Обложка
Титульный лист оригинала
Титульный лист перевода
Аннотация
Оглавление
Предисловие
Благодарности
Об условных обозначениях
Пролог
Глава 1. Истоки науки
1.2. Математическая истина
1.3. «Реален» ли математический мир Платона?
1.4. Три мира и три великие загадки
1.5. Истина, Добро и Красота
Глава 2. Древняя теорема и современный вопрос
2.2. Постулаты Евклида
2.3. Другое доказательство теоремы Пифагора
2.4. Гиперболическая геометрия: конформное представление
2.5. Другие представления гиперболической геометрии
2.6. Гиперболическая геометрия в исторической перспективе
2.7. Гиперболическая геометрия и физическое пространство
Глава 3. Виды чисел в физическом мире
3.2. Система вещественных чисел
3.3. Вещественные числа в физическом мире
3.4. Нуждаются ли натуральные числа в наличии физического мира?
3.5. Дискретные числа в физическом мире
Глава 4. Магические комплексные числа
4.2. Решение уравнений с комплексными числами
4.3. Сходимость степенных рядов
4.4. Комплексная плоскость Каспара Весселя
4.5. Как построить множество Мандельброта
Глава 5. Геометрия логарифмов, степеней и корней
5.2. Идея комплексного логарифма
5.3. Многозначность, натуральные логарифмы
5.4. Комплексные степени
5.5. Связь с физикой элементарных частиц
Глава 6. Исчисление вещественных чисел
6.2. Наклон функции
6.3. Высшие производные, $C^{\infty}$-гладкие функции
6.4. Каково «эйлерово» понимание функции?
6.5. Правила дифференцирования
6.6. Интегрирование
Глава 7. Исчисление комплексных чисел
7.2. Контурное интегрирование
7.3. Степенные ряды, получаемые из комплексной гладкости
7.4. Аналитическое продолжение
Глава 8. Римановы поверхности и комплексные отображения
8.2. Конформные отображения
8.3. Сфера Римана
8.4. Род компактной римановой поверхности
8.5. Теорема о римановом отображении
Глава 9. Разложение Фурье и гиперфункции
9.2. Функции на окружности
9.3. Расщепление частот на сфере Римана
9.4. Преобразование Фурье
9.5. Расщепление частот, получаемое из преобразования Фурье
9.6. Какие функции приемлемы?
9.7. Гиперфункции
Глава 10. Поверхности
10.2. Гладкость, частные производные
10.3. Векторные поля и l-формы
10.4. Компоненты, скалярные произведения
10.5. Условия Коши-Римана
Глава 11. Гиперкомплексные функции
11.2. Какова роль кватернионов в физике?
11.3. Геометрия кватернионов
11.4. Как складывать вращения
11.5. Алгебры Клиффорда
11.6. Алгебры Грассмана
Глава 12. $n$-мерные многообразия
12.2. Многообразия и координатные лоскуты
12.3. Скаляры, векторы и ковекторы
12.4. Грассмановы произведения
12.5. Интегрирование форм
12.6. Внешняя производная
12.7. Элемент объема, правило суммирования
12.8. Тензоры. Абстрактные индексы и диаграммное представление
12.9. Комплексные многообразия
Глава 13. Группы симметрии
13.2. Подгруппы и простые группы
13.3. Линейные преобразования и матрицы
13.4. Определители и следы
13.5. Собственные значения и собственные векторы
13.6. Теория представлений и алгебры Ли
13.7. Тензорные пространства представлений. Приводимость
13.8. Ортогональные группы
13.9. Унитарные группы
13.10. Симплектические группы
Глава 14. Математический анализ на многообразиях
14.2. Параллельный перенос
14.3. Ковариантная производная
14.4. Кривизна и кручение
14.5. Геодезические, параллелограммы и кривизна
14.6. Производная Ли
14.7. Что может дать нам метрика
14.8. Симплектические многообразия
Глава 15. Расслоенные пространства и калибровочные связности
15.2. Математическая идея расслоения
15.3. Сечения расслоений
15.4. Расслоение Клиффорда-Хопфа
15.6. Проективные пространства
15.7. Нетривиальность в связности расслоения
15.8. Кривизна расслоения
Глава 16. Лестница бесконечности
16.2. Конечная или бесконечная геометрия нужна физике?
16.3. Бесконечности разного размера
16.4. Диагональная косая черта Кантора
16.5. Загадки оснований математики
16.6. Машины Тьюринга и теорема Гёделя
16.7. Размеры бесконечности в физике
Глава 17. Пространство-время
17.2. Пространство-время галилеевой относительности
17.3. Ньютоновская динамика на языке пространства-времени
17.4. Принцип эквивалентности
17.5. «Ньютоновское пространство-время» в представлении Картана
17.6. Фиксированная конечная скорость света
17.7. Световые конусы
17.8. Отказ от абсолютного времени
17.9. Пространство-время общей теории относительности Эйнштейна
Глава 18. Геометрия Минковского
18.2. Группы симметрии пространства Минковского
18.3. Лоренцева ортогональность. «Парадокс часов»
18.4. Гиперболическая геометрия в пространстве Минковского
18.5. Небесная сфера как сфера Римана
18.6. Ньютоновская энергия, импульс и момент импульса
18.7. Релятивистская энергия, импульс и момент импульса
Глава 19. Классические поля Максвелла и Эйнштейна
19.2. Максвелловская теория электромагнетизма
19.3. Законы сохранения и потоки в теории Максвелла
19.4. Максвелловское поле как калибровочная кривизна
19.5. Тензор энергии-импульса
19.6. Эйнштейновское уравнение поля
19.7. Дальнейшее развитие. Космологическая постоянная, тензор Вейля
19.8. Энергия гравитационного поля
Глава 20. Лагранжианы и гамильтонианы
20.2. Более симметричная гамильтонова картина
20.3. Малые колебания
20.4. Гамильтонова динамика как симплектическая геометрия
20.5. Лагранжева трактовка полей
20.6. Как лагранжианы двигают современную теорию
Глава 21. Квантовая частица
21.2. Квантовые гамильтонианы
21.3. Уравнение Шредингера
21.4. Экспериментальные основания квантовой теории
21.5. Обсуждение дуализма волна-частица
21.6. Что есть квантовая «реальность»?
21.7. «Целостная» природа волновой функции
21.8. Таинственные «квантовые скачки»
21.9. Распределение вероятностей в волновой функции
21.10. Координатные состояния
21.11. Описание в импульсном пространстве
Глава 22. Квантовая алгебра, геометрия и спин
22.2. Линейность $\mathbb{U}$ и возникающие в связи с этим проблемы для $\mathbb{R}$
22.3. Унитарная структура, гильбертово пространство и обозначения Дирака
22.4. Унитарная эволюция. Представления Шредингера и Гейзенберга
22.5. Квантовые «наблюдаемые»
22.6. Измерения ДА/НЕТ. Проекторы
22.7. Нулевые измерения. Спиральность
22.8. Спин и спиноры
22.9. Сфера Римана для систем с двумя состояниями
22.10. Высокие значения спина. Представление Майораны
22.11. Сферические гармоники
22.12. Релятивистский квантовый момент импульса
22.13. Общий случай изолированного квантового объекта
Глава 23. Перепутанный квантовый мир
23.2. Гигантский объем пространства многочастичных состояний
23.3. Квантовое перепутывание. Неравенства Белла
23.4. ЭПР-эксперименты по Бому
23.5. ЭПР-эксперимент по Харди — почти без вероятностей
23.6. Две загадки квантового перепутывания
23.7. Бозоны и фермионы
23.8. Квантовые состояния бозонов и фермионов
23.9. Квантовая телепортация
23.10. Кванглеменция
Глава 24. Электрон Дирака и античастицы
24.2. Почему античастицы приводят к квантовым полям?
24.3. Положительность энергии в квантовой механике
24.4. Проблемы с релятивистской формулой для энергии
24.5. Неинвариантность оператора $\partial/\partial t$
24.6. Квадратный корень из волнового оператора по Клиффорду-Дираку
24.7. Уравнение Дирака
24.8. Как Дирак пришел к позитрону
Глава 25. Физика элементарных частиц: стандартная модель
25.2. Зигзаг-представление электрона
25.3. Электрослабое взаимодействие. Симметрия относительно отражения
25.4. Зарядовое сопряжение, четность и обращение времени
25.5. Электрослабая группа симметрии
25.6. Сильно взаимодействующие частицы
25.7. «Цветные кварки»
25.8. За пределами стандартной модели
Глава 26. Квантовая теория поля
26.2. Операторы рождения и уничтожения
26.3. Бесконечномерные алгебры
26.4. Античастицы в КТП
26.5. Альтернативные вакуумы
26.6. Взаимодействия: лагранжианы и интегралы по траекториям
26.7. Расходящиеся интегралы по траекториям: ответ Фейнмана
26.8. Построение фейнмановских диаграмм. $S$-матрица
26.9. Перенормировка
26.10. Фейнмановские диаграммы из лагранжианов
26.11. Фейнмановские диаграммы и выбор вакуума
Глава 27. Большой взрыв и его термодинамическое наследие
27.2. Субмикроскопические составные части
27.3. Энтропия
27.4. Прочность концепции энтропии
27.5. Вывод Второго закона... или нет?
27.6. Является ли Вселенная в целом «изолированной системой»?
27.7. Роль Большого взрыва
27.8. Черные дыры
27.9. Горизонты событий и пространственно-временные сингулярности
27.10. Энтропия черной дыры
27.11. Космология
27.12. Конформные диаграммы
27.13. Наш собственный особенный Большой взрыв
Глава 28. Умозрительные теории ранней Вселенной
28.2. Космические топологические дефекты
28.3. Проблемы с нарушением симметрии в ранней Вселенной
28.4. Инфляционная космология
28.5. Справедливы ли предпосылки инфляционной модели?
28.6. Антропный принцип
28.7. Особая природа Большого взрыва: антропный ключ?
28.8. Гипотеза кривизны Вейля
28.9. Гипотеза отсутствия границ Хартла-Хокинга
28.10. Космологические параметры: согласие с результатами наблюдений
Глава 29. Парадокс измерения
29.2. Нетрадиционные онтологии квантовой теории
29.3. Матрица плотности
29.4. Матрицы плотности для спина $\dfrac{1}{2}$ Сфера Блоха
29.5. Матрица плотности в условиях ЭПР-эксперимента
29.6. Практическая философия декогеренции, создаваемой окружением
29.7. Кошка Шредингера в «копенгагенской» онтологии
29.8. Способны ли разрешить «кошачий» парадокс другие традиционные онтологии?
29.9. Чем могут помочь нетрадиционные онтологии?
Глава 30. Роль гравитации в редукции квантового состояния
30.2. Подсказки со стороны космологической временной асимметрии
30.3. Роль временной асимметрии в редукции квантового состояния
30.4. Хокингова температура черной дыры
30.5. Температура черной дыры и комплексная периодичность
30.6. Векторы Киллинга, поток энергии и... путешествие во времени!
30.7. Орбиты с отрицательной энергией и уход энергии с них
30.8. Взрывы Хокинга
30.9. Более радикальный взгляд
30.10. Шредингеров объект
30.11. Фундаментальный конфликт с принципами теории Эйнштейна
30.12. Предпочтительные состояния Шредингера-Ньютона
30.13. Эксперимент FELIX и другие аналогичные предложения
30.14. Природа флуктуации в ранней Вселенной
Глава 31. Суперсимметрия, надразмерность и струны
31.2. Суперсимметрия
31.3. Алгебра и геометрия суперсимметрии
31.4. Пространство-время с увеличенным числом измерений
31.5. Первоначальная адронная теория струн
31.6. На пути к струнной теории мира
31.7. Побудительные мотивы введения лишних измерений пространства-времени в теории струн
31.8. Теория струн как квантовая гравитация?
31.9. Динамика струн
31.10. Почему мы не видим дополнительных пространственных измерений?
31.11. Следует ли принимать аргументацию с точки зрения квантовой стабильности?
31.12. Классическая нестабильность дополнительных измерений
31.13. Конечна ли струнная квантовая теория поля?
31.14. Магические пространства Калаби-Яу; М-теория
31.15. Струны и энтропия черных дыр
31.16. «Голографический принцип»
31.17. D-браны
31.18. Физический статус теории струн
Глава 32. Узкая тропа Эйнштейна. Петлевые переменные
32.2. Киральность и переменные Аштекара
32.3. Вид переменных Аштекара
32.4. Петлевые переменные
32.5. Математика узлов и связей
32.6. Спиновые сети
32.7. Статус квантовой гравитации с петлевыми переменными
Глава 33. Более радикальный взгляд. Теория твисторов
33.2. Твисторы как световые лучи
33.3. Конформная группа. Компактифицированное пространство Минковского
33.4. Твисторы как многомерные спиноры
33.5. Элементарная твисторная геометрия и система координат
33.6. Геометрия твисторов как вращающихся безмассовых частиц
33.7. Квантовая теория твисторов
33.8. Твисторное описание безмассовых полей
33.9. Твисторная когомология пучков
33.10. Твисторы и расщепление на положительные и отрицательные частоты
33.11. Нелинейный гравитон
33.12. Твисторы и общая теория относительности
33.13. На пути к твисторной теории элементарных частиц
33.14. Каково будущее теории твисторов?
Глава 34. Где лежит путь к реальности?
34.2. Фундаментальная физика, движимая математикой
34.3. Роль моды в физической теории
34.4. Можно ли экспериментально опровергнуть неверную теорию?
34.5. Откуда ожидать следующую физическую революцию?
34.6. Что есть реальность?
34.7. Роль ментальности в физической теории
34.8. Наш долгий путь к реальности
34.9. Красота и чудеса
34.10. Многое понято, еще больше понять предстоит
Эпилог
Литература
Предметный указатель

Author: Пенроуз Р.  

