А.С.МОНИН,А.М.ЯГДОМ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ГИДРОМЕХАНИКА
ЧАСТЬ 1

А. С. МОНИН, А. М. ЯГЛОМ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ГИДРОМЕХАНИКА
МЕХАНИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ
ЧАСТЬ 2
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1967

532
М 77
УДК 532.507
Андрей Сергеевич Монин, Акива Моисеевич Яглом
Статистическая гидромеханика
Часть 2
М., 1967 г., 720 стр. с илл.
Редактор Г. С. Голицын
Техн. редактор А. А. Благовещенская Корректоры Г. С. Плетнева и А. Ф. Серкина
Сдано в набор 15/Ш 1967 г. Подписано к печати 24/VII 1967 г. Бумага 6OX9O»/i6- Физ.
печ. л. 45. Условн. печ. л. 45. Уч.-изд. л. 50,78. Тираж 7000 экз. Т-07051. Цена книги 3 р. 43 к.
Заказ № 623
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография J\fe 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета но печати при Совете Министров СССР, Измайловский проспект, 29.
2-9-5
85-67

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА VI
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 11. Спектральные разложения стационарных процессов и одно-
однородных полей 7
11.1. Спектральное разложение стационарных процессов G). 11.2.
Спектральное разложение однородных полей B0). 11.3. Частные
производные однородных полей. Дивергенция и вихрь векторного
поля B5).
§ 12. Изотропные случайные поля 32
12.1. Корреляционные функции и спектры скалярных изотропных
полей C2). 12.2. Корреляционные функции и спектры векторных
изотропных полей C7). 12.3. Соленоидальные и потенциальные
изотропные векторные поля D9). 12.4. Одноточечные и двухточеч-
двухточечные старшие моменты изотропных полей E6). 12.5. Трехточечные
моменты изотропных полей G0).
§ 13. Локально однородные и локально изотропные случайные
поля 74
13.1. Процессы со стационарными приращениями G4). 13.2. Локаль-
Локально однородные поля (86). 13.3. Локально изотропные поля (90).
ГЛАВА VII
ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
§ 14. Уравнения для корреляционных и спектральных функций изо-
изотропной турбулентности 103
14.1. Определение изотропной турбулентности и возможности ее
воспроизведения на опыте A03). 14.2. Уравнения для корреляцион-
корреляционных функций поля скорости A06). 14.3. Уравнения для спектраль-
спектральных функций поля скорости A11). 14.4. Корреляционные и спект-
спектральные функции, содержащие давление A17). 14.5. Корреляцион-
Корреляционные и спектральные функции, содержащие температуру A22).
§ 15. Следствия из уравнений для корреляционных и спектральных
функций. Заключительный период вырождения турбулентно-
турбулентности 127
15.1. Уравнения баланса энергии, баланса вихря и баланса интен-
интенсивности пульсаций температуры A27). 15.2. Интегралы Лой-

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
цянского и Корсина A31). 15.3. Заключительный период вырожде-
вырождения изотропной турбулентности A37). 15.4. Экспериментальные дан-
данные о заключительном периоде вырождения. Вырождение одно-
однородной турбулентности A45). 15.5. Асимптотическое поведение кор-
корреляционного и спектрального тензоров однородной турбулентности
в области больших масштабов (малых волновых чисел) A51). 15.6.
Влияние сингулярности спектра на заключительный период вырож-
вырождения турбулентности A57).
§ 16. Гипотезы об автомодельности
16.1. Гипотеза Кармана об автомодельности корреляционных функций
поля скорости A61). 16.2. Ослабленные формы гипотезы Кармана
A64). 16.3. Спектральная формулировка гипотез об автомо-
автомодельности A68). 16.4. Экспериментальная проверка гипотез об авто-
автомодельности A71). 16.5. Гипотезы Колмогорова об автомодельно-
автомодельности мелкомасштабных компонент турбулентности при больших
числах Рейнольдса A79). 16.6. Условия^осуществления колмогоров-
ской автомодельности в турбулентности за решеткой A85). 16.7.
Гипотеза о квазиравновесии. Положение с автомодельностью
пульсаций температуры A90).
§ 17. Гипотезы о спектральном переносе энергии
17.1. Приближенные формулы для спектрального переноса энергии
A93). 17.2. Применение гипотез о переносе энергии к исследова-
исследованию формы спектра в равновесном интервале B04). 17.3. Примене-
Применение гипотез о переносе энергии к вырождающейся турбулентно-
турбулентности за решеткой B15). 17.4. Автомодельные решения приближен-
приближенных уравнений для спектра B17).
§ 18. Гипотеза Миллионщикова и ее применение к исследованию
полей давления и ускорения . ,
18.1. Гипотеза Миллионщикова о связи четвертых и вторых момен-
моментов к эмпирические данные о распределениях вероятностей поля
скорости B22). 18.2. Вычисление корреляционных и спектральных
функций, содержащих давление B28). 18.3. Вычисление статисти-
статистических характеристик поля ускорения B33).
§ 19. Уравнения для старших моментов и проблема замыкания . .
19.1. Уравнения для третьих моментов гидродинамических по-
полей B38). 19.2. Замыкание уравнений для моментов с помощью
гипотезы об обращении в нуль моментов высокого порядка B44).
19.3. Замыкание уравнений для вторых и третьих моментов с по-
помощью гипотезы Миллионщикова B48). 19.4. Замыкание уравне-
уравнений для моментов, содержащих температуру, с помощью гипотезы
Миллионщикова B60). 19.5. Пространственно-временные корреля-
корреляционные функции. Модель стационарной изотропной турбулентно-
турбулентности B65). 19.6. Использование рядов теории возмущений и ме-
метода диаграмм B69).
§ 20. Турбулентность в сжимаемой жидкости
-20.1. Инварианты изотропной турбулентности в сжимаемой жидко-
жидкости B87). 20.2. Линейная теория; заключительный период вырож-
вырождения сжимаемой турбулентности B91). 20.3. Квадратичные эффекты;
порождение звука турбулентностью C00).

ОГЛАВЛЕНИЕ б
ГЛАВА VIII
ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
§ 21. Общие представления о локальной структуре турбулентности
при больших числах Рейнольдса 309
21.1. Качественная схема развитой турбулентности C09). 21.2. Опре-
Определение локально изотропной турбулентности C13). 21.3. Гипотезы
подобия Колмогорова C17). 21.4. Локальная структура поля
скорости C22). 21.5. Статистические характеристики полей уско-
ускорения, вихря скорости и давления C38). 21.6. Локальное строение
поля температуры при больших числах Рейнольдса и Пекле C45).
21.7. Локальные характеристики турбулентности при наличии ар-
архимедовых сил и при химических реакциях. Учет влияния терми-
термической стратификации C55).
°§ 22. Гидродинамическая теория локальной структуры развитой
турбулентности 362
22.1. Уравнения для структурных и спектрадьных функций полей
скорости и температуры C62). 22.2. Замыкание динамических урав-
уравнений C70): 22.3. Поведение спектра турбулентности в области
очень больших волновых чисел C88). 22.4. Поведение спектра
температуры в области больших волновых чисел C99).
§ 23. Экспериментальные данные о локальной структуре развитой
турбулентности 413
23.1. Реальные возможности измерений; использование гипотезы
«замороженной турбулентности» D13). 23.2. Проверка локальной
изотропии поля скорости D17). 23.3. Проверка второй гипотезы
подобия Колмогорова для поля скорости D21). 23.4. Проверка
первой гипотезы подобия Колмогорова для поля скорости D40).
23.5. Экспериментальные данные о локальной структуре поля тем-
температуры и других скалярных гидродинамических полей D46).
23.6. Данные о спектрах турбулентных пульсаций в атмосфере за
низкочастотной границей инерционного интервала D59).
§ 24. Диффузия в поле локально изотропной турбулентности . . . 467
24.1. Диффузия в поле изотропной турбулентности. Статистические
характеристики движений одной жидкой частицы D67). 24.2. Ста-
Статистические характеристики движения пары жидких частиц D74).
24.3. Относительная диффузия и «закон четырех третей» Ричард-
Ричардсона D88). 24.4. Гипотезы о распределении вероятностей для ло-
локальных характеристик диффузии E01). 24.5. Растяжение мате-
материальных линий и поверхностей в турбулентном потоке E13).
§ 25. Уточнение представлений о локальной структуре турбулентно-
турбулентности, связанное с учетом флюктуации диссипации энергии . . 517
25.1. Общие соображения и модельные примеры E17). 25.2. Уточ-
Уточненные гипотезы подобия E21). 25.3. Статистические характери-
характеристики поля диссипации E25). 25.4. Уточненная форма статистиче-
статистических характеристик мелкомасштабной турбулентности E42).
25.5. Более общая форма уточненных гипотез подобия E44).

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Г ЛАВ А IX
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ
§ 26. Распространение электромагнитных и звуковых волн в турбу-
турбулентной среде 546
26.1. Распространение электромагнитных волн в турбулентной ат-
атмосфере E46). 26.2. Распространение звуковых волн в турбулент-
турбулентной атмосфере E59). 26.3. Рассеяние электромагнитных и звуко-
звуковых волн на турбулентных неоднородностях атмосферы E64).
26.4. Флюктуации амплитуды и фазы электромагнитных и звуко-
звуковых волн в турбулентной атмосфере E74). 26.5. Нелинейные по-
поправки к флюктуациям амплитуды волн E90).
§ 27. Мерцание звезд 593
27.1. Описание флюктуации амплитуды и фазы света звезд при
учете вертикальной неоднородности атмосферы (.593). 27.2. Осред-
няющее действие объектива телескопа и мерцание изображений
звезд и планет E99). 27.3. Временные спектры флюктуации яр-
яркости изображений звезд в телескопах F04). 27.4. Хроматическое
мерцание звезд F09).
ГЛАВАХ
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
§ 28 Уравнения для характеристического функционала 613
28.1. Уравнения для пространственного характеристического функ-
функционала поля скорости F13). 28.2. Спектральная форма уравнений
для пространственного характеристического функционала F20).
28.3. Уравнения для пространственно-временнбго характеристи-
характеристического функционала (о28). 28.4. Уравнения для характеристиче-
характеристического функционала при наличии внешних сил F31).
§ 29. Методы решения уравнений для характеристического функ-
функционала 641
29.1. Использование функциональных степенных рядов F41).
29.2. Нулевое приближение по числу Рейнольдса F50). 29.3. Раз-
Разложение по степеням числа Рейнольдса F57). 29.4. Разложение
Эдвардса F63). 29.5. Использование континуальных интегра-
интегралов F68).
Библиография 679
Именной указатель 709

ГЛАВА VI
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 11. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ
ПРОЦЕССОВ И ОДНОРОДНЫХ ПОЛЕЙ
11 Л. Спектральное разложение стационарных процессов
В гл. 2 было разъяснено общее понятие случайного поля и были
введены основные статистические характеристики таких полей — их
средние значения и корреляционные функции различных порядков.
Этого было достаточно для рассмотрения простейших свойств турбу-
турбулентных течений, составившего содержание гл. 3—5. Однако исследо-
исследование некоторых более тонких свойств турбулентности требует вве-
введения ряда новых математических понятий, описанию которых и
будет посвящена настоящая глава.
Основное место в настоящей главе будет занимать вопрос о при-
применении к случайным функциям одного или нескольких переменных
(т. е. к случайным процессам и случайным полям) методов гармони-
гармонического анализа. Известно, что гармонический анализ, т. е. пред-
представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье,
очень широко используется в математической физике. При этом,
однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда
Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде инте-
интеграла Фурье -~- лишь для функций, достаточно быстро убывающих на
бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и не-
непериодические, незатухающие на бесконечности функции, которые,
строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье.
С этой точки зрения случайные функции оказываются даже имеющими
определенные преимущества перед обычными (не случайными) функ-
функциями. Дело в том, что для любых стационарных случайных
процессов и однородных случайных полей, для которых по са-
самому их определению никакого затухания на бесконечности быть не

8 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.1
может, всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное
разложение) специального вида, имеющее ясный физический смысл 1).
Рассмотрим сначала случай стационарного процесса и (t). Пред-
Предположим, что и @ = 0 (иначе вместо w(t) надо лишь рассмотреть
процесс uf(t) = u(t) — u(t)). Смысл спектрального разложения про-
процесса u(t) проще всего понять на следующем наглядном примере.
Пусть и (/) — случайная функция (вообще говоря, комплексная 2)) (вида)
«w=SVv, (ил)
где щ, ..., <о„—заданные числа, a Zlt ..., Zn — комплексные слу-
случайные величины, обладающие свойствами ^
= 0 при кф1 A1.2)
(здесь и ниже звездочка обозначает комплексно-сопряженную вели-
величину). Корреляционную функцию процесса u(t) в комплексном слу-
случае удобно определить равенством
B(tv t2) = u*(tl)u(t2) A1.3)
(для вещественных процессов это определение, очевидно, совпадает
с приведенным в гл. 2). Тогда из A1.1) и A1.2) получаем
B(tv ®=%Ркеш*1'*-'*\ /^|Z7F>0. A1.4)
Мы видим, что корреляционная функция здесь зависит лишь от t2 — tl9
как это и должно быть для стационарного случайного процесса. При
некоторых дополнительных условиях, налагаемых на величины Zk
(и автоматически выполняющихся, в частности, в случае, когда? мно-
1) Это представление стационарных случайных процессов и однородных
случайных полей в виде суперпозиции гармонических колебаний или плоских
волн является простейшим частным случаем возможного при весьма широ-
широких условиях представления случайной функции в виде суперпозиции ком-
компонент фиксированного функционального вида со случайными взаимно.не-
взаимно.некоррелированными коэффициентами (см., например, Яглом A962, 1Q63),
Ламли A967)). Для случайных функций, определенных на конечном интер-
интервале или в конечной пространственной области, такое «обобщенное спектраль-
спектральное представление» имеет вид разложения по специальной счетной системе
ортогональных функций; для функций в неограниченных областях оно записы-
записывается в виде интегрального разложения по континуальной системе функций,
совпадающей с системой одномерных или многомерных гармоник лишь
в случае стационарных процессов и однородных полей.
*) Как известно, в гармоническом анализе наиболее удобна комплексная
форма разложения Фурье (по функциям еш). Поэтому и функции u(t)
удобно сначала считать комплексными и лишь затем рассмотреть ограни-
ограничения, вытекающие из условия вещественности этих функций.

цД] § 11. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 9
гомерные распределения вероятностей для величин 9te Zk и %т Zk все
являются гауссовскими), все высшие моменты и конечномерные распре-
распределения вероятностей значений и (t) также буд)гт зависеть лишь от
разностей соответствующих моментов времени, т. е. процесс u{t)
будет стационарным. Равенство A1.1) и будет в таком случае задавать
спектральное разложение этого стационарного процесса *).
Процесс A1.1) будет вещественным тогда и только тогда, когда
число п'=2т будет четным и когда 2т слагаемых в правой части
A1.1) будут распадаться на т комплексно-сопряженных пар вида
(Zfc?/C°*'» Zft?~/@*'). При этом условии формулу A1.1) можно пере*
писать в виде
и (О = 2 №] cos ®kt + Zf sin a>kt) = 2 Wk cos (akt — <p*), A1.5)
где
и, следовательно^
f\j) Ek, Ek = \Vl>Q. A1.6)
Отсюда видно, что вещественный процесс вида A1.1) является су-
суперпозицией некоррелированных между собой гармонических коле-
колебаний со случайными амплитудами и фазами. Корреляционная функция
процесса A1.5) равна
т
В(х)= 2?ftcos@ftT; (П.7)
fc l
она зависит от средних квадратов амплитуд Wk и не зависит от
статистических характеристик фаз <рл.
Можно показать, что для произвольного стационарного случайного
процесса u(t) также имеется спектральное разложение, являющееся
непосредственным обобщением разложения A1.1). Однако в общем
случае в формуле A1.1) надо перейти к пределу при /г->оо, до-
цустив, что частоты (Dj соп могут неограниченно сближаться и
их число на заданном интервале оси со может оказаться бесконечным
(но сумма комплексных амплитуд Zk конечна). Обозначим сумму
амплитуд Zk, отвечающих частотам щ < со, символом Z (со). Тогда
2 (о) будет комплексной случайной функцией, обладающей свойствами
- *) Заметим, впрочем, что все факты, касающиеся спектральных разло-
разложений, справедливы не только для обычных стационарных процессов, но и
ДДя более широкого класса процессов, удовлетворяющих лишь условиям
и (t) == const и В (tu t2) == В (t2 —?i) (так называемые стационарные в ши-
широком смысле процессы). Аналогично обстоит дело и в отношении рассма-
рассматриваемого в следующем пункте спектрального разложения однородных
случайных полей.

Ю ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.1
Z(@) = 0, если и(Г) = 0, и
[Z* (©B)) — Z* (со*1*)] [Z («W) — Z @C))] = 0 A1.8)
при со*1) < со*2) <; @<3> < соD) (в силу свойств A1.2) амплитуд Zk).
Равенство A1.8) можно также формально записать в более удобной
дифференциальной форме:
) = 0 при и>ф(дг. (П.80
Тот факт, что процесс u(t) получается из процесса A1.1) при п->оо
и 2 <?*-*?(<«>)» означает, что
llm { . llm 2
Q 1 ОйО
где — Q = 0O<01< ... <соя==!Э и CDft<G)?<G)ft+1 (а пределы
последовательностей случайных величин понимаются как пределы
в среднем квадратичном: W = \im Wn, если llm| W—Wn\2 = 0). Но
правая часть A1.9) есть не что иное, как несобственный интеграл
Стилтьеса (в пределах от —оо до со), так что символически равен-
равенство A1.9) можно записать в виде
оо
u(t)= J
A1.10)
Это и есть общее спектральное разложение стационарного про-
процесса u(t), впервые полученное Колмогоровым A940а) и Крамером
A942) (см. также Дуб A953), Яглом A952), Розанов A963)). Смысл
этого разложения в силу A1.9) состоит в возможности сколь угодно
точной аппроксимации любого стационарного случайного процесса и (t)
суммой некоррелированных между собой гармонических колебаний
со случайными амплитудами и фазами !).
1) Говоря точно, это значит, что для любого стационарного процесса и (t)
и любых е > 0 и Т > 0 можно так подобрать число п, числа ©i, ©2» • • •» °>/|
и удовлетворяющие A1.2) случайные величины Zlt Z2 Zn, что при
каждом t из интервала — Т <t <Т будет выполняться неравенство
k
Отсюда также следует, что при любых е>0, т]>0и Т > 0 можно найти
такие п, ©1( .... ©л и Zx Zn% что
Р \ \и @ — 2 ^** **к > е I < т]
при|*|<Г (где Я{...} означает вероятность выполнения соотношения,
выписанного внутри фигурных скобок; ср. переход от D.68) к D.70) на
стр. 208 части 1 книги). Однако индивидуальные реализации процесса и (t)
при этом не обязаны разлагаться в интегралы Фурье — Стилтьеса вида A1.10).

*||1] $ И. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И
Исходя из формулы A1.10), можно получить следующую «фор-
«формулу обращения», позволяющую выразить Z(co) через u{t):
т
Z(a>)= lim -±- ~ ^-!tf(*)<# +const, (ll.ll)
так что
т
Z(@2)-Z(a>1) = Z([a>1, oJ])- lim ^ ^ ^ u(t)dt.
(П.ПО
Из A1.11), в частности, видно, что в случае гауссовского процесса
u(t) распределения вероятностей значений Z(co) также будут распре-
распределениями Гаусса. Если процесс и (t) является вещественным (а в даль-
дальнейшем мы будем рассматривать только вещественные процессы), то,
очевидно, Z (— (ог)—Z (— со2) = Z* (со2^— Z* (coj) при любых со2 > <ох ^> 0,
т. е. dZ(—со) = dZ*(<d). В этом случае спектральное разложение
A1.10) может быть переписано в вещественной форме, родствен-
родственной A1.5).
Реальный физический смысл спектрального разложения A1.10)
виден из того, что спектральные компоненты процесса, отвечающие
в этом представлении отдельным участкам спектра, могут быть вы-
выделены экспериментально при помощи соответственно подобранных
фильтров. Как известно, фильтрами называются устройства, про-
пропускающие гармонические колебания из определенного интервала
частот, но задерживающие колебания прочих частот. Если веществен-
вещественный стационарный процесс A1.10) пропустить через фильтр с поло-
полосой пропускания Дсо = [(Oj, a>2], то на выходе фильтра мы получим
процесс
и (Дсо, t) = J еш dZ (со) + J еш dZ (со) = 2Ш J еш dZ (со), A1.12)
(О, 1 -С02 } Ли)
где 9?е означает вещественную часть. Процесс A1.12) — это и есть
спектральная компонента процесса и (/), отвечающая интервалу
частот Асо. Условие A1.8) (или A1.80) показывает, что спектраль-
спектральные компоненты, отвечающие непересекающимся интервалам оси частот,
некоррелированы между собой. Нетрудно показать, что в случае
достаточно узкого интервала Лео спектральная компонента #(Д(о, t)
на любом не слишком длинном интервале временнбй оси будет с боль-
большой степенью точности аппроксимироваться гармоническим колебанием
29lcZ(Aa))e^, хотя в общем случае непрерывного спектра (т. е.
в случае процесса, не представимого в виде конечной или бесконеч-
бесконечной суммы вида A1.1)) компоненты «(Дсо, t) ни при каких Дсо не
будут строго периодическими.

12 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.1
Возможность экспериментального выделения спектральных компо-
компонент и(А(о, t) придает реальный смысл также представлению о рас-
распределении энергии процесса u(t) no его спектру. Энергия про-
процесса и (t) в физических приложениях обычно пропорциональна [u(t)]2
(например, если u(t) — скорость, то [u(t)]2 лишь постоянным множи-
множителем отличается от соответствующей кинетической энергии). Поэтому
для стационарных случайных функций u(t) роль средней энергии
играет величина [и {t)\2 = В @). Используя A1.12) и A1.8), легко
показать, что средняя энергия спектральной компоненты #(Д(о, t)
(т. е. средняя энергия содержащихся в и (t) гармонических колебаний
с частотами из интервала Ago = [coj, a>2]) равна
>, t)\2— |Z(A(o)|2+|Z(— Aco)|2==2}Z(Aco)|2, A1.13)
где
Z (Лео) = Z ([©!, щ\) = Z ((o2) -- Z (coj).
Таким образом, числовая (не случайная) неотрицательная функция
интервала |Z(A(o)|2 описывает распределение энергии процесса u(t)
по спектру частот — оо < со < оо (а функция 21 Z (Дсо) |2 — по
спектру 0<;а) < оо).
В турбулентном течении распределение энергии по спектру всегда
бывает непрерывным 1). Поэтому |Z(A(o)|2 здесь представляется в виде
интеграла по dm от спектральной плотности (или, короче, спектра)
F(a>) процесса u(t)\
| Z (Дсо) р = J F(®)d®. (ПН)
До)
Вместо спектра ^(со), определенного при — оо < со < оо (и четного
по со), часто удобнее рассматривать спектр Е(&) = 2F(o)), где
0<]а)<оо. Согласно A1.14)
|dZ(со) |2 = F(со) fifo) = -iE(со) do). A1.15)
В силу A1.15) и A1.80 ПРИ вычислении средних значений двой-
двойных интегралов по dZ*(&) и dZfox) мы придем к верному резуль-
1) Можно показать, что наличие переноса энергии по спектру, обусло-
обусловленного нелинейными членами уравнений гидродинамики, приводит к тому,
что в турбулентном течении энергия любой дискретной точки спектра быстро
перераспределяется по непрерывной спектральной области (см. в этой связи,
например, рис. 42 на стр. 258). Математически непрерывность распределения
энергии по спектру проявляется в том, что корреляционная функция В (т)
быстро убывает на бесконечности и поэтому может быть разложена в инте-
>рал Фурье; при наличии дискретного спектра функция В (т) содержала бы
незатухающие периодические слагаемые (ср. A1.4)) и поэтому представля-
представлялась бы в виде интегралов Фурье — Стилтьеса, родственных A1.10).

И.1] § Н. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 13
тату, если будем пользоваться символическим равенством 1)
dZ* (со) dZ (©!> = 6 (со — (Oj) F (со) Жо Лщ =
^ A1.16)
где 6 (со) — несобственная 6-функция Дирака.
Исходя из A1.10) и A1.16) легко показать, что корреляционная
функция В(т) = u*{t)u{t-\- т) является преобразованием Фурье соот-
соответствующей спектральной плотности
оо с»
В (т) = J el™F (со) Жо = J cos сот Е (со) Жо, A1.17)
0
так что
«» щ оо
= ^ J в-*«т В (t) dT, ? (CD) = -| J COS (DT В (T) dT. A1.18)
0
J
0
Частный случай формулы A1.17) при т = 0
сю
В@)= J
JA1.19)
0
имеет особенно* простой физический смысл: он показывает, как сум-
суммарная энергия процесса u(t) складывается из энергии отдельных
спектральных компонент.
Из равенств A1.14) и A1.18) видно, что преобразование Фурье
корреляционной функции стационарного процесса должно быть не-
неотрицательной функцией. Этот факт, составляющий содержание важ-
важной теоремы о спектральном разложении корреляционных функ-
функций, впервые был доказан Хинчиным A934), показавшим также, что
каждая функция, имеющая неотрицательное преобразование Фурье,
является корреляционной функцией некоторого стационарного слу-
случайного процесса. Поэтому, чтобы проверить, может ли заданная
функция быть корреляционной функцией какого-то стационарного
случайного процесса, надо найти ее преобразование Фурье и посмо-
посмотреть, будет ли оно всюду неотрицательным или нет. Отсюда, на-
например, вытекаетг что функции
В(т) = О-а'Ч A1.20)
, A1.200
— а|т|) при |т|<1/а,
^ ' A1.20")
I 0 при |т| > 1/а,
В (т) = Се-ах cos рт, A1.20'")
Символическое равенство эквивалентно точному соотношению
(О
у
(©О * X (© — Щ) F (©) dv>% где х (х) = 1 при л:=0 и =0 при

14 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.1 •
(через Kv здесь обозначена функция Макдональда —- функция Бесселя
второго рода от мнимого аргумента), которым отвечают преобразо-
преобразования Фурье, соответственно равные
A1.21')
У ал
!^> A1.21»)
(где Г означает Г-функцию), все могут быть корреляционными функ-
функциями. В то же время, например, функция, равная СA—а2т2) при
|t|<;i/a и нулю при |т|>1/а, уже не будет корреляционной
функцией никакого стационарного случайного процесса, поскольку
ее преобразование Фурье, как легко проверить, не является неотри-
неотрицательным при всех со.
Поскольку функцию В (г) обычно можно определить по одной
измеренной реализации процесса с помощью осреднения по времени
(см. часть 1, п. 4.7), а функцию Е(со), исходя из A1.13) и A1.15),
можно независимо измерить с помощью совокупности полосовых фильт-
фильтров с различными полосами пропускания, формулы A1.17) и A1.18)
допускают непосредственную экспериментальную проверку. Пусть,
например, процесс u{t) реализуется в виде флюктуирующего элек-
электрического напряжения (если u(t) — пульсации скорости или темпе-
температуры в точке турбулентного потока, то их преобразование в пуль-
пульсации напряжения обычно автоматически осуществляется измеритель-
измерительными приборами; см. часть 1, п. 8.3). Подадим напряжение u(t) на
вход фильтра, пропускающего лишь колебания с частотой, меньшей
некоторого (о0, и измерим мощность тока на выходе фильтра с по-
помощью ваттметра. Стрелка этого прибора покажет значение инте-
грала E((d)d<d (осреднение по времени, необходимое из-за наличия
о
в формулах A1.13) — A1.15) знака среднего значения, как правило,
будет осуществляться самим ваттметром, обладающим определенной
инерцией). Меняя значение а>0 и продифференцировав полученную
эмпирическую кривую, мы найдем и саму функцию ?(о>), необходи-
необходимую для проверки формул A1.17) и A1.18).

11.1]
§ И. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
15
Описанная здесь проверка формул A1.17) и A1.18) впервые была
произведена Тэйлором A9386I). В качестве u(t) Тэйлор использовал
пульсации продольной компоненты скорости в фиксированной точке
турбулентного течения в аэродинамической трубе за решеткой, спек-
спектральная плотность Е (со) которых была измерена Симмонсом и Сол-
тером A938) с помощью специальной системы электрических фильт-
фильтров (см. рис. 1). Ввиду отсутствия в то время непосредственных
иЕ(со)/В@)} см.
о U
и
4,5 м/сен
и» 6 "
U* 7,5 -
U=9 *
U =10.5 *
О
0,2
0,6
0,8 1
Рис. I. Спектральная плотность продольной компоненты ско-
скорости в аэродинамической трубе за решеткой.
данных о функции В (г) Тэйлор воспользовался результатами изме-
измерений пространственной корреляционной функции В (х) — среднего
значения произведения одновременных значений пульсаций продольных
компонент скорости в двух точках потока на расстоянии х друг
от друга (по направлению оси трубы). Поскольку средняя скорость
# = ?/ в трубе много больше пульсационной скорости и' = и — (/,
Тэйлор предположил, что возмущения потока («вихри») переносятся
средней скоростью без существенного искажения. Отсюда выте-
вытекает, что
A1.22)
OB период написания этой работы Тэйлор, по-видимому, был незнаком
с Оолее ранней работой Хинчина A934); формулы вида A1.17) и A1.18) им
оыли не вполне строго выведены из одной математической теоремы Винера.

16
ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[11.1
(предположение о справедливости этого равенства с тех пор назы-
называется гипотезой Тэйлора). На рис. 2, заимствованном из работы
Тэйлора A9386), черными точками отмечены результаты непосред-
непосредственного измерения функции В (х)\ перечеркнутыми кружками отме-
отмечены значения этой функции, подсчитанные по формулам A1.17) и
A1.22), исходя из данных рис. 1. Совпа-
*
В(Т)/В(О)
дение, как мы видим, оказалось вполне
удовлетворительным.
Аналогичные результаты в последую-^
щие годы неоднократно получались и
Рис. 2. Сравнение измеренных
значений корреляционной функ-
функции (чёрные точки) со значе-
значениями, вычисленными по фор-
формулам A1.17) и A1.22) (пере-
(перечеркнутые кружки).
Рис. 3. Сравнение измеренного временного
спектра скорости (черные точки) со зна-
значениями, вычисленными по формуле A1.18)
(кружки).
многими другими авторами. Развитие радиотехники позволило
в дальнейшем обходиться без гипотезы Тэйлора, а непосредственно
измерять временные корреляционные функции В (тI) (подобные
измерения позволяют попутно аккуратно проверить и саму указанную
гипотезу; см., например, Фавр, Гавильо и Дюма A962)). Для примера
на рис. 3 (заимствованном из работы Фавра, Гавильо и Дюма A954))
приведены результаты непосредственных измерений спектральной плот-
плотности Е (со) продольных пульсаций скорости в аэродинамической трубе
при помощи системы фильтров, а также значения ?((о), вычисленные
по формуле A1.18) на основании данных измерений функции 5(т);
и здесь совпадение оказалось вполне удовлетворительным.
1) Для измерения функции В (т) надо иметь «линию задержки», позво-
позволяющую подавать на перемножающее устройство одновременно величины
и (t) и и (t -(-1). В настоящее время в радиотехнике известен целый ряд
конструкций подобных «линий задержки».

ИЛ] § И. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 17
Остановимся теперь вкратце на вопросе о спектральном разло-
разложении производных стационарного процесса u(t). Если мы определим
производную случайной функции как предел соответствующих конеч-
конечных разностей в среднем квадратичном, т. е. примем за определе-
определение и'(t) равенство
|imL'(,)_*(' + *>-"«> »в0. A1.23)
то из спектрального разложения A1.10) нетрудно вывести, что
с»
и' (t) = J ешШ dZ (со). A1.24)
— 00
Заметим, однако, что, поскольку в левой части A1.23) стоит теоре-
теоретико-вероятностное среднее значение, производная A1.24) характе-
характеризует весь статистический ансамбль реализаций процесса u(tL
а не каждую реализацию в отдельности. Поэтому, если даже все
индивидуальные реализации нашего процесса будут гладкими диффе-
дифференцируемыми функциями, но теоретико-вероятностная дисперсия про-
производной от реализации в точке t будет бесконечной, то производная
в смысле A1.23) все равно не будет существовать. С другой сто-
стороны, если только «производная в среднем квадратичном» A1.24)
стационарного процесса u(t) конечна, то отсюда, как можно пока-
показать, уже вытекает, что и все реализации этого процесса будут диф-
дифференцируемыми, причем производную от реализации здесь можно
считать совпадающей с реализацией случайного процесса A1.24)
(см., например, Дуб A953), гл. XI, § 9, где можно найти более
точную формулировку этого утверждения). Исходя отсюда, процессы,
для которых производная A1.24) конечна, уместно называть диф-
дифференцируемыми.
Равенство A1.24) определяет спектральное разложение производ-
производной u'(t). Оно показывает, что спектр производной равен со2/? (со)
(см. A1.16)). Конечно, такой спектр возможен, лишь если функ-
функция ?(со) убывает на бесконечности так быстро, что
оо. A1.25)
о
В противном случае процесс u{t) будет недифференцируемым (в сред-
среднем квадратичном). Левая часть A1.25) в силу A1.17) равна — В"@),
а само условие A1.25) совпадает с условием существования конечной
второй производной от функции В(т). Корреляционная функция про-
процесса A1.24), очевидно, равна
u'(t)u' (t + %) = J cos cdtoJ^ (<o)d<o — — B" (t). A1.26)
0
2 А. С. Монин, A. M. Яглом

18 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.1
Аналогично этому для п-й производной имеем
оо
«<я> (t) = J еш (/со)" dZ (со) A1.27)
= J cos сот а?пЕ (со) Жо = (— 1 )л ?<2"> (т). A1.28)
о
Чтобы эти равенства имели смысл, нужно только выполнение условия
со2л?(со)Жо<оо ^ A1.29)
(или условия, чтобы функция В{х) была 2п раз дифференцируемой
в точке т = 0). В частности, чтобы процесс u(t) имел производные
всех порядков, интеграл A1.29) должен сходиться при любом п,
т. е. спектральная плотность должна при |со|->©о убывать быстрее
любой конечной отрицательной степени |со| (а функция В(х) — иметь
производные всех порядков в точке т = 0).
Поскольку корреляционная функция и спектр являются преобра-
преобразованиями Фурье друг друга, все формальные соотношения, связы-
связывающие эти две функции, можно обратить. В частности, равенству
средней и правой частей A1.28) отвечает обратное соотношение
00
?B/0 (со) = ^^ J cos cot х2пВ (t) dx, A1.30)
о
показывающее, что для существования у функции ?(со) не менее 2/t
производных корреляционная функция В(х) должна убывать на бес-
бесконечности быстрее, чем | х |~2л", — так, чтобы выполнялось соот-
соотношение
со
J х2пВ (т) dx < оо. A1.31)
о
Отсюда ясно, что спектр Е(а>) будет бесконечно дифференцируемым,
лишь если корреляционная функция В(х) убывает на бесконечности
быстрее любой отрицательной степени | т |.
Пусть теперь a (t) = {иг (t), .... ип (/)} — многомерный (вектор-
(векторный) вещественный случайный стационарный процесс, причем uk (t) = 0,
ft=l п. Предположим, что корреляционные функции Вн(т) =
= uk(t)Ui(t-\-x) достаточно быстро убывают на бесконечности, так

ИЛ] § И. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 19
что их можно представить в виде интегралов Фурье
оо
Вы (т) = J ei&xFkl (©)</©, Л, / = 1 п, A1.32)
—00
где
00
i JV A1.33)
Ясно, что функции Fkk(a>)t Л=1, ..., я,— это обычные неотрица-
неотрицательные и четные по © спектры одномерных процессов uk(t)t
А= 1, ..., п. Что же касается функций Fkl((o) с к Ф I — взаимных
спектральных плотностей процессов uk(t) и ut(t), то они, вообще
говоря, могут быть и комплексными *)• Однако в силу веществен-
вещественности функций Bkl(x) всегда должно выполняться равенство
<o). A1.34)
Далее, из очевидного условия
Bkl(x) = Blk(-x) A1.35)
вытекает, что
так что матрица ||/^ (ю) || при любом со является эрмитовой. Кроме
того, при любых комплексных cv ..., сп для любого © выполняется
неравенство
|w(®K'i>0. (И.37)
так что матрица Ц^С©)!! при любом © является неотрицательной2).
Крамер A940) и Колмогоров A941д) показали также, что любая
матрица ||^(©)||, удовлетворяющая перечисленным выше условиям,
будет спектральной матрицей, т. е. матрицей взаимных спектров
некоторого многомерного стационарного процесса.
Спектральное разложение многомерного стационарного про-
процесса u(t) имеет вид
00
u(t)= JV«*rfZ(<D). A1.38)
1) Иногда взаимным спектром (или коспектром, или софазным
спектром) процессов и^ if) и щ (t) называется вещественная часть функ-
2й11 °ki (©) (или удвоенная вещественная часть Ekt (©) =» 2dttFki @)), а мни-
мнимая часть той же функции — квадратурным спектром.
) Для доказательства этого надо только заметить, что левая часть A1.37)
совпадает со спектром комплексного процесса с^ (t)+ ... -f cnun (t).

20 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.2
где Z((o)== (Z^co) Zrt(co)}, а функции Z^co), ..., Z/I(co) таковы,
что можно пользоваться символическим равенством
dZk (g>) dZ{ (а^) = 6 (со — а^) /*w (со) flfco <fo, A1.39)
(при & = / равенство A1.39), очевидно, совпадает с A1.16)). Ясно,
что из равенства A1.39) также вытекают свойства A1.36) и A1.37)
спектральных плотностей Fkl((Q).
11.2. Спектральное разложение однородных полей
Все сказанное выше по поводу спектрального разложения стацио-
стационарных случайных'процессов u(t) (кроме того, что касается его экспе-
экспериментального осуществления при помощи фильтров) можно перенести
и на однородные случайные поля и(х). В этом случае роль гармо-
гармонических колебаний еш играют плоские волны eikx, а случайная
функция Z(A(o) = Z([(o1, со2]) = % (©г) — ^(©i) 0T интервала оси
частот со здесь заменится случайной функцией Z(Aft) от многомер-
многомерного интервала Aft — [ft', ft"] — параллелепипеда (или, в случае полей
на плоскости, прямоугольника) в пространстве волновых*векторов ft.
Обозначив Z(dk) = Z ([ft, k-\-dfc]) == dZ(ft), можно записать спек-
спектральное разложение однородного случайного поля и{х) в виде
«(*)= J eikxdZ(k\ A1.40)
где интеграл распространен по всему пространству волновых векторов
и имеет тот же смысл, что и интеграл в равенстве A1.10). Будем
считать поле и(х) вещественным, имеющим нулевое среднее значе-
значение и таким, что
j\B(r)\dr <oo, A1.41)
где В (г) = и (х) и (х -(- г) (последнее условие, в частности, обеспечи-
обеспечивает непрерывность распределения энергии поля и(х) по простран-
пространству волновых векторов к). Тогда случайные амплитуды dZ(k) раз-
разложения A1.40) будут обладать следующими свойствами:
dZ(—k) = dZ*(k), A1.42)
</Z(*) = 0, A1.43)
dZ* (k) dZ (kx) = б (ft — kx) F (ft) dk dkv A1.44)
где 6(ft) — многомерная б-функция. При ft = ft! равенство A1.44)
надо понимать как равенство F{k)dk = \dZ(k)\2, откуда видно, что
F{—ft) = /7(ft). Функцию F(k) мы будем называть трехмерной

И.2] §11. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 21
спектральной плотностью (или просто трехмерным спектромI)
поля и(х). Формулы A1.40) и A1.44) показывают, что каждое одно-
однородное случайное поле может быть сколь угодно точно приближено
(в смысле, разъясненном в сноске на стр. 10) конечной суммой не-
некоррелированных между собой плоских волн различных длин и ориен-
ориентации со случайными амплитудами и фазами. Комплексные ампли-
амплитуды dZ(fc) этих плоских волн могут быть найдены по полю и(х)
с помощью «формулы обращения»
1 Г ?С Г'***1-/"'***1 Г**2*2-*""'*2*2
*<!*'• *"»>= вИ J J -иг -i*2 X
— со
*{x)dx. A1.45)
где интегралы в пределах от —оо до оо понимаются как пределы
(в среднем квадратичном) интегралов в пределах от — А до + А
при Л->оо (ср. A1.110).
Из формул A1.40) и A1.44) вытекает, что
B(r)-~= j eikrF (ft) dk. A1.46)
Заметим, что сама возможность представления функции В (г) в виде ин-
интеграла Фурье A1.46) вытекает уже из условия A1.41), а спектральное
разложение A1.40) здесь нужно лишь для доказательства того, что
функция F(k)= lim |Z(Aft)|2/Aft должна быть неотрицательной.
Верно и обратное предложение: любая функция В (г), имеющая
неотрицательное преобразование Фурье, является корреляционной
функцией некоторого однородного случайного поля (см., например,
Кампе де Ферье A953) или Яглом A952, 1957)).
Из формулы A1.46) вытекает, что
Лг- AМ7)
Таким образом, задание трехмерного спектра F(k) равносильно зада-
заданию корреляционной функции В (г). Тем не менее иногда вместо F (ft)
1) В дальнейшем мы будем говорить лишь о полях и (х) в трехмерном
пространстве, не останавливаясь на очевидных изменениях, возникающих
при рассмотрении случайных полей на плоскости. Кроме того, мы усло-
условимся называть величину [и (х)]2 энергией, хотя в приложениях ее физи-
физический смысл будет зависеть от того, какое рассматривается конкретное
поле и {х).

22 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.2
предпочитают использовать менее полную статистическую характери-
характеристику
?(*)= jj F(k)dS(k) - A1.48)
1*1-*
(где dS(k)—элемент площади сферы | k \=k), зависящую лишь от одного
аргумента k (вместо трех аргументов kv k2 и kz). Функцию E(k) мы
будем называть просто спектром (без прилагательного «трехмерный»)
поля и(х). Спектр E(k) не определяет однозначно В (г) (так как
энергия E(k)dk плоских волн с волновыми числами из интервала
(k, k-\-dk) может по-разному распределяться между волнами раз-
различной ориентации). Однако суммарная энергия пойя [и (л;)]2 = В @)
просто выражается через E{k)\
5@)= JE(k)dk. A1.49)
о
Любому фиксированному значению k = k0 мы можем сопоставить
разбиение энергии В@) на две части:
Я@)= J E{k)dk+ JE(k)dk. A1.50)
о *0
Этому разбиению отвечает разбиение самого поля а(х) на некорре-
некоррелированные между собой макрокомпоненту u(k0, x) (совокупность
возмущений с длиной волны, большей 2я/&0) и микрокомпоненту
u(kQt x) (совокупность возмущений с длиной волны, меньшей 2n/k0):
и(х)= J еШх dZ (ft) + J eikx dZ (ft) = a(k0, x) -\-u (Ao, x).
l*l<*0 l*l>*0
A1.51)
Разбиение A1.51) является аналогом более обычного разбиения про-
произвольного однородного поля на среднее значение и(х) и пульсацию
и (х) — а (х) = uf (x)\ если угодно, это последнее разбиение можно
рассматривать как частный случай общего разбиения A1.51), получае-
получаемый при &0 = 0.
В случае многомерного (векторного) однородного случайного поля
и(х)={иг(х) ип(х)} с Uj(x)=0t y=l, ..., п, формула A1.40)
будет приложима к каждой компоненте tij(x), так что
Uj {х) = J eikx dZj (к). A1.52)

§ п- СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 23
При этом величины dZj(k), /= 1 я, будут удовлетворять усло-
условиям A1.42) и A1.43), а условие A1.44) в случае поля с достаточно
быстро убывающими на бесконечности корреляционными функциями
В л (г) = Uj (x) и1 (х -J- г) заменится следующим более общим условием-.
dZ*j(k)dZi(ki) = 6 (ft — кг) Fn (ft) dk dkv A1.63)
Из A1.62) и A1.53) вытекает, что
Bfl(r)=jei»FJl(*)dk. A1.54)
и, следовательно,
Fn (*) = -g^r J e-'»Bji (r) dr. A1.55)
Поскольку Bjt(r)—вещественные функции и Bjl(r) = Blj(—г), трех-
мерные взаимные спектры Fjt(k) полей tij(x) и иг(х) удовлетво-
удовлетворяют условиям
/>yJ (*) = /*,(_*) =/7, (*). A1.56)
Отсюда следует, что спектральная матрица
(Н.57)
при любом ft является эрмитовой. Кроме того, из A1.53) вытекает,
что матрица A1.57) при любом ft неотрицательно опреде-
определенная /т. е. такая, что 2 Fji(k)cJ€i^>® ПРИ любых С\ сЛ.
Верно и обратное утверждение: каждая удовлетворяющая A1.56) и
неотрицательно определенная при всех ft матрица ||/\/f(ft)|| является
спектральной матрицей некоторого многомерного однородного случай-
случайного поля (см., например, литературу, указанную на стр. 21).
В важнейшем частном случае, когда в (а:)—поле скорости потока
жидкости, величина -^- и2 — -д- 2j u2j (•*)==: "о" ^ // ^ имеет смысл
средней кинетической энергии единицы массы жидкости. Поэтому
кроме тензора спектральных плотностей Fji(k) здесь удобно ввести
в рассмотрение еще и скалярные спектральные плотности
F (ft) = \ Fjj (ft), E (ft) = jJF (ft) dS (ft), A1.58)
l*l-ft
через которые средняя энергия выражается по формулам
E(k)dk. A1.59)
J
О

24 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.2
Представив каждую компоненту вектора и(х) в виде суммы A1.51),
можно разбить векторное поле и(х) на макрокомпоненту u(k0, x)
(с энергией, равной J E(k)dk) и микрокомпоненту u(k0, x) (с энер-
о ~~
оо
гией JE(k)dk).
Переходя к моментам высших порядков однородных случайных
полей, заметим, что во всех реальных случаях специальные комби-
комбинации этих моментов, 'называемые семиинвариантами, \ быстро стре-
стремятся к нулю при неограниченном возрастаний любого из своих аргу-
аргументов и, следовательно, представимы в виде интегралов Фурье
(см. часть 1, п. 4.2). Однако в случае семиинвариантов выше второго
порядка точные условия, которым должны удовлетворять их преобра-
зования Фурье, неизвестны, ^рэтому мы ^уже не можем скдзать, какие
именно функции могут являтьс*Гстаршими семиинвариантами^ (или мо-
ментами) однородного поля, а какие не могут. Тем не менее мы вы-
выпишем здесь представления в виде интегралов Фурье некоторых про-
простых комбинаций двух- и трехточечных моментов четырехмерного
однородного поля {^(Jt), и2(х), и3(х), $(х)}={и(х), $(х)} с ut(х)=
=='в>(л:)=^0, которые нам будут полезны впоследствии:
Blj91(r) == ui(x)uj(x)ul(x^-r) = J е**'Ри9х(к)dk, A1.60)
В & ь (г) = иД*)<Н*) * (* + r)= J е*'Р,ь о (*) dk. A1.600
lFiji(b> b')dkdk\ A1.60*)
= J J
, k')dkdk',
B?}tt,m(r, r) = BlJt lt m(r, r)-Bu@)Вщ(r -r) =
= щ (x) uj (x) ux (x+r) a m (x + r') — щ (x) Uj (x) X
X «,(* + r)«m(* + r0 =jje* l*r+*r')Pth u т (й, ft0 dk
k')dkdk\ (ll.60v)

И.З] § И. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 25
у, о (г, r') =
, k')dkdkf. (ll.60vl)
Возможность этих представлений вытекает из того, что моменты
третьего порядка при равных нулю средних значениях совпадают
с соответствующими семиинвариантами, а комбинации моментов М?у, /, т>
М?у, о, а и М$, у, о» отличаются от соответствующих семиинвариантов
четвертого порядка лишь слагаемыми, также стремящимися к нулю
при |г|->оо или |г'|->оо (например, слагаемыми Вп(г)Bjm(r')-f-
-\-Bim(r')Bn(r) в случае функции М°],/,т(/*. г')). Ясно, что функ-
функции Fij,i(k), ^y,Go(*), Fln(k, *0 и т. д., входящие в правые части
равенств A1.60) — (ll.60VI), однозначно определяют соответствую-
соответствующие моменты (или комбинации моментов), преобразованиями Фурье
которых они являются; мы их в дальнейшем будем называть спект-
спектрами (или спектральными тензорами) высших порядков однород-
однородных полей а(х) или [и(х)> $(х)}. Поскольку В^г1(г) = /^@, г)
и В^$(г) — В^@, r) = Bjm(r, 0), первые четыре спектра высших
порядков удовлетворяют соотношениям
A1.61)
Кроме того, ясно, что тензоры /7/yf r, /7/yt u m и Ftj,$t{) симметричны
по индексам . /, j и что все спектры высших порядков переходят
в комплексно-сопряженные величины при изменении знаков их аргу-
аргументов (в силу вещественности моментов) и удовлетворяют ряду про-
простых соотношений типа
Рщ (*. *0 = Рщ (*г. *) = PJU (*'- -*-*0; ^уоо(*. *0 = ^<ю(^ *);
PlJ.l.m(b.*')=PtJ.m.l(*'' *) И Т- Д-
(в силу того, что 5/л (г, г') = В/еу г', г) = ByW (г' — г, — г);
'% r); ?$.!.«(г. гО = М°],«.«(г7, г) и т. д).
11.3. Частные производные однородных полей.
Дивергенция и вихрь векторного поля.
Как и в случае стационарных случайных процессов, чем быстрее
затухает на бесконечности корреляционная функция В (г) однород-
однородного случайного поля, тем большее число раз можно дифференци-
дифференцировать спектральную плотность этого поля F(k) (т. е. тем более

26 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.З
гладкой функцией она является); обратно, быстрота убывания на
бесконечности спектра F(k) определяет степень гладкости корреля-
корреляционной функции В (г). Оба этих утверждения являются простыми
следствиями того, что функции В (г) и F(k) представляют собой пре-
преобразования Фурье друг друга, так что
. A1.63)
Из формулы A1.63), в частности, видно, что если функция В (г)
при |г| = г->оо убывает, как r~N, где N — целое число (иначе
говоря, если B(r) = O(r~N))t то спектр F(k) при всех значениях А
будет дифференцируемым N — 4 раза по всем своим аргументам, но
его частные производные порядка N — 3 уже будут существовать
лишь при кфО, но не в точке ft = O (аналогично ведет себя и
функция В (г), если F(k) = O(k~N) при |ft| —?->оо). Поскольку
интеграл в правой части A1.63) при B(r) — O(r~N), mx-\-m^\-mz=^
= N — 3 и ft ~0 расходится логарифмически, а функцию e~lkr можно
заменить единицей при |r|<C/|ft| (где С—некоторая малая постоян-
постоянная), ясно, что если B(r) = 0 (r~N), то частные производные (N—3)-го
порядка функции F(k) (являющиеся при кфО непрерывными функ-
функциями от к) будут, вообще говоря, логарифмически возрастать при
&->0. Точно так же обстоит дело и с более общими функциями
Bjt(r) и Fjt(k), отвечающими многомерному однородному полю
и(х)= {иг(х) ап(х)}- Поэтому, например, общее разложение
Тэйлора функции Fji(fc) в окрестности точки ft = O, имеющее вид
Рц (*) = Sn + fji, iki + fjt. шКК+fjlt 1тпкгкткп + ..., A1.64)
при B(r) = O{r~N) будет содержать лишь члены до (N—4)-го
порядка включительно, за которыми будет следовать остаточный
член порядка kN'A\nk (в случае, когдаУ = /, все члены ряда A1.64)
нечетного порядка, очевидно, будут равны нулю). Для того же,
чтобы спектр Fjt(k) был бесконечно дифференцируемым, корреля-
корреляционная функция Вд(к) должна убывать на бесконечности быстрее
любой конечной отрицательной степени | г |; аналогично для беско-
бесконечной дифференцируемости функции В^{г) нужно соответствующее
убывание на бесконечности спектра
Предположим, что
J k\mxklm*klm*F (ft) dk<oo. A1.65)

Ц.З] §И. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
В таком случае существует частная производная
27
Jw
(понимаемая в смысле, аналогичном A1.23)), а также и все частные
производные более низких порядков, причем в силу A1.66)
дх?1
/ лЩ
I ^ih{x'^
. A1.67)
Точно так же, если
J ki^kl^k^Fjj (k)dk<oo, J k\nxkln*kln3Ft t(k)dk<oo A1.68)
(no j и по / не суммируется!), то существуют производные
фдхрдлр ' дх%* дхр дхр ' ПрИЧ6М
дх[
/ ^\Щ
j
. A1.69)
Из многомерных случайных полей наиболее важен для теории
турбулентности случай трехмерного поля скорости a(jt)== {^(л;),
() ()Ь в силу A1.66)
и, значит,
^i je"**kmdZj(k)
ди,(х) Г
—g-^- = /J e'^kjdZjik),
о, (х) = e>te &f&L = ieJlm J «'***,
dZ
A1.70)
(П.71)
A1.72)

28 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.З
где (о (я) = rot я (jc) = V X и(х), a eJlm — антисимметричный по всем
индексам единичный тензор третьего ранга. Следовательно,
= J
tFjt (k)dk = - **^} A1.73)
J e^klkpFm
A1.74)
Таким образом, корреляционная функция дивергенции поля и(х)
д2Вп (г)
равна т—g—, а спектр равен kjklFjl(k)\ точно так же корреля-
дВтЛг)
ционный тензор вихря поля и(х) равен — ^jimhpq д 1—.а спек-
спектральный тензор поля вихря равен ^jlmeipgklkpFmg(k). Формулы для
корреляционного и спектрального тензоров поля вихря <» (х) = rot а (х)
можно преобразовать с помощью легко проверяемого тождества
ejlm?ipq —
— bifiigbmp — bjpbifinq — 6jg6lp6mi. A1.75)
Кроме того, из A1.69) вытекает, что
(^Г=1*^(*)Л AL76)
(по j не суммируется!) и
J- о1-77)
Ограничимся далее случаем, когда векторное поле и(х) солено-
идально (бездивергентно), т. е. dUj(x)fdXj = O. Тогда
[0. A178)
В силу A1.70) отсюда вытекает, что
A1.79)
A1.80)
Разумеется, четыре соотношения A1.79) и A1.80) не независимы:
из любого из них автоматически следуют три остальные. Вместо

Ц.З] § П. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 29
соотношений A1.79) и A1.80) можно также использовать эквивалент-
эквивалентное им соотношение kjdZj(k) = O.
Подставляя тождество A1.75) в A1.74) и используя A1.80)
и A1.79), убеждаемся, что для соленоидального поля и(х) корреля-
корреляционный и спектральный тензоры поля вихря задаются формулами
уо, (Г) = (оу (х) щ {х ¦+¦ г) =
Особенно простые результаты получаются для следов тензоров ?йЬ<0 (г)
и F (kY
d • \ ___ а о /#»\ 7*1 (Ь\ —— Ь2 Р (Ъ\ /11 Q*^4
Соотношения A1.79) позволяют следующим образом определить общий
вид тензора Fjt(k) (ср. Кампе де Ферье A948)). В силу A1.79) вектор k
является собственным вектором эрмитовой матрицы \\Fji(k)\\, отвечающим
нулевому собственному значению. Кроме того, эта матрица должна иметь
еще какие-то два (вообще говоря, комплексных) собственных вектора а^
и Ь^\ ортогональных друг к другу и к вектору k и отвечающих неотрица-
неотрицательным собственным значениям Xj (k) и Я2 (k). Нормируем векторы а^
и 6A) условиями ар*а^Р = $р*Ь^ = 1 и разложим dZ (k) по векторам aSl\
b^ и k. Поскольку k dZ (k) = 0, мы придем к соотношению
dZ (k) = dZa (k) aA) (k) + dZb (k) b™ (k), A1.84)
где dZa (k) = dZj (k) af*, dZb (k) = dZ j (k) b{f*t и, значит,
| dZa (k) I2 = X{ (k) dk, | dZb (k) |2 = Я2 (k) dk, A1.85)
dZa(k)dZb(k) = 0
(ибо Fjt (k) a(y!) == Xxa^ и Fjt (k) b^ = Xcjb^ по определению векторов aA)
A)) Обозначив a (k) = Vxt (k) aA) (k) и b (k) = V"X2 (k) bA) (k) и вспом-
вспомнив, что Fn (k) = lim dZ) (k) dZt (k)/dk, из A1.84) и A1.85) получим
Fn (k) = a) (k) at (*) + b) (k) bx (k). A1.86)
Это и есть общий вид тензора Fjt(k) (так как тензор A1.86) при aj(—k) =
= a*j (k\ bj (— k) = b*j (k) будет удовлетворять всем требованиям, предъяв-
предъявляемым к спектральному тензору); он зависит от шести комплексных функ-
функций аргумента к, связанных тремя условиями k^a, == k bj = a*jbj = 0. Учитывая

30 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [Ц.З
еще, что а/а, b/b, k/k (где а = |а|, Ь = \Ь\)—ортонормальная тройка
векторов и, следовательно,
можно исключить из A1.86) слагаемое b jbt и переписать выражение для
Fji(k) в виде г
FJt(k) = b2 (fy-igij+e^l -~), A1.87)
где функции b2 (fc), a2 (k) и aj (k) связаны условиями
kjdj = 0, a*jaf = а2 > 0, Ь2 > 0.
Исходя из условий A1.79), можно указать и другое общее представле-
представление тензора F ц (&), иногда оказывающееся полезным. Именно, рассмотрим
зависящий от к тензор
Этот тензор симметричен и ортогонален вектору k (т. е. удовлетворяет
условию ?/A/m (k) = 0); кроме того, если kmFm (k) = 0, то, очевидно,
Аут (Ь) Fm(k) = Ff (k). С другой стороны, если F(k) = {F, (k\ F2 (k\
F* (k)} — произвольное векторное поле, то поле F'j (k) = Aym (k) Fm (k) будет
удовлетворять условию kjF'j(k) — O. Таким образом, преобразование с матри-
матрицей || Дут (к) || выделяет часть вектора F (к), ортогональную вектору к
Поэтому, например, тензор Fjt(k\ удовлетворяющий A1.79), всегда можно
представить в виде
А/т (к) А/л (к) Фтп (*), A1.89)
где Фтп (к) — симметричный тензор. За Фтп (k) здесь можно принять сам
исходный тензор Fmn (к); можно, однако, выбрать в качестве Фтп (k) и про-
произвольный эрмитовый симметричный тензор с неотрицательно определенной
матрицей — при этом все равно тензор A1.89) будет удовлетворять всем
требованиям, налагаемым на спектральный тензор бездивергентного вектор-
векторного поля.
Если и (х) — соленоидальное однородное векторное поле, а Ь (х) — одно-
однородное и однородно связанное с и (х) скалярное поле, то
т. е.
A1.90)
0. A1.91)
Согласно A1.91) вектор Fj$(k) ортогонален fc, и, следовательно, его можно
представить в виде
F(k) b(k)O(k). A1.92)

П.З] § П. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 31
Подобным же образом могут быть представлены и спектральные тензоры
(или векторы) высших порядков соленоидального поля, например Ftjt г (к),
') или Fjffo (k, k'). Действительно, если duj/dxj = 0, то
дх[
ди, (х") ди, (хг) дщ (х)
щ (х) и, (х') ' „ = щ (х) { , и, (х") = — и, (х') щ (х") = О
дХ[ dxj dxt
и, значит,
kJFtji
= (- k\ — /г^.) /^/у/ (к. kf) = 0, (— kj — krj) Fm (k, k1) = 0. A1.93)
Следовательно,
Z7/// (*. V) = A/m (Г) А/я (k) Alp (Л') Фтлр (Л, Л'). Г ' *' - *. (Н.94')
Fm (k, k') = Д;т (Л") Фт (Л, Л'). (П.94")
Приведенные результаты позволяют сделать определенные выводы и
о поведении спектров поля и (х) в окрестности нулевой точки пространства
волновых векторов. В самом деле, рассмотрим, например, тензор Fji (k)
и предположим, что в окрестности точки k = 0 он разлагается в ряд
Тэйлора A1.64). Тогда и функции aj (k) и bj(k) равенства A1.86) можно
разложить в ряд Тэйлора. Но поскольку при к = 0 векторы а (к) и Ь (к)
должны быть ортогональными всем векторам kl\k\ (т. е. равными нулю),
ясно, что разложение Fji (k) в ряд Тэйлора должно начинаться с членов вто-
второго порядка:
fji (Ь) = /л, mnkmkn + ... A1.95)
Аналогично доказывается, что ряд Тэйлора векторного поля Fj^ (k) начи-
начинается с членов первого порядка:
/>(*) =//*,m*m+ ... (П.96)
Если мы перейдем от спектров к корреляционным матрицам, то из ра-
равенства A1.95) будет следовать, что
J Вп (г) dr= J Вп (г) rm dr = 0, A1.97)
а из A1.96) —что
j«0. A1.98)

32 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.1
§ 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
12.1. Корреляционные функции и спектры
скалярных изотропных полей
Спектры однородных случайных полей, вообще говоря, зависят
от трех переменных kv &2, k3 (а спектры высших порядков — от еще
большего числа переменных). В дальнейшем, однако, особенно важными
для нас будут более специальные однородные и изотропные поля,
основные статистические характеристики которых зависят лишь от
одного переменного. Изучению таких однородных и изотропных полей
и будет посвящен настоящий параграф. {
Скалярное случайное поле и(х) называется изотропным, если
все отвечающие ему конечномерные плотности вероятности
Рх х х (uv и2* •••• un) не меняются ПРИ всевозможных враще-
вращениях системы точек xv x2, ..., xN вокруг осей, проходящих через
начало координат, и при зеркальных отражениях этой системы точек
относительно плоскостей, проходящих через начало координат. Ниже
мы будем рассматривать лишь поля, являющиеся одновременно однород-
однородными и изотропными, и для краткости будем называть изотропными
именно такие поля. Иначе говоря, под изотропными полями мы будем
понимать случайные поля и(х), для которых плотности вероятности
Рхх ...х (uv uv •••• un) не меняются при любых параллельных
переносах, вращениях и зеркальных отражениях системы точек
xv х2* .... xN.
В силу однородности полл и(х) его среднее значение и(х) должно
быть постоянным. При этом без ограничения общности можно считать,
что и(х) = 0, заменив, если надо, исходное поле и(х) полем и'(х) =
= и(х) — и(х). Именно так мы и будем поступать в дальнейшем.
Корреляционная функция В (х, х')=и (х) и (х') изотропного поля и (х),
очевидно, должна принимать одинаковые значения для любых двух
пар точек (х, хг) и (xv jcQ, которые можно совместить друг с другом
при помощи перемещения (параллельного переноса или вращения) пары
точек (xv x[y Иначе говоря, если расстояние между точками х н х'
равно расстоянию между хх и х[, то В(х, x') = B{xv jcQ, так что
функция В (х, х') может зависеть только от расстояния г = \ хг — jc |
между точками х и х' = х-]-г:
u(x)u(x + r) = B(r). r = \r\. A2.1)
Мы видим, что в случае изотропного поля и(х) корреляционная
функция действительно зависит лишь от одного переменного г.
Подставляя A2.1) в общую формулу A1.47), определяющую
по В (г) трехмерный спектр F (k) однородного поля, и переходя к сфе-

12.1] § 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 33
рической системе координат, найдем, что в изотропном случае этот
спектр будет зависеть лишь от k = \ k |:
— 00
оо Я Я
= Ш I I Г ^-
О О
О -я О
Обратно, если
F(k)=F(k), \dZ(k)\2 = F(k)dk, A2.3)
то и корреляционная функция В (г) зависит лишь от г = | г |, причем
в силу A1.46) в этом случае
00
j ^L^ A2.4)
Функция F(k) в формулах A2.2) и A2.4) должна быть неотрицатель-
неотрицательной. Поэтому совокупность корреляционных функций всевозможных
изотропных случайных полей определяется условием неотрицатель-
неотрицательности интеграла A2.2) при всех Л>0. Отсюда, в частности, выте-
вытекает, что функции
B Ce-*'t A2.5)
Ce~ar\ A2.5')
B(r) = C (ar)v Kv (ar), v > 0, A2.5")
будут являться корреляционными функциями изотропных полей. В са-
самом деле, нетрудно проверить, что отвечающие этим функциям трех-
трехмерные спектры F(k) равны соответственно
8(а„)- • A2'6'>
/*, I Q/O\ «2V П
A2.6")
яЗ/2(а2 + ^+3/2 •
т. е. являются неотрицательными.
Очевидно, что после замены в функциях A2.5), A2.5') и A2.5")
переменного г на |t | они переходят в примеры корреляционных функ-
3 А, С, Монин, А. М. Яглом

34 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.1
ций стационарных процессов. Это обстоятельство объясняется тем,
что значения изотропного поля и(х) в точках прямой jc2 = at3 = 0
представляют собой однородное поле на прямой (т. е. стационарный
процесс от переменного хх). Поэтому одномерное преобразование
Фурье функции В (г), доопределенной при значениях г < 0 при по-
помощи условия В(—r) = B(r)t должно быть всюду неотрицательным:
ОО 00
/7,(А,) = ^Г je-'*>'B(r)dr=*±-j cos кхг В (г) dr>0. A2.7)
-оо О
Функцию Fx(kx)t определяемук/формулами A2.7) или, что то же са-
самое, обратными формулами
= J el^Fl(kl)dkl — 2 J cos
0
мы будем называть одномерной спектральной плотностью (или
одномерным спектром) поля и (х). Сопоставив A2.8) с частным случаем
формулы A1.46), получаемым при г2=гг3 = 0, легко убедиться, что
00
= J J
J F(k)kdk. A2.9)
0 *,
Отсюда также следует, что при F(k)^>0 функция F\(kx) всегда бу-
будет неотрицательной. С другой стороны, нетрудно видеть, что из
неотрицательности функции Fx(kx) формулы A2.9) еще не вытекает
неотрицательность трехмерного спектра
В самом деле, подставив, например, в формулу A2.10) вместо 2Fx(k)
функцию A1.21") или функцию A1.2Г/7) с а<уг3"р (в которых ар-
аргумент 0 надо заменить на &), мы придем к функции F(k), прини-
принимающей также и отрицательные значения1). Таким образом, функции
fi(r) = Cmax{l — ar, 0} или ^/OeC^-^cospr, а<]/*3"р» могу-
могущие являться корреляционными функциями однородных полей на пря-
прямой (стационарных процессов), уже не могут быть корреляционными
функциями изотропных полей в трехмерном пространстве.
О Согласно формуле A2.10) для неотрицательности функции F (k) функ-
функция Ft (k) = ?j (k)/2 должна быть невозрастающей на всей полуоси 0 < к < оо.
Последнее условие, как нетрудно^видеть, не выполняется в случае функ-
функций A1.21") или A1.2Г") с а< КЗ Р.

12.1J $ i*. изотропные случайные поля 35
Вместо трехмерного спектра F(k)* можно использовать также
спектр
E(k)= J F(k)dk = 4nk*F(k). A2.11)
1*1-*
Аналогично этому функцию Fx (кх) можно заменить функцией Ег (кг) =
= 2/7(&1), которую мы, так же как и /^(Ai), будем называть одно-
одномерным спектром (или одномерной спектральной плотностью). В при-
применении к функциям Е(к) и Ex(kx) формулы A2.2), A2.4), A2.9)
и A2.10) принимают вид
= 2 J krsinkrB(r)dr, S(r)=J
а о
оо
г(*,)= J
A2.12)
A2.13)
В соответствии со сказанным на стр. 26 скорость убывания на
бесконечности корреляционной функции В (г) однозначно определяет
степень гладкости спектров F (к) и Е (А), а скорость убывания спектра
F(k) или ?(А) определяет степень гладкости корреляционной функ-
функции В (г). При этом коэффициенты разложения функции F(k) или
E(k) в ряд Тэйлора (если только такое разложение возможно) просто
выражаются через моменты функции В (г), а коэффициенты разло-
разложения Тэйлора функции В (г) выражаются через моменты функций
F(k) или E(k). В самом деле, разложив, например, в формулах
A2.2) и A2.4) функцию sin kr/kr в ряд Тэйлора, мы убедимся, что
разложения Тэйлора функций F(A), E (А)=4яА2/7 (к) и В (г) в точке
к = 0 и соответственно г = 0 имеют вид
.., A2.15)
где
h — l 1?ИШ\ — (-1)я4л
°^—Щ\\ dr" ;r-o~~ Bn4-l)t .
0

36
ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
П2.1
Из A2.17), в частности, видно, что значения ?Dл) @) производных
от В (г) порядка An в точке г=^0 неотрицательны, а значения
?D/1+2)@) неположительны. Далее, если F(k)~k* (т.е. E(k)~k9)
при ft->0, то в силу A2.14) и A2.16)
J
A2.18)
Этот результат нам еще пригодится впоследствии.
Из формул A2.4) и A2.2) или A2.12) вытекают также соотно-
соотношения
оо оо со
j ^ J ?j& A2.19)
A2.20)
Поэтому
ОС
;— R (f\\ I
7 2 J *
I и О
> оо оо
rB{r)dr=An\ F(k)dk = \ ^ф-dk.
о о
оо оо
[kF(k)dk [ k~
л о
• % о
J &F (k) dk J E (k)
A2.21)
dk
где L — характерный масштаб поля «(дс), совпадающий по порядку
величины с расстоянием, на протяжении которого еще сохраняются
заметные корреляционные связи между значениями поля в двух точках.
Другой, обычно значительно мень-
меньший по величине, характерный мас-
масштаб поля и(х) дается выражением
3 J E (k) dk
2 J k*E(k)dk
1/2
A2.22)
Рис. 4. К определению масштаба Я.
Этот масштаб равен длине отрезка, отсекаемого на оси абсцисс па-
параболой, соприкасающейся с графиком корреляционной функции В (г)
В его вершине (см. рис. 4),

12.2] S 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 37
12.2. Корреляционные функции
и спектры векторных изотропных полей
Перейдем к рассмотрению многомерных изотропных случайных
полей. На первый взгляд представляется наиболее естественным счи-
считать многомерное поле и(х)= {их(х)> ..., ип(х)} изотропным, если
все плотности вероятности для значений любых компонент этого поля
в какой-то системе точек пространства не меняются при произволь-
произвольных параллельных переносах, вращениях и зеркальных отражениях
указанной системы точек. В дальнейшем мы увидим, что на самом
деле более важным для теории турбулентности является другое опре-
определение многомерного изотрбпного поля, но начнем все же с много-
многомерных полей, изотропных в указанном выше смысле. Такое много-
многомерное поле характеризуется корреляционной матрицей
|| Вп (г) || = || UjMUtix + r) ||, A2.23)
все элементы которой зависят только от г = | г |. Аналогично выводу
формул A2.2) и A2.4) доказывается, что все элементы этой матрицы
могут быть представлены в виде
#оо
Вп (г) = 4я J i!jj?. Fn (к) A» dk, F)t (*) «-53- J -^ Bjt (r) r* dr.
0 0
A2.24)
где r, (#) = lim —-—-тг значения соответствующих взаим-
J dk-+o a"
ных спектров (см. выше стр. 23), зависящих в этом случае только
от А = Ц|. Поскольку в силу A2.24) спектры F}1{к) вещественны,
они удовлетворяют условиям
Fji(b)=*Fij(b). Fjj(k)>0 и 21/>(*)'//>° О2-25)
при любом k и любых вещественных cv ..., сп. Обратно, любые
функции Вп(г), представимые в виде A2.24), где Fji(k) удовлетво-
удовлетворяют условиям A2.25), являются элементами спектральной матрицы
некоторого изотропного случайного поля.
В теории турбулентности примерами многомерных случайных по-
полей служат поле скорости и-(х)=[ах(х), и2(х), иг(х)}> совокуп-
совокупность поля скорости и каких-то скалярных полей (например, пяти-
пятимерное поле {и(х)> р(х), Ъ(х))> где р(х) — давление, 0"(х)— тем-
температура) и, наконец, совокупность нескольких скалярных полей
(например, двумерное поле {p(X)t ft(x)}). Однако только для пЬлей
последнего типа имеет смысл приведенное выше определение изо-
изотропных многомерных полей. Дело в том, что при вращениях то-
точек X компоненты вектора скорости и{х) претерпевают

38
ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[12.2
преобразование (в соответствии с общим правилом преобразования
компонент вектора при вращении). Поэтому в применении к вектор-
векторному полю и(х)= [их(х), и2(х), и3(х)} условие изотропности надо
сформулировать следующим образом: векторное случайное поле и{х)
называется изотропным, если плотности распределения вероятности
значений компонент вектора и(х) в произвольной системе точек
xv x2, ...» xN не меняются при любых параллельных переносах
г*
\
\
\
\
\
\
u(xj)
Рис. 5. К определению векторного изотропного поля,
этой системы точек, а также при ее вращениях и зеркальных отра-
отражениях, сопровождающихся одновременным вращением или отраже-
отражением системы координат, относительно которой берутся компоненты
вектора. Так, например, двумерная плотность вероятности значений
их{хх) и и2(х2) (см. рис. 5) должна совпасть с плотностью вероятности
значений и[(х'Л и u'Jx'X где ti't(xr\ — проекция вектора и(х^\ на
ось Ox't (т. е. /-я компонента u(xty относительно «повернутой си-
системы координат»). В случае же поля типа [и(х)> р(х), Ф (ж)}, со-
содержащего кроме вектора и(х) еще и скалярные компоненты, изо-
изотропность предполагает, что соответствующие плотности вероятности
не меняются при параллельных переносах, вращениях и отражениях,
сопровождающихся линейным преобразованием компонент вектора и(х).
Пусть теперь и(х) — векторное изотропное случайное поле. По-
Поскольку это поле однородно, его среднее значение u(x) = U является
тюстоянным вектором. Но в силу изотропности этот вектор должен
оставаться неизменным при всех вращениях; следовательно, он дол-

12.2]
§ 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
39
жен быть нулевым. Таким образом, среднее значение векторного изо-
изотропного случайного поля обязательно равно нулю.
Более сложен вопрос об общем виде корреляционного тензора
изотропного векторного поля
uj (М) щ {№) = uj (х) щ (х + г) = Вп (г). A2.26)
При изучении этого тензора удобно перейти к специальной системе
координат Mx[x2xrzt первая ось которой Мх[ направлена вдоль век-
вектора г, а две другие оси Мх2 и Мх'ъ перпендикулярны этому век-
вектору (см. рис. 6). Обозначим значения компонент тензора В*ь(г)
в этой новой # системе через В',г (г)
(функции B'fl(r), очевидно, зависят
только от г = | г |, так как система
координат Мх'хх2хгъ при вращении пары
точек (Ж, М') поворачивается вместе
с нею). Поскольку при повороте на 180°
вокруг оси Мх[ направления осей Мх2
и Мх'ъ меняются на противоположные,
должны выполняться равенства
'*;
\
\
Кроме того, при помощи вращения
вокруг Мх[ можно перевести ось Мх'2
в Mxfy а при помощи отражения отно-
относительно плоскости Mx[x'z ось Мх2
можно перевести в
Мх'2, так что
Рис. 6. Система координат
Мх[х2х'ъ, связанная с точками
М и М'.
Отсюда видно, что тензор В'(г) (а. следовательно, и В Лг)\ сим-
симметричен и из шести различных компонент В'п(г) три компоненты
равны нулю и еще две равны друг другу. Поэтому остаются лишь
две не равные друг другу компоненты, которые мы обозначим сле-
следующим образом:
Bf22 (r) = В^ (г) = BNN (г) = uN(M)uN(M')
A2.27)
(здесь и всюду ниже под uL и uN понимаются проекции вектора и
на направление г и, соответственно, на какое-либо перпендикуляр-
перпендикулярное г направление). Функции BLL(r) и BNN(r) называются продоль-

4Й ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [125
ной и, соответственно, поперечной корреляционными функциями
поля и(х) (ср. рис. 7). При г = 0 эти функции, очевидно, должны
принимать одно и то же значение:
±Z&jf A2.28)
Разложив, далее, единичные векторы осей старой координатной си-
системы Охгх2х3 по осям системы Мх[х2х'ъ и воспользовавшись равен-
равенствами A2.26) и A2.27), получим
В л (г) = [BLL (г) - BNN (г) ] -2J-I- BNN (г) б;7, A2.29)
где б;7=1 при / —/ и буг = 0 при J Ф I, а Гу, /=1, 2, 3, — три
компоненты вектора г в системе Оххх2хг. Тем самым мы выразил^
все компоненты корреляционного тензора изотропного векторного
поля через две скалярные функции
J^ 0и _Ъ_ BLL(r) и BNN(r).
* *"*?,—^ В связи с важностью формулы
A2.29) приведем здесь (следуя Роберт-
сону A940)) еще один ее вывод, осно-
и* ванный на важной общей идее. Вос-
к пользуемся тем, что Bjt (r) — тензорная
функция вектора г, инвариантная отно-
j? T/ сительно всевозможных вращений и
отражений. Поэтому, если а и Ь —
Рис. 7. Корреляционные функ- произвольные единичные векторы, то
ции BLL и ^д,. квадратичная форма
В (г, а, &) =
будет уже скаляром, зависящим от трех векторов г, а и ft (послед-
(последние два из которых имеют единичную длину), причем от а и от
Ь — линейно. Но в силу результатов теории инвариантов группы вра-
вращений и отражений (см., например, Вейль A939)) скаляр В должен
выражаться через основные инварианты тройки векторов—длину
г = (ГуГуI/2 и скалярные произведения ra = rjuj, rb = rft] и ab^afii
(напомним, что Яуау = #у&у= 1). Поэтому общий вид функция
В (г, а, &), линейно зависящей от а и от ft, дается формулой
В (г, а, 6) = Ах (г) rlalrlbl + Л2 (г) aftj
и, значит, общий вид тензора Bjt(r) — формулой
Вп (г) = Ах (г) г/, + А2 (г) 6/j. A2.30)
Иначе говоря, тензорная функция вектора г, инвариантная относи-
относительно вращений и отражений, должна представлять собой линейную
комбинацию постоянного инвариантного тензора 6^ и тензора гjrt

12.2] § 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 41
с коэффициентами, зависящими от единственного инварианта, кото-
который можно составить из компонент г,—длины г==|г|1)- Переходя
опять к системе координат Mx[x'2x'z ( в которой rx = r, r2 = r3 = 0)
и рассмотрев всевозможные комбинации индексов J и / в A2.30),
ПОЛуЧИМ, ЧТО В\2 = #13 == #21 = #23 = Дз1 = #32 = 0 И ЧТО
BLL (') = ВП (Г) = ЧГ) Г2 + ЧГ)> BN№ = В'Ж) = В3» = Л W"
Отсюда видно, что формула A2.30) совпадает с A2.29).
Для окончательного решения вопроса о допустимом виде тензора
Bjt(r) надо только выяснить возможный вид функций BLL{r) и
bnn(?)' С этой целью рассмотрим представление A1.54) тензора
Bjt(r) в виде преобразования Фурье спектрального тензора F^{k).
В случае изотропного поля и(х) тензор Fji(k) будет изотропной
(т. е. инвариантной относительно вращений и Отражений) тензорной
функцией вектора к\ поэтому в силу соображений, приведенных выше,
F)i (*) = \Ри (*) - fnn (*)] ^r + fnn (*) 6у«. A2.31)
где
Щ? mW^^ A2.32)
— функции одного переменного А=|*|, называемые продольным и.
поперечным трехмерными спектрами поля и(х) (а индексы L и N
теперь обозначают проекции на направление вектора Л и на направ-
направление, перпендикулярное к k). Условие Fji(k) — Fij(—к) показывает,
1) Укажем еще два примера применения той же общей идеи. Поскольку
относительно одних только вращений (но не отражений) кроме единичного
тензора бу/ инвариантен еще и антисимметричный по всем индексам по-
постоянный тензор гщ, общий вид тензора Вд (г), инвариантного лишь отно-
относительно вращений, дается формулой
ВII (г) = Л, (г) г ft + Л2 (г) 6 ц + Л3 (г) Einrt
(показывающей, в частности, что тензор Вц здесь может быть и несиммет-
несимметричным). Аналогично этому общий вид осесимметричного тензора второго
ранга Вц (г), инвариантного относительно вращений вокруг осей, направ-
направление которых совпадает с заданным единичным вектором X, и отражений
в плоскостях, содержащих X или перпендикулярных X, дается формулой
Вц (г) =
где Ai Аъ — произвольные функции двух переменных г = (г2I/2 и гХ.
Теории осесимметричных случайных полей, статистические характеристики
которых инвариантны относительно перечисленных преобразований, посвя-
посвящены работы Бэтчелора A946) и Чандрасекара A950); см. также Бэтчелор
A953). Мы здесь, однако, ограничимся рассмотрением лишь изотропных
случайных полей, хотя поля, инвариантные относительно движений, но не
относительно отражений, и осесимметричные случайные поля также нахо-
находят применение в теории турбулентности.

42 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.2
что обе функции FLL{k) и FNN(k) Должны быть веществен-
вещественными. Кроме того, матрица Ц/^у^й)!) при всех k должна быть неот-
неотрицательной, что, как нетрудно проверить, равносильно условию
неотрицательности обеих функций FLL(k) и FNN{k) (вытекающему
также и из их определения A2.32)). Таким образом, для того чтобы
тензор Bjt(r) мог быть корреляционным тензором изотропного слу-
случайного векторного поля, его преобразование Фурье должно быть
представимо в виде A2.31), где
FLL(k)>0, FNN(k)>0. A2.33)
Подставив соотношение A2.31) в общую формулу A1.54) и вы-
выполнив интегрирование по угловым переменным (для чего удобно
использовать тождество I eikrkjklF (к) dk — — . , ( eikrF(k) dk),
можно получить формулы, непосредственно выражающие BLL(r) и
BNN(r) через FLL(k) и FNN(k). Эти формулы имеют вид
J
0
((см. Яглом A948)). Подставив A2.29) в формулу A1.55), выра-
выражающую Fjt(k) через 5yZ(r), и проделав аналогичные преобразо-
преобразования, получим
1 f I sin ^r . cos ^r^
A2.35)

12.2] § 12« изотропные случайные поля 43
Таким образом, чтобы проверить, могут ли данные функции BLL (г)
BNN{r) являться продольной и поперечной корреляционными функ-
функциями какого-либо изотропного векторного поля, надо подставить
эти функции в соотношения A2.35) и выяснить, будут ли соответ-
соответствующие функции FLL(k) и FNN(k) неотрицательными или нет
(см. ниже примеры на стр. 53—54).
Если и(х) = и(хх, х2, хг)— векторное изотропное случайное
поле, то величины ux(xv 0, 0) и u2(xv 0, 0), очевидно, будут пред-
представлять собой однородные поля на прямой х2 = х3 = 0 (т. е. ста-
стационарные процессы от переменного хх), а функции BLL(r) и BNN(r)
будут корреляционными функциями этих полей на прямой. Отсюда
вытекает, что одномерные преобразования Фурье функций BLL(r)
и BNN(r):
о
= ± $ coskirBu(r)dr A2.36)
= ^ J coskxr ВNN(r)dr. A2.37)
-oo. 0
которые мы будем называть продольным и поперечным одномер-
одномерными спектрами поля и(х), также всегда будут неотрицательными.
Легко видеть, что
о
= J
ц iK k2, k3) dk2 dk3,
"" A2.38)
F2 (*j) = J J F22 (A,, k2, Иг) dk2 dkb
—oo
(ср. аналогичную формулу A2.9) для скалярного поля и(х)). Под-
Подставляя сюда .выражение A2.31) для F\\\k) и F2?A^) и перейдя
к полярным координатам в плоскости (kv k2), после интегрирования
по угловому переменному получим
оо
F, (А,) = 2л J [FLL (k) k\ + FNN (k) (ft2 — kf)] k~l dk,
*» A2.39)
OO
F2 (A,) = nj[FLL (k) (k2 — ft?) + Fnn (*) (*2 4 ft?)] ft dk.
*i
Формулы A2.39) показывают, что если Fu(k)^0 и FNN(k)^0t
то также и Fx (ft) > 0 и F2(k)^ 0; однако обратное утверждение
может уже оказаться и неверным.

44
ГЛ.. VI» МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[12.2
Плотность распределения кинетической энергии и2(х)/2 по
спектру волновых чисел k в изотропном случае равна
Е (к)
= 2nk? \FLL (ft) 4: 2FNN (ft)]. A2.40)
Однако задание спектра E(k) еще недостаточно для однозначного"
определения спектрального тензора Fji(fc).
Заменяя в формулах A2.34) и A2.35) тригонометрические функ-_
ции соответствующими степенными рядами, получим, что разложения
Тэйлора функций BLL(r), BNN(r), FLL(k) и FNN(k) содержат только
четные степени независимого переменного:
A2.41)
FNN (A)
A2.42)
Для коэффициентов в правых частях A2.41) и A2.42) при этом по-
получаются следующие два ряда соотношений:
)г_0 =
(—1
оо
B«+l)J
О
оо
+ 2Jf
- A2.43)

12.2] § 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 45
(откуда видно, что В(Ля)@)>0. В##@)>0. В$+2)@)<0,
Bл)! \ dk"
(-1)"
2я2Bл)!Bл+1)Bл
- A2.44)
1
BлI Bл +1) Bл + 3)
Эти соотношения, в частности, показывают, как быстро должны
убывать на бесконечности функции FLL(k) и FNN(k) (или BLL{r)
и Ядгдг (г)), чтобы функции ВLl (г) и BNN (г) (соответственно /^ (&)
и FNN(k)) были по крайней мере 2п раз дифференцируемыми. От-
Отметим также, что если функция Bjj(r) = BLL(r)-\-2BNN(r) убы-
убывает на бесконечности быстрее, чем г", то в силу A2.44)
со
@) = Fnn @) = ер J 15?
о
(')l /-2 rfr. A2.45)
Последнее обстоятельство, очевидно, связано с тем, что если LL
фРххф), то тензор F^(k) будет иметь особенность в точке k = 0;
отсюда уже вытекает, что функции Bjt(r) должны в этом случае
достаточно медленно убывать на бесконечности.
В частном случае, когда FLL@) = FNN@) = 0, (т. е. когда
Fji{b) — CQk2bjl-\-clkjkl при ft->0), из A2.45) следует, что
00
J [Ви (г) + ZBNN {r)\ гЧг = 0.
A2.46)

46 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.2
Формулы A2.43) с /1 = 0 приводят к аналогичному A2.45) соот-
соотношению
00
Ви (°) = Bnn @) = -X J lF" <*> + 2F*nX*) 1 *2 <**• A2,47)
о • -
равносильному A2.40); в этом соотношении интеграл в правой части*
разумеется, уже всегда положителен.
Из формул A2.34) и A2.35) нетрудно вывести, что
00
= 2rfj FNN(k)kdk,
О
02-48)
J BNN (r) dr = Я2 J [/^ (А) 4- Z7^ (*)] k dk
О
и соответственно
A2.49)
Г 1 Г
FNN (k) dk = ^-~ \BLL (Г) + BNN (Г)\ Г ^Г.
J он J
0 0
С помощью соотношений A2.48) и A2.47) легко выразить через
спектральные плотности FLL(k) и FNN(k) продольный и поперечный
интегральные масштабы Lx и Z2 поля и(х):
11 J|» <,)*.. A2.50)
'АГАТ - - о
Аналогично этому продольный и поперечный дифференциальные мас-
масштабы /Ц и Я2, задаваемые формулами
с помощью A2.43) и A2.47) легко выразить через FLL(k) и FNN(k)
(ср. выше стр. 36).
Пусть теперь кроме изотропного векторного поля и(х) имеется
еще некоторое изотропное скалярное поле $(х) (с ф(л;) = О), при-
причем четырехмерное поле [и(х)> $(х)} также изотропно. Это четы-
четырехмерное поле характеризуется корреляционным тензором В п (г),

12.2] § 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 47
представимым в виде A2.29), скалярной корреляционной функцией
и вектором взаимных корреляционных функций
Я/о (г) = ау (*)¦(* +г).
/=1,2,3. A2.52)
Аналогично выводу A2.29) показывается, что
Bjb (г) = BLf> (г) Г±. Btj (г) = Вад (г) Цг = - Я?« (г) ^ t A2.53)
где BLt(r) = uL(x)ft(x~\-r) (и что %(*)ft(jc -f- г) = 0). Введем
в рассмотрение спектральные плотности Р^(к) с помощью формул
Bjt (г) = J e'*'Ffl(ft) dk* FJf> (ft) = JL J ^-^^(r) ^r (i2.54)
(и аналогично определим Fbj(k))\ тогда для них будут иметь место
соотношения, родственные A2.53):
Fj<>(k) = 1Ри>{к)Ц.. Ftl (ft) = IFU (ft) -^ A2.55)
(множитель* / здесь добавлен для удобства). При этом
tPLb (ft) t/ft = dZ\ (ft) ^/Z^ (ft), dZ*N (ft) t/Zd (ft) = 0, A2.56)
где dZ$(k) — комплексные амплитуды Фурье скалярного поля )
a dZL(k) и dZN(k) —проекции амплитуд dZ(k) векторного поля и(х)
на направление ft и на какое-либо перпендикулярное направление.
В силу условий /^(ft) = /=*/d(— ft) = 7^ (ft) (ср. A1.56)) функции
Рм(к) и Ftilfi) будут вещественными, причем FLb(k) = — Z7^(ft).
Легко проверить, что условие неотрицательной определенности ма-
матрицы ||/'у/(ft)||, /, /as 1, 2, 3, Ф, сводится к условиям /7u(ft)>0.
. A2.57)
Подобным же образом, в случае пятимерного изотропного поля
{«(*), Р(х), S(x)}, где Я(А?) и S (х) — скалярные поля (с таким
пятимерным полем нам придется встретиться ниже), соответствующие
спектральные плотности FLL(k)f FNN(k), FLP(k)> FLS(k), Fpp(k),
F(k) и FPS(k) должны удовлетворять следующим условиям,

48 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.2
гарантирующим неотрицательность матрицы ||/*«(*)||, /, /== 1, 2, 3,
Я, S:
Fpp (ft) FLL (k) — F2LP (*) > 0, Fss (ft) FLL (k) — F\s (ft) > 0,
2
Fpp (ft) Fss (ft) — F2PS W > 0, A2,58)
FU (k) [Fpp (k) Fss (k) — F2PS (k)] — F\P (k) Fss (k) —
(см. Яглом A948)).
Подставив соотношения A2.53) и A2.55) в формулы A2.54) и
выполнив интегрирование по угловым переменным, придем к следую»
щим равенствам, связывающим BL$(r) и /^
A2.59)
A260)
Отсюда, в частности, видно, что В^@) = 0, FL$@)=:0 (как это
и должно быть в силу того, что BN$(r) = Ot FN$(k) = 0 и 4fo
в нулевой точке индексы L и N не различаются) и что разложения
Тэйлора функций BL^{r) и FLt{k) имеют вид
+ ..., A2.61)
A2*2)
где
A2.63)
*-o

12.3] § 12. изотропные случайные поля 49
Кроме того, из A2.59) и A2.60) можно вывести, что
оо оо
J BLt (r)dr = 4я J FLfi(k)kdk, A2.65)
о о
оо
J
о
=±r\ BLt{r)rdr A2.66)
о
(ср. выше формулы A2.19), A2.20) и A2.48), A2.49)).
12,3. Соленоидальные и потенциальные
изотропные векторные поля
Приведенные выше данные о корреляционных функциях и спек-
спектрах изотропного векторного поля и(х) существенно упрощаются
в случае, когда заранее известно, что это поле является соленоидаль-
ным (бездивергентным) или же потенциальным (безвихревым). Дейст-
Действительно, если, например, поле и(х) является соленоидальнум, то
его корреляционный тензор Bjt (r) должен удовлетворять условиям
A1.80), а его спектральный тензор Fjt{k)— условиям A1.79). Но
в изотропном случае мы можем .воспользоваться тем, что тензор В^(г)
должен быть представим в виде A2.29), а тензор Fjt(k)— в виде
A2.31). При этом условия A1.80) и A1.79), как легко убедиться,
принимают вид
$?ви(г) A2.67)
/ 2 f \
I так что BLL (г) = —j" BNN(x)xdx \ и, соответственно,
\ о /
FLL(k) = 0. A2.68)
Условия A2.67) и A2.68) (так же, как и исходные условия A1.79)
и A1 ..80)) эквивалентны друг другу. Первое из них впервые было
найдено Карманом A937) и с тех пор обычно называется его именем;
второе же было указано на много лет позже (см. Яглом A948), Бэт-
челор A949а)).
Аналогично этому в случае потенциального однородного вектор-
\duj(x) дщ (х) ] " ~
ного поля —-~ j? \ui(x~f-r) = 0 и, значит,
0( kiFji{k)_kjFu{k) = Q A269)
4 А. С. Монин, А. М. Яглом

50 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.3
Подставляя в соотношения A2.69) общие выражения A2.29) и A2.31)
изотропных тензоров В^(г) и /^(Л), мы убедимся, что в изотроп-
изотропном случае условие потенциальности поля а(х) может быть записано
в одной из следующих двух эквивалентных форм:
В и (П = BNN (г) + г ^Ш^И A2.70)
( х Г \
I так что BNN (г) = — I BLL (x) dx I или
\ о /
FNN(k)=:0 A2.71)
(Обухов A954); см. также Обухов и Яглом A951)). Равенства A2.67),
{12.68) и A2.70), A2.71) показывают, что в случае соленоидального
или потенциального изотропного векторного поля а(х) корреляцион-
корреляционный и спектральный тензоры определяются одной скалярной функ-
функцией, а не двумя. В частности, спектральный тензор здесь однозначно
выражается через спектр E(k) формулы A2.40), связанный с трех-
трехмерными спектрами FLL(k) и FNN(k) очевидными соотношениями
Ank2FNN(k) в случае соленоидального поля,
A2 72)
2nk2FLL(k) в случае потенциального поля. v ' ;
Таким образом, спектральный тензор соленоидального изотропного
поля может быть представлен в виде
а потенциального изотропного поля — в виде
В силу формул A2.34), A2.35) и A2.67), A2.68) в случае соленои-
соленоидального поля

§ >*. изотропные случайные поля 51
и (в предположении, что r2BLL (г) -> 0 при г->оо)
Е (k) = i- J *r sin ?г [ЗВц (г) + гВ^ (г)] dr =
о
с»
= -L J (kr sin kr — k2r2cos Аг)В1? (r)dr. A2.77)
0
Точно так же в случае потенциального поля в формулах A2.34) надо
сохранить лишь первые слагаемые в правых частях и заменить FLL (k)
на E{k)j2nk2, a A2.35) можно переписать в виде
оо
Е (k) = -i- J kr sin kr [ZBNN (r) + rB'NN (r)]
dr =
oo
^ T J
о
sin Лг ~
Формулы A2.43) и A2.44) в применении к соленоидальному
полю и(х) принимают вид
Аналогично преобразуются эти формулы в случае, когда поле и(х)
является потенциальным.
В дальнейшем, рассматривая соленоида л ьное изотропное поле, мы
будем обозначать функцию FNN(k) (а рассматривая потенциальное
поле — функцию FLL(k)) просто символом F(k). Формулы A2.67) и
A2.70) показывают, что если сумма BLL(r)-\-2BNN(r) убывает на
бесконечности быстрее, чем г~3, то
Q A2.81)
как для соленоидального, так и для потенциального поля. В силу
A2.45) это означает, что в обоих случаях /7@)==0, т. е. E(k) — kA
при малых k (последнее условие гарантирует отсутствие особенности

52 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.3
у тензора Ftj(k) в точке * = 0). Наконец, формулы A2.48), A2.49)
показывают, что для соленоидального поля
со оо со
BLL (r) dr = 2 J BNN (r) dr = -J- J ?1?L dk,
6 ° ° A2.82)
CO OO CO
J rBNN (r) dr = 0, J rBLL (r) t/r = 2 J ^- tf^
0 0 0
а для потенциального поля
J BLL (r)dr = 0, J BNN (г) ^ = -J J -^ dk%
0 0 0
со со со
J rBNN (r) ^ = - J rBi? (r) dr = 2 J ^ dk.
Из второго равенства A2.82) и первого равенства A2.83), в част-
частности, следует, что в случае соленоидального поля функция BNN(r)
обязательно должна принимать также и отрицательные значения,
а в случае потенциального поля должна менять знак функция BLL (г).
К этим же выводам можно прийти, исходя из условий A2.67) и A2.70),
согласно которым в случае соленоидального изотропного поля и(х),
если rm+lBLL(r)~>0 при г->оо, то
j[ ^\ A2.84)
о
а в случае потенциального поля и(х), если rm+lBNN(r)->0 при
г->оо, то
со
J lBLL(r) + mBNN(r)]rmdr=*0. A2.85)
о
Сопоставление A2.77) и A2.12) показывает, что для того, чтобы
заданная функция BLL{r) могла быть продольной корреляционной
функцией соленоидального векторного поля, функция ЪВц -\- гВГц
должна являться корреляционной функцией некоторого скалярного
изотропного поля. Аналогично этому из формулы A2.78) следует,

12.3] § 12- изотропные случайные поля 53
что функция BNN может быть поперечной корреляционной функцией
потенциального поля, лишь если функция SBjvN-\-rBNN является
корреляционной функцией изотропного скалярного поля. Отсюда видно,
что совокупность продольных корреляционных функций всевоз-
всевозможных соленоидальных полей совпадает с совокупностью попе-
поперечных корреляционных функций всевозможных потенциальных
полей (этот результат верен для изотропных полей в пространстве
любого числа измерений; см. Яглом A957)). Последнее обстоятельство
вытекает также и из формул A2.39), согласно которым в случае
соленоидального поля
П°° ??\ E(k)
l-j?)-irdk> <12-86>
1 1 dE^kA
b— F (k\-~ —h (Xе! 9K7\
так что
а в случае потенциального поля
*2<*l)=J (l-!T
где Ех (k) = 2FX (k) и Е2 (k) = 2F2 (k) — продольный и поперечный
одномерные спектры. Поэтому и для того, чтобы функция BLL(r)
была продольной корреляционной функцией соленоидального поля,
и для того, чтобы функция BNN(r) была поперечной корреляционной
функцией потенциального поля, надо только, чтобы применение опе-
оператора k2 -jb? — ^Ж=^3"ТЖК одномерному преобразова-
преобразованию Фурье рассматриваемой функции приводило к неотрицатель-
неотрицательной функции. Исходя отсюда (или же непосредственно из фор-
формул A2.77) и A2.78)), нетрудно проверить, что все три функции,
указанные на стр. 33 в качестве примеров корреляционных функций
скалярных изотропных полей, могут являться также продольными
корреляционными функциями соленоидальных векторных полей или
поперечными корреляционными функциями потенциальных векторных

54 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.3
полей, В обоих случаях этим функциям будут отвечать спектры E(k),
соответственно равные
Примеры поперечных корреляционных функций соленоидального поля
и продольных корреляционных функций потенциального поля можно
получить из приведенных на стр. 33 примеров с помощью формул
A2.67) и A2.70).
Интегральные и дифференциальные масштабы Lv L2 и Xlt Х2
формул A2.50) и A2.51) в случае соленоидального поля будут сле-
следующим образом связаны друг с другом и с функциями Е (k) и F (k):
A2.91)
Зя
f E(k)k~ldk
0
оо
4 J E (k) dk
0
оо
5 J E (k) dk
0
oo
f E (k) k2 dk
0
1/2
Зя
f F(k)kdk
0
oo
4 J F (k) k2 dk
0
oo
5 J F (k) k
0
oo
J F(k)k<
0
1
2 dk
dk
1/2
A2.92)
Аналогично этому в случае потенциального поля
Зя
dk
= 0, L2
oo
4 J E(k)dk
5 J E (k) dk
о
3
. о
f E (k) k2
dk
1/2
A2.93)
Диссипация энергии е соленоидального изотропного поля и(х) в силу
A1.77), A2.88) и A2.87) равна
2v | А2? (Л) dA= 15v J #?, (Л) fifft = ^v J ft2?2 (A) dk, A,2.94)

12.3] § 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 55
а поле вихря <о (х) такого поля и (х) будет соленоидальным же полем
с трехмерным спектром k2F{k) (и спектром k2E(k)).
В случае пары изотропных векторных полей и(х) и v(x) такой,
что шестимерное поле {и(х)> v(x)} также изотропно, взаимные кор-
корреляционный и спектральный тензоры В^(г) = и . (х) ^ (х + г) и
F^Pik) будут обладать многими свойствами тензоров BJt(r) и FJt(k).
В частности, для них будут верны представления вида A2.29), A2.31),
A2.34) и A2.35) (где, однако, функции F{Lp(k) и /$#(*) уже не
будут обязательно неотрицательными). Если хоть одно из полей и(х),
v(x) соленоидально, то функции B{ii\r) и В%м(г) будут удовле-
удовлетворять условию Кармана A2.67) и будет выполняться равенство
Fffi (к) = 0; точно так же, если хоть одно из полей и (х), v (x)
потенциально, то функции Bffi(г), В%$(г) будут удовлетворять
условию Обухова A2.70) и будет выполняться равенство F%v^ (к) == 0.
Отсюда вытекает, что если одно из полей a(x)t v(x) соленоидально,
а второе потенциально, то F^ffi (к) = F$$ (k) = 0 и, следовательно,
B^jV (r) = 0. Таким образом, два изотропных поля, одно из которых
соленоидально, а другое потенциально, обязательно некоррелированы
друг с другом.
С другой стороны, следуя Обухову A954), легко показать, что
любое изотропное векторное случайное поле и(х) может быть пред-
представлено в виде суммы двух некоррелированных друг с другом полей,
одно из которых соленоидально, а второе потенциально. Действи-
Действительно, условие соленоидальности поля и(х) означает, что
= Ot т. е. dZL(k) = 0; A2.95)
точно так же условие потенциальности означает, что
tiflkjdZW^O. т. е. dZN(k) = 0. A2.96)
Поэтому для разложения произвольного однородного поля и(х) на
соленоидальную и потенциальную компоненты надо разложить век-
векторную функцию dZ(k), отвечающую этому полю, на «продольную
компоненту» dZL (k) и «поперечную компоненту» dZN (k) по формулам
dZL(k) = ^rkJdZJ(k)f dZN(k) = dZ(k)—±-kjdZj(k) A2.97)
и затем составить выражения
*,(*)= J ***dZN (А), «,(*)= J e**dZL (k). A2.98)
В таком случае и5 (х) и будет соленоидальной компонентой поля и (х),
а ир(х) — его потенциальной компонентой; поля us(x) и ир(х) будут

56 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.4
некоррелированными, причем
«(*) = а, (*) + »,(*). A2.99)
Спектральный тензор Fjt(k) исходного поля и(х) разобьется при этом
на слагаемые FNN(k)Fjt—kkjkt) и FLL(k)kk^kv соответствую-
соответствующие компонентам us(x) и ир(х), а корреляционный тензор BJt(r) —
на слагаемые В{]}(г) и B{fi(r)t первое из которых удовлетворяет усло-
вию д =0, а второе — условию -^ ^-i- = 0.
Докажем теперь, что никакое скалярное изотропное поле #(.*)
не может коррелировать с соленоидальным изотропным векторным
полем и(х). Воспользуемся тем, что в силу A2.56) комплексная
амплитуда Фурье dZ$(k) изотропного скалярного поля §(х) может
коррелировать только с dZL(k), но не с dZN(k)\ отсюда сразу вы-
текает, что само поле Ь(х) может коррелировать только с потен-
потенциальной компонентой изотропного векторного поля и(х), но не с его
соленоидальной компонентой. Тот же результат можно получить и
не используя представлений случайных полей в виде интегралов
Фурье — Стилтьеса. В самом деле, если и(х) — соленоидальное одно-
однородное векторное поле, а $(х) — однородно с ним связанное ска-
скалярное поле, то, очевидно,
O. . A2.100)
Учитывая, что Fj$(k) = iFLfi(k)k~lkjt получаем
т- е- ^(*) = ° A2.101)
(см. также неравенство A2.57)). Можно также, следуя Карману и
Ховарту A938), воспользоваться тем, что первое из равенств A2.100)
при Bj$(r) = BLfi(r)r~1rj обращается в уравнение
i BLf>(r) + ^-0ifl (r) = 0, A2.102)
решение которого BLft(r) = Cr~2 при СфО обращается в беско-
бесконечность в точке г = 0; следовательно, BLfl(r) = Q.
12А. Одноточечные и двухточечные старшие моменты
изотропных полей
Рассмотрим прежде всего одноточечные старшие моменты произ-
производных dut(x)ldxj векторного соленоидального изотропного поля
и(х). Эти моменты не зависят от х% т. е. являются постоянными.
Ясно, что они удовлетворяют обычным «неравенствам для моментов»,

12.4] § ii изотропные случайные поля 57
о которых шла речь на стр. 182 части 1. Оказывается, однако, что
из изотропности и соленоидальности поля и(х) вытекают дополни-
дополнительные неравенства для моментов величин durfdxj, более ограничи-
ограничительные, чем те, которым должны удовлетворять моменты произ-
произвольных случайных величин. Сейчас, следуя в основном Бетчову
A956), мы выведем такое дополнительное неравенство, связывающее
безразмерные характеристики
Величины s и 6 во всяком случае должны удовлетворять указан-
указанному на стр. 182 части 1 неравенству | s |<;61/2. Обозначим dui/dxi =
— ai,i (по * не суммируется!) и воспользуемся тем, что в силу
изотропности и соленоидальности поля и(х) величины altV a2t 2 и
а3,з имеют одинаковое распределение вероятностей и таковы, что
==0. Но нетрудно показать, что
(минимум достигается при а = ? =— с/2). Следовательно,
К1+Ч»+Чз|<
<^«1 + 42 + 4зI/2«1 + 42+4зI/2- A2Л04)
Поскольку
D1+42+4зI/2«1+42 + 4зУ/2<
<Г/ 9 I 9 I О \ / А I А I А. \1^/2 о / о \ 1 /2 / и \1/2
Ка1, I" а2, 2 ' a3, з) (а1, 1 I а2, 2 I a3, з)] = ^ (а1 0 (^1 l) •
то, осредняя обе части неравенства A2.104), получим
Bi.i) К i • т- е- И<Тогб -0,586 . A2.105)
Результат A2.105) является усилением общего неравенства \s\^,
^ 61/2. Однако и этот результат можно еще усилить, воспользовавшись
тем, что duxjdxv ди21дх2 и ди3/дх3 — диагональные элементы симме-
1 / дщ duj \
трического тензора aitjz=:'2\^ ^"Sx") со следом» равным нулю

58 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.4
(при выводе неравенства A2.105) тензорный характер величин atj
не учитывался). Обозначим собственные значения матрицы \\altj\\
через ах, а2 и а3. В таком случае ах-\-а2-{-а3 = 0 и, значит,
^(а2 + af + a*f*(a* + a\+ a*f A2.106)
(cp. A2.104)). Перейдем теперь к системе координат 0ХхХ2Хг,
осями которой являются собственные направления тензора ait p в этой
системе координат указанный тензор имеет элементы ЛДу (т. е. ему
отвечает диагональная матрица с элементами at по диагонали). Пусть
9 — угол между осью Охх и осью ОХХ («широта» оси Охх относи-
относительно системы ОХХХ2Х3), а ф — угол между плоскостью ОххХх и
осью ОХ2 («долгота» оси Охх). Преобразуя тензор аДу к системе
координат Оххх2хг по общему правилу преобразования тензоров,
получим
^1/(?AT1 = a1>1 = alcos2e + a2sin2ecos2<p-f a3sin28sin2<p. A2.107)
В формуле A2.107) как собственные значения av а2 и а3, так и
углы 6 и ф являются случайными величинами. При этом величины
av a2 и аг не зависят от ориентации осей координат, а углы 8 и ф
при вращениях системы координат пробегают все возможные значе-
значения. Поскольку в случае изотропного поля и(х) все распределения
вероятностей не должны зависеть от ориентации осей, распределение
вероятностей значений углов 0 и ф должно быть инвариантным отно-
относительно всевозможных вращений, т. е. направление оси Охх в си-
системе ОХХХ2Х3 при любых значениях av a2, а3 должно быть равно-
равномерно распределенным по единичной сфере. Но это означает, что
распределение вероятности значений углов 9 и ф не зависит от рас-
распределения величин av a2 и а3 и задается плотностью вероятности
р(9, ф) = Dл)~181п6. Поэтому при осреднении любой функции от
jx надо сначала проинтегрировать соответствующую функцию
от av a2» л3, 6 и ф по углам 0^ф^2л и 0^9-^я с весом
Dл)" sin 0, а затем осреднить полученный результат по всевозмож-
всевозможным значениям ах% а2 и а3. Учитывая, что a1 + a2 + a3 = 0 и, сле-
следовательно,
— 2(a1a2+ ага3-\- а2а3)= а\+а\+ а%
— {а\а2 + а\а3 + а\ах + а\а6 + а\ах + а\а^ = Ъаха2а3 =

12.4] § 12. изотропные случайные поля 59
и т. д., нетрудно подсчитать, что
A2.108)
Подставляя эти формулы в осредненное неравенство A2.106), мы
придем к неравенству Бетчова
-|1/2
т. е.
|1/81/а. A2.109)
являющемуся дальнейшим усилением неравенства A2.105).
Аналогичные неравенства могут быть получены и для моментов
величины да1/дх1 еще более высоких порядков или смешанных мо-
моментов этой величины и характеристик других случайных полей.
Остановимся вкратце на неравенствах для смешанного момента
д—) Т~*~ четыРехмеРного изотропного поля {и(х), $(х)}, где
Ф— скаляр, а— соленоидальный вектор. Введем в рассмотрение без-
безразмерные характеристики
Тогда из общего неравенства |^и2| <! («JI/2 (и|I/2, применимого к лю-
любым случайным величинам их% и2, вытекает, что
*• •¦
Заметим теперь, что
(минимум достигается при а = Ь = — с/2, a = р = 0). Следовательно,
A2.112)

60
ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[12.4
Полагая здесь a — dujdxx* Ь = ди2/дх2, c = duzjdxv a =
р r=s d$jdx2, y = d$jdxz, после осреднения получим
\(М\2 дпх . -ГГ
V2
т. е.
A2.113)
(ср. вывод неравенства A2.105)). Последний результат, однако,
также не является окончательным; его можно еще усилить, положив
= -—-, где, как и выше, av а2 и а3 — собственные
О Л з
система ко-
ко1 / dtii dtij \
значения тензора аи j = у (-gj- + -gj-l. a OA'jA^A'g—
ординат, определяемая собственными направлениями этого тензора.
Поскольку при этом
-— = a cos в + р sin в cos ф + у sin 6 sin ф, A2.114)
ох{
с помощью A2.107) нетрудно проверить, что
дщ 1 .-*¦
A2.1.15)
Аналогично доказывается, что
¦ЙгL = | («2 + Р2 + Y2J > \ (а4 + Р4 + Y4).' A2.116)
= Ж [(За! + а2 + а3J + (а! + За2 + а3J + (^! + а2+3а3J]
-П7)
(последнее равенство равносильно первому из равенств A2.108)).
Осредняя обе стороны A2.112) и используя A2.115) — A2.117), по-
получим
-.1/2
т. е.
A2.1 tt)
(этот результат принадлежит Яглому A967а)),

12.4] § 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 61
Перейдем теперь к двухточечным третьим и четвертым моментам
изотропных полей. Здесь мы рассмотрим лишь элементарные след-
следствия из условия изотропности, касающиеся общего функционального
вида таких моментов. Начнем с тензора двухточечных третьих
моментов изотропного векторного по-
поля и(х): . 4* Вил ul
uj (x) ux (jc+r). A2.119)
Поскольку из инвариантного тензора Ьц
и компонент вектора г можно соста-
вить только три симметричных по ин- Ц Вщк
дексам /, j тензора третьего ранга •" ?
rirfv rfiji-\-rfiu и rfiij> общий вид М
тензора Bt^ х (г) в изотропном случае
должен даваться формулой
Вij, i (r) = ^i (r) rtrjri + ^ 1 ^ г }
+ В2 (г) {Ьпгь + burj) + Вг (г) 6/yr|f ^ М'
A2.120) рис з. Корреляционные функ-
где Вх(г). В2(г) и Я300 —скаляр- ит в^^' bnn, l и ^^
ные функции от г = | г \ (ср. вывод
формулы A2.30) на стр. 40). Смысл функций Вх(г), В2(г) и Вг(г)
можно понять, перейдя к системе координат Мх[х'2х'г, ось Мх[
которой направлена вдоль вектора г, а оси Мх'2 и Мл^ перпендику-
лярны г (см. рис. 6 на стр. 39). Нетрудно видеть, что в этой си-
системе координат будут отличны от нуля только следующие компо-
компоненты тензора BijA{r)\
A2.121)
BLL, L С
Вш L(r
bln,n('
r) — Bu, i
0 = *22,l(
0 = B12, 2 {
{ (r) = tf| (X) UL (X + Г),
(r) = B[3j з (r) = tf? (x) ^ (x) aN (x + r)
(см. рис. 8). Поскольку в новой системе координат гх
в силу A2.120) имеем
Bu, i (r) = В, (г) гз + [2B2 (r) + B3 (r)} r,
BNN, L (') = BZ С) Г, BLN< N (Г) = В2 (Г) Г.
Таким образом, функции Bx(r), B2(f) и 53(г) выражаются через
'-" " '• и B^iN(r), после чего формула A2420)

62 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
переходит в следующую формулу Кармана и Ховарта A938):
R , , BUt L (r) - BN»t L (г) - 2BLNt N (г)
Bij, l (П = рз rffi +
[12.4
4
B
LN,N(r)
~
Из A2.121) ясно, что
того,
A2.122)
= 0't кроме
dr
(в силу однородности поля e(Jt)) и
dr2
(так как и^д2ах1дх^ меняет знак при замене оси Охх на —Охх\
по той же причине и В(и] ^@) = 0 при всех целых я). Следова-
Следовательно,
iuLK ?LLV+ .... A2.123)
где
(здесь опять использована однородность поля а (ж)). Что же касается
функций BNNU(r) и BLNN(r), то они также нечетны, но их раз-
разложение Тейлора, вообще говоря, будет начинаться с членов
ь'Г:"+ »(w"V+
г+ ... .»(w"V+.... „р.™»
(последнее условие вместе с A2.123) обеспечивает регулярность пове-
поведения тензора A2.122) в окрестности начала координат).
Тензор Fljtl(k)t являющийся преобразованием Фурье тензора
Bij%l(r), также может быть представлен в виде, аналогичном A2.122):
, / PLL. L W -*W W -2/?^> ЛГ W fc fc fc ,
=' I : p ¦ */*y*/ +
A2.124)

12,4] § й. изотропные случайные поля 63
(множитель / здесь добавлен для того, чтобы функции FlLL(k)f
Fnn.lW и f*iN,N(b) оказались вещественными). Из A2.124),
в частности, видно, что функции FlJt t (ft) будут регулярными в точке
ft = 0 (для чего надо только, чтобы функции Btjl(r) достаточно
быстро убывали на бесконечности), лишь если FLL L @) = FNN L @) =
и т. д. — коэффициенты при первой степени k в разложениях функций
FLL%L(k) и т. д. в ряды Тэйлора).
В случае смешанного двухточечного третьего момента В
= Uj (х) Ф (х) $ (х + г) изотропного поля {a(x)t $(x)} формулы,
родственные A2.122) и A2.124), имеют значительно более простой
вид. В этом случае
= впМг)Т9 Bt^t(r) = UL(x)^(x)^(x+r) A2.125)
и
fcj
где BL^t(r) и FLii%b(k) — вещественные функции одного переменного,
такие, что ^^,«@)as:/7I^^@)ass0. Под став л яя соотношения A2.125)
и A2.1250 в равенство A1.600 и в обратное ему равенство, по-
получим
Влв(г) = 4яJ {-i^ + i^JF^*)/^, A2.126)
00
W*) = -sr J {-^ + $$-}Вц>Мг)г2<1г A2.126')
(ср. равенства A2.59) и A2.60) на стр. 48). Отсюда вытекает, что
для функций BL^tb{r) и FLbtt{k) выполняются также и соотношения
вида A2.61) —A2.66) (с заменой всюду индексов L$ на 1Ф, Ф).
00
Отметим, что первый коэффициент biLf>t*]=s-~ FLbii(k)kzdk в раз-
0
ложении Тэйлора функции BL^t^{r) равен
ар;
гв0
= _
A2.
(так как -^ir^ssO в силу однородности поля [и(х),

64 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.4
Перейдем к двухточечным четвертым моментам изотропного век-
векторного поля и(х). Имеется два типа таких моменто$:
BU, ы (Г) = Щ (х) и; (х) ak (x + г) щ (л + г). A2.127)
Bijk, i (?) = ui (*) uj (*) uk (x) «, (ж + г).
Тензор Bijtkl(r) изотропен, симметричен по паре индексов /, J и по
паре k, I и не меняется при замене пары •/, j на k, l и наоборот;
поэтому формула типа A2.120) для него.имеет вид
BU, н (Г) = Сх (г) rirjrkrl + С2 (г) (/уД, ¦+- гкггЬф +
+ Сг (г) (г,гА6у| + rtrfiJk + Г;гк6и + rjrfiik) +
+ СА (г) Fw6yi + bifijk) + С5 (г) б,Д,. A2.128)
Аналогично показывается, что
(г) rt (rfijb + ry6/Jfe+r,6/y)+D4 (г) F,Д,+Мл+V«)- A2.129)
Скалярные функции Cj(r) DA(r), входящие в формулы A2.128).
A2.129), можно выразить через компоненты соответствующих тензо-
тензоров в специальной системе координат Mx[xf2xr^ имеющие ясный ста-
статистический смысл. Нетрудно видеть, что в этой системе координат
отличными от нуля будут только компоненты
BLL,LL(r)> BLL,NN(r)> BLN,LN(r)> BNN,NN(r)> A2.130)
BNN,MM(r)> BNM,NAt(r)
тензора Bijtkl(r), где индексом М отмечается направление, ортого-
ортогональное направлениям L (т. е. г) и N (см. рис. 9, а); пары индексов
до и после запятой здесь можно менять местами, так как Bijfkl(r) —
= Bkltij(r). Поскольку шесть функций A2.130) должны выражаться
через С\(г) ^s(r)' ясно» чт0 они не могут все быть независи-
независимыми. И действительно, выразив BLLLL{r) BNM,NAi(r) через
Сх(г) С5(г) с помощью A2.128), получим
BNN.NNiT) = *BNM.NM'ir) + BNN,MM{r) A2.131)
(это тождество впервые было указано Миллионщиковым A941 a, 6)J.
Представление A2.128) можно переписать в виде, содержащем лишь
функции A2.130); при этом получим
,, BU, LL V-2BLL, NN №BLN, LN ^+BNN, NN
ij, ki \n — Я
, BLL, NN (r) — BNN, MM (r)
, &LN, LN (r) "" BNM, iVAl (r) ,„ m « i^..a

12.4] § 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 65
Точно так же среди компонент Btjk> х (г) в системе координат Мх'гх^х'г
отличными от нуля будут только величины
blll,l<S\ BLLN,N(r)> BLNNt L(г). BNNNtN(r), BNNM> M(r) A2.133)
(см. рис. 9,6). С помощью A2.129) функции A2.133) могут быть
°LLLl
М М'
,1,1
DLLNN ¦ ¦ — -i—
M'
м
°LN, LN
'. * M it
M M' M
DNN, NN
M ?' M M'
j
Вщмм M*
Mk B-?M1 Am* Mf BnNM'M • '^fM'
ГЦ* tllM IUaa , uMf
Рис, 9. Двухточечные четвертные моменты первого (а) и второго (б) типов,
выражены через Dx (г) D4 (г); при этом оказывается, что
BNNN, N С) = UBNNM, м (Г). A2.134)
Формула A2.129) после перехода к функциям A2.133) принимает вид
о , ч BLLL, L (r)—ZBLLN N (r)—3BLNN L (Г) + BNNN N (Г) .
Bijk, l (П == ^4 rlrjrkrl +
j SBLLN N (r) —• BNNN N (r) ^
•i §^2 vfflki
-~ BNNN, N (r)
3r2
i bnnn, n (r) {btjbkl + bikbn + вуА,)- A2.135)
5 А, С, Монин, At M? Яглом

66 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.4
Аналогично A2.132) и A2.135) могут быть представлены и пре-
преобразования Фурье Ftj,ki(b) и Л/*,|(*) тензоров Bf)tki(r)=
= Вц, ы (г) - Bi} @) Вы @) и Bljkt г (г).
Предположим теперь, что изотропное векторное поле и (х) солено-
идально. Ясно, что в таком случае
дВи i(r)
дг] =0 и VW*) = °- A2.136)
Подставив в левую часть первого равенства A2.136) общее предста-
представление A2.120) или A2.122) тензора Bijtl(r) и приравняв нулю
коэффициенты при rtr j и при 6jy, получим
B(r) = —5@ = 5(г)
или, иначе,
^м i (О = —J- BLLt L (г), Д?ЛГ§ N (г) = i Я??§ t (г) + J ^'/(Г)
A2.137)
(в форме A2.137) эти соотношения были впервые указаны Карманом
и Ховартом A938)). В силу A2.123) отсюда, в частности, вытекает,
что в соленоидальном случае разложения Тэйлора функций BNI^t L (г)
и BLNN(r) начинаются с членов порядка г3 (этот же результат'сле-
результат'следует из того, что -5^20*0 = 0 и, значит, b[ = ul^
ОХ2 ОХ\
Н
Формула A2.122) для соленоидального поля и(х) принимает вид
В.. , (г) — гВги г (г)
% i (П = 2?з rlrjrl"T
+ i?,Hi1- и'?и(^( + гД) ^гДу. A2.138)
Подставив представление A2.124) тензора Fij,i(k) во второе ра-
равенство A2.136), получаем1)
^лглг.1(*) = ^,1(*) = 0. A2.139)
Мы видим, что спектральный тензор FlJt x (Л) определяется единствен-
единственной скалярной функцией ^лг,лг(^)» ниже Для краткости эту функ-
1) Результат A2.139) объясняется тем, что в соленоидальном случае
dZL (k) =3 0, где dZL — параллельная k компонента dZ. В самом деле, в силу
спектрального разложения A1.52) поля и(х)
FiJt г (fc) dfc - J dZ\ (fcx) dZ) (к - kx) dZt (fc)
(интегрирование по ku а к и dk фиксированы!). Отеюда видно, что
Г ^(Л) = 0 при любых / и /.

12.4] § 12. изотропные случайные поля 67
цию мы будем обозначать F$(k) и называть просто спектром третьего
порядка поля и(х). При этом
^} <12Л40>
Ясно, что спектр A2.140) будет регулярным в нуле, лишь если раз-
разложение Тэйлора функции Fz(k) начинается с члена порядка k3.
Подставив соотношение A2.140) в A1.60), преобразовав получен-
полученное выражение к виду A2.120) и сопоставив результат с A2.138),
нетрудно убедиться, что
Обратное соотношение, выражающее Fz(k) через BLLtL(r), может
быть получено с помощью подстановки равенства A2.138) з фор-
формулу, обратную A1.60); оно имеет вид
J{ ^Sf )u.L. A2.142)
о
Можно также вместо сравнительно сложных формул A2.138) и 12.140)
использовать то обстоятельство, что функции
так же как и функции
дВи ; (г) id \ 11 д 2
и T(k) = ikjFijl(k) = — 2kF3(k), являются преобразованиями Фурье
одна другой. Исходя отсюда, легко получаются соотношения:
оо
coskr
A2.142')
A2.141")
A2.142")

68 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.4
которые в случае достаточно быстро убывающей на бесконечности
функции BLLtL(r) равносильны формулам A2.141) и A2.142).
Из формулы A2.142) (или A2.1420, или A2.142")) нетрудно
вывести, что все производные Fz(k) четных порядков обращаются
в нуль в тачке 4 = 0 и что если BLltl(r) при г—*оо убывает бы-
быстрее, чем г~6, то при малых k
00
| A2.143)
Аналогично из A2.141) (или A2.141'), или A2.141")) вытекает, что
в окрестности точки г = 0
оо со
,i (') = -Tt J FM&dk • r + Ц- J
О О
J
О
так что в силу A2.123), A2.1230
=-^(?g-)\ A2.144)
В следующей главе вместо функции Fz(k) обычно будут исполь-
использоваться функции T(k) = — 2kFz(k) или же Т(k) = — 8nk*Fz(k).
Ясно, что все формулы, содержащие Fz(k), могут быть переписаны
также в виде, содержащем Г (k) или T(k); например:
= — J
о
J
О
оо
— Ъ) kr sin kr + №r2 cos kr]
оо
= -- j kr sin krK (r) dr, A2.142'")
о
00
= O, \т(к)кЧк = -Щ^)г A2.1440
о ¦
и т. д.
Условие соленоидальности поля и (х) позволяет упростить и общий
вид тензора Bijfctl(r); при этом условии он будет зависеть лишь от

12.4] § 12. изотропные случайные поля 69
двух скалярных функций, а не от четырех *). Что же касается момен-
моментов Bj$t$(r) и Btjtkl(r)t то на их общий вид (и, в частности, на
число скалярных функций, от которых они зависят) не влияет, будет
или не будет поле и(х) соленоидальным. Это не значит, однако, что
соленоидальность поля и(х) вообще не сказывается на величинах
Ву^^(г) и Bijtkl{r). Например, равенство A2.126") показывает, что
в общем случае функция BLtfi(r) при малых г может быть пропор-
пропорциональна первой степени г; но в соленоидальном случае, очевидно,
i(L§ fh 1 diii л о 1 дщ «о л
Ъ\ ' ' = — ~Т!П~ 6"Т"^ и> слеД°ватеЛьн0»
в г А»(г) = Ш*> V+ъЧ*> V -
6
A2.145)
Выражение для коэффициента $*'** может быть преобразовано
к более удобному виду следующим образом. В силу однородности
в случае соленоидального поля и(х) и произвольного скалярного
поля $(х) имеем
Но
W7=
1 гK<А>2
~ 7 а
в силу изотропности поля {u(x)t W(x)}. Поэтому u\-fa~ —
Следовательно, если поле и(х) соленоидально, то
4 дхх \дхх) A2 Иб)
О В частности, если использовать представление соответствующего спек-
спектрального тензора Fijkti(k) в виде, аналогичном A2.135), то из условия
соленоидальности к^г{ ~ ^ (ife) = 0 будет следовать, что FLLL L (k) =
e ^LNNt lW^Q (t* e* ^т0 ^ш, ^ W = ^ ПРИ любых /, у, Л; ср. сноску на
стр. 66).

70 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.5
В силу A2.126) равенства A2.145) и A2.146) означают также, что
dtij
если -з— = 0, то
dxj
=-"L*h.(*L)\A2Л47)
В случае, когда поле и (х) потенциально, корреляционные и спек-
спектральные тензоры высших порядков также заметно упрощаются; так,
например, в этом случае FLNtN(k)^O. Однако [потенциальные поля
менее важны для теории турбулентности, и поэтому мы на них не
будем задерживаться.
12.5. Трехточечные моменты изотропных полей
Трехточечные моменты скалярного изотропного поля и(х) (на-
пример, В (г, г') = и (х) и (х -f- г) и (х + г') или B2tll(rt r') —
= и2(х)и(х-\-г)и(х-\-г') зависят от трех скалярных аргументов:
г== |г|, /¦'= |г'| и $ — rr'\rr' (вместо р можно использовать также
само произведение гг\ или г"=\г' — г|, или любую другую функ-
функцию от г, г1 и rrf). Точно так же и шестимерные преобразования
Фурье (по г и по г') трехточечных моментов будут зависеть от трех
аргументов: ?=|jfc|, k'=\k'\ и [х = ftft//^*/ (или, что то же самое,
от kt k1 и kk' или от kt kf и^"'= \к' + ЛГ\).
Сложнее обстоит дело с трехточечными моментами изотропного
векторного поля и(х) или изотропного поля {u(x)t $(x)}t содер-
содержащего векторную и скалярную компоненты. Поскольку в дальнейшем
нам такие моменты также понадобятся, мы остановимся на них не-
немного подробнее, ограничившись для простоты лишь наиболее важ-
важными трехточечными моментами третьего порядка.
Начнем с рассмотрения смешанного момента В^ (г, г') =
U](x)b{x-\-r)b(x-\-rr)t являющегося инвариантной относительной
й й йф^ в г и г'. Скаляр
] р любом единичном векторе а может
инвариантов г, г', гг'— гг'р, га и г'а, причей
от последних двух —линейно. Отсюда вытекает, что
вращений и отражений ^векторной, функцие^ вект
В (г, r't a) = Bjm(rt /"fit] при любом "единично
зависеть лишь от инвариантов г, г', гг'— гг'р,
Вт(Г, г') = В{г, г', 9)!^± + Вх(г, г', р)-^-, A2.148)
где S и В, — скалярные функции трех аргументов. Но поскольку
Bj»(r, r') = Bm(r', г), то 5,(г. г', р) = В(г', г, р) и. значит.
Bm(r. r') = B(r, г', р)!±-\-В(г', г, р)-^-. A2.149)

12.5] § 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 71
Таким образом, момент Вт(г, г') определяется одной скалярной
функцией В (г, г', р). Если векторное поле и(х) соленоидально, то
ii+iftw- r')=0- A2Л50)
В этом случае функция В (г, г', р) удовлетворяет некоторому диф-
дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка,
содержащему значения В (г, г', р) и В(г', г, р).
Шестимерное преобразование Фурье функции В^(г, г'), которое
выше мы условились обозначать символом ^^(ft. А'), по аналогии
с A2.149) может быть представлено в виде
. A', v)^l +-F(k\ А, \ь)Щ A2.151)
^l
(поскольку FJffi(— ft, — ft') = F* (ft, ft'), множитель — / приводит
к тому, что функция F(A, k', \i), где \i — kk'lkk', оказывается веще-
вещественной). Если поле и(х) соленоидально, то (kj-\-k/)Fj^(kt ft')=0,
т. е.
F(k. k\ ii)(k + k'\i)+-F(k\ k, \i)(k\i-{-k') = 0. A2Л52)
Введем в рассмотрение скалярную функцию
Г*(ft, A', \i) = ikjFm(k, ft'). A2.153)
Тогда равенство A2.152) приобретает вид
1«(А. A', |i) = —Г^А7. A, |i). A2.154)
С другой стороны, легко видеть, что в этом случае
F(k, А', Ю=^*П^2) Tf>(kt k'' ^ A2.155)
С помощью A2.155) и A2.151) спектр FJf^(kt kr) однозначно
определяется антисимметричной по А и А' вещественной функцией
Гф(А, A', \i) от трех переменных. Поскольку В^$(г, 0) В()
при любом \х (где— 1 <><i 1) имеем
В (г. О, \i) = BL^(r)t В @, г, (i) = 0 A2.156)
(ср. A1.610), т. е.
оо 1
, A', ii)kf2d\idkf = — kFL^(k). A2.157)
о -1

72 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [12.5
Перейдем теперь к рассмотрению трехточечных третьих моментов
, г') = щ(х)Uj(x + г)иг(x + г0 векторного поля и(х). Из
\ Ь 14
ф( ) щ()j( + )г( + 0 р ()
компонент гv г\ и единичного тензора Ьц можно составить 14 раз-
различных тензоров третьего ранга. Поэтому вместо формулы A2.148)
теперь мы будем иметь формулу, содержащую 14 слагаемых, коэф-
коэффициенты при которых зависят от трех аргументов г, гг и р или
от/, гг и r"=z\r' — r\ (ср. ниже A2.160)). Условия симметрии
г) = Яуя(—г. rr —r) A2.158)
позволяют уменьшить число независимых функций, от которых зависит
тензор Btji(r, rf)\ но все равно окончательный результат остается
весьма сложным. Если поле и(х) соленоидально, то тензор Вь^{г, rf)
должен удовлетворять еще дополнительным соотношениям
A2.159)
Эти соотношения, Однако, трудно применить для упрощения общего
вида тензора B^t(rt r'). Поэтому мы здесь ограничимся тем, что,
следуя Праудмену и Риду A954), разберем вопрос об общем виде
спектрального тензора F^ (ft, k') (шестимерного преобразования Фурье
тензора Вщ(г, г')). Изотропный тензор Ftjl(ft, ft') может быть пред-
представлен в виде суммы 14 слагаемых, а именно:
Fin (ft, ft') = — / [/71ft/ftyft/ + P2kikJkfl + /73ft/ft/yft/ + Fik'ikjki +
Д + ЛМу + ^2*;*yi + PyJ*'j>u + VAJ. A2.160)
где Fx Fl4 — функции от ft, W и |Jt (или от ft, kf и к" =
^=|ft/-f-ft|), а множитель—i добавлен, чтобы сделать все эти функции
вещественными (так- как Ftil{—ft, —k') = F\ji(ft, ft7)). Условия
симметрии A2.158) в применении к этому тензору принимают вид
Рщ{Ъ. ft/) = /?//y(ft/. k) = FjU(-k-k\ ft'), A2.161)
а условия соленоидальности A2.159) показывают, что
Последние условия позволяют резко уменьшить число функций,
определяющих общий вид Рщ(к, к'). Введем обозначения

12.5] § 12. ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 73
тогда kjbjm(k) = O и bJm(k)fm(k) — fj(k), если kmfm = O. Поэтому
. k') = Fi}l(k, ft') A2.163)
(ср. выше стр. 30). Подставив в левую часть A2.163) выражение
A2.160) для тензора Fmnp(k, k'), убеждаемся, что 8 из 14 членов
A2.160) обращаются в нуль при свертывании с Ау„(*) или A//?(*').
так что в левой части A2.163) остаются лишь члены, содержащие
выражения kmk'nkp, k'mk'nkp, kmbnpt kpbmn, k'mbnp и k'nhmp. Кроме
того, поскольку
^(*")(*m*>p+*;w=° и \т (*")(* тьпр+k'm6np)=o.
можно исключить также и члены, содержащие k'mk'nkp и k'mbnp. Окон-
Окончательно для Fiji(k, ft') получается выражение вида
Ftjl (ft. ft') = - iAim (ft") Д/я (ft) Alp (ft') [ФАтблр+
;*,]. A2.164)
Воспользовавшись условиями симметрии A2.161), нетрудно проверить,
что
Ф(?, ?', *") = — Ф(А', ft, k"),
W(k, k', k") = — W(k', k, k") = -W(k, A", k'), A2.165)
Oi(ft, k', k") = — ®{k", k', k), O2(ft, k', k") =
так что
. *'. k»)kmbnp-
*'. ^ft.ftiftj. A2.166)
Итак, в соленоидальном случае тензор ^у/(*. *0 определяется двумя
функциями Ф(&, A7, k") и ^(А, А7, А-'), первая из которых анти-
антисимметрична по первым двум аргументам, а вторая — по любой паре
аргументов.
Функции Ф и \Р можно заменить любыми другими двумя незави-
независимыми скалярными функциями, построенными noF^ft, *')• В даль-
дальнейшем нам еще встретится функция
Г (A, ft', M^tktFtjjfa *')> A2.167)

74 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.1
которую с помощью A2.166) нетрудно выразить через Ф и V.
В силу A2.161) и A2.162) эта функция антисимметрична по k и й':
Г (ft, ft', |i) = — T(k', k, [i). A2.168)
Кроме того, в силу A1.61) и A2.140) она удовлетворяет соотношению
со 1
J Г(А, A7, li)k'2d\idk' = — 2kFz(k) = r(k)t A2.169)
о -1
со
2л J
о
которое нам понадобится в следующей главе.
§ 13. ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ И ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
13.1. Процессы со стационарными приращениями
Первый параграф этой главы был посвящен случайным функциям,
обладающим свойствами стационарности или однородности. Теперь
мы остановимся на одном обобщении этих свойств, играющем важную
роль в теории турбулентности.
Начнем со случайных процессов — функций одного переменного t.
Рассмотрим для примера задачу о диффузии (безразлично, молеку-
молекулярной или турбулентной) частиц, взвешенных в жидкости; пусть
u(t)— значение в момент t некоторой координаты одной из таких
частиц. Процесс u(t), очевидно, нестационарен, так как с течением
времени возрастает вероятность того, что частица далеко удалится от
своего начального положения. Если, однако, свойства среды не
меняются со временем, а течение всюду одинаково, то распределение
вероятностей для пути, пройденного частицей за время т (от мо-
момента t и до момента t-\-x)t уже не будет зависеть от t. Более
того, многомерное распределение вероятностей для случайных вели-
величин u(t + t2) — u(t + tx), a(t + t4) — u(t — t3) tt(t + t2n) —
—u(t-\-t2n_{) ПРИ ЛК)бых nut, tv t2, .... hn-v *2n здесь также не
будет зависеть от t. Иначе говоря, многомерные плотности распре-
распределения вероятностей для разностей
и (t2) - и ft), и (*4> - и (*з) и (t2n) — и Ц2я_д
в этом случае не будут меняться при одновременном произвольном
сдвиге всей группы точек tv t2% ..., t2n вдоль оси времени. Слу-
Случайные процессы u(t), удовлетворяющие последнему условию, срав-
сравнительно часто встречаются в прикладных задачах (в том числе
и во многих задачах теории турбулентности); следуя Колмогорову
A940а), мы будем называть их процессами со стационарными
приращениями.

13.1] I is. локально однородные случайные поля 75
Ясно, что любой стационарный случайный процесс является одно-
одновременно и процессом со стационарными приращениями. Существуют,
однако, и нестационарные процессы со стационарными приращениями.
Таким процессом является, в частности, упоминавшийся выше про-
процесс изменения во времени координаты диффундирующей частицы.
Широкий класс процессов того же рода составляют также неопре-
неопределенные интегралы от стационарных процессов v{t), т. е. процессы
u(t)= ^v{t')dt'-\-c, A3.1)
. где t0 — фиксированное число, с — постоянная случайная величина
(простейшими примерами процессов вида A3.1) являются линейные
функции u(t) = vt +-с, где v и с -г постоянные)х). Эти примеры
показывают, что понятие процесса со стационарными приращениями
является существенным обобщением понятия стационарного про-
процесса.
Важнейшими, статистическими характеристиками процессов и (t) со
стационарными приращениями являются зависящие только от т мо-
моменты случайных величин Дтн (t) = и (t + т) — и (t). Простейшим из
них является первый момент
-в @1- A3.2)
В силу очевидного равенства и (t + t\ + т2) — и (f) =
= [и (t +1\ + т2) — м (* + т2)] + [м (t + т2) — м (t)] функция т (т)
должна удовлетворять соотношению
fit \Xi -j— T2J = In \X\) —|— W ^T2j. (lO.O)
Будем считать т(т) непрерывной функцией т. Тогда из A3.3) выте-
вытекает, что
Я1(т)=гс,т. A3.4)
1) Впрочем, можно показать, что если v(t) = 0 и Г Fv(о)©-2 rfo< оо
—оо
(где Fv (©) — спектр v (t)), то постоянную с можно подобрать так, чтобы
процесс A3.1) был не только процессом со стационарными приращениями,
но и просто стационарным процессом. Однако и в этих случаях стационар-
стационарность будет иметь место лишь при одном специальном выборе случайной
величины с, а при всех прочих значениях с процесс и (t) будет уже неста-
нестационарным.

76 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.1
где сх— постоянная. Обозначив и@) = с0 (т. е. допустив, чтои(О)
существует1)) и, представив u(t) в виде [и(t) — и@)] -f-tt(O), полу-
получим, что в силу A3.4)
7Щ=со + с^. A3.5)
Напомним, что в случае стационарного процесса u(t) среднее значе-
значение H(t) должно быть постоянным (см. формулу D.59) на стр. 202
части 1); поэтому стационарные процессы могут использоваться для
описания турбулентности лишь в случае установившихся течений,
все осредненные характеристики -которых не меняются во времени.
Привлекая же процессы со стационарными приращениями, мы получаем
возможность описывать также и турбулентность в неустановившихся
течениях (правда, лишь в течение промежутков времени, т протяже-
протяжении которых изменения всех осрёдненных характеристик потока
можно приближенно считать линейными2)); одно это обстоятельство
уже объясняет значительный интерес процессов со стационарными
приращениями для теории турбулентности.
Ясно, что в случае процесса и (t) со стационарными приращениями
значения разности u(t-\-x) — u(t) = kxu(t) при различных t и фикси-
фиксированном х представляют собой стационарный процесс, зависящий
от параметра т. Поэтому при экспериментальном определении постоян-
постоянной сх можно пользоваться осреднением по времени t разностей
Дти(О» опираясь на обычную эргодическую теорему для
{) Вообще говоря, в теории процессов со стационарными приращениями
допустимо считать, что для самих значений рассматриваемого процесса даже
не существуют распределения вероятностей, а одномерные и многомерные
распределения существуют лишь для разностей значений процесса и (t)
в двух точках. Отсюда, в частности, вытекает, что распределения вероят-
оо
ностей для Г и (t) 9 (t) dt в этом случае существуют только при условии,
—оо
оо
что Г 0 {f) dt sa 0; поэтому и характеристический функционал Ф [9 (*)] для
-00 J
процессов со стационарными приращениями, вообще говоря, имеет смысл
00
лишь для таких функций 9 (t), для которых Г Q(t)dt~O (ср. Яглом A955,
1957)).
2) В тех случаях, когда предположение о линейности закона изменения
осрёдненных характеристик течения представляется недостаточно точным,
можно пользоваться математической теорией случайных процессов со ста-
стационарными приращениями высшего порядка (см., например, Яглом A955)
или Гельфанд и Виленкин A961)). Мы здесь, однако, на этом не будем
останавливаться, поскольку в дальнейшем такие процессы нам нигде не
понадобятся.

13.1] § 13. ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 77
ных процессов (см. п. 4.7 части 1). После того, как сх определено,
мы можем вычесть из значений процесса и (t) значения линейной функ-
функции cQ-\-cxt (где с0 какое угодно) и перейти таким образом от u(t)
к новому процессу ux(t)==u(t)— cxt— с0, удовлетворяющему усло-
условию [их (t -f- т) — их (t)] == 0. Поэтому без ограничения общности можно
рассматривать лишь такие процессы u(t) со стационарными прираще-
приращениями, для которых сх = 0; так мы и будем всегда поступать в даль-
дальнейшем.
Перейдем теперь к рассмотрению второго момента разностей
Д хи (t) = и (t + т) — и (t), представляющего собой функцию трех
переменных:
[а (tx + хх) — и (tx)] [и (t2 + т2) - и (t2)] = D(t2 — tv xx, т2). A3.6)
Воспользуемся следующим элементарным тождеством:
(a — b)(c — rf) = l[(a — df + ф — cf — {a — cf~(b — df\. A3.7)
Полагая здесь а = и(/2 + т2), * = м(/2), c = u(tx-\-xx) и d = u(tx),
найдем, что функцию A3.6) можно представить в виде
D(t, xv t2) = 1 2@
A3.8)
где D(t)—неотрицательная функция от одного переменного, опре-
определяемая равенством
A3.9)
(т. е. D(t) = D@, т, т)). Функцию D (т) мы будем называть струк-
структурной функцией процесса u(t). Согласно A3.8) в случае процесса
со стационарными приращениями эта функция однозначно определяет
и общий второй момент A3.6) разностей &xu(t); поэтому для теории
таких процессов она столь же важна, как и общий второй момент
величин и {t) — корреляционная функция В(х) — для теории стацио-
стационарных процессов.
Структурная функция, очевидно, по самому своему определению
всегда неотрицательна, четна и удовлетворяет условию D@) = 0.
В отличие от корреляционной функции В(х), всегда являющейся
ограниченной (в силу неравенства | В(х) |<;5@)), функция D(x)
может неограниченно возрастать при т~>оо; так, например, если
и (t) = vt + с, то D (т) = Ах2, A = v2>0. Покажем теперь, что
возрастание структурной функции при т~>оо не может быть сколь
угодно быстрым и даже никогда не может быть более быстрым, чем
в приведенном примере. Воспользуемся известным неравенством
[и (т2) — и (х{)) [и (т4) — и (т3)]

78 ГЛ VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.1
(левая часть этого неравенства равна коэффициенту корреляции вели-
величин и(%2) — a(ti) и и(х4) — и(Тз), всегда заключающемуся между —1
и 1). Следовательно,
или, иначе,
(т/я)
Если теперь мы обозначим символом А максимум непрерывной функ-
функции D (т)/т2 == ф (т) на интервале 1 <<т«<2 и учтем, что любое т> 1
всегда заключено между некоторыми п и 2я, где п — целое (так что
1<^т/#^2), то из A3.10) немедленно будет следовать, что
?(т)<Лт2, т>1. A3.11)
В частном случае, когда функция D(x) дважды дифференцируема
в точке т = 0, можно, воспользовавшись свойствами Ь(т), записать
эту вторую производную в виде
после этого, полагая в A3.10) я->оо, немедленно получаем
1 A3.110
Рассмотрим еще частный случай, когда u(t) — не только процесс
со стационарными приращениями, но и стационарный в обычном смысле
процесс; как обычно, будем считать, что u(t) = 0. В этом случае
функция D(x) просто выражается через корреляционную функцию ?(т):
раскрыв в A3.9) квадратные скобки, получим
B(x)]. A3.12)
Из A3.12), в частности, следует, что в рассматриваемом частном слу-
случае структурная функция наверное ограничена: | Ь(т) |^4?@). Далее,
отсюда видно, что, зная корреляционную функцию стационарного про-
процесса, мы тем самым знаем и его структурную функцию. Обратное

13.1] § 13. локально однородные случайные поля 79
утверждение, вообще говоря, неверно: в общем случае формула A3.12)
не позволяет однозначно определить В(х) по функции D(t). Если,
однако, из физических соображений ясно, что связь между значениями
u(t) и я(* + т) затухает при т->оо и поэтому ?(т)->0 при т->оо,
то в силу A3.12) получаем
lim D(t) = D(oo) = 2B@), B(x)^^[D(oo) —D(x)l A3.13)
г
t->oo
Поэтому для стационарных случайных процессов с затухающей на
бесконечности корреляционной функцией В(х) статистические харак-
характеристики В(х) и D(x) являются взаимно заменяемыми: по одной
из них всегда можно определить и другую1).
При экспериментальном определении структурной функции D(x)
вероятностное осреднение обычно заменяют временным осреднением,
т. е. используют осреднение по достаточно большому промежутку
времени Т величин &хи (t) = u(t-\-x) — и (t) (где т фиксировано) для
ряда значений т. При этом часто оказывается, что в случае стацио-
стационарного процесса u(t) структурная функция D(x) находится с по-
помощью осреднения по заданному промежутку времени Т с меньшей
ошибкой, чем корреляционная функция 5(тJ). Поэтому даже в тех
случаях, когда именно корреляционная функция В(х) представляет
основной интерес, в ряде случаев целесообразно находить по данным
измерений значения D(x) и, кроме того, величину B@) = u2(t), а за-
затем воспользоваться формулой A3.13).
Перейдем теперь к вопросу о спектральном разложении процессов
u(t) со стационарными приращениями (и отвечающих им структурных
функций ?>(т)). При этом удобно начать со случая дифференцируе-
дифференцируемых процессов. В этом случае производная u'(t) = v(t) будет ста-
стационарным процессом, имеющим спектральное разложение вида A1.10),
1) К сожалению, в прикладных задачах значение D (оо) = 2В @) часто
лишь очень неточно находится по результатам измерений функции D (т) (по-
(поскольку приближение функции D (х) к постоянной при т -> оо оказывается
весьма медленным). В этих случаях величину В @) = u2(t) следует находить
непосредственно с помощью осреднения по времени квадрата значений про-
процесса.
Заметим еще, что при и (t) = const Ф 0 также можно пользоваться фор-
мулой A3.12), причем под В (т) теперь можно понимать и и (t) и (t + т), и
и/ (t) и' (t + т) ==*_[« (t) — Щ [и (t + т) — и] (так как в стационарном случае зна-
значения D (х) от и не зависят). Однако зависящую от и функцию и (t) u(t-\-x)
при и Ф 0 уже нельзя однозначно определить по D (т).
2) Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что при
переходе от величин и (t) к разностям и (t -{- т) — и (t) выпадают из рассмо-
рассмотрения (взаимно сокращаются) наиболее долгопериодные спектральные ком-
компоненты пррцесса и it) (с периодами, много большими т), вызывающие наи-
наибольшие ошибки при сравнительно небольшом осреднении.

80 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.1
a u(t) будет выражаться через v(t) при помощи формулы A3.1).
Подставив в A3.1) спектральное разложение процесса v(t) и заменив
порядок интегрирования по dt и по dZ(F)t получим
A3.14)
где Zv (со) — случайная функция от частоты со, входящая в спектраль-
спектральное разложение процесса v(t), а и0 — постоянная случайная величина
(равная и @)) *). Иначе последнюю формулу можно записать в виде
u(t)= \(еш — l)dZ(co) + «o. A3.15)
— ОО
где Z (со) определяется на полуосях со > 0 и со < 0 условием2)
г2
Z(о2) — Z(о^) = Г dZ^&) , О<оI<оJ или со1<со2<О. A3.16)
Ясно, что приращение Z(h(d) = Z((d2)—Z((ox) функции Z(co) на интер-
интервалах, не содержащих точки со = 0, будут обладать обычными свой-
свойствами A1.8), указанными на стр. 10, а также свойством Z(—Дсо) =
= Z*(Aco). Если процесс v(t) = u'(t) имеет спектральную плотность
Fv((x>) = Ev((d)/2, то в силу A3.16)
|Z(Aco)|2= j F((d)d«>, | dZ(co) P = F (со) rf0 = ~ E (со) dco, A3.17)
где ?*@) = 2Z7 (со) = 2FV (со)/©2 = Ev (©)/©2 — неотрицательная функ-
функция, определенная при © > 0 и удовлетворяющая условию
оо
J «?E((d)d(o<oo. A3.18)
1) Если точка © = 0 является точкой скачка функции Zv (©) (т. е.
lim [Zv (e) — Zv (— e)] = и{ Ф 0), то вклад этого скачка в интеграл A3.14)
-> о
^?(д/ — 1
следует считать равным их Um г;— == и^. Мы здесь, однако, всегда
(д)«^0 1@
будем предполагать, что функция Zv(&) не имеет точек разрыва, так как
в теории турбулентности дискретный спектр не встречается (см. выше стр. 12).
2) Для интервалов [&и ©2]. содержащих точку © = 0, интеграл A3.16)
может и не существовать. Поэтому несобственный интеграл в правой
части A3.15), строго говоря, следует понимать как предел
е->0 I -Г

13.1] § 13. ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 81
Для структурной функции A3.9) из A3.15) и A3.17) получается
формула
оо
D(t) = 2 J (I— coscot)?(co)fl7co. A3.19)
о
Заметим, что в силу условия A3.18) функция ?(со) может быстро
стремиться к бесконечности при приближении со к нулю; тем не менее
формула A3.19) всегда имеет смысл, так как возрастание Е (со) ком-
компенсируется стремлением к нулю функции 1 — cos сот (пропорциональ-
(пропорциональной со2 при малых со). Функция Е(а>) (или F (со) = Е (со)/2) называется
спектральной плотностью (или, короче, спектром) процесса со
стационарными приращениями u(t), а представления A3.15) и A3.19) —
спектральными разложениями этого процесса и его структурной
функции.
Можно показать, что спектральные разложения такого же вида
существуют и для любого недифференцируемого процесса u(t) со
стационарными приращениями. Единственным различием по сравнению
с дифференцируемым случаем является то, что в общем случае спектр
Е (со), определяемый соотношением A3.17), может не убывать на бес-
бесконечности столь 6bicfpo, чтобы интеграл A3.18) был конечным.
Вместо этого надо только, чтобы при любом со0 > 0 выполнялись не-
неравенства
С00 оо
J (О2Е (со) t/co < оо, J E (со) d(o < оо. A8.26)
О ю0
Иначе говоря, вблизи нуля должен сходиться интеграл Г со2Я (<о) d®,
о
оо
а на бесконечности — интеграл | E((o)d(o; легко видеть, что этого
уже достаточно для того, чтобы интеграл A3.19) имел смысл. Ока-
Оказывается также, что всякая функция D(x), представимая в виде A3.19),
где Е (со) — неотрицательная функция, удовлетворяющая A3.20),
является структурной функцией некоторого случайного процесса со
стационарными приращениями. Доказательство всех этих утверждений
впервые было дано Колмогоровым A940а), а также, в совсем другой
связи, Нейманом и Шенбергом A941); его можно найти, в частности,
в монографии Дуба A953) *).
1) В работе Колмогорова и книге Дуба рассматривается даже более
общий, чем у нас, случай, когда распределение величины | dZ (©) |2 по оси
частот может не быть непрерывным и не задаваться спектральной плотно-
плотностью F (ю) или В (ю) = 2F (о).
б А. С. Монин, А. М. Яглом

82 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.1
В специальном случае, когда выполняются не только условия A3.20),
оо
но и более ограничительное условие Г ?(<о)й?<о < оо, процесс u(t)
о
будет не только процессом со стационарными приращениями, но и
процессом, стационарным в обычном смысле. Действительно, при ука-
указанном условии интеграл в правой части A3.15), как нетрудно пока-
показать, может быть представлен в виде разности двух сходящихся инте-
интегралов, первый из которых совпадает с обычным спектральным раз-
разложением A1.10) стационарного процесса, а второй равен постоянной
случайной величине (не зависит от t). Также и правая часть фор-
формулы A3.19) в этом случае может быть представлена в виде разности
двух интегралов. В другом специальном случае, когда выполняется
условие A3.18), процесс u(t) будет дифференцируемым; его произ-
производная и'(t) в этом случае будет стационарным процессом со спек-
спектром <й*Е(®).
оо
То обстоятельство, что при условии A3.20) величина Г E(a))d(ot
о
обычно имеющая в случае стационарных процессов смысл энергии,
может обращаться в бесконечность, показывает, что для процессов
со стационарными приращениями эта величина или уже не будет
иметь такого физического смысла, или же будет бесконечной лишь
из-за использования математической идеализации рассматриваемого
Процесса, непригодной для описания истинного поведения спектраль-
спектральной плотности в области наиболее низких частот (при со->0).
Покажем теперь, что из спектрального разложения процессов со
стационарными приращениями можно вывести также и ограничения
на скорость роста D(t) при т->оо, полученные на стр. 78 другим
способом. В самом деле, применяя первое из элементарных неравенств
| 1— COS0t|<^y-, | 1 —COS (ОТ |< 2
при 0<ю<;<д0, а второе — при о > (о0, из A3.19) получаем
СОо оо
J <D2?(<o)d<D+-i- J ?(<D)d<D. A3.21)
В силу A3.20) правая часть здесь является величиной ограниченной;
следовательно, D(t) не может возрастать на бесконечности быстрее,
чем функция Ах2 (где Л — постоянная). Более того, из A3.21) на
самом деле вытекает, что при существовании спектральной плот-
плотности ?(<о) возрастание D(x) при т->оо всегда будет более медлен-
медленным, чем т2, так что
*0. A3.22)

13.1] § 13. ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 83
Действительно, пусть 6 — произвольное (сколь угодно малое) положи-
положило
тельное число. Тогда, в силу сходимости интеграла Г а>2Е (со) do
о
вблизи нуля, всегда можно выбрать щ столь малым, чтобы пер.вый
член в правой части A3.21) был меньше 6/2. При этом значение
оо
4 j E(<d)d(d окажется фиксированным и всегда можно будет выбрать
такое 7\ что при т>Г и второй член правой части A3.21) будет
меньше 6/2. Итак, при достаточно большом т правая часть A3.21)
становится меньше любого положительного 6; именно это обстоя-
обстоятельство и выражает соотношение A3.22) *).
Важный класс структурных функций мы получим, задавая D(x)
в виде степенной функции
D(x)=Axy, Л>0, 0<y<2 A3.23)
(Y>0, так как должно быть D@) = 0, и Y<2 B силу A3.22)J).
Нетрудно видеть, что функции A3.23) представимы в виде A3.19),
если за ?(со) принять степенные функции
где
„¦A Ay r(l+Y)sin^
¦ A.
-cos* . 2cos^f ГA-у)
ттл— dx
A3.240
Поскольку функции A3.24) положительные и удовлетворяющие усло-
условиям A3.20), отсюда вытекает, что функции A3.23) действительно
могут являться структурными функциями процессов со стационарными
приращениями. Отметим, что при т-^оо все эти функции неограни-
неограниченно возрастают.
Структурные функции A3.23) обладают тем интересным свойством,
что для них существует группа преобразований масштаба времени /
') Без предположения о существовании спектральной плотности ?(©)
соотношение A3.22), разумеется, нельзя доказать, так как для процессов и (t),
содержащих линейную компоненту щ (t), это соотношение уже будет невер-
неверным.
2) В' качестве предельного случая можно рассматривать также и случай
Y = 2, отвечающий процессам вида и (t) = uj -f- щ, где щ и щ — постоянные
случайные величины.

84 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.1
и масштаба величины и (т. е. группа «преобразования подобия» вида
/->77, u->Uu), оставляющая структурную функцию неизменной.
В самом деле, в этом случае D(x) = U2D(Tx) при U = T~y/2 и
любом Т > 0. Функции, обладающие указанным свойством, мы будем
называть автомодельными; свойство автомодельности означает,
в частности, что с формой данной функции нельзя связать никакого
характерного масштаба. Нетрудно показать, что корреляционная функ-
функция стационарного случайного процесса не может быть автомодельной
и что функции вида A3.23) являются единственными автомодельными
структурными функциями (см. Колмогоров A9406)). В дальнейшем
мы увидим, что автомодельные структурные функции играют важную
роль в теории развитой турбулентности.
Перейдем теперь к многомерным случайным процессам со стацио-
стационарными приращениями, т. е. к многомерным процессам ^и (t) =
= {и\ (/)» •••» ипУ)}> для которых плотность распределения веро-
вероятности для разностей значений каких-либо компонент в произвольной
совокупности пар точек не меняется при любом одновременном сдвиге
всех рассматриваемых точек вдоль оси времени. Будем считать, что
Средние значения разностей uk(t-\-%) — tik{t) равны нулю при всех
k= 1, 2, ..., п и любых вещественных t, т; в таком случае спект-
спектральное разложение многомерного процесса u(t) будет записываться
в виде
со
= J (еш— l)dZ(co)-|-:Oo. A3.25)
—оо
где и0—постоянный случайный вектор, a Z(co) = {Zl((d)i ..., Zk((o)} —
векторная случайная функция такая, что dZ\ (со) dZt(g)j) = 0 при co^Oj
и любых k и L Предположим, кроме того, что все процессы uk(t),
k=l, 2, ..., я, имеют спектральные плотности (иначе говоря, что
коэффициент корреляции между приращениями uk(t-\-x) — uk(f) и
ик(х) — uk@) при всех k=lt 2 п убывает при t->oo столь
быстро, что как функцию от t его можно разложить в интеграл
Фурье). Тогда мы будем иметь также соотношение
dZ\ (со) dZt (со) = FM (©) d@ A3.26)
(которое можно объединить с условием dZ* (со) dZl (cd)j = 0 при
в символическое равенство A1.39)), где Fkl((o) — комплексные функ-
функции, удовлетворяющие условиям A1.34), A1.36), A1.37) и такие,
что при любом со0 > О
Щ , оо
J CD2/7JfeJfe(co)^(o<oo, J Fkk (со) flfco < оо, А=1, 2 п.
A3.27)

13.1] § 13. локально однородные случайные поля 85
Из формул A3.25) и A1.39) для общего второго момента при-
приращений компонент процесса u(t), задаваемого формулой
Dkl(t2^tv xv т2), A3.28)
получается выражение
оо
DM(t, xv т2)= J еш(е-ш< — \)(eiw'— 1)/%,(«>) <fo. A3.29)
—CO
В частности, функции
Dkl(x) = [uk(t + x)-uk(t))[ul(t + x)-ul(t)}t A3.30)
которые мы будем называть структурными функциями многомер-
многомерного процесса со стационарными приращениями, равны
оо
Dkl(x) = 2 J (I — cos сот) Fkl((d)d(x> A3.31)
—оо
(ибо Dkl(x) — Dkl@t т, т)). Эти структурные функции по своему
определению являются вещественными (но при k Ф I не обязательно
неотрицательными), четными, симметричными по индексам (так что
Dkl(x) = Dlk(x)) и такими, что Dkl@) = 0; легко видеть, кроме
того, что
2 Dw(t)Vi>0 A3.32)
Af, /«I
при любых вещественных т и cv..., cn. Отметим, однако, что
в многомерном случае общие функции Dkl(t, xv т2), вообще говоря,
нельзя выразить через функции Dkl(x): тождество A3.7) здесь ока-
оказывается неприменимым. Более полезно в этом случае следующее
тождество:
(в| — *i) (ck — dk) = (aft — dk) {ax — dt) +
+ {bk-ck)(Pi-cl)-{ak-ck)(al-cl)-{bk-dk){bl-dl). A3.33)
Полагая в нем aj = и j (t2 + т2), bj = Uj(t2)t Cj = tij{tl-\-x^ и
dj = tij(t1) при / = & и /, мы найдем, что по крайней мере сумма
Dkl(t, xv т2)-+-?>#(*, Tlf т2) всегда может быть выражена через
функции Dkl(x):
/, Tlf т2) =
{t-xx)-Dkl{t-xx + x2)-Dkl{t). A3.34)
В частном случае, когда
Duy.xl.xd~D№(!.xl.x& A3.35)

16 ГЛ. VI, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.2
из A3.34) следует, что и Dkl(t, xv t2) можно выразить через много-
многомерные структурные функции. Согласно A3.29) для справедливо-
справедливости A3.35) должно выполняться условие Fkl (со) = Flk (со), эквивалент-
эквивалентное в силу A1.36) вещественности всех спектральных плотностей
13.2. Локально однородные поля
Аналогом понятия процесса со стационарными приращениями в при-
применении к случайным функциям от точки X является понятие локально
однородного случайного поля (иначе — случайного поля с однород-
однородными приращениями). Под этим понимается такое случайное поле и(х),
все распределения вероятностей для разностей значений которого
в некоторой совокупности пар точек не меняются при любом парал-
параллельном переносе всех рассматриваемых точек !). Аналогично случаю
процесса со стационарными приращениями доказывается, что среднее
значение приращений &ги (х) = и (х-\-г)-— и(х) поля а(х) является
линейной функцией вектора г:
i = ^r, A3.36)
где сг — постоянный вектор (так что, например, для полей в трех-
трехмерном пространстве схг = сххгх + сх2г2 + ^з^з)- Среднее значение
самого поля и (х) (если только оно существует) будет даваться
формулой
A3.37)
где с0 — некоторая постоянная. При естественных условиях эргодич-
эргодичности, указанных в п. 4.7 части 1, значение вектора сг можно опре-
определить с помощью пространственного осреднения разностей Дг# (х) =
= и(я + г) — и(х) по х. После этого мы можем вычесть из значе-
значений поля линейную функцию сгх-{-с0 (где с0 можно выбрать произ-
произвольно) и затем считать, что сх = 0; так мы и будем поступать далее.
Спектральная теория локально однородных полей, родственная
спектральной теории процессов со стационарными приращениями,
была развита в работе Яглома A957) (см. также Гельфанд и Вилен-
кин A961)). Основную роль в этой теории играет доказательство
1) Распределения вероятностей для самих значений и (х) в теории локально
однородных полей вообще не рассматриваются и даже могут считаться несу-
несуществующими. Поэтому величины вида Г и (д:) 9 (jc) dx и характеристический
функционал Ф [6 (х)] здесь имеют смысл только при условии, что Г 9 (х) dx » 0
(ср. первую сноску на стр. 76).

13.2] § 13. локально однородные случайные поля 87
того, что любое локально однородное поле и(х) может быть пред-
представлено в виде
), A3.38)
где интеграл распространен по всему пространству векторов к, за
вычетом точки ft —0, йо = #(О) — постоянная случайная величина,
a dZ(k) — Z(dk) — значение функции Z(Aft) от многомерного интер-
интервала Дй = [?', к!'\ (определенной для всех интервалов, не содер-
содержащих начала координат), отвечающее инфинитезимальному интер-
интервалу dk = [k, к + dk]1). Дифференциалы dZ(k) обладают свойства-
свойствами A1.44), а несобственный интеграл в правой части A1.38) пони-
понимается аналогично интегралу в правой части A3.15)..Представление
A3.38) называется спектральным разложением локально однородного
поля и (х). Общий второй момент приращений Дг# (х) поля и (х)
= D(x2 — xv rv r2) A3.39)
в силу тождества A3.7) может быть выражен через структурную
функцию этого поля
D (г) = [и(х + г) — и(х)]2 A3.40)
при помощи равенства
D(x. rv г2) = ^{Л(д:-г1) + ^(^ + г2)-Л(д:-г1 + г2)-Л(д:)}.
A3.41)
Трехмерная спектральная плотность (или трехмерный спектр) F(k)
поля и(х) определяется равенством A1.44) или, точнее говоря,
равенством
. A3.42)
F (к) является неотрицательной четной функцией волнового вектора к
удовлетворяющей при любом к0 > О неравенству
>k2F(k)dk <oo, J F{k)dk <oo. A3.43)
I k к *0 I *
1) Аналогично тому, как это делалось при рассмотрении процессов со
стационарными приращениями, мы с самого начала предполагаем, что суще-
существует спектральная плотность поля и (х) (для чего достаточно, чтобы коэф-
коэффициент корреляции между приращениями &ги(хг) и Аги(х + х{) разла-
разлагался в интеграл Фурье по х, т. е. достаточно быстро стремился к нулю
при | х | -> оо). Из этого предположения, в частности, вытекает, что точка к = 0
пространства волновых векторов не может являться точкой дискретного
спектра» т. е. не вносит в значения и (х) конечного вклада. В противном же
случае правую часть A3.38) надо было бы ещё дополнить слагаемым и{х,
где щ — постоянный вектор (ср. первую сноску на стр. 80).

88 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.2
Структурная функция D(r) выражается через F(k) следующим
образом:
D(r) = 2 J(l— coskr)F(k)dk. A3.44)
Верно и обратное утверждение: всякая функция, представимая в виде
A3.44), где F(k) удовлетворяет указанным условиям, является струк-
структурной функцией некоторого локально однородного поля.
Наряду с трехмерной спектральной плотностью F (ft) — плотностью
распределения в пространстве волновых векторов — можно рассматри-
рассматривать также спектральную плотность E(k) на оси волновых чисел,
выражающуюся через F(k) с помощью формулы A1.48). Для такой
спектральной плотности условия A3.43) принимают вид, аналогич-
аналогичный A3.20): у
ft0 оо
J k2E (ft) dk < оо, J E (ft) dk < со. A3.430
0 *o
Естественным обобщением понятия локально однородного поля
является понятие многомерного локально однородного случайного
поля — такого многомерного поля и(х) = {ах(х) ип(х)}> что
все распределения вероятностей разностей значений его компонент
в некоторой совокупности пар точек не меняются при всевозможных
параллельных переносах всех этих точек. Средние значения компо-
компонент такого поля в силу A3.36), A3.37) будут линейными функциями
от координат; как и в случае одномерного поля, без существенного
ограничения общности эти средние значения можно считать равными
нулю. Предположим, кроме того, что все коэффициенты корреляции
между приращениями tij(x-^-rx) — Uj(x) и Uj(r2) — #Д0) неограни-
неограниченно убывают при лс->оо (и фиксированных гг и г2), и притом
столь быстро, что их можно разложить по х в интегралы Фурье.
В таком случае спектральное разложение поля и(х) будет иметь вид
и(х)= J (е***— \)dZ(k)-\-Uo, A3.45)
где ио = и(О) — постоянный я-мерный случайный вектор, a dZ(k)
определяется по значениям Z(Aft) = \ZX(Aft) Zn(kk)\ векторной
случайной функции от интервала Aft пространства волновых векто-
векторов ft (имеющей смысл лишь для интервалов, не содержащих начала
координат этого пространства). Дифференциалы dZj (ft) будут обладать
свойствами A1.53) и свойством dZj(~k) = dZ*(k). В силу A1.53)
rfZj D) *?,(*) = Fn (ft) dk. A3.46)
где Fji(k) — трехмерные спектральные плотности поля и(х).
Эти плотности обладают свойствами A1.56) и таковы, что матрица

13.2] § 13. локально однородные случайные поля 89
|| Fл (k) || при любом кфО является неотрицательной и при любом к0 > О
J VFU (k) dk<oo, J Fu (k) dk < oo. A3.47)
\k\<kQ \k\>k<>
Если мы введем в рассмотрение структурные функции поля и(х),
определяемые равенством
A3.48)
то эти функции будут следующим образом выражаться через Fjt(k):
Dn(r) =2.J A — co$kr)Fn(k)dk. A3.49)
Функции Djt(r) четны, симметричны по индексам (т.е. Djt{r) =
z=Dtj(r)) и таковы, что Dy7@) = 0; кроме того, при любых веще-
вещественных г и сх сп
2 Dyl(r)^>0. A3.50)
У» ^™1
Тождество A3.33) показывает, что для того, чтобы через Од(г)
можно было выразить функцию
, rv r2)=[uJ(rl) — uj@)][ul(x + r2)-ul(x)l A3.51)
надо только, чтобы выполнялось условие
Dji(x, rv г2) = ОИ(х, rv r2). A3.52)
Условие A3.52), как нетрудно видеть, равносильно условию Fjt(k) =
= ^Д*)» означающему (в силу эрмитовости матрицы Ц/7^*)!!), что
все функции Fji(k) вещественны.
В случае, когда и(х) — поле скорости, наряду с тензорными
спектральными плотностями Fji(k) удобно рассматривать еще и ска-
скалярную спектральную плотность F(k) — половину следа тензора
F]t(k), а также спектральную плотность E(k) на оси волновых чисел,
являющуюся интегралом от F(k) по сфере \k\ = k (см. A1.58));
условия A3.47) могут быть при этом переписаны в виде условий,
налагаемых на плотность E(k).
Поскольку частные производные первого порядка поля и(х)
(или и(х)) определяются как пределы отношений разностей значений
поля в двух точках и соответствующих приращений аргументов,
ясно, что распределения вероятностей для значений производных
локально однородного поля в некоторых точках будут инвариантны
относительно всех параллельных переносов этих точек. Таким обра-
образом, все частные производные первого порядка (а значит, также и

90 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.3
всех высших порядков) любого одномерного или многомерного локально
однородного поля, для которого соответствующие производные суще-
существуют, представляют собой однородные случайные поля. С помощью
формулы A3.33) легко выразить корреляционные функции производ-
производных поля и(х), удовлетворяющего условию A3.52), через соответ-
соответствующие структурные функции:
duj(x) дйг(х') _1 d*Dn(r)
дхт дхп 2 дгтдгя
(ср. A1.69)); в одномерном случае (или при ./ = /) формула вида
A3.53) получается из A3.7) без всяких дополнительных ограничений.
Спектральные разложения A3.38) и A3.45) локально однородных
полей показывают, что спектральные разложения производных от
таких полей даются теми же формулами A1.66) и A1.70), которые
выше были выведены для производных однородных полей. Условие
существования производных здесь также может быть записано в уже
известной нам форме A1.68)х) (нетрудно показать, что это условие
может быть переформулировано и.как условие существования произ-
производной в два раза более высокого порядка у структурной функции
Djj(r) поля Uj(x) в точке г = 0). Также и все остальные резуль-
результаты п. 11.3 могут быть перенесены на случай локально однород-
однородных полей почти без изменения.
13.3. Локально изотропные поля
Рассмотрим теперь такие локально однородные поля, которые
являются также локально изотропными, т. е. обладают тем свойством,
что распределения вероятностей для разностей их значений в любой
совокупности пар точек не меняются при произвольных вращениях
и отражениях всей рассматриваемой совокупности точек. Такие локально
однородные и локально изотропные полл (которые дальше мы будем
коротко именовать просто локально изотропными) играют в теории
турбулентности существенную роль. Поэтому целесообразно указать
здесь основные относящиеся к ним факты (доказательства которых
могут быть найдены в уже упоминавшейся статье Яглома A957)).
Начнем со случая одного (скалярного) локально изотропного слу-
случайного поля и(х). Среднее значение приращения u(x-j-r) — tt(x)
такого поля должно даваться формулой A3.36); но поскольку в нашем
случае вектор сх должен сохраняться при всех вращениях простран-
!) Легко видеть, что условие A1.68) налагает ограничение лишь на ско-
скорость убывания спектральной плотности Fjj (k) на бесконечности; в силу
A3.47) в нуле интеграл A1.68) будет сходиться при любых тъ ть т3, не
всех равных нулю.

13.3] § 13. ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 91
ства, он может быть только нулевым. Таким образом, среднее зна-
значение приращений любого скалярного локально изотропного поля
должно тождественно обращаться в нуль; если среднее значение
u(x) — U(x) самого поля и(х) существует, то оно должно быть
постоянным.
Структурная функция D(r) локально изотропного поля и(х), оче-
очевидно, может зависеть лишь от г = I г I:
A3.54)
Отсюда можно заключить, что соответствующая трехмерная спект-
спектральная плотность F(k)— F (k) зависит только от длины k вектора ft,
т. е. однозначно определяется спектральной плотностью Е (k)=4nk2F(k).
Переходя теперь в формуле A3.44) к сферической системе коорди-
координат и выполнив интегрирование по угловым переменным, получим
A3.55)
где Е (k) = 4nk2F (k) — неотрицательная функция, удовлетворяющая
при любом k0 > О условию
J k2E(k)dk<oo, ( E(k)dk<oo. A3.56)
О *о
Обратно, любая функция D(r), представимая в виде A3.55), где
E(k) — неотрицательная функция, удовлетворяющая условию A3.56),
является структурной функцией некоторого скалярного локально изо-
изотропного случайного поля.
Ясно, что любая функция D(r), являющаяся структурной функ-
функцией локально изотропного случайного поля в трехмерном простран-
пространстве, будет также и структурной функцией подобного же поля на
прямой (т. е. иными словами, структурной функцией некоторого про-
процесса со стационарными приращениями). Так же, как и в п. 12.1,
доказывается, что соответствующая одномерная спектральная плот-
плотность El(kl)t входящая в одномерное спектральное представление
функции D(r), имеющее вид
D (г) = 2 | A — cos V) E\ (*i) dkv A3.57)
о
будет связана с плотностью E{k) теми же соотношениями A2.13).
которые справедливы для изотропных полей.

92 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.3
В качестве примера применения последнего результата проверим,
может ли являться структурной функцией локально изотропного поля
а(х) функция
Л>0, 0<y<2. A3.58)
На стр. 83 мы уже видели, что такая функция является структурной
функцией процесса со стационарными приращениями, имеющего (одно-
(одномерную) спектральную плотность Fl(kl)=:Clk1+yt где С = ГA+у)Х
X sin-^p Ля-1. Поэтому роль спектральной плотности ? (Л) здесь
будет играть функция
^ *V±!LinfA. A3.59)
Поскольку эта функция неотрицательна и удовлетворяет условию
A3.56), функция A3.58) может быть структурной функцией локально
изотропного поля в трехмерном пространстве.
Если поле а(х) изотропно в смысле п. 12.1, то оно будет одно-
одновременно и локально изотропным. Структурная функция D(r) в этом
случае просто выражается через корреляционную функцию В (г):
D (г) = 2 [В @) — В (г)], A3.60)
а спектральная плотность E(k) в равенстве A3.55) совпадает с плот-
плотностью, фигурирующей в разложении A2.12) функции В (г), и удо-
удовлетворяет условию
оо
Г E(k)dk< оо A3.61)
о
(вместо более общего условия A3.56)). Переходя в A3.60) к пре-
пределу при г->оо и предполагая, что В(г)->0, найдем
lim D(r) = D (оо)« 2В @) = 2а5, В (г) = i [D (оо) — D (г)].
г->ео ^
A3.62)
Таким образом, функции В (г) и D(r) здесь однозначно связаны
друг с другом.
Двухточечные моменты нечетного порядка приращений локально
изотропного поля и(х) тождественно обращаются в нуль; в частно-
частности,
A3.63)
В самом деле, любой нечетный момент разности и(х-\-г) — и(х)
является функцией вектора г, меняющей знак при замене г на —г
(равносильной изменению порядка точек х-\-г и X), но, поскольку

13.3] § 13. локально однородные случайные поля 93
в силу локальной изотропности поля и(х) такой момент должен
зависеть лишь от г==|г|, он не может быть отличным от нуля.
Рассмотрим теперь многомерное локально изотропное поле
и(х)= [иг(х)9 ..., ип(х)}> обладающее тем свойством, что распре-
распределения вероятностей для разностей значений произвольных компонент
этого поля на любой совокупности пар точек не меняются при всех
сдвигах, вращениях и отражениях соответствующей совокупности пар
точек. Ясно, что такие многомерные локально изотропные поля пред-
представляют собой обобщение многомерных изотропных полей, опреде-
определенных на стр. 37. Их структурные функции
A3.64)
допускают представление вида A3.55):
Dn (г) = 2 J A - ^Pj Е„ (k) dk. A3.65)
О
Здесь Ejt(k) — такие вещественные функции, что матрица ||?7yj(&)||
симметрическая и неотрицательная и что ее след E(k) = Ejj(k) удо-
удовлетворяет условию A3.56). Условие вещественности всех функций
Eji(k) (вытекающее из общего условия Eji(k) = Eji(—k) и «усло-
«условия изотропности» Ер(к) = Ер(к)9 k = \k\) в силу сказанного на
стр. 89 позволяет выразить общую структурную функцию
A3.66)
через функции Djt(r) от одного переменного:
rv r2) = j[Djl(\x-rl\) + Djl(\x + r2\)-
-Оп(\х-Г1 + г2\)-Оп(\х\)]. A3.67)
Многомерные поля, о которых шла речь в предыдущем абзаце,
фактически представляют собой совокупность нескольких одномерных
(скалярных) локально изотропных полей, локально изотропно связан-
связанных друг с другом (ср. стр. 37). Более интересным для нас будет
понятие векторного локально изотропного поля и(х)={иг(х),
и2(х), иг(х)}> для которого распределения вероятностей для разно-
разностей значений компонент поля на некоторой совокупности пар точек
не меняются при сдвигах этой совокупности, а также при ее враще-
вращениях или отражениях, сопровождающихся одновременным вращением
или отражением системы координат, относительно которой берутся
компоненты вектора (ср. аналогичное определение ивотропного

94 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.3
векторного поля на стр. 38). Среднее значение приращения такого поля,
вообще говоря, может задаваться формулой
<у, A3.68)
где сх — произвольная постоянная. Однако если сг Ф 0, то это озна-
означает, что поле и(х) содержит линейную неслучайную компоненту
вида со-{-схх, которую можно исключить, перейдя к разностям
и'(х) — и(х) — схх (в приложениях эта компонента чаще всего вообще
отсутствует с самого начала). Поэтому в дальнейшем мы будем счи-
считать, что \и(х-\-г) — a(JC)] = O.
Перейдем к рассмотрению вторых моментов векторного локально
изотропного поля и(х). Ниже с помощью спектральной теории будет
показано, что общие структурные функции A3.66) такого поля всегда
будут симметричны по индексам j, /, так что их и в этом случае
можно выразить через простейшие функции
A3.640
при помощи соотношения
Dji(x, rv r^^j[Djl(x- j
— Dn (x — rx + r2) — Dn (x)) A3.670
(разница по сравнению с A3.64) и A3.67) заключается лишь в том,
что Djt(r) теперь уже зависит от вектора г, а не только от его
длины). Симметричйый тензор Djt(r) представляет собой тензорную
функцию от вектора г, инвариантную относительно вращений и отра-
отражений; поэтому
Dji (г) = \DLL (г) - DNN (г)] ^ + DNN (г)bjt A3.69)
(ср. выше, стр. 40). Здесь DLL(r) и DNN{r) — функции от одного
переменного, называемые продольной и поперечной структурными
функциями поля и(х) и имеющие следующий смысл:
DLL (г) = [aL(x + r) — uL(x)]*t DNN (г) = [uN(x + r) — uN(x)]\
A3.70)
где uL и uN имеют тот же смысл, что и в A2.27). Если поле и(х) не
только локально изотропно, но и просто изотропно, то, очевидно,
Du (г) = 2 [В @) - BLl (r)], DNN (г) = 2 [В @) - BNN (г)],
A3.71)
где
В @) = BLL @) = BNN @>= 1*2/3. A3.72)

13.3] § 13. ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 95
Если наряду с полем и(х) рассмотреть скалярное случайное
поле ftQc) такое, что четырехмерное поле {и(х), $(х)} также
локально изотропно, то общий смешанный второй момент
A3.73)
будет зависящим от х, гг и г2 изотропным вектором, не выражаемым
через простейшие моменты
Djt>(r) = [uj(x + г)- uj(x)] [0(х + г)"=П^)]. A3.74)
В самом деле, в дальнейшем мы увидим, что Dj$(x, rv г2) не сов-
совпадает с D$j(x, rv r2), так что тождество A3.33) здесь не может
быть использовано. Что же касается моментов A3.74), то нетрудно
показать, что все они тождественно равны нулю. Для' этого надо
лишь заметить, что
П
D& (г) = DLt (г) -i-, DLt (г) = [uL (Ж') - uL (Ж)] [О (Ж') - * (М)],
A3.75)
где М' и М — точки с координатами jc-j-r и х, a uL — проекция
вектора а на направление ММ'. Но uL = — u__L, где u_L —проек-
—проекция того же вектора а на обратное направление МГМ. Поэтому
[uL (M') - uL (M)] [ф (Af0 — ф (Ж)] =
= - [u_L (М) — u_L (Ж'
Правая и левая части последнего равенства переходят друг в друга
при повороте точек М и М' и векторов и(М) и и(М') на 180°
вокруг какой-либо оси, перпендикулярной отрезку ММГ в его сере-
середине; следовательно, они должны совпасть между собой. Отсюда и
вытекает, что
0. A3.76)
Разумеется, к третьим моментам типа
Dm (г) = [а, (Ж') - и} (М)] [д (Ж') - «(Ж)]2 A3.77)
этот вывод будет уже неприменим; в этом случае
= Dm(r) -L. DM (г) = \uL (М1) - uL (Ж)] [Ь{М*)-Ъ(Ж)]*.
A3.78)

96 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.3
где функция DLM(r) не должна равняться нулю. В частном случае
изотропных полей, раскрыв скобки в формуле, определяющей функ-
функцию DLffi(r), мы получим
Dm (г) = 2 [2BLtt „ (г) - Ви «, (г)], В^ь(г) = uL{M)b{M)b(Mr).
A3.79)
(аналогично этому, раскрыв скобки в определении функции ?>?$(г) и
предполагая все поля изотропными, мы опять убедимся, что
D) Q)
Двухточечные моменты третьего и четвертого порядков прираще-
приращений векторного локально изотропного поля и(х) будут представимы
в виде
Dtjl (г) = [и, (ЛГ) - щ (Ж)] [uj (ЛГ) - uj (M)] [Ul (МО - ut (Ж)] =
= №ш. (Г) — *DLNN ('Я -^Р- +
=[ui(M')-ul(M)][Uj(Mf)-uj(M)][uk(Mf)-ull(M))[ul(M')-ul(M))=
= [Dull (О - ™иш (г)+ DNNNN (r)]
[
D
LLNN (Г) — 3" DNNNN
, A3.81)
где
D, г, (г) = \и,(М') — и, (М)}*,
_ A3.82)
(г) = [«I (^0 - «I (М)] [% (Ж') - uN
(г) = \uL (Ж') - eL (Ж)]2 [% (Ж') - Илг
= -§- [вдг (Ж') - uN (Ж)]2 [иж (Ж') - им (Ж)]2 A3.83)
(эти формулы несколько проще формул A2.122), A2.132) и A2.135)
в силу того, что моменты Ощ(г) и Dljkl(r) симметричны по всем
индексам). В частном случае однородного и изотропного поля и{х)

13.3J § is. локально однородные случайные поля 97
функции A3.82) и A3.83) без труда выражаются через моментные
функции A2.121), A2.130) и A2.133):
Dlll (г) = 6BLLt L (г), DLNN (г) = 2BNN% L (г) + 4BLN> N (г),
(г) = 2SD) @) - SBLLL> L (r) + 6BLL LL (r),
A3.84)
(r) = у SD) @) + 2fiLL, NN (r) + 4B^t 1лг (г) -
= 2BD) @) - 8B^M N (r) + 6B^, ^ (r).
Если векторное поле ю(л) имеет непрерывные частные производ-
производные duj/dxk, то структурные функции Djt(r) будут по крайней мере
дважды дифференцируемыми по компонентам вектора г. Предполо-
Предположим теперь, что поле и(х) соленоидально, так что ди1(хIдх1 = 0.
В этом случае
где hi = htlt lt — единичный вектор /-й координатной оси. Отсюда
с помощью A3.67') легко получается соотношение
dDn(r) dDn(r)
A3.85)
Но поскольку Dji^ — Dji^—г), частные производные этих функций
в точке г = 0 все должны равняться нулю. Поэтому
dDn (r)
¦ j? = 0. A3.86)
Подставив сюда A3.69), получим
" д°^- A3-87)
в полном соответствии с условием A2.67), связывающим продольную
и поперечную корреляционные функции соленоидального изотропного
поля и(х). Точно так же доказывается, что для потенциального ло-
локально изотропного поля и(х)
^__J^ = 0, A8.88)
т. е.
t>LL(r) = t>NN(r) + rdDl?!lr) A3.89)
7 А. С. Монин, А. М. Яглом

fig ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.3
(ср. A2.70)). Из полученных равенств легко выводится, что структур-
структурные функции произвольного векторного локально изотропного поля од-
однозначно разлагаются на компоненты, соответствующие соленоидальной
и потенциальной компонентам самого поля и(х)(ср. стр. 55—56).
Для соленоидального изотропного поля первые две формулы
A3.84) в силу A2.137) могут быть переписаны в виде
О = j [DLLL (г) + г д°ш{Г) ] . A3.90)
Следовательно, тензор ?>/^(г) здесь может быть выражен через одну
функцию DLLL(r)\
Воспользовавшись спектральным разложением A3.45) поля и(х),
равенство A3.90) можно обосновать также и для произвольного
локально изотропного соленоидального поля (ср. сноску на стр. 66);
однако такое общее доказательство оказывается значительно более
сложным.
Спектральное разложение A3.45) произвольного локально изотроп-
изотропного поля и(х) вместе с формулой A3.46), позволяет следующим
образом записать общую структурную функцию Djt(x, rv r2):
Dji (x, rv г2) = J eik* (e- '*'« — 1) (а'*г« — 1) Ffi (к) dk. A3.92)
Если поле и{х) не только локально однородно, но и локально изо-
изотропно, то Fji(k) будет изотропным тензором, зависящим от век-
вектора ft, и, следовательно, будет выражаться через две скалярные
функции FLL(k) и FNN(k) по формуле A2.31). Условия эрмитовости
и неотрицательности матрицы || Fjt (к) || требуют, чтобы функции
^ll(^) и ^лглг(^) были вещественными и неотрицательными; тот же
результат вытекает и из формул A2.32), также справедливых в рас-
рассматриваемом случае. Мы видим, таким образом, что функции Fj,(k)
вещественные; поэтому Djt(x, rv r2)==D/y(jp, rv r2), и мы можем
смело пользоваться равенством A3.67'), которое раньше принималось
без доказательства. Наконец, условие A3.47) показывает, что при
любом к0
; J k*[FLL (k) + FNN(k)] dk < оо.
A3.93)

13.3] § 13. локально однородные случайные поля 99
Подставив формулу A2.31) в A3.49), перейдя к сферической
системе координат и выполнив интегрирование по угловым перемен-
переменным, мы легко получим общие формулы, выражающие DLL(r) и DNN(r)
через FLL(k) и FNN(k):
slnkr ~ cos kr , о sin kr
2+2
A3.94)
oo
, Q f ( 2 sin kr
+8jtJ {t Tr
0
cos
oo
(в частном случае, когда 4л f [F^^ + 2/^^] k2 dk = 35 @) < oo,
о
эти формулы в силу A3.71) оказываются эквивалентными A2.34)).
Обратно, для того чтобы заданные функции DLL(r) и DNN(r) могли
быть продольной и поперечной структурными функциями некоторого
векторного локально изотропного поля, они должны быть предста-
вимы в виде интегралов A3.94) с FLL(k)^0 и FNN(k)^>0 (усло-
(условие A3.93) при этом будет всегда выполняться, так как оно необ-
необходимо для сходимости интегралов A3.94)).
Из формул A3.94), разумеется, следует, что DLL @) = DNN @) = 0;
что же касается производных функций DLL{r) и DNN(r) в точке г = 0,
то для них получаются выражения, отличающиеся от A2.43) лишь
множителем —2.
Отметим еще, что функции DLL(r) и DNN(r) вида A3.94) являются
одновременно также и структурными функциями локально однород-
однородного поля иг(хг, 0, 0) или, соответственно, и2(хг, 0, 0) на оси хх
(ср. аналогичное рассуждение для изотропных полей на стр. 43).
Соответствующие этим «полям на прямой» одномерные спектры Fx (kx)
и /^(^i) будут выражаться через FLL(k) и FNisr(k) при помощи
тех же формул A2.39), что и в случае изотропных полей.
В частном случае, когда
VY> ?>nn(r) = А2г\ 0 < y < 2, A3.95)
формулы A3.94) (или формулы вида A3.19), связывающие DLL{r) и
DnnW c Л(&) и F2(k)t и формулы A2.39)) показывают, что

100 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.3
спектры FLL(k) и FNN{k) также будут чисто степенными, а именно:
FLL (ft) = Cxk~*-\ FNN (ft) = C2ft-3-Y, A3.96)
где для коэффициентов Сг и С2 могут быть получены выражения
Отсюда видно, что для того, чтобы функции A3.95) могли являться
продольной и поперечной структурными функциями векторного ло-
локально изотропного поля, надо, чтобы постоянные Аг > 0 и А2 > 0
удовлетворяли неравенствам
2. A3.98)
Легко видеть также, что при у > 2 функции A3.95), разумеется, не
Moryf быть структурными функциями поля и (х), а случаю Y = 2
отвечает не имеющее спектральной плотности линейное поле вида
и,} (х) = vjlxl + const.
Дивергенция векторного локально изотропного поля будет пред-
представлять собой скалярное изотропное поле, спектральная плотность
которого равна k2FLL(k). Отсюда следует, что векторное локально
изотропное поле и(х) будет соленоидальным, тогда (и только тогда),
когда FlL(k) = 0. Аналогично этому, для того чтобы поле и(х)
было потенциальным, надо, чтобы выполнялось условие FNN(k) = 0.
Формулы A3.94) для соленоидального поля принимают вид
A3.99)
где E(k) = 4nk2FNN(k) (так что тензор Fji(k) задается формулой
A2.73)). В силу A3.97) функции A3.95) будут продольной и попе-
поперечной структурными функциями соленоидального векторного локально
изотропного поля и(х), если Л2 = A + v/2) -Ax (в соответствии с фор-
формулой A3.87)), причем в этом случае
а1 с= Ах A
Аналогично этому функции A3.95) будут структурными функциями

13.3] § 13. ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ Ю1
потенциального поля и(х), если Ал = (\-^-у)А2 (в соответствии
с A3.89)).
Из формул A3.99) и A3.94) нетрудно вывести, что в случае
соленоидального локально изотропного поля
j ( ?), A3.101)
0
а в случае потенциального поля
оо
j (i^) A3.102)
где E(k)— то же, что и в A2.72). Отсюда видно, что для того,
чтобы функции DLL{r) и DNN(r) были продольной и поперечной
структурными функциями соленоидального векторного локально изо-
изотропного поля, надо лишь, чтобы функция ZDLL(r)-\-rD'LL{r) могла
быть структурной функцией скалярного локально изотропного поля,
а функция DNN(r) определялась по DLL(r) из соотношения A3.87).
Точно так же для того, чтобы DLL(r) и DNN(г) были структурными
функциями потенциального поля, функция 3DNN(r)-{-rD'NN(r) аолжш
быть структурной функцией скалярного поля, а функция DLL (г)
должна определяться по DNN(r) из соотношения A3.89). Поэтому
классы функций, могущих быть продольными структурными функ-
функциями соленоидального локально изотропного поля и могущих быть
поперечными структурными функциями потенциального поля, совпа-
совпадают друг с другом.
В случае соленоидальных локально изотропных полей формулы,
связывающие между собой спектр E(k) = 4nk2FNN(k) и продольный
и поперечный одномерные спектры El(k1) и E2(klI будут иметь
тот же вид A2.86) — A2.88), что и в случае соленоидальных изо-
изотропных полей. Аналогично этому для потенциальных локально изо-
изотропных полей будут выполняться формулы A2.89) и A2.90).
Для векторных локально изотропных полей и(х) будет иметь место
спектральное разложение A3.45). В случае пары локально изотроп-
изотропных полей, локально изотропно связанных друг с другом, одно из
которых — скалярное поле $(*), а второе — векторное поле и(х),
общая структурная функция Dj$(x, rx, г2), определяемая равенством
A3.73), будет представляться интегралом
2) = J
A3.103)
где
A3.104)

102 ГЛ. VI. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [13.3
а Flu(*) — вещественная функция. Поскольку функция Fjt(k) оказы-
оказывается чисто мнимой (а не вещественной), то DJft (x,rv г2)фй^ (xtrvr2))
поэтому функции Dj$(x, rv г2) не удается выразить через более
простые функции D^(r) формулы A3.74). Более того, из равенства
Fjt (_*) = _ Fjt (к) вытекает, что D^(г) = Djf> @, г, г) = 0, -
результат, который мы уже отмечали выше (см. стр. 95). Если же
локально изотропное поле и(х) соленоидально, то, как и для изо-
изотропного случая, FJt(k) = 0; поэтому при этом условии
= 0 при любых хУ гх и г2.

ГЛАВА VII
ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
§ 14. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ И СПЕКТРАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
14.1 Определение изотропной турбулентности
и возможности ее воспроизведения на опыте
Турбулентность называется однородной, если все гидродинами-
гидродинамические поля являются однородными случайными полями, и называется
изотропной, если все гидродинамические поля являются однород-
однородными и изотропными случайными полями. Изучению изотропной тур-
турбулентности и будет посвящена настоящая глава.
Разумеется, точно изотропным не будет ни одно реальное турОу-
лентное движение — это ясно уже из того, что изотропной может быть
лишь турбулентность в жидкости, заполняющей все безграничное
пространство, а любой реальный поток имеет какие-то границы. Таким
образом, понятие изотропной турбулентности представляет собой
математическую идеализацию, пригодную, в лучшем случае, лишь для
приближенного описания некоторых частных видов турбулентных тече-
течений. Ясно также, что даже приближенного выполнения условий изо-
изотропности можно ожидать лишь при очень спектральных условиях.
Правда, немного ниже мы увидим, что условия изотропности удовле-
удовлетворительно выполняются для одного класса турбулентных потоков,
создаваемых в аэродинамических трубах в лабораториях; однако прак-
практическое значение таких потоков очень невелико.
Но для теоретика случай однородной и изотропной турбулент-
турбулентности представляется весьма привлекательным. С математической точки
зрения этот случай, бесспорно, является самым простым; поэтому
вполне естественно начать именно с него и попытаться на этом при-
примере разобрать хотя бы некоторые из характерных черт турбулент-
турбулентного движения. Без такого предварительного изучения[_модельной„
задачи] об изотропной турбулентности вряд ли можно было надеяться
"на получение каких-либо конкретных теоретических результатов,

104 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [14.1
относящихся к более общим случаям; и действительно, введенное
Тэйлором A935) понятие изотропной турбулентности сыграло в раз-
развитии современной статистической хеории турбулентности очень большую
роль. В дальнейшем на этой базе Колмогоровым A941а, г) было
предложено ,брлее широкое. понятие ^юкально изотропной турбуленх-
дости, охватывающее уже многие реально встречающиеся турбулент-
турбулентные потоки и позволившее с успехом привлечь к изучению таких
потоков ряд идей и методов теории изотропной турбулентности.
В настоящее время именно это последнее обстоятельство и является
решающим при оценке практической значимости теории изотропной
турбулентности.
Остановимся на вопросе о способах получения изотропной турбу-
турбулентности. Теоретически . простейшим способом является создание
в первоначально неподвижной жидкости однородной и изотропной
системы «случайно разбросанных» локальных возмущений («вихрей»).
Нетрудно указать математические формулы для начального поля ско-
скорости, отвечающие физическому представлению о такой «хаотической
системе случайных вихрей»; однако для изучения динамики турбу-
турбулентности этого мало — нужны еще и решения уравнений движения,
отвечающие указанным «начальным условиям». Нахождение подобных
решений — дело очень сложное; поэтому неудивительно, что до сих
нор в этом направлении были получены лишь некоторые приближен-
приближенные результаты, при выводе которых уравнения движения брались
в столь упрощенной форме, что полученные решения неизбежно могли
дать только очень идеализированную картину реального изотропного
турбулентного потока (см. Синг и Линь A943); Чжоу Пэй-юань и
Цай Шу-тан A957)).
Экспериментальное создание в неподвижной жидкости изотропной
совокупности неупорядоченных возмущений требует, чтобы внутри
жидкости были «случайно разбросаны» какие-то небольшие возмуща-
возмущающие устройства, которые одновременно были бы приведены в дви-
движение и вслед затем извлечены из жидкости так, чтобы ее движение
не было нарушено. Разумеется,_ мы не можем рассчитывать, что такой
опыт удастся воспроизвести в лаборатории. Поэтому приходится ставить
опыты иначе. Одним из простейших возможных способов создания
в жидкости «почти изотропной» совокупности возмущений является
следующий способ. Будем параллельно перемещать через массу жид-
жидкости решетку из тонких стержней. Эта решетка, очевидно, будет
создавать возмущения в тех элементах объема жидкости, через которые
она проходит. Если перемещать решетку очень быстро (по сравнению
с характерной скоростью возмущений, возникающих в жидкости),
то разницей между моментами ее прохождения через различные эле-
элементы жидкости в первом приближении можно будет пренебречь,
т. е. допустимо считать, что все возмущения возникли в жидкости
одновременно. Полученная система вихрей будет однородной, но,

14 .1] § И. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ . 105
вообще говоря, не изотропной (так как направления стержней решетки
и направление ее движения будут выделенными направлениями). Однако,
поскольку при этом в жидкости сразу возникнет множество мелких
возмущений в большом числе близких точек, можно надеяться, что
уже через сравнительно короткое время все эти возмущения перемет
щаются и образуют однородную и изотропную систему. Иначе говоря,
можно надеяться, что через короткое время после прохождения ре-
решетки мы получим в жидкости изотропную турбулентность.
Изложенные соображения и лежат в основе важнейшего способа
получения турбулентности, близкой к изотропной. При этом, однако,
удобно обратить условия опыта, т. е. решетку оставить неподвижной,
а перемещать относительно нее всю массу жидкости. Движение большой
массы «жидкости» (обычного воздуха) с постоянной скоростью осу-
осуществляется в аэродинамической трубе. Если в начале рабочей части
трубы поместить решетку, то относительно системы координат, дви-
движущейся вместе с жидкостью, в рабочей части возникнет как раз
такая турбулентность, которая получилась бы в неподвижной массе
жидкости после прохождения через нее решетки.
Выше неявно предполагалось, что жидкость заполняет все без-
безграничное пространство. В аэродинамической трубе это, конечно,
будет не так—ее рабочая часть всегда имеет конечный объем. Однако
в случае трубы с достаточно большой рабочей частью (по сравнению
с размерами тех турбулентных возмущений, которые мы собираемся
изучать) можно ожидать, что в центральной части трубы влияние ее
стенок будет сравнительно небольшим и движение вихрей будет
мало отличаться от движения в безграничном пространстве. Чтобы
это движение приближалось по характеру к изотропной турбулент-
турбулентности, мы должны еще исключить из рассмотрения часть потока,
непосредственно примыкающую к решетке (т. е. отказаться от рас-
рассмотрения моментов времени, непосредственно следующих за про-
прохождением решетки). Кроме того, мы должны потребовать, чтобы
средняя скорость U потока в трубе значительно превосходила пуль-
сационную скорость и', и ограничиться рассмотрением лишь таких
разностей х" — хг (где х — координата, отсчитываемая вдоль оси
трубы), при которых отношение (х"—x')jU мало по сравнению с ха-
характерным «временем вырождения» турбулентности (так что турбу-
турбулентность на расстояниях х" и хг от решетки примерно одинакова).
При этом, рассматривая различные «слои» потока с разными значе-
значениями координаты х, мы будем одновременно иметь перед собой всю
картину временной эволюции турбулентности; роль времени t здесь
будет играть координата, деленная на среднюю скорость, т. е. от-
отношение x/U.
Идея использования турбулентности за решеткой в аэродинами-
аэродинамической трубе для экспериментальной проверки закономерностей изо-
изотропной турбулентности принадлежит Тэйлору A936), который сразу

106 гл. vii. изотропная турбулентность [14.2
добился в этом отношении весьма обнадеживающих результатов.
В дальнейшем многочисленные эксперименты подтвердили, что тур-
турбулентность за решеткой на расстояниях, превосходящих 30-4-40 М
(где М — размер ячейки решетки), по многим своим характеристикам
близка к однородной и изотропной турбулентности. Это обстоятель-
обстоятельство, естественно, повысило интерес теоретиков к изучению изотроп-
изотропной турбулентности, так как позволило проверять на опыте пред-
предсказания теории. Многочисленные примеры такой экспериментальной
проверки будут приведены в дальнейшем в настоящей главе. Следует
подчеркнуть, однако, что на самом деле турбулентность за решеткой
в аэродинамической трубе лишь^^двиб/щжендо изотропна (ср., на-
например, экспериментальные работы Гранта A958), Гранта и Нисбета
A957), Уберои( 1963), Уберои и Уоллеса A966, 1967) и Конт-Белло и
Корсина A966), в которых были обнаружены заметные отклонения
турбулентности за решеткой от изотропности) и что некоторые теоре-
теоретические выводы, относящиеся к изотропной турбулентности, прин-
принципиально не могут быть проверены на опытах в аэродинамических
трубах (например, выводы об асимптотическом поведении корреля-
корреляционных функций при г->оо). В отдельных случаях более точное
описание реальных турбулентных потоков за решеткой в аэродина-
аэродинамической трубе может быть достигнуто на основе изучения более
общих теоретических схем, чем схема изотропной турбулентности,
например схемы турбулентности однородной, но не изотропной или же
изотропной лишь в плоскостях, перпендикулярных к оси трубы, т. е.
осесимметричной (см., например, И. М. Яглом A947), Бэтчелор и
Стюарт A950), Тан и Линг A963)). Мы здесь, однако, не будем
останавливаться на этих обобщениях, так как исследование всех
деталей турбулентности за решетками не является нашей целью; соот-
соответствующие экспериментальные данные мы будем привлекать лишь
для иллюстрации выводов теории изотропной турбулентности.
14.2. Уравнения для корреляционных функций поля скорости
Перейдем теперь к выводу основных динамических уравнений
для корреляционных функций изотропной турбулентности. За исключе-
исключением § 20 настоящей главы, мы всюду будем предполагать, что речь
идет о турбулентности в несжимаемой жидкости, движение которой
описывается уравнениями Навье — Стокса A.6) (без внешних сил Xt)
и уравнением неразрывности A.5). Ограничимся пока случаем про-
пространственных корреляционных функций, относящихся к определен-
определенному моменту времени t, и начнем с рассмотрения функций, содер-
содержащих лишь значения поля скорости и(х, t)={ul(xt t), и2(х, t),
U3(XtJ)},
Согласно сказанному в п. 12.2 в изотропной турбулентности
и{X, f) должно тождественно равняться нулю (так что скорость и(х, t)

14.2] . § 14. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 107
совпадает с пульсацией скорости), а корреляционный тензор Bt'(rt /)=
= ^(л;, t)ti](x-\-r> t) должен иметь вид
Ви(г. t) = lBLL(r. t) — BNN(r. t)]?/- + BNN(r, tNijt A4.1)
где Bu(r9 t)=uL (ж, t)uL(x + r, /). BNN(r, t) = uN(x, t)uN{x+rt t)
(см. рис. 7, стр. 40). Аналогично этому тензор Btjtk(r, t) =
= «i(*, t)tij(x, t)uk(x-\-r, t) может быть с помощью формулы
A2.122) выражен через три скалярные функции
Вц9ы<Г. t) = [BLLtL(r. t)-2BLNyN{r, t)-BNNtL(r, t)]
+ BNNtL(r. *)^-6и+Вш,„(г, <)[7ву|+^вл], A4.2)
смысл которых ясен из их обозначений (см. рис. 8). В силу уравне-
уравнения неразрывности значения функций BLL (г, t) и BNN (г, f)
связаны соотношением Кармана A2.67):
г дВ.. (г, О
BNN(r. t) = BLL(r, Q + т- LLdr » A4.3)
а значения функций BLltL(r, t), BLNtN(r, t) и BNNtL(r, t)-~ соот-
соотношениями A2.137):
dBLL , (r, t) A4-4)
Формулы A4.3) и A4.4) показывают, что каждый из тензоров
Btj(r, t) и Вц%к{г> t) полностью определяется одной скалярной функ-
функцией от двух аргументов г и t. Кроме того, как указывалось на
стр. 56, из уравнения неразрывности следует также, что в изотроп-
изотропной турбулентности поле скорости не коррелировано с полем давле-
давления (или любым другим скалярным гидродинамическим полем):
Bpi(r, f) = BpL(r. t)±L=O. A4.5)
Соотношение A4.3) является простейшим соотношением теории
изотропной турбулентности, допускающим экспериментальную про-
проверку на материале измерений за решеткой в аэродинамической
трубе; для этого надо только независимо определить значения обеих
функций BLL(rt t) и BNN(r% t). Поскольку их измерение может 0ыть

108
. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
A4.2
осуществлено без большого груда с помощью пары термоанемомет-
термоанемометров1), естественно, что экспериментальная проверка равенства A4.3)
была впервые произведена Тэйлором A937) еще в самом начале
развития теории изотропной турбулентности и затем неоднократно
повторялась другими авторами. При этом выяснилось, что данные
измерений хорошо подтверждают формулу A4.3) (см., например,
рис. 10, заимствованный из статьи Макфэйла A940)); это было
первым значительным успе-
успехом новой теории и одно-
одновременно первым убеди-
убедительным подтверждением
законности использования
гипотезы об изотропности
в применении к турбулент-
турбулентности за решеткой. Об-
Общая форма корреляционных
функций BLL и BNN, пред-
представленных на рис. 10 (под-
(подтверждаемая также и дан-
данными всех других измерений
турбулентности за решет-
решеткой), характерна для про-
продольной и поперечной кор-
корреляционных функций соле-
ноидального векторного поля
(ср. стр. 52).
Соотношения A4.4) так-
также в принципе допускают
аналогичную эксперимен-
экспериментальную проверку, но эта
проверка более трудна, так
как измерение корреляционных функций третьего порядка довольно
сложно, и получаемые при этом данные обычно оказываются заметно
менее точными, чем в случае функций BLL и BNN. Поэтому в работах,
содержащих эмпирические данные о функциях A4.4) (см., напри-
например, Таунсенд A947), Стюарт A951), Миле, Кистлер, О'Брайен
и Корсин A958)), задача проверки соотношений A4.4) даже не
ставилась, а измерялась лишь одна из этих функций (чаще всего
Рис. 10. Зависимость эмпирических корре-
корреляционных функций BLL (r)jBLL @) (кре-
(крестики) и BNN(r)/BNN@) (черные точки)
от г/М, где М — размер ячейки решетки,
по Макфэйлу A940).
Верхняя кривая проведена по экспериментальным
точкам, а нижняя рассчитана по верхней с помощью
соотношения A4.3).
0 Заметим, что проще измерять функцию ^NN(r)* так как обычно
термоанемометр реагирует лишь на продольные (вдоль среднего потока)
пульсации скорости, а при расположении двух термоанемометров друг за
другом по течению первый из них будет создавать дополнительные возму-
возмущения, действующие на второй (явление «аэродинамической тени»). Поэтому
формулу A4.3) после ее проверки целесообразно использовать для
значений функции В по измеренным значениям В^.
для расчета

14.2]
$ 14. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
109
функция BLLt L (г, t), типичная форма которой воспроизведена на
рис. 11 по данным Стюарта A951)). —
Перейдем теперь к выводу динамических уравнений для тензора
&ij (г» О из уравнений Навье—Стокса A.6). Для нахождения -гт Btj (г, t),
очевидно, надо выписать уравнения A.6) для /-й компоненты ско-
скорости в точке х и у-й компоненты скорости в точке х-\-г = х'
(значения гидродинамических полей в этой точке мы далее будем
-цог
-0,03
-0,04
-0,05
0,5
10
2,0.
2,5 г/М
Рис. 11. Эмпирические функции BLL L(r) no
Стюарту A951).
Разными значками на рисунке обозначены данные измерений
при разных числах Рейнольдса ~ ••»*•--
обозначать штрихом), умножить первое из них на ufJt а второе —
на uit сложить оба полученных уравнения [и осреднить| результат
(ср. общую формулу F.2) в части 1 книги). Проделав все это, мы
получим равенство
dt
|
bxb
1
dx'b
1 ори,
дх,
+ v
fiu/j д*>
u(u'j
дхк дхк
дх'к дх'„
A4.6)
(здесь учтено, что величины без штрихов не зависят от координат x'k,
а величины со штрихами — от хЛ. Но поскольку в случае однород-
однородной турбулентности все двухточечные моменты зависят лишь от

НО гл. vii. изотропная турбулентность A4.2
, д д д
бектора г = х — х, то и —г здесь можно заменить на
dxk dxk drk
и, соответственно, -з—; после этого A4.6) обращается в уравнение
+ рЧ дП drj J + 2V drkdrk • A4^
Равенство A4.7) представляет собой основное динамическое уравне-
уравнение, связывающее вторые и третьи моменты поля скорости одно-
однородной турбулентности.
Предположим теперь, что турбулентность является изотропной.
В таком случае функции Bpl(r, t) и Bip(r, t) будут тождественно
равны нулю, а тензоры Вц (г, t), Bik j (г, t) и Ви jk (r, t)=BJfct / (—г, t)
будут выражаться через две скалярные функции BLL(r, t) и BLLL(r, t).
Подставив соответствующие выражения в A4.7) и приравняв по от-
отдельности коэффициенты при тензорах б/;- и rfj в левой и правой
частях получающегося уравнения, мы придем к двум скалярным урав-
уравнениям, которые, однако, оказываются эквивалентными друг другу.
Поэтому достаточно рассмотреть лишь уравнение, которое получается
при приравнивании друг другу коэффициентов при тензоре б^:
д \ дВ.. I г д \ Г / д
A+)[Ь
Единственным решением уравнения /(г) + -~//(г) = 0, не имеющим
особенностей при г = 0, является функция, тождественно равная нулю;
поэтому уравнение A4.8) равносильно следующему:
^ (
Уравнение A4.9) было впервые выведено Карманом и Ховартом A938)
и явилось основой всех последующих исследований по теории изо-
изотропной турбулентности.
Поскольку уравнение Кармана — Ховарта A4.9) представляет со-
собой одно соотношение, связывающее две неизвестные функции, оно
не может быть «решено», т. е. не позволяет определить вид функ-
функций BLL(r, t) и BLL% L(r, t). Это обстоятельство представляет собой
частный случай общей трудности, с которой мы встретились при рас-
рассмотрении уравнений Рейнольдса в гл. 3 части 1, и является след-
следствием нелинейности уравнений гидродинамики. Тем не менее урав-

14.3] § И. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ \\\
нение A4.9), бесспорно, весьма интересно, так как оно существенно
ограничивает возможные значения функций BLL и BLli L и влечет
за собой целый ряд следствий, допускающих экспериментальную про-
проверку. Ясно также, что и само уравнение A4.9) может быть прове-
проверено на опыте, так как все его члены могут быть измерены (для
дВгг
определения производной - JrL-, очевидно, достаточно иметь значения
функций BLL(r) при двух близких друг к другу расстояниях х от
решетки). Примеры подобной проверки могут быть найдены в экс-
экспериментальных работах Стюарта A951) и Милса, Кистлера, ОЪрайена
и Корсина A958); они указывают на удовлетворительное согласие
теории с экспериментом.
Поскольку уравнения неразрывности и Навье — Стокса выражают
физцческие законы сохранения массы и импульса, ясно, что все след-
следствия из этих уравнений, выведенные в настоящем пункте, также
представляют собой следствия указанных физических законов. Почти
сразу же после появления первых работ по теории изотропной тур-
турбулентности Прандтлем было замечено, что, например, соотноше-
соотношение Кармана A4.3) может быть получено из интегральной формы
закона сохранения массы без перехода к дифференциальному уравне-
уравнению A.5) (см. Вигхардт A941)). В дальнейшем в работах Маттиоли
A951) и Хассельмана A958) было показано, что аналогичный вывод,
использующий лишь интегральную форму законов сохранения массы
и импульса, возможен также и для соотношений A4.4), A4.5) и A4-.9).
14.3. Уравнения для спектральных функций поля скорости
Наряду с уравнением A4.9) можно указать также уравнение,
связывающее спектральную функцию F(k, t) (или спектральную плот-
плотность энергии E(k, t) = 4nk2F(k, t)) со спектральной функцией
третьего порядка Fz(k, t) (или функцией Г(&, t) = — 2kF3(k, t),
или T(k, t)~4nk2F(k, t))t определяющей преобразование Фурье тен-
тензора Btjk{r, t). Это уравнение фактически будет представлять со-
собой лишь новую форму записи уравнения Кармана — Ховарта A4.9),
эквивалентную той, которая была выведена в предыдущем пункте.
Однако «спектральная форма» уравнения A4.9) иногда оказывается
более удобной; помимо того, она имеет более наглядный физический
смысл, существенный для понимания «механизма» турбулентного пере-
перемешивания.
Уравнение, связывающее спектральные функции F(k, t) и Г (k, /),
может быть получено непосредственно из уравнения Кармана—Хо-
варта A4.9) (см. Линь A949)); для этого, однако, уравнение A4.9)
надо подвергнуть довольно сложному преобразованию, так как связь
вц(Ь> 0 с F(k, t) (и BLLj L(r, t) с Г(&, t)) не очень проста. По-
Поэтому удобнее исходить не из самого уравнения A4.9), а из уравнения

112 гл. vii. изотропная турбулентность [14.3
A4.7), использовавшегося выше для вывода A4.9). Применив
ко всем членам A4.7) трехмерное преобразование Фурье по г, мы
придем к следующему соотношению (справедливому для любой одно-
однородной турбулентности):
&V v V*> '). A4.10)
где *
Ги(Ь, t) = ikt[Flui(k, t) — Fjui(—k, t)), A4.11)
/^(ft, 0 и Z^, y(ft, t) определяются из A1.54), A1.60); Flp(k, t) —
преобразование Фурье функции Blp(r, t). Полагая здесь / = / и сум-
суммируя по у, найдем
?, t) - 2v^Fjj (A, 0; Tn (A, 0 = -2kt 3m FiIt y (ft, t)
A4.13)
(слагаемое П^(А, ^) выпадает в силу A1.91)). В случае изотропной
турбулентности П^(*, *) = 0, а тензоры /^(ft, 0 и Flu у (ft, 0 вы-
выражаются по формулам A2.73) и A2.140) через скалярные функции
F(k, t) = E(k, t)/4n№ и Fz(k, t); поэтому уравнения A4.10) и
A4.13) здесь эквивалентны уравнению
А, *), A4.14)
или
dE(k t) =r(fe t) — 2vk2E(k, t); Г (A, 0 = — 8яА3/73(А, О» A4.15)
которое и представляет собой искомую «спектральную форму» урав-
уравнения Кармана — Ховарта.
Равенства A4.13) — A4.15) описывают изменение во времени спект-
спектрального распределения энергии турбулентности, Последнее слагаемое
в правой части этих равенств описывает диссипацию энергии под
действием сил вязкости; мы видим, что вязкость приводит к убыва-
убыванию кинетической энергии возмущений с волновым числом А, пропор-
пропорциональному интенсивности этих возмущений, умноженной на 2vA2.
Таким образом, энергия длинноволновых возмущений (с малыми зна-
значениями А) убывает под действием вязкости гораздо медленнее, чем
энергия коротковолновых возмущений, как это и должно быть в силу
пропорциональности силы трения градиенту скорости. Первое же сла-
слагаемое в правой части равенств A4.13) — A4.15) описывает изменение
энергии «спектральной компоненты» турбулентности с волновым чис-

14.3] § Т4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ИЗ
лом k, создаваемое нелинейными «инерционными членами» уравнений
гидродинамики. Существенно отметить, что(Jto\ изменение сводится
к перераспределению энергии между отдельными спектральными ком-
компонентами без изменения суммарной энергии турбулентного движения
в целом. В самом деле, при любых /и j
O. A4.16)
поскольку в силу A1.60) и A4.11) левая часть этого равенства со-
совпадает с суммой
дщ (х) щ (х) ~ dul(x)uJ(x) dui(x)uj(x)ul(x)
обращающейся в нуль согласно предположению об однородности тур-
турбулентности. В частности, полагая здесь / = / и суммируя по этому
индексу, найдем
J 0, A4.17)
откуда для изотропной турбулентности получается соотношение
оо оо
J T (k, t)dk*=0 _ A4.18)
(в силу A2.141) это соотношение, совпадающее с первым равенством
A2.144), равносильно равенству B'LL ^@)==0, доказанному с по-
помощью других соображений на стр. 62). Из A4.18) и A4.16) вы-
вытекает, что изменение суммарной энергии турбулентности обусловли-
обусловливается лишь силами вязкости:
оо оо
^-gf] E(k> t)dk=*— 2vJ k2E(k,t)dk. A4.19)
о о
Схематическая форма спектра энергии E(k), спектра диссипации
энергии 2vk2E(k) и функции Т (k), определяющей перераспределение
энергии по спектру, изображена на рис. 12 (см. также рис. 20—22
и 26 на стр. 175, 177 и 189). Отрицательность функции T(k) при ма-
малых & и ее положительность при больших к соответствует интуитив-
интуитивному представлению о том, что турбулентное перемешивание должно
приводить к «дроблению» турбулентных возмущений, т. е. к переходу
энергии крупномасштабных компонент движения в энергию мелко-
мелкомасштабных компонент, затрачивающих свою энергию уже непосред-
непосредственно на преодоление «вязкого трения». То обстоятельство, что
вязкость играет существенную роль лишь для относительнр
8 A. Q. Моцин, Д. М. %тлоц

114
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[14.3
мелкомасштабных компонент движения, характеризующихся большими
локальными градиентами скорости, находит свое выражение на рис. 12
в том, что максимум спектра диссипации 2vk2E(k) располагается на
оси волновых чисел значительно правее, чем максимум спектра энер-
энергии Б (к). Интервалы на оси к, на которых сосредоточена основная
2vk*E(k)
Рис. 12. Схематическое изображение спектра энергии
Е (&), спектра диссипации анергии Uvk2E (k) и функции
Т (k).
/ — интервал энергии, 2— интервал диссипации.
доля (скажем, 80% или 90%) полной энергии \E(k)dk и полной
о
оо
диссипации 2v j k2E(k)dk, мы будем называть интервалом энергии
о
и, соответственно, интервалом диссипации спектра; на рис. 12 ука-
8ано примерное расположение этих интервалов в рассматриваемом
здесь случае. Ясно, что интервал диссипаций всегда располагается на
оси к правее интервала энергии; однако они, вообще говоря, вполне
могут и перекрываться друг с другом.
Уравнения A4.14) и A4.15), так же как и A4.9), представляют
собой одно соотношение, связывающее две неизвестные функции.
Поэтому для определения этих функций надо иметь какое-то еще со-
соотношение между ними. К вопросу о нахождении таких соотношений
мы еще вернемся в дальнейшем.
Следуя Бэтчелору A953), можно попытаться получить более полное пред-
представление о «скорости перераспределения энергии по спектру» Гуу (&, t) (или
T{k, t)), воспользовавшись спектральным представлением A1.52) самого поля

14.3] § 14. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Ц5
скорости. Согласно A4.11) функция Уц(кЛ) просто выражается через пре-
образование Фурье третьего момента Вц, j (г) = щ (х) щ (х) Uj (x + г) (зави-
(зависимость от t мы для краткости не будем указывать). Но из спектрального
представления A1.52) поля и(х) вытекает, что
щ (х) щ (х)« J eikx dZtt (*); dZu (к) = J dZt (*,) dZx (к - *,), A4.20)
ul(x)ul(x)uJ(x + r)= J f ei*r+i<k-**)xdZJ(k)dZil(kl). A4.21)
Отсюда видно, что функция щ (х) щ (х) Uj (x -f г) будет зависеть лишь от г
и будет представима в виде интеграла Фурье, если выполняется соотношение
dZj(k)dZ^(k2)dZ](k{) = 6 (к — кх — к2) Qllt j (к, кг) dk dkx dk2. A4.22)
При этом условии
I k, kx)dkx. A4.23)
Согласно A4.11) и A4.23), для Гц (к) получаются соотношения
Г,у(к) = ikt J [Qu,j(*, кх)-Qji,/<-*.—*,)]<**,, • A4.24)
Гуу (Л) - J Qjj (fc Л,) Ль _ A4.25)
где в силу A4.22)
_ . . Г dZj (к) dZ) (кг) kt dZ\ (к - kx)
dZ)(k)dZj(k1)kldZl(k-k1
Из этого определения видно, что
k) A4.27)
(откуда вытекает A4.17)). В силу A4.25) и A4.27) величину Qjj(k, k{) можно
интерпретировать как удельную (на единицу объема пространства Q волно-
волновых векторов) скорость переноса энергии из элемента dk{ пространства Q
в элемент dk, В изотропном случае функция Qjj(k, k{), очевидно, будет за-
зависеть лишь от длин k и къ векторов к и кх и от cos 9, где 0 — угол
между к и к{; поэтому здесь
оо Я
Т (k) = 2nk*Tjj (к) = 4я2*2 J J Qjj (k, klt cos 0) k\ sin 0 dQ dkv A4.28)
о
Равенство A4.27) остается справедливым, если даже не предполагать
в нем суммирования по индексу j\ в A4.25) и A4.26) также можно не произ-
производить суммирования по у. Таким образом, инерционные члены уравнений
движения приводят к перераспределению по спектру волновых чисел энергии
8*

Пб ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [14.8
каждой отдельной компоненты поля скорости, но не могут вызвать перехода
энергии одной компоненты в энергию другой. В случае изотропной турбу-
турбулентности энергия каждой компоненты поля скорости будет одинаково
уменьшаться под действием вязкости, так что турбулентность все время бу-
будет оставаться изотропной. В случае же произвольной однородной турбу-
турбулентности положение оказывается иным_из-за влияния давления, приводящей
к появлению в уравнении A4.10) члена П/у(Л, t), который при отсутствии
изотропии сокращается, лишь если положить / = ; и просуммировать по у.
Отсюда вытекает, что в анизотропном случае силы давления вызывают пере-
перенос энергии от одной компоненты возмущения векторного поля скорости
с заданным волновым числом к к другим компонентам того же возмущения,
но не вызывают обмена энергией между возмущениями с различными к
(ср. п. 6.2 в части 1 книги). Тот. факт, что существенно анизотропная тур-
турбулентность, создаваемая турбулизирующей решеткой в аэродинамической
трубе, на некотором расстоянии от решетки обычно оказывается прибли-
приблизительно изотропной, показывает как будто бы, что при отсутствии анизотроп-
анизотропного притока энергии силы давления стремятся приблизить анизотропную
турбулентность к состоянию изотропии, т. е. переносят энергию от компо-
компонент, содержащих больше энергии, к более слабым компонентам поля ско-
скорости. Это последнее обстоятельство подтверждается также и данными не-
некоторых специальных экспериментов в аэродинамических трубах (см., на-
например, Корсин A959)). Однако теоретически доказать, исходя из уравнения
A4.10), что дело должно обстоять именно так, до сих пор не удается.
Сложность этого вопроса усугубляется еще тем, что скорость прибли-
приближения к изотропии у возмущений с разными волновыми числами оказы-
оказывается различной. В случае наиболее длинноволновых возмущений (с очень
малыми значениями к) стремление к изотропии проявляется слабо; для
идеализированной модели однородной турбулентности в безграничном про-
пространстве (для которой только и имеет смысл говорить о возмущениях
со сколь угодно малыми k) при некоторых специальных «условиях регуляр-
регулярности», налагаемых на поле скорости, можно даже доказать теоретически,
что асимптотическая форма спектрального тензора Fy (kt t) при k -> 0 будет
сохраняться неизменной в процессе эволюции турбулентности, так что на-
начальная анизотропия в крайней длинноволновой области здесь никогда
не исчезнет (подробнее об этом см. ниже п. 15.2). Для области спектра,
содержащей основную часть энергии турбулентности, приближение к изо-
изотропии определенно имеет место, но является довольно медленным (оно
характеризуется теми же масштабами времени, что и общий процесс убы-
убывания энергии турбулентности под действием вязкости; ср. работы Таун-
сенда A954), Уберои A957), Милса и Корсина A959), Корсина A959) и
Уберои и Уоллеса A966), результаты которых кое в чем расходятся друг
с другом)'). Наоборот, в области наиболее мелких возмущений, характери-
характеризующихся большими значения.ми k, приближение к изотропности происходит
очень быстро; при достаточно больших значениях числа Рейнольдса изо-
изотропность в этой области спектра устанавливается раньше, чем общая энер-
энергия турбулентности успевает существенно измениться. Это обстоятельство
1) Приближение турбулентности за решеткой к изотропии можно уско-
ускорить, создав в трубе на небольшом участке ее длины дополнительное сжатие
течения, приводящее к выравниванию среднеквадратичных значений про-
продольной и поперечных компонент пульсационной скорости. При этом удается
достигнуть большей близости турбулентности в аэродинамической трубе
к изотропной турбулентности, чем та, которая наблюдается в обычных экс-
экспериментах без сжатия (см., например, Уберои и Уоллес A967), Конт-
Белло и Корсин A966)).

