (I (l"l) dPr, , /О Q 1*74
Необходимо рассмотреть два типа осесимметричного параллельного
течения.
Тип D. Течение Пуазейля в трубе
Для постоянного напряжения на стенке полный баланс сил будет:
2х«=-*1ЙГ- (3.3.18а)
Интегрирование уравнения (3.3.17) снова дает линейное изменение
напряжения
*='*ir=-Td-wr <з-ЗЛ8б>
при выполнении требования, чтобы решение было конечным на оси г=0.
Tun E. Течение в каналах кольцевого сечения
Примем, что напряжение на каждой стенке будет постоянным, но
в общем случае эти напряжения будут неодинаковыми ti^±T2. Полный
баланс сил будет:
2 (ЯЛ - Ял) = - (R\- R\) ~£, (3.3.19а)
и интегрирование уравнения (3.3.17) дает распределение напряжений:
, = ^l—1 ^»/V_?V\ (3.3.196)
г 2 dx \ г ' v
Изменение напряжения будет нелинейным, если только не
выполняется довольно искусственное условие t;i./?2==T2#i. Однако, когда R2/Ri~\,
это изменение будет почти линейным. Рассмотрение течений такого вида
возможно во всех случаях, когда уравнение (3.3.16) действительно;
кроме того, напряжения будут неодинаковыми даже в том случае, когда
шероховатость обеих стенок одинакова.
Проведенный анализ полностью развитых течений в каналах
позволяет установить один факт: будет ли течение ламинарным или
турбулентным, изменение среднего касательного напряжения известно. Для
ламинарных течений зависимость касательного напряжения
dU dU
.=fx— или ^


§ 3.3J
Законы сохранения
127
Таблица 3.2
Характеристики полностью развитых ламинарных течений ньютоновской
жидкости. Для краткости обозначено (* = -zw/\x
Скорость U
Расход
Отношение скоростей
Коэффициент трения
Тип А. Плоское
течение
Р*(1-*/Ь)
о=рЬ2/6
Ua/Uc=-T
\2v/Uab
Тип В. Плоское течение
со сдвигом
$у или Uw (y/b)
v = — $b2 или — Uwb
Va/Uu,= -T
to/UJ)
Тип D. Течение
в трубах
-^-Р(Я-г7Я)
K=-J-P^
Ua/Uc = -T
16v/f/0d
дает (после интегрирования) законы изменения скорости, расхода и
трения. Эти результаты приведены в табл. 3.2, ,в которой v — расход на
единицу ширины, V — суммарный расход, Ua — средняя скорость, равная
V/A. Так как основные уравнения линейны, скорость, расход и
распределение касательных напряжений для комбинированного течения Пуа-
зейля — Куэтта (тип С) можно получить, используя результаты для
течений типов А и В. Результаты для течения в канале с кольцевым
сечением (тип Е) имеют в общем аналогичную структуру, но
алгебраически более сложны.
Результаты для турбулентных течений получить столь же быстро
невозможно. Вводя выражение эффективного напряжения (3.2.10)
в уравнение (3.3.12), имеем:
d (p. dU/dy — puv) __ dPw
dy ' dx
(3.3.20)
Если известен закон изменения турбулентного касательного
напряжения поперек течения, то интегрирование этого уравнения позволяет
найти зависимость для изменения скорости. Один очевидный путь
решения этой задачи заключается в принятии коэффициента турбулентной
вязкости постоянным. Это предположение дает приемлемые результаты
для двух областей течения в канале:
I. Вязкий подслой: еш = 0. Этот подслой настолько тонкий, что
можно без существенных ошибок:
1) предположить, что касательное напряжение постоянно;
2) для осесимметричного течения пренебречь поперечной кривизной
стенки.
Таким образом,
dU , dPt
ЖУ-^
(3.3.21)
^w
(R-r),
как и для ламинарного течения Куэтта.


128
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
II. Полностью турбулентное ядро: еш = ес = const. Так как изменение
скорости в ядре течения составляет лишь очень малую долю полного
изменения скорости в канале, то во многих случаях нет необходимости
в установлении точной формы этого изменения. Поэтому приемлемые
результаты получаются при принятии постоянного коэффициента
турбулентной вязкости в пределах ядра, хотя на самом деле он здесь
изменяется значительно, как показывает рис. 3.3. Этим способом можно
определить только изменение средней скорости; абсолютные значения
зависят от структуры пристеночного слоя, где быстро изменяющийся
коэффициент турбулентной вязкости имеет намного меньшие значения,
чем в ядре. В табл. 3.3 приведены безразмерные зависимости по
аналогии с данными, содержащимися в табл. 3.2.
В этой таблице используются параметры
iif b Ufd
Rf = — или —
1 £c ec
и (3.3.22)
d AUAy _ (UMaKC — £W Ay,
Они могут быть интерпретированы или как числа Рейнольдса,
определенные по турбулентной вязкости, или как коэффициенты
турбулентной вязкости в безразмерной форме. Эти постоянные параметры течения
будут широко использоваться в гл. 7 для описания свободной
турбулентности.
В табл. 3.3 даны экспериментальные значения Rf для трех типов
течения в каналах. Для всех случаев установлен диапазон таких
значений, поскольку Rf несколько возрастает при увеличении числа
Рейнольдса среднего течения и поскольку требуется определенный анализ
при .выборе коэффициента, описывающего полученные результаты.
Значения Rf для двух типов течений под действием давления (типы А и D)
почти одинаковы, но для течения со сдвигом (тип В) они гораздо ниже.
Однако такое сравнение в некоторой степени некорректно, так как
в последнем случае средняя скорость равномерно возрастает поперек
канала. Диапазон изменений дефицита скорости (вычисленный без
учета пристеночного слоя) почти одинаковый для трех типов течений.
Заметим, что этот диапазон лишь немного больше, чем изменение скоро-
Таблица 3.3
Характеристики терния в турбулентном ядре в предположении постоянного
коэффициента турбулентной вязкости
Дефицит скорости
#/(±15°/о)
Диапазон изменения
скорости (AU/Uf)
*У
Ro
Vc-
дефекта
Тип А. Плоское
градиентное течение
Rf(y/t>-\J
26
6,5
1/26
1 85
Тип В. Плоское
течение со сдвигом
«/(*/b-l)
7,4
7,4
Ь
55
Тип D. Течение
в трубе
•%Rf(r/R)2
21
6,8
R
91
Примечание. Данные для типа А применимы к широким открытым каналам, если величину 1/2&
рассматривать как глубину.


§ 3.3J
Законы сохранения
129
сти поперек вязкого подслоя, составляющее AU/Uf=5 в соответствии
с уравнениями (3.1.3). Наконец, в табл. 3.3 приведены значения i?o,
соответствующие значениям Rf, приведенным выше в этой таблице. Эти
значения существенно изменяются в зависимости от типа течения.
Хотя параболические распределения скорости (табл. 3.3)
адекватны для некоторых случаев, в действительности изменение скорости
более точно описывается зависимостью
U*
Л; Ь
или
«"•
(3.3.23)
где
/2=1,9±0,2 для течения в канале;
az=1,5±0,2 для течения в трубе.
Итак, получено адекватное описание изменения средней скорости
течения в турбулентном ядре и вязком подслое. Изменение скорости
между этими областями течения будет рассмотрено в гл. 4, так как оно
не требуется для исследуемого здесь баланса сил.
3.3.4. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Для рассматриваемой здесь жидкости постоянной плотности
можно выделить вклады энергии, которые не зависят от температуры и
внутренней энергии жидкости. Прежде чем исследовать общий баланс
энергии, включающий слагаемые
тепловой энергии, рассмотрим отдельно
баланс механической энергии. Он состоит
из кинетической энергии, энергии
давления и потенциальной энергии. Для
простоты гравитационные эффекты будут
опущены; однако последние легко учесть —*
по аналогии с уравнением (3.3.13).
На рис. 3.7 показаны осредиенные
по времени потоки энергии и работы,
которые изменяют механическую
энергию в элементарном объеме жидкости
при плоскопараллельном течении.
Конвективные вклады в направлении
среднего течения взаимно сокращаются.
Результирующий поток всех видов
механической энергии в рассматриваемый
объем может быть ненулевым только из-за
диссипации, т. е. превращения
механической энергии во внутреннюю энергию.
Если потребовать, чтобы
результирующий поток механической энергии,
направленный извне, был бы равен
внутренней диссипации с отрицательным
знаком, то получим баланс энергии в виде
d(UP) d(Ux) dWp dlq
\dJ,dx
y>v.
bdWpdx
~^g)-^ ) dfri/Jdx
dx
\*у
/oedxdy
dx
<*</
d(up)dy
x,t/+u
^
Wj
■<J
xu
4
Рис. З.7. Потоки механической
энергии из элементарного объема
(размер в направлении z равен
единице) для
плоскопараллельного среднего течения U(y)\
psdxdy— скорость диссипации; /—
направленный вовне поток
кинетической энергии турбулентности;
// — направленный вовне поток
работы пульсаций давления; ///—
направленный внутрь поток
работы касательных напряжений; IV—
направленный вовне поток работы
против градиента давления.
я ~- и Г и in -~Р£- С3-3-24)
дх dy ' dy l dy ' ч
Скорость диссипации равна ре на единицу объема и е — на единицу
массы.
9—56


130
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. $
Учитывая, что в ■плоскопа.раллельном течении U=f(y) и dx/dy—
=dPwjdx=dP/dx, приводим уравнение баланса энергии к виду
dU d(Wp+Jq)
"di"7~Ty =р£' (3-3-25>
Подставляя выражения (3.2.10), (3.2.13), (3.2.14) для касательного
напряжения и потока энергии в (3.3.25), окончательно получаем:
idU \2 —dU d I p , l 2\
dy ) "-dy dy L^kP i 2 * dy_ J
i±?
=>. (3.3.26>
Различные слагаемые интерпретируются следующим образом.
Диссипация. Слагаемое
s»=v(|r)2 <ЗЛ27а>
представляет диссипацию в параллельном течении. Таким образом,
суммарная диссипация равна:
8=8^ + 8*, (3.3.276)'
где ег — дополнительная диссипация, обусловленная турбулентностью..
В полностью турбулентной области течения ег>еи. В случае однородной
изотропной турбулентности не может быть градиента средней скорости;,
тогда е=8; можно вычислить, используя уравнение (2.6.27).
Порождение. Слагаемое uvdU/dy определяет взаимодействие между
средним течением и турбулентными напряжениями, в результате
которого происходит передача энергии от среднего движения к
турбулентному движению, т. е. превращение части энергии среднего движения
в энергию турбулентности. В § 1.4 было показано, что этот процесс
можно интерпретировать как результат растяжения турбулентных
вихревых нитей средним течением. Это позволяет предположить, что
турбулентные налряжения можно объяснить пульсациями завихренности
жидкости.
Диффузия. Каждое из трех слагаемых, заключенных в квадратные
скобки в уравнении (3.3.26), можно интерпретировать как одну из форм
диффузии. Слагаемое vdf-g- Qj / dy описывает простую молекулярную^
диффузию кинетической энергии турбулентности. Так как поток энергии1
всегда направлен по градиенту q2, этот процесс называется градиентной:
диффузией.
Как уже было показано, слагаемые pv/p и — vq2 характеризуют
перенос работы и энергии турбулентности самой турбулентностью. Однако»
часто говорят, что эти слагаемые описывают турбулентную диффузию*
энергии давления и кинетической энергии. Эта вынужденная аналогия
особенно неприемлема для переноса работы pv. В первом приближении
можно утверждать, что турбулентность самых малых масштабов дает
нечто близкое к градиентной диффузии и характеризует ее действие
коэффициентом турбулентного переноса. Но эту интерпретацию нельзя
считать верной для больших .масштабов; они переносят частицы
жидкости на расстояния, сравнимые с маштабами среднего движения; их.


Щ 3.3]
Законы сохранения
131
эффект нельзя определить градиентом в какой-то одной точке. Кроме
того, даже для самых малых масштабов результирующий перенос
должен зависеть от связи между 'пульсациями скорости переноса -и
переносимой величины. В частности, можно ожидать, что «диффузионный»
эффект турбулентного перемешивания может быть в своей основе
различным для пульсаций давления и кинетической энергии, а также для
пульсаций температуры и концентрации примеси.
Три «диффузионных» слагаемых уравнения (3.3.26) имеют одно
общее свойство* они не дают никакого вклада в баланс энергии для всего
сечения канала. На стенках канала каждое из слагаемых в квадратных
•скобках равняется нулю, так как v—О и dq2/dy=2qdq/dy=0 на жесткой
границе, где нет скольжения. Следовательно, интегрирование уравнения
(3.3.26) по всему сечению для полностью развитого течения дает
простой результат:
_Г^|^л=Ге,Л4. (3.3.28)
Л А
Хотя сказанное относится к статистически стационарному течению,
последний результат связан с вопросом о неустойчивости течения,
которое приводит к турбулентности. Очевидно, что возмущения будут
нарастать, если левая часть уравнения (3.3.26) больше правой. Какая
информация о течении и растущих возмущениях заключается в полученном
результате, можно в общих чертах увидеть из следующего простого
анализа. Примем масштабы .возмущений I' и и', ширину канала и
среднюю скорость b и U. Можно ожидать, что неустойчивость возникнет при
ar 2U/b .
^гдтуг> определенного числа;
.при этом выражение для диссипации выводится из полученных ранее
выражений. Этот критерий можно переписать в виде
\—г\ > определенного числа. (3.3.29)
Таким образом, можно заключить, что:
1) наименее устойчивыми возмущениями являются наибольшие, для
которых 1'->Ь\
2) неустойчивость будет иметь место, когда Ub/v>a
(определенного значения).
Отсюда видно, почему число Рейнольдса среднего течения
является показателем чувствительности ламинарного течения к
гидродинамической неустойчивости.
Из уравнения (3.3.24) можно получить другое интегральное соот-
лошение баланса энергии:
ь
Ub
v
dx
о
где
+ Us2=p\edy, (3.3.30)
v^^Udy


132
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
есть средний расход на единицу ширины канала и
fdU\
есть касательное напряжение в жидкости при у=Ь, когда стенка
движется со скоростью и=и2. Результат (3.3.30) показывает, что
суммарная диссипация равна работе, совершаемой над жидкостью градиентом
О 0,2 0,<f 0,6 0j8 1,0
y/R a)
Рис. 3.8. Баланс механической энергии для течения в трубе по данным измерений Лау-
фера при Rcd = 5-104. Положительные значения дают прирост энергии турбулентности.
« — область полностью турбулентного течения; члены уравнения (3.3.31) приведены к
безразмерному виду делением на инерционный масштаб u3j/R; б — вязкий и пристеночный слои; члены
уравнения (3.3.26) приведены к безразмерному виду делением на вязкий масштаб u4f/v; I —
порождение; // — турбулентная «диффузия» кинетической энергии; /// — турбулентная «диффузия»
давления; IV — диссипация; V — вязкая диффузия кинетической энергии; IV — диссипация (только 8,).
давления и касательным напряжением на движущейся стенке. Хотя
сумма этих двух слагаемых будет обязательно иметь положительный знак,
одно из этих слагаемых может быть отрицательным.
Обратимся снова к рассмотрению локального баланса
составляющих механической энергии для полностью развитого турбулентного
течения в канале. Рассмотрим частный случай течения в трубе, используя
уравнение (3.3.25) для того, чтобы описать пристеночный слой, который
является настолько тонким, что поперечной кривизной можно
пренебречь, ,и используя для развитого турбулентного течения следующее
уравнение:
uv
dr
_L A
г dr
rv
(f+
<•)
(3.3.31)


§ 3.3J
Законы сохранения
13.3
Здесь выполнен переход к полярным координатам (3.3.4) и
слагаемое, учитывающее молекулярную диффузию, опущено, так как оно
имеет существенное значение только в вязком слое.
Общий характер кривых, приведенных на рис. 3.8, основывается н?
экспериментальных данных Лауфера, который измерил все слагаемые
баланса энергии (3.3.26), (3.3.31), за исключением следующих:
1) диссипации, которая была рассчитана по ограниченным данным
измерений в предположении, что масштабы диссипации имеют
некоторые характеристики такие же, как и в изотропной турбулентности;
2) слагаемых, выражающих так называемую диффузию давления
и включающих член pv, который был определен из условия баланса
всех слагаемых энергии.
Такой способ является сомнительным, так как диссилативное
слагаемое— одно из самых значительных в балансе энергии и небольшие
ошибки при его определении могут привести к существенно
неправильному определению слагаемого pv. Имеется ряд работ, в которых
предполагается, что более реальная оценка баланса энергии может быть
получена, если принять pv=0 в большей части течения и диссипацию
определять из условия общего баланса. В данном случае мы примем
баланс энергии по Лауферу, учитывая при этом указанные выше
сомнительные положения при его выводе.
В первую очередь отметим, что диссипация везде отрицательна
(в соответствии с принятым здесь правилом знаков), тогда как
слагаемое порождения энергии везде положительно. Знаки других слагаемых
изменяются поперек потока, так как требуется, чтобы их интеграл по
сечению равнялся нулю. Обращаясь к рис. 3.8,а, который представляет
полностью турбулентную область течения, отметим, что порождение
и диссипация приближенно уравновешивают друг друга, исключая
течение в центре трубы, где турбулентность определяется «диффузией»
кинетической энергии. Значение всех составляющих баланса энергии
быстро изменяется по мере приближения к пристеночному слою.
Более сложное взаимодействие в пристеночном слое показано на
рис. 3.8,6. Эти характеристики свойственны всему классу пристеночных
слоев, в которых касательные напряжения можно считать приближенно
постоянными. Отметим следующее:
1) Два «диффузионных» слагаемых имеют большие значения, но
противоположны по знаку, так что их суммарный вклад в баланс
энергии является относительно малым. Процесс переноса кинетической
энергии заключается в изъятии энергии из вязкого слоя и переноса ее в
полностью турбулентную область. Процесс диффузии давления действует
в противоположном направлении и, очевидно, является особенно
важным для поддержания турбулентности в вязком слое. Однако
необходимо помнить, что истинный характер протекания последнего процесса
неизвестен.
2) Молекулярная диффузия переносит энергию к стенке по
направлению большого градиента кинетической энергии в области у/у/<20
(сравните рис. 3.2,6).
3) Турбулентная диссипация 8/ и порождение в большей части
вязкого слоя примерно уравновешивают друг друга, хотя в подслое только
диссипация остается существенной. В этой области диссипация
среднего течения sv очень велика, но она не входит в этот баланс энергии.


Г) 4
Те< 1ВНИЯ в каналах,. I. Теоретические основы
[Гл. 3
4) Рассмотрение полного баланса позволяет заключить, что для
данного течения суммарная диссипация состоит из трех примерно
одинаковых слагаемых: sv для вязкого слоя, е* для пристеночного слоя и
е? для области ядра.
Эти результаты дают представление о турбулентном течении в
трубе, которое является одновременно и достаточно простым, и довольно
сложным. Каждое слагаемое упрощается в результате суммирования
вкладов от /последовательных турбулентных движений различных
масштабов и форм. Однако в данной точке и данный момент времени
локальная картина течения обычно довольно проста и локальный
мгновенный баланс энергии включает только немногие из процессов, которые
определены в осредненных по времени уравнениях.
3.3.5. УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ
Наиболее убедительный способ вывода уравнений, описывающих
поток тепла в турбулентном течении, состоит прежде всего в получении
полного баланса энергии, включающего как механическую, так и
тепловую энергию. На рис. 3.9 показаны потоки внутренней энергии,
которые должны быть рассмотрены
совместно с составляющими баланса механической
энергии, представленными на рис. 3.7. Для
рассматриваемого параллельного
статистически установившегося течения полный
баланс энергии получим, исходя из условия,
что суммарный поток энергии,
направленный наружу, равен нулю:
diedx
fiEU
Г т
I dx
\аУ pcdx&i;
| dx
dy
(L(pEU)dy
:чс
х,(/нс дх
d(?UE) , dqe r) (иР) d (dJ) dWp
dJn
dy
dx
dy
dy
0.
Рис. З.9. Потоки тепловой
энергии из элементарного объема
для плоскопараллельного
среднего течения. Соответствующие
потоки механической энергии
представлены на рис. 3.7;
pedxdy — скорость диссипации.
/ — направленный вовне поток
внутренней энергии; // — направленный
.вовне поток внутренней энергии за
счет конвекции.
dy
(3.3.32)
Так как плотность жидкости
принимается постоянной, то исключены слагаемые,
учитывающие работу, необходимую для
изменения объема жидкости. Заметим также,
что поток внутренней энергии определяется,
как в уравнениях (3.2.5), (3.2.6), которые
применимы для течений, изменяющихся по
линейному закону (dE/dx=const)9 и в
которых опущено малое слагаемое,
представляющее диффузию вдоль течения, о чем было сказано в связи с
уравнениями (3.3.5), (3.3.6).
•Используя условия параллельности течения U=f(y) и уравнение
(3.3,24) баланса механической энергии, уравнение полного баланса
можно привести к виду
р^+1г=р£- <3-3-33а>
Это уравнение можно назвать уравнением тепловой энергии.
Диссипация не входит в полное уравнение (3.3.32), но появляется в
уравнениях;'отдельно описывающих механическую и термическую
составляющие'полной энергии, причем в первой — в виде стока, а во второй —


§ 3.3} Законы сохранения 13э
в виде источника. Подставляя выражения для потока (3.2.15), получаем
уравнение, описывающее изменение температуры: ""....
"гтйР+5-[-Т5-+<^]—• ■'' (3;3133б)
Так же как и в уравнениях баланса массы и импульса (373:Л0),
(3.3.20), это уравнение для среднего значения (здесь Г)
содержит''Слагаемое, в которое входят пульсации (здесь 0). Поэтому для каждого
из этих простых уравнений возникает проблема замыкания, которая
будет рассмотрена в п. 3.4.1.
Уравнения (3.3.33) и получаемые из них можно применять к
следующим случаям:
1) линейно-изменяющегося поля при
£ = const и ^=ф, ■' (3:3.34)
соответствующего постоянному потоку тепла на стенках канала;
2) других развивающихся полей при дЕ/дхфconst, например
соответствующих постоянной температуре стенки.
Рассмотренные уравнения не учитывают слагаемое диффузии вдоль
течения dqe/dx. В первом случае это относится только к молекулярной
диффузии, но во втором случае существует и ненулевой член дие\дху
учитывающий турбулентную диффузию [см. (3.2.5)].
При рассмотрении параллельных течений подразумевается, что
диссипация зависит только от поперечной координаты [e=f(y)].
Фактически же она медленно изменяется вдоль канала в результате изменения
трения на стенке, вызванного зависимостью вязкости жидкости от
температуры. Это заставляет вспомнить, что, строго говоря, полностью
развитое течение возможно только тогда, когда температура практически
постоянна вдоль канала.
Диссипация обычно пренебрежимо мала по сравнению с другими
членами уравнений (3.3.33). Она будет значительной только в течениях,
близких к адиабатическим, или когда скорость очень большая, т. е.
сравнима со скоростью звука, что здесь не рассматривается. Мы
приходим к заключению, что диссипативный член можно не учитывать при
расчете теплообменных аппаратов, но его необходимо сохранять в
таких случаях, как, например, расчет аэродинамического нагрева или
к. п. д. гидромашин, для которых необходимы температурные измерения.
Результаты (3.3.32), (3.3.33) строго применимы только для течений
с постоянной плотностью, т. е. к большинству течений капельной
жидкости. Переписывая эти уравнения в терминах энтальпии жидкости»
получаем результаты, применимые также к течениям газа при условии,
что изменение пульсации плотности составляет лишь малую долю
средней плотности. Средняя удельная энтальпия равна Н=Е + Р1р, и
уравнения (3.2.17) дают qe-{-Wp = qh. Если использовать эти соотношения,
то уравнение (3.3.32) запишется в виде
Мд—+&=а{*'-,<) . (3.3.35а)
г дх *ду dy
U
Уравнение потока (3.2.16) дает уравнение для температуры:
д(срТ) д , k дТ _1 d г 1 d (U*+ ~q*) — F7 l —2
/ +5- -5—4-сnvb =-7— -о- v у ^Ч) —uvU т vq2
дх >ду [ р ду \VP\ dy I 2 dy 2
(3.3.356)


136
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
Члены, зависящие от турбулентности, в правой части уравнений
(3.3.35) имеют такой же порядок, что и диссипация, входящая в
уравнения (3.3.33), и являются, как и диссипация, пренебрежимо малыми во
многих случаях.
Большинство из турбулентных членов можно учесть в основном
уравнении баланса энергии, подставляя в него суммарную энтальпию
турбулентной жидкости
H0 + h0=H + h + ^(U + uy+±v* + -±-w\ (3.3.36a)
Осредняя, получаем значение:
н9=н+±и*+±-?. <3-3-36б>
Тогда пульсация энтальпии
h^h + Uu+^q2--^?, (3.3.36b)
откуда
гЛ^=гЛ-{-(/да-|- -т^ы]2. (З.З.Збг)
Уравнение баланса энтальпии (3.3.35) можно преобразовать к виду
г/ дИ0 д ( дН \ d
u -o4-w\Kw~v4^w
-±(кд-Ъ_Ш) + — [—v (l-—) Ш1+Щ. (3.3.37)
— ду [ ду m°)+dy [2 V V РгУ dy J K '
Здесь Pr=v/K = \iCpf-k — число Прандтля жидкости; при Рг=1
члены, зависящие от турбулентности, обращаются в нуль. Еще более
простую форму уравнения (3.3.37) можно получить, записывая
^=--р(^-^)- <3-3-38>
Балансы энергии для всего сечения можно получить путем
интегрирования полученных выше результатов для бесконечно малого элемента
жидкости. Интегрируя первое уравнение (3.3.33) от стенки до стенки
плоского канала и используя результат (3.3.32), будем иметь:
о ь ь
9 {u^dy = ?-^\UEdy = ql-\-q2 + p ^dy='ql-]rq2 — V-^--\-U2z2.
0 0 О
(3.3.39)
Здесь
ql = — kl (jfjj-^ при у = 0\ q2 = + k2 ^A при у = b (3.3.40)
— интенсивности теплоотдачи к жидкости.
Уравнение (3.3.39) показывает, что изменение потока внутренней
энергии вдоль канала является результатом:
1) переноса тепла на стенках, который может быть направлен как
внутрь, так и наружу;
d(U2+g2)
dy


§ 3.3J
Законы сохранения
137
2) внутренней диссипации, обязательно положительной, равной
работе, совершаемой над жидкостью градиентом давления и касательным
напряжением на движущейся стенке. Как было отмечено выше, этот
вклад в баланс энергии зачастую пренебрежимо мал.
Аналогичные преобразования уравнения энтальпии (3.3.35) дают:
ь
9-d-^UHdy = 'qi + q2 + U2z2. (3.3.41)
о
Заметим, что
на твердой стенке, где v=0. Наконец, интегрируя уравнение (3.3.37)
для суммарной энтальпии, получаем:
ь
о
При Рг=1 изменение потока суммарной энтальпии точнф равняется
суммарному теплопереносу. Ниже будет показано, что уравнения
баланса энергии обычно принимают простую форму при Рг=1. Эти
простые результаты часто обеспечивают приемлемое приближение для
течений газа.
По аналогии запишем результаты для течений в трубах в
интегральной форме. Для простоты рассмотрим случай линейно-изменяющегося
поля, в котором, например, всюду dEldx=const Следовательно,
интеграл потока будет:
А А
где т — поток массы по всему сечению канала. Тогда для течения в
трубе результаты в интегральной форме будут иметь вид:
m*L = Cqw-V^; (3.3.44)
md-^ = Cqw; (3.3.45)
*%-=Cqw. (3.3.46)
т
дх
Здесь C=nd — периметр сечения трубы и qw=k(dT/dr)w — поток
энергии, направленный от стенки к жидкости, который предполагается
постоянным по периметру. В рассматриваемом случае нет
необходимости учитывать движение границ; однако при течении в канале
кольцевого сечения это может потребоваться.
Полученные результаты применимы в следующих случаях:
а) уравнения (3.3.33), (3.3.39), (3.3.44): параллельные течения со
строго постоянной плотностью жидкости;
б) уравнения (3.3.35), (3.3.41), (3.3.45): параллельные течения
с переменной плотностью, когда, однако, изменение плотности
составляет лишь малую долю среднего значения;


133
Течения в каналах, I. Теоретические' основы
[Гл. 3
в) уравнения (3.3.37), (3.3.42), (3.3.46): параллельные течения со
значительными изменениями плотности и скорости в направлении
течения, когда, однако, пульсации плотности составляют малую долю
локального среднего значения.
Применимость уравнений, указанных в пунктах «б» и «в», для
других случаев не очевидна, поскольку их вывод основан на предположении
о постоянстве плотности; однако фактически получаются идентичные
результаты, если это ограничение ослаблено.
Можно было бы провести аналогию с представленным выше
анализом уравнения количества движения, применяя полученные
энергетические соотношения к некоторым ламинарным течениям и к ограниченным
областям турбулентных течений — подслою и ядру течения, где
эффективные коэффициенты переноса почти постоянны. Но это будет сделано
в гл.' 5 при наличии более детальной картины течения в пристеночном
слое и возможности более исчерпывающего и всестороннего анализа.
3.4. ПРОСТЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
3.4.1. ПРОБЛЕМА ЗАМЫКАНИЯ
Предыдущие части этой главы обеспечили две предпосылки для
решения прикладных задач, связанных с турбулентными течениями
в каналах:
1) действительную картину турбулентного движения, основанную
на измерениях осредненных по времени характеристик;
2) рациональные уравнения, выражающие осредпенные по времени
условия сохранения массы, импульса и энергии.
Однако этих уравнений недостаточно для определения даже
простейших характеристик турбулентности или связанного с ней среднего
движения. Рассмотрим в качестве примера область развитой
турбулентности плоскопараллельного течения, для которого
duv ' dPw
dy p dx
(3.4.1)
является уравнением количества движения, полученным из уравнения
(3.3.20), и
-=£--s-Kf+iOH (ЗЛ2)
— уравнением энергии, полученным из (3.3.26). Эти два уравнения
включают четыре характеристики течения: U, uv, et и v (pIp-^ — Qj- Хотя
дополнительные соотношения между этими величинами можно получить
изосновных законов сохранения, но использование этих дополнительных
соотношений неизбежно вводит еще большее число характеристик
турбулентности. Поэтому возникает проблема замыкания: каким образом
можно прекратить этот бесконечный процесс увеличения числа
неизвестных величин, чтобы получить замкнутую математическую задачу?
Некоторыми возможными способами решения проблемы являются:
1) математический подход: упрощение существующих уравнений
путем отбрасывания членов или представления их в удобном виде,
возможно, по аналогии с ламинарным течением;


§3.4]
Простые теоретические модели
139
2) физический подход: использование специфических моделей
турбулентности для того, чтобы установить новые зависимости, т. е.
зависимости, не вытекающие явно из уже использованных фундаментальных-
физических принципов;
3) комбинированный подход: сочетание физических соображении
с упрощением и преобразованием математических результатов.
Чтобы получить численные результаты любым из этих методов
анализа, необходимо иметь некоторую эмпирическую информацию,
представляемую обычно в виде «универсальных» констант или функций.
Наиболее ранние попытки расчета турбулентного движения
основывались на третьем подходе — сочетании физических и математических
соображений. Сравнительно сложные методы, которые были
разработаны для пограничных слоев и других сложных течений, будут
рассмотрены в гл. 8 и 9. Сейчас же остановимся на результатах, полученных
первыми исследователями турбулентности, которые использовали
первые два описанных выше подхода и ввели коэффициенты
турбулентного переноса, длину пути смешения и аналогичные искусственные
приемы. Эти ранние теории часто называют феноменологическими или
полуэмпирическими теориями турбулентности, так как они сочетают
эвристические соображения и эмпирические данные для расчета в целом
явлений, обусловленных действием турбулентности.
В некотором отношении ранние теории способны ввести в
заблуждение, хотя даваемые ими полезные результаты большей частью можно
получить и из более реалистичных соображений, зачастую из одного
только анализа размерностей. Тем не менее необходимо иметь
некоторые познания о простых моделях, так как они приводятся в работах
по турбулентности. Кроме того, они дают правильные результаты
(возможно, случайно) для ограниченного числа практически важных задач
и поэтому обеспечивают основу для многих современных расчетов,
Относящихся к турбулентным течениям.
Модели турбулентности приведены здесь в качестве примера
решения проблемы замыкания. Они могут рассматриваться и с иной точки
зрения и, несомненно, так и рассматривались теми, кто их разработал.
Простые модели вводят фиктивные величины — коэффициенты
турбулентного переноса, длину пути смешения и поток массы, которые легче
представить себе, чем пульсации фактического движения. С этой точки
зрения они являются попыткой решения проблемы структуры, —
физическим аналогом математической проблемы замыкания.
3.4.2. ТУРБУЛЕНТНАЯ ДИФФУЗИЯ И КОНВЕКЦИЯ
При рассмотрении уравнений (3.2.2) отмечалось, что в суммарном
потоке / слагаемое p6i/, которое учитывает турбулентное перемешивание,
может быть формально представлено либо как градиентная диффузия,
либо как установившаяся поперечная конвекция. Поэтому общий
результат (3.2.1) можно записать в виде
/ = -p(K+es)jg-+PSV (3.4.3)
или
J = -pK-^T + pS(V + Vs), (3.4.4)


140
Течения в каналах. I. Теоретические о:новы
[Гл. 3
где 8S — коэффициент турбулентного переноса и Vs — эффективная
скорость поперечного переноса (поперечной конвекции). Метеорологи часто
называют коэффициент турбулентного перекоса коэффициентом обмена,
или, следуя употребляемому в немецком языке термину, —
коэффициентом диффузии. Иногда в величину коэффициента включают плотность
жидкости, что дает «динамический», а не «кинематический»
коэффициент переноса.
Хотя формулировка (3.4.4) является адекватной для определенных
задач, значение пульсации s, входящее в sv, часто выражают через
полное изменение среднего значения в какой-либо части потока. Это
изменение показано на рис. 3.10 как AS. В этом случае уместно
записать:
y,v,j j J = -PK^- + ?SV + GsbS, (3.4.5)
Рис. ЗЛО. Представление потока поперечного градиента
средней величины S с помощью эффективного
коэффициента переноса е8 и эффективного потока массы (или потока
Рейнольдса) Ga. Последний определен через изменение AS
в рассматриваемой области течения.
/ — профиль среднего значения характеристики S; / — эффективная
конвекция pSVs (или G8AS) при Gs>0; // — эффективная диффузия
AS pesdS/dy при £s>0.
где Gs — поток Рейнольдса (эффективная скорость поперечного
переноса в интервале AS), выражаемый как поток массы основной жидкости
.на единицу площади.
Гипотетические характеристики турбулентности находятся в
следующем отношении друг с другом и с основной составляющей
турбулентного смешения:
5?=G,-f-=:K«S = -.,-f-. (3.4.6)
Формально всякий процесс смешения можно описать любым из
этих трех способов. Тем не менее для специфических условий один из
способов может оказаться значительно проще и содержательнее по
смыслу, чем другой. В частности, появление отрицательных значений
коэффициента турбулентного переноса может указывать на то, что
процесс является существенно отличным от микроскопического смешения,
которое подразумевается в градиентной диффузии. Эффективная
конвекция не связана такими условными ограничениями, и с этой точки
зрения такой способ описания процесса смешения имеет большую
область применения.
Более общее представление турбулентного смешения можно
получить, если учитывать и диффузию, и конвекцию:
lTo-es^Tvs = VsS = ^t±S. (ЗАЛ)
Здесь v8, Vs и Gs представляют остаточный поток, который нельзя
ос-алистически описать как градиентную диффузию. Остаточную конвек-
'^v*o обычно представляют как характеризующую крупномасштабную


§3.4]
Простые теоретические модели
141
турбулентность, тогда как градиентную диффузию связывают с
мелкодисперсной турбулентностью.
Итак, для каждой конкретной субстанции 5 приходится
сталкиваться с необходимостью решения проблемы того, как результирующий
эффект sv следует разделить между диффузией и конвекцией. На эту
проблему уже обращалось внимание в связи с вопросом о членах
уравнения механической энергии (3.3.26), представляющих турбулентную
«диффузию». Следует ожидать, что для любой переносимой субстанции
разделение между диффузией и конвекцией изменяется от одного вида
течения к другому (к примеру, от следа до течения в трубе) и от одной
■области потока к другой (к примеру, от ядра течения до пристеночного
слоя).
Представляя турбулентное смещение целиком как диффузию или
конвекцию, исследуем соотношение между коэффициентами переноса
для двух различных субстанций. Это исследование основано на
соотношении
; = _pe,.|L=G,AS. (3.4.8)
Величины 8Л и Gs можно интерпретировать двумя способами:
1) как турбулентные коэффициенты, выражающие только
турбулентное перемешивание, как в уравнениях (3.4.3) — (3.4.5); в этом случае
AS будет изменением только в полностью турбулентной области
течения;
2) как эффективные коэффициенты, представляющие и
молекулярное, и турбулентное перемешивание; здесь AS может быть изменением
во всем течении.
Какой из этих способов оказывается уместным, зависит от
конкретного применения.
Если средние распределения свойств Si и S2 имеют подобную
форму, так что
1 dSt _ \ dS2
bSx ду ~~ uS2 ду >
(3.4.9)
то из соотношения (3.4.8) находим:
^ G8t A/AS,
"/2/AS2
(3.4.10)
Эти результаты и заключают в себе существо часто используемой
аналогии между переносом импульса, тепла и массы. Однако в данный
момент больший интерес представляет вопрос о том, какая информация
о соотношении между коэффициентами турбулентного переноса и рей-
нольдсовыми потоками заключена в этих результатах. Для подобных
распределений S\ и S2 коэффициенты переноса двух субстанций
(свойств) пропорциональны рейнольдсовым потокам. Если же эти
распределения не будут подобными, соотношения (3.4.10) неприменимы;
однако все же можно предположить, что различные коэффициенты
переноса соответствуют и различным рейнольдсовым потокам. В
частности, отсутствие подобия распределений можно ожидать в том случае,
когда в двух процессах переноса диффузия и конвекция находятся
в различном соотношении друг с другом.


142 Течения в каналах. I. Теоретические основы [Гл. 3"
Прежде чем обратиться к рассмотрению коэффициента
турбулентного переноса и рейнольдсова потока в отдельности, проанализируем;
те условия, при которых использование одной из этих величин будет
предпочтительным, т. е. будет давать простое и достаточно точное
описание процесса турбулентного смешения. Рисунок 3.11 дает
представление о том, как эти две
характеристики изменяются
поперек турбулентного потока
в канале. Для рейнольдсова
потока важно различать
указанные выше интерпретации^
приведенные вслед за
уравнением (3.4.8); только для
второй интерпретации Gs остается1
почти постоянным в пределах,
вязкого слоя, как показано на
рис. 3.11. Можно видеть, что-
коэффициенты турбулентного
переноса и рейнольдсов поток,
в этом смысле взаимно
дополняют друг друга: один из них
постоянный (или медленно
изменяется), другой изменяется
быстро. В ядре течения ss
почти постоянен; это
обстоятельство уже использовалось при расчете данных табл. 3.3. С другой
стороны, в пристенном слое Gs почти постоянен, а затем изменяется
поперек канала почти линейно (точно так, как изменяются касательные
напряжения, что будет показано ниже).
Отсюда следует вывод, что подход, основанный на использований-
коэффициентов турбулентного переноса, наиболее успешно может быть-
использован для областей течения, удаленных от твердых границ
потока, для свободных турбулентных потоков и для ядра течения в каналах.
Подход, основанный на концепции рейнольдсовых потоков, дает лучшее
(т. е. более простое) описание процессов переноса в пристеночном слое,,
а также оказывается полезным при расчете переноса поперек всего
канала, включая пристеночный слой и ядро течения, так как обычно этот
процесс определяется течением вблизи стенки. Как указывалось выше,
изменения коэффициента турбулентной диффузии и рейнольдсова
потока от одной субстанции к другой являются величинами одного порядка.
Следовательно, с этой точки зрения ни тот, ни другой подход не
обладает преимуществом.
3.4.3. КОЭФФИЦИЕНТ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА
Рассмотрим простую математическую модель, описывающую
диффузионное действие турбулентного смешения в направлении,
поперечном к линиям тока среднего параллельного течения. Для определения
изменения общего свойства Р при движении частиц жидкости со
средним распределением Р(у) примем, исходя из лагранжевого описания
\У
}//////7//7/////////////////^
Рис. 3.11. Типичные изменения коэффициента
турбулентного переноса, эффективного
коэффициента переноса и потока Рейнольдса при
турбулентном течении в канале.
• «эффективные» характеристики,
включающие и молекулярный, и турбулентный перенос.
— «турбулентные» характеристики, которые
описывают только турбулентный перенос. Для
наглядности толщина вязкого слоя и различие между
эффективным коэффициентом переноса и
коэффициентом турбулентного переноса преувеличены.
/ — гладкая стенка; 2 — ось симметрии.
= — 8(Р — Р). (ЗАМ}


•§ 3.4J
Простые теоретические модели
143
Константа 6 связывает скорость этого изменения с отклонением Р
от локального среднего значения; она зависит от эффективности
обмена с окружающей средой посредством молекулярной диффузии и
других процессов переноса. Например, когда рассматривается перенос
импульса, б должна включать эффект пульсаций давления, связанных
с движением, в результате которого осуществляется процесс переноса.
Решение уравнения (3.4.11) имеет вид.
Р (t) ■= 8 f P (t — z) e~l4z. (3.4.12)
6
В этом можно убедиться путем подстановки (3.4.12) в исходное
уравнение и интегрирования его по частям. Это решение дает
мгновенное значение, выраженное через средние значения в окрестности
частицы жидкости в предшествующие моменты времени; множитель е~ т
отражает все более уменьшающийся эффект «предыстории».
Предполагая перемещения частицы малыми и распределение
градиента Р довольно равномерным, вычислим средний временной профиль
в виде
Р(/-,) = р(*) + ^Д*/('-')=7Ч') + ^- J 0(,')</,'. (3.4.13)
t
Подстановка этого результата в (3.4.12) с последующими заменой
переменных и изменением порядка интегрирования дает:
_ 00
P(t)=F(t)-^r\v(t-,)e-b^. (3.4.14)
О
Наконец, предполагая, что рассматриваемое поле статистически
стационарно, получаем:
Ш^)= --w\Q»(х) е~'ж (ЗЛ 15)
О
где (в соответствии с табл. 2.1)
Q22 (x) = v(t)v(t-z) =V2R22 ft. (3.4.16)
Это автокорреляционная функция пульсации поперечной
скорости v. Заметим, что это лагранжева корреляция, устанавливающая связь
•скоростей частиц, проходящих через рассматриваемую точку со
скоростями, которые они имели на время т ранее.
Наконец, заменим Р(у, t) на S (у) +s(у, t) (следуя прежним обоз<
начениям) и получим из уравнения (3.4.15):
О
Это означает, что коэффициент турбулентного переноса зависит от
«основных характеристик турбулентности через корреляционную
функцию Q22(t) и от переносимой субстанции (и других аспектов
турбулентности) через коэффициент переноса 6S.


144
Течения в каналах. I. Теоретические основы
1Гл. 3
Вывод этого выражения для коэффициента турбулентного переноса
указывает на условия, при которых можно ожидать, что градиентная
диффузия будет доминирующей. Определяющим в уравнении (3.4.13)
является требование, чтобы масштаб смешения был малым по
сравнению с масштабом изменений распределения Р(у). Если это условие не
удовлетворяется, например, вблизи довольно резко выраженного
максимума средней скорости пристеночной струи, следует ожидать, что
модель градиентной диффузии не будет адекватной.
Вполне очевидно несостоятельность диффузионной модели
проявляется при описании переноса работы, связанной с пульсациями
давления [так называемый член диффузии — давления в уравнении (3.3.26)].
Ни одно из основных соотношений (3.4.11), (3.4.13) нельзя безоговорочно-
применять к пульсациям давления. Эти замечания согласуются с
аномальным эффектом диффузии давления в пределах пристеночного слоя.
Из рис. 3.8,6 можно видеть, что эта диффузия порождает поток энергии,,
направленный в область с наибольшей энергией турбулентности.
Однако, как отмечалось в п. 3.3.4, определение этого вклада является
сомнительным.
Общий характер структуры переноса в турбулентном течении, в
котором коэффициент переноса изменяется лишь умеренно, можно выявить
при помощи исследования течений ньютоновской жидкости. Однако
применительно к общему турбулентному движению такую информацию
необходимо использовать с большой осторожностью, так как следует
ожидать, что коэффициент турбулентного переноса зависит от:
1) вида течения;
2) масштабов длины и скорости L0 и [/0, определяющих вид
течения, и числа Рейнольдса, вычисленного по ним;
3) положения рассматриваемой точки в потоке, определяемого ко*
ординатами х к у;
4) переносимой субстанции S, по крайней мере, от ее коэффициента
переноса К.
Таким образом, имеем:
-йг='ЫЬ -t> -^г-. т.ввд течения)- (3,4Л8>
Эгот ход рассуждений был использован в уравнении (3.3.22), в
котором параметры Rf и R0 определены с использованием масштабов
длины и скорости среднего течения (ширины канала b и расстояния Ау, на
котором происходит изменение скорости), динамической скорости щ и
изменения скорости AU поперек потока.
Карман попытался ослабить зависимость безразмерной
характеристики (3.4.18) от вида течения и относительного положения в потоке»
принимая масштабы, связанные с локальной турбулентностью:
где %х — продольный микромасштаб турбулентности. Ни один из этих
способов нормирования с помощью масштабов не дает широко
применимого выражения для коэффициента турбулентного переноса. Кроме
того, если принять этот метод анализа, то лучше непосредственно-
использовать легко интерпретируемые величины, такие, как uv, a hcv
гипотетическую величину ев.


§3.4J
Простые теоретические модели
145
3.4.4. РЕЙНОЛЬДСОВ ПОТОК
Рейнольдсов поток нельзя получить при помощи аналогии с
молекулярной диффузией, и он редко используется для описания процессов
переноса в ламинарных потоках. Однако рассмотренные ниже примеры
включают и ламинарное, и турбулентное движения, так как при этом не
делается никаких предположений о механизме поперечного переноса.
Будет показано, что некоторые параметры, обычно используемые для
определения переноса импульса, тепла и массы (коэффициенты трения
и числа Стантона), можно интерпретировать как безразмерные формы
рейнольдсова потока. Таким образом,
/-»
-г! безразмерный коэффициент переноса, (3.4.20).
где р — постоянная плотность основной жидкости; Uo — характерная
средняя скорость (возможно, это средняя скорость течения в канале,
скорость внешнего течения за пределами пограничного слоя или разность
скоростей в слое смешения). В общем, безразмерная характеристика
(3.4.20) будет обнаруживать функциональную зависимость, указанную
в уравнении (3.4.18) для коэффициента турбулентного переноса.
а) Теплоперенос. Здесь А5=АЯ (разность энтальпий) и уравнения
(3.4.8) дают поток энтальпии
qh = GhbH9 (3.4.21
где Gh — рейнольдсов поток массы для энтальпии. Используя число
Стантона, получаем:
St = p-fc77=W- (3A22>'
Эти результаты справедливы для любой области течения, но
наиболее часто применяются для области между твердой стенкой и
основной массой жидкости, обтекающей ее. Для канала при Uo=Ua число
Стантона можно трактовать как отношение потока энергии от стенки qw
к конвективному потоку энергии вдоль канала или проще — как
отношение потока Рейнольдса (для тепловой энергии) к массовому расходу
в канале. Если потоку Рейнольдса придана вторая интерпретация [см.
уравнение (3.4.8)], то такая трактовка числа Стантона применима и
к ламинарному, и к турбулентному течению.
б) Массоперенос. Здесь AS=AC/p, где АС — изменение средней
концентрации. Уравнение (3.4.8) дает поток массы субстанции,
концентрация которой С:
N=-^AC9 (3.4.23)
где Gc/p — коэффициент массопереноса, имеющий размерность
скорости. Используя безразмерные параметры, аналогичные числу Стантона,
получаем:
Непосредственная аналогия с уравнением (3.4.22) очевидна.
10—56


Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
з) Перенос импульса; касательное напряжение. В этом случае обыч-
::о имеем S=AS=U0 (масштаб средней скорости) и
T=GmUo=^pVmUo, (3.4.25)
где Gm — Рейнольдсов поток импульса и Vm — скорость поперечной
конвекции в уравнении (3.4.4). Заметим, что характеристики
гипотетического поперечного течения изменяются поперек течения так же, как и
касательное напряжение; их изменение линейно в полностью развитом
течении в канале. Для коэффициента трения имеем зависимость
= 2-^- = 2-!^, (3.4.26)
дающую простое кинематическое соотношение между этим
коэффициентом и гипотетической скоростью Vm.
г) Поперечное течение и трение. Здесь имеет место перенос
импульса, связанный со скоростью конвекции V, и эффективное касательное
напряжение равно:
Xe=p(-VU+VmU0), (3.4.27)
где U — локальная средняя скорость. Эффективное напряжение больше
напряжения смешения при V<0 (когда фактическое течение направлено
к стенке). Применительно к внешней границе пристеночного слоя при
Uo=U=Ua (средняя скорость в канале) данный результат принимает
вид
%e=pUa(-V+Vm) = Ua(-pV+Gm), (3.4.28)
что показывает, как взаимодействуют фактическое и гипотетическое
течения, давая суммарный перенос импульса или эффективное
касательное напряжение. Такая формулировка часто используется при
рассмотрении течений у стенки, когда имеют место конденсация, испарение или
отсос.
Соотношения (3.4.22), (3.4.24), (3.4.26) дают широко используемые
аналогии между переносом импульса тепла и массы. Объединяя их,
получаем:
2^4r=-sfc-=p£/'- (3<4-29)
Эти результаты — частная интерпретация правой части уравнений
(3.4.10). Если предположить, что потоки Рейнольдса одинаковы для
указанных трех процессов переноса, получим:
-LCf = St=Stc=-^- (3.4.30)
ИЛИ
_ ЧК
£r = Gm. (3.4.31а)
U0 АН — АС
Эта система соотношений общеизвестна как аналогия Рейнольдса,
причем различные потоки обычно вычисляются на стенке. Возможно,
что из этих потоков Рейнольдса два будут одинаковыми, но не равны
третьему; наиболее вероятно, что
Gh=Gc^Gm.


§3.4]
Простые теоретические модели
147
В этом случае справедлива частичная аналогия. Обоснованность
аналогии Рейнольдса и ее усовершенствование будут детально
рассмотрены в гл. 5.
Если исходить из того, что средние распределения [/, Н и С
подобны в смысле, определенном уравнением (3.4.9), то уравнения (3.4.10)
показывают, что три коэффициента переноса равны, когда равны три
рейнольдсовых потока. Если коэффициенты переноса трактовать как
коэффициенты турбулентного переноса, описывающие только
турбулентное смешение, то это означает, что турбулентные числа Прандтля и
Шмидта равны единице:
Pr,=Sc,=l. (3.4.316)
Однако, если эти коэффициенты трактовать как эффективные
коэффициенты переноса, описывающие суммарный молекулярный и
турбулентный перепое, молекулярные числа Прандтля и Шмидта также
равны единице:
Pr=Sc=Prj=Sc,=l. (3.4.32)
Аналогия Рейнольдса часто выводится из этих требований; однако
приведенный выше вывод, основанный на равенстве потоков
Рейнольдса, является более ясным.
3.4.5. ДЛИНА ПУТИ СМЕШЕНИЯ
В течение многих лет наиболее широко используемым методом
приведения уравнений турбулентного движения к замкнутой системе,
поддающейся решению, был метод Прандтля, основанный на введении
понятия пути смешения, под которым понимается расстояние, которое
проходит частица поперек течения, прежде чем происходит смешение-
с окружающей ее жидкостью. Когда изменение пути смешения
определено соответствующим образом, можно рассчитать распределение
скорости и другие характеристики среднего течения.
Первоначально определение пути смешения исходило из аналогии
между турбулентным смешением и молекулярным переносом в газе,
когда свойства молекул остаются неизменными в промежутках между
их соударениями. Мы не будем придерживаться такой ограниченной
трактовки; вместо этого мы разовьем понятие пути смешения в качестве
альтернативной формулировки модели градиентной диффузии при
турбулентном смешении.
Формулу (3.4.14), которая определяет пульсации вследствие малых
случайных движений поперек градиента дР/ду, можно записать более
просто в виде
P(t) = P(t)-^L. (3.4.33а).
где
00
L=\v{t-*)e-ufo (3.4.336)
.)
О
есть эффективное расстояние, которое проходит частица, находящаяся
в данное время в рассматриваемой точке. Расстояние L испытывает
случайные пульсации и является функцией б — параметра,
определяющего процесс обмена субстанции Р с окружающей средой в процессе
10*


148
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
ее развития. Вводя S(y)-\-s(y, t) вместо Р(у, t), рассчитаем
корреляционную функцию смешения и коэффициент турбулентного переноса:
~~ — ds - :^lsj (3.4.34)
su =— vL,
ду
И е.
где L.s — длина, соответствующая процессу переноса данной
субстанции 5.
До сих пор рассматривались только результаты, относящиеся к
градиентной диффузии. Теперь добавим новый элемент — явный метод
расчета переноса посредством пульсаций v через градиент средней
скорости dU/dy. Применяя уравнение (3.4.33) к скорости U-\-u, получаем:
Примем, что v зависит от градиента средней скорости почти таким
же образом, как и и, и введем
dU
v =
dy
(3.4.35)
где Lv{—Lm) —случайно изменяющаяся длина, характеризующая
пульсации v. Абсолютная величина, обозначенная вертикальными линиями,
обеспечивает условие, что v^O всегда соответствует Lv, Lm^0; так,
.uv<0 при dU/dyX).
Уравнения (3.4.34) теперь запишутся в виде
sv = — LvLs
dU
dy
dS
ду
и е.
• LVLS
dU
dy
Наконец, введем длину смешения ts и получим:
от"= — /2
dU
dy
dS
ду
и sc
:/2
dU
dy
(3.4.36)
(3.4.37)
Такой подход можно аргументировать тем, что Lv-—Ls, т. е. для
■описания смешения достаточно одной характеристики длины пути
смешения. Тем не менее можно считать величину l2s просто компактным
.обозначением для LVLS, хотя это предполагает положительную
корреляцию между Lv и Ls и означает, что es^0.
Подобно понятиям коэффициента турбулентного переноса и потока
Рейнольдса, модель пути смешения оказывается полезной только
тогда, когда с ее помощью можно получить достаточно точное описание
некоторых аспектов турбулентного течения. Для определенных задач
это оказалось осуществимым, хотя успешный результат привел к
чрезмерному вниманию к подобной модели, по своим возможностям
ограниченной для практического применения. Ниже рассматриваются
некоторые допущения, которые были приняты относительно изменения длины
пути смешения в турбулентном течении. Затем будет показано, что
большинство найденных таким образом правильных результатов можно
получить из анализа размерностей для исходной задачи основной
проблемы, не прибегая к использованию понятия пути смешения.
Предлагаемые выражения для длины пути смешения включают
эмпирические коэффициенты, которые должны быть выбраны так, чтобы
получить соответствие с наблюдаемыми в опытах характеристиками
турбулентных течений. Часто выясняется, что при этом длина пути
смешения не согласуется с теми предпосылками, па которых эта модель


§3.4)
Простые теоретические модели
149
основана, а именно, длина пути смешения оказывается сравнимой, с
шириной потока, вместо того чтобы быть намного меньше ее. Это
обстоятельство позволяет предположить, что и гипотеза пути смешения, и
гипотеза градиентной диффузии не в состоянии описать физические
процессы смешения и что они не могут дать приемлемой основы для
расчета существенно изменяющихся и более сложных турбулентных течений.
Ниже указаны некоторые характеристики, принятые в гипотезах
пути смешения. В каждом случае формула для коэффициента
турбулентного переноса следует из уравнений (3.4.37); некоторые из
предложений первоначально сделаны для коэффициента турбулентного
переноса, а путь смешения выводится как следствие.
а) Длина пути смешения одинакова для различных субстанций:
lm=lh=lD. (3.4.38)
При этих допущениях коэффициенты турбулентного переноса также
^одинаковы. При условии, что распределения средних значений
рассматриваемых субстанций подобны, потоки Рейнольдса также одинаковы и
применима аналогия Рейнольдса (3.4.30). Следует осознавать, что
допущения (3.4.38) приняты для удобства и не свойственны модели пути
^смешения; некоторые несоответствия этих допущений вскоре станут
очевидными.
б) Для свободного слоя со сдвигом шириной Ъ
—^-г=К — эмпирическая постоянная (3.4.39)
для данного вида течения. Это условие можно обосновать тем, что
смешение поперек слоя не ограничивается, хотя масштаб его
увеличивается с увеличением ширины потока. Значения постоянной (^0,1)
указаны в табл. 7.2.
в) В полностью турбулентном течении вблизи стенки
—У- = К — эмпирическая постоянная. (3.4.40)
Эта постоянная, равная примерно 0,4, часто называется постоянной
Кармана. Допущение (3.4.40) может быть объяснено тем, что размер
доминирующих «вихрей» определяется расстоянием от стенки. Если
(3.4.40) подставить в уравнение (3.4.37) и использовать результат для
слоя постоянного напряжения, то получим:
ку
dU
dV — tw
dy P
dy
где Uf — динамическая скорость. После преобразования получим
dU af
Интегрирование дает:
dy Ky
(3.4.41)
^ = -i-In у + const. (3.4.42)
Этот логарифмический закон стенки позже будет выведен па
основе только анализа размерностей.
г) Для течения в открытом канале глубиной d
lm Wl--fY/2. (3.4.43)
у


150
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
Эта формула дает несколько более последовательные результаты
для потока, чем простое предположение (3.4.40). Заменяя d на R или
-j-Ь, получаем зависимости для трубы радиусом R или для закры>
того канала шириной Ь.
д) Для внешней части турбулентного пограничного слоя
толщиной б
Т=/(-г)' (ЗА44>
причем предполагается, что / — универсальная функция, иногда
выбираемая так, что lm — постоянная, скажем, при z//6>0,2.
е) Используя анализ размерностей, Карман определил длину пути
смешения через локальные характеристики среднего течения:
Если этот результат применить к слою постоянного касательного-
напряжения, снова получим зависимости (3.4.41), (3.4.42), поэтому
постоянная К будет иметь то же самое значение, которое приведено выше.
Существенное развитие подхода, основанного на длине пути
смешения, было сделано Тэйлором. Он исходил из того, что представление
процесса переноса тепла и импульса не может быть осуществлено одним
способом, так как на скорость движущихся частиц жидкости будут
оказывать влияние пульсации давления. В результате Тэйлор
рассматривал перенос завихренности, так как в двумерном течении эта величина
ведет себя подобно теплу, т. е. сохраняется, если не учитывать действие
мелкомасштабной диффузии [см. обсуждение явлений, связанных
с уравнениями (1.4.3)].
Роль пульсаций завихренности можно выявить, если переписать
баланс сил (3.3.12) для плоскопараллельного течения. Для полностью-
турбулентной области течения
1 dPw 1 dz fo^ l ^ ^"
— v-
p dx p dy jiy - dy dy
Если предполагается, что турбулентное движение происходит в то а'
же плоскости, что и среднее, то оно описывается уравнением
неразрывности вида (3.3.7). Отсюда
да ' dv :0 (3.4.46)
дх ' ду
и нетрудно видеть, что один из членов уравнения импульса в таком
потоке равен пулю:
ду 2 дх
Добавляя слагаемое
ду L^!l_ п
V дх — 2 дх —U'
преобразуем уравнение импульсов к виду
1 dz ( dv да \ — /0 Л ,—.


§ 3.4J
Простые теоретические модели
151
Пульсация завихренности (или вращение жидкости) определяется
формулой
dv да (3.4.48)
cU
ду *
Для параллельного течения среднее значение этой величины равно
—dU/dy.
Результаты, основанные па использовании модели пути смешения,
можно использовать для вычисления корреляционной функции усо.
Заменив в уравнении (3.4.37) S-\-s на —dU/dy-j-a, получим:
-1\\^\^ (3-4.49)
Р dy
ДО:
dy2
и
= 12
dU
dy
Эта зависимость между касательным напряжением и средней
скоростью отличается от зависимости, полученной непосредственно из
рассмотрения корреляции uv, а именно:
dz
■dy
dav
dy
= -r I
dy
dU
dti
dU
dy
(3.4.50)
«и
-I2
dU
dy
В этом смысле первоначальную гипотезу Прандтля называют
моделью переноса импульса в отличие от гипотезы переноса
завихренности Тэйлора.
Наиболее важный вывод, который следует из сравнения результатов
теорий переноса импульса и переноса завихренности, заключается
в предостережении, что обе эти теории нереалистичны. Каждая из них
соответствует определенной форме градиентной диффузии и в лучшем
•случае дает только грубую аппроксимацию турбулентного смешения, что
явно следует из противоречивости результатов, полученных на
основании моделей пути смешения и турбулентного переноса.
Учитывая это предостережение, посмотрим, можно ли извлечь что-
либо положительное из противоречивых результатов Прандтля и
Тэйлора. Для простоты предположим, что поперек потока выполняется
условие
1пр /, = const. (3.4.51)
Это ограничивает анализ случаями свободной турбулентности и
ядра течения, где на основе этого предположения можно достаточно
точно рассчитать среднюю скорость течения. Именно в таких потоках
может использоваться модель переноса завихренности, поскольку здесь
наблюдаются существенно двумерные движения, например вихри,
отрывающиеся в область следа за цилиндром, расположенным
перпендикулярно течению. Уравнения (3.4.49), (3.4.50) дают одинаковое
распределение касательных напряжений, если
2/2
:/2 = COnSt.
(3.4.52)


152
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
Этот результат заставляет усомниться в правильности допущения*
(3.4.38).
Предположим, что мы пытаемся установить аналогию между
переносом тепла и трением. Какое из условий
Ч = *т и еЛ=еф (3.4.53)
более реалистично? Для свободной турбулентности, где механизмы
переноса тепла и завихренности скорее всего подобны, второе условие
дает лучшие результаты. Для пристеночной турбулентности, которая
в любом случае не подчиняется соотношениям (3.4.52), первое условие
дает лучший результат. Мы приходим к заключению, что условие
(3.4.38) в общем не выполняется.
3.4.6. ГИПОТЕЗЫ ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ И ДЛИНЫ ПУТИ СМЕШЕНИЯ
Выше была рассмотрена модель пути смешения как частная форма;
градиентной диффузии. Следуя первоначальным взглядам Прандтля,.
эту модель можно рассматривать как обобщение кинетической теории
газов. Зависимость
ss = vLs (3.4.54a>
является отправной точкой для анализа. В газе при низком давлении
можно предполагать, что молекулы являются жесткими, отсутствует их
взаимное притяжение, скорость частиц и расстояние, проходимое ими,,
являются независимыми. Кроме того, так как здесь соответствующие
масштабы очень малы по сравнению с масштабами движения основной
массы жидкости, то последнее на эти масштабы не влияет.
Следовательно, коэффициент молекулярной вязкости можно выразить в виде
v~XV\ (3.4.546)
где К — средняя длина пути свободного пробега молекул (зависит от
плотности) и V — среднеквадратичное значение скорости молекул
(зависит от температуры). Детальные расчеты дают значение
коэффициента пропорциональности, равное 1/3, соответствующее коэффициенту
кинематической вязкости; значения констант для других коэффициентов*
переноса имеют тот же порядок.
В процессе турбулентного переноса элементы v и Ls находятся
в корреляционной зависимости. С учетом этого для коэффициента
турбулентного переноса из уравнений (3.4.16), (3.4.17) получаем
зависимость
О
и из уравнения (3.4.37)
В последней формуле указанную корреляцию учитывает градиент
скорости dUjdy.
Рассматривая только коэффициент турбулентной вязкости, мы
можем продолжить аналогию с кинетической теорией газов. Комбинируя


§ 3.4J
Простые теоретические модели
15а
результаты
получаем:
_«, = _-=/Ц_-) =.„-2^, (3.4.55)
f = L(lm^\ (3-4.56)
£т— I'm
?
Для слоя постоянного напряжения при т^/р=^2/ получим:
гт=1ГаЩ=Кщу, (3.4.57)
принимая lmz=Kyl как в уравнении (3.4.40). (Эти последние результаты
фактически можно получить из анализа размерностей, если потребовать,
чтобы lm и гт зависели только от щ и у.) Аналогия с коэффициентом
молекулярного переноса (3.4.54) очевидна: средней длине пути
свободного пробега соответствует длина пути смешения, а молекулярной
скорости— динамическая скорость или ее эквивалент lmdU/dy.
Также представляет интерес выражение для коэффициента
турбулентной вязкости через эффективную скорость поперечной конвекции,
которая связана с рейнольдсовым потоком импульса через I/m=Gm/p.
Используя (3.4.25), получаем:
s -=( Uo )ym, (3.4.58)
£™ [ dU/dy )Vm' '
где Uo — масштаб средней скорости; Vm — «скорость смешения»,
которая выражает масштаб длины через распределение средней скорости.
Этот масштаб длины не входит в модель потока Рейнольдса, но
появляется здесь потому, что коэффициент турбулентной вязкости
выражается через те величины, которые входят в модель рейнольдсовых потоков.
Результаты (3.4.55) — (3.4.58) определяют эмпирическую (или
концептуальную) входную информацию, необходимую для простых
теоретических моделей турбулентности:
1) модель пути смешения требует изменения линейного масштаба
турбулентности;
2) модель потока Рейнольдса требует изменения масштаба
скорости турбулентности;
3) модель коэффициента турбулентной вязкости требует изменения
произведения масштабов длины и скорости.
Как было указано выше, степень выполнения этих требований
изменяется от течения к течению и от одной части потока к другой.
Аналитические результаты, полученные выше, позволяют выявить
характер ограничений гипотез коэффициента турбулентной вязкости и
пути смешения. Гипотеза коэффициента турбулентной вязкости
означает, что величина
•f- (3.4.59a)
конечна и положительна. Ряд распределений г7П(у) можно использовать
для описания различных потоков, по в каждом случае точки ут, где
dU/dy=0, должны совпадать с точкой у, в которой т=0:
Ут^Уо-
(3.4.596)


154
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3-
Гипотеза пути смешения 1 заключается в том, что
dU
dy
= lm[
где 1щ — конечная и положительная величина. Это накладывает
следующее ограничение:
ет=0 при у=ут=у0. (3.4.606)
Любая функция 1т(у), которая остается конечной в этой точке,
будет отвечать этому требованию.
Условия (3.4.59), (3.4.60) ограничивают использование моделей
турбулентной вязкости и пути смешения. Здесь рассматриваются только-
полностью развитые течения в каналах, но аналогичные ограничения,
имеют место и для иных ситуаций.
1) При расчетах расхода и трения в симметричном канале,
например в трубе, возникают некоторые трудности. Из условий симметрии
следует, что у0=ут, и стремление к нулю величины гт на оси приводит
лишь к небольшой ошибке в результатах, полученных на основе модели
пути смешения.
2) Для того чтобы определить расход и трение в асимметричном
канале, например в канале с разной шероховатостью стенок,
необходимо устранить возможную особенность, предполагая вопреки
очевидным экспериментальным данным, что уо=ут- Это не приводит к
значительным ошибкам, так как детали структуры ядра течения обычно
несущественны для таких расчетов.
3) Расчет переноса тепла от стенки к стенке связан с более
серьезной проблемой. Стремление к пулю гт подразумевает, что
коэффициент термодиффузии е/г также стремится к пулю и что вблизи точки
у0=ут существуют очень большие температурные градиенты. Поэтому
гипотеза пути смешения неприемлема для такого расчета. Однако при
использовании модели турбулентной вязкости непреодолимых
трудностей не возникает, так как величине гт можно придать конечное
значение, если предположить, что у0=ут.
3.5. УСТАНОВЛЕНИЕ МАСШТАБОВ НАПРЯЖЕНИЙ В УРАВНЕНИИ ЭНЕРГИИ
Ограничения моделей турбулентной вязкости и пути смешения
вызывают необходимость разработки более реалистичных моделей
турбулентной диффузии. Характеристика самой турбулентности — локальное
турбулентное напряжение — будет использована как показатель
турбулентности вместо градиента осредненпой скорости. Будет использован
дополнительный источник информации — уравнение энергии (3.4.2) для
параллельного течения. Хотя эти результаты лишь в малой степени
позволяют приблизиться к устранению ограничений наиболее простых
моделей, они служат переходом к более сложным моделям, которые будут
рассмотрены в гл. 9. Мы получили также несколько более
последовательную картину течений в пристеночном слое и рассмотрим, почему
здесь гипотеза пути смешения дает приемлемые результаты.
Так как во многих течениях турбулентное напряжение и градиент
скорости находятся в тесной зависимости, использование напряжений
1 Это название иногда используется для результатов (3.4.57), которые применимы
к пристеночному слою с постоянным напряжением. Такое использование этого термина
является неудачным, так как создает чрезмерно ограниченное представление как о
модели пути смешения, так и о результатах для пристеночного слоя.


§ 3.5] Масштабы напряжений в уравнении энергии 155
в качестве меры турбулентности не может дать исчерпывающего
решения задач градиентной диффузии. Кроме того, при рассмотрении
параллельных течений, типичным примером которых является развитое
течение в трубе, не принимается во внимание конвективное среднее течение.
.Эти два недостатка будут устранены в завершающих главах книги.
Равновесные слои
Рассмотрение моделей турбулентности начиналось с уравнений
количества движения и энергии (3.4.1), (3.4.2) для параллельного течения.
.При этом были детально изучены уравнения количества движения и
появляющиеся в нем эффективные напряжения с целью установления
способа расчета распределения средних скоростей течения. Вернемся
к уравнению энергии и, используя локальные касательные напряжения
в качестве меры турбулентности, рассмотрим, какую информацию
содержит это уравнение в турбулентном пристеночном слое. Чтобы это
осуществить, введем и используем понятие равновесного слоя:
1. Строго говоря, это область течения, в которой порождение и
диссипация энергии турбулентности локально уравновешиваются. При
точном энергетическом равновесии уравнение энергии дает
u*>4f + s' = 0- <3-5Л)
Рисунок 3.8 показывает, что это практически выполняется в
полностью турбулентной части пристеночного слоя в трубе. Это также
справедливо для внутренней части развивающегося пограничного слоя,
где и конвекция среднего течения, и диффузия энергии несущественны.
2. Менее точно термин «равновесный» относится к области, где
поперечная диффузия энергии может быть значительной, но, подобно
диссипации и порождению, определяется локальными характеристиками
турбулентности. Такую область лучше называть локально определенным
слоем; здесь следует использовать полное уравнение энергии (3.4.2).
3. Еще менее строго термин «равновесный» применим ко всякому
слою, безразмерная форма которого остается постоянной, хотя сам слой
развивается, т. е. другими словами, к автомодельному слою.
В этой главе мы рассмотрим только равновесные слои типов 1 и 2;
в гл. 8 мы рассмотрим автомодельные (или равновесные) пограничные
слои.
Сначала рассмотрим слой постоянного напряжения, для которого
-Ш = ^~ (3.5.2)
Р
в полностью турбулентной области. Исходя из того, что диссипация
поддерживается путем поступления энергии в движения, масштабы
которых определяются расстоянием до стенки, примем
' Р
откуда ^ = Л. / % \з/2 (3.5.36)
t У \ Р У '
где А — безразмерная постоянная. Подстановка в условие энергетиче-
го равновесия (3.5.1) дает
4^ = Л^-, (3.5.4)
dy У


156
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
а интегрирование ведет к логарифмическому распределению средней
скорости. Эти результаты эквивалентны результатам, получаемым из
гипотезы Прандтля (3.4.40): lm=Ky для пристеночного слоя при К=\ М.
Обобщая этот подход па ту часть пограничного слоя, где
касательное напряжение изменяется существенно, примем
*t — Lz - = Гг • (3-5'5>
Для этой части течения нельзя легко установить характерную
длину, связывающую напряжение и диссипацию; вместо этого примем
обратную процедуру и используем данные величины для того, чтобы
определить Lg —линейный масштаб диссипации. Для слоя постоянного
напряжения снова примем соотношение
L9 = Lm = Ky,
показывающее, что вблизи стенки этот масштаб сводится к длине пути"
смешения. Если же касательное напряжение изменяется и два
характерных линейных масштаба различаются между собой, то все же
оказывается возможным определить масштаб Le, характеризующий
локальную турбулентность и не зависящий от градиента скорости.
Чтобы скорректировать внешние течения для различных
пограничных слоев, Брэдшоу в качестве альтернативы соотношению для пути-
смешения (3.4.44) предложил зависимость
4-=/(-£-). (3-5-6>
где б — толщина пограничного слоя. Зависимость (3.5.6) дает несколько
лучшее представление пограничных слоев (т. е. функция f(y/б),
определенная таким образом, изменяется в меньшей мере от одного течения
к другому), и поэтому является лучшей основой для расчетов
пограничного слоя.
Локально определенные слои
Возвращаясь снова к менее строго определенным равновесным
слоям, соответствующим п. 2 приведенной выше классификации,
используем полное уравнение (3.4.2). Рассматривая пристеночный слой, в
котором локальный линейный масштаб равен у, будем следовать Таунсен-
ду в определении всех турбулентных характеристик через локальное
касательное напряжение. Это приводит к однородным по размерности
формулам:
— z А ( ч \3/2
— UV — ; е,= — - -— ;
(3.5.7),
где В\ — еще одна эмпирическая постоянная. Первые два соотношения
являются обобщением результатов для слоя постоянного напряжения


§3.5]
Масштабы напряжений в уравнении энергии
157
(3.5.2), (3.5.3). Уравнение энергии (3.4.2) с учетом этого дает
dU _ А / х у/2/ 3S, у dz \
причем второе слагаемое в скобках представлет диффузию энергии.
Из уравнений (3.3.16), (3.3.18) видно, что для полностью
развитого течения в трубах и каналах распределение напряжения подчиняется
линейному закону
x=xw-\-ay. (3.5.9)
Это дает приемлемую аппроксимацию для некоторых других
пристеночных течений, особенно для пограничного слоя с постоянным
давлением. При линейном изменении касательного напряжения уравнение
(3.5.8) можно проинтегрировать, это приводит к обобщению
логарифмического закона, полученного для слоя постоянных касательных
напряжений (см. пример 3.28). Для значений у, которые малы, но
превосходят значения для вязкого слоя, результат стремится к
логарифмическому закону. Кроме того, имеется более обширная область, для которой
уравнение энергии
dV_=JA ( т V/2
dy у
(3.5.10)
без члена, учитывающего диффузию энергии, дает результаты, которые
не отличаются от результатов, полученных с помощью полного
уравнения (3.5.8) Это упрощенное уравнение фактически получается в
результате использования модели Прандтля lm=Ky для пристеночного слоя,
в котором касательное напряжение изменяется.
При выводе уравнения (3.5.8) предполагалось, что на
пристеночный слой не влияют противоположная стенка, ядро течения и внешний
поток. По мере увеличения расстояния от стенки это допущение
становится все более несостоятельным. Возникает вопрос: перестает ли
простой результат (3.5.10) быть приемлемым потому, что диффузия энергии
становится значительной, или потому, что проявляется влияние внешней'
области течения? Эксперименты показывают, что константа ЗВ\/2А^
~—0,2. Малое значение этой величины показывает, что для
пристеночного слоя, поперек которого касательное напряжение существенно не
изменяется, влияние внешнего течения приведет к тому, что уравнение
(3.5.10) перестанет быть справедливым, прежде чем станет
значительным эффект диффузии. Поэтому представляется, что уравнение (3.5.8)
не будет приемлемым для течений в трубах, плоских каналах и
пограничных слоях постоянного давления.
Если касательное напряжение в пристеночном слое изменяется
существенно, то следует другой противоположный по смыслу вывод: так
как характеризующий диффузию член ау/г становится определяющим,
теперь следует использовать полное уравнение (3.5.8). Это имеет место
для пограничных слоев с большими градиентами давления и некоторых
асимметричных течений в каналах, в которых изменение касательного
напряжения подчиняется уравнению (3.3.16). Семейство равновесных
слоев, определенных локальными значениями напряжения и градиента
напряжения, имеет в качестве предельных следующие типы слоев:
1) слой постоянного напряжения, определенный только
напряжением на стенке;


158
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
2) слой нулевого напряжения, где напряженке на стенке очень мало
и течение определяется градиентом напряжения. В этом случае
турбулентность вблизи стенки поддерживается не локальным порождением,
а диффузией количества движения и энергии от турбулентности
внешнего течения.
Как было отмечено выше, эти результаты, основанные на
использовании касательного напряжения в качестве масштаба турбулентности,
ограничены допущениями гипотезы пути смешения. Однако они имеют
вполне определенную физическую и аналитическую основу и
иллюстрируют подход, который оказывается довольно эффективным.
Рекомендуемая литература
Основная литератур а [2, 3, 4, 17, 18, 21, 23, 29, 30, 33, 37,
38, 98].
Специальная литература [58, 66, 72, 90, 103, 107].
УПРАЖНЕНИЯ
3.1. Турбулентное движение в вязком подслое определяется:
1) уравнением неразрывности для пульсаций скорости
да dv dw
дх~^'д^+~д7==0
'или в тензорных обозначениях
дих ди2 дия
dxi ' дх2 "•" дхг
:0
(результат, полученный в примере 3.6) и
2) уравнениями движения
д% дР
^-д^ = дх~1Щ* i=U 2' 3'
■з которых предполагается, что градиент давления уравновешивается вязкими
напряжениями, а ускорение жидкости и турбулентные напряжения пренебрежимо малы.
а) Показать, что для неподвижной твердой стенки
dv
б) Используя результаты пункта «а» и полагая касательное напряжение
постоянным, показать, что на стенке
^L_^!L. d2U _d (av)
V dy- p '
d3U ds {av)
*W~~dT=0;
d*U d3 (au) da d'v
v dy* dy3 = 3 dy dy'
■(все указанные величины вычисляются на стенке).
Выразить iJ {у) в виде степенного ряда по у. Почему изменение средней скорости
отклоняется от линейного?
в) Показать, что в подслое имеет место соотношение
_ _ / dul \2 \ dtii др - 1 (др \2
a2==a2^\df) y~+~Wdx7y +^{дх~) *
(производные вычисляются на стенке). Как v2 и w2 изменяются в зависимости от у
вблизи стенки?
г) Найти выражение для изменения uv, подобное тому, которое приведено
в пункте «в» для величины и2. Как изменяется uv в зависимости от у"? Использовать
данные рис. 3.3 для определения численного коэффициента при у3.


§3.5]
Масштабы напряжений в уравнении энергии
159
3.2. а) Используя результаты задачи 3.1, показать, что относительная
интенсивность u'/U, как можно ожидать, остается постоянной поперек подслоя, где
U(y)—локальная средняя скорость в плоскости ху.
б) Как изменяются v'/U и w /U в подслое?
3.3. Используя данные рис. 3.2 и 3.3 и линейный закон изменения касательного
напряжения поперек трубы, определить изменение коэффициента корреляции пульса-
ционных компонент и и v.
3.4.. Воздух при атмосферном давлении протекает через гладкую трубу со
средней скоростью 100 м/с. Оценить изменение среднего давления в пределах сечения
трубы. Поддается ли такая разность давлений измерению? Какие при этом возникают
проблемы осуществления эксперимента и можно ли измерить интенсивность v2?
3.5. Рассмотрим турбулентное течение со сдвигом, в котором среднее движение
является двумерным (причем W==£/a=0), почти параллельным и
ду \ дх2) ^ дх [ дхх J '
а) Записать девять компонент кажущихся напряжений Хц в форме матрицы
размером 3x3. Сделать то же для девяти компонент средней скорости деформации
dUi/dXj-l-dUj/dxi.
б) Повторить пункт «а» для строго параллельного среднего течения и показать,.
как действуют напряжения и деформации на кубический элемент объема жидкости.
в) Использовать данные, описывающие плоский след и приведенные в табл. 1.2
для определения главных осей тензора напряжений Рейнольдса в следе. Эти оси
определяются соотношением tga=2Ti2/(Tn—Т22). В чем заключается их физический смысл?
г) Определить главные оси средних деформаций, полагая среднее течение строго
параллельным. В чем заключается отличие зависимости между напряжением и
деформацией от таковой для ламинарного течения? Почему?
3.6. а) Обобщить уравнение (3.3.1) на трехмерные течения, используя:
1) декартовы координаты х, у, г (скорости U, V, W)\
2) полярные координаты х, г, 0 (скорости U, V, W).
Заметим, что результаты применимы как к пульсационным компонентам Ji-\-ju
так и к средним значениям J и
б) Получить уравнение неразрывности для следующих течений жидкости
постоянной плотности:
1) плоского (£/, V, 0);
2) осесимметричного без закрутки (£/, V, 0).
Требуется ли, чтобы компоненты О и V были постоянными по времени?
в) Используя уравнения для среднего течения (3.3.7), (3.3.8), найти уравнения,
определяющие пульсации скорости относительно средних величин U, V.
3.7. а) Какие формы принимает поток, описываемый уравнением (3.2.1), когда
пульсирует плотность? Принять мгновенную плотность равной i^-j-p и предположить,
что К — постоянная.
б) Показать, что поток основной жидкости определяется как
Jy = RV + iv.
Какое направление имеет средняя скорость V непосредственно над
подогреваемой непроницаемой поверхностью, вдоль которой равномерно течет жидкость? При U
и dU/dyX) какой знак следует поставить перед ри?
в) Обобщить уравнение (3.2.10), включая пульсации плотности. Для условий,,
рассмотренных в пункте «б», какой знак следует ставить у различных слагаемых?
г) Обобщить уравнение (3.3.7) на течения, в которых:
1) средняя плотность медленно изменяется во времени;
2) плотность быстро пульсирует.
3.8. а) Преобразовать обобщенное уравнение диффузии '(3.3.10) к виду
уравнения простой диффузии (3.3.11), вводя согласно уравнению (3.2.2)
1) коэффициенты турбулентного переноса ех и еу;
2) эффективные скорости конвекции Vx и Vv.
б) Как можно интерпретировать члены уравнений, полученных таким образом?
3.9. а) Определить изменение скорости ламинарного течения^ ньютоновской
жидкости в канале кольцевого сечения в зависимости от напряжений на обеих стенках и
з зависимости от скоростей движения стенок.
б) Предположив, что стенки неподвижны, определить расход через канал
кольцевого сечения в виде функции от градиента давления.