Tags: математика  

ISBN: 0-7923-0541-8

Year: 2007

Text
                    R&C


Roger Penrose The Road to Reality A Complete Guide to the Laws of the Universe JONATHAN CAPE LONDON
Роджер ПЕНРОУЗ ПУТЬ К РЕАЛЬНОСТИ, или ЗАКОНЫ, УПРАВЛЯЮЩИЕ ВСЕЛЕННОЙ Полный путеводитель Перевод с английского А. Р. Логунова и Э. М. Эпштейна R&C Москва 4 Ижевск 2007
Оглавление Предисловие 15 Благодарности 21 Об условных обозначениях 23 Пролог 26 Глава 1. Истоки науки 30 1.1. Силы, движущие миром 30 1.2. Математическая истина 32 1.3. «Реален» ли математический мир Платона? 34 1.4. Три мира и три великие загадки 39 1.5. Истина, Добро и Красота 42 Глава 2. Древняя теорема и современный вопрос 45 2.1. Теорема Пифагора 45 2.2. Постулаты Евклида 47 2.3. Другое доказательство теоремы Пифагора 49 2.4. Гиперболическая геометрия: конформное представление 51 2.5. Другие представления гиперболической геометрии 55 2.6. Гиперболическая геометрия в исторической перспективе 59 2.7. Гиперболическая геометрия и физическое пространство 62 Глава 3. Виды чисел в физическом мире 67 3.1. Катастрофа пифагорейцев? 67 3.2. Система вещественных чисел 69 3.3. Вещественные числа в физическом мире 73 3.4. Нуждаются ли натуральные числа в наличии физического мира? 76 3.5. Дискретные числа в физическом мире 77 Глава 4. Магические комплексные числа 82 4.1. Магическое число г 82 4.2. Решение уравнений с комплексными числами 84 4.3. Сходимость степенных рядов 86 4.4. Комплексная плоскость Каспара Весселя 89 4.5. Как построить множество Мандельброта 92 Глава 5. Геометрия логарифмов, степеней и корней 94 5.1. Геометрия комплексной алгебры 94 5.2. Идея комплексного логарифма 97 5.3. Многозначность, натуральные логарифмы 99 5.4. Комплексные степени 102 5.5. Связь с физикой элементарных частиц 104
Оглавление Глава 6. Исчисление вещественных чисел 107 6.1. Что создает настоящую функцию? 107 6.2. Наклон функции 109 6.3. Высшие производные, С°°-гладкие функции 111 6.4. Каково «эйлерово» понимание функции? 113 6.5. Правила дифференцирования 115 6.6. Интегрирование 117 Глава 7. Исчисление комплексных чисел 122 7.1. Комплексная гладкость, голоморфные функции 122 7.2. Контурное интегрирование 123 7.3. Степенные ряды, получаемые из комплексной гладкости 126 7.4. Аналитическое продолжение 127 Глава 8. Римановы поверхности и комплексные отображения 133 8.1. Идея римановой поверхности 133 8.2. Конформные отображения 136 8.3. Сфера Римана 139 8.4. Род компактной римановой поверхности 141 8.5. Теорема о римановом отображении 144 Глава 9. Разложение Фурье и гиперфункции 148 9.1. Ряды Фурье 148 9.2. Функции на окружности 151 9.3. Расщепление частот на сфере Римана 154 9.4. Преобразование Фурье 156 9.5. Расщепление частот, получаемое из преобразования Фурье 158 9.6. Какие функции приемлемы? 160 9.7. Гиперфункции 163 Глава 10. Поверхности 169 10.1. Комплексные и вещественные размерности 169 10.2. Гладкость, частные производные 170 10.3. Векторные поля и 1-формы 174 10.4. Компоненты, скалярные произведения 178 10.5. Условия Коши-Римана 180 Глава 11. Гиперкомплексные функции 184 11.1. Алгебра кватернионов 184 11.2. Какова роль кватернионов в физике? 186 11.3. Геометрия кватернионов 188 11.4. Как складывать вращения 190 11.5. Алгебры Клиффорда 191 11.6. Алгебры Грассмана 194 Глава 12. n-мерные многообразия 198 12.1. Зачем изучать многомерные многообразия? 198 12.2. Многообразия и координатные лоскуты 201 12.3. Скаляры, векторы и ковекторы 203 12.4. Грассмановы произведения 206 12.5. Интегрирование форм 208 12.6. Внешняя производная 210 12.7. Элемент объема, правило суммирования 213
Оглавление 12.8. Тензоры. Абстрактные индексы и диаграммное представление 216 12.9. Комплексные многообразия 217 Глава 13. Группы симметрии 223 13.1. Группы преобразований 223 13.2. Подгруппы и простые группы 225 13.3. Линейные преобразования и матрицы 229 13.4. Определители и следы 233 13.5. Собственные значения и собственные векторы 235 13.6. Теория представлений и алгебры Ли 238 13.7. Тензорные пространства представлений. Приводимость 241 13.8. Ортогональные группы 245 13.9. Унитарные группы 250 13.10. Симплектические группы 254 Глава 14. Математический анализ на многообразиях 259 14.1. Дифференцирование на многообразии? 259 14.2. Параллельный перенос 260 14.3. Ковариантная производная 264 14.4. Кривизна и кручение 267 14.5. Геодезические, параллелограммы и кривизна 268 14.6. Производная Ли 274 14.7. Что может дать нам метрика 279 14.8. Симплектические многообразия 283 Глава 15. Расслоенные пространства и калибровочные связности 286 15.1. Физическая мотивация расслоенных пространств 286 15.2. Математическая идея расслоения 288 15.3. Сечения расслоений 291 15.4. Расслоение Клиффорда-Хопфа 293 15.5. Комплексные векторные расслоения, (ко)касательные расслоения 296 15.6. Проективные пространства 298 15.7. Нетривиальность в связности расслоения 303 15.8. Кривизна расслоения 306 Глава 16. Лестница бесконечности 311 16.1. Конечные поля 311 16.2. Конечная или бесконечная геометрия нужна физике? 312 16.3. Бесконечности разного размера 316 16.4. Диагональная косая черта Кантора 319 16.5. Загадки оснований математики 322 16.6. Машины Тьюринга и теорема Гёделя 324 16.7. Размеры бесконечности в физике 327 Глава 17. Пространство-время 331 17.1. Пространство-время физики Аристотеля 331 17.2. Пространство-время галилеевой относительности 333 17.3. Ньютоновская динамика на языке пространства-времени 334 17.4. Принцип эквивалентности 337 17.5. «Ньютоновское пространство-время» в представлении Картана 340 17.6. Фиксированная конечная скорость света 344 17.7. Световые конусы 345 17.8. Отказ от абсолютного времени 348
Оглавление 17.9. Пространство-время общей теории относительности Эйнштейна 351 Глава 18. Геометрия Минковского 355 18.1. 4-пространство Евклида и Минковского 355 18.2. Группы симметрии пространства Минковского 357 18.3. Лоренцева ортогональность. «Парадокс часов» 359 18.4. Гиперболическая геометрия в пространстве Минковского 362 18.5. Небесная сфера как сфера Римана 369 18.6. Ньютоновская энергия, импульс и момент импульса 371 18.7. Релятивистская энергия, импульс и момент импульса 373 Глава 19. Классические поля Максвелла и Эйнштейна 378 19.1. Эволюция ньютоновской динамики 378 19.2. Максвелловская теория электромагнетизма 379 19.3. Законы сохранения и потоки в теории Максвелла 383 19.4. Максвелловское поле как калибровочная кривизна 385 19.5. Тензор энергии-импульса 390 19.6. Эйнштейновское уравнение поля 392 19.7. Дальнейшее развитие. Космологическая постоянная, тензор Вейля 395 19.8. Энергия гравитационного поля 397 Глава 20. Лагранжианы и гамильтонианы 403 20.1. Магический лагранжев формализм 403 20.2. Более симметричная гамильтонова картина 406 20.3. Малые колебания 409 20.4. Гамильтонова динамика как симплектическая геометрия 413 20.5. Лагранжева трактовка полей 415 20.6. Как лагранжианы двигают современную теорию 416 Глава 21. Квантовая частица 421 21.1. Некоммутирующие переменные 421 21.2. Квантовые гамильтонианы 423 21.3. Уравнение Шредингера 425 21.4. Экспериментальные основания квантовой теории 426 21.5. Обсуждение дуализма волна-частица 430 21.6. Что есть квантовая «реальность»? 432 21.7. «Целостная» природа волновой функции 436 21.8. Таинственные «квантовые скачки» 439 21.9. Распределение вероятностей в волновой функции 440 21.10. Координатные состояния 442 21.11. Описание в импульсном пространстве 443 Глава 22. Квантовая алгебра, геометрия и спин 448 22.1. Квантовые процедуры UhR 448 22.2. Линейность U и возникающие в связи с этим проблемы для R 450 22.3. Унитарная структура, гильбертово пространство и обозначения Дирака . . . 452 22.4. Унитарная эволюция. Представления Шредингера и Гейзенберга 454 22.5. Квантовые «наблюдаемые» 457 22.6. Измерения ДА/НЕТ. Проекторы 460 22.7. Нулевые измерения. Спиральность 461 22.8. Спин и спиноры 466 22.9. Сфера Римана для систем с двумя состояниями 469 22.10. Высокие значения спина. Представление Майораны 474
Оглавление 22.11. Сферические гармоники 476 22.12. Релятивистский квантовый момент импульса 480 22.13. Общий случай изолированного квантового объекта 483 Глава 23. Перепутанный квантовый мир 490 23.1. Квантовая механика систем многих частиц 490 23.2. Гигантский объем пространства многочастичных состояний 491 23.3. Квантовое перепутывание. Неравенства Белла 493 23.4. ЭПР-эксперименты по Бому 495 23.5. ЭПР-эксперимент по Харди — почти без вероятностей 499 23.6. Две загадки квантового перепутывания 500 23.7. Бозоны и фермионы 502 23.8. Квантовые состояния бозонов и фермионов 504 23.9. Квантовая телепортация 506 23.10. Кванглеменция 509 Глава 24. Электрон Дирака и античастицы 515 24.1. Конфликт между квантовой теорией и теорией относительности 515 24.2. Почему античастицы приводят к квантовым полям? 516 24.3. Положительность энергии в квантовой механике 517 24.4. Проблемы с релятивистской формулой для энергии 519 24.5. Неинвариантность оператора d/dt 520 24.6. Квадратный корень из волнового оператора по Клиффорду-Дираку 522 24.7. Уравнение Дирака 523 24.8. Как Дирак пришел к позитрону 525 Глава 25. Физика элементарных частиц: стандартная модель 530 25.1. Истоки современной физики элементарных частиц 530 25.2. Зигзаг-представление электрона 531 25.3. Электрослабое взаимодействие. Симметрия относительно отражения .... 534 25.4. Зарядовое сопряжение, четность и обращение времени 539 25.5. Электрослабая группа симметрии 540 25.6. Сильно взаимодействующие частицы 544 25.7. «Цветные кварки» 546 25.8. За пределами стандартной модели 548 Глава 26. Квантовая теория поля 552 26.1. Фундаментальный статус квантовой теории поля в современной теоретической физике 552 26.2. Операторы рождения и уничтожения 553 26.3. Бесконечномерные алгебры 556 26.4. Античастицы в КТП 557 26.5. Альтернативные вакуумы 558 26.6. Взаимодействия: лагранжианы и интегралы по траекториям 560 26.7. Расходящиеся интегралы по траекториям: ответ Фейнмана 563 26.8. Построение фейнмановских диаграмм. S-матрица 565 26.9. Перенормировка 568 26.10. Фейнмановские диаграммы из лагранжианов 571 26.11. Фейнмановские диаграммы и выбор вакуума 572
10 Оглавление Глава 27. Большой взрыв и его термодинамическое наследие 577 27.1. Временная симметрия в динамической эволюции 577 27.2. Субмикроскопические составные части 578 27.3. Энтропия 580 27.4. Прочность концепции энтропии 582 27.5. Вывод Второго закона... или нет? 585 27.6. Является ли Вселенная в целом «изолированной системой»? 587 27.7. Роль Большого взрыва 589 27.8. Черные дыры 594 27.9. Горизонты событий и пространственно-временные сингулярности 597 27.10. Энтропия черной дыры 599 27.11. Космология 601 27.12. Конформные диаграммы 606 27.13. Наш собственный особенный Большой взрыв 609 Глава 28. Умозрительные теории ранней Вселенной 617 28.1. Спонтанное нарушение симметрии в ранней Вселенной 617 28.2. Космические топологические дефекты 620 28.3. Проблемы с нарушением симметрии в ранней Вселенной 623 28.4. Инфляционная космология 626 28.5. Справедливы ли предпосылки инфляционной модели? 631 28.6. Антропный принцип 634 28.7. Особая природа Большого взрыва: антропный ключ? 638 28.8. Гипотеза кривизны Вейля 640 28.9. Гипотеза отсутствия границ Хартла-Хокинга 644 28.10. Космологические параметры: согласие с результатами наблюдений 646 Глава 29. Парадокс измерения 654 29.1. Традиционные онтологии квантовой теории 654 29.2. Нетрадиционные онтологии квантовой теории 656 29.3. Матрица плотности 661 29.4. Матрицы плотности для спина i Сфера Блоха 663 29.5. Матрица плотности в условиях ЭПР-эксперимента 666 29.6. Практическая философия декогеренции, создаваемой окружением 670 29.7. Кошка Шредингера в «копенгагенской» онтологии 671 29.8. Способны ли разрешить «кошачий» парадокс другие традиционные онтологии? 673 29.9. Чем могут помочь нетрадиционные онтологии? 676 Глава 30. Роль гравитации в редукции квантового состояния 681 30.1. Окончательна ли современная квантовая теория? 681 30.2. Подсказки со стороны космологической временной асимметрии 682 30.3. Роль временной асимметрии в редукции квантового состояния 683 30.4. Хокингова температура черной дыры 686 30.5. Температура черной дыры и комплексная периодичность 690 30.6. Векторы Киллинга, поток энергии и... путешествие во времени! 694 30.7. Орбиты с отрицательной энергией и уход энергии с них 697 30.8. Взрывы Хокинга 699 30.9. Более радикальный взгляд 702 30.10. Шредингеров объект 705 30.11. Фундаментальный конфликт с принципами теории Эйнштейна 708 30.12. Предпочтительные состояния Шредингера-Ньютона 711
Оглавление 11 30.13. Эксперимент FELIX и другие аналогичные предложения 713 30.14. Природа флуктуации в ранней Вселенной 717 Глава 31. Суперсимметрия, надразмерность и струны 724 31.1. Необъяснимые параметры 724 31.2. Суперсимметрия 727 31.3. Алгебра и геометрия суперсимметрии 729 31.4. Пространство-время с увеличенным числом измерений 732 31.5. Первоначальная адронная теория струн 735 31.6. На пути к струнной теории мира 738 31.7. Побудительные мотивы введения лишних измерений пространства-времени в теории струн 740 31.8. Теория струн как квантовая гравитация? 741 31.9. Динамика струн 743 31.10. Почему мы не видим дополнительных пространственных измерений? .... 745 31.11. Следует ли принимать аргументацию с точки зрения квантовой стабильности? 749 31.12. Классическая нестабильность дополнительных измерений 751 31.13. Конечна ли струнная квантовая теория поля? 753 31.14. Магические пространства Калаби-Яу; М-теория 755 31.15. Струны и энтропия черных дыр 760 31.16. «Голографический принцип» 763 31.17. D-браны 765 31.18. Физический статус теории струн 767 Глава 32. Узкая тропа Эйнштейна. Петлевые переменные 775 32.1. Каноническая квантовая гравитация 775 32.2. Киральность и переменные Аштекара 776 32.3. Вид переменных Аштекара 778 32.4. Петлевые переменные 780 32.5. Математика узлов и связей 782 32.6. Спиновые сети 784 32.7. Статус квантовой гравитации с петлевыми переменными 789 Глава 33. Более радикальный взгляд. Теория твисторов 794 33.1. Геометрия с дискретными элементами 794 33.2. Твисторы как световые лучи 797 33.3. Конформная группа. Компактифицированное пространство Минковского . . 802 33.4. Твисторы как многомерные спиноры 805 33.5. Элементарная твисторная геометрия и система координат 807 33.6. Геометрия твисторов как вращающихся безмассовых частиц 810 33.7. Квантовая теория твисторов 814 33.8. Твисторное описание безмассовых полей 816 33.9. Твисторная когомология пучков 818 33.10. Твисторы и расщепление на положительные и отрицательные частоты .... 822 33.11. Нелинейный гравитон 824 33.12. Твисторы и общая теория относительности 828 33.13. На пути к твисторной теории элементарных частиц 830 33.14. Каково будущее теории твисторов? 831
12 Оглавление Глава 34. Где лежит путь к реальности? 837 34.1. Великие физические теории XX века — что дальше? 837 34.2. Фундаментальная физика, движимая математикой 840 34.3. Роль моды в физической теории 842 34.4. Можно ли экспериментально опровергнуть неверную теорию? 844 34.5. Откуда ожидать следующую физическую революцию? 848 34.6. Что есть реальность? 850 34.7. Роль ментальности в физической теории 852 34.8. Наш долгий путь к реальности 854 34.9. Красота и чудеса 857 34.10. Многое понято, еще больше понять предстоит 861 Эпилог 865 Литература 867 Предметный указатель 904
Эту книгу я посвящаю ДЕННИСУ СКЬЯМЕ, открывшему мне глаза на то, какой увлекательной может быть физш
Предисловие В этой книге читателя ждет рассказ о путешествии, полном открытий, о путешествии, которое представляется мне едва ли не самым важным и увлекательным из всех путешествий, в какие на протяжении своей истории пускалось человечество. Целью этого путешествия является поиск фундаментальных принципов, положенных в основу нашего мироздания и управляющих протекающими в нем процессами. В пути мы находимся вот уже более двух с половиной тысячелетий, поэтому не следует удивляться, что наш поиск привел наконец к некоторым существенным результатам. Впрочем, путь, которым мы шли, не был (да и не мог быть) легок — истинное понимание приходило не сразу, зачастую скрываясь за поворотами дороги и манящими миражами. Таково неотъемлемое свойство этого пути, и многие из нас, отчаявшись, отставали, а иные сворачивали с дороги, устремившись в неверном направлении, — на их примере оставшиеся учились осторожности. Но вот наступил двадцатый век, век выдающихся открытий и откровений — порой настолько поразительных, что многие ученые не стеснялись во всеуслышание заявлять о том, что человечество наконец-то вплотную приблизилось к ясному пониманию природы всех фундаментальных физических процессов. Поскольку я предпринимаю свое описание современного состояния фундаментальных теорий в момент, когда двадцатый век уже благополучно завершился, я постараюсь придерживаться более трезвого взгляда на вещи. Не все мои высказывания будут благосклонно приняты вышеупомянутыми «оптимистами», однако я ожидаю в ближайшем будущем еще более радикальных перемен в «направлении движения», нежели те, что произошли в прошедшем столетии. Читатель очень скоро обнаружит, что в этой книге я решительно изменяю своей обычной практике избегания математических формул, несмотря на неоднократные зловещие предупреждения издателей о том, что такой мой шаг повлечет за собой значительное сокращение читательской аудитории. Я очень серьезно обдумал этот вопрос и пришел к выводу, что без привлечения языка математики и рассмотрения некоторых чисто математических концепций сказать то, что я намерен сказать, просто невозможно. Наше понимание тех принципов, что в действительности управляют поведением окружающих нас физических объектов, в значительной мере опирается на соответствующий математический аппарат. Возможно, это обстоятельство повергнет в отчаяние тех, кто почему-либо убежден, что напрочь лишен способностей к математике, какой бы элементарной она ни была. Как можно, скажут они, понять смысл исследований, ведущихся на переднем крае теоретической физики, если мы не можем совладать даже с обыкновенными дробями? Что ж, согласен, это будет нелегко. И все же, когда дело доходит до объяснения вещей, в принципе доступных пониманию, я склонен считать себя оптимистом. Можно даже сказать, неисправимым оптимистом. Мне кажется, что читатели, не способные оперировать дробями (точнее, те, кто утверждает, что не способен оперировать дробями), слегка себя обманывают — в большинстве своем эти люди обладают потенциальной способностью к такого рода деятельности, но по разным причинам предпочитают об этом «не знать». Без сомнения, есть среди них и такие, кто, глядя на строку математических символов, даже самых простых, видит перед собой лишь строгие лица родителей и учителей, пытавшихся вдолбить в них «знания» и требующих взамен попугайского повторения, видимости понимания, не нуждающейся в понимании истинном, — ты должен выучить от сих до сих, иначе будет плохо, — до волшебства же и красоты изучаемого предмета при таком «обучении», скорее всего, никому нет дела. Возможно, до кого-то