14.4) § U. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Ц7
лежит в основе чрезвычайно важной теории локально изотропной турбу-
турбулентности, о которой мы будем подробно говорить в следующей главе; там
же будут приведены и экспериментальные данные, подтверждающие сделан-
сделанное здесь утверждение.
14.4. Корреляционные и спектральные функции,
содержащие давление
До сих пор мы рассматривали лишь статистические характеристики
векторного поля скорости. Перейдем теперь к изучению статистиче-
статистических характеристик скалярных гидродинамических полей и начнем со
случая поля давления р(х).
Как известно, в несжимаемой жидкости давление связано с про-
пространственными производными поля скорости уравнением Пуассона,
вытекающим из уравнений Навье — Стокса и неразрывности (см.
уравнение A.9) на стр. 38 части 1 книги). Перемножив левые и пра-
правые части двух уравнений A.9), относящихся к различным точкам
х и jc' = x-+-r турбулентного потока, и осреднив результат, найдем
dxt dxj dxk dxt —
(как обычно, штрихом здесь обозначены величины, относящиеся
к точке хг). В применении к однородной турбулентности это урав-
уравнение можно переписать в виде
где
, t)-p][p(x + r.. t) — p] = Bpp(r. t)-p*
— центрированная корреляционная функция поля давления. Если же
турбулентность не только однородна, но и изотропна, то Вр*р* (г)
будет зависеть только от г=\г\ (зависимость от времени t мы
здесь для краткости не будем указывать); поэтому и правая часть
A4.30) в этом случае будет представлять собой скалярную функцию,
зависящую только от г:
Трехмерное преобразование Фурье функции Q(r), очевидно, будет
равно ЩкткпРи%тя(к). где Flh mn (к) — преобразование Фурье
функции Bf}tfnn(r) = Bijtmn(r)—Ви@)Втп@), т. е. будет скалярной
функцией от Л, ряд Тэйлора которой в точке &=с0 начинается

118 гл. vtt. изотропная турбулентность [14.4
с члена, пропорционального k4. Согласно сказанному на стр. 36
отсюда вытекает, что
J r2Q (г) dr= J r4Q (г) dr = 0; A4.32)
о о
эти равенства будут нам полезны далее.
Поскольку в применении к функциям, зависящим лишь от г,
в случае изотропной турбулентности уравнение A4.31) принимает вид
(H.34,
. Кроме этого уравнения, функция В^р* (г), очевидно, должна
удовлетворять еще следующим граничным условиям:
Вр'р* @)<оо, Вр>р> (/¦)-> 0 при г->оо. A4.35)
Учитывая, что однородное уравнение, отвечающее оператору A4.33),
имеет четыре линейно независимых решения: 1, г, г2 и г, нетрудно
явно выписать функцию Грина уравнения A4.34), отвечающую реше-
решению, ограниченному в нуле и стремящемуся к нулю на бесконеч-
бесконечности; она будет иметь вид
О (г, у) = { " ~ " A4.36)
-^г при г>у.
Отсюда вытекает, что интересующее нас решение неоднородного
уравнения A4.34) будет определяться формулой
,p,(r)=p?J G(r, y)Q(y)dy =
О
[Г оо
—w Jy4Q (y) dy - i J(г2у -
О
J
О г
оо
Воспользовавшись тем, что J y4Q(y)dy = 0 в силу A4.32), мы можем
о
записать полученную формулу несколько короче:
оо
A4.38)

14.4] § 14. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Ц9
Последний результат (впервые найденный Бзтчелором A951)) дает яв-
явное выражение функции ВР'Р> (г) через четвертые моменты поля ско-
скорости (см. также работу Уберои A953), где указано выражение правой
части A4.38) через скалярные функции BLLiLL(r), BLLNN(r)
и т. д.I)-
Подобным же образом можно исследовать и связь поля давления
с полем скорости. Взаимные корреляционные функции Вр1 (г) этих
полей в несжимаемом изотропном случае всегда тождественно обра-
обращаются в нуль; однако, тензор второго порядка
ВР'У w(r, t) = [р (х) — р) uk (*') их (х') =
*=BPtkl(r. t) — ±pu4kl, r = x' — x. A4.39)
также описывающий связь указанных полей друг с другом, уже
будет, вообще говоря, отличен от нуля. В изотропном случае
Вр., ы (г) = Рг (г) rkrt + Р2 (г) Ьк1. A4.40)
где
A4.41)
(ср. A2.29)). Умножая обе стороны уравнения A.9) на ufku[ и осред-
няя полученный результат, убеждаемся, что в случае однородной
турбулентности
д2Ви н(г)
АД,',М(г)~-р *?) • A4.42)
1) Заметим, что если Q (г) достаточно быстро убывает на бесконеч-
бесконечности, то функция Вр'р> (г) = Врр (г) — р2 будет убывать при г ->оо быстрее,
чем г. Поэтому граничные условия A4.35) можно заменить одним «чет-
«четверным» условием
гВр,р, (г) -> 0 при г -> оо.
которому отвечает функция Грина
при
при г>у.
Соответствующее этой функции решение A4.38) уравнения A4.34) в силу
A4.32) автоматически удовлетворяет условиям A4.35). С помощью анало-
аналогичных рассуждений (но без использования функций Грина) Бэтчелор
и получил формулу A4.38); метод функций Грина одновременно был исполь-
использован для получения родственного результата Обуховым и Ягломом A951).

120 - ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [14.4
Если же турбулентность, кроме того, еще и изотропна, то тензор
в левой части A4.42) будет изотропным симметрическим тензором
второго ранга, и, следовательно,
6fcl. A4.43)
Трехмерное преобразование Фурье тензора A4.43), очевидно, имеет
вид — kikjFij,тп(*)» т. е. при малых k ведет себя, как a0k2bmn-\-
+а1АтАя; поэтому согласно сказанному на стр. 45 (ср. A2.46)) функ-
функции Qi(r) и Q2(r) должны удовлетворять условию
оо
J [r2Qx (г) + 3Q2 (г)] г2 dr = 0. A4.44)
о
Подставляя в A4.42) соотношения A4.40) и A4.43) и приравни-
приравнивая коэффициенты при rkrt и при bkl в левой и правой частях полу-
полученного равенства, мы придем к следующей системе двух уравнений
относительно неизвестных функций Рг(г) и Р2(г):
ЛИ. 04.44
Т+7
Заменим Я2(г) новой неизвестной
A4.47)
тогда, умножив A4.45) на г2 и сложив результат с утроенным урав-
уравнением A4.46), мы получим для Я3(г) уравнение
A4.48)
Линейно независимыми решениями однородного уравнения, отве-
отвечающего A4.45), являются функции 1 и г", а отвечающего A4.48) —
функции 1 и г". Учтя граничные условия
РДОХоо; Р/(г)->0 при г-*о©;*=1, 3, A4.49)
мы легко получим из A4.45) и A4.48), что
A4.60)
Г г
L °
I A4.51)
J

14.4] § 14. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 121
Последняя из этих формул в силу A4.44) может быть также запи-
записана в виде
со
—pjy(f—ijQsOOrfy- A4.52)
Г
Для функций
Вр>, и (г) = j [2г*Рх (г) + />3 (г)] и Bp>t NN(r) =- -1 [гV, (г) - Р3 (г)]
из A4.50) — A4.52) получаются формулы
If
7Г J^QiOOrfy-
Ч- 1 Sy (у — г) Q2 (у)] rfy}, A4.63)
A4.54)
Полученные результаты могут быть без труда переформулированы
также и в терминах спектральных функций. Пусть Fpp(k) — это
спектр давления, т. е. трехмерное преобразование Фурье функции
Вр'Р'(г) (зависящее только от Л = |й|), и Fijtfnn(k) — «спектральная
функция четвертого порядка», представимая в виде, аналогичном
A2.132). В таком случае в силу A4.30), A2.132) и A2.131)
l, LL (*) **•
FpPW^^FLL%LL{h). A4.55)
Эта формула является «спектральным эквивалентом» соотношения
A4.34). Аналогично этому, если Fp,mn(k) — трехмерное преобразо-
преобразование Фурье тензора ВР'$тп(г), то
Pp. тп (*) = ^^W7>^W KK + Pp. NN (*) <W (Н.бб)
В силу A4.42) получаем k2Fpt mn (k) = — pkfijF^ mn (ft), откуда
вытекает, что
Эти формулы представляют собой новую запись соотношений
A4.53) и A4.54).

122 гл. vii. изотропная турбулентность . [14.5
14.5. Корреляционные и спектральные функции,
содержащие температуру
Рассмотрим теперь изотропную турбулентность в температурно-
неоднородной жидкости; в таком случае поле пульсаций температуры
также будет однородным и изотропным случайным полем. При обычном
условии, что скорость и(х> t) всюду мала по сравнению со ско-
скоростью звука и изменения температуры малы по сравнению со средней
абсолютной температурой, плотность жидкости р, а также молеку-
молекулярные коэффициенты кинематической вязкости v = T)/p и темпера-
температуропроводности ^ = к/срр можно считать постоянными. Условимся,
кроме того, не принимать во внимание лучистый теплообмен и про-
прогревание среды, вызываемое диссипацией кинетической энергии тур-
турбулентности; тогда поле пульсаций температуры $(х, t) будет
удовлетворять обычному уравнению теплопроводности A.72), точно
совпадающему с уравнением диффузии пассивной примеси с молеку-
молекулярным коэффициентом диффузии /• Ниже мы будем исходить из
этого уравнения A.72), так что все последующие рассуждения будут
одинаково применимы и к температуре и к концентрации пассивной
примеси; однако, поскольку случай поля температуры наиболее важен
для приложений и наиболее доступен для экспериментальной про-
проверки, мы будем все время называть Ф температурой.
Помножив уравнение A.72) для точки х на Ъ' = $(х'), а то же
уравнение для точки х' на Ф(.я), сложив почленно оба полученных
уравнения и осреднив результат, найдем, что в случае однородной
турбулентности
, t)
R R
Ft = ^B^Mr^ ')s*o,o(r« Q1 + 2X drkdrk
A4.58)
(см. Яглом A9496)). Если же рассматриваемая турбулентность изо-
изотропна, то В^ (г) = Вт (г), где г = | г |, a BWf <> (г) = BLtt t (г) ?*¦;
в этом случае A4.58) принимает вид
SfcU]. (H.59,
Последнее уравнение, играющее для поля температуры ту же роль,
которую играет уравнение Кармана — Ховарта A4.9) для поля ско-
скорости, впервые было выведено Коренном A951а).
Заметим еще, что в уравнении теплопроводности A.72) под §
можно с самого начала понимать отклонение температуры (или кон-
концентрации) в точке от постоянного cpe^jjgro значения Ф, т. е. считать,
что 5 = 0, ^ = ^ и Вы = В**** = [Ь(х) — Щ [$(*') — Ъ]. Именно
так мы и будем обычно поступать в дальнейшем.

14.5] § 14. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 123
Подобно уравнению Кармана — Ховарта, уравнение Корсина A4.59)
связывает, две неизвестные функции Яде (г. t) и BLfi^(r, t). Обе
эти функции могут быть измерены, если одновременно использовать
термометр сопротивления и термоанемометр. В качестве примера на
рис. 13,а и 13,6, заимствованных из работы Милса, Кистлера,
О'Брайена и Корсина A958), приведены образцы нормированных
функцийBw(r)=Bw(r)/Bw@) и BL^{r)=BL^{r)IBw(Q)[BLLmll2>
полученные при измерениях в аэродинамической трубе, в которой
за решеткой была помещена подогреваемая электрическим током
металлическая сетка, создающая пульсации температуры в рабочей
части трубы. Зная значения функции В^(г) на разных расстояниях л:
от сетки, можно определить и ^ B^(rt t) = ^jr^B^(rt x) и про-
проверить справедливость уравнения A4.59). Такая проверка была про-
произведена Милсом и др. и показала удовлетворительное согласие тео-
теории и эксперимента.
Уравнение A4.59) может быть преобразовано к виду, содержа-
содержащему вместо функций B^(rt t) и BLfitQ(rt t) спектр пульсаций темпе-
температуры Ffftty, t) (или функцию E^(kt t) = 4nk2Fw(k, t), которую
мы иногда будем также обозначать символом Е&) (k, t)) и функцию
^^ 0» определяемую из равенства
<14-60>
где Fj$t$(k) — преобразование Фурье вектора В^$Aг). В самом деле,
применив ко всем слагаемым A4.58) трехмерное преобразование
Фурье, получим
. t). A4.61)
В силу A4.60) последнее равенство можно переписать в виде
A4.62)
или
^H = тт(л, t) -
A4.63)
Равенство A4.62) (или A4.63)) и представляют собой искомую спек-
спектральную форму уравнения A4.59) (ср. Корсин A9516)).
Соотношение A4.63) описывает изменение во времени спектраль-
спектрального распределения интенсивности пульсаций температуры Ьг
являющейся естественной мерой неоднородности температурного
поля §(х). Эта «мера неоднородности», очевидно, будет изменяться

124
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[14.5
123456789
Рис. 13а. Эмпирическая корреляционная функция
в зависимости от г/к^, где ^=«= —2В/
О 2 4 6 8 W
14 16 78г/(ЛК1)'/з
Рис. 136. Эмпирическая корреляционная функция BLf^ ^[
в зависимости от r](XKl)\ где Я2» — 2BU^)JB"LL @).

14.6] § 14. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 125
лишь под влиянием теплопроводности, приводящей к выравниванию
поля температуры. При этом, однако, и турбулентное перемешивание
жидкости, описываемое полем скорости и(х), будет играть весьма
существенную роль: оно будет приводить к случайным сближениям
частиц с резко отличной температурой, т. е. будет создавать большие
температурные градиенты, вызывающие резкое усиление теплообмена,
связанного с молекулярной теплопроводностью. Если перевести эти
физические соображения на «спектральный язык», то они будут озна-
означать, что турбулентное перемешивание (описываемое членом T^(kt t)
уравнения A4.63)) будет создавать перераспределение возмущений
поля температуры по спектру волновых чисел, а именно, уменьшать
значения E^{k) при малых к за счет увеличения значений Е^{к) при
больших k без изменения величины Г Е^ (k) dk = Ь'2. Отсюда ясно,
о
что функция T^{k) должна удовлетворять равенству
оо
J 7^ (*)</* = О, A4.64)
о
аналогичному A4.18). И действительно, используя A4.60), легко
вывести, что левая часть A4.64) совпадает со значением произ-
производной
обращающейся в нуль в силу однородности турбулентности. Поэтому,
проинтегрировав равенство A4.63) по k, мы будем иметь
оо оо
™- = -jLJEi)e(k)dk=: — 2x) &Ew(k)dk, A4.65)
О О
как это и должно быть.
Воспользовавшись спектральным разложением полей скорости и темпе-
температуры, легко показать, что'
щ(х)#(х)Ъ(х + г)= j j j elkr+l<*-*¦>*dZ\(ft,)dZ\(*,-ft2)dZb(ft)
A4.66)
(cp. A4.21)). Отсюда видно, что функция щ (х) О (х) ft (х + г) не будет за-
зависеть от х и будет представима в виде интеграла Фурье по г, если
-*,-k2) Qlbf ь(k, hx) dk dkx dk2. A4.67)
Но в таком случае Г^(Л) будет определяться формулой
(H.68)

126 гл. vii. изотропная турбулентность . [14.5
где
dZ% (k) dZb (кЛ k, dZ, (k — kx) 1
— dkdkx —-J- (R69)
Величину Qw>(k> ki) можно интерпретировать как удельную (на единицу
объема пространства п волновых векторов) скорость переноса меры неодно-
неоднородности поля ft (х) из элемента dk{ пространства Q в элемент dk. В изо-
изотропном случае <?<н>(?, k\\ очевидно, будет зависеть лишь от A=|fc|,
kx = | kx | и cos 9 = k • kjkki, так что здесь
OO Jt
J J 0w (Л, klt cos 9) Aj sin 9 dQ dkv A4.70)
о о
Отметим еще, что рассмотренную выше теорию легко обобщить так,
чтобы учесть и некоторые дополнительные эффекты, которыми мы ранее
пренебрегали. Пусть, например, Ф (jc) — концентрация некоторой материаль-
материальной химически активной примеси в точке х, вступающей в химическую
реакцию с некоторой другой примесью или же со средой, в которую она
погружена. Будем считать тем не менее эту примесь «пассивной» в том
смысле, что ни ее перенос, ни происходящие с ней химические реакции не
оказывают заметного влияния на поле скорости и (jc, t) (это допущение
можно считать приемлемым, если концентрация примеси мала, а химические
реакции в потоке протекают сравнительно медленно и спокойно). Предпо-
Предположим далее, что скорость реакции зависит лишь от концентрации ft(Jt),
т. е. задается некоторой функцией Ф (Ф), не зависящей от х и t (так будет
обстоять дело, если концентрация Ф много меньше, чем концентрация веще-
вещества, с которым эта примесь вступает в реакцию). При этих условиях урав-
уравнение диффузии A.72) придется дополнить еще одним членом:
Отсюда вытекает, что уравнение Корсина A4.59) здесь заменится уравнением
где ВФъ(г)—Ф[Ъ(х)]Ъ' (х + r) (см. Корсин A958а). Поскольку, однако,
^8=5@ здесь уже будет зависеть от времени, наряду с A4.72) здесь надо
использовать еще уравнение для среднего значения Ф:
__e<DE + n A4.73)
В ряде случаев функция Ф (#) может быть аппроксимирована степенной
функцией Ф ф) =* \iftn, где \i = const. В таком случае уравнения A4.72) и

15.1] § 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 127
A4.73) выражаются через моменты поля ft (jc). В простейшем случае, когда
л=1, т. е. Ф@>)=|яи> (случай «реакции первого порядка»), будем иметь
~ —Д F =$*-•" A4.74)
?<к> ъ(д±2\(ц
дГ = 2[-дГ+Т)[Вь
В «спектральной форме» уравнение A4.75) принимает вид
—зт~~ = 7\н> — 2 (%k2 -\- \х) Е$$. A4.76)
от
Однако при любом другом показателе п > 1 уравнение A4.73) уже будет
содержать высшие моменты пульсаций концентрации #' и не будет интегри-
интегрироваться в явном виде, а уравнение A4.72) будет содержать более двух не-
неизвестных функций ( Корсин A958а)).
Уравнения A4.74) — A4.76) могут быть применены также к случаю рас-
распадающейся радиоактивной примеси с периодом полураспада, равным 1п2/ц.
В случае, когда Ъ(х) — поле температуры, подобным же образом можно
приближенно учесть влияние радиационного теплообмена.
Аналогичные уравнения могут быть выписаны и для полей концентра-
концентрации нескольких примесей, связанных одной или несколькими химическими
реакциями первого порядка (см., например, Корсин A9626), Пао A064)).
§ 15. СЛЕДСТВИЯ ИЗ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ
И СПЕКТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
15.1. Уравнения баланса энергии, баланса вихря
и баланса интенсивности пульсаций температуры
Уравнения для корреляционных и спектральных функций, рас-
рассмотренные в предыдущем параграфе, являются уравнениями отно-
относительно некоторых функций от двух переменных rut или k и t.
Из этих уравнений можно получить также ряд следствий, относящихся
к сводным числовым характеристикам, описывающим турбулентность
«в целом» (т. е. не зависящим от расстояния г или волнового числа k).
Для этого достаточно, например, разложить функции от г или от k
в уравнениях § 14 по какой-либо системе функций и приравнять
соответствующие друг другу коэффициенты с обеих сторон полу-
получающегося равенства. В частности, если использовать разложение
корреляционных функций в ряд Тэйлора по степеням г или спект-
спектральных функций в ряд Тэйлора по степеням k, то можно получить
соотношения, имеющие отчетливый физический смысл и поэтому за-
заслуживающие специального рассмотрения.
Начнем, следуя Карману и Ховарту A938), с равенств, получае-
получаемых при разложении в ряд Тэйлора всех членов уравнения A4.9).

128 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [15.1
Нулевой член этого разложения мы получим, положив в A4.9) г = 0:
Иначе уравнение A5.1) можно переписать в виде
4(|?)-nw?r@)—
где и — компонента скорости вдоль оси Ох%
Равенство A5.2) представляет собой уравнение баланса энергии
изотропной турбулентности — оно определяет скорость убывания сред-
средней кинетической энергии турбулентности в результате действия вяз-
вязкости. Входящий в него параметр к размерности длины обычно назы-
называется тэйлоровским микромасштабом турбулентности (впервые он
был введен в работе Тэйлора A935), содержавшей также первый
вывод уравнения A5.2)) или масштабом диссипации энергии.
В силу соотношения Кармана A4.3) масштаб А, можно также пред-
представить в виде
V
Отсюда вытекает, что этот масштаб легко определить по измеренным
значениям функции BNN(r), вписав в график нормированной корре-
корреляционной функции g(r) «соприкасающуюся параболу» (см. рис. 4).
Равенства A5.3) и A5.4), очевидно, можно переписать в виде
Первое из соотношений A5.5) также позволяет просто измерить мас-
масштаб А,2. В самом деле, в турбулентности за решеткой (-гМ =
===772"(~Ж~) , где U — средняя скорость потока, а и'*=*и — U; по-
поэтому для измерения Я. достаточно преобразовать пульсации и* в пуль-
пульсации силы тока, пропустить этот ток через дифференцирующее
устройство, а затем подать его на ваттметр. Для турбулентности за
решеткой в аэродинамической трубе масштаб % обычно имеет поря-
порядок долей сантиметра.
Имея данные независимых измерений параметра % и интенсивности
турбулентности и2 на разных расстояниях x = Ut от решетки, можно
непосредственно проверить справедливость соотношения A5.2). Такая

15.1] § 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 129
проверка впервые была произведена Тэйлором A935); в последующие
годы она многократно повторялась и другими исследователями, при-
причем результаты всегда оказывались вполне удовлетворительными (см.,
например, книгу Бэтчелора A953) или работы Бэтчелора и Таун-
сенда A948а) и Милса, Кистлера, О'Брайена и Корсина A958)).
Оказалось также, что зависимость и2 от t чаще всего хорошо аппро-
аппроксимируется простой степенной формулой
tf~(t — tjT\ A5.6)
где t0—некоторое условное «начало отсчета времени», а о значе-
значениях п еще будет речь ниже. Для А,2 отсюда получается линейная
зависимость
*2==-1Г('-'°)- A5.7)
Так как функция BLL(r) четна по г, a BLLL(r) нечетна (см.
п. 12.2 и 12.4), то обе стороны A4.9) содержат лишь четные сте-
степени г. Приравняв друг другу коэффициенты при г2 в разложении
обеих сторон этого равенства в ряд Тэйлора, получим уравнение
\^Виф) = ^Ви,аЪ) + ^чВ1?а% . A5.8)
которое в силу A1.83) можно интерпретировать как уравнение для
скорости изменения среднего квадрата вихря со2 (т. е. как уравнение
баланса вихря). Это уравнение может быть выведено и непосред-
непосредственно из уравнений гидродинамики. В самом деле, умножив все
члены уравнения A.7) для &-й компоненты вектора вихря на 2сол,
просуммировав по k и осреднив результат, мы в случае однородной
турбулентности получим
Л ~ Z(Dk®a дха ~ zv дха дха (iD*}
( d(ok дип<о1 л d2(ok
поскольку в этом случае 2иащ = —^-^- = 0 и щ —тг +
V _ дхп дха дх2а
-И——) = ^ =01. Последний член в правой части A5.9),
\дхп) 2 дх\ I
очевидно, описывает уменьшение завихренности в результате затуха-
затухания скорости под действием вязкости; он всегда отрицателен и в изо-
изотропном случае равен —70v#[^@) (напомним, что согласно стр. 45
всегда B™L @) > 0). Что же касается первого члена в правой части
A5.9), то он описывает влияние инерционных членов уравнений
гидродинамики на изменение среднего квадрата вихря; это влияние
было подробно изучено Тэйлором A938а), который показал (и
9 А. С. Монин, А. М. Яглом

130 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [15.1
теоретически и экспериментально), что оно всегда приводит к общему
возрастанию завихренности за счет растяжения вихревых трубок.
В случае изотропной турбулентности нетрудно проверить, что
-J^- = o-fiil,i@); отсюда, в частности, вытекает, что всегда
Buti@)<(). Из сказанного следует также, что в изотропном слу-
случае A5.9) отличается от A5.8) лишь числовым множителем.
Для турбулентности за решеткой все члены уравнения A5.8)
могут быть непосредственно измерены с помощью термоанемометра
и дифференцирующего устройства, так как
Подобные измерения описаны в работе Бэтчелора и Таунсенда A^47);
согласно приведенным в этой работе данным, совпадение измеренных
значений правой и левой частей A5.8) оказывается вполне удовлет-
удовлетворительным.
Аналогичные следствия можно вывести и из уравнения Корсина
A4.59) для корреляционной функции поля температуры. Полагая
в этом уравнении г = 0, получим
f f A5.10)
dt Ц
где
— введенный Коренным A951а) микромасштаб поля температуры,
соответствующий расстоянию ОМ на рис. 4, если под В (г) понимать
Вю(г) и, как обычно, считать Ф = 0, где Ф — пульсация темпера-
температуры. Масштаб к$ можно также измерить, исходя из формулы
) ) A5Л2)
Равенство A5.10) аналогично A5.2); оно определяет скорость убы-
убывания среднего квадрата пульсаций температуры («интенсивности пуль-
пульсаций температуры» или «меры неоднородности температурного пол$»)
йод действием теплопроводности. Проверка этого равенства для тур-
турбулентности за подогреваемой решеткой в аэродинамической трубе
была произведена Милсом, Кистлером, О'Брайеном и Коренном A958),
определившими значения 1$ при разных х с помощью построения,
приведенного на рис. 4, и сравнившими полученные результаты
с результатами независимого определения 1$ по значениям -~л~ —

15.2] . § 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 131
— U —2—¦ исходя из соотношения A5.10). Хорошее совпадение полу-
полученных двумя способами значений %$ подтверждает справедливость
равенства A5.10) в условиях их экспериментов.
Разложив все члены равенства A4.59) в ряд по степеням г2 и
приравняв умноженные на —3 коэффициенты при г2 с обеих сторон,
мы получим уравнение для скорости изменения среднего градиента
температуры, близкое по форме к равенству A5.8):
— 4^Bw@) = -6B«f<>@)-6xBw@). A5.13)
Последнее слагаемое в правой части A5.13) всегда отрицательно (см.
стр. 36) — оно описывает уменьшение среднего квадрата градиента
температуры, создаваемое молекулярной теплопроводностью. Пер-
Первое же слагаемое в правой части A5.13) всегда положительно, так
как оно описывает обострение температурных градиентов, вызывае-
вызываемое инерционным сближением жидких частиц с сильно различающейся
температурой.
Родственные уравнения можно получить и для концентрации хими-
химически активной (или распадающейся) примеси, исходя из уравнения
A4.75) (см. Корсин A958а)).
15.2. Интегралы Лойцянского и Корсина
Обыкновенные уравнения, получающиеся при разложении в сте-
степенной ряд уравнений в частных производных A4.9) или A4.59),
описывают изменение во времени локальных характеристик изотроп-
изотропной турбулентности, относящихся к фиксированной точке потока.
Такие уравнения можно проверять с помощью приборов, регистри-
регистрирующих пульсации тех или иных гидродинамических полей в одной
точке. Эквивалентные уравнения можно также получить, помножив
все члены спектральных уравнений A4.14) или A4.62) на соответ-
соответствующую степень k и проинтегрировав затем по всем значениям k
(в частности, уравнение A5.2) эквивалентно A4.19), а A5.10) экви-
эквивалентно A4.65)). Если, однако, мы разложим все слагаемые урав-
уравнения A4.14) или A4.62) в ряд Тэйлора по А и приравняем соот-
соответствующие коэффициенты справа и слева, то получим уравнения,
имеющие совсем другой характер. Эти новые уравнения будут свя-
связывать величины, характеризующие поведение спектральных плотно-
плотностей вблизи точки k = 0t т. е. определяющие асимптотическое пове-
поведение наиболее длинноволновых компонент гидродинамических полей;
такие величины будут интегральными характеристиками турбулентности,
зависящими от значений корреляционных функций при всех значе-
значениях г от нуля до бесконечности. Естественно, что соответствующие
соотношения нельзя проверить на материале измерений за решеткой
9*

182 гл. vii. изотропная турбулентность [15.2
в аэродинамической трубе или на каком-либо другом эксперимен-
экспериментальном материале: то обстоятельство, что любой реальный турбу-
турбулентный поток можно лишь в конечной области приближенно рас-
рассматривать как изотропный, будет здесь играть решающую роль. Тем
не менее асимптотические соотношения, определяющие поведение спек-
спектральных функций в области малых волновых чисел, интересны
с теоретической точки зрения; в дальнейшем мы увидим, что они позво-
позволяют получить некоторые результаты, имеющие наглядный физиче-
физический смысл и в ряде случаев допускающие косвенную эксперимен-
экспериментальную проверку.
Начнем с рассмотрения спектрального уравнения A4.14) для поля
скорости. Предположим, что спектральные функции F(k) и Fz(k)
дифференцируемы в точке А = 0 бесконечное число раз, т. е. что
корреляционные функции BLL(r) и BLLL(r) при г->оо убывают
экспоненциально (быстрее любой конечной степени г); вопрос
о законности такого предположения мы обсудим несколько позже.
Подставляя в A4.14) разложения F(k) и Fz(k) в ряды Тэйлора и
приравнивая коэффициенты при равных степенях k2 с обеих сторон,
получим бесконечную систему уравнений
^. = 0, /2 (/) = const, A5.14)
A5.15)
где fn и gn — коэффициенты рядов для F(k) и для Fz(k). Наиболь-
Наибольший интерес здесь представляет уравнение A5.14), имеющее вид
некоторого закона сохранения. Коэффициент /2 может быть выражен
через продольную корреляционную функцию BLL(r) с помощью со-
соотношения A2.80), так что A5.14) можно переписать в виде
J r4BLL(r)dr = A = const. A5.16)
о
В таком виде это соотношение и было впервые получено Лойцян-
Лойцянским A939), в связи с чем величина Л обычно называется инте-
интегралом Лойцянского (или инвариантом Лойцянсгсого); спектральный
смысл A5.14) этого инварианта был позже раскрыт Колмогоровым
(см. Яглом A948)), Линем A949) и Бэтчелором A949а).
Как было показано еще Лойцянским A939), равенство A5.16) можно
вывести и непосредственно из уравнения Кармана — Ховарта A4.9).
В самом деде, умножив эсе слагаемые уравнения A4.9) на г4 и проин-

15.2] $ 18. заключительный период вырождения 133
тегрировав его по г от г = 0 до /• = /?, мы придем к соотношению
R
d
~dt
Отсюда видно, что если интеграл A5.17) сходится (т. е. если BLL(r)
стремится к нулю при г—*оо быстрее, чем г~5), то
оо
4- Г
lim [/?4BIIfI (/?)]. A5.18)
Таким образом, для справедливости A5.16) надо, чтобы интеграл
A5.16) сходился, а функция BLLL(r) убывала быстрее, чем г~4.
Указанные условия эквивалентны двукратной дифференцируемости
функции F(k) при k = 0 и стремлению F$(k) к нулю при й->0
быстрее, чем k2. Любопытно, однако, что случай, когда правая часть
A5.18) отлична от нуля, а Л' конечно, но не постоянно, оказался
довольно важным (Седов A951), Праудмен и Рид A954), Бэтчелор
и Праудмен A956); ср. ниже стр. 160, 164 и 257).
Аналогичные выводы следуют и из спектрального уравнения
A4.62). Предполагая, что функции Fm(k) и FL$tfi(k) в окрестности
точки & = 0 разлагаются в ряды Тэйлора, получим
= const, A5.19)
A5.190
(где /W и g&) —коэффициенты при kn в разложениях функций F^(k)
и FL<iffi(k)). Первое из этих равенств имеет вид закона сохранения,
причем в силу A2.16) этот закон сохранения можно переписать в вид*
оо
J r*Bm(r)dr = К = const. A5.20)
о
Закон сохранения A5.20) может быть просто получен и из уравне-
уравнения A4.59); именно так он и был впервые выведен в работе Кор-
сина A95.1) (по имени которого величина К иногда называется инте-
интегралом Корсика). Для этого надо умножить все слагаемые э A4.59)
на г2, проинтегрировать полученное равенство от г = 0 до г = /? и
устремить R к бесконечности. Предположив, что интеграл A6.20)

134 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [152
сходится (т. е. что В<ю(О стремится к нулю при г~*оо быстрее,
чем г), мы придем к соотношению
= lim [2/?2B^<>(/?)]. A5.21)
Отсюда видно, что для справедливости закона сохранения A5.20)
надо только, чтобы интеграл в левой части этого равенства сходился
и чтобы функция BLfi^(r) стремилась к нулю при г->оо быстрее,
чем г.
В более общем случае однородной, но не изотропной турбулентности
законы сохранения A5.14) и A5.16) переходят в целое семейство подобных
законов. В самом деле, предположим, что функции Ftj (k), FiU j (к) и Fpi (к)
допускают разложение в ряд Тэйлора и представим в виде степенных рядов
все члены тензорного уравнения A4.10):
**Ц (*) e fij. тпЬтК + • • • •
TljW = yiJtmnkmkn+--- С15-22)
Щ (*) = Я/у, mnkmkn + ...,
где
Y//, mn e " 1^/«У. п + f }mU n + Ля/, ш + f JnU mb
ntj, mn = — -gT №lmfpj, n +^jmfpl, n + blnfpj, m + bjnfpl, ml
a //m/, n и /р/, л — коэффициенты при kn в разложениях функций Fimt j (k)
и Fpj (к). Воспользовавшись еще тем, что в силу равенства — Fpi (k) ~
= — kjkiFjlti(k) (вытекающего из A.9)) коэффициенты fimjtn и fpj,n
связаны соотношением
Т" fpj, tfiimbikmkn e — fimj, nkikmkn%
нетрудно показать, что
(см. Бэтчелор A949а) или Вэтчелор A953), гл. V, § 3). Подставляя A5.2?)
в (НЛО) и используя A5.23), получаем
л-О. т.е. /,/§тя«const. A5.24)
Это и есть то семейство законов сохранения, которое служит обобщением
соотношения A5.14) на случай произвольной однородной турбулентности
(в изотропном случае очевидно, /у, ^«. ^5^6//—j F/m5^ + 6/л$/т)] /8>

15.2] $ 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 135
так что A5.24) здесь не отличается от A5.14)). В терминах корреляционных
функций законы сохранения A5.24) имеют вид
s Л/у, тл = const. A5.25)
В изотропном случае левая часть A5.25) либо равна нулю, либо отличается
от A5.16) лишь числовым множителем.
Аналогичным образом из равенства A4.61) вытекает, что в общем слу-
случае произвольной однородной турбулентности также имеет место закон
сохранения A5.19); однако под /[> в этом случае надо уже понимать значе-
значение в точке ? = 0 спектральной плотности F$&(k, t). Иначе этот закон
сохранения можно записать в виде
f Bw> (г) dr = /С' = const A5.26)
(в изотропном случае A5.26) не отличается от A5.20)).
Как отметили Ландау и Лифшиц A953), закон сохранения A5.16) тесно
связан с законом сохранения момента количества движения, справедливым
для любой физической системы, на которую не действуют внешние силы
(аналогично обстоит дело и в случае более общих законов сохранения A5.25)).
Выражаясь не совсем точно, можно сказать, что для изотропных турбулент-
турбулентных потоков с конечным и отличным от нуля интегралом Л средний квадрат
полного момента количества движения большого объема V жидкости будет
пропорционален этому объему, причем множитель пропорциональности будет
лишь числовым коэффициентом отличаться от интеграла Л, умноженного на
квадрат плотности:
Г ЖЛ /17-412 1 w-в Г ? Т~2
A5.27)
где М (К) — полный момент количества движения объема К, a тц(х)=*
= хщ(х)—xjUi(x) — компонента тензора момента количества движения
в точке х. Допущенная здесь неточность заключается в том, что из-за не-
неограниченного , возрастания величин тц (х) при | х | -> со средний квадрат
момента количества движения очень тонкого слоя жидкости, примыкающего
1с границе объема V, может существенно влиять на величину среднего
квадрата в правой части A5.27), так что, строго говоря, стоящий там предел
может зависеть от формы объема V. Для получения однозначного резуль-
результата удобно, «следуя предложению Колмогорова, заменить правую часть
A5.27) выражением
KJ
где интеграл справа распространен по всему пространству векторов х (нор-
(нормирующий множитель а3/2/я3/2 равен обратной величине интеграла Г е~°*х dxt
т. е. соответствует множителю -гт в формуле A5.27)). Представив в A5.27')
квадраты интегралов в виде двойных интегралов (по х и по х') и перейдя

136 гл. vii. изотропная турбулентность [15.2
затем к новым переменным г = хг — х и гх = ж'+д;, можно преобразовать
правую часть A5.27') следующим образом:
2 cfift ГС
„3/2 Л Л
= lim p2 —r^ \xx'Bjj (х-*) — xix'jBu (х' - х)] е~
а->0 яо/* J J
«3/2 Г Г
О-^О о Л v J
X е 2 ^ !^г rfri
(при переходе к последней строке мы опустили нулевые слагаемые, содер-
содержащие интегралы от нечетных функций). Но для несжимаемой изотропной
турбулентности с конечным интегралом Л в силу A4.1), A4.3) и A5.16)
1
I Bjj(r)e dr = — ^ J Bjj(r)r2dr + o (a) = 4яаЛ + о (а),
Г "**2*
rfjBij (г) ? tfr = 4яЛ -\-0 (а).
Исходя отсюда, нетрудно показать, что
lim Дг^ [iW (a)]2 = 5/2 лр2Л. A5.28)
-» яг*
Этот результат выявляет связь закона сохранения A5.16) с общим законом
сохранения момента количества движения.
В однородном (но не обязательно изотропном) случае аналогичные
рассуждения показывают, что предел
lim —«• ^И/у (a) Mkl (a) = lim p2 -—^ m/y (x) тл/ (дсО ^~a ^а +дг' > йГхйГд;7
a-*0 я' a->0 я' J J
A5.29)
может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации умножен-
умноженных на р2 интегралов Л/у, тп и что, наоборот, все р2Л/у, тп могут быть пред-
представлены в виде линейных комбинаций нормированных произведений A5.29)
компонент тензора момента количества движения.
Аналогичным образом формулу A5.26) можно переписать в виде
lim -^ Iй (*) dA =¦ *' — const» A5.30)
¦1 Г J G (х) dx\

15.3] § 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 137
показывающем, что A5.20) выражает общий закон сохранения количества
теплоты (или массы пассивной примеси). В самом деле, легко видеть, что
если величина A5.26) (равная 8я3гдо@)) конечна, то
(V). A5.31)
\y J v v
Равенство A5.31) можно также заменить соотношением
К' = Нт -^ Г [ Ъ (х) е'ах2 dxY, A5.32)
а-»0 п61* IJ J
по форме очень близким к A5.28) (но доказываемым значительно проще).
15.3. Заключительный период вырождения
изотропной турбулентности
Вопрос о поведении спектральной плотности в окрестности начала
координат пространства волновых векторов (т. е. в области наиболее
длинноволновых компонент турбулентности) является основным также
и при исследовании заключительного периода вырождения изотропной
турбулентности. В самом деле, как мы видели в § 14, скорость убы-
убывания пульсаций поля скорости (или температуры) с заданным волно-
волновым числом k под действием вязкости (или теплопроводности) про-
пропорциональна 2vk2 (или 2х&2), т. е. быстро возрастает с ростом k.
Будем для определенности говорить о среднем квадрате пульсаций
скорости, т. е. о турбулентной энергии; аналогичное рассуждение
применимо и к пульсациям температуры. На первом этапе вырожде-
вырождения турбулентности рассеяние энергии под действием вязкости может
компенсироваться притоком энергии из других областей пространства
волновых векторов, создаваемым турбулентным перемешиванием; если,
однако, отсутствует приток энергии извне, то в конце концов наступит
момент, когда поддержание заметного потока энергии от одних вол-
волновых чисел к другим, сравнимого по величине со скоростью про-
процессов диссипации, станет уже невозможным. Начиная с этого момента
значения спектральной плотности при всех значениях ft, лежащих вне
малой окрестности точки ft = 0, будут убывать экспоненциально, и
только при .очень малых значениях | ft | спектр будет изменяться более
медленно. Отсюда ясно, что асимптотическое поведение корреляционных
функций при очень больших значениях t должно определяться исклю-
исключительно поведением начального спектра в окрестности точки ft = 0.
Посмотрим, как можно доказать последнее утверждение строго
математически. [Определим заключительный период вырождения турбу-
турбулентности как период, в течение которого процессами перераспреде-
перераспределения энергии и интенсивности пульсаций температуры по спектру
турбулентности можно пренебречь по сравнению с процессами

13а гл. vii. изотропная турбулентность [15.3
диссипации. Иначе говоря, заключительным называется период вырожде-
вырождения, когда общее уменьшение средних квадратичных значений пуль-
пульсаций гидродинамических полей, вызванное действием вязкости и
теплопроводности, уже привело к тому, что квадратичные относи-
относительно этих пульсаций «инерционные члены» уравнений гидродина-
гидродинамики (ответственные за перераспределение энергии по спектру) стали
пренебрежимо малыми по сравнению с линейными относительно пуль-
пульсаций «диссипативными членами» (т. е. когда числа Рейнольдса и
Пекле потока стали много меньшими единицы). К этому моменту
поток фактически перестает уже быть «турбулентным» в обычном
смысле этого слова — в нем прекращается турбулентное перемешива-
перемешивание, и имеет место лишь спокойное «ламинарное» затухание отдель-
отдельных крупномасштабных возмущений, сохранившихся с того времени,
когда в потоке имелась развитая турбулентность. Дальнейшее изме-
изменение во времени полей скорости и температуры в такой «полностью
выродившейся» турбулентности будет описываться линейными уравне-
уравнениями вида1)
^ A5.33)
ХДО A5.34)
Исходя отсюда при изучении заключительного периода вырождения
в уравнениях для корреляционных и спектральных функций можно
пренебречь корреляционными функциями третьего порядка и их пре-
преобразованиями Фурье по сравнению с обычными корреляционными
функциями и спектральными плотностями. Иначе говоря, эти уравне-
уравнения здесь принимают вид
и, соответственно,
HP th A
к, 0. A5.37)
A5.38)
Уравнения A5.35) — A5.38) — это линейные уравнения, каждое из
которых содержит одну неизвестную функцию. Поэтому, если
1) Как известно, члены уравнений Навье — Стокса, содержащие давле-
давление, имеют тот же порядок, что и члены, квадратичные относительно скоро-
скоростей (ср. ураэнение A.9) в части 1); поэтому, если квадратичные члены мы
Дотаем равными нулю, то следует считать, что и V/> = 0,

15.3J § 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 139
t0 — произвольный момент времени, относящийся к заключительному
периоду вырождения, то эти уравнения позволяют однозначно опре-
определить значения любой из функций BLL(r, t), ?<ю(г, t), F(k, t) и
^<ю(*» О ПРИ *>*о п0 их начальным значениям в момент t0.
Наиболее просты спектральные уравнения A5.37) и A5.38), реше-
лия которых имеют вид
)е-™2«-'*\ A5.39)
to)e-W«-<>). A5.40)
Согласно формулам A2.75) и A2.4) решения уравнений A5.35) и
A5.36) можно записать в виде
оо
BLL (г, 0 = — 8я J *rcos*f3~Sl"*/' «-2vftJ(t-ta)f (k, t0) tfdk A5.41)
oo
= 4л J
, A5.42)
где F(k, t0) и F^(k, t0) в свою очередь можно выразить через
BLL(r, t0) и Я<ю(г, ^о) с помощью формул A2.77) и A2.2). Если мы
разобьем интегралы в правых частях формул A5.41) и A5.42) на
интегралы в пределах от 0 до некоторого малого (но фиксирован-
фиксированного) 6>0 и интегралы от k = 6 до & = оо, то вторые из этих
интегралов при t — *0->>оо будут затухать экспоненциально (не мед-
медленнее, чем e~2v6* (*¦"'<>) или> соответственно, $-?x6*('-*o))t а первые
будут затухать более медленно. Отсюда вытекает, что поведение
функций BLL(r% t) и ?<ю(л t) при t— t0->oo не зависит от значе-
значений F(kt t0) и Fw(k, t0) при *>6, где 6 — произвольное фикси-
фиксированное положительное число.
Подставив формулы A2.77) и A2.2) в A5.41) и A5.42) и вы-
выполнив интегрирование по &, мы получим формулы, выражающие
BLL(r, t) и В<ю(Л t) через BLL(r, t0) и В^(г, ^0). Эти же формулы
можно получить и непосредственно из уравнений A5.35) и A5.36),
воспользовавшись, например, тем, что правая часть A5.35) совпадает
с радиальной частью пятимерного оператора Лапласа, а правая
часть A5.36) — с радиальной частью обычного трехмерного оператора
Лапласа. Поэтому общее решение уравнения A5.35) можно пред-
представить в виде
A0.

140 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [15.3
/ 5 \1/2
где lv ..., 15 — переменные интегрирования, ? = BШ * а
V-i 7
/ 5 у/2
ri> •••• Г5 — произвольные числа, такие, что 2 г? =г- Перейдя
\*-i 7
в A5.43) к сферическим координатам в пятимерном пространстве
и выполнив интегрирование по угловым переменным, получим
A5.44)
где hft(x) — функция Бесселя от мнимого аргумента порядка 3/2,
выражающаяся через экспоненциальные и степенные функции
(ср. Миллионщиков A939а), Лойцянский A939)). Что же касается
уравнения A5.36), то оно совпадает с обычным уравнением тепло-
теплопроводности для сферически симметричного распределения темпера-
температуры, общее решение которого, как известно, имеет вид
A5.45)
Рассмотрим теперь вопрос об асимптотическом поведении реше-
решений A45.44) и A5.45) при t — *0->оо. Начнем со случая более про-
простой функции Bffi(rt t). Из формулы A5.45) нетрудно вывести, что
асимптотическое поведение этой функции будет определяться лишь
некоторыми простыми интегральными характеристиками «начальной
[t2 -I *
— 8V ft — Ml* nPH
t — t0->oo во всей области значений |, в которой В^(|, *0) суще-
существенно отличается от нуля, а функцию sh L .. j_. А, где г фикси-
фиксировано, во всей этой области можно заменить первым членом ее
степенного ряда. Проделав это, легко убедиться, что если в момент
t = t0 интеграл Корсина A5.20) конечен и отличен от нуля, то при
достаточно больших значениях t — tQ
A5.46)
A5.47)

15.3] § 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 141
Таким образом, асимптотическое поведение Вт (г, t) и ft2 (t) здесь
зависит только от величины /С. Правая часть A5.46) совпадает
с функцией Грина трехмерного уравнения теплопроводности — точ-
точным решением этого уравнения, отвечающим случаю, когда при
t = t0 тепло сосредоточено в одной точке г = О (так что «начальное
значение» B^(rt t0) представляет собой 6-функцию). Согласно A5.46)
и A5.47) при 0</С<оо функция B^(rt t)/B^(Ot t) будет асим-
асимптотически приближаться к плотности гауссовского распределения
с шириной («дисперсией»), линейно возрастающей с ростом t, a
будет убывать пропорционально t~3/2.
Аналогично показывается, что если в момент t = t0 интеграл К
равен нулю, но конечен и отличен от нуля момент
, to)r4rt A5.48)
то асимптотическое поведение В$$(г, t) будет описываться формулой
> 0« — -т=—— тf1 "L'W^. A5.49)
} /2*[4X(**)]5/2L 12x('')J V ^
Эта формула также определяет специальное решение уравнения A5.36),
отвечающее «начальным значениям типа источника», обращающимся
в нуль при всех г Ф 0, а именно решение, соответствующее наличию
в момент t = t0 в точке г = 0 совокупности «элементарных тепло-
тепловых диполей» со всевозможными ориентациями в пространстве.
Вообще, если в момент t = t0 интегралы
оо
KP=JBW(г, *0)r2"+2dr A5.50)
о
с р = 0, 1 s—1 обращаются в нуль, а интеграл Ks конечен
и отличен от нуля, то асимптотическое поведение решения B^(r, t)
при t — *0->оо (которое легко получается с помощью разложения
функций ехр{- |2/8Х (^ — *о)} и sh {г?/4х(* — *0)} в формуле A5.45)
в степенные ряды) будет даваться формулами
Cs= <-Di?l _, A5.51)
и
в г. л_. ~s , , 2s r» , 2»s(s-l)
_tg)]2
s \ -8x(<_
B5 + 1I [4%(t je
(—\)s2ss! r2s \
(t-t0)V j

142 гл. vii. изотропная турбулентность [15.3
т. е. будет зависеть лищь от величины Кг Нетрудно проверить, что
правая часть A5.52) лишь постоянным множителем отличается
от 5-й производной по времени от правой части A5.46). Отсюда
ясно, что A5.52) также представляет собой точное решение уравне-
уравнения теплопроводности A5.36), отвечающее некоторым «несобствен-
«несобственным» начальным значениям, сосредоточенным в точке г = 0.
Аналогичные рассуждения применимы и к случаю пульсаций поля
[?2 П
— 8v tf — Ml** ПРИ ^^о-*00 во всей
области значений |, в которой ВцA>* t0) заметно отличается
от нуля, а функцию 'з/2 гт-тз~7Т ПРИ лю^ом фиксированном г и
t — t0->oo можно во всей этой области представить первым членом
3/2
соответствующего степенного ряда, то из A5.44)
ф(о)]
вытекает, что в случае, когда в момент t = t0 интеграл Лойцян-
ского A5.16) конечен и отличен от нуля, при больших значениях t —10
A5l53)
A5.54)
(Миллионщиков A939а)). Таким образом, BLL{rt t) и u2(t) здесь
зависят лишь от начального значения величины Л. Если же Л = 0
в момент / = /0, но отличен от нуля и конечен какой-либо момент
функции BLL(rt t0) вида
»=1. 2 A5.55)
то с помощью разложения экспоненциальной и бесселевой функций
в правой части A5.44) в степенные ряды нетрудно показать, что
при t — t0->oo
A5.56)
(-D'2*
?^wY

15.3] § is. заключительный период вырождения 143
где As — первый отличный от нуля момент A5.55) (см. Седов
A944, 1951)).
Правые части равенств A5.54) и A5.57) представляют собой
частные решения уравнения A5.35), отвечающие некоторым не-
несобственным «начальным значениям BLL(rt t0) типа источника»,
равным нулю при г Ф О и обращающимся в бесконечность (или
не имеющим смысла) при г •= О (такие начальные условия могут
приближенно описывать очень интенсивную, но крайне мелкомасштаб-
мелкомасштабную турбулентность). Заметим еще, что если правую часть A5.53)
обозначить через <#) (г, t)% то правая часть A5.57) будет лишь по-
ds
стоянным множителем отличаться от ф^ (г, t) = -тр- <р(°) (г, f).
Формула A5.52) не исчерпывает всех возможных типов поведения
корреляционных функций В$ъ(г, t) при больших значениях t —10. В самом
деле, предполагая, что в момент tQ все моменты A5.50) равны либо нулю,
либо бесконечности, можно получить большое число новых асимптотических
формул. При дополнительном предположении, что начальные условия при
t = t0 сказываются на асимптотическом поведении B$$(r> t) при t — to-><x>
лишь в виде постоянного множителя А% являющегося какой-то «интеграль-
«интегральной характеристикой» функции ?$$ (г, t0), все эти асимптотические формулы
могут быть просто исследованы с помощью соображений размерности,
подобно тому как это было сделано Седовым A944, 1951) в применении
к пульсациям поля скорости. В самом деле, пусть размерность величины А
дается формулой [A]~62LmTn, где 0 — размерность ft (которая входит
в квадрате, так как А линейно зависит от В$$ (г, t0)). Тогда отношение
тп .
-х- л+т/
_ , » OX (*—*о) /А будет безразмерной функцией от г и t —10,
которая в силу A5.36) может зависеть только от параметра %. Следова-
Следовательно, асимптотическое поведение #w>(r, t) будет задаваться решением
уравнения A5.36), имеющим вид
Вы (г, t) = j- ф [ г- 1 A5.58)
(где С = А% 2,а = л~|--о")« Подставив A5.58) в A5.36), легко проверить,
что функция у(х), нормированная условием ф@) = 1, будет представляться
в виде
( |, -~), A5.59)
где М (а, у. х) = 1 + у -—¦ + °^ Jiu "Jf + • • • "" вырожденная гипер-
гипергеометрическая функция. При г->оо решение A5.58) — A5.59) убывает,
как га, так что при а < 3/2 ему отвечает бесконечный интегрр Кор-
сина A5.20), а при а < 3/2 -|- s, где s — целое число, все интегралы Кр
с р>5 будут бесконечными, а интегралы /Со, К\ ^fj-i — конечными
(и при нецелом а —3/2 равными нулю —иначе мы получили бы одно
из решений A5.52)). При а = 3/2 + 5, где s — целое, решение A5.58)—A5.59)
совпадает с A5.52).

144 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [15.3
В спектральной теории точным решениям A5.46), A5.52) и A5.58) —
A5.59) уравнения A5.36) отвечают решения уравнения A5.38) вида
Ч A5.60)
) = С^2а-3^-2^2(/-Ч 0 < а < оо A5.62)
(ср. аналогичные формулы в статье Яглома A948)). С помощью A5.60) —
A5.62) можно просто объяснить многие свойства решений A5.46),
A5.52) и A5.58) — A5.59). Так, например, все указанные выше факты
о «начальных значениях» В$ъ(г> *о) этих решений и об отвечающих им
значениях интегралов A5.20) и A5.50) в силу A2.14) и A2.16) вытекают
из степенного характера соответствующих «начальных значений* Fqq (k, t0).
Отсюда же следует и то, что для решения A5.52) интегралы /Со, ..., Ks_i
равны нулю при всех t > tQ, a Ks при всех t > t0 остается одним и тем же,
т. е. является инвариантом. Далее, поскольку асимптотическое поведение
В$ъ (г, t) при t —10 -> оо зависит лишь от поведения функции Ff^ (?, t0)
в окрестности нуля, то в случае функции F^(kt t0), допускающей вблизи
точки k =s 0 степенную аппроксимацию, это асимптотическое поведение
должно даваться одной из формул A5.46), A5.52) и A5.58), A559). В част-
частности, в случае функции F^(kt tQ), допускающей разложение в ряд
Тэйлора по k2, асимптотическое поведение В$ъ (г, t) совпадает с тем, кото-
которое получается при замене Ff^(kt t0) первым ненулевым членом его ряда
Тэйлора, т. е. задается формулой вида A5.52).
Простые формулы A5.53) или A5.57) также, разумеется, будут иметь
место лишь в случае, когда в начальный момент времени t = t0 хоть один
из интегралов A5.16), A5.55) конечен и отличен от нуля; они никак не
исчерпывают возможные типы асимптотического поведения решений A5.35).
Так, например, еще в работе Кармана и Ховарта A938) было отмечено,
что уравнение A5.35) имеет однопараметрическое семейство линейно не-
независимых точных решений, которые, следуя Седову A944, 1951), можно
представить в виде
я (г, t) = ^ М (а, ~, V 0 < а < оо A5.63)
LL (tt)« [ 2 8(tt)J
LL
(см. также заметку Д. Ли A965), в которой указано другое представление
решения A5.63) с а = 2). Отсюда, в частности, видно, что вырождение
энергии и2 (t) в течение заключительного периода вырождения изотропной
турбулентности в принципе может задаваться степенной формулой с произ-
произвольным показателем. Решения A5.63) подобны A5.53) и A5.57) в том
отношении, что они содержат только один параметр С, могущий зависеть
от начальных условий. В этой связи Седов A944, 1951) заметил, что, и
обратно, предположив, что начальные условия сказываются на асимптоти-
асимптотическом поведении функции ВLL (r, t) при t -> оо лишь в виде постоянного
(размерного) множителя, мы обязательно придем к решению вида A5.63)
(ср. вывод формул A5.58) — A5.59)). При г->оо решение A5.63) будет
асимптотически убывать, как га; отсюда видно, что при а < 5/2 этому
решению будет отвечать бесконечный интеграл Лрйцянского A5.16), а при

15.4] § is. заключительный период вырождения 145
а < 5/2+ 5, где s — целое число, бесконечными будут интегралы A5.55)
с /?>s. Нетрудно проверить также, что при а = 5/2 решение A5.63) обра-
обращается в решение Лойцянского — Миллионщикова A5.53),. a npH<x = 5/2+s,
где s — целое, в решение Седова A5.57).
Свойства точных решений A5.53), A5.57) и A5.63) уравнения A5.35)
можно легко вывести также из того, что этим решениям соответствуют
решения
F (*, t) « -j^j. *V2v*' «-Ч A5.64)
и, соответственно,
F (Л, t) = Схк2*-Ъе~ш> «-'о), о < а < со, A5.66)
уравнения A5.37) (см. Яглом A948)). То обстоятельство, что решение A5.57)
лишь постоянным множителем отличается от 5-й производной по t реше-
решения A5.53), также очевидным образом следует из формул A5.64) и
A5.65).
Из того, что асимптотическое поведение функции BLL(r> О при *->оо
определяется поведением функции F (k, t0) лишь в малой окрестности точки
? = 0, вытекает, в частности, что если спектральная плотность F (k, t0)
допускает разложение в ряд Тэйлора, то при очень больших t вместо
точного значения F (k, t0) можно использовать первый отличный от нуля
член его ряда Тэйлора. Следовательно, при таких F(k, t0) асимптотическое
поведение при *->оо турбулентной энергии u2(t) и корреляционной функ-
функции BLL(r, t) будет даваться формулами A5.54) и A5.53) или же A5.56)
и A5.57). Если же поведение F(ky t0) в окрестности точки ? = 0 описы-
описывается произвольной степенной формулой, то асимптотически BLL(r> О
будет приближаться к A5.63).
15.4. Экспериментальные данные о заключительном
периоде вырождения.
Вырождение однородной турбулентности
Общие решения дифференциальных уравнений A5.35) — A5.38),
описывающих заключительный период вырождения изотропной турбу-
турбулентности, зависят от функции одного переменного — начального
значения соответствующей корреляционной или спектральной функ-
функции в некоторый момент tQ (также принадлежащий к заключитель-
заключительному периоду). Поэтому для сопоставления этих решений с экспери-
экспериментальными данными надо тщательно измерить корреляционные или
спектральные функции изотропной турбулентности в два не слишком
близких момента времени, относящихся к заключительному периоду
вырождения. Такие измерения представляют большую трудность;
поэтому неудивительно, что общие решения уравнений A5.35)—A5.38)
до сих пор на опыте не проверялись (см., впрочем, ниже рис. 14 и 15).
JQ Д. С. Монрн. А. М. Ягдоц

146 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [15.4
Более подходящим для экспериментальной проверки представляется
асимптотическое поведение корреляционных функций при t — /0->оо,
которое, как мы видели, при достаточно общих условиях описывается
сравнительно простой формулой. Особенно следует выделить фор-
формулы A5.46), A5.47) и A5.53), A5.54), соответствующие случаю
общей регулярной в нуле спектральной плотности (и одновременно
описывающие точные решения уравнений A5.35), A5.36), отвечающие
очень мелкомасштабной начальной турбулентности с конечными ин-
инвариантами Корсина и Лойцянского). Естественно прежде всего по-
попытаться сопоставить именно эти формулы с экспериментальными
данными, относящимися к большим значениям t (ср. работы Миллион-
щикова A939а), Лойцянского A939) и Корсина A9516), в которых
предсказывалось, что в конце процесса вырождения должны выпол-
выполняться указанные формулы).
С точки зрения теории процесс вырождения пульсаций темпера-
температуры более прост, чем процесс вырождения пульсаций скорости.
Однако экспериментальное изучение температурных пульсаций сопря-
сопряжено с преодолением ряда технических трудностей и до сих пор
очень мало продвинуто. Поэтому в дальнейшем, говоря об экспери-
экспериментальных данных, касающихся заключительного периода вырожде-
вырождения, мы будем вынуждены ограничиться рассмотрением лишь данных
о пульсациях скорости.
Первая попытка сопоставления теоретических формул A5.53),
A5.54) с результатами измерений пульсаций скорости за решеткой
в аэродинамической трубе принадлежала Миллионщикову A9396).
Однако эта попытка была неудачной, так как в 1939 г. не было
никаких экспериментальных данных, которые относились бы к за-
заключительному периоду вырождения (см. статьи Колмогорова A941в)
и Френкиля A948)). Большего успеха добились Бэтчелор и Таун-
сенд A9486), организовавшие для проверки формул A5.53) и A5.54)
специальные измерения в условиях, позволяющих получить турбулент-
турбулентность с очень высокой степенью вырождения. Чтобы достичь доста-
достаточно малых значений числа Рейнольдса, они воспользовались очень
мелкой турбулизирующей решеткой (типа густой проволочной сетки)
с величиной ячейки Л! = 0,16 см и проводили свои измерения при
небольших средних скоростях U = 620 см/се/с и U ~ 900 см/сек.
Использование в этих опытах густой сетки в качестве решетки
было выгодным в двух отношениях: при этом число Рейнольдса
Re^ = , характеризующее течение вблизи от решетки, оказывалось
сравнительно небольшим и, что еще важнее, измерения можно было
производить вплоть до расстояний от решетки, во много раз превосхо-
превосходящих характерную длину М. На рис. 14 приведены полученные
Бэтчелором и Таунсендом значения (LP/uffl5 (черные точки) вместе
С соответствующими значениями параметра X2 (крестики). Мы видим,

15.4]
§ 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ
147
что, начиная примерно с Х — 450М, зависимость (U2/u2yi5 от х ста-
становится практически линейной (что соответствует закону A5.54) вы-
4v
рождения турбулентной энергии), а к2 ведет себя, как -тг (х — лг0)
(что в силу A5.7) соответствует тому же закону). Значение х0 здесь
оказалось близким к —350 М (для того чтобы за t0 = -~- можно
200
100
-500
0.2
О
500
z/M
Рис. 14. Проверка закона вырождения турбулентности для за-
заключительного периода.
было принять некоторый момент времени, также относящийся к заклю-
заключительному периоду вырождения, следовало бы продолжить измерения
до гораздо больших значений х\ однако это было невозможно из-за
конечных размеров трубы).
Поскольку закону вырождения A5.54) отвечает X2=z4\(t — *0),
формулу A5.53) можно переписать в виде
A5.530
и[
не содержащем времени явно. Эта формула также была сопоставлена
в работе Бэтчелора и Таунсенда A9486) с эмпирическими данными.
Результаты такого сопоставления показаны на рис. 15, где сплошная
линия изображает «теоретическую кривую» A5.530» а различные
значки соответствуют значениям BLL (г), найденным из измерений при
10*

148
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[15.4
трех разных значениях х (относящихся к заключительному периоду);
полученное совпадение, бесспорно, следует считать хорошим*).
Данные, приведенные на рис. 14 и 15, создают впечатление, что
результаты опыта подтверждают изложенную в п. 15.3 теорию и
показывают, что турбулентность за решеткой весьма точно соответ-
соответствует модели однородной и изотропной турбулентности с регуляр-
ным в точке k — О спект-
ром и конечным и отличным
от нуля интегралом Лойцян-
ского. На самом деле, од-
однако, дело обстоит вовсе не
так просто. Во-первых, спе-
специальные измерения значений
отношения u\Ju\ (где и2 —
одна из компонент турбулент-
турбулентной скорости в направле-
направлении, параллельном решетке)
на разных расстояниях от
решетки, выполненные Бэт-
челором и Стюартом A950)
(см. также Бэтчелор A953)),
показывают, что, хотя на
малом расстоянии от решет-
решетки турбулентность и можно
О
3,0
Рис. 15. Проверка формулы A5.53') для про-
продольной корреляционной функции.
считать изотропной (т. е. и\1и\ близко к единице), в течение за-
заключительного периода вырождения изотропность явно не имеет места
{и\Ы\ оказывается близким к 1,5). Поэтому результаты, приведенные
на рис. 14 и 15, следует объяснять, исходя из теории анизотроп-
анизотропной турбулентности. Во-вторых, как мы увидим ниже, есть веские
основания сомневаться в регулярности спектра турбулентности в точке
k = 0. К обсуждению этих двух сомнительных пунктов развитой выше
теории мы сейчас и перейдем.
Начнем с исследования заключительного периода вырождения
произвольной однородной (но, вообще говоря, не изотропной) тур-
турбулентности. Как мы уже видели в § 11 (см. A1.95)), в «регуляр-
«регулярном случае» спектральный тензор Fi](k) такой турбулентности до-
допускает разложение в ряд Тэйлора вида
A5.67)
1) Впрочем, по мнению Д. Ли A965), в этом случае столь же хорошее
совпадение можно получить, использовав решение A5.63) с а = 2, которое
лучше, чем A5.53'), согласуется с более поздними эмпирическими данными
Тана и Линга A963).

15.4] I 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 149
Будем считать, что формула A5.67) относится к моменту t0 —
«начальному моменту времени» заключительного периода вырожде-
вырождения. Уравнение A4.10) в применении к заключительному периоду
будет записываться в виде
^ч(*. t). A5.68)
Поэтому при t>t0
FtJ (*, 0 = Fly(*. ;0)е-2**2«-Ч A5.69)
и, значит, в регулярном случае
^V-^. A5.70)
Подставим теперь A5.70) в общую формулу A1.54); тогда получим
*»»«-Udk. A5.71)
Разобьем область интегрирования в A5.71) на две части — шаровую
окрестность начала координат малого радиуса 6 > 0 и внешнюю
область | k | > 6. В таком случае при t —10 -> оо интеграл по внеш-
внешней области будет затухать не медленнее, чем ?-2v62('-'o)t а в ин_
теграле по области |*|-<6 основную роль будут играть слагаемые
в скобках, квадратичные по km. Следовательно, с точностью до членов,
более быстро затухающих во времени,
Вц(Г. *) = J /„, mnkmkne»'-™*(t-U)dk A6.72)
(область интегрирования в A5.72) мы можем теперь снова расширить
до всего пространства векторов ft, так как при этом добавляется
лишь экспоненциально затухающее слагаемое). Интеграл в правой
части A5.72) нетрудно вычислить; он равен
= - 4я/,у, тп я?- J Ц? ,-»*«-<* *» dk =
При определении из этой формулы продольной корреляционной
функции BLL(rt t) = ul(x)uL(x-\-r) следует положить / = у==1 и

160 гл. vii. изотропная турбулентность [15.4
гг = г> г2 = г3 = 0; поскольку к тому же /ц,ц = 0 в силу A1.95)
и A1.79), получаем, что в системе координат с осью Oxv парал-
параллельной г
Отсюда видно, что формула A5.530 (в которой к2 имеет тот же
смысл A5.3), что и в случае изотропной турбулентности) будет верна
для заключительного периода вырождения произвольной однородной
турбулентности, так что результаты, приведенные на рис. 15, вовсе
не требуют для своего объяснения предположения об изотропности.
Из A5.74) следует, что нормированная продольная корреляционная
функция BLL (г, t)jBLL @, t) будет одной и той же при всех на-
направлениях вектора г (так что и X2 не будет зависеть от направления),
а ненормированные функции BLL (г, /) при различных направлениях г
будут различаться лишь значениями множителей /щтт (по / не сум-
суммируется!), пропорциональных соответствующей «энергии» /^.Сте-
/^.Стечением времени средние квадраты всех компонент скорости будут
затухать по одному и тому же «закону 5/2»:
/=1>2i3: ^=-^F' <15-75>
что полностью соответствует эмпирическим данным, приведенным на
рис. 14. Кроме того, из A5.75) следует, что отношения средних
квадратов отдельных компонент скорости в течение всего, заключи-
заключительного периода вырождения не будут изменяться:
A5.76)
'S
Этот результат также подтверждается данными измерений характе-
характеристик турбулентности за решеткой в аэродинамической трубе (см.,
например, Бэтчелор и Стюарт A950); Бэтчелор A953)).
Таким образом, если принять, что в «начальный момент t0 заклю-
заключительного периода вырождения» спектр турбулентности регулярен
в точке * = 0, то все полученные при измерениях в аэродинами-
аэродинамических трубах данные о последнем этапе вырождения турбулентности
могут быть объяснены на основе модели однородной (но не изотропной)
турбулентности, заполняющей безграничное пространство. Если, однако,
мы применим эту модель к предшествующему этапу вырождения,
в течение которого нельзя пренебречь нелинейными членами уравне-
уравнений гидродинамики, и допытаемся, исходя отсюда, получить предста-
представление о возможном характере спектра в момент tQt то придем
к довольно неожиданным результатам. В самом деле, исследования
Праудмена и Рида A954) и Бэтчелора и Праудмена A956), о ко-

15.5] § 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 151
торых будет речь ниже, показывают, что в случае однородной
турбулентности в безграничном пространстве силы давления (имеющие
тот же порядок величины, что и силы инерции), как правило, должны
приводить к сингулярности спектра в точке й = 0. Правда, при
сопоставлении этих результатов с данными измерений за решетками
в аэродинамических трубах следует иметь в виду, что на самом деле
в условиях опытов турбулентность всегда занимает лишь конечный
(и даже не очень большой) объем, так что очень длинноволновые
компоненты присутствовать в ней не могут и сингулярность спектра
в точке ft = 0 не может проявиться. В таком случае, однако, непо-
непоследовательной должна быть признана и попытка истолкования экс-
экспериментальных данных рис. 15 с помощью теории однородной
турбулентности в безграничном пространстве и формулы A5.74).
Поэтому в настоящее время приходится считать, что для получения
достаточно убедительного теоретического объяснения эксперименталь-
экспериментальных данных рис. 15 надо учесть также и неоднородность реальной
турбулентности за решеткой в области достаточно малых волновых
чисел (т. е. достаточно больших масштабов), которой в предыдущих
исследованиях всегда пренебрегали.
Если же отвлечься от объяснения данных о пульсациях скорости
за решеткой в аэродинамической трубе и говорить о «чистой» теории
турбулентности, то приложимость результатов настоящего и предше-
предшествующего пунктов к идеализированным турбулентным течениям,
удовлетворяющим указанным начальным условиям в момент t = t0,
не будет вызывать никаких сомнений. Но и вопрос о поведении
в окрестности нуля спектра безграничной однородной турбулентности
с отличными от нуля корреляционными функциями третьего порядка
представляется интересным вне зависимости от того, может он или не
может иметь отношение к реальной турбулентности за решеткой;
поэтому мы теперь рассмотрим подробно этот последний вопрос.
15.5. Асимптотическое поведение корреляционного
и спектрального тензоров однородной турбулентности
в области больших масштабов (малых волновых чисел)
В силу известных результатов теории интегралов Фурье регулярность
спектра однородной турбулентности в начале координат эквивалентна быст-
быстрому затуханию корреляционных связей между значениями скорости в двух
точках при увеличении расстояния между ними; в частности, аналитичность
спектра в Точке k — О эквивалентна экспоненциальному затуханию всех
функций Bij(r) при г->оо. Предположение о таком характере затухания
корреляционных связей на первый взгляд представляется естественным, и
в течение ряда лет оно неявно принималось в большинстве работ по тео-
теории турбулентности. Однако, после того как Праудмен и Рид A954) выяс-
выяснили, что это предположение не выполняется в одной простой статистической
модели турбулентного потока (по поводу которой см. ниже п. 19.4), Бэт-
челор и Праудмен A956) обратили внимание на то, что несжимаемая жидкость

152 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [15.5
обладает некоторыми парадоксальными физическими свойствами, заставляю-
заставляющими отнестись к высказанному предположению с большой осторожностью.
Дело в том, что несжимаемая жидкость представляет собой идеализирован-
идеализированную модель реальных сплошных сред, в которой возмущения могут рас-
распространяться с бесконечной скоростью (как известно, уравнения динамики
несжимаемой жидкости получаются из уравнений, относящихся к сжимаемой
жидкости, при помощи предельного перехода а -> об, где а — скорость звука).
Поэтому уравнения гидродинамики несжимаемой жидкости фактически вклю-
включают в себя некоторые силы дальнодействия, приводящие к тому, что воз-
возмущение поля скорости, происшедшее в конечной области, мгновенно про-
проявляется сколь угодно далеко от нее. Но в таком случае вполне можно
опасаться, что силы дальнодействия породят также и далеко простирающиеся
статистические связи между значениями скорости в двух точках, нарушаю-
нарушающие аналитический характер спектра в точке к = 0. Поэтому вопрос о по-
поведении спектрального тензора Fy (к) в окрестности точки к = 0 требует
специального исследования.
Математически указанные выше парадоксальные свойства несжимаемой
жидкости проявляются в том, что поле давления здесь интегральным обра-
образом зависит от скорости (см. равенство A.9') на стр. 38 части 1). Вслед-
Вследствие этого любое локальное изменение поля скорости мгновенно сказы-
сказывается на значениях давления во всем пространстве; изменение же давления
сразу влияет на поле ускорения, определяющее значения скорости во все
последующие моменты времени. Чтобы исследовать, как сказывается это
обстоятельство на изменении во времени корреляционных связей, предпо-
предположим, что в начальный момент времени t = 0 нам удалось создать во всем
безграничном пространстве однородное поле скорости и (х, 0) с экспонен-
экспоненциально затухающими на бесконечности тензорами Вц (г, 0), Вц, t (г, 0) и
всеми остальными семиинвариантами любых порядков. Выясним, каким в этом
случае будет корреляционный тензор Вц (г, t) в моменты времени t > 0.
Будем исходить из общего уравнения A4.7) для момента времени * = 0
дВи(г,0) д
Ж
д Т
и из соотношения
1
-
p
вытекающего из A.9'). Разлагая в A5.78) ядро j__ ,
компонентам вектора г', найдем

15.5] § 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 153
Отсюда видно, что функция ptij в момент t = О будет убывать на бесконеч-
бесконечности лишь как некоторая конечная степень г" К Эта степень будет выше,
чем первая или вторая: первые два члена в правой части A5.79), очевидно,
обращаются в нуль, так как объемные интегралы здесь могут быть сведены
к поверхностным, а функцию Втп% j (г, 0) мы условились считать экспонен-
экспоненциально убывающей при | г | -> оо. Более того, третий член в правой части
A5.79) с помощью интегрирования по частям сводится к выражению
также равному нулю в силу того, что ?т/ь/(/*') при любых т, п — солено-
идальный по J вектор (ср. A1.98)). Преобразовав и четвертый член с по-
помощью интегрирования по частям, найдем, что при г->оо
f
r'dr'
и, следовательно,
г, 0)
dt - 'mnh дГ1дГтдГпд
где коэффициенты Tmnjp уже, вообще говоря, не должны обращаться в нуль.
дВц(г,0)
Поэтому в общем случае -g = О(г~5), так что и сами функции
Btj(r, t) при любом t >0 будут убывать при г->оо, как г~ь.
Несколько более сложные рассуждения позволили Бэтчелору и Прауд-
д*Ви(г,0) д*Ви(г,0)
мену A956) заключить, что также и -^ , та и все после-
последующие производные тензора By (г, t) по времени в момент t = 0 будут
при г->о5 убывать не медленнее, но, вообще говоря, и не быстрее, чем г~5.
Поэтому, если даже начальные значения Вц (г, 0) экспоненциально зату-
затухают при г-ххэ, функции Вц (г, t) при любом t > 0 будут убывать степен-
степенным образом — в общем случае, как г. Можно сказать, что убывание кор-
корреляционных связей между значениями поля скорости в двух точках, про-
пропорциональное минус пятой степени расстояния между точками, как раз и
соответствует тому «дальнодействию», которое возникает в несжимаемой
жидкости из-за интегральной зависимости сил давления от поля скорости.
Для нахождения явного вида слагаемого порядка г~ь в выражении для
Вц (г* 0 ПРИ ^ > 0, заметим прежде всего, что слагаемые порядка г~5 в фор-
формулах для производных от By (r, t) по времени в момент t = 0 возникают
в конечном счете из разложения в ряд Тэйлора подынтегрального ядра
формулы A.9') для р. Поэтому все эти слагаемые представляют собой ли-
линейные комбинации частных производных четвертого порядка от функций
порядка г; такой же вид, следовательно, должен иметь и весь член по-
порядка г в асимптотическом выражении для Вц (г, t) (в дальнейшем будет
видно, что на самом деле этот член является даже комбинацией производи
ных еще более высокого порядка; ср. ниже формулу A5.89)).

154 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [15.5
Применим теперь ко всем членам уравнения A5.77) операцию взятия
ротора по каждому из индексов / и ) т. е. умножим уравнение на опера-
д2 \ п
тор — &kmi*inj-*—л—)• В таком случае члены, содержащие давление, вы-
падут. Следовательно, в случае начального поля скорости с экспоненциально
затухающими функциями By (г, 0) и Bik, j (г, 0) производная -^ Вм (г, 0)=:
at wkwi
в—-oD^cty, где ©=rot«=VX^—вектор вихря скорости, также будет экспо-
экспоненциально затухать при г->оо. Вторую производную
а2
после ряда преобразований, использующих уравнения Навье —Стокса для
поля скорости и вытекающие из них уравнения A.7) для поля вихря, также
можно выразить через начальные моменты гидродинамических полей. При
этом оказывается, что, если все семиинварианты (и двухточечные и трехто-
трехточечные) поля скорости в начальный момент затухают экспоненциально, эта
вторая производная также будет экспоненциально убывать при г->оо. Од-
Однако в выражении для следующей временнбй производной -р-Я^ © (г, t)
уже будут присутствовать слагаемые, лишь степенным образом убывающие
при г->оо; вообще, влияние сил давления, по-видимому, приведет к появ-
появлению степенным образом убывающих слагаемых в выражениях для времен-
временных производных достаточно высокого порядка любых семиинвариантов
поля скорости и любых их пространственных производных. Но наивысшая
степень г", входящая в асимптотическое выражение для -р"#© © (л 0).
оказывается равной не семи (как можно было бы предположить, исходя из
формулы A1.81) и того, что Bij (г, /)=*О(г~6)), а восьми — члены по-
порядка г" в выражениях для производных тензора By (г, 0) сокращаются
д3
при переходе к -р- В^ ю (г, 0). Можно показать, что так же будет обстоять
АП
дело и со всеми высшими производными -та- Я© © (*"» О- Отсюда вытекает,
что и в асимптотическом выражении для By (r, t), t > 0, члены порядка г~ь
сокращаются при применении операции ротора к обоим индексам I и J:
= Vy(r °e°(г~8) при *>°- A582)
Степенной порядок убывания функций By (г, t) означает, что соответ-
соответствующий спектральный тензор Fy (k, t) не может быть при t > 0 аналити-
аналитическим в точке k « 0, а должен иметь в этой точке некоторую особенность.
Попытаемся теперь выяснить характер этой особенности. Поскольку By (г, /)=
= О(г~ъ), тензор Fn(htt) непрерывно дифференцируем по компонентам
вектора к при всех к\ относительно же вторых производных —А А-—
ORmOkn
отсюда следует лишь, что они существуют и являются непрерывными функ-
функциями от к при всех к Ф 0, но при к ~>0 эти производные, вообще говоря,

15.5} § 15. заключительный период вырождения 155
могут логарифмически стремиться к бесконечности (см. выше стр. 26).
Однако, поскольку слагаемое порядка г~5 в асимптотическом выражении
тензора Вц (г, t) может быть представлено в виде линейной комбинации
производных третьего порядка от функций порядка г, интегралы вида
J
\r\>R
где R достаточно велико, могут быть после двукратного интегрирования
по частям сведены к сумме сходящегося интеграла (соответствующего сла-
слагаемым порядка г~6 и выше в асимптотическом выражении для Вц(г, t) )
и некоторых взаимно сокращающихся поверхностных интегралов. Отсюда
видно, что моменты типа
Л/у, mn-j &Ц (г. t) rmrn dr A5.83)
(являющиеся инвариантами движения в случае аналитического спектра-
см. стр. 135) в случае однородной турбулентности с экспоненциально зату-
затухающими в момент tf = 0 корреляционными связями будут при всех *>0
представлять собой сходящиеся (но, вообще говоря, не абсолютно сходя-
щиеся) интегралы. Поэтому производные — ' А— на самом деле будут
ограничены в окрестности нуля, хотя нельзя утверждать, что — -g-g- Л/у, тп
будет равно значению выписанной здесь производной в точке k •=¦ О (ниже
мы увидим, что Fij (&, /) при t > 0 не имеет вторых производных в этой
точке). Поскольку в рассматриваемом' случае
dFu (k, t)
.из ограниченности производных >. ..— вытекает, что
Fn (k, t) = O (k2) при k -»0. A5.84)
Поэтому сингулярность спектра должна быть такой, чтобы отношение
Fij(k, t)/k2 не становилось неограниченным вблизи точки fc = 0, хотя
Mm Fn(k, t)jk2 может, например, принимать разные значения при стремле-
*»о
нии k к нулю по разным направлениям.
Учтем теперь, что в силу A5.82) тензор F&(Si (k, t) при />0 будет по
крайней мере четырежды непрерывно дифференцируемым по компонентам k
при всех значениях k, а при k Ф 0 будет иметь еще и пятые непрерывные
производные по &/, которые при &->0 могут логарифмически стремиться
к бесконечности (см. стр. 26). Поскольку в силу A5.84) и A1.82) тензор
F&«> (?, t) при k->0 должен убывать, как kA, при малых k
Р*щ (Ь 0 = Cljmnpqkmknkfa + О (k* log k) A5.85)

156 гл. vii. изотропная турбулентность [15.5
и. следовательно, согласно A1.82) и A1.83)
k*Fu (k, t) - CijmnpqrSkmknkpkqkrks + О (V log k). A5.86)
Но тензор Fij(k, t) должен быть симметричным и удовлетворять условиям
ортогональности A1.79), т. е. должен быть представим в виде
Ft,<*. t) = [Ьш jy-j [6Jn ij-j Фтп (k. t)9
A5.87)
где Фтп — также симметричный тензор, зависящий от k и t. Для выполне-
выполнения условия A5.86) надо потребовать, чтобы при любом t > 0 выполнялось
соотношение
Фтп <*. t) = Cmnpq (t) kpkq + О (k* log k),
где Cmnpq — тензор, симметричный по m, n и по p, q. Отсюда при t > О
получаем
FtJ (k, t) = Cmnpq if) {blm ~ ^) («/« - ^ ) * A + О (*8 log k). A5.88)
Это и есть общая формула Бэтчелора и Праудмена, относящаяся к случаю
произвольной однородной турбулентности с экспоненциально затухающими
начальными семиинвариантами; как мы видим, вторые производные функции
F^k, t) по компонентам вектора k в точке fc=*0 здесь действительно не
существуют.
Применив к функции A5.88) преобразование Фурье, найдем, что асимп-
асимптотическое поведение корреляционного тензора Вц (г, t) при г -+ оо и t > О
дается формулой
A5.89)
д2
где Д = -з—з—• Формулы A5.88) и A5.89) определяют главные члены спек-
спектрального тензора Ftj(k, t) при ft->0 и корреляционного тензора Вц(г, t)
при г->оо с точностью до неопределенных коэффициентов Cmnpq (могущих
зависеть от времени и являющихся, на самом деле, линейными комбинациями
интегралов A5.83)).
Аналогично может быть изучено и асимптотическое поведение при
г -> оо корреляционных функций Вц, i (r, t) и Bpi (г, t) или, что то же самое,
поведение при &->.О спектров Fij)t(kt t) и Fpi(k, t). При этом оказывается,
что в однородной турбулентности с экспоненциально убывающими началь-
начальными семиинвариантами при t> 0, вообще говоря,
BUt г (г. О - WDij™ W^F; (|) + О (r~% A5.90)
A5.91)

15.61 § is. заключительный период вырождения 157
и, соответственно,
Flh I <*¦ 0 = Юцтп (*Ш - Ц?) Ьт + О (*2 log k). A5.92)
A5.93)
где О/утл — новые неопределенные коэффициенты (являющиеся функциями
времени) такие, что Dymn = Djimn- Из того, что Bijti(r) убывает, как г~4,
следует, что Л/у, тп здесь зависят от /.
Перечисленные результаты существенно опираются на предположение,
что в момент t = 0 функции By (г) экспоненциально затухают при г -> оо.
Иначе же поведение функций Fy (k, t) вблизи точки k = 0 и функций
^//(г> О ПРИ ^->оо может оказаться существенно иным, чем было
указано. Так, например, если, следуя Сафмену A967), предположить, что
в момент t = 0 экспоненциально затухают на бесконечности лишь корреля-
корреляционные функции В^ ^. (г) поля вихря скорости, в то время как функции
0) могут затухать медленнее, то нетрудно показать, что функции
(**• 0 асимптотически при г -> оо, t > 0 будут, вообще говоря, задаваться
формулой
Bi} (г. 0 « - »Ч:„ (М -^) (б^Д -^1-) г, A5.89')
где СР0 — постоянные коэффициенты (причем в изотропном случае Срд = Cbpq,
т. е. Bt. (г) == 2я5С (З^г /г5 — 6. ./г3), В?? (г) = 4я2С/г3). Таким образом,
в этом случае функции By (г) будут убывать на бесконечности, как г~3.
Соответствующий .спектральный тензор Fy (k, t) будет иметь вид
Fij(k. t) « Cpq
в изотропном случае Cp^ = Cdpg, т. е. ? (k) « 4яСЛ2. Нетрудно указать
простую статистическую модель начального распределения импульсных сил,
порождающих турбулентность, которой будут отвечать экспоненциально за-
затухающие функции В& q (г, 0) (но затухающие лишь степенным образом
функции By (г, 0)); однако модель эта соответствует идеализированному
случаю однородной турбулентности в безграничном пространстве и не может
использоваться для описания реальных турбулентных течений типа турбу-
турбулентности за решеткой в аэродинамической трубе.
15.6. Влияние сингулярности спектра на заключительный
период вырождения турбулентности
Рассмотрим теперь заключительный период вырождения однородной
турбулентности, все семиинварианты которой в момент t = 0 экспонен-
экспоненциально затухают на бесконечности. Мы уже знаем, что спектр такой турбу-
турбулентности при любом t > 0 будет, вообще говоря, иметь вид A5.88). В ча-
частности, такой вид с некоторыми C°mnpQ = CmnpQ (*0) будет иметь спектр и
в момент t0, обладающий тем свойством, что при t > t0 нелинейные члены
динамических уравнений уже не будут сказываться на эволюции турбулент-
турбулентности. Дальнейшее изменение тензора Ftj(ktt) во времени будет опреде*

158 гл. vii. изотропная турбулентность [15.6
ляться формулой A5.69). Так как при t—*0->эо множитель ехр {— 2vk2 (t—t0)}
будет пренебрежимо мал всюду, кроме окрестности точки k » О, то асимп-
асимптотическое поведение функций Вц (г, t) при t—**0->oo будет определяться
главным членом формулы A5.88). Таким образом, при больших значениях
tf — /0 можно считать, что
*,/ с*. <> - cU (в*.~тг) (»/-- т) W**^' <1594>
где C®mnpq — некоторые постоянные, и, следовательно,
(слагаемое Aj~4, не содержащее переменных г/, добавлено к первому мно-
множителю под интегралом справа для обеспечения сходимости). Преобра-
Преобразовав равенство A5.95), Бэтчелор и Праудмен нашли, что асимпто-
асимптотическое поведение Вц (г, t) при t — tf0-»oo в рассматриваемом здесь
случае будет описываться формулой
Из формулы A5.96) видно, что здесь также имеет место соотношение
вида A5.75):
Этого, разумеется, и надо было ожидать, поскольку спектр A5.88), так же
как и A5.67), при малых \k\^k квадратично зависит от компонент ktx).
Однако общий вид корреляционных функций теперь оказывается довольно
сложным и существенно отличным от прежнего вида A5.73); в частности,
при г-»оо функция A5.96), как легко видеть, убывает степенным образом,
а не экспоненциально. Лишь в том частном случае, когда постоянные C%npq
таковы, что для них главный член асимптотической формулы A5.89) обра-
обращается в нуль, интегралы A5.83) будут абсолютно сходящимися и будут
]) Поскольку в случае спектра A5.88') (см. стр. 157) зависимость ij(fc)
от k% при малых k оказывается существенно иной, то неудивительно, что
6 этом случае u*(t)~(t — /0)~3/2 при t — *0->оо (Сафмен A967)).

15.6] § 15. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВЫРОЖДЕНИЯ 159
равны вторым производным спектрального тензора в точке ? = 0; поэтому
при таких С°тпрд поведение тензора Ftj (к, t) при малых | к | может описы-
описываться формулой A5.67), а поведение Byir.t) при t — *0->оо будет опре-
определяться формулой A5.73). Нетрудно проверить, что при указанном ограни-
ограничении на C"mnpq формула A5.96) действительно переходит в A5.73). Экспе-
Экспериментальные результаты, приведенные на рис. 15, можно интерпретировать
как указание на то, что турбулентности за решеткой в аэродинамической
трубе (во всяком случае, в тех условиях, в которых были получены данные
рис. 15) как раз и отвечают постоянные C®mnpq, удовлетворяющие приведен-
приведенному выше условию; с другой стороны, однако, как мы уже отмечали на
стр. 151, можно вообще сомневаться в том, что результаты, касающиеся
поведения спектра однородной турбулентности при | к | -> 0,
имеют отношение к реальной турбулентности за решеткой.
В заключение скажем еще несколько слов о случае однородной и изотроп-
изотропной турбулентности, все семиинварианты которой в начальный момент вре-
времени экспоненциально затухают на бесконечности. Все приведенные выше
соображения, разумеется, относятся и к этому случаю, с тем лишь уточне-
уточнением, что тензор Cmnpq теперь должен быть изотропным тензором, симме-
симметричным по индексам т, п и /?, q, т. е. должен представляться в виде
Cmnpq = Abmrfipq + В (bmpbnq + ЬтдЬпр), A5.98)
где А и В — скаляры (вообще говоря, зависящие от времени). Но в таком
случае главный член A5.89), как легко видеть, тождественно обращается
в нуль, так что в изотропном случае тензор Вц (г, t) (а следовательно,
и скалярная функция BLL (r, t\ однозначно его определяющая) при t > 0
будет убывать на бесконечности не медленнее, чем г~в. Этот результат не
является просто следствием того, что в изотропной турбулентности поле
давления не входит в уравнение Кармана — Ховарта A4.9) для BLL(r,t).
В самом деле, уравнение A4.9) определяет лишь первую производную по
времени тензора Вц (г, t), а выражения для его последующих производных
по времени и в изотропном случае будут содержать поле давления. К со-
* d*Btj(r,t) d*Bu(r,t)
жалению, непосредственное исследование производных —-^ , ^з
и т. д. оказывается очень сложным и не позволяет выяснить, встречаются ли
в изотропном случае в этих выражениях слагаемые, затухающие степенным
образом» и если да, то как именно они затухают; однако приведенное выше
рассуждение показывает, что медленнее, чем г~в, никакие из этих слагае-
слагаемых затухать не могут.
Поскольку Вц(г, t) затухает на бесконечности не медленнее, чем г""8,
то интегралы A5.83) (просто выражающиеся в изотропном случае через
интеграл Лойцянского Л) абсолютно сходятся и совпадают со вторыми про-
производными спектрального тензора в точке к = 0. Асимптотическое поведе-
поведение F(j (к, t) при | к | -> 0 в этом случае может быть получено при помощи
подстановки A5.98) в A5.88):
Рц (Л, t) = A (bijk* - ktkj) + О (*з log k). A5.99)
Заметим, что первый член в правой части этой формулы оказывается регу-
регулярным в точке Л = 0. С помощью A5.99) множитель А легко выразить
через интеграл Лойцянского A5.16):
Л = ~Л. A5.100)
о

160 ™- VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [15.6
В применении к заключительному периоду вырождения «начальный»
(в момент t~tQ) спектр вида A5.99) приводит к обычным формулам A5.54)
и A5.53) для закона затухания энергии турбулентности и для формы про-
продольной корреляционной функции; отсюда ясно, что в изотропной турбулент-
турбулентности, по крайней мере в течение заключительного периода вырождения,
величина Л является инвариантом движения. Вначале, однако, пока нелиней-
нелинейные члены уравнений движения еще оказываются существенными, в неизмен-
неизменности величины Л нельзя быть уверенным: вообще говоря, тензор Оцтп
в формулах A5.90)—A5.93) в изотропном случае должен задаваться формулой
D (bimbjn + bin6Jm),
где С и D — скалярные коэффициенты, и, значит, здесь
Но в таком случае уравнение A5.18) обращается в уравнение
-^ = — 24я2?>. A5.101)
Таким образом, если D = D(t) отлично от нуля, то интеграл Лойцянского
A5.16) вначале будет изменяться со временем и лишь по достижении за-
заключительного периода вырождения турбулентности примет постоянное
значение (частный пример подобной турбулентности с конечным, но не
постоянным значением Л, был впервые указан Седовым A951); ср. ниже
стр. 164).
Аналогично можно исследовать вопрос об асимптотическом поведении
спектра и корреляционной функции пульсаций температуры. В силу уравне-
уравнения A4.58), если в момент / = 0 все семиинварианты экспоненциально убы-
убывают на бесконечности, то dB $$ (г, t)/dt при t = 0 также будет затухать
экспоненциально. Однако выражения для последующих производных Bq$ (г, t)
по времени уже будут содержать поле давления, так что следует ожидать,
что, вообще говоря, функция В$$ (г, /) при t > 0 также будет убывать
при г->оо лишь степенным образом. Детальное исследование порядка этого
убывания, однако, представляется не особенно интересным. В самом деле,
ясно, что влияние сил давления, наверное, не приведет к убыванию функ-
функции В<н>(/\ t) более медленному, чем О(г~4); поэтому интеграл A5.26) здесь
естественно считать абсолютно сходящимся, а спектр /^(Л, t)-~-непре-
t)-~-непрерывным и непрерывно дифференцируемым по компонентам k во всем про-
пространстве волновых векторов. Но отсюда ясно, что справедливость асимпто-
асимптотических формул A5.46) и A5.47), описывающих «общий случай» заключи-
заключительного периода вырождения изотропных температурных пульсаций, в данном
случае не вызывает сомнений. Точно так же не вызывает сомнений и
справедливость закона сохранения A5.26), при выводе которого лишь требо-
требовалось, чтобы функция BLQq(r,t) убывала не медленнее, чем O(r~z)\
в самом деле, легко понять, что более медленный порядок убывания функ-
функции Blq ^(r, t) не может быть вызван влиянием сил давления, если только
в начальный момент все семиинварианты турбулентности убывают доста-
достаточно быстро.

16.1] § 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ 161
§ 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ
16.1. Гипотеза Кармана об автомодельности
корреляционных функций поля скорости
Выше были рассмотрены простейшие следствия из основных урав-
уравнений теории изотропной турбулентности—уравнения Кармана —
Ховарта A4.9) и эквивалентного ему спектрального уравнения A4.15).
Но эти уравнения еще недостаточны для описания временной эволю-
эволюции изотропной турбулентности. Поэтому многие авторы пытались
дополнить уравнения A4.9) и A4.15) специальными гипотезами,
содержащими добавочную информацию о законах изменения корреля-
корреляционных и спектральных функций. В настоящем параграфе мы рас-
рассмотрим ряд таких гипотез — так называемые гипотезы об авто-
автомодельности (или о самоподобии), накладывающие ограничения на
характер изменения корреляционых и спектральных функций во
времени.
Простейшая гипотеза об автомодельности корреляционных функ-
функций была предложена Карманом (см. Карман и Ховарт A938)).
Согласно этой гипотезе, функции BLL(r, t) и BLLtL(rt t) пере-
переменного г при различных значениях t подобны друг другу, т. е.
отличаются лишь выбором масштабов на осях координат. Иначе
говоря, гипотеза Кармана состоит в предположении, что функции
Вц(г> О И Вц>z;(r' 0 можно одновременно свести к функциям
одного переменного при помощи выбора специальных масштабов
I = l(t) и v = v(t) длины и скорости:
Ви(г. О = <*(')/(тяг)' BLL%Lir.t) = v>(i)h(-fbr). A6.1)
• За масштаб v{t) можно принять интенсивность турбулентности
aa = [tt2]1/2 = [S??@)]1/2 в момент t (считая, что /@)=1), а за
l(f)—например, внешний (интегральный) масштаб турбулентности Lx
формулы A2.50), или тэйлоровский масштаб Я, формулы A5.3), или
любой другой масштаб /, однозначно определяемый по корреляцион-
корреляционной функции BLL(r) или BLLiL(r) в (силу A6.1) все эти масштабы
могут отличаться лишь постоянными множителями). В частности, если
интеграл Лойцянского A5.16) сходится и отличен от нуля, то
j (j) j A6.2)
о
откуда видно, что
l = a(±f. A6.3)
11 А. С. Монин, А. М. Яглом

162 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [16.1
Гоо 1-1/5
где а = Г /(?)?4d\\ — числовая постоянная. В этом случае
Lo J
можно также принять, что / = (Л/х/2I/ (т. е. определять / из усло-
оо \
вия нормировки I f(Ql4dl=l I. Если, кроме того, Пт?4Л(?) = 0,
oJ / *¦>«
так что Л = const, то формула A6.3) определяет однозначную связь
законов изменения масштабов v(t) и l(t).
О сопоставлении гипотезы Кармана A6.1) с данными измерений
характеристик турбулентности за решеткой в аэродинамической трубе
мы скажем немного ниже; пока же поясним ее смысл. Уже первые
опыты по изучению турбулентности за решеткой показали, что воз-
возмущения, создаваемые решеткой, быстро перемешиваются и превра-
превращаются в приблизительно изотропную турбулентность. При этом
можно предполагать, что в процессе перемешивания эти возмущения
каким-то универсальным образом приспосабливаются друг к другу,
так что в конечном итоге начальные условия влияют лишь на харак-
характерные масштабы длины и скорости образующейся турбулентности,
но не на общий характер ее статистических характеристик. Можно
также ожидать, что достигнутое «универсальное равновесие» неко-
некоторое время не будет нарушаться, а изменяться будут лишь «интен-
«интенсивность турбулентности» v(t) (уменьшающаяся со временем) и «харак-
«характерный масштаб» l(t) (который будет возрастать, так как мелкие
возмущения затухают быстрее, чем крупные); именно это предполо-
предположение и приводит к гипотезе Кармана A6.1). Приведенное рассуждение
делает естественным также дальнейшие обобщения гипотезы A6.1):
можно надеяться, что если даже эта гипотеза и не верна, то хотя бы
часть возмущений турбулентности за решеткой в какие-то периоды
времени будет изменяться автомодельно. В дальнейшем мы еще
обсудим эти обобщения подробнее; пока же выясним (следуя в основ-
основном Седову A951)), что дает гипотеза A6.1) в ее первоначаль-
первоначальном виде.
Начнем с рассмотрения следствий, относящихся к закяючитель*
ному периоду вырождения изотропной турбулентности. Подставляя
формулу A6.1) для BLL(rt t) в уравнения A5.1) и A5.35), получим
. г— (?V С =
dt /2
(если считать, что v (t) = [и?Щ]112 и / = А,, то / @) = —/" @) = 1
и С =10) и
ti\J (fe) = 0. A6.5)

16.1] § 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ 163
Чтобы уравнение A6.5) могло иметь место при /(?)=? const, должно
выполняться соотношение
l| = fl==const. A6.6)
В силу A6.6) и A6.4) /2(/) = 4vCj(* —10) и w»(#)~(*--fo)-e1 где
Q
t0 — постоянная интегрирования, a a = -j—. Итак, в рассматривае-
рассматриваете]
мом случае
«(/-,*) = —q>( —V A6.7)
Подставляя эту формулу в A5.35), или используя A6.5), мы прихо-
приходим к семейству решений A5.63), найденному Карманом и Ховар-
том. Если еще предположить, что интеграл Лойцянского Л сходится
и отличен от нуля, то a = 5/2 в силу A6.3), т. е. решение A6.7)
здесь обратится в A5.53). Тем самым мы еще раз доказали, что из
решений A5.63) только решению A5.53) отвечает конечный и отлич-
отличный от нуля интеграл Лойцянского.
Перейдем теперь к случаю, когда третьи моменты не являются
пренебрежимо малыми. Уравнение A6.4) при этом остается без изме-
изменения, но A6.5) приходится заменить уравнением
" (В+{ /' (I) 4- т / (&)] + -j-r ¦§• I/' (i) +
{] = 0. A6.8)
получаемым при подстановке A6.1) в уравнение Кармана — Ховарта.
4 С
Если предположить, что из трех функций /"(?) ~Ь у /' (?) I о /(&)»
?/'(?) и А'(|) + уЛ(?) никакие две не являются линейно зависи-
зависимыми, то из A6.8) будет следовать, что
4- -§ = сг = const, ¦? = <*-= const, A6.9)
2v dt
т. е. что
(и, следовательно, 0 = 4^!). Мы видим, что закон вырождения
турбулентной энергии здесь имеет вид
«2 (,) = _?_. A6.11)
11»

164 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [16.2
Что же касается функций /(?) и /*(?)> то одну из них (скажем, /(?))
можно выбрать произвольно, после чего вторая (функция А(?))
определится однозначно из A6.8) и A6.9). Заметим, что ни одно
из так получаемых автомодельных решений уравнения Кармана —
Ховарта (указанных Драйденом A943)) не будет соответствовать
турбулентности с конечным и отличным от нуля интегралом Лойцян-
ского Л. В самом деле, в силу A6.3) и A6.6) при 0 < Л < оо и
Л = const закон вырождения энергии должен иметь вид u2(t) —
~(* — ^о)~5/2» т- е- не может совпасть с A6.11).
Существуют также решения уравнения A6.8), такие, что функции
оказываются линейно зависимыми. Эти специальные решения были все
исследованы Седовым A944, 1951) (см. также обзор Бэтчелора A948)).
Помимо уже рассматривавшихся решений с h (|) = 0 и физически
невозможных решений со спектром F(k) вида 6-функции, они вклю-
включают еще решения, для которых dP/dt = cxvl -f- c2v> a /(?) и h(?)
однозначно определяются по clt с2иС, В частности, если с2=1/2
(чего всегда можно добиться при помощи специальной нормировки
масштаба /(*)). то f(Q = M(Ct 5/2, —?2/8), а зависимость / и v
от t определяется из A6.4) и приведенной выше формулы для dl2/dt
(в которой надо считать, что сх > 0). Для получаемых решений
Л = 0 при С>5/2, Л = оо при С < 5/2 и Л конечно, но не по-
постоянно при С = 5/2.
16.2. Ослабленные формы гипотезы Кармана
Посмотрим теперь, в какой мере сохранятся выводы п. 16.1,
если гипотезу Кармана считать выполненной лишь для некоторых г.
Начнем со случая, когда условия A6.1) выполняются для конеч-
конечного интервала 0<J><;/?. При этом за v(t) снова можно принять
значение оа— [и2 (t)]1/2 = [BLL@)]l/2t полагая /@)=1, а в каче-
качестве l(t) можно выбрать, например, масштаб X(t), определяемый
поведением функции BLL(r) в окрестности точки г = 0. Тогда равен-
равенство A6.4) останется в силе и, кроме того, на некотором интервале
значений | будет выполняться уравнение A6.8). Этого уже доста-
достаточно, чтобы сохранились все выводы предыдущего пункта, касаю-
касающиеся функций l(t) и v(t), а также результаты о функциях /(?)
и h(Q, которые, однако, теперь определены только для не слишком
больших значений |. Но равенства A6.2) и A6.3) и вообще все выводы,
касающиеся интеграла Лойцянского Л (зависящего от значений BLL (г)
при больших г), теперь теряют смысл.
Дальнейшее ослабление гипотезы об автомодельности было предло-
предложено Линем A948), рассмотревшим случай, когда формулы вида A6.1)

16.2] § 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ 165
имеют место не для самих корреляционных функций, а лишь для
структурных функций
DLL(r. t) = [uL(x + r. t)-uL(x. t)]2 = 2u2(t)-2BLL{rt t).
t)-uL(x,t))Z = 6BLL,L(rt t),
о которых мы будем подробно говорить в гл. 8. Линь предпо-
предположил, что
, *) = ***,(?). 0<r</?, A6.13)
но что соотношения A6.1) могут и не иметь места (ясно, что
из A6.1) вытекает и A6.13), но не наоборот). Здесь, очевидно,
fx@)= hl(Q) = Ot и поэтому уже нельзя положить v2(t) = u2(t) =
= BLL@). С этим связано и то, что из уравнения баланса энер-
энергии A5.1) теперь уже не следует уравнение A6.4), а следует лишь
более слабое уравнение
i|L=_cv?L. c=5/;-@). A6.14)
получаемое с помощью подстановки первых формул A6.12) и A6.13)
в правую часть A5.1). Подставляя далее A6.12)—A6.14) в A4.9),
мы получим вместо A6.8) следующее уравнение:
= 0. A6.15)
Этому уравнению проще всего удовлетворить, положив
I dl I2 dv2 vl ,лс 1fi4
27 -ЗГ-'!' ^Ts^ 67 ^з* <16Л6)
Из первого и третьего уравнений A6.16) вытекает, что I2(t) =
9vco
= 4vCj(^ —10), v2(t) = —ji—-pr\ второе уравнение при этом также
С\ \t Го)
оказывается справедливым, причем с2 = — 2cv Подставляя найденные
значения l(f) и v(t) в A6.14), мы придем к закону вырождения
энергии
^?)=-T^Lr + a2t A6.17)
несколько более общему, чем A6.11). Что же касается неизвестных
функций fi(l) и /?!(!), то первую из них можно выбрать произвольно,
после чего hx(\) уже однозначно определится из равенств A6.15).
A6.16) и граничного условия hx(fd) — §.

166 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [16.2
Еще одно возможное ослабление гипотезы Кармана состоит в пред-
предположении, что равенства вида A6.1) выполняются лишь при
R <; г < оо. В этом случае также нельзя считать, что v(t)=[u2(t)]l/2 и,
кроме того, нельзя использовать и уравнение баланса энергии A5.1),
так что и2 (t) здесь нельзя связать с масштабами v (t) и / (t). Уравне-
Уравнение Кармана — Ховарта в области г > R здесь будет отличаться
от A6.8) лишь заменой члена -^/(l) на—2vt/2 кГ$^ для того*
чтобы ему удовлетворить, следует снова принять условия A6.16).
Следовательно, P(t) и v~2(t) здесь, вообще говоря, опять будут
линейно зависеть от t —10; далее можно произвольно задать значе-
п
ния /(?) при -7- = 1о^К°°' после чего h(Q однозначно опре-
определится из уравнения Кармана — Ховарта и условия Л(оо) = 0.
Несколько иначе обстоит дело в случае, когда автомодельность
в области достаточно больших г имеет место для турбулентности
с очень малой вязкостью, т. е. с очень большим начальным числом
Рейнольдса Rez = —. Перепишем уравнение, получающееся при под-
подстановке A6.1) в A4.9), в виде
==0. A6.18)
Коэффициент при /" + у/' здесь равен 2/Rez; поэтому следует
ожидать, что при большом Rez эти слагаемые можно откинуть. Под-
Подчеркнем только, что отбрасывание членов с вязкостью не может быть
законным, если рассматривать уравнение A6.18) при всех значе-
значениях г: как бы ни была мала вязкость, на очень малых расстояниях
она все равно будет сказываться и будет приводить к дифференци-
руемости функции BLL(r) в точке г = 0 (т. е. к появлению «пара-
«параболической шапочки» в вершине кривой y—BLL(r)). Естественно
думать, однако, что при больших числах Рейнольдса эта «шапочка»
будет простираться лишь до какого-то малого значения г = г0, а при
немного ббльших значениях г форма функции BLL(r) уже не будет
зависеть от коэффициента вязкости v. Но это и означает, что
при г > г0 в уравнении для корреляционных функций можно отбро-
отбросить члены, содержащие коэффициент v; если, кроме того, пред-
предположить, что при г > г0 выполняется гипотеза A6.1), то для
таких г получится уравнение
^f^ o. A6.19)

16,2] § 16- ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ 167
Далее, при очень большом Re естественно считать, что внутри «пара-
«параболической шапочки» (т. е. при г < г0) функция BLL (r) мало
меняется, так что BLL(rQ) почти не отличается от BLL@); в таком
случае за v(f) в формулах A6.1) можно снова принять величину (j?I/2,
а за l(t) можно принять, например, внешний масштаб турбулент-
турбулентности Lx или же, в случае сходимости интеграла A5.16), масштаб
(Л \^5
—j\ (но, разумеется, не тэйлоровский масштаб X).
Из уравнения A6.19) вытекают соотношения
1 dl I dv2 /1C олч
c С A62°)
(нетрудно проверить, что у уравнения A6.19) нет имеющих смысл
решений типа «решений Седова», для которых эти соотношения не
выполнялись бы). С помощью A6.20) и A6.19) можно однозначно
определить функцию Л(?) по значениям /(?), которые снова могут
быть выбраны произвольно. Кроме того, из A6.20) следует, что
A2(t — *<))*•-*, A6.21)
где Л1/Л2 = ?1 — с2/2 (из A6.21), в частности, вытекает, что должно
быть с1/с2<0). Формулы A6.21) были найдены еще Карманом (см.
Карман и Ховарт A938)), впервые рассмотревшим случай автомодель-
автомодельной турбулентности при очень больших числах Рейнольдса; см. также
Седов A951). В силу A6.3) в условиях A6.21) интеграл Лойцян-
ского Л может быть конечным (и отличным от нуля) инвариантом,
только если с2 = — 5^, т. е. если
V2 до _ р _ tQ)-Wt i ф _ (t _ tQJ/7 A6.22)
(см. Колмогоров A941bI)).
l) Может показаться, что в работе Колмогорова A941в) формулы A6.22)
выводятся лишь при дополнительном предположении о справедливости в не-
некоторой области значений г так называемой «колмогоровской автомодель-
ности» (о которой будет идти речь в п. 16.5 и гл. 8). На самом деле, однако,
это дополнительное предположение используется Колмогоровым только для
еще одного вывода второго соотношения A6.20). С другой стороны, можно
показать, что если принять предположения о «колмогоровской автомодель-
ности» (точнее говоря, о существовании «инерционного интервала», вытекаю*
щего из такой автомодельности) и о конечности и постоянстве интеграла
Лойцянского Л, то формулы вида A6.22) для v (t) = [и2 (t)]l/2 и соответ-
ственно определенного «интегрального масштаба» l(t) могут быть обо-
обоснованы и без предположения о справедливости для каких-то г «карма-
новской автомодельности» A6.1) (см. Конт-Белло и Корсин A966)).

168 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [16.3
16.3. Спектральная формулировка гипотез
об автомодельности
Остановимся вкратце на спектральной формулировке изложенных
выше результатов. Гипотеза Кармана A6.1), очевидно, может быть
также записана в виде
A6.23)
Если принять, что v2(t) — u2(t), то функция ф(|) будет нормирована
условием
A6.24)
Если, кроме того, ф(|)~|4 при |—>0 (т. е. существует конечный
и отличный от нуля интеграл Лойцянского A5.16)), то
A6.25)
(при этом можно положить / = (Л/г;2I/5, т. е. считать, что
4
В силу первой формулы A6.23) спектральное уравнение баланса
энергии A4.19) может быть переписано в виде
j A6.26)
О
Подставляя A6.23) в спектральное уравнение A4.15), получим
^^1 ^^5 = 0. A6.27)
Полагая v2 = u2, можно исключить —-гт- с помощью A6.26); при этом
мы придем к уравнению, эквивалентному A6.8). Этому уравнению
проще всего удовлетворить, приняв условия A6.9); тогда для l(t) и
v2(t) = u2(t) получаются формулы A6.10), за ф(?) можно принять
любую неотрицательную функцию, а ф(?) можно определить по ф(|)
с помощью A6.27) и A6.9). Другой (более частный) класс решений
уравнения A6.27) (отвечающий заключительному периоду вырождения)
получается при ф(|) = 0; в таком случае A6.9) обращается в A6.6),
а из A6.27) для ф(|) получается явная формула
^в*-К'. 0=^-1. р= 23Г- A6.28)

16.3] § 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ 169
Кроме того, уравнение A6.27) имеет еще некоторые специальные ре-
решения, соответствующие решениям уравнения A6.8), найденным Се-
Седовым A951). Из всех решений уравнения A6.27) условию ф(|)~|4
при |->0 удовлетворяет лишь решение A6.28) с а = 4 (и одно из
специальных решений, для которого Л конечно, но не постоянно).
Предположим теперь, что автомодельность A6.23) имеет место
лишь при k > k0. В таком случае при kQl = |0 < | < оо снова будет
справедливо уравнение A6.27); однако ответ на вопрос, можно ли
считать v2 = u2 и пользоваться равенством A6.26), будет зависеть
от того, в какой части спектра расположена граница k0 области авто-
модельности. Если k0 расположена левее «интервала энергии» спектра,
так что основные содержащие энергию возмущения характеризуются
k0 оо
волновыми числами, большими k0, и ] E(k)dk<^ \ E(k)dk, то пред-
00
положение v2 = u2 будет законным и равенство A6.26) сохранит силу.
Поэтому в рассматриваемом случае сохраняются все выводы из гипо-
гипотезы о полной автомодельности (за исключением лишь выводов о по-
поведении ф(?) при |->0). Этот случай эквивалентен случаю автомо-
автомодельности корреляционных функций при 0^г<[/?.
Пусть теперь неавтомодельная часть спектра содержит заметную
долю полной энергии, так что E(k)dk уже не является пренебрег
о
оо
жимо малым по сравнению с \ E(k)dk. При этом нельзя счи-
о
тать, что v2 = u2. Рассмотрим случай, когда с кеавтомодельной
частью спектра, содержащей заметную часть полной энергии, связана
пренебрежимо малая доля полной диссипации энергии, так что
k0 со
J k2E (k) dk <C J k2E (k) dk. В этом случае уравнение A6.26)
о о
2 Г \
с С=тг |2ф (I) d% I остается справедливым, и если мы примем усло-
условия A6.16), то для изменения энергии турбулентности со временем
получится формула A6.17). Этого и следовало ожидать, так как можно
показать, что из принятого предположения об ограниченной автомо-
автомодельности спектра E(k) вытекает автомодельность структурной функ-
функции DLL(r), использованная при выводе A6.17).
Аналогично может быть рассмотрен и случай, когда неавтомодель-
неавтомодельная часть спектра дает пренебрежимо малый вклад лишь в значения

170 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [16.3
оо оо / *0
интегралов \ k4E(k)dk и k2T(k)dk (т. е когда \ k4E(k)dk<^
о о \ о
оо k0 оо \
<С f k*E(k)dk и f fc2r(*)tfft<C \k4{k)dk\. В самом деле, из
о о о /
уравнения
|оо оо
— J &T (k, t) dk + 2vj k*E (k, t) dk
о о
являющегося следствием A4.19) и A4.15), вытекает, что в этом случае
так что в силу A6.16) для u2(f) получается формула
указанная Гольдштейном A951). Гольдштейн отметил также воз-
возможность дальнейшего обобщения этого результата на случай, когда
неавтомодельная часть спектра вносит пренебрежимо малый вклад
лишь в значения моментов функций E(k) и Т (к) более высокого по-
порядка; эти дальнейшие обобщения, однако, вряд ли могут быть
полезны.
Наконец, если автомодельность функций E{kt t) и Т (kt t) при
k^k0 имеет место для турбулентности с большим числом Рейнольдса
(малой вязкостью), в которой «интервал диссипации» и «интервал
энергии» спектра не перекрываются между собой, и при этом авто-
автомодельность имеет место лишь при значениях k, лежащих левее
«интервала диссипации», то в уравнении A6.27) можно просто пре-
пренебречь последним членом. В этом случае, чтобы удовлетворить по-
полученному «сокращенному» уравнению, надо принять условия A6.20),
приводящие к формулам Кармана A6.21) для v{t) и l{t) и к урав-
уравнению
?ф'A). A6.31)
связывающему \|)(|) и ср(?). Если при этом область автомодельности
спектра полностью покрывает «интервал энергии», то за v(t) снова
можно принять среднюю квадратичную скорость [и2 {t)\ ^; если же,
кроме того, автомодельность будет иметь место и при сколь угодно
малых значениях kt причем E(k) = akA-\-o(kA) при &->0, где
а = А/п не зависит от tt то в силу A6.25) коэффициенты сг и с2
в формулах A6.21) должны быть связаны соотношением c1/c2=-0,2t
так что мы приходим к формулам Колмогорова A6.22).

16.4] § 16. ГИГЮТЁЗЫ ОБ А&ТОМОДЕЛЬНОСТЙ 1?1
16.4. Экспериментальная проверка гипотез
об автомодельности
Переходя к рассмотрению экспериментальных данных, касающихся
проверки гипотез об автомодельности для турбулентности за решет-
решеткой в аэродинамической трубе, надо прежде всего подчеркнуть, что
до сих пор такие данные остаются очень неполными и, ^о^ещех^же,
^лучаях^ npojrnj^g^aj др^г др^гу^ Поэтому мы в не-
неб !
скольких случаях должны будем оговорить! что излагаемые результаты
одних авторов не согласуются с выводами некоторых других ученых.
Данные измерений, относящихся к заключительному периоду вы-
вырождения, были уже рассмотрены на стр. 145—148, и здесь мы на них
не будем останавливаться. Что же касается случая развитой турбулент-
турбулентности за решеткой, то согласно результатам ряда исследователей,
работавших в Кембридже (см., например, Стюарт и Таунсенд A951),
Стюарт A951), Праудмен A951)), для такой турбулентности по край-
крайней мере вплоть до чисел Рейнольдса Re^ —-^— порядка 5 • 104
«интервал диссипации» и «интервал энергии» спектра существенно
перекрываются между собой. Если это действительно так (а ниже мы
приведем также и другие данные, не подтверждающие этого вывода),
то тогда рассматривавшаяся -Карманом и Ховартом A938) «невязкая
автомодельность», охватывающая (в спектральной формулировке) весь
«интервал энергии» спектра, но не затрагивающая «интервал дисси-
диссипации», наверное, не может наблюдаться в аэродинамической трубе.
Соответственно этому в таком случае представляется необоснованным
и предположение Кармана и Линя A949, 1951), что найденный Кол-
Колмогоровым закон вырождения A6.22) (вытекающий из гипотез о не-
невязкой автомодельности и о конечности интеграла Лойцянского) должен
наблюдаться на промежуточной стадии вырождения — после начального
периода, в течение которого вырождение энергии описывается фор-
формулой A6.11) или A6.17), но до заключительного периода, отвечаю-
отвечающего очень малым числам Рейнольдса (это предположение вообще
не подтверждается никакими данными).
Перечислим теперь вкратце основные результаты Стюарта и Таун-
сенда A951), выполнивших ряд измерений характеристик турбулент-
турбулентности за решетками различной формы (при Re^, меняющемся от
2 • 103 до 2 • 104, а иногда и до 10б) специально с целью проверки
гипотез об автомодельности. Начнем с их данных, касающихся про-
проверки автомодельности корреляционных функций по отношению к мас-
масштабам v(t) = [u2(t)]l/2 и l(t) = l(t). На рис. 16 и 17, заимствован-
заимствованных из работы Стюарта и Таунсенда, приведены эмпирические гра-
графики функций
u>(t)
\] КЪ) [u2(t)f2 ll'l[k)

172
ГЛ. Vlt. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
(i6.4
при 1^ = 5300 на различных расстояниях от решетки (пунктиром
на рис. 17 проведены части кривых, являющиеся, по мнению авторов,
Рис. 16. Продольные корреляционные функции на разных рас-
расстояниях от решетки по Стюарту и Таунсенду A951).
мало надежными). В случае автомодельности кривые, относящиеся
к различным значениям х/М (т. е. к различным t = x/U), должны
0
-0,02
¦*»
-0,06
2
4
6
У
+ * * '
8
10
г/Л
Рис. 17. Корреляционные функции третьего порядка на
разных расстояниях от решетки по Стюарту и Таун-
Таунсенду A951).
Обозначения те же, что и на рис. 16.
были бы совпасть; мы видим, однако, что на самом деле этого не
происходит (за исключением малой окрестности точки г = 0, где

16.4]
§ 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТЙ
173
&Li(r> t) ж u2(\ —"op"))' ОТС1°ла ясно, что в рассматриваемом слу-
случае автомодельность корреляционных функций (при всех г или хотя бы
при 0<J>^/?, где R превосходит размер обусловленной вязкостью
параболической «шапочки» вблизи г = 0) определенно не имела места.
Тот же вывод следует и из эмпирических данных Уберои A963),
в ряде отношений расходящихся с данными Стюарта и Таунсенда.
Поэтому можно предполагать, что такое положение вообще_типично
длятурбулентных" потоковГ~за решёткой в 'аэродинамической трубе.
Заметим, однако, что кривые рис. 16 имеют почти одинаковую
форму, но только убывают с различной скоростью. Это означает, что
v*(t)
о
8
W
г/Л
Рис. 18. Проверка автомодельности продольных структурных функций
по данным Стюарта и Таунсенда A951).
после перехода от корреляционных функций к структурным функциям
DLL{r, t) формулы A6.12) эти последние функции можно сделать
практически совпадающими, поделив их на специально подобранные
множители v2 (t) (отличающиеся от u2(t)). Соответствующее построе-
построение выполнено на рис. 18, показывающем, что действительно в пре-
пределах точности измерений функции DLL(r, t) можно считать пол-
полностью автомодельными. На рис. 19 аналогичное преобразование
проделано со значениями структурных функций DLLL(r, t) третьего
порядка (сплошная кривая здесь проведена лишь в области относи-
относительно надежных данных). Совпадение кривых Л1(|)=-^з" DLLL f~j,
относящихся к различным ^-, оказалось менее точным, чем на рис. 18;
учитывая, однако, меньшую точность экспериментального материала,
можно считать, что он не противоречит предположению об автомодель-
автомодельности функций DLLL(r, t) при всех не слишком больших значениях г.
Таким образом, эмпирические данные Стюарта и Таунсенда создают
впечатление, что предложенная Линем A948) гипотеза об автомодель-

174
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[16.4
ности A6.13) может довольно точно соответствовать начальному пе-
периоду вырождения турбулентности за решеткой в аэродинамической
трубе (в отличие от гипотезы Кармана A6,1), оказывающейся явно
неверной). Аналогичный вывод можно получить и из рассмотрения
данных Стюарта и Таунсенда о спектральных функциях турбулент-
турбулентности. На рис. 20, также заимствованном у этих авторов, собраны
E(k)
значения нормированной спектральной функции у(Щ = -^1 (отно-
(относящиеся к различным расстояниям х от решетки), найденные по кри-
кривым рис. 16 с помощью формулы A2.77); нормирующие множители
' 2
V
4
0
6
л
о
•
X
к х
* /^ г/Л
i •
о >!>
•
Рис. 19. Проверка автомодельности продольных структурных функций
третьего порядка по данным Стюарта и Таунсенда A951).
v2 = v2(x) здесь подобраны так, чтобы получить по возможности
более точное совпадение значений <р(|), отвечающих различным х,
в коротковолновой части спектра (при больших | = kX). Мы видим,
что значения <р (?) при kX > 1 удается довольно хорошо совместить
друг с другом, но в области k% < 1, содержащей не менее 25% общей
энергии (т. е. включающей заметную часть «интервала энергии»), авто-
модельность определенно нарушается. С другой стороны, нетрудно
проверить, что кривые Ф1(Ю = 12ФA)» полученные при различных
значениях х, здесь с достаточной степенью точности можно считать
совпадающими. Поэтому можно считать, что и данные рис. 20 нахо-
находятся в сравнительно хорошем соответствии с предположением об авто-
автомодельности, рассмотренным на стр. 165 и 169. Последующие экспе-
эксперименты Цудзи A956),. измерившего одномерные спектры Ех (k, х) на
разных расстояниях за решеткой с величиной ячейки М = 1 см при
средней скорости G = 5, 10 и \Ьм\сек, также подтвердили, что энер-
энергетические спектры изменяются автомодельно лишь в области kX > 1,

16.4]
§ 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ
175
в то время как функции k2Ex(k, x) можно уже считать автомодель-
автомодельными при всех k.
Если для турбулентности за решеткой в аэродинамической трубе
действительно имеет место автомодельность описанного типа, то в такой
турбулентности должны выполняться уравнения A6.15) и A6.27).
Общее решение этих уравнений включает в себя условия A6.16), из
которых следует, что закон вырождения энергии турбулентности
должен описываться формулой A6.17). С этим заключением хорошо
2,0 кЯ
Рис. 20. Нормированные спектральные функции на разных
расстояниях от решетки по Стюарту и Таунсенду A951).
согласуются эмпирические данные Бэтчелора и Таунсенда A947, 1948а)
и Стюарта и Таунсенда A951) (см. также Бэтчелор A953)), согласно
которым в начале вырождения хорошо оправдывается формула
A6.32)
являющаяся частным случаем формулы A6.17). Также и уравнения A6.15)
и A6.27) для данных указанных авторов могут быть сравнительно точно
удовлетворены без большого труда.
Привлечение еще одной неопределенной постоянной а2 (т. е.
использование не формулы A6.32), а формулы A6.17)), разумеется,
позволяет еще улучшить согласие с экспериментом в тех случаях,
когда уже формула A6.32) приводит к неплохому согласию (см., на-
например, Линь A959)). Еще большую ценность оно представляет в тех
случаях, когда формула A6.32) оказывается малоудовлетворительной.
К таким случаям относится, в частности, случай вырождения турбу-

176 гл. vii. изотропная турбулентность [16.4
лентности за двумя решетками (первая из которых имеет более крупные
ячейки, чем вторая), который, по предложению Гольдштейна A951), был
экспериментально исследован Цудзи и Хама A953) и Цудзи A955).
Эти авторы обнаружили, что в потоке за двумя решетками (с ячей-
ячейками размером 5 см и 1 см соответственно) вырождение энергии явно
не согласуется с законом A6.32), но сравнительно неплохо описы-
описывается формулой A6.17) с а2ф0. Позже Цудзи A956) исследовал
форму спектров турбулентности за теми же двумя решетками и нашел,
что при не слишком малом расстоянии между ними спектр Ех (&, t)
также можно считать автомодельным в области kX > 1, а спектр дис-
диссипации энергии k2E1 (k, t) — полностью автомодельным. Еще позже,
однако, Уберои A963), Уберои и Уоллес A967) и Конт-Белло и Корсин
A966) опубликовали ряд результатов измерений характеристик турбу-
турбулентности в аэродинамической трубе за одной решеткой, которые
оказались во многом противоречащими результатам Таунсенда и его
сотрудников. В частности, согласно данным Уберои (и других аме-
американских исследователей) турбулентность за решеткой никогда не
является вполне изотропной и ее закон вырождения может быть описан
степенной зависимостью вида
^~72~(t — t0yn, A6.320
где п заключается между 1,2 и 1,5 и зависит от геометрии решетки.
Отсюда уже вытекает, что полная автомодельность спектра и корре-
корреляционных функций здесь не может иметь места (иначе показатель п
должен был бы равняться единице). В то же время согласно данным
Уберои A963), относящимся к измерениям, для которых я ^1,2,
автомодельность изменения спектра в интервале диссипации в его опы-
опытах также неплохо подтверждается (немного подробнее на этом мы еще
остановимся в п. 16.6; см., в частности, рис. 26 на стр. 189). Отсюда
ясно, что и закон вырождения A6.17) в этом случае должен удовле-
удовлетворительно описывать эмпирические данные.
Данные Уберои A963) противоречат данным английских авторов
также и в том отношении, что согласно им уже при Re^ = 2,6- 104
интервал энергии спектра можно считать не пересекающимся с интер-
интервалом диссипации (так как можно найти такое волновое число klt
что область k<kx будет содержать 80% энергии турбулентности,
а в области k>kx будет сосредоточено 80% диссипации энергии).
Отсюда, в частности, вытекает принципиальная возможность осуще-
осуществления карманоБской «невязкой автомодельности», относящейся
лишь к интервалу энергии, но не к интервалу диссипации и влекущей
за собой выполнение соотношений вида A6.21) с произвольными
коэффициентами сх и с2 и v2(t) = u2. Для того чтобы проверить на-
наличие такой автомодельности, Уберои измерил значения одномерного
спектра величины «1 + ]/r2w2 на трех расстояниях от решетки и вы-

16.4] § 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ 177
числил по этим значениям трехмерный спектр E{k) и функцию
Т (к) = -зт-Е -(- 2vk2E с помощью формул, справедливых для изотроп-
изотропной турбулентности (использование спектра величины их-\-
В(к)
0f016
0,012
0,008
0,004
о
200
300 400
500
Рис. 21. Спектральные функции E(k) на разных рас-
расстояниях от решетки по Уберои A963).
400 600 800 1000 1200 1400 1600 К
-0.15
-0,20
Рис. 22. Функции Т (k) на разных расстояниях от решетки
по Уберои A963).
а не их или и2, позволило упростить вычисление E(k) и одновре-
одновременно уменьшить влияние наблюдавшейся Уберои умеренной анизо-
анизотропии турбулентности за решеткой). Полученные им результаты
представлены на рис. 21 и 22. Далее он постарался подобрать мас-
масштаб l(t) так, чтобы в интервале энергии для функций E(k, t) и
12 А. С. Монин, А. М. Яглом

[78
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
100 200 300 400 500
Рис. 23. Проверка автомодельности Eik) по Убе-
Уберои A963).
100 200 300 400 500
к1
Рис. 24. Проверка автомодельности 1 (k) по Уберои A963).

16.5] § 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ 179
Т (k, t) по возможности точно выполнялись соотношения A6.23)
(в которых за v2(t) принималась величина и^-\~2и^. При этом ока-
оказалось, что если принять l(t) — (t — to)°'4 (что полностью согласуется
с формулами A6.21) и значением п =1,2 показателя в формуле
A6.32')). то функции ф(^/) = ^1 и ф(?/) = -^- для тРех Р^-
стояний от решетки действительно оказываются сравнительно мало
отличающимися друг от друга (см. рис. 23 и 24, на первом из
которых кривые, отвечающие х/М = 72 и л;/Л4=110, почти всюду
сливаются).
16.6. Гипотезы Колмогорова об автомодельности
мелкомасштабных компонент турбулентности
при больших числах Рейнольдса
Рассмотренные выше эмпирические данные относились к случаю
умеренных чисел Рейнольдса, при которых «интервал энергии» и
«интервал диссипации» спектра вплотную примыкают друг к другу
или даже частично перекрываются между собой. Однако с теорети-
теоретической точки зрения более прост случай очень больших Re, при ко-
которых эти два интервала далеко отстоят друг от друга. В этом
случае для мелкомасштабных компонент турбулентности можно сфор-
сформулировать весьма общие гипотезы об автомодельное™, опирающиеся
на определенные физические представления о механизме турбулент-
турбулентного перемешивания.
Выделим небольшой интервал (k, k-\-kk) на оси к. Такому
интервалу будет соответствовать определенная совокупность турбу-
турбулентных возмущений (суммарной интенсивности E{k)kk), которой
отвечает свой «характерный масштаб» /л~1/&, а также своя «ха-
«характерная скорость» Uk и «характерный период» Tk——т. Период Tk
можно довольно надежно оценить для возмущений из «интервала энер-
энергии». В самом деле, суммарная энергия турбулентности -^#'2 = -^-^/2»
где Ur = {и'2) , будет убывать во времени со скоростью с = — -^ --тг-;
соответственно этому характерное «время релаксации» процесса вы-
вырождения турбулентности будет определяться формулой
A6.33)
Естественно ожидать, что это «характерное время вырождения» будет
совпадать по порядку величины с «характерным периодом» основных
содержащих энергию возмущений, которыми можно считать возму-
возмущения, отвечающие максимуму ^щах — ^Ч^о) спектральной функции

186 гл. vn. изотропная турбулентность [16.5
E(k). Если предположить, что для таких возмущений характерная
скорость Uko имеет тот же порядок, что и средняя квадратичная ско-
скорость W, определяемая по суммарной энергии турбулентности, то мы
придем к соотношению
~-^— ~U%, т.е. _е= — ^±-=Л —, A6.34)
где Л — коэффициент порядка единицы, a Z = -r длина, которую
«о
можно считать «характерным масштабом» турбулентности в целом
(эта длина обычно имеет тот же порядок, что и «интегральные мас-
масштабы» турбулентности формулы A2.50)). Соотношение A6.34) под-
подтверждается имеющимися эмпирическими данными; так, например, по
данным Бэтчелора и Таунсенда A948а), если Lx отождествить с про-
продольным интегральным масштабом Z, то для турбулентности за ре-
решеткой в аэродинамической трубе коэффициент А оказывается очень
мало изменяющимся при изменении х от 20Ж до 180Ж — при всех
таких х и всех Re^ в пределах от 2,8 • 103 и до 22 • 103 он прини-
принимает значения, лежащие между 0,8 и 1,4 (см. Бэтчелор A953),
гл. VI, § 1).
Формула A6.34) показывает, что фактически все вырождение
энергии происходит в течение всего нескольких «характерных перио-
периодов, содержащих энергию возмущений, что делает понятным отсут-
отсутствие для таких возмущений строгой автомодельности: они не имеют
достаточного времени, чтобы универсальным образом приспособиться
друг к другу (и ко все время меняющемуся общему турбулентному
режиму) *).
Естественно думать, однако (и весь имеющийся эмпирический ма-
материал наблюдений за турбулентностью полностью подтверждает это),
что с возрастанием k характерный период Tk = (kUk) будет убы-
убывать: чем меньше пространственный масштаб возмущений, тем выше
частота отвечающих ему пульсаций. Но в таком случае можно пред-
предполагать, что при некоторых условиях (в первую очередь при до-
достаточно больших числах Рейнольдса) определенная часть возмущений
будет характеризоваться такими частотами, по сравнению с которыми
весь процесс вырождения турбулентности является «очень медленным».
Эти возмущения, естественно, должны быстро перейти в состояние
некоторого статистического равновесия, не зависящего от условий
1) Карман и Линь A949, 1951) тем не менее рассмотрели случай, когда
и в интервале энергии спектр изменяется по некоторым автомодельным за-
законам и, кроме того, определенная автомодельность имеет место для самых
крупномасштабных возмущений со значениями k, лежащими левее интер-
интервала энергии. Однако вопрос о том, при каких условиях описанная ими
автомодельность может иметь место, остается неясным.

16.$] § 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТЙ 181
порождения турбулентности; в дальнейшем они будут без труда приспо-
приспосабливаться к медленному изменению турбулентного режима, оставаясь
все время в одном и том же равновесном квазистационарном состоянии,
зависящем лишь от некоторых интегральных параметров турбулент-
турбулентности, но не зависящем непосредственно от времени.
В дальнейшем мы увидим, что для автомодельности коротковол-
коротковолновых возмущений, вообще говоря, не требуется, чтобы турбулент-
турбулентность была изотропной. Согласно общей теории Колмогорова,
в любом турбулентном потоке с достаточно большим числом Рей-
нольдса статистический режим совокупности мелкомасштабных воз-
возмущений является универсальным, откуда уже сдедует, что все стати-
статистические характеристики таких возмущений изменяются автомодельно.
Поскольку изотропность турбулентности не играет здесь существен-
существенной роли, подробно теория Колмогорова будет рассмотрена в сле-
следующей главе; здесь же мы лишь кратко сформулируем некоторые
основные положения этой теории, имеющие непосредственное отно-
отношение к изучению изотропной турбулентности и важные для даль-
дальнейшего содержания настоящей главы.
Прежде всего следует указать, от каких «внешних параметров»
всего потока могут зависеть статистические характеристики мелко-
мелкомасштабной турбулентности в случае очень большого Re. Будем рас-
рассматривать только возмущения, много меньшие тех, которым отвечает
максимум энергии (и период порядка типичного «времени затухания
кинетической энергии»). В таком случае статистический режим этих
возмущений естественно предполагать независимым от суммарной
кинетической энергии турбулентности ^ и от средней квадратичной
скорости ?/' —(у^Ч . Этот режим не должен зависеть и от пара-
параметров, характеризующих начальные условия порождения турбулент-
турбулентности (типа параметров решетки в случае турбулентности за решет-
решеткой в аэродинамической трубе). С другой стороны, если интервал
диссипации спектра не перекрывается с интервалом энергии (что,
по-видимому, необходимо для существования универсального стати-
статистического режима), то естественно считать, что режим возмущений,
ответственных за основную долю диссипации энергии, уже будет
универсальным, так что параметр е= — надо будет включить в число
интересующих нас «внешних параметров». Кроме е универсальный
статистический режим мелкомасштабных пульсаций может зависеть
еще от параметров жидкости, входящих в уравнения гидродинамики —
от плотности р и молекулярных коэффициентов переноса типа кине-
кинематического коэффициента вязкости v и коэффициента температуро-
температуропроводности х- В применении к характеристикам поля скорости из
этих параметров жидкости, очевидно, может играть роль только ко-
коэффициент v (определяющий, в частности, положение интервала

182 tVI. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ fl6.5
диссипации спектра). Поэтому следует ожидать, что при' достаточно
большом числе Рейнольдса все статистические характеристики воз-
возмущений скорости с волновыми числами kt превышающими некоторое
«достаточно большое» волновое число /?°\ будут зависеть лишь от
параметров г и v. В этом и состоит общая гипотеза Колмогорова
(подробнее о ней еще будет речь в п. 21.3).
Из гипотезы Колмогорова вытекает, в частности, что мелкомас-
мелкомасштабные статистические характеристики поля скорости в разных
турбулентных потоках с большим Re могут отличаться только значе-
значениями масштабов длины и времени (или, что то же самое, длины и
скорости), зависящими от параметров е и v. Если же мы будем из-
измерять длины в единицах т], а скорости — в единицах v», где
, A6.35)
/v3\l/4
Ит) •
то в этих единицах распределения вероятностей для мелкомасштаб-
мелкомасштабных компонент скорости в разных потоках с большим Re уже будут
точно одинаковыми. В частности, спектральное распределение энер-
энергии Е (k) в области k > А@) должно иметь' вид
Е (k) = т^Ф Ш = I1/4v5/\(v3/47~1/4A). A6.36)
где ф(|) — универсальная функция. В силу формулы A2.86) такой же
вид имеет и продольный одномерный спектр Ex(k):
A6.360
Как нетрудно видеть, отсюда уже следует, что при k > А@) и функ-
функция Т (k) должна быть представима в виде Т (k) — vzty{(\k) (см. ниже
формулу A6.40)). Таким образом, при k > А@) имеет место автомо-
дельность типа A6.23), причем соответствующие масштабы длины и
скорости здесь могут быть заранее определены по формулам A6.35).
Универсальные функции ф(|) и |2ф(|), очевидно, должны иметь
тот же общий вид, что и функции E(k) и 2vk2E(k)t изображенные
на рис. 12. В частности, интервал диссипации на оси ? будет зани-
занимать фиксированный конечный интервал сх < |< с2, в некоторой
точке с0 которого функция |2Ф(|) достигнет максимума; здесь cv c2
и с0 — безразмерные 'универсальные постоянные порядка единицы.
В размерной форме границами интервала диссипации будут волновые
числа cjt] и с2/ц* а максимум диссипации будет иметь место при
& = со/т]. Отсюда ясно, что ^=1/1] определяет порядок величины
тех волновых чисел, с которыми связана основная доля диссипации
энергии.

16.5] § 1б. гипотезы об автомодельности 183
Предположим, что на оси волновых чисел k область универсаль-
универсального статистического режима простирается много левее точки k^
так что функция ср(?) определена и при ?<С!* (Для этого необхо-
необходимо, чтобы интервал энергии и интервал диссипации на оси k были
разделены достаточно широким промежутком). В таком случае асимп-
асимптотическое поведение функции ср(?) при Ъ><^\ можно определить
с точностью до численного множителя с помощью следующих про-
простых рассуждений. При |<^1 (т. е..при k<^k^ диссипация энер-
энергии будет пренебрежимо мала, т. е. вязкость жидкости фактически
никак не будет проявляться; поэтому естественно считать, что ста-
статистические характеристики турбулентных пульсаций в этой области
спектра не должны зависеть от коэффициента v. Отсюда вытекает,
что при &<^&п функция E(k) может зависеть только от k и е и,
следовательно, в силу соображений размерности должна иметь вид
/г при k<^k^ A6.37)
где Cj — безразмерная постоянная. Формула A6.37) представляет
собой так называемый закон пяти третей для спектра в инерцион-
инерционном интервале, впервые указанный Обуховым A941а, б). Сопо-
Сопоставляя эту формулу с A6,36) и A6.35), найдем, что
ФA) = ^Г5/3 при ?<С1. A6.38)
Поскольку одномерный спектр Ex(k) имеет ту же размерность, что
и E(k), для него будут справедливы аналогичные формулы:
E,{k) = C^2lzk'm при k<^k^ Ф!(|) = С2Г5/3 при ?<СМ 16.370
1 ft
где в силу A6.360 C2 = ^CV Подобласть *@)<?<C*ti всей
области универсального равновесия k@) < k < оо, в которой имеют
место формулы A6.37), A6.38) и A6.370, называется инерционной
областью (или инерционным интервалом) спектра (поскольку режим
пульсаций в этой области не зависит от сил трения, а определяется
исключительно силами инерции).
Посмотрим, что дает в применении к области универсального
равновесия основное спектральное уравнение A4.15) теории изотроп-
изотропной турбулентности. Поскольку зависимостью от времени статисти-
статистических характеристик в этой области можно пренебречь, уравнение
A4.15) здесь приобретает весьма простую форму:
A6.39)
показывающую (в силу A6.36) и A6.35)), что
Т (k) = z/Зф (*Л), ф ф =. 212Ф ф. A6.4Q)

184 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [16.5
Более удобным для последующих применений оказывается про-
проинтегрированное уравнение A4.15):
k' E(k', t)dkr. A6.41)
о
Если k превышает верхнюю границу интервала энергии, то можно
к к
считать, что I ?(&', t)dkr =-irU'~{t) и -^г
/
о
Далее, второй член в правой части A6.41) будет фактически
определяться одними лишь «стационарными» значениями E{k'> t)
с k'^>,k^ > &@), т. е. не будет зависеть от времени; поэтому и пер-
первый член (который в силу A4.18) можно записать и в виде
со ч
— [т{k'J)dk'\ при &>&@) также не будет зависеть от времени.
* )
Отсюда вытекает, что в интервале универсального равновесия спек-
спектральное уравнение будет иметь вид
k
W{k)-\~2\ J kf2E(k')dkf = i, A6.42)
о
k oo
где W(k) = — \T(k')dk'= \T(k')dk' — количество энергии, пе-
o k
редаваемой за единицу времени от возмущений с волновыми числами,
меньшими k, к прочим турбулентным возмущениям. Точно так же
дополнительное к A6.41) уравнение
J J j', t)dk' A6.410
k к к
при k из интервала универсального равновесия можно переписать
в виде
= 2v J k'2E{k')dk'. A6.420
k
Это уравнение вместе с «условием нормировки»
ОО
2v J kf2E(kf)dk'' = 8 A6.43)
о
J
о
точно эквивалентно A6.42).

16.6] § 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ 185
16.6. Условия осуществления колмогоровской
автомодельности в турбулентности за решеткой
Проанализируем более тщательно условия, при которых описан-
описанная выше «колмогоровская автомодельность» может наблюдаться за
решеткой в аэродинамической трубе. Прежде всего для этого надо,
чтобы интервал энергии спектра (сосредоточенный в области волно-
волновых чисел порядка ko=l/L) и интервал диссипации (который при
наличии такой автомодельности характеризуется волновыми числами
порядка /5^= 1/л = 81/v"/4) были разделены достаточно широким
интервалом волновых чисел. Отсюда ясно, что колмогоровская авто-
автомодельность не может иметь места, если не выполняется условие
*о <:*ч. т- е- ?»Л- A6.44)
Воспользовавшись формулой A6.35) и выражением A6.34), согласно
которому е—и/3/Ь, последнее условие можно записать в более удоб-
удобной форме:
(ifff^ A6.45)
(сопоставив A6.34) с A5.2), легко также показать, что L/X~
ТТ'\ I \J'\ \3/2
r^ = Re^, так что A6.45) можно переписать в виде I 1 =
= (RexK/2^> 1). Таким образом, мы снова пришли к заключению,
что для существования предсказанного Колмогоровым универсального
статистического режима число Рейнольдса должно быть «достаточно
велико» (что это точно значит, можно определить лишь по экспери-
экспериментальным данным). Заметим еще, что из сравнения A5.2) с A6.35)
и A6.34) вытекает, что А, ~ ц(ReJ1/2~L/Rek~(Л2^I/3. т. е. что
ЬУ$>Х*^>у\. Иначе говоря, тэйлоров масштаб X является промежу-
промежуточным между масштабом L возмущений, содержащих основную долю
энергии, и масштабом ц возмущений, с которыми связана основная
часть диссипации; он не определяет никакой характерной точки спектра
и удобен лишь тем, что сравнительно просто определяется на опыте.
Для существования «инерционной области спектра» условия A6.45)
еще недостаточно: здесь, кроме того, должен существовать интервал
волновых чисел k, удовлетворяющих условию
*о<С*<СЧ A6.46)
Предполагая, что отношения kjk0 и k^jk должны быть примерно
одного и того же порядка величины, Бэтчелор A953) заключил, что

186 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [16.6
для существования инерционного интервала должно выполняться
более жесткое, чем A6.45), неравенство
(ReJ3/8;>l A6.47)
(или, что то же самое, (Re^K/4^> l).
Согласно результатам Бэтчелора и Таунсенда A948а) (см. также
Бэтчелор A953), гл. VI, § 5), решетка из прутьев диаметра Ж/5,3
с величиной ячейки М порождает турбулентность с числом Рейнольдса
L llf
Re /:t = —^— (где ^—интегральный масштаб A2.50), имеющий тот же
порядок, что и масштаб L формулы A6.34)), которое в течение
начального периода вырождения сравнительно мало меняется и может
быть оценено по формуле Re ц ~ -тдт* = -jgr* ' где ^~~сРедняя
скорость. Исходя отсюда, например, при Re^ = 4,2« 104 мы будем
иметь Re/^300, (ReItK/4« 80, (Re^f8 « 9.
Стюарт A951) попытался проверить справедливость уравнения
A6.42) в потоке за решеткой описанного здесь типа при Re^| = 4,2-104,
лг = 30Л1 с помощью применения формул A2.77) и A2.142) к изме-
измеренным значениям функций BLL{r) и BLLL(r). Согласно его дан-
данным, при указанных условиях это уравнение явно не выполняется
даже при очень больших значениях k> заведомо относящихся к интер-
интервалу диссипации. Таким образом, значение Re/,,^300 (т. е. (R^ix)m^^80)
следует считать «недостаточно большим» для возникновения колмо-
горовской автомодельности. По данным Бэтчелора A953), в обсу-
обсуждаемых опытах LJK « 0,1 Re^; поэтому значениям ReiM = 4,2»104
и Re/;,» 300 здесь соответствует значение Re^ = 55 (также согласно
результатам Стюарта оказывающееся «недостаточно большим»).
Для того же, чтобы в турбулентности за решеткой существовал
«инерционный интервал» спектра, число Рейнольдса должно быть
еще во много раз больше. Согласно ориентировочным оценкам
Праудмена A951), Стюарта и Таунсенда A951) и Гибсона и Шварца
A9636), заметный инерционный интервал может появиться в спектре
турбулентности лишь при значениях Rex порядка многих сотен или
тысячи, т. е. при значениях Re^ порядка одного или нескольких
миллионов. Таких значений ReM очень трудно достигнуть в суще-
существующих аэродинамических трубах. Данные же измерений функции
Ex(k) в аэродинамической трубе за решеткой при значениях Re^
порядка нескольких тысяч или десятков тысяч, содержащиеся в ра-
работах Симмонса и Солтера A938), X. Липмана и др. A951), Стюарта
и Таунсенда A951), Сато A951), Фавра и др. A952), Уберои A963)
и ряда других авторов, не подтверждают существования сколько-
нибудь значительного интервала значений А, в пределах которого

16.6] § 16« гипотезы об автомодельности 187
Ex(k) было бы пропорционально k~blZl). Полученные X. Липманом
и др. A951) значения спектра Ex(k) при Re^^ilO5 и Re^ = 3- 105
Карман A9486) попытался аппроксимировать функцией, пропорцио-
пропорциональной А~5/3 при не слишком малых значениях k\ однако разброс
имеющихся экспериментальных точек таков, что эта аппроксимация
оказывается крайне ненадежной. Гибсон и Шварц A9636) измерили
спектр Ех (k) в потоке воды за решеткой в гидродинамической трубе
при 2- 104<Re^<:3,8-104; при наибольшем Re^ полученный ими спектр
(см. рис. 75 на стр. 441) кажется пропорциональным k~ /3 на неболь-
небольшом участке оси к, но и здесь достигнутая степень точности никак
не позволяет придать большой вес этому заключению. Наконец,
Кистлер и Вребалович A966) измерили спектры Ег(к) и E2(k) за
решеткой при 1,2 • 105<^еж<;2,4 • 106 в очень большой аэродина-
аэродинамической трубе (к сожалению, демонтированной вскоре после первых
измерений, что сделало невозможной последующую проверку полу-
полученных результатов). Согласно результатам этих авторов в их изме-
измерениях спектр Ех (k) оказался пропорциональным &~/3 на значитель-
значительном интервале значений А; однако коэффициент пропорциональности
при этом оказался расходящимся с данными других измерений, кото-
которые будут рассмотрены позже (см. стр. 436—439), а спектр Е2 (к) при
тех же k оказался отличным от того, какого следовало бы ожидать
в силу изотропности турбулентности (что прямо противоречит пред-
предсказаниям теории Колмогорова). Поэтому в настоящее время, говоря
об эмпирической проверке формулы A6.37), приходится опираться
в первую очередь на данные, относящиеся к неизотропной турбу-
турбулентности, о которых будет идти речь в П. 23.3.
Результаты непосредственной проверки соотношений A6.36) для
турбулентности за решеткой при умеренных значениях Re^, произво-
производившейся Стюартом и Таунсендом A951) и Уберои A963), могут
показаться отчасти противоречащими приведенным выше рассужде^
ниям. В самом деле, согласно результатам Стюарта и Таунсенда,
собранным на рис. 25, эмпирическая зависимость отношения Ех (k)jx\v2
от kr\ = kjk^ при разных расстояниях от решетки х и разных Re^
(меняющихся от 2,5 • 103 до 2 • 104) в области kx\ > 0,1 оказывается
*) Как заметил Уберои A963), хорошим методом проверки существова-
существования инерционного интервала может служить определение (по измеренным
значениям BLL L(r) или Ех (k, t) и дЕх (?, t)jdt) функции Т(&)==•— ^^-
Дело в том, что в инерционном интервале уравнение A6.42') принимает вид
W (k) = е = const; следовательно, на всем этом интервале должно выпол-
выполняться равенство Т (k) = 0. В то же время из рис. 24 видно, что, например,
в опытах Уберои не было никаких следов обращения T(k) в нуль на за-
заметном интервале оси волновых чисел; следовательно, здесь не могло быть
инерционного интервала.

188
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[16.6
«универсальной» в полном соответствии с формулой A6.360-
В области же /5Т]<0,1, содержащей основную долю энергии, значе-
значения E\{k)jx\v2 для потоков с различными ReM весьма отчетливо рас-
расходятся между собой (менее значительные расхождения между значе-
значениями спектров в одном потоке, но на разных расстояниях от
200 г
150
100
UM/v
2625
5250
W500
21000
Рис. 25. Нормированные одномерные спектры на разных расстояниях
от решетки и при разных числах Рейнольдса по Стюарту и Таун-
сенду A951).
решетки, хорошо видные на рис. 20, на рис. 25 маскируются раз-
разбросом экспериментальных точек). Таким образом, рис. 25 оставляет
впечатление, что даже при умеренных значениях Re^ при /г^>0,1
все равно имеет место предсказанный Колмогоровым универсальный
статистический режим. Аналогичный результат получил и Уберои
A963), построивший по данным, представленным на рис. 21,
спектры диссипации энергии k2E(k) на трех расстояниях от решетки
и определивший, исходя отсюда, нормированный спектр диссипа-

16.6] § 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ 189
ции r\k2E(k)lv^ (см. рис. 26). Мы видим, что этот нормированный
спектр оказался уже примерно одинаковым на разных расстояниях,
так что и по данным Уберои колмогоровская автомодельность
спектра в интервале диссипации неплохо подтверждается уже при
Разумеется, данные рис. 25 и 26 не позволяют точно оценить
степень совпадения нанесенных кривых в области &г]>0,1, в кото-
которой абсолютные значения
спектра оказываются отно- йЩШ
сительно небольшими. Для
получения более надежных
результатов Стюарт и Таун-
сенд наряду с измерениями
спектра скорости и произ-
произвели также измерения одно-
одномерных спектров производ-
ди _ 1 ди д2и _
ных 1F~ U дх ' ~Ж~-
:=^21хтИ'~д!1г==^Т7т~дхт$
пропорциональных функ-
функциям к2Ег(к). tfE^k) и,
соответственно, №ЕХ (k). g~
Построенные по этим данным
графики зависимости огно- рис ^ Нормированные спектры диссипа.
шений х \ и ' \ ^ ' ции энергии на разных расстояниях от ре-
ч\%г т]1/^ шетки по данным Уберои A963).
от kr\ выявили небольшие
систематические расхождения соответствующих функций от &г],
построенных по данным измерений в потоках с разными Re^,
во всей области kr\ < 0,6, в то время как значения тех же функций,
отвечающие одному и тому же потоку, но разным расстояниям от
решетки, в пределах точности эксперимента оказались совпадающими
(в полном соответствии с выводом из данных рис. 20I). Вместе
с тем измеренные значения спектра -^~ как будто бы указывают
0.2 0,4 0,6 0.8 1ft 12
*
1) То обстоятельство, что на рис. 20 в качестве масштаба длины была
выбрана величина Я, а на рис. 25 — величина ч\, не является существенным,
так как в начальный период вырождения, когда 7Pr~(t — to)~l, очевидно,
e~(t — to)~2, x^it — toI!2, r]~(t — tQI/2, т. е. X(t) и r\(t) отличаются лишь
постоянным множителем. Переход от трехмерного спектра E(k) к одномер-
одномерному также не играет роли, так как в силу существующей между ними
связи в области k > k0 эти спектры одновременно будут или не будут изме-
изменяться автомодельно.

190 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [16.7
на то, что в области kx\ > 0,6, расположенной существенно правее
интервала диссипации, зависимость безразмерного спектра * *
от kr\ при всех числах Рейнольдса ReM, использовавшихся в этих
опытах, и всех jc>60M (но не при х = 3(Ш или х = 4(Ш) дей-
действительно оказывается одной и той же (т. е. «универсальной»).
Исходя отсюда, Бэтчелор A953) предположил, что для турбулентных
потоков за решетками в аэродинамических трубах даже при умеренных
числах Рейнольдса поведение спектра при достаточно больших зна-
значениях k на достаточно больших расстояниях от решетки будет
определяться исключительно значениями е и v (т. е. не будет зави-
зависеть от детальных «начальных условий») и будет иметь универсаль-
универсальный вид, совпадающий с тем, который отвечает «универсальному
статистическому режиму» Колмогорова при больших числах Рей-
Рейнольдса. Позже Гибсон и Шварц A9636) отметили, что вместо
истинного значения параметра е здесь, вероятно, более целесообразно
использовать специальным образом «исправленное» значение гх Ф е
(ср. ниже, стр. 441—442), но что на практике этим «исправлением» часто
можно пренебречь, поскольку т]—е~1/4 очень слабо меняется даже
при значительном изменении е. Пока, однако, все эти заключения
имеют еще весьма предварительный характер.
16.7. Гипотеза о квазиравновесии.
Положение с автомодельностью пульсаций температуры
Поскольку поведение спектра в крайней коротковолновой области, по-
видимому, определяется исключительно значениями ей v, можно рассчиты-
рассчитывать, что и поведение спектра в примыкающей области средних значений k
в турбулентности за решеткой также будет зависеть лишь от небольшого
числа определяющих параметров. Это предположение фактически и лежит
в основе всех рассматривавшихся выше гипотез об автомодельности, в ко-
которых за определяющие параметры принимались какие-то характерные зна-
значения длины / и скорости v. Некоторые качественные физические сообра-
соображения, поясняющие возможное происхождение автомодельного «квазиравно-
«квазиравновесия» в области средних волновых чисел, были указаны Гейзенбергом A9486)
и Бэтчелором A9оЗ). Основное место в рассуждениях Гейзенберга и Бэтче-
лора занимает предположение о том, что в области волновых чисел,
непосредственно примыкающей к «универсальной области спектра» (определяе-
(определяемой значениями I и v), спектр будет зависеть еще лишь от одного допол-
дополнительного параметра, как-то характеризующего стадию вырождения турбу-
турбулентности. В качестве простейшего предположения такого типа Бэтчелор
допустил, что за дополнительный параметр можно принять время t —10,
отсчитываемое от условного. «начального момента времени» t0. Отсюда,
в частности, вытекаем что единственный безразмерный параметр, который
можно составить из ? v и t — tOy а именно R = z(t — toJjv, в течение всего
периода существования рассматриваемого квазиравновесия должен иметь
постоянное значение (так как он не может зависеть от размерного

и, значит,
= -
2 -
-3е-'
3
4"»
{t-toy
¦ + «.
16.7] § 16. ГИПОТЕЗЫ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ 191
переменного t—10). Следовательно, в течение этого периода
A6.48)
A6.49)
т. е. мы опять приходим к закону вырождения A6.17), который раньше, сле-
следуя Линю, мы вывели, исходя как будто бы из совсем других соображений.
Величина R, входящая в A6.49), должна определяться начальными усло-
условиями порождения турбулентности; в частности, для турбулентности за ре-
решеткой она может зависеть лишь от формы решетки и средней скорости U,
а для геометрически подобных решеток она должна быть однозначной функ-
функцией от ^6^ = . В случае, когда вырождение турбулентности описы-
описывается законом A6.49) с нулевым или очень малым я, число R оказывается
пропорциональным Re^ (для решеток с квадратными ячейками, употребляв-
употреблявшихся в опытах Таунсенда и Стюарта, Бэтчелор A953) нашел, что
ReAfV)
R « —go/ • Таким образом, теперь, в отличие от прежнего вывода фор-
формулы A6.17), коэффициент при члене "^(t —-^о)" в законе вырождения
имеет уже определенный физический смысл, тогда как физический смысл
коэффициента а и здесь остается неясным (попытки объяснить этот смысл,
предпринимавшиеся Карманом и Линем A951) и Бэтчелором A953), не при-
привели к сколько-нибудь удовлетворительным результатам). Для спектральной
функции E(k, t) в области квазиравновесия получается формула
A6.50)
где t отсчитывается от условного «начала отсчета» t0, а Ф (?, ?) — универ-
универсальная функция от двух переменных. Для согласования этой формулы
с существованием интервала равновесия надо потребовать, чтобы при доста-
достаточно больших | функция Ф(?, ?) не зависела от ? (во всяком случае, если
? не слишком мало). В применении к турбулентности за геометрически по-
подобными решетками формула A6.50) может быть записана в виде
A6.51)
Кроме того, поскольку е~>?~2 и, значит, tj<^>?1/2, v^^t^, вместо т) можно
использовать любую характерную длину / (t), пропорциональную tl^y а вместо
1/л — любую скорость v (t), пропорциональную t~l№ B частности, при
*) Если д = 0, то *—-*0 = — «2/-^—= —- и, следовательно,

192 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [16.7
равном нулю (или пренебрежимо малом) а можно заменить ч\ на Я, a v^ на
?Л = (ТГ2I'2 и полагать1)
E(k, t)^W/2d>2Ukt ~). A6.52)
Все эти факты неплохо согласуются с имеющимися данными наблюдений
турбулентности за решеткой.
бместо времени t (или t —10) можно, следуя Гольдштейну A951), ввести
в качестве дополнительного параметра в квазиравновесной части спектра
скорость изменения диссипации -тр Это предположение с точки зрения
физической наглядности может показаться более предпочтительным, чем
прежнее; на самом деле, однако, нетрудно видеть, что оно ему эквивалентно
и приводит к точно тем же результатам.
Почти все результаты настоящего параграфа могут быть без всякого
труда перенесены и на случай автомодельного вырождения пульсаций тем-
температуры (или концентрации пассивной примеси) ft(jc, t) в изотропной тур-
турбулентности. В этом случае нам придется только ввести в рассмотрение уже
три различных масштаба: масштаб длины 1$ = 1$ (t) (который, вообще говоря,
может отличаться от масштаба / (t)), масштаб температуры 9 (t) и масштаб
скорости v (t) (который естественно считать тем же, что и в гипотезах об
автомодельности поля скорости). В связи с необходимостью использования
масштаба v (t) автомодельное вырождение полей скорости и температуры
целесообразно рассматривать одновременно. При этом в добавление к соот-
соотношениям A6.9) или A6.16) получаются еще некоторые новые соотношения
того же типа, касающиеся вырождения пульсаций температуры, которые,
в принципе, можно пытаться проверить на опыте. В настоящее время, однако,
сравнение с экспериментом в подавляющем большинстве случаев не может
быть произведено из-за отсутствия необходимых данных; поэтому и на соот-
соответствующих теоретических выводах мы здесь не будем задерживаться.
В несколько более благоприятном отношении оказывается лишь вопрос об
«универсальном статистическом режиме» мелкомасштабных компонент поля
®(х, t) в турбулентности с большими значениями Re и Ре, так как суще-
существование такого режима имеет веские физические основания, а вытекаю-
вытекающий из него аналог «колмогоровской автомодельности» подтверждается це-
целым рядом эмпирических результатов. Но поскольку почти все эти резуль-
результаты относятся не к турбулентности за решеткой, а к другим, явно неизо-
неизотропным, турбулентным течениям, то разбор этого вопроса мы перенесем
в следующую главу (см. ниже п. 23.5).
1) Формула A6.52) представляет собой частный случай общей формулы,
предложенной в работах Ротта A950, 1953):
Е (k, t) = ivW (Kk, Re), Re = Re (t) » / ^ V ® , A6.520
при всех Re и ?, где *F — универсальная функция. Поскольку Re здесь
может зависеть от времени, эта формула не предполагает автомодельности
изменения спектра, но зато включает в себя очень сильное предположение
об определенном подобии всех существующих изотропных турбулентных
потоков в течение всей их эволюции. Однако при определении конкретной
формы функции Ч? Ротта пренебрегал членами с производной дЧГ/д Re, т. е.
практически пользовался обычной гипотезой об автомодельности, и, кроме
того, принимал еще специальную гипотезу Гейзенберга о переносе энергии
по спектру, о которой мы будем говорить в § 17.

Д7.1] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 193
§ 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ
17Л. Приближенные формулы для спектрального
переноса энергии
Рассмотренные в предыдущем параграфе гипотезы об автомодель,
ности позволяют заметно уменьшить степень произвола в выборе реше-
решений основных уравнений теории изотропной турбулентности, но все
же не дают возможности замкнуть эти уравнения. В настоящем пара-
параграфе будут рассмотрены некоторые гипотезы другого типа, позво-
позволяющие получить из общих спектральных уравнений новые уравнения,
содержащие уже только одну неизвестную функцию. Отметим, однако,
что все рассматриваемые ниже гипотезы в большей или меньшей
степени имеют j^Kjrwm^ и ни одна из них не выпол-
выполняется точно. 4>актически использование этих гипотез приводит лишь
к «модельным» уравнениям, имеющим некоторые общие черты
с точными спектральными уравнениями изотропной турбулентности и
позволяющим получить ряд следствий, находящихся в качественном
согласии, с соотношениями, имеющими место в реальной турбулент-
турбулентной среде.
В дальнейшем в этом параграфе мы будем рассматривать только
уравнение для спектральных функций поля скорости и все наши
гипотезы будем формулировать применительно к нему. Разумеется,
нетрудно было бы перенести все последующие рассуждения и на слу-
случай спектрального уравнения A4.63) поля температуры; в частности,
каждой из приведенных ниже гипотез о W(k, t) легко сопоставить
оо
аналогичную гипотезу, касающуюся величины W$(k, t)= f Ты> (k\ t) dk'.
k
Поскольку, однако, эмпирические данные о пульсациях температуры
в изотропной турбулентности крайне бедны, гипотезы этого послед-
последнего типа не могут быть проверены и в настоящее время вряд ли
могут оказаться полезными; поэтому мы сочли нецелесообразным на
них задерживаться.
Будем исходить из проинтегрированных спектральных уравнений
A6.41) и A6.410:
k к
' = -W(k, t) — 2vjk'2E(k't t)dk' A7.1)
о
и
оо
~ J E{k'% t)dk'=W(k. t) — 2v J k'2E(k't t)dk'. A7.2)
13 А. С. Моннн. А. М. Яглом

194 гл. vii. изотропная турбулентность [17.1-
k 00
Здесь Е (ft, О—спектр турбулентности, J Е (ft', t) dkr и J E(k', t) dkf—
о k
энергии совокупности длинноволновых и совокупности коротковолно-
коротковолновых возмущений поля скорости с волновыми числами ft' < ft и,
соответственно, ft' > ft («макрокомпоненты» и «микрокомпоненты»
k
потока по терминологии Обухова A941а, б)), 2v f ft'2?(ft', t)dk' —
о
удельная (на единицу массы жидкости) диссипация энергии длинно-
оэ
волновых возмущений, 2v j k'2E(k't t)dk' — удельная диссипация
k
энергии коротковолновых возмущений и, наконец, W(k, t) =
со
= | T(k't t)dk' — перенос энергии через точку ft спектра, т. е.
k
количество энергии, переходящей за единицу времени от макроком-
макрокомпоненты к микрокомпоненте.
Если бы спектральный перенос энергии W(kt t) удалось выра-
выразить через спектральную функцию ?(ft, t), то оба уравнения A7.1) и
A7.2) сразу замкнулись бы. Однако функция W(kt t) зависит от
третьих моментов поля скорости и не может быть определена по
E(kt t). Поэтому можно лишь попытаться составить из значений
функции E(kt f) и k выражения, представляющие собой какие-то
приближения к неизвестной функции W (ft, t). Именно такой харак-
характер и будут иметь все рассматриваемые ниже гипотезы.
Гипотеза Коважного
Для того чтобы выражение, составленное из E(k) и ft, можно
было считать «родственным» переносу энергии W(ft), очевидно,
прежде всего необходимо, чтобы это выражение имело ту же раз-
размерность, что и W (ft). Поскольку
[W (ft)] = L2T'3t [E (ft)] = LzT~2t [ft] = L~x
(где квадратные скобки обозначают размерность, a L и Т символи-
символизируют длину и время), то требуя лишь, чтобы приближенное выра-
выражение для W(k) имело правильную размерность, проще всего, следуя
Коважному A948), положить
3/2ft5/2, A7.3)
где ук — безразмерная постоянная (множитель 2 здесь введен для
удобства последующих сопоставлений). Ясно, что формула A7.3)
может лишь очень грубо описывать процесс перераспределения энер-

17.1] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 195
гии по спектру турбулентного потока: на самом деле величина W(k)
должна зависеть от статистических характеристик всех возмущений
с волновыми числами k' как 66льшими, так и меньшими k, и поэтому
никак не может быть выражена через одни только значения Е (k) и k.
Тем более любопытно, что простая формула A7.3) (предложенная
уже после того, как были выдвинуты некоторые другие, физически,
казалось бы, более обоснованные формулы для W(k)) приводит
к кажущимся приемлемыми выводам о форме спектра турбулентности,
не очень сильно отличающимся от тех, которые получаются при дру-
других рассматривавшихся гипотезах о W(k) (см., например, рис. 29 на
стр. 208). Это обстоятельство показывает, что форма спектра сра-
сравнительно мало чувствительна к изменениям спектрального переноса
энергии; именно по этой причине использование рассматриваемых
в настоящем параграфе гипотез и оказывается во многих случаях целе-
целесообразным.
Гипотеза Коважного учитывает только размерность величины W(k),
но не опирается ни на какие физические представления. Последую-
Последующие несколько гипотез отличаются от нее тем, что используют также
и некоторые интуитивные представления о механизме процесса пере-
перераспределения энергии по спектру. Поскольку этот процесс на самом
деле очень сложен, неудивительно, что можно указать несколько раз-
различных выражений для W(k), каждое из которых отражает какую-то
одну сторону указанного физического процесса.
Гипотеза Обухова
Эта гипотеза была предложена раньше всех других — еще в 1941 г.
В ее основе лежит принадлежащее Рейнольдсу вполне строгое пред-
представление переноса энергии от осредненного движения к пульсацион-
ному в виде выражения — щи']-—^ (см. п. 6.2 в ч. 1 книги). Но
/
разбиение A1.51) изотропного поля скорости на поле скорости мак-
макрокомпоненты u(k) и поле скорости микрокомпоненты и (k) можно
рассматривать как аналог рейнольдсовского разбиения скорости и на
среднюю и пульсационную компоненты и и и' — и — и. Поэтому
величина W(k) должна быть пропорциональна среднему значению
'произведения «напряжений Рейнольдса поля скорости микрокрмпо-
ненты» ttt{k)Uj{k) (составленных при фиксированных значения^"ско-
значения^"скорости макрокомпоненты) на градиент поля скорости макрокомпоненты.
Средние «напряжения Рейнольдса» микрокомпоненты в первом при-
приближении можно считать пропорциональными соответствующей энер-
гии Т Ъ (*)и*(*)ь== E(k')dk\ а среднее квадратичное значение
^-ifj (&)?*(&) =

196 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [17.1
пространственных производных ! в силу A1.76) пропорцио-
г k X12
нально величине 2 Г k' E(k')dk' . Исходя из этих соображений,
L о J
Обухов A941а, б) предложил для W (k) следующее приближенное
выражение:
Ik -il/2 оо
J k'2E (kf) dk'\ J E (k") dk\ A7.4)
о J k
где y0 — новая безразмерная постоянная. Более подробный анализ
физических предположений, приводящих к формуле A7.4), можно
найти в работе Чена A954).
Измененная гипотеза Обухова
Поскольку некоторые выводы из теории Обухова оказываются
физически мало правдоподобными, Эллисон A962) предложил изме-
изменить эту теорию, допустив, что напряжения Рейнольдса микрокомпо-
ненты определяются в первую очередь лишь «наиболее крупными»
из входящих в нее возмущений (с волновыми числами, близкими к k).
Иначе говоря, он предположил, что средние напряжения Рейнольдса
микрокомпоненты можно приближенно выразить через одни только
значения Е (k) и k\ в таком случае из соображений размерности сле-
следует, что они должны быть пропорциональны kE (k). Отсюда для
W(k) получается выражение
-|1/2
(k')dk'\ , A7.5)
где уЕ—еще одна безразмерная постоянная.
Выражение A7.5) для W (k) является в известном смысле проме-
промежуточным между выражениями Коважного и Обухова: оно зависит
от поведения E(k') на интервале k'-^k, но не зависит от статисти-%
ческих характеристик мелкомасштабных возмущений с kf > к. Разу-*
меется, с физической точки зрения предположение о независимости
W(k) от значений E(k') с kr > k представляется мало оправданным.
Учитывая, однако, что и формула Обухова A7.4) сама является
лишь довольно грубым приближением, можно допустить, что замена
с»
в ней множителя | E(Jk")dk" на kE{k) уже не должна играть очень
и

17.1] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 197
большой роли. И действительно, спектры E(k), отвечающие гипоте-
гипотезам A7.4) и A7.5), в ряде отношений оказываются довольно похо-
похожими, причем различия между ними таковы, что заставляют отдать
предпочтение, казалось бы, более грубой гипотезе A7.5) (см. ниже
стр. 205 — 207).
Гипотеза Гейзенберга
Через несколько лет после появления работ Обухова A941а, б)
Вейцзеккер A948) и Гейзенберг A948а), не знавшие в то время об
этих работах, предложили еще одну теорию переноса энергии по
спектру, опирающуюся «а идею Буссинеска о том, что напряжение
Рейнольдса -- pufe' можно представить в виде произведения некото-
некоторого виртуального коэффициента турбулентной вязкости р/С на дефор-
дщ dtij
мацию -з Ь~з— поля средней скорости. Но в таком случае выра-
выражение W — — и'аи'в1Г^-> определяющее перенос энергии от среднего
движения к пульсационному, обращается в величину
внешне аналогичную диссипативной функции Стокса (см. формулу
A.69) в ч. 1 книги). Если, как и выше, под пульсационной скоро-
скоростью понимать скорость микрокомпоненты потока, а под средней
скоростью — скорость макрокомпоненты, то после перехода к спект-
спектральной форме для W(k) получится выражение
A7.7)
•
где К (k) — кинематический коэффициент турбулентной вязкости,
порожденной совокупностью всех возмущений с волновыми числами,
превышающими k. Формула A7.7) соответствует представлению о том,
что влияние турбулентности сводится лишь к увеличению трения
в жидкости, т. е. что переход энергии осредненного движения (мак-
(макрокомпоненты) в энергию пульсаций (микрокомпоненты) имеет тот
же физический характер, что и переход кинетической энергии жид-
жидкости в тепловую энергию молекулярных движений в результате
столкновений между молекулами. Качественно такое представление
кажется приемлемым, хотя количественно оно также является лишь
некоторым приближением к истинному положению вещей.
Если при определении значения коэффициента K(k) исходить из
аналогии с кинетической теорией газов (лежащей в основе

198
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[17.1
полуэмпирической теории Буссинеска), то надо считать, что вклад в коэф-
коэффициент турбулентной вязкости, создаваемый возмущениями поля ско-
скорости с заданной длиной волны /' = 2я/&', пропорционален произведению
соответствующего «пути перемешивания» Ik' (лишь множителем отли-
отличающегося от \jk') на «характерную скорость» w рассматриваемых
возмущений. Исходя из таких представлений (в качественной форме
развитых Вейцзеккером; см. также Чен A954)) и учитывая также и
соображения размерности, Гейзенберг предложил для коэффициента
К (к) формулу
A7.8)
где уи — безразмерная постоянная, т.е. положил
k
kE{k")dk"-
A7.9)
Видоизменения гипотезы Гейзенберга
Предположение о возможности представления величины W(k)
в виде A7.7) вполне совместимо и со многими другими выражениями
для К (к). Так, например, Стюарт и Таунсенд A951) заметили, что,
не противореча соображениям размерности, равенство A7.8) можно
заменить более общей формулой
*ST
J
A7.10)
где с — произвольное положительное число, а у$Г — безразмерная
постоянная, или даже формулой
J
[?(*')]
(*')+W{
dk'
A7.11)
где Cj и у, — какие-то неотрицательные числа. При с =1/2 формула
A7.10) приобретает особенно простой аналитический вид; в связи
с этим такая формула для К (k) использовалась, в частности, в рабо-
работах Хауэлса A960)~и Монина A962). С другой стороны, Огура и

17.1] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 199
Миякода A953) предложили заменить A7.8) формулой
/C(&)=J™ E(k')dk' . A7.12)
соответствующей предположению о том, что в соотношении
— lkvk за характерную скорость vk можно принять среднюю квадра-
квадратичную скорость микрокомпоненты, а ^~-г«
Гипотеза Кармана
До сих пор мы не использовали спектрального представления
A4.28) величины T(k), тесно связанной с W (&). Это представление,
содержащее средние значения произведений преобразований Фурье
трех компонент скорости, разумеется, не может дать точной фор-
формулы, выражающей W(k) через значения Е (k) и к\ однако оно по-
позволяет выяснить некоторые свойства истинной функции W(k)t кото-
которые можно сопоставить со свойствами приближенных выражений
A7.3) —A7.12). Прежде всего, из формул A4.28) и A4.27) видно,
с»
что величину W(k)= \ T(k')dk' можно представить в виде
'> k")dk'dk"t A7.13)
оо k
'dk"
k 0
где
P(k't ?")= J J Qjj(k't b")dk' db\ A7.14)
I*'!-*'!*"!-*"
Согласно сказанному на стр. 115 P(k't k")dk*dk" имеет смысл
количества энергии, передаваемой за единицу времени возмущениям
поля скорости с волновыми числами из интервала dk' = (&', k'-\*dkr)
возмущениями из интервала dk" = {k"t kff~\-dk"). Отсюда, в част-
частности, ясно, что
P(k't k") = — P(k\ k') A7.15)
(ср. A4.27)). Поскольку функция Qjj(k', k") в силу A4.26) зависит
от комплексных амплитуд поля скорости dZ(k) в точках А', К' и
к' — k" = k'-\-{—k") пространства волновых векторов, представля-
представляется правдоподобным, что хорошее приближение к истинному значе-
значению W(k) можно получить, лишь приравняв P(k', k") выражению,

200 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [17.1
зависящему каким-то разумным образом от E{k')> E{k") и
всевозможных значений E(\k'-\-k"\)> где |ft'|=&', \k"\=k". Ни одна
из рассмотренных выше формул не сводится к приближению такого
рода, так как все они не содержат величин E{\W-\-V'\). Но если
мы даже пренебрежем этим обстоятельством, а будем интересоваться
лишь возможностью представления W (k) в виде интеграла A7.13) от
функции P(k't k"), определяемой только значениями k't k"> E(k')
и E(k")t то и тогда результат будет не слишком утешительным:
легко видеть, что из всех функций W (&), задаваемых формулами
A7.3) — A7.12), одна только функция A7.9) может быть предста-
представлена в таком виде (с P(k't k") = 2yH{kfyzl2(k"f [E (k')]V2E(k")
при k'>k").
Положим теперь в основу именно требование, чтобы величина
W (k) была представима в виде A7.13), и, сверх того, допустим, что
функция P(k't k") может быть выражена, хотя бы приближенно,
через ?', k"% E(k') и E(k"). В таком случае выражение A7.9) легко
обобщить: как было отмечено Карманом A948а, б), не противореча
соображениям размерности, можно принять, что при к1 > krr
JL 1
Я (ft', kf') = 2y'K{k')m(k")*~m[E(kr)]n[E(k")]<>~\ A7.16)
где m, n и у'К—произвольные безразмерные постоянные. Согласно
A7.16) ,
00 k I Л.
)i ndk" A7.17)
(при m = —3/2, n =1/2 эта формула обращается в A7.9), а при
/я = 0, я=1—в формулу, предложенную, исходя из совсем других
соображений, Мексином A963) и использовавшуюся, в частности,
Эшенредером A965) при изучении модели стационарной изотропной
турбулентности в идеальной жидкости). Выражение A7.17) для W(k)
является наиболее общим выражением правильной размерности, сов-
совместимым с предположением, что W(k) представляется в виде интег-
интеграла A7.13), где P(k\ k") при k'>k" степенным образом зависит
от k't k", E(k') и E(k"). Такое предположение о виде функции
P(k'* k") обеспечивает сравнительную простоту формулы A7.17),
делающую эту формулу удобной для расчетов. С другой стороны,
однако, величина Р(Л', k") при этом снова оказывается независимой
от статистических характеристик возмущений с волновыми числами
ft'' + *"• и, кроме того, она меняется скачкообразно при переходе
пары (k't.kfr) через точку ?' = А", что представляется физически
неестественным. , .

17.1] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 201
Гипотеза Гольдштейна
Формулы Кармана A7.17), Обухова A7.4), Гейзенберга A7.9) и
Стюарта и Таунсенда A7.7), A7.10) являются частными случаями
следующей общей формулы, предложенной Гольдштейном A951):
W (k) = 2Yo И (k'T [E (k'))n dk'\ J (*")*. [E (*")]*. dk" . A7.18)
где Y<> и w» #> ^» wi» Л1» ^i — вещественные числа, последние
шесть из которых в силу соображений размерности должны быть
связаны двумя соотношениями:
(л|+1)*-+0»1+1)*1 = 4* ^ + яЛ = 4- A7.19)
Однако общая формула Гольдштейна A7.18) слишком сложна и
содержит слишком много неопределенных констант, чтобы быть
практически полезной.
Видоизменения гипотезы Кармана
Основную формулу A7.16) теории Кармана можно заменить многими
другими выражениями для P(k', k") правильной размерности. Так,
например, следуя идее Крейчнана и Спигела A962), в правую часть
A7.16) можно добавить произвольную числовую функцию <р(Л7*")»
нормированную условием <рA)=1, т. е. положить
/>(*'. *Ч = 2уИ*Г(**)Т~Я1[Я (k'))n[E(k")]~\(p} при *'>*"
A7.20)
(см. Яглом A9676)). Формулы A7.20) и A7.13) определяют функцио-
функциональное множество новых выражений для величины W (k). Все эти
выражения менее удобны для вычислений, чем выражение A7.17),
в котором интегралы по dkr и по dk" разделяются; однако с точки
зрения физической интуиции введение функции <р (&'/*")» быстро
затухающей при возрастании k'jk" (и тем самым гарантирующей
слабость переноса энергии из заданного интервала dk" во все до-
достаточно удаленные от него интервалы dk'), представляется имеющим
определенные основания (см. также ниже стр. 210 — 212)
Обобщенная формула Кармана A7.20), так же как и исходная
формула A7.16) и все остальные рассматривавшиеся выше формулы
для W(k), описывает перенос энергии в пространстве волновых
векторов, происходящий в определенном направлении — от меньших
волновых векторов к большим (ибо функция P(k', k")> в которой

202 гл. vii. изотропная турбулентность [17.1 •
коэффициент у положителен, всегда неотрицательна при k! > k" и,
следовательно, неположительна при kf < к"). Однако на самом деле
поток энергии только в основном направлен от крупномасштабных
возмущений к мелкомасштабным; если же специально возбудить воз-
возмущения фиксированного масштаба l/k0 (так, чтобы функция E(k)
имела резкий максимум при k = k0), то энергия этих возмущений
будет передаваться в обоих направлениях — и к более мелким
возмущениям и к более крупным (см., например, рис. 42, Пиастр. 258).
Чтобы учесть и это обстоятельство, можно, следуя Крейчнану и Спи-
гелу A962), принять, что возмущения с волновыми числами из интер-
интервала dk" передают в произвольный интервал dkr (где kr может быть
и больше и меньше k") за единицу времени определенное количество
энергии Q(k't k")dkfdk" и одновременно получают из этого интервала
некоторое другое количество энергии Q(k", k')dk*dk". В таком
случае
/>(?', k") = Q(k\ k") — Q(k", k'\ A7.21)
откуда, в частности, уже автоматически вытекает, что P(k', k") =
= — P(k", k'). Функцию Q(k't k"), вообще говоря, можно было бы
задать произвольной формулой вида A7.20); более естественно,
однако, считать, что она зависит лишь от интенсивности E(k") воз-
возмущений, передающих энергию, и от взаимного расположения интер-
интервалов dk" и dkr (по аналогии с положением вещей, имеющим место
при радиационном переносе энергии в обычном пространстве). Учтя,
кроме того, что уравнения гидродинамики идеальной жидкости фор-
формально допускают стационарное решение, при котором возмущения
со всевозможными волновыми векторами одинаково возбуждены и,
значит, F(k) — const, E(k)— k? (см. ниже стр. 649 — 650), Крейчнан
и Спигел потребовали, чтобы при Е (k) — k2 выполнялось равенство
P(k\ k") = 0. Исходя отсюда и используя соображения размерности,
они предположили, что
['2f\lt\[^) A7.22)
где Укв — положительная постоянная, a <p(jc) — произвольная числовая
функция, нормированная условием ф A) ===== 1 и такая, что
A7.23)
Формулы A7.21) — A7.23) описывают процесс, который можно
назвать «радиационным переносом энергии в пространстве волновых
векторов».
Функция P(k't k"), задаваемая формулами A7.21) — A7.23), не-
непрерывно переходит через нуль при kf =^ k" (в отличие от перво-
первоначальной функции Кармана A7.16)); однако она также не зависит
от статистических характеристик возмущений с волновыми векторами

17.1] § If. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 203
k'—k'\ входящих в точную формулу A4.26). Если же принять
во внимание A4.26) и A7.14) и учесть, что dZ*(k) — dZ{—ft), то
формулу A7.13) следовало бы заменить формулой
W(k)= J j j P(k', k\ k'"N(k'' + *"' + k'")dk'dk" dkr\ A7.24)
где второй и третий интегралы в правой части распространены по
всему пространству векторов V и*'", а функция P(k', k", Ы") зависит
от возмущений поля скорости с волновыми векторами k', k" и Ы"
и удовлетворяет соотношению
Р(*', *", k'")-\-P(k\ *'", k') + P{k'\ *', Г) = 0, A7.25)
заменяющему A7.15). Поэтому с целью более точного описания
переноса энергии по спектру можно попытаться приближенно выра-
выразить функцию P(k', *", k"') через величины E(k'), E(k"\ E(k'")>
*', k" и km и использовать формулу A7.24). При этом, однако,
модельная теория неизбежно оказывается очень сложной, и, поскольку
в настоящее время нет данных, позволяющих достаточно обоснованно
выбрать выражение для P(k't k"\ k"')t на гипотезах такого рода мы
здесь не будем останавливаться1). Некоторые дальнейшие гипотезы
о переносе энергии по спектру, обобщающие гипотезу Кармана
A7.16), будут приведены в гл. 8 (см. формулу B2.27) на стр. 373).
Гипотезы, формулируемые в терминах
корреляционных функций
Из гипотез такого рода мы упомянем попытку Хассельмана A958)
применить идею о существовании коэффициента турбулентной вяз-
вязкости, выражающуюся формулой A7.7), непосредственно к уравнению
Кармана — Ховарта. По аналогии с формулой A7.7) этот автор пред-
предположил, что члены уравнения A4.9), содержащие BLLL(r, t), могут
быть представлены в виде
1) Один конкретный выбор функции P(k\ k", k"')t удовлетворяющей
A7.25), дает теория Крейчнана A959, 1961, 1962, 1964а), исходящая из точных
уравнений A4.26), A4.28), но дополняющая их некоторыми специальными гипо-
гипотезами статистического характера, смысл которых пока еще нельзя считать
полностью выясненным (см. ниже стр. 283 — 284, а также статью Прауд-
мена A962)). Заметим, однако, что в теории Крейчнана функция P(k't k", k"r)
явно зависит от величины U' = (»/2)!^, оказывающей, таким образом, суще-
существенное влияние на статистический режим возмущений с любыми значе-
значениями k (в прямом противоречии с представлениями о существовании уни-
универсального режима, изложенными в п. 16.5 и ниже в гл. 8).

204 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [17.2
где К (г) = yv2 (г) т (г); у— безразмерная постоянная порядка еди-
единицы; v(r) — характерная скорость совокупности возмущений, масштаб
которых не превосходит г, ат(г)—характерное «время перемешивания»
этих возмущений. Далее, он принял, что v2(r)=[uL(x-\-r) —uL(x)]2 =
— 2[BLL@) — BLL(r)], а для масштаба времени т(г) использовал не-
некоторое выражение, довольно сложно зависящее от BLL(r) и, кроме
того, содержащее еще и К (г), т. е. определяющее т(г) лишь неявным
образом..Предположения Хассельмана эквивалентны какой-то сложной
связи W(k) с E(k); однако характер этой связи таков; что даже
проверить, будет ли отвечающий ей спектр всюду положительным,
очень трудно. К тому же в данном случае окончательное уравнение
(содержащее единственную неизвестную функцию BLL (г, t)) оказалось
более громоздким (и физически менее наглядным), чем большинство
уравнений, использующих приближенную формулу для W(k). Поэтому,
хотя, по утверждению Хассельмана, следствия из предложенного им
уравнения (полученные с помощью численного интегрирования) согла-
согласуются с эмпирическими данными Стюарта и Таунсенда A951) даже
несколько лучше, чем следствия из гипотезы Гейзенберга A7.9), его
гипотезу в дальнейшем мы больше рассматривать не будем.
17.2. Применение гипотез о переносе энергии к исследованию
формы спектра в равновесном интервале
Все приведенные выше формулы для W (k) превращают уравнения
A7.1) и A7.2) в уравнения с одной неизвестной функцией Е (&, t). Разумеется,
решения этих уравнений могут иметь лишь ограниченную ценность, поскольку
предложенные формулы для W (k) являются нестрогими и неточными.
Так как, однако, построение строгой теории изотропной турбулентности
наталкивается на очень большие трудности, то предварительное сопоставле-
сопоставление следствий из предложенных модельных гипотез с имеющимися эмпири-
эмпирическими данными (пока также довольно ограниченными) на данном этапе
развития теории турбулентности может иметь некоторый смысл.
В первую очередь целесообразно применить приближенные формулы
для W (k) к расчету спектра в интервале универсального равновесия, в ко-
котором имеет место «колмогоровская автомодельность». В этом интервале
W (k) и Е (k) должны задаваться универсальными функциями, зависящими
от двух параметров Г и v; поэтому предположение о возможности выра-
выразить W (k) универсальным образом через значения Е (k) здесь имеет извест-
известное оправдание.
Значения спектров E(k) в теориях Коважного,
Обухова и Гейзенберга
В интервале универсального равновесия обшие спектральные уравне-
уравнения A7.1) и A7.2) приобретают простой вид A6.42) и A6.42'). Принимая
в качестве основной неизвестной функцию //(?)= kf2E{Jk')dk' (так что

17.2] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 205
—-?2-—?ПГ) и подставляя в A6.42) формулу Коважного A7.3) для
W (k), мы получим для H(k) простое дифференциальное уравнение первого
порядка. Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям
//@) = 0 и Я(оо)==^-, имеет вид
/ h \4/Я~1ЯЧ
при k < kh
A7.27)
при k > *,,
где
t, гM/4л,1/2_ 1/4»,—3/4 o5/4»,V2t /17Oft\
Для E(k) отсюда получается формула
E(k)=>\K K) L Ui/ J * A7.29)
10 при &>&i,
найденная впервые (с несущественной опиской) Коважным A948). Ясно, что
решение A7.28) — A7.29) можно переписать также в автомодельной форме
A6.36); удобнее, однако, использовать формулу
о-4/зJпри,<1,
при х > 1,
содержащую универсальную функцию Ф(х), не зависящую от значения у^
(и отличающуюся от функции ср (|) формулы A6.36) лишь выбором масшта-
масштабов длины и скорости). При k <^ kx ~ k^ спектральная функция A7.29)
удовлетворяет, как это и должно быть, «закону пяти третей» A6.37)
(с Сх =* Bу^)/3); при дальнейшем возрастании k спектр Е (k) начинает
убывать быстрее, и в точке ^s^ = 25/4yl?2k он обращается в нуль (вместе
ИР \
с первой производной -дт-)'» при k^kx спектр E(k) тождественно равен
нулю (см. рис. 27 и 28).
Подставим теперь в уравнение A6.42) формулу Обухова A7.4) и снова
примем И (k) за основную неизвестную. Если мы сначала разделим все члены
полученного равенства на [#(&)], а затем продифференцируем по k, то
придем к соотношению
2Yo аи (к) v ан(к) Г ан!^
k2 dk [tf(*)]1/2 dk 2{H(k)]*12 dk
Отсюда вытекает, что или Н (&) = const, т. е. ?(&) = 0, или же
е . / k
*1
A7.32)

206
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Г17.2
a h (х) при любом х удовлетворяет кубическому уравнению 4Л3 = х4 A -f hJ.
Нетрудно проверить, что это уравнение при любом значении х имеет един-
единственный неотрицательный корень, монотонно возрастающий от нуля до
единицы при возрастании л: от 0 до 1. Но Л A) = 1 означает, что
*
2~; поэтому в соответствии с A6.43) при k > kx мы должны
0,4 0J Ц6 0,7 0,8 0,9 1,0 V 12 13 14 4
Рис. 28. Те же спектры в обычном мас-
масштабе.
Рис. 27. Безразмерные
спектры Ф (лс), отвечающие
гипотезам Коважного (/С).
Обухова (О), измененной
гипотезе Обухова (Е) и
Гейзенберга (#), в билога-
рифмическом масштабе.
использовать тривиальное решение Н (k) = ^- = const уравнения A7.31).
Таким образом, спектральная функция
В (k) = Yo 3/2e1/4v5% Ш, Ф (x) = 2 x2 при х<1> A7 зз)
1 10 при х > 1,
здесь положительна лишь при К^.ав точке k = kx она скачком обра-
обращается в нуль. При k <^ kb т. е. при х <^ 1, очевидно, h(x) « 2~2/3л:4/3,
92/3
откуда для E(k) снова получается «закон пяти третей» с Cj =-5— уо2/3
о
(именно так этот закон и был впервые выведен в работах ОбуховаA941а, б)).
Легко видеть также, что h (х) « 1 — 2A —х) при 1 — х<^\; поэтому
фA) = 23/4и E(kl) = 2ZlAyQ3l2l1/\5f\ Поведение функции Ф(х) при про-

17.2] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 207
межуточных значениях х иллюстрируется графиками на рис. 27 и 28 (мало-
(малоинтересное и очень сложное аналитическое выражение этой функции, полу-
получающееся с помощью применения формулы Кардана для решения куби-
кубических уравнений, выписано в работах Милсепса A955) и Рида A956а, 1960)).
Скачкообразное изменение спектральной функции в точке k = k{ пред-
представляется физически малоправдоподобным; поэтому интересно отметить, что
измененная форма A7.5) гипотезы Обухова, предложенная Эллисоном, при-
приводит в этом отношении к резко отличным результатам. В самом деле,
подставляя A7.5) в A6.42), мы получаем дифференциальное уравнение
первого порядка относительно функции Н (&), которое вместе с граничным
условием Н @) = 0 оказывается эквивалентным формуле
Т Т (
2Y,
Е
v
A7.34)
Иначе говоря, в этом случае
Е (k) = Yi3/2e1/4v5/4O (-?-), Ф (х) = 2-7'4 -^L, A7.35)
где
kx = ^y^/V3/4 = 2l^\ A7.36)
а функция h (х) = 2ve~1// (kjk{) удовлетворяет уравнению
+ 0. A7.37)
Легко видеть, что h(x) « C/2J/3 лг4/3 при лг<^1, поэтому при k <^ k{ ~k^
снова получается формула A6.37) (с Сх = 3~^3Y?2/3). Однако теперь функция
h (х) при всех х не превосходит единицы, причем /г(л:)«1—4е~х* при
^ 3/2|1/21/2^ (fe/*J
р р р ()р
1; поэтому здесь E(k) « 23/2Y|e1/2v1/2^-^~ (fe/*lJ при k^k^ k t
т. е. спектр затухает на бесконечности экспоненциально. Изменение Ф(*)
при промежуточных значениях х показано на рис. 27 и 28.
Подставим теперь в уравнение A6.42) формулу Гейзенберга A7.9) для
величины W (?). После деления всех членов полученного равенства на Н (к)
и последующего дифференцирования по k мы придем к дифференциальному
уравнению относительно функции Н (k), показывающему, что или Н' (к) = 0,
т. е. Е (k) = 0, или же
Н (k) = Cy?,)-1/3W3 (I + С*4)". A7.38)
где С — постоянная интегрирования. Функция A7.38) при любом веществен-
вещественном С стремится при k->0 к нулю, как CY//)~ e2^3^3 (что соответствует
«закону пяти третей» с Сг = —щ- y#2/3J, а при возрастании k она монотонно
возрастает. Если в процессе этого возрастания Н (k) при некотором конеч-
конечном значении k (скажем, равном mk^ где т — произвольное число) обра-
обратится в -g— (для чего надо, чтобы выполнялось равенство \-\-Cm4v3 =
= -g- Чц т I, то при k > mkn следует пользоваться тривиальным решением.