'160 Течения в каналах. I. Теоретические основы [Гл. 3
3.10. Использовать результаты упражнения 3.9 и рассмотреть такие ламинарные
течения, на которые действует сила тяжести:
1) течение, направленное вертикально вниз через канал кольцевого сечения с
неподвижными стенками;
2) течение через канал кольцевого сечения с неподвижными стенками и с осью,
-наклоненной под углом 6 к горизонтали;
3) течение, направленное вниз по наружной поверхности круглого стержня;
4) течение, направленное вниз по внутренней поверхности круглого цилиндра.
а) Какие граничные условия здесь уместны?
б) Как связаны градиент давления и напряжение на стенке и какие балансы
■сил должны заменить уравнение (3.3.17)?
в) Исследовать предельные случаи #г-^0 и Rx-+R2. В первом случае определить,
в частности, изменение скорости и касательного напряжения вблизи внутреннего
.цилиндра.
3.11. Две несмешивающиеся жидкости разной плотности движутся равномерно
при ламинарном режиме с разными скоростями вдоль очень широкого
горизонтального канала (плоская задача) с неподвижными стенками.
а) Как падение давления вдоль канала связано с расходами и глубинами для
двух жидкостей?
б) Принимая в качестве этих жидкостей воду и воздух, установить в общем
виде закон изменения скорости поперек канала, если:
1) глубины одинаковы;
2) вода течет в виде тонкой пленки по дну;
3) воздух движется в виде тонкой пленки поверху.
В каком соотношении находятся расходы, определенные в случаях 2 и 3,
с расходами, определенными в отсутствие тонкой пленки при заданной величине
падения давления?
3.12. В модели Бингама для неньютоновской жидкости, которая хорошо
описывает свойства некоторых суспензий и паст, градиент скорости и касательное напряже-
/ dU _N
-ние связаны зависимостями ( npi т > 0, ^7> 0
dU
т = ^° Чу "^ т° при х > т°
и
Чу^0 ПРИ ~<v
где \хо и то — положительные постоянные.
а) В чем заключается физический смысл этих зависимостей?
б) Получить результаты, аналогичные приведенным в табл. 3.2, для бингамов-
ских жидкостей для:
1) плоского течения со сдвигом;
2) плоского напорного (градиентного) течения.
в) Каковы сходства и различия в поведении этой жидкости и ньютоновской
жидкости, в которой может развиваться турбулентное течение?
3.13. а) После умножения уравнения (3.3.13) на локальную среднюю скорость U
интерпретировать его как уравнение энергии для среднего движения.
б) Какие процессы выражает каждый член уравнения (3.3.24)?
3.14. Уравнение (3.3.28) устанавливает соотношение между турбулентной
диссипацией и порождением энергии турбулентности.
а) Использовать уравнение (3.3.25) для получения подобного соотношения для
суммарной диссипации в канале с неподвижными стенками:
dx
А А А
Установить физический смысл этих результатов.
б) Какими будут результаты соответствующей задачи для канала с одной
движущейся стенкой?
3.15. Интерпретировать следующие законы сохранения в смысле общего
результата (3.3.5):
а) баланс сил (3.3.12);
^-^ — ftuM--*


§ 3.5J
Масштабы напряжений в уравнении энергии
161
б) баланс тепловой энергии (3.3.33, 36, 37);
в) уравнения механической энергии (3.3.24, 25) и
г) уравнение полной энергии (3.3.32).
3.16. а) Сформулировать физические условия, которые должны выполняться,
чтобы устанавливалось турбулентное сечение в трубе при следующих частных
свойствах:
1) полностью развитое течение;
2) свойство 1 плюс линейно-изменяющаяся температура;
3) свойства 1 и 2 плюс линейно-изменяющаяся средняя концентрация: 1) гелия,
II) водяного пара.
б) Являются ли эти условия легко выполнимыми на практике? Если нет, ю
могут ли еще уравнения линейно-изменяющегося течения давать приемлемые
приближения?
3.17. Распределение температур в круглой трубе дается уравнением
1 О ( ОТ \ \ ОТ
~гг ~т~ f ~г~ ) ~ ;—= const.
rU Or \ Or J к Ox
а) Вывести этот результат из уравнения (3.3.3). Какие допущения и
ограничения должны быть приняты?
б) Вводя соответствующее распределение скорости U(r) из табл. 3.2, показать,
что
Ur дТ ( г2 \ ОТ
где В п С — постоянные интегрирования. Используя соответствующие граничные
условия, показать, что
Uс ОТ ( г2
1 1 с — 4к Ох Г V 4/?2
где То — температура на оси.
в) Показать, что средняя температура жидкости определяется формулой
2* Г 5 UCR2 дТ
о
и что средне-массовая температура [см. уравнение (1.17)] определяется формулой
R
2tz . „7 UCR2 ОТ
Ти = —— \ uTrdr = Tr 4- -77? 3— •
1 V J c lJ6 к Ox
о
г) Какой физический смысл придается средпемассовой температуре уравнениями
(3.3.43) — (3.3.46)? Эта температура называется также температурой полного
перемешивания; почему?
3.18. а) Для рассмотренного в упражнении 3.17 течения показать, что
1 ОТ
q^ = ~?cpucR—y
полагая, что:
1) градиент температуры получен по данным этого упражнения;
2) суммарный подвод энергии на единицу длины трубы равен рУсрдТ/дх.
б) Показать, что перенос тепла определяется в виде
q-sd
Nu =
k(Tw-Tf) '
8 48
Nu = — , 6, -у-,
11—56


162
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. '$
если температура жидкости определяется как
I Тс — температура на оси;
Tf= Та—средняя температуря,
| ^Ь — среднемассовая температура.
в) Используя значения коэффициентов трения, приведенные в табл. 3.2,
показать, что
St Nu 3
1 ~ 8 Pr = 4 Рг >
если число Nu определено по Та. Для каких жидкостей аналогия Рейнольдса
наиболее уместна при таком ламинарном течении?
3.19. Расчеты в упражнениях 3.17 и 3.18 основаны на допущении, что диссипация
в жидкости пренебрежимо мала по сравнению с теплопроводностью.
а) Чтобы установить, когда это справедливо, показать, что отношение
диссипации на единицу длины к потоку энергии через стенку равно:
dP_ I дТ £/ау, 8Pr U\
dx I 9СРдх = gw = 3 2cp(Tw-Ta)
(последний результат применим только к ламинарному течению).
б) Для каких жидкостей и течений можно полагать диссипацию существенной?'
в) Пояснить в общем, как найти распределение температур и число Нуссельта,.
если диссипация существенна?
3.20. а) Записать уравнение, определяющее распределение концентраций в
круглой трубе, через стенки которой происходит равномерный перенос массы в
ламинарное течение жидкости.
б) Сравнить результат с уравнением энергии в упражнении 3.1. Почему может
существовать непосредственная аналогия между этими процессами тепло- и массо-
переноса, но не между ними и переносом импульса, определенным уравнением1
(3.3.17) при x=\idUfdz'> В каком смысле аналогия между тепло- и массопереносом
не является точной?
в) Используя соответствующие данные в табл. 3.1, преобразовать результаты,
упражнения 3.18 в выражения, описывающие аналогичный массоперенос.
3.21. а) Полагая, что лагранжев коэффициент корреляции в упражнении (3.4.16)
равен ЯггОО — ехР(—т/^ь), где TL — лагранжев интегральный временной масштаб,
показать, что коэффициент турбулетною переноса определяется формулой
е* - 1 + V,. ■
б) Если 6S велико, какие «вихри» перестают влиять на процесс переноса? В чем7
заключается их влияние на коэффициент турбулсънтного переноса?
в) Рассматривая процесс переноса двух свойств, показать, что
ei _ i+тул
е2 1 + 7^i *
Какие результаты получаются, если обе величины б2 и 6i малы или велики?'
Если б2>бь что можно сказать об отношении Si/eo? Каким будет эффект увеличения
числа Рейнольдса потока, если ТL будет уменьшаться?
г) В случае переноса тепла и импульса показать, что турбулентное число-
11рандтля равно:
\edA
А
1 + TLdh


§ 3.5]
Масштабы напряжений в уравнении энергии
163
Какие значения Рг* можно ожидать при Рг> 1 (например, для масел) и при
Рг<1 (например, для жидких металлов)?
3.22. Рассмотрим течение конденсирующегося пара через трубу постоянного
сечения А и периметра С.
а) Пренебрегая изменением плотности, показать, что градиент давления
определяется формулой
dPw С d(?U*a) _ С
dx
dx
•где Uа — средняя скорость в трубе; Gm=Tw/Ua— поток Рейнольдса,
характеризующий напряжение па стенке; GL= — (\/C)dx{pUA)/dx=— (pA/C)dUa/dx — поперечный
ноток (на единицу площади) вследствие конденсации на стенках трубы.
б) Рейнольдсов поток импульса не равен величине G0, которая определена для
течения неконденсирующегося пара при тех же условиях. Соотношение между эгими
величинами можно оценить, исходя из рассуждений, что для течения
неконденсирующегося пара касательное напряжение t^ = t0 обусловлено переносом импульса
посредством двух равных потоков-о" 60, один из которых направлен к стенке,
•а другой — от стенки; в течении конденсирующегося пара поток, направленный
к стенке, равен —^- (G0 -f- GL), поток, направленный от стенки, по-прежнему равен
1
—— G0. Показать, что в соответствии с этой мотслыо
Gm= O0+ — GL.
Что можно сказать в этом случае о структуре турбулентности?
в) Используя предыдущие результаты, показать, что
dP„, С „ (\ 3GL^ 2 3 dUa
dx'~-TU"{G«
где d = 4A/C — диаметр трубы; CfQ= z0 / I -у p/72aj — коэффициент трения для
течения неконденсирующегося пара при тех же условиях. Когда давление может
возрастать вдоль трубы?
г) Полагая, что скорость конденсации одинакова на участке трубы длиной L,
показать, что
1/„= */,-(£/,-£/,)-£-,
где U\ и U2 — начальная и конечная скорости. Определить изменение давления на
длине L, предполагая, что d, p, с/о — постоянны.
3.23. а) Какие распределения коэффициента турбулентной вязкости предполагают
изменения средней скорости (3.3.23)?
б) Если предположить, что длина пути смешения постоянна, каким будет
изменение дефекта скорости для ядра течения в трубе и канале?
в) Какое из допущений — постоянства длины
пути смешения или постоянства коэффициента
турбулентной вязкости — более уместно для описания
таких течений?
г) Каким будет изменение скорости в ядре
течения при допущении (3.4.43)?
3.24. Рисунок 3.12 даст распределения средней
скорости и касательного напряжения в почти
параллельном течении вблизи неподвижной стенки.
а) При каких условиях можно получить такие
распределения?
б) Воспроизведите соответствующие
распределения коэффициента турбулентной вязкости и длины
пути смешения. Какой вывод можно сделать о
применимости этих моделей к турбулентному переносу
импульса?
Г
0
\1
А
/ \
\
\
\
\
\
и
/
/
/
У
У
Рис. 3.12. К упражнению 3.24.
11*


164
Течения в каналах. I. Теоретические основы
[Гл. 3
3.25. Для улучшения первоначальной модели пути смешения Прандтль принял
— /2
'aVV 2 fd2U \ 2
бц) +ll{dy* )
1/2
где h — вспомогательная длина. Почему этот результат представляется более
подходящим для адекватного описания изменений скорости турбулентного течения? В чем
недостатки такого способа?
а) Каким будет коэффициент турбулентной вязкости, соответствующий
допущению Кармана (3.4.45) о длине пути смешения? Какие не соответствующие
действительности особенности присущи этому результату? Показать, что для слоя постоянного-
напряжения этот результат приводит к логарифмическому распределению средней-
скорости.
3.26. Распределение осаждающихся частиц в полностью турбулентной области
потока в широком канале с размываемым дном определяется уравнением
J и = csv — CSVS = 0
для случая равновесного распределения, когда стремление к осаждению частиц под
действием силы тяжести везде (статистически) уравновешивается направленной вверх
диффузией, вызванной турбулентным смешением. Здесь Cs + c's — пульсационная
массовая концентрация осадка и Ks(>0)—скорость осаждения частиц в спокойной-
жидкости. Предполагается, что все частицы одинаковы.
а) Показать, что это распределение определяется формулой
dy
*m I S
где Sc — число Шмидта для диффузии частиц.
б) Предполагая, что число Sc везде в потоке одинаково, показать, что
Cs ^ e
v г
> ^ s
-т, cs ^ JL
где p = ScVs/8Tn и y = ScVs/(Kuf) при допущениях
1) 6m = COnst;
2) ет = Кщ у или lm ==
у \1/2
3) /,
«=**(l
U
Ку или — = K~l In у-\- const;
, где d — глубина потока воды.
в) Построить эти распределения, вычисляя $d по данным табл. 3.3 и полагая;.
что во всех случаях y = a=0105d, у=\. Сравнить с экспериментальными данными,
приведенными в табл. 3.4.
Таблица 3.4Г
(y—a)/(d—a)
С(у)/С(а)
0,1
0,3
0,3
0,13
0,5
0,06
0,7
0,03
0,9
0,006
г) Какое из предположений пункта «б» кажется более правдоподобным? Какой
смысл имеют параметры р и у? Оказалась ли зависимость полученных распределений
от параметров течения такой, как можно было бы предполагать?
3.27. Произвольный характер положений теории пути смешения становится ясным,
если попытаться распространить эту теорию на асимметричное, плоское закрученное
течение, в котором радиальные компоненты средней скорости U=V=0. Средняя
завихренность и скорость деформаций равны dW/dr-\-W/r и dW/dr—W/r, где W—
средняя скорость закрутки, или 0-компонента скорости. Член W/r учитывает
соответствующую разность между действительным вращением и деформацией жидкости,
проявляющуюся в результате криволинейиости системы координат.


§ 3.5]
.Масштабы напряжений в уравнении энергии
165
В полностью развитом течении в канале кольцевого сечения между
концентрическими вращающимися цилиндрами вращающий момент в поперечном сечении
потока постоянен, поэтому r2x = const. Кроме того, когда внутренний цилиндр
вращается, а внешний цилиндр неподвижен, оказывается, что среднее значение
момента импульса постоянно (с хорошей степенью приближения) для ядра течения;
поэтому в ядре гW = const.
Рассмотрим, каким образом следует модифицировать результаты для
параллельного течения
j ^ ,2 i^LX
р ~£m dy ~~ m{dy) >
чтобы описать условия рассматриваемой задачи. Можно предложить следующие
способы замены одной или обеих производных dU/dy вместе с принятием гт = const
или /m = const:
1)
dU_ dW
dy clr
dU_ <^__j^__ d (W/r) _
"' dy ~* dr r ~~ r dr
dU dW W 1 d(rW)
3)
dy dr r r dr
rz d {rW)
4) U -» rW или = — vrw = em
p -—<"-—m dr •
а) Объяснить физический смысл этих подстановок, их соответствие
действительности и рассмотреть, какими при этом будут распределение скорости и вращающий
момент.
б) Показать, что постулат 2 вместе с допущением гт = const дает наиболее
верные результаты.
3.28. а) Для распределения касательных напряжений
т — Tw + ay при a>0 = const
показать, что уравнение (3.5.8) приводит к зависимости
>/P)'/2-«f
U = Atif In
(т/р)>/2 + щ J
+ (2А + ЗВ,) ( ~f)l/2 + С>
где С — постоянная интегрирования.
б) Показать что этот результат стремится к результату
U _ — In у + const при ау/Чф <^ 1
К
в соответствии с зависимостью (3.4.42), которая обоснована рядом простых расчетов
слоя постоянного напряжения. Этот простой результат будет соответствовать
действительности только тогда, когда поток остается полностью турбулентным при выполнении
логарифмического закона. Какие условия должны выполняться для достижения этого?
в) Показать, что результат пункта «а» стремится к зависимости
/ и V/2
£/= (2А + 3J5,) (a-f-) +C при ay/ta,^> 1,
дающей распределение скоростей в слое нулевого напряжения, в качестве которого
можно рассматривать область течения у поверхности в пограничном слое вблизи
отрыва.
3.29. Для течения в плоском канале с одинаковыми значениями напряжений на
двух неподвижных стенках результат по простой зависимости (3.5.10) имеет
погрешность примерно 10% при у/Ь = 0,\, т. е. расчет отличается от эксперимента на 10%.
Используя эту информацию и значение 3Bi/2A~—0,2, показать, что t2/ti>5 должно
представлять отношение разных по значению напряжений на стенке, если только
полное уравнение (3.5.8) выполняется по всему потоку.


1GG
Течения в каналах. //. Трение и расход
[Гл. 4
3.30. В ядре течения в канале иногда предполагают, что длина пути смешения
1т = 1с постоянна. Три значения длины пути смешения, соответствующие трем
течениям в ядре по табл. 3.3, можно определить при условии, что диапазон дефицита
скороеп в каждом случае согласуется с тем, который получается по модели
турбулентной вязкости. Показать, что
h _ 2 и>\
I 1Г ЪШ == ^' ^ дл>1 П1о:кого течения давления,
~т~= Ацщ = 0,135 для плоского сдвигового течения,
-Б~ = -о—д7у"= 0,098 для течения в трубе.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ. II. ТРЕНИЕ И РАСХОД
Рассмотренные в гл. 3 теоретические методы расчета течений в этой
главе будут использованы для изучения зависимости между расходом
жидкости в канале и трением, которое обусловливает сопротивление
движению жидкости. Эта зависимость позволяет инженеру получить
ответы на вопросы, наиболее часто возникающие при решении задач,
связанных с движением жидкости: каким будет падение давления, какая
требуется мощность насосов, сколько жидкости перекачивается? Ответы
на эти вопросы необходимы при рассмотрении более широкого класса
течений, чем рассмотренные в предыдущей главе в основном
параллельные течения в каналах с гладкими стенками. Поэтому необходимо
обобщить наши представления о турбулентных течениях в каналах.
Обобщение мы будем проводить в следующей последовательности:
1) разработаем эмпирическое описание пристеночного слоя
постоянного касательного напряжения с помощью анализа размерностей и
используем это описание для исследования трения в гладких трубах;
2) исследуем влияние шероховатости на трение и на течение
вблизи стенки и представим соответствующие методы расчета;
3) распространим используемые методы анализа на
асимметричные течения, которые возникают в каналах с различными
напряжениями на стенках, включая каналы кольцевого сечения и каналы с
движущимися стенками или с различной шероховатостью стенок;
4) рассмотрим вторичные течения в каналах с сильно
изменяющимся поперечным сечением, включая открытые каналы;
5) представим специальные методы для определения трения в
открытых каналах;
6) приведем краткий обзор методов расчета течений и потерь в
системах и в сетях каналов.
4.1. ПРИСТЕНОЧНЫЙ СЛОЙ
4.1.1. РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
Так же, как и в § 3.1, настоящие исследования пристеночного слоя
рассматривают частный случай движения жидкости в круглой трубе —
в этом случае легче получить представление о течении; мы определим


§4.1]
Пристеночный слой
167
эмпирические постоянные, используя в основном данные, полученные
для течений в трубах; расчет трения в трубах явится первым
применением полученных результатов. Вместе с тем следует полагать, что
течение в любом пристеночном слое, касательное напряжение поперек
которого изменяется лишь незначительно, т. е. в слое практически
постоянного касательного напряжения, будет по существу подобным течению
в круглой трубе.
В § 3.1 было показано, что анализ размерностей позволяет
представить экспериментальные результаты для пристеночного слоя в
компактном виде; величины
использованы в качестве масштабов. Используем теперь анализ
размерностей как метод для установления расчетных зависимостей. В табл. 4.1
Таблица 4.1
Изменение скорости в гладких трубах
Область (см. рис. 3.1, 4.1)
Вязкий подслой
(I; о.<0<и)
Буферный слой
U1; у1 <у<у2)
Турбулентный слой
постоянного напряжения
(П1-> У2<У<Уг-)
Турбулентный равновесный
слой
(IH + , У2<У<у3 + )
Ядро течения
(IV, y3<y<R)
Слой постоянного
напряжения
(0<у<у2-)
Область всего течения
(0<y<R)
Соответствующие параметры
U -ч. Тц„ VU, у
U -ч, Тц,, 1-Х, у
dU/dy -ч, т^,, р, у
dU/dy -ч, т, р, у
Ш -ч, Тц,, р, R, у
U 'ч. Tj,,, JJL, р, у
U -ч. т.,, ;х, р, R, у
Результаты
W-b)U/y=(U/*f)Myf)-=t
и,щ = f(y/yf)
du
илл AU/Uf = Л In у
Ш1щ = / (у/У[)
UI a: = / (y/yf)
U/uf = f(y yf, yi'R)
указаны параметры, которые определяют изменение средней скорости
U (у) в полностью развитом течении в гладких трубах. Для удобства
аналитических выкладок в полностью турбулентной области
пристеночного слоя рассмотрим градиент скорости, а в ядре течения — дефект
скорости. В качестве параметров приняты: xw — осредненное по
времени касательное напряжение на стенке, которое принимается равномерно
распределенным по ней; и и р — вязкость и плотность, которые
предполагаются постоянными во всем потоке; R=l-^-d j—радиус трубы; у=
= (R—г)—расстояние от стенки до рассматриваемой точки.


168
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
Области потока, рассматриваемые в табл. 4.1, те же, что и
показанные на рис. 3.1. Параметры для каждой области выражают в символах
словесные определения, приведенные в § 3.1. В частности, так как
турбулентное напряжение зависит от плотности (т/=—puv), то эта
характеристика влияет на среднюю скорость в областях турбулентного
течения. Для областей полностью турбулентного течения мы вводим подобие
но числу Рейнольдса для движений больших масштабов, исключая
вязкость jo, из числа определяющих параметров. Отметим, что величина
Ут/R, которая играет роль числа Рейнольдса среднего течения,
появляется только при рассмотрении всего изменения скорости. Поэтому табл. 4.1
дает изменения скорости и в пристеночном слое, и в ядре в форме, не
зависящей от числа Рейнольдса.
Анализ равновесных слоев в § 3.5 приводит к некоторым
альтернативным способам выбора параметров, определяющих пристеночный слой.
Градиент напряжения применительно к общему случаю и течению в
трубе соответственно
Н^)о=--^ ' (4л-2)
можно использовать вместо величины R; однако кажущееся в этом
случае повышение общности результатов в основном иллюзорно, по
крайней мере для пристеночных слоев с относительно большими
касательными напряжениями на стенке. Тем не менее эта возможная замена
показывает, что включение R в число
параметров позволяет учитывать изменение
касательных напряжений. Более
результативная модификация перечня (4.1.1)
получается при замене xw и R локальным
напряжением г (у). В табл. 4.1
равновесный (или локально определенный) слой,
установленный таким образом, обозначен
как область III —|— для того, чтобы
отличать его от явно меньшего по размеру
слоя постоянного напряжения, который
обозначен как область III—. Результаты,
получаемые с помощью анализа
размерностей, эквивалентны уравнению (3.5.10),
которое отличается от общего
результата (3.5.8) отсутствием слагаемого,
учитывающего диффузию энергии.
На рис. 4.1 представлены в
полулогарифмических координатах данные
табл. 4.1, где область логарифмического
слоя характеризуется прямой линией.
Это одна из альтернативных форм
профиля скорости, показанного на рис. 3.1.
Так как поперечная координата
нормирована величиной у/, которая зависит от числа Рейнольдса, протяженность
линейной области изменяется с изменением числа Рейнольдса, если
используется нормированный таким образом линейный размер. Точка, в
которой измеренный профиль скорости отклоняется от логарифмического,
приблизительно соответствует значению y/R=0,\5 и почти не изменяется
-и^и/и.
4'^/,
Рис. 4.1. Профиль средней
скорости в трубе в
полулогарифмическом масштабе, иллюстрирующий
«универсальный закон стенки».
Обозначения те же, что и на
рис. 3.1 и в табл. 4.1 и 4.3. / —
вязкий (или линейный) подслой;
Я—буферный слой; /// —
полностью турбулентной
логарифмический слой; IV — ядро потока.


§ 4.1]
Пристеночный слой
169
в значительном диапазоне чисел Рейнольдса. Соответствие простому
логарифмическому закону в пределах такого неожиданно большого
расстояния от стенки является следствием противоположных эффектов
изменения касательного напряжения и влияния внешнего течения, один
из которых приводит к уменьшению наклона, а другой — к увеличению.
Этим объясняется тот парадоксальный факт, что результаты для
равновесного слоя, в которых учитывается изменение касательных
напряжений, приводят к менее удовлетворительной зависимости для
изменения скорости, чем логарифмический закон слоя постоянного
напряжения. Кроме того, как будет показано ниже, разброс экспериментальных
данных является достаточно значительным, чтобы сделать
неприемлемым использование более строгих моделей. Поэтому в дальнейшем
рассмотрении мы будем в основном следовать общепринятой методике
использования логарифмического закона для определения изменения
скорости в полностью турбулентной области пристеночного слоя.
4.1.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ СЛОЙ
Зависимость для турбулентного слоя постоянного касательного
напряжения, которая приведена в табл. 4.1 (и получена ранее на основе
использования моделей пути смешения и энергетического равновесия),
можно переписать в переменных, соответствующих пристеночному слою:
у d(U/uf)
= А, (4Л.За)
У\ d (У/У!)
где А — безразмерная постоянная, которая, можно полагать, будет
почти одинаковой для всех таких слоев. Интегрирование дает
-£=i41n(i)+B- <4Л-Зб)
Для удобства используем нормированные среднюю скорость и
поперечное расстояние
[/+ = — и у+=—. (4.1.4)
Щ * У\ Х
Тогда для логарифмического слоя получим:
U+=Alny++B. (4.1.3b)
Безразмерная постоянная В определяет «скольжение» в вязком слое,
расположенном между гладкой стенкой и полностью турбулентным
течением. Для течения у шероховатых стенок значения постоянных будут
другими.
Постоянная А, которая в других зависимостях появляется в виде
1//С, может быть представлена через коэффициент турбулентной
вязкости у стенки:
ИЛИ
^- = Ку+, (4.1.56)
поэтому постоянные А и К определяют скорость, с которой происходит
развитие турбулентного перемешивания в точке по мере удаления этой
точки от стенки.


170
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
Эмпирические постоянные Л и В можно определить, строя
эмпирический профиль скоростей (подобно изображенному на рис. 4.1) и
вычисляя затем наклон прямого участка и ординату его пересечения с осью
ординат. Так как многие численные расчеты течений в каналах и
пограничных слоях зависят от значений постоянных Л и В, рассмотрим
несколько подробнее получаемые таким способом результаты. Такой
анализ также дает возможность выявить некоторые проблемы,
характерные для измерения турбулентности. Необходимо ответить на два
вопроса:
1. Существует ли универсальный пристеночный слой, во внешней
масти которого скорость изменяется по логарифмическому закону?
2. Какие значения следует придавать постоянным А и В?
Значения, приведенные в табл. 4.2, взяты преимущественно из
выполненного Хипце анализа измерений в трубах и каналах и дополнены
некоторыми результатами для течений в каналах и пограничных слоях.
Кроме значений для гидродинамически гладких стенок даны также
значения для «стандартной» шероховатости, образованной наклеенными на
стенки зернами песка. Отклонение значений А и В от ожидаемых
постоянных можно отчасти объяснить «реальными» эффектами:
1) различием в геометрии каналов и разными внешними течениями;
2} остаточным влиянием числа Рейнольдса, не учтенным при
принятом способе нормирования физических величин;
3) эффектом шероховатости стенок.
Необходимо также иметь в виду существование различных
«искусственных» эффектов:
1) отклонение течения от принимаемого вследствие отсутствия
строгой симметрии, полного развития течения или однородности
шероховатости;
2) инструментальные погрешности, обусловленные пульсациями
скорости или близостью стенки;
■ 3) трудности интерпретации результатов, в частности: а) при
определении постоянных по эмпирическим данным в довольно узком
диапазоне у (обычно l,8<lgi/+<3); б) при решении вопроса о том, на каком
предельном расстоянии от стенки еще применим логарифмический
закон; в) при выборе начала отсчета величины у для шероховатых
стенок.
Из анализа частей I — III табл. 4.2 можно заключить, что
«реальные» эффекты действительно влияют на значения постоянных Л и В,
хотя истинный характер этого влияния трудно оценить при наличии
разброса данных для «искусственных» эффектов. Тем не менее
изменение значений А и В незначительно, что позволяет определить
универсальный закон стенки для пристеночных слоев, в которых касательное
напряжение изменяется достаточно умеренно.
В частях IV и V табл. 4.2 приведены значения постоянных Л, /(, В
я B.s, которые представляются наиболее вероятными наряду с их
разбросом. Неопределенность в профиле скорости не столь велика, как
неопределенность в отдельных постоянных, так как часто большое
значение Л соответствует малому значению В. Поэтому расчетные значения
скорости, полученные по наиболее вероятным значениям постоянных,
находятся, возможно, в пределах 5% от истинных (в диапазоне почти
логарифмического профиля) для рассмотренных условий.


§ 4.1]
Пристеночный слой
171
Постоянные логарифмического закона стенки
I. Гладкие трубы и плоские каналы
Таблица 4.2
Характер результатов
Наиболее вероятные
Диапаз( н
Re^ или Re/;
( 5X103-5X10G
) Ю4
I 106
5ХЮ4
A
2,7
2,6
2,7
( 2,9
2,7
( 2,5
в
4 (трубы)
5 (кан^Ло1)
5
3
2,5
6
5
II. Пограничные слои на гладких стенках при малых градиентах давпеиня
Зависимость Клаузера
Зависимость Коула
Зависимость Пейтела
III. Трубы с однородной песчано-зерппстой шероховатостью из песка размером ks
2,-19
2,5
2,39
4,9
5,1
5,45
Характер результатов
Rew
Наиболее вероятные
Диапазон
10-*—10е
Ю4
105
103
10й
Ю5—106
2,37
2,15
2,4
2,33
1 2,35
1 2,4
1 2,43
(2,5
12,33
Наиболее вероятные j
i
IV. Комбинированные результаты для гладких стенок
8,8
9,5
9
8,7
9,7
7,7
9
8,7 (Rfks = 500)
9,2 (R/ks = 125)
Характер результатов
К
Наиболее вероятные только для
гладких стенок
Наиболее вероятные, универсальный
закон
Эффективные значения (закон трения
для труб)
2,6 (±10%)
2,5(±15о/0)
2,чб
0,3?5(±По/о)
О,4(±15о/0)
0,400
1,5(±25о/о)
5 (±25%)
5,67
V. Комбинированные результаты для песчапо-зорнистой шероховатости
Характер результатов
К
Наиболее вероятные только для
шероховатых стенок
Наиболее вероятные, универсальный
закон
Эффективные значения (закон трения
для труб)
2,35 (±7%)
2,5(±12о/0)
2, .6
0,4-15 (±7%)
0,4 (±15о/0)
0,406
9(±15о/0)
8 (±15%)'
8,61


172
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
Части IV и V дают также значения постоянных, которые следуют
из рассмотренного ниже закона трения в трубах. Эти значения отличны
от полученных для пристеночных течений, так как они представляют
эффективные величины, характеризующие весь поток. Хотя эти
эффективные значения постоянных можно определить с большей точностью, чем
соответствующие значения для пристеночных течений, они не
обязательно дают достаточно точное описание изменения скорости в слое
постоянного касательного напряжения вблизи стенки. Тот факт, что
эффективные значения мало отличаются от значений для течения у
стенки, показывает, что логарифмическое распределение действительно
довольно точно описывает среднюю скорость в ядре течения. Ниже этот
вопрос будет исследован более полно.
4.1.3. БУФЕРНЫЙ СЛОЙ
Для области течения между вязким подслоем с линейным профилем
скорости и логарифмическим слоем согласно табл. 4.1. имеем:
-%r=f(JL]y[]mU+ = f(y% (4.1.6)
Для определения этой части профиля скорости необходимы не
только пара эмпирических постоянных, но и вид функции, описывающий
изменение скорости. Этой задачей занимались многие исследователи,
используя различные комбинации анализа размерностей, подбора
кривых по экспериментальным данным и накопленных знаний о подслое
и логарифмическом слое. Хотя некоторые из полученных моделей и
являются весьма приближенными, о них необходимо знать, так как они
являются основой формул, которые еще используются для расчета
тепло- и массопереноса.
Ниже будет показано, что детальные особенности буферного слоя
обычно несущественны для расчета трения. Однако для расчетов тепло-
и массообмена это не всегда так. В жидкости с высокими числами
Прандтля (Pr=v/x^>l), как, например, в смазочном масле, градиент
температуры имеет место практически только в вязком слое и для
правильного расчета теплообмена необходимо, чтобы диффузия в
буферном слое была определена достаточно точно.
Имея в виду такие предположения, многие исследователи в своих
моделях буферного слоя использовали коэффициент турбулентной
вязкости, который для буферного слоя записывается в виде
^f- = f(y+)- (4Л.7а)
Для более сложных моделей коэффициент турбулентной вязкости
принимает эквивалентный вид [см. уравнения (4.1.6)]:
^ = fQt+.U+). (4Л.76)
Из уравнений (4.1.5) получаем условие гладкого сращивания
буферного и полностью турбулентного слоев:
+ Ку при, например, #+>50. (4.1.8)


§4.1]
Пристеночный слой
173
Наконец, соображения, приведенные в примере 3.1, приводят к
заключению, что вблизи гладкой стенки
-^^У+3 (или в белее высокой степени), например, при #+<5, (4.1.9)
так как вблизи стенки uv^y2 (или в более высокой степени).
Для полноты анализа ниже изложены некоторые из более
общеизвестных способов определения буферного слоя. Одни из них являются
более общими и включают определение вязкого и логарифмического
слоев, тогда как другие определяют только буферную или вязкую
область.
1) Самый простой способ состоит в полном пренебрежении
буферным слоем путем предположения, что линейный и логарифмический
профили сращиваются в точке У+=У{/Уг, определяемой формулой
у+=А1пу++В.
Подставляя постоянные из табл. 4.2, IV, находим:
£/?" = 10,7 при А = 2,6, В = 4,5;
у+=\\ при А = 2,5, В = 5,0.
(4.1.10а)
(4.1.106)
2) Карман описал буферный слой с помощью модифицированного
.логарифмического закона
£/+=51пу+—3,05 при 5<#+<30, (4.1.11)
.принимая, что вне указанной области используются обычные линейная
я логарифмическая зависимости.
3) Рейхардт предложил описание
где уя соответствует номинальной границе подслоя.
4) Ранни принял простую зависимость
^ = sh2
У+ \
при у+ < 27,5,
(4.1.12)
(4.1.13)
где масштаб длины у+= 14,5.
S
5) Дейсслер принял вначале
lnL = n*y+U+ при |/+<26 и п =0,109,
а затем
^- = пгу+и+ (I — е~п*у+и+ ) при г/+ < 26 и п = 0,124.
6) Зависимость, рассмотренная Хама,
dU+
lm-=«V4
dyi
(4.1.14)
(4.1.15)
(4.1.16)
идентична зависимости Дейсслера (4.1.15) для малых значений у+.


174
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
7) Наконец, Ван Дрист ввел «коэффициент демпфирования» в
выражение (3.4.40) для длины пути перемешивания; соответственно
зависимость для коэффициента турбулентной вязкости принимает вид
i2L = AV0 -е~У+'П)*^г , (4.1.17).
где масштаб длины г/+=26. Этот результат широко используют, причем
аргумент у+/у* различным образом модифицируют для того, чтобы учесть
массоперенос или локальные изменения касательного напряжения.
Каждая из формул (4.1.12) —(4.1.17) для коэффициента
турбулентной вязкости связана с конкретным распределением скорости в
полностью турбулентной области; постоянные у+ и п подбираются так,
чтобы обеспечить согласование модели буферного слоя с выбранным
логарифмическим законом. Изменение скорости можно определить из
зависимости
-^-=-^- (4.1.18).
dy V + ет \ V
ИЛИ
dU+
+
1 + ^f" . (4.1.19)
dy
Если em/v=/(#+) или f(y+> dU+jdy+), иногда можно найти решение
для U+(y+) в явном виде. При em/v=jF(y+, U+) обычно необходимо
численное интегрирование дифференциального уравнения для определения
[/+(#+). В п. 5.5.4 эта задача будет снова рассмотрена в более общем
виде.
4.2. ТЕЧЕНИЕ В ГЛАДКИХ ТРУБАХ
4.2.1. ИЗМЕНЕНИЕ СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ ТЕЧЕНИЯ
Анализ течений в гидравлически гладких трубах является полезным
не только потому, что он дает возможность рассчитывать течения,
имеющие большую практическую значимость, но также и потому, что дает
зависимости и методы для более широкого применения.
В распоряжении исследователя имеются достаточно точные модели,
описывающие изменения скорости в различных областях
рассматриваемого течения: в подслое — уравнение (3.3.21), в ядре течения —
табл. 3.3 и уравнения (3.3.23), в логарифмическом слое — табл. 4.2 и
уравнения (4.1.3), в буферном слое — уравнения (4.1.10) — (4.1.17).
Возникает проблема увязки этих частных формул в одно общее
выражение, описывающее изменение скорости во всем потоке. Поскольку
рассмотрение буферного слоя показало существование множества способов
сращивания областей течения, составляющих пристеночный слой, теперь
мы остановимся на сращивании пристеночного слоя и ядра течения.
Одно из условий сращивания заключается в выполнении требования,
чтобы скорость изменялась непрерывно поперек трубы. Для того чтобы
определить собственно точку сращивания, необходимо выполнение
второго условия непрерывности; различные исследователи принимают
в качестве этого второго условия непрерывность: 1) градиента скорости;
2) длины пути смешения; 3) коэффициента турбулентной вязкости. Не-


■§ 4.2J
Течение в гладких трубах
175
обходимо иметь эмпирические выражения для изменения
рассматриваемой величины и в пристеночном слое, и в ядре потока.
Результаты, полученные из условий сращивания для трех
указанных выше величин, не слишком различаются. Если предположить, что
коэффициент турбулентной вязкости в ядре течения постоянный, как
это принято при составлении табл. 3.3, то легче всего воспользоваться
третьим из условий. Используя результаты (4.1.5) для слоя
постоянного напряжения, находим, что точка сращивания определяется
соотношением
ет—Ки?у=&с (значение в ядре).
Тогда
^ = ^. = 0.192, (4.2.1)
тде Rf—параметр, определенный в (3.3.22), и использованы значения
А=2}6 и Rj=27. Теперь можно определить изменение средней скорости
в ядре течения более точно, чем это было сделано в табл. 3.3:
иг-ия
Уг
R
1-М1--Fj=4'4- (4-2>2)
Таблица 4.3
Изменение ерэдной скорости в турбулентном погоке в гладких трубах
I. Общие резулыиапы для Л =2,6; В --=4,5; Rf =27
Область
I. Подслой
11. Буферный слой
ДП. Логарифмический слой
IV. Ядро
Внешняя
y-Jyf
5
30
0,192 R+
R+
граница
yt/R
5/R+
30//?+
0,192
1
Изменение скорости
AU/Ur
5
8,4
2,61п#+—13,3
| 4,4
Скорость на внешней
границе U./tie
5
13,4
2,61п#++0,1
2,61п#++4,5
.1. Результаты для #+=8750; £/crf,'v = 5ХЮ3; £/,/£/,.= 0,035
Область
I. Подслой
11. Буферный слой
III. Логарифмический слой
IV. Ядро
Внешняя
yL/yf
5
30
1680
8750
граница
yL/R
0,0005
0,003
0,192
1
W/uf
5
8,4
10,3
4,4
U./uf
5
13,4
23,7
28,1
V/{*&uf)
0,002
0,05
7,22
17,2
В табл. 4.3 приведены границы различных областей потока в трубе
и изменения скорости в пределах между ними в соответствии с
уравнениями (3.1.2), (4.2.1), (4.2.2) и (4.1.3) (последнее при значениях А=
=2,6 и 5=4,5). Результаты представлены двумя способами: в первом —
с неопределенным параметром R+=R/yf, во втором — с конкретным
значением 7?+. Следовательно, первая часть таблицы показывает, как
изменяется распределение скорости с возрастанием числа Рейнольдса
и уменьшением толщины вязкого слоя, тогда как вторая часть дает


б
Течения в каналах. П. Трение и расход
[Гл. 4
распределение скорости, типичное для больших чисел Рейнольдса. Для
рассмотренного случая изменение скорости в ядре (которое занимает
80% радиуса трубы) составляет только 15% значения скорости на оси
трубы.
Во второй части табл. 4.3 также указам объемный расход потока
через каждую из четырех областей. Для такого течения при больших
числах Рейнольдса вклад вязкого слоя фактически ничтожный.
Вторая важная особенность распределения скорости следует из
рассмотрения последней строки части I табл. 4.3. Скорость на оси
оказывается такой, какая получается с помощью логарифмического закона,
распространенного на эту область. Это точное соответствие является
случайным и обусловлено конкретным выбором эмпирических
постоянных А, В и /?/, а также выбранным методом сращивания зависимостей
для течения в ядре и пристеночном слое. При другом, стоть же
обоснованном выборе постоянных и метода можно получить результаты,
отличающиеся на MJ/Uf^l, т. е. можно получить изменение скорости на
оси примерно на Uf. Тем не менее можно заключить, что простая
экстраполяция логарифмического закона позволяет довольно точно
рассчитывать распределение скорости в ядре.
Вполне разумно распространить это упрощение и на каналы с
другим поперечным сечением, например плоские каналы, каналы с
кольцевым сечением и открытые каналы. Такой смелый подход также
достаточно приемлем для некоторых пограничных слоев. Однако даже для
слоя без градиента давления расхождение между скоростями,
рассчитанными по логарифмическому закону, и фактическими скоростями во
внешнем турбулентном течении уже больше (AU/Uj=2-*-3). Кроме того,
для гладкого сращивания зависимостей для пограничного слоя с
зависимостями для внешнего течения необходимо определить точку, в
которой логарифмический закон дает значение скорости, соответствующее
внешнему течению.
4.2.2. ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ
В табл. 4.3 скорости определены через касательное напряжение на
стенке с помощью параметров щ и г//. Это позволяет установить
зависимость течения в трубе от трения, которое обусловлено этим же
течением. Примем следующие упрощения, которые следуют из
рассмотрения приведенных в таблицах результатов:
1) при определении объемного расхода будем пренебрегать
расходом в вязком слое;
2) будем использовать логарифмическое распределение скоростей
во всей области турбулентного течения.
Расход через кольцевую область с радиальными координатами от
ya=R—га до yb^R—ть при логарифмическом распределении скорости
равен:
■ '■■ ■ <4-2-3>
Вклад в' общий результат от нижнего предела уа=0 равен нулю:
этот вклад остается очень малым при уа<У2, где у% — граница вязкого
слоя.. Соответственно примем третье упрощение — будем пренебрегать


§ 4.2]
Течение в гладких трубах
177
в (4.2.3) результатом при подстановке нижнего предела. Принимая за
верхний предел #ь=/?, получаем оценку для расхода через гладкую*
трубу:
V =ц+_ зл -
zR2uf с 2 '
(4.2.4)-
V :AlnR++(B__^L
r,R*af
Эти результаты можно следующим образом преобразовать к
удобному для практического использования виду:
1) Вводя среднюю скорость С/Я=к/ (nR2), получаем:
Ua = Ue—т-"/. (4-2.5)
Эту зависимость можно использовать для оценки средней скорости
Ua и расхода V по измерению только одной величины — скорости на
оси трубы Uc. Для этого нужно иметь данные о касательных
напряжениях на стенке пли другую соответствующую информацию,
необходимую для определения щ, входящей в зависимость (4.2.5).
2) Так как масштабы скорости и длины связаны соотношением щ=
=vlyf= (т^/р)1/2> мы имеем закон трения:
3) Вводя число Рейнольдса Red=Uadlv и параметр трения iifd/v,
получаем другой закон трения:
Rerf Л1п&) + (В-2,19Л). (4.2.7)
Ufd/v
4) Наконец, используя зависимости между числом Рейнольдса, ко
эффициентом трения и масштабами скорости и длины
uf (cfY/2 R l n. (cf V/2
получаем еще одну форму закона трения:
Л .,„„-. , [В-2МЛ). (429)
V7=VT И^=^Л-Т > (4-2'8>
7W=ТТln (Re* У сй+~~W
Этот результат для турбулентного течения в трубе можно сравнить
с еще более простым результатом для ламинарного течения,
приведенным в табл. 3.2:
,.; .. C!=^t- (4-2Л0)
Зависимости (4.2.6), (4.2.7), (4.2.9) по существу равноценны;
различие" состоит лишь в том, насколько легко можно получить решение
двух основных задач:
1) при заданном падении давления или трении {dPwjdx или xw)
определить расход (V или Ua)\
2) при заданном расходе определить падение "давления или трение.
12—56


178
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
Формула (4.2.9) более широко используется в практике расчетов,
несмотря на то, что каждый из параметров этой формулы Red и С;
включает скорость Ua и для решения задачи 1 требуются последовательные
приближения. Этот недостаток формулы компенсируется тем, что
коэффициент Cf изменяется слабо и часто первое приближение имеет
достаточную точность.
Какие значения следует придавать постоянным А и В в этих
формулах определения трения? Имеются три обстоятельства, которые
позволяют предположить, что использование наиболее вероятных
значений постоянных для пристеночного слоя, приведенных в части IV
табл. 4.2, не дает наилучшего закона трения:
1) выше было показано, что постоянные, по-видимому,
систематически изменяются при изменении числа Рейнольдса;
2) полученные результаты основаны на допущении, что
логарифмическое распределение скорости справедливо для всего потока;
3) суммарный расход потока и полное падение давления можно
измерить точнее, чем изменение скорости у стенки.
Несмотря на эти оговорки, закон трения при использовании
постоянных для пристеночного слоя (Л=2,5, В=5) дает хорошие результаты
для очень высоких чисел Рейнольдса Rerf>106. Для значений числа
Рейнольдса 3X103<Red<3X106, гДе более подходящими являются данные
.для гладких стенок, зависимость
у= =1,74 In (Red V^) -0,40 (4.2.11)
дает отклонение значения Cf в пределах примерно 2% от среднего из
•экспериментальных значений. Эта зависимость известна как закон
трения Прандтля или Кармана — Никурадзе. Эффективные значения
постоянных
Ле=2,46 и Бе=5,67 (4.2.12)
приведены в табл. 4.2, IV.
4.2.3. ПРИБЛИЖЕНИЯ СТЕПЕННОГО ЗАКОНА
Для упрощения вычислений и алгебраических преобразований в
некоторых случаях для течения в трубе удобно представить распределе-
лие скорости и трения в виде степенного закона
и
c! = CRe-l/p9 (4.2.14)
где n, p и С — постоянные, выбираемые из условия соответствия
экспериментальным результатам или, что практически эквивалентно,
логарифмическим формулам (4.2.11), (4.2.12). Заметим, что и степенной,
и логарифмический законы дают не соответствующие реальной картине
результаты на очень близком расстоянии у стенки.
Рассмотрим сначала связь между этими распределениями
скоростей. Для логарифмического закона отношение Uc/Ua определяется
уравнениями (4.2.5), (4.2.8):
Uc ЪАе щ ЗАе ( cf У/2 _


§ 4.2J
Течение в гладких трубах
179
где Ае — эффективное значение постоянной (4.2.12). Для изменения
скорости по степенному закону интегрирование по поперечному сечению
дает
Сравнивая эти результаты, получаем:
' ' ■ = 4.т,/2. (4-2.17)
Показатель степени п должен увеличиваться с ростом числа Рей-
нольдса, так как коэффициент трения уменьшается. Однако, так как о
зависит от Re^ очень слабо, показатель п остается почти постоянным
в практическом диапазоне значений чисел Рейнольдса.
Теперь рассмотрим, как связаны между собой два степенных закона
(4.2.13), (4.2.14). Каждый из них включает зависимость между Ua/u*
и R/yf. Используя (4.2.8), можно переписать степенную формулу в виде
(■3-Г-(4Г-£- <4-2-18»
Будем исходить из того, что распределение скорости в
пристеночном слое (на который приходится основная доля общего изменения
скорости) должно иметь вид:
ч \yf} '
(где D — постоянная), л.ля того чтобы удовлетворить и степенному
закону, и условиям пристеночного слоя. Используя (4.2.16), получаем:
Если параметры п, р, С и D слабо зависят от условий течения (как
можно заключить из уравнения (4.2.17), а также опытных данных),
изменение UalUf в основном определяется изменением R/yf. Отсюда
показатели степени в уравнениях (4.2.18), (4.2.19) должны быть
приближенно связаны зависимостью
п=2р—1. (4.2.20)
Существует также связь и между постоянными С и D.
Наиболее широко используются степенные законы при п=7 и р=4.
Профиль скорости, подчиняющийся степенному закону
справедлив при Red-—105. Он также часто используется при
элементарных расчетах пограничного слоя. Формула Блазиуса для коэффициента
трения
cf = 0,079 Re^1 /4 (4.2.22)
при Re(Z<105 столь же точна, как и логарифмическая формула (4.2.11),
т. е. расхождение с экспериментальными данными находится в
пределах 2%.
12*


Течения в каналах. II. Трение и расход [Гл. 4
Можно отметить еще две простые формулы для коэффициента
трения:
С/ = 0,046 Re"1 !\ (4.2.23)
используемую при 105<Red< 106, и
с, = 0,0014 + 0,125 Re;0"32, (4.2.24)
которая дает результаты, отличающиеся от результатов по
логарифмической формуле в пределах 3% при Red<106 и"7%—при Red<107.
4.3. ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ШЕРОХОВАТОСТЬЮ
4.3.1. КЛАССИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Распределение скорости
Характер экспериментальных данных на рис. 1.1 указывает на
существенную зависимость трения в трубе от шероховатости стенок;
действительно, для высоких чисел Рейнольдса трение часто определяется
только шероховатостью. Обобщим данные анализа,, приведенного
в табл. 4.1, чтобы объяснить эти экспериментальные результаты:
1) U~rw, \i, p, k, у (4.3.1)
для всего слоя постоянного касательного напряжения (k — линейный
масштаб элементов шероховатости);
2)^-^хш, р, у, (4.3.2)
как и выше, для всей турбулентной области слоя постоянного
касательного напряжения;
3) Аи~ти» р, R, у, (4.3.3)
как и выше, для турбулентного ядра.
Следовательно, что касается полностью турбулентной области
потока, шероховатость просто изменяет «скольжение» вблизи стопки.
Использование единственного линейного размера для описания
шероховатости представляет собой существенное ограничение; однако это
оказалось приемлемым для систематических экспериментов Никурадзе,
выполненных приблизительно в 1930 г. и используемых до сих пор как
эталон для других видов шероховатости. Он равномерно покрыл трубу
изнутри тщательно отсортированными зернами песка и использовал
диаметр зерен песка ks (т. е. размер отверстий сортировочного сита)
как масштаб шероховатости.
Размерное однородное выражение для скорости в пристеночном
слое следует из уравнения (4.3.1):
JL = flJL ±\ (4.3.4)
Для полностью турбулентной части потока уравнение (4.3.2) дает
результат, аналогичный уравнению (4.1.3):
yiU _У*(У/Щ) ,
Ufdy~yfd(y/yf)~
Обычно постоянной A = [-jtA придают одно и то же значение при


§ 4.3J
Проблемы, связанные с шероховатостью
181
обтекании и шероховатой, pi гладкой стенок, хотя экспериментальные
результаты табл. 4.2 показывают, что это не совсем так.
Интегрирование дает
£="'"(£)+'Ш- <4-3-5»
Вид дополнительной функции определяется уравнением (4.3.4).
Этот результат можно представить и как
£-"'"(*)+«(£)• ,4-3'56'
Две характеризующие шероховатость функции связаны соотношением
'(t)+^(f)-'(f)- <4-3-6»
В этих обобщениях логарифмических формул (4.1.3) для гладкой
•стенки «скорость скольжения» в вязкой области выражается как
функция шероховатости.
Теперь рассмотрим поведение связанных между собой функций
H^IUf) и 8(&1У/)- Заметим, что параметр k/yf будет увеличиваться,
если масштаб шероховатости будет увеличиваться или же число Рей-
нольдса будет возрастать при соответствующем уменьшении у/.
1) &/#;->0. Для эффективно гладкой стенки зависимость (4.3.5)
должна соответстзовагь формуле (4.1.3) и
где В — постоянная для гладкой стенки.
2) k/yt-^oo. Для многих типов шероховатости (включая песчаные
.зерна, как на рис. 1.1) трение при этом условии становится
независимым от вязкости, стенка может быть охарактеризована как полностью
.шероховатая. Полагая соответствующее изменение скорости
аналогичным, будем иметь
s(~j-B'> (4-3-8)
где постоянная определяет предельное «скольжение» для конкретного
типа шероховатости. Значения B/ = BS для песчано-зерпистой
шероховатости приведены в табл. 4.2. Данные для других типов шероховатости
будут приведены ниже.
3) В общем случае уменьшение изменения скорости у стенки
может быть рассчитано, если вычесть из зависимости для шероховатой
стенки (4.3.5) соответствующую зависимость (4.1.3) для гладкой
стенки:
f-°-i(7r)-B-*{ir)+AH-ir)- (4'3'9)
На рис. 4.2 это соотношение приведено для различных типов
искусственной шероховатости: песчаных зерен, прямоугольных брусков и
проволочной сетки. В каждом случае изменение AU/iij при больших
значениях k/yf имеет вид, установленный уравнениями (4.3.8) и (4.3.9),
Y~ = B — В' + А[п(т)- (4.3.10)


182
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
Тот факт, что предельные формы
(4.3.10) на рис. 4.2 не совпадают,
указывает на различие значений постоянной
В' для различных типов шероховатости.
Отчасти это различие обусловлено
произвольным выбором масштабов для
элементов шероховатости различной формы.
Ниже будет показано, как можно
выбрать эти масштабы для приведения
в соответствие всех таких (т. е.
линейных) характеристик при полностью
шероховатых стенках. Однако кривые при
малых значениях klyt имеют различную
форму и не могут быть обобщены таким
способом.
Обращаясь теперь к зернисто-пссча-
ной шероховатости, которая часто
используется в качестве эталона, мы
увидим, что она почти не влияет на
турбулентную область потока (или на трение),
если
^-<4. (4.3.11)
У[
Аналогичные пределы существуют и для других типов
шероховатости. Если эти условия выполняются, говорят, что поверхность (и
течение) является гидравлически или аэродинамически гладкой. Из данных
рис. 4.2 следует также, что
А->60 (4.3.12)
Щ
определяет условия полностью шероховатой стенки (режим развитой
шероховатости). Пределы (4.3.11), (4.3.12) часто обоснованы теми
соображениями, что перзые соответствуют прониканию выступов
шероховатости г, оуфорный слой, а вторые — прониканию выступов
шероховатости в полностью турбулентный слой. Эти представления полезны при
упрощенной трактовке, однако они несостоятельны в двух существенно
важных аспектах:
1) Фактическая высота выступов пссчано-зернистой шероховатости
равна примерно 1/2&S. Следовательно, шероховатость становится
значительной для внешнего течения, когда фактическая высота выступов
меньше половины толщины подслоя у^Бу*.
2) Течение вблизи стенки существенно изменяется проникающими
в поток выступами шероховатости. Понятие параллельного среднего
течения вблизи стенки уже не соответствует действительности и стирается
различие между турбулентным и вязким слоями.
Если подойти более реалистично к рассмотрению эффектов
шероховатости, следует .представлять себе, что коэффициент лобового
сопротивления большинства выступов шероховатости будет определяться
вкладом как вязких, так и инерционных сил. Влияние шероховатости
на течение является сложным: шероховатость способствует эжекции
турбулентной жидкости к стенке и увеличению турбулентности вблизи
'Л и/и
L/h=3}6y/
Рис. 4.2. Изменение скорости (при
действии на течение
шероховатости различного вида) как
функция параметра шероховатости k/yf.
/ — проволочная сетка (k = d); // —
прямоугольные элементы (k=rh); III —пес-
чано-зернистая шероховатость k=k ).


§ 4.3J
Проблемы, связанные с шероховатостью
183
стенки: с другой стороны, она содействует переносу локальных
эффектов вязкости в область поверхности выступов. В конечном счете
инерционные эффекты обычно становятся доминирующими для
коэффициента лобового сопротивления и для внешнего потока.
Законы трения
Чтобы установить взаимосвязь между течением в шероховатой
трубе и трением на стенке, подставим выражение для распределения
скоростей (4.3.5) в 'первое уравнение (4.2.4), снова принимая
соответствующие упрощающие допущения. Отсюда для шероховатой стенки
имеем:
^-•fU^^+^-S. (4.3..3,
Вводя соотношение (c^2)]/^=^uf/Ua) получаем закон трения:
, jAb(*\ + 'JW=Wm (4.3.14)
Vc~f V2 \ k J ' V2
Так как R/yf = -YRed(cf!2)l/2, то (4.3.14) в неявном виде выражает
закон трения
Если задана функция g{kjyf) или одна из связанных с ней
функций f(k/y>) или AU/Uf, определяемых уравнениями (4.3.6), (4.3.9), то
можно выразить эту зависимость и в явном виде.
Сопоставление уравнений (4.2.6) и (4.3.13) дает другое толкование
уменьшения скорости Д£/, обусловленного шероховатостью:
a,- [uf ) \cf J >
которое показывает, чго AU является мерой соответствующего
увеличения коэффициента трения.
Для песчано-зернистой шероховатости в условиях полностью
шероховатой стенки эксперименты дают зависимость
^1—1,7410^+3,48. (4.3.15)
Эффективные значения постоянных в уравнении (4.3.14), как
указано ,в табл. 4.2, V, равны:
Ае=2,46 и B'e=B8=8fil. (4.3.16)
Одно приемлемое приближение степенного закона для
коэффициента трения в трубах в условиях полностью шероховатой стенки имеет
вид:
cf = 0,040 (-^Y'". (4.3.17)
Расхождение этой формулы с формулой логарифмического
распределения (4.3Л5) в диапазоне* 20<d/,fes<2000 находится в пределах 10%-


184
Течения в каналах. //. Трение и расход
[Гл. 4
Закон трения, который описывает характеристики многих
выпускаемых промышленностью труб, был получен Коулбруком и Уайтом
из анализа результатов исследования течений в трубах. Они заметили.
что формулы (4.2.6) и (4.3.13) можно переписать в виде
\f^ + ^-AU
R
2 V/2 ЪА
1 * _B'^_j^ = _Л1п
У! (П>-В)/Л
R е
\ при yf;k<& 1;
ПрИ У; 'k > 1,
полагая g(kly,)=B'. Они произвольно объединили две зависимости и
получили одну:
где С—]/А8 ехр [(В' — 'В)/А]. Подстав/яя эффективные значения Л, В
И B'=BS, приведенные в уравнениях (4.2.12) и (4.2.16), получаем для
закона трения Коулбрука—Уайта (4.3.18а):
Vc
20
10
Л-
2,5
\ Ш
~ \ ^*V.
\ ^^.
_J \ 1 1
^J .л* -in 5 in 6
3,48— 1,74 In
(4.3.186)
•30
-юо
-jo о
ted
w
10°
10' W*
Рис. 4.З. Характеристики течения в трубах с гладкими и шероховатыми стенками как
функции числа Реннольдса Red и относительной шероховатости Rjks, где ks—высота
эквивалентной песчано-зернистой шероховатости. Штриховые кривые соответствуют
формуле (4.3.18) при R/ks=\000. Результаты для ламинарного течения вдоль гладких
и шероховатых стенок соответствуют законам трения (4.2.10). (4.2.11) и (4.3.15).
-изменение коэффициента трения с г = т
-о- P^V' б~изменение гараметра трения Ucd/v = 2R+;
изменение профиля скорости ^а/^с, соответствующее формуле (4.2.5); / — ламинарное течение
11 — гладкие стенки; /// — шероховатые стенки.^ >


S 4.3J
Проблемы, связанные с шероховатостью
185
На рис. 4.3 приведены результаты расчетов по полученным
формулам. На рис. 4.3,а представлены теоретические кривые,
воспроизводящие экспериментальные результаты, приведенные на рис. 1.1,6, с
использованием нескольких эмпирических постоянных. Показаны результаты
для ламинарного течения, турбулентного течения у гладкой стенки и
четырех полностью шероховатых стенок. Также приведена
«переходная» кривая по зависимости Коулбрука — Уайта. Диаграммы,
содержащие семейство таких кривых, называемые по имени их автора
диаграммами Муди, широко используются при решении прикладных задач
для течений в трубах.
На рис. 4.3,6 та же информация выражена через параметр трения
ii/d/v, который был введен з уравнении (4.2.7). Рис. 4.3,в показывает,
как изменяется в рассматриваемых случаях отношение средней скорости
потока к скорости на оси трубы.
Эквивалентная песчано-зернистая шероховатость
Численные результаты, 'приведенные выше, относятся к песчано-
зеринстой шероховатости в условиях полностью шероховатой стенки.
Для того чтобы использовать эти результаты для других типов
шероховатости, введем понятие эквивалентной шероховатости, размер
песчаных зерен которой в условиях полностью шероховатой стенки дает то
же самое значение коэффициента трения. Уравнение (4.3.14) дает
зависимости между фактическим коэффициентом трения с/, линейным
масштабом фактической шероховатости k и гипотетическим размером
зерен песка или эквивалентной шероховатости ks:
&y'+¥=*b&MirhHx)+B' (4'ЗЛ9)
Если известны коэффициент трения и масштаб фактической
шероховатости, то эти зависимости позволяют определить: эквивалентную
шероховатость ks, отношение ks\k и значение g{kjyi) или (в режиме
развитой шероховатости) значение постоянной В'. Заметим, что
тт=Мп [£)+*• (4-3-20)
для любой шероховатости, определенной таким образом.
В части I табл. 4.4 указаны диапазоны значений эквивалентной
шероховатости, общепринятые в инженерной практике. Эти широкие
диапазоны учитывают такие факторы, как плотность заклепок на
поверхности, чистота обработки и старение. Последний фактор включает обра-
Таблиц а 4.4
Зквивалзнтная песчано-зернистая шероховатость
(. Диапазоны, принятые в инженерной практике
Тип поверхности
Цельнотянутое стекло пли металл
Техническая сталь или ч\тун
Деревянные рейки
Бетон
Сталь с заклепками
ks
До 0,0015
0,05—0,3
0,2—0 , 9
0,3—3
0,9—9


180
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
Продолжение таб/i. 4.4
Безразмерные характеристики, определенные экспериментально
Характер шероховатости
Зерна песка (/? -- ks)
Обработанная поверхность с накат -
кoii (k равно максимальной огмегке
м. нус мпннм 1.1ьпля отменит)
P.ic ] и! сльноси> (к—типичная высота)
Сферические элементы, шахматное
расположение (расстояние между
рядами L = dy k=d)
Полусферические элементы,
расположение то же (k = l/2d)
Плетеная квадратная сетка (размер
ячейки M-^d, k — d для
проволоки)
Квадратные бруски поперек потока
(расстоянье между брусками
L = w = /г, k — w = h)
Конфигурация
Плотно уложенные
Течен >е перпендикулярно
наказе
Течение параллельно
накатке
Lid -9,75
L'</ = 4,88
L/d=2,44
L/d= I ,46
L/d^ 1,0
L/d = 5
Lid = 3,75
L/d = 2,5
L/rf= 1,0
Af/d = 4,75
L//z = 10
L/h = 4
L//i = 3f6
V*
1
0,39
0,2
4
0,23
0,84
3,07
3,8
0,63
0,12
0,19
0,57
1,4
3,5
8,3
3,1
6,4
B'
8,5
10,9
12,5
5
12,2
8,9
5,7
5,2
9,7
13,8
12,7
9,9
7,7
5,4
3,2
5,7
4,3
зование накипи и ржавчины, наличие коррозии и растительности,,
которые могут заметно увеличить трение.
В части II таблицы приведены значения безразмерных
характеристик шероховатости, многие из которых основаны на выполненных
Шлихтингом измерениях для поверхностей с искусственной
шероховатостью. Два масштаба шероховатости связаны между собой
соотношением
Л In
*)=
= ВЯ-В'.
(4.3.21)
Если не принимать во внимание имеющие более сложный характер
результаты, полученные для двумерных элементов шероховатости, то-
можно заключить, что имеется максимально достижимое отношение
линейных размеров .&s/£^5-M3, соответствующее S'^4-^5. Это явление
легко объясняется: попытка сделать более шероховатой поверхность
приведет просто к смещению ее эффективного положения внутрь
потока.
Значения, приведенные в табл. 4.4,11, показывают, что фактическая
высота элементов шероховатости является довольно плохой
характеристикой эффективной шероховатости. Непосредственное определение
эффективной шероховатости при помощи эквивалентной ятесчано-зерни-
стой шероховатости может привести к ошибке в определении средней
скорости порядка
—= ДВ'=±4. (4.3.22)
Uf V
Это соответствует ошибке в определении расхода, возможно, на
20%- К счастью, значения для песчано-зернистой шероховатости
расположены в центре диапазона значений характеристик шероховатости.


§ 4.3J
Проблемы, связанные с шероховатостью
187
Другие масштабы шероховатости
Уравнение (4.3.21) иллюстрирует эквивалентность двух масштабов
шероховатости, используемых в табл. 4.4,11. Другие масштабы
шероховатости можно получить, придавая различные значения постоянной В.
Тогда профиль скорости (4.3.20) запишется в виде
где (4.3.23)
£=«р(-^)
связывает масштаб шероховатости ki с масштабом пссчано-зернистой
шероховатости. В дополнение к выбору Bi=Bs, рассмотренному выше,
имеется три способа выбора постоянной Bii
1) Bi=Bi=B — постоянная для гладких стенок, что даст
|-=Л1п(^)+В. (4.3.24а)
Этот выбор приводит формулы для гладких и шероховатых стенок
к одному виду при ki-^ijj для эффективно гладкой стенки. Принимая
Л =2,5, В5=8,5 и 6=5,5, находим:
£i=0,30fee. (4.3.246)
2) 51=52=0, что приводит к формуле, часто используемой для
описания атмосферного пограничного слоя:
^-=Alnf). (4.3.25a)
Параметр /г2, называемый метеорологами линейным размером
шероховатости, связан с масштабом пссчано-зернистой шероховатости
зависимостью
*8 = -^-. (4-3.256)
3) Bi=B3=f(к/ут) —как в первом уравнении (4.3.5). Здесь .ka = ys
и В3-^В для эффективно гладкой стенки.
Пример 4.15 дает еще два определяющих шероховатость
параметра — эффективную вязкость и макровязкость.
4.3.2. НЕКОТОРЫЕ НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ
Приведенные выше методы в настоящее время используются для
учета шероховатости стенок. Однако они оставляют нерешенными ряд
практических и умозрительных задач. Мы рассмотрим пять таких задач
и укажем пути их решения, где это возможно; однако чаще всего
удастся лишь поставить общую задачу.
Задача 1. Точный расчет трения возможен только тогда, когда
имеются экспериментальные данные для рассматриваемых конкретных
типов поверхностей и условий течения.
Были предприняты попытки вывести зависимости для трения па
шероховатых поверхностях путем добавления к основному
коэффициенту трения гладкой стенки коэффициентов лобового сопротивления от-


]Qq
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
^
дельных выступов шероховатости. Этот
* подход является пригодным, например.
для поверхностей с редко
расположенными заклепками. Однако даже в этом
случае необходимо учитывать изменение
коэффициента лобового сопротивления
при изменении толщины вязкого слоя.
Если же выступы шероховатости
расположены более тесно, необходимо припи-
мать во внимание их взаимное влияние,.
•щ Re T- е. влияние одного элемента на лобовое
сопротивление другого и на основное
Рис. 4.4. Характеристики трения трение на стенке. Для таких более ти-
для четырех типов шероховатости. ьмчных поверхностей реалистический
Относительные величины трения п,,„чет ТПр6урт либо ппгтянгтки гоптиет-
в общем будут не такими, как на Pa>-4tT треоует лиоо постановки соответ^
этом графике, где они показаны ствующих опытов, либо всеобъемлющей
в разных масштабах. сводки результатов для в какой-то мере
/_ падкая стенка. ПОДООНЬК ПОВСр ХНОСТСЙ.
Задача 2. Некоторые нерегулярные
поверхности имеют характеристики трения, отличающиеся от
характеристик для поверхностей с песчано-зернистой или технической
шероховатостью, рассмотренных выше.
Для такой поверхности трение нельзя определить с помощью одной
эквивалентной шероховатости, и способы, которые основаны на
формуле Коулбрука—Уайта или диаграмме Муди, во многом становятся
неприемлемыми. Хотя в настоящее время нельзя рассчитать такие
аномальные характеристики, нетрудно в общих чертах объяснить их
природу. На рис. 4.4 показаны некоторые подобные характеристики трения
для различных типов шероховатости.
Тип А. Зерна песка и другие угловатые, тесно расположенные
элементы шероховатости. Вязкий слой быстро исчезает по мере
возрастания числа Рейнольдса, и тогда касательное напряжение передается
с помощью инерционной силы лобового сопротивления элементов
шероховатости.
Тип В. Выступы различных размеров, возникающие в результате
обработки или в процессе старения. Вязкий слой разрушается медленнее,
и элементы шероховатости начинают постепенно передавать
касательное напряжение с помощью инерционной силы лобового сопротивления.
Для двух других типов поверхности коэффициент трения
продолжает падать по мере возрастания числа Рейнольдса; это можно
объяснить тем, что вязкий слой еще существует на части поверхности.
Тип С. Изолированные выступы на довольно гладкой поверхности.
Коэффициент инерционного лобового сопротивления больших
элементов шероховатости остается практически постоянным, тогда как
коэффициент трения окружающей эти элементы поверхности непрерывно
падает. Такой характер поведения трения можно в первом
приближении ожидать, если элементы шероховатости занимают менее половины
площади поверхности.
Тип D. Изолированные углубления на довольно гладкой
поверхности. Влияние углублений медленно возрастает по мере того, как вязкий
слой становится тоньше.
Некоторые поверхности не соответствуют этим типам, например-,


§ 4.3J
Проблемы, связанные с шероховатостью
189
1) поверхности, геометрия которых является промежуточной по
отношению к рассмотренным выше;
2) волнистые шероховатые или гладкие стенки;
3) поверхности с желобами, параллельными или наклонными по
отношению к направлению среднего течения;
4) очень шероховатые каналы с шероховатостью, высота выступов
которой сравнима с шириной потока (этот случай имеет место в
естественных водотоках с заводями и отмелями, а также в каналах
теплообменников).
Для таких случаев коэффициент трения может главным образом
зависеть от геометрии поверхности и находиться в сложной
зависимости от числа Рейиольдса. Для очень шероховатых каналов переход
к турбулентности происходит при Re^^ 10-^-200. Изменение
характеристик трения едва ли может означать появление истинной турбулентно-
сти; более правдоподобным является объяснение этого изменения
возникновением инерционных отрывных течений между элементами
шероховатости (ср. рис. 1.3).
Задача 3. Хотя распределение средних скоростей зависит от
расстояния до стенки у, эффективное положение стенки определить
нелегко.
Эту задачу можно решить, выбрав эффективное начало отсчета
таким образом, чтобы соответствующая часть профиля скорости
описывалась бы логарифмической формулой. Таким образом,
и^\п(у + г), (4.3.26)
где у — расстояние, которое отсчитывается от какого-то удобного
уровня; е определяет эффективное положение стенки по отношению к этому
уровню. Для равномерной шероховатости у можно отсчитывать от
вершин элементов; тогда е>0. Для изолированных элементов на гладкой
стенке у можно отсчитывать от стенки; в некоторых случаях
по-прежнему оказывается, что е>0, причем эффективная поверхность будет
ниже действительной.
Задача 4. В ряде случаев течение на очень близком расстоянии от
стенки определяет тепло- и массоперенос между стенкой и жидкостью;
однако ничего не известно о процессах в пространстве между
элементами шероховатости и в оставшейся области вязкого слоя.
Для реалистического решения этой задачи потребуются десятки
лет тщательных экспериментальных работ. А пока эффект
шероховатости следует учитывать на основании эмпирических данных по
аналогии с переносом импульса. Собственно процессы переноса будут
рассмотрены ниже, в гл. 5; здесь же мы попытаемся только установить
общую картину течений, благодаря которой осуществляется процесс
переноса. Рассмотрим конкретные виды поверхностей (рис. 4.5),
шероховатость которых создается прямоугольными брусками, каждый из
которых имеет размеры h, w, L. Будем допускать, что канал достаточно
широкий (&/А>1), благодаря чему обеспечивается развитие
существенно параллельного среднего течения в большой части канала. В
числе тех, кто исследовал канал такой геометрии, следует указать
Перри и др.
Область вблизи стенки будет называться слоем шероховатости.
Для элементов шероховатости, показанных на рис. 4.5, толщина слоя-


190
Течения в каналах. П. Трение и расход
|Гл. 4
может быть предварительно определена как
У
У
<2 и-^-<30
(4.3.27
Среднее течение в слое шероховатости обычно является
трехмерным и U=U(х, у, г). Даже для двумерного профиля стенки h(x)y
показанного на рис. 4.5, вблизи которой возможно существование
двумерного течения, неустойчивость приводит к возникновению ячеистого
трехмерного течения в пространстве между элементами шероховатости.
Течение около изолированного выступа, определяемого как 1г(х, z),
часто представляют в виде подковообразного вихря, охватывающего
ВЫСТУП.
и(у,Ъ)
'~Г~
L W
*+-'
и(у!
а)
Рис. 4.5. Течение вблизи стенки с прямоугольными элементами, расположенными по
нормали к направлению среднего течения.
а—геометрия шероховатости и течения; пристеночный слой состоит из слоя шероховатости и слоя
постоянного напряжения: 00— стенка, ось канала или граница пограничного слоя; А — ядро или
внешнее течение; В — слой постоянного напряжения; С — слой шероховатости: б — распределение
осредиенной во времени скорости вблизи стенки для различных значений продольной
координаты Л': /—профиль, оканчивающийся на вершине элемента; 2 — профиль, оканчивающийся на
плоской стенке.
В слое шероховатости осредненное по времени касательное
напряжение изменяется от точки к точке, хотя среднее вдоль течения
значение не будет зависеть от расстояния до стенки во внешней части слоя
(т. е. за пределами выступов, которые сами по себе передают какую-то
часть касательного напряжения). В почти параллельном течении
непосредственно за пределами слоя шероховатости обычно используется
приемлемое приближение слоя постоянного касательного напряжения
с одинаковым значением осредненного по времени касательного
напряжения в каждой точке. Это — слой, существование которого было
постулировано в уравнениях (4.3.2), (4.3.26).
Пристеночный слой вблизи шероховатой стенки разделен только на
две области: слой постоянного касательного напряжения с
параллельным течением и слой шероховатости, в котором среднее течение обычно
является трехмерным. Однако структура последнего является сложной:
1) Для больших значений yf вязкость будет влиять на среднее
течение во всем этом слое; однако, если yt достаточно мало, внешняя его
часть будет полностью турбулентной.
2) При обтекании элементов шероховатости будут возникать
множество отрывных течений и течений с повторным присоединением
к твердой поверхности и, возможно, концентрированные вихри. Харак-


§ 4.3]
Проблемы, связанные с шероховатостью
191
тер этих течений в значительной мере зависит от геометрии
поверхности, которая для рассмотренного на рис. 4.5 случая определяется
отношениями yf/h, w/h и L/h.
3) Непосредственно у поверхности будут иметь место различные
мелкомасштабные вязкие слои.
Задача 5. Для некоторых поверхностей с шероховатостью
определенной геометрии не .может быть единственного размера
шероховатости, определяющего характеристики трения или масштаб
логарифмического слоя.
Другими словами, ни один из размеров Ц не будет приводить
распределение скорости для различных (достаточно больших) чисел Рей-
нольдса к виду
l--Aln{l£-)+*ft,...). (4.3.28>
Здесь е определяет эффективное положение стенки, как и в
уравнении (4.3.26). Нельзя также представить зависимость для трения при
режиме развитой шероховатости в виде прямой линии аналогично
зависимости, приведенной на рис. 4.2.
Нетрудно понять, как возникает эта задача. Анализ данных по
шероховатости, приведенных на рис. 4.5, позволяет обобщить определение
логарифмического слоя в виде
^■~тю» Р' # + s'T~> (4.3.29)
где е=е(й, w, L, t/ft b) и отношение Ljb включено для учета
взаимодействия между внешним течением и течением в слое шероховатости.
Интеграл можно записать в виде уравнений (4.3.25):
где k2=>k2(h, w, L, t/f, b)—линейный масштаб слоя постоянного
касательного напряжения. Отметим, что А может зависеть от геометрии
шероховатости и, кроме того, возможно, от условий течения.
До сих пор принималось, что кчг^К однако можно легко
представить себе обстоятельства, при которых это условие будет
неприемлемым:
1) Ljw^l, при этом остается только узкий желоб между
элементами шероховатости;
2) L равно масштабу (—Ь) какого-то важного элемента
турбулентности внешнего течения;
3) поверхность составлена из желобов, параллельных среднему
течению.
Заметим также, что для зернисто-песчаной шероховатости L^
^2w^2h^ks\ следовательно, здесь нельзя сказать, какой размер
является существенным. Можно прийти к заключению, что нельзя
назвать единственную геометрическую характеристику различных
структур шероховатости, которая определяла бы ее влияние на внешнее
течение и трение. Хотя предыдущее рассмотрение относится к
шероховатости с периодически или почти периодически повторяющимися на
поверхности элементами, можно прийти к аналогичному заключению
л для шероховатости со случайно изменяющимися характеристиками


192
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
элементов: не существует единственной статистической характеристики
(скажем, среднеквадратичного значения высоты выступов), адекватно
коррелирующей эффекты шероховатости.
Для конкретного вида шероховатости, показанной на рис. 4.5,
величину k2 можно использовать более широко. Если бруски
расположены достаточно редко, высоту выступов h можно использовать для
универсального описания профиля скорости, подобного уравнению (4.3.28);
при этом оказывается, что е—Л. Тогда, если ktr-'h, a e и &2 зависят от
одних и тех же параметров, естественно использовать kt—е для более
широко изменяющихся условий. Этот метод определения линейного
масштаба логарифмической области позволяет привести
экспериментальные данные для течения над поверхностью с плотно
расположенными брусками к виду, показанному на рис. 4.2. Несколько
неожиданным является то, что предположение k^b (b — ширина всего потока)
также дает довольно хорошие результаты. Это позволяет предположить,
что е—b и что иногда имеется значительное взаимодействие между
течением в ядре и слоем шероховатости.
4.4. АСИММЕТРИЧНЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНО-СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
4.4.1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Выше отмечалось, что параллельно-струйное полностью развитое
течение возможно не только в круглых трубах, где оно -и рассмотрено,
но и в некоторых каналах с иным поперечным сечением, к которым
относятся:
1) кольцевой канал между концентрическими цилиндрами, когда
внутренняя и внешняя стенки могут иметь различную шероховатость
(такая ситуация часто встречается в теплообменниках, в том числе
в ядерных реакторах);
2) плоский канал между параллельными стенками, которые могут
иметь различную шероховатость и двигаться относительно друг друга,
как, например, в гидродинамических подшипниках, в проточных
каналах турбомашин, а также в открытых каналах, когда свободная
поверхность «заменяет» одну из стенок.
В таких параллельно-струйных течениях касательные напряжения
на обеих стенках не обязательно будут одинаковыми. Они могут
различаться, если имеется значительное относительное движение стенок
или различная шероховатость, или (в случае течения в кольцевых
каналах), если, например, /?г/#1>1,1. Так как течение вблизи стенки
определяется касательными напряжениями в этой области, следует
ожидать, что различие касательных напряжений на стенках будет
означать асимметрию практически любой характеристики течения.
Рисунок 4.6 иллюстрирует общий характер асимметричных
течений. В конкретном случае течения ;в плоском канале, исследованном
Ханьяликом и Лондером, одна из стенок является эффективно гладкой,
а другая шероховатой, с элементами шероховатости в виде квадратных
брусков; на очень близком расстоянии от этой стенки возможно
определить единственное значение средней скорости U(y). Особенностью
распределения средней скорости, показанного на рис. 4.6,а, является то,
что точка максимального значения средней скорости у=ут и точка
нулевого значения касательного напряжения у=уо не совпадают. Как
• было показано в п. 3.4.6, это нельзя описать с помощью использования


§ 4.4J
Параллельно-струйные течения
193
z,s
2,0
1,5
1,0
0,5
0
- v'/u2,w'/u2
-
и'/иг У
У^К
^^^^
УоА \у„/Ь
i i i
0,2 0,4- 0,6
*1
/ \
\
0,8 1}0
5)
' О 0,2 0,4- 0,6 0,8 170
у а)
Рис. 4.6. Течение в плоском канале с одной гладкой и одной шероховатой стенками (по
Ханьялику и Лондеру: Re = 5,6-104, L//z=10, b/h=\7).
а — изменение средней скорости U\Uш и касательного напряжения т/т2; б — среднеквадратичные
значения интенсивности турбулентности, приведенной к безразмерному виду делением на
динамическую скорость на шероховатой стенке: и2=(~2/р) ' , 1 — элемент шероховатости.
модели градиентной диффузии и ее следствия-
ния, которые дают
i dU *2
~? e,n~dy~~ n
dU
dy
dU
dy ■
понятия пути смеше-
(4.4.1)
Характер изменения интенсивности турбулентности, показанный на
рис. 4.6,6, позволяет объяснить эту несостоятельность модели
градиентной диффузии. При у=ут можно ожидать, что v>0 (вдали от второй
стенки) связано с большими значениями —и, a v<0 связано с малыми
значениями; отсюда т/р=—uv>0 в этой точке.
Данные, приведенные на рис. 4.6, показывают, что в потоке имеется
область, в которой uvdUjdy>0; это соответствует отрицательному
знаку того слагаемого в уравнении (3.3.26), которое представляет
порождение энергии турбулентности. Это становится возможным потому, что
движущийся элемент жидкости, подверженный действию средней
деформации одного знака (например, dU/dy>0), переносится в область,
где средняя деформация имеет противоположный знак. Такое явление
имеет место и при симметричном течении в каналах; однако _здесь
требование симметрии везде обеспечивает выполнение условия uvdUjdy^
<^0. В асимметричном течении имеется область, где осредненный эффект
двух видов средней деформации имеет положительный знак. Чтобы это
представить, необходимо использовать модель турбулентности, которая
значительно сложнее моделей, рассмотренных в § 3.4. Такие модели
будут рассмотрены в гл. 9.
4.4.2. ПРОСТЫЕ МОДЕЛИ ТЕЧЕНИЯ
Отсутствие симметрии среднего течения и распределения
напряжений вынуждает пересмотреть зависимость между трением и расходом.
В предыдущих выкладках и расчетах само собой подразумевалось
выполнение условия симметрии относительно центральной линии канала;
теперь необходимо в явном виде ввести условие для того, чтобы увязать


194
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
течения по обе стороны оси канала. Так как точный характер
изменения скорости в ядре течения существенно не влияет на суммарный
расход потока, выбор условий согласования характеристик течения по обе
стороны канала не является слишком существенным для определения
грения. Эти соображения дают некоторое обоснование для
упрощающего предположения у0=ут, т. е. предположения о совпадении
положения точек, в одной из которых касательное напряжение равно нулю,
в другой — средняя скорость максимальна.
Для гладкостенных каналов кольцезого сечения идут еще дальше и
обычно принимают, что точка уо=ут занимает такое же положение, как
и в ламинарном потоке в кольцевом канале. Другими словами,
предполагается, что отношение касательных напряжений на стенках Т2/Т1
является однозначной функцией формпараметра i?2/^i канала
кольцевого сечения. Это предположение правдоподобно для высоких значений
числа Рейнольдса (скажем, 2£/aAi?/v>50O0), но менее
удовлетворительно для турбулентного течения при низких значениях числа Рейнольдса.
Для асимметричных потоков в плоских каналах информацию об
относительной скорости или шероховатости стенок можно использовать
для того, чтобы рассчитать напряжения на стенках и точку
согласования характеристик течения. Для кольцевого канала с разной
шероховатостью стенок неизвестны методы определения отношения касательных
напряжений на стенках и положений соответствующих точек, в которых
касательные напряжения равны нулю. Одну оценку можно получить
путем комбинирования результатов расчетов для гладкостенных
кольцевых и плоских каналов с одной или двумя шероховатыми стенками.
Анализ связи между касательными напряжениями и средними ско-
*ростяМ'И в § 3.4 подразумевает несколько методов расчета изменения
скорости поперек асимметричного потока. Здесь будут обсуждены три
модели, иллюстрирующие ряд замечаний, сделанных в п. 3.4.6 в связи
с рассмотрением применимости гипотез коэффициента турбулентной
вязкости и длины пути смешения. Для определенности мы рассмотрим
плоский поток, аналогичный описанному на рис. 4.6; однако при
некоторых модификациях данный анализ применим и к течениям в
кольцевых каналах.
Модель I: два логарифмических слоя, пересекающихся в точке у=
■=Уи так что у%=ут (точка максимума скорости). Для удобства будем
предполагать, что у{=ут=у0 (точка, в которой т=0). Однако это
дополнительное предположение не является необходимым; модель
допускает и приближенное представление асимметричных течений при
УтФуо, хотя касательные напряжения и диффузия в ядре описываются
при этом плохо.
Рассматривая движение жидкости вблизи гладкой неподвижной
стенки (подобной первой стенке на рис. 4.6), определим максимум
скорости следующим образом:
£=Л1п(^)+В, (4.4.2)
где Ui=v/yi=(xi/p)i/2> — динамическая скорость для такой стенки. Учет
эффекта другой стенки и суммарного сопротивления потока рассмотрим
в п. 4.4.3.
Модель II: два равновесных слоя с изменяющимися касательными
напряжениями, определенные уравнением (3.5.10):


§ 4.4]
Параллельно-струйные течения
195
2=т(тГ- <*•«>
Заметим, что dU/dy=0 при to=0, что дает для этой модели
равенство уо=ут=У{. Кроме того, 8ш=0 при у=ут, как и в формуле (3.4.60)
для модели-пути смешения. Следовательно, эта модель не подходит для
расчета теплопереноса поперек потока.
Вводя линейное изменение касательных напряжений
* = <■— ау, где <z=-£->0, (4.4.4a)
с помощью интегрирования находим:
и,
MiTll-^IW.-^r1
1/2 , , «., . , , + С, (4.4.46)
где С — постоянная интегрирования. Вблизи стенки зависимость для
изменения скорости приводится к виду
£~А1пШ+2А+с
при условии уо^>Уи Последнее является условием существования
полностью турбулентной области течения с логарифмическим законом
распределения. Сравнение с результатами для слоя постоянного
касательного напряжения показывает, что
С = А\п(^Л-\-В — 2А (4.4.4в)
Максимальное значение скорости, получаемое из уравнений (4.4.4),
определяется как
¥l=С = А1п(УА+В — (2 — 1п4)А (4.4.5)
и\ \ У\ J
Оно отличается от результата (4.4.2), полученного для
постоянного касательного напряжения, только на AUi/Ui=0,6l3 Л^^ 1,5.
Использование этой более сложной модели едва ли оправданно, если только
касательные напряжения на одной стенке не будут очень малы; тогда
течение вблизи этой стенки правильнее определять с помощью формул
для переменных касательных напряжений.
Модель III: два логарифмических слоя, разделенных ядром, где
турбулентная вязкость постоянна (ет=ес). Соотношения (4.4.1)
показывают, что уо=ут. Это ограничение приводит к тому, что в любой
точке ядра возможно конечное значение коэффициента диффузии; поэтому
модель позволяет описать тепло- и массообмен поперек потока.
Примем распределение скорости в ядре в виде
Um-U _*\Ь_[у_ УоУ (4.4.6)
4,f -с \ Ь Ь
(обобщение результата для течения типа А из табл. 3.3), где
„ [ hi 1 +1*2
2Р
1/2 (4.4.7)
лзляется мерой интенсивности турбулентности в ядре. Для частного
случая Ti=±t2 это дает значения щ, используемые в табл. 3.3. Общим
лектором для рассмотренных в этой таблице течений является диапа-


196
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
зон скоростей AU/Uf. В отсутствие более конкретных результатов мы
определим разнообразные асимметричные течения в ядре, принимая
среднее значение из табл. 3.3:
f-7. («.8)
Рассмотрим течение, подобное описанному на рис. 4.6 при п, Т2>0,
когда касательные напряжения на обеих стенках тормозят поток. Для
простоты опустим в формуле (4.4.7) обозначения модуля. Ограничимся
далее случаями, когда тг^тг, тогда
Уо ъ 1
Ь — zt ^ 2 >
где тг==тГ1+т2 характеризует общее торможение. Разность скоростей
(от максимальной до скорости у более отдаленной стенки)
определяется как
ш afb (l УоУ ufb
-*•)"-£ (*)"■ <«•«•<»
и,
и изменение скорости (4.4.6) можно записать в виде
и„-и
Щ
fjL4——V— (4-4.Ю)
где последний множитель определен уравнением (4.4.8).
Принимая, что коэффициент турбулентной вязкости изменяется
непрерывно поперек течения, согласуем пристеночное течение и течение
в ядре. Приравняем соответствующие величины из зависимостей (4.1.5)
для пристеночного слоя и (4.4.9) для течения в ядре:
Тогда точка согласования определяется как
yt_ A uLfxty/2[^y (4АП)
где принято UfjUi=(xi!2xi)ilz. Точка согласования для другой стенки
определяется как
1_^ = -^^L^Y/2. (4.4.12)
При т2 = ^ =-1-<с, уравнения (4.4.11), (4.4.12) дают точку
согласования (4.2.1), соответствующую симметричному течению в трубе или
канале.
Зависимости (4.4.9) — (4.4.12) применимы только при T2^Ti>0.
Аналогичные зависимости можно получить и для случаев, когда хг и Ti
не соответствуют этим условиям.
4.4.3. ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ
Рассмотрев ряд методов описания асимметричного распределения
средней скорости, обратимся теперь к исследованию характеристики
трения, которая может быть описана простейшей моделью — моделью I,


§ 4.4]
Параллельно-струйные течения
197
включающей два логарифмических -слоя. Приводимая схема расчетов
может оказаться пригодной и для более сложных моделей.
Вблизи шероховатой стенки имеем:
а2 { кх
+д
(4.4.13)
принимая в качестве масштаба шероховатости величину Ли
определяемую уравнениями (4.3.24). Здесь Ь — эффективная ширина канала,
увеличиваемая на величину е у поверхности, на которой находятся
элементы шероховатости [см. уравнения (4.3.26), (4.3.29)]. При у=уг этот
закон также должен давать значение /У*, определяемое уравнением
(4.4.2). Поэтому условием согласования будет
щ
+в
Л In
^)+s
откуда
Ух \Ь — У1 ) L\Ml
Соотношения
У1 _ Уо
Ъ Ь
*1 Jh__ ( *2
"4
1/2
(4.4.14)
(4.4.15)
(4.4.16)
которая в неявном виде определяет отношение касательных
напряжений, соответствующее конкретным шероховатостям и условиям течения.
Другой способ создания асимметрии течения (в результате
придания стенкам относительного движения) можно учесть в анализе
следующим образом. Вблизи стенки, движущейся со скоростью U2,
средняя скорость равна:
(4.4.17а)
показывают, что условие (4.4.14) имеет форму
1 т, > Ь > Ь ) '
^ = А1п(Ь-^)+В-^.
и2 \ kx J а2
Это уравнение можно записать в виде
а2
= Л1п
к\
+В,
где
(4.4.176)
k\ = kxeKU%,u%
является эффективной шероховатостью, которая учитывает движение
стенки. Формулы (4.4.14), (4.4.16) можно теперь записать с учетом
(4.4.17), т. е. с учетом эффекта движущейся стенки. Полагая км=Уи
получаем формулы для расчета течений с движущимися гладкими
стенками.
Для принятой здесь модели расход потока на единицу ширины
канала равен:
Ь У{ Ъ
v =
\udy = ub Г
Л In
*)+*
dy + u, Г \Л
In
Ь-у
+в
dy =


198
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
= [y(U-Aul)Y0i-[(b-y)(U-Au2)]b . (4.4.18)
у i
Пренебрегая слагаемыми, получающимися после подстановки
пределов #о=0 и у=Ь [аналогично тому, как была получена формула
(4.2.4) для трубы], будем иметь:
иа = ^=и,-А
a^+K.fl-J^)]. (4.4.19)
Для того чтобы преобразовать эту формулу в закон трения, введем
коэффициент, характеризующий продольный градиент давления для
случая т2, ti>0:
г ь dPw __ ti + ч _ о a*f (4.4.20)
с*— ?U\ dx - ?U>a —ZU*a' K
Формулу (4.4.19)'теперь можно записать как
. (£Г-£Й*7-)+в-'1*]--И1--*-)- <4-4-20а)
В силу соотношений (4.4.15) последняя зависимость имеет форму
) !(с"Ьт-)=°- (4А21)
Поскольку условия на обеих -стенках определяются касательными
напряжениями, зависимость (4.4.21) включает в себя оба случая —
шероховатой стенки и движущейся стенки. Используя формулы
(4.4.14), (4.4.17), можно определить характеристики трения в
зависимости ,лиро от шероховатости стенок, либо от относительной скорости
стенок.
Условия течения обычно определяются числом Рейнольдса
среднего течения Uab/v, а не величиной r/i/Ь. Соотношение между этими
параметрами .можно получить, если переписать уравнение (4.4.19) в виде
f(cT'-T>-r)=0- <4А22)
Окончательно, используя цепочку соотношений (4.4.16), (4.4.17),
(4.4.21), (4.4.22), можно получить зависимости для коэффициентов
сопротивления для шероховатой стенки
c<=f(¥> -т) (4А23а)
или для движущейся стенки
<«=*(¥. т£)- (4А23б)
Эти..зависимости являются обобщением результатов для плоского
канала с гладкими неподвижными стенками.
Хотя проведенный анализ дает общие формы законов трения,
следует ожидать, что, как и для течения в трубах, потребуется некоторая
корректировка постоянных для согласования с экспериментальными
данными. Естественно, что анализ следует несколько модифицировать
при учете случаев, в которых обе стенки являются шероховатыми и
в которых Ti/t2<0, что может иметь место лри движущихся стенках.
Несколько лучшие результаты можно получить с помощью более слож-


§4.5]
Другие течения в каналах
199
ных моделей II и III, которые указаны в предыдущем разделе; первая
из них особенно пригодна для случая, когда ti или Т2—0.
Резюмируя, мы приходим к заключению, что с помощью
распределения скоростей, полученных в § 3.4 и 3.5, можно рассчитать трение для
целого ряда параллельных течений в каналах. Кроме того, модели, в
которых используется постоянный коэффициент вязкости в ядре,
пригодны для расчетов тепло- и массопереноса в таких течениях.
4.5. ДРУГИЕ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ
4.5.1. ВТОРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Термин «вторичное течение» используется для обозначения осред-
ненного по времени движения, которое считается наложенным на
основное (или первичное) течение или входящим в него. Необходимо как-то
различать эти течения; вторичное течение выбирают таким, чтобы его
скорости были значительно меньше скоростей основного движения.
Часто, когда первичное движение параллельно стенкам или
равномерному невозмущенному течению, за вторичное течение принимают
компоненту среднего течения по нормали к стенкам канала или поперек
потока. Один вид вторичного течения уже рассмотрен в п. 3.2.3:
Тип 1—нормальная
компонента полностью
развитого течения в канале с
параллельными стенками.
Такое течение развивается,
если нормальные
турбулентные напряжения в
поперечном сечении не
уравновешиваются. Этот случай пред*
ставляет особый интерес,
так как является прямым
следствием действия
турбулентности.
Остальные типы
вторичного течения,
рассмотренные ниже, могут иметь
место в отсутствие
турбулентности; конечно, эти течения
могут взаимодействовать с турбулентностью, когда поток
турбулентный. Прежде чем рассматривать такие течения, проанализируем его
эффекты.
На рис. 4.7,а и б, основанных на результатах, приведенных Брунд-
реттом и Бейнесом, показаны картина вторичного течения для
половины прямоугольного канала и соответствующие изотахи продольной
компоненты средней скорости. Очевидно, что характер изотах обусловлен
поперечной конвекцией, вызванной вторичными течениями. На рис. 4.7,в
показаны изотахи для половины открытого канала трапецеидального
сечения. Вторичное течение (для типичных сечений канала) вызывает
смещение максимума продольной скорости в точку, расположенную
ниже свободной поверхности примерно на 1/5 глубины канала.
Ранее было показано, что изменение скорости поперек ядра
течения турбулентного потока меньше, чем для ламинарного потока в том
Рис. 4.7. Влияние вторичных течений (тина 1) на
распределение скоростей в канале некругового
сечения.
а — изотахи продольной скорости U/Uc в прямоугольном
канале с отношением сторон 3 : 1 при Uadh(v=Q • 104 (по
Брундретту и Бейнсу); б — картина вторичных течений,
соответствующая рис. 4.7,а; в — изотахи продольной
скорости UJU в открытом канале трапецеидального сечения.