16 Предисловие я уже не достучусь — слишком поздно, — однако, как я уже сказал, я неисправимый оптимист и верю, что многие мои читатели, даже те, кто так до сих пор и не освоил операции с дробями, смогут хотя бы краем глаза увидеть тот удивительный мир, который, я убежден, откроется перед ними во всей своей красе, стоит им только захотеть. Одна из ближайших подруг моей матери, довольно известная балерина, в бытность свою школьницей тоже никак не могла освоить действия с дробями. Много лет спустя, уже после успешного завершения своей балетной карьеры, она как-то упомянула об этом факте в моем присутствии. Я тогда был еще молод, еще не посвятил себя целиком математической деятельности, но о моем увлечении математикой многие уже знали. «Все неприятности начались с сокращения дробей, — сказала она мне. — Я просто не понимала, как это делается. Так с тех пор и не научилась». Она была настоящей леди, изысканной и остроумной, и я ничуть не сомневался, что ментальных качеств, необходимых для восприятия и исполнения сложных хореографических композиций, без которых не обходится ни один балет, должно с лихвой хватить и на решение столь пустячной математической задачи. И вот, изрядно переоценив свои преподавательские способности, я попытался превзойти своих незадачливых предшественников и донести наконец до этой замечательной женщины простоту и логичность процедуры «сокращения». Насколько я могу судить, моя попытка оказалась столь же безуспешной, что и попытки прежних «учителей». (Отец ее, кстати сказать, был выдающимся ученым, членом Королевского общества, так что можно предположить, что научные материи не были ей в диковинку. Может быть, здесь сыграл свою роль фактор «строгого лица», не знаю.) С тех пор я много размышлял об этом и теперь мне кажется, что у нее, как и у многих других людей такого склада, отсутствует необходимый рационализирующий «пунктик», а я, будучи «зациклен» на математике, просто не обратил на это обстоятельство должного внимания. В самом деле, и в математике, и в математической физике мы то и дело сталкиваемся с одной фундаментальной проблемой, причем впервые это происходит как раз в таких на первый взгляд невинных операциях, как сокращение числителя и знаменателя самой обыкновенной арифметической дроби на некий общий множитель. Те, для кого сокращение дробей успело стать — в результате бесчисленных повторений — действием столь же привычным и естественным, как дыхание, скорее всего, и представить себе не смогут всю ту сложность, которая в действительности кроется в такой, казалось бы, простой процедуре. Возможно, многие из тех, кто находит сокращение дробей непостижимым и таинственным, способны увидеть упомянутую фундаментальную сложность более ясно, нежели мы, склонные, по-видимому, полностью игнорировать ее, решая задачи методом лихого кавалерийского наскока. Что же это за сложность такая? Скажем пока так: она непосредственно связана с тем, как именно математики вызывают из небытия математические объекты, причем степень ее зависит от соотносимости таких объектов с физической реальностью. Я припоминаю один случай из своего детства — мне было тогда лет одиннадцать, и я еще учился в школе. На одном из уроков математики учитель задал классу немало поразивший меня вопрос: что в действительности представляет собой обыкновенная арифметическая о дробь (такая, например, как f)? Со всех сторон тут же посыпались предположения, сводив- о шиеся в основном к разделению на части пирога и прочих продуктов, однако учитель их сходу отверг на том (здравом, надо сказать) основании, что эти ответы всего лишь описывают некие не поддающиеся точному определению физические ситуации, к каким следует применять точную математическую концепцию дроби, — четкого математического понятия дроби о они отнюдь не содержат. На что кто-то из учеников заметил, что в таком случае дробь % — это о «такая штуковина с тройкой вверху, восьмеркой внизу и чертой посередине». Представьте себе мое изумление, когда я обнаружил, что учитель, похоже, воспринял это «определение»
Предисловие 17 вполне серьезно! Я сейчас не помню в точности, к какому ответу мы тогда пришли, однако, оглядываясь назад с высоты приобретенного позднее, в университете, математического опыта, могу предположить, что наш учитель предпринял на том уроке отважную попытку дать нам определение дроби в терминах такого универсального математического понятия, как класс эквивалентности. Что же это такое — класс эквивалентности? Как это понятие может объяснить нам, что в действительности представляет собой дробь? Начнем с предложенного моим одноклассником определения «с тройкой вверху и восьмеркой внизу». В сущности, оно предполагает, что дробь задается упорядоченной парой целых чисел — в нашем случае это числа 3 и 8. Однако очевидно, что отождествлять дробь с такой упорядоченной парой чисел нельзя, поскольку дробь, например, —¦ описывает то же число, что и дробь §, а пара чисел F, 16) безусловно ID о отлична от пары C, 8). Здесь нам и поможет сокращение — мы можем записать дробь у^ в виде ^—=; и «убрать» двойку из верхней и нижней части, получив при этом дробь §. Что же позволяет нам произвести такой финт и тем самым в некотором роде «приравнять» пару F, 16) к паре C, 8)? У математика есть на это простой ответ (который со стороны, если честно, выглядит просто жалкой отговоркой): в определение дроби изначально встроено правило сокращения, согласно которому считается, что пара целых чисел (а- п, b • п), где п — любое целое число, отличное от нуля F здесь также должно быть отлично от нуля), представляет ту же самую дробь, что и пара (а, 6). Впрочем, легче нам от всего этого не стало. Мы по-прежнему не знаем, что такое дробь; мы лишь узнали кое-что о способе представления дробей. Так что же такое дробь? Призвав на помощь понятие «класс эквивалентности», математик ответит нам, что дробь, напри- мер, § представляет собой всего-навсего бесконечный набор, составленный из следующих о пар чисел: C, 8), (-3, -8), F, 16), (-6, -16), (9, 24), (-9, -24), A2, 32), где каждая пара может быть получена из любой другой пары набора посредством применения (однократного или многократного) вышеописанного правила сокращения*. Сюда необходимо еще добавить правила (не конфликтующие с обычными алгебраическими правилами), в соответствии с которыми мы сможем выполнять над такими бесконечными наборами целых чисел арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) и идентифицировать собственно целые числа как дроби особого типа. Такое определение включает в себя все, что нам необходимо, с математической точки зрения, знать о дробях (например, то, что число \ при сложении с самим собой дает еди- ницу, и т.д.), причем операция сокращения, как мы убедились, и в самом деле встроена в определение изначально. И все же как-то все это чересчур формализовано, поневоле начинаешь сомневаться, действительно ли такое определение адекватно описывает имеющееся у нас интуитивное понятие о дроби. Хотя повсеместно применяемая в чистой математике процедура построения класса эквивалентности (представленное выше определение — лишь один из множества примеров ее применения) является очень мощным математическим инструментом для доказательства непротиворечивости и установления математического существования, результатом ее зачастую являются чрезвычайно громоздкие конструкции. Едва ли такая процедура способна дать кому бы то ни было интуитивно ясное представление о, * Класс эквивалентности называется так потому, что он, по сути, представляет собой класс объектов (в данном конкретном случае такими объектами являются пары целых чисел), в котором каждый элемент считается в определенном смысле эквивалентным любому другому элементу.
.18 Предисловие О скажем, дроби §. Неудивительно, что подруга моей матери никак не могла взять в толк, чего о от нее хотят. В дальнейшем при описании математических понятий я постараюсь по мере возможности избегать той математической педантичности, что предписывает нам определять дробь как «бесконечный класс пар целых чисел», хотя с точки зрения математической строгости и точности такой подход, безусловно, имеет множество преимуществ. Я постараюсь сосредоточиться на передаче идей, лежащих в основе тех или иных важнейших математических концепций, не упуская при этом из виду присущие этим концепциям красоту и чуть ли не о волшебную силу. Идея, скажем, дроби § как математического объекта очень проста: сложив о вместе 8 таких объектов, мы получим в сумме число 3. Сила же состоит в том, что идея дроби действительно работает, невзирая на то обстоятельство, что в реальном физическом мире мы не имеем дела с объектами, которые можно было бы точно описать дробями — куски пирога не в счет, поскольку здесь речь может идти лишь о приближениях разной степени точности. (Этим дроби отличаются от натуральных чисел — 1,2,3 и т.д., — которые вполне точно описывают всевозможные объекты, встречающиеся нам в повседневной жизни.) Один из способов наделить понятие дроби непротиворечивым смыслом как раз и заключается в том, чтобы дать этому понятию математическое «определение», описав его (как мы сделали выше) как бесконечный набор пар целых чисел. Однако это вовсе не о означает, что дробь ~ и в самом деле представляет собой такой набор. Правильнее будет о рассматривать дробь как объект, обладающий некоей собственной реальностью (в платоновском смысле), а бесконечный набор пар чисел — просто как один из способов, посредством которого мы можем объект такого типа непротиворечиво описать. По мере «привыкания» к дробям мы все чаще ловим себя на мысли, что нам совсем не сложно воспринимать дробь, например, ^ как реальный, существующий независимо от нас объект, а описание ее в виде о «бесконечного набора пар чисел» представляется нам всего-навсего подпоркой для педантов — подпоркой, надобность в которой отпадает как только мы осознаем ее смысл. Большая часть математики именно так и устроена. Для математиков (по крайней мере, для большинства математиков, насколько мне известно) математика является не просто родом общественно полезной деятельности, который мы сами для себя и придумали, — она существует сама по себе, отдельно от нас, находясь при этом в поразительной гармонии с физической Вселенной. Невозможно достичь сколько- нибудь глубокого понимания законов, управляющих физическим миром, не погрузившись с головой в мир математики. В частности, упомянутое выше понятие класса эквивалентности оказывается полезным для понимания не только множества важнейших (и крайне запутанных) математических концепций, но и немалого количества не менее важных (и зачастую еще более запутанных) концепций физических — таких, например, как общая теория относительности Эйнштейна или принципы «калибровочной теории», описывающие действующие в природе силы с точки зрения современной физики элементарных частиц. Ни один физик сегодня не может считать себя свободным от необходимости разбираться в тонкостях математики, причем математики весьма мудреной. Именно по этой причине я отвел первые шестнадцать глав книги исключительно на описание математических идей. Тем читателям, кто слабо представляет себе, что им теперь со всей этой математикой делать, я скажу лишь одно: погодите отчаиваться. Эту книгу можно читать четырьмя разными способами — в зависимости от желаемого уровня сложности. Допустим, вы принадлежите к первой группе читателей (наименьший, по нашей шкале, уровень сложности), то есть к тем, кто, завидев какую угодно математическую формулу, просто отключается (многие из этой группы, скорее всего, испытывают непреодолимые трудности и при столкновениях с дробями). Даже в этом случае, я уверен, вы сможете многое извлечь из книги, просто
Предисловие 19 пропуская все формулы и читая только текст. Мне кажется, это не многим отличается от того, как я сам, будучи подростком, просматривал время от времени шахматные журналы, повсюду разбросанные в нашем доме. В жизни моих братьев и родителей шахматы занимали весьма важное место, я же шахматами почти не интересовался, хотя мне нравилось читать о достижениях тех незаурядных и зачастую весьма странных людей, что посвятили себя этой игре. Читая о сыгранных ими партиях и блестящих ходах, я узнавал для себя что-то новое, пусть не совсем понимая, что именно вызывает такое восхищение у знатоков, и даже не пытаясь разобраться в обозначениях, описывающих те или иные позиции. Несмотря на недопонимание, я все же находил это занятие интересным и в чем-то даже поучительным; во всяком случае оно надолго удерживало мое внимание. Надеюсь, что в представленных далее математических рассуждениях также найдется что-нибудь, способное заинтересовать даже самого далекого от математики читателя, буде он — преисполнившись отваги или же из простого любопытства — решит составить мне компанию в экспедиции по исследованию математических и физических идей, призванных объяснить, как устроена и работает физическая Вселенная. Не бойтесь пропускать уравнения (я и сам часто так делаю), куски глав, если хотите, или даже целые главы, где, на ваш взгляд, я хватил через край. Представленный в книге материал очень разнообразен по сложности и, если можно так выразиться, «специальности», так что, пропустив одно, вы непременно найдете что-то другое, что придется вам больше по душе. Можно и просто заглядывать в любое место и просматривать страницу-другую. Надеюсь также, что обширная система перекрестных ссылок поможет в достаточной степени прояснить любое незнакомое понятие и позволит быстро найти все, что необходимо, в пропущенных по какой-либо причине главах. Ко второй группе я отношу читателей, обладающих достаточной подготовкой для чтения и понимания возникающих по ходу рассуждения математических формул, но, возможно, не расположенных (в силу отсутствия свободного времени или по каким-то другим причинам) лично проверять истинность моих утверждений. На тот случай, если такое желание все же возникнет, рекомендую обратить внимание на упражнения, которыми я сопроводил многие математические утверждения в книге. Эти упражнения делятся по сложности на три группы: очень просто, требуется немного подумать, придется серьезно потрудиться. Разумеется, необходимости в проверке нет; если хотите, можете совершенно спокойно принять все мои утверждения на веру, целостность восприятия при этом ничуть не пострадает. Надеюсь, впрочем, что предложенные упражнения будут полезны тем читателям, кто хотел бы разобраться во встречающихся на этих страницах разнообразных (и порой весьма важных) математических концепциях, но не знаком в достаточной мере с тем или иным предметом обсуждения. Общеизвестно, что навык приобретается при упражнении, и математика в этом смысле не исключение — небольшой практический опыт самостоятельного размышления над какой-либо задачей может дать гораздо более глубокое понимание предмета, чем простое прочтение десятка описаний. (Решения всех задач можно при необходимости найти на веб-сайте www. roadsolutions . ox. ас. uk.) И наконец, читатели-специалисты. В этом случае сложностей с математикой (не так уж она, вообще говоря, и запредельна), разумеется, не возникнет вовсе и тратить время на выполнение упражнений, скорее всего, необходимости нет. Однако и специалист, возможно, найдет что-нибудь для себя полезное в моей точке зрения на различные предметы, как правило, отличной (а порой и весьма радикально) от общепринятой. Не исключено, что
20 Предисловие специалисту любопытно будет ознакомиться с моим мнением относительно ряда современных теоретических построений (таких, например, как теория суперсимметрии, космология расширяющейся Вселенной, гипотезы о природе Большого взрыва и черных дыр, теория струн или М-теория, петлевые переменные в квантовой гравитации, теория твисторов, да и собственно фундаментальные принципы квантовой теории). Не сомневаюсь, со многим из изложенного в книге специалист нипочем не согласится, однако я убежден также, что в споре рождается истина и полемика играет в развитии науки исключительно важную роль, — поэтому без колебаний представляю на суд читателя свои выводы, которые, вполне возможно, в чем-то противоречат некоторым из общеизвестных достижений современной теоретической физики. Можно сказать, что книга эта, в сущности, посвящена отношениям между математикой и физикой, тому взаимодействию между двумя дисциплинами, которое играет далеко не последнюю роль в нашем стремлении двигаться дальше в поисках лучшей теории для описания Вселенной. Во многих современных исследованиях такое стремление изначально в значительной степени обусловлено соображениями математической красоты, глубины и изящества. Очевидно, что подобные математические факторы могут оказаться чрезвычайно продуктивными — и не раз оказывались, достаточно вспомнить кое-какие из наиболее впечатляющих достижений физики XX века: уравнение Дирака для электрона, общие основы квантовой механики и общую теорию относительности Эйнштейна. Однако решающими критериями принятия тех или иных теоретических предположений во всех этих случаях были все-таки соображения физические — главным образом результаты наблюдений. Именно адекватного физического подтверждения — т. е. экспериментальных данных или хотя бы возможности экспериментального исследования — и недостает многим современным идеям, призванным вывести наше понимание законов Вселенной на новый фундаментальный уровень. Закономерный вопрос: можно ли исходя из доступного нам математического желаемого оценить шансы этих идей на успешное соответствие действительному! Вопрос весьма деликатный, и я намерен рассмотреть его с тех сторон, которые, как мне представляется, не получили достаточного освещения в литературе. Что касается тех из моих воззрений, которые могут показаться спорными, то я особо постарался недвусмысленно отметить для читателя все те места, где я позволяю себе подобные вольности. Таким образом, перед вами самый настоящий путеводитель — путеводитель по достопримечательным идеям (и чудесам) современной физики. Подойдет эта книга и на роль учебного пособия — введения в современную физику, какой она представляется нам в первые годы третьего тысячелетия.