208
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[17.2
H(k) = -о~ = const, Е (k) = 0. Отсюда вытекает, что гипотезе Гейзенберга
отвечает семейство спектральных функций
О при k > mk^,
A7.39)
имеющих тот же характер, что и спектр Обухова A7.33) (т. е. монотонно
убывающих до некоторого положительного значения E(kc) при k = kc = mk^,
а затем скачком обращающихся в нуль). По-
Поскольку такое скачкообразное изменение
спектра представляется малоправдоподобным,
особенно интересным следует считать предель-
предельный случай спектра A7.39), получающийся при
т яж оо 1т. е. при условии, что *"'v
W
W3
10
при k ->оо
):
—)• A7.40)
где
ЦО7 {17 f x
Рис. 29. Безразмерные
спектры Ф) (х) для четырех
гипотез о переносе энергии.
Этот спектр положителен и монотонно убы-
убывает при всех значениях &, причем при k -> оо
он убывает, как Л~7. Асимптотические фор-
формулы Е (k) ~ ?-5/3 при Л<С>т1 и Е W ~ k~7
при k ^> k^t соответствующие гипотезе A7.9),
были получены еще в работе Гейзенберга
A948а); точная формула A7.40), годная лри всех к, была указана Бассом
A949) и Чандрасекаром A949), а более общее решение A7.39) — было
найдено Гольдштейном A951).
Для сравнения результатов, получающихся при различных гипотезах
о переносе энергии, на рис. 27 и 28 нанесены вместе графики функций Ф (х),
входящих в формулы A7.30), A7.33), A7.35) и A7.40). Правда, сопоставле-
сопоставление различных спектров на рис. 27 и 28 несколько формально, поскольку
переменное x — kjkx различно в разных случаях и к тому же зависит
от параметра у» могущего иметь произвольное значение. Для получения
более наглядных результатов заметим, что Спектры A7.30), A7.33), A7.35)
и A7.40) будут совпадать в пределах инерционного интервала (т. е. в области
применимости «закона пяти третей»), если постоянные у„, yQt у и у„

17.2] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 209
находятся в следующем отношении:
9/33/3- /17>|О.
VVVY*el6: 4 '~8~;1- A7'42>
В соответствии с этим на рис. 29 построены графики безразмерного уни-
универсального спектра
^V A743)
1fi 4
где уг = уя Для спектра A7.40), Yj =— Y^ для спектра A7.29), уг = -^= у0
для спектра A7.33) и Y! =—т=Че для спектра A7.35), а л( во всех слу-
3 у 3
чаях определяется формулой &[ = (-?-) Yi/2^- пРи 9том в области х <^ 1
(т. е. k <^ fcQ четыре функции Ф{ (х) уже совпадают, а их расхождение
при х>,1 наглядно показывает различие формы спектров, связанное с вы-
выбором той или иной конкретной формулы для переноса энергии W (k).
Асимптотическое поведение спектров,
отвечающих другим гипотезам о W (k)
Дифференциальное уравнение первого порядка относительно функ-
функции Н (k), позволяющее определить форму спектра Е (k), м^жет быть полу-
получено и при некоторых других предположениях о W (k), например при
предположениях, описываемых формулами A7.7) и A7.10) или A7.12I).
Однако решение этих уравнений громоздко и малоинтересно; поэтому мы
ограничимся лишь рассмотрением асимптотического поведения соответ-
соответствующих спектральных функций E(k) при «очень малых» и «очень боль-
больших» значениях k.
В области малых волновых чисел k <^ ^ = (ev-3I/4 любая разумная
теория, очевидно, должна приводить к «закону пяти третей». Поскольку
2v Г k'2E(k')dk' <^ е при достаточно малых Л, при таких k общее спек-
о
тральное уравнение A6.42) можно заменить равенством
W(k)=J= const. A7.44)
1) Исключением является лишь случай формулы A7.10) с с = 1/2,
е ( k \
сводящийся к кубическому уравнению hz = л:4A — /г), где И (k) == ^- h I -г- ,
^1 = 2"/2^У^Т1. Положительный корень h(x) этого уравнения, как нетрудно
видеть, монотонно возрастает от нуля до единицы при возрастании х от 0
до оо; в частности, h (х) ~ лг4/3 (т. е. E(k)^k~m) при х <С 1 и
'1~-Л(.*)~л:-4 (т. е. E(k)~ k~7) при х ^> 1.
14 А. С. Монин, А. М. Яглом

210 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [17.2
Подставляя в A7.44) любую из приведенных выше приближенных формул
для W (&), мы получим уравнение относительно Е (к), которое действительно
имеет решение вида ?(?) = С1ё2/3?"'3, где Сх~у~2$ (здесь у —коэффи-
—коэффициент, входящий в используемое выражение для W (k)). При этом, однако,
на неопределенные параметры или функции, входящие в формулы для W (&),
иногда приходится наложить дополнительные ограничения, гарантирующие
сходимость всех интегралов в соответствующей формуле в пределах от 0
до k при E(k)~k-5P (см. Яглом A9676)).
При k ^$> кц интеграл от 0 до k, входящий в выражение для W (k)y
можно заменить его предельным значением, получаемым при k->co
(в случаях, когда этот интеграл расходится при &->со, вообще не удается
получить непротиворечивых результатов). После этого уравнение A6.42')
(при больших k более удобное, чем A6.42)) значительно упрощается и
в ряде случаев позволяет без труда найти искомое асимптотическое пове-
поведение. Так, например, если принять формулу Гольдштейна A7.18) для W (к)
и заменить в ней интеграл от 0 до k константой, то соответствующее
уравнение A6.42') будет иметь решение вида
3-(т+1)Я,
* E(k)~k~ l~nX A7.45)
(кроме того, это уравнение, разумеется, имеет еще и тривиальное решение
Е (&)=0, отвечающее где-то обрывающемуся спектру ? (Л); см. Яглом A9676)).
Чтобы при спектре A7.45) интеграл от 0 до k в формуле A7.18) сходился
оо
&->оо, а диссипация F=2v \ k2E(k)dk могла быть конечной (т. е.
о
чтобы существовало решение, отвечающее спектру, не обращающееся
скачкообразно в нуль в какой-то точке k = kx), параметры, входящие
в формулу A7.18), должны удовлетворять неравенствам —^—*1 ' > 3 и
П{ ~~l _Т, — > 1 + т{. В случае формулы Кармана A7.17) эти два нера-
неравенства сводятся к одному: -= > 3; в случае формул A7.9) и A7.10) (с о 0)
они всегда выполняются, а в случае формулы Обухова A7.4), наоборот, не вы-
выполняются. В частном случае гипотезы Стюарта и Таунсенда A7.7), A7.10)
формула A7.45) обращается в соотношение E(k)^k'1', совпадающее с тем,
которое' отвечает спектру Гейзенберга A7.40); такое же асимптотическое
поведение спектра Е (k) при k -> со, как нетрудно видеть, получается в слу-
случае гипотез A7.11) и A7.12). Таким образом, все теории, использующие по-
понятие «коэффициента турбулентной вязкости», приводят к спектральным
функциям E(k), одинаково ведущим себя не только при &->0, но и при
&->со и поэтому мало отличающимся друг от друга.
Представим теперь поток энергии W (к) в виде двойного интеграла A7.13)
от функции P(k'% k"). Тогда уравнения A6.42) и A6.42') можно переписать
в виде
оо k оо
2vk2E(k) = f P (k, k') dkf = J P(k, k') dk'—[p(k\ k) dk\
о о л
означающем, что диссипация энергии в интервале dk волновых чисел равна
разности притока энергии в этот интервал и оттока энергии из него. Можно
при

17.2] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИЙ 211
показать, что при k ^> k^ вторым членом в правой части последнего
равенства можно пренебречь; физически это означает, что при k ^> k^
основная часть энергии, поступающей в интервал dk, идет на преодоление
вязкого трения и лишь пренебрежимо малая ее часть передается еще ббль-
шим волновым числам. При k ^> кц первый член правой части в случае
функции P(k, k'), задаваемой формулой A7.20) или A7.21), A7.22)»), можно
исследовать обычными методами изучения асимптотического поведения
интегралов (см. Яглом A9676)). В частности, при <р(лг) = лг-^, с > 0, фор-
формула A7.20) совпадает с A7.16) (с заменой т на т — с); в соответствии
с A7.45) в этом случае
с+2-т
k~ 1"n A7.450
/ с + 2 — т Л п
I причем должно выполняться неравенство —=-— >31. Сравнительно
медленное степенное убывание спектра E(k) здесь связано с довольно
медленным убыванием рассматриваемой функции P(k', k") при возраста-
возрастании k'/k", т. е. с относительной «нелокальностью» переноса энергии в про-
пространстве волновых чисел. С возрастанием показателя с растет по абсо-
абсолютной величине и показатель степени в A7.45'); если же функция ф(лг)
будет убывать при х ~> оо быстрее любой степени х (и будет выполняться
неравенство п < 1, без которого вообще возможны лишь «обрывающиеся
спектры»), то и спектр Е(к) будет затухать на бесконечности быстрее,
чем по степенному закону. Так, например, если ф (х) = е~ах , s > 0, то
при k ^> k^ спектр Е (к) будет затухать по закону, описываемому
в первом приближении формулой2)
^||> A7.45")
т. е. значительно быстрее, чем k^^^e"^ при любом р (более точную
асимптотическую формулу для этого случая можно найти в работе Яглома
A9676)). В случае же, когда ф(л:) = 1 при 1<л:<а и ф(лг) = О при х > а
(так что перенос энергии из интервала dk охватывает лишь конечную об-
область пространства волновых векторов), спектр E(k) будет затухать еще
быстрее, а именно в соответствии с формулой
A7.45-0
0 Заметим, впрочем, что если P(k\ 6'0 = <?(*'. k") — Q(k", k'), где
функция Q(k', k") задается формулой вида A7.20) (частным случаем кото-
которой является A7.22)), то слагаемым — Q (&", k') (описывающим передачу энер-
энергии более крупным возмущениям) при исследовании асимптотического поведе-
поведения Е (k) при k -> оо можно пренебречь. Поэтому случай функции Р (&', k"\
задаваемой формулами A7.21) — A7.23), можно отдельно не рассматривать.
2) Строго говоря, в формулах A7.45") и A7.45'") под k надо понимать
безразмерное отношение k/k^ однако интересуясь только относительной
быстротой затухания, удобнее записывать эти формулы в принятом здесь
простом виде.

212 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [17.2
В частном случае функции P(k'> krf\ задаваемой формулами Крейчнана и
Спигела A7.21) —г A7.23), в приведенных выше формулах надо положить
л = 0 (и т = 7/4 в случае формулы A7.45/».
Некоторые дополнительные результаты, касающиеся зависимости бы-
быстроты затухания спектра E(k) от количественных характеристик переноса
энергии в пространстве волновых- векторов, будут приведены в следующей
главе (см. ниже п. 22.2).
Обсуждение полученных результатов
Чтобы выяснить, какие из гипотез о переносе энергии лучше соответ-
соответствуют действительности, а какие хуже, естественно попытаться сопоставить
следствия из этих гипотез с эмпирическими данными, относящимися к реаль-
реальным турбулентным потокам. Выше мы указали ряд таких следствий, относя-
относящихся к поведению спектра в равновесном интервале, для которого имеет
место универсальный статистический режим. К сожалению, как мы знаем
из п. 16.6, в случае турбулентности в трубе за решеткой — единственной
реальной модели изотропной турбулентности — очень трудно создать усло-
условия, при которых режим возмущений с достаточно большими волновыми
числами действительно был бы универсальным. Тем не менее, поскольку мы
уделили довольно много места рассмотрению спектров E(k), вытекающих
из различных гипотез о переносе энергии, целесообразно все же хоть вкратце
остановиться на вопросе о том, каковы вообще возможности проверки полу-
полученных выше результатов.
Этот вопрос не является простым, так как трехмерный спектр Е(к) не
может быть непосредственно измерен, а при его определении с помощью
формулы A2.77) по измеренным значениям корреляционной функции ВLL (r)
наиболее точно восстанавливаются значения Е (k) в интервале энергии; зна-
значения же E(k) при больших значениях k (которые только и могут отно-
относиться к интервалу универсального равновесия) находятся с большой по-
погрешностью. Поэтому при сопоставлении рассчитанных значений Е (k) с эм-
эмпирическими данными надо сначала выбрать какие-либо легко измеримые
статистические характеристики поля скорости, однозначно определяемые
поведением спектра Е (к) в интервале универсального равновесия, и значе-
значения этих характеристик положить в основу сравнения выводов теории
с данными эксперимента. К числу статистических характеристик, удовле-
удовлетворяющих указанным условиям, относятся, например, средние квадраты
производных скорости любого порядка л>1 или средний куб (-г-5-) » ко-
который при наличии универсального равновесия в силу равенств A5.8) и
02.79) может быть определен по формуле
A7-4б)
Сюда же следует отнести и значения продольного и поперечного одномер-
одномерных спектров турбулентности при волновых числах k из интервала равно-
равновесия. Отметим, что «теоретические значения» некоторых таких легко изме-
измеримых статистических характеристик, отвечающие тем или иным гипотезам
о величине W (k), можно найти в литературе: так, Т. Ли A950), Рид A956а, б)
и Рид и Харрис A959) определили значения асимметрии производной -г—-,

17.2] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 213
т. е. величины
(ди1
E(k)dk
A7.47)
для спектров Гейзенберга A7.40), Обухова A7.33) и Коважного A7.29); Бэт-
челор и Таунсенд A949) подсчитали значения безразмерного отношения
[Y—
f
Ш
для спектров Коважного A7.29), Обухова A7.33) и некоторых скачкообразно
обрывающихся спектров A7.39) теории Гейзенферга !), а Рид A960) нашел
с помощью численного интегрирования безразмерные продольные одномер-
одномерные спектры
(±\ _?%№?_ F/ »_\*VLdx П749)
отвечающие формулам A7.30), A7.33) и A7.40) для Ф(лг). Однако содержа-
содержащиеся в указанных работах Ли, Рида и Бэтчелора и Таунсенда попытки
сравнения вычисленных ими значений с эмпирическими данными (с целью
проверки теории или хотя бы определения наиболее подходящих значений
коэффициентов у^> Уо и V//) относились к данным измерении за решетками
при сравнительно небольших значениях Re^ (порядка 108—104); поэтому
в силу сказанного в п. 16.6 полученные при таком сравнении результаты
нельзя считать убедительными.
Заметим еще, что, исходя из физической интуиции, основанной на ана-
аналогиях с другими, более изученными областями физики, случаи спектраль-
спектральной плотности Е (к), скачком изменяющейся в некоторой точке k = k\ от
положительного значения E(k{) до нуля и далее остающейся тождественно
равной нулю, следует считать неестественными и поэтому очень малоправдо-
малоправдоподобными. Менее странным кажется спектр, соответствующий гипотезе Ко-
Коважного, который монотонно убывает до нуля при конечном значении
k = kb а затем остается тождественно равным нулю. Но в случае такого
спектра тоже приходится допустить, что некоторые зависящие от k вели-
чины I например, производная — * I при k — kx меняются скачкообразно.
1) «Необрывающийся. спектр» A7.40) теории Гейзенберга здесь вообще
не может быть использован, так как ему соответствует бесконечно большое
значение величины (—~- ] , а значит, и всего отношения A7.48).

214 Гл. vit. изотропная турбулентность [1-7.2
Кроме того, сам факт полного отсутствия турбулентных возмущений с вол-
волновыми числами, большими фиксированного значения ku вызывает сильные
сомнения: естественно, что из-за влияния вязкости интенсивность возмуще-
возмущений должна убывать с убыванием их масштаба, но трудно понять, почему
пульсации поля скорости с длиной волны, меньшей чем -г- , вообще не
г, 1
могут существовать. Поэтому многие специалисты до сих пор считают гипо-
гипотезу Геизенберга, которой может соответствовать простирающийся до беско-
бесконечности спектр A7.40), более правдоподобной, чем, например, гипотезы
Обухова и Коважного (см., например, Линь и Рид A963)). На самом деле,
однако, и гипотеза Геизенберга представляет собой лишь довольно грубую
модель, а против спектра A7.40) также можно выставить веские возражения.
Так, например, согласно сказанному на стр. 26—27 такому спектру будет от-
отвечать поле скорости, дифференцируемое всего два раза, в то время как
третья производная ^ здесь не будет существовать. В то же время
иХ-^
естественно ожидать, что при наличии конечной (пусть даже очень малой)
вязкости поле скорости и (х, t) будет дифференцируемым любое число раз1)-
Поэтому создается впечатление, что наиболее приемлемыми с точки зрения
физической интуиции являются непрерывные спектры, нигде не обращаю-
обращающиеся в нуль, но затухающие при &->оо быстрее любой конечной сте-
степени k. Иначе говоря, самыми правдоподобными кажутся спектры того типа,
который получается при использовании видоизмененной гипотезы Обухова
A7.5) или же видоизмененной гипотезы Кармана A7.20) (или A7.21) — A7.23))
с достаточно быстро убывающей функцией <р (хJ). Ниже, в п. 22.3 гл. 8,
будет показано, что попытка определения поведения функции E(k) при
&->оо с помощью некоторых физических соображений, лучше обоснован-
обоснованных, чем спекулятивные гипотезы п. 17.1, также приводит к экспоненциально
затухающему спектру.
!) В теории дифференциальных уравнений имеются теоремы, позволяю-
позволяющие в ряде случаев строго доказать, что решения уравнений Навье — Стокса
при любых начальных условиях в момент t = 0 при любом t > 0 будут бес-
бесконечно дифференцируемыми. Однако это доказательство нам ничего не дает,
так как оно касается лишь дифференцируемости индивидуальных полей
и (х, t). В то же время, если даже все индивидуальные реализации и (х, t)
будут бесконечно дифференцируемы, но, например, среднее квадратичное
значение производной —~ окажется бесконечным, то отсюда уже будет
оо
следовать, что I k*E (k) dk = оо. Поэтому ссылаться мы можем только на
о
интуицию, подсказывающую, что при конечной вязкости v нет оснований
ожидать частого появления очень больших значений —^-, необходимого
дх\
для того, чтобы величина ^ Ч была бесконечной.
2) Разумеется, исходя только из физической интуиции, невозможно пред-
предсказать точный порядок затухания спектра E(k). Однако можно отметить,
что замысловатая асимптотика вида A7.45") (промежуточная между степен-
степенным и экспоненциальным затуханием) в реальных физических задачах до сих
пор, по-видимому, никогда не встречалась.

17.3] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 215
17.3. Применение гипотез о переносе энергии
к вырождающейся турбулентности за решеткой
Мы уже отмечали, что все экспериментальное изучение изотропной тур-
турбулентности опирается на данные, относящиеся к турбулентности за решет-
решеткой в аэродинамической трубе. Поскольку для такой турбулентности пред-
предсказанный Колмогоровым универсальный статистический режим обычно не
имеет места, для получения следствий из гипотез п. 17.1, допускающих
экспериментальную проверку, следует обратиться к полным уравнениям
A7.1) и A7.2), относящимся к зависящему от времени спектру E(k, t). Под-
Подставляя в одно из этих уравнений любое из рассмотренных в п. 17.1 выра-
выражений для W (k), мы придем к интегро-дифференциальному уравнению от-
относительно функции Е (k, t). После этого остается лишь как-то выделить то
решение полученного уравнения, которое соответствует эволюции турбулент-
турбулентности за решеткой, и сравнить его с данными непосредственных измерений.
Так как указанное интегро-дифференциальное уравнение содержит только
первую производную по времени, то его решение однозначно определяется
начальным условием Е (&, 0) = Ео (&). Поэтому, зная из эксперимента форму
спектра в начальный момент времени, можно с помощью численного инте-
интегрирования определить ее для всех последующих моментов. В применении
к уравнению Гейзенберга
oo -i k
"i v * JoJ
if'*-
A7.50)
и к эмпирическим данным Стюарта и Таунсенда A951) подобного рода рас-
расчеты производились Толмином A952—1953) и Меетцем A956а, б). Тол мин
в качестве начального значения Ео (k) принял изображенную на рис. 20 эм-
эмпирическую спектральную функцию E(k) Стюарта и Таунсенда, относящуюся
к расстоянию от решетки лг = 30Л4, а параметр \н в уравнении A7.50)
в соответствии с оценкой Праудмена A951) (о которой еще будет речь ниже)
положил равным 0,45. Полученные им значения E(k, t) оказались меняю-
меняющимися со временем не автомодельно; тем не менее подсчитанные по ним
оо
значения энергии турбулентности Г Е (k, t)dk = у и2 (t) оказались вплоть до
о
значения 1 = 0,5 весьма точно удовлетворяющими эмпирическому «закону
минус первой степени» A6.11) (рассматриваемому обычно как сильный до-
довод в пользу существования автомодельности). Далее Толмин в соответствии
с данными рис. 20 попробовал пронормировать найденные им решения так,
чтобы значения Е (k, t) при больших k по возможности не менялись со вре-
временем, и представить полученные значения в виде функций от kX\ получен-
полученные при этом кривые (см. рис. 30) оказались качественно близкими к эмпи-
эмпирическим кривым Стюарта и Таунсенда, приведенным на рис. 20.
Результаты Толмина позволяют заключить, что общий характер пере-
переноса энергии по спектру волновых чисел неплохо описывается формулой Гей-
зенберга A7.9). С этим выводом согласуются и результаты Меетца A956а, б),
повторившего расчеты Толмина при нескольких значениях уИ и значи-
значительно более тщательно проведшего сравнение полученных результатов
с эмпирическими данными Стюарта и Таунсенда. При этом оказалось, что
минус первой степени» A6.11) для не слишком больших значений

216
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[17.3
то оказыва-
х = Ut хорошо выполняется при всех ра ссматривавшихся значениях у
а эмпирические данные о затухании энергии турбулентности за решеткой
попадают между кривыми, отвечающими значениям у„ = 0,47 и ун = 0,75
(немного ближе к кривой с ун = 0,75). Однако если по вычисленным спек-
спектрам E(k, t) рассчитать значения корреляционных функций BLL(r,t)
(пользуясь формулой A2.75))
и ? (г, t) (пользуясь
формулами A2.141'"), A7.9)
и соотношением Т (к) =
__ dW (k) \
— dk у
ется, что вычисленные зна-
значения BLL и при уя = 0,47
и при ун = 0,75 почти не
отличаются от эмпирических
кривых рис. 16, в то время
как рассчитанные значения
Bll, L ПРИ Уя=0,47 более
или менее удовлетворитель-
удовлетворительно согласуются с эмпириче-
эмпирическими данными, но при
Ун = 0,75 явно расходятся
с данными измерений. Таким
образом, результаты Меетца
подтверждают вывод Толми-
на о допустимости исполь-
использования формулы Гейзен-
Рис. 30. Нормированные спектры E(k, t) при
разных t по расчетам Толмина A952—1953).
берга A7.9) с ун, близким
к 0,5, и одновременно показывают, что значение ун = 0,75 в некоторых
отношениях определенно оказывается менее удачным. Они перекликаются
также в известной степени с результатами Таненбаума и Минцера A960) и
Уберои A963), к рассмотрению которых мы сейчас и перейдем.
Указанные результаты касаются сопоставления значений функции W (к),
рассчитанных исходя из полуэмпирических гипотез п. 17.1 (по значениям
E(k), найденным с помощью применения формулы A2.77) или A2.88) к не-
непосредственно измеренным функциям В., (г) или El(k)), со значениями
dW (k)
этой же функции, определенными с помощью соотношений v = — Т (k)
и A2.142'") по найденным из измерений значениям ВLL L(r) или же
с помощью уравнения A4.15) по эмпирическим значениям El (k) и
—^~i. В частности, Таненбаум и Минцер попробовали проверить таким
ut
образом гипотезу Коважного A7.3) и гипотезу Кармана A7.17) при несколь-
нескольких значениях m и п (а именно, при т = -—5/2, п =1/4; при т = — 3/2,
п =1/2, что соответствует формуле Гейзенберга A7.9), и при т = —5/2,
п = 1/2) на материале данных одновременных измерений функций В и
BLL L, выполненных Стюартом A951) и Стюартом и Таунсендом A951).
При'этом оказалось, что в случае данных, полученных при Re^«=21,2' 108
и при ReM = 42,4 • 103 (на расстоянии от решетки х = 30Af), найденные по
ВLL L (r) значения W (к) резко расходятся с результатами расчета и по фор-

17.4] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 217
муле A7.3) и по формуле A7.17) (как бы ни выбирать значения параметров
ук, т, п и у#)- Тем не менее, по мнению Таненбаума и Минцера, это рас-
расхождение не является очень доказательным, так как при использовании
формулы Кармана существенными оказываются значения E(k) при боль-
больших я, очень неточно определяемые по ВLL (г), и, кроме того, при х = ЗОЛ!
можно ожидать сравнительно больших отклонений турбулентности за решет-
решеткой от изотропности. С этой точки зрения более выгодными оказываются
данные Стюарта и Таунсенда, полученные при Re^ = 5,3 • 103 для ряда рас-
расстояний х от решетки (равных 2(Ш, 3(Ш, 6(Ш, 90М и 12(Ш), так как здесь
спектр E(k) оказывается заметно более узким (и поэтому точнее опреде-
определяется по BLL), а увеличение используемых значений х/М позволяет на-
надеяться на лучшее приближение к изотропности. Если же ограничиться лишь
данными при Re^ = 5,3 • 103 и х/М = 60, 90 и 120, то оказывается, что фор-
формула Коважного A7.3) при любом значении ук все равно приводит к очень
плохому совпадению значений W (к)% определенных двумя разными методами,
в то время как применение формулы Кармана с любым из трех указанных
значений пары (т, п) позволяет уже добиться более или менее удовлетво-
удовлетворительного согласия (наилучшего, по-видимому, при т = — 5/2, п = 1/4 и
у'К « 0,6; однако последнее заключение из-за недостаточной точности исход-
исходных данных надо считать очень ненадежным).
Аналогичная проверка формулы Гейзенберга A7.9) была выполнена
Уберои A963), исходившим из измеренных им значений ?, (k, t) и —* \ ' '
в турбулентности за решеткой* при Re^ = 2,6«104 и х/М = 48, 72 и ПО.
Согласно его данным формула A7.9) с уя« 0,2 имеет вполне приемлемую
точность; однако это заключение также нельзя пока считать особенно на-
надежным (напомним, что Уберои обнаружил также, что исследуемая им тур-
турбулентность при всех х/М оказывается заметно анизотропной).
17.4. Автомодельные решения приближенных уравнений
для спектра
Поскольку нахождение решений интегро-дифференциальных уравнений
относительно спектра изотропной турбулентности Е (k, t) исходя из эмпири-
эмпирических «начальных условий» является сложным и не слишком благодарным
делом, ряд исследователей обратился к белее простой задаче об отыскании
специальных «автомодельных решений» этих уравнений. Ясно, что если мы
примем какую-либо конкретную гипотезу о виде функции переноса энергии
W (k), то число возможных автомодельных решений уравнения Кармана —
Ховарта или эквивалентного ему спектрального уравнения сразу резко сокра-
сократится и можно будет надеяться, что теперь уже для ВLL (г, t) и Е (?, t) по-
получатся вполне определенные выражения, допускающие простое сравнение с
экспериментальными данными. Надо только иметь в виду, что согласие этих
выражений с экспериментом возможно лишь в той мере, в какой экспери-
эксперимент не противоречит общей концепции автомодельности; поэтому в силу
выводов § 16 от такого подхода не следует ожидать слишком многого.
Впервые задачу об отыскании автомодельных решений спектрального
уравнения A7.1) с членом W (к), выражающимся через E(k%t), рассмотрел
Гейзенберг A9486) в применении к уравнению A7.50). Он предположил,
что в турбулентности за решеткой быстро устанавливается автомодельный
режим, при котором спектральная функция Е (k, t) удовлетворяет первому
из равенств A6.23) при всех kt кроме значений из небольшого примыкаю-

218 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [17.4
щего к точке k = 0 интервала, содержащего пренебрежимо малую долю
полной энергии. После этого в результате вырождения турбулентности ин-
интервал энергии спектра будет постепенно смещаться в сторону более длин-
длинных волн и в конце концов захватит также часть неавтомодельной области;
начиная с этого момента автомодельное решение уже не будет определять
закон вырождения энергии, который, таким образом, может измениться.
В дальнейшем опыты Стюарта и Таунсенда A951) и Уберои A963) пока-
показали, что обычно дело, по-видимому, обстоит иначе и заметная часть интер-
интервала энергии уже с самого начала лежит вне пределов того участка спектра,
для которого имеет место автомодельность. Поэтому в настоящее время ре-
результаты Гейзенберга и других авторов, изучавших полностью автомо-
автомодельные решения спектрального уравнения, могут быть использованы для
объяснения данных о вырождении турбулентности за решеткой лишь в очень
ограниченной степени.
В силу соотношений A6.10), связывающих законы изменения во времени
масштабов I (t) и v (t), общее условие автомодельности A6.23) можно пере-
переписать в виде
3/2 3/2
Е (*, *) - 2 JL, Ф (k Vavt) A7.51)
(множители, зависящие от v, здесь подобраны из соображений размерности,
а безразмерные постоянные ун и а введены для удобства дальнейших вы-
выкладок). При подстановке A7.51) в A7.50) получается следующее интегро-
дифференциальное уравнение относительно (?)
Т f [Ф F0 - 6 V F01
5
Ъ'\ F0 dl'. A7.52)
I l a J о
Из A7.52), в частности, вытекает, что фF)^6 при ?->0 (т. е. при &-»0
спектр Е (k) должен меняться по линейному закону), — иначе правая часть
A7.52) имела бы при малых I более высокий порядок малости, чем левая *).
Гейзенберг показал, что при v = 0 автомодельное решение уравнения A7.50),
для которого E(ktt)r^t"lf2(p(ktl^I определяется практически однозначно и
при &->оо затухает, как &~5/3, а при v=?0 решение <рF) при ?->оо затухает
пропорционально 1~7* в случае же конечного, но очень малого v для значи-
значительного интервала «сравнительно больших» значений ? решение ф (|) оказы-
оказывается близким к функции const-6'5/3, и лишь при дальнейшем увеличении 6
оно начнет изменяться, как ?~7 (позже Толмин A952—1953) нашел, что ана-
аналогичные результаты верны и для неавтомодельных _решений уравне-
уравнения A7.50)). Кроме того, из A7.52) видно, что функция y(k )Лх^) ~ yjjtl/2E(kt t)
не зависит от значения параметра у» хотя возможно, что значение числа
Рейнольдса изотропной автомодельной турбулентности, которой отвечает
данная функция ф (?), при различных ун также будет различным.
Нахождение точного решения весьма неточного уравнения A7.52), разу-
разумеется, представляет собой фактически лишь математическое упражнение;
тем не менее ему посвящена довольно большая литература. Такое решение
1) Этот вывод не зависит от гипотезы A7.9) о величине W (&); он следует
из предположения об автомодельности A7.51) в силу общего утверждения
о неизменности наиболее длинноволновых возмущений, вытекающего из
A4.15) и того, что Т (k) при малых k имеет более высокий порядок ма-
малости, чем E(k).

17.4]
§ 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ
219
может быть найдено только численно; при этом удобными оказываются замены
переменных, переводящие интегро-дифференциальное уравнение A7.52) в обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение (см. Чандрасекар A949), Бланч и
Фергюсон A959)). Каждому значению параметра а соответствует одно реше-
решение уравнений, A7.52), описывающее энергетический спектр автомодельной
изотропной турбулентности с определенным числом Рейнольдса. При этом
роль числа Рейнольдса играет параметр а, поскольку из сопоставления
равенств A6.23), A6.9), A6.10) и A7.51) следует, что а = у — = уи Re (в силу
A6.10) Re =— здесь не меняется в процессе вырождения, т. е. не зависит
от /). Для сравнения решений уравнения A7.52) с эмпирическими данными
(для которых масштабы l(t) и v (t) неизвестны) удобно, следуя Прауд-
мену A951), в основу определения числа Рейнольдса, отвечающего данному ре-
решению ф (?), положить равенство 2 Г ?2<р (?) d\ = y2HRy где R, как нетрудно ви-
видеть, имеет тот же смысл, что и о
на стр. 190—191. Число R легко
связать с числами Рейнольдса
Re. = и Re.. = , из-
меряемыми в условиях экспе-
эксперимента: как мы уже отме-
отмечали, R = 0,15 Re? = ^ Re^^
(последнее из этих равенств
относится лишь к решеткам
того типа, который применялся
в опытах Таунсенда и Стюар-
Стюарта). Значение уи здесь появ-
появляется лишь в виде комбинаций
YHRex и y%ReM; поэтому не-
неточность в его определении
будет сказываться лишь на
значении числа Рейнольдса, со-
соответствующего данному ре-
решению.
С помощью , численно-
численного интегрирования уравнения
A7.52) Чандрасекар A949) на-
нашел шесть решений <р (?), отвечающих значениям yjjR, меняющимся от
0,25 до бесконечности (последний случай соответствует решению уравне-
уравнения A7.52) при 1/а = 0). Кроме того, ряд решений уравнения A7.52) был
численно найден Ротта A950), Праудменом A951), Меетцем A956а, б), Бланчем
и Фергюсоном A959) и Бланчем (см. Линь и Рид A963)). На рис. 31 (заим-
(заимствованном из книги Бэтчелора A953)) представлены три решения Чандра-
секара (отвечающие наибольшим рассмотренным им значениям y%R) и реше-
решение Праудмена; близость друг к другу максимумов всех четырех кривых,
а также то, что в начале координат все они касаются прямой <р = 4|, свя-
связаны со специальным выбором масштаба ?, зависящего от числа Рейнольдса а.
Отметим, что в пределах интервала энергии форма спектра на рис. 31 прак-
практически не меняется при возрастании величины у##от21,9 до бесконечности.
0,8
0,7
0,6
0.5
04
0,3
0,2
0,1
Рис. 31. Безразмерные спектры, получаю-
получающиеся при использовании гипотез об авто-
модельности и Гейзенберга.

220 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [17.4
Праудмен сравнил полученные численные решения с эмпирическими дан-
данными Стюарта и Таунсенда A951), причем за основу было принято сопоста-
сопоставление с результатами измерений значений корреляционных функций ВLL (r)
и BiLtL(r), подсчитанных по функциям Е(к) и Т (к) = — W (k). В резуль-
результате оказалось, что при y// = 0»45±0,05 совпадение вычисленных и измерен-
измеренных значений BLL (r) и ВLb L (r) вполне удовлетворительно; впрочем, это
по-видимому, прежде всего свидетельствует о малой чувствительности формы
корреляционных функций к изменениям формы спектра, поскольку предпо-
предположение A7.51) об автомодельности в опытах Стюарта и Таунсенда, как мы
знаем, выполняется не слишком хорошо !).
В применении к простейшей модели переноса энергии по спектру, опи-
описываемой формулой Коважного A7.3), аналогичные расчеты были произве-
произведены Ридом и Харрисом A959). В этом случае подстановка соотношений
A7.51) и A7.3) в уравнение A4.15) (где Т (k) = — dW (k)/dk) приводит к не-
нелинейному дифференциальному уравнению относительно функции ф(?). При
помощи замены переменных это уравнение удается преобразовать к виду,
позволяющему указать явную формулу для общего решения, но получаю-
получающиеся формулы оказываются при этом столь сложными, что удобнее все же
воспользоваться численным интегрированием. Рид и Харрис численно нашли
11 решений <р(?)^ отвечающих значениям параметра \2КЯ, меняющимся от 0,35
до бесконечности. Полученные ими спектры очень похожи на те, которые
получаются, если принять гипотезу Гейзенберга; это сходство столь велико,
что Рид и Харрис смогли использовать результаты Праудмена, чтобы по-
показать, что гипотеза Коважного удовлетворительно объясняет форму наблю-
наблюденных Стюартом и Таунсендом корреляционных функций ВLL (г) и В^ L (г),
если уК выбрать близким к 0,3.
Кроме корреляционных функций имеются и другие непосредственно из-
измеряемые величины, которые могут быть рассчитаны по «теоретическим»
трехмерным автомодельным спектрам, найденным исходя из той или иной
гипотезы о переносе энергии, и сравнены с эмпирическими данными. К ним
относятся, например, продольные одномерные спектры Ех (&), которые для
некоторых автомодельных трехмерных спектров теории Гейзенберга были
найдены Ротта A950) и Линем и Ридом A96о) с помощью численного ин-
интегрирования, или асимметрия производной-^-, т. е. величина
Г k2T (k) dk
; dW(k)
' W- dk '
' ди{ \2"|3/2 14 г<» -13/2 dk
— \[k*E(k)dk\
[о J A7.53)
l) Поскольку теория Гейзенберга не является точной, при сопоставлении
получаемых из нее выводов с данными экспериментов в разных случаях
наилучшими могут оказываться разные значения параметра уи. Поэтому
неудивительно, что при сопоставлениях, проводившихся Гейзенбергом A948а),
Т. Ли A950), Ротта A950), Праудменом A951), Меетцем A956а, б), Ридом A960),
Эллисоном A962) и Уберои A963) (не все из которых, впрочем, имели до-
достаточно надежный экспериментальный материал, соответствующий усло-
условиям, принимавшимся в теоретических выводах), для уи был получен ряд
значений, лежащих в пределах от 0,2 до 035,

17.4] § 17. ГИПОТЕЗЫ О СПЕКТРАЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ЭНЕРГИИ 221
которую Рид A956а, б) и Рид и Харрис A959) подсчитали для автомодель-
автомодельных спектров, отвечающих гипотезам Гейзенберга, Обухова и Коважного,
в двух предельных случаях: при /? = оо и при /?->0. Приведенные в ука-
указанных работах сопоставления результатов расчетов с данными измере-
измерений также все привели к оценкам параметров ун, у0 и у^ порядка еди-
единицы.
Как указывалось в § 16, в пренебрежении молекулярной вязкостью
динамические уравнения изотропной турбулентности имеют помимо авто-
автомодельных решений вида A7.51) целое семейство дополнительных автомодель-
автомодельных решений-(определяемых значением отношения сх1с2 в формулах A6.20) и
A6.21)). Если при этом принять какую-либо гипотезу о переносе энергии
по спектру, то при любом значении Ci/c2 уравнение A7.1) позволяет получить
определенное интегро-дифференциальное уравнение относительно функ-
функции ф(?) формулы A6.23). Примеры исследования и численного интегриро-
интегрирования такого уравнения, отвечающего гипотезам Гейзенберга и Кармана
о величине W (k), можно найти в работах Ротта A950, 1953), Сена A951) и
Гхоша A954, 1955).
Еще один тип автомодельных решений был получен в § 16 для заключи-
заключительного периода вырождения изотропной турбулентности, когда третьими
моментами поля скорости можно пренебречь по сравнению со вторыми.
Так как пренебрежение третьими моментами эквивалентно допущению, что
Т (k) = 0, то непосредственно к заключительному периоду вырождения гипо-
гипотезы о спектральном переносе энергии не могут быть применены. Однако
эти гипотезы можно использовать для исследования приближения изотроп-
изотропной турбулентности к заключительному периоду вырождения (см., например,
Рид A956в), Рид и Харрис A959)).
Заметим, наконец, что для того, чтобы некоторое автомодельное решение
уравнения для спектра турбулентности E(k) имело реальный смысл, оно
должно быть устойчивым / по отношению к малым возмущениям*. Иначе го-
говоря, небольшие отклонения функции Е (k, t) от рассматриваемого решения
должны затухать со временем быстрее, чем само решение. В предположении
о справедливости какой-либо из гипотез п. 17.1 о величине w (k) исследо-
исследование устойчивости автомодельных решений может быть проведено с по-
помощью обычных математических методов; в частности, для случая, когда W (k)
задается формулой Гейзенберга A7.9), вопрос об устойчивости рассматри-
рассматривался вкратце в работах Ротта A950), Линя A9536) (см. также Линь и Рид
A963)) и Сена A957). Согласно результатам Линя, по отношению к «ло-
«локальным возмущениям» (сосредоточенным в узкой спектральной полосе)
автомодельные решения вида A7.51) оказываются устойчивыми в области
больших волновых чисел k (включающей все значения k, при которых
?(А)^?~3 или E(k)<^>k~ ), но неустойчивыми при малых k (для кото-
которых Е (k) ~ k)\ этот результат Линя можно сопоставить с эмпирическими
данными Стюарта и Таунсенда A951), согласно которым в турбулентности
за решеткой автомодельно изменяется во времени лишь коротковолновая
часть спектра, содержащая около 2/3 общей энергии. Аналогичное исследова-
10
ние «невязкого» автомодельного решения с Ci/c2 = —-0,2 и и2 (t) ~ t~ 7, прове-
проведенное Сеном, показывает, что оно неустойчиво при всех k\ этот факт
в какой-то мере согласуется с отсутствием данных о наличии автомодель-
ности подобного типа в каких-либо реальных турбулентных потоках. Надо,
однако, иметь в виду, что все эти результаты получены лишь для модель-
модельного «спектрального» уравнения, использующего гипотезу Гейзенберга A7.9);
ответ на вопрос о том, насколько они изменятся при том или другом изме-
изменении определения функции W (k), пока остается неясным.

222 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [18.1
§ 18. ГИПОТЕЗА МИЛЛИОНЩИКОВА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОЛЕЙ ДАВЛЕНИЯ И УСКОРЕНИЯ
18.1. Гипотеза Миллионщикова о связи четвертых
и вторых моментов и эмпирические данные о распределениях
вероятностей поля скорости
Мы уже знаем, что в теории турбулентности иногда приходится
иметь дело с корреляционными тензорами поля скорости четвертого
порядка; так, например, обстоит дело при исследовании корреляцион-
корреляционных функций, содержащих давление (см. выше п. J4.4). В этом
случае в рассматриваемых уравнениях появляются новые неизвестные
функции BLLLL(r,t)t BLLtNN(r,t) и др., о которых шла речь
в п. 12.4. Указанное обстоятельство очень осложняет исследование;
поэтому крайне желательно выразить эти новые неизвестные функ-
функции через более простые и лучше изученные вторые и третьи мо-
моменты поля скорости. Но точных соотношений, позволяющих выра-
выразить функцию BLL% LL(rt t)t например, через BLL(r, f) и BLLt L(r, t),
не существует. Поэтому можно искать лишь какие-либо приближен-
приближенные связи между моментами четвертого и низших порядков, приме-
применимые в тех или иных специальных условиях. Важную приближенную
связь такого рода дает гипотеза, впервые высказанная Миллионщи-
ковым A941а, б) (а затем в несколько иной форме Гейзенбергом
A948а)); этой гипотезе и ее следствиям будет посвящен настоящий
и значительная часть следующего параграфа.
Поскольку слагаемые уравнений теории турбулентности, содер-
содержащие четвертые моменты, имеют менее отчетливый физический
смысл, чем член Т (k, t) в уравнении A4.15) (или W'(k, t) в A7.1)
и A7.2)), гипотеза Миллионщикова, в отличие от гипотез о спектраль-
спектральном переносе энергии имеет ,_не физическийЧ1а^исто статистический^
характер. Согласно этой гипотезе, корреляционные функции чет-
четвертого порядка поля скорости приближенно связаны со вторыми
моментами соотношениями, справедливыми в случае нормальных
распределений вероятностей. Иначе говоря, она состоит в пред-
предположении, что семиинвариантами четвертого порядка можно прене-
пренебречь по сравнению с соответствующими корреляционными функциями.
В применении к корреляционным функциям типа иьи .и'ти'п=Ви (г, t)
указанная гипотеза означает, что можно пользоваться равенством
n + UiUn ' UJUm О8-1)
(ср. формулу D.29) на стр. 191 части 1), т. е. что
, t)Bjn(r, t) +
{r, t)Bjm{r, t) A8.Г)
(иногда гипотезой Миллионщикова называют именно это равенство).

18.1] § 18. ГИПОТЕЗА МИЛЛИОНЩИКОВА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 223
Гипотеза A8.1) допускает и «спектральную формулировку», от-
относящуюся уже не к самим скоростям Uj(x), а к их «случайным
амплитудам Фурье» dZj(k). Перенося в A8.1) первый член справа
в левую часть и применяя затем преобразование Фурье к обеим сто-
сторонам получившегося равенства, мы придем к эквивалентному A8.1)
соотношению
оо оо
Ftj,mn(b)= J /?|Ж(*-*0/7у,(*0Л/+ J Fin{k-k')Fjm{k')dk'
A8.2)
(где Ftj mn (ft), как обычно, обозначает трехмерное преобразование
Фурье тензора Bf}t тп (г) = Bijt тп (г) — Вч @) Втп @)). Это. послед-
последнее соотношение использовал Гейзенберг A948а), который пришел
к нему независимо от исследований Миллионщикова. При его выводе
Гейзенберг опирался на более сильную гипотезу о приближенной ста-
статистической независимости некоррелированных друг с другом ампли-
амплитуд Фурье dZj(k), применяя которую к вычислению средних значений
произведений четырех таких амплитуд, он и получил равенство A8.2).
Предложенное им усиление гипотезы, однако, на самом деле является
излишним.
В то время, когда была впервые высказана гипотеза A8.1), эм-
эмпирические данные о четвертых моментах поля скорости полностью
отсутствовали1). В последующие годы были опубликованы некоторые
результаты измерений распределений вероятностей и четвертых мо-
моментов пульсаций скорости за турбулизирующими решетками, позво-
позволяющие сделать определенные выводы об области применимости этой
гипотезы. Первые данные о распределениях вероятности поля скоро-
скорости касались одномерных распределений значений ut(x) (где 2 = 1, 2
или 3). Эти распределения были эмпирически определены Таунсен-
дом A947), показавшим, что в потоке за решеткой с квадратными
ячейками они практически не отличаются от нормальных (см. рис. 32).
Позже этот вывод был подтвержден также измерениями Френкиля и
Клебанова A9656). В частности, согласно всем имеющимся данным,
одноточечный четвертый момент поля скорости с точностью до экс-
экспериментальных ошибок (не превосходящих 10% от измеряемой ве-
величины) удовлетворяет соотношению
Ц=ЪЩу, /=1, 2, 3, A8.3)
представляющему собой частный случай формулы A8.1).
*) Незадолго до появления работы Миллионщикова Чжоу Пэй-юань A940)
предлагал даже аппроксимировать момент utu jUnlun половиной правой ча-
части A8.1), предположив, что именно такая аппроксимация будет относительно
точной.

224
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[18.1
Наряду с распределениями вероятностей и моментами величины их
Таунсенд A947) исследовал распределения вероятностей и моменты
производной -г-*-* Здесь эмпирические распределения вероятностей уже
заметно отклоняются от распределений Гаусса (см. рис. 33). В част-
частности, для асимметрии s = f--^-j Д f-JiLj 1 Таунсенд получил зна-
значение —0,4 (позже Уберои A963) нашел, что s «—0,5), а для экс-
эксцесса д! =
(dujdx.y
— 3 Таунсенд получил сначала значение —(—0,3,
Рис. 32. Плотность вероятности
для продольной компоненты ско-
скорости за решеткой в аэродинами-
аэродинамической трубе.
Кривая на рисунке отвечает плотности
нормального распределения; крестиками
отмечены эмпирические значения.
Рис. 33. Плотность вероятности
для производной дих1дхх.
Пунктиром нанесена плотность нормаль-
нормального распределения с дисперсией, равной
эмпирической дисперсии.
а в его последующих опытах (производившихся в сходных, но не со-
совпадающих условиях) это значение оказалось близким к +0,9 (см.
Бэтчелор и Таунсенд A949)). Еще большими оказались значения
эксцесса Ьп=
(dnuJdx»Y
1 ' '
3 производных
с л>2: по дан-
дан1_ g g 3 производных г
ным Бэтчелора и Таунсенда A949) (см. также Бэтчелор A953),
гл. VIII, § 1) в турбулентности за решеткой при умеренных числах
Рейнольдса в среднем 62 «1,9 и 63»2,9, причем с ростом числа
Рейнольдса все значения Ъп слегка возрастают.
Возможную причину высоких значений эксцесса высших произ-
производных поля скорости мы обсудим в п. 25.2; сейчас же отметим
лишь следующее. Значения щ в фиксированной точке, для которых
гипотеза A8.1) оказывается весьма точной, определяются в первую
очередь случайными амплитудами dZ(k) с k = | ft | из интервала энер-
энергии. Значения же -~ определяются амплитудами dZ(k) с k из ин-
интервала диссипации; отличие эксцесса Ъх от 0, по-видимому,

18.1] § 18. ГИПОТЕЗА МИЛЛИОНЩЙКОВА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ . 225
указывает на отклонение распределения амплитуд dZ(k) при А, при-
принадлежащем интервалу диссипации, от нормального закона. Выс-
Высшие производные —~- с /1 = 2 и 3 определяются еще более мелко-
мелкомасштабными возмущениями поля скорости; поэтому высокие значе-
значения характеристик б2 и б3 должны означать, что распределение ампли-
амплитуд самых мелких возмущений поля скорости резко отличается от
3,4
3,2.
JO
2,8
I I I » I 1 I I
0,08 0,16 0,24 0,32 0,40
ЛE+Л
Рис. 34. Величина б (г) = (и[ — u^f j[(u[ — иjJ]2 по Стюарту
A951). Разными значками обозначены значения 6 (г) при
разных х/М и Re^.
Масштаб по оси ординат выбран так, чтобы результаты при разных х/М
по возможности совпали.
распределения Гаусса. Таким образом, эмпирические данные о рас-
дпих
пределениях вероятностей и моментах производных —- показывают,
дх"
что в турбулентности за решеткой гипотеза Миллионщикова лишь
с небольшой точностью может выполняться для возмущений из ин-
интервала диссипации и, тем более, для еще более мелких возмущений;
в то же время данные об ut{x) позволяют надеяться, что в приме-
применении к возмущениям из интервала энергии эта гипотеза будет иметь
достаточно высокую степень точности.
Последующие измерения Стюарта A951), исследовавшего асим-
асимметрию и эксцесс распределения вероятностей для продольной ком-
компоненты и[ — ttj разности скоростей в двух точках на расстоянии г
(определяемой в основном возмущениями с масштабом порядка г) при
различных значениях г, подкрепили сделанный выше вывод. В самом
деле, как видно из рис. 34, величина 6(г)« (и[ — ui)Aj[ (и[ — uiff
с ростом г быстро приближается к асимптотическому значению, близ-
близкому к 2,9 (т. е. лишь на 3—4% отличающемуся от значения 6 = 3,
отвечающего нормальному распределению вероятностей),. но при
15 А* С. Монин, А. М. Яглом

226
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
A8.1
малых г отклонение величины 6 (г) от числа 3 становится заметно ббль-
шим (достигая максимума порядка 20% при г = 0). С другой стороны,
значения асимметрии 5 (г) = (и[ — uiK/[ (и[ — uiJ ]3/2» представленные
на рис. 35, гораздо медленнее приближаются к предельному значе-
значению 5 = 0, к которому они должны стремиться в силу того, что
одноточечные распределения величин их и и[ практически нормальны,
Рис. 35. Асимметрия «S (г) = (и[—u^fj\{
A951) при х/М = 30 и разных
r/M .
по Стюарту
а величины щ и и[ при г->оо стремятся стать статистически неза-
независимыми. Результаты, близкие к представленным на рис. 35, получили
также Френкиль и Клебанов A965а), одновременно показавшие, что
аналогично ведет себя и величина 5E) (r) = (u{ — #iM/[ {u[ — «iJ ]5/2,
принимающая, однако, примерное 10 раз большие значения, чем S(r)
(см. также работу Френкиля и Клебанова A9656), содержащую дан-
данные о двумерном распределении вероятностей для пары (иу и[у ока-
оказывающемся существенно не нормальным).
Непосредственно проверке гипотезы A8.1') были посвящены ра-
работы Уберои A953, 1954), подтвердившие заключения, делавшиеся
до того исходя из косвенных данных. Уберои измерил в потоке
за решеткой (при х/М = 48, Re^ z& 60) как корреляционные функции
Вц(г) и &NN(r) (оказавшиеся с большой степенью точности удовле-
удовлетворяющими соотношению Кармана A4.3)), так и функции BLL LL(r),
bnn, Ni\(r)> BNN} MM(r), BLLt NN(r), и еще две линейно независимые

18.1]
§ 18. ГИПОТЕЗА МИЛЛИОНЩИКОВА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
227
комбинации функций BLL> LL(r),BNN, NN(r), BLLi NN(r\и BLN> ш(г).
Полученные из измерений значения корреляционных функций четвертого
ц1(М,)и!(Мг)
0,8
0,6
0,4
JL-%-1.
i,o 20
ф ¦
4,0 5,0 г, см
0,4
0,3
02
0.1
О
о о
з °-о 2.
6
б)
8 г, см
. ' Рис. 36. Проверка гипотезы Миллионщикова на мате-
материале измерений в аэродинамической трубе по Уберои
A953, 1954).
Данные измерений отмечены кружками, результаты расчета по измерен-
измеренным значениям вторых моментов отменены крестиками на рис. а) и
пунктиром на рис. б).
порядка (определяемые в основном возмущениями, содержащими основ-
основную долю энергии) он сравнил со значениями, рассчитанными по значениям
&и(г) и &NN(r) с помощью формулы A8.Г); два примера такого срав-
сравнения приведены на рис. 36. Как в этих примерах, так и в остальных
15*

228 гл. уи. изотропная турбулентность [18.2
рассмотренных случаях оказалось, что расхождения измеренных значе-
значений моментов четвертого порядка со значениями, подсчитанными при
помощи гипотезы Миллионщикова, практически лежат в пределах точ-
точности измерений (т. е. наверное не превосходят 10—15% от величины
соответствующих моментов). . '
18.2. Вычисление корреляционных и спектральных функций,
содержащих давление
В качестве первого приложения гипотезы Миллионщикова мы рас-
рассмотрим вопрос о приближенном вычислении .(опирающемся на ис-
использование указанной гипотезы) корреляционных функций Вр*у ц (г)
и Bpt NN(r)t описывающих связь пульсаций давления с пульсациями
скорости. Подставляя формулу A8.1') в A4.43) и используя A1.80),
получим соотношение
dBlm(r) dBJn(r)
2-^ g^p- A8.4)
Поскольку B.w(r)=-^/(r)^L + [Bu(r) + ? В'и(г)]бш (всилу
A4.1) и A4.3)), нетрудно проверить, что это соотношение равно-
равносильно равенствам
<?, (О = ? [ви О]2 +-J- В'и (г) В"и (г). . . ^ 5
Q2 (г) = -3 [В'и (г)]» - гВ'и (г) В"и (г);
Отсюда, в частности, видно, что функция Qx (г) г2 + 3Q2 (г) = Q3 (г)
в рассматриваемом приближении равна ——-j~{r3[B'LL (г)]2) (что
хорошо согласуется с требованием A4.44)). Подставляя это значе-
значение Q3(r) B формулу A4.52), после интегрирования по частям по-
получаем
= -р$ [Bfu(y)fydy. A8.6)
г
Формула A8.6), так же как и последующие формулы A8.7) и A8.в),
впервые была получена Лимбером A951). Она показывает, что если
справедлива гипотеза Миллионщикова, то в изотропной турбулент-
турбулентности коэффициент корреляции пульсации давления в данной точке
со значением кинетической энергии в любой другой точке всегда бу-
будет отрицательным, причем наибольшим по абсолютной величине он
будет при совпадении обеих точек. Полагая в формуле A8.6) г = 0
и используя A8.3) и формулу A8.11) на стр. 230, нетрудно вычислить
также и значение коэффициента корреляции между р(х) и »2(ж),

18.2]
§ 18. ГИПОТЕЗА МИЛЛИОНЩИКОВА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
229
отвечающее заданной функции BLL(r). В частности, в случае корреля-
корреляционной функции A5.53) оно оказывается близким к —0,2, а в слу-
случае функции BLL(r), отвечающей автомодельному спектру рис. 31
с /? = оо (похожему по форме на спектры, обычно получающиеся
при измерениях за решетками в аэродинамических трубах), — близ-
близким к —0,1.
Подставляя A8.5) в A4.53) и A4.54), нетрудно получить соот-
соотношения
' 15r3 J I I
о
r.
| = -ж|[Ви^]2
A8.7)
i) \B'll
A8.8)
позволяющие найти функции В , LL(r) и В , NN{r) по известным
значениям BLL{r). Представление об общем характере этих функций
в турбулентности за решет- ¦ R
кой может дать заимство- « ¦ f'fU^J • /Z^
ванный из работы Лимбера
рис. 37, на котором изобра-
изображены результаты, получаю- О
щиеся, если за BLL (г) принять
корреляционную функцию, от- -2
вечакмцую спектру рис. 31 с
-А
/
2
/
L
щ —¦
Подобным же образом при-
прилагается гипотеза Миллион-
щикова к расчету функции о- „ - .
Й , ,(г\ Полгтяпляя гоптно Рис- 37- Примеры взаимных корреля-
Bp'p'Vh Подставляяi соотно- ЦИОННЫх функций давления и скорости,
шение Aо. 1)в A4.ol), заме- рассчитанных по гипотезе Миллион-
няя B(j(r) выражением A4.1), щикова.
и учтя A4.3), можно с по-
помощью несложных (хотя и громоздких) преобразований привести
функцию Q(r) к виду
A8.9)
очевидным образом удовлетворяющему соотйошениям A4.32). Под-
Подставляя A8.9) в A4.38) и выполнив несколько раз интегрирование

230 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [18.2
по частям, получаем
оо
Вр.р. (г) = 2р2 J (у - -?-) [в'и (у)]2 dy. A8.10)
Г
Из A8.10) следует, что
Bp>p>@) = lp(x)-~p]2=2P2 J y[BfLL(y)fdy A8.11)
оо
(grad pf = - ЪВ"Р.Р. @) = 12р2 J [B[i (у)]2 *Ь. A8.12)
0.
Формулы A8.10) — A8.12) принадлежат Бэтчелору A951) (близ-
(близкие к ним формулы, о которых мы будем говорить в п. 22.2,
были немного раньше найдены Обуховым A9496) и Обуховым и
Ягломом A951)). Впервые, однако, гипотеза Миллионщикова была
применена для расчета пульсаций давления в турбулентном потоке
Гейзенбергом A948), вычислившим с помощью формулы A8.2)
спектр Epp(k) — 4nk2Fpp(k). Основное внимание Гейзенберг уделил
оо
определению величины (grad/?J= J k2Epp(k)dk, для которой он по-
о
лучил следующее выражение:
(gradpJ = p2j ^E(kr)E(b")krk4(-^dk'dk\ A8.13)
о о
где E(k)—спектральная плотность энергии, а
йг A8Л3')
Поэже БэтчеЛор A951) показал, что аналогичное A8.13) выражение
для BP'P>@) = (p — pf имеет вид
A8.14)
о о
где
A8.140

18.2J * 18. ГИПОТЕЗА МИЛЛИОНЩИКОВА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 231
и выписал также общее выражение для функции Epp(k), оказавшееся
еще более сложным.
Сопоставление формул A8.13), A8.14) с A8.12) и A8.11) пока-
показывает, что в задаче о расчете статистических характеристик поля
давления метод корреляционных функций имеет заметные преимуще-
преимущества перед спектральные методом. Впрочем, в одном отношении фор-
формулы A8.13) и A8.14) более удобны, чем A8.12) и A8.11): они'
яснее показывают, какие возмущения поля скорости вносят основной
вклад в величины (grad/?J и {р — рJ. Функции J(s) и / (s) прини-
принимают наибольшие значения (порядка единицы) при 5 порядка единицы,
/ • 16
а при больших значениях 5 они весьма малы ибо J(s) ж -г=- и
1б \
ПРИ 5^>И- Поэтому в A8.13) и A8.14) существенны
лишь значения kf и k" одинакового порядка величины. Отсюда выте-
вытекает, что основной вклад в (р — рJ вносят возмущения с волновыми
числами k, для которых E(k) оказывается наибольшим, т. е. возму-
возмущения из интервала энергии. Значение величины (grad/?J в первую
очередь определяется возмущениями, для которых kE(k) близко
к максимуму, т. е. со значениями k, промежуточными между интер-
интервалом энергии и интервалом диссипации. Поэтому можно ожидать, что
для реальной турбулентности за решеткой точность формулы A8.13)
ниже точности формулы A8.14I).
В течение заключительного периода вырождения турбулентности
за решеткой функция BLL(r)% по-видимому, имеет форму, близкую
к A5.530 (см- СТР- *47); поэтому из формул A8.10) —A8.12) здесь
вытекают соотношения
. Вр.р. (г) = р? (Ф? $-*!» = р2 [BLL (г)]2, A8.15)
(grad pf = -3B"pfp, @) =
A8.16)
Точность этих формул должна быть весьма велика, так как в течение
заключительнрго периода вырождения распределения вероятностей
•близки к распределениям Гаусса. Если определить длину %р (анало-
(аналогичную X) при помощи равенства
4/ж?-.а..
р2 \дх ) А2
1) Этот вывод может быть сделан и из сопоставления весовых функ-
функций у и \jy в формулах A8.11) и A8.12).

232
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[18.2
то в силу A8.16) —¦
1
/2
0,7 при
0. При умеренных зна-
чениях Rfcx, типичных для реальных потоков в аэродинамической трубе,
значения ВР'Р> (г) можно оценить, воспользовавшись какой-либо при-
приближенной формулой для BLL(r) или же непосредственными экспе-
экспериментальными данными. Так, например, Бэтчелор A951, 1953) пред-
'ложил использовать при вычислении Вр>р>(г) в качестве BLL(r) кор-
корреляционную функцию, отвечающую автомодельному спектру рис. 31
1,0
0.8
0.6
0.4
0,2
\
Зр>р'(г) -^\^
fip'p'(O) X
i i
О 1 В 3 4 г,см
Рис. 38. Нормированные корреляционные функции да-
давления и скорости по Уберои A953, 1954).
с /? = оо, а Хинце A959), принял, что BLL (г) = BLL @) ехр (— г//,,),
•где Lx — интегральный масштаб формулы A2.50). Исходя отсюда,
Бэтчелор нашел, что (р — рJ ях 0,34^ (а2J, а Хинце — что (р — рJ ж
« О.бр2^2J, причем форма нормированной функции ВР'Р> (гIВР'Р> @),
полученная при этих двух расчетах, оказалась приблизительно одина-
одинаковой.
Примеры расчета функции ВР'Р'(г) по экспериментальным дан-
данным о BLL(r) можно найти в статьях Уберои A953, 1954) (исполь-
(использовавшего собственные данные и данные X. Лимпана и др. A951))
и Меетца A9566); некоторые их результаты представлены на рис. 38
и рис. 39 на стр. 235. При оценке результатов, представленных на
рис. 39, следует, однако, иметь в виду, что значения (grad pf
(а следовательно, и Хр/^) можно лишь очень грубо оценить по ре-
результатам измерений корреляционных функций, так как при таких

18.3] § 18. ГИПОТЕЗА МИЛЛИОНЩИКОВА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 233
измерениях значения Вц(у) при малых у, входящие с наибольшим
весом в правую часть A8.12), определяются очень неточно (не говоря
уже о том, что и сама формула A8.12), по-видимому, имеет неболь-
небольшую точность).
18.3. Вычисление статистических характеристик
поля ускорения
С нахождением среднего квадратичного значения градиента давления
тесно связан расчет корреляционных функций поля ускорения частиц
жидкости в изотропной турбулентности. Поле ускорения А (х) определяется
формулой
#*?i? <1818>
Следовательно, корреляционный тензор этого поля имеет вид
В изотропном случае средние члены правой части A8.19) обращаются в нуль,
а крайние.легко выражаются через Вр,р, (г) и Btj(r)y после чего мы полу-
получаем равенство
¦ 1 д*В.р,(г)
At (х + г) Aj (х) = 5- рр + v2 №Вп (г). A8.20)
р ^"* / ^
Воспользовавшись формулой
Л, (х + г) Ajix) = "^'v"^4 rirj + В$, (г) Ьи, A8.21)
аналогичной A4.1), и заменив Btj(r) выражением A4.1), где В^{г) нахо
дится из A4.3), получим
S[bZ (О +| Bf'lL (г) +± В"и (г) - ± B[L (r)], A8.22)
±г
{ rB\L (г) + 5Дй (г) +1 B"lL (г) - ± B"LL (г) + ± В'и (г)]. A8.23)
Эти формулы были почти одновременно указаны Бэтчелором A951) и Обухо-
Обуховым и Ягломом A951) (ср. также Яглом A949а), где рассмотрен случай г=0).
Важной кинематической характеристикой турбулентности является сред-
средний квадрат ускорения частицы жидкости
В#> @) + 2В% @) = ЗВ$ @). A8.24)

234 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [18.3
Согласно формулам A8.22) и A8.23)
А2 = - jr В"р,р, @) + 35v24I @). A-8.25)
Относительный вес двух слагаемых в правой части, выражающих ускорение
под действием градиента давления и ускорение под действием силы вязкого
трения, будет различным при разных числах Рейнольдса. При очень малых
числах Рейнольдса, характерных для заключительного периода вырождения,
отношение второго члена в правой части A8.25) к первому, как нетрудно
подсчитать с помощью формул A5.53') и A8.15), равно 35/2 (Re^J, т. е.
много больше единицы; следовательно, ускорение жидких частиц здесь
в основном создается силой трения. Абсолютная величина ускорения при
этом может быть довольно значительной: с помощью данных рис. 14 (стр. 147)
можно подсчитать^ что в соответствующих опытах (А2I12 имело порядок
10 см/сек2 (при (и2I/2 порядка 1 см/се/с). При очень больших значениях Re
второе слагаемое в правой части A8.25) будет, наоборот, по-видимому соста-
составлять лишь несколько процентов от первого, так что ускорение будет
в основном вызываться градиентами давления (ср. ниже стр. 376). В случае
умеренных чисел Рейнольдса для грубой оценки относительной величины
второго слагаемого правой части A8;25) можно воспользоваться гипотезой
Миллионщикова и эмпирическими данными Бэтчелора и Т^аунсенда A947),
согласно которым в турбулентности за решеткой K4Blj^L@)/u2 ж 4,3 -f- 0,2 Re^.
Исходя отсюда, нетрудно подсчитать, что, например, для тех. потоков
с Re^, = 60, 90 и 150, для которых Уберой A954) оценил значения Хр)к, второе
слагаемое правой части A8.25) примерно в 30—40 раз меньше первогоэ
т. е. ускорение также в основном определяется силами давления.
Величину А2 можно грубо оценить также по эмпирическим данным
о диффузии в аэродинамических трубах. Поместим .в поток за решеткой
перпендикулярный потоку линейный источник пассивной примеси или тепла
(в реальных экспериментах обычно используется вторая возможность);
в таком случае для среднего квадрата Y2(t) поперечного (т. е. перпенди-
перпендикулярного и источнику и среднему потоку) перемещения диффундирующих
частиц за время t с помощью соображений, аналогичных использовавшимся
при выводе классической формулы Тэйлора (9.31) (см. часть 1, стр. 475),
можно вывести соотношение
t
2 J в$ (*, т) d%, A8.26)
о
где B$ (t, t) = v (t) v (t + т) — лагранжева корреляционная функция «попе-
«поперечной компоненты» v (t) (в направлении оси Оу = Ох2) турбулентной ско-
скорости. Определим при помощи равенства
масштаб времени Я| = %$ (t), играющий по отношению к функции В$ (t, т)
ту же роль, которую тэйлорова длина Л играет по отношению к функ-
функции BLL(r). Разложив функции В$ (t, т) = v if) v (t + т) и v2(t + x) в ряд
Тэйлора по т. легко показать, что масштаб Х$ связан со средним квадратом

S 18. ГИПОТЕЗА МИЛЛИОНЩИКбВА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ
ч^1
18.3]
турбулентного ускорения
вдоль оси О у соотношением
1
235
A8,28)
(см., например, Уберои и Корсин A953)). Из формул A8.26) и A8.27) сле-
следует, что, измерив средний квадрат Y2(t) полуширины турбулентного следа
за источником, можно по нему с помощью дифференцирования восстановить
и масштаб Ц. Такой метод определения Л$ использовался Симмонсом
20г
0,8
VVz
J
30
60
90
J20
/50 Re,
Рис. 39. Значения Хр/Х при разных Re^ в турбулентности
за решеткой по данным диффузионных опытов Симмонса (А),
Коллиса (?) и Уберои и Корсина (-f-) и по расчетам Убе-
Уберои (О) и Меетца (•).
см. Тэйлор A935)), Коллисом A948) и особенно широко Уберои и Корси-
d BI12 5 (PI/2
ном A953). Если учесть, что
W
в силу уравнения A5.2),
то по величине
и известным значениям v, А, и v2 = и2 можно найти сред-
средний квадрат ускорения (-дт-) = ^2 = -g- ^2* Воспользовавшись далее ука-
указанной на стр. 234 оценкой Бэтчелора и Таунсенда A947) для Bl^L @),
можно получить и величину отношения 35p2v2Bl^L (O)/(grad pJ двух сла-
слагаемых в правой части A8.25), а также величину среднего квадрата гра-
градиента давления (или, что то же самое, длину Кр равенства A8.17)).
Результаты таких расчетов, выполненных Бэтчелором A951) по данном
Симмонса и Коллиса и Уберои A953, 1954) по данным Уберои и Корсина
представлены на рис. 39 вместе с результатами оценки отношения Хр1%
по методу, описанному в предыдущем пункте, и значением A,p/A, = 0,7, отвеча-
отвечающим корреляционной функции A5.53'), т. е. случаю очень малых Re.
Гипотеза Миллионщикова позволяет рассчитать также корреляционные
л ' UUi OUl 1 UD
функции поля локального ускорения д/ = -^4- = — и/ -^ J--

236 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [18.3
или инерционного ускорения щ = uj -т-=-, а также взаимные корреляцион-
корреляционные функции этих ускорений друг с другом или с любыми другими членами
уравнений Навье —Стокса (см. Линь A953а)). В частности, для инерционного
ускорения а/ из формулы A8.1') легко следует, что1)
1В <г>в <г> + в С)в (И | -о = -^т^- • A8-29)
Поскольку, с другой стороны,
&(AJ2 A8.30)
где в качестве грубой оценки Л/А^ можно использовать значения, предста-
представленные на рис. 39, то формула A8.29) показывает, что в условиях турбу-
турбулентности за решеткой инерционное ускорение значительно превосходит
полное ускорение жидких частиц.
Аналогично может быть подсчитан квадрат локального ускорения а, для
которого в работе Линя A953а) получена формула
? = ^ = 35v2?[V @) + i40vB^f L @) + с? - -L (gradpJ. A8.31)
Согласно имеющимся данным о величинах B™L @) и Bf[L l @) (см., напри-
например, Бэтчелор и Таунсенд A947)) и расчетам, приведенным выше, в турбу-
турбулентности за решеткой главным членом в правой части A8.31), заметно пое-
восходящим остальные, будет а2, так что локальное ускорение а = -тг
также обычно по величине значительно превосходит А = ~^т-. Таким обра-
образом, согласно расчетам Линя, в турбулентности за решеткой субстанцио-
субстанциональное ускорение -^j- представляет собой небольшую разность двух боль-
больших членов, описывающих локальное и инерционное ускорение. Этот резуль-
результат вряд ли может быть связан лишь с. приближенным характером гипотезы
Миллионщикова; по-видимому, он объясняется тем, что скорость и (х) в фи-
фиксированной точке изотропного турбулентного потока определяется в основ-
основном крупномасштабными возмущениями из интервала энергии спектра, про-
проносящимися мимо этой точки и тем самым приводящими к резким измене-
изменениям скорости.
В применении к изотропной стационарной турбулентности, статистиче-
статистические характеристики которой не зависят от времени, расчет корреляцион-
х) Как отметили Уберои и Корсин A953), близкую по ^юрме к A8.29)
(но заметно более грубую) оценку сверху величины а2 можно полу-
получить и с помощью общего неравенства Шварца (согласно которому коэф-
коэффициент корреляции двух случайных величин х и у _не _может прево-
превосходить по модулю единицы, так что всегда | ху \ <; (х2 • у2I^2) и точных
равенств A5.5), но без использования гипотезы Миллионщикова. В самом
деле,

18.3] § 18. ГИПОТЕЗА МИЛЛИОНЩИКОВА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 237
dut du'j
ного тензора #/у (г) = -^- —~ поля локального ускорения произвели Мюнх
и Уилон A958). Они также воспользовались гипотезой Миллионщикова, а
энергетический спектр ?(k) в частичном соответствии с формулой A7.40)
полагали равным
E(k):
k \4-|-4/3
при
при k < k0
A8.32)
где k0 — минимальное волновое число, определяемое масштабом /0 = 2n/k0
самых крупных возмущений потока, Ео = УЦ/г0, a Vo -— характерная
скорость этих крупных возмущений (моменты третьего порядка в стацио-
стационарном случае могут быть исключены из выражения для &$(г), так что
о них никаких предположений не требуется). Тензор &fj (г) симметричен
и соленоидален по обоим индексам; поэтому его преобразование Фурье
FW (к) может быть представлено в виде, аналогичном A2.73):
. . Еа (k)
Мюнх и Уилон получили асимптотические формулы, описывающие поведе-
поведение функции Еа (k) в инерционном интервале k0 <^ k <^ kx и в крайней
коротковолновой области k ^> klt а для промежуточных значений k опре-
определили функцию Ea(k) (при нескольких значениях числа Рейнольдса
с помощью численного интегрирования; в частности, в инер-
(-rM )
*0,
ционном интервале, согласно их результатам,
Еа (k) = Е (k) Eo kok2 = E (k) V\ k\ A8.34)
To, что спектр Ea (k) при k <^ k0 существенно зависит от скорости Vo
самых крупных возмущений, снова показывает, что статистические свойства
поля локального ускорения в значительной степени определяются конвек-
конвективным действием крупномасштабных пульсаций скорости.
Поскольку р силу A1.53) и A2.40)
формулу A8.34) можно истолковать как доказательство того, что в стацио-
стационарной изотропной турбулентности возмущениям с волновым числом k отве-
отвечает характерный период (время релаксации)
A8'35)
В таком виде этот результат следует и из одних только соображений раз-
размерности (Гейзенберг A948а)).

238 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.1
§ 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ И ПРОБЛЕМА
ЗАМЫКАНИЯ
19.1. Уравнения для третьих моментов
гидродинамических полей
В силу нелинейности уравнений гидромеханики уравнения для
обычных корреляционных функций (т. е. вторых моментов) гидро-
гидродинамических полей содержат новые неизвестные функции — моменты
третьего порядка. Применив уравнения гидромеханики, можно опре-
определить производные по времени от этих новых функций; однако
получаемые выражения будут содержать моменты четвертого порядка.
Составляя выражения для производных по времени от четвертых,
пятых и т. д. моментов гидродинамических полей, мы будем получать
все новые и новые уравнения; но число неизвестных функций при
этом будет возрастать быстрее числа' уравнений, так что система
уравнений все время будет незамкнутой (ср. часть 1, стр. 321—322).
Поэтому для определения, даже одной лишь обычной корреляционной
функции, строго говоря, надо рассматривать бесконечную систему
уравнений для корреляционных функций всех порядков (или эквива-
эквивалентное этой системе уравнение для характеристического функцио-
функционала, о котором будет идти речь в гл. 10).
В настоящее время не существует никаких общих методов реше-
решения бесконечных систем уравнений в частных производных; поэтому
нахождение точных решений системы уравнений для моментов все-
всевозможных порядков пока представляется довольно безнадежным
делом. Однако уравнения для старших моментов можно использовать
для приближенного определения статистических характеристик турбу-
турбулентности; для этого надо привлечь какие-нибудь дополнительные
гипотезы, позволяющие замкнуть систему первых нескольких таких
уравнений. Указанный подход представляет собой естественное обоб-
обобщение рассматривавшихся выше методов замыкания одного уравне-
уравнения, связывающего корреляционные функции второго и третьего по-
порядков; ему и будет посвящен настоящий параграф.
Начнем с того, что выведем уравнение для третьих моментов поля
скорости. При этом надо условиться, какие третьи моменты мы будем
рассматривать — одноточечные, двухточечные или трехточечные. Урав-
Уравнение Кармана — Ховарта A4.9) содержит двухточечный третий мо-
момент BLLL(rt t)\ поэтому кажется, что в дополнение к A4.9) есте-
естественно рассмотреть уравнение для двухточечного тензора Bijyl(rt t)
(просто выражающегося через BLL} L (г, t)). С этой целью надо лишь
применить общую формулу для производной момента по времени
(формулу F.2) части 1 книги) к моменту
I = Ut (X, t) Uj (X> t) U{

19.1]
§ 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ
239
Но в таком случае в правой части получающегося уравнения кроме
двухточечных третьих и четвертых моментов будут фигурировать еще
и смешанные третьи моменты скорости и давления типа
а также • неизвестные
Uj (X) Ut (Xf) ,
производных
от скорости типа
duj(x)
дхп
дх„
иг(х'). Разумеется, моменты, содержащие давление,
дщи,]
можно с помощью формулы Д/? = — р-5—j5— выразить через мо-
моменты скорости на единицу более высокого порядка; однако тогда
кроме двухточечных моментов нам при-
придется иметь дело и с трехточечными
моментами поля скорости. Поэтому
проще с самого начала составлять урав-
уравнение для трехточечных третьих мо*
ментов поля скорости; в нем все про-
пространственные производные можно
вынести за знак осреднения и число
неизвестных не придется увеличивать за
счет моментов, содержащих производ-
производные основных гидродинамических полей.
Именно так мы и будем далее по-
поступать.
Итак, пусть и. = ut (х, t), а^ = uj (х\ t), и" = их (jc"f t) (см.
рис. 40). Выпишем уравнения Навье — Стокса для компонент ско-
скорости ur u'j и и"х% умножим первое из них на и'.и![, второе — на utuj9
третье — на utu' сложим три получившихся равенства и осредним
результат. Тогда мы придем к уравнению
и
Рис. .40. К определению трех-
трехточечных моментов поля ско-
скорости.
A9.1)
В случае однородной турбулентности все функции в этом уравнении
будут зависеть лишь от времени и от векторов г = х'—х и г'=х"—х,
так что
д д д д д d a A9 2)
дх„
дг„
дг'
дх'
дг„
дх„
дг'

240 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.1
Но p'atf = ВрП (- г, г' - г), а^«Х = BJa lf t (- г, г'-г) и
p''uiu'J = BplJ(-r'.r-r'), «,«#«; = **,.,,у<-r'>r-rX по-
поэтому уравнение A9.1) можно переписать в виде .
A9.3)
(зависимость моментов от t мы здесь для краткости не указываем).
Применим к A9.3) преобразование Фурье. При этом надо иметь
в виду, что моменты типа Btat jt t (r, r') не стремятся к нулю, если
| г | -> оо и | г' | -> оо, но | г — г' | остается ограниченным; поэтому они
не имеют шестимерного преобразования Фурье (ср. выше стр. 24—25).
Преобразования Фурье будут иметь лишь соответствующие семиинва-
семиинварианты Sia%jtl(г, г') или функции B(iOljtitrtr') = Biatjj(rtr') —
B(Q)&(r' — г)- Но поскольку
все трехточечные четвертые моменты в правой части A9.3) можно
заменить соответствующими функциями Bflt,w Поэтому все члены
уравнения A9.3) имеют шестимерные преобразования Фурье, и это
уравнение можно переписать в виде
- ft,^ (~ ft - ft', ft)] - 2v (ft2 4- k'% + ft*') Z7,;, (*, ft'). A9.4)
где Fiji, Fia,j,i и Fpji — преобразования Фурье функций Bijh Мо,/,г
и Bp/fl. Если обозначить символом Г.^,(Л, ft') совокупность пер-
первых трех слагаемых в правой части A9.4), содержащих спектраль-
спектральные функции четвертого порядка, то Г,у,(ЛЖ) будет удовлетворять
соотношению
Гф(Л, ft')dftd*' = 0, A9.5)

19.1] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 241
родственному A4.16) (так как левая часть A9.5) совпадает с вели-
величиной -з—и{(x)Uj(x)ut(x)ua(x), равной нулю в силу однородности).
Таким образом, нелинейные члены уравнений гидродинамики приво-
приводят лишь к изменению спектрального состава функций Вц{ (г, г'), но не
вызывают изменения во времени величины ?^@, 0)=ul(x)Uj(x)ul(x).
С помощью уравнения A.9), связывающего Ар с производными
скорости, взаимные спектральные функции /^(ft, ft') полей скорости
и давления можно выразить через спектральные функции Flrrlt ^ г (ft, ft').
В самом деле, умножив обе стороны A.9) на и'и^ и осреднив результат,
мы получим соотношение
— / '{ 1 = А А =— A A \U «А« #«/-«««« * «41- A9-6)
р дха дха дха дх$ дха дх$ La. py/ ap j l\ y J
Отсюда следует, что
lF (h к'Л (
Следуя Праудмену и Риду A954) и Тацуми A957а), результат подста-
подстановки A9.7) в A9.4) можно записать следующим изящным образом;
.^v^ + k'2 + k)FIJl(k, k% A9.8)
где, как обычно,
*" = — ft — к' (т.е. ft + ft' + ft" = 0), А/у(*) = Ьи — kfijlk2, A9.9)
а 2 означает сумму выписанного члена и еще двух слагаемых, по-
цикл
лучаемых из него при одновременном применении одной и той же
циклической перестановки к тройке индексов (/, у, /) и к тройке
векторов (ft, ft', к"). В изотропном случае тензор ^(ft, к') может
быть с помощью формулы A2.166) выражен через две скалярные
функции Ф(&, &', ft") и ^?(к, k\ k") от трех переменных; значит,
тензорное уравнение A9.8) может быть сведено к двум скалярным
уравнениям, содержащим слева -п-Ф(&, k\ k") и -sr^ft» ft', ft")-
Однако в дальнейшем такие уравнения нам не понадобятся.
Из тензорного уравнения A9.8) можно вывести ряд скалярных
уравнений, свернув индексы /, у и / между собой или с компонен-
компонентами каких-либо векторов, составленных из ft и к'. Выпишем
16 А. С. Монин, А. М, Яглом

242 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.1
наиболее важное для теории уравнение относительно антисимметрич-
антисимметричной по ft и ft' скалярной функции
Г (ft, ft', \i) = iklFlJJ(kt ft'), V = kk'lkk'. A9.10)
В силу A9.8) оно имеет вид v
k\ V). (i9.il)
Важность уравнения A9.11)' связана с тем, что функция F(ft) =
= /ft//7/y y(ft) уравнения A4.14) просто выражается через Г (ft, ft', \i);
в самом деле, согласно A1.61)
Fij,j(k)=jFijj(k> k')dk'> <19-12)
и, значит,
оо 1
= | Г (ft, ft') dk' = 2я J J Г (ft, ft', ii) ft'2 rfft' dn. A9.13)
о -l
Равенства A9.13) и A9.11) дополняют основное спектральное урав-
уравнение A4.14) или A4.15) (эквивалентное уравнению Кармана — Хо-
варта); если бы можно было выразить функции /^ ^ j (ft, ft') через
спектральные функции низших (второго и третьего) порядков, то
A4.14), A9.13) и A9.11) составили бы замкнутую систему уравнений,
позволяющую определить функции ^(ft) (т. е. E(k)) и Г (ft).
Аналогичным образом уравнение Корсина A4.59) для корреляционной
функции В$ъ{г) (или соответствующее спектральное уравнение A4.62))
можно дополнить уравнением для трехточечного смешанного момента
&№ (г' г') — UJ (*) * С* + г) Ф С* + г')= uft'b" полей скорости и темпе-
температуры (или для его преобразования Фурье Fjw(k> ft'))- Уравнение для
r> r') в случае однородной турбулентности имеет вид
дВт(г, г') I д
dt \dra dr'a
,&(—г', r — r'
1 / Л Л \
+
— /— + —\в (r r') +
Adrj d/j)P<K>
+ f<v + X) (-Г-Г- + T^t-) + 2v T^t\ B№<r' r> A9Л4>
I \dradra dradra) dradra\

19.1] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛИ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 243
Применив ко всем членам последнего равенства шестимерное преобра-
преобразование Фурье, получим
». ), Ф (~ * - *'. *)] + j
- Kv + X) (*2 + k'2) + 2vftft'] Fm (ft, ft'), A9.15)
где, как обычно, под Fja, о, <> и /^ф, у, <> понимаются преобразования Фурье
функций
Л
**%, Ф. Ф (*"¦ г') = ВУа, ф, ф (г. Л -
^, /. О ('. 'О = V J. О С'. *•') - Ва» @) ЙУ» (»•' - *•) ,
(последняя из них в изотропном случае не отличается от Ва$}у,^(г, г')).
Если сумму первых трех слагаемых в правой части A9.15) обозначить
Г/<н>(& kr), то векторное поле Tjf^(k, k') будет удовлетворять соотношению
J J 1>о (^» Ь') dk dk' = 0, A9.16)
имеющему тот же смысл, что и A9.5) (и вытекающему из того, что левая
часть A9.16) совпадает с — л—iij(x)ua(x)ft2(x) .
Содержащее Fp^(k, k') слагаемое уравнения A9.15) может быть выра-
выражено через функцию Fja,$f$(k> #')» так как ясно, что
(k f + k't) (ka + k') F1a ь ь (kt k')
У)— WT^ I+ (Ш7)
В случае изотропной турбулентности уравнения A9.15) и A9.17) могут быть
переписаны в виде одного скалярного уравнения относительно антисимме-
антисимметричной по k, kr функции
Го (k. k\ |i) = tkjFm (k, k% A9.18)
определяющей в силу A2.155) и A2.151) вектор F^(kt k'):
[тг+(v+%) ^+k'2)+2vkk']
- k/ab3 (к") /^ ь% ь (к. к') + kjkaFaf>t и ь (к", к')
(^ ц Аур(^) здесь имеют обычный смысл A9.9)). Напомним, что в силу
A2.157) функция T$b(k), входящая в A4.62), связана с Г$(&, k't ц) простым
соотношением:
оо 1
rw (Л) = 4я f J Го (Л. Л'. |i) ^/2 rf*' ф. A9.20)
\6V

244 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.2
В случае, когда ft ^-концентрация распадающейся примеси или хими-
химически активной примеси, участвующей в химической реакции первого по-
порядка, протекающей со скоростью Ф [Щ = ц/fr, где \х — постоянная, к правой
части уравнения A9.14) надо лишь добавить член — 2\iBj#&(r, r'), а к пра-
правым частям уравнений A9.15) и A9.19) члены — 2\iFj^(kt k') и, соответ-
соответственно, — 2цГф(?, k', \i).
19.2. Замыкание уравнений для моментов с помощью гипотезы
об обращении в нуль моментов высокого порядка
Пусть известны уравнения для всех моментов поля скорости
вплоть до я-точечных моментов п-го порядка включительно. Система
этих уравнений незамкнута, так как последнее из них содержит сла-
слагаемые, выражающиеся через я-точечные моменты (# + 1)-го порядка.
Простейшей гипотезой, позволяющей замкнуть рассматриваемую си-
систему, является гипотеза о пренебрежимой малости этих слагаемых
по сравнению со всеми остальными.
Отношение членов, содержащих (/*-{-1)-е моменты, к членам,
содержащим коэффициент вязкости, в уравнении для п-х моментов
имеет тот же порядок величины, что и отношение нелинейных инер-
инерционных членов к вязким членам уравнений Навье — Стокса, харак-
характеризующееся числом Re. Поэтому пренебрежение (я-4-1)-ми момен-
моментами в уравнении для п-х моментов может иметь известное основание
лишь в случае слабой турбулентности с небольшим значением Re.
В частности, при п — 2 мы должны, считать, чтоу третьи моменты
пренебрежимо малы по сравнению со вторыми, т. е. принять пред-
предположение, подробно рассмотренное в п. 15.3. Попытаемся теперь
понять, на что можно рассчитывать, применяя сформулированную
выше гипотезу к уравнениям для моментов порядка п > 2.
Отбрасывая моменты (п-\- 1)-го порядка в уравнении для я-х мо-
моментов, мы допускаем погрешность того же порядка, что и погреш-
погрешность в уравнении Кармана — Ховарта, связанная с .отбрасыванием
членов, содержащих BLLL(r, t). Однако считая равной нулю функ-
функцию BLLtL(rt /), мы вообще ничего не можем сказать о моментах
поля скорости выше второго порядка, в то время как считая рав-
равными нулю лишь (я-|-1)-е моменты, можно все же определить (хоть
и неточно) все моменты до п-го порядка включительно. По-видимому,
при этом наиболее неточно будут определены значения п-х моментов
(в уравнения для которых только и входят отброшенные члены);
ошибки же в значениях (п—1)-х моментов, найденных из получаю-
получающейся системы уравнений, вероятно, будут уже меньше (такв как
в уравнениях для этих моментов влияние инерционных членов урав-
уравнений гидродинамики все же как-то учитывается), ошибки в значе-
значениях моментов (я— 2)-го порядка будут еще меньше и т. д. Иначе
говоря, можно думать, что решения системы уравнений с я > 2 будут
более точно описывать слабую турбулентность, чем решения одного

19.2] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 245
уравнения A5.35), и чем выше будет п, тем более точным будет
решение.
Следуя Крейчнану A962), последнее рассуждение можно уточнить
следующим образом. Будем измерять все длины характерным мас-
масштабом. Z,, скорости — характерным масштабом (/, а в качестве еди-
единицы времени примем характерный период «вязкого затухания»
Т = Z.2/v; давление же выразим через скорость с помощью уравнения
д2щи*
Др = — р-з—т^-. После перехода к безразмерным величинам y = x/L,
OXi OX j
<o = u/U и т = \tjL2 уравнение для m-точечных моментов поля ско-
скорости /я-го порядка можно записать в виде
yl. .... уя.х)]. A9.21)
где ДCт) — это (Зт)-мерный оператор Лапласа, a J^i ... / t j ... j —
линейный оператор порядка единицы (переводящий тензорное поле
Bj j { в поле того же порядка величины), действующий на со-
совокупность (т-+ 1)-х моментов поля скорости. Решение уравнения
A9.21) можно формально представить в виде степенного ряда
A9.22)
по-видимому, сходящегося лишь при не слишком большом Re (а воз-
возможно, даже расходящегося при всех Re; ср. Крейчнан A967)).
Подставляя ряды A9.22) в уравнения A9.21), легко показать, что,
используя точные уравнения A9.21) при т = 2, ..., п—1 и лишь
при т = п пренебрегая в A9.21) правой частью, мы в выражении
A9.22) для П'Х моментов определим лишь нулевой член, в выраже-
выражении для (п — 1)-х моментов — нулевой и первый члены и т. д. вплоть
до вторых моментов, для которых получается разложение A9.22),
оборванное на члене порядка (Re)*.
Вообще говоря, решения системы уравнений A9.21) с т = 2, ..., п
и отброшенной правой частью в последнем из них оказываются про-
противоречащими общим свойствам моментов, вытекающим из неотрица-
неотрицательности вероятности; в частности, отвечающие этим решениям ко-
коэффициенты корреляции*в ряде случаев превосходят по модулю еди-
единицу, а спектральные функции принимают и отрицательные значения
(ср. примеры применения рассматриваемых методов к изучению

246 ГЛ. VI1. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.2
эволюции скалярного поля *&(#, t) в работах Крейчнана A962) и
Дж. Ли A966)). Причина этого кроется в том, что ряд Тэйлора
для характеристического функционала нельзя произвольно оборвать
на каком-то члене (см. ч. 1, стр. 200). Если, однако, начальные
значения при t~t0 всех моментов до п-го порядка включительно
выбраны правильно, то противоречия, о которых идет речь, могут
проявиться лишь при достаточно большом / — /0, когда отклонения
моментов от их начальных значений начнут играть основную роль.
Более того, при очень малом t —10 решения оборванной на п-м члене
системы уравнений для моментов будут хорошо применимыми даже
и при Re^>l- Это объясняется тем, что в силу уравнений гидро-
дщ
динамики величина ~- представляется в виде суммы членов нулевого
и первого порядка по Re и поэтому -~^- (а значит, и сумма первых
п +1 членов ряда Тэйлора по / — /0- лн^бой функции скорости) будет
содержать лишь члены порядка (Re)" и ниже. Но если и Re и t —10
не малы, то нет никаких оснований рассчитывать, что решение обо-
оборванной системы будет близким к истинным значениям моментов (ср.
обсуждение этого вопроса в работе Крейчнана A967)).
Рассмотрим теперь некоторые конкретные примеры использования гипо-
гипотезы об обращении в нуль моментов порядка л-f-l. В случае п — 3 общее
спектральное уравнение A4.14) дополняется уравнением
-~- Fin (ft, ft', t) = - 2v (k2 + k'2-+ ftft') Fiji (*, b\ t\ A9.23)
получаемым из A9.8) после отбрасывания слагаемых, содержащих спектраль-
спектральные функции четвертого порядка. Это уравнение интегрируется без труда,
и вся сложность состоит в выборе начальных значений Fyi (ft, ft', t0), отно-
относительно которых в настоящее время нет почти никаких данных. Можно,
конечно, в основу выбора начальных значений третьих моментов положить
требование, чтобы получаемые значения Е (&, t) при t > t0 соответствовали
имеющимся эмпирическим данным, но в таком случае научная ценность по-
полученного соответствия будет невелика 1).
U работе Дейслера A958) в качестве начального значения антисиммет-
антисимметричной по k и k' функции Г (&,&', \i) = ikiFijj(ky k', t) была выбрана не
х) Напомним, впрочем, что согласно результатам п. 15.3 асимптотическое
поведение решения BLL(r, t) уравнения A5.35) при ?->оо определяется лишь
поведением F(k, t0) при ?->0, но не зависит от деталей конкретного вида
начальных значений BLL (г, *0) или F (k, tQ). Аналогично будет обстоять дело
и в случае системы уравнений A4.14), A9.23), A9.10)- и A9.13); поэтому,
если интересоваться лишь поведением моментов при *->оо (и рассматривать
только «идеальную» изотропную турбулентность в безграничном пространстве),
то достаточно лишь правильно задать характер изменения функции F^i (ft, ft')
в окрестности точки ft = 0, ft'«=0.

19.2] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 247
зависящая от \х функция 1)
Г (к. к\ |х. *0> = - Ро U4*'6 - Ь*Ь'А) A9.24)
и, кроме того, считалось, что F (&, ?0) ~ 2 k2 (ср. A5.64)). В таком слу-
случае Г (k, k', \iy t) легко находите» с помощью A9.23), а Г (k, t) и F {ky t) —
00
с помощью A9.13) и A4.14). При этом для W1J) = -^- k2F (к, t)dk по-
0
лучилось двучленное выражение, содержащее кроме «главного члена» A5.54)
дополнительное слагаемое, пропорциональное (t — to)~~7 (с коэффициентом,
зависящим от р0 и v). При помощи специального подбора чисдовых значе-
значений параметров р0 и Л Дейслеру удалось привести полученную сумму
в хорошее соответствие с эмпирическими кривыми, найденными Бэтчелором
и Таунсендом A9486) для турбулентности за решеткой, приближающейся
к заключительному периоду вырождения. Однако, поскольку «добавочный
член» найденного выражения для и2 (t) затухает при t —10 -> со значительно
быстрее, чем следующий за A5.54) член асимптотического разложения
BLL(ry t) в точке г = 0 (даваемый формулой A5.56) с s = l, т. е. пропор-
пропорциональный (t — to)~7^\ полученное Дейслером совпадение, по-видимому,
объясняется лишь возможностью произвольного выбора двух параметров.
Еще больший произвол в выборе начальных значений имеет место
в случае системы для моментов второго, третьего и четвертого порядков,
получаемой в предположении об обращении в нуль моментов пятого по-
порядка. Решение такой системы уравнении определяется начальными значе-
значениями вторых, трехточечных третьих и четырехточечных четвертых момен-
моментов поля скорости.^Согласно работе Дейслера A960) (содержащей некоторые
легко исправимые погрешности, связанные с использованием четырехточеч-
четырехточечных моментов вместо семиинвариантов; см. Одзи A962), Дейслер A965)),
здесь приходится задать начальные значения функций F (k, t)y Г (&, k', \i, t)
и еще трех скалярных функций от шести переменных. Обо всех этих
начальных значениях (кроме, может быть, значения F (k, tQ)) пока нет
никаких сведений, так что возможности «подгонки» получающихся значений
?(&, t) и и2 (t) под имеющиеся эмпирические данные, естественно, оказы-
оказываются очень широкими. Поэтому обнаруженное в работах Дейслера (I960,
1965) хорошее совпадение теории с некоторыми такими данными уже совсем
не вызывает доверия.
Гипотеза об обращении в нуль моментов высокого порядка может быть
применена и к исследованию поля пульсаций температуры в турбулентном
потоке (см., например, Леффлер и Дейслер A961), Дж. Ли A96о)). Так как,
однако, в данном случае также возникают серьезные трудности с выбором
1) На самом деле Дейслер вместо Г (k, k\ \л) использовал не антисим-
антисимметричную по k и kr функцию Г*1* (&, k\ \x) = ikiFjji (ft, k') и считал, что
начальное значение ГA)(?, &', |х) равно правой части A9.24). Нетрудно ви-
видеть, однако, что уравнения относительно неизвестных F (k, t) и Г (k, k*\ \x, t)
и относительно F(ky t) и ГA)(?, k\ jx, t) в пренебрежении четвертыми
моментами оказываются одинаковыми; поскольку правая часть A9.24) анти-
антисимметрична по k и &', более естественно считать ее совпадающей с на-
начальным значением Г (k, k', jx, t)t а не ГA* (Л, к\ ji, t).

248 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.3
начальных значений неизвестных функций и некоторые результаты оказы-
оказываются явно физически недопустимыми (например, спектр E^(k, t) через
какое-то время становится не всюду положительным), а в отношении осталь-
остальных результатов возможности их эмпирической проверки в настоящее время
полностью отсутствуют, то на соответствующих уравнениях мы уже не бу-
будем задерживаться.
19.3. Замыкание уравнений для вторых и третьих
моментов с помощью гипотезы Миллионщикова
Метод замыкания системы уравнений для моментов (или спектраль-
спектральных функций) с помощью отбрасывания моментов некоторого порядка
имеет определенное оправдание лишь в применении к слабой турбулент-
турбулентности с небольшим числом Рейнольдса, приближающейся к заключи-
заключительному периоду вырождения. Но, согласно данным § 15, этот период
вырождения с большим трудом реализуется в лабораторных экспери-
экспериментах, причем отвечающие ему движения жидкости лишь с натяжкой
можно считать турбулентными в обычном смысле этого слова.
Основной же интерес для теории турбулентности представляет про-
противоположный случай развитой турбулентности с большим числом
Рейнольдса, в которой турбулентное перемешивание, связанное с инер-
инерционным движением частиц жидкости, играет значительно большую
роль, чем вязкое трение. В этом случае простое отбрасывание мо-
моментов определенного порядка приводит к совершенно неверным
(а часто даже и бессмысленным) результатам; поэтому здесь успеха
можно добиться, лишь используя какие-то другие приемы замыка-
замыкания системы уравнений для моментов. К настоящему времени раз-
разработан ряд таких приемов (о некоторых из них мы еще будем
говорить позже — в п. 19.6 и § 29), но пока ни один из них
не оказался вполне удовлетворительным (см. обсуждение этого во-
вопроса в статье Крейчнана A967)). Тем не менее, для того чтобы
проиллюстрировать основные черты теорий, опирающихся на те или
иные методы замыкания уравнений для моментов, и разъяснить
характер получающихся при этом выводов, мы рассмотрим здесь
сравнительно подробно наиболее старый (фактически предложенный
еще в работах Миллионщикова A941а, б)) и,.по-видимому, простей-
. ший из методов замыкания, не предполагающих, что все моменты
некоторого порядка тождественно равны нулю. А именно, мы попробуем
воспользоваться для замыкания уравнений относительно вторых и
третьих моментов поля скорости рассматривавшейся в предыдущем
параграфе гипотезой Миллионщикова об обращении в нуль семи-
семиинвариантов четвертого порядка поля скорости, позволяющей выра-
выразить четвертые моменты скорости через вторые. Предварительно,
однако, мы скажем несколько слов по поводу общей гипотезы об
обращении в нуль семиинвариантов скорости фиксированного порядка
#-|--1^>4, позволяющей построить целую последовательность все

19.3] § 19. уравнения для старших моментов 249
усложняющихся методов замыкания, в которой использование гипотезы
Миллионщикова представляет собой первый шаг *).
Рассмотрим турбулентность, поле скорости которой в начальный
момент времени t0 является гауссовским (нормальным) случайным по-
полем. Можно показать, что формальное разложение семиинвариантов по-
порядка /1+1 в ряд по степеням Re начинается с члена порядка (Re)'1" (ср.
Крейчнан A962). Поэтому при пренебрежении ими в уравнении A9.21)
с т = п для моментов порядка п получается ряд вида A9.22), члены
которого вплоть до порядка (ReI1-2 будут точными; для (п — 1)-х
моментов получается ряд, правильный вплоть до члена порядка (Re)n~ .
и т. д.; для вторых моментов получается разложение, точное вплоть
до члена порядка (ReJ/I~4.. Таким образом, во всех случаях, когда
отбрасывание членов порядка Re2/l~3 и выше приводит к хорошему
R^l
приближению (т. е. при Re<^l или при очень малом t—/0), пре-
пренебрежение семиинвариантами (n-f-l)-ro порядка также должно быть
допустимым. В случае же больших значений Re и t —10 пренебре-
пренебрежение семиинвариантами представляется все же более оправданным,
чем пренебрежение высшими моментами, хотя, вообще говоря, полу-
получаемые при этом результаты иногда также могут оказаться противо-
противоречащими общим требованиям теории вероятностей (по причинам,
разъясненным на стр. 200—201 части 1 книги).
Перейдем к рассмотрению конкретных следствий из гипотезы об
обращении в нуль семиинвариантов порядка п + 1. При п = 2 от-
отбрасывание семиинвариантов порядка п -f-1 эквивалентно отбрасыва-
отбрасыванию третьих моментов в уравнениях Кармана — Ховарта и Корсина,
рассматривавшемуся в § 15; поэтому первое нетривиальное применение
указанной гипотезы получается при л = 3. В этом случае используются
уравнения для вторых и третьих моментов, причем в последних трех-
трехточечные четвертые моменты заменяются специальными комбинациями
вторых моментов (см. ниже A9.25)). В следующем приближении надо
уже уравнения для вторых и третьих моментов использовать без
всяких упрощений и дополнить их уравнениями для четвертых мо-
моментов, в которых пятые моменты заменяются специальными комби-
комбинациями моментов второго и третьего порядков; но это приближение
столь громоздко, что до сих пор оно остается почти не исследован-
исследованным (см., впрочем, работу Хазе'н A963) об эволюции возмущений
в потоке с постоянным градиентом скорости).
Итак, будем считать, что равны нулю трехточечные семиинварианты
четвертого порядка поля скорости. В случае однородной турбулент-
1) Заметим, что предположение об обращении в нуль семиинвариантов
определенного порядка родственно предположениям, лежащим в основе не-
некоторых приближенных методов, с успехом применяемых в других разделах
теоретической физики (например, метода Кирквуда в статистической меха-
механике или метода Тамма — Данкова в квантовой теории поля; ср. Грин A952),
Швебер. Бете и Гофман A955)).

250 гл. vii. изотропная турбулентность [19.3
нос.ти в силу общей формулы D.21) этр означает, что
В*, у, i (Г. г') = Вш @) Вп (г' - г) +
+ Вц (г) Вт1 (г') + Bmj (г) Вп (г 0 A9.25)
(при г = г' формула A9.25) обращается в формулу Миллионщикова
A8.10)- Непосредственная подстановка этого равенства в уравнение
A9.3) для третьих моментов приводит к громоздким соотношениям,
которые можно значительно упростить, перейдя к преобразованиям
Фурье. Перенеся в A9.25) первый член правой части налево и затем
применив к обеим частям равенства шестимерное преобразование
Фурье, получим
) j<*)/>„(П A9-26)
Следовательно, уравнение A9.8) теперь обращается в равенство
? Ftjl (ft, ft') = - * ? Win (*") [р,п (*) ры (*0 +
ЦИКЛ
]B/2 )^/(*- *')• A9.27)
Это уравнение вместе с обычным спектральным уравнением A4.14)
и соотношениями A9.10) и A9.13), позволяющими выразить Г(&)
через Ftji(k, k'), образует замкнутую систему уравнений относительно
вторых и третьих моментов.
Поскольку изотропный тензор Fljl(k, к') может быть выражен
по формуле A2.166) через две скалярные функции Ф(&, k'\ k") и
4?(k, k', k"), в случае изотроцной турбулентности тензорное урав-
уравнение A9.27) может быть сведено к двум скалярным уравнениям.
Для их вывода надо заменить FiJt(kt kr) его выражением A2.166),
a F]n(k)t Flm(k') ит.д.- выражениями A2.73), где Е (k) = 4nk2F (k).
В силу того, что &тДут(*) = О,
') -н р1т (ЪК (*')]=
Mik^ + k'^ A9.28)
JP (*0 [F{k") [F (ft) - /=• (fc')l *Ap 4-
F (ft) IF (ft') - f (ft")] k'nbmp -+ F (k') [F (A) - F (ft")] kpbmn). A9.29)

19.3] § 19. уравнения для старших моментов 251
Следовательно, скалярные уравнения относительно Ф и W, вытекающие
из A9.27), имеют вид
Ф(*. *'. A". t) = F(k\ t)[F(k'. t) — F(k, t)] —
_v(P + 4'2-fj^O(t, *', kT.'t). A9.30)
. ft'. k\ *) = — v^ + ^ + ft)^, ft', ft", 0-
Эти два уравнения (впервые полученные Праудменом и Ридом A954))
относительно несложны; но чтобы получить замкнутую систему, их
надо дополнить еще уравнением A4.14) и соотношением, выражаю-
выражающим функцию Г (ft) через Ф(&, ft', ft") и Ч? (ft, ft', к"). Последнее
соотношение (также выписанное в работе Праудмена и Рида) очень
громоздко; поэтому вместо Фи ? удобнее выбрать другие неизвест-
неизвестные функции.
Поскольку функция Г (к) наиболее естественно выражается через
Г (ft, k\ \i) — tktFtjj(kt ft'), в качестве одной из неизвестных целе-
целесообразно принять функцию Г (к, ft', (ыI). Уравнение для нее можно по-
получить, выразив в A9.11) спектральные тензоры четвертого порядка
через Ftj(k) по формуле A9.26). Проделав это и представив затем
спектральные тензоры в виде A2.73), можно привести уравнение A9.11)
к виду
. ft', |1. *) = A-II2){/*(*. t)F(k\
_/>(*, t)F(k",
'.t t)F(k\
k\ \i, t). A9.31)
Замкнутая система, состоящая из этого уравнения, уравнения A4.14)
и равенства A9.13), заметно удобнее системы с неизвестными Ф, ^Ри F.
Если интересоваться лишь нахождением спектральной функции
F(k, t)% то уравнение A9.31) можно еще упростить. В самом деле,
при вычислении F (k% t) нужны не сами значения Г (k, k'\ (ы, f),
г лишь значения интеграла от этой функции nodkf. Но если мы
добавим к правой части A9.31) произвольную функцию от к, k't \i, t
(или, что то же самое, от k, k\ k", t), интеграл по dk' от которой
1) Вместо функции Г (?, kf, \i) можно также, следуя работе Тацуми A967а),
использовать функцию Г*1* (k, k\ \x) = ikiFjji (k, k'\ интеграл по dk' от
которой тоже совпадаете функцией Г (k). Однако функция ГA)(?, k\ ц)
не антисимметрична по k, k' и из-за этого менее удобна, чем Г \k, k\ \i).

252 гл. vii. изотропная турбулентность [19.3
при всех k и t обращается в нуль, и сохраним неизменным начальное
значение Г(&, k', |ы, /0), то интеграл по dkr от решения Г(&, k\ |ы, t)
уравнения A9.31) не. изменится; 'следовательно, и значения F(k, t)
при этом останутся прежними. Поэтому при изучении спектра F(k, t)
к правой части A9.31) можно добавить, например, любую функцию
от к, k\ k"\ t, антисимметричную по k' и k" (т. е. меняющую знак
при замене к' на к" и к" на ?', a \ikk' = ккг на ftft" = — k2- \ikk').
Антисимметричной по kr и к" будет, в частности, функция
. t)F(k\ t)[-
'% t)F(k". t)\\ikk'-\-2k2-(k2 —
Следовательно, уравнения A4.14) и A9.31) можно переписать в виде
сю 1
OF (ft, t) = 2я Г Гг (Л; Л/э ^ t)k'2dk'd\i- 2vk2F(k, /). A9*32)
с» J J
_ 0-1
к. OI/'^.'O^+^C*". Oiiftft'] —
-/'(ft', of (ft".
2 0ri(^. *'. ^ 0 A9.33)
(вместо Г (ft, &', (ы, /) мы теперь пишем F^ft, ife/, (ы, /), так как
решение уравнения A9.33) уже не совпадает с функцией iklFiii(Jk, к')).
Система уравнений A9.32) и A9.33) была выведена Тацуми A957а),
предложившим наряду с ней использовать также и уравнения
сю 1
г) r==2jtJ /Г2(*« *'• I*. t)k'2dk'd\i — 2vk2F(k, t). A9.34)
.^. |*. О =^_2[/7(ft, t) — F(k', t)\F(k\ t)X
A9.35)
получающиеся путем добавления к правой части A9.33) еще одной
антисимметричной по к1 и к!' функции ot ft, ft', ft", Л Системы

19.3]
§ 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ
253
A9.32) — A9.33) и A9.34) —A9.35) заметно проще, чем система урав-
уравнений A4.14) и A9.31); поэтому в дальнейшем мы будем рассматри-
рассматривать только их.
Уравнения первого порядка A9.33) и A9.35) без труда интегри-
интегрируются:
I\(ft, ft', |i, t) = T(k, ft', |i, tde-KV-** —
t
— 2A—i*2) J *-*«-*') {/'(ft, t')[F(k'9 t')k2 +
u
t\ A9.36)
A9.37)
r2(ft, ft',
'] — F(k', t')F(k",
= r(ft, ft', |i, 10)е-««-'°)-
— F(k'. t'
где /C = 2v(ft2 + ft' + |iftft') = v(ft2 + ft'2 + ft''2) и предполагается,
что Г! (ft, ft', ji, /0) = r2(fe, ft', |i, /0) = Г(Л, ft', |i, /0). Подстановка
выражений A9.36) и A9.37) в A9.32) и, соответственно, A9.34) при-
приводит к интегро-дифференциальному уравнению относительно функции
F (ft,/)- Это уравнение по своей структуре довольно близко к уравнениям
относительно Я (ft, I) (или/: (ft, f))% рассматривавшимся в § 17; однако
оно значительно более сложно и его физический смысл заметно менее
нагляден.
Спектральный перенос энергии W (kv t)% игравший основную роль
в гипотезах § 17, теперь в силу A9.13) и A9.37) будет определяться
формулой
1
k 0
k, 0
to)d\JL
-1
dkdk'
X
fc, 0
t')
I
t')-F(k',tf)\K
to -1
+ ,iftft
'Yi—v^df
d\i
k4'*dkdk\ A9.38)
где e (t) = exp {— Kt) = exp {— 2v (ft2 + ft'2 + jxftft') ^}. Поскольку
подынтегральные выражения и в первом и во втором членах A9.38)
антисимметричны по ft и ft', условие W@, t) — 0 (равносильное A4.18))
выполняется тождественно. В силу антисимметрии подынтегральных
выражений интегралы по dk' в формуле A9.38) можно считать

254 гл. vii. изотропная турбулентность [19.3
распространенными лишь от 0 до kv Следовательно, здесь имеет
место представление вида A7.13):
00 kx
W(kv t)= J J Я (ft, ft', t)dkdk\ 'A9.39)
kx о
где функцию
l
P(ft, ft', t) = Sn2 J e(t — to)T(k, ft', \i, to)k2k/2d\i —
-i
t l
— jdt'jd\ie (t — t') [E (ft, У) ft/2 — E (ft', /') ft2] f (ft^, /') X
* 1
A9.40)
можно интерпретировать как плотность потока энергии из интервала
спектра (ft', ft' + dft') в интервал (ft, ft-j-tfft) в момент *. Эта функ-
функция зависит не только от ?(ft) и E(k!), но и от всех значений
E(k") = E (|ft + ft' |) и при ft = ft' непрерывно переходит через нуль
в полном соответствии с тем, чего следует ожидать от «истинной»
функции Р (ft, ft').
Рассмотрим частный случай турбулентности с настолько большим
числом Рейнольдса, что силами вязкости можно в первом приближе-
приближении пренебречь. Полагая в A9.32) и A9.33) v = 0, мы получим сле-
следующее интегро-дифференциальное уравнение для /'(ft, t):
оо 1
— 4nj J [F(k. t)[F(k\
О -1
— F(k't t)F(k", t)(k2-\-\ikk'))(l — \i2) k'2 dk'd\i. A9.41)
Помножим обе части A9.41) на ft2 и, проинтегрировав их затем по
всему пространству векторов ft, после несложных преобразований
(включающих замену в некоторых, случаях интегрирования по dkdkr
интегрированием по dkdk" или по dk' dk"), мы получим соотношение
, t)k*dk\ . A9.42)
Ясно, что это соотношение можно переписать в виде
оо г оо -|2
-^ Г E(k, t)k2dk — ^ J ?(ft, t)k2dk\ , A9.43)
о Lo J
оо г о
о Lo

19.3] § it. уравнения для старших моментов
или же (в силу A1.83)) —в виде
255
A9.44)
указанном Праудменом и Ридом A954); оно описывает порождение
завихренности деформационным полем потока.
Интегрируя A9.44) один раз, мы придем к нелинейному диффе-
дифференциальному уравнению первого порядка, решением которого является
эллиптическая функция Вейерштрасса. $ (х; О, 1):
(fI/2
:; 0, 1), х = -^ (cofI/2 (/ — tx)t A9.45)
где (dJ и tx — постоянные интегрирования. График одного периода
периодической функции $(х; 0, 1) показан на рис. 41; х0 здесь озна-
означает половину периода, т. е. г 2
хож 1,53 (см. Янке, Эмде и Лёш w №о
(I960)). Начальные значения ?4
12
. to)k2dk
da2
dt
со
= 2 f T(k, to)k2dk
to У
10
8
6
4
2
0,5 1ft 1,5 2,0
Рис. 41. Зависимость ©Y^o 0T xl\
по Праудмёну и Риду A954). .
определяются значениями F(k, t0)
и Г(^, k\ |ji, t0) и могут быть
совершенно произвольными, так
что в начальный момент t = t0
мы можем оказаться в любой
точке кривой рис. 41. Дальнейший же ход процесса изменения
завихренности будет однозначно определяться начальными усло-
условиями, причем при некоторых условиях (отвечающих точкам левой
половины кривой) инерционное движение жидких частиц будет сна-
сначала вызывать кратковременное убывание завихренности, в то время
как при других условиях (отвечающих точкам правой половины кри-
кривой) завихренность с самого начала будет все время возрастать. Если бы
не действие вязкости, то за конечный промежуток времени (также
зависящий от начальных условий) завихренность при любых начальных
условиях стала бы бесконечно большой; в действительности же не-
неограниченному возрастанию завихренности будет противодействовать
возрастание диссипации энергии под действием вязкости. Окончатель-
Окончательный рост завихренности согласуется с физическими представлениями

256 гл. vii. изотропная турбулентность [19.3
о растяжении вихревых трубок, вызываемом инерционным движением (см.
с»
стр. 129—130); в силу соотношения -^- = 2 T(k, t)k2dk он пока-
показывает также, что в изотропной турбулентности с равными нулю чет-
четвертыми семиинвариантами при любых начальных условиях перенос
энергии по спектру в конце концов всегда оказывается в среднем
направленным от крупных вихрей к мелким, а не наоборот.
Нетрудно видеть, что гипотеза Миллионщикова нужна лишь для
определения коэффициента в правой части уравнения A9.44), а вид
его вытекает из одного лишь условия изотропности. В самом деле,
опустив в уравнении A5.8) член, пропорциональный коэффициенту
вязкости, мы придем к уравнению, которое можно записать в виде
где s — асимметрия величины -^-. Продифференцировав A9.46) по t,
получаем соотношение
Таким образом, из гипотезы Миллионщикова следует, что
A9.48)
Это значение \s\ по порядку величины совпадает с эмпирическими дан-
данными (о которых см. стр. 224), но оно не удовлетворяет неравенству
15.|<^2/|/г7«0,76, которому в силу результата Бетчова A2.109)
должно удовлетворять значение | s | для любого соленоидального изо-
изотропного векторного поля с равными нулю четвертыми семиинвариан-
семиинвариантами. Последнее обстоятельство является следствием того, что при за-
заданных вторых и третьих моментах распределение вероятности с рав-
равными нулю четвертыми семиинвариантами может и не существовать; оно
тесно связано с недопустимостью произвольного обрывания ряда Тэй-
лора для логарифма характеристического функционала, о которой
говорилось на стр. 201 части 1 книги.
Другое интересное следствие из уравнения A9.41) касается асим-
асимптотического поведения функции F(kt t) при &->0, на которое вяз-
вязкость, естественно, не оказывает влияния. При очень малых k основную
роль й правой части A9.41) играет член подынтегрального выражения,

19.3] § 19. уравнения для старших моментов 287
не содержащий F(k, t)\ учитывая, что к" « к' + \ьк при ?->0, из
A9.41) получаем
оо
A9.49)
(см. Праудмен и Рид A954)). Отсюда видно, что если даже F(k, ^0) =
==о(&2) при малых к (т. е. если начальный интеграл Лойцянского
равен нулю), то члены порядка k2 все равно появятся в F(k, t) в по-
последующие моменты времени, причем если F(k, t) = С (t) k2-{-о (к2),
^^1 j
то ??^L^^1 j[F(k, t)]2k2dk>0, так что коэффициент С@
изменяется со временем. Согласно сказанному на стр. 133 отсюда
вытекает, что в изотропной турбулентности с равными нулю четвер-
четвертыми семиинвариантами функция BLLtL(r) убывает при г—>оо> как
г~4; иначе интеграл Лойцянского не мог бы быть сходящимся, но не
постоянным.
Из сравнения A9.33) с A9.41) видно, что если Г(&, k\ [A, *0) = 0»
то производная —at в момент * = *о будет равна значению в этот
момент правой части равенства A9.41). Рассмотрим теперь, искус-
искусственный пример (далекий от реальных турбулентных течений), в кото-
котором в начальный момент t = tQ поле скорости имеет нормальные рас-
распределения вероятностей, так что и моменты третьего порядка поля
и(х) (через которые выражаются функции Г (k, k\ [i) и Г (к)) и семи-
семиинварианты четвертого порядка при t=t0 равны нулю. В этом случае для
любого начального значения спектра Е(к, to) = 4nk2F(kt t0) можно
с помощью A9.41) определить характер переноса энергии по спектру
Г (ft, t)& dT ik:to) (t — t0) и T(k, 0 = 4л&2Г(А, t)9 появляющегося
при малых положительных значениях t — tQ. Подобные расчеты, за-
заметно более простые, чем полное решение системы уравнений для Е (к, f)
и Г(&, t), для ряда начальных спектров были произведены, в частности,
Праудменом и Ридом A954) и Тацуми A957а). Так, Тацуми
показал, что в случае идеализированного начального «равномерного»
спектра E(kt to) — Eok2, F(k, tQ) = Е0/4л = const (которому отвечает
бесконечная энергия) —i~-^ = 0, откуда видно, что при v = 0 и на-
начальном нормальном распределении поля скорости равномерный спектр
вообще не меняется со временем; этот результат хорошо согласуется
с выводом Хопфа и Титта A953), о котором мы будем говорить
в гл. 10- (см. стр. 649—650). Результаты, относящиеся к случаю
начального спектра вида E(k, to) = EQ(j-) e-Wk*?t характерного
17 А. С, Монин, А. М. Яглом

258
ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[19.3
для «заключительного периода» вырождения, и * идеализированного
начального «линейного» спектра Е (ft) = Ео 6 (ft—ft0), где 6 (ft) — функ-
функция Дирака, изображены на рис. 42, а и б. Мы видим, что в первом
из этих случаев перераспределение энергии по спектру уже при сколь
угодно малых t —10 имеет разумный характер, близкий к тому, ко-
который наблюдается в реальных турбулентных потоках. Во втором
случае турбулентное перемешивание стремится перераспределить энер-
энергию «спектральной линии» ft = ft0 по непрерывному спектральному
-0,3-
Рис. 42. Перенос энергии по спектру в начальный момент для двух моделей
спектра E(k% t0) по Праудмену и Риду A954) и Тацуми A957а).
интервалу; при этом перенос энергии в основном происходит в «пра-
«правильном» направлении — в область более коротких волн, но некото-
некоторая доля энергии переходит и к более крупномасштабным возмуще-
возмущениям с ft < ft0.
Результаты, изображенные на рис. 42, относятся лишь к самым
первым моментам времени после t = t0, но зато они получаются при
одном лишь предположении о нормальности начального распределения
вероятностей без всяких дополнительных гипотез. При исследовании
дальнейшего изменения спектра ?(ft, t) приходится уже принять не-
нестрогое предположение о том, что семиинварианты четвертого по-
порядка поля скорости все время остаются тождественно равными нулю.
В этом предположении Тацуми A957а, б) с помощью уравнений A9.32)
и A9.33) вычислил несколько первых членов разложения решения
E(k,t) (отвечающего начальным условиям E(ft, to) = EQb{k — fta),
Г (ft, ft', [i, to) = O) в ряды по степеням времени t —10 и числа Рей-
нольдса Re = (?0I/2/vft0. Более полное решение нашел Огура A9626,
1963), численно проинтегрировавший систему уравнений A9.32) и A9.33)
(в первой работе при v = 0, а во второй — при нескольких конечных
значениях v) с начальными условиями ?(ft, to) — E0(klkoLe-(ktk<>?t
Г (ft, ft', (X, ?0) = 0. При этом выяснилось, что рассчитанное изменение

19.3]
§ 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ
259
формы спектра E(k, t) во времени в рассматриваемом очень специаль-
специальном случае сначала имело правдоподобный характер, но при всех не
слишком больших v (т. е. не слишком малом начальном числе Рей-
нольдса) начиная с некоторого момента времени t спектр E(k, t)
принимал небольшие отрицательные значения на каком-то интервале
значений k (см., например, рис. 43). Тем самым данные Огура еще раз
показали, что использование гипотезы Миллионщикова для расчета
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
О
-0,1
2 4
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
к
Рис. 43. Пример эволюции во времени спектра Е (?), рас-
рассчитанный Огура A963) с помощью гипотезы Миллион-
Миллионщикова.
эволюции турбулентности в течение длительного промежутка времени
иногда может привести к физически невозможным результатам,
несмотря на то что ее применение при расчетах, относящихся к одному
моменту или к короткому промежутку времени, по-видимому, во многих
случаях не приводит к серьезным ошибкам*).
!) То, что неосторожное применение гипотезы Миллионщикова может
иногда привести к противоречащим законам физики результатам, было по-
показано также Крейчнаном A957) на примере, в котором эта гипотеза при-
применялась к двухвременным семиинвариантам четвертого порядка поля ско-
скорости; другой подобный пример указал Одзи A961). Появление при достаточно
большом Г отрицательных участков в спектре E(k,t), рассчитанном с по-
помощью гипотезы Миллионщикова, было впервые обнаружено Огура A962а)
для модели двумерной изотропной турбулентности. Любопытно, что форма
перераспределения энергии Т (k, f) в случае двумерной турбулентности ока-
оказалась совсем иной, чем в трехмерном случае: вместо того, чтобы быть
в основном отрицательной при малых k и положительной при больших k
(в соответствии с обычным представлением о том, что перенос энергии происхо-
происходит в основном от крупных возмущений к мелким), для двумерной турбу-
турбулентности функция Т(к) оказалась положительной и наибольшей по модулю
в области наименьших значений k, отрицательной при промежуточных k и
снова положительной при очень больших k. Такое поведение функции Т (k)
можно объяснить тем, что в двумерной турбулентности при v = 0 (а Огура
рассматривал именно этот случай) в силу закона сохранения вихря не только
17*

260 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.4
19*4* Замыкание уравнений для моментов, содержащих
температуру, с помощью гипотезы Миллионщикова
Применим теперь гипотезу Миллионщикова о равенстве нулю семиинва-
семиинвариантов четвертого порядка гидродинамических полей к смешанным трех-
трехточечным семиинвариантам, содержащим две компоненты скорости а и два
значения температуры $. Тогда уравнения для вторых моментов поля тем-
температуры и третьих смешанных моментов температуры и скорости будут
образовывать замкнутую систему. В самом деле, равенство нулю указанных
четвертых семиинвариантов эквивалентно соотношениям
Для изотропной турбулентности, в которой ujfF = 0, отсюда получаем
% <ь * (г. г') - Ви @) В** (г - г')« ЬИ 7? ВМ (г- г').
Я/О, у. * (г. /") = % (г) Я<н> (О- '
Из первого равенства О&бО') в силу связи Д/? с производными скорости
вытекает, что
Следовательно, ?р<ю (г, г') == 0 (это — единственное ограниченное решение
уравнения Лапласа A9.51), стремящееся к нулю при г->оо или г'-^оо).
Подставляя (Ш.бО') и A9.51) в уравнение A9.14) для третьих смешанных
Т (k) dk = 0, но и /г2Г (/г) dk = 0; оно указывает на принципиальное раз-
0 0
личие процессов турбулентного перемешивания в пространствах двух и трех
измерений. Позже отрицательность спектра, получаемого исходя из гипотезы
Миллионщикова, была обнаружена также Хазен A963) для течения с по-
постоянным градиентом средней скорости.
Заметим еще, что, как показал Мичем A965), обнаруженное в работе
Крейчнана A957) противоречие можно легко устранить, слегка изменив при-
применявшийся в этой работе метод использования гипотезы Миллионщикова.
Что же касается появления отрицательного спектра, то от него, по-видимому,
нетрудно избавиться, немного усложнив уравнение A9.33) (или A9.35)) по-
подобно тому, как это предложил сделать Дж. Ли A966) в применении к ана-
аналогичным уравнениям для моментов, содержащих температуру. При этом,
однако, мы фактически приходим к новой полуэмпирической гипотезе о пе-
переносе энергии по спектру (более сложной, но и более точной, чем гипо-
гипотезы § 17), степень точности которой может быть установлена лишь при
помощи сравнения с достаточно обширными и детальными эмпирическими
материалами о вырождении изотропной турбулентности, отсутствующими
в настоящее время.

19.4] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 261
моментов температуры и скорости, получим
r, r', t) = -\BJm(r, O-^- + BM(r'. О -±Авм(Г'-г, t) +
При известных функциях B}m(r, t) уравнение A9.52) вместе с уравнением
Корсина A4.59) образует замкнутую систему. При v = % = 0 из этой системы,
в частности, вытекает, что
'Ч^- 1»> О-»ыСг. <»}• (ШЦ
После перехода от корреляционных функций к спектральным равен-
равенства A9.50') приобретают вид
, О, о (k, k') = 0, Fib. Jt <> (fc, ?') = ^y (k) Fm (k'). A9.54)
Следовательно, спектральное уравнение A9.15) при использовании гипотезы
Миллионщикова обращается в уравнение
-ik'mF]m(- k - k') F^ (k) - [(v + x) (Л2 + k'2) + 2vkkf] Fm (k. k'). A9.55)
Переходя от векторного уравнения A9.55) к скалярному уравнению относи-
относительно функции T$(k, k\ \i)^ ikjFjffo(k, k') == — ik'jFjb&(k, kf) и вводя
вместо переменных k, k', \\ переменные kt k't k" = I k + k' |, после неслож-
несложных преобразований получим
. k'. k\ 0«Q(^*) [/><н>(*'. t)-F<H>(b> t)]F(k\ 0-
- [v (Л« + Л/2) + x*] Го (Л, Л'. Л". 0. (W.56)
где
k — V— k'A — k. A9.57)
Уравнение A9.56) вместе со спектральным уравнением поля темпера-
температуры A4.62) или A4.63) и соотношением A9.20), позволяющим выразить
гФо(^) через Г<>(?. ?', k"), образуют замкнутую систему. Эту систему не-
нетрудно переписать в виде одного интегро-дифференциального уравнения
относительно спектра температуры Е$$ (k, t). Получающееся уравнение будет
иметь тот же вид, что и общее спектральное уравнение A4.63), но перерас-
перераспределение интенсивности температурных неоднородностей по спектру вол-
волновых чисел теперь будет описываться формулой
с»
t)= Г Рь (k, k', t) dk\ A9.58)

(t - П [E<n (k, t') k'2 -
262 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [W.4
где
k' t) =* 16я2 ех (t — t0) Го (k, k't \i, t0) k2k'2 d\i —
/ i
r
PA* thf *f\ h2\ P lh" t\ V V^» ^ i ^ / /1Q CQ\
4?
a ^, (^) = exp {— [v(k2-\- k'2) + %k] t). Антисимметричную по k и k' функ-
функцию A9.59) естественно интерпретировать как плотность потока интенсив-
интенсивности пульсаций температуры из спектрального интервала (?', k'-\-dk')
в ийтервал (k, k-\-dk).
В частном случае, когда можно пренебречь действием вязкости и тепло-
теплопроводности, продифференцировав обе стороны A9.53) дважды по г и пола-
полагая затем г = 0, получим
d2
Равенство A9.60) можно переписать также в спектральном виде
с» оо с»
-^ J Ем (k. t) k* dk = i- j E^ (k. t) k2dk J E (k, t) k* dk A9.61)
0 0 0
J
0
или, наконец, в виде
A9.62)
Уравнение A9.62) (указанное Ридом A955)) при заданной зависимости (о5
от t может быть использовано для исследования закона возрастания вели-
величины (gradti4J в изотропной турбулентности с очень большими числами
Рейнольдса и Пекле и равными нулю четвертыми семиинвариантами.
В частности, рассматривая перемешивание возникших в некоторый момент
времени t = tQ температурных неоднородностей в стационарной турбулент-
турбулентности, __можнр_ считать, что ©2 = const; в таком случае в силу A9.62) вели-
величина (gradftJ при больших значениях t —10 будет возрастать экспонен-
экспоненциально:
(gradtfJ~expjy |>^ Л A9.63)
(в действительности такое экспоненциальное возрастание будет продол-
продолжаться лишь до тех пор, пока не станет существенным влияние теплопро-
теплопроводности). Еще более быстрое возрастание среднего градиента температуры
получается, если учесть вызываемое турбулентным перемешиванием воз-
возрастание завихренности со временем. Так, например, если принять, что о2
возрастает в соответствии с уравнением A9.44), то решением {19.62) будет
функция
$ 7 41/2«-<о).' A9.64)

19.4] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 263
где р (х) -~ эллиптическая функция Вейерштрасса, а Э§, и>1 и /0 —постоян-
—постоянные интегрирования; эта функция уже в течение конечного промежутка
времени возрастает до бесконечности.
Опустив слагаемое с коэффициентом х в уравнении A5.13), описываю-
описывающем возрастание величины (grad ftJ в произвольной изотропной турбулент-
турбулентности, мы получим равенство
d (grad ftJ „
Преобразовав здесь правую часть с помоцью первой формулы A2.110),
а затем продифференцировав это равенство по t (считая s$ = const) и учтя
соотношение A9.47), получим
(grad О)* = (j sb + Jg. s) so (grad ft)'. 5*. A9.66)
75ГЫ 2 ^,()
где
dxx ) J \ dxx
Отсюда видно, что из обращения в нуль смешанных четвертых семиинва-
семиинвариантов скорости и температуры вытекает, соотношение
|4в|- A9-68>
Если здесь положить s«—0,4 (в соответствии с эмпирическими данными
Таунсенда; <*м. Стр. 224), то получится s^ « — 0,55, а при s«—0,78 (зна-
(значение 5, гыгекающее из гипотезы Миллионщикова для поля скорости)
Sfl«— 0,6; оба эти значения не противоречат общей оценке A2.118) вели-
величины 5ф. Заметим также, что уравнения A9.62) и A9.56) не противоречат
инвариантности интеграла Корсина A5.20); согласно этим уравнениям при
очень малых k главный член ^—- будет порядка k\ что вполне сов-
совместимо с инвариантностью коэффициента при k2 в тэйлоровском разложении
функции F$ft (kt t), пропорционального интегралу Корсина. ^
В случае, когда совместные распределения вероятностей для начальных
полей и(х, t0) и #(дс, ^о) (где ^фиксировано) нормальны, значения величины
Г^ (k, k'\ \i) и семиинвариантов четвертого порядка полей скорости и тем-
температуры в момент t = t0 будут равны нулю. В силу A9.20) и A9.56) отсюда
вытекает, что
dt I
'г—1
00 1
Q(k.k\k")
_ Г Г
0 -1

264 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.4
Задав как-то значения E(kt t0) и E^(k, to)t мы можем с помощью этой
формулы вычислить значение переноса интенсивности пульсаций по спектру
a ~ d^oo (k, tQ)
. 4 » ^
при малых положительных значениях t —10. Ряд примеров подобных рас-
расчетов собран в работе О'Брайена A963).
Полная система уравнений A4.62) и A9.56) была численно проинтегри-
проинтегрирована О'Брайеном и Фрэнсисом A962) в предположении, что энергетиче-
энергетический спектр E(k) не меняется со временем (турбулентность стационарна)
и в некоторой системе единиц задается формулой ?(?) = Щ^е~к%*
а ?#& (kt t0) a Bxk2e~k\ Г<> (k, k', \it t0) = 0. Для случая v = x = 0 (т. е. при
бесконечно больших числах Рейнольдса и Пекле) интегрирование указанной
системы уравнений привело к результатам, качественно близким к тем, кото-
которые получил Огура A9626, 19оЗ) для поля скорости (см. выше стр. 258—259).
В частности, форма спектрального перераспределения Tqq (k, t) и здесь по-
показывает, что перенос среднего квадрата пульсаций Ф происходит от крупно-
крупномасштабных неоднородностей к мелкомасштабным, как этого и следовало
ожидать; однако спектр ?ад> (&, t) через определенный промежуток времени
и здесь начинает принимать также и отрицательные значения. О'Брайен и
Фрэнсис рассмотрели также случай, в котором коэффициенты v и % считались
отличными от нуля и, кроме tofo, предполагалось, что рассматриваемая при-
примесь принимает участие в химической реакции первого порядка (ср. стр. 244);
в этом случае результаты расчета снова оказались сравнительно близкими
по характеру к тем, которые представлены на рис. 43. Аналогичные резуль-
результаты получил и Дж. Ли A966), рассмотревший еще один пример того же
типа (с отличными от нуля коэффициентами v и %, но уже без допущения
о химической реакции) и сравнивший полученные при этом результаты
с результатами, получающимися при использовании некоторых других мето-
методов замыкания уравнений для моментов (а именно: гипотезы Гейзенберга
A7.8), пренебрежения пятыми моментами, модифицированной гипотезы Мил-
лионщикова, позволяющей избавиться от появления отрицательных участков
спектра, и приближения Крейчнана, о котором еще будет речь на стр. 283).
Наконец, О Брайен и Пергамент A964) показали, что результаты того же
типа получаются и тогда, когда максимумы спектров E(k) и E^(k,t0)
заметно сдвинуты друг относительно друга.
То обстоятельство, что при применении гипотезы Миллионщикова
о равенстве нулю четвертых семиинвариантов к исследованию эволюции
поля Ф (х, t) в течение сравнительно длительного времени спектр ?<н> (&, t)
может оказаться принимающим и отрицательные значения, было предсказано
также Крейчнаном A962). Этот автор, следуя идее Робертса A957), приме*
нил указанную гипотезу к решению задачи о распределении концентрации
примеси от мгновенного точечного источника в поле стационарной изотроп-
изотропной турбулентности и показал, что при большом времени диффузии рас-
рассчитанная концентрация оказывается принимающей и отрицательные значе-
значения (см. ниже стр. 471). Крейчнан рассмотрел также случай, когда равными
нулю принимаются лишь пятые или даже шестые семиинварианты; согласно
его данным, при этом тоже получаются некоторые, невозможные с точки
зрения физики результаты, которых, по-видимому, нельзя избежать при
обрыве последовательности семиинвариантов на любом сколь угодно далеком
члене.

19.5J § 19- уравнения для старших моментов 265
19.5. Пространственно-временные корреляционные функции.
Модель стационарной изотропной турбулентности
До сих пор нами рассматривались лишь чисто пространственные корре-
корреляционные функции, относящиеся к одному моменту времени. Более пол-
полными статистическими характеристиками турбулентности будут простран-
пространственно-временные корреляционные функции, описывающие связь гидродина-
гидродинамических элементов потока в различных точках и в разные моменты времени.
Динамические уравнения для пространственно-временных корреляционных
функций выводятся даже проще, чем аналогичные уравнения для чисто про-
пространственных статистических характеристик. Однако такие корреляционные
функции зависят от большего числа переменных, вследствие чего их изу-
изучение оказывается гораздо более сложным.
Пространственно-временной корреляционный тензор поля скорости опре-
определяется при помощи равенства
Ви (х, ft х', П = а, (х, ОМ*'.*')- A9.69)
Выписав уравнение Навье — Стокса для компоненты щ (xt t), умножив все
его члены на величину uj (x't f) и осреднив результат, получаем динами-
динамическое уравнение
дВи (х, ft х', П dBikt j (х, ft x\ t')
Я ¦ dxk
1 dBp)(x,t\x',t')
<1970>
где Biktj(x,t\x', f) = а, (х, О «л (л. О "У (*'• П и ВрУ (х, ft *'. *') =
= р (х, О wy (*'» *')• В случае изотропной турбулентности в несжимаемой
жидкости Яру = О, а тензоры Б/у и 5^, j обычным образом выражаются
через скалярные функции BLL(r,t,t') и BLL L(г, ft *'); при этом A9.70)
обращается в уравнение
дЯ^ (г, t Г) 1 Г дЯ^ L (г, ft О 4
ut 2 [ дг г ??» ^
>Brr(rJJ') 4 dB.r(r,t,t')
очень близкое к уравнению Кармана — Ховарта A4.9). Аналогично выво-
выводится и уравнение
dBLL (г, ft ?) 1 Г dBLL L (r, t\ 0 4
5F = " L 5г '7 ^^. L^'* *
Г <*2Я/;/: (г. ft Г) 4 дЯ,, (г, ft *') 1
+ 4—^ ~+7 ar J- A9J2)
Уравнения A9.71) и A9.72) содержат по две неизвестные функции и по-
поэтому являются незамкнутыми. Правда, из этих двух уравнений нетрудно
исключить функцию BLL (г, t, t') (см. Репников A?ю7)), но тогда получаю-
получающееся уравнение относительно BLL L (r, ft t') будет содержать BLL L (г, t\ t),
т. е. фактически будет лишь связывать значения BLLL(r, t, *')'при t' <t
со значениями при f > t. Как и в случае уравнения' Кармана — Ховарта,

266 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.5
добавление уравнений относительно корреляционных функций высших по-
порядков также не позволяет получить замкнутую систему, и для замыкания
надо использовать дополнительные гипотезы. Проще всего предположить,
что моменты третьего порядка малы по сравнению со вторыми моментами.
В таком случае из A9.71) и A9.72) получаем
dBLL(r,t,t') dBLL(r,t,t') _ rd>Bu(r,t,t') 4 dBLL(r.t%r)-\
dt " dt' V L дг2 + г дг у
A9.73)
Переходя от переменных t и t' к tx = (t -f-1')/2 и т = t' — t) найдем, что
di °' Жх *[ W* +7 d?
A9.74)
Отсюда видно, что в линейной теории, где не учитываются третьи моменты
скорости, пространственно-временная корреляционная функция оказывается
зависящей лишь от «среднего времени» ti^t + t'ft (ноне от т = Г— t):
aL(x,t)uL(x',n-BLL(г. idj?) = Ви(г, tj. A9.75)
Пространственно-временной коэффициент корреляции
В.. (г, t.)
при этом уже будет зависеть и от т и, например, при степенном затухании
энергии турбулентности будет при фиксированном tx убывать с ростом т.
Зависимость функции BLL (г, ^) от tx должна совпасть с зависимостью от t
пространственной корреляционной функции ВlL (r, t) = ВLL (r, /, t), так что
в силу A5.44)
BLL
Jbu(I, ^ to)№*[»«+*-ъ>]•"w*=sff« дате)
о
х
(эта формула была указана Миллионщиковым A939а)). Таким образом, опре-
определение значений BLL (г, t, t') при всех t и f требует знания начального
значения только пространственной корреляционной функции ВLL (г, *0).
В случае начального значения BLL (r, tQ) с конечным и отличным от нуля
интегралом Лойцянского Л при больших значениях t-\-t'
г»
Исходя из эмпирических данных Бэтчелора и Таунсенда A948), о которых
шла речь на стр. 146—148, следует ожидать, что равенство A9.77) должно не-

19.5J § 19. уравнения для старших моментов 267
плохо удовлетворяться в турбулентном потоке за мелкой сеткой на доста-
достаточном расстоянии от нее; однако это никем не проверялось.
Результаты A9.76) и A9.77) могут быть применимы лишь на самом по-
последнем этапе вырождения турбулентности (при малых значениях Re). Немного
более точные результаты можно получить, оборвав уравнения для пространст-
пространственно-временных моментов с помощью гипотезы, что моменты какого-то
определенного порядка тождественно равны нулю (см., например, работу
Дейслера A961), в которой пренебрегается пространственно-временными
моментами четвертого порядка). В этом случае корреляционная функция
^LL^r' *' *') = **и(г' *г т) уже оказывается зависящей также и от перемен-
переменного т, а спектральное перераспределение энергии Т (k, t, t')~ T (k, tu x)
oo
удовлетворяет условию T dk = 0 лишь при т = 0.
Изучение функций ВLL (r, t, tf), BLL ? (r, 3f, tf) и т. д. от трех перемен-
переменных, вообще говоря, представляет собой очень сложную задачу. В дальней-
дальнейшем мы ограничимся лишь случаем, когда турбулентность не только изо-
изотропна, но и стационарна. В таком случае пространственно-временные кор-
корреляционные функции будут зависеть от двух переменных г и т == t' — t.
Разумеется, при наличии вязкости стационарность возможна лишь в при-
присутствии внешних сил, создающих приток энергии, который компенсирует
диссипацию энергии. Чтобы стационарная турбулентность была также и изо-
изотропной, внешние силы должны быть изотропными; отсюда видно, что такая
турбулентность представляет собой далеко идущую математическую идеали-
идеализацию (ср. описание изотропных внешних сил на стр. 104). Тем не менее
модель изотропной и стационарной турбулентности может быть полезна при
описании природных турбулентных потоков, обладающих свойствами ло-
локальной изотропности и квазистационарности, о которых мы будем подробно
говорить в следующей главе.
Рассмотрим, следуя Чандрасекару A955), случай стационарной изотроп-
изотропной турбулентности, в которой пространственно-временные семиинварианты
четвертого порядка поля скорости тождественно равны нулю. Поскольку
функция BLL (г, t, У) = BLL (г, t'% t) = BLL (г, т) зависит от т четным обра-
образом, можно заранее считать, что t' >t, т. е. т > 0. При этом второе из
уравнений A9.71), A9.72) позволяет лишь выразить функцию ВLL L (г, — т)
через BLiL(r*x) и Вц(г*хIУ* если не интересоваться значениями
В.. L(г, т)' при'т < 0, то достаточно рассмотреть лишь первое из этих урав-
уравнений. В стационарном случае оно принимает вид
Умножив уравнение Навье —Стокса для компоненты иг(х\?) на произве-
произведение щ (jc, t) uj (x, t) и осреднив результат, мы придем к равенству
) dBljtkl(r,x) I dBlJtP(r, т)
г" F
Тх г dFk ~" dFt +V drkdrk
1) В работе Чандрасекара A955) ошибочно утверждается, что
но это утверждение фактически нигде в указанной работе не используется.

268 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.5
связывающему третьи и четвертые пространственно-временные моменты.
Поскольку пространственно-временные семиинварианты четвертого порядка
(о которых в настоящее время нет никаких эмпирических данных) мы
условились считать равными нулю, то
, x)Bjk(r, х) + Ви@, 0)Bkl@, 0).
A9.80)
Подставив это выражение в уравнение A9.79) и выразив обычным образом
тензоры Bijt By, i и Btjt р (г, т) = Вр% tj (— г, — т) через скалярные функции
BLL (г. т), Ви L (г. т). Вр, LL (г, т) и Вр, NN (r, т), получим
4
Воспользовавшись равенством A8.8), вытекающим из гипотезы Миллионщи-
кова, нетрудно проверить, что правая часть X (г, т) уравнения A9.81) удо-
удовлетворяет соотношению
Тем самым мы получили замкнутую систему трех уравнений A9.78), A9.81)
и A9.82) относительно трех неизвестных функций dlv Bll и X от двух
переменных гит.
Применив к обеим сторонам A9.78) операцию "~"^ + v("XT"^ Т)
( д2 4 д\(д 4\ (д 4\/д2 4Г д Г 4^
( д2 , 4 д\(д . 4\ (д
и учтя, что ^ + Ty)AF+7)e[y)[)
можно с помощью A9.81) исключить неизвестную BLL L и прийти к ра-
равенству
Наконец, продифференцировав обе стороны A9.83) по г и использовав A9.82),
можно исключить и л (г, т) и получить одно уравнение относительно
Вгг (г» т)» имеющее вид
Это уравнение и было найдено Чандрасекаром A955). Его точность и об-
область приложимости пока что остаются совершенно неясными; ясно лишь,
что оно должно быть дополнено еще членами, описывающими влияние
внешних сил. С этой точки зрения преимущество имеет предложенный
Уайлдом A961) другой вывод уравнения A9.84), при котором оно получается

19.6] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 269
с помощью общих методов теории возмущений (см. ниже стр. 282). Но неза-
независимо от вопроса о точности уравнения {19.84) использовать его довольно
трудно: оно имеет довольно высокий порядок, и его решение требует при-
привлечения большого числа граничных и начальных условий, выбор которых
сопряжен со значительными трудностями. Исследованию уравнения A9.84)
(и его «спектральной формы») посвящен ряд работ (Чемберлен и Роберте
A955), Чандрасекар A956), Бакус A957), Уэнзел A958)), но конкретных
результатов, имеющих понятный физический смысл, исходя из него еще не
получено.
Рассуждения настоящего пункта могут быть перенесены и на случай
пространственно-временной корреляционной функции В^ (г, /, t') поля тем-
температуры О(дс, t). В частности, в случае стационарной изотропной турбу-
турбулентности с равными нулю пространственно-временными четвертыми семи-
семиинвариантами уравнение Корсина A4.59) обращается в равенство
W' * <1985>
а уравнение для третьих моментов (получаемое при помощи умножения
уравнения теплопроводности для Ф (х\ V) на и/ (jc, t) Ф (х, t), осреднения
полученного равенства и замены члена ?;#, у# по формуле, аналогичной
A9.80)) принимает вид
Применив к обеим частям A9.85) операцию —-г—(-^l _—|—_ j и учтя
соотношение A9.86), получим
Выводу этого уравнения посвящены работы Панчева A960) и Джейна A962);
однако в обоих случаях окончательный результат оказался неверным, так
как ошибочно предполагалось, что В^ ^ (г, т) = BL^ ^ (г, — т). Уравне-
Уравнение A9.87) родственно уравнению A9.84), но его использование требует
предварительного определения функции BLL{r, т) и поэтому еще более
затруднительно, чем использование уравнения A9.84).
19*6* Использование рядов теории возмущений
и метода диаграмм
В п. 19.2 мы отмечали, что замыкание уравнений для моментов поля ско-
скорости с помощью гипотезы об обращении в нуль моментов (л + 1)-го порядка
эквивалентно разложению моментов в ряды по степеням Re и сохранению
в рядах для л-х моментов лишь нулевых членов, для (л —1)-х моментов —
нулевых и первых членов и т. д. вплоть до вторых моментов, для которых
сохраняются члены до (л —2)-го порядка по Re. Аналогично в п. 19;3 отме-
отмечалось, что при использовании гипотезы об обращении в нуль семиинвариан-
семиинвариантов поля скорости (л+ 1)-го порядка в рядах по степеням Re для л-х момен-
моментов правильно определяются слагаемые до (л—2)-го порядка, для (л —1)-х
моментов — до (л — 1)-го порядка и т. д. вплоть до вторых моментов, для
которых правильно определяются члены до Bл — 4)-го порядка по Re.
Таким образом, использование рядов по степеням Re оказывается весьма
полезным для выяснения характера приближения, получающегося при

270 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.6
замыкании уравнений для моментов с помощью той или иной гипотезы (хотя
сами такие ряды при больших Re, типичных для развитой турбулентности,
по-видимому, расходятся и, следовательно, могут иметь лишь формальный
характер). Поэтому мы посвятим настоящий пункт специальному рассмотре-
рассмотрению рядов по степеням Re и начнем с использования таких рядов для реше-
решения уравнений гидродинамики еще до введения каких-либо статистических
процедур.
Напомним, что нелинейные члены уравнений Навье — Стокса (включая
градиент давления, квадратично выражающийся через поле скорости) описы-
описывают силы инерционного взаимодействия между пространственными неодно-
родностями поля скорости. Если перейти в этих уравнениях к безразмерным
переменным у = x\L, v = ujU ит = vt/L2 (где L и U — типичные масштабы
длины и скорости в рассматриваемом течении), то при нелинейных членах
появится множитель Re = UL/v, который, таким образом, будет играть роль
константы инерционного взаимодействия. Если Re мало, то силы инерцион-
инерционного взаимодействия будут создавать лишь малые возмущения «основного
потока», описываемого линейными уравнениями (получающимися из уравне-
уравнений Навье — Стокса отбрасыванием нелинейных членов). В этом случае
решение полных уравнений Навье — Стокса с помощью рядов по сте-
степеням Re будет представлять собой применение обычного метода теории
возмущений, и мы сможем использовать все ее общие результаты, включая
и разработанные в квантовой теории поля (см., например, Швебер, Бете и
Гофман A955)) способы графического изображения слагаемых ряда по сте-
степеням константы взаимодействия в виде некоторых «диаграмм». Если же Re
велико, так что инерционные взаимодействия очень сильны, то непосред-
непосредственное использование рядов по степеням константы взаимодействия будет,
как и всегда в теории систем с сильными взаимодействиями, неэффектив-
неэффективным, но формальные ряды по степеням Re все же будут полезными для
целей, указанных выше.
Имея в виду в дальнейшем рассмотреть введенную в предыдущем пункте
стационарную изотропную турбулентность, возможную лишь при наличии
поля внешних сил (которое само должно быть статистически стационарным
и изотропным и которое целесообразно считать также и соленоидальным)
мы запишем уравнения Навье — Стокса в виде
^) A9-88)>
где Xj — компоненты внешних сил. При этом мы воспользовались тем, что
вследствие несжимаемости давление выражается через поле скорости по
. д2иапа ,
формуле р/р = — А -х—3-*-- CДесь А — интегральный оператор, обратный
оха ох§
оператору Лапласа А). Будем далее обозначать точки четырехмерного про-
пространства-времени (дс, t)% (хх, tx) и т. д. буквами М, Мх и т. д. и пользо-
пользоваться сокращенными обозначениями типа dxx dx2 dx% dt = dM.
Нам будет удобно представить оператор в круглых скобках в правой
части A9.88), действующий на иаи^, в виде
Рщ(М, Мх)иа(Мх)и^(Мх)^ J Pm(M-Mx)ua(Mx)H(Mx)dMx. A9.89)
Представив иа (М) up (M) в виде интеграла по dMx от 6 (М — Мх)иа(Мх)и$(Мх\
убеждаемся, что ядро Руар (М) есть результат действия оператора в круглых
скобках в правой части A9.88) на сингулярную функцию 6 (М). Представив
последнюю в виде интеграла Фурье Bя)~4 I ei{^kx^^dp (здесь и далее мы

19.6] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 271
обозначаем четырехмерный «волновой вектор» (&, со) символом р и поль-
пользуемся сокращенным обозначением dkx dk2 dk3 doa = dp), получаем
- 4Bя)~4 J
G(Mt AIO/(Af,)= J G(M —
G (M) = B УШ)~* exp j _ ^LI e (t), A9.91)
где, как и выше, Д# (Л) = bjt — kjkt/k2t и выписана лишь симметричная по
индексам а и Р часть результата (только она фигурирует в определе-
определении A9.89) оператора Pja$)-
Введем также оператор Грина G (М% М{), обратный оператору f-g- —vAI,
фигурирующему в левой части уравнений Навье — Стокса A9.88). В без-
безграничном пространстве и при нулевых начальных условиях при t->—со
оператор С, как известно, представляет собой интегральный оператор
где
a E (t) равно единице при t > 0 и нулю при t < 0. Результат применения
этого оператора к полю внешних сил Xj(M), т. е. решение уравнений A9.88),
линеаризованных путем простого отбрасывания нелинейных слагаемых,
мы запишем в виде
G (М, Мх) Xj (Мх) = vff (M). A9.92)
Для дальнейших целей будет удобно пользоваться тензорным операто-
оператором Gji = bjiG. Тогда мы сможем записать результат применения опера-
оператора G к уравнению A9.88) в виде
uj (M) - Jf (M) + GJa (А*, Мг) PaPY (Mv М2) % (М2) «у (М2). A9.93)
Это уравнение является всего лишь символической интегральной формой
записи уравнений Навье — Стокса. Будем искать его решение uj(M) в виде
ряда по степеням Re. Вспомнив, что при записи уравнений Навье — Стокса
в безразмерных переменных при нелинейных членах стоит множителем
число Re, мы должны считать, что оператор Ра$у в A9.93) есть величина
порядка Re. Следовательно, полагая в A9.93) Re = 0, мы убеждаемся, что
ряд для uj (М) по степеням Re начинается со слагаемого и^ (М):
Uj (М) = uf (М) + uf (М) + uf (М)+ ..., A9.94)
где и!р (М) —- слагаемые порядка (ReO1. Подставив этот ряд в уравне-
уравнение A9.93) и собирая вместе слагаемые одинакового порядка по Re, при
первой степени Re, очевидно, получим
= OJa <М, М<) Pa3v (Мь М2) «jp (УИ2) «W (М2). A9.95)
метрию оператора Ра^у по индексам р и у» при второй сте-
стечим
(М) = 2GJa (Af, Мг) Рфу (Mv M2) 4°> (М2) «§) (М2) A9.96)

272 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.6
или, выражая «A) через »@) по формуле A9.95),
uf (М) = 2GJa (М, MJ Р^у (Mlt М2) 40) (М2) G^ (Af2, Мъ) X
(Мъ, М4) и$> (Л14) «<°> (М4). A9.97)
Выражения для слагаемых более высокого порядка становятся все более и
более громоздкими, но все они могут быть изображены графически в виде
очень простых «диаграмм». Именно, следуя Уайлду A961), будем изображать
оператор Gji(M, Mv) черточкой, одному концу которой приписываются
индекс ) и координата М, а другому — индекс / и координата Мх\ опера-
оператор Ра$у(М, л^) —точкой (называемой далее «вершиной»), которой при-
приписываются все имеющиеся здесь индексы (т. е. а, р и у) и обе коорди-
координаты М и Мг; функцию и^ (М) — выходящей из соответствующей вершины
- 4
Рис. 44.
пунктирной черточкой, которой приписываются индекс J и координата М.
Тогда формулы A9.95), A9.97) и не выписанная нами формула для и^ изо-
изобразятся диаграммами, показанными на рис. 44, которые отличаются тем свой-
свойством, что в каждой вершине сходятся три черточки: либо одна сплошная
и две пунктирные, либо две сплошные и одна пунктирная, либо три сплош-
сплошные (поскольку каждой вершине соответствует тройка индексов). Указанное
свойство позволяет обойтись изображением на диаграммах только сплошных
черточек, а пунктирные, так сказать, «держать в уме». Так мы и будем
поступать далее.
Теперь ясно, что слагаемое и^ ряда A9.94) изображается суммой все-
всевозможных диаграмм с п вершинами, имеющих структуру «деревьев», лежа-
лежащих на боку (это означает, что при движении по диаграмме слева направо
в каждой ее вершине возможно раздвоение). Можно убедиться, что каждая
диаграмма входит в эту сумму с множителем 2mi+m*, где т^ — число вершин,
в которых сходятся по две сплошных линии, а т2 — число вершин, в кото-
которых сходятся три сплошные линии, но происходит асимметричное раз-
раздвоение диаграммы. В качестве иллюстрации мы приводим на рис. 45 диа-
диаграммы для аD) и и№\
Перейдем теперь к использованию рядов по степеням Re для вычисления
статистических характеристик поля скорости. Наиболее полной статисти-
статистической характеристикой случайного поля является его характеристический
функционал (см. часть 1, п. 3.4). В гл. 10 мы выведем для характеристи-
характеристического функционала поля скорости некоторые динамические уравнения

19.6] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 273
и в п. 29.3 исследуем возможности их решения с помощью рядов по сте-
степеням Re. Здесь же мы продемонстрируем лишь, следуя Уайлду A961),
использование ряда A9.94) для вычисления вторых моментов поля скорости
в случае стационарной изотропной турбулентности.
В этом случае средняя скорость равна нулю, а вторые моменты поля
скорости будут иметь вид
uj (М) щ (М{) = Вп (М — Л*,). A9.98)
шд в рассматриваемом случае
ix сил Xj(M), а потому, cor
и нулзвого приближения для поля скорости ау(Л1):
Xj(M) Хг (М{) = С л (М — Mx)t A9.99)
Аналогичный A9.98) вид в рассматриваемом случае должны иметь вторые
моменты поля внешних сил Xj(M), а потому, согласно A9.93) и A9.92),
uf (M) 4°> (Мг) = вЩ (М - Мг). A9.100)
Будем вычислять корреляционную функцию A9.98), используя для поля ско-
скорости ряд A9.94), в котором все слагаемые выражены через а^ с помощью
UD)zz 8 • • • • + 4
+ 8 —•-< +8
•¦
-(
Рис. 45.
формул типа A9.95), A9.97) и т. д. Почленно перемножив два ряда A9.94),
о среди ив результат и сгруппировав слагаемые одинакового порядка по Re,
убеждаемся, что слагаемые порядка (ReO1 содержат (л -|- 2)-е моменты функ-
функции иР\ Будем считать, что поле внешних сил, а потому, согласно A9.92),
и поле иР\ является гауссовским с нулевым средним значением (это
предположение эквивалентно использованию «принципа максимальной слу-
случайности», предложенного Крейчнаном A959)). Тогда все нечетные моменты
поля я@) будут равны нулю, а четные будут выражаться через вторые по
формулам, справедливым для многомерных нормальных распределений
вероятностей (см. ч. 1, формула D.27)): среднее значение любого про-
произведения 2л множителей вида и^(Л!) будет состоять из 1-3-5.,. Bл—1)
слагаемых, являющихся всевозможными произведениями по л вторых момен-
моментов, составленных из указанных 2л множителей.
18 А. С. Монин, А. М. Яглом

274 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.6
Таким образом, разложение корреляционной функции A9.98) по степе-
степеням Re будет иметь вид
Bjt (М-Мг) = Я$ (М - Мг) + [af (М) и?) (А!,) + uf (М) и|Ж> (Щ +
- uf (M) ф (Af,)} + {и<;> (А!) 44> (М) + и<;> (А!) ^3) (Мг) +
р),мл]+ .... A9.101)
Для вычисления каждого из слагаемых и^ (М) и\п^ (Л^) надо почленно
«перемножить» все диаграммы, входящие в состав обоих множителей. Каждое
такое «произведение» двух диаграмм будет содержать (m -|- n -|- 2)-й момент
функции ul°\ который, согласно сказанному выше, или равняется нулю (при
\
ч
\
Рис. 46.
нечетном т-\-п) или распадается на сумму 1 • 3 - 5 ... (т + л +1) слагаемых,
содержащих всевозможные произведения вторых моментов (при четном т-\-п)
Каждое из указанных слагаемых можно изобразить графически, нарисовав
«перемножаемые» диаграммы рядом («ветвями» друг к другу) и соединив
попарно все имеющиеся в них пунктирные черточки (которые ранее «храни-
«хранились в уме»). Такие пунктирные черточки теперь будут обозначать «невоз-
«невозмущенные» корреляционные функции вида иф (М) uf) (Afj); их концам будут
соответствовать индексы у и / и координаты М и М{. Таким образом, член
нулевого порядка по Re в A9.101) будет изображаться просто пунктирной
черточкой. Три слагаемых второго порядка будут изображаться диаграммами,
показанными на рис. 46 (числовые множители здесь возникают из учета
множителей, фигурирующих при диаграммах рис. 44, а также из подсчета
всех топологически эквивалентных диаграмм, которым соответствуют одина-
одинаковые слагаемые).
Поскольку средняя скорость в рассматриваемой^ нами модели равна нулю,
и(п) __ о ПрИ любом н. в частности, величина иФ = ——* ~*j равна нулю,
так что и все диаграммы, содержащие элемент —**") . равны нулю. Сле-
Следовательно, вторые слагаемые в трех суммах, изображенных на рис. 46,
равны нулю. Аналогичный результат будет справедлив и для членов более
высокого порядка в A9.101): все диаграммы, содержащие элементы типа и^\
будут равны нулю; впредь мы их учитывать не будем. Составленные с учетом

19.6] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 275
этого правила диаграммы для членов A9.101) четвертого порядка изображены
на рис. 47 (диаграммы для и^Ыр и utyuf\ очевидно, получаются из диа-
диаграмм для ttfti^ и ауЦ^ при помощи отражения относительно вертикаль-
вертикальной оси),
-J6 Д, { , V- + # Bi r\
+ 7S
,А\
vt\-
Рис. 47.
Вместо корреляционных функций Bjt(M — Мх) можно пользоваться их
преобразованиями Фурье—спектральными функциями Fji(p), определяе-
определяемыми формулой
Fjl (Р) = Bл)-4 J е~* (*г -®т>?у, (г, т) rfr fifT. A9Л02)
Нетрудно убедиться, что диаграммы для Fji(p) будут иметь в точности
такой же вид, как для Bji(M—Мх), если интерпретировать сплошную чер-
черточку, концам которой соответствуют индексы j и /, как оператор умноже-
умножения на функцию
Г// (Р) - Ьп (- /со + v*2)-1, A9.103)

276 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.6
пунктирную черточку, концам которой соответствуют индексы ] и /, — как
спектральную функцию «невозмущенного» поля скорости F^j (p), а вершину,
которой ранее соответствовал оператор Рщ (Af, Mx), — как оператор
П (р, р2), который каждой паре функций q>.(p) и фЛр) ставит в соот-
соответствие величину
П/ар (P. Pi) Фа (Pi) % (Pi) = — 4 BлГ4 Л/ар (*) J Фа (Pi) % (Р - Pi) ^Pl
A9.104)
Если условиться, что на черточках, соответствующих величинам Тд (р) и
F(j)(p)t вектор р направлен от конца j к концу / (так что Тд(р) = Тц(—р)
и I*jl(p) = Ff}(—p)), а в случае Пуар(р, р2) вектор р направлен к вер-
вершине по линии, входящей в эту вершину концом /, то фигурирующее
+ 4
Г"
/\\
+76
+76
Рис. 48,
в A9.104) интегрирование можно интерпретировать так, что сумма волновых
векторов трех линий, входящих в каждую вершину, равна нулю, и по
всем волновым векторам, не фиксированным этим правилом, осуществляется
интегрирование.
Ряд A9.101) при больших Re, вероятно, расходится, так что сумма конечно-
конечного числа его младших членов вряд ли может служить приближенным выраже-
выражением для корреляционной (или спектральной) функции поля скорости. Однако
мы можем перегруппировать члены этого ряда в надежде, что сумма конеч-
конечного числа членов перегруппированного ряда уже будет представлять собой
приближение к корреляционной (или спектральной) функции. Для этой цели
преждз всего введем «обобщенный оператор Грина» G'jt (M, Мг) и «обобщен-
«обобщенную вершину» P'jqftiM, Mx) (или, в спектральной форме, Yrjt (p) и Пуар(р, р2))#
Определим первый из этих операторов как сумму диаграмм, содержащих на
обоих концах сплошные линии, которые соединены проходящей через всю
диаграмму последовательностью сплошных линий; соответствующие диаграммы
нулевого, второго и* четвертого порядка изображены на рис. 48. Второй опе-
оператор определим как сумму «треугольных» диаграмм, содержащих три «сво-
«свободные» вершины (к которым можно присоединить сплошную или пунктир.

19.6] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 277
ную линию), соединенные последовательностью сплошных линий; соответ-
соответствующие диаграммы первого, третьего и пятого порядка изображены на
рис. 49 (где к нарисованным диаграммам пятого порядка нужно еще добавить
диаграммы, получаемые из них поворотами на 120° и 240*).
Операторы G'^ и Р')<$ являются обобщением операторов G^ и Р^
в том же смысле, в каком корреляционная функция Bjt является обобщением
Л +* Д
+76
+™ /л +
Ал
Ал +;у /^ч
Рис. 49,
«невозмущенной» корреляционной функции ?^: младшими членами рядов
по степеням Re для каждой из трех «обобщенных» величин являются соот-
соответствующие «необобщенные» величины. Впредь мы будем изображать на
диаграммах величины В„, G1^ и Р1^ соответственно жирной пунктирной
линией, жирной сплошной линией и черным кружком.
Взяв одну из диаграмм для спектральной функции Fjt(p) (или другой
из наших трех обобщенных величин) и заменив в ней один или несколько
элементов (т. е. сплошных или пунктирных линий или точек) какими-то из
диаграмм для соответствующих обобщенных величин, мы получим диаграмму
более высокого порядка для Fji(p). Диаграммы, которые могут быть полу-
получены таким способом из диаграмм меньшего порядка, назовем приводимыми,
остальные — неприводимыми. Очевидно, все приводимые диаграммы могут
быть получены указанным способом из неприводимых, так что знания
последних достаточно для воспроизведения всех диаграмм. Далее, диаграмма,

278 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.6
в которой один или несколько элементов заменены соответствующими обоб-
обобщенными элементами, изображает сумму некоторой бесконечной подпосле-
подпоследовательности диаграмм, входящих в ряд по степеням Re для Fji(p). Таким
образом, можно ожидать, что этот ряд может быть представлен в виде суммы
всех неприводимых диаграмм (с надлежащими числовыми множителями),
в которых все элементы заменены соответствующими обобщенными эле-
элементами.
В случае F)i(p) оказывается необходимым в качестве неприводимой
диаграммы нулевого порядка использовать правую часть равенства
где символ c=i означает корреляционную функцию поля внешних сил A9.99)
или ее преобразование Фурье, которое мы обозначим символом Ф//(р).
В буквенных обозначениях это равенство может быть записано в виде
Bffl (М - Мх) = GJa (iW, Mr) C?/p (Mlt М[) Сф (М' - М[), A9.106)
легко доказываемом с помощью формул A9.92), A9.99), A9.100), или в спек-
спектральной форме в виде
1 A9.107)
Приводимые диаграммы для Fjt (р), получаемые из неприводимой диаграммы
в правой части равенства A9.105) путем замены имеющихся в ней сплошных
черточек диаграммами рис. 48, отличаются тем, что они могут быть разбиты
на две части разрывом одной пунктирной линии. На рис. 46, 47 все такие
диаграммы отмечены буквой А Буквой В на рис. 46 отмечена единственная
неприводимая диаграмма второго порядка, а на рис. 47 — получающиеся из
нее приводимые диаграммы четвертого порядка. Наконец, буквой С на рис. 47
отмечена единственная имеющаяся неприводимая диаграмма четвертого
порядка.
Используя полученные результаты, мы можем теперь представить спек-
спектральную функцию в виде суммы «обобщенных» неприводимых диаграмм,
изображенных на рис. 50. Правая часть равенства, изображенного на рис. 50,
и представляет собой тот перегруппированный ряд для Fц (р), о котором
мы говорили выше. Само это равенство есть уравнение, связывающее три
величины: Fjt (p), Г^ (р) и Пуар (р, рг). Второе уравнение, связывающее
указанные величины, получается вполне аналогично уравнению рис. 50 путем
нахождения неприводимых диаграмм для ПуаР(р, рх)\ это второе уравнение

19.6)
§ 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ
279
изображено на рис. 51 (где к нарисованным диаграммам пятого порядка
нужно еще добавить диаграммы, получаемые из них поворотами на 120°
и 240°).
Получить третье уравнение, связывающее «обобщенные» величины, путем
нахождения неприводимых диаграмм для Т^(р) не удается: сумма «обобщен-
«обобщенных» неприводимых диаграмм приводит к ряду по степеням Re с другими
{<
А-А
+ЛУ
A A
Рис. 51.
числовыми коэффициентами, чем на рис. 48. Но мы сможем применить этот
метод к величине Пуар (р, Pj), выражающейся через Tfjt (р) по формуле
где /^—компоненты четырехмерного вектора p = (?r k^ ky ©) (так что
индекс j у величины Пу^ принимает значения 1, 2, 3, 4 в отличие от всех
остальных встречающихся у нас индексов, принимающих только значения 1,
2, 3), а символом Ёц обозначена матрица, обратная к Bjt (так что BjaBai =
= В^Ва1 = Ь^). Чтобы построить диаграммы для Пуор(р, рх)% рассмотрим
сначала значение этой величины при рх = р, которое получается из равен-
равенства A9.108), если сначала положить ри = pt при всех / Ф J, затем поде-
поделить это равенство на р. — рх. и, наконец, перейти к пределу при рх. -> р.:
Для вычисления правой части этого равенства введем вспомогательную
величину Tji(p)% определяемую как сумма диаграмм, получаемых из диа-
диаграмм рис. 48 для Г^(р) удалением сплошных черточек на обоих концах
и затем удалением всех диаграмм, которые могут быть разбиты на две
части разрывом одной из сплошных черточек (на рис. 48 удаляемые

280 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.6
диаграммы обозначены буквой А). Нетрудно убедиться, что величины Г# (р),
Гу/(р) и Гу|(р) связаны уравнением
Г/1 (Р) - ГУ| (Р) + Гуа (р) Г^ (р) l? (р) A9.110)
(в квантовой теории поля аналог величины Г^(р) называется массовым
оператором, аналог A9.110)— уравнением Дайсона, а аналоги A9.108) и
A9.109) — тождествами Уорда). Умножив матричное уравнение A9.110)
слева на матрицу fmJ (р) и справа на матрицу Г\п (р), получим Ттп (р) «¦
« Г гтп (р) -f- Г^л (р) или, после замены индексов /я, л на а, р и переноса
Г^ (р) в другую часть равенства,
Подставив это выражение в правую часть A9.109) и учтя, что согласно
A9.103) f аэ (р) = боэ (- /© + v*2), получим
где qj (р) — компоненты четырехмерного вектора q (р) = Bvfc — /). Заметим
теперь, что любая из диаграмм для Г*^ (р) содержит проходящую через всю
диаграмму последовательность сплошных черточек, и что волновые векторы
во всех вершинах каждой такой диаграммы можно выбрать так, чтобы вектор р
фигурировал во всех элементах Гу/(р±р4) указанной последовательности и
только в них. Учитывая, кроме того, что
Щ г<*э (P±Pi) - - Г«« (p±Pi) qj (p±Pi) 6ШЛГЯЭ (p±pi), A9.113)
мы можем получить диаграммы для ПуаР(р, р) из диаграмм для Г^(р),
вставляя в середину какой-либо из сплошных черточек упомянутой выше
последовательности вершину вида qjbmnt которую мы будем обозначать не-
зачерченным кружочком. Получаемые таким способом диаграммы нулевого
второго и четвертого порядка для Пу^ (р, р) приведены на рис. 52. Можно
убедиться, что эти же диаграммы изображают и ПуаР(р, pi), если только
двум «свободным» вершинам в нижних углах диаграмм мы будем ставить
в соответствие различные волновые векторы р и р{ и, кроме того, будем
интерпретировать вершину, изображаемую незачерненным кружочком, как
/ п -4— п. \
Я]\ аг 1 Ьтп. Обобщением такой вершины в указанном выше смысле,
очевидно, будет Пуар(р, рл); Этот обобщенный элемент мы будем обозначать
двойным кружочком. Его уже можно представить в виде суммы «обобщен-
«обобщенных» неприводимых диаграмм; их мы приводим на рис. 53.
Уравнения, изображенные на рис. 50, 51 и 53, вместе с тождеством
Уорда A9.108) образуют замкнутую систему уравнений относительно величин
Ffl(P)> T/i(P) и Пуар(р, р^. Если в рядах, фигурирующих в этих уравне-
уравнениях, сохранить лишь конечное число членов, то мы получим приближенную
систему уравнений относительно трех указанных неизвестных функций (хотя

19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ
faft(P»PJ =
л
\re
+ 8
+ 76 f \ + 76
+ 76
+ 76
+ 76
+ 76
f\ +76 / / \ +76 '
+ 76
Рис. 52.
= о + 4
Рис.53.

282 гл. vii. изотропная турбулентность [19#б
каких-либо средств для суждения о степени ее точности у нас, вообще
говоря, не будет). Одну из простейших приближенных схем такого рода мы
получим, если, во-первых, в уравнении рис. 50 для Fjt (р) сохраним лишь
первые две диаграммы и, во-вторых, в уравнениях рис. 51 и рис. 53 сохраним
лишь нулевые диаграммы (т. е. всюду заменим Пуар(р, рг) и Г^(р) на
Пуар(р, рх) и Tjtipj). Тогда последнее уравнение примет вид
или, в аналитической форме,
Ffl (Р) = ГУа (р) [Фар (р) + 2Патл (р, р,) Fm[l (р{) X
X ^v (Pi) %,v (- р, - р,)] Гр, (- р). A9.115)
Если, пользуясь изотропностью и несжимаемостью жидкости и соленоидаль-
ностью поля сил, положить
Fjl (Р) = F (*> «>) *П (*)> ФЛ (Р) - ф (k> ©) &JI (Ь) A9.116)
и вспомнить определение A9.103) —A9.104) операторов Гу7(р) и Пуар(р, р{),
то уравнение A9.115) можно будет привести к виду
7^/ -*'!. ю-©')^. A9.117)
где
" *''?,%¦*' *'']
С помощью формул A9.102), A9.116) и формулы
справедливой в случае несжимаемой жидкости, мы можем выразить F (?, о)
через BLL(r. т):
lD)- A9Л19)
Пользуясь этой формулой и аналогичной формулой для спектральной функ-
функции поля внешних сил Ф (?, о), после довольно громоздких выкладок можно
убедиться, что уравнение A9.117) эквивалентно уравнению Чандрасекара
A9.84), дополненному слагаемым, учитывающим влияние внешних сил. Таким
образом, приближенная схема A9.114) соответствует уравнению Чандрасекара.
Рассмотрим теперь несколько более сложную приближенную схему. Как
и выше, во-первых, в уравнении рис. 50 для Fjt(p) сохраним лишь первые
две диаграммы и, во-вторых, в уравнении рис. 51 сохраним лишь нулевую
диаграмму (т. е. будем всюду заменять Пуар(р, р2) на Пуар(р, рг)). Но,
в отличие от предыдущего, обобщенную функцию Грина Г^(р) мы теперь
не будем заменять на Гу/(р), а будем вычислять ее с помощью уравнения

19.6] § 19. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СТАРШИХ МОМЕНТОВ 283
Дайсона A9.110), в котором цля Г^(р) будем использовать приближенное
выражение, получаемое при помощи замены в диаграмме младшего порядка
для Гдр(р), имеющей вид^ +~\. сплошной и пунктирной черточек соответ-
соответствующими обобщенными элементами. Таким образом, в нашей схеме ура-
уравнение рис. 50 и уравнение Дайсона будут иметь вид
+ 2 —/"V— A9.120)
A9.121)
Если левую жирную черточку в обеих диаграммах в правой части A9.120)
мы заменим правой частью A9.121) и заметим, что замененная жирная чер-
черточка вновь появляется в виде правого элемента второй диаграммы в правой
части A9.121), то уравнение A9.120) приведется к виду
линейному относительно обобщенной функции Грина.
Из A9.121) видно, чт9 тензор Т'д(р) солёноидален по обоим индексам,
так что можно положить
Г'л (р) = Г' (k, о) ^jl (к). A9.123)
Пользуясь формулами A9.116) и A9.123) и действуя аналогично предыду-
предыдущему, мы сможем привести уравнения A9.121) и A9.122) к следующей ана-
аналитической форме:
Л, ю)
A9.124)
\
X \а(к% k')F(k\ &
. k')F(k'% ffl'jr'dA-A'l. ©-а/)^, A9.125)
где а (к, к') определяется формулой A9.118), а Ь(к, к') имеет вид
Эти уравнения впервые были получены из совсем других соображений Крейч-
наном A959); см. также Крейчнан A961, 1962). А именно, им был учтен
характер нелинейности уравнений гидродинамики, при котором каждые три
компоненты Фурье поля скорости (соответствующие компланарным волно-
волновым векторам к-\-к' + к" = 0) взаимодействуют как непосредственно, так
и непрямым образом — через посредство других волновых векторов, и было
допущено, что роль непрямых взаимодействий мала по сравнению с ролью

284 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.6
прямых взаимодействий. В соответствии с этим допущением Крейчнаном
была предложена определенная процедура теории возмущений, которая и
приводит к уравнениям A9.124), A9 125). При этом попутно выясняется фи-
физический смысл обобщенной функции Грина: тензор Г^(р) описывает реак-
реакцию поля скорости на бесконечно малое внешнее силовое возмущение.
Схема Крейчнана получила наглядное физическое истолкование в работе
Кадомцева A964), в которой она именуется «приближением слабой связи».
Чтобы воспроизвести здесь такое истолкование, рассмотрим для простоты
модельное уравнение
J V(p,px)C(px)C(p-px)dph
A9.127)
сохраняющее основные черты уравнений Навье — Стокса, подвергнутых
преобразованию Фурье по х и t здесь [оэ— <*)(&)] — фигурирующий в урав-
уравнении линейный оператор (для уравнений Навье — Стокса оэ(?) = — ivk2),
а слагаемое у (р) С (р) описывает влияние прямых взаимодействий на эво-
эволюцию волны с волновым вектором к, частотой о и амплитудой С (р), сво-
сводящееся прежде всего к ее затуханию. Правая часть уравнения A9.127) опи-
описывает влияние непрямых взаимодействий, которое предполагается слабым.
Поэтому можно положить С (р) = Со (р) + С\ (р), где Со (р) — амплитуды
основных колебаний, а С{ (р) — амплитуды вынужденных колебаний, созда-
создаваемых непрямыми взаимодействиями основных волн, причем | С, (р) I gf
<С|С0(р)|. T
JV(p,
A9.128)
Величина [оэ— ®(k) + y(p)]~l является аналогом обобщенной функции
Грина. Умножим уравнение A9.127) на комплексно-сопряженную амплитуду
С*(р) и осредним результат, считая, что амплитуды С(р) с различными р
некоррелированы. При этом в выражении С* (р) С (рх) С (р — рх) следует
сохранить лишь слагаемые порядка малости Сх (р). Таких слагаемых будет
три. Два из них, пропорциональные величине | С (р) |2, можно уничтожить
подбором величины у(р). Получаемое равенство для у(р) и остающееся
уравнение для С(р)С*(р) и будут аналогами уравнений A9.124), A9.125).
Вернемся теперь к реальным уравнениям A9.124), A9.125) и выясним
асимптотический вид первого из них при k -»со, | о | -> со. Основной вклад
в интеграл по dp' в правой части этого уравнения при больших &, | со | будет
вносить область kr <^ &, | ©'1 <^ оэ, в которой Г7(|А? — к' |, о — оэ') «
&Y' (&, 0) и b(k% kr) « sin2 а, где а — угол между векторами k и k'. Сле-
Следовательно, указанный интеграл при &->со, | о | -»со можно представить
в виде V (к\ ©) J F (к', о') sin2 a dp'. С помощью формулы A9.102) можно*
убедиться, что этот интеграл равен -j I F dp' =а vj* « у #, где % — кинети-
кинетическая энергия турбулентности в единице массы, определяемая пргимуще-
ственно крупномасштабными пульсациями скорости. Следовательно, уравне-
уравнение A9.124) имеет следующий асимптотический вид:
(_ to+ v*') Г' (А, ю) - 1 - [Г' (А. а))]» -^ v\. A9.129)

19.6] § 19. уравнения для старших моментов 285
Таким образом, функция Г' (k, ю) при больших k, | ® | (т. е. в мелкомасштаб-
мелкомасштабной области) оказывается зависящей от параметра vQ, характеризующего
крупномасштабные движения. Такой же вывод получается и для спектраль-
спектральной функции F (k, ©); в частности, для пространственного спектра кинетиче-
кинетической энергии Е (k) при больших k (но не слишком больших, так что спектр
еще не зависит от молекулярной вязкости) Крейчнан получил из уравнений
A9.124), A9.125) асимптотическую формулу ?(?)~(«/0I/2АГ3/2, противоре-
противоречащую колмогоровским гипотезам об автомодельности турбулентности
в мелкомасштабной области (упомянутым в п. 16.5). Как будет подробно
рассказано в § 23, колмогоровская автомодельность надежно подтверждается
многочисленными экспериментальными данными. Значит, «приближение сла-
слабой связи» Крейчнана для описания мелкомасштабных компонент развитой
турбулентности непригодно. По-видимому, более естественно применять это
приближение для описания эволюции крупномасштабных компонент (отве-
(отвечающих «интервалу энергии» спектра) изотропной турбулентности со срав-
сравнительно небольшим Re (см., например, Крейчнан A964а). Дж. Ли A965)),
хотя и в этом случае трудно оценить его точность.
Недостатки схемы Крейчнана были проанализированы Праудменом A962),
согласно которому гипотеза об относительной малости роли непрямых взаи-
взаимодействий эквивалентна допущению, что семиинварианты л-го порядка зна-
значений случайной спектральной меры поля скорости на малых объемах (по-
(порядка V) в волновом пространстве суть малые величины (порядка К71)»
так что последовательные приближения в теории возмущений Крейчнана
родственны приближениям, основанным на пренебрежении семиинвариантами
соответствующих порядков (действительно, например, при пренебрежении
четвертыми семиинвариантами третьи моменты могут быть отличными от
нуля лишь благодаря прямому взаимодействию между соответствующими
тройками волновых чисел). Кроме того, следует учесть, что непрямые взаи-
взаимодействия могут играть доминирующую роль в динамике мелкомасштабных
компонент турбулентности. Мерой роли непрямых взаимодействий может
служить, например, коэффициент эксцесса для dPaxfdjtf{\ известно, что он
растет и с ростом лис ростом Re (см. стр. 224) и, следовательно, опреде-
определяется, по-видимому, преимущественно непрямыми взаимодействиями. Воз-
Возможно, что именно поэтому спектр энергии E(k) в первом приближении
Крейчнана в области больших k оказался явно зависящим от средней квад-
квадратичной скорости крупномасштабных турбулентных движений v0.
Причина непригодности «приближения слабой связи» Крейчнана для
описания мелкомасштабных компонент развитой турбулентности разъяснена
также в упоминавшейся работе Кадомцева A964). Она заключается в том,
что в схеме Крейчнана преувеличивается влияние крупномасштабных пуль-
пульсаций (волн с малыми &', | со' |) на эволюцию мелкомасштабных неоднород-
неоднородностей (волн с большими &, | о |). Фактически это влияние сводится к про-
простому переносу мелкомасштабных неоднородностей с малой их деформацией.
Такое взаимодействие волнового пакета, имеющего среднее волновое число k
и среднюю частоту со, с крупномасштабной волной (&', <о') Кадомцев на-
называет «адиабатическим». Его нельзя рассматривать как резонансную рас-
раскачку волны (k, 0) близкой к ней волной (k — k\ со — со'), так как эти волны
фактически относятся к одному и тому же волновому пакету и, следова-
следовательно, их амплитуды (в терминах модельного уравнения A9.127) С(р) и
С(р — /?,)) нельзя считать некоррелированными, как это делалось в «при-
«приближении слабой связи».
Чтобы понять, как можно исправить указанный недостаток «приближе-
«приближения слабой связи», перепишем модельное уравнение A9.127), на этот раз
не выделяя слагаемого у(р)С(р), а разбив область интегрирования по р{
на три части: основную область Qlt в которой kx —' k, а>{ ~со, длинноволновую

286 ГЛ. VIT. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [19.6]
Q2 и коротковолновую &з- В области Q2 можно воспользоваться разло-
разложением неизвестных функций по степеням krfk и ©,/©, а в области Q3 — по
степеням kjkx и ©/©V При сохранении в этих разложениях только нулевых
членов в интеграле в правой части A9.127), распространенном на область й2.
следует положить С(р — р{) « С (р), так что этот интеграл принимает вид
уС (р) (т. е. приводит лишь к сдвигу у собственной частоты © (k)). Что же
касается интеграла по области й3. то в нем в нулевом приближении сле-
следует положить С (pi) С (р — р^ « | С (р,) |2; нетрудно убедиться, что при
разделении уравнения A9.127) на уравнения для среднего значения С (р) и
для пульсации С (р) этот интеграл не дает вклада в уравнение для С (р)
и, следовательно, при изучении пульсаций может быть опущен. Таким обра-
образом, в указанном приближении можно пользоваться уравнением A9.127), но
+ 4
= • +4
А
Рис. 54,
распространяя фигурирующий в нем интеграл лишь на область Qt. Это и
будет учетом лишь «адиабатического» взаимодействия между мелкомасштаб-
мелкомасштабным волновым пакетом и крупномасштабной волной.
Для получения улучшенного «приближения слабой связи» Кадомцев ре-
рекомендует учесть в интеграле по «длинноволновой» области Q2 не только
нулевые, но и первые члены разложения неизвестных функций по степеням
малых величин kxjk и со,/со. На возникающих при этом поправках к уравне-
уравнениям A9.124), A9.125) мы здесь останавливаться не будем (в работе Кадом-
Кадомцева они выписываются лишь для случая модельного уравнения A9.127)).
Вместо этого остановимся вкратце на улучшенном «приближении слабой
связи», построенном Шутько A964) путем учета в уравнениях рис. 50, 51
и 53 некоторых дополнительных диаграмм сверх тех, которые учтены в урав-
уравнениях A9.120), A9.121) (что, впрочем, кое в чем делает получающееся при-
приближение даже менее удовлетворительным, чем исходное; см. Крейчнан
A967)). Это дополнение сводится только к тому, что «обобщенные вер-
вершины» Пуар(р, рх) теперь не будут заменяться на П/ар(р, pj), a будут
представляться суммой двух первых членов правой части уравнения рис. 51.
Уравнения, используемые.Шутько, изображены на рис. 54.
Вследствие изотропности и несжимаемости оператор Пуар(р, рх) будет
отличаться от оператора Пуар(р, pi), действие которого определяется фор-
формулой A9.104), только дополнительным множителем П(р, рх) под знаком
интеграла по р{. Появление этого множителя является единственным отли-
отличием уравнений рис. 54 от уравнений A9.120), A9.121). Покажем, что мно-
множитель П(р, рх) устраняет указанный выше недостаток схемы Крейчнана—
преувеличение влияния крупномасштабных пульсаций (с малыми ku |©i|)
на эволюцию мелкомасштабных неоднородностей (с большими k, | © |), так
как при ky |о)|-> со и малых klt | саж! этот множитель стремится к нулю.

20.1} § 20. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 287
Действительно, уравнение для П (р, рх), получающееся из третьего уравне-
уравнения рис. 54, имеет вид
р, р-р')Г'(Р~Р')Х
ХП(р-^р,)Г'(р-р1-р')П(р--р1--р', p-p{)F(p')dp', A9.130)
где
с (*, kb k') = j*r AaPY <*> V» (*") Ьпар (*" - *i> *YP <*'>¦ *' = * ~ Л'.
A9.131)
При k, |©|->оо и малых ?ь |©j | имеем с (?, ки k')& sin2 a, где а —угол
между векторами к и Л'; кроме того, в уравнении A9.130) при этом можно
положить П(р, р — р') « П(р —р! — р', р —pi) да П (р, р), П(р —р', pj)«
да П (р, pj) и Г' (р—р') да Г' (р — р\—р') « Г' (р), так что это уравнение
примет асимптотический вид
П (р, />,) = 1 - П (р, рО [П (р, р)]« [Г' (Р)]2^ J sin^ aF (p'
откуда
{ ^| . A9.132)
Из того же уравнения A9.130) при pi==p убеждаемся, что П(р, р)->1
при к, |(о|->оо (так как с(?, Л, ?')->&), Если, наконец, учесть, что Т (ру**
~*> — = -г- при | © | -> 0, где v — средняя квадратичная скорость мелкомас-
V2
штабных пульсаций, то получим П(р, Pi)~BjiL —^ ->0, так что действи-
vo
тельно функция П(р, pt) при больших к, |©| оказывается обрезающим фак-
фактором для крупномасштабных пульсаций.
Дальнейшее обсуждение затронутого здесь вопроса о методах построе-
построения замкнутой системы уравнений изотропной турбулентности, согласую-
согласующихся с колмогоровской автомодельностью мелкомасштабных турбулентных
возмущений, см. в п. 22.2.
§ 20. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
20.1. Инварианты изотропной турбулентности
в сжимаемой жидкости
До сих пор в настоящей главе рассматривалась лишь изотропная
турбулентность в несжимаемой жидкости. Поскольку в случав обыч-
обычных потоков с характерными скоростями, много меньшими скорости
звука, сжимаемость среды играет лишь малую роль, на первых по-
порах пренебрежение сжимаемостью в теории турбулентности сле-
следует считать вполне оправданным. Однако это не значит, что можно
совсем не рассматривать влияние сжимаемости на турбулентность, так как
сжимаемость приводит к возникновению некоторых новых физических
явлений, представляющих значительный теоретический и прикладной инте-
интерес (см. ниже п. 20.3, а также § 26). Поэтому в настоящем параграфе мы

288 гл. vii. изотропная турбулентность [20.1
вкратце остановимся на некоторых особенностях, отличающих турбулент-
турбулентность в сжимаемой жидкости от обычной «несжимаемой» турбулентности.
Полное описание течения сжимаемой жидкости требует задания шести
гидродинамических полей, связанных тремя уравнениями баланса им-
импульса A.3) (или A.4)), уравнением неразрывности (баланса массы) A.1)
(или A.2)), уравнением притока тепла (баланса энергии) A.60) (или A.65),
или A.65')) и уравнением состояния A.63) (как и в § 1 части 1, мы будем
среду считать идеальным газом с постоянной теплоемкостью). При этом
шесть неизвестных функций в перечисленных уравнениях можно выбирать
по-разному, так что и уравнения для корреляционных и спектральных
функций «сжимаемой турбулентности» могут быть записаны разными спосо-
способами. Кроме того, в связи со сложностью турбулентных течений в сжимае-
сжимаемой жидкости при описании таких течений обычно используются еще те
или иные дополнительные предположения (например, о характере зависи-
зависимости коэффициентов ц, ? и к и Аи же v = ц/р, Vi = ?/р и % = и/срр от тем-
температуры и давления и о величине отношений этих коэффициентов), кото-
которые еще увеличивают число вариантов записи уравнений.
Начнем с точных уравнений, получающихся при выборе в качестве
основных переменных трех компонент: плотности импульса Hi — рш,
(и2 \
/=1, 2, 3, плотности массы р и плотности энергии # = р1-я-+?) (в силу
алгебраического характера уравнения состояния одно неизвестное в уравне-
уравнениях гидромеханики можно исключить и рассматривать лишь пять незави-
независимых гидродинамических полей). В этих переменных уравнения A.1), A.3)
и A.60) при отсутствии внешних сил X могут быть переписаны в виде
ж—Щ' -зг—srf' /=1>2>3; ^г=-^7'B0Л)
где П/у (х, t) = Uji (jc, t) и Ej (x, t) — новые гидродинамические поля, свя-
связанные с полями р (х, t)% Ui (jc, /) и ^ (х, t) и коэффициентами |х, ? и и
довольно сложными формулами, которые пока нам не будут нужны.
В случае однородной турбулентности, в которой все статистические характе-
характеристики гидродинамических полей не зависят от координат, осреднение
уравнений B0.1) приводит к соотношениям
4г = -Jr* = 4-г = 0, т. е. р"= const, &F= const, / = 1, 2, 3, ?= const
ot at at
B0.2)
Поэтому в уравнениях B0.1) можно с самого начала величины р, Ut и %
заменить пульсациями р', ll\ и %г соответствующих полей, т. е. их отклоне-
отклонениями от средних значений. Если турбулентность не только однородна, но
и изотропна, в ней не может быть никаких выделенных направлений, и
поэтому Hi = 0, т. е. li\ = Ul при всех /.
Соотношения B0.2) являются следствиями физических законов сохра-
сохранения массы, импульса и энергии. Из этих законов вытекают также и
несколько менее очевидные следствия, касающиеся корреляционных функций
полей р, Hint. В самом деле, пусть <х(х, t) и P(jc, t)— два однородных
и однородно связанных случайных поля, имеющих нулевые средние значе-
значения и удовлетворяющих уравнениям вида
да dCj ар dDj
Ж—-57/ аГ=-~а^-' Bа3)

20.1] § 20. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 289
где Cj и Dj (У=1, 2, 3) —некоторые однородные случайные поля. Умно-
Умной 203 p
жив первое из уравнений B0.3), взятое в точке jc, на p(jc + /\ *) = P(jc', t),
а второе, взятое в точке х' = х + г, на а (х, t), сложив получившиеся
равенства и осреднив результат, мы придем к следующему уравнению
относительно корреляционной функции #ар(Л 0 = а (¦*• О Р (¦* + f» О-
-Ж7 ^р (г' *)-/Ч(л °> Bа4)
где Дс^ (г, 0 = Су(*. О Р.(* + Л 0. #аяу (г, 0
Отсюда вытекает, что
4" J ^(г.О*- J рСуР(г, О-^ЛЛ 0]-т-^(г). B0.5)
где da (г) — элемент поверхности сферы | г | = /?. Если корреляционные
функции Bqp (г, /). ^с Э (г) и &aD (r) убывают на бесконечности быстрее,
чем г"*3, то из B0,5) будет следовать, что
lim J #ар (г, t)dr*=j Яар (г, t) dr = Лар = const. B0.6)
В силу B0.1) за а и р могут быть приняты любые из пяти полей р', и\ и g';
поэтому, если корреляционные функции гидродинамических полей сжи-
сжимаемой однородной турбулентности убывают на бесконечности быстрее,
чем г~31)% то 25 интегралов вида B0,6), в которых а и р пробегают значе-
значения р', u[f #2, 2^з и ^'» будут иметь постоянное значение. Инвариантность
этих интегралов также выражает законы сохранения массы, импульса и
энергии (см. ниже формулы B0.7')).
Поскольку Ва$ (г) = В$а (— г), среди 25 инвариантов B0.6) 10 будут
встречаться по 2 раза; следовательно, в случае произвольной однородной
турбулентности в сжимаемой жидкости мы приходим к 15 различным инва-
инвариантам. Если же турбулентность является также и изотропной, то число
инвариантов еще значительно сокращается: в силу формул
V(г) = V(г) ¦?'
7-
V(г) = V(г) ¦?' V'(г) = BW {r) 7
Г\Г\
1) Как было показано в п. 15.5, в случае однородной турбулентности
в несжимаемой жидкости естественно предполагать, что основные корреля-
корреляционные функции убывают на бесконечности степенным образом (впрочем,
все же быстрее, чем /—3). Такое сравнительно медленное убывание объяс-
объясняете? бесконечной скоростью распространения взаимодействий в несжи-
чмаемой жидкости; в сжимаемой же жидкости, характеризуемой конечной
Скоростью звука, система уравнений для корреляционных функций всегда
оказывается дифференциальной (а не интегро-дифференциальной), и поэтому
допустимо даже считать убывание корреляционных функций экспонен-
экспоненциальным.
19 А. СЛМонин, А. М. Яглом

290 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [20.1
многие из них обращаются в нуль, другие совпадают друг с другом, и
остаются лишь четыре следующих независимых инварианта:
оо
jBp,p,(r,
о
«> B0.7)
J t'%' ' з»
о
оо
J
0
В несжимаемой жидкости из этих инвариантов отличным от нуля может
быть лишь инвариант Л3 (который в этом случае выражается через четвер-
четвертые моменты поля и(х), смешанные моменты и2(х) и Т(х) и корреля-
корреляционную функцию поля температуры). Инвариант Ах был впервые указан
Чандрасекаром A951), а инварианты Л2, Л3, Л4—Ситниковым A958) (кото-
(которому принадлежит и приведенный здесь общий вывод этих инвариантов).
Ситников показал также, что в случае сжимаемой жидкости начальные
значения полей р' (jc), Ui (jc) и %' (jc) могут быть подобраны таким образом,
чтобы инварианты Ль Л2 и Л3 имели произвольные неотрицательные зна-
значения, а инвариант Л4 — произвольное значение, не превосходящее по
модулю величины (AiA3I/2.
Внешне все инварианты B0.7) очень похожи на инвариант Кор-
сина A5.20) теории температурно-неоднородной несжимаемой турбулентности.
Это сходство имеет глубокое основание: как равенство A5.20), так и все
равенства B0.7) выражают законы сохранения суммарных количеств неко-
некоторых характеристик потока. В самом деле, в полной аналогии с A5.30)
равенства B0.7) можно также переписать в виде
1 Г Г
lim -T7 Р' (х) d* I = 4яА! = const,
VU J
1 Г Г 1
VU J
-^r U (jc) dx = 4лЛ2 = const,
У \ J
J^ J__
lim -i- I ^ (*) dx\ = 4яЛз = const»
lim
K->oo \
^J B0.70
lim -ту- p'(x)dx ^'(jc)^JC = 4nA4 = const,
откуда сразу видна связь инвариантов Л/ с соответствующими законами
сохранения. Пространственные средние значения в формулах B0.7') можно

20.2] § 20. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 291
заменить «взвешенными средними» с весовой функцией, стремящейся к еди-
единице в любой фиксированной точке пространства; например, можно положить
и аналогично для других инвариантов At (ср. A5.27'), A5.28) и A5.32)).
В п. 15.2 мы видели, что в несжимаемой жидкости с достаточно быстро
убывающими при г->ор корреляционными связями между значениями гидро-
гидродинамических полей в двух точках имеется еще один инвариант, а именно ин-
инвариант Лойцянского A5.16), который может быть выведен из физического за-
закона сохранения момента количества движения (т. е. тензора mij(x)=xi2lj(x) —
—Xjlli (jc) ). В сжимаемой жидкости последний закон сохранения, очевидно, так-
также имеет место (поскольку из уравнений B0.1) в силу равенства Ify = Ilyj сле-
следует, что-37 Щ}(хЛ) совпадает с дивергенцией тензорного поля—л:/ПуЛ-(-луП^).
Здесь, однако, этот закон сохранения уже не приводит ни к какому новому
инварианту изотропной турбулентности. В самом деле, повторив для сжимае-
сжимаемой жидкости вычисления, которые в случае изотропной турбулентности
в несжимаемой жидкости привели нас к соотношению A5.28), легко получим
где, как и раньше,
„3/2 3/2 ^ Г Л 2 ,
^[^(«)]2 = ^2- 2и N "vW1* dx\ ~
i< j
К i
Отсюда видно, что, грубо говоря, средний квадрат интеграла момента коли-
количества движения, взятый по большому объему V» в случае сжимаемой
жидкости при К->оо возрастает не как V% а быстрее — как V5^3, причем
соответствующий «коэффициент пропорциональности» (который, в соответ-
соответствии со сказанным на стр. 135—136, удобно принять равным величине
а5/2 \
-щЩ(а)]21 отличается лишь численным множителем от инварианта Л2.
Таким образом, в случае изотропной турбулентности в сжимаемой жидкости
закон сохранения импульса и закон сохранения момента количества движе-
движения приводят к одному и тому же инварианту Л2.
20.2. Линейная теория; заключительный период
вырождения сжимаемой турбулентности
В приведенном выше выводе инвариантов изотропной турбулентности
в сжимаемой жидкости использовалось лишь то, что уравнения гидромеха-
гидромеханики в переменных р, 2// и % имеют специальный вид B0.1); явный вид пра-
правых частей этих уравнений здесь не играл никакой роли. Но если интересо-
интересоваться уравнениями для корреляционных функций, обобщающими на случай
сжимаемой жидкости уравнение Кармана — Ховарта A4.9), то надо исходить
уже из полной системы уравнений гидромеханики. При этом, однако, возникает

292 гл. vii. изотропная турбулентность [20.2
та трудность, что в уравнения входят коэффициенты вязкости и тепло-
теплопроводности, зависящие от гидродинамических величин (в первую очередь
от температуры); кроме того, производные от основных полей (например,
дщ/дх/г) приходится считать за новые неизвестные и вводить в рассмотрение
еще ряд моментов от нелинейных функций исходных полей, возникающих
в связи с нелинейностью уравнения состояния A.63). В результате получается
громоздкая система, содержащая гораздо больше неизвестных, чем уравне-
уравнений; эту систему нетрудно выписать (см., например, Крживоблоцки A952)),
но очень трудно использовать. Поэтому мы вначале рассмотрим, следуя
в основном работе Яглома A948), простейший случай «очень слабой турбу-
турбулентности» (описываемой линеаризованными уравнениями гидромеханики),
после чего постараемся приближенно учесть также и основные нелинейные
эффекты.
Пусть в неподвижной безграничной газообразной среде, имеющей по-
постоянную среднюю плотность ~р и постоянную среднюю температуру 7\ наблю-
наблюдаются изотропные турбулентные пульсации, настолько слабые, что третьи
моменты всех гидродинамических полей пренебрежимо малы по сравнению
с соответствующими вторыми моментами. Иными словами, мы предполагаем,
что рассматриваемая турбулентность уже достигла «заключительного периода
вырождения» (ср. выше п. 15.3). Заметим в этой связи, что исследование
заключительного периода вырождения турбулентности в сжимаемой жидкости
с относительно небольшой (по сравнению со скоростью звука) характерной
скоростью представляется более интересным, чем соответствующее исследо-
исследование в случае несжимаемой турбулентности: дело в том, что влияние сжи-
сжимаемости приводит лишь к небольшим поправкам к обычным несжимаемым
движениям, и эти поправки часто допустимо описывать линеаризованными
уравнениями.
Так как в линейном приближении пульсации произвольной функции от
гидродинамических полей представляются в виде линейной комбинации (с по-
постоянными коэффициентами) пульсаций исходных полей, то в этом прибли-
приближении любая замена переменных в уравнениях гидромеханики сводится к три-
тривиальному линейному преобразованию системы уравнений для корреляцион-
корреляционных функций. Мы здесь в качестве основных переменных будем использовать
величины щу /=1, 2, 3, Р = р/ур, где y = cp/cv, и S = In (/>1/Y/p). которые,
следуя Коважному A953), применялись в п. 1.7 части 1 при рассмотрении
линеаризованных уравнений гидромеханики сжимаемой жидкости; другие
наборы переменных с той же целью использовались Ягломом A948) и Мой-
элом A952).
Линейные уравнения относительно полей щ (jc, t), P (jc, t) и S (jc, t) были
приведены на стр. 71 части 1 в виде уравнений A.90) (где D = dwj/djty), A.86)
и A.87). В эти уравнения входит постоянный коэффициент а0 = у УР/Р (равный
невозмущенной скорости звука); коэффициенты v = ji/pj т] = ?/р и % = к/ctf)
теперь также надо считать постоянными, так как их пульсации будут по-
порождать лишь пренебрежимо малые нелинейные добавки. Осреднение этих
уравнений приводит^ к выводу, что в слабой однородной турбулентности сред-
средние значения Р и 5 не меняются со временем (возрастание средней энтро-
энтропии 5", связанное с прогреванием среды в результате диссипации кинети-
кинетической энергии и с действием теплопроводности, будет уже эффектом вто-
второго порядка). Поэтому мы можем далее в уравнениях A.86), A.87) и A.90)
заменить величины Р и S соответствующими пульсациями Р' = Р — Р и
S' = S — 5.
Для получения системы уравнений относительно корреляционных функ-
функций указанных полей надо умножить каждое из уравнений, содержащих

20.2J
§ 20. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
203
в левой части производную да (х, t)/dt (где а = щ% Р' или Sr\ на 0 (X*\ t) =
= р (х + г, t) (где р — одна из тех же пяти величин), сложить полученное
равенство с уравнением для dfi (x\ t)/dt, умноженным на а (х, t), и осреднить
результат. В случае однородной турбулентности, в которой все корреляцион-
корреляционные функции а (х, t) р (х\ t) = Ва$ (г, t) зависят лишь от г = хг — х и от t%
в полученном равенстве d/dxi следует затем всюду заменить на —d/dr/}
а д/dx'j на djdrj. При этом окончательно мы приходим к следующей системе
уравнений:
dBinr
-ж-
+[v+(Y ~
B0.8)
dBpfp,
= 2 (Y -
*iP'>
дВ^рг дВрц
^2 d2 d
Здесь / и / пробегают значения 1, 2, 3, А = —«—I о* Н о" и» как обычно,
drf dr| drl
индекс щ у корреляционных функций всюду заменен индексом L Легко
видеть, что эта система является замкнутой в том смысле, что число входя-
входящих в нее неизвестных равно числу уравнений.
В случае изотропной турбулентности система уравнений B0.8) может
быть сведена к системе семи уравнений относительно семи скалярных функ-
функций BLL(rJ)t BNN(r,t), BLP,(rJ\ BLS,(r,t), Bpfpf(nt), Bp,s,(r,t) и
Bs,s, (r, t). Однако получаемая таким образом система имеет довольно слож-
сложный вид и физически малообозрима; поэтому удобнее с самого начала
перейти к спектральным уравнениям и лишь затем использовать условие

294 гл. vii. изотропная турбулентность [20.2
изотропности. Подвергнув все уравнения B0.8) преобразованию Фурье,
получим:
»
- to* (kjFlP - kfpj) - 2vk*Ftf -
-[v + (y-1)X]*2^p-
dF /v \ B0'9)
_ (Y _ i) %ktF
pp
Теперь уже имеет смысл выразить тензор Р{.(к, t) и векторы Fip(k, t) и
Fls (k. t) через скалярные функции Ри (k, t), P^ (k, t), F\р (к% t) и FLS (к, t)
с помощью соотношений A2.31) и A2.55). Учитывая, что FpL(k, 0е
- -FLp{k, 0. FSL(k, t) FLS(k, t) и Р (k, t) = Fp$(k, t) (cp. A2.53),
A2.54)), мы придем в результате к следующей системе обыкновенных линей-
линейных уравнений, описывающей эволюцию слабой изотропной турбулентности
в сжимаемой среде:
dF.. /4v
dP
/ 4v
ftp
•' l-(y-\)x^FLp-[-T. + n+x)k2FLS + 4fcFps, B0.10)
HP
^2kFLp - 2 (у -1) %k*Fpp - 2%k'Fps,
^? 2 (Y

20.2) ¦ 20- ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ДО
Функция FNN входит только в первое уравнение этой системы; таким
образом, система B0.10) распадается на систему шести уравнений с шестью
неизвестными FLL% FLp, FLS> Fpp, Fps и Fss и отдельное уравнение отно-
относительно функции FNN (совпадающее с уравнением A5.37) теории турбу-
турбулентности в несжимаемой жидкости). Как мы знаем из п. 12.3, функция
FNN(k, t) описывает вихревую компоненту поля скорости а(х, t), а функ-
функция FLL {k% t) — потенциальную компоненту; следовательно, в линейном при-
приближении вихревая компонента скорости не взаимодействует ни с потен-
потенциальной компонентой, ни с пульсациями давления и температуры (энтро-
(энтропии), а эволюционирует совершенно независимо, подчиняясь тем же
уравнениям, что и в случае несжимаемой жидкости. Иначе говоря, слабые
пульсации скорости в сжимаемой жидкости отличаются от соответствующих
пульсаций в несжимаемой жидкости лишь тем, что на совокупность случай-
случайных вихрей, на которые сжимаемость не оказывает влияния, здесь наклады-
накладываются еще случайные волны, описываемые потенциальным полем скорости
и на первый взгляд неразрывно связанные с пульсациями давления и темпе-
температуры. Как было показано в п. 1.7 части 1, это обстоятельство вовсе не
специфично лишь для изотропной турбулентности, а имеет общее объясне-
объяснение, вытекающее из свойств линеаризованных уравнений гидромеханики.
Предположим теперь, что корреляционные функции гидродинамических
полей достаточно быстро убывают на бесконечности (см. по этому поводу
сноску на стр. 289). В таком случае все спектральные функции, входящие
в уравнения B0.10), можно в окрестности нуля разложить в ряды по сте-
степеням к, причем в случае функций FLL(k), FNN(k), Fpp(k), Fps(k) и
Fss(k) эти ряды будут начинаться с членов нулевого порядка (одинаковых
для FLL(k) и FNN(k)), а в случае функций FLp(k) и FLS(k) — с членов
первого порядка (см. стр. 44—45 и 48). Подставив соответствующие разложе-
разложения в уравнения B0.10), найдем что все коэффициенты при членах нуле-
нулевого порядка не меняются во времени:
fib = const, Др/>> = const, /Р = const, Д55> = const B0.11)
(где /$® = Fqq @, ?))• Но легко видеть, что с точностью до членов, квадра-
квадратичных относительно пульсаций гидродинамических полей, Ui = pui% р' =
— J(P' — S') и Г = (ри2)' + (9CVT)' = —5Ly pP'. Поэтому в рамках линей-
линейной теории корреляционные функции BLL> BNN, Bp,pt% Bp,s, и Bs,s, легко
выражаются через функции &LL, &nn* ^p'p'» ^9'%' и ^ТТ' П°Дставив эти
выражения в формулы вида A2.44) и A2.64), определяющие коэффициенты
B0.11), получим:
APS) _ / Y — 1 \2 _Лз_ _ Y-1 Л4 '
/о - I ур ) 2п> у-р? 1^' B0Л2)
ASS) ^ /Y — 1\2 Л3 , _]__ _Л^__ у —1 Лч
0 [ ур ) 2^^ р2 2л2 ум я*'
где величины Аи ..., Л4 имеют тот же смысл, что и в B0.7). Спектральный
смысл этих инвариантов проливает дополнительный свет на неудачу попыток

296 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [20.2
обобщения инварианта Лойцянского на сжимаемую жидкость: в несжимае-
несжимаемом случае, как мы видели в § 15, этот инвариант появлялся из-за обра-
обращения в нуль коэффициента f$'L\ в то время как в случае сжимаемой среды
коэффициенты при k2 в разложениях Тэйлора для спектральных функций
даже в линейной теории оказываются непостоянными.
Перейдем теперь к решению системы уравнений B0.10). Решение первого
уравнения этой системы было разобрано в п. 15.5; поэтому нам достаточно
рассмотреть остальные шесть уравнений с шестью неизвестными. При каждом
фиксированном k эти уравнения составляют систему обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, для решения
которой надо прежде всего составить соответствующее характеристическое
уравнение (определяющее частные решения, пропорциональные еш). Раскрыв
детерминант шестого порядка, задающий это характеристическое уравнение,
можно проверить, что оно представимо в виде
{Q3 + 2 (V! + YX) № + 4 (YvlX + аЦк*) k*u + 8X^4} X
(Y - 1) %?/#) *6} * 0, B0.13)
4
где V! = -5" v -f- т] — суммарный коэффициент вязкости, определяющий вну-
внутреннее трение в потенциальном течении.
Уравнение B0.13) представляет собой приводимое уравнение шестой
степени: его левая часть равна произведению двух многочленов третьей сте-
степени. Обозначим три корня первого из этих многочленов через 2Qb 2Q2 и
2Q3> B таком случае с помощью соотношений между корнями и коэффициен-
коэффициентами многочлена легко убедиться, что три корня второго из них будут равны
&{ + п2> Q,+ Q3 и й2 + &з- Иначе говоря, шесть корней уравнения B0.13)
равны всевозможным суммам двух корней (может быть, совпадающих) сле-
следующего кубического уравнения:
G3 + (vi + П) k2&2 + (yvl% + аЦк2) k*Q + %аУ - 0. B0.14)
Если мы заменим время t безразмерным временем т = aokt, то Q перейдет
в безразмерную величину X = Q/aQk, а уравнение B0.14) —в уравнение
=0> B015)
совпадающее с уравнением A.94) гл. 1. Вспомним, что согласно результатам
п. 1.7 периодические в пространстве решения линеаризованных уравнений
гидромеханики (с заданным волновым вектором k), отвечающие «сугубо
сжимаемым» безвихревым движениям, имеют вид
(Ах№*' + A2eK*'kt + Aze^kt) eikx = (A*Q'< + A2eQ>( + А3еп><) eikxy
B0.16)
где Аи А2 и А3 — некоторые постоянные (различные для разных гидродина-
гидродинамических полей), Ки К2 и Я3 —три корня уравнения B0.15), a Qb Q2 и Q3 —
соответствующие три корня уравнения B0.14). В случае турбулентных дви-

20.21 5 20. турбулентность в сжимаемой жидкости 297
жений комплексные коэффициенты Аь A2 и Л3, определяющие начальные
амплитуды и фазы соответствующих плоских волн, будут случайными вели-
величинами. При этом вклад плоской волны B0.16) в корреляционную функцию
c, jc', t) = <x(jc, *)P (*',*) = a* (jc, t) p (jc', t) будет выражаться формулой
f i;
m, л-1
где r = jc'—jc, a -djjp — значение коэффициента Ат в представлении B0.16)
поля <z(jc, t) (здесь использовано, что Q*m входит в число корней уравнения
B0.14) вместе с Qm). В случае однородной турбулентности аналогичный
B0.16) вид будут иметь обобщенные преобразования Фурье dZa(k) гидро-
гидродинамических полей:
dZa (k) = dA&> (k) eQ*< + dJ$ (k) e^1 + dA^ (k) eQ>'t B0.17)
причем значения dA^* (k) и dA^ (kf) при k Ф k1 будут некоррелированы
друг с другом. Отсюда для значения спектральной плотности Fa^(k, t)
в точке k пространства волновых векторов получается формула вида
B0.18)
где (^(QHk — rtdkdk'^dA^WdA^k'), Qmi = Q^. Но именно этой
формуле и соответствует тот факт, что корни характеристического уравне-
уравнения B0.13) равны всевозможным попарным суммам корней уравнения (z0.14).
В случае изотропной турбулентности коэффициенты С^(?), отвечаю-
отвечающие скалярным полям а и р, должны зависеть только от к = | k |, а соот-
соответствующие коэффициенты для векторных полей (при a = uj или же а = uj
и р = щ) должны быть равны функциям от &, умноженным на kj или, соот-
соответственно, на kjki (напомним, что нами рассматривается только потенциаль-
потенциальная компонента поля и(х)). Выражаясь не совсем строго, можно сказать,
что согласно первому уравнению B0.10) и равенству B0.18) слабая изо-
изотропная турбулентность в сжимаемой жидкости состоит из изотропной си-
системы случайных вихрей (описываемых функцией FNN(ky t)) и некоррели-
некоррелированной с ней системы плоских волн вида B0.16), некоррелированных друг
с другом, со случайными амплитудами и фазами.
Воспользовавшись изложенной в п. 1.7 классификацией малых колебаний
сжимаемой жидкости, опирающейся на малость параметра Ь{ = VikjaQ, общую
формулу B0.18) можно существенно уточнить. В самом деле, как было по-
показано на стр. 74 части 1, с точностью до членов порядка Ьх <^ 1 пульса-
пульсации энтропии S' (jc, t) представляют собой набор неподвижных затухающих
волн вида Az(k)eK*a°kt+ifcx= Az(k)eQzt+ikx, а пульсации дивергенции ско-
скорости D (jc, t) = duj/dxj (полностью определяющей потенциальную компо-
компоненту поля #(jc, t)) и давления P(jc, t) — совокупность распространяющихся
звуковых волн, описываемых формулами вида
D {х, t) = «„Л [Д (ft) *fl'< + А2 (ft) *°'< ] elkx,
Р {х, t) = / [Д (ft) *Q'< - A2 (ft) ea* ] eikx.