200
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
же самом канале. Этот эффект усиливается вторичными течениями,
действие которых расширяет ядро течения в область углов сечения.
Следовательно, для сечений канала такой формы, когда углы не
являются слишком острыми, пристеночный слой и касательные напряжения
достаточно равномерны вдоль большей части периметра сечения.
Это удачное обстоятельство служит основой простого способа
установления связи между характеристиками трения для множества
поперечных сечений. Утверждается, что касательные напряжения на стенке
в любом канале почти такие же, какие были бы в канале другой формы
при той же средней скорости или скорости в ядре течения и, в
частности, в детально исследованной круглой трубе. Это утверждение будет
приведено в следующем разделе в аналитическом .виде.
Приступая к рассмотрению других видов вторичных течений,
приведем их отличительные особенности:
Тип 2 — течение в поперечном сечении криволинейного канала,
направленное внутрь, (т. е. к центру кривизны) вблизи стенок и наружу —
в ядре. Нетрудно объяснить возникновение этого течения: в
'Пристеночном слое радиальный градиент давления, смещающий высокоскоростное
ядро течения, не в полной мере уравновешивается локальным
центростремительным ускорением. Это объяснение в общем виде также
применимо к вторичному течению типа 1: нормальные компоненты
турбулентных напряжений порождают малые поперечные градиенты
давления, которые могут быть уравновешены только поперечными
компонентами скорости среднего течения.
С течениями типа 2 связаны увеличение глубины потока при
размываемом дне с наружной стороны изгиба и извилины таких потоков.
Они также приводят к увеличению продольных компонент сил трения
в изогнутых каналах. Для полностью развитого течения в длинной
спиральной трубе (следует отличать от короткого изгиба) трение
можно оценить следующим образом. Для ламинарного сечения Прандтль
предложил
-^- = 0,29
Сп
где число Дина De = -^-Rerf(d/D)I/2 лежит в пределах 40<De<1000.
Для турбулентного течения Ито нашел, что
Cfo
i н \2 °>05
Red(4 j , (4.5.2)
где величина в квадратных скобках больше 6. В обоих случаях d —
диаметр трубы, D — диаметр спирали, cf0 — коэффициент трения при
отсутствии кривизны. Кривизна потока подавляет переход к
турбулентности, который, например, происходит при Red^5000, если De=40.
Тип 3 — компонента по нормали к направлению внешнего течения
в пограничном слое с градиентом давления, ориентированным
непараллельно невозмущенному потоку. Такие асимметричные (скошенные)
слои имеют место вблизи концов крыльев, на стреловидных крыльях,
на лопатках турбомашин и у дна стакана перемешиваемого чая, где их
можно обнаружить по движению чаинок.
Отметим, что малую компоненту скорости по нормали к стенке
следует рассматривать скорее как составляющую первичного движения,


§4.5]
Другие течения в каналах
201
нежели чем вторичного течения. Поскольку это различие является
произвольным, всю систему течения можно определить как трехмерный
пограничный слой, не пытаясь выделить вторичное течение.
Тип 4 — пограничный слой, в котором поток возмущается при
обтекании основным течением препятствия. Вторичное течение можно
рассматривать с точки зрения завихренности пограничного слоя. Вихревые
линии растягиваются под действием этого возмущения, и вниз по
течению сходят концентрированные вихри. В следе будут наблюдаться
сложные отрывные и повторно присоединяющиеся течения, как и сразу
перед препятствием. Такие течения образуются в слое шероховатости
вблизи шероховатой стенки, причем вихревая система вокруг
изолированного элемента шероховатости принимает вид подковообразного
вихря, сворачивающегося вокруг выступа.
Тип 5 — реакция вращающейся, стратифицированной или
электропроводящей жидкости на возмущение основного потока, вызванное
вводимым в него телом, извлечением или добавлением жидкости или
изменением скорости вращения твердых границ. Вторичное течение
особенно ярко выражено в направлении стратификации (или вихревых
линий, или линий поля), и возмущения типа следа могут возникать как
перед элементами, вызывающими эти возмущения, так и за ним.
Тип 6: стационарное течение второго порядка, связанное с
периодическим основным течением. Примерами служат среднее прямое
дрейфовое течение, обусловленное волнами на поверхности жидкости, и
«акустическое течение», генерируемое колеблющимся в воздухе телом.
4.5.2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ТЕЧЕНИЙ В КАНАЛАХ
Расчет вторичных течений типа 1, вызываемых изменением
нормальных турбулентных напряжений в поперечном сечении канала и
обусловленных распределением продольной скорости и касательных
напряжений на стенке, требует гораздо более детальной «модели
турбулентности, чем те, которые имеются в настоящее время. Поэтому здесь
мы попытаемся лишь преобразовать качественные данные для таких
вторичных течений в рабочую формулу, связывающую хорошо
установленные результаты для круглых труб с трением в каналах иных
сечений.
Рассмотрим течение (среднее установившееся и равномерное) в
открытом или закрытом канале. Результирующая движущая сила в сече-
кии с площадью А связана с осредненными по времени касательными
напряжениями на смоченном периметре Cw соотношением
_ А d (Я, + PgO = J , {s) ds =-Ск; (4>5.3)
С
w
где z — отметка уровня поверхности; 5 — расстояние, отсчитываемое по
периметру, и xw — среднее по периметру касательное напряжение.
Вводя коэффициент, характеризующий среднее напряжение, имеем:
_£(3£!Си,е,(_"-,1Л.}£.. (4.5.4)
Если можно задать коэффициент Cf, то можно вычислить силу
трения для любого сечения канала. Выше было показано, что коэффициент


202
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
трения для течения в трубе зависит от характерного размера потока,
по которому определяется число Рейнольдса Uad/v и относительной
шероховатости kid. Очередной задачей является выбор эффективного
значения этих параметров, соответствующих другим формам сечения
канала.
Если касательные напряжения на стенке действительно достаточно
равномерно распределены по периметру и значение скорости в большей
части канала близко к Ua, то целесообразно сохранить Ua в качестве
масштаба скорости. Менее ясно, как выбрать для сечения произвольной
формы линейный масштаб, заменяющий диаметр трубы d. Эта задача
обычно решается путем введения масштаба A/Cw, имеющего линейный
размер и позволяющего привести закон трения, включающий этот
масштаб, в соответствие с известными результатами для течений в трубах
и каналах.
Таблица 4.5
Эффективные размеры сечений каналов
Канал
Труба
Широкий закрытый канал
(*i = *»)
Широкий открытый канал
UCw
d/4
b/2
h
Эффективный
размер
dh=4A/Cw
R>h = 2A/Cw
Rh = A/Cw
Название
Гидравлический (или
эквивалентный) диаметр
Гидравлический радиус
Гидравлический (средний)
радиус или глубина
В табл. 4.5 приведены три способа определения линейного
масштаба. Эти три характеристики эффективного (или эквивалентного, или
гидравлического) размера канала связаны следующим образом:
dh==2R'h=4Rh. (4.5.5)
Гидравлический диаметр dh является самым простым для
использования в приведенных ранее формулах; для кругового сечения эта
величина равна фактическому диаметру. Аналогично радиус R\ для труб
будет равен фактическому радиусу в отличие от широко используемого
в практике гидравлического радиуса Rh. Для него более подходящим
•названием было бы «гидравлическая глубина»; к сожалению, этот
термин также используется для величины hh = -y-y где Т — ширина
потока вдоль свободной поверхности.
Какой бы 'Из приведенных в табл. 4.5 масштабов ни использовался,
конечным этапом вывода является то, что соотношение
*/='(¥. ж) <4-5-6>
не зависит от формы сечения канала. Мало вероятно, чтобы
использование конкретного линейного масштаба было определяющим, так как
при турбулентном движении Cf лишь слабо зависит от числа
Рейнольдса, тогда как количественные характеристики шероховатости обычно
известны плохо и поэтому ошибочный выбор линейного масштаба
потока не приведет к существенным дополнительным погрешностям.


§ 4.5J
Другие течения в каналах
203
Для использования зависимости (4.5.6) необходимо, чтобы
касательные напряжения вдоль большей части периметра канала были бы
почти одинаковыми, хотя касательные напряжения могут равняться
нулю вдоль какой-то части, которой пренебрегают при определении
смоченного периметра. Приведенный анализ не применим к асимметричным
плоским течениям, рассмотренным в § 4.4, как и к течениям в каналах
кольцевого сечения, исключая случаи при /?2/</?i—1, когда кольцевое
сечение почти не отличается от плоского канала с равными
касательными напряжениями на стенках. Этот метод анализа неприменим также
и к сечениям канала, имеющим совершенно разные линейные размеры
и масштабы скоростей в различных участках сечения.
Классическим примером этого является речной поток при выходе
его из основного русла на пойму. В какой-то мере подобная ситуация
возникает в сильно оребренных каналах теплообменников. В таких
случаях характеристики течений могут быть рассчитаны при помощи
суммирования вкладов от ряда квазинезависимых течений при
выполнении соответствующих условий согласования.
4.5.3. ОТКРЫТЫЕ КАНАЛЫ
Хотя предшествующее рассмотрение относилось к течениям в
каналах со свободной поверхностью, трение на которой пренебрежимо
мало, необходимо еще рассмотреть специальные методы, принятые .в
инженерной гидравлике для расчетов трения. Эти методы отличаются от
ранее рассмотренных методов вследствие двух обстоятельств:
во-первых, потому что эмпиризм гидравликов установился до того, как
оказался возможным рациональный анализ трения; во-вторых, потому что
инженеры-гидравлики должны часто иметь дело с потоками,
информация о которых неполна и которые обычно изменяются и в пространстве
и во времени; для таких потоков уточненный анализ был бы
бесполезным.
Для расчетов применительно к открытым каналам уравнение
(4.5.4) принимает вид
*=с,!ф, (4.5.7,
где Rh—A/Cw — средний гидравлический радиус, U2a/2g — скоростной
напор и 5=—dzjdx — уклон свободной поверхности, который является
и уклоном дна для полностью развитого равномерного течения в канале.
Этот результат можно записать в виде формулы Шези
Ua=CbRhSy*, (4.5.7а)
где C=(2g/С/)1/2— коэффициент Шези, являющийся мерой пропускной
способности канала.
Коэффициент Шези обычно определяют в виде эмпирической
функции, учитывающей характер границ канала и масштаб потока. Для
этого широко используется формула Маннинга (Rh — в метрах)
С = 4-*Г (4.5.8)
п хь
Коэффициент п (называемый просто коэффициентом п Маннинга)
учитывает характер поверхности границ канала; ниже будет показано,
что этот коэффициент эквивалентен шероховатости стенок. Пределы из-


204
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
менения /г, соответствующие встречающимся на практике типам
каналов и русл, указаны в табл. 4.6.
Таблица 4.6
Характерные значения коэффициента п в формуле Маннинга и соответствующие
значения коэффициента трения Cf и эквивалентной песчано-зернистой
шероховатости ks
Тип поверхности
1000/7
1000 с
V*s
Стекло, пластик, гладкий металл
Дерево
Бетон
Земляные каналы
Естественные русла рек:
прямые
извилистые
очень заросшие
10
11 — 14
12—20
20—25
25—30
35—40
75—150
2
2,4—3,8
2,8—7,8
7,8—12,2
12—18
24—32
110—440
20 000
8000—800
3500—45
45—12
12—5
0,05
0,1 — 1,2
0,3—20
2—80
80—200
Не определено
Приведенные выше характеристики трения связаны между собой
соотношениями (Rh— в метрах)
С2
Я
1/3
cf
g 9,8/z2'
(4.5.9)
используя которые, можно выразить полученные ранее результаты
через обычные гидравлические параметры; и, наоборот, традиционные
методы гидравлики можно интерпретировать в свете приведенных выше
результатов анализа трения. Это и выполнено в табл. 4.6 для частного
случая течения в канале с гидравлическим радиусом /?/i—1 м и числом
Рейнольдса Red=4UaRh/v=l06. Там же приведены коэффициенты
трения, соответствующие различным диапазонам изменения п\ переход
к относительной шероховатости осуществляется с помощью уравнения
(4.3.15) и, наконец, определяется эффективный размер
шероховатости ks. Сравнение с частью I табл. 4.4 показывает, что обычные
диапазоны п согласуются с обычными уровнями шероховатости.
Наконец, можно задать вопрос, почему постоянное значение
параметра п дает достаточно правдоподобный вид зависимости величины
трения как от числа Рейнольдса, так и от шероховатости. Рассмотрим
вначале условия режима развитой шероховатости, с которыми обычно
приходится сталкиваться в гидравлических задачах. Из уравнения
(4.5.9) (получим:
«2
Cf "Ч/
«;/з
но при этих условиях Cj=f(ks/Rh). Отсюда имеем:
cf ^
и n~^k
1/6
(4.5.10)
(4.5.11)
Первая зависимость близка к степенному закону (4.3.17) для
трения в трубе. Вторая зависимость показывает, как будет изменяться п
с изменением размера шероховатости; в гидравлических приложениях
это может быть размер гальки на дне потока.


; 4 5]
Другие течения в каналах
205
Возвращаясь к рассмотрению трения на гладких стенках, для
которого cj=f(UaRh/v)9 отметим, что формула Маннинга (4.5.7), (4.5.8)
подразумевает, чго
Для согласования с формулой (4.5.10) необходимо принять
сЫикТ> (4-5Л2)
где п — постоянная. Эта форма степенного закона была приведена
выше в ваде уравнения (4.2.23) как аппроксимация для течения у гладкой
стенки при высоких числах Рейнольдса.
Можно заключить, что традиционный эмпиризм гидравликов в
широких пределах согласуется с приведенным ранее в этой главе
рациональным анализом трения. Такие простейшие методы оценки трения
адекватны для многих затруднительных ситуаций, с которыми
сталкивается инженер-гидравлик.
4.5.4. СИСТЕМЫ КАНАЛОВ
До сих пор диссипация энергии рассматривалась для полностью
развитых течений в канале постоянного сечения. Для того чтобы
установить зависимости для давления и расхода в реальных каналах или
в системе каналов, необходимо учесть ряд других факторов:
1) неравномерное развитие течения при входе в канал из
резервуара, после прохождения препятствий или перетекании из одного канала
в другой;
2) местные потери, т. е. диссипация энергии, возникающая в узлах,
переходных участках, фитингах и регулирующих устройствах;
3) взаимодействие потоков в связанных каналах; для закрытых
каналов оно выражается условиями баланса расходов и требованием,
чтобы падение давления по каждому разветвлению было бы одинаковым.
Так как детальное рассмотрение этих вопросов уводит далеко от
главной задачи анализа, мы ограничимся только кратким обзором,
включающим некоторые эмпирические результаты прикладного
значения.
Развитие течения
Для целей этой главы наибольший интерес представляет вопрос
отклонения значения трения на стенке от предельного значения для
полностью развитого течения. К счастью, для турбулентного течения
в закрытом канале постоянного сечения трение быстро стремится
к своему равновесному значению. Например, если жидкость вытекает
из резервуара в трубу, полностью развитое трение при больших числах
Рейнольдса устанавливается на относительном расстоянии x/d=l 0-^-20.
Другие характеристики течения развиваются более медленно:
окончательная форма профиля средней скорости не устанавливается до xjd—
=50-^-80; развитие мелкой структуры турбулентности в ядре
происходит на гораздо большем расстоянии. Поэтому для исследования
полностью развитой турбулентности в канале необходимо располагать
в действительности очень длинным начальным участком. Это
согласуется с тем, что временные масштабы для пристеночной
турбулентности гораздо меньше, чем для крупномасштабных движений в ядре.


206
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
Высказанные положения относятся к течению при высоких числах
Рейнольдса, которое после входа в трубу быстро становится
турбулентным. Для низких чисел Рейнольдса развитие потока до состояния
полностью развитого течения не будет происходить до тех пор, пока не
произойдет переход от ламинарного режима к турбулентному. Для
истечения покоящейся в резервуарах жидкости в гладкую трубу
необходимое для такого перехода расстояние может превышать
Множество факторов сокращают протяженность области
ламинарного течения, например нестационарность движения перед входом,
острые кромки трубы на входе, вибрация системы.
Для открытых каналов постоянного сечения можно рассмотреть две
формы развития течения, возможно, с весьма различными временными
масштабами. Так как глубина потока h может изменяться, развитие
всего потока может происходить на очень больших расстояниях. Будет
ли развитие потока к равномерному течению быстрым или медленным,
в конечном счете зависит от условий ниже по течению и от того,
является ли поток докритическим или сверхкритическим, т. е. меньше ли
локальная скорость или больше значения скорости длинных волн (gh)l/2.
В гидравлической терминологии равномерный (или полностью
развитый) поток называется нормальным потоком.
Вторым аспектом этой проблемы является вопрос о соотношении
между локальными величинами трения и движущей силы; для
равномерных течений в открытых каналах движущая сила зависит от
глубины потока, через которую определяется гидравлический радиус.
Обычно предполагается, что это соотношение определяется формулой
(4.5.7), за исключением сечений, очень близких к тем (например, xjh=
=±10), в которых нарушаются условия равномерного движения. При
таком подходе пренебрегают ускорениями, возникающими при
длительном развитии течения, а также отклонениями характеристик ядра
течения от равновесных значений. Предполагается, что временные
масштабы пристеночной турбулентности, определяющей касательные
напряжения, намного меньше, чем временные масштабы медленно
изменяющегося течения.
Местные потери на переходных участках
и при резком изменении сечения канала
Быстрая диссипация, которая происходит при резком изменении
сечения канала, свойственна свободным слоям со сдвигом,
формирующимся при отрыве потока от твердых границ. Изменение скорости
поперек такого слоя имеет тот же порядок величины, что и локальная
средняя скорость, однако турбулентность уже не подавляется наличием
твердой стенки. Поэтому интенсивность отвода энергии от среднего
течения (которую можно оценить как —puvAU на единицу площади
слоя) намного выше, чем для пристеночного слоя в таком же канале.
Суммарная диссипация в свободном слое со сдвигом ограничена тем,
что этот слой повторно присоединяется к твердой стенке; область
циркуляционного течения, возникающая при отрыве, обычно раз в пять
длиннее своей ширины. Течения такого рода будут рассмотрены более
обстоятельно в § 7.5.


§ 4.5]
Другие течения в каналах
207
Чтобы рассчитать местные потери энергии, нет необходимости
точно знать, как происходит диссипация; требуется знать лишь ее
результирующий эффект. Его можно определить, если использовать
коэффициент потерь К или же эквивалентную длину трубы LK. Для течений
жидкости с постоянной плотностью эти величины находятся в
следующем соотношении с изменением полного давления:
/С = 4с,-#- =
f~T
РОг - Р0.2
1
(4.5.14)
-о-Р^2
где U0 — характерная скорость. В табл. 4.7 приведены типичные
значения этих коэффициентов для инженерных расчетов течений в трубах
при высоких числах Рейнольдса. При составлении этой таблицы для
установления соотношения между К и Ьк было принято значение 4с/=
=0,025. Значения К в части II таблицы получены с помощью простого
использования уравнений неразрызности, движения и энергии для
одномерного потока.
Таблица 4.7
Местные потери в трубах
Вид местного сопротивления
Характерная скорость
Lk/d
Отвод 45°
Стандартное колено 90° \
Квадратное котено 90°
Стандартный тройник:
для течения по магистрали
для течения через отвод
Задвижка:
полностью открытая"}
наполовину открытая
Внезапное сужение
А1/А*= 1,5
А1/А2=2
■ri | / /л 2 О
Конический диффузор
при m — Ах /А2:
6=5°
G = 10°
9 = 20°
е =40°
Выступающий вход
Вход заподлицо
Внезапное расширение при
m =Al/A2
I. Эмпирические значения
Обычная скорость Ua
То же
Скорость за сужением U2
Скорость перед
диффузором Vx
0,14'
0,18
0,43
0,86
,4
,75
,5
,5
,5
,2
,0
,15
,25
,35
(1—т2
15
30
60
20
60
200
6
10
14
6)
7
17
34
Теоретические значения
Скорость за входным
сечением U2
То же
Скорость перед
расширением Ux
0,5
(1— m)2
;i-m2)
40
20
40(1— m)1
В предыдущем анализе и в табл. 4.7 неявно принимались три
взаимосвязанных допущения, обычно используемых в инженерной
практике:


208
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
1) зависимостью коэффициента потерь от числа Рейнольдса
можно пренебречь;
2) взаимное влияние между смежными переходными течениями
отсутствует;
3) характеристики течения во входном сечении несущественны
(это, конечно, неверно, в частности, для диффузоров).
Эти упрощения обоснованны, если местные потери составляют
малую часть общей диссипации энергии в системе. Так как это часто
имеет место, их иногда называют второстепенными потерями. Условия, при
которых эти потери действительно являются второстепенными, ясны из
рассмотрения приведенных выше значений LK/d. Приняв 2L/SLk>4
для определения условий, при которых нет необходимости в
тщательном расчете местных потерь, видим, что относительное расстояние
между фитингами и переходными участками должно быть в среднем L/d>
> 120.
Потери на переходных участках и затворах в открытых каналах
могут быть установлены аналогичным образом, однако особое внимание
должно быть уделено возможности изменения состояния потока
(перехода от спокойного к бурному и наоборот) в быстро изменяющемся
течении. Переход сверхкритического (бурного) к докритическому
(спокойному) потоку осуществляется в виде гидравлического прыжка при
быстром увеличении глубины потока, аналогичном внезапному
расширению в закрытом канале (см. рис. 1.5,6, с. 22). Для гидравлического
прыжка в широком канале с плоским дном потери полного напора
(#o=ft+ — U2alg) при использовании одномерного анализа
определяются как
где hi и /г2—глубины до и после прыжка (или сопряженные глубины).
Представление потерь в таком виде удобно для расчетов в гидравлике
открытых потоков. При другом подходе потери можно выразить через
скоростной напор потока (U2\j2g до прыжка или U22/2g после
прыжка) с помощью зависимости
которая связывает число Фруда Fri потока до прыжка с изменением
глубин в прыжке.
Анализ сети каналов
Рассмотрим ряд закрытых каналов, соединенных в сеть. Используя
описанные выше методы (или в отсутствие достаточно апробированных
зависимостей экспериментальные характеристики), можно установить
зависимость диссипации в каждом участке сети от расхода на этом же
участке. Эти зависимости можно аппроксимировать с достаточной
точностью в виде
b(P+pgz)~ Vй, (4.5.17)
где z— вертикальная координата, показатель п=1 (или несколько
больше) для ламинарного течения, п=2 (или несколько меньше) для
турбулентного течения.


§ 4.5]
Другие течения в каналах
209
Для течения жидкости постоянной плотности через сеть закрытых
каналов каждый участок оказывает некоторое влияние на все другие
участки1. Расчет каргины течений и распределения давлений, которые
удовлетворяют закону (4.5.17) и условиям
в каждом узле
l>Vi=0, (4.5.18)
по каждому кольцу сети каналов
2(ДРг)=0, (4.5.19)
где V-L — объемные расходы в узле и (АЛ) —падения давления в
кольце сети, с учетом того, что влияние отдаленных участков сети будет
слабым, можно осуществить, используя хорошо разработанные
численные методы релаксации.
Для системы открытых каналов или системы, состоящей из
открытых и закрытых каналов, анализ будет более сложным. Выше уже
отмечалось, что переход потока к нормальным глубине и профилю
скорости может происходить довольно медленно. Другое затруднение
возникает, если часть потока сверхкритическая, так как условия ниже по
течению не будут непосредственно влиять на области выше по течению.
Следовательно, хорошо апробированные методы релаксации
оказываются непригодными для каждой точки сети и одна из проблем анализа
состоит в определении того, где эти методы могут использоваться, т. е.
где течение будет докритическим, а где — сверхкритическим. Для
течения -в открытом канале условие (4.5.19) заменяется на
2(ДА),=0 (4.5.20)
для каждого замкнутого кольца, где (Ай)г- — изменения уровня
свободной поверхности. Если существует резкий переход от бурного к
спокойному состоянию потока (гидравлический прыжок) или переход в
противоположном направлении (водопад или водослив), условие (4.5.20)
должно это учитывать.
Рекомендуемая литература
Основная литература [17, 20, 23, 30, 36, 37, 65, 68, 76, 99,
100].
Специальная литература [48, 63, 66, 81, 82, 89].
УПРАЖНЕНИЯ
4.1. Анализ, аналогичный приведенному в табл. 4.1, можно использовать для
исследования слоя нулевого касательного напряжения, представляющего собой
предельную форму равновесного пристеночного слоя, в котором изменение касательного
напряжения у гладкой стенки г/ = 0 имеет вид % = ау.
а) Показать, что в вязком подслое U = -^-(а/р) у2 и что (р#/а) / dU/dy=\/K0=
= const в полностью турбулентной части потока. Как изменяется длина пути
смешения в последней из указанных областей?
б) Согласуй две области, указанные в пункте «а», в точке, где em=v, показать,
что
2 /af/V/2 „ /vay/3
и=к7(Т) +СЛТ) '
1 Это верно и для течения жидкости переменной плотности, если везде будут
дозвуковые скорости, но неверно для случая, если на каких-либо участках скорости
будут сверхзвуковыми.
14—56


210
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
где Со — постоянная, характеризующая изменение скорости у стенки, где эффективная
вязкость мала.
в) Сравнить результат из пункта б с результатом примера 3.28,в для того,
чтобы установить, как связаны между собой постоянные Л, ЗВ[/2А и Ко и оценить
значение Ко, принимая, что ЗВ{/2А^—0,2.
г) Можно ли ожидать, что полученные результаты применимы вблизи свободной
поверхности широкого открытого канала?
4.2. а) Какие изменения коэффициента турбулентной вязкости предусматриваются
моделями (4.1.10), (4.1.11)?
б) Как формулы для коэффициента турбулентной вязкости (4.1.12) — (4.1.17)
изменяются вблизи стенки? Какая из них в этом отношении наиболее правдоподобна?
4.3. Допущение Рэнни (4.1.13) для коэффициента турблулентной вязкости хотя и
не сводится к соответствующей форме (4.1.9) для области, очень близкой к стенке,
имеет то преимущество, что дает явные формулы для других характеристик потока.
а) Показать, что при этом
U^ = y< th -тг
xyf
и что слагаемое вязкой диссипации в уравнении (3.3.26) имеет вид
(dU+ \2 ,у+ \
М -*V)
в нормированном представлении, аналогичном рис. 3.8,6.
б) Показать, что вязкая диссипация ev (нормированная, как в пункте «а») при
интегрировании по всей области применимости формулы Рэнни дает значение 9,7 г/у,
а при интегрировании по логарифмической части пристеночного слоя — значение
0,2 yf. Заметим, что
I sh4 XdX = — th X (2 + sh2 X).
в) Показать, что отношение вязкой диссипации к суммарной диссипации в
канале равно:
J еь1У 9,9uf
^oWP U a
Означает ли это, что вязкие слагаемые диссипации несущественны для течений
при высоких числах Рейнольдса?
4.4. Диссипация при течении в трубе описывается с помощью четырех различных
процессов преобразования энергии:
1) суммарного отвода энергии из среднего течения т dUfdy\
2) непосредственной вязкой диссипации pEv = \x(dU/dy)2\
3) порождения энергии турбулентности — uv dil/dy;
4) диссипации энергии турбулентного движения е* = е—ev.
Эти составляющие баланса энергии можно найти в уравнениях (3.3.25), (3.3.26).
а) Показать, что в подслое (1) эти процессы описываются в виде т2«,/[х, а в
логарифмическом слое — в виде {т2ю/\х)1Ку+.
б) Используя полученные результаты вместе с результатами предыдущего
примера и данными рис. 3.8, показать графически качественную картину изменений
указанных четырех составляющих баланса энергии по радиусу трубы.
в) Где происходит отвод энергии из среднего движения? Где она диссипирует?
Где происходит порождение турбулентности? В какой пропорции отводимая энергия
переходит в турбулентность?
4.5. Каким будет положение точки согласования пристеночного слоя и ядра
течения в трубе при выполнении условий непрерывности: 1) градиента скорости на
стыке между логарифмическим слоем и областью постоянного значения коэффициента
турбулентной вязкости; 2) изменения пути смешения, охватывающего области
линейной зависимости вблизи стенки и постоянного значения в ядре? Следует ли ожидать,
что различие полученных результатов с (4.2.1) будет значительным?
4.6. а) При каких числах Рейнольдса вязкий слой в трубе будет охватывать весь
пристеночный слой?
б) В какой точке поперечного сечения трубы можно измерить среднюю скорэсть
потока Ua?


§ 4.5]
Другие течения в каналах
211
в) Вывести степенные зависимости, связывающие между собой параметры R+,
Red, Uf/Va, каждый из которых определяет условия течения в трубе.
г) Станет ли распределение скорости в трубе более или менее равномерным, если
на стенке трубы нанести шероховатость, а среднюю скорость оставить неизменной?
4.7. Методы, используемые для анализа течений з трубе, могут быть применены
для нахождения распределения скорости течения Куэтта (или течения со сдвигом) и
расчета характеристик трения.
а) Показать; что непрерывность любой из характеристик — коэффициента
турбулентной вязкости, пути смешения и градиента скорости — означает непрерывность
всех характеристик.
б) Показать, что закон трения имеет вид U2Iuf = 5 \n(b/yf) +6,5.
4.8. Анализ экспериментальных данных Нуннера дает следующее соотношение
между показателем п в уравнении (4.2.13) и коэффициентом трения трубы:
п 10 7,5 5 3,3 2,5
cf 0,0025 0,004 0,01 0,03 0,06
Первая пара значений применима к гладким стенкам, последняя пара — к
шероховатым. Сравнить эти результаты с уравнением (4.2.17).
4.9. При 'проектировании сооружений принимается, что скорость ветра изменяется
с высотой по формуле £//£Л= (^/б)1/71. Значения /гиб, соответствующие условиям
нейтральной устойчивости, даны в табл. 4.8 (под этими условиями подразумеваются
условия, при которых не являются существенными ни термическая неустойчивость,
ни конвективное испарение, и которые обычно имеют место при скоростях ветра,
превышающих примерно б м/с). Значения б — толщины поверхностного слоя — являются
весьма приблизительными, так как данные о профилях скорости ветра в широком
диапазоне высот немногочисленны.
Таблица 4.8
Земная поверхность
Прибрежные воды
Открытая местность, луга, тундра
Сельскохозяйственные угодья с изгородями и
стенками
Лесистая местность, города, пригороды,
прибрежная пересеченная местность
Центры больших городов
п
10
7
5
3,5
2
Ь, м
150
270
340
400
550
Оценить соответствующие коэффициенты трения и масштабы шероховатости.
4.10. Распределение скорости у стенки, близкое к универсальному, позволяет
определить напряжение на стенке.
а) Показать, что это может быть сделано как для шероховатых, так и для
гладких стенок при помощи построения графика измеренного распределения средней
скорости течения в полулогарифмических координатах.
б) Показать, что для гладких стенок
U /1 \1/2 Г (U,y\ Л1 / l V/2 1
77Г=(— </) [A^{-v) + A^{-Tcf) +B\>
где U\ — характерная скорость, используемая для определения с/. Пояснить, как
подготовить универсальную диаграмму, на которую можно нанести измеренное
распределение скорости для того, чтобы найти значение с/?
в) Можно ли методику, описанную в пункте «б», использовать для шероховатых
стенок?
г) Результаты измерений в гладкостенной трубе радиусом 10 см представлены
ниже:
у, мм. . 0,5 1 1,5 2 2,5 5 10 15 20 25 30 35 100
U, м/с 1,5 2,47 3,06 3,44 3,64 4,16 4,55 4,81 5,06 5,26 5,4 5,6 6,5
Чему будет равен коэффициент трения, определенный по средней скорости потока?
4*


212
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
4.11. Используя степенные законы (4.2.22) и (4.3.17), показать, что формула
Коулбрука — Уайта (4.3.18) подразумевает, что переход от эффективно гладких
стенок к режиму развитой шероховатости имеет место в диапазоне чисел Рейнольдса
. 1,1.')
= 4-f- 120.
Re^C
4.12. Какая может быть допущена ошибка при .определении расхода при
отклонениях скорости, определяемых уравнением (4.3.22)?
4.13. Показать, что формула (4.2.17) остается применимой, если для
шероховатых труб используются степенные законы вида U~у11п и Cf~ (kjd)xlP, по при этом
показатели степени связаны соотношением п = 2р. Согласуется ли приближенный
результат (4.3.17) с такими расчетами в широких пределах?
4.14. Значения линейного размера шероховатости по уравнению (4.3.25),
приведенные в табл. 4.11, характеризуют распределение скоростей над различными
посевами сельскохозяйственных культур. Согласуются ли они со значением kslk^A
для растений, приведенных в табл. 4.9?
Таблица 4.9
Тип растительности
Полностью выросшие
корнеплоды
Злаки:
при легком ветре
при сильном ветре
Размер
шероховатости k2>
см
10
9
4 I
Тип растительности
Холмистое пастбище:
летом
зимой
Низкая трава
Размер
шероховатости kz,
см
3
1,5
0,3
4.15. Было показано, что шероховатость поверхности можно охарактеризовать
целым рядом линейных масштабов; здесь мы исследуем два способа ее описания,
используя эффективную вязкость.
а) Показать, что уравнение (4.3.23) можно записать в виде
— )= А\п( — ) + В,
Uf J \ Уе J ^
где ve — эффективная вязкость для слоя шероховатости, которая связана с другими
размерами шероховатости соотношениями
kx ( КШ *
v щ ~~ exp ■
af
б) I Метеорологи, записывая уравнение (4.3.23) в виде
U (Wf
Uf 1\
вводят вспомогательную величину i\\ называемую макровязкостью. Как N связана
с эффективной вязкостью из пункта «а»?
в) Саттон предложил формулу
IL_A] ( yUf
uf -Л ln V N+ v/9
пригодную для использования и для гладких, и для шероховатых поверхностей.
Почему ее можно использовать в этих случаях? Показать, что отсюда следует
формула трения Коулбрука — Уайта.
г) Россби предложил еще одно выражение для распределения скоростей,
используемое в метеорологии:
Показать, что соответствующее изменение длины пути смешения будет
Im — K(y + k2). Существенно ли оно?
4.16. Перечислить различные методы определения шероховатости поверхности и
показать, как они взаимосвязаны.


§ 4.5)
Другие течения в каналах
213
4.17. При более тщательном исследовании результатов того, что пристеночный
слой и ядро потока перекрывают друг друга, Теннекес и Ламли предположили, что
значение постоянной А в логарифмическом законе стенки будет изменяться в
зависимости от условий течения:
^ = 3-5 (-^г) .
Согласуется ли этот результат с приведенными в табл. 4.2 значениями для
гладких и шероховатых стенок? Сравнение для шероховатых стенок может быть
выполнено, если выразить приведенную выше зависимость через коэффициент трения
и через эффективную вязкость из примера 4.15.
4.18. Как будут .изменяться критерии (4.3,17), которые предварительно определяют
размеры слоя шероховатости, показанного на рис. 4.5, с изменением отношений
b/h, w/h и ЦК>
4.19. а) Показать, что коэффициент трения для поверхности с рядом идентичных
элементов шероховатости можно оценить в виде
. nSP ( U у
Cf = Cf0 + —^—j cd,
где с/о — исходный коэффициент трения; nSe/S — фронтальная площадь элементов на
единицу площади поверхности; U — эффективная скорость обтекания элементов
шероховатости; Cd — коэффициент лобового сопротивления элемента.
б) Стальная труба с внутренним диаметром 30 см снаружи усилена кольцами,
установленными через 50 см; каждое кольцо приклепано 10 заклепками.
Полусферические головки заклепок в трубе имеют диаметр 2 см. Оценить изменение Cf в
зависимости от Red для этой трубы, принимая Cd = 0,4 и полагая, что поверхность
трубы имеет обычную для труб шероховатость.
4.20. Различные характеристики трения, показанные на рис. 4.4, распределены
в п. 4.3.2 по четырем типам (от А до D) геометрии шероховатости. Моррис подошел
к проблеме классификации другим путем, рассматривая характер течения вблизи
стенки. Он ввел термины: субнормальная турбулентность для течения вблизи гладкой
стенки; гипертурбулентное значение (или течение при интерференции турбулентных
следов) для шероховатости типов А и В; полугладкое турбулентное течение для
шероховатости типа С и скользящее (или квазигладкое) течение для шероховатости
типа D.
а) Пояснить, почему он принял такую терминологию.
б) Моррис предложил только одну классификацию для широкого диапазона
поверхностей в пределах типов А и В. Показать, что для умеренных значений числа
Рейнольдса существует различие в течениях вблизи поверхностей этих двух типов.
Как можно это описать по терминологии Морриса? Почему значения коэффициента
трения для шероховатости типа А вначале падают ниже значений, соответствующих
высоким числам Рейнольдса?
4.21. а) Как длчша пути смешения и коэффициент турбулентной вязкости
изменяются поперек потока в трех моделях асимметричного течения, рассмотренных
в п. 4.4.2^
б) Пояснить возможность применения этих моделей при расчете теплопереноса:
1) от стенок в поток при поддержании одинаковой температуры стенок; 2) поперек
потока, если температура стенок существенно различна.
4.22. Рассчитать среднюю скорость для асимметричного течения в канале,
используя уравнения (4.4.6) — (4.4.12). Будет ли результат существенно отличаться от
результата (4.4.19), при выводе которого использовалась модель только логарифмических
слоев?
4.23. Составить программу для ЭВМ, основанную на -выводах п. 4.4.3, для
расчета трения в плоском канале с одной шероховатой стенкой.
4.24. Оценить коэффициент трения для течения в спиральной трубе с d/D = 0,\
при Red = 1000 и 10 000. Что можно сказать о влиянии кривизны трубы на трение
при ламинарном и турбулентном режимах? В чем причина влияния?
4.25. Для существенного изменения распределения напряжений в некруговом
сечении канала необходимы лишь весьма небольшие скорости вторичного течения. Это
можно показать, используя модель потока Рейнольдса из примера 3.22,6, из которой
следует, что


214
Течения в каналах. II. Трение и расход
Г Гл. 4
где Vm — Gmlp=%lpUa — локальное значение результирующей скорости переноса;
Vo — эффективная скорость, связанная с турбулентным смешением; V—фактическая
скорость вторичного течения, знак которой принимается положительным в
направлении Vo.
а) Показать, что значение эффективного касательного напряжения увеличится
вдвое, если V/Ua = ~~2~ cf*
б) Влияет ли вторичная конвекция на W С помощью каких механизмов
конвекция, обусловленная вторичным течением, влияет на напряжение на стенке?
4.26. Шероховатость данного размера оказывает гораздо большее тормозящее
воздействие на течение в трубе, чем на течение в открытом канале с глубиной,
равной радиусу трубы. Почему? Учитывается ли этот эффект при использовании
гидравлического диаметра или радиуса?
4.27. Распределение скоростей в параллельном ламинарном течении в канале
эллиптического сечения определяется как
1
а расход — как
где
1
А = nab; F = — — ^ (4P/dx) a2b2/ (a2 + b2);
а и b — полуоси эллипса.
а) Как этот расход связан с расходом в круглой трубе при одинаковой
площади сечения и одинаковом градиенте давления?
б) Чему равно отношение касательных напряжений на концах большой и малой
осей эллиптического сечения? Для турбулентного течения в канале при alb = 2
установлено, что это отношение равно 1,12. Как это соотносится с результатом для
ламинарного течения?
в) Насколько успешным является введение гидравлического диаметра при связи
трения в канале эллиптического сечения с трением в круглой трубе при ламинарном
режиме течения?
4.28. а) Рассматривая концентрический кольцевой канал, выразить гидравлический
радиус через оба диаметра и показать, что средний коэффициент трения в уравнении
(4.5.4) связан с коэффициентами на обеих стенках формулой
^lCfl + d2Cf2
Cf — 1 !_.
б) Корреляция экспериментальных результатов позволила Девису предложить
для среднего коэффициента трения формулу
/ dx \ 0,1
cf= 0,055 M — ^-j Re-0-2,
где Re= (d2—d^Ua/v. Почему использование гидравлического диаметра в этом случае
не устраняет эффект формы канала? К какому результату приводят предельные
случаи: di/d2-+0 и 1?
в) Характеристики трения можно оценить, если ввести соотношение для
ламинарного течения
т, _d2(d20-d2l)
ъ2 dl(d22 — d20)
в результат примера «а», причем d20= (d22—d2i)/\n(d2/di)2 определяет точку, в
которой т = 0. Показать, что исходя из этого
Cf 1 —dl/d2
7^= \-d2Jd22 '
г) Используя формулу (4.3.23) для круглой трубы, чтобы определить с/2,
сравнить результаты пункта «в» с эмпирическим результатом пункта «б».


§4.5]
Другие течения в каналах
215
значение
(С*,)
4.29. В системе кондиционирования воздух при 26, 27°С должен проходить с
расходом 7,62 м3/с расстояние 61 м. Воздуховод должен пройти через проход
прямоугольного сечения 0,305X0,762 с тремя резкими поворотами под прямым углом. Оценить
падение давления для трех вариантов воздуховода:
а) из листового металла, когда сечение вписывается в сечение прохода;
шероховатости ks = 0,076 см;
б) из двух гладких круглых труб диаметром 0,305 м;
в) из гладкой трубы эллиптического сечения,
вписывающегося в сечение прохода.
4.30. Кожухотрубный теплообменник состоит из
20 трубок с неоребренной поверхностью (наружный
диаметр 1 см), равномерно расположенных в
цилиндрическом кожухе (диаметр 8 см, длина 1 м). Входная
и в-ыходная трубы диаметром 4 см расположены
нормально к оси кожуха.
а) Пренебрегая образованием накипи, оценить
расход холодной воды между кожухом и трубками при
суммарном падении давления 0,2 бар (0,2 Х105 Н/м2).
б) Насколько может уменьшиться расход, если
на трубках образуется накипь?
в) Для обеспечения сохранения рабочих
характеристик из пункта «а» после образования накипи необходимо предусмотреть больший
кожух с равномерным распределением трубок в нем. Какой требуется диаметр
кожуха?
4.31. В инженерной практике для определения трения используется ряд формул
общего вида
Ua = CRphS<i.
Некоторые из них конкретизированы в табл. 4.10.
Рис. 4.8. К упражнению 4.32.
Авторы
Маннинг
Хазен—Вильяме
Скоби
Обычное применение
Открытые и закрытые
каналы
Водоснабжение и
канализация
Ирригация:
бетон
стать
дерево
С
(английские
единицы)
1,49/я
100—170
95—130
120—155
113
Т а б
Р
2
"з"
0,63
5/8
0,58
0,65
лица 4.
<7
1
¥
0,54
1/2
0,526
0,555
10
а) Каковы преимущества и недостатки этих формул по сравнению с формулой
Коулбрука — Уайта? Что следует из них относительно изменения трения в
зависимости от шероховатости поверхности? Почему показатели степени в каждой формуле
различны?
б) Стальная труба диаметром 1,2 м и длиной 1,6 км связывает два резервуара,
уровни которых различаются на 15 м. Определить расход в полностью и наполовину
заполненном трубопроводе, используя эмпирические формулы (со средними
значениями для коэффициента С) и уравнение (4.3.15) с соответствующим значением k8.
4.32. На рис. 4.8 схематически показано сечение канала (который может быть
открытым или закрытым) с двумя сильно различающимися линейными размерами.
а) Покажите, что
>iQn!rf Ft. \\Cvb2 — Fr.
Ax A2
справедливо для обеих частей потока. Здесь FL — сила взаимодействия между двумя
секциями, а 5=—d(z-\-Pw/pg)/dx — гидравлический уклон канала.
б) Полагая, что сила взаимодействия пренебрежимо мала, показать, что расход
в канале определяется формулой
V^S''2i:CiAiRll/^Sl'2SKi,


216
Течения в каналах. II. Трение и расход
[Гл. 4
где Сг и Ki — соответственно коэффициент Шези и расходная характеристика для
i-й секции канала.
в) Чему равно отношение расходных характеристик при Ai = 2A2 и Cw\=^Cw2
при одинаковом значении ks для обеих секций? Определить влияние силы
взаимодействия FL — 0,\ A(pgS) на расходные характеристики и на суммарный расход.
4.33. Наиболее экономичным решением для земляных вырытых каналов часто
является такое решение, когда площадь сечения канала минимальна при сохранении
заданной пропускной способности. Уклон дна обычно задан, исходя из топографии,
и не может быть изменен для того, чтобы увеличить скорость.
а) Показать, что при заданном материале откосов и дна целесообразно выбрать
сечение канала, которое при данном проходном сечении имеет наибольший
гидравлический радиус и наименьший смоченный периметр.
б) Показать, что гидравлически наивыгоднейшим (экономичным) прямоугольным
сечением является такое, когда ширина его вдвое больше глубины воды. Какое
сечение из всех возможных является гидравлически наивыгоднейшим?
в) Предположим, что стоимость единицы погонной длины канала практически
равна стоимости земляных работ. Какое прямоугольное сечение будет наиболее
экономичным?
4.34. Бетонный подземный канал длиной 50, шириной 2 .и глубиной 1,5 м имеет
одинаковый уклон 1%.
а) Чему будет равна нормальная глубина при расходе воды 4 м3/с? Каким
будет при этом состояние потока — бурным или спокойным?
б) Если канал заполнен на всю глубину, чему будет равен перепад давления,
соответствующий всей его длине, когда: 1) заполнение водой происходит из
резервуара; 2) расход равен 4 м3/с; 3) расход равен 12 м3/с?
4.35. Полученные здесь результаты являются основой для расчетов профилей
свободной поверхности при установившемся движении в реках и каналах.
а) Полагая, что течение одномерное (т. е. U=const по всему сечению),
показать, что градиент полного напора Но вдоль открытого канала равен:
d{gH»)
т—^1 =-иъСа,
откуда
dH0 \
- = -sf.
dx pgRh f
Здесь Sf — уклон трения, определяющий локальную диссипацию.
б) Выражая полный напор в виде H0 = z-\-h+U2/2g, где h — глубина потока,
отсчитываемая от отметки дна z(x), показать, что уравнение сохранения импульса
имеет вид:
dx p/?ft & dx
в) Показать, что условие неразрывности UA — V для каналов постоянного
поперечного сечения означает, что
dU_ = ^_^i= U_dh_
dx A dx hh dx >
где hh = A/T {T — ширина потока по свободной поверхности)—гидравлическая
глубина. Используя этот результат, показать, что
dh
где6'0 = —dz/dx — уклон дна и Fr2=U2/ghh— обобщенное число Фруда. (Соотношение
(4.5.16) применимо только для каналов с плоским дном и вертикальными стенками.)
Объяснить последний результат с физической точки зрения.
г) Рассматривая широкий канал с плоским дном и вертикальными стенками
и полагая, что локальная диссипация определяется по формуле Маннинга для
нормального потока с такой же глубиной и скоростью, показать, что результат из
пункта «в» можно записать в виде
dh _ « 1— (/г,М)10/3
dx \ — (hc/h)3


§4.5]
Другие течения в каналах
217
где hc=(v2/g)Vz — критическая глубина потока; h0 — нормальная глубина потока
с расходом v при уклоне S0.
д) При каких обстоятельствах течение развивается, приближаясь к течению
с нормальной глубиной? Является ли важным точный вид закона трения для таких
расчетов?
4.36. Одномерные уравнения неразрывности AiUl=A2U2 и движения (Р2—Р\)А2=
= —pU\Ai(U2—Ui) приводят к данным таблицы 4.7. II для коэффиицента потерь при
внезапном расширении.
а) Обосновать использование этих соотношений.
б) Использовать эти соотношения для расчета изменения полного давления и
коэффициента потерь (1— Ai/A2)2.
в) Показать, что соответствующие результаты для течения в широком открытом
канале с плоским дном можно получить путем замены А на h (глубина воды) и Р на
1
~9~Р£^ (среднее манометрическое давление).
г) Использовать законы сохранения для открытых каналов для того, чтобы
получить формулу (4.5.16) и затем (4.5.15).
4.37. а) Две трубы, соединенные последовательно, имеют одинаковый расход.
Показать, что отношение падений давления равно:
Li \d2 J cfl '
Найти также отношение скоростей, чисел Рейнольдса и касательных напряжений
на стенке.
б) Какие частные формы можно получить для отношения падений давления
при использовании законов трения Cf~ (lfiUd)1!* и (k/d)1/??
в) Повторить такой анализ для двух труб, соединенных параллельно, определяя
отношение расходов при одинаковом падении давления.
г) Использовать полученные результаты для определения указанных отношений
при ламинарном режиме течения в обеих трубах.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ. III. ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС
Эта глава преследует те же цели, что и предыдущая, но она
несколько усложнена, так как на процессы переноса любой субстанции
оказывает влияние поле средних и пульсационных составляющих
скоростей. Таким образом, анализ процесса переноса требует
определенного представления о переносе количества движения и соответствующего
изменения скорости. Зато оказывается возможным установить
аналогии, связывающие интенсивности тепло- и массопереноса с
возникновением трения.
При определенных услозпях имеется взаимная зависимость между
полем скоростей и тепло- и массопереносом. Изменение температуры,
связанное с интенсивным теплопереносом или весьма высокими
скоростями, влечет за собой изменение молекулярных транспортных
свойств жидкости; это зидоизменяет структуру той части пристеночного
слоя, где молекулярная диффузия существенна. Изменение
концентрации, связанное с массообменом, вызывает аналогичные эффекты. Кроме
того, высокая скорость массообмена индуцирует нормальную к стенке
скорость; это видоизменяет баланс количества движения и
диффузионные характеристики всего потока.
Эти зависимости будут рассмотрены в следующей
последовательности:
1) анализ аналогии процессов переноса количества движения,
тепла и массы, и анализ турбулентных чисел Прандтля и Шмидта, которые
связывают эти процессы;


218
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
2) применение анализа размерностей к процессам переноса вблизи
стенки (включая высокоскоростные течения), при которых наблюдается
существенное изменение температуры в отсутствие переноса тепла
у стенки;
3) вывод законов переноса применительно к гладким трубам при
умеренных, высоких и низких значениях чисел Прандтля и Шмидта на
основе результатов теоретических и экспериментальных исследований;
4) обобщение для учета эффектов больших перепадов температур,
неравномерного потока на стенке, шероховатости стенки и более
сложных форм канала;
5) модификация для учета составляющей скорости по нормали
к стенке, которая появляется естественным образом при интенсивном
массопереносе либо при охлаждении (вдув через пористую стенку) или
при управлении пограничным слоем (отсос через стенку).
При этом не рассматриваются некоторые важные процессы
переноса, особенно происходящие в следующих течениях: течениях,
сопровождающихся химическими реакциями; течениях, в которых
архимедовы силы существенны; в двухфазных течениях и течениях, содержащих
твердые частицы или (что почти то же самое) малые капли. Хотя эти
процессы изучены слабее, чем процессы, происходящие в однофазных
течениях без реакций, они здесь не будут рассматриваться ввиду
необходимости ограничить объем данного вводного курса.
Нетрудно привести обширный перечень интересных и важных
в практическом отношении процессов, включающих более сложные
формы турбулентности, например теплоперенос при кипении; атмосферная
дисперсия; сгорание газообразных, твердых и жидких топлив;
пневматический и гидравлический транспорт твердых частиц; эррозия под
воздействием ветра, волн или текущей воды. Наиболее неотложные
прикладные задачи, связанные с исследованием турбулентности, возникают
применительно к таким «сложным течениям». Хотя некоторые
фундаментальные аспекты турбулентности в однородных жидкостях пока еще
полностью не изучены, однако в этой главе будет показано, что
представление о них является достаточным для многих расчетов процессов
переноса в инженерной практике.
5.1. АНАЛОГИИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
5.1.1. АНАЛОГИЯ РЕЙНОЛЬДСА
При обсуждении в п. 3.4.4 потоков Рейнольдса, характеризующих
перенос количества движения, тепла и массы, было отмечено, что
коэффициенты переноса (коэффициент трения и число Стантона) при
определенных условиях связаны соотношением
4-Cf = St = Stc = -^> (3.4.30а)
где Gm — поток Рейнольдса количества движения. Эта аналогия,
выраженная с помощью размерных параметров, получена Рейнольдсом
в виде


§ 5.1J
Аналогии процессов переноса
219
Полученные результаты применимы при следующих условиях:
1) либо потоки Рейнольдса Gs одинаковы для каждой переносимой
субстанции 5;
2) либо профили средних по времени характеристик U, Н, С
подобны и (если течение полностью турбулентное) коэффициенты
турбулентного переноса es одинаковы; если часть потока подвержена
влиянию молекулярной диффузии, то коэффициенты как турбулентного, так
и молекулярного переноса должны быть одинаковыми.
Эти требования можно выразить в следующем виде:
1. Для трения и переноса тепла
Gh = Gm или ^=-^% и Рг,(=Рг)=1. (5.1.1)
2. Для трения и переноса массы
Gc = Gm или-^Lf =-i-f и Sc,(=Sc)= 1. (5.1.2)
3. Для переноса тепла и массы:
GA = GC или 1L^-=Iir^ и Le,(=Le)=l. (5.1.3)
Молекулярные и турбулентные числа Прандтля и Шмидта были
введены в § 1.6. Здесь мы введем также молекулярное число Льюиса
и его турбулентный1 аналог
Let=*L=JjL, (5.1.5)
который можно назвать турбулентным, числом Льюиса.
С целью сокращения изложения будем рассматривать лишь
аналогию между трением и теплопереносом. Зависимости (5.1.1) — (5.1.3)
показывают, как можно построить аналогию между остальными парами
процессов переноса.
Другой результат, имеющий отношение к этой аналогии, можно
получить из примера 3.18, в котором рассмотрен теплоперенос в
ламинарном потоке в круглой трубе. При постоянной интенсивности подвода
тепла (означающей, что разность между температурами на стенке и оси
трубы постоянна) и при постоянных свойствах жидкости было
установлено, что три значения числа Нуссельта
NU:
k{Tv-Tf) - з
соответствуют трем температурам:
1) Tfz=Tc — температура на оси трубы;
^гт-=4-. 6- 4?- (5-1-6)
R
2п
2) Tf = Ta = ^\Trdr (5.1.7)
о
1 Отметим, что гв применяется для обозначения коэффициента турбулентного
переноса массы, чтобы избежать путаницы с ес, который обозначает иногда
используемый постоянный коэффициент переноса.


220
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
— средняя температура по сечению;
R
3) Tf = Ть =у- J uTr dr (5.1.8)
6
—среднемассовая температура (или температура полного
перемешивания).
Зависимость (5.1.6) можно переписать с учетом выражений для
аналогии Рейнольдса (3.4.30):
St Nu_ ^_1___г 6_ - ,
1 8Рг ЗРг 4Рг—ПРг5 (0.1. у;
— cf
где St = qw![pcpUa(rw — Tf)]9 cf = tw (— ?U2a) и £f=16/Rerf для этого
течения, как указано в табл. 3.2.
Нетрудно видеть, что аналогия Рейнольдса дает достаточно точное
соотношение между трением и теплообменом для ламинарного потока
в трубе -при:
1) соответствующем выборе масштабов скорости и температуры
для коэффициентов переноса;
2) числе Прандтля (Шмидта или Льюиса), мало отличающемся
от единицы; аналогия будет наиболее точная (для Tf=Ta или Ть) при
Рг^0,7.
Это значение характерно для большинства газов (см. приложение,
табл. АЛ) при сравнительно большом диапазоне температур, например
200—600 К. Теоретические расчеты Юкена дают:
4Y
Рг =
9у — 5 >
где y—Cpjc-o — отношение удельных теплоемкостей.
Первое из приведенных выше условий показывает, что такая
простая аналогия применима только к потокам с подобными граничными
условиями, т. е. потокам, имеющим одинаковые начало и конец; при
этом конечные значения средних характеристик определяют масштабы
U0, Д#, АС. Когда эти условия не выполняются, можно по-прежнему
использовать
St—с/ (5.1.10а)
для данной жидкости и типа течения и
St-^ (5-1-Юб)
для данного типа ламинарного течения и граничных термических
условий. Эти соотношения удобны для представления и экстраполяции
экспериментальных данных, даже когда заранее неизвестны коэффициенты
пропорциональности.
5.1.2. ОБОБЩЕНИЯ АНАЛОГИИ РЕЙНОЛЬДСА
При рассмотрении условий (5.1.1) —(5.1.3) с точки зрения
применения аналогии Рейнольдса к турбулентным течениям возникает вопрос
об области применимости аналогии Рейнольдса при ослаблении неко-


§ 5.1J
Аналогии процессов переноса
221
торых из перечисленных требований. Для краткости рассмотрим
соотношения между переносом количества движения и энтальпии;
обобщение на перенос массы будет очевидным.
Для плоскопараллельного течения V (у) можно описать
соответствующие потоки импульса и тепла уравнениями
9(sm + v)%=- = GmU0; (5.1.11)
-Р(** + *)^=<7А = М#. (5-1.12)
Следовательно,
eh+KU0dH/dy ghuo Gh ' \ - - )
Эти уравнения являются частными формами уравнения (3.4.8),
причем коэффициенты переноса представлены в виде суммы
молекулярной и турбулентной компонент. В уравнениях (5.1.11) -приняты обычные
знаки, как и в уравнениях (3.2.10) и (3.4.25).
Бели предположим, что профили средних характеристик подобны,
то получим результат, аналогичный (3.4.10):
^=^ = ^п±±=Рт (5ЛЛ4)
qhU0 Gh eh + K
где Рге— эффективное число Прандтля. Простую аналогию Рейнольдса
(3.4.30) теперь можно обобщить в виде
J pr_k-_g =VrGu (5.1.15a)
или
Эти и подобные им соотношения, -включающие параметры,
характеризующие массоперенос, называются новыми или сильными формами
аналогии Рейнольдса. Часто вводится дополнительное требование,
чтобы число
Рг,=/(РГ) (5.1.16а)
было постоянным поперек течения (подобные ограничения
накладываются на Sce и Le«). Тогда из уравнений (5.1.15) следует, что поперек
течения
^- = const и 4- = const (5.1.166)
ЦП
(при аналогичных соотношениях и для Gc и N — потока массы), т. е.
различные потоки изменяются одинаковым образом поперек течения.
Эти дополнительные условия весьма удобны для теоретического
анализа процессов переноса. Хотя они и не являются строго
справедливыми, как будет показано ниже, такие упрощения часто вполне
допустимы в связи с неточностью экспериментальных данных о процессах
переноса.


222
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
Обобщенная аналогия Рейнольдса (5.1.15) имеет тот же вид, что
и зависимость (5.1.9) для ламинарного течения. Аналогично
уравнениям (5.1.10) мы имеем для частного типа течения соотношение
SW-g-, (5-1.17)
где коэффициент пропорциональности зависит от выбора масштабов
для U0 и АН.
Другой путь обобщения аналогии Рейнольдса связан с
предположениями относительно Рг* и GmlGh\ это ведет к определению профилей
скорости и энтальпии без предположения о подобии. Для развитого
турбулентного потока уравнения (5.1.13) дают:
-W-*'t <5ЛЛ8)
Если предположить, что комплекс, стоящий в правой части
уравнения, постоянен поперек течения, то
где Hi и Ut — характерные значения. Оба профиля имеют одну и ту
же форму, но не перекрываются, если используются простые масштабы
нормирования U0 и АН.
5.1.3. ОБОСНОВАННОСТЬ ПРИНЯТЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ
Выше были получены простые соотношения для потоков
количества движения, тепла и массы на основании постулатов, исходящих из
простоты окончательных формул, а не из экспериментальных данных
или теоретического анализа. Проверим теперь эти предположения с
помощью эмпирических и теоретических тестов.
Простая аналогия Рейнольдса (3.4.30) определяется только
равенством потоков Рейнольдса: Gm=Gh=Gc- В действительности
зависимости
St = 4-*f и Stc=4-*f (5.1.20)
обеспечивают определенную точность (скажем, в пределах 20%) для
пристеночного низкоскоростного течения с Рг, Sc^l, в частности, для
теплообмена в газах при Рг^0,7. Аналогии (5.1.20) вряд ли
применимы для диапазонов изменения температуры или концентрации,
достаточно больших, чтобы вызвать существенное изменение характеристик,
а также для заметно неоднородных жидкостей (что имеет место для
теплообмена при кипении) или для гидротранспорта дискретных
частиц, скорость которых отличается от локальной скорости жидкости.
Даже тогда, когда эти экстремальные случаи не рассматриваются,
простые соотношения (5.1.20) могут быть ошибочными, если числа
Прандтля или Шмидта значительно отличаются от единицы. Мы
приходим к заключению, что потоки Рейнольдса, связанные с различными
процессами переноса, в общем не равны между собой, хотя в частных
случаях они становятся равными, например когда Рг или Sc^l и
среда', в которой происходят процессы переноса, является довольно
однородной.


§ 5.1J
Аналогии процессов переноса
223
Аналогия между тепло- и массопереносом
Stc=St (5.1.21а)
является более точной при Le=l, чем результаты (5.1.20) при Рг=1 и
Sc=l, если опять-таки рассматривать почти однородные жидкости. Это
можно обосновать следующим образом. Правдоподобно .предположить,
что процессы переноса — молекулярные и турбулентные —для тепла и
различных пассивных переносимых субстанций по существу
аналогичны i. Тогда можно полагать, что законы переноса
Sl=f(cf, Pr) и Stc=/(c/> Sc)
имеют одинаковую функциональную форму
St или Stc=ifi(c/, Pr или Sc) =
=/2(Re, Pr или Sc). (5.1.216)
Этот результат дает St=Stc при Le=Pr/Sc=l. Он также имеет
важные следствия для экспериментальных методов, так как
подразумевает, что данные для тепло- и массообмена можно представить одной
зависимостью, применимой к переносу любой пассивной субстанции
в почти однородной жидкости.
Дейсслер обнаружил, что результаты измерений тепло- и
массообмена при течении в трубе совпадают при 0,5<Pr, Sc<60 и при 10 000<
<Re^<50 000. Хотя таких систематических сопоставлений для других
видов течений не имеется, многие косвенные данные подтверждают
справедливость зависимостей (5.1.21). Такой широкий интервал
согласования результатов позволяет предположить, что при Le=l для
однородной жидкости и остальные требования (5.1.3) выполняются:
турбулентное число Льюиса Le*=l; потоки Рейнольдса изменяются
одинаковым образом; профили температуры и концентрации подобны.
Зависимости, аналогичные уравнениям (5.1.21), можно получить и
для других пар рассматриваемых процессов переноса, например тепла
и количества движения, но они дают лишь довольно приближенное
соответствие данных, относящихся к двум процессам переноса.
Возвращаясь снова к обобщенной аналогии Рейнольдса (5.1.15),
отметим, что здесь основным предположением является подобие
профилей средних характеристик. Как будет показано в разделе 5.2.3,
подобия профилей скорости и температуры можно достичь только при
Рг=1 и Рг*~1. Следовательно, общность сильной формы аналогии
Рейнольдса является в определенной мере обманчивой, хотя результаты
(5.1.15) оказываются полезными при определении качественных
характеристик и установлении порядка величин.
Изменения потоков
Даже если известно, что основные постулаты о подобии профилей
средних характеристик неверны, необходимо рассмотреть и другие
ограничения (5.1.16), так как они часто используются для упрощения
анализа процессов переноса. Законы сохранения для плоскопараллельных
линейно-развивающихся течений показывают, как изменяются потоки
1 Это утверждение является убедительным _для компоненты внутренней энергии
потока энтальпии!^, но не для потока работы pv [см. (3.2.17)]. Однако последний
вносит в перенос энтальпии вклад порядка (cp—cv)/cp — \—\/y. Для большинства
жидкостей эта величина очень мала; для газов она равна 1/3.


224
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
субстанций поперек течения. Из уравнений (3.3.10),
(3.3.35) следует:
1) баланс количества движения
?и
dPw
dx
2) баланс энергии
,дН _ д{кдН/ду—Тп)
дх '^ ду
3) баланс массы
ох
п</ (tdll/dy— uv)
9 dy
dW-Jq)
1 dy —
d(DdC/dy — 'vc)
dz .
* dy "Г
dN
dy '
d (%U — Jq)
dy
(3.3.12), (3.3.20),
(5.1.22)
(5.1.23)
(5.1.24)
В балансе массы может быть член, выражающий плотность
источников, однако в (5.1.24) он опущен; в уравнении энергии последним
членом, представляющим диссипацию и диффузию, также
пренебрегают для большинства низкоскоростных течений. Даже когда эти члены
Рис. 5.1. Изменение поперечных
потоков (результирующих касательного
напряжения т, потока энтальпии <}h
и потока массы N) для
симметричного плоского течения в широком
плоском канале.
а — профили средней скорости при тур-
^м/Шм»м////Ш//м,/,/у»м;М, булентном те,ении: б-профиля потоков-
а) 6)
отсутствуют, имеется существенное различие между балансом
количества движения и двумя другими законами сохранения, которые содержат
среднюю скорость U(y) в конвективных производных. Одинаковая
структура двух последних уравнений согласуется с обобщенной
аналогией, представленной в уравнениях (5.1.21).
Интегрируя полученные уравнения от стенки и исключая члены,
выражающие плотность источников, находим:
■ = GJJ.
■>^р dx
у;
(5.1.25)
9h:
■.GhAH = qw-PdJL^Udy;
(5.1.26)
N-.
осдс_
■■N„
w\Udy-
(5.1.27)
На рис. 5.1 показан характер изменения потоков субстанций
поперек течения в симметричном плоском канале при одинаковых потоках
на стенках. Отметим отклонение от линейного закона распределений
энтальпии и массы вблизи стенки, где скорость быстро изменяется. Для
трубы это еще заметнее, так как поток тепла (или массы) по мере уда-


§ 5.1J
Аналогии процессов переноса
225
ления от стенки проходит через уменьшающуюся площадь сечения.
В ядре потока, где скорость почти постоянна, потоки qn & N изменяются
почти линейно. Распределения будут еще ближе к линейным, когда
число Рейнольдса возрастает и профиль скорости становится более
плоским. Очевидно, что предположение
— или — = const (поперек потока)
не приводит к существенной ошибке при высоких числах Рейнольдса.
Турбулентные числа Прандтля и Шмидта
Теперь рассмотрим другой аспект упрощающих анализ
предположений (5.1.16), касающийся постоянства эффективных чисел Прандтля
и Шмидта, помня, что основное допущение о подобии профилей
выполняется редко.
Заметим сначала, что соображения, приводящие к (5.1.21),
предполагают также, что турбулентные числа
pr, = /(Re> Pr) и Scf = f(Re, Sc)
зависят одинаковым образом от соответствующих отношений
коэффициентов молекулярного переноса. Следовательно,
Prf = Sc; при Le = -«—=—=1.
Далее, так как числа Рг^ и Sc* довольно слабо зависят от Рг и Sc
и так как измерения, с помощью которых можно их определить,
недостаточно точны, можно полагать, что для широкого диапазона
процессов переноса числа Рг* и Sc* становятся близкими при Le—'0(1), т. е.
при коэффициентах молекулярного переноса одного и того же порядка.
Это условие выполняется для смеси газов с молекулярными массами,
которые мало отличаются друг от друга, что часто используют при изу-
Таблица 5.1
Турбулентные числа Прандтля и Шмидта
Зона течения
Рг^ (или Sc^)
I. Течение воздуха (Рг =0,7) в трубах и каналах (Red = 30 000)
Пристеночный слой (30 <^у+ < 300)
Область сопряжения (y/R ^ 0,2)
Ядро (Pr, <^Re0'15)
0,9+0,2
0,8+0,2
0,7+0,2
II. Течение ртути (Фг = 0,024) в трубах (Rerf = 300 000)
Пристеночный слой I 1,74-0,3
Ядро (Pr, ^ Re - о .46) j lf 4+0,2
III. Свободные турбулентны? течения воздуха и других газов (Рг = 0,7); значения,
дающие наилучшую общую аппроксимацию
ил ой смешения
Плоский след
П 10ская струя
Внешняя граница пограничного слоя
Круглая струя
0,5
0,55
0,5—0,55
0,5
0,7—0,75
". о—56


226
Течения в каналах. III. Тепло- а массоперенос
[Гл. 5
чснин механизмов теплообмена в газах на основе аналогии с массооб-
меном.
В табл. 5.1 представлены значения турбулентных чисел Прандтля
и Шмидта (измеренных или рассчитанных) для течений воздуха и
ртути, т. е. жидкостей с умеренными и очень низкими числами Прандтля.
Бо всех случаях соблюдаются условия 0,5<Pr*, Sc*<2; поэтому мала
вероятно, чтобы простая аналогия Рейнольдса (3.4.30) приводила
к большим неточностям при применении ее к турбулентной диффузии
любой жидкости.
При этом оказывается, что отношение коэффициентов переноса
зависит от числа Рейнольдса, определяющего уровень турбулентности;
приводится приближенная зависимость для области ядра течения в
канале. Круглые струи обычно имели более высокие числа Рейнольдса,,
чем другие свободные турбулентные течения, которые рассмотрены
в части III таблицы (из соображений удобства проведения
эксперимента), и этим частично можно объяснить более высокие значения Рг* и
Sc; для этого вида свободных турбулентных течений.
В табл. 5.1 приведены те данные о свободной турбулентности,
которые дают наилучшее согласие теории и эксперимента. Заметим, что
модель переноса завихренности Тэйлора (3.4.49), (3.4.52)
предполагает, что
е1г = гш = 2ет и Pr, = Sc,= -L. (5.1.28)
Это значение согласуется с наблюдаемым поведением двумерных.
свободных турбулентных течений, для которых разработана данная
модель.
Значительные диапазоны изменения величин для течений в каналах,,
приведенные в табл. 5.1, могут быть отнесены за счет:
1) пространственных изменений внутри рассматриваемых областей;
2) зависимости массопереноса от числа Шмидта;
3) ошибок измерений и интерпретации результатов.
В отношении последнего пункта необходимо указать, что профили
скоростей и температуры (или концентрации) обычно измеряются
раздельно и, прежде чем проводится совместный анализ профилей,
выполняется их дифференцирование. Вблизи стенки результаты чувствительны
к ошибкам измерений у, а в ядре течения— к ошибкам измерений AT
или АС. Следовательно, в этих обеих областях трудно получить
высокую точность.
В настоящее время изученность вопроса о пространственном
изменении значений турбулентного числа Прандтля вблизи стенки весьма
неудовлетворительная. Используются зависимости, которые дают или
уменьшение, или увеличение чисел Прандтля у стенки; например, для
течения воздуха в трубе
Рг,= ! т (5.1.29)
а для воздушного пограничного слоя
Рг,= 1,75-^ 1,25 -f-. (5.1.30)
Возможно, что эти зависимости оказались удовлетворительными
потому, что они устраняют иные недостатки принятых теоретических мо-


§ 5.1]
Аналогии процессов переноса
227
делей. Полезные результаты часто можно получить, если
предположить, что турбулентное число Прандтля или число Шмидта не
изменяются поперек потока. Однако при этом необходимо принять такое
значение, которое согласуется с характеристиками молекулярного переноса
и локальным уровнем турбулентности. Ниже будет исследована
зависимость турбулентного числа Прандтля от его молекулярного аналога
и числа Рейнольдса без учета вида течения и положения
рассматриваемой точки в потоке.
Простая модель переноса
Настоящий анализ основывается на модели коэффициента
турбулентного переноса (3.4.17). Если предположить, что коэффициент
корреляции можно записать в виде /?22(т)=ехр(—xjTL) (где TL — лагран-
жев интегральный временной масштаб для поперечных пульсаций
скорости), то согласно упражнению 3.2.1:
Рг,
+ ^А
(5.1.31)
где б/г и Ьт определяют обмен между движущимся элементом жидкости
и окружающей средой согласно уравнению (3.4.11). Заметим, что 1 /6л
и 1/бт—временные мас-
"tfaj
штабы для
мелкомасштабных процессов, в
результате которых
происходит изменение энергии
и количества движения
данного элемента. Чтобы
установить
правдоподобные выражения для этих
временных масштабов
через коэффициенты
переноса жидкости и
масштабы среднего движения,
возвратимся к
соотношению
^ = _5(Р_Р), (3.4.11)
которое определяет 6.
Здесь Р — любая
характеристика жидкости. Мы
будем использовать
простую модель процесса
переноса для нахождения
значений всех величин,
кроме 6, и, таким
образом, установим, как она
должна зависеть от параметров, которые определяют модель.
На рис. 5.2,а представлена такая модель: циркуляционный поток
с масштабами L и (/ переносит жидкость на расстояние, на котором
происходит изменение АР. Умножив уравнение (3.4.11) на объем
циркуляционной жидкости, оценим правую часть уравнения как ^6L3AP.
Рис. 5.2. Процессы турбулентного переноса и
турбулентное число Прандтля.
а — простая модель, иллюстрирующая перенос обобщенной
характеристики Р совместно турбулентным перемешиванием
(с масштабами L и U) и молекулярной диффузией (с
коэффициентом диффузии К); АР — среднее изменение
переносимой характеристики; / — перенос молекулярной
диффузией; 2 — типичная турбулентная структура,
осуществляющая перенос; б — зависимость турбулентного числа
Прандтля Рг, от числа Рейнольдса Re и молекулярного числе,
Прандтля Рг, соответствующая модели а и эмпирическим
данным. Эта зависимость эквивалентна Sct=f(Re, Sc), где
Sc — молекулярное число Шмидта. При этом не рассмотрены
изменения от течения к течению и от точки к точке в
данном течении.


228
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
В упражнении 1.25 показано, что продвижение диффузионного фронта,
нормального к линии тока, выражается как y^(Kt)i/2, где К —
коэффициент диффузии и t—время, необходимое для диффузии. Здесь t^L)U1
и транспортируемое количество субстанции можно оценить как
r^(KLlU)i/zL2AP. Конвективную производную в левой части
уравнения (3.4.11) теперь можно выразить в виде UdP/dx—(UjL) (/CL/C/)1/2X
XL2AP.
Оценки обеих частей уравнения будут согласовываться, если
Приняв лагранжев временной масштаб TL^L/U, получим:
т1?^{т;)1'2 ■ <5л-32а)
Наконец, полагая, что процесс переноса определяется крупными
вихрями, обусловленными средним движением, получаем:
TLb^(Re^-y\ (5.1.326)
где Re — число Рейнольдса среднего течения.
Применяя эту зависимость к процессам переноса количества
движения и тепла, можно выразить турбулентное число Прандтля (5.1.31)
в виде
где Pe=Pr Re — число Пекле среднего движения. Постоянные Ct и С2
будут выбраны ниже из условия согласования с эмпирическими
данными, приведенными в табл. 5.1. Тем не менее сразу же отметим, что
Рг*-П при Re-^oo
в соответствии с характером изменения данных, указанных в этой
таблице.
Из уравнения (5.1.33а) следуют две предельные зависимости:
Pr^l + dPe-1/2 при Рг<1 (5.1.34а)
и
Р^-ТТ^д-приРг>1. (5.1.346)
Эти зависимости предполагают:
1) Pr^l при Pr<Cl и ^>1 соответственно, что согласуется с
характером изменения величин в табл. 5.1.
2) Рп практически не зависит от Рг при Рг^>1.
Приняв соответственно Рг=1,5 и 0,75 для ртути (Re=300 000, Pr=
=0,024) и для воздуха (Re=30 000, Pr=0,7), найдем значения
постоянных в уравнении (5.1.33а):
С1==86, С2=200. (5.1.336)
Эти значения показывают, что:
3) Рг^<1 при Pr^l для всех значений числа Рейнольдса, кроме
самых высоких.