Благодарности В работе над книгой мне помогали очень многие люди — что, при таком объеме этой самой книги (и почти восьми годах, потребовавшихся на ее написание), совсем неудивительно. Почти так же неудивительно и то, что ценный вклад некоторых из этих людей так и не будет нигде упомянут из-за свойственной мне неорганизованности и забывчивости. Поэтому позвольте прежде всего выразить особую признательность — а также принести искренние извинения — именно им: великодушно помогавшим мне людям, имен которых я, к сожалению, не могу здесь перечислить. Другим повезло больше, и я спешу поблагодарить за самые разнообразные сведения и другую помощь следующих людей: Майкла Атья, Джона Баэза, Майкла Берри, Роберта Брайанта, Дордже Броди, Райнера Вайсса, Джеральда Вестхаймера, Джеймса Викерса, Ника Вудхауса, Маргарет Глисон, Джереми Грея, Эндрю Даггинса, Фримена Дайсона, Теда Джейкобсона, Мацея Дунайски, Криса Ишема, Бернарда Кея, Джой Кристиан, Уильяма Маршалла, Лайонела Мейсона, Чарлза Миснера, Стелиоса Негрепонтиса, Сару Джонс Нельсон, Тристана Нидема, Эзру (Теда) Ньюмена, Дэниела Оя, Роберта Оссермана, Чарлза Оукли, Дона Пейджа, Оливера Пенроуза, Алана Рендалла, Вольфганга Риндлера, Джозефа Силка, Кристофа Симона, Джорджа Спарлинга, Генри Стаппа, Джона Стейчела, Пола Тода, Ричарда Томаса, Герарда 'т Хоофта, Джона Уиле- ра, Роберта Уолда, Ронни Уэллса, Дэвида Фаулера, Стюарта Хамероффа, Кита Ханнабасса, Люсьен Харди, Джима Хартла, Джима Хауи, Найджела Хитчина, Эндрю Ходжеса, Тома Хо- кинса, Дипанкара Хоума, Антона Цайлингера, Хунмо Чаня, Бернарда Шутца, Энгельберта Шюкинга и Артура Экерта. Отдельную благодарность я хочу выразить Ли Смолину, Келли Стеллу и Лейну Хьюстону — за то, что они всегда были готовы помочь мне всем, чем могли. В огромном долгу я перед Флоренс Цоу (Шэн Цунь) за обширную помощь в вопросах физики элементарных частиц, перед Фей Даукер за помощь и здравый смысл в отношении самых разных вопросов (по большей части, тех, что возникли у меня при представлении некоторых квантовомеханических идей), перед Субиром Саркаром за ценную информацию о космологических экспериментальных данных и их интерпретации, перед Вахе Гурзадяном за аналогичную информацию и за некоторые предварительные сведения о его космологических находках, проливающих свет на общую геометрию Вселенной, и в особенности перед Абхаем Аштекаром за исчерпывающую информацию о теории циклических переменных и о некоторых тонких вопросах теории струн. Я благодарен Национальному научному фонду за поддержку в виде грантов PHY 93- 96246 и 00-90091, а также Фонду Леверхульме за двухгодичную почетную стипендию B000-2002). Написанию этой книги в немалой степени способствовала моя работа в лондонском Грешем-колледже A998-2001) и в Центре гравитационной физики и геометрии при Университете штата Пенсильвания (США); чрезвычайно полезной оказалась и помощь секретаря (в особенности я благодарен Рут Престон) вкупе с местом для работы в Математическом институте Оксфордского университета. Поистине бесценную поддержку я получил со стороны редакторов — особенно если учесть жесткие временные рамки контракта и безалаберную манеру работы автора. На раннем этапе мне очень помог Эдди Мицци — без него я, пожалуй, так и не решился бы запустить процесс превращения моих беспорядочных записок в настоящую книгу; далее эстафету принял Ричард Лоуренс — его знание дела, опыт и терпеливая мягкая настойчивость стали ключевым фактором в доведении проекта до успешного завершения. Джон Холмс, несмотря
22 Благодарности на все препятствия, превосходно проделал непростую работу по составлению безукоризненного предметного указателя, за что я ему очень признателен. Отдельно я хочу поблагодарить Уильяма Шоу за помощь в создании замечательной компьютерной графики, использованной для представления множества Мандельброта и гиперболической плоскости (рис. 1.2 и 2.19), а также при построении преобразований, легших в основу рис. 2.16 и 2.19. Сколько бы я ни старался, мне никогда не удастся отблагодарить по справедливости Джейкоба Фостера за его титанический труд по отысканию и сортировке ссылок, за тщательную проверку всей рукописи в предельно сжатые сроки и затыкание бесчисленных дыр, оставленных автором. Примечания в конце глав также являются, по большей части, заслугой Фостера и несут на себе яркий отпечаток его неординарной личности. Разумеется, никто из упомянутых людей не имеет никакого отношения к тем ошибкам и упущениям, которые читатель, возможно, обнаружит в книге, — все эти недостатки целиком и полностью на совести автора. Особую благодарность я хочу выразить компании «The M. С. Escher Company» (Голландия) за любезное разрешение воспроизвести в книге работы М. Эшера (рис. 2.11, 2.12, 2.16 и 2.22) и отдельно за разрешение опубликовать рис. 2.11 в несколько модифицированном виде (рис. 2.12 и 2.16; последний рисунок представляет собой результат явного математического преобразования). Права на все использованные в книге работы Эшера принадлежат компании «The M. С. Escher Company» (© 2004). Также я признателен администрации Института теоретической физики при Гейдельбергском университете и Чарлзу X. Лайнуиверу за любезное разрешение на публикацию графиков, представленных на рис. 27.19 и 28.19 соответственно. И самое главное: я бесконечно благодарен своей горячо любимой жене Ванессе — причем отнюдь не только за предоставление по первому же моему требованию замечательных компьютерных иллюстраций (рис. 4.1, 4.2, 5.7, 6.2-6.8, 8.15, 9.1, 9.2, 9.8, 9.12, 21.3 6, 21.10, 27.5, 27.14, 27.15, а также многогранники на рис. 1.1), но и за неизменную любовь и заботу, за глубокое понимание и чуткость, несмотря на долгие годы жизни с человеком, который постоянно наполовину отсутствует, погруженный в какие-то свои мысли. Огромное спасибо я хочу сказать и Максу, вынужденному всю свою жизнь наблюдать меня как раз в таком отвлеченном состоянии, — спасибо не только за замедление работы над этой книгой (что в итоге поспособствовало увеличению срока ее жизни, поскольку в результате в нее вошли по крайней мере две важные вещи, о которых иначе я не упомянул бы), но и за постоянно хорошее настроение, за излучаемые им бодрость и оптимизм, которые, в свою очередь, не дают унывать и мне. В конце концов, именно благодаря обновлению жизни (живым символом которого он является) возникают новые источники идей и интуитивных озарений, необходимые для подлинного движения в будущее, движения к пониманию тех самых фундаментальных законов, которые в действительности управляют окружающей нас Вселенной.
Об условных обозначениях (Читать только в том случае, если вы знакомы с общими концепциями, но не совсем понимаете, какие буквы что обозначают у меня.) Используя в книге различные шрифты, я старался быть по возможности последовательным, однако, поскольку не все мои обозначения совпадают со стандартными, думаю, будет нелишним подробно разъяснить принятую в дальнейшем систему. Латинские или греческие буквы в светлом курсивном начертании — например, w2, pn9 lg z, cos 0, егв или ех — обозначают, как общепринято, математические переменные с численным (или скалярным) значением (обратите внимание, что для обозначения функций — таких как sin, cos или lg — используется прямой шрифт). Курсив применяется и для стандартных численных и физических констант: г, е, тт; с, G, ft, ft, g или к. Векторные или тензорные величины в их целостном (абстрактном) представлении обозначаются полужирным курсивным шрифтом — например, риманов тензор кривизны й, — тогда как для записи их компонент (как главного символа, так и соответствующих индексов) используется светлый курсив: Rabcd- В абстрактно-индексном представлении тензоров (см. § 12.8) запись Rabcd может также обозначать и весь тензор R (в тех случаях, когда такая интерпретация уместна), однако из контекста, как правило, очевидно, что именно имеется в виду. Абстрактные линейные преобразования также являются в некотором роде тензорами, поэтому здесь я тоже использую полужирный курсив — например, Т. Допускают абстрактные линейные преобразования (в определенных случаях) и запись в абстрактно- индексной форме: Таь (необычное расположение индексов здесь указывает на очередность матричного умножения). Таким образом, (абстрактно-)индексная запись SabTbc соответствует произведению ST линейных преобразований. Как и в случае с тензорами, ваь или Тъс может (в зависимости от контекста или согласно явному указанию в тексте) обозначать и упорядоченный массив компонент — т. е. матрицу, матрицы у меня обозначаются также полужирными прямыми буквами (в данном случае S или Т). Таким образом, ST обозначает произведение соответствующих матриц. «Двойственная» интерпретация таких обозначений, как Rabcd или Sab (массив компонент или уже собственно абстрактный тензор), не должна стать причиной путаницы, так как и в той, и в другой интерпретации алгебраические (или дифференциальные) соотношения, в которых эти обозначения участвуют, абсолютно идентичны. Иногда для таких величин используется и третий способ записи — схематический, или диаграммный (см., например, рис. 12.17, 12.18, 14.6, 14.7, 14.21 и 19.1). Кое-где в книге мне необходимо было провести различие между величинами четырехмерного пространства-времени теории относительности и соответствующими трехмерными, чисто пространственными величинами. В этих случаях я использовал для четырехмерных величин полужирный курсивный шрифт (например, четырехмерные импульс р или координата ж), а для соответствующих трехмерных — полужирный прямой шрифт (т. е. р или х). По аналогии с предложенной выше оппозицией Т (матрица) и Г (абстрактное линейное преобразование) обозначение р или х мы будем рассматривать как «символ» набора из трех пространственных компонент, тогда как р или х вполне можно интерпретировать более абстрактным, бескомпонентным образом (впрочем, я не собираюсь придерживаться такой интерпретации слишком строго). Евклидову «длину» трехмерной векторной величины а = = (&ъ а2? &з) мы можем обозначить буквой а, где а2 = а\ + а| -Ь а\, а скалярное произведение векторов а и b = (bi, 62, Ьз) — записать как а • b = а\Ь\ + афъ + аф^. Такое «точечное»
24 Об условных обозначениях обозначение скалярного произведения пригодится нам и в более общем, n-мерном, контексте — например, для записи скалярного (или внутреннего) произведения а • ? абстрактного ковектора а и вектора ?. Некоторая дополнительная сложность возникает с квантовой механикой, поскольку физические величины здесь чаще всего представляются в виде линейных операторов. Более или менее стандартной практикой является обозначение квантово-операторных вариантов привычных классических величин посредством добавления к соответствующим буквам «крышечки» (циркумфлекса). Однако меня такой подход не совсем устраивает, так как это, на мой взгляд, ведет к совершенно ненужной перегруженности формул. (Мне больше по душе точка зрения философского характера, согласно которой классические и квантовые величины представляют собой, в сущности, «одно и то же», — а посему будет только справедливо, если мы оставим для их обозначения одинаковые символы, — отличие лишь в том, что в классическом случае мы обоснованно пренебрегаем величинами порядка h; иначе говоря, классический коммутативный закон аЬ = Ьа справедлив всегда, тогда как в квантовой механике аЬ вполне может отличаться от Ьа на некоторую величину порядка Н.) Вообще говоря, логичности ради, для обозначения таких линейных операторов следовало бы тоже воспользоваться полужирным курсивным шрифтом (например, Т), однако это свело бы на нет все преимущества философского подхода и разрушило бы границы, намеченные в предыдущем абзаце. Соответственно, когда речь пойдет о конкретных квантовомеханических величинах — таких как импульс р или р либо координата х или ж, — я буду использовать те же обозначения, что и в классическом случае. Что же касается квантовых операторов, так сказать, более общего назначения, то здесь полужирный курсив будет вполне уместен (например, Q). В математике уже стало привычным использовать ажурные буквы N, Z, R, С и ?q для обозначения соответственно множества натуральных (т. е. неотрицательных целых) чисел, множества целых чисел, множества вещественных чисел, множества комплексных чисел и конечного поля, содержащего q элементов (где q — некоторая степень простого числа, см. § 16.1), a Nn, Zn, Rn, Сп и F™ — для обозначения систем упорядоченных наборов из п таких чисел. Все это — стандартные обозначения канонических математических объектов. В настоящей книге я решил несколько расширить (что в общем-то не так уж и необычно) употребление таких символов, добавив к вышеупомянутым некоторые другие стандартные математические структуры — например, евклидово пространство Е (трехмерное) или, в общем случае, Еп (n-мерное). Часто упоминается в книге стандартное плоское четырехмерное пространство-время Минковского, являющееся, по сути, некоей разновидностью этакого «псевдоевклидова» пространства — для обозначения этого пространства я предлагаю «пустотелую» букву М (Мп здесь обозначает n-мерный вариант пространства Минковского — лоренцево пространство-время с одним временным и (п — 1) пространственными измерениями). Иногда я использую С в качестве прилагательного (со значением «комплексифи- цированный») — например, комплексное четырехмерное евклидово пространство получает в такой нотации обозначение СЕ4. Ажурную букву Р также можно использовать и как прилагательное (со значением «проективный», см. § 15.6), и как существительное; в последнем случае Рп обозначает проективное n-мерное пространство (иногда я пишу RPn или СРП, если необходимо подчеркнуть, что нас интересует именно вещественное или соответственно комплексное проективное n-пространство). В теории твисторов (глава 33) существует такое понятие, как комплексное четырехмерное пространство Т, канонически связанное с пространством М (или его комплексификацией СМ), и его проективный вариант РТ. В той же теории определяют пространство N нулевых твисторов («двойное» употребление этой буквы в данном случае конфликта не вызывает) и его проективный вариант PN. Не следует путать С, употребленное в качестве прилагательного, со светлым рубленым С, которым я обозначаю «комплексное сопряжение» (см., например, §§13.1, 13.2).