298 гл. vii. изотропная турбулвнтность [20.2
где Q, = ao*^i. Q2 = «o*^2 = Qi (см- О-99) и A-100)); X,, Л2, Л3 здесь имеют
тот же смысл, что и в A.98)'). Отсюда вытекает, что с точностью до чле-
членов порядка 6| спектральные плотности B0.18) определяются формулами
Fll (*• О = С, (*) 4 *2а'< + С2 (ft) а\ «W + С3 (*) а2, *<а'+й>> *,
FLP (ft, t) = /С, (ft) а0 г20'' - /С2 (ft) a0 в20»'.
^+^' ^+a'>t B0.20)
~ 1Съ
(вти формулы можно получить и непосредственно из системы B0.10), при-
приведя ее к безразмерному виду и решая с точностью до членов порядка di).
Здесь C0(k)t Ci(k)t .... Св(?) — семь функций от к таких, что С2(?) =
= [Cj (ife)]*, Сб ()fe) = [C4 (^)J*. а остальные С/ являются вещественными;
поэтому решение B0.20) системы B0.10) зависит от семи произвольных
вещественных функций, определяемых по начальным значениям семи функ-
функций FNN (k, t), bLL (kt t) Fss (k, t).
Если не пренебрегать членами порядка di и выше, то первая формула
B0.20) сохранится, а остальные приобретут следующий более сложный вид:
, B0.21)
где функции Сi (&)> --i C*(k) удовлетворяют тем же условиям, что и выше
а коэффициенты р^, ..., р^ пропорциональны значениям соответствующих
алгебраических дополнений характеристического детерминанта системы B0.10)
при &==2&!, ..., 2Q3. Таким образом ив этом случае значения спектраль-
спектральных функций при любом t зависят от семи произвольных вещественных
функций, определяемых начальными значениями спектральных функций.
В силу формул A.98) все шесть показателей 2пи ..., 2пг при любом
k>0 имеют отрицательные вещественные части (возрастающие с ростом k).
Поэтому части соответствующих интегралов A2.34), A2.59) и A2.4), взятые
в пределах от k = е до бесконечности, при любом е > 0 будут добавлять лишь
экспоненциально затухающее слагаемое в выражение для соответствующей
корреляционной функции. Отсюда вытекает, что асимптотическое поведение
всех корреляционных функций при ?->оо будет определяться лишь зна-
значениями интегралов в правых частях A2.34), A2.59) и A2.4), взятых в пре-
пределах от 0 до е, и, следовательно, будет зависеть лишь от поведения соответ-
соответствующей спектральной плотности гар (kt t) в окрестности точки к = 0. Заме-
1) Таким образом, связь между пульсациями скорости и энтропии (тем-
(температуры) возникает лишь при учете членов порядка 6t; именно это мы
имели в виду, когда на стр. 295 отмечали, что потенциальная компонента
скорости только «на первый взгляд» неразрывно связана и с пульсациями
давления и с пульсациями энтропии.

20.2) § 20- турбулентность в сжимаемой жидкости 299
тим, что при наличии сжимаемости уже нет оснований сомневаться в регу-
регулярности спектральных плотностей около нуля (см. сноску на стр. 289); по-
поэтому для исследования асимптотического поведения корреляционных функ-
функций при *->со случай сжимаемой жидкости является более благоприятным,
чем, казалось бы, более простой случай несжимаемой жидкости. При исследо-
исследовании главного члена спектральных функций около k = 0 мы вполне можем
пользоваться упрощенными формулами B0.20), так как в них опущены
лишь члены порядка 61=ViAf/a0, обращающиеся в нуль при &->0; кроме
того, по той же причине мы можем теперь и при определении показателей
Qi = aQkXit i = l, 2, 3, пользоваться упрощенными формулами A.98), а
коэффициенты C0(k), C\(k), ..., C6(k) принять равными их значениям
Со @)^@) Св@)при*«0.
Для получения простых окончательных выражений целесообразно после
внесения всех указанных упрощений в формулы A2.34), A2.59) и A2.4)
снова заменить интеграл от k « 0 до к — е интегралом от 0 до оо; при этом
к корреляционной функции добавится лишь экспоненциально затухающее
слагаемое, не меняющее ее асимптотического поведения. Применив это
рассуждение, в частности, к функциям BLL (r, t) + 2BNN (r, t) (для функций
В (г, t) и BNN(r, t) в отдельности соотношения получаются более слож-
сложными), Вр>р> (г, t) и Bs,s, (r, t) и сохраняя в правых частях только глав-
главные члены, получим:
*3/2 --?•
B0.22)
B053)
Учитывая, что в силу B0.20) Со @) - /^, а\ [С, @) + С2 @) + С3 @)] =*
- AU)> - сх (°) - С2 <°) + Сз (°) - АРР) и Q @) = 455>, и используя
B0.12), найдем, что
'W \ yp / 2я* ^ р2 2л» урр я2

300 гл. vii. изотропная турбулентность [20.3
Исходя отсюда, коэффициенты в формулах B0.22) и B0.23) можно выразить
также через инварианты AJf ..., Л4, причем от переменных Р и S можно
снова перейти к обычным переменным р и р или р и Т (в последней форме
формулы B0.23) с небольшими описками были указаны Ситниковым A958)).
20.3. Квадратичные эффекты;
порождение звука турбулентностью
Рассмотренная выше линейная теория применима лишь в случае очень
слабой турбулентности, достигшей заключительного периода вырождения.
Теперь мы перейдем к случаю, когда турбулентность является сравнительно
слабой, но все же не настолько, чтобы нелинейными членами уравнений
гидромеханики можно было пренебречь. В таком случае надо использовать
' следующее приближение теории возмущений, учитывающее кроме главных
линейных членов также поправки к ним порядка Re. Это приближение,
уже обсуждавшееся на стр. 75 части 1, состоит в том, что в уравнениях
гидромеханики сохраняются нелинейные члены, в которых, однако, значе-
значения гидродинамических полей считаются совпадающими с решениями си-
системы линеаризованных уравнений. При конкретных расчетах нелинейные
члены удобно рассматривать как дополнительные «притоки» массы, импульса
и энергии, порождающие определенные «добавки» к решениям линеаризован-
линеаризованных уравнений. Указанные «добавки» будут определять новые физические
явления: порождение вихревых движении, звука и энтропийных волн за счет
их билинейных и квадратичных взаимодействий друг с другом.
Всего при этом получается 18 новых эффектов второго порядка, поло-
половина из которых, однако, возникает лишь за счет членов, содержащих
малый параметр 6t <**> м°л <^ 1 (где /мол — длина свободного пробега мо-
молекул, Л — длины волны возмущения среды), и поэтому не может играть
значительной роли. Остальные 9 эффектов классифицированы в таблице на
стр. 76 части 1, причем существенно, что эти 9 эффектов в реальных усло-
условиях оказываются не все одинаково важными. Дело в том, что при обычных
турбулентных течениях среды постоянной температуры с характерной ско-
скоростью, значительно меньшей скорости звука, вихревые (т. е. «несжимае-
«несжимаемые») движения всегда имеют гораздо большую интенсивность, чем звуко-
звуковые и энтропийные волны; поэтому наиболее существенно взаимодействие
вихревого движения с самим собой, затем следует взаимодействие вихревых
движений со звуком и с энтропийными волнами, и совсем уж малую роль
могут играть все остальные взаимодействия. В случае турбулентности
в слабо сжимаемой температурно-неоднородной среде значительного разви-
развития могут достигнуть также «энтропийные волны» (сводящиеся в этом слу-
случае в основном к возмущениям «поля пассивной примеси» ft); однако интен-
интенсивность звука и здесь обычно невелика. Поэтому, например, любопытный
эффект «рассеяния звука на звуке», связанный с квадратичным взаимодей-
взаимодействием звуковых волн друг с другом, может проявиться лишь при очень
специфических условиях.
Как видно из таблицы на стр. 76 части 1, взаимодействие «вихревой
компоненты» с самой собой, которое в обычных условиях является наиболее
важным, помимо эффектов порядка 5i может порождать только или вихре-
вихревые же движения, или звук. Порождение этим взаимодействием «вихревой
компоненты» объясняется растяжением вихревых трубок при конвективном
(т. е. инерционном) перемещении жидких частиц; в случае изотропной тур-
турбулентности этот эффект описывается членами уравнения Кармана — Ховарта
A4.9), содержащими функцию BLL L(r, t) (или членом Т(k, t) спектраль-

20.3] § 20. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 301
ного уравнения A4.15)), и его изучению фактически была посвящена основ-
основная часть содержания настоящей главы. Порождение же звука взаимодей-
взаимодействием вихревых движений с самими собой, очевидно, проявляется лишь
при учете сжимаемости; этому эффекту мы еще уделим довольно много
внимания ниже.
Взаимодействие «энтропийных волн» с самими собой вообще является
эффектом порядка 6^ взаимодействие же этих волн с вихревыми движениями,
очень существенное в случае температурно-неоднородной среды, фактически
порождает лишь энтропийные волны. Последний эффект, очевидно, должен
проявляться и в несжимаемой жидкости; и действительно, здесь он сводится
к конвективному перемешиванию температурных неоднородностей при инер-
инерционном движении жидких частиц, описываемому членами уравнения Кор-
сина, содержащими функцию BL^ ^(r, t) (или соответствующим членом
7\н>(?»0 спектрального уравнения' A4.63)). Таким образом, и с этим эф-
эффектом мы уже много раз имели дело и можем на нем больше не задер-
задерживаться. Из эффектов, вызываемых взаимодействием звука с вихревой и
с энтропийной компонентами движения, особо важными представляются эф-
эффекты порождения звука, обычно интерпретируемые как «рассеяние» звука
на пульсациях полей скорости и температуры. Взаимодействие звука с вих-
вихревыми движениями может приводить и к порождению вихревых движений,
а его взаимодействие с энтропийной компонентой — к порождению энтро-
энтропийной компоненты; однако соответствующие эффекты «конвекции вихрей и
температурных неоднородностей акустическими волнами» в реальных усло-
условиях очень малы по сравнению с аналогичной конвекцией, создаваемой вих-
вихревой компонентой поля скорости. Наконец, последний пока еще не упомя-
упомянутый эффект, не содержащий множителя 6Ь заключается в порождении за-
завихренности при взаимодействии энтропийных волн, создающих градиент
энтропии (плотности), и звуковых волн, создающих градиент давления; учет
этого эффекта (описываемого так называемым «членом Бьеркнеса» уравне-
уравнения баланса вихря в сжимаемой жидкости) существенен при объяснении про-
происхождения крупномасштабных циркуляционных процессов в земной атмо-
атмосфере, но при исследовании мелкомасштабной турбулентности им обычно
также можно пренебречь.
Итак, наиболее важными эффектами второго порядка, появляющимися
в случае сжимаемой жидкости, являются порождение звука турбулентностью
и рассеяние звука на неоднородностях скорости и температуры. Изучение
рассеяния звука естественно отложить до гл. 9, посвященной проблеме рас-
распространения волн в турбулентной среде. Поэтому здесь мы подробнее оста-
остановимся лишь на порождении звука турбулентностью.
Общее уравнение Лайтхилла A952, 1954), описывающее с точностью до
членов порядка 6i порождение звука пульсациями несжимаемой компоненты
поля скорости, было уже приведено в п. 1.7 (см. часть 1, стр. 77); оно имеет вид
B0.25)
где
Tu (x, t) = «#> (x, t) uf (x, t), B0.26)
(uls) (л\ t) — несжимаемая компонента поля скорости) и, как и выше, Р =р/ур,
uq = ур[р. Напомним, что при выводе этого уравнения пренебрегалось влия-
влиянием вязкости и теплопроводности жидкости и пульсации плотности р' = р — р
предполагались малыми по сравнению с р (отсюда вытекает, что мала и ди-
дивергенция поля скорости), а типичное значение U пульсации несжимаемой
компоненты скорости и^ считалось малым лишь по сравнению со средней

302 гл. vii. изотропная турбулентность [20.3
скоростью звука а0. Таким образом, уравнение B0.25) описывает поро-
порождение звука произвольной турбулентностью с малым числом Маха Ма»
s=U/a0, а вовсе не только турбулентностью, близкой к заключительному пе-
периоду вырождения1). В пределе при а0->со уравнение B0.25) переходит
в обычное уравнение A.9), определяющее связь полей скорости и давления
в несжимаемой жидкости, как этого и следовало ожидать.
Из уравнения B0.25) вытекает ряд важных следствий. Так, например,
то, что правая часть этого уравнения представляет собой комбинацию вторых
производных поля Tij(x) (а именно дивергенцию этого поля по его обоим
индексам), означает, что при отсутствии у потока твердых стенок излучение
звука турбулентностью эквивалентно излучению некоторой совокупности
акустических квадруполей (но не обычных источников звука или дипольных
источников) — на это обстоятельство обратил внимание Лайтхилл A952,1954J).
Отсюда вытекает, в частности, что в отсутствие стенок турбулентность с
небольшим числом Маха является малоэффективным излучателем звука.
Последний вывод убедительно подкрепляется и характером зависимости
суммарной интенсивности излучаемых акустических волн от характерной
скорости ?/. Общее решение уравнения B0.25), как известно, может быть
записано с помощью запаздывающих потенциалов:
dy
-—. B0.27)
t- /J^» I*—Я
Предположим, что акустический «шум» создается ограниченным объемом
жидкости, в котором имеются турбулентные пульсации скорости, а окру-
окружающая среда находится в состоянии покоя. В таком случае «турбулентная
область» будет излучать во все стороны акустические волны, приводящие
к появлению и вне этой области пульсаций давления, определяемых фор-
формулой B0.27). Применяя дважды к правой части B0.27) интегральную фор-
формулу Гаусса и учитывая, что интегралы по граничной поверхности, распо-
расположенной вне турбулентной области, тождественно обращаются в нуль,
можно заменить в B0.27) дифференцирование по «текущим координатам» у/
дифференцированием подынтегральной функции по координатам точки на-
наблюдения х:
-^— B0.28)
Г
J
j а0
(появление в правой части B0.28) второй производной от интеграла, отве-
отвечающего некоторому объемному распределению обычных источников, как
1) При не очень малом числе Маха уравнение B0.25) следует заменить
уравнением
d*P 2 дЧщ d д д
—-^ДР^-^—-, -dF^-W+^dFt
(см. Филлипс A960)).
2) При наличии твердых стенок положение будет иным: в этом случае
к квадрупольному излучению, вообще говоря, добавляется излучение неко-
некоторой совокупности источников и диполей, распределенных вдоль стенок
(см., например, Керл A955), Лайтхилл A962)). Заметим еще, что, как по-
показал Пауэлл A962), в отсутствие стенок излучающие квадруполи все могут
рассматриваться как поперечные (т. е. составленные из пары противоположно
направленных диполей с центрами на прямой, перпендикулярной осям этих
диполей).

20.3] § 20. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 303
раз и соответствует тому, что излучение является квадрупольным). Будем
рассматривать поле Р (х, t) вдали от «шумящего объема» — на расстоянии
от него, много превосходящем характерную длину волны излучаемого звука
(т. е. в так называемой «волновой зоне»). Тогда основную роль в правой
части B0.28) будут играть члены, получающиеся при дифференцировании
по xi и xj тензора Tij(ytt—I—~~^' ), и, следовательно,
1 Г rfj д2
4яаЗ •/ г ^т'
Т)
dy% r «» |JC— у\. B0.29)
Учитывая, что при Ма<^1 тензор Тц пропорционален квадрату турбулентных
пульсаций скорости, а скорость и^ вполне можно считать совпадающей
с полной скоростью и, убеждаемся, что амплитуда пульсаций давления
в волновой зоне пропорциональна квадрату характерного значения U пуль-
пульсаций скорости, умноженному на квадрат характерной частоты. Но харак-
характерная частота пульсаций пропорциональна U/L, где L — масштаб турбулент-
турбулентности; поэтому амплитуда пульсаций давления оказывается пропорциональ-
пропорциональной ?/4, а полная излучаемая энергия («интенсивность» звуковых волн) —
пропорциональной U8. Зависимость энергии звука от столь высокой степени
скорости означает, что при малой скорости U излучение звука будет очень
слабым.
Полученный результат можно уточнить следующим образом. Нетрудно
показать, что плотность потока энергии, связанного с распространяющимися
звуковыми волнами, в волновой зоне равна
B0.30)
(см., например, Ландау и Лифшиц A953), § 64). Отсюда вытекает, что в вол-
волновой зоне, на расстоянии от «турбулентного объема», много превосходящем
его характерный диаметр D (последнее надо для того, чтобы множитель
rfj/r3 в B0.29) можно было считать постоянным и вынести из-под знака
интеграла), поток энергии звуковых волн равен
г6
B0.31)
Но легко видеть, что в этой формуле вполне можно пренебречь различием
времен т и т': в самом деле, поскольку корреляция между тензорами
м,/(У. т) и TkiWit') лишь при [у-УК/. не является пренебрежимо
малой, имеем It — %' \ ^ — = тт » и» следовательно, при Ма = — <^ 1
разность т—-т' будет много меньше характерного периода турбулентных
пульсаций L/U. Поэтому среднее значение под знаком интеграла в B0.31)
можно подсчитывать в предположении, что т = т/#, при этом интеграл по dyr
в B0.31) можно грубо оценить, приняв, что при любом фиксированном у

304 лл. vii. изотропная турбулентность [20.3
д2щ (у, т) uj (у, т) d2uk (у, т) щ (у, т) /
он равен величине ^ -Га I имеющей порядок
(U \4 U* \
-y-j = —-), умноженной на характерное значение L8 объема жидкости,
о
(
в котором пульсации скорости заметно коррелированы с пульсациями ско-
скорости в заданной точке у. Это рассуждение показывает, что полная энер-
энергия & излучаемая за единицу времени единицей массы турбулентной среды,
имеет порядок
bjl B0.32)
(ибо величина % равна интегралу от правой части B0.31) по сфере радиуса г,
деленному на~р и на полный объем турбулентной области). Если мы вспом-
вспомним, что удельное (на единицу массы среды) значение 7 скорости диссипации
турбулентной энергии имеет порядок U*jL (см. стр. 180), то формулу B0.32)
можно будет переписать в виде
Ъ ~ е iy = е (Ма)«. B0.33)
а0
Следовательно, акустический к.п.д. (равный отношению энергии, излучаемой
в виде звуковых волн, к энергии, переходящей в тепло в результате вяз-
вязкого трения) пропорционален пятой степени числа Маха. Разумеется, перед
множителем (МаM в выражении этого к. п. д. может еще стоять довольно
значительный числовой коэффициент (так как оценки, приведшие к фор-
формуле B0.33), являются весьма грубыми), но даже и в этом случае наличие
в формуле числа Маха в пятой степени все равно будет приводить к тому,
что при малом U/aQ эффективность турбулентности как излучателя звука
будет очень низкой.
Приведенные выше качественные соображения (принадлежащие Лайт-
хиллу) относятся к произвольной турбулентности с малым числом Маха и
равной нулю средней скоростью (так что характерная скорость U совпадает
со средней квадратичной скоростью пульсаций). В частном случае, когда
турбулентность в пределах излучающей области можно приближенно считать
однородной и изотропной (что, разумеется, уже предполагает, что диаметр D
этой области намного превосходит масштаб турбулентности I), эти сообра-
соображения позволяют оценить значение числового коэффициента а = %\г (MaM.
В самом деле, будем считать турбулентность изотропной и постараемся под-
подсчитать значение JE(x) потока энергии в точке на оси Ох, расположенной
достаточно далеко от турбулентной области (где-то внутри которой мы рас-
расположим начало координат). В таком случае множитель rtrjrkri в фор-
формуле B0.31) обратится в нуль, если только не все индексы /, / k и / от-
отвечают оси Ох, так что 1)
Bа34)
(где уже учтено, что в B0.31) моменты тит' можно считать совпадающими).
1) Заметим, что формула B0.34), так же как и B0.31), строго говоря,
будет верна лишь для стационарной изотропной турбулентности. В самом
деле, уже формула B0.29) будет определять величину Р' (х, t) = P (x, t) — P
лишь при Р = const; если же турбулентность нестационарна, то в правой

20.3] § 20. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 305
Правая часть B0.34) была далее преобразована Праудменом A952),
использовавшим предположение, что гипотеза Миллионщикова об обраще-
обращении в нуль семиинвариантов четвертого порядка может быть приложена
не только к векторному полю и(х, t), но и к девятимерному полю
<jt(jc, t), —^—-I ^тг— [• Некоторым оправданием этого предполо-
предположения является то, что, как будет видно ниже, основной вклад в энергию,
излучаемую турбулентностью в виде звуковых волн, вносят крупные возму-
возмущения из интервала энергии спектра волновых чисел, для которых гипотеза
Миллионщикова неплохо подтверждается экспериментальными данными. При-
Применив указанное предположение, получаем
а;
где их = их (у), их = их (у'\ а многоточием обозначены члены, содержащие
(дихих
например, .. >
д [дихди'\ d\Z \
Ш\~дГ~ЗГ1'—Ш— и т* п'Г Последние члены в стационарной турбулентно-
турбулентности, очевидно, обращаются в нуль, а в вырождающейся турбулентности их
можно грубо оценить, допустив, что корреляционная функция BLL (r, t)
со временем изменяется автомодельно (см. Праудмен A952)). При этом
оказывается, что по сравнению с выписанными в правой части B0.35) сла-
слагаемыми члены, обозначенные многоточием, играют малую роль, и поэтому
в первом приближении ими можно пренебречь.
Заменяя -^- правой частью соответствующего уравнения Навье —
дих дих
Стокса, корреляционную функцию -г^- -дт- в предельном случае v = 0
(т. е. при очень большом числе Рейнольдса турбулентности) удается с по-
помощью повторного применения гипотезы Миллионщикова выразить через
тензор Вц (г, t), т. е., в конечном счете, через обычную продольную корре-
корреляционную функцию ВLL (r, t). Аналогичная процедура может быть приме-
д\ а;
нена и к корреляционной функции —р—зр- (с использованием уравнений,
д2 д2 —
части этой формулы -irrTijiy, т) надо заменить на -t-j [Тц (у, т) — Г/у]
(ибо Ttj (у, т) зависит от т!). При этом величины d2uxjdx2 в B0.34), оче-
очевидно, перейдут в -j-j-^ — wf). Однако и последующее равенство B0.35)
в этом случае также будет справедливо лишь при замене его правой части
соответствующим центральным четвертым моментом
так что окончательные результаты не изменятся.
20 А. С. Монин, А. М. Яглом

306 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [20.3
получаемых с помощью дифференцирования по времени уравнений Навье —
Стокса); в результате и ее удается выразить через BLL (г, t). Если, кроме
того, предположить, что BLL(r, t) = u2^(r,'L) (т. е. что BLL(T* 0 изменяется
автомодельно, так что энергия u2(t) убывает по «закону минус первой сте-
степени» A6.11)), то окончательно для полной энергии 2, излучаемой за единицу
времени единицей массы турбулентного объема жидкости, получается фор-
формула вида
^jf^ B0.36)
(ср. B0.32) и B0.33)). Теперь, однако, и для о получается явная (но весьма
сложная) формула, содержащая только нормированную корреляционную
функцию ф(*) (см. Праудмен A952)). Численное определение значения ко-
коэффициента а Праудмен выполнил для двух конкретных видов функции у(х):
для Ф(*), соответствующей полностью автомодельному спектру теории Гей-
зенберга с Re = oo (изображенному на рис. 31), и для ф (х) = ехр (— пх2,4).
При этом он нашел, что а =38 для автомодельного спектра теории Гейзен-
берга и а = 13 для ф (х) = ехр (— лх2/4). Разумеется, в свете принятых при
расчете предположений (автомодельность вырождения, большие числа Рей-
нольдса) первое из приведенных значений а должно считаться более реаль-
реальным, чем второе; собственно говоря, случай ф (х) = ехр (— лх2/4) был рас-
рассмотрен лишь для того, чтобы на конкретном примере выяснить степень
устойчивости значения а по отношению к весьма значительному изменению
формы корреляционной функции ВLL (r, t). Приближенный расчет Праудмена
позволяет заключить, что, по-видимому, истинное значение а для изотропной
турбулентности заключено где-то между 10 и 100. Подчеркнем еще раз, что,
хотя этот коэффициент может показаться сравнительно большим, наличие
в формуле B0.36) множителя (МаM все равно приводит к тому, что в виде
звуковых волн турбулентность при небольших значениях Ма излучает лишь
ничтожную часть своей энергии; поэтому неудивительно, что, например, по
оценке Голицына A961), связанные с излучением звука от турбулентной
нижней атмосферы потоки энергии в верхней атмосфере существенно меньше
потоков, создаваемых теплопроводностью при реальном изменении средней
температуры с высотой.
К близким результатам несколько позже пришли также Мюллер и Мат-
шат A958). Эти авторы рассмотрели изотропную турбулентность, затухающую
согласно уравнению Гейзенберга A7.50); вместо величины %=x%(t) они под-
подсчитали (при тех же предположениях, что и Праудмен) суммарную энергию
со
Е = Г % (t) dt, излучаемую единицей массы турбулентной области в течение
всей эволюции турбулентности. Далее, они сравнили энергию Е с удельной
начальной кинетической энергией турбулентности -^- = — й Поскольку,
очевидно,
оо
МО + *<01 <"
о
(ибо в конце концов вся начальная кинетическая энергия либо переходит
в тепло под действием вязкости, либо же, в малой доле, излучается в виде,

20.3] * «О- ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 307
звуковых волн), коэффициент
^, B0.37)
определенный Мюллером и Матшатом, фактически представляет собой что-то
вроде среднего по времени значения коэффициента а Праудмена (занижен-
(заниженного тем, что значение Ма берется лишь для начального момента времени).
При вычислении величины % (t) Мюллер и Матшат снова пренебрегали на-
наличием вязкости (и считали, что ??? (г, t) изменяется автомодельно); тем
не менее значение v существенно входило в расчеты, так как от него
зависели все значения корреляционной функции ВLL (r, t) при t > 0. Приняв,
что в начальный момент времени спектр турбулентности задается формулой
а
0 при k<k0 и k> акъ
и полагая уя = 0,45 в уравнении Гейзенберга A7.50), Мюллер и Матшат
с помощью численного интегрирования определили ряд значений р, отве-
отвечающих разным Re0 = °V° (где Lo —- начальный продольный масштаб тур-
турбулентности, определяемый по /?(&, 0) с помощью формулы A2.91),
оо
= 2 Г ?(&, O)dk\ и а. При этом оказалось, что коэффициент р растет
с ростом Re0, как этого и следовало ожидать; при Re0 = 5.103 и а = 2 по-
получается Р=18, а при Reo'^S.lO4 и а, меняющемся от 1,25 до 5, для р
получились значения от 19 до 24. Таким образом, числовые значения Р при
сравнительно больших Re0 оказались весьма устойчивыми, причем эти зна-
значения (являющиеся, разумеется, лишь весьма грубыми оценками) также со-
согласуются с тем, что при больших числах Рейнольдса коэффициент а должен
иметь порядок 102.
Так как значительное излучение звука турбулентностью наблюдается
лишь при достаточно большой средней скорости ?/, то измерить этот эффект
в условиях близкой к изотропности турбулентности и за решеткой в аэро-
аэродинамической трубе не удается. Поэтому сравнение теории с данными экспе-
эксперимента приходится производить на примерах существенно неизотропной
турбулентности, для которой можно получить только еще заметно более
грубые приближенные оценки. Тем не менее развитая в настоящем пункте
теория после внесения в нее некоторых уточнений (связанных, например,
с учетом отличной от нуля средней скорости потока) позволяет получить
некоторую ориентировку и в процессах излучения звука турбулентными по-
пограничными слоями (ср. Лауфер A962)), быстрыми турбулентными струями
жидкости или газа и другими типами неизотропной турбулентности, встре-
встречающимися на практике. В связи с большой ролью, играемой аэродинами-
аэродинамическими шумами в авиации (особенно реактивной), теория порождения звука
турбулентностью в последние годы приобрела большое значение; по этому
поводу, так же как и по поводу сопоставления этой теории с данными
экспериментов, можно сослаться на обзор Лайтхилла A962), содержащий
обширный список литературы.
Задача об излучении звука может рассматриваться и чисто гидродина-
гидродинамически — вне всякой связи с турбулентностью (ср. Лайтхилл A952)).
В частности, Кляцкин A966а) рассчитал излучение звука парой вихревых
колец и нашел, что интенсивность излучения вдали от рассматриваемых
20*

308 ГЛ. VII. ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [20.3
вихрей в этом случае также пропорциональна (МаM. Поскольку пара вих-
вихревых колец мало похожа на рассматривавшуюся выше систему случайных
возмущений скорости турбулентнога потока, полученный результат указы-
указывает на существование универсальной закономерности, относящейся к излу-
излучению звука различными гидродинамическими системами. В этой связи
Обухов заметил, что формула 2 ~ е (МаM/^ Цъ может рассматриваться как
аналог известного закона Стефана — Больцмана теории теплового излу-
излучения, если считать, что «энергия турбулентности» E~U2 может служить
мерой некоторой «эффективной температуры турбулентности» Т9 (так что
U2~T9 и, следовательно, 2~ 7^).
Исследованию турбулентности в слабо сжимаемой среде с учетом нели-
нелинейного взаимодействия случайного акустического поля с вихревой компо-
компонентой турбулентности посвящена работа Кляцкина A9666). Предполагая
турбулентность однородной и изотропной, Кляцкин линеаризировал уравне-
уравнения гидромеханики относительно величин, описывающих случайное акусти-
акустическое поле, и получил соотношение, представляющее собой разложение
уравнения баланса энергии турбулентности по малому параметру р = U^IU^S\
где U^ и U^ — характерные скорости соленоидальной и потенциальной
компонент пульсаций скорости. В случае, когда нет посторонних источников
акустических волн, параметр р оказывается пропорциональным (МаJ =

ГЛАВА VIII
ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
§ 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
21.1. Качественная схема развитой турбулентности
В начале гл. 7 мы отмечали, что понятие изотропной турбулент-
турбулентности представляет собой математическую идеализацию, далекую от
реальных турбулентных течений, встречающихся в природе или в тех-
технических устройствах. Тем не менее нельзя считать, что теория изот-
изотропной турбулентности вообще не имеет практического значения. Как
будет разъяснено ниже, имеются веские основания ожидать, что со-
совокупность достаточно мелкомасштабных возмущений любого разви-
развитого турбулентного потока (с числом Рейнольдса, много превосхо-
превосходящим Recr) в небольших пространственно-временных областях всегда
будет практически однородной и изотропной. Поэтому реальную тур-
турбулентность часто можно считать обладающей определенными свой-
свойствами, родственными изотропии и позволяющими использовать при
ее изучении некоторые результаты и методы гл. 7. Именно этому и
будет посвящена ббльшая часть настоящей главы.
Основой для предположения об изотропности мелкомасштабных
возмущений любого турбулентного потока с достаточно большим чис-
числом Рейнольдса является качественная схема развитой турбулентности,
предложенная еще в 20-х годах нашего столетия, исходя из чисто ин-
интуитивных представлений, Ричардсоном. Согласно схеме Ричардсона,
развитая турбулентность складывается из совокупностей неупорядо-
неупорядоченных возмущений («вихрей») различных порядков, отличающихся
характерными масштабами и скоростями. Если постепенно увеличивать
число Рейнольдса, переводя поток из ламинарного режима в развитый
турбулентный режим, то возмущения разных порядков появляются не
все одновременно. Вначале при переходе числа Рейнольдса Re = UL/v
через значение Recr возникают лишь наиболее крупномасштабные пуль-
пульсации, имеющие характер плавных волн (типа тех, которые были

310 ' гл. viii. локально изотропная турбулентность pi.l
обнаружены Шубауэром и Скрэмстедом в пограничном слое; см.
часть 1, стр. 130— 131). При дальнейшем возрастании Re эти «возму-
«возмущения первого порядка» порождают более мелкие «возмущения второго
порядка», заимствующие свою энергию из кинетической энергии самых
крупных возмущений; затем «возмущения второго порядка» создают
«возмущения третьего порядка» и т. д. Таким образом возникает
целая иерархия возмущений, в которой каждое возмущение заимст-
заимствует энергию у немного более крупных (так сказать, «старших»)
возмущений и передает энергию немного более мелким («младшим»)
возмущениям. Самые мелкие возмущения характеризуются наиболь-
наибольшими значениями локальных градиентов скорости; поэтому пре-
преимущественно в них сосредоточен непосредственный переход кине-
кинетической энергии турбулентности в теплоту под действием вязкости.
Рассмотрим немного подробнее каскадный процесс переноса энер-
энергии вдоль иерархии возмущений различных порядков. Наибольшие
возмущения в развитом турбулентном потоке имеют масштаб lv
сравнимый по порядку величины с характерным масштабом L всего
течения в целом (масштаб 1Х можно считать совпадающим с «длиной
пути перемешивания» полуэмпирической теории турбулентности
Прандтля, а также и с «интегральным масштабом длины», опре-
определяемым с помощью интегрирования нормированной корреляционной
функции скорости). Оба масштаба L и lv вообще говоря, могут
определяться по-разному; тем не менее обычно можно утверждать,
что 1г в несколько раз меньше, чем L. Пульсации наибольшего мас-
масштаба обладают и наибольшими амплитудами — их характерная ско-
скорость vx близка к (и'2I/2 и по порядку величины сравнима с изме-
изменениями А?/ средней скорости потока на расстояниях порядка L
(фактически vx оказывается все же несколько меньше, чем At/).
Свою энергию наиболее крупномасштабные пульсации заимствуют
непосредственно из осредненного движения, что накладывает свой отпе-
отпечаток на все их характеристики: режим этих пульсаций оказывается
неоднородным и неизотропным почти в той же мере, в какой неодно-
неоднородно и неизотропно поле скорости осредненного движения.
Число Рейнольдса Re1 = x/1/1/v, характеризующее наиболее круп-
крупномасштабные пульсации, обычно в несколько раз меньше, чем
Re = (/Z/v, но в развитом турбулентном потоке оно также очень
велико. Поэтому «возмущения первого порядка» в таком потоке
сами оказываются неустойчивыми и, распадаясь, порождают турбу-
турбулентные движения меньших масштабов /2. Характерная скорость v2
«вторичных движений» меньше, чем vv но отвечающее им число
Рейнольдса Re2 = ^2/2/v ПРИ достаточно большом Re все еще весьма
велико (много больше Recr). Поэтому вторичные движения также
будут неустойчивыми и должны распадаться, порождая движения
еще меньших масштабов /3, и т. д. Процесс порождения движений
все меньших и меньших масштабов прекратится лишь по достижении

21.1] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 311
некоторого минимального масштаба /уу == т), такого, что соответст-
соответствующее число Рейнольдса Re^ уже не является большим, а имеет зна-
значение порядка единицы (точнее говоря, порядка Recr). Движения мини-
минимального масштаба гидродинамически устойчивы и практически далее
не распадаются; поскольку их число Рейнольдса невелико, для них су-
существенна вязкость жидкости, и их энергия расходуется в основном
на преодоление сил трения, и следовательно, рассеивается, непо-
непосредственно переходя в теплоту. В то же время для движений с мас-
масштабами, значительно большими х\, вязкость жидкости не играет
значительной роли (ибо их числа Рейнольдса очень велики); поэтому
в них не происходит заметной непосредственной диссипации энергии.
Пока неустойчивость осредненного движения приводит к появлению
все новых и новых «возмущений первого порядка», процесс после-
последовательного дробления всех достаточно крупных возмущений не пре-
прекращается и создает непрерывный «поток энергии по спектру» от
крупномасштабных движений к движениям минимальных масштабов
порядка т|. Поскольку развитая турбулентность сопровождается дисси-
диссипацией кинетической энергии, ясно, что ее поддержание требует не-
непрерывного «питания» осредненного движения энергией из каких-
либо внешних источников.
Вследствие хаотичности процесса передачи энергии от движений
данного масштаба к движениям меньших масштабов анизотропность,
неоднородность и нестационарность осредненного движения, по-ви-
по-видимому, должны все меньше и меньше сказываться на статистическом
режиме пульсаций все меньших и меньших масштабов. В самом деле,
существенным звеном в механизме передачи энергии от движений мас-
масштаба 1п к движениям масштаба /я+1 являются пульсации давления,
возникающие из-за неоднородности поля скорости масштаба 1п и при-
приводящие к возникновению пульсаций скорости масштаба /я+1, ори-
ориентированных не только по направлению скорости исходного дви-
движения, но и по всем другим направлениям. Тем самым пульсации
давления содействуют перераспределению энергии исходных движе-
движений по всевозможным направлениям (об этом уже говорилось в п. 6. 2
части 1). Одно их действие должно приводить к тому, что ориен-
ориентирующее влияние среднего течения (т. е. геометрии всего потока
в целом) будет ослабевать при каждом переходе к пульсациям мень-
меньших масштабов. Поэтому можно предполагать, что это ориентирую-
ориентирующее влияние практически перестает сказываться уже на возмущениях
сравнительно невысокого порядка, т. е. что в случае развитой тур-
турбулентности совокупность всех возмущений, за вычетом лишь не-
небольшой части наиболее крупных из них, будет статистически изот-
изотропной. Аналогично этому изменение в пространстве скорое*и U = и
осредненного движения, характеризующее неоднородность этого дви-
движения, играет существенную роль на расстояниях порядка L~ll%
на которых оно имеет порядок klt~vv но на много меньших

812 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.1
расстояниях оно уже не должно сказываться на режиме мелкомасштаб-
мелкомасштабных пульсаций, возникающих при многократном «дроблении» возму-
возмущений масштаба lv Поэтому в областях течения с размерами, много
меньшими Z,, мелкомасштабные пульсации скорости и других гид-
гидродинамических полей должны быть статистически однородными. На-
Наконец, представляется очень правдоподобным, что с уменьшением
масштаба турбулентных движений 1п уменьшается не только их число
Рейнольдса Re,,, то и соответствующий характерный период Тп =
= lnjvn *). Следовательно, масштаб времени То, характеризующий
возможную нестационарность осредненного движения (т. е. относи-
относительную быстроту изменения во времени средней скорости' tt(t))t на-
намного превосходит периоды Тп с не слишком малым п. Иначе го-
говоря, при не слишком малом п изменение во времени интегральных
характеристик осредненного движения, определяющих статистический
режим пульсаций порядка я, оказывается очень медленным по сравне-
сравнению с характерным периодом этих пульсаций, и указанный статисти-
статистический режим можно считать квазистационарным — не зависящим явно
от времени и меняющимся лишь благодаря его зависимости от
интегральных характеристик течения.
В случае почти изотропной турбулентности за решеткой в аэро-
аэродинамической трубе То — LjU, где U ~(и/2I1 , a L — интегральный
масштаб турбулентности (см. стр. 179—180). В случае турбулентности
с переменной в пространстве средней скоростью обычно T0~LjU,
где L и U — типичные масштабы длины и скорости среднего тече-
течения (иначе член с производной по времени в уравнениях Рейнольдса
будет по порядку величины отличаться от членов, содержащих про-
пространственные производные). Исходя отсюда, мы будем в дальней-
дальнейшем для простоты всегда считать, что T0 = LIU. Заметим, что и в
случае установившегося турбулентного потока с градиентом средней
скорости, в котором и = и(х) не зависит от tt для того, чтобы
пульсации масштаба 1п были статистически изотропными, необхо-
необходимо, чтобы выполнялось условие Tn<^-?j ^ | Vaj"; иначе пуль-
пульсации будут деформироваться неизотропным образом полем средней
скорости (скорость деформации характеризуется как раз типичным
временем порядка IVe"!; см. Уберои A957) и Корсин A9586), где
') Если воспользоваться тем, что для изотропных возмущений распре-
распределение энергии по различным масштабам / = l/k может быть задано спек-
спектральной плотностью E(k), то с помощью соображений размерности или
простых физических рассуждений можно вывести, что vn ~ [kE (k)]l/2t Tn ~
~[*8Я(*)Г1/2. где k = l/ln (ср., например, Онзагер A949), Корсин A9586)).
Отсюда видно, что убывание характерного периода при убывании масш-
масштаба / имеет место, если только B(k)kz растет с ростом k\ это условие
всегда выполняется на большом интервале значений k.

21.2] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 318
исходя отсюда выводятся некоторые оценки для наименьших чисел
Рейнольдса, при которых существуют изотропные пульсации).
Итак, изложенные представления о механизме турбулентности
при очень больших числах Рейнольдса естественно приводят к пред-
предположению, что статистический режим мелкомасштабных пульсаций
(с масштабами, много меньшими «внешнего масштаба» турбулентности
L — lv и характерными временами, малыми по сравнению с Го = /,/?/)
в достаточно малых пространственно-временных областях (с прост-
пространственными размерами, много меньшими /,, и временным протяжением,
много меньшим То) будет однородным, изотропным и практически ста-
стационарным. Этот основной вывод впервые был четко сформулирован
Колмогоровым A941а); в неявной форме он содержится также в ре-
результатах, к которым независимо пришли Обухов A941а, б), Онза-
гер A945, 1949), Вейцзеккер A948) и Гейзенбёрг A948а). .
21.2. Определение локально изотропной турбулентности
Постараемся математически описать класс полей скорости и(х, t)%
мелкомасштабные пульсации которых статистически однородны, изот-
изотропны и стационарны. Для этого прежде всего надо выделить ха-
характеристики рассматриваемых полей, не зависящие от крупномасш-
крупномасштабных компонент движения. В качестве таких характеристик сами
значения и(х, t) использованы быть не могут, так как они опреде-
определяются в основном осредненным течением. Разделение скорости а
на среднюю и пульсационную компоненты и и и' — и — и выде-
выделяет компоненту скорости и'(х, t), не зависящую от среднего те-
течения; но значения и' (х, t) определяются в первую очередь самыми
крупными возмущениями масштаба /r— L, имеющими наибольшие
амплитуды. Естественно попытаться выделить интересующие нас мел-
мелкомасштабные пульсации с помощью разложения Фурье (именно так
мы и поступали в п. 16.5 гл. 7; однако, поскольку поле u(x,t)
теперь не предполагается однородным, такому разложению нелегко
придать точный смысл. Поэтому проще всего при определении мел-
мелкомасштабных свойств турбулентности исходить из того, что эти
свойства должны проявляться лишь в относительном движении жид-
жидких частиц в малых объемах пространства и в течение малых про-
промежутков времени; к абсолютному же движению отдельных объемов
жидкости (определяемому главным образом осредненным течением и
наиболее крупными возмущениями) они не могут иметь отношения.
Таким образом, при математическом изучении свойств мелкомасштаб-
мелкомасштабных компонент движения целесообразно, следуя Колмогорову A941а),
рассматривать только относительные движения жидких частиц, т. е.
их движения по отношению к какой-то фиксированной жидкой ча-
частице, находящейся с ними в одном и том же малом объеме.

314 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.2
Выделим небольшой пространственно-временной объем и выберем
внутри него «центральную точку» (jc0, *0). Введем подвижную инер-
циальную систему декартовых координат, перемещающуюся с посто-
постоянной скоростью и(х0, t0) относительно неподвижной («абсолютной»)
системы и такую, что ее начало отсчета в момент t = tQ совпадает
с точкой jc0. Переход к этой системе координат означает, что обыч-
обычные координаты x = (xv х2, хг) и время t заменяются величинами
г = х — хо — и(хош to)(t-to), x = t-t0 B1.1)
(первая из которых зависит от и(х0, t0), т. е. является случайной),
а вместо скорости и(х, t) рассматривается относительная скорость
v (г, т) = и (х, t) — и (х0, t0). B1.2)
Сформулируем теперь следующее основное определение:
Турбулентность называется локально изотропной в прост-
ранственно-временнбй области О, если при любом фиксирован-
фиксированном значении и(х0, to) — uo многомерное распределение вероят-
вероятностей для каждого конечного набора относительных скоростей
v(rk, %k), ?=1 nt составленного из значений скорости
и(х, f) в п-\-\ точках (х0, *0), (xv tx) (хп, tn) области G,
не зависит от и0, стационарно (не зависит от выбора мо-
момента t0 в области О), однородно (не зависит от выбора точ-
точки х0 в этой области) и изотропно (т. е. инвариантно отно-
относительно произвольных вращений и отражений в пространстве
векторов г).
Соображения, приведенные в п. 21.1, дают основание предпола-
предполагать, что турбулентность с достаточно большим числом Рейнольдса
всегда будет локально изотропной в любой области, пространствен-
пространственные размеры которой много меньше чем L, а временные — много
меньше чем T0 = LIU. Иначе говоря, если ограничиться такими век-
векторами rk и промежутками времени тл, что | rk \ = rk <^ L и | rk \ <^
<^ Го, то при Re ^> Recr распределение вероятностей для любого
конечного набора величин vk(rk, %k), по-видимому, всегда будет не-
независимым от и0, стационарным, однородным и изотропным *).
Знание распределений вероятностей для относительных скоростей
B1.2) позволяет определить также распределения вероятностей для
разностей скоростей в любых достаточно близких друг к другу
пространственно-временных точках. Исходя отсюда, можно определить
!) Условие |Tfc]<^r0 обеспечивает также выполнение неравенства
|tfc|<^7\ где Г — лагранжев масштаб времени (который обычно превосхо-
превосходит эйлеров масштаб / 01 СР* часть 1, п. 9.5, стр. 502—-503). Именно поэтому
разность скоростей v(r^ т$) можно приближенно интерпретировать как
относительную скорость, т. е. скорость движения относительно фиксирован-
фиксированной жидкой частицы, находившейся в момент t0 в точке jc0. Вообще же,
условие \tk\<^T не менее важно, чем ||^Г

21.2] $ 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 315
и распределения вероятностей для производных любого порядка поля
и(х, t) по координатам и времени. В случае несжимаемой жидкости
знание пространственных производных поля скорости позволяет вос-
восстановить значения давления с точностью до постоянного слагаемого;
следовательно, по распределениям вероятностей для разностей ско-
скоростей здесь могут быть определены и всевозможные статистические
характеристики разностей давления в близких точках. Если, однако,
несжимаемая жидкость температурно-неоднородна, то положение
осложняется: здесь к числу основных гидродинамических полей
должно быть отнесено также поле температуры, которое не выражается
через поле скорости. В таком случае определение локально изотроп-
изотропной турбулентности нужно дополнить, включив в него наряду с от-
относительными скоростями разности температуры в парах простран-
пространственно-временных точек (jc0, t0) и (xk, tk), k=\% 2 п, и
потребовав, чтобы свойства стационарности, однородности и изотроп-
изотропности имели место для совместного распределения вероятностей разностей
и скоростей, и температур. Наконец, в случае турбулентности в сжи-
сжимаемой жидкости определение локально изотропной турбулентности
нужно еще расширить, включив в него и разности значений, например,
плотности или давления; на этом, однако, мы не будем задерживаться,
так как локально изотропная турбулентность в сжимаемой жидкости
в дальнейшем рассматриваться не будет.
Поскольку в определение локально изотропной турбулентности
входят распределения вероятностей лишь для разностей гидродина-
гидродинамических полей в достаточно близких точках, при применении этого
понятия к турбулентности в природных условиях мы можем не бес-
беспокоиться об упоминавшемся в п. 7.1 части 1 неприятном явлении
«эволюции уровня» метеорологических полей, сильно осложняющем
рассмотрение распределений вероятностей для значений таких полей.
В самом деле, из-за «эволюции уровня» статистически неустойчивыми
(т. е. существенно зависящими от выбора периода осреднения) ока-
оказываются лишь средние значения самих метеорологических полей,
но не средние значения функций от их разностей в достаточно
близких точках, при составлении которых среднее значение поля
(его «уровень») выпадает. Ясно также, что вопрос о выборе времени
осреднения, достаточного для получения надежных оценок характе-
характеристик локально изотропной турбулентности, решается очень просто:
поскольку в ее определение входят лишь высокочастотные пульсации
с характерными периодами, много меньшими LjU% достаточно выбрать
период осреднения большим LjU% и все будет в порядке. Таким
образом, с точки зрения приложений рассмотрение одних лишь
мелкомасштабных и высокочастотных возмущений потока во многих
отношениях оказывается очень удобным.
С теоретической точки зрения, однако, ограничение конечной
пространственно-временнбй областью О очень неудобно, так как при

316 ТЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.2
этом строгое математическое описание интересующих нас пульсаций
должно включать в себя задание точной формы этой области и указа-
указание полной системы соответствующих граничных условий. В то же вре-
время физические представления, приведшие нас к определению локально
изотропной турбулентности, одновременно приводят к выводу о том, что
статистический режим локально изотропных пульсаций не должен зави-
зависеть от формы области О и что граничные условия должны сказываться
только через значение одной их характеристики, определяющей суммар-
суммарный удельный приток энергии к рассматриваемым пульсациям (подробнее
об этом еще будет идти речь ниже). Поэтому при теоретическом ана-
анализе локально изотропной турбулентности имеет смысл распростра-
распространить однородные, изотропные и стационарные распределения вероят-
вероятностей для гидродинамических полей, заданных в области О, на все
безграничное четырехмерное пространство (jc, t)% т. е. рассматривать
идеализированную модель локально изотропной турбулентности
с бесконечно большим «внешним масштабом» L. В этой модели
гидродинамические поля заданы уже во всем пространстве и являются
локально изотропными случайными полями в смысле, определенном
в § 13. Следовательно, здесь можно использовать математический
аппарат, изложенный в указанном параграфе. В частности, мы сможем
пользоваться спектральным представлением гидродинамических полей
без всяких оговорок об искажающем влиянии макроскопических
неоднЪродностей потока и без предположения, что турбулентность
является также изотропной в обычном смысле. «Питание» энергией
от внешних источников^ необходимое для поддержания стационарной
турбулентности, может осуществляться в нашей модели за счет непре-
непрерывного возбуждения движений с бесконечно большой длиной волны
(т. е. с нулевым волновым вектором). Таким образом, можно.надеяться,
что теоретические результаты, относящиеся к идеализированной ло-
локально изотропной турбулентности в безграничном пространстве,
будут применимы и к свойствам мелкомасштабных компонент реальной
локально изотропной турбулентности в #достаточно малых простран-
пространственно-временных областях.
Понятие локально изотропной турбулентности, очевидно, не яв-
является просто расширением понятия изотропной турбулентности. В са-
самом деле, хотя условия однородности и изотропности пульсаций гидро-
гидродинамических полей в области О в случае изотропной турбулентности
будут автоматически выполняться при любом выборе этой области,
условие стационарности в этом случае будет справедливо далеко
не всегда. В частности, в случае почти изотропной турбулентности
за решеткой в аэродинамической трубе локально изотропными (т. е.
также и стационарными) будут только самые мелкомасштабные пуль-
пульсации, причем для существования таких локально изотропных пуль-
пульсаций надо, чтобы число Рейнольдса ReM = UM/v было достаточно
большим (во всяком случае, не меньше нескольких сотен тысяч; ср.

21.3] § 2h ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 317
выше п. 16.6). Таким образом, понятие локально изотропной турбу-
турбулентности является одновременно и более широким и более узким, чем
понятие изотропной турбулентности: локально изотропная турбулент-
турбулентность может не быть изотропной, но и изотропная турбулентность, во-
вообще говоря, может не быть локально изотропной ни в какой про-
странственно-временнбй области О.
21.3. Гипотезы подобия Колмогорова
Математическое описание локально изотропных случайных полей
сравнительно несложно; их основные статистические характеристики
зависят от небольшого числа переменных и, следовательно, легко
обозримы. Тем не менее совокупность всех возможных локально
изотропных случайных полей все же весьма широка. Поэтому важно
выяснить, все ли такие поля могут возникать в качестве полей
мелкомасштабных пульсаций реальных турбулентных течений, или же
распределения вероятностей для пульсаций гидродинамических полей
всегда принадлежат какому-то подмножеству локально изотропных
распределений, определяемому небольшим числом параметров.
Для ответа на этот вопрос следует выяснить, от каких парамет-
параметров может зависеть статистический режим мелкомасштабных пульсаций.
Естественно ожидать, что при переходе ко все более и более мелким
пульсациям, наряду с ослаблением ориентирующего влияния осред-
ненного течения, будет ослабевать и влияние всех вообще его гео-
геометрических и кинематических особенностей. Поэтому можно думать,
что характеристики осредненного течения (типа, например, характер-
характерной длины L и характерной скорости U) не будут непосредственно
определять статистический режим мелкомасштабных пульсаций. Но
в таком случае статистический режим этих пульсаций не будет за-
зависеть от конкретного вида осредненного движения, а будет опреде-
определяться своими собственными внутренними закономерностями. Подобные
закономерности, очевидно, должны быть обусловлены общими для
всех локально изотропных турбулентных течений процессами передачи
энергии от крупномасштабных движений к движениям меньших мас-
масштабов под действием сил инерции (т. е. в виде работы, совершаемой
против действия напряжений Рейнольдса) и диссипации энергии
в теплоту под действием вязкого трения. Это утверждение можно
перевести на язык общей механики, рассматривая развитый турбулент-
турбулентный поток как динамическую систему с очень большим числом сте-
степеней свободы и выделив степени свободы, относящиеся к мелко-
мелкомасштабным (и высокочастотным) компонентам движения. Тогда
сказанное выше означает, что силы инерции и силы трения, отвечаю-
отвечающие выделенным степеням свободы, должны находиться в статистическом
равновесии, не зависящем от особенностей крупномасштабных компо-
компонент движения.

818 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.3
Отсюда вовсе не следует, что статистический режим мелкомас-
мелкомасштабных пульсаций вообще не будет зависеть от особенностей осред-
ненного течения, т. е. во всех потоках будет одним и тем же.
Осредненное течение будет воздействовать на режим мелкомасштабных
пульсаций, но только косвенно — через величину того потока энер-
энергии, который передается от осредненного течения через всю иерархию
возмущений разных порядков и в конце концов рассеивается, переходя
в теплоту. Будем считать, что число Рейнольдса потока настолько
велико, что однородность, изотропность и стационарность статисти-
статистического режима достигаются уже для относительно крупных возму-
возмущений, на которые вязкость еще непосредственно не влияет (т. е.
для возмущений с числом Рейнольдса, намного превосходящим ReCf).
В таком случае средняя удельная диссипация энергии е (т. е. среднее
количество энергии, переходящей в теплоту в единице массы жидкости
за единицу времени) будет равна среднему количеству энергии, по-
поступающей за единицу времени в единицу массы от осредненного
течения к наиболее крупным из локально изотропных возмущений.
Следовательно, величина е и будет той характеристикой крупномас-
крупномасштабных движений, которая только и влияет на статистический режим
мелкомасштабных пульсаций (в частном случае изотропной турбулент-
турбулентности этот вывод был уже сформулирован на стр. 181). Величина е
в силу общих уравнений гидромеханики равна
е =
B1.3)
(см. равенство A.69) на стр. 61 части II). Поскольку мы рассматри-
рассматриваем случай турбулентности с очень большим числом Рейнольдса,
в которой непосредственная диссипация энергии осредненного тече-
1) Так как приведенные рассуждения показывают, что величина е
может быть определена по одним лишь характеристикам осредненного движе-
движения, то ее порядок можно оценить с помощью соображений размерности по
типичному масштабу этого движения L и типичной скорости и (или при
отсутствии твердых стенок, на которых скорость обращается в нуль, по
типичной разности средних скоростей Ш):
z~U*/L или г~(Ш)*/Ь
(ср. для случая изотропной турбулентности формулу A6.34) на стр. 180).
По аналогии с формулой Стокса B1.3) последнюю фермулу можно пере-
переписать в виде е =• КI —гА ¦ гДе К ~ bU • L играет роль эффективного коэф-
коэффициента турбулентной вязкости. Следовательно, в развитой турбулентности
K/v ~*> bU • L/v =я Re (или, точнее, K/v ~ Re/ReCT, так как значения К и v
должны сравняться при Re — Recr).

21.3] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 319
ния под действием молекулярной вязкости пренебрежимо мала, за-
законно считать, что
ъ \2
(это определение е использовалось нами в части 1, пп. 7.5 и 8.5).
Вернемся теперь к вопросу о том, от каких параметров может
зависеть распределение вероятностей для относительных скоростей
v(г, т) с достаточно малыми значениями \г\ и | т |. Согласно ска-
сказанному выше, свойства крупномасштабных движений могут сказы-
сказываться на этом распределении только через значение параметра е.
Кроме того, это распределение может еще зависеть от параметров,
характеризующих свойства среды. В случае несжимаемой жидкости
свойства среды описываются двумя параметрами р и v; поскольку,
однако, значения скорости не зависят от выбора единицы массы, то
от р рассматриваемое распределение зависеть не может. Таким об-
образом, остается предположить, что рассматриваемое распределение
зависит только от параметров е и v. Это предположение и было
сформулировано Колмогоровым A941а) в виде следующей основной
гипотезы:
Первая гипотеза подобия Колмогорова. В случае
турбулентности с достаточно большим числом Рейнольдса мно-
многомерные распределения вероятностей для относительных ско-
скоростей v(r, x) = u(xo-\-r, to-\-x)— я 0*0' *о) в пространственно-
временнбй области О, в которой турбулентность локально
изотропна, однозначно определяются значениями параметров
г и v.
Эта гипотеза (если только она верна) сильно сужает множество
распределений вероятностей, отвечающих локально изотропным слу-
случайным полям относительной скорости v(r, т) в различных турбу-
турбулентных течениях с большим Re. В самом деле, из величин е и v
нельзя составить никакой безразмерной комбинации и можно лишь
единственным образом (с точностью до несущественных числовых
множителей) составить комбинации r\9 vA и хц = ц^ размерностей
длины, скорости и времени. А именно:
л = (V3/7I/4, vn = (viI/4, тч = (v/"SI/2 B1.4)
(первые две из этих формул мы уже приводили на стр. 182). В силу
общих соображений размерности отсюда вытекает, что если распре-
распределения вероятностей для поля v(r, т) зависят только от г и v, то
после перехода к масштабам т|, г>„ и тч распределения вероятностей

320 ГЛ. VIIL ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ B1.3
для безразмерного случайного поля да(|, s), определяемого соотно-
соотношением
должны быть уже универсальными. Таким образом, первую гипотезу
подобия Колмогорова можно переформулировать следующим образом:
конечномерные распределения вероятностей для значений слу-
случайного поля w(&, s) формулы B1.5), отвечающих не слишком
большим г = | g | т) // т = | s | тп, совпадают между собой во всех
турбулентных течениях с достаточно большим числом Рей-
нольдса. Поэтому, изучив соответствующие универсальные распреде-
распределения вероятностей, мы будем знать статистические закономерности,
справедливые для любой турбулентности с достаточно большим Re.
Возмущениям масштаба т), очевидно, отвечает характерная скорость
порядка г;^, т. е. число Рейнольдса порядка Re^ = ryv^v = 1. Поэтому
масштаб т] по порядку величины совпадает с масштабом наибольших из тех
возмущений, на которые вязкость еще оказывает существенное влия-
влияние (а также и с масштабом возмущений, отвечающим максимуму
диссипации энергии, который еще в несколько раз меньше). Та-
Таким образом, этот масштаб является важной физической характе-
характеристикой развитой турбулентности; он обычно называется внутрен-
внутренним или колмогоровским масштабом (в противоположность мас-
масштабу Z,~/lf часто называемому внешним масштабом). Выше мы
уже видели, что в частном случае изотропной турбулентности
г) — А,3/2/,~1/2— XjRe]!2 (см. стр. 185). Вообще же естественно ожидать,
что в геометрически подобных течениях масштаб ч] будет тем меньше,
чем больше Re = ?/Z,/v (или, точнее, чем больше Re= ¦—, так
как в силу галилеевской инвариантности уравнений гидромеханики
локальные характеристики турбулентности должны определяться типич-
типичной разностью скоростей, а не абсолютной скоростью течения).
Следуя Ландау и Лифшицу A953), можно оценить характер зависи-
зависимости т| от Re, если учесть, что е~(Д?/K/? (см. сноску на стр. 318).
Согласно B1.4), отсюда следует, что
ri~L.Re-3/4. B1.6)
Таким образом, при фиксированном L и возрастании числа Рейнольдса
основного течения внутренний масштаб турбулентности (т. е. масштаб
наибольших из возмущений, на которые оказывает влияние вязкость)
убывает пропорционально Re~3/4. Аналогичным образом масштабы
v^ и т^ совпадают по порядку величины с типичными скоростью и
периодом тех движений, с которыми связана основная доля диссипа-
диссипации энергии; эти масштабы также убывают с ростом числа Рейнольдса,

21.3] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 321
но медленнее, чем т). С помощью B1.4) для них могут быть получены
соотношения1)
ю^Ш . Re-V4, т^--^- • Re-1/2. B1.60
Рассмотрим теперь случай, когда число Рейнольдса турбулентности
столь велико, что внутренний масштаб ц очень мал по сравнению
с внешним масштабом L (близким по порядку величины к масштабу
наибольших турбулентных возмущений). В такой турбулентности мы
можем выделить значительную совокупность движений, имеющих
масштаб /, много меньший, чем L (и, следовательно, однородных,
изотропных и квазистационарных), но много больший, чем х\. Харак-
Характерные относительные скррости vt этих движений будут намного
превосходить характерную скорость v^ движений масштаба tj; поэ-
поэтому соответствующее число Рейнольдса Rez = будет очень
велико по сравнению с числом xxv^jv—l (и даже, при достаточно
большом //т|, по сравнению с Recr). Иначе говоря, в энергетическом
режиме соответствующих турбулентных движений доминирующим про-
процессом будет передача энергии к движениям меньших масштабов
благодаря действию сил инерции без сколько-нибудь заметного пере-
перехода энергии непосредственно в теплоту. Поэтому и статистические
закономерности, отвечающие этому интервалу масштабов, по-види-
по-видимому, не должны зависеть от коэффициента вязкости v. Эти соображе-
соображения привели Колмогорова A941а) к формулировке его второй основной
гипотезы:
Вторая гипотеза подобия Колмогорова. В случае
турбулентности с достаточно большим значением Re много-
многомерные распределения вероятностей для относительных скоро-
скоростей <о (г ktxfc), &=1 я, относящихся к достаточно малым про-
пространственным и временным интервалам |rk |<^L и \xk\CZL\U
удовлетворяющим дополнительным условиям'.
j при ]фк\
|ту —тл|»тч при ]Фк.
однозначно определяются значением г и не зависят от v.
1) Близкие соображения позволили Ландау и Лифшицу оценить и число
степеней свободы развитого турбулентного движения. Поскольку число сте-
степеней свободы п, приходящееся на единицу объема жидкости, имеет раз-
размерность единицы, деленной на куб длины, в силу соображений размерности
п ^ т|~3 ~ ?"Re9/4. Полное число степеней свободы N получается умно-
умножением п на объем потока, имеющий порядок Л3; поэтому Л^^/Re9^4 или,
тЬчнее говоря, N <^> (Re/Recr)9^4 (числовой множитель Recr здесь надо доба-
добавить, так как N имеет порядок единицы при Re «** Recr, а не при Re ^ 1).
Этот результат мы упоминали на стр. 93 части 1.
21 А. С. Монин» А. М. Яглом

322 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.4
Поскольку из одной лишь величины е нельзя составить масштабов
длины, скорости и времени, статистический режим движений с про-
пространственными масштабами / ^> ц и временными масштабами т ^Э> тл
в силу этой гипотезы должен быть автомодельным.
Все развитие механики турбулентности и ее приложений после
опубликования работы Колмогорова A941а) показывает, что
предложенные в этой работе гипотезы позволяют вполне удо-
удовлетворительно объяснить большое число закономерностей турбулент-
турбулентного движения и что вытекающие из них предсказания хорошо под-
подтверждаются при экспериментальной проверке. Тем не менее следует
иметь в виду, что эти гипотезы никогда не были (да и не могут
быть) строго доказаны, т. е. выведены чисто аналитически из общих
законов механики. Более того, уже довольно давно Ландау отметил,
что указанные гипотезы на самом деле не могут быть абсолютно
точными. Значительно позже Колмогоровым A962а, б) и Обухо-
Обуховым A962а, б) была намечена уточненная теория развитой турбулент-
турбулентности, дающая небольшие поправки к старым формулам, которые,
по-видимому, лежат за пределами точности имеющихся в настоящее
время экспериментальных данных. Мы подробно рассмотрим эту уточ-
уточненную теорию в § 25. Пока же подчеркнем еще раз, что, согласно
всем имеющимся данным, гипотезы Колмогорова правильно отражают
многие реальные черты локальной структуры развитой турбулент-
турбулентности. Поэтому следствия из этих гипотез (особенно такие, которые
допускают непосредственную проверку на опыте), бесспорно, пред-
представляют очень большой интерес. К выводу ряда таких следствий мы
теперь и перейдем.
21.4. Локальная структура поля скорости
Интервал масштабов, к которым применима первая гипотеза
подобия Колмогорова, мы будем называть равновесным интервалом.
В идеализированной модели локально изотропной турбулентности,
описанной на стр. 316, этот интервал бесконечен, но в любой реаль-
реальной турбулентности с конечными значениями L и U он ограничен
сверху. Однако идеализированная модель локально изотропной тур-
турбулентности очень удобна, так как позволяет использовать спектраль-
спектральные разложения, которые наиболее естественно определяются для слу-
случайных полей, заданных во всем пространстве (или во все моменты
времени). При применении спектральной теории к реальным турбу-
турбулентным потокам надо иметь в виду, что на самом деле все полу-
получаемые универсальные формулы будут верны лишь для не слишком
малых волновых чисел k = \ k | (при k ^> 1/Z,) и не слишком малых
частот со (при (u^>UIL); соответствующие интервалы спектра вол-
волновых чисел или частот мы также будем называть равновесными
интервалами.

21.4] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 323
Вторая гипотеза подобия утверждает, что в интервале про-
пространственных масштабов 1^>г^>ц и временных масштабов
LjU^>x'^>xn (или, что эквивалентно, в интервале волновых чисел
1/1 <С*<С 1/Л и интервале частот ?//?<С^°><С! 1/т^) все статисти-
статистические закономерности должны определяться единственным парамет-
параметром е (т. е. не могут зависеть от v). Соответствующий интервал
значений гит или же волновых чисел k и частот со обычно назы-
называется инерционным интервалом масштабов или инерционным
интервалом спектра (так как в энергетике соответствующих воз-
возмущений силы инерции играют основную роль).
Статистические характеристики пространственных
разностей скоростей
Рассмотрим в первую очередь статистические характеристики раз-
разности скоростей в двух точках потока х-{-г и х в фиксиро-
фиксированный момент времени t:
Дгя = и(л; + г, t) — u(xt t). B1.8)
При достаточно малом r = \r\ для значений Ara = tf(r, 0) суще-
существуют однородные, изотропные и стационарные распределения вероят-
вероятностей, к которым приложимы первая и вторая гипотезы подобия
Колмогорова. Мы здесь, однако, не будем рассматривать сами эти
распределения, а ограничимся лишь выводами, относящимися к момен-
моментам вектора Дг# первых трех порядков.
Согласно результатам п. 13.3 в случае локально изотропной тур-
турбулентности Дга = 0, а тензор вторых моментов величин Дга во всем
равновесном интервале масштабов (т. е. при г <^i L) можно с по-
помощью формулы
VA^ = P,y(/-)= D"(f)~Dw<r) rfj + D^r)^, B1.9)
выразить через две скалярные функции — продольную и поперечную
структурные функции поля скорости DLL{r) и DNN(r). Эти функ-
функции определяются соотношениями
Dm(r) = (K^f, B1.10)
где uL и uN — компоненты вектора и по направлению г и по
какому-то перпендикулярному г направлению; между собой они свя-
связаны соотношением
^dDLdLr(r) , B1.11)
являющимся следствием уравнения неразрывности. В силу первой
гипотезы подобия функции DLL и DNN должны иметь вид
Du(r) = vlhi(^)- DNN^ = vlh
21*

324 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.4
где $LL(x) и §NN(x) — некоторые универсальные функции, связан-
связанные соотношением
L B1ЛЗ
вытекающим из B1.11). Аналогично этому тензор третьих моментов
DlJk(r) = kriii&rUjkruk с помощью соображений симметрии и урав-
уравнения неразрывности можно выразить через единственную скалярную
функцию
для которой в силу первой гипотезы подобия должно существовать
представление
где $LU(x) — еще одна универсальная функция. ,Согласно фор-
формулам B1.12) и B1.15) функции DLL, DNN и DLLL лишь неявно
зависят от времени (вследствие своей зависимости от медленно меняю-
меняющейся величины е = е(/)).
В области диаметра г<^ц доминирующее влияние на относи-
относительные движения оказывают силы трения и изменение скорости
описывается гладкой функцией от пространственных координат. По-
Поэтому при г<^ц можно воспользоваться разложением Тэйлора
uL (х -f- г) = uL (х) -f- Vtf? • г + ... (и аналогично для aN (x + г)).
Следовательно,
^Br* при г<Ст]. B1.16)
где л = (агг) • А =Ыг) • S = (^r)> и> соответственно»
при л:<С1. B1.160
В инерционном интервале (т. е. при Ц<^тг<^тЬ), согласно второй
гипотезе подобия Колмогорова, величина v должна выпасть из ра-
равенств B1.12) и B1.15). В силу B1.4) это возможно, лишь если
выполняются соотношения
с2'3 при лг>>1, B1.17)
Р*ц(*)»Я*. при х^>\, B1.18)
приводящие к формулам
при r\<^,r<^Lt B1.170
при

21.4] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 325
В силу соотношений B1.11) и B1.13) постоянные А и А' (или а
и а') и С и С' должны быть связаны равенствами
Л' = 2Л, а' = 2а, С' = -|-С. B1.19)
Нетрудно определить и явное значение коэффициентов Ana; для
этого надо только раскрыть скобки в выражении B1.3) для диссипа-
диссипации энергии е и выразить слагаемые типа (-з—) и -^—-з— через
вторые производные в нуле от структурного тензора D/y. (r). В резуль-
результате мы придем к соотношениям
1 2 Т ч о7
(принадлежащим Колмогорову A941 в)).
Особенно большое значение имеют вытекающие из первой и вто-
второй гипотез подобия формулы B1.17) и B1.17'), показывающие,
что в любом турбулентном потоке с достаточно большим
числом Рейнолъдса средний квадрат разности скоростей в двух
точках на расстоянии г друг от друга при не слишком малых,
но и не слишком больших значениях г должен быть пропорцио-
пропорционален г2/3. Это утверждение, принадлежащее Колмогорову A941а),
выражает собой один из важнейших законов мелкомасштабных турбу-
турбулентных движений, обычно называемый законом двух третей,
В реальных турбулентных потоках следует ожидать, что «закон
двух третей» будет выполняться вплоть до некоторого расстояния Lv
сравнимого с типичным масштабом длины соответствующего осред-
ненного течения; далее рост структурных функций, естественно,
должен замедляться, и при г~>оо обе функции B1.10) обычно при-
приближаются к некоторым (уже не универсальным) конечным значениям.
Эквивалентное «закону двух третей» утверждение можно сформули-
сформулировать также и в терминах спектров. Согласно результатам § 13
тензор вторых моментов приращений Дг# локально изотропного
соленоидального векторного поля можно с одинаковым правом оха-
охарактеризовать структурной функцией DLL(r), спектром E(k)t про-
продольным одномерным спектром Ex(k) или поперечным одномерным
спектром E2(k). При этом формулы B1.12), вытекающие из пер&ой
гипотезы подобия, оказываются эквивалентными следующим соотно-
соотношениям (верным при k^>kL=\/L):
Я(*) = Л**ф(Л*). Ex{k) = y\vl^{y\k\ ?2(*) = л^Ф201*). B1.20)
где ф(|), Ф1(|) и Ф2(?) — новые универсальные функции (первые два из
соотношений уже встречались нам на стр. 182 при рассмотрение

326 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.4
изотропной турбулентности с большим Re). Эти функции в силу A3.99)
и A2.86)—A2.88) связаны с $LL(x) и $NN(x) равенствами:
= 2 J [1 — cosgjc] ф2 (?) rfS, B1.21)
о
B1.22)
О
00
2<p a)=iw; a) - ад а), ф, (i).= f fi - &^ -^ rfs,.
= 64 ft> - Ы ft). <P, (I) = J (J
B1.23)
В инерционной области спектра из формул B1.20) должен выпасть
параметр v, откуда получается
3 при |<С 1,B1.24)
C'2e2/3k-5/3 B1.240
при l/L<^k<^ 1/tj. Как мы уже указывали в гл. 7, формула B1.240
для трехмерного спектра E(k) впервые была получена Обуховым
A941а, б); позже к ней независимо пришли также Онзагер A945), Вейц-
зеккер A948) и Гейзенберг A948а). Соотношения B1.24) —B1.240
выражают очень важный закон пяти третей для спектра турбу-
турбулентности, представляющий собой спектральную форму «закона двух
третей».
Эквивалентность «закона двух третей» и «закона пяти третей»
совершенно очевидна в идеализированном случае локально изотроп-
изотропной турбулентности с бесконечно большим внешним масштабом L
и равным нулю внутренним масштабом У]. Этому случаю отвечает
локально изотропное поле скорости, имеющее степенные структурные
функции DLL(r) — г2& и DNN(r)~r2&, г следовательно, и степен-
степенной спектр E(k)<—А/3. Идеализированная модель турбулентности
с L = oo и т] = 0 очень удобна также для выяснения связи между
достоянными С, Cv C2 и С'2. В самом деле, здесь функции ф(?),
fi) и q>2(|) при всех | даются формулами B1.24), и из формул

21.4] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 327
B1.21) — B1.23) получаются соотношения
С~°™С С2 = ЖС1" С2 = §С1=4С2 B1.25)
(ср. A3.100)), так что
B1.250
На самом деле формулы B1.24) справедливы не при всех ?, а только
при \\ < ? < ?г» гДе h <С 1 и 1\ ^> Ч/L. Но если хЪг <С 1 (так чт0
r = xr\<^L) и *?2^> 1 (так что тем более х^> 1), то часть инте-
интегралов в правых частях B1.21) и B1.22), взятая в пределах от 0 до ?lt
будет очень малой из-за малости в этой области функций в квад-
квадратных скобках; часть же этих интегралов в пределах от ?2 Д° °°
для реальных спектров (стремящихся к нулю при ?->оо быстрее
оо
чем ?~5/3) будет меньше чем const- J ^"/3^ = const. |~2/3<С*2/3
U
(ср. Уэбб A964), где это рассуждение приведено в применении
к одномерному случаю). Таким образом, при г = хц из инерцион-
инерционного интервала масштабов основную роль в интегралах B1.21) и
B1.22) играет часть, соответствующая инерционному интервалу вол-
волновых чисел -k = yr\. Поэтому и при реальном спектре E(k), опи-
описываемом первой формулой B1.24'). лишь при 1ГХ <С1^<С!Т1~1
в интервале L^>r^>r\ структурные функции будут удовлетворять
«закону двух третей» B1.17') с коэффициентом С, связанным с Сх
первым соотношением B1.25). Аналогично доказывается справедли-
справедливость в этом случае и всех остальных формул B1.25) и B1.25').
Согласно первой формуле B1.23), если одномерный спектр q^Q)
в окрестности данного значения | = Лг| точно пропорционален |~~5/3,
то и трехмерный спектр здесь будет удовлетворять «закону пяти
третей». Поскольку трехмерная спектральная плотность получается
из одномерной с помощью двукратного дифференцирования, неболь-
небольшое отклонение функции угA) от С2?~5/3 может привести к тому,
что ф(?) будет резко отличаться от степенной функции С^'3.
С другой стороны, согласно B1.23) одномерные спектры Ф2(|) и
ср2(?) в точке ? = &т]. получаются с помощью интегрирования трех-
трехмерного спектра ф(^) по всему интервалу ? < ^ < оо, причем в слу-
случае Ф2(|) соответствующая весовая функция обращается в нуль на
обоих концах этого интервала, а в случае ф2(?) она монотонно убы-
убывает с ростом 1Х. Поэтому при некоторых значениях ?, не^ слишком
малых, но все же расположенных на оси волновых чисел левее конца
инерционного интервала трехмерного спектра (на котором ф (?) хорошо
аппроксимируется функцией С^73), функция ф2(?) еще будет

328
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[21.4
определяться в основном значениями ф(|) с ? из инерционного интервала,
т. е. будет близка к С2?~5/3; для функции же <рх (|) это должно быть
справедливо и при еще больших значениях |. Справедливость приве-
приведенного рассуждения подтверждается, в частности, результатами Гиф-
форда A959а) и Алексеева и Яглома A967), подсчитавших одно-
одномерные спектры ф^) и
ф2 (|), отвечающие специаль-
специальному трехмерному спектру
Лр- BL26)
0,001
0,1 0,20,3 0,50,7 1 2 3 5 7 10 t 20
s
Рис. 55. Функции ф1, ф2 и ф3, определяю-
определяющие продольный, поперечный и одномер-
одномерный скалярный (см. ниже стр. 353) спек-
спектры, отвечающие трехмерному спектру
Ф(?). Вместо ф(?) на рисунке изображена
функция Ф(?)/1О, чтобы уменьшить число
пересекающихся кривых.
удовлетворяющему «закону
пяти третей» (с С1= 1) при
I > 4 (и стремящемуся к
нулю при ?->0). В этом
случае Ф2(|) неплохо ап-
аппроксимируется функцией
-сг?~5/3 Уже ПРИ ?^3, а
Ф! (I) оказывается близкой к
t-5/з на еще большем ин-
интервале значений ?, прости-
простирающемся вплоть до |^ 1,5
(см. заимствованный из
статьи Алексеева и Яглома
A967) рис. 55, на котором
функция ф3 (I) отвечает слу-,
чаю скалярного поля, о ко-
котором еще будет речь ниже).
Отсюда можно сделать вы-
вывод, что интервал значений
| (или к = |/т]). при кото-
которых поперечный одномерный
спектр удовлетворяет «зако-
«закону пяти третей», как пра-
правило, значительно дальше
простирается в область ма-
малых волновых чисел, чем интервал тех ? (или к), при которых «закон
пяти третей» справедлив для трехмерного спектра, а для одномерного
продольного спектра соответствующий интервал еще длиннее, чем для
одномерного поперечного спектра.
Применим теперь аналогичное рассуждение к верхней границе
инерционного интервала в области больших волновых чисел. При этом
мы должны будем заключить, что при постепенном увеличении вол-

21.4] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 329
нового числа к = Уц отклонения поперечного одномерного спек-
спектра E2{k) или <р2(?). определяемого значениями трехмерного спектра
во всей области kx^k (или \х ^ |), от «закона пяти третей» должны
стать заметными раньше, чем отклонения от того же закона соответ-
соответствующего трехмерного спектра; в случае же продольного одномер-
одномерного спектра (определяемого в основном значениями трехмерного
спектра при еще больших kx или ^) эти отклонения должны про-
проявиться еще раньше. И действительно, численное определение одно-
одномерных спектров, отвечающих спектру E(k) вида B2.73) (см. ниже
стр. 399), выполненное Алексеевым и Ягломом A967), полностью
подтверждает высказанное здесь заключение.
Лагранжевы статистические характеристики
разностей скоростей
Перейдем к рассмотрению статистических характеристик
разности скоростей фиксированной жидкой частицы в два последо-
последовательных момента времени t0 и t-—to-\-t. Пусть
bxV=V(xQt t) — u(x0, to) = u[X(xQt 0. t]—u(xQt t0). B1.27)
где V(x0, t) — скорость, a X(x0, t) — координата жидкой частицы, на-
находившейся в начальный момент времени t = t0 в точке х0 (ср. часть 1,
§ 9). Если t — ?0 = т много меньше типичного лагранжева масштаба
времени Т (т. е. промежутка времени, в течение которого изменение
лагранжевой скорости V(х0, t) становится сравнимым с |V|), то
Х(х0, t) « хо-{-и(хо, to)(t—to)9 так что X— х0— и(х0, to)(t —10)^ О,
AtV^«p@, t) (см. формулы B1.1) и B1.2) на стр. 314). Таким обра-
образом, при т<^Ги r<^T0 — L/U можно считать, что для AtV суще-
существует не зависящее от xQt t0 и и(х0, t0) изотропное распределение
вероятностей, к которому приложимы первая и вторая гипотезы Колмо-
Колмогорова. Условие т <^ То здесь нужно, так как иначе за время т могут
заметно измениться макроскопические условия, в которых находится
рассматриваемая жидкая частица (например, в связи с изменением сред-
средней скорости во времени или в пространстве вдоль траектории частицы).
В дальнейшем мы будем предполагать, что Т0<С.Т, и указывать лишь,
что т<^Г0, но запомним, что условие т<^Г также очень важно.
Для вторых моментов случайного вектора ATV из первой гипо-
гипотезы Колмогорова получается соотношение
) = t»2po(-l.) при t<C7V B1-28)
где Р0(л;) — новая универсальная функция. Функция D(z>) (т) называется
лагранжевой структурной функцией скорости. При т<^тл =
= (v/eI/2 разность скоростей ATV в каждой конкретной реализации
турбулентного движения, очевидно, пропорциональна х (по той же

330 гл. viii. локально изотропная турбулентность [21.4
причине, по которой |Ага|<—г при r = |r|<C!Yl); поэтому
$о(х) = аох2 при x<CU B1.29)
D(?)(T)-=a063V1/2t2 при т<тч. B1.290
В другом предельном случае тл<СЛ ^То» отвечающем инерцион-
инерционному интервалу на оси времени, из соотношения B1.28) должен
выпасть параметр v. Поэтому
$о(х) = Сох при х^>\, B1.30)
О<"(т)=:С0ет при т^^т^Го, B1.300
где Со—универсальная постоянная. Итак, в инерционном интервале
лагранжева структурная функция скорости линейна по т. Результат
B1.30) — B1.300 был независимо установлен Обуховым и Ландау
сразу же после появления работы Колмогорова A941а) и был впер-
впервые опубликован в 1944 г. в первом издании книги Ландау и Лиф-
шица A953); в дальнейшем он переоткрывался в той или иной форме
также и некоторыми другими авторами (в частности, Иноуэ
A950—1951, 1952а)). Другой вывод того же результата был пред-
предложен Линем A960а); о нем еще будет речь ниже (см. стр. 485).
Если этот результат записать в виде (&XVXJ ~ ет, то он оказывается
вполне аналогичным известной формуле (&хххJ — ух для дисперсии
приращения координаты брауновской частицы. Таким образом, дви-
движение жидких частиц в поле локально изотропной турбулентности
можно образно охарактеризовать как брауновскоё движение (диф-
(диффузию) в пространстве скоростей, причем роль коэффициента диф-
диффузии у играет величина е.
Из изотропности распределения вероятностей для ATV следует,
что все моменты нечетного порядка этого случайного вектора равны
нулю и что ATV и —ATV = A_TV имеют одинаковые распределения.
Для высших четных моментов ATV легко получить формулы, анало-
аналогичные B1.28)— B1.300- Так, например,
,6у*HГ'(т). B1.31)
где
при х <CI 1»
B1.32)
при jc^> 1.
Функция D^L)(x) есть структурная функция случайного процесса
V} (x0. t) со стационарными приращениями. Поэтому в силу результатов
и. 13.1 она допускает спектральное представление вида A3.19), т. е.
оо
(т) = 2 J A — cos сот) ?(?) («)<*<«>• B1.33)

21.4] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 331
Согласно B1.28) эту формулу можно также переписать в виде
-cos ?)%(&)&
(СО) = Т^ ф0 (СОТЛ) = V ф0
В инерционном интервале частот \/Т0 <Ссо<С 1/тл временной
лагранжев спектр E^L) (со) может зависеть только от со и е; следо-
следовательно,
В0Г2 при |<С1. B1.35)
B0e(o-z при l/7-oO^l/S B1,350
(Иноуэ A9516)). Для установления связи между постоянными Со и
Во достаточно рассмотреть идеализированную модель» в которой
70 = Г = оо и тл = 0, так что равенства B1.300 и B1.350 верны
при всех т и со (ср. вывод связи между С и Сх на стр. 326—327).
В силу B1.34) при этом получаем
Б0=-^^0,32С0, С0 = яБ0^3,1В0 B1.36)
(ср. общее равенство A3.240 на стр. 83).
Характеристики временных приращений скорости.
Гипотеза Тэйлора
Сложнее обстоит дело в случае эйлеровой разности скоростей
в фиксированной точке в два момента времени t0 и t = to-\-x:
\и = и(х0, t) — u(x0, t0). B1.37)
При достаточно малом т — t —10 эту величину можно, пользуясь
формулами B1.1) и B1.2), записать в виде
Дтц«я(— и(х0, *0)т, т).
Исходя отсюда, можно лишь утверждать, что для Дта существует
условное распределение вероятностей при условии, что значение
Щ(*о> Аз) фиксировано (скажем, равно и0), причем при г<^Т0 и
1ио1т<^^ оно может зависеть лишь от вектора г = »от, значения т
и параметров е и v. Из-за наличия дополнительной зависимости от и0
относящиеся к Атя точные результаты значительно более сложны и
гораздо труднее проверяемы, чем результаты о ATV. Так, например,
тензор вторых моментов Д^ Дт^у== D*tj (т) при фиксированном и0
здесь снова будет определяться по двум скалярным функциям Dll (t)

332 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.4
и D*N!sr(x) с помощью формулы вида B1.9); однако соответствующие
безразмерные функции р*? и р^ теперь уже будут зависеть от двух
безразмерных аргументов rjr\ = \ и0 | т | ц и т/т^. В инерционном интер-
интервале, т. е. при г|<^;| »оIт<^1 ^ и хч\<^х<^то=Ци> мы теперь
получим формулы вида
B1.38)
где $*LL(x) и ffNN(x) — новые универсальные функции одного пере-
переменного, о которых уже нельзя высказать никаких точных утвержде-
утверждений. Для проверки этих формул и выяснения вида функций f>*LL(x)
и $*NN(x) надо отобрать большое число наблюдений, относящихся
к ситуациям, в которых и(х0, t0) принимает одно и то же значе-
значение и0, что, очевидно, сделать очень нелегко.
О статистических характеристиках разностей Дтя можно все же
высказать некоторые приближенные утверждения, весьма просто про-
проверяемые и имеющие широкую область применимости. А именно,
можно воспользоваться тем, что как в случае большинства искус-
искусственных турбулентных течений (течений за решеткой в аэродинами-
аэродинамической трубе, турбулентных струй, течений в трубах, каналах,
пограничных слоях и т. д.), так и в случае атмосферной турбу-
турбулентности пульсации скорости имеют, как правило, заметно меньшую
величину, чем типичная средняя скорость. Поэтому можно надеяться,
что во всех таких случаях без большой ошибки можно воспользо-
воспользоваться приближенным равенством и(х0, to)zzu(xo, t0), т. е. заме-
заменить щ средней скоростью и в точке (jc0, t0). Далее, турбулентные
пульсации в фиксированной точке х0 в течение небольшого проме-
промежутка времени (t0, *0 + т) можно попробовать приближенно пред-
представить как результат переноса через эту точку с постоянной
скоростью и(jc0, to) = u и без искажений турбулентных воз-
возмущений, расположенных в начальный момент вдоль луча J2?, выхо-
выходящего из х0 и направленного обратно направлению вектора и. Как
уже указывалось на стр. 15—16, такое представление было впервые
использовано Тэйлором A9386) в применении к турбулентности за ре-
решеткой в аэродинамической трубе; с тех пор допущение о его закон-
законности называется гипотезой Тэйлора или гипотезой замороженной
турбулентности (так как согласно этой гипотезе турбулентные обра-
образования в системе отсчета, движущейся со скоростью и, считаются
«замороженными», т. е. не меняющимися во времени). На самом деле,
разумеется, турбулентные возмущения не переносятся осредненным
течением без искажений как одно целое, а постепенно эволюциони-
эволюционируют в процессе переноса, изменяя свою форму. Смысл гипотезы

21.4] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 333
Тэйлора состоит в том, что во многих случаях эта эволюция будет
довольно медленной и поэтому ошибка от использования представле-
представления о «замороженной турбулентности» будет невелика (и притом тем
меньше, чем меньше продолжительность т рассматриваемого проме-
промежутка времени, т. е. чем меньше масштабы рассматриваемых компо-
компонент турбулентности).
Гипотеза замороженной турбулентности позволяет выразить ста-
статистические характеристики временных разностей Ати через харак-
характеристики пространственных разностей Дги, относящихся к фикси-
фиксированному моменту времени t = t0. В частности, из нее вытекает,
что временные структурные функции D*LL (т) = (ДТ«Л2- и D*NN(x) =
= (ДтИдгJ (где uL и uN — компоненты вектора и в направлении
средней скорости и и в каком-то перпендикулярном и направлении)
можно получить из пространственных структурных функций B1.10),
путем замены г на |ц|т = ит:
Dll (t) = DLL («t), DNN (t) = DNN (ui). B1.39)
При т—>-0 отсюда следует, что
B1.40)
где Ox — ось координат, направленная вдоль и, и и = их, v — uy
(или v = uz)\ в случае турбулентности за решеткой этими равенствами
мы уже пользовались выше (см., например, стр. 128). Аналогичным
образом временной спектр Ftj (со) = -^ Ец (со) пульсаций ii(jc, t) при
фиксированном х (рассматриваемых как векторная функция времени
со стационарными приращениями) можно с помощью гипотезы за-
замороженной турбулентности выразить через одномерные продольный
С I k*\ E(k)
и поперечный спектры El(kl)= (l—-~j—j-— dk и ?'2(Л1) =
1 р/ k\\ E(k)
= ~2 И "т тг/ —г~~ dk локально изотропного поля и (х, t) при
фиксированном t. В самом деле, в силу этой гипотезы синусоидаль-
синусоидальная волна длины / вдоль прямой J? (с волновым числом k = 2я//)
эквивалентна гармоническому колебанию в точке jc0 с периодом
х = 1/и и круговой частотой (o = ku. Поэтому временные спектры
пульсаций и(х, t) и v(x, t) будут равны соответственно
= 1Ех№\ и Е2(<о) = ±Е2B). B1.41)

334 гл. viii. локально изотропная турбулентность [21.4
В инерционном интервале на оси времени (т. е. при г\/и <^ т <^ Lju)
формулы B1.39), B1.170 и B1.19) дают
D*Ll (т) « С (iuxf\ D*NN (t) » j С (ёитJ/3, B1.42)
откуда видно, что в приближении замороженной турбулентности
p*LL(x)^x1/3 и $*NN(х)<-*>>л:1/3. Точно так же в инерционном интер-
интервале частот и/1 <С> <€>/*! в СИЛУ B1.41), B1.240 и B1.25)
Ег (со) » С2(ёиJ/Зсо~5/3, ?2(со) « ~ С2(ёйJ/Зсо~5/3 B1.43)
(гае С2^С/4). Сравнение этих формуле формулой B1.350 показы-
показывает, что лагранжев временной спектр ?(?) (со) убывает с ростом частоты
со несколько быстрее, чем спектр пульсаций скорости в фиксированной
точке, так что относительная роль высокочастотных пульсаций в коле-
колебаниях скорости жидкой частицы оказывается меньшей, чем в коле-
колебаниях скорости в фиксированной точке.
Выяснение условий, при которых применима гипотеза Тэйлора,
на основе аккуратной оценки точности соотношений B1.39)—B1.43),
вообще говоря, является очень непростым делом. Рассмотрим сначала
простейший случай однородной турбулентности с постоянной (во вре-
времени и в пространстве) средней скоростью и(х, t) = U, направлен-
направленной вдоль оси Охг = Ох. В этом случае уравнения Навье — Стокса
для пульсаций скорости ut, /=1, 2, 3, имеют вид
1 dp . л ,j ,rM /см л as
^lvAw U = \Ul B1.44)
p d
и гипотеза Тэйлора, согласно которой ~зр=—^-г^-* сводится
к предположению, что главными в B1.44) являются два первых
члена левой части. Перейдем к новой системе координат, перемещаю-
перемещающейся со средней скоростью U\ в ней и = 0 и величина ^ ^
обращается в локальное (эйлерово) ускорение аь = —~-. Таким образом,
в случае однородной турбулентности оценка среднего квадрата от-
относительной ошибки гипотезы Тэйлора №±-\-U ^-\2 /U2i^-J
сводится к оценке величины а\ для турбулентности с нулевой сред-
средней скоростью. На стр. 236 мы уже указывали, что при большом
числе Рейнольдса главным членом полного локального ускорения
at = — Uj -p^ -~ -J- v Аи; является инерционное ускорение at =

21.4] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 335
= — #;"^~ и что в случае изотропной турбулентности Уберои и
Корсин A953) с помощью неравенства Шварца получили для а| точное
неравенство а, < 14,6(и2JЬ2. В силу A5.5) отсюда вытекает, что
для изотропной турбулентности с большим Re, переносимой средним
течением с постоянной скоростью ?/,
ди
B1.45)
где Uf — (и2) = |^3(#2) . Следовательно, условие U'/U
здесь достаточно для справедливости гипотезы Тэйлора, как этого
и следовало ожидать. Числовые коэффициенты 14,6 и 7,3 (или 5
и 2,5) в неравенствах B1.45), разумеется, довольно грубы, но их
порядок вряд ли можно изменить. Действительно, если вместо оценки
а] с помощью неравенства Шварца использовать принадлежащее Линю
A953а) приближенное равенство A8.29), полученное с помощью
применения гипотезы Миллионщикова, то вместо первого неравен-
неравенства B1.45) мы придем к соотношению
Другой способ приближенной теоретической оценки степени
точности гипотезы Тэйлора для изотропной турбулентности, пере-
переносимой с постоянной скоростью U, был предложен Огура A953,
1955). Этот способ опирается на использование довольно искусствен-
искусственной полуэмпирической гипотезы (родственной в некоторых отноше-
отношениях гипотезе Огура и Миякода A7.12)) об эволюции компонент
изотропной турбулентности с различными волновыми числами в про-
процессе их переноса средним течением. Произведенный на этой основе
Гиффордом A956) численный расчет структурной функции D^OO
для одной специальной модели изотропной турбулентности показал,
что если сделанные предположения справедливы, то в случае
?/'/?/<0,3 функция D*LL{%) во всей области %<LfU практически
не отличается от DLL(Ux) и даже в случае иг\и = Ъ она отличается
от Du(Ux) не более чем на 10%. Однако следует иметь в виду,

336 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.4
что использовавшаяся при этом расчете гипотеза Огура сама непо-
непосредственно не проверялась и об ее точности пока ничего нельзя
сказать.
Можно не сомневаться, что для однородной турбулентности
с u = U = const при значениях U'\U того порядка, который типичен
для турбулентности за решеткой в аэродинамической трубе, гипотеза
Тэйлора выполняется с большой степенью точности для всех значе-
значений т, которым отвечают масштабы турбулентных возмущений, не
превышающие масштабов крупнейших из возмущений, содержащих
заметную долю энергии турбулентности. Этот вывод может быть
теоретически обоснован с помощью оценок типа B1.45); очень убеди-
убедительно об этом свидетельствуют также результаты опытной проверки
гипотезы Тэйлора для турбулентности за решеткой (см., например,
Фавр, Гавильо и Дюма A952, 1954); ср. также выше стр. 16).
Но в общем случае неоднородной турбулентности с переменной сред-
средней скоростью и(х, t) дело обстоит более сложно: здесь уже одного
условия U'jti <^ 1 (означающего, что низок «уровень турбулентности»)
недостаточно. В самом деле, поскольку в гипотезе Тэйлора скорость
переноса й = й(% *0) считается постоянной, прежде всего ясно, что
мы должны ограничиться лишь такими промежутками времени ?0<^
<^<S! Vt"*t» Для которых можно пренебречь как изменением #(jc0, t)=s
= и(х0, у0, z0, t) во времени, так и изменением и(х, у0, z0, t0) на
отрезке д:0—и(х0, to)x^.x^xo оси Ох (направленной вдоль и (х0, t0)).
Следовательно, при и(х, г)Фconst гипотеза Тэйлора может быть
справедлива лишь для интервалов времени, малых по сравнению с пе-
периодом Т* = | и | / \-^г » и для пространственных масштабов, малых
по сравнению с типичным масштабом | и | / -*— , определяемым про-
продольным градиентом средней скорости. Предположим даже, что
-37-== 0 и ~г^- = 0, и рассмотрим, следуя Линю A953а), установив-
установившийся поток, в котором средняя скорость u = n(z) направлена
вдоль Ох и зависит от z. В этом случае гипотеза Тэйлора все-таки
может быть заметно менее точной, чем для течений с и = const,
так как здесь через точку х0 в момент *0 + т может пройти возму-
возмущение, находившееся в момент t0 в точке с z=?z0 и поэтому пере-
переносившееся с отличной от u(z0) средней скоростью. Математически
это выражается в том, что уравнение Навье—Стокса для компоненты
и — их будет отличаться от соответствующего уравнения B1.44)
дй
дополнительным членом w-зг- в левой части, и для справедливости

21.4] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 337
гипотезы Тэйлора этот член должен быть много меньше двух пер-
первых членов, т. е. должно выполняться неравенство
-з*т BL46)
Если считать, что компоненты и и w пульсации скорости имеют
одинаковый порядок и принадлежат возмущению с волновым числом k
(и частотой со = А|и|), то отсюда вытекает, что
= со. B1.460
Таким образом, для потоков с поперечным градиентом скорости сле-
следует ожидать, что даже при сколь угодно низком уровне турбу-
турбулентности гипотеза Тэйлора будет выполняться лишь для частот,
заметно превосходящих характерную частоту, определяемую градиен-
градиентом скорости.
До сих пор инерционный интервал частот эмпирически удавалось
обнаружить лишь в условиях, при которых гипотеза Тэйлора оказы-
оказывалась справедливой для всех частот из этого интервала. При этом
можно использовать соотношения B1.39) и B1.41), так что теорети-
теоретические законы «двух третей» и «пяти третей» здесь можно (и удоб-
удобнее всего) проверять для временных пульсаций скорости в фиксиро-
фиксированной точке (т. е. в форме B1.42) и B1.43)). Ряд результатов такой
проверки будет приведен в § 23.
Отсюда еще не следует, что гипотезу замороженной турбулентности
вообще всегда можно использовать в применении к любым статистиче-
статистическим характеристикам локально изотропной турбулентности без всяких
оговорок. Поскольку приведенные выше теоретические оценки, относя-
относящиеся к случаю неоднородной турбулентности, крайне грубы и могут
служить лишь для самой предварительной ориентировки, очень большой
интерес представляет непосредственная проверка гипотезы Тэйлора для
неоднородных потоков, опирающаяся на одновременное измерение
пространственных и временных статистических характеристик. Такая
проверка в последние годы несколько раз производилась и для некото-
некоторых течений, создаваемых в лаборатории, и для турбулентности в атмо-
атмосфере (см., например, Гиффорд A955), Фавр, Гавильо и Дюма A958,
1962), Пановский, Крамер и Рао A958), Госсард A960а), Цванг A963),
Лэппе и Дэвидсон A963), Фишер и Дэвис A964), Уилс A964),
Копров и Цванг A965)). Она показала, что для локально изотроп-
изотропных турбулентных возмущений замороженность обычно выполняется
с большой точностью, хотя для более крупных возмущений гипотеза
Тэйлора оказывается далеко не всегда применимой (см., в частности,
ниже п. 23.1).
22 А. С. Монин, А. М. Яглом

338 гл. vin. локально изотропная турбулентность [21.5
21.5. Статистические характеристики полей ускорения,
вихря скорости и давления
Характеристики поля ускорения
Ускорение частицы жидкости в турбулентном потоке А(х0, t0)
можно представить в виде
A(xo,to)= Urn у^''-"<^^11тМ, B1.47)
//р г~"~ г° о т
где V— V(x0, t)—лагранжева скорость. Поскольку в случае локально
изотропной турбулентности распределение вероятностей для AtV при
всех достаточно малых т является универсальным и изотропным,
таким же будет и распределение вероятностей для А(х0, t0). Таким
образом, в достаточно малых пространственно-временных областях
поле А (х, t) будет изотропным и его распределение вероятностей
будет стационарным и зависящим только от параметров е и v.
Рассмотрим лагранжев временной корреляционный тензор поля
ускорения
Во. и (г) = Ai(t\x0)AJ(t + x\x0) B1.48)
(где A(t\xo) = A[X(xo, t), t] — ускорение жидкой частицы, нахо-
находившейся в момент t0 в точке л:0). В силу соображений изотропности
и подобия в равновесном интервале значений т этот тензор должен
иметь вид
2
В0( tj (т) = Яо (т) V В 0(т) = -^ а (т/Ч) = ?>\-^а (i!/V^t).
B1.49)
где а (а:)—универсальная функция. Функцию В0(х) естественно назвать
лагранжевоп корреляционной функцией ускорения. С помощью
равенства B1.47) ее легко выразить через лагранжеву структурную
функцию D(I)(t):
Д)(т)=4^/Я(т), B1.50)
так *что
Р(*). B1.500
Согласно B1.29) Ро(О) = 2ао; Для среднего квадрата турбулентного
ускорения отсюда получается формула
2, B1.51)
где К = За0 — числовая постоянная (Яглом A949а)). Поскольку
(см. сноску на стр. 318), имеем
'\11\ B1.52)

21.5] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 339
Таким образом, турбулентное ускорение быстро растет- с увеличе-
увеличением характерной скорости U (пропорционально ?/9/4) и поэтому при
значительной средней скорости должно быть весьма велико. В при-
приземном слое воздуха при безразличной стратификации величину е
можно выразить через скорость ветра, высоту z и параметр шеро-
шероховатости z0 по формулам теории логарифмического пограничного
слоя, приведенным в § 5 части 1; если при этом принять, что К
имеет порядок единицы, то турбулентное ускорение А' при сильном
ветре оказывается имеющим порядок ускорения силы тяжести g
(Яглом A949а), Обухов и Яглом A951, 1958); см. также стр. 376).
Формула B1.51) показывает, что турбулентное ускорение суще-
существенно зависит от вязкости жидкости v. Но при большом Re вяз-
вязкость оказывает влияние только на наиболее мелкомасштабные турбу-
турбулентные движения, отвечающие высокочастотному концу равновесного
интервала. Отсюда можно заключить, что турбулентные ускорения
определяются в основном мельчайшими движениями масштабов /,<Cri.
Это заключение подтверждается тем, что в инерционном интервале
масштабов ускорение, отвечающее возмущениям масштаба /, пропор-
пропорционально wl = е2/3//3, т. е. растет с убыванием / (в то время как
характерная скорость таких движений пропорциональна vl = (el)l/3t
т. е. убывает с убыванием /). Поэтому при рассмотрении поля уско-
ускорения локально изотропной турбулентности можно пренебречь влия-
влиянием неизотропных крупномасштабных движений, играющих основную
роль в формировании поля скорости.
Если т мало по сравнению с т^, то х — т1%п<^ 1 и функция а(х)
мало отличается от а@)=а0. Используя два члена разложения fio(x)
по степеням л:2, получим, что а(л:)^аоA— агх2) при
SoeO~0oC3/V1/2(l — a^'V) при t<;TT1 = (v/iI/2, B1.53)
где ах — числовая постоянная. Во втором предельном случае, когда
т^т^, т. е. л:^>1, используя гипотезы подобия и потребовав,
чтобы функция В0(х) не зависела от v, получим
В0(х)жО0ф при t^v т. е. а(х)жО0х~1 при а:^>1, B1.54)
где Do — числовая постоянная (этот результат соответствует более точ-
точной формуле для ро(х), чем одночленная формула B1.30)). Следова-
Следовательно, а(л:)<^1 при x^>\t т. е. коэффициент корреляции между
Ai{t\x0) и At{t + x\x0) (равный Во(х)/В0@) = а(т/тп)/а0) в инерцион-
инерционном интервале очень мал. Таким образом, ускорения фиксированной
жидкой частицы в моменты времени t и t-\~x при х^>хп оказываются
практически некоррелированными, хотя для лагранжевой скорости
V(x0, t) заметная корреляция Сохраняется вплоть до значений т порядка
22*

340 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.5
лагранжева масштаба времени Т (так что при т<^7\ т. е. на протяже-
протяжении всего равновесного интервала, коэффициент корреляции скоростей
остается близким к единице). Это обстоятельство объясняется тем, что
лагранжево ускорение определяется в основном самыми мелкомасштаб-
мелкомасштабными движениями, а лагранжева скорость—>самыми крупномасштабными.
Лагранжева спектральная плотность ускорения определяется как
спектр стационарного случайного процесса Ах^\х0) = —1\.* , она
равна
Ф(со) = со2ЕШ (со) =7ФA) (org, <р<»> (I) = |2 ф0 (|), B1.55)
где функции Е^ (со) и фо(?) те же, что и в B1.34). Согласно B1.35)
в инерционном интервале частот
Ф(со) = 5ое, <рО>(?) = ?0 = const, B1.56)
как это и должно быть, поскольку размерность Ф(ю) совпадает с раз-
размерностью е. Постоянная спектральная плотность отвечает б-корре-
б-коррелированному «белому шуму», поэтому формула B1.56) хорошо со-
согласуется с некоррелированностью ускорений в инерционном интервале.
Перейдем к пространственному корреляционному тензору поля
ускорения
В\$ (г) = Ai(x. t)Aj(x + r. t) =
= Ш (г) - В®, (г)] W- + В% (г) Ьч% B1.57)
изученному Обуховым и Ягломом A951). Согласно соображениям раз-
размерности, при r<^L
' В№{г)=?\-1*аи(г1тй% BWN(r)^l2v-l/2aNN(rh), B1.58)
где aLL(x) и aNN(x) — некоторые универсальные функции. Ясно,
что aLL(O) = aNN(O) = ao\ далее, aLL(x) « аоA — Ьхх2) и aNN(x)^
жаоA—Ь2х2) при х<^\, так что
Я$ (г) « В{А) @) - Вхг\ В$Ъ (г) « В{А) @) - В/ при г <С Л.
B1.59)
где 5(л)@) = Л/2/з, afljH 52 — размерные постоянные. В инерцион-
инерционном интервале функции В]^(г) и B$N(r) не должны зависеть от v;
поэтому aLL (at) « /C^^, aNN (х) « /С2аг-2/3 при аг ^> 1 и
/С2е4/3г2/3 при
B1.60)
где Кх и /С2 — числовые постоянные. В силу B1.60) коэффициенты
корреляции между компонентами ускорения в двух точках на рас-
расстоянии г ^> Л будут иметь порядок (г/т])"*2/3, т. е. будут очень малы.

21.5] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 341
Поскольку поле А(х) не соленоидально и не потенциально, его
спектральный тензор определяется двумя скалярными функциями E$(k)
и ?$v(*). гДе Е$(к)— продольный спектр, отвечающий потенциаль-
потенциальной компоненте ускорения А^)(др) = V/7 (л:), создаваемой пуль-
пульсациями давления, а ?$лг (*) = v2kAE (k) (где Е (к) — спектр ско-
скорости)— поперечный спектр, отвечающий соленоидальной компоненте
АМ(х) — vAa(je), создаваемой силами вязкого трения. В инерцион-
инерционном интервале ?<^1/т] поперечным спектром E$N(k)t порождаемым
вязким трением, можно пренебречь (после перехода к безразмерным
переменным он оказывается пропорциональным (кцO/3 <^ l). Что же
касается спектра E{u!(k)t то он при ?<С]1/Л не зависит от v, т. е.
имеет вид
?Й)(*) = Ов4/3А/3. B1.61)
оо
где О — числовая постоянная. С помощью тождества J /Г1/3 cos kr dk =
о
= }r(l)r/3 и Ф°РМУЛ О2-39)' A2-36) и A2.70) нетрудно дока-
доказать, что коэффициенты Kv K2 и О связаны соотношениями
К2 = ЪКХ. B1.62)
Медленное убывание спектра B1.61) с ростом k не противоречит
тому, что основной вклад и в ускорение ЛA)(д:), создаваемое пуль-
пульсациями давления, вносят наиболее мелкомасштабные возмущения.
Весьма правдоподобно, что это ускорение в локально изотропной
турбулентности всегда значительно превосходит вязкое ускорение
А{2)(х) (см. ниже стр. 376). Если это верно, то в первом прибли-
приближении можно вообще пренебречь спектральной плотностью $
т. е. считать, что поле А(х) ж — "z^P потенциально (откуда, в част-
частности, вытекает, что Ь2 ж bJ3 иВ2« ^/З).
Рассмотрим теперь пульсации ускорения в фиксированной точке х
(или в точке, двигающейся с постоянной скоростью, т. е. неподвижной
относительно некоторой инерционной системы координат). Их изучение
сводится к рассмотрению смешанных лагранжево-эйлеровых характери-
характеристик турбулентности (так как ускорение мы понимаем в лагранжевом
смысле), зависящих от средней скорости и = и(х). В случаях, к кото-
которым применима гипотеза Тэйлора о замороженной турбулентности, вре-
временной корреляционный тензор В{$ (т) = At (x, t)Aj(x, *-|-т) будет

342 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.5
выражаться через две скалярные функции:
(т) = AL(x. t)AL(x, t + x). В(?Ъ(t) = AN(x. t)AN(x, t + x)
B1.63)
(где индексы L и N относятся к компонентам, параллельным и пер-
перпендикулярным и), получаемые из В(и(г) и В{^(г) путем замены г
на от = |и|т. В частности, в инерционном интервале
ДЙ>(т) = /^4'3«-2/3т-2/3. вШтЭ-З/^й-2^-2'3. B1.64)
Временные спектральные плотности Е[ \а)) и Е2А)((й) пульсаций
AL(x, t) и AN(x, t) при фиксированном х в случае справедливости
гипотезы Тэйлора будут равны — Ех [-—Л и — Е21-=-), где Ех (k) и
и \и ) и \и ]
E2(k) — продольный и поперечный одномерные спектры поля А(х).
В применении к инерционному интервалу отсюда вытекает, что
| ?4/3й-2/3@-1/3 4Л) (со) = -?- OF4/3«-2/3co-1/3
Е[а\ф) = | О?4/3й-2/3@-1/3, 4Л) (со) = -?- OF4/3«-2/3co-1/3. B1.65)
Эти формулы могут представлять интерес, например, при изучении
болтанки самолета, вызываемой пульсациями ускорения вдоль его
траектории.
Наконец, в случае чисто эйлеровых статистических характеристик
р
локального ускорения а(х, t)= и^ ' в фиксированной точке х
гипотезы подобия Колмогорова также могут успешно применяться
лишь в сочетании с гипотезой замороженной турбулентности. В самом
деле, нетрудно показать, что
Bf] (т) = а, (др. t)aj(x, t + x) =
где D*j(x) = Дтй/ Дт#у. Но тензор Dij(x) имеет простой вид лишь
в приближении замороженной турбулентности, в котором он может
быть заменен на D^fjtx). Следовательно, в этом приближении тензор
В{$(х) определяется скалярными функциями
В[а1 (т) = 4 u2D"LL (от). B%h(t) = \ u2D'm(от). B1.66)
где DlLn DNN — функции B1.10). Точно так же временные спектры
Е[а)((й) и Е^((д) продольной (относительно направления вектора
и = и(х)) и поперечной компонент а(х, t) в случае справедливости
Q2 _ (О2
гипотезы Тэйлора равны •"=" El(a)ju) и -=-?2(со/и). В частности,

21.5] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 343
в инерционном интервале B(fl (т) = — i- С е2/3 и2/3тГ4/3 и Е[а) (со) =
= С2?/ги2/3(дУ\ а функции Bffiwix) и Е{2а)((о) получаются из В'*1(х)
и Eie)(°>) с помощью замены С на С' и С2 на С2.
Характеристика поля вихря
Как и поле ускорения, поле вихря скорости со (л;, t) — rot а (л;, 0 =
= V X «С*. О В случае локально изотропной турбулентности является
в малой пространственно-временной области изотропным и стацио-
стационарным случайным полем. Продольная и поперечная корреляционные
функции поля вихря В{и(г) и B^li(r) выражаются через структурные
функции DLL(r) и DNN(r) с помощью формул A1.81) и A3.71).
В силу этих формул и формул B1.16), B1.17'), B1.19) и B1.190
)) = 5i4 = -^-t (О2=15Л = ^, B1.67)
B1.68)
Продольная спектральная функция поля вихря, очевидно, равна
нулю, а поперечная спектральная функция ?(со) (k) выражается через
спектр скорости E(k) по формуле ?(G>) (k) = k2E (k) (см. стр. 55);
в частности, в инерционном интервале
B1.69)
Характеристики поля давления
В случае локально изотропной турбулентности поле давления/? (jc, t)
в достаточно малой области локально изотропно и стационарно. Рас-
Распределение вероятностей для разностей давления в близких точках
определяется теми же параметрами, что и распределения вероятностей
для разностей скоростей (лишь с добавлением параметра р). Поэтому
к изучению локальных статистических характеристик поля давления
также могут быть применены гипотезы подобия Колмогорова.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением характеристик лишь
чисто пространственных разностей давления
Ьгр = p(x + rt t) — p (х, t).
В равновесном интервале расстояний r = \r\<^L распределение
вероятностей для Дг/? в силу первой гипотезы подобия может зависеть

344 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.5
только от г, е, v и р. Отсюда для структурной функции поля давле-
давления получается формула
@7 ^) B1.70)
где л(х) — универсальная функция. При г<^ц разность Дг/? можно
считать линейной по г; поэтому
mv-1/2r* при B1П)
при д;<1.
Ясно, что Ъср s= (VpJl(? ?/2v~1/2; таким образом, постоянная ср опре-
определяет средний градиент давления и связанную с ним важнейшую
компоненту поля ускорения [ЛA)]2 = —г (VpJ. Этот коэффициент
приближенно оценивался в работах Гейзенберга A948а), Яглома A949а),
Бэтчелора A951) и Голицына A963) (см. ниже стр. 375).
В инерционном интервале функция Dpp(r) может зависеть только
от г, е и р; отсюда вытекает, что
при Т1<с/<;?; B172)
при jc>1.
Вспомнив формулу B1.170 для DLL(r), мы можем переписать B1.72)
в виде
2DLL(r)}2. B1.73)
Формулы B1.72) и B1.73) были указаны Обуховым A9496), пред-
предложившим также приближенный метод оценки коэффициента Ср.
Вместо структурной функции Dpp(r) можно рассматривать соот-
соответствующий трехмерный спектр Ерр (k) = Е(р) (k) = 2р2?~2?Й) (&)
(где ЕЙ? (А) — продольный спектр ускорения) или одномерный спектр
E{f\k). Эти спектры имеют вид
). B1.74)
где
B1-75)
d
'? (Ю = -1 -щ <?Г (I). ф1р) (I) = { ф<р) (I,) sr1 dtv

21.6] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 345
В инерционном интервале
Ф(/7)а)==?(/7)Г7/3. Ч>[Р\1) = В[р)Г7/г при Ь<Г1. B1.76)
^(А) = В(^ё4/3Г7/3, E[p\k) = B[p)92^/3k-7/3 B1.760
при l/I<ft<l/ri,
где
^) = 2О=г ЗГ(-4/3) ~°'77С/» М'^уЯ^О.ЗЗС,. B1.77)
Мы видим, что спектр поля давления убывает с ростом волнового
числа быстрее, чем спектр поля скорости, так что мелкомасштабные
движения в пульсациях давления играют меньшую роль, чем в пуль-
пульсациях скорости.
Согласно результатам п. 13.3 разности давления Дгр в несжимаемой
жидкости не коррелируют с разностями скорости Дги. Это, однако,
еще не означает, что пульсации давления и скорости статистически
независимы, так как старшие смешанные моменты полей Дгр и Дг#
будут, вообще говоря, отличными от нуля. В частности, не равны
нулю уже третьи моменты:
B1.78)
Вследствие локальной изотропности турбулентности тензор Dplj(r)
полностью определяется двумя скалярными функциями DpLL(r) —
= Дгр (Aj-tfzy и DPNN(r) — ДгР (А/^лгJ. а вектор Dppl (r)—функцией
DpPL(r) = (brp?bruL. Общий вид функций DpLL% DpNN и DppL
легко устанавливается из соображений размерности; например, в инер-
инерционном интервале DpLL (г) ~ DpNN (г) ~ ре473/-473, DppL (г) ~ pte573/-573,
21.6. Локальное строение поля температуры
при больших числах Рейнольдса и Пекле
Перейдем к изучению структуры поля концентрации пассивной
примеси •&(.*;, /), перемешиваемой локально изотропной турбулент-
турбулентностью. Для определенности будем считать, что ^(д:, t) — темпера-
температура, переносимая перемещающимися жидкими частицами, но не
оказывающая заметного влияния на турбулентный режим; иначе
говоря, мы будем рассматривать вынужденную конвекцию в темпе-
ратурно-неоднородной жидкости при наличии развитой турбулент-
турбулентности динамического происхождения.

346 гл. vin. локально изотропная турбулентность [21.6
В основе гипотез подобия лежат физические представления, ука-
указывающие, что при достаточно большом числе Рейнольдса статисти-
статистический режим пульсаций скорости в каждой достаточно малой про-
странственно-временнбй области является изотропным и стационарным
и полностью определяется параметрами е и v. Естественно ожидать,
что в таком случае и режим пульсаций температуры, вызываемых
перемешиванием объемов жидкости с различной начальной темпера-
температурой, также будет изотропным и стационарным в малых простран-
пространственно-временных областях. Следовательно, скалярное поле §(х, t)
допустимо считать локально изотропным. Однако нет оснований
предполагать, что его статистические характеристики будут зависеть
только от параметров е и v. В самом деле, эволюция поля темпера-
температуры описывается уравнением теплопроводности, содержащим коэф-
коэффициент молекулярной температуропроводности % = KJcpo\ поэтому
ясно, что значение параметра % также может влиять на локальную
структуру поля $(х, t). Этим влиянием никак нельзя пренебречь:
при интенсивном перемешивании, создаваемом турбулентностью, роль
молекулярной теплопроводности оказывается значительной, так как
турбулентное движение может приводить к сближению объемов жидко-
жидкости с весьма разной температурой, т. е. к резкому обострению тем-
температурных градиентов (ср. часть 1, начало п. 10.2). Но, добавив
к параметрам е и v величину %, мы еще не получим полной системы
величин, определяющих статистический режим мелкомасштабных пуль-
пульсаций температуры. Чтобы добиться этой цели, к е, v и % прихо-
приходится присоединить еще одну величину, к определению которой мы
теперь и перейдем.
При изучении локальной структуры поля скорости и(х, t) мы
предполагали, что Re = — (где Д?/— типичная разность скоро-
скоростей на расстоянии L) достаточно велико, и рассматривали «каскад-
«каскадный процесс» дробления макроструктурных неоднородностей поля
скорости масштаба L на все меньшие и меньшие возмущения. При
этом отмечалось, что из всех характеристик крупномасштабных
турбулентных движений на достаточно малые возмущения может
влиять лишь количество энергии, передаваемой крупномасштабными
движениями за единицу времени движениям меньших масштабов и
в конечном счете переходящей в теплоту в результате действия моле-
молекулярной вязкости. Аналогично можно рассуждать и в применении
к полю температуры. Здесь только надо считать, что помимо числа Re
велико также и число Пекле, определяемое равенством Ре = ь' * ,
где ?fl— расстояние, на котором заметно меняется средняя темпе-
температура Ъ (х), а Д// — типичное изменение средней скорости на рас-
расстоянии Zfl (впрочем, при L$ > L вместо L$ и Д^(/ целесообразно

21.6] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 347
использовать обычные характеристики L и Ш). Каскадный процесс
порождения все меньших и меньших возмущений поля скорости одно-
одновременно будет приводить и к дроблению макроструктурных неодно-
родностей температуры масштаба L^ на все более и более мелкие
возмущения поля b\x% t). В пространственных областях с линейными
размерами, много меньшими Z^, среднюю температуру Ф можно считать
практически постоянной; поэтому характеристикой степени неодно-
неоднородности поля температуры в таких областях будет типичное значение
пульсации температуры ft'^-fr— Ф. Следуя Обухову A949а), удобно
принять за меру температурной неоднородности объема V величину
t)— Ъ)*Aх = ~р\1у2 dx, B1.80)
т. е. считать, что степень температурной неоднородности единицы
массы характеризуется значением <К /2. В таком случае половина
среднего квадрата отклонения температуры в точке от температуры,
осредненной по шару диаметра / (или, что практически эквивалентно,
величина (А^J, где Д^Ф — разность температур в двух точках на
расстоянии / друг от друга), будет характеризовать вклад в удельную
неоднородность поля температуры, связанный с возмущениями задан-
заданного масштаба /. Дробление температурных неоднородностей в ре-
результате турбулентного перемешивания будет приводить к тому, что
поле температуры будет становиться все более и более «пестрым»,
т. е. что полная мера температурной неоднородности будет все более
и более сосредоточиваться в возмущениях малых масштабов; однако
величина Ф'2/2, очевидно, не может измениться ни при каких взаим-
взаимных перемещениях частей жидкости, не сопровождающихся измене-
—j
нием их температуры. Иначе говоря, величина <К /2 удовлетворяет
определенному «закону сохранения», вытекающему из того, что тем-
температура, так же как и кинетическая энергия, не меняется при инер-
инерционном движении жидких частиц. Изменение же степени темпера-
температурной неоднородности среды может создаваться только молеку-
молекулярной теплопроводностью, приводящей к выравниванию значений
температуры в близких точках, т. е. к уменьшению ft'2.
Обозначим символом N среднюю «диссипацию температурных неод-
неоднородностей», т. е. скорость уменьшения меры температурной неодно-
неоднородности <К2/2, создаваемого молекулярной теплопроводностью. При
больших значениях Re и Ре «температурная диссипация» будет почти
целиком сосредоточена в возмущениях наименьших масштабов и будет
равна «переносу меры температурной неоднородности по спектру
масштабов», т. е. увеличению за единицу времени вклада в Ф'2/2?

348 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.6
связанного с мелкими возмущениями масштабов /<^min(^, L), за
счет дробления турбулентными движениями более крупных неодно-
родностей поля температуры. Ясно, что величина TV может оставаться
постоянной во времени, лишь если крупнейшие неоднородности мас-
масштаба Lq поддерживаются внешними источниками тепла, создающими
фиксированное распределение средней температуры; иначе TV будет
зависеть от t. Однако изменение N(t) во времени будет очень мед-
медленным по сравнению с периодами достаточно мелкомасштабных
турбулентных движений; поэтому при изучении статистического режима
мелкомасштабных возмущений поля температуры величину TV можно
считать постоянной. Эта величина и будет той характеристикой
макроструктурных температурных неоднородностей, которая суще-
существенно влияет на локально изотропные пульсации температуры.
Величина N пропорциональна коэффициенту х и среднему квад-
квадрату градиента температуры. В самом деле, с помощью уравнения
теплопроводности
можно показать, что в случае достаточно большого объема V, для
которого можно пренебречь конвективным переносом тепла через его
границу, убывание меры температурной неоднородности будет опи-
описываться равенством
ЧГ=-Ж [т /й*'(*. W**\=—*.JPW(*- 0№- B1.82)
Следовательно, удельная (на единицу массы) скорость убывания меры
температурной неоднородности равна
Для однородной турбулентности средний конвективный перенос
интенсивности пульсаций $' обращается в нуль не только после
осреднения по большому объему V, но и в каждой точке. Поэтому
в случае локально изотропной турбулентности вклад конвективного
переноса в скорость изменения •&' /2 будет определяться лишь про-
пространственными производными относительно очень гладких крупно-
крупномасштабных компонент гидродинамических полей, т. е. всюду будет
пренебрежимо мал. С этим связано также и то, что в рассматри-
рассматриваемом случае течений с большими числами Re и Ре можно пренебречь
эдиянием молекулярной теплопроводности на осреднение течение,

21.6] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 349
так что формулу B1.83) можно записать также в виде
ством
Это определение N и будет использоваться в дальнейшем.
Выражение B1.83/) по форме очень близко к выражению для
"" v yi /dw. duj\2 — —
диссипации энергии е — -к У, \Т~^~~~Х/ ' Величины е и /V очень
близки друг к другу и по своему физическому смыслу. Вспомним
уравнение баланса энтропии в температурно-неоднородной жидкости
(см. уравнение A.62) на стр. 59 части 1). Воспользовавшись тожде-
s- = [ Ц—«I 1 и тем, что среднюю абсо-
ft дх] dxt \Ъ dxt) ft2 \dXiJ
лютную температуру •& = То практически всегда можно считать по-
постоянной, можно заключить, что е равно умноженной на То средней
скорости обусловленного внутренним трением (т. е. молекулярной
вязкостью) возрастания энтропии в единице массы, а N — умноженной
на т1/ср средней скорости возрастания энтропии, обусловленного
молекулярной теплопроводностью. Величина Н формулы B1.80) также
имеет простой физический . смысл. Как показал Обухов A949а), ее
можно приравнять умноженной на Т0/ср максимальной работе, кото-
которую можно извлечь из неоднородно нагретого объема V с помощью
обратимого перевода этого объема в состояние термодинамического
равновесия (т. е. постоянной температуры). Это обстоятельство дает
дополнительное основание для сопоставления меры температурной не-
неоднородности Н с кинетической энергией турбулентности, а темпера-
температурной диссипации N — с диссипацией энергии е.
Величина N может быть определена и по одним лишь характе-
характеристикам крупномасштабного осредненного движения, не зависящим
от молекулярных коэффициентов переноса (это обстоятельство уже
отмечалось в п. 7.5 части 1). Поскольку N имеет размерность ква-
квадрата температуры, деленного на время, порядок величины N можно
оценить с помощью соотношения
где Aflf/ и Ад — типичные изменения средней скорости и средней
температуры на расстоянии L$ (ср. аналогичное соотношение для
е в сноске на стр. 318). Если считать, что L и L$ совпадают по
порядку величины (как это обычно и бьдоет в действительности)»

350 гл. viii. локально изотропная турбулентность , [21.6
и положить N ж K$(—r-) » гДе Кц имеет смысл эффективного коэф-
коэффициента турбулентной температуропроводности, то отсюда будет
следовать, что К$—LkU~K, как этого и следовало ожидать.
Будем использовать далее масштаб L0=min(L, L$) (который
можно отождествить и с L и с Lq, если L и L$ не отличаются по
порядку величины). Тогда для статистических характеристик турбу-
турбулентности, содержащих температуру, равновесный интервал масшта-
масштабов / будет определяться неравенством /<^Л0. Первая гипотеза
подобия здесь принимает следующий вид (мы ограничиваемся форму-
формулировкой, относящейся лишь к чисто пространственным распределе-
распределениям вероятностей):
Первая гипотеза подобия. В развитой турбулентности
с достаточно большими значениями Re и Ре многомерные рас-
распределения вероятностей для разностей скоростей и разно-
разностей температур в произвольной системе точек, принадлежащей
некоторой пространственной области V диаметра I <^ Z,o, не
меняются при вращениях и параллельных переносах этой си-
системы точек, не выводящих ее за пределы области V, и одно-
однозначно определяются значениями параметров е, v, N и %.
Перейдем к обобщению второй гипотезы подобия на случай рас-
распределений вероятностей, содержащих разности температур. Заметим,
что при достаточно большом значении Ре молекулярная теплопро-
теплопроводность, характеризуемая коэффициентом %, может играть заметную
роль только для возмущений очень малых масштабов. В самом деле,
отношение типичных значений слагаемых уравнения теплопровод-
теплопроводности, описывающих конвекцию тепла и молекулярную теплопровод-
теплопроводность, как раз и равно числу Пекле; поэтому молекулярная тепло-
теплопроводность существенна лишь для возмущений с Ре ^ 1. Естественно
думать, что число Пекле возмущений монотонно убывает с убыванием
их масштабов; поэтому при достаточно большом числе Пекле осред-
ненного течения должен существовать интервал масштабов, малых по
сравнению с Zo, которым отвечает число Пекле, много большее еди-
единицы. В этом интервале масштабов все статистические характеристики
не должны зависеть от значения %; его естественно назвать конвек-
конвективным интервалом масштабов.
При попытке определения порядка величины нижней границы
конвективного интервала мы сталкиваемся со специфической труд-
трудностью, связанной с наличием двух величин v и % одинаковой раз-
размерности. Отсюда вытекает, что безразмерные характеристики мелко-
мелкомасштабной турбулентности, содержащие температуру, будут, вообще
говоря, функциями от безразмерного параметра Pr = v/x- В частности,
такой функцией от числа Прандтля будет отношение масштаба наи-
наибольших возмущений, на которые молекулярная теплопроводность
еще оказывает заметное влияние, к колмогоровскому внутреннему

21.6] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 351
масштабу турбулентности ц = (v3/e I/4. Таким образом, конвективный
интервал масштабов должен определяться неравенствами типа Lo^>
^> / ^> А, (Рг) • т|, где к (z) — некоторая универсальная функция.
Вместо масштаба ц можно использовать и так называемый внутрен-
внутренний температурный масштаб
3/4. B1.84)
Но делающееся иногда заключение, что при /^>t|d мы обязательно
будем находиться в пределах конвективного интервала масштабов,
нельзя считать обоснованным, так как возможность пренебречь мо-
молекулярной теплопроводностью по сравнению с конвекцией зависит
и от поля скорости, на которое влияет вязкость v.
Однако эти обстоятельства существенны только в предельных
случаях v<^x и V^X (представляющихся довольно экзотическими,
но на самом деле имеющих определенное практическое значение).
Эти случаи мы детально рассмотрим в п. 22.4; при этом, в част-
частности, будет показано, что при v<^x (T- е- Ля^Э>Л) конвективный
интервал простирается только до масштабов / ^> т^, а при v ^> % —
до масштабов / ^> (v%2/e I/4 = (ЛЛ<>I/3- Если же» как эт0 чаще всего
бывает, v/x = Рг имеет порядок единицы, то масштабы т), y\$ и
(ЛЛ^I/3 совпадают по порядку величины, а коэффициент А,(Рг) обра-
обращается в числовой множитель порядка единицы. Поэтому при Рг
порядка единицы верхние границы интервалов, для которых еще
является существенным эффект молекулярного трения или эффект
молекулярной теплопроводности, можно считать совпадающими.
Рассмотрим инерционно-конвективный интервал масштабов
{*о~^>1^$>Ло;=тах(Л» Ля)» который представляет собой пересечение
конвективного и инерционного интервалов. Для возмущений с мас-
масштабами из этого интервала можно пренебречь и внутренним трением,
и молекулярной теплопроводностью; иначе говоря, имеет место
следующая
Вторая гипотеза подобия. В развитой турбулентности
с достаточно большими значениями Re и Ре многомерные рас-
распределения вероятностей для разностей скоростей а разностей
температур в такой системе точек, что все расстояния rk
между ними удовлетворяют неравенствам Lo ^> rk ^> ц0 =
= тах(г|, г|0), однозначно определяются значениями парамет-
параметров г и N.
Из гипотез подобия вытекают простые следствия, касающиеся
статистических характеристик пространственных разностей температуры
в турбулентном течении с достаточно большими значениями Re и Ре.
В частности, из первой гипотезы подобия следует, что в равновесном

352 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.6
интервале r<^L0 пространственная структурная функция поля
температуры Dm (г) = (Аг*J зависит только от г = \г\ и должна
иметь вид
где h(x\ z) — универсальная функция двух переменных. При доста-
достаточно малом г разность &ГЪ можно считать приблизительно линейной
функцией от г, так что D^(r) — г2 при малом г и h(x\ z)~x2
при малом х. Будем для простоты предполагать, что число Рг имеет
порядок единицы и, следовательно, масштабы ц и т^ по порядку
величины не различаются; тогда h(x\ Pr)^hQx2 при 1
N
ft (г) ж h0 — г2 при г <^ щ. Легко показать, что коэффициент
1 d2h (х; Рг) I по
= -~ ^—- не зависит от Рг. В самом деле, учтя, что
* ах IjfeO
= j Doo @) = — в силу B1.830. получим
Dm(r)^^r2 при г<СЛ« B1.86)
(т. е. /го=1/3 и h(x; Pr) ^ x2/3 при х<^1). В другом предельном
случае г ^> щ (но г <^ Lo) можно воспользоваться второй гипотезой
подобия, приводящей к выводу, что при таких г
B1.87)
(т. е. h (х; Рг) ^ C$x2/Z при ^^>1), где Св — универсальная по-
постоянная.
Наряду со структурной функцией Dm (r) можно рассмотреть спектр
локально изотропного поля температуры E^(k) = E^\k) или соот-
соответствующий одномерный спектр E\*\k). В таком случае равенство
B1.85) примет вид
где функции ф(°Н1» Pf) и 9iO)(|J Pf) связаны с А (х, Рг) теми же соот-
соотношениями, что и ф(р>(|) и Ф^гё) с я(а:); см. B1.75). Соотношение
B1.87) будет эквивалентно любому из двух следующих соотношений:
Е^(к) = вФм1-113к-5/\ ?f)W = BfWl-1^-5/3 B1.89)
(справедливых при \/L<^k<^ 1/т]д); при этом в силу A3.59) и
A2.13)
^ J^ ^ М0) | @) 0,25^. B1.90)

21.6] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 353
Из того, что функция <р^(?) получается из cp@)(?i) c помощью инте-
интегрирования по всем значениям ^ от ? до оо (с весовой функцией If1),
вытекает, как и в случае поля скорости, что одномерный спектр
Е^\к) будет, вообще говоря, описываться формулой B1.89) вплоть
до заметно меньших значений к, чем трехмерный спектр Е^\к) (см.,
в частности, рис. 55 на стр. 328, где функция ф(?) изображает при-
примерный вид трехмерного безразмерного спектра ф@), а функция
Ф3(|) — отвечающий ему одномерный спектр <p<d)V В области же боль-
больших к трехмерный спектр Е^Цк) начинает заметно отклоняться от
результата B1.89) позже, чем одномерный спектр Е(^ (к).
Формулы B1.86) и B1.87) (вторая из которых выражает закон
двух третей для поля температуры) принадлежат Обухову A949а).
Эквивалентный формуле B1.87) спектральный закон пяти третей
для поля температуры B1.89) был указан Коренном A9516) *)•
Гипотезы подобия могут быть использованы и для получения
закономерностей, относящихся к старшим моментам разностей ДГФ
или к старшим смешанным моментам Arfr и Дга (второй момент
, очевидно, равен нулю). Так, например, третий момент
Dm (г) = Дги/(Дг дJ (рассматривавшийся Ягломом A9496) и нужный
для некоторых последующих выводов) определяется скалярной функ-
функцией
W = N е-»/* Х3/4 * (гК; Рг),
где i(x\ Рг)— универсальная функция, причем
l/2/-3 при r<Cmin(ri, %). B1-91)
при Lo ;>/•;> max (л, %)• B1-92)
1) Почти одновременно с появлением работ, содержащих формулы B1.87)
и B1.89), Иноуэ A950а, 1951а, 19526) предложил теорию (основанную на не-
некоторых спорных предположениях), согласно которой в инерционном интер-
интервале Dfft{r)~r4® и Е^ (k) — E$b(k) ~> k~7/3. Позже при рассмотрении
вопроса о статистических характеристиках поля плотности электронов
в ионосфере Вилларс и Вайскопф A955) выдвинули гипотезу (развивав-
(развивавшуюся затем также Уилоном A957, 1958)) о том, что мелкомасштабные
пульсации плотности зависят не от параметра N (который они не рассма-
рассматривали), а от среднего градиента Vft (определяющего плавные изменения
поля Ф (х) и очень малого по сравнению с типичным значением градиента ft').
Согласно этой гипотезе, в инерционном интервале ?><н> (г) ^ (VftJ r2 и
Е$ъ (k) ~ (V®J k~z (критике последней формулы посвящены работы Бол-
джиано A957, 1958а, б)). В настоящее время, однако, имеется богатый
экспериментальный материал, показывающий, что правильными являются
формулы B1.87) и B1.89) (см. ниже п. 23.5).
23 А. С. Моннн, А. М. Яглом

354 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21;6
Близкие формулы могут быть получены также для функций
и ^лглгф(г) — (ДгЯлгJ &г$* определяющих тен-
тензор ?/;ф(г) = Дгй*ДгяуДгв\ и для спектральных характеристик,
описывающих смешанные третьи моменты полей ДГФ и Дга.
Сложнее обстоит дело с характеристиками временных разностей
Дт<в> = ft (х, t-{-x) — 'Q'(x, t).
Если, однако, речь идет о промежутках времени т (или частотах со),
к которым приложима гипотеза Тэйлора о замороженной турбулент-
турбулентности, то соответствующие характеристики могут быть без труда
сведены к характеристикам пространственных разноетей ДГ<К о кото-
которых шла речь выше. В частности, при щ1и<^х<^Ща или u/L0<^
в силу формул B1.87), B1.89) и B1.92)
(о-5/3. B1.93)
B1.94)
В заключение подчеркнем еще раз, что все приведенные здесь
формулы относятся не только к температуре, но и к концентрации
произвольной пассивной примеси. Поэтому результаты настоящего
пункта могут применяться, например, к влажности или концентра-
концентрации углекислого газа в атмосфере, к солености океана или к плот-
плотности электронов в ионосфере (если малб влияние магнитного поля
Земли). Разумеется, параметры х и N в0 всех этих случаях будут
иметь различные значения.
Результаты настоящего пункта можно также использовать для
получения выводов о статистических характеристиках поля коэффи-
коэффициента преломления, определяющего скорость распространения свето-
световых, звуковых или радиоволн в турбулентной атмосфере. В самом
деле, пульсации коэффициента преломления для света обусловлены
в основном пульсациями температуры; в случае звука существенную
роль играют также пульсации скорости ветра, а в случае радиоволн —
пульсации влажности (или пульсации электронной плотности, если
рассматривается распространение радиоволн в ионосфере). Вследствие
относительной малости всех этих пульсаций можно считать, что
пульсации коэффициента преломления линейно зависят от пульсаций
температуры, скорости ветра, влажности и плотности электронов;
отсюда, в частности, следует, что в инерционно-конвективном интер-
интервале для поля коэффициента преломления также должен выполняться
«закон двух третей».

21.7] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 355
21.7. Локальные характеристики турбулентности
при наличии архимедовых сил и при химических реакциях.
Учет влияния термической стратификации
Локальные статистические характеристики турбулентности
в стратифицированной жидкости
Выше мы предполагали, что температура ведет себя, как пассивная
примесь, т. е. не оказывает заметного влияния на динамику турбулентности.
Между тем в важном случае температурно-неоднородной жидкости, находя-
находящейся в поле силы тяжести, температуру нельзя считать пассивной суб-
субстанцией. Действительно, в этом случае пульсации температуры создают
пульсации плотности, на которые действует архимедова сила; таким обра-
образом, распределение температуры здесь порождает поле архимедовых уско-
ускорений, т. е. влияет на динамику потока. Следовательно, в применении к тер-
термически расслоенной жидкости теория подобия для мелкомасштабных характе-
характеристик турбулентности должна быть как-то обобщена.
Как и в гл. 4 части 1, мы будем предполагать, что температурные не-
неоднородности малы по сравнению со средней температурой среды Т= То 1)
и что движение среды определяется системой уравнений свободной конвек-
конвекции (приведенной в п. 1.5 части 1). От обычных уравнений гидромеханики
температурно-однородной среды уравнения свободной конвекции отличаются,
как известно, только наличием в правой части уравнения для вертикальной
скорости дополнительного слагаемого, описывающего «архимедовы ускоре-
ускорения» и имеющего вид — g$T\ где Т' = Т — Го — пульсация температуры,
g— ускорение силы тяжести, а 0 — коэффициент теплового расширения
(который мы для определенности будем считать равным 1/7*0, что соответ-
соответствует случаю идеального газа). Наличие этого дополнительного слагаемого
приводит к двум важным следствиям. Во-первых, вертикальное направление
оказывается выделенным, причем, поскольку архимедовы ускорения про-
проявляются в движениях всех масштабов, можно подозревать, что движения
всех масштабов будут анизотропными. Во-вторых, к числу размерных пара-
параметров, характеризующих движения жидкости, добавляется параметр g$ = g/T0
(размерности LT~*Q~l, где I, T и в — размерности длины, времени и тем-
температуры).
Влияние анизотропии, т. е. зависимости статистических характеристик,
содержащих аргумент г или ft, от угла между г или k и вертикалью, можно
исключить, проинтегрировав соответствующие статистические характеристики
по всевозможным направлениям г или k (т. е. по сфере | г | = г или | к | = к).
При этом, правда, мы получим лишь осредненные данные, не позволяющие
однозначно восстановить соответствующие трехмерные характеристики. Вместо
интегрирования по сфере можно рассмотреть характеристики двумерных
гидродинамических полей в горизонтальной плоскости г = const, локальная
изотропность которых не вызывает сомнений. Выводы из соображений раз-
размерности, излагаемые ниже в применении к трехмерным структурным или
спектральным статистическим характеристикам, осредненным по сфере, будут
применимы и к соответствующим характеристикам двумерных полей в
плоскости г = const. Сами гидродинамические поля турбулентности в
расслоенной жидкости с большими значениями Re и Ре можно считать
локально осесимметричными (т. е. локально однородными во всех направ-
направлениях и локально изотропными по горизонтали). При исследовании
1) Напомним, что буквой $ мы условились обозначать температуру лишь
тогда, когда она считается пассивной примесью (см. часть 1, стр. 63). По-
Поэтому в настоящем пункте температура будет обозначаться буквой 7*.
23*

356 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [21.7
их трехмерной локальной структуры можно использовать результаты упоми-
упоминавшейся в сноске на стр. 41 теории осесимметричных случайных полей (ср.
Болджиано A962)). Этим, однако, мы в дальнейшим заниматься не будем.
Перейдем к перечислению размерных параметров, влияющих на мелко-
мелкомасштабную структуру поля скорости и (jc, t) и поля температуры Т (jc, t) в рас-
расслоенной жидкости. Квазистационарный режим пульсаций Т (х, t) в интервале
равновесия определяется, как и в однородной жидкости, постоянным прито-
притоком N средней «интенсивности пульсаций» Г'2/2 из области возмущений
большого масштаба, балансирующимся с равным ему убыванием средней
интенсивности T'2j2 в результате сглаживания поля T(xt f) молекулярной
теплопроводностью. Этот процесс характеризуется параметрами N и % (кроме
параметров, определяющих поле скорости, создающее конвективное переме-
перемешивание). Эволюция во времени неоднородностей скорости описывается
уравнениями свободной конвекции, содержащими размерные параметры v
и g/T0. Однако «поток энергии», передаваемой возмущениями заданного
масштаба меньшим возмущениям, теперь уже не будет постоянным на спектре
масштабов. В самом деле, при устойчивой температурной стратификации,
наряду с передачей энергии от одних возмущений к другим, в широком
интервале масштабов будет также происходить затрата кинетической энер-
энергии на преодоление архимедовых сил (приводящая к преобразованию части
кинетической энергии в потенциальную энергию плотностного расслоения).
При неустойчивой стратификации турбулентные движения различных мас-
масштабов будут, наоборот, черпать дополнительную кинетическую энергию из
потенциальной энергии среды (архимедовы силы в среднем будут ускорять
жидкие частицы). Существенно, однако, что взаимные преобразования потен-
потенциальной и кинетической энергии в заданном интервале масштабов / будут
определяться теми же спектральными компонентами пульсаций и' (х, t) и
Т' (ж, f), которые обусловливают в этом интервале перенос по спектру меры
температурной неоднородности. Поэтому можно ожидать, что если значе-
значения Re и Ре достаточно велики, то при / <^ Lo статистический режим ука-
указанных преобразований энергии не будет зависеть от количественных
характеристик средних полей и(х, t) и Г(х, t\ имеющих масштаб /,0, и
будет однородным в пространстве и квазистационарным.
Вместе с тем можно думать, что наличие стратификации все же может
сказываться в какой-то области масштабов, много меньших 10, порождая
анизотропию распределений вероятностей для пульсаций, связанную с осо-
особой ролью направления силы тяжести. Существенным может оказаться и
знак вертикального градиента средней температуры, от которого зависит
характер осредненных взаимных преобразований кинетической и потенциаль-
потенциальной энергии. Но все это не препятствует тому, чтобы интервал масштабов
/ <^~ LQ можно было считать равновесным в том же смысле, какой мы
вкладывали в этот термин в случае турбулентности в нестратифицированной
жидкости. Распределение кинетической энергии по спектру масштабов в этом
интервале теперь будет определяться из условия баланса инерционного пере-
переноса, трансформации в потенциальную энергию (положительной или отрица-
отрицательной) и вязкой диссипации. Суммарная диссипация энергии Г при этом
уже не будет равна энергии, поступающей на верхний конец рассматривае-
рассматриваемого интервала масштабов. Тем не менее можно ожидать, что величина е
все же будет влиять на распределение анергии в интервале масштабов
/ <^ Lo, т. е. будет существенным энергетическим параметром. Иначе го-
говоря, представляется правдоподобным, что для турбулентности в расслоен-
расслоенной жидкости при достаточно больших значениях Re и Ре существует
равновесный интервал Масштабов I <^ Z,o, в котором многомерные
распределения вероятностей для разностей скоростей и разностей тем-

21.7] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 357
ператур допустимо считать стационарными и однородными (но не
изотропными, а лишь осесимметричными относительно вертикали)
и однозначно определяющимися параметрами е, Я, g/T0, v и %. Это
предложение и является обобщением первой гипотезы подобия Колмогорова
на случай турбулентности в расслоенной жидкости; оно было независимо
выдвинуто Болджиано A959) и Обуховым A959а).
Наличие дополнительного параметра g/T0 осложняет применение сообра-
соображений размерности к исследованию локальных статистических характеристик
турбулентности^ стратифицированной среде. Воспользуемся тем, что из
параметров ~е, W и g/T0 можно составить единственную комбинацию размер-
размерности длины
^B1.95)
(длина ?* также была независимо введена Обуховым и Болджиано). Отсюда
вытекает, что в стратифицированной среде общая форма, например, осред-
ненной по всем направлениям г продольной структурной функции DLL(r)
при \г\ = г <^ Lo должна иметь вид
DLL <Г> = -Щ2 / DLL
/
_ |r|-r
где t| = v3/4 e ~1/4, a fiL, (x, y, z) — универсальная функция трех переменных.
Аналогичные формулы получаются и для других структурных и спектраль-
спектральных статистических характеристик, относящихся к интервалу равновесия
(некоторые из них выписаны в работе Болджиано A959)).
Дальнейшая конкретизация этих формул может быть осуществлена на
основе использования второй гипотезы подобия Колмогорова, согласно
которой многомерные распределения для разностей скоростей и разно-
разностей температур в произвольных парах точек не могут зависеть от
молекулярных констант v и х. если только расстояния между точ-
точками намного превосходят некоторую фиксированную длину ч\0. Эта
гипотеза будет справедлива и при наличии температурной стратификации
по тем же причинам, которые обусловливают ее справедливость в прочих
случаях. Вообще говоря, длина % может задаваться соотношением вида
% = Л • Я (т|/?*, v/x), где Я (у, г) — некоторая функция двух переменных.
Однако ниже мы покажем, что х\0 почти всегда не будет зависеть от g/T0;
следовательно, Я = Я (Рг) не зависит от т]/1„ и длину т]0 при наличии стра-
стратификации можно выбирать так же, как это делалось в предыдущем пункте.
В дальнейшем для простоты мы будем считать, что v/x = Рг имеет порядок
единицы (для воздуха Рг « 0,7); в таком случае т]0 можно просто отождест-
отождествить с т] (или с длиной /П7. = Х3/4^"*1/4» имеющей тот же порядок величины).
Рассмотрим общий вид осредненных по всем направлениям вектора г
продольной и поперечной структурных функций скорости DLL(r)n E>NN(r),
структурной функции температуры DTJ. (r) и взаимной структурной функ-
функции температуры и вертикальной скорости DTw (г) при LQ ^> г ^> т]0.
В это1и интервале все указанные характеристики могут зависеть только
от г, е, N и g/T0. Поэтому из соображений размерности получаются соот-
соотношения
DLL (г) = С 7*У */и (ГЦ,), DNN (г) = С ^ t*fHN (TIL*

868 гл. viii. локально изотропная турбулентность [21.7
где С, С, Со и С" —постоянные коэффициенты, a fu (x), fNN(x), fTT(x)
и fTw (x) — универсальные функции (формула B1.97) для DTT(r) была ука-
указана Обуховым A959а)). Числовые коэффициенты С, С, С<> и С" можно
выбрать произвольно; нам будет удобно считать первые три из них совпа-
совпадающими с соответствующими коэффициентами «законов двух третей»
B1.17) и B1.87). Заметим, что ?ри устойчивой и неустойчивой стратифика-
т, е. при разных знаках -~\ функции f LL(x\ ..., fTw(x) могут ока-
оказаться различными.
Поскольку случайные поля и (х, t) и Т (х, t) локально однородны, для
них при \/х\0 ^> k = | k | ^> l/Ц можно определить спектральные плот-
плотности F (к) = у Fu (k), FTT (k) и FTw (k). Если обозначить
?(*) = J F(k)dk
и аналогично для функций FTT (k) и FTw (k), то из соображений размер-
размерности получаются соотношения
Е (k) = С1Р/3Л"б/3ф (kL ), Етт (k) == В@) JV e~1/3/j-5/3a|?__ (kL ),
' ' * /01 Qg\
Здесь ф(?), фгг(|) и фГда (|) — универсальные функции (которые также
могут быть разными при устойчивой и неустойчивой стратификациях), В' —
произвольная постоянная, а постоянные Сх и В^ удобно считать совпа-
совпадающими с коэффициентами «законов пяти третей» B1.24) и B1.89).
При g/T0 = 0 (т. е. при отсутствии силы тяжести, вызывающей стра-
стратификацию) формулы B1.97) и B1.98) должны превратиться в обычные
формулы для структурных и спектральных характеристик локально изотроп-
изотропной турбулентности в нестратифицированной жидкости. Но ?*-> оо при
gjT->0 в силу B1.95). Следовательно, при принятом выборе числовых
коэффициентов /?? @) = fNN @) =Ч> (сх>) = фгг (оо)=1; fTw @)=%w (oo)==0
(два последних равенства вытекают из того, что в локально изотропной
турбулентности \и\Т = 0). Если же g|T0ф0, но rjL^ <^ 1, т. е.
г <^ L^ (но г ^> т]о)| то значения поправочных функций в формулах B1.97)
можно с хорошей точностью заменить их значениями в нуле, т. е. пользо-
пользоваться обычными «законами двух третей», справедливыми для нестратифи-
нестратифицированной среды. Аналогично, если k ^> 1//,ф (но k <^ 1/т|о)» то значения
поправочных функций в формулах B1.98) можно приближенно заменить их
значениями на бесконечности, т. е. пользоваться обычными «законами пяти
третей». Иначе говоря, масштаб L+ характеризует минимальный мас-
масштаб неоднородностей, начиная с которого влияние архимедовых сил
становится существенным1). Если L^ ^> pL# ^> ч\Т (как это почти
1) Разумеется, минимальный масштаб, для которого еще нужно учиты-
учитывать архимедовы силы, совпадает с длиной L% лишь с точностью до посто-
постоянного множителя. Пока нельзя исключить возможности, что соответствую-
соответствующий множитель окажетсй заметно меньшим единицы (ср. аналогичную ситу-
ситуацию, с которой мы встретились в гл. 4 части 1 Яри введении масштаба L,
характеризующего толщину С?вя, в ротором можно Пренебречь влиянием
архимедовых сил на средние профили и (z) nT (г)).

21.7] § Я. ОВЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 359
всегда бывает в действительности), то при / <^ 1„ можно не учитывать
стратификацию и пользоваться обычной формой первой и второй гипотез
подобия Колмогорова (и, в частности, обычным образом определять мас-
масштаб т]0). Приведенное рассуждение дает дополнительные основания для
применения понятия локально изотропной турбулентности и связанных
с ним гипотез подобия в стратифицированной среде, но показывает, что
верхняя граница инерционного и инерционно-конвективного интервалов
масштабов кроме неравенств / <^ L и / <^ LT должна удовлетворять еще
и неравенству / <^ 1^. Если I# <^ LQ = min (I, Ir), то вслед за инер-
инерционно-конвективным интервалом масштабов будет располагаться «архиме-
«архимедов» интервал Lo ^> / ^ 1„ в котором распределения вероятностей для
Дгй и ДГГ еще можно считать квазистационарными и однородными, но уже
нельзя считать изотропными.
Значения безразмерных поправочных функций, входящих в равенства
B1.97) и B1.98), в принципе можно определить эмпирически по данным
специальных измерений (отсутствующих в настоящее время). Для случая
устойчивой стратификации некоторые гипотезы, касающиеся асимптотической
формы этих функций в области волновых чисел, много меньших \/L^ (т. е.
масштабов, много больших 1Д были высказаны Болджиано A959, 1962).
При устойчивой стратификации энергия, передаваемая возмущениями мас-
масштаба / ^> L* меньшим возмущениям, должна быть гораздо больше, чем 7,
так как подавляющая часть этой энергии затрачивается на работу против
архимедовых сил и лишь очень небольшая ее доля доходит до мельчайших
возмущений, в которых сосредоточена вязкая диссипация. Исходя отсюда,
можно думать, что даже значительное изменение параметра 7 будет мало
влиять на форму спектров турбулентности в области k <^ 1/1^. Это сооб-
соображение заставило Болджиано предположить, что асимптотическая форма
спектров Е (k), ETT (k) и ETw (к) при k <^ 1/1^ в случае устойчивой
стратификации должна определяться одними лишь значениями параметров N
и g/T0. Отсюда, в силу соображений размерности, при k <^ 1/1ф полу-
получается
Е (k) = с. N^ Ш k~nl\ ETT (k) =
где сь Ь^ и Ьг — универсальные постоянные. Следовательно, можно ожи-
ожидать, что в случае устойчивой стратификации ф (|) ^ ?~8/15, *фгг (I) ~ ^4/15
и ФГда(?)~?"~2/15 при I <^ 1. Те же соображения приводят к следующим
эквивалентным B1.99) гипотезам об асимптотическом виде осредненных
по всем направлениям структурных функций турбулентности в устойчиво
стратифицированной среде:
(r) = ce RW (|-J/5 r2/5, DTw (г) = с" (fI15
при /•;>/., (так что fLL(x)~x8n\ fNN(x)~xW\ /„. (x)
fTw(x)~x2115 при л:^> 1; ср. Тептин A965)).

360 гл. vni. локально изотропная турбулентность [21.7
Приведенные формулы могут иметь смысл, лишь если длина L* намного
меньше, чем внешний масштаб турбулентности 10. Если же ?* приближается
к Lo или даже превосходит Lo, то не только гипотеза Болджиано об асим-
асимптотической форме поправочных функций в формулах B1.97) и B1.98), но
и вся развитая в настоящем пункте теория подобия оказывается неприме-
неприменимой. В этом последнем случае за инерционно-конвективным интервалом
спектра следует область масштабов, в которой существенную роль играют
величины, характеризующие осредненные поля и (jc, t) и Т (jc, f). Такой
характер имеет, в частности, предложенная Шуром A962) и Ламли A964)
гипотеза о спектре турбулентности в свободной атмосфере, по которой за
областью применимости «закона пяти третей» следует область меньших
волновых чисел, где спектр скорости пропорционален _?~3 и определяется
параметрами g/T0 и , ¦ (по формуле Е (k) ~ -~- -г- k
az \ 1q az
Точное определение масштаба L% в большинстве реальных турбулент-
турбулентных потоков оказывается невозможным, так как неизвестны значения е и N.
Грубую оценку порядка величины этого масштаба для турбулентности
в стратифицированной среде, заполняющей полупространство z > 0, можно
получить с помощью соотношений е/^(ЛцK/^ и N ~ у—'— (ср. выше
стр. 318 и 349). Типичные масштабы L и LT полей и = и (z) и Т = Т (z)
в рассматриваемом случае имеют тот же порядок, что и расстояние z до
стенки; поэтому _
Вблизи стенки наиболее быстро меняющимся с высотой множителем в пра-
правой части является множитель z^2; следовательно, здесь в первом прибли-
приближении можно считать, что L%<^z~Xi<1. Мы видим, что масштаб L# довольно
быстро убывает с высотой, в то время как внешний масштаб L^z с вы-
высотой быстро возрастает. Таким образом, можно ожидать, что на достаточно
больших высотах масштаб 1% будет заметно меньше внешнего масштаба
турбулентности и, значит, влияние архимедовых сил начнет проявляться
раньше, чем влияние характеристик осредненного течения. В случае при-
приземного слоя атмосферы ориентировочные численные оценки Обухова A959а)
показывают, что отношение z/L# уже на высоте порядка 10 м становится
равным единице; поэтому правдоподобно, что формулы настоящего пункта
здесь могут применяться, начиная с высоты порядка нескольких десятков
метров. Однако проверка этого заключения требует проведения специальных
наблюдений и пока остается делом будущего.
Статистические характеристики поля концентрации
распадающейся или химически активной примеси
Рассуждения, родственные приведенным выше, применимы и к ряду дру-
других случаев, в которых кроме инерционного переноса энергии и меры неод-
неоднородности поля ft или Т по спектру масштабов имеют место те или иные
1) Под Т здесь надо понимать не обычную, а потенциальную темпера-
температуру (см. часть 1, стр. 98). Поскольку в свободной атмосфере (на высотах
от 1—2 км до _примерно 10 км) потенциальная температура возрастает
с высотой, то dT/dz > 0.

21.7] § 21. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ 361
дополнительные эффекты. В качестве полезной иллюстрации мы разберем
случай турбулентного перемешивания примеси, распадающейся (радиоактив-
(радиоактивной) или участвующей в некоторой химической реакции (не влияющей на
динамику течения). Ограничимся простейшим случаем распада или «реакции
первого порядка», в котором скорость реакции пропорциональна первой сте-
степени концентрации. В этом случае, согласно сказанному на стр. 126—127,
уравнение диффузии для концентрации примеси ft(x, t) заменяется урав-
уравнением
где |х — постоянная размерности, обратной размерности времени. Таким об-
образом, число размерных параметров, определяющих статистические харак-
характеристики поля §(х, t), здесь увеличивается по сравнению со случаем не-
реагирующей примеси за счет добавления параметра \к.
Поскольку предполагается, что химическая реакция не влияет на дина-
динамику потока, статистические характеристики полей скорости и давления
будут теми же, что и при отсутствии примеси. Поэтому все результаты
пп. 21.4 и 21.5 сохраняются в рассматриваемом случае без всяких изменений.
Что же касается концентрации примеси $(х, t), то она экспоненциально
убывает в ходе химической реакции, уменьшаясь в е раз за время Тт = 1/|л.
Ясно, что убывание концентрации будет проявляться на пульсациях Ьг всех
масштабов. В результате поток «меры неоднородности» Ь/2B по спектру
масштабов возмущений поля Ф теперь уже не будет постоянным, даже если
молекулярная диффузия и не будет сказываться.
Неоднородности поля Ф (ж, t) данного масштаба / <^ Lo создаются
вихрями близких масштабов и поэтому характеризуются тем же «типичным
периодом» Тг, что и соответствующие неоднородности поля и (х, t). По-
Поскольку Tt монотонно убывает с ростом /, при достаточно больших Re и Ре
можно выделить область наиболее мелкомасштабных возмущений поля
Ф (х, t), для которых / <С! Lo и Тг <^ Тг. Для таких возмущений процесс
уменьшения концентрации в результате химической реакции будет очень
медленным по сравнению с процессами конвективного перемешивания и
молекулярной диффузии. Предположим, что масштаб /, для которого «типич-
«типичный период» Тх совпадает с Тг, принадлежит инерционному интервалу (для
чего надо, чтобы Re было достаточно велико). В таком случае этот масштаб
должен однозначно определяться параметрами р. = \jTr и е, т. е. может лишь
постоянным множителем отличаться от масштаба
Lr=71/2M-3/2, B1.102)
введенного в рассмотрение Коренном A961I). Отсюда ясно, что конвектив-
конвективный интервал масштабов для поля Ф (х, t) при наличии химической реакции
первого порядка должен кроме условия / <^ Lo удовлетворять также не
менее важному условию / <^ Lr. При этом условии к пульсациям концен-
концентрации можно применить все рассуждения и выводы п. 21.6; химическая
реакция здесь будет проявляться лишь в дополнительном относительно мед-
медленном изменении параметра N.
Мы видим, что масштаб Lr определяет минимальный масштаб не-
однородностей, начиная с которого химическая реакция начинает
1) Формула B1.102) согласуется с тем, что в инерционном интервале
масштабов 7'//^ё"~1/3/2/3 (ср. сноску на стр. 312).

362 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.1
оказывать существенное влияние на распределение вероятностей для
разностей концентраций. Предположим, что имеются источники примеси,
создающие стационарное распределение средней концентрации Ф (х) (или, во
всяком случае, приводящие к тому, что поле Ф заметно меняется лишь
в течение промежутков времени, очень больших по сравнению с ТТ). Пусть
G — пространственно-временная область с пространственными масштабами,
малыми по сравнению с ?0> и временными масштабами, малыми по сравне-
сравнению с То = min (LJU, Тф 7<>), где Ти — время заметного изменения поля
и(х, 0» а 7ф — время заметного изменения поля ft(x, t). Естественно ожи-
ожидать, что в этой области поле ft (xt t) будет локально изотропным и имею-
имеющим стационарные приращения и что распределения вероятностей для при-
приращений этого поля будут однозначно определяться параметрами е^ 77, |л,
v и х- Кроме того, при Lo ^> т]0 = max (tj, %) распределения вероятностей
для пространственных разностей поля ft (х, t) в парах точек из G будут
определяться лишь параметрами е, N и |л, если только расстояния между
точками намного превосходят тH. Эти утверждения представляют собой обоб-
обобщение гипотез подобия Колмогорова на случай турбулентного перемешива-
перемешивания распадающейся примеси или химически активной примеси, участвующей
в реакции первого порядка.
Согласно приведенным гипотезам, в случае химически активной примеси
^) при 10;>г:>гъ B1.103)
,) при 1/т|о » * Г» 1/*о. B1.104)
где Сф и ВФ) — постоянные, a f(x) и 1|э(?) — универсальные функции. Если
выбрать постоянные С$ и В(Ъ) теми же, что и в равенствах B1.87) и B1.89),
то / @) = ф (оо) = 1.
Формулы B1.103) и B1.104) близки к тем, которые были получены выше
цля случая турбулентности в стратифицированной среде. Аналогичные рас-
рассуждения могут быть применены и к другим случаям, например к рассма-
рассматривавшемуся Коренном A9626) и Пао A964) случаю наличия нескольких
примесей, связанных одной или несколькими химическими реакциями пер-
первого порядка. Мы здесь, однако, на этом уже не будем задерживаться.
§ 22, ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
22.1. Уравнения для структурных и спектральных функций
полей скорости и температуры
В предыдущем параграфе статистические характеристики локально
изотропной турбулентности исследовались с помощью одних лишь
методов подобия и размерности, не требующих привлечения явного
вида уравнений гидромеханики. В какой-то мере это было оправдано
тем, что из уравнений гидромеханики не удается получить замкнутую
систему уравнений для какого-либо конечного набора статистических
характеристик турбулентности, и поэтому уравнения гидромеханики

22.1] § 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 363
приходится дополнять какими-то более специальными предположе-
предположениями, использования которых мы стремились избежать. Отсюда,
однако, вовсе не следует, что уравнения гидромеханики вообще бес-
бесполезны для изучения локальной структуры. Эти уравнения не опре-
определяют однозначно локальные статистические характеристики, но они
приводят к ряду важных связей между ними, существенно дополняю-
дополняющих выводы из соображений подобия и размерности и представляю-
представляющих большой интерес.
При построении гидродинамической теории локально изотропной
турбулентности прежде всего надо преобразовать динамические урав-
уравнения для моментов основных гидродинамических полей к виду, со-
содержащему лишь локальные характеристики. Сделать это совсем
нелегко вследствие громоздкости общих уравнений для моментов.
Поэтому на первых порах целесообразно прибегнуть к следующему
эвристическому приему. Воспользуемся тем, что статистический режим
мелкомасштабных компонент турбулентности при больших Re не за-
зависит от особенностей макроструктуры потока, сказывающейся лишь
на величине параметра е. Отсюда вытекает, что и динамические урав-
уравнения для характеристик локально изотропной турбулентности не
могут зависеть от характера крупномасштабных турбулентных дви-
движений. Таким образом, нам достаточно вывести эти уравнения хотя бы
для одного турбулентного течения с достаточно большим Re, и, сле-
следовательно, мы вполне можем ограличиться рассмотрением лишь
простейшего случая изотропной турбулентности в безграничном про-
пространстве. Найдя для этого случая связи между локальными харак-
характеристиками и учтя, что в силу гипотез подобия Колмогорова ука-
указанные характеристики должны быть одинаковыми во всех турбу-
турбулентных течениях с достаточно большими Re и одинаковыми
значениями е и v, мы сможем считать найденные зависимости уни-
универсальными, т. е. одними и теми же для любой локально изотроп-
изотропной турбулентности. После этого, разумеется, будет интересно попы-
попытаться вывести полученные соотношения сразу для общего случая
(т. е. без предположения об изотропности турбулентности); такой
более общий вывод мы рассмотрим в конце настоящего пункта.
Начнем с простейшего уравнения для структурных функций поля
скорости. Воспользуемся тем, что в случае изотропной турбулент-
турбулентности соответствующие продольные корреляционные функции вто-
второго и третьего порядков BLL(r, t) и BLLL{rt t) должны удовле-
удовлетворять уравнению Кармана—Ховарта A4.9). Но изотропное случайное
поле и(х, f) всегда одновременно является и локально изотропным,
причем его структурные функции в этом случае определяются фор-
формулами DLL(r, 0 = 2E^@, t)-BLL(r. t)] и DUL(r. t)=6BLLtL(r. t)
(см. п. 13.3). Предположим, что число Рейнольдса рассматриваемой
изотропной турбулентности настолько велико, что ее мелкомасштабные

364 гл. viii. локально изотропная турбулентность [22.1
оо
компоненты с масштабами г <С! L, где L = Г BLL (r) drjBLL @),
о
образуют локально изотропную турбулентность в смысле определения
на стр. 314. В таком случае функции DLL^=DLL(r) и DLLL = DLLL(r)
при r<^L можно считать не зависящими явно от временной одно-
однозначно определяющимися параметрами е и v). Выразим корреляцион-
корреляционные функции в уравнении Кармана — Ховарта через структурные
dD
функции и постоянную BLL @, t) и воспользуемся тем, что ~зр = 0
дВ,,@, t)
при r<^L и что в случае изотропной турбулентности —^ =
2 d п^щ 2 - D
== " ~dt ~1Г~=== — "е* таком случае мы придем к уравнению
B2.1)
(справедливому при r<^L). Проинтегрировав все члены уравнения
B2.1), умноженного на г4, по г, получим
dD.Ar) 4-
Дin (г) - 6v —$-L = _.J er- B2.2)
Это соотношение, впервые найденное Колмогоровым A941 г), связы-
связывает продольные структурные функции второго и третьего порядков
локально изотропной турбулентности, отвечающей изотропной турбу-
турбулентности с достаточно большим числом Рейнольдса. Если справед-
справедливы гипотезы подобия Колмогорова, то соотношение B2.2) должно
выполняться и для любой локально изотропной турбулентности неза-
независимо от того, является ли турбулентность в целом изотропной
или нет.
В силу уравнения неразрывности функции DLL(r) и DLLL(r)
однозначно определяют и структурные тензоры Ду(г) и Ощ(г);
в частности, по ним просто определяются также функции DNN(r)
и DLNN(r) (см. формулы A3.87), A3.90) и A3.91) на стр. 97—98).
Конечно, сами функции DLL (r) и DLLL (r) не могут быть однозначно
определены с помощью Одного динамического уравнения B2.2). Тем
не менее из этого уравнения можно вывести ряд любопытных след-
следствий, касающихся этих функций. Так, например, поскольку функ-
функция DLLL (г) в окрестности точки г = 0 имеет третий порядок малости
по г, при очень малых г (а именно при г <^ т|) она будет прене-
пренебрежимо малой по сравнению с двумя остальными членами уравне-
1 еГ
ния B2.2). Следовательно, DLL (г) = -jg — г2 при г^т]; в силу

22.1] § 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 365
соотношения Кармана A3.87) отсюда также вытекает, что DNN(r)=*
2 еГ
= -rg- —г2 при г<^т]. Эти соотношения мы уже приводили выше
(см. формулы B1.19') на стр. 325). В другом предельном случае, при
г^>т] (т. е. в инерционном интервале), вязкое трение не должно
играть заметной роли, т. е. пренебрежимо малым должно быть сла-
dDj.
гаемое 6v ,L '(это ясно и из того, что DLLL(r)^>r, DLL(r)f^r2lz
.при r^>r\). Следовательно,
DLLL(r) = —^er при r^>r\. B2.3)
Результат B2.3) является существенным уточнением формулы B1.180,
следующей из соображений размерности; он показывает, что
4
D = — •?-. При промежуточных же значениях г — г\ универсальные
функции $LL(x) и $LLL(x) равенств B1.17) и B1.18) в силу B2.2)
будут связаны соотношением
d$rr(x) 4
hn (*) - 6 -^-^ = - -5 х. B2 А)
позволяющим по одной из этих функций однозначно определить
вторую.
Согласно формуле B2.3) в инерционном интервале распределение
вероятностей для hriiL — uL(x-\-r)— uL(x) должно иметь отрица-
отрицательную асимметрию:
S= °ш{Г1л <0. . B2.5)
Как можно показать с помощью формулы, связывающей DLLL(r)
с переносом энергии по спектру T(k), это свойство тесно связано
с тем, что пульсации данного масштаба в среднем должны передавать
энергию пульсациям меньших масштабов и заимствовать энергию
у пульсаций ббльших масштабов. Поскольку Д^ = 0, отри-
отрицательность асимметрии 5 означает, что отрицательные значения &ruL
в среднем должны встречаться реже положительных, но превосхо-
превосходить их по абсолютной величине. Переходя от изменений значений
и(х) вдоль параллельной и прямой JS* к изменениям значений u(t) =
= и(х0, t) во времени с помощью представления о «замороженной
турбулентности», можно сказать, что в фиксированной точке корот-
короткие интервалы быстрого нарастания скорости течения («порывы»)
должны чередоваться с более длинными интервалами постепенного
спада скорости.
Асимметрия 5= DLLL(r) [DL/:(r)]"/2 принимает постоянные значения
при г <^ г\ и при г ^> г], а в промежуточной области г ~ч\ является

366 ГЛ. VIH. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.1
универсальной функцией 5 (а:) от х = г/т]. Постоянное значение этой
асимметрии в инерционном интервале г ^$> ц мы для простоты также
будем обозначать символом S. Тогда, используя формулы B2.3),
B2.5) и соотношение Кармана, связывающее DNN(r) с DLL(r)/
получим
при r^>T|, т. е.
4 \2/3 Г' — 4 ( 4 \2/3
Эти формулы (также принадлежащие Колмогорову A941 г)) раскры-
раскрывают статистический смысл коэффициентов С и С' формул B1.17').
Воспользовавшись формулами, связывающими DLL(r) с E(k) и
DLLL(r) с T(k), мы можем перейти от B2.2) к спектральному урав-
уравнению, содержащему неизвестные Е (k) и T(k). Проще, однако, и
в этом случае сначала предположить, что турбулентность полностью
изотропна, и воспользоваться спектральной формой уравнения Кар-
Кармана— Ховарта, выведенной в п. 14.3; следствия из этого уравнения,
касающиеся спектральных характеристик в интервале k^$> 1/Z,, должны
в силу гипотез подобия выполняться и для любой локально изотроп-
изотропной турбулентности. Но основное такое следствие мы уже рассмо-
рассмотрели в п. 16.5; оно имеет вид
оо оо
W (k) == J T (kf)dkf = 2v J k'2E(k')dk' B2.7)
k k
или,
(ср. A6.39)). Соотношение B2.7), где k^>l/L, вместе с условием
оо
Г k'2E (kf) dkf = e/2v при k<^l/r\ и представляет собой спектраль-
к
ную форму уравнения Колмогорова B2.2), точно эквивалентную
этому уравнению. В инерционном интервале 1/Z<^?<^ 1/т] оно
приобретает особенно простой вид:
= J T (k) dk =7= const; T(k) = O. B2.70
Аналогичные уравнения могут .быть получены и для локальных
характеристик поля d (jc, f) температуры (или концентрации пассивной
примеси) при произвольной турбулентности с достаточно большими

22.1] § 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 367
числами Рейнольдса и Пекле. Для этого достаточно сначала предпо-
предположить, что рассматриваемая турбулентность изотропна, и использо-
использовать уравнение Корсина A4.59). Выразив в этом уравнении корре-
корреляционные функции Bq$ и BL$tQ через структурные функции Dqq
и Dm и константу В^@) с помощью соотношений D^ir) —
= 2 [Я«в@) — Я<п(Ob* Яш@ = 4Яш(г) и учтя, что ^Dw(r) =0
при r<^L и достаточно больших Re и Ре и что -зт- В^@) =— 2N,
получим
r- r J —
dr
B2.8)
Проинтегрировав это уравнение, умноженное на г3, один раз по г,
мы придем к уравнению
Вш(г)-2Х а°2(Г) =-|^г> B2.9)
аналогичному уравнению Колмогорова B2.2). В силу гипотез подобия
п. 21.6 это уравнение при r<^L должно выполняться для любой
турбулентности с достаточно большими значениями Re и Ре. Уравне-
Уравнение B2.9), вместе с приведенными ниже его следствиями B2.10) и
B2.12), было указано Ягломом A9496).
При г <^ ц в уравнении B2.9) можно пренебречь слагаемым DLbb (г),
после чего оно приводит к соотношению D^(r) «-~— г2, уже ука-
указывавшемуся на стр. 352. В инерционном интервале г^>г\ в B2.9)
пренебрежимо малым оказывается слагаемое 2% —~ , описывающее
влияние молекулярной теплопроводности; следовательно,
°л«в(г) = — "з ^г ПРИ Г^>Т1- B2.10)
Таким образом, в равенстве B1.92) Do — — 4/3. Введем в рассмо-
рассмотрение безразмерную величину
имеющую ясный статистический смысл и принимающую в инерцион-
инерционном интервале г^>т| постоянное отрицательное значение. Тогда
в силу B2.10) и B2.6) при г^>т| получим
^(^I/3. B2.12)

368 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.1
Спектральное уравнение, эквивалентное B2.9), может быть запи-
записано в виде
"ри - ¦•»..«
г=г2Л^ = const, /<ю(я) = 0 при
Вывод уравнения для структурных функций
без предположения об изотропности турбулентности
Чтобы вывести уравнение Колмогорова B2.2) без использования спе-
специального предположения о том, что крупномасштабная структура течения
обязательно является изотропной, динамические уравнения Навье — Стокса
надо преобразовать к виду, содержащему лишь разности скоростей и их
производные. С этой целью мы введем в рассмотрение наряду с обычной
неподвижной системой координат & подвижную систему координат <?"*, начало
которой перемещается вместе с фиксированной жидкой частицей. Обозначим
через xi и щ — щ (дс, t) координаты и компоненты скорости в неподвижной
системе <?*, а через xoi = хО[ (t) и и0/ = щ [х0 (t), t] координаты и компоненты
скорости начала отсчета системы <?**. Тогда координаты и компоненты ско-
скорости в системе <?** будут равны
vi = vi (г, t) = щ [х0 (t) + г, t] — щ [х0 @, t].
Компоненты относительного ускорения жидкой частицы (т. е. ускорения
в системе <?"*) теперь можно записать в виде
* d . ..
Поэтому разность уравнений Навье — Стокса в точках х и х0 приобретает
вид
*^Й^(в'—>• B2Л4)
где левая часть записана в системе <?**, а правая — в системе с?". В уравне-
уравнении B2.14) /?о — это p(xo,t), а А и До — операторы Лапласа по перемен-
переменным xi и xoi (здесь учтено, что щ зависит только от х, а и0/ — только от х0).
Умножим обе части B2.14) на vj = uj — woy, а обе части аналогичного
B2.14) уравнения для компоненты Vj —на t// = w/ — и0/ и сложим оба полу-
полученных равенства. Полученную сумму мы осредним по ансамблю течений,
которым отвечает фиксированное значение ио = и (дс0, t) (где х0 и t — выде-
выделенные точка и момент времени) и, следовательно, в момент t соответствует
одна и та же скорость переноса и0 системы ^*. Предположим теперь, что
r<^L и что число Рейнольдса течения настолько велико, что статистиче-
статистические характеристики случайного вектора v (r, t) удовлетворяют гипотезам
подобия Колмогорова (т. е., в частности, не зависят от значения и0). В таком
случае слагаемые, содержащие производные по времени, в сумме дадут
dviVj dDn
выражение ' а* - = dt » которое обращается в нуль в силу вытекающей

22.1] § 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 369
из гипотез подобия независимости статистических характеристик поля Ф от
времени t. Нелинейные слагаемые в левой части уравнения B2.14) и уравне-
уравнения для Vj в силу уравнения неразрывности -з-&- = 0 дадут выражение
Слагаемое —(uj—ujo)ir^ и все Другие слагаемые, содержащие давление,
р oxi
обратятся в нуль в силу доказанной в п. 13.3 некоррелированности разностей
скоростей с разностями любого скалярного поля в случае локально изотропной
турбулентности. Наконец, слагаемые, содержащие коэффициент вязкости v,
дадут ненулевой вклад в получаемое соотношение, который мы рассмотрим
более подробно.
Разобьем содержащие v слагаемые на две группы, первая из которых
имеет вид
V (Uj — U0j) Л (Щ — U0l) + V (Щ — UQl) Л (Uj — W0y),
а вторая отличается от нее лишь заменой оператора Д на До. С помощью
тождества а ко + Ь Ля = А ао — 2 -^— -т— первая группа слагаемых приво-
приводится к виду
vA(«i-tto/)(«y-Boy)-2v
д (щ — Uqi) д (uj — uoj) дщ
=vAZ,y2v
дщ duj
Величина я/у = 2v -^ ^— вследствие локальной однородности и изотроп-
ности должна обратиться в аЪц, где а = -^- ац = -^ v ^ I , l Л . Поскольку
v VI/ dui . диь \2 V/^w/\2/ дщ диъ Ь2щиь Л
2 *U\dxk* dxi) jU\dxk) \ dxk dxt dxtdxk У
— v
2 -1
д = -^- e. Вторая группа слагаемых, зависящих от v, преобразуется точно
так же и, естественно, оказывается равной первой группе. В итоге мы при-
приходим к следующему уравнению, связывающему тензоры Dy и ?>//?•'
4 _
в B2.15)
Заметим, что в изотропном случае уравнение B2.15) может быть полу-
получено из A4.7) таким же образом, как B2.2) получается из A4.9); отсюда уже
ясно, что уравнения B2.15) и B2.2) должны быть эквивалентны друг другу.
Чтобы строго доказать это, заметим прежде всего, что тензор в правой,
а следовательно, и в левой части B2.15) симметричен и соленоидален по
обоим индексам. Поэтому обе части B2Ло) определяются одной скалярной
функцией и можно перейти к скалярному уравнению, просуммировав все
члены B2.15) по индексам /=»/ После этого, подставив в полученное
24 А. С. Монин, А. М. Яглом

370 гл. viii. локально изотропная турбулентность [22.2
скалярное уравнение выражения A3.69), A3.87) и A3.91) для тензоров Dy
и D/д, мы придем к равенству
d2 Id 8 \ /
/
Отсюда вытекает, что
dD.Ar) 4 _
и поскольку левая часть последнего равенства должна быть регулярна
в нуле, мы получаем уравнение B2.2).
Приведенный вывод уравнения B2.2), принадлежащий в основных чертах
Монину A959а), просто переносится и на случай уравнения B2.9) для струк-
структурной функции поля температуры. Этот вывод может быть также исполь-
использован и для получения некоторых дальнейших динамических уравнений для
структурных функций. Так, например, нетрудно проверить, что для тензора
Dij,k (г, r') ~ vi (г) vj (г) vk (r') с помощью уравнения B2.14) может быть
получено уравнение
dDlJtk(r.r') ж dDk]ii(r\r)
_ Г л / —
or I or I
= v bDik (г) + v bDik (г') - v AD/* (r - г') -1- 1blk, B2.16)
согласно которому комбинация структурных функций от двух переменных
в левой части этого уравнения на самом деле оказывается суммой функций
одного переменного.
22.2. Замыкание динамических уравнений
Выведенные выше уравнения для структурных и спектральных функций
незамкнуты — каждое из них содержит по две неизвестные функции. Для
замыкания этих уравнений можно предложить целый ряд специальных гипо-
гипотез, позволяющих выразить одну из неизвестных функций через вторую.
Несмотря на нестрогость такого подхода, он привлекает своей простотой и
поэтому получил довольно большое распространение.
Гипотеза о постоянстве асимметрии разности скоростей
В применении к уравнению Колмогорова B2.2), содержащему функции
®ц{г} и ^lll^' очень простая гипотеза, позволяющая его зам-
замкнуть, была предложена Обуховым A949в) (см. также Обухов и
Яглом AЙ51)). Вспомним, что асимметрия разности продольных скоростей
S(r) = DlLL(r)[DLL(r)]~312 должна быть постоянной (и отрицательной) и
при г <^ к) и при г ^> т|. Поскольку имеющиеся эмпирические данные
не противоречат тому, что значения S (г) при г <^ т) и при г ^> ч\ совпа-
совпадают между собой, Обухов принял в качестве рабочей гипотезы пред-
предположение, что S (г) = const < 0 при всех г из равновесного интервала
г <^ L. В таком случае уравнение B2.2) принимает вид
dD{r) <r>]3/2s~Tir' <22Л7>

22.2]
§ 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
371
т. е. обращается в нелинейное дифференциальное уравнение первого
порядка относительно одной неизвестной функции DLL(r). От постоян-
постоянной 151 здесь можно избавиться одновременно с исключением величин v
и Т, если при определении безразмерной универсальной функции р. (г)
использовать специальную нормировку, зависящую от \S(. В частности,
если положить
то для функции $LL(x) получается универсальное дифференциальное урав-
уравнение
*,., .Г*. ,.13" B2Л9)
dx
Из этого уравнения следует, что
•LL '
(л:)
-• х.
при
при
B2.20)
(через ^NN (x) здесь обозначена аналогичная $LL (x) функция, определяе-
определяемая по поперечной структурной функции &NN (О)- Для нахождения
5
***
&
***
7 8 9 W
«г
Рис. 56. Продольная и поперечные структурные функ-
функции скорости, отвечающие гипотезе о постоянстве
асимметрии.
значений ?.. (а:) при промежуточных значениях аргумента Обухов численно
проинтегрировал уравнение B2.19); полученная им функция $LL(x) при-
приведена на рис. 56 вместе с соответствующей функцией *$NN (*), найденной
из соотношения Кармана (пунктиром здесь изображены асимптоты B2.20)),
Гипотеза о постоянстве S (г) проще большинства гипотез, рассматри-
рассматривавшихся в § 17; однако она (так же как и другие гипотезы, формулируемые
в терминах структурных или корреляционных функций) обладает тем
24*

372 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.2
недостатком, что не гарантирует неотрицательности спектра. И действи-
действительно, выполненное Голицыным A960) численное нахождение спектра E(k)
по структурной функции DLL(r), удовлетворяющей B2.17), показало, что
Б (к) в окрестности точки & = 8/yi11 оказывается немного меньшим нуля.
Отсюда ясно, что гипотеза Обухова не может быть точной. Впрочем, боль-
большой роли это не играет, так как форма структурной функции DLL (r)
весьма мало чувствительна даже к довольно значительному изменению
формы спектра E(k) при k^l/y)', поэтому надо думать, что замена найден-
найденного Голицыным спектра близкой к нему, но уже неотрицательной функ-
функцией Е (к) приведет к столь малому изменению DLL (г), что на рис. 56 его
будет очень трудно заметить.
В применении к уравнению B2.9), связывающему структурные функции
Адо (г) и &цю(г)* аналогичная гипотеза была рассмотрена Ягломом A9496),
предположившим, что F (г) = D?M (r)/D^ (r) [DLL (r)]1/2 «= const < 0. В та-
таком случае для D$$(r) получается линейное уравнение
B2.21)
решение которого, удовлетворяющее условию ^^@) = 0, имеет вид
г
т
. B2.22)
Формула B2.22) позволяет найти D^(r) по известным значениям DLL(r).
Если, в частности, принять, что 5 (г) = const, то DLL (r) с точностью до
изменения масштабов будет определяться универсальной кривой рис. 56,
а для Dffo(r) получится однопараметрическое семейство кривых, отвечаю-
отвечающих различным значениям параметра Fv/S%~Pr-F/S. Спектр ?&(&), соот-
соответствующий этим кривым, также, как правило, имеет слегка отрицательные
участки (см. Голицын (I960)).
Гипотезы о спектральном переносе энергии
Чтобы получить только строго неотрицательные значения спектра,
следует исходить из гипотез, с самого начала формулируемых в терминах
спектральных функций Е (k) и Т (k) (или ?<w> (k) и 7*<н> (&)). Из гипотез
такого рода наиболее часто применяются гипотезы о спектральном переносе
энергии, подробно рассматривавшиеся в § 17. Каждая из этих гипотез,
очевидно, может быть применена для расчета статистических характеристик
локально изотропной турбулентности в равновесном интервале (см. выше
п. 17.2). Более того, в рамках теории локально изотропной турбулентности
число таких гипотез может быть еще заметно увеличено, так как в прин-
принципе можно допустить, что перенос энергии W (k) при k ^> 1/1 явно
зависит и от размерных параметров е и v, определяющих статистический
режим мелкомасштабных пульсаций скорости (причем при k < 1/т] зависи-
зависимость от v, очевидно, должна исчезнуть).
Так, например, Пао A965) представил величину W (k) в виде произведе-
произведения E(k) на некоторую условную «скорость переноса возмущений поля
скорости через точку k спектра» и предположил (без каких-либо специаль-
специальных оснований), что эта условная «скорость переноса» при всех k ^> 1/1
будет зависеть только от ё и k. Отсюда он получил для W (k) гипотети-

22.2] * 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 373
ческое соотношение
W (k) = 2yp е1/3 k5lsE (k), k :> I/I. B2.23)
близкое по форме к гипотезе Коважного A7.3). Подстановка этого соотно-
соотношения в уравнение -jr W (k) + 2vk2E (k) = 0 приводит к уравнению отно-
относительно ?(&), решение которого, удовлетворяющее условию нормировки
dk = e/2v, имеет вид
где A = ^-i213. B2.24)
Для определения Ef^(k) Пао предложил использовать аналогичную гипо-
гипотетическую формулу
W (k\ — 9v' 71/3 Jfe5/3/7^ (k\ k~^> 1 !L* B7 25*
приводящую к результату
где ^/ = ~ViVe-1/3- B2.26)
Более общие гипотезы того же типа, согласно которым W(k) является
функцией величин Е (k)> k% г и v рассмотрел Яглом A9676), получивший
при этом целое семейство возможных законов затухания Е (к) при &-»оо.
Большое число новых гипотез о переносе энергии по спектру можно
получить и исходя из предположения Кармана о том, что W (k) выражается
в виде двойного интеграла A7.17) от «плотности спектрального переноса»
P(k\ k"), зависящей от k\ k'\ E(kr) и E(k"). С этой целью достаточно
допустить, что формула для P(k\ k") может явно содержать параметры е
и v. Если, например, ограничиться случаями, когда зависимость Р (k\ k ) от
E(k') и E(k") является степенной, то, не входя в противоречие с сообра-
соображениями размерности и с требованием независимости W (k) от v в инерци-
инерционном интервале, для Р (&', k") при k' > k" можно предложить выражение
P(kr, k') -^[?(*0nfi(*')r(*')m(*')m4(*4 *'ЧХ B2.27)
где п и П\ — произвольные постоянные, удовлетворяющие соотношениям
л + Л! = 3/2 — 3//2 = 3(т 4-^0/5-f-6/5, а ф (?, Z) — произвольная функция
двух переменных такая, что <р(|. т\) « ф1 &/г\) при ?< 1. Л < 1. В частном
случае, когда ф (g. ?) = ф A/г\), асимптотическое поведение спектра Е (k) при
k -> оо будет совпадать с тем, которое указывалось в п. 17.2 в применении
к аналогичной модели, отличающейся только отсутствием мало что меняю-
меняющего множителя V. Можно также рассмотреть случай, когда ф (|, ?) = ф(|—?).
О < ф @) < оо (Яглом A9676); специальный пример такого рода, в ко-
котором считалось, что ф(| — Q = ^~a^"^ и п + л1=3/2, был ранее про-
проанализирован Дугстадом A962)). В этом случае при щ > 1 — п>0 спектр ?(&),
отвечающий функции ф(*) такой, что ф(л:)->0 при ^->оо, оказывается
быстро затухающим на бесконечности; например, Е (k) ~ ехр (— Bks), если
Ф(х) /^ е'ах\ и Е (k) ~ ехр (— евк), если ф (х) =* 1 при 0 < х < а, ф(д:) = 0
при х>а.

374 гл. viii. локально изотропная турбулентность [22J
Применения гипотезы Миллионщикова
В §§ 18 и 19 мы уже обсуждали гипотезу Миллионщикова о ра-
равенстве нулю семиинвариантов четвертого порядка гидродинамических
полей. Мы видели, что применение этой гипотезы к общим пространственно-
временным моментам с целью получения замкнутой системы уравнений,
описывающих временную эволюцию турбулентности, иногда может приво-
приводить к решениям, противоречащим требованию неотрицательности спек-
спектра. С другой стороны, использование этой гипотезы для чисто про-
пространственных характеристик, по-видимому, не приводит к заметным ошиб-
ошибкам в интервале энергии спектра изотропной турбулентности; возможно
также, что в качестве первого приближения оно допустимо и в инерцион-
инерционном интервале спектра. Поскольку более точных методов расчета пока
не существует, мы вкратце рассмотрим здесь простейшие примеры при-
применения гипотезы Миллионщикова, касающиеся расчета структурной функ-
функции DpP(r) поля давления.
Уравнение A4.29) связывающее корреляционную функцию лапласианов
давления с четвертым моментом производных скорости, может быть пере-
переписано в виде, содержащем только структурные функции (второго и четвер-
четвертого порядков) полей р (jc, t) и и (х, I). Если мы применим гипотезу Мил-
Миллионщикова к правой части этого уравнения, то в предположении локаль-
локальной изотропии получим
4 d*DP
где
Ф(г)~ дгтдг„
гтдг„
6 \dDLL(r)f [ 20 dDLl(r)
~ г2 L dr J + г dr
dr2 ^
\d2Drr(r)f dD.Ar) d*D..(r)
+ 4[ dr* j+4—5T^ & <22'29>
(Обухов и Яглом A951); ср. также формулы A4.34) и A8.9) на стр. 118 и 229).
В инерционном интервале функция DLL(r) удовлетворяет «закону двух
третей» B1.17'), а для Dpp(r) выполняется «закон четырех третей» B1.72).
Подставляя формулы B1.17') и B1.72) в B2.28) и B2.29) и приравнивая без-
безразмерные коэффициенты с обеих сторон, найдем
Ср = С\ Dpp (r) = р* [DLL (r)]2. B2.30)
Результат B2.30) принадлежит Обухову A9496).
Функцию Dpp (г) при всех г <^ L можно выразить через DL. (г), если
воспользоваться аналогичной A4.36) функцией Грина уравнения B2.28) при
граничных условиях
D (о)-о dDpp{r) =0 и °рр{Г) >0 пи г->оо
рр dr r=o . г2
(последнее из них эквивалентно требованию неограниченного убывания
коэффициента корреляции между пульсациями давления в двух точках при
неограниченном увеличении расстояния между ними; см. выше стр. 82).

22.2] § 22. гидродинамическая теория 375
Явный вид соответствующего решения уравнения B2.28) был указан Обу-
Обуховым и Яг ломом A951), рассчитавшими затем численно структурную функ-
функцию Dpp (г), отвечающую изображенной на рис. 56 модели DLL (r), для
которой S (г) = const при всех г <^ L Позже Голицын A963) аналогично
рассчитал значения Dpp(r), отвечающие предложенной Новиковым интер-
интерполяционной формуле для спектра E(k), о которой еще будет речь ниже
(см. формулу B2.73) на стр. 399). В обоих случаях главный член асимптоти-
асимптотического разложения полученного выражения- для Dpp(r) при больших г
оказался совпадающим с р2 [DLL (r)]2 ~ ^3, как это и должно быть в силу
B2.30); следующий же член асимптотического разложения оказался линей-
линейным по г, а третий член — постоянным.
Вблизи нуля функция Dpp (r) квадратична по г. Использование гипотезы
Миллионщикова для вычисления безразмерного коэффициента
(определяемого в основном мельчайшими возмущениями из интервала дис-
диссипации спектра), по-видимому, может приводить к большим ошибкам; по-
поскольку, однако, неизвестен другой метод оценки этого коэффициента, мы
все же приведем результаты такого вычисления. Первый приближенный ра-
расчет коэффициента ср с помощью использования гипотезы о равенстве нулю
четвертых семиинвариантов (применявшейся в более сложной спектральной
форме) был выполнен Гейзенбергом A948а), принявшим одновременно, что
перенос энергии по спектру W (k) может быть задан формулой A7.9). Ре-
Результат Гейзенберга, слегка уточненный затем Чандрасекаром A949), гласит,
что с » 0,45/y^, где ун— постоянная в формуле A7.9). В применении
к изотропной турбулентности последнюю формулу можно также переписать
в виде
где Re^ = {u2)ll2Kjv и используется соотношение
Исходя из уравнения B2.28) коэффициент ср был вычислен Ягломом
A949а), принявшим, что S(r) = S = const (т. е. воспользовавшимся моделью,
к которой относится рис. 56); при этом оказалось, что ср « 0,4/] S | (см. также
Обухов и Яглом A951)). Бэтчелор A951) аналогичным образом рассчитал
значение ср% отвечающее простой интерполяционной формуле для $LL (х) =
= (vlrll2DLL(xr)) вида ^LL(x)==:(l5rlx2ll+(l5Crzl2x2r2l3t справедли-
справедливой и при х <^ 1 и при х ^> 1; согласно его результату, ср « 0,46С3^2.
Наконец, Голицын A963) повторил те же вычисления для спектра E(k)>
задаваемого формулой B2.73) на стр. 399, и нашел, что ср « 0,3а. Расхожде-
Расхождение между всеми этими результатами, связанное с использованием различных
моделей для DLL (г) или Е (k), вероятно, заметно меньше, чем та ошибка,
которую может создать в данном случае использование предположения
о равенстве нулю четвертых семиинвариантов поля скорости.
Определив каким-либо образом структурную функцию Dpp(r) (или
спектр Е№ (?)) поля давления, мы тем самым определим и корреляционные
функции
и ^

376 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.2
и спектр E^(k) поля ЛA)(*) = VP(X)- Вектор ЛA) представляет со-
собой важнейшую составную часть турбулентного ускорения
А (х) = Vp + v Аи.
Поскольку вязкое ускорение ЛB) = v Дя некоррелировано с ЛA\ для рас-
расчета корреляционных функций и спектра поля ускорения кроме данных
о Dpp(r) (или о Е^ (k)) надо еще только иметь данные о DLL (r) (или
о DNN(r), или о E(k)y Соответствующие упоминавшимся выше расчетам
функции Dpp(r) вычисления корреляционных функций поля ускорения
производились Ягломом A949а), Бэтчелором A951) (в обеих этих работах
подсчитывалось только значение Л2 = #/1)@) + 2?^@)), Обуховым и Яг-
Ягломом A951) и Голицыным A963). Результаты, полученные во всех этих
работах, согласуются между собой в том отношении, что все они показы-
показывают, что в локально изотропной турбулентности средний квадрат вязких
ускорений составляет лишь небольшую часть среднего квадрата полного
ускорения.
Методы замыкания уравнений для моментов локально
изотропной турбулентности. Применение приближения
«прямых взаимодействий» к лагранжевой
корреляционной функции
В §§ 17 и 19 мы рассмотрели ряд методов замыкания динамических ура-
уравнений для изотропной турбулентности. Каждый из таких методов, позволяю-
позволяющий «расцепить» эволюцию крупномасштабных и мелкомасштабных компо-
компонент (т. е. исключить нелокальное прямое воздействие крупномасштабных
компонент турбулентности на мелкомасштабные), может рассматриваться
также и как метод замыкания, пригодный в случае локально изотропной
турбулентности. Однако первое нетривиальное приближение теории возму-
возмущений—приближение «прямых взаимодействий» (или «слабой связи») Крейч-
нана, рассматривавшееся нами в п. 19.6 на стр. 282—285, последнему условию
не удовлетворяет. Как мы уже видели, в этом приближении крупномасштаб-
крупномасштабные особенности турбулентного движения непосредственно воздействуют на
мелкомасштабные возмущения, в результате чего спектр турбулентности
в мелкомасштабной области оказывается не удовлетворяющим «закону пяти
третей» и зависящим от среднего квадрата пульсации скорости — типично
крупномасштабной характеристики.
Как независимо разъяснили Кадомцев A964) и Крейчнан A964в), непри-
непригодность приближения «прямых взаимодействий» для описания статистиче-
статистического режима мелкомасштабных компонент развитой турбулентности объяс-
объясняется невозможностью в рамках этого приближения корректным образом
учесть перенос мелкомасштабных неоднородностей крупномасштабными ком-
компонентами поля скорости и отделить этот перенос от деформации мелко-
мелкомасштабных неоднородностей, определяющей их эволюцию. Тот же' недоста-
недостаток сохраняется и в предложенном Крейчнаном A961) втором приближении
метода стохастических моделей (в котором первым является приближение «пря-
«прямых взаимодействий»); это «высшее приближение» кое в чем улучшает исход-
исходное приближение «прямых взаимодействий», но и оно приводит к неверной

22.2] § м- гидродинамическая теория 877
форме спектра турбулентности в инерционном интервале (см. Крейчнан A964в)).(
Простейший метод исключения нелокального воздействия крупномасштабных
компонент турбулентности на мелкомасштабные неоднородности, связанного
с неточным описанием крупномасштабного конвективного переноса, заклю-
заключается во введении в самих уравнениях Навье — Стокса искусственного «об-
«обрезающего множителя», исключающего взаимодействие компонент Фурье
с волновыми числами k и к' такими, что \k — k'\ очень мало. Подобный
«обрезающий множитель» был введен в работе Крейчнана A964в), в которой
в спектральной форме уравнений Навье — Стокса откидывались нелинейные
члены с | k — k' | < k/a или | k — k' \ < k'/a} где a > 1 — фиксированный
«параметр обрезания». При этом оказалось, что применение к получаемым
«модельным уравнениям гидромеханики» приближения прямых взаимодей-
взаимодействий приводит уже при достаточно большом Re к «закону пяти третей»
B1.24') для спектра в инерционном интервале (с коэффициентом Сь завися-
зависящим от выбранной модели, т. е. от «параметра обрезания» а).
Менее искусственный метод улучшения приближения «прямых взаимо-
взаимодействий», также позволяющий исключить паразитные нелокальные взаимо-
взаимодействия, был предложен Кадомцевым A964), применившим его к специаль-
специальному модельному уравнению A9.127) (см. выше стр. 284). Метод Кадомцева,
по-видимому, дает возможность замкнуть динамические уравнения для ло-
локально изотропной турбулентности. К этому же кругу идей относится и при-
бллжение Шутько A964), вкратце рассмотренное на стр. 286—287. Уравнения
Шутько представляют собой еще одну приближенную систему замкнутых
уравнений локально изотропной турбулентности. В этой связи Шутько выска-
высказал предположение, что выписанные им приближенные уравнения должны
привести к пропорциональному k^ спектру в инерционном интервале и
тем самым позволить теоретически оценить коэффициент Сх. С этим предпо-
предположением не согласился Крейчнан A967), указавший, что приближения,
претендующие на то, чтобы считаться обоснованными, должны сохранять
целый ряд свойств точных уравнений гидромеханики. Так, например, при-
приближенные выражения для нелинейных взаимодействий не должны приводить
к нарушению законов сохранения энергии и импульса и должны иметь ста-
стационарное решение, найденное Хопфом и Титтом A953) для точных уравне-
уравнений гидромеханики (см. стр. 649—650); они не должны приводить к появле-
появлению невозможных результатов типа отрицательного спектра или превосхо-
превосходящего единицу коэффициента корреляции; приближенные уравнения должны
быть инвариантными относительно произвольных преобразований Галилея
(т. е. перехода к новой инерциальной системе координат, скорость движения
которой относительно старой системы может меняться от реализации к реа-
реализации, т. е. быть случайной величиной) и т. д. По утверждению Крейчнана,
приближение Шутько не удовлетворяет ряду из этих требований и Лютому
не должно давать «закона пяти третей».
Согласно Крейчнану, гипотезы Колмогорова, предполагающие статисти-
статистическую независимость очень крупномасштабных и очень мелкомасштабных
компонент движения, наиболее тесно связаны с требованием галилеевской
инвариантности, выполняющимся для приближений любого порядка, получае-
получаемых исходя из разложений в ряды по степеням Re, но нарушающимся для
большинства других приближении, формулируемых в терминах эйлеровых
переменных. Именно поэтому Крейчнан рассмотрел некоторые приближения,
опирающиеся на лагранжево описание движения жидкости, о которых мы
еще скажем ниже. Сначала, однако, мы упомянем заметку Оржега и Кру-
скала A966), предложивших целую последовательность гипотез замыкания
уравнений для моментов преобразований Фурье dZ(k) обычного эйлерова
поля скорости и(х)> имеющих необычный вид и, по утверждению авторов,
удовлетворяющих большинству требований Крейчнана и приводящих к «за-
«закону пяти третей» в инерционном интервале. Первая из гипотез Оржега и

378 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.2
Крускала может быть сформулирована следующим образом:
dZi(k)dZJ(l)dZm(p)dZn(q)^
dZt (k) dZ} (I) dZr(-k-~l)'dZm (p)dZn (q) dZr(-p-q)
dZs(-k-l)dZs(-p-q)
если
если
где многоточие стоит вместо еще двух слагаемых того же типа, получаю-
получающихся при двух других разбиениях четверки векторов (k, I, p> q) (и отве-
отвечающих им индексов (i, j, mt n)) на две пары. Эта гипотеза соответствует
специальной статистической модели, по-видимому обладающей рядом свойств
реальной турбулентности; согласно утверждениям Оржега и Крускала, она
представляет собой первый шаг в целой последовательности все более и
более сложных моделей, которые, как можно надеяться, будут все более
и более точно описывать турбулентное движение.
Несколько иной характер имеет схема приближенного замыкания урав-
уравнений локально изотропной турбулентности, детально разработанная Крейч-
наном A965а, б; 1966а, б)'). Эта схема опирается на ряд довольно грубых
предположений, и поэтому степень ее точности совершенно неясна; неясно
также, соответствуют ли получаемые уравнения какой-либо принципиально
осуществимой физической модели или нет. Однако все основные свойства
реальных уравнений гидромеханики сохраняются и для уравнений Крейч-
Крейчнана; поэтому и закономерности локальной структуры турбулентности, вы-
вытекающие из гипотез подобия Колмогорова, имеют место и для «движений»,
описываемых такими уравнениями. При этом даже оказывается, что некото-
некоторые числовые коэффициенты и функции, входящие в указанные закономер-
закономерности, в теории Крейчнана (где они однозначно определяются основными
уравнениями этой теории) и в реальной турбулентности (где они могут быть
определены экспериментально) принимают сравнительно близкие значения.
Основным объектом изучения в схеме Крейчнана является лагранжева ско-
скорость v(x, t\ t), определяемая как измеренная в момент т скорость жидкой
частицы, находившейся в момент t в точке х. При т = t эта скорость, оче-
очевидно, совпадает с эйлеровой скоростью и (х, t). Кроме того ясно, что она
удовлетворяет уравнению
в (*' f)' V]
<22*31>
Пусть среднее значение поля скорости равно нулю; тогда простейшей
статистической характеристикой случайного поля v(xt t\%) будет лагранжева
корреляционная функция поля скорости
Ви(х. 11т; х', Г|т')-vt(xt t\x)vj(x'tt'\%'). B2.32)
В схеме Крейчнана фигурирует также лагранжев тензор Грина поля ско-
скорости, определяемый при т > т' формулой
Gu (х, 11 т; *', V | tO » bvt (x, 11 t)/5/y (*', t' | x') B2.33)
(и равный нулю при t < т')» который описывает реакцию поля скорости
') В перечисленных работах Крейчнана фактически используются две
разные системы приближенных уравнений гидромеханики; мы здесь, однако,
будем рассматривать лишь более простую из этих систем.

22.2] § 22. гидродинамическая теория 379
v(x, t\х) на инфинитезимальное возмущение bf(x, t\ т), вводимое при хфг
в правую часть уравнения B2.31), а при x = t— в правую часть уравнения
Навье — Стокса для и(х, tI).
Подвергая уравнения гидродинамики с указанными правыми частями
вариационному дифференцированию по компонентам внешних сил, можно
убедиться, что тензор Грина удовлетворяет следующим динамическим урав-
уравнениям:
— Oiyte t\t; *', trW)dMXd^X) , B2.34)
(Ух) щ
где значок 5 над нижним индексом означает, что берется лишь солено-
соленоида л ьная по этому индексу компонента поля, т. е. по нему производится
свертывание с тензорным оператором P/y(V) (определяемым как оператор»
преобразованием Фурье которого в безграничном пространстве является тен-
тензор Л^(А5) = 6/у — kikj/k2). Сам тензор Грина Gtj случаен. Осредненный тен-
тензор Грина мы будем обозначать символом Gij.
В случае однородной турбулентности, рассмотрением которого мы далее
и ограничимся, функции By и Gij будут зависеть только от х' — х. В слу-
случае изотропной турбулентности их преобразования Фурье по х' — х можно
записать в виде
lx;t'W. B2.36)
Gu (k\ t\x;t'\ x') = A,, (k) Gs (*; t \ x\ t' \ x') + ^ Gc (*; 111; V \ x')9 B2.37)
так что каждый из этих тензоров определяется двумя скалярными функциями.
Динамические уравнения для Btj могут быть получены из B2.31) с по-
помощью обычного метода Фридмана — Келлера, а для 5у — с помощью осред-
осреднения уравнений B2.34), B2.35). В этих динамических уравнениях Крейчнан
переходит прежде всего к приближению «прямых взаимодействий». Для
этого A) вводятся нулевые приближения Bfj, Gf^t vf) — решения динами-
динамических уравнений, линеаризованных путем отбрасывания нелинейных членов,
при начальном поле скорости, имеющем <гауссовское распределение вероят-
вероятностей; B) все функции в динамических уравнениях разлагаются в функ-
') Несжимаемость жидкости налагает некоторые ограничения на.допу-
на.допустимые возмущения / (х, t\ т), но этих ограничении можно избежать, если
наряду с соленоидальной частью эйлерова поля скорости us (x, t) (которая
только и фигурирует в уравнении B2.31) и в уравнении Навье — Стокса)
ввести еще фиктивную потенциальную часть ис (X, t), удовлетворяющую
«уравнению движения»
у
j. vA) ас (х% t) *= 0.