§ 5.2]
Анализ размерностей и подобие
229
Характер изменения турбулентного числа Прандтля в рамках
такой простой модели показан на рис. 5.2,6. Для Рг=0,7 и Re=1000-^-
3000 (обычный диапазон для свободных турбулентных течений) Рг*=
=0,58-^-0,68, что в основном соответствует данным, приведенным
в табл. 5.1. Эти результаты позволяют предположить, что характерное
различие в значениях эффективных чисел Прандтля для свободной и
пристеночной турбулентности в основном связано с низкими числами
Рейнольдса и большими временными масштабами TL, типичными для
течений первого класса. Нет необходимости в предположении о
существенном различии механизмов обмена количеством движения и тепла,
как было сделано при получении результатов для переноса
завихренности (5.1.28). Веооятно, имеются действительные различия в
процессах, ответственных за перенос количества движения и тепла в течениях
со свободной и пристеночной турбулентностью, однако влияние этих
различий на турбулентное число Прандтля, по-видимому, слабее, чем
обычно предполагают.
Этот вопрос снова будет рассмотрен в п. 7.4.1, где будет
проанализирована роль границы раздела турбулентности при определении
эффективного числа Прандтля для свободной турбулентности.
5.2. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЕ
5.2.1. ЗАКОНЫ ТЕЛЕПЕРЕНОСА
Общий характер зависимостей между параметрами, которые
определяют тепло- или массообмен между стенками канала и жидкостью,
можно выявить с помощью анализа размерностей, аналогично
использованному в гл. 4 для установления связи между трением и
распределением скоростей. В данном случае анализ оказывается несколько
более сложным, так как необходимо учитывать и эффекты трения.
Довольно общие законы трения можно получить, даже пренебрегая
влиянием теплообмена на поле скоростей, т. е. в предположении, что
характеристики жидкости распределены равномерно и не зависят от
температуры. Обратное утверждение, конечно, неверно. Доминирующее
влияние поля скоростей обычно проявляется через турбулентную вязкость,
однако оно также влияет и на скорость переноса, приводя к изменению
потоков тепла и массы, определяемых уравнениями (5.1.26), (5.1.27).
Большая часть последующего рассмотрения относится
непосредственно к теплопереносу; аналогичные результаты для массопереноса
представлены в п. 5.2.4.
Прежде всего рассмотрим закон теплопереноса для полностью
развитого течения в трубе, которому соответствует закон трения
Эта зависимость устанавливает связь между напряжением трения
на стенке тти 1) средней скоростью Ua, диаметром трубы d и
шероховатостью ks\ 2) свойствами жидкости — вязкостью \х и плотностью р.
Можно предположить, что тепловой поток на стенке qm в единицу
времени через единицу площади зависит от следующих величин:


230 Течения в каннах III. Тепло- и массоперснос [Гл. 5
1) температуры стенки 7\, и жидкости Т;; ]
2) параметров Ua, d и ks;
3) свойств жидкости ky cp, v и к — коэффициентов теплопро- I (5.2.2)
водности, удельной теплоемкости, вязкости и температуро- J
проводности. ]
Ниже обсуждается значение выбора величин (5.2.2).
Хотя вид закона переноса в общем не зависит от выбора
температур, характеризующих стенку и жидкость, этот выбор влияет на
значения численных констант. Уравнения (5.1.6), (5.1.9) дают
экстремальный пример влияния температуры жидкости. Кроме того, мы не смогли
определить закон развития поля температур вдоль трубы, поэтому
будет анализироваться множество профилей температуры поперек
течения. Наиболее часто рассматриваются граничные условия:
1) постоянный поток тепла, когда Tw—Tf^const и поле
температур изменяется линейно;
2) постоянная температура стенки Tw.
Мы рассмотрим в основном первый случай; ниже (п. 5.3.3) будет
указано, как решается вопрос, если температура стенки поддерживается
постоянной.
Как было показано, шероховатость оказывает влияние на трение
не всегда единственным линейным масштабом; того же следует
ожидать и для процессов переноса. Следовательно, параметр ks
представляет собой соответствующее число характерных размеров
шероховатости.
Рассмотрим выбор свойств жидкости по (5.2.2). Можно сделать и
другой эквивалентный выбор (например, k, cp, jli и р) без изменения
сущности результатов. Большее значение имеют параметры, которые
были исключены из рассмотрения, особенно средняя длина свободного
пробега молекул и скорость звука. Учет первого из них приводит к
введению числа Кнудсена в закон тсплопереноса, как это имело место
в (2.4.1), для тонкой проволоки датчика. Учет скорости звука дает
число Маха Ма = [//а (или, возможно, отношение удельных теплоемкостей
у=ср/сс). Параметры Кп и Ма не являются определяющими для
течения в каналах, хотя они могут быть существенно важными для
пограничных слоев на летательных аппаратах, движущихся с большими
скоростями в атмосфере, особенно на большой высоте.
Имеется еще другое свойство жидкости, которое не было включено
в перечень (5.2.2), —это коэффициент расширения (или сжимаемости
при постоянном давлении) р. Настоящий анализ относится к
вынужденной конвекции, т. е. рассматривается поле скоростей, которое
формируется независимо от теплопереноса. При свободной (или естественной)
конвекции движение вызывается неоднородностью плотности жидкости,
связанной с изменением температуры под действием теплопереноса.
Существует комбинированная (или смешанная) конвекция, когда
течение формируется не только под действием архимедовых сил. При
движении жидкости в каналах архимедовы силы обычно проявляются
в виде смешанной конвекции; это будет кратко рассмотрено в п. 5.3.3.
В областях слабого влияния стенок часто проявляется естественная
конвекция в чистом виде; в гл. 7 будут рассмотрены свободные
турбулентные потоки такого типа, а в гл. 8 —пограничные слои. Уравнения,


§ 5.2J
Анализ размерностей и подобие
231
4"С/Ес = -
1 Ее
2 Cf St ~~
1 \1/2 Ее
TCf ) ~SF
"2/
TwUg
Qw
_ pa3/
Qw
описывающие движение в вертикальном направлении под действием
архимедовых сил, представлены в п. 6.2.8.
Зависимость потока тепла на стенке от параметров (5.2.2) обычно
выражают в виде
Нет необходимости комментировать три первых комплекса,
учитывая предыдущее рассмотрение аналогии Рейнольдса. Последний
комплекс
Ес = с7Т^т7Г (5-2'4)
называется числом Эккерта, структура его показывает, что оно
учитывает кинетический нагрев (или торможение), т е. увеличение
температуры по мере того, как кинетическая энергия жидкости превращается
в тепловую энергию при замедлении течения. Эта интерпретация не
годится для течений в канале постоянного поперечного сечения с
постоянной скоростью Uа', в этих случаях более важны комбинации
(5.2.4а)
Они связывают теплообмен с диссипацией в канале, которая в
некоторой степени аналогична источнику тепла.
Оставшийся безразмерный параметр в уравнении (5.2.3)
—отношение температур TwjTf — формально учитывает зависимость свойств
жидкости от температуры. Для всестороннего представления требуется,
чтобы коэффициенты уравнений состояния были приведены к
безразмерному виду. Когда отношение АГjTw мало, указанной зависимостью
можно пренебречь; для относительно больших величин AT/TW ее
можно приближенно учесть, вычисляя свойства жидкости при средней
характерной температуре Tm = —(Tw-\-Tf) или при некоторой другой
характерной температуре жидкости. Подробнее этот вопрос рассмотрен
в п. 5.3.3.
Когда разность температур Tw—Tf не столь велика, чтобы влиять
на свойства жидкости, и не столь мала, чтобы «нагрев» в результате
диссипации был ощутим, закон (5.2.3) можно упростить:
Nu = f(Red, Ц-, Рг). (5.2.5)
Здесь «чистый» коэффициент теплоотдачи (Nu) связан с
параметрами, определяющими условия течения (Re^ и k8/d) и свойства
жидкости (Рг).
Конвективный теплообмен можно иногда определить более просто
законом вида


232
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
Используя закон трения (5.2.1), перепишем (5.2.6) в виде
Nu = f {cf, А, Рг) и St = f (cf, A, Pr) . (5.2.7)
Было бы заманчивым полагать, что коэффициент трения (который
сам зависит от ksjd) адекватно учитывает шероховатость стенки. Эта
гипотеза будет рассмотрена в п. 5.4.1, где показано, что она нереальна.
Случай очень малых чисел Прандтля
Зависимость, выражающую закон теплопереноса, можно еще более
упростить в случае, когда теплопроводность очень велика по сравнению
с вязкостью, что является типичным для жидких металлов. Здесь
коэффициент молекулярной температуропроводности может оставаться
сравнимым с коэффициентом турбулентного переноса на протяжении
большей части или, по крайней мере, пристеночного слоя, канала, где
градиенты температуры и скорости наибольшие. Таким образом,
молекулярная вязкость v и шероховатость ks теряют свою важную роль в
определении эффективного переноса; они по-прежнему оказывают известное
влияние через распределение скорости, однако это частично
учитывается сохранением масштабов Ua и d. Если исключить из числа параметров
(5.2.2) вязкость и шероховатость, то уравнения (5.2.5), (5.2.6)
упростятся:
Nu=PeSt=/(Pe). (5.2.8)
Здесь Ре = Рт Яеа= UadIк — число Пекле, представляющее собой
отношение конвективного переноса к молекулярной тепловой диффузии.
Ниже мы увидим, что эффекты числа Рейнольдса нельзя полностью
учесть таким образом, но этот результат дает определяющее
соотношение.
«Практические» коэффициенты теплопереноса
На практике встречаются различные размерные характеристики
теплопереноса; покажем, каким образом они связаны с приведенными
выше безразмерными комплексами.
Эффективность теплообменников часто оценивают с помощью
коэффициента теплопередачи U
Q
А (7\ - Т2)
-М9 (5.2.9)
где Л — полная площадь обмена, Q — тепловой поток. Коэффициент
теплоотдачи аналогичного вида h
mt^W=h (5'2-9a)
используется для определения теплообмена между жидкостью и стенкой.
Эти коэффициенты имеют единицу измерения Вт/(м2-К).
Влияние стенки сложной формы на процесс теплообмена
оценивается с помощью коэффициента формы (формпараметра):


§ 5.2|
Анализ размерностей и подобие
233
D ЛШ 11/1 /й О П \
Я=—=7Г> "Г> й~- ^-2-9в)
где k — коэффициент теплопроводности 'материала стенки. Формпара-
метр имеет размерность длины; например, для круглого цилиндра
длиной L с внутренним и наружным радиусами Ri и R2
C*~\n(R2/R1)a
Термическое сопротивление может заменить любой из этих
коэффициентов:
МГ 1 1 А
Q
Эти «практические» коэффициенты связаны с безразмерными
параметрами, характеризующими и теплообмен, зависимостями:
м _ <№___ Udr hd' Sdr dr /r о in\
Ш — Ak{Tx^T2) =T~9 ПГ' T' **"' (0.^.1 U)
где d'— характерный размер системы.
5.2.2. ЭФФЕКТЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
До сих пор уравнение (5.2.3) рассматривалось как закон
теплообмена. Можно дать и другую интерпретацию этого закона, которая
особенно удобна для расчета пограничного слоя, формирующегося на
поверхностях летательного аппарата, движущегося с большой скоростью
в атмосфере. Для теплоизолированной стенки имеем Nu = qw=0 и
Tr ~ Tf =TT=f (Re<*> %-> Pr, i-) • (5-2.11)
r =
U2f/2cp — Ecr ~~/ V d ' ' Tf
Здесь Тг — температура восстановления (или адиабатическая
температура стенки)\ Uf — характерная скорость жидкости, для канала —
средняя скорость, для пограничного слоя — скорость внешнего
(набегающего )течения; г=(Тг—Tf) /(То—Tf) —коэффициент восстановления,
TG=Tf+U2fl2cp — температура торможения; Есг — число Эккерта для
условий восстановления, т. е. адиабатической стенки.
Отсюда видно, что коэффициент восстановления определяет ту
величину, на которую температура стенки выше статической температуры
жидкости. Это повышение пропорционально кинетической энергии
— U2f, где Uf в общем определяет разность скоростей между стенкой
и внешним течением. Если «кинетический нагрев» становится
значительным, он сильно зависит от этой разности скоростей. Для больших
изменений температуры, когда ср значительно изменяется, более
подходящей величиной является коэффициент восстановления энтальпии
_Hr-Hf Hr-Hf
r- 1 2 -H0-Hf> V-z-u>
2 u f
где H0 = Hf-\--n- U2f — энтальпия торможения.
Коэффициенты восстановления температуры и энтальпии
устанавливают связь фактической разницы в тепловой энергии между стенкой
и внешним течением с той, которая получается при адиабатическом
торможении. Коэффициент восстановления характеризует способность


234
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
жидкости сохранять диссипируемую энергию вблизи стенки, а не
передавать ее в основную массу жидкости. Таким образом, этот коэффициент
сильно зависит от числа Прандтля Pv=v/k. Характер этой зависимости
можно установить из рассмотрения приближенных формул для
пограничных слоев с нулевым градиентом давления на плоской пластине:
1) для ламинарного течения
г^Рг1/2при 4-<Рг<5*' (5.2.13)
2) для турбулентного течения
г^Рг,/3 при 4"<Рг<2. (5.2.14)
Коэффициент восстановления зависит также от характера развития
течения у стенки. Изучение простых примеров показывает, что для
плоскопараллельных ламинарных течений
г~Рг. (5.2.15)
Это можно сравнить с уравнением (5.2.13). Для турбулентного
пристеночного слоя эффект развития течения не столь заметен, так как
пристеночное течение является почти параллельным, за исключением
экстремальных случаев. Однако эффект числа Рейнольдса следует ожидать,
так как от этого фактора зависит толщина вязкого слоя. Общий
характер такой зависимости следует из теоретической формулы Широкова:
;- = 1 _ 4,55 (1 — Pr) Re~0'2. (5.2.16)
(В этой зависимости для пограничного слоя Rex=U\X/v).
Зависимость (5.2.16) —наиболее простое из имеющихся предложений для
уточнения оценки (5.2.14).
Для всех рассмотренных выше случаев коэффициент
восстановления для газов находится в диапазоне
г = 0,7-МД (5.2.17а)
поэтому для наиболее важных практических случаев температуру
восстановления можно оценить по формуле
7г^Г,+0,85^ = 7,-0,15-^. (5.2.176)
Это показывает, что «кинетический нагрев» будет повышать
температуру стенки почти до температуры торможения, если только
поверхность не будет охлаждаться. Расчет температуры восстановления иногда
рассматривают как проблему термометрии. Когда термометр помещают
в движущуюся жидкость, то на его поверхности устанавливается некое
распределение температуры восстановления, причем регистрируемая
температура, дающая интегральный эффект, обычно будет немногим
ниже температуры торможения.
На рис. 5.3 показано изменение температуры в пределах
развивающегося ламинарного пограничного слоя; пристеночный турбулентный
пограничный слой будет рассмотрен позже (п. 5.3.1 и рис. 5.4).
Рассмотрены два случая: эффекты теплообмена и диссипации для
определенного типа жидкости; обтекание, адиабатической стенки жидкостью при


§ 5.2]
Анализ размерностей и подобие
235
различных числах Прандт-
ля. В каждом случае
профили скорости незначительно
изменяются с изменением
вязкости, но эти изменения
пренебрежимо малы, когда
(T„-Tf)lTf и (Tr-Tf)lTf
незначительны. Как видно
пз рис. 5.3,а, искажение
температурного профиля в
результате явления
восстановления будет пренебрежимо
малым (не считая влияния
на профиль скорости),
когда \TW— 7/|»Гг— Th Из
рис. 5.3,6 видно, что
динамический пограничный слой
толще теплового при Рг>1,
т. е. когда диффузия
количества движения
интенсивнее диффузии тепла. В
целом из рис. 5.3 вытекает, что
хорошее приближение
подобия профилей скорости и
температура достигается
только при пополнении
следующих условий-
1) \Tw~Tf\>Tr-Tf;
2) Рг~1;
3) (Tw-Tf) fTw<^L
Из этого анализа
следует метод оценки
интенсивности теплообмена для течений с большими скоростями, в которых
изменение температуры, связанной с торможением, сравнимо с
разницей температур, поддерживаемой между стенкой и жидкостью. Из
графика, представленного на рис. 5.3,а, ясно, что стенка
«воспринимает» температуру жидкости как Гг, а не Tf. Следовательно,
Рис. 5.3. Профили температуры и скорости в
ламинарном пограничном слое постоянного
давления (по Ван Лристу).
а — эффекты теплообмена и диссипации при Рг^Г
профили для адиабатической стенки (эффекты
восстановления), для охлаждаемой стенки (Tv[<Tr) и для
нагреваемой стенки iTw2>TT)\ б — роль числа Прандтля
для адиабатической стенки.
qw^Tw — Tr=(Tw — Tf)
2cn
Последний член представляет собой поток тепла (к стенке),
требуемый для того, чтобы поддерживать Tw=Tf, когда «аэродинамический»
нагрев значителен. Теперь запишем соответствующее выражение для
коэффициента теплоотдачи
Nu =
q^-
k(Tw-Tr)
(5.2.18а)
и можно полагать, что закон теплообмена при высоких скоростях
имеет вид
Nil:


236
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
Здесь предполагается, что для рассматриваемого класса течений
число Маха играет существенную роль. Сравнение с (5.2.3) показывает,
что использование температуры восстановления позволяет как-то учесть
число Эккерта. Заметим, что согласно уравнению (5.2.17)
использование температуры торможения является более обоснованным для расчета
теплообмена, чем использование статической температуры.
Зависимость между коэффициентом восстановления
и числом. Прандтля
Число Прандтля и коэффициент восстановления зависят от одного
и того же свойства слоя со сдвигом (турбулентного или
ламинарного)— его сравнительной способности передавать количество движения
и энергию. Уравнение энергии для плоскопараллельного потока (5.1.23)
определяет взаимосвязь между этими процессами переноса. Если
пренебречь первым членом, выражающим конвекцию энергии средним
движением, и членом, определяющим боковой поток кинетической
энергии, Jq, ПОЛуЧИМ
dy r dy \ dy~ J dy
После интегрирования имеем:
dy ' p p p
где C\ — постоянная, которая вычисляется в исходном положении 1.
Вводя коэффициенты турбулентного переноса количества движения
и энтальпии, имеем:
fc+>*)-^+(V + em)
dl-TrU''
dy
-=-сл
Повторное интегрирование дает
H + Pre-Lir = -\J£-dy (5.2.19)
_ К +*h
при условии, что эффективное число Прандтля Рге постоянно. Эта
зависимость определяет связь между изменениями скорости и
температуры в различных течениях (ламинарных и турбулентных). Интеграл,
стоящий в правой части (5.2.19), представляет собой разницу
температур, необходимую для поддержания потока энергии (ф*—xU)\\ члены,
выражающие диссипацию (x=dU/dy) и связанную с ней диффузию
(Udx/dy), представлены после интегрирования слева.
Обратимся к частному случаю Ci=0, который будет иметь место
для:
1) теплоизолированной стенки, где qh=U—0, так что
Н +Pre-±-U* = Hr; (5.2.20)
2) плоскости симметрии течения в ядре, где cjh=0 и U=Uc, так что
H + Pr6±U* = Hc + Pre-Lu*c. (5.2.21)
Сопоставив (5.2.20) и (5.2.21), видим, что
г=Рге (5.2.22)


§ 5.2]
Анализ размерностей и подобие
237
при условии постоянства Рте в области течения, где происходит
основное изменение скорости и температуры. Для плоскопараллельных
ламинарных течений, где это предположение выполняется, г^Рг согласно
уравнению (5.2.15). Для турбулентных течений газа вблизи стенки это
предположение близко к действительности, так как Рг=0,7; согласно
табл. 5.1 Pr*=0,7-4-0,9 для пристеночных слоев. Экспериментально
полученные значения г лежат в диапазоне 0,85—0,90, что согласуется
с (5.2.22).
По-видимому, зависимость (5.2.21) не применима к свободным
турбулентным течениям или к внешней области развивающихся
пограничных слоев, даже если граничные условия, казалось бы, выполняются
в этих случаях. Хотя отношение коэффициентов переноса и может быть
постоянным в разумных пределах, исключение слагаемых,
определяющих конвекцию движением, нельзя обосновать.
5.2.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
Возвратимся к рассмотрению вопросов, изложенных в 5.2.1,
полагая, что теплообмен на стенке значительно превосходит внутреннюю
диссипацию, что позволяет пренебречь эффектами восстановления
температуры, связанными с числом Эккерта. Кроме того, исключая из
рассмотрения эффекты, связанные с изменением свойств жидкости
[представленные в (5.2.3) отношением TwjTf\, можно предположить, что
распределение температуры в полностью развитом течении в трубе имеет
вид:
Tw — T^y, Ry ksi qw, uf, p, cp, v, к. (5.2.23)
Здесь опять-таки выбор параметров (например, щ и р вместо
xw и \х) диктуется соображениями удобства. Зависимость (5.2.23)
перепишем в безразмерном виде:
т„-т =f (X _*_f ^ pr> «V)e (5.2.24)
Vf \yf У! Щ <lwJ
Температурный масштаб
9 _Jw_ (5.2.25)
иногда называют динамической температурой (температурой трения)
по аналогии с динамической скоростью (скоростью трения), хотя
термин «трение» здесь не столь уместен.
Первые три комплекса в правой части уравнения (5.2.24)
определяют распределения скорости, коэффициентов переноса и, как и число
Прандтля, не требуют дополнительного разъяснения. Последний
комплекс является одним из эквивалентов числа Эккерта, которое
определено уравнением (5.2.4). Он характеризует влияние диссипации на
профиль температуры и в дальнейшем учитываться не будет.
Для рассматриваемых движений с относительно малыми
скоростями анализ, подобный представленному в табл. 4.1, дает результаты,
которые применимы к отдельным областям течения:
1) для пристеночного слоя в целом
т т
1 70) 1
•'&■$•*}■' ' ■<"•


238
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5-
2) для части пристеночного слоя (если таковая имеется),
полностью турбулентной в том смысле, что выполняются условия v<Cem и
У dy f =f(Pr); (5.2.27>
3) для ядра течения
\Тс ,--/ -f, Рг). (5.2.28)
Более детальные результаты можно получить для вязкого подслоя,
полностью турбулентного слоя и ядра. Для подслоя с линейным
профилем скорости в случае гладкой стенки можно записать:
Чю у
откуда
тгя,— т
Ргу+, (5.2.29)
где y+=y/yf. Однако для такого подслоя #+=£/+=[//uj, и
т т и
'" Рг —. (5.2.30)
е,- И/
Для полностью турбулентного слоя
i,+ _^=-- Лг> (b.2.3l>
что соответствует первому из уравнений (4.1.3). Этот результат
предполагает, что величина qw постоянна. Такое предположение, согласно
рис. 5.1 должно быть правдоподобным для пристенной области при
Ес~0. Соотношение между постоянной АТ и постоянной, входящей
в соответствующее распределение скорости, можно найти следующим
образом. Замечая, что
2£> (5.2.32)
pCpdT/dy AT
и используя результат ет=ЩУ1А, справедливый для слоя с
логарифмическим профилем, получаем:
Pr, = -^ =^J-=const (5.2.33>
для области, в которой оба полностью турбулентных слоя
перекрываются. Мы знаем, что турбулентное число Прандтля слабо зависит от
молекулярного числа Прандтля, откуда то же самое следует и для
постоянной Лт. Это согласуется и с уравнением (5.2.27).
Интегрирование уравнения (5.2.31) дает:
щ =AT\ny++fT(k+, Pr). (5.2.34).
Дополнительная функция выбирается в соответствии с уравнением
(5.2.26). Используя логарифмическое распределение скоростей (4.3.5),.


;§ 5.2]
Анализ размерностей и подобие
239
получаем с учетом соотношения (5.2.33):
JsW- = A-7r%+ fr(K' Pr)-^W;) = Pr,^-+U*,+. Pr). (5.2-3?)
Наконец, рассмотрим область ядра, принимая в ядре коэффициенты
турбулентного переноса (e/t и гт=ес) постоянными:
9cneh^= Чн = — Яс (1—~Т*~)- (5.2.36)
Здесь qc — эффективное значение потока тепла в ядре. Из рис. 5.1
видно, что qc>qw за счет медленного убывания цк в пристеночном слое,
так что эту величину можно без существенной ошибки считать
постоянной в турбулентном ядре.
В результате интегрирования получим:
Т — тг 1
■РгЛ(х) ^' (5-?'37)
где Rf=Ufd/ec [см. (3.3.22)] и Ргс=ес/8/1 относятся к ядру потока.
Подставив выражение для дефекта скорости из табл. 3.3 в (5.2.37),
получим для ядра
L=zIc = PrcJc_ Uc~U . (5.2.38)
4v
Каждый из результатов (5.2.20), (5.2.35), (5.2.38) обнаруживает
своего рода подобие для частей профилей скорости и температуры.
Полного подобия можно достичь (для гладких стенок) только тогда, когда
выполняются следующие условия:
Рг=Рг<;
fc=MPr)-Pr,fl=0; (5.2.39)
Ргс-£- = 1.
Тогда оба профиля всюду связаны соотношением
Т::~Г -Рг —. (5.2.40)
Отсюда следует закон переноса
pc//(^-n=Pr^ (5>2>41)
или
St
1 Pr Pr,
где St и Cf определены по соответствующим значениям U и Т для
любого значения у. Это обобщение аналогии Рейнольдса было получено
ранее в виде уравнений (5.1.15); данные выкладки более четко
раскрывают смысл условий подобия.
Второе из условий (5.2.39) выполняется при Рг=Рг*=1. Тогда обе
области, где молекулярные эффекты существенны, совпадают и /т(1) =


240
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
=В связывает «постоянные скольжения» распределения скоростей и
температур. В более общем случае, если принять /г~ВРг, что
представляется обоснованным, так как значительная доля «скольжения»
происходит в слое с линейным распределением скорости (5.2.30), мы
имеем в качестве второго из условий (5.2.39)
fc^B(Pr-Prt),
что выполняется при Рг=Рг^. Следовательно, можно ожидать, что
получено близкое приближение к подобию пристеночного слоя [как
в уравнении (5.2.40)] для течений газа, в котором Рг~0,7 и Рг^
~ (0,9—0,7) незначительно отличаются между собой и от единицы.
Для больших и умеренных значений числа Прандтля вклад ядра
течения в изменение температуры не будет существенным и подобие
в одном только пристеночном слое уже будет соответствовать формуле
(5.3.41). Однако для газов при Рг^—1 и qclqw>\ третье условие (5.2.39)
фактически не должно сильно нарушаться.
Этот анализ позволяет записать зависимость (5.2.41) в виде
t-=ts-' (5-2-42а)
2 cf
где Рга — среднее значение, которое оценивается по формуле
^Рг 5242б)
Весовой коэффициент п=(2^-4) учитывает, что суммарное изменение
средних характеристик разделяется между вязкой и турбулентной
областями. Для газов (Рг=0,7) получаем Рга=0,8 и 0,85 при п=2 и 4.
Зависимость (5.2.42) дает достаточно точные результаты (с погрешностью
10% для 0,5<Рг<5), и поэтому является приемлемой для всех газов
и также для некоторых жидкостей (см. табл. А.2 приложения).
5.2.4. МАССОПЕРЕНОС
Многие результаты, приведенные выше, можно преобразовать
применительно к массопереносу, если использовать аналогии табл. 3.1:
qh~* N — поток массы;
рН = рсрТ — С — концентрация массы;
K-+D — коэффициент диффузии;
Рг —* Sc — число Шмидта.
Тогда уравнения (5.2.5), (5.2.6), (5.2.8) дают:
1) число Шервуда эквивалентно числу Нуссельта:
Sh = §J=/ (Re* A, sc); (5.2.44a)
2) диффузионное число Спгантона:
3) для больших чисел Шмидта:
Sh=PecStc=f(Pec), (5.2.45)
где Pec=Uad/D — диффузионный аналог числа Пекле.
(5.2.43)


§ 5.2]
Анализ размерностей и подобие
241
Аналогичные системы параметров связаны не только этими
уравнениями, но и одинаковыми функциональными соотношениями,-
которые применимы к теплопереносу, конечно, при условии, что переносимые
субстанции движутся вместе с жидкостью, как и тепло, и не влияют
существенно на движение жидкости.
Обращаясь к более общей зависимости (5.2.3), мы находим, что
полная аналогия не достигается. Используя преобразования (5.2.43),
можно параметры (5.2.2) привести к аналогам массопереноса, за
исключением параметра ср=(дН/дТ)р, который не имеет аналога в массооб-
мене. Тогда зависимость, аналогичная (5.2.3), записывается в
безразмерном виде как
При этом нет аналога числу Эккерта, если мы исключаем наличие
источников переносимой субстанции в потоке. Из этого следует, что нет
явления, непосредственно аналогичного восстановлению температуры,
и что аналогия между тепло- и массообменом не распространяется на
течения с большими скоростями, при которых это явление существенно.
Другая трудность заключается в том, что в уравнение (5.2.46)
входит параметр CwjCf, представляющий собой отношение концентрации
на стенке к концентрации в самой жидкости. Вряд ли можно считать,
что зависимость свойств жидкости от концентрации С-\-с аналогична
зависимости от температуры 7 + 9. Нельзя предположить, что
коэффициент «температурной нагрузки» в законе теплопереноса будет иметь
точный аналог в соответствующем законе массопереноса. Тогда следует
вывод, что аналогия между тепло- и массопереиосом не может выходить
за рамки результатов (5.2.44), (5.2.45).
Переходя к рассмотрению изменения концентрации при движении
в трубе, из уравнения (5.2.24) получаем:
С;;7С =^М-, —, —, ScV (5.2.47)
Здесь снова исключен параметр, учитывающий диссипацию. Опять-
таки применены функции, используемые для описания распределения
температур; например, функции Лт(5с) и fT(k+, Sc) из (5.2.34)
появятся в зависимостях для распределения концентрации.
Требования подобия, аналогичные (5.2.39), выполняются реже, чем
сами условия теплопереноса (5.2.39). Как следствие этого, менее
вероятно, что закон подобия
bm c =Sc— (5.2.48)
Nw/ttf uf
и модифицированная аналогия Рейнольдса
Stc __ 1 __ 1
1 Sc Sc/
— cf
(5.2.49)
будут эффективными аппроксимациями. Мы отмечали выше, что
Sc^Pr*, исключая случай, когда Sc иРг существенно различаются.
Действительные трудности связаны с числом Шмидта, которое зависит от
отношения молекулярных весов субстанций в смеси. Например, рассмо-
16—56


2V2
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
трим воздух и водород; хотя Рг~0,7 для обоих газов при комнатной
температуре, однако Sc^0,25, когда водород диффундирует через
воздух.
Имеются важные случаи диффузии в воздухе, для которых Sc имеет
значения, близкие к Sc*=0,7-г-0,9 для пристеночных слоев газа:
водяной пар (Sc~0,6), двуокись углерода (1,0) кислород (0,8) и
метан (0,8), Для таких случаев зависимость (5.2.49) будет эффективной
при среднем значении Sca, вычисленном по уравнениям типа (5.2.42).
5.3. СКОРОСТИ ПЕРЕНОСА В ТРУБЕ
5.3.1. ПЛАН ЗАДАЧИ
Соображения подобия и аналогии позволили установить связи
между коэффициентами, определяющими скорости переноса у гладкой
стенки (St, Stc, Nu и Sh), и коэффициентом трения Cf при условии, что
профили скорости и транспортируемой субстанции не имеют существенных
различий. Было показано, что такая ситуация имеет место при Pr, Sc—-1.
По-прежнему' уделяя внимание в основном полностью развитому
течению в круглой трубе, мы расширим наш анализ, включая сначала
случай, когда нарушается подобие профилей, соответствующий Pr, Sc<C
<1 и >1, а затем рассматривая эффекты высоких или неравномерных
температурных перепадов между стенкой и жидкостью. Влияние
пристеночной шероховатости будет рассматриваться в п. 5.4.1.
eh+K
Роль чисел Прандтля или Шмидта
Рисунок 5.4 иллюстрирует рассматриваемую задачу. На рис. 5.4,a
приведены изменения эффективных коэффициентов переноса
количества движения (em+v) и энтальпии (ен + к), полученные по изменению
коэффициента турбулентной вязкости (на рис. 3.3,6). Рассматриваются
молекулярные числа Прандтля Рг=0,1, 1 и 10; во всех случаях значение
1урбулентного числа Прандтля принято равным Рг*=0,7. Профили двух
коэффициентов переноса не имеют существенных различий при Рг=1,
равно как и при Рг>>1, за исключением области течения, очень
близкой к стенке, где
эффективное число Прандтля Рге^
~Рг>1. При Рг<1 эти
профили различаются уже
сильнее, причем Рге<С1 во
всем вязком слое.
Последствия этих
изменений коэффициентов пере-
Рис. 5.4. Роль числа Прандтля
в пристеночном турбулентном
течении.
а — изменение коэффициентов
переноса количества движения (для всех
значений Рг в предположении, что
характеристики не зависят от
температуры) и энтальпии в вязком слое для
Prf=0,7; б — профили температуры
вдоль радиуса трубы, соответствующие
рис. 5.4,а, для Re^c^lO4.
10 20 30 W 50
У+=У/Уг


§ 5.3]
Скорости переноса в трубе
243
носа проявляются в распределении температур, показанном на
рис. 5.4,6. Для Рг= 1 средняя температура изменяется почти так же,
как средняя скорость (см. табл. 4.3). При Рг^>1 возрастание
температуры происходит почти всецело в вязком слое; следовательно, влияние
8/i в области течения с полностью развитой турбулентностью менее
существенно, перенос тепла контролируется изменением коэффициента
турбулентного переноса вблизи стенки. Таким образом, результаты
расчета при Рг^>1 в значительной степени определяются выбором из
формул для коэффициента турбулентной вязкости (4.1.10) — (4.1.47).
При Pr<Cl возрастание температуры распределяется по всему
поперечному сечению. Таким образом, для самых малых чисел Прандтля
эффект турбулентного переноса будет несущественным, если исключить
его влияние на распределение скорости и, следовательно, на изменение
qh поперек потока. При несколько больших числах Прандтля
увеличение влияния турбулентной диффузии вызывает отклонение от модели
чисто молекулярного переноса.
Преимущественное влияние молекулярной диффузии, когда Рг<С1
усложняет расчет скорости переноса и интерпретацию экспериментов,
особенно для ламинарных течений. При рассмотрении
плоскопараллельных течений обычно используются законы сохранения вида (3.3.5),
(3.3.6), в которых исключено слагаемое, учитывающее молекулярный
перенос в продольном потоке Jx, определяемом первым из уравнений
(3.3.2). Но когда молекулярная диффузия значительна, то это
слагаемое может быть существенным по сравнению с конвекцией среднего
течения.
В табл. 5.2 указан диапазон значений чисел Прандтля и Шмидта
применительно к некоторым классам жидкостей; в скобки заключено
нетипичное экстремальное значение.
Таблица 5.2
Диапазон значений молекулярных чисел Прандтля и Шмидта
Класс жидкостей
Газы
Обычные жидкости (вода, жидкий водород,
хладоагенты, спирты)
Вязкие жидкости (масла, керосин, жидкий
кислород, глицерин, растворы, гидравлические
жидкости)
Жидкие металлы
Рг
(У, 65—1,1
0,9—50
20—105
0,003—0,03
Sc
(0,004)0,1—4
200—4000
Как видно, газы и обычные жидкости имеют умеренные значения
чисел Прандтля, приемлемые для использования аналогии Рейнольдса
в расчетах теплопереноса; для расчета массообмена этому условию
соответствуют только газы. Вязким жидкостям, таким, как масла,
соответствуют Рг^>1; обычным жидкостям соответствуют Sc^>l. Только
жидким металлам свойственны значения Pr«Cl, хотя в некоторых
случаях массообмен газов характеризуется значениями Sc<Cl. В итоге,
использование законов переноса правомерно в области l(h-3<Pr, Sc<
<105, за возможным исключением небольшой зоны з окрестности Рг,
Sc=0,l.
16*


244
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
Аналитические модели
Так как для расчета теплообмена предложено большое количество
моделей и наиболее совершенные из них весьма сложны, то
рассматривать всю историю этой проблемы не представляется возможным. Мы
лишь дадим обзор используемых аналитических моделей и затем
исследуем несколько простейших и наиболее эффективных из них.
а) Прандтль и независимо от него Тэйлор усовершенствовали
метод Рейнольдса, выделяя области молекулярной диффузии около стенки
(с одинаковой толщиной и для скорости, и для техмпературы) и
полностью турбулентную внешнюю область, где аналогия Рейнольдса
правомерна (при Рг*=1). Исходя из этого Прандтль получил зависимость:
1
St=- - 2- - ^ . (5.3.1)
1+п(Рг- !)(—*/)
Хотя используемые предположения явно не отвечают
действительности, эта модель служит примером подхода, который можно
значительно усовершенствовать, и дает основу для аппроксимации
эмпирических данных. Такая модель подробнее будет рассмотрена ниже.
б) Карман ввел промежуточный (буферный) слой, который
описывается уравнением (4.1.11) и в котором существенны как
молекулярные, так и турбулентные эффекты. Он установил одни и те же границы
для ряда слоев скоростных и температурных полей и принял Рг*=1
во внешнем турбулентном течении. Его зависимость имеет вид
1
St= ГГ—Ш — . (5.3.2)
1 + 5 \-2~Cfj [Рг - 1 + In {1 + 5 (Рг - 1)/6}]
в) Мартинелли использовал распределение Кармана для
коэффициента турбулентной вязкости в вязком слое, однако принял более
правдоподобное условие для турбулентной области, предположив, что
Рг(Ф\ и поток qh изменяется (как и напряжение сдвига) по
линейному закону.
г) Лион усовершенствовал модель Мартинелли, учитывая
нелинейность распределения fa (см. рис. 5.1), но оставляя коэффициенты
турбулентного переноса по Карману. Ниже мы рассмотрим модель Лиона
подробнее и установим, что следует из нее в предельном случае Pr<Cl.
д) Рэнни использовал предположенное им непрерывное изменение
коэффициента переноса (4.1.13); это позволило учесть, что для
областей, в которых молекулярная диффузия существенна, различны
зависимости для количества движения и тепла. Однако для внешней
области он не ввел таких уточнений, принимая Рг/=1 и <7/i=const. Его
анализ, как и результат Мартинелли, приводит к формуле, в общем
аналогичной формуле Кармана (5.3.2), но более сложной.
е) Дейсслер проанализировал недостатки предыдущих моделей и
дал более правдоподобную зависимость для коэффициента переноса
(4.1.15) у стенки и соответствующую зависимость для fa на основании
уравнения (5.1.26). Тем не менее он принял em=Kufy и Рг^=1 во всей
полностью турбулентной области, что снижает точность его расчетов
при Pr<Cl. Ниже будет рассмотрен предельный случай Рг>1, для ко-


§ 5.3]
Скорости переноса в трубе
245
торого можно получить явную формулу (в отличие от общего случая,
где необходимо численное интегрирование).
ж) Розеноу и Коэн рассчитали Prj=/(Pr) и использовали это
в формуле Мартинелли для получения более правдоподобных
результатов при Рг<С1.
Здесь указаны только некоторые из многих исследований тепло-
переноса для пристеночной турбулентности, которые, однако,
характеризуют основное направление анализа. В совокупности рассмотренные
результаты дают достаточно правдоподобную картину тепло- и массо-
обмена во всем диапазоне условий, приведенных в табл. 5.2, за
исключением области в окрестности Pr, Sc=0,l, которая малозначима для
практических приложений.
5.3.2. ФОРМУЛЫ ПЕРЕНОСА ПРИ ОБТЕКАНИИ ГЛАДКИХ СТЕНОК
Приведем теперь вывод некоторых простых формул для
умеренных, малых и больших чисел Прандтля. При этом будут рассмотрены
методы, являющиеся результатом более сложного анализа, и указаны
модели, наилучшим образом отвечающие эмпирическим данным при
всех трех режимах. Шероховатые стенки будут рассмотрены в п. 5.4.1.
Умеренные числа Прандтля. Теория Прандтля — Тэйлора
Основная идея, заложенная в более детальные модели Кармана,
Мартинелли и многих других, заключается в суммировании
термических сопротивлений различных областей, через которые проходит
поток тепла. В общем термическое сопротивление равно Rn=(T\—T2)lfa.
Для двухслойной модели Прандтля и Тэйлора полное сопротивление
представляет собой сумму термических сопротивлений
R=Rm + Rt (5.3.3а)
областей молекулярного и турбулентного переносов. Полагая, что fa=
=qw для обоих процессов переноса, для чего необходимо, чтобы
толщина пристеночного слоя была мала по сравнению с радиусом трубы
или толщиной пограничного слоя, и что анализ соответствует большим
числам Рейнольдса, перепишем формулу для суммарного
сопротивления в виде
T"-Ti = 7-T7'' + 7W/ , (5.3.36)
Яш Qw tfw
где Ts=T(yh)—температура на внешней границе «подслоя», где
доминирует молекулярная теплопроводность.
Обобщим исходную модель, полагая:
1) Уну^Ут для границ теплового и динамического «подслоев»;
2) Рг^ 1 в турбулентной области.
Следовательно, получаемые результаты будут давать общее
представление о влиянии этих факторов на закон переноса. Для слоев
молекулярного переноса будем иметь
(5.3.4а)
(5.3.46)
qw Ут срЧк
Яи> =
где Us=:U(ym). Тогда
Rm =
k{Tw-Ts)
Ун
г т
1 w l s
n.Us
■ И •са,= :—-
Ут
.рг Ун Us


246
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
Для турбулентной области используем обобщенную аналогию Рей-
нольдса (5.1.15), пренебрегая тем фактом, что Us и Ts не берутся
в одной и той же точке:
^c.){Ts— Tf)
kwWf-Us)
= Pr, (5.3.5a)
отсюда
7\ — Tf Ut — U,
Rt = -L^- = Prt^—J-. (5.3.56)
qw Cptw
Суммируя сопротивления, согласно уравнениям (5.3.3) получаем:
1
рг Ж — рт.
hnVf st uf
Ут t
(5.3.6)
Здесь вся правая часть может рассматриваться как среднее число
Прандтля, аналогичное определяемому (5.2.42).
Обращаясь к простой модели Прандтля—Тэйлора, примем Рг, — 1 и
Уп = У:1> введем ut U[ = i-y cf и получим:
-[Т f
2 cf
St= -, W2. (5.3.7)
\+(Us/af)(Pr-\)^cf
Единственным параметром, который можно изменять для
аппроксимации реальных пристеночных слоев, является Us/uf = ys/y! — y*.
Наиболее вероятный выбор для него у+=11, т. е. точка согласования слоев
в (4.1.10). Однако областью применения таких законов часто является
0,7<Рг<20, что соответствует многим обычным жидкостям и газам.
Чтобы приспособить данный закон для Рг>1, когда /c<v и уи<Ут,
целесообразно принять меньшее значение У+. Прандтль предложил
^ = 5,6, (5.3.8)
а Хоффман позже ввел обобщение
у+ = 7,5РГ1/\ (5.3.9)
Часто принимают значение у+ = 5, как в уравнениях (5.3.1),
(5.3.2), с неубедительным обоснованием, что это значение определяет
номинальную границу подслоя согласно уравнениям (3.1.2) и
(4.1.11).
Мы уже отмечали некоторые не соответствующие действительности
особенности модели Прандтля—Тэйлора. Для течений в канале
существует еще и другая причина, обусловливающая расхождение между
теоретическими результатами, полученными на основании этой модели,
и экспериментальными данными. Эти данные обычно выражаются через
среднюю скорость Ua и среднемассовую температуру 7\, в то время как


§ 5.3]
Скорости переноса в трубе
247
теоретическая модель связывает скорость и температуру в одной и той
же точке. Из уравнений (5.1.7), (5.1.8) следует, что Ть>Та,
следовательно,
St(7,b)<St(7,a) и Nu(Tb)<Nu(Ta),
как в случае ламинарного течения (5.1.6). Эта трудность не возникает
ни для пограничных слоев, для которых внешнее течение дает
соответствующие характерные значения, ни при условии Рг^> 1, когда Ta~Tbi
как следует из рис. 5.4.
Предыдущие замечания согласуются с эмпирическим законом теп-
лопереноса, предложенным Петуховым и Поповым для течения в трубе:
~2~cf
sx=w^t^rj- 1,07+12)7(Рг2/з_1)^С/у/2 ' <5-ЗЛ0)
где —cf = zw!pU2a. Зависимость (5.3.10) обеспечивает точность в
пределах нескольких процентов при 0,7<Рг<50. Таким образом, модель
Прандтля—Тэйлора, хотя она и не учитывает детали процесса,
является полезной основой для аппроксимации эмпирических результатов.
Общие результаты для течения в трубе
Нетрудно понять, почему для течения жидкости в канале обычно
используется среднемассовая температура. Тепловой поток в исходном
стационарном радиально симметричном течении между двумя
сечениями трубы Х\ и х2 связан с распределениями температуры в этих
сечениях уравнением
х R
Q = 2*К ( qw (х) dx = 2ъ j pcpU (Г, -T1)rdr = mcp [Tb (xt) - Г, (а-,)].
Xi 6
(5.3.11а)
Свойства жидкости приняты постоянными; m=pV=pUaA — массовый
расход и
R
TL(x)=^^U(r)T{r, x)rdr
6
есть массовая температура, которая достигается при полном смешении
жидкости по всему сечению, поэтому она иногда называется
температурой полного перемешивания. Массовый расход и суммарный тепловой
поток связаны простой зависимостью
д7,;= Д-. (5.3.116)
срт
Полученные результаты применимы к произвольному
распределению qw(x). Для частного случая постоянного подвода тепла и
линейного распределения температуры
дх х2 — х, v '


248 Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос [Гл. 5
г
для всего потока и
А Т, —7\ ( \ \ дТ
qw=?CpuaT:--1f~zr^=?cpva[^-djw^
где Cw — смоченный периметр трубы. Для этого случая поток тепла
можно измерить по изменению температуры между двумя любыми
точками с одинаковой радиальной координатой; однако при другом
законе подвода тепла, например при 7V=const, этим способом
воспользоваться нельзя.
Рассмотрим теперь взаимосвязанные поля скорости,
коэффициентов диффузии, температуры и потока тепла, которые должны быть
определены или рассчитаны при точном анализе теплообмена. Именно
на этом основаны, например, модели Рейхардта, Лиона и Дейсслера.
При расчете исходят из разности температур
R
'rU(Tw-T)dr
Tw-Tt = »—R , (5.3.13)
rUdr
о
где используется определение среднемассовой температуры. Очевидно,
необходимо найти изменения температуры и скорости. Первое
получается из уравнения
в виде
Ср(Г.-Т) = /Ув-Я = |п^1г. (5.3.14)
Этот интеграл включает изменение коэффициента переноса,
которое принимается известным, и потока тепла, которое можно определить
из формулы
_ц,™=_!_^, (5.3Л5а>
пренебрегая молекулярной диффузией в продольном направлении и
диссипативными и диффузионными членами в (5.1.23). Тогда
г
-k=J_ [r'U~drr. (5.3.156)
р г J ох
о
Здесь снова появляется распределение скоростей, как и в (5.3.13).
Для частного случая постоянного подвода тепла, когда величина
дН/дх постоянная, задача полностью определена. По известному
распределению гш и Рг* (которые определяют U и гн) вдоль радиуса
можно с помощью обычного интегрирования найти:
1) распределения по радиусу qn и Tw—Т\
2) зависимость Tw—Тъ от параметров, определяющих течение,
т. е. закон теплообмена.


§ 3.3J
Скорости переноса в трубе
249
Малые числа Приндтля. Приближение режима ползущего
течения
Чтобы проиллюстрировать представленный выше метод, рассмотрим
простой случай постоянного подвода тепла в «ползущий поток» при
постоянном коэффициенте переноса:
дН
^-const;
U=UC = const;
к ~\~sh^ K=z COnst.
Эти зависимости обеспечивают удовлетворительную
аппроксимацию для турбулентного течения (где U изменяется слабо) жидкости
с Рг<1. Из уравнений (5.3.13)—<(5.3.15) получим
1 гг дН
д}=—9исгж;
Tw-T = ±P*±(R*-r*)^; (5.3.16а)
Используя зависимость для потока тепла на стенке (5.3.12) и
принимая Uc=Ua, получаем:
Nu= hlTqwd T, =8. (5.3.166)
Каким будет отклонение от этого простого результата, если принять
более реальное распределение скорости и коэффициентов переноса? Так
как профиль скорости зависит от числа Рейнольдса, то более точный
закон переноса должен включить число Рейнольдса в качестве
параметра. Однако из (5.1.6) следует, что Nu=48/11~4,4 для
экстремального случая ламинарного течения с параболическим профилем
скорости. Следовательно, введение турбулентного профиля скорости
должно лишь ненамного уменьшить значение числа Нуссельта по сравнению
с его значением, равным 8; кроме того, эффект изменений числа
Рейнольдса будет слабым.
Более существенное влияние числа Рейнольдса на отношение ел/я
отмечалось при выводе уравнения (5.2.8). Следует ожидать, что для
ядра гп—'Ufd, как и в табл. 3.3. Тогда
_^L^^Lpe^Re-1/mPe, (5.3.17)
к иа
где т=8-ь-11. Такой слабой зависимостью от числа Рейнольдса часто
пренебрегают и принимают просто Nu=/(Pe), как в уравнении (5.2.8).
При наличии более точных данных можно эту зависимость уточнить.
Какова бы ни была точная форма отклонений от предельного
результата для еь/я-С1, их эффектом будет увеличение интенсивности тепло-
переноса.
Эти соображения подтверждаются полуэмпирическими формулами,
которые предложены:
1) Розеноу к Коэном в виде
Nu=6,7 + 0,0041 ехр (41,8 Рг) Ре0'793; (5.3.18)


250 Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос [Гл. 5
2) Двайером в виде
Nu —7,0 + 0,025
-1.4
Ре—l,82Red(-^-l "" I ' (5.3.19)
V /макс J
для Ре>400. Если пренебречь вторым членом в квадратных скобках,
то получим широко используемую зависимость, предложенную ранее
Лионом.
Существенное различие в результатах для теплообмена при Pr<Cl
и, следовательно, в формулах, используемых для этого случая, можно
объяснить следующим:
1) окислением стенок труб;
2) несмачиваемостью стенок труб некоторыми жидкими
металлами, особенно в ранних экспериментах, когда это явление
недооценивалось;
3) отсутствием учета молекулярного переноса в направлении
течения;
4) неравномерностью распределения потока тепла вдоль стенки;
это будет рассмотрено в п. 5.3.3.
Большие числа Прандтля. Предельная зависимость Дейсслера
Дейсслер указал, что закон теплопереноса для жидкости с
высокими числами Прандтля можно найти, если использовать тот факт, что
повышение температуры имеет место непосредственно у стенки, где
поток ()п по существу постоянен и, что даже важнее, ел можно
определить просто. Используя определение пристеночного слоя, данное либо
Дейсслером (4.1.15), либо Хама (4.1.16), либо Ван Дристом (4.1.17),
получаем для малых г/+
^-~п*у+\ (5.3.20)
Для такого расчета необходимо использовать только уравнение
(5.3.14); постоянство фг в рассматриваемой области позволяет не
использовать зависимость (5.3.15); тот факт, что Т^-Тъ на малом
расстоянии от стенки, делает зависимость (5.3.13) излишней. Тогда
+
УЪ
Р{ w ) P J /c + (v/Pr,)/iV* '
о
где у* соответствует той точке области, где Т~ТЬ. Так как значение
интеграла практически не изменяется при увеличении верхнего предела
у+^>у^у используем асимптотический результат
оо
с_(Гю—Г,)^-^- \ 4У" (5.3.20а)
о
Определенный интеграл имеет табличную форму и равен я/(|/2 а)3
Следовательно,
S'-^-r,,-*^) (Pr'Pr^H^c;'*Рг-"\ (5.3.21а)


§ 5.3]
Скорости переноса в трубе
251
Этот результат лишь слабо зависит от Рг*. Приняв Рг*=0,9 и
положив согласно Дейсслеру я=0,124, получим:
St = 0,077cJ/2Pr3/4. (5.3.216)
Подставив формулу Блазиуса для трения (4.2.22) в (5.3.21),
получим:
St=0,022Re-1/8Pr-3/4 для Nu=0,022 Re^Pr1/4. (5.3.22)
Эти зависимости хорошо согласуются с результатами экспериментов
при Рг>200. Так как показатель степени при числе Прандтля зависит
от формы функции гт—ут, выбранной для области вблизи стенки, то
это в некоторой степени подтверждает принятую зависимость, а
именно, т=4.
Законы переноса в таком общем виде применимы к широкому
диапазону чисел Прандтля и для различной конфигурации границ.
Применительно к турбулентным течениям в гладких трубах имеем:
Nu — 0,023Re°/8Pr™ (5.3.23)
где свойства жидкости определены по среднемассовой температуре и
т=0,4, когда жидкость нагревается (Tw>Tb); т=0,3, когда жидкость
охлаждается (Tw<Tt).
Эта зависимость имеет точность в пределах 10% при 0,5<Рг<120
и 2000<Red<107. Предложены и некоторые модификации:
1) Диттус и Боелтер принимали различные значения постоянных
для нагрева и охлаждения (0,0243 и 0,0265);
2) Колберн принимал т=1/3 и вычислял характеристики переноса
при средней определяющей температуре;
3) Зидер и Тейт принимали т=1/3 и вычисляли характеристики
при среднемассовой температуре, за исключением коэффициента
^У,М, (5.3.24)
который вводится в правую часть формулы для учета свойств
жидкостей, таких как масла, у которых вязкость существенно изменяется
с температурой;
4) Гоффман предлагал для нагрева несколько другие значения
постоянных: 0,024 и т=0,37.
На рис. 5.5 приведены различные формулы для теплопереноса
в виде зависимости параметра 2St/c/ (величину, обратную этому
параметру, иногда называют коэффициентом аналогии Рейнольдса) от
числа Прандтля (или Шмидта) для фиксированного значения числа
Рейнольдса Red=104. Эта зависимость в основном определяется тремя
предельными результатами, показанными штриховыми линиями: простой
аналогией Рейнольдса (3.4.30), результатом для течения вытеснения
(5.3.16) при Pr, Sc<Cl и результатом Дейсслера (5.3.22) при Рг и
Sc^>l. Две полуэмпирические формулы—(5.3.18) для Pr, Sc<Cl и
более общее уравнение (5.3.10)—показывают, насколько измеренные
величины отклоняются от трех предельных результатов. Как и
ожидалось, имеется некоторая неопределенность в окрестности Pr, Sc=0,l;
к счастью, эта область почти не представляет практического интереса.


252 Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос [Гл. 5
- 2 St/cf
0,01
1000
Но даже и здесь можно оценить
параметр 2St/c/ с некоторой
разумной точностью, например 20%.
Следует помнить, что эти
результаты применимы только лишь для
гидравлических гладких труб.
На рис. 5.5 представлен
также простой степенной закон
(5.2.23) при т = 0,35. Из
графика ясно видно, как этот закон
способен охватить различные
режимы с приемлемой степенью
точности. Также ясно, почему
имеется колебание значений
констант, так как уточнение в одной
области неизбежно ведет к
ухудшению в другой. Тем не менее
один и тот же степенной закон
все же позволяет определить
изменения характеристик
переноса (в пределах, скажем, 50%)
во всей области 0,001<Pr, Sc<
<Ю00, по крайней мере для
данного числа Рейнольдса.
Поучительно проследить
влияние возрастания числа
Рейнольдса на этот график. Правая часть изменяется незначительно;
поскольку
St/c/^Re1/8 для результата Дейсслера (5.3.22); St/c/—Re1/20 для
степенного закона (5.2.23), то кривые немного смещаются вправо.
Однако область, где Рг<1, изменяется существенно, так как St/c/~
'-'Re-3/4 для результата (5.3.16).
Следовательно, разброс в окрестности Рг=0,1 становится более
ощутимым, а законы для Pr<Cl отклоняются от закона для ползущих
потоков в большей мере и становятся менее определенными.
Рис. 5.5. Обобщение данных об изменении
характеристик теплопереноса в зависимости
от числа Прандтля для течения в трубе
при Red = 104. Результаты также применимы
к массопереносу в виде 2Stc/c/=/(Sc), где
Sc — молекулярное число Шмидта.
/ — аппроксимация режима для ползущего
течения; 2 — результат Дейсслера; 3 — степенной
закон; 4 — простая аналогия Рейнольдса; сплошная
линия — полуэмпирические результаты
ограниченного применения.
5.3.3. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПЕРЕПАДА
Основная роль температурного перепада между стенкой и
жидкостью учитывается в законе теплопереноса, в котором поток тепла
нормируется по локальному перепаду температур. Здесь мы
рассмотрим три ситуации, когда это приводит к неадекватным результатам.
Обсудим следующие вопросы:
а) методы учета зависимости свойств жидкости от температуры;
б) роль эффектов архимедовых сил;
в) эффекты изменения потока тепла и перепада температур вдоль
трубы, в частности случай постоянной температуры стенки.
Первые две ситуации будут важными только тогда, когда
температурный перепад достаточно велик; третья в общем не зависит от
величины локального перепада. Для каждой ситуации существует свой
аналог массопереноса, однако прямое преобразование результатов
возможно лишь для третьей.


§5.3]
Скорости переноса в трубе
253
Зависимость свойств жидкости от температуры
Эту проблему можно решить следующими способами:
1. В закон переноса вводят «коэффициент нагрузки», например,
в формах {TbjTw)m и ([ib/iiw)my использованных в (2.4.2) и (5.3.24).
2. Вычисляют некоторые из свойств жидкости при характерной
температуре TR. Наиболее часто используемая величина — средняя
характерная температура (арифметическое среднее) Tm= — (Tb-\-Tw).
3. Выполняют формальный расчет переноса, основанный на
уравнениях (5.3.13) — (5.3.15), с учетом в подынтегральных выражениях
соответствующей зависимости свойств жидкости от температуры.
Результаты этих расчетов можно выражать через коэффициенты нагрузки
или характерные температуры.
Не следует ожидать, что корректирующие зависимости будут иметь
одну и ту же форму для газов и жидкостей, а также для жидкостей
в одинаковой фазе, но с различными числами Прандтля. Для газов
зависимость свойств от температуры может быть аппроксимирована
выражениями
т у
Р
т
(5.3.25)
При этом давление принимается постоянным поперек
пристеночного слоя. Для жидкостей более отвечают действительности зависимости
(5.3.26)
Y~) при п = 1 -г- 4
р = £ = const.
Наконец, свойство, изменение которого существенно, будет зависеть
от числа Прандтля и переносимой субстанции (количества движения
или тепла).
Эти положения
иллюстрирует рис. 5.6, на
котором приведены некоторые
температуры для жидкостей,
определенные Дейсслером на
основании (5.3.26).
Заметим, что различие между
нагревом и охлаждением
довольно незначительно и что
характерные температуры
для расчета трения и тепло-
переноса существенно
отличаются.
Дейсслер также нашел,
что характерная температура
TR=0ATw+0fiTb
1
0,5
п
т„-ть
_ т*~тъ
- Х-^£ I
и,ь
0
-П К
. Tr-Ъ
\ —11 iL™
Ч\ Tw~Tb
\\
\\
/Хч>-.^
, ■ К ,
10
а)
100
1000
10
Ю
100 1000
Рис. 5.6. Характерные температуры для
вычисления свойств жидкости в турбулентном
пристеночном слое (по расчетам Дейсслера).
а — значения для использования в законах теплоперено-
са; б — значения для использования в законах трения:
1 — нагрев жидкости; 2 — охлаждение жидкости.
(5.3.27)
приемлема для газовых потоков при расчете и теплопереноса, и трения.
Однако при высоких скоростях газов распределение температуры
вблизи стенки зависит от диссипации и диффузии, как было объяснено


254
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
в разделе 5.2.2. Для турбулентных пограничных слоев Эккерт
предложил
TR = ^(Tw + Tf) + 0,22r^-, (5.3.28)
где Tf и Uf — невозмущенные значения; Tw — температура стенки; г —
коэффициент восстановления. Коэффициенты теплоотдачи
определяются через величину Tw—Тг, как в уравнениях (5.2.18).
Комбинированная (или смешанная) конвекция
Введение дополнительного параметра, учитывающего архимедовы
силы, в перечень (5.2.2) добавляет еще один безразмерный комплекс
в законе (5.2.3). Архимедовы силы обычно характеризуют величиной
g$ (произведение гравитационного ускорения на коэффициент
объемного расширения), равной —("if ^ .Этот параметр связан с другими
р UT!p
характеризующими течения в трубе параметрами с помощью
безразмерных комплексов — чисел Грасгофа и Рэлея:
Gr4=*^. (5.3.29)
В задачах свободной конвекции эти комплексы играют роль чисел
Ре и Re. В комбинированной конвекции они появляются в
модифицированном виде, учитывающем вынужденную конвекцию.
Учет архимедовых сил с помощью этих величин подобен введению
рассмотренных выше коэффициентов, зависящих от температуры, и
с ростом температурного перепада эти величины возрастают. Таким
образом, эффекты изменения плотности обычно сочетаются с эффектами
изменения других характеристик жидкости; в определенном смысле это
относится и к ламинарным течениям. Более того, во многих системах,
имеющих практическое значение, архимедозы силы играют важную
роль в областях, в которых течение еще не полностью развито. Здесь
необходимо решить трудную задачу — рассчитать, а затем разделить
такие комбинированные эффекты. Как следствие этого, наше
понимание процессов комбинированной конвекции даже для областей самой
простой геометрии является далеко не полным. Имеется большое число
эмпирических и теоретических результатов, однако они недостаточно
обоснованы. В связи с этим мы ограничимся идентификацией
некоторых определяющих физических процессов.
При течении в горизонтальной трубе наиболее важный эффект
архимедовых сил на турбулентность имеет много общего с эффектом
кривизны канала; изменение веса жидкости за счет силы инерции в
сечении вызывает поперечное течение, аналогичное вторичному течению
типа 2, рассмотренному в п. 4.5.1. Это течение, как и течение,
обусловленное кривизной, будет увеличивать трение и коэффициенты
теплоотдачи.
Роль естественной конвекции при движении потока в вертикальной
трубе более сложна. Распределения скорости и напряжении вблизи
стенки видоизменяются, изменяется и полная движущая сила,
действующая вдоль канала, что приводит либо к увеличению, либо к
уменьшению расхода жидкости в зависимости от направления потока (вверх


§ 5.3]
Скорости переноса в трубе
255
или вниз) и теплопереноса (к или от жидкости). Когда вынужденная
конвекция весьма слабо выражена, может развиться свободная
конвекция с движением жидкости вверх или вниз по каналу в различных
точках поперечного сечения.
В эмпирических законах, описывающих эти процессы, поправка на
эффект архимедовых сил обычно определяется величиной
^ при /н=1 -г-2.
Обычно поправка пренебрежимо мала, если эта величина меньше 0,05,
Неравномерный поток тепла
Хотя случай постоянного потока тепла наиболее легкий для
теоретического анализа, предположение о постоянстве температуры на
стенке лучше соответствует условиям многих экспериментов и практических
приложений. В общем коэффициент теплоотдачи, основанный на
локальном перепаде температур, будет ниже для случая постоянной
температуры стенки но сравнению с постоянным потоком тепла, так как
большие перепады в начальной зоне течения приводят к более высокой
температуре стенки, чем для случая постоянного перепада. Однако,
когда изменение температуры имеет место главным образом у стенки
(Рг>>1), градиент температуры у стенки быстро реагирует на
изменение условий и тогда почти нет различия между результатами для
случаев 7,w=const и </w=const. Когда e^/zc^l для большей части течения,
т. е. когда Re, Pr и Ре малы, запаздывание по градиенту температуры
будет больше и разница между двумя коэффициентами переноса будет
более существенной.
Таблица 5.3
Отношение коэффиш ектогз т тгоотда .и при усл^вгяу, ко. да температура
стенки и поток тепла на стенкэ постоянны, jjj-я турбулентно о те !еш.я
в трубе
Ре
Nur/ Nu,
10J
0,96
10 =
0,95
10*
0,9
103
0,83
102
0,75
10
0,73
В табл. 5.3 приведено отношение коэффициентов теплоотдачи для
постоянных температуры стенки и потока тепла Nut и Nug при
различных числах Ре. Эти результаты основаны на расчетах Себана и Шима-
заки при Rer/= 104--^-106 и Рг = 0,001-М. Заметим, что они лежат между
значениями Nur/Nu,y=l и 5,75/8=0,72; последнее значение
соответствует течению вытеснения с постоянным коэффициентом
теплопроводности. Эти результаты наводят на мысль о еще одном источнике ошибки
в интерпретации измерений теплообмена при Рг<С1.
Как следует из табл. 5.3, для турбулентных потоков (исключая
малые числа Прапдтля) различие в значениях коэффициентов
теплоотдачи фактически несущественно по сравнению с разбросом, вызванным
другими источниками неопределенности. Этот вывод не
распространяется на ламинарные параллельные течения, для которых отношение
Nur/Nug не зависит от числа Рейнольдса, так как профиль скорости и
коэффициент диффузии фиксированы, Однако даже для ламинарных
течений обычно NuT/Nur/>0,8.


256 Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос [Гл. 5
5.4. ТЕЧЕНИЯ С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ
5.4.1. ПЕРЕНОС ПРИ ОБТЕКАНИИ ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Хотя шероховатость оказывает количественно такое же влияние на
тепло- и массоперенос, как и на перенос количества движения (а
именно усиливает его), наше отношение к рассматриваемому изменению
совершенно различное. Обычно стараются как можно больше снизить
трение, а усиление тепло- и массообмена часто оказывается
экономически выгодным. Поэтому необходимо рассмотреть не только
естественную шероховатость (например, появляющуюся из-за растительности
в руслах, шероховатость в размываемых руслах или шероховатость,
обусловленную процессом обработки), но и искусственную, которая
создается для увеличения скорости переноса на отдельных участках
оборудования. Более того, для фундаментального изучения эффектов
шероховатости целесообразно использовать искусственную шероховатость
с заданными характеристиками даже тогда, когда предметом изучения
является естественная шероховатость.
Возможны ситуации, когда имеют место и естественная, и
искусственная шероховатости. Однако на практике это встречается редко.
В теплообменниках каналы обычно достаточно малы, с тем чтобы
обеспечить максимально возможную площадь контакта жидкости и стенки;
поэтому в промышленных теплообменниках числа Рейнольдса обычно
достаточно низки, так что стенки гидравлически гладкие. Однако
старение может сделать поверхность гидравлически шероховатой.
Для интенсификации теплообмена на обтекаемой поверхности
устанавливают выступающие элементы, которые можно разделить на
следующие классы:
1. Ребра, ориентированные параллельно основному течению (ореб-
ренная поверхность). Это усиливает теплообмен за счет большей
площади (с почти равномерным распределением температуры, так как
теплопроводность материала ребер намного выше жидкости), не изменяя
основного характера течения вблизи поверхностей.
2. Нормально расположенные к течению элементы, индуцирующие
отрыв. Площадь контакта в этом случае увеличивается, но их главное
назначение — интенсификация перемешивания жидкости вблизи
поверхностей; особенно высокая интенсивность переноса достигается в весьма
неустойчивых зонах присоединения за выступами.
3. Турбулизаторы в виде изолированных элементов, за которыми
возникают вихри и вторичные течения, усиливающие перемешивание
жидкости у стенки. Они используются для предотвращения отрыва
пограничного слоя от крыльев; при этом устанавливаются небольшие
закрылки под углом к потоку, так что образуются интенсивные концевые
вихри. Они редко используются в теплообменниках, так как создают
«тепловые пятна».
4. Элементы, промежуточные между двумя предыдущими
классами; например, спиральные ребра в кольцевых каналах.
Оребренные поверхности можно рассматривать на основании
методов, разработанных для каналов и пограничных слоев. Мы
акцентируем свое внимание на рассмотрении интенсифицирующих смешение
устройств, действие которых имеет нечто общее с действием
естественной шероховатости.


§ 5.4]
Течения с изменяющимися границами
257
Хотя индуцирующие отрыв элементы и турбулизаторы усиливают
как трение, так и перенос, на' процессы переноса количества движения
и пассивной примеси в слое шероховатости они влияют по-разному.
Зона повторного присоединения может не столь существенно влиять на
сопротивление, однако она имеет большое значение для тепло- и массо-
обмена. Форма фронтальной и кормовой частей выступающих
элементов слабо влияет на массо- и теплообмен, но сказывается существенно
на сопротивлении. Необходимо указать, что угол, под которым
стыкуется стенка с элементами шероховатости, может сильно влиять на полное
термическое сопротивление, но не на трение. Следует сделать вывод,
что законы, описывающие процессы переноса, могут быть существенно
различными.
На практике аналогия между искусственными элементами для
интенсификации смешения и естественной шероховатостью не столь
велика, как можно было бы предполагать. Для достижения оптимальных
характеристик искусственные элементы, интенсифицирующие
смешение, часто должны располагаться достаточно далеко друг от друга (как
будет показано ниже), и течение в слое шероховатости будет
совершенно отличным от течения вблизи плотно упакованных песчаных зерен.
Кроме того, искусственные выступы обычно однотипны и периодически
повторяются для облегчения проектирования и изготовления таких
поверхностей.
Мы упомянули об «оптимальных» характеристиках шероховатой
поверхности. Смысл этого термина изменяется в зависимости от области
применения. В ряде случаев падение давления в тракте
теплообменника не является определяющим; важным является компактность
теплообменника. Здесь конструктор может выбирать узкие, извилистые
каналы. Чаще необходимо учитывать одновременно и мощность требуемого
насоса для перекачки жидкости через аппарат, и размеры аппарата, и
себестоимость. Тогда отношение переносимого тепла к энергии,
необходимой для перекачки теплоносителя
и Qw
является важным показателем качества работы аппарата, а
характеристики шероховатой поверхности можно оценить при помощи
коэффициента эффективности
Fr (St/cf)r №/Cf)r ,- , п
^ = T7^7W^7^7n^)7' ( }
где индексы г и s обозначают коэффициенты, относящиеся к
шероховатым и гладким стенкам при одних и тех же числах Рейнольдса и
Прандтля.
Искусственная шероховатость часто используется в ядерных
реакторах, где учет всех факторов с точки зрения экономии особенно
сложен. Способность материала элементов шероховатости поглощать
нейтроны имеет определенное значение для баланса нейтронов в активной
зоне реактора, т. е. влияет на требуемую степень обогащения ядерного
топлива. Следовательно, оценка роли шероховатости должна выходить
за рамки таких обычных вопросов, как падение давления в каналах
теплообменника.
17—5 6


258
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
Сосредоточенная шероховатость
Рассмотрим сначала шероховатость типов А и В, описанных
в п. 4.3.2; они охватывают большинство видов естественной
шероховатости и шероховатости, образованной близко расположенными
искусственными элементами, включая классическую песчано-зернистую
шероховатость. В первую очередь исследуем предельные случаи очень
больших и очень малых чисел Прандтля или Шмидта.
' При Pr, Sc<Cl скорость переноса почти не зависит от числа Рей-
нольдса и шероховатости; например, Nu = 8 для течения вытеснения и
для гладких стенок. Поэтому
Nur~Nu5 и т] = ^< 1 при Pr, Sc чес 1. (5.4.2)
1е/)/-
Рисунок 4.3,а показывает, что при высоких числах Рейнольдса и
очень шероховатой поверхности значения (cf)T будут существенно
превышать значения {Cf)s для жидкой стенки и тогда возможны и низкие
значения отношения ц, например, 0,1.
При Pr, Sc>>1 термическое сопротивление сосредоточено в слое
шероховатости и следует полагать, что оно зависит от типа
шероховатости. Очевидно, обычно можно считать, что
Nur>Nue при Pr, Sc>l, (5.4.3а)
так как площадь поверхности увеличивается и жидкость вблизи стенки
перемешивается под действием выступов шероховатости. Однако совсем
неясно, компенсирует ли это усилие перемешивания негативные
последствия возрастания трения, поэтому без детальных исследований можно-
только указать, что
ц>\ или т]~1 при Pr, Sc>l. (5.4.36)
Можно рассмотреть процессы переноса при умеренных числах
Прандтля и Шмидта на основе модифицированной модели Прандтля —
Тэйлора. Сохраняя результаты (5.3.5) для сопротивления в полностью
турбулентной области, обобщим уравнение (5.3.6):
irik=ir'[l-uf)+ijrR»- (bAA}
Здесь Rm(Tw—Ts)/qw— термическое сопротивление в области, где
молекулярный перенос существен; Us и Ts — величины на внешней
границе этой области. Обратимся к рассмотрению режима развитой
шероховатости, при котором сопротивление Rm целиком возникает в слое
шероховатости. При этом отсутствует вязкая зона между слоем
шероховатости и внешним полностью развитым турбулентным течением. Для
режима развитой шероховатости £7s/£//<Cl и член, содержащий это
отношение, будет исключен из уравнения (5.4.4).
Задача заключается в том, чтобы придать Rm значение,
характеризующее интенсивность переноса в слое шероховатости. Она должна
зависеть в деталях от характера шероховатости, и представляется
нереальным поиск единственной зависимости, описывающей все слои
шероховатости. Однако общий характер эффекта шероховатости можно
выявить, рассматривая несколько простых моделей переноса.
Простейшая гипотеза заключается в том, что жидкость в пределах расстояния.


§ 5.4J
Течения с изменяющимися границами
259
сравнимого с масштабом песочной шероховатости ks, принимается
неподвижной, т. е. перенос здесь определяется лишь молекулярным
коэффициентом теплопроводности k. Тогда Rm=Cxkslk (Cx — постоянная) и
уравнение (5.4.4) дает:
-L-g—Pr^^fe
T,v Cpks
^cx
~cf
1/2 k
(5.4.5)
2 St * ч ' ~i\ u}k
Заметим, что kslyf учитывает влияние числа Рейнольдса:
у\ ~~ v uf — ~7T~V~[~Tcf) #
В некоторой мере более реальная модель представлена
схематически на рис. 5.7; перенос совершается циркуляционным течением в слое
шероховатости, его скорость имеет порядок щ. Тепло может поступать
в циркуляционное течение, чтобы быть перенесенным во внешнее
течение только посредством диффузии у твердой границы. Расстояние, на
которое диффундирует тепло за время циркуляции t^^ksjUf,
определяется в виде
'Kks 1/2
. L4 ■ U* -ur
У
'(Kt)1'"2 <^> I
Рис. 5.7. Упрощенная модель процессов тепло-
переноса в слое шероховатости, в котором
энергия, диффунднруемая от стенки,
переносится к внешнему течению
рециркуляционными течениями между элементами
шероховатости.
(см. упражнение 1.25). Величина потока энергии на единицу ширины
полости (по нормали к плоскости рисунка) имеет порядок
pcP(Tw—Ts)yuf. Полагая, что это основная составляющая потока тепла,
получаем:
4v = ?c,ATv — Ts)y-
ъ
Отсюда, вводя протяженность диффузионной области,
определенную выше, будем иметь:
Rn
__ (Prks/y,)
1/2
?CplJUj pCpflf
Теперь общее уравнение (5.4.4) дает:
1 °f D ~Г I l n V/2
Рг,/2(—
v У\
1/2
(5.4.6)
(5.4.7)
что можно сравнить с уравнением (5.4.5).
Другие простые модели ведут к различным степенным
зависимостям от Рг и ks!yh но их основной характер указан проведенными выше
двумя моделями. Можно полагать, что процесс переноса в любом слое
шероховатости можно описать комбинацией таких двух простых
моделей. Оуэн и Томсон исследовали данные о тепло- и массопереносе,
относящиеся к двумерной шероховатости, имеющей вид пирамид и
ямок от зерен песка (но не собственно песчано-зернистую шерохова-


260
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
тость песка, как в задаче о сопротивлении стенки), и предложили
оценку
предполагая, что Рг=1. Для рассмотренных данных Pr, Sc=0,7-^7,
k8/yf>l00.
Посмотрим, что следует из этого результата для эффективности
(5.4.1), когда Рг=1, так что (Si—CjA—1 в соответствии с
моделью Прандтля — Тэйлора (5.3.7). Приняв типичное для шероховатых
стенок значение с/=0,0075, получим т]=0,80 и 0,58 для &8/#г=Ю0
или 1000.
Простая аналогия Рейнольдса, довольно точная для гладких
стенок, когда Рг=1, не будет в такой степени приемлемой для
шероховатых поверхностей, так как эффективное число Прандтля для слоя
шероховатости значительно больше единицы. По-видимому,
эффективность (5.4.1) будет всегда меньше единицы для газов, хотя она может
превышать единицу для жидкостей с высоким числом Прандтля.
Изолированные элементы шероховатости
Эти довольно негативные выводы, относящиеся к шероховатости,
образованной плотно расположенными элементами, также в общем
применимы и к оптимизированным устройствам для интенсификации
смешения. Нередко нанесение шероховатости считается оправданным не
столько из-за увеличения эффективности аппарата, сколько из-за того,
что он может стать более компактным и, следовательно, дешевым.
Рисунок 5.8 дает пример информации, необходимой для
оптимизации характеристик переноса применительно к конкретному виду
шероховатости. Эти данные, представленные Вилке, относятся к вопросу об
эффективности поперечных ребер на стальных стержневых элементах
ф а) 5) Ф В)
Рис. 5.8. Характеристики переноса для поверхности с искусственной шероховатостью
в виде поперечных ребер (по измерениям Уплкп при течении воздуха в кольцевом
канале).
Обозначения те же, что и на рис. 4.5: L — шаг ребер: h — высота, го — ширина (в этих опытах
постоянная, равная 0,64 мм). Число Рейнольдса равно 10" (определено по гидравлическому
диаметру d, вычисленному по площади сечения между шероховатым внутренним цилиндром и
цилиндрической поверхностью максимальных средних скоростей)
а — отношение числа Стантона к его значению для гладкой поверхности St -0,0029; б ~
отношение коэффициента трения к его значению для гладкой поверхности с,-с = 0.0054; в—изменение
локального числа Стантона между ребрами для двух характеристик L'h шероховатости,
полученное при изучении уноса нафталина с поверхности; Red^2 • 10\ St0 = 0,0025; средние значения:
St = 0.0068 и 0,0057 соответственно для 1//г = 7,2 п 15; А — задняя кромка ребра; В — передня»
кромка ребра.


§ 3-4]
Течения с изменяющимися границами
261
охлаждения ядерных реакторов. В этом случае трение менее важно,
чем усиление интенсивности теплообмена, которое должно быть
достигнуто при минимальных затратах на материал для ребер. Поэтому были
рассмотрены только относительно малые ребра.
Представляется очевидным, что коэффициент переноса можно
увеличить в 3 раза или более за счет подходящего выбора поперечных
ребер. Однако для таких течений газа сопротивление трения
увеличивается примерно вдвое, что во многом схоже с ситуацией для
«естественной» шероховатости. Для этого приложения целесообразно выбрать
относительно редко расположенные ребра, например h\L=w\L~ 10.
Различие коэффициентов усиления на рис. 5.8,а и б, показывает,
что действительно различные механизмы ответственны за изменение
трения и теплопереноса. На рис. 5.8,в показан характер изменения
локального потока между ребрами для двух геометрий шероховатости;
эти данные получены при изучении аналогичного процесса массооб-
мена, при котором облегчается проведение эксперимента. Сравнение
существенно различных условий показывает, как важно учитывать все
особенности обтекания элементов шероховатости при определении
полной интенсивности теплообмена.
5.4.2. АСИММЕТРИЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТОКОВ В ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬКЫХ ТЕЧЕНИЯХ
Когда распределение скоростей поперек плоскопараллелыюго
течения является асимметричным в силу одной из причин, указанных
в п. 4.4.1, то температура, концентрация и турбулентные потоки
субстанций также будут распределены асимметрично. Кроме того,
асимметрия граничных условий процесса переноса может привести к его
асимметрии, даже если течение остается симметричным.
Следовательно, асимметричный перенос может быть вызван асимметрией течения
или условий на его границах.
Рассмотрим сначала двумерные течения между двумя плоскими
пластинами. Симметричный перенос наблюдается в пластинчатых
теплообменниках; они обычно состоят из решеток гофрированных и близко
расположенных пластин, через пространство между которыми проходит
охлаждаемая или нагреваемая жидкость. В общем случае
асимметричный обмен определен тем, что одна пластина по существу
адиабатическая. Это имеет место, когда почти симметричное течение
используется для того, чтобы отделить нагретый активный элемент
теплообменника от его конструктивного элемента. Тепло переносится от активного
элемента жидкостью, которая движется между двумя поверхностями,
и температура почти адиабатической стенки остается достаточно низкой
для сохранения механической прочности. В некоторой степени
аналогичная картина массообмеиа наблюдается в открытом канале, в котором
дойные отложения выносятся в виде раствора или суспензии. Здесь не
происходит обмена на поверхности; в этом случае распределение
скорости также асимметрично.
Для кольцевых каналов, отношение диаметров которых
существенно отличается от единицы, распределение потоков, очевидно,
асимметрично. В кольцевых каналах теплообменников поток у одной стенки
значительно больше, чем у другой. Возможен случай, когда потоки
у стенок окажутся равными по величине, но противоположными по
знаку. Это явление, аналогичное течению Куэтта, называют трансмис-


262
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
с ионным течением, так как здесь не происходит поглощения энергии
жидкостью. Оно мало вероятно для строго параллельного течения, но
может иметь место при вращательном движении жидкости в кольцевом
пространстве между ротором и статором; при /?2/J?1=l течение будет
по существу таким же, как между параллельными пластинами. Этот
пример соответствует движению жидкости в радиальном подшипнике,
где энергия, диссипируемая под действием интенсивного напряжения
сдвига, передается ограничивающим поверхностям. Такое явление часто
усложняется деформацией стенок,
обусловим гг
л
ш
у ленной высокими градиентами температуры.
b Эти примеры показывают, что во многих
V технических устройствах возможен
асимметричный перенос тепла. Всесторонние иссле-
yL дования течения и процессов переноса при
ш///#ш////* различных граничных условиях будут
включу г1 чать следующие эффекты: шероховатости,
относительной скорости стенок, отношения диа-
Рнс. 5 9. Модель турбулент- метров для кольцевых каналов, различные
ного течения в широком температуры стенок и потоки тепла через них.
плоском канале. Хотя для проведения Т0Чных расчетов необ-
/ — пристеночный слой /: qh^q\, r r
т-т,; //-пристеночный слои 2; ВОДИМЫ СПвЦИЯЛЬНЫе ЭКСПерИМеНТЫ, ПОЛуЭМ-
Я)Уяъ т«г2; ///-ядро тече- пирические модели, которые получены для
тения: e„,=ec=const. чений в трубах, часто могут быть
приспособлены для плоскопараллельных течений с
учетом изменения граничных условий. Чтобы в этом убедиться,
рассмотрим один простой класс задач переноса.
Исследуем симметричное плоское течение между двумя
неподвижными стенками, принимая отношение потоков на стенке q\lq2 (потоки
положительные, когда они направлены от стенки к течению) отличным
от единицы, так что анализ включает задачу с теплоизолированной
стенкой (q{ или #2=0) и задачу только переноса тепла (gi = —^2),
а также случай симметричного переноса (q{=q2). Как показано на
рис. 5.9, течение услозно разделено на три области: два пристеночных
слоя и ядро течения, границы которого ух и yi( = b—у{ для симемтрич-
ного течения). Примем в ядре коэффициент турбулентной вязкости
постоянным 8т=8г, как в модели III п. 4.4.2. Это дает заметное
изменение коэффициента диффузии поперек канала и позволяет учесть теп-
лоперенос между стенками канала.
Будем предполагать, что основное изменение температуры
происходит в пристеночных слоях; это исключает применение результатов
при Pr<Cl. Мы не будем разрабатывать отдельную модель для
пристеночного слоя, но определим его влияние с помощью зависимости
q,Ut q.Ui \ 2 St )«Г l\Cl' 1 "' Ь ) (°'^
Здесь
^r?u\
St- - №с„ (Г, - г;) ^Мср^-т,) (5А! °)


§ 5.4]
Течения с изменяющимися границами
263
характеризуют пристеночные слои, Ui=Uj— скорость на границах
пристеночных слоев и ядра. Зависимость, описывающая закон переноса
в пристеночной области (5.4.9), может быть получена на основе
анализа, приведенного в п. 5.3.2, или (как будет показано ниже) из
экспериментальных данных для течения в целом.
Использование одних и тех же характеристик переноса для двух
пристеночных слоев предполагает, что qh~qx и qh~q2 вблизи обеих
стенок. Эти условия не выполняются, когда один из потоков на стенке
мал. Однако это не должно приводить к серьезной ошибке, когда q\
лиза, приведенного в п. 5.3.2, или (как будет показано ниже) из экспе-
стенки очень мало.
Для ядра принимаем
— PCP6h^ = <Ih = <?i — (Яг + Я2) ~Т> (5А- 1 О
предполагая с целью упрощения, что потоки изменяются линейно
поперек всей области течения. Несколько ближе к действительности будет
модель, предполагающая линейное изменение лишь в ядре согласно
уравнению (5.2.36), но такую модификацию можно рассматривать
вместе с турбулентным числом Прандтля, как это следует из уравнения
(5.2.38). Изменение потока тепла (5.4.11) не предполагает, что qh/x=
=const поперек течения: т—0 при y/b=l/2, в то время как минимум
(или максимум) температуры Тт достигается при
Ут Ц\
-^-. (5.4.12)
b <7i + Цг
Проинтегрировав уравнение (5.4.11) при постоянном еь, получим
для распределения температуры в ядре
T-Tm=lj±£(y-yJ (5-4.13)
при условии, что <7i + 92¥=0. Применим эти результаты прежде всего
к симметричному переносу, для которого q\=q2=qiv и уш = -^Ь.
Изменение температуры от стенки к центральной линии определяется из
уравнений (5.4.9), (5.4.13):
т _т _'q£±(±_^L) 1 яи> L __LftY (5.4.14)
Введя Рг = — иЛ = — в (5.4.14) [см. формулы (3.3.22)], получим
~ljri—-(^-r-st;ш+Рг^ ut[b 2) ■ <5-4-15)
Уравнение (5.4.15) можно использовать, чтобы выделить вклад
пристеночного слоя f~YCf/Si\ из общего эмпирического закона -y^/St.
\ / W
Для высоких чисел Рейнольдса и гладкой стенки их отличие не будет
большим.
Далее рассмотрим случай изолированного течения при ^2=0, cj\=
=<jw и ym=b. Предположим, что ядро распространяется до стенки у=


264 Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос [Гл. 5
= fr, пренебрегая слоем «нулевого» потока тепла», который примыкает
к ней, и эффектами восстановления, рассмотренными в п. 5.2.2.
Разница температур между стенками
гр __гг rp 71 q^1 f l Cf \ | У™
1 2 ю т~~ ъ,ср { 2 St Л11"Г 9b?Cpek
(У1-Ь)\
откуда
Этот результат можно использовать для:
1) оценки эффективности изолированного течения па основе
расчета падения температуры для данного потока тепла и расхода
жидкости или на основе расчета требуемого расхода охлаждающей
жидкости при заданном падении температуры;
2) расчета теплообмена для симметричного нагрева (gi—^2) на
основе измерений, полученных в условиях, когда только одна стенка
нагрета; последнее легко осуществляется в эксперименте.
Точность результатов (5.4.15), (5.4.16) при ик использовании зависит
от величины вклада ( —£f/St ] пристеночного слоя по сравнению с
областью ядра. Если исключить из рассмотрения жидкости, для которых
Рг«С1, то Ргс^1. Из табл. 3.3 получаем оценку #/=25, откуда Уг/Ь=
=A/Rf=0,l [ср. с (4.2.1)]. Для высоких чисел Рейнольдса щ\\]х~
\1/2
=0,1-^-0,03. Поэтому вклад ядра в процесс переноса можно
оценить как
0,4 — 0,12 для уравчения (5.4.15), q1=q2,
(5.4.17)
1,0 — 0,3 для уравнения (5.4.16), д2 —0.
Высокие значения соответствуют очень шереховатым поверхностям
и низким числам Рейнольдса.
Так как согласно рис. 5.5 —Cf/Si— 1 при Рг — 1, получаем, что
различие в коэффициентах переноса (5.4.15), (5.4.16) находится в
пределах 20% Для газов, движущихся между гладкими стенками. При
увеличении числа Прандтля разница становится меньшей, так как
—Cf/Sx >1. При увеличении коэффициента трения разница становится
несколько большей. Соотношение между двумя характеристиками теп-
лопереноса также зависит от того, какая температура выбрана для
описания свойств жидкости, и это соотношение будет изменяться, если
для определения одного или обеих коэффициентов используется средне-
массовая температура.
Наконец, рассмотрим теплоперенос поперек течения (обобщение
задачи только переноса тепла). Для произвольных потоков тепла на


§ 5.4J
Течения с изменяющимися границами
2С5
двух стенках находим:
w,=^(4|0>-?.>+-^ с*,-.,».
Отсюда получаем закон переноса поперек течения:
■hfipFt-T,) ( \ cf \ uf y,-yi
который является обобщением уравнения (5.4.16); значения для ядра
берутся из второй строки (5.4.17). Зависимости (5.4.16), (5.4.18)
несколько отличаются, так как (5.4.16) предполагает, что ядро
охватывает область течения до самой стенки при #2=0.
5.4.3. КАНАЛЫ С НЕКРУГОВЫМ И НЕРЕГУЛЯРНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМИ СЕЧЕНИЯМИ
Задачи, связанные с расчетом переноса в каналах неправильной и
некруговой формы, в общем подобны задачам расчета трения и
диссипации. Здесь малый объем экспериментальной информации
компенсирует аналогия между процессами переноса и трения.
Прежде всего рассмотрим обмен между стенкой канала
некругового сечения и движущейся через него жидкостью. Было обнаружено, что
введение гидравлического диаметра (или эквивалентного
гидравлического радиуса, см. табл. 4.5) в формулы для круглой трубы
обеспечивает приемлемые результаты расчета трения, так как напряжение
трения практически равномерно распределено по смоченному периметру.
Использование этого метода применительно к расчету переноса связано
с дополнительным ограничением: основное изменение средней
температуры (или концентрации) должно осуществляться, как и изменение
средней скорости, в пристеночном слое, равномерно на протяжении
практически всего смоченного периметра. Это не распространяется на
жидкость с Pr, Sc<Cl, в которой перенос происходит подобно тому,
как в ламинарном течении, где имеет место дополнительный «эффект
формы», не учитываемый гидравлическим диаметром.
В криволинейном канале скорость переноса, как и трение,
увеличивается под действием вторичных течений [см. (4.5.1), (4.5.2)]. Для
полностью развитого турбулентного течения воздуха в спиральной
трубе Жешке получил формулу
= 1 + 3,54-, (5.4.19)
Ш0 ' • о
где d и D — диаметры трубы и спирали. При этом не была
систематически исследована зависимость потоков тепла от чисел Рейнольдса и
Прандтля. Как указывалось в п. 5.3.3, вторичные конвективные течения
возникают в горизонтальном канале из-за неоднородности плотностей,
связанной с теплопереносом. Это также вызывает увеличение теплопе-
реноса и, по-видимому, трения; однако полная экспериментальная
информация по этому вопросу отсутствует.
Изменение теплопереноса для развивающегося течения вблизи
входа в канал часто описывается по Нуссельту:
^ .~У'^ при 10<-£-<400. (5.4.20)
(<fo)o V


26G
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
Однако степень достижения равновесного значения (qw)o (или N0
для массообмена) сильно зависит от числа Прандтля (Шмидта). Так
как течение вблизи стенок характеризуется малыми временными
масштабами, то здесь быстро наступает равновесие. Из этого следует вывод,
что равновесное значение достигается быстрее всего при Pr, Sc^> 1.
В качестве грубого приближения можно принять
Яш - (4w)o при -|- > 20 и Fr > 1 или ~ 1. (5.4.21а)
Для жидких металлов можно ожидать, что
Чш ~ Ыо при -£- >60 и Fr <<: 1. (5.4.216)
Рассматривая дополнительную диссипацию в зоне внезапного
изменения сечения канала, мы смогли привести систематические данные
(табл. 4.7) для потерь за счет обычной нерегулярности. Мало внимания
было уделено процессу переноса в условиях резкого нарушения
плавности течения. Такое положение не является нормальным, потому что
подобная информация необходима там, где речь идет о процессах
переноса. Чтобы рассчитать эффективное трение в канале (суммарный
эффект трения на стенке и местных потерь), мы требуем информацию
только о полной диссипации в областях неравномерного течения. Хотя
аналогичные результаты полезны для расчета полной интенсивности
тепло- и массопереноса, данные о локальных изменениях также важны
в связи с причинами, которые указаны ниже.
В зоне, где теплоперенос незначителен, возникают «точки
перегрева»; в предельных случаях может возникнуть локальное кипение, даже
может случиться плавление или прогорание стенок. Эти процессы
могут привести к дальнейшему уменьшению локальной интенсивности теп-
лопереноса. Резкое изменение потока тепла в пространстве может
вызвать опасные термические напряжения в материале стенки, а
интенсивные пульсации по времени ведут к усталости материала за счет
изменения термических напряжений. Рисунок 5.8,в иллюстрирует
изменение теплового потока вблизи нарушения регулярности границы и его
чувствительность к деталям геометрии течения.
Локальные изменения интенсивности массопереноса соответствуют
случаям неоднородной эрозии и осаждения, наиболее выраженным, когда
границы каналов состоят из дискретных частиц, которые могут
перемещаться жидкостью. Так, вблизи препятствий в потоке жидкости при
размываемом дне (например, в зоне мостовых опор) дно может сильно
деформироваться. Подобные явления могут наблюдаться и при
снежных заносах. При существенной деформации поверхностей за счет
эрозии и осаждения течение жидкости, в свою очередь, также изменяется.
Таким образом, движение жидкости в «равномерном» канале при
наличии размываемого дна будет сопровождаться непрерывным развитием
с возникновением регулярных донных структур (дюн, рифелей),
медленно движущихся вдоль потока.
В настоящее время наши возможности рассчитать сложные
гидродинамические и диффузионные процессы, описанные выше, весьма
ограниченны. В критических случаях необходимо проводить специальные
опыты или использовать ряд жестких предположений как основу для
расчета.