Об условных обозначениях 25 Такое употребление, по сути, аналогично употреблению буквы С в физике элементарных частиц, где этот символ используется для обозначения операции зарядового сопряжения (иначе говоря, замены каждой частицы ее античастицей; см. главы 25 и 30). Эту операцию обычно рассматривают вместе с двумя другими фундаментальными операциями физики частиц, а именно: операции зеркального отражения (или четности) Р и операции обращения времени Т. Полужирный рубленый шрифт служит в этой книге несколько иной цели, обозначая векторные пространства (чаще всего используются буквы V, W и Н). Буква Н закреплена за гильбертовыми пространствами квантовой механики, а Нп обозначает гильбертово пространство с n-комплексными измерениями. Векторные пространства являются, в очевидном смысле, плоскими. Пространства же искривленные (либо допускающие искривление) обозначаются буквами каллиграфического начертания — например, М, S или Т (особое применение найдено другому варианту каллиграфического шрифта: буквой У я обозначаю нуль-бесконечность). Кроме того, следуя вполне уже сложившейся традиции (ввиду особого статуса этих объектов в физической теории), я использую каллиграфические буквы для обозначения лагранжианов (С) и гамильтонианов (Н).
Пролог Стояла глубокая ночь. Ам-теп, главный царский мастер, искусный ремесленник и настоящий художник своего дела, спал на скамье в мастерской, утомленный вечерними трудами. Однако сон его был беспокоен — возможно, из-за какого-то неуловимого напряжения, разлитого в воздухе. Впоследствии Ам-теп не мог ясно вспомнить, действительно ли он спал, когда все это случилось. Вдруг стало светло — словно пришло утро, — хотя старые кости мастера и уверяли его, что этого не может быть, что ночь не могла кончиться так скоро. Ам-теп резко встал со скамьи. Что-то не так. Не может заря разгораться на севере, однако тревожный красный свет проникал именно через северное окно мастерской, выходящее на море. Мастер подошел к окну и в недоверчивом изумлении уставился наружу. Не восходит солнце на севере — и все тут! Он был настолько изумлен, что лишь через несколько мгновений сообразил, что в открывшейся его глазам картине никакого солнца нет и в помине..., а есть лишь далекий пламенеющий столб багрового света, бьющего отвесно вверх, из моря в небеса. Пока мастер стоял у окна, верхушка столба окуталась шапкой плотного дыма, словно кто-то развернул над морем огромный черный зонт с объятой зловещим пламенем ручкой. Дымовая туча принялась расползаться вширь, становясь при этом все чернее — несомненно, в мир явился демон из преисподней. С ясного ночного неба одна за другой пропадали звезды, затмеваемые чудовищной громадой. Охваченный вполне понятным ужасом, Ам-теп тем не менее не пытался бежать, настолько его заворожили совершенная симметричность и сверхъестественная красота разворачивающего перед ним действа. Мало-помалу страшная туча начала едва заметно двигаться к западу, увлекаемая постоянно дующими над морем ветрами, — увидев это, мастер облегченно перевел дыхание, и сковавшие его чары рассеялись. Однако мрачное предчувствие тут же вернулось — земля под ногами задрожала, а мгновением позже до ушей донесся никогда не слыханный мастером прежде зловещий рокот. «Что же могло вызвать такую ярость природы», — недоуменно спросил себя Ам-теп. Никогда еще на памяти мастера Бог не являл людям столь гневного лика. Первым делом мастер вспомнил о священной чаше, которую он только этим вечером закончил, — с этой чашей с самого начала все шло как-то наперекосяк. Быть может, он изобразил Быкоглавого недостаточно устрашающим? И Бога это разгневало? Впрочем, вскоре мастер осознал всю нелепость таких мыслей. Не мог столь пустячный проступок вызвать ярость, подобную той, что он только что наблюдал; к тому же, ярость эта вовсе не была направлена на него лично. Вот в Великом Дворце сейчас, наверняка, настоящий переполох. Царь-жрец, без сомнения, понимает, что медлить нельзя; должно быть, он уже сейчас пытается умилостивить этого могучего Бога всех демонов. А это означает жертвоприношения. Обычных жертв — вроде плодов или даже животных — недостаточно, чтобы укротить гнев такой силы. То есть жертвоприношения будут человеческими. Вдруг, к вящему своему изумлению, Ам-теп оказался отброшен вглубь комнаты мощным ударом словно сгустившегося в каменный кулак воздуха; следом в окно ворвался бешеный ветер. Все это сопровождалось настолько оглушительным грохотом, что мастер на какое-то время лишился слуха. Почти все его горшки, украшенные затейливыми узорами, смело с полок и разбило о стену. Придя в себя, Ам-теп обнаружил, что лежит на полу в углу, куда его зашвырнул порыв чудовищного ветра, а в комнате царит полный разгром.
Пролог 27 С болью взирал мастер на разбитую в мелкие черепки большую урну, которой он особенно гордился, на обращенные в прах тонкие орнаменты, потребовавшие многих часов и дней кропотливого труда. Ам-теп неуверенно поднялся на ноги и, помедлив, снова приблизился к окну, на сей раз с гораздо большим трепетом, и опять устремил взгляд на жуткое зрелище за морем. Ему показалось, что в освещенном далекой пылающей печью море что-то движется, причем движется, похоже, в его сторону. Некоторое время спустя он уже ясно мог различить, что на поверхности моря образовалось некое подобие длинного и широкого рва, который с большой скоростью перемещается по направлению к берегу, а за ним следует крутая, точно стена береговых утесов, волна. Мастер снова замер на месте, завороженно следя, как приближающаяся волна растет, вздымаясь в самое небо. Наконец край водяного рва достиг берега, и тут же море отступило прочь, обнажив дно, усеянное беспомощными кораблями. Отвесная стена огромной волны не заставила себя ждать — она ударила в берег с чудовищной силой, мгновенно разбив в щепки все без исключения корабли и многие из близлежащих домов. Впрочем, дом Ам-тепа уцелел, хотя вода и поднялась на невероятную высоту — мастер жил на холме и довольно далеко от моря. Великий Дворец также уцелел, однако Ам-теп подозревал, что худшее еще впереди, и он оказался прав, хотя и не знал в тот момент, насколько прав. Одно он знал твердо: принесением в жертву простого раба теперь не обойтись. Для укрощения буйного гнева ужасного Бога понадобится нечто большее. Он обратился мыслью к своим сыновьям и дочерям, к новорожденному внуку. Даже они теперь не в безопасности. Относительно новых человеческих жертвоприношений Ам-теп тоже оказался прав. Вскоре жрецы схватили девушку и юношу хорошего рода и доставили в ближайший храм, расположенный высоко на склоне горы. Последующий ритуал был уже близок к завершению, когда ударила новая опустошительная катастрофа. Земля содрогнулась с небывалой силой, и крыша храма обрушилась, погребя под обломками всех до единого жрецов и обе предполагаемые жертвы. Ритуал был прерван, причем случилось так, что тела его участников пролежали непотревоженными под развалинами храма три с половиной тысячи лет. Разрушения потрясали воображение, однако конец света не наступил. Многие обитатели острова, на котором жил Ам-теп, пережили ужасающее землетрясение, хотя сам Великий Дворец оказался разрушен почти до основания. За последующие годы большинство домов отстроили заново. Даже Дворец, возведенный на руинах прежнего, казалось, вернул себе немалую долю былого великолепия. И все же Ам-теп дал обет покинуть остров. Мир стал другим, и прошлого не вернуть. Тот мир, который знал Ам-теп, тысячу лет не знал войн, благословленный просвещенным владычеством Богини Земли. Пышным цветом расцветали изящные искусства, купцы беспрепятственно торговали с соседними землями. Величественный Дворец представлял собой огромных размеров лабиринт, потрясающий роскошью убранства, целый город, украшенный превосходными фресками с изображениями животных и цветов. Помимо красот во Дворце имелись проточная вода и тщательно продуманная сеть сточных труб. Война в этом мире была почти неизвестна, а потому необходимости в защитных сооружениях никто не видел. Теперь же, как понял Ам-теп, престол Богини Земли занял Бог, обладающий совсем иными представлениями о том, что важно, а что нет. Впрочем, уехать с острова Ам-теп вместе с остатками семьи смог лишь через несколько лет — на корабле, восстановленном его младшим сыном, искусным плотником и моряком. Внук Ам-тепа к тому времени вырос в бойкого мальчугана, живо интересующегося всем на свете. Путешествие заняло несколько дней, и все эти дни стояла на удивление хорошая погода. Однажды ясным вечером, когда Ам-теп рассказывал внуку об узорах, образуемых звездами в небесах, его посетила странная мысль: «А ведь рисунки созвездий не изменились
28 Пролог ни на йоту — какими они были до Катастрофы, сопровождавшей явление ужасного демона, такими остаются и сейчас». Рисунки созвездий Ам-теп знал очень хорошо — как всякий настоящий художник, он обладал цепким взглядом и отличной памятью. Почему же эти крохотные огоньки не сместились даже на малое расстояние? Почему яростный ветер той ночи не унес их прочь, не разметал по небу, как разметал он горшки в доме Ам-тепа и разбил вдребезги драгоценную урну? Все так же светила с небес Луна, и насколько мог судить Ам-теп, путь ее среди звезд тоже ничуть не изменился. Несколько месяцев после Катастрофы небо выглядело иначе, чем обычно, — полутьма даже днем, низко нависшие мрачные тучи, Солнце и Луна какого-то странного цвета, — но потом все это прошло, движение же светил, похоже, не менялось и тогда. Звезды тоже остались на прежних местах. «Если небеса, куда как более могущественные, нежели любой даже самый жуткий демон, обратили на Катастрофу столь мало внимания, — рассуждал Ам-теп, — то почему тех, кто послал этого демона, должно хоть как-то волновать, что делают маленькие люди, живущие на маленьком острове и развлекающиеся глупыми ритуалами и человеческими жертвоприношениями?» Он вдруг устыдился, вспомнив свои собственные глупые мысли в тот момент: будто бы демону есть дело до узоров на его горшках. «Так почему же? — все спрашивал себя Ам-теп. — Какие могучие силы управляют миром и почему они порой проявляют себя столь бурным и непостижимым образом?» Мастер поделился своими сомнениями с внуком, однако вопросы так и остались без ответа. Прошел век, миновало тысячелетие, а ответа все не было. Всю свою жизнь мастер Амфос прожил в том же маленьком городке, в каком жили его отец, дед и прадед. Он зарабатывал на жизнь изготовлением затейливо украшенных золотых браслетов, серег, церемониальных чаш и прочих изящных изделий, которые по праву можно было счесть настоящими произведениями искусства. Ремесло это передавалось в семье от отца к сыну вот уже сорок поколений — с тех самых пор, как одиннадцать веков назад в этой земле обосновался старый Ам-теп. Впрочем, от отца к сыну переходили не только умения и мастерство. Вопросы, которые задавал себе Ам-теп, не давали покоя и Амфосу. Из поколения в поколение передавался и рассказ о Великой катастрофе, уничтожившей процветающую древнюю цивилизацию, и размышления Ам-тепа о природе этой катастрофы. Как и далекий предок, Амфос понимал, что небеса высоки и безбрежны, им нет дела до земных катастроф. Тем не менее, те же катастрофы способны с легкостью уничтожить маленьких людей вместе с их хрупкими городами, человеческими жертвоприношениями и бессмысленными ритуалами. Вряд ли столь чудовищные силы снизойдут до того, чтобы обратить на ничтожные действия людей хоть какое-то внимание. Между тем, о природе этих сил люди во времена Амфоса знали ничуть не больше, чем знал Ам-теп. Амфос тщательно изучил строение растений, насекомых и прочих мелких живых существ, а также кристаллов. Острый взгляд и наблюдательность помогли ему создать немало новых декоративных орнаментов. Интересовался он и земледелием, зачарованный тайной превращения маленького зернышка пшеницы в целый колос. Однако ничто из того, что он видел, не приближало его к ответу на главный вопрос — почему? — и Амфосом постепенно овладевало разочарование. Он верил, что все в природе должно иметь свои причины, но обнаружить эти причины не мог. Однажды ясной ночью Амфос смотрел в небо, пытаясь разглядеть в расположении звезд фигуры героев и героинь, обретших бессмертие в виде созвездий. На его взгляд скромного
Пролог 29 художника, сходство было весьма отдаленным. Даже он справился бы с размещением звезд лучше — во всяком случае, сходства добился бы большего. Амфос задумался, почему же Боги не потрудились расположить звезды более упорядоченно. Больше похоже на зерна пшеницы, разбросанные торопливым сеятелем наугад по черному полю неба, нежели на воплощение божественного замысла. Вдруг ему в голову пришла странная мысль: «Не ищи причин в расположении звезд или других рассыпанных предметов; ищи скрытый всеобщий порядок в поведении вещей». «В самом деле, — размышлял Амфос, — порядок мы находим вовсе не в рисунке, какой образуют брошенные на землю зерна, но в том чудесном превращении, в результате которого каждое из этих зерен становится живым растением со сложным строением, повторяющим в мельчайших подробностях строение остальных растений того же вида. Смысл следует искать не во взаимном расположении зерен на том или ином участке поля, но в незримом таинстве внутренних сил, направляющих рост каждого отдельного зерна по одному и тому же удивительному пути. Для того, чтобы это было возможно, законы природы и в самом деле должны действовать в чрезвычайно точном согласии». Амфос пришел к убеждению, что без точных фундаментальных законов в мире не могло бы существовать никакого порядка; между тем, поведение самых различных объектов свидетельствует, что порядок присутствует во всем. Более того, порядок должен быть и в наших размышлениях относительно этих материй, иначе мы рискуем впасть в серьезное заблуждение. Случилось так, что ушей Амфоса достигли слухи о некоем живущем за морем мудреце, убеждения которого во многом совпадали с выводами Амфоса. Мудрец этот считал, что нельзя слепо полагаться на традиции и учения прошлых веков. Необходимо формировать собственные убеждения, в истинности которых может убедиться любой, а для этого следует научиться получать точные умозаключения с помощью безупречных рассуждений, которые невозможно оспорить. Упомянутой точности можно достичь лишь математическим путем, то есть в основе всех рассуждений должно лежать понятие числа и его применения к геометрическим формам. Соответственно, и весь мир должен в конечном счете управляться не мифами и суевериями, но числом и геометрией. Как и Ам-теп одиннадцать веков назад, Амфос пустился в плавание. Он добрался до города под названием Кротон, в котором трудились в поисках истины мудрец и возглавляемое им братство, состоявшее из 571 мужчины и 28 женщин. Некоторое время спустя Амфос был принят в это братство. Мудреца же звали Пифагор.