380 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.2
циональные степенные ряды по степеням нулевых приближений; C) в полу-
полученных уравнениях сохраняются лишь главные члены, имеющие наинизшие
степени относительно нулевых приближений; D) в полученных главных чле-
членах нулевые приближения заменяются полными функциями.
Динамические уравнения для Вц и <5ц в приближении «прямых взаимо-
взаимодействий» содержат нелинейные члены (происходящие от нелинейных членов
уравнений гидродинамики). Они представляют собой интегралы по времени т
(и по пространственным координатам) от двойных и тройных произведений
неизвестных функций. При этом т встречается как после вертикальной чер-
черточки (тогда оно является «временем измерения скорости жидкой частицы»
и соответствует интегрированию вдоль ее траектории), так и перед верти-
вертикальной черточкой (тогда оно является «временем маркировки жидкой ча-
частицы», и интегрирование по т учитывает корреляцию во времени эйлеровых
полей скорости). Но наличие в приближенных динамических уравнениях
эйлеровых времен корреляции, зависящих от скорости переноса неоднород-
ностей мимо фиксированных точек пространства, нарушает ту инвариантность
относительно случайных галилеевских преобразований пространства-вре-
пространства-времени, которой обладают точные динамические уравнения.
Для восстановления галилеевской инвариантности приближенных динами-
динамических уравнений Крейчнан предложил, несколько произвольно, везде заме-
заменять переменную интегрирования т перед вертикальной черточ-
черточкой на фиксированный аргумент t (или ? — в зависимости от того, какой
аргумент фигурировал в соответствующем месте до применения к динами-
динамическим уравнениям операции осреднения). Получающиеся уравнения для Вц
и Gij и являются окончательным результатом метода замыкания Крейчнана.
Но эти уравнения очень громоздки, и Крейчнан производит в них еще сле-
следующее, также несколько произвольное, упрощение: рассматриваются урав-
уравнения лишь для преобразований Фурье
t\t\ t\x) и Gu(k\ t\t\ t\x\
и в их правых частях Вы(а\ t\xx\ t\x2) заменяется при Т!>т2 на
?( l l ) Blk( | 1 \ ф
р ы(\ \x\ \2) р !>2
til *i; til Ъ). а при хх<_х2 на Blk(a\ т2| т2; х21 хх\ функция же
Gki(a* 111; t\x2) заменяется на (?де(а; хх\ хх\ хх | т2), где а — пространствен-
пространственный волновой вектор. Если теперь рассмотреть изотропный случай и принять
обозначения
B(k\ t\x) = Bs(k\ t\t\ t\x\ G(k\ t\x) = Gs(k\ t\t; t\x), B2.38)
где функции Bs и Gs определяются формулами B2.36)—B2.37), то первое
из упрощенных уравнений Крейчнана будет иметь вид
А (*) t0
j X В (р\ t\ x) — G (p; 11 т) В (k\ 11 т)] dx. B2.39)
Здесь область интегрирования Д (k) представляет собой совокупность значе-
значений /?, q, могущих быть длинами сторон треугольника с третьей стороной
длины &, и принято обозначение Bkpg = np2q(xy + г3), где х% у, z — это
косинусы углов в упомянутом треугольнике, лежащих против сторон &, р, q
соответственно. Упрощенное уравнение для В (k\ t\ x) при t> т оказывается

22.2] S 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 381
еще более громоздким; оно имеет вид
00 t
j q2dqj B(q; t\s)ds +
0 t
t
j j DkpQB(p;t\x)dpdq j B(q;t\s)ds +
A(k) X
x
dpdq j В (q; t\s)[BkpqG (k; x\s)B(p; t\s)-
-DfkpqG(p; x\s)B(k; t\s)]ds-
t
-jj dpdq J B(q;t\s) [BkpqG (p; t\s)B (k; x\s)-
Д (ft) <o
-Dkp4G(k; t\s)B(p; x\s)]ds-
t
-j^dpdqj (Bkpq-D'kpq)G(p,t\s)B(k; t\s)B(q, x\s)ds. B2.40)
A (ft) <o
P2
где D^-JbsS+JbsL+^nkpqtf-?) и d;w—p-D^r Наконец,
аналогичный вид имеет и уравнение для G (k\t\ т) при t > т:
j^ (p; t\ x)dpdq^B (q\ t\s)ds +
A(k) x
t
+ j §(DkpQ-Bkpq)G(p',t\x)B(q',t\x)dpdq^G(k,s\x)ds-
A(k) X
t
-^dpdqJB(q;t\s)[BkpqG(p,t\s)G(k;s\x)-
A(k) X
- D'kpqG (Л; t\s)G & s \ x)] ds. B2.41)
Заметим еще, что уравнение B2.39) может быть записано так же, как урав-
уравнение относительно спектральной плотности кинетической энергии Е (k, t) =
*~2nk*B(k\t\t) вида A4.15):
(д/dt + 2vk2) E (k, t) = T (k, t\ B2.390

382 гл. vin. локально изотропная турбулентность [22.2;;
где Т (?, t)j2nk2 совпадает с правой частью B2.39). При этом из того, что
со
k2Bkpq = p2Bpkgi вытекает соотношение Г Т (fc, t) dk = 0, которое, как мы
о
знаем, выражает «сохранение энергии при инерционном перемешивании»
(описываемом нелинейными членами уравнений гидромеханики). Ясно также,
что Т (&, t) в данном случае может быть представлено в виде
Т (М) e J J
A(*)
' * f) dp dq' B242)
где T (k, p, q, t)j2 равно симметричной части подынтегрального выражения
(в интеграле по dpdq) в правой части B2.39) (антисимметричную по р> q
часть здесь можно не учитывать, так как она не дает вклада в интеграл).
Функция Т (&, р, qy t) удовлетворяет соотношению A7.25) и поэтому может
рассматриваться как плотность переноса энергии в элемент объема dk про-
пространства волновых векторов, создаваемый взаимодействием спектральных
компонент dZ(p) и dZ(q) поля скорости. Для функции W (kx), опреде-
определяющей удельный перенос энергии через точку kx спектра, отсюда полу-
получается выражение
оо
W (*„ t) = J J J T (k. p, q, t) dp dq dk. B2.42')
*i A(*)
Для решения уравнений B2.39); B2.40) и B2.41) надо либо задать на-
начальное значение (при t = t0) спектральной плотности E(k,t), либо рас-
рассматривать установившееся состояние, в котором функции B(k\t\x) и
G (k) t\x) зависят лишь от k и разности t — t = s. Крейчнан A9656, 1966а)
уделил основное внимание второй цз этих задач, причем он особенно интере-
интересовался результатами, относящимися к инерционному интервалу, при изу-
изучении которых допустимо считать, что v = 0. При этом, в полном соответ-
соответствии с выводами из гипотез подобия, уравнения B2.39), B2.40) и B2.41)
(в которых теперь можно положить ^0 = —оо) будут иметь решения вида
12/г *-5'3, Qibt\t-s) = Q A1/3 *2/3 s).
B(k;t\t —
где е равняется правой части B2.42') при произвольном k{ из инерционного
интервала (определяемого условием, что в этом интервале T(kx) = O и
W (?0 = const). Если теперь положить
О, (s) н R^l* № s/c\*) = /?, (s),
то уравнения B2.40) и B2.41) принимают универсальный вид (не зависящий
от С^, и их численное интегрирование позволяет определить неизвестные
функции Gx (s) и Rx (s). Подставляя далее полученные решения в формулу
B2.42') для W(kx) = z, можно найти и значение постоянной Сх. Согласно вы-
вычислениям Крейчнана A966а), при этом оказывается, что С! « 1,77, что доволь-
довольно близко к значению С\ « 1,5, получающемуся при обработке результатов
измерений характеристик реальных турбулентных течений (см. ниже п. 23.3).
В другой работе Крейчнана A9666) аналогичный метод применяется
к расчету спектра концентрации пассивной примеси Ф (х, t) в инерционном
интервале. При этом снова предложенные упрощенные уравнения для ла-
гранжевых характеристик приводят к «закону пяти третей» для спектра

22.2] § 22- гидродинамическая теория 383
а для безразмерного коэффициента В^ в этом законе получается
значение В^ « 0,4, соответствующее значению С^ « 1 для безразмерного
коэффициента С(д) в «законе двух третей» B1.87) для структурной функции
яЬ^(г). Это последнее значение уже значительно хуже согласуется с имею-
имеющимися в настоящее время эмпирическими данными о локальной структуре
поля температуры, о которых мы будем говорить в п. 23.5.
Уравнения для спектра концентрации химически активной
или распадающейся примеси
Рассмотрим теперь некоторые случаи, в которых на статистический ре-
режим мелкомасштабных пульсаций влияют те или иные дополнительные фак-
факторы. Начнем с исследования характеристик поля Ъ(х, t) концентрации ди-
динамически пассивной примеси, претерпевающей в ходе Турбулентного пере-
перемешивания радиоактивный распад или химическую реакцию первого порядка
(ср. выше п. 21.7). Предположим, что в потоке имеются источники при-
примеси, приводящие к тому, что среднее поле fl (jc, t) мало меняется и за время
Гг = и-" и за времена т^ = (v/eI/2 и т<> = (х/сI^, а также примем, что ти-
типичный пространственный масштаб Lo полей Ф (х, t) и и (jc, t) намного пре-
превосходит длины Lr =s е1/2 ц~3/2, r\ = (v3/eI/4 и т]д = (х3/еI/4. В таком случае
й $ t ^
r
статистический режим пульсаций поля $ (jc, t) с масштабами / <с^ LQ (или
волновыми числами k ^§> 1/LO) можно считать локально изотропным и ква-
квазистационарным. Из основного динамического уравнения B1.101), которо-
которому удовлетворяет поле О (jc, t), вытекает, что уравнение для спектра
&b) в области k ^> 1/LO будет иметь вид
00 ОО
Wq (k) = 2ц J E<& (k') dk' + 2x J k'2E^ {k') dkr B2.43)
(от B2.13) это уравнение отличается лишь наличием дополнительного пер-
первого слагаемого в правой части). Если же, кроме того, k <^ 1/г|а =
= I/max (к], %), то последний член в правой части B2.43) можно считать
постоянным, и, следовательно,
1/^-0 <С * <С 1/Ло. B2.44)
Таким образом, определение формы спектра ?^(&) здесь снова требует ис-
использования каких-то гипотез о функции W$(k).
Пусть \/LQ <^ k <^ 1/т]0, так что справедливо уравнение B2.44). При-
Примем сначала, следуя Коважному A948), Онзагеру A949) и Корсину A9о4),
простейшее предположение, что Ufy (k) зависит только от значения E^\k)t
но не от значений ^(k') с k! Ф k. В таком случае вид W&(k) в области
Л <^ 1/т]0, в которой молекулярные коэффициенты v и % не могут играть
роли, однозначно определяется соображениями размерности, причем оказы-
оказывается, что W^(k)^2ylll/3k5C^)(k), где Yi —безразмерный коэффициент
(как мы уже знаем, позже Пао A965) предложил использовать эту же гипо-
гипотетическую формулу и для более широкой спектральной области). Подставив

384 гл. vin. локально изотропная турбулентность [22.2
указанное выражение для W$(k) в уравнение B2.44), легко получаем
~ k~W exp | -?- (kLr)~W }, Lr - ^Г3'2i^2 B2.45)
(этот результат принадлежит Корсину A961, 1964)).
Как известно, при отсутствии распада и химических реакций все разум-
разумные гипотезы о W$ (k) в применении к конвективному интервалу k <^ 1/t]0
всегда приводят к одному и тому же универсальному «закону пяти третей».
Ясно, однако, что для распадающейся или химически активной примеси, для
которой форма спектра в интервале \/L0 <^ k <^ l/rj0 уже не может быть
установлена из одних только соображении размерности, следствия из раз-
различных гипотез о W$(k), относящиеся к указанному спектральному интер-
интервалу, вполне могут быть и различными. И действительно, примем, например,
вйесто гипотезы Коважного — Онзагера — Корсина о W^(k) гипотезу Гей-
зенберга, согласно которой Щ(к) = 2Къ(к) J ?'2?<д)(*') dk\ где
турбулентный коэффициент диффузии. В инерционном интервале в силу со-
соображений размерности /(<>(?) = y2il^k"^3, где у2 — новый безразмерный
коэффициент. Подставляя вытекающее отсюда выражение для W$ (k) в урав-
уравнение B2.44), легко получаем
Отсюда после несложных преобразований находим, что
F3[1 + y-\kLryW], Lr - ji-3/2 I!/2. B2.46)
Формула B2.46) согласуется с формулой B2.45) при kLr^>\, но при kLr ^ 1
она заметно отличается от последней. Таким образом, полуэмпирические
гипотезы о W$ (k) не позволяют однозначно установить форму спектра Е^ (k)
концентрации неконсервативной примеси (в случае химической реакции
не первого порядка ситуация, естественно, оказывается еще гораздо более
сложной; ср., например, Корсин A961)). В еще большей степени ненадежны
выводы из полуэмпирических гипотез о W$(k), относящиеся к наиболее
мелкомасштабным пульсациям с &^Ы/т]0; поэтому на таких выводах мы
здесь вовсе не будем задерживаться (другой подход к проблеме определения
?(d) (k) при k > 1/т]0 будет изложен в п. 22.3).
Турбулентность при наличии архимедовых сил
Перейдем к уравнениям для спектральных функций турбулентных по-,
лей скорости и температуры в термически расслоенной жидкости, находя-
находящейся в полз силы тяжести. Будем считать случайные поля скорости u(xf t)
и температуры Т (х, t) локально однородными; при этом в области доста-
достаточно больших волновых чисел ? = |?|^>1/Z,O (где Lo — внешний масштаб
турбулентности, определяемый наименьшим из масштабов L и LT основных
неоднородностей осредненных полей скорости и температуры) будут опре-

22.2] § 22- гидродинамическая теорий 385
делены спектральные плотности энергии F (к), температуры FTJ.(k) и взаим-
взаимная спектральная плотность полей температуры и вертикальной скорости
FTw (к) (последняя определяется условием, что со FTw (к) dk есть вклад
в значение турбулентного потока тепла q = срр T'w' от области dk волно-
волнового пространства). Спектры, проинтегрированные по всем направлениям
волнового вектора к (т. е. по поверхности сферы радиуса к в волновом про-
пространстве), мы будем обозначать Е(к), Етт(к) и ETw(k).
В уравнении B2.7) для спектральной плотности энергии мы теперь должны
дополнительно учесть эффект, работы архимедовых сил. Как легко видеть,
для этого к левой части уравнения B2.7) следует добавить слагаемое
оо
JL- ETw (k') dk\ так что указанное уравнение примет вид
k
ОО 00
W (к) + -jr- [ ETw (к') dk' = 2v J k'2E (k') dk'. B2.47)
k k
Выпишем рядом также уравнение B2.13) для спектра температурного поля:
оо
WT (k) - 2Х J k'2ETT (k') dk'. B2.48)
k
Два уравнения B2.47), B2.48) незамкнуты — кроме непосредственно
интересующих нас трех спектров Е (k), ETT (k) и ETw (k) они содержат еще
функции W (к) и Wт (&), описывающие спектральный перенос кинетической
энергии и меры неоднородности температурного поля. Можно было бы вывести
обычным методом дополнительное уравнение для взаимного спектра ETw (?).
но в нем фигурировала бы новая неизвестная величина — спектральная функ-
функция третьего порядка WTw(k)t и трудности, связанные с незамкнутостью
уравнений, не уменьшились бы. Поэтому приходится пытаться замкнуть
уравнения B2.47)—B2.48) с помощью тех или иных полуэмпирических гипо-
гипотез, которые позволили бы выразить какие-то три из фигурирующих в этих
уравнениях пяти неизвестных функций через остающиеся две.
Такая попытка была предпринята в работе Монина A962в), в которой,
прежде всего, для переноса энергии по спектру была использована, полу-
полуэмпирическая формула Гейзенберга A7.7), т. е. считалось, что W (к) =»
= К (k) Q^, где К (к) — коэффициент турбулентной вязкости, создаваемый
мелкомасштабными компонентами турбулентности (с волновыми числами, боль-
большими ?), a Q?k — средний квадрат вихря скорости крупномасштабных дви-
движений (с волновыми числами, меньшими к). Аналогичная формула Wт (к) ==
= /Сг (?)| V^rp была использована и для спектрального переноса меры не-
неоднородности температурного поля; здесь Кт (k) — коэффициент турбу-
турбулентной температуропроводности (который для простоты принимался рав-
равным aK(k), где а — постоянная), |УАГ|2— вклад крупномасштабных неодно-
родностей (с волновыми числами, меньшими k) в средний квадрат градиента
температуры. Наконец, исходя из аналогии с_представлением момента w'T'
полуэмпирической формулой w'T' = — Кт -j- (см,., например, формулу G.3)
25 А. С. Монин, А. М. Яглом

386 гл. vm. локально изотропная турбулентность [22.2
со
на стр. 360 части 1), было предположено, что интеграл EJw (kf) dk1 может
k
быть представлен в виде ± Кт (k) | VkT |, где верхний знак относится к не-
неустойчивой (•^-~<0)' а нижний — к устойчивой |-з~>0) температурной
стратификации воздуха. В области k <^ 1/т] правые части уравнений B2.47)
и B2.48), очевидно, можно заменить просто на "б и ^ соответственно, так
что здесь эти уравнения приводятся к виду
/С (k) Q| ± -i- а/С (k) \VkT\ =7, а/С (k) | VJ |2 = N. B2.49)
Второе из уравнений B2.49) позволяет исключить из первого величину | V^T |,
после чего мы получаем одно уравнение с двумя неизвестными функциями
/С (k) и Q|. Но функция Q| связана со спектром энергии Е (k) очевидной
du\
формулой , = 2k2E (k), а функцию К (k) в рамках рассматриваемой здесь
приближенной теории можно попытаться выразить через E(k) с помощью
той или иной полуэмпирической формулы, согласующейся с соображениями
размерности и представляющей K(k) в виде интервала по спектральной
области ?'>? (см., например, формулы A7.8) и A7.10)—A7.12) на стр. 198—199).
Поскольку вряд ли какая-то одна из этих формул может иметь принципиаль-
принципиальные преимущества перед другими, используемое выражение для K(k)
целесообразно выбрать так, чтобы получаемое уравнение имело наиболее
простое решение. Исходя из этого соображения, Монин принял для К (k)
формулу Стюарта и Таунсенда A7.10) с с = 1/2, после чего он получил из
уравнений B2.49) формулы
° B2.50)
задающие в параметрической форме функцию E(k). В силу соотношения
¦— | V^r |2 == *2?гг (*) из B2.49) и B2.50) для Етт {k) получается выражение
Наконец, ETw оказывается пропорциональным (? • ?ггI/2, так что коэф-
коэффициент корреляции между спектральными компонентами вертикальной ско-
скорости и температуры во всем интервале волновых чисел k <^ \/L0 оказы-
оказывается не зависящим от k. Это обстоятельство является недостатком изла-
излагаемой теории, так как, строго говоря, в пределе при g/T0-> 0 (т. е. при
k^§> 1/?# = (?/Г0K/2ЛГ3/4е~5/4) должны иметь место закономерности обыч-
обычной локально изотропной турбулентности, в которой ETw{k) = Q; оно

22.2] § 22- ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 387
оо
объясняется неточностью принятой формулы для ETw(kr)dkf в области
и
k^\/Lr Из формул B2.50), B2.51) как при k ^> 1/Z,*, так и при g/T0->0
асимптотически получается «закон пяти третей» для Е (k) и Етт (k) (а также
и для ETw(k))- При малых к в случае устойчивой стратификации (нижний
знак перед g/T0) получаются формулы Болджиано B1.99), а в случае не-
неустойчивой стратификации (верхний знак перед g/TQ) спектры при умень-
уменьшении k сначала достигают максимумов, а затем стремятся к нулю.
Изложенные результаты остаются справедливыми и при учете в урав-
уравнениях B2.49) градиентов осредненной скорости dujdz и температуры
дТ/dz, если полагать
k
B2-52)
I V I2 e (|rJ+ J к2Етт <*> dk* <22-53)
где k0 — волновое число, соответствующее максимальному масштабу тур-
турбулентных неоднородностей, допускаемому геометрией потока (в приземном
слое воздуха — наличием поверхности земли); формула B2.52) впервые
использовалась в работе Обухова A9416). Пользуясь указанными формула-
формулами, мы фактически учитываем в левой части первого уравнения B2.49) работу
напряжений Рейнольдса^т. е. генерацию турбулентности за счет осреднен-
ного движения К (k) (-г~) » а в левой части второго уравнения B2.49) —
генерацию температурных пульсаций за счет градиента осредненной темпера-
температуры аК(к)(-т— J . Если же не пользоваться для этих величин указанными
полуэмпирическими формулами, то уравнения B2.47) и B2.48) при учете гра-
градиентов осредненной скорости и температуры можно будет записать, про-
продифференцировав их по &, в виде
дТ dWT (k)
-JF-\ W~ " -
где Euw (k) — спектр турбулентного напряжения трения. Такие уравнения
в пренебрежении эффектами молекулярной вязкости и теплопроводности,
т. е. при k <^ 1/т] (а также в пренебрежении слагаемым, содержащим гра-
градиент осредненной скорости, но при учете градиента осредненной темпера-
температуры, что представляется не вполне логичным), рассмотрел Филлипс A967).
Он отметил, что результаты Шура A962) и Лам ли A964) можно получить
из этих уравнений, дополнив их гипотезой Коважного A7.3), согласно кото-
которой Е (k) ~ [W (?)]2/3?~5/3, и приняв кроме того, что спектр потока тепла
^Tw^ пропорционален градиенту осредненной температуры, а отношение
25*

388 ГЛ. VIИ. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.3
ETw(k) -т—, также в духе гипотезы Коважного, определяется лишь вели-
величинами k и W (k). Исходя из этих допущений, Филлипс с помощью сообра-
соображений размерности получил формулу _
BT
Tw (k) = -c [W (к)}1» k16^. B2.56)
С помощью этой формулы, а также уравнения B2.47), записанного в виде
— -2— Ет (?)> и формулы A7.3) для Е {k) можно получить интерполяцион-
ную формулу, соединяющую «закон пяти третей» при больших k с формулой
Шура — Ламли E(k)~ ~— -r— fc~3 при малых k.
1 о OZ
* О
22.3. Поведение спектра турбулентности в области
очень больших волновых чисел
Полуэмпирические гипотезы, позволяющие замкнуть динамические
уравнения для структурных или спектральных функций, приводят
ко вполне определенным следствиям, касающимся асимптотического
поведения спектра турбулентности при &->оо. Однако использова-
использование этих гипотез в спектральной области k > 1/т] не имеет каких-
либо оснований; поэтому получающиеся асимптотические результаты
(различные при разных исходных гипотезах) не внушают никакого
доверия.
Сейчас мы рассмотрим другой подход к исследованию поведения
спектра турбулентности в области очень больших волновых чисел,
опирающийся на некоторые наглядные (хотя и довольно грубые) пред-
представления о природе реальных физических процессов, определяющих
структуру турбулентности в области наименьших масштабов. К сожа-
сожалению, обойтись без гипотез и при этом подходе не удается; поэтому
получаемые здесь результаты также не являются вполне строгими.
Однако, в отличие от чисто спекулятивных гипотез о функциональ-
функциональной форме переноса энергии по спектру W(k) в области ^^tl/t],
гипотезы, о которых будет речь ниже, имеют определенный физи-
физический смысл и в какой-то мере подтверждаются имеющимися эмпи-
эмпирическими данными.
Будем рассматривать возмущения, масштабы которых малы по
сравнению с колмогоровским масштабом т] = (v^eI/4. Мы уже отме-
отмечали в предыдущем параграфе, что под влиянием вязкости поле ско-
скорости плавно изменяется на расстояниях / <^ т|. Поэтому в пределах
пространственной области такого диаметра / поле и(х, t) может
быть разложено в ряд Тэйлора по координатам и аппроксимировано
линейной векторной функцией, отвечающей сумме членов нулевого
и первого порядка в этом разложении. Коэффициенты полученной
линейной функции—производные duJOxj — разумеется, будут флюк-

22.3] § 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 389
туировать во времени и в пространстве (причем (-рЧ ==тг~ при
/яг:/ и (-gj-J —15*7 ПРИ /=?/»' СР- B1.19')). Однако на расстоя-
расстояниях г<ССЛ мгновенные значения этих производных практически не
будут меняться 1).
Будем исходить из уравнения для вихря скорости в несжимаемой
жидкости
ди
где о);. = е;7т -^~-. Рассмотрим движущуюся жидкую частицу — ма-
малый объем жидкости 6V с линейными размерами / < т). Согласно
сказанному выше, поле скорости в пределах этого объема можно
в первом приближении считать линейным по координатам, т. е. за-
задающимся формулой tf,(*b-f-r, t) = uol-\-alkrk, где % = «/С*о« О»
alk = dui{x0, t)/dxokt а д:0 — фиксированная точка внутри 6V. При
этом слагаемое и01 описывает перенос рассматриваемой жидкой
*) Средний квадрат изменения производных dutfdjcj на расстоянии г
можно оценить, воспользовавшись очевидным соотношением
SI ди, ди, У 7
tff\dxj dXjj
Выразив здесь Dn (г) через скалярную функцию Dv .(/*) = -у?- — г2
+ ..., получим
SI ди\ ди1
\ fix. ~~Их~.
С помощью уравнения Колмогорова B2.2) последнюю оценку можно пре-
преобразовать к виду
ynfdu't диЛ2 hr\(dut\
(этот результат принадлежит Бэтчелору A959)). Имеющиеся эмпирические
данные о величине | s | (относящиеся к турбулентности за решеткой при
умеренных числах Рейнольдса) имеют порядок 0,5 -*- 0,4, причем с ростом Re
значение \s\, по-видимому, убывает (см. выше стр. 224). Поэтому можно
думать, что изменение производных дщ)дх] даже на расстояниях порядка т)
все еще остается относительно небольшим,

390 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.3
частицы как целого, антисимметричная часть -^ (atk — aki) тензора
aik — ее вращение как твердого тела, а симметричная часть
Т (atk + аы) — ее деформацию, заключающуюся, вообще говоря,
в растяжениях (или сжатиях) по направлениям трех взаимно перпен-
перпендикулярных осей (главных осей деформации). Поэтому с помощью
перехода к новой системе координат, перемещающейся и вращаю-
вращающейся вместе с жидкой частицей, мы можем преобразовать линейную
часть поля скорости к виду ul(x0-\-r) = alkrk, где aik — симметрич-
симметричный тензор (равный симметричной части исходного тензора alk).
Если мы обозначим через av a2 и а3 главные значения этого сим-
симметричного тензора, то вследствие несжимаемости жидкости получим
так что по крайней мере одно из значений at положительно и одно
отрицательно. В дальнейшем мы всегда будем считать, что 0 < аг !>
^> а2 ^ а3 < 0, т. е. через ах будем обозначать наибольшую поло-
положительную скорость деформации (наибольшую скорость растяжения),
а через а3 — наибольшую отрицательную скорость деформации (наи-
(наибольшую скорость сжатия).
Линейному полю скорости, очевидно, отвечает постоянное поле
вихря. Поэтому при исследовании статистической структуры поля
вихря необходимо как-то учесть отклонения истидного поля ско-
скорости и (х, t) от линейного поля. Поскольку, однако, в пределах
объема 6V эти отклонения очень малы, естественно ожидать, что
при исследовании мелкомасштабных возмущений поля вихря (с мас-
масштабами, малыми по сравнению с ц) уравнение B2.57) можно линеа-
линеаризовать, т. е. пренебречь в нем квадратичными комбинациями указан-
указанных малых величин!). Этим линеаризованным уравнением (описывающим
взаимодействие малой переменной компоненты поля вихря с основным
линейным полем скорости) мы и будем пользоваться в дальнейшем.
Во введенной выше неинерционной системе координат, движу-
движущейся вместе с жидкой частицей, вихрь со ?ам является малой вели-
величиной (так как антисимметричная часть тензора alk здесь равна нулю).
Соответственно этому линеаризованные уравнения B2.57) в такой
системе принимают вид
da) да*
Коэффициенты akl в пределах объема 6V не зависят от координат,
но,, вообще говоря, их надо считать зависящими от времени; из об-
общих соображений о локальной структуре следует лишь, что зависи-
1) Заметим, впрочем, что законность такой линеаризации оспаривается
Крейчнаном (см. Бэтчелор A962)),

22.3] § 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 391
мостью akl от времени можно пренебречь при рассмотрении проме-
промежутков времени, малых по сравнению с tT] = v1/28~1/2. Однако имеются
основания думать, что на самом деле изменение коэффициентов akl
во времени является значительно более медленным и что им можно
в первом приближении пренебречь (т. е._ считать akl постоянными)
и при рассмотрении промежутков времени порядка т^. Дело в том,
что, приняв такое предположение, можно без труда рассчитать влия-
влияние мелкомасштабной конвекции (определяемой линейным полем ско-
скорости) на диффузию пассивной примеси, первоначально сосредоточен-
сосредоточенной в очень малом объеме. Такой расчет был выполнен Таунсендом
A9516), сравнившим полученные результаты с данными своих наблю-
наблюдений за эволюцией «тепловых пятен», создаваемых в турбулентности
за решеткой импульсными разрядами тока. Оказалось, что результаты
расчета прекрасно согласуются с данными наблюдений; этот факт
свидетельствует в пользу правильности принятого метода расчета.
К аналогичному выводу приводят и данные визуальных наблюдений
за поведением пятен подкрашенной жидкости в турбулентном потоке
(типа тех, которые были опубликованы Веландером A955) для
двумерного случая). А именно, подкрашенные пятна обычно вытя-
вытягиваются в длинные (и все удлиняющиеся) полоски неправильной
формы, показывающие, что имеет место относительно длительное
растяжение объемов жидкости в одном и том же направлении. На
образующихся цветных полосках, как правило, не обнаруживается
мелких завитков и быстрых изменений кривизны, которые свидетель-
свидетельствовали бы о кратковременных вращениях небольших участков от-
относительно остальной части.
Постоянство коэффициентов akl означает, что в течение проме-
промежутков времени порядка т^ главные оси деформации не поворачи-
поворачиваются заметно относительно жидкой частицы, а скорости деформации
вдоль этих осей практически не меняются. Предположение об этом
постоянстве и является той основной гипотезой, которая позволит
нам определить асимптотическую форму спектра турбулентности при
&->оо. Заметим еще, что сформулированная гипотеза на самом деле
является слишком ограничительной и ее можно заменить некоторыми бо-
более слабыми предположениями. Так, например, вполне достаточно, сле-
следуя Новикову A961а, в), считать лишь, что за время порядка т^ главные
оси деформации почти не поворачиваются относительно жидкой ча-
частицы (и не меняются местами, т. е. ось наибольшего растяжения
остается осью наибольшего растяжения, а ось наибольшего сжатия —
осью наибольшего сжатия), но допустить, что скорости деформации
вдоль главных осей могут и изменяться. В таком случае величины
о>\* а2 и а3 будут функциями от времени, и выражения типа ajt
надо будет заменить на Г a^{s)ds\ в остальном же в последующих

392 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.3
выкладках ничего не изменится. Можно также, следуя Сафмену A963),
допустить, что главные оси деформации могут вращаться относительно
жидкой частицы, но только так, что скорость этого вращения за
время порядка т^ практически не меняется. В таком случае в системе
координат, связанной с главными осями деформации, мы снова будем
иметь уравнение типа B2.58) (но уже с асимметричным тензором ан),
исходя из которого при некоторых простых предположениях тоже
можно получить результаты, о которых будет идти речь в дальней-
дальнейшем. Однако без всякого предположения о постоянстве каких-то
характеристик наиболее мелкомасштабных движений жидкости в те-
течение промежутков времени порядка т^ обойтись не удается. По-
Поскольку все такие предположения в какой-то мере являются гипоте-
гипотетическими, мы не будем стремиться выбрать наименее ограничительное
из них, а рассмотрим лишь следствия из простейшей гипотезы о том,
что характерное время изменения всех коэффициентов akl велико по
сравнению с т^.
Поскольку мы считаем главные оси деформации вращающимися
вместе с жидкой частицей, эти оси можно принять за оси координат
системы, к которой относится уравнение B2.58). В такой системе
координат тензор akl будет диагональным (т. е. akl = ak bkl)\ поэтому
линеаризованное уравнение B2.58) здесь принимает вид .
у=1, 2, 3 B2.59)
(суммирование по j в третьем слагаемом справа не предполагается).
Уравнения B2.59) (с постоянными коэффициентами at) впервые
использовались для определения асимптотического поведения спектра
турбулентности Таунсендом A951а). Он показал, что при некоторых
значениях ах, а2 и аъ эти уравнения имеют стационарное решение,
описывающее вихревую полосу конечной толщины, а при других
ai — решение типа вихревой линии. Далее, он предположил, что
такое стационарное решение описывает асимптотический режим,
к которому стремится произвольное начальное возмущение под со-
совместным действием квазистационарного линейного поля крупномас-
крупномасштабных (порядка ц) компонент скорости и силы вязкого трения.
Если это так, то форма решений как будто показывает, что мелко-
мелкомасштабные возмущения должны собираться в отдельные концентри-
концентрированные вихревые полосы или линии (существующие в продолжение
промежутков времени порядка тл или больше). Исходя отсюда,
Таунсенд рассчитал одномерный продольный спектр скорости Ex(k),
отвечающий совокупности беспорядочно разбросанных и случайно
ориентированных независимых друг от друга вихревых полос (или
вихревых линий), и предположил, что полученный результат и будет

22.3] 5 22- гидродинамическая теория 393
описывать асимптотическую фЬрму реального спектра при &^>1/т].
В случае модели, отвечающей совокупности вихревых полос, формула
для Ex(k) оказалась имеющей вид
1
Ег (к) = Л/Г2 J A -12) exp {- vk*lat*} d\t B2.60)
о
где а — эмпирическая постоянная (размерности, обратной размерности
времени). В случае модели, состоящей из отдельных вихревых линий,
для Ex(k) получилась более сложная формула того же типа (также
показывающая, что на бесконечности Ex(k) затухает примерно, как
ехр{—ck2}, где с — некоторая постоянная). При помощи специаль-
специального подбора параметра а формулу B2.60) удалось сравнительно
неплохо согласовать с эмпирическими данными Стюарта и Таунсенда
о значениях функции k6Ex(k) при 0,2<^ &т]^ Ь6, о которых шла
речь на стр. 189. Это согласие, однако, вряд ли можно рассматривать
как убедительное свидетельство в пользу правильности рассуждений
Таунсенда: эмпирические данные Стюарта и Таунсенда получены при
сравнительно небольших значениях числа Рейнольдса и относятся
к недостаточно большим значениям к.
В дальнейшем Дж. Пирсон A959) выполнил некоторые расчеты, ко-
которые в принципе могли бы послужить для более аккуратного обосно-
обоснования рассуждений Таунсенда, но неожиданно привели к результатам,
поставившим под сомнение весь подход, опирающийся на уравнения
B2.59). А именно, Пирсон рассмотрел общее решение задачи с на-
начальными значениями для уравнений B2.59) и исследовал асимптоти-
асимптотическое поведение этого решения при /->оо. При этом оказалось,
что со2 = (ol(ol -> оо при /->оо, т. е. что в рассматриваемом при-
приближении средняя завихренность, несмотря на действие вязкости, не-
неограниченно возрастает со временем (упрощенный вывод последнего
результата можно найти у Сафмена A963)). Отсюда вытекает, что
при наличии постоянного линейного поля скорости слабые возмуще-
возмущения, вообще говоря, будут неустойчивыми (т. е. в линейном прибли-
приближении будут экспоненциально возрастать) и не будут стремиться ни
к какому стационарному режиму, определяемому линеаризованными
уравнениями.
Работа Пирсона вызвала попытки замены уравнений B2.59) более
общими уравнениями, как-то учитывающими эволюцию крупномас-
крупномасштабного линейного поля скорости (например, исходящими из допу-
допущения о вращении главных осей деформации относительно жидкой
частицы). На самом деле, однако, найденная Пирсоном расходимость
не имеет отношения к вопросу о поведении наиболее мелкомасштаб-
мелкомасштабных возмущений в реальном турбулентном потоке. Из расчетов Пир-
Пирсона и Сафмена следует, что неограниченное увеличение средней за-
завихренности в линейном поле скорости вызывается возрастанием со

394 гл. vin. локально изотропная турбулентность [22.3
временем интенсивности наиболее крупномасштабных спектральных
компонент (с | k | < k0, где k0 — фиксированное число, которое можно
выбрать сколь угодно малым), на которые вязкость оказывает наи-
наименьшее влияние. Иначе говоря, вывод об увеличении завихренности
существенно опирается на предположение, что основное линейное поле
скорости имеет неограниченную протяженность. Между тем в случае
развитой турбулентности поле скорости можно считать приблизи-
приблизительно линейным лишь на расстояниях порядка т), но не на ббльших
расстояниях.
Отсюда вытекает, что результат Пирсона не исключает возмож-
возможности применения уравнений B2.59) для исследования асимптотиче-
асимптотического поведения спектра турбулентности, а лишь показывает, что
при таком исследовании нужно предварительно как-то «отфильтро-
«отфильтровать» крупномасштабные движения, искажающие интересующую нас
картину. Более того, оказывается, что при этом асимптотическую
форму спектра можно оценить и без привлечения искусственных до-
дополнительных предположений о распадении всего турбулентного по-
потока на отдельные независимые друг от друга вихревые полосы или
линии и что такой более строгий вывод приводит к результатам,
несколько отличающимся от результатов работы Таунсенда A951а).
В самом деле, попробуем, следуя Новикову A961а), проследить за
судьбой слабого вихревого возмущения правильной синусоидальной фор-
формы, наложенного на линейное поле скорости, не меняющееся в си-
системе координат, вращающейся вместе с жидкой частицей. Для этого
надо рассмотреть решение уравнений B2.59), отвечающее начальному
условию
соу.(д:, 0) = AOjexp{ikox}=A0Jexp{i(k0Xxx-\~kO2x2-lrk03xz)}. B2.61)
Будем искать это решение в виде
о)у- (*, 0 = Aj @ ехр [Л @ *} = Aj @ ехр {/ (kxxx + *2*2 + МзI ¦
B2.62)
Подставляя B2.62) в уравнения B2.59), получим для функций kj(t)
и Aj(t) обыкновенные дифференциальные уравнения, решения кото-
которых, удовлетворяющие условиям kj(O) — kOj, Aj (O) = AOj, задаются
формулами
j
| B2.63)
Aj it) = A0J exp J [aj - v?2 (tx)] dtx 1, & (t) = kj (t) kj (t).
Поскольку мы считаем, что 0 < ах ^> а2 ^ аг < 0, из первой фор-
формулы B2.63) видно, что kx(t) убывает, a k3(t) растет со временем
(если только &03 Ф 0). Что же касается функции k^(t)t то она будет

22.3] § 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 395
возрастать или убывать со временем в зависимости от знака а2;
однако в любом случае | k2 (t) | <^ | k3 (t) | при достаточно большом t,
так что в первом приближении можно считать, что асимптотически
k2(t) «Аз (О1)- Далее, вторая формула B2.63) показывает, что если
А01 ф 0, то независимо от соотношения между начальными значе-
значениями А01 Ф О, А02 и Л03 при достаточно большом t величина Ax(t)
становится гораздо больше, чем A2(t) и A3(t), так что асимптоти-
асимптотически A2(t)» A\(О2)- Иначе говоря, в процессе эволюции началь-
начального возмущения волновой вектор k(t) поворачивается, становясь
асимптотически параллельным оси наибольшего сжатия жидкой ча-
частицы (т. е. возмущение сохраняет зависимость только от коорди-
координаты хг вдоль оси наибольшего сжатия), а вектор вихря со (a:, t)
асимптотически ориентируется вдоль оси наибольшего растяжения.
Характерное время этого процесса, согласно B2.63), определяется
обратной величиной типичных скоростей деформации, т. е. имеет по-
порядок т^. Мы будем рассматривать квазистационарную турбулент-
турбулентность, осредненные характеристики которой могут заметно изменяться
лишь в течение периодов времени, значительно превосходящих т^;
кроме того, примем сделанное выше предположение о практическом
постоянстве в течение промежутков времени порядка т^ линейного
поля скорости в окрестности данной жидкой частицы. В таком случае
спектральные компоненты поля вихря законно считать «приспособив-
«приспособившимися» к полю деформации жидкой частицы в соответствии с ука-
указанными асимптотическими соотношениями, т. е. считать, что волно-
волновые векторы этих компонент параллельны оси наибольшего сжатия
жидкой частицы, а векторы вихря скорости параллельны оси наи-
наибольшего растяжения. Учет только зависимости возмущения от
координаты лг3, в направлении которой градиенты характеристики
возмущения со временем резко обостряются (из-за сжатия частицы),
1) Впрочем, если а2 < О, то компонента k2 (t) также возрастает, и более
аккуратным является рассмотрение, при котором считается, что k2 (t) «
w ^з @ ~f~ ^2 (О ПРИ больших значениях t В таком случае в последующих
выкладках вместо интервала bk оси k = kb следует рассмотреть элемент
площади 6?3 • b'k2, в результате чего в формуле B2.64) на стр. 396 в квад-
квадратных скобках справа появляется дополнительное слагаемое — ай/а3. Однако
это слагаемое пренебрежимо мало по сравнению со слагаемым 2vk2/a3, по-
порождающим экспоненциальный множитель в правой части B2.64); кроме
того, случай а2 < 0 для реальных потоков вообще нехарактерен, поскольку
axa2az < 0 (см. ниже стр. 398—399). Аналогичное замечание можно сделать
и в отношении эволюции мелкомасштабных возмущений поля температуры,
о которой будет идти речь на стр. 400.
2) В это рассуждение надо внести поправку лишь в исключительном
случае а2 = av когда Л2 (t) « A\ (t) -f A2 (t). В таком случае, однако,
d/^jdt^d/^jdt, и поэтому окончательный результат здесь остается
тем же.

396 гл. vni. локально изотропная турбулентность [22.3
и играет здесь роль «фильтрации», отделяющей не интересующие нас
крупномасштабные движения. После этого асимптотическую форму
спектра турбулентности при &^>1/т] можно определить из условия,
что она не должна меняться под одновременным влиянием притока
энергии из области возмущений более крупных масштабов (связан-
(связанного с деформацией жидкой частицы) и затухания, вызываемого вяз-
вязкостью.
В самом деле, предположим, что спектральные компоненты поля
вихря уже приспособились к деформационному полю, т. е. имеют
вид (дг (х) = Aeikx\ оJ = (о3==0. Обозначим через 6Л-=6Л(?) ампли-
амплитуду спектральной компоненты, отвечающей в некоторый момент
времени t интервалу bk на оси волновых чисел, содержащему точку k.
Тогда за время dt эта компонента, согласно формулам B2.63), пе-
перейдет в возмущение ЬА (t -f- dt) exp [ik (t -f dt) xs], где
ЬА (t + dt) = 6A + dFA) = 6A [ 1 + (ax — vk2) dt],
k (t -f- dt) = k + dk = k A — as dt).
Но кинетическая энергия возмущений, приходящаяся на единицу длины
оси волновых чисел, равна cf (?, t) = FAJl2k26k (множитель 2k2
в знаменателе возникает при переходе от квадрата вихря со2 к кине-
кинетической энергии #2/2). Учитывая, что интервал длины bk на оси
волновых чисел за время dt переходит в интервал длины 6k(t-\-dt) =
= 6?A—asdt), получим
— 2vk? -f 3a3) dt
или (так как dk — — askdt)
d& (k, t) = & (k, t) [— 2ах\аъ — 3 + 2vk2/a3] k~l dk> B2.64)
Величина (f(k, t) после вероятностного осреднения переходит в спектр
турбулентности E(k), который мы предполагаем независящим от вре-
времени t. Разумеется, при вероятностном осреднении равенства B2.64)
приходится иметь в виду, что здесь и (f(k, t), и ах\аъ, и 1/а3
являются случайными величинами. При этом, однако, величины ajas
и 1/а3 являются характеристиками относительно крупномасштабных
движений масштаба т), и изменение этих величин происходит весьма
медленно — оно становится заметным лишь в течение промежутков
времени, больших по сравнению с тл (или, во всяком случае, не
меньших, чем порядка тл, если даже допустить, что за время тл
не меняется только ориентация главных осей деформации относительно
жидкой частицы, а скорости деформации вдоль этих осей могут и
измениться). В то же время cf(k, t) характеризует мелкомасштабные
движения масштаба 1/&, подверженные сильному влиянию вязкости

22.3] § 22- гидродинамическая теория 397
и поэтому характеризующиеся временем изменения порядка 1
(так как k^-l/r]). Естественно ожидать, что корреляцией между
быстро пульсирующей случайной величиной c?(k, t) и меняющимися
гораздо более медленно величинами аЛаъ и а~г можно пренебречь,
т. е. что среднее значение произведения этих величин можно заменить
произведением соответствующих средних значений. Приняв это пред-
предположение, после осреднения обеих сторон B2.64) получим
или, иначе,
где
о = - ах\ау а = - l/t^ = -(
Интегрируя B2.65) и учитывая размерность E(k)t найдем
Е (к) = Ak20-3ехр {- a (ftt]J} = Cl2/V5/3 (кг\Jа'4/3 exp {- а (кцJ}.
B2.67)
где С — постоянная интегрирования, т. е. некоторое число (порядка
единицы). Формула B2.67), принадлежащая Новикову A961а), и
определяет при сделанных допущениях асимптотическое поведение
спектра турбулентности при Ат|^>1. Подставив результат B2.67)
в общую формулу A2.86), связывающую спектр E(k) с продольным
одномерным спектром Ех (?), легко получим
El (ft) ~ ft20 J A - f} |2-2Va ™' d%. B2.68)
0
Последнее соотношение имеет тот же характер, что и предложенная
на 10 лет раньше формула Таунсенда B2.60), но не совпадает точно
с этой формулой и содержит еще один дополнительный параметр а.
Следуя Сафмену A963), результат B2.67) можно обосновать также
с помощью следующих общих соображений. Из уравнений B2.57) для поля
вихря © (jc, t) обычным образом вытекает, что скалярная корреляционная
функция в№ (г, t) = В^#G) (r, t) = со^ удовлетворяет уравнению
B2'69)
Рассмотрим это уравнение на расстояниях г <^ г\. Первое слагаемое справа
линейно относительно произведения собесу и относительно компонент тен-
тензора diii/dxj. Если опять принять, что возмущения с очень разными

398 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.3
масштабами лрактически некоррелированы, и учесть требования локальной
изотропии, то представляется, что единственной возможной формой этого
слагаемого при г <<^ г\ будет выражение
B2.70)
где а — некоторая постоянная (размерности, обратной размерности времени),
характеризующая средние значения компонент тензора dujdxj (т. е. имею-
имеющая порядок iP^v""*1/2). Аналогично этому для второго слагаемого в правой
части B2.69), по-видимому, единственное выражение при г <^ rj, которое
совместимо с линейностью относительно производных корреляционного тен-
тензора поля вихря и с требованиями изотропии, имеет вид
B2.70')
где с — еще одна постоянная (той же размерности и того же порядка вели-
величины, что и а). Физический смысл слагаемых B2.70) и B2.70') легко выяс-
выясняется из сопоставления с общим уравнением баланса завихренности: первое
из них описывает усиление завихренности за счет растяжения вихревых
линий, а второе — перераспределение по спектру, связанное с конвекцией.
Отсюда нетрудно заключить, что оба коэффициента а и с должны быть
положительными. Уравнение B2.69) при г <^ ц после подстановки в него
выражений B2.70) и B2.70') принимает вид
Нетрудно проверить, что в стационарном случае последнее уравнение
с с=(атТ1)~1 и а/с~а точно эквивалентно B2.65). Заметим, что если мы
будем исходить из уравнений B2.59) и будем считать поле вихря «приспо-
«приспособленным* к деформации жидкой частицы (т. е. направленным вдоль
оси Oxi и зависящим только от координаты лг3). то легко получим уравне-
уравнение видаB2.71), где аъах, с» —аъ (ср. аналогичный вывод уравненияB2.83)
на стр. 403—404).
Если считать, что параметры а и а точно определяются равенствами B2.66),
то можно указать некоторые оценки величины этих параметров. Прежде
всего, из неравенств 0 < ах ;> а2 !> аг < 0 и условия ах + а2 + аъ = 0 (сле-
(следующего из несжимаемости) вытекает, что 1/2< — 0i703<2; следовательно,
и 1/2<а<;2. Далее, мы можем еще использовать доказанные в п. 12.4
соотношения
^T^7 |(Щ3 B2.72)
(см. равенства A2.108) и равенство а\ -)- а\ + а\ = Заха2а3 на стр. 58). Пер-
Первое из этих соотношений можно переписать в виде а| (^ ~Ь ai/a3 ~^~ а?/аз)===
= e/4v. Поскольку 1/2 <; — д1/д3<2, оно показывает, что #3<e/3v. Отсюда,
в силу общего неравенства а > 1/(а2I/2 (вытекающего из того, что
следует, что а= — Уг/\а^1 >КЗ (Новиков A961а)).

22.4] § 22. гидродинамическая теория 399
Кроме тогЪ, поскольку и теоретические соображения и экспериментальные
данные показывают, что величина {dujdxiK отрицательна, согласно вто-
второму соотношению B2.72) в среднем должны преобладать случаи, когда
а2 > 0. Так. как ах 4-^2 + ^3 = 0, то отсюда вытекает, что, как правило,
а\ принимает меньшие значения, чем | аъ \ = ах ~\- а2, и, следовательно,
— а\\аъ принимает значения меньше единицы; поэтому естественно ожидать,
что а = — а\\аг < 1.
Если принять, что а = 2/3 (это значение лежит внутри интервала
1/2 < о < 1, представляющегося наиболее правдоподобным), то формула B2.67)
примет вид
Е (k) = СР/3Л~5/3 ехр {-- а (кч\У). B2.73)
В этом случае при k <^ 1/rj она, очевидно, согласуется с «законом пяти
третей» для инерционного интервала. Поэтому формула B2.73) с коэффи-
оо
циентом С, определяемым из условия нормировки E(k) k2 dk = e/2v
о
(т. е. с С = а2//3/Г B/3)), на первый взгляд представляет собой очень при-
привлекательную интерполяционную формулу, имеющую правильное асимпто-
асимптотическое поведение и при кч\ <^ 1 и при kr[ ^> 1. К сожалению, имею-
имеющиеся в настоящее время эмпирические данные о значениях спектра турбу-
турбулентности при больших Re не очень хорошо согласуются с этой формулой
(см. ниже стр. 445). Тем не менее простота формулы B2.73) оправдывает ее
использование в качестве модели истинного спектра Е (к), позволяющей
в ряде случаев получать в замкнутом аналитическом виде ответы на вопросы
о свойствах турбулентных потоков (см., в частности, ниже гл. 9).
22.4. Поведение спектра температуры
в области больших волновых чисел
Соображения, использованные в предыдущем пункте для иссле-
исследования асимптотического поведения энергетического спектра Е(к)У
могут быть применены и к исследованию спектра температуры (или
концентрации пассивной примеси) Е^(k) = E^(k). В этом случае,
однако, исходные уравнения содержат дополнительный размерный
параметр — коэффициент температуропроводности (диффузии) х- Поэто-
Поэтому форма спектра E^(k) может уже зависеть и от значения числа
Прандтля Pr = v/^.
Начнем, следуя Бэтчелору A959), с рассмотрения случая Рг^> 1
(т. е. v^>x)« который в некоторых отношениях является наиболее
простым. В этом случае в пространственной области диаметра
/ < r| = (v3/eI/4 поле скорости можно считать практически линейным
по координатам, в то время как поле температуры •&(.?, t) в таких
областях претерпевает заметные турбулентные пульсации. При иссле-
исследовании статистических характеристик этих мелкомасштабных пуль-
пульсаций можно заменить в уравнении теплопроводности

400 гл. vin. локально изотропная турбулентность B2.4
компоненты скорости Uj линейными функциями координат. Если при
этом мы снова перейдем к системе координат, перемещающейся
в пространстве и вращающейся вместе с фиксированной жидкой
частицей, и, кроме того, будем считать направления координатных
осей совпадающими с главными осями деформации нашей частицы,
то придем к уравнению
& + «л? + «л? + <Л&-хА<>. B2-75)
аналогичному B2.59). Приняв, что главные оси деформации почти
не поворачиваются относительно частицы за время порядка т^
(а также предположив для простоты, что соответствующие скорости
деформации av а2 и аъ в течение таких промежутков времени оста-
остаются практически постоянными; ср. выше стр. 391—392), нетрудно,
исходя из этого уравнения, определить интересующую нас асимпто-
асимптотическую форму спектра E^\k). В самом деле, рассмотрим, как
будет изменяться во времени синусоидальное возмущение поля 0\
отвечающее начальному условию вида
ft (х, 0) = Во ехр {/ (k0lxx + k02x2 + ?03.*з)}.
Если мы будем искать соответствующее решение уравнения B2.75)
в виде
d). B2.76)
то легко получим соотношения
Ау = Ао,ехр{-а/Ь в@ = Soexp|-X J кЦгх) dtx 1, B2.77)
где k2 = kjkj.
Поскольку мы условились считать, что 0 < ах ^> а2 ^> #з < ^»
из B2.77) видно, что асимптотически kx(t)->Ot kz(t) возрастает и
k2(t) ж k%(t) (ср. стр. 394—395 и, в частности, первую сноску на
стр. 395). Таким образом, изотермические поверхности $-= const
стремятся повернуться и стать перпендикулярными оси Oxs наиболь-
наибольшего сжатия частицы. В то же время возрастание кг показывает, что
расстояния между двумя такими поверхностями сокращаются (т. е.
градиенты О усиливаются под влиянием конвекции).
Предположим, что спектральные компоненты поля температуры
уже приспособились к полю деформации жидкой чистицы, т. е. при-
приняли асимптотическую форму, при которой изотермические поверх-
поверхности перпендикулярны оси Охг. В таком случае асимптотическую
форму Ё^(к) можно определить из условия инвариантности этой
формы относительно совместного влияния конвекции и теплопровод-
теплопроводности — совершенно аналогично тому, как это было сделано в

22.4] § 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 401
п. 22.3 в отношении спектра E(k). Действительно, пусть 6B(t)-—
амплитуда спектральной компоненты, отвечающей в момент t интер-
интервалу bk на оси волновых чисел, содержащему точку k. За время dt
эта компонента перейдет в
ЬВ (t + dt)exp {/*(* + dt) xz) = [ЬВ + d (ЬВ)) exp {/ (A + dk) x3],
где d (ЬВ) =.— yk2 &B dt* dk — — a3k dt. Поскольку к тому же
d(bk) = — a^bkdt, удельная интенсивность возмущений температуры,
приходящаяся на единицу длины оси волновых чисел, которая равна
^\, t) = (bBJ/bk, изменяется со временем по закону
B2.78)
Считая, подобно тому как это делалось на стр. 397, что случайная
величина ^Ь)(k, t), характеризующая пульсации температуры с вол-
волновым числом ky практически не коррелирует с я^1, после осредне-
осреднения равенства B2.78) получим
^ ^(?) B2.78')
т. е.
= ЛУГ1 ехр| — ^а(кцJ} при k^> 1/т|, B2.79)
где Еф)(к)=:^ф)(^ t), a а = — (агхцГ1 (т. е. а то же, что и
в равенствах B2.65), B2.66), так что, в частности, а>)/гЗ; ср.
стр. 398). Постоянная интегрирования А в B2.79) имеет размерность
квадрата д, т. е. может быть записана в виде А = С Л/т^, где С —
безразмерная постоянная. Значение С можно определить, воспользо-
воспользовавшись тем, что при Рг]^>1 молекулярная теплопроводность начи-
начинает играть заметную роль лишь при k ^> (e/v3I'4, т. е. при тех k,
для которых уже справедливо равенство B2.79). Поэтому фор-
формулу B2.79) здесь можно подставить в условие нормировки
оо
2/J k2E{b)(k)dk = N, откуда следует,
что А = аМхц, т. е. С = а, и
B2.80)
Формула B2.80), принадлежащая Бэтчелору A959), позволяет
представить себе общий ход спектра температуры E^\k) в случае
Рг^> 1 во всей области ky§>l/L0, в которой имеет место универ-
универсальный статистический режим пульсаций (т. е. приложимы гипотезы.

402 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.4
подобия Колмогорова). На интервале \jL0<^k <^ 1/г| (который
в этом случае можно назвать инерционно-конвективным интервалом
спектра) молекулярная вязкость и теплопроводность не оказывают
влияния на статистический режим пульсаций; поэтому оба спектра
E{k) и E^\k) здесь подчиняются «закону пяти третей». При /г -—- 1/yj
начинает проявляться молекулярная вязкость, и спектр E(k) начи-
начинает убывать много быстрее, чем &~5/3; после небольшого переход-
переходного участка убывание E(k) с ростом k становится уже экспонен-
экспоненциальным (следующим формуле B2.67)). Поскольку, однако, а имеет
порядок единицы, а Рг^>1, экспоненциальный множитель в правой
части B2.80) при k—1/г| практически не отличается от единицы;
заметную роль этот множитель начинает играть лишь при гораздо
больших волновых числах, порядка k — (PrI/2/r|~(e/vx2I/4- Фор-
Формула B2.80) показывает, таким образом, что вслед за инерционно-
конвективным интервалом спектра следует заметный интервал (про-
(простирающийся вплоть до k — (PrI/2/r|~(e/vx2I/4), на котором моле-
молекулярная вязкость уже иг-
\щЕ(к) рает существенную роль, но
молекулярная теплопровод-
теплопроводность еще не сказывается на
спектре E^(k). На этом
интервале после небольшого
переходного участка спектр
?( \k) начинает изменяться
по «закону минус первой
степени»:
E\k) = rL, B2.81)
Рис. 57. Схематическая форма спектров
скорости и температуры Рг ^> 1. т. е. убывает с ростом к даже
медленнее, чем по «закону
пяти третей» (см. схематический рис. 57). Интервал l/r| <^ &<^(РгI/2/г]
можно назвать вязко-конвективным (то обстоятельство, что при
малом х Действие молекулярной теплопроводности начинает сказы-
сказываться, лишь начиная с масштаба I — т]/(РгI/2—(vx2/eI/4, было
неявно показано еще в работе Бэтчелора A9526)). Наконец, при
k—(e/vx2I/4 начинает проявляться уже и молекулярная теплопровод-
теплопроводность, и закон изменения Е{Ь) (k) снова меняется; при k ^> (Ф?х2I/4
(так сказать, в пределах вязко-теплопроводного интервала спектра)
затухание ?(d) (k) в силу B2.80) также становится экспоненциальным
(хотя и более медленным, чем затухание E(k)).
Формула B2.81) для спектра температуры в вязко-конвективном
интервале (e/v3I4 <^ * <^ (e/vx2I/4 может быть установлена (с точно-

§ 22. гидродинамическая теория 403
стью до числового коэффициента порядка единицы) и из одних
только соображений размерности. Для этого надо учесть, что в ука-
указанном спектральном интервале величина е уже не может непосред-
непосредственно влиять на E^\k) (так как основная доля диссипации энергии
сосредоточена в области меньших волновых чисел). В то же время
конвективное перемешивание при ^^>(e/v3I/4 сводится к вращению
и взаимному сближению изотермических поверхностей под действием
деформационного движения, задаваемого тензором скоростей дефор-
деформации, имеющим универсальное распределение вероятностей, если хлл
принять за единицу времени. Отсюда вытекает, что при A^>(e/v3I/4
и вплоть до значений k, при которых уже начинает сказываться и
молекулярная теплопроводность, спектр ?( \k) может зависеть
только от двух размерных параметров Тт, и N, т. е. должен зада-
задаваться формулой вида B2.81) (с неопределенным числовым коэффи-
коэффициентом а). Заметим также, что неинтегрируемость спектра B2.81)
при &->>оо означает, что суммарный вклад вязко-конвективного
интервала в величину ft'2 при очень большом Рг может быть весьма
значительным (этот вклад, очевидно, имеет порядок yA^li!— —
~Ытц\п(Рт)). Поэтому в принципе возможно, что при Рг^> 1 основ-
основная доля интенсивности пульсаций температуры будет сосредоточена
не в самых крупных пульсациях с масштабами /~Z,0, а в мельчай-
мельчайших пульсациях с /<^т]. При этом, однако, для установления уни-
универсального режима пульсаций будет требоваться довольно большое
время (согласно оценке Бэтчелора A959), это время имеет порядок
т^ 1п (Рг)), так что для применимости изложенной здесь теории типич-
типичное время заметного изменения поля средней температуры должно
быть достаточно большим (много превосходящим тл1п(Рг)).
Поскольку исследование спектра ?^ (к) эквивалентно исследованию
структурной функции D^ (r), естественно ожидать, что результаты типа
приведенных выше можно получить и исходя из уравнения для D§§ (г).
Действительно, можно начать с рассмотрения уравнения B2.8) для Dbb(r)
и воспользоваться тем, что
*>Ш (г) + - DLW (г) - -?- (Dm (г)) = -А-ДГ«ДДГФJ = ДгИ/ JL (Дг«у».
где Дги;. и Ar ft — разности значений скорости и температуры в точках
х-\-г и х. При |г| = г<^т] поле uj(x) можно считать линейным по коор-
да*
динатам, так что \Uj « -5— г/. С другой стороны, если допустить, что
поле Ф(де) можно считать всюду полностью приспособившимся к деформа-
деформации жидкой частицы, т. е. принявшим асимптотическую форму, при которой
изотермические поверхности строго перпендикулярны оси Охг наибольшего
26*

404 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.4
сжатия, то в каждой конкретной реализации турбулентного потока произ-
производная -с— (ArftJ будет отлична от нуля только при ] = 3. Далее, произ-
dut
водную -—- можно разложить на слагаемое, отвечающее вращению жидкой
частицы, и на слагаемое, отвечающее ее деформации. Первое из этих сла-
слагаемых будет некоррелировано с -*— (\®J и поэтому выпадет после осред-
осреднения; второе же слагаемое в системе координат, определяемой главными
осями деформации, будет представлять собой диагональный тензор. Поэтому
где д3 — наибольшая скорость сжатия жидкой частицы, а 0 — угол между
вектором г и осью Ох3 наибольшего сжатия (так что r3 = r cos 0). Предпо-
Предполагая, что при г<^1] корреляцией между случайными величинами аъ и
-г— (АГФJ в первом приближении можно пренебречь, получим
V/w}(V>J* -5ST^D™(r)l B282)
где (ctit^) — некоторое эффективное среднее значение величины — д3. т. е.
ctj имеет примерно тот же смысл, что и коэффициент а в равенствах B2.67)
и B2.79). Следовательно, уравнение B2.8) при г<^г\ принимает вид
Воспользовавшись формулой A3.55), связывающей Df^(r) с ?(<>)(?), или же
переписав D^ (r) + 2D^ (r)/r как AD^(r), a rDf^(r) как ^
и воспользовавшись формулами A3.44) и A1.48), легко показать, что урав-
уравнение B2.83) эквивалентно уравнению
+ k-jL E^ (k)) + Xk*E^ (k) = 0, B2.84)
так что ai = a (ибо при ai = a B2.84) совпадает с B2.78')). Решение урав-
уравнения B2.84) с aj = а можно искать в виде
^)B2.85)
где h (x) — решение обыкновенного дифференциального уравнения
4jc/i" + F + х) h' шт 1, h @) «0, | h' @) | < со B2.86)
(это решение можно явно выписать в виде двойного интеграла от элемен-
элементарных функций; см. Бэтчелор A959)). При *<^1 (т. е. при r<^r\(Pt)~112)
функцию h (x) можно искать в виде степенного ряда первый член которого
N
имеет вид h (х) « л/6, т. е. D$$ (г) « -^ г2, как это и должно быть. С другой

22.4] § 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 405
стороны, при х^>1 (т. е. при г ^> rj(Pr)"~1/2, но г <^ rj, так что еще
можно пользоваться уравнением B2.83)) в уравнении B2.83) можно прене-
пренебречь вторым слагаемым в правой части (описывающим влияние молекуляр-
молекулярной теплопроводности) по сравнению с первым слагаемым (описывающим
конвективное перемешивание). В таком случае уравнение для h(x) прини-
принимает вид xh' (х) = 1, так что h (x) « In x -f- const и главный член асимпто-
асимптотической формулы для D^(r) имеет вид
п-?^. B2.87)
Результат B2.87), как нетрудно видеть, соответствует асимптотическому
соотношению B2.81) для спектра ?^(Л).
Приведенный вывод уравнения B2.83) лишь в небольшой степени опи-
опирался на предположение, что Рг^>1. Нетрудно указать соображения
в пользу того, что уравнение такого вида должно быть справедливо и при
/<^т], но не очень больших числах Прандтля (причем коэффициент ах
в этом случае может зависеть от степени ориентации изотермических поверх-
поверхностей поперек локальной оси наибольшего сжатия, т. е. являться функ-
функцией числа Прандтля). В самом деле, соотношение B2.82) вполне анало-
аналогично B2.70') и поэтому может рассматриваться как следствие одних только
соображений изотропии и того факта, что левая часть B2.82) при г<^ц
линейна относительно производных скорости (имеющих порядок т~*) и про-
производных -х—(ДГФJ. Но если это так, то уравнение B2.83), очевидно,
должно быть справедливо и при конечных значениях Рг, причем коэффи-
коэффициент а] должен иметь порядок единицы, но может зависеть от Рг (однако
должен быть положительным при всех Рг, так как иначе оказалось бы, что
конвективное перемешивание приводит к переносу среднего квадрата пуль-
пульсаций температуры от мелкомасштабных возмущении к крупномасштабным,
а не наоборот).
Справедливость соотношения типа B2.82) при конечных значе-
значениях Рг должна проявляться и на спектре E^^(k). Для исследования
спектра E^\k) при значениях Рг порядка единицы целесообразно,
следуя Новикову A961в), применить оператор Лапласа ко всем чле-
членам уравнения теплопроводности B2.74). Поскольку в несжимаемой
жидкости attj — — еу7тГ^ где ^т — компоненты вихря скорости,
a Ejlm — полностью антисимметричный тензор, получаемое при этом
равенство можно представить в виде
дЧ дсот дЪ
Д2# B2.88)
е//т ~ -г—
Jlm dxt dxj
Воспользуемся тем, что если Рг имеет порядок единицы, то при
/<^Т]—Чх3/?I/4 поле скорости слагается из основного линейного
duj
поля Uj = uOj^^rk (или ul = a1xv u2 = a2x^ % = а3х3, если
перейти к системе координат Оххх2х^ определяемой главными осями
Деформации жидкой частицы) и слабых возмущений этого линейного

406 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.4i
поля, а поле Ф (х) точно также слагается из линейного поля fr =
= во " Р*«*л и наложенных на него слабых возмущений. Линеаризо-
Линеаризованное относительно возмущений уравнение B2.88) в системе коор-
координат Оххх2хъ будет иметь вид
з
где р;. — градиент температуры по направлению у-й главной оси
деформации, а под ft можно уже всюду понимать возмущение линей-
линейного поля температуры. Уравнение B2.89) в применении к полю
температуры играет ту же роль, какую играло уравнение B2.59) для
поля скорости.
Разложим начальное возмущение на отдельные компоненты Фурье
и рассмотрим частное решение системы уравнений B2.59) и B2.89),
отвечающее начальным условиям
(o;(jc, 0) == Лу?'*о*, •&(*, 0)=zB0eik**. B2.90)
Предположим, как и выше, что главные оси деформации практически
не поворачиваются относительно жидкой частицы за время порядка
т^, и примем для простоты (хотя это и не необходимо), что скоро-
скорости деформации av a2 и а3 также можно считать постоянными в тече-
течение таких промежутков времени. Если мы будем искать интересующее
нас решение в виде
B2.91)
то для величин kj(t) и Aj(t) из одних лишь уравнений B2.59) полу-
получим уже известные нам соотношения B2.63), а уравнение B2.89)
после этого позволит определить также и функцию B(t).
Основные асимптотические закономерности, относящиеся к B(t),
можно выяснить, ограничившись рассмотрением асимптотического
режима, при котором поле вихря &(х) уже полностью приспособи-
приспособилось к деформации жидкой частицы. Иначе говоря, мы можем с самого
начала считать, что вектор k(t) направлен вдоль оси Од:3, причем
?3 (t) = k (t) = k0 exp (— a3?), а вектор со (х) параллелен оси Охх и
щ (х) = (ох (*з) = А @ exp (k (t) *3),
A (t) = Ао ехр
о
В таком случае уравнение B2.89) принимает вид
ЛР А
B2.92)

22.4]
§ 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
407
Используя приведенные выше формулы для k(t) и A(t), решение
этого линейного уравнения можно записать в виде
t>(\ — I -r-
e о
B2.93)
Рассмотрим сперва случай, когда v > х> т. е. Рг > 1. Тогда при
11 ( 12 1/2 1/2)
второе слагаемое в фигурных скобках в правой части B2.93) затух-
затухнет за время порядка т^, и, следовательно, асимптотически В (t)»
t
. Таким образом, мы снова пришли к соот-
соотношениям B2.77), из которых, как мы уже знаем, вытекает фор-
формула B2.79) для спектра E^\k). Мы видим, что формула такого
вида для спектральной области Л^>1/т] может быть обоснозана при
любом Рг > 1 (при обычных предположениях о квазистационарности
деформационной компоненты поля скорости). Учтя также, что ах-\-
-|~а3 = — #2 обычно принимает отрицательные значения порядка т^1
(см. стр. 398—399) и что е~т весьма мало уже при т порядка единицы,
Новиков A961в) высказал предположение, что соотношение B2.79)
для E^\k) будет выполняться с неплохой точностью уже и при
k—1/т), и притом не только в случае Рг > 1, но даже и в случае
Рг= 1. Ясно, однако, что если Рг имеет порядок единицы, то вязко-
конвективный интервал спектра, на котором E^\k) — Л, будет
отсутствовать, и определение точного значения безразмерного коэффи-
коэффициента AjNx^=^y(Pr), позволившее на стр. 401 переписать формулу
B2.79) в виде B2.80), оказывается невозможным.
Перейдем теперь к случаю, когда v < х» т. е.эРг< 1. Здесь уже
1/2
в области очень больших волновых чисел &Л^>(Рг/О—Pf)) —
= у1/2/ОС — vI/2 второе слагаемое в фигурных скобках в правой части
B2.93) через время порядка т^ станет гораздо больше постоянного
первого слагаемого (т. е. B(t) при любом начальном значении асимп-
асимптотически будет определяться одним лишь полем вихря co(jc)). Асимп-
Асимптотическое поведение указанного второго слагаемого в этом случае
будет определяться максимальным значением подынтегральной функ-
функции, достигающимся на верхнем пределе интегрирования — в точке
tx = t. Вклад этого максимума (дающий асимптотическую оценку
значения всего интеграла), как обычно, можно приравнять значению

408 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22.4
подынтегральной функции в точке максимума, разделенному на зна-
значение производной подынтегральной функции в той же точке1).
Отсюда вытекает, что асимптотически
Аор2 ехр
•- / г-г
B2.94)
Поскольку Е&)(k) = ' д.' и E(k)= ' ' , последнее равенство
показывает, что
р / Рг \1/2
при *:Цj
Величина р|, очевидно, имеет порядок среднего градиента темпера-
температуры. Если допустить, что пульсации температуры, определяющие
значение (VdJ, изотропны не только в фиксированной неподвижной
системе координат, что всегда верно в случае локально изотропной
турбулентности, но и в системе координат, определяемой подвиж-
подвижными главными осями деформации, то
Щ ^ м/Ъ%9 B2.96)
Однако последнее допущение не является обязательным; если его не
принимать, то в правой части B2.96) надо добавить еще числовой
1) Это утверждение можно строго доказать, воспользовавшись обычной
формулой интегрирования по частям
ехр
о о
Ф (/) = J (а, + а, + (х - v) k* (t{)) dth
о
и убедившись, что при t^x^ и (% — v)k2(t) ^>т^! основным слагаемым
в правой части будет слагаемое —глт-ехр (ф(/)}.

22.4] § 22. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 409
коэффициент с = с(Рг) порядка единицы. При этом формула B2.95)
принимает вид
*^ B2'97)
(см. Новиков A9616, в)).
Сравнение формул B2.80), B2.97) и B2.67) показывает, что в
рассматриваемом в настоящем пункте приближении затухание спектра
температуры в области очень больших волновых чисел оказывается
несколько различным в случаях Рг > 1 и Рг < 1. А именно, во вто-
втором случае оно примерно пропорционально функции ехр {—а(кцJ}
(т. е. имеет тот же характер, что и затухание спектра E(k))t а в
первом — пропорционально expj—^(кцJ\ (т. е. является более
медленным, чем затухание ?"(&)). Существенно, однако, что во всех
случаях это затухание является очень быстрым — того же порядка,
что затухание на бесконечности плотности гауссовского распределе-
распределения вероятностей.
В заключение остановимся вкратце на случае v <^ х» т- е- Pf <^ 1 •
В этом случае в пространственных областях диаметра / <^ щ = (x3/sI/4
поле температуры будет слагаться из основного линейного поля вида
Фо+Ру*;» $1~1ьГ' и наложенных на него небольших возмущений
более сложного вида. Поэтому в применении к пульсациям с мас-
масштабами /<Oto (т. ё. волновыми числами k ]Э> 1/Tfo) основной частью
слагаемых Uj-x— уравнения теплопроводности будут члены #уру. При
этом в области масштабов По^>/^>Л = г1о(РгK/4 (т. е. волновых
чисел \1Цъ<^1к<^ 1/л) пульсации скорости Uj будут значительными
и будут подчиняться обычным закономерностям, справедливым для
инерционного интервала. Эти пульсации скорости будут создавать
пульсации конвективного переноса тепла, являющиеся основным источ-
источником мелкомасштабных возмущений поля температуры. Следова-
Следовательно, в интервале масштабов rfo^/^т) (т. е. волновых чисел
VTle^A<^ 1/л) характерный период пульсаций температуры и ско-
скорости будет примерно одинаковым, т. е. будет иметь порядок (//в) /3~
~(&2е)~1/3 (ср. сноску на стр. 312). Отсюда вытекает, что при
Pi для пульсаций с Ц^^>1^>Ц и %<ft<l/tl слагаемое
l уравнения теплопроводности будет иметь порядок /""/ е!/ Ф
(или, что то же самое, &2/3 е1/3 ft) и будет пренебрежимо мала по
сравнению со слагаемым х^Ф» имеющим порядок х^~ Ф (или
Т
р х» щ р х ( Х)
Таким образом, для таких пульсаций уравнение теплопроводности
B2.74) приобретает очень простой вид:
B2.98)

410
гл. viii. локально изотропная турбулентность
[22.4
л л
где Ру = -з градиент температуры, обусловленный в первую оче-
очередь пульсациями с масштабами порядка %
Мелкомасштабные пульсации температуры, описываемые уравне-
уравнением B2.98), сравнительно быстро сглаживаются под действием мо-
молекулярной теплопроводности и лишь немного искажают основное
линейное поле до(лс)==до + р;^у. Поэтому структурная функция поля
температуры D^(r) = (ДГФJ при г<^% оказывается примерно про-
пропорциональной г2. Однако эти мелкомасштабные пульсации вносят
основной вклад в значение спектральной плотности ?( \k) при k^>
/т^, при определении которой уравнение B2.98) играет основ-
основную роль. Приняв снова
Ml
\Ю
\ log*
предположение о практиче-
практической некоррелированности
пульсаций с масштабами по-
порядка щ и масштабами, много
меньшими T[q, мы можем рас-
рассматривать коэффициенты fy
в левой части B2.98) как
постоянные случайные вели-
величины (с одинаковой диспер-
дисперсией j^=|^ = ^:=:/V/3x).
Заменим теперь локально
изотропные случайные поля
Uj и Ф в равенстве B2.98) их спектральным представлением, а затем
возведем обе части этого равенства в квадрат и осредним результат
(сначала по всевозможным реализациям мелкомасштабных пульсаций
с &^$>11ц$, а после этого—по всевозможным значениям случай-
случайного вектора (L). В результате мы придем к соотношению
4
Рис. 58. Схематическая форма спектров
скорости и температуры при Рг <^ 1.
од/
при
<C
B2.99)
В силу справедливости «закона пяти третей» для энергетического
спектра в инерционном интервале это соотношение можно переписать
также в виде
при
Л. B2.100)
Результат B2.100) принадлежит Бэтчелору, Хауэлсу и Таунсенду
A959), пришедшим к нему с помощью немного отличных рассужде-
рассуждений. Ему соответствует общая форма спектров E(k) и E^(k) при
Рг<^1, схематически изображенная на рис. 58.
Соотношение B2.99), выведенное в предположении, что %^>vt
очевидно, согласуется также и с формулой Новикова B2.97) (спра-

224] § 22- гидродинамическая теория 411
ведливой при х > v и kr\ ^> \l/2/(x —- vI/2), если только принять
?=1 (что кажется весьма правдоподобным). Поэтому есть основа-
основания считать, что при Рг < 1 формула B2.97) справедлива для всех
мелкомасштабных пульсаций с &^1/
Формулу B2.99), очевидно, можно переписать в виде
V ') dk' = |Z f-Zgl dk'*2 l^jp- dk> J *?«» <*') dk".
ft
Отсюда для коэффициента турбулентной температуропроводности ^(),
создаваемой мелкомасштабными пульсациями с волновыми числами > к
(который можно определить, следуя Гейзенбергу A948а), из условия, что
перенос интенсивности пульсаций температуры через точку k спектра W$ (k)
ft
равен 2К$ (k) \ kE§ (k") dk'% получается выражение
при k^lfo B2.101)
Исходя из этого выражения, Хауэлс (I960) предложил использовать для
коэффициента K$(k) при Рг<^1 и любом k^>l/L$ интерполяционную
формулу
оо f -1/2
%а+*Г 1Щ1ак, _% B2.102)
Ч k
оо
переходящую в B2.101) при E(k') k'~2dk'<^%2 и согласующуюся с по-
полуэмпирической формулой A7.10) с с = 1/2 в конвективном интервале, где
00
J E(kf)k'~2dk'^>%. Однако при Рг^>1 эта формула оказывается про-
k
тиворечащей результату Бэтчелору B2.81). Поэтому в случае произвольного
числа Прандтля Хауэлс предложил использовать для W$(k) значительно
более сложную полуэмпирическую формулу, содержащую наряду со сла-
k
гаемым 2K$(k) J k'2Em(k')dk' (где K*(k) определяется из B2.102))
о
еще одно дополнительное слагаемое, н
ft
X J k'2E^ (kf) dk' ни при каком К$ (Л).
о
еще одно дополнительное слагаемое, не представимое в виде 2К$ (k) X
ft

412 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [22$
Асимптотическое поведение спектра
при наличии химической реакции
или радиоактивного распада
Приведенный выше анализ асимптотического поведения спектра (Щ
без труда переносится также на случай концентрации Ф (*, t) неконсерва-1
тивной примеси, участвующей в химической реакции первого порядка или!
претерпевающей радиоактивный распад. Разумеется, если и"/^е1^2 = /,г^>!
^>т| = (v3/eI/4 и Lr>^ = (х3/бI/4 (т. е. если типичное время реакции
или распада \i~l намного превосходит оба микромасштаба времени т^»
= (v/iI/2 и tft = ($с/ёI/2Х то поведение спектра е№ (k) при k^>I/max (т|, T|v)^
будет практически тем же, что и в случае обычной консервативной при-
примеси (поскольку, как мы знаем, наличие химической реакции или распада
влияет лишь на статистические характеристики пульсаций концентрации с
масштабами, большими или порядка Lr\ см. выше стр. 361—362). Если, однако,
масштаб Lr не превосходит по порядку величины оба микромасштаба т^
и tft, то влияние реакции или распада вполне может сказаться на асимпто-
асимптотическом поведении Е^ (k).
Обычное уравнение диффузии B2.74) при наличии химической реакции"
первого порядка заменяется уравнением B1.101), содержащим в правой ча-
части дополнительный член —\х4. Предположим сначала, что v^>x и k^>l/4>
Тогда мы можем воспользоваться уравнением B2.75), которое также надо
дополнить членом — \ift в правой части. Отсюда вытекает, что второе соот-
соотношение B2.77) теперь будет иметь вид
! - J
Учтя это обстоятельство во всех дальнейших расчетах, мы вместо B2.79)
получим при k^>l/r\
?<*> (k) = ЛГA+Иexpj — ? a(kr\f |, P = 2аитл — 2а (л/^гJ/3, B2.103)
где, как и в B2.79), <х = — (азТ^)". В частности, для вязко-конвективного
интервала 1/t]<^?<^vI/2/X1/2i1 мы снова получаем степенной спектр
Е<М (k) ~k~ll+*\ B2.104)
но с показателем степени меньшим, чем —1. Формулы B2.103) и B2.104)
принадлежат Корсину A961); при \ix7]<^\ (т. е. Lr^>r\) они практически
не отличаются от B2.79) и B2.81), как это и должно быть.
В случае, когда v/x имеет порядок единицы, целесообразно воспользо^
ваться уравнением B2.89), которое следует дополнить членом — \х Aft в правой
части. Поэтому соотношения B2.92) и B2.93) теперь будет иметь вид
I
t г '¦
-/TLJP2expN Iе'+*»+•* +
0 о Lo
+ (X - v) *' (/,)] dt, Л, . ехр - J (и + Х*2 (<.)) Mi •

23.1] § 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 413
Если v > х» то в области достаточно больших волновых чисел (таких, что
2 1)
(v— x)k ^>li + T^ ) мы можем пренебречь вторым слагаемым в фигурных
скобках в правой части последнего соотношения. Следовательно, для таких
/ I 1
волновых чисел можно считать, что В (t) = Во ехр { — (%k2 -f- и) dt\ \; от-
I о j
сюда, как и выше, для Е^ (k) получается асимптотическая формула B2.103)
(но формула B2.104) теперь уже не будет применима ни при каких к).
Если же v < % (или хотя бы v = х, но \i по крайней мере в несколько раз
превосходит т), то при достаточно больших k можно пренебречь слагае-
слагаемым Во в выражении для B(t). Рассуждая далее так же, как и при выводе
формулы B2.94), мы получим соотношение
Отсюда следует, что при v<x и (% — v)ft2-j-n^>T~1 (или% = у,
)
B2Л05)
где Е (k) — энергетический спектр, а с—близкая к единице постоянная (вообще
говоря, зависящая от %/\ и обращающаяся в единицу при %"^>v). При
k<^l/x\ и x^*v» исходя из формулы B2.105) (или же воспользовавшись
рассуждениями, приведшими нас выше к формуле B2.100)), получаем
B2Л06>
(этот результат также принадлежит Корсину A961)). Заметим, что при
1лТф<^1 (т. е. /,г^>т]ф) формулы B2.105) и B2.108) снова переходят в обыч-
обычные формулы B2.97) и B2.100), как это и должно быть.
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ О ЛОКАЛЬНОЙ
СТРУКТУРЕ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
23.1. Реальные возможности измерений; использование
гипотезы «замороженной турбулентности»
Измерительные приборы обычно позволяют регистрировать изме-
изменения во времени значений гидродинамических полей — компонент
скорости, температуры, давления, влажности и т. п. — в фикси-
фиксированной точке пространства, относительно которой поток
движется с некоторой средней скоростью и, или же в точке, движу-
движущейся относительно потока с какой-то фиксированной ско-
скоростью U (например, с самолета в воздухе или с корабля на воде).
Существуют, правда, и другие методы измерений, основанные, напри-
например, на практически мгновенном зондировании пространственных

414 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [23.1
неоднородностей потока с помощью радиоволн (или звуковых волн),
но на них мы здесь не будем останавливаться (возможности измере-
измерения пространственных спектров турбулентности с помощью опытов
по рассеянию звука, света или радиоволн будут освещены в следую-
следующей главе).
Возможности экспериментального изучения мелкомасштабных ком-
компонент турбулентности ограничиваются как инерцией измерительного
прибора (характеризуемой его постоянной времени т0), так и разме-
размерами датчиков /0. Очевидно, что прибор с параметрами т0, /0 осу-
осуществляет осреднение по интервалу времени порядка т0 и по области
пространства с линейными размерами порядка /0, которое обычно
можно считать эквивалентным осреднению и по цилиндрической области
пространства с длиной оси ит0 по направлению потока и с диаметром
сечения /0. Забегая вперед, отметим, что, например, в атмосфере вблизи
Земли 1колмогоровский микромасштаб турбулентности т] = (v3/eI/4
имеет значения порядка миллиметров; поэтому для изучения компо-
компонент турбулентности, ответственных за диссипацию энергии, постоян-
постоянная времени измерительного прибора должна удовлетворять условию
То < Л/я» т- е- ПРИ средней скорости ветра а порядка 1 м/сек не
должна превосходить по порядку величины 10~3 сек.
При определении статистических характеристик турбулентности
по данным реальных измерений вместо осреднения по статистическому
ансамблю обычно приходится использовать осреднение по времени
(предполагая тем самым, что регистрируемые измерительными прибо-
приборами пульсации значений гидродинамических полей представляют собой
реализации некоторых эргодических случайных процессов; см. п. 3.3
и п. 4.7 части 1). Более того, на практике всегда приходится огра-
ограничиваться осреднением данных измерений лишь по некоторому конеч-
конечному интервалу времени Т. При этом существенно, что если период
осреднения Т будет выбран недостаточно большим, то средние зна-
значения будут неустойчивыми — они будут заметно меняться от измере-
измерения к измерению под действием компонент турбулентности, характер-
характерные времена которых не малы по сравнению с Т (т. е. будет иметь
место «эволюция уровня» рассматриваемого гидродинамического поля,
о которой мы уже упоминали на стр. 361 части 1). Кроме того,
если Т попадает в такой интервал периодов, в котором спектральная
плотность колебаний во времени изучаемой гидродинамической вели-
величины не мала, то среднее значение, взятое по интервалу времени
порядка 71, будет существенно зависеть от его длины.
Однако при Т^>Ци% где L—внешний масштаб турбулентности
по направлению среднего течения, временные средние значения по
интервалу длины 7\ как правило, будут статистически устойчивыми
и практически независимыми от выбранного значения Т. Точнее говоря,
так, во всяком случае, будет обстоять дело с турбулентностью

231] § 2з. экспериментальные данные 415
в аэродинамических трубах и других лабораторных установках, по-
поскольку при этом компоненты турбулентности с масштабами, на-
намного превосходящими L, всегда имеют очень небольшие амплитуды
и поэтому не могут заметно влиять на рассматриваемые средние зна-
значения. Более сложной является атмосферная турбулентность, спектр
которой далеко простирается в область больших масштабов и содержит
целый ряд значительных по величине локальных максимумов (связан-
(связанных с процессами, создающими изменения погоды, с суточным и
годовым ходом метеорологических элементов и т. д.; см. ниже п. 23.6).
Существенно, однако, что согласно данным, которые будут приведены
в п. 23.6, временные спектры метеорологических полей обычно имеют
глубокий минимум («провал») в интервале периодов от нескольких
минут до нескольких часов. Поэтому средние значения метеорологи-
метеорологических величин, получаемые с помощью осреднения по какому-либо
периоду Т из этого интервала, будут уже слабо зависеть от точного
выбора значения Т. Правда, эти средние значения, строго говоря, не
будут статистически абсолютно устойчивыми, так как колебания со
много большими по величине периодами в атмосфере всегда присут-
присутствуют, но влияние этих колебаний можно свести к минимуму, зафик-
зафиксировав время года, время суток и общие метеорологические условия
(т. е. «погоду»). Исходя отсюда, при эмпирическом определении ста-
статистических характеристик атмосферной турбулентности обычно ис-
используется осреднение по интервалу времени порядка 10—20 минут,
а статистическая устойчивость здесь понимается условно — лишь по
отношению к измерениям, производившимся в то же время года,
то же время суток и при той же погоде.
Регистрируя колебания во времени некоторой гидродинамической
величины в фиксированной точке пространства, можно затем с по-
помощью осреднения по времени найти временною структурную функцию
этой величины. Вычислив преобразование Фурье такой структурной
функции или же пропустив регистрируемые колебания через фильтры
спектрального анализатора, можно определить также временной спектр
изучаемой величины. Гораздо труднее поддаются определению харак-
характеристики пространственной структуры гидродинамических полей тур-
турбулентного потока. Правда, мы можем регистрировать колебания во
времени значений данного гидродинамического поля сразу в несколь-
нескольких фиксированных точках пространства (хотя технически это более
сложная задача, чем задача регистрации пульсаций в одной точке)
и, исходя из полученных данных, определить значения соответствую-
соответствующей пространственной структурной функции D(r) при нескольких
значениях аргумента г (соответствующих разностям радиусов-векторов
точек наблюдения). Однако этих значений, как правило, оказывается
недостаточно, чтобы можно было судить об общем ходе функции D(r)
на большом интервале значений г и вычислить пространственный
спектр нашего поля, подвергнув функцию D(r) преобразованию Фурье.

416 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [23.1
Поэтому большое значение для возможности эмпирической оценки
характеристик пространственной структуры турбулентности приобре-
приобретает гипотеза Тэйлора о «замороженной турбулентности», изложенная
в п. 21.4 (стр. 332—337). Эта гипотеза позволяет с помощью фор-
формул типа B1.39) и B1.41) пересчитывать временные структурные
функции и спектры в пространственные одномерные структурные
функции и спектры, соответствующие направлению среднего течения.
В п. 21.4 уже был процитирован ряд работ, посвященных эмпи-
эмпирической проверке гипотезы Тэйлора для турбулентных течений,
создаваемых в лабораториях, и турбулентности в атмосфере. Послед-
Последний случай будет нам в дальнейшем особенно интересен, поскольку
атмосфера — самая удобная лаборатория для проверки закономерно-
закономерностей локальной структуры развитой турбулентности; поэтому здесь
мы остановимся на нем немного подробнее. Наиболее убедительные
материалы, касающиеся проверки гипотезы Тэйлора для атмосферной
турбулентности, были получены путем сопоставления данных измере-
измерения временных статистических характеристик турбулентности на вышке
или привязном аэростате с приближенными значениями соответствую-
соответствующих пространственных статистических характеристик, определенных
по данным измерения турбулентных пульсаций на летящем на той же
высоте самолете. Действительно, вследствие того, что скорость само-
самолета U очень велика по сравнению с типичными скоростями пульса-
пульсаций, регистрируемые с самолета значения какого-либо поля а (а:, /) —
= а(хо-\-г, Л0-\-г/и) для не слишком больших расстояний г можно
приближенно заменить на а(хо-\~г, to)t т. е. принять за практически
мгновенную «фотографию» этого поля вдоль траектории полета,
позволяющую непосредственно определить его пространственные ста-
статистические характеристики (по направлению полета). Сопоставление
так полученных пространственных статистических характеристик атмо-
атмосферной турбулентности с временными характеристиками, определен-
определенными по данным измерений в одной точке (на высоте полета), произ-
производилось, в частности, Гиффордом A955), Госсардом A960а), Лэппе
и Дэвидсоном A963), Цвангом A963) и Копровым и Цвангом A965).
В качестве иллюстрации мы приводим на рис. 59 (заимствованном из
обзорной статьи Гурвича, Копрова, Цванга и Яглома A967)) два
примера сопоставления одномерных пространственных спектров Е^\к)
и E^(k) вертикальной компоненты скорости ветра и температуры, изме-
измеренных на самолете, пролетающем на высоте 70 м около 70-метро-
70-метровой метеорологической вышки (скорость самолета порядка 50 м/сек),
со спектрами, вычисленными по формуле B1.41) исходя из значений
временных спектров, измеренных на вышке. Эти примеры показывают,
что в атмосфере на высоте порядка 100 м гипотеза Тэйлора B1.41)
оправдывается с высокой степенью точности по крайней мере вплоть
до волновых чисел порядка &=10~5 см'1. Разумеется, отсюда еще

23.2]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
417
не следует, что и индивидуальные турбулентные возмущения в атмо-
атмосфере можно с той же степенью точности считать «замороженными»,
т. е. пользоваться равенствами типа а(х, /-|-т) = а(л: — uxt t) (где
под а понимается пульсация одной из компонент скорости ветра или
E(T)Wt графем
Спектры J д - самолет
- вышка
Ю2
W
Г1Г
- самолет
W* W4 W3
~*
с»г>
W'5 W4 W'3 W2 *
Рис. 59. Сравнение пространственных спектров вер-
вертикальной скорости и температуры, измеренных
с борта самолета и вычисленных по данным изме-
измерений на вышке с помощью гипотезы Тэйлора.
температуры). Однако в дальнейшем мы будем применять гипотезу
Тэйлора только к осредненным характеристикам — спектрам и струк-
структурным функциям; поэтому вопрос о допустимости ее применения
к индивидуальным пульсациям (остающийся до сих пор очень плохо
изученным) нас не должен тревожить.
23.2. Проверка локальной изотропии поля скорости
Наиболее легко проверяемыми следствиями гипотезы о локальной
изотропии развитой турбулентности является вывод об изотропном
виде A3.69) структурного тензора поля скорости Dtj{r) при r<^L
и вытекающие отсюда соотношения между квадратами пространственных
27 А. С. Монин, А, М. Яглом •

418 гл. vin. локально изотропная турбулентность [23.2
производных от различных компонент скорости, например со*
отношения
При наличии аппаратуры, позволяющей измерять спектры, очень про-
просто может быть проверен также эквивалентный A3.69) вывод об
изотропном виде A2.31) спектрального тензора Ftj{k) при k^>\jL
(точнее говоря, вытекающие отсюда соотношения между непосред-
непосредственно измеримыми одномерными спектрами типа соотношений
?12(ft) = 0 или E2(k) = ^(Ei(k) — kE'i(kj); ср. формулу A2.87) на
стр. 53).
Подтверждения предсказаний такого рода прежде всего были полу-
получены целым рядом экспериментаторов для турбулентности за решеткой
в аэродинамической трубе (см., например, обзорную статью Бэтче-
лора A947)), хотя вопрос об их степени точности в этих условиях
до сих пор вызывает некоторые разногласия. Нас, однако, этот класс
турбулентных течений не должен очень интересовать, так как здесь
локальную изотропность можно объяснять просто тем, что рассма-
рассматриваемая турбулентность является приближенно изотропной]). Поэтому
заметно более интересной представляется проверка указанных пред-
предсказаний в случае турбулентности, заведомо не являющейся изотропной.
Одним из первых проверку локальной изотропии в случае неизо-
неизотропной турбулентности произвел Таунсенд A948а), показавший, что
соотношения B3.1) с хорошей точностью выполняются в турбулент-
турбулентном следе за круглым цилиндром, помещенным в аэродинамическую
трубу. Несколько хуже, но все же с удовлетворительной точностью
эти соотношения были подтверждены также измерениями Таунсенда
A951в) в турбулентном пограничном слое на плоской пластинке.
*) Напомним, впрочем, что, как отмечалось на стр. 106, измерения У бе-
рои A963), Уберои и Уоллеса A966,1967) и Конт-Белло и Корсина A966) сви-
свидетельствуют о заметной анизотропии турбулентности за решеткой. В то же
время, согласно частному сообщению М. Уберои, выполненные им совместно
с С. Уоллесом в 1966 г. измерения одномерных спектров Ех (k) и Е2 (k)
продольной и поперечной компонент скорости показали, что, несмотря на
эту анизотропию, в области больших волновых чисел соотношение Е2 (к) =
(^(*)^(^)) выполняется с большой степенью точности, указывая
на локальную изотропность турбулентности за решеткой. Также и резуль-
результаты Кистлера и Вребаловича A966) (относящиеся к турбулентности за
решеткой при больших значениях Re^; ср. выше стр. 187) указывают на
нарушение соотношения E2(k) =z-^^Ex (k) — kE[(k)} в области не слишком
больших k (меньших 0,03/т], где г\ — колмогоровский микромасштаб), но
хорошо согласуются с этим соотношением в области мельчайших возмуще-
возмущений с Агп>0,03.

23.2]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
419
Проверка соотношения ?12(&) = 0, также вытекающего из локальной
изотропии, производилась Коренном A949) и Тани и Кобаяши A952)
в осесимметричной турбулентной струе, Лауфером A951) в турбу-
турбулентном течении в плоском канале и Клебановым A955) в турбулент-
турбулентном пограничном слое на плоской пластинке. Во всех перечисленных
случаях оказалось, что при малых волновых числах спектральная
плотность El2(k) не мала (откуда следует, что крупномасштабные
компоненты турбулентности заведомо анизотропны), но с ростом k
0,60
0,40
0,20
0,70
0,08
0,04
0,02\
• Коре и и (струя)
о Тани и Кобаяши (струя)
яЛаурер (/fa нал)
® Клебанов (погран. слой)
20 40 6080700 200 4ООШЖ7ООО 2 4 6
Рис. 60. Зависимость «спектрального коэффициента корре-
корреляции» Rn от частоты / «= uk/2n.
спектр El2(k) убывает гораздо быстрее, чем Ег(к) и E2(k) (так что
можно ожидать, что в мелкомасштабной области спектра устанавли-
устанавливается изотропность). В качестве иллюстрации этого результата мы
приводим на рис. 60, заимствованном из обзорной статьи Корсина
A957), данные о зависимости от волнового числа k (или, точнее
говоря, от частоты / = ?/&/2я) безразмерного «спектрального коэф-
коэффициента корреляции» /?12(k) = |El2(k) \[El(k)E2(k)]~1/2 для течений
в канале, пограничном слое и струе. Эти данные показывают, что во
всех этих течениях R^if) быстро убывает с ростом частоты, так
что в высокочастотной области пульсации компонент скорости и и v
оказываются практически некоррелированными.
Упомянем еще эксперименты Уберои A957), в которых изучалась
турбулентность, получаемай при осесимметричном поперечном сжатии
(в отношении 4:1) изотропного турбулентного потока за решеткой
в аэродинамической трубе (т. е. при соединении широкой трубы
с более узкой коаксиальной трубой, отделяющейся от широкой трубы
плавным переходным участком). Такая турбулентность оказывается
27*

420 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [23.2
анизотропной — квадраты пульсаций поперечных компонент скорости
vf = w' в ней заметно больше, чем и' , — но по мере вырождения
турбулентности (с ростом расстояния х от входа в узкую трубу)
отношение vf2/u/2 постепенно приближается к единице. В пользу ло-
локальной изотропности здесь свидетельствует то, что изотропность
мелкомасштабных компонент турбулентности (нарушение которой
характеризуется отличием от единицы отношения со^со| средних квад-
квадратов продольной и поперечной компонент вихря скорости), по дан-
данным Уберои, в этом случае восстанавливается заметно быстрее, чем
изотропность турбулентности в целом.
Заметим, впрочем, что в работе Уберои A957) указывается на
нарушение локальной изотропии в пограничном слое около стенок
трубы, а в работе Уберои A963) подвергается сомнению также и
точное выполнение условий локальной изотропности турбулентности
в центральной части аэродинамической трубы за решеткой — возможно,
это связано с тем, что числа Рейнольдса в этих опытах были недо-
недостаточно велики. Впрочем, и в других упоминавшихся выше экспери-
экспериментах числа Рейнольдса были относительно небольшими. Однако
в последние годы благодаря усовершенствованию экспериментальной
техники удалось провести ряд измерений спектров турбулентности
при больших Re, при которых уже определенно следует ожидать
локальной изотропии турбулентных потоков. Полученные при этом
результаты оказались подтверждающими теоретические представления
о локальной изотропии развитой турбулентности. Так, например,
одновременные измерения спектров вертикальной и горизонтальной
компонент скорости ветра на 70-метровой метеорологической вышке,
выполненные в Институте физики атмосферы АН СССР, привели
к значениям отношения одномерных спектральных плотностей Е2(к)
и Ег(к), удовлетворительно согласующимся с предсказаниями, выте-
вытекающими из предположения о локальной изотропии (см. ниже стр. 428).
Хорошо согласуются с этими предсказаниями и значения отношений
структурных функций DNN (г) и DLL (r), построенных по данным измере-
измерений пульсаций скорости в морском проливе, выполненных Данном A965).
Напомним также про результаты Кистлера и Вребаловича A966),
о которых упоминалось в сноске на стр. 418. Наконец, специальное
внимание проверке локальной изотропии было уделено в работах
М. Гибсона A962, 1д63), измерившего с помощью малоинерционного
термоанемометра одномерные спектры продольной и поперечной ком-
компонент скорости Ег(к) и E2(k) в осесимметричной воздушной турбу-
турбулентной струе с числом Рейнольдса ?/df/v = 5- 105, где d — началь-
начальный диаметр струи, U — скорость на оси струи на расстоянии 50d
от ее начала (см. рис. 61а). Измеренные в опытах Гибсона спектр
энергии Бг(к) и спектр диссипации энергии k<lEl{k) почти не пере-
перекрывались, так что здесь следовало ожидать не только локальной

23.3]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
421
изотропии, но и существования инерционного интервала спектра.
Подтверждение локальной изотропии в этих опытах демонстрируется
данными рис. 616, где кружками изображены непосредственно изме-
измеренные значения Ex(k), а сплошной линией — значения Ex(k), вычи-
вычисленные по измеренным значениям E2(k) с помощью формулы
dE2 (k) _ k
dk ~ 2
B3.2)
являющейся следствием вытекающей из условия локальной изотропии
70
Рис. 61а. Продольный и попереч- Рис. 616. Сравнение измененных и рас-
ный одномерные спектры ско- считанных но формуле B3.2) значений
рости в турбулентной струе. продольного спектра Б1 (k).
формулы A2.87). Из рис. 616 видно, что в условиях опытов Гиб-
сона при *>0,1%^^~1 требование локальной изотропии выполняется
вполне удовлетворительно.
23.3. Проверка второй гипотезы подобия Колмогорова
для поля скорости
Перечислим прежде всего наиболее легко проверяемые экспери-
экспериментально следствия из второй гипотезы подобия Колмогорова.
К их числу надо, во-первых, отнести соотношения B1.17'), выражаю-
выражающие «закон двух третей» для структурных функций поля скорости
в инерционном интервале расстояний г, которые, с учетом третьего

422 гл. viii. локально изотропная турбулентность [23.3
соотношения B1.19), можно переписать в виде
DLL (г) = С (?>J/3, DNN (г) = 1С GгJ/3. B3.3)
К этим результатам примыкает также немного более сложно прове-
4 ~~
ряемое соотношение DLLL(r) — — -g- er (обладающее, однако, тем
преимуществом, что оно уже не содержит неопределенных числовых
множителей) и вывод о том, что коэффициент асимметрии
S = DulIdTl=-±C-3'2 B3.4)
и другие аналогичные безразмерные статистические характеристики
разностей скоростей на расстояниях г из инерционного интервала
суть константы.
Во-вторых, легко проверяются формулы B1.43), выражающие
«закон пяти третей» для временных спектров в инерционном интер-
интервале волновых чисел & = (о/#, которые, с учетом соотношений B1.25),
с большой степенью точности могут быть переписаны в виде
Ег И ~ \ с (*^J/3 ю-5/3. Е2 И « у С (ги)щ о-5/3. B3.5)
Заметим также, что проверка того, что отношение числовых коэф-
коэффициентов в формулах B3.3) (или B3.5)) действительно равно 4/3,
является дополнительной проверкой локальной изотропии турбулент-
турбулентности.
Измерения структурных функций
Попытка эмпирически проверить «закон двух третей» и оценить
коэффициент С впервые была предпринята еще Колмогоровым A941 г.),
который воспользовался для этого данными измерений продольной и
поперечной корреляционных функций поля скорости BLL (r) и BNN (г)
- 3 dp ZU dp ,.
и величины е = -^ ,, = -^—^— в турбулентности за решеткой в
аэродинамической трубе при относительно небольших Re, опублико-
опубликованными Драйденом, Шубауэром, Моком и Скрэмстедом A937). Колмо-
Колмогоров получил при этом для коэффициента С значение 1,5. Позже те же
данные вместе с данными некоторых родственных измерений англий-
английских авторов были обработаны с той же целью Бэтчелором A947),
пришедшим к близким выводам. Специально проверке следствий из
теории Колмогорова в применении к турбулентности за решеткой
(при ReM = —i— порядка 104~-105J посвящена работа Таунсенда
A9486), измерившего значения поперечной корреляционной функции
скорости BNN(r) и асимметрии 5 (г). Таунсенду вначале удалось
удовлетворительно согласовать свои результаты с выводами из тео-
теории лркально изотропной турбулентности (в предположении, что

233]
23- ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
423
коэффициент С близок к 1,6). Вслед за тем, однако, Стюарт A951)
рбнаружил, что некоторые результаты Таунсенда ошибочны и что
вообще все значения Re^, при которых ранее производились измере-
измерения за решеткой в аэродинамической трубе, слишком малы для суще-
существования заметного инерционного интервала (см. выше стр. 186).
Согласно ориентировочным оценкам Праудмена A951), Стюарта и
Таунсенда A951) и Гибсона и Шварца A9636), уже упоминавшимся
на стр. 186, для появления значительного инерционного интервала
число Рейнольдса Re^ должно иметь порядок миллиона или миллио-
миллионов. Эти оценки делают сомнительной также предложенную Карма-
Карманом A9486) интерпретацию экспериментальных данных X Липмана и
др. A951), относящихся к турбулентности за решеткой при ReAf=lО5
и 3 • Ю5, согласно которой соответствующие одномерные спектры
содержат пятитретевый участок (см. выше стр. 187).
Оценки Праудмена и Стюарта и Таунсенда сделали очевидным,
что надежная проверка следствий из второй гипотезы подобия, касаю-
касающихся инерционного интерва-
интервала, проще всего может быть
осуществлена в природных тур-
турбулентных течениях в атмо-
атмосфере и океане, характеризую-
характеризующихся обычно гораздо ббль-
<шими числами Рейнольдса, чем
течения в лабораториях. Пер-
Первая попытка измерения струк-
структурных функций поля ветра с
помощью термоанемометра с
целью проверки «закона двух
третей» была осуществлена
иод руководством Обухова
сразу же после появления соот-
соответствующей теории (см. Обу-
Обухов A942)), но из-за начав-
начавшейся войны она тогда не
только к предварительной
ного коэффициента Ь =
ЩО
5,0
1,0
0,5
0.2
'А
/
/г
—г
J
' Ц1 0,5 1,0 $0 ЩО
Н см
Рис. 62. Эмпирическая поперечная
структурная функция скорости по дан-
данным Гедеке A935).
была доведена до конца и привела
оценке порядка величины размер-
Позже Обухов A949в) вернулся к во-
вопросу о проверке «закона двух третей» по результатам измерений
в атмосфере, воспользовавшись на этот раз данными относительно
старых, но для своего времени очень точных термоанемометрических
измерений средних абсолютных значений разности скоростей ветра
1Аги| в направлении, перпендикулярном направлению ветра (что соот-
соответствует поперечной структурной функции DNN), выполненных Гедеке
A935) для ряда значений г = |г|, меняющихся от 0,1 до 80 см на
высоте 1 м над поверхностью луга. В результате обработки этих

424
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[23.3
данных Обуховым был построен график, изображенный на рис. 62;
согласно этому графику, при г > 1 см эмпирическая поперечная струк-
структурная функция DNN(f) хорошо описывается «законом двух третей».
В следующей работе Обухова A951) (см. также обзорные статьи
Монина A958) и Обухова и Яглома A958, 1959)) используются уже
его собственные измерения величин (Аг#J = DNN (r) (при г, последо-
последовательно принимавшем ряд значений от 2 до 60 см), выполненные
при помощи дифференциального термоанемометра на высотах z== 1,5,
3 и 15 м в приземном слое воздуха при термической стратификации,
мало отличавшейся от безраз-
безразличной. При такой стратифи-
стратификации скорость диссипации
энергии е, как известно, мож-
можно оценить по формуле
e — ullnz, где и%— «динами-
«динамическая скорость», определяе-
определяемая по профилю средней ско-
скорости ветра, а х « 0,4 — по-
\Аи\ о/
----— | /О
и
О
г
у
у
п
,4/
л
/ 1
2 4 8 16 32 60
стоянная Кармана (см. формулу
G.93) на стр. 404 части 1).
С помощью этой оценки «за*
кон двух третей» может быть
преобразован к виду
= aUAV\ B3.6)
Рис. 63. Проверка формулы B3.6) по
данным Обухова A951).
По оси ординат здесь отложены значения | Аи \/й
в процентах (где ~п— средняя скорость ветра на
высоте г), пропорциональные [(ДаJ]1/2/***, а зна-
значения г на оси абсцисс отложены так, чтобы 1/2
получилась линейная шкала значений rV3. где й = DС/3) . На рИС. 63
приводятся принадлежащие Обу-
Обухову результаты проверки формулы B3.6), показывающие, что данные
измерений не противоречат теоретическим выводам. Исходя из пред-
представленных здесь данных, можно также грубо оценить значение коэф-
коэффициента а; при этом получается результат а«1,1, эквивалентный
оценке С «0,9.
В дальнейшем многочисленные эмпирические данные, подтверждаю-
подтверждающие применимость второй гипотезы подобия Колмогорова к полю
скорости атмосферной турбулентности, были опубликованы целым
рядом исследователей.
Упомянем, в частности, результаты термоанемометрических
измерений временных структурных функций отдельных компо-
компонент скорости ветра, выполненных Маккриди A953) в США,
Шиотани A955, 1957, 1963) в Японии и Р. Тэйлором A955, 1961)
в Австралии, а также результаты аналогичных измерений с использо-
использованием термоанемометра и микрофлюгарок, произведенных X. Е. Кра-

23.3] § 23- ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 425
мером A959) и Рекордом и Крамером A966) в США 1). Все указан-
указанные авторы пришли к выводу, что эмпирические временные структур-
структурные функции на значительном интервале значений т удовлетворительно
описываются «законом двух третей» B1.42); таким образом, их дан-
данные подтверждают сразу и гипотезу Тэйлора о «замороженной турбу-
турбулентности» и вторую гипотезу подобия Колмогорова. Отметим еще,
что справедливость «закона двух третей» для DLL(r) и DNN(r) (и
соотношения DLL (r)/DNN (r) = 3/4) была установлена Данном A965)
и для турбулентности в море на глубинах от 3 до 10 м. Однако
наиболее убедительные подтверждения применимости гипотез подобия
к атмосферной и океанической турбулентности были получены в ходе
измерений спектров поля скорости, позволивших собрать обшир-
обширный эмпирический материал высокой степени точности. К описанию
этих измерений мы теперь и перейдем.
Измерения спектров поля скорости ветра
Временные спектры поля скорости могут быть или определены
численно (по записям пульсаций скорости или с помощью применения
преобразований Фурье к эмпирическим временным структурным функ-
функциям), или же найдены непосредственно с помощью пропускания
электрических сигналов, пропорциональных пульсациям скорости, через
фильтры спектрального анализатора. Обширная программа таких не-
непосредственных измерений временных спектров поля скорости атмо-
атмосферной турбулентности была выполнена, в частности, в Институте
физики атмосферы АН СССР. В этих измерениях датчиками служили
акустические анемометры, описанные в п. 8.3 части 1; полученные
с анемометров сигналы пропускались через 30 полосовых фильтров
(с шириной полосы по пол-октавы) спектрального анализатора, опи-
описанного в работе Бовшеверова, Гурвича, Татарского и Цванга A969).
Программа измерений ьключала измерения в приземном слое воздуха
(на высоте 1 и 4 м над степью) спектров пульсаций вертикальной
компоненты скорости w' (Гурвич A960а, б; 1962)) и горизонтальной
компоненты скорости (по направлению среднего ветра) иг (Зубков-
ский A962)), многочисленные измерения спектров wr на разных вы-
высотах (вплоть до 3—4 км) с борта самолета (Зубковский A963),
1) Рекорд и Крамер наряду со структурными функциями скорости изме-
измерили также величины — uw' = ul и ди/дх и с их помощью смогли прибли-
приближенно оценить значение универсального коэффициента С в «з|кон* двух
третей». С этой целью они использовали соотношение Тда — ufw' • ди/дх,
являющееся точным в случае безразличной стратификации (при условиях,
разъясненных в гл. 4 ч. 1; см., в частности, пп. 7.1 и 7.5), но, согласно
Данным Рекорда и Крамера, неплохо выполняющееся и при умеренных
отклонениях стратификации от безразличия. В результате они получили
оценку С «2, хорошо согласующуюся с выводами других исследователей,
о которых будет речь ниже.

426
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Копров A965)), а также отдельные измерения спектров w' и и' на
300-метровой метеорологической вышке в г. Обнинске (Цванг,
Зубковский, Иванов, Клинов и Кравченко A963)) и на 70-метровой
метеорологической вышке в степи вблизи г. Цимлянска; параллельно
с этим производились еще некоторые спектральные измерения, о кото-
которых мы будем говорить немного позже. Согласно полученным ре-
результатам, спектры пульсаций и'
и w' всегда содержат значитель-
значительный участок, на протяжении кото-
которого они изменяются пропорцио-
пропорционально частоте в степени 5/3,
причем при наличии достаточного
осреднения эта пропорциональ-
пропорциональность выполняется с очень высо-
высокой степенью точности. На рис. 59
уже был представлен один при-
пример спектра пульсаций wr на вы-
высоте 70 я, наглядно показываю-
показывающий справедливость «закона пяти
третей». Еще один пример такого
рода доставляют представленные
на заимствованном из работы
Цванга, Зубковского, Иванова,
Клинова и Кравченко A963) рис. 64
спектры пульсаций и' и w' на
высоте 300 м (пересчитанные
в пространственные спектры с по-
помощью применения гипотезы Тэй-
лора B1.41)), осредненные по
нескольким группам (двум в слу-
случае спектров и' и трем в случае
спектров w')t характеризующимся
примерно одинаковыми условиями
стратификации. Аналогичные ре-
W'4
W'
Рис. 64. Эмпирические одномерные
спектры горизонтальной (и) и вер-
вертикальной (w) компонент скорости
ветра на высоте 300 ж.
Ю'1 к,см'1 зультаты были получены и в ци-
цитированных выше работах Гур-
вича, Зубковского и Копрова (см.,
в частности, ниже рис. 68 и 72).
Эмпирические данные, под-
подтверждающие применимость «зако-
«закона пяти третей» к временным спектрам пульсаций компонент скорости
ветра, можно найти и в работах других исследователей. Так, Панов-
ский и Ван дер Ховен A956) указывают, что измеренные на 100-мет-
100-метровой метеорологической вышке в Брукхэйвене спектры пульсаций
продольной компоненты и' удовлетворяют «закону пяти третей» на

23.3]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
427
значительном интервале частот / (даже большем, чем можно было бы
ожидать, исходя из условия k"^$> \jL, входящего в определение инер-
инерционного интервала спектра). Значения временных спектров пульса-
пульсаций w' в приземном слое (на высотах от 2 до 12 м), определенные
с помощью спектрального анализатора и акустического анемометра
(с заметно большей базой, чем база анемометра, применявшегося
в Институте физики атмосферы АН СССР) Бюсингером и Суоми A958),
также хорошо согласуются с «зако-
«законом пяти третей». Сводные данные
Пановского и Маккормика A960) о
временных спектрах пульсаций w'
на различных высотах от 20 см
до 600 м характеризуются относи-
относительно большим разбросом, но в
целом и они неплохо согласуются
с предположением о справедливости
«закона пяти третей» для частот
/, удовлетворяющих неравенству
/ > OJujz (или около того) в случае
устойчивой стратификации и неравен-
неравенству / > OAu/z в случае неустой-
неустойчивой стратификации. Наконец, зна-
значения спектров компонент скорости
ветра на высотах от нескольких
сотен метров и до 3,5 /см, полу-
полученные Маккриди A962а) с по-
помощью термоанемометрических из-
измерений с борта планера, и мно-
многочисленные данные самолетных
измерений спектров E[u)(k), E^ (&) и
Е}ы)т>
w5
5
W4
5
W3
5
W2
5
w
5
10°
5
W'1
70-'
10°
W1 W2
kt км-1
Рис. 65. Одномерный продольный
спектр скорости на высоте около
5 км по данным Пинуса A966).
Разными значками обозначены резуль-
результаты измерений, проводившихся в разное
время разными методами.
E\w'(k) пульсаций и , v и w' на
различных высотах, опубликован-
опубликованные Шуром A962, 1964), Берне
A964), Пинусом A966), Пэйном и Ламли A966), Винниченко, Пину-
сом и Шуром A967), Рейтером и Берне A967) и другими исследова-
исследователями, также все неплохо подтверждают существование спектрального
•интервала (разного на разных высотах и при разных условиях), на кото-
котором справедлив «закон пяти третей» (см., например, рис. 65, заим-
заимствованный из работы Пинуса A966)). Таким образом, в настоящее
время нет никаких оснований сомневаться в применимости «закона пяти
третей» к спектрам скорости атмосферной турбулентности.
Опубликованные к настоящему времени данные одновременных
измерений спектров различных компонент скорости ветра обычно слиш-
слишком грубы, чтобы позволить убедительно проверить соотношения

428 гл. vin. локально изотропная турбулентность [23-з
E[u)(k)IE^\k) = Ef)(k)IE(i/)(k)=3l41 связывающее продольный и попе-
поперечный одномерные спектры локально изотропной турбулентности
в инерционном интервале; чаще всего эти данные позволяют лишь
утверждать, что отношение спектральных плотностей различных ком-
компонент скорости имеет порядок единицы (см., например, Маккриди
A962а), Шиотани A963), Берман A965), Рейтер и Берне A967)).
Однако измерения Берне A964) определенно показывают, что Е^ (k)>
>?iM)(&) в инерционном интервале, а данные выполненных в Инсти-
Институте физики атмосферы АН СССР синхронных измерений спектров
пульсаций и' и wf на 70-метровой метеорологической мачте вблизи
г. Цимлянска, как указано в статье Гурвича, Копрова, Цванга и Ягло-
ма A967), дали для отношения Me) (*)/Mw) (*) в инерционном интервале
значение 0,77 + 0,08, очень близкое к теоретическому значению 0,75.
Воспользовавшись оценками средней скорости диссипации энер-
энергии 7 по измеренным значениям профилей средней скорости ветра и
температуры в приземном слое, Гурвич A960а; б; 1962) и Зубков-
ский A962) оценили, исходя из своих данных, также и значение
универсального безразмерного коэффициента С в формулах B3.3)
и B3.5) (подробнее об этом см. ниже стр. 433). Полученные ими
результаты после исправления допущенных авторами погрешностей 1)
принимают вид: С « 1,1-н 1,3 (Гурвич) и С» 1,6-н 1,9 (Зубковский);
последний из них, как мы увидим на стр. 439, довольно близок к
оценке С, представляющейся наилучшей в настоящее время. Другой
метод оценки коэффициента С, опирающийся на точную формулу B3.4),
использовал Гурвич A960в). С этой целью он применил два акусти-
акустических анемометра, напряжения с выходов которых подавались на
вычитающую схему и преобразовывались в электрический сигнал,
пропорциональный разности скоростей в двух точках приземного слоя
атмосферы (на одной и той же высоте z =1,8 м). Пропустив затем
этот электрический сигнал через квадрирующее и возводящее в куб
аналоговые устройства, Гурвич получил значения структурных функ-
функций DLL(r) и DLLL(r) при двух значениях г из инерционного интер-
интервала и затем определил, исходя отсюда, значения коэффициента
асимметрии продольной разности скоростей 5 = DLLL (r)/[DLL (r)]3/2.
В результате он нашел, что 5= — 0,45 ±0,05 при г = 25 см и
1) В работе Зубковского основная таблица на стр. 1431 на самом деле
составлена по измеренным значениям спектра Ех (/) (где / = со/2я), норми-
оо
рованного условием Ех (/) df = и'2 и отличающегося множителем 4я от
о
спектра F (©), фигурирующего в приведенных в работе формулах. В рабо-
работах Гурвича неверно указаны масштабы на некоторых графиках; приведен-
приведенная здесь оценка С опирается на числовые данные, содержащиеся в таб-
таблице 4 наиболее полной работы Гурвича A962).

23.3] § 23- ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 429
5 = — 0,40 ±0,06 при г = 50 см. В дальнейшем Стюарт A963) ука-
указал, однако, что приборное осреднение по-разному сказывается на
значениях DLL(r) и DLLL(r)t так что учет этого осреднения должен
изменить результаты Гурвича. Приняв некоторые естественные пред-
предположения о влиянии приборного осреднения на третьи моменты, он
сумел оценить соответствующую поправку, с учетом которой резуль-
результаты Гурвича приняли вид: 5 = — 0,39 + 0,04 при г = 25 см и
S = — 0,36±0,05 при г = 50 см. В силу формулы B3.4) значению
5 = — 0,39 отвечает С^ 1,6, а значению 5 = — 0,36 отвечает С^ 1,7.
Такие значения С, как уже отмечалось чуть выше, удовлетворительно
согласуются с полученными иным образом более поздними результа-
результатами, о которых будет идти речь на стр. 439.
При обработке результатов измерений спектров атмосферной турбулент-
турбулентности в приземном слое воздуха над плоской и однородной подстилающей
поверхностью оказывается полезной общая теория подобия характеристик
турбулентности в температурно-стратифицированном пограничном слое, из-
изложенная в гл. 4 части 1.
Выводы из этой теории, касающиеся значений структурных функций на
не слишком малых расстояниях г и спектров при не слишком больших вол-
волновых числах k, при которых можно пренебречь влиянием вязкости, были
указаны в работах Монина A958, 19596, 1962а, б). Для спектральной плот-
плотности вертикальных пульсаций скорости Ew (со) = Е2 (со) вытекающая из теории
подобия формула имеет вид
ul z / (oz \
) B3.7)
ul z / (oz \
и \ и )
где tyw— универсальная функция от безразмерной частоты (nz/и и числа
Ричардсона Ri (вместо которого можно использовать также безразмерную
высоту ? = z/L формулы G.11)). Аналогичные формулы справедливы и для
спектров горизонтальных компонент пульсаций скорости и' и v''. Из этих
формул, в частности, видно, что частоты, соответствующие тем или иным
характерным точкам спектров (максимумам, низкочастотным г?аницам
инерционного интервала и т. п.), будут иметь вид (о = — Q (Ri) = — Qx (?),
где Q и Qi — некоторые универсальные функции.
При сильной неустойчивости (? <^ —1) из формул теории подобия
должен выпасть параметр и„ т. е. безразмерные функции гИ^?, и должны
быть асимптотически пропорциональными |?|2/3» а функции Q{ (?)—прибли-
(?)—приближаться к некоторым постоянным. При сильной устойчивости (?^> 1)
из формул теории подобия, по-видимому, должна выпасть высота г, так что
в этом случае i|?/-^-, g) < *i/-=-] и Qj(?)~{; (т. е. @ = uQl/z^'ulL).
\ I I \и ]
п \ I I \ ]
^ увеличением устойчивости суммарная интенсивность турбулентных пульса-
пульсаций убывает в первую очередь за счет разрушения крупномасштабных
неоднородностей, т. е. максимум спектра сдвигается в область возмущений
меньших масштабов. Соответствующая этим предсказаниям качественная
зависимость спектров от характера термической стратификации призем-
приземного слоя воздуха иллюстрируется рис. 66, заимствованным из работы
Монина A9596). Далее, сравнивая формулы теории подобия с формулами

430 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [23.3
B3.5), убеждаемся, что в инерционном интервале спектра должно быть
*.(^. ^^С(Щ-J'31^-)'5'3, B3.8)
\ и I о
\ и
а в аналогичной формуле для t|?a коэффициент 1/3 заменяется на 1/4.
Теория подобия применялась, в частности, Гурвичем A960а, б; 1962)
при обработке полученных им спектров пульсации wT на высотах 1 и 4л.
Измеренные спектры при этом
разбивались на группы по зна-
значениям числа Ричардсона Ш.
Пример одной из таких групп
(соответствующей г = 4 л и
Ri = — 0,09) приведен на рис.
67а. На рис. 676 приводятся
отвечающие спектрам рис. 67 а
значения функции tyu
¦—в.
u%z
Рис. 66. Типичная форма спектра скорости
,-неУГч„Т™фХ?ТГралЬНа, ох безразмерной частоты ,ф
5- устойчивая. (где w# = kz (ou/oz) — просто
определяемая по измеренным
профилям скорости ветра величина, обращающаяся в и^ при безразличной
стратификации и равная *VP(?) в общем случае; ср. формулу G.15) на
rS/3
Znu
Рис. 67. Спектры вертикальной скорости при Ri = — 0,09 по данным Гур-
вича A960а, б).
стр. 371 части 1). Мы видим, что предусматриваемая формулой B3.7)_ норми-
нормировка спектров Ew на u2zju и переход к безразмерным частотам fz/u позво-

23.3]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
431
ляют при данном Ri сильно уменьшить разброс индивидуальных спектров.
На рис. 67в приведены осредненные значения i|?w при Rl = — 0,09 по изме-
измерениям на высотах z = 1 м и 4 м\ мы видим, что эти спектры с большой
точностью удовлетворяют «закону пяти третей», и что для разных высот они
практически совпадают в соот-
соответствии с предсказаниями тео-
рии подобия.
На рис. 68 приводятся осред-
осредненные значения безразмерных
спектров
f ¦ »)
при семи
разных значениях Ri; они все со-
содержат заметный пятитретевый
интервал и в то же время обна-
обнаруживают закономерную зависи-
зависимость от Ri, согласующуюся с
качественными предсказаниями,
изображенными на рис. 66. На
рис. 69 приводятся значения
(ог/пM/3 $w (ог/w; Ri) (умножен-
(умноженные на некоторые постоянные,
значения которых мы не уточняем,
не указывая масштаба по оси
ординат). Согласно B3.8), в инер-
инерционном интервале эти значения
должны становиться постоянными;
графики хорошо подтверждают
это предсказание и дают возмож-
возможность оценить нижнюю границу
инерционного интервала частот.
Согласно сказанному выше, эта
граница должна иметь вид
ю
0,010,030,050,10,2 0,510
со =
для Q здесь полу-
5 10 20 50100
юг
2кп
Рис. 68. Спектры вертикальной скорости
при семи различных числах Ричардсона.
/) Ri = — 0,76, 2) Ri = — 0,36, 3) Ri =
= —0,09, 4) Ri = —0,02, 5) Ri = 0,
6) Ri = 0,03, 7) Ri = 0,28.
чаются следующие примерные
оценки: Q « 2,5 при сильной не-
неустойчивости (Ri = — 0,76), Q « 4,5
при безразличной стратификации
(Ri = 0) и Q«12 при сильной
устойчивости (Ri = + 0,28). По порядку величины эти значения согласуются
с выводами из сводного графика Пановского и Маккормика, указанными
на стр. 427. Заметим в этой связи, что Понд, Стюарт и Берлинг A963)
с помощью грубых теоретических рассмотрений оценили, что при безраз-
безразличной стратификации следует ожидать выполнения неравенства Q > 4,5, а
Пристли A959а) приводит ориентировочную среднюю цифру Q « 0,6«2я « 4.
Следует, однако, иметь в виду, что само определение низкочастотной гра-
границы инерционного интервала далеко не однозначно: границы применимости
«закона пяти третей* к одномерным спектрам пульсаций и' и w' не должны
совпадать друг с другом, и обе они намного превосходят границу при-
применимости того же закона к трехмерному спектру Е (k)\ значения со, ниже
которых сосредоточен практически весь спектр потока импульса х = — pu'w'
или потока тепла q — cppT'w' (который должен обращаться в нуль в пре-
пределах инерционного интервала), не совпадают ни с одной из указанных выше

432 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [23.3
границ и т. д. (ср. обсуждение этого вопроса в работе Маккриди A9626)).
Довольно грубая сводка имеющихся данных о различных возможных
«низкочастотных границах» инерционного интервала в приземном слое воз-
воздуха, составленная Маккриди A9626), приведена на рис. 70 (слабая зависи-
зависимость масштаба значений fz/u от высоты, указанная на этом рисунке,
не противоречит сказанному
/м7\Ф~ /*,O „л выше, так как типичные не-
неустойчивые и устойчивые си-
ситуации на разных высотах
. характеризуются разными зна-
V*
рру р
чениями Ri и С = z\L).
В заключение обсуждения
результатов Гурвича мы при-
приведем еще на рис. 71 графики
4М^
НО? 0,05 0,2 1,0 5 20 j^
величины -~- Е
/ = о/2я, дающие наглядное
представление о характере
распределения интенсивности
пульсаций сг^, по спектру ча-
частот при разных Ri в соответ-
соответствии с формулой
оо
0
сю
= J о?да(о)<Лпо, B3.9)
Рис. 69. Значения функции
f13 $w (до/и, Ri) при разных Ri.
Группы /т-7 соответствуют тем же значениям
что и на рис. 68.
показывающей, что In 2 •
есть вклад в полную интен-
интенсивность а^, пульсаций w\ по-
порожденных интервалом час-
частот в одну октаву. Из этих
графиков видно, что наибольший вклад в а^, при неустойчивой стратифика-
стратификации вносят частоты о ж l,5u/z, при безразличной стратификации — частоты
о « 2u/z и при устойчивой стратификации — частоты о ж би/z; относитель-
относительный вклад инерционного интервала в o2w составляет около 30%.
Данные о спектрах продольных пульсаций и' скорости ветра в при-
приземном слое (на высоте 4 м над степью), обработанные на основе при-
применения формулы B3.7), были опубликованы Зубковским A962). В качестве
иллюстрации полученных им результатов мы приводим на рис. 72 графики
осредненных безразмерных спектров фи (fz/ti, Ri) = u~Eu Bnf)julz при шести
значениях Ri. Мы видим, что здесь полученные значения спектров тоже
хорошо согласуются с «законом пяти третей» на значительном интервале
частот; одновременно они неплохо согласуются и с формулой теории подо-
подобия B3.7), поскольку использование переменных фа и fz/ii и в этом случае
позволяет значительно уменьшить разброс индивидуальных спектров, отве-
отвечающих фиксированному значению Rj. Нижняя граница инерционного

23 3]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
433
интервала в спектре пульсаций и', согласно данным Зубковского, пред-
представленным на рис. 72, меняется при рассмотренных здесь значениях Ri
от ©» \t5u/z идой» 45u/z. _
Воспользовавшись оценкой величины е при различных условиях стра-
и3
тификации при помощи формулы 7 « -^ Фе (?), где в первом приближении
Температурная
стратификация
Неустойчивость
безразличие
Устойчивость
/| /XV
Вжата
100*
0,7м
5
^L
М
0,5 7,0 1,5 2,0
fz/u
Рис. 70. Низкочастотные границы инерционного интервала
спектра на разных высотах и при различной температурной
стратификации (по Маккриди A9626)).
1) Граница «закона 5/3» для продольной компоненты скорости ветра; 2) зна-
значение частоты, ниже которой сосредоточено 80% турбулентного потока тепла;
3) частота, ниже которой сосредоточено 80% турбулентного потока импульса;
4) граница «закона 5/3» для вертикальной н боковой компонент скорости;
5) граница «закона о/З» для трехмерного спектра.
можно принять Фе(?) = ?/' — С. а /(С) — универсальная функция, опре-
определяющая безразмерный профиль средней скорости ветра в стратифициро-
стратифицированной атмосфере (см. п. 7.5 части 1, формулы G.93) и G.103)), можно
оценить по измеренным значениям безразмерного спектра ^w{fzjut Ri)
или $а(/г/гГ, Ri) в инерционном интервале при различных значениях Ri
и профилям ветра и температуры также и значение универсальной постоян-
постоянной С в формулах B3.3) и B3.5). Особенно надежными надо считать
оценки, отвечающие Ri = 0, так как здесь используется лишь формула
е = иЦкг, вывод которой не требует привлечения дополнительных гипотез.
Подобное определение С было произведено Гурвичем и Зубковским; оно
приводит к значениям С * 1,1 -*-1,3 (Гурвич) и С * 1,6-*-1,9 (Зубковский),
уже упоминавшимся на стр. 428 1).
1) Аналогичный метод оценки 7 был применен Такеучи A962) к данным
о значениях временнбй структурной функции Duu (т), подсчитанным Р. Тэйло-
ром A961) по материалам измерений Суинбенка A955). В результате Такеучи
получил оценку С« 1,25, близкую к оценке Гурвича (но заниженную
согласно всем остальным данным).
28 Д. С. Монин, Д. М. Яглом

434
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[23.3
Если считать постоянную С в формулах B3.3) и B3.5) известной, то
по эмпирическим значениям структурных функций и спектров в инерцион-
инерционном интервале можно определить также и ^начение средней скорости
диссипации энергии е. Подобные определения е можно найти, в частности,
в работах Маккриди A953, 19626), Болла A961), Зубковского A962),
ЮЛ
5 ю го so mm 5oo
coz
2пи
Рис. 71. Распределение интенсив- Рис. 72. Осредненные без-
ности пульсаций вертикальной ско- размерные^ спектры гори-
рости по спектру частот при разных зонтальной компоненты ско-
стратификациях. рости в приземном слое при
различных значениях Ri.
/) Ri = — 1,07, 2) Ri =
= --0.38, 3) Ri = —0,12.
4) Ri = 0,05, 5) Ri = 0,12,
6) Ri = 0,33.
Иванова A962, 1964), Копроза A965), Френзена A965), Рекорда и Кра-
Крамера A966) и Копрова и Цванга A966). На основе полученных данных,
а также данных о значениях е, полученных по измерениям средних про-
профилей скорости ветра и температуры с помощью метода, изложенного
в пп. 7.5 и 8.5 части 1, и по измерениям характеристик относительной
диффузии примесей в атмосфере (см. ниже п. 24.3), Болл A961), Ива-
Иванов A962), Уилкинс A960, 1963) и Рекорд и Крамер A966) опубликовали
сводные графики зависимости диссипации энергии е от высоты г, показы-
показывающие, что в среднем е" довольно быстро убывает с ростом z (приблизи-
(приблизительно обратно пропорционально высоте в. степени, близкой к единице).

23.3]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
435
К сожалению, методы определения е во многих случаях связаны
с использованием недостаточно надежных значений числовых коэффициен-
коэффициентов, часто имеют небольшую точность и приводят к довольно большому раз-
разбросу получаемых значений. В приземном слое воздуха над плоской и одно-
однородной подстилающей поверхностью при безразличной стратификации для
оценки е можно воспользоваться теоретической формулой е = u^JyiZt
10
10'
10
-2
Утро
День
Вечер
50
100
200
500
1000 2000 30004000
Z,M
Рис. 73. Профили 7 (г) утром, днем и вечером по данным Копрова и Цванга.
а в условиях свободной конвекции — формулой е = -^ — = const (где
* о ^рР
Я — турбулентный поток тепла). В других условиях теория не позволяет
получить явной формулы для е, но она позволяет утверждать, что в при-
приземном слое значения г, и+ и q во всех случаях однозначно определяют
значение е (см. гл. 4 части 1). На больших высотах в атмосфере положение
представляется более сложным, но в принципе и здесь значения ? должны
определяться высотой z и общими метеорологическими условиями (прежде
всего, характером термической стратификации; ср., например, Иванов
A962, 1964)), а также типом подстилающей поверхности. По данным само-
самолетных измерений Зубковского A963), Копрова A965) и Копрова и
Цванга A966), в типичных летних условиях развитой конвекции над степью
значения ? приблизительно постоянны в слое 50—200 м, а выше начинают
28*

436 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [23.3
слегка убывать вплоть до высот порядка 1000—2000_л* (см., в частности,
рис. 73); на бблыпих же высотах скорость убывания^ с ростом z обычно
значительно возрастает. В слое 50—200 м значения ?, по-видимому, могут
ar n
быть грубо оценены с помощью формулы е «-^ —, следующей
* о ср9
из теоретического уравнения баланса энергии для условий свободной
конвекции над однородной подстилающей поверхностью; выше, однако,
подобная оценка становится сов?ем уж неприемлемой. При других метеоро-
метеорологических условиях профиль е над степью может иметь совсем другой
вид, но во всех случаях, характеризуемых примерно одинаковыми условиями,
он также оказывается примерно одинаковым (см., например, заимствован-
заимствованный из работы Гурвича, Копрова, Цванга и Яглома A967) рис. 73, показы-
показывающий схематический вид профилей е летом над степью днем (в условиях
развитой конвекции), утром (в условиях развивающейся конвекции) и
в вечерние часы (при стратификации, близкой к безразличной).
Измерения в более широкой спектральной области
Приборы, применявшиеся в перечисленных выше измерениях
спектров атмосферной турбулентности, по своей инерционности и
габаритам не позволяли надежно регистрировать наиболее мелко-
мелкомасштабные компоненты турбулентности и перейти через верхнюю
границу инерционного интервала спектра волновых чисел (или частот).
Эту трудность удалось преодолеть в последние годы ряду исследо-
исследователей, создавших достаточно малоинерционные и малогабаритные
датчики скорости и использовавших их для измерения спектров
турбулентности (и в природных и в лабораторных течениях) не только
в инерционном интервале, но и в интервале диссипации. Назовем
прежде всего относительно раннюю работу Бетчова A957), использо-
использовавшего термоанемометр с платиновой нитью толщиной 1,25 мкм и
длиной 1 мм и проведшего с его помощью измерения спектра турбу-
турбулентности, образующейся в весьма своеобразных условиях — внутри
трубы при засасывании в нее воздуха через 80 отверстий в ее
передней и боковых стенках и перемешивании образующихся воз-
воздушных струек. Число Рейнольдса, составленное по средней скорости
и диаметру отдельной струйки, здесь было равно 3,5 . 104, но турбу-
турбулентность была гораздо более интенсивной, чем в аэродинамической
трубе за решеткой при Re того же порядка, и характеризовалась значи-
значительно большими значениями «пульсационного числа Рейнольдса» Rev
Согласно полученным Бетчовым результатам, одномерный продольный
спектр Ех (k) пропорционален &~/3 на довольно большом интервале
значений k, в то время как при бблыиих волновых числах k спектр Ех (k)
убывает значительно быстрее (точный вид спектра Ex(k) в этой
области, полученный Бетчовым, не очень хорошо согласуется с дан-
данными более поздних измерений, о которых будет речь ниже).
После работы Бетчова следует указать на уже упоминавшиеся
в предыдущем пункте термоанемометрические измерения М. Гибсона

23.3] § 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 437
A962, 1963) спектров поля скорости в турбулентных струях воз-
воздуха при Re—5- 105. Далее мы назовем работы Гранта, Стюарта и
Моильета A962), Стюарта и Гранта A962) и Гранта и Моильета A962),
измерявших спектры турбулентности в приливном течении в море
(в проливе между двумя островами вблизи западного побережья
Канады при числе Рейнольдса, рассчитанном по средней скорости
и глубине пролива, порядка 3 . 108) при помощи термоанемометра,
в котором роль нити играла платиновая пленка толщиной 10"" см,
с линейными размерами менее 0,05 см и сопротивлением 5 ом, на-
напаянная на острие тонкого стеклянного конуса. Аналогичный, но
несколько более грубый датчик скорости использовался при измере-
измерениях Гибсона и Шварца A9636) в потоке соленой воды за решеткой
в круглой трубе (при Re = (l -*-7) • 104). В измерениях Понда,
Стюарта и Берлинга A963) и Понда, Смита, Хэмблина и Бер-
линга A966) в нижнем слое воздуха над волнующейся поверхностью
моря (на высотах 1—2 м, при высоте волн порядка 0,3 м и ско-
скорости ветра на высоте измерения около 3 м/cetc) использовался
термоанемометр с платиновой нитью толщиной 8 мкм и длиной
0,5 -и 1 мм (см. по этому поводу также диссертацию Понда A965)).
Назовем, наконец, измерения Сэндборна и Маршалла A965) (ср. также
Сермак и Чжан A967)) спектров продольной компоненты скорости
в пограничном слое около нижней стенки огромной аэродинамической
трубы Колорадского университета (с рабочей частью квадратного
сечения 2 м X 2 м и длиной около 30 м). Эти измерения произво-
производились при помощи термоанемометра с вольфрамовой нитью толщи-
толщиной около 5 мкм на трех высотах над стенкой на расстоянии около
23 м от начала рабочей части трубы при скорости вне пограничного
слоя порядка 10 м/сек.
Подробное рассмотрение результатов всех перечисленных работ
мы отложим до следующего пункта. Здесь же мы лишь отметим,
что во всех этих работах было надежно установлено существование
инерционного интервала волновых чисел, в котором спектры удовле-
удовлетворяют «закону пяти третей». Если при относительно небольших Re,
порядка A-4-7)» 104, отвечающих опытам Гибсона и Шварца, инер-
инерционный интервал был очень коротким, то при наибольших Re, по-
порядка 3 • 108, соответствующих измерениям Гранта, Стюарта и
Моильета, в пределах инерционного интервала волновые числа k
менялись уже по крайней мере на три порядка. Последнее обстоя-
обстоятельство видно, в частности, на заимствованном из работы Гранта,
Стюарта и Моильета рис. 74, на котором в билогарифмическом
масштабе изображен безразмерный продольный одномерный спектр
(ev5)"" Ex(k) как функция от безразмерного волнового числа x — akx\
(где а — специальная числовая постоянная, пропорциональная С3/4,
которая была включена в выражение для х для удобства последующего

438
ГЛ. VIll. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
B3.3
сопоставления . полученных результатов с .полуэмпирической
формулой Гейзенберга для спектра турбулентности).
Как мы знаем, измерения спектров в инерционном интервале по-
позволяют оценить значение универсальной постоянной С в формулах
B3.5) и B3.3), если только удается каким-то образом определить
соответствующее значение скорости диссипации энергии е. С этой
точки зрения измерения последних лет представляют особый интерес,
2
О
-2
-4
\
V
-3
а)
Рис. 74. а) Безразмерный продольный спектр скорости по данным
Гранта, Стюарта и Моильета A962); б) в увеличенном масштабе
изображены данные, попавшие внутрь квадрата на рис. 74а.
так как ряд из них (в частности, измерения Гранта, Стюарта и
Моильета A962), М. Гибсона A962, 1963), Понда, Стюарта и Бер-
линга A963), Понда, Смита, Хэмблина и Берлинга A966) и Сэнд-
борна и Маршалла A965)) содержит данные о значениях спектра Е} (к)
вплоть до столь больших волновых чисел к (охватывающих уже и
основную часть интервала диссипации слектра), что позволяют одно-
одновременно определить и значение е с помощью использования точного
соотношения
e=15v
формулы A2.94). Таким путем в работе Гранта, Стюарта и
Моильета было получено значение С= 1,90 ±0,08; в работе Понда,
Смита, Хэмблина и Берлинга A966) — очень близкое значение
1,97 ± 0,16; в работах М. Гибсона — два отличающихся на несколько
сотых значения, среднее из которых дает оценку С = 2,1 (возможно,
слегка менее точную, чем предыдущие). Сэндборн и Маршалл не
приводят результатов непосредственного определения значения по-
постоянной С по своим данным, но, поскольку универсальная функция,

23.3] § 23- экспериментальные данные 439
описывающая одномерный спектр, у них получилась прекрасно со-
совпадающей с кривыми Гранта, Стюарта и Моильета и Поада, Стюарта
и Берлинга (см. ниже рис. 76), нет сомнения, что и эти данные
приводят к значению С, очень близкому к полученным предыдущими
исследователями. Наконец, в работе Гибсона и Шварца A9636) изме-
измеренные значения спектра Ех(к) не позволяли надежно определить по
ним величину е, но эта величина здесь определялась (по-видимому,
с несколько меньшей точностью, чем в указанных выше работах) по
закону затухания среднего квадратичного значенля пульсации ско-
скорости с увеличением расстояния от решетки. Воспользовавшись най-
найденными таким образом значениями е, Гибсон и Шварц для С по-
получили оценку С ж 1,7 ± 0,08.
Хорошее согласие между собой всех перечисленных результатов,
относящихся к совершенно различным типам турбулентных течений,
так же как и прекрасное совпадение полученных в перечисленных
работах универсальных кривых для спектров турбулентности в интер-
интервале диссипации, о котором будет рассказано в следующем пункте,
бесспорно, является очень большим достижением в области экспери-
экспериментального изучения турбулентности, 'окончательно подтвердив-
подтвердившим с высокой степенью точности справедливость предсказаний
теории Колмогорова об универсальности статистического режима
мелкомасштабных компонент любой турбулентности с достаточно
большим Re. В качестве оценки универсального коэффициента С
приведенные выше данные позволяют рекомендовать значение
С ж 1,9; в силу формул B1.25),, B1.250 и B3.4) ему отвечают зна-
значения коэффициента в «законе пяти третей» B1.24') для трехмерного
спектра Cj^l,4, коэффициента в «законе пяти третей» для одно-
одномерного продольного спектра С2 « 0,48, коэффициента асимметрии
продольной разности скоростей 5^0,31 и коэффициентов в законах
двух третей и пяти третей для поперечной структурной функции и
поперечного одномерного спектра С ж 2,5 и Сг^О.бЗ. Степень точ-
точности приведенных оценок безразмерных универсальных коэффициен-
коэффициентов не может быть установлена вполне надежно, но вряд ли ошибка
здесь превосходит 10—15%. Любопытно, что приведенные оценки
оказались не очень далекими от самой первой (и казавшейся очень
грубой) оценки Колмогорова С «1,5; относительно неплохо они
согласуются также и с оценками Зубковского A962) и исправленной
с помощью учета приборного осреднения оценкой Гурвича A960в),
указанными на стр. 428—429.
После того как значения универсальных коэффициентов в законах
двух третей и пяти третей установлены сравнительно точно, эти зна-
значения могут быть уже использованы и для надежного определения
значений средней скорости диссипации энергии е по измерениям
спектров или структурных функций в пределах инерционного интер?

440 ГЛ. VIII, ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [23.4
вала. В частности, приведенные выше оценки безразмерных коэффи-
коэффициентов были уже использованы для определения значений е в атмо-
атмосфере и океане в работах Стюарта и Гранта A962), Пановского и
Паскуила A963), Копрова A965), Копрова и Цванга A966), Рекорда
и Крамера A966), Бызовой, Иванова и Морозова A967) и некоторых
других.
23.4. Проверка первой гипотезы подобия
Колмогорова для поля скорости
Наиболее легко проверяемыми следствиями первой гипотезы по-
подобия Колмогорова являются формулы B1.20) для продольного и
поперечного одномерных спектров поля скорости, которые можно
записать в виде
Ех{к) = (Iv5I/4<pi (fttl). E2 (*) = ?v5I/4q>2 (ftn). B3.10)
где if] = (v3/eI/4 — внутренний масштаб турбулентности, a <Pi(?) и
Ф2(?) — некоторые универсальные функции. При kt\<^l формулы
B3.10) обращаются в «закон пяти третей», который, как мы видели
выше, надежно подтверждается экспериментальными данными. Теперь же
мы остановимся на проверке формул B3.10) при 6т|^,1, т. е.
в интервале волновых чисел, в котором сказывается влияние моле-
молекулярной вязкости.
В последней части предыдущего пункта мы перечислили ряд работ,
в которых удалось непосредственно промерить спектры поля скорости
не только в инерционном интервале волновых чисел /г, но и на зна-
значительной части интервала диссипации. Примеры таких спектров мы
уже приводили на рис. 61 по измерениям М. Гибсона A962, 1963)
и на рис. 74 по измерениям Гранта, Стюарта и Моильета A962).
На рис. 75, заимствованном из работы Гибсона и Шварца A9636),
приводится сопоставление полученных ими в потоке воды в трубе
за решеткой при разных Re продольных нормированных спектров
yi(kr]) со спектром Гранта, Стюарта и Моильета и со спектрами,
вычисленными по измеренным Стюартом и Таунсендом A951) корре-
корреляционным функциям изотропной турбулентности за решеткой в аэро-
аэродинамической трубе. Из этого рисунка видно, что при разных Re
длина инерционного интервала спектра оказывается различной (при-
(причем фактически только данные Гранта, Стюарта и Моильета и дан-
данные Гибсона и Шварца при наибольшем Re указывают на существо-
существование такого интервала), и что ниже этого интервала спектры суще-
существенно отличаются друг от друга. Однако в пределах инерционного
интервала и за его коротковолновым концом все нормированные
спектры с относительно малым разбросом ложатся на одну универ-
универсальную кривую в полном согласии с предсказанием B3.10). Любо-
Любопытно, что это относится даже и к данным Стюарта и Таунсенда

23.4]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
441
при относительно очень небольших Re, при которых, вероятно, не
имеет места разделение «интервала энергии» и «интервала диссипа-
диссипации» спектра, требуемое колмогоровской теорией локально изотроп-
изотропной турбулентности. В этой связи Гибсон и Шварц отметили, что
ю4
10s
1Ог
w1
10°
10~2
w3
10"
• 38300 170
• 32100 87
а 20400 41
+ 21000 25
Ф 10500 19
Я10 500 24
о 10 500 30
$5250 19
хх 5 250 22 60
29 40
20 100
2?_ 80
А 2625
* 2625
х 10*
23 Море
70'
Ю'1
10'
10°
Рис. 75. Нормированный продольный спектр скорости по
данным разных авторов.
Измерения в воде принадлежат Гибсону и Шварцу, в воздухе —
Стюарту и Таунсенду, в море —Гранту, Стюарту и Моильету.
универсальный статистический режим наиболее мелкомасштабных ком-
компонент турбулентности (лежащих далеко за пределами «интервала
энергии» спектра), вообще говоря, представляется естественным и
для турбулентности с не очень большим Re, с той лишь разницей,
что при переходе к безразмерным величинам роль средней скорости
диссипации энергии 7 здесь должно играть исправленное значение
в! Ф е. А именно, вместо г теперь надо использовать скорость дис-
диссипации гх для течения с очень большим Re, в котором высокоча-

442
ГЛ. VIII.. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
B3.4
стотная часть спектра (начиная с того значения А, при котором тур-
турбулентные возмущения рассматриваемого течения с небольшим Re
уже оказываются изотропными, квазистационарными и независимыми
от крупномасштабных особенностей течения) совпадает с высокоча-
высокочастотной частью рассматриваемого спектра. Это исправленное значе-
значение ех в принципе можно определить, зная универсальную функцию
Рис. 76. Нормированный продольный спектр скорости по
данным разных авторов.
X—данные Сэндборна и Маршалла, ф — данные Гранта, Страрта и Моиль*
ета, О — данные Понда, Стюарта и Берлинга.
)'» так как» однако, в универсальную нормировку спектра Ег и
волнового числа к входит лишь е1/4, то, опираясь на данные Стюарта
и Таунсенда A951), можно показать, что для исследовавшихся Гиб-
соном и Шварцем течений за решеткой (так же как и для всех во-
вообще турбулентных течений, для которых «интервал энергии» спектра
не содержит волновых чисел к, превосходящих 0,2/г|) влияние вводи-
вводимой таким образом поправки на универсальную кривую ух (Q должно
быть практически мало заметным. Этот вывод позволяет объяснить
согласие данных Стюарта и Таунсенда, относящихся к небольшим
значениям Re, но относительно очень большим &г|, с универсальной
-кривой цхA) для больших Re, не входя в противоречие с общими
.выводами теории Колмогорова.

23.4] § 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 443
Приведем еще заимстзрванный из работы Сэндборна и Маршалла
A965) рис. 76, на котором данные о нормированном продольном
спектре <pi(kr\), полученные этими авторами в пограничном слое на
стенке аэродинамической трубы, сопоставляются с данными Гранта,
Стюарта и Моильета A962), относящимися к приливному течению
в море, и с данными Понда, Стюарта и Берлинга A963), относящи-
относящимися к турбулентности в приводном слое атмосферы. Мы видим, что
согласие данных, относящихся к трем различным типам течений, ока-
оказывается превосходным и убедительно свидетельствует в пользу су-
существования универсальной зависимости. Несколько хуже согласуются
с этими данными результаты М. Гибсона A962, 1963) (некоторые из
них представлены на рис. 61). Мы уже видели выше, что значение
коэффициента С (определяющего функцию Ф^&т)) в инерционном
интервале &т)<^1) у него получилось немного более высоким, чем
у других исследователей; того же порядка расхождения обнару-
обнаружились и в найденных этим автором значениях ф^&т)) в интервале
диссипации. Однако и в данном случае наблюдающиеся расхождения
относительно невелики и вполне могут быть объяснены обычным ста-
статистическим разбросом экспериментальных результатов (особенно если
иметь в виду сложность рассматриваемых измерений).
Использование на рис. 76 логарифмических масштабов по обеим
осям координат может в какой-то мере скрадывать разброс экспери-
экспериментальных точек относительно универсальной кривой. Поэтому пред-
представляет интерес посмотреть, как будет выглядеть разброс экспери-
экспериментальных точек при использовании на графике естественных
масштабов. Для этой цели мы приводим на рис. 77 графики нор-
нормированных одномерных спектров диссипации энергии (&T)J<Pi (&*))•
Здесь данные рис. 77а относятся к измерениям Гранта, Стюарта
и Моильета и к измерениям Понда, Стюарта и Берлинга, а данные
рис. 776 (заимствованного из работы Гранта, Стюарта и Моиль-
Моильета)— к более ранним измерениям характеристик турбулентных тече-
течений в канале (Лауфер A951).), в трубе (Лауфер A954)), в пограничном
слое на плоской пластинке (Клебанов A955)) и за решеткой в аэро-
аэродинамической трубе (Стюарт и Таунсенд A951)). Из этих графи-
графиков видно, что, несмотря на несколько больший разброс индиви-
индивидуальных эмпирических точек, чем на рис. 76, разнородные экс-
экспериментальные данные разных авторов вполне удовлетворительно
согласуются друг с другом; в частности, согласно всем этим данным,
максимум спектра диссипации энергии достигается около точки
k « 1/8T].
Перечисленные данные позволяют определить мелкомасштабную
границу инерционного интервала (или, что то же самое, крупномас-
крупномасштабную границу вязкой подобласти спектра), т. е. масштаб /о = яот|
или волновое число ko = al/r)t начиная с которых статистические
характеристики турбулентности становятся существенно зависящими

444
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[23.4
0,3
2
0,1
.а
I
\
X
к
i
•* •
•
#х"х
г». я я
* X
• :%.
*• *
¦**•
V* х
0,2
0,8
W
0,1
00 о
о
X
о х
X ^
X
or
..¦«
о
+ »х
•
X
• X
, • х
б)
0,8
1.0
Рис. 77. Нормированные спектры диссипации энергии по данным
разных авторов.
а) Данные Гранта, Стюарта и Моильета (•) и Пошга, Стюарта и Берлинга (х);
б) данные Лауфера для канала (х), Лауфера для трубы (О), Клебанова (•) и
Стюарта и Таунсенда (+).

23.4] § 23, ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 445
от молекулярной вязкости. Исходя из гейзенберговской модели спектра
турбулентности A7.40), Маккриди A953, 19626) оценил, что 90%
диссипации энергии сосредоточено в длинах волн, меньших /0«^15т],
так что разумно положить ао = а~1 = 15 (по поводу использования
этого определения для атмосферной турбулентности см. статью При-
Пристли A9596)). В работах Маккриди можно найти и некоторые другие
определения мелкомасштабной границы инерционного интервала, при-
приводящие к другим значениям коэффициента а0. В настоящее время,
однако, наиболее целесообразно опираться на представленные на
рис. 76 данные фактических измерений, согласно которым заметные
отклонения одномерных продольных спектров от «закона пяти третей»
начинаются приблизительно с того же волнового числа k0 ж 1/8т],
вблизи которого достигается максимум одномерного продольного
спектра диссипации энергии. Поэтому следует признать, что имеется
даже несколько разных оснований для того, чтобы условиться счи-
считать а0 =\jax = 8. Используя это определение и учитывая, что на
высотах в несколько метров в приземном слое воздуха е во многих
случаях имеет порядок 102 —г— 103 см2/секг (такие значения, во всяком
случае, были получены в летнее время днем в районе южнорусской
степи), найдем, что здесь ri = 0,4 ч-0,7 мм, а /0 = 3-т-6 мм. С ростом
высоты значения е убывают, вязкость v растет обратно пропорцио-
пропорционально значению плотности воздуха и, следовательно, значения /0
растут: на высоте 1 км они достигают уже нескольких сантиметров,
а на высоте 100 км имеют порядок десятков метров.
Приведенные выше эмпирические данные о спектре Е{ (k) относятся
лишь к относительно небольшим значениям kt не превосходящим 1/т). Поэтому
они не позволяют определить значения функции ф (g) при ? > 1 и тем более,
проверить какие-либо заключения об асимптотическом поведении этой функ-
функции при ?->оо. Однако эти данные позволяют сразу же «забраковать»
целый ряд предлагавшихся ранее формул для спектра турбулентности, ока-
оказывающихся плохо совместимыми уже и с теми ограниченными эксперимен-
экспериментальными результатами, которыми мы располагаем в настоящее время. Так,
например, можно показать., что модельные формулы, вытекающие из полуэмпи-
полуэмпирических гипотез Гейзенберга A7.9) и Коважного A7.3), лишь очень неточно
могут быть согласованы с эмпирическими данными рис. 76 и поэтому должны
быть признаны несостоятельными (что, разумеется, не исключает допусти-
допустимости их использования при грубых ориентировочных расчетах). То же
самое может быть сказано и по поводу простой интерполяционной формулы
B2.73) (независимо от того, будем ли мы применять ее к трехмерному
спектру Е (k) или сразу к одномерному продольному спектру Ех (k)). Лучше
соответствует эмпирическим данным выражение для tp(|), получающееся,
если для трехмерного спектра E(k) принять предложенную Пао A965) фор-
формулу B2.24); еще лучшего соответствия можно добиться, если, следуя
Татарскому A967), положить <pi (?)=?~5/3ехр(—д|^2). Однако оба последних
выражения для q^ (?) обладают тем недостатком, что они не согласуются
с асимптотическим поведением спектра на бесконечности, которого следует
ожидать в силу выводов п. 22.3. Несложная эмпирическая формула для ух (|)
(содержащая, впрочем, три неопределенных параметра, подбираемых йо

446
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[23.5
результатам эксперимента), хорошо согласующаяся с имеющимися дан-
данными и затухающая на бесконечности, как ехр(—а\2) (в соответствии
с выводами п. 22.3), была указана Горшковым A966) (см. также Гурвич,
Копров, Цванг и Яг лом A967)).
23.5» Экспериментальные данные о локальной структуре поля
температуры и других скалярных гидродинамических полей
Основные данные о структуре поля температуры,
Согласно теории подобия для локально изотропной турбулент-
турбулентности, в инерционно-конвективном интервале спектра, в котором
можно пренебречь и молекулярной
fp fr.j/% o? вязкостью и молекулярной тепло-
** - проводностью, структурная функ-
функция О<ю(г) температурного поля
или поля концентрации какой-либо
пассивной примеси д описывается
«законом двух третей» B1.87),
а одномерный спектр E®)(k) —
«законом пяти третей» B1.89).
С учетом соотношений B1.90)
эти формулы можно переписать
в виде
"фф
0,08
0,07
0,08
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
24 8 16
32 г, см
~1С*
Рис. 78. Структурная функция поля
температуры по данным Кречмера
A^52). Кроме того, согласно B2.10) для
структурной функции третьего
порядка DL^(r) в инерционно-конвективном интервале значений г
А
справедливо соотношение Dm(r)——
F =
А
Поэтому
B3.12)
и безразмерная величина F = F(r) не зависит от г (величина 5
в B3.12) та же, что и в B3.4)).
Первые эмпирические данные, подтверждающие «закон двух третей»
B3.11), были получены Кречмером A952), измерившим с помощью
двух термометров сопротивления значения пространственной струк-
структурной функции Djft(r) при нескольких значениях г в приземном
слое воздуха (см. заимствованный из этой работы Кречмера рис. 78).
Аналогичные результаты позже получили Шиотани A955, 1963),
Р. Тэйлор A961) (использрвавший эмпирически^ данные Суинбенка),

23.5] § 23- ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 44?
Рекорд и Крамер A966) и Мартин A966), измерявшие временные
структурные функции поля температуры (которые при использовании
гипотезы о «замороженной турбулентности» получаются из Df^(r)
с помощью замены г на ах) и обнаружившие, что эти функции про-
пропорциональны т2//3 на значительном интервале значений т. Наиболее
детальные измерения пространственной структурной функции D^(r)
в приземном слое воздуха (на высотах 1,5, 16 и 22 м при значе-
значениях г, меняющихся от 3 до 100 см) были осуществлены Татарским
A956а) с помощью двух термометров сопротивления и специального при-
прибора, автоматически возводившего в квадрат и осреднявшего электри-
электрический сигнал, пропорциональный пространственной разности темпера-
температуры. Используя аппроксимацию DM (г) ~га, Татарский получил для а
среднее значение 0,81 (с довольно большим разбросом индивидуаль-
индивидуальных значений), близкое к теоретическому значению а = 2/3 « 0,67.
Особое внимание Татарский уделил значениям размерного
коэффициента B2 = C^Nei3 в формуле B3.11) для Ц*а(г). Поль-
— п I — of
зуясь оценками N ж nu^TJz и е=##/и2, справедливыми при термиче-
термической стратификации приземного слоя воздуха, близкой к безразличной,
в предположении, что отношение турбулентных коэффициентов об-
обмена К н К$ равно единице (ср. формулы G.93) и G.109) на
стр. 404 и 408 части 1), Татарский получил соотношение
/V1/3|TJ. B3.13)
В соответствии с этим он построил график зависимости измеренных
значений В от аргумента к2/гг~1^\ Тт |, где Г% оценивалось по изме-
измеренным профилям температуры (при довольно грубой их аппрокси-
аппроксимации формулой Т (z2) — Т (zx) = Тф In (z2lzi), приближенно верной
при близкой к безразличной температурной стратификации). Этот
график мы приводим на рис. 79; его правая половина соответствует
неустойчивой, а левая — устойчивой стратификации. Проведение сред-
средней кривой на рис. 79 через начало координат оправдывается на-
наличием почти в самом начале координат эмпирической точки, соответ-
соответствующей нескольким десяткам индивидуальных измерений, в которых
при изотермической стратификации было обнаружено практически
полное отсутствие пульсаций температуры (в полном соответствии
с наглядным представлением о том, что в случае температурно-одно-
родной среды, отвечающей строго изотермической стратификации,
турбулентное перемешивание не может нарушить эту однородность и
привести к появлению пульсаций температуры). Аппроксимируя пра-
правую половину изображенного на рисунке графика формулой B3.13),
Татарский получил оценку С&/2«2,4, т. е. Со «5,8 (нарушение
равенства B3.13) при устойчивой стратификации он объяснил сильным
влиянием такой стратификации на турбулентность, не позволяющим
считать в этих условиях температуру «пассивной примесью»). Ясно,

448
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
B3.5
однако, что и при неустойчивых стратификациях равенство B3.13)
(выведенное с привлечением гипотез, справедливых лишь для почти
безразличной стратификации) не может быть очень точным (что под-
подтверждается также и большим разбросом экспериментальных точек
на рис. 79). Поэтому полученная Татарским в 1956 г. оценка коэф-
коэффициента Ся не заслуживает большого доверия.
Близкий метод весьма грубой оценки коэффициента С$ (также
опирающийся на приближенную оценку величин N и е по данным
-Ц24 -0J0 -0J6 -0,12 -0.08 -0,04 О Щ4 0.08 0,12 0,16
Рис. 79. Зависимость коэффициента В от к2/г2~1/3Т* по данным Татар-
Татарского A956а).
Различными значками на рисунке отмечены результаты измерений, проводившихся
в разное время и на разных высотах.
измерений средних профилей ветра и температуры или турбулентных
потоков тепла и импульса с помощью приближенных формул, спра-
справедливых только при почти безразличной стратификации) был применен
также Р. Тэйлором A961),Такеучи A962) и Мартином A966). Пер-
Первые два из этих авторов использовали данные о временнбй струк-
структурной функции температуры D^(x) (сводящейся к пространственной
структурной функции с помощью гипотезы Тэйлора), полученные
исходя из измерений Суинбенка A955), а третий—свои собственные из-
измерения функции D^(r). Все перечисленные авторы пришли к довольно
близким друг к другу (но заметно меньшим, чем оценка Татарского)
оценкам Со» 1,1-н 1,2 (Р. Тэйлор и Такеучи) и С^жЛА (Мартин).
Однако степень точности этих оценок, по-видимому, не превосходит
точности оценки Татарского и вряд ли позволяет утверждать что-либо,
кроме того, что С$ имеет порядок единицы.
Более надежные результаты можно извлечь из данных Цванга
A960а, б, 1962, 1963). Он проверил (по-видимому, впервые) «закон

§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
440
700
23.5]
пяти третей» B3.11) для спектра температуры на материале непо-
непосредственных измерений (с помощью малоинерционного термометра
сопротивления и спектрального анализатора) спектров Еь(а>) (или
E(V(k)) B приземном слое воздуха и на высотах от 50 до 3000 м
с борта самолета (см. также работу Цванга, Зубковского, Иванова,
Клинова и Кравченко A963), содержащую результаты измерений
спектров Ef\k) на 300-метровой метеорологической вышке). Один
из результатов Цванга, хорошо ил-
иллюстрирующий применимость «закона ?л
пяти третей» к спектрам темпера-
температуры, был нами уже изображен на
рис. 59 (в связи с обсуждением во-
вопроса о точности гипотезы Тэйлора
о «замороженной турбулентности»).
Средние данные, относящиеся к по-
полетам самолета на разных высотах „-
в середине дня летом над степью,
приведенные в работе Цванга A963),
также все хорошо согласуются с
«законом пяти третей»: показатель а
в формуле Е^\ (k) — k~a для всех
приведенных спектров отличается от 0,007
5/3 не более чем на 10%. При об-
обработке временных спектров, отно-
относящихся к приземному слою воздуха,
Цванг использовал предложенную
Мониным A958) формулу теории
подобия
-=-, Ri B3.14)
0,00007
Тгу5/з
0,07 '0,7 7,0 70
fz
Рис. 80. Безразмерные спектры
температуры на высотах 1 м (/) и
(где Ri — число Ричардсона, а Тт име- 4 м B) при Ri « —0.12.
ет тот же смысл, что и в гл. 4 части 1),
аналогичную формуле B3.7). Точнее говоря, Цванг определял без-
— _/~2 я дТ
размерные спектры фо —я?&//#г, где T^ — z-^ просто опреде-
определяемая по профилям, температуры величина, отношение которой к Г#
стремится к единице при приближении к безразличной стратификации
(а в других условиях является универсальной функцией от Ri).
Согласно B3.14) значения безразмерного спектра ^((uz/u) при
фиксированном Ri не должны зависеть от высоты измерения z, при-
причем в силу B3.11) функция фа в инерционном интервале значений ©
должна быть пропорциональной (<ог/дО"/3. Оба этих вывода хорошо
подтверждаются заимствованным из работы Цванга A960а) рис. 80,
29 A. С, Монин, А. М. Яглом

450
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[23.5
на котором нанесены средние значения ф^ в зависимости от
= (uz/2nu для двух высот: 2=1 м и 4 м, отвечающие группе из-
измерений, объединяющей случаи с почти одинаковой температурной
стратификацией (а именно с Ri ^ —0,12). На рис. 8 ^приведены зна-
значения $$(fz[u), полученные
Цвангом при шести разных зна-
значениях Ri (меняющихся от
-0,12
-0,04
+0,04
+0,12
+0,42
W'4W'3 W2W'7 1 WJl>cm4
Рис. 81. Средние значения безразмер- Рис. 82. Одномерные спектры
ного спектра температуры в приземном температуры по данным Гурвича
слое при шести разных значениях Ri. и Кравченко A962).
Различными значками обозначены данные
разных измерений.
— 0,54 до +0»42); все они также наглядно подтверждают примени-
применимость «закона пяти третей» к одномерным спектрам температуры.
Назовем еще работу Гурвича и Кравченко A962), измерявших
спектры температуры в приземном слое воздуха термометром сопротивле-
сопротивления повышенной точности (с вольфрамовой нитью толщиной 5 мкм и дли-
длиной около 12 мм, изогнутой так, что размер датчика составлял всего
3 мм; постоянная времени этого прибора имела порядок 0,001 сек).
Результаты их измерений, приведенные на рис. 82, показывают, что
в приземном слое воздуха «закон пяти третей» для спектра E\\k)
выполняется с большой точностью по крайней мере до масштабов

23.5]
23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
451
порядка 3 мм. Убедительные данные о выполнении «закона пяти
третей» для спектров температуры воздуха над поверхностью моря,
также полученные с помощью очень малоинерционного термометра
сопротивления, содержатся в диссертации Понда A965) (см. также
Понд, Смит, Хэмблин и Берлинг A966)). Эти данные представлены
на рис. 83.
to*-
to -
ex
-
-
\
v\
t
4
1
1 °
4
о
/ff'
Ю'г
10* Юч / W
к, см
Рис. 83. Спектр температуры по данным Понда A965).
Различными значками обозначены данные разных измерений.
Мы видим, таким образом, что в настоящее время уже имеется
довольно много данных, подтверждающих высокую степень точности
«закона пяти третей» для спектра пульсаций температуры в атмосфере.
Обширный материал о спектрах E^\k) в приземном слое воздуха
при различных стратификациях, собранный Цвангом A960а), может
быть использован для оценки постоянной С^. С этой целью надо
только воспользоваться формулами, содержащимися в п. 7.5 ча-
части 1, и эмпирическими данными, собранными _в § 8, кото-
которые позволяют оценить значения величин N и г при различных
термических стратификациях. Подставив эти оценки в данные Цванга
о значениях размерного коэффициента -j B2 = -tCqN e-V3 второй
29*

452 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [23.5
формулы B3.11) при различных Ri, Гурвич и Зубковский A966)
обнаружили, что эмпирические данные при всех Ri приводят к при-
примерно одинаковой оценке Сф^2,7, промежуточной между упоми-
упоминавшимися на стр. 447—448 грубыми оценками Татарского и Р. Тэй-
лора — Такеучи — Мартина.
Помимо того, Гурвич и Зубковский обработали также одну не-
небольшую синхронную запись временного хода пульсаций температуры
и пульсаций продольной компоненты (в направлении среднего ветра)
скорости в фиксированной точке атмосферы (с применением гипотезы
о «замороженной турбулентности»), имея в виду формулу B3.12);
в результате этой обработки они нашли, что F ж—0,28. Восполь-
Воспользовавшись затем формулой B3.12) (в которой было положено
|5|1/3^0,7), они получили отсюда оценку С^^3,5, которую (учи-
(учитывая относительно невысокую точность последней оценки) следует
признать достаточно близкой к предыдущей. С другой стороны,
Гибсон и Шварц A9636), измерившие спектры пульсаций скорости,
температуры и солености в трубе за решеткой (см. ниже стр. 456—458)
и определившие значения величин N (вместо которой они использовали
в два раза большую величину -^- Ф' и 8 по эмпирическим данным
об убывании средних квадратов соответствующих пульсаций с ростом
расстояния от решетки, получили оценку С^^2,8, почти не отли-
отличающуюся от той, которая получается исходя из данных Цванга.
Наконец, отметим работу Гурвича и Мелешкина A966), в которой
на основе теории, излагаемой в § 26, коэффициент С$ грубо оце-
оценивался по эмпирическим данным о флюктуациях интенсивности
светового луча, создаваемых пульсациями температуры на его пути;
согласно выводам этой работы значение С$ должно заключаться
в пределах от 2 до 3. Мы видим, что полученные с помощью раз-
разных методов результаты удовлетворительно согласуются друг с другом
и дают основание прка рекомендовать использовать для универ-
универсального коэффициента С$ в «законе двух третей» для струк-
структурной функции поля температуры {или концентрации пас-
пассивной примеси) значение Св» 2,8 (которому, в силу формул B1.90),
соответствует значение В^ я» 1,1 коэффициента в «законе пяти третей»
для трехмерного спектра и значение В^ ^0,7 коффициента в «законе
пяти третей» для одномерного спектра). Однако следует иметь в виду,
что приведенные оценки коэффициентов С^, В^ и В^\ по-видимому,
все же более грубы, чем соответствующие оценки коэффициентов
законов «двух третей» и «пяти третей» для поля скорости, указан-
указанные на стр. 439, и требуют дальнейшего уточнения на материале
более тщательных одновременных измерений значений E^(k) (или

23.5]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
453
Для того чтобы дать представление о распределении общей интен-
интенсивности пульсаций температуры по спектру частот (или волновых
чисел), мы приводим на рис. 84 и 85 данные Цванга A962) о функ-
функции k Ef\k) (ср. формулу B3.9) на стр. 432) для приземного слоя
и 300-метровой метеорологической вышки (рис. 84) и для высот от
), град2
кЕ<*>(к\
720
700
SO
60
40
20
Рис. 84. Функция
по данным Цванга A962).
/) г = 1 м, неустойчивая
стратификация, 2) z = 1 м%
устойчивая стратификация,
3) z = 300 м.
" W'5 W'4 **
Рис. 85. Значения kEf\k) на
разных высотах.
100 до 1500 м по данным самолетных измерений (рис. 85). Из этих
данных видно, что с ростом высоты спектры температуры смещаются
в область меньших волновых чисел, а полная интенсивность пульса-
пульсаций температуры а^ (равная площади под кривой kE&)(k)\ быстро
уменьшается.
Заметим еще, что для многих применений формул B3.11) важно
иметь сведения не о безразмерном коэффициенте С^, а сразу о раз-
размерном коэффициенте B2 = C$N е~1/3, однозначно определяющем
спектр Z?P(A) и структурную функцию D^(r) в инерционном интер-
интервале. Ориентировочные данные о значениях В2 в приземном слое

454
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[23.5
воздуха по измерениям Татарского A956а) были уже приведены на
рис. 79. Последующие самолетные измерения Цванга A963) и Коп-
рова и Цванга A966) показали, что в типичных летних условиях
развитой конвекции над степью величина В1 убывает с высотой
примерно пропорционально z~4l3 (т. е. в соответствии с формулами
G.110) и G.104) части 1, выведенными для приземного слоя воз-
воздуха!), начиная от высоты в несколько метров и вплоть до высоты
ИГ
4
10
-5
10'
10
-7
Утро
День
Вечер
50
100 200 $00 1000 200030004000
Рис. 86. Зависимость коэффициента В2 от высоты в раз-
разное время суток.
во много сотен метров, на которой градиент потенциальной темпе-
температуры меняет знак; на больших же высотах в это время обычно
наблюдается заметно более быстрое падение В2 (см. рис. 86). В ран-
ранние же утренние часы (в условиях развивающейся конвекции, когда
в слое 50—250 м еще наблюдается очень устойчивая температурная
стратификация) и в поздние послеполуденные часы (когда стратифи-
стратификация остается близкой к безразличной вплоть до высоты порядка
1500 м) профиль В2 имеет совсем другой вид (также схематически
изображенный на рис. 86), но и в этих случаях он в разные дни
остается примерно одинаковым, т. е. определяется средними метео-
метеорологическими условиями.

23.5] § 23- ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 455
Данные о структуре других скалярных полей
и о мелкомасштабной структуре поля температуры
за пределами инерционно-конвективного интервала
Формулы B3.11) для инерционно-конвективного интервала могут
быть отнесены не только к температуре, но и к концентрации любой
пассивной примеси $(х, t), если только заменить в них N на сред-
среднюю скорость N$ выравнивания неоднородностей концентрации при-
примеси под действием молекулярной диффузии. Типичным примером
поля концентрации пассивной примеси является поле абсолютной
влажности в атмосфере или поле солености в море (или в любом
турбулентном течении соленой воды). Далее, поскольку пульсации
показателя преломления воздуха для световых волн в силу формулы
B6.20 для этого показателя (см. ниже стр. 547) можно считать про-
пропорциональными пульсациям температуры, пульсации такого показа-
показателя преломления также должны подчиняться законам «двух третей»
и «пяти третей» B3.11). Наконец, небольшие пульсации коэффи-
коэффициента преломления воздуха для радиоволн в силу формулы B6.2)
на стр. 547 для этого коэффициента можно представить в виде ли-
линейной комбинации пульсаций температуры и пульсаций влажности;
поэтому и эти последние пульсации должны удовлетворять законам
«двух третей» и «пяти третей».
В настоящее время уже имеется ряд экспериментальных данных,
подтверждающих справедливость указанных законов для спектров и
структурных функций пульсаций влажности и показателя преломления
для радиоволн в атмосфере. Назовем, например, данные Госсарда
A960а), вычислившего спектры влажности и показателя преломления
по результатам аэростатных и самолетных измерений температуры
сухого и смоченного термометров (или непосредственных измерений
показателя преломления при помощи рефрактометра) и пришедшего
в большинстве случаев к результатам, неплохо согласующимся с «за-
«законом пяти третей» (см. в этой связи также Госсард A9606)). Ана-
Аналогично этому Болджиано A958а), Томпсон и др. A960), Эдмондс
A960) и другие авторы приводят многочисленные примеры измерен-
измеренных временных спектров показателя преломления Е$((д) (под полем Ф
мы теперь понимаем поле показателя преломления для радиоволн),
показывающие, что в широком диапазоне частот показатель а в фор-
формуле Е$((й) — ©-<* обычно оказывается весьма близким к 5/3 (см.,
например, рис. 87, заимствованный из статьи Булла A967)). Много
данных, касающихся применимости «закона пяти третей» к спектру
показателя преломления для радиоволн, и ссылки на дополнительную
литературу по этому вопросу можно найти в книге Татарского A967)
и в сборнике статей под редакцией Яглома и Татарского A967).
Елагина A963) измерила спектры пульсаций влажности в при-
приземном слое атмосферы при помощи оптического гигрометра (упоми-

456
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[23.5
навшегося на стр. 441 части 1); эти спектры оказались пропорцио-
пропорциональными частоте в степени —5/3 в широком диапазоне частот (ре-
(результаты Елагиной мы приводим на рис. 88). В диссертации Мартина
A966) приведены данные измерений в приземном слое воздуха (на вы-
высоте 1,6 м) временнбй структурной функции пульсаций влажности
Аю (г) (с помощью комбинации конденсаторного рефрактометра и термо-
термометра сопротивления), показывающие, что эта функция удовлетворитель-
удовлетворительно описывается «законом двух третей»
B3.11) вплоть до расстояний г по-
рядка 2,5 м (ср. также Хэй A967)).
ю1
10°
\
V
\
-5/3
X
Q04 OJ
10
10
-2
\
Рис. 87. Временнбй спектр
(где / = оо/2я) показателя пре-
преломления по данным Булла A967).
Ю'4 W'3 f/B9ar*
Рис. 88. Спектр пульсаций
влажности в приземном слое.
Различными значками обозначены
данные разных измерений.
В работах Гибсона и Шварца A963а, б) (первая из которых
специально посвящена описанию аппаратуры для измерения пульсаций
солености) описаны измерения спектров Ef\k) пульсаций температуры и
"солености воды в трубе за решеткой, доведенные до значений k, за-
заметно превосходящих верхнюю границу инерционно-конвективного
интервала, в котором выполняется «закон пяти третей». Согласно
теории подобия для локально изотропной турбулентности, при таких
больших к спектр E\{k) должен иметь вид B1.88); эту формулу
можно переписать также в виде
B3.15)

23.5]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
457
где v/x = Pr в опытах Гибсона и Шварца равнялось 7 в случае пуль-
пульсаций температуры и 700 в случае пульсаций солености. Согласно
теории Бэтчелора A959), изложенной в п. 22.4, при больших v/x
в области k > l/r] = (e/v3I/4 спектр Е^ (k) должен зависеть не от
г и v по отдельности, а
лишь от их комбинации
(e/vI/2 = т^1 (точнее говоря,
от комбинации (ат^), где М
а — универсальная постоян-
постоянная, характеризующая ти-
типичное значение наибольшей
скорости сжатия инфините-
зимальной жидкой частицы).
Как нетрудно видеть, это
означает, что
B3.16)
где функция Ф(х) может
быть найдена с помощью
применения формулы A2.13)
к полученному Бэтчелором
для этого случая трехмер-
трехмерному спектру B2.80). Нако-
Наконец, при достаточно боль-
большом v/y может существо- л оп о *
а « ^ис- °9. Значения безразмерных одномер-
вать «вязко-конвективный» ных спектров солености (светлые значки)
интервал волновых чисел и температуры (черные кружки) по Гиб-
(e/v3I/4 < k < (e/vy2I/4, в ко- С0НУ и ШваРЦУ A9636).
тором спектр B3.16) пере-
перестает зависеть от х» т- е-
Ф (#) == р/л:, где р — по-
постоянная (которая, согласно ориентировочным оценкам Бэтчелора,
близка к двум). При этом, очевидно, щ(кц\ v/.x) = -r- ~ -г-
/) Эмпирическая кривая для ф, (kr\), 2) кривая Бэт-
Бэтчелора для фф (?т), 7), 3) кривая Бэтчелора для
(* 700).
Все перечисленные теоретические предсказания получили подтвер-
подтверждение в опытах Гибсона и Шварца. На рис. 89 мы приводим шесть
безразмерных спектров солености щ(кг), 700), соответствующих зна-
значениям ReM = UMIv, меняющимся в пределах от 11700 до 65 550, и
спектр температуры щ(кц, 7), полученный при ReAf = 35 300, вместе

458 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [23.5
с теоретическими кривыми Бэтчелора и эмпирической функцией
формулы B3.10), описывающей безразмерный одномерный продоль-
продольный спектр поля скорости. Температурный спектр здесь хорошо
согласуется с теоретической кривой Бэтчелора, спектры же солености
хотя и оказываются ниже теоретической кривой (что можно объяс-
объяснить недостаточной чувствительностью датчика солености по отноше-
отношению к столь высокочастотным флюктуациям), но лежат выше и спек-
спектра скорости и спектра температуры. Любопытно, что теория Бэт-
Бэтчелора, относящаяся к случаю Рг^>1, согласно этим данным,
оказывается оправдывающейся с высокой степенью точности уже при
Рг ж 7 (к подобному же выводу пришли Грант и Стюарт в ходе
измерений спектра пульсаций температуры в океане, оставшихся,
по-видимому, неопубликованными).
В заключение этого пункта скажем еще несколько слов о спектре
пульсаций давления. Согласно теоретическим соображениям п. 21.5 (см.
выше стр. 343—345) временной спектр пульсаций давления должен
убывать в инерционном интервале пропорционально со-7/3, т. е. за-
заметно быстрее, чем спектр скорости или температуры. Однако оценки
порядка величины пульсаций давления на основе формул п. 21.5
показывают, что турбулентные пульсации давления в инерционном
интервале очень малы и лишь с большим трудом могут быть изме-
измерены; еще более осложняет эти измерения то обстоятельство, что
на любой приемник пульсаций давления воздействуют также и гораздо
более значительные пульсации скорости потока, влияние которых
почти неизбежно будет маскировать истинные пульсации давления.
Поэтому неудивительно, что до сих пор о статистических характе-
характеристиках мелкомасштабных пульсаций давления (относящихся к инер-
инерционному интервалу) имеется очень мало данных. Отметим, однако,
что измерения спектра пульсаций давления, выполненные Госсардом
A9606), привели его к выводу, что на значительном интервале оси
частот (по-видимому, расположенном в основном левее инерционного
интервала, но, возможно, захватывающем также и часть этого интер-
интервала) спектр пульсаций давления оказался убывающим с ростом ча-
частоты быстрее, чем о)~5/3 — в среднем, как со~2 = со-6'3 (об этих изме-
измерениях мы еще будем говорить на стр. 463—464). То, что показатель
степени а в соотношении Ер((о) — со-"а в данном случае оказался
несколько меньшим чем 7/3, вероятно, можно объяснять влиянием на
приемник давления пульсаций скорости, спектр которых убывает
медленнее спектра ?р((о). К близким выводам пришел и Горшков
A967), измеривший спектр пульсаций атмосферного давления в еще
•более высокочастотном диапазоне и также нашедший, что этот спектр,
как правило, убывает с ростом частоты быстрее, чем о)~5/3 (а в ряде
случаев — точно как а)-7/3). Однако все эти результаты пока еще
являются лишь предварительными.

23.6] § 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 459
23.6. Данные о спектрах турбулентных пульсаций
в атмосфере за низкочастотной границей инерционного
интервала
Выше на рис. 71, 84 и 85 мы уже приводили примеры спектров турбу-
турбулентных пульсаций в приземном слое воздуха, охватывающих также и ча-
частоты (или волновые числа), выходящие за низкочастотную границу инер-
инерционного интервала. Данные о статистических характеристиках пульсаций
в этой низкочастотной области спектра, естественно, не могут использо-
использоваться для проверки предсказаний, вытекающих из гипотез подобия
Колмогорова. Однако для многих задач, связанных с атмосферной тур-
турбулентностью, относительно низкочастотные пульсации, не входящие в
инерционный интервал, представляют большой интерес; кроме того, даже
само точное определение многих величин, многократно упоминавшихся
выше в этой книге (например, дисперсий турбулентных пульсаций или
турбулентных потоков тепла, импульса и влаги), и выяснение требований
к аппаратуре, предназначенной для измерений почти любых статистических
характеристик турбулентности, требует данных о поведении спектров
в низкочастотной области. Поэтому нам представляется целесообразным по-
посвятить специальный пункт краткому рассмотрению имеющихся (к сожа-
сожалению, пока еще очень неполных) данных о низкочастотных составляющих
атмосферной турбулентности (см. также Ламли и Пановский A964), гл. 5).
Данные о спектрах турбулентных потоков
Начнем с того, что приведем некоторые сведения о спектрах верти-
вертикальных турбулентных потоков тепла q = cppT'w' и импульса т = — pufw\
в приземном слое воздуха. Напомним, что в области применимости гипотез
подобия пульсации Т' и w\ так же как и и' и w', будут некоррелирован-
некоррелированными (в силу локальной изотропии); поэтому отличие от нуля спектров
потоков q и т уже свидетельствует о том, что мы находимся за низко-
низкочастотной границей инерционного интервала.
Спектры величин q и т были непосредственно измерены Гурвичем и
Цвангом A960) и Гурвичем A961) исходя из следующего определения этих
спектров. Пусть ы(Асо), w (Асо) и Т (Асо)— пульсации и'Л wf и T't пропу-
пропущенные через частотный фильтр с узкой полосой пропускания До) около
частоты (о. Тогда среднее произведение — и (Асо) w (Aco) будет вкладом ин-
интервала А© оси частот в значение i% = т/р вертикального турбулентного
потока количества движения (нормированного на единицу массы), а
w (Асо) Т (Асо) — вкладом интервала Асо в значение q/cpp нормированного
вертикального турбулентного потока тепла. Соответственно этому функции
Я (©)
5J BwT (со) = -L »<Д0)ПД0) B3.17)
будут спектральными плотностями турбулентных потоков количества дви-
движения и тепла (интегралы от них по всем со будут равны и% и Я
1) Напомним, что узкополосный фильтр с полосой пропускания Асо вы-
выделяет компоненту и (Асо) = 2$е {*to/Z(A©)} пропускаемого через него коле-
колеб (t) ( ф A112) 11) О
омпоненту и (А) $е {Z(A©)} пропус р
бания u(t) (см. формулу A1.12) на стр. 11). Отсюда легко вывести, что
функции Euw(®) и BwT((a) равны вещественным частям (коспектрам по
терминологии первой сноски на стр. 19) комплексных взаимных спектров
пульсаций и1 и w1 и, соответственно, w1 и Т'.

460
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[23.6
Согласно теории подобия для турбулентности в приземном слое воздуха,
для функций B3.17) должны быть справедливы следующие формулы, ана-
аналогичные B3.7) и B3.14):
*
*¦-(¦?¦
(f
(Монин A958, 1962а, б)). Значения QtywT(Q), где й = ©,г/и[ измеренные Гур-
вичем и Цвангом A960) на высоте z=l м при —0,5 < Ri < — 0,05, и зна-
значения Qtyuwi®)* измеренные в аналогичных условиях Гурвичем A961),
•ч*- -
0
а)
Ц75
025
о о
/ Ц (Si/2 7t)
б)
Рис. 90. Спектры турбулентных потоков (в условных
единицах) в зависимости от Q = ®г/п. а) Спектр потока
тепла, б) спектр потока импульса (напряжения трения).
в некоторых условных единицах изображены на рис. 90, из которого видно,
что основной вклад в турбулентные потоки количества движения и тепла,
на высоте z~\ м вносят безразмерные частоты ©-г/2ям"« 0,02-г- 1,0 (что
соответствует длинам волн горизонтальных неоднородностей, заметно боль-
большим, чем высота наблюдения). По данным рис. 90 и рассматривавшимся

23.6]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
461
в пп. 23.3 и 23.5 эмпирическим данным о безразмерных спектрах поля ско-
скорости г|?ц, фда и поля температуры я|у формул B3.7) и B3.14) (при —0,25 <
< Ri < — 0,07) Гурвич A965)
вычислил значения функций
•ф (Q), tywT (Q) и «спектраль-'
ных коэффициентов корре-
[¦ф $ ]1/2,
графики
которых " мы" "приводим на
рис. 91. Из этих графиков вид-
видно, что безразмерные спектры
tyuw и tywT в изученном интер-
интервале частот изменяются более
чем на два порядка, причем
создается впечатление, что они
приблизительно пропорцио-
пропорциональны й/3, а функции рцда
и р^т в том же интервале
частот остаются приблизитель-
приблизительно постоянными (слабо колеб-
колеблясь около значения 0,4). Дан-
Данные рис. 91 (которые, впрочем,
еще нуждаются в дальнейшей
проверке) могут служить не-
некоторым эмпирическим оправ-
оправданием теоретических формул для спектров турбулентности в стратифици-
стратифицированной атмосфере, предложенных Мониным A962в), согласно которым
р т = const (см. выше стр. 385—387).
\
\
• 2
э 3
^\
V
i
'К
—
\
^\
л
\
X
¦ -
---
Рис. 91. Значение функций: /) ^wT (Q),
2) pwr(Q), 5) %w(u), 4)puw(Q) no Гур-
вичу A965).
Данные о низкочастотной области спектров
метеорологических элементов
Данные рис. 71 и 84 показывают, что спектры со Е (со), изображающие
вклады в полную дисперсию пульсаций отдельных интервалов оси частот,
для пульсаций вертикальной скорости и температуры в приземном слое
воздуха растут пропорционально ©"/3 при убывании круговой частоты
со в пределах инерционного интервала; по достижении же нижней границы инер-
инерционного интервала (имеющей вид щ = — Q/ (Ri)) рост спектров замедляется,
и при некоторых частотах ©ш = ~- пт (Ri) (соответствующих периодам
чт = 2я/й)т порядка 1 мин) спектры достигают максимума (иногда назы-
называемого микрометеорологическим), после которого при дальнейшем убы-
убывании частоты они начинают убывать. Согласно данным рис. 90, каче-
качественно похоже ведут себя и спектры турбулентных потоков тепла и коли-
количества движения. Ряд экспериментальных данных, собранных, например,
в статье Колесниковой и Монина A965), показывает, что в интервале периодов
от нескольких минут до нескольких часов (часто называемом мезометео-
рологическим интервалом) спектры большинства метеорологических элементов
имеют широкий и глубокий минимум, после которого при дальнейшем убы-
убывании частоты спектры опять начинают возрастать и при периоде около

462
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[23.6
4 суток достигают максимума (называемого синоптическим), а затем вновь
убывают.
Главная особенность указанного поведения спектров, заключающаяся
в наличии мезометеорологического минимума, по-видимому, впервые, была
обнаружена в работах Пановского и Ван «дер Ховена A955) и Ван дер
Ховена A957). На рис. 92 мы приводим спектр /Еа (/) горизонтальной компо-
компоненты скорости ветра в интервале частот / = ©/2я от 7 • 10" до 9 • 102 цикл/час,
полученный Ван дер Ховеном по данным измерений временного хода ветра на
125-метровой метеорологической вышке в Брукхэйвене(США). На этом спек-
спектре хорошо выражены синоптический максимум при периоде т « 4 суток
f?Jf)tM*ceir*
6
5
4
3
2
1
П
I
i
¦ /^
/ \
/ Va
/* х\
т
I
/ А
цикл/ж
час
W1
/О
0,1
100
0,01
1000
Д001
Рис. 92. Поведение функции /?« (/) в широком интервале частот
(по Ван дер Ховену A9Й7)).
(ордината которого заметно меняется от, сезона к сезону), объясняемый
прохождением крупномасштабных атмосферных возмущений (обусловливаю-
(обусловливающих изменения погоды), и микрометеорологический максимум при периоде
т « 1 мин (ордината которого может меняться в течение суток и ото дня ко
дню в несколько раз), обусловленный мелкомасштабной турбулентностью
динамического и конвективного происхождения (небольшой промежуточный
максимум при т « 12 час автор обоснованно считает незначимым). Анало-
Аналогичный представленному на рис. 92 мезометеорологический минимум в спект-
спектрах /Ва (/) был пояучен Пановским и Ван дер Ховеном в ходе ряда измерений
на высотах 30 -ь 125 м\ центру минимума отвечали периоды т = 7 -н 60 мин
(т. е. длины волн X»«т = 2,4 -*- 25 км) и значения /?„(/)= ОД -f-
-f- 0,2 м2сек~2.
На рис. 93 приводится спектр fET(f) колебаний температуры в интер-
интервале частот от 2 • 10~3до 103 цикл/час, построенный Колесниковой и Мониным
A965) (в интервале 0,002 — 0,1 цикл/час — по записям термографа, в интер-
интервале 0,1 — 15 цикл/час—ло измерениям температуры при помощи относи-
относительно грубого термометра сопротивления, в интервале 15— 1000 цикл/час—
по измерениям при помощи малоинерционного термометра сопротивления).
На спектре хорошо выражен синоптический максимум с периодом т « 4
суток (ордината которого может меняться от сезона к сезону); очень резко
выражен максимум, соответствующий суточному периоду — это естественно,

23.6] § 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ 463
поскольку температура воздуха имеет резко выраженный суточный ход
(строго говоря, суточному периоду в спектре должна соответствовать даже
не полоса, а "дискретная линия); отчетливо видны широкий и глубокий
мезометеорологичеекий минимум (с центром вблизи периода т = 30 мин и
ординатой fET (/) « 0,02 град2) и относительно небольшой микрометеоро-
микрометеорологический максимум (вблизи периода т = 1 мин и с ординатой fET (/) «
« 0,4 град2\ впрочем, ординаты /Ет (/) в высокочастотной области спектра
существенно меняются от слу-
случая к случаю). ПтЮграВ*
Заметно иначе выглядит т /f H '
спектр пульсаций атмосферного
давления. Одной из причин Ю
этого различия может служить
то, что высокочастотные пуль-
пульсации давления могут созда-
создаваться как турбулентностью
(вероятно порождающей в
инерционном интервале спектр
Ер (©) ^ ©~7/8; ср. п. 21.5), так
и распространяющимися в ат- >-т «-= "^ l
мосфере гравитационными и W'J 10й ЯГ7 1 10* ^ц
акустическими волнами. Со- 42 4,2 1 Т/дми
гласно теоретическим расчетам
Монина и Обухова A958) и рИс. 93. Функция fET(f) поданным Ко-
Дикого A964, 1965), спектры лесниковой и Монина A965).
гравитационных и акустических
волн почти не перекрываются:
гравитационные волны преимущественно имеют периоды, большие 300 сек,
а акустические волны — меньшие 300 сек. Это предсказание находит извест-
известное подтверждение в данных о спектрах пульсаций давления, полученных
Голицыным A964) с помощью обработки записей показаний микробарографа.
. Нормированный средний спектр давления ®Ер (<а)/ор в интервале периодов
от 500 до 10 сек, построенный Голицыным, приводится на рис. 94 (диспер-
(дисперсия пульсаций давления ор здесь имеет значения порядка 10~2 миллибар)-
Этот спектр имеет минимум вблизи периода т = 300 сек (т. е. как раз
в области, в которой, согласно расчетам, не должны проявляться ни гра-
гравитационные, ни акустические волны) и максимум при т « 50 сек.
На рис. 95 приведен спектр атмосферного давления в гораздо более
широком интервале частот (от 10~3 до 103 цикл/час), построенный Госсар-
Госсардом A9606) по записям микробарографа, дополненным регистрациями микро-
микропульсаций давления при помощи микрофонов. На спектре хорошо виден
синоптический максимум вблизи периода т = 4 суток, а также резкие
линии, соответствующие суточному и полусуточному периодам (объясняю-
(объясняющиеся влиянием атмосферных приливов), но высокочастотные пульсации
давления здесь оказались столь малы, что микрометеорологический макси-
максимум выражен очень слабо (его ордината почти на 4 порядка ниже ординаты
синоптического максимума). При больших частотах спектр падает еще
более чем на порядок, так что всего на рассматриваемом интервале частот
спектральная плотность Ер (/) меняется более чем на 5 порядков. Очень
слабо выражен на рис. 95 и мезометеорологичеекий минимум; точнее говоря,
вместо широкого минимума в интервале периодов от минут до часов, харак-
характерного для спектров на рис. 92 и 93, на рис. 95 имеется лишь небольшой
минимум вблизи частоты /« 10 цикл/час, аналогичный минимуму на спектре
Голицына и, возможно, соответствующий интервалу между преобладающими

464
гл. viii. локально изотропная турбулентность
[23.6
частотами гравитационных и акустических волн. В области же частот
/« 1 ч-10 цикл/час в спектре давления иногда наблюдаются частные мак-
максимумы (два примера такого рода изображены на рис. 95 различными
пунктирными линиями), которые обычно объясняются прохождением грави-
гравитационных волн с большой амплитудой; впрочем, это явление наблюдается,
по-видимому, довольно редко.
Мезомётеорологический минимум в спектрах метеорологических эле-
элементов был обнаружен еще рядом авторов. Укажем, например, на спектры
0,1
1 О). С6К'1
500 700 50 10
Рис. 94. Функция а>Ер((д) по Голицыну A964).
Т, сек
Тонкие линии изображают индивидуальные спектры, толстая линия — результат осреднения.
горизонтальных пульсаций скорости при сильном ветре, полученные Давен-
портом A961), спектры скорости ветра при нейтральной и устойчивой
стратификации, опубликованные Уокером A964), и спектры продольной ком-
компоненты скорости ветра на разных уровнях в атмосфере от 25 до 300 мЛ
приводимые оызовой, Ивановым и Морозовым A967). Как указали Колесни-
Колесникова и Монин A965), наличие в спектрах метеорологических элементов синоп-
синоптического и микрометеорологического максимумов, разделенных мезометео-
рологическим минимумом, по-видимому, связано с тем, что атмосфера
Земли относительно тонка: ее эффективная толщина (скажем, толщина Н
слоя, содержащего 80% массы, близкая к 10 км) мала по сравнению с ее
горизонтальной протяженностью (определяющейся размерами нашей планеты).
Поэтому в синоптической области спектра (охватывающей пространственные
масштабы, большие по сравнению с Н) неоднородности метеорологических
полей квазидвумерны (горизонтальны), а в микрометеорологической области
(охватывающей масштабы, малые по сравнению с Н) они, наоборот, суще-

23.6]
§ 23. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
465
ственно трехмерны. Пограничному масштабу L~H по формуле_«заморожен-
ной турбулентности» т = L/u при типичной скорости ветра и « 10 м/сек
соответствует период т « 20 мин, довольно хорошо совпадающий с цент-
центром мезометеорологического минимума временных спектров.
Данные о низкочастотной области спектров метеорологических полей
могут представлять интерес для вопроса о локальной структуре развитой
турбулентности, потому что в высокочастотной части синоптического интер-
интервала спектра (т. е. в пульсациях квазидвумерных макронеоднородностей
метеорологических полей с частотами, превышающими частоту синоптиче-
синоптического максимума) неожиданно
?p(rJ,MO/ce/r
/
W'1
нг*
W'4
W'5
10
's 7О'г Ю'1 1
w1
/0' W3
f% цикл/час
Рис. 95. Спектр давления по данным
Госсарда A9606).
обнаруживается в ряде случаев
выполнение закономерностей, по
форме совпадающих с теми, ко-
которые свойственны инерционно-
инерционному интервалу спектра микротур-
микротурбулентности. Так, еще Ричардсон
A926) установил, что «закон че-
четырех третей» для эффективного
коэффициента турбулентной диф-
диффузии облака примеси, объяс-
объясняемый в настоящее время как
следствие второй гипотезы по-
подобия Колмогорова для инер-
инерционного интервала спектра (см.
ниже п. 24.3), на самом деле
выполняется вплоть до масшта-
масштабов порядка сотен или даже
тысяч километров (об этом мы
еще будем подробно говорить
в следующем параграфе). Сионо
и Гамбо A952) получили для
одномерного пространственного спектра колебаний давления в области
длин волн, меньших чем 1/4 окружности постоянной широты, спектр
^i^W ~ ?~7/3. соответствующий спектру давления в инерционном интер"
вале. Аналогичные результаты о спектре давления получили Иноуэ и Имаи
A955) и ряд других авторов; (см., например, ссылки в статье Огура A958));
также и спектр давления, найденный Госсардом (см. рис. 95), в синоп-
синоптической и мезометеорологической областях неплохо аппроксимируется фор-
формулой Ер(/)<^/~7^. Огура A958), проанализировав крупномасштабные
спектры поля скорости, найденные Бентоном и Каном A958), получил неко-
некоторые свидетельства об изотропности макротурбулентности на широтах
20° N и 70° N в области длин волн, заключающихся между 60° и 20° долготы.
Наконец, Хатчингс A955) обнаружил, что законы, описывающие поведение
временных структурных функций полей скорости и давления в инерцион-
инерционном интервале промежутков времени, в ряде случаев довольно хорошо вы-
выполняются и для промежутков времени t, доходящих до 1 -5-3 суток.
Все эти данные можно объяснить, допустив, что в синоптической
области спектра в масштабах, малых по сравнению с размерами материков,
океанов и крупномасштабных облачных систем (т. е. по сравнению с мас-
масштабами наиболее существенных неоднородностей поля внешнего притока
энергии, совпадающими с масштабами, в области которых интенсивно про-
происходит непосредственный переход солнечной энергии в энергию макротур-
макротурбулентности), имеет место обычная каскадная передача энергии по спектру
в сторону меньших масштабов, не сопровождающаяся существенным внеш-
внешним притоком энергии или существенной диссипацией. Разумеется, под
30 А. С. Монин, А. М. Яглом

466 гл. vin. локально изотропная турбулентность [23.6
диссипацией энергии теперь следует понимать не переход энергии непосред-
непосредственно в теплоту под действием молекулярной вязкости, который не может
играть в этой области спектра никакой роли, а переход энергии макротур-
макротурбулентности непосредственно в энергию микротурбулентности/ минуя про-
промежуточные масштабы; поэтому вместо затрат энергии на преодоление
молекулярной вязкости v здесь надо говорить о затратах энергии на преодо-
преодоление «турбулентной вязкости» vTyp6 = K (отвечающей, скажем, турбулент-
турбулентности с масштабами, соответствующими микрометеорологическому макси-
максимуму). Обозначим удельную_ скорость передачи энергии по спектру макро-
макротурбулентности символом е (это е не должно отличаться от диссипации
энергии Т, играющей аналогичную роль в микротурбулентной области, так
как в конечном счете вся энергия макротурбулентности преобразуется
в энергию микротурбулентности). Тогда из "г и vTyp6 можно будет составить
«внутренний масштаб» г\м = (vLp6/V) и в области масштабов LM ^>
^>l^$>i\M (где L —масштаб возмущений, к которым притекает основная
доля внешней энергии, по-видимому, по порядку величины близкий к 1000 км)
можно будет с известным основанием применять обычные гипотезы по-
подобия Колмогорова (имея только в виду, что соответствующая
локально изотропная турбулентность будет двумерной, а не трехмерной).
Заметим теперь, что генерация микротурбулентности синоптическими обра-
образованиями происходит главным образом вследствие неустойчивости верти-
вертикальных неоднородностей полей скорости ветра и температуры с масшта-
масштабами Lm, малыми по сравнению с эффективной толщиной атмосферы Н.
Поэтому распад синоптических образований приводит главным образом
к возникновению возмущений со сравнимыми с Lm масштабами, так что
масштабы Lm должны как раз отвечать микрометеорологическому максимуму
спектров. Наличие мезометеорологического минимума, по-видимому, означает,
что т^ > Lm\ действительно, при этом условии в области масштабов 1~ЧМ
должно наблюдаться заметное увеличение скорости убывания спектра (ана-
(аналогичное наблюдаемому в микротурбулентной области при / ~ т]), отделенное
«провалом» от максимума при l^Lm. Учитывая, что неравенство ч\1ц>1*т
можно переписать в виде
^/3C B3.19)
и подставив сюда для ориентировки в качестве типичных значений Г«
« 1 см2-сек~г и Lm « 100 м, найдем, что правая часть B3.19) имеет поря-
порядок десятков м21сек% в то время как оценки vTyp6 по данным об изменении
ветра с высотой в планетарном пограничном слое атмосферы обычно при-
приводят к значениям порядка 102 м21сек. Таким образом, предложенное здесь
объяснение наличия мезометеорологического минимума в спектрах атмо-
атмосферной турбулентности (принадлежащее Колесниковой и Монину A965))
не противоречит имеющимся эмпирическим данным.
В принципе можно представить себе также турбулентные течения,
в которых имеется более чем две области спектра, характеризуемые значи-
значительным притоком внешней энергии, в промежутках между которыми и
приток и диссипация играют малую роль (и, следовательно, применимы
гипотезы Колмогорова, так что может наблюдаться инерционный интервал).
В частности, Озмидов A965) указал, что в спектрах океанической турбу-
турбулентности можно ожидать существования трех различных областей притока
энергии: в глобальных масштабах Lo « 103 км, в масштабах инерционных
и приливных колебаний L\ « 10 км и, наконец, в масштабах ветровых волн
L2 « Ю м. Порождаемые этими притоками энергии инерционные интервалы

24.1] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 467
будут характеризоваться разными средними значениями е, так как здесь
(в отличие от атмосферной турбулентности) мелкомасштабные максимумы
имеют свои источники энергии, добавляющиеся к притокам энергии из
-8 -7 -6 -5 -
W6 W5 Ю4 W3 W2 W 1 0.1 ДЩм
Рис. 96. Схематический вид спектра океани-
океанической турбулентности по Озмидову A965).
крупномасштабных областей спектра. Схематический вид соответствующего
этим представлениям спектра океанической турбулентности, заимствованный
из работы Озмидова, представлен на рис. 96.
§ 24. ДИФФУЗИЯ В ПОЛЕ ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ
24.1. Диффузия в поле изотропной турбулентности.
Статистические характеристики движения
одной жидкой частицы
Проблеме диффузии примесей в турбулентных потоках и тесно
связанному с ней вопросу о лагранжевых статистических характери-
характеристиках турбулентности была посвящена гл. 5 в части 1 настоящей
книги. Теперь мы снова вернемся к этой проблеме с тем, чтобы рас-
рассмотреть некоторые новые подходы, связанные с использованием мате-
материала предыдущих разделов второй части.
Начнем с простейшего случая диффузии в поле стационарной одно-
однородной турбулентности. Напомним относящуюся к этому случаю клас-
классическую формулу Тэйлора для тензора дисперсии
Dtj (т) = [К, (т) - кГТт)] [Yj (т) - Yj (т)] = У\ (т) К, (т)
смещения Г(т)={К1(т), К2(т), К3(т)) жидкой частицы за время т:
т
т) = / (т - s) [Bf] (s) + #}}(s)\ ds B4.1)
30*

468 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.1
(см. формулу (9.30') на стр. 475 части 1). Здесь ?($($) —
= V[(x, t-{-s)V'j(x, t)—лагранжев корреляционный тензор скорости
V(xt t) жидкой частицы, находившейся в начальный момент t = t0
в фиксированной точке х. В стационарном случае тензор B[Lj(s) до-
допускает спектральное представление вида A1.32). Подставив это пред-
представление в формулу B4.1), обозначив через ^^(со) лагранжев спек-
спектральный тензор скорости и учтя, что F\l) (со) -f- F{f} (со) = Е\L] (со)—
чётная функция со, нетрудно получить из B4.1) указанный Кампе
де Ферье A939) и Бэтчелором A9496) спектральный вид формулы
Тэйлора
'/^*^*.. B4.2)
Отсюда видно, что, например, дисперсии координат смещения Dn(x) —
= \у\ (т)]2 (по / не суммируется!) при любом т могут быть получены
с помощью интегрирования одних и тех же лагранжевых спектров
Mi^)» умноженных на зависящую от т весовую функцию
4 sin2 f-n^J/со2. Эта весовая функция затухает, как со~2, при со->оо.
Если т достаточно мало, так что со<^т для всех частот со, внося-
вносящих существенный вклад в ViVj, то в силу B4.2)
B4.3)
(результат B4.3) является частным случаем формулы (9.28) на стр. 474
части 1). В этом случае весь спектр лагранжевых частот вносит вклад
в величину дисперсий смещения, причем основную роль играют ча-
частоты из «интервала энергии». С ростом т увеличивается роль более
йизких частот, и если т очень велико (так что ^у(со) почти не ме-
меняется в примыкающем к точке 0 = 0 интервале частот длины Асо^—'Т,
00 ч
вносящем основной вклад в ^— dco = ят/4 I, то
о /
Dtj(x)^jiE{tf(O)x B4.4)
(что совпадает с формулой (9.35)). Здесь уже величина Dti{%) опре-
определяется лишь самыми низкими частотами в лагранжевом спектре ско-
скорости. Однако одними лишь высокими частотами величины Dtj(x)
не определяются ни в каком случае; поэтому теория Колмогорова

24.1] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 469
(применимая лишь к достаточно высоким частотам) не может быть
использована для расчета дисперсий смещения диффундирующих частиц.
В случае диффузии в поле изотропной турбулентности для при-
приближенного вычисления значений D^(t) и других статистических
характеристик облака частиц, испущенных мгновенным точечным
источником в точке х в момент tQ. могут быть применены методы
замыкания уравнений для моментов, рассматривавшиеся в § 19. В самом
деле, поле концентрации §(Xt t) (как и в гл. 5, мы будем теперь
обозначать текущие координаты большими буквами, а маленькие буквы
сохраним для обозначения начальных координат частицы) удовлетво-
удовлетворяет обычному уравнению диффузии
+*гМ B45)
и начальному условию
<КЛГ, to) = Q6(X—x), B4.6)
где Q — суммарное количество примеси. В уравнении B4.5) во мно-
многих случаях можно пренебречь молекулярной диффузией (включая
сюда и взаимодействие молекулярной диффузии с турбулентной, о ко-
котором шЛа речь в п. 10.2) по сравнению с турбулентной диффузией,
т. е. положить х = ®- Однак<> независимо от того, полагается ли х
равным нулю или нет, уравнение B4.5) вместе с уравнениями Навье —
Стокса и неразрывности для поля скорости можно использовать для
составления бесконечной цепочки уравнений для моментов и смешан-
смешанных моментов полей ft^Y, t) и и(Х, t). Эта бесконечная система
будет, по существу, той же, что и система уравнений для моментов
полей скорости и температуры в случае изотропной турбулентности;
только теперь поле ^(ЛГ, t) надо считать не изотропным, а инвариант-
инвариантным лишь относительно вращений вокруг выделенной точки х и удо-
удовлетворяющим начальному условию B4.6). Если мы оборвем нашу
бесконечную систему на каком-то конечном числе уравнений и при-
применим один из методов замыкания, описанных в § 19, то, решив
оставшиеся уравнения при вытекающих из B4.6) начальных условиях
(и начальных условиях для моментов и(Х, t)t описывающих статисти-
статистические свойства поля скорости в момент tQ)t получим, в частности,
приближенное значение нормированного первого момента $(Х, t)/Q =
= р (X, t)t имеющего смысл плотности вероятности для координат X
диффундирующих частиц. С помощью вероятности р (X, t) (зависящей
от параметров х и t0) можно затем оценить элементы тензора ди-
дисперсии
DtJ (т) в J XtXj р (X t0 +. *) dX B4.7)

470 ГЛ, VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.1
(средние значения Xj в случае изотропной турбулентности, очевидно,
равны нулю) и другие статистические характеристики облака диф-
диффундирующих частиц.
Такой подход к проблеме диффузии в поле изотропной турбулент-
турбулентности использовался, в частности, в работах Дейслера A961), Ро-
бертса A957, 1961) и Крейчнана A962, 1965а, 19666). Предложенный
Дейслером расчет диффузии в течение заключительного периода вы-
вырождения изотропной турбулентности основан на простейшем методе
замыкания уравнений для моментов Посредством пренебрежения всеми
моментами выше второго порядка. Дейслер произвел и более слож-
сложный расчет, при котором учитывались также и некоторые моменты
третьего порядка, но дополнительно вводились новые грубые гипо-
гипотезы; полученное при этом неплохое согласие с эмпирическими дан-
данными Уберои и Корсина, вероятно, надо рассматривать как случайное.
Роберте A957) использовал для замыкания уравнений для моментов
полей ft(X, t) uu(Xt t) обобщенную гипотезу Миллионщикова о ра-
равенстве нулю всех семиинвариантов этих полей четвертого порядка
и получил линейное интегро-дифференциальное уравнение, в принципе
позволяющее определить плотность вероятности p(Xt t). В последую-
последующей работе Робертса A961) к той же задаче был применен метод
замыкания уравнений для моментов, предложенный Крейчнаном
A959, 1961) (см. выше стр. 283). В предположении, что ^0 = 0 и
# = 0, этот метод приводит для вероятности р(Х, t) к нелиней-
нелинейному интегро-дифференциальному уравнению
= f df Г
J J
*Х'Ви(Х-Х>. t.
dXt
содержащему эйлерову пространственно-временную корреляционную
функцию поля скорости BtJ(X — X', t, t') = ui{X1 t)tij(X't t') (Ро-
(Роберте рассматривал лишь частный случай уравнения B4.8) с ^ = 0).
Родственные нелинейные интегро-дифференциальные уравнения, но
содержащие уже лагранжеву пространственно-временную корреляцион-
корреляционную функцию, получаются при использовании метода замыкания урав-
уравнений для моментов, развитого в работах Крейчнана A965а, 1966а).
Методы замыкания уравнений для моментов в модельной задаче о диф-
диффузии примеси в поле скорости и(Х), предполагаемом изотропным,
гауссовским и не зависящим от времени (так что В^(Х—Х\ t% t')
не зависит от t и t')t рассматривались в работе Крейчнана A962).
Пренебрежение всеми моментами выше второго порядка в этом слу-
случае приводит к функции р (X, t)t существенно отличающейся от нуля

24.1] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 471
лишь в небольшой окрестности точки х и, кроме того, принимающей
также и отрицательные значения, что физически бессмысленно. Пре-
Пренебрежение семиинвариантами четвертого порядка оказывается более
удачным, но и оно приводит к функции р (X, t)t имеющей отрица-
отрицательные участки. Приближение, отвечающее уравнению B4.8), при-
волит к строго неотрицательной вероятности, но также в ряде отно-
отношений оказывается очень грубым: вместо монотонного убывания с
ростом | X—х | функция р(Х, t) в этом приближении имеет мини-
минимум в точке Jf = JC, а затем монотонно возрастает вплоть до не-
некоторого значения | X—х |, после которого скачком обращается
в нуль.
Мы уже видели, что тензор дисперсии Dtj(x) ни при каком т
не может быть определен исходя из теории локально изотропной тур-
турбулентности. Однако лагранжев структурный тензор скорости D\Lj(x) =
= ATV/ATVry при x<^T0 — LjU уже может быть описан с помощью
гипотез подобия Колмогорова (см. выше стр. 329). Поэтому разность
X
Ви @) т2 - Di} (т) = J (т - s) D\L) (s) ds B4.9)
о
при х<^Т0 будет представлять собой локальную статистическую
характеристику, имеющую универсальный вид во всех турбулентных
течениях с достаточно большими числами Рейнольдса.
Другой общий метод получения характеристик движения жидкой
частицы, к которым может применяться теория локально изотропной
турбулентности, состоит в переходе от неподвижной системы коор-
координат <?Р0 к подвижной инерционной системе ?Р, движущейся со ско-
скоростью и(х% t0) (различной для разных реализаций турбулентности)
и имеющей в момент t = t0 начало координат в точке х. Коорди-
Координаты Y^S) и скорости V(tJ) в системе gf будут связаны с координа-
координатами X и скоростями и в исходной системе ??0 простыми соотноше-
соотношениями YE) = X — х — и (jc, /0) т, VE) == и — и (jc, *0), где т = t —10.
Жидкая частица, находившаяся в момент tQ в точке jc, будет через
время х находиться в точке УE) (т) = Х(х% t) — х — u(x,to)x и иметь
скорость VE)(x) = V(x, to-{-x) — tt(jc, *0) = ATV. Поскольку стати-
статистические характеристики поля V^>(t) —ATV подчиняется гипотезам
X
подобия Колмогорова, a Y^S)(x)== \ V^S)(x)dxt все статистические
о
характеристики движения жидкой частицы относительно системы коор-
координат ?Р в течение промежутка времени т <^ То при достаточно боль-
большом Re имеют универсальный характер, определяемый параметрами е
и v (такие характеристики можно назвать локальными характеристиками

472 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.1
движения жидкой частицы). В частности,
V\s)(x)Vf(x) = Df){x) = D(i) (т) 6i}, B4.10)
B4.10')
(последняя из этих формул является следствием первой и тожде-
тождества A3.33)). Отсюда вытекает, что
= J J V^t,) Vf(x2)dxx dx2 = btJ J T'
0 0
При очень малом t^t^ можно положить D(z:)(t) = a0e3/2v~1/2t2 =
= ^Л2т2, где Л2— 3a0e3/2v-1/2 — средний квадрат ускорения жидкой
частицы; следовательно,
B4.12)
Мы видим, что при х<^хц коэффициент корреляции между v\s)(x)
и V{ts)(x) равен единице, а дисперсия «относительного смещения»
y\s)(x:) Y[s)(х) здесь несравненно меньше, чем дисперсия полного сме-
смещения (имеющая, в силу B4.3), при малых т порядок т2). Последнее
обстоятельство объясняется тем, что дисперсия полного смещения при
малом х определяется в основном флюктуациями начальной скорости
частицы tt(jc0, *0), исключающимися при переходе к подвижной си-
системе ??. При значениях же т из инерционного интервала т^ <^ т <^ TQ
можно воспользоваться формулой B1.30') для D(z:) (т), из которой
вытекает, что в этом случае
B4.13)
Таким образом, при тт,<^т<^Г0 коэффициент корреляции между
Y{is)(x) и V\s\x) равен у 3/2. Формулы B4.13) очень похожи на фор-
формулы (9.58) и (9.59) на стр. 488 части 1, описывающие дисперсии
смещений по различным координатным осям при турбулентной диф-
диффузии в потоке с постоянным градиентом средней скорости; объясне-
объяснение этого сходства будет дано в п. 24.4 (см. стр. 508).