§ 5.5]
Течения вблизи проницаемых поверхностей
267
5.5. ТЕЧЕНИЯ ВБЛИЗИ ПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
5.5.1. ПРИЛОЖЕНИЯ
До сих пор обсуждались процессы переноса между
непроницаемыми стенками канала и двужущейся между ними жидкостью. В
большинстве случаев турбулентных течений основные процессы обмена
определяются пристеночным слоем, где среднее течение параллельно стенке
(что в точности выполняется в полностью развитом течении в канале
и приближенно — в развивающемся пограничном слое или пристеночной
струе). Сходство, которое присуще различным пристеночным течениям,
зависит от того, как связаны между собой процессы переноса
количества движения, массы и тепла. Попытаемся обобщить анализ течения
вблизи стенки применительно к течениям вблизи проницаемых
поверхностей, когда касательная составляющая скорости падает до нуля на
стенке, но появляется конечная нормальная составляющая скорости
в пристеночном слое. Ниже описаны некоторые ситуации, когда может
возникнуть течение, направленное от поверхности или к ней.
Большие интенсивности массопереноса
Предполагаемая нами тесная связь между процессами переноса
тепла и массы требует, чтобы эти процессы не изменяли ни среднее
течение, ни его турбулентность; во многих случаях это условие
выполняется с достаточным приближением. Как было отмечено ранее, широкие
диапазоны температуры и концентрации могут значительно изменить
свойства жидкости и характеристики самого течения. Более
существенные изменения характеристик течения происходят, когда на границах
текущей жидкости имеются потоки вещества. Это может наблюдаться
при однокомпонентном течении, например, когда пар конденсируется
на стенке или образуется на стенке в результате испарения. Это может
иметь место также в бинарных смесях, например при конденсации
жидкости из воздуха при его движении над поверхностью или при
испарении ее в воздух. Такие процессы часто сопровождаются возникновением
больших градиентов концентрации, поэтому изменения свойств
жидкости также могут оказаться существенными.
При определении интенсивности и коэффициента массоотдачи для
процессов переноса, протекающих с большими скоростями, требуется
осторожность, так как поток на стенке может совершенно отличаться
от обычного потока относительно двужущейся жидкости. Этот эффект,
в частности, существен в ламинарных течениях и в тех областях
турбулентных течений, где важны молекулярные эффекты, так как даже
малая поперечная конвекция сравнима с молекулярной диффузией.
В изучении таких ламинарных течений достигнут значительный
прогресс; имеются результаты (включая «пленочную» теорию и теорию
«проникания»), определяющие поправки коэффициентов массоотдачи
на конвекцию, вызванную собственно переносом; проведены расчеты
влияния вдува и отсоса на коэффициенты восстановления, трения и
интенсивности переноса.
В описанных выше ситуациях действительно происходят изменения
распределения напряжения и характеристик теплопереноса в течении.
В большинстве случаев идентичная картина наблюдается и при массо-
обмене. Для нижеследующих приложений мы используем обратный


268 Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос [Гл. 5
подход: массообмен будет задаваться, чтобы модифицировать
напряжение трения или способность течения передавать тепло вблизи стенки.
Охлаждение за счет массопереноса
В тех случаях, когда температура может достичь недопустимых
значений — в камерах сгорания, выхлопных соплах, на лопатках
турбин,— может быть использован эффект «теплового блокирования» за
счет массопереноса от поверхности (Vw>0).
Термин транспирационное охлаждение (или испарительное
охлаждение) используется, когда течение жидкости, направленное наружу от
поверхности, равномерно распределено по ней; это может быть
достигнуто при инжекции жидкости через пористый материал, такой, как
спекшийся металл. Когда жидкость испаряется в газ, используется
термин испарительное транспирационное охлаждение. Инжектируемая
через поры жидкость изменяет температуру поверхности тремя путями:
путем поглощения тепла при прохождении через стенку, путем отвода
тепловой энергии на испарение и путем установления направленной
наружу конвекции в газе.
Пленочное охлаждение по существу аналогично транспирациониому,
но инжекция здесь идет через отдельные отверстия и щели. Этот метод
особенно целесообразен при наличии локальных «точек перегрева».
При инжекции жидкость растекается по поверхности под действием
движущейся рабочей среды и испаряется. Интенсивный газовый поток
может вызывать волны на жидкой пленке или может разрывать ее,
прежде чем произойдет испарение.
Для самых тяжелых условий в случаях реактивных сопл и
возвращаемых космических аппаратов используется абляционное
охлаждение. При этом поверхностный слой изготовляется из абляционного
материала (например, кварца, стекла или тефлона), который уносится
при его плавлении, испарении или сублимации. Это устраняет
необходимость использовать охлаждающую жидкость.
Управление пограничным слоем
С целью предотвращения отрыва пограничного слоя в диффузорах
или на крыльях можно использовать отсос через щели {Vw>0) или
распределенные поры, удаляя часть пограничного слоя с самой низкой
энергией. Применительно к диффузорам это ведет к уменьшению потерь
и повышает устойчивость течения; для несущих поверхностей — к
увеличению подъемной силы или уменьшению силы сопротивления
давления. Отсос может также уменьшить сопротивление трения за счет
задержки перехода к турбулентности: хотя пограничный слой становится
более тонким, увеличение вязкого трения несущественно по сравнению
с его возрастанием, обусловленным переходом к турбулентности. В
связи с проблемой охлаждения за счет массопереноса следует заметить,
что увеличение скорости инжекции через пористую поверхность,
вызывающее такой переход, могло бы привести к усилению теплопереноса
к стенке.
Инжекция жидкости также используется для управления
пограничным слоем. Вдув вдоль поверхности перераспределяет энергию
пограничного слоя в результате ввода пристеночной струи в наименее активную
его область. Действие пристеночной струи на внешнюю часть течения


§ 5.5] Течения вблизи проницаемых поверхностей 269
в какой-то мере аналогично отсосу, так как она эжектирует из нее
жидкость. Этот метод в основном используется в аэродинамике, может
быть также применен для улучшения ходовых качеств судов. Такая
форма инжекцни принципиально отличается от рассмотренных выше:
здесь на внешнее течение влияет количество движения инжектируемой
жидкости, там же важен объемный расход инжекции.
Имея в виду эти области применения, следует отметить, что
течения, направленные как к стенке, так и от нее, имеют большое
практическое значение, хотя первые имеют более широкие возможности
использования. Заметим также, что определение «поверхности», па
которой происходит процесс переноса, в какой-то мере произвольно. Как
трактовать только что конденсировавшуюся воду — как часть течения
или как часть самой стенки? Как потоки жидкости из пор сливаются
с основным течением? Можно заключить, что хотя при отсосе и вдуве
внешние части пристеночных слоев образуют непрерывный спектр,
охватывающий различные виды практических приложений, самые
внутренние их области могут изменяться от одного случая к другому.
В последующем рассмотрении мы используем наиболее простое
описание течения вблизи стенки.
5.5.2. ПЕРЕНОС В ОБОБЩЕННОМ ПРИСТЕНОЧНОМ СЛОЕ
Массоперепос, транспирационное охлаждение, управление
пограничным слоем дают примеры пристеночных слоев, которые являются по
существу равномерными в продольном направлении, причем скорость
по нормали к стенке задается в виде Vw(y). Такое обобщение
пристеночного слоя с параллельным течением можно назвать продольно
равномерным слоем. Для простоты исследования основных эффектов
течения через стенку ограничимся рассмотрением случаев, когда свойства
жидкости не изменяются поперек слоя. Это предположение довольно
реалистично для пограничного слоя с отсосом, но менее
удовлетворительно для интенсивного массопереноса и трапепирационного
охлаждения.
Общую зависимость, описывающую перенос произвольной
субстанции поперек продольно равномерного пристеночного слоя, можно
получить из условия сохранения (3.3.1) при учете только градиента по
нормали к стенке:
dJn
^=SS. (5.5.1)
Отброшенный член уравнения (3.3.1) выражает изменение потока
субстанции в направлении стенки и описывается уравнением [см.
(3.3.2)]
Диффузионные члены (два первых члена в правой части
уравнения) обычно пренебрежимо малы вблизи стенки. Конвективный член
(последний член справа) увеличивается с ростом U по мере удаления
от стенки (если только не выполняется условие -г— =01? в то время как
градиент, сохраняемый в уравнении (5.5.1), может заметно
уменьшаться. Следовательно, для изменяющегося распределения субстанции S
(т. е. для dS/дхфО) простая зависимость (5.5.1) справедлива лишь


270
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
в области, достаточно близкой к стенке. Эта область фактически
является пристеночным слоем, потому что в представленном выше анализе
приведено обоснование существования слоя, который в общем не
зависит от внешнего течения.
Как отмечено в п. 3.3.1, член, выражающий плотность источников,
может характеризовать: в уравнении количества движения — градиент
давления; в уравнениях баланса механической и тепловой энергии —
диссипацию; в уравнении сохранения массы — химическую реакцию.
С целью упрощения будем в дальнейшем пренебрегать этим членом
уравнения, имея в виду, что его вклад может быть существенным при
некоторых условиях, а именно: в пограничном слое вблизи отрыва,
в высокоскоростных потоках вблизи адиабатической стенки и в
течениях, где имеет место горение.
Приняв величину Ss пренебрежимо малой для обобщенного
пристеночного слоя, имеет просто
Jy(y)=Jy(0) (5.5.3а)
или с учетом уравнений (3.3.2):
-pK^+pSV + Pw = -PK (^§A +?SWVW. (5.5.36)
Индекс w соответствует значению на стенке у=0, или, более
реально— в области молекулярных взаимодействий на небольшом удалении
от зоны постоянно и быстро меняющейся активности у стенки.
Для параллельных течений, рассмотренных в гл. 3, поперечный
поток субстанции был упрощенно представлен в виде суммы двух
диффузионных членов. Чтобы учесть среднюю конвекцию в ^/-направлении,
обозначим полный поток 5 в у-направлении JT и сумму молекулярной
и турбулентной диффузии символом /. Отсюда имеем:
JT = J-{-pSV, где J = — 9K^r+p~sv, (5.5.4)
уравнения (5.5.3) можно переписать в виде
JT(y)=JT(0) (5.5.5а)
и
j+pSV=Jw + pSwVw. (5.5.56)-
Мы применим эти результаты сначала для описания переноса
самой жидкости-носителя субстанции, принимая J=Jw=0, так как в этом
случае нет диффузии. Тогда получим соотношение
V=VW, (5.5.6а)
показывающее, что распределение нормальной компоненты скорости
равномерно по толщине пристеночного слоя. Этот результат можно
получить также и из уравнения неразрывности (3.3.7). Изменение
диффузионного потока теперь подчиняется зависимости
J=Jw+pVw(Sw—S) (5.5.66)
в продольно равномерном пристеночном слое, в котором члены,
выражающие плотность источников, пренебрежимо малы.
Зависимости, описывающие перенос различных субстанций, можно
получить, используя табл. 3.1:


§ 5.5] Течения вблизи проницаемых поверхностей 271
1. Для количества движения переход S-+U и /-*т дает:
* = ^ + Р^ = ^ - puv. (5.5.7)
Когда учитывается градиент давления, то
•г = т„, + oVJU + ^ у. (о.5.8)
Это формально показывает, как отсос (У7(;=0) компенсирует
градиент давления (dP/dx>0), вызывающий отрыв пограничного слоя.
2. Для энтальпии переход S-+H и L-^qn дает:
Ч,: = Ч* + рУ„(Н„-Н) = -ркЩ + Ы1. (5.5.9)
Полученная зависимость показывает, что конвективное течение,
направленное наружу от стенки (Vw>0) в нагретую жидкость (H>HW),
заставляет диффузионный поток (—qw), направленный внутрь, вблизи
стенки падать ниже значения (—qh) для внешнего течения. Это
составляет существо «теплового блокирования», которое достигается при
транспирации, хотя модификация изменения коэффициента диффузии
здесь также играет свою роль.
3. Для массопереноса переход 5-^С/р и J^N дает
N = We:, + 1Л, (С, — Q = — D -^~+vc. (5.5.10
Хотя (5.5.10) по форме совпадает с (5.5.9), при массоперепосе
нормальную конвективную скорость при определенных условиях нельзя
задавать произвольно, так как она зависит от скорости переноса.
5.5.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ В ЛОКАЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННОМ СЛОЕ
В § 3.5 выведено уравнение (3.5.8) для изменения скорости в
полностью турбулентной области пристеночного слоя с изменяющимся
напряжением трепня по его толщине. Это уравнение получено с помощью
нормирования членов уравнения турбулентной энергии по локальным
значениям напряжения трепня и расстояния от стенки. Так, для
локально определенного (или равновесного) слоя имеем:
^ = A(JL){/2(i + ^JL!b) (5.5.11)
dy у v о j \ П о А т dy J > V )
где А и В{ — постоянные, введенные в уравнениях (3.5.7). Не учитывая
пограничные слои вблизи отрыва и другие случаи, при которых
| (у/r)dx/dy\ велико, мы установили две упрощающие особенности:
1) последний член уравнения (5.5.11), представляющий собой
диффузию энергии, несуществен;
2) изменение напряжения, связанное с градиентом давления,
незначительно в локально определенном слое, примыкающем к стенке.
Можно расширить гипотезу локально определенного течения на
случай пристеночных слоев с поперечной конвекцией путем
подстановки в уравнение (5.5.11) выражения (5.5.8), описывающего изменение
напряжения под действием конвекции и градиента давления. Однако
упрощения, возможные при пренебрежении конвекцией, обозначают.


272
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
.[Г/, 5
что формы
du Alt у/2 „ i гТ/ л
</# У V Р /
будут адекватными для широкого класса течений в каналах и
пограничных слоях. Так, изменение скорости определяется зависимостью
f- = -f("2/ + ^)'/2, (5-5.12)
где uf = }/~zwlp по-прежнему вычисляется по значению напряжения на
стенке. Для этого уравнения можно найти точный интеграл [кроме
случая, когда сохраняется полное изменение напряжения (5.5.8)].
Последний результат обычно называют моделью пути смешения,
так как он впервые был получен подстановкой lm=Ky (для
непроницаемой границы) в результаты для пути смешения (3.4.55).
Соответствующий коэффициент турбулентной вязкости находится из уравнений
(3.4.56):
3, = /,(f),/2-^(f+^)I/2. (5.5.13)
Ввиду наличия поперечной конвекции Vw использование
локальных масштабов может вызвать сомнение. В качестве практического
обоснования заметим, что скорости поперечного течения обычно очень
малы; в основном Vw<Uf или даже <^uh Хотя поперечная конвекция
может существенно влиять на течение жидкости вблизи стенки, ее
непосредственное влияние на турбулентную область течения мало.
Прежде чем интегрировать уравнение (5.5.12), рассмотрим
пристеночный слой, исходя из более общей точки зрения. Можно
предположить, что
U^y, Тю, р, Ц, Vw, k,
откуда
щ
Здесь k — линейный масштаб, отражающий эффекты
шероховатости стенки, масштаба и структуры пор в стенке; на практике для
этого может потребоваться несколько параметров. Большинство моделей
течений вблизи проницаемых границ не учитывают сложную структуру
течения вблизи стенки; они предполагают (для случая вдува), что
потоки, поступающие через поры, мгновенно смешиваются, так что
образуется пространственно равномерное поперечное конвективное течение.
Когда размеры пор велики или когда вытекающая через отдельные
поры жидкость смешивается, эффект вдува будет схожим с эффектом
влияния элементов шероховатости. Рассматривая физическую
шероховатость, можно ожидать, что ее роль будет возрастать при отсосе
(Vw<.0) и уменьшаться при вдуве (VW>0). Структура пор, конечно,
будет давать свой вклад в эффект шероховатости поверхности.
Эти замечания предполагают, что часто будет формироваться слой
шероховатости — смешения, в котором эффекты шероховатости и
течений через поры находятся в сложном взаимодействии. Вне этой области
трехмерного среднего течения в ряде случаев можно выделить
продольно равномерный вязкий слой. Эта ситуация обычно принимается
реальной. Однако в режиме развитой шероховатости слой шероховатости —
f(JL JL ^ (5.5.14)


§ 5.5]
Течения вблизи проницаемых поверхностей
273
смешения будет простираться до полностью турбулентной области
течения. Интегрируя уравнение (5.5.12), находим для полностью
турбулентной части продольно равномерной области:
£<",'+"-И"-=Л1п(£)+/(£.Н («..5)
Эту зависимость можно записать в другой форме
2 [(1+к»£/+)1/2-1]=Л1пг/++В(6+, О (5.5.16)
для нормированных координат (4.1.4); дополнительная функция
выбрана так, что имеют место известные логарифмические законы: при W->
->0 это уравнение сводится к уравнению (4.3.5), при Vw, &->U — к
уравнению (4.1.3).
Функция В (k+, V+w) (постоянная для одного и того же течения
определяет изменение напряжения и скорости поперек слоя
шероховатости— смешения и вязкого слоя. Предложено несколько способов
определения этой постоянной:
1. Стивенсон привел данные в пользу использования значения для
гладкой непроницаемой стенки при значительном диапазоне
интенсивности вдува и отсоса.
2. На основании дальнейшего анализа экспериментальных данных
Симпсон предположил, что
f/+=/C0 при у+=Ко (5.5.17)
есть точка на любом профиле скорости, где */+=/С0~11—точка
согласования линейного и логарифмического законов, определяемая
уравнениями (4.1.10). Это предположение с физической точки зрения
неочевидно, однако оно позволяет получить удовлетворительные
результаты.
3. Предложено несколько способов сращивания полностью
турбулентного и полностью вязкого слоев. Одни из них будет рассмотрен
ниже.
Ни один из предложенных способов не учитывает слоя
шероховатости— смешения; во всех принимается, что B=B(V*).
Какой бы метод ни использовался для определения постоянной
«скольжения» В, уравнение (5.5.16) может иметь лишь ограниченную
область применения. В этом можно убедиться, рассматривая два
предельных случая:
1) асимптотического слоя отсоса, где Vw<C.O и 6U/дх=0 для всего
потока;
2) вдува, при котором Vw=0 и т^=0.
Асимптотический слой отсоса является пограничным слоем,
который не расширяется, так как здесь устанавливается баланс между
расширением пограничного слоя от стенки и конвективным течением,
направленным к стенке. Уравнение неразрывности (3.3.7) указывает, что
V=VW во всем потоке. На внешней границе пограничного слоя имеем
т=0, что дает xw=—pVwUu (5.5.18)
где U\ — скорость внешнего течения. При больших значениях \VW\
уравнение (5.5.16) для внешней области течения не дает результатов,
18—56


274
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
имеющих физический смысл, так как один член становится мнимым;
при возрастании—V* область таких нереальных результатов
быстро приближается к стенке.
Предельный случай вдува, когда диффузионная активность
внешней части течения уже не может достичь стенки, является более
трудным для анализа; тем не менее Коулс установил, что уравнение (5.5.16)
для этого случая также оказывается неудовлетворительным. Можно
сделать вывод, что это уравнение имеет смысл только для умеренных
скоростей переноса, т. е. для поперечных течений заведомо в пределах,
определяемых асимптотическими условиями отсоса и вдува
(приближенно Vw/U\=—0,008-^-0,03). Коулс предложил, что условия, при
которых модель длины пути смешения дает реалистические результаты,
определяются соотношением
— 0,004 <^-< 0,01. (5.5.19)
5.5.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА
Результаты, полученные выше, позволяют рассчитать трение вблизи
проницаемой стенки, поскольку характерной особенностью вязкого слоя,
связанной с трением, является изменение скорости. Расчеты переноса
других субстанций требуют, как и для случая твердой стенки, более
подробных моделей течения для областей, непосредственно
примыкающих к поверхности. Эту область удобно определить посредством
формулы для эффективного коэффициента переноса.
Возвращаясь к общим зависимостям (5.5.4), (5.5.6), введем
коэффициенты молекулярной и турбулентной диффузии К и es:
у = -р
-т J иУ
В этом дифференциальном уравнении диффузионный эффект
турбулентности выражен через коэффициент турбулентной вязкости гт и
отношение коэффициентов турбулентного переноса em/es. Соответственно
тому, какая рассматривается задача, последняя величина равна единице
или турбулентному числу Прандтля (Шмидта), которые не слишком
отличаются от единицы. Отношение коэффициентов переноса может
быть адекватно представлено в виде простой функции расстояния от
стенки, обычно постоянной или линейной.
Для случая непроницаемости стенки и постоянного напряжения
трения (Vw=0 и t=tw) зависимости для коэффициента турбулентной
вязкости (4.1.10) — (4.1.17) позволяют решить уравнение (5.5.20), какэто
представлено в уравнениях (4.1.18), (4.1.19). Даже для этого простого
случая требуется численное решение, если используется реальное
распределение коэффициента переноса. Чтобы схватить ситуации, когда
напряжение трения изменяется существенно в результате поперечной
конвекции или значительного градиента давления, необходимо
модифицировать выражение для коэффициента турбулентной вязкости.
Популярным способом обобщения пристеночного слоя, использованным, в
частности, Сполдингом и другими исследователями, является
модификация формулы Ван Дрнста (4.1.17). В его модели
S„-^mf = qf)I/2- (5.5.21)


§ 5.5]
Течения вблизи проницаемых поверхностей
275
причем длина пути смешения «демпфируется» вблизи стенки:
L = Ky
V ys J
(5.5.22)
Модификации достигаются путем ввода коэффициентов в аргумент
экспоненты. Простейшие поправочные коэффициенты, имеющие вид
(т/т^)1/2 и t/tw, были предложены соответственно Патанкаром и Спол-
дингом, Лондером и Джоунзом. Вместе с уравнениями (5.5.7) или
(5.5.8) эти коэффициенты дают требуемую зависимость от факторов,
определяющих напряжения.
Введение коэффициента (т/т™)1/2 заменяет линейный масштаб у7=
= v(xw;/p)~"I/2 локальным значением v(t/p)_I/2; это согласуется с
гипотезой, согласно которой диффузия локально определена. Так, при Vw>0
или ~^гС> 0, при которых T>xw, результат для полностью развитой
турбулентности lm—Ky, по-видимому, достигается быстрее, чем при
постоянном напряжении. Другими словами, вязкий слой становится более
тонким (пропорционально yf) под действием направленной наружу
конвекции! Необходимо помнить, однако, что трение вблизи стенки
уменьшается при вдуве, так что yf=v/Uf увеличивается.
В затухающую экспоненту уравнения (5.5.22) подставляют и иные
коэффициенты, сложность которых возрастает по мере расширения
диапазона экспериментальных результатов. Для расчета тепло- и массо-
переноса также можно так подобрать значение отношения em/es, чтобы
оно соответствовало экспериментальным данным. С помощью таких
искусственных приемов удается описать широкий диапазон явлений.
К сожалению, это не способствует ни дополнительному пониманию их
физической сущности, ни большей уверенности в расчетах, выходящих
за рамки существующих экспериментальных данных.
Все предложенные модификации уравнения (5.5.22) имеют одну
общую особенность:
lm=Ky при г/+»1. (5.5.23)
Таким образом, в области полностью развитой турбулентности всегда
приходится обращаться к модели смешения (5.5.13) или ее обобщению,
включающему градиент давления. Следовательно, указанные ранее
ограничения (5.5.19) применимы ко всему такому классу моделей
пристеночного слоя.
Различные усовершенствования модели Ban Дриста и других для
вязкого слоя дают:
^. = i[y,U,^,Var-^). (5-5.24)
Последние два параметра являются постоянными для любого
данного слоя. Скорость * можно вычислить на основании частного
случая уравнения (5.5.20):
P(v + sJ§ = ^ + P^/ + ^. (5-5.25)
1 Постоянную „скольжения" В (V^) можно определить по профилю скорости; еле
доватслыю, она неявно входит в уравнение для турбулентной вязкости.
18*


276
Течения в каналах. III. Тепло- и массиперенос
[Гл. 5
Для полноты описания член, учитывающий градиент давления,
включен в это обобщение уравнения (4.1.18). Если известен профиль
скорости, то можно непосредственно определить профиль турбулентной
вязкости; это можно использовать для иных характеристик и скоростей
переноса с помощью частных случаев уравнения (5.5.20). Так,
соотношение
-р(*+^)^ = ^+Р^(Я*-Я) (5-5-26)
определяет профили энтальпии и температуры (в пренебрежении
явлениями восстановления) и в конечном счете поток тепла.
Зависимости (5.5.25), (5.5.26) дают обобщения аналогий,
полученных выше для непроницаемых стенок. Пренебрегая градиентом
давления, можно объединить их и получить выражение
_pr ^LL ^ + pV
Интегрирование этого выражения для области, в которой эффективное
число Прандтля Ргг постоянно, дает:
|Рг„
д.. + 9Ут..(Нт..-Н)
тг,, + рУу/
%, + pVVA
(5.5.27)
где индекс 1 обозначает точку в этой области. Два профиля подобны,
когда Ргв=1 или W-^0. Отклонение от подобия не будет большим при
условиях, близких к указанным.
Рекомендуемая литература
Основная литература [2, 3, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 23, 25,
28, 33, 38, 39, 40, 57, 65, 68, 92, 94, 96, 109].
Специальная литература [50, 73, 80, 93, 111].
УПРАЖНЕНИЯ
5.1. а) Показать, что па стенке очень широкого плоского канала (dqh/dq)0 = 0.
б) Для трубы возможен случай (dqh/dy)0. При каких условиях?
в) Как изменится результат п. «а», если учесть диссипацию и диффузию (т. е.
эффекты восстановления)?
5.2. Рассмотрим класс геометрически подобных теплообменников с трубами
длиной L и диаметром d, через которые перекачивается газ и термическое сопротивление
которых определяет теплообмен.
а) Принимая перепад температур и массовый расход фиксированными, показать,
что тепловой поток и падение давления можно приближенно выразить как
Q-Lr/-°-8 и Ap^Ld-w.
б) Можно принять, что первоначальная стоимость теплообменника равна Ld и что
текущие эксплуатационные расходы примерно составляют Ар.
Показать, что общая стоимость теплообменника рассматриваемого класса при
данной тепловой нагрузке изменяется как C\d[>8-\-C2d~lt, где С\ и С2 — постоянные. От
каких факторов зависят эти постоянные? Обоснованы ли предположения об изменении
стоимости?
в) Каково соотношение между первоначальной и общей стоимостью при
оптимальных условиях? Каков эффект использования диаметра, который на 20% больше
или меньше оптимального? Что лучше, несколько увеличить или несколько уменьшить
диаметр по сравнению с оптимальным? В какой мерс влияет на эти соображения
выбранная форма закона трения?
5.3. Движение малой сферической частицы (объем V, плотность рр) в потоке
жидкости связано с локальной скоростью v жидкости соотношением
т7 dvp dv , 1 (dv dvp


Течения вблизи проницаемых поверхностей
277
Сопротивление (первый член в правой части) выражено па основании закона
Стокса; течение предполагается почти установившимся, нелинейными конвективными
\скореппями пренебрегают. Второй и третий члены характеризуют «архимедовы силы»,
обусловленные градиентом давления в жидкости и присоединенной массой жидкое]и
\ сферы. Так как уравнение линейно, то движение, индуцируемое действующей па
шпицы архимедовой (подъемной) силой, не влияет па реакцию частиц па движение
окружающей жидкости.
а) Показать, что данный результат можно записать в виде
dvp dv
■ + av.j = av + b -
dt
dt
при a=36v/[(2r-f-l)d2] и 6 = 3/(2r+l), где г = рр/р. В каком отношении анализ
движения зерна песка в воздухе будет проще, чем в воде?
б) Общий характер реакции на воздействие турбулентности можно выявить, принимая
v~ Ael0it. Показать, что реакция имеет вид vp = Belwt + Се~а и время, необходимое
для того, чтобы колебания частицы приняли установившийся характер, имеет порядок
\;а. Оценить это время для зерна песка, переносимого в воздухе и воде. Какие
выводы и л этого следуют?
в) Показать, что гармоническая составляющая величина vp определяется
соотношением
В 1 + ibf
А ~
1
■// ^f=~T
Исследовать характер поведения при г=0, 1, оо и /=0, оо. Что характеризует
эти предельные значения? Является ли реакция такой, какую следовало ожидать? Что
следует из полученных результатов для диффузии частиц по сравнению с диффузией
«элементов» самой жидкости? (Напомним, что дисперсия через длительный промежуток
Бремени определяется в основном большими «вихрями».)
5.4. Уравнение (5.2.19) выведено из уравнений (3.3.33) и (5.1.23), которые
описываю! перенос энтальпии через турбулентный слой. Используя (3.3.37), вывести более
полный результат
1 \ / 1 -'
dH
(к + ч) 7^7+ (v + s.,)
с/2
d
dy
+ (v + e*)
dy
■ = const.
Какое обобщение зависимости (5.2.20) отсюда следует?
5.5. а) Использовать зависимости (5.2.20), (5.2.21) для расчета перепада
температур между стенкой трубы и центральной линией для высокоскоростного
адиабатического воздушною потока.
б) Почему зависимости температуры от скорости (5.2.21), (5.2.38) имеют
совершенно различную форму? Как их можно скомбинировать?
3.6. Две серии экспериментов дают следующие значения постоянных,
определяющих логарифмический участок профилей средней скорости и температуры в
турбулентном потоке воздуха вблизи гладкой стенки (табл. 5.4):
Та блица 5.4
А
2,40
2,65
В
5,5
6,5
Ат
2,22
2,30
fT
3,3
1,1
Какие отсюда следуют значения турбулентного числа Прандтля? Насколько хорошо
выполняются условия подобия профилей (5.2.39)?
5.7. Уравнения (5.2.41), (5.2.42) показывают, как связаны перенос тепла и трение,
когда профили скорости и температуры имеют почти одинаковую форму.
а) Используя зависимость (4.2.7), показать, что соответствующий закон тсплопе-
репоса для течения в трубе, когда профили полностью подобны, имеет вид:
F / 1 \ 1/2
Nu= A\nF+B-2,19A ПРИ F = *М~Г с1


278
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
|Гл. 5
Здесь Tf и Uf относятся к одной и той же точке потока.
б) Показать, что в правой части появляется дополнительный коэффициент Рг/Рга,.
если имеется отклонение от точного подобия профилей. Как эти зависимости
согласуются с теорией Прандтля — Тэйлора?
5.8. Как изменяется коэффициент п в (5.2.42) с изменением числа Прандтля и
Рейнольдса?
5.9. а) Вывести из уравнений (5.1.32), (5.1.33) зависимость
т ' + QPe~1/2
Как можно использовать эту зависимость для оценки турбулентных чисел
Прандтля по измеренным значениям турбулентного числа Шмидта?
б) При каких условиях применимы предельные результаты Le^ = 1 и Le* = Le-1/2?
Каковы аналогичные результаты для Рг* и Scf? Почему они отличаются от
соответствующих результатов для Le*?
в) Показать, что для газов (типичные характеристики приведены в табл. 5.2)
Le* = 0,9±0,2 при Re=105;
Le* = l±0,4 при Re=104.
5.10. Даже в том случае, когда выполнены условия (5.1.21), сопряженные
соотношения
Stc = /(St, Le) и — cf = /(St, Pr)
не эквивалентны в точности ни для ламинарных, ни для турбулентных потоков.
а) Показать, что для ламинарного потока в круглой трубе
Stc = LeSt.
При каких условиях коэффициент трения соответствует этой модели? Почему в общем
случае результаты различны?
б) Сопоставить зависимость (5.1.33) с зависимостью из упражнения 5.9,а. Почему
зависимости Let = f(Le) и Рг* = /(Рг) не совпадают по форме? Почему Рг* обычно
меньше Le*? Почему соотношения (5.1.32) менее подходят для переноса количества
движения, чем для тепло- и массопереноса?
5.11. Какие диапазоны значений числа Нуссельта и коэффициента теплоотдачи
[см. уравнения (5.2.9)] можно обычно ожидать для течений четырех классов
жидкости, представленных в табл. 5.2, в трубках с гладкими стенками? Почему жидкие
металлы особенно пригодны для чрезвычайно компактных теплообменников некоторых
ядерных реакторов?
5.12. Сопоставить результаты (5.3.6), (5.3.10) и установить, что следует из
последнего для (Tw—Tf)/(TW—Ть), yh/ym и Prt. Имеет ли это смысл?
5.13. Показать, что максимальный коэффициент турбулентной вязкости при
течении в трубе можно оценить как eTO/v = 0,06Re°'9d и что влиянием турбулентного
смешения на теплоперенос в трубе можно пренебречь (за исключением его влияния на
профиль скорости), когда
1+8Рбере-'/2 <60илиРе<340.
5.14. Известно, что для определенной конфигурации из труб, уложенных поперек
турбулентного воздушного потока, коэффициент теплопередачи [см. (5.2.9)] [/ =
= 45,4 Вт/(м2-К). Однако часть термического сопротивления, равная R =
= 0,0053 м2-К/Вт, приходится па область внутри трубы и на ее стенку.
а) Найти коэффициент теплоотдачи для внешнего течения и оценить коэффициент
массоотдачи для спирта при Sc=l,3, который обтекает наружную поверхность трубы,
принимая условия течения идентичными условиям при измерениях для теплообмена.
б) Если скорость увеличить в 2 раза, а масштаб уменьшить в 3 раза, как это
повлияет на плотность потока массы?
5.15. а) Предполагая, что qh и т постоянные, показать, что характеристики тепло-
переноса для пристеночного слоя можно рассчитать по формуле
■ _*/>, <w.) д( *у4г , 1 , +/ »yf„,.-„«,+.
St qw V cf J J L1 + 4 J cf V cf J J


•§ 5.5]
Течения вблизи проницаемых поверхностей
279
б) Найти закон теплопереноса при Рт>>1, который следует из формулы (4.1.13),
принимая Рг* = 1 и пренебрегая молекулярным переносом при у+ > у£.
в) Принимая em/v = /24z/+4 = /2+t/+4, как в (5.3.20), показать, что
\ С: ^ , / Pr N-1/4
ir-sr=1 + 4rcf/Li.pFr; tpr-Pr*> «р»*^1-
Почему эта зависимость отличается от (5.3.21)? Существенна ли разница?
Которая из них более приемлема при умеренных значениях числа Рг?
5.16. а) Какова форма графика, показанного па рис. 5.5, для ламинарного
потока? Построить такую кривую и изобразить схематически ожидаемые изменения при
переходе к турбулентности и развитии турбулентности.
б) Как изменится график, приведенный на рис. 5.5, если рассматривать перепое
тепла через плоскопараллсльиый турбулентный поток, а не через поток в трубе?
5.17. Для массообмепа в газах движущий потенциал обычно выражается через
парциальное давление. Для компоненты А оно равно Ра={гпа/У)ЯаТ.
а) Показать, что число Стантоиа для массообмепа можно выразить как
NARAT NAR7-
U0ApA U0ApA '
Здесь жирным шрифтом обозначены молярные величины.
б) Для многих задач, относящихся к переносу водяного пара в воздухе, удобно
ввести удельную влажность s = pr/'1o, где p = p/RT — суммарная плотность, которая
обычно очень блнжа к плотности газообразного компонента. Показать, что
^l°~ ?U0As ■
в) Показания психрометра, который состоит из сухого и влажного термометров,
обычно интерпретируются в предположении, что St = Sic. Показать, что это дает
АН
~АГ = Я/£'
полагая, что qv- = NvH,g, где H]g — изменение энтальпии (па единицу массы воды)
при испарении. Обосновать первое и второе предположения п введение величины А,
равной значению дли влг.жм'.гс термометра плн для насыщения, минус значение для
сухого термометра пли температуры воздуха.
г) Как можно модифицировать результаты п. «в» применительно к измерению
концентрации паров жидкою топлива при Sc = 2,6? Существенна ли такая
модификации
д) Примени ib регулыат и. «в» для частного случая, используя таблицы для
определения требуемых характеристик водяного пара.
5.18. Рассматривая смешанную вынужденную и свободную конвекцию в
вертикальной трубе, показать, что отношение архимедовых сил к силе трения на стопке
грубы имеет вид g(pb—р7Г)^/ту,-. Показать также, что условие пренебрежимо малых
эффектов архимедовых сил имеет гид:
Gr
^ 1 —для ламинарного течения;
Re
Re1
1—для турбулентного течения.
5.19. Почему уравнение (5.4.8) пс даст аналогии Рейнольдса при Рг—^Р В
каком существенном отношении простые модели, приводящие к уравнениям (5.4.5) —
(5.4.7), ошибочны? Как этот недостаток устраняется (приближенно) в (5.4.8)?
5.20. а) Используя уравнения (5.3.21) и (5.4.8), показать, что эффективность
шероховатости применительно к интенсификации теплообмена для больших чисел Прайд:-
"in мо'кио оцепить по формуле
7)=17,5Рг-°-05(^+)-0-45.
б) Является ли обоснованной указанная зависимость от числа Прапдтля с учетом
насаждений, приводящих к зависимостям (5.4.3)?
п) Какое максимальное значение может принимать эффективность?


280
Течения в каналах. III. Тепло- и массоперенос
[Гл. 5
5.21. Переписать уравнение (5.4.15) через обычные величины с/ и St, которые
вычисляются по Ua и 7V Дать реальную оценку вклада пристеночного слоя
1 \
j~Cf/ St) для течения воздуха в гладком канале при Uab/v=\0-\
J'JD
5.22. а) Показать, что Nu=4, 2 и 1 соответствует ползущему течению с очень
низким числом Прапдтля соответственно для: 1) симметричного случая (</i = </2);
2) случая с изоляцией (q\ или <j2 = 0); 3) случая переноса (gi = —^2)-
б) Почему закон теплопереноса значительно сильнее зависит от граничных
условий, чем уравнения (5.4.15, 16, 18)? Как можно использовать эти уравнения для
получения результатов п. «а»)?
5.23. а) Вывести рабочую формулу для расчета теплоотдачи на твердых границах
открытого канала с плоским дном и вертикальными стенками. Указать пределы се
применения.
б) Как рассчитывается теплоперснос на свободной поверхности?
5.24. В кондиционере сухой воздух (30°С, 1 кгс/см2) движется между влажными
пластинами; средняя скорость в зазоре между пластинами, равном 3 см, составляет
20 м/с.
а) Изобразить схематически изменение потока массы вдоль одной из пластин.
б) Рассчитать типичный коэффициент теплоотдачи, используя зависимость (5.3.23).
в) Пластины какой длины можно использовать?
5.25. Теплопередача через внутреннюю стенку кольцевого канала часто
оценивается па основании зависимости Nu/Nui= (d2/di)v\ где m = 0,5±0,05 и Nui — значение
при d2/^i=l- Сопоставить это выражение с выражением для трения в упражнении
4.28. Согласуются ли оба результата с аналогией между трением и теплообменом?
(Напомним, что напряжения па двух стенках различны.)
5.26. Показать, что уменьшение теплоотдачи к стенке в результате трапепирациоп-
ного охлаждения определяется выражением
?V,.(Hi-H.J-(qho-qhi),
где qh —плотность потока от стенки при ]Л, = 0, индекс 1 обозначает точку на
границе пристеночного слоя. Каков смысл этих двух членов? Какие знаки они могут
иметь?
5.27. Установить знак членов уравнения (5.5.10), когда имеет место конденсация
пара па стенке при:
1) течении чистого пара;
2) течении смеси пара и воздуха.
Для второго случая рассмотреть раздельно потоки двух компонентов и
изобразить схематически градиенты и профили концентрации.
5.28. Многие из явлений, рассмотренных в данной главе, можно
проиллюстрировать на простом примере равномерного тепло- и массопсрепоса через ламинарное
течение Куэтта, характеристики которого принимаются постоянными. Результаты
имеют большое практическое значение при определении характеристик подслоя (>жс
не линейного, но все еще вязкою) па гладкой проницаемой стенке.
а) Показать, что
qh —zU= qw + 9VW (Hw—H),
потея диссипация и дш]
распределения скорости
U _ cxp{Rcby'b) — 1
где T = Ttc-\-pVwU, если учитываются диссипация и диффузия,
д) Вывести формулу для распределения скорости
U2 exp (Reb) — 1 >
Vwb
где Re^= —число Рейнольдса, характеризующее массоперенос. Изобразить
схематически профили скорости для нескольких значений Re/,§0, указывая развитие
пограничных слоев при высоких числах Рейнольдса.
в) Предполагая отсутствие диссипации и дТ/дх = 0, показать, что теплоотдача
на нижней пластине определяется соотношением
Nu -= e^pe^t - где Ре6= —,


§ 5.о] Течения вблизи проницаемых поверхностей 281
и что она уменьшается под действием вдува. При каких условиях профили скорости
и температуры будут подобными?
г) Показать, что при учете диссипации и выполнении условий Vw = 0 и дТ/дх = 0
■справедливо
1 U\
Nu = 1 — —j- Рг Ее, где Ее = т т у
СР \J 1 1 2 /
«ел и Nu вычислено по Т\—Т2 (комплекс Рг Ее — показатель влияния вязкого
нагрева—иногда называют числом Брпнкмана). Показать также, что коэффициент
восстановления г = Рг и, наконец, что число Nu=l, если оно вычислено по Т\—Тг.
д) Вывести для рассматриваемого течения общий результат
Рг
! 2ср(Тг~Т) , у
l+Re*J щ d(-j
о
Показать, что распределение температуры можно получить с помощью итераций.
Найти первые два приближения. Как изменяется коэффициент восстановления при
вдувс и отсосе? Согласовать полученные результаты с результатами п. «в». Имеют ли
смысл понятия адиабатической стенки и коэффициента восстановления для
проницаемой стенки?
5.29. а) Показать, что для обобщенного слоя па проницаемой стенке постоянная
«скольжения» равна
/ь-fio -/с0 +-^ [(1 + к+^+)1/2 - Ч - л in (|!_),
1дс В0 = Ко—Л In /Со — значение для непроницаемой стенки.
б) Показать, что согласно предположению Симпсопа, заключающемуся в том, что
и+=у+=Ко — некоторая точка па любом профиле, В изменяется от минимального
значения В0—/С0 (в предельном случае вдува) до максимального В0-\-Ко (в предельном
случае асимптотического отсоса при —j-Cf = V*~= l/'/Cjb
в) Другое предположение заключается в том, что em/v имеет одно и то же
значение (/Со/М—4,4) для всех значений V*, в точке сопряжения полностью
турбулентной области с вязким слоем:
ехр(0+)-1
U+ = ^ *
r w
Показать, что эта точка определяется соотношением
tfexp(4-W) = *.
Как изменяется В при переходе к обоим предельным случаям?
г) Изобразить графически предполагаемое изменение всех трех величин В в виде
функции от V^ [В = В0 по Стивенсону и две величины В, рассмотренные выше)
Выбор какой из этих величин представляется наиболее реалистичным?
5.30. Из уравнения (5.5.16) следует закон трения вида c^ = /(Re, V*) который
можно получить таким же способом, что и уравнение (4.2.7).
а) Принимая Re=104, изобразить графически этот закон в диапазоне (5.5.19),
определяя постоянную В согласно предположениям Симпсона и Стивенсона.
Насколько важен выбор той или иной гипотезы?


282 Развивающиеся течения. I. Теоретические основы [Гл. 5-
б) В упражнении 3.22 утверждается, что при учете поперечной конвенции поток
количества движения Рейнольдса модифицируется к виду Gm= G0 + -~- GL. Показать,
У*
что это утверждение эквивалентно Cf ■= Cf + const-—. Какие значения постоянной
следуют из результатов п. «а»?
5.31. Уравнение (5.5.25) в принципе можно решить при любом распределении
коэффициента турбулентной вязкости вида (5.5.24). Однако используемые при этом
методы зависят от характера функции, определяющей коэффициент переноса.
а) Показать, что для распределений Дейсслера (4.1.14), (4.5.15) уравнение
dU+ t''t-з»
<*У+ 1+ет'т
можно проинтегрировать непосредственно.
б) Показать, что для модели Ван Дрпста и ее модификаций, в которых /* =.-
— f(y+> ^ + ). уравнение
- +idU+\dU+_ х
. + m dy+ J dy+ " ъ
интегрируется легче, если его записать в виде
dy+ 1 + [1 + 4/+2 (т/ъ)]1/2 \ w d*T
в) Зависит ли метод расчета распределения энтальпии по уравнению (5.5.26) от
того, как связал коэффициент турбулентной вязкости с другими характеристиками
течения? Какова форма решаемого уравнения?
5.32. а) Записать компьютерную программу для расчета теплоотдачи к развитому
турбулентному течению в трубе с гладкими стенками. Точность должна быть в
пределах 10% во всем диапазоне возможных чисел Рейнольдса и Прандтля.
б) Обобщить эту программу на случай шероховатых стенок и развития течения,
включая начальный ламинарный участок. Какова достижимая точность при таких рас-
четах?
ГЛАВА ШЕСТАЯ
РАЗВИВАЮЩИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ. I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
В предыдущих главах рассмотрены полностью развитые течения
в каналах, когда среднее движение параллельно стенкам канала.
Обратимся теперь к анализу почти параллельных движений жидкости, как
вблизи стенок—пограничных слоев и пристеночных струй, так и
свободных турбулентных течений — следов, струй и слоев смешения.
Многое из того, что нам известно о пристеночных слоях, можно применить
и к развивающимся пристеночным течениям: на очень близком
расстоянии от стенки среднее движение является почти параллельным и
процессы переноса подобны процессам вблизи стенки в полностью развитом
течении. Однако внешняя область ограниченного стенкой течения
подобна свободному турбулентному движению и доминирующим здесь
является расширение зоны среднего движения и турбулентности.
В последующих главах будут в основном рассмотрены
«тонкослойные» течения, имеющие большую протяженность в направлении
среднего движения благодаря относительно малой интенсивности
поперечной диффузии. В главах 7 и 8 рассматриваются свободные
турбулентные течения и пограничные слои, а в гл. 9 — подходы к расчету более


§ 6.1 j
Тонкослойные течения
283
сложных течений. В настоящей главе заложены теоретические основы
для исследований развивающихся течений, включающие:
1) обзор и анализ общей картины течения во внешней
турбулентной области, характеристик самого внешнего течения и турбулентного
взаимодействия (границы турбулентности);
2) вывод уравнений пограничного слоя или тонкослойного
течения— дифференциальных и интегральных уравнений движения и
энергии, упрощенных в соответствии с геометрией течения;
3) обзор и рассмотрение тех методов описания и анализа
развивающихся течений, которые будут использованы в последующих главах.
Большая часть материала этой главы относится к двум видам
течений самой простейшей геометрии: плоские течения при U, V=f(x, у)
и осесимметричные незакрученные течения при U, V=f(x, r). Для
компактности последний вид течений будем называть осесимметричными
(круглыми) течениями. Основные предпосылки для исследования
течения с такой геометрией были изложены в гл. 3. Будем использовать
законы сохранения, установленные в § 3.3, и модели переноса
градиентной диффузии § 3.4, которые включают турбулентную вязкость
и путь смешения. Однако наиболее действенным методом анализа,
особенно для простых течений, рассмотренных в главах 7 и 8, является
метод подобия. С помощью этого метода часто удается раскрыть
физическую картину развития течения, не прибегая к детальному
изучению процессов переноса.
6.1. ТОНКОСЛОЙНЫЕ РАЗВИВАЮЩИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ
6.1.1. ПРИМЕРЫ
Будем уделять основное внимание течениям, у которых одна
компонента средней скорости намного больше, чем другие, и область
с большими градиентами скорости и значительной интенсивностью
турбулентности простирается в направлении этой большой компоненты.
С точки зрения математики это геометрическое ограничение имеет
существенные последствия: всякая производная по поперечной координате
будет намного превосходить соответствующие производные по
продольной (в направлении среднего течения) координате. Теперь обратимся
к рассмотрению течений, в которых может возникнуть такая ситуация.
Детально можно будет рассмотреть лишь некоторые из этих течений,
но и такой обзор позволит выявить широкую область применения
приближений пограничного слоя или тонкослойного течения.
Плоские течения
К обширному классу тонкослойных течений относятся течения
вблизи поверхности, плоскость которой обычно принимают в качестве
координатной плоскости #=0; в таких течениях U(x, y)'>V{x, у) и д/дх<^:
<Сд/ду. Заметим, что плоскость ху, в которой рассматривается
течение, будет нормальной к поверхности, обтекаемой жидкостью.
Свободные турбулентные течения этого класса включают след за
цилиндром, расположенным поперек равномерного потока, в котором
V = U\\ струю, вытекающую из щели в неподвижную жидкость; слой
смешения между двумя течениями, первоначально имеющими
постоянные скорости U\ и 02. Эти примеры можно обобщить, если принять, что


284 Развивающиеся течения. I. Теоретические основы [Гл. G
начальные течения будут неравномерными. Так, в результате
получаем след в течении со сдвигом при U\(y) вне следа или струю в
текущей жидкости, и в частности, в потоке с переменной скоростью
U\(x). Если плоскость, которую обтекает жидкость, представляет собой
неподвижную стенку, то будем иметь два вида плоских течений —
пограничный слой и пристеночную струю, причем последняя может быть
с внешним течением жидкости или без пего. В обоих случаях скорость
внешнего течения может изменяться вдоль потока.
Плоское течение может иметь место и при обтекании
криволинейной поверхности; примерами этого являются, пограничный слой или
пристеночная струя у криволинейной стенки и искривленная струя, поперек
которой изменяются и скорость, и давление. В этих случаях еще
существуют условия тонкослойного течения, если принять, что х отсчитыва-
ется вдоль поверхности, а// — по нормали к ней.
При рассмотрении пограничных слоев и пристеночных струй,
подвергнутых действию положительного градиента давления (т. е. течений
с замедлением), следует иметь в виду возможность отрыва, независимо
от того, является ли обтекаемая поверхность плоской или
криволинейной. Вблизи точки отрыва (или повторного присоединения, если такое
явление имеет место) условия U^>V и д/дх^д/ду не выполняются.
Однако эти условия пограничного слоя могут выполняться снова после
отрыва или присоединения.
Осесимметричные течения без закрутки
Цилиндрические свободные турбулентные течения, формирующиеся
вокруг оси симметрии, включают струю из круглого отверстия и след
за телом вращения. Что касается струй, вытекающих из некруглых
отверстий, и следов за телами некругового сечения, то такие течения
постепенно стремятся к осссиммстричным; однако в этих случаях
может потребоваться длительное время для затухания эффектов
асимметрии начальных условий.
К осесимметричным тонкослойным течениям относятся также
течения, сосредоточенные вблизи плоскости, например радиально
направленная струя из канала кругового сечения, радиальная пристеночная
струя и пограничный слой, образующийся в критической точке. Можно
причислять сюда и течения, сосредоточенные вблизи цилиндрической
поверхности, например цилиндрический слой смешения на начальном
участке круглой струи, пограничные слои и пристеночные струи
снаружи кругового цилиндра и внутри трубы. Наконец, имеются важные
случаи пограничных слоев на теле вращения и внутри осесимметрпч-
иых сопл и диффузоров; в таких случаях обычно Ui = U\(x).
Трехмерные течения
Осесимметричные закрученные течения образуют многочисленную
группу течений, большинство из которых имеют малую толщину в
радиальном направлении, причем д/дх^д/дг. Это может быть в двух
случаях: в сильно закрученных потоках при W(x, r)^>V(x, г) и в слабо
закрученных потоках при U(x, r)^>V(x, r). Первый тип течений
возникает в циклонных сепараторах и в концевых вихрях крыла, а второй —
в струях, выходящих из турбовентилятора или другой турбомашины.


§ 6.1 J Тонкослойные течения 285
Имеются два вида пристеночных течений такого общего класса —
пограничные слои на диске, вращающемся в покоящейся жидкости, и на
неподвижном диске во вращающейся жидкости. В последнем случае
могут возникнуть протяженные осесимметрпчные ячейки жидкости,
движущейся по направлению к диску и от него.
К некоторым другим трехмерным, но тонкослойным течениям
относятся:
1) пограничные слои на лопатках и крыльях при 1/<С£Л 1Г и
д/ду^д/дх, д/дг;
2) следы за телом под углом атаки относительно среднего потока,
где также 1/<С U, W\
3) некруглые следы или струи при V, W<^U и д/ду, д/дг^>д/дх.
Течения жидкости с переменной плотностью
Каждое из рассмотренных выше течений можно обобщить, если
учитывать изменение плотности жидкости. Оно может возникать
вследствие многих причин: в результате массо- пли теплопереноса,
сжимаемости жидкости в потоках большой скорости, неоднородности состава
жидкости, температурной стратификации или стратификации,
обусловленной различием концентрации, как, например в атмосфере или
в океанах и озерах. Мы рассмотрим только один пример эффектов
изменения плотности — свободную (или естественную) конвекцию, в
которой движение вызывается архимедовыми силами. Тонкослойные
течения этого класса включают плавучие струп, шлейфы и следы и
пограничный слой, обусловленный архимедовыми силами (не будет ли он
пристеночной струей?), на вертикальной пластине или цилиндре.
6.1.2. РАЗВИТИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Условия на свободной границе
Развитие по направлению движения указанных выше течений
является следствием существования свободной границы между областью
развитой турбулентности и внешней жидкостью. Будем рассматривать
наиболее типичные случаи, когда внешняя окружающая жидкость
почти неподвижная или движется практически равномерно, и поэтому
исключим из рассмотрения мноючисленные ситуации, в которых
внешнее течение является существенно турбулентным независимо от
расширяющегося (развивающегося) течения со сдвигом; например, течение
с мелкомасштабной турбулентностью в аэродинамической трубе, очень
большие вихри в атмосфере или вихри средних масштабов в ядре
течения в диффузорах или соплах.
При этом ограничении можно ожидать, что значения большинства
характеристик, являющихся мерой интенсивности турбулентности в слое
со сдвигом, будут уменьшаться по мере приближения к внешнему
потоку. Для любого тонкослойного течения:
~ ?—О (6.1.1)
dy > ду v '
'. Чн-О-


286 Развивающиеся течения. I. Теоретические основы [Гл. 6
Для турбулентного течения дополнительно имеем:
и5, 72 —О
и
рю> = — ^ — 0, Р^г = (^/?)^ —0 (6.1.2)
и т. д. Одна характеристика развивающегося течения переносится и во
внешний поток; в общем случае на свободной границе следует
принимать
УфО. (6.1.3)
Граница турбулентности
Осредненные по времени граничные условия (6.1.1) — (6.1.3)
соответствуют как ламинарному, так и турбулентному течению со сдвигом.
Однако для двух режимов течения приближение к значениям,
характерным для невозмущенного (внешнего) течения, достигается
совершенно различным образом. Ламинарный слой со сдвигом плавно переходит
во внешнее течение, точно также осредненные значения характеристик
турбулентного слоя плавно переходят в значения характеристик
внешнего потока. Однако мгновенная картина будет совершенно иной.
Рисунки 1.4 и 1.5,а (стр. 21—22) указывают на наличие четкой
поверхности раздела между практически безвихревым внешним потоком и сильно
завихренным потоком в области интенсивной турбулентности.
Плавность перехода осредненного по времени слоя со сдвигом
к внешнему течению является следствием нестационарности и сильно
извилистой формы поверхности раздела в результате действия
крупномасштабной турбулентности. Тот факт, что крупная извилистость
поверхности раздела часто обнаруживает определенную периодичность,
указывает на возможность выявления крупномасштабной структуры,
типичной для каждого вида турбулентных потоков. Рисунок 1.5,а
показывает, что малые масштабы в полностью турбулентной области
являются практически однородными. Это вполне логично, так как
свободно перемещающиеся крупные «вихри» могут переносить малые
через свободный слой со сдвигом или внешнюю область потока,
ограниченного стенкой.
Резкий переход между турбулентным течением со сдвигом и
внешней жидкостью представлен выше просто как поверхность раздела.
Какова структура этой поверхности и как она продвигается во внешнюю
жидкость, обеспечивая развитие турбулентного течения? Ответ на
первый вопрос достаточно прост. Граница турбулентности является слоем
с очень сильным сдвигом (поперечным градиентом скорости) и его
толщина сравнима с масштабом наименьших турбулентных вихрей;
большие градиенты не могут поддерживаться в течении, в то время как
интенсивное поперечное смешение переносит мельчайшие элементы
диссипирующей структуры к границе раздела. Поверхность раздела
часто называют вязким суперслоем по аналогии с тонким подслоем на
стенке; однако эти два вязких слоя настолько несхожи, что такое
название представляется неподходящим.
Перейдем теперь к вопросу о распространении (развитии)
турбулентности. Поперечное расширение ламинарного течения определяется
вязкостью, а поведение средней границы турбулентности и соответст-


§ 6.1J
Тонкослойные течения
287
вующих профилей средних турбулентных характеристик, таких как
скорость и температура, обусловлены другими факторами. Свободные
турбулентные течения обычно характеризуются отсутствием зависимости
от вязкости (или автомодельностью по числу Рейнольдса); например,
угол расширения турбулентной струи практически не зависит от числа
Рейнольдса потока. По-видимому, интенсивность, с которой внешняя
жидкость становится турбулентной, определяется теми областями
течения, которые не зависят от вязкости, т. е. средним движением и
наибольшими масштабами турбулентности. В этом отношении
распространение турбулентности подобно диссипации турбулентности, скорость
которой практически не зависит от основных процессов, обусловленных
вязкостью.
Хотя процессы, которые вносят вклад в распространение
турбулентности, известны, еще нет единой точки зрения об относительной
значимости этих процессов. Возможно, причиной этого является то,
что процесс «эжекции» не имеет аналога в поддающейся
теоретическому анализу изотропной и однородной турбулентности. Ниже приведено
краткое описание двух явлений, в результате которых жидкость за
границей турбулентности может смешиваться с жидкостью лечения,
которое уже стало турбулентным:
1. Внешняя жидкость захватывается при деформации границы и
образовании складок в результате совместного действия среднего
течения и наибольших турбулентных вихрей. Эжектируемая жидкость
в конце концов поглощается (т. е. становится завихренной, так что
может участвовать в характерных турбулентных взаимодействиях)
последующим перемещением границы во внутрь.
2. Внешняя жидкость становится немного завихренной в результате
вязкого продвижения поверхности раздела, скорость которого
увеличивают малые извилины поверхности. При этом определенную роль
играют структурные образования крупных масштабов, растягивая
поверхность раздела и, таким образом, усиливая здесь завихренность в
результате процесса растяжения вихрей, описанного в § 1.4.
В обоих случаях скорость перехода к турбулентности существенно
зависит от среднего движения в соответствии с наблюдаемой
автомодельностью распространения турбулентности по числу Рейнольдса.
Хотя граница турбулентности имеет фундаментальное значение для
многих аспектов динамики развивающихся течений, достаточно точные
расчеты средних характеристик часто можно выполнять, не учитывая
явно ее существования. Это возможно только потому, что ее главные
эффекты находят свое отражение в эмпирических коэффициентах.
Пример плоского следа
Теперь рассмотрим, как эти положения используются при решении
конкретной задачи о течении в следе за круговым цилиндром в
равномерном потоке, которое было обстоятельно исследовано Таунсендом
и др. Здесь турбулентность можно измерить сравнительно легко, так
как средняя скорость практически постоянна (исключая область,
непосредственно прилегающую к цилиндру) и велика по сравнению с
турбулентными пульсациями, зависящими от неуклонно уменьшающегося
дефекта скорости. Такие условия являются идеальными для термоане-
мометрических измерений в противоположность условиям на границе


288
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. 6
струи в неподвижном воздухе или на границе слоя смешения и
неподвижного воздуха.
На рис. 6.1,а и б представлены профили средней скорости и
интенсивности продольных пульсаций для четырех сечений в следе.
Довольно быстро устанавливается почти автомодельный колоколообраз-
ный профиль средней скорости, который аппроксимируется формулой
Ux — U(xty) I
-—ехр
^о [*)
У '
(6.1.4)
где U0 = Ui—U(x, 0) —масштаб изменения скорости, 10(х) —линейный
масштаб ширины потока. Для этого течения из соображений подобия,
которые будут представлены ниже, следует, что V0co х~1/2 и 10с^х1/2,
где расстояние х отсчитывается от соответствующего эффективного
начала. Такое нормирование использовано на рис. 6.1 и является очень
удачным, по крайней мере для средней скорости. Оказывается также,
что профиль (6.1.4) описывает распределение скорости и в вязком
следе за плоской пластиной или другим телом, с которого не
происходит отрыва вихрей. Это подтверждает мысль, что профиль средней
скорости лишь в слабой степени зависит от особенностей механизма
переноса.
%г eg qj о^ е/ ttfi
чгу
0,25
V
0,15
V
и, ид
— "-**■»
^ __ -
__»*>
й)
*-4v
\
\
\
\
\
■/-^ \
vV\
I I I I :^=ь,
0t1 fffi 0}д 0,¥ 0,5 0,6
6)
0,1 0,2 0,5 0,4 0,5 0,6
f-x/d*№
г- яй
J- 500
¥-x/d = 950
6)
Рис. 6.1. Турбулентное течение в плоском следе (по измерениям Таунсенда). Данные
при Red = 8400 {x/d = 80 и 160) и Ref,= 1360 (x/d=b00 и 950). В каждом случае
продольная координата х отсчитывается от эффективного начала, расположенного
несколько впереди цилиндра. Поперечная координата равна ц~у/ (xd)lI2.
а — измеченпе дефекта скорости; результаты для двух чисел Рейнольдса не совсем сопоставимы,
но иллюстрируют общую картину изменения; б — изменение продольной компоненты пульсаций
скорости; в — окончательные профили (#/d=950) компонент интенсивности и турбулентного
напряжения.


§ 6.1J
Тонкослойные течения
289
Рисунок 6.1,6 показывает, что хотя пульсации в конечном счете
принимают автомодельную форму с такими же масштабами, как и
средняя скорость, это происходит гораздо ниже по течению. В этом
отношении след — в некотором роде необычное явление ввиду того, что
диссипация дополнительной энергии, поступающей при образовании
следа, мала по сравнению с конвекцией, сообщенной внешним течением.
Тем не менее эти данные приводят к имеющему широкое применение
выводу: нельзя полагать, что каждая характеристика турбулентного
течения принимает автомодельную форму, если профиль одной
характеристики становится автомодельным; в частности, профиль средней
скорости является малоэффективным показателем турбулентности.
1,0
К 0,8
Рис. 6.2. Изменения коэффи- ^
циента перемежаемости y и | °>6
средней скорости. д^
а — плоский след; б —
пограничный слой постоянного дав- 0,1
ления.
О 0,2 0,4 0,6 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
' y/(xd)fh а) y/fi 5)
На рис. 6.1,в показаны конечные автомодельные профили
компонент интенсивности турбулентности и турбулентного напряжения.
Сравнение с рис. 2.3 обнаруживает, что здесь компоненты интенсивности
турбулентности в меньшей мере отличаются друг от друга, чем для
пристеночной турбулентности. Однако компоненты интенсивности
в плоскости среднего движения несколько больше, чем третья
компонента; это наводит на мысль о том, что турбулентность содержит
существенные двумерные структурные образования. Отметим, что
турбулентное напряжение и две компоненты интенсивности достигают своих
максимальных значений в области, где средняя скорость деформаций
(dll/dy) и порождение турбулентности (—uvdU/ду) являются
наибольшими. Однако третья поперечная компонента является наибольшей
вблизи центральной плоскости. Это указывает на то, что существует
эффективный перенос через эту плоскость с одной стороны следа
в другую.
На рис. 6.2,а и б показаны изменения средней скорости и
коэффициента перемежаемости 7 поперек плоского следа и в пограничном слое
постоянного давления, Едва ли имеется какая-либо область в следе,
в которую бы не попадала время от времени существенно не
турбулентная жидкость. В пограничном слое зона заметной перемежаемости
пропорционально более узкая; условие отсутствия проникновения на
стенке сказывается поперек всего слоя. На рис. 6.2,'а и б область
перемежающейся турбулентности простирается дальше области изменения
средней скорости. Это указывает на то, что внешняя огибающая
поверхности раздела движется практически со скоростью конвекции U\.
Профили интенсивности на рис. 6.1 простираются даже дальше, так
как пульсации индуцируются во внешней жидкости процессами на
границе и внутри границы раздела. Различие форм и соотношений для
профилей скорости и перемежаемости для следа и пограничного слой
19—56
V
^
1,0
а
0,6
0,4
0,2
/u/uf
-
'
\^.—■—
\
\У
\
\
\
\
\
\


290
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. б
0,10 г
I 1 1 1 1 i i_ I i i ■ I i ^s
в 0,1 0,2 0,3 0,4- 0,5 0,6 О О,/ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
ф*У/л а) У/(**)'/г S)
Рис. 6.3. Изменения турбулентной вязкости и диссипации в турбулентном течения
в плоском следе при Red=8400 и xfd—160, вычисленные по измерениям Таунсендач
Величины, разделенные на коэффициент перемежаемости у, относятся только к интен-т
сивно турбулентной жидкости.
а — турбулентная вязкость; б —диссипация энергии турбулентности.
указывает на трудности разработки унифицированной теории для
свободных турбулентных и внешних турбулентных течений.
На рис. 6.3 приведены две характеристики мелкомасштабной
турбулентности в следе. Здесь показано, как изменяются поперек течения
турбулентная вязкость ет и диссипация турбулентности е*. Также
показаны изменения этих величин для развитого турбулентного течения;
эти характеристики получены делением на локальный коэффициент
перемежаемости. Как и ожидалось, имеется достаточная степень
однородности движений малых масштабов в пределах границы раздела.
Кроме того, эти результаты в определенной мере подтверждают
принятие постоянного значения турбулентной вязкости для любого данного'
участка течения, особенно если это используется только для области
развитой турбулентности.
6.1.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ШИРИНЫ ПОТОКА
Поперечный размер (ширина) потока часто используется при
определении области, занятой течением, и изменений средних характеристик,
например при вычислении локального числа Рейнольдса для
определения динамического условия течения и, следовательно, характеристик,
трения. Для течения в канале ширина канала сама по себе является
очевидной ^ерой ширины потока. Для течения со свободными
границами ситуация не столь ясна. Поперечная протяженность профилей осред-
ненных характеристик различна, и каждый профиль асимптотически
стремится к значению характеристики во внешнем потоке.
Следовательно, можно использовать несколько поперечных размеров, однако более
часто используется размер, основанный на профиле средней скорости.
Для пограничных слоев наиболее очевидной мерой толщины
является расстояние, на котором средняя скорость достигает значения,
составляющего некоторую заранее установленную долю от значения
скорости внешнего течения. Часто используются толщины 699 и 6995,
соответствующие f/=0,99t/i и 0,995£/i. Конечно, для чисел Прандтля (Рг
или Рг*), значительно отличающихся от единицы, эти величины могут
и не быть достаточно точным показателем ширины области, в которой
происходит изменение температуры.
Другие общепринятые величины, характеризующие поперечный
размер пограничного слоя, основаны на средневзвешенном изменении
скорости:


§ 6.1J
Тонкослойные течения
291
1) толщина вытеснения
о
2) толщина потери импульса
О
3) толщина потери энергии
6
Здесь i/i выбирается достаточно далеко от стенки, для того чтобы
охватить все изменения скорости и плотности; этот предел для
краткости иногда записывается как сю. В рассматриваемых прикладных
задачах плотность будет практически постоянной, и эти формулы можно
упростить за счет ее сокращения.
«Толщины» (6.1.5) — (6.1.7), строго говоря, не являются
поперечными размерами течения, а выражают его некоторые динамические
свойства. Толщина вытеснения дает поперечное смещение .внешнего
течения сдвиговым слоем; толщина потери имлульса является мерой
уменьшения потока импульса; толщина потери энергии характеризует
уменьшение кинетической энергии потока жидкости в пограничном
слое.
Если профили екороети и плотности вдоль течения подобны, причем
где 60 — любая мера ширины, то мы находим, что
~, -^- -г- и т. д. — постоянные. (6.1.9)
При этих условиях каждая из толщин может -служить в качестве
показателя изменения поперечного размера течения. Константы (6.1.9)
различны для каждой системы подобных профилей >и можно полагать,
что их значения характеризуют форму профиля. Формпараметр
Н = ^- (6.1.10)
часто используется для установления формы профиля пограничного
слоя. Этот профиль будет полностью определен, если только
определены несколько указанных отношений.
Поперечный размер свободного турбулентного течения или
пристеночной турбулентной струи (или аналогичного ламинарного течения)
можно также определить с помощью взвешенных средних, аналогичных
(6.1.5) —(6.1.7). Если U<Ui (как, например, в следе), то необходимо
будет изменить знак, а если скорость внешнего течения равна нулю,
величина Ui должна быть заменена другим масштабом скорости. Более
общим способом является определение поперечного размера с помощью
характерной точки на профиле скорости. В качестве характерной прини-


292
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. 6
мают точку, в которой изменение скорости достигает половины своего
значения. Для профиля, заданного уравнением (6.1.4), такой подход
приводит к значению константы k=\n 2=0,693. Иногда используются
другие значения k=l и 1/2, для которых /0 соответствует (£Л—£/)/£У0=
=e-i=0,368 и <г1/2=0,606. Очевидно, что важно знать, какое
определение используется в каждом конкретном случае.
Диапазон скоростей поперек течения дает удобный масштаб для
изменения скорости: U\—для пограничного слоя, U\—U (х, 0)—для
следа и U (я, 0) —для струи. Более строгая проверка подобия
обеспечивается выбором масштабов длины и скорости, внешних по отношению
к профилю. Это сделано на рис. 6.1, где d, x и £Д дают масштабы для
плоского следа. Для круглой струи нормирование можно выполнить
с помощью величин х и Uq==(F/р*2)1/2, где F — импульс струи. Если
развитие течения действительно является автомодельным, внешние
масштабы будут изменяться пропорционально тем масштабам, которые
неявно входят в профиль. Соотношения между этими двумя видами
масштабов будут рассмотрены снова в конце п. 7.3.3.
6.1.4. ВНЕШНЕЕ ТЕЧЕНИЕ
До сих пор рассматривались процессы в пределах границы
турбулентности. Теперь рассмотрим три аспекта течений в области вне этой
границы:
1) среднее течение, индуцируемое развитием слоя со сдвигом;
2) нестационарное движение, обусловленное эффектами границы
раздела;
3) динамические граничные условия на границе тонкослойного
течения.
Течения, обусловленные эффектами вытеснения и вовлечения
При введении толщины вытеснения уже отмечалось, что рост
пограничного слоя связан с поперечной средней скоростью на границе
слоя, т. е. здесь V=l/i>0. С другой стороны, замедление струи при
постоянном значении продольной составляющей количества движения
требует, чтобы количество массы, проходящей через поперечное сечение
струи постоянно увеличивалось (это будет более четко показано
в § 7.1). Следовательно, на границе струи Vi<0, и действительная
скорость продвижения поверхности раздела турбулентности больше той,,
которую можно было бы получить по наблюдениям за средней
границей струи.
Процесс захвата жидкости турбулентным потоком называется
вовлечением, однако нет общепринятого толкования этого термина. Этот
процесс можно определить с помощью:
1) средней скорости Vi на границе турбулентной области; Vi>0'
означает увеличение потока массы жидкости, и это может происходить,
даже при ламинарном течении;
2) средней скорости поверхности раздела турбулентности
относительно движущейся жидкости Vi, положительной вовне; Vi>0 означает
увеличение потока турбулентной жидкости;
3) абсолютного значения средней скорости поверхности раздела
V[-\-Vi\ Vi+l/f>0 означает, что движение границы раздела происходит
в направлении положительного значения V.


§ 6.1J
Тонкослойные течения
29.Ч
Однако по определению в тонкослойном течении скорость
поперечного расширения течения мала:
U^>VU Vu Vi+Vi. (6.1.11)
Поскольку термин вовлечение определен столь произвольно, то мы
можем использовать его лишь в общем при описании расширения
течения. При чтении литературы необходим тщательный анализ
физического смысла, вкладываемого автором в этот термин.
Пульсации во внешнем потоке
Хотя случайные пульсации скорости действительно имеют место за
пределами поверхности раздела турбулентности, они не являются
турбулентностью в прямом смысле этого слова, так как внешняя жидкость
почти не завихрена и здесь не может осуществляться порождение
турбулентности в результате растяжения вихрей. Безвихревое движение
может быть описано с помощью потенциала скорости ф(х, у, г),
связанного с вектором скорости и его компонентами зависимостями
и = _уФ и щ = -^, (6.1.12)
где V —оператор градиента. Филлипс исследовал статистические
свойства безвихревого движения, .вызванного стационарными случайными
пульсациями в фиксированной плоскости (скажем, у=0), и установил,
что полученные результаты справедливы для движения за пределами
фактической поверхности раздела турбулентности. К числу простых
соотношений, полученных Филлипсом, относятся
tf=l?-{-w*, ьш = 0 и ?счэг/-4. (6.1.13)
Последний результат показывает, что вынужденное движение очень
быстро затухает в пределах нетурбулентной жидкости.
Динамика внешнего течения
В нестационарном потенциальном течении жидкости постоянной
плотности, давление и скорость в произвольный момент времени
связаны зависимостью
ж+^т£--ь4-^+иУ,+4-^+°),+-га',=сопй-
В этом обобщении теоремы Бернулли изменяющиеся компоненты
скорости приведены в виде, соответствующем внешней границе
турбулентного течения при плоском осредненном потоке. Осреднение по
времени для статистически стационарного течения дает
7-+4-^+-T-y21+4-^2=consL (6ЛЛ4)
Последнее соотношение из (6.1.13) показывает, что на некотором
малом расстоянии за пределами поверхности раздела здесь можно
пренебречь последним слагаемым. Кроме того, можно ожидать, что в
тонкослойном течении V2i<£/2i. Отсюда внешнее динамическое граничное
условие запишется просто как
^i_J-J_£A = const, (6.1. lfa^
р ' 2


'294 Развивающиеся течения. I. Теоретические основы [Гл. 6
и градиент давления, действующий в пограничном слое или в ином
развивающемся течении, связан с изменением внешней скорости
зависимостью
т^Н-^ж- <6лл5б>
Будем предполагать, что линейные масштабы для среднего
внешнего течения велики по сравнению с масштабами течения в слое со
сдвигом, так что не возникает никаких трудностей при определении
внешнего давления как функции расстояния х, отсчитываемого вдоль
течения.
Для решения уравнений тонкослойных течений, которые будут
приведены ниже, мы потребуем задания какого-либо из градиентов (6.1.15).
В экспериментах с развивающимся слоем со сдвигом можно измерить
давление или скорость свободного течения. Однако при анализе
обтекания конструкции, которая еще не существует (например, крыло
проектируемого самолета), необходимо рассчитать эти распределения,
прежде чем проектируемая конструкция будет создаваться. Имеются
эффективные методы расчета потенциального обтекания крыла
заданной формы. Однако, как мы показали, рост пограничного слоя смещает
внешнее течение от поверхности крыла, и это смещение может быть
сравнимым с толщиной крыла. Следовательно, более реальным будет
изменение скорости свободного потенциального обтекания
гипотетического тела — крыла, утолщенного на толщину вытеснения пограничного
слоя. Так как толщина вытеснения сама зависит от распределения
давления, для решения задачи может потребоваться метод итераций.
6.2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ И ДРУГИХ ТОНКОСЛОЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
6.2.1. АНАЛИЗ ПОРЯДКА ВЕЛИЧИН
Прежде всего мы рассматриваем тонкослойное протяженное течение
жидкости с постоянной плотностью в плоскости ху. Изменения скорости
и обобщенной -субстанции S, которая переносится и диффундирует в
потоке, определяются уравнением неразрывности (3.3.7)
и общим законом сохранения, полученным из (3.3.1), (3.3.2), (3.3.9):
PS ^rjdS , ydS ^d(SU) id(SV) __
Dt U дх *V ду дх * ду —
Здесь /(— коэффициент молекулярной диффузии 5; Ss —
соответствующая мощность источника, различные интерпретации которой были
указаны вслед за уравнениями (3.3.2).
На рис. 6.4 изображены основные геометрические параметры
течения; это может быть пограничный слой, след, слой смешения или
струя в покоящемся или движущемся воздухе в зависимости от того,
какой смысл придается масштабам скорости: 1)х— для внешнего тече-


§ 6.2J
Уравнения для пограничных слоев
295
ния, £/0— для изменения и
пульсаций скорости. Связь изменения
средней скорости и турбулентно- U>Vujlur*v
сти предполагает существование
подобия по числу Рейнольдса для
соответствующих масштабов.
Линейными масштабами
будут расстояние L от
эффективного начала развивающегося слоя
до рассматриваемого сечения и
расстояние /0, на котором ско- рис. 6А Основные геометрические харак-
рость изменяется на величину Uq. теристики развивающегося слоя смешения
Критерий со сдвигом с масштабами длины, скорости
/ и обобщенной характеристики.
-г-<0,1 (6.2.3а) / — номинальная граница слоя; 2 — изменении
•^ средней скорости и обобщенной характеристики;
ВТ — внешнее течение; L — эффективная
протяженность развития слоя.
определяет в целом
развивающиеся течения, такие, как струи.
Более точно
-£-<0,01
(6.2.36)
соответствует пристеночному слою (если таковой имеется); тогда /о
отсчитывается от стенки и до границы пристеночного .слоя.
Масштабами субстанции будут 50 — изменение среднего значения
на расстоянии, сравнимом с /о, и sa-—характерная величина
турбулентных пульсаций s. Соотношение 'между этими масштабами, как будет
показано ниже, зависит от вида рассматриваемой субстанции. Заметим,
что при использовании масштаба /0 для скорости и субстанции, мы не
рассматриваем случаи, подобные Рг<^1.
Теперь используем эти масштабы для определения порядка величин
слагаемых в уравнениях неразрывности и переноса (6.2.1), (6.2.2).
Первое из них дает 'порядок поперечной скорости. Два слагаемых этого
уравнения должны быть сравнимыми; отсюда для течения вблизи
непроницаемой стенки или плоскости симметрии
V^U.-fr
(6.2.4а)
для потока в целом, а соотношение
"•®
(6.2.46)
характеризует окрестность стенки, где dU/дх=0. Используя первое
выражение (6.2.4), находим порядок слагаемых уравнения переноса:
7V
U
ds_
дх
т =
i 2
(большая из Uv t/e) X "2Г •
u0sQ
vd±
ду
/-V, -
т =
* 3 "
дх
*%
Hi(*$)|-
KS,
"ТУ'
KS,
' о
(6.2.5)


236
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. 6
7\ =
Т =
д [su)
d(sv)
L '
UjS0
Рассматривая эти соотношения попарно, нетрудно видеть, что
т и
а) -уЛ'хЛ или — « 1, по предположению); (6.2.6)
последний результат показывает, что Т2 мало для следа с малым
дефектом скорости и соответствующей струи;
Следовательно; Г3 практически всегда пренебрежимо мало, хотя
геобходимо иметь в виду предельные случаи, такие как Рг<с1, для
которых молекулярная теплопроводность в направлении течения может
быть значительной и /0 не будет являться подходящим масштабом
для 5;
п)^-4г= (6-2-8)
это не вполне убедительный результат, так как коэффициент
корреляции RoU может быть значительно больше JRSV (например, при s = u).
В дальнейшем будем пытаться использовать величину Т$, за
исключением тех случаев, когда это будет излишним или будет определяться
требуемой точностью расчетов.
Некоторые дополнительные выводы из (6.2.5):
г) Ти ^4 и Т6 обычно являются наиболее важными членами. Они
должны уравновешивать друг друга или член, выражающий плотность
источника Ss, ожидаемая величина которого зависит от
рассматриваемой субстанции;
д) для свободной турбулентности или для внешней турбулентной
области
Ть<^Ти TQ (и, возможно, Ss)', (6.2.9)
е) для пристеночного слоя вторые, соотношения из (6.2.3), (6.2.4)
означают, что
Ти Т2<Т,, Т6 (и, возможно, Ss). (6.2.10)
Здесь конвекция за счет осредненного течения обычно
незначительная, хотя величина Т2 может быть существенной вблизи проницаемой
стенки; этот, случай обсужден в § 5.5 и здесь не рассматривается.
Упрощенные; на основании этого анализа уравнения переноса
приведены ниже.
Для тонкослойного течения в общем случае
dx, ' ду дх * ду p ду ' ду \ ду J дх ^
Может показаться, что существенных результатов получить не
удалось; однако мы знаем, "что последнее слагаемое, вероятно, мало во
многих случаях, предпоследнее слагаемое может быть опущено за
пределами пристеночного слоя и что второе слагаемое средней конвекции
мало в течениях типа следа.


§ 6.2J
Уравнения для пограничных слоев
z(J7
Для пристеночных слоев имеем более убедительный результат:
•£(^-*!-)=7- (б-2Л2)
Это соотношение является законом, на котором базировался наш
предыдущий анализ переноса в пристеночных слоях: внутренняя часть
пристеночного течения является по-прежнему «локально определенной».
В целом пристеночные течения можно описать с помощью сращивания
соответствующего внешнего турбулентного течения и пристеночного
слоя. Если это необходимо, течение в пристеночном слое может быть
усложнено, если учесть эффекты градиента давления (§ 3.5 и 5.5),
шероховатости (§ 4.3 и 5.4) или течения через пористую стенку (§ 5.5).
Конечно, внешнее течение оказывает влияние на пристеночный слон,
определяя касательное напряжение на стенке, градиент напряжения и
эффективную шероховатость; только лишь вид законов стенки является
независимым от характера развития точения.
Так как вязкая область пристеночного турбулентного течения
описывается подобными простыми законами, то необходимость
использования уравнения (6.2.11) с членом молекулярной проводимости будет
возникать редко. Другими словами, вряд ли молекулярный перенос и
средняя конвекция будут одновременно играть существенную роль
в одной и той же области турбулентного пристеночного течения (если
только стенка не является пористой).
Ламинарное течение
Простейший случай чисто молекулярной диффузии представляет
интерес и сам по себе, и как образец для сопоставления с процессами
в турбулентном потоке. Для тонкослойных ламинарных течений
Если член, выражающий плотность источника, пренебрежимо мал,
то уравнение будет выполняться, если только Т^Т^. Отсюда
'«-[т^Р' (6-2Л4а)
и условие того, что течение будет тонкослойным, задается в виде
-fRet]-1/2, (6.2.146)
где Реь и Rql— числа Пекле и Рейнольдса, вычисленные по L — «длине
течения». Окончательный результат приводит, например, к соотношению
ширин профилей температуры и скорости:
тН^Г=рг"!- (6-г-|5>
Поскольку этот результат является точным при Рг=1, он указывает
только на общий характер соотношения при Pr^l, так как роль
конвекции будет в общем изменяться с изменением числа Рг. Результаты,
полученные в п. 7.4.3, показывают, что зависимость (6.2.15) фактически
применима для ламинарных следов; более точный результат для
ламинарного пограничного слоя будет получен в § 8.3.


298
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. 6
Из уравнений (6.2.14) следует, что по мере увеличения числа Рей-
нольдса относительная шир-ина ламинарного потока уменьшается и
точность приближения пограничного слоя повышается. Этот вывод нельзя
распространить на все турбулентные течения. Приблизительно
соотношение Iq/L^ Re^ '° является справедливым для пограничного слоя
постоянного давления. Однако для струи в неподвижном воздухе угол
расширения струи не зависит от числа Рейнольдса; по крайней мере,
увеличение числа Рейнольдса не ухудшает приближение тонкослойного
течения.
Обращаясь теперь к уравнению ламинарного переноса (6.2.13),
заметим, что 'профили для субстанций Si и 52 (например, [/и Я) будут
подобными, если /G—/(2 (например, если Рг—1), при условии, что:
1) граничные условия подобны для обоих процессов переноса;
2) плотности источников 5S имеют одинаковый профиль, или, что
более реально, пренебрежимо малы.
Этот вывод нельзя распространить на все турбулентные течения; из
рассмотрения рис. 5.2 следует, что условие SiV^s2v является
возможным, даже если /G—/С?.. Также не следует ожидать, что влияние
поверхности раздела турбулентности будет одинаковым для переноса
импульса и для переноса пассивной субстанции, такой, как тепло.
6.2.2. УРАВНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Нашим 'первым конкретным применением общего уравнения (6.2.11)
будет перенос поперечной и продольной составляющих импульса. Для
первой составляющей
5, So-^V.—Uok/L и 5, sv+v^Uq.
Если эти масштабы ввести в (6.2.5) и использовать член,
выражающий плотность источника, соответствующий переносу импульса в на-
лравлении у, то уравнение (6.2.11) существенно упростится:
йр=±.= -±д4.. (6.2.16)
ду р р ду v '
Интегрирование дает выражение
Р + Р? = Р1(х)9 (6.2.17)
в котором произвольная функция определяется из условий на внешней
границе слоя со сдвигом.
Формально этот результат эквивалентен (3.2.8) для параллельного
течения. Однако здесь он не точен, поскольку опущены некоторые
в обычном смысле малые члены. Ошибка в изменении давления поперек
течения имеет составляющие
-Т"^.(-г-)> ^'(Йг) и f™^" u^\- <6-2Л8>
Первыми двумя составляющими в уравнении (6.2.11) пренебрегали;
последняя представляет центростремительный градиент давления в
течении вблизи поверхности с радиусом кривизны R в плоскости (ху).
Уравнение (6.2.17) также интерпретируется иначе, чем для
параллельного течения, вследствие того, что турбулентность изменяется вдоль


§ 6.2]
Уравнения для пограничных слоев
299
течения. Здесь имеем уоавнение
' £=&->'-£. w«>
которое показывает, чго градиенты давления вне турбулентной области
и внутри нее не будут в точности одинаковыми.
Переходя к продольной составляющей импульса при S-^U и s->u,
замечаем, что So=U0 и So^Uo. Следовательно, никакие дополнительные
члены уравнения (6.2.11) не становятся пренебрежимо малыми.
Используя уравнения (6.2.19) и (6.2.15), можно связать член, выражающий
плотность источника импульса, с параметрами внешнего течения:
л дР dP, , d(V2) rl dUl , d(v2) ia 0 om
Отсюда получаем уравнение импульсов Рейнольдса для
пограничного слоя или иного тонкослойного течения:
= _J_.^l+J* (6.2.21)
р dx h р dy v '
Соответствующая формула (3.3.20) для строго параллельного
течения сохраняет только два последних слагаемых. Это приближение
является еще приемлемым для пристеночного слоя, как следует из
(6.2.12).
Конвективные слагаемые, в левой части уравнения (6.2.21) не
позволяют непосредственно его проинтегрировать и определить профиль
касательного напряжения. В развивающемся течении изменение
касательного напряжения не обязательно должно быть линейным (тот факт,
что оно почти линейное в пограничном слое постоянного давления,
является в этом смысле «случайным»); его форма — одна пз характеристик
течения, подлежащая определению. Заметим также, что на
динамическое равновесие влияют две диагональные компоненты тензора
напряжений. Однако в уравнении (6.2.11) эффекты этих слагаемых,
учитывающих нормальные напряжения, противоположны, и иногда ими
можно пренебречь.
Ламинарное течение
Записывая уравнение (6.2.21) для ламинарного течения, получаем
уравнение импульсов Прандтля:
DU dU , TJdU , „dU 1 dPx
Dt — dt
»£+"3h-r£+£(*£> <6-2-22a)
которое для общности содержит локальное ускорение dUjdt. Это
уравнение совместно с уравнением неразрывности
^.-L^L-^0 (6.2.226)
дх ■ ду ч
дает замкнутое математическое описание течения, если известны
величины Р\{х), v(x, у) и определены граничные условия.


301
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. б
Эти результаты для ламинарного течения дают ясное
представление о существенных сдвигах для тех случаев, когда 'использованы
приближения «тонкого слоя». Теперь градиент давления накладывается
на течение, а не возникает в нем спонтанно. Кроме того, пренебрежение
одним из учитывающих напряжение членов высшего порядка —
(j{vdUjdx) jdx— уменьшает число граничных условий, которые могут
(или должны) выполняться. Такие упрощения подразумевают, что
тонкослойное течение не зависит от условий ниже по течению;
следовательно, его поведение можно рассчитать с помощью одного лишь
интегрирования вдоль течения, при котором учитывается «предыстория»
течения, а не его «будущее». Вблизи точки отрыва или критической точки,
где Uу У=0, течение уже не является почти параллельным и
приближение «тонкого слоя» не применимо. Поля давления и скорости при
гггом связаны обычным (более сложным) соотношением.
Данные замечания относятся (в общем) к тонкослойным
турбулентным течениям, хотя характер математической задачи здесь менее
очевиден и фактически зависит от принятой модели процессов
турбулентного переноса.
6.2.3. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Сначала рассмотрим кинетическую энергию турбулентности. Так
как член Ss, выражающий плотность источника, имеет довольно
сложный .вид, как следует из результатов (3.3.24)—(3.3.26) для
параллельного течения, мы не будем непосредственно исходить из основной
формулы (6.2.11). Вместо этого сложим среднюю конвекцию с
результирующим поперечным потоком для параллельного течения:
D в/ =* f-i^ + ^-P». (6.2.23)
При этом членом вида d(su)/dx пренебрегаем.
Для полностью турбулентной области получим
°(-И , ^
dU
uv
+ i[°(f+-r9,)]+«< = 0. (6.2.24)
Dt i ду
Анализ последних трех слагаемых был выполнен при рассмотрении
уравнения (3.3.26). Первое представляет среднюю конвекцию (или
адвекцию). На рис. 6.5 показано, как изменяется вклад каждого
слагаемого поперек турбулентного следа и во внешней области
пограничного слоя постоянного давления. Значения этих величин (как и на
рис. 3.8) получены с помощью в некоторой мере ненадежной процедуры
определения диссипации из ограниченного числа измерений и
последующего определения «диффузии давления» как слагаемого,
обеспечивающего суммарный баланс всех членов уравнения. Тем не менее эти
результаты демонстрируют общий характер баланса энергии в потоке. На
рис. 6.5 также приведены соответствующие профили средней скорости
п касательного напряжения.
Отметим некоторые особенности, которые, как и следовало ожидать,
являются общими для рис. 6.5,а и в\
1. Диссипация везде положительна.
2. Порождение имеет противоположный знак, чем диссипация, и
максимально там, где градиенты скорости наибольшие.


§ 6.2J
Уравнения для пограничных слоев
301
Рис. 6.5. Уравнение энергии турбулентности и соответствующие профили средней
скорости и касательного напряжения.
о — баланс энергии для плоского следа (по Таунсснду) при Rc(/ = 8400, x!d=\b0 и эффективном
начале, расположенном на 25rf впереди обтекаемого цилиндра; члены уравнения (6.2.24) приведены
к безразмерному виду делением на масштаб U3ifd: / — средняя конвекция; 2 — порождение; 3 —
турбулентная диффузия; 4 — диссипация; б — профили скорости и касательного напряжения; в —
баланс энергии для пограничного слоя постоянного давления (по Таунсенду) при £/i6i/v=4000 и
.«y/£/i=0,043; члены уравнения (6.2.24) приведены к безразмерному виду делением на масштаб
uZflb\ обозначения кривых те же, что и на рис. 6.5,а; г — профили скорости и касательного
напряжения для пограничного слоя постоянного давления, соответствующие рис. 6.5,е.
3. Диффузия осуществляется, говоря вообще, из области с высокой
интенсивностью в область с низкой интенсивностью; в каждом случае
диффузия 'происходит в направлении распространяющейся границы во
внешней части слоя сдвига.
4. Соотношение между различными слагаемыми почти идентично
вблизи каждой свободной границы.
В балансах энергии для рассмотренных двух случаев имеются
некоторые существенные различия:
5. В следе отсутствует область, в которой диссипация и порождение
являются доминирующими и, следовательно, практически
уравновешивающими друг друга.
6. Средняя конвекция является важной только во внешней
половине пограничного слоя, однако существенна во всем следе.