Глава 1 Истоки науки 1.1. Силы, движущие миром Какие законы правят Вселенной? Способны ли мы их познать? И если да, то как это знание может помочь нам понять устройство мира и обратить тем самым происходящие в нем процессы себе на пользу? Вопросами такого рода человечество задается с древнейших времен. Сначала люди пытались осмыслить силы, оказывающие реальное воздействие на окружающий мир, в рамках собственного повседневного опыта. Они представляли себе, что тот некто (или нечто), что управляет всем вокруг, руководствуется в своей деятельности теми же соображениями, какими руководствуются они сами в стремлении перестроить окружающее пространство под свои нужды: люди полагали, что их жизни и судьбы находятся во власти неких могущественных существ, поступки которых определяются разнообразными, но все же вполне привычными человеческими страстями и побуждениями. Такими, как гордость, тщеславие, любовь, ревность, гнев, страх, преданность, жажда возмездия или, к примеру, тяга к прекрасному. Соответственно явления природы и прочие естественные события — свет Солнца, дожди, бури, голод, болезни и т. д. — следовало воспринимать как прихоти богов и богинь, действующих под влиянием понятных человеческих порывов. Повлиять же на происходящие события можно в такой ситуации одним-единственным образом — попытаться как-нибудь умилостивить соответствующего божественного персонажа. Однако со временем люди начали отмечать в природных явлениях вполне определенные и надежные закономерности. Наиболее очевидный пример такой закономерности: размеренное движение Солнца по небосводу и явная связь этого движения со сменой дня и ночи. Не могло остаться незамеченным и то, что положение Солнца относительно сферы неподвижных звезд тесно связано с временами года, сменяющими друг друга с неумолимой регулярностью, что сопровождается ярко выраженными изменениями погодных условий и, как следствие, самым радикальным образом влияет на поведение животных и растений. Движение Луны, по всей видимости, также подчинено жесткому графику, а фазы ее определяются положением, которое она занимает по отношению к Солнцу. Люди, населявшие те области суши, что имели выход к открытому морю, обратили внимание на регулярность приливов и отливов и явную связь этих явлений с положением (и фазой) Луны. В конечном итоге перед пытливым разумом сдались и куда более сложные видимые траектории движения планет, открыв невиданные прежде точность и регулярность. Если небесами и впрямь правит прихоть богов, то прихоть эта по какой-то причине заключается в беспрекословном подчинении точным математическим законам. Ту же математическую регулярность, что направляла руку богов в небесах, демонстрируют и законы, управляющие феноменами вполне земными (например, суточными и годовыми изменениями температуры, приливами и отливами на море, ростом растений), но в той или иной степени подверженными — как не без оснований полагали наши предки — небесному влиянию. Впрочем, степень влияния небесных тел на земные дела люди зачастую преувеличивали, а природу его представляли себе превратно, склоняясь к оккультным и мистическим объяснениям астрологического толка. Прошло немало веков, прежде чем строгий
1.1. Силы, движущие миром 31_ научный подход позволил выделить истинную картину влияния небесных тел из вороха всевозможных мистических гипотез. Как бы то ни было, уже в древние времена люди ясно понимали, что такое влияние существует, а математические законы, управляющие небесами, актуальны и на Земле. В поведении земных объектов наблюдались и другие закономерности, не имеющие на первый взгляд отношения к уже упомянутым. Например, демонстрируемое всеми окружающими предметами стремление двигаться в одном и том же направлении — в нашем случае вниз — под действием силы, называемой силой тяжести или гравитационным притяжением. Многие видели, как материя в определенных условиях преобразуется из одной формы в другую — например, при таянии льда или растворении соли в воде, — однако общее количество материи при таких преобразованиях, похоже, остается неизменным, в полном согласии с так называемым законом сохранения массы. Вдобавок некогда было замечено, что многие материальные объекты способны сохранять свою форму; из этого наблюдения выросла концепция пространственного движения твердых тел, а мы научились представлять пространственные отношения тел в терминах точной формальной геометрии — той самой геометрии трехмерного пространства, которую мы сегодня называем евклидовой. Более того, как оказалось, «прямая» в геометрии Евклида и «прямая», по которой распространяется луч света, полностью идентичны. Всем этим идеям присущи замечательная точность и красота, обладавшие неотразимой притягательностью в глазах наших предков и не утратившие своего очарования и по сей день. Вместе с тем применительно к обыденной, повседневной жизни математическая точность мирового порядка выглядела зачастую сухой, непривлекательной и какой-то ограниченной, несмотря на всю, казалось бы, фундаментальную истинность математики самой по себе. Соответственно многие в те давние времена позволяли себе, завороженные красотой изучаемого предмета, унестись на крыльях воображения далеко за пределы разумного. В астрологии, например, геометрическим фигурам часто приписывали еще и мистические и оккультные свойства — взять хотя бы пентаграммы и гептаграммы, которые, как предпо- Рис. 1.1. Плод богатого воображения древних греков — представление о связи пяти Платоновых тел с четырьмя «стихиями» (огнем, воздухом, водой и землей) и небесным сводом (представлен додекаэдром)
32 Глава 1 лагалось, обладали магической силой. Предпринимались попытки и усмотреть связь между Платоновыми телами и элементарными состояниями материи (см. рис. 1.1). Лишь спустя много веков смогло человечество нащупать тот путь, что привел его сегодня к более глубокому пониманию действительных связей между массой, гравитацией, геометрией, движением планет и поведением света. 1.2. Математическая истина Прежде чем предпринять первые шаги к постижению тех реальных сил, что управляют Вселенной, требовалось научиться как-то отделять истину от нагромождений умозрительных предположений. Однако для того чтобы такое отделение было хоть сколько-нибудь достоверным, древним предстояло сделать кое-что еще. Необходимо было отыскать способ, который позволил бы отделять истину от предположений в математике, — некую формальную процедуру, применив которую можно было бы с уверенностью сказать, является данное математическое утверждение истинным или нет. Пока эта задача должным образом не разрешена, вряд ли можно всерьез надеяться на успех в решении других, значительно более сложных, задач — тех, что касаются природы движущих миром сил, какие бы взаимоотношения эти самые силы с математической истиной ни связывали. Осознание того, что ключом к пониманию Вселенной является неопровержимая математика, является, пожалуй, первым из важнейших прорывов в науке вообще. О математических истинах самого разного рода догадывались еще древние египтяне и вавилоняне, однако первый камень в фундамент математического понимания (а стало быть, и науки в целом) был заложен лишь с появлением — благодаря трудам великих греческих философов Фалеса Милетского (ок. 625-547 г. до н.э.) и Пифагора t11'* Самосского (ок. 572^97 г. до н. э.) — концепции математического доказательства. Первым формальную процедуру доказательства предложил, судя по всему, Фалес; Пифагор же и его ученики первыми начали активно использовать эту процедуру для установления фактов, иначе не очевидных. Пифагор, кроме того, похоже, истово верил в то, что физическим миром правят арифметические идеи вообще и числа в частности. Едва ли не решающим доводом в поддержку этой веры стало, как говорят, обнаружение Пифагором удивительной закономерности: наиболее гармонично звучат те лиры, отношения длин струн которых представляют собой простейшие дроби (то же верно и для свирелей, только здесь значимы отношения длин стволов). Судя по всему, именно Пифагор предложил так называемый «пифагоров строй»: ряд численных отношений частот (в современной терминологии), определяющий главные частотные интервалы, на которых, в сущности, основывается вся западная музыкаf1*2'. И все же наиболее, пожалуй, убедительно демонстрирует наличие точно определяемой связи между арифметикой чисел и геометрией физического пространства знаменитая теорема Пифагора — квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов (см. главу 2). У Пифагора было немало последователей — так называемых пифагорейцев, — проживавших в городе Кротон (что на юге современной Италии), однако распространению его идей это отнюдь не способствовало, поскольку все члены Пифагорейского братства давали строгий обет хранить свои изыскания в тайне. В результате почти все их труды канули в Лету вместе с ними. Кое-что, впрочем, просачивалось время от времени наружу, несмотря на угрозу сурового наказания (достоверно известно, что одного из ослушников за разглашение тайны утопили в море). И все же в конечном счете вклад пифагорейцев в прогресс человеческой мысли оказался чрезвычайно велик. Вместе с формальной процедурой математического доказательства у * Примечания, ссылки на которые даны в тексте в квадратных скобках, см. в конце глав (в данном случае на с. 43).
1.2. Математическая истина 33 людей впервые появилась возможность формулировать достоверные и заведомо неопровержимые утверждения — утверждения, истинность которых не вызывает сомнений и сегодня, несмотря на то что наука с тех времен шагнула далеко вперед. Людям впервые приоткрылась поистине вневременная природа математики. Что же это такое — математическое доказательство? В математике доказательством называют безупречное рассуждение, использующее лишь приемы чистой логики и позволяющее сделать однозначный вывод о справедливости того или иного математического утверждения на основании справедливости каких-либо других математических утверждений, либо заранее установленной аналогичным образом, либо не требующей доказательства вовсе (особые элементарные утверждения, истинность которых, по общему мнению, самоочевидна, называются аксиомами). Доказанное математическое утверждение принято называть теоремой. Среди дошедших до нас пифагорейских теорем имеются как утверждения геометрического характера, так и утверждения «о числах». Утверждения, касающиеся только чисел, и сегодня остаются такими же абсолютно и бесспорно справедливыми, какими они были во времена Пифагора. Что до геометрических теорем, полученных пифагорейцами с помощью процедуры математического доказательства, то, хотя справедливость этих утверждений по-прежнему не вызывает сомнений, сегодня здесь приходится делать оговорку, необходимость в которой, очевидную с точки зрения современной науки, пифагорейцы предвидеть по понятным причинам не могли. У древних была одна-единственная геометрия — та самая, что теперь называется евклидовой, — нам же известны и другие. Таким образом, при рассмотрении геометрических теорем древних греков необходимо всегда помнить о том, что справедливы эти теоремы только в евклидовой геометрии. (Подробнее эти вопросы мы обсудим в § 2.4 на примере одной из известнейших неевклидовых геометрий.) Евклидова геометрия — это вполне определенная математическая структура, основанная на собственном наборе вполне определенных аксиом (куда входят и несколько менее очевидных утверждений, называемых постулатами) и дающая превосходное приближение при описании вполне определенного аспекта реального физического мира. Того самого аспекта, с которым были прекрасно знакомы древние греки и где действуют законы, управляющие геометрией твердых тел и их относительным положением относительно других твердых тел при движении в трехмерном пространстве. Некоторые геометрические свойства тел казались настолько привычными и самодостаточными, что как-то сами собой перешли в разряд «самоочевидных» математических истин и были приняты в качестве аксиом (или постулатов). Однако, как мы увидим далее (см. главы 17-19, а также §§ 27.8, 27.11), специальная (с пространством-временем Минковского) и общая теории относительности Эйнштейна предлагают для описания физической Вселенной иные геометрии, не только отличные от евклидовой геометрии древних греков, но и существенно более точные — хотя и точность евклидовой геометрии, надо признать, чрезвычайно высока. Таким образом, при рассмотрении геометрических утверждений следует проявлять осторожность — далеко не всем «аксиомам» можно доверять как подлинно истинным, в любом смысле этого слова. Что же в таком контексте следует понимать под «истиной»? Вопрос непростой, и сложность его хорошо понимал великий древнегреческий философ Платон, живший в Афинах с 429 по 347 г. до н. э., приблизительно через полтора столетия после Пифагора. Платон был убежден, что математические высказывания — т. е. предположения, истинность которых может быть установлена неопровержимо, — описывают в действительности не реальные физические объекты (такие, например, как приближенные изображения на песке квадратов, треугольников, окружностей, сфер или кубов или их же модели, выполненные из дерева или камня), но некие идеальные сущности. Он полагал, что такие идеальные сущности образуют в совокупности собственный мир, отдельный и отличный от мира физического. Сегодня мы называем этот мир платоновским миром математических форм. Физические структуры — квадраты, круги или треугольники, вырезанные из папируса или нанесенные каким-либо
34 Глава 1 инструментом на плоской поверхности, равно как и кубы, тетраэдры или шары, вырезанные из мрамора, — могут очень близко подойти к этим идеалам, но никогда не совпадут абсолютно. Настоящие математические квадраты, кубы, окружности, сферы, треугольники и т. д. не принадлежат физическому миру, но существуют в платоновском идеальном мире математических форм. 1.3. «Реален» ли математический мир Платона? Для своего времени идея была просто исключительной и, как выяснилось впоследствии, очень и очень продуктивной. Но можно ли сказать, что платоновский математический мир действительно существует (в каком бы то ни было постижимом смысле этого слова)? Многие, в том числе и философы, сочтут такой «мир» чистым вымыслом — порождением исключительно необузданного воображения. И все же точка зрения Платона обладает огромной научной ценностью. Прежде всего потому, что проводит четкое разделение между точными математическими объектами и теми приближениями, что мы наблюдаем в физическом мире вокруг нас. Кроме того, она снабдила нас шаблоном, которому с тех самых пор и по сегодняшний день следует наука вообще. Ученые предлагают те или иные модели мира — или, чаще, отдельных аспектов мира, — которые затем проверяются на соответствие результатам предшествующих наблюдений или тщательно спланированных экспериментов. Если модель выдерживает все строгие испытания (и если она к тому же внутренне непротиворечива), то ее признают адекватной и делают соответствующие выводы. Обратите особое внимание — модели эти в большинстве своем являются чисто абстрактными математическими построениями. Одна лишь постановка вопроса о внутренней непротиворечивости научной модели предполагает, в частности, что модель должна быть описана каким-либо точным образом. Необходимая степень точности достижима лишь при условии, что модель является математической, в противном случае мы не можем гарантировать, что на поставленные вопросы существуют вполне определенные ответы. Если вообще можно говорить о какой-либо форме существования применительно к математической модели, то самым подходящим местом для такого существования является платоновский мир математических форм. Можно, разумеется, принять и противоположную точку зрения: модели существуют исключительно в наших многочисленных разумах, и для их благополучного существования вовсе не требуется наделять платоновский мир какой бы то ни было абсолютностью или «реальностью». Однако полностью отрицая собственную реальность математических структур, мы рискуем, как мне представляется, упустить нечто важное. Всем известно, как вопиюще неточны, ненадежны и противоречивы в суждениях наши индивидуальные разумы. От научных же теорий мы, напротив, ожидаем точности, достоверности и непротиворечивости, то есть чего-то такого, чего не найти ни в одном из наших индивидуальных (не заслуживающих, вообще говоря, никакого доверия) разумов. В математике неизмеримо больше здравого смысла, нежели можно обнаружить в любом отдельно взятом разуме. Не является ли это прямым указанием на то, что математика существует вне нас, что она обладает собственной реальностью, недоступной ни одному отдельному индивидууму? Впрочем, здесь возможно иное объяснение: математический мир не обладает независимым существованием, это всего лишь совокупность неких идей, выкристаллизовавшихся из многочисленных индивидуальных разумов, идей, которые, по всеобщему согласию, заслуживают полного доверия и принимаются как абсолютные истины. Однако и это объяснение — при всей своей привлекательности — ничего, похоже, не объясняет. Следует ли нам под «всеобщим согласием» понимать действительно «всеобщее согласие», или все же «согласие всех тех, кто в здравом уме», или, еще лучше, «согласие всех математиков, имеющих ученую степень не ниже доктора» (хотя ко временам Платона это, пожалуй, не подходит)?