24.1] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 473
Теория локально изотропной турбулентности позволяет установить
и общую форму распределений вероятностей для характеристик дви-
движения жидкой частицы относительно системы ?f. Так, например,
плотность распределения вероятностей для векторов Y^ — FE) (т) и
_ y(s) ^ ПрИ т ^^ -р^ может зависеть только от аргументов
= \Y{s)\, V<5> = |V(*>| и Y{S)V(S) (в силу ее инвариантности от-
относительно вращений системы координат <??) и от параметров т, г и v.
Согласно соображениям размерности отсюда вытекает, что эта плот-
плотность должна иметь вид
^ ; i), да.,4,
где РA) — универсальная функция четырех переменных. При значе-
значении т из инерционного интервала t^^t^Tq зависимость плот-
плотности B4.14) от v становится несущественной; поэтому при таких т
где ЯB)—универсальная функция трех переменных. Проинтегрировав
формулу B4.15) по всем значениям VE), убеждаемся, что плотность
вероятности для КE) имеет вид
3/2(^) B4.16)
где РC) — универсальная функция одного переменного, и т. д.
Согласно формуле B4.2) на значения Dtj (т) = Y\ (t) Yfj (t) влияют тур-
турбулентные возмущения всех частот, вносящих вклад в пульсации лагранже-
вой скорости. Следовательно, для получения надежной оценки величины
Y\ (t) Ку (т) при помощи осреднения эмпирических данных по времени период
осреднения должен существенно превосходить периоды всех колебаний, вно-
вносящих заметный вклад в [ V (х, t)]2. Последнее обстоятельство оказывается
особенно стеснительным в случае атмосферной или океанической турбулент-
турбулентности, спектр которой далеко простирается в сторону больших периодов и
практически всегда, включает периоды, превышающие используемое время
наблюдения. В результате при наблюдении диффузии в атмосфере или океане
дисперсия смещения частиц всегда зависит от времени наблюдения 7\ воз-
возрастая с ростом Т. Если, например, мы будем наблюдать за примесью, рас-
распространяющейся от стационарного источника, то увидим, что частицы при-
примеси, испущенные за конечное время 7\_ образуют струю, вытянутую вдоль
направления средней скорости течения й, но содержащую ряд неправильных
изгибов, созданных длиннопериодными колебаниями лагранжевой скорости
(ее границы обозначены пунктиром на схематическом рис. 97). Частицы,
испущенные за другой промежуток времени той же продолжительности 7\
образуют другую струю примерно той же толщины, но изгибающуюся иначе.
Если мы осредним результаты наблюдений за очень большой промежуток
времени, то в результате наложения большого числа отдельных изгибаю-

474 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.2
щихся струй получим изображенный на рис. 97 сплошной линией широкий
правильный конус, ширина которого на расстоянии х от источника непо-
непосредственно связана со значением дисперсии D22 (*/«). определяемой подфор-
подформуле B4.2). Средняя же ширина отдельных струй на расстоянии х = их от
источника не может быть рассчитана на основании формулы B4.2), а должна
сопоставляться с величиной
-у J Г2Со+ *
L -Г/2
где У i (t0, т) — смещение за время т жидкой частицы, вышедшей из начала
координат в момент t0. Естественно ожидать, что все статистические харак-
характеристики вектора К(Г) (t0, т) == Y (t0, т) —«г Y(t0 + s> i) ds будут зави-
-Г/2
сеть только от возмущений с периодами меньшими 7\ и, следова-
следовательно, при не слишком боль-
большом Т будут определяться лишь
турбулентными возмущениями,
подчиняющимися гипотезам по-
подобия Колмогорова. Отсюда, в
частности, вытекает, что при
B4.18)
где / — универсальная функция,
и, значит,
Рис. 97. Схематическое изображение D$ (т) = С'о Ft3 6^, C'Q = / A).
струй примеси в турбулентном потоке. ' ^ |g/\
Сходство формулы B4.18') с последней из формул B4.13) объясняется тем,
что величины D^j (т) и Y[s) (t) Y^p (т) имеют одинаковую размерность и за-
зависят от одних и тех же размерных параметров.
Более детальное изучение статистических характеристик вектора Y^T) (t0, t)
требует определения статистических характеристик движения пары жидких
частиц, в разное время вышедших из фиксированной точки пространства.
Все имеющиеся теоретические расчеты величин D^(i) (см., например, Огура
A957, 1959) и Шимануки A961)) опираются на те или иные нестрогие гипо-
гипотезы и приводят лишь к приближенным результатам, на которых мы здесь
останавливаться не будем.
24.2. Статистические характеристики движения
пары жидких частиц
Наиболее общими лагранжевыми статистическими характеристиками
турбулентности являются многомерные распределения вероятности для
значений в произвольные моменты времени tv t2 tm коорди-
координат X и скоростей V заданных п жидких частиц с известными

24.2] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 475
координатами #i = Я\ (?01), .... xn = Xn(tOn) в какие-то, не обяза-
обязательно одинаковые, «начальные моменты» *01, ..., tOn, где *0/< */•
В настоящей книге до сих пор рассматривались почти исключи-
исключительно распределения вероятности только для координат X(t) =
= [X (t), Y (t), Z(t)} одной жидкой частицы в фиксированный момент
времени t > t0; иногда упоминались также совместные распределения
вероятности (и смешанные моменты) координат X(t) и значений ско-
скорости V(t) одной жидкой частицы. В настоящем пункте мы рас-
рассмотрим некоторые статистические характеристики, описывающие
движение пары фиксированных жидких частиц.
Чтобы упростить задачу, ограничимся сначала распределениями
вероятности для координат Xx = Xx(t) и X2 = X2(t) пары жидких
частиц (вышедших в момент t0 из фиксированных точек хг и х2)
в один момент времени t > t0. Нам будет удобно принять момент t0
за начало отсчета времени (т. е. заменить аргумент t на x = t— t0),
а вместо векторов Xx(t) и X2(t) использовать смещение первой
частицы Y(т)'== Хх (*о+т)-"*i и вектор l(x) — X2(*0+т)—Я\ (to-{-x),
характеризующий взаимное расположение рассматриваемых частиц.
Плотность вероятности p(Y, t) случайных векторов Y (т) и 1(х)
зависит от параметров л^, /^ = /@), т и t0; поэтому мы ее.часто
будем обозначать символом p(Y, l\xx, Iq, t, t0). Отметим, что в слу-
случае однородной турбулентности зависимость от хх исчезает, а в слу-
случае стационарной турбулентности плотность р (F, t) не будет зависеть
от t0. Проинтегрировав плотность р (F, t) по всем значениям вектора /,
мы получим плотность вероятности для смещения Y(x) одной частицы
(не зависящую от 10), о которой шла речь в гл. 5 и п. 24.1 этой
книги. Теперь нас, однако, будет особенно интересовать плотность
вероятности для вектора /(т), определяемая равенством
i. 'о. т, to)=j p(Y, t\xlt /о. т. to)dY. B4.19)
Эта плотность впервые была введена в теорию турбулентной диф-
диффузии (в одномерном случае) Ричардсоном A926), который назвал ее
«функцией расстояния между соседями». Позже общие свойства этой
плотности были проанализированы в работах Бэтчелора A952а),
Бэтчелора и Таунсенда A956) и Монина A960).
Рассмотрим отдельно случаи, отвечающие различным интервалам
изменения времени диффузии т. Предположим сначала, что т очень
велико. Тогда можно считать, что за время т наши две частицы
разошлись на столь большое расстояние, что их скорости V1(^0 + t)==
= и (Хх (t0 + tM0 + t)HV2 (t0 + т) = и (Х2 (t0 + т), *0 + *) стали уже
практически независимыми. Отсюда вытекает, что при очень большом т
. 1\хх% /о, т, *0) =
= p(Y\xx, т, to)p{Y + l-k\*i + k> t. t0) B4.20)

476 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.2
и
. B4.21)
где р (Y | JC, т, ?0) — плотность вероятности для смещения одной
жидкой частицы. Таким образом, в рассматриваемом случае распре-
распределение вероятностей для 1(х) просто определяется по распределению
вероятностей р (Y) для смещения одной частицы. В частности, если
Р (У) удовлетворяет параболическому уравнению диффузии с постоян-
постоянными коэффициентами Кц> то и р (/) будет удовлетворять такому же
уравнению, но только с удвоенными коэффициентами 2/С/у. Если
|/0|^>?, где L — внешний масштаб турбулентности, то формулы
B4.20) и B4.21) могут быть применены при любых (не обязательно
больших) значениях т. Если же /0 не удовлетворяет указанному усло-
условию, то для справедливости этих формул т должно быть настолько
большим, чтобы можно было пренебречь вероятностью нарушения
условия |/(т)| ^> L (практически для этого достаточно потребовать
выполнения неравенства [/2(т)]1/2^> L). Поскольку в турбулентном
потоке среднее расстояние между диффундирующими частицами воз-
возрастает со временем и при отсутствии границ мoжef стать сколь
угодно большим, всегда существует значение т0 (зависящее от /0 и
от характеристик крупномасштабных компонент турбулентности),
после которого уже можно пользоваться равенствами B4.20) и B4.21).
Будем считать, что | /0 | <^ L. Поскольку /(т) меняется непрерывно,
в таком случае всегда будет существовать такое значение хх < т0, что
при т < хх практически наверное выполняется неравенство | l(x) | <^ L.
Тогда при х < хх возмущения с масштабами порядка или больше L
будут лишь переносить наши две жидкие частицы как целое, не
меняя их взаимного расположения. Поэтому на взаимное движение
пары частиц будут влиять лишь турбулентные возмущения с мас-
масштабами, много меньшими /,, к которым применимы гипотезы подобия
Колмогорова (при условии, что число Re достаточно велико). Отсюда
вытекает, что при т < хх и достаточно большом Re плотность веро-
вероятности p(l\xv /q» *, *о) не будет непосредственно зависеть от хх и t0
(в силу однородности и стационарности локальной структуры), а бу-
будет изотропной функцией векторов / и /q, зависящей только от т
и от параметров v и е. Далее, поскольку смещение первой частицы
У(х) определяется в основном крупномасштабными турбулентными
возмущениями (с масштабами порядка L или больше), следует ожи-
ожидать, что при х < хх и большом Re случайные векторы У(х) и 1(х)
будут статистически независимы. Следовательно,
Я (К, l\xv lQt t, tQ) = p(Y\xv t, *о)/>AЦ. *), B4.22)

24.2] § 24- диффузия в локально изотропной турбулентности 477
где первый сомножитель справа представляет собой плотность веро-
вероятности для смещения одной частицы, а принятое обозначение для
второго сомножителя уже учитывает его независимость от хх и t0.
В дальнейшем нам будет удобнее рассматривать вместо вектора /= 1(х)
вектор Д/=/(т)— /0. Обозначим его плотность вероятности символом
Pj (Л/| /о, т); тогда, очевидно, /7Х (Л/| /0» т) = Р(А'+А>1 А>» т)- в силУ
сказанного выше при т < хх и достаточно большом Re плотность
/?2 (Д/| /q. t) должна задаваться формулой
(Ш-, ^, М. ^), B4.23)
где T] = (v3/eI/4, Tn=(v/eI/2 — микромасштабы длины и времени,
а ФA) — универсальная функция четырех переменных. В предельном
случае очень малых т выражение B4.23) может быть упрощено.
Именно, существует такое т2 < xv что ^в течение промежутка вре-
времени т2 частицы продолжают двигаться практически прямолинейно
с имевшимися у них начальными скоростями u(xv t0) и и(хх-\-1& t0).
Тогда Д/^Д/оя.т при т < т2, где Д/Оя— пространственная разность
(эйлеровых) скоростей на расстоянии /0. Следовательно, при т < т2
ММ\10, т) = тР(^|/0)^т--Ч3ФB)(^^ *?*. ^). B4.24)
где г;-—микромасштаб скорости, a P(U\ /0)=^3ФB)(—, —, ^W
плотность вероятности пространственной разности эйлеровых скоро-
скоростей ktju = U. Таким образом, при т2 < хх функция ФA) выражается
через функцию P(U\l^), имеющую очень простой смысл (и в прин-
принципе сравнительно легко определяемую по эмпирическим данным).
Формула B4.24) близка к формуле (9.25) на стр 471 части 1 для
плотности р (Y | X, т, ?0) при малых значениях т; однако надо иметь
в виду, что условие малости т для этих двух формул имеет разный
смысл (так как возмущения, приводящие к изменению величин Y (т)
и Д/(т), имеют разные характерные периоды).
Если т < т2 и, кроме того, /0 = |/0|^>т], то в силу второй
гипотезы Колмогорова плотность P(U\l0) не может зависеть от v,
т. е. должна иметь вид (ё/о)" ФC)( 11/1/G/0)i/3, Ul0fcelt)V3). Поэтому
при т < т2 и 10^>ц выражение B4.24) еще упрощается: в этом случае
B4.25)
Упрощение, аналогичное переходу от B4.24) к B4.25), возможно
и в общем случае /0<С^» т < т^ Достаточно допустить, что 10^>г\
(т. е. что /0 принадлежит инерционному интервалу), и тогда при
любом х возмущения с масштабами порядка ц или меньше не будут

478 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.2
влиять на распределение вероятностей для Д/ (это видно, например,
т
из формулы Д/= Г A/E)ttdte, показывающей, что Д/ выражается
о
через разности Д/й, отвечающие базам /($), 0 < 5 < т, принадлежащим
инерционному интервалу). Следовательно, при т < хх и v\<^.lo<^.L
из формулы B4.23) должна выпасть молекулярная вязкость v, т. е.
эта формула должна принять вид
^ ^^L) B4.26)
где ФD) — универсальная функция трех переменных. Частным случаем
последней формулы (при т < т2) является формула B4.25). Заметим,
что и при /0^Л влияние вязкости v на распределение вероятностей
для Д/ будет проявляться только в течение ограниченного промежутка
времени; через какое-то время т расстояние |/(т)| между частицами
станет много больше т|, и на их дальнейшее относительное движение
будут влиять только турбулентные возмущения из инерционного
интервала. Поэтому при /0^Л' начиная с некоторого значения т(/0)
(имеющего <в силу соображений размерности порядок т^ при всех не
слишком малых значениях 10/г\), можно пользоваться формулой B4.26),
которую, как мы увидим ниже, в этом случае можно еще упростить.
Таким образом, можно считать, что для применимости формулы B4.26)
должно выполняться одно из двух условий: или /0^> Л» или т > т (/0).
Рассуждение, показывающее, что малость /0 через какое-то время
перестает влиять на распределение вероятностей для Д/, можно
обобщить. Интуитивно ясно, что зависимость распределения вероят-
вероятности Д/ от Iq может быть существенной, лишь пока |Д/| не ста-
станет с близкой к единице вероятностью достаточно большим по срав-
сравнению с /0. При очень больших т зависимость распределения для Д/
от /0 теряется: это видно из формулы B4.21), согласно которой при
т > т0 (когда движения частиц уже можно считать независимыми)
величина /0 может входить в плотность вероятности для /(т) лишь
в виде разности / — /о = Д/ (при естественном допущении, что пара
точек хх и х2 — Х1-\-10 расположена в области, в которой турбу-
турбулентность практически однородна). Однако условие т > т0 для этой цели
не необходимо. Достаточно выбрать такое значение т3, что при т > т3
можно быть уверенным в справедливости неравенства |/(т)|^>|/о|
(например, определить т3 из условия [Z2^)]172^! *ol)> тогда можно
считать, что при т > т3 частицы «забыли» про разницу своих началь-
начальных положений и движутся практически так же, как если бы они
вышли в момент t0 из одной точки. Значение т3 зависит от /0, и есте-
естественно ожидать, что если | /01 не слишком велико, то т3 < т0, т. е.
что зависимость распределения Д/ от /0 здесь исчезает раньше, чем

24.2] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 479
движения частиц станут практически независимыми. Предположение
о существовании при достаточно малом /q промежуточного интервала
времени т3 < т<т0 было высказано Бэтчелором A950, 1952а), который
назвал движение пары частиц в течение этого интервала квази-
квазиасимптотическим (в отличие от асимптотического движения
при т > т0, когда частицы уже движутся независимо друг от друга)*).
Нас будет особенно интересовать случай, когда /0 настолько мало
по сравнению с Z,, что квазиасимптотическое движение достигается
раньше, чем перестает быть пренебрежимо малой вероятность выхо-
выхода /(т) за пределы инерционного интервала масштабов, т. е. когда
т3 < Х\ (времена диффузии т из интервала т3 < т < хх Бэтчелор
A950) назвал промежуточными в отличие от малых времен
т<т2 и больших времен т > т0). При т3 < т < хх зависимость
от /0 должна выпасть из формулы B4.23), так что эта формула
должна принять вид
E(iM L) B4.27)
Если кроме условия т3 < т < хг выполняется еще хоть одно из усло-
условий 10^>Ц или т>т(/0), то плотность р2(А/| т) не будет зависеть
также от v; при этом формула B4.27) обращается в равенство
рх (Д/| т) = (е-тГ^Ф'6' D^) B4.28)
(тот же результат можно получить, потребовав, чтобы правая часть
B4.26) не зависела от /0). Заметим, что т(/0) имеет порядок т^,
а Тэ^т^ при /0 порядка т|; поэтому формула B4.27) нужна лишь
в случаях, когда начальное расстояние между частицами много
меньше д, а время диффузии очень мало — меньше чем т(/0). Вместо
длины (ет3I/2 в формуле B4.28) можно использовать любую другую
длину, однозначно определяемую параметрами е и т, например длину
[kp(x)]l/2t которая в этом случае пропорциональна (ет3I/2 (см. ниже
формулу B4.36)). Таким образом, равенство B4.28) можно пере-
переписать также в виде
Щ^^у, B4.28')
1) Бэтчелор A952а) указал также, что значение т3, по-видимому, можно
еще уменьшить (заменить на т3 < т3), допустив, что зависимость распределе-
распределения А/ от 10 при квазиасимптотическом движении не исчезает полностью,
но может быть заменена небольшим увеличением времени диффузии т (на
величину tx«»tx (/0), зависящую в основном от 1101). В таком случав
рх (Д/1 /0, т) = рх (М10, т + tx) при т > т3; иначе говоря, при т3 > т3 частицы
движутся так, будто они вышли из одной и той же точки в некоторый
момент tQ — tu где t{ определяется по /0.

480 гл. viii. локально изотропная турбулентность [24.2
в таком виде оно, по-видимому, должно быть справедливо, уже
начиная с момента х'3 < т3 (ср. сноску на стр. 479).
Аналогичные результаты могут быть получены для совместного
распределения вероятностей вектора А/(т) или /(т) и относительной
скорости частиц AV(t) = VP2(^o + T) — ^(^о + тО- в частности, при
^з < т < Ti и А) ^> Л (или т > т (/0)) плотность вероятности пары
векторов Д/(т) и ДУ'(т) будет зависеть только от т (так что ее
можно обозначить символом Pi(A/, AV|t)) и будет- иметь вид
B4.28»,
При условии, что т3 < tj, значение т3 должно полностью опре-
определяться параметрами /0=| /01, е и v; следовательно, т3=(/о/еI/3/ (/о/л)»
где / (л:) — универсальная функция. При этом Игл / (х) = / (оо) будет
ДГ-^ОО
конечной постоянной, так что т3—0о/е)/з при 1о^>Ц\ в то же время
т3—хц при /0<С!Л (ср. ниже стр. 514). Аналогично значение т2 при
lo<^L также определяется параметрами /0, е и v, т. е. задается
формулой того же вида (но с другой функцией /), причем Т2~(/о/еI/в
при /0^>Л и Х2~хх\ ПРИ ^о^Л- Однако величины т0 и хх не могут
быть уже определены подобным образом, так как они зависят и от
характеристик крупномасштабных движений (в первую очередь от
масштаба L).
Формулы B4.21) и B4.23) — B4.28) для плотности вероятности
случайного вектора А/ позволяют без труда получить ряд результа-
результатов о моментах случайных векторов А/ и /=/0-|-Д/. Мы здесь
остановимся только на изученном Бэтчелором A950) вопросе о nole-
дении тензора относительной дисперсии D(/j(t) =//(т)/у(т) (или тесно
с ним связанного тензора А/^ (т) А/у (т)) и среднего квадрата рас-
расстояния между частицами I2 (т) = D{[} (т) (или длины [А/2(т)]1/2).
Если т > т0, то в силу независимости движения обеих частиц из ра-
равенства /(т) = /о+^2(т) — ^i(T) (гДе У* СО — смещение 1-й частицы)
вытекает, что в случае однородной турбулентности
rfpj (т) = hiloj + Yu(x)Yij(x) + Ки(т)К2у(т).
B4.29)
В силу результатов п. 9.3 отсюда следует, что при очень большом т
B4.29')
так что расстояние между частицами растет примерно пропорцио-
пропорционально т1/2. Если т < т2, lo<^.L, то А/^Д/ои-т и, следовательно,
2DNN (/0)] t2, B4.30)

24.2] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 481
где Dtj, DLL, DNN — структурный тензор и структурные функции
эйлерового поля скорости, изученные в п. 21.4. Поскольку при этом
к тому же Д/ = Д/ои-т = О, то при т < т2 получается
{} ? T2. B4.300
Если 10^>Ц, то Dll(Iq)~Dnn(Io)~(?IoJ/3', поэтому условие
х < х2—(/о/еI/3 здесь наверное будет выполняться при (| А/12I/2<^ /0.
В более общем случае х < tlt /0<^Z, когда плотность вероят-
вероятности для Д/ имеет вид B4.23), соображения симметрии и размер-
размерности позволяют получить для тензора /)(/](т) формулу вида
B4-31)
где Dor) и Dir) — универсальные функции двух переменных \ =
и ? = т/тл = te1/2/v^2 (или, что то же самое, переменных /о/л =
и т/тл). Формула точно того же вида (но с другими функциями
и т/тл).
и ЕР)
в этом случае может быть выписана и для Д/^ • Д/;.. Из B4.31)
следует, что
? 3^)(^L) B4.32)
где DBr)(&. t) = D{P&, C)&2-f ЗМ°F. С). Можно также, следуя Бэт-
челору A950) и Бэтчелору и Таунсенду A956), использовать вместо
B4.32) эквивалентную формулу
f-=«W> fafo. i). K.-MP + tiDP-iti*.
B4.320
Если to^>y\ или t>t(/0), то формулы B4.31) — B4.32') заметно
упрощаются и принимают вид
B4.33)
f %^) B4.34)
Наконец, если т3 < т < хх, то
О(/](т) = |7т30&г)(т/тпN„, ? = 7т3О^(т/тп), B4.35)
-gi = 7т3 G(,r) (т/т,,). Oir) (С) = 3OJT> (С) + С ¦? G|,r) (С), B4.35')
31 А. С. Монин, А. М. Яглом

482 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.2
а если, кроме того, еще и /0 ^> ц (или /0 ^ г), но т ^> тл или /0
но т>т(/0))> то
B4.36)
^ B4.360
где ^ = Оог) (оо)—универсальная постоянная. Очень простые формулы
B4.36) и B4.36'). имеющие широкую область применимости, пред-
представляют собой, пожалуй, наиболее важный результат настоящего
пункта. Эти формулы были известны Обухову и Ландау еще в на-
начале 40-х годов (см., в частности, решение задачи на стр. 154 книги
Ландау и Лифшица A953), имевшееся уже в вышедшем в 1944 г. первом
издании этой книги); затем они были независимо найдены Бэтчело-
ром A950), после которого другие выводы тех же результатов были
предложены также рядом японских авторов (см., например, Огура,
Секигучи и Миякода A953)). Формулу B4.36') в силу B4.36) можно
переписать в виде
*!L = ^7-i/3 (?f3. B4.37)
где gx = 3#1/3. Эта последняя формула фактически содержалась уже
в работах Обухова A941а, б); она особенно наглядно иллюстрирует
ускоряющийся характер процесса удаления двух жидких частиц друг
от друга, связанный с тем, что возрастание расстояния / между двумя
частицами создается турбулентными возмущениями с масштабами по-
порядка / (поскольку более крупные возмущения переносят обе частицы
как целое, а возмущениям с меньшими масштабами ртвечают заметно
меньшие характерные скорости).
Если мы учтем, что ^ =—^~^==AV(t), то для смешанных
вторых моментов компонент относительной скорости AV(t) или ком-
компонент ДУ(т) и /(т) при t3<t<t1 и 10^>Ц из B4.36) легко
получим
^1 B4.360
Формулы B4.36) и B4.36") очень похожи на B4.13), а формула
B4.28") очень напоминает B4.15). Это связано с тем, что статисти-
статистические характеристики относительного движения пары жидких частиц
можно рассматривать как характеристики движения второй из них
относительно неинерциальной системы координат <^*, начало которой
перемещается вместе с первой. При малом (по сравнению со временем
заметного изменения лагранжевой скорости) промежутке времени т
такие статистические характеристики будут мало отличаться от харак-
характеристик движения частицы относительно инерциальной системы &\

24.2] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 483
перемещающейся с постоянной скоростью, которую имела первая
частица в начальный момент т = 0. Именно поэтому для статисти-
статистических характеристик относительного движения, отвечающих предель-
предельному случаю /0 = 0 (или, что то же самое, случаю х > т3), спра-
справедливы такие же формулы, как и для рассматривавшихся в п. 24.1
локальных статистических характеристик движения одной частицы.
Аналогично для статистических характеристик движения частицы,
расположенной в момент tQ в точке хо-\~1о, относительно инерциаль-
ной системы координат <?Р, движущейся с постоянной скоростью
и = а(х0, to)t будут верны формулы, совпадающие по форме с при-
приведенными выше формулами, относящимися к относительному движе-
движению пары частиц, начальные положения которых отличаются на век-
вектор /0; на этом, однако, мы уже не будем задерживаться.
Можно также установить непосредственные связи между стати-
статистическими характеристиками движения частицы относительно инер-
циальной системы координат ?f и неинерциальной системы коорди-
координат <^*. Пусть /0^>Л (и, значит, тем более |/(t)|^>ti при т > 0);
допустим, что х3 < t < tlt так что рассматриваемые две частицы
можно без большой ошибки считать вышедшими в момент т = 0 из
одной и той же точки. Воспользуемся тем, что ускорения жидких
частиц в турбулентном потоке с большим Re на расстояниях 1^>ц
практически некоррелированы (см. выше стр. 340). Поэтому уско-
ускорения А1(х/) и Л2(т") двух частиц при всех 0<т'<т и 0<т"<т
естественно предполагать некоррелированными. Поскольку т > т3,
допустимо считать, что
f >(т) =-- / Л, (x')dx'. X[s) (т)= / V^t'W = J (т_г')Л(т')йт'.
0 0 0
т х'х
?°(t)= J A2(x')dx\ XBs)(t) = J Vc25)(t/)^t/= J (t-t')
0 0 0
Поэтому в рассматриваемом случае
AV(t)= V<25)(t)- VE)(t), l(x)=Xis)(x) — X[s)(x). B4.38)
где {V[s)(x)t V^(t)) и (X[s)(x), XBs) (t)) — две пары независимых оди-
одинаково распределенных случайных векторов. Исходя из этого, плот-
плотность вероятности Ф(б)(?) формулы B4.28) можно выразить (с по-
помощью интегрального соотношения, содержащего трехмерную операцию
«свертки») через плотность РC)(?) формулы B4.16), а плотность
ф16)(|. Я 0 формулы B4.28")— через плотность ЛB)(?. г\, С) фор-
формулы B4.15). Особенно простые связи получаются между моментами
31*

484 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.2
векторов AV(т) и У<5) (т) или 1{х) и АГ<5> (т): так, например, |ДУ(т)|2==
= 2 | V<5) (т) |2 и /2 (т) = 2 | Х^ (т) |2, откуда видно, что
g = 2C0 B4.39)
(последнее соотношение было указано Новиковым A963а), пришедшим
к нему с помощью близких рассуждений).
Рассмотрим некоторые способы вывода соотношений типа B4.36), фор-
формально не опирающиеся на гипотезы подобия. Начнем с гипотезы Обухова
A9596), согласно которой процесс изменения координаты X и скорости V
выделенной жидкой частицы можно считать марковским случайным процес-
процессом в шестимерном фазовом пространстве (X, V) (по поводу определения
марковского процесса см., в частности, стр. 532—533 части 1 настоящей
книги). Эту гипотезу мы подробно обсудим в п. 24.4 (см. ниже стр. 505—
508). Пока же отметим, что из нее автоматически следуют родственные
B4.13) соотношения
= ! Dx4ij% Yf(x)Vf(x) = Dx4ij% V\s) (t)
B4.40)
Здесь КE) и И5) — координаты и скорости относительно системы <?*, a D—-
постоянная той же размерности, что и е («коэффициент диффузии в прост-
пространстве скоростей»). Полученный результат, согласующийся с выводами
из соображений подобия и размерности, можно рассматривать как довод
в пользу приемлемости использования гипотезы Обухова при большом Re
и не слишком малом (но и не слишком большом) т в качестве разумного
первого приближения (если принять, что D^-^CqT, где Со —числовая
постоянная). С другой стороны, этот результат дает основание применять
формулы вида B4.13) или B4.36) — B4.36") независимо от гипотез подобия
во всех случаях, когда можно как-то оправдать предположение о марков-
марковском характере процесса изменения состояния жидкой частицы.
Последнее обстоятельство побудило Линя A960а, б) (см. также Корсин
A962а) и Линь и Рид A963)) более тщательно проанализировать предпосылки,
необходимые для получения формул типа B4.36) — B4.36") и B4.13). При
этом оказалось, что гипотеза о марковском характере шестимерного случай-
случайного процесса (Х(х), V(x)) или (Д/(т), ДК(т)) может быть заменена неко-
некоторыми на первый взгляд более простыми и широкими (хотя в действитель-
действительности, по-видимому, довольно близкими) предположениями.
Прежде чем излагать соображения Линя, касающиеся относительного
движения пары жидких частиц, остановимся на предложенном им выводе
выражения для лагранжевой корреляционной функции скорости одной ча-
частицы, хорошо иллюстрирующем его подход к проблеме. Рассмотрим для
простоты движение частицы лишь по направлению одной из осей (скажем,
Оси Oxi). Приращение соответствующей компоненты лагранжевой скорости
Vi (х, t) = V (t) за время т можно представить в виде
A(t')dt't

24.2] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 485
где A (t) = А{ (ж, t) — ускорение частицы, вышедшей в момент t0 из точки х%
в направлении оси Ох{. Следовательно,
IV (*0 + т) - V (to)f =
о о
(т' - т") dx' dx" = 2 J (т —s) BfA (s) ds,
0
B4.41)
где B$A (s) = A (t + s) A (t) — лагранжева корреляционная функция ускоре-
ускорения (ср. вывод формулы (9.30) на стр. 475 части 1 настоящей книги). Если
интеграл от В$А (s) в пределах от 5 = 0 до 5 = т сходится при т -» оо к ко-
конечному пределу <А, то при т ^> ТА (где ТА—типичное время корреляции
лагранжевых ускорений) получится
D{L) (т) = [V (t0 + х) - V tf0)]2 «
B4.42)
(ср. вывод формулы (9.35) части 1). Итак, мы как будто бы доказали линей-
линейность по времени лагранжевой корреляционной функции скорости (т. е.
получили результат, аналогичный следствию B1.30') из гипотез подобия
Колмогорова), допустив лишь, что корреляционная функция ускорений
достаточно быстро убывает на бесконечности (и не требуя, чтобы число
Рейнольдса было велико, а т — много меньше, чем То). На самом деле,
однако, приведенное рассуждение несостоятельно. Действительно, из B4.41)
видно, что Б^ (т) = -т-у D^ (т); следовательно,
B4.43)
Таким образом, постоянную <А > 0 в равенстве B4.42) нельзя приравнять
интегралу B4.43). Поэтому вместо требования о существовании (ненулевого)
оо
несобственного интеграла I Bffy (s) ds приходится требовать, чтобы начи-
о
ная с некоторого значения $ = т0 функция B%\(s) становилась бы столь
малой, что
B4.44)
для широкого интервала значений т > т0. В таком случае
о
(s) ds
const и, значит
s) ds «
» Ы, D{L) (x) » 2*4т при

486 гл. viii. локально изотропная турбулентность [24.2
значениях т, для которых справедливо условие B4.44). Мы снова пришли
к равенству типа B1.30'). но теперь уже его удается обосновать лишь для
конечного интервала не слишком малых, но и не слишком больших значе-
значений т (поскольку при сколь угодно больших т условие B4.44) не может
выполняться в силу B4.43)). Требование B4.44) вовсе не кажется настолько
естественным, чтобы во всех случаях принять его на веру. Если Re доста-
достаточно велико, то, как мы знаем (см. стр. 339), при т^ <^ т <^ То лагран-
жевы ускорения практически некоррелированы, и, следовательно, при таких т
предположение B4.44) можно считать выполняющимся. Но вывод о малости
корреляции #ад(т) на стр. 339 был получен исходя из гипотез подобия, и
фактически он являлся следствием линейности по т функции D^ (т). Другое
доказательство того, что при очень большом Re типичное время корреляции
ускорений мало — порядка хц или меньше, —.приводят Линь и Рид A963);
однако их вывод также опирается на некоторые гипотезы. Такие выводы не
позволяют считать, что корреляция ускорений точно равна нулю при х^>х^
их смысл заключается лишь в утверждении, что эта корреляция быстро спа-
спадает до очень малых значений, но включает также и длинный «хвост» малых
(но не нулевых) отрицательных значений в области относительно больших т
(связанный, как можно показать, с вязкими ускорениями жидких частиц),
который в конце концов и обеспечивает справедливость равенства B4.43).
Тем не менее отсюда уже вытекает, что при очень больших Re условие
B4.44) выполняется (с той же степенью достоверности, с которой справед-
справедливы гипотезы подобия Колмогорова) в широком интервале значений т.
В случае же, когда Re относительно невелико, условие B4.44) не кажется
правдоподобным, так что и вывод Линя в этом случае теряет свою убеди-
убедительность 1). Заметим, что если вместо некоррелированности ускорений по-
потребовать, чтобы лагранжевы ускорения в разные моменты времени были
взаимно независимыми (например, предположить, что поле ускорения является
гауссовским), то отсюда будет следовать, что случайный процесс (X(t), V (t))
является марковским, в полном соответствии с гипотезой Обухова.
Предположение типа B4.44) может быть применено и к исследованию
относительного движения двух жидких частиц. Ограничимся снова одномер-
одномерным движением по направлению оси Охх и рассмотрим две жидкие частицы,
проекции которых на эту ось находились в начальный момент t0 на рас-
расстоянии /0 друг от друга и обладали относительной скоростью Д Vo. В таком
случае
т т
Д V (т) = Д Vo + J НА (т') dx', I (т) = /0 + Д Vo т + J (т - т') Д A (xf) dx\
где ДУ(т) —относительная скорость, а ДЛ (т) — относительное ускорение
в момент U + т. Если КЦх) - 0 и ДЛ (т) ЬА (т7) « Б^ (т—тО, где B<J)A E)—
корреляционная функция относительных ускорений, то, воспользовавшись
') В этой связи представляется неясным, к каким ситуациям могут быть
применены рассуждения работы Линя A9606), в которой условия типа B4.44)
прилагаются ко всем компонентам корреляционного тензора ускорений и
при этом мелкомасштабная турбулентность, создающая относительное дви-
движение пары частиц, считается неизотропной.

24.2] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 487
заменой переменных т' — т" = s, т' + т" = 25Ь найдем
J
о о
х + т
т
- т J
/2(^)-/о + 2/оД^оТ + ДУ2'
X X
rfs,
B4.45)
+ J J (т - тО (т - О
о о
J J
о о
Отсюда вытекает, что если для некоторого т0 и широкого интервала значе-
значений т > т0
X То
B4.46)
ТО
J **& E> rf
J ^BiAA (^) ^ J
[ДК (т)]2
т, ДV (т) / (т) « сД(г)т2, /2 (т) » у Л(г)т3, B4.47)
в полном соответствии с равенствами B4.36) — B4.36"). Соотношения B4.47),
очевидно, относятся к значениям т, при которых начальное расстояние /0
между частицами уже не играет роли, т. е. относительное движение является
квазиасимптотическим. Более того, на формулах B4.47) не отра-
отражается и начальная скорость ДК0. поскольку определяющую роль в значе-
значениях ДV (т) и / (т) при больших т играет накопленный эффект относитель-
относительных ускорений. Что же касается условий B4.46), играющих основную роль
при выводе соотношений B4.47), то по их поводу можно повторить то,
что выше говорилось об условии B4.44): при малых и умеренных значе-
значениях Re они не представляются правдоподобными, а при больших Re они
оправданы в той же мере, в какой оправданы колмогоровские гипотезы

488 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.3
подобия. В самом деле, из гипотез подобия вытекает, что в инерционном
интервале частот спектральная плотность стационарного процесса &А(х)
должна быть пропорциональна е, т. е. постоянна. Поэтому процесс ДЛ (т)
при т^ <^ т3 < т < хх оказывается 6-коррелированным «белым шумом»,
откуда вытекает справедливость условий B2.46). Если верны гипотезы по-
подобия, то <Л^г) = ?ё/2, где # —безразмерная универсальная постоянная,
та же, что и в равенствах B4.36) — B4.36').
Аналогично выводу формул B4.47) могут быть получены и выражения
для корреляционных функций случайных процессов ДУ(т) и /(т), связы-
связывающих их значения в разные моменты времени. Технически проще всего
при этом с самого начала принять, что В$А (s) =2c#(rN(s), откуда немед-
немедленно вытекает, что при т^ <^ т3 < х' •< х" < хх
X' Хп
"O* 2Л<тУ> [ \ 6 (s' —
о о
\ s") ds' ds"
о
х' х"
1(х'I(х")к 2Л^ Г J (%' - 5') (х" — s") 6 (s' — s") ds' ds"
о о
= у <AWx'2 (Зт" — т'). B4.48)
хг хп
т' х"
Л1
/ (т") АК (т') «
(первые два из этих соотношений были указаны Новиковым A963а)). Заме-
Заметим, что процессы ДК(т) и 1(х) (в отличие от ДЛ (т)), очевидно, не
являются стационарными. Как уже указывалось на стр. 340, при больших Re
естественно считать, что поле ускорений жидких частиц является некорре-
некоррелированным не только по времени, но и в пространстве (во всяком слу-
случав, для расстояний, намного превосходящих т]). Тогда В^А (х — тО ===
=» ДЛ (т) ЬА (х') = 2?(^ (т — х') и, следовательно, <А^ =2<А (при боль-
больших Re последнее равенство, очевидно, совпадает с. B4.39)).
24.3. Относительная диффузия и «закон четырех
третей» Ричардсона
Полученные в предыдущем пункте результаты могут быть при-
применены к исследованию относительной диффузии, т. е. рассеяния
облака примеси, состоящего из большого числа частиц. Если бы мы
могли как-то «отметить» одну из частиц рассматриваемого облака,
то распределение концентрации облака относительно отмеченной ча-
частицы в момент t = to-\-x совпало бы с распределением значений /(т)
для псевозможных пар, состоящих из этой, частицы и какой-либо
да Q?X<uj»hU? частиц облака. Следовательно, ? аеааерциалыюй си-

24.3] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 489
стеме координат <^*, начало которой «отмечено» и перемещается
вместе с жидкой частицей, распределение Ф*(/, т) концентрации
облака примеси в момент t^to-{-x будет удовлетворять соотноше-
соотношению
= J р (I| /0, т)#0(А>)dlo. B4.49)
где р A\10, т) имеет тот же смысл, что и на стр. 476—477, а 0
=§(х-\-Х, 0)=У(Х0)—начальное распределение концентрации (ср.
аналогичную формулу A0.5) на стр. 510 части 1, относящуюся
к неподвижной системе координат). Аналогично этому, если мы обо-
обозначим символом №S)(Y, т) концентрацию примеси в момент ?0 + т
относительно инерциальной системы координат ff% движущейся
с постоянной скоростью и(х, t0) и имевшей в момент t0 начало
в точке jc, то
<И*> (Г, т) = J р <у\ Yo, т) % (Yo) dY0, B4.50)
где p(Y\YQt х)— плотность вероятности в момент to-\-x «локаль-
«локальной координаты» Y = Y^S) = Х—х— и(х, tG)x жидкой частицы,
находившейся в момент t0 в точке x-\-Y0. Однако формулы B4.49)
и B4.50) не имеют большой практической ценности. Действительно,
обычно невозможно «отметить» какую-то одну жидкую частицу (за
исключением случаев, когда речь идет о диффузии небольшого числа
достаточно заметных «частиц», например шаров-пилотов в атмо-
атмосфере) и очень неудобно использовать систему координат ?Р, пере-
перемещающуюся со случайной скоростью и(х, t0). Поэтому при изуче-
изучении относительной диффузии практически полезными являются в пер-
первую очередь характеристики рассеяния, определяемые в неподвижной
системе координат d?Q.
Одной из таких характеристик является введенная Ричардсоном
A926) функция q(l, т), определяемая следующим образом. Рассмо-
Рассмотрим облако из N диффундирующих частиц и, как обычно, обозна-
обозначим координаты этих частиц в момент t — to-\-i; символами
ЧМ'Ы MV Мч)™ (\»\ Р
Будем сначала говорить о рассеянии по направлению оси Xv Пусть
Д/ — малый отрезок; тогда Nq(l, t)A/ равно числу частиц (т. е.
номеров /), для которых интервал Х\1)(х)-\-1 •< Х\ < Х{\\х)-\-1-\-
+ Д/ оси Хх содержит хотя бы одну координату Х[*\х). Аналогич-
Аналогичной трехмерной характеристикой является так!ая функция q(l, t),
что Nq(l, т)Д/ равно числу частиц, для которых фиксированный
малый объем Д/, окружающий точку X{i)(x)-\-l> в момент to-\-x
содержит хотя бы одну из частиц облака. Вместо дискретного облака
из N частиц в ряде отнощений удобнее, следуя Бэтчелору (I952g),

490 гл. viii. локально изотропная турбулентность [24.3
рассмотреть непрерывное облако пассивной примеси (скажем, отли-
отличающейся цветом от остальной среды), заполняющее в начальный
момент t0 какой-то заданный объем V. Не будем учитывать влияния
молекулярной диффузии; в таком случае форма множества окрашен-
окрашенных частиц с течением времени будет деформироваться причудливым
образом (ср. схематический рис. 80 на стр. 518 части 1), но объем
этого множества все время будет оставаться постоянным и равным V.
Если определить функцию q(l, х) с помощью условия, что V^q{l% х)
равно объему в момент to-\-x множества окрашенных точек X,
для которых точка ЛГ—|— / также оказывается окрашенной, то
такая функция q(lt х) будет уже непрерывной и не будет зави-
зависеть от выбора элементарного объема Д/. Обозначим символом
Ф (X, х) плотность концентрации примеси в точке X в момент t0 -)- т,
нормированную условием Г &(Х x)dX=l; тогда, как нетрудно
видеть,
, т)= $Ъ(Х. т)<КДГ-М. x)dX. B4.51)
Формулу B4.51) можно принять за общее определение функции q{lt т)
для произвольного облака примеси, причем в случае дискретного
облака из N частиц (для которого Ф (X, х) — линейная комбинация •
б-функций) функцию Ф(Х т) удобно предварительно как-то сгла-
сгладить (см. Ричардсон A926, 1952)). Функция q(lt т) также удовле-
удовлетворяет условию нормировки
J?(/, x)dl=l. B4.52)
Она, очевидно, определяет относительное число пар частиц облака,
координаты которых отличаются на вектор /. Отсюда вытекает соот-
соотношение
^(Гт)"= J рA\ /0, т) q0 (/0) dlo. . , B4.53)
где />(/|/0, т) имеет тот же смысл, что и на стр. 476—477, a qo(l) =
= q(l* 0) — начальное значение функции q(l) (например, в случае
примеси, первоначально заполняющей шар радиуса /?, нетрудно под-
подсчитать, что -g- я/?3 • qo(t) = 1 — -?--д- — -|5оз • гДе 1 = \1\). Таким
образом, эмпирические данные о значениях функции q(lt x) можно
использовать для оценки плотности вероятности ./?(/(/0, т).
Поскольку определение значений функции q(l% т) по результатам
диффузионных экспериментов все же не очень просто, обычно при
изучении рассеяния облака примеси в основу кладутся не значения
q{l, т), а какие-либо более простые числовые характеристики. Наи-
Наиболее важными щ \\щ являютдя компоцентц тензора

24.3] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 491
дисперсии облака 2^ (т) = (lt (т) lj (т)) (где угловые скобки симво-
символизируют осреднение по всем парам частиц облака), определяемого
формулой
2/у (т) = | llli qJT^dl. B4.54)
В силу B4.53) выражение для 2^(т) может быть переписано в виде
(т |
(т) = J
так что величины 2^(т) просто связаны с компонентами тензора
относительной дисперсии пары частиц &[} (т | /0) = /j/y. В случае
дискретного облака из N частиц тензор 2/у(т) будет, очевидно,
равен
TV
= ЛГ(АГ1_1) Ц DVj(x\X(n\0)-X(m)@)). B4.55)
m, Л-1
С практической точки зрения наиболее простой метод описания
относительной диффузии состоит в переходе к подвижной системе
координат ?РС, начало которой при любом т совпадает с центром
тяжести рассматриваемого облака. Если мы снова обозначим симво-
символом Ф(Я\ т) плотность концентрации облака (меняющуюся от опыта
к опыту), нормированную условием Г Ъ(Х, x)dX=l, то среднее
распределение концентрации облака относительно его центра тяжести
будет описываться функцией
, x)dX, tj. B4.56)
Теоретическое исследование функции B4.56) очень сложно, так как
она зависит от лагранжевых характеристик всех частиц диффунди-
диффундирующего облака. Однако тензор дисперсии облака относительно его
центра тяжести
= f xtxfie(x, x)dx= {{Xr-cMXr-cjfbW. x)dX,
J J B4.57)
. x)dX,

492 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24Л
очень просто выражается через 2^(т). В самом деле, в силу B4.51)
формулу B4.54) можно переписать в виде
2,у(т)= j(X*i— Х^{Х) — Х'))Ъ(Х\ т)о(ЛГ", x)dXfdX" =
= 2 J XtXfi(X. t) dX— 2c^= 2o/y (t), B4.58)
т. е. тензор дисперсии облака примеси относительно его центра
тяжести равен половине тензора относительной дисперсии
облака (Брайер A950), Бэтчелор A952а)).
Величину
К (*) = [2« (t)]1/2 = 10РЩ]1/2 = /2 [аи (т)]1/2 B4.59)
можно рассматривать как эффективный диаметр облака примеси
в момент tQ-\-%, а величину
/С = 4--т- /!(t) B4.60)
как виртуальный коэффициент турбулентной диффузии этого обла-
облака (аналогично этому /С^у ^ 2П (т) =-g-^--(/? (т)) можно принять
за коэффициент турбулентной диффузии по направлению оси Хг).
Если начальные расстояния между частицами облака много меньше
масштаба L, то при т ^> т^ и т3 (/#0) < * < х\ С*о)» где ^*о — началь-
начальный диаметр облака, Mrj(t) будет определяться формулой B4.36),
так что /^(т)~т3 и
K=alf, ' B4.61)
где a=(g eI/3/2 (а /С1==АГ). Иначе говоря, в рассматриваемом случае вир-
виртуальный коэффициент диффузии облака примеси пропорционален
эффективному радиусу облака в степени 4/3. Этот важный закон но-
носит название закона четырех третей или закона Ричардсона, так
как он был установлен (чисто эмпирически) в работе Ричардсона
A926) (об этом см. ниже). Указанный закон является непосредственным
следствием общих физических представлений о мелкомасштабной струк-
структуре турбулентности. Действительно, во всех случаях турбулентного
перемешивания, создаваемого «вихрями» (т. е. турбулентными неодно-
родностями) с масштабами, ограниченными каким-то «типичным ма-
масштабом» 1^ для значений /# из инерционного интервала L '^>1^$>ч\
«коэффициент обмена» /С, характеризующий интенсивность переме-
перемешивания, будет определяться лишь параметрами е и /#. Поскольку
коэффициент обмена имеет размерность L2?'1, отсюда вытекает, что
= ае1/3/4/3, B4.610

24.3] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 493
где а — безразмерная постоянная (значение которой зависит от опре-
определения коэффициента К и масштаба /^ и может быть различным
для перемешивания различных субстанций). Формулой B4.610 мы
фактически уже пользовались на стр. 384; приведенный здесь ее
вывод был впервые указан Обуховым A941а, б) (со ссылкой на
эмпирический закон Ричардсона), а затем независимо был изложен
также Вейцзеккером A948) и Гейзенбергом A948а).
Эмпирические данные об относительной диффузии
Перейдем к рассмотрению эмпирических данных, касающихся ве-
величин /C(/J, 2^(т) и а^-(т), и сопоставлению этих данных с выво-
выводами теории. Первые данные такого рода, как уже отмечалось выше,
были проанализированы еще Ричардсоном A926). Ввиду отсутствия
достаточного числа наблюдений над рассеянием примесей Ричардсон
использовал наряду с данными о рассеянии шаров-пилотов и вулка-
вулканического пепла в атмосфере также данные Шмидта, Акерблома и
Дж. Тэйлора о вертикальных коэффициентах турбулентной вязкости
и температуропроводности на высотах порядка 15, 140 и 500 м,
полученные на основе обработки результатов наблюдений над про-
профилями ветра и температуры, и данные Дефанта о макротурбулент-
ном обмене в масштабах общей циркуляции атмосферы. Предполо-
Предположив, что вертикальные коэффициенты турбулентного обмена на
высоте z имеют тот же порядок, что коэффициент диффузии К для
облака диаметра z (поскольку в обоих случаях эффективным для
обмена могут быть лишь вихри с масштабами порядка z или меньше),
Ричардсон смог оценить значения K = K(IJ для шести расстояний 1т,
меняющихся в пределах от 15 м до 1000 км. Полученные значения К
при таком возрастании /# оказались возрастающими примерно в 107
раз — этот колоссальный рост делает очень наглядным ускоряющийся
характер процесса относительной диффузии, о котором мы говорили
выше. Представленные в логарифмическом масштабе значения
(см. рис. 98) неплохо аппроксимируются зависимостью
(несколько хуже укладывается на соответствующую прямую лишь
последняя точка, отвечающая макротурбулентному обмену с /^ ^
^ 1000 км). Разумеется, данные рис. 98 весьма грубы, неоднородны
по своей природе и не позволяют определить показатель т в законе
вида K(IJ—¦/? с точностью, превосходящей одну-две десятых; по-
поэтому выбор Ричардсоном именно показателя т = 4/3 свидетельство-
свидетельствовал лишь о его вере в существование какой-то универсальной физи-
физической закономерности, форма которой должна быть достаточно

494
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
[24.3
/о
У
Л
/г
простой. Тем не менее совпадение полученного эмпирического закона
с теоретической формулой B4.61) должно рассматриваться как
аргумент в пользу правильности теории. Заметим, что неоднород-
неоднородность используемых данных не должна играть заметной роли, так
как она может привести лишь к изменению в несколько раз множи-
множителей а и е1/3 формулы B4.61), соответствующих различным точкам
на рис. 98, незаметному на фоне во много раз более быстрого изме-*
нения значений /*/3 и /C(/J.
Более существенным сообра-
70'°\ 1~ 1 jf 1 жением против отождествления
эмпирического закона Ричард-
Ричардсона с теоретической форму-
формулой B4.61) является то, что
область значений 1Ф на рис. 98
\iqs\ 1 ^Q 1 значительно превосходит об-
область /# < L, для которой «за-
«закон четырех третей» может
быть обоснован теоретически
(напомним, что с аналогичным
обстоятельством мы уже встре-
встречались на стр. 465).
Дополнительные данные о
110 коэффициентах турбулентной
диффузии в атмосфере для
Рис. 98. Зависимость коэффициента масштабов 1Ф, меняющихся от
турбулентной диффузии К от масштаба 1 см до десятков километров,
/„ по Ричардсону A926). также относительно неплохо
согласующиеся с «законом
четырех, третей», содержатся в работе Ричардсона A929). В даль-
дальнейшем, начиная с конца 40-х годов, появилось большое число работ,
посвященных проверке «закона четырех третей» B4.61) для двумер-
двумерной диффузии примеси (поплавков, кусков пемзы, плавающих бутылок,
апельсинных корок, разбросанных листков бумаги, окрашенных или
обладающих повышенной радиоактивностью масс жидкости и т. д.)
на поверхности моря или большого озера (см., например, Ричардсон
и Стоммел A948), Стоммел A949), Иноуэ A9506)), Ханзава A953),
Дефант A954), Озмидов A957, 1959а), Пирсон A958), Олсон и
Ичийе A959), Гуннерсон A960), Чанади A963), Килеженко A964)
и др.). Данные, собранные в этих работах, как правило, удовле-
удовлетворительно согласуются с формулой B4.61) для широкого интервала
масштабов /#, в ряде случаев простирающегося от десятков санти-
сантиметров до сотен километров (см., например, рис. 99, заимствован-
заимствованный из статьи Олсона и Ичийе A959); аналогичные сводные графики
можно найти у Орлоба A959) и Гуннерсона (I960)). Однако значе-
70*
, см

24.3] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 495
ния размерной постоянной а у разных авторов оказываются заметно
различающимися, меняясь от 0,002 до 0,07 см213 • сек.
То обстоятельство, что в рассматриваемых работах фактически
речь идет о двумерной турбулентности в поверхностном слое моря
или озера, не препятствует применению к ней изложенных выше
теоретических выводов (если только двумерная турбулентность являет-
является локально изотропной и не сопровождается значительными верти-
вертикальными ДВИЖеНИЯМИ, ИНОГДа При- ип \пмг/Сек
водящими к резкому искажению
обычного процесса диффузии; ср.
Чанади A963)).
Разброс значений коэффициен-
коэффициента а можно объяснить различием
соответствующих значений диссипа-
диссипации энергии е и неодинаковостью
используемых определений коэффи-
коэффициента диффузии К и типичного
масштаба /#. Кроме того, не все оп-
определения коэффициента К=К (/*)¦
использовавшиеся в перечисленных
работах, теоретически оправданы.
Многие авторы, некритически сле-
следуя Ричардсону и Стоммелу, при
определении К предполагали, что рИс. 99. Зависимость К от /„
относительная диффузия при всех т для двумерной диффузии в море
может быть описана диффузионным п0 Олсону и Ичиие A959).
др д I,, ,,v dp \
уравнением вида ~~ = — \КA)-~-}.
Решив это уравнение в предположении, что для малых промежутков
времени т (при [/ (т) — /0]2/*о<^ l) коэффициент К (/) = ае1/3/4/3
можно считать практически постоянным, и приравняв дисперсию
получающегося гауссовского распределения вероятностей величине
[/(т) — /0]2 (где осреднение проводится по большому числу пар частиц
с почти одинаковым начальным расстоянием /0), получим, что
10'
/ffs
/0s
/о1
ю>
юг
ю'
tn
;
-
_
• •/
L/.
/о
A-0024BI4*
70 70*
4 W5 Ю' Ю7
Различными значками обозначены данные
разных исследователей.
B4.62)
при [/(т) — /о]2//о<С 1- Формула B4.62) широко применяется в лите-
литературе; однако ее вывод не вытекает из соображений размерности,
%а опирается на специальные гипотезы, на самом деле противоречащие
этим соображениям (ср. ниже формулу B4.63)). Дело в том, что
«закон четырех третей» справедлив лишь для «промежуточных» значе-
значений т из интервала т3 < т < хх\ поэтому, если мы применим фор-
формулу B4.62) к отнрситедьно большим промежуткам времени t

496 гл. viii. локально изотропная турбулентность [24.3
что [/(т) — /р]2//о ^> 1 (но [/2 (т)] <^1), то действительно придем
к соотношению /2(т) — хг113[Р(х)]т, эквивалентному B4.36) и, сле-
следовательно, вытекающему из соображений размерности (последнее
обстоятельство, в частности, позволяет оправдать принадлежащие Ичийе
оценки значений К (/„), изображенные светлыми кружками на рис. 99).
Но если /о^>Л и [/(т)~/о]2//о<1 (так что т < т2; ср. стр. 481),
то «закон четырех третей» уже не будет верен; при таких т выпол-
выполняется формула B4.30) и, следовательно,
[/(т) — /0]2/2x~?/3T/f. B4.63)
Формула B4.63) не совпадает с B4.62); тем не менее Ичийе и Олсон
A960) с ее помощью объяснили, почему все-таки ряд авторов при
экспериментальной проверке формулы B4.62) для малых значений т
пришел к положительный результатам. В самом деле, условие
[/(т) — /о] <С^о практически означает, что отношение [/ (т) — /о] /k
выбирается равным какой-то достаточно малой дроби Ь. Но поскольку
требуется надежно измерять разности /(т)—/0, слишком малое значе-
значение Ь также невыгодно; поэтому соображения удобства часто побуждали
исследователей на практике выбирать значения т при разных /0 так,
чтобы [/(т) — lo]2jll = b менялось сравнительно мало (т. е. считать т
примерно пропорциональным Z2/3; ср., например, указанную Стомме-
лом A949) таблицу значений т, рекомендуемых при различных /0 и
П I О
хорошо удовлетворяющих последнему условию). Если [/(т) — /о] //о=
=zb?& const, то формула B4.63) оказывается эквивалентной B4.62).
Если же в широком диапазоне значений /0 выбирать одно и то же
значение т, при котором [/(т) — lof<^lo, то формула B4.62) будет уже
неверной. Последнее замечание, возможно, позволяет объяснить те из
результатов Озмидова A957, 19596), которые противоречат «закону
четырех третей». Впрочем, помимо того можно опасаться, что в опы-
опытах Озмидова, проводившихся в искусственном водоеме, значение Re
было недостаточным для существования в спектре турбулентности
заметного инерционного интервала. Еще меньшими значениями Re
характеризуются опыты Орлоба A959), проводившиеся в лотке; обна-
обнаруженная в этих опытах пропорциональность коэффициента диффузии
для одной частицы лагранжевому масштабу длины в степени 4/3 вряд
ли имеет отношение к закону Ричардсона B4.61).
Опыты, позволяющие определить средние квадраты расстояний
между парами частиц «примеси», производились также в атмосфере.
Так, Дерет A948) описал относительное движение двадцати пар клубов
дыма, выпущенных с самолета на высотах между 1 км и 2 км,
а Уилкинс A958) исследовал изменение во времени расстояния / = /(т)
между двумя уравновешенными шарами-пилотами, одновременно выпу-

24.3] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 497
скаемыми в приземном слое из пары точек, удаленных на расстояние в 10
• или в 100 м (по направлению, перпендикулярному среднему ветру).
Данные Дерстабыли обработаны Чарноком A951), подсчитавшим значе-
значения [/(т) — /012/т для вРемен f» меняющихся от 10 до 50 сек. Полу-
Полученные им результаты характеризуются значительным разбросом, но
в целом не противоречат формуле B4.63) и приводят к разумным
оценкам величины е. Уилкинс определил [Д/(т)]2 = [/(т)—/0]2 для
значений т в интервале от десятков секунд до десяти минут и нашел,
что при /0=10 м величина [А/(т)]2 во всем этом интервале остается
примерно пропорциональной т2, но при /0= 100 м она при малых х
также пропорциональна т2, а затем становится примерно пропорцио-
пропорциональной т3, в соответствии с теоретической формулой B4.36).
Заметно больше данных об относительной диффузии в атмосфере
было получено при помощи наблюдения рассеяния не пар частиц,
а непрерывных клубов или струй примеси. При рассеянии клубов
дыма в атмосфере в течение небольшого промежутка времени обычно
видимый радиус клуба г = г (т) меняется пропорционально квадрат-
квадратному корню из дисперсии концентрации относительно центра тяжести
а2(т). Однако при длительном наблюдении обнаруживается, что ра-
радиус г(т), начиная с некоторого значения т, начинает убывать и
в конце концов обращается в нуль — клуб дыма полностью рассеива-
рассеивается. Такое поведение функции г (т) может быть объяснено на основе
развитой еще в начале 20-х годов О. Робертсом теории «видимости
сквозь дым», согласно которой видимая граница облака дыма опре-
определяется условием, что для нее интеграл вдоль луча зрения от кон-
концентрации дыма принимает некоторое постоянное «предельное значе-
значение» (ср. Гиффорд A957а)). Чтобы определить связь видимого ра-
радиуса г(т) с дисперсией 02(т), надо задать распределение концент-
концентрации внутри клуба. Простейшим допущением об этом распределении,
не противоречащим имеющимся эмпирическим данным (правда, пока
еще весьма грубым; ср. ниже стр. 512), является допущение о том,
что распределение Ьс(х, х) формулы B4.56) при всех х является
гауссовским:
-3/2
Ьс(х, х) = Я[2поЦх)Г61 ехр {— *2/2а2(т)}, B4.64)
где а2(т) = а//(т)/3 = 2//(т)/6. В таком случае видимый снизу ра-
радиус клуба г(х) будет определяться из условия
оо
J Ъе(х, у, г, т) dz = Q[2ло2(т)] ехр {— г2(т)/2о2(т)} = const.
— ОО
B4.65)
32 Д. С Монин, А. М.

498 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.3
Определив максимальный видимый радиус гтах как значение г(т),
при котором dr2(x)!dx = 0, нетрудно получить соотношение
а2(т) = г2 (т)/2 [in Is*!._ \п 02(Т)], B4.66)
позволяющее по измеренным значениям г(т) найти значение 02(т)
(а следовательно, и 2W (т) = (P (t))).
Гиффорд A957а, б) использовал формулу B4.66) для анализа
ряда экспериментов по рассеянию клубов дыма в атмосфере (опыты
Френкиля и Каца A956), Сенеки A955) и Келлога A956), проводи-
проводившиеся соответственно на высотах порядка нескольких метров или
десятков метров, нескольких сотен метров и между 7,5 км и 22 км).
Основной его результат состоит в обнаружении того, что значения
о2(т) —/2(т)/2, начиная с некоторого значения т, как правило, воз-
возрастают примерно пропорционально т3, в то время как при меньших т
они растут медленнее (см. рис. 100). Этот результат хорошо
согласуется с теоретическими выводами п. 24.2. Гиффорд обработал
также данные Танка A957), создававшего облако примеси вблизи
земной поверхности и измерявшего концентрацию примеси в ряде
точек, располагавшихся в виде правильной сетки. Проинтегрирован-
Проинтегрированную по времени концентрацию на оси облака на расстоянии X вниз
по ветру от источника можно в первом приближении считать обратно
пропорциональной дисперсии a2 (Х/и), где и — средняя скорость
ветра (ср. формулы A0.60 и A0.90) на стр. 511 и 561 части 1,
в последней из которых надо положить К = Z = Н = 0, КууХ =
= KZZX = и сР(Х/и)). Исходя из этого предположения, Гиффорд
нашел значения О2(т) для опытов Танка и обнаружил, что значе-
значения /2 (т) при достаточно большом т в. большинстве случаев меняются
примерно пропорционально т3. Эксперименты, родственные опытам
Танка, были проведены также Смитом и Хэем A961); в этом случае,
однако, размер облака не был малым по сравнению с масштабом
турбулентности и результаты оказались менее определенными.
Аналогично могут быть проанализированы данные наблюдений за
струями примеси, распространяющимися в турбулентной среде. Так,
Гринхау A959), следуя предложению Букера и Коэна A956), вос-
воспользовался для оценки величины е в нижней ионосфере (на высоте
порядка 80—100 км) данными о возрастании со временем видимого
диаметра метеорных следов. Согласно его результатам, в случае дли-
длительно сохраняющихся следов (со временем жизни более 100 сек)
радиус следа при достаточно больших значениях т возрастает при-
примерно пропорционально т3, как это и должно быть в силу фор-
формулы B4.36). Более аккуратную оценку величин о2(т) и /2(т)=2о2(т)
ПО данным о видимой ширине струи у=у(т) при разных ^ можно

411 I I \ I I ( I I I ! I I I I
I I I I I I \ I f \ \ II \ I I Г
т
2
-
-
J
П
-L
Tl I '1
LLJ-J L-
—миг1
ill_LL
Г"
¦a
+
f
гл—г
4-
1 1 I
in 11 i i i
-
Si
14 ^
-cs,
5
1*<-

600 гл. vin. локально изотропная турбулентность [24.3
получить, воспользовавшись формулой о2 (х)=у2(х) [ln(ey2 maJo2(x))]~l,
аналогичной формуле B4.66) (см. Гиффорд A9596)). Приведенная фор-
формула (с заменой т на Х/и) была использована Бауне A961) при
обработке данных наблюдений за струей дыма, распространяющейся
от стационарного источника, располагавшегося на высоте 50 м на
метеорологической вышке; в результате он также получил, что а2 (т)~т3
при достаточно большом т. Данные, подтверждающие пропорцио-*
нальность квадрата ширины струи краски, выпускаемой в море или
в озеро, кубу расстояния от источника X (при достаточно боль-
большом X), могут быть найдены в работах Окубо A962), Чанади A963)
и некоторых других авторов. Напомним, что с точки зрения тэйло-
ровской теории турбулентной диффузии для одной частицы в случае
однородной турбулентности струя примеси, испускаемой стационар-
стационарным источником, должна сначала расширяться пропорционально %=Х(и
(т. е. иметь коническую форму), а при больших т—пропорционально
t1/2 = (A'/aI/2 (т. е. иметь форму параболоида вращения; см. фор-
формулы (9.28) и (9.35) на стр. 474—475 части 1, хорошо подтвержда-
подтверждающиеся, в частности, данными Орлоба A959)). Теория относитель-
относительной диффузии, развитая в настоящем параграфе, показывает, что
в случае достаточно большого Re струя примеси, испускаемая стаци-
стационарным источникам (с размерами, превосходящими масштаб т]),
будет сначала расширяться пропорционально т*=-АТ/и, затем—про-
затем—пропорционально т3/2 = (Л7#K/2 и только после этого в однородном случае
начнет следовать закону о — т1/2 = (Х/иI/2 (см. формулы B4.30),
B4.36) и B4.290). При этом, однако, существенно, что ширина
струи должна отсчитываться не относительно неподвижной оси, на-
направление которой совпадает со средней скоростью и (и которая
является осью математического ожидания распределения концентрации;
см. рис. 97 на стр. 474), а относительно центра тяжести сечения
струи, колеблющегося под влиянием длиннопериодных компонент
турбулентности и создающего в каждый момент времени многочис-
многочисленные изгибы видимой оси струи. Если же воспользоваться непо-
неподвижной системой координат, то исследование статистических харак-
характеристик колебаний концентрации в фиксированной пространственной
точке требует учета влияния и относительной диффузии, вызывающей
расширение струи, и медленных изгибаний оси струи. Поскольку
указанные два процесса создаются турбулентными возмущениями
весьма разных масштабов, то их естественно считать статистически
независимыми; расчету статистических характеристик распределения
концентрации в струе исходя из этого предположения посвящены
работы Гиффорда A959в, 1960).
Наблюдения за относительной диффузией дискретных или непре-
непрерывных облаков примеси позволяют оценить значение средней дис-

24.4] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 501
сипации энергии е, так как эта величина входит во многие из при-
приведенных выше формул. Наиболее удобными для этой цели являются
формулы B4.30), B4.36) и B4.37) и, наконец, приведенные на
стр. 480 выражения т2 ~ (/р/еI/3. т3 ~ (/о/еI/3« показывающие, что
переход от закономерности I2 (т) = l\ + с (е/оJ/3 т к / (t) = get про-
происходит, грубо говоря, в момент t\ = х/о/3е~~1/3» где х — безразмер-
безразмерная постоянная порядка единицы (близкая по величине к cjg, так как tx
можно оценить исходя из условия с (e/oJ/3^i « gzt\)t или же одномер-
одномерные или двумерные варианты тех же формул. Примеры использования
указанных формул для оценки е многочисленны (см., например, Чар-
нок A951), Гиффорд A957а, б, 1962), Уилкиис A958, I960, 1963),
Гринхау A959), Озмидов A9606), Татарский A960), Болл A961),
Иванов A962)); однако получающиеся при этом результаты не очень
хорошо согласуются между собой и не вполне достоверны ввиду
присутствия в указанных формулах неопределенных численных мно-
множителей. В настоящее время лишь для постоянной с можно указать
достаточно надежную оценку с = С~\-2С = ПС/3 « 7 согласно дан-
данным п. 23.3 (см. стр. 439). Что же касается постоянных g, а=#1/3/2
и х, то наиболее надежно их можно бы было оценить по материалу
, одновременных определений е на основе диффузионных измерений и
с помощью какого-либо способа, использующего только формулы
с надежно установленными числовыми коэффициентами. К сожалению,
пока подобный материал отсутствует; поэтому при оценке коэффи-
коэффициентов g, а и и обычно используется сопоставление диффузионных
данных с данными об е, относящимися к другому месту и другому
времени. Так, еще Обухов A9416), а затем и Бэтчелор A950), из со-
сопоставления эмпирических данных Ричардсона с принадлежащей Бренту
ориентировочной оценкой средней диссипации е для всей атмосферы
заключили, что коэффициент а не очень далек от единицы; позже
Озмидов A9606), основываясь на тех же весьма грубых материалах,
счел целесообразным положить а» 0,1. Гиффорд A957а, б; 1962)
полагает к=\, тогда как по мнению Болла н>2. Наконец, Татар-
Татарский A960) приводит соображения в пользу того, что g*«0,06, a^0,2.
Дальнейшее уточнение значений перечисленных коэффициентов остается
пока делом будущего.
24.4. Гипотезы о распределении вероятностей
для локальных характеристик диффузии
Гипотезы подобия позволяют определить распределения вероятностей
для локальных статистических характеристик одной жидкой частицы или
характеристик относительного движения двух жидких частиц лишь с точностью
до некоторых универсальных функций, по поводу которых эти гипотезы не
содержат никакой информации. В частности, гипотезы подобия во многих

502 ?Л. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ B4.4
случаях позволяют определить с точностью до числовых множителей моменты
относительного распределения концентрации примеси, но они оказываются
бессильными, если нас интересует само распределение концентрации в облаке.
Наконец, теоретическое определение числовых постоянных, фигурирующих
в формулах теории подобия, также не может быть выполнено на основе
одних лишь соображений размерности. Поэтому большой интерес предста-
представляет использование в теории относительной диффузии дополнительных
гипотез, позволяющих уточнить выводы, следующие из соображений раз-
размерности.
Использование уравнений гидромеханики и методов
замыкания уравнений для моментов
Мы уже отмечали в пп. 9.1—9.2 части 1 и на стр. 469 настоящей части,
что переход от обычных эйлеровых уравнений механики к лагранжевым
характеристикам движения жидкой частицы (находившейся в точке х в мо-
момент *о) может быть достигнут с помощью рассмотрения скалярного поля
Ф (X, t), удовлетворяющего «уравнению переноса»
при начальном условии
О (*,*„)«= 6 (*-*). B4.68)
Полагая здесь поле скорости и (X, t) удовлетворяющим уравнениям нераз-
неразрывности (для несжимаемой жидкости) и Навье — Стокса и решая совместно
с этими уравнениями задачу B4.67) — B4.68), мы можем выразить через
полученные решения все статистические характеристики диффузии примеси
от фиксированного источника.
Аналогичный подход возможен и в задаче об относительном движении
двух жидких частиц. При этом, во-первых, можно ввести в рассмотрение два
скалярных поля fy (X, t) и Ф2 (X* t), удовлетворяющие уравнению переноса
B4.67), но с разными начальными условиями ${ (Я, /о)=6(л — JCi) и $2(Х% to)^=*
== 6 (-ДГ— JCi — /о). Решив уравнения для fti (X, t) и для ft2 (X, t) совместно
с уравнениями Навье—Стокса и неразрывности, можно выразить через эти
решения все статистические характеристики движения пары жидких частиц.
В частности, Ъ{ (Хи t{) Ъ2 (Х2. t2) = р (Хг, Х21 xh хх + /0, tu t2, t0) будет иметь
смысл плотности вероятности для координаты Хх первой частицы в момент tx
и координаты Х2 второй частицы в момент t2* Во-вторых, можно рассмотреть
совокупность статистически независимых пар, для которых начальная коорди-
координата хх первой частицы распределена равномерно в пространстве, а началь-
начальная координата второй частицы равна хх + 1о> где /0 — фиксированный вектор.
Сопоставив каждой паре решение Ф (X, t) уравнения переноса, обращающееся
в начальный момент t0 в нуль всюду, кроме особенностей в точках хх и
хх 4^ 1> имеющих одинаковый знак в обеих точках, но для различных пар
различающихся знаками (так что знак Ф для каждой пары с вероятностью 1/2
положителен и с вероятностью 1/2 отрицателен), можно построить статисти-
статистический ансамбль реализаций случайной функции Ф (ХЛ t\ значения которой
в момент t0 независимы от поля скорости и (X, t0) и удовлетворяют уравне-
уравнению переноса B4.67) и условиям
1
* (X, tQ) «0,* (Х+1, t0) О (X t0) - 6 (I) + ¦? [6 (I - /0) + б (/ + /0)]. B4.69)
Решив уравнение переноса при условиях B4.69) совместно с уравнениями

24.4] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 503
Навье — Стокса и неразрывности, плотность вероятности рA\10, х) можно
определить с помощью равенства
т)<> (X, to + x) = 6(l) + p(l\ /0, т) B4.70)
(ср. Крейчнан A9666).
Оба указанных приема позволяют получить (после исключения поля
давления) бесконечную систему уравнений типа системы Фридмана — Келлера
для всевозможных моментов и смешанных моментов полей и (X, t), $i (X, t)
и ft2 (X, О (или U (X> t) n ft (X, t)), содержащую в качестве неизвестных
интересующие нас статистические характеристики относительного движения
пары жидких частиц. Иначе говоря, эти приемы дают аналитическую форму-
формулировку проблемы относительной диффузии, родственную формулировке
проблемы турбулентности. После этого теоретическое определение характе-
характеристик относительной диффузии упирается в обычные трудности проблемы
замыкания уравнений для моментов, о которых уже много говорилось в этой
книге.
Сведение задачи определения характеристик относительной диффузии
к нахождению моментов некоторых случайных полей позволяет приме-
применить приближенные методы, о которых шла речь в §§ 19 и 22. Мы рас-
рассмотрим здесь только методы замыкания уравнений для моментов, разраба-
разрабатываемые в последние годы Крейчнаном. Применению к относительной
диффузии старого приближения Крейчнана A959,1961) (на основе рассмотрения
двух полей -в4! (X, t) и Ф2 (К О) посвящена основная часть работы Робертса
A961). При ЭТОМ ДЛЯ ¦|(Jlf,/i)<f2ft,Wss/'№i Х2\Хи *!+/<>, *1, *2. *о)=.
= p{Xi% Х2, tlt t2) получается сложное интегро-дифференциальное уравне-
уравнение, содержащее под знаком интеграла наряду с первыми и вторыми
пространственными производными функции р(Хи АГ2, tu t2) эйлерову про-
пространственно-временную корреляционную функцию скорости Ву(Х—л', /, t')
и одночастичную плотность/вероятности р (X, t), определяемую из уравне-
уравнений B4.8). При некоторых дополнительных предположениях, естественных
при большом Re, отсюда удается получить для плотности р (I \ /0, т) уравне-
уравнение вида
f4tf B4JI)
где
Ки (I, т) = 2 J dx' | dV [Bu (/', t') - Bu (I +10 - /', t')] p (/', x% B4.72)
причем BtJ(l% T) = u't(x, to)uj(x + i. to+_ty }(l, x) = p(x + l, to+x\x, t0).
Уравнение B4.71) имеет вид обычного уравнения диффузии, но с зависящим
и от / и от т коэффициентом диффузии Kij (/, т) (ср. ниже уравнение B4.83),
предлагавшееся еще Ричардсоном A926)). Нетрудно показать, что при т < т2
из B4.71) —B4.72) вытекает правильный результат B4.30), а при т > т0 эти
уравнения хорошо согласуются с формулой B4.29'); однако при промежуточ-
промежуточных значениях т здесь не получается результат B4.36), следующий из
соображений размерности (поскольку Кц (I, х) при всех т оказывается зави-
зависящим от турбулентной энергии, определяемой крупномасштабными возму-
возмущениями). Последнее неудивительно, так как мы уже знаем, что приближе-
приближение работ Крейчнана A959, 1961) не может быть согласовано с гипотезами
цоддбия Колмогорова (см. стр. 2§5)

504 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.4
Более сложное приближение, уже не противоречащее гипотезам подо-
подобия, было развито в работе Крейчнана A965а) (см. выше п. 22.2) и приме-
применено к проблеме относительной диффузии в работе Крейчнана A9666).
В этом приближении для плотности вероятности р (I \ /0, т) также получается
диффузионное уравнение вида B4.71), но теперь уже
= 2 J
- а\ (х + l,t0 +1) V) (t' \x,to + х)} dt\ B4.73)
6 ОО
где V'(t'\x, s) — пульсация в момент V скорости жидкой частицы, прибы-
прибывающей в момент s > f в фиксированную точку х. Отсюда при т < т2 и
при т > т0 снова получаются верные формулы B4.30) и B4.29'), но, кроме
того, и при т3 < т < х{ (и /0^>л) из B4.71) и B4.73) уже следуют резуль-
результаты, согласующиеся с выводами из гипотез подобия. А именно, поскольку
при т3 < т < ху и /0^>Л плотность вероятности рA\10, т) = /?(/, т) не
зависит от /о» а является функцией от / = | /1 и т, в этом случае равенства
B4.71) и B4.73) обращаются в сферически симметричное диффузионное
уравнение
где
cos* sinA;\ „,-_/ 2/з\ ..-5/3 j B4.75)
. 1т+¦
О
С\— коэффициент в «законе пяти третей» B1.24) для трехмерного спектра,
R G1/3?2/3т) = F (k, x)/F (k, 0), a F (k, x) и F F, 0) — трехмерные преобразо-
вания Фурье корреляционных функций а\ (x-\-r, t) V\ (t — x\xt t) и
а\ (X -\- r, t) п\ (x, t) при k = | k | и x из инерционного интервала. Формулы
B4.75) показывают, что имеет место «закон четырех третей» Ричардсона, но
только с коэффициентом, зависящим от т (точнее говоря, от безразмерной
комбинации ьх1ъ1~21ъх), — соображениям размерности этот вывод, очевидно,
не противоречит. Легко видеть также, что решение рA, х) в силу первой
формулы B4.75) может быть представлено в виде
р (/, т) = Gт3)/2 Ф (/ Gт3)-1/2) B4.76)
как это и должно быть (ср. равенство B4.28), где функция Ф обозначалась
символом Ф^). Используя числовые значения С{ и R(s), получаемые с по-
помощью рассуждений, описанных на стр. 378—382, и интегрируя численно
уравнения B4.74) — B4.75) при условии нормировки
4л; J
О

24.4] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 505
можно получить значения функции Ф(?) (результаты такого расчета даны
на рис. 101 вместе с графиками аналогичных функций, отвечающих плотности
pQ (/, т) = 4л12р (/, т) значений
/ = | / | и плотности рхAь т)=
An
оо
\ р (/, х) I
dl значений
одной компоненты 1Х векто-
вектора /). Асимптотически (при
очень больших ?) получаемая
функция Ф (I) затухает, как
ехр {— АБ4/3}. b = const. Для
первых трех моментов вели-
величины /2 (т) плотность р (/, т)
рис. 101 дает значения
/2/т\ ^ 04ртЗ
2,3[/2(т)]2,
8,9 [ТЦх)}\
так что, в частности, g « 2,4.
К сожалению, до настоящего
времени надежные измерения
соответствующих характери-
характеристик не были произведены;
проведение подобных экспе-
экспериментов и сопоставление по-
получаемых при этом результа-
результатов с изложенными выше пред-
Рис. 101. Графики универсальных функций,
описывающих плотности р (/, т), р0 (/, т) ==
= 4л/2/? (/, т) и рх Aи т) согласно теории
Крейчнана A9666).
сказаниями должно дать дополнительные основания для суждения о степени
обоснованности гипотез, использовавшихся Крейчнаном для замыкания ура-
уравнений для^моментов.
Гипотеза Обухова о марковском процессе эволюции
состояния фиксированной жидкой частицы
В литературе можно найти большое число более простых, чем только
что рассмотренная, полуэмпирических гипотез о характеристиках относитель-
относительной диффузии, позволяющих получать ответы на многие важные вопросы и
сравнивать эти ответы с имеющимися (пока еще крайне бедными) эмпири-
эмпирическими данными. .
Начнем с рассмотрения локальных характеристик движения одной жид-
жидкой частицы — ее координаты K(<S) (т) = Х(х) — х — и (jc, t0) т и скорости
К^)(т)=К(т)—u(x,tQ) относительно инерциальной системы координат <?%
движущейся с постоянной скоростью и = и (jc, t0) и имеющей в момент t0
начало координат в точке jc. Обозначим плотность вероятности характери-
характеристик K(<S) (т) и K(<S) (т) частицы, находящейся в момент t0 в точке А^О) =?
= х + V[s) и имеющей скорость V @) = и (jc, t0) + V[5\ символом'
р {у^\ V^ | V[s\ V\s\ т). Для получения явного вида этой функции необходимо
принять какие-то дополнительные гипотезы. В качестве такой дополнитель-
дополнительной гипотезы Обухов A9596) предложил использовать предположение о том,

506 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ* ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.4
что процесс изменения координаты Х(х) и скорости V (т) фиксированной
жидкой частицы является марковским случайным процессом в шести-
шестимерном пространстве, инвариантным относительно группы галилеевских
преобразований (включающей, в частности, все пространственные сдвиги и
вращения). Это предположение, очевидно, не зависит от выбора исходной
инерциальной системы координат и поэтому может быть применено к локаль-
локальным характеристикам Y^S) (т), V^S) (т), которые мы будем рассматривать
ниже.
Гипотеза Обухова не может быть вполне точной. В самом деле, из нее,
в частности, вытекает, что ускорение частицы должно быть бесконечным
(ср. аналогичное рассуждение на стр. 534 части 1). Кроме того, ниже мы
покажем, что из этой гипотезы вытекают соотношения типа B4.13), которые,
как известно, справедливы только при достаточно больших промежутках
времени т^>тл, но не выполняются для малых значений т (для которых
верны формулы B4.12)). Если, однако, мы рассмотрим дискретную последо-
последовательность моментов времени t0, *о + то» *о + 2то, ..., где хо^>х^ (и при-
принадлежит инерционному интервалу масштабов времени), то последователь-
последовательность {Y(S) (nx0), V^s) (лто)Ь л = 0, 1.2 по-видимому, уже допустимо
считать приближенно марковской (так как для этой последовательности
«ускорения» будут практически некоррелированными и можно надеяться, что
они будут практически независимыми; ср. выше стр. 486). При этом дифферен-
дифференциальное уравнение Обухова, к выводу которого мы сейчас перейдем, будет
иметь смысл дифференциального аналога некоторого разумного разностного
уравнения с шагом т0 по времени, и его решения будут приемлемы в ка-
качестве приближенных формул, допустимых для значений т из инерционного
интервала (ср. аналогичное разъяснение смысла полуэмпирического уравне-
уравнения диффузии в п. 10.3 части 1).
Воспользуемся принадлежащей Колмогорову общей теорией марковских
случайных процессов, о которой уже шла речь на стр. 533—534 части 1.
В силу этой теории из гипотезы Обухова о марковском характере процесса
{Y^S) (x), V^ (т)} и того факта, что при фиксированных значениях коорди-
координаты К^ = Y^S) (x) и скорости V^S) = V^ (т) имеет место равенство
[ж v?w] = vf>где wf(т)=УТ(т+0) ~" УУ(т)*а к°и>Фи1*иент
диффузии для координат Kjk = тт \-т?т А0К(/* ДеК(/> тождественно обра-
обращается в нуль (см. часть 1, стр. 533—534), при естественных условиях регу-
регулярности вытекает, что плотность вероятности p(Y^s\ И5\ т) должна удо-
удовлетворять дифференциальному уравнению вида
др , , др д(В*р) d2(Djkp)
где
г д п B4.78)
2DJk = 2DJk (Г« \*<\ т) - [ ^p ^) ]
а средние значения в B4.78) берутся при фиксированных K(<S) и K(<S) (см.
например, Колмогоров A935)). Из требования инвариантности уравнения
B4.67) относительно сдвигов начала координат в пространстве векторов ^

24.4] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 507
и н« оси времени вытекает, что коэффициенты Bj и D]k не должны зависеть
от Y^ и т, а из требования галилеевской инвариантности (т. е. инвариант-
инвариантности относительно перехода к новой инерциальной системе координат) —
что они не должны зависеть и от V^S), т. е. должны быть постоянными.
Учтя еще и требования инвариантности уравнения B4.77) относительно вра-
вращений системы координат в пространстве векторов Y^S), мы найдем что
вектор # = (#!, В2. Въ) должен равняться нулю, а тензор Djk должен иметь
вид D 6jk, где D = const. Таким образом, уравнение B4.77) окончательно
принимает вид
где Ду — оператор Лапласа по переменным V[s\ V^\ V^\ a D — характе-
характеристика рассматриваемого процесса, имеющая т^ же размерность, что и
удельная скорость диссипации энергии е (т. е. L2T~3). Бели считать, что
гипотеза Обухова применима в инерционном интервале, то из второй гипо-
гипотезы подобия Колмогорова будет следовать, что
D=±C0J, B4.80)
где Со — универсальная безразмерная постоянная. Обратно, если принять
условие B4.80), то процесс [Y^S) (т), V^ (т)} будет однозначно определяться
параметром е и удовлетворять гипотезам подобия Колмогорова, относящимся
к инерционному интервалу. Поскольку в нашем распоряжении нет других
параметров, кроме D, отсюда можно заключить, что вне инерционного интер-
интервала гипотеза Обухова вообще не может являться приемлемым приближе-
приближением.
В силу галилеевской инвариантности уравнения B4.79) нам достаточно
найти функцию р (К(Ч V^s) | 0, 0, т), т. е. решение этого уравнения при началь-
начальном условии р (Г(*\ V<s\ 0)=б (Г<5>) б (И5>) (функция р (у<*>, И5> | Y[s\ V[s\ t),
отвечающая начальному условию р (ГE), КE), 0) = 6 (КE)— Y[s)) б (КE)— v[s)),
получается из этого решения простой заменой ГE) -> ГE) — Г{5) — V[sht
y(s) ^ y(s) _ y(s)y такое решение уже давно описано в литературе (см., на-
например, Колмогоров A935)); оно имеет вид
Таким образом, в теории Обухова совместное распределение вероятностей
для (К(<у)(т), К^(т)) оказывается нормальным, причем координаты Y[s) (т),
/ = 1, 2, 3, статистически независимы и имеют одинаковые дисперсии 2Dt3/3,
компоненты относительной скорости V[s) (х) также статистически незави-
независимы и имеют дисперсии 2Di и, наконец, каждое У[5) (т) коррелировано
с V[s^ (t) (но независимо от V^p (т) о, j Ф /), а соответствующий коэффи-
коэффициент корреляции равен У*3/2. При условии B4.80) этот результат перехо-
переходит в B4.13), откуда видно, что коэффициенты Со в B4.13) и B4.80) должны
совпадать.

508 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.4
Теперь мы можем объяснить и причину сходства формул B4.13) с фор-
формулами (9.58) и (9.59) части 1, отмеченного на стр. 472. Мы видим, что, при-
приняв специальную дополнительную гипотезу, совместимую с гипотезами подо-
подобия, мы можем получить формулы вида B4.13), исходя из дифференциаль-
дифференциального уравнения B4.79), по форме являющегося полным трехмерным аналогом
уравнения A0.87) на стр. 5о8 части 1, приводящего к соотношениям типа
(9.58) и (9.59). Отсюда ясно, что и формулы B4.13) и (9.58), (9.59) не могут
различаться по своей форме.
Если мы определим «виртуальный коэффициент турбулентной диффузии»
1 d(Y^)f
в системе & при помощи равенства ^ = "g"—g——> то, исходя из формулы
B4.81) (или формул B4.13)), получим К = От2 = 21ЪЬ[^ [(К<5>J]2/3. Это
соотношение представляет собой аналог «закона четырех третей» для диф-
диффузии относительно системы координат &.
Гипотезы о плотности вероятности рA\10, т)
Гипотезу Обухова можно попытаться применить и к эволюции состояния
жидкой частицы в системе координат <?"*. Иначе говоря, можно предполо-
предположить, что случайный процесс рГ2(т) — Xi 00> V2(x)— V^x)} = {/(т), ДК(т)},
где Xi (т), / = 1, 2, и Vi (т), / = 1, 2, — координаты и скорости двух фикси-
фиксированных жидких частиц, является марковским и ему отвечает плотность
вероятности /?(/, АК|/0, АК0, т) = /?(/, А К, т), удовлетворяющая уравнению
вида B4.79) (с коэффициентом Д в два раза ^большим, чем раньше; ср. ра-
равенство B4.39) на стр. 484). Такое предположение было сформулировано,
в частности, в статье Линя и Рида A963). При этом для /?(/, ДК(/0, АК0, т)
получается формула, аналогичная B4.81) (с заменой К*5* на / — /0 — АКот и
К*5* на А К— А Ко). Поскольку, однако, принятая здесь гипотеза может
являться приемлемым приближением лишь в случае квазиасимптотического
режима при т3 < т < ть когда зависимость распределений вероятностей от /0
(и АК0) перестает сказываться, но процесс взаимного удаления двух частиц
все еще остается изотропным и определяется лишь параметром е, смысл
может иметь лишь решение при /0 = 0 и АК0 = 0. Отсюда, в частности,
получаем
/о \3/2 1 —
} ех{3*74ОтЧ, D = jgt, B4.82)
и, значит,
Ф (|) — ехр (— ЬЪ2\ b a const B4.820
(ср. B4.76)). Таким образом, гипотеза Обухова в данном случае оказы-
оказывается эквивалентной предположению, что распределение вероятностей для
/ = / (т) при т3 < т < Ti будет нормальным (с нулевым средним значением
и дисперсией B4.36)). Исходя из других соображений, последнее предполо-
предположение выдвигалось также Бэтчелором A952а) (об этом см. ниже).
Другое предположение о функции р (/, т) было выдвинуто Ричардсо-
Ричардсоном A926). Исходя из аналогии с обычным (полуэмпирическим) уравнением
диффузии (см., например, уравнение A0.76) на стр. 549 части 1) и устано-
установленного им эмпирического «закона четырех третей», Ричардсон предложил
описывать эволюцию функции q (/, т) уравнением вида
«<4/3- <-т <24-83>

24.4] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 509
(в работе Ричардсона A926) рассматривался лишь одномерный аналог этого
уравнения). Предложенное Ричардсоном уравнение целесообразно применять
лишь к осредненной функции q (/, т), так как для индивидуальных реализа-
реализаций процесса диффузии нельзя рассчитывать на простые закономерности. Но
в силу B4.53) в таком случае тому же уравнению будет удовлетворять и
плотность вероятности р (I | /0, т) = р (/, т), так что E4.83) можно перепи-
переписать в виде
|?^(^ V B4.83')
Решение последнего уравнения, удовлетворяющее начальному условию
р (/, 0) = 6 (/), зависит только от / = | /1 и имеет вид
так что здесь
Ф«)~ехр{-^2/3} B4.84')
(см. Бэтчелор A952а), Озмидов A960а)). Таким образом, в полуэмпириче-
полуэмпирической теории Ричардсона распределение вероятностей для вектора / (т) при
т3 < т < Xi уже оказывается негауссовским; отдельные компоненты /;(т)
здесь некоррелированы, но не независимы. Однако для I2 здесь также полу-
— 143 /2 \3
чается согласующееся с B4.36) выражение I2 = —^— (-^ ат I .
Уравнение B4.83'), составленное по аналогии с уравнениями, описы-
описывающими иные физические процессы, невозможно строго обосновать. Каче-
Качественные рассуждения Палма A957), имевшие целью пояснить смысл этого
уравнения, привели его к заключению, что уравнение B4.83'), возможно,
стоит дополнить еще одним членом и записывать (в одномерном случае)
в виде
*44^
где а и р — две постоянные, пропорциональные 1 ^3. С другой стороны, Бэт-
Бэтчелор A952а) указал, что при описании относительной диффузии предста-
представляется более обоснованным считать «коэффициент диффузии» зависящим
не от расстояния между парой частиц /, а от статистических характеристик типа
/2 (т) ^ т3. Исходя отсюда, он предложил заменить уравнение B4.83') урав-
уравнением
! B4-86>
Решением этого последнего уравнения является плотность сферически сим-
симметричного нормального распределения вероятностей с дисперсиями l\ =
_ о
= /| = /| = — ?>т3, задаваемая формулой B4.82).
Еще одна гипотеза, позволяющая определить форму плотности вероят-
вероятности р (I | /0, т) = р (/, т) при т3 < т < х{ была изучена Мониным A955, 1956).
Для пояснения этой гипотезы удобно перейти к преобразованиям Фурье и
йереписать уравнение B4.49), связывающее распределение концентрации
в системе координат <?** в моменты t0 и rfo + T» B виДе
B4.87)

510 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.4
Здесь символами § (fe, т) и ft0 (k) обозначены трехмерные преобразования
Фурье функций ft* (/, t0 + т) и #0 (/), а Ах —- зависящий от т линейный опе-
оператор в пространстве функций от k. Вследствие локальной изотропности турбу-
турбулентности оператор Ах при т < t! должен быть инвариантен отосительно
вращений системы координат; поэтому, введя в рассмотрение функцию
$0 (k) = i, отвечающую «точечному» начальному распределению Фо (О = & @>
получим >1Т1 = а (?, т), где а — числовая функция от ? = | А? | и т. Поскольку
произвольное начальное распределение можно записать в виде свертки
Для произвольного начального распределе-
распределе= I
ния Фо(|) применение оператора Ах сводится к умножению 5О'(Л) на функ-
функцию а (?, т):
§(*, т) = а(*. тM0да. B4.870
Ограничиваясь рассмотрением квазиасимптотических времен диффузии
т3 < т < ть мы должны допустить, что функция a(k% т), кроме Лит, зави-
зависит еще только от одного размерного параметра 7 и, следовательно, имеет
вид _
а (А?, т) = а0 ( е 1/3?2/3т). B4.88)
Выбор функции одного переменного ао(х) однозначно определяет плот-
плотность р (/, т) (трехмерное преобразование Фурье которой должно равняться
а0 G1/3?2/3т) ). В частности, плотности B4.82) отвечает я0 (х) = ехр (— gx3fo).
Условие сохранения общего количества примеси в процессе диффузии сво-
сводится к требованию яо(О)~1.
Гипотеза Монина состоит в предположении, что операторы Ах ббраз^ют^
полугруппу, т. е. обладают свойством АХАХ^= Лт,+т2- Отсюда вытекает,
что ао(^1+^2) = Ло(^1)-ло(^2^ поэтому такой гипотезе отвечает функ-
функция а(х) = е~сх% где с —числовая постоянная (которая, очевидно, должна
быть положительной). Подвергнув функцию ехр {—с е1^3 | Л |2>/3т} преобразо-
преобразованию Фурье по компонентам вектора к, нетрудно убедиться, что гипотезе
Монина соответствует плотность вероятности
) l**L\ B4.89)
где U^x» \i (z) — функция Уиттекера, а Л — нормировочная постоянная. Плот-
Плотность B4.89) убывает на бесконечности, лишь как | /1*~11/3 (так что для нее
/2 (т) — оо; последнее обстоятельство показывает, что рассматриваемая тео-
теория неприменима при больших / = | /1). Заметим еще, что функция $ (к, т) =
«=ехр(— се1/3А2/3т)§о W является решением уравнения
^ B4.90)
которое после применения обратного преобразования Фурье может быть
переписано в виде -х— = В д*, где В — линейный оператор, пропорциональ-
пропорциональный «оператору Лапласа в степени 1/3» (поскольку оператору Лапласа
в фурье-представлении отвечает оператор умножения на — k2). Фактически
В — это интегральный оператор со сложным ядром (в двумерном случае
это ядро явно выражается через функцию Бесселя и выписано в работах

24.4] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 511
Монина A955, 1956)). После двукратного дифференцирования уравнения
B4.90) по т мы получим соотношение -т-г-= — с3 е Л2S, показывающее, что
все решения интегрального уравнения -j— = B#* содержатся среди реше-
решений дифференциального уравнения
~~. = С3ГДГ B4.91)
(в частности, нетрудно проверить, что функция B4.89) удовлетворяет урав-
уравнению B4.91)).
Результаты, аналогичные найденным Мониным, были получены позже
Ченом A959), исходившим из спектрального уравнения
оо
= -v (k) k* Ъ, v (k) = y J [E (*')I/2 k'~312 dk' B4.92)
(опирающегося на формулу Гейзенберга A7.9)). Полагая здесь
где <х =— 5/3, Чен снова пришел к у
смотрел еще случаи а = — 1 и а=1).
где а = — 5/3, Чен снова пришел к уравнению B4.90) (кроме того, он рас-
Гипотезы о плотности распределения концентрации
относительно центра тяжести облака
Наибольший интерес для приложений представляет распределение кон-
концентрации примеси #с(х, т) относительно неинерциальной системы коор-
координат &с% начало которой во все моменты времени совпадает с центром
тяжести облака примеси, так как это распределение проще всего опреде-
определяется из результатов наблюдений за диффузией. Правда, как мы уже отме-
отмечали на стр. 491, с точки зрения теории турбулентности диффузия относи-
относительно центра тяжести облака более сложна, чем диффузия относительно
систем координат & или &* (поскольку концентрация &с(х, т) зависит уже
от координат всех частиц облака). Если, однако, не использовать точных
уравнений гидромеханики, а ограничиться лишь приближенными полуэмпири-
полуэмпирическими гипотезами, то при таком подходе система координат &с не будет
принципиально отличаться от систем & и <У*. Поэтому все полуэмпирические
гипотезы, прилагавшиеся выше к функциям p(Y^s\ т) (или $^(У, т)) и
рA, т) (или Ф*(/, т)), можно попытаться перенести и на функцию ^(jc, т)
(в действительности некоторые из них формулировались именно для этой
последней функции). Заметим, что в силу равенства 2оц (т) = 2/у (т), выте-
вытекающая из указанных гипотез пропорциональность дисперсии [К(^(т)]2
или /2(т) величине ет3 будет находиться в согласии с выводами теории (при
т3<т<т,) и после перехода от [К(^(т)]2 или /2(т) к дисперсии о2(т),
распределения Ъс(х, т).
На стр. 497 мы уже применяли (со ссылкой на работы Гиффорда) гипо-
гипотезу Бэтчелора — Обухова о нормальном распределении средней концентра-
концентрации к функции Ъс(х, т) (ср. формулы B4.64) и B4.82)). Та же гипотеза
была привлечена Иноуэ A963) для анализа данных о концентрации #с(х, т)
при двумерной диффузии примеси на поверхности моря. Гипотеза Ричардсона,

512 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.4
согласно которой концентрация при относительной диффузии удовлетво-
удовлетворяет уравнению B4.83/), применялась к функции ®с(х, т) (в двумерном и
трехмерном случаях) Озмидовым A958, 1960а). Вообще же применению тех
или иных полуэмпирических гипотез для описания относительной диффузии
примеси на поверхности моря (относительно центра облака) посвящен целый
ряд работ. В частности, Мак-Юин A950) и Йозеф и Сенднер A958) исполь-
зовали для этой цели двумерное изотропное уравнение диффузии -^— =
—_ _. (г/С -гЧ с зависящим от r=\x | коэффициентом диффузии вида К (/*)=
= <хг (позже Йозеф и Сенднер A962) использовали то же уравнение с коэф-
коэффициентом К(г)=^аг1'^, где \i — эмпирическая постоянная), Окубо и При-
чард (см. Окубо A962)) рассмотрели то же уравнение с зависящим от вре-
времени коэффициентом диффузии К = К (т) = <хт, а Окубо A962) — то же урав-
уравнение, но с К = К (г, т) = <хг2/3т, в то время как Шенфельд A962) предложил
более сложное интегральное уравнение диффузии (принимающее вид B4.87/)
после применения преобразования Фурье). Сопоставление следствий из пере-
перечисленных полуэмпирических уравнений и сравнение этих следствий с имею-
имеющимся эмпирическим материалом можно найти в статье Окубо A962).
С точки зрения теории подобия для локально изотропной турбулентности
допустимыми для описания относительно диффузии (в интервале «промежу-
«промежуточных» времен т3 < т < т^ из всех перечисленных уравнений являются
только уравнение Бэтчелора — Обухова с К = ат2 = дет2, уравнение Ричард-
Ричардсона с К = аг4/3 = ае 1/3г4/3 и уравнение Окубо с К = аг2/3т = а72/3г2/3 т.
Фундаментальные решения первых двух из этих уравнений в двум?р^
ном случае лишь слегка отличаются от соответствующих трехмерных
решении B4.82) и B4.84) (и также затухают на бесконечности, как
ехр(-— br2) и ехр(— Ьг2/Ъ) соответственно); уравнению же Окубо отвечает
фундаментальное решение вида Ьс(г% т)^(ет3)~ ехр(—сг^ъ/Т2^х2), зату-
затухающее на бесконечности, как ехр (— 6г4/?) (т. е. так же, как плотность р (/, т)
в теории Крейчнана, которой тоже соответствует диффузионное уравне-
уравнение B4.74) с коэффициентом /С, зависящим и от времени и от простран-
пространственной координаты). Несмотря на существенное различие поведения кон-
концентрации в трех указанных полуэмпирических теориях, существующие
эмпирические данные, по-видимому, недостаточны для выбора между ними
(хотя предварительные данные Окубо A962) оставляют впечатление, что
третье решение несколько лучше согласуется с результатами наблюдений,
чем первое и, особенно, чем второе из них).
Выводы, которые следуют из соображений размерности, базирующихся
на предположении об автомодельности процесса относительной диффузии
при т3 < т < Т! и_о зависимости этого процесса от единственного размер-
размерного параметра е, оказываются одинаковыми во всех полуэмпирических
теориях, совместимых с гипотезами подобия Колмогорова. К числу таких
выводов относится, в частности, заключение о пропорциональности макси-
максимальной концентрации в центре облака % @, т) величине х~9/2 (точнее1
(е"г8)"/2) в случае трехмерной диффузии и величине т~3 (точнее, (ёт3))
в случае двумерной диффузии. Большинство имеющихся наблюдений за дву-
двумерной диффузией на море удовлетворительно согласуется с затуханием
максимальной концентрации по закону Фс@, т)^х~д (см., например, Озми-
цов A958), Хэла и Войпио A960), Окубо A962), Килеженко A964)). Это

24.5] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 513
обстоятельство дает дополнительные основания полагать, что применение
теории локально изотропной турбулентности для описания относительной
диффузии дает правильные результаты в широком интервале значений т.
24.5. Растяжение материальных линий и поверхностей
в турбулентном потоке
Согласно результатам п. 24.2 среднее расстояние между двумя фиксиро-
фиксированными жидкими частицами в турбулентном потоке всегда растет со вре-
временем. Отсюда, в частности, вытекает, что средняя длина любой хорды
материальной (т. е. состоящей все время из тех же частиц жидкости) линии
или поверхности также увеличивается. Поэтому естественно ожидать, что
средние длины материальных линий и средние площади материальных поверх-
поверхностей в турбулентном потоке являются монотонно возрастающими функ-
функциями времени. Физической причиной растяжения материальных линий и
поверхностей является сложное искривление любой части такой линии или
поверхности, создаваемое турбулентными пульсациями (ср. схематический
рис. 80 на стр. 518 части 1 этой книги, на котором граница облака при-
примеси как раз и представляет собой некоторую материальную поверхность).
Это растяжение не только интересно само по себе, как одно из нагляд-
наглядных проявлений турбулентного характера движения, но и важно для ряда
прикладных задач, поскольку, например, вихревые линии или линии магнит-
магнитного поля в случае турбулентной среды с малой вязкостью и очень боль-
большой электропроводностью в первом приближении совпадают с материаль-
материальными линиями, а поверхности постоянной температуры или постоянной кон-
концентрации некоторой пассивной примеси в пренебрежении молекулярной
теплопроводностью и диффузией совпадают с материальными поверхностями.
Поскольку каждую линию конечной длины (или поверхность конечной
площади) можно представить в виде суммы большого числа малых прямо-
прямолинейных отрезков (или плоских площадок), исследование растяжения мате-
материальной линии или поверхности можно свести (следуя Бэтчелору A9526))
к рассмотрению изменения расстояния между жидкими частицами, началь-
начальное расстояние между которыми очень мало. Для этого мы разобьем мате-
материальную линию (или поверхность) в момент t0 на элементарные отрезки
(или площадки), линейные размеры которых очень малы по сравнению
с внутренним масштабом *n (число Re здесь считается достаточно большим,
чтобы была приложима теория локально изотропной турбулентности). Тогда
на протяжении каждого элементарного отрезка (или площадки), производ-
дщ
ные от компонент скорости < остаются практически постоянными, т. е.
поле скорости и(х) представляет собой линейную функцию от х. После
этого при исследовании эволюции отрезка (или площадки) можно восполь-
воспользоваться рассуждениями, применявшимися в пп. 22.3 и 22.4 к изучению
спектра турбулентности в области очень малых масштабов.
Мы уже отмечали в п. 22.3 (см. стр. 389—390), что движение, отвечающее
линейному полю скорости, слагается из параллельного переноса соответ-
соответствующего малого объема жидкости (содержащего интересующий нас эле-
элементарный отрезок или площадку), вращения этого объема относительно
некоторой мгновенной оси и, наконец, деформации этого объема, сводя-
сводящейся к его растяжениям и сжатиям вдоль трех взаимно перпендикулярных
осей ОХЬ ОХ2 и ОХ3. Как и в п. 22.3, будем считать, что в системе коор-
координат, перемещающейся и вращающейся вместе с рассматриваемым объемом
жидкости, направления главных осей деформации и собственные значе-
значения а\% а2 и аъ тензора скоростей деформации мало меняются в течение
промежутков времени порядка т^ (о возможных ослаблениях этого
33 А. С. Монин, А, М. Яглом

514 гл. vin. локально изотропная турбулентность [24.5
предположения говорилось на стр. 391—392). Выберем систему координат
OXlX2Xz так, чтобы ось ОХХ была направлена вдоль оси наибольшего рас-
растяжения, а ось ОХ3 — вдоль оси наибольшего сжатия; тогда Uj(X) — ajXj
(по J не суммируется!), где 0 < а{ > а2 > аг < 0, ах + а2 + аъ = 0.
Эволюция материального отрезка (или площадки) в деформационном
поле Uj(X) = ajXj вначале зависит от его (или ее) формы, размеров и
ориентации относительно осей координат. Эта эволюция сводится к равно-
равномерному растяжению вдоль оси Ол{ со скоростью аи растяжению (или сжа-
сжатию, если а2 < 0) вдоль оси ОХ2 со скоростью а2 и быстрому сжатию вдоль
оси ОХг со скоростью — а3 = л1+л2. Предположим, что начальные раз-
размеры рассматриваемого отрезка (или площадки) столь малы, что и по исте-
истечении времени порядка т^ его (или ее) размеры остаются малыми по сравне-
сравнению с г\\ тогда в течение таких промежутков времени их эволюция будет все
время той же, что и вначале. Поскольку типичные значения величин аь а2 и аг
имеют порядок т~\ за время порядка т^ размеры нашего элемента вдоль
оси ОХХ во много раз увеличатся, размеры вдоль оси OXS во много раз
уменьшатся, а размеры вдоль оси ОХ2 изменятся промежуточным образом
(как правило, они тоже заметно вырастут, но все же гораздо меньше, чедо
размеры вдоль оси OXh так как обычно ах > а2 > 0; ср. стр. 399). При боль-
больших t = tf — t0, когда размеры исходного элементарного отрезка (или пло-
площадки) перестанут быть малыми по сравнению с т), поле скорости на про-
протяжении отрезка или площадки уже нельзя будет считать линейным, и тогда
отрезок перестанет быть прямолинейным, а площадка — плоской; поэтому
раньше, чем этот эффект станет играть заметную роль, надо будет разбить
рассматриваемый отрезок или площадку снова на более мелкие части и
применять последующие рассуждения к каждой из этих частей по отдельности.
Из сказанного следует, что время т3, по истечении которого / (т) ^> /0
и дальнейшее относительное движение пары жидких частиц уже не зависит
от вектора /0, при /0 <^ ц имеет порядок т^. По истечении времени^т^
в первом приближении можно считать, что элементарный материальный
отрезок стал практически параллельным оси ОХХ (пренебрегая маловероят-
маловероятными случаями, в которых начальный вектор 10 почти точно перпенди-
перпендикулярен ОХ\), а элементарная материальная площадка стала практически
перпендикулярной оси OXS. Дальнейшая эволюция материального отрезка
или площадки не будет зависеть от начальных размеров, формы и ориента-
ориентации— в случае отрезка она будет иметь характер простого удлинения
с относительной скоростью аь а в случае площадки — удлинения вдоль
одного направления с относительной скоростью аь а вдоль перпендикуляр-
перпендикулярного направления — с относительной скоростью а2, обычно положительной,
но изредка принимающей и отрицательные значения. Иначе говоря, при
т > т8 длина / (т) будет расти по закону, описываемому уравнением
—— =saj, а площадь площадки s(t) — по закону, описываемому уравне-
уравнением — -j^ =ai-^-a2^ — Дз- Итак, мы видим, что в течение основной доли
времени длина / (т) будет возрастать пропорционально епх%, а площадь s (т) —
пропорционально е~~а*х (где аъ < 0). Отсюда можно заключить, что средняя
длина материальной линии L (t) и средняя площадь материальной поверх-
поверхности S{t) при т = t — tf0 > т^ растут со временем по закону

24.5] § 24. ДИФФУЗИЯ В ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 515
где L (t0) и S (t0) — начальные значения рассматриваемой длины или поверх-
поверхности, a g=« y^1 > 0 и С^бт >0 — параметры размерности, обратной
размерности времени, имеющие порядок т и представляющие собой ре-
результат некоторого осреднения величин а{ и —аг 1).
Формулы B4.93) были получены Бзтчелором A9526) (допустившим сна-
сначала ошибку, исправленную им позже в добавлении к статье Рида A955)).
Они позволяют получить ряд дополнительных результатов того же рода.
Рассмотрим, например, площадку в форме параллелограмма, натянутого на
векторы 1Х и 12. С течением времени длины 1{ = 1Х (т) и /2 = /2 (т) сторон
параллелограмма и его площадь s = s(x) = /i/2 sincp будут расти экспонен-
экспоненциально согласно формулам B4.93). Следовательно, средний угол между
двумя пересекающимися материальными линиями экспоненциально убьшает
со временем по закону sin ср « ср ^ е&~2® х (напомним, что ? — 2? ж — аь —
— 2ai = 2i — ах < О, поскольку а{ >а2). Аналогично этому, исходя из по-
постоянства объема материального параллелепипеда, натянутого на векторы
lii h и h* легко убедиться, что средний синус угла между материальной
площадкой и пересекающей ее материальной линией уменьшается со вре-
временем пропорционально е~^+&х- Наконец, постоянство материальных объе-
объемов позволяет заключить, что среднее расстояние по нормали между двумя
близкими параллельными материальными поверхностями убывает со временем
пропорционально е~^х- Рассмотрев, в частности, поверхности постоянной
концентрации некоторой пассивной примеси Ф, мы убедимся, что до того мо-
момента, когда молекулярная диффузия начинает играть существенную роль,
средний градиент примеси растет пропорционально е^х (так что | Vft |2 =
= 1 Vfttfo)!2*2^""'0*)* Точно так же, если F(Xt t) — векторное поле такое,
что образованные им линии можно отождествить с материальными линиями
и что поток вектора во всех сечениях соответствующей «трубки» остается
постоянным (например, поле вихря), то, пока эти условия можно считать
выполняющимися (т. е. до начала существенного влияния молекулярных
эффектов), \F\ будет расти обратно пропорционально площади сечения
«векторной Трубки», т. е. (в силу сохранения материальных объемов) прямо
пропорционально длине материальной линии, служащей «осью» • трубки.
Поэтому, например,
Бэтчелор и Таунсенд A956) предложили для грубой оценки значений
параметров g и ? (т. е. числовых коэффициентов у и 6) воспользоваться
равенствами B2.72), допустив дополнительно, что во втором из них можно
в первом приближении пренебречь слагаемыми, связанными с пульсациями
величин а;, и заменить ахагаг на^а1а2 аг. В таком случае два уравнения
B2.72) вместе с равенством ~ах-\-а2 + а3 ** 0 позволят выразить J«flJ и
') Параметры % и ? не совпадают с простыми теоретико-вероятностными
средними значениями ах и —д3> более правильно их определять из равенств
ехр? = ехра, и ехр ? = ехр (— аъ). Однако такое определение приводит
к значениям \ и ?, отличающимся от "а{ и — дГ3 лишь числовыми множи-
те?ями, по-видимому довольно близкими к единице. Поскольку значения "а{
и #з известны неточно и вся излагаемая теория носит приближенный харак-
характер, в настоящее время нет оснований различать | и а\ или { и — О|.
33*

516. ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [24.5
- - / дих \з /Г/ дих \2-]3/2
? « — а3 через е, v и асимметрию s = l-r*~M / (-г-Ч • Воспользовав-
Воспользовавшись ориентировочными значениями s, содержащимися в книге Бэтчелора
A953) (и относящимися, к слову сказать, к течениям с недостаточно боль-
большим Re), они пришли к выводу, что
I « 0,4т-1, С « 0,5 т^1, т. е. y « 0,4, 6 « 0,5. B4.94)
Этот результат в силу своей грубости мало что добавляет к общему выводу о том,
что коэффициенты у и б должны быть порядка единицы; однако положитель-
положительность разности 6—уыа2 и ее относительная малость по сравнению с у вполне
соответствуют тому, чего следовало ожидать. Другой, также очень грубый
метод оценки коэффициентов у и 6 состоит в использовании гипотезы Мил-
Миллионщикова и сопоставлении получаемых при этом результатов, касающихся
возрастания | Vft |2 и F* tв пренебрежении действием молекулярных эффек-
эффектов), с формулами B4.93). Сравним, например, уравнения Рида A9.62) и
A9.63), описывающее возрастание (VflJ в приближении, полагающем х=О
и использующем гипотезу Миллионщикова, с соотношением (VftJ<^?2?('~'o)«
Если принять, что ©2==e/v== т~2 = const в течение интервалов времени,
для которых допустимо пренебрежение молекулярными эффектами, то в силу
A9.63) придется допустить, что 6 = l/}^6 « 0,4 (очень хорошее согласие этой
оценки с оценкой B4.94), вероятно, надо рассматривать как случайное сов-
совпадение). Аналогичный вывод, получающийся из применения гипотезы
Миллионщикова к уравнению для векторного поля F, гласит, что у = 6 = 1/|/"бГ
т. е. ? = ? (см. Рид A955)); то, что значение g здесь получается не меньшим,
чем ?, как следовало бы ожидать, а точно равным ?, надо OTHecht-за-ечет
грубости полученной оценки.
В заключение остановимся вкратце на связи результатов этого пункта
с общими выводами п. 24.2. В силу общей формулы B423) величина
— ¦—L, где / = / (т) — расстояние между двумя фиксированными жидкими
|/| dx
частицами, должна определяться формулой
i ) B4.95)
|Т| dx т V Ц V '
где Ч? — универсальная функция двух переменных (ср. аналогичную фор-
формулу B4.32) на стр. 481, также являющуюся следствием B4.23)). Предполо-
Предположим, что /0=| /0 |<^^Г1 и что турбулентность однородна; тогда нетрудно пока-
показать, что Ч? (/0/т], 0) « ? @, 0) = 0. В самом деле, J ' совпадает с про-
проекцией разности скоростей двух жидких частиц V2 (t) — V\ (t), t = tQ + т,
на направление вектора /. Если 11 \ <^ щ, то можно воспользоваться ра-
равенством
у2 @ - vx (t) - и [X, (t) +1 (t), t)-u [X, (о, t)
и, следовательно,
duj[Xut)
dXH \l(x)\\l(x)\'

25.1] § 25. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
В начальный момент t0 вектор / = /0 фиксирован, и поскольку
(в силу однородности турбулентности), то ¦¦" 1 ^ =
| / (т) | dx
С ростом т величина B4.95) должна хотя бы какое-то время возрастать, так
как интуитивно ясно, что расстояние |7| должно увеличиваться. После до-
достижения квазиасимптотического режима (при т > т3) в формуле B4.95)
исчезнет зависимость от /0> и она приобретет вид
iTlf). B4.96)
III dx ц l[J
При еще больших т (при т ^> т^) в этой формуле пропадет также зависи-
зависимость от молекулярной вязкости v (входящей в микромасштаб времени т^),
и она обратится в равенство
4-^UA, B4.97)
|l| dx x
где Л — числовая постоянная (равная 3/2 в силу B4.36)). Таким образом, вели-
величина -= !—!- при х = 0 равна нулю, затем некоторое время она возрастает,
а при т ^> т^ довольно быстро убывает. Следовательно, она дости-
достигает максимума при значении т порядка т^. Естественно ожидать, что
в некоторой окрестности максимума ее можно считать приблизительно по-
постоянной. Этот вывод как раз и подтверждается первым равенством B4.93)
(относящимся к специальному случаю, когда | 101 столь мало, что сущест-
существует интервал значений т > т3, для которых \1(х)\ <^ у\).
§ 25. УТОЧНЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ЛОКАЛЬНОЙ
СТРУКТУРЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ, СВЯЗАННОЕ С УЧЕТОМ
ФЛЮКТУАЦИИ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ
25.1. Общие соображения и модельные примеры
Вернемся теперь к вопросу о физических предпосылках гипотез
подобия Колмогорова и обсудим важное критическое замечание,
сделанное Ландау сразу же после появления первых работ Кол-
Колмогорова (см., например, сноску на стр. 157 книги Ландау и Лифшица
A953), имевшуюся уже в появившемся в 1944 г. первом издании этой
книги), но привлекшее широкое внимание лишь в самые последние
годы. Это замечание показывает, что гипотезы подобия не могут
считаться совершенно точными, так что развитая в предыдущих
пунктах теория не является окончательной.
Замечание Ландау касалось влияния флюктуации диссипации энер-
энергии на мелкомасштабные свойства турбулентности. Выше мы все время
предполагали, что приток энергии к мелкомасштабным возмущениям
равен е, т. е. всюду одинаков, и что распределения вероятности

518 гл. viii, локально изотропная турбулентность [25.1
для приращений гидродинамических полей в достаточно малой про-
пространственно-временной области зависят только от этого «среднего
притока» е. На самом деле, однако, в турбулентном потоке дисси-
диссипация энергии в единице массы за единицу времени равна
т. е. является случайной функцией от координат х и времени /,
флюктуирующей вместе с полем и(х% t). Эти флюктуации могут за-
зависеть от особенностей крупномасштабного движения и прежде всего
от числа Рейнольдса Re, определяющего величину отношения L/t],
т. е., грубо говоря, число «каскадов» в иерархии вихрей различных
порядков, по которой последовательно передается кинетическая энер-
энергия, прежде чем диссипироваться и перейти в теплоту. Поскольку4
статистические свойства поля е(лс, t) не могут не сказываться на
распределениях вероятностей для мелкомасштабных компонент тур-
турбулентности, эти распределения, по-видимому, должны как-то изме-
изменяться при изменении Re и других характеристик осредненного тече-
течения, т. е. не могут быть вполне универсальными.
Чтобы понять, как может повлиять распределение вероятностей
для е на локальные характеристики поля и(х, t)t рассмотрим про-
простейшую модель турбулентности, в которой диссипация е(х, t)
не меняется в пределах отдельных пространственно-временньгх^бб-
ластей О с пространственными размерами, много большими т|, и вре-
временными размерами, много большими т^, но в различных таких
областях 6 может принимать разные значения. Предположим, напри-
например, что е с вероятностью 1/2 может оказаться равным е2 ===== A—у)е
и с вероятностью 1/2 равным е2 = A+у)е» гДе Y — некоторый
числовой коэффициент, характеризующий степень перемежаемости
турбулентности. В каждой области О распределение вероятностей
для приращений и(х, f), очевидно, может зависеть только от зна-
значения е в этой области (равного потоку энергии от крупномасштаб-
крупномасштабных турбулентных образований к мелкомасштабным, наблюдаемому
в пределах О). Поэтому, например, законы «двух третей» и «пяти тре-
третей» для поля скорости в некоторых областях О будут иметь вид
DLL (г) - С A - Yf3 e2/3r2/s, E (k) - С, A - YJ/3 е2/3 *~5/3, B5.2)
в то время как в других областях будут справедливы равенства
+YJ/W/3, fW^C^l+YfV'V5/3. B6.20
Здесь С и Сг — те значения коэффициентов в указанных законах,
которые отвечают идеализированной модели турбулентности без флюк-
флюктуации диссипации энергии. Истинные эначедия D^L(r) и Я (А) в рад-»

25.1] § 25. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ 519
сматриваемом турбулентном течении будут равны среднему арифме-
арифметическому правых частей B5.2) и B5.2') (совпадающему в данном
случае с теоретико-вероятностным средним значением), так что
DLL (г) = С (у) 82/3г2/3, Е (k) = С, (Y) e2/V5/3, B5.3)
где
Мы видим, что и «закон двух третей» и «закон пяти третей» сохра-
сохраняют свой вид, но числовые коэффициенты в них зависят от Y (т. е.
от распределения вероятностей для е). Правда, зависимость указан-
указанных коэффициентов от параметра у в данном случае оказывается
сравнительно слабой: при переходе от значения y = 0 (отвечающего
случаю постоянного е) к значению у = 2/3 (при котором &21е\ = 5)
они уменьшаются всего на 6%, и даже при у = 0,9 (т. е. при
62/8!= 19) эти коэффициенты оказываются лишь на 13% меньше, чем
в отсутствие флюктуации е.
Родственные результаты могут быть получены для широкого
класса локальных статистических характеристик турбулентности при
более или менее произвольном распределении вероятностей для дис-
диссипации энергии. Будем пока, как и при выводе формул B5.3),
пренебрегать возможными флюктуациями поля e(xt f) в пределах той
пространственно-временной области О, к которой относится рас-
рассматриваемая статистическая характеристика, но учтем изменчивость
значений е в разных таких областях. В таком случае аналогом первой
гипотезы подобия Колмогорова будет предположение, что при задан-
заданном значении коэффициента вязкости v условные распределения
вероятностей для поля относительной скорости <о(г, т) равен-
равенства B1.2) при условии, что диссипация энергии г в соответ-
соответствующей области О принимает фиксированное значение,
являются изотропными и зависят только от v и е. Исходя
отсюда, например, условное значение момента
относящегося к достаточно малой пространственно-временной об-
области О, при условии, что диссипация энергии в этой области равна е,
может быть представлено в виде
BW-W/fce'V*4 VV4, W VV1^
B5.4)
где m = (k1-\- ... -\-kN)/4, a / — некоторая универсальная функция,
не меняющаяся при произвольных вращениях и отражениях системы

520 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [25.1
координат г. На указанные условные распределения вероятностей
можно перенести и вторую гипотезу подобия, т. е. принять, что В (г)
не должно зависеть от v, если только аргументы функции / и их
разности все намного превосходят единицу. Существенно, однако, что
для получения безусловного среднего значения момента В функцию В (е)
надо осреднить по возможным значениям е, т. е. рассмотреть интег-
интеграл
В= j B(z)p(e)det B5.5)
о
где р(г)— плотность вероятности для е. Этот интеграл зависит от
плотности р (е), определяемой крупномасштабными движениями, т. е.
не является универсальной величиной. Аналогичные соображения при-
применимы и к спектрам поля скорости в области малых масштабов и
к другим локальным характеристикам, зависящим лишь от мелкомас-
мелкомасштабных компонент турбулентности.
Предположим, что зависимость величины В (г) от е чисто степен-
степенная, т. е. что В(е) = Сел, где п Ф 0 и С не зависит от 6 (так будет
обстоять дело, в частности, в случае чисто пространственных или
чисто временных моментов и спектров поля v(rt т) в инерционном
интервале). Тогда
[о
где #?^4^= ' „. B5.6)
J
Отсюда видно, что общая форма зависимости величины В от е и от
всех остальных определяющих ее аргументов здесь при любой плот-
плотности р(&) сохраняет свой вид; однако значение числового коэф-
коэффициента при (е)л, вообще говоря, не универсально, а зависит от р(ё).
Исключением в этом отношении является лишь случай п = 1 (т. е.
линейной зависимости), когда Кг = 1 и поэтому коэффициент при е
универсален (последнее заключение относится, в частности, к коэф-
коэффициентам в формуле B1.18') Для &?.и.(г) и в формулах B1.30') и
B1.350 для лагранжевой структурной функции D(Z)(t) и спектра
ZJ^(cd)). Существенно, однако, что и во всех остальных случаях
зависимость поправочного множителя Кп в B5.6) от р (е) оказывается
сравнительно слабой. В этом мы уже убедились выше на примере
формул B5.3). Тот же вывод следует из расчетов Гранта, Стюарта
и Моильета A962), предположивших, что плотность р(г) постоянна
в интервале (elt е2) = [A—Y)c» O+Y)cl и равна нулю вне него, и
показавших, что при этом предположении #-.2/3 = 0,93 и /С2=1»23

5.2] § 25. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ 521
(т. е. и /С-2/3 и /Сг мало отличаются от единицы) даже при у = 5/6
(т. е. ?2/8i = 11)- Близкие результаты получил и Новиков A9636),
рассмотревший один пример непрерывной, плотности /?(в), отличной
от нуля всюду на полуоси 0 < е < оо.
В случае более сложной, чем степенная, зависимости статистической
характеристики В (г) от е уже и общая форма зависимости В от е
и других аргументов может измениться при изменении /?(е), т. е.
быть существенно неуниверсальной. Типичный пример такого рода
разобрал Новиков A9636). Он предположил, что условное значение
спектра E(k) при фиксированном значении диссипации е во всем
равновесном интервале #^>1/Z, имеет вид
E(k) = Ct2/3k-5/\xP{-a4k2}, r,e = e-1/4v3/4 B5.7)
(ср. формулу B2.73) на стр. 399), и показал, что можно так подо-
подобрать непрерывную плотность р(г) (зависящую от числового пара-
параметра y>2/3), чтобы среднее значение спектра B5.7) имело вид
E(k) = C{y)?/3k-5/3[l + d{yL2k2]-\ t,=1-1/4v3/4. B5.7')
где С (у) зависит определенным образом от С и у, a d(y) — от а
и у. В инерционном интервале выражения B5.7) и B5.70 оба при-
приводят к «закону пяти третей» (с разными числовыми коэффициен-
коэффициентами), как это и должно быть. Но в интервалах диссипации *^>1/г|е
и k^> 1/ц спектры B5.7) и B5.7') ведут себя совершенно по-разному:
первый из них затухает экспоненциально, а второй — лишь как ко-
конечная степень k (а именно, как А"^^I).
25.2. Уточненные гипотезы подобия
До сих пор речь шла лишь об искусственных примерах, в ко-
которых плотность р(г) выбиралась произвольным образом. Но чтобы
выяснить, как будут влиять флюктуации диссипации энергии на ло-
локальные характеристики реальных турбулентных потоков, надо по-
положить в основу истинные статистические закономерности, которым
1) Может показаться странным, каким образом при осреднении «очень
гладкого» поля со спектром B5.7), имеющего производные всех порядков,
может получиться поле со спектром B5.7'), дифференцируемое лишь конеч-
конечное число раз. Это объясняется тем, что порядок убывания спектра на
бесконечности определяет лишь существование «производных в среднем
квадратичном», но не истинных производных индивидуальных реализаций
случайного поля (ср. стр. 17). В том, что при осреднении набора «гладких
полей», все реализации которых бесконечно дифференцируемы, средние
квадратичные значения некоторых производных могут оказаться бесконеч-
бесконечными, так что соответствующие производные «в среднем квадратичном»
не будут существовать, нет ничего удивительчогд.

522 гл. viii. локально изотропная турбулентность [25.2
подчиняются эти флюктуации. При этом мы должны отказаться от
предположения, что диссипация энергии e(xt t) постоянна в про-
пространственно-временных областях б диаметра L ^> ц и меняется только
при переходе от одной такой области к другой. Но тогда и пред-
предположение об универсальности условных распределений вероятностей
для поля v(r, т) при условии, что диссипация энергии в области О
принимает заданное постоянное значение, должно быть заменено
каким-то другим предположением подобного же типа, уточняющим
обычную формулировку гипотез подобия. Такому уточнению гипотез
подобия и были посвящены уже упоминавшиеся на стр. 322 работы
Обухова A962а, б) и Колмогорова A962а, б).
Будем исходить из того, что е(х, t) является случайным полем.
Естественно считать, что локальные статистические характеристики
поля скорости могут зависеть только от локальных же значений
поля е(х, t). Точнее говоря, естественно считать, что статистические
характеристики мелкомасштабных движений, построенные по значениям
поля скорости в заданной конечной системе близких пространственно-
временных точек, могут зависеть только от значений е(х, t) в неко-
некоторой ограниченной четырехмерной области О, содержащей все рас-
рассматриваемые точки. Примем простейшее предположение, что суще-
существенным является только среднее значение е^= j e(x, t)dxdt I \dxdt
о о
поля е(х, f) в области О (такое предположение уже является значи-
значительным уточнением первоначальной формы гипотез подобия, в ко-
которую входит только теоретико-вероятностное среднее значение е).
При этом выделенную курсивом на стр. 519 новую формулировку
первой гипотезы подобия можно сохранить почти без изменения;
только вместо условных распределений вероятностей при фиксиро-
фиксированном постоянном значении е диссипации энергии в области О те-
теперь надо говорить об условных распределениях при фиксирован-
фиксированном среднем значении г0 диссипации энергии в области О. Сле-
Следовательно, и формулы B5.4) — B5.6) здесь сохраняют силу, если
только мы в них заменим е на ео, а р(ъо) будем понимать как плот-
плотность вероятности осредненной диссипации г0 (могущую зависеть от
выбора области О).
Чтобы получить окончательные формулировки, мы должны еще
договориться о выборе области О. Естественно думать, однако, что
получаемые результаты будут сравнительно слабо зависеть от формы
этой области; существенно лишь, чтобы ее линейные размеры по по-
порядку величины совпали с характерными размерами исходной системы
точек. В соответствии со сказанным Обухов предположил, что для
статистических характеристик разности скоростей

25.2] § 25« уточнение теории локальной структуры 523
(где х0 = х + г/2) основную роль играет значение диссипации, осред-
ненное по объему шара радиуса | г |/2 = г/2, имеющего точки хо-\-г/2
и х0 — г/2 своими полюсами, т. е. величина
= ^. J е(хо + г', 0<*>•'. B5.8)
f' К/2
J
r' Кг/2
Развивая эту идею, Колмогоров принял, что величина ег = ег(.% О
играет основную роль для всего многомерного распределения вероят-
вероятностей совокупности относительных скоростей v(rv хг) у(гп> тл)»
построенных по значениям поля и (х, t) в точках (а:0, t0), (xv t{)t .. .
. .. i (xn, tn), если только r<^L, все значения |гл| = |#л — х0
k = 1 п, по порядку величины сравнимы с г, а все значения | xk
k=\ п, по порядку величины сравнимы с масштабом времени
Тг — г2/3е^1/3, составленным из г и ег. Из г и е, можно составить
¦j in
также масштаб скорости Ur = (rer)' , а из г, гг и v — единственную
безразмерную комбинацию
// г г4/3е1/3 / г \4/3
«ег—Т—-Г"вЫ f ^ = ^Ч~1/4. B5.9)
значение которой при фиксированных г и v однозначно определяет
значение случайной величины ег, а при фиксированных г и гг зави-
зависит только от v. Исходя отсюда, Колмогоров предложил следующую
уточненную формулировку двух основных гипотез подобия:
Первая уточненная гипотеза подобия. Если r<^Lf
mo условное распределение вероятностей безразмерных отно-
относительных скоростей
«fo, %k)=V{lkrr\XkTr\ /5=1, 2 /г, B5.10)
и г
где значения ||л| и \%k\ — порядка единицы, при условии, что
фиксировано значение случайной величины Rer, зависит только
от значения Rer и не меняется при произвольных вращениях и
отражениях системы векторов |^, &=1 п.
Вторая уточненная гипотеза подобия. Если Rer^> 1,
то указанное в первой гипотезе условное распределение вероят-
вероятностей не зависит от значения Rer, т. е. универсально.
Из уточненной первой гипотезы подобия следует, в частности,
что значения структурных функций DLL(r) и DLLL(r) при r<^L и
фиксированном значении ег могут быть представлены в виде
/ r4/3gl/3 \ / Г4/3?1/3
DLL (г) = С (еггJ/3 Ъи \—^-). DLLL (г) = D ггг $
B5 Л1)

524 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ B5.2
где С и D — постоянные коэффициенты (которые могут быть вы-
выбраны произвольно), a ^LL(x) и fiLLL(x) — универсальные функции
одного переменного. Эти формулы можно также переписать в виде
DLL (г) = (erv//2 pu (re^v-3/4), Dl1l (r) e до* Рщ (Г(^, -
B5.110
более близком к формулам B1.12), B1.15) и B5.4); здесь — Р^С*)
и PLLL(x) — другие универсальные функции, просто связанные c~$LL(x)
ирш(х) (например, ^LL{x) = Cx2^LL (л:4/3)). Запись B5.11) более
удобна при больших г, так как из второй уточненной гипотезы по-
подобия следует, что функции ^LL(x) и ^LLL(x) при л:->оо стремятся
к постоянным значениям. С помощью соответствующего выбора по-
постоянных С и D можно добиться выполнения соотношений fiLL (оо) = 1
и pLLL (оо) = 1. Будем считать, что С и D выбраны именно таким
образом; тогда
D??(r)==Cer2/3r2/3, DUL(r)=Derr при r^r^v^V74- B5-12)
Первое из равенств B5.12) очень похоже на обычный «закон двух
третей», однако теперь уже DLL (г) — лишь «условное значение струк-
структурной функции» при условии, что случайная величина B5.8) при-
приняла фиксированное значение ег, причем и сам интервал г ^> х\г здесь
г
Поскольку поле w(|)==w(|, 0) в силу первой гипотезы подобия
можно считать однородным и изотропным, для него можно определить
спектр. Следовательно, в нашей уточненной теории можно говорить
об условном значении спектра скорости Е (k) при фиксированном
значении гщ и k^>\/L. Ясно, что
E(^) = Cie?fftft-5/3(P(*4/3ve17n B5.13)
С помощью второй гипотезы подобия обычным образом показывается,
что <р@)=1 при соответствующем выборе постоянной Сг и, значит,
E{k) = Cxz\fkk-bl* при 1/Z<C*<CVV <25л4>
Аналогичным образом могут быть обобщены и все прочие результаты,
содержащиеся в пп. 21.4 — 21.5.
Для получения безусловных статистических характеристик мы
должны осреднить условные значения при фиксированном гг по все-
всевозможным значениям ег. Поскольку е = е (д:, t) практически постоянно
в областях, малых по сравнению с L, то ег = е при r<^L. Поэтому,
если, например, г намного превосходит все реально встречающиеся
значения ч\г (т. е. все значения т]г, за исключением, быть может, не-
некоторой совокупности значений, имеющей пренебрежимо малую сум-

25.3] § 25. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ 525
марную вероятность), то при теоретико-вероятностном осреднении
второй формулы B5.12) мы получим известное соотношение
l B5.15)
Однако в случае статистических характеристик, нелинейно зависящих
от ег, дело обстоит значительно сложнее: здесь уже недостаточно
знать лишь среднее значение ег = е, а нужны какие-то сведения и
о распределении вероятностей величины ег.
25.3. Статистические характеристики поля диссипации
Согласно определению B5.1) поля е(х, t), его статистические
характеристики могут быть выражены через характеристики произ-
производных dui/dxj. Однако распределения вероятностей для производных
скорости, определяемых в основном мелкомасштабными компонентами
турбулентности, пока очень мало изучены. Поэтому при расчете ха-
характеристик поля диссипации приходится исходить из тех или иных
гипотетических статистических моделей и проверять их обоснован-
обоснованность путем сопоставления полученных выводов с имеющимися эмпи-
эмпирическими данными.
Простейшей гипотезой о многомерных распределениях вероятно-
вероятностей поля и(х, t) является предположение, что эти распределения
являются практически нормальными (гауссовскими). При этом пред-
предположении диссипация е(х, t) будет представлять собой величину
с вполне определенным распределением вероятностей, а именно квад-
квадратичную форму от нормально распределенных случайных величин.
Особенно просто в этом случае находится корреляционная функция
пульсаций поля диссипации
Яе'е' (Г) = &ее(г) = [е(* + Г, t)— 1] [е(*. t) — I]
и соответствующий спектр Eee(k). Для подсчета bee(r) здесь надо
воспользоваться формулой, связывающей четвертые моменты гауссов-
ского случайного поля со вторыми моментами (т. е. применить гипо-
гипотезу Миллионщикова). Соответствующие вторые моменты — струк-
структурные функции поля скорости — можно в первом приближении задать
при r<^/n = e-1/4v3/4 и при г^>т] формулами п. 21.4, а в промежу-
промежуточной области г «т] доопределить с помощью какой-нибудь интер-
интерполяционной формулы. После этого можно попытаться оценить влияние
флюктуации диссипации энергии на структурные функции и спектр
скорости, т.е. получить формулы второго приближения для DLL(r)
и Е(к).
Значительная часть такой программы была осуществлена Голи-
Голицыным A962). Им было показано, в частности, что в приближении,
опирающемся на гипотезу Миллионщикова, Ьгг@) = (е — еJ = 0,4е2

526 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [25.3
(т.е. ае«0,6е). Он получил также формулы для функций Ьег(г) и
^ее(*) в инерционном интервале, согласно которым #ее(/*)~г-8/3
и Eee(k)— &5/3. Поскольку спектр Eee(k) возрастает с ростом k,
одномерный спектр Ме)(&). выражающийся через E&>(k) по фор-
формуле A2.13), в принятом приближении в основном определяется зна-
значениями Е(к) при k^\jr\ и в инерционном интервале уже не про-
пропорционален &5/3, а постоянен (Новиков A965)). Голицын A962)
оценил также и дисперсию о\ осредненной по шару диссипации ег.
Значение (егJ/3 в случае гауссовского поля и(х, t) находится слож-
сложнее, но с помощью численного интегрирования можно определить и
его; такой расчет никем не производился, но ясно, что в этом случае
(егJ/3 = /Се2/3, т. е. что соответствующие формулы второго прибли-
приближения для DLL(r) и E(k) (учитывающие флюктуации диссипации)
в инерционном интервале будут отличаться от исходных законов «двух
третей» и «пяти третей» лишь постоянными множителями, не зави-
зависящими от свойств крупномасштабных движений. Это внушает подо-
подозрение в справедливости принятой статистической модели, ибо, как
указывалось на стр. 518, естественно ожидать, что флюктуации дис-
диссипации должны зависеть от числа Рейнольдса. Еще более убеди-
убедительно опровергают эту модель данные измерений Таунсенда A947)
и Бэтчелора и Таунсенда A949), упоминавшиеся на стр. 224, согласно
которым уже одномерные распределения вероятности для производной
скорости в турбулентности за решеткой заметно отличаются от нор-
нормальных, причем можно думать, что с увеличением числа Рейнольдса
отклонение от нормальности должно еще возрастать. Наконец, прибли-
приближенные измерения спектра флюктуации диссипации энергии, выпол-
выполненные Гурвичем и Зубковским A963) и Пондом и Стюартом A965)
(о них мы будем подробно говорить ниже), также привели к резуль-
результатам, резко отличающимся от выводов статьи Голицына (см. также
Новиков A965)). Все это заставляет признать гауссовскую модель
пульсаций скорости непригодной для определения статистических
характеристик диссипации и искать другие модели, приводящие к луч-
лучшему согласию с экспериментом.
Теперь настало время обсудить вопрос о том, в силу каких осо-
особенностей мелкомасштабных компонент турбулентности их распреде-
распределения вероятности оказываются явно негауссовскими. В этой связи
уместно вспомнить об упоминавшихся на стр. 224 данных Бэтчелора
и Таунсенда A949), согласно которым значения эксцесса бл произ-
производных dnu\jdx\ в турбулентности за решеткой растут с ростом /г,
указывая на все большее и большее отклонение соответствующих
распределений вероятностей от нормальных. Напомним также, что
значения Ьп возрастают и с ростом числа Рейнольдса (правда, до-

25.3] § 25. уточнение теории локальной структуры 527
вольно медленно). Аналогичные измерения Бэтчелор и Таунсенд A949)
произвели и в турбулентном следе за цилиндром; при этом они по-
получили такие же качественные результаты и весьма близкие численные
значения 6п (ср. Бэтчелор A953), гл. 8, § 1). С увеличением порядка
производной /г, очевидно, растет относительная роль вклада в ее
значение наиболее мелкомасштабных компонент турбулентности. По-
Поэтому из результатов Бэтчелора и Таунсенда можно сделать вывод,
что эксцесс распределения вероятностей для компонент скорости
фиксированного масштаба растет с уменьшением этого масштаба и
с ростом числа Рейнольдса.
Этот вывод подтверждается и данными Сэндборна A959) и Кен-
Кеннеди и Корсина A961), непосредственно измеривших эксцесс различ-
различных спектральных компонент турбулентности в пограничном слое и
в струе (при относительно небольших значениях числа Рейнольдса).'
В обеих работах использовался набор узкополосных фильтров, позво-
позволяющих выделять вклады в пульсации скорости их от различных
участков спектра. Сэндборн измерил эксцесс колебаний на выходе
различных фильтров в ряде точек турбулентного пограничного слоя
и нашел, что при не слишком большом расстоянии z от твердой
стенки эксцесс полной скорости их практически равен нулю, в то время
как эксцесс колебаний, выделенных фильтром, почти всегда оказы-
оказывается положительным и довольно большим (достигая в отдельных
случаях значений порядка 5 и более). Кеннеди и Корсин произвели
аналогичные измерения в турбулентной струе; они также обнаружили,
что эксцесс полной продольной скорости близок к нулю, а эксцесс
отдельных спектральных компонент положителен и монотонно воз-
возрастает с ростом частоты, отвечающей центру выделяемой спект-
спектральной полосы.
Аналогичные измерения производились также Пондом и Стюар-
Стюартом A965) в приводном слое воздуха на высоте 1 м, являющемся
типичным примером турбулентного пограничного слоя. В этом случае
эксцесс горизонтальной компоненты скорости также оказался мало
отличающимся от нуля, а профильтрованный сигнал, отвечающий ин-
интервалу волновых чисел от 0,03 до 10 см, имел эксцесс, равный 2,2.
Естественно думать, что эксцесс производных скорости или тем-
температуры воздуха вблизи земли или воды должен быть еще заметно
большим, поскольку спектр производных, как мы знаем, имеет мак-
максимум в области волновых чисел порядка 1 см (ср. выше стр. 445).
И действительно, Понд и Стюарт A965), измерившие эксцесс произ-
производной dulfdx1 в приводном слое, нашли, что его величина равна 17!
При этом, по их мнению, полученный результат следует рассматри-
рассматривать лишь как оценку эксцесса снизу, так как динамический диапазон
используемой ими annapatypbi не был достаточно широк, чтобы про-
пропускать без искажения наиболее сильнее выбросы измеряемого сигнала»

528 гл. viii. локально изотропная турбулентность [25.3
Примерно такие же значения эксцесса были получены Гурви-
чем A966) для производной диг1дхх (точнее, для осредненного по
отрезку длиной 8—10 см оси Охх значения du3fdxv где и3—результат
осреднения компоненты uz вектора скорости по вертикальной базе акусти-
акустического анемометра длиной 5 см) при измерениях в приземном слое возду-
воздуха на высоте 4 м. По его оценкам, в этом случае Ьхж 15-г-22, причем
полученные значения, по-видимому, также являются оценкой снизу
истинного эксцесса производной du3(dxv Еще ббльщие значения были
получены (при помощи довольно грубых оценок; см. ниже стр. 542)
Гурвичем A967) для эксцесса двух эмпирических распределений
вероятностей пульсаций градиента температуры дТ\дхх (точнее, раз-
разности значений температуры в двух близких точках): в одном случае
этот эксцесс имел порядок 15, а в другом приближался к 1400! По-
Последняя цифра, разумеется, пока должна считаться мало надежной,
но тем не менее она заставляет думать, что истинная величина эксцесса
производных гидродинамических полей при большом Re может ока-
оказаться чрезвычайно большой.
Положительное значение эксцесса показывает, что соответствующее
распределение является «менее плоским», чем нормальное, т. е. гра-
график его плотности имеет более высокую и острую центральную часть
и более вытянутые «хвосты», чем график нормальной плотности
с той же дисперсией. Иначе говоря, при большом положительном
эксцессе значения случайной величины как бы концентрируются в от-
отдельных областях: очень большие или очень малые значения, а также
значения, близкие к наиболее вероятному, для нее более вероятны,
чем в случае нормального распределения с той же дисперсией, а про-
промежуточные значения — менее вероятны. В частности, простая модель
распределения с положительным эксцессом получается, если принять,
что рассматриваемая величина с конечной вероятностью р0 принимает
нулевое значение и лишь с вероятностью 1—р0—ненулевые значения,
имеющие нормальное распределение вероятностей. В такой сме-
смешанной дискретно-непрерывной модели эксцесс определяется форму-
формулой б=3/?0/A—/70), так что, выбрав р0 достаточно близким к еди-
единице, мы можем сделать б сколь угодно большим. Интерпретация
положительных значений эксцесса с помощью «смешанного распре-
распределения» качественно согласуется с результатами выполненных Бэт-
челором и Таунсендом A949) и Сэндборном A959) непосредственных
наблюдений пульсаций различных производных скорости и отдельных
ее спектральных компонент на экране осциллографа. Эти наблюдения
показали, что изучаемые колебания характеризуются чередованием
сравнительно длительных периодов относительного покоя (в течение
которых пульсации очень малы) и периодов повышенной активности
(в течение которых наблюдаются значительные пульсации обычного
для турбулентности характера). Таким образом, наблюдения? о которых

25.3] § 25. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ 529
идет речь, создают впечатление, что распределение мелкомас-
мелкомасштабной турбулентности во времени и в пространстве крайне нерав-
неравномерно и имеет явно выраженный перемежающийся характер.
Под этим словом мы понимаем тенденцию мелкомасштабной турбу-
турбулентности концентрироваться в отдельные «сгустки», окруженные
обширными областями течения, в которых присутствуют лишь гораздо
более плавные крупномасштабные возмущения. С убыванием масштаба
и ростом числа Рейнольдса эффект перемежаемости, по-видимому,
становится все более и более ярко выраженным.
В конце п. 5.9 части 1 мы уже подчеркивали, что перемежаю-
перемежающаяся турбулентность наблюдается очень часто и играет важную
роль в процессе перехода ламинарных течений в турбулентные, во
внешних областях турбулентного пограничного слоя и во всевозмож-
всевозможных свободных турбулентных течениях. Теперь мы видим, что пере-
перемежаемость распространена значительно шире, чем это указывалось
в части 1, и играет еще более важную роль. Приведенные выше
данные делают правдоподобным представление, согласно которому
мелкомасштабная турбулентность почти всегда или даже всегда
является перемежающейся (в частности, опыты Сэндборна показали,
что в турбулентном пограничном слое мелкомасштабная турбулент-
турбулентность оказывается перемежающейся, начиная практически от самой
стенки, в то время как полное поле скорости имеет такой характер
лишь на значительных расстояниях от нее). Есть основания предпо-
предполагать также, что с ростом числа Рейнольдса интервал масштабов
(или волновых чисел), для которых имеет место заметная перемежае-
перемежаемость, все более и более расширяется. С этим предположением, в
частности, хорошо согласуется то обстоятельство, что в природных
турбулентных течениях, характеризуемых особенно большими Re,
а именно в свободной атмосфере и в океане, многими авторами от-
отмечалось наличие чередующихся областей интенсивной турбулентности
и областей относительного покоя, т. е. перемежаемость даже и воз-
возмущений, содержащих основную долю энергии турбулентности (см.,
например, Кречмер, Обухов и Пинус A952) или Грант, Стюарт и
Моильет A962)).
Наличие перемежаемости делает распределения вероятности для
мелкомасштабных компонент турбулентности существенно негауссов-
скими; оно, бесспорно, должно учитываться в статистических моде-
моделях, предлагаемых с целью учета флюктуации диссипации e(JC, t).
Первые модели распределения вероятностей для мелкомасштабного поля
скорости, учитывающие эффект перемежаемости, были предложены
в работе Таунсенда A951а), о которой шла речь на.стр. 392—393.
В основной модели Таунсенда мелкомасштабная турбулентность кон-
концентрируется в тонких «вихревых слоях», разделенных гораздо бо-
более толстыми слоями жидкости, в которых мелкомасштабные возму-
возмущения отсутствуют. Позже Корсин A962в) использовал эту модель
34 А- С. Монян, Д. М. Яглоад

530 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [25.3
для расчета флюктуации диссипации, дополнив ее предположением,
что слои, в которых нет мелкомасштабных возмущений (и, следова-
следовательно, не происходит диссипации энергии), при очень большом Re
имеют толщину порядка внешнего масштаба турбулентности L, а «вих-
«вихревые слои» —порядка внутреннего масштаба i\ = v^4e-l^4<^L. От-
Отсюда вытекает, что области, в которых сосредоточена практически
вся диссипация, при большом Re имеют объем, отношение которого
к полному объему, заполненному жидкостью, имеет порядок v)l(L-\-vi)^
«T]/Z,; поэтому среднее значение диссипации в этих областях 8 должно
иметь порядок е(?/т]). Если предположить, что в пределах вихре-
вихревого слоя производные от скорости имеют нормальное распределе-
распределение вероятностей, то среднеквадратичное значение пульсаций дисси-
диссипации в таком слое будет примерно равно 0,6 8 (ср. изложение ре-
результатов Голицына на стр. 525—526); однако, поскольку предположе-
предположение о нормальности нельзя считать обоснованным, имеет смысл считать
это среднеквадратичное значение равным Ле, где Л — неизвестная
постоянная порядка единицы. Осреднив значения е2(х, t) по всему
объему жидкости, мы найдем, что дисперсию диссипации можно оце-
оценить по формуле
так что ое = (82 —8?I/2 «^ A + ^2I/2 ^(?/ЛI/2 — это и есть основной
результат Корсина. Вспомнив, что ?/Л~ Re3/4 в силу формулы B1.6),
получаем соотношение ае/е—Re3'8, иллюстрирующее зависимость
пульсаций диссипации в модели Таунсенда — Корсина от числа Рей-
нольдса.
То обстоятельство, что статистические характеристики поля 8 (л:, t)
оказываются зависящими от характеристик крупномасштабных движе-
движений — масштаба L или числа Рейнольдса Re, — согласуется с общими
физическими представлениями и соответствует тому, чего следовало
ожидать. Однако используемая здесь модель не может считаться вполне
удовлетворительной, так как она опирается на произвольные допуще-
допущения, не подкрепляемые проверенными экспериментальными фактами.
Более того, некоторые количественные выводы, вытекающие из этой
модели, противоречат имеющимся эмпирическим данным. А именно,
пространственный спектр флюктуации диссипации здесь определенно
не совпадает с результатами, полученными в опытах Гурвича и Зуб-
ковского A963, 1965) и Понда и Стюарта A965). К описанию этих
результатов мы теперь и перейдем.
Для экспериментального определения мгновенных значений 8, оче-
очевидно, необходимо одновременно измерить значения всех производ-
производите dujdxj, входящих в правую часть B5.1). Эта задача технически

25.3] § 25« УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ 531
крайне сложна. Сравнительно просто могут быть измерены лишь
производные в направлении среднего потока, которые, опираясь на
гипотезу Тэйлора о замороженной турбулентности, можно отождест-
отождествить с производными по времени. Заметим еще, что на значения
производных скорости существенно влияют пульсации порядка внут-
внутреннего масштаба турбулентности tj, так как спектр этих производ-
производных имеет максимум вблизи волнового числа, имеющего порядок
k =rp1 = (e/v3I/4. Для измерения таких мелкомасштабных движений
требуются очень миниатюрные датчики, преобразующие пульсации
скорости в пульсации силы тока, и аппаратура с крайне высокой
чувствительностью и очень малой инерцией.
В связи с трудностью одновременного измерения всех компонент
тензора дщ\дх^ Гурвич и Зубковский A963) попробовали определить
общий характер спектра поля e(jc, t) в приземном слое воздуха (на
высоте 4м) по результатам измерений одной лишь производной
duz/dxl^=dwldx (т. е. производной вертикальной компоненты ско-
скорости в направлении ветра). Известно, что для локально изотроп-
изотропной турбулентности е =-—-(dw/дл:J (см. формулы B1.16) и B1.19')).
Естественно думать, что и все статистические характеристики пуль-
пульсаций е и пульсаций величины е„. = —/—~) == — (•=?—) (являю-
w 2 \дх ] 2 \udtj
щейся одним из слагаемых, входящих в е) должны иметь примерно
одинаковый характер и отличаться лишь какими-то числовыми мно-
множителями. В частности, естественно думать, что спектры величин е
и ew по форме не должны существенно различаться между собой.
Из этого предположения и исходили Гурвич и Зубковский.
С помощью акустического анемометра (описанного на стр. 439
части 1), электрического дифференциатора, квадратора (ток на вы-
выходе которого равен квадрату тока на входе) и спектрального ана-
анализатора Гурвич и Зубковский измерили временной спектр пуль-
пульсаций еш:
оо
О
—ej[e»(*+T)—ijcos©тdx.
где черта сверху теперь означает осреднение по времени. При этом,
однако, за счет конечных размеров базы акустического анемометра
и диаметров излучателей и приемников, а также из-за инерции ис-
используемой аппаратуры (характеризуемой постоянной времени п<>
рядка 0,01 сек) получаемое значение w на самом деле соответство-
соответствовало среднему значению вертикальной скорости в пределах паралле-
параллелепипеда с размерами вдоль осей Ох, Оу и Oz порядка 5, 0, 5 и 4 см.
Всего в ходе измерений, о которых идет речь, было получено восемь
спектров Ег (со) с интервалом осреднения 10 мин каждый. После
34"

532 гл. viii. локально изотропная турбулентность [25.3
их нормировки на t2w и перехода от частоты а> к волновому числу
& = со/лГвсе полученные спектры сгруппировались около одной кри-
кривой, соответствующей примерно степенной зависимости одномерного
спектра E[e^)(k) от k в широком диапазоне волновых чисел (см.
рис. 102, на котором нанесены осредненные данные всех восьми из-
измерений). Показатель степе-
степени (рассчитанный по методу
наименьших квадратов для
участка спектра от k = 0,02
и до к~\00м~1) оказался
весьма близким к —0,6,
так что, согласно получен-
полученным данным,
4 w'€w
10
W*
Ю'3
§
I
t
О
s s
«
f
в
о
Од
t
О
г —0,6-
B5.16)
Q003H01Q030J 0,3 1,0 3,0 ЩО Щ0100 к,м
Рис. 102. Спектр ?<е)
Зубковскому A963).
Практически тот же резуль-
результат получился и при повто-
повторении описанных измерений
летом .1964 г. (см. Гурвич
и Зубковский A965)).
При интерпретации по-
полученных результатов наибо-
(k) по Гурвичу и лее неприятным обстоятель-
обстоятельством является приборное
осреднение измеряемой вели-
величины w по объему, размеры которого превосходят внутренний масш-
масштаб турбулентности ц в приземном слое. Аккуратный теоретический
учет влияния этого осреднения на спектр величины (dw/dxJ связан
с очень большими трудностями и требует детальных сведений
о четвертых моментах поля скорости, отсутствующих в настоящее
время. Тем не менее кажется малоправдоподобным, чтобы одно это
влияние могло уже объяснить резкое качественное отличие между
спектром f(ew)(^) рис. 102, пропорциональным А~0>6, и не убываю-
убывающим с ростом k спектром флюктуации диссипации энергии, рассчи-
рассчитанным исходя из предположения о равенстве нулю четвертых семи-
семиинвариантов поля скорости или исходя из модели Таунсенда — Кор-
сина. Последний вывод подкрепляется также результатами более тон-
тонких измерений спектра (dujdx^2, проведенных Пондом и Стюартом
A965) (см. также Понд A965)).
Понд и Стюарт использовали термоанемометр с миниатюрной пла-
платиновой нитью (толщина порядка 8 мкм, длина около 1 мм) и с его
помощью измерили пульсации продольной компоненты скорости ветра
и в приводном слое воздуха (на высоте 1 м #ад поверхностью мор-

25.3]
§ 25. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
533
ского залива). В этих опытах приборное осреднение, создаваемое
конечными размерами датчика и инерционностью аппаратуры, было
много меньшим, чем в опытах Гурвича и Зубковского, и поэтому
пульсации dujdt здесь уже регистрировались без искажения в интер-
интервале волновых чисел, простирающемся от к = 0,01 см и примерно
до к = 10 см. Известно, что в приводном слое воздуха в этом интер-
интервале сосредоточен практически весь спектр производных скорости (см.,
например, данные Понда, Стюарта и Берлинга A963) и Понда, Смита,
Хэмблина и Берлинга A966), .«
о которых шла речь в п.п. 23.3 ' г
и 23.4. Поэтому можно считать,
что значения
v / да \
по
W?tfSu)(k)
данным указанных измерений
можно было восстановить без
заметного искажения. .Значения
четырех отдельных спектров
?(8«)(?) величины еи, найден-
найденные Пондом и.Стюартом, пред-
представлены на рис. 103 (орди-
(ординаты спектров здесь нормирова-
нормированы на величину E[B*)(l0~l)ll0,
10
к,
у [()l
т. е. таким образом, чтобы Рис. 103. Спектр E^u\k) по Понду и
прямые, аппроксимирующие по- Стюарту A965).
лученные спектры в логариф-
логарифмическом масштабе и рассчитанные по методу наименьших квад-
квадратов, все проходили через точку A0~\ 10)). Как видно из этого
рисунка, полученные спектры также хорошо описываются степенной
зависимостью, причем показатель степени в интервале волновых чи-
чисел, удовлетворяющих неравенству Аг^4,5, где z — высота точки
наблюдения (и поэтому, бесспорно, относящихся к области локаль-
локальной изотропии; ср. выше стр. 431), и здесь оказался весьма близким
к —0,6. Таким образом, согласно данным Понда и Стюарта
Е(е«)(к)~к-°>6. B5.160
Однако точное совпадение показателей в формулах B5.16) и B5.160.
по-видимому, является в какой-то мере случайным, так как измере-
измерения Гурвича и Зубковского сопровождались много большим при-
приборным осреднением, а интервал волновых чисел, для которого было
получено соотношение B5.16), охватывает гораздо большие масш-
масштабы, чем тот, к которому относится формула B5.160, и может
уже охватывать и часть не локально изотропных возмущений. Для
того чтобы получить более точное соответствие с данными Гурвича
и Зубковского, Понд и Стюарт пропустили сигнал с термоанемометра,

534 гл. viii. локально изотропная турбулентность [25.3
пропорциональный ди/дх, через специальный фильтр (оказы-
(оказывающий влияние, качественно близкое к влиянию приборного осред-
осреднения, создаваемого акустическим анемометром) и лишь затем воз-
возвели этот отфильтрованный сигнал в квадрат и определили его спектр.
При этом, однако, их результаты оказались уже более далекими от
тех, которые описывались формулой B5.16) (показатель степени для
полученного спектра теперь стал близок к —0,4); кроме того, эта
операция привела к резкому уменьшению абсолютной величины спек-
спектра ?(8в\ Оба эти обстоятельства могут быть поняты лишь тогда,
когда будут известны распределения вероятностей для четвертых мо-
моментов градиентов скорости; поэтому полное истолкование резуль-
результатов описываемых экспериментов остается делом будущего. При
этом надо также помнить, что Понд и Стюарт измеряли все же дру-
другую величину, чем Гурвич и Зубковский (а именно ди/дх, а не
dw/dx), и что аналогия между их фильтром и приборным осредне-
осреднением акустического анемометра имеет лишь качественный характер.
В этой связи различие между показателями —0,6 и —0,4 нельзя
считать слишком большим.
Ясно, что данные Понда и Стюарта и тем более Гурвича и Зуб-
ковского не позволяют вполне надежно установить форму спектра
флюктуации диссипации энергии е(х, t). Однако эти данные дают
веские основания считать, что, по-видимому, одномерный спектр
Ef\k) является в инерционном интервале примерно степенным и убы-
убывающим с ростом к, причем соответствующий показатель степени
вероятно не очень сильно отличается от —0,6. Построению про-
простой модели пространственного распределения диссипации энер-
энергии е(х), учитывающей эффект перемежаемости и позволяющей объ-
объяснить такую форму спектра E^(k), посвящена работа Новикова и
Стюарта A964). Согласно их схеме, если выделенный в потоке куб
с ребром Lo (порядка внешнего масштаба L) разбить на п^>\ рав-
равных меньших кубов (с ребрами Lx = Lon~ltz)t то вся диссипация бу-
будет практически сосредоточена в каких-то т<^п из них и будет
отсутствовать во всех остальных. При этом было принято предпо-
предположение, что т объемов, в которых сосредоточена вся диссипация,
распределены в пространстве совершенно случайно и на каждый из
них приходится одна и та же доля полной диссипации. Новиков и
Стюарт предположили далее, что в каждом из этих т объемов тур-
турбулентность снова распределена неравномерно, причем эта неравно-
неравномерность имеет такой же характер, как и в большом кубе с реб-
ребром Ц. А именно, в пределах каждого из т «кубов первого по-
порядка» с ребром Lx диссипация предполагалась сосредоточенной лишь
в каких-то случайно выбранных т «кубах второго порядка» с реб-
ребром L2 = ?itt*/3 = А)Я~2/3' причем в каждом, из них она опять-таки
считалась одинаковой. Аналогичное предположение делалось о рас-

25.3] § 25. уточнение теории локальной структуры 535
пределении диссипации в пределах каждого из «кубов второго по-
порядка» и т. д. вплоть до кубов столь высокого порядка st что для
них уже существенна молекулярная вязкость (т. е. имеющих линей-
линейные размеры Ls = L0/t—'& = тH, которым отвечает число Рейнольдса
порядка единицы). В этих «наименьших кубах» диссипацию уже можно
считать распределенной равномерно.
Средний квадрат диссипации в модели Новикова — Стюарта удо-
удовлетворяет соотношению е2 = е21—) — е2 (Lolr\ofg, где q = 1 — j
так что 0 < q < 1. Аналогично е2/3 = е2/31 —) —е
Однако основное внимание Новиков и Стюарт уделили расчету кор-
корреляционной функции bee(r) = Be'e' (r) и одномерной спектральной
плотности E{\\k) в инерционном интервале. С этой целью они рас-
рассмотрели одномерную картину распределения диссипации вдоль вы-
выделенной прямой (оси Ох). В первом приближении распределение
диссипации вдоль оси Ох представлялось в виде совокупности прямо-
прямоугольных «импульсов» длительности Я,1 и амплитуды Av со средним
расстоянием между импульсами, равным lv В у-м приближении дис-
диссипация представлялась сосредоточенной (и принимающей постоянное
значение Aj) на некотором множестве «интервалов у-го порядка»
длины А,у, случайно разбросанных внутри каждого из «интервалов
(У—1)-го порядка» (длины Лу^), так что среднее расстояние между
ними равно /у. Для всех приближений, на которых еще не сказы-
сказывается вязкость (т. е. А,у > тH), предполагались выполняющимися
следующие соотношения подобия:
±= =^.= -а<м
/ • • • /. • • • ** ^ь^ х»
Т-= ... =-5Г-= ... =РО
В таком случае е = Л1а= ... =Луау= ... и Яу = Я1р^". Кор-
Корреляционная функция fteetO и спектр М8)(*) в такой модели в пре-
пределах инерционного интервала имеют вид
6ее(г)=С?а (г/ХгГ* ~г~», Ме) (k) = C^a^Xi (kh)~l+* ~> *+й.
B5.18)
где С и Сх — некоторые постоянные и
f 0<(i<l. B6.19)
Спектр B5.18) согласуется с экспериментальными результатами B5.16)
ц B5.16х), если принять, что (х^0,4.

536 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [25.3
Порядок величины минимального масштаба тH неоднородностей
диссипации (лимитируемого вязкостью) при учете флюктуации дисси-
диссипации может быть отличным от T)»=v3/4e*~1/4. Новиков и Стюарт
определили ТЬ252^. исходя из требования, чтобы число Рейнольдса,
построенное по длине Xs, диссипации энергии Л5 = есГ"у и коэффи-
коэффициенту вязкости v, имело порядок единицы. Поскольку As^>e, при
этом TH = A,5 = v3/4i471/4 оказалось заметно меньшим, чем г).
Модель Новикова и Стюарта, разумеется, очень груба и может
претендовать лишь на качественное согласие с реальным распределе-
распределением диссипации в турбулентном потоке. Многие предположения здесь
введены лишь для упрощения и вовсе не являются необходимыми. Можно
предложить также ряд более общих моделей, приводящих практически
к тем же результатам. Некоторые из таких моделей подробно иссле-
исследовались Новиковым A965, 1966). В этих работах случайное
поле е(дг) на прямой —оо < х < оо определялось как предел по-
последовательности случайных функций еДлг), у = 1, 2, ..., состоя-
состоящих из отдельных импульсов. При некоторых специальных предпо-
предположениях о соответствующих импульсах для такой модели также
оказались справедливыми формулы вида B5.18). Другая схема мате-
математического описания «перемежающихся» случайных функций типа
тех, которые рассматривались Новиковым и Стюартом A964) и
Новиковым A965, 1966), была развита (в связи с другими задачами)
Мандельбротом A965, 1967). Близкие формулы могут быть, однако,
получены и без предположения, что распределение е(х) имеет «им-
«импульсный характер». Это обстоятельство следует из общей модели
«дробления турбулентных образований», описанной Яг ломом A966),
но неявно содержащейся уже в гипотезах, принимавшихся в работах
Обухова A962а, б) и Колмогорова A962а, б).
В этих работах использовалось ранее не упоминавшееся нами
предположение о том, что диссипация г(х, t) имеет логарифмически
нормальное распределение вероятностей (т. е. что lne распределен
по нормальному закону). Кроме того, предполагалось, что дисперсия
величины In e (jc, t) при больших числах Рейнольдса имеет вид
<г~А'(*> O + U'ln^/n). B5.20)
где L и rj — внешний и внутренний масштабы турбулентности,
|j/ — универсальная постоянная, а слагаемое A'(xt t) может зависеть
от характеристик крупномасштабных движений. Аналогично этому
логарифм осредненной по сфере радиуса г/2 диссипации гг также
считался имеющим нормальное распределение с дисперсией вида
B5-200
где \х— универсальная постоянная, а А(х, ?) может зависеть от
макроструктуры

25.3] § 25. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ 537
Для оправдания этих предположений Обухов сослался на работу
Колмогорова A9416), в которой было показано, что логарифмически
нормальное распределение асимптотически соответствует распределе-
распределению по размерам частиц, получаемых в результате ряда последова-
последовательных независимых дроблений. Такой процесс последовательного
дробления может служить естественной моделью каскадного процесса
последовательного порождения все меньших и меньших турбулентных
образований, описанного в п. 21.1. Учитывая, что детали этого кас-
каскадного процесса нам неизвестны, мы, следуя работе Яг лома A966),
ограничимся рассмотрением лишь простейшей схемы дробления, имея
в виду, что на самом деле излагаемые ниже результаты могут быть
получены и при значительно более общих предположениях.
Пусть е — это средняя диссипация энергии в пределах куба
с ребром Lo порядка внешнего масштаба L. Величина е определяется
характеристиками крупномасштабного движения и по порядку вели-
величины совпадает с (Д?/K/? (см. сноску на стр. 318). Разобьем исходный
куб на произвольное число п меньших кубов с ребрами Lx = LQn~ltz.
В отличие от Новикова и Стюарта, мы не будем считать, что диссипация
сосредоточена лишь в небольшом числе из этих «кубов первого
порядка», а примем, что диссипация, осредненная по объему каждого
из них, представляет собой случайную величину с одним и тем же
распределением вероятностей (и средним значением е). Каждый из
«кубов первого порядка» разобьем далее на п «кубов второго по-
порядка» (с ребром L2 = Lon~2/3), затем аналогичное разбиение произ-
произведем с каждым «кубом второго порядка» и т. д. Такой процесс
последовательного разбиения кубов в какой-то мере соответствует
каскадному процессу дробления турбулентных вихрей. В соответствии
с автомодельностью каскадного процесса предположим, что при
Lj=Lon~№<^iL условное распределение вероятностей диссипации
энергии, осредненной по объему куба j-го порядка, при условии,
что значение диссипации, осредненной по объему охватывающего
его куба (/—\)-го порядка, фиксировано, одинаково для всех
кубов j-го порядка и не зависит от номера j до тех пор, пока
не начнет непосредственно сказываться молекулярная вязкость.
Это предположение родственно предположению B5.17), принимав-
принимавшемуся Новиковым и Стюартом, но имеет значительно более общий
характер.
Обозначим символом Ej значение диссипации энергии, осредненной
по объему куба у-го порядка, а символом ^у = ^у(еу_1) безразмерную
случайную величину 8у/8у-,1, где значение 8у_х фиксировано. Согласно
сделанному предположению распределение вероятностей величины ej
при л~^/3^> 1 не зависит от номера j и является универсальным,
пока не вступает в действие вязкость (т. е. пока ^i==

538 гл. viii. локально изотропная турбулентность [25.3
или, иначе, пока /<С!3 In (L0[x\0) jinn, где тH — масштаб наибольших
возмущений, подверженных действию вязкости). Тогда имеем
ej=eele2 ... ejt B5.21)
где все ev ..., ?у, кроме нескольких первых из них, при
<^ 3 In (Lolt]o)l\n n—независимые одинаково распределенные случайные
величины. Будем считать, что случайная величина In ek имеет конеч-
конечные среднее значение те и дисперсию о* (это предположение не
кажется слишком ограничительным, хотя оно и не выполняется
в модели Новикова и Стюарта и вообще в любой модели, в кото-
которой ek с конечной вероятностью обращается в тождественный нуль).
Согласно B5.21)
F *y, B5.22)
где все величины \nev ..., ln#y, за вычетом небольшого числа первых
*из них, —независимые случайные величины со средним значением/^
и дисперсией с^. В силу центральной предельной теоремы теории
вероятностей отсюда вытекает, что при 1 <^ у <^ 3 In (L0/r\0)l\n n
величина 1пву будет иметь практически нормальное распределение
вероятностей со средним значением nij и дисперсией оЯ, где
nij^lnJ+Aiix, t) + jme, о)=А(х, t)-\-jo2e, B5.23)
а слагаемые Ах(х, t) и А(х, t) возникают из-за неуниверсальности
распределений нескольких первых слагаемых. Иначе говоря, величина ву
будет иметь плотность вероятности вида
Aплг—т/J1
B524)
Для среднего значения величины е^ отсюда получается формула
Ц = J *qPj (х) dx = ехр [qmj + Ц1-). B5.25)
Но при q = 1 величина ву = е = ехр (т. -f- оУ2\ не должна зависеть
от J, откуда видно, что
те = — °Ц2- B5.26)
Величина Ej представляет собой значение диссипации, осредненное
по объему куба с ребром Lj = Лоп~Мг (так что У = 3 —р^—).
Естественно думать, однако, что такие же рассуждения могут быть

25.3] § 25. уточнение теории локальной структуры 639
применены и к объемам любой другой фиксированной формы, и во
всех случаях условное распределение вероятностей диссипации,
осредненной по объему VJt при условии, что фиксировано значе-
значение диссипации, осредненной по охватывающему Vj объему Vj^,
будет универсальным и зависящим только от отношения соот-
соответствующих объемов. Поэтому под Ej можно с тем же правом
понимать и диссипацию eL , осредненную по объему шара радиуса
Z,y/2. Отсюда вытекает, что для расстояний г из инерционного интер-
интервала A)^>r^>r)o величина ег должна иметь логарифмически нор-
нормальное распределение вероятностей с дисперсией вида B5.20'). При
этом универсальная постоянная \л в B5.20') оказывается связанной
с дисперсией о2е соответствующей величины \nek (отвечающей шаро-
шаровым объемам) соотношением \i = 3olj\nn. Слагаемое А(х9 t), кото-
которое возникает из-за того, что при Z0 = Z, первые несколько этапов
разбиения не автомодельны, определяется макроструктурой потока.
Аналогично этому формула вида B5.20) получается исходя из при-
приближенного предположения, что процесс последовательного автомодель-
автомодельного разбиения объемов можно продолжить вплоть до объемов 5-го по-
порядка с линейным размером Ls порядка т]0 ^ т], а внутри этих объемов
s-го порядка диссипацию допустимо считать распределенной равно-
равномерно.
В силу формул B5.20') и B5.23) — B5.26) дисперсия величины гг
определяется асимптотическим соотношением
где коэффициент С = С(х, t) может зависеть от макроструктуры по-
потока. Аналогично этому при предположениях, приводящих к B5.20),
для дисперсии величины е = е(д;, t) получается формула
о\ж&жС'?(ЩТ B5.28)
(где С также зависит от макроструктуры). Таким образом, при очень
большом числе Рейнольдса Re = (Z,/tjL/3 дисперсия о\ также очень
велика. Поэтому распределение турбулентности в пространстве при
большом Re будет очень неравномерным; такая сильная неравномер-
неравномерность должна создавать впечатление резкой перемежаемости турбу-
турбулентных возмущений.
Рассчитаем корреляционную функцию bet(r) и одномерный спектр
))» отвечающие рассматриваемой схеме последовательных незави-
независимых дроблений турбулентных образований. Будем для определен-
определенности исходить из простейшей модели деления кубического объема
с ребром Lo на все меньшие и меньшие кубы с ребрами Lj = Lon~№,
/=*=1, 2, — Пусть х и #/я=--#-|~г — две точки на расстоянии г

640 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [25.3
друг от друга; можно считать, что они находятся в одном кубе по-
порядка / —31п(?0/г)/1пл, но в различных кубах всех последующих
порядков. При этом значения е(х) и &(х) будут равны г(х) =
=ге1 .;. ejej+i • • • es и г(х') = еех ... ?у?у+1 ... e's, где первые
/ + 1 множителей в обоих случаях совпадают, a et и е[ при />/+ 1
представляют собой одинаково распределенные, но разные, случайные
величины со средним значением, равным единице. Вообще говоря, ве-
величины е, г и е'. г будут слабо зависимыми между собой (ибо они
определяют средние значения диссипации в двух разных частях одного
и того же куба /-го порядка), а^и^с/>/+1 — независимыми.
Поэтому условное среднее значение произведения е (х) г (х') при фикси-
фиксированном значении е;. = е/. будет отличаться от г2 лишь числовым
множителем е,+гег, г (по-видимому, близким к единице). Осреднив
теперь указанное среднее значение по всевозможным значениям е^ = ег,
мы придем к родственным B5.27) асимптотическим соотношениям:
г(х)г(х~\-г) = const. Ц ж С?(Ljrf B5.29)
и
7? B5.290
при L^>r^>y] (для одномерной модели последний результат сразу еле-
дует и из простой формулы е (л: + г) г (х) = -^ -jy (г2 е2\ связываю-
связывающей корреляционную функцию стационарного процесса е (л:) со средним
г
квадратом значения ег —— e(x)dx, осредненного по отрезку дли-
о
ны г). Корреляционной функции B5.29') в инерционном интервале
волновых чисел 1/?<С^&<^ 1/rj соответствует одномерный спектр
вида
Ef\k) « C^L {kL)-l^~k-l+». B5.30)
Спектр B5.30), очевидно, согласуется с имеющимися эмпирическими
данными, причем с учетом этих данных можно ожидать, что н^0,4.
Вывод о логарифмически нормальном распределении вероятностей
для величины ег, очевидно, имеет очень общий характер и не связан
с предположением о том, .что каскадный процесс последовательных
дроблений турбулентных неоднородностей прртекает строго авто-
модельно. В самом деле, для применения центральной предельной тео-
теоремы к правой части равенства B5.22) не требуется, чтобы все (или
почти все) слагаемые этой части были одинаково распределены. Един-
Единственное, чего надо требовать? это чтобц имелось достаточное число

25.3]
§ 25. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
541
независимых (или хотя бы слабо зависимых) дроблений и чтобы по-
порядки величин соответствующих слагаемых \nek не слишком резко
отличались друг от друга. Поэтому следует ожидать, что логариф-
логарифмически нормальное распределение вероятностей будет иметь место
для широкого круга положительных статистических характеристик
турбулентных пульсаций, порожденных каскадным процессом дроб-
дробления того или иного типа (ср. Гурвич и Яглом A967)).
Таким образом, рассуждения, примененные выше к пульсациям дисси-
диссипации г(х, t), можно применить и к другим локальным характеристикам
турбулентных пульсаций в потоке
с большим Re, например к ве-
v / dw \2
. — -=• I -^— I и е„ =
личинам еи
ди\2
или
д2и
или
и
где
/ = | /1 фиксировано и не слиш-
слишком велико (например, принадле-
принадлежит инерционному интервалу). По-
Последнее замечание позволяет объяс-
объяснить результаты Гурвича A966,
1967) (см. также Гурвич и Яглом
A967)), эмпирически определив-
определившего распределение вероятностей
для величин (Д,ГJ (где / « 2 см), Рис- 104- Распределение вероятно-
\2 /лт \2 / /Г \2 стей для кваДРата разности темпера-
I ~и2\—-\ и (—-) (гке ТУР в ДВУХ близких точках по Гур-
) и \дх ) и \dt ) ^1ДС вичу A967).
w — осредненные значения верти-
вертикальной скорости w, я величина -~^ была дополнительно осреднена по
отрезку оси Ох за счет конечной инерции прибора). В работе
Гурвича A967) были обработаны два отрезка записи ?(?) разности
показаний пары миниатюрных термометров сопротивления (с воль-
вольфрамовой проволочкой толщиной 5 мкм и длиной около 3 мм),
пропорциональной величине А{Г. С помощью несложного устройства
Гурвич определил значения вероятностей Р(х) = Р [I2(t)< x} для
ряда значений х. При этом оказалось, что распределение вероятно-
вероятностей для величины |2 хорошо аппроксимируется логарифмически
нормальным распределением (см. рис. 104, где система координат
выбрана так, что логарифмически нормальным распределениям вероят-
вероятностей соответствуют прямые линии). Изученный диапазон значений
вероятности Р (простирающийся примерно от 0,002 и до 0,998) ока-
оказался недостаточным для непосредственного надежного определения
третьего и более высоких моментов величины |. Предположив, однако,

542 ГЛ. VIII» ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [25.4
что логарифмически нормальное распределение имеет место на всем
диапазоне значений ?, Гурвич получил те два значения эксцесса вели-
величины Aj7\ о которых упоминалось на стр. 528. В работе Гурвича и
Яг лома A967) приведены результаты аналогичной обработки записи
значений -зг- = ii. полученной в ходе регистрации пульсаций силы
тока на выходе автоматического дифференциатора, на вход которого
подавался сигнал, снятый с вынесенного в атмосферу термометра со-
сопротивления (того же типа, что и термометры, использовавшиеся Гур-
вичем для измерения Д^Т). В данном случае также распределение \г
оказалось явно негауссовским, но распределение вероятностей для
-^jj (родственной A^ = x(VrJ) оказалось также
хорошо аппроксимирующимся логарифмически нормальным распре-
распределением во всем исследованном диапазоне изменения этой величины.
Наконец, в работе Гурвича A966) были обработаны данные о значе-
значениях несколько более грубой характеристики, а именно сглаженной
^ „ dw dw
за счет приборного осреднения величины производной я
где w — сигнал, снятый с акустического анемометра с вертикальной
базой порядка 5 см. Здесь уже эмпирическое распределение вероят-
вероятностей для найденных значений (~н (оказывающихся из-за осред-
осреднения сравнительно близкими к Д^, где / « 10 см) менее точно
совпало с логарифмически нормальным распределением, чем в случаях,
описанных выше, но тем не менее отклонения и этого распределения
от логарифмически нормального в исследованном диапазоне значений
вероятности были относительно невелики. Поэтому все перечислен-
перечисленные результаты можно рассматривать как первое (пока еще довольно
грубое) экспериментальное подтверждение справедливости изложенных
выше рассуждений, применение которых к величине е привело нае
к формулам B6.20), B5.200 и B5.290, B5.30).
25.4. Уточненная форма статистических характеристик
мелкомасштабной турбулентности
Вернемся теперь к вопросу о влиянии флюктуации диссипации
энергии на статистические характеристики локально изотропной тур-
турбулентности. Для учета этого влияния надо использовать уточненные
гипотезы подобия, сформулированные на стр. 523, и принять какие-то
статистические гипотезы о флюктуациях диссипации; только после
этого можно рассчитывать на получение конкретных результатов, до-
допускающих сопоставление с эмпирическими данными.
Примем в добавление к уточненным гипотезам подобия статисти-
статистические гипотезы, выделенные курсивом на стр. 537 и 539. Иначе

25.4] § 25. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ 543
говоря, будем считать, что справедливы формулы B5.20), B5.20')
и B5.25) — B5.30). В таком случае легко найти поправки к стати-
статистическим характеристикам турбулентности в инерционном интервале,
вызываемые флюктуациями диссипации энергии. Например, осредняя
первую формулу B5.12) по значениям случайной величины ег (и счи-
считая г намного превосходящим все сколько-нибудь вероятные значе-
значения Tir = v3/4er~1/4^ с помощью B5.20') и B5.25) —B5.26) получим
где коэффициент СA) = СA) (х, t) может слегка зависеть от харак-
характеристик крупномасштабных движений. Если принять упоминавшееся
выше экспериментальное значение \х ж 0,4, то показатель а в фор-
2
муле DLL(r) — га будет равен a^-g-+0,04^0,71, т. е. оказывается
очень мало отличающимся от двух третей.
Аналогично для структурной функции /?-го порядка в инерцион-
инерционном интервале получается формула
р р p(p-3)\i
*Тф w B5.32)
(в частном случае р = 3 мы, очевидно, снова приходим к резуль-
результату B5.15)). Для безразмерной асимметрии продольной разности
скоростей теперь получается соотношение
B5.33)
(формулы B5.31) — B5.33) были указаны Колмогоровым A962а, б)).
Спектр E(k) в инерционном интервале будет равен
Е (к) » С[1П-5/3 {Lk)-»19. B5.34)
Структурная функция давления теперь уже оказывается не пропор-
пропорциональной квадрату DLL(r), а имеющей вид
Dpp (г) * С?>р2 W3 (ИгJ*9 B5.35)
и т. д. Ясно, что при [л ^ 0,4 все поправки к законам, выведенным
без учета флюктуации диссипации, будут очень малы, и в настоящее
время трудно рассчитывать обнаружить их на экспериментальном ма-
материале.
Аналогичные рассуждения могут быть применены и к характе-
характеристикам поля температуры (или концентрации пассивной примеси),
зависящим от «температурной диссипации» N — х(У$J. Ясно, что
величина N также будет сильно флюктуировать, и эти флюктуации
могут влиять на все статистические характеристики поля §(х, t).

544 ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОТРОПНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ {25.5
Естественно ожидать, что статистические вакономерности, управляю-
управляющие пульсациями N(x, t), будут аналогичны тем, которые относятся
к полю е(х, /). Поэтому следует думать, что для величины N также
справедливы формулы типа B5.29) — B5.30), но, вообще говоря,
параметр [i будет иметь другое значение (по поводу которого в на-
настоящее время нет никаких данных). При переходе к исследованию
структурной функции (или спектра) поля $(х, t) придется учесть,
что на эту функцию будут влиять и флюктуации N и флюктуации е,
которые нет оснований предполагать независимыми. При этом можно
воспользоваться тем обстоятельством, что рассуждения, примененные
выше к полю е(дс, t), по-видимому, могут быть применены также и
к полю N(xt Oe-1/3(JC, t). Поскольку, однако, относящиеся сюда
эмпирические данные пока полностью отсутствуют» на этом совсем
еще не изученном вопросе мы не будем задерживаться.
25.5. Более общая форма уточненных гипотез подобия
Использовавшаяся выше новая форма гипотез подобия является более
точной, чем первоначальная, но в принципе и она не является вполне окон-
окончательной. В самом деле, предположение, что распределения вероятностей
для поля скорости в заданной малой пространственно-временной области
зависят только от взятого по этой области интеграла от е (ж, t), вероятно,
также не является совершенно точным. Употребление же в качестве основ-
основной статистической характеристики осредненной по объему шара диссипа-
диссипации ег, выбранной исключительно из соображений удобства, тем более может
вызвать возражения. Поэтому желательно найти формулировку гипотез по-
подобия, не связанную с рассмотрением специальных величин типа ег.
Общий подход, позволяющий прийти к подобным формулировкам гипотез
о подобии, был указан Колмогоровым A962а, б). Он опирается на исполь-
использование вместо разностей скоростей кщ~щ(Хь)—щ(х), А = 1, ..., л, без-
безразмерных отношений таких разностей
/=1-2-3: *-1--- B536)
(для простоты мы ограничиваемся здесь лишь случаем чисто пространствен-
пространственных статистических характеристик, относящихся к фиксированному моменту
времени t). В качестве аргументов, от которых зависят 3/г случайных вели-
Хи —— X,
чин B5.36), следует выбрать безразмерные векторы уь = -.— т» ? = 0,
I #о — х I
1 л, и число Рейнольдса Re = |<|(*о)"~и(*)Н*о — *1 f зависящее от
и(хо) — и(х) и поэтому являющееся случайной величиной. В качестве ана-
аналога первой гипотезы подобия можно принять следующее предположение:
при достаточно малых (по сравнению с внешним масштабом турбулент-
турбулентности L) значениях \Хь — х\% k = Q, 1, ..., п, таких, что все \yk\,
А=*1,.... л, по порядку величины не превосходят единицы, условное рас-
распределение вероятностей для случайных величин B2.36) при условии, что
число Рейнольдса Re имеет фиксированное значение, будет зависеть
только от yk, k = 0, 1, .... пи Re и будет инвариантным относительно
произвольных вращений и отражений в пространстве векторов у. Далее

25.5] § 25. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ 545
естественно принять, что если все \yk [ имеют порядок единицы и ^
то распределение вероятностей для величин B5.36) будет независимым
и от Re; это предположение является аналогом второй гипотезы подобия.
Сформулированные два предположения, по-видимому, могут в какой-то
мере заменить две гипотезы, приведенные на стр. 523. Однако ясно, что они
сами по себе еще не могут привести к логарифмической нормальности рас-
распределения диссипации энергии или к каким-либо заменяющим этот факт
статистическим закономерностям, указывающим на хаотичность каскадного
процесса дробления вихрей, складывающегося из ряда независимых между
собой стадий. Поэтому при использовании гипотез подобия, формулируемых,
в терминах отношений разностей скоростей, надо принять по крайней мере
еще одну (третью) гипотезу, обеспечивающую практическую независимость
друг от друга возмущений с резко различными масштабами, из которой уже
будет следовать логарифмически нормальное распределение (с дисперсией,
пропорциональной логарифму числа Рейнольдса) величины е и родственных
ей гидродинамических характеристик. В качестве возможного варианта такой
третьей гипотезы Колмогоров предложил рассмотреть следующее утвержде-
утверждение: если Г!^>г2, то две группы величин B5.36) такие, что в первой
из них \Xk — дс|>.г, при всех k, а во второй \х^ — * К>2 при всех k,
являются статистически независимыми. Мы здесь не будем, однако, по-
подробно обсуждать возможные пути использования этой третьей гипотезы,
поскольку вообще весь подход к теории турбулентности, исходящий из рас-
рассмотрения распределений вероятностей для отношений разностей скоростей,
пока намечен лишь в самых общих чертах, и его развитие требует еще зна-
значительной работы, остающейся делом будущего.
35 А. С. Монин. А. М Яглоу

ГЛАВА IX
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ
§ 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
И ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ
26.1. Распространение электромагнитных волн
в турбулентной атмосфере
При распространении волн различной природы — звука, света,
радиоволн — в турбулентной среде (например, в земной атмосфере
и в море) возникает ряд флюктуационных явлений, таких, как рас-
рассеяние волн на случайных (турбулентных) неоднородностях среды
или пульсации амплитуды и фазы прошедших через среду волн,
создающие мерцание и дрожание изображений источников излучения
в приемных устройствах. Эти флюктуационные явления имеют боль-
большое значение в ряде важных практических задач. Так, мерцание
звезд и внеземных естественных радиоисточников создает помехи
для оптической астрономии и радиоастрономии; подобные же помехи
могут иметь место в случае оптической связи и радиосвязи с искус-
искусственными спутниками Земли и космическими ракетами. С анало-
аналогичными помехами встречается и гидроакустическая связь в море.
Наоборот, рассеяние коротких радиоволн на нерегулярных неодно-
неоднородностях тропосферы создает возможности для дальней телевизион-
телевизионной связи и потому может быть полезным.
Разработке методов теоретического расчета упомянутых флюктуа-
флюктуационных явлений и экспериментальному их исследованию посвящена
весьма обширная литература. В частности, подробное изложение
вопросов, затрагиваемых в настоящей главе, можно найти в моно-
монографиях Татарского A959а, 1967). Ряд интересных вопросов теории
распространения волн в средах со случайными неоднородностями
рассмотрен в монографии Чернова A958), где, однако, при выводе
конечных формул для конкретного описания статистической струк-
структуры поля флюктуации показателя преломления обычно использо-
использовалась упрощенная модель с гауссовской корреляционной функцией

26.1] § 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 547
вида A2.50. Здесь же мы ограничимся лишь весьма сжатым изложе-
изложением физической стороны дела, не вдаваясь в технические детали,
и начнем с описания распространения электромагнитных волн в турбу-
турбулентной атмосфере.
Будем рассматривать атмосферу как неэлектропроводящую среду,
магнитная проницаемость которой равна единице. Распространение
электромагнитных волн в такой среде описывается системой уравне-
уравнений Максвелла
»х*—И*- vx*-i?- B6„
где косой крест, как обычно, является символом векторного умно-
умножения (так что, например, Vy^E—это ротор Е), с — скорость света
в пустоте, Е и Н — напряженности электрического и магнитного
полей, D — гЕ— электрическая индукция, а е — диэлектрическая
проницаемость. Величина n — Y& называется коэффициентом пре-
преломления. В атмосфере этот коэффициент является, вообще говоря,
функцией температуры, влажности и давления, причем для различных
диапазонов длин волн он также принимает разные значения. Так,
например, для сантиметровых радиоволн коэффициент преломления
атмосферы может быть представлен формулой
^) B6.2)
а для видимого света (к ж 0,7 мкм)
я=1 + 1(Г6-^, B6.20
где р — давление в миллибарах, Т — абсолютная температура,
О* — удельная влажность (отношение плотности водяного пара к плот-
плотности влажного воздуха). В турбулентной атмосфере величины рУ Т
и Ф флюктуируют, вследствие чего флюктуирует и показатель пре-
преломления, так что п целесообразно рассматривать как случайную
функцию пространственных координат и времени. Из B6.2) видно,
что математическое ожидание этой случайной функции п мало отли-
отличается от единицы. Далее мы будем полагать просто п=\ и
п= 1+я', где п' — пульсации коэффициента преломления, которые,
например, для сантиметровых радиоволн определяются формулой
B6.3)
Р \ Т /I , , 15 600»
35*

548 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [26.1
а для видимого света равны
-^?-Г' B6.3')
(пульсациями давления мы здесь пренебрегли вследствие малости р'\р
по сравнению с T'jf и Ф'/^)- В нижних слоях атмосферы п' имеет
значения порядка 10 -ч— 10~ , и вследствие малости этой величины
мы можем полагать е = п2 ш 1 -|- 2п'.
Пульсации диэлектрической проницаемости делают турбулентную
атмосферу неоднородной средой со слабыми (случайными) неодно-
родностями, которые приводят к рассеянию электромагнитных
волн и флюктуациям их амплитуд, фаз, частот и других пара-
параметров. Мы будем изучать распространение электромагнитных волн
в турбулентной атмосфере лишь на не слишком больших расстоя-
расстояниях L, удовлетворяющих условию
ii<^_^L, B6.4)
с ^ (отурб v >
где сотурб — частоты компонент турбулентности, вносящих существен-
существенный вклад во флюктуации электромагнитного поля. При этом усло-
условии за время L/c, в течение которого волны проходят расстояние /,,
поле пульсаций коэффициента преломления пг (х) практически не
изменяется. Поэтому в дальнейшем мы будем считать поле п'(х)
не зависящим от времени, тем самым пренебрегая флюктуациями частот
электромагнитных волн при их распространении на расстояния L.
Считая п! не зависящим от времени, мы можем рассматривать
решения уравнений Максвелла в виде монохроматических волн
с фиксированной частотой со. Иначе говоря, можно считать, что
напряженности электрического и магнитного полей и электрическая
индукция имеют соответственно вид Ш(Ее~ш), Ш(Не~ш) и
Ш(Ое~ш), где комплексные амплитуды ?, Я, D не зависят от вре-
времени tt причем D — (\-\-2n')E. Для комплексных амплитуд уравне-
уравнения B6.1) принимают вид
B6.5)
где к = 2я/А/ = а/с — волновое число (К — длина волны). Уравнения
VZ) = V// = 0 являются следствиями уравнений B6.5).
Из B6.5) можно получить одно уравнение, не содержащее //,
применив к первому уравнению B6.5) операцию взятия ротора и
исключив V X Н с помощью второго уравнения. При этом полу-
получается
VX(VX?). D = (l+2n')E. B6.6)
Значение Н при необходимости может быть найдено по формуле
// = — (t//c)(VX^)« Ниже нам понадобится среднее за период одного

26.1] § 2е- РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 549
колебания 2я/со значение плотности потока электромагнитной энергиу
(вектора Пойнтинга), которое определяется формулой
2л
СО
s = ^Г ^Г J [Ш* (Ее~ш) X 9*е (Не- to<)] dt.
О
Полагая Ш F == у (Т7-^*)» гДе звездочка обозначает комплексно-
сопряженную величину, после простых выкладок получаем
или, после исключения N с помощью первого уравнения B6.5),
s = Щ-Зт [?*х (V x *>!• B67)
Задачу о распространении электромагнитных волн в турбулент-
турбулентной атмосфере мы будем рассматривать в следующей упрощенной
формулировке. Пусть турбулентность сосредоточена лишь в неко-
некотором объеме V (так что п'(х) отлично от нуля лишь при x?V),
и на этот объем падает плоская волна E0 = pAQeltcx, где р — еди-
единичный вектор, перпендикулярный направлению распространения
волны (вектору к) и характеризующий ее поляризацию, Ло — ампли-
амплитуда и so = kx — фаза волны. Соответствующая этой волне плотность
потока электромагнитной энергии, определяемая по формуле B6.7),
равна
Используем уравнения B6.6) прежде всего для описания рас-
рассеяния электромагнитных волн на оптических неоднородностях,
сосредоточенных в объеме V. Явление рассеяния радиоволн
в турбулентной атмосфере имеет большое практическое значение,
так как оно создает принципиальные возможности использования
ультракоротких волн для целей дальней радиосвязи. Действительно,
наблюдаемые случаи распространения ультракоротких радиоволн
в атмосфере на большие расстояния за пределы «радиогоризонта»
объясняются, по-видимому, именно рассеянием волн на турбулент-
турбулентных неоднородностях коэффициента преломления в тропосфере.
Объяснение дальнего распространения ультракоротких радиоволн
их рассеянием на турбулентных неоднородностях коэффициента пре-
преломления в тропосфере, по-видимому, впервые было предложено
дукером и Гордоном A950). Построенная ими теория получила
дальнейшее развитие в целом ряде исследований (см., например,

550 гл. ix. турбулентность и волны [26.1
Мегоу (I960), Вилларс и Вайскопф A954), Бзтчелор A956), Стэ-
рас A955), Силвермен A956, 1957), Татарский и Голицын A962));
вопросам рассеяния радиоволн на турбулентных неоднородностях
тропосферы посвящен также специальный выпуск журнала «Ргос. IRE»
за октябрь 1955 г.
В результате рассеяния падающей волны Ео на неоднородностях,
сосредоточенных в объеме V, электрическое поле во всем про-
пространстве исказится и будет иметь вид Е = Е0-\-Е', где Е' соответ-
соответствует рассеянным волнам. Поскольку п(х) — случайная функция,
поле рассеянных волн Е'(х) также будет случайным. Нашей задачей
будет изучение случайной функции Е'(х). Учитывая, что Ео удовле-
удовлетворяет уравнениям B6.6) при я' = 0, для Е' получаем уравнения
= V X (V X Е')> D' = E' + 2n'E0. B6.9)
Здесь в формуле для D' мы пренебрегли слагаемым 2п'Е', считая,
что вследствие условия \п'(х)\<^\ должно выполняться также
условие
\'\\Е(\ = А0. B6.10)
Исключая из правой части первого уравнения B6.9) величину Ef с помо-
помощью второго уравнения B6.9) и учитывая, что V X (V X &') = —Д/)'
вследствие соотношения VZ)/ = O, получаем
(A + **)D' = -VXIVXB*W B6.11)
Таким образом, D' определяется из волнового уравнения со случай-
случайной правой частью. Решение этого уравнения, соответствующее рас-
расходящимся волнам, можно записать в виде
1 Г Г
Г
j
d^ B6.12)
Выберем начало координат внутри рассеивающего объема V и по-
поставим задачу определить зависимость интенсивности рассеянного
электромагнитного поля от направления q=zxj\x\ в точках х,
лежащих вне объема V на расстояниях \х\, больших по сравнению
с линейными размерами L этого объема и с длиной волны X (точнее'
в зоне, определяемой условием |/*А,|х| ^> L\ поле в малых участках
этой зоны можно рассматривать как плоскую волну). Такая поста-
постановка задачи соответствует так называемой дифракции Фраунгофера.
Поскольку вне V пульсации коэффициента преломления отсут-
отсутствуют (т. е. п'— 0), в левой части формулы B6.12) можно заменить
D'(x) на Е'(х). Для значений х в зоне дифракции Фраунгофера

26.1] § 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 651
вычисление интеграла в правой части этой формулы существенно
упрощается. Учитывая, что при хг ? V значения \хг\ не превосходят
диаметра L объема V, a \x\*^>L, так что |*if<C;l*|. мы можем
разложить величину \х~—хг\ в ряд по степеням отношения |jCi|/|jc|.
Квадратичные члены этого ряда будут иметь значения порядка
|jc|(|xl\j\x\J— L2j\x\ и будут вносить в показатель экспоненты
exp[ix\x — хг\} слагаемые порядка kL?j\jc|-— L2jl\x\. Как отмеча-
отмечалось немного выше, мы принимаем условия
\х\^К X\x\^>L*, B6.13)
второе из которых отличает дифракцию Фраунгофера от так назы-
называемой дифракции Френеля (для подсчета статистических характе-
характеристик рассеянных волн, который будет производиться ниже, это
второе условие окажется даже чрезмерно жестким и может быть
заменено условием k\x\^>lt где Lq — радиус корреляции флюк-
флюктуации коэффициента преломления, определяемый формулой типа
формулы A2.21) на стр. 36). При этом условии нам достаточно
учитывать лишь линейные члены ряда для \х — хг\ по степеням
|*i|/|*|» имеющие вид \х\ — дхг, т. е. можно полагать
-хх | ^ е1к
В знаменателе подынтегральной функции в B6.12) можно положить
| х — *i|«|*|. так что формула B6.12) примет вид
wv х Г v х ^ттр Jп> (**>ei (K~Kq) *х d
Интеграл в этой формуле не зависит от х и может быть вынесен
из-под знака оператора V X (V X)- Далее, с точностью до слагае*
мых порядка h/\x\ имеем
Окончательно получаем
„г а лк\х\
Е'(Х) * 2п\х\ ° 1(^ X Р) X
B6.14)
Вектор 1(дХр)ХдЬ имеющий длину |sina|» где a —угол между
векторами рид, характеризует поляризацию рассеянной волны.
Он компланарен векторам р и д и перпендикулярен д (волна,
конечно, является поперечной). Плотность потока рассеянной энергии,

552 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [26.1
определяемая по формулам B6.7) и B6.14) (также с точностью до
слагаемых порядка Х1\х\, оказывается равной
скАЖ sin2 a
* <*>= °*|» °°*Я- B6-15)
Умножив |s'C*0| Ha площадь \xfdu элемента поверхности сферы
с радиусом \х\, соответствующего бесконечно малому телесному
углу rfQ (с вершиной в начале координат), содержащему направле-
направление q, мы получим величину потока энергии, рассеянной объемом V
в телесный угол dQ. Отношение этой величины к величине плотно-
плотности потока энергии в падающей волне
\so\
называется эффективным сечением рассеяния объема V в напра-
направлении q. С помощью формул B6.15) и B6.8) находим
GG*dQ. B6.17)
Напомним, что входящая в это выражение величина О, определяемая
второй формулой B6.14), является случайной функцией волнового
вектора к — rcq, равного разности между волновыми векторами пада-
падающей и рассеянной волн, статистические свойства которой опреде-
определяются случайным полем п'(х).
Используем теперь уравнения B6.6) для описания флюктуации
амплитуд и фаз электромагнитных волн в турбулентной атмосфере.
Вследствие этих флюктуации электромагнитные волны, испускаемые
теми или иными телами (в частности, звездами, космическими источ-
источниками радиоизлучения, искусственными спутниками Земли) или
отражаемые предметами (например, при радиолокации), после прохож-
прохождения через турбулентную атмосферу поступают в приемное устрой-
устройство в искаженном виде; эти искажения проявляются в форме пульса-
пульсаций спектральной и интегральной интенсивности принимаемых сигналов,
а также пульсаций угла прихода волн; они создают, например, мер-
мерцание, хроматическое мерцание и дрожание изображений звезд в теле-
телескопах.
Подвергнем предварительно уравнения B6.6) некоторым упроще-
упрощениям. Во-первых, воспользуемся тем, что
V X (V X Е) = — &E+V(VE) « —- Д? _
Последнее равенство вытекает из соотношения VD = V (U-f- 2п'Е) = О,
в силу которого VE = — 2Vn'E = — 2E-Vn' — ЧпЧЕ « — 2? • In'
с точностью до малых слагаемых порядка я'2. Учитывая этот резуль-
результат и исключив из левой части первого уравнения B6.6) величину D

26.1] § 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 553
е помощью второго уравнения, получаем
(A + K2)?^_2«V?y-2^.-g--2?al^-. B6.18)
Оценим порядки величины слагаемых в правой части этого уравне-
уравнения. Учитывая, что неоднородности поля п'(х) обусловлены турбу-
турбулентностью, мы можем полагать -т^~ — -г-— • г^е ^tvo6 — пространст-
пространству /турб •yF
венные масштабы компонент турбулентности, вносящих существенный
вклад во флюктуации электромагнитного поля (определение /турб
будет уточнено ниже; значение /турб, во всяком случае, не меньше,
чем внутренний масштаб турбулентности (v3/e)I/4). Далее мы ограни-
ограничимся изучением флюктуации параметров лишь достаточно коротких
электромагнитных волн, длины которых малы по сравнению с /туРб»
т. е. примем условие
* B6-19)
При этом условии можно утверждать, что значения dE/dXj по поряд-
порядку величины не превосходят \E\lk, так что порядки величины трех
слагаемых в правой части уравнения B6.18) соответственно равны
2n'\E\j№, 2n'\E\JM 6 и 2nf\E\jl\y^ Таким образом, второе и третье
слагаемые (ответственные за изменения поляризации электромагнитной
в'олны) оказываются меньше первого соответственно в А,//турб и (^//турбJ
раз, и ими можно пренебречь по сравнению с первым слагаемым.
При этом уравнение B6.18) принимает вид
(Д + к2)Е = — 2к2п'Е, B6.20)
где Е может обозначать любую из декартовых компонент вектора Е.
Как и выше, будем рассматривать случай, когда на объем V,
в котором п' отлично от нуля, падает плоская волна Ео = AoeiS<>,
где S0 = kx. В результате действия оптических неоднородностей,
сосредоточенных в объеме V\ электрическое поле во всем простран-
пространстве искажается и принимает вид Е = AeiS = **, где А — амплитуда,
5 — фаза и ф = 1пЛ + /5 — так называемый эйконал, равный ф0==
= \nA0-\-iS0 для падающей волны Ео (иногда, впрочем, эйконалом
называют также величину ф//). Мы будем непосредственно изучать
флюктуации эйконала i|/ = ф — ф0 = In (А\Ло) +1 (S — So) и далее
будем пользоваться обозначениями
= 5-S0. B6.21)
Величины х' и S' описывают интересующие нас флюктуации ампли-
амплитуды и фазы электромагнитой водны.