302
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. 6.
Как уже отмечалось ранее, можно сделать вывод о том, что
внутренняя (скажем, занимающая 20% толщины пограничного слоя) часть
является «локально определенным» (или «равновесным») слоем в
понимании, указанном в § 3.5. Это согласуется с рис. 6.5,а, на котором
показано, что касательное напряжение изменяется в этом слое, на
относительно малую долю, хотя большая часть изменения скорости
происходит именно здесь.
Для развивающегося течения также представляет интерес баланс
кинетической энергии среднего движения. Один из возможных путей
получения уравнения, выражающего этот баланс, заключается в
умножении уравнения количества движения (6.2.21) на среднюю скорость:
•' 1 \
о, +"я-<=,-5>-=-7"£+Т-£- <<«•*>
Это уравнение устанавливает связь между кинетической энергией
среднего движения и работой, производимой нормальными
напряжениями, градиентом давления и касательным напряжением.
Переходя к уравнению тепловой энергии, обобщим конвективные
производные уравнений (3.3.33), (3.3.35), (3.3.37) для того, чтобы
получить уравнения для тонкослойных развивающихся течений.
1. Уравнение внутренней энергии для течений с постоянной
плотностью
?w+"t=?*- (6-2-26>
2. Уравнение энтальпии для медленного течения любой жидкости
p^+f-i^-ч)- <6-2-27>
3. Уравнение суммарной энтальпии
v Dt * ду v dy
1 „(l_J_\ d(U* + q>)
2 \ Pr / dy
(6.2.28)
при условии, что изменение плотности поперек течения является малым.
Во всех этих уравнениях диффузия в направлении течения
пренебрежимо мала.
В каждом случае член, выражающий плотность источника, в
правой части пренебрежимо мал; так, например,
U™+v¥ = --r^ = 4-(b¥--rt)' (6-2-29>
ох^ду Р ду ду \ dy J v r
Как отмечалось в п. 6.2.1, это уравнение имеет вид уравнения
количества движения (6.2.21) при условии, что слагаемые, учитывающие
градиент давления и нормальные напряжения, пренебрежимо малы.
Если касательное напряжение и поток энтальпии изменяются одинаково
(т. е. при Рг=1 и/или Рп=1—в зависимости от конкретного случая),
профили U(у) и Н(у) могут быть подобными. Тогда решение
уравнения количества движения непосредственно дает распределение
энтальпии.
В более общем случае сначала должно быть решено уравнение
количества движения, а только потом уравнения теплопереноса, чтобы
можно было определить конвективные слагаемые для последующих рас-


§ 6.2J
Уравнения для пограничных слоев
303
четов. Конечно, даже для пристеночного слоя с пренебрежимо малой
-средней конвекцией изменение скорости должно быть известно, для
того чтобы можно было рассчитать турбулентную диффузию (икилкгп).
6.2.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
Многие важные и интересные соотношения, приближенно
характеризующие тонкослойные течения, могут быть получены в результате
интегрирования дифференциальных уравнений переноса в поперечном
направлении. Результирующие уравнения содержат информацию о
развитии потока вдоль течения, иногда эти уравнения вследствие
пренебрежения несущественными процессами при интегрировании
принимают весьма простой вид.
В последующих выкладках будем рассматривать плоскость у=0
в качестве фиксированной непроницаемой стенки или плоскости
симметрии; во всех случаях 1/(0) =0. Проинтегрируем общее уравнение
(6.2.11) от г/=0 до у=у\, где у\— точка во внешнем течении, и будем
принимать у\ постоянным вдоль течения. В этой плоскости S=Si(x)
и диффузионный поток /(#i)=/i=0 (в частном случае Ti=0). В
результате получим общее выражение
у\ у* •
jLr]KSU + sT)dy+SlV1=^dy + ^-. (6.2.30)
о о
Диффузионный поток при у = 0 для стенки
'.=-«(£).■
для плоскости симметрии в свободном турбулентном течении /о=0.
Для дальнейших преобразований полученного интегрального
выражения воспользуемся тем, что из уравнения неразрывности (6.2.1)
следует:
1/1 Ух
v*=-$wdy=-zr\Udy- (6-2-3,)
о о
Используя преобразование
0 0
яолучаем:
jg-Jt/p-SJ*-J[A -«g-I/fj^+i.. (6.2.32)
о о
Это уравнение связывает поток дефекта величины S с потоком на
стенке и сложным членом, выражающим плотность источника.
Интегральные соотношения количества движения
Для частного случая уравнения количества движения в
направлении течения имеем:
S-^U, s->u, J0^-*w и Ss[? = UldU1!dx-\-foildK.


304
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. 6
Последняя зависимость следует из уравнений (6.2.20). Если
произвести эти подстановки, получим интегральное уравнение
Ух Ух Ух
^^U{U1-U)dy + d^\(Ul--V)dy + ±i\{vi~l?)dy = ?f. (6.2.33а)
6 0 0
Если ввести толщины вытеснения и потери импульса (6.1.5),
(6.1.6), то
d(p£/2,32) __ , dP
dx w ' dx
8,
+ £-\(u2-v^dy' (6.2.336)
Полученные результаты связывают изменение количества
движения вдоль течения с касательным напряжением на стенке и силой
давления с учетом поправки на нормальные напряжения. Весьма вероятно,
что эта поправка будет существенной, когда другие слагаемые малы,
например вблизи отрыва.
Интеграл количества движения (опуская нормальные напряжения)
часто записывают в виде
%-+Чгъь*=^ (6-2-34а>
где # = 61/62 — формпараметр (6 1.10), a cf — коэффициент трения на
стенке. Это уравнение известно как интегральное соотношение
импульсов Кармана. Оно отчетливо демонстрирует важность интегральных
формул: уравнение в частных производных преобразуется к
обыкновенному дифференциальному уравнению, описывающему суммарные
характеристики развития течения. Для иллюстрации значимости полученного
результата сразу же рассмотрим некоторые простые случаи его
применения.
1. Для свободного турбулентного течения уравнение (6.2.34а) дает;
Если течение автомодельно и Я постоянно как в уравнениях
(6.1.8), (6.1.9), интегрирование дает:
62[/f+2 = const. (6.2.346)
Эта формула связывает ширину потока с изменением скорости
вдоль течения.
2. Для пограничного слоя постоянного давления (ламинарного или
турбулентного) интегрирование вдоль потока дает:
?U\b2{L) = ^w{x)dx = D'{L)
или
L
2*jXL± = J_ i C}dx = Cff (6.2.35a)


§ 6.2]
Уравнения для пограничных слоев
305
где D' — суммарная сила лобового сопротивления, приложенная к
поверхности, a Cf — средний коэффициент трения на участке длиной L.
Первая формула показывает, каким образом величина 62 увеличивает
дефект количества движения в слое.
3. Другой способ использования интегрального соотношения
импульсов для анализа пограничного слоя постоянного давления
заключается в 'применении зависимости
-ё-=-Ь (6-2-35б>
для определения изменения трения или толщины, когда известна одна
из этих величин. Приведенный выше анализ трения в трубах
указывает общий вид соотношения между трением и поперечным размером
потока -и дает исходные предпосылки для расчета.
Таблица 6.1
Гриближенные законы роста толщины и трения для пограничных слоев с
постоянной скоростью внешнего течения Ux и постоянной шероховатостью (высотой k)
стенки
Вид течения
Ламинарное
Турбулентное, гладкая стенка
Турбулентное, полностью
шероховатая стенка
Предпола! аемог
щменеш.е
1
Re8
1
Re5 4
(8/ft) 3
Расчетное
Ь
1 1
(v/l/,) 2 X 2
(v/(/)'/5X4/5
^v/4
изменение
Ь/х и с*
«•71/2
Re-7"5
(*/ft)-I/4
В табл. 6.1 приведены соотношения, полученные на основании
законов трения в трубах: для ламинарного течения — из табл. 3.2, для
турбулентного обтекания гладкой стенки —-из закона Блазиуса (4.2.22)
и для турбулентного обтекания шероховатой стенки — приближенно,
как в уравнении (4.3.17).
В этих расчетах неявно предполагается, что профили скорости
автомодельны и 62 ~ б — всякой другой мере толщины пограничного
слоя. Соотношения выражены через число Рейнольдса, определенное па
локальной толщине,
(6,2.36а).
и число Рейнольдса, определенное по эффективной длине начального
участка,
v '
Re, = '
(6.2.366)
Интегралы энергии
Для того чтобы рассмотреть поток энтальпии, введем
•Я и /„
20—56


306
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. 6
Принимая Н{ постоянным и пренебрегая слагаемым диссипации —
диффузии в правой части уравнения (6.2.27), а также продольной
составляющей .переноса su, получаем, что интеграл члена, выражающего
плотность источника, в уравнении (6.2.32) будет равен нулю. Тогда
интегральное соотношение для тепловой энергии имеет вид
Л-^иЩ-Н,)йу = ^. (6.2.37)
О
Для 'случая, когда температура стенки постоянна, можно
использовать постоянную величину Hw—Нх в качестве масштаба для
изменения энтальпии, и тогда
^-р^яГ-Я,)-5^). (6.2.38а)
где St (л:) — локальное число Стантона, а
T~)UX Hw-Hx%
о
— толщина теплового {или конвективного) пограничного слоя. Для
свободной турбулентности при отсутствии внутренних источников
энергии будем просто иметь, что вдоль потока
Sr=const. (6.2.39)
Интегрирование уравнения энергии турбулентности (6.2.24) в
поперечном к течению направлении приводит к обобщению уравнений
(3.3.28), (3.3.30), однако эти обобщения не будут здесь
рассматриваться. Практически та же информация содержится в интегральном
уравнении энергии среднего течения, получаемом из уравнения (6.2.25),
которое также представляет интерес, так как довольно часто
используется в расчетах пограничного слоя (см. п. 8.2.3) в качестве
дополнительного уравнения. Требуемый результат нельзя вывести из
уравнения (6.2.32) из-за предварительной операции умножения на среднюю
скорость £/, однако аналогичные методы дают
У\ У\ У\ — —
s-I"(-T°,.-4-0,)*=f]'f *+1"-ги^га-*. с5-2-40'
О 0 0
При этом используются соотношения (6.2.31) и (6.1.15) вместе
с условием t(#i)=0 и С/(0)=0 или т(0)=0. Если нормальные
напряжения не учитываются, то
6
где 6з — толщина потери энергии (6.1.7).
Возвращаясь к уравнению баланса энергии (6.2.23), видим, что
в уравнениях (6.2.40), (6.2.41) интеграл, определяющий работу, дает
отвод энергии от среднего течения. В турбулентном потоке в пределах
данного сечения этот интеграл отличается от суммарной диссипации
в «теплоту» в силу наличия результирующей продольной конвекции.
Тем не менее этот интеграл часто называют интегралом диссипации.


§6.2J
Уравнения для пограничных слоев
30?
6.2.5. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Для каждой из рассмотренных выше зависимостей для плоского
течения имеется эквивалентная зависимость для осесимметричного
течения с осевой и радиальными компонентами скорости U(x, r) и V(x, г).
Конечно, при выводе этих зависимостей необходимо учесть особенность
геометрии течения, что достигается введением коэффициента г при
соответствующих членах.
Рассмотрим почти осевые течения, в которых U^>V и д/дг^д/дх.
Этот класс течений включает в себя круглые следы и струи, а также
пограничные слои при внешнем и внутреннем обтекании
цилиндрических поверхностей. Для анализа порядка величин, аналогичного
выполненному в п. 6.2.1, преобразуем закон сохранения (3.3.3) к виду
PS rjdS_ \_ydS_ d(SU) t 1 d(rSV)_
Dt dx ' dr dx * r dr
P r ^
Для пристеночного слоя этот закон можно упростить:
А.
dr
Интегрируя уравнение (6.2.42) в пределах от постоянного значения
радиуса стенки Rq до постоянной радиальной координаты внешнего
течения r=R{, получаем:
jL^{SU + 7tirdr + RlV1Sl=\^-rdr + ^. (6i2.44)
Ко АО
Здесь принято ^?i>^o; Для иного случая результат получается
аналогичным образом. Уравнение неразрывности (3.3.8) дает
№=-№'*' <6-2-45>
и этот результат может быть использован для преобразования
уравнения (6.2.44), аиалогичного использованному при выводе уравнения
(6.2.32).
Уравнения количества движения
Подставляя 5={/ и Ss=—дР/дх в общие уравнения (6.2.43),
(6.2.44), получаем:
1) дифференциальное уравнение количества движения
= -т[3—ГТИ]: (6.2.46)
20*


308
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. 6
2) интегральное уравнение количества движения
^^\U(Ul-U)-l?+V>\rdr + d^^{!Ji-U)rdr = ^. (6.2.47)
Для свободной турбулентности i?0=0, и для определения эффектов
вытеснения и потери гшпульса удобно ввести соответствующие радиусы:
Ri
г'*=2\[1-ж)гаг
о
(6.2.48а)
''-.2\lr(l-")rdr.
Ri
6
В данном 'Случае xw=0 и уравнение (6.2.47) при пренебрежении
нормальными «напряжениями принимает вид:
ж+^чг'''-0' <6-2-48б)
где Н'=(г\1г2)2 — соответствующий формпараметр. Для автомодельных
течений Н' постоянная величина и формула
r2U\/2H' + l = const (6.2.49)
устанавливает зависимость между радиусом и переменной внешней
скоростью.
Уравнения энергии
В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение
энтальпии, аналогичное (6.2.37). Полагая S = # и принимая
Нг = const, 5S = 0 и д (uh)[dx = 0,
получаем из уравнений (6.2.44, 45) простой результат
Ri
^ $U(H — Hl)rdr = 1^. (6.2.50)
Интегральный поток энтальпии можно связать с подводом тепла
из начального состояния при Н(г)=Н{\
я, l
2*р \U(H — Нх )r dr= 2kR0 f qw (x) dx = Q (I). (6.2.51)
ko 6
Для свободной турбулентности поток энтальпии постоянен вдоль
течения.


§ 6.2J
Уравнения дая пограничных слоев
309
6.2.6. ТЕЧЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ АРХИМЕДОВЫХ СИЛ
На рис. 6.6 'показан вид течения, который будет рассмотрен ниже:
1. Течение направлено почти по вертикали при U^>V и может
считаться тонкослойным в горизонтальном направлении.
2. Движение может быть вызвано естественной конвекцией,
обусловленной только теплом, подводимым (или отводимым) к стенке, или
источником тепла.
хМ
Рис. 6.6. Схема течения жидкости с изменяющейся плотностью.
Ох— ось (плоскость) симметрии пли нагреваемая стенка; / — область
внешнего течения; // — номинальная граница области течения
жидкости с изменяющейся плотностью; /// — возможный источник
восходящего течения.
Ъ.Ц
yfvumirbv
3. Движение может быть вызвано смешанной (вынужденной и
естественной) конвекцией, подверженной воздействию внешнего течения
(и{ФО) или начального импульса струи.
4. Положительные или отрицательные архимедовы силы могут
возникать также в результате различия свойств жидкости в слое со
сдвигом и во внешнем течении из-за наличия растворенного или
взвешенного вещества в виде мелких капель или пузырьков.
Для 'простоты будем принимать, что во внешнем потоке
Vx = const
dPl
dx
= — pxg- = const.
(6.2.52)
Предполагая, что данное изменение давления существует поперек
тонкослойного течения, получаем уравнение движения
DU
Pl Dt '
dPy , dz , r v , dz
dx
(6.2.53)
Величина g(p\—p) называется архимедовой силой. Влиянием
малых изменений плотности на инерционные слагаемые и условия
неразрывности для жидкостей можно пренебречь, так как эти изменения
приводят к эффектам второго -порядка малости. Например, pDU/Dt и
P\DU/Dt различаются только членом порядка Q(Ap/pi)2. В этом
приближении точность уравнений (6.2.30) —(6.2.32) и (6.2.44), (6.2.45) все
еще остается 'приемлемой.
Для краткости используем форму записи
^=«('-{г)+.7 5" [»''№-=)]• ,6-2'54)
которая пригодна и для плоских (/=0), и для осесимметричных (/=1)
течений.


310
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. 6-
Интегральные формулы
Сравнение уравнения (6.2.54) с общим уравнением (6.2.11)
показывает, что источником количества движения теперь является Ss =
=g*(Pi—р); архимедова сила просто заменяет градиент давления.
Поэтому интегральные уравнения количества движения 'при принятых,
обозначениях запишутся в виде
У\ Ух
±- jp,C/ (U-U,) y<dy=^g(Pl- р) у'dy-y't*w. (6.2.55).
Уо !/о
Эти результаты показывают, что изменение количества движения
уравновешивается интегральной архимедовой силой и касательным
напряжением на стенке (если таковые имеются).
Ограничимся пока рассмотрением термической архимедовой силы.
Так как естественная конвекция не создает высоких скоростей, можно
использовать интегральные выражения энергии (6.2.37), (6.2.50), в
которых ввиду малости пренебрегаем вкладом диссипации. Будем также
ограничивать рассмотрение случаем Н\=const и пренебрегать
внутренними источниками тепла. Несмотря на то, что основные формы
дифференциальных и интегральных уравнений энергии не изменяются при
учете архимедовой силы, для удобства перепишем их, вводя величину
Н-Н^ср(Т-Т^^- (l - -L), (6.2.56)
где Э = — (1/р) (^р/^^)р — коэффициент объемного расширения
жидкости, который предполагается постоянным. Теперь интегралы,
определяющие поток энтальпии, могут быть записаны в виде
^^g(Pi-P)y''dy = ^y\qw (6.2.57)
Уо
при соответствующих обозначениях.
Аналогичные результаты можно получить и для всякой другой
субстанции, влияющей на плотность, для которой член, выражающий
плотность источника, в уравнении (6.2.32) будет пренебрежимо малым:
ST f Ug (р, - р) у' dy = g3syt0J0, (6.2.58)
Уо
где ps = —(1/р) (dp/dS)p — обобщенный коэффициент объемного
расширения.
Эти формулы связывают поток архимедовой силы со скоростью,
с которой подводится тепло (или другая примесь). Для свободной
турбулентности этот поток постоянен вдоль течения при условии, что
излучение и тепло, выделяемое при внутренних реакциях, пренебрежимо
малы.
Хотя вывод уравнений с учетом архимедовой силы не вызывает
затруднений, решить эти уравнения значительно труднее, чем
уравнения, описывающие вынужденную конвекцию. Это обусловлено тем, что
изменения скорости и температуры (или концентрации) связаны с
членами архимедовых сил, и эти характеристики нельзя определить
в отдельности и использовать полученные результаты расчета для
распределения пассивной примеси.


§6.3]
Методы анализа
311
6.3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА
Для описания развивающихся течений имеется ряд уравнений.
Каким образом они могут быть использованы? Методы анализа
тонкослойных развивающихся течений аналогичны методам для течений
в каналах (§ 3.4). Установлены осредненные по времени законы
сохранения, имеется определенное понимание процессов, которые они
описывают 'при достаточно реалистичной картине изменения членов этих
уравнений в -некоторых простых течениях.
Рассмотрим сначала существующее положение в отношении
проблем замыкания. Уравнения неразрывности, количества движения и
энергии турбулентности для полностью турбулентного плоского течения
имеют вид
U
(Ч-?2
дх
0U j dV n
дх ' ду ~ '
дх ' dy p dx
Ту +ииду-+ЪТ
dav.
Kf-ч-
«■)]
(6.3.1)
(6.3.2)
= — et.
(6.3.3)
Даже если нормальные напряжения и2 и v2 опущены, эти уравнения
содержат на две средние величины больше (V и-^-?2), чем уравнения
(3.4.1), (3.4.2) для параллельного течения, а число самих уравнений
увеличивается лишь на одно (уравнение неразрывности). Кроме того,
компонента U в направлении течения играет здесь более сложную
роль. Для того чтобы получить явные результаты, нужно определить
не только турбулентный перенос поперек течения, но и среднюю
конвекцию вдоль развивающегося течения.
Слагаемые, учитывающие 'среднюю конвекцию, подтверждают
зависимость турбулентности в каждой точке потока от его статистической
предыстории в этой точке. Следовательно, движение нельзя уже
считать «локально определенным» как при течении в пристеночном слое,
где средняя конвекция несущественна. В общем случае знание
предыстории потока является необходимым даже в пристеночном слое.
Влияние предыстории учитывается эмпирическими коэффициентами для
пристеночного слоя.
В § 1.4 было отмечено, что невоз'мущенное тонкослойное течение
в покоящейся жидкости или в равномерном потоке обнаруживает
продольную автомоделыюсть; осредненные по времени профили течения
имеют практически одинаковую форму от сечения к сечению (рис. 6.1).
Существование подобных профилей показывает, что характеристики
среднего течения и турбулентность становятся автомодельными, когда
наибольшие элементы течения развиваются согласованно. Факт
существования (или предположение о существовании) подобия указывает
на то, что движение в любом сечении находится в простой зависимости
от движения выше по течению; таким образом, этим учитывается в
общем виде история развивающегося течения. Однако при этом остается
проблема описания переноса в поперечном направлении.


312
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. в
Практически всякий анализ развивающегося течения можно
отнести к одной из четырех категорий по возрастающей сложности:
I. Анализ подобия (размерностей), основанный па интегралах
количества движения, -с последующим использованием моделей
градиентной диффузии (§ 3.4), в которых турбулентная вязкость или длина
пути смешения часто принимается постоянной.
II. Анализ последствий автомодельности для дифференциальных
и интегральных уравнений движения с последующим использованием
модели градиентной диффузии.
III. Интегрирование по направлению течения обыкновенных
дифференциальных уравнений, полученных из интегралов количества
движения или из модифицированных интегралов количества движения.
В качестве .последних могут быть интегралы по полосе, полученные
в результате интегрирования по части поперечного сечения потока, или
интегралы момента количества движения, когда интегрирование
выполняется с весовЫхМ коэффициентом ут или Um. Преобразование
интегралов достигается с помощью введения поперечных профилей, основанных
на подобии и градиентной диффузии, для каждого из 'пространственных
слоев, на которые условно разделяется весь поток.
IV. Использование дифференциальных уравнений переноса в
частных .производных для различных характеристик турбулентности, в том
числе для кинетической энергии турбулентности. Этот подход учитывает
«историю» течения как в продольном, так и в поперечном направлениях.
Замкнутая система уравнений, достаточно простая для быстрого
численного интегрирования, получается с помощью либо
а) постулирования правдоподобных форм уравнений переноса,
включающих константы, которые можно выбрать так, чтобы .привести
в соответствие получаемые результаты с данными измерений, либо
б) усечения (исходя из целесообразности или статистических
соображений) точных уравнений переноса, выведенных из уравнений
движения.
Кроме того, для сокращения вычислений целесообразно
предположить, что течение вблизи стенки является локально
определенным.
Применимость методов I и III ограничена следующими
обстоятельствами:
1. Зависимость от того, в какой мере течение будет
«тонкослойным»; рассматриваются плоские или осесимметричные течения.
2. Использование условия подобия (по крайней мере, в
пределах отдельных слоев) для учета средней конвекции и развития
течения.
3. Использование модели градиентной диффузии или турбулентного'
перемешивания, либо другой такой же простой модели.
Даже когда геометрические ограничения 1 и 2 реалистичны,
градиентная диффузия может не дать приемлемого (не говоря уже о
точности) описания процессов 'переноса поперек потока. В п. 3.4.6
отмечались ограничения градиентных моделей применительно к
течениям в каналах. Для свободной турбулентности и развивающихся
пристеночных течений возникают аналогичные проблемы:
1. Если турбулентная вязкость принята постоянной поперек следа
или струи, то длина пути смешения (3.4.60) должна быть бесконечной
на осн.


§ 6.3]
Методы анализа
313
2. Если длина пути смешения принята постоянной, то на оси
турбулентная вязкость равна нулю; это означает, что между
частями потока по обе стороны оси не может осуществляться процесс
переноса.
3. Для пристеночной струи несовпадение положения точек, в
которых -— = 0 и т = 0, приводит к многим нелепым результатам. Это
иллюстрирует рис. 3.12.
Используя простейшие методы анализа, указанные в пунктах
I—III, следует не только с известной осторожностью выбирать течения,
где возможно применение этих методов, но и ограничиваться только
теми аспектами, которые в основном не зависят от деталей процессов
переноса. Практически это означает, что мы можем рассчитать лишь
распределения средней скорости, температуры и концентрации. Мы не
можем с достаточной уверенностью рассчитать такие детали течения,
как точки максимума скорости, профили касательного напряжения,
потока энергии и пнтенсивностей турбулентности, а также средние
профили вблизи распространяющейся границы турбулентной области.
Для расчета такой детальной структуры тонкослойных течений и в
сущности для получения любой информации о течениях с более сложной
геометрией необходимо обращаться к более всеобъемлющим моделям
переноса категории IV.
В последующих двух главах будет показано, что можно получить
с помощью простейших аналитических методов: анализ подобия
(пункты I и II) позволяет решить многие задачи свободной турбулентности,
интегрирование вдоль потока (пункт III)—пограничного слоя. В гл. 9
будет приведен краткий обзор моделей переноса, разработанных в
последние годы.
Рекомендуемая литература
Основная литература [17, 21, 26, 30, 32, 37].
Специальная литература [52, 83, 84, 102].
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Рассчитать толщины (6.1.5) —(6.1.7) для плоского следа и струи, принимая
изменение скорости по уравнению (6.1.4). Как полученные результаты отличаются от
результатов для профиля «с плоской вершиной», когда U постоянна в слое со
сдвигом, и резко изменяется у гипотетической границы?
6.2. Для плоской струи, распространяющейся в неподвижной жидкости,
установлено, что lo^x и Uq^x-1'2 определяют изменения масштабов ширины струи и
скорости.
а) Показать, что первый результат означает определение абсолютного среднего
продвижения границы турбулентности как Vi + Vi^Uo.
б) Показать, что поток массы вдоль струи изменяется как х1/2 и, следовательно,
поперечный приток определяется как ]/\^х~1!г.
в) Наконец, получить соотношения V{—Vг—Уi^-Vi^x~[l2, показывающие, что все
три скорости эжекции остаются пропорциональными в процессе развития. Каковы их
знаки и относительные величины?
6.3. Обобщить уравнение переноса (6.2.11) на тонкослойные течения вблизи
пористой стенки. Показать, что эффект поперечной конвекции в первом из уравнений
количества движения (6.2.33) состоит в добавлении слагаемого VWU\ в правую часть.
6.4. а) Для свободной турбулентности показать, что соответствующее
уравнениям (6.2.14) соотношение будет l0/L^\ или Uq/U\.
б) О чем это говорит применительно к течению в следе и в струе?


314
Развивающиеся течения. I. Теоретические основы
[Гл. (>
в) Основываясь на использовании уравнения количества движения, показать, что
/0£/0 = const для плоского следа, /20£/0 = const для круглого следа и, следовательно,
/e^L1/2 и L1/3 для этих случаев.
6.5. Объяснить характер изменения вклада средней конвекции на рис. 6.5,а и вг
используя характеристики среднего течения в этих потоках.
6.6. Вывести уравнение энергии среднего течения (6.2.25) из общего уравнения
переноса (6.2.11). Вначале показать, что S + s== ~y^2 + uU.
6.7. Проинтегрировать уравнение энергии турбулентности (6.2.24) поперек
тонкослойного течения, чтобы получить обобщение уравнения (3.3.28). Как полученный
результат будет связан с уравнением (6.2.41)?
6.8. а) Показать, что из уравнения (6.2.31) следует
V, Л, dUt
иг чг^чг^0-
Что это означает для линий тока внешнего течения?
б) Каким будет соответствующий результат, если внешняя скорость изменяется?'
в) Каким будет результат, если имеется поперечное течение как через пористую-
стенку? Как V изменяется поперек слоя для частного случая асимптотического слоя
с отсосом?
6.9. Записать первое из уравнений (6.2.33) в форме, приемлемой для расчетов,
поверхностного трения по измерениям скорости в случае пристеночной струи, полагая,
что внешняя жидкость неподвижна.
6.10. Используя данные о течении в следе на рис. 6.1, определить порядок
ошибки, возникающей в интегральном уравнении количества движения (6.2.33) при
пренебрежении нормальными турбулентными напряжениями для x/d=\00 и 1000. Являются
ли полученные при этом результаты характерными для других турбулентных течений,
со сдвигом?
6.11. Предполагается, что автомодельное течение со сдвигом возникает, если с/ =
= const и U\^>xm. Как будут изменяться Pi и 6\ в этих условиях?
6.12. Показать, что локальный коэффициент трения связан со средним
коэффициентом (6.2.35) зависимостью (я+1)С/ = с/, если он изменяется как Re71*. Дать
оценку для слоев в табл. 6.1.
6.13. Полагая, что теплоотдача и трение в пограничном слое взаимосвязаны по
аналогии Рейнольдса, определить, как изменяется теплоотдача вдоль ламинарного и
турбулентного слоев постоянного давления.
6.14. Рассмотреть интегралы количества движения для плоского потока между
стенками, расстояние между которыми медленно изменяется вдоль течения. Плотность
жидкости постоянна.
а) Проинтегрировать общее уравнение переноса (6.2.11) от стенки у = 0 до
плоскости симметрии у = у\(х), чтобы показать, что уравнение (6.2.30) остается
применимым. Здесь необходимо учитывать производную по верхнему пределу; операции
интегрирования и дифференцирования уже нельзя свободно менять местами.
б) Показать, что интегральное уравнение количества движения теперь запишется
в виде (нормальными напряжениями пренебрегаем)
где Р0 = Рх + — pf/2! — полное давление, а Ьх и Ь2 определяются при интегрировании
до у\. Справедлив ли этот результат при отрыве потока от стенки?
в) Какие частные результаты справедливы, когда:
1) поток имеет потенциальное ядро;
2) давление одинаково вдоль канала;
3) течение близко к отрыву (но еще является симметричным);
4) канал имеет параллельные стенки.
г) Обобщить результат п. «б» на любое поперечное сечение. Будет ли полученный-
результат справедливым, если происходит отрыв потока?
6.15. Показать, что толщина теплового пограничного слоя в конце пограничного
слоя связана с коэффициентом теплопередачи для слоя [U в уравнениях (5.2.9)
определена соотношением дт/L^U/ipCpUi), где U\ — скорость внешнего течения].


§ 7.1]
Методы теории подобия
315
6.16. Проанализировать вывод интеграла энергии среднего течения (6.2.40) для
того, чтобы выяснить, как поступают с пределами для пограничного слоя и для
симметричного свободного турбулентного течения.
6.17. Переписать уравнение (6.2.47), используя понятия площадей вытеснения и
потерь импульса, связанные соотношениями Ai=Tcr2i и А2=яг22 с радиусами в
уравнениях (6.2.48). Сравнить с соответствующим результатом для плоского течения.
6.18. Показать, что формпараметры в уравнениях (6.2.34), (6.2.48) равны 1 и 0
для следов и струй в неподвижном воздухе. Как должна изменяться внешняя скорость
для потока с линейно изменяющейся вдоль течения шириной (как будет показано
в § 7.2)? Является ли это необходимым условием строгой автомодельности?
6.19. Записать уравнения, аналогичные (6.2.42), (6.2.43), (6.2.45), для осесиммет-
ричного незакрученного течения вблизи плоскости, т. е. для почти радиального потока.
Принять U в качестве радиальной компоненты и V — в качестве нормальной к
плоскости компоненты. Какова форма этих уравнений для радиального течения между двумя
"плоскими пластинами?
6.20. Уравнение энергии для «тонкослойного» сильно закрученного турбулентного
течения с пульсациями плотности р+р' имеет вид:
DH0 дН0 1 д — _ —
р ~~5Г + Р'у ~дГ+Т~ IF № № + Wvw + Um)] = ° ■
тде U, v и W — осевая, радиальная и окружная компоненты, а Я0 — суммарная
энтальпия (3.3.36). Каков смысл каждого слагаемого? Данные потоки энергии являются
причиной эффекта Ранка (или Гильша), когда равномерный поток газа, проходя через
вихревую трубку, разделяется на нагретую и охлажденную компоненты, причем первая
отводится от периферии, а последняя — из ядра вихря.
6.21. Скомбинировать определения (6.1.5), (6.1.6) с первой парой уравнений
(6.2.48), используя обозначения уравнения (6.2.54).
6.22. Рассмотреть ламинарную свободную конвекцию между параллельными и
-вертикальными плоскими пластинами (# = 0, В), температурный перепад между
которыми поддерживается равным Л. Считать, что все характеристики переноса постоянны.
а) Показать, что изменения температуры и плотности равны
7"= Т—Т А X и Р="р [1 -Р (Т-Т)].
б) Найти распределение скорости
тде Gr& — число Грасгофа. Почему скорость поперечного переноса в этом случае не
зависит от движения жидкости? Пластины должны быть конечной длины; что
происходит вверху и внизу?
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
РАЗВИВАЮЩИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ. II. СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
В этой главе в основном рассматриваются пять простейших
развивающихся сдвиговых течений: плоский слой смешения, плоские и
круглые следы и струи. Их развитие является «простым», так как
окружающая жидкость обеспечивает равномерную конвекцию и
источник для вовлечения. В конце главы будут рассмотрены более сложные
картины развития течений, которые подвержены влиянию внешнего
течения и твердых границ. Хотя эти течения менее изучены, чем
простейшие, они имеют большое практическое значение, так как процессы,
происходящие на границах потоков, нас интересуют больше, чем в
средней части обширных областей жидкости. Характеристики простых тече-


316 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
ний также имеют практическое значение: системы охлаждения и сброса
отработанных вод в большие объемы неподвижной жидкости;
пересечение летательным аппаратом следа, вызванного другим;
обнаружение следа за подводной лодкой для определения ее движения. Тем не
менее изучение простых течений важно в основном как предпосылка
лля изучения более общих свободных турбулентных течений. С этой
точки зрения методы анализа размерностей, которые будут широка
использованы в этой главе, оказываются в какой-то мере бесплодными,
в лучшем случае ограниченными, так как они предназначены для
расчета основных характеристик течения и дают очень малую информацию
о турбулентности собственного потока.
Будем исследовать свободные турбулентные течения следующим
образом:
1) используя анализ размерностей для определения картины
развития, согласующейся с уравнениями количества движения и общим
характером дифференциальных уравнений движения;
2) рассматривая дифференциальные уравнения для выявления
автомодельных картин развития и их значения для вовлечения;
3) рассчитывая профили средней скорости па основе
предположения о постоянстве коэффициента турбулентной вязкости или длины-
пути смешения;
4) применяя методы теории подобия и простые модели .переноса,
к автомодельным течениям, включая некоторые течения под действием,
архимедовых сил;
5) рассматривая вкратце взаимодействие развивающегося слоя со
сдвигом с внешним течением и его границами.
Преобразования, используемые при расчете поперечных профилей
на основе предположения о постоянстве длины пути смешения или
коэффициента турбулентной вязкости, не представляют теоретического
интереса и не дают возможности обеспечить требуемую точность
расчета. Будем концентрировать свое внимание на простейшем случае-
плоского следа. Структура анализа для других простых течений
остается 'практически той же; круглая струя рассматривается в упражнениях.
в конце главы.
7.1. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
Развитие пяти рассматриваемых течений—плоский слой смешения,
плоские и круглые следы и струи — определяется несколькими
параметрами, которые остаются инвариантными вдоль течения. Они
определяют:
1) условия окружающей среды, т. с. есть ли это струя,
распространяющаяся в неподвижной безграничной жидкости, след, равномерно
переносимый со скоростью Ux или слой смешения между областями
с постоянными скоростями Ux и U2',
2) свойства переноса количества движения жидкости — плотность
р и, если течение ламинарное, то и вязкость v. Для четырех течений —
следов и струй — необходим дополнительный параметр;
3) инвариант количества движения — поток количества движения
М, который остается постоянным при заданных условиях окружающей
среды.


§ 7.1]
Методы теории подобия
317
Можно сделать вывод, что линейные масштабы и масштабы
скорости, как показано на рис. 6.4, могут быть выражены законами вида
/о, U0 = f(x, Uu U2,M, p, v). (7.1.1)
Для частных случаев некоторые из параметров будут опускаться.
Опущенные параметры, а также процессы, происходящие вблизи начала
течения, можно учесть путем задания продольной координаты х,
отсчитываемой от эффективного начала, которое зависит от числа Рей-
нольдса и геометрии рассматриваемой области. Роль эффективного
начала аналогична роли, которая отводится «постоянной скольжения»
в законе стенки и которая учитывает вязкость и, возможно, геометрию
шероховатости.
Интегралы количества движения
Прежде всего остановимся на инварианте количества движения М.
Для тонкослойных течений, распространяющихся в неограниченном
объеме жидкости с постоянным внешним давлением Рь интегралы
количества движения (6.2.33), (6.2.47) дают:
1) для плоских течений
р f [U (Ul — U) -f v*— ~й*\ dy = Mr = const;
6
2) для круглых течений (струй и следов)
tfi __ _
2тф [[U (Ux — U) + v2 — и2\ г dr = М = const,
о
Для струй в неподвижной жидкости (£Л = 0) получаем:
|(t/»+l?-oJ)^=^-, (7-1.4)-
О
где F' — поток количества движения на единицу ширины плоской струи;
j(l/«+i?-^rdr = ^, (7.1.5)
о
где F — полный поток количества движения в круглой струе.
Для следов с малым дефицитом скорости (U~Ui) .приближенные-
формулы И'меют вид:
f/.jV,-£/)<&=-£, (7.1-6)
О
где D'— сопротивление или дефицит количества движения на единицу
ширины, и
U^U.-^rdr^, (7.1.7);
п
(7.1.2)
(7.1.3>


318 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
где D — полное сопротивление индуцирующего след тела.
Аппроксимируя среднее течение и .пренебрегая нормальными напряжениями, мы
вносим ошибки порядка Uo/U\.
Эти результаты можно использовать различным образом. Прежде
всего они предполагают, что параметры, определяющие движение
жидкости, появляются не отдельно, а в комбинациях F/p и D/pUi. Более
конкретные результаты получаются, если профили 'скорости считать
автомодельными, т. е. при
U-U,
и.
= f
или
'И-
(7.1.8)
Тогда интегралы количества движения можно переписать в виде
типа
Уг/1о
"■"•Ч'Ш'ф—т-
(7.1.9)
Интеграл представляет собой абсолютную постоянную, которая
определяется конкретным автомодельным профилем скорости. Отсюда
можно сделать следующие выводы:
рг
1) для плоской струи П2 . = const;
2) для круглой струи П2 /2 — const;
Df
3) для плоского следа
P^Wo
D
= const;
4) для круглого следа п TI, n = const, |
?uiu а1 о )
(7.1.10)
где каждая постоянная справедлива для всех течений данного класса.
Эти результаты можно использовать для нахождения одного масштаба
по известным значениям других масштабов.
Изменение числа Рейнольдса
Соотношения (7.1.10) указывают, что число Рейнольдса
(7.1.11)
изменяется вдоль потока. Дополнив их очевидными результатами для
•слоя смешения, будем иметь:
/1/2 .
*0 »
для слоя смешения Re0 ^ /0; 1
для плоской струи Re
для круглой струи Reo = const.
или плоского следа
для круглого следа Re0 ^ /~ .
(7.1.12)
Это локальное число Рейнольдса для среднего движения
характеризует тенденцию течения к неустойчивости, как и Re<* для течения
.в трубе и Re5 для пограничного слоя. Так как все пять рассматривав-


§7.1]
Методы теории подобия
319
мых течений при своем распространении тормозятся, то можно
заключить, что плоские слой смешения и струя становятся все менее
устойчивыми (или более турбулентными), что круглый след становится более
устойчивым (турбулентность в конце концов гасится) и устойчивость
двух оставшихся течений остается неизменной вдоль потока.
Для 'пограничного слоя критерий перехода к турбулентности можно
получить из значения для течений в трубе; грубо говоря, Re5 =
= £A'699/v~2000 соответствует условию перехода. Свободные слои со
сдвигом, лишенные влияния стенки, обычно становятся неустойчивыми,
когда Re0=A[/Ar//v<100. Так как число Рейнольдса простых слоев со
сдвигом увеличивается быстро (7.1.12), то переход в таких слоях
происходит обычно раньше, чем они образуют струю или след. Характер
такой потери устойчивости затрудняет определение точного критерия
перехода; вначале возникают регулярные волны, затем они
сворачиваются в концентрированные вихри, и только лишь тогда переходят
в неупорядоченное турбулентное движение.
Зависимости (7.1.12) также указывают, как коэффициент
турбулентной вязкости изменяется вдоль потока. Если соответствующие
масштабы не зависят от вязкости, то можно предположить, что
коэффициент турбулентной вязкости (который принимается постоянным
поперек течения) определяется соотношением
1 (7.1.13)
где Ro — абсолютная постоянная, характеризующая особенности
рассматриваемого течения. Ее можно назвать постоянной течения или
турбулентным числом Рейнольдса (еще одним!). Этот параметр будет
рассмотрен подробно позже; сейчас заметим только, что
^=U^ = ^ (7.1.14)
изменяется так же, как локальное число Рейнольдса. Эта трактовка
коэффициента турбулентной вязкости аналогична той, которая
использовалась при получении уравнения (3.3.32) для ядра течения в канале.
Изменение потока массы и внешнее течение
Соотношения (7.1.12) определяют также изменение потока массы
в развивающемся течении. Для плоского и круглого течений
дополнительный поток массы соответственно равен
mt^2^{V—Ul)dy\ (7.1.15)
о
rk=2i:9^(U-Ul)rdr. (7.1.16)
о
Предположив подобие профилей, найдем:
m'^pUJ. (7.1.17)
и
т ъ pUJ\f
(7.1.18>


320 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
используя те же методы, что дали возможность получить уравнения
(7.1.10). Сопоставление с этими уравнениями показывает, что
для струй
т', m^/у2, /0;
(7.1.19)
для следов v
т\т = const.
Постоянство дефекта потока массы для следов с малым дефектом
скорости очевидно из уравнений (7.1.6), (7.1.7), которые показывают
пропорциональность дефекта потока массы дефекту потока количества
движения. Течение вне следа достаточно далеко за телом является
строго параллельным. Как для ламинарных, так и для турбулентных
струй требуется непрерывный приток из неподвижной окружающей
жидкости, чтобы поток количества движения сохранялся постоянным
при уменьшении скорости. С другой стороны, в пограничных слоях
количество движения внешней жидкости уменьшается и индуцированное
течение направлено наружу из слоя со сдвигом.
Поперечная скорость во внешнем потоке рассчитывается из условия
неразрывности. При постоянном значении U\ уравнения (6.2.31),
(6.2.45) дают:
1) для плоских течений
Vt = £](U>-V)dy=-±^; (7-1.20)
о
2) для круглых течений
'■V = R1Vl = ^l(Ul-U)rdr = -lr?^, (7.1.21)
о
где г — координата точки вне области существенного изменения
скорости. Как и ожидалось,
V\ <0 для струй; \
Vt = 0 для следов; (7.1.22)
V1 > 0 для пограничных слоев. J
Что касается внешнего течения, то слой со сдвигом выступает
в роли материальных источников (V\>0) или стоков (1Л<0),
распределенных по плоскости или оси, вблизи которых происходит течение.
Распространим это рассуждение на слой смешения, показанный на
рис. 7.1 (для которого в предельном случае U2=0). Отсутствие
симметрии усложняет обсуждение: течение у верхней границы слоя имеет
характер следа или пограничного слоя, и можно ожидать, что 1Л>0
или 1Л^0; у нижней границы течение более похоже на струю, и
следует ожидать, что V2>0, т. е. течение направлено к слою со сдвигом.
Расширение области, в которой скорость уменьшается, означает, что
1/<0 в пределах слоя; это поперечное течение переносит также
количество движения от области высоких скоростей к области малых
скоростей.


§ 7.1J
Методы теории подобия
321
Ui
»-
Рис. 7Л. Плоский турбулентный слой смешения за уступом. Профили средних
продольной и поперечной скоростей показаны в разных масштабах.
/ — область внешнего течения: U = UU Ki~0; // — вовлечение; U2~0.
Хотя нам неизвестны приток и отток с обеих сторон слоя, можно
рассчитать результирующее приращение расхода:
m' = P^(U-U2)dy, (7.1.23)
1/2
где и2фО введено для общности. Предположив подобие профилей
скорости, получим:
mr^p{Ul—V2)k, (7.1.24)
что совпадает по форме с (7.1.17), так как в этом случае U0=Ui—U2.
Наконец, имеем:
Vl-V1 = --L*gr<0, (7.1.25)
как и для струи.
Результаты анализа размерностей
Анализ инвариантности потока количества движения отвлек нас
от решения задачи, поставленной в уравнении (7.1.1), — определения
изменения масштабов длины и скорости. Ранее было замечено, что
форма инвариантов количества движения означает наличие комбинаций
/;/р и DfpUi. Для турбулентной струи это заключение (которое
фактически необходимо для однородности размерностей) позволяет упростить
зависимость (7.1.1) к виду
t.U^f (f, *)• (7-1-26)
Для круглой струи непосредственно получаем:
1,^х и и0^{Щ^. (7.1.27)
Чтобы получить такие же результаты для следов, необходимо
дополнительно 'сократить число параметров. Будем считать, что
координата х важна только как мера времени, необходимого для
распространения переносимой жидкости. Следовательно,
'о.^о = /(^, щ)> <7.1.28>
21—56


322 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. Т
т. е. имеем достаточно малое число переменных. Данный безразмерный'
комплекс можно также получить из уравнения для течения с малым
дефектом скорости:
dz
1 дх р ду
(7.1.29>
Постоянную Ux можно ввести в x/Uu и эта комбинация будет
иметь место в любом решении.
Для ламинарного течения уравнения (7.1.1) включает
дополнительный параметр — коэффициент вязкости v. Связь этого
коэффициента с другими определяющими параметрами устанавливается балансом
количества движения:
rrdU d2U
дх дуг
(7.1.30>
Таблица 7.1
Прдобие в развивающихся течениях
Типы течений
Основные параметры
Инвариант количества
движения
Комплексы
I. Определяющие параметры (величины в скобках относятся
к ламинарным течениям)
Слой смешения
Плоский след
Круглый след
Плоская струя
Круглая струя
Uu D', р, (v)
Uu D, р, (v)
*". Р. (>)
Р. Р> (v)
D/fU,UJ\
иж
(или wr)
D'/fUt; x/Ul(vx/U1^
D/fUu x/U, (vx/t/,).
F'/f, x (или vx)
F/p, x (или vx)
Типы течений
Re<>~ ec/v
II. Свободные турбулентные течения
Слой смешения
Плоский след
Круглый след
Плоская струя
Круглая струя
Слой смешения
Плоский след
Круглый след
Плоская струя
Круглая струя
f(U,/U2)x
(D'/p^)1'2*1/2
(Д/ptf2,)1/3 jc1'3
X
X
III. Ла
(v/^)172*172
(vAA)1-'2*172
(v/^)1/2-<1/2
(m.v/F')1/3 x2/3
(^v/i7)1/2 X
U,-U2
Ф7р)1/2 *1/2
(W,/?)1'3/*2'3
(Я/р)1/2/*1/2
(i7p)1/2/*
бинарные течения
и,-и,
{Dx/KUrfV/xW
(DM/x
(F'V(V-)Iy3/x,/3
(F/»/x
~ X
D'/fU,
-.•c-,/3
- x1/2
(F/M.V)1/2
^x''2
P'/vV,
-X-'/2
- x"3
№),,/г
"v. X
-D'/Ut
— D/Ut
- xl<*
^ X.
i/a,
&;


'§ 7.2]
Автомодельные течения
323
Видно, что постоянную v можно включить в ух и что (для ламинарных
следов) соответствующей комбинацией будет yx/Uy.
В табл. 7.1 систематически представлены эти положения; вначале
приведены определяющие параметры, затем законы развития
турбулентных течений, и потом — ламинарных. Характер изменения числа
Рейнольдса, коэффициента турбулентной вязкости и потока массы
согласуется с соображениями, основанными на инварианте количества
.движения. Законы развития ламинарных и турбулентных течений
совпадают, когда 8с постоянно вдоль течения. Однако даже здесь
постоянные пропорциональности для этих случаев будут совершенно
различными по своей структуре.
Единственные масштабы, которые не зависят от определяющих
параметров,— это ширина турбулентных струй: все плоские и все круглые
-струи имеют одинаковые (но не обязательно равные) углы
расширения, конечно, при условии, что струи распространяются в неподвижной
.жидкости с постоянной плотностью. Кроме того, скорость
распространения турбулентных слоев смешения одинакова для любого данного
значения отношения UJU2. Именно для таких течений наиболее
очевидно значение подобия по числу Рейнольдса.
7.2. АВТОМОДЕЛЬНЫР ТЕЧЕНИЯ
Другой путь изучения развития свободных турбулентных течений
основывается на рассмотрении последствий подобия для
дифференциальных уравнений движения. Это дает возможность учесть
неравномерности переносного (конвектирующего) внешнего течения и,
следовательно, позволяет выявить большое разнообразие автомодельных решений.
Так как определенно признано непрерывное уравновешивание
различных процессов переноса, то название «автомодельный» часто относится
и к турбулентным течениям, рассматриваемым в данном анализе.
Кинематические условия
Рассмотрим подробно только плоское течение, приняв для
изменения средней скорости
U=Ul+U0f(y\), ц=уПо (7.2.1)
И
^ = U\gij(fi), /,/=1,2,3, (7^2)
для компонент тензора турбулентных напряжений (например, uv=
=UiU2=U2ogi2). Эти .постулаты выражают продольные изменения
характеристик течения через масштабы U{(x), U0(x) и 10(х) и вводят
подобие по числу Рейнольдса для движений, которые вносят вклад в
турбулентные напряжения.
Соответствующее изменение поперечной компоненты скорости
можно найти, интегрируя уравнение неразрывности:
=-фы + и/^Ы}-^
О
№
(7.2.3)
"21*


324 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. Т
Принято, что V(0) =0. Последняя часть уравнения (7.2.3) после
знака равенства получена в результате интегрирования по частям.
Здесь факторы, характеризующие продольное и поперечное изменения,,
разделены; величины, стоящие в квадратных скобках, не изменяются
вдоль течения.
Из уравнения (7.2.3) вытекают некоторые условия автомодельное
сти. Для инвариантности поперечного профиля поперечной скорости
необходимо, чтобы каждый член изменялся вдоль течения одинаковым
образом. Из средней части уравнения (7.2.3) следует
ззН^т-зг- <7-2-4>
Li Л' LL Лг V q иЛ
Тогда условия точной автомодельности суть
Un\^Un\^lot (7.2.5)
если изменяются все масштабы. Когда один масштаб постоянный, одна
из соотношений (7.2.4) исключается. Например,
£/шо—/0 при f/!=const.
Когда два масштаба постоянны, из (7.2.3) нельзя получить новую
информацию.
Динамические условия
В поисках новых условий связи обратимся к уравнению количества
движения (6.2.21). Его структура усложняется, когда используются!
формулы (7.2.1) — (7.2.3). Однако уравнение (7.2.3) показывает, что
V = t/.g-F(ij) и *L=d£G(n), (7.2.6>
когда выполняются кинематические условия подобия. Теперь можно
записать динамическое условие
U> g* [О] + U. d§ № + <£ g. IfF] + 2UQ § [gu - g22] -
Штрихи обозначают дифференцирование по г\.
Из уравнения (7.2.7) следует, что
£*- = const (7.2.8>
ведет к тому, что предпоследний член, представляющий турбулентное
напряжение, изменяется так же, как два других. Более того, это
простое динамическое условие в комбинации с кинематическими условиями
(7.2.5) означает, что все коэффициенты (за исключением последнего
члена вязких напряжений) пропорциональны между собой.
Следовательно, точная автомодельность требует, чтобы
J/mr{/V/o^, (7.2.9)
когда все масштабы изменяются. При t/1=const имеем
Umo~>l0~x. (7.2.10)


§ 7.2J
Автомодельные течения
3:5
Это дает линейный масштаб простой струи; масштаб скорости пока
не определен. Когда Ux и U0 постоянные, получим
/о~*. (7.2.11)
т. е. картину развития простоя слоя смешения. Существуют и частные
результаты для постоянного масштаба /о или U0, но они не имеют
большого практического значения.
Ничего не было сказано пока о плоском следе, так как не введена
еще необходимая аппроксимация U^Uq. При такой аппроксимации
большинство членов уравнения (7.2.7) исчезает, и динамическое
условие приближенной автомодельности имеет вид:
"«гг-Т» (7'2Л2)
что заменяет уравнение (7.2.8). Кинематические условия (7.2.5)
следует пересмотреть, так как некоторые из них становятся неуместными.
Прежде всего рассмотрим условие равномерной конвекции U\ =
=const. Чтобы закончить обсуждение плоских струи и следа,
используем соотношения (7.1.10). Соответственно для струи и следа имеем:
F' —х- (7.2.13)
(7.2.14)
(7.2.15)
Из
(7-
следа
2.13)
и (7.2.
условие (7.
D'
ptWo
= const.
.10) сразу следует
2.12)
0 \t*
дает:
dU р
dx D'
у/2
-U3
U 0'
откуда
o.~(wT- <7-2л6»
Результаты (7.2.15), (7.2.16) соответствуют приведенным в табл. 7.1,11.
Рассматривая неравномерную конвекцию {U\ изменяется), получим
новые результаты, оправдывающие усложнение используемого здесь
анализа. Интегральное соотношение количества движения для
свободно развивающегося течения (ламинарного или турбулентного) в
движущейся среде с переменной скоростью представлено в (6.2.346). Для
точно автомодельных течений имеем U^Ui, и все поперечные
масштабы пропорциональны между собой; следовательно,
lQU^2= const, (7.2.I7)
где #=61/62 — постоянный формпараметр для данного профиля
'скорости. Условие (7.2.8) дает теперь:
U0^x-]l{H+2) (7.2.18а)
для этого класса точно автомодельных течений, если не считать того,
что нормальные напряжения были опущены при выводе уравнения
(7.2.17).


;3!о Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
• Для струйных течений, когда отношение U0/Ui и постоянно, и
велико, имеем:
Н—Я) и £/0-*-1/2, (7.2.186)
как и для струи в неподвижной жидкости. Для течений в следе, когда
о [ношение UQ/Ui и постоянно, и мало, имеем:
Н—Я и U0^x-W. (7.2.18)
Этот результат для точно автомодельного следа не совпадает с
зависимостью (7.2.16) для приближенно автомодельного следа в
равномерном потоке.
Другие виды течений
Обсуждение можно распространить и на случаи круглых струй и
следов путем рассмотрения последствий автомодельности для
уравнений неразрывности и количества движения для осесимметричных тече-
иий (6.2.45), (6.2.46). Оказывается, что условия (7.2.4), (7.2.8)
применимы и здесь, так как структура уравнений остается прежней.
Комбинируя условия (7.1.10) и (6.2.49), получаем:
J) для круглой струи
£/.~/7|~*"1; (7-2Л9>
2) дчя круглого следа
и9ъГ2ъх-и, (7.2.20)
3) для осесимметричного автомодельного течения в неравномерном
потоке
[/0~х-2/(й'+2). (7.2.21)
Первые результаты эквивалентны приведенным в табл. (7.1,11).
Исследование автомодельных свободных турбулентных течений
можно распространить различными путями на:
а) приближенно автомодельные плоские и осесимметричные
движения при U0(x) <^Ui(x)] это — обобщения приближенно
автомодельного следа;
б) другие простые случаи течений со сдвигом, например £/i=const,
У=—ay, W=az при постоянном значении а\
в) другие случаи осесимметричных течений: или радиального,
закрученного или их комбинации; для закрученного движения следует
рассмотреть инвариант момента количества движения;
г) следы за движущимися телами; здесь интеграл количества
движения равен нулю и бесполезен, но конечны и инвариантны некоторые
интегралы, получаемые путем умножения уравнений количества
движения на у или г в определенной степени.
Течения, указанные в п. «а» и «б» в действительности встречаются
очень редко; здесь выбраны искусственные условия, чтобы создать
звтомодельность. Однако такие течения могут быть созданы в
специальных экспериментах для демонстрации отдельных явлений, которые
играют роль в более общем турбулентном движении.
Последствия автомодельности можно изучить, рассматривая
другие уравнения, описывающие турбулентное течение. В частности, может
потребоваться, чтобы помимо уравнений количества движения и нераз-


§ 7.2] Автомодельные течения 32.j
рывности автомодельную форму имело уравнение энергии
турбулентности. Тогда можно ослабить требование, чтобы масштабы скорости
среднего и турбулентного движений изменялись одинаково вдоль течения;
дополнительное условие позволяет определить дополнительный масштаб
<7о Для интенсивности турбулентности.
Вовлечение
Условия автомодельности позволяют исследовать процессы,
связанные с «вовлечением» — продвижением границы турбулентности во
внешний поток под действием поперечной средней конвекции, возникающей
в расширяющемся слое со сдвигом или под действием основного1
(конвективного) потока.
При выводе уравнения (6.1.11) предполагалось, что скорость дере-
мещения границы (поверхности) раздела относительно среднего
движения жидкости можно выразить в виде
Vi^Vi+VA-Vu • (7.2.22)
где Vi+V^ — кажущаяся (или абсолютная) скорость распространения
(перемещения) границы. Среднюю скорость жидкости на поверхности
раздела можно определить из уравнения (7.2.3), которые содержат
члены, характеризующие ускорение конвективного течения и развитие
сдвигового слоя. Для автомодельного развития можно записать
Vi=s_AS^LH(iil) = -Ut^-Hill), (7.2.23)
где Н и / — числа, характеризующие тип течения, т. е. зависящие от
Кажущуюся поперечную скорость поверхности раздела можно
выразить в виде
Vt + V^U^. (7.2.24а)
Постоянная пропорциональности зависит от выбора /о или в
сущности от у\/10. С другой стороны, используя кинематическое условие
г; dl0 d(UQ!0)
и° dx dx '
являющееся следствием уравнения (7.2.3), получаем:
Vi+V^yi-*^. (7.2.246)
Для простой струи Ux будет заменена на U0 в уравнении (7.2.24)
в предположении, что поверхность раздела переносится вдоль потока со
скоростью, которую можно выразить через соответствующий масштаб
скорости.
Подставив эти результаты в уравнение (7.2.22), получим:
^ = (ед + ед)§- (7.2.25а)
или
V,= (c,^ + C4)*ijW, ^.j^)


32vS Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
где коэффициенты С\—С4 зависят от типа течения. Напомним, что
одним из услрвий для (7.2.5) является £/i/£/0=const; это ведет к тому, что
члены этих уравнений будут пропорциональными между собой.
Наконец, вспоминая, что dlo/dx=r,onst для таких автомодельных течений, мы
приходим к выводу, что
Vi^Vi-^Vi+V^Uo. (7.2.26)
(Ретроспективно эти результаты не вызывают удивления для
автомолельных течений). Следовательно, уравнения вида (7.2.25) можно
записать для любой из указанных скоростей вовлечения.
•Уравнение (7.2.256) показывает, что различные поперечные
скорости пропорциональны скорости изменения объехмного расхода вдоль
потока. Эта интерпретация является основой метода расчета вовлечения
пограничного слоя.
Приведенный анализ справедлив для слоя смешения и струи в
неподвижной среде и для целого ряда точных автомодельных струй и
следов. Для равномерно переносимого следа условие (7.2.12) означает, что
0 * U0 dx l dx '
так как UQl0 постоянно. Следовательно, V\—;t/0, как и в уравнении
(7.2.26).
В свете этих результатов уравнения (7.2.25) часто записывают
в виде
pjt=<fjt+djA
dx
и (7.2.27)
Параметры (3 и Pi называют коэффициентом вовлечения. В первом
из этих уравнений вовлечения вклады от V{ и Vi-\-V\ представлены
раздельно; коэффициент а учитывает их относительный эффект. Можно
ожидать, что а=0 для простого следа, а>0 для струи или слоя
смешения и а<0 для пограничного слоя. На практике часто используется
значение а=1/2, которое более характерно для струй и слоев смешения,
а коэффициент вовлечения определяется как
Р=(ог+-г)йг- <7-2-28>
Коэффициент Pi учитывает все эффекты изменения Ui/U0\ может
быть, это более реалистично для настоящего этапа понимания
процессов вовлечения.
7.3. ПРОФИЛИ СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ
7.3.1. ХАРАКТЕР ЗАДАЧИ
Условия подобия, обеспечивая пропорциональность'коэффициентов
в уравнении количества движения (7.2.7), позволяют свести его к
обыкновенному дифференциальному уравнению, хотя и сложному по форме
и с несколькими зависимыми переменными. Однако конвективное
ускорение, включающее скорости U -и V (не считая течения с малым
дефектом скорости), можно выразить через одну зависимую переменную,


§ 7.3]
Профили средней скорости
з;<л
вводя соответствующую функцию тока; этот метод использован,
например, в п. 8.1.1. Предположение о подобии учитывает развитие потока
в продольном направлении; для турбулентных течений возникает
проблема установления связи скоростей (или функций тока) и
турбулентных напряжений. Здесь мы будем исследовать поперечное изменение
скорости, используя простейшие модели турбулентного смешения (либо
коэффициент турбулентной вязкости, либо длину пути смешения,
постоянные поперек течения, но не обязательно вдоль).
Подробно рассмотрим только лишь один вид течения — плоский
след, для которого члены, выражающие ускорение и напряжения,
имеют особенно простой вид. Структура результатов для одного этого,тече-'
ния отражает общий характер решений для других развивающихся
течений. Хотя детали математической формы результатов для различных
течений представляют определенный интерес, они очень мало говорят
о турбулентности и не дают высокой точности даже при расчете
профиля средней скорости.
Последний недостаток нетрудно объяснить. Из рис. 6.3,а видно, что
предположение еш=ес довольно реалистично в почти всегда
турбулентной области; малые гт во внешней области течения означают более
быстрое падение фактической скорости, чем при использовании модели
постоянного коэффициента вязкости. Это частично связано с
перемежаемостью внешнего течения. Заметим, что использование постоянного
коэффициента турбулентной вязкости приведет к профилям скорости,
идентичным профилям для соответствующего ламинарного течения,
даже если картины развития и не одинаковы.
Линейные масштабы свободного турбулентного течения также i:o-
чти постоянны в центральной области; они возрастают в области
перемежаемости, так как масштабы в безвихревой жидкости значительны.
Следовательно, во внешней области модель постоянной длины пути
смешения занижает скорости. Некоторое искажение должно
наблюдаться также вблизи оси симметрии, так-как здесь em=l2m\dU/dy\ рг.влэ
нулю. (
7.3.2. ПЛОСКИЙ СЛЕД
Для этого течения уравнение количества движения принимает
простой вид
dU _ дш d2U
u^-~~'wJrVw (7-3-])
где U\ — постоянная. Подставив зависимости (7.2.1), (7.2.2) в (7.3.1),
получим:
М^0/-^0 = -^+Й7Г' '' = &•. (7-3-?>
В этом течении Re0=U0l0/v — постоянная в силу динамического
условия £/oA)=const. Это означает также, что оставшиеся
коэффициенты равны по величине и противоположны -по1 знаку. Следовательно,
дифференциальное уравнение "(7.3.2) можно переписать в виде
где постоянная


'330 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
Интегрирование дает
Г-nf— _ rr -J .
Re0
C,tf =-*„+£- (7.3.4)
при граничных условиях и т] = 0
ff, /' = 0 и x>g„ = 0. (7.3.5)
Для рассматриваемого течения составляющая уравнения (7.3.4),
выражающая ускорение, линейна относительно зависимой переменной;
нелинейность может внести лишь турбулентное напряжение. В общем
члены, выражающие ускорение, не будут линейными, и даже для
ламинарных течений решаемое уравнение оказывается нелинейным. Это
показано в конце данной главы на примере круглой струи.
Модель постоянного коэффициента турбулентной вязкости
Рассмотрим турбулентное напряжение
£Г=-.е|-=-£Г. (7.3.6а)
После приведения его к безразмерному виду получим:
*.,=$;=-;£- (7-3.66)
"Постоянная потока \Ro=Uq10/ec равномерно распределена вдоль
течения, но это не является общим случаем. Уравнение (7.3.4) можно
теперь переписать (пренебрегая вязким членом) как
—2kv)f=f'. (7.3.7)
С помощью уравнения (7.3.2) получим:
Ъ— Х С Q — Х ^ dl**
Отсюда видно, что развитие следа определяется формулой
1\=,Щ-х. (7.3.8)
Наконец, интегрирование уравнения (7.3.7) дает:
/=—ехр (—kr)2) (7.3.9а)
U=Ux-U0exp [-k(ytlo)2] (7.3.96)
при условии, что U=U{—U0 при у=0.
Для того чтобы найти связь постоянных этого профиля с
сопротивлением в следе, введем зависимость, описывающую профиль скорости,
в интеграл количества движения (7.1.6):
00
Я' = 2рВД/. j'e^n,^ = (-r)l/V1^. = (-f),/2Pi/^.V <7-ЗЛ0>
О
Коэффициент турбулентной вязкости можно исключить из
зависимости (7.3.8)
/2 4 (k* \l/2 D' /7 Q 11\


$7.3]
Профили средней скорости
■Ш
Изменение скорости подчиняется формуле
^. = %-(ЬГ1/2^. (7.3.12)
Эти результаты согласуются с данными таблицы 7.1,11, но теперь
коэффициенты пропорциональности выражены через постоянную Ro*
Может показаться, что изменения U0 зависят также от постоянной /г,
но это не соответствует действительности. Рассмотрение решения (7.3.9)
показывает, что k может быть выбрана произвольно, чтобы определить
точку на профиле, при которой измерен масштаб /0. Величина
че зависит от k и масштаб скорости (7.3.12), как и ожидалось, не
зависит от способа определения масштаба /0.
Значения R0 для двух значений k связаны соотношением
Леи ^/MI/2 ^ (7.3.13)
#02 \
Часто принимаются следующие значения:
&1=1/2, соответствующее —f=e~l/2 при у = /оь и &2 = 1п2,
соответствующее —/=1/2 при у=1о2-
Тогда -j^- = [Q-gSo-) =0,85 связывает постоянные
течения.
Модель постоянной длины пути смешения
Взяв турбулентное напряжение в виде
"-«•.(^(■tyw- <7'3I4>
найдем
а — ™- [Ы\ V*. (7.3.14а>
Для выполнения гипотезы подобия g"i2=g"i2(п) необходимо, чтобы
-£- = const (7.3.15>
'о
вдоль течения.
Уравнение (7.3.4) теперь дает (вязкие члены здесь тоже опущены):
С2цЫ'2, (7.3.16)-
где
с>=-(т)*с'=Ш^ <7Л,7>
Интегрирование дает
/ -уЧ 1 —л-
След имеет конечную ширину, так как /—Я), как только г]
достигает определенной величины. Фиксируем постоянную интегрирования,
приняв /=0 при г) = 1, предполагая, что поперечный масштаб равен


332 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
конечной ширине 1\{х). Следовательно, имеем
/=-(1_Г,3/2)
3/2 \ 2
(7.3.18)
при условии, что С2=9У т. е. f=—1 при ц=0. Выбор знаков здесь
довольно произвольный вследствие пренебрежения абсолютной
величиной, связанной с определением длины пути смешения [см. (3.4.37)].
.Теперь интеграл количества движения позволяет получить
- 1
0' = 2рВД/. j*(l- i3/2)1d1| = T§-рВД/.- (7.3.19)
О
Из (7.3.17) имеем:
г — q—JLp^l/M2/ ^i
°2 —У—10 D' [ lc J l<> dx -
В результате интегрирования получим:
D'
/2 =
=»(■£
?и\
X
(7.3.20)
0 81 \1С) рх
(7.3.21)
Эти результаты аналогичны (7.3.11), (7.3.12), но здесь постоянные
выражены через одинаковое отношение 1с/1\ длины пути смешения к
локальной ширине следа. Другие линейные масштабы можно получить
0 15 2,0 2,5
7} = У/10
Рис. 7.2. Профили скорости для
плоского турбулентного следа,
полученные при постоянной
турбулентной вязкости em=ec=const
(/) и постоянной длине пути
смешения /m=/c=const (2).
при подстановке в уравнение (7.3.20) соответствующих коэффициентов;
например, если /0 соответствует f=—1/2, то имеем /0//i=0,441.
Сравнивая зависимости изменения скорости (7.3.21), (7.3.12),
находим, что параметры R0 и lcjl\ связаны соотношением
№'*•-
20
(Ы)
1/2
(7.3.22)
Значения в окрестности /?о=П характерны для турбулентного
следа, когда масштаб /о определен из условия £=1/2. Это соответствует
/с//1==0,17, что является типичным для модели пути смешения.
На рис. 7.2 представлены два приведенных к безразмерному виду
профиля скорости (7.3.9), (7.3.18), которые согласуются при /=—1/2.
Наблюдается' очевидное несоответствие вблизи плоскости симметрии и


§ 7.3]
Профили средней скорости
333
внешней границы; измеренные кривые следуют кривой Гаусса для
постоянного коэффициента турбулентной вязкости в центральной части и
.лежат между двумя расчетными кривыми у границы.- Эти результаты
согласуются с рис. 6.1,а, свидетельствуя о том, что средний профиль не
зависит от характера турбулентности. Неплавное сопряжение профиля
скорости во внешней части следа, которое дает модель постоянной
длины пути смешения, соответствует определенной ширине следа. Как ни
странно, данные расчеты приближенно представляют мгновенную
ситуацию, хотя они и неверны в среднем.
7.3.3. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ДЛЯ СВОБОДНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И ТЕЧЕНИЯ
В ЯДРЕ
Анализ других свободных турбулентных течений дает результаты
в той же общей форме, что и для плоского следа: развитие
определяется либо значением R0=2U0lo/ec, либо значением ljl\. В табл. 7.2
приведены эти значения для различных течений. Источники данных
следующие:
1. Большинство значений /?о для свободных течений были
предложены Таунсендом и Шлихтингом. Для профилей скорости с перегибом
i0 соответствует AU/U0=e~1/2. Для пограничного слоя и слоя смешения
подобный критерий был применен к профилю dU/dy; для первого из них
в качестве 6i принимается толщина вытеснения /0. Одиночные значения,
приведенные в таблице, скрывают за собой существенный разброс;
например, для плоского следа, который исследовался наиболее часто,
i?0=8^-13.
2. Значения ljl\ для свободных течений в основном были
предложены Лондером и Сполдингом. Оценка ширины ^ = 6 или 1/26
приближенно соответствует AU/U0=0,99.
3. Значения для ядра течения в канале взяты из табл. 3.3 и
примера 3.30. Так как турбулентность в ядре течения переносится из
пристеночного слоя, можно утверждать, что /0 должна определяться толщиной
пристеночного слоя; тогда значения R0 будут ближе к
соответствующим значениям для пограничного слоя.
В табл. 7.2 обнаруживается устойчивая закономерность изменения
Ro от высоких значений для каналов и пограничных слоев через
промежуточные значения для пристеночных струй и свободных струй до
малых— для следов. В первой части таблицы изменения определяются
действием стенки, далее уменьшение R0 вызывается последовательным
изменением взаимодействия среднего течения и крупных элементов
турбулентности. Удивительным является то, что это взаимодействие
находится под сильным влиянием относительно малого поперечного потока,
характер которого в струях и следах совершенно различен. Изменение
значений R0 для осесимметричных течений имеет ту же тенденцию, но
эти значения несколько выше, чем для соответствующих плоских
течений.
Хотя постоянные потока зависят от способа определения
масштабов /о и £/0, они имеют тот же порядок, что и локальное число Рей-
нольдса Re0, при котором имеет место переход в свободных слоях со
сдвигом. Таунсенд утверждал, что это не простое совпадение и что
большие элементы турбулентности неустойчивы, непрерывно появляясь
в жидкости, в которой эффективная вязкость определяется малыми
масштабами движения. С этой точки зрения другое название для R0 —
турбулентное число Рейнольдса — имеет расширенный смысл.


334
Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность
[Гл. Т
Таблица 7.
Значения постоянной потока R0 = U0l0/ec и отношения /<?//,
Тип течения
#0
и
I. Турбулентность в ядре и во внешней части
Плоское под действием
давления
Плоское сдвиговое
В трубе
Пограничный слой: Ux = const
Пристеночная струя: U1=0
85
55
91
55
50
35
1
ь
R
[dU/dy]
\U]
ic/u
/i
*о (У'i)a
пристеночных течений
0,1
0,135
0,1
0,09
0,075
0,075
1/2 b
b
R
д
д
д
II. Плоские свободные турбулентные течения
Слой смешения
Струя: иг = 0
Струя в спутном потоке:
U,=4U0
След: ^>10 170
31
27
21
17
11
[dU/ду]
[U]
[Щ
III. Осесимметричные свободные турбу
Струя: U1 = 0
След
Шлейф
35
14
14
0,07
0,09
?
0,16
д
1/2 а
1/2 д
лентные течения
0,075
1/2 а
0,85
1.0
0,91
0,46*
0,28
0,2
0,15.
0,22
0,28,
0,2*
Отношение IJh изменяется примерно только в два раза, по
крайней мере для течений, представленных в табл. 7.2 [необходимо
заметить, что изменение этого параметра имеет больший эффект, чем
изменение Ro, что следует из сравнения уравнений (7.3.11) и (7.3.20)].
Это позволяет предположить, что масштаб, характеризующий процесс
переноса количества движения в таких течениях, составляет (весьма
приближенно) постоянную долю от ширины потока. Фактически такой
масштаб не равен очень малой доле расстояния, в пределах которого'
происходит изменение средней скорости, что противоречит модели
градиентной диффузии.
Вообще говоря, большие значения R0 связаны с малыми
значениями ljl\. He совсем верным является то, что (lc/l\)2^l/Ro, как
предполагалось на основании уравнения для следа (7.3.22); последняя
колонка в таблице показывает, что результат
(/с//,) 2^0=0,25 (7.3.23)
довольно характерен для целого ряда развивающихся течений. Это
можно сравнить с результатом, полученным Гартшором для ширины а
зоны перемежаемости:
(а//0)2Д0=5,4. (7.3.24а)
Приняв l0=li/2-*-li/3, получим соотношение
-^- = 0,4-4-0,6,
(7.3.246)
связывающее масштабы переноса количества движения с теми
масштабами, которые определяют искажение границы турбулентности.


S 7.3]
Профили средней скорости
335
Другие эмпирические коэффициенты
Как было показано, только одна эмпирическая постоянная
необходима, чтобы определить развитие простого автомодельного течения, при
условии, что интеграл количества движения позволяет получить связь
между линейными и скоростными .масштабами. При этом
предполагается, что известно положение эффективною начала развивающегося
течения ч известен соответствующий профиль для подстановки в интеграл
количества движения. Последнее требование не слишком строгое;
распределение fT*^ обычно бывает приемлемым и даже профиль с
плотской вершиной (цилиндрический) используется для приближенных
расчетов. Однако имеется много способов задания эмпирической
информации; рассмотрим некоторые аналоги параметров Ro и Ц1и которые были
использованы выше.
Прандтль предложил эмпирическое условие, тесно связанное с Ro,
гс=Ки01{ (или KUoto). (7.3.25а)
'Очевидно, коэффициент обмена равен
/С=т^- (или 1//?.) (7.3.256)
я лежит в пределах 0,035—0,007 (или 0,09—0,02). Для пристеночных
течений иногда используют другую формулировку
Ec=Kfuflx. (7.3.26)
Постоянная Kf обратна по величине параметру Rf> введенному
в (3.3.22) и используемому в табл. 3.3 и в ряде других случаев.
Для течений с линейным расширением (простая струя, слой
смешения и автомодельные переносные течения, рассмотренные в § 7.2)
удобно использовать скорость расширения:
~= 0,104 для плоской струи при U1=0;
^-=0,085 для круглой струи при 1^ = 0; \ (7.3.27)
dx
■т-~ = 0,098 для слоя смешения при U2 ==0.
В первых двух случаях /0 оценивается по тг-=-7г (£ = 1п2); в по-
следнем /0 характеризует изменение тт- =0,1 ~н0,9.
Для линейно-развивающихся течений приведенная координата т]=
=уНо часто записывается в виде оу/х, где о —параметр роста. Так как
^= и! ?j ч— в таких течениях, имеем:
1 (dljdx) х
о=(§)"\ (7.3.28)
откуда д^10 для значений (7.3.27).


336 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
Еще одним параметром, связанным со скоростью расширения,
служит коэффициент вовлечения в уравнении (7.2.28). Его значение и
отношение UJUq определяют законы развития.
Наконец, рассмотрим использование внешних линейных и
скоростных масштабов для развивающихся течений. Развитие следа за
круговым цилиндром диаметром d можно определить с помощью /0—
=const(dx)1/2 или коэффициента турбулентной вязкости ec=const(£/id).
Подобно этому характеристики струи можно определить через d и £/,—
диаметр сопла и скорость на выходе из него.
Чтобы выявить ограничения, связанные с использованием таких.
внешних масштабов, рассмотрим плоский след за круговым цилиндром.
Сопротивление определяется коэффициентом
CD = T^—, (7.3.29а>
и уравнения (7.3.11), (7.3.12) можно переписать как
l\ = h(CD)'(dx) (7.3.296)
и
^r = U(CD)^. (7.3.29в>
1 J
Очевидно, нормирование по диаметру цилиндра дает закон,
справедливый для одного данного коэффициента сопротивления, в
противоположность нормированию при использовании инварианта количества
движения, которое применимо для всех плоских турбулентных следов..
Законы (7.3.29) не применимы к некруговым цилиндрам. Конечно,
коэффициент сопротивления для данного сечения может быть постоянным.
в широком диапазоне чисел Рейнольдса, особенно если сечение имеет;
острые углы, и зависимости (7.3.29) будут адекватными в этом
диапазоне чисел Рейнольдса (рис. 6.1,а).
Подобные рассуждения применимы и для струй; хотя поток
количества движения в сопле часто незначительно отличается от того,
который имеет место в развитом течении, для надежности используется
последняя величина, а не pU2jd2.
7.4. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
7.4.1. ХАРАКТЕР ЗАДАЧИ
Мы будем следовать нашей обычной практике рассматривать
процесс переноса тепла под действием конвекции и турбулентной и моле-(
кулярной диффузии. Полученные результаты хмогут быть использованы
для описания процессов переноса других пассивных субстанций,
которые переносятся течением, при условии, что характеристики жидкости
остаются по существу постоянными.
Для переноса тепловой энергии в турбулентном потоке со
свободной границей существенным является коэффициент диффузии в зоне-
границы турбулентности по сравнению с внешними областями. Как
правило, распределение концентрации переносимой субстанции в
турбулентной области довольно равномерно и изменяется скачком на
границе раздела. Это рассуждение неприменимо при Pr, Sc<l, когда значи-


§ ■ JJ
Процессы переноса
тельный коэффициент молекулярной диффузии способен «проникнуть»
через поверхности раздела. Однако широкий диапазон процессов
переноса, скажем при Рг, Sc>0,03, характеризуется наличием среднего
профиля переносимой субстанции, который будет приближенно совпадать
с профилем коэффициента перемежаемости. Точнее говоря, профиль
температуры или энергии нагретого сдвигового слоя, например, лежит
частично внутри профиля перемежаемости, так как холодная жидкость
захватывается на границе турбулентности.
Рис. 7.3. Типичные соотношения
между изменениями средней
скорости, коэффициента
перемежаемости и среднего значения
пассивной величины (на примере
распределения температуры)
поперек свободного турбулентного
течения.
Как показывает рис. 6.2, профиль средней скорости уже профиля;
коэффициента перемежаемости. Следовательно, распределение
температуры относительно профиля средней скорости должно быть подобным
показанному на рис. 7.3; любая другая переносимая пассивная примесь
будет иметь такое же распределение во внешней области
турбулентного течения. Роль поверхности раздела эквивалентна кажущемуся числу
Прандтля или Шмидта^ величина которого определяет статистическую
геометрию поверхности раздела. Таблица 5.1,111 показывает, что
обычны значения Pra, Sca=0,5-b-0,7. Заметим, что поперечный масштаб для
переносимой субстанции будет немногим больше, чем для изменения
скорости, за исключением условия Pr, Sc<Cl. В этом отношении
турбулентные сдвиговые слои становятся более простыми для описания, чем
ламинарные течения, приближенный характер которых указан
в (6.2.15).
В почти всегда развитой турбулентной области вблизи стенки или
оси симметрии перенос определяется турбулентным числом Прандтля
Pr*=/(Pr, Re), свойственным данной жидкости и условиям течения; его
изменение показано на рис. 5.2,6. Однако диффузия поперек свободного
турбулентного слоя характеризуется плоским профилем во внутренней
области, следствием чего является то, что турбулентный перенос почти
не влияет на профиль средней субстанции. Более того, Pr*, Sc*=0,5-^-
1,0 для .турбулентных потоков соответствуют различным условиям,
которые экспериментально исследовались и имеют практическое значение;
в частности, это свойственно для газов (Рг^0,7 и Sc=0,6-s-l,0 для
диффузии в воздухе) при низких локальных числах Рейнольдса (Re0^
^103), характерных для свободной турбулентности. При этих условиях
и особенно, когда принимаются постоянными коэффициент
турбулентной вязкости или длина пути смешения, процесс переноса может быть
адекватно представлен лишь с помощью одной лишь величины Рг/ для
всего сдвигового слоя. Эта величина может быть взята приближенно'
равной значению Рга для области перемежаемости.
В конце п. 5.1.3 было предположено, что низкие значения Рг*,
данные ^ля свободных турбулентных течений в табл. 5.1,111, являются
22—56


•338 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
•следствием комбинации Re и Рг. Хотя эта идея может быть верной,
теперь она представляется в значительной степени неуместной.
Кажущееся турбулентное число Прандтля отражает кривизну свободной
границы и незначительно зависит от Re и Рг.
Теперь рассмотрим различные классы тонкослойных турбулентных
течений, для 'Которых свойственно изменение средней температуры. При
исследовании будем использовать условие инвариантности потока
энергии вдоль течения. Следовательно, получаемые результаты применимы
к другим величинам, интегральный поток которых сохраняется. В
порядке возрастания сложности имеем:
1. Чисто тепловые следы. Они соответствуют случаю подвода тепла
с неизменной интенсивностью в фиксированной точке равномерного
течения (или точке, равномерно движущейся в неподвижной жидкости),
в отсутствие изменения потока количества движения. Примером может
служить след за движущимся летательным аппаратом. Распространение
примеси осуществляется в конечном итоге под действием диффузии
переносящей среды.
2. Течения со сдвигом при наличии нагрева. Здесь энергия и
количество движения суммируются в одно и то же время, и дисперсия
осуществляется под действием средней конвекции и турбулентности
результирующего течения со сдвигом.
3. Переносящие течения со сдвигом. Слой смешения осуществляет
передачу тепла между двумя первоначально однородными областями на
обеих своих границах.
4. Течения под действием архимедовых сил. Механизмы дисперсии
в основном те же, что в случае 2, но здесь движение поддерживается
разностью плотностей в нагретой жидкости.
5. Комбинированные механизмы. При этом возможны
разнообразные течения, промежуточные относительно приведенных выше, но здесь
они рассматриваться не будут. Можно было бы распространить анализ
на сдвиговые слои при различных внешних условиях, например
шлейфы, эжектируемые в сносящий ветер или в стратифицированную
атмосферу.
7.4.2. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ
Инварианты энергии
Посредством методов теории подобия исследуем закономерности
теплового развития некоторых из рассмотренных выше течений. Для
тонкослойных течений со свободной турбулентностью интегралы
сохранения энергии (6.2.37), (6.2.50) предполагают существование инвариантов
энергии:
1) для плоского течения
2p^U(H-Hl)dy = Qf\ (7.4.1)
6
2) для осесимметричного течения:
2тф f[/(tf_tf1)rdr = Q, (7.4.2)
о


§ 7.4J
Процессы переноса
1"0
где Qf и Q — скорости притока тепла соответственно на единицу
ширины потока и для всего потока.
Введя масштаб изменения средней температуры 8о, получим
зависимости, аналогичные (7.1.10):
1ч - Q' ]
1) для плоской струи ггтгг- = const; '
?CpU0ti0l0
2) для осесимметричной струи —/г = const;
рСри0и01 0
3) для плоского следа —,, д . = const;
4) для осесимметричного следа — ^ = const.
Эти зависимости предполагают наличие следующих комплексов:
(7.4.3>
для струи ?ср _ рс/
для следов —yj- и
(7.4.4>
Исследование других переносимых субстанций S можно
осуществлять таким же методом при условии, что «источниковые» члены общего
интегрального соотношения (6.2.32), пренебрежимо малы для
развивающихся течений. Масштаб S0 заменяет ср%, а вместо Q подставляется
скорость инжекции S в поток.
Мы неявно предполагаем, что масштаб 'поперечной диффузии
связан с изменением скорости. В то время как это предположение
реалистично для большинства турбулентных течений, для которых
переносимая субстанция сосредоточена в пределах границы турбулентности, оно
применимо лишь к тем ламинарным течениям, для которых Pr, Sc^l.
Нет никаких оснований ожидать, что зависимость ширины профиля от
числа Прандтля или Шмидта усложнится; однако это и не очевидно из
простых соображений подобия.
Тепловые следы
В отсутствие поддерживаемого изменения скорости порождение
турбулентности в нагретой области вскоре прекращается; после этого
развитие течения осуществляется под действием диффузии
переносящего течения, например, атмосферного ветра.
Коэффициент переноса (включающий молекулярную и
турбулентную диффузию) принимается в пределах всего течения постоянным:
se=e 4-к. Мы считаем, что комплекс ScX/Ui характеризует поперечный
перенос как и для динамических струй в табл. 7.1. Следовательно,
определяет изменение масштабов для плоского теплового следа. Анализ
размерностей дает
'--Ш'г - »•- ,м,1*)'" ■ <7-4-и>
22*


-340 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
Аналогично для осесимметричного теплового следа:
Течения со сдвигом при нагреве
Масштабы скорости и длины для таких динамических течений
приведены в табл. 7.1. Соответствующие изменения масштаба температуры
«следуют из уравнений (7.4.3):
1) ДЛЯ ПЛОСКОЙ СТруИ б,,^ Т7~Г";
2) для осесимметричной струи б0^
Q .
(7.4.7)
3) для плоского следа б^—jt-j-\
4) для осесимметричного следа 60^__5_. ,
?cpVil2o )
Введение масштабов длины и скорости, приведенных в табл. 7.1, II
и III, дает изменения температуры для свободных турбулентных
течений и соответствующих ламинарных течений при Pr^l. В каждом
случае комбинация инвариантов количества движения (7.1.10) и энергии
(7.4.3) ведет к соотношению
во—t/o, (7.4.8)
однако постоянные пропорциональности зависят от определяющих
параметров различным образом.
Плоский слой смешения требует специального анализа. Если
температуры в двух граничащих течениях постоянны, то мы имеем просто
B0=Ti—Г2, что аналогично U0=U\—L/2. С другой стороны, если
температуры внешних течений совпадают и тепло подводится в начале
потока, инвариант энергии дает
fi ~ V (7.4.9)
"» ?ср{иь-и2) 10
•Линейные масштабы снова можно взять из табл. 7.1.
Течения под действием архимедовых сил
Рассмотрим восходящие струи (шлейфы) в неподвижной жидкости,
плоское течение возникает над нагретой горизонтальной трубой, а осе-
симметричное (круглое) течение моделирует восходящие токи воздуха
/в атмосфере при сильном нагреве земли.
Основа нашего анализа размерностей должна быть теперь
пересмотрена; в то время как инварианты энергии здесь еще применимы,
поток количества движения изменяется вдоль течения, вследствие
изменений интеграла архимедовой силы в уравнении (6.2.55). Здесь удобно
.использовать масштаб р0 для изменения плотности, а не масштаб
температуры, связанный с ним соотношением 0О=—ро/ (piP)» гДе Р — коэф-


$ 7.4]
Процессы переноса
341
«фициент объемного расширения. Инварианты энергии следуют из
(6.2.57):
У\
,-§1
III
2\Ug(Pl-P)dy = ^-Q';
О
^\Ug(Pl-p)rdr=^Q.
(7.4.10)
Отсюда
1) для плоского шлейфа
рсу
CpVo?olo
: const;
PQ
2) для круглого шлейфа /, 2 — const
(7.4.11)
Можно сделать вывод, что определяющие параметры образуют
комбинации $Q' jcv и Р<3/ср- Динамические условия следуют из (6.2.55) при
#i, Xw=0:
А
^■(р^+,)~«грЛж
(7.4.12)
ттри /=0,1 для плоской и круглой струй. Это позволяет предположить,
что параметры pi и g появляются в комбинации pi/g. Наконец,
приходим к заключению, что
'.•".".='(€• т'4
(7.4.13)
•причем аналогичный результат имеет место для круглой струи.
Анализ размерностей дает:
1) для плоского и круглого шлейфов /о—х\ (7.4.14)
2) для плоского шлейфа [/0 = const; p0, Qtr^xr1; (7.4.15)
3) для круглого шлейфа U0^x-l/3 и ро, 80—•х-г°1Ъ. (7.4.16)
Коэффициенты пропорциональности определить нетрудно, и мы
оставим это для упражнений.
7.4.3. ПОПЕРЕЧНЫЕ ПРОФИЛИ
Для краткости мы снова будем рассматривать только плоский след.
Из уравнения (6.2.29) получаем:
t/,
дН
дх
d(vh)
ду
д2Н
ду'
Г>
(7.4.17)
•что в точности аналогично уравнению количества движения (7.3.1).
Следуя структуре уравнений (7.2.1), (7.2.2), примем зависимости
автомодельное™
// = Я,+<7Д/(-|-);
vh=cpbJJ,kt[-T
(7.4.18)


342 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
После их подстановки в уравнение (7.4.17) и учета условия бо/о^
=const, получим
^(/+4/0 = -*'. + ^. 1' = %,
где Ре0 = 1Уо/я —локальное число Пекле и С{ — постоянная,
фигурирующая в (7.3.3), (7.3.4). После интегрирования получим:
С1т]/ = -^ + ^, (7.4.19)
приняв /', £2=0 при 1-]=0 — условия, соответствующие симметричному,
распределению температуры относительно оси. Исключая члены
молекулярного переноса в уравнениях (7.3.4) и (7.4.19), имеем Cit)f=—g\z
и Citj/=—k2. Отсюда следует
-£-=ФЧ (7.4.20)
Этот исключительно простой результат связывает приведенные
потоки количества движения и энтальпии с приведенными масштабами
скорости и температуры. Как можно показать, он справедлив и для
других свободных турбулентных течений при постоянном давлении, замечая,
что соотношение (7.4.8) означает, что применение конвективного
оператора U -^ Ь^7Г~ к Н и U приводит к одинаковой структуре.
Посмотрим, что можно сказать о правой части уравнения (7.4.20)..
Отношение двух потоков можно найти на основании (3.4.37):
uv em dU/dy
М ~ eh дН/ду—1% дН/ду
или
(7.4.21а)
t=Pr<f^ft)2f- (7А21б>
Эти результаты включают лишь формальные определения
коэффициентов переноса и длин пути смешения; никаких предположений не
сделано относительно особенностей (тонкослойного) течения или
фактического механизма переноса. Независимо от этого имеем:
Рг,=(-^у. (7.4.22)
При значении Рп~0,5, типичном для свободной турбулентности (см.
табл. 5.1), имеем 2l2m^l2h- Это близко к зависимости (3.4.52) между
длинами пути смешения 1т и /ю для завихренности по модели Тэйлора.
Следовательно, /w и 1}г, по-видимому, не сильно отличаются друг от друга
для свободной турбулентности.
Используя зависимость (7.4.22), можно формально преобразовать
уравнение (7.4.20) к виду
-L = Pr,-£-. (7.4.23)
Это дает способ определения изменения Рг* по измеренным
профилям скорости и температуры. Наоборот, принимая число Прандтля по-


§ 7.5]
Влияние внешнего течения играныц
343
Н'—Н, _ Т — Т,_(ЦХ. "*Рг
стояниым, имеем:
l = (-fPrt) (7.4.24а)
(напомним, что /<0 для следа).
Используя собственно скорости и температуры, имеем:
:^L)\ «7.4.24»,
Так как эти результаты применимы к любой модели переноса
поперек следа, можно ввести любой из профилей скорости (7.3.9), (7.3.18)
для постоянных турбулентной вязкости и длины пути смешения.
Зависимости (7.4.24) применимы также к ламинарному следу, если заменить
Рг; на Рг.
Как только распределение температуры получено, интеграл энергии
(7.4.1) можно использовать для определения постоянной в законе
развития, основную структуру которого дают уравнения (7.4.7).
Зависимости (7.4.22) — (7.4.24) применимы и к другим видам
турбулентных автомодельных течений, так как они следуют из зависимости
(7.4.20) и формальных определений (7.4.21).
7.5. ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ТЕЧЕНИЯ И ГРАНИЦ
Выше, изучая почти параллельные течения слоев со сдвигом в
большом объеме неподвижной или равномерно движущейся жидкости, мы
рассматривали внешнее течение лишь как пассивный источник
граничных условий. Обобщим теперь этот анализ, учитывая еще три ситуации,
в которых внешнее течение:
1) определяется слоем со сдвигом;
2) определяет развитие слоя со сдвигом;
3) взаимодействует со сдвиговым течением, так что выявление
причины и следствия оказывается невозможным.
В некоторых случаях мы будем более широко интерпретировать
«внешнее течение», включая его границы или границу, которая его
заменяет. При этом наш анализ продолжается в следующей главе о
пограничных слоях.
Индуцированное движение во внешней области
В ряде мест (п. 6.1.4, § 7.1 и 7.2) мы рассматривали поперечные
течения, требуемые для поддержания общих балансов массы и
количества движения в пределах тонких слоев со сдвигом.
Ранее нас интересовало прежде всего влияние этих течений на слои
со сдвигом; предполагалось, что границы внешних течений таковы, что
Рис. 7.4. Применение отсоса при
управлении обтеканием профиля.
/ — подсос; 2 — струя.
требуемое течение может развиваться спонтанно (рис. 7.4). Струя,
истекающая из кормовой части профиля, захватывает внешнюю жидкость,
предотвращая отрыв и увеличивая циркуляцию вокруг несущей
поверхности. Струя не только создает тягу, но и действует как закрылок для
увеличения подъемной силы. Это явление часто называется струйным
закрылком.