1.3. «Реален» ли математический мир Платона? 35 И кто обладает правом на выдвижение «официального» мнения в случае чего? Возникает опасность «зацикливания» — для того чтобы решить, в «здравом» ли, например, уме тот или иной соглашающийся, необходимо наличие некоего внешнего стандарта. Требует наличия стандарта и критерий «официальности мнения», разве что мы примем за таковой какой-либо из стандартов ненаучного характера — например, «мнение большинства» (надеюсь, читатель четко представляет себе, что мнение большинства, при всей своей важности для демократически настроенного правительства, ни в коем случае не может использоваться в качестве критерия научной приемлемости). Математика же сама по себе обладает такой «здравостью», какая и не снилась ни одному отдельно взятому математику. У тех, кто занимается математикой профессионально (неважно, принимают ли они сами активное участие в математических исследованиях или просто используют результаты, полученные другими), рано или поздно возникает, как правило, ощущение, что они — всего лишь путешественники в огромном мире, живущем собственной жизнью, в мире, который наделен объективной реальностью, независимой от каких бы то ни было частных мнений, будь это их собственные мнения или предположения других математиков, пусть даже и всеми признанных экспертов. Возможно, мне стоит, для большей убедительности, облечь свои аргументы в пользу действительного существования платоновского мира в несколько иной форме. Когда я говорю о «существовании» платоновского мира, я имею в виду всего-навсего объективность математической истины. Существование платоновского мира, как я себе представляю, равносильно существованию некоего объективного внешнего стандарта, который не зависит ни от наших индивидуальных мнений, ни от особенностей нашей культуры. Таким «существованием» могут обладать и другие абстракции, порой весьма далекие от математики, — например, мораль или эстетика (см. § 1.5), однако я в данном случае предпочитаю ограничиться проблемой математической объективности, существенно менее запутанной, на мой взгляд. В качестве иллюстрации рассмотрим один знаменитый пример математической истины, причем особое внимание уделим вопросу ее «объективности». В 1637 году Пьер де Ферма сформулировал свое знаменитое утверждение, ныне известное как «последняя теорема Ферма» (никакая пара возведенных в степень п положительных целых чисел'1-3] не может дать в сумме третье число в той же степени п, если п — целое число, больше двух), записав его на полях своего экземпляра «Арифметики», книги, написанной греческим математиком III века Диофантом. Ниже Ферма добавил: «Я также нашел воистину удивительное этому доказательство, однако оно здесь не поместится — поля слишком узки». Более 350 лет последняя теорема Ферма оставалась недоказанной, несмотря на последовательные усилия многих выдающихся математиков. Наконец, в 1995 году, Эндрю Уайлз (опиравшийся на труды нескольких предшественников) опубликовал доказательство, которое на сегодняшний день принято математическим сообществом как обоснованное. Итак, принимаем ли мы точку зрения, согласно которой утверждение Ферма было истинным всегда, в том числе и задолго до того момента, как Ферма его высказал? Или же справедливость этого утверждения есть феномен исключительно культурный, зависящий от субъективных стандартов сообщества математиков-людей, какими бы эти стандарты ни были? Попробуем для начала допустить, что справедливость утверждения Ферма и в самом деле субъективна. В этом случае ничто не помешало бы какому-либо другому математику, назовем его X, найти некий реальный и конкретный контрпример, опровергающий утверждение Ферма, — при условии, разумеется, что X сделает это до 1995 года'1ш41. Математическому сообществу не останется ничего иного, как принять правильность доказательства X. После этого любые попытки Уайлза доказать утверждение Ферма обречены на провал — по той простой причине, что X представил свой контрпример первым, и, стало быть, утверждение Ферма ложно! Зададим себе еще один вопрос: следует ли из справедливости гряду-
36 Глава 1 щего контрутверждения X, что сам Ферма непременно ошибался, полагая обоснованным свое не поместившееся на полях, но «воистину удивительное» доказательство? При субъективной трактовке математической истины дело вполне может обернуться так, что Ферма в свое время нашел обоснованное доказательство (которое было бы принято как таковое собратьями-математиками, потрудись Ферма его обнародовать), однако скрытность ученого привела к тому, что впоследствии X смог получить доказательство противоположного. Я убежден, что практически все математики, независимо от демонстрируемого ими отношения к «платонизму», сочтут возможность такого развития событий откровенно абсурдной. Разумеется, нельзя исключить, что в рассуждения Уайлза действительно вкралась ошибка и, следовательно, утверждение Ферма все-таки ложно. Не исключено также и то, что рассуждения Уайлза фундаментально ошибочны, однако утверждение Ферма тем не менее истинно. А может оказаться, что доказательство Уайлза по сути верно, но содержит «нестрогие элементы», что абсолютно недопустимо по стандартным правилам математической приемлемости, разработанным математиками отдаленного будущего. Однако все эти возможности не имеют никакого отношения к тому, о чем я здесь говорю. Речь идет об объективности самого утверждения Ферма, а вовсе не о том, покажется ли убедительной математикам той или иной конкретной эпохи чья-либо демонстрация истинности (или ложности) этого утверждения. Следует, пожалуй, упомянуть и о том, что с точки зрения математической логики утверждение Ферма представляет собой чрезвычайно простое математическое высказыва- ние[!-5] _ из теХ) объективность которых видна невооруженным глазом. Очень немногие математики^1-6} склонны полагать, что истинность таких высказываний может быть хоть сколько-нибудь «субъективной» — до некоторой степени субъективно здесь можно подойти разве что к оценке убедительности того или иного доказательства. Однако в математических утверждениях других классов истинность вполне может оказаться «зависимой от мнения». Самым, наверное, известным из таких утверждений является так называемая аксиома выбора. В сущность аксиомы выбора нам пока вникать не обязательно (я расскажу о ней подробнее в § 16.3). Я упомянул о ней здесь просто в качестве примера. Большинство математиков, вероятно, сочтут аксиому выбора «очевидно истинной», другие, напротив, укажут, что утверждение это выглядит несколько сомнительно и вполне может оказаться ложным (я, собственно, и сам до некоторой степени склоняюсь к такой точке зрения). Третьи отнесут аксиому выбора к утверждениям, «истинность» которых зависит от мнения, или, скорее, к утверждениям, которые можно рассматривать и так и эдак — в зависимости от того, какую систему аксиом и правил действия (так называемую «формальную систему», см. § 16.6) вы для себя выберете. Математиков, придерживающихся последней точки зрения (но признающих при этом объективность истинности простых и ясных математических утверждений — таких, например, как рассмотренное выше утверждение Ферма), тоже можно назвать платонистами, только более мягкого толка. Те же, кто упорно отстаивает объективность истинности даже аксиомы выбора, принадлежат к лагерю платонистов ортодоксальных. К аксиоме выбора я еще вернусь в § 16.3, так как она имеет некоторое отношение к математике, описывающей поведение физического мира на фундаментальном уровне, — несмотря на то обстоятельство, что физики-теоретики по какой-то причине почти не обращают на эту аксиому внимания. До той поры чрезмерно погружаться в детали необходимости нет. Если истинность аксиомы выбора можно так или иначе установить посредством какого-либо неопровержимого математического рассуждения'1р71, то эта истинность целиком и полностью объективна, в каковом случае либо сама аксиома, либо ее отрицание непременно принадлежит платоновскому миру идей — в том смысле, в каком я понимаю термин «платоновский мир». Если же истинность аксиомы выбора зависит от точки зрения или каких-либо произвольных предпочтений с нашей стороны, то тогда в платоновском мире аб-
1.3. «Реален» ли математический мир Платона? 37 солютных математических форм вы не найдете ни аксиомы выбора, ни ее отрицания (хотя не исключено, что вам встретятся утверждения вида «то-то и то-то следует из аксиомы выбора» или «аксиома выбора является теоремой согласно правилам такой-то математической системы»). Платоновскому миру могут принадлежать только те математические утверждения, истинность которых объективна. Я бы даже сказал, что именно в математической объективности и заключается главный смысл всей концепции математического платонизма. Фраза «такое-то математическое утверждение обладает независимым платоновским существованием» означает всего-навсего, что утверждение это истинно в объективном смысле. То же применимо и к математическим понятиям (таким, как понятие числа, например, 7, или правило умножения целых чисел, или понятие множества, содержащего бесконечное количество элементов) — все они существуют в платоновском мире, поскольку объективны. По моему мнению, платоновское существование есть не что иное, как существование объективное, и поэтому в нем, конечно же, нет ничего «мистического» или «ненаучного», пусть даже кому-то и удобнее эту мистику и ненаучность в нем видеть. Впрочем, как и в случае с аксиомой выбора, признание «права» на объективное существование того или иного предлагаемого математического объекта (либо отказ в таком признании) может быть сопряжено с решением весьма деликатных и порой исключительно формальных вопросов. Тем не менее, для того чтобы оценить общую «здравость» многих математических концепций, нам совершенно необязательно быть математиками. На рис. 1.2 представлен знаменитый математический объект, называемый множеством Мандельброта, и три увеличенных его участка. Множество Мандельброта чрезвычайно сложно и замысловато устроено, причем «устроено» не человеком. Самое замечательное здесь то, что структура множества целиком и полностью определяется математическим правилом исключительной простоты. Дабы не отвлекаться от наших насущных целей, я не буду подробно описывать это правило здесь — в свое время (§ 4.5) мы до него доберемся. Однако вот на что я хочу обратить ваше внимание: когда Бенуа Мандельброт обнаружил невероятную сложность тонкой структуры полученного множества, никто — и сам Бенуа Мандельброт в том числе — не имел реального представления о том, какие богатства это множество в себе содержит. Множество Мандельброта совершенно определенно не является изобретением человеческого разума. Оно просто объективно существует в самой математике. Если вообще имеет смысл говорить о существовании множества Мандельброта, то существует оно отнюдь не в наших с вами разумах, ибо ни один человек не в состоянии в полной мере постичь бесконечное разнообразие и безграничную сложность этого математического объекта. Равным образом не может оно существовать и в многочисленных компьютерных распечатках, которые пока только начинают охватывать некую малую толику его невообразимо сложно детализированной структуры, — на этих распечатках мы видим не само множество Мандельброта и даже не приближение к нему, но лишь бледную тень очень грубого приближения. И все же множество Мандельброта существует и существует вполне устойчиво: кто бы ни ставил перед компьютером задачу построения множества, каким бы ни был этот самый компьютер, структура в результате получается всегда одинаковая — и чем «глубже» мы считаем, тем более точной и детальной будет картинка. Следовательно, существовать множество Мандельброта может только в платоновском мире математических форм, больше нигде. Я понимаю, что многим читателям и после такого предисловия сложно будет представить себе математические структуры, наделенные каким-то действительным, независимым существованием. К таким читателям я хочу обратиться с одной простой просьбой: попробуйте слегка расширить рамки привычного значения слова «существование». Разумеется, математические формы в платоновском мире существуют не совсем так, как существуют обычные физические объекты — скажем, столы и стулья — в мире нашем. Они не имеют
38 Глава 1 Рис. 1.2. а) Множество Мандельброта. б), в) и г) Увеличенные (в 11,6; 168,9 и 1042 раза) изображения некоторых участков, позволяющие увидеть чрезвычайно сложную структуру множества. Количество шагов итерации: 300 а), 300 б), 200 в), 200 г); см. примечание 4.10 пространственного местоположения, не существуют они и во времени. Объективные математические понятия следует представлять как вневременные объекты; не нужно думать, будто их существование начинается в тот момент, как только они в том или ином виде возникают в человеческом воображении. Замысловатые завитки множества Мандельброта, изображенные на рис. 1.2 в и 1.2 г, не были вызваны из небытия в то мгновение, когда кто-то увидел их на экране компьютера или на распечатке. Не возникли они и тогда, когда впервые была выдвинута человеком лежащая в основе множества Мандельброта общая идея — причем не обязательно самим Мандельбротом (действительно первым в этом смысле), но, скажем, Р.Бруксом и Дж.П.Мателски в 1981 году или, может быть, кем-то другим и еще раньше. Потому что ни Брукс, ни Мателски, ни даже Мандельброт в начале своих экспериментов не имели сколько-нибудь реального представления о тех изящных тонких узорах, что воспроизведены на рис. 1.2 в и 1.2 г. Эти узоры «существовали» и прежде, они существуют с незапамятных времен и будут существовать всегда — в потенциально вневременном смысле, предполагающем, что в какое бы время, в каком бы месте, какое бы обладающее сознанием существо ни решило исследовать их структуру, оно всякий раз увидит в точности то же самое, что видим сегодня мы с вами.