554 гл. ix. турбулентность и волны [26.1
Подставив Е = $Фо+Ф' = Aoeikxe^' в уравнение B6.20), получаем
следующее уравнение для ф':
Дф' 4 B/к + Щ') • Щ' = —2к2п'.
Это уравнение нелинейно. Однако, оно линеаризуется, если считать,
что абсолютная величина второго слагаемого в скобках в левой части
уравнения мала по сравнению с абсолютной величиной первого сла-
слагаемого (равной 2# = 4я/Я). Последнее условие можно записать
в виде
B6.22)
Оно эквивалентно требованию малости изменений ф' на расстояниях
порядка длины волны X (т. е. требованию достаточной плавности
поля ф'Ос); малость же самих флюктуации |ф'| при этом не тре-
требуется). Приняв условие B6.22), мы можем переписать уравнение для
ф' в виде
Дф' + 2Ш Vi|/ = —2кЧ'. B6.23)
Описанная линеаризация уравнения эйконала (получившая название
метода «плавных возмущений») была предложена Рытовым A937)
при рассмотрении задачи о дифракции света на ультразвуковых вол-
волнах; для описания флюктуации параметров волны в турбулентной
атмосфере этот метод впервые был применен Обуховым A953). Заме-
Заметим тут же, что более детальный анализ показывает, что при рас-
расчете статистических характеристик флюктуации эйконала пренебреже-
пренебрежение нелинейным членом |Уф'|2 в уравнении для ф' не всегда оказы-
оказывается законным. Исследование поправок, создаваемых этим нелинейным
членом, приводит к выводу, что проведенная нами линеаризация
допустима лишь при малости среднего квадрата величины %', причем,
согласно эмпирическим данным, практически достаточно, чтобы
выполнялось неравенство х/2 < 1/2 (см. ниже п. 26.5).
Уравнение B6.23) можно переписать в виде
(А + к*)Ъ'*1кх = —2кЧ'е1кх% B6.24)
аналогичном уравнению B6.11). Отсюда видно, что решением урав-
уравнения B6.23) является функция
= Г J п (*l}
\х-хх\
Если потребовать малости флюктуации Е' = Е—Ео, то для Е' полу-
получается формула, совпадающая с B6.25); однако малость флюктуации
g' является более жестким ограничением, чем малость фг, поскольку

26.1] $&• ЙАСЙРОСТРАНЁНЙЁ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛИ $fe
v|/ есть флюктуация логарифма поля. Отметим также, что, несмотря
на совпадение формул для i|/ и Е', результаты, даваемые этими
формулами, в действительности различны, поскольку законы распре-
распределения вероятностей для флюктуации амплитуды, получаемые на
основании этих формул, различаются между собой (а именно, полу-
получается рэлеевское распределение, если формула вида B6.25) исполь-
используется для Е\ и логарифмически нормальное распределение, если
формула B6.25) используется для ф'). Как мы увидим ниже, име-
имеющиеся экспериментальные данные не могут быть объяснены на основе
рэлеевского распределения, но хорошо согласуются с логарифмически
нормальным распределением.
Формула B6.25) позволяет интерпретировать флюктуации эйко-
эйконала ф' в данной точке х как результат наложения на падающую
волну рассеянных волн, приходящих в точку х от различных участ-
участков объема V. Для точек х, лежащих вне объема V на больших
(по сравнению с линейными размерами этого объема) расстояниях
от V, интеграл B6.25) может быть упрощен вполне аналогично тому*
как выше при условиях B6.13) был упрощен интеграл B6.12). Далее
мы будем подробно рассматривать флюктуации амплитуды и фазы
волны во внутренних точках х объема V, в которых такое упро-
упрощение незаконно. Однако, в таких точках интеграл B6.25) все же
можно несколько упростить, воспользовавшись тем, что при условии
B6.19) рассеянием волн на большие углы можно пренебречь, и при
вычислении интеграла B6.25) достаточно учитывать вклад в i|/ (x)
лишь от волн, рассеянных на углы, не превосходящие Э = ^//турб<^ 1.
Иначе говоря, интегрирование в B6.25) можно распространять не на
весь объем V, а лишь на его часть, лежащую внутри конуса К(х)
с вершиной в точке х, осью, направленной навстречу падающей
волне, и углом раствора 0.
В целях удобства дальнейших выкладок выберем направление
падающей волны за ось Ох (так что кх = кх) и будем считать, что
объем V лежит в области х > 0, и плоскость х — 0 является грани-
границей этого объема. Тогда конусом К (х) будет область значений хг =?
= (jc1, yv z{), определяемая неравенствами
х — хг > 0, р/(л; — jcj)< 6 <С 1. B6.26)
где р = у(у — y^-^^z — Zif . Разложим величину \х — хг\ в ряд
по степеням отношения р2/(л; — л^J. Обозначив абсциссу х точки
наблюдения х буквой L, можно утверждать, что квадратичные члены
указанного ряда будут иметь значения порядка (х — хг) [р2/^ — a^J]2 *<
^А(Л//турбL и будут вносить в показатель экспоненты *'*! *¦-¦*» 1
слагаемые порядка кЬ (Я/^урбL — ?А,3//тУРб • Примем условие
2 Акр = /?УРбА B6.27)

56S гл. ix. турбулентность и волны [26.1
(смысл величины ?кр будет истолкован ниже). При этом условии нам
достаточно учитывать лишь линейные члены ряда для \х — хг\ по
степеням р*1(х— л^J, которые имеют вид х— хг-\- 9( **_—г-, так
?.\Х Х\)
что можно полагать
ехр{— Ш(х — xj + i^x--хг\) -
( ^Р2 \
к* С ехр 1 2(х х\ Г
5г J п'^—х-7 йх* B6*28)
В знаменателе подынтегральной функции в B6.25) можно положить
| х — хг\жх — xv так что, если обозначить пересечение объемов V
и К(х) символом V-K(x), то формула B6.25) примет вид
ехр
V'K(x)
Заметим, что вне конуса К(х) функция (х — хгу1 ехр< о/ —г- >
( г ух — Х\) )
быстро осциллирует, так что при достаточно плавном изменении
n'(-*i)> обеспечиваемом условием B6.19), интегрирование по области
х — ATj^O, лежащей вне конуса К(х), пренебрежимо мало меняет
значение B6.28). Поэтому интеграл по области V -К(х) можно заме-
заменить на интеграл по части объема V, лежащей внутри плоского слоя
Тогда функция i|/(jc) будет точным решением уравнения
B6.29)
получающегося из B6.23) при отбрасывании слагаемого ~^~ в левой
части.
Формула B6.25) и ее упрощенные варианты B6.28) и B6.32)
(см. ниже стр. 558) показывают, что флюктуации ф' (х) предста-
представляются в виде интеграла от пг с некоторыми весовыми функциями,
распространенного на рассеивающий объем V. Если линейный размер
этого объема L очень велик по сравнению с внешним масштабом
турбулентности Lo, то объем V можно представить в виде суммы
очень большого числа частей с размерами порядка Lo. При этом
ф' (x) будет представлено в виде суммы очень большого числа пра-
практически некоррелированных слагаемых, и в силу центральной пре-
предельной теоремы теории вероятностей можно ожидать, что случайная
величина ty'(x) (при фиксированном х) имеет нормальное распреде-
распределение. Следовательно, рассматривая флюктуации интенсивности света /,
можно ожидать, что случайная величина 1п(///0) = 21п(Л/Л0) = 2х/
является нормальной, а сама интенсивность / — логарифмически нор-
нормальной. Этот вывод нашел хорошее подтверждение в результатах
измерений мерцания искусственного источника света в приземном слое

26.1]
§ 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
557
0,970
0,920
0,800
0,600
0,200
0,060
0,020
0,005
воздуха, осуществленных- в экспедициях Института физики атмосферы
АН СССР в 1956—1957 гг. (см. Гурвич, Татарский, Цванг <Д958,
1959), Татарский A967)). Измерения производились на высотах от
1,5 до 5 м и на расстоя-
расстояниях от источника света
250—2000 м. Измерялась,
в частности, интегральная
функция распределения ве-
вероятностей интенсивности
света на данном расстоя-
расстоянии от источника F(J). Из
изложенных выше сооб-
соображений следует ожидать,
что эта функция имеет вид
F (/) = Ф (In (///o)/^). где
Ф — нормированная нор-
нормальная интегральная функ-
функция распределения вероят-
вероятностей, а о2 = Aп(///0)J =
= 4х'2. Тогда Ф~1[РA)]
должно быть линейной
функцией от 1п(///0). Соот-
Соответствующий эмпирический
график, который мы приводим на рис. 105, служит хорошим под-
подтверждением этого вывода.
Заменив в формуле B6.28) область интегрирования частью V, лежащей
внутри слоя O^x^L, можно переписать эту формулу для точки jt =
= (L, у, г) в виде
L со
B6.30)
3 4 5 6 78910 15 20
Рис. 105. Распределение вероятностей для
флюктуации интенсивности света от назем-
наземного источника.
V (L, у, г) = 1к J dxx J J п' <*,. yl9 zx)
где а2 = / (L—х{)/к. Отсюда видно, что значение \|/ в точке хх = L,
У\ = У* *\ — z зависит от неоднородностей показателя преломления не только
на отрезке 0^x{^L прямой у{ = у, zx=z, но и в некоторой области
около этого отрезка. Это объясняется тем, что в плоскости хх = L наблю-
наблюдаются не просто геометрические тени неоднородностей, заключенных в слое
0 < •*!•<?, а тени, подвергнутые дифракционному «размазыванию». Множи-
Множитель в подынтегральной функции, взятый в квадратные скобки, и описывает
указанное «размазывание», причем масштаб «размазывания» имеет величину
порядка | ст | — УхГ. Величина УТЛ является в рассматриваемом случае
радиусом так называемой первой зоны Френеля, т. е. круговой обла-
области на поверхности фронта падающей волны (в нашем случае плоской),
центр которой лежит на прямой, соединяющей точку наблюдения с источни-
источником света (и отстоит от точки наблюдения на расстояние L), а разность
хода от краев и от центра области до точки наблюдения равняется /С/2. Если
масштаб «размазывания» YXL мал по сравнению с размерами самих геоме-

558 гл. ix. турбулентность и волны B6.1
трических теней, т. е. масштабом неоднородностей коэффициента преломле-
преломления /турб. то «размазыванием» (т. е. дифракционным искажением геометри-
геометрических теней) можно пренебречь. Вспоминая определение B6.27) величины
1кр, условие КяГ'^/турб можно переписать в виде
Bб-31)
Таким образом, распространение электромагнитных волн в турбулентной
среде на достаточно малые расстояния I, удовлетворяющие ограничению
B6.31), можно описывать, пренебрегая дифракционными эффектами, т. е.
пользуясь методами геометрической оптики. Задача о флюктуациях ампли-
амплитуды и фазы радиоволн в приближении геометрической оптики была рассмот-
рассмотрена Бергманом A946) и особенно подробно Красильниковым A947, 1949а).
Условие B6.31) мы получили с помощью формулы B6.30), которая по-
позволила нам оценить порядок величины масштаба «размазывания» | о |. Однако
это условие можно вывести и из более наглядных соображений. Именно,
при угле дифракции 0~А//турб ширина дифракционного «размазывания»
границ геометрических теней на расстоянии L от предметов, отбрасывающих
эти тени, равняется QL ~ АХ//турб. Требуя, чтобы эта величина была много
меньше размеров самих теней /турб, мы вновь получаем условие B6.31).
Пренебрежение «размазыванием» формально означает переход к пределу
при а->0 во внутреннем интеграле в B6.30). Однако при этом предельном
переходе множитель в квадратных скобках в подынтегральной функции
превращается в дельта-функцию 6 (у— yi)b(z— zx), и i|/ оказывается чисто
мнимым, т. е. мы теряем флюктуации амплитуды. Чтобы их учесть, надо со-
сохранить следующий член разложения по степеням а.
Для этого перепишем внутренний интеграл в B6.30) в виде
и разложим п' в подынтегральной функции в ряд по степеням а, ограничи-
ограничиваясь квадратичными членами:
Использование этого выражения позволяет осуществить в формуле для /
интегрирование по х\ и ?, после чего / перепишется в виде
j-Ay, ,)«'(*!. у, г).
Подставляя последний результат в формулу B6.30) и расшифровывая значе-
значение а2, окончательно получаем
L
V(L. у, *) = /* J </*,[*'C*i. у, *)+-?? (L-xJby.ji'iXi. у, г)].
о
B6.32)
Эта формула, справедливая при условии B6.31), является определением ф'
в приближении геометрической оптики. Полагая здесь ij/ = х' + ^'» нетруд-

26.2] § 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 559
но убедиться, что %' и S' удовлетворяют уравнениям
которые являются линеаризованными уравнениями геометрической оптики
для рассматриваемой нами задачи.
26.2. Распространение звуковых волн в турбулентной
атмосфере
Влияние турбулентности на распространение звука в атмосфере
рассматривалось Обуховым A941в), Блохинцевым A945, 1946), Кра-
сильниковым A945, 1947), Пекерисом A947), Эллисоном A951),
Крейчнаном A953), Минцером A953—1954) и др. На распростра-
распространение звуковых волн в атмосфере турбулентность влияет двояким
образом. Во-первых, поскольку скорость звука с зависит от темпе-
температуры воздуха Т (а именно, с = YyRT, где R— газовая постоян-
постоянная, a y = cp/cv — отношение удельных теплоемкостей воздуха при
постоянном давлении и постоянном объеме), наличие турбулентных
пульсаций температуры приводит к флюктуациям скорости звука.
Вследствие малости пульсаций температуры Т! по сравнению со сред-
средней абсолютной температурой Т (имеющей в атмосфере значения по-
порядка 300°) можно полагать
*2«с2A + Г/Г). B6.34)
где c% = yRT. С этой точки зрения атмосфера является для звуко-
звуковых волн средой со слабыми случайными неоднородностями (впро-
(впрочем, все же гораздо более сильными, чем оптические неоднородности,
описываемые флюктуациями коэффициента преломления п'). Во-вто-
Во-вторых, звуковые волны увлекаются движениями воздуха, и поэтому
наличие турбулентных движений (описываемых турбулентными пуль-
пульсациями скорости и'\ вносит дополнительные случайные искажения
в форму фронта звуковой волны.
Распространение звуковых волн в турбулентной атмосфере опи-
описывается уравнениями акустики движущейся неоднородной среды.
Выведем эти уравнения, исходя, как обычно, из условия адиабатич-
ности движения и описывая само движение уравнениями Эйлера*).
Запишем уравнение адиабатичности в виде
*) Уравнения Эйлера мы будем использовать лишь для описания звуко-
звуковых колебаний жидкости (пренебрегая тем самым затуханием звука под
действием молекулярной вязкости и теплопроводности), но не турбулентных
движений (для описания которых, вообще говоря, следует использовать
уравнения Навье — Стокса)

560 гл. ix. турбулентность и волны [26.2
При этом мы воспользовались уравнением неразрывности dp/dt =
— — pVa. Далее нам будет удобно ввести вместо давления функ-
функцию П = 1п/7, так что dp — ypdll и V/?/p = c2VII. Учитывая также
формулу B6.34), мы можем записать уравнение адиабатичности и
уравнения Эйлера в виде
+ ^ («)ac?II.
fit ° ° 7*
dr У B6.35)
Положим здесь а = «'-+-* и П = П'-}-л;, гДе и' и П' — характе-
характеристики турбулентного движения, а <о и я — звуковых колебаний.
Вследствие малости амплитуд звуковых колебаний уравнения B6.35)
можно линеаризовать, пренебрегая в них квадратичными комбина-
комбинациями акустических характеристик. Линеаризованные уравнения при-
принимают вид
B6.36)
Эти уравнения и являются уравнениями акустики движущейся неод-
неоднородной среды. Неизвестными величинами в них являются характе-
характеристики акустических колебаний v и я, а коэффициенты с%, Т, и'\
П', Т рассматриваются как заданные функции координат и времени
[с\ и Т — неслучайные, а и', IT, T — случайные функции с извест-
известными статистическими свойствами).
Мы будем изучать распространение звуковых волн в турбулент-
турбулентной атмосфере лишь на не слишком больших расстояниях Z,, удо-
удовлетворяющих условию L/co<^2nl(QTy96, аналогичному B6.4). При
этом коэффициенты уравнений B6.36) можно считать не зависящими
от времени, и эти уравнения будут иметь частные решения в виде
монохроматических волн с фиксированной частотой со, описываемые
функциями Ш(ъе~ш) и Ш(ле~ш), где <о и я —не зависящие от
времени комплексные амплитуды. Ниже мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением лишь случаев, в которых изменения осредненной температуры
и осредненной скорости ветра на расстояниях г ^ L можно считать
пренебрежимо малыми и в B6.36) можно полагать Т = const,
с2 = const, u! ~ const. Вводя вместо частот со волновые числа
к — ау/сц, мы получим из B6.36) следующие уравнения для комплекс-

26.2] § 36- РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 561
ных амплитуд монохроматических звуковых волн:
1 1 , Т'
с° с° Т B6.37)
Со Со Со
Учитывая, что наличие постоянного переноса ur = const приводит
только к допплеровскому изменению частот (замене (о = с0/с на
ы = сок-\-и' • к, где к — волновой вектор), мы можем ограничиться
далее рассмотрением лишь случая, когда осредненная скорость ветра
отсутствует, так что и', Т' и IT будут иметь смысл турбулентных
пульсаций (средние значения которых равны нулю). Отметим, что IT
имеет величину порядка р'\рс\ — (я'/^оJ (так как амплитуда турбу-
турбулентных пульсаций давления может быть грубо оценена с помощью
формулы рг ~ри'2). Отсюда видно, что порядок величины второго
слагаемого в правой части второго уравнения B6.37) меньше порядка
величины второго слагаемого в левой части по крайней мере
в (и'/с0J раз, тогда как порядок величины первого слагаемого справа
меньше порядка величины первого слагаемого слева лишь в и'/с0
раз. Поэтому в дальнейшем слагаемым, содержащим IF, мы будем
пренебрегать. Сравнивая первые два слагаемых в правой части пер-
первого уравнения B6.37) с первым слагаемым в левой части, а третье
слагаемое справа — со вторым слагаемым слева, убеждаемся, что
слагаемые в правой части оказываются меньше по крайней мере
в и'/с0 или Т'/Т раз (в атмосфере порядки величин и'/с0 и Т'\Т
одинаковы).
Если турбулентность отсутствует, то правые части уравне-
уравнений B6.37) обращаются в нуль, и тогда эти уравнения допускают
решения в виде плоских волн вида я = AeiHX, v = сопк1*с, где А —
постоянная (величина рс2Л имеет при этом смысл амплитуды коле-
колебаний давления в плоской волне). Далее нам понадобится среднее
за период одного колебания 2я/со значение 5 плотности потока энер-
энергии в плоской звуковой волне, которое, как известно, равно
Sz=co$k/k, где $ — среднее значение плотности энергии, равной
удвоенной плотности кинетической энергии. Учитывая, что плотность
кинетической энергии для плоской звуковой волны равна
у р | Ш (уе~ш) |2 = 2* рсо I ^е (пе~
получаем
2rt/w
О
36 А. С. Монин, А. М. Яглом

562 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [26.2
откуда после простых выкладок находим
s = рсрт*к/2к. B6.38)
Аналогично п. 26.1, мы будем рассматривать задачи о распро-
распространении звуковых волн в турбулентной атмосфере в следующей
упрощенной формулировке. Будем считать, что турбулентность со-
сосредоточена лишь в некотором объеме V, и на этот объем падает
плоская звуковая волна Ло = AoeiKX, Vq = cot^0k/k. В результате дей-
действия турбулентности, сосредоточенной в объеме V, звуковое поле
во всем пространстве исказится и будет иметь вид n — TCQ + n',
v = vo-\-v', где л', v' соответствуют рассеянным волнам. Поскольку
поля турбулентных пульсаций и'(х), Т'(х), П'(.я) случайные, поля
п'(х), v'{x), характеризующие рассеянные волны, также будут
случайными. Нашей задачей будет изучение случайных функций
я'(х). v'(x).
Поскольку правые части уравнений B6.37) много меньше (по
порядку величины — по крайней мере в ufjc0 раз) отдельных слагае-
слагаемых в левых частях этих уравнений, можно считать, что
I я' (*) | <С I *о(*) | = До. | *' (х) | <С | v0 (х) | = соАо, B6.39)
причем символ «много меньше» означает «меньше в u'jc0 раз по
порядку величины». Поэтому, полагая в B6.37) л^гЯо + л',
<o = v0-\-vf\ мы можем пренебречь в правых частях этих уравнений
слагаемыми, содержащими л', v'. Учитывая, кроме того, что Ло, v0
удовлетворяют однородным уравнениям B6.37), для л', v' получаем
уравнения
B6.40)
правые части которых являются известными (случайными) функциями.
Подставляя в эти правые части значения щ= AoeiKX, г>о = соло —,
получаем
( )o
c° c°
Г/а! Т'\к I д «Н
LV с0 Т ) к к dxk с0 J
1 ti'
Со Со
где xfc — координата вдоль направления падающей волны (задавае-
(задаваемого волновым вектором к), a u'k — соответствующая компонента
пульсационной скорости цг. Исключим из этих уравнений вели-

26.2] I Я- РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 563
чину v'. Для этого необходимо вычислить дивергенцию от левой и
правой частей первого уравнения, пользуясь формулой V(<pa) =
= <pVa + (а • V) <р. В результате такого вычисления одно из слагае-
слагаемых в правой части будет содержать величину Vu'. Этим слагаемым
мы пренебрежем, считая, что Va/ = 0, т. е. что пулъсационное
движение воздуха является несжимаемым. После исключения ю'
для л' получается уравнение
(Д + к2) я' = — 2a:VjTo, B6.41)
в котором принято обозначение
±\{± LZ) B6.42)
* dxj\co ^2 Т
(суммирование по индексу k здесь не производится). Уравнение B6.41)
аналогично уравнению B6.20), причем видно, что п' играет роль
флюктуации коэффициента преломления турбулентной атмосферы для
звуковых волн. Это уравнение было получено Мониным A961)
с помощью изложенного выше метода разложения по малому пара-
параметру и'/с0.
Применим уравнение B6.41) для описания рассеяния плоской
звуковой волны на объеме V, содержащем турбулентность, причем
ограничимся вычислением характеристики рассеянной волны л' (х)
на больших расстояниях х от рассеивающего объема — в зоне,
в которой выполняются условия B6.13), и рассеянную волну в малых
участках пространства можно рассматривать как плоскую. Анало-
Аналогично тому, как для указанной зоны было получено решение B6.14)
уравнения B6.11), получаем
1,2 A pilC\x\
0=J »'
B6.43)
где q = x/\x\ — направление рассеяния. В указанной зоне плотность
потока энергии в рассеянной волне можно вычислять, как для плос-
плоской волны, т. е. с помощью формулы B6.38), откуда получается
~ 3 4 *2
s'w=??wrGG*q- B644)
С помощью формул B6.16), B6.38) и B6.44) получаем следующее
выражение для эффективного сечения рассеяния объема V в напра-
направлении q:
^G*dut B6.45)
где dQ — бесконечно малый телесный угол с вершиной в объеме V,
содержащий направление q.
86*

564 гл. ix. турбулентность и волны [26.3
Уравнение B6.41) можно использовать также для вычисления
флюктуации амплитуды и фазы звуковой волны в турбулентной
атмосфере. Поскольку (Д + #2) л<) = 0»' левую часть уравнения B6.41)
можно переписать в виде (Д-|-л:2)л; правую же часть мы запишем
в виде — 2/с2п'я, т. е. добавим к ней малое слагаемое — 2к2п'п'.
Это вносит в правую часть относительную погрешность по-
порядка ufjcQy н0 такУю погрешность в вычислении правых частей
уравнений мы уже допускали и ранее, при переходе от B6.37)
к B6.40). Таким образом, уравнение B6.41) можно переписать в виде
(Д + к2) я = — 2к2п'л, B6.46)
совершенно аналогичном уравнению B6.20). Таким образом, флюк-
флюктуации амплитуды и фазы звуковых волн можно описывать в точ-
точности так же, как для электромагнитных волн (меняется лишь вид
флюктуации показателя преломления п'). Именно, полагая я = яов*г
и вводя условие B6.22), мы можем описывать флюктуации ф'(*)
эйконала звуковой волны формулой B6.25). При условиях B6.19)
и B6.27) величину ф' (х) можно определять из уравнения B6.29).
26.3. Рассеяние электромагнитных и звуковых волн
на турбулентных неоднородностях атмосферы
Для описания рассеяния плоской электромагнитной или звуковой
волны на объеме V, содержащем турбулентность, необходимо опре-
определить среднее значение do эффективного сечения рассеяния этого
объема (для любого направления q). Величина do определяется фор-
формулой B6.17) в случае электромагнитных волн и формулой B6.45)
в случае звуковых волн. Согласно этим формулам, для определения do
достаточно вычислить величину GG*, где
О = J п' (х) ехр {/ (к — кц) х\ dx B6.47)
v
— случайная функция волнового вектора к — щ. При вычисле-
вычислении GG* мы будем считать, что корреляционная функция п' (хх)п' (х2)
случайного поля пг (х) ' флюктуации коэффициента преломления
при xv x2 6 V может быть хотя бы приближенно представлена в виде1)
пг* (х2) = Впп (хх — x2)=j exp {- Ik (*! — х2)} Fnn (ft) rfft,
Г B6.48)
1) Если случайное поле п'(х) однородно, то формулы B6.48) справед-
справедливы при любых *!, х2. Однако, случайное поле, отличное от нуля лишь
внутри заданного объема V, тем самым уже не является однородным.
Поэтому мы и требуем, чтобы формулы B6.48) выполнялись хотя бы при-
приближенно при xlt JC2?V. Результаты, которые будут получены при этом
допущении, при не слишком малых \к — tcq \ окажутся справедливыми и
в более общем случае локально однородного случайного поля ri (jc).

26.3] $ &. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 565
где корреляционная функция коэффициента преломления Впп{г) и
соответствующая спектральная функция Fnn(k) рассматриваются как
заданные функции. Пользуясь первым равенством B6.48), получаем
00* = J J Bnn(xl — x2)eKp{i(K — Kq)(x1 — x2))dxldx2=:
V V
= V J Bnn (r) exp {/ (к - Kq) r] dr.
v
Отсюда с помощью второго равенства B6.48) получается
О& = WV J Fnn (ft) Г-g^ J exp {/ {к-tcq- k) r\ dr \dk =
= 8лЗК J /=•„„ (к - «^ - ft) Г^г J exp (/ftr) rfrl dh,
V. v J
или
GO* = Sn*VFnn (к — ^). B6.49)
где /7ЛЛ (/с — a:^) — взятое в точке ft = к — щ значение спектраль-
спектральной функции коэффициента преломления, сглаженной с весом
fv (ft) = -т— ехр (ikr) dr. Весовая функция fv (ft) имеет следующие
v
свойства: A) интеграл от fv(k) по всему волновому пространству
равен единице; B) fv(k) имеет максимум в точке ft = 0, который
равен V/вл3; (З) значения fv(k) заметно отличны от нуля лишь при
не слишком больших k (не превосходящих по порядку величины
значение 2я/1, где L — характерный линейный размер области V).
Пусть 9 — угол рассеяния, т. е. угол между направлением к/к
падающей волны и направлением q рассеянной волны, так что
cos 9 = к • qJK. Тогда \к — щ \ = 2к \ sin 9/2 |. Рассматривая значения
2/с | sin 9/2 |, большие по сравнению с масштабом сглаживания 2л/?,
т. е. удовлетворяющие условию
2к | sin 9/21 ;> 2jt/Z,, w B6.50)
и считая функцию Fnn{k) в окрестности точки k = K — fcq доста-
достаточно гладкой, сглаживанием по волновому пространству в фор-
формуле B6.49) можно пренебречь. В таком случае
00* = 8rtVFnn (к — tcq). B6.51)
Эта формула показывает, что в рассеянии на угол 9 принимает
участие лишь одна спектральная компонента турбулентности, соот-
соответствующая волновому вектору k = K — tcq. Турбулентные неодно-

566 . ГЛ. IX. ТУРБУЛЁНТНОСГЬ И ВОЛНЫ [26.3
родности, описываемые этой спектральной компонентой, образуют
бесконечную синусоидальную пространственную дифракционную ре-
решетку с периодом /(8), определяемым формулой
где >, = 2л;/я: — длина падающей волны. Соотношение B6.52) является
известным уравнением Брэгга — Вульфа из теории дифракции в кри-
кристаллах, определяющим угол дифракции 9 в главном максимуме
(дифракция в главном максимуме может быть описана как «отраже-
«отражение» от кристаллических плоскостей, перпендикулярных вектору
к — щ\ векторы к и q направлены к этим плоскостям под одина-
одинаковыми углами «падения» и «отражения»). Интерпретация выражения
для эффективного сечения рассеяния волн при помощи уравнения
Брэгга — Вульфа предлагалась, в частности, в работах Рытова A937),
Обухова A941в) и Татарского A959а, б, 1967).
Турбулентные неоднородности, сосредоточенные в объеме V, фак-
фактически образуют набор синусоидальных пространственных дифрак-
дифракционных решеток с конечными размерами порядка L. При
дифракции на каждой из этих решеток образуется расходящийся
пучок лучей с эффективной угловой шириной порядка 69—XfL. Бла-
Благодаря этому в рассеянии на угол 9 принимает участие целый набор
дифракционных решеток конечных размеров с близкими периодами.
Однако при условии B6.50), которое может быть переписано в виде
-?- <С! 2 sin (9/2), угловым расширением дифракционных пучков можно
пренебречь. Иначе говоря, в этом случае решетки можно рассматри-
рассматривать как бесконечные, что и позволяет пользоваться приближенной
формулой B6.51) вместо точной формулы B6.49).
Формула B6.51) выведена нами при условии, что случайное
поле п'(х) является хотя бы приближенно однородным в объеме V.
Однако мы убедились, что это требование отнюдь не является не-
необходимым, так как рассеяние на не слишком малые углы 9, удовле-
удовлетворяющее условию B6.50), определяется лишь одной спектральной
компонентой турбулентности и никак не зависит от свойств осталь-
остальных спектральных компонент. В частности, при условии
2к | sin (9/2) | ;> 2яД,0, B6.53)
где LQ — внешний масштаб турбулентности, формула B6.51) остается
справедливой и в случае локально изотропного поля п'(х), который
только мы и будем рассматривать далее.
Рассмотрим в качестве примера вопрос о рассеянии электромаг-
электромагнитной волны из сантиметрового диапазона длин волн на объеме V,
содержащем турбулентность. Пользуясь для коэффициента преломле-

26.3]
§ 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
567
ния п! формулой B6.3) и считая турбулентность локально изотроп-
изотропной, получаем 1)
Fnn(K-кд) = А>[FTTB*sin j)
Д9р_/ J5^0?\ B^
**sin
7800
B6.54)
где FTT{k) и F^{k)—трехмерные спектральные плотности полей тем-
температуры и удельной влажности, имеющие соответственно вид
Er(k) EAk)
' , 2 и . . 2 (здесь ET{k) и ?<)(&)— спектры, описывающие рас-
распределение квадратов ампли-
амплитуд пульсаций по волновым
числам k).
В инерционном интервале
спектра турбулентности, т. е.
при условии
Рис. 106. Схема эксперимента по рас-
рассеянию радиоволн в тропосфере.
B6.55)
где т) — внутренний масштаб турбулентности, можно полагать FTT (k) =
(rW-1^-5/3 и ^W = B(^W<^-1/3^5/3,j^e B^ и (»>
словые постоянные порядка единицы, &Nt = 1t (V71J и ^ =
параметры, характеризующие скорость выравнивания неоднородностей
полей температуры и удельной влажности в результате молекулярных
эффектов. Используя это обстоятельство, по формулам B6.17), B6.51)
и B6.54) получаем
B6.56)
Формула, эквивалентная B6.56), была получена Силверменом A956).
Рассмотрим следующую схему эксперимента по исследованию рас-
рассеяния радиоволн в тропосфере (рис. 106). Пусть радиопередатчик А
имеет остронаправленную антенну с эффективной угловой шириной
диаграммы направленности у (например, антенна излучает радиоволны
в круглый конус с углом раствора у), а приемник В также имеет
остронаправленную антенну с такими же характеристиками, причем
') Здесь мы пренебрегаем вкладом в правую часть от возможной кор-
корреляции между пульсациями температуры и удельной влажности; этого можно
избежать, если рассматривать пульсации коэффициента преломления (изме-
(измеряемые рефрактометром) и использовать их спектральную функцию.

568 гл. ix. турбулентность и волны [26.3
обе эти антенны направлены на точку О, находящуюся от Л и В на
одинаковом расстоянии D. Угол между направлениями АО и О В обо-
обозначим 9. При этом приемник сможет принимать радиоволны, рас-
рассеянные объемом V (на чертеже заштрихован), образованным пересе-
пересечением двух конусов, и 9 будет средним углом рассеяния. Плотность
потока энергии радиоволн в центре рассеивающего объема будет
в D2 раз меньше, чем около передатчика; лишь часть do этой энергии
будет рассеяна в телесный угол dQ по направлению на приемник.
Окойо приемника, т. е. на расстоянии D от рассеивающего объема,
рассеянная энергия распределится по площади D2dQ, так что плот-
плотность Р' потока рассеянной энергии около приемника будет
1 da
в -рх • -зтг раз меньше, чем плотность потока энергии около передат-
передатчика. В то же время при отсутствии рассеяния плотность Ро потока
энергии на расстоянии 2D от передатчика (на прямой АО) была бы
лишь в 1/4D2 раз меньше, чем плотность потока энергии около
передатчика. Таким образом,
?L — — ^2- Г26 57^
0 и-ее
В случае у < 9 величина V рассеивающего объема, образованного
пересечением двух круглых конусов, определяется формулой
siny
v-f
При у < 9 <^ 1 приближенно получаем V ж 2D3y3/39. Рассмотрим
случай, когда передающая и приемная антенны направлены на гори-
горизонт (так что направление АО перпендикулярно вертикали в точке Л).
При этом D«/?9/2 и, следовательно, V ж D2Rys/3, где R — радиус
Земли. Учитывая это обстоятельство и подставляя B6.56) в B6.57),
получаем
B6.59)
Здесь мы дополнительно учли, что при 9<^1 угол а между напра-
направлением поляризации падающей волны и направлением рассеянной
волны близок к прямому, так что sina^l
Чисхольм и др. A955) опубликовали результаты систематических
измерений величины Я'/Л)» характеризующей тропосферное рассеяние

26.3] § 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 569
радиоволн, которые были проведены по изложенной выше схеме при
D»150 км, Х = ЪЛ7 см, y = 0,012, 9 = 0,048. Высота центра О
рассеивающего объема над поверхностью Земли при этом равнялась
1,5 км. Размеры неоднородностей, создающих рассеяние, можно
оценить по формуле B6.52), т. е. l^XjQ^XJ м. Такие размеры
заведомо относятся к инерционному интервалу спектра масштабов
турбулентности, так что использование формулы B6.56) и вытекаю-
вытекающей из нее формулы B6.59) для расчета наблюдаемого эффекта
вполне законно. Результаты измерений Чисхольма показывают, что
тропосферное рассеяние имеет отчетливый годовой ход с максимумом
летом и минимумом зимой, причем значения P'/Pq меняются от лета
к зиме на два-три порядка. Полученные по этим данным оценки
метеорологического параметра, входящего в формулы B6.56) и B6.59)
(множитель в квадратных скобках), по порядку величины согласуются
с другими косвенными оценками и с имеющимися результатами пря-
прямых измерений структурных характеристик атмосферной турбулент-
турбулентности. Однако следует заметить, что, наряду с рассеянием радиоволн
на турбулентных неоднородностях, при измерениях величины P'jPq
регистрируются также и другие эффекты, как, например, отражение
радиоволн от инверсионных слоев, которые в ряде случаев могут
вносить в Р'/Ро доминирующий вклад.
Переходя к рассмотрению вопроса о рассеянии звуковой волны
на объеме V, содержащем турбулентность, вычислим прежде всего
спектральную функцию Fnn(k) комплексного коэффициента преломле-
преломления n't определяемого формулой B6.42), считая турбулентность ло-
локально изотропной. Такое вычисление можно провести строго с по-
помощью спектральных представлений локально изотропных полей и' (jc)
и Т' (х). Однако мы воспользуемся менее строгим, но более нагляд-
наглядным приемом, а именно, временно допустим, что турбулентность является
не только локально изотропной, но и изотропной, и сначала вычислим
корреляционную функцию поля п' (х), а уже по ней — спектральную
функцию. Окончательный результат при этом будет справедлив
и в случае локально изотропной, но не изотропной турбулент-
турбулентности.
Для корреляционной функции поля п'(х) с помощью формулы
B6.42) получаем
n'(xl)n'*(x2) =
-Л L МЛ л-' д \ K(*iK(
так как поля скорости и температуры можно считать некоррелиро-
некоррелированными. Полагая хх — лс2 = г, мы можем переписать предыдущую

570 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [26.3
формулу в виде
Пользуясь спектральными представлениями корреляционных функций
полей скорости и температуры
и аналогичной формулой B6.48) для Впа(г), получим
/ *„\2 Г/ **\ Р&) Ртт(Ь)Л
'-«-('-т) К'-7)-т-+-а^]- <26-61)
где ЛЛ = А • к\к— компонента волнового вектора k по направлению к
распространения падающей волны, a F(k) — E(k)l4nk2 и FTT(k) =
= ET(k)l4nk2 — спектральные функции полей скорости и температуры.
Из формул B6.60) и B6.61) видно, что поле п'(х) комплексного
коэффициента преломления для звуковых волн не является локально
изотропным: его статистические характеристики, вообще говоря, за-
зависят от направления к распространения падающей волны.
Полагая в формуле B6.61) k = tc — fcq и учитывая, что при этом
к = \к — Kq\ = 2K\ sin 9/2 | и, кроме того,
— К у 1 —•"• COS v^«
получаем
Г 9 F Bл: sin 9/2) FTT Bк sin 6/2I
Fnn (к - uq) = cos2 9 cos2 - -± ^ + TT ** ' • B6-62)
При условии B6.53) эту формулу можно считать справедливой
в общем случае локально изотропной турбулентности. В этом случае
с помощью формул B6.45), B6.51) и B6.62) получается следующее
выражение для среднего значения эффективного сечения рассеяния
объема V:
__ I F [Ъс sin ~) F (ъс sin |-) I
do = 2m*V cos2 6 cos2 — -i—^±1 -\ v _2 Z} dQ. B6.63)

26.3]
26- РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
571
Эта формула показывает, в частности, что рассеяния на угол 0 = 90°
не происходит !), а рассеяние «назад» (т. е. на угол 8= 180°) осуще-
осуществляется лишь пульсациями температуры, но не скорости. В инер-
инерционном интервале волновых чисел k = 2к | sin (8/2) |, т. е. при условии
B6.55), можно полагать E{k) = C^lzk"b(b и {T)l/353
и формула B6.63) принимает вид
e
г
4
sin-
-11/3
dQ
B6.64)
(см. Крейчнан A953), Монин A961)).
Согласно формулам G.93) части 1, на высоте z в приземном
- и3 - ки Т2 z
слое воздуха е=~Ф8@и^ = —Т^ФууЙ)» гДе ? = 7
параметр термической устойчивости, причем при ?->Q (т. е. при при*
ближении к условиям безразличной термической стратификации воз-
воздуха) значения фе(?) и q>N(?) приближаются к единице. В соответ-
соответствии с этим формула B6.64) для приземного слоя воздуха приводится
к виду
1 do 24/3 ^^ * ~1/3 г -2
VdQ~
+ ¦
/W т2
L c
1
Флг(ОФГ1/3 @ cos* 9
а
sin |
Г11/3
B6.65)
Значения метеорологического параметра, входящего в эту фор-
формулу (множитель в квадратных скобках), при каждом фиксирован-
фиксированном 8 могут быть определены по данным измерений профилей ско-
скорости ветра и температуры.
1) Точнее говоря, рассеяние на угол 6 = 90° оказывается весьма малым:
оно определяется малыми слагаемыми порядка (и'/с0J в выражении для я',
которыми в процессе вывода формулы B6.42) мы пренебрегали. В частности,
если бы мы сохранили во втором уравнении B6.37) последнее слагаемое,
содержащее турбулентные пульсации давления (величину П7 « р1jpcfy то
в выражении B6.42) для п' появилось бы слагаемое -*—-.— > а в формуле
ZK OXfo
F
B6.63) для do — слагаемое 2ntc*V sin4
2 i
ральная функция давления. Это слагаемое вносит наибольший вклад в рассея-
рассеяние «назад», но оно отлично от нуля и при 6=90°. В инерционном интервале
dQ, где Fpp — спект-
I в
значений 2к sin —
оно имеет вид
6/3с^ j at sin (в/2) I1/3 *

572
Рис. 107. Посылаемый
импульс (/) и прини-
принимаемые прямой B) и
рассеянный C) им-
импульсы на экране ка-
катодного осциллографа
в экспериментах Кал-
Каллистратовой по рас-
рассеянию звука в при-
приземном слое воздуха.
ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [26.3
Экспериментальное исследование рассеяния
звуковых волн на турбулентных неоднородно-
стях в приземном слое воздуха было осуще-
осуществлено Каллистратовой A959, 1962). Экспе-
Эксперименты ставились по схеме рис. 106, причем
при измерении рассеяния на углы 8= 15°-f-30°
расстояние между излучателем и приемником
звука бралось равным 140 м, при 8 = 20°-f- 50°
оно равнялось 80 м, при 6 = 30°—-70° со-
составляло 40 j и при 9=: 70°--- 130° равня-
равнялось 20 м\ при измерении же рассеяния «на-
«назад» звуковые лучи направлялись почти вер-
вертикально вверх, и регистрировались волны,
рассеянные на высоте около 12 м. В качестве
излучателя и приемника звука использовались
специально сконструированные конденсаторные
преобразователи с твердым диэлектриком, имев-
имевшие вид прямоугольных щитов площадью
около 1 м2 и дававшие направленное излу-
излучение с углом раствора диаграммы направлен-
направленности в несколько градусов. Изучалось рассея-
рассеяние звуковых волн с частотой 11 кгц, чему
соответствует длина волны А, = 3 см. Мас-
Масштабы турбулентных неоднородностей, ответ-
ответственных за рассеяние волн такой длины, со-
согласно формуле B6.52). менялись от 12 см до
3 см при 9= 15°ч-60° и от 3 а до 1,5. см
при 8 = 60° -г- 180°. Поскольку внутренний
масштаб турбулентности ц в приземном слое
воздуха имеет величину порядка миллиметров,
можно полагать, что рассеяние на углы
8 < 60° в экспериментах Каллистратовой опре-
определялось турбулентными неоднородностями из
инерционного интервала спектра и, следова-
следовательно, могло быть описано формулой B6.65).
В случаях же, когда 8 > 60°, зондировалась уже
турбулентность с меньшими масштабами, чем
в инерционном интервале, и поэтому следовало
1 За
ожидать, что здесь значения -тт-Уа* подсчитан-
подсчитанные по формуле B6.65), окажутся завы-
завышенными.
В описываемых экспериментах звуковые
волны излучались в форме коротких импульсов
продолжительностью т=1,5 мсек, повторяв-

26.3]
§ 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
573
шихся с частотой 30 гц. При этом в каждый момент в рассеянии
звука принимала участие лишь часть заштрихованного на рис. 106
объема и фактическая величина рассеивающего объема составляла
около 3 мг. Приемная ап-
аппаратура позволяла реги-
регистрировать звуковые ко-
колебания до 10~14от мощ-
ности излучаемого звука.
В качестве примера на
рис. 107 приведены фото-
фотографии посылаемого им-
импульса и принимаемых
прямого и рассеянного им-
импульсов на экране, катод-
катодного осциллографа для
углов рассеяния 9 =
= 20°-*-45 при расстоя-
расстоянии между излучателем
и приемником 40 м.
Результаты экспери-
экспериментов подтверждают вы-
высказанные выше теоре-
теоретические предсказания.
Средние по различным
108 180
Рис. 108. Индикатриса рассеяния звука на тур-
турбулентных неоднородностях в приземном слое
воздуха по Каллистратовой A962). Сплошная
линия соответствует формуле B6.66).
10 см
-1
метеорологическим условиям значения-гг -^г- составили 0,6
при 8 = 25°, что хорошо согласуется с оценкой по формуле B6.65),
и 3,4 • 10~~12 см при 8= 180°—на полтора порядка меньше, чем
по формуле B6.65).
На рис. 108 приведена средняя индикатриса рассеяния звука —
J = 1//Q4
в децибелах A дб = 20 lg — I от
больших 8
зависимость « t//Q4 . /осоч
V \KJ) пО \4о )
угла 8. Согласно B6.65), при не слишком больших W влиянием
температурных пульсаций на рассеяние звука можно пренебречь, и
тогда
cos
J=
2 -|- cos2 6 I
sin
е
-11/3
COS2
25°
2
cos2 25°
sin
25°
-п/з
дб.
B6.66)
Соответствующая кривая проведена на рис. 108 сплошной линией.
Видно ее хорошее согласие с эмпирическими данными. Однако
при 8 > 60°, за исключением областей 8 ^60° и 6^ 180°, кривая
B6.66) идет несколько выше экспериментальных точек, хотя в ней
не учитывается вклад температурных пульсаций в рассеяние звука.

574 гл. ix. турбулентность и волны [26.4
26.4. Флюктуации амплитуды и фазы электромагнитных
и звуковых волн в турбулентной атмосфере
В настоящем параграфе мы займемся изучением статистических
характеристик флюктуации амплитуды у/ и флюктуации фазы S'
плоской электромагнитной или звуковой волны, распространяющейся
в турбулентной атмосфере. Воспользуемся для этой цели уравнением
B6.29), которому удовлетворяет функция ф' = %' -f- iS'. Отделив
в этом уравнении действительную и мнимую части, получим
Дх'_2к^«= —2*?*!, Д5'4-2*^ = — 2к2п2, B6.67)
откуда
(Д* + 4**^) Х'= - 2«* (ДЛ1 + 2«-^).
где ось Ох совпадает с направлением распространения падающей
волны, А =-*-?-[--r-j-» а пг -\- 1п2 — п' — флюктуации коэффициента
преломления. Для электромагнитных волн /12 = 0, а пх = пг опреде-
определяется формулой B6.3). Для звуковых волн, согласно B6.42),
B6-69)
где и' — пульсации .^-компоненты скорости турбулентного движения
воздуха.
Будем снова считать, что турбулентность имеется лишь в области
х > 0 (так что плоскость х = 0 является границей турбулентной
области). Случайное поле пх (х) в этой области будем считать ло-
локально изотропным. Случайные поля х'С*) и $'(*) нельзя считать
локально изотропными, так как для них направление Ох является
выделенным. Однако их можно считать локально изотропными в пло-
плоскостях *=»=: const. Нашей основной задачей будет вычисление спек-
спектральных функций полей х'(х) и S'(x) в фиксированной плоскости
x = L
Такое вычисление можно осуществить с помощью уравнений
B6.68), воспользовавшись спектральными представлениями двумерных
локально изотропных полей пг(х), %' (х) и $'(х) в плоскостях
х = const, аналогичными описанным в § 13 спектральным предста-
представлениям локально изотропных полей в трехмерном пространстве.
Однако мы воспользуемся менее строгим приемом и временно допу-
допустим, что эти поля являются однородными в плоскостях х = const
(а поле пг(х) — однородным во всем пространстве), и для них суще-

26.4] S »• РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 575
ствуют корреляционные функции
i) л, (х2) = ?„,„, (Р! — р2; | *, — х2 |) =
B6.70)
—P2; *i. *a) =
где д: = (л:, у, 2), р = (у, ,г) — радиус-вектор в плоскости (у, г),
Л—-соответствующий двумерный волновой вектор, а верхний индекс B)
при F указывает, что речь идет о двумерных спектральных плотно-
плотностях. В первой из формул B6.70) мы дополнительно воспользова-
воспользовались тем, что статистические характеристики поля пх(х) должны
быть инвариантными относительно выбора направления на оси Ох.
Рассмотрим сначала более простой случай электромагнитной волны,
в котором /i1 = /i/, /г2 = 0. Обратимся к первому уравнению B6.68).
Запишем это уравнение для точек хг и х2, перемножим соответ-
соответственно левые и правые части полученных двух уравнений и затем
применим операцию осреднения. В результате получится
(р, — р2; | jc, - х21).
Пользуясь спектральными представлениями корреляционных функций
B6.70), получим
Мы считаем, что плоскость л; = 0 является границей турбулентной
области, так что при л; = 0 флюктуации п', у/, S' равны нулю,
а потому, согласно уравнениям B6.67), равны нулю и производные
•^- и -г—. Отсюда следует, что при хх=в0 или при д:2 = 0 функ-
функция F^[(k; xv x2) и ее первые производные по хг и х2 тождественно
обращаются в нуль. При этих краевых условиях полученное уравне-
уравнение относительно F^(k\ xv x2) нетрудно решить, например, методом

576 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [26.4
функций Грина. Соответствующее решение, записанное в точке хх =
= x2 = L, имеет вид
JJ
О О
B6.71)
Здесь в дальнейшем мы для краткости обозначаем символом /7B) (k)
величину F^2)(k; L, L). Нетрудно убедиться, что аналогЛная фор-
формула для F(ss(k) отличается от полученной формулы для F^(k) лишь
заменой обоих синусов под знаком интеграла на косинусы. Выпол-
Выполнив в этих формулах интегрирование по |-+-С получаем
B6.72)
Можно показать, что эти формулы остаются справедливыми и
в общем случае локально изотропной турбулентности. Впрочем, из
B6.72) следует, что для изотропности поля флюктуации амплитуды
волны в плоскости x = L и существования ограниченной корреля-
корреляционной функции ?хх(/*) этих флюктуации достаточно наложить на
спектральную функцию показателя преломления лишь весьма незна-
незначительное ограничение. В самом деле, для существования В%%(г),
очевидно, достаточно, чтобы спектральная функция F$(k) стреми-
стремилась к конечному пределу при к—>0. Но при k->0 множи-
множитель в квадратных скобках в первой формуле B6.72) для F$(k)
стремится к нулю пропорционально А4, так что для существования
В%х(г) достаточно, чтобы спектральная функция показателя прело-
преломления росла при й->0 не быстрее, чем &~4. В случае локально
изотропной турбулентности это условие выполняется, так как спек-
спектральная функция показателя преломления растет с убыванием к не
быстрее, чем А1'*8. В то же время предполагать, что существует
корреляционная функция флюктуации фазы волны, в случае локально
изотропной турбулентности нет оснований, и далее мы будем рас-
рассматривать, как правило, лишь структурную функцию флюктуации
фазы.

26.4] § 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 577
Формулы B6.72) можно существенно упростить, воспользовав-
воспользовавшись тем, что при больших значениях k\ величина F^n(k; ?) очень
быстро стремится к нулю. Действительно, эта величина характери-
характеризует корреляцию между неоднородностями коэффициента преломления
с масштабами порядка \[k в двух плоскостях х — const, отстоящих
друг от друга на расстояние |. В достаточно малых масштабах не-
неоднородности коэффициента преломления приблизительно изотропны,
так что указанная корреляция остается заметной лишь на расстоя-
расстояниях ?, не превышающих по порядку величины масштаба неоднород-
ностей 1/&. Поэтому при kl^$> 1 величина F^l(k\ l) становится
весьма малой по сравнению со своими значениями при &?<^1. Таким
образом, основной вклад в интегралы B6.72) вносит область |<^ 1/&.
В этой области -гг^^^-п-—-тг, <^1. согласно принятому выше
ур
при выводе уравнения для ф' = х'-М5' условию B6.19), и, следо-
вательно, можно полагать sin -^ ~ _* и cos ^_z- ~ 1. Если L < 1/&,
то такое упрощение можно осуществить при любом | из интервала
0<^?<^Z,. Если же 1/й</„ то такое упрощение законно лишь на
интервале 0<^?<^1/й, но его можно применить и на интервале
1/*^!^^» так как этот интервал все равно не вносит сколько-
нибудь существенного вклада в интегралы B6.72) вследствие малости
Fnn(k\ Е) при ?> 1/&. В результате указанного упрощения формулы
B6.72) принимают вид
J
О
L
B6.73)
Формулы B6.73) относятся к флюктуациям при распространении
электромагнитных волн. В случае звуковых волн, для которых вели-
величины пг и /г2, входящие в правые части уравнений B6.68), опреде-
определяются формулами B6.69), аналогичный расчет приводит для F$(k)
и F^sik) к формулам, отличающимся от B6.72), B6.73) лишь заме-
заменой Ffn(k\ I) на (l — -^rj F™ni(k; I). Все наши рассуждения огра-
ограничены условием B6.19), согласно которому к1к<^\, так что
A —"от) ^ *» и» следовательно, в случае звуковых волн следует
лишь заменить в B6.72) и B6.73) Ff]n(k\ I) на /f^(*; |).
37 А. С. Монин, А. М. Яглом

578 гл. ix. турбулентность и волны [26.4
Если рассматривать статистическую структуру случайных полей
X* (х) и S'(x) в плоскости x — L лишь в масштабах, малых по срав-
сравнению с L, т. е. принять условие
1/*<С?, B6.74)
то формулы B6.73) можно подвергнуть дальнейшему упрощению.
Основной вклад в интегралы B6.73) вносят значения ?^1/й или,
при условии B6.74), значения |<^Z,. При этом выражения в квад-
квадратных скобках в формулах B6.73) могут быть заменены соответ-
ственно на 1 —"p7rsin и ' "F7"sin и вынесены из-под
знаков интегралов. Остающиеся интегралы от функции F{%l(k; I)
берутся по всем значениям ?, при которых эта функция не слишком
мала; не меняя существенно значений этих интегралов, их можно
распространить на область 0<^|< оо. Из справедливого для локально
изотропного поля п'(х) спектрального разложения
F(nl(ft; I) = J cosft,| Fnn {УЩТЩdkv
—оо
где Fnn(k)— трехмерная спектральная функция поля п'(х), вытекает
оо
= ^J'cos*,!/>?!(*
О
соотношение
Полагая здесь кг = 0, убеждаемся, что интеграл от F® (k; l) по
области 0^|< оо равен nFnn(k). Таким образом, в случае локально
изотропной турбулентности при условии B6.74) получаем
Fnn (Л),
/ ьи\ B6.75)
F{& (k) = wfiL (l+jk^^irjFnn (*)•
Эти формулы были впервые получены Татарским A959а).
В случае звуковой волны поле пх(х) локально однородно, но не
является локально изотропным, так как направление х падающей
волны для него является выделенным. Интеграл от F®ai(b', l) по
области 0 ^ |< оо в этом случае равен произведению я на значе-
значение трехмерной спектральной функции поля пг(х) при Л1 = 0, где
kx — компонента волнового вектора по направлению х. Вспоминая
вывод формулы B6.61), нетрудно убедиться, что в случае звуковой

26.4] § 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 679
волны функцию Fnn(k) в формулах B6.75) следует* заменить на
фуНКЦИЮ 2 1 ?f2 *
Вид спектральных функций B6.75) существенно зависит от зна-
значения масштаба "j/^Z, (являющегося радиусом первой зоны Френеля),
с которым мы уже встречались в п. 26.1. Пусть этот масштаб много
меньше внутреннего масштаба турбулентности т] (так что выполняется
условие B6.31), при котором можно пользоваться приближением
геометрической оптики). Мы ограничимся рассмотрением структуры
полей х'(х) и ?'(•*) в масштабах, больших по сравнению с |/ТГ,
которым соответствуют волновые числа k<^-j=r. При этом вы-
k2L
полняется условие <С! Ь благодаря чему формулы B6.76) суще-
ственно упрощаются и принимают вид
Fnn(k),
B6.76)
Отсюда видно, что при У"А,/,<^/0 флюктуации амплитуды волны не
зависят от ее частоты и пропорциональны кубу расстояния, прой-
пройденного волной в турбулентной среде; флюктуации фазы пропорцио-
пропорциональны квадрату частоты и первой степени расстояния. Максимум
функции F$(k)— k4Fnn(k) достигается вблизи от точки & = 2я//0,
так что характерный масштаб неоднородностей поля X' (х) в этом
случае близок к внутреннему масштабу турбулентности т|, тогда как
характерный масштаб неоднородностей поля S'(x) таков же, как
у поля п' (jc), т: е. равен внешнему масштабу турбулентности Lo.
Рассмотрим теперь случай, когда масштаб ]/^Z, принадлежит
инерционному интервалу спектра турбулентности, т. е.
В этом случае множитель 1 гтг8*11 в формуле B6.75) для
)» рассматриваемый как функция от k, имеет максимум вблизи
от точки k — 2nlYkL, т. е. в инерционном интервале спектра. Макси-
Максимум функции ^хх(^) также достигается около этой точки, так что
характерный масштаб неоднородностей поля х' С*) в плоскости х = L
имеет порядок величины ]/^Z, (а характерный масштаб неоднород-
неоднородностей поля S' (х) по-прежнему равен Lo).
Если, наконец, "j/^Z^^A)' т0 основной вклад в спектр флюк-
флюктуации логарифма амплитуды вносят крупномасштабные неоднород-
неоднородности с масштабами / из интервала L0^l^Y^L. О статистической
структуре полей х'(х) и S'(х) в меньших масштабах, т. е. при
37*

580 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [26.4
к > 2я//,0, можно извлечь ряд выводов из формул B6.75), учтя, что
k?L 2 2 2
в рассматриваемом случае == 2nk XL ^> 2nk Lq ^> 1 > так что
к
Ik k2L \
-^rSin hC1- Поэтому при &>2jt/Z,0 имеем
й b (А). B6.77)
Иначе говоря, при У"А,?^>?о и ft > 2я//,0 спектральные функции
логарифма амплитуды и фазы волны равны друг другу и пропорцио-
пропорциональны квадрату частоты волны и расстоянию, пройденному волной
в турбулентной среде.
Формулы, аналогичные B6.75), исходя из других соображений,
были получены также Таунсендом A965), однако он не обратил вни-
внимания, что основной масштаб флюктуации определяется радиусом
первой зоны Френеля.
Изложенные результаты о спектральных функциях флюктуации
амплитуды и фазы волны не поддаются прямой экспериментальной
проверке, так как пространственные спектральные функции не удается
измерять непосредственно. Однако прямому измерению доступны вре-
временные спектральные функции, характеризующие спектральный состав
флюктуации амплитуды и фазы волны в фиксированной точке потока.
Эти флюктуации имеют следующее происхождение. Согласно условию
B6.4), ограничивающему рассматриваемые нами расстояния Z, в те-
течение времени Ljc, затрачиваемого волной на прохождение расстоя-
расстояния Z,, гидродинамические поля турбулентности практически не изме-
изменяются, так что поля х'(х) и 5'(jc) в плоскости x = L определяются
мгновенным полем турбулентных пульсаций в слое Q<^x^L.
В течение периодов времени, значительно превосходящих Цс, турбу-
турбулентность в слое 0 ^ х <; L изменяется как благодаря переносу пуль-
пульсаций как целого средним ветром, так и благодаря эволюции инди-
индивидуальных турбулентных элементов. Поэтому изменяются и значения
Х' и S' в точках плоскости x = L.
Далее мы займемся определением временнбй спектральной функ-
функции логарифма амплитуды волны в фиксированной точке плоскости
x — L при условии y^Z, <^ Lo. При этом условии характерный
масштаб / неоднородностей поля %' (х) также будет много меньше Lo
(так как /~т] при |/XZ<Cn и /~^XZ при ц<^|/"?Z<^L0)t и
характерная амплитуда соответствующих компонент турбулентного
поля скорости vt—Че/I/3 будет много меньше полной скорости
потока v~(eL0)l/z. Поэтому время x = ljv, в течение которого со-
сохраняется корреляция между значениями у/ в фиксированной точке,
будет много меньше характерного времени %l=zljvl эволюции инди-
индивидуальных неоднородностей поля %' (х). Следовательно, для опреде-
определения временнбй спектральной функции логарифма амплитуды при

26.4] § 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 581
условии j/^Z,<^Z,0 нам достаточно учесть лишь перенос поля тур-
турбулентности средним ветром, а эволюцией индивидуальных турбу-
турбулентных элементов можно пренебречь (т. е. считать турбулентность
«замороженной»).
Пусть и — компонента скорости среднего ветра в направлении Ох
распространения волны, a v—в перпендикулярном направлении. Тогда
при условии v/u^YX/L переносом турбулентных образований вдоль
направления х при определении временнбй структурной функции
величины %' можно пренебречь, так как за время т =//т/<^ )/"А,/,Д>
продольное перемещение турбулентных неоднородностей их будет
мало по сравнению с I и мало скажется на значениях х'(х) в пл0"
скости x = L. Поэтому колебания величины %' в фиксированной
точке плоскости x = L определяются неоднородностями распределе-
распределения х' на прямой J& в этой плоскости, соответствующей направле-
направлению перпендикулярной к оси Ох компоненты среднего ветра. Одно-
Одномерная пространственная спектральная функция величины у' на ПРЯ"
мой J3? определяется формулой
где k2 — компонента волнового вектора k по направлению прямой «5\
С помощью гипотезы «замороженной турбулентности» мы можем
определить временною спектральную функцию величины у/ формулой
где <*>— частота, v — средняя скорость ветра в направлении
Пользуясь для /^(й) формулой B6.75), получаем
XX у
v V2ji/
X
<2)iF Го ,/2яA+^Г1 ..
l пп[ У—п:—\dt-
где Q = ~ 1/ безразмерная частота. Поскольку при малых
v f 2л
значениях аргумента Q у Л Х7~ функции Fnn первый множитель
в подынтегральной функции очень мал, функция F% (а>) практически

582 гл. ix. турбулентность и волны [26.4
не зависит от крупномасштабной структуры турбулентности и опре-
определяется лишь компонентами турбулентности из равновесного интер-
интервала спектра. При этом получающиеся результаты оказываются слабо
зависящими от точного закона затухания спектра за пределами инер-
инерционного интервала (который к тому же плохо известен). Поэтому
достаточно рассмотреть в качестве примера простую модель, в которой
затухание спектра пульсаций коэффициента преломления при k^l/ц
задается множителем ехр {—arfk2}, где а — безразмерная постоянная
порядка единицы (ср. п. 22.3 и, в частности, формулу B2.73) на
С2
стр. 399). Иначе говоря, мы будем считать, что Fnn (k) = ^~ /Г11/3 X
{— aif&2} при k^> 1/Z,O, где в случае радиоволн C2n=A2(B(T)Nr+-
2)l/3 (см. формулу B6.56)), а в случае звуковых волн
Сд=—Ц 1 =s . Подставив указанную формулу для Fnn(k)
с0 4Т
в формулу B6.79), последнюю можно привести к виду
х Г
где б = т))^2яа/А,?. Интеграл в этой формуле выражается через функ-
функции Уиттекера, после чего для спектра получается выражение
1 (?±у QЧ/,.* {6/Q/r_2/3, _2/3
F2+if ,-ш'/2Г_7/6, _7/6 [Q2F2+0]}- B6.80)
Пользуясь свойствами функций Уиттекера, в пределе при <»->0
получаем
С2„к3 /XL\V3
F @) = -^-(—\ К (б).
П 4 \2п} B681)
|)(|)/3
Рассмотрим подробнее ?войства спектральной функции B6.80)
в случае, когда масштаб rf*kL принадлежит инерционному интервалу
спектра, т. е. Z0^>]A,? ^>ti (функция F%x(<*>) для этого случая
изучена в монографиях Татарского A959а, 1967)). При этом6<^;1.
Если Q <^ 1, то значения функции F%% (со) близки к величине F%% (со),

26.4) % 26- РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 583
определяемой формулой B6.81), причем /С(б) « /С@) = -§^
Если \<^Q<^\jb (и, следовательно, со^^/Л)» то из B6.80) по-
получается
/я ГA/3) Cite3 /XL\V3 ЯА
F (со) « -1 1LJL^_ —) Q-8/3. B6.82)
xxV ' 10 ГE/6) if \2я/ v ;
Таким образом, в рассматриваемой области значений Q спектральная
функция убывает с ростом частоты; поскольку при Q <^ 1 она воз-
возрастает, можно заключить, что максимум спектральной функции до-
достигается при значениях Q порядка единицы. Наконец, если Q ^> 1/6,
то из B6.80) получается
Z). B6.83,
Аналогичные выводы можно получить и для случая, когда масштаб
]/TZ~ принадлежит интервалу диссипации, т. е. У XL <СП- При
этом 6^Ь>1. Если Q<^l/6, то значения функции Fvy((d) близки
к ^@), причем в B6.81) можно полагать /СF) ^ ~-
Максимум функции Fxx(<o) достигается при значениях Q порядка 1/6
(т. е. при значениях ю порядка v/t0). Если Q^>1, то справедлива
формула B6.83).
Зная спектральную функцию ^хх (<»>), мы можем вычислить средний
квадрат флюктуации амплитуды волны. Пользуясь формулой B6.78),
получаем
00 ОО
х'2 = J рп (©) da) = 2я J Fgl (k) k dk. B6.84)
Вспоминая первую формулу B6.75) и полагая, как и выше, Fna(k)—
С2
1j
С2
= 1jft-11/3exp{—ariV}, находим
[
B6.85)
Интеграл ^(Ь) может быть вычислен путем разложения множителя
1 — ±?? в степенной ряд, почленного интегрирования и последующего

584 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [26.4
суммирования получающегося ряда. При этом получается
При 6<^1 (т. е. при значениях масштаба ]/\? из инерционного
интервала А0Э>1ДГ»п) получаем 3> F) » & @) = -g- Г (I) X
9яг/1\.11я
гЫ8Ш
X sin-уо- » так что
В этом случае среднее квадратичное значение флюктуации логарифма
амплитуды о% растет с расстоянием L пропорционально Z,11/12. Этот
результат был получен Татарским A9566). Наоборот, при6^>1
(т. е. при Y%L <Сл) получается -^ (б)» -gg"r ("g*) б-7/3» так что
<26-87>
В этом случае а% растет с расстоянием пропорционально Z,3/2.
Остановимся вкратце на определении временнбй спектральной
функции флюктуации фазы волны. Вспоминая формулы B6.75) и вывод
формулы B6.79), можно утверждать, что при достаточно больших
частотах (при которых справедлива гипотеза «замороженной турбу-
турбулентности») эта спектральная функция определяется выражением,
отличающимся от B6.79) лишь заменой знака минус в квадратных
скобках под знаком интеграла на плюс. При малых частотах (о
спектральная функция флюктуации фазы существенно зависит от осо-
особенностей крупномасштабной структуры турбулентности, но при боль-
больших частотах (при значениях (о/v из равновесного интервала спектра
волновых чисел) спектр флуктуации фазы определяется лишь компо-
компонентами турбулентности из равновесного интервала и может быть
определен формулой, отличающейся от B6.80) лишь заменой знака
плюс между слагаемыми в фигурных скобках на минус. В частности,
при значениях ]A,Z, из инерционного интервала и при l<^Q<^l/6
для спектральной функции флюктуации фазы справедлива формула
B6.82), а при Q^> 1/6 —формула B6.83).
Перейдем теперь к вычислению пространственных структурных
функций случайных полей %'(х) и S' (х) в плоскости x = L. Эти
структурные функции, так же как и временные спектры, доступны
непосредственному измерению. В рассматриваемом нами случае локально
изотропной турбулентности, в котором, согласно B6.75)» простран-
пространственные спектры полей yj{x) и S' (х) зависят лишь от модуля k вол-
волнового вектора (двумерного), пространственные структурные функции

26.4] § 26- РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 585
выражаются через пространственные спектры согласно формулам
(г) = [% (*,) - X (*2I2 = 4я J
1
(г) = [5(х,) —5(*j)p = 4л J [ 1 - /0 (ftr)]
J
1 B6-88)
где г — расстояние между точками хх и х2 в плоскости х = ?,
а ^о(а^) — символ функции Бесселя.
Учитывая, что при малых к множитель 1 — 70 (кг) в подынтег-
подынтегральных функциях B6.88) очень мал, так что структурные функции
практически не зависят от поведения пространственных спектров при
малых к, мы можем не рассматривать вида спектров в области
&^1/?0. Воспользуемся теперь снова моделью, в которой Fnn(k)~
С2
= ~-/Г11/3ехр{— ац2к2}. Тогда формулы B6.88) после подстановки
в них выражений B6.75) для F^(k) и Fss(k) можно преобразовать
к виду
оо
D/*»\ —.., (^ тг/v* I . I I Г1 / ^л/М I 1 - _^____—. 1 /~" p~*~ /i'f
YY \ / /jjt/v i q j i у i *jq i lm. ij l i ^~~ .л i (> c? uh
B6.89)
*= С2я/с3 (-^-)П/6 J 11 — Уо (PO) I
0
/~2tT
jj- . Разлагая множители 1—У0(р^) под знаками интег-
интегралов в степенные ряды, после почленного интегрирования получаем
а формула для Dss(r) отличается от B6.90) лишь переменой знака
между двумя слагаемыми в фигурных скобках. Пользуясь рядами
для функций Похгаммера (вырожденных гипергеометрических функ-
функций) XFX при р<С* (т. е. при г<^/0), получаем, с точностью до
слагаемых относительной малости р2/^, следующее выражение:
Dn С) - f Г (|) сГ1/6С2я«21л-1/3г2 ••«<*).
B6-91)

586
Для Dss(r)
меной знака
Выясним
штаб У XL
При
40
30
20
ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [26.4
справедлива такая же формула, отличающаяся лишь пере-
переперед вторым слагаемым в функции о^?F).
свойства структурных функций в случае, когда мас-
принадлежит инерционному интервалу (так что б<^1).
для D%x{r) и Dss(r) справедливы формулы B6.91)э
в которых можно положить о^F)= 1*
При /0 <С г <С УШ из B6.90) получаем
2 2, 5/3
Г A/6)
п
Рис. 109. Зависимость сред-
средней квадратичной разности
фаз aw от расстояния L,
Наконец, при г^УХЬяля Dss(r) по-
получается формула, отличающаяся от B6.92)
лишь множителем 2 (такая формула впервые
была получена Красильниковым A945)),
а Dx%(r) достигает предельного значе-
значения 2%'2.
В случае /^<СЛ (т. е. 6^>1)
при г<^т] для D%%(r) справедлива фор-
проходимого волной, по дан- мула B6.91) при о41(Ь) = 76^/216, а
и Ивз~
Точки для Dss(r) — аналогичная формула при
соответствуют средним по о^?F) = 2. При г^>ц функция Dss(r)
х = r/v значениям a6S. равна удвоенному значению B6.92),
а Dx%(r) достигает предела 2%'2.
Ряд изложенных теоретических результатов проверялся в экспе-
экспериментах по распространению звука, света и радиоволн в турбулент-
турбулентной атмосфере. В качестве примера на рис. 109 мы приводим резуль-
результаты экспериментов Красильникова и Иванова-Шица A949), в кото-
которых измерялись средняя квадратичная разность фаз a65 (r)=[D5S(r)]1/2
и среднее квадратичное значение флюктуации логарифма амплитуды
о% = [%'2] звуковой волны с частотой 3 кгц на расстояниях от ис-
источника звука ? = 22, 45 и 67 ц (масштаб У XL при этом принад-
принадлежит инерционному интервалу спектра) при средней скорости ветра
х! = 5 м/сек. Фактически в этих Экспериментах измерялась не про-
пространственная, а временная структурная функция фазы, которая, если
принять гипотезу «замороженной турбулентности», получается из
Dss(r) с помощью замены г на от, где т—интервал времени. Изме-
Измерения проводились при т=0,04, 0,08 и 0,2 сек, чему соответствуют
расстояния г = 20, 40 и 100 см, принадлежащие инерционному ин-
интервалу спектра. При этих .условиях для Dss(r) должна быть спра-

26.4J
$26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
587
ведлива формула B6.92), так что o6s — Z,1/2r5/6. Это предсказание
хорошо согласуется с экспериментальными данными рис. ПО (а также
с данными измерений Красильникова A953), относящихся к ультра-
ультразвуку с частотами до 50 кгц). Для %'2 должна быть справедлива
формула B6.86), так что о% — Ln/12; эта зависимость находит удов-
удовлетворительное подтверждение в данных рис. 111. Та же зависимость
проверялась и Данном A965) на материале измерений пульсаций
амплитуды звуковой волны в море; и в этом случае согласие тео-
теории с экспериментальными данными оказалось вполне удовлетвори-
удовлетворительным.
SO 80 L/M
Рис. 110. Зависимость o6S от r = vt Рис- ш- Зависимость а% (L) от про-
по данным Красильникова и Иванова- ходимого волной расстояния L по дан-
Шица A949). Точки соответствуют ным Красильникова и Иванова-Ши-
средним по L значениям a^s. **а A949).
Зависимость флуктуации амплитуды звуковых волн от метеоро-
метеорологических условий в приземном слое воздуха изучалась Сучковым
A958), измерявшим величину о% для волн с частотами от 3 до 76 кги,
и небольших расстояний L (при этом для %'2 также должна быть
справедлива формула B6.86)). Одновременно измерялись профили
температуры и скорости ветра, что дало возможность определять
метеорологический параметр Сп =
1
47
(пользуясь
для е и NT формулами, аналогичными приведенным в п. 7.5, части 1).
Коэффициент корреляции между измеренными и вычисленными по
формуле B6.86) значениями lgax оказался равным 0,90 (см. рис. 112).
Измерения временных спектров флюктуации амплитуды и разности
фаз звуковых волн (с частотами 2,6 и 8,5 кгц) в приземном слое
воздуха проводились Голицыным, Гурвичем и Татарским A960) в ин-
интервале расстояний L от 21 до 80 м, причем спектры измерялись

588
ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ
[26.4
в интервале частот от 0,05 до 1160 гц. Чтобы исключить влияние
метеорологических условий, анализировалась лишь безразмерная спект-
спектральная функция
XXу
(и аналогичная безразмерная спектральная функция для разности фаз).
В рассматриваемых опытах масштаб У XL принадлежал инерционному
интервалу спектра, так что для Fxx(®) и %'2 можно было.пользо-
было.пользоваться формулами B6.81), B6.82) ^ ^
и B6.86). При этом нетрудно
го
Рис. 112. Сопоставление измеренных Рис. 113. Безразмерная временная
(ахак) и вычисленных @хмет) по Ф°Р" спектральная функция флюктуа-
муле B6.86) значений Igor* по Суч- Дий логарифма амплитуды волны
korv п<«8* ^Х/(й) п0 Голицыну, Гурвичу и
кову AУ58). гх Татарскому (i960).
убедиться, что при Q<C^1 величина UXX(Q) пропорциональна Q,
а при 1 <^Q<^ 1/6—пропорциональна Q/3. Эти результаты хорошо
согласуются с эмпирическими данными рис. 113.
В упомянутых в конце п. 26.1 экспериментах Татарского и др.
по изучению мерцания наземного источника света выполнялось усло-
условие У XL ^> г]. В этих опытах проверялась и получила хорошее
подтверждение формула ax~L11/12. Измерялась также корреляцион-
корреляционная функция флюктуации логарифма амплитуды
*eW-i?!—.
Dyy(r)
XX
2?

26.4] § 26- РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 589
которая при VXL ^>Л и г^>ц должна зависеть лишь от r/|Ai,
(I г \5/з\
при ti<r<Z должно быть /?хх(г)= 1 — const 1тт~) )• Это
Рис. 114. Корреляционная функция флюктуации интенсив-
интенсивности света в приземном слое воздуха Ryy {rj]TkL) по Та-
Татарскому A9596).
предсказание хорошо подтверждается эмпирическими данными (см.
рис. 114). с г / 2 7
В ряде экспериментальных исследо- 'м(а))/збоо г?°^ гц У
ваний изучались статистические харак-
характеристики флюктуации фазы децимет- 2
ровых и сантиметровых радиоволн при
их распространении в тропосфере, уд
Так, в экспериментах Гербстрайта и
Томпсона A955) проверялась вытекаю- /
ЯГ
щая из B6.92) зависимость Dss (г) — к2
В этих опытах значение Dss(r) изме-
измерялось на базе г =150 л/, и указан- /#-*
ная зависимость получила удовлетво-
удовлетворительное подтверждение на интервале fO'3
частот радиоволн от 108 до 1010 гц.
Гербстрайт и Томпсон измеряли также
временной спектр флюктуации фазы
радиоволн с частотой 1046 Мгц на
пути /,= 18,5 км, проходящем меж-
между пунктами с высотами над уровнем
моря 4300 м и 1950 м, причем было
установлено, что в интервале частот
3600
Рис. 115. Временная спектраль-
спектральная функция флюктуации фазы
дециметровых волн при рас-
распространении в тропосфере по
Гербстрайту и Томпсону A955).
от 1/3600 до 1/36 гц спектральная плотность флюктуации фазы
пропорциональна частоте в степени 8/3 (рис. 115). Аналогичные
спектры получены Нортоном A959) для радиоволн с частотой 9414 Мгц

590 гл. ix. турбулентность и волны [26.5
на пути /, = 30 км. Отметим, что зависимость вида /7(g>)~g>-8/3
для значений (ujv из инерционного интервала волновых чисел вытекает
из теоретических соображений. Однако в указанных опытах такая
зависимость получена не только для значений со/г> из инерционного
интервала, но и для значительно меньших частот. Так, в опытах
Гербстрайта и Томсона средняя скорость переноса ветром турбулент-
турбулентных неоднородностей коэффициента преломления имела порядок
т/~3 м\сек, и интервал частот, для которого была получена зави-
зависимость Р((д) — со"8/3, соответствовал масштабам компонент турбу-
турбулентности от 0,1 до 10 км, далеко выходящим за пределы инер-
инерционного интервала.
Анализ экспериментальных данных по флюктуациям фазы санти-
сантиметровых радиоволн позволяет определить типичные значения струк-
структурной характеристики коэффициента преломления Сп для нижней
тропосферы. По оценкам Татарского A960), Сп обычно имеет значения
порядка 10""8 см~1/г, хотя в отдельных случаях может отличаться
от этой величины на множитель порядка 0,1 — 10.
26.5. Нелинейные поправки к флюктуациям амплитуды волн
Основные результаты о флюктуациях амплитуды и фазы при рас-
распространении волны в турбулентной среде, изложенные выше, были
получены при помощи «метода плавных возмущений». Напомним, что
уравнение этого метода B6.29) отличается от точного уравнения
для \|/ тем, что в нем отброшены члены ax = d2ty'jdx2 и a2 = (Vi|/J.
Отбрасывание члена ах эквивалентно описанию дифракционных явле-
явлений в приближении Френеля. Можно показать (см., например, Татар-
Татарский A962а, 1967)), что возникающая от отбрасывания этого члена
ошибка пренебрежимо мала при выполнении условия Х<^г\.
Сложнее обстоит дело с пренебрежением членом а2. Выяснению
условий, при которых можно пренебрегать этим членом уравнения,
посвящены работы Широковой A959), Писаревой A959) и Татар-
Татарского A9626). В последней из этих работ вычислялись поправки
к величинам х и х'2» возникающие при учете члена а2 методом после-
последовательных приближений для случая, когда масштаб Y^L принад-
принадлежит инерционному интервалу. Поправка к величине х оказалась
равной — (x/2)i (индекс 1 внизу указывает на первое приближение,
в котором члены аг, а2 отброшены), а поправка к величине х'2 про-
пропорциональна (xf У- Отсюда следует, что метод плавных возмущений
ограничен условием х' <С!^- Анализ поправок высших порядков
теории возмущений, выполненный при помощи метода диаграмм
Фейнмана Коном и Татарским (не опубликовано) для случая степенного

26.5]
§ 26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
591
спектра показателя преломления, показал, что все поправки высших по-
порядков являются соответствующими степенями величины (x'2)i- Отсюда
следует, что в случае, когда масштаб "j/^Z, принадлежит инерцион-
инерционному интервалу, имеет место зависимость %' =/((х/ )i). причем
/(х)жх при *<С 1-
Зависимость х'2 = / ( (xOi) экспериментально исследовалась в ра-
работе Грачевой и Гурвича A965). Результаты их измерений представлены
на рис. 116, где по оси абсцисс отложена величина 2 К (x'2)i = ат»
0 1tO 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 0,0 10,0 11,0 <?r
Рис. 116. Связь между первым приближением и экспери-
экспериментальными значениями средних квадратичных флюктуа-
флюктуации логарифма амплитуды волны по Грачевой и Гур-
вичу A965).
Пунктир-теоретическая кривая первого приближения, сплошная кривая
соответствует учету нелинейных аффектов Татарским A965).
а по оси ординат — 21/ х^сп = <тэ. Как можно судить по приведен-
приведенному графику, функция f(x) вблизи х « 1 сильно отклоняется от
линейной и при дальнейшем увеличении аргумента остается прибли-
приблизительно постоянной.
Объяснение этого эффекта было дано Татарским A965) (см. также
Татарский A967)). Если, воспользовавшись формулой B6.92), под-
подсчитать средний квадрат разности фаз в плоскости х = L на рас-
расстоянии r — YXL между точками наблюдения, то мы получим
D
ss
2H?
= const • C2nH?L {%Lf
f'\

592 гл. ix. турбулентность и волны [26.5
2
Сравнивая это выражение с формулой B6.86) для %' . убеждаемся
в том, что
О8з(УЩ = const. Р.
Из этого соотношения следует, что условие применимости первого
приближения метода плавных возмущений jf <^ 1 можно записать
также в форме
Dss(VU)<:i- B6-93)
В этой форме условие применимости метода плавных возмущений
приобретает более ясный физический смысл. При выполнении усло-
условия B6.93) средняя квадратичная величина флюктуации разности фаз
на краях зоны Френеля мала по сравнению с я, т. е. с системати-
систематическим изменением фазы приходящих в точку наблюдения волн. Если
вспомнить, что граница я-й зоны Френеля определяется условием
Д5л = ля, где А5Л — дополнительный набег фазы от края я-й зоны
Френеля по сравнению с лучом, приходящим из центра первой зоны,
то условие B6.93) обеспечивает близость контура зоны Френеля
для возмущенной волны с контуром зоны Френеля для падающей
плоской волны.
Рассмотрим случай, когда условие B6.93) нарушается, т. е. имеет
место соотношение Dss tyXL ) ^> 1 • В этом случае за счет флюктуа-
ционных искажений падающей волны случайная разность фаз в пре-
пределах одной зоны Френеля, построенной для невозмущенной волны,
велика по сравнению с я. Это означает, что первоначальная зона
Френеля разбивается на множество более мелких случайных зон
Френеля.
Чтобы найти, каковы будут в этом случае флюктуации логарифма
амплитуды, рассмотрим подробнее структуру формулы B6.86):
7~CW/6LU№. B6.94)
Эта формула получена для случая, когда флюктуации показателя
преломления описываются «законом 2/3». Рассмотрим случай, когда
флюктуации показателя преломления имеют более «узкий» простран-
пространственный спектр, характеризующийся масштабом а. В качестве при-
примера можно рассмотреть корреляционную функцию флюктуации пока-
показателя преломления вида Впп (г) = jjl2 ехр (—г2/а2). В этом случае,
как показано Обуховым A953), при Y%L >a имеет место формула
Х/2 ~ liWaL B6.95)
Формула B6.94) может быть получена отсюда, если учесть, что для
турбулентной среды с широким спектром показателя преломления

27.1] § 27. МЕРЦАНИЕ ЗВЕЗД 593
наиболее существенными для амплитудных флюктуации являются не-
неоднородности с масштабом порядка радиуса первой зоны Френеля
а — I/^XZT. В качестве [х2 в этом случае следует взять средний квадрат
флюктуации показателя преломления, соответствующий этому масштабу,
т. е. \х2 ~ С2п (Y^L) . Подставляя эти величины в формулу B6.95),
получим
JP~С\(УЩШк2 ¦ Y%L • L = CWL(/uf. B6.96)
что совпадает с B6.94).
Обратимся теперь к случаю, когда Dss (|A,L) ^> 1. Здесь вели-
величина ]/"АХ уже не является радиусом первой зоны Френеля. Порядок
радиуса зоны Френеля можно в этом случае определить из соотноше-
соотношения Dss (а)— 1, т. е. C2nK2Lablz — 1. Отсюда находим
Заменяя в B6.96) величину YXL на средний радиус случайной зоны
Френеля а, получим
Х/2 = const. B6.97)
Таким образом, в случае, когда величина (х'% рассчитанная
в первом приближении по формуле B6.94), намного превосходит
единицу, величина х' перестает расти с расстоянием и становится
постоянной.
С расчетом, основанным на этой идее, более подробно можно
познакомиться по работам Татарского A965, 1967), где приводится
функция X/2 = /((x/2)i)-
§ 27. МЕРЦАНИЕ ЗВЕЗД
27.1, Описание флюктуации амплитуды и фазы света звезд
при учете вертикальной неоднородности атмосферы
Методы предыдущего параграфа могут быть применены к изучению
флюктуации параметров электромагнитных волн, доходящих до поверхности
Земли от внеземных источников — звезд, космических источников радио-
радиоизлучения, искусственных спутников Земли и космических ракет. В качестве
типичного примера мы рассмотрим в настоящем параграфе вопрос о стати-
статистическом описании поведения изображений видимых звезд в телескопах.
Эти изображения, во-первых, испытывают беспорядочные перемещения в поле
зрения (называемые дрожанием), связанные с флюктуациями угла прихода
световых волн. Во-вторых, наблюдаются беспорядочные изменения яркости
изображения (называемые мерцанием), связанные с флюктуациями ампли-
амплитуды волн. В-третьих, при достаточно больших зенитных расстояниях звезд
наблюдаются также беспорядочные изменения их цвета (называемые
38 А. С. Монин, А. М. Яглом

594 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [27.1
хроматическим м?рцанием), связанные с различием во флюктуациях
амплитуд волн разной длины; мерцание интегрального света при этом осла-
ослабевает.
Для описания всех этих явлений можно воспользоваться результатами
предыдущего параграфа, внеся в них, однако, два изменения. Во-первых,
поскольку свет от звезд проходит сквозь всю толщу земной атмосферы, нам
необходимо учесть изменения с высотой статистических характеристик коэф-
коэффициента преломления, создаваемые изменениями турбулентного режима
атмосферного воздуха. Во-вторых, при описании флюктуации амплитуды
необходимо учитывать, что вследствие своих конечных размеров объектив
телескопа несколько сглаживает эти флюктуации.
Остановимся прежде всего на учете зависимости статистических харак-
характеристик коэффициента преломления от высоты. -Для этого нам придется
заменить первую из формул B6.70) более общей формулой
п'(х2) = Впп |pj — р2; |*,—
B7.1)
Строго говоря, функции Впп и F&1 (а также и другие корреляционные и
спектральные функции в формулах B6.70)) зависят также от (р! -(- Рг)/2-
Однако корреляционные функции зависят от (Р1+Рг)/2 гораздо слабее, чем
от pi —р2, и при вычислении производных от этих функций по компонентам
векторов р! и р2 достаточно дифференцировать лишь по аргументу Р!—р2,
а производными по аргументу (Pi -j- p2)/2 можно пренебрегать. На дальнейших
расчетах зависимость от аргумента (pi + р2)/2 не сказывается, и мы на ней
останавливаться не будем.
При использовании B7.1) формула B6.71) и аналогичная формула для
F^ss (^) принимают вид
B7.2)
о о
С той же степенью точности, что и при выводе формул B6.73), эти инте-
интегралы приводятся к виду
2;
*2 J [1 т cos k4LK~~°]^ J
о о
L
cos Щ^-} dt | f% (k, 5; С) rfg.
•J[
где верхний знак соответствует функции F^ (Л), а нижний — функции
Далее мы будем рассматривать очень большие значения L ^> l/k, так что
на большей части областей интегрирования по ? верхние пределы внутренних
интегралов будут превосходить l/k. При этом, как и при переходе от B6.73)

27.1] * 27« мерцание звезд 595
к B6.75), внутренние интегралы в случае локально изотропной турбулент-
турбулентности можно приближенно заменить на nFnn (k\ ?), где Fnn (k; ?) — трехмер-
трехмерная спектральная функция поля ri (x). В результате получаем
L
F™ (ft) « 2*к2 J sin2 Щ=& Fnn (*: О
О
L
(ft) « 2як2 J cos2 *2(^-?) Уяя (ft; 0
B7.3)
Если Fnn не зависит от ?, то из B7.3) немедленно получаются соответ-
соответствующие формулы B6.75). Из B7.3) видно, что неоднородности коэффи-
коэффициента преломления, расположенные близко от точки наблюдения ? = Z,, мало
влияют на /^(?), так как множитель sin2 —о~~ около точки наблюде-
наблюдения становится очень малым.
Далее нас будут интересовать не сами спектральные функции B7.3),
а средний квадрат флюктуации логарифма амплитуды
оо
72 = 2я f F®{k)kdk
и структурные функции &ХЛГ) и Dss(r), определяемые по спектральным
функциям с помощью формул B6.88).
Величина х'2 мало зависит от особенностей крупномасштабной структуры
поля коэффициента преломления, так как при малых k, соответствующих
масштабам, значительно превосходящим Кя/Г, значения функции F®1 (k) малы
k2(L — t)
вследствие малости множителя sin2 —Ц—— в B7.3) (заметим, что L соот-
соответствует пути, проходимому волной в существенно турбулентном слое
атмосферы, и имеет значения самое большее порядка десятков километров;
вследствие малости длин волн видимого света масштаб УТС оказывается
малым, порядка 10 см; об этом*см. ниже). Величины D (г) и D$s (r) при
значениях г из равновесного интервала (мы будем далее рассматривать эти
величины только при таких г) также не зависят сколько-нибудь существенно
от крупномасштабной структуры поля коэффициента преломления — на этот
раз вследствие малости множителя 1 — Уо (kr) при k <^ 1/г. Поэтому при
вычислении х'2, D (г) и Dss (r) мы можем пользоваться формулами B7.3),
справедливыми при k ^> 1/Z,, и приближенно описывать Fnn (k\ ?) формулой
соответствующей удобной модели истинного спектра в области k ^> l/L0.
Вспоминая формулу B6.56), имеем С^ = A2(B^r)NT + B^NbB2^l"l/3t Эта
величина, а также внутренний масштаб турбулентности т] являются функ-
функциями высоты h над поверхностью Земли. Напомним, что переменная инте-
интегрирования ? в формулах B7.3) есть координата вдоль направления
38*

596 гл. ix. турбулентность и волны [27.1
распространения падающей волны, отсчитываемая от начала турбулентной об-
области (верхней границы слоя, в котором С\ не равно нулю), а ? = L соответст-
соответствует точке наблюдения, находящейся на поверхности Земли. Связь между вели-
величиной ? и высотой h дается соотношением h = (L —?) cos Э, где 0 — зенитный
угол источника света (звезды). Подставив в формулы B7.3) значение Fnn
для равновесного интервала, перейдя от переменной интегрирования ? к h
и подставив полученные значения спектров F^ и F^l в формулы для %'2,
D и Doo, последние удается привести к виду
XX 66
оо с»
D%% (г) = 2як2 sec 9 J С2 (Л) dh J [1 - JQ (kr)] X
oo oo
Dss (r) = 2ян? sec 9 J C\ (A) dh J [1 - Уо (ftr)] X
о о
Здесь мы заменили верхние пределы L cos 6 внешних интегралов на оо, имея
в виду, что интегрирование фактически должно быть распространено на всю
толщу атмосферы.
Интеграл для %'2 приводится к виду
Г2 = -g. Г Ш к7/6 (sec 0I1/6 Г С\ (h) /г5/6 [яе (б2 + if6 - б5/эЦ dh, B7.5)
где Ь — ц Л/ yj- g-. Чтобы установить, как величина б меняется с высо-
высотой h, вспомним, что т] = v3/4T~^4. Множитель "е"/4 сравнительно медленно
меняется с высотой, a v меняется приблизительно обратно пропорционально
плотности воздуха р, которую для грубых оценок можно описывать форму-
формулой р(/г) = р@)ехр {—Л/Л0}, где h0 имеет величину порядка 7 км. Таким
образом, 6^/г""^2ехр {ЗЛ/4/г0}. В случае световых волн эта величина пре-
превосходит единицу, во-первых, в тонком слое у поверхности Земли толщиной
h{ = 2яат]2 cos 0/Я (при т]~'10~ см и Л^>1 мк получаем h\ ^ 101 м) и,
во-вторых, на больших высотах в атмосфере выше уровня /г2, определяемого
из условия -~ = ехр \ -^ —Ц-—- > и превышающего Ло в несколько раз.
При 6>1 имеем ^е (б2 + /M/6 — 65/3 « -^ 6"/3 ~ /г7/6 ехр | — -J- -^-1. Эта
величина мала и при h < hx и при h > h2. Таким образом, основной вклад
в интеграл B7.5) вносит слой атмосферы, в котором б < 1. В этом слое

27.1] § 27. МЕРЦАНИЕ ЗВЕЗД 697
Ш (б2 + 0 — б5/3 « cos -ту. Учитывая, что на больших высотах (при h > h2)
величина C2n(h) сама быстро убывает, мы можем при приближенном вычи-
слении интеграла B7.5) заменять множитель 8ReF2 + O — 65/3 на постоян-
постоянную cos Eя/12) при всех А, и тогда получается
Р * -*Г Г Щ cos -g- • ,
0
оо
J C? (A) А5* л.
0
Эта формула была получена Татарским A958).
Далее мы будем полагать С\ (h) = С\ @) • fn (Л/Я), где h — характерный
масштаб вертикальных изменений коэффициента преломления, а /„ (?) — не-
некоторая убывающая функция. При этом получается
р = а0С2п @) къ (ЛЯ sec 9/2я)п/6,
B7-6)
Эта формула отличается от B6.86) лишь числовым множителем и заменой L
на Я sec 9.
Перейдем к вычислению структурных функций D (г) и Dss (r). Вну-
Внутренние интегралы в формулах B7.4) для этих функций, которые мы вре-
временно обозначим Л и /2, вычисляются аналогично интегралам в форму-
формулах B6.89) и приводятся к виду
где знак плюс соответствует /ь минус—12\ 6 имеет такой же смысл, что и
в B7.5), а р = г У 2я/ЯЛ sec 0. Пользуясь свойствами вырожденных гипер-
гипергеометрических функций xFlt можно убедиться, что
при р <С 6 <С 1
16 \ 6 J Л
при р <С 6, б » 1
* * тагг A/6) «3/6^13/3 (^ё^J ^2' ^ « тг
при р
/ ^ 9 ГA/6)
2~ 251^4 Г E/6)
при 1
/,»/.» 98 ГA/6)^.
501/4 Г E/6)

598 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [27.1
Если г <^ х\ @), где т| @) — внутренний масштаб турбулентности на
уровне земли, то, поскольку л(^) монотонно возрастает с высотой (вслед-
(вследствие роста с высотой кинематической вязкости v, обратно пропорциональ-
пропорциональной плотности воздуха), при любом h имеем г <^ ц (Л), т. е. р <^ б. Учи-
Учитывая, что слои h<hx и h > /г2, в которых 6 > 1, не вносят существен-
существенного вклада в интегралы B7.4) для структурных функций (первый из этих
слоев очень тонок, а во втором и С\ (А), и величины /х и /2 малы и быстро
убывают с высотой), мы можем вычислять эти интегралы, пользуясь при
всех h формулами для /1J, справедливыми при 6 < 1. Учитывая, кроме
того, что в слое h{ < h < h2 величина г\ относительно медленно меняется
с высотой, получаем
(г) « Dss (г) « а^С\ @) л"'3 (тг^) г\ B7.7)
Здесь под г\ следует понимать некоторое среднее значение внутреннего
масштаба турбулентности в тропосфере и нижней стратосфере.
Если г ^> г\, то в слое б < 1, вносящем основной вклад в инте-
интегралы B7.4), будет р ^> б. При этом величина /2 приблизительно пропор-
пропорциональна г5/3 (причем коэффициент пропорциональности слабо зависит от р),
и для Dss (r) получается найденная Татарским A958) формула
(!?^)W B7.8)
где а2 — безразмерный коэффициент, имеющий величину порядка
ОО
9л Г A/6)
251^4 Г E/6)
J /я (С) ^С
и медленно увеличивающийся с ростом ря = г у2л/КН sec 9. Для Dxx(r)
аналогичные результаты получаются лишь в случае, если в слое б < 1 (или
по крайней мере в основной его части) выполняется соотношение 1]^^б
Вообще же можно утверждать, что при г ^> г\
R%% (г) « 1 - Dx% <r)/2p = F (Р//). B7.9)
С помощью формулы B7.8) может быть объяснено явление дрожания
изображений звезд в поле зрения телескопа. Именно, наличие разности фаз
волн bS « к Ьх на расстоянии г порядка диаметра телескопа соответствует
повороту волнового фронта на угол ба « bxjr та bS/rcr. Флюктуации ба угла
прихода волны (пропорциональные флюктуациям разности фаз 6S) и при-
приводят к дрожанию изображения звезды. В связи с формулами B6.25), B6.28)
и B6.30) мы отмечали, что случайная величина г|/ (г) = х' (г) + iS' (r) имеет
нормальное распределение. В частности, это справедливо для флюктуации
фазы и для флюктуации разности фаз 65, а поэтому и для ба. Последний
вывод подтверждается данными непосредственных наблюдений Колчин-
ского A957).
Вследствие нормальности величины ба ее исчерпывающей статисти-
статистической характеристикой является дисперсия угла прихода волны (баJ =»

27.2] § 27. мерцание звезд 599
= Dcc(r)'K2r2. Учитывая, что диаметры телескопов обычно значительно
превосходят эффективный микромасштаб турбулентности г\, мы можем ис-
использовать для Dss (r) формулу B7.8), с помощью которой получается
: а2кBл)-} с\ @) КНsec 6 г~1/3.
Fа)*
B7.10)
Таким образом, средний квадрат флюктуации угла прихода света от звезды
оказывается пропорциональным секансу ее зенитного угла, причем коэффи-
коэффициент пропорциональности зависит от метеорологических условий и
О о
о о
60°65°70° 75° 77° 79° 80° 81° 82°
83° 84ад
4
8
9 sec в
Рис. 117. Зависимость среднего квадратичного значения флюк-
флюктуации угла прихода света звезд от их зенитного расстояния
по Колчинскому A957).
медленно убывает с увеличением диаметра телескопа. Зависимость от мете о-
со
рологических условий описывается множителем | C\(h)dh\ поскольку
о
наибольшие значения C\(h) обычно достигаются около поверхности Земли,
основной вклад в указанный интеграл вносят нижние слои атмосферы,
которые, следовательно, и ответственны за возникновение дрожания изобра-
изображений звезд.
Изложенное объяснение закона (daJ ^ sec 6 впервые было предложено
Красильниковым A9496). Эмпирическая проверка этого закона осуществлена
Колчинским A957), один из графиков которого мы приводим на рис. 117.
27.2. Осредняющее действие объектива телескопа
и мерцание изображений звезд и планет
Для описания мерцания звезд при фиксированной длине К световой
волны можно использовать формулу B7.6). Однако если речь идет о флюк<
туациях яркости изображений звезд в фокальной плоскости
телескопа, то необходимо учесть, что формула B7.6) описывает флюк-
флюктуации логарифма амплитуды световой волны %' (х) в фиксированной точке
пространства х, а яркость изображения звезды в телескопе определяется

600 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [27.2
потоком Р света от звезды, приходящимся на площадь объектива 2. Плот-
Плотность потока энергии в световой волне можно записать в виде / (х) =
= /оехр {2%'(х)}> и величина Р определяется формулой
Р = J / (х) dx = /0 J г2*' <*><**. B7.11)
2 2
Нам будет удобнее рассматривать не саму величину Р, а ее логарифм;
важнейшей статистической характеристикой флюктуации яркости изображе-
изображений звезд будет дисперсия величины In Р, т. е. величина (In -р-I » где
1пР0=1пР. Если площадь 2 объектива телескопа очень мала, то Р«/02?2х',
и (In-75-) ж 4%'2. Следовательно, осредняющее влияние объектива на
средний квадрат флюктуации интенсивности света можно описывать мно-
множителем
1 / р \2
Lf (In 4-
B7.12)
Чтобы вычислить эту величину, нужно знать, каково распределение вероят-
вероятностей случайной величины Р, определяемой формулой B7.11). Для этого
учтем, что величина %'(х) при фиксированном г нормальна, величина I (х)
логарифмически нормальна, а радиус корреляции поля %' (х) имеет вели-
величину порядка У Шsec 9, так что на площади 2 объектива с диаметром D
укладывается порядка D2/4A// sec 9 областей, в которых значения %' (х)
некоррелированы. Следовательно, величину Р можно приближенно рассмат-
рассматривать как сумму конечного числа некоррелированных логарифмически нор-
нормальных слагаемых, количество которых близко к D2/4KHsecd. Если это
число близко к единице, то Р можно считать логарифмически нормальным»
если же оно велико, то распределение для Р будет приближаться к нор-
нормальному. Ограничимся рассмотрением случая, когда указаннре число не
превосходит нескольких единиц, и распределение для Р еще можно считать
хотя бы приближенно логарифмически нормальным. Это предположение под-
подтверждается данными наблюдений со сравнительно небольшими телескопами
(например, данными Батлера A954), полученными с пятнадцатидюймовым
телескопом, для которого при J^A#<^ 10 см получается D2/4A#«4).
Для логарифмически нормальных величин Р справедлива формула
B713)
Осреднив формулу B7.11) и считая, что I (х) не зависит от х, получаем
Для вычисления Р5" введем корреляционную функцию флюктуации интенсив-
интенсивности света, считая, что поле / (х) однородно и изотропно:
Тогда имеем
Р*- J J /(*i)/<*,)dxx dx2 = (ГJ22 + J j Bil(\x1-x2\)dx1dxr
S 2 2 S
J
S 2

27.2] § 27. МЕРЦАНИЕ ЗВЕЗД 601
Считая, что площадь 2 есть круг диаметра D, и осуществив интегрирование
по всем переменным, кроме г = | jcx —х21 после элементарных, но довольно
громоздких выкладок получим
1
Р2 = (If 22 + -^ Г Вц (Dt) (arccos t — t /T=T2) * dt.
l
Заметим, что — (arccos * — tVl —t2)tdt = 1. Собирая полученные ре-
o
зультаты, имеем
Ii
— 1-1 - (arccos t—ty\—t2) 11
л i L (Tf J
Однако нам удобнее пользоваться не функцией #/7(>")» а уже изучавшейся
выше корреляционной функцией флюктуации логарифма амплитуды волны
: %'2ЯХХ (г). Связь между этими функциями можно установить,
записав
(| хх - х21) = /g ехр[2Х/
и допустив, что совместное двумерное распределение случайных величин
^() и %' (*2) нормально. При этом предположении получается
GJ+ В/7( |^ ~ж2 |) 2 (р" }
Учитывая, кроме того, что для величины %', как и для всякой нормальной
случайной величины рулевым средним значением, справедливо соотноше-
соотношение ехр B%') = ехр B%/2), так что / = /0 ехр Bх'2), окончательно получаем
1 ( Ifi f -2 )
G в -4=r In { — *4x' *xx (D/) (arccos ^ — t VI—/2) / Л [ B7.14)
45C/2 l Я oJ j
(ср. Татарский A959а)).
Заметим, что при очень малых t (много меньших, чем t\@)/D) подын-
подынтегральная функция в B7.14) приблизительно равна -^-exp \4%/2/?xx (Dt))%
причем, согласно B7.7), /?хх (Dt) здесь существенно зависит от микромас-
микромасштаба турбулентности х\. Однако вклад интервала t <^Г г\ @ID в интеграл
в B7.14) очень мал, а вне этого интервала функцию R%% (Dt) уже можно
считать не зависящей от т] и, согласно B7.9), зависящей лишь от одного
параметра DlVXH sec 0. Поэтому можно считать, что величина G зависит
лишь от^ двух параметров %'2 и Р\УХН sec 0. При DlVXH sec 0 -> 0 и
любом х'2 получается 0->1. При %'2->0 получается
1
« -~ J Ях
(arccos * - / /Г^Т2) / Л. B7.15)

602
ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ
[27.2
Tsec0, когда
растании DJY^H sec
формулы
~ (r IVW sec
-7/З
справедливой при р
при больших
Аналогичное выражение для G получается при любых %'2, но больших
мало при всех не слишком малых L При воз-
величина G убывает. Из приведенной на стр. 597
6, следует, что Rxx (r) ~
поэтому можно ожидать, что
при больших D/VxH sec 0 ве-
величина G убывает по закону
G~(DlVlH sec 0)'7/3. B7.16)
Используя для Rxx (r) =
= F ( г Г ) функцию,
\ К АЛ sec 0/
близкую к эмпирической функ-
функции рис. 114, Татарский вы-
вычислил путем численного инте-
интегрирования значения функ-
функции G{о/уКНsec0, %'j при
Х'2 = а^/^ ~ 0 и при х'2 == 1.
Соответствующие графики мы
приводим на рис. 118.
Теперь мы имеем возмож-
возможность дать количественное
объяснение явления мерца-
мерцания изображений звезд в те-
телескопах. Используя в качестве
2.8
WT
Рис. 118. Функция G (DlVXH sec 0, х'%
описывающая ослабление мерцания изо-
изображений звезд вследствие сглаживающего
влияния объектива телескопа, по Татар-
Татарскому A9596).
основной статистической характеристики мерцания величину lnl-p-
с помощью формул B7.12) и B7.6) получим
>•»>
(Р РJ
-—-
(Р \ 2
In — I , а величину О
причем, согласно B7.13), левая часть равенства B7.17) будет равна ln(l -fap).
При Op <^i 1 левую часть формулы B7.17) можно заменить просто на ар,
что мы и будем иметь в виду.
Выясним в первую очередь зависимость а2р от зенитного угла звезды 0.
При малых зенитных углах sec 0 « 1, и аргумент DlVkH sec 0 функции G
для не слишком малых телескопов велик (как будет показано ниже, пара-
параметр У ХН имеет значения около 8—10 см). При этом для G можно поль-
пользоваться формулой B7.16), и получается ар ^ (sec 0K/^. При больших зенит-
зенитных углах sec 0 велик, аргумент D/l/ Я// sec 0 функции G мал, и сама эта
функция близка к единице. При этом получается ар ~*> (sec 0I1/12. Эти резуль-
результаты хорошо подтверждаются данными наблюдений.

27.2]
§ 27. МЕРЦАНИЕ ЗВЕЗД
603
(sec 9K/2. Аналогичные дан-
ч*
0 Q2 Q4 0,6 0,8 7,0 7,2 7,4
Так, на рис. 119 мы приводим график зависимости ор от sec 9, полу-
полученный Батлером с помощью 15-дюймового телескопа. При в < 60° данные
Батлера хорошо описываются формулой ор
ные получены Протероэ A954) в
Перкинской обсерватории при помо- „а
щи телескопа с диаметром 12,5 дюй-
дюйма. В то же время данные Протероэ, ""
полученные при помощи маленького
телескопа (диаметром 3 дюйма), -0,4
хорошо описываются формулой
ар ~ (sec 9I1/12 (рис. 120). На рис. 121 -Ц6
мы приводим также данные, полу-
полученные Жуковой A958) в Пул ков- -0,8
ской обсерватории на телескопе с
диаметром 250 мм, и их сравнение _
с теоретической кривой (сплошная
линия), рассчитанной по формуле
B7.17) при УШ = 9 см.
Из астрономических данных хо-
хорошо известно, что планеты, имею-
имеющие в отличие от звезд конечный
угловой размер, мерцают слабее, чем
звезды. Различные точки диска пла-
планеты можно рассматривать как не-
некогерентные источники света, каждый из которых на большом расстоянии
порождает приблизительно плоскую волну, распространяющуюся в опреде-
определенном направлении. В этом случае
весь диск планеты дает пучок неко-
некогерентных плоских волн, заключен-
заключенных внутри некоторого телесного угла.
Две плоские волны, распространяю-
распространяющиеся под углом друг к другу,
испытывают флюктуации амплитуды
О? в
Рис. 119. Зависимость мерцания изо-
изображений звезд в поле зрения боль-
большого телескопа A5 дюймов) от зе-
зенитного расстояния звезд по Батлеру
A954).
0,2
О
-0.2
0,2 0,4 0,6 0,8
Iff sec О
Рис. 120. Зависимость мер-
мерцания изображений звезд
в поле зрения небольшого
телескопа C дюйма) от зе-
зенитного расстояния звезд
по Протероэ A954).
6,'f 0,4 0,6 0,8
LgsecB
Рис. 121. Сравнение теоретиче-
теоретических предсказаний B7.17) о вели-
величине мерцания звезд с экспери-
экспериментальными данными Жуковой
A958).
лишь частично коррелированные между собой. Угловой радиус корреля-
корреляции имеет, как нетрудно видеть, величину порядка ^0==j/A,/fsec9///sec9 =
= УЦНsec9. В случае, если угловой размер планеты у мал по сравнению

604
ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ
[27.3
с "фо, флюктуации амплитуды отдельных плоских волн, излучаемых различ-
различными точками диска планеты, сильно коррелированы, и такая планета мер-
мерцает подобно звезде. В случае же у ^> г|з0 флюктуации волн, пришедших
с различных направлений, не коррелированы, и при их суммировании в прием-
приемнике света (например, на фо-
фотокатоде) происходит частич-
частичная компенсация флюктуации.
Расчет флюктуации источ-
источника света с конечными угло-
угловыми размерами произведен
Коном и Татарским A964), а
его экспериментальная коли-
количественная проверка осущест-
осуществлена в работе Гурвича и Кона
A964). На рис. 122 приведен
график, объединяющий резуль-
у/ф таты этих работ (сплошная
"г° кривая — результат расчета,
точками представлены экспе-
экспериментальные данные).
Наблюдения показывают,
что ослабление мерцания света
от внеземных источников с ко-
конечными угловыми размерами
Рис. 122. Ослабление флюктуации яркости
источника света с угловыми размерами у
(по отношению к флюктуациям источника
с y = 0) по Кону и Татарскому A964) и
Гурвичу и Кону A964).
= 0,5 • ИГ5 радиан,
единицы. Полагая
т. е. уже при
sec 8~1, К = 0,5
Y заметно уже при у ^ \" =>
таких у аргумент у/Фо имеет порядок
ю-4
см и у
VJ-
•1, получаем
У > 10 см. Эта оценка подтверждается прямыми измерениями корреля-
корреляционной функции флюктуации яркости света от звезд (формула B7.9)), про-
проведенными Келлером A955) при помощи раздвигающихся телескопов. В этих
измерениях для УТЯ получено значение около 3,5 дюйма. Ниже мы приве-
приведем дополнительные данные, подтверждающие эту оценку.
27.3. Временные спектры флюктуации яркости
изображений звезд в телескопах
Рассмотрим теперь вопрос о временных спектрах флюктуации яркости
изображений звезд в телескопах, аналогичных спектрам B6.78). Ограничимся
при этом рассмотрением случая малых флюктуации, так что формула B7.11)
может быть записана в виде
Pit) =
откуда получается следующее выражение для временнбй корреляционной
функции светового потока, приходящегося на площадь 2 объектива теле-
телескопа:
2 2

27.3] § 27. МЕРЦАНИЕ ЗВЕЗД 605
Введя спектральное представление
X'(*i. <)*'<*» *+г) = J #-»<*'"*»/*g(ft,
и воспользовавшись формулой
(справедливой в случае, когда 2 — круг радиуса /?), получаем
Теперь, наконец, мы можем найти временную спектральную функцию
Чтобы довести расчет до конца, нам еще предстоит вычислить функцию
^хх ^9 т^' ^на может быть получена по формуле B7.3) при замене в ней
спектральной функции Fnn(k;QH& функцию Fnn (k; ?)ехр {—ikvx}, кото-
которая соответствует корреляционной функции
п' (*i, t) п' (х2, t +1) = п' (xl% t) nf (x2 - vx, t) = Bnn (x{ -x2 + v%l
где v — компонента скорости ветра в плоскости векторов х{ и jc2, перпен-
перпендикулярной направлению лучей света. Здесь мы воспользовались ^ипотезой
«замороженной турбулентности» и, кроме того, учли, что сдвиг на vx в аргу-
аргументе корреляционной функции соответствует умножению спектра на e^
Введя в формуле B7.3) переменную интегрирования h = (L — ?) cos 9 и затем
заменяя L на оо, получаем
F%x <*' т) ^ 2ш2 sec 9 J sin2 *2/*2Г е Fnn (k> h) e~ ik°X dh' B7Л9)
0
Скорость ветра v здесь следует рассматривать как заданную функцию
от высоты h. Подставив полученный результат в формулу для Fpp (©) осу-
осуществим сначала интегрирование по т, пользуясь формулой
оо
J ехр {/ (со — ki) х) dx = 2яб (со - kv)y
и затем интегрирование по Л, полагая dk = kdk d% где Ф — угол между
векторами k и v, и пользуясь формулой
о
при со2 < k2v2,
6 (со — kv cos ф) d<p =
— со2
О при ю2 > k2v2.

606
гл. ix. турбулентность и волны
[27.3
В результате получаем
рр\
I CO |/tf
B7.20)
Принимая для Fnn__ такое же выражение, какое использовалось и в B7.4)
полагая h = #? и v = Vw, где Я и К — характерные масштабы высоты и
скорости, после надлежащих замен переменных и использования формулы
B7.6) получаем
Upp(Q,p, б)
со/7,
где
x
\ B7.21)
B7.22)
При малых Q величина 6Грр растет пропорционально Q, затем достигает
максимума, после чего убывает (вначале — по степенному закону, а при
очень больших Q — экспонен-
экспоненциально). Величина б зависит от
высоты, причем в тропосфере и
нижней стратосфере, вносящих
основной вклад в мерцание звезд,
6 <^ 1. Поэтому для сравнения
с экспериментальными данными
в первом приближении можно
рассмотреть функцию Upp (Q, р, 0).
Татарским A959а) были построены
графики величины Upp (Q, р, 0) Q
как функции от Q при различ-
0,5 iffQ
Рис. 123. Временные спектры флюктуа-
флюктуации яркости изображений звезд в теле-
телескопах QTlUpp (Q, р, 0) при различных
значениях параметра р по Татарскому
A959а).
ных значениях параметра
причем для простоты вычисле-
вычислений полагалось w (J) = 1 (т. е.
v = V = const) и fn (?) = const.
Эти графики мы приводим на
рис. 123. Из них видно, что при
увеличении р (т. е. увеличении
диаметра D = 2R объектива телескопа) спектр флюктуации яркости изо-
изображений звезд сглаживается, и из него практически выпадают высокоча-
высокочастотные компоненты (соответствующие пространственным масштабам флюк-
флюктуации, меньшим, чем диаметр телескопа).
На рис. 124 приводятся для сравнения значения |/г4я/7/эр (со) по данным
измерений Протероэ A954) в Перкинской обсерватории при помощи теле-
телескопов с диаметрами диафрагмы 1, 3, 6 и 12,5 дюйма. На рис. 124, а даны

27.3]
$ 27. МЕРЦАНИЕ ЗВЕЗД
607
средние зимние, на рис. 124, б—.средние летние спектры. Разброс значений
функций tf(h) и C2n(h) в индивидуальных спектрах, конечно, привел
V47tFpp((o)
0,06V
0,05
Ц04
0t03
цог
OtO7
О
Ф
50 700
500 1000
2п
Рис. 124. Средние для зимы (а) и лета (б) временные
спектры флюктуации яркости изображений звезд в теле-
телескопах с различными диаметрами диафрагмы A, 3, б
и 12,5 дюймов соответственно) по Протероз A954).
к некоторому уширению и сглаживанию осредненных спектров. Учитывая,
кроме того, упрощения при расчете графиков рис. 124, количественного
совпадения расчетных к эмпирических спектров ожидать не следует. Каче-
Качественное же сходств^ между рис. 123 и 124 несомненно.

608
Л. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ
[27.3
Вычисленные Татарским значения [\п(Р/Р0)]2, соответствующие спек-
спектрам рис. 125 с различными значениями диаметра D диафрагмы телескопа,
были им сопоставлены со значениями функции G I г | = —==- [In (Я/Я0)]2»
Гп) 4,Р
вычисленными по формуле B7.14) при соответствующих D и различных зна-
знаVTL VH 9 Пб У~ЯГ б
чениях
[1п(Р/Я0)]
параметра
и
форму
() р у р
VkH sec 9. Подбирая У~ЯГ так, чтобы значения
менялись при изменении D пропорционально друг другу,
0,2 0,4 0,8 0,8 7,0 G О 7
6 7secO
Рис. 126. Зависимость характерной ча-
частоты v мерцания звезд от углового
расстояния по Жуковой A958). Сплош-
Сплошной кривой изображена функция
Рис. 125. Сопоставление [In(P/P0)]2
и G при различных значениях
параметра j/ХЕ по Татарскому
A959а).
Справа и слева от прямых / (зима) и
2 (лето) помещены точки, соответствую-
щие измененным на 1 см значениям
VTL. Эти точки уже не располагаются на
прямых линиях.
Татарский получил |/*XZ=3,6 дюйма для зимних и 3,2 дюйма для летних спект-
спектров. Точность этих оценок довольно высока, так как изменения VTZ всего
на 1 см уже приводят к нарушению линейности связи между [In Р/Р0]2 и G
(см. рис. 125). Полученные оценки хорошо согласуются с приведенными выше.
Вместо изучения временных спектров флюктуации яркости изображений
звезд можно ограничиться более грубой оценкой характерных частот мер-
мерцания. Так, по записи кривой Р (t) с помощью низкочастотного осциллографа
можно подсчитать среднюю частоту v максимумов этой кривой, определяе-
определяемых размерами и скоростью перемещения «бегущих теней». Поскольку раз-
размеры «бегущих теней» имеют порядок_радиуса корреляции флюктуации ампли-
амплитуды Y%H sec 9 , должно быть v ^ vlY^H sec 9, где v — среднее значение
величины компоненты скорости ветра, перпендикулярной лучу. Формула
v^(sec9)~1/2 хорошо подтверждается эмпирическими данными Жуковой
A958), которые мы приводим на рис. 126.

27.4]
§ 27. МЕРЦАНИЕ ЗВЕЗД
27.4. Хроматическое мерцание звезд
609
До сих пор все наши теоретические рассмотрения относились к моно-
монохроматическому свету (с фиксированной длиной волны Я), а приводившиеся
эмпирические данные (в частности, рис. 119—121) соответствовали интеграль-
интегральному свету. При малых зенитных расстояниях звезд различия атмосферной
рефракции для света различных длин волн мало сказываются на пути, про-
проходимом лучами в атмосфере, и мерцание в монохроматическом и интеграль-
интегральном свете происходит приблизительно одинаково. При больших же зенитных
расстояниях различия атмосферной рефракции приводят к большим расхо-
расхождениям между лучами разных длин волн. Так, по Пернтнеру и Экснеру
A910), расстояние г между лучами с длинами волн Х{ и Я2, сходящимися
в одну точку на поверхности Земли, на высоте h равняется
г = г|> (9) [п (Я,) - п (Я2)] A - e-h'H*\
B7.23)
где #о — высота однородной атмосферы, $ (9) — некоторая функция, обра-
обращающаяся в нуль при 9 = 0 и растущая вместе с 9. При Л ^> Но и л (Я,) —
— п (Я2) — 5,9 • 10 , что соответствует крайним лучам в диапазоне видимого
света, значения г даются следующей таблицей:
9
г, см
<ю°
0
20°
0,2
30°
0,8
40°
2,1
50°
4,9
60°
11,6
70°
31,2
80°
128
88°
1283
Основной вклад во флюктуации амплитуды волн вносят верхняя тропо-
тропосфера и нижняя стратосфера, где рассматриваемые два луча с длинами волн
%\ и Я2 приблизительно параллельны. Если расстояние г между ними пре-
превышает радиус корреляции флюктуации амплитуды )^ЯЯ sec 9 (что, согласно
приведенной таблице, имеет место при 9 > 60°), то мерцание в длинах волн
Я! и Я2 происходит некоррелированно, вследствие чего мерцание интеграль-
интегрального света ослабляется. Ослабление мерцания при 9 > 60° хорошо видно
на рис. 119—121.
Рассчитаем средний квадрат флюктуации интенсивности интегрального
света:
_ г х, 12 х, х2
У'2 = Г /' (X)dX\ = Г Г /'(Я)/'(Я')dX dX\
\ J \ J J
LA,, J A,, A,,
где /' (Я) — флюктуации спектральной плотности интенсивности света, а К{
2*'
и Я2 — границы спектра видимого света. Вспоминая, что / (Я) = Уо (Я) е \ где
Л> W — спектральная плотность интенсивности света на верхней границе
атмосферы, и рассматривая случай малых флюктуации (что в случае мерца-
мерцания звезд вполне законно), имеем /' (Я) « 2/0 (Я) %[, и, следовательно,
B7.24)
39 А. С. Монин, А. М. Яглом

610 ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ [27.4
Из приведенных выше разъяснений следует, что величину %[%[, можно при-
приближенно заменить на среднее произведение значений %х и %v в двух точках
у поверхности Земли, расстояние г между которыми определяется формулой
B7.23). Это среднее произведение мы обозначим Вхх (г; А,, А/). Выразим эту
величину через корреляционную функцию Вх% (г, К) поля %к (х), которую мы
вычисляли, исходя из спектральной функции РХХ(Ь, А,), определяемой первой
формулой B7.2). Нетрудно показать, что для вычисления В%% (г; А,, А/) спек-
спектральную функцию г^ (к» А,) следует заменить на функцию
-ПК
б б
Здесь и. далее мы допускаем, что флюктуации пг коэффициента преломления
мало зависят от длины волны света. Так же, как и при выводе формул B6.73)
и B7.3), при интегрировании по с —? в B7.25) можно учитывать лишь
k21E ? I
область || — СI ^ 1/& в которой можно полагать —-^—— <^ 1 и
?2 It ? I
'jw ¦ <^ 1. При этих условиях
Sln 2л: Sm 2л:' 2л: Sln
2л: Sm 2л:' 2л: Sln 2к'
и формула B7.25) приводится к виду
L
$ ^' J sin *2Bк~С) sin ^^7° Fnn (Л; С) * B7.26)
о
Введя обозначения
 - 2 .
пользуясь тождеством
2
8,„ .,„ ^ s.n fc
2л: 2л:' 2«! 2л:2
(где лТ/ = 2яД/) и сравнивая формулы B7.26) и B7.3), получаем
Очевидно, аналогичное соотношение будет справедливым и для соответствую-
соответствующих корреляционных функций, и мы получаем
*хх<

27.4]
§ 27. МЕРЦАНИЕ ЗВЕЗД
611
Пользуясь формулами B7.28), B7.6) и B7.9) и обозначив е ~ (Я — к')/(к + А/)»
для коэффициента корреляции между %'к и %'к, получаем
2 "Ж1/2
Напомним, что г здесь зависит от 9, А, и А/ согласно B7.23). Эта формула
была получена Татарским и Жуковой A959). Заметим, что коэффициент кор-
корреляции RXX(K А/) при 0 = 0 (когда г = 0) равен A — е5/6)A — е2)~5/12, т. е.
Q3 дЛ,мкм
Рис. 127. Коэффициент корреляции между
флюктуациями логарифма амплитуды волн
света различной длины по Татарскому и Жу-
Жуковой A959) при наблюдениях под зенитными
углами 0 а) 76°, б) 65°, в) 50°, г) 40°.
не равен единице. Это объясняется тем, что окружающие луч «области влия-
влияния», имеющие диаметры порядка УТН и V\rH, при \ф\г различны.
С помощью формул B7.29) и B7.23) (при h = 10 км), приняв для R (ря)
—С—Н ж 10 см, Татар-
Татарский и Жукова построили зависимости коэффициента корреляции Rxx (A,, V)
от ЬК = К — А/ при различных 0, которые мы приводим на рис. 127. Эти
графики вполне удовлетворительно согласуются с данными наблюдений Пул-
Пулковской обсерватории, также изображенными на рис. 127.
Возвращаясь к формуле B7.24), с помощью B7.29) и B7.6) получаем
К
f Ki^K^\ К У) d% Л', B7.30)
xx
39*

612
ГЛ. IX. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ВОЛНЫ
[27.4
где /((А,) = А,"~7/12/0(А,). Величина B7.30), показывающая, во сколько раз
мерцание в интегральном свете слабее, чем в монохроматическом свете
с длиной волны (Xi -\- Х2)/2, зависит от зенитного расстояния звезды 0 (и,
в некоторой степени, от метеорологических условий, определяющих значе-
значение Н). Обозначим ее /40). На рис. 128 мы приводим график функции
F(Q)/F@), рассчитанный Татарским и Жуковой по формуле B7.30), вместе
FF)/F@)
iff
0,8
0,4
0,2
о а
о б
* в
* г
7 sec О
Рис. 128. Функция F(Q)!F@)t описы-
описывающая ослабление мерцания в инте-
интегральном свете по сравнению с мер-
мерцанием в монохроматическом свете в
зависимости от зенитного расстояния
звезд, по Татарскому и Жуковой A959)
для телескопов с различными диамет-
диаметрами D.
a) D = 6, б) D = 10, в) D = 12, г) D = 15 дюймов
соответственно.
с эмпирическими точками, построенными по данным Жуковой (телескоп
с диаметром диафрагмы D = 10 дюймов), Протероэ (D = 6 дюймов и 12 дюй-
дюймов) и Батлера (D = 15 дюймов). Согласие теоретической кривой с разно-
разнородными экспериментальными данными оказывается удовлетворительным.
Это подтверждает высказанные выше соображения об ослаблении мерцания
в интегральном свете при увеличении зенитного расстояния звезд, как след-
следствии хроматического мерцания.

ГЛАВА X
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
ПРОБЛЕМЫ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
§ 28. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ФУНКЦИОНАЛА
28.1. Уравнения для пространственного характеристического
функционала поля скорости
В п. 3.4 части 1 было разъяснено, что полное статистическое
описание поля скорости и(х, t) турбулентного потока может быть
достигнуто с помощью задания его характеристического функцио-
функционала
*. о.
= ехр
оо 3
J J J J 2е* (*>г) и* (*>f) dx dt B8Л)
(см. формулу C.27) на стр. 179 части 1). При этом значения функ-
функционала O[8(jc, t)) в специальных «несобственных точках»
N
пространства функций 8 (jc, t) (определяемые с помощью предельного
перехода, описанного в сноске на стр. 178 части 1) совпадают с ха-
характеристическими функциями распределений вероятностей для зна-
значений u(xk, tk) поля и (х, t) на конечных множествах точек простран-
пространства — времени
таким образом, все конечномерные распределения вероятностей для
поля и(х, t) могут быть однозначно восстановлены по <D[8(jc, t)].
Используя определенные в п. 4.4 части вариационные производные
функционала Ф[8(д:, t)], можно также непосредственно вычислять

614 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [28.1
любые моменты и семиинварианты поля скорости и(х, t) (ср. фор-
формулы D.52) на стр. 198 части 1).
Характеристический функционал <P[0(jc, t)) поля скорости u(xt t)
мы будем называть пространственно-временным. Менее полное ста-
статистическое описание поля скорости и(х, t) доставляет задание его
пространственного характеристического функционала
Ф [9 (*), t) = exp I / J J J J] Qk (х) uk (x, t) dx I B8.2)
(ср. формулу C.28) на стр. 179 части 1). Этот функционал содержит
в себе полное статистическое описание поля скорости и(х, t) в фи-
фиксированный момент времени t, но по нему уже нельзя вычи-
вычислять совместные статистические характеристики значений поля ско-
скорости в разные моменты времени. Тем не менее пространственный
характеристический функционал Ф[0(л;), t] также содержит весьма
обширную информацию о статистических свойствах поля скорости
турбулентного потока, вполне достаточную для очень многих целей.
В настоящей главе мы рассмотрим вопрос о возможности опреде-
определения характеристического функционала поля скорости турбулентного
потока, причем основное внимание будет сосредоточено на изучении
эволюции во времени пространственного характеристического функ-
функционала Ф[0(л;), t). При этом мы ограничимся рассмотрением тур-
турбулентности лишь в несжимаемой однородной жидкости. В таком
случае плотность р есть заданная константа, а поле давления р (jc, t)
удовлетворяет уравнению Ар = — рд2(иаирIдхадХр (см. часть 1,
стр. 38) и может быть выражено через поле скорости. Следовательно,
в рассматриваемом случае поле скорости дает исчерпывающее гидро-
гидродинамическое описание потока жидкости, и характеристический функ-
функционал поля скорости содержит в себе информацию о любых стати-
статистических свойствах не только поля скорости, но и вообще турбу-
турбулентности в несжимаемой жидкости.
Обратим внимание на следующие обстоятельства. Прежде всего,
характеристический функционал поля скорости представляет собой
компактную форму задания информации, эквивалентной той, которая,
вообще говоря, содержится в бесконечном множестве всевозможных
моментов этого поля (в предположении, что все моменты существуют).
Далее, указанные моменты удовлетворяют некоторой бесконечной си-
системе уравнений (выражающих ограничения, налагаемые законами со-
сохранения массы и импульса, т. е. тем, что поле скорости удовлетво-
удовлетворяет уравнениям неразрывности и Навье — Стокса), о которой шла
речь в § 19. Эти обстоятельства приводят к вопросу: не удовлетво-
удовлетворяет ли характеристический функционал поля скорости некоторым
уравнениям, которые являлись бы компактной формой записи выте-

28Л) § 28 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 615
кающих из уравнений неразрывности и Навье — Стокса динамических
ограничений, эквивалентных тем, которые содержатся в бесконечной
системе динамических уравнений для моментов?
Ответ на этот вопрос оказывается положительным: пространствен-
пространственный характеристический функционал O[6(jc), t) действительно удо-
удовлетворяет некоторым динамическим уравнениям (вытекающим из урав-
уравнений неразрывности и Навье — Стокса) и в принципе может быть
определен из этих уравнений по его начальному значению Ф [в (х), t0] =
= Ф0[8(а:)] (аналогичное утверждение справедливо и для простран-
пространственно-временного характеристического функционала; см. ниже
п. 28.3). Динамические уравнения для Ф[9(л;), t] впервые были най-
найдены в фундаментальной работе Хопфа A952) (см. также Хопф A957,
1962)). К выводу этих динамических уравнений мы теперь и перейдем.
Наряду с обозначениями, введенными в §§ 3 и 4 части 1, нам
будет удобно пользоваться также следующими сокращенными обозна-
обозначениями. Будем обозначать «скалярное произведение» в функциональ-
функциональном пространстве функций точки М (пространственной с координа-
координатами х или пространственно-временной (х, t)) символом
(в . и) = J в (М) и (М) dM B8.3)
(где dM = dx при M = jc и dM = dxdt при M = (jc, /)> а функции
в(М) и и(М) могут, в частности, принимать и скалярные значения).
При этом определение B8.2) пространственного характеристического
функционала поля скорости Ф[8(х), ^1 можно переписать в виде
Ф[в(д;), *] = ехр{/(8.«)}. B8.2х)
Кроме того, введем для оператора вариационной производной сокра-
сокращенное обозначение
В таком случае в силу общей формулы D.45) на стр. 197 части 1
3!j (М) Ф == iuj (M) ехр {* (в • и)}, B8.5)
$](Мх) ®k (М2) Ф = - ву (Мх) uk (М2) ехр {* (в . и)}. B8.6)
Рассмотрим теперь, какие ограничения налагает на характеристи-
характеристический функционал уравнение неразрывности несжимаемой жидкости
диа/дха~0, т. е. условие соленоидальности поля скорости и(х).
Поскольку при рассмотрении этого вопроса разница между простран-
пространственным и пространственно-временным характеристическими функ-
функционалами несущественна, мы будем обозначать теперь характеристи-
характеристический функционал просто символом Ф[9(а:)], не указывая зависи-
зависимости от t. Рассмотрим сначала случай, когда жидкость заполняет

616 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [28.1
конечный объем пространства V, ограниченный гладкой твердой гра-
границей Г. Поле скорости на Г, очевидно, должно удовлетворять
краевому условию яя|г = 0, где ип — компоненты скорости в направ-
направлении внутренней нормали к границе. Если теперь ф (jc) — произвольная
скалярная функция, то в силу уравнения неразрывности диа(дха = 0
получаем
т. е. справедливо соотношение
(Vcp.0) = O. B8.7)
Но тогла
») = (e.«) B8.70
при любых функциях 8(jc) и cp(JC). Следовательно, согласно опреде-
определению B8.20 характеристического функционала
Ф [9 (х) + V(p (х)) = Ф [9 (х) ]. B8.8)
Это соотношение и выражает то ограничение, которое налагается на
характеристический функционал условием соленоидальности поля ско-
скорости а(х).
Если на какой-то (могущей быть и несвязной) части Гг границы Г
краевое условие ип~0 не должно иметь места, то соотношение B8.8)
также будет выполняться, но уже не для любых скалярных функ-
функций cp(JC), а лишь для таких <p(JC), которые сами удовлетворяют на Г
некоторому краевому условию. В частности, достаточно потребовать,
поскольку undT =
г,
r = 0 в силу несжимаемости жидкости). Аналогично этому,
г /
в случае неограниченного объема V соотношение B8.8) будет вы-
выполняться для всякой скалярной функции <p(jc), удовлетворяющей не-
некоторым граничным условиям на бесконечности (например, для любых
функций у(х), тождественно обращающихся в нуль вне какого-то
конечного объема).
Приведем теперь соотношение B8.8) к несколько иному виду.
Именно, воспользуемся тем, что каждое векторное поле 9 (jc), задан-
заданное в точках замкнутого объема V, можно однозначно представить
в виде суммы соленоидальной компоненты 9 (jc), нормальная состав-
составляющая которой 9Я на границе Г объема V равна нулю, и потен-
потенциальной компоненты V(p(x):
-^1 = 0, вл|г = 0. B8.9)

28.1] § 2s- УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 617
Иначе говоря, существует некоторый (линейный) оператор J?, ко-
который ставит в соответствие каждому векторному полю 9 (jc) на V
определенное соленоидальное векторное поле ^6 (jc) = 6 (jc) с нулевой
нормальной составляющей на границе Г. При этом из B8.8) следует,
что
Ф [9 (*)]=Ф [§(*)], B8.10)
т. е. что характеристический функционал Ф инвариантен относительно
преобразования в пространстве функций 9 (jc), осуществляемого с по-
помощью оператора тЗ?. Соотношение B8.10) является другой формой
выражения ограничений, налагаемых на характеристический функцио-
функционал условием соленоидальности поля скорости. Нетрудно убедиться,
что оно не только является следствием этого условия, но в некото-
некотором смысле и эквивалентно условию соленоидальности поля скорости.
Именно, если характеристический функционал некоторого (быть мо-
может, не соленоидального) случайного поля скорости а(х) удовлетво-
удовлетворяет соотношению B8.10), то он совпадает с характеристическим
функционалом соленоидальной компоненты и(х) поля и(х) (т.е. со-
соленоидального поля и(х) такого, что поле и — и потенциально), как
это видно из соотношения
доказываемого аналогично формулам B8.7), B8.7').
Укажем, наконец, дифференциальный аналог соотношений B8.8)
или B8.10). Продифференцировав обе части равенства B8.5) по Xj
с учетом того, что (9 • а), а потому и ехр {/(9 • и)} не зависят от х>
и просуммировав по у, в правой части равенства получим выражение
которое вследствие уравнения неразрывности dUj/dXj = 0 равно нулю.
Следовательно,
^{#«(*)Ф}=0. B8.11)
Это соотношение и является дифференциальной формой ограничений,
налагаемых на характеристический функционал условием соленоидаль-
соленоидальности поля скорости. Соотношение B8.11) можно вывести и непо-
непосредственно из соотношения B8.8) для функционала Ф[8(х)], не поль-
пользуясь его определением B8.3) и уравнением неразрывности dUjldxj = Q;
наоборот, из B8.11) можно вывести соотношение B8.8). Оба эти
вывода можно осуществить, например, воспользовавшись разложением
функционала Ф[8(jc)-f- ^V(p(x) ] в ряд Тэйлора по параметру h (или,
что то же самое, разложением функционала Ф [8 (jc) -f- Vq> (jc) J в функ-

618 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [28.1
циональный ряд Тэйлора, типа ряда D.53) на стр. 199 части 1,
около «точки» 9(jc)); на этом, однако, мы не будем останавливаться.
Перейдем теперь к выводу динамического уравнения для характе-
характеристического функционала, вытекающего из того, что поле скорости
удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса. При этом разница между
пространственным и пространственно-временным характеристическими
функционалами уже будет существенной; в настоящем пункте мы
рассмотрим лишь случай пространственного характеристического функ-
функционала O[8(jc), t]. Продифференцируем формулу B8.2') по /:
-^- = /(в.-^-)ехр{/(в-»)}. B8.12)
Подставив затем сюда выражение
(т.е. воспользовавшись уравнениями Навье — Стокса), перепишем по-
получающееся выражение в виде
B8.13)
где мы ввели множитель ехр{/@»й)} под знаки пространственных
производных, воспользовавшись тем, что он не зависит от х. Нако-
Наконец, используя формулы B8.5), B8.6) и введя обозначение
П = 1рехр{/(в.«)}=П[в(дс); х. t]. B8.14)
мы сможем переписать уравнение B8.13) в виде
j }) B8.15)
где ф = (ЗБь ?02* ^з) — векторный оператор вариационного диффе-
дифференцирования. Уравнения B8.15) и B8.11) (или B8.8), или B8.10))
образуют систему двух уравнений осносительно двух неизвестных
функционалов Ф[0(л;), t] и II[0(jc); jc, t]. Функционал П можно ис-
исключить из этой системы, заметив, что выражение в фигурных скоб-
ках в B8.15) есть векторное поле /-зт-ехр {/@ • и)}, дивергенция
которого равна нулю (так как ^.^а =0, а ехр{/@*й)} не зависит
от jc). Условие обращения в нуль дивергенции этого векторного поля
можно привести к виду
^^ B8Л6)

28.1] $ м- УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 61Й
(в правой части этого уравнения должно еще фигурировать слагаемое
-f-/vA fa , но оно равно нулю в силу уравнения B8.11)). Записав
решение уравнения B8.16) относительно функционала П в символи-
символической форме
B8.17)
где Д"*1 — оператор, обратный оператору Лапласа Д, и подставив
это выражение в уравнение B8.15), мы получим уравнение
содержащее уже один только функционал Ф.
Функционал П можно исключить из уравнения B8.15) и с по-
помощью другого приема, опирающегося на уравнение B8.10). Дейст-
Действительно, согласно этому последнему уравнению мы можем в урав-
уравнении B8.15) заменить функцию Q(x) на функцию Q(x)=^Q (x),
удовлетворяющую соотношениям B8.9). Тогда, пользуясь формулой
(ft. VII) = 0, доказываемой аналогично формуле B8.7), получим
B8.19)
Это уравнение (или эквивалентное ему уравнение B8.18)) и есть
уравнение Хопфа для характеристического функционала Ф[9(х). t].
Поскольку оно имеет первый порядок по времени, из него в прин-
принципе может быть найден функционал Ф[9(х)» t] по его начальному
значению Ф [9 (х). *0] = Фо [0 (х) ].
Начальный функционал Фо [9 (.*)], конечно, должен удовлетворять
условию B8.10) (или B8.8), или B8.11)), вытекающему из условия
несжимаемости. Если же это требование выполнено, то соответ-
соответствующее решение уравнения Хопфа Ф[9(д:), t] уже автоматически
будет обладать свойством B8.10) и при любом t > t0. В самом деле,
«если Ф [9 (х), t0] = Фо [9 (х) ] удовлетворяет уравнению B8.10), то, со-
согласно изложенному выше, начальное поле скорости можно считать
соленоидальным, т. е. дивергенцию -^-^ = D в начальный момент вре-
мени t0 можно считать равной нулю. Но известно, что решение си-
системы уравнений Навье — Стокса при соленоидальном начальном зна-
значении будет соленоидальным при любом t > t0 (это следует, например,
из того, что дивергенция векторного уравнения Навье — Стокса имеет
вид скалярного уравнения "^7- = v^^j- Если же при любом />^

620 гл. х. функциональная формулировка проблемы [28.2
поле скорости и(х, t) = u(t) соленоидально, то при любом t > t0
функционал <P[8(jc), t] = exp {/(8, u(t))}, совпадающий с решением
уравнения Хопфа, будет обладать свойством B8.10). Таким образом,
при рассмотрении уравнения Хопфа достаточно требовать выполнения
условия B8.10) или эквивалентных ему условий B8.8) или B8.11)
лишь в начальный момент времени—тогда оно автоматически будет
выполняться и в любой последующий момент.
Задача об определении характеристического функционала <D[8(jc), t]
из уравнения Хопфа B8.18) (или B8.19)) при заданном его началь-
начальном значении Фо [в (х) ] является наиболее компактной формулировкой
проблемы турбулентности, заключающейся в определении стати-
статистических характеристик турбулентности по заданным статистическим
характеристикам начального поля скорости и(х, to) — uo(x).
Замечательной особенностью уравнения Хопфа B8.18) (или B8.19))
является его линейность. Таким образом, хотя динамика жидко-
жидкости нелинейна (эволюция индивидуального поля скорости и(х, f)
описывается нелинейными уравнениями), основная проблема стати-
статистической динамики турбулентного потока (проблема турбулентности)
оказывается линейной задачей. Вследствие этого для характеристи-
характеристического функционала <D[8(jc), t\ имеет место принцип суперпо-
суперпозиции: если начальный функционал Фо[в(л0] является линейной
комбинацией заданных функционалов Ф^, то функционал Ф [в (x)t t]
при любом f>t0 может быть представлен в виде такой же линейной
комбинации функционалов Ф(^[8(д:), t], являющихся решениями урав-
уравнения Хопфа при начальных данных Ф^.
Отметим, однако, что если переход от описания эволюции инди-
индивидуальных реализаций турбулентного потока к статистическому опи-
описанию эволюции турбулентности, осуществляемому с помощью харак-
характеристического функционала, снимает трудности, создаваемые нели-
нелинейностью динамики жидкости, то при этом возникают другие
серьезные трудности (имеющие, правда, уже не физическую, а чисто
математическую природу), связанные с необходимостью создания ма-
математического аппарата для решения линейных уравнений (относи-
(относительно неизвестных функционалов) в вариационных производных.
Пока что в этом направлении сделаны только первые шаги.
28.2. Спектральная форма уравнений для пространственного
характеристического функционала
В предыдущих главах мы многократно убеждались, что при рас-
рассмотрении ряда вопросов теории турбулентности большие преиму-
преимущества дает переход от пространственного описания поля скорости
и(х) (и его моментов, т. е. корреляционных функций различных по-
порядков) к спектральному (или, как иногда говорят, волновому)

28.2] § 28- УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 621
представлению этого поля. Аналогичные преимущества может дать
переход к спектральному представлению и в уравнении Хопфа для
характеристического функционала.
При изучении идеализированного статистически однородного или
локально однородного случайного поля и(х) в безграничном про-
пространстве его спектральное описание доставляется случайной функ-
функцией Z(Aft) множеств Aft пространства волновых векторов ft, опре-
определяемых по и (х) с помощью формулы обращения Фурье — Стилтьеса
(см., например, формулу A1.45), относящуюся к случаю скалярного
однородного поля). При использовании характеристического функ-
функционала Ф[8(;с), t] поля скорости в безграничном пространстве пере-
переход к спектральному представлению оказывается более простым:
поскольку аргумент 8 (л:) этого функционала является неслучайной
функцией, выбираемой, в известных пределах, по нашему произволу,
он, вообще говоря, может быть представлен уже не в виде интеграла
Фурье — Стилтьеса, а просто в виде интеграла Фурье
в (х) = Bл)~3 J eikxz (ft) dk B8.20)
(где интеграл считается распространенным по всему безграничному
пространству). Рассматривая функционал Ф[8(;е), t] только на мно*
жестве функций в (л), представимых в виде интегралов Фурье B8.20) *),
мы осуществим переход к спектральному представлению, если перейдем
от использования в этом функционале «независимого переменного»
Q(x) к новому «независимому переменному» 2 (ft), определяемому
формулой обращения интеграла Фурье
*(*)= J e~ik*Q(x)dx. B8.200
При этом вследствие вещественности функции Q(x)
z(—k) = z*(k), B8.21)
где, как обычно, звездочка означает комплексно-сопряженную вели-
величину. Пространственным характеристическим функционалом поля ско-
скорости в спектральном представлении будет функционал ^[^(ft), t],
определяемый формулой
W [z (ft), /] = Ф [Bл) -3 J eik* z (ft) dk, /]. B8.22)
1) Заметим, что практически вполне можно ограничиться рассмотрением
даже еще более узкого множества функций в (х), тождественно равных нулю
вне какого-то конечного объема (см., например, Гельфанд и Виленкин A961)).
Если объем К, занимаемый жидкостью, не безграничен, то вместо интеграла
Фурье B8.20) можно использовать разложение функции в (д:) по какой-либо
полной системе ортогональных на V функций fk (x), соответствующих не-
некоторому дискретному множеству значений ft. Коэффициенты zk такого раз-
разложения и образуют в этом случае новое независимое переменное.

622 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [28.2
Подчеркнем, что это представление не связано с какими-либо
статистическими свойствами самого случайного поля скорости и, в част-
частности, не требует, чтобы это поле было статистически однородным
или локально однородным. Если же поле и(х), например, однородно
и, значит, допускает спектральное представление A1.62), то
(9 . и)= J в(*)«(*)**= J z*(k)dZ(k, t)
и, следовательно,
W [z (ft), t] = ехр Ь J г* (ft) dZ (ft, t) \. B8.23)
Последняя формула справедлива и в случае локально однородного
поля и(х), но в этом случае характеристический функционал Ф[9(х), t]
определяется лишь для таких Q(x), для которых f Q(x)dx = 0,
и, следовательно, функционал \Р [#(*),?] определяется лишь для
таких г (ft), для которых г@) = 0.
Функционал Y [z (ft), /] = Ф [9 (х), t] обладает следующими оче-
очевидными свойствами:
ЧЧО. ^1 = 1. 1^ [«(*). «|<1. V[2r(*)f /] = V[— г (к), t].
~ B8.24)
Далее нам будет полезно уметь выражать вариационные производ-
производные
j (ft) V [z (ft)] = ДуУ*Д B8.25)
функционала W через вариационные производные функционала Ф.
Чтобы найти такое выражение, вычислим первую вариацию от пра-
правой и левой частей равенства Ф[9(х)] ==y?[z(k)]i в котором под
z(k) понимается интеграл Фурье B8.20'). Пользуясь определением
вариационных производных (т. е. формулами D.47), D.48) на стр. 197—
198 части 1) и учитывая только главные линейные части вариаций,
получаем
6Ф [6 (х)] = J Sa (x) Ф [в (х)] 6ва (х) dx.
6V [г (ft)] = J Sa (ft) V [z (ft)] 6za (ft) dk.
Приравнивая эти выражения друг другу при условии, что bza(k)
есть преобразование Фурье функции 69a(x), т. е.

28.2] § 28. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 623
и пользуясь произвольностью функций 6Qa(x), найдем, что
&j (х) Ф = J е-*** 35j(ft) ЧГ dk. B8.26).
Эта формула позволяет легко вывести дифференциальное уравнение
для характеристического функционала ^F [?(*)], вытекающее из усло-
условия соленоидальности поля скорости. Для этого достаточно продиф-
продифференцировать обе части равенства B8.26) по xJt просуммировать
по j и воспользоваться уравнением B8.11). В таком случае левая
часть обратится в нуль и, следовательно,
Но поскольку функция, преобразование Фурье которой тождественно
равно нулю, должна сама равняться нулю, окончательно получаем
0. B8.27)
Это уравнение, являющееся аналогом уравнения B8.11) в спектраль-
спектральном представлении, и выражает в дифференциальной форме ограниче-
ограничения, налагаемые на характеристический функционал ^[^(ft)] усло-
условием соленоидальности поля скорости. Нетрудно получить также
спектральное представление соотношений B8.8) и B8.10), эквивалент-
эквивалентных уравнению B8.11). Так, заменяя в B8.8) функциональные аргу-
аргументы Q(x) и 6(x)-^Vy(x) их преобразованиями Фурье z(k) и
г (ft) + ftip (ft) (где —/ф"(Л) — преобразование Фурье скалярной функ-
функции ф(х)), убеждаемся, что для любой скалярной функции ф(й)
должно выполняться равенство
V \г(ft) + Щ (ft)] = ? [z (ft)]. B8.28)
Полагая здесь, в частности,
т. е. вводя в рассмотрение функцию
^^, B8.29)
однозначно и притом линейно определяемую по функции z (ft) и
обладающую свойством ft2(ft) = 0, получаем
B8.30)
Формулы B8.28) и B8.30) и являются аналогами формул B8.8) и
B8.10) в спектральном представлении; они, очевидно, эквивалентны
уравнению B8.27).

624 гл. х. функциональная формулировка проблемы [28.2
Перейдем теперь к выводу спектральной формы уравнения Хопфа
B8.18). Воспользуемся для этого, во-первых, равенством Ф[6(д;), t] =
= Чг[г(й), t] и, во-вторых, известной формулой Парсеваля теории
преобразований Фурье, согласно которой переход к преобразованиям
Фурье не меняет функционального «скалярного произведения». Эту
формулу можно записать в виде
B8.31)
где
A [q>] = BяГ3 J eik*q> (х) dx, B8.32)
а круглые скобки справа являются символом интегрирования скаляр-
скалярного произведения z • А [<р] по всем k.
Вследствие отмеченных двух обстоятельств спектральную форму
уравнения B8.18) можно записать в виде
и нам остается только найти преобразование Фурье для выражения
в фигурных скобках. Наиболее просто такое преобразование нахо-
находится для последнего слагаемого в фигурных скобках, которое со-
согласно B8.26) может быть представлено в виде
= vA J e-ikx@(k) W dk = — v J e~ikx №&> (k) ? dk.
Отсюда по формуле B8.32) получаем
B8.34)
Несколько сложнее вычисляется преобразование Фурье А от слагае-
слагаемых в фигурных скобках в B8.33), содержащих вторые вариацион-
вариационные производные. Применяя формулу B8.26) дважды, найдем
3)](х)®1(х)Ф= J J e-l<<kt^ka)x3)j{kfKl{Vf)^dkfdk\ B8.35)
так что, например,
При применении преобразования Фурье А к этой функции от х
множитель ?-*(*'+*")* под знаком интеграла перейдет в дельта-функ-
дельта-функцию 6(й — Ы— k")t и, следовательно,
А[i ^f-] =ka\ ®a(*')9(к~ k')Wdk'. B8.36)

28.2] § 28. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 625
Аналогично получаем
B8.37)
Подставляя формулы B8.34), B8.36) и B8.37) в уравнение B8.33),
раскрывая смысл функционального «скалярного произведения» и
используя формулу B8.29), в итоге получим
** = J J }а (*' + *") к&, (*>« (»> dk* dk° -
— v | k2za (k) 3>a(к) W dk. B8.38)
Это и есть спектральная форма уравнения Хопфа. Во втором слагае-
слагаемом в правой части B8.38) можно заменить za(k) на 2а(*), так
~ kz
как (za — za) SBqfV = -р- ka3)^? = О вследствие уравнения B8.27).
В таком виде уравнение B8.38) будет являться спектральной формой
уравнения B8.19).
Хопф A952) вывел уравнение, эквивалентное уравнению B8.38), иначе.
Он сначала рассмотрел периодическое по всем пространственным координа-
координатам (с одинаковым периодом L) поле скорости и (х, t), которое представимо
в виде ряда Фурье 2 v (& 0 е*к* (где волновой вектор пробегает значения
k=-j-(nlt п2, п3), а п{, п2, п3 — целые числа!. Воспользовавшись дина-
динамическими уравнениями для коэффициентов Фурье v(k, tf), получающимися
из уравнений Навье — Стокса после подстановки в них вместо и (х, t) соот-
соответствующего ряда Фурье, Хопф вывел с их помощью уравнение для ха-
характеристического функционала Ф последовательности {v(k, t)} аналогично
тому, как в п. 28.1 было выведено уравнение B8.18), и затем перешел
в этом уравнении к пределу при L -> оо. В итоге он получил для Ч? урав-
уравнение
dt J P\/JaV J & а\ J
- v J k\ (k) 9a (k) 4> dk, B8.380
отличающееся от B8.38) тем, что в первом слагаемом справа функция
га (kf + k") и оператор @§ (k') под знаком интеграла переставлены местами.
Чтобы убедиться, что в данном случае такая перестановка возможна, вос-
воспользуемся тождеством
*а (k) = 6ap J zb (k') 6 (k - к') dk',
откуда согласно определению вариационной производной получается
% (kf) za (k) = 6ap 6 (k — k'). B8.39)
40 А. С. Монин, А. М. Яглом

626 ГЛ X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [28.2
Следовательно, для операторов умножения на za(k) и вариационного диф-
дифференцирования справедливо перестановочное соотношение
Щ (*') *а W - *а (*) % <*') - 6ар 6 (к - к'). B8.40)
/ kaka\
Так как za (к) = (ба^ тг-)г(з(^)» и множители типа ba^ — kak^k2
можно беспрепятственно переставлять с любыми операторами вариационного
дифференцирования &у(к'), то в силу B8.40)
9Y (Ь')*а (Ь' + к") = za (к' + к") Вy (Ь'У
Подставляя это выражение в первое слагаемое правой части B8.38'), мы
получим первое слагаемое правой части B8.38) плюс слагаемое
J dk> J [6°о - (*°*Л(*^]6 <
равное нулю в силу того, что ?p6(fc") = 0. Тем самым эквивалентность ура-
уравнений B8.38) и B8.387) доказана.
Вывод уравнения B8.38) рассматривался также Бассом A953), исходив-
исходившим из формулы B8.23) (справедливой в случае однородного поля скоро-
скорости), и Татарским A9626), использовавшим (в качестве эвристического
приема) предположение о представимости поля скорости u(xt t) в виде
обычного интеграла Фурье. Изложенный выше общий способ получения
уравнения B8.38) заимствован из работы Льюиса и Крейчнана A962), в кото-
которой он применен к выводу уравнения для пространственно-временного харак-
характеристического функционала поля скорости.
Уравнение Хопфа B8.38) в ряде отношений аналогично некоторым урав-
уравнениям, используемым в квантовой теории поля (с которой можно познако-
познакомиться, например, по книге Швебера, Бете и Гофмана A955)). Чтобы
расшифровать эту аналогию, перепишем уравнение B8.38) в виде уравнения
Шредингера квантовой механики
/-2J- = (**0+ <»,)?. B8.41)
где под &&0 и <$#j понимаются следующие операторы:
<й?0 = - /v J dk k>za (к) 9а (к), B8.42).
Mi - J J dk' dk"Bat^ (к' + к") *э {к' + к") 9а W) ®у (к"), B8.43)
причем
/ kaks \
В a, pv W e ik* [Чу Ж}' B844)
В уравнении B8.41) функционал W играет роль «вектора состояния в пред-
представлении Шредингера» квантованного поля. Если, в частности, *F есть сте-
степенной функционал л-й степени
J ... J
B845)

28.2] 5 28- УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 027
то ему соответствует «вектор состояния», описывающий л-частичное состоя-
состояние поля (т. е. состояние, в котором имеется п квантов). Поскольку умно-
умножение на Z] повышает на единицу степень такого функционала, а действие
оператора @j, наоборот, понижает его степень на единицу, оператор умно-
умножения на Zj (к) и оператор вариационного дифференцирования Qfj (к) можно
считать аналогами соответственно операторов рождения и уничтожения кван-
квантов с импульсом к, рассматриваемых в квантовой теории поля. При этом
перестановочное соотношение B8.40) точно совпадает с перестановочным
соотношением между операторами рождения и уничтожения, соответствую-
соответствующими случаю так называемого бозе-поля (т. е. квантованного поля, кванты
которого подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна).
Далее, оператор <%?0, билинейный относительно операторов рождения и
уничтожения, аналогичен «гамильтониану свободного поля» квантовой теории
поля, а оператор &в\> кубичный относительно операторов рождения и уни-
уничтожения, аналогичен «гамильтониану взаимодействия в представлении
Шредингера». Взаимодействия, о которых тут идет речь,— это инерционные
взаимодействия между пространственными неоднородностями поля скорости
и (х, t), описываемые в уравнениях Навье — Стокса слагаемыми, нелиней-
нелинейными относительно поля п. Отношение типичных значений этих слагаемых
и линейных слагаемых, описывающих действие вязкости, которое равно
числу Рейнольдса Re, является «константой инерционного взаимодействия»
(см. выше п. 19.2). Если перейти в уравнении B8.41) к безразмерным вели-
величинам так, чтобы «гамильтониан свободного поля» <##0 имел порядок еди-
единицы, то константа взаимодействия Re будет множителем при «гамильтониане
взаимодействия» &$х. Поскольку в случае развитой турбулентности Re велико,
взаимодействие, описываемое гамильтонианом &$\> является сильным.
Таким образом, наиболее тесная аналогия существует между уравне*
нием Хопфа и уравнением Шредингера для квантованного бозе-поля с сильным
взаимодействием. Разумеется, эта аналогия все же не является полной; в
частности, «гамильтониан взаимодействия» B8.43) имеет весьма специальный
вид, отнюдь не типичный для квантовой теории поля (он описывает лишь
процесс слияния двух квантов в один). Тем не менее, указанная аналогия
полезна, так как она позволяет использовать для решения уравнения Хопфа
методы, развитые в квантовой теории поля (см. Татарский A9626)).
Так, например, для решения Хопфа может быть полезным преобразова-
преобразование, которому в квантовой теории поля соответствует переход от «предста-
«представления Шредингера» к «представлению взаимодействия». Это преобразова-
преобразование позволяет исключить в правой части уравнения Хопфа B8.38) второе
слагаемое, соответствующее «гамильтониану свободного поля» $#0 в урав-
уравнении B8.41). Оно сводится к тому, что функционал Ч?[г(Л). t] ищется
в виде
W [z (к), t] = $ [е-**4 z (к), t] B8.46)
{для простоты записи мы будем теперь считать, что to=O). При этом с точ-
точностью до слагаемых порядка dt имеем
? [z (к), t + dt] - W [z (к), t] = $ \e^mz (к), t + dt] +
+ W [e-vk2t A — vk2 dt) z (*), t] — ? [z (k), t].
Пользуясь формулой B8.46), второе слагаемое в правой части последнего
равенства можно переписать в виде У [z(k) — vk2z(k)dtt t]. Рассматривая
здесь ~\k2z(k)dt как вариацию функции z(k), мы можем записать послед-
последние два слагаемых в виде
J {-v***e (*)<«}*. <*)?**.
40*

628 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ
Отсюда без труда получается формула
[28.3
с помощью которой уравнение B8.38) приводится к виду
Заменим здесь е~^кЧ z(k) на y(k). Тогда будем иметь
), t].
и если оператор 6/6уа (ft) dk вновь обозначить символом @а (ft), то уравне-
уравнение для W [у (ft), t] примет вид
Щ. = J J
ft') #a (ft") ф dft' dk".
B8.47)
Оно отличается от уравнения B8.38) отсутствием второго слагаемого в пра-
правой части. Если ввести здесь обозначения:
то уравнение B8.47) перепишется в виде
, Уа <*. О =
О 0Y
B8-48)
' 0.
B8.49)
B8.50)
Уравнение B8.50) является аналогом «уравнения Шредингера в представле-
представлении взаимодействия» (а функционал W и оператор &€(t) аналогичны «век-
«вектору состояния» и «гамильтониану взаимодействия» в представлении взаимо-
взаимодействия).
28.3. Уравнения для пространственно-временного
характеристического функционала
Остановимся теперь вкратце на уравнениях, которым должен
удовлетворять пространственно-временной характеристический функ-
функционал поля скорости. При этом, кроме рассмотрения такого функ-
функционала в его обычном пространственно-временном представлении
O0c, /)], мы введем еще следующие три спектральных представления:
W [z (ftf t)\ = Ф [Bjt)-3 J ***** (ft, t) rfft], B8.51)
Фх [х\ (x, о)] = Ф [BЯ)"*1 J ешх\ (x, со) Aol, B8.52)
^i [? (*. о))] = Ф [Bл) J e* (**+^)g (ft, со) dk rf©]. B8.53)

28.3] § 28. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 629
Представление B8.51) можно назвать волновым (или трехмерным
спектральным), B8.52) — частотным, а B8.53) — частотно-волновым
(или четырехмерным спектральным).
Уравнение для характеристического функционала, являющееся
следствием соленоидальности поля скорости, не зависит от наличия
временнбго (или частотного) аргумента. Поэтому для функционалов
Ф [в (х, t)] и Фг [ц (х, со)] это уравнение можно записать в любой
из трех форм B8.8), B8.10) или B8.11), а для функционалов
?[*(*. t)] и ^[gOfe, со)] — в любой из трех форм B8.27), B8.28)
или B8.30) (с очевидными видоизменениями записи, связанными с на-
наличием дополнительного аргумента t или со). Так, например, в диф-
дифференциальной форме уравнения, вытекающие из условия соленоидаль-
соленоидальности, будут иметь вид
, ОН=0. B8.54)
ft -^(ft, t)W [z (ft, t)] = 0, B8.54/)
{Sa(x, @H! 1ц(х. со)]} = 0, B8.54-)
* • & (*. со) Vx К (ft, со)] — 0, B8.54")
где символ 36 всякий раз означает вариационную производную по
соответствующему функциональному аргументу.
Перейдем теперь к выводу основного динамического уравнения,
являющегося следствием уравнений Навье — Стокса. Начнем с того, что
рассмотрим формулу B8.5), записанную для функционала Ф[9(х, t)\.
Продифференцировав ее по t и учитывая, что теперь (9 • и) не зависит
от /, получим
Выразив здесь du/dt с помощью уравнений Навье — Стокса, после
простых преобразований, аналогичных переходу от B8.13) к B8.15),
найдем
д|Ф = t dw?_ + ^m _ .т B8 55)
где П определяется формулой B8.14) (в которой, однако, функцио-
функциональное «скалярное произведение» (9 • и) теперь уже определяется
иначе, чем в п. 28.1). Функционал П можно исключить из уравне-
уравнения B8.55), вычислив, например, дивергенцию обеих частей равен-
равенства B8.55) (рассматриваемых как векторные функции от х) и исполь-
используя уравнение B8.54). При этом для П получится формула B8.17),
с помощью которой уравнение B8.55) приводится к виду

(МО гл. х. функциональная формулировка проблемы [28.8
содержащему уже только один неизвестный функционал Ф. Заметим,
что в этом уравнении можно понизить на единицу порядок вариа-
вариационного дифференцирования, введя в качестве новой неизвестной
векторный функционал F = (FV F2, F3) от 8(jc, t) (зависящий также
от параметров х и t)t который определяется формулой
F [в (х, 0; xt t] = а (*. t) Ф [в (*. *)]. B8.57)
В таком случае уравнение B8.56) можно переписать в виде
содержащем только первые вариационные производные от F.
Другой способ исключения функционала П из уравнения B8.55)
состоит в «скалярном умножении» (в смысле B8.3)) обеих частей
этого уравнения на произвольную функцию y(xt t)t достаточно быстро
убывающую при |;е|->оо и удовлетворяющую условию соленоидаль-
ности dyJdxa = O (в частности, в качестве y(xt t) можно взять
соленоидальную компоненту 9 (х, t) функционального аргумента в (х, t)
функционала Ф). Тогда вследствие того, что (у • VII) ===== 0, получится
уравнение
•* )- /(у . ^g?) + v(y • ^3>Ф). B8.59)
В такой форме динамическое уравнение для Ф[в(х, t)\ приводится
в статье Льюиса и Крейчнана A962). Решать уравнение B8.56)
(или B8.59)) надлежит при начальном условии
Ф [в (х) в (/ — /о)! = Фо [в (хI B8.60)
где Фо [в (х)] — характеристический функционал начального поля ско-
скорости и(х, t0) (о возможности определения значений функционала
Ф[6(х, t)] на обобщенных функциях типа 6(х, t) = Q(x)b(t — ^0)
см. сноску на стр. 178 части 1).
Переход в уравнении B8.56) к какому-либо из трех спектральных
представлений B8.51) — B8.53) пространственно-временного характе-
характеристического функционала поля скорости может быть осуществлен
вполне аналогично приведенному в предыдущем пункте выводу урав-
уравнения B8.38). Приведем только окончательные результаты: аналогами
уравнения B8.56) для функционалов B8.51) — B8.53) оказываются

28.4] § 28. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 631
уравнения
(у+v#)Я,(ft. t)V = *аДур(ft) J Se(*'. tK&(ft- ft', 0?rfft'.
B8.61)
y(jic, ю)Ф,=
(to —v^S^ft, ft))W,=
= - 6eA^ (ft) J Sa(ft', «') 55p (ft — ft', <o - ©') V rfft' rfco', B8.63)
где, как обычно, Ду« (ft) = бур р^-1 а вариационные произ-
производные во всех случаях берутся по функциональным аргументам
функционала, фигурирующего в данном уравнении. В уравнениях
B8.61) —B8.63) также можно понизить на единицу порядок ва-
вариационного дифференцирования с помощью приема, аналогичного
B8.57), B8.58).
Для представлений B8.51) — B8.53) пространственно-временного
характеристического функционала нетрудно также вывести динами-
динамические уравнения в форме, аналогичной уравнению B8.59). Так, на-
например, умножив обе части уравнения B8.61) на компоненту aj(kt t)
произвольной векторной функции a (ft, t)> удовлетворяющей условию
ka(k, t) — 0, суммируя по У и интегрируя по ft и Л получим
B8.64)
Эта форма динамического уравнения для ^[^(ft, t)\ была приведена
в статье Льюиса и Крейчнана A962). Некоторые формы динамического
уравнения для пространственно-временного характеристического функ-
функционала были также еще раньше указаны Бассом A953). Заметим,
наконец, что динамическое уравнение для пространственно-временного
характеристического функционала случайной функции |(х, t)t описы-
описывающей смещения жидких частиц в турбулентном потоке, вытекающее
из лагранжевых уравнений движения несжимаемой жидкости (см.
часть 1, п. 9.1), выведено в работе Монина A962г).
28.4. Уравнения для характеристического функционала
при наличии внешних сил
Рассмотрим теперь случай, когда жидкость находится в поле
внешних сил, описываемых слагаемым Х(х, t) в правой части вектор-
векторного уравнения Навье — Стокса. Учет таких сил представляет интерес
в первую очередь для. описания притока энергии к жидкости от внешних

632 гл. х. функциональная формулировка проблемы [28.4
источников: скорость притока энергии к единице массы жидкости
в точке (х, t) за счет работы внешних сил определяется величиной
и(х, t)-X(x, t). Если эта величина равна нулю (т. е. если внешние
силы отсутствуют или же они всюду перпендикулярны направлению
движения жидкости), то никакой энергии от внешних источников
жидкость не получает. Поскольку диссипация энергии в теплоту под
действием молекулярной вязкости всегда имеет место, полная кине-
кинетическая энергия жидкости в этом случае будет убывать со временем,
т. е. движения жидкости будут затухать (во всяком случае, в несжи-
несжимаемой жидкости; в сжимаемой жидкости, здесь не рассматриваемой,
приток энергии может создаваться не только работой внешних сил,
но и внешними источниками тепла). С такой ситуацией мы имели
дело, в частности, в случае изотропной турбулентности, изучав-
изучавшемся в гл. 7.
В реальных условиях наиболее обычными внешними силами являются
неслучайные силы типа силы тяжести или поверхностных сил, возни-
возникающих при движении в жидкости тех или иных тел. Однако в не-
некоторых теоретических моделях турбулентных потоков оказывается
целесообразным вводить в рассмотрение и случайные силы Х(х, t).
Так, турбулентность в температурно-стратифицированной среде (см.
гл. 4) может описываться с помощью уравнений динамики несжимае-
несжимаемой жидкости, находящейся в поле случайных архимедовых сил,
пропорциональных турбулентным пульсациям температуры. Предста-
Представляет интерес также идеализированная модель стационарной изотроп-
изотропной турбулентности, стационарность и изотропность которой обеспе-
обеспечиваются введением искусственного стационарного и изотропного поля
случайных внешних сил Х(х, t) (такая модель использовалась, напри-
например, в работе Уайлда A961); см. выше п. 19.6). Правда, такая модель
является фиктивной, так как силы Х(х, t) не имеют реальных
аналогов. Однако если ввести силы X так, чтобы они обеспечивали
заметный средний приток энергии лишь к крупномасштабным компо-
компонентам турбулентности (в этом случае мелкомасштабные компоненты
будут получать энергию практически только от крупномасштабных
компонент, а не за счет работы сил X), то вследствие представлений
теории локально изотропной турбулентности о независимости стати-
статистического режима мелкомасштабных компонент от крупномасштабных
особенностей движения можно будет ожидать, что фиктивный характер
поля Х(х, t) не скажется на статистических свойствах мелкомасштаб-
мелкомасштабных компонент турбулентности. Поэтому мелкомасштабные свойства
турбулентности могут быть правильно описаны и на основе описанной
фиктивной модели.
Если силы Х(х, t) неслучайны, то их учет в уравнениях для
характеристического функционала поля скорости не представляет
никакой трудности. Так, в правой части уравнения B8.15) здесь
просто добавляется слагаемое / (в • X) Ф» в правой части уравне-

28.4] § 28. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 633
ния B8.18) — слагаемое 1(дХ)Ф (где J?—соленоидальная компо-
компонента векторного поля ЛГ), в уравнении B8.19)—слагаемое /(9 • Х)Ф=
= / (9 • X) Ф, а в уравнении B8.38) — слагаемое / (z - Y) xVt где
Y = Y(k> t) — преобразование Фурье вида B8.32) функции Х(х, t).
Аналогично в правой части уравнения B8.55) добавляется слагае-
слагаемое/ЛГФ, а в уравнении B8.56)—слагаемое /ЛГФ, в уравнении B8.59) —
слагаемое i(y-X)<Dt в уравнениях B8.61) — B8.63) — соответственно
слагаемые /V^F, — 1ХхФг и — /К^, где К, Хх и ^ — преобра-
преобразования Фурье функции Х(х, t) по х, по t и по х и по t. Наконец,
в правой части уравнения B8.64) добавляется слагаемое 1(а ^?
()
При наличии внешних сил Х(х, t) поле скорости и(х, t) в любой
момент времени t > О будет зависеть не только от начального поля
и(х, О) = ио(х), но и от значений векторной функции Х(хУ т),
О ^ т < t. При статистическом описании поля скорости турбулентного
потока зависимость осредненных характеристик этого поля от кон-
конкретного начального поля скорости исчезает (так как осреднение
производится как раз «по начальным полям скорости», т. е. по ве-
вероятностной мере, заданной на множестве возможных начальных полей
скорости), но их зависимость от неслучайных внешних сил, т. е.
от функции Х(х, т), 0^т<?, сохраняется. Таким образом, можно
считать, что от этой функции зависит характеристический функционал
поля скорости Ф[9(д:, t)]. Простейшими характеристиками такой
зависимости будут определенные при t > t'% th\ ... «тензоры реакции»
t\Xf, O =
G$y(xt t\x't t'; x\ t")=3!Xy(x", П&х^х'. t')ua(x, 0 =
= ±?0Ху(х", П^(х\ t'){<$a(x, ОФ|е-о} B8-650
и т. д. (где ?Bxj (^» 0 = Ь/bXj (х, t) dx dty которые описывают
осредненную реакцию полей скорости на инфинитезимальные возму»
щения поля внешних сил *). Эти тензоры использовались в исследо*
1) Если определять тензоры реакции формулами
t\x', О«»х(х' *')иа(х. t),
G$y(x. 'I*'. ?\ x"• t")=*QiK (x", t"\ @x (x't t')ua(x, t)
У п
и т. д. (но не выражать их через Ф), то они сохраняют смысл и при случай-
случайном поле внешних сил Х(х, t).

634 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [28.4
ваниях Крейчнана A959, 1964а — в и др.) и Уайлда A961) (см. выше
п. 19.6), а также Льюиса и Крейчнана A962).
Пусть теперь поле внешних сил X(xt t) случайно. Тогда мы
имеем два случайных поля и(х, t) и Х(х, t), которые, вообще говоря,
будут статистически связанными друг с другом (так как поле ско-
скорости и(х, t) при t> t0 в каждой индивидуальной реализации потока
жидкости зависит от соответствующей реализации функции Х(х, т) при
^о *^ т < 0- Полным статистическим описанием совокупности этих двух
случайных полей является их совместный пространственно-временной
характеристический функционал
Q[8(*. t). fix, 01 —ехр {/(в-«) + *(/.*)}. B8.66)
где скобки (в • и) и (f*X) означают интегралы от соответствующих
скалярных произведений векторов по всем х и t. Менее полное, но
все же достаточное для многих целей описание будет давать прост-
пространственный по а и пространственно-временной по X характеристи-
характеристический функционал Q [6 (л),/(#, t), t], определяемый формулой
Q [в (X), f(X, t), t] = exp j/(e • в) + / J (/• X) dt I, B8.67)
аналогичной B8.66) (в которой теперь скобки (8 • и) и (/• X) озна-
означают интегралы от соответствующего скалярного произведения только
по х). Знание такого функционала будет давать возможность судить
лишь о пространственном (но не о пространственно-временном) ста-
статистическом режиме поля скорости.
Если функционал B8.66) известен, то средняя скорость притока
энергии к единице массы жидкости в точке (д;, 0 за счет работы
внешних сил может быть подсчитана по формуле
и (*. О X (х. t) = —&a (х. О #/в (х. О Q |е_,.о <28'68)
Аналогичное выражение (лишь с заменой Sa(x, 0 на &а(х)) полу-
получается и при использовании функционала Q[8(jc), fix, t), t].
Условие соленоидальности поля скорости налагает на зависимость Q
от функционального аргумента 8 в точности такие же ограничения,
как и в случае характеристического функционала поля скорости Ф,
Так, функционал Q [8 (jc, t), fix, t)] должен удовлетворять уравнению
?„(*. 00] = 0 B8.69)
и такому же уравнению (лишь с заменой 35aix, t) на Sa(#)) должен
удовлетворять функционал Q[6(x), fix, t), t].
Выведем теперь динамическое уравнение для Q, вытекающее из
того, что поля компонент скорости и(х, 0 удовлетворяют уравне-

28.4] § 28. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 635
ниям Навье — Стокса, в правой части которых фигурируют компо-
компоненты поля внешних сил Х(х, t). Рассмотрим сначала функционал
6), f(x, t), t). Очевидно, что
Выражая теперь -дт- с помощью уравнений Навье—Стокса и выполнив
преобразования, аналогичные переходу от B8.12) к B8.15), получим
B8.70)
Здесь 3) * — векторный оператор вариационного дифференцирования
с компонентами 35/ (х, /), а функционал П определяется формулой
-/?ехр
, t); xt t].
Заметив, что выражение в фигурных скобках в B8.70) есть вектор-
векторное поле вида -~-1, где \ — случайная величина, не зависящая от х>
используя соленоидальность этого векторного поля и действуя ана-
аналогично переходу от B8.15) к B8.18), мы сможем исключить из
уравнения B8.70) функционал П. При этом получается уравнение
дп
, Лея* Q 1\
B8.71)
содержащее уже один только функционал Q. Поскольку оно имеет
первый порядок по времени, из него в принципе может быть найден
функционал Q[d(x), f(x, t), t] no заданному его начальному значению
Q [в (*). f(x. t), t0] = Qo I» (x). /(*. ОЬ B8.72)
дающему полное статистическое описание совокупности двух случай-
случайных полей и(х, to) = uo(x) и Х(х, t)tt^t0. В частности,
B8.73)
B8.74)
где Фо — заданный характеристический функционал начального поля
скорости ио(х), a F — заданный пространственно-временной характе»
ристический функционал поля внешних сил Х(х, т), т>*0

636 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [28.4
считать эти два поля статистически независимыми, то функционал
B8.72) будет, очевидно, просто произведением функционалов B8.73)
и B8.74).
Выше мы отмечали, что введение надлежащим образом подобран-
подобранного поля случайных сил Х(х, t) может представить интерес как
способ построения идеализированной модели стационарной турбулент-
турбулентности. В такой модели в определении B8.67) функционала Q целесо-
целесообразно положить to = — оо; в силу стационарности этот функционал
не будет явно зависеть от t, а потому будет удовлетворять уравне-
уравнению B8.71), в котором левая часть заменена нулем. Можно ожидать,
что это уравнение будет иметь однозначное решение при заданном
«граничном условии» B8.74).
Иногда может оказаться удобным использовать совместный харак-
характеристический функционал полей скорости и внешних сил не в про-
пространственном, а в спектральном представлении. Таким представле-
представлением будет функционал Л [г (ft), g(k, t), ^/определяемый формулой
Л [z(ft), g(k, t), t] =
— й[BяГ3 J eik*z(k)dk, Bл) J e***g(k, t)dk. f]. B8.75)
Поступая, как в п. 28.2, нетрудно убедиться, что этот функционал
будет удовлетворять уравнениям
= 0. B8.76)
— V f k2za(k)&a(k)Adk+ [ za(k)?Bg (ft, t)\dk B8.77)
и начальному условию
Л [г (ft), g(k, t), tQ] = \lz(k), g(k, t)]. B8.78)
В равенстве B8.78), в частности,
Ло [*(*). 0]=%[г(*)], B8.79)
Л0[0, g[k, t] = G[g(k, /)], B8.80)
где правые части суть спектральные представления функционалов Фо
и F формул B8.73) и B8.74).
Укажем теперь динамические уравнения для пространственно-вре-
пространственно-временного функционала Q [8 (х, t), fix, t)] и его спектрального пред-
представления Л [z(ft, t)t g(k, t)]> вывод которых аналогичен выводу

28.4] § 28. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 637
уравнений B8.56) и B8.61) предыдущего пункта:
B8.81)
+ Ау« (*)#,„<*. О Л. B8.82)
Уравнение, эквивалентное B8.81) (в форме, аналогичной B8.59)),
приводится в статье Льюиса и Крейчнана A962). Решать это урав-
уравнение нужно при «начальном условии»
Q[Q(xN(t-t0), f(x, t)e(t-to)] = Qo[Q(x), f(x. t)]. B8.83)
где e (t—t0)—функция, равная нулю при t < t0 и единице при 0
Аналогичный вид имеет «начальное условие» для уравнения B8.82).
До сих пор для описания случайного движения жидкости в поле случай-
случайных внешних'сил мы использовали совместный характеристический функ-
функционал полей скорости и внешних сил. Но насколько необходим этот сов-
совместный характеристический функционал, если мы интересуемся статисти-
статистическими свойствами одного только поля скорости? Нельзя ли вывести
уравнение, которому удовлетворяет при наличии случайных внешних сил
характеристический функционал поля скорости? Рассмотрим, например, про-
пространственный характеристический функционал поля скорости Ч? [z (k)t t].
Он может быть получен из функционала Л [z (k), g (k, t), t], определяемого
формулами B8.75) и B8.67), если положить в нем g (k, t) = 0. Учитывая
это обстоятельство, положим g (k, t) = 0 в уравнении B8.77) для функ-
функционала Л. Тогда мы получим уравнение
- v Г k*za (k) 9a (b) T dk + Г za (k) \@g (k, t) Л1 I dk в 0, B8.84)
которое отличается от уравнения B8.38) для ?, справедливого при отсут-
отсутствии внешних сил, лишь наличием третьего слагаемого в правой части.
Но это слагаемое содержит уже не функционал ?, а функционал Л, так
что уравнение B8.84) еще не является замкнутым уравнением относи-
относительно ?. Рассмотрим, однако, это слагаемое более подробно. Пользуясь
формулой типа B8.26) и определением B8.67) функционала Q, получаем
(Л, О Л] I = BяГ3 f dx eikx Ш, (^ 0 Ql I
(Г , ( 0
0-0 J L 7a J \f(X, 0-0
: Bя) J eikx liXa (x, t) el {b'tt)\ dx. B8.85)
Напомним, что скобки @ • и) означают здесь интеграл от скалярного
произведения Q(x)u(x, t) по х, но не по t. Теперь мы видим, что получить
из B8.84) замкнутое уравнение для ? удастся, лишь если мы сумеем выразить
через Ч? математическое ожидание произведения Ха (х, t)el^'u\ Новиков

638 гл. х. функциональная формулировка проблемы [28.4
A964) показал, что это математическое ожидание можно выразить через *Р
в случае, когда случайное поле внешних сил Х(х% t) является гауссовским,
статистически стационарным и некоррелированным в различные моменты
времени, так что
*7<*i. ti)*i(*2. U) = Ь «i -« Вп <*,. x2). B8.86)
Далее мы ограничимся рассмотрением только этого случая. Пользуясь фор-
формулой и (t) = и (t — г\) + g'T' dx (аргумент х мы пока опускаем для
краткости написания формул), перепишем интересующее нас произведение
*e@*i(e'e@) в виде
I Г Г , Л„ ,^Ч ч II
B8.87)
и вычислим сначала условное математическое ожидание второго множителя
(стоящего в фигурных скобках) при условии, что значение первого множи-
множителя фиксировано. После этого останется осреднить результат умножения
et(9-u(t-i\)) на 9ТО уСловное математическое ожидание по распределению
вероятностей первого множителя. При этом мы будем считать г\ очень малым
и в нужный момент перейдем к пределу при "п-^-О. Условное математиче-
математическое ожидание выражения в квадратных скобках будем вычислять, разложив
экспоненциальный множитель в ряд по степеням показателя экспоненты.
Тогда оно приведется к виду
Л-1 t-1\ t-1\
B8.88)
Математическое ожидание поля внешних сил X^if) будем считать равным
нулю. Рассмотрим сначала слагаемое в B8.88) сл=1, которое можно пере-
переписать в виде
t
J B8.89)
Заметим, что с помощью уравнений Навье —Стокса величина . ' — Х(х)
выражается только через значения поля скорости в момент т, которые не
зависят от значений Xa(t) внешней силы в будущие моменты времени
t > т. Поэтому множители Ха (t) и —-^- — Х(х) в первом слагаемом
в B8.89) статистически независимы, и, поскольку Ха (t) = 0, это слагаемое
равно нулю. Вспоминая определение скобок (в • X) и пользуясь формулой
B8.86), мы можем привести второе слагаемое в B8.89) к виду
t
i J 9p (x')dx' J Xa(x, t)X^(x\ x) dx = -i f 9Э(xr) Sap(л, x') dx' B8.90)
t-r\

28.4] § 28- УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 639
/ * \
I здесь мы воспользовались формулой б (t — т) dx = -^ I. Подчеркнем
V /-Т) /
что величина B8.90) не зависит ни от ц, ни от значения я'*6" ('-*))). рас.
сматривая аналогичным образом слагаемые с п > 1 в B8.88) и используя
формулы для моментов гауссовского поля Ха (t), можно убедиться, что при
т]->0 все они оказываются бесконечно малыми по меньшей мере порядка т],
так что величина B8.90) является главным членом условного, математиче-
математического ожидания B8.88). Теперь нам остается осреднить произведение
^ J
(JC, *-)dX'
по распределению вероятностей первого множителя. Переходя, кроме того,
к пределу при t]->0, получим
J- J 9Р{х/)Ё<*(*' х/)dx''Ф [в{х)>t] B8*91)
Xa(t)exp{i(Q.u)}
(этот же результат можно получить также и исходя из следующей ниже
формулы B8.96)). Рассмотрим теперь случай, когда поле внешних сил, кроме
статистической стационарности и некоррелированности во времени, является
также статистически однородным в пространстве, так что
') - ?«Р (х' - *) = J *"'*{х'" Х)РЧ (k) dk. B8.92)
В этом случае формула B8.91) приводится к виду
*a<* t)'i{%'u) = у J eikx z^ (k) ^ap (k) dk-V[z (it), t]. B8.93)
Подставляя этот результат в формулу B8.85), получим
\9Ш <*. t) Л] - - 1 z^ (- k) Pafi (- k). B8.94)
В итоге мы, наконец, можем переписать уравнение B8.84) в виде
4J- = J J 7a (k' + k") klab (f) ®a (k") V dkr dh" -
- v J Wza (k) ®a (k) ЧГ dk - ~ J za (- k) z^ (k) P^ (*) rf/fe • ?, B8.95)
замкнутом относительно функционала W. Напомним, однако, что это ура-
уравнение выведено лишь для случая гауссовских статистически стационарных
и 6-коррелированных во времени внешних сил с нулевым средним значением.
В цитированной работе Новикова A964) уравнение B8.95) выводится,
исходя из того, что при гауссовском поле Х(М) с нулевым средним значе-
значением для функционалов r*=F[X(M)] оказывается справедливой общая
формула
Xj(M)F = J Xj(M)Xa(M,) • @Xa(Ml)F dMl B8.96)

640 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ , [28.4
(доказываемая путем разложения F [Х(М)\ в функциональный степенной
ряд), частным случаем которой является B8.91).
Учет влияния случайных внешних сил в уравнении для характеристи-
характеристического функционала Ч* [г (Л), /], т. е. переход от уравнения Хопфа B8.38)
к уравнению B8.95), вполне аналогичен учету инерции брауновских частиц
в уравнении диффузии (т. е. уравнении Фоккера — Планка — Колмогорова
для брауновского движения), сводящемуся к добавлению к указанному ура-
уравнению слагаемого, описывающего «диффузию в пространстве скоростей».
Аналогичный смысл имеет и последнее слагаемое в уравнении B8.95), из
которого видно, что спектральный тензор поля внешних сил Ра^ (k) играет
роль «коэффициента диффузии в пространстве скоростей», различного для
различных волновых компонент поля скорости.
Рассмотрим теперь стационарный случай I когда--^-= 01, перейдем
в уравнении B8.95) от характеристического функционала в спектральном
представлении Ч!" [z (k)] к функционалу в пространственном представлении
Ф [6 (jc)], применим к этому уравнению оператор Dj (x) и затем положим
e(jC) = O. Тогда мы получим уравнение, связывающее третьи и вторые мо-
моменты поля скорости, которое приводится к виду
DLLL <r> ~ 6v W— = —^ J r'4Baa (/") dr\ B8.97)
0
где Bji (r) — корреляционная функция поля внешних сил, определяемая
формулами B8.86) и B8.92). При г = 0 получается #аа@)==2^ где Г—
средняя скорость диссипации турбулентной энергии. Обозначим Л? * '= —Lq
Вт (°)
(так что LQ является аналогом тэйлоровского масштаба к соотношения
A5.3) для поля внешних сил). Тогда можно положить
^)] B8.98)
и уравнение B8.97) примет вид
dDrr (г) 4 _
Уравнения B8.97) и B8.99) были получены Новиковым A964). Они пред-
представляют собой обобщение уравнения Колмогорова B2.2), отвечающее рас-
рассматриваемой здесь модели турбулентности, возбуждаемой случайным полем
внешних сил. Ясно, что при г <^ LQ оба этих уравнения переходят в ура-
уравнение Колмогорова. В частности, так будет обстоять дело при любом г,
если 10->оо, т. е. если спектр внешних сил принимает вид
= е 6 (k) Aji (k); в этом частном случае последнее слагаемое в уравнении
B8.95) принимает вид —-^ eJ@)|2TF, так что в стационарном случае соот-
соответствующее уравнение B8.95) будет содержать только два параметра е и v,
которые, по Колмогорову, определяют статистический режим мелкомас-
мелкомасштабной турбулентности при фиксированном значении е.

29.1] § М. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 641
Укажем, наконец, одно из следствий уравнения B8.97): если функция
Ъ (r/L0) достаточно быстро убывает на бесконечности, то при больших г,
при которых вторым слагаемым в левой части B8.97) можно пренебречь,
получается
J B8.100)
о
т. е, DLLL (r) убывает при г->оо пропорционально г~4.
§ 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ФУНКЦИОНАЛА
29.1. Использование функциональных степенных рядов
При попытках решения задачи о полном статистическом описании
турбулентности при помощи определения характеристического функ-
функционала поля скорости из уравнения Хопфа мы сталкиваемся с той
трудностью, что сколько-нибудь общего математического аппарата
для решения линейных уравнений в вариационных производных еще
не создано (и даже отсутствуют точные теоремы об условиях суще-
существования и единственности решений таких уравнений). Методы ре-
решения некоторых специальных типов линейных уравнений в вариа-
вариационных производных, развитые, в частности, Татарским A961) и
Новиковым A961г), для решения уравнения Хопфа оказываются не-
недостаточными. Об единственном общем подходе к теории интегриро-
интегрирования уравнений в вариационных производных, связанном с исполь-
использованием так называемых континуальных интегралов, мы еще будем
говорить позже (в п. 29.5); пока, однако, мы рассмотрим некото-
некоторые более простые приближенные методы, аналогичные методам ре-
решения дифференциальных уравнений с помощью рядов по степеням
независимых переменных или входящих в уравнения параметров.
Начнем с метода, аналогичного разложению неизвестной функции
в ряд по степеням независимых переменных. При этом мы ограни-
ограничимся рассмотрением лишь пространственного характеристического
функционала поля скорости Ф [в (х, t)] (или его спектральной формы
*?[z(k), t]). В таком случае аналогом разложения в ряд по степе-
степеням независимых переменных будет представление искомого функ-
функционала Ф в виде «функционального степенного ряда»
Ф-1+Ь». B9-1)
я-1
где Фя — однородный степенной функционал л-й степени, имеющий вид
Фй = Фя[в(*), /] = J ... |вв1 (*,)... \(хп)Х
X Фа, ... а„ (*, *„; t) dX, . . . dXa B9.2)
41 А. С» Монин, А. М. Яглом

642 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [29.1
(ср. стр. 199—200 части 1). Поскольку
Ф = ехр{/(9.«)} = 1 + 217Г!(
так что Фп = ^-г (9 • и)п, имеем
in
Таким образом, определение функционала Фп эквивалентно определе-
определению всех пространственных моментных функций л-го порядка поля
скорости. При этом, однако, никакой конечный отрезок функцио-
функционального степенного ряда B9.1) не обладает свойствами, которыми
должен обладать характеристический функционал (см. часть 1,
стр. 200); поэтому даже для приближенного определения харак-
характеристического функционала Ф, строго говоря, необходимо задать
(хотя бы приближенно) все члены ряда B9.1).
Подставим ряд B9.1) в уравнение Хопфа для Ф, записанное,
например, в форме B8.19). Заметив, что вариационное дифференци-
дифференцирование понижает, а скалярное умножение на 9 (или на 9), наоборот,
повышает на единицу степень функционала от 9 (л:) вида B9.2), и
приравнивая друг другу степенные функционалы одинаковой степени
в левой и правой частях B8.19), получим
, л=1. 2, ... B9.4)
Отсюда видно, что при любом п в выражение для дФп/д1 всегда
входит не только Фл, но и Фл+1, так что ни для какого конечного
числа слагаемых ряда B9.1) не удается получить замкнутую систему
уравнений. Этого, конечно, и следовало ожидать, так как, согласно
B9.2), B9.3), уравнение B9.4) эквивалентно дифференциальным
уравнениям для моментов п-го порядка поля скорости, которые, как
мы уже знаем из § 19, всегда содержат также и моменты (л+1)-го
порядка. Итак, использование функционального степенного ряда B9.1)
возвращает нас к известной бесконечной системе уравнений для мо-
моментов поля скорости. Единственным преимуществом функциональ-
функционального подхода в этом случае является компактность записи. Так, на-
например, гипотеза Миллионщикова о четвертых моментах поля скорости
при условии равенства нулю средней скорости и (х, t) (эквивалент-
(эквивалентном условию Ф1 = 0) в терминах коэффициентов ряда B9.1) запи-
записывается просто в виде Ф4 = к-Ф2.

29.1] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 643
Вместо ряда B9.1) можно воспользоваться функциональным сте-
степенным рядом для логарифма характеристического функционала
1пФ= 2Ф(Л) B9.5)
л-1
(ср. часть 1, стр. 200), где Ф(л) — снова однородные степенные
функционалы вида B9.2), но на этот раз уже с весовыми функциями
Фа ...а C*i хп; 0» пропорциональными не моментам, а семи-
семиинвариантам случайных величин иа (xv t) иа (хп, t). Как уже
отмечалось на стр. 200—201 части 1, никакой конечный отрезок
ряда B9.5) также, вообще говоря, не может являться логарифмом
некоторого характеристического функционала (за исключением слу-
случая, когда полей(х, t) гауссовское, и Ф(л) = 0при я>3). Поэтому,
строго говоря, для определения Ф снова надо задать все члены
рассматриваемого ряда. Подстановка ряда B9.5) в уравнение Хопфа
B8.19) приводит к уравнениям
л=1, 2 B9.6)
также образующим бесконечную систему. Ясно, что уравнение
для Ф(п) эквивалентно некоторой комбинации уравнений для момен-
моментов поля скорости первых п порядков. Гипотеза Миллионщикова
о четвертых моментах в терминах коэффициентов ряда B9.5) запи-
записывается просто в виде ФD) = 0.
Наконец, можно использовать рекомендуемый Хопфом A952)
функциональный степенной ряд вида
оо \
B9.7)
2
л-з
где Фл — однородные степенные функционалы степени k. Этот ряд
аналогичен ряду Грама — Шарлье для функций распределения веро-
вероятностей (см., например, Крамер A946), § 17.6). Экспоненциальный
множитель в B9.7) представляет собой характеристический функ-
функционал гауссовского случайного поля (ср. D.37)), имеющего те же
первые и вторые моменты, что и рассматриваемое случайное поле
скорости, а ряд в скобках описывает отклонение поля скорости от
гауссовского поля. Поскольку каждый степенной функционал Фп,
п ^ 3, входит в выражение для Ф в виде слагаемого Фп ехр {Ф1 + Ф2}»
определение Фп эквивалентно определению уже некоторой комбина-
комбинации не конечного, а бесконечного числа моментов поля скорости.

644 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [29.1
Подставив ряд B9.7) в уравнение Хопфа B8.19), мы вновь полу-
получим для степенных функционалов Фк бесконечную систему уравнений.
Выпишем первые три из этих уравнений:
B9.8)
_ (в
В частности, если и(х, t) = 0, то Ф1 = 0, и, следовательно,
!§ • —Р° 2) = 0 в силу первого уравнения B9.8). Второе и третье
уравнения B9.8) при этом существенно упрощаются и принимают вид
B9.9)
Гипотеза Миллионщикова о четвертых моментах здесь записывается
в виде Ф4 = 0.
Остановимся теперь на виде функциональных степенных рядов для
спектральной формы характеристического функционала поля скорости
W [-г(ft), t]. В этом случае аналогом разложения B9.1) в ряд по сте-
степеням независимых переменных будет разложение
?=1+2 4^, B9.10)
где Ч^ — однородный степенной функционал я-й степени относительно
функции z (k). Теперь уже, однако, нельзя ожидать, что функцио-
функционалы у?п будут иметь простую интегральную форму типа B9.2);
вообще говоря, они будут представимы лишь в более сложной форме
интегралов Стилтьеса
?,[*(*), *]= J ... [ Zul(ki) . . . Zan{knLax ... ап№ dkn', t).
B9.11)
где Yq ...a (Si Sn; t) — некоторые функции множеств S в про-
векторов Н- Дейетвителэдр, ^ помощью ф

29.1] § 29- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 645
типа B8.26) и B8.35) легко показать, что если бы можно было по-
положить ?в1 ... ап (dki dkn\ O=ta, ... ап (*l kn\f)dkx... dkn,
то функции фв1...оя(*ь •••» Ьп\ 0 были бы пропорциональны пре-
образованиям Фурье моментов я-го порядка поля скорости. Но из
п. 4.2 части 1 мы знаем, что моменты, вообще говоря, не стремятся
к нулю при стремлении к бесконечности тех или иных из их аргу-
аргументов хх хп (этим свойством обладают лишь семиинварианты)
и, следовательно, не допускают преобразования Фурье.
Подставляя ряд B9.10) в уравнение Хопфа B8.38), мы получим
для степенных функционалов Чгл, л= 1, 2, .. ., бесконечную систему
уравнений вида
- v j*2*a (ft) Sa (ft) 4n dk. B9.12)
Рассмотрим более детально случай однородной турбулент-
турбулентности1). В этом случае характеристический функционал поля ско-
скорости должен быть инвариантным относительно любых сдвигов системы
пространственных координат, т. е. при любой функции в (х) и любом а
должно выполняться равенство
), t]. B9.13)
.Такое тождество, очевидно, должно выполняться и для всех степен-
степенных функционалов, фигурирующих в рядах B9.1), B9.5) и B9.7).
Если теперь г (ft) — преобразование Фурье функции 8 (х), то преоб-
преобразованием Фурье функции 0(х-\-а) будет eikaz(k)\ поэтому равен-
равенство B9.13) можно также представить в виде
), t]. B9.14)
Такое же равенство должно выполняться и для всех степенных функ-
функционалов Ч?п в разложении B9.10). Из формулы B9.11) следует, что
условие B9.14) для у?п эквивалентно требованию, чтобы функции
^а,... a (dku .... dkn\ t) были отличными от нуля лишь при *!+•••
...+*„=().
Выясним вид первых слагаемых l+^Pj-j-^ Ряда B9.10) в слу-
случае однородной турбулентности. В этом случае функция Ч^^А *)
0 В случае локально однородной турбулентности мы должны
лишь дополнительно потребовать выполнения равенств в (х) dx = 0 и
* @) = 0 (см. сноску на стр. 86), а в остальном все дальнейшие рассужде-
рассуждения и выводы полностью остаются в силе. По этой причине на случае ло-
локально однородной (или локально изотропной) турбулентной здесь Ц9ШЯ
Рдециздьно не задерживэт&М
не

646 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [29.1
через которую выражается Ч^, должна равняться нулю при kx Ф О,
и потому
Чх [z (ft), t] = J za (ft) Wa(dk, t) = za @) Ce.
где Ca= J ^(rfft, /). В силу B8.39) отсюда вытекает, что 3^j(k)x?x=
==C,6(ft). Согласно B8.26), эта функция является преобразованием
Фурье функции 3}j(x)O\9(x)_0 = ltij, которая, вследствие однород-
однородности турбулентности, не зависит от х. Следовательно, Cj = toj и,
значит,
Yj [*(*), *] = /». *@). B9.15)
Но в случае однородной турбулентности можно без ограничения общ-
общности положить » = 0; так мы и будем поступать далее при опре-
определении вида функционала W2. При этом Ч^гггО, и уравнение B9.12)
с я=1 примет вид следующего ограничения, налагаемого на W2:
J J
2dk'dk" — °- B9.16)
Заметим теперь, что при a = 0 вторые моменты поля скорости
одновременно являются и семиинвариантами и, следовательно, до-
допускают преобразование Фурье. Учитывая также условие B9.14), мы
можем поэтому переписать формулу B9.11) сй = 2 в виде
^2 [* (*). *\ = J J Za (kx) 2p (ft2) 1|Ц (*lf ft2, t) б (kx + ft2) rfftj rfft2.
B9.17)
Полагая здесь ftj = ft, выполнив интегрирование по ft2 и введя обо-
обозначение фар (ft, —ft; /)== — y^apC*» 0» получим
^2 [^ (*)• *\ = - «у J*a (*) ^р (- *) Лхр (*• О Л- B9.18)
Бели же, наоборот, положить ft2 = ft в B9.17), проинтегрировать по kx
и поменять местами индексы суммирования а и р, то мы получим
ту же формулу B9.18), но с заменой Fa~(k, f) на Fm{—ft, /).
Поэтому F^ (ft, t) = Fpa (- ft, /).
Чтобы выяснить физический смысл функции Faa, вычислим ва-
вариационные производные от функционала B9.18). Пользуясь форму-
формулой B8.39), без труда получаем
а (к") ЧГ2 = - Fap (Г, 0 б (ft' + ft")-

29.1] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 647
Подставляя вторую из этих формул в аналогичное B8.35) соотно-
соотношение
ф.=Я
получаемое при двукратном применении формулы B8.26), и выражая
левую часть этого соотношения через второй момент поля скорости,
находим
=: J
, t) e-ikix°-xr)dk. B9.20)
Таким образом, Faa(k, t) — это преобразование Фурье по г = х" — х'
корреляционного тензора Ba^(rt t), т. е. спектральный тензор поля
скорости. В рассматриваемом нами случае несжимаемой жидкости
этот тензор удовлетворяет условиям kaFa^(k, t)=osk^Fa^(k1 t) = 0 и,
следовательно, может быть представлен в виде
(k, t), B9.21)
где А^(*) = б^ — ktkjlk2 (ср. формулу A1.89)). Подставляя эту
формулу в выражение B9.18) для УР2 и вспоминая определение B8.29)
функции г (ft), мы можем переписать выражение B9.18) также в виде
?2 [*(*). *]«= — j J*e(*)*p(-*)/ep(*. t)dk, B9.22)
где функция /ag удовлетворяет условию /ao(?, O = /ea(—*» О
(а также условию эрмитовой симметрии /*p(ft, 0 = /ea(*' ')• тРе"
бующемуся для вещественности тензора вторых моментов B9.20)).
Рассмотрим теперь, какие ограничения налагаются на характери-
характеристический функционал в случае, когда турбулентность не только
однородна, но и изотропна. В этом случае функционал Ф[0(х), t]
должен быть инвариантным не только относительно любых сдвигов
(т.е. удовлетворять B9.13)), но и относительно любых вращений и
зеркальных отражений в пространстве х. Пусть J3? — произвольное
вращение или отражение, переводящее Q(x) в ^Q(x) (подчеркнем,
что преобразованию J3* подвергается не только аргумент х, но и
компоненты векторного поля 9). Тогда при любых в (х) и J& должно
выполняться равенство
ф [в (х), t] = Ф [.^е (*), t]. B9.23)
При переходе к спектральному представлению преобразованиям Jg
в пространстве х соответствуют аналогичные преобразования (враще-
(вращения и зеркальные отражения) в пространстве волновых векторов к.
Поэтому в случае однородной и изотролной турбулентности харак-

648 гл. х. функциональная формуЛй^о&ка проблемы [
теристический функционал ^^(ft), t], кроме условия B9.14), дол-
должен удовлетворять также условию
W [г (ft), /] = ? [J&z (ft), t] B9.24)
при всех J3*. Тому же условию должны удовлетворять и все сте-
степенные функционалы хРп в разложении B9.10). Функционал Ч^ при
этом обращается в нуль (в силу однородности он имеет вид B9.15),
где » = 0 в силу изотропности), а в формулах B9.18) и B9.21)
(или B9.22)) для W2 в случае изотропной турбулентности можно
воспользоваться тем, что функцию fmn(k, t) в формуле B9.21) в этом
случае можно задать равенством fmn (ft, t) = F(k, tNmn, где F(k, t) =
= E(k, t)/4nk2 — плотность распределения кинетической энергии по
пространству волновых векторов ft. В таком случае спектральный
тензор поля скорости Faa(kt t) принимает обычный вид
/V*' t) = F(k> 0 *<*(*). B9.25)
а формула B9.22) обращается в соотношение
?2 [*(*), *]*= — у J|*(*) fF{b t)dk. B9.26)
Подставив вторую формулу B9.19) в равенство B9.16) и учитывая фор-
формулу B9.21), нетрудно убедиться, что равенство B9.16) при этом удовлетво-
удовлетворяется тождественно. Иначе говоря, функционал ? = Ч?2 [z (ft) ], опреде-
определяемый формулой B9.22), является точным решением уравнения
9а (*"> v dk' dk" = °. B9-27)
которое, согласно B8.38), совпадает с уравнением Хопфа для случая стати-
статистически стационарного движения идеальной несжимаемой жидкости. Однако
уравнению B9.27) можно дать и более расширенное толкование. А именно,
из гл. 8 мы знаем, что статистическая стационарность и возможность пре-
пренебрежения действием вязкости являются отличительными свойствами тур-
турбулентных движений с волновыми числами k из инерционного ин-
интервала спектра. Поэтому можно надеяться, что уравнение B9.27) не только
будет выполняться для стационарных случайных движений идеальной жид-
жидкости, но и будет в какой-то мере применимо к любой развитой турбулент-
турбулентности в вязкой жидкости, если мы будем рассматривать это уравнение лишь
на множестве функций г (ft), отличных от нуля только при значениях k из
инерционного интервала.
Возможно, впрочем, что и при отсутствии этого ограничения на функ-
функции г (ft) уравнение B9.27) сохраняет некоторый смысл как модельное урав-
уравнение, описывающее определенные особенности турбулентных движении из
инерционного интервала спектра. Действительно, нижняя граница инерцион-
инерционного интервала волновых чисел определяется геометрическими размерами
течения и масштабами неоднородностей поля внешних сил, действующих на
жидкость. В неограниченном пространстве и при отсутствии внешних сил
в принципе можно представить себе стационарную турбулентность в вязкой
жидкости (с бесконечной средней плотностью кинетической энергии), в ко-
которой инерционный интервал простирается до сколь угодно малых волновых
чисел k. Такая турбулентность будет описываться уравнением Хопфа" B8.38)

29.1] . § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 649
с равной нулю левой частью. Можно ожидать, что решение W этого урав-
уравнения будет единственным, причем оно будет зависеть от коэффициента вяз-
вязкости v. Предположим, что это решение имеет предел Ч?о при v-»0. При
таком предельном переходе верхняя граница инерционного интервала вол-
волновых чисел будет неограниченно возрастать; поэтому предельный функ-
функционал ^о» по-видимому, должен удовлетворять модельному уравнению B9.27).
Указанное выше решение ? = ?2 уравнения B9.27), задающееся фор-
формулой B9.22), не представляет собой характеристического функционала, но
с его помощью можно построить целый класс решений, среди которых бу-
будут и такие, которые могут служить характеристическими функционалами.
А именно, будем искать решения уравнения B9.27) в виде
B9.28)
где W(I), ?<0,— произвольная дважды непрерывно дифференцируемая
функция, а ^2 — найденное выше решение уравнения B9.27) (в частности,
при W (|) = е^ формула B9.28) будет задавать характеристический функ-
функционал однородного соленоидального гауссовского поля скорости
со спектральным тензором Fa^ (k)). Ориентируясь на то, что турбулентность
в инерционном интервале спектра изотропна, мы ограничимся далее рас-
рассмотрением лишь изотропных решений вида B9.28), т. е. будем считать,
что Ч?2 определяется формулой B9.26).
Докажем, что справедлива следующая теорема: функционал B9.28), где
W" Ф 0, а Ч? определяется формулой B9.2о), является решением урав-
уравнения B9.27), лишь если функция F (k) в формуле B9.26) является по-
постоянной (эта теорема была сформулирована Хопфом A952) и доказана
Хопфом и Титтом A953)). Для доказательства подставим формулу B9.28)
в уравнение B9.27). Воспользовавшись формулой
W" (?2) #э (*') У2®а (Г)
+ 1^' №)%(*')#«(*") ^2
и учитывая, что ?2 удовлетворяет B9.27), a W" (Ч?2) Ф 0, мы получим
уравнение
j$ ") ft^p (*') v2®a (ft") y2 dk' dk" = o.
Но в силу первой формулы B9.19) и формулы B9.25)
#а (Ь) *2 = - F (k) Дар (k) Zt(-k) = -
так что последнее уравнение после замены k' на —к' и к" на —к" при-
принимает вид
J J га (- ft' - ft") k';za (ft") Jp (ft') F (*') F (*") dk' dk" = 0.
Применив к обеим частям этого уравнения оператор вариационного диффе-
дифференцирования по bzy(kl)dkl&Zy(k2)dk2, с помощью формулы B8.39) по-
получим
*2р2е (k) F (k) [F (k2)-F (*,) ] = 0,
где k = — kx — k2.
Если три вектора k, k\ и k2 образуют невырождающийся треугольник,
т. е. если выполняются неравенства
B9.29)

650 гл. х. функциональная формулировка проблемы т [29.2
то k2^z^ (k) ^0и, следовательно,
F(k)[F(k2)-F(kx)\ = 0. B9.30)
Нам остается доказать, что из B9.29), B9.30) вытекает, что F (k) = const.
Решение F (k) = 0 нас не интересует. Допустим, что F (k0) Ф 0 при ка-
каком-то k0. Тогда | кх — k21 < к0 < h{ -\- k2 при любых kx и k2 из интервала
-^Л k0 ^ k^-^ k0, и поэтому в силу B9.30) на всем этом интервале
F (ki) F (k2) = F (k0) = const Ф 0. Заменим теперь k0 одним из концов
рассмотренного интервала. При этом результат F(k) = F (k0) = const можно
/4\-2
будет распространить также на интервалы l-^-J ko^k^.ko и
/4\2 /4\"
< 1-^-1 k0, т. е. доказать его справедливость на интервале l-j) ?0 <
k0. Продолжая рассуждать подобным же образом, можно распро-
распространить результат F (k) = F (k0) на все k > 0. Тем самым доказательство
теоремы завершено.
Из доказанной теоремы следует, в частности, что гауссовский функцио-
функционал ?" = ехр ^2 является решением уравнения B9.27), лишь если он соот-
соответствует случайному полю скорости с равномерным распределением энергии
по пространству волновых чисел (т. е. с F (k) = const). Статистические свой-
свойства такого поля скорости в определенном смысле аналогичны статистиче-
статистическим свойствам газа, описываемого классическим каноническим распределе-
распределением Максвелла — Больцмана. Однако такое поле скорости, очевидно, не об-
обладает колмогоровской автомодельностью (при которой Е (k) <^ &"/3, т. е.
F (k) ъ* k~nl3). Следовательно, характеристический функционал турбулент-
турбулентного поля скорости со спектром F(k)^ &~11/3, удовлетворяющий уравне-
уравнению B9.27), не может быть гауссовским (и вообще не может иметь вида
B9.28)).
Нетрудно убедиться, что гауссовский характеристический функционал е^2
с постоянной спектральной плотностью F (k) = const удовлетворяет не только
модельному уравнению B9.27), но и уравнению B8.95), выведенному Нови-
Новиковым для случая движений вязкой жидкости в поле статистически ста-
стационарных и однородных б-коррелированных во времени внешних сил, если
только спектральный тензор этих сил Ра$ (к) имеет вид С?2Дар (?)> где
С — положительная постоянная. Иначе говоря, чтобы обеспечить постоянство
спектральной плотности кинетической энергии, спектральная плотность внеш-
внешних сил должна возрастать с ростом k пропорционально k2.
29.2. Нулевое приближение по числу Рейнольдса
Если измерять все расстояния типичным для рассматриваемого
течения масштабом длины Z,, все скорости — типичным масштабом
скорости U, & все промежутки времени — масштабом Z,2/v (типичное
время вязкого затухания неоднородностей поля скорости), то после
перехода к соответствующим безразмерным переменным в уравнении
Хопфа при слагаемых, содержащих вторые вариационные производные
от характеристического функционала, будет стоять множитель Re (это

29.2] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 651
обстоятельство уже отмечалось выше на стр. 627). Рассматривая ре-
решение уравнения Хопфа (записанного в безразмерных переменных)
как функцию от параметра Re, можно ожидать, что в некоторой
окрестности точки Re = 0 эта функция будет аналитической, т. е.
может быть представлена в виде ряда по степеням Re. Подставив
такой ряд в уравнение Хопфа и приравнивая друг другу слагаемые
одинаковой степени по Re в левой и правой частях уравнения, мы
получим систему уравнений для коэффициентов нашего ряда. При
этом в уравнении для коэффициента при (Re)" могут фигурировать
также коэффициенты при младших, но не при старших степенях Re.
Следовательно, эти уравнения могут решаться последовательно, на-
начиная с младших номеров, так что разложение по степеням числа
Рейнольдса может служить эффективным методом построения фор-
формального решения уравнения Хопфа. Если получаемый этим методом
ряд сходится, то его сумма будет представлять собой точное решение.
Такое решение сможет быть полезным по крайней мере при малых Re,
при которых ряд будет сходится достаточно быстро (и при которых
разложение по степеням Re можно рассматривать как применение
обычного метода теории возмущений; ср. выше § 19).
Однако в случаях малых Re можно ожидать существования лишь
очень слабой турбулентности (например, только что возникшей при
потере устойчивости ламинарного течения или же очень сильно вы-
вырожденной). Наибольший же интерес в теории турбулентности пред-
представляют течения с очень большими Re, при которых можно ожидать
существования развитой турбулентности. Ясно, что разложение по
степеням Re не является удобным методом для изучения решений при
больших Re; если даже получаемый ряд и будет сходящимся при
больших Re, то сходимость, вероятно, будет крайне медленной, и ряд
сможет быть полезным, лишь если его удастся полностью просумми-
просуммировать (аналогичная трудность возникает при всех попытках исполь-
использования методов теории возмущений для описания динамики систем
с сильным взаимодействием). Тем не менее даже и при больших Re
формальное решение уравнения Хопфа в виде разложения по степе-
степеням Re может быть полезным для некоторых целей (например, как
эталон, с которым можно сравнивать решения, получаемые теми или
иными приближенными методами).
Для построения формального решения уравнения Хопфа с помощью
разложения по степеням Re можно и не переходить к безразмерным
переменным, а искать решение в виде ряда
оо
Ф=2ФЛ, B9.31)
л-0
где Фп —- слагаемое порядка (Re)n (или аналогичного ряда для ха-
характеристического функционала в спектральном представлении), и

652 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [29.2
учитывать, что члены уравнения Хопфа, содержащие вторые вариаци-
вариационные производные, имеют порядок по Re на единицу больший, чем
остальные слагаемые в этом уравнении. В частности, нулевой член Фо
будет удовлетворять уравнению, получающемуся из уравнения Хопфа,
если в нём опустить члены, содержащие вторые вариационные произ-
. водные. Такое уравнение решить уже нетрудно. Его решение будет,
очевидно, соответствовать случаю «вырожденной» турбулентности при
очень малых Re, описывающейся уравнением A5.33).
Нулевой член разложения по степеням Re пространственного ха-
характеристического функционала поля скорости удобнее всего найти,
пользуясь уравнением Хопфа в форме B8.47). Опуская в этом урав-
уравнении слагаемые, содержащие вторые вариационные производные
(т. е. правую часть), получим •зт" = 0, откуда ^[^(ft), /] = 4r[y(ft), 0].
Переходя от переменного y(k) к г (ft) с помощью формулы B8.46),
получим
W Wk2t B9.32)
где % — характеристический функционал начального поля скорости
в спектральном представлении. Наконец, переходя к пространствен-
пространственному представлению по формуле B8.22), получим
[\х-х'\* 1
Dnvtym J e 4v' в (*') tfx'J, B9.33)
где Фо [8 (х)] — пространственный характеристический функционал
начального поля скорости. Нетрудно непосредственно проверить, что
функционал B9.33) действительно удовлетворяет уравнению Хопфа
B8.18) или B8.19) с опущенными слагаемыми, содержащими вторые
вариационные производные. Формула B9.33) показывает, что в нуле-
нулевом приближении по Re эволюция во времени пространственного ха-
характеристического функционала поля скорости сводится к сглажива-
сглаживанию его функционального аргумента в (jc) при помощи гауссовской
весовой функции с дисперсией 2vt; нетрудно понять, что она экви-
эквивалентна результатам п. 15.3.
Рассмотрим пространственно-временной характеристический функ-
функционал. Для определения нулевого члена его разложения по степе-
степеням Re воспользуемся уравнением Хопфа в форме B8.61) с опущен-
опущенными слагаемыми, содержащими вторые вариационные производные.
При этом в целях несколько большей общности мы добавим еще
к правой части уравнения слагаемое, описывающее эффект неслучай-
неслучайных внешних сил, действующих на жидкость (вид этого слагаемого
был указан в п. 28.4 на стр. 632—633). Таким образом, мы будем
решать уравнение
. t)) B9.34)

29.2] § 29- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 653
(где Yj — kja(k)Ya(k, t), a Y — преобразование Фурье вида B8.32)
поля внешних сил Л') при начальном условии *Р \г (ftN(t)] = W0 [г(ft)],
где Ч^ — характеристический функционал начального поля скорости.
Искомое решение, найденное Льюисом и Крейчнаном A962), имеет вид
| J x)dx\. B9.35)
где
A (ft, /)= J *-v*»('-t)y (ftj т)Лг> B9.36)
о
а (Л • г) означает, как обычно, интеграл от скалярного произведения
h • 2 по всем ? от 0 до оо и по всем ft. В справедливости этого
решения нетрудно убедиться прямой подстановкой формулы B9.35)
в уравнение B9.34), если воспользоваться следующим легко доказы-
доказываемым правилом вариационного дифференцирования функционала от
функционала: если Ч? — функционал от функции ?(ft, t), являющейся
в свою очередь функционалом от функции z (ft, t), то
36gf (ft, /) Y = J S^ (ft', /0 W . ^(ft, /) Za(ft', /О Л' Л'. B9.37)
Так же непосредственно проверяется и выполнение начального условия.
С помощью формул B9.35), B9.36) можно вычислить в нулевом
приближении по числу Рейнольдса также «тензоры реакции» B8.65),
B8.65') и т. д. Тензоры выше второго ранга в этом приближении
равны нулю (так как они описывают нелинейные эффекты, не учиты-
учитываемые в нулевом приближении). Что же касается тензора Gp (x, t \ x'\ t')t
то, учитывая формулу B8.26), для него нетрудно получить выражение
ОЦх, t\x*. O = j^(^ О J [#«(*. О4U-o*-<**<**.
Значение вариационной производной Sa(ft, t)W при г = 0, согласно
формуле B9.35), отличается от iha(k, t) лишь на слагаемое, не за-
зависящее от Л (ft, t) (а потому и от Х(х, t)). Следовательно,
Gg(JC, t\x'. t')=J3tx^(x', O*a(*. t)e-***dk.
Фигурирующую здесь вариационную производную по Х^(х', t') не-
нетрудно вычислить, учтя, что в B9.36) функция К (ft, t) — это пре-
преобразование Фурье от Х(х, t). В итоге получаем формулу Льюиса
и Крейчнана A962)
t\x\ О = Bя)"8 J ДврС*)^^*1^^-1*^-*1)^* B9.38)

654 гл. х. функциональная 'формулировка проблемы [29.2
(где t > tf по определению Ор), согласно которой G^ = G^t и этот
тензор зависит лишь от t — tr и х — х'.
Рассмотрим, наконец, совместный пространственно-временной ха-
характеристический функционал поля скорости и поля случайных внеш-
внешних сил, удовлетворяющий (в спектральном представлении) уравнению
B8.82). В нулевом приближении по Re это уравнение принимает вид
у„(*• t)A[z(k, t), g(k. t)\. B9.39)
Будем решать уравнение B9.39) при «начальном условии»
Л [г (к) б (f - to)t g(kt t)e(t-10)] = Wo [z (ft)] G [g(k, t)] B9.40)
(cp. B8.83)), где Wo и О — спектральные формы характеристических
функционалов начального поля скорости и(х, t0) и поля случайных
внешних сил Х(х, t), t^t0 (предполагаемых статистически незави-
независимыми друг от друга). С помощью непосредственной проверки
(с использованием формулы B9.37)) нетрудно убедиться, что решение
уравнения B9.39) при начальном условии B9.40) задается формулой
Л[*(*. t). g(k. t)] = W0[l(k, to)]Q[g(k. *) + C(*. t)]. B9.41)
где
oo
t)= J *-
, т) d%. B9.42)
Пространственное представление функционала B9.41) имеет вид
. t). /(др. t)] = O0[r(x, to)]F[f(x, t) + r(x, t)]. B9.43)
где
oo
fj Oaj(x't x\x9 t)Qa(x't x)dx', B9.44)
a Gaj определяется формулой B9.38); здесь Фо[6(*)] и F[f(x9 t)] —
характеристические функционалы начального поля скорости и поля
случайных внешних сил. Функционал B9.43) является решением (в ну-
нулевом приближении по Re) уравнения B8.81) (в котором опущены
члены со вторыми вариационными производными) при начальном усло-
условии B8.83). В таком представлении это решение указано Льюисом и
Крейчнаном A962).
Совместный пространственно-временнбй характеристический функ-
функционал полей скорости и внешних сил дает наиболее полное стати-
статистическое описание этих полей. В частности, нетрудно убедиться, что
формулы B9.41), B9.42) (или B9.43), B9.44)) содержат в себе также

29.2] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 655
и предыдущие результаты B9.35), B9.36) и B9.32) (или B9.33)).
Действительно, при g(k, t) = 0 формула B9.41) обращается в соот-
соотношение
V[z (к. *)] = %К(*. *о)]0К(*. 0]. . B9.45)
Если поле внешних сил неслучайно, то G[?(ft» t)] = ei^'Y^; с по-
помощью интегрирования по времени по частям легко проверить, что
(? • Y) = (h • г), и, следовательно, формула B9.45) при to = Q совпа-
совпадает с формулой B9.35). При Y = 0 (а потому и Л = 0) и г (ft, т) =
= *(*N(т —/) из B9.35) получается B9.32).
Естественно думать, что при любом начальном поле скорости ста-
статистический режим движения жидкости в заданном поле стационар-
стационарных случайных внешних сил будет с течением времени приближаться
к некоторому стационарному режиму, не зависящему от начального
поля скорости. Поэтому, полагая /0-> — со в B9.41), B9.42) при
фиксированном O[g(k, t)] и приняв, например, что lim ^olSC*» to)] = 1
(что соответствует начальному «состоянию покоя»), мы должны в пре-
пределе ?0-> — оо получить стационарное решение уравнения B9.39).
Это решение, очевидно, будет иметь вид
Л [г (ft, *). *(*. t)] = Q[g(k, *) + ?(*. *)]; B9.46)
в частности, пространственно-временной характеристический функцио-
функционал поля скорости здесь будет иметь вид ЧГ [z (ft, t)] — G[$(kt t)],
а соответствующий пространственный функционал будет определяться
формулой
V [z (ft)] = О [ехр (— vft2O e (t) 2 (ft)]. B9.47)
В качестве примера рассмотрим случай, когда поле внешних сил
Х(х, t) есть стационарное, однородное и изотропное соленоидальное
гауссовское случайное поле, описываемое пространственно-временным
корреляционным тензором вида
J B9.48)
Такое 6-коррелированное во времени поле сил является идеализиро-
идеализированным предельным случаем поля, имеющего характер последователь-
последовательности импульсов с очень коротким последействием; то, что средний
квадрат силы | Х(х, t) |2 здесь не существует, не должно нас смущать,
так как это обстоятельство не вызовет затруднений при подсчете
интересующих нас статистических Характеристик поля скорости. Ха-
Характеристический функционал поля сил в рассматриваемом случае
имеет вид
{1 J y B9.49)

656 гл. х. функциональная формулировка проблемы [29.2
так что, согласно B9.46), стационарное решение уравнения B9.39)
здесь будет определяться формулой
А[*(*,*). g(k, *)] = exp{ — y|?(*. 0 + ?(*. t)?F(k)dkdt}.
B9.50)
С помощью этого выражения можно убедиться, что средняя скорость
притока энергии к единице массы жидкости за счет работы внешних
сил, определяемая формулой B8.68), имеет вид
в (др. t)-X(x. 0= J F(k)dk = 4n j k?F(k)dk. B9.51)
о
При g(k, ?) = 0 формула B9.50) обращается в соотношение
V[z(к. *)] = ехр{— |J|C(*. OP?(*)rf*Л}. B9.52)
С помощью этого соотношения нетрудно получить следующее выра-
выражение для пространственно-временной корреляционной функции поля
скорости:
иа(х', t')u^x\t") = JV'* <*'-*'.)-v*« | r-г |дар (ft) jJigL rfft. B9.53)
Наконец, с помощью формул B9.47) и B9.49) получаем простран-
пространственный характеристический функционал поля скорости в виде
B9.54)
Отсюда (или из формулы B9.53) при tf = t") следует, что спек-
спектральная плотность распределения кинетической энергии оказывается
равной Е (k) = — F (k), т. е. пропорциональной трехмерному спектру
внешней силы; спектральная плотность диссипации энергии при этом
равна 2vk?E(k) = 4nk2F(k), т. е., согласно формуле B9.51), равна
спектральной плотности притока энергии за счет работы внешних
сил. Это и понятно, так как в нулевом приближении по Re взаимо-
взаимодействия между компонентами поля скорости с различными волновыми
числами отсутствуют, так что каждая компонента эволюционирует
независимо от остальных, и, следовательно, при стационарном режиме
приток энергии за счет работы внешних сил и диссипация энергии
в любой инфинитезимальной области волнового пространства должны
балансировать друг друга.