344 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность Г Гл. /
Конвекция и градиент давления
Теперь, наоборот, зададимся вопросом, как связанные изменения
внешнего давления и конвективной скорости воздействуют на
затопленный слой со сдвигом. Для определенности рассмотрим частный случай,
показанный на рис. 7.5: плоскую струю, истекающую в поток по оси
симметричного криволинейного канала. Более реальные примеры
имеют место в авиационном и судовом машиностроении.
Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к интегральному уран-
нению количества движения (6.2.33). Если исключить нормальные
напряжения, получим:
Ух Ух
d [tU{Vx — U)dy ' dUl
dx
dx
(U. — Ujdy^O.
(7.5.1)
Предполагая, что профиль скорости инвариантен за
«потенциальным» ядром у сопла, запишем предыдущее уравнение в виде
d
dx
W. ^rfTi + f/V.p*^ +^.^-[/^=0. (7.5.2)
Здесь интегралы постоянны вдоль течения. Используя распределение
Гаусса f = e~k^ согласно уравнению (7.3.9), которое дает приемлемую
аппроксимацию и в более общем случае, получаем:
ОО 00
6 о
что позволяет привести уравнение количества движения к виду
(7.5.3)
d
dx
и\к (gM
v~
+<Vof=o.
Дальнейшие преобразования дают:
U, \ d{UJUx)
'^ткН^^Щ
dx
Ь з+
VI и„
dU1
Ut J (/, dx.
(7.5.4.)
= 0.
(7.5.5)
Приведем некоторые частные случаи последнего результата:
1. При [/i=const и U0<^Ui имеем зависимость для плоского следа
[/0A)=const.
2. При £/о/£/i=const, что соответствует условиям точной
автомодельное™ (7.2.5), получаем: -
/0[/?+2= const,
как и в уравнениях (6.2.34), так как для распределения Гаусса форм-
параметр -'
#.= Л i "o_y-] a (7.5.6)
\ ~ V2U,


§ 7.5] Влияние внешнего течения и границ 345
Для того, чтобы определить развитие течения при данной £/i(v),
необходима дополнительная информация относительно соотношения
между Uq и Z0. Абрамович предложил эту дополнительную информацию
вводить через коэффициент вовлечения (7.2.28):
dlo- P /7 5 7\
dx , „ 1 * (7-^'7)
Как было указано выше, нет достаточных оснований (за
исключением целесообразности), считать что постоянное значение (3 будет реально
учитывать изменение эффектов поперечной и продольной конвекции при
изменении Ui/Uq. Другими словами, следует ожидать, что fi=f(Uo/Ui)>
как и параметр R0 (см. табл. 7.2). Тем не менее удовлетворительные
результаты можно получить для «интенсивных» струй (Ui/Uq не
слишком велико), используя Ui/U0=0. Подставив скорость расширения из
(7.3.27), получим:
- \d* /о
Теперь уравнение (7.5.7) имеет определенную форму, и как только
начальные значения /0 и [/0 заданы, его можно решить совместно с
уравнением количества движения (7.5.5) и найти изменения данных
масштабов при заданном поле внешнего течения U\(x). Хотя форма
определяющих уравнений основана на свойствах автомодельных решений,
теперь можно предположить, что эти уравнения применимы при
произвольном изменении скорости внешнего течения.
Кривизна
Рассмотрим еще один фактор влияния внешнего течения на слой
«со сдвигом —кривизну. Вообще говоря, скорость расширения свободной
струи возрастает на выпуклой границе и убывает на вогнутой. Для
пограничного слоя или пристеночной струи эти эффекты противоположны.
Часто дается простое объяснение: когда жидкость с большой скоростью
движется радиально к периферии, она попадает в область, где
центростремительный градиент давления определяется медленно движущейся
жидкостью, и, следовательно, она стремится продвинуться еще дальше;
.аналогичным образом поперечное движение тормозится под действием
центростремительного градиента давления. Однако это объяснение
слишком упрощено. На скорость расширения струи будут влиять
также изменения профиля касательного напряжения, вращение средней
деформации, которые «питают» вызывающие расширение «вихри», и
простое увеличение масштаба движения на выпуклой стороне течения.
Р.ИС. 7:5. Пример развития струи при неравномер- { Jllfl!
ном внешнем течении.
У — сопло; 2 — сужающийся канал.


346 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7*
Для струй полный эффект кривизны состоит в увеличении скорости
расширения. Для частного класса криволинейных струй, которые будут
рассмотрены ниже (см. рис. 7.6,а), Шварцбах нашел, что
§- = 0,186, (7.5.9>
где /о определяется по &U/U0=l /2 и х отсчитывается по струе.
Эффекты границ. Взаимодействия
Ограничивая способность внешнего течения реагировать на влияние
слоя со сдвигом, твердые границы вблизи сдвигового течения вызывают
сложные взаимодействия внешнего течения и развивающегося слоя.
Рисунок 7.6,а иллюстрирует такую ситуацию: плоская струя истекает
параллельно твердой стенке. С одной стороны струи жидкость может
эжектироваться без ограничений, с другой стороны струя должна
поддерживаться за счет образования рециркуляционного внешнего течения.
Такое рециркуляционное течение формируется также при внезапном,
расширении капала и при обтекании равномерным потоком обратного
уступа на стенке. В этих случаях вниз по течению развивается
пограничный слой, а не пристеночная струя.
Рис. 7.6. Взаимодействие между
слоями со сдвигом и внешним
течением при наличии твердых
границ.
а — присоединение плоской струи
к стенке: сплошные линии обозначают
линии тока, штриховые — номинальную
границу струи; 1 — сопло; 2 —
вовлечение внешней жидкости; 3 — пристенная
струя; 4 — зона присоединения; 5 —
циркуляционное течение (или зона
отрыва); б — простой струйный
регулятор; / — подводимый поток; 2 —
управляющий расход т2; 3 — параметры на
выходе; 4 — управляющий расход Ш\.
Струя, показанная на рис. 7.6,а, «притягивается» к стенке под
действием вовлечения. Можно предположить, что интенсивный след или
пограничный слой будет «отталкиваться» от твердой границы и что
слабый след будет просто переноситься ениз по течению. Когда имеет
место притяжение или отталкивание, необходимо учитывать
взаимодействие слоя со сдвигом и внешнего течения.
В течениях, подобных показанному на рис. 7.6,а, имеет место
интенсивная диссипация, свойственная потокам в переходных участках
и фитингах каналов (см. п. 4.5.4). Процессы, связанные с характерным
диссипативным механизмом в случае потоков в открытых каналах —
гидравлический прыжок, показанный на рис. 1.5,6 (стр. 22)—по
существу подобны. Такие течения содержат свободные слои со сдвигом,
где скорость диссипации во много раз выше, чем в пограничном слое,
так как турбулентность здесь не подавляется близлежащей твердой
стенкой.


§ 7.5]
Влияние внешнего течения и границ
347
Зону присоединения, показанную на рис. 7.6,а, можно переместить
вниз или вверх по течению, отводя жидкость из зоны отрыва или
подводя в нее; таким путем можно управлять струей, и этот метод
используется в струйных переключателях, схема одного из которых показана
на рис. 7.6,6. Струю можно перемещать от одной стенки к другой,
изменяя управляющие расходы th\ и т2; подаваемый поток (или
создаваемое им давление) достигает затем того или иного из двух отверстий
в нижней области течения. Если струя находится у одной из стенок (за
счет импульса no m2, скажем), она может оставаться устойчивой к
значительным изменениям параметров на выходе (pi и р2) и к малым
изменениям управляющих расходов. С другой стороны, при иной
геометрии границ выход может плавно изменяться в зависимости от п%\ и т2;
это дает пропорциональное управление — основу струйного усиления.
Притяжение струи к стенке под действием вовлечения составляет
основу эффекта Коанда, т. е. прилипания пристеночной струи к
выпуклой поверхности. Этот эффект легко можно наблюдать, поднося палец
к струе воды из крана. Эффект Коанда широко используется в
различных струйных системах управления, а также в струйных закрылках и
щелевых устройствах, применимых в авиационной и морской технике.
Как отмечено выше, скорость расширения пристеночной струи зависит
ют кривизны стенки.
Рекомендуемая литература
Основная литература [1, 2, 9, 17, 26, 28, 30, 33, 37, 38, 74,
97, 101].
Специальная литература [60, 79, 88, 95, ПО, 112].
УПРАЖНЕНИЯ
7.1. а. Как поток кинетической энергии изменяется вдоль автомодельных течений,
представленных в табл. 7.1? Определить также отвод энергии из среднего течения и
изменение средней скорости диссипации на единицу массы.
б. Какое требуется распределение источников, чтобы представить вовлечение в та-
ких течениях?
7.2. Какие условия следуют из уравнения (7.2.7) для ламинарных течений: 1) для
точно автомодельного развития; 2) для приближенно автомодельных следов. Учесть
дополнительно условия (7.2.5) и (7.1.10), определить изменения масштабов длины и
скорости и сопоставить с результатами табл. 7.1,111.
7.3. Для автомодельного следа за летательным аппаратом условие (7.2.12)
остается применимым, но поток количества движения уже не является инвариантом.
Соответствующий инвариант можно найти из уравнения количества движения в
предположении, что перенос количества движения можно описать моделью постоянной
турбулентной вязкости.
а) Умножить уравнение движения
1 дх> г дг у дг J
ш r'n+1, про штегр фовать его по частям и получить
*Л 2Г frm+l (^" и^г = е^2 frW"' ^ - и) dr-
о о
б) Показать, что правая часть этого уравнения равна нулю при ш = 2. Как
изменяются /У0, h и Re0 вдоль течения? Остается ли след турбулентным? Как будет
изменяться в конечном итоге след с малым, но конечным количеством движения?
7.4. Показать, что уравнение (7.3.4) следует из уравнения (7.3.1) при
использовании зависимости U=x-42f(y/xiI2), которая вытекает из результатов табл. 7.1.
7.5. Записать уравнения (7.3.11), (7.3.12) в форме, соответствующей ламинарному
течению.


348 Развивающиеся течения. II. Свободная турбулентность [Гл. 7
7.6. Вывести законы /0/б2 = const (х/62)Ч2 и UQ/Ux = const (б2/х)1у2 для плоского-
турбулентного следа, где б2 — толщина потери импульса (6.1.6). Дать четкую
формулировку определения /0.
7.7. а) Вывести формулы, аналогичные (7.3.11), (7.3.12), для круглого
турбулентного следа.
б) Как связаны между собой Rcrf, Re0 и CD для следа за шаром диаметром d>
в) Вывести формулы, в которых d используется как линейный масштаб для
следа за шаром.
7.8. а) Показать, что коэффициенты вовлечения для плоских следа, струи и слоя»
В U, 1 3
смешения определяются как -jfjrr = у—, —, ~- Какие значения имеет р для?
этих трех течений?
б) Показать, что для следа fi = 2k/R0> и найти связь с другой эмпирической
постоянной /С/Л.
7.9. а) Используя формулу распределения (6.1.4), показать, что
для круглой струи.
б) Используя зависимости (7.3.27), получить формулы вида
U0 = const {F/pyvix, Uo/Uj = const(d/x) и ec = const (Ujd)
в предположении, что F равна количеству движения на выходе из сопла диаметром d.
в) Верно ли последнее предположение: 1) для струи, истекающей из длинной
трубы; 2) для струи из отверстия в плоской стенке?
7.10. Чтобы проанализировать профиль скорости струи, введем функцию тока,
характеризующую среднее течение. Зависимость
/г\ дф <ЭФ
: U^F [тj прп rU -^nrV=-^
Or " ,v - - дх
соответствует осссиммстричиому (круглому) автомодельному течению.
а) Показать, что при таком определении компонент скорости условие
неразрывности выполняется и что
и=и.
Г] \ °dX [ 7) J'
б) Используя условия (7.1.10), показать, что уравнение движения сводится к
следующему виду (если пренебречь нормальными и вязкими напряжениями):
dU_
dx
F'2 , п d(F'/i\)
+ F
у\ ^ dt\
в) Показать, что условия
F
— =Ff = gl2 = 0upnri = 0
должны выполняться, следовательно,
г) Для постоянного коэффициента турбулентной вязкости показать, что
1
— ^ dlo
F = j при k = RQ j^
1+ —^2
является решением, удовлетворяющим соответствующим граничным условиям.
д) Найти U и V. При каком значении k значение /0 соответствует AU/Uq= 1 /2?
Что означает условие 1/=0? Изобразить схематически картину течения. Какова
надежность расчетов для внешнего течения?


§7.5]
Влияние внешнего течения и границ
349
■ 7.11. Нагретые газы, выбрасываемые вертикально из дымовой трубы, имеют
конечное начальное количество движения. Как при этом модифицируются законы
развития (7.4.13)? Как долго течение остается динамической струей, прежде чем перейти
в шлейф?
7.12. а) Для модели течения в следе при постоянной турбулентной вязкости
показать, что уравнения (7.4.24) означают, что соответствующие точки на профилях
скорости и температуры связаны соотношением /i///r=Pr/ > как в зависимости для
ламинарного течения (6.2.15).
б) В чем отличие модели постоянной длины пути смешения от рассмотренной?
Изобразить схематически изменения / и / для обеих моделей, приняв Рг« = 1 /2.
7.13. Используя распределение скорости (7.3.9), показать, что интеграл энергии
для плоского следа принимает вид:
1/2
pcpi/,e0/o = Q',
и на этой основе найти распределение температуры в следе. Рассматривая след в
атмосфере па уровне моря, найти изменение масштаба температуры как функцию
только Q' и D'.
7.14. В течение статических наземных испытаний реактивный двигатель развивает
тягу 31 кН через сопло с эффективной (т. е. вычисленной по плотности окружающего
воздуха) площадью сечения 0,465 м2. Если температура выхлопа составляет 500 К,
оценить максимальную температуру на системе лопаток дефлектора, расположенных
на расстоянии 22,86 м за соплом. Ось сопла находится на высоте 2,44 м над взлетно-
посадочной площадкой. Какую температуру будет иметь поверхность площадки под
лопатками?
7.15. Электростанция сбрасывает поток тепла, равный 500 МВт, поднимая
температуру охлаждающей воды от 12 до 32°С. Охлаждающая вода выбрасывается на
поверхность озера через канал глубиной 1 м и шириной 2 м. Оценить площади
поверхности, в пределах которых температура будет выше 13 и 25°С. Какой следует принимать
струю — круглой или плоской?
7.16. Чтобы учесть изменение скорости внешнего течения U\(x), функцию тока
для круглой струи (см. пример 7.10) можно привести к виду
где £7i/£7o = const для автомодельного течения.
а) Показать, что уравнение движения приводится к виду
I dl0 d г Ux 1
— аГ-аЧ[Р +U7riFryig^
б) Получить упрощенные зависимости для собственно струи и собственно следа.
Возможно ли найти простую формулу, включающую оба предельных профиля скорости-
при постоянном коэффициенте турбулентной вязкости?
7.17. а) Как изменится уравнение (7.5.4), если заменить распределение Гаусса-
цилиндрическим? Как эта замена изменит картину автомодельного развития?
б) Записать компьютерную программу для выполнения интегрирования вдоль
течения уравнения (7.5.4), (7.5.7), (7.5.8). Сопоставить с одной из стандартных программ
Рунге — Кутта.
7.18. Что произойдет с точкой присоединения па рис. 7.6,а, когда жидкость,
инжектируется в зону отрыва или отсасывается из псе? Почему имеет смысл считать
присоединение происходящим в некоторой зоне, а не одной точке? Как инжекция иг
отсос влияют па положение этой зоны?
7.19. Диссипация в быстро расширяющемся канале определяется исходной
геометрией течения и не зависит от деталей турбулентности. Это накладывает известное
ограничение па длину отрывного слоя со сдвигом, в котором имеет место диссипация.
Рассмотреть течение жидкости с постоянной плотностью в канале постоянного
прямоугольного сечения, частично перекрытом затвором, который оставляет открытой долю
и уменьшает минимальное проходное сечение до доли г от сечения канала.
а) Как изменяется r/f при изменении f?
б) Показать, что полная диссипация (на единицу ширины канала) в области
быстрого расширения определяется как -тг ?bUa (U,n — Ua)2, где Ь — высота канала; Ua —
(kit)


350 Развивающиеся течения. III. Пограничные слои [Гл. 8
средняя скорость невозмущенного потока, Um = Ua/r — максимальная скорость
в сужении.
в) Диссипацию на_ единицу площади слоя со сдвигом можно оцепить как
puvku^U3m/100, где uv — типичное турбулентное напряжение; AU — изменение
скорости поперек слоя. Обосновать эту оценку. Каков соответствующий результат для
пограничного слоя па стенке канала? Почему в слое со сдвигом диссипация происходит
значительно быстрее?
а) Показать, что длина зоны отрыва должна быть около L/b=50r(\—г2). В
каком диапазоне этот результат может быть справедливым? Построить правдоподобную
зависимость L/b от f — степени открытия затвора. Какую часть стенок канала следует
усилить с учетом нагрузки от пульсаций давления?
ГЛАВА ВОСЬМАЯ ?
РАЗВИВАЮЩИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ. III. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
Турбулентный поток, ограниченный неподвижной стенкой и устано-
бившимся течением, состоит из пристеночного слоя, который по
существу подобен пристеночному слою течения в канале, и внешнего
турбулентного слоя с перемещающейся поверхностью раздела,
характерной для свободной турбулентности. Когда внешнее
течение равномерно, пристеночный слой определяет весь поток в целом,
и основные его характеристики могут быть рассчитаны на основе
зависимостей для течений в канале. Когда скорость внешнего течения падает
и давление возрастает вдоль течения, изменение скорости во внешней
области является определяющим для всего течения в целом; тогда
внутренняя и внешняя области пограничного слоя должны быть согласованы,
чтобы определить характеристики всего слоя. Наконец, существуют
такие условия, когда локальный пристеночный слой уже не оказывается
определяющим, — течения вблизи отрыва или присоединения. Как было
отмечено ранее, такие течения нельзя рассматривать как
«тонкослойные» в смысле приближений пограничного слоя.
Только при довольно специфических условиях совместимы
самостоятельные требования влияния стенки и внешнего течения, допускающие
автомодельную структуру развития течения. В соответствии с этим
акцент анализа в данной главе существенно смещен по сравнению с
таковым в предшествующем анализе свободной турбулентности. Здесь наш
подход более соответствует подходу для течений в каналах: отправной
точкой являются характеристики пристеночного слоя, о внешнем течении
сообщается лишь необходимый минимум сведений. Мы будем
придерживаться следующей схемы:
1. Трение и рост пограничных слоев без градиента давления будут
рассмотрены на основе результатов, полученных для течений в трубах.
2. Слои с неравномерным внешним течением будут анализироваться
с использованием «двухслойной» модели для получения локального
закона трения; будет установлена необходимая информация (помимо
интеграла количества движения) для определения закономерностей
развития течения.
3. Будут рассмотрены процессы переноса внутри слоев с
постоянным давлением, включая пограничные слои под действием архимедовых
сил.
4. Будут кратко рассмотрены особые случаи развития пограничного
слоя — переход и отрыв —и некоторые другие особенности
турбулентных течений, ограниченных стенкой.


§8.1]
Слой с постоянным давлением
3 5;
На различных этапах будут кратко рассмотрены ламинарные
пограничные слои, отчасти потому, что это представляет интерес, и
отчасти, чтобы иметь эталон сравнения для турбулентных слоев.
8.1. СЛОЙ С ПОСТОЯННЫМ ДАВЛЕНИЕМ
8.1.1. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ. РЕШЕНИЕ БЛАЗИУСА
Изучение развивающихся течений у стенки начнем с простейшего-
случая, когда первоначально равномерный параллельный
нетурбулентный поток обтекает плоскую пластину. Фактически имеется даже более
простой случай пограничного слоя — асимптотический слой с отсосом, но
такой слой не развивается, так как направленная от стенки диффузия
уравновешивается средней конвекцией к пористой стенке.
Прежде всего рассмотрим начальный участок пограничного слоя,
где течение ламинарное, и примем также, что свойства жидкости
остаются всюду постоянными. За исключением окрестности передней кромки
пластины, где движение не удовлетворяет условиям тонкослойного
течения, ламинарное течение вблизи поверхности адекватно описывается
уравнениями пограничного слоя Прандтля (6.2.22). Следуя Блазиусу,
ученику Прандтля, который первым подробно рассмотрел эту задачу
в 1908 г., введем функцию тока, связанную с компонентами скорости
зависимостями
"=& " v=-%r- <8ЛЛ)'
Этот способ задания поля скорости автоматически удовлетворяет
уравнению неразрывности (6.2.22) и позволяет записать уравнение
количества движения в виде
0L <HL—^L ^!l=v^i (8.1.2V
ду дхду дх ду2 дуъ ' v • • /
При этом слагаемые, выражающие градиенты давления и
локальное ускорение по времени, опущены, так как внешнее течение считается
равномерным и установившимся.
Чтобы привести это уравнение к обыкновенному
дифференциальному уравнению, будем искать автомодельное решение; это можно
обосновать, исходя из анализа размерностей или других соображений
теории подобия, либо замечая, что последовательные измеренные профили
имеют одну и ту же форму. Зависимость для поперечного масштаба
следует из уравнения (6.2.14) и табл. 6.1: k—(v*/£/i)l/2.
Отсюда можно полагать, что
U = UJ(-n), (8.1.За>
где
■я— у
и получить этот результат, полагая
\V={yUlx)^F(x\). (8.1.36)
Если ввести компоненты скорости
U = Ur и V = -L(^y2(-4F'-F), (8.1.3b)
гдеР=^г.


352
Развивающиеся течения. III. Пограничные слои
[Гл. 8
то уравнение количества движения (8.1.2) примет вид:
FF"+2F'"=0. (8.1.4)
Это нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение
известно как уравнение Блазиуса. Оно должно быть решено при граничных
условиях
F, F'=0 при т|=0 и F'=l при т|->оо. (8.1.5)
Общий характер решения представлен на рис. 5.3. Численные
методы решения уравнения здесь не представляют интереса; однако
требуется ряд характеристик слоя, которые могут быть рассчитаны по F{\\):
1) трение — определяется локальным коэффициентом
cf = T^ = 0,664 Re~1/2 (8.1.6a)
— ?и^
*и средним коэффициентом [см. (6.2.35)]
Cf = 1,328 Re~1/2; (8.1.66)
2) «толщина» — определяется зависимостью
-|--5Re71/2, £/ = 0,991/,; (8.1.6в)
3) толщины вытеснения и потери импульса— определяются
зависимостями
4г-= 1,721 Re~,/2 и A = o,664Re-1/2; (8.1.6г)
% X % X
4) формпараметр — определяется зависимостью
я=га=2-59' (8Л-6д)
т. е. он является постоянным для данных автомодельных профилей.
'Структура этих законов развития приведена в табл. 6.1.
8.1.2. СКОРОСТЬ И ТРЕНИЕ В ТУРБУЛЕНТНОМ СЛОЕ
Турбулентный аналог течения Блазиуса можно построить, допуская
развитие ламинарного пограничного слоя до его спонтанного перехода
в турбулентный (т. е. перехода, индуцированного произвольно малыми
возмущениями), либо путем искусственно вызванного перехода под
действием сетки или иных турбулизаторов. Ближайшая цель настоящего
анализа—• получение результатов, аналогичных приведенным выше для
ламинарного течения; однако при этом возникают две трудности,
препятствующие принять и аналогичный метод анализа. Уравнение
количества движения содержит дополнительную зависимую переменную —
турбулентное напряжение. Более того, вероятно, нельзя найти
автомодельный профиль, справедливый от стенок до внешнего течения: ввязкой
и турбулентной областях течения роль вязкости существенно различна,
и совместный эффект нельзя включить в один параметр v, как это было
возможным для ламинарных течений.
Для слоя с постоянным давлением эти трудности несущественны,
так как многие полезные результаты могут быть получены путем
введения упрощения другого вида. В турбулентном потоке в трубе наиболь-


§ 8.1]
Слой с постоянным давлением
353
шее изменение скорости имеет место в пристеночном слое; это
справедливо и для рассматриваемого пограничного слоя. Следовательно, можно
распространить профиль пристеночного слоя на внешнее течение,
компенсируя это искусственное допущение соответствующей модификацией
эмпирических констант в окончательных зависимостях.
Логарифмические законы
Рассмотрим вначале наиболее реалистичное распределение
скорости в пристеночном слое —логарифмический профиль
^r=Aln{i)+B- (4Л-3)
После интегрирования аналогично уравнениям (6.1.5), (6.1.6) получим
формулы для толщины вытеснения и толщины потери импульса:
~А±=А{±0Г--
(+с0
\1/2
1-2Л^//2
(8.1.7а)
Формпараметр имеет вид:
<*,
Я = -£- = А 0 1/9 ; (8.1.76)
это согласуется с приведенным ранее заключением, что автомодельное
развитие невозможно, за исключением предельного случая очень
высоких чисел Рейнольдса, когда ct очень мало. Типичным является медлен
ное уменьшение Н по мере развития слоя и уменьшения с/. Фактически
это не очень точная оценка формпараметра, но она все-таки
показывает, что изменение в зависимости от Cf существенно: Я=1,55-*-1,2 для
диапазона с/, указанного на рис. 4.3,а. Заметим, что эти результаты
применимы для случаев гладкой и шероховатой стенок, так как они не
зависят от постоянной скольжения В.
Применяя логарифмический закон для внешней границы
пограничного слоя, получаем:
"• /_£_У^ = Л1пШ+В. (8.1.8)
— = л ш —
щ \cj ) \ щ
Карман, первым использовавший такой подход, предложил формулу
-L = 1,8In(Re6 V^) + 3,6, (8.1.9а)
У Cf
которая соответствует эффективным значениям
Ле=2,55 и £е=6,0. (8.1.96)
Как и предполагалось, эти значения близки к получаемым
непосредственно из профиля скорости (см. табл. 4.2).
Информация, которая содержится в результатах Кармана, может
быть выражена иначе в более удобном для применения виде.
1. Зависимость, приписываемая Шоенхерру, часто используемая
в кораблестроении:
i7^==l,81n(ReLC/), (8.1.10)
V Cf
23—56


354 Развивающиеся течения. III. Пограничные слои [Гл. 8
где ReL— U\Ljv и С/ —средний коэффициент, определенный в (6.2.35).
Этот результат предполагает, что слой является турбулентным почти
на всей своей длине, — довольно реалистичное допущение для корпуса
корабля.
2. Шлихтинг предложил удобные зависимости
С/= UgW)2'58 (8.1.11a>
и
cf = (21gRe^ — 0,65)"2'3. (8.1.116).
Эти зависимости также применимы, когда слой турбулентный почти
с самого начала; соответствующие значения лежат в пределах
нескольких процентов от измеренных при 105<ReL«<109.
3. Сквайр и Янг приняли формулу
—L=- = 1,81 In Re2 + 2,54, (8.1.12)
Vcf
где -^- = Re2,
а Ротта — формулу
Г) ^А
где Re1=-^
fcj
1,77 In Re,+ 2,62, (8.1.13)
Преимущество этих формул по сравнению с (8.1.9) заключается
в использовании более четко определенных толщин слоя б2 и 8\. Так как
они используют локальное число Рейнольдса, эти законы слабее зависят
от условий в верхней области течения.
' *\ Хг I
Рис. 8.1. Турбулентный пограничный
слой с начальным ламинарным
участком. Вертикальный масштаб
сильно увеличен.
/ — ламинарный режим; 2 — переходный
режим; 3 — турбулентный режим; 4 —
эквивалентный турбулентный слой.
Проблему нестандартной предыстории в верхней области течения
иллюстрирует рис. 8.1, на котором показан пограничный слой с
обширным ламинарным участком. Предполагая, что трение задано всюду
предельными формулами для ламинарного и турбулентного течений (это
исключает нерегулярности в начальной и переходной областях),
определим полное сопротивление в виде
D(L)=pU2i62(L)=Dt(L—^)+Di(Xc)—Dt(xc—x/)=Dt(L—x/). (8.1.14)
Здесь Di(x)lpU2iX=Cf(x)— из (8.1.6) и Dt (x) lpU2iX=Cf(x) — из
(8.1.10), (8.1.11). Уравнения (6.2.35) использованы для того, чтобы
связать сопротивление, коэффициент трения и толщину потери импульса.
При этом предполагается, что трение локально определено (т. е.
связано с локальными толщиной и скоростью внешнего течения) и предвари-


§ 8.1]
Слой с постоянным давлением
355
тельно установлено, будет ли локальное течение ламинарным или
турбулентным.
Зависимости (8.1.14) позволяют рассчитать следующие
характеристики течения:
1) ламинарное трение DL(xc) вплоть до заданной точки перехода
к турбулентности;
2) эффективное начало х' для турбулентного слоя, имеющего одни
и те же трение и толщину потери импульса;
3) результирующее сопротивление ламинарного и турбулентного
слоев D(L), равное сопротивлению эффективного турбулентного слоя;
4) толщину потери импульса в конечном сечении 62 (L) и средний
коэффициент трения Cf(L) на всей длине L.
Аналогичные расчеты можно выполнить и для иных начальных
условий, например затупленной передней кромки или первоначально
шероховатой стенки. Если известно сопротивление перед некоторой
точкой или же толщина потери импульса в этой точке, можно рассчитать
эффективное начало для последующего «стандартного» развития
ламинарного или турбулентного слоя.
Степенные законы
Поступая, как и в п. 4.2.3, рассмотрим приближения степенного
закона для профиля скорости и характеристики трения:
ЪН+У <8-м5)
C/=CRe-i/p. (8.1.16)
Эти зависимости дают явные соотношения и позволяют упростить
расчеты, обеспечивая во многих случаях достаточную точность.
Соображения теории подобия, на основании которых получено соотношение
(4.2.20), применимы и здесь, следовательно,
/г=2р—1. (8.1.17)
Уравнения (6.1.5), (6.1.6) дают характеристики профиля
4-грг » т-о-м^-м,. P-'-W)
откуда
Я=1+—. (8.1.186)
Сопоставление с выражением для толщины вытеснения для
логарифмического закона (8.1.17) дает зависимость
1 +п
i(-4-c,)"\ (8.1.19,
показывающую, что п=п(х) увеличивается вдоль слоя. Для с/,
изменяющегося в диапазоне от 0,01 до 0,0025, получаются значения п—
=5-5—11, р=3-*-6 и #=1,4-4-1,8. Заметим, что профиль (8.1.15) —не
совсем постулат теории подобия, как могло бы показаться на первый
взгляд.
23*


356
Развивающиеся течения. III. Пограничные слои
[Гл. S
Зависимость (8.1.19) весьма схожа с зависимостью (4.2.17) для
течения в трубе; несколько иные формулы получаются, если приравнять
другие характеристики логарифмического и степенного законов,
например формпараметры.
Наиболее часто используются степенные законы при п=7 и р=4у
соответствующие зависимостям (4.2.21), (4.2.22), для течения в трубах.
Последнюю зависимость
2
'?U*a
можно преобразовать к виду, соответствующему пограничному слою,,
путем подстановки, например, 26=d и U\=\,25Ua. Тогда
cs = -^~^ 0,045 f^Y74. (8.1.20)
Эта зависимость была использована в выражении для интеграла
количества движения
^t=^cf (6.2.356)
при определении характеристик развития течения, представленных
в табл. 6.1. Пренебрежение изменением р я п обосновано медленным
изменением Cf в любом слое.
Используя уравнения (6.2.35) и (8.1.18), можно преобразовать
(8.1.20) в формулы, описывающие другие характеристики
развивающегося слоя. Приближенная оценка коэффициента пропорциональности,
конечно, не позволяет получить точного соответствия с измеренными
значениями. Наилучшие значения коэффициентов пропорциональности
в диапазоне 5-105<ReL< Ю7 приняты в зависимостях
*=°-°59 ;^)"5=°-°256 {-ш-)'"=°'°46 Ш'" <8Л-21 а>
и
Cf = 0,074 (тт^-)'75. (8.1.216)
В своей области применимости эти зависимости можно
использовать таким же образом, как и более общие логарифмические формулы
(8.1.9) — (8.1.13).
8.1.3. РОЛЬ ШЕРОХОВАТОСТИ
К сказанному о шероховатости в § 4.3 добавить можно немногое.
Именно внешняя часть пограничного слоя является его отличительной
особенностью по сравнению с течением в канале, и движение здесь
подвержено влиянию шероховатости только через напряжение трения в
области частичного перекрытия с пристеночным слоем. Характер развития
несколько изменяется, если стенка шероховата, как видно из табл. 6.1,
так как в отсутствие последовательно развивающегося вязкого слоя
зависимость трения от толщины будет иной.


§8.1]
Слой с постоянным давлением
357
По мере развития пограничного слоя потенциальный вязкий слой
утолщается и характер течения приближается к состоянию,
соответствующему обтеканию гладкой стенки. Во многих случаях это
происходит уже на начальном ламинарном участке, и тогда эффекты
шероховатости можно объединить с эффектами других, ранее имевших место
нерегулярностей. Чтобы уменьшить влияние шероховатости на
сопротивление тонкого тела, фронтальная часть его должна быть сделана
гладкой, в частности, потому, что шероховатость способствует переходу
к турбулентности. Конечно, для большего тела, как, например, корпус
корабля, площади зон с ламинарным обтеканием и обтеканием
шероховатой стенки могут быть относительно невелики, и сопротивление нельзя
заметно уменьшить этим способом.
Довольно несложно определить допустимую шероховатость, т. е.
высоту шероховатости, превышение которой приводит к изменению
трения. Из рис. 4.2 находим, что
}^=J±J^!L(±mcfV/2-^- <5 (8.1.22а)
определяет условия эффективно гладкой стенки, где ks — масштаб
эквивалентной песочной шероховатости. Согласно рис. 4.3,а С/ изменяется
в диапазоне от 0,01 до 0,0025; следовательно,
i^-<70-M40. (8.1.226)
Нижнее значение применимо вблизи начала слоя, где трение
наибольшее. Однако можно допустить существование малой области, в
которой шероховатость играет некоторую роль, так как толщина слоя
здесь увеличивается быстро, и поэтому вскоре устанавливаются
условия, соответствующие обтеканию гладкой стенки. На практике для
допустимой шероховатости часто принимают условие
k8<\Q0^j-. (8.1.22в)
Так как пограничный слой на шероховатой поверхности спонтанно
ведет себя так, чтобы создавался режим обтекания эффективно
(динамически) гладкой стенки, часто оказывается необходимым
рассматривать слои, которые находятся в области перехода условий от полностью
шероховатой до гидродинамически гладкой стенки (5<&s/#/<50 на
рис. 4.2). Анализ этого процесса не является легким делом, так как
явление «перехода» для конкретной геометрии шероховатости
специфично и не может быть определено с помощью только одного масштаба
песчано-зернистой шероховатости. Приведенные соображения
показывают, что режим обтекания динамически вполне шероховатой стенки
представляет меньший интерес для пограничных слоев по сравнению с
течениями в каналах, в которых не происходит расширения течения, в
результате которого «исчезает» влияние шероховатости.
Общий закон трения определяется логарифмическим профилем
^=(тГ-=^(т)+'(т)- (8Л-23)
где k — некоторый масштаб шероховатости и g(k+)—эмпирическая
функция, определяющая переход от шероховатой стенки к гладкой. Для
24—56


358
Развивающиеся течения. III. Пограничные слои
[Гл. &
динамически вполне шероховатой стенки уравнение (4.3.20) определяет
трение через масштаб песчано-зернистой шероховатости:
Шлихтинг предложил другие формулы для динамически вполне
шероховатой стенки (режима с полным проявлением шероховатости): ,
-2,5
cf =
= [2.87-1.581g(£)]-
и (8.1.25>
1—2,5
Cf = [l.89-lf62lg^)]
для диапазона 102<L/£S<106.
С другой стороны, можно воспользоваться степенным законом
(4.3.17), применяя методы, с помощью которых получено уравнение-
(8.1.20). Принимая 26=d и J7i=l,25I/a, получаем
с, = 0,021 (4-)0'31 (8.1.26>
при 10<б/А8<1000. Можно получить результаты, аналогичные
формулам (8.1.21) для гладкой стенки, используя (8.1.26) в интегральном;
уравнении количества движения (6.2.35); выбор значения п для
соотношения между б и бг должен определяться уравнением (8.1.19).
Для трения в пограничном слое можно построить диаграммы, в
общем аналогичные диаграмме Муди для течения в трубах. Прямая
аналогия Cf=f(Ui5/vt ks/5) здесь не удобна, так как оба параметра
изменяются вдоль течения и б определено не четко. Лучше пользоваться*
зависимостью C/=/(f/i62/v, £/i&s/v), однако требуется еще один
параметр, если необходимо непосредственно определить изменение вдоль
слоя: Cf=f(U\Xlv, Uiks/v, x/ks). Ниже мы увидим, что для описания-
градиента давления (если таковой имеется) требуется (по крайней
мере) дополнительный параметр. Такие осложнения снижают
эффективность диаграмм трения, и трение в пограничном слое обычно
определяют с помощью формул, подобных приведенным выше.
8.2. СЛОИ С НЕРАВНОМЕРНЫМ ВНЕШНИМ ТЕЧЕНИЕМ
8.2.1. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ. РЕЗУЛЬТАТЫ ФОКНЕРА — СКЭН
Наше исследование взаимосвязанных эффектов изменений давления"
и скорости внешнего течения начинаются с автомодельных решений для
ламинарного течения, которые обобщают течение Блазиуса с
постоянным давлением. Масштабы таких течений можно получить из условий
автомодельности, определенных в § 7.2. Для пограничного слоя
масштабы V\ и U0 идентичны и уравнения (7.2.5) дают
Umi~l0. (8.2.1)
Обращаясь к уравнению количества движения (7.2.7) и
пренебрегая вкладом турбулентности, получаем динамическое условие
i!o_J§^ = „ = const. (8.2.2)<
v dx


§8.2]
Слои с неравномерным течением
359
Эти условия обеспечивают то, что все слагаемые одинаково
изменяются вдоль течения.
Используя условия (8.2.1), (8.2.2), получаем:
1\^^- и Ux^x\
(8.2.3)
Второе соотношение характеризует изменение скорости (в
идеальном течении без трения) на поверхности направленного против потока
клина с углом полураствора
в = ^г. (8-2.4)
Наличие тонкого пограничного слоя на поверхности не изменяет
существенно данное внешнее течение, за исключением окрестности
вершины клина. Значения п=0 и п=\ соответствуют решению Блазиуса
для течения с постоянным давлением и плоскому течению в
окрестности критической точки при /o=const. Для более интересных случаев-
/г
Рис. 8.2. Автомодельные
профили скорости для
ламинарных пограничных
слоев (по Фокнеру —
Скэн) при
положительном и отрицательном
градиентах давления.
1 — ускоряющееся внешнее
течение (п=4); 2 — решение
Блазиуса (п=0): з — отрыв
(п = —0,0904).
0^
г U/U,
'?
//
//_
! Ifi
1 i
1 1
/
U /
г '
L-^
^*&—~
'Г'
/
/
г-*'
2
-—- J
_L.
5 У/*2
п<0 интерпретация обтекания клина довольно условна, однако
надлежащее изменение скорости внешнего течения можно получить в каналах
соответствующего сечения. Заметим, что формально развитие
пограничного слоя зависит только от градиента внешнего давления, а не от
кривизны стенки, если она мала [см. (6.2.18)].
Обобщая зависимости для течения с постоянным давлением (8.1.3),
принимаем:
ф = 1/^00, (8.2.5)
где
У —
(v*,^)"2
Уравнение движения (8.1.2), содержащее теперь член градиента
давления UidUt/dx, приводится к виду
F'"-\~L(n-{-l)FF"—nF*-{-n = 0.
(8.2.6)
Это уравнение Фокнера—Скэн обобщает результат Блазиуса; его
решение должно удовлетворять тем же граничным условиям (8.1.5).
Последнее слагаемое представляет градиент давления; при изменении
конвективных характеристик получаются другие модификации.
24*


360
Развивающиеся течения. III. Пограничные слои
[Гл. 8
Рисунок 8.2 иллюстрирует общий характер решений. Форма
профиля почти не изменяется при ускорении внешнего течения (я>0,
dPi/dx<0), однако значительные изменения возникают при
положительном градиенте давления в замедляющемся внешнем течении (я<0,
dPi/dx>0). Эти тенденции также проявляются в данных, приведенных
в табл. 8.1, которые дают некоторые основные характеристики решений.
Таблица 8.1
Характеристики пограничных слоэв по Фокнеру — Скэн
-<*/»>©
4
1,5
1
0,25
0
—0,0476
—0,0741
—0,0868
—0,0904
Si//o
0,344
0,543
0,648
1,079
1,721
2,092
2,509
2,97
3,497
// = Ьг/Ь2
2,17
2,2
2,22
2,33
2,59
2,8
3,09
3,48
4,03
F" (Q) = lQ-zJv.Ux
2,405
1,494
0,233
0,675
0,332
0,22
0,13
0,058
0
" = ^vfr
—0,572
—0,545
—0,525
-0,4
0
0,453
1,437
4,435
со
Увеличение значения 6i//o указывает на утолщение слоя,
обусловленное замедлением вблизи стенки, вызываемым градиентом давления.
Формпараметр лишь немного уменьшается при ускорении (я>0), но
значительно возрастает при замедлении (/г<0). Для течения, все время
близкого к отрыву при Тм^О, требуется лишь малая степень
замедления. Это указывает на то, что вязкие напряжения могут
уравновешивать лишь малые силы положительного давления, и объясняет, почему
перемешивание ламинарного пограничного слоя является эффективным
для предотвращения отрыва.
Пограничные слои этого типа можно также охарактеризовать с
помощью параметра
.МЛ _ &i n (8 2 7)
N--
ir)dx
/о /"'(О)"
Это отношение членов градиента давления к напряжению на
стенке в интегральном уравнении количества движения (6.2.33). Если
внешний поток ускоряется, слой становится тоньше, напряжение на стенке
возрастает и обе силы уравновешиваются, вообще говоря, независимо
от скорости их изменения. Если же внешний поток замедляется, то
такое равновесие невозможно: совместное утолщение слоя и уменьшение
напряжения на стенке делают тормозящую силу все более и более
доминирующей.
8.2.2. СКОРОСТЬ И ТРЕНИЕ В ТУРБУЛЕНТНЫХ СЛОЯХ
На рис. 8.3 показаны типичные для ускоряющихся и
замедляющихся турбулентных пограничных слоев профили средней скорости и
касательного напряжения. Как и в ламинарном потоке, наиболее интересные
эффекты имеют место в замедляющихся слоях. Профили скорости на
рис. 8.3,а типичны для слоев при увеличивающемся градиенте давления;
такие профили устанавливаются последовательно в сечениях,
расположенных вдоль потока. В замедляющихся слоях возрастание скорости


§8.2]
Слои с неравномерным течением
361
Рис. 8.3. Типичные характеристики турбулентных пограничных слоев с градиентом
давления.
а — профили скорости; б — профили касательного напряжения; / — типичные слои постоянного
давления; 2 — типичные слои с положительным градиентом давления; 3 — сильно заторможенное
течение; 4— слабо заторможенное течение; 5 — постоянное давление.
поперек турбулентной области распределяется более равномерно; это
отражается в распределениях касательного напряжения, которые
характеризуются максимальным напряжением посередине пограничного
слоя. Поэтому такие заторможенные течения в какой-то мере имеют
характер свободных турбулентных течений, которыми они фактически
и становятся после отрыва.
В сильно заторможенных пограничных слоях отвод энергии т——
не сконцентрирован в вязком и логарифмическом слоях, а
рассредоточен по потоку. Элементы турбулентности, связанные с отводом энергии,
больше и в известной мере не подвержены влиянию стенки.
Результирующим эффектом расширения области диссипации и ослабления
влияния стенки является большое увеличение диссипации на единицу
длины слоя, несколько сдерживаемое уменьшением градиента скорости.
Диссипация в самом пристеночном слое может возникать в результате
проникания очень интенсивной внешней турбулентности.
Эта дополнительная диссипация определяет эффективность
диффузоров при преобразовании кинетической энергии в давление или
энтальпию. Даже в отсутствие отрыва в канале с замедлением потока
скорость диссипации намного больше, чем в сравнимом течении в канале
постоянного сечения. Несомненно, что рабочие характеристики
диффузора в сильной степени зависят от начального распределения скорости:
эффективная сила, замедляющая течения, определяемая параметром
N=(6ilXw)dPi/dxt сразу же начинает действовать, если во входящем
в диффузор потоке уже образовались пограничные слои значительной
толщины.
Ситуация, при которой сформировались показанные на рис. 8.3,а
профили, имеет существенные отличия от условий, которые
постулируются при анализе течения Фокнера — Скэы. Там положительный
градиент давления неуклонно уменьшается вдоль потока: dPildx^x271-*
при п=£0. Для практики наиболее интересны случаи увеличивающегося
градиента давления. Можно получить турбулентные аналоги слоев
Фокнера—Скэн; такие автомодельные течения часто называют равно-
веемыми слоями. Этот термин не совсем удачен, так как приводит к пу-


"362
Развивающиеся течения. III. Пограничные слои
1Гл. 8
танице с локально определенными слоями (§ 3.5), в которых
порождение и диссипация практически уравновешивают друг друга.
Автомодельные профили не обнаруживают резкого увеличения скорости вблизи
стенки, которое характерно для профилей на рис. 8.3,а. Это легко
объяснимо: в слое с течением, замедляющимся быстрее, чем требуется для
«равновесного» развития, средняя конвекция определяет такие условия
на внешней границе пристеночного слоя, которые более характерны для
менее замедленного движения выше по течению.
На рис. 8.3, как это принято, каждый профиль характеризуется
локальным значением формпараметра Н. Для этого веские основания:
значение Н можно быстро рассчитать, легко интерпретировать (малые
значения для резкого возрастания скорости и большие — для
плавного), величина Н .входит в уравнение количества движения , (6.2.34),
которое является основой для многих методов расчета пограничного
слоя. Так как Н характеризует состояние пограничного слоя не хуже
другого одиночного параметра такого рода, следует помнить и о его
недостатках. Уже отмечалось, что параметр Н не учитывает различных
историй равновесного и быстро замедляющегося течений; он также не
позволяет провести различия между трением на стенке и градиентом
давления. Из рассмотрения уравнений (8.1.9) становится ясно, что Н
может заметно изменяться при изменении коэффициента трения,
например, в зависимости от шероховатости. Поэтому формпараметр Н не
однозначно связан с любым параметром, учитывающим градиент
давления.
Отрыв турбулентного пограничного слоя обычно происходит при
значении Н в диапазоне от 2,5 до 3; однако не следует ожидать, что
какое-либо одно значение Н определяет условие отрыва. Тот факт, что
скорость у шероховатой стенки возрастает более плавно в течении с
постоянным давлением, свидетельствует, что такой слой более склонен
к отрыву, чем очень тонкий слой на гладкой стенке.
Двухслойная модель
Коулс отмечал, что достаточно много информации о распределении
скоростей в пограничном слое можно получить, выделяя две области:
1) внутренний слой, в котором доминирует трение и влияние
стенки, со скоростью (в полностью турбулентной части), определяемой
логарифмическим законом или одним из обобщений этого закона;
2) внешний турбулентный слой, более схожий со свободной
турбулентностью, но в котором динамическая скорость является масштабом
скорости, так как движение определяется касательным напряжением на
границе между этими двумя слоями.
Это привело Коулса к зависимости, определяющей изменение
скорости вне вязкого слоя или слоя шероховатости:
■£ = Л In (JLj+B + АП (*)»(-f) для у<8. (8.2.8)
В последнем члене разность между полным профилем и его
логарифмической компонентой представлена в виде, характерном для
автомодельных свободных турбулентных течений. Термин «двухслойный»


-§ 8.2J
Слои с неравномерным течением
363
•является в какой-то мере неправильным, так как эти два слоя частично
^перекрываются за исключением области вблизи стенки, где W-+-0, и
вблизи внешней границы, где логарифмический член дает почти
равномерную конвекцию.
Коулс назвал компоненту W-f-j законом следа, так как граничные
условия, которым удовлетворяет эта компонента, подобны граничным
условиям для следа, а также и потому, что на его рассуждения
повлияло представление о следе как о процессе переноса эффектов трения
из вышерасположенной по течению области. Он не использовал эту
параллель для определения формы соответствующего профиля, но
проанализировал большое количество данных о пограничных слоях, чтобы
выделить указанную компоненту, в то же время установив, что форма
профиля действительно почти одинакова для различных течений. Для
^большинства целей приемлемы аналитические аппроксимации; двумя
«простейшими являются:
1) простой профиль, использованный Хинце и другими:
o> = l-cos(-5M; (8.2.9)
.2) форма, использованная самим Коулсом:
ш = 2з5п2 V—J-/. (8.2.10)
Эти зависимости менее всего применимы вблизи границы слоя,
••а также у стенки, где в любом случае необходимо учитывать вязкий
«слой.
Конечно, расчет профиля можно выполнить, используя модели пути
'Смешения и турбулентной вязкости. Однако неадекватность этих
моделей у внешней границы (по крайней мере в их простейшем виде,
см. рис. 6.3,а) позволяет предположить, что вряд ли они улучшают
эмпирический подход Коулса.
Амплитудный множитель П{х) вместе с cj{x) и 6(х) характеризует
•продольное развитие течения. Изменение П(х) нельзя задать заранее;
>его необходимо определить в процессе расчета пограничного слоя. Тем
не менее можно отметить некоторые главные характеристики:
1. П должно быть малым для слоя постоянного давления, так как
з этом случае логарифмический закон дает приемлемые результаты.
Для гладкой стенки получены экспериментальные значения Я=0,6±
±10%; нет оснований полагать, что имеется единственное значение П.
2. Значения Я<0,1 наблюдаются в редких случаях, даже для
сильно ускоренных течений. По-видимому, логарифмический закон дает
эффективную границу для таких течений.
3. Я->оо вблизи отрыва или повторного присоединения. Возвратное
течение вблизи стенки, сопутствующее отрыву, формально можно
учесть, допуская отрицательные значения Я и изменяя знак U. Это
можно сделать, так как уравнения пограничного слоя в этом случае не
используются.


364
Развивающиеся течения. III. Пограничные слои
[Гл. 8>
Локальный закон трения
На границе слоя общее выражение для профиля скорости (8.2.8)
дает:
-^Нт),/2==Л1п Ш+В+2Л/7' (8-2Л1>
так как здесь w=2, как следует из (8.2.9), (8.2.10). Этот результат
можно использовать для расчета П. Напротив, когда П(х)
предполагается известным или подлежащим определению через другие
параметры, этот результат можно интерпретировать как обобщение закона
трения (8.1.8) для слоя постоянного давления. Таким образом,
зависимость
cf=f(Rebff7) (8.2.12)
определяет трение через локальные значения U\(x), П(х) и 6(х).
Следующая задача заключается в выражении этого закона трения
через параметры интегрального уравнения количества движения
(6.2.34), которое может быть записано в виде
db2 , Н + 2 dUl * 1 /о о 1 о v
чг+-дт-^г^=-2-с! (8-2ЛЗа>
или
ж-^с>[^Г±ж-м\ (8-2Лзб>
где
% dx '
Эти формулы исходят из нормированного дефекта скорости,
практически не зависящего от вязкости, определяемого уравнениями (8.1.8),
(8.1.11) как
Ul~U =-Aln(^ + An[2-w^j для у<8. (8.2.14)
Используя одно из уравнений (8.2.9), (8.2.10) или иную
соответствующим образом нормированную функцию «следа», получаем:
b>=-ur[V*-V)d (4-)=4г(1+/7)- (8'2Л5>
о
Заметим также, что
1
8,-8,
<,--^\(u>-U)24ir)=b(-TrrfF{n)> (8-2Л6>
о
где F(I7)—квадратичная функция. Комбинируя эти результаты,
получаем:
1 §! — д2 щ F (Я) /1 у/2 л „
1-ТГ=-Чг = А-ОГТТП=[-тС,) О (/7). (8.2.17>
При этом предполагается, что вклад вязкого слоя мал; введение
соответствующих поправок для получения большей точности не
составит затруднений.


§8.2]
Слои с неравномерным течением
365
о
ь
Приведенные выше результаты иногда выражают через толщины
дефекта и квадрата дефекта скорости:
(8.2.18а)
О
При этом соотношение (8.2.17) можно записать просто как
4*-=G(/7). (8.2.186)
Уравнения (8.2.17) и (8.2.15), представленные в виде
^ = Л(1 + ЯЛ2А/ , (8.2.19)
показывают, что локальный закон трения (8.2.12) теперь выражается
через параметры уравнения количества движения (8.2.13):
cf=f(Re2, #). (8.2.20)
Людвиг и Тиллман вывели полуэмпирический закон такого вида:
= 0)246 (^-)-°'2G8X КГ0'6™. (8.2.21)
Несомненно, что закон такого простого вида не может учесть
некоторые аспекты более сложных взаимосвязей, указанных выше.. Ротта
показал, что этот результат согласуется в определенном диапазоне с
формулой Коулса (например, при #=1,5, Re2=105 и #=2,5, Re2=106),
однако дает завышенные значения с/, если # велико и Re2 мало, и
заниженные— если # мало и Re2 велико; при этом возможна ошибка до
40%.
Равновесные слои
Выше было отмечено, что градиент давления может изменяться так,
что обеспечивается равномерное распределение скорости в процессе
развития пограничного слоя. Таунсенд показал, что автомодельные
турбулентные пограничные слои можно получить тремя способами:
1) вполне точно при Uv^xr1, как в случае течения между
сходящимися плоскими поверхностями;
2) приближенно, при очень (нереально) больших числах Рейнольд-
са, как отмечалось в отношении формпараметра (8.1.7);
3) приближенно, если Ui^xa, где а> —1/3, и для некоторых
подобных этим ускоряющихся течений.
Течения последнего вида экспериментально изучены Клаузером и
другими исследователями при постоянном значении N—(6i/xw)dPildx
вдоль течения (как в случае характеристик в табл. 8.1).
Для автомодельного (или «равновесного») пограничного слоя
параметр следа П постоянен. Отсюда, для слоев этого класса функцию
G(IJ) можно определить как функцию только величины N. Нэш пред-
сг.


'366 Развивающиеся течения. III. Пограничные слои [Гл. 8
ложил для этой функции выражение
G=6,1(N+1,81)1/2—1,7. (8.2.22)
Параметр G почти не изменяется для слоев постоянного давления
и с ускоряющимся течением. Это позволяет предположить, что Я (как
отмечалось ранее) не изменяется существенно в таких течениях; более
того, если Я мало, вклад логарифмического члена является
определяющим.
Одно время предполагалось, что соотношение G=G(N) для
равновесных слоев будет справедливым и в более общих случаях. Однако это
не оправдалось, хотя уравнение (8.2.22) и дает полезное указание
о тенденциях развития течения. Характер самых больших
расхождений с этим соотношением довольно поучителен: когда параметр
градиента давления N уменьшается от максимального уровня, изменение
значения G не следует этому уравнению, а остается постоянным или
несколько возрастает. Это свидетельствует о необходимости в каком-то
более динамичном соотношении чем то, которое дает одно
алгебраическое уравнение.
8.2.3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
На этом этапе наш последовательный анализ прерывается, так как
имеющихся уравнений — интеграл количества движения (8.2.13) и
локальный закон трения (в эмпирическом виде, аналогичном (8.2.21),
либо неявно выраженный в законах подобия Коулса) для дальнейшего
анализа недостаточно. Необходимо еще соотношение между
локальными значениями Я, С/, Re2 и N или, возможно, использование
родственных параметров G и Я. Наша задача заключается не в отыскании этого
соотношения, а в выборе его среди многих, которые были предложены
в течение последних сорока лет. Это изобилие дополнительных
уравнений свидетельствует о практической важности расчетов поверхностного
трения и отрыва, особенно для несущих поверхностей, где изменение
давления неизбежно. Многочисленность дополнительных уравнений
обусловлена тем, что имеется много способов использования информации,
которая не учитывается при интегрировании уравнений по времени и
поперек слоя.
Ротта и Брэдшоу отмечали, что большинство из известных
замыкающих соотношений имеет вид:
ь>ж=ж^+^ (8-2-23)
где fi, /2=/(Я, Re2, Cf). Они в самом деле в определенной степени более
«динамичны», чем алгебраическое соотношение (8.2.22), так как
учитывают вид развития течения. Поскольку алгебраическое уравнение
позволило в известной мере рассчитать картины развития, соотношение
вида (8.2.23) должно описывать поведение пограничного слоя в
широком диапазоне при условии, что коэффициенты соответствуют
эмпирическим данным в этом же диапазоне. Тем не менее производные,
фигурирующие в (8.2.23), не достаточны для расчета всевозможных видов
развития слоя.
Используемые на практике дополнительные уравнения не были
получены просто в результате отыскания таких функций /ч и /г, которые
дают наилучшие аппроксимации. В ретроспективном плане такая
процедура кажется заманчивой, однако это было не так до появления
быстродействующих компьютеров. Большинство дополнительных уравне-


•■§ 8.2]
Слои с неравномерным течением
367
ний было получено с помощью преобразований уравнений пограничного
слоя, приводящих к результатам, в которых можно соответствующим
образом использовать эмпирическую информацию. Соображения,
которые при этом использовались, здесь не будут рассматриваться, так как
это потребовало бы много времени; кроме того, в последние годы
разработаны более общие методы представления турбулентных течений.
Эти методы, которые будут рассмотрены в следующей главе, более
реально учитывают условия выше по течению и процессы переноса
поперек течения, роль которых не отражена в интегральной формулировке.
В. К. Рейнольде дал обзор различных подходов и аналитических
методов получения дополнительных уравнений. (Эта работа была
частью программы Станфордской конференции, посвященной сравнению
28 методов расчета пограничного слоя на основе сопоставления
результатов вычислений для определенной группы пограничных слоев.)
Оставляя в стороне «дифференциальные методы», которые будут
рассмотрены в следующей главе, В. К. Рейнольде разбил «интегральные модели»
Tia три класса:
1) методы диссипативного интеграла, основанные на уравнении
энергии среднего течения (6.2.41);
2) методы расчета вовлечения, которые фактически вводят
определенное допущение, касающееся формул вовлечения (7.2.27);
3) методы, составляющие более разнородную группу с менее
очевидным физическим обоснованием; некоторые используют уравнения
момента количества движения или интегралы по полосе для частей
потока; другие являются фактически методами численного анализа.
Методы диссипативного интеграла, связанные, в частности, с
именами Ротта и Вальца, являются более типичными для широкого класса
интегральных методов расчета, основанных на интеграле уравнений
пограничного слоя; в рассматриваемом случае
d(Uy3) = 2D_
dx p > v '
где D — интеграл (6.2.41), называемый диссипативным интегралом или,
более строго, интегралом работы касательного напряжения. Чтобы
увязать этот результат с другими уравнениями, описывающими развитие
пограничного слоя, введем эмпирическое выражение для Z), наиболее
простое по Ротта и Трукенбродту:
D = 0,0056 Re71/3. (8.2.25)
Кроме того, необходимо установить зависимость толщины потери
энергии 6з от 62 и Н\ такая зависимость может быть получена на
основе соображений подобия для внешнего слоя и эмпирических данных.
Соотношения вовлечения, впервые использованные Хедом,
аналогичны тем, которые привели к эжекционным законам (7.2.27) для
свободной турбулентности. Хед постулировал, что изменение потока
турбулентной жидкости (эквивалентного Vi + Vi— абсолютной скорости
вовлечения) можно определить как
о
I Udy=-kVA*-*i)]=№)Ul. (8.2.26)
__d_ Г rr , d
~dx


368
Развивающиеся течения. III. Пограничные слои
[Гл. 8
Эта формула по структуре подобна (7.2.27), однако здесь константа
вовлечения предполагается функцией формпараметра. Хед вывел до-
вольно сложный закон для &2{Н)-
Метод расчета вовлечения обобщали различным образом, в
частности, Хед и Пател, которые приняли, что константа вовлечения в не-
которой мере зависит от градиента давления и касательного
напряжения (N и Cf). Без этого формулы вовлечения не учитывают различия
случаев, в которых большое значение Н связано с изменениями
давления и с большим напряжением на стенке.
8.3. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
В дальнейшем исследовании пограничного слоя, включающем
явления переноса пассивной субстанции (в качестве примера обычно будет
рассматриваться перенос тепла), снова ограничимся рассмотрением
слоев постоянного давления. Далее будем предполагать, что поток на
стенке и температура изменяются вдоль потока медленно. Анализ более
общих течений в пограничном слое находится на довольно простом
уровне; часто используются простые аналогии между локальными
напряжениями и потоками субстанции на стенке, несмотря на то, что
развитие процесса теплопереноса в предшествующее время, как известно,
является важным. Однако и с помощью более специфических моделей
переноса, рассмотренных в следующей главе, возможно рассчитывать
скорость переноса в произвольных пограничных слоях.
Следующими существенными ограничениями, принятыми скорее для-
краткости, чем по необходимости, являются требования, чтобы
плотность и параметры жидкости, характеризующие процесс переноса, были-
постоянными поперек пограничного слоя. Это исключает из
рассмотрения многочисленные исследования «кинетического нагрева» в
пограничных слоях, связанные с проблемами движения с большой скоростью*
в атмосфере. Эти эффекты были затронуты в п. 5.2.2 и их следствия,
для поверхностного трения рассмотрены в упражнении 8.19.
Ламинарный тепловой слой
Рассмотрим теплоперенос в пограничном слое Блазиуса с
постоянным давлением в качестве предварительного этапа к установлению
соотношения между полями скоростей и субстанций, переносимых
конвекцией и диффузией. Предположим, что все свойства жидкости постоянны
поперек течения. Уравнение тепловой энергии—частный случай
уравнения (6.2.29) —имеет вид
и-оЧ-^у-дГ = к-д^' (8'ЗЛ>
Будем искать автомодельное решение, представляющее поля
скорости и энтальпии в виде
y=(vUtxy'*Fi\ и H=HW—(HW—Ht)j(i\), (8.3.2)
где t\=yl(vxlUi)^z—как и в уравнениях (7.4.18) и (8.1.3).
Ограничимся рассмотрением случая, когда разность энтальпий на стенке и во
внешнем течении постоянна, и будем полагать, что граничные условия
для / (относящиеся к АН) соответствуют условиям для F',
определенным (8.1.5):
/f=0 при т|=0 и /=1 при г|-^оо. (8.3.3)


§ 8.3J
Процессы переноса
369
Теперь уравнение (8.3.1) принимает вид:
/f' + -4-PrF/f = 0. (8.3.4)
Так как распределение скорости принято не зависящим от
температуры, это уравнение будет линейным.
Используем для расчета переноса в этом течении известные
решения для течения Блазиуса. При Рг=1 уравнения и граничные условия
для двух профилей точно соответствуют друг другу. Таким образом,
j' = F" (8.3.5)
всюду в течении, В силу автомодельное™ решения (8.3.2)
Г Pr(qh/z)U]
F" — Hw-Hx
для любого числа Прандтля. На стенке получи.:
St __ 1 /'(0)
1 Pr F" (0)
~2~cf
(8.3.6а)
(8.3.66)
Нетрудно видеть, что уравнение (8.3.5) выражает простую
аналогию Рейнольдса:
St=±-cf ПРИ Рг=1- (8.3.7)
Для общего случая Рг^ 1 имеем те же самые значения F"(0)—
табл. 8.1 дает 0,332, — однако теперь //(0)=/(Рг) следует определить
из уравнения (8.3.4). Интегрируя дважды и используя граничные
условия, найдем:
1
" ехр
/' (0)
о
^Рг \Fd-n
di\. (8.3.8)
о J
Шлихтинг аппроксимировал довольно сложную функцию (8.3.8) в виде
//(0)=0,332Рг°.343 (8.3.9)
при Рг>0,5. Кроме того, часто принимают
//(0)=0,332Рг*/з (8.3.10)
при 0,6<Рг< 15, что дает:
-Т*_=-Т-?!Н = Рг-2/3. (8.3.11)
Наконец, введя локальный и средний коэффициенты для течения
Блазиуса (8.1.6), получим
Nu, = 0,332 Рг1/3 Re1/2;
(8.3.12)
NuL = 0,664Pr,/3Re[/2.
Здесь единственное приближение (кроме обычных приближений
ламинарного пограничного слоя) заключается в принятии множителя
Рг1/3; более точные аппроксимации указаны выше—(8.3.8), (8.3.9).


370 Развивающиеся течения. III. Пограничные слои [Гл. 8.
Турбулентное течение. Модель Прандтля—Тэйлора
Многие из рассмотренных в § 5.3 результатов применимы к
процессам переноса поперек турбулентного пограничного слоя.
Действительно, анализ Прандтля — Тэйлора и его различные обобщения более
применимы здесь, чем к процессам переноса в трубе, так как такой,
анализ связывает и трение, и теплоотдачу с условиями на
гипотетической границе. Часто применяемый закон переноса для слоя постоянного
давления получен именно из простой формулы Прандтля—Тэйлора.
(5.3.7) с использованием уравнения (5.3.9) для определения роли
тонких слоев с молекулярной диффузией и принятием простых законов
трения (8.1.21):
0,0295 Re71/5
Stt = TTm ГГ • (8.3.13)к
1 + l,29Re71/10Pr"1/j (Pr— 1) v
Предположения, лежащие в основе этого результата, становятся,
очевидными при рассмотрении более общей зависимости (5.3.6).
Ограничивающее условие умеренных чисел Прандтля, например 0,5<Рг<
<50, можно полагать не столь серьезным, так как расчеты для
развивающихся слоев обычно относятся к воздуху или воде. Другим
источником неточности является использование допущения Рг*=1. Было
показано, что эффективное значение Pvt для области перемежаемости
примерно равно 0,5—0,7; в этом отношении модель Прандтля —
Тэйлора менее пригодна для пограничного слоя, чем для течения в трубе.
Тем не менее расхождение не существенно при высоких числах Рей-
нольдса, когда изменения скорости и температуры происходят
преимущественно в пристеночном слое.
Аналогия Колберна
Рассмотрим теперь использование степенных законов для описания:
характеристик переноса в пограничном слое. Из уравнения (5.3.23) для
течения в трубе имеем:
Si = ^pF = 0^23Red°'2prm'^ (8.3.14>
где /п=0,3-4-0,4. Чтобы установить значение этой зависимости для
соотношения между St и С/, используем закон (4.2.23), который
обнаруживает такую же зависимость от числа Рейнольдса. Тогда
st =—5Н = Pr^-1. (8.3.15)
l l
~2~Cf -2~CfKQ Pr
Тот факт, что коэффициент пропорциональности равен единице,
следует из выбора значения численного коэффициента 0,023 в уравнениях
(4.2.23), (5.3.23) и (8.3.14). С равным основанием можно сделать
несколько иной выбор, что немного изменит уравнение (8.3.15).
Результат, определяемый формулой (8.3.15) при т=1/3, известен
как аналогия Колберна. Для этого значения показателя m
зависимости для ламинарного и турбулентного режимов (8.3.11), (8.3.15)
идентичны. Эта идентичность также может быть получена при значении
/77=0,343, приводящем к более точному соотношению типа (8.3.9) для


§ 8.3]
Процессы переноса
371'
ламинарного режима. Формулы для турбулентных и ламинарных
течений фактически не имеют одинакового вида; однако осторожное
приведение их к удобной аналогичной структуре дает приемлемую точность,
расчетов. С этой оговоркой уравнение (8.3.15) устанавливает
соотношение, справедливое для ламинарного и турбулентного пограничных
слоев и для турбулентного течения в трубе; однако оно не справедливо
для ламинарного течения в трубе, как следует из результатов
упражнения 3.18.
Используя законы трения для турбулентного пограничного слоя на
гладкой стенке и принимая т=1/3, получаем:
Nu* = 0,0295Pr,/3Re4/5;
(8.3.16)
Nu^ = 0,037 Pr1/3Re*/5.
Эти формулы применимы, если слой полностью турбулентный, в
последней предполагается также, что температура постоянна по всей
поверхности, на которой происходит развитие слоя.
Широко рекомендуемый, однако не очень убедительный метод
учета начального ламинарного участка, заключается в таком расчете
переноса после перехода, как будто пограничный слой всегда был
турбулентным. Тогда
NuL = 0,037Рг1/3 [Re£'8 -Re°'5 (V'3 - ^)], (8.3.17).
где Rec=Rex для перехода. В какой-то мере более реалистические
зависимости могут быть получены при использовании процедур,
аналогичных указанным в общих чертах в пояснениях к рис. 8.1.
Пограничный слой под действием архимедовых сил
Наконец, рассмотрим течение в пограничном слое вида,
показанного на рис. 6.6, когда в покоящейся жидкости движение возбуждается:
нагревом вертикальной плоской поверхности. При этом не будем
пытаться получить детальное решение с помощью системы
дифференциальных уравнений количества движения и энергии (6.2.54), (6.2.29),
а используем методы подобия для установления только структуры
самого решения. Для течений такого вида предположение о наличии
автомодельного решения является правдоподобным (в отличие от
турбулентных слоев с вынужденной конвекцией), так как поле скоростей
развивается спонтанно в соответствии с распределениями плотности и:
напряжения на стенке.
Введем автомодельное решение
{/=£/о(*)/(т|) и Я—#!==(#»—#i)/(t|), (8.3.18)
где Hw—Н\ — постоянно вдоль слоя. Интегралы энергии и количества
движения (6.2.37), (6.2.55) примут вид:
d \T11lr.A 2» ; (8.3.19а)
L 0 J
-2Г \V\h ]W]= -^(Я.-Я,)/,]/^—i- • (8.3.19б>


372
Развивающиеся течения. III. Пограничные слои
[Гл. 8
Исходя из того что локальные скорости переноса связаны
локальными масштабами скорости и длины так же, как и в пограничном слое
с вынужденной конвекцией (это означает, что основное изменение
температуры происходит в пристеночном слое), примем:
^"■•(-йгГ5 (8-3'20а)
— ^o(l7^)1/4pr"2/3 (8-3.206)
Qw
Pi (Hw — H\)
в соответствии с зависимостями (8.1.21) и (8.3.15) для турбулентного
течения. Интегральные уравнения теперь примут вид:
d (UQl0)
dx
=ед
V/4 D.-2/3 .
£Vo
V
Pr
d (U*M
■■C$g(7 B-Tjl,-CtU\
1/4
(8.3.21a)
(8.3.216)
Принимая для масштабов зависимости вида
U0=Axm и /о=5хп,
находим из уравнений (8.3.21) значения
т=0,5 и «=0,7.
Три соотношения между тип, которые дают полученные уравне
ния, непротиворечивы; это находится в соответствии с гипотезой авто
модельности. Амплитуды А и В также связаны уравнением (8.3.21):
A^B = D^g(Tw-Tl)B-D3A4^-V/4
(8.3.22а)
(8.3.226)
(8.3.23а)
(8.3.236)
Величины Di отличаются от С; в уравнениях (8.3.21) только лишь
коэффициентами пг + п и 2ш-\-п, появляющимися при
дифференцировании. Решая эти уравнения, находим:
(8.3.24а)
(8.3.246)
и,ъ
Grr
+ (D./D.) Pr2/3 J
1/2 _v_
X
/.~
1 + (£>,/£>,) Рг2/3
Gr>-
•/'»рг-8/.5Х)
где Grx=$g(Tw—Ti)x3/v2, — число Грасгофа.
Наконец, возвращаясь ко второму уравнению (8.3.20), вычислим
локальное число Нуссельта:
Nu,^Gr2/5Pr7/I5
1 + -^-Рг2/3
-2/5
(8.3.25)
Безразмерные константы можно определить экспериментально или
же с помощью введения правдоподобных профилей f и / и
реалистичных значений констант в законах переноса (8.3.20). Эккерт и Джексон,
которые впервые выполнили такие расчеты, получили значение 0,0295
для константы пропорциональности в уравнении (8.3.25) и значение
/)3/Z)i=:0,494. Эти вычисленные значения согласуются с
экспериментальными результатами.


§ 8.4J
Нерассмотренные вопросы
373
Для определения теплообмена свободной конвекцией часто
используются эмпирические законы вида
NuL—(GrLPr)9=Ra9, (8.3.26)
где Ra — число Рэлея. Из (8.3.25) ясно, что вряд ли эти эмпирические
законы будут справедливыми в широком диапазоне значений числа Рг.
8.4. НЕКОТОРЫЕ НЕРАССМОТРЕННЫЕ ВОПРОСЫ
Как это часто требуется, мы закончим данную главу кратким
обсуждением некоторых интересных и практически важных процессов,
детальное изучение которых опущено за недостатком места. Эти
процессы можно разделить на два класса:
1) естественные явления в пограничных слоях—переходный
режим и отрыв;
2) другие пристеночные течения — обобщения ранее изученных
плоских пограничных слоев.
Переходный режим
Имеются многочисленные изящные исследования
гидродинамической устойчивости и соответствующая обширная экспериментальная
информация. Здесь мы рассмотрим только самые простые
эмпирические факты, приведенные в обзоре Драйдена. Зная, что переход от
ламинарного режима к турбулентному в трубах происходит при Re^
^2400, можно легко получить приближенную оценку точки перехода
в ламинарном слое постоянного давления. Принимая [/i6/v=f/ac?/v=
=2400, находим из третьего уравнения (8.1.6):
Rec=-^=(-^-]2^2Xl05.
Конечно, не следует слишком доверять этой оценке; ниже мы
рассмотрим некоторые факторы, которые изменяют точку перехода.
1) Свободная турбулентность. Для плоской пластины было установ
лено, что 9-104< Rer < 2,8-106 при 0,025 >f-^-) /У, > 0,001; вне
этого диапазона Яес слабо зависит от изменения уровня турбулентности.
2) Градиент давления. Положительный градиент давления
способствует переходу в результате утолщения пограничного слоя и
формирования менее устойчивого профиля скорости; можно легко добиться
двукратного уменьшения Rec по сравнению со значением для слоя
постоянного давления. С другой стороны, были получены большие значения
до Rec=14-106 для тщательно спроектированных профилей с
ламинарным обтеканием, когда давление неуклонно возрастало вдоль большей
части поверхности.
3) Кривизна. Было установлено, что стабилизация и
дестабилизация за счет центростремительного ускорения являются значительными
лри:
—н- > 0,0026 на выпуклой стабилизирующей поверхности,':
—jk-> 0,00013 на вогнутой дестабилизирующей поверхности..


374
Развивающиеся течения. III. Пограничные слои
[Гл. 8
Здесь R — радиус кривизны вдоль течения.
4) Теплообмен. Охлаждение поверхности стабилизирует течение
над ней, а нагрев способствует переходу к турбулентному режиму; при
этом можно добиться изменения значения Rec в 2 и 1/2 раза
соответственно. В аэродинамике больших скоростей определенную роль играют
также эффекты восстановления (или «кинетического нагрева»).
5) Вибрация. Наложение периодических пульсаций с частотой,
близкой к частоте наименее устойчивых возмущений, может
существенно снизить границу устойчивости. «Ненастроенные» вибрации оказывают
почти такое же воздействие, как и свободная турбулентность.
6) Шероховатость. При обтекании шероховатой поверхности точка
перехода может быть при Re^lO5. Как установлено, переход
обусловливают одиночные выступы шероховатости высотой —<&>i6i. Этот факт
является полезным указанием для выбора турбулизатора,
ускоряющего переход к турбулентности. За изолированным выступом
формируется турбулентная область в форме клина с углом раствора примерно 16°.
Спонтанный переход к турбулентности на эффективно гладкой
поверхности обнаруживает довольно схожие черты — перемежаемость,
неустановившиеся турбулентные «полосы» и «пятна», которые,
распространяясь, охватывают все сдвиговое течение.
Обратного перехода (или реламинаризации) можно достичь
несколькими путями: быстрым ускорением внешнего течения,
замедлением до докритических значений локального числа Рейнольдса,
стабилизацией при помощи центростремительных сил и другими изменениями
действующих факторов, указанных выше.
Отрыв
Об этом сложном явлении можно сказать даже меньше, чем о
переходе к турбулентности. Связь этих явлений иногда довольно тесна:
переход часто следует даже за локальным отрывом, тогда как отрыв
можно предотвратить переходом. Последний эффект может обусловить
заметные различия характеристик модели и прототипа, если только не
вызвать переход в соответствующей точке модели. В то время как
переход обычно «раз и навсегда» происходящее явление, отрыв часто
бывает повторным. На несущей поверхности может быть
непродолжительный ламинарный отрыв, за которым следует присоединение с
образованием отрывной зоны и, наконец, отрыв турбулентного потока.
При обтекании волнистой поверхности происходит периодический отрыв
с образованием области рециркуляции за каждым «гребнем волны».
Анализ явления отрыва и связанного с ним повторного
присоединения является значительно более трудным, чем анализ перехода:
течение может быть и ламинарным, и турбулентным, уравнения
пограничного слоя в этом случае'уже не приемлемы; часто возникает
крупномасштабная неустойчивость течения, а для трехмерного течения
трудно даже представить себе кинематику процесса.
Некоторые методы расчета для двумерных пограничных слоев дают
реалистичные оценки точек отрыва, однако ни один из них нельзя
использовать для расчета течения непосредственно до и после отрыва.
Для турбулентных слоев никакого простого «критерия» отрыва дать
нельзя; процедура расчета оказывается несостоятельной: отрыв зависит
от характера обтекаемой поверхности и истории потока выше по тече-


§ 8.4]
Нерассмотренные вопросы
375
нию и не определяется каким-либо одним параметром, таким, как форм-
параметр.
Другие пристеночные течения
Здесь мы укажем некоторые течения, которые отличаются только
одной или двумя особенностями от рассмотренных ранее плоских
пограничных слоев.
1) Пограничные слои на осесимметричных телах. Если они
достаточно тонкие, то подобны плоским слоям, однако если их толщина
сравнима с диаметром тела, то появляются характерные особенности.
2) Пограничные слои в условиях, когда внешнее течение
изменяется во времени. Такие слои возникают при волновых течениях, при
пульсационном режиме течения или перемежающихся выхлопах
двигателя.
3) Трехмерные пограничные слои, включая закрученные движения.
Здесь даже надежный закон стенки неприемлем.
4) Пограничные слои, в которых существенны стратификация и
архимедовы силы, например атмосферные пограничные слои.
Рис. 8.4. Выбор полос
интегрирования для анализа
пристеночной струи в движущемся
потоке (согласно Гартшору и
Ньюману).
5) Пристеночное течение в диффузоре с более или менее развитым
турбулентным течением на входе. В отличие от обычного пограничного
слоя в таком течении «набегающий поток» сам по себе турбулентный,
и характеристики развития течения отличаются от таковых для слоя,
расширение которого определяется границей турбулентности.
6) Пристеночная струя. Она подобна пограничному слою в том,
что в ней сочетаются внутренняя область, течение в которой
определяется влиянием стенки, и расширяющаяся внешняя область, более
близкая к свободной турбулентности. Однако для пограничного слоя,
в котором изменение скорости поперек внешнего течения может быть
сравнительно малым, некоторые важные характеристики можно
оценить, рассматривая только пристеночный слой. Этого никогда нельзя
сделать для пристеночной струи, где изменения скорости во
внутренней и внешней областях одинакового порядка.
Пристеночные струи часто анализируются при помощи метода
интегрирования по полосам, в котором уравнение количества движения
интегрируется поперек частей потока. Рисунок 8.4 иллюстрирует
крайнюю (но неизбежную) модификацию метода согласно Гартшору и
Ньюмену, которые разбили течение на четыре указанных полосы.
Соответствующие предположения для касательных напряжений в точках
стыковки давали четыре уравнения для Um, L0, ym и п (показатель


376
Развивающиеся течения. III. Пограничные слои
[Гл. 8
в степенном законе скорости, принятом для внутреннего слоя),
выраженные через заданную скорость внешнего течения Ui(x). В своих
расчетах они приняли, что константа внешнего течения Ro изменяется
вдоль потока, необходимость чего следует из табл. 7.2.
Рекомендуемая литература
Основная литература [2, 6, 10, 12, 15, 17, 18, 21, 25, 30, 32,
33,34,35,37,38,92, 101, 108].
Специальная литература [27, 28, 43, 51, 60, 61, 64, 77,
87,91].
УПРАЖНЕНИЯ
8.1. Наиболее простым примером пограничного слоя является ламинарный
асимптотический слой с отсосом при Vw = const.
а) Показать, что для такого течения U = U\[\— exp (Vwy/v)] и tw = —pWwUi и
что сопротивление «захвата» определяется как cd = —2VW/Ui.
б) Найти отношения 6Ь б2, 69э для этого слоя.
в) Теоретические расчеты критических условий перехода для этого слоя дают
L/i6i/v = 70 000. Чему равны соответствующие значения коэффициента отсоса—Vw/U\
и коэффициента сопротивления захвата? Сравнить со значениями Rei и Cf в
ламинарном слое без отсоса для перехода при Rex=106.
г) Требуется минимизировать сопротивление профиля крыла за счет отсоса.
Целесообразно ли поддерживать критическое значение отсоса на всей поверхности? Как
следовало бы приступить к выбору оптимального распределения Vw-
8.2. Самолет с крылом, хорда которого 2,4 м и максимальная толщина 10%
длины хорды, летит со скоростью 320 км/ч на небольшой высоте над уровнем моря.
а) Пренебрегая отрывом и экстремальными эффектами градиента давления,
сравнить толщину вытеснения пограничных слоев у задней кромки с толщиной крыла,
полагая, что переход осуществляется в точке на 1/4 хорды на верхней поверхности и
на 1/2 хорды на нижней поверхности.
б) Будет ли рост пограничного слоя значительно изменять распределение
давления на крыле? Чему равен коэффициент сопротивления трения для профиля,
вычисленный по длине хорды? Каковы законы развития следа за крылом?
8.3. Поезд японской скоростной магистрали Токайдо движется со скоростью
170 км/ч. В нем 10 вагонов, каждый длиной 25, шириной 3,4 и высотой 4,5 м. Высота
низа вагонов над полотном дороги 0,5 м.
а) Оценить сопротивление трения поезда, полагая, что вся поверхность гладкая
и на ней образуется пограничный слой постоянного давления. Будет ли разность
давлений на концах поезда значительной?
б) Вдоль какой части нижней поверхности поезда разовьется течение Куэтта?
Оценить здесь дополнительное сопротивление.
в) Оценить аэродинамическое сопротивление поезда, проходящего туннель
диаметром 5,5 м, полагая давление вдоль поезда постоянным. В каком направлении будет
действовать градиент давления на практике? Как это будет сказываться на
сопротивлении?
8.4. а) Обосновать расчет сопротивления судна, длина которого по ватерлинии L
и скорость плавания U\, по формуле
04^[сдсй(А_)4с,(^)],
где Ср—коэффициент профильного сопротивления, зависящий только от формы
корпуса; Cw — коэффициент волнового сопротивления, являющийся функцией числа Фруда
U\l У gL для данной формы корпуса; С/ — средний коэффициент трения корпуса со
средним смоченным периметром Р, являющийся функцией числа Рсйнольдса.
б) При исследовании моделей судов число Фруда обычно поддерживают
постоянным, что дает волновую картину, подобную существующей около прототипа, и,
следовательно, одинаковое значение Cw. Таким же образом проводятся исследования
танкера длиной 300 м с расчетной скоростью 32 км/ч на модели длиной 3 м. Где на
такой модели обычно происходит переход пограничного слоя? Где следует
формировать явление перехода?
в) Суммарная сила сопротивления на модели по п. «б» определена равной 6 кгс
при таком нагружении, когда Р = 50 см, причем переход возникает в соответствующей


§ 8.4J
Нерассмотренные вопросы
377
точке. Принимая значение 0,5 для коэффициента профильного сопротивления при
фронтальной площади подводной части судна 250 см2, оценить значения всех трех
коэффициентов сопротивления для этого испытания. Рассчитать их также для прототипа и
установить требуемую мощность двигателя.
8.5. а) Для пограничного слоя постоянного давления с законом распределения
U / у \1/л
скоростей ~ТГ~- ( ~"Т~ I показать, что интегральное уравнение количества движения
дает
"■.^-<'+-)(' + -г)Г
б) Показать, что функция тока
дает профиль «а» и, следовательно, ускорение в слое определяется соотношением
DU_ У\ 1 dd / у \Уп_ 1 дх
Dt ~ ТГ+Т д dx { 8 J ~ p ду '
в) Показать, что распределение касательного напряжения определяется формулой
пН
ъ - ~ V s J ~ \UJ
где Н — формпараметр (8.1.18). При каких условиях изменение будет почти линейным?
8.6. Когда пограничный слой на теле вращения будет достаточно толстым, то
законы для плоского слоя здесь теряют свою силу.
а) Показать, что для тела постоянного диаметра (за исключением заостренной
носовой части) соотношение L/d<.Rell5L определяет условия, при которых законы
трения плоского течения применимы для целиком турбулентного пограничного слоя.
б) Получить аналогичный результат для целиком ламинарного слоя. Построить
оба ограничения на L/d, указать область справедливости каждого и схематически
изобразить переход между ними. Указать также логарифмическую модификацию
результата п. «а», необходимую при высоких ReL.
в) Отметить диапазоны L/d и ReL для корпусов судов, фюзеляжей самолетов и
поездов. Рассмотреть также случаи низких значений числа Рсйнольдса для каноэ и
стрел и показать, что результаты для плоского течения будут справедливы почти во
всех этих случаях.
8.7. а) Показать, что для осесимметричного пограничного слоя па теле
постоянного радиуса R условие r% = %wR является правдоподобной заменой условия для
плоского пристеночного слоя т = const.
б) Показать, что в подслое U+ = R+ In ( -3- ) » и что в турбулентной части
пристеночного слоя U+ = A \nl4R+ f-^-J — 1 / (-^г) + И [ + Я-
в) Определить константу В, используя метод решения умножения 5.29,в, а
именно, принимая, что два закона п. «б» всегда сопрягаются при одном и том же значении
Em/v. При каких условиях В будет принимать значение, характерное для плоского
течения?
г) В чем осесимметричный слой сходен с круглым следом? Будет ли поток
оставаться турбулентным при развитии течения вдоль длинного стержня?
8.8. Переписать формулу трения Коулбрука — Уайта (4.3.18) в виде,
соответствующем пограничным слоям. Изобразить схематически зависимость Cf-Cf(x) для
обтекания плоской пластины с постоянным масштабом шероховатости kSi отражающую
предельный случай обтекания эффективно гладкой пластины. Изобразить схематически
также зависимость на входе в большую трубу с равномерно шероховатыми стенками.
8.9. Пограничный слой развивается в воздухе на поверхности с равномерной
шероховатостью ks = 0,\ мм; скорость внешнего потока равна 250 м/с. Полагая, что
течение с самого начала турбулентное, рассчитать изменение касательного напряжения па
стенке с помощью численного интегрирования. Принимая характеристики песчано-зер-
25—56


378 Развивающиеся течения. III. Пограничные слои [Гл. 8
нистой шероховатости, приведенные на рис. 4.2, выполнить интегрирование до точки,
в которой поверхность эффективно гладкая. Найти средний коэффициент трения для
рассматриваемой области.
8.10. Показать, что согласно двухслойной модели пограничного слоя^Коулса
U \ f у л
в точке отрыва — = — w [~J~ ] • Изобразить схематически профили непосредственно
перед и за этой точкой.
8.11. Показать, что для автомодельного (или равновесного) пограничного слоя
Cf == const и 6~л:.
8.12. а) Показать, что распределение касательного напряжения в пристеночном
слое, в котором U+ = f(y+), определяется формулой
„+
W
(Указание: сначала с помощью интегрирования уравнения неразрывности следует
определить V.)
б) Показать, что при положительном градиенте давления —т--> 0 последний член
отрицательный. Изобразить схематически результирующее изменение касательного
напряжения и показать, что предположение о слое постоянного касательного напряжения
справедливо в более широких пределах, чем можно было бы предположить из
рассмотрения только первых двух членов.
8.13. Для пограничных слоев, развивающихся на стенках канала, градиент
давления определяется условиями неразрывности для всего потока. Например, для плоского
канала шириной Ь это условие имеет вид \U\{b—26i)=y (постоянный расход на
единицу ширины), где U\ — скорость на центральной линии.
а) Показать, что для начального участка капала с параллельными стенками, где
развивающееся течение имеет нетурбулентное ядро, интегральное уравнение количества
движения (см. упражнение 6.14) дает
dx ~Ь + 2Н (Н+\)дг
в предположении, что #=const. Какие значения Н можно принять для ламинарного и
турбулентного участков?
б) Как изменяется результат п. «а», когда оба пограничных слоя смыкаются?
в) Обобщить результат п. «а» на тонкие пограничные слои в диффузорах и
соплах, учитывая изменения Ь и Я. В каких случаях последнее является более важным?
г) Какая дополнительная информация требуется для расчета развития указанных
пограничных слоев?
8.14. а) Предполагая температуры стенки и внешнего течения постоянными,
определить распределение температуры в ламинарном асимптотическом слое и
интенсивность теплоотдачи на стенке.
б) Как связаны профили скорости и температуры? Как связаны толщины
динамического и теплового слоев?
8.15. Используя аналогию Колберна, определить характеристику теплоотдачи
Nu = /(Pr, Re) для турбулентного пограничного слоя, подогреваемого только на
участке от L\ до L2. При каких условиях можно доверять таким расчетам? Каким образом
можно рассчитать теплоотдачу при произвольно изменяющемся распределении
температуры, используя эту аналогию?
8.16. Изобразить схематически правдоподобное изменение Рг* поперек
пограничного слоя в воде и в воздухе.
8.17. Найти средний коэффициент трения для первоначально ламинарного, а
затем турбулентного пограничного слоя, используя соображения, аналогичные тем, с
помощью которых получено уравнение (8.3.17).
8.18. В анализе слоя под действием архимедовых сил (§ 8.13) для определения
характеристик переноса использовались законы трения для течения с постоянным
давлением, хотя вертикальный градиент давления неизбежно существует. Обосновать
такой подход.