29.3] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 657
29.3. Разложение по степеням числа Рейнольдса
В предыдущем пункте мы рассмотрели вопрос об определении
нулевого члена разложения решения уравнения Хопфа по степеням Re.
Теперь мы остановимся на определении последующих членов этого
разложения и попытаемся, следуя работе Монина A964), получить
представление о. структуре этого разложения в целом.
Рассмотрим наиболее общий характеристический функционал
Л [z(ft, t), g(k, t)\. Представив его в виде ряда
Л=2Лл, B9.55)
л-0
где Ля — слагаемое порядка (Re)", и учитывая, что в уравнении B8.82
для Л слагаемые, содержащие вторые вариационные производные
имеют на единицу более высокий порядок по Re, чем все остальные
мы получим для Лл при п ^ 1 уравнения
n^dkf B9.56)
(нулевой член Ло уже был определен в предыдущем пункте). После-
Последовательно интегрируя уравнения в вариационных производных пер-
первого порядка B9.56) с известной правой частью, в принципе можно
отсюда найти все члены Av Л2, .. . разложения B9.55) функционала Л.
Рассмотрим для конкретности задачу об определении стационар-
стационарного решения уравнения B8.82) при заданном стационарном случай-
случайном поле внешних сил, описываемом характеристическим функциона-
функционалом B9.49). Нулевой член Ло ряда B9.55) здесь определяется
формулой B9.50), а последующие члены Ля, #^1, можно искать
в виде функционалов от функций g(ft, t) и g(k, t), положив
Ля = Ля[?(й, t), g(k, t)\. Переходя в уравнениях B9.56) от вариа-
вариационного дифференцирования по Zj(k, t) и gj(k, t) к вариационному
дифференцированию по Су (ft, О и gj(k, t) с помощью формулы B9.37),
можно привести эти уравнения к виду
J3>j(k. t)An=ej{k, t)An_v B9.57)
где
JZjik. 0 = A/a(*)[^a(*. 0-#;a(*. 0]. B9-58)
бу(*. 0= J dkxdb2dtxdtf jpq(b, t\kv tx\kr t2)X
X*lp(*v 'i)^,(*2- *2> B9.59)
<W*. t\kv Л 1*2. t2) =
42 А. С. Монин, А. М.

658 гл. х. функциональная формулировка проблемы [29.3
Решения Ля уравнений B9.57) удобно искать в виде ЛЯ = ЛОУИЛ,
так что ряд B9.55) примет вид
оо
А = А0%Мп, B9.60)
/1-0
где Мп — слагаемое порядка (Re)*, и Мо=1. Поскольку Ло есть
характеристический функционал некоторых гауссовских случай-
случайных полей, этот ряд внешне похож на «ряд Грама — Шарлье» B9.7),
с тем, однако, существенным отличием, что вторые моменты полей,
описываемых функционалами Ло и Л, отнюдь не совпадают, так что
слагаемые М1-\-М2-\- ... описывают не только отклонения поля
{и(х, t), X(x, t)} от гауссовского, создаваемые нелинейными взаимо-
взаимодействиями между компонентами Фурье поля скорости, но и поправки
ко вторым моментам за счет тех же нелинейных взаимодействий
(в частности, поправки к спектру поля скорости, представляющие
особый интерес для теории турбулентности).
Подставляя Ап = А0Мп в уравнения B9.57) и пользуясь опреде-
определением B9.50) функционала Ло, нетрудно привести уравнения B9.57)
к виду
, t); ft,
|(*. t)\ ft. n + ey-(ft, t))Mn_v B9.61)
где |(ft, t) — ?(k, t)-±-g(ft, t)\ JLj — квадратичный функционал,
определяемый формулой B9.59), в которой операторы 2бу (ft, t) теперь
заменяются на функции F(k)%>j(—ft, t)\ <gj — оператор (зависящий
от функции |(*, t) и содержащий однократное вариационное диф-
дифференцирование), выражение для которого получается из B9.59) при
помощи замены оператора 3^ (kv *\)®х (*2* *г) на оператор
Общее решение Мп [g(*, t),g(k, t)] неоднородного уравнения B9.61)
состоит из суммы частного решения Mn[?(k, t), g{k, t)]t соответ-
соответствующего правой части, и общего решения однородного уравнения
^j(kt t)Mn = 0, имеющего вид произвольного (дифференцируемого)
функционала F[%(k, t)]. Однако на самом деле этот функционал
должен выбираться однозначным образом. Действительно, при ? = 0
функционал Л, очевидно, должен превращаться в характеристический
функционал внешних сил; поскольку это же верно и для функцио-
функционала Ло, то при любом п ^ 1 должно выполняться соотношение
Mn[Q, g(k, 0] = 0, B9.62)

29.3] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 659
Чтобы общее решение M^[g(ft, t), g(k, t)\ + F [g(ft, t)} уравнения
B9.61) удовлетворяло B9.62), следует положить F[\(k, t)] =
sss — M«[0, I (ft, t)]. Если мы обозначим решение М уравнения
^(ft, t)M = AJt удовлетворяющее условию B9.62), символом
M=J3?]l(k, t) Aj, то нужное нам решение Мп уравнения B9.61)
можно будет записать в виде
Vi. B9.63)
где
i, t)Aj\l(k, t);k, t), B9.64)
i, t); k, t],
i,t).
В частности, нетрудно убедиться, что
Мх = &>х\ = J lj(k'. Oc^y [g(*. 0; *'. t'\dkfdtf. B9.65)
Заметим теперь, что если M[g(ft, /), ^(ft, /)] — однородный сте-
степенной функционал степени N, то utjM, &jM, CjM, mS?J1M суть,
соответственно, однородные степенные функционалы степеней N-±-2,
N, N — 2 и A^+l (со следующими исключениями: оператор J?y
обращает в нуль функционалы, не зависящие от g(ft, t), а оператор
Gj — степенные функционалы, содержащие g(ft, t) не более чем
в первой степени). Аналогично этому, если М — однородный степен-
степенной функционал степени N, то SPXM, ^^M и ?РЪМ суть, соответ-
соответственно, однородные степенные функционалы степеней ^V+3, N-\- 1
и Л^—1 (со следующими исключениями: оператор ^2 обращает
в нуль функционалы, не зависящие от g(ft, t), а оператор <^3 —сте"
пенные функционалы, содержащие g(ft, f) не более чем в первой
степени). Учитывая, что Жо=1, и пользуясь формулой B9.63) и
сформулированным правилом, убеждаемся, что М\ есть однородный
степенной функционал третьей степени (см. формулу B9.65)), М2
представляет собой сумму однородных степенных функционалов 6-, 4-
и 2-й степеней, Мг — 9-, 7-, 5-, 3- и 1-й степеней и вообще
Зл Зл f 1
Ж2я= 2 Mgm\ Ж2я+1= 2 МЙЙЧ B9.66)
т-1 т-0
где Ж(лт) — однородные степенные функционалы степени т.
Процесс образования этих функционалов проиллюстрирован на
рис. 129, где по оси абсцисс отложены номера п функционалов Мп
(указывающие также порядки по Re соответствующих членов ряда
42*

660
ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ
[29.3
B9.60)), а по оси ординат — степени т однородных степенных функ-
функционалов Mf\ При движении по графику слева направо черточки,
направленные круто вверх, изображают оператор ?РХ> полого вверх—<?г2
и вниз —(^з- График дает сведения не только о наборе функциона-
функционалов М{™\ входящих в состав Мп, но и о способе вычисления любого
функционала Ж(ят): для этого нужно
просуммировать вклады, соответствую-
соответствующие всевозможным ломаным линиям
с абсциссами вершин, не превосходя-
превосходящими п, оканчивающимся в точке
(я, т). Такие ломаные линии мы бу-
будем называть диаграммами, соответ-
соответствующими функционалу М^\ Так,
например, функционалу Mf соответствует одна диаграмма (рис. 130),
которая изображает оператор &^?v так что Щ. — &1&А- Не-
Нетрудно проверить, что этот функционал может быть записан в виде
Рис. 130.
. t)\ k't tf]. B9.67)
Функционалу Mf соответствуют три диаграммы (рис. 131), изобра-
изображающие операторы &\&iff\. &ъ&2&ъ&\ и &*0%Ри так что
I- B9.68)

29.3]
§ 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА
661
Все выражение B9.68) можно изобразить одной суммарной диаграм-
диаграммой (рис. 132). Функционалу М{?] соответствуют уже 12 диаграмм и
т. д. Рис. 129 дает наглядное представление о структуре ряда B9.60)
Рис. 131.
Рис. 132.
в целом и содержит в себе конкретные рецепты для вычисления
любого члена этого ряда (хотя, конечно, с ростом п такие вычисле-
вычисления становятся все более и более громоздкими).
Еслл интересоваться лишь статистическими свойствами поля скорости
в один фиксированный момент времени, то при наличии поля внешних сил
с характеристическим функционалом B9.49) проще использовать уравнение
Хопфа не в форме B8.82), а в форме B8.95), выведенной Новиковым A964).
При этом мы должны положить fafbW^ba&WPib), так что для стати-
статистически стационарного режима уравнение B8.95) примет вид
J *« *e
,\\dk'dk'"iai
р рр
ад
B9.69)
Это уравнение заведомо удовлетворится, если будет удовлетворено уравнение
=*б (k)W, B9.70)

662 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [29.3
где
J J *v^«(*^'^)*y/0*^ B9J1)
kXt k2) » k^p (k{) AJg (k2) 6 (*, + *2 - Л).
Действуя аналогично вышеизложенному, будем искать решение уравнения
B9.70) в виде ряда
Y-YofjAf,, B9.72)
л-0
где ^Fo — решение уравнения B9.70) с нулевой правой частью, задаваемое
формулой B9.54), а Мп —- слагаемое порядка (Re)" (причем Afo = l). Тогда
для функционалов Мп получим уравнения
&! (*> Мп = {<Af [z (*), к] + ffij [z (k), k] + 6j(k)} Mn_l9 B9.73)
где J2* (k) = \k2gj~ (k)\ Л — квадратичный функционал, определяемый
формулой B9.71), в которой операторы @~ (к) заменяются функциями
zj(--k) * ' » $?j"" оператор, получаемый из Gj заменой оператора
&ч~ (ЬЛ @~ (кЛ на оператор
р с[
__* ,— Ъ
Решать уравнение B9.73) относительно Мп следует при условии Мп @) == 0;
п>1. Теперь мы можем, аналогично предыдущему, ввести операторы <?lt <P2
и <^3 и пользоваться теми же диаграммами рис. 129. Воспользуемся этим
аппаратом для выяснения вида разложения спектральной плотности кинети-
кинетической энергии E(k) в ряд по степеням числа Рейнольдса. Исходя из оче-
очевидной формулы
--J J
для E(k) нетрудно получить выражение
Е (k) = — 4- \ d® (b) dkx [9а (Ь) 9а (bx) V] L e 0. B9.74)
z j j
где rfQ (Л) — элемент поверхности единичной сферы в пространстве волно-
волновых векторов к. Подставляя в B9.74) вместо ? ряд B9.72), мы сможем при-
привести это выражение к виду
оо
Е (k) = -^ р (k) + & (k) V Afg. B9.75)
— 2л»
-I
где М$ — однородный степенной функционал второй степени, входящий
в состав функционала М2п, а & (k) — оператор, содержащий двукратное

29.4] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 663
вариационное дифференцирование и определяемый формулой
* Ар (*)дад(*1)% (ft)% <*i> B976)
р я
f f
О структуре полученного ряда B9.75) можно высказать следующие два за-
замечания. Во-первых, разложение функции E(k) в ряд по степеням числа
Рейнольдса содержит только четные степени Re. Во-вторых, это раз-
разложение одновременно является разложением функции Е (k) в функцио-
функциональный степенной ряд относительно функции F (k), причем член по-
порядка (ReJ/I (т. е. слагаемое & (k) M$fy представляет собой однородный
степенной функционал степени п 4-1 относительно функции F (k). Оба этих
утверждения просто доказываются с помощью диаграмм рис. 129. Первое
утверждение вытекает из них непосредственно, а для доказательства второго
достаточно учесть, что оператор &х повышает на 2, <? — на 1, а <? не
меняет степени степенных функционалов относительно F(k).
Функционал f^(k)M^l в некоторой мере аналогичен «свертке» л + 1
функций F (k) (т. е. плотности вероятности для суммы п -\-1 независимых
случайных величин, каждая из которых имеет плотность вероятности, про-
пропорциональную F(k)). Такие «свертки» обладают следующим свойством:
если F (k) отлично от нуля лишь в области очень малых волновых чисел,
скажем, при 0 < k <; kQ, то в области очень больших волновых чисел k ^> ?0
отличными от нуля будут «свертки» лишь очень большого числа функ-
функций F (&), причем такие «свертки» будут уже мало зависеть от конкрет-
конкретного вида функции F (k) (и будут близки к гауссовской универсальной функ-
функции). Аналогично этому можно ожидать, что если пространственное распре-
распределение внешних сил имеет только крупномасштабные неоднородности, т. е.
если F (k) отлично от нуля лишь при 0 < k < kQ, то при k ^> k0 отличными
от нуля будут функционалы & (k) Mf^l лишь с очень большими номерами л,
и эти функционалы будут уже мало зависеть от конкретного вида функ-
функции F (?), так что, если ряд B9.75) сходится, то его сумма Е (k) при k ^>
^> ^о будет близка к некоторой универсальной функции от k. Строгое
доказательство правильности этих предположений и определение соответ-
соответствующей универсальной функции представили бы большой интерес для тео-
теории турбулентности.
29.4. Разложение Эдвардса
Мы уже отмечали, что решение уравнения для характеристического
функционала поля скорости с помощью использования ряда по степеням
числа Рейнольдса в случае развитой турбулентности с очень большим Re
оказывается неэффективным. В частности, при отыскании решения Ч ура-
уравнения B9.69) в виде ряда B9.72) нулевым приближением ^0 оказывается
характеристический функционал гауссовского случайного поля со спектраль-
спектральной функцией F0(k) = ^J = 2 *J , очень далекий от истинного харак-
характеристического функционала поля скорости развитой турбулентности. В связи
с этим Эдварде A964а) предложил использовать вместо ряда B9.72) ряд
типа B9.7), аналогичный рядам Грама — Шарлье, в котором нулевым при-
приближением служит характеристический функционал хотя и гауссовского

664 гл. х. функциональная формулировка проблемы [29.4
случайного поля (что является хорошим приближением лишь для крупно-
крупномасштабных компонент случайного поля скорости), но зато с истинной
спектральной функцией F (k).
Формализм Эдвардса отличается от рассматривавшегося выше, прежде
всего, тем, что вместо характеристических функционалов Эдварде исполь-
использует «плотности вероятности в функциональном пространстве индивидуаль-
индивидуальных реализаций случайного поля скорости», которые на самом деле не имеют
строгого смысла (так как в бесконечномерном функциональном простран-
пространстве не существует элемента объема). Поэтому формализм Эдвардса может
иметь лишь эвристическое значение. Однако основные идеи Эдвардса могут
быть изложены и в терминах характеристических функционалов, к чему мы
теперь и перейдем.
Рассмотрим сначала уравнение B9.70) и заметим, что первое слагаемое в
его левой части описывает потерю энергии компоненты поля скорости
с волновым вектором k на преодоление молекулярной вязкости, второе сла-
слагаемое— приток энергии к этой компоненте за счет работы внешних сил,
а правая часть — обмен энергией и «адиабатические» взаимодействия
между этой и всеми остальными компонентами поля скорости. Указанный
обмен энергией можно описать (в духе полуэмпирических теорий) как сумму
потерь энергии на преодоление «турбулентной вязкости» или «динамического
трения» (кинематический коэффициент турбулентной вязкости мы обозначим
/С (k) = у2 ' 1 и притока энергии за счет ее «диффузии в волновом простран-
К /
стве» (с «коэффициентом диффузии» Н (&))• Таким образом, чтобы учесть обмен
энергией между компонентой с волновым вектором k и всеми остальными
компонентами поля скорости, следует заменить в левой части уравнения B9.70)
величины vk2 и -~- Р (k) соответственно на величины ю (k) и х\ (&), опре-
определяемые формулами
о (k) = v*2 + Q (*), х] (k) = 1F (k) + H (*), B9.77)
1
и во избежание ошибки прибавить и к правой части слагаемое
JQ (*) @~ (*) + H (k) zj (- k) 1 ЧГ;
тогда новая правая часть будет описывать уже только «адиабатические»
взаимодействия со всеми остальными компонентами поля скорости. Возвра-
Возвращаясь теперь к уравнению B9.69), перепишем его в виде
<»VF = «WVF + <«VF, B9.78)
где
\ ° ' ' B9.79)
= J dk [Q (k)?a{k)9~ (k) + H(k) \z(k) |2],
a <&&x—оператор, фигурирующий в правой части уравнения B9.69). Про-
Процедура решения уравнения B9.78), предложенная Эдвардсом, заключается,
во-первых, в представлении W в виде ряда *Р0 + Уi + ^2 + • • • п0 степеням
некоторого параметра, причем операторы <#?0, &$х и <##2 рассматриваются
как величины соответственно нулевого, первого и второго порядка относи-
относительно этого параметра, и, во-вторых, в требовании, чтобы вторые моменты
поля скорости полностью определялись нулевым приближением ?<), так что
функционал *Р| + ^ 4~ • • • не должен давать вклада во вторые моменты.

29.4] § 29. методы решения уравнений для функционала 665
Таким образом, слагаемые Wn должны определяться из уравнений
о == 0, B9.80)
B9.81)
B9.82)
и в я-м приближении должно выполняться условие
19] (*i) 9i (k2) (Уг + Ъ + ... + Чп)) \г w . о в °- B9-83)
Ниже мы убедимся, что уравнения B9.80) — B9.83) еще не определяют ре-
решения W однозначно, так как фактически из одного уравнения B9.83) здесь
придется определять две функции Q(k) и Н (&); поэтому Эдвардсу прихо-
приходится вводить еще некоторое дополнительное условие, по существу уже
произвольное.
Решением Ч?о Уравнения B9.80) будет характеристический функционал
гауссовского случайного поля, имеющий вид B9.54), но с заменой спек-
спектральной функции 2 *. з на функцию
k). B9.84)
Правые части уравнений B9.81), B9.82) будут суммами слагаемых вида
?° J ' • ' J П Р«/ Щ"'\ ...«*(*!¦•••• kN) «1 •' ' dkN'
/-1
Нетрудно убедиться, что действие оператора <#?0 на такой функционал сво-
N
дится к появлению в подынтегральной функции множителя
2
Следовательно, решение уравнения &&J? = F с правой частью F вида B9.85)
будет получаться из B9.85) добавлением в подынтегральную функцию мно-
Г N 1~*
жителя 2 Л/° (*/) • Используя это замечание, после несложных вы-
выкладок получаем решение уравнения B9.81) в виде
иг цг za \Ki) z§ \R2) z\
— I I I / и —i ;, —j—
J J J 0 (^i) -p (О \К2) \
X^aR'Y^1' ^2) ^ (k\) F (^2) ^1 dh^ dk$i B9.86)
где мы для краткости записей ввели обозначение
1
Лав» y w» ^2) = "о- (^а + Ь2%) [Аая, (^i) Ary (^2) + A(xy (^1) ^S?i (^2)]- B9.87)
Используя формулу B9.86), из уравнения B9.82) с п = 2 получим

666 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ BЙ.4
где многоточием обозначены слагаемые более высокого порядка относительно
z(k), которые не вносят вклада во вторые моменты поля скорости. Рассмо-
Рассмотрим теперь условие B9.83), ограничиваясь вторым приближением (п = 2).
Учитывая, что функционал Ч^ не вносит вклада во вторые моменты поля
скорости, мы удовлетворим условию B9.83), потребовав, чтобы обращались
в нуль вторые моменты, вычисленные по функционалу, который фигурирует
в фигурных скобках в формуле B9.88). Это требование приводит к уравне-
уравнению
X*7(*«>-*(*. *i. b2)F{k)F(kx)l B9.89)
где
а (к, кх к2) = Д*,ц (к) Ла^ h (Л„ к2) Лр, ц (кх, к2).
Ь (к, кь к2) = -2Д (к) Л (* *) Л (Л Л)
Из уравнения B9.89) приходится определять две функции Я(Ц и Q (k).
Эдварде удовлетворяет этому уравнению, полагая
Эти формулы вместе с B9.77) и B9.84) в принципе позволяют определить
три функции F (k), H (k) и п (k) при заданном спектре внешних сил F (k).
Формула B9.84) при этом приводится к виду
- а (к, ku k2) F(kx)F (k2)] = 1F (k)t B9.92)
представляющему собой уравнение баланса турбулентной энергии и анало-
аналогичному кинетическому уравнению Больцмана, с той лишь основной разницей,
что процессы парных столкновений частиц (v, Vi)->(v', я{), происходящие
с сохранением суммарного импульса (так что v + vx = v + v[) и суммарной
энергии (что учитывается множителем б(^Е-{-Е1 — Er — fQ в выражении
для поперечного сечения взаимодействия в интеграле столкновений Больц-
Больцмана), в гидродинамическом случае заменяются процессами тройных взаимо-
взаимодействий между компонентами Фурье к->(ки к2), происходящими с «сохра-
«сохранением волновых чисел» (что учитывается множителем 6 (к + кх + к2)
в выражении для «поперечного сечения» в интеграле в B9.92)).
Таким образом, второе приближение Эдвардса приводит к «кинетическому
уравнению для волн». Заметим в этой связи, что аналогичное уравнение для
фононов, т. е. квантов звука в твердом теле, было еще ранее получено
Пайерлсом A955); оно применялось для описания слабых нелинейных взаимо-
взаимодействий между волнами в плазме в работах Камака и др. A962), Галеева
и Карпмана A963), Кадомцева A964) и других авторов и для описания слабой
турбулентности в работе Захарова A965). Родственный подход к теории
турбулентности был предложен также Херрингом A965), который, как и
Эдварде, исходил из уравнения для плотности вероятности в пространстве

29.4] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 667
реализаций поля скорости, но использовал другую процедуру построения
ряда теории возмущений, напоминающую применяемый в теории многих
частиц метод самосогласованного поля. Этот метод опирается на замену
воздействия всех частиц на какую-то одну из них некоторым искусственным
«полем внешних сил», удовлетворяющим определенным «условиям самосо-
самосогласованности»; после такой замены уравнения движения каждой из частиц
можно решать изолированно и полученные решения использовать для соста-
составления следующего приближения для «самосогласованного поля». Согласно
Херрингу, применение подобного же подхода к совокупности всевозможных
спектральных компонент турбулентного поля скорости приводит к результатам,
фактически отличающимся от результатов Эдвардса лишь немного иным
выбором величин Н (к) и Q (&); однако полученное им приближенное реше-
решение пока остается очень мало исследованным.
Вернемся теперь снова к результатам Эдвардса. Решение уравнений
B9.77), B9.84), B9.91) просто получается при пренебрежении действием моле-
молекулярной вязкости, если дополнительно предположить, что F (к) ^ k~a\ в этом
случае
5+2д Ь-д
~k~ 3 , H(k)~k-a, Q(k)~k 3 , B9.93)
причем последующие приближения меняют лишь числовые коэффициенты
в этих формулах. Это решение годится лишь при 2 > а > — 1 (при а < — 1
необходимо учитывать молекулярную вязкость, причем ее действие будет
сказываться при всех к\ при а > 2 вид функции F (к) при малых k надо
изменить, чтобы полный приток энергии за счет работы внешних сил оста-
оставался конечным). Таким образом, закон F (к) ~&~11/3, соответствующий
колмогоровской автомодельности, из решения B9.93) получен быть
не может. Не получается такой закон и в случае, когда функция Р(к)
задается отличной от нуля лишь в области малых волновых чисел
k <; k0 (т. е. когда внешние силы образуют так называемый «красный
шум»), — в этом случае Эдварде показал, что функция F (к) оказывается
промежуточной между функциями Колмогорова (F (к) <^ k ^) и Крейчнана
Причиной неудачи попыток получить изложенным методом колмогоров-
ский спектр турбулентности при наличии поля внешних сил типа «красного
шума» Эдварде A9646) считает неадекватность чисто пространственного под-
подхода к описанию взаимодействий между компонентами Фурье поля скорости
развитой турбулентности. При таком подходе время и пространственные
координаты играют неравноправную роль, тогда как на самом деле в про-
процессе коллективных взаимодействий между компонентами Фурье поля ско-
скорости развитой турбулентности пространственные и временные масштабы
этих компонент оказываются равноправными (в случае развитой турбулент-
турбулентности имеется континуум масштабов времени 1/со (/г), и при взаимодействии
&->(?,, k2) наряду с масштабом 1/ю(&) нужно учитывать масштабы 1/g>(&i)
и 1/ю(&2), один из которых больше, а другой меньше, чем 1/ю(&)).
Использование аналогичного метбда для пространственно-временного
характеристического функционала поля скорости Ч?{[? (?, ю)] сталкивается
с той трудностью, что здесь не имеется уравнения типа B9.69) (по крайней
мере, вывод такого уравнения неизвестен). Эдварде не столько преодолевает,
сколько обходит эту трудность тем, что рассматривает уравнение для не-
осредненной (дельтообразной) «плотности вероятностей в функциональном
пространстве реализаций и(х, t) случайного поля скорости» и применяет
осреднение лишь ца этапе, аналогичном переходу от B9.88) и B9.89). В ре-
результате он получает аналогичное B9.92) уравнение относительно скаляра

668 гл. х. функциональная формулировка проблемы [29.5
F(k, т), определяющего пространственное преобразование Фурье простран-
пространственно-временной корреляционной функции поля скорости Bji (г, т). На
основании приближенного анализа этого уравнения Эдварде приходит к выводу,
что при наличии поля внешних сил типа «красного шума» и в пределе
«исчезающей вязкости» его решение представимо в виде
F (*, т) ^12/3*-п/з*-Ф (*/*/Ч B9.94)
причем ф @) <**> 93 при малых 9 и ф (9) <** 93^2 при больших 0, в то время как
при промежуточных значениях 0 имеет место соотношение ф (9) <**¦> 0. Таким
образом, иа пространственно-временной схемы Эдварде в конце концов по-
получает колмогоровский спектр. Аккуратный вывод формулы B9.94), несом-
несомненно, представил бы большой интерес для теории турбулентности.
29.5. Использование континуальных интегралов
При решении линейных дифференциальных уравнений (обыкновенных
или в частных производных) очень часто используются преобразования
Фурье, т. е. решение ищется в виде интеграла Фурье от некоторой новой
функции, допускающей уже более простое определение. Аналогичный под-
подход к решению линейных уравнений в вариационных производных должен,
по-видимому, приводить к представлению искомого функционала Ф [9 (М)]
в виде континуального преобразования Фурье:
Ф [0 (М)] = J в1 (e>/?)? [F(M)] ф [F(M)]9 B9.95)
где *F— новый функционал (уже от функции F(M), (Q-F)—функциональное
скалярное произведение (т. е. интеграл от произведения 9 (М) • F(M) по всему
пространству точек М), a \i — некоторая мера в бесконечномерном функцио-
функциональном пространстве («точками» которого являются функции F), т. е. функ-
функция множеств 5 в пространстве функций F, обладающая свойством адди-
аддитивности /так что \i /У| St\ == 2 И- (Si) Для любых непересекающихся мно-
множеств 5/, для которых определена мера \i\ и некоторыми еще свойствами,
на которых мы здесь не будем останавливаться.
В частном случае, когда значения ц (S) являются неотрицательными,
и мера совокупности всех функций F(M) равна единице, величину \х (S)
можно интерпретировать как вероятность того, что значение функ-
функции F будет принадлежать множеству S функционального пространства, т. е.
рассматривать функцию F как случайную функцию. В таком случае
континуальный интеграл B9.95) будет совпадать с теоретико-вероятностным
средним значением ехр {/ (9-/11)} ?[/?], а задание меры ц в функциональном
пространстве будет являться еще одним способом задания случайной функ-
функции F, равносильным заданию совокупности конечномерных плотностей
вероятности рм м (Fa , ...,Fa ) (которые, после умножения nadFa ...dFa ,
определяют меру \i совокупности всех функций F(M\ удовлетворяющих
неравенствам
.... F% <F(Mn)
n)
т. е. фактически эквивалентны значениям \i для некоторых специальных мно-
множеств S). Напомним также, что в рассматриваемом случае интеграл B9.95)
l, равный ехр [1(9 *F)}, совпадает с характеристическим

29.5] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 669
ционалом случайной функции F% задание которого является третьим спосо-
способом задания этой функции.
В общем случае произвольной меры ц вопрос о смысле интеграла B9.95)
является более сложным. В этом случае целесообразно воспользоваться тем,
что на каждом конечномерном подпространстве бесконечномерного простран-
пространства всех функций Ft т. е. на множестве функций F, зависящих лишь от
конечного числа параметров (например, задающихся конечным отрезком ряда
Фурье или являющихся «ступенчатыми функциями», принимающими постоян-
постоянные значения на конечном числе фиксированных непересекающихся мно-
множеств, в сумме заполняющих всю- область изменения аргумента М функ-
функции F\ мера (i будет обычной мерой в конечномерном пространстве, а инте-
интеграл B9.95)—обычным конечномерным интегралом. Исходя отсюда, интеграл
в правой части B9.95) можно понимать как символическую запись предела
последовательности конечномерных интегралов, получающихся, если мы будем
все более и более точно приближать функцию F последовательностью функ-
функций, каждая из которых определяется конечным числом параметров, и каждый
раз интегрирование по d\n[F] будем распространять лишь на конечномерное
подпространство рассматриваемых функций F. Существуют также и некото-
некоторые другие подходы к определению интегралов вида B9.95). Заметим, однако,
что вопрос о точном определении меры в функциональном пространстве и
интегралов от функционалов по такой мере, а также о свойствах указанных
интегралов, правилах их преобразования и связях между различными их
определениями является весьма тонким математическим вопросом, с которым,
несмотря на наличие обширной литературы по этому вопросу, до сих пор
связано немало неясностей (см., например, лекции Фридрихса, Шапиро и
др. A957), книгу Гельфанда и Виленкина A961) и статьи далецкого A962),
Шилова A963), Макшейна A963) и Сигала A965), содержащие обсуждение
различных подходов к проблеме интегрирования функционалов и обширную
библиографию).
Континуальные интегралы (т. е. интегралы от функционалов по мере
в функциональном пространстве) в физических задачах, по-видимому, впер-
впервые были использованы Фейнманом A948), получившим с их помощью новый
вывод уравнения Шредингера квантовой механики и указавшим символи-
символическую запись общего решения этого уравнения в виде континуального инте-
интеграла. В последующей работе Фейнмана A951) для решения уравнений кван-
квантовой теории поля были привлечены уже и континуальные преобразования
Фурье вида B9.95). После того, как Швингер в 1951 г. показал, что основ-
основные уравнения квантовой теории поля могут быть записаны в виде уравне-
уравнений в вариационных производных, Эдварде и Пайерлс A954) и Гельфанд и
Минлос A954) независимо друг от друга нашли общее решение этих урав-
уравнений, имеющее вид некоторого континуального интеграла (см. также обзор-
обзорные статьи Гельфанда и Яглома A956) и Гельфанда, Минлоса и Яглома A958),
содержащие много дополнительных ссылок на литературу). В теории турбу-
турбулентности аппарат континуальных интегралов применялся Розеном A960) и
Татарским A9626); изложение полученных ими результатов и составит основ-
основное содержание настоящего пункта. Следует, однако, иметь в виду, что
строгое математическое истолкование континуальных интегралов, возникаю-
возникающих как в квантовой механике, так и в теории турбулентности, до сих пор
отсутствует; поэтому относящиеся сюда формулы пока должны рассматри-
рассматриваться лишь как некоторые эвристические соотношения, аккуратный вывод
и широкое использование которых остается еще делом будущего. Тем не
менее сама идея о том, что применение интегрирования в функциональных
пространствах должно позволить развить общий подход к решению линей-
линейных уравнений в вариационных производных и существенно упростить изу-
изучение этих уравнений, представляется очень естественной и правдоподобной,
несмотря на тр что в направлении ее аккуратной реализации до сих пор

670 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [29.5
сделаны лишь некоторые самые первые шаги, совершенно недостаточные
для нужд физики.
Сложность математического истолкования континуальных интегралов,
возникающих в теории турбулентности (и в квантовой физике), связана с тем,
что меры [г, с которыми здесь приходится иметь дело, не являются мерами
ограниченной вариации (т. е. такими, что для любой совокупности непере-
непересекающихся множеств 5/, для которых определена мера у, имеет место не-
неравенство 2'^(^I^^' где ? —ФиксиРованная постоянная\ и не обла-
i )
дают еще некоторыми общими свойствами, обычно требуемыми от меры
в математических исследованиях. Тем не менее для этих мер ц также удается
определить величину У [F] d\i [F] = Л [Ф] для достаточно широкого класса
функционалов ХР = }? [F(M)]t причем интеграл Л[?] оказывается обладаю-
обладающим следующим основным свойством обычных интегралов: если для каких-то
двух функционалов Ч^ и \Р2 существуют интегралы Л PPJ и A[*P2], то ПРИ
любых числовых коэффициентах С\ и с2 будет существовать и интеграл
Л [Ci1?! + c2W2], равный С\А[Ч^] + с2Л рр2] (так что Ар?] оказывается ли-
линейным функционалом от Ф).
Поскольку интеграл Л[*Р] в прикладных задачах часто определяется
проще, чем мера р,, то имеет даже смысл считать первичным именно поня-
понятие интеграла, т. е. называть интегралом в функциональном пространстве
функций F любой линейный функционал Л РР], определенный на достаточно
широком множестве функционалов Ч? от F (и обладающий еще некоторым
свойством непрерывности по *Р, на котором мы здесь не будем задерживаться,
чтобы не загромождать изложения). После этого по аналогии с известной
теорией обобщенных функций (по поводу которой см., например, книгу Гель-
фанда и Шилова A959)) можно считать, что каждому из этих функционалов
отвечает своя обобщенная мера ц, через которую он выражается с помощью
формулы
А [?] = J ? [F] d\x [F]. B9.96)
Ясно, что в таком случае в число обобщенных мер попадут и все настоящие
меры, по которым можно интегрировать функционалы *F, независимо от того,
какими свойствами эти меры обладают, и как именно определяется интегри-
интегрирование по ним.
Рассмотрим теперь некоторые примеры обобщенных мер в пространстве
функций 0(Af). Простейшей из таких мер является дельта-мера ja(S) =
= 6 [S; 0O (Af)], которая отвечает, функционалу А [Ф @)] = Ф [0О], где 0О (М) —
фиксированная функция. Эта мера вполне аналогична дельта-функции Дирака
(являющейся простейшей обобщенной функцией); она определяется соотно-
соотношением
J Ф [0 (М)) db [9 (М); 90 (М)] = Ф [90 (М)] B9.97)
и представляет собой обычную («настоящую») меру, сосредоточенную в «точке»
0О(М) функционального пространства (так что 6 [S; 0o(Af)] = l, если 00(М)
входит в множество S, и 6 [S; 60 (М)] = 0, если в0 (М) не входит в S). От-
Отсюда, в частности, следует, что дельта-мера множества SF (х) функций 0 (М),
удовлетворяющих неравенству (Q-F)^x («полупространства» функциональ-
функционального пространства функций 0(Af)), задается формулой
^ ° ~~ °" B9.98)
0 при лг<лго = (8о./;|), v

29.5] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 671
так что, воспользовавшись фурье-представлением 6-функции Дирака, можно
записать
00
B9.98')
Последняя формула может быть использована для представления инте-
интеграла по дельта-мере в виде предела последовательности конечномерных
интегралов. В самом деле, разобьем область изменения аргумента М на k
непересекающихся множеств Пь ..., Щ и назовем проекцией РЛ0 функции
0(Af), отвечающей этому разбиению, новую функцию, принимающую на
каждом из множеств Пу постоянное значение, равное взвешенному среднему
if Г
значению -рг- 0 (Af) ф (Af) <Ш, где Ку = ф (Af) dM, а ф (Af) — произ-
' nJ UJ
вольная неотрицательная весовая функция. В таком случае оператор Р& пе-
переводит бесконечномерное пространство функций в (Af) в конечномерное
(а именно /г-мерное, где п = ks, a s — число компонент вектора 0 = (9Ь ..., 9,у))
пространство Rn точек (xlt..., хп), в котором Р$(М) имеет координаты
тг~ в|(Af)ф(Af)rfAf, 7 = 1, ..., k, / == 1, ..., s. Ясно, что дельта-мера
п
6 [S\ 0O (M)] индуцирует в Rn меру 6 [S; Р^% (Щ]> дифференциал которой
можно записать в виде
п
db [РЛ0 (Af);' Pk% (Af)] = JJ 6 (л:Л — x\) dxk =*
У-1
= dm [PkQ (Af)] J ^ vv o; 'dm [Pk% (Af)], B9.99)
где введено обозначение
n r
dm [РЛ0 (Af)] = JJ y^ dxt B9.100)
(а К/ равно интегралу от ф (Af) по Пу для всех s координат л:/, отвечающих
множеству Пу). Рассмотрим теперь такую последовательность проекций Pk,
что lim РЛ0 (Af) = 0 (Af) для всех функций 0 (Af), входящих в замыкание
множества ступенчатых функций. Тогда, переходя в формуле B9.99) к пре-
пределу при 6->оо, мы получим выражение для интеграла по rf6[0(Af); 0O(M)]
в виде предела последовательности конечномерных интегралов. Символически
этот предельный переход можно обозначить с помощью записи дифферен-
дифференциала rf6 [0 (Af); 0О (Af)] в виде
rf6 [0 (Af); 0O (Af)] = dm [0 (Af)] J #'((•-•o)'<P*>dm [к (Af)] B9.101)
(ср. Новиков A961г)).
Перейдем теперь к рассмотрению специального класса обобщенных мер,
представляющего наибольший интерес для наших целей. Рассмотрим

672 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [29.5
уравнение, описывающее изменение во времени функционала Ф[0(х), t]
(или, короче, эволюционное уравнение для Ф), вида
^L = _g?<D [0 (*), t], B9.102)
гДе J3? — некоторый линейный оператор в пространстве функционалов Ф.
Будем предполагать, что уравнение B9.102) имеет единственное решение,
отвечающее заданному начальному условию Ф [0О (х), t0] = Фо [0О (х)]. В таком
случае вследствие линейности нашего уравнения решение Ф [0 (х), t] будет
линейно зависеть от начального функционала Фо[ОоС*)]> так что величина
Ф [0 (х), t] при любых фиксированных 0 (х) и t > t0 будет являться линейным
функционалом от Фо [0О]. Следовательно, решению Ф[0, t] уравнения B9.102)
при фиксированных 0 = 0 (х) и t > t0 можно сопоставить некоторую обоб-
обоб[S t 0(), t], задавае фй
р фр () 0
щенную меру \i[S, to\ 0(x), t], задаваемую формулой
Ф [0 (х), /] = J Ф [0о (*), *0] dyL [0О (х), t0; 0 (*), t]. B9.103)
Эту обобщенную меру естественно назвать мерой Грина уравнения B9.102).
Она, очевидно, будет обладать следующими свойствами:
\л [S, t0; 0 (х), t0) « б [5; 0 (*)], B9.104)
J jx [S, tQ; 0, (x), tx\ dvi [0! (x), t,', 02 (дс), t2) = ц [S, U 02 (x), Ul B9.105)
t2>t\> tQ}
и при фиксированном 5 будет представлять собой решение уравнения B9.102),
удовлетворяющее начальному условию B9.104). Если оператор J3? = J3?q
в B9.102) не зависит от t, то мера Грина будет иметь вид \i [S, t0) 0 (х), t] =
= \i [S; 0 (x), t — ^ol- В этом случае, многократно применяя формулу B9.105),
можно получить формулу
п
ф [0о (х); 0 (*), t] = J ... J J| d\i [0*_! (x); h (x), Afl, B9.106)
где Д* = t[n и 0Л (х) — 0 (jc). Но значение меры Грина для бесконечно малого
промежутка времени Д? в силу B9.102) и B9.104) можно представить в виде
|i [S; 0 (х), М) = [1 + Л* • J2TQ] б [S; 0 (*)] + о (Ztt); B9.107)
поэтому формулу B9.106) можно переписать в виде следующего символи-
символического выражения меры Грина (отвечающей оператору Jg = J2?b, не зави-
зависящему от t) через дельта-меру:
п
ф[0о(х);0(*),*]= lim j ... I ДA + ~^вЛ)^[вл-1(^);в(^)].
.Л">°°в1 «л-i^1 B9.108)
Последние формулы можно теперь непосредственно применить и к слу-
случаю уравнения Хопфа B8.19), представляющего собой частный случай эволю-
эволюционного уравнения. В этом частном случае
^в = /@.Л[-/#в]), B9.109)
где А [и] — интегро-дифференциальный оператор, фигурирующий в правой
ди
части уравнения Навье-—Стокса -г-- = Л[я] (после исключения давления

29.5] $•&. методы Решения уравнений для функционала
с помощью уравнения неразрывности). Используя теперь символическое
выражение B9.101) для дельта-меры и допустив к тому же, что оператор
A[—i&Q] можно внести в этом выражении под знак интеграла по dm [&()]
получим
dm [8*., (х)) J 11 + 4 <в*' А №*] > } • ({h~*k-&(*h) dm [кк (х))
= ^т [вл_, (jc)] J *
B9.110)
Введем теперь в рассмотрение функции \\п(х, т) и ?п(х, т), которые при
фиксированном п принимают в точках т$ = kt/n значения г\п (х, хк) = в^ (х)
и 5„ (х, тл) = Xk (x). Тогда, подставив B9.110) в B9.108), мы сможем при-
привести выражение B9.108) к виду
dvi [в0 (х); в (х), t\ = K [в0 <*); в (х), t] dm [в0 (х)], B9.111)
где
л-1
f ...
iim
J J
x
<29Л11'>
фигурирующий здесь предел последовательности конечномерных интегралов
можно символически записать в виде двойного континуального интеграла
Ti (дг, О-в (дг)
О () / { ^ }
J dm[x\ (х, т)] J e ° dm [g (x, т)]. B9.112)
П(*,О)-во(др)
С помощью B9.103) получаем соответствующую символическую формулу для
решения Ф [0 (х), t] уравнения Хопфа при начальном условии Ф [0 (х), 0] ==
Ф [в (х), t] = J Фо h (x, 0)] dm [ц (jc, т)] J е Ь X
XK(JC,t)]f B9.113)
где внешнее интегрирование осуществляется по функциям i| (х, т), удовле-
удовлетворяющим только одному граничному условию г\ (х, t) = ft (x). Эта формула
была получена в работе Розена (I960). Она останется верной и для волно-
43 А, С. Монин, А. М. Яглом

Ъ?4 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [29.5
вого представления характеристического функционала, если только в ней
всюду заменить х на k, 0 (х) на z (к), Ф [в (х), t] на Ч? [z (к), t] и опреде-
лять А, требуя, чтобы уравнение -тт- = * (z • А [— Шг]) *F совпало с уравне-
уравнением Хопфа B8.38). В этих обозначениях, полагая
')^т' B9.114)
и переходя от интегрирования по функциям г\ к интегрированию по функ-
функциям ! = v?2ri —=-, мы приведем B9.113) к виду, полученному Татар-
Татарским A9626) совершенно другим методом (путем применения к уравнению
Хопфа в «представлении взаимодействия» B8.50) метода, аналогичного «упо-
«упорядочиванию «S-матрицы» в квантовой теории поля).
Покажем теперь, как получить формулы для моментов поля скорости,
аналогичные символической формуле B9.113). Выражая такие моменты через
вариационные производные от характеристического функционала Ф [в (х), t]
по формуле D.51) части 1 и используя для Ф[в(х), t] формулу B9.113),
в которой дифференциал меры Грина дается формулой B9.111), получаем
• »jn (хп)ф [• <*
= (-0л J %[%
B9.115)
Вычислим сначала вариационную производную первого порядка & j (x^ К.
Для этого подсчитаем ЬК = К [в0 (х)\ в (х) + 66 (х), t] — К [в0 (х);
фй B9112) З й ф
[0 ()\ () + (), ] [0 () () q
пользуясь формулой B9.112). Заменяя в этой формуле переменную интегри-
интегрирования г\ (х, т) на г| (х, т) + о (д:, т), где о (л, т) — фиксированная беско-
бесконечно малая векторная функция, удовлетворяющая условиям о (х, 0) = 0,
о (jc, t) = 60 (х), получаем
«. *I X
; expj/ dx\[ A1/7@)-Фб)+((^ + ^)-^[ф?]I
J
П(дг, О)-1о(др)
], B9.116)
где мы воспользовались тем, что dm [ц(х, х)-\-®(х, т)] = dm [r\(x, т)] (ин-
(инвариантность «меры» dm относительно «параллельных переносов» в функ-
функциональном пространстве). Величина ЬК будет отличаться от выражения

29.5]
§ 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА
675
B9.116) заменой экспоненты в подынтегральном выражении на разность
экспонент
ехр
-ехр/
+ (Ч • А [<р?])] F6 • Ф? (О) - J dx (« • (-^- - А [<рё]) ) 1,
где мы сохранили лишь члены первого порядка малости по со (х, т). Не-
Нетрудно убедиться, что последнее слагаемое в фигурных скобках, содержащее
разность-гр—Л [cpg], не дает вклада в 6/С (достаточно вычислить вели-
величину
> задав К интегралом B9.116), где ю(д:, 0) = ®(д;, 0=0,
и учесть, что эта величина должна быть равна нулю). Вспоминая, что по
определению вариационной производной 6/С = F6 • 9ibK)> получаем
0*0 К
, №. 0 X
B9.117)
Таким образом, вариационное дифференцирование К по 0^ (хх) приводит
к появлению в подынтегральном выражении множителя ^(x{)ljx{xv ty
Аналогичные множители будут появляться и при каждом последующем
дифференцировании, и в результате формула B9.115) примет вид
П
Xexp
J ф°
J rfx {(-^ •
k-1
+ (л •
R
B9Л18>
Внешнее интегрирование здесь осуществляется по функциям г\ (х, т), удо-
удовлетворяющим граничному условию r\ (x, t) = 0. Эта формула также была
получена Розеном.

б?6 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [29.6
Внутренние интегралы (по dm [? (x, т)]) в формулах B9.113) и B9.118)
можно существенно упростить с помощью приема, применявшегося, напри-
например, Феинманом A951). Воспользуемся тем, что оператор А [а] в правой
части уравнения Навье — Стокса -д-р = А [и] можно записать в виде
А [и (х)] = v Аи (х) - J ®ч (х - *') иа (х') ttp (х') dx', B9.119)
где &а§ (х) = 0ра (х). Введя обозначения
= J
B9.120)
Ч (X, т) • #„„ (* - *') dx
и воспользовавшись соотношением (t) • A <pg) = (At| • <pg), мы сможем записать
внутренний интеграл в B9.113) в виде
/ = J exp I / j dx 12 (о • <pt) - j Я„р(р?аФ?э dx } \ dm К (*• T)l • B9121)
Теперь видно, что внутренний интеграл в B9.118) может быть получен
/i-кратным вариационным дифференцированием / по компонентам функции
а(х, т). Упомянутый выше прием упрощения этих интегралов заключается
в замене в подынтегральном выражении функции ? на ? + So (законной
вследствие инвариантности «меры» dm относительно «параллельных перено-
переносов») и таком подборе ?0, чтобы в показателе экспоненты не было слагае-
слагаемых первой степени относительно ?. Нетрудно убедиться, что для этого
следует положить Ф^о/^^уаЧх и что Ф°РмУла B9.121) после этого приво-
приводится к виду
( * \
/0 = J exp J - / J dx J ЯорфбвЛэ dx J dm [g (x, t)]. B9.122)
Из формулы B9.120) для Ва^ видно, что /0 есть некоторый функционал от
функции %\ (х, х) (а не постоянная, как полагал Розен). Интеграл /0 также
может быть вычислен (см. цитированные работы Фейнмана и Татарского),
но получающийся результат оказывается довольно громоздким, и мы при-
приводить его здесь не будем.
В заключение покажем, следуя идее Новикова, что с помощью симво-
символической формулы B9.101) представление характеристического функционала
поля скорости в виде континуального интеграла может быть получено и
без решения уравнения Хопфа. Используем для общности уравнение Навье —
Слокса при наличии поля внешних сил -^г = А [и] + ЛГ, из которого при

29.5] § 29. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛА 677
t > t0 получим
и (х, t) = и0 (х) + J А [и (х, х)] dx + J X(x, x) dx, B9.123)
to to
где ио(х) — и(х, *о) — начальное поле скорости1).
Рассмотрим следующий функционал от и(х, т):
iff '-0 t \\Л
Г A[u]dx+ [Xdx\ i =
to U ) ) j
и0 + \ A [v] dx + I Xdx I \dm [v (x, x)] X
^ U ) J \
С l С I
X exp / \ dx ((u — v) • <pw)} rfw [w (хч т)]. B9.124)
J I /. I
Здесь мы воспользовались формулами B9.97) и B9.101), в которых роль М
играет (х, t), а роль в0, 0 и к — функции и, v и w. Из расшифровки B9.99)
формулы B9.101) видно, что в интеграл по dm [v(x, x)] вносят вклад лишь
функции v = u. Используя это равенство в правой части формулы B9.123)
и подставив получающееся значение
т-о т
и(х, х) = ио(х)+ j A[v(x, т')]<*т'+ JX(x, x')dx' B9.125)
to *o
во внутренний интеграл в формуле B9.124), мы приведем ее после некото-
некоторого интегрирования по частям к виду
*'("•«)= JJexp /К-И-НР J w^jjIexpj/JrfTU. U^\vodx\ J X
i J dx | [a [v] • 6 + <p J w dx'\ \ — (v • <pw) i \ dm [v] dm [w].
B9.126)
Применяя к обеим частям равенства операцию осреднения (в правой части —
под знаком двойного интеграла) и считая, что начальное поле скорости
ио(х) и поле внешних сил Х(х, т), x>t0, статистически независимы, мы
!) Символ tf —0 здесь и ниже означает, что при переходе к ступенча-
ступенчатым функциям в соответствующем интеграле не учитывается последняя
ступенька по времени.

678 ГЛ. X. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ [29.5
получим
Ф[в(д:), ^] = J J Фо 0 + ф jwdx \f 8 + q>J wdt' X
/ jdx 1л [9]Ло + Ф J wdx'\ I — (v-yw) \ dm [v] dm [«],
B9.127)
где Z7 [Ч С*, т)] — пространственно-временной характеристический функцио-
функционал поля внешних сил. При отсутствии внешних сил функционал F следует
заменить единицей; в таком случае после замены в + <р Г w dx' на х\ (х, т)
т
и v на <р? мы вернемся к формуле B9.113). Наоборот, при наличии стати-
статистически стационарных внешних сил мы получим характеристический функ-
функционал соответствующего им статистически стационарного поля скорости,
полагая в B9.127) Фо=1, to-> — oo и *->оо.
В заключение подчеркнем еще раз, что аккуратное обоснование приве-
приведенных в настоящем пункте формул для характеристического функционала
поля скорости и разъяснение их точного смысла остаются еще делом буду-
будущего; пока эти формулы лишь указывают одно из возможных направлений
дальнейших исследований.

БИБЛИОГРАФИЯ
Алексеев В. Г. иЯгломА. М.
1967. Примеры сравнения одномерных и трехмерных спектров скорости
и температуры, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана,
3, № 8, 897—901.
Б а к у с (Backus G.)
1957. The existence and uniqueness of the velocity correlation derivative
in Chandrasekhar's theory of turbulence, J. Math. Mech., 6, No. 2,
215—233.
Басе (Bass J.)
1949. Sur les bases mathematiques de la theorie de la turbulence d'Heisen-
berg, С r. Acad. Sci., 228, N 3, 228—229.
1953. Sur les equations fonctionelles des fluides turbulents, C. r. Acad.
Sci., 237, N 13, 645—647.
Б а т л e p (Butler M. E.)
1954. Observations of stellar scintillations, Quart. J. Roy. Meteor. Soc, 80,
No. 344, 241—245.
Б а у н е (Bowne N. E.)
1961. Some measurements of diffusion parameters from smoke plumes,
Bull. Amer. Meteor. Soc, 42, No. 2, 101—105.
Бентон и Кан (Benton G. S., Kahn A. B.)
1958. Spectra of large scale atmospheric turbulence at 300 mb, J. Meteor.,
15, No. 4, 404—410.
Бергман (Bergmann P. G.)
1946. Propagation of radiation in a medium with random inhomogeneities,
Phys. Rev., 70, No. 7—8, 486—492.
Б е р м а н (Berman S.)
1965. Estimating the longitudinal wind spectrum near the ground, Quart.
J. Roy. Meteor. Soc, 91, No. 389, 302—317.
Берне (Burns A. B.)
1964. Power spectra of low level atmospheric turbulence measured from
the aircraft, Aeronaut. Res. Council Current Papers, No. 733.
Б е т ч о в (Betchov R.)
1956. An inequality concerning the production of vorticity in isotropic
turbulence, J. Fluid Mech., 1, No. 5, 497—504.
1957. On the fine structure of turbulent flows, J. Fluid Mech., 3, No. 2,
205—216.
Бланч и Фергюсон (Blanch G., Ferguson H.)
1959. Remarks on Chandrasekhar's results relating to Heisenberg's theory
of turbulence, Phys. Fluids, 2, No. 1, 79—84.
Блохинцев Д. И.
1945. Распространение звука в турбулентном потоке, Докл. АН СССР»
46, № 4, 150—153.
1946. Акустика неоднородной движущейся среды, М., Гостехиздат*

680 БИБЛИОГРАФИЯ
Бовшеверов В.М., Гурвич А. С, Татарский В. И. и Цванг Л. Р.
1959. Приборы для статистического анализа турбулентности, Труды
II Всесоюзного совещания по исследованию мерцания звезд, М.,
Изд. АН СССР, 26—32.
Болджиано (Boldgiano R.)
1957. Spectrum of turbulent mixing, Phys. Rev., 108, No. 5, 1348.
1958a. The role of turbulent mixing in scatter propagation, Trans. Inst. Ra-
Radio Engrs on Antennas and Propag., AP-6, No. 2, 161—168.
19586. On the role of convective transfer in turbulent mixing, J. Geophys.
Res., 63, No. 4, 851—853.
1959. Turbulent spectra in a stably stratified atmosphere, J. Geophys. Res.,
64, No. 12, 2226—2229.
1962. Structure of turbulence in stratified media, J. Geophys. Res., 67,
No. 8, 3015—3023.
Б о л л (Ball F. К.)
1961. Viscous dissipation in the atmosphere, J. Meteor., 18, No. 4,
553—557.
Б р а й e p (Brier G. W.)
1950. The statistical theory of turbulence and the problem of diffusion in
the atmosphere, J. Meteor., 7, No. 4, 283—290.
Букер и Гордон (Booker H. G., Gordon W. E.)
1950. A theory of radio scattering in the troposphere, Proc. Inst. Radio
Engrs, 38, No. 4, 401-412.
Букер и Коэн (Booker H. G., Cohen R.)
1956. A theory of long-duration meteor echoes based on atmospheric turbu-
turbulence with experimental confirmation, J. Geophys. Res., 61, No. 4,
707—733.
Булл (Bull G.)
1967. Spectra of radio refractive index, Атмосферная турбулентность и
распространение радиоволн (Труды Межд. коллоквиума в Москве),
М., «Наука».
Б ы з о в а Н. Л., И в а н о в В. Н. и М о р о з о в С. А.
1967. Турбулентные характеристики скорости ветра и температуры в по-
пограничном слое атмосферы, Атмосферная турбулентность и распро-
распространение радиоволн (Труды Межд. коллоквиума в Москве), М.,
«Наука».
Бэтчелор (Batchelor G. К.)
1946. The theory of axisymmetric turbulence, Proc. Roy. Soc, A186,
No. 1007, 480—502.
1947. Kolmogoroffs theory of locally isotropic turbulence, Proc. Cambr.
Phil. Soc, 43, No. 4, 533—559.
1948. Energy decay and self-preserving correlation functions in isotropic
turbulence, Quart. Appl. Math., 6, No. 2, 97—116.
1949a. The role of big eddies in homogeneous turbulence, Proc. Roy. Soc,
A195, No. 1043, 513—532.
19496. Diffusion in a field of homogeneous turbulence, Austr. J. Sci. Res.,
A2, No. 4, 437—450.
1950. The application of the similarity theory of turbulence to atmo-
atmospheric diffusion, Quart. J. Roy. Meteor. Soc, 76, No. 328, 133—
146.
1951. Pressure fluctuations in isotropic turbulence, Proc. Cambr. Phil. Soc,
47, No. 2, 359—374.
1952a. Diffusion in a field of homogeneous turbulence. II. The relative
motion of particles» Proc Cambr. Phil. Soc, 48, No. 2, 345—
362.

БИБЛИОГРАФИЯ 681
19526. The effect of homogeneous turbulence on material lines and surfaces,
Proc. Roy. Soc, A213, No. 1114, 349—366.
1953. The theory of homogeneous turbulence, Cambridge, Univ. Press (русск.
перевод: Дж. К. Бэтчелор, Теория однородной турбулентности, М.,
ИЛ, 1955).
1955. The scattering of radio waves in the atmosphere by turbulent fluc-
fluctuations in refractive index, Res. Rep. No. 262, School of Electrical
Eng., Cornell Univ., USA.
1959. Small-scale yariation of convected quantities like temperature in
turbulent fluid. Part 1. General discussion and the case of small
conductivity, J. Fluid Mech., 5, No. 1, 113—133.
1962. Discussion de la section: Transfert d'energie en turbulence homo-
gene, Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Mar-
Marseille), Paris, Ed. CNRS, 123—126.
Бэтчелор и Праудмен (Batchelor G. K-, Proudman I.)
1956. The large-scale structure of homogeneous turbulence, Phil. Trans.
Roy. Soc, A248, No. 949, 369—405.
Бэтчелор и Стюарт (Batchelor G. KM Stewart R. W.)
1950. Anysotropy of the spectrum of turbulence at small wave numbers,
Quart. J. Mech. Appl. Math., 3, No. 1, 1—8.
Бэтчелор и Таунсенд (Batchelor G. К., Townsend A. A.)
1947. Decay of vorticity in isotropic turbulence, Proc. Roy. Soc, A191,
. No. 1021, 534—550.
1948a. Decay of isotropic turbulence in the initial period, Proc Roy. Soc,
A193, No. 1035, 539—558.
19486. Decay of . turbulence in the final period, Proc. Roy. Soc, A194,
No. 1039, 527—543.
1949. The nature of turbulent motion at large wave-numbers, Proc Roy.
Soc, A199, No. 1057, 238—255.
1956. Turbulent diffusion, Surveys in Mechanics (ed. by G. K. Batchelor
and R. M. Davies), Cambridge, Univ. Press, 352—399.
Бэтчелор, Хауэлс и Таунсенд (Batchelor G. K-, Howells I. D.,
Townsend A. A.)
1959. Small-scale yariation of convected quantities like temperature in
turbulent fluid. Part. 2. The case of large conductivity, J. Fluid
Mech., 5, No. 1, 134—139.
Бюсингер и Суоми (Businger J. A., Suomi V. E.)
1958. Variance spectra of the vertical wind component derived from obser-
observations with the sonic anemometer at O'Neil, Nebraska, in 1953,
Arch. Meteor. Geophys. Bioklimatol., A10, No. 4, 415—425.
Ван дер Ховен (Van der Hoven J.)
1957. Power spectrum of horizontal wind speed in the frequency range
from 0.0007 to 900 cycles per hour, J. Meteor., 14, No. 2, 160—164.
Вейль (Weyl H.)
1939. The classical groups, their invariants and representations, Princeton,
Univ. Press (русск. перевод: Г. Вейль, Классические группы, их
инварианты и представления, М., ИЛ, 1947).
Вейцзеккер (Weizsacker С. R, von)
1948. Das Spektrum der Turbulenz bei grossen Reynolds'schen Zahlen, Zs.
Phys., 124, Nr. 7—12, 614—627.
Веландер (Welander P.)
1955. Studies on the general development of motion in a two-dimensional
ideal fluid, Tellus, 7, No. 2, 141—156.
Вигхардт (Wieghardt K)
1941. Zusammenfassender Bericht iiber Arbeiten zur statistischen Turbu-
lenztheorie, Luftfahrforsch., 18, Nr. 1, 1—7.

682 БИБЛИОГРАФИЯ
Вилларс и Вайскопф (Villars F., Weisskopf V. F.)
1954. The scattering of electromagnetic waves by turbulent atmospheric
fluctuations, Phys. Rev., 94, No. 2, 232—240.
1955. On the scattering of radio waves by turbulent fluctuations of the
atmosphere, Proc. Inst. Radio Engrs, 43, No. 10, 1232—1239.
ВинниченкоН. К., ПинусН. З. и ШурГ. Н.
1967. Некоторые результаты экспериментальных исследований турбулент-
турбулентности в атмосфере, Атмосферная турбулентность и распространение
радиоволн (Труды Межд. коллоквиума в Москве), М., «Наука».
Г а лее в А. А. и КарпманВ. И.
1963. Турбулентная теория слабонеравновесной разреженной плазмы и
структура ударных волн, Ж. эксп. теор. физ., 44, № 2, 592—602.
Г е д е к е (Godecke К.)
1935. Messungen der atmospharischen Turbulenz in Bodennahe mit einer
Hitzdrahtmethode, Ann. Hydrogr., Nr. 10, 400—410.
Гейзенберг (Heisenberg W.)
1948a. Zur statistischen Theorie der Turbulenz, Zs. Phys., 124, Nr. 7—12,
628—657.
19486. On the theory of statistical and isotropic turbulence, Proc. Roy. Soc,
A195, No. 1042, 402—406.
Гельфанд И.М. и ВиленкинН. Я.
1961. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гиль-
гильбертовы пространства («Обобщенные функции», вып. 4), М., Физ-
матгиз.
Гельфанд И.М. и Мин л ос Р. А.
1954. Решение уравнений квантованных полей, Докл. АН СССР, 97, № 2,
^09—212.
Гельфанд И. М., МинлосР. А. и ЯгломА. М.
1958. Континуальные интегралы, Труды 3-го Всесоюзн. матем. съезда, 3,
М., Изд. АН СССР, 521—531.
Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е.
1959. Обобщенные функции и действия над ними («Обобщенные функ-
функции», вып. 1), М., Физматгиз, 2-е изд.
Гельфанд И. М. и ЯгломА. М.
1956. Интегрирование в функциональных пространствах и его примене-
применения в квантовой физике, Усп. матем. наук, 11, № 1 F7), 77—114.
Гербстрайт и Томпсон (Herbstreit J. M., Thompson M. С.)
1955. Measurements of the phase of radio waves received over transmis-
transmission paths with electrical lengths varying as a result of atmosphe-
atmospheric turbulence, Proc. Inst. Radio Engrs, 43, No. 10, 1391—1404.
Г и б с о н М. (Gibson М. М.)
1962. Spectra of turbulence at high Reynolds number, Nature, 195,
No. 4848, 1281—1283.
1963. Spectra of turbulence in a round jet, J. Fluid Mech., 15, No. 2, 161—173.
Гибсон и Шварц (Gibson С. H., Schwarz W. H.)
1963a. Detection of conductivity fluctuations in a turbulent flow field,
J. Fluid Mech., 16, No. 3, 357—364.
19636. The universal equilibrium spectra of turbulent velocity and scalar
fields, J. Fluid Mech., 16, No. 3, 365—384.
Г и ф ф о р д (Gifford F. J.)
1955. A simultaneous Lagrangian-Eulerian turbulence experiment, Monthly
Weath. Rev., 83, No. 12, 293—301.
1956. The relation between space and time correlations in the atmosphere,
J. Meteor., 13, No. 3, 289—294.
1957a. Relative atmospheric diffusion of smoke puffs, J. Meteor., 14, No. 5,
410—414.

БИБЛИОГРАФИЯ 683
19576. Further data on relative atmospheric diffusion, J. Meteor., 14, No. 5,
475—476.
1959a. The interpretation of meteorological spectra and correlations, J. Me-
Meteor., 16, No. 3, 344—346.
19596. Smoke plumes as quantitative air pollution indices, Intern. J. Air
Poll., 2, No. 1, 42—50.
1959b. Statistical properties of a fluctuating plume dispersion model, Adv.
Geophys., 6 (Atmospheric diffusion and air pollution), 117—137
(русск. перевод в сб. «Атмосферная диффузия и загрязнение воз-
воздуха», М., ИЛ, 1962, 143—164).
1960. Peak to average concentration ratios according to a fluctuating
plume dispersion model, Intern. J. Air Poll., 3, No. 4, 263—260.
1962. The vertical variation of atmospheric eddy energy dissipation, J.
Atmosph. Sci., 19, No. 2, 205—206.
Голицын Г. С.
1960. О структуре турбулентности в области малых масштабов, Прикл.
матем. мех., 24, Mb 6, 1124—1129.
1961. К вопросу о возможности нагрева верхней атмосферы длинновол-
длинноволновой акустической радиацией, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 7,
1092—1093.
1962. Флюктуации диссипации в локально изотропном турбулентном- по-
потоке, Докл. АН СССР, 144, № 3, 520—523.
1963. Расчет корреляционных связей в локально изотропном турбулент-
турбулентном потоке, Прикл. матем. мех., 27, № 1, 61—74.
1964. О временном спектре микропульсаций атмосферного давления,
Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 8, 1253—1258.
Голицын Г. С, Г у р в и ч А. С. и Татарский В. Н.
1960. Исследование частотных спектров флюктуации амплитуды и раз-
разности фаз звуковых волн в турбулентной атмосфере, Акустич.
журн., 6, № 2, 187—197.
Гольдштейн (Goldstein S.)
1951. On the law of decay of homogeneous isotropic turbulence and the
theories of the equilibrium and similarity spectra, Proc. Camb. Phil.
Soc, 47, No. 3, 554—574.
Горшков Н. Ф.
1966. Об энергетическом спектре турбулентности в области больших вол-
волновых чисел, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана,
2, № 9, 989—992.
1967. Измерения спектра микропульсаций давления в приземном слое ат-
атмосферы, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 3, № 4,
447—451.
Г о с с а р д (Gossard E. Е.)
1960а. Power spectra of temperature, humidity, and refractive index from
aircraft and tethered balloon measurements, Trans. Inst. Radio Engrs
on Antennas and Propagation, AP-8, 186—201.
19606. Spectra of atmospheric scalars, J. Geophys. Res., 65, No. 10,
3339—3351.
Грант (Grant H. L.)
1958. The large eddies of turbulent motion, J. Fluid Mech., 4, No. 2,
149—190.
Грант и Моильет (Grant H. L., Moilliet A.)
1962. The spectrum of a cross-stream component of a turbulence in a
tidal stream, J. Fluid Mech., 13, No. 2, 237—240.
Грант и Нисбет (Grant H. L., Nisbet I. С. Т.)
1957. The inhomogeneity of grid turbulence, J. Fluid Mech., 2, No. 3
263-272.

684 библиография
Грант, Стюарт и Моильет (Grant H. L., Stewart R. W., Moilliet A.)
1962. Turbulence spectra from a tidal channel, J. Fluid Mech., 12, No. 2,
241—268,
Грачева М. И. и ГурвичА. С.
1965. О сильных флюктуациях интенсивности света в приземном слое
атмосферы, Изв. высш. учебн. завед., Радиофизика, 8, № 4,
717—724.
Грин (Green H. S.)
1952. Molecular theory of fluids, Amsterdam, North Holland Publ. Co.
Г р и н x а у (Greenhow J. S.)
1959. Eddy diffusion and its effect on meteor trails, J. Geophys. Res., 64,
No. 12, 2208—2209.
Гуннерсон (Gunnerson С G.)
1960. Discussion on «Eddy diffusion in homogeneous turbulence» by
G. T. Orlob, J. Hydraul. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs, 86,
No. 4, Part 1, 101—109.
Г у р в и ч А. С.
1960а. Экспериментальное исследование частотных спектров вертикальной
компоненты скорости ветра в приземном слое атмосферы, Докл.
АН СССР, 132, № 4, 806—809.
19606. Экспериментальное исследование частотных спектров и функций
распределения вероятностей вертикальной компоненты скорости
ветра, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 7, 1042—1055.
1960в. Измерение коэффициента асимметрии распределения разности ско-
скоростей в приземном слое атмосферы, Докл. АН СССР, 134, № 5,
1073—1075.
1961. О спектральном составе турбулентного потока количества движе-
движения, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 10, 1578—1579.
1962. Спектры пульсаций вертикальной компоненты скорости ветра и их
связи с микрометеорологическими условиями, сб. «Атмосферная
турбулентность» (Труды Ин-та физики атмосферы АН СССР, № 4),
101—136.
1965. О спектрах вертикальных турбулентных потоков в приземном слое
атмосферы, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 7,
764—766.
1966. О распределении вероятностей квадрата разности скоростей в
турбулентном потоке, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана,
2, № 10, 1095—1098.
1967. О распределении вероятностей квадрата разности температур в двух
точках турбулентного потока, Докл. АН СССР, 172, № 3, 554—557.
ГурвичА. С. и ЗубковскийС. Л.
1963. Об экспериментальной оценке флюктуации диссипации энергии
турбулентности, Изв. АН СССР, сер. геофиз., JSfc 2, 1856—1858.
1965. Измерение четвертых и шестых моментов градиента скорости, Изв.
АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 8, 797—802.
1966. Об оценке структурной характеристики пульсаций температуры в
атмосфере, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 2, № 2,
202-204.
Г у р в и ч А. С. и К о н А. И.
1964. Зависимость мерцания от размеров источника света, Изв. высш.
учебн. завед., Радиофизика, 7, № 4, 790—792.
Гурвич А. С, Копров Б. М., Ц в а н г Л. Р. и Я г л о м А. М.
1967. Эмпирические данные о мелкомасштабной структуре атмосферной
турбулентности, Атмосферная турбулентность и распространение
радиоволн (Труды Межд. коллоквиума в Москве), М.,
«Наука».

685
ГурвичА. С. и Кравченко Т. К-
1962. О частотном спектре пульсаций температуры в области мелких
масштабов, сб. «Атмосферная турбулентность» (Труды Ин-та фи-
физики атмосферы АН СССР, № 4), 144—146.
ГурвичА. С. и МелешкинБ. Н.
1966. Об определении внутреннего масштаба турбулентности по флюк-
туациям интенсивности света, Изв. АН СССР, Физика атмосферы
и океана, 2, № 7, 688—694.
ГурвичА. С, Татарский В. И. и ЦвангЛ. Р.
1958. Экспериментальное исследование статистических характеристик
мерцания наземного источника света, Докл. АН СССР, 123, № 4,
655—658.
1959. Мерцание наземных источников света, Труды II Всесоюзного сове-
совещания по исследованию мерцания звезд, М., Изд. АН СССР.
ГурвичА. С. и ЦвангЛ. Р.
1960. О спектральном составе турбулентного потока тепла, Изв. АН
СССР, сер. геофиз., № 10, 1547—1548.
ГурвичА. С. и Я г л о м А. М.
1967. Breakdown of eddies and probability distributions for small-scale
turbulence, Phys. Fluids, 10, Supplement (Proc. Kyoto Sympos. on
Boundary Layers and Turbulence).
Г x о ш (Ghosh К. М.)
1954. A note on the Karman's spectrum function of isotropic turbulence,
Proc. Nat. Inst. Sci. India, 20, No. 3, 336—340.
1955. Numerical solution to find out the spectrum function of isotropic
turbulence with fourth power law fitting at small wave numbers,
Bull. Calcutta Math. Soc, 47, No. 2, 71—76.
Давенпорт (Davenport A. G.)
1961. The spectrum of horizontal gustiness near the ground in high
winds, Quart. J. Roy. Meteor. Soc, 87, No. 372, 194—211.
ДалецкийЮ. Л.
1962. Континуальные интегралы, связанные с операторными эволюцион-
эволюционными уравнениями, Усп. матем. наук, 17, № 5 A07), 3—115.
Д а н н (Dunn D. J.)
1965. Turbulence and its effect upon the transmission of sound in water,
J. Sound Vib., 2, No. 3, 307—327. .
Д е й с л e p (Deissler R. G.)
1958. On the decay of homogeneous turbulence, Phys. Fluids, 1, No. 2,
111—121.
1960. A theory of decaying homogeneous turbulence, Phys. Fluids, 3,
No. 2, 176—187.
1961. Analysis of multipoint-multitirne correlations and diffusion in de-
decaying homogeneous turbulence, Nat. Aeronaut. Space Adm., Tech.
Rep. R-96.
1965. Some remarks on the approximations for moderately weak turbu-
turbulence, Phys. Fluids, 8, No. 11, 2106—2107.
Дерет (Durst С S.)
1948. The fine structure of the wind in the free air, Quart. J. Roy. Meteor.
Soc, 74, No. 321—322, 349—360.
Д е ф а н т (Defant A.)
1954. Turbulenz und Vermischung im Meer, Dtsch. hydrogr. Zs., 7,
Nr. 1—2, 2—14.
Джейн (Jain P. C.)
1962. Isotropic temperature fluctuations in isotropic turbulence, Proc. Nat,
Inst. Sci. India, A28, No. 3, 401—416S

686 БИБЛИОГРАФИЯ
Д и к и й Л. А.
1964. Частоты свободных колебаний земной атмосферы, Докл. АН СССР,
157, № 3, 580—582.
1965. Атмосфера Земли как колебательная система, Изв. АН СССР, Фи-
Физика атмосферы и океана, 1, № 5, 469—489.
Д р а й д е н (Dryden H. L.)
1943. A review of the statistical theory of turbulence, Quart. Appl. Math.,
1, No. 1, 7-42.
Драйден, Шубауэр, Мок и Скрэмстед (Dryden H. L., Schu-
bauer G. В., Mock W. С, Scramstad H. K-)
1937. Measurements of intensity and scale of wind-tunnel turbulence and
their relation to the critical Reynolds number of spheres, Nat. Adv.
Com. Aeronaut., Rep. No. 581.
Дуб (Doob J. L.)
1953. Stochastic processes, N. Y., Wiley (русск. перевод: Дж. Л. Дуб,
Вероятностные процессы, М., ИЛ, 1956).
Дугстад (Dugstad I.)
1962. A hypothesis about the energy transfer in isotropic turbulence, Me-
teorol. Ann., 4, No. 17, 441—462.
Елагина Л. Г.
1963. Об измерении частотных спектров пульсаций абсолютной влаж-
влажности в приземном слое атмосферы, Изв. АН СССР, сер. геофиз.,
№ 12, 1859—1865.
Жукова Л. Н.
1958. Регистрация мерцаний звезд фотоэлектрическим методом, Изв.
Главн. астрон. обе. АН СССР, 21, № 162, вып. 3, 72—82.
Захаров В. Е.
1965. Решаемая модель слабой турбулентности, Журн. прикл. мех. техн.
физ., № 1, 14—20.
Зубковский С. Л.
1962. Частотные спектры пульсаций горизонтальной компоненты скоро-
скорости ветра в приземном слое воздуха, Изв. АН СССР, сер. геофиз.,
№ 10, 1425—1433.
1963. Экспериментальное исследование спектров пульсаций вертикальной
компоненты скорости ветра в свободной атмосфере, Изв. АН СССР,
сер. геофиз., № 8, 1285—1288.
Иванов В. Н.
1962. Диссипация турбулентной энергии в атмосфере, Изв. АН СССР,
сер. геофиз., № 9, 1261—1267.
1964. Турбулентная энергия и ее диссипация в нижнем слое атмосферы,
Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 9, 1405—1413.
Иноуэ (Inoue E.)
1950а. On the temperature fluctuations in a heated turbulent fluid,
Oeophys. Notes, Tokyo Univ., 3, No. 34.
19506. The application of turbulence theory to oceanography, J. Meteor.
Soc Japan, 28, No. 11, 424—430.
1950—1951. On the turbulent diffusion in the atmosphere. I, II. J. Meteor.
Soc. Japan, 28, No. 12, 441—456; 29, No. 7, 246—253.
1951a. Some remarks on the dynamical and thermal structure of a heated
turbulent flow, J. Phys. Soc. Japan, 6, No. 5, 392—396.
19516. On the Lagrangian correlation coefficient and its application to the
atmospheric diffusion phenomena, Rep. Geophys. Inst. Univ. Tokyo.
1952a. On the Lagrangian correlation coefficient for turbulent diffusion
and its application to atmospheric diffusion phenomena, Geophys.
Res. Pap., No. 19, 397—412.

БИБЛИОГРАФИЯ 687
19526. Turbulent fluctuations in temperature in the atmosphere and oceans,
J. Meteor. Soc. Japan, 30, No. 9, 289—295.
1963. On the horizontal diffusion over the sea surface, Proc. 1st Australasian
Conf. Hydraulics Fluid Mech., London, Pergamon Press, 385—392.
Иноуэ и Имаи (Inoue E., Imai K.)
1955. Eulerian correlation of the atmospheric pressure fluctuations of me-
medium scales, J. Meteor. Soc. Japan, 33, No. 4, 169—173.
Ичийе и Олсон (Ichiye Т., Olson F. С. W.)
1960. Uber die «neighbour diffusivity» im Ozean, Dtsch. hydrogr. Zs., 13,
Nr. 1, 13—23.
Иозеф и Сенднер (Joseph J., Sendner H.)
1958. Uber die horizontal Diffusion im Meere, Dtsch. hydrogr. Zs., 11,
Nr. 12, 49—77.
1962. On the spectrum of the mean diffusion velocities in the ocean,
J. Geophys. Res., 67, No. 8, 3201—3205.
Кадомцев Б. Б.
1964. Турбулентность плазмы, сб. «Вопросы теории плазмы», вып. 4, М.,
Атомиздат, 188—339.
Каллистратова М. А.
1959. Экспериментальное исследование рассеяния звука в турбулентной
атмосфере, Докл. АН СССР, 125, № 1, 69—72.
1962. Экспериментальное исследование рассеяния звуковых волн в атмо-
атмосфере, сб. «Атмосферная турбулентность» (Труды Ин-та физики
атмосферы АН СССР, № 4), 203—256.
Кама к, Кантровиц, Литва к, Патрик и Печек (Camac M.,
Kantrowitz A. R., Litvak M. M., Patrick R. M., Petschek H. Е.)
1962. Shock-waves in collision-free plasmas, Nucl. Fusion, Suppl., Pt. 2.
Кампе де Ферье (Катрё de Feriet J.)
1939. Les fonctions aleatoires stationnaires et la theorie statistique de la
turbulence homogene, Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 59, 145—194.
1948. Le tenseur spectral de la turbulence homogene, non isotrope dans
un fluide incompressible, С. г. Acad. Sci., 227, N16, 760—761.
1953. Fonctions aleatoires et theorie statistique de la turbulence homogene
(в книге A. Blanc-Lapierre, R. Fortet, Theorie des fonctions aleatoi-
aleatoires, Paris, Masson, 568—623).
Карман (Karman Th., von)
1937. The fundamentals of the statistical theory of turbulence, J. Aero-
Aeronaut. Sci., 4, No. 4, 131—138.
1948a. Sur la theorie statistique de la turbulence, С. г. Acad. Sci., 226,
№ 26, 2108—2114.
19486. Progress in the statistical theory of turbulence, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 34, No. 11, 530—539.
Карман и Линь (Karman Th., von, Lin С. С.)
1949. On the concept of similarity in the theory of isotropic turbulence,
Rev. Mod. Phys., 21, No. 3, 516—519.
1951. On the statistical theory of isotropic turbulence, Adv. Appl. Mech., 2,
1—19 (русск. перевод в сб. «Проблемы механики», М., ИЛ, 1955,
367—383).
Карман и Ховарт (Karman Th., von, Howarth L.)
1938. On the statistical theory of isotropic turbulence, Proc. Roy. Soc,
A164, No. 917, 192—215.
Келлер (Keller G.)
1955. The relation between the structure of stellar shadow patterns and
stellar scintillations, J. Opt. Soc. Amer., 45, No. 10, 846—851.
Келлог (Kellogg W. W.)
1956. Diffusion of smoke in the stratosphere, J. Meteor., 13, No. 3,241—250,

688 БИБЛИОГРАФИЙ
Кеннеди и Корсин (Kennedy D. A., Corrsin S.)
1961. Spectral flatness factor and «intermittence» in turbulence and in
non-linear noise, J. Fluid Mech., 10, No. 2, 366—370.
К е р л (Curie N.)
1956. The influence of solid boundaries upon aerodynamic sound, Proc.
Roy. Soc, A231, No. 1187, 505—514.
Килеженко В. П.
1964. Экспериментальное исследование горизонтальной турбулентной
диффузии пятна примеси в море, Материалы рыбохоз. исслед. Сев.
бассейна, № 4, 101—105.
Кистлер и Вребалович (Kistler A. L., Vrebalovich Т.)
1966. Grid turbulence at large Reynolds numbers, J. Fluid Mech., >26,
No. 1, 37—47.
Клебанов (Klebanoff P. S.)
1955. Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero pressure
gradient, Nat. Adv. Com. Aeronaut., Rep. No. 1247.
Кляцкин В. И.
1966a. Излучение звука системой вихрей, Изв. АН СССР, Механика
жидкости и газа, 1, № 6, 995—1001.
19666. Однородная и изотропная турбулентность в слабо сжимаемой
среде, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 2, № 5,
474—485.
Коважный (Kovasznay L. S. G.)
1948. Spectrum of locally isotropic turbulence, J. Aeronaut. Sci., 15,
No. 12, 746—763.
1953. Turbulence in supersonic flow, J. Aeronaut. Sci., 20, No. 10, 657—
674, 682.
Колесникова В. Н. и МонинА. С.
1965. О спектрах колебаний метеорологических полей, Изв. АН СССР,
Физика атмосферы и океана, 1, № 7, 653—669.
Ко л лис (Collis D. С.)
1948. The diffusion prpcess in turbulent flow, Austr. Counsil Sci. Ind.
Res., Div. Aero., Rep. A55.
КолмогоровА. Н.
1935. Zufallige Bewegungen, Ann. Math., 35, No. 1, 116—117.
1940a. Кривые в гильбертовском пространстве, инвариантные по отноше-
отношению к однопараметрической группе движений, Докл. АН СССР,
26, № 1, 6—9.
19406. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбер-
гильбертовском пространстве, Докл. АН СССР, 26, № 2, 115—118.
1941а. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости
при очень больших числах Рейнольдса, Докл. АН СССР, 30, № 4,
299—303.
19416.0 логарифмически нормальном распределении размеров частиц
при дроблении, Докл. АН СССР, 31, № 2, 99—101.
1941 в. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой
жидкости, Докл. АН СССР, 31, № 6, 538—541.
1941г. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности, Докл.
АН СССР, 32, № 1, 19—21.
1941д. Стационарные последовательности в гильбертовском пространстве,
Бюлл. Моск. гос. ун-та, 2, № 6, 1—40.
1962а. Уточнение представлений о локальной структуре турбулентности
в несжимаемой вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса
(на русск. и франц. языках). Mecanique de la turbulence (Coll,
Intern, du CNRS a Marseille), Paris, Ed. CNRS, 447—458.

БИБЛИОГРАФИЯ 689
19626. A refinement of previous hypotheses concerning the local structure
of turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds
number, J. Fluid Mech., 13, No. 1, 82—85.
Колчинский И. Г.
1957. Некоторые результаты наблюдений дрожания изображений звезд
на площадке ГАО АН УССР в Голосееве, Астрон. журн., 34, № 4,
638-651.
Кон А. И. и Татарский В. И.
1964. Мерцание источников конечных угловых размеров, Изв. высш.
учебн. завед., Радиофизика, 7, № 2, 306—312.
Конт-Белло и Коре и н (Comte-Bellot G., Corrsin S.)
1966. The use of a contraction to improve the isotropy of grid-generated
turbulence, J. Fluid Mech., 25, No. 4, 657—682.
К о п р о в Б. М.
1965. Спектры турбулентных пульсаций вертикальной компоненты ско-
скорости ветра в пограничном слое атмосферы в условиях развитой
конвекции, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, I, № И,
1141—1149.
Копров Б. М. и ЦвангЛ. Р.
1965. Прямые измерения турбулентного потока тепла с борта самолета,
Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 6, 643—647.
1966. Характеристики мелкомасштабной турбулентности в стратифициро-
стратифицированном пограничном слое, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и
океана, 2, № И, 1142—1150.
К о р с и н (Corrsin S.)
* 1949. An experimental verification of local isotropy, J. Aeronaut. Sci., 16,
No. 12, 757—758.
1951a. The decay of isotropic temperature fluctuations in an isotropic
turbulence, J. Aeronaut. Sci., 18, No. 6, 417—423.
19516. On the spectrum of isotropic temperature fluctuations in an isotro-
isotropic turbulence, J. Appl. Phys., 22, No. 4, 469—473.
1957. Some current problems in turbulent shear flows, chapter 15, Proc.
1st Symp. on Naval Hydro., Nat. Acad. Sci. — Nat. Res. Council,
373—407.
1958a. Statistical behavior of a reacting mixture in isotropic turbulence,
Phys. Fluids, 1, No. 1, 42—47.
19586. Local isotropy in turbulent shear flow, Nat. Adv. Com. Aeronaut.,
Res. Memo. RM 68B11.
1959. Outline of some topics in homogeneous turbulent flow, J. Geophys.
Res.. 64, No. 12, 2134—2150
1961. Reactant concentration spectrum in turbulent mixing with a first-
order reaction, J. Fluid Mech., 11, No. 3, 407—416.
1962a. Theories of turbulent dispersion, Mecanique de la turbulence (Coll.
Intern, du CNRS a Marseille), Paris, Ed. CNRS, 27—52. *
19626. Some statistical properties of the product of a turbulent, first-order
reaction, Proc. 1961 Symp. on Fluid Dyn. and Appl. Math., N. Y.,
Gordon and Breach, 105—124.
1962b. Turbulent dissipation fluctuations, Phys. Fluids, 5, No. 10,
1301—1302.
1964. Further generalization of Onsager's cascade model for turbulent
spectra, Phys. Fluids, 7, No. 8, 1156—1169.
Крамер (Cramer H.)
1940. On the theory of stationary random processes, Ann. Math., 41,
~ No. 1, 215—230.
1942. On harmonic analysis in certain functional spaces, Ark. Mat. Astr,
Fys., 28B, No. 12, 1—17,
44 А, С, Монин, А. М. Яглом

690 БИБЛИОГРАФИЯ
1946. Mathematical methods of statistics (русск. перевод: Крамер Г., Ма-
Математические методы статистики, М., ИЛ, 1948).
К р а м е р X. Е. (Cramer H. Е.)
1959. Measurements of turbulence structure near the ground within the
frequency range from 0.5 to 0.01 cycles sec, Adv. Geophys., 6
(Atmospheric diffusion and air pollution), 75—96 (русск. перевод
в сб. «Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха», М., ИЛ,
1962, 95—119).
Красильников В. А.
1945. О распространении звука в турбулентной атмосфере, Докл. АН
СССР, 47, № 7, 486—489.
1947. О флюктуациях амплитуды звука при его распространении в тур-
турбулентной атмосфере, Докл. АН СССР, 58, № 7, 1353—1356.
1949а. О влиянии пульсаций коэффициента преломления в атмосфере на
распространение ультракоротких радиоволн, Изв. АН СССР, сер.
геогр. и геофиз., 1.3, № 1, 33—57.
19496.0 флюктуациях угла прихода в явлении мерцания звезд, Докл.
АН СССР, 65, № 3, 291—294.
1953. О флюктуациях фазы ультразвуковых волн при их распростране-
распространении в приземном слое воздуха, Докл. АН СССР, 88, № 4,
657—660.
Красильников В. А. и Иванов-ШицК. М.
1949. Некоторые новые опыты по распространению звука в атмосфере,
Докл. АН СССР, 67, № 4, 639—642.
Крейчнан (Kraichnan R. Н.)
1953. The scattering of sound in a turbulent medium, J. Acoust. Soc.
Amer., 25, No. 6, 1096—1104.
1957. Relation of fourth-order to second-order moments in stationary iso-
tropic turbulence, Phys. Rev., 107, No. 6, 1485—1490.
1959. The structure of isotropic turbulence at very high Reynolds num-
numbers, J. Fluid Mech., 5, No. 4, 497—543.
1961. Dynamics of non-linear stochastic systems, J. Math. Phys., 2, No. 1,
124—148.
1962. The closure problem of turbulence theory, Proc. Symp. Appl. Math.,
13 (Hydrodynamic instability), 199—226 (русск. перевод в сб.
«Гидродинамическая неустойчивость», М., «Мир», 1964, 231—
264).
1964а. Decay of isotropic turbulence in the direct-interaction approximation,
Phys. Fluids, 7, No. 7, 1030—1048.
19646. Approximations for steady-state isotropic turbulence, Phys. Fluids,
7, No. 8, 1163—1168.
1964b. Kolmogorov's hypothesis and Eulerian turbulence theory, Phys.
Fluids, 7, No. 11, 1723—1734.
1965a. Lagrangian-history closure approximation for turbulence, Phys.
'Fluids, 8, No. 4, 575—598 (errata, 1966, 9, No. 9).
19656. Preliminary calculation of the Kolmogorov turbulence spectrum,
Phys. Fluids, 8, No. 5, 995—997.
1966a. Isotropic turbulence and inertial-range structure, Phys. Fluids, 9,
No. 9, 1728—1752.
19666. Dispersion of particle pairs in homogeneous turbulence, Phys. Fluids,
9, No. 10, 1937-1943.
1967. Invariant principles and approximation in turbulence dynamics,
Proc. Symp. Dynamics of Fluids and Plasmas, Acad. Press, N. Y.
Крейчнан и Спигел (Kraichnan R. H., Spiegel E. A.)
1962. Model for energy transfer in isotropic turbulence, Phys. Fluids, 5,
No. 5, 583—588.

БИБЛИОГРАФИЯ 691
КречмерС. И.
1952. Иш1&шддшш ШШ011ЧШ&Ш& гемцердтурного поля в атмосфере,
ДоклТаНСССР, 84, Ж7Г55—58.
КречмерС. И, Обухов А. М. иПинусН. 3.
1952. Результаты экспериментальных исследований микротурбулентносги
свободной атмосферы, Труды Центр, аэролог, обсерв., № 6,
174—183.
Крживоблоцки (Krzywoblocki M. Z.)
1952. On the generalized fundamental equations of isotropic turbulence in
compressible fluids and in hypersonics, Proc. 1st US Nat. Congr.
Appl. Mech., Chicago, 1951, N. Y., 827—835.
Лайтхилл (Lighthill M. J.)
1952. On sound generated aerodynamically. I. General theory, Proc. Roy.
Soc, A2U, No. 1107, 564—667.
1954. On sound generated aerodynamically. II. Turbulence as a source of
sound, Proc. Roy. Soc, A222, No. 1148, 1—32.
1962. Sound generated aerodynamically, Proc. Roy. Soc, A267, No. 1329,
147—182.
Л а м л и (Lumley J. L.)
1964. The spectrum of nearly inertial turbulence in a stably stratified
fluid, J. Atmosph. Sci., 21, No. 1, 99—102.
1967. The structure of inhomogeneous turbulent flows, Атмосферная тур-
турбулентность и распространение радиоволн (Труды Межд. кол-
коллоквиума в Москве), М., «Наука».
Ламли и Пановский (Lumley J. L., Panofsky H. A.)
1964. The structure of atmospheric turbulence, N. Y. — London — Sydney,
Interscience Piibl. (русск. перевод: Дж. Л. Ламли и X. А. Панов-
Пановский, Структура атмосферной турбулентности, М., «Мир», 1966).
Ландау Л. Д. и ЛифшицЕ. М.
1953. Механика сплошных сред, М., Гостехиздат.
Л а у ф е р (Laufer J.)
1950. Some recent measurements in a two-dimensional turbulent channel,
J. Aeronaut. Sci., 17, No. 5, 277—287.
1951. Investigation of turbulent flow in a two-dimensional channel, Nat.
Adv. Com. Aeronaut., Rep. No. 1033.
1954. The structure of turbulence in fully developed pipe flow, Nat. Adv.
Com. Aeronaut., Rep. No. 1174.
1962. Sound radiation from a turbulent boundary layer, Mecanique de la
turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Marseille,, Paris, Ed. CNRS,
381—392.
Леффлер и Дейслер (Loeffler A. L., Deissler R. G.)
1961. Decay of temperature fluctuations in homogeneous turbulence before
the final period, Intern. J. Heat and Mass Transfer, 1, No. 4,
312—324.
Л и Д. (Lee D. A.)
1965. Spectrum of homogeneous turbulence in the final stage of decay,
Phys. Fluids, 8, No. 10, 1911—1913.
Л и Д ж. (Lee J.)
1965. Decay of scalar quantity fluctuations in a stationary isotropic turbu-
turbulent velocity field, Phys. Fluids, 8, No. 9, 1647—1658.
1966. Comparison of closure approximation theories of turbulent mixing,
Phys. Fluids, 9, No. 2, 363—372.
Л и Т. (Lee Т. D.)
1950. Note on the coefficient of eddy viscosity in isotropic turbulence,
Phys. Rev., 77, No. 6, 842—843.
44»

692 библиография
Л и м б е р (Limber D. N.)
1951. Numerical vg&uJts for pjcessuje velocity correlations in homogeneous
isotropic turbulence, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 37, No. 4, 236—233.
Линь (Lin С. С.)
1948. Note on the law of decay of isotropic turbulence, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 34, No. 4, 230—233.
1949. Remarks on the spectrum of turbulence, Proc. 1st Symp. Appl. Math.
(«Non-linear problems in mechanics of continua»), 81—86.
1953a. On Taylor's hypothesis in wind tunnel turbulence, Quart. Appl.
Math., 10, No. 4, 295—306.
19536. A critical discussion of similarity concepts in isotropic turbulence,
Proc. Symp. Appl. Math., 4 (Fluid dynamics), 19—27.
1960a. On a theory of dispersion by continuous movements. I, Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 46, No. 4, 566—570.
19606. On a theory of dispersion by continuous movements. II. Stationary any-
sotropic processes, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 46, No. 8, 1147—1150.
Линь и Рид (Lin С. С, Reid W. H.)
1963. Turbulent flow. Theoretical aspects, Handbuch der Physik,
Bd. VI11/2, Berlin—Gottingen—Heidelberg, Springer, 438—523.
ЛипманХ., Лауфер и ЛипманК. (Liepman H. W., Laufer J., Liep-
mann K.)
1951. On the spectrum of isotropic turbulence, Nat. Adv. Com. Aeronaut.
Tech. Note No. 2473.
Лойцянский Л. Г.
1939. Некоторые основные закономерности изотропного турбулентного по-
потока, Труды ЦАГИ, вып. 440, 3—23.
Льюис и Крейчнан (Lewis R. M., Kraichnan R. Н.)
1962. A space-time functional formalism for turbulence, Comm. Pure Appl.
Math., 15, No. 4, 397—411.
Лэппе и Дэвидсон (Lappe U. О., Davidson В.)
1963. On the range of validity of Taylor's hypothesis and the Kolmogorov
spectral law, J. Atmosph. Sci., 20, No. 6, 569—576.
Маккриди (MacCready P. B.)
1953. Atmospheric turbulence measurements and analysis, J. Meteor., 10,
No. 4, 325—337.
1962a. Turbulence measurements by sailplane, J. Geophys. Res., 67, No. 3,
1041—1050.
19626. The inertial subrange of atmospheric turbulence, J. Geophys. Res.,
67, No. 3, 1051—1059.
M а к ф э й л (MacPhail D. C.)
1940. An experimental verification of the isotropy of turbulence produced
by a grid, J. Aeronaut. Sci., 8, No. 2, 73—75.
M а к ш е й н (McShane E. J.)
1963. Integrals- devised for special purposes, Bull. Amer. Math. Soc, 69,
No. 5, 597—627.
M а к - Ю и н (MacEwen G. F.)
1950. A statistical model of instanteneous point and disc sources with
application to oceanographic observations, Trans. Amer. Geophys.
Union, 31, No. 1, 35—46.
Ман&ельброт (Mandelbrot B.)
1965. Self-similar error clusters in communication systems and the con-
concept of conditional stationarity, IEEE Trans. Communication Technol.,
COM-13, No. 1, 71—90.
1967. Sporadic random functions and conditional spectral analysis; self-
similar examples and limits, Proc. 5th Berkeley Symp. Mathem.
Statistics and Probability (in the press).

БИБЛИОГРАФИЯ 693
Мартин (Martin H. С.)
1966. Microstructure of temperature and humidity near the ground,
Ph. D. thesis, Univ. of Western Ontario, London, Canada.
Маттиоли (Mattioli E.)
1951. Le relazioni tra le funzioni di correlazione della velodta nella
turboJenza omogenea e isotropica, Atti Accad. Naz. Lincei, 9, N11,
260-264.
M e г о у (Megaw E. С S.)
1950. Scattering of electromagnetic waves by atmospheric turbulence, Na-
Nature, 166, No. 4236, 1100—1104.
Меетц (Meetz K.)
1956a. Das zeitliche Abklingen der Energiespektren in der homogenen iso-
tropen Turbulenz als Anfangswertproblem, Zs. Naturforsch., lla,
Nr. 10, 832—847.
19566. Das zeitliche Abklingen der Geschwindigkeits- und Druckkorelationen
in der homogenen isotropen Turbulenz als Anfangswertproblem, Zs.
Naturforsch., lla, Nr. 10, 848—857.
M e к с и н (Meksyn D.)
1963. Differential integral equation for the spectrum of isotropic homoge-
homogeneous turbulence, Zs. Phys., 174, Nr. 3, 301—313.
Миллионщиков М. Д.
1939a. Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой не-
несжимаемой жидкости, Докл. АН СССР, 22, № 5, 236—240.
19396. Затухание пульсаций скорости в аэродинамических трубах, Докл.
АН СССР, 22, № 5, 241—242.
1941а. К теории однородной изотропной турбулентности, Докл. АН СССР,
32, №9, 611—614.
19416. К теории однородной изотропной турбулентности, Изв. АН СССР,
сер. геогр. и геофиз., 5, № 4—5, 433—446.
Миле, Кистлер, О'Б райен и Корсин (Mills R. R., Jr., Kistler A. L.,
O'Brien V., Corrsin S.)
1958. Turbulence and temperature fluctuations behind a heated grid, Nat.
Adv. Com. Aeronaut. Tech. Note 4288, 1—67.
МилсиКорсин (Mills R. R., Corrsin S.)
1959. Effect of contraction on turbulence and temperature fluctuations ge-
generated by a warm grid, Nat. Aeronaut. Space Adm. Memorandum
5-5-59W, 1-58.
M и л с е п с (Millsaps К.)
1955. The Obukhoff spectrum of homogeneous isotropic turbulence, J. Aero-
Aeronaut. Sci., 22, No. 7,511.
M и н ц e p (Mintzer D. J.)
1953—1954. Wave propagation in a randomly inhomogeneous medium.
I—III, J. Acoust. Soc. Amer., 25, No. 5, 922—927; No. 6, 1107—1111;
26, No. 2, 186—190.
M и ч е м (Meecham W. C.)
1965. Turbulence energy principles for quasi-normal and Wiener-Hermite
expansions, Phys. Fluids, 8, No. 9, 1738—1739.
M о й э л (Moyal J. E.)
1952. The spectra of turbulence in a compressible fluid; eddy turbulence
and random noise, Proc. Camb. Phil. Soc, 48, No. 2, 329—344.
M о н и н А. С
1955. Уравнение турбулентной диффузии, Докл. АН СССР, 105, № 2,
256-259.
J956. Горизонтальное перемешивание в атмосфере, Изв. АН СССР, сер
геофиз., № 3, 327—345: -

694 БИБЛИОГРАФИЯ
1958. Структура атмосферной турбулентности, Теор. вероятн. и ее при-
мен., 3, № 3, 215—317.
1959а. К теории локально изотропной турбулентности, Докл. АН СССР,
125, № 3, 515—518.
19596. On the similarity of turbulence in the presence of a mean vertical
temperature gradient, J. Geophys. Res., 64, No. 12, 2196—2197.
1959b. Turbulence in shear flow with stability, J. Geophys. Res., 64, No. 12,
2224-2225.
1960. О лагранжевых характеристиках турбулентности, Докл. АН СССР,
134, № 2, 304—307.
1961. Некоторые особенности рассеяния звука в турбулентной атмо-
атмосфере, Акустич. журн., 7, № 4, 457—461.
1962а. Empirical data on turbulence in the surface layer of atmosphere,
J. Geophys. Res., 67, No. 8, 3103—3109.
19626.0 структуре полей скорости ветра и температуры в приземном
слое воздуха, сб. «Атмосферная турбулентность» (Труды Ин-та
физики атмосферы АН СССР, № 4), 5—20.
1962в. О спектре турбулентности в температурно-неоднородной атмо-
атмосфере, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 3, 397—407.
1962г. О лагранжевых уравнениях гидродинамики несжимаемой вязкой
жидкости, Прикл. матем. мех., 26, № 2, 320—327.
1964. О решении проблемы турбулентности методом теории возмущений,
Прикл. матем. мех., 28, № 2, 319—325.
М о н и н А. С. и О б у х о в А. М.
1958. Малые колебания атмосферы и адаптация метеорологических по-
полей, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 11, 1360—1373.
Мюллер и Матшат (Muller E. A., Matschat К.)
1958. Zur Larmerzeugung durch abklingende homogene isotrope Turbulenz,
Zs. Flugwiss., 6, Nr. 6, 161—170.
Мюнх и Уилон (Munch G., Wheelon A. D.)
1958. Space-time correlations in stationary isotropic turbulence, Phys.
Fluids, 1, No. 6, 462—468.
Нейман и Шенберг (Neumann J., von, Schoenberg I. J.)
1941. Fourier integrals and metric geometry, Trans. Amer. Math. Soc, 50,
No. 2, 226—251.
Новиков Е. A.
1961a. О спектре энергии турбулентного потока несжимаемой жидкости,
Докл. АН СССР, 139, № % 331—334.
19616.0 флюктуациях электронной плотности в ионосфере, Докл. АН
СССР, 139, № 3, 587—589.
1961 в. Гидромагнитная турбулентность в ионосфере, Канд. диссертация,
Ин-т физики атмосферы АН СССР, М.
1961г. Решение некоторых уравнений с вариационными производными,
Усп. матем. наук, 16, Кя 2 (98), 135—141.
1963а. Метод случайных сил в теории турбулентности, Ж. эксп. теор.
физ., 44, № 6, 2159—2168.
19636. Изменчивость диссипации энергии в турбулентном потоке и рас-
распределение энергии по спектру, Прикл. матем. мех., 27, № 5,
944-946.
1964. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности,
Ж. эксп. теор. физ., 47, № 5 A1), 1919—1926.
1965. О корреляционных связях высокого порядка в турбулентном по-
потоке, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 8,
788—796.
1966. Математическая модель перемежаемости турбулентного потока,
Докл. АН СССР, 168, № 6, 1279—1282. '"'

БИБЛИОГРАФИЯ 695
Новикове. А. и Стюарт Р. У. (Stewart R. W.)
1964. Перемежаемость турбулентности и спектр флюктуации диссипации
энергии, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 3, 408—413.
Нортон (Norton К. А.)
1959. Recent experimental evidence favouring the piCi(p) correlation func-
function for describing the turbulence of refractivity in the troposphere
and stratosphere, J. Atmosph. Terr. Phys., 15, Nos. 3/4, 206—
227.
О'Брайен (O'Brien E. E.)
1963. Initial spectra of a scalar field transported by turbulence, Phys.
Fluids, 6, No. 7, 1016—1020.
О'Б райен и Пергамент (O'Brien E. E., Pergament S.)
1964. Note on the unphysical spectral predictions of the joint normal
distribution hypothesis, Phys. Fluids, 7, No. 4, 609.
О'Б райен и Фрэнсис (O'Brien E. E., Francis G. С.)
1962. A consequence of the zero fourth cumulant approximation, J. Fluid
Mech., 13, No. 3, 369—382.
О б у х о в А. М.
1941а. О распределении энергии в спектре турбулентного потока, Докл.
АН СССР, 32, № 1, 22—24.
19416.0 распределении энергии в спектре турбулентного потока, Изв.
АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 5, № 4—5, 453—466.
1941 в. О рассеянии звука в турбулентном потоке, Докл. АН СССР, 30,
№ 7, 611-614.
1942. К теории атмосферной турбулентности, Изв. АН СССР, сер. физ.,
6, № 1-2, 59-63.
1949а. Структура температурного поля в турбулентном потоке, Изв. АН
СССР, сер. геогр. и геофиз., 13, № 1, 58—69.
19496. Пульсации давления в турбулентном потоке, Докл. АН СССР, 66,
№ 1, 17—20.
1949в. Локальная структура атмосферной турбулентности, Докл. АН
СССР, 67, № 4, 643—646.
1951. Характеристики микроструктуры ветра в приземном слое атмо-
атмосферы, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 3, 49—68.
1953. О влиянии слабых неоднородностей атмосферы на распростра-
распространение звука и света, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 2,
155-165.
1954. Статистическое описание непрерывных полей, Труды Геофиз. Ин-та
АН СССР, № 24 A51), 3—42.
1959а. О влиянии архимедовых сил на структуру температурного поля в
турбулентном потоке, Докл. АН СССР, 125, № 6, 1246—1248.
19596. Description of turbulence in terms of Lagrangian variables, Adv. in
Geophys., 6 (Atmospheric diffusion and air pollution), 113—115
(русск. перевод в сб. «Атмосферная диффузия и загрязнение воз-
воздуха», М., ИЛ, 1962, 138—140).
1962а. Some specific features of atmospheric turbulence, J. Geophys. Res.,
67, No. 8, 3011—3014.
19626. Some specific features of atmospheric turbulence, J. Fluid Mech., 13,
No. 1, 77-81.
Обухов А. М. и ЯгломА. М.
1951. Микроструктура турбулентного потока, Прикл. матем. мех., 15,
№ 1, 3-26.
1958. Микроструктура развитой турбулентности, Труды 3-го Всесоюзн.
матем. съезда, 3, М., Изд. АН СССР, 542—557.
1959. On the microstructure of atmospheric turbulence, Quart. J. Roy.
Meteor. Soc, 85, No. 364, 81—90.

696 БИБЛИОГРАФИЯ
, a (Ogura V.)
1953. The relation between the space- and time-correlation functions in a
turbulent flow, J. Meteor. Soc. Japan, 31, No. 11—12, 355—369.
1955. A supplementary note on the relation between the space- and time-.
correlation functions in a turbulent flow, J. Meteor. Soc. Japan, 33,
No. 1, 31—37.
1957. The influence of finite observation intervals on the measurement of
turbulent diffusion parameters, J. Meteor., 14, No. 2, 176—181.
1958. On the isotropy of large-scale disturbances in the upper troposphere,
J. Meteor., 15, No. 4, '375—382.
1959. Diffusion from a continuous source in relation to a finite observa-
observation interval, Adv. Geophys., 6 (Atmospheric diffusion and air pollu-
pollution), 149—169 (русск. перевод в сб. «Атмосферная диффузия и
загрязнение воздуха», М., ИЛ, 1962, 175—186).
1962а. Energy transfer in a normally distributed and isotropic turbulent
velocity field in two dimensions, Phys. Fluids, 6, No. 4, 395—401.
19626. Energy transfer in an isotropic turbulent flow, J. Qeophys. Res.,
67, No. 8, 3143—3149.
1963. A consequence of the zero-fourth-cumulant approximation in the de-
decay of isotropic turbulence, J. Fluid Mech., 16, No. 1, 33—40.
Огура и Миякода (Ogura Y., Miyakoda K)
1953. Some remarks on the «turbulent element model» of the isotropic
turbulence, J. Meteor. Soc. Japan, 31, No. 6, 206—218.
Огура, Секигучи и Миякода (Ogura Y., Sekiguchi Y., Miyakoda K)
1953. Classification of turbulent diffusion in the atmosphere, J. Meteorol.
Soc. Japan, 31, No. 8, 271—285.
Одзи (OhjiM.)
1961. A note on the hypothesis of zero fourth-order cumulants in homo-
homogeneous turbulence, Repts Res. Inst. Appl. Mech. Kyushu Univ., 9,
No. 36, 163-166.
1962, Some considerations on the four-point dynamical equations of homo-
homogeneous turbulence, Repts Res. Inst. Appl. Mech. Kyushu Univ., 10,
No. 38, 33—43.
Озмидов Р. В.
1957. Экспериментальное исследование горизонтальной турбулентной
диффузии в море и искусственном водоеме небольшой глубины,
Изв. АН СССР, сер. геофиз., Яа 6, 756—764.
1958. О расчете горизонтальной турбулентной диффузии пятен примеси
в море, Докл. АН СССР, 120, kt 4, 761—763.
1959а. Исследование среднемасштабного турбулентного обмена в океане
при помощи радиолокационных наблюдений над плавающими буя-
буями, Докл. АН СССР, 126, № 1, 63—65.
19596.0 зависимости коэффициента горизонтальной турбулентной диффу-
диффузии в ветровых течениях от относительной глубины водоема, Изв.
АН СССР, сер. геофиз., № 8, 1242—1246.
1960а. Диффузия примеси в поле однородной изотропной турбулентности,
Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 1, 174—175.
19606.0 скорости диссипации турбулентной энергии в морских течениях
и о безразмерной универсальной постоянной в «законе 4/3», Изв.
АН СССР, сер, геофиз., № 8, 1234—1237.
1965. О распределении энергии по разномасштабным движениям в
океане, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 4,
439-449.
О к у б о (Okubo A.)
1962. A review of theoretical models for turbulent diffusion in the sea,
J, Oceanogr. Soc. Japan, 20th Anniver. Volume, 286—320,

БИБЛИОГРАФИЯ 697
Олсон и Ичийе (Olson F. С. W., Ichiye Т.)
1959. Horisontal diffusion, Science, 140, No. 3384, 1255.
О н з а г e p (Onsacer L.)
1945. The distribution of energy in turbulence (abstr.), Phys. Rev., 68,
No. 11-12,286.
1949. Statistical hydrodynamics, Nuovo cimento, (9), в, Suppl., No. 2,
279-287.
Оржег и Крускал (Orszag S. Q., Kruskal M. D.)
1966. Theory of turbulence, Phys. Rev. Letters, 16, No. 11, 141—144.
О р л о 6 (Orlob G. T.)
1959. Eddy diffusion in homogeneous turbulence, J. Hydraul. Div. Proc.
Amer. Soc. Civil Engrs, 86, No. 9, 75—101.
Пайерлс (Peierls R. E.)
1955. Quantum theory of solids, Oxford, Clarendon Press (русск. перевод:
P. E. Пайерлс, Квантовая теория твердых тел, М., ИЛ, 1956).
Палм (Palm E.)
1957. On diffusion of a cluster, Inst. Weather and Climate Res., Oslo,
Rep. No. 2.
Пановский и Ван дер Ховен (Panofsky H. A., Van der Hoven J.)
1955. Spectra and cross-spectra of velocity components in the mesometeoro-
logical r^nge, Quart. J. Roy. Meteor. Soc, 81, No. 350, 603—
1956. Structure of small scale and middle scale turbulence at Brookhaven,
Sci. Rep. No. 1, Pennsilvania State University.
Пановский, Крамер и Pao (Panofsky H. A., Cramer H. E.,
Rao V. R. K.)
1958. The relation between Eulerian time and space spectra, Quart. J. Roy.
Meteor. Soc, 84, No. 361, 270—273
Пановский и Маккормик (Panofsky H. A., McCormick R. A.)
1960. The spectrum of vertical velocity near the surface, Quart. J. Roy.
Meteor. Soc, 86, No. 370, 495—603.
Пановский и Паску илл (Panofsky H. A., Pasquill F.)
1963. The constant of the Kolmogorov law, Quart. J. Roy. Meteor. Soc,
89, No. 382, 550—555.
П а н ч е в Ст.
1960. Sur la theory statistique de la turbulence, С. г. Acad. Sci., 250, № 4,
661-662.
П а о (Pao Yin-Ho)
1964. Statistical behavior of a turbulent multicomponent mixture with
first-order reactions, AIAA Journal, 2, No. 9, 1550—1559 (русск.
перевод в журн. «Ракетная техника и космонавтика», № 9, 42—53,
1964).
1965. Structure of turbulent velocity and scalar fields at large wave-
numbers, Phys. Fluids, 8, No. 6, 1063—1075.
Пауэлл (Powell A.)
1962. Three-sound-pressures theorem, and its application in aero-
dynamically generated sound, J. Acoust. Soc. Am., 34, No. 7, 902—
906.
П е к е р и с (Pekeris С. L.)
1947. Note on the scattering of radiation in an inhomogeneous medium,
Phys. Rev., 71, No. 4, 268—269; No. 7, 467.
Пернтнер и Экснер (Perntner J. M., Exner P. M.)
1910. Meteorologische Optik, Wien—Leipzig.
П и н у с Н. 3. '
1966. Энергетические спектры пульсаций скорости ветра в свободной
атмосфере, Метеорол. и гидрол., № 4, 3— \\.

698 библиография
Пирсон (Pearson E. А.)
1958. liscussion on «The measurement an<} oaleqlatien ef stream reaeration
ratio» by D. J. O'Connor, Proc. Seminar Oxygen Relat. in Streams,
Taft San. Engrg Center USPHS, Cincinnati, Ohio, 43—45.
Пирсон Дж. (Pearson J. R. A.)
1959. The effect of uniform distortion on weak homogeneous turbulence,
J. Fluid Mech., 5, No. 2, 274—288.
Писарева В. В.
1960. О границах применимости метода «плавных» возмущений в задаче
о распространении излучения через среду с неоднородностями,
Акустич. журн., 6, № 1, 87—91.
П о н д (Pond S.)
1965. Turbulence spectra in the atmospheric boundary layer over the sea,
Ph. D. thesis, Inst. of Oceanography, Univ. of British Columbia,
Vancouver, Canada.
Понд, Смит, Хэмблин и Берлинг (Pond S., Smith S. D., Ham-
blin P. F., Burling R. W.)
1966. Spectra of velocity and temperature fluctuations in the atmospheric
boundary layer over sea, J. Atmosph. Sci., 23, No. 4, 376—
386.
Понд и Стюарт (Pond S., Stewart R. W.) m
1965. Измерения статистических характеристик мелкомасштабных турбу-
турбулентных движений, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана,
1, № 9, 914—919.
Понд, Стюарт й Берлинг (Pond S., Stewart R. W., Burling R. W.)
1963. Turbulence spectra in the wind over waves, J. Atmosph. Sci., 20,
No. 3, 319—324.
Праудмен (Proudman I.)
1951. A comparison of Heisenberg's spectrum of turbulence with experi-
experiment, Proc. Cambr. Phil. Soc, 47, No. 1, 158—176.
1952. The generation of noise by isotropic turbulence, Proc. Roy. Soc,
A214, No. 1116, 119—132.
1962. On Kraichnan's theory of turbulence, Mecanique de la turbulence
(Coll. Intern, du CNRS a Marseille), Paris, Ed. CNRS, 107—
112.
Праудмен и Рид (Proudman I., Reid W. H.)
1954. On the decay of a normally distributed and homogeneous turbulent
velocity field, Phil. Trans. Roy. Soc, A247, No. 926, 163—189.
Пристли (Priestley С. Н. B.)
1959a. Turbulent transfer in the lower atmosphere, Chicago, Univ. Press
(русск. перевод: С. Х. Б. Пристли, Турбулентный перенос в при-
приземном слое атмосферы, Л., Гидрометеоиздат, 1964).
19596. The isotropic limit and the microscale of turbulence, Adv. Geophys.,
6 (Atmospheric diffusion and air pollution), 97—100 (русск. пере-
перевод в сб. «Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха», М., ИЛ,
1962, 120—123).
Протероэ (Protheroe W. М.)
1954. Preliminary report on stellar scintillation, Contr. Perkins Observ.,
ser. 2, No. 4.
Пэйн и Ламли (Payne F. R., Lumley J. L.)
1966. One-dimensional spectra derived from an airborne hot-wire anemo-
anemometer, Quart. J. Roy. Meteor. Soc, 92, No. 393, 397—401.
Рейтер и Берне (Reiter E. R., Burns A.)
1967. Atmospheric structure and clear-air turbulence, Атмосферная турбу-
турбулентность и распространение радиоволн (Труды Межд. коллок-
коллоквиума в Москве), М., «Наука»,

БИБЛИОГРАФИЯ Ш
Рекорд и Крамер (Record' F. A., Cramer H. Е.)
1966. Turbulent energy dissipation rates and exchange processes above a
non-homogeneous surface, Quart. J. Roy. Meteor. Soc, 92, No. 394,
Ш-532:
Репников М. H.
1967. К уравнению Кармана— Хоуарта, Прикл. матем. мех., 31, № 2,327.
Рид (Reid W. Н.)
1955. On the stretching of material lines and surfaces in isotropic turbu-
turbulence with zero fourth cumulants, Proc. Cambr. Phil. Soc, 51, No. 2,
350—362.
1966a. The skewness factor according to Obukhoffs transfer theory, J. Aero-
Aeronaut. Sci., 23, No. 4, 379—380.
19566. Two remarks on Heisenberg's theory of isotropic turbulence, Quart.
Appl. Math., 14, No. 2, 201—205.
1956b. On the approach to the final period of decay in isotropic turbulence
according to Heisenberg's transfer theory, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 42, No. 6, 559—663.
1960. One-dimensional equilibrium spectra in isotropic turbulence, Phys.
Fluids, 3, No. 1, 72—77.
Рид и Харрис (Reid W. H., Harris D. L.)
1959. Similarity spectra in isotropic turbulence, Phys. Fluids, 2, No. 2, 139—146.
Ричардсон (Richardson L. F.)
1926. Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbour graph, Proc.
Roy. Soc, A110, No. 756, 709—737.
1929. A search for the law of atmospheric diffusion, Beitr. Phys. freien
Atmosph., 15, Nr. 1, 24—29.
1952. Transforms for the eddy-diffusion of clusters, Proc. Roy. Soc, A214,
No. 1116, 1—20.
Ричардсон и Стоммел (Richardson L. F., Stommel H.)
1948. Note on eddy-diffusion in the sea, J. Meteor., 5, No. 5, 238—240.
Роберте (Roberts P. H.)
1957. On the application of a statistical approximation to the theory of
turbulent diffusion, J. Math. Mech., 6, No. 6, 781—799.
1961. Analytical theory of turbulent diffusion, J. Fluid Mech.,11, No. 2,257—283.
Робертсон (Robertson H. P.)
1940. The invariant theory of isotropic turbulence, Proc Cambr. Phil. Soc,
36, No. 2, 209—223.
Розанов Ю. B.
1963. Стационарные случайные процессы, М., Физматгиз.
Розен (Rosen G.)
1960. Turbulence theory and functional integration. I, II, Phys. Fluids, 3,
No. 4, 519—524, 526—528.
Pott a (Rotta J. C.)
1950. Das Spektrum isotroper Turbulenz im statistischen Gleichgewicht,
Ing.-Arch., 18, Nr. 1, 60—76.
1953. Similarity theory of isotropic turbulence, J. Aeronaut. Sci., 20,
No. 11, 769—778, 800.
P ы т о в С. М.
1937. Дифракция света на ультразвуковых волнах, Изв. АН СССР, сер.
физич., N° 2, 223-259.
Сато (Sato H.)
1951. On the turbulence behind a row of parallel rods, Proc. 1st Japan
Nat. Congr. Appl. Mech., 469—473.
Сафмен (Saffman P. G.)
1963. On the fine-scale structure of vector fields convected by a turbulent
fluid, J. Fluid -Mech., 16, No. 4, 545-572.

700 БИБЛИОГРАФИЯ
1967. The large scale structure of homogeneous turbulence, J. Fluid Mech.,~
27, No. 3, 581—593.
Седов Л. Н.
1944. Вырождение изотропных турбулентных движений несжимаемой
жидкости, Докл. АН СССР, 42, № 3, 121—124. .. :
> 1951. Методы подобия и размерности в механике, 2-е изд., М., Гостех-
издат.
Сен (Sen N. R)
1951. On Heisenberg's spectrum of turbulence, Bull. Calcutta Math. Soc,
43, No. 1, 1—7.
1957. On decay of energy spectrum of isotropic turbulence, Proc. Nat. Inst.
Sci. India, A23, No. 6, 530—533.
Сенека (Seneca J.)
1955. Mesures de diffusivite turbulente sur des flocons de fumee, J. Sci.
Meteor., 7, N26, 221—225.
СермакиЧжан (Cermak J. E., Chuang H.)
1967. Vertical velocity fluctuations in thermally stratified shear flows,
Атмосферная турбулентность и распространение радиоволн (Труды
Межд. коллоквиума в Москве), М., «Наука».
Сигал (Segal Т.)
1965. Algebraic integration theory, Bull. Amer. Math. Soc, 71, No. 3,
419—489.
Силвермен f Silverman R. A.)
1956. Turbulent mixing theory applied to radio scattering, J. Appl. Phys.,
27, No. 7, 699-705.
1957. Fading of radio waves scattered by dielectric turbulence, J. Appl.
Phys., 28, No. 4, 506—511.
Симмонс и Co лтер (Simmons L. F. G., Salter C.)
1938. An experimental determination of the spectrum of turbulence, Proc;
Roy. Soc, A165, No. 920, 73—89.
Синг и Линь (Synge J. L., Lin C. C.)
1943. On a statistical model of isotropic turbulence, Trans. Roy. Soc Can.,
37, Sec. 3, 45—79.
Сионо и Гамбо (Syono S., Gambo K.)
1952. On numerical prediction (II), J. Meteor. Soc. Japan, 30, No. 8,
264—271.
Ситников К. А.
1958. Инварианты однородной и изотропной турбулентности в сжимае-
сжимаемой вязкой жидкости, Докл. АН СССР, 122, № 1, 29—32.
Смит и Хэй (Smith F. В., Hay J. S.)
1961. The expansion of clusters of particles in the atmosphere, Quart. J.
Roy. Meteor. Soc, 87, No. 371, 82—101.
С т о м м е л (Stommel H.)
1949. Horizontal diffusion due to oceanic turbulence, J. Marine Res., 8,
No. 3, 199—226.
С т э р а с (Staras H.)
1955. Forward scattering of radio waves by anisotropic turbulence, Proc.
Inst. Radio Engrs, 43, No. 10, 1374—1380 (русск. перевод в сб.
«Вопросы дальней связи на УКВ», М., «Советское радио»,
1957).
Стюарт (Stewart R. W.)
1951. Triple velocity correlations in isotropic turbulence, Proc. Camb. Phil.
Soc, 47, No. 1, 146—147.
1963. О согласовании имеющихся данных о спектре и асимметрии ло-
локально изотропной турбулентности, Докл, АН СССР, 152, № 3,
324—326.

БИБЛИОГРАФИЯ 701
Стюарт и Грант (Stewart R. W., Grant H. L.)
1962. Determination of the rate of dissipation of turbulent energy near the
sea surface in the presence of waves, J. Geophys. Res., 67, No. 8,
3177—3180.
Стюарт и Таунсенд (Stewart R. W., Townsend A. A.)
1951. Similarity and self-preservation in isotropic turbulence, Phil. Trans.
Roy. Soc, A243, No. 867, 359—386.
Суинбенк (Swinbank W. C.)
1955. An experimental study of eddy transports in the lower atmosphe-
atmosphere, С S. I. R. O., Div. Meteor. Phys., Tech. Pap. No. 2, Melbourne.
Сучков Б. А.
1958. Флюктуации амплитуды звука в турбулентной среде, Акустич.
журн., 4, № 1, 85—91.
Сэндборн (Sandborn V. A.)
1959. Measurements of intermittency of turbulent motion in a boundary
layer, J. Fluid Mech., 6, No. 2, 221—240.
Сэндборн и Маршалл (Sandborn V. A., Marshall R. D.)
1965. Local isotropy in wind tunnel turbulence, Techn. Rep., Fluid dyna-
dynamics and diffusion laboratory, Colorado State Univ., USA.
T а к е у ч и (Takeuchi К.)
1962. On the nondimensional rate of dissipation of turbulent energy in
the surface boundary layer, J. Meteor. Soc. Japan, ser. 2, 40, No. 3,
127—135.
Тан и Лин г (Tan H. S., Ling S. С.)
1963. Final stage decay of grid-produced turbulence, Phys. Fluids, 6,
No. 12, 1693—1699.
Таненбаум и Минцер (Tanenbaum В. S., Mintzer D.)
1960. Energy transfer in a turbulent fluid, Phys. Fluids, 3, No. 4, 529—538.
Тани и Кобаяши (Tani I., Kobayashi Y.)
1952. Experimental studies on compound jets, Proc. 1st Japan Nat. Congr.
AppL Mech., 465—468.
Танк (Tank W.)
1957. The use of large-scale parameters in small-scale diffusion studies,
Bull. Amer. Meteor. Soc, 38, No. 1, 6—12.
T а т а р с к и й В. И. ""*
1956а. Микроструктура температурного поля в приземном слое воздуха,
Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 6, 689—699.
19566.0 пульсации амплитуды и фазы волны, распространяющейся в
слабо неоднородной атмосфере, Докл. АН СССР, 107, № 2,
245—248.
1958. О распространении волн в локально изотропной турбулентной сре-
среде с плавно меняющимися характеристиками, Докл. АН СССР,
120, № 2, 289—292.
1959а. Теория флюктуационных явлений при распространении волн в
турбулентной атмосфере, М., Изд. АН СССР.
19596. Интерпретация наблюдений мерцания звезд и удаленных наземных
источников света, Труды II Всесоюзного совещания по исследова-
исследованию мерцания звезд, М., Изд. АН СССР.
1960. Радиофизические методы изучения атмосферной турбулентности,
Изв. высш. учебн. завед., Радиофизика, 3, № 4, 551—583.
1961. О первообразном функционале и его применении к интегрированию
некоторых уравнений в функциональных производных, Усп. матем.
наук, 16, JVb 4 A00), 179—186.
1962а. Второе приближение в задаче о распространении волн в среде со
случайными неоднородностями, Изв. высш. учебн. завед., Радио-
Радиофизика, 5, № 3, 490—507.

702 БИБЛИОГРАФИЯ
19626. Применение методов квантовой теории поля к задаче о вырожде-
вырождении однородной турбулентности, Журн. эксп. теор.физ., 42, № 5,
1386—1396.
1965. О сильных флюктуациях параметров световой волны в турбулент-
турбулентной среде, Журн. эксп. теор. физ., 49, № 5 A1), 1581—1590.
1967. Распространение волн в турбулентной атмосфере,. М., «Наука».
Татарский В. И. и Голицын Г. С.
1962. О рассеянии электромагнитных волн турбулентными неоднород-
ностями тропосферы, сб. «Атмосферная турбулентность» (Труды
Ин-та физики атмосферы АН СССР, № 4), 147—202.
Татарский В. И. и Жукова Л. Н.
1959. О хроматическом мерцании звезд, Докл. АН СССР, 124, № 3,
567—570.
Таунсенд (Townsend А. А.)
1947. The measurement of double and triple correlation derivatives in iso-
tropic turbulence, Proc. Cambr. Phil. Soc, 43, No. 4, 560—570.
1948a. Local isotropy in the turbulent wake of a cylinder, Austr. J. Sci.
Res., 1, No. 2, 161—174.
19486. Experimental evidence for the theory of local isotropy, Proc. Cambr.
Phil. Soc, 44, No. 4, 560—565.
1951a. On the fine-scale structure of turbulence, Proc. Roy. Soc, A208,
No. 1095, 634—542.
19516. The diffusion of heat spots in isotropic turbulence, Proc Roy. Soc,
A209, No. 1098, 418—430.
1951b. The structure of the turbulent boundary layer, Proc. Cambr. Phil.
Soc, 47, No. 2, 375—395.
4954. The diffusion behind a line source in homogeneous turbulence, Proc.
Roy. Soc, A224, No. 1159, 487—512.
1965. The interpretation of stellar shadow-bands as a consequence of tur-
turbulent mixing, Quart. J. Roy. Meteor. Soc, 91, No. 387, 3—9.
T а ц у м и (Tatsumi f.)
1955. Theory of isotropic turbulence with the normal joint-probability distri-
distribution of velocity, Proc. 4th Japan. Nat. Congr. Appl. Mech., Tokio,
r 307—311.
1957a. The theory of decay process of incompressible isotropic turbulence
Proc. Roy. Soc, A239, No. 1216, 16—45.
19576. The energy spectrum of incompressible isotropic turbulence, Actej
IX Congr. Internat. Mecan. Appl., 3, Bruxelles, Univ. Bruxelles
396—404.
T e п т и н Г. М.
1965. О структурных функциях турбулентности в устойчиво стратифици-
стратифицированной атмосфере, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана,
1, № 10, 1091—1094.
Т о л м и н (Tollmien W.)
1952—1953. Abnahme der Windkanalturbulenz nach dem Heisenbergschen
Austauschsatz als Anfangswertproblem, Wissensch. Zs. Techn. Hoch-
schule Dresden, 2, Nr. 3, 443—448.
Томпсон, Джейнс и Киркпатрик (Thompson M. С, Janes J. H. В.,
Kirkpatrick A. W.)
1960. An analysis of time variations in tropospheric refractive index and
apparent radio path length, J. Geophys. Res., 65, No. 1, 193—201.
Тэйлор (Taylor G. I.)
1935. Statistical theory of turbulence. I—IV, Proc Roy. Soc, A151,
No. 874, 421—478.
1937. The statistical theory of isotropic turbulence, J. Aeronaut. Sci., 4,
No, 8, 311-315.

БИБЛИОГРАФИЯ 703
1938а. Productipn and dissipation of vorticity in a turbulent fluid, Proc.
Roy. Soc., A164, No. 918, 15-^23.
19386. The spectrum of turbulence, Proc. Roy. Soc, A164, No. 919,476—490.
T э й л о p P. (Taylor R. J.)
1955. Some observations of wind velocity autocorrelations in the lowest
layers of the atmosphere, Austr. J. Phys., 8, No. 4, 535—544.
1958. Thermal structures in the lowest layers of the atmosphere, Austr.
J. Phys., 11, No. 2, 168—176.
1961. A new approach to the measurement of turbulent fluxes in the lower
atmosphere, J. Fluid Mech., 10, No. 3, 449—458.
У а й л д (Wyld H. W.)
1961. Formulation of the theory of turbulence in an incompressible fluid,
Ann. Phys., 14, No. 2, 143—165.
У б е р о и (Uberoi M. S.)
1953. Quadruple velocity correlations and pressure fluctuations in isotropic
turbulence, J. Aeornaut. Sci., 20, No. 3, 197—204; 21, No. 2, 142, 1954
(corrections).
1954. Correlations involving pressure fluctuations in homogeneous turbu-
turbulence, Nat. Adv. Com. Aeronaut., Tech. Note 3116.
1957. Equipartition of energy and local isotropy in turbulent flows,
J. Appl. Phys., 28, No. 10, 1165—1170.
1963. Energy transfer in isotropic turbulence, Phys. Fluids, 6, No. 8, 1048—1056.
Уберои и К о р с и н (Uberoi M. S., Corrsin S.)
1953. Diffusion of heat from a line source in isotropic turbulence, Nat. Adv.
Com. Aeronaut., Rep. No. 1142.
Уберои и Уоллес (Uberoi M. S., Wallis S.)
1966. Small axisymmetric contraction of grid turbulence, J. Fluid Mech.,
24, No. 3, 539—543.
1967. Effect of grid geometry on turbulence decay, Phys. Fluids, 10 (in the
press).
У и л к и н с (Wilkins Е. М.)
1958. Observations on the separation of pairs of neutral balloons and applica-
applications to atmospheric diffusion theory, J. Meteor. 15, No. 3, 324—327.
1960. Dissipation of energy by atmospheric turbulence, J. Meteor. 17,
No. 1, 91—92.
1963. Decay rates for turbulent energy throughout the atmosphere,
J. Atmosph. Sci., 20, No. 5, 473—476.
У и л о н (Wheelon A. D.)
1957. Spectrum of turbulent fluctuations produced by turbulent mixing of
gradients, Phys. Rev., 105, No. 6, 1706—1710.
1958. On the spectrum of a passive scalar mixed by turbulence, J. Geo-
phys. Res., 63, No. 4, 849—?50.
У и л с (Wills J. A. B.)
1964. On convection velocities in turbulent shear flows, J. Fluid Mech., 20,
No. 3, 417—432.
У о к e p (Walker E. R.)
1964. Atmospheric turbulence characteristics measured at Suffield experi-
experimental station, Beitr. Phys. Atmosph., 37, Nr. 1, 38—52.
У э б б (Webb E. К.)
1964. Ratio of spectrum and structure-function constants in the inertial
subrange, Quart. J. Roy. Meteor. Soc, 90, No. 385, 344—346.
У э н з е л (Wentzel D. G.)
1958. On the spectrum of turbulence, Phys. Fluids, 1, No. 3, 213—214.
Фавр, Гавильо и Дюма (Favre A., Gaviglio J., Dumas R.)
1952. Quelques mesures de correlation dans le temps et l'espace en souf-
flerje, U Rech. Aero., N 32, 21-28,

704 „ БИБЛИОГРАФИЯ
1954. Quelques fonctions d'autocorrelation et de repartitions spectrales
d'energie, pour la turbulence en aval des diverses grilles, C. r. Acad.
Sci., 238, N 15, 1561—1563.
1958. Further space-time correlations of velocity in a turbulent boundary
layer, J. Fluid Mech., 3, No. 4, 344—356.
1962. Correlations spatio-temporelles en ecoulements turbulents, Mecanique
de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Marseille), Paris, Ed.
CNRS, 419—445.
Ф е й н м а н (Feynman R. P.)
1948. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Rev. Mod.
Phys., 20, No. 2, 367—387 (русск. перевод в сб. «Вопросы причин-
причинности в квантовой механике». М., ИЛ, 1955, 167—207).
1951. On operator calculus having applications in quantum electrodyna-
electrodynamics, Phys. Rev., 84, No. 1, 108—128 (русс, перевод в сб. «Пробле-
«Проблемы соврем, физики», № 3, М., ИЛ, 1955, 37—79).
Ф и л л и п с* (Phillips О. М.)
1960. On the generation of sound by supersonic turbulent shear layers,
J. Fluid Mech., 9, No. 1, 1—28.
1967. On the Bolgiano and Lumley — Shur theories of the buoyancy sub-
subrange, Атмосферная турбулентность и распространение радиоволн
(Труды Межд. коллоквиума в Москве), М., «Наука».
Фишер иДэвис (Fisher M. J., Davies P. О. A. L.)
1964. Correlation measurements in a non-frozen pattern of turbulence,
J. Fluid Mech., 18, No. 1, 97—116.
Ф р е н з е н (Frenzen P.)
1965. Determination of turbulence dissipation by Eulerian variance analy-
analysis, Quart. J. Roy. Meteor. Soc, 91, No. 387, 28—34.
Ф.ренкиль (Frenkiel F. N.)
1Й48. The decay of isotropic turbulence, J. Appl. Mech., 15, No. 4, 311—321.
Френкиль и Кац (Frenkiel F. N., Katz I.)
1956. Studies of small-scale turbulent diffusion in the atmosphere, J. Me-
Meteor., 13, No. 4, 388—394.
Френкиль и Клебанов (Frenkiel F. N., Klebanoff P. S.)
1965a. Les asymetries d'ordre superieur dans un ecoulement turbulent, С. г.
Acad. Sci., 260, N 23, 6026—6029.
19656. Two-dimensional probability distribution in a turbulent field, Phys.
Fluids, 8, No. 12, 2291—2293.
Фридрихе, Шапиро и др. (Friedrichs К. О., Shapiro H. N. et al.)
1957. Integration of functionals, Mimeographed notes, New York Univer-
University, Inst. of Math. Sci.
X а з е н Э. M.
1963. К нелинейной теории возникновения турбулентности, Докл. АН
СССР, 153, № 6, 1284—1287.
X а н з а в a (Hanzawa M.)
1953. On the eddy diffusion of pumices ejected from Myojin Reef in the
Southern Sea of Japan, Oceanogr. Mag., 4, No. 4, 143—148.
Хассельман (Hasselmann K.)
1958. Zur Deutung der dreifachen Geschwindigkeitskorrelationen der iso-
tropen Turbulenz, Dtsch. hydrogr. Zs., 11, Nr. 5, 207—217.
Хатчингс (Hutchings J. W.)
1955. Turbulence theory applied to large scale atmosphere phenomena,
J. Meteor., 12, No. 3, 263—271.
Хауэлс (Howells I. D.)
I960. An approximate equation for the spectrum of a conserved scalar
quantity in a turbulent fluid, J. Fluid Mech., 9, No. 1, 104—
IQ6.

БИБЛИОГРАФИЯ 705
X е р р и н г (Herring J. R.)
1965. Sel{-consis.tent-field approach to turbulence theory, Phys. Fluids, 8,
No. 12, 221Й—2225.
X и н ц e (Hinze J. 0.)
1959. Turbulence. An introduction to its mechanism and theory, N. Y.,
McGraw-Hill (русск. перевод: И. О. Хинце, Турбулентность, М.,
Физматгиз, 1963).
X и н ч и н А. Я.
1934. Korrelationstheorie der stationaren stochastischen Prozesse, Math.
Ann., 109, Nr. 4, 604—615 (русск. перевод в журнале «Успехи
матем. наук», вып. 5, 1938, 42—51).
X о п ф (Hopf E.)
1952. Statistical hydromechanics and functional calculus, J. Rat. Mech.
Anal., 1, No. 1, 87—123.
1957. On the application of functional calculus to the statistical theory
of turbulence, Proc. Symp. Appl. Math., 7, 41—50.
1962. Remarks on the functional-analytic approach to turbulence, Proc.
Symp. Appl. Math., 13, Hydrodynamic instability, 157-^-163 (русск.
перевод в сб. «Гидродинамическая неустойчивость», М., «Мир»,
1964, 181—188).
Хопф и Титт (Hopf E., Titt E. W.)
1953. On certain special solutions of the Ф-equation of statistical hydro-
hydrodynamics, J. Rat. Mech. Anal., 2, No. 3, 587—592.
Хэй (Hay D. R.)
1967. Stratification in the layer of frictional influence, Атмосферная турбу-
турбулентность и распространение радиоволн (Труды Межд. коллок-
коллоквиума в Москве), М., «Наука».
Хэла и В о й п и о (Hela I., Voipio A.)
1960. Tracer dyes as a means of studying turbulent diffusion in the sea,
Ann. Acad. Sci. Finnicae, ser A., VI, No. 69, 3—9.
Цванг Л. Р.
1960a. Измерения частотных спектров температурных пульсаций в при-
приземном слое атмосферы, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 8,
1252—1262.
19606, Измерения спектров температурных пульсаций в свободной атмо-
атмосфере, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 11, 1674—1678.
1962. Измерения турбулентных потоков тепла и спектров температурных
пульсаций, сб. «Атмосферная турбулентность» (Труды Ин-та фи-
физики атмосферы АН СССР, № 4), 137—143.
1963. Некоторые характеристики спектров температурных пульсаций в
пограничном слое атмосферы, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 10,
1594—1600.
Цванг Л. Р., Зубковский С. Л., Иванов В. Н., Клинов Ф. Я. и
Кравченко Т. К-
1963. Измерения некоторых характеристик турбулентности в нижнем
300-метровом слое атмосферы, Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 5,
769-782.
Цудзи (Tsuji H.)
1955. Experimental studies on the characteristics of isotropic turbulence be-
behind two grids, J. Phys. Soc. Japan, 10, No. 7, 578—586.
1956. Experimental studies on the spectrum of isotropic turbulence behind
two grids, J. Phys. Soc. Japan, 11, No. 12, 1096—1104.
ЦудзииХама (Tsuji H., Hama F. R.)
1953. Experiment on the decay of turbulence behind two grids, J. Aero
naut. Sci., 20, No. 12, 848-849.
45 Д. С. Мович, А. М Цтпоц

706 БИБЛИОГРАФИЯ
Ч а н а д и (Csanady G. Т.)
1963. Turbulent diffusion in Lake Huron, J. Fluid Mech., 17, No. 3,
360—384.
Чандрасекар (Chandrasekhar S.)
1949. On Heisenberg's elementary theory of turbulence, Proc. Roy. Soc,
A200, No. 1060, 20—33.
1950. The theory of axisymmetric turbulence, Phil. Trans. Roy. Soc, A242,
No. 855, 557—577.
1951. Density fluctuations in isotropic turbulence, Proc. Roy. Soc, A210,
No. 1100, 18—24.
1955. A theory of turbulence, Proc. Roy. Soc, A229, No. 1176, 1—19.
1956. Theory of turbulence, Phys. Rev., 102, No. 4, 941—952.
Ч а р н о к (Charnock H.)
1951. Note on eddy diffusion in the atmosphere between one and two
kilometres, Quart. J. Roy. Meteor. Soc, 77, No. 334, 654—658.
Чемберлен и Роберте (Chamberlain J. W., Roberts P. H.)
1955. Turbulence spectrum in Chandrasekhar's theory, Phys. Rev., 99,
No. 6, 1674—1677.
Ч е н (Tchen С. М.)
1954. Transport processes as foundation of the Heisenberg and Obukhoff
theories of turbulence, Phys. Rev., 93, No. 1, 4—14.
1959. Diffusion of particles in turbulent flow, Adv. Geophys., 6 (Atmo-
(Atmospheric diffusion and air pollution), 165—173 (русск. перевод в сб.
«Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха»! М., ИЛ, 1962,
191—199).
Чернов Л. А.
. 1958. Распространение волн в среде со случайными неоднородностями,
М., Изд. АН СССР.
Чжоу Пэй-юань (Chou Pei-Yuan)
1940. On an extension of Reynolds method of finding apparent stress and
the nature of turbulence, Chin. J. Phys., 4, No. 1, 1—33.
Чжоу Пэй-юань, Цай Шу-тан (Chou Pei-Yuan, Tsai Shu-Tang)
1957. Vortex motion and the vorticity structure of homogeneous isotropic
turbulence in its final period of decay, Actes IX Congr. Internat.
Mecan. Appl., 3, Bruxelles, Univ. Bruxelles, 257—268.
Чисхольм, Портман, де Бетанкур и Роч (Chisholm J. H., Port-
mann P. A., de Bettencourt J. Т., Roche J. E.)
1955. Investigations of angular scattering and multipath properties of
tropospheric propagation of short radio waves beyond the horizon,
Proc Inst. Radio Engrs, 43, No. 10, 1317—1335.
Швебер, Бете и Гофман (Schweber S. S., Bethe H. A., Hoffmann F.)
1955. Mesons and fields, vol. 1,N. Y., Row, Peterson and Co. (русск. перевод:
С. Швебер, Г. Бете, Ф. Гофман, Мезоны и поля, т. 1, М., ИЛ, 1957).
Шенфельд (Schonfeld J. С.)
1962. Integral diffusivity, J. Geophys. Res., 67, No. 8, 3187—3199.
HI и л о в Г. Е.
1963. Интегрирование в бесконечномерных пространствах и интеграл Ви-
Винера, Усп. матем. наук, 18, № 2 (ПО), 99—120.
Ши мануки (Shimanuki A.)
1961. Diffusion from the continuous source with finite release time, Sd.
Rep. Tohoku Univ., ser. V, Geophys., 12, No. 3, 184—190.
Ш и о т а н и (Shiotani M.)
1965. On the fluctuation of the temperature and turbulent structure near
the ground, J. Meteor. Soc. Japan, 33, No. 3, 117—123.
1957. On the statistics of fluctuations of wind velocity in the lowest atmo-
atmosphere, Proc. 6th Japan Nat. Congr. Appl. Mech., ЗП—3}i

БИБЛИОГРАФИЯ 707
1963. Some notes on the structures of wind and temperature fields in the
lowest air layers, J. Meteor. Soc. Japan, 41, No. 5, 261—269.
Широкова Т. А.
1959. Второе приближение в методе плавных возмущений, Акустич.
журн., 5, № 4, 485—489.
Ш у р Г. Н.
1962; Экспериментальные исследования энергетического спектра атмо-
атмосферной турбулентности, Труды Центр, аэролог, обсерв., № 43,
79—90.
1964. Спектральная структура турбулентности в свободной атмосфере
по данным самолетных исследований, Труды Центр, аэролог, об-
обсерв., № 53, 43—53.
Ш у т ь к о А. В.
1964. К статистической теории турбулентности, Докл. АН СССР, 158,
№ 5, 1058-1060.
Эдварде (Edwards S. F.).
1964а. The statistical dynamics of homogeneous turbulence, J. Fluid Mech.,
18, No. 2, 239—273.
19646. Turbulence in hydrodynamics and plasma physics, Seminar on
plasma physics, Triest, 5—31 Okt. 1964, Intern. Atomic Energy
Agency.
Эдварде и Пайерлс (Edwards S. F., Peierls R. E.)
1954. Field equations in functional form, Proc. Roy. Soc, A224, No. 1156,
24—33 (русск. перевод в сб. «Проблемы соврем, физики»,
№ 3, М., ИЛ, 1955, 112—121).
Эдмондс (Edmonds F. N., Jr.)
1960. An analysis of airborne measurements of tropospheric index of
refraction fluctuations, Proc. Symp. on Statist. Methods in Radio
Wave Propogat., ed. by W. С Hoffman), London—Oxford—New
York—Paris, Pergamon Press, 197—211.
Э л л и с о н (Ellison Т. Н.)
1951. The propagation of sound waves through a medium with very small
random variations in refractive index, J. Atmosph. Terr. Phys., 2,
No. 1, 14—21.
1962. The universal small-scale spectrum of turbulence at high Reynolds
number, Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Mar-
Marseille), Paris, Ed. CNRS, 113—121.
Эшенредер (Eschenroeder A. Q.)
1965. Solution for the inertial energy spectrum of isotropic turbulence,
Phys. Fluids, 8, No. 4, 598—602.
Я г л о м А. М.
1948. Однородная и изотропная турбулентность в вязкой сжимаемой
жидкости, Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 12, № 6, 501—522.
1949а. О поле ускорений в турбулентном потоке, Докл. АН СССР, 67,
Я° 5, 795—798.
19496.0 локальной структуре поля температур в турбулентном потоке,
Докл. АН СССР, 69, № 6, 743-746.
1952. Введение в теорию стационарных случайных функций, Усп. матем.
наук, 7, №5 E1), 3-168.
1955. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными
n-ми приращениями, Матем. сб., 37, № 1, 141—196.
1957. Некоторые классы случайных полей в л-мерном пространстве, род-
родственные стационарным случайным процессам, Теор. вероятн. и ее
применен., 2, № 3, 292—337.
1962. Some mathematical models generalizing the model of homogeneous
and isotropic turbulence, J. Geophys. Res., 67, No. 8, 3081—3087.
45»

708 библиография
1963. Спектральные представления для различных классов случайных
функций, Труды 4-го Всесоюзн. матем. съезда, 1, Л., Изд. АН
СССР, 250—273.
1966. О влиянии флюктуации диссипации энергии на форму характери-
характеристик турбулентности в инерционном интервале, Докл. АН СССР,
166, Я° 1, 49—52.
1967а. Неравенство для смешанного момента производных скорости и
температуры в локально изотропной турбулентности, Изв. АН
СССР, Физика атмосферы и океана, 3, № 9.
19676. Асимптотическое поведение спектра турбулентности при различных
моделях спектрального переноса энергии, Проблемы гидродинамики
и механики сплошных сред (сборн., посвящ. 60-летию Л. И. Седо-
Седова), М., «Наука».
ЯгломА. М. и Татарский В. И. (ред.)
1967. Атмосферная турбулентность и распространение радиоволн (Труды
Мёжд. коллоквиума в Москве), М., «Наука».
Я г л о м И. М.
1947. Однородная и изотропная турбулентность в сжимаемой жидкости,
Труды Научно-исслед. учрежд. Гидрометслужбы СССР, сер. 1,
№ 30, 10—28.
Янке, Эмде и Лёш (Jahnke E., Emde F., Losch F.)
1962. Tafeln hoherer Funktionen, Stuttgart, B. G. Teubner (русск. перевод:.
E. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш, Специальные функции, М., «Наука»,
1964),

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ*)
Абрамович Г. Н. / : 309, 312, 316, 552
603
Акерблом (Akerblom F.) 2:493
Алексеев В. Г. 2:328, 329, 679
Аллен (Allen С. М.) / : 539, 548, 603
Андронов А. А. / : 157, 603
Антанаитис (Antanaitis P.) / : 574,635
Арис (Aris Я) / : 541, 548, 567, 603
Ахиезер Н. И. 1 : 183, 603
Бай Ши-и (Pai Shih-i) / : 309, 312,
603
Бакус (Backus G.) 2:269, 679
Баред (Barad M. L.) / : 396, 414, 455,
574,580, 588,603,611,635
Баренблатт Г. И. / : 354, 357, 603
Барнес (Barnes H. Т.) / : 81, 603
Басе (Bass J.) 2:208, 626, 631, 679
Батлер (Butler M. Е.) 2:600, 612,
679
Бауне (Bowne N. Е.) 2:500, 679
Белякова В. К. / :128, 603
Бенни (Benney D. J.) / : 102, 122, 126,
159—161, 603, 608, 618
Бентон (Bsnton G. S.) 2:465, 679
Бергман (Bergmann P. G.) 2: 558,679
Берд (Bird R. В.) / : 59, 607
Берлинг (Burling R. W.) 2: 431,437-
439, 442—444, 451, 533, 698
Берлянд М. Е. / : 294, 577, 604
Берман (Berman S.) 2:428, 679
Берстоу (Bairstow L.) / : 53
Бест (Best А. С.) / : 395, 604
Бетанкур, де (de Bettencourt J. T.)
2:706
Бете (Bethe H. А.) 2:249, 270, 626,
706
Бетчов (Betchov R.) / : 131, 161, 604;
2 : 57, 59, 256, 436, 679
Бикли (Bickley J.) / : 133
Бинни (Binnfe А. М.) / : 541, 605
Биркгоф Г. (Birkhoff G.) /: 96, 165,
212, 312, 604
Биркгоф Дж. (Birkhoff G. D.) / : 173,
214
Блазиус (Blasius H.) /: 53, 78, 263
Блаич (Blanch G.) 2:219, 679
Блохинцев Д. И. 2:559, 679
Блэкедар (Blackadar А. К.) /: 349,
352, 353, 418—420, 422, 432, 433,
446, 447, 604, 623
Бовшеверов В. М. /: 439, 442, 604;
2:425, 680
Бозанке (Bosanquet С. Н.) / : 576, 604
Болджиано (Boldgiano R.) 2:353,
356, 357, 359, 360, 387, 455, 680
Болдуин (Baldwin L. W.) / : 502, 605
Болл (Ball F. К.) 2:434, 500, 501,680
Больцман (Boltzmann L.) / : 12
Бохнер (Bochner S.) / : 176, 605
Брайер (Brier G. W.) 2:492, 680
Бребнер (Brebner G. G.) 1: 233
Бреит (Brunt D.) 2: 501
Будыко М. И. / : 395, 605
Букер (Booker H. G.) 2:498, 549, 680
Булл (Bull G.) 2:455, 456, 680
Буссинеск (Boussinesq J.) / : 220, 292,
334, 335, 530, 605; 2: 197, 198
Вызова Н. Л. 2:440, 464, 680
Бьоргум (Bjorgum О.) / : 395, 605
Бэгли (Bagley J. А.) / : 233
Бэрнс A. (Burns A.) 2:427, 428, 679,
698
Бэрнс Дж. (Burns J. G.) /: 131, 132,
Бэтчелор (Batchelor G. К.) / : 329,475,
477, 478, 485, 489, 490, 506, 524, 531,
541, 554, 557, 583, 585, 605; 2:41,
*) Цифры, набранные курсивом, обозначают номер части, прямые циф-
цифры — номера страниц.

710
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
49, 106, 114, 119, 129, 130, 132—
134, 146-148, 150, 151, 156, 158, 164,
175, 180, 185, 186, 190, 191, 213, 219,
224, 230, 232—236, 247, 266, 344,
375, 376, 389, 390, 399, 401—404,
410, 411, 418, 422, 457, 468, 475,
479—482, 489, 492, 501, 508, 509,
511—513, 515, 516, 526—528, 550,
571, 680, 681
Бюргере (Burgers J. М.) 7 : 55, 83, 527
Бюсингер (Businger J. А.) 7:367,
393, 394, 406, 605; 2:427, 681
Бютнер Э. К. / : 575, 605
Вазов (Wasow W.) 7 : 127, 606
Вайскопф (Weisskopf V. F.) 2:353,
550, 682
Ван дер Хегге Цийнен (Van der Heg-
ge Zijnen В. G.) 7: 55, 83, 309,553,
554, 635
Ван дер Ховен (Van der Hoven J.)
2:426,462,681,697
Вандель (Wandel C. F.) 7 : 504, 605
Васан (Wasan D. T.) 7:238, 631
Вейль (Weil H.) 2:40, 681
Вейцзекер (Weizsacker C. R, von)
2:197, 198, 313, 326, 493, 681
Веландер (Welander P.) 2:391, 681
Великанов M. A. 7 : 356, 606
Вельте (Velte W.) 7 : 139, 140, 606
Вентцель А. Д. 7 : 508, 536
Веронис (Veronis G.) 7 : 147, 620
Вигхардт (Wieghardt K.) 7 : 89, 270,
606; 2: 111, 681
Виленкин H. Я. 7 : 179, 606; 2: 76, 86,
621, 669, 682
Вилларс (Villars F.) 2:353, 550, 682
Винер (Wiener N.) 2: 15
Винниченко H. K. 2: 427, 682
Витт A. A. 7 : 157, 603
Виттинг (Witting H.) 7 : 108, 606
Войпио (Voipio A.) 2:512, 705
Воронов В. П. / : 439, 604
Воэн (Vaughan L. M.) / : 578, 606
Вребалович (Vrebalovich T.) 2: 187,
418, 420, 688
Гавильо (Gaviglio J.) 7:503, 633;
2:16, 336, 337, 703
Галавич (Galavics F.) 7 : 262
Галеев А. А. 2 : 666, 682
Галлахер (Gallagher A. P.) 7 : 127, 606
Гамбо (Gambo K.) 2 : 465, 700
Гамель (Hamel G.) 7 : 141, 606
Гаскилл (Gaskill H. S.) / : 618
Гастер (Gaster M. A.) / : 131, 606
Гедеке (Godecke K.) /: 438, 606;
2: 423, 682
Гейзенберг (Heisenberg W.) 7: 125,127,
606; 2: 190, 192, 197, 198, 201, 204,
207, 208, 210, 213, 215—218, 220—
223, 230, 237, 306, 307, 313, 326, ,344,
375, 384, 385, 411, 438, 493, 511,682
Гейлорд (Gaylord E. W.) 7 : 309, 633
Гельмгольц (Helmholtz H.) 7:96, 135,
606
Гельфанд И. М. 7 : 179; 606; 2: 76, 86,
621, 669, 670, 682
Генихович Е. Л. 7 : 577, 604
Гербер (Gerber R.) / : 461, 607
Гербстрайт (Herbstreit J. M.) 2:589,
590, 682
Герман (Hermann R.) 7 : 260
Гертлер (Gortler H.) 7 : 109, 309, 607
Ги (Gee J. H.) 7 : 582, 607
Гиббс (Gibbs J. W.) 7 : 12
Гибсон К. (Gibson С. Н.) 2: 186, 187,
190, 423, 437, 439—442, 452, 456,
457, 682
Гибсон М. (Gibson M. M.) 2:420,
421, 436, 438, 440, 443, 682
Гиршфельдер (Hirschfelder J. О.)
7 : 59, 607
Гиффорд (Gifford F. A., Jr.) 7 : 489,
490, 494, 495, 587, 588, 607; 2:328,
335, 337, 416, 497—501, 511, 682
Голдстайн (Goldstein R. J.) 7:111,
113, 629
Голицын Г. С. 7 :8; 2:306, 344, 372,
375, 376, 463, 464, 526, 530, 550,
587, 588, 683, 702
Гольдштейн (Goldstein S.) 7 : 29, 35,
44, 52, 53, 58, 69, 124, 133, 278, 297,
298, 300, 302, 304, 592, 607; 2: 170,
176, 192, 201, 208, 210, 683
Гордон (Gordon W. Е.) 2:549, 680
Горшков Н. Ф. 2:446, 458, 683
Горькое Л. П. 7 : 147, 154, 607
Госс (Gosse J.) 7 : 258, 607
Госсард (Gossard E. E.) 2:337, 416,
455, 458, 463, 465, 683
Гото (Gotoh К.) 7 : 136, 630
Гофман Е. (Hofmann E.) 7 : 237, 607
Гофман Ф. (Hoffmann F.) 2: 249, 270,
626, 706 j
Грант A. (Grant А. М.) 7 : 504, 607 *j
Грант X. (Grant H. L.) 2: 106, 437— |
444, 458, 520, 529, 683, 684, 701 %
Грачева М. Е. 2:591, 684 !
Гребер (Grober H.) 7 :279, 607
Гренандер (Grenander U.) / : 212, 607
Грин (Green H. S.) 2: 249, 684

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
711
Гринспан (Greenspan H. Р.) /: 161,
т
Гринхау (Greenhow J. S.) 2:498, 500,
684
Гроне (Grohne D.) / : 127, 608
Груза Г. В. /: 331, 608
Гуннерсон (Gunnerson С. G.) 2: 494,
684
Гурвич А. С. 7 : 8, 236, 284, 414—420,
422, 425, 427—429, 432, 433, 435, 439,
442, 443, 455/457—459, 604, 608;
2:416, 425, 426, 428—430, 432, 433,
436, 439, 446, 450, 452,459—461,526,
528, 530—534, 541, 542, 557, 587,
588, 591, 604, 680, 683—685
Гхош (Ghosh К. М.) 2:221, 685
Давенпорт (Davenport A. G.) 2:464,
685
Давыдов Б. И. 1 : 322, 324, 592, 608
Дайер (Dyer A. J.) 7:440, 442, 444,
608, 632
Дайсон (Dyson F. J.) 7 : 124, 608
Далецкий Ю. Л. 2 : 669, 685
Данн (Durni D. J.) 2:420, 425, 587,
685
Дарси (Darcy H.) 7:258, 298, 608
Дейслер (Deissler R. G.) 7 : 228, 233,
238, 279, 280, 284, 286, 288, 290, 294,
608; 2: 246, 247, 267, 470, 685, 691
Дентон (Denton E. В.) / : 290, 618
Дерет (Durst С. S.) 2:496, 497, 685
Дефант (Defant A.) 7:331, 609;
2 : 493, 494, 685
Дёнх (Donch F.) 7 : 258
Джейн (Jain P. С.) 2: 269, 685
Джейнс (Janes I. H. В.) 2:702
Джефрис (Jeffreys H.) 7:109, 112,
609
Джонс (Jones J. I. P.) 7 : 438, 609
Джонсон (Jonsson V. К.) 7 : 108, 111,
113, 629
Ди Прима (Di Prima R. С.) 7 : 104,
105, 108, 609
Дикий Л. А. 7 : 8, 102, 121—124, 127,
609; 2 : 463, 686
Дикон (Deacon E. L:) 7 :249, 250, 395,
409, 417, 428, 432, 438, 446, 458, 563,
566, 578, 609
Диль (Diehl F. W.) 7 :266, 267
Дирдорфф (Deardorff J. W.) 7 : 127,
610
Доннелли (Donnelly R. J.) 7 : 109, 150,
151, 610
Дородницын A. A- 7:294, 39(, 6@
Дразин (Drazin P. G.) 7: 124, 136,
610
Драйден (Dryden H. L.) 7 : 79, 84, 90,
132, 610; 2: 164, 422, 686
Дриммель (Drimmel J.) 7:574, 610
Дрист, ван (van Driest E. R.) 7 : 233,
238, 280, 298, 606
Дуайер (Dwyer О. Е.) 7:284, 610
Дуб (Doob J. L.) 7:203, 214, 610;
2: 10, 17, 81, 686
Дугстад (Dugstad I.) 2:373, 686
Дхаван (Dhawan S.) 7:276, 610
Дынкин Е. Б. 7 :508, 610
Дьюти (Duty R. L.) 7 : 108, 610
Дэви (Davey A.) 7:148-151, 611
Дэвидсон (Davidson B.) 7 :395, 408,
414, 419, 423, 424, 435, 440, 442, 444,
455, 611, 618; 2:337, 416, 692
Дэвис Д. (Davies D. R.) 7:578, 581,
582, 607, 611
Дэвис П. (Davies P. O. A. L.) 2: 337,
704
Дэвис Р. (Davies R. W.) 7:592, 611
Дэвис С. (Davies S. J.) 7:137, 611
Дюма (Dumas R.) 7:503, 633; 2:16,
336, 337, 703
Елагина Л. Г. 7:441, 611; 2:455,
456, 686
Жукова Л. Н. 2:603, 608, 611, 612,
686, 702
Загустин А. И. 7:322,611
Захаров В. Е. 2: 666, 686
Зельдович Я. Б. 7:313, 375, 611
Зилитинкевич С. С. 7 :394, 611
Зоммерфельд (Sommerfeld A.) 7: 117,
125
Зубковский С. Л. 7:236, 455, 611;
2:425, 426, 428, 432—435, 439, 449,
452, 526, 530—534, 684, 686, 705
Ибрагимов М. X. 7 : 284, 629
Иванов В. Н. 2:426, 434, 435, 440,
449, 464, 500, 680, 686, 705
Иванов-Шиц К. М. 2: 586, 587, 690
Изаксон А. 7: 165, 253, 611
Имаи (Imai К.) 2:465, 687
Иноуэ (Inoue E.) 7:504, 611; 2:331,
353, 465, 494, 511, 686, 687
Иокояма (Yokoyama О.) 7 : 345, 392,
406, 612, 630
Иссерлис (Isserlis L.) 7 : 190, 612
Ичийе (Ichiye Т.) 2:494—496, 697
йозеф (Joseph J.) ^ : 512, §87

712
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Каверс (Cavers S. D.) 7 : 284, 612
Кадомцев Б. Б. 2: 284—286, 376, 377,
666, 687
Казанский А. Б. /:351, 353, 376, 384,
385, 390, 391, 405, 446, 44$, 450, 4$2,
489, 494, 588, 600, 612
Какутани (Kakutani Т.) 7:134, 135,
630
Калинске (Kalinske А. А.) / : 512—
514, 612
Каллистратова М. А. 2:572, 573, 687
Камак (Camac M.) 2 : 666, 687
Кампе де Ферье (Катрё de Feriet J.)
7 : 165, 172, 212, 475, 604, 612; 2:21,
29, 468, 687
Кан (Kahn А. В.) 2:465, 679
Канторовиц (Kantorowitz A. R.) 2: 687
Као (Као S. К.) 7: 394, 612
Капица П. Л. 7 : 288, 612
Карлсон (Carlson F. D.) 7: 70, 613
Карман (Karman Th., von) 7 : 19, 31,
89, 141, 230, 232, 237, 252, 261, 275,
277, 288, 289, 291, 292, 301 303, 304,
394, 612; 2: 49, 55, 62, 66, 107, ПО—
112, 122, 123, 127, 132, 144, 159,
161—164, 166—168, 170, 171, 174,
180, 187, 191, 199—203, 210, 217,
226, 238, 242, 244, 249, 265, 291, 300,
363—366, 371, 373, 423, 687
Кароль И. Л. 7:561, 613
Карпман В. И. 2:666, 682
Карр (Сагг A. D.) 7 : 238, 613
Карьер (Carrier G. F.) 7 :70, 613
Каттанео (Cattaneo С.) 7 :592, 613
Каулинг (Cowling T. G.) 7 :59, 636
Кац (Katz I.) 2:498, 499, 704
Кедроливанский В. Н. 7:408, 440,
613
Кейзер (Kaser P.) 7 :409, 631
Келдыш М. В. 7 : 100, 613
Келлер Г. (Keller G.) 2:604, 687
Келлер Л. В. 7 : 17, 18, 318, 319, 613;
2' 379 503
Келлог '(Kellogg W. W.) 2:498, 499,
687
Кемпф (Kempf G.) 7 :275, 276, 613
Кеннеди (Kennedy D. А.) 2:527, 688
Керл (Curie N.) 7: 134, 135, 613;
2:302, 688
Кертисс (Curtiss С. F.) 7:59, 607
Кестер (Kester R. Н.) 7:288, 636
Кестин (Kestin J.) 7:233, 238, 279,
284, 613
Кибель И. А. /: 35, 39, 52, 165, 615
Килеженко В. П. 2:494, 512, 688
Киркпатрик (Kirkpatrick A. W) 2 : 702
Кирхгеснер (Kirchgassner К.) / : 108,
613
Кистлер (Kistler A. L.) 7:239, 269,
309, 317, 613, 615; 2: 108, 111, 123,
129, 130, 187, 418, 420, 688, 693
Клаузер (Clauser F. Н.) 7:234, 245,
257, 265, 613
Клебанов (Klebanoff P. S.) 7:115,
158, 227, 233, 236, 237, 266—268,
456, 614, 637; 2:223, 226, 419, 443,
444, 688, 704
Кленшоу (Klenshow С. W.) 7: 134,
135, 614
Клинов Ф. Я. 2: 426, 449, 705
Клюг (Klug W.) 7:345, 389, 390,
614
Кляцкин В. И. 2:307, 308, 688
Ко'баяши (Kobayashi Y.) 2:419, 701
Коважный (Kovasznay L. S. G.)
/:70, 75, 614, 636; 2:194, 196, 204,
205, 213, 217, 220, 292, 384, 688
Кокер (Coker E. G.) 7:81, 603
Колбэрн (Colburn А. Р.) 7:290, 636
Колдер (Calder К. L.) 7:249, 537,
576, 614
Колесников А. Г. 7:436, 614
Колесникова В. Н. 2\ 461— 464, 466,
688
Коллис (Collis D. С.) 7 :473, 513, 514,
614; 2 : 235, 688
Колмогоров А. Н. 7; 8, 20—27, 30,
172, 177, 194, 263, 303, 322, 323,326,
354, 533, 590, 614; 2: 10, 19, 74, 81,
84, 104, 132, 135, 146, 167, 170, 171,
179, 181, 182, 185, 187, 188, 190,
313, 317, 319, 321, 322, 325, 330, 364,
366—368, 370, 389, 422, 439, 442,
468, 506, 517, 522, 523, 536, 537,
543—545, 640, 667, 688
Колчинский И. Г. 2:598, 599, 689
Кон А. И. 2:590, 604, 684, 689
Кондо (Kondd J.) 7:365, 418, 422,
423, 446, 615, 639
Константинов А. Р. 7 :249, 615
Конт-Белло (Comte-Bellot G.) 7 : 237,
615; 2: 106, 116, 167, 176, 418, 689
Коппел (Koppel D.) 7: 123, 615
Копров Б. М. 2:337, 416, 426, 428.
434—436, 440, 446, 454, 684, 689
Коркоран (Corcoran W. Н.) 7:284,
615
Коркос (Corcos G. М.) 7 : 128, 615
Корсин (Corrsin S.) 7:269 309, 317,
473, 489, 502, 504, 512—514, 517,
554, 615, 632; 2: 106, 108, 111, 116.
122, 123, 126, 127, 129-131, 133,146,

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
713
167, 176, 235, 236, 249, 261, 269, 301,
312, 335, 353, 361, 362, 367, 383, 384,
412, 413, 418, 419, 470, 484, 527,
529, 530, 532, 688, 689, 693, 703
Коулс (Coles D.) / : 226, 234, 270—
273, 277, 318, 615
Кофёд-Ханзен (Kofoed-Hansen О.)
/: 504, 605
Кочин Н. Е. /:35, 39, 52, 165, 615
Коэн (Cohen R.) 2 : 498, 680
Кравченко И. М. / : 394, 616
Кравченко Т. К. 2:426, 449, 450, 685,
705
Крамер Г. (Gramer H.) 2:10, 19,
643, 689
Крамер X. (Cramer Н. Е.) /: 432,
440, 616; 2:337, 424, 425, 434, 440,
447, 690, 697, 699
Красильников В. А. 2:558, 559, 586,
587, 599, 690
Крейчнан (Kraichnan R. Н.) / : 26,27,
30, 367, 616; 2:201—203, 245, 246,
248, 249, 259, 260, 264, 283—286,
376—380, 382, 390, 470, 503—505,
512, 559, 571, 626, 630, 631, 634,
637, 653, 654, 667, 690, 692
Кречмер СИ./: 246, 423, 438—440,
616; 2 : 446, 529, 691
Крживоблоцки (Krzywoblocki M. Z.)
2:292, 691
Кристоферсон (Christopherson D. G.)
/: 112, 616
Кропик (Kropik К.) / : 128, 616
Крускал (Kruskal M. D.) 2:377, 378,
697
Крылов А. Л. / : 108, 616
Кузтт (Couette M.) / : 41, 45
Кзйз (Case К. М.) / : 102, 121—124,
616
Лайтхилл (Lighthill M. J.) / : 77, 616;
2:301, 302, 304, 307,691
Лайхтман Д. Л. / : 367, 394—396,423,
424, 564, 566, 575, 576, 581, 605, 611,
616, 617
Ламб (Lamb H.) /:35, 96, 461, 617
Ламли (Lumley J. L.) / : 421, 455,456,
458, 498, 499, 617; 2:8, 360, 387,
388, 427, 459, 691, 698
Ландау Л. Д. / : 35, 37, 39, 59, 60, 62,
87, 93, 96, 97, 118, 142, 147,14Й, 150,
157, 173, 230, 282, 617; 2: 135, 303,
320—322, 330, 482, 517, 691
Лауфер (Laufer J.) / : 227, 233, 236,
237, 257, 258, 323, 325, 455, 456, 617;
2:307, 419, 443, 444, 691, 692
Левич В. Г. /:228, 237, 238, 279,
288—290, 294, 617
Лессен (Lessen M.) / : 136, 617
Леттау (Lettau H.) / : 352, 353, 408,
414, 419, 423, 424, 435, 440, 442, 444,
455, 582, 617, 618
Леффлер (Loeffler A. L.) 2:247, 691
Лёш (Losch F.) 2 : 255, 708
Ли Д. (Lee D. А.) 2: 148, 691
Ли Дж. (Lee Jon) 2: 144, 146, 247,
260, 264, 285, 691
Ли Т. (Lee T. D.) 2:212, 213, 220,
691
Ли X. (Li H.) / : 239, 637
Лидский В. Б. / : 100, 613
Ликудис (Lykoudis P. S.) / : 289, 618
Лилиеквист (Liljequist G. Н.) / : 421,
435, 618
Лимбер (Limber D. N.) 2:228, 229,
692
Линг (Ling S. С.) 2: 106, 148, 701
Линдгрен (Lindgren E. R.) /: 80,
618
Линь (Lin С. С.) / : 79, 102, 106, 109,
111, 114, 119, 122, 126—128, 130,
132, 136, 158—160, 618; 2:104, 111,
132, 164, 165, 171, 173, 175, 180, 191,
214, 219—221, 236, 330, 335, 336,
484, 486, 508, 687, 692, 700
Линь (Lin С. S.) /:238, 290, 618
Лион (Lyon R. N.) / : 289, 618
Липманн К. (Liepmann К.) 2:692
Липманн X. (Liepmann H. W.) / : 318,
618; 2: 186, 187, 232, 423, 692
Литвак (Litvak М. М.) 2 : 687
Лифшиц Е. М. / : 35, 37, 39, 59, 60,
62, 87, 93, 96, 97, 118, 142, 230, 282,
617; 2: 135, 303, 320, 321, 330, 482,
517, 691
Ложкина В. П. / : 604
Лойцянский Л. Г. / : 29, 52, 53, 237,
238, 290, 303, 618; 2: 131, 132, 140,
145, 146, 692
Локк (Lock R. С.) /:127, 128, 619
Лонг (Long J. D.) / : 158, 634
Лоренц Г. (Lorentz H. А.) /: 141, 619
Лоренц Е. (Lorenz E.) /: 331, 619
Лоэв (Loeve M.) / : 203, 619
Льюис (Lewis R. М.) 2:626, 630, 631,
634, 637, 653, 654, 692
Лэппе (Lappe V. О.) 2:337, 416, 692
Людвиг (Ludwieg Н.) / : 226, 284,619
Ляпин Е. С. / : 592, 619
Майкельсен (Mickelsen W. R.) / : 502,
513, 514, 527, 605, 619

714
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Майкл (Michael D. Н.) / : 115, 619
Майлс (Miles J. W.) / : 124, 237, 619
Мак Адаме (McAdams W. Н.) / : 279,
619
Маквейл (McVehil G. Е.) 7 :418—422,
425, 432, 433, 446, 447, 619, 623
Макилрой (Mcllroy I. С.) / : 438, 440,
619
Маккормик(МсСопшск R. А.) / : 406,
455, 623; 2:427, 431, 697
Маккриди (MacCready P. В.) / : 438,
439, 620; 2:424, 427, 428, 432—434,
445, 692
Макфейл (McPhail D. С.) 2: 108, 692
Макшейн (McShane E. J.) 2 : 669,692
Мак-Юин (MacEwen G. F.) 2:512,
692
Малкус (Malkus W. V. R.) / : 26, 27,
30, ИЗ, 147, 148, 367, 431, 620
Малхотра (Malhotra R. С.) / : 490,
494, 495, 588, 620
Мандельброт (Mandelbrot В.) 2: 536,
692
Манн (Munn R. Е.) / : 406, 620
Мартин Ф. (Martin F. L.) / : 364, 634
Мартин X. (Martin H. С.) 2:447, 448,
456, 693
Мартинелли (Martinelli R. S.) / : 289,
620
Маршалл (Marshall R. D.) 2:437,
438, 442, 443, 701
Матвеев Л. Т. / : 391, 620
Маттиоли (Mattioli E.) 2:111, 693
Матшат (Matschat К.) 2:306, 307,
694
Маултон (Moulton R. W.) / : 238, 290
Мацуока (Matsuoka H.) / : 504, 582,
620
Мегоу (Megaw E. С. S.) 2:550, 693
Меетц (Meetz К.) 2:215, 216, 219,
220, 232, 235, 236, 693
Мексин (Meksyn D.) / : 107, 108, 150,
151, 160, 620; 2:200, 693
Мелешкин Б. Н. 2 : 452, 685
Мерсер (Mercer A. McD.) / : 127, 606
Мерфри (Murphree E. V.) / : 228, 290,
Мидлтон (Middieton W. В. К.) / : 408,
424, 440, 620
Мизес (Mises R.) / : 125, 253, 620
Миллер (Miller J. A.) / : 161, 620
Милликен (Millikan С. В.) /: 253,
256, 257, 621
Миллионщиков М. Д. /: 172, 621;
2:64, 140, 142, 145, 146, 222, 223,
250, 693
Миле (Mills R. R.) 2: 108, 111, 116,
123, 129, 130, 693
Милсепс (Millsaps К.) 2:207, 693
Минлос Р. А. 2: 669, 682
Минцер (Mintzer D.) 2:216, 217, 559,
693, 701
Михалке (Michalke A.) /: 136, 621
Мичем (Meecham W. С.) 2:260, 693
Миякода (Miyakoda К.) 2: 199, 335,
482, 696
Моильет (Moilliet A.) 2:437—444,
520, 529, 684
Мойэл (Moyal J. E.) 2 : 292, 693
Мок (Mock W. С.) / : 90, 610; 2: 422,
686
Монин А. С. /:77, 331, 333, 349,
351—353, 369, 376, 379, 384, 385,
390, 391, 396, 405—107, 409—413,
415, 416, 419, 422, 424/427, 440, 445,
446, 449, 450, 452, 454 455, 461,
469, 489, 494, 506, 537, 564, 565, 576,
588, 589, 592, 600, 602, 612, 621, 622;
2: 198, 370, 385, 386, 4% 429, 449,
461—464, 466, 475, 509—511, 563,
571, 631, 657, 688, 693, 694
Монтгомери (Montgomery R. В.)
/ : 392-394, 626
Мордухович М. И. / : 442, 604
Морозов С. А. 2:440, 464, 680
Моцфельд (Motzfeld H.) / : 233
Мунро (Munro W. D.) /: 108, 629
Мур (Moore F. К.) 1: 266
Мюллер (Muller E. А.) 2:306, 307,
694
Мюнх (Munch G.) 2: 237, 694
Наито (Naito К.) / : 394, 622
Невзглядов В. Г. / : 322, 622
Нейман (Neumann J., von) 2:81, 694
Никол (Nicol A. A.) / : 131, 605
Никурадзе (Nikuradse J.) / : 54—56,
232, 233, 242, 243, 249, 256, 260—
263, 547, 622
Нисбет (Nisbet I. С. Т.) 2:106, 683
Новиков Е. А. /:8, 200, 558, 622;
2:391, 394, 397, 398, 405, 409, 410,
484, 488, 521, 526, 534—538, 637,
639—641, 650, 661, 671, 676, 694,
695
Номофилов Е. В. / : 284, 629
Нортон (Norton К. А.) 2:589, 695
Нуннер (Nunner W.) / : 283, 291, 622
Нуссельт (Nusselt W.) / : 260
О'Брайен В. (O'Brien V.) 2: 108, 111,
123, 129, 130, 693

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
О'Брайен Е. (O'Brien Е. Е.) 2:264, Патрик (Patrick R, М.) 2:687
Обухов А. М. / : 8, 20, 21, 24—26, 30,
172, 209, 298, 368, 369, 375—377,
379, 389, 396, 402, 405, 410—413,
415, 416, 419, 422, 427, 438, 445, 621,
622; 2:50, 55, 119, 194—197, 201,
204—206, 208, 210, 213, 230, 233,
308, 313, 322, 326, 330, 339, 340, 344,
347, 349, 353, 357, 358, 360, 370,
371, 374—376, 387, 423, 424, 463,482,
484, 486, 493, 501, 505—507, 511,
512, 522, 529, 554, 559, 566, 592,
691, 694, 695
Огура (Ogura Y.) 1 :393, 504, 622;
2: 198, 258, 259, 264, 355, 465, 474,
482, 696
Одзи (Ohji M.) 2 : 247, 259, 696
Озмидов Р. В. 2:466, 467, 494, 496
500, 501, 509, 512, 696
Окамото (Okamoto M.) / : 390, 622
Окубо (Okubo A.) 2:500, 512, 696
Олсон (Olson F. С. W.) 2:494—496,
687, 696
Омбек (Ombeck H.) / : 260
Онзагер (Onsager L.) 2:312, 313,326,
383, 384, 697
Оникул Р. И. 1 : 604
Оржег (Orszag S. G.) 2:377, 697
Орлоб (Orlob G. Т.) 2:494,- 496, 500,
697
Орнштейн (Ornstein L. S.) 7 : 590, 632
Opp (Orr W. McF.) /:117, 122, 125,
138, 141, 622
Оузн (Owen P. R.) 7:291, 623
Пайерлс (Peierls R. Е.) 2:666, 669,
697, 707
Палы (Palm E.) 7: 154—156, 623;
2: 509, 697
Пандольфо (Pandolfo J. Р.) 7 :406,
623
Паннел (Pannel J. R.) 7 : 260
Пановский (Panofsky H. А.) 7 :389,
396, 406, 418—422, 425, 432, 433,
446, 447, 455, 456, 458, 459, 617, 623;
2 : 337, 426,427, 431, 440, 459,462, 697
Панчев Ст. 7:406, 623; 2:269, 697
Пао (Pao Yih-Ho) 2: 127, 362, 372,
373, 383, 445, 697
Паскуил (Pasquill F.) 7 : 283, 409,413,
425, 434, 438, 442, 455, 476, 503, 504,
506, 513, 563, 575, 600, 609, 623, 635;
2:440, 697
Патнем (Putnam Q. L.) 7:238, 290,
618
715
ПаузЛЛ (PQWfcU A.) 2:302, 697
Пейдж (Page F.) 7:615
Пекерис (Pekeris С. L.) 7: 126;
2: 559, 697
Пергамент (Pergament S.) 2: 264, 695
Перепелкина А. В. 7 :247, 413, 431—
434, 455, 457, 458, 623
Пертнер (Pertner J. M.) 2:609, 697
Петров Г. И. 7 : 141, 624
Печек (Petschek Н. Е.) 2: 687
Пешке (Paschke W.) 7 :246, 249, 624
Пиен (Pien С. С.) 7:512—514, 612
Пинус Н. 3. 2: 427, 529, 682, 691, 697
Пирсон (Pearson J. L.) 7:576, 604
Пирсон Дж. (Pearson J. R. A.) 2:393,
394, 698
Пирсон E. (Pearson E. A.) 2: 494, 698
Писарева В. В. 2: 590, 698
Польгаузен Е. (Pohlhausen E.) 7 :69
Польгаузен К. (Pohlhausen К.) 7 :89
Понд (Pond S.) 2:431, 437—439,
442—444, 451, 526, 527, 530, 532—
534, 698
Портман (Portmann P. А.) 2: 706
Прандтль (Prandtl L.) 7 : 19, 52, 88,
124, 125, 223, 230, 246, 277—279,
287—289, 291, 292, 295—300, 302,
304, 309, 322, 323, 375, 377, 402, 624;
2: 111, 310
Праудмен Дж. (Proudman J.) 7 :436,
624
Праудмен И. (Proudman I.) 2:72,
133, 150, 151, 156, 158, 171, 186, 203,
215, 219, 220, 241, 251, 255, 257, 258,
285, 305—307, 423, 681, 698
Преч (Pretsch J.) 7:119, 128, 129,
624, 631
Пристли (Priestley С. Н. В.) 7 :246,
249, 284, 376, 382, 385, 386, 389, 406,
414, 415, 425, 429, 431, 432, 435, 446,
582, 624, 625; 2:431, 445, 698
Причард (Pritchard D. W.) 2:512
Протероэ (Protheroe W.M.) 2:603,
606, 607, 698
Прохоров Ю. В. 7 : 179, 625
Пуазейль (Poiseuille J.) 7 :42, 44
Пзйн (Payne F. R.) 2:427, 698
Пэлью (Pellew A.) 7:107, 108, 111—
113, 625
Райдер (Rider N. E.) 7:283, 284,413,
414, 417, 419—421, 425, 427, 428.
434, 442, 625
Pao (Rao V. R. K.) 2: 337, 697
Раунде (Rounds W.) / : 560, 576, 62.5

716
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Рейнольде (Reynolds О.) /: 14, 15, 19,
47, 79, 80, 82, 137, 138, 162, 164, 165,
215, 216, 218, 219, 284, 286-288,
625; 2 : 195
Рейтер Е. (Reiter E. R.) 2:427, 428,
698
Рейтер X. (Reuter H.) /: 574, 610
Рейхардт (Reichardt H.) / : 233, 237,
238, 288, 290, 309, 310, 323, 625
Рекорд (Record F. А.) /: 432, 440,
616; 2:425, 434, 440, 447, 699'
Репников М. Н. 2: 265, 699
Рибо (Ribaud G.) /: 288, 290, 626
Рид (Reid W. Н.) / : 108, 610; 2: 72,
133, 150, 151, 207, 212-214, 219—
221, 241, 251, 255, 257, 258, 262, 484,
486, 508, 515, 516, 692, 698, 699
Риис (Riis E.) /: 123, 124, 127, 626,
638
Ричардсон Л. (Richardson L. F.)
/ : 20—22, 346, 378, 626; 2 : 309,465,
475, 488—490, 492—495, 501, 503,
508, 509, 511,512, 699
Ричардсон П. (Richardson P. D.)
/ : 233, 238, 279, 284, 613
Роберте О. (Roberts О. F. Т.) / : 560,
573, 574, 576, 626; 2: 497
Роберте П. (Roberts P. H.) 2:264,
269, 470, 699, 706
Робертсон Дж. (Robertson J. М.)
/ : 245, 626
Робертсон X. (Robertson H. Р.) 2:40,
699
Робинсон (Robinson G. D.) /: 364,
383, 421, 425, 625, 626
Розанов Ю. А. / : 203, 214, 472, 626;
2: 10, 699
Розе Н. В. /:35, 39, 52, 165,
615
Розен (Rosen G.) 2:669, 673, 675,
676, 699
Розенблют (Rosenbluth M. N.) / : 123,
626
Росс (Ross M. A. S.) / : 131, 605
Россби (Rossby C.-G.) / : 331, 392 —
394, 626
Рота (Rota G.-C.) / : 165, 626
Ротта (Rotta J. С.) /:80, 226, 237,
238, 265, 266, 268, 298, 322—324,
626; 2: 192, 219—221, 699
Роч (Roche J. E.) 2: 706
Рытов С. М. 2 : 554, 566, 699
Рэлей (Rayleigh) /: 103, 108, 111,
118-120, 124, 135, 136, 627
Рэнни (Rannie W. D.) /: 238, 290,
291, 294, 627
Саймон (Simon A.) /: 123, 626
Сарджент (Sargent L. M.) /: 115,
158, 614
Сато К. (Sato К.) / : 284, 635
Сато X. (Sato H.) 2:186, 699
Саттон (Sutton О. G.) /:110, 113,
246, 249, 250, 394, 507, 563, 572—
574, 576, 627
Саусвелл (Southwell R. V.) /: 107,
108, 111—113, 126,625,627
Саф (Saph V.) /: 260
Сафмен (Saffman P. G.) /: 504, 524,
525, 527, 528, 541, 548, 550, 560,
567, 570, 582, 627; 2: 157, 158, 392,
393, 397, 699
Свердруп (Sverdrup H. U.) /: 246,
628
Седов Л. Н. 2: 133, 143—145, 160,
162, 164, 167, 169, 700
Сейдж (Sage В. Н.) /: 284, 612, 615,
635
Секигучи (Sekiguchi Y.) 2:482, 696
Сексл (Sexl Т.) / : 128, 628
Селларс (Sellars J. R.) /: 128, 615
Селлерс (Sellers W. D.) /: 389, 628
Сен (Sen N. R.) 2:221, 700
Сенднер (Sendner H.) 2:512, 687
Сенека (Seneca J.) 2:498, 499, 700
Сермак (Cermak J. E.) /: 490, 494,
495, 588, 620, 628; 2:437, 700
Серрин (Serrin J.) / : 139, 140, 628
Сигал (Segal T.) 2 : 669, 700
Сиджел (Segel L. A.) / : 110, 154—
156, 628
Силвермен (Silverman R. A.) 2:550,
567, 700
Симмонс (Simmons L. F. G.) /: 472,
628; 2: 15, 186, 235, 700
Синг (Synge J. L.) / : 104, 107, 628;
2: 104, 700
Сионо (Syono S.) /: 389, 390, 628;
2:465, 700
Ситников К. А. 2:290, 300, 700
Сквайр (Squire H. B.) /: 114, 230,
237, 309, 312, 628
Скрэмстед (Skramstad H. K.) /: 90,
130—132, 158, 610, 637; 2:310, 422,
686
Слейчер (Sleicher С A., Jr.) /: 284,
628
Слуцкий E. E. / : 209, 628
Смит Д. (Smith D. W.) /: 274, 628
Смит С. (Smith S. D.) 2:437, 438,
451, 533, 698
Смит Ф. (Smith F. B.) / : 576, 579,
580, 628, 2: 498, 700

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
717
Солтер (Salter С.) / : 472, 628; 2: 15,
W, 700
Сорокин В. С. / : 147, 629
Спигел (Spiegel E. А.) / : 26,367,629;
2 : 201, 202, 690
Спилхаус (Spilhaus A. F.) / : 408, 424,
440,620
Сполдинг (Spalding D. В.) /: 238,
288, 629
Спэрроу (Sparrow Е. М.) / : 108, 111,
Стейнмен (Steinman H.) /: 108, 629
Стернберг (Sternberg J.) / : 239, 629
Стернзат М. С. / : 408, 440, 613
Стоке (Stokes G.) / : 44
Стоммел (Stommel H.) 2:494—496,
699, 700
Стэнтон (Stanton Т. Е.) / : 260
Стэрас (Staras H.) 2: 550, 700
Стюарт Дж. (Stuart J. Т.) / : 59, 106,
110—112, 132, 142, 148—151, 154—
156, 159, 160, 620, 628, 629
Стюарт P. (Stewart R. W.) / : 87, 381,
436, 629; 2:106, 108, 109, 111, 148,
150, 171—175, 186—189, 191, 198,
201, 204, 210, 215—221, 225, 226,
386, 393, 422, 423, 429, 431, 437—
444, 458, 520, 526, 527, 529, 530,
532-538, 681, 684, 695, 698,700,701
Субботин В. И. / : 284, 629
Суинбенк (Swinbank W. С.) /: 246,
284, 382, 393, 414—416, 419, 425,
427—429, 431, 432, 435, 438, 440,
455, 457, 459, 588, 625, 629; 2:433,
446, 448, 701
Суоми (Suomi V. Е.) 2:427, 681
Сучков Б. А. 2:587, 588, 701
Сэндборн (Sandborn V. A.) 2:437,
438, 442, 443, 527—529, 701
Такеда (Takeda К.) / : 395, 630
Такеучи (Takeuchi К.) /: 345, 392,
414, 415, 423, 427, 446, 459, 630;
2 : 433, 448, 452, 701
Тан (Tan H. S.) 2:106, 148, 701
Таненбаум (Tanenbaum S. В.) 2:216,
217, 701
Тани (Tani I.) 2:419, 701
Танк (Tank W.) 2 : 498, 701
Татарский В. И. / : 8, 442, 604; 2:425,
445, 447, 448, 452, 454, 455, 500, 501,
546, 550, 557, 566, 578, 582, 584,
587—591, 593, 598, 601, 602, 604,
606, 608, 611, 612, 626, 627, 641,
669, 674, 676, 680, 683, 685, 689, 701,
702, 708
Тауненд (Townend Н. С. Н.) / : 227,
Таунсенд (Townsend А. А.) / : 26, 228,
237, 253, 307, 309, 312, 317, 365, 367,
430, 431, 472, 473, 477, 485, 506, 512,
524, 554, 605, 630, 631; 2: 108, 116,
129, 130, 146, 147, 171—176, 180,
186—189, 191, 198, 201, 204, 210, 213,
215—221, 223, 224, 234, 236, 247, 263,
266, 386, 391—394, 397, 410, 418, 422,
423, 440—444, 475, 481, 515, 526—
530, 532, 580, 681, 701, 702
f ацуми (Tatsumi Т.) / : 134—136, 146,
630; 2:241, 251, 252, 257, 258,
702
Темпельман А. А. / : 212, 630
Тептин Г. М. 2: 359, 702
Тепфер (Toepfer С.) / : 53
Тидстром (Tidstrom К. D.) /:115,
158, 614
Тильман (Tillmann W.) / : 226, 619
Типпельскирх (Tippelskirch H.) / : 154,
631
Титт (Titt E. W.) 2:257, 377, 649,
705
Титьенс (Tietjens О.) / : 125, 631
Толмен (Tolman R. С.) /: 59, 631
Толмин (Tollmien W.) / : 119, 122,126,
129, 130, 158, 309, 631; 2:215, 216,
218, 702
Томас Д. (Thomas D. В.) / : 430, 631
Томас Л. (Thomas L. Н.) / : 127, 128,
631
Томпсон (Thompson M. С.) 2:455,
589, 590, 682, 702
Томсон (Thomson W. R.) / : 291, 623
Торнтвейт (Thornthwaite С. Н.)
/-.409,631
Тулукян (Touloukian J. S.) /: 289,
618
Тьен (Tien С. L.) / : 238, 285, 631
Тэйлор Дж. (Taylor G. I.) / : 17, 19,
20, 22, 89, 95, 104, 107—109, 123,
124, 130, 140, 148, 149/210,287—289,
291, 292, 295, 298—300, 302, 435,436,
475, 477, 513, 514, 530, 539, 541, 543,
546—549, 573, 581, 631; 2:15, 16,
104, 105, 108, 128, 129, 234, 235, 331,
332, 416, 426, 433, 467,, 468, 493,
702
Тэйлор E. (Taylor E. A.) /: 539, 548,
603
Тэйлор P. (Taylor R. J.) 1:414, 415,
419, 420, 423, 427, 428, 431, 432,
439—442, 455, 458, 632; 2:446, 448,
452, 703

718
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Тэрнер (Turner J. S.) / : 396, 417, 418,
422, 436, 638
Уайлд (Wyld H. W.) 2: 268, 272, 273,
632, 634, 703
Уайт (White С. М.) /: 137, 611
Уберои (Uberoi M. S.) /: 309, 473,
503, 512—514, 554, 615, 632; 2: 106,
116, 119, 173, 176—178, 186—189,
216—218, 220, 226, 227, 232, 234—
236, 312, 335, 418—420, 470, 703
ymiKHHc(Wilkins E. М.) 2:434, 496,
497, 500, 703
Уилон (Wheelon A. D.) 2:237, 353,
694, 703
Уилс (Wills J. А. В.) 2:337, 703
Уилсон (Wilson В. W.) / : 250, 632
Уленбек (Uhlenbeck G. Е.) / : 590,
632*
Уокер Дж. (Walker J. H.) 1 : 274, 628
Уокер Е. (Walker E. R.) 2:464, 703
Уоллес (Wallis S.) 2:106, 116, 176,
418, 703
Уотсон (Watson J.) /:115, 151, 152,
156, 159, 633
Уховский М. Р. / : 147, 633
Уэбб (Webb Е. К.) / : 250, 388, 418—
421, 429, 431, 442, 446, 609, 632,
633; 2 : 327, 703
Уэнзел (Wentzel D. G.) 2: 269, 703
Фавр (Favre А.) / : 503, 633; 2: 16,
186, 336, 337, 703
Фаин (Fine P. С.) / : 59, 631
Фейер (Fejer А. А.) / : 161, 620
Фейнман (Feynman R. Р.) 2:669, 676,
704
Феллер (Feller W.) / : 508, 536
Фергюсон (Ferguson H.) 2:219, 679
Филип (Philip J. R.) / : 541, 633
Филлипс (Phillips О. М.) / : 87, 541,
605, 633; 2:302, 387, 388, 704
Фишер (Ficher M. J.) 2:337, 704
Флейшмен (Fleishman В. А.) / : 514,
633
Фок В. А. / : 592, 633
Фокнер (Falkner V. М.) / : 276, 277,
633
Форстолл (Forstall W.) / : 309, 633
Френзен (Frenzen P.) 2:434, 704
Френкиль (Frenkiel F. N.) / : 476, 506,
514, 633; 2: 146, 223, 226, 498, 499,
704
Фридман А. А. /: 17, 18, 319, 613;
2:379, 503
Фридрихе (Friedrichs К. О.) 2:669,
7&Г
Фримен (Freeman H. В.) / : 266, 267
Фрич (Fritsch W.) / : 252, 634
Фрост (Frost R.) /:395, 576, 634
Фрэнсис (Fransis G. С.) 2:264, 695
Фультц (Fultz D.) / : 109, 610
Функ (Funk J. P.) / : 365, 634
Фэйдж (Fage A.) / : 227, 233, 634
Хаген (Hagen G.) / : 44, 79, 146, 260,
634
Хазен Э. М. 2: 249, 260, 704
Хайкин С. Э. / : 157, 603
Халтинер (Haltiner G. J.) / : 364, 634
Хама (Наша F. R.) / : 158, 238, 245,
266, 267, 298, 634; 2: 176, 705
Хамуро (Hamuro M.) / : 389, 390, 628
Ханзава (Hanzawa M.) 2:494, 704.
Ханзен (Hansen M.) / : 55, 56, 83, 634
Хант (Hunt J. N.) / : 262, 634
Харрис (Harris D. L.) 2:212, 220,
699
Хассельман (Hasselmann К.) 2:111,
203, 204, 704
Хатчингс (Hutchings J. W.) 2:465,
704
Хауэлс (Howells I. D.) 2: 198, 410,
411, 681, 704
Хегарти (Hegarty J. C.) / : 158, 634
Хелстед (Halstead M.) / : 396, 421,634
Херринг (Herring J. R.) 2:666, 667,
705
Хинце (Hinze J. O.) / : 232, 238, 257,
309, 312, 316, 514, 527, 552—554,
634, 635; 2: 232, 705
Хинчин А. Я. / : 214; 2:13, 15, 705
Ховарт (Howarth L.) /: 53, 61, 69,
279, 635; 2:62, 66, 110—112, 122,
123, 127, 132, 144, 158, 161, 163, 164,
166, 167, 171, 203, 217, 238, 242, 244,
265, 291, 300, 363, 364, 366, 687
Хойланд (Hoiland E.) / : 123, 124, 638
Холцмен (Holzman B.) / : 391, 635
Хопф (Hopf E.) /:27, 177, 635;
2:257, 377, 615, 619, 625, 643, 649,
705
Хопф Л. (Hopf L.) / : 125
Хоуард (Howard L. N.) /: 124, 134,
136, 610, 635
Хоуарт см. Ховарт
Хоуген (Haugen D. A.) /: 574, 603,
635
Key (Hsu N. T.) / : 284, 612, 635
Худимото (Hudimoto B.) / : 237, 635
Хэй Д. (Hay D. R.) 2:456, 705

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
719
Хэй Дж. (Hay J. S-) / :.5ОЗ, 504, 513,
635; 2 : 498, 700
Хэла (Hela I.) 2:512, 705
Хэмблин (Hamblin P. F.) 2:437, 438,
451, 533, 698
Цай Ко-ен / : 238, 635
Цай Шу-тан (Tsai Shu-Tang) 2: 104,
706
Царантонелло (Zarantonello Е. Н.)
/: 312, 604
Цванг Л. Р. / : 8, 442, 455, 457, 604,
635; 2: 337, 416, 425, 426, 428, 434—
436, 440,446, 448—454, 459, 460,
557, 680, 684, 685, 689, 705
Цейтин Г. X. /:560, 576, 635
Цудзи (Tsuji H.) 2: 174, 176, 705
Чайлдс (Childs W. H. J.) / : 131, 605
Чанади (Csanady G. Т.) 2:494, 495,
500, 706
Чандрасекар (Chandrasekhar S.) / : 28,
79, 104, 106, 108, 109, 111, ИЗ; 148,
590, 635, 636; 2:41, 208, 219, 267—
269, 282, 290, 375, 706
Чарнок (Charnock H.) /: 250, 383,
435, 636; 2 : 497, 500, 706
Чемберлен (Chamberlain J. W.) 2 : 269,
706
Чен (Tchen С. М.) / : 258, 278, 312,
637; 2: 196, 198, 511, 706
Чепмен Д. (Chapman D. R.) / : 288,
636
Чепмен С. (Chapman S.) /: 59, 636
Чернов Л. А. 2: 546, 706
Чжан (Chuang H.) 2 : 437, 700
Чжоу (Chou P. Y.) / : 322, 323, 636;
2: 104, 223, 706
Чжу (Chu В. Т.) / : 70, 75, 636
Чилтон (Chilton Т. Н.) /: 290, 636
Чисхольм (Chisholm J. H.) 2:568,
569, 706
Читти (Chitty L.) / : 126, 627
Чудновский А. Ф. /:423, 424, 617
Шаде (Schade H.) / : 152, 636
Шапиро (Shapiro H. N.) 2:669, 704
Шварц (Schwarz W. Н.) 2:186, 187,
190, 423, 437, 439—442, 452, 456,
457, 682
Швебер (Schweber S. S.) 2:249, 270,
626, 706
Швец М. Е. / : 294, 638
Швингер (Schwinger J.) 2 : 669
Шевчик (Szewczyk A.) / : 136, 604
Шеппард (Sheppard P. А.) /: 246,
442, 506, 633, 636
Шервуд (Sherwood Т. К.) / : 283, 6?6
Шёнберг (Schoenberg I. J.) 2:81, 694
Шёнгер (Schoenherr К. Е.) / : 278, 636
Шёнфельд (Schonfeld J. С.) 2:512,
706
Шиллер (Schiller L.) /: 44, 58, 80,
260, 637
Шилов Г. Е. 2:669, 670, 632, 706
Шимануки (Shimanuki A.) / : 5?7, 580,
639; 2 : 474, 706
Шингер (Schinger W. G.) / : Ш
Шиотани (Shiotani М.) /: 418, 446,
637; 2 : 424, 428, 446, 706
Широкова Т. А. 2 : 590, 707
Шлингер (Schlinger W,-Q.) /F12
Шлихтинг (Schlichting H.) / : ?$, 52—
54, 70, 79, 83, 84, 123, 124, Ш, 129,
130, 132, 133, 158, 244, 277—279,
302 312 637
Шмидт (Schmidt W.) / : 221, 395, 530,
637; 2:493
Шодер (Schoder Е. Н.) / : 260
Шпильберг (Spielberg J.) / : 128, 628
Шу (Schuh H.) / : 233
Шубауэр (Schubauer G. В.) /: 90,
130—132, 158, 233, 258, 278, 312,
455, 610, 637; 2:310, 422, 686
Шульц-Грунов (Schultz-Grunow F.)
/ : 233, 266, 267, 274, 276—278, 637
Шур Г. Н. 2: 360, 387, 388, 427, §82,
Шутько А. В. 2:286, 377, 707
Шэнь (Shen S. F.) /: 127, 130—132,
637
Щербакова Л. Ф. / : 409, 637
Эдварде (Edwards S. F.) 2: 663—669,
707
Эдмондс (Edmonds F. N.. Jr.) 2:455,
707
Эйнштейн (Einstein H. А.) /: 239,
637
Эйфель (Eiffel G.) / : 88, 638
Эйянн @iann Н.) / : 154—156, 623
Эккерт (Eckert E. R. G.) / : 279, 638
Экман (Ekman V. W.) / : 81, 638
Экснер (Exner F. М.) 2:609, 697
Элберт (Elbert D. D.) / : 108, 636
Элдер (Elder J. W.) / : 83, 541, 548,
551, 552, 638
Элиас (Elias F.) / : 283, 638
Элиассен (Eliassen A.) /: 123, 124,
638

720
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эллиот (Elliot W. Р.) /:394,
638
Эллиотт (Elliott D.) /: 134, 135,
614
Эллисон (Ellison Т. Н.) / : 249, 250,
262, 383, 388, 389, 396, 397, 417, 418,
422, 435, 436, 489, 490, 506; 54Г, 548,
551, 552, 585, 587, 636, 638; 2: 196,
207, 220, 559, 707
Элрик (Elrick D. Е.) / : 558, 638
Элрод (Elrod H. G.) / : 229, 638
Эмде (Emde F.) 2 : 255, 708
Эрк (Erk S.) / : 260, 279, 607
Эш (Esch R. Е.) / : 136, 638
Эшенредер (Eschenroeder A. Q.)
2:200, 707
Юдин М. И. / : 294, 638
Юдович В. И. / : 147, 633
Яглом А. М. / : 70, 74, 77, 203 485,
489, 557, 622, 639; 2:8, 10, 21, 42,
48—50, 53, 60, 76, 86, 90, 119, 132,
144, 145, 201, 210, 230, 233, 292,328,
329, 338—340, 344, 353, 367, 372—
376, 416, 424, 428, 436, 446, 455,
536, 537, 541, 542, 669, 679, 682,
684, 685, 695, 707, 708
Яглом И. М. 2: 106, 708
Якоб (Jacob M.) / : 260
Ямамото (Yamamoto G.) / : 365, 389,
390, 577, 580, 639
Янке (Jahnke E.) 2:255, 708