§ 8-4]
Нерассмотренные вопросы
3"9
8.19. Для теплоизолированной стенки зависимость поверхностного трения от числа
Маха выражается главным образом через изменение температур вблизи стенки в
результате эффектов восстановления.
а) Принимая \X\/[iR= {Ti/TR)m, показать, что зависимость Reл = Reг(7VГя)1 + ,r,
связывает число Рейнольдса, вычисленное по характерной температуре Тя, с числом
Рейнольдса, вычисленным по характеристикам внешнего течения.
б) Полагая, что c/=/(ReR) является такой же функцией числа Рейнольдса, как
и при изотермических условиях, показать, что
Ч Г, f№R)
с,. TRf(Ret) ■
в) Полагая, что C/~(ln Re)-", как и в формуле Шоенхерра (8.1.10),
показать, что
Cf Тл
CU ~ TR
г) Принимая Т^= —п- (Т1 -\~ Т~), показать, что характерная температура связана
1
с числом Маха зависимостью 7^/7\ = 1 +"т~г (у—1) Ма2ь где г — коэффициент
восстановления и Y — cp/cv — отношение удельных теплоемкостей.
д) Для воздуха определены значения г=\ и т = 0,75. Используя константу п
в формуле Шоенхерра, построить зависимость Cf/Cf t от Mai = 0-^-8 для Rei = Rei,==
= 105 и 108. Сравнить влияния Mai и ReL.
8.20. Пограничный слой на гладкой плоской пластинке развивается при по
существу нетурбулентном равномерном внешнем течении воздуха (£/i = 30 м/с).
а) Построить графики изменения 6i и б2 при * = 0-f-3 м, используя увеличенный
масштаб по координате у.
б) Построить график изменения б9д при л; = 0-4-3 м при надлежащих
масштабах по координатам х и у.
У\
в) Построить графики изменения Cf, Cf, •*— и /г —наиболее приемлемого значе-
ния показателя в степенном законе.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Это название дает неполное представление о содержании данной
главы. Те методы, которые будут обсуждены, действительно
применимы к течениям с более сложными границами и внутренней структурой,
например к областям циркуляции и смешивающимся струям. Но эти
методы могут описывать также детали течений, упрощенные
особенности которых были рассмотрены ранее, например распределение
интенсивности турбулентности поперек потока, вторичные течения в каналах,
часть следа вблизи обтекаемого тела и пограничные слои вблизи
отрыва.
Результаты предыдущих глав основывались в большинстве случаев
на интегральных уравнениях тонкослойных течений, которые адекватно
описываются уравнениями пограничного слоя. Для течений, которые
не являются тонкими в этом смысле, и для многих деталей тонких
слоев это приближение не является адекватным. Поэтому мы отходим от
интегральной формулировки, хотя она остается основой для проверки
более детальных расчетов и ответа на достаточно простые вопросы.
Здесь приходится иметь дело непосредственно с дифференциальными
25*
+
(\+m)\n(Tl/fR)
In Re,-


380
Более сложные течения
[Гл. 9
уравнениями, описывающими движение, и поэтому здесь нет
необходимости использовать приближения тонкослойного течения.
Методы, описанные в предыдущих главах, как было показано,
обладают двумя недостатками: они не учитывают адекватно историю
развивающегося течения (за исключением простейших моделей) и не
описывают реалистично процессы переноса поперек потока. Можно
объединить эти критические замечания в одно: нам требуется более точное
описание транспортных процессов в турбулентном течении (как
турбулентной диффузии, так и средней конвекции). Мы будем решать эту
задачу путем преобразования дифференциальных уравнений движения
в транспортные уравнения для наиболее важных субстанций, хотя
выявление таковых совсем не очевидно. Анализ включает два главных
момента:
1) вывод точных основных уравнений для статистически
установившегося турбулентного движения жидкости с постоянной плотностью.
Их получают путем осреднения по времени уравнений сохранения
массы, количества движения и энергии для мгновенного движения. Они
включают среднюю скорость и турбулентные напряжения, среднюю
завихренность и пульсации завихренности и другие потоки величин в
турбулентной жидкости;
2) сведение основных уравнений на основе использования теории
подобия и эмпирических данных к системам, достаточно простым для
численного решения на быстродействующих компьютерах. Здесь для
простоты мы ограничимся рассмотрением тонкослойных течений.
Основные уравнения известны уже несколько десятилетий и
фактически являются основой для общей статистической теории
турбулентности. Идеи, связанные с их упрощением (существенное упрощение
необходимо даже при наличии современных компьютеров) в течение
десятилетий не находили достаточного отражения в литературе. И только
в течение последнего десятилетия появление быстродействующих
компьютеров позволило использовать эти идеи непосредственно в
инженерных расчетах.
Здесь мы укажем лишь основное направление развития численных
методов. Методы быстро развиваются, и всякий учебник неизбежно
устаревает, как и библиография, на которой он основан. С учетом этого
предостережения читатель, которому необходима более подробная
информация об этих «дифференциальных» методах (или методах
«турбулентного поля») расчета, может обратиться к обзорам В. К. Рейнольд-
са (цитируемым в гл. 8) и Ротта, Брэдшоу, Лондера и Сполдинга
(указанным в конце главы).
9.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
9.1.1. ТЕНЗОРНАЯ ЗАПИСЬ
Для того чтобы получить компактное и легко воспринимаемое
описание турбулентного движения, мы применяем тензорную запись,
которая широко используется в литературе по турбулентности и другим
разделам механики жидкости. Величины, которые рассматриваются здесь,
являются декартовыми тензорами, компоненты которых берутся в
прямоугольной системе координат. Они являются частными случаями ко-
вариантных и контрвариантных тензоров. Мы начнем с использования
тензорной записи для представления некоторых величин, с которыми мы
будем иметь дело в дальнейшем.


§9.1]
Основные уравнения переноси
381
Векторы и тензоры
При обсуждении корреляций в § 2.6 и спектров в § 2.7 оказалось
удобным представлять многокомпонентные величины с помощью
компактной записи с применением индексов. Так, компоненты вектора
скорости представляются в виде
ии где i=\, 2, 3,
а вектора градиента давлений — в виде
^-, где / = 1, 2, 3.
Эти векторы имеют три компоненты (большее число возможно в
гипотетическом многомерном пространстве); единственный индекс
обозначает направление компоненты. Скалярные величины, такие как
температура, давление, энергия, не зависят от направления координатных
осей и не имеют индекса, обозначающего направление.
Мы также представляем двойную корреляцию скорости (2.6.5),
(2.6.6) как
uLujy где /, /= 1, 2,3,
и интерпретировали эти величины как компоненты тензора второго
ранга с двумя независимыми индексами и девятью компонентами. Другой
тензор второго ранга
е -^L . JUL (9.1.1)
*''/ — dxj ~Г dxL
дает тензор скоростей деформации, связанных со средним движением;
подобное выражение может быть записано и для пульсаций. Тензор
(9.1.1) имеет лишь шесть различных компонент; проверим
справедливость этого утверждения. При i=j имеем три скорости нормальной
деформации, при ЬФ\ имеем три скорости — деформации сдвига.
Родственный тензор завихренности
(,,-%1—р- (9.1.2а,
ч dXi dXj ч
характеризуется как вихрь (или ротор) вектора скорости. Так как здесь
имеются только три различные компоненты (npOBtpbTe это), эту
величину в ряде случаев можно трактовать как вектор; его компоненты
связаны с компонентами тензора зависимостью
0* = £«. (9.1.26)
Каждая компонента вектора нормальна к плоскости вращения,
которую она характеризует.
Возможны тензоры и высшего ранга, например UiUjUk, с более чем
двумя независимыми индексами.
Правило суммирования Эйнштейна
Это одно из основных удобств тензорной записи: если не оговорено
особо, повторение индекса означает суммирование по всем его
значениям. Так,
—2~ U i = —2~ U j -) 2~~ ^ 2 i 2~ ^ 3


382
Более сложные течения
[Гл. 9
характеризует мгновенную кинетическую энергию на единицу массы
жидкости. Эта величина является скаляром, так как суммирование
исключает зависимость от направления, которая свойственна векторам
и тензорам; иными словами, здесь нет «свободного» индекса. Другой
пример суммирования
dJj dlx dJ2 dJ3
dxj ~~ dxx • dx2 "• дхъ ' V • • /
Эта величина называется дивергенцией вектора Jj. Как следует из
уравнения (3.3.1), эта скалярная величина характеризует интенсивность
источника субстанции, поток которой обозначается вектором Jj.
Величина, подобная —uft2], с тремя индексами, из которых различны
только два, является вектором; в данном случае этот вектор представляет
собой результирующий поток кинетической энергии. Еще одним
примером является
*sr=ui-W> <9Л-4)
конвективная производная компоненты А{ [ср. с (3.3.9)]. Мы будем
использовать запись D/Dt, как и выше, для обозначения производной,
переносимой со средним движением.
Правило суммирования можно использовать в связи с
дельта-символом Кронекера (или подстановочным тензором) —условным тензором
второго ранга с компонентами:
6ij=l при i=j- (9.1.5)
6^=0 при 1Ф\.
Так, 6ijMj=Mi и 8ikUk=Ui-
9.1.2. УРАВНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И ЕГО АНАЛОГИ
До сих пор мы использовали осредненные по времени формы
уравнения количества движения, причем наиболее общими были
приближения тонкослойного течения (6.2.21), (6.2.22). Чтобы получить больше
информации из принципа сохранения количества движения, обратимся
к более фундаментальному результату, который справедлив в каждый
момент времени. Запишем уравнения Навье — Стокса в тензорных
обозначениях для трех координатных направлений при постоянных
плотности и вязкости:
А (I/, + Щ) + (Uk + uk) -±- (Ut + «,.)=
' .{P + p)+v*{Ul + Ul). (9.1.6)
р dxi
Здесь компоненты скорости и давление представлены как суммы
средних по времени величин и их пульсаций — применительно к
турбулентному течению, которое является установившимся. Эти уравнения
утверждают, что мгновенное полное ускорение (сумма локального и
конвективного ускорений) является следствием действия градиента
давления и вязких напряжений. Они могут быть получены введением
мгновенных компонент потока количества движения, подобных тем, из
которых получено уравнение (3.2.1), в трехмерную форму закона сохранения


§ 9.1J
Основные уравнения переноса
383
(3.3.1). Вывод этих уразнений приводится во многих курсах
гидромеханики и поэтому здесь не представлен.
Осредняя уравнения (9.1.6) по времени и принимая среднее
движение установившимся, получаем три уравнения Рейнольдса:
DU;
Dt
= U
dU:
1 дР
d2U;
& f)x- .
dxk
Р dxt
дР
Р dxi
-v
1 <^2/г
д2Ц1 дщйк
дх2
дхк
(9.1.7)
Уравнения для тонкого слоя (6.2.16), (6.2.21) являются частными
случаями. Последняя запись члена, выражающего турбулентные
напряжения, получена с применением уравнения неразрывности, мгновенная
форма которого для течения без источников при постоянной плотности
жидкости имеет вид:
д (Uj + xj)
Осреднение дает
dxj
dUf
:0.
diij
dXj
dxj
■о,
(9.1.8)
(9.1.9)
т. е. дивергенция как средней, так и пульсационной скорости равна
нулю. Отсюда следует, что
d (UjUk)
dxk
да, + щ^ = и
dxk
dxk
да i
k~dxT
(9.1.10)
Такие выкладки часто оказываются полезными при преобразовании
указанных уравнений.
Переход от уравнений Навье — Стокса к уравнениям Рейнольдса
ставит на повестку дня проблему замыкания: вначале мы имеем четыре
мгновенных величины, а затем — десять осредненных величин (£Д, Р и
шесть различных компонент щи^). Можно вывести уравнения для
напряжений Рейнольдса. Процедура вывода этих уравнений следующая:
умножим уравнения (9.1.6) на Uj, перепишем, поменяв местами индексы
i и /, сложим две эквивалентные формы, чтобы получить симметричный
результат, осредним и выполним некоторые операции типа (9.1.10).
В итоге получим транспортные уравнения для напряжений Рейнольдса:
Daiaj
да, aj
dU,
dUj
и.
L
Dt
дР ,
dxj '
~ = uk —Z = — UiUk ~Т^ UiUk "л
й dxk ] dXk l dxk
дР
i dxL
dtiiUjUk
dxk '
d2a,- d2a, 1
ij I it
1 dx2k ' "/ dx2k
(9.1.11)
Мы имеем шесть дополнительных уравнений, но они содержат
множество новых осредненных по времени величин. Очевидно, такая
процедура умножения и осреднения может дать неопределенно большое
число уравнений, но всегда появляется еще большее число осредненных
по времени величин.
Прежде чем приступить к дальнейшему анализу сложного
результата (9.1.11), рассмотрим форму, которая получается, если положить /==/;


384
Более сложные течения
[Гл. 9
это автоматически вносит суммирование и сводит несколько
транспортных уравнений к единому результату:
Di-Tru^i) г— 1
—m—=-«'"* •^■--3^r[tt*(-f+-r,l')J+vu'-sit"- <9-U2>
Это уравнение кинетической энергии турбулентности обобщает
результаты (3.3.26) и (6.2.24). Из предыдущего рассмотрения этих
частных форм вытекает, что в правой части представлены члены,
выражающие (в порядке следования): производство (или порождение);
турбулентную диффузию; вязкую диффузию и диссипацию, роль которой
существенна. Двойственная роль вязких членов выявляется, если
записать:
2'и
ш, d"ai _„ Г V 2 V , PUiVLk
dx2k v L 0x2k ' dxtdxk J
*J*4.*l)\ (9.1.13)
+ dxt J '
Второй член, всегда отрицательный, дает диссипацию; без труда
можно найти, как он сводится к форме (2.6.27), если масштабы
диссипации будут изотропными.
Возвращаясь к системе (9.1.11) для отдельных компонент
напряжений Рейнольдса, отметим, что можно объединить члены в группы,
обобщающие группы членов уравнения (9.1.12) и характеризующие
порождение, диффузию и диссипацию. Появляется новая группа членов
— р {durfdXj + ди^дхд,
сумма которых при i=j равна нулю (9.1.9). Эти члены представляют
работу пульсаций давления против пульсаций скоростей деформации
(9.1.1), и можно считать, что они характеризуют перераспределение
энергии между несколькими компонентами. Некоторые компоненты
щщик можно также интерпретировать как выполняющие подобную
функцию.
В числе многих иных транспортных уравнений операция
умножения— осреднения поззоляет получить следующие уравнения:
1) уравнения энергии среднего движения и полной энергии, которые
получаются умножением уравнения Навье — Стокса на Uj и Uj + Uj.
Первое уравнение содержит член «порождения» с обратным знаком, так
как здесь энергия турбулентности имеет свой источник. Второе не
содержит члена порождения, так как вклады среднего и пульсационных
движений взаимно сокращаются; но это уравнение содержит диссипацию,
связанную и со средним движением и с турбулентностью, как уравнение
(3.3.26);
2) уравнения завихренности, связывающие средние компоненты Qi
с пульсационными со*:
DSj _ о dUi i л, d2Qi , дам* да^щ /п , 14\
~ЪГ — ^k~^ + v~cW^-r~dx~k 1ZT% (У. i-i^
Чтобы получить это уравнение, необходимо перед осреднением
выполнить операцию ротора (9.1.2); заметим, что при этом давление
исключается;


§ 9.1J
Основные уравнения переноса
385
3) уравнение интенсивности завихренности
D
:)
д2щ д<&1
д2;
Di WL ~д^ = - т*и* S£ - *iUk ~^7 + аналогичные члены.
(9.1.15)
Это уравнение получается умножением уравнения мгновенной
завихренности на о)г перед осреднением и описывает процесс растяжения
вихрей, рассмотренный в первом приближении в § 1.4. Заметим, что
члены порождения в правой части имеют третий порядок малости
относительно завихренности, а диссипация имеет второй. Это согласуется
с резкой перемежаемостью турбулентности: пока завихренность не
достигнет определенной интенсивности, она затухает быстрее, чем
порождается,
9.1.3. ДРУГИЕ ТРАНСПОРТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения мгновенного переноса характеристики S + s имеют такую
же структуру, как и уравнения Навье — Стокса:
Операция осреднения дает транспортное уравнение для 5:
DS _П dS \ d*S д^ё
— Uk-i^=~+K-^^ — —— (9.1.17)
Dt k dxk p ' dx2k Ох^
Это уравнение обобщает (6.2,2), а также уравнения Рейнольдса (9.1.7)
при соответствующей интерпретации величины Ss.
Предварительное умножение на 5 дает транспортное уравнение для
интенсивности пульсаций:
"(■*-*) ъ -
ТГ^=Т~ет*^~5"*~ЖГ~*«§7 • (9ЛЛ8)
Сопоставление этого уравнения с уравнением кинетической энергии
турбулентности (9.1.12) показывает, что последние три члена можно
интерпретировать как характеризующие: порождение посредством
взаимодействия со средними градиентами; турбулентную диффузию;
затухание и диффузию за счет молекулярного смешения. Смысл первого члена
в правой части зависит от характеристики S. Он может характеризовать
порождение (или затухание) энергии пульсаций посредством
взаимодействия с основным источником Ss или может соответствовать
турбулентной диффузии, как в членах давления в уравнении (9.1.12). С другой
стороны, если рассматриваемая характеристика переносится пассивно,
не влияя на среднее движение или турбулентность, член, выражающий
плотность источников, может быть пренебрежимо малым.
Приближения пограничного слоя для уравнений (9.1.17), (9.1.18)
получаются (для «тонкослойного» течения в ^/-направлении), если
положить k=2, Uk=u2=v. К такому виду относится уравнение для
энтальпии (6.2.29). "
Транспортные уравнения для отдельных компонент sui можно
получить умножением уравнения (9.1.16) на щ перед осреднением. Они


386
Более сложные течения
[Гл. 9
по структуре подобны уравнениям (9.1.11), хотя и включают члены
«порождения» и «диссипации» двух видов.
9.2. МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ
9.2.1. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Транспортное уравнение кинетической энергии турбулентности
(9.1.12) было основой первых попыток более рационального
представления транспортных процессов по сравнению с моделями градиентной
диффузии. Это уравнение остается важным элементом и в любой
последующей более совершенной системе уравнений, что нетрудно
обосновать: его легко вывести, оно поддается простой интерпретации через
существенные характеристики и группы. Его члены могут быть
экспериментально измерены при различных их значениях и в различных
течениях.
Здесь мы рассмотрим форму уравнения энергии для плоского
тонкослойного течения. При этих ограничениях и в пренебрежении
молекулярной диффузией уравнения (9.1.12), (9.1.13) дают:
Dk jr dk ■ у dk
Dt
дх
— dU
■uv -т—
ду
д
ду
+*)
Для компактности кинетическая энергия обозначена как
k = -Tu2i =
1 -о
•я\
— е. (9.2.1а)
(9.2.16)
а скорость диссипации на единицы массы — как
е = -7г-\'
diii
дхк
dxt J
(9.2.1в)
Строго говоря, (9.2.1 в) представляет собой только диссипацию,
связанную с турбулентностью, которая обозначена в гл. 3 как е*.
Исследуем два способа преобразования этого уравнения энергии
к форме, совместной с уравнениями неразрывности и движения:
Ш \_oV_
с)х ду
--0
(9.2.2)
DU __ г г _dU_ , у dU_
Dt — дх ~Г" ду
иЛ
dU,
dz
ex
ду
(9.2.3)
[последнее уравнение совпадает с (6.2.21), если исключить нормальные
напряжения]. Сначала в качестве масштаба для всех членов (9.2.1) мы
■используем касательное напряжение т, а затем собственно
кинетическую энергию турбулентности k.
Нормирование по касательному напряжению
В § 3.5 мы использовали локальное касательное напряжение в
качестве масштаба для каждой турбулентной характеристики в
пристеночном слое; описанное таким образом течение названо локально
определенным слоем. Брэдшоу и др. довели этот подход до своего
логического конца, пронормировав таким образом все члены уравнения энер-


§ 9.2]
Модели турбулентного течения
387
гии для пограничного слоя, причем не только для пристеночного слоя,
но и для внешней турбулентной области. Собственно энергия
турбулентности определяется как
-2-=_L- = af (9.2.4)
где а —постоянная. Это предположение согласуется с результатами
обширных экспериментальных исследований (а~0,15). Как и з
уравнениях (3.5.5), (3.5.6), диссипация выражается в виде
С_(УР)3/2 _ Шт ,, (9.2.5)
ь. ~~ */(у/*)
где f(y/S) —эмпирическая функция и Ls —линейный масштаб диссипаций
Диффузия определяется (частично из соображений удобства
аналитического представления) как
f+*)=-fr~r«(-f)- с-2-6»
Здесь g(y/5)—другая эмпирическая функция; %т~ максимальное
значение касательного напряжения в пределах слоя, характеризующая
интенсивность больших «вихрей», которые играют важную роль в
диффузии поперек потока.
С использованием этих исходных форм уравнение энергии
становится уравнением для касательного напряжения:
D(z/2a) dU im d(gz) _/. D^/2
п, -т-г-^-Чт 7^+ » —0- (9.2.7)
D£ cty • p^/j dy * of y '
При заданных а и функциях / и g уравнения (9.2.2), (9.2.3), (9.2.7)
можно решить численно относительно полей скорости U, V и т.
Интегрирование осуществляется вдоль течения, как в интегральных
формулах предыдущих глав, а также поперек течения на каждом этапе
расчета.
Эта модель, представляющая собой развитие гипотезы пути
смешения и понятия локально определенной турбулентности, сохраняет и
некоторые их ограничения: турбулентность «затухает» при т-^0, что ведет
к нереальному описанию процесса в области максимальных скоростей.
Следовательно, использование уравнений, члены которых нормированы
по касательному напряжению, ограничивается условиями, когда dU/ду
и т имеют везде одинаковый знак и, конечно, когда функции f и g
известны с достаточной точностью.
Нормирование по энергии
Несколько искусственная особенность использованного выше
нормирования по касательному напряжению состоит в преобразовании
уравнения энергии в уравнение для касательного напряжения. Это может
быть оправданным, когда распределение касательного напряжения
имеет простую и определенную форму, например для линейного
распределения в трубах и каналах или для приближенно линейного
распределения в пограничном слое с постоянным давлением. При других
условиях возникает вопрос: почему бы не использовать в качестве масштаба
энергию? Эта идея согласуется с гипотезами Прандтля и Колмогорова,


388
Более сложные течения
[Гл. 9
предложенным в 40-х годах еще задолго до внедрения компьютеров,
которые позволили использовать эти гипотезы в практических расчетах.
Эти исследователи стремились избежать жестких связей коэффициента
турбулентного переноса с касательным напряжением и градиентом
скорости. В уравнениях (3.4.5), (3.4.6) выражения (—] и lmdll'/ду,
очевидно, играют роль масштабов скорости для коэффициента
турбулентной вязкости; это ведет к аномальному результату при dU/ду, т=0.
Прандтль предложил более универсальную зависимость
Em=kl/2l, (9.2.8)
где I — линейный масштаб турбулентности. Примерно одновременно
Колмогоров выдвинул эквивалентную гипотезу:
*т = -у, (9-2-9)
где / — характерная частота турбулентности. Каждая из этих
зависимостей предполагает, что коэффициент диффузии остается конечной
величиной, когда касательное напряжение и градиент скорости равны
нулю.
На первый взгляд гипотезы (9.2.8), (9.2.9) кажутся бесполезными
для пристеночного слоя и свободной турбулентности, так как они не
учитывают простых форм т, гш или lm при этих условиях. Однако они
позволяют рассчитывать на успех, когда отсутствуют эти частные
особенности, и позволяют получить всестороннй метод расчета,
охватывающий такие несопоставимые случаи.
Пронормируем члены уравнения (9.2.1), используя энергию k и
масштаб /, введенные в уравнении (9.2.8). Касательное напряжение
выразим в виде
а диссипацию —в виде
cDk^
(9.2.11)
Здесь, как и при выводе уравнений (3.5.3), (3.5.5), мы исходим из того,
что скорость диссипации определяется отводом энергии из среднего
движения в крупные масштабы турбулентности. Так как линейный
масштаб / определяется уравнением (9.2.8), необходимо ввести
постоянную cD в уравнение (9.2.11); Лондер и Сполдинг предполагают,
что cD~0,08 для пристеночных течений. В этом отношении уравнение
(9.2.11) отличается от уравнения (3.5.5), которое было использовано
для определения иного линейного масштаба Lg.
Наконец, выразим диффузионный член, исходя из того, что
диффузия происходит по направлению градиента k, причем коэффициент
диффузии определяется величинами k и /:
_0(Л+П=—£=—-£-. (9.2.12)
V Р ' J °k ду °k ду
где or/t=em/8/i — отношение коэффициентов переноса количества
движения и энергии. Значение c^^l дает удовлетворительные результаты
на практике.


§ 9.2J
Модели турбулентного течения
389
С использованием полученных форм уравнение энергии
принимает вид
Dt ду I *k ду } [ m \ ду J l
Задавая значения постоянных cD и ви и функцию 1=!{у'Ь), это
уравнение можно решить совместно с уравнениями (9.2.2) и (9.2.3);
последнее уравнение требует представления касательного напряжения
с помощью (9.2.10) через е?п или k и /. Постоянные можно оценить.
рассматривая простейшие случаи, например пристеночный слой. Однако
с точки зрения точности целесообразнее определять постоянные путем
численной оптимизации с помощью компьютера, т. е. проводить
вычисления различных постоянных и находить такие их комбинации,
которые дают оптимальные результаты.
Модель, определяемая уравнениями (9.2.10) — (9.2.13), работает
успешно при решении задачи, которая явилась предпосылкой ее
построения— описания переноса через плоскость, где т=0. Однако область
ее применения ограничена: напряжение, диссипация и диффузия
связаны произвольно, и по-прежнему необходимо найти зависимость для
линейного масштаба, соответствующего (будем надеяться) данному
классу течений.
9.2.2. ДРУГИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ТРАНСПОРТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим последствия добавления сначала одного уравнения
к нашей модели, а затем нескольких. Но прежде всего окончательно
оформим наши представления о модели турбулентности, состоящей из
одного уравнения. Помимо двух уже рассмотренных моделей, которые
основаны на уравнении энергии, существует еще модель, разработанная
Нии и Коважным, включающая постулируемое транспортное уравнение
для турбулентной вязкости. Такой подход является заманчивым,
поскольку, как следует из вышесказанного, коэффициент диффузии
играет центральную роль в соотношениях между характеристиками
турбулентности. На практике эта модель имеет такие же ограничения, как и
модель, включающая нормированное уравнение энергии; в частности,
здесь также необходимо располагать линейным масштабом. Мы
приходим к заключению, что одного транспортного уравнения
недостаточно для существенной универсализации расчета турбулентных течений.
Модели из двух уравнений
Наша непосредственная задача заключается в отыскании
зависимости для линейного масштаба. Хотя этот масштаб можно довольно
точно задать для пограничных слоев (он весьма схож с длиной пути
смешения), для каналов нерегулярного поперечного сечения и в
течениях с присоединением, рециркуляцией и смешением он изменяется
сложным образом.
Можно вывести транспортное уравнение для /, и этим путем идут
некоторые исследователи. Однако целесообразнее воспользоваться
соотношением типа /—'й3/2/е, которое показывает, что линейный
масштаб можно определить с помощью уравнений для б и А. В самом деле,
используя транспортное уравнение для е, можно исключить из задачи
гипотетический масштаб I.


390
Более сложные течения
[Гл. 9
Исключить масштаб / можно, используя какую-либо функцию 1=
=/(/, k). Вид транспортного уравнения для такой величины дает
уравнение (9.1.17):
DZ д
Dt ' ду
6Z
ду
(9.2.14)
Турбулентная диффузия связана с градиентом Z в поперечном
направлении; отношение коэффициентов переноса равно crz—1 для
большинства рассматриваемых величин. Так как уравнения для различных
функций Z получаются с помощью преобразований уравнений Навье—
Стокса, член, выражающий плотность источников, Sz имеет структуру
типа (9.2.12).
Лондер и Сполдинг указали, что выражение
s z
р k
г >'ЩУ-г—
lSm \ ду J 2 *т
+ 52 (9.2.15)
дает члены, выражающие плотность источников, для таких величин,
как:
1) 1=1— собственно линейный масштаб;
2) Z=i&3/2// — диссипация;
3) Z=&//2— среднеквадратичное значение пульсаций
завихренности, связанное с частотой в гипотезе Колмогорова (9.2.9).
Последний член Sz уравнения (9.2.15) характеризует компоненты,
не укладывающиеся в общую схему. Постоянные С\ и С2 зависят от
вида Z и могут быть определены с помощью транспортного уравнения
для турбулентности за решеткой и пристеночной турбулентности.
В общем | C*i |■—0,1 и !Сг|^1; Сь С2>0, за исключением 1=1. Рабочие
значения лучше всего определять численной оптимизацией.
Хотя ни одна из имеющихся функций Z не обладает явным
преимуществом (успех в сильной степени зависит от настойчивости и
изобретательности исследователя), пока для второго уравнения
рассматриваемой модели предпочтение отдают диссипации е.
Модели из многих уравнений
Модели, рассмотренные выше, позволяют в какой-то мере
рассчитывать на успех в описании течений с рециркуляцией и смешением,
потому что они дают линейный масштаб (или его эквивалент),
первоначально не очевидный. Но они не учитывают нормальные напряжения,
необходимые при расчете вторичных течений (см. п. 4.5.1). Более того,
в этом случае диссипация и касательное напряжение связаны
произвольным образом. Преодолеть эти трудности позволяют транспортные
уравнения для отдельных напряжений Рейнольдса (9.1.11). Приняв
эти уравнения, нет необходимости вводить гш и / для связи скорости,
касательного напряжения и диссипации. Наличие корреляций
высокого порядка не проходит бесследно, снова возникает проблема
замыкания. Эту проблему можно решить путем «усечения» членов высокого
порядка и нормирования оставшихся членов с использованием
основных переносимых величин. Эти процедуры основаны на том факте, что
малые масштабы движения почти изотропны.
В качестве примера рассмотрим транспортное уравнение для
касательного напряжения — корреляции uv. Из (9.1.11) мы получаем


§ 9.2J
Модели турбулентного течения
391
приближение тонкослойного течения
Duv , —j\ dU duv
dy
д
Dt
" + S12 "
ду
op
ду
Op
ду
vluv-\~-
р
-р
Ои
\ ду
дх
(9.2.16)
Здесь 8i2 — вклад молекулярного смешения в изменение
корреляции uv. Член «перераспределение» во второй строке выделен, причем
член продольной диффузии опущен.
Рассмотрим два вида нормирования, используя U, uv и k и одну из
величин / или е; выбор последних зависит от остальных уравнений
модели. Член уравнения (9.2.16), выражающий порождение, упростим:
v2-r— 'V/£-s—. (9.2. /)
ду ду к '
Членом, выражающим молекулярный эффект, можно пренебречь
при высоких числах Рейнольдса (за исключением вязкого слоя), так
как малые масштабы в этом случае будут почти изотропными:
812=0.
Диффузионный член можно представить в виде
duv
v!uv+JL\^,kl/2l
ду
ИЛИ
duv
ду
Наконец, член перераспределения запишем в виде
p(du/dy + dv/dx)^(-^-
uv или -г- uv.
(9.2.18)
(9.2.19)
(9.2.20)
Возможны и другие формы нормирования с использованием
имеющихся параметров. Например, перераспределение можно взять в виде
—kdU/dy или суммы членов, подобных этому, и типа (9.2.20). Это
позволяет расширить возможности построения исходных транспортных
уравнений.
После подстановки полученных форм в уравнение (9.2.16) получим:
Duv
Dt
-сх
д
ду
Ь2 .— и
duv
ду J
— C*-km'
с л
ди
(9.2.21)
Уравнение такого вида было использовано Ханьяликом и Лонде-
ром вместе с уравнениями для г и k, неразрывности и количества
движения (9.2.2), (9.2.3). Одно из течений, к которому эта модель была
применена, иллюстрирует рис. 4.6; при этом были рассчитаны не
только профили средней скорости, но и кинетическая энергия
турбулентности и основные компоненты баланса энергии в потоке. Использованное
уравнение диссипации
De
=а
д
ду
ду
■с.
■+с6
uv
dU
ду
(9.2.22)
подобно уравнениям для напряжения и энергии (9.2.21) и (9.2.13).
Этот путь разработки моделей обеспечивается неисчерпаемым
набором транспортных уравнений, которые могут быть получены из
уравнений Навье — Стокса. При наличии соответствующих эмпирических
данных, по-видимому, нет никаких препятствий для построения все бо-


392
Более сложные течения
[Гл. 9
лее и более совершенных моделей, способных описывать разнообразные
турбулентные течения. Накопление опыта работы этих моделей и их
построения, несомненно, позволят лучше понять характер
турбулентного переноса, а это, в свою очередь, приведет к лучшей организации
сбора и обработки эмпирических данных, т. е., другими словами, к
построению более эффективных моделей. Привлекательной чертой такого
подхода является возможность согласования сложности данной модели
с рассматриваемым течением и объемом располагаемой эмпирической
информации. В скором времени у нас появится возможность выбора
среди различных методов расчета — от интегральных моделей,
адекватно описывающих простые развивающиеся течения, до весьма гибких
моделей, состоящих из многих уравнений, использование которых
будет ограничиваться лишь затратами на программирование и
вычисления.
Здесь уместно высказать предостережение. При уровне надежности
существующих моделей турбулентности достоверные результаты
возможны только для тех величин, для которых предназначены
транспортные уравнения, и только при тщательной оптимизации этих уравнений
относительно эмпирических постоянных. Не имея фундаментальных
знаний о процессах переноса, мы преуспели лишь в моделировании их
эффектов, используя уравнения, которые довольно приближенно
описывают общие характеристики турбулентности.
9.2.3. ПРОЦЕССЫ ПАССИВНОГО ПЕРЕНОСА
До сих пор мы рассматривали перенос субстанций, которые
влияли на турбулентность и соответственно на среднее течение. Рассмотрим
теперь простую задачу (простую, если известно поле скоростей) расчета
переноса, который не влияет на движение жидкости, например, массо-
и теплопереноса при малых изменениях свойств жидкости. Изменение
средней характеристики 5 описывается уравнением (9.1.17); для
тонкослойного плоского течения
u-E-+vw=K-w-=M^"^]' (9'2-23)
где гш=^К}1Ч^^к2]г в предположении, что в поле течения нет
источников величины S. Распределение S(x, у) можно отыскать, если задано
отношение as коэффициентов переноса и поле течения, т. е. U, V, k и I
или е.
Можно также рассчитать распределение интенсивности пульсаций;
уравнение (9.1.18) дает:
Dt — ду ^-^)-^-f + ^-5r- (9-2'24)
Это уравнение аналогично по структуре транспортным уравнениям,
рассмотренным выше, в частности, уравнению энергии (9.2.1), и его
можно пронормировать аналогичным образом. Эмпирические
постоянные, которые входят в исходное уравнение, можно опять-таки
подобрать на основании измерений.
Рекомендуемая литература
Основнаялитература [7, 21, 30, 74, 101].
Специальная литература [45, 46, 78, 86].


§ 9.2J
Модели турбулентного течения
393
УПРАЖНЕНИЯ
9.1. Проверить, будут ли члены уравнений (9.1.7) и (9.1.11) носить тензорный
характер.
9.2. Для турбулентности, которая изотропна в движениях малых масштабов,
показать, что вязкие члены уравнений (9.1.11) можно представить в виде
ди-ь duj
^
dXk dxk 3
T-U£/e.
И
где 6z-j — символ Кроискера.
9.3. а) Показать, что для двумерного движения перенос завихренности
подчиняется такому же по виду закону, который описывает теплоперенос. Почему?
б) Показать, что одно из уравнений движения Рейнольдса можно записать
в форме
ш, d{f+'T'Fk) <w, — _
~оГ=_ Ш, -И-^4-«*».-«,«=.
где члены, представляющие турбулентные напряжения, даны в явном виде как
взаимодействие между полями пульсаций скорости и завихренности.
в) Вывести полное уравнение (9.1.15).
9.4. Почему гипотезы (9.2.8), (9.2.9) не находили практического применения до
появления быстродействующих компьютеров?
9.5. а) Применить уравнение (9.2.13) к пристеночному слою (где конвекцией и
диффузией можно пренебречь) и показать, что
е dJL=2 c\/2k
m ду р — cd Й"
б) Показать, что в пристеночном слое Cd^0,09, используя постоянную а из
(9.2.4).
9.6. а) Применяя уравнения (9.2.13) —(9.2.15) к затухающей турбулентности за
решеткой, показать, что
dz C2Z C2/cD
Ж=^Г> 0ТКУда z^k ■
б) Показать также, что dl/dx ^/г1/2, и, принимая Z = k"4n, что
ч-£ = тч-пу- — ч)>
когда затухание за решеткой следует закону к~~х~ч.
в) Принимая q=\, оценить С2 для трех функций Z, указанных в тексте за
уравнением (9.2.15).
9.7. а) Показать, что для полностью турбулентной области пристеночного слоя
предположение (9.2.4) означает, что: k — постоянная; /= cl^AKy; em = c\(4kl/2Ky.
б) Показать, что уравнения (9.2.14) (9.2.15) сводятся (при Z^ln) к виду
^icD — 2 "
cj/V/t2
при дополнительном предположении, что Gz — постоянная.
с) Вычислить постоянную С\ для трех функций Z, указанных в тексте за
уравнением (9.2.15). При этом диффузия величины k предполагается пренебрежимо малой.
Справедливо ли это по отношению к диффузии величины Z, характеризуемой
последним членом результата в п. «б»?
9.8. а) Исходя из уравнения (9.1.16), вывести транспортные уравнения для
переноса корреляций UiS.
б) Дать частный случай уравнений для vs применительно к тонкослойным
течениям.
в) Найти частный результат для потока энтальпии vh в тонкослойных течениях
и дать интерпретацию ряда членов. Характер члена, выражающего плотность
источников, можно выявить при помощи одного из уравнений (9.1.6)', умноженного на п.
26—56 ' ' ;


ПРИЛОЖЕНИЕ
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТРАНСПОРТНЫЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ
Данные заимствованы из следующих источников:
таблица АЛ и А.2 — из [39]; таблица А.З — из Liquid Metals Handbook of the U. S.
Atomic Energy Commission; таблица А.4—из [92]; таблица А.5—из Convective Heat
Transfer by D. B. Spalding.
T а блиц a A. 1
Свойства газов при атмосферном давлении
Газ
Воздух
Аммиак
Двуокись
углерода
Окись
углерода
Гелий
Водород
Кислород
Водяной пар
т, к
100
200
300
400
500
1000
1500
2000
2500
273
473
250
450
250
450
255
477
250
450
250
450 1
450
650 J
р, кг/м3
3,601
1,768
1,177
0,883
I 0,705
0,352
0,236
0,176
0,139
0,793
0,441
2,166
1,192
0,841
0,758
0,1906
0,102 |
0,0982
0,0546
1,562
Q,868
0,490
0,338 1
V
кДж/(кг-К)
1,027
1,006
1,006
1,014
1,03
1,142
1,23
1,338
1,688
2,177
2,395
0,804
0,98
1,043
1,055
5,200
5,200
14,06
14,5
0,916
0,957
1,98
2,056
у.-10е
Н с/м*
6,92
13,29
19,83
22,86
26,7)
41,52
54,0
65,0
75,7
9,35
16,49
12,59
21,34
15,4
24,18
18,17
27,5
7,919
11,779
17,87
27,77
15,25
22,47 1
V, ММ2/ С
1,923
7,490
15,68
25,9
37,9
117,8
229,1
369,0
543,5
11,8
37,4
5,813
17,9
11,28
31,88
95,5
269,3
80,64
215,6
11,45
31,99
31,1
66,4 |
k,
МВт/(м-К)
9,25
18,09
26,24
33,65
40,38
67,52
94,6
124
175
22,0
46,7
12,88
28,97 j
21,44
43,6
135,7
197,0
146,1
251
22,59
38,28
29,9
46,4 j
k, мм2/с
2,5
10,17
22,16
37,6
55,64
167,8
326,2
526,0
744,1
13,08
44,21
7,401
24,813
15,06
44,39
136,75
371,6
113,0
316,4
15,79
46,09
30,7
66,6 1
Рг
0,77
0,739
0,708
0,689
0,68
0,702
0,705
0,702
0,73
0,9
0,84
0,793
0,721
0,75
0,718
0,7
0,72
0,713
0,682
0,725
0,694
1,010
0,995
Г а б л ица А.2
Свойства жидкостей при насыщении
Жидкость
Вода
Аммиак
Двуокись
углерода
Фреон-12
CC12F2
Двуокись серы
Раствор
хлористого кальция
(29,9%)
т, °с
0
20
40
60
80
100
200
300
—50
20
50
—50
20
30
—50
20
50
—50
20
50
—50
20
50
р.
КГ/vl3
1002
1001
995
985
974
961
867
714
704
612
564
1156
773
598
1547
1330
1216
1561
1386
1299
1320
1287
1273
V
кДж/(кг-К)
4,218
4,182
4,178
4,184
4,196
4,216
4,505
5,728
4,463
4,798
5,116
1,84
5,0
36,4
0,875
0,966
1,022
1,360
1,365
1,368
2,608
2,788
2,868
мма/с
1,778
1,006
0,658
4,478
0,364
0,294
0,660
0,135
0,435
0,359
0,330
0,119
0,091
0,080
0,310
0,198
0,190
0,484
0,210
0,162
36,35
2,72
1,65
J*Bt/(m-K)
552
597
628
651
668
680
665
540
754
521
476
85,5
87,2
70,3
67
73
67
242
Ш9
177
402
498
535
к, мм2/с
0,1308
0,1430
0,1512
0,1554
0,1636
0,1680
0,1706
0,1324
0,1742
0,1775
0,1654
0,04021
0,02219
0,00279
0,0501
0,0560
0,0545
0,1141
0,1050
0,0999
0,1166
0,1394
0,1468
Рг
13,6
7,02
4,34
13,02
2,22
1J4
0,937
1,019
2,60
2,02
1,99
2,96
4,10
28,7
6,2
3,5
3,5
4,24
2,00
1,61
312,0
19,6
11,3
P. I/K
0,00018
0,00245
0,0140
0,00263
0,00194


Приложения
395
Продолжение табл. А.2
Жидкость
Этиленгликоль
Глицерин
Смазочное
масло
Т, °С
0
20
100
0
20
50
0
20
100
160
Р.
кг/м3
1131
1117
1059
1276
1264
1245
899
888
840
806
V
кДж/(кг-К)
2,29
2,38
2,74
2,26
2,39
2,58
1,796
1,880
2,219
2,483
V,
мм2/с
57,53
19,18
2,03
8310
1180
150
4280
900
20,3
5,6
k,
МВт/(м-К)
242
249
263
282
286
287
147
145
137
132
к, мм2/с
0,0934
0,0939
0,0908
0,0983
0,0947
0,0893
0,0911
0,0872
0,0738
0,0663
Рг
615
204
22,4
84 700
12 500
1630
47 100
10 400
276
84
p. i/cc
0,00065
0,00050
0,00070
Таблица А.З
Свойства жидких металлов
Металл
Висмут
Свинец
Ртуть
Калий
Свинец/висмут
(44,5/55,5)
т, °с
316
538
760
371
482
0
100
200
149
427
704
371
р, кг/м3
10011
9739
9467
10 540
10412
13 628
13 385
13 145
807
742
674
10 236
V
Дж/(кг-К)
144,4
154,5
164,5
159
155
140,3
137,3
157,0
800
750
750
147
мм2/с
0,1617
0,1133
0,0834
0,2276
0,1849
0,124
0,0928
0,0802
0,4608
0,2397
0,1905
0,1496
k.
МВт/(м-К)
16,4
15,6
15,6
16,1
15,6
8,20
10,51 1
12,34
45,0
39,5
33,1
11,86
к, мм2/с
11,38
10,35
10,01
10,84
12,23
4,299
5,716
6,908
69,9
70,7
65,5
7,90
Рг
0,0142
0,0110
0,0083
0,024
0,017
0,0288
0,0162
0,0116
0,0066
0,0034
0,0029
0,0189
Таблица А. 4
Диффузионные свойства газов при атмосферном давлении
Среда
Воздух
Азот
Растворенная диффундирующая
субстанция
Аммиак
Двуокись углерода
Тетрохлорид углерода
Хлор
Водород
Метан
Нафталин
Кислород
Толуол
Вода
Водород
Ртуть
Кислород
т, °с
0
0
0
0
0
0 1
0
0
0
8
16
12,5
18,4
11,8
D, мм2/с
2 i , 65
11,98
6,19
9,28
54,72
15,73
5,16
15,33
6,96
20,62
28,15
73,76
3250
20,25
Sc
0,634
1,14
2,13
1,42
0,25
0,84
2,57
0,90
1,86
0,615
0,488
0,187
0,00424
0,681
26*


396
Приложения
Таблица А.5
Диффузионные свойства жидкостей при 20°С
Среда
Вода
Этиловый спирт
Растворенная диффундирующая
субстанция
Уксусная кислота
Аммиак
Двуокись углерода
Хлор
Поваренная соль
Глицерин
Водород
Лактоза
Азот
Кислород
Фенол
Сахароза
Двуокись углерода
Хлороформ
Фенот
Sc
1140
570
559
824
745
1400
196
2340
613
558
1200
2230
445
1230
1900


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй. М.: Физматгиз, 1963.
2*. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.:
Гндрометеоиздат, 1978.
3. Берд Э., Стюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. М.: Химия, 1974.
4. Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1974.
5. Бэтчелор Д. К. Теория однородной турбулентности. М.: Изд-во иностр. лит.,
1955.
6. Ван Дрист Е. Д. Конвективная теплопередача в газах. — В кн.: Турбулентное
течение и теплопередача. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
7"'. Васильев О. Ф. Стратифицированные течения. — В кн.: Итоги науки и
техники. Гидромеханика, т. 8, М., 1975.
8*. Васильев О. Ф., Лятхер В. М. Гидравлика. — В кн.: Механика в СССР за
50 лет. М.: Наука, 1970, т. 2.
9*. Вулис Л. А., Кашкаров В. П. Теория струй вязкой жидкости. М.: Наука, 1965.
10*4 Гухман А. А. Введение в теорию подобия. М.: Высшая школа, 1973.
II. Дэйсслер Р. Н., Саберски Р. Г. Конвективная теплопередача и трение в
потоках жидкости. — В кн.: Турбулентное течение и теплопередача. М.: Изд-во иностр.
лит., 1963.
12. Драйден X. Л. Переход от ламинарного к турбулентному течению. — В кн.:
Турбулентное течение и теплопередача. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
13*. Жукаускас А., Шланчяускас А. Теплопередача в турбулентном потоке
жидкости. Вильнюс: МИНТИС, 1973.
14*. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. Новосибирск: Изд-во СО АН
СССР, 1970.
15. Кутателадзе С. С, Леонтьев А. И. Турбулентный пограничный слой
сжимаемого газа. Новосибирск.: Изд-во СО АН СССР, 1962.
16. Ламли Дж. и Пановский А. Структура атмосферной турбулентности. М.: Мир,
1966.
17*. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздзт,
1953.
18*. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.
19*. Лыков А. В. Тепломассообмен М.: Энергия, 1972
20*. Лятхер В. М. Турбулентность в гидросооружениях. М.: Энергия, 1968.
21*. Монин А. С, Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1965,
ч. 1,2.
22*. Монин А. С, Яглом А. М. Механика турбулентности. — В кн.: Механика
в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1970.
23. Прандтль Л. Гидромеханика. М.: Изд-во иностр. лиг., 1951.
24. Пэнкхерст Р., Холдер Д. Техника эксперимента в аэродинамических трубах.
М.: Изд-во иностр. лит., 1955.
25. Патанкар С, Сполдинг Д. Тепло- >и массообмен в пограничных слоях. М.:
Энергия, 1971.
26. Рауз X. Механика жидкости. М.: Стройиздат. 1967.
27. Ротта И. К. Турбулентный пограничный слой. М.: Судостроение, 1967.
28. Седов Л. И. Методы подобия и размерностей в механике. М.: Наука, 1965.
29. Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости. Под ред.
С. Гольдштейна. М.: Изд-во иностр. лит., 1948, т. 1,2.
30. Таунсенд А. А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. М.:
Изд-во иностр. лит., 1959.
31. Турбулентное течение и теплопередача. Под ред. Ц. Ц. Линя. М.: Изд-во
иностр. лит., 1963.
32*. Федяевский К. К., Гиневский А. С, Колесников А. С. Расчет турбулентного
пограничного слоя несжимаемой жидкости. М.: Судостроение, 1973.
33. Хинце И. О. Турбулентность. М.: Фшматгиз, 1963.
34. Чжен П. А. Отрывные течения. М.: Мир, 1972, т. 1.
35. Чжен П. А. Отрывные течения. М.: Мир, 1973, т. 2, 3.


398
Список литературы
36. Чоу В. Г. Гидравлика открытых каналов. М.: Стройиздат, 1969.
37. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.
38. Шубауэр Г., Чен К. Турбулентное течение. — В кн.: Турбулентное течение
и теплопередача. М.: Изд-вэ иностр. лит.» 1963.
39. Эккерт Э., Дрейк В. Теория тепло- и массообмена. М.: Госэнергоиздат, 1961.
40. Юань Ш. В. Охлаждение защитными жидкостными пленками. — В кн.:
Турбулентное течение и теплопередача. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
41. Bradbury L. J. S., Castro I. P. A pulsed-wire technique for velocity measurement
in highly turbulent flows.— J. Fluid Mech., 1971, 49, p. 657—691.
42. Bradbury L. J. S., Castro I. P. Some comments on heat-transfer laws for fine
wires.— J. Fluid Mech., 1972, 51, p. 487—495.
43. Bradshaw P. The turbulence structure of equilibrium boundary layers. — J. Fluid
Mech., 1967, 29, p. 625—645.
44 Bradshaw P. Experimental fluid mechanics. Oxford: Pergamon, 1970.
45. Bradshaw P. The understanding and prediction of turbulent flow. — Aero
Journal, 1972, 76, p. 405—418.
46. Bradshaw P., Ferriss D. H., Atwell N. P. Calculation of boundary layer
development using the turbulent energy equation.— J. Fluid Mech., 1967, 28, p. 593—616.
47. Boothroyd K. G. Flowing gas-solids suspensions. London: Chapman and
Hall, 1971.
48. Brundrett E., Baines W. D. The production and diffusion of vorticity in duct
flows. —J. Fluid Mech., 1964, 19, p. 375—394.
49. Cockrell D. J. Fluid dynamic measurements in the industrial and medical
environments. Leicester U. P., 1972.
50. Coles D. A survey of data for turbulent boundary layers with mass transfer.—
Proceedings of a conference hold in London «Turbulent Shear Flows», AGARD—CP.93,
1971.
51. Coles D. The law of the wake in the turbulent boundary layer. — J. Fluid Mech.,
1956, 1, p. 191—226.
52. Coles D. Interfaces and intermittency in turbulent shear-flow. The mechanics of
turbulence. — Proceedings of Symposium Held in Marseilles. New York: Gordon and
Breach, 1964.
53. Computation of turbulent boundary layers. — Proceedings of Conference Orga-
inzed by the Thermoscience Division. Department of Mechanical Engineerings, Stanford
University, 1969.
54. Corrsin S. Turbulent flow. — Amer. Scientist, 1961, 49, p. 300—325.
55. Corrsin S. Turbulence: experimental methods, vol. VIII, 2, Handbuch der Phy-
sik. Berlin: Springer, 1963.
56. Corrsin S., Kistler A. L. The free-stream boundaries of turbulent flows. U. S. Nat.
Adv. Com. Aero. Rep. 1244, 1955.
57. Davies G. T. Turbulence phenomena. New York: Academic Press, 1972.
58. Drummond G. Steamside pressure gradients in surface condensers. — Proc. J.
Mech. E., 1972, 186, p. 117—124.
59. Favre A. Mechanics of turbulence. — Proceedings of a Symposium Held in Mas-
seilles. New York: Gordon and Breach, 1964.
60. Gartshore I. S. An experimental examination of the large-eddv equilibrium
hypothesis. — J. Fluid Mech., 1966, 24, p. 84—98.
61. Gartshore I. S., Newman B. G. The turbulent wall jet in an arbitrary pressure
gradient. Acron. Quart, 1969, XX., p. 25—56.
62. Grant H. L. The large eddies of turbulent motion.— J. Fluid Mech., 1958, 4,
p. 149—190.
63. Hanjalic K., Launder В. Е. Fully developed asymmetric flow in a plane
channel.—J. Fluid Mech., 1972, 51, p. 301—335.
64. Head M. R., Patel V. C. Improved entrapment method for calculating turbulent
boundary layer development. Rep. and Memo 3643. London: Aero. Rec. Council, 1968.
65. Henderson F. M. Open channel flow. New York: Macmillan, 1966.
66. Hinze J. O. Turbulent pipe-flow. — Proceedings of a Symposium Held in
Marseilles: The Mechanics of Turbulence. New York: Gordon and Breach, 1964.
67. Kline S. I. Observed structure features in turbulent and transitional boundary
layers. Fluid Mechanics of Intcrnat Flow. Amsterdam: Elscvir, 1967.
68. Knudsen I. S., Katz D. L. Fluid dynamics and heat transfer. New York: McGraw-
Hill, 1958.
69. Koch F. A., Gartshore I. S. Temperature effects on hot wire anemometer
calibrations—J. Physics, 1972, 5, p. 58—61,


Список литературы
399
/0. Kovasznay L. S. G. Turbulence measurements. — Section F of Physical Measure-
mentsjn Gas Dynamics and Combustion, 1954 (Princeton U. P ).
Л. Kucth A. /VI.. Schetzpr I. D Foundations of aerodynamics. \c\y York: Wiley, 1959.
72. Laufer J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow. Nat. Adv.
Com. Rep. 117, 1954. (U. S.).
73. Launder B. E., Gones W. P. A note on Brandshaw's hypothesis for laminariza-
tion. — Amer. Soc. Mech. Eng., 1969, Paper № 69-HT-12.
/4. Launder B. E., Spalding D. B. Mathematical models of turbulence. London:
Academic Press, 1972.
75. Morkovin M. V. Flow around a cicrular cylinder-kaleidoscope of challenging
fluid phenomena.— Symposium on fully separated flow. — Amer. Soc. Mech. Eng, 1964.
76. Morris H. M. Applied hydraulics in engineering. New York: Ronald Press, 1963.
77. Nach J. F. Turbulent boundary layer behaviour and the auxiliary equation.—
Proceedings of a conference «Computation of turbulent boundary lavers». Stanford
University, 1969.
78. Nee V. W., Kovasznay L. S. G. Simple phcnomcnological theory of turbulent
shcarjlows. — Phys. Fluids, 1969, 12, p. 473—484.
79. Newman B. G. Turbulent jets and wakes in a pressure gradient. — Fluid
Mechanics of Internal Flow. Amsterdam: Elsevier, 1967.
80. Owen P. R., Thomson W. R. Heat transfer across rough sufraces. — J. Fluid
Mech, 1963, 15, p. 321--334.
81. Patel V. C. Calibration of a prcston tube and limitation on its use in pressure
gradients.— J. Fluid Mech., 1965, 23, p. 185—208.
82. Perry A. E., Schofield W. H., Joubert P. N. Rough wall turbulent boundary-
layers.—J. Fluid Mech, 1969, 37, p. 383—413.
83. Phillips О. М. The entrainment interface. — J. Fluid Mech, 1972, 51, p. 97—118.
84. Phillips О. М. The irrotational motion outside a free turbulent boundary. —•
Proc. Comb. Phil. Soc, 1975, 51, p. 220—229.
85. Raichlen F. Some turbulence measurements in water. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng,
1967. —J. Eng. Mech. Div., 1967, p. 73—97.
86. Rotta J. C. Recent attemps to develop a generally applicable calculation method
for turbulent shear flow laveis. Turbulent shear flows. — Proceedings of a Conference
Hold in London, AGARD-CP-93, 1971.
87. Rotta J. C. Critical review of existing methods for calculating the development
of turbulent boundary layers. — Fluid Mechanics of Internal Flow. Amsterdam:
Elsevier, 1967.
88. Reynolds A. J. Observations on distorted turbulent wakes. — J. Fluid Mech,
1962, 13, p. 335—355.
89. Reynolds A. J. Analysis of turbulent bearing films, — J. Mech. Eng. Sci, 1963,
5, p. 258—272.
90. Reynolds A. J. Wall layers with non-uniform shear stress.— J. Fluid Mech, 1965,
22, p. 443—448.
91. Reynolds W. C. A morphology of prediction methods. Proceedings of conference
«Computation of turbulent boundary layer», Stanford University, 1969.
92. Rohsenow W. M. Choi H. Y. Heat, mass and momentum transfer prenticehall.
New Gcrscy: Englewood Cliffs, 1961.
9. Rohsenow W. M, Heat transfer to liquid metals. Developments in Heat Transier.
London: Edward Arnold, 1964.
94. Rohsenow W. M. Developments in heat transfer. London: Arnold, 1964.
95. Schwartrbach C. An experimental investigation of curved two-dimensional
turbulent jets. — Proceedings of Conference «Turbulent Shear Flow». London, AGARD-CP-93,
1971.
96. Scheidegger A. E. Theoretical geomorphology. Berlin: Springer, 1961.
97. Scorez R. S. Natural aerodynamics. London: Pergamon Press, 1958.
98. Spalding D. B. Convective mass transfer. London: Arnold, 1963.
99. Sutton O. G. Micrometeorology. New York: McGraw-Hill, 1953.
100. Sutton O. G. Atmospheric turbulence. London: Methuen, 1955.
101. Tennekes H., Lumley J. L. A first course in turbulence. Cambridge: M. I. T.
Press 1972.
'l02. fownsend A. A. Entrainment and the structure of turbulent flow. — J. Fluid
Mech, 1970, 41, p. 13-46. т ^ ,Л хя л
103. Townsend A. A. Equilibrium layers and wall turbulence. — J. Fluid Mech, 1961,
11, p. 97—120.


400 Список литературы
104. Tranter С. J. Integral transforms in mathematical physics. London: Met-
huen, 1956.
105. Turbulent shears flows. — Proceedings of a conference hold in London.
AGARD CP—93, 1971.
106. Tucker H. J., Reynolds A. The distortion of turbulence by irrotational plane
strain. —J. Fluid Mech., 1968, 32, p. 657—673.
107. Wallis G. В., Silver R. S. Studies in pressure drop with latera al mass
extraction. — Proc. J. Mech. E., 1965—1966, 180, p. 27—42.
108. Walz A. Boundary layers of flow and temperature. Cambridge: M. I. T.
Press, 1969.
109. Welty I. R., Wilson R. E. Fundamentals of momentum, heat and mass transfer.
New York: Wiley, 1969.
110. Wille R., Fernholz H. Report on the first European Mechanics Colloqium on
the Coanda effect. —J. Fluid Mech., 1965, 23, p. 801—819.
111. Wilkie D. Forced convection heat transfer from surfaces roughened by
transverse ribs. — Proc. Third International Heat Transfer Conference. Chicago: 1966.
112. Wygnanski J., Newman B. G. The effect of jet entrainment on lift and moment
for a thin aerofoil with blowing. —Aero Quart., 1964, XV, p. 122—150.


ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автокорреляция 75, 81, 93
Автомодельность 28, 311, 323
Автомодельные профили 28
— структуры 29
— течения 28
Адвекция см. Конвекция средняя 300
Анализ подобия 312
— размерностей 29, 229, 321
— сигналов датчика турбулентности
71
— спектральный 60
Аналогия Колберна 370
— между переносом импульса, тепла,
массы 141, 146, 218
— Рейнольдса 147, 218, 244, 251, 369
модифицированная 241
сильные формы 221
Баланс количества движения 224
— массы 121, 224
— сил 124
— энергии 131, 133, 224
кинетической среднего
движения 302
механической 121, 132
— — полной 120, 134
тепловой 121
Вдув 273
Вектор волнового числа 87
— градиента давления 381
Векторные обозначения 87
Взаимодействие потоков 205
Визуализация течения 50
Вихрь 25
Вовлечение 292, 327, 367
Время осреднения 76
Вязкость турбулентная 290, 313
Гипотеза Буссинеска 24
— Прандтля 147, 151, 155
— Прандтля — Колмогорова 387
— пути смешения 152
— турбулентной вязкости 152
— Тэйлора 34, 89, 150
Граница пограничного слоя внешняя 225
— подслоя 112
— (поверхность раздела)
турбулентности 23, 286
Датчик волоконный 55
— пленочный 55
Датчик с косой проволокой 59, 67
— Х-образный 59, 68
Дельта-символ Кронекера 392
Дефицит (дефект) количества
движения 317
— потока массы 320
— скорости 128, 317
Диаметр гидравлический канала 202
Дивергенция вектора 382
Динамическая скорость (скорость
сдвига) 111
Дисперсия 36, 41
— продольная 122
Диссипация 40, 122, 129, 133, 135, 290,
388, 390
— среднего течения 133
— суммарная 134
— турбулентная 133
Диффузия 36, 113, 130, 387
— градиентная 130
— давления 133
— количества движения 119
— молекулярная 113, 133, 297, 339
— турбулентная 139, 339, 390
— энергии 271
Длина пути смешения 26, 147
— трубы эквивалентная 207
Закон Кинга 61
— логарифмический 149, 169, 178, 353
— переноса 239
— Прандтля или Кармана — Нику-
радзе 170, 178
— следа 366
— стенки универсальный 170, 176
— степенной 176, 355
— теплообмена 235
— теплопереноса 229, 247
— трения 176, 183, 196, 229, 357, 370
Коулбрука — Уайта 184
локальный 366
— Фика 37, 39, ИЗ
— Фурье 38, 113
Закрылок струйный 345
Инвариант количества движения 316
— энергии 338
Интеграл диссипации 307
— количества движения 317, 332
— энергии 305
Каналы закрытые 208, 209
— открытые 208


402
Предметный указатель
Конвекция 139, 345
— вынужденная 309
— комбинированная (смешанная) 230,
254, 309
— свободная (естественная) 230, 309
— среднемассовая 114
— средняя (адвекция) 300
— эффективная 140
Корреляция 72, 81, 98, 143
— временная 73, 75, 81
—■ высшего порядка 73
— Лагранжева 73, 143
— одноточечная 73, 81
— поперечная 77
— продольная 77
— пространственная 73, 77, 81, 92
— пространственно-временная 73
Коэффициент аналогии Рейнольдса 251
— вовлечения 328, 336
— восстановления 233, 236
энтальпии 233
— вязкости турбулентной 330
— диффузии 140, 240
—• обмена 335
— переноса 142, 339
турбулентного (теплопереноса)
114, 123, 142, 144, 147, 232, 247
эффективный 140, 142, 147
— теплоотдачи 232, 235
— теплопередачи 232
— трения 146
локальный 352
средний 305
— формы (формпараметр) 232, 352
— Щези 203
— шероховатости 203
— эффективности 257
Масштаб (турбулентности) 72, 76
— внешний 336
—' временной 76, 94, 336
— диссипации временной 79
линейный 96, 156
— интегральный 76, 94
— — линейный 79
— линейный 79, 295, 318, 325, 332,
390
— напряжений 154
— переноса количества движения 334
— скорости 294
— субстанции 295
— турбулентного трения линейный
329
— шероховатости 187
песчано-зернистой 358
Метод вовлечения 328
— водородных пузырьков 52
—■ диссипативного интеграла 367
— Лагранжа 37
— Эйлера 37
Методы теории подобия 316, 338
Микромасштаб турбулентности 78
— временной 77
— продольный 78, 144
— Тэйлора 78
Модель градиентной диффузии 193
— переноса 226
— пограничного слоя двухслойная
352
—% постоянной длины пути смешения
331
— постоянного коэффициента
турбулентной вязкости 330
— Прандтля — Тэйлора 246, 370
— — — модифицированная 358
— пути смешения 148, 272
— Тэйлора 226
Модели теплообмена аналитические 244
— турбулентного течения 385
Моменты корреляционные скорости 118
Наложение частот 88
Напряжение касательное 58, 117, 145,
387
— нормальное 117
— Рейнольдса (турбулентного
смешения пли кажущееся) 119, 384, 330
— эффективное 118
Начало эффективное течения 355
Неустойчивость течения
гидродинамическая 131, 190
Нормирование инерционное 95
— корреляционной и спектральной
функций 91
— по касательному напряжению 387
— — энергии 387
Осреднение по ансамблю 36
времени 14
— скорости 13
Отрыв 15, 374
Охлаждение абляционное 268
— массопереносом 268
— пленочное 268
— транспирационнос 268
Перемешивание турбулентное 131
Перенос завихренности 149
— импульса 145
— кинетической энергии 119
— количества движения 316
— ламинарный 297
— массы (массопсренос) 116, 122,
145, 217, 240, 267, 271
— работы 130
— симметричный 263
— средний 114
— тепла (теплоперенос) 41, 217, 262
— энергии каскадный 24
Переход от ламинарного течения к
турбулентному 206, 319
Плотность источника 121
Подобие 229
— по числу Рейнольдса 29, 95, 168,
295
Подслой 138, 175
— вязкий 109, 167
— с линейным профилем скорости 238
Поле линейно-изменяющееся 137
— температур 62


Предметный указатель
403
Порождение турбулентности 130, 133
Постоянная логарифмического закона
стенки 171
Потенциал скорости 293
Потери местные 205, 207
Поток диффузионный 303
— докритический 206
— количества движения 317
— массы 116, 137, 240, 319
эффективный 140
— нормальный 206
— осредненный во времени 113
— поперечный 114
— работы 119, 129
— Рейнольдса 114, 140, 145
— сверхкритический 206
— субстанции 120
— суммарный 113
— энергии 129
внутренней 119, 134, 136
кинетической 119
суммарной 134
— энтальпии 119, 308
Правило суммирования Эйнштейна 381
Преобразование сигнала 69, 85
— Фурье 85, 89
комплексное 87
Приближение пограничного (тонкого)
слоя 30
Проблема замыкания 44, 91, 138, 311,
383
— структуры турбулентности 44, 139
— термометрии 234
Производная конвективная
(субстанциальная) 123, 382
Профиль скорости логарифмический 353
средней 328
Процесс передачи энергии каскадный 97
— случайный 31
Процессы переноса 113, 336, 369
пассивного 392
Пульсация завихренности 390
— интенсивность 32
— среднеквадратичное значение 32
Путь смешения 193
Радиус канала гидравлический 202
Режим течения докритический 205
ламинарный 11
переходный 9, 11, 373
развитой 108
сверхкритический 203
Решение Блазиуса 351
Скорость динамическая 111
— диссипации 129, 385
— осредненная 13
— поверхности раздела 292, 327
— средняя 13
нормированная 169
— расширения следа, слоя, струи 335
— эффективная переноса 114
— — поперечной конвекции 153
След 17, 27, 317, 334
— за движущимся телом 326, 329
След осесимметричный (круглый) 17,
318, 322, 326, 339
— плоский 17, 225, 287, 318, 326, 329,
339
— тепловой 338
Слой автомодельный 115
— буферный (промежуточный) 109,
167, 171, 175, 244
— внешний со сдвигом 110
— вязкий 109
— логарифмический 109, 169, 175, 194
— локально-определенный 155
— нулевого напряжения 150, 157, 160
— пограничный 27, 290, 334, 550, 361
на шероховатой поверхности
357
под действием архимедовых сил
371
постоянного давления 304, 351
равновесный 361, 364
трехмерный 201
турбулентный 150, 352
— постоянного касательного
напряжения ПО, 149, 155, 157, 160, 167,
190
— пристеночный 12, 108, 166, 190,
225, 237, 297, 358
обобщенный 268
— продольно-равномерный 269
— равновесный 155, 167, 361
— свободный 206
со сдвигом 148
— смешения 27, 225, 3)8, 322, 334
— с неравномерным внешним
течением 358
отсосом 273
— тепловой ламинарный 368
— турбулентный полностью 109, 238
— шероховатости 272
Смешение 20, 23
— эффективное 23
Соотношение вовлечения 367
— интегральное баланса энергии 131
для тепловой энергии 306
импульсов Кармана 304
количества движения 303
Сопротивление давления 20
— лобовое 15
— суммарное 20
— термическое 233
— трения 20
Спектр взаимный 84
— комплексный 81, 87
— нормированный 81
— одномерный 82
— по волновым числам 81, 86
— трехмерный 81. 88
— частотный 81, 94
Спектральная плотность 85
— функция энергетическая 88
Спектральный анализ турбулентности
79
Среднее по ансамблю 36
Стенка гидравлически или
аэродинамически гладкая 182


404
Предметный указатель
Стенка полностью шероховатая 181
Струя в спутном потоке 334
— осесимметричная 225, 318, 322, 339
— плоская 225, 318, 322, 339
— пристеночная 334
Струйный переключатель 347
Суперслой вязкий 286
Тарирование 61
Температура адиабатическая 230, 253
— восстановления 233
— динамическая (трения) 237
— характерная 230, 253, 257
Тензор второго ранга 380
— высшего ранга 380
— декартов 330
— завихренности 380
— турбулентных напряжений 381
— частотного спектра 85
Теорема Бернулли 293
Теория турбулентности
полуэмпирическая 43, 139
Прандтля — Тэйлора 245
статистическая 35
феноменологическая 26, 139
— равновесия универсальная 96
Термоанемометр проволочный 49, 54, 58
импульсный 55
Термометр сопротивления пленочный 58
Теплоперенос (перенос тепла) 368
— поперек течения 264
Течение автомодельное 28, 323, 326
— Блазиуса 369
— в ядре 333
— внешнее 19, ПО, 292, 318
— во внешней области
индуцированное 345
— вторичное 117, 199
— градиентное 128
— жидкости переменной плотности
285, 340
— изолированное 263
— индуцированное во внешней
области 345
— комбинированное Пуазейля — Ку-
этта 125, 127
— Куэтта 125
ламинарное 126
— ламинарное 11, 127, 131, 234, 297,
358
в пограничном слое 351
полностью развитое 127
— линейно-изменяющееся 114
— линейно-развивающееся 122, 335
— обусловленное вытеснением и
вовлечением 292
— осесимметричное 108, 124, 126, 283,
294, 309, 317, 339
без закрутки 284
параллельно-струйное 126, 192
без закрутки 108
— плоскопараллельное 108, 125
— плоское 108, 124, 283, 317, 334,
339
— под действием архимедовых сил
309, 328, 340
Течение ползущее 249
—■ полностью развитое 114, 124, 148
турбулентное ПО, 132
— поперечное 146
— почти осевое 307
— пристеночное 334, 375
— Пуазейля 125
— развивающееся 265, 285, 315
— рециркуляционное 18
— с изменяющимися границами 256
— с линейным расширением 335
— со сдвигом при нагреве 338, 340
переносящее 332
— тонкослойное 283, 296, 311
— трансмиссионное 261
— трехмерное 121, 284
— турбулентное 234
свободное 291, 309, 316
Толщина вытеснения 291, 352
— дефекта (дефицита) скорости 363
— квадрата дефекта скорости 363
— потери импульса 291, 351
энергии 291
— теплового пограничного слоя 306
Трубка Пито 50
Турбулентность за решеткой 31
— изотропная 33, 79, 98
— локально-изотропная 34
— однородная 33
— пристеночная 17
— свободная 17, 315, 333, 373
Управление пограничным слоем 268
— баланса массы 123, 135
силы 127, 135
энергии 130
— Блазиуса 352
— диссипации 391
— для касательного напряжения 387
— завихренности 384
— импульсов 121
— интенсивности завихренности 385
Прандтля для пограничного
слоя 299
Рейнольдса для пограничного
слоя 299
— количества движения 298, 307, 138,
329, 382
— количества движения интегральное
308
— ламинарного переноса 297
— мгновенного переноса
характеристики 385
— Навье — Стокса 382
— неразрывности 312, 383
— переноса 312
— транспортное для интенсивности
пульсаций 395
напряжений Рейнольдса 383
— Рейнольдса 383
— Фокнера — Скэн 359
— энергии 138, 308, 386
внутренней 302
— кинетической энергии
турбулентности 384


Предметный указатель
405
Управление энергии механической 129
полной 384
среднего движения 384
■ интегральное 306
тепловой 134, 302
— энтальпии 135, 137, 308
суммарной 302
Условия автомодельности 324
— динамические 324
— кинематические 324
— непроникания и прилипания 18
Феноменологические теории
турбулентности 139
Функция автокорреляционная 143
— корреляционная 72
пространственная 97
— случайная стационарная 36
— спектральная 81
энергетическая 88
• — трехмерная 97
Формпараметр 291, 329
Формула Блазиуса для трения 179, 251
— Маннинга 203
— переноса 245
Число Бринкмана 281
— волновое 26
— Грасгофа 254
локальное 372
— Дина 200
— Кнудсена 60, 230
— Льюиса 219
турбулентна 127, 219, 223
— Маха 230
— Нуссельта 60, 219, 235, 240
локальное 372
— Прандтля 39, 60, 135, 232, 236, 242,
245, 250
— Прандтля кажущееся 337
молекулярное 147, 242
турбулентное 38, 39, 147, 225,
228, 337
эффективное 219, 221
— Рейнольдса 10, 79, 131, 297, 305,
318
Число Рейнольдса критическое 19
локальное 318
— — турбулентное 79, 318
— Рэлся 254
— Стаитона 219, 240
—• — диффузионное 240
— Струхаля 19
локальное 306
— Шервуда 240
— Шмидта 38, 240, 242
кажущееся 337
молекулярное 147, 242
турбулентное 39, 147, 225, 337
— Фруда 206, 208
— Эккерта 230, 233
Шероховатость 12
— допустимая 357
— естественная 255
— искусственная 255
— однородная песчано-зернистая 171
— относительная 10
— сосредоточенная 258
— эквивалентная песчано-зернистая
185
Шлейф 334
— плоский 341
осесимметричный (круглый) 341
— турбулентный 36
Элементы турбулентности 91
Энергия внутренняя 115, 119, 302
— среднего движения 302
— тепловая 302
— турбулентности кинетическая 115,
119, 130, 300
Энтальпия 115, 135, 271, 302, 308
— суммарная 136
—■ торможения 233
Эффект границ 346
— Коанда 347
— предыстории 143
Ядро течения 138, 175, 238
— турбулентное 110, 128


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 3
Введение 5
Условные обозначения : 8
Глава первая
ПРОБЛЕМЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
1.1. Турбулентное трение и переходный режим течения 9
1.2. Лобовое сопротивление и отрыв 15
1.3. Распространение и смешение 20
1.4. Структура и подобие 24
1.5. Затухание и случайные процессы 31
1.6. Дисперсия и диффузия 36
1.7. Турбулентность и инженер 40
Глава вторая
ЭКСПЕРИМЕНТЫ И ИХ АНАЛИЗ
2.1. Измерение средних характеристик 49
2.2. Визуализация течения 51
2.3. Датчики для измерения пульсационных характеристик 53
2.4. Проволочный термоанемометр 58
2.4.1. Конструкция датчика 58
2.4.2. Теплоперенос от проволоки 60
2.4.3. Режимы работы . 63
2.4.4. Косая проволока 67
2.5. Измерительная система 68
2.6. Корреляции и масштабы 72
2.6.1. Классификация 72
2.6.2. Одноточечные корреляции 74
2.6.3. Временные корреляции 75
2.6.4. Пространственные корреляции 77
2.7. Спектральный анализ 80
2.7.1. Классификация 80
2.7.2. Частотные спектры 82
2.7.3. Спектры по волновым числам . 86
2.7.4. Гипотеза Тэйлора ... 89
2.8. Нормирование корреляционной и спектральной функций 91
2.8.1. Рассматриваемая задача 91
2.8.2. Подобие по числу Рейнольдса в больших масштабах . 95
2.8.3. Подобие в мельчайших масштабах 97
2.8.4. Инерционная подобласть промежуточных масштабов ....
Глава третья
ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ. I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
3.1. Турбулентность течений в каналах 108
3.2. Процессы переноса 11З
3.2.1. Общие положения 113
3.2.2. Массоперенос 116
3.2.3. Возникновение напряжений . 117
3.2.4. Потоки энергии 119
3.3. Законы сохранения 120
3.3.1. Общие результаты 120
3.3.2. Массоперенос и неразрывность 122
3.3.3. Баланс сил 124
3.3.4. Уравнения механической энергии 129


3.3.5. Уравнения тепловой энергии . „ 134
3.4. Простые теоретические модели 138
3.4.1 Проблема замыкания 138
3.4.2. Турбулентная диффузия и конвекция 139
3.4.3. Коэффициент турбулентного переноса 142
3.4.4. Рейнольд сов поток 145
3.4.5. Длина пути смешения 147
3.4.6. Гипотезы турбулентной вязкости и длины пути смешения ... 152
3.5. Установление масштабов напряжений в уравнении энергии . . . . 154
Глава четвертая
ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ. II. ТРЕНИЕ И РАСХОД
4.1. Пристеночный слой 166
4.1.1. Результаты анализа размерностей 166
4.1.2. Логарифмический слой 169
4.1.3. Буферный слой 172
4.2. Течение ,в гладких трубах 174
4.2.1. Изменение средней скорости течения 174
4.2.2. Законы трения 176
4.2.3. Приближения степенного закона 178
4.3. Проблемы, связанные с шероховатостью 180
4.3.1. Классический анализ 180
4.3.2. Некоторые нерешенные задачи 187
4.4. Асимметричные параллельно-струйные течения 192
4.4.1. Экспериментальные результаты 192
4.4.2. Простые модели течения 193
4.4.3. Законы трения 196
4.5. Другие течения в каналах 199
4.5.1. Вторичные течения 199
4.5.2. Эквивалентность течений в каналах 201
4.5.3. Открытые каналы 203
4.5.4. Системы каналов 205
Г лава пятая
ТЕЧЕНИЕ В КАНАЛАХ. III. ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС
5.1. Аналогии процессов переноса 218
5.1.1. Аналогия Рейнольдса 218
5.1.2. Обобщения аналогии Рейнольдса 220
5.1.3. Обоснованность принятых предположений 222
5.2. Анализ размерностей и подобие 229
5.2.1. Законы теплопереноса 229
5.2.2. Эффекты восстановления 233
5.2.3. Распределение температуры ... 237
5.2.4. Массоперенос 240
5.3. Скорости переноса в трубе 242
5.3.1. План задачи 242
5.3.2. Формулы переноса при обтекании гладких стенок 245
5.3.3. Влияние температурного перепада 252
5.4. Течения с изменяющимися границами 256
5.4.1. Перенос при обтекании шероховатых поверхностей .... 256
5.4.2. Асимметричные распределения потоков в плоскопараллельных
течениях 261
5.4.3. Каналы с некруговым и нерегулярным поперечными сечениями . 265
5.5. Течения вблизи проницаемых поверхностей 267
5.5.1. Приложения 267
5.5.2. Перенос в обобщенном пристеночном слое 269
5.5.3. Распределение скорости в локально определенном слое . . . 271
5.5.4. Использование коэффициентов турбулентного переноса . . . 274
Глава шестая
РАЗВИВАЮЩИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ. I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
6.1. Тонкослойные развивающиеся течения 283
6.1.1. Примеры 283
6.1.2. Развитие турбулентности 285


6.1.3. Характеристики ширины потока . 290
6.1.4. Внешнее течение 292
6.2. Уравнения для пограничных слоев и других тонкослойных течений . . 294
6.2.1. Анализ порядка величин 294
6.2.2. Уравнение количества движения 298
6.2.3. Уравнение энергии 300
6.2.4. Интегральные формулы 303
6.2.5. Осесимметр'ичные течения 307
6.2.6. Течения под действием архимедовых сил 309
6.3. Методы анализа .... 311
Г лав а седьмая
РАЗВИВАЮЩИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ. II. СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
7.1. Методы теории подобия 316
7.2. Автомодельные течения 323
7.3 Профили средней скорости 328
7.3.1. Характер задачи 328
7.3.2. Плоский след 329
7.3.3. Эмпирические данные для свободной турбулентности и течения
в ядре 333
7.4. Процессы переноса 336
7.4.1. Характер задачи 336
7.4.2. Методы теории подобия 338
7.4.3. Поперечные профили 341
7.5. Влияние внешнего течения и границ 343
Глава восьмая
РАЗВИВАЮЩИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ. III. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
8.1. Слой с постоянным давлением 351
8.1.1. Ламинарное течение. Решение Блазиуса 351
8.1.2. Скорость и трение в турбулентном слое 352
8.1.3. Роль шероховатости 356
8.2. Слои с неразномерным внешним течением 358
8.2.1. Ламинарное течение. Результаты Фокнера—Скэн 358
8.2.2. Скорость и трение в турбулентных слоях 360
8.2.3. Дополнительные уравнения . 366
8.3. Процессы переноса 368
8.4. Некоторые нерассмотренные вопросы 373
Глава девятая
БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
9.1. Основные уравнения переноса 380
9.1.1. Тензорная запись 380
9.1.2. Уравнение количества движения и его аналоги 382
9.1.3. Другие транспортные уравнения 385
9.2. Модели турбулентного течения 386
9.2.1. Уравнение энергии 386
9.2.2. Другие динамические транспортные уравнения 389
9.2.3. Процессы пассивного переноса 392
Приложение 394
Список литературы 397
Предметный указатель 401