1.4. Три мира и три великие загадки 39 1.4. Три мира и три великие загадки Таким образом, математическое существование отличается не только от существования физического, но и от того существования, которым способно наделить объект наше сознательное восприятие. Тем не менее оно явно связано с двумя последними формами существования — т. е. с физическим и ментальным существованием, — причем соответствующие связи настолько же фундаментальны, насколько и загадочны. На рис. 1.3 я схематически изобразил все эти три формы существования — физическую, ментальную и платоновскую математическую — в виде сфер, представляющих собой объекты, принадлежащие трем различным мирам. Здесь же показаны и загадочные связи между мирами, причем, нарисовав их таким образом, я тем самым некоторым образом навязываю читателю кое-какие свои представления (или предубеждения) относительно природы этих загадок. Рис. 1.3. Три «мира» — платоновский математический, физический и ментальный — и три связывающие их фундаментальные загадки Что касается загадки номер один — той, что связывает платоновский математический мир с миром физическим, — из рисунка видно, что непосредственное отношение к процессам физического мира имеет лишь некая малая часть мира математики. В самом деле, подавляющее большинство исследований в современной чистой математике не связаны сколько- нибудь очевидным образом ни с физикой, ни с иными науками (см. § 34.9), хотя математика и не устает удивлять нас своими неожиданными и важными практическими применениями. Аналогичное заключение можно сделать и относительно второй загадки: каким образом в определенных физических структурах (если точнее, то в здоровых и бодрствующих человеческих мозгах) возникает феномен мыслительной деятельности — я отнюдь не настаиваю на том, что структуры, способные на ментальные процессы, должны непременно преобладать в физическом мире. Возможно, мозг кошки и впрямь способен развить в себе ментальные качества, однако от, скажем, камня того же ожидать, наверное, не стоит. И наконец, третья загадка — здесь, полагаю, и без пояснений очевидно, что размышления об абсолютных математических истинах составляют весьма малую долю от нашей совокупной мыслительной деятельности. (По большей части, деятельность эта посвящена разнообразным заботам, радостям, огорчениям, волнениям, удовольствиям и тому подобным вещам, наполняющим нашу повседневную жизнь.) В соответствии с указанным обстоятельством, основания «лучей»,
40 Глава! связывающих каждый мир со следующим, захватывают очень небольшие части исходных миров (миры рассматриваются в направлении движения часовой стрелки). В то же время именно в таком построении и проявляется то предвзятое отношение, о котором я упоминал выше: получается, что весь следующий мир в некотором роде содержится в малой области мира предыдущего. Итак, согласно изображенной на рис. 1.3 схеме, весь физический мир управляется математическими законами. В последующих главах книги мы увидим, что имеются веские (хоть и неполные) свидетельства в поддержку такой точки зрения. Если верить этим свидетельствам, то приходится признать, что все, существующее в физической Вселенной, вплоть до самых мельчайших мелочей, и в самом деле управляется точными математическими принципами — может быть, уравнениями (с некоторыми из таких уравнений мы очень скоро познакомимся), а может, какими-то другими, неизвестными пока математическими структурами, фундаментально отличными от тех, что мы сегодня обозначаем термином «уравнение». Если это так, то и наши с вами физические действия целиком и полностью подчинены такому всеобщему математическому контролю, хотя «контроль» этот все же допускает определенную случайность в поведении, управляемую строгими вероятностными принципами. Многие люди от таких предположений начинают чувствовать себя очень неуютно; у меня и у самого, признаться, эти мысли вызывают некоторое беспокойство. Тем не менее даже мои собственные предрассудки, похоже, свидетельствуют, в общем и целом, в пользу описанной точки зрения, поскольку совершенно невозможно определить, где же следует провести границу между физическими действиями, подчиненными математическому контролю, и действиями, такому контролю неподвластными. Мне кажется, что наше общее беспокойство возникает отчасти из-за крайне ограниченного представления об истинной сути этого пресловутого «математического контроля». Эта книга как раз и написана, помимо прочего, для того, чтобы показать читателю хотя бы малую часть того невероятного богатства, мощи и красоты, которые могут открыться нам, как только мы сумеем отыскать нужные математические понятия. Одно только множество Мандельброта (см. рис. 1.2) может дать некоторое первоначальное понимание как возможностей, которые открывают перед нами такие объекты, так и присущей им красоты. А ведь множество Мандельброта и подобные ему структуры занимают лишь крохотный островок в бескрайнем море математики — ту область, где поведение объектов регулируется строгим вычислительным контролем. За пределами же этой области нас ждут несметные, неведомые еще богатства. Какие же в самом деле чувства вызывает у меня возможность того, что все мои действия и все поступки моих друзей управляются в конечном итоге такого рода математическими принципами? Думаю, я смогу это вынести. Думаю даже, что для меня предпочтительнее считать, что всеми этими действиями управляет нечто, существующее в некотором объективном смысле в идеальном математическом мире Платона, нежели позволить убедить себя в том, что поведение человека целиком и полностью определяется упрощенно-низменными мотивами вроде жадности, агрессивной жестокости или стремления к удовольствиям, каковое мировоззрение, как уверяют многие, и должно стать единственным результатом применения строго научного подхода. Впрочем, я вполне могу себе представить, что немалая часть читателей все равно не сможет с легкостью принять идею тотального владычества математических законов во Вселенной. Равным образом, многие, несомненно, найдут что возразить и на другие два предубеждения, отразившиеся на нарисованной мною схеме (рис. 1.3). Возможно, им покажется, что, изобразив на схеме, будто вся и всяческая ментальность уходит корнями в физический мир, я продемонстрировал слишком уж «твердолобонаучный» взгляд на вещи. Я готов признать, что это и в самом деле всего лишь предубежденность — хоть мы и не располагаем никакими рациональными научными свидетельствами в пользу существования «разумов», не нуждающихся в физическом «носителе», полной уверенности в невозможности такого
1.4. Три мира и три великие загадки 41. феномена у нас нет. Кроме того, не следует сбрасывать со счетов и крайне настойчивую аргументацию всевозможных религиозных деятелей, которые не только утверждают, что независимый от физического тела разум возможен, но и приводят неопровержимые (по их мнению) доказательства этого утверждения — правда, доказательства эти несколько иного рода, нежели те, что «добывает» обычная наука. И наконец, последнее мое предубеждение проявляется в том, что платоновский мир на схеме, похоже, целиком и полностью происходит из мира ментального. Этим я всего лишь хотел показать, что не бывает математических теорий, непостижимых разумом, — по крайней мере, в принципе. Существуют, разумеется, математические утверждения (даже среди, казалось бы, самых обычных арифметических задач на сложение), настолько безмерно сложные, что никто пока не нашел в себе достаточно интеллектуальных сил, чтобы с ними справиться. Однако даже такие задачи потенциально не выходят за пределы ментальных возможностей человека и вполне вписываются в схему на рис. 1.3 в том смысле, какой я в нее вкладывал. Тем не менее мне следовало бы учесть, что возможны математические утверждения, не постижимые разумом даже потенциально, — таким утверждениям места на первоначальной схеме не нашлось. (Подробнее об этой проблеме мы поговорим в § 16.6; там же попробуем разобраться, какое отношение имеет к ней знаменитая теорема Гёделя о неполноте.)'1 8' Поскольку читатель вовсе не обязан разделять все мои личные предубеждения, я решил пойти на уступки и перерисовать связи между тремя мирами таким образом, чтобы снять все возможные противоречия (результат представлен на рис. 1.4). На новой схеме учтена возможность физического действия, неподвластного математическому контролю; предусмотрено место для ментальной деятельности, свободной от физических структур, и для истинных математических утверждений, установление истинности которых принципиально недоступно ни разуму, ни интуиции. Такая «расширенная» схема непременно задаст нам другие загадки, еще более головоломные, чем те, с которыми я смирился в своей первоначальной картине мира (рис. 1.3). На мой взгляд, и в прежней, более компактно организованной и строго научной схеме, загадок было вполне достаточно. Причем переход к менее строгой схеме (рис. 1.4) старые загадки отнюдь не разрешил. Я по-прежнему недоумеваю, почему математические законы Рис. 1.4. Модификация схемы с рис. 1.3 с учетом феноменов, противоречащих предубеждениям автора
42 Глава 1 непременно должны описывать физический мир с такой феноменальной точностью. (Некоторое представление об исключительной точности фундаментальных физических теорий мы получим в §§ 19.8, 26.7, 27.13.) И если бы дело было только в точности! Но нет — ничуть не менее загадочны утонченная сложность и математическая красота успешных теорий. По- прежнему абсолютно непонятно, как в определенным образом организованной физической материи — здесь я имею в виду живой человеческий (или животный) мозг — вдруг ни с того ни с сего возникает ментальное качество осмысленного осознания. И наконец, все так же неясно, каким таким хитроумным способом человек оценивает истинность математического утверждения. Это ментальное качество невозможно объяснить только тем, что наш мозг якобы запрограммирован на корректное выполнение тех или иных «вычислений». Должно быть что-то еще помимо вычислений, что-то такое, что позволяет даже самому никудышному математику интуитивно схватывать действительный смысл таких, например, понятий, как «нуль», «один», «два», «три», «четыре» и т. д.'1-9! Некоторые из вопросов, возникающих в связи с третьей загадкой, мы рассмотрим в следующей главе (а также более подробно в §§16.5, 16.6) применительно к формальной процедуре математического доказательства. Однако главной темой книги является все же первая из перечисленных загадок, т. е. говорить мы будем в основном о том, что имеет отношение к замечательной взаимосвязи математики и действительного поведения физического мира. Невозможно составить сколько-нибудь адекватное представление о необычайной мощи современной науки без хотя бы поверхностного знакомства с наиболее выдающимися математическими идеями. Не сомневаюсь, найдется немало читателей, которые сочтут необходимость разбираться со всей этой математикой слишком высокой ценой за упомянутое адекватное представление. Давайте не будем спешить — может быть, черт вовсе не так страшен, как вам показалось. Кроме того, я все еще надеюсь, что мне удастся убедить большинство из вас (несмотря на тот, возможно, негативный опыт, что вы успели накопить): математика-таки может быть увлекательным занятием! Что касается второй из великих загадок, схематически представленных на рис. 1.3 и 1.4, — т. е. тайны возникновения ментальности и в особенности осмысленного осознания в определенным образом организованных физических структурах, — то особо останавливаться на ней мы здесь не будем (за исключением § 34.7, где я вкратце затрону этот непростой вопрос). Ограничимся исследованием физической Вселенной и неразрывно связанных с ней математических законов — эта тема достаточно обширна, чтобы надолго занять даже самый пытливый ум. Вдобавок ко всему, вопросы, связанные с мышлением, как правило, крайне неоднозначны, и я боюсь, что обсуждение всех спорных моментов отвлечет наше внимание от главной цели книги. Хотя одно краткое замечание будет здесь, пожалуй, уместным: при нынешнем уровне знаний о фундаментальной структуре физической реальности у нас очень мало шансов достичь сколько-нибудь глубокого понимания природы разума. Как станет ясно из рассуждений, представленных в последующих главах, я убежден, что наше понимание окружающего физического мира давно уже нуждается в радикальных революционных переменах. До тех пор пока такие перемены не настали, любое заявление о возможности реального прогресса в понимании истинной природы мыслительных процессов представляется мне проявлением безудержного оптимизма Г1'10!. 1.5. Истина, Добро и Красота Схемы на рис. 1.3 и 1.4 поднимают вопросы и иного рода. До сих пор я рассматривал платоновский «мир идеальных форм» лишь в ограниченном смысле математических форм. Ключевым для математики является идеал Истины. Сам же Платон учил, что помимо истины существуют еще два фундаментальных абсолютных идеала, а именно: Добро и Красота. Я вполне готов признать существование таких идеалов и расширить понятие платоновского мира, с тем чтобы включить туда и их тоже.
1.5. Истина, Добро и Красота 43 В самом деле, еще до конца книги нам встретится несколько совершенно замечательных примеров соотношений между истиной и красотой, проливающих свет (в котором лишь яснее видно, насколько здесь все запутано) на некоторые темные моменты, связанные с открытием и последующим принятием физических теорий (см., в частности, §§ 34.2,34.5,34.9; см. также рис. 34.1). Более того, даже если не говорить о несомненно важной (хотя зачастую и неоднозначной) роли красоты в математике, описывающей фундаментальное устройство физического мира, именно эстетические критерии выходят на первый план при разработке математических идей самих по себе, именно эстетические критерии дают стимул для движения к открытию и в большинстве случаев указывают, куда, собственно, нужно двигаться. Я бы даже предположил, что распространенная среди математиков убежденность в существовании где-то вовне реального, независимого от человека платоновского мира основывается не в последнюю очередь на исключительной и неожиданной, скрытой прежде красоте, которая часто обнаруживается в самих идеях. Не столь очевидно связан с обсуждаемыми в этой книге темами (хотя и несомненно важен в более широком контексте) вопрос об абсолютном идеале этики: что такое хорошо и что такое плохо, и как эти абсолютные ценности воспринимаются нашим разумом? Этика составляет неотъемлемую часть ментального мира, поскольку обусловлена ценностями, формируемыми разумными существами, и, что более значимо, самим фактом наличия сознания. Вряд ли можно говорить о какой бы то ни было этике в отсутствие существ, обладающих разумом. Понимание физических основ ментальности приобретает по мере развития науки и техники все большую значимость. Думаю, что в условиях современной технологической культуры как никогда важно не забывать при решении научных проблем и об этической стороне дела. Впрочем, рассмотрение этих вопросов сейчас может увести нас весьма далеко в сторону от непосредственной цели книги. Прежде чем приступать к разделению добра и зла, необходимо научиться адекватно отделять истинное от ложного. И наконец, еще об одной загадке рис. 1.3. Я сознательно нарисовал схему таким образом, чтобы возник парадокс. Если верить рисунку, то получается, что каждый мир (согласно моим предубеждениям) заключает в себе весь следующий мир целиком. Как же такое возможно? Я не считаю это обстоятельство достаточно веской причиной для того, чтобы расстаться с упомянутыми предубеждениями, я лишь хочу продемонстрировать наличие еще более головоломной загадки, превосходящей все те, на которые я указывал выше. Возможно, в некотором смысле три мира вовсе не являются отдельными сущностями, но лишь отражают различные аспекты некоей более фундаментальной истины, описывающей мир, как целое, — истины, о которой в настоящее время мы не имеем ни малейшего понятия. Прежде чем мы сможем должным образом объяснить все эти материи, нам еще очень во многом предстоит разобраться. На этом предлагаю лирическое отступление (которое, боюсь, и так уже чересчур затянулось) завершить. Главная его цель заключалась в том, чтобы подчеркнуть, что с глубокой древности и до наших дней математика занимает в науке центральное место. Теперь давайте попробуем краем глаза заглянуть в платоновский мир — по крайней мере в ту относительно небольшую, но чрезвычайно важную его часть, которая имеет самое непосредственное отношение к природе физической реальности. Примечания §1.2. 1.1. К сожалению, достоверными сведениями о Пифагоре, его жизни, его последователях и их научной деятельности мы почти не располагаем — с уверенностью можно говорить лишь, что люди эти действительно существовали и что сам Пифагор отводил простым отношениям частот решающую роль в музыкальной гармонии (см. [115]). С другой стороны, фундаментальный вклад
44 Глава 1 пифагорейцев в науку общепризнан. Соответственно я буду употреблять слова «пифагорейцы» и «пифагорейский» просто как удобные ярлыки, никоим образом не претендуя на историческую точность. 1.2. Пифагоров строй представляет собой чисто «диатоническую гамму», в которой частоты (обратно пропорциональные длинам звучащих элементов) связаны отношениями 24 : 27 : 30 : 32 : 36 : 40 : 45 : 48 — такой ряд дает множество простых отношений, порождающих приятные для слуха гармонии. «Белые клавиши» современных фортепьяно настраиваются (с неизбежными поисками компромисса между пифагоровой чистотой гармонии и возможностями настроечного ключа) в приблизительном соответствии с этими пифагоровыми отношениями — точнее, в соответствии с равномерно-темперированным строем, частоты в котором соотносятся как 1 : а2 : а4 : а5 : а7 : а9 : а11 : а12, где а = 1у/2 = 1,05946... (Примечание: запись а5 означает «число а, возведенное в пятую степень», т.е. а х а х а х а х а. Величина х\/2 представляет собой корень двенадцатой степени из двух, т.е. 21/12; таким образом, а12 = 2. См. также примечание 1.3 и § 5.2.) §и. 1.3. Напомню (см. примечание 1.2), что под возведением числа в степень п понимается умножение этого числа на самое себя п раз. То есть 5 в степени 3 равно 125 (записывается как 53 = 125), 3 в 4-й степени равно 81 (З4 = 81) и т.д. 1.4. Собственно, пока Уайлз пытался залатать «дырку» в своем доказательстве последней теоремы Ферма (обнаруженную уже после первого представления им доказательства в Кембридже в 1993 году), среди математиков распространился слух, будто Ноам Элькис нашел контрпример, опровергающий утверждение Ферма. Ранее, в 1988 году, именно Элькис отыскал пример, противоречащий предположению Эйлера (уравнение x4 + y4 + z4 = w4 не имеет решения в положительных целых числах), доказав тем самым его ложность. Почему бы, в самом деле, ему же и не доказать ложность утверждения Ферма? Впрочем, как вскоре выяснилось, электронное почтовое сообщение, послужившее источником слухов, было датировано первым апреля и оказалось розыгрышем, устроенным Анри Дармоном (см. [726], с. 293). 1.5. Формально утверждение Ферма является И\-высказыванием (см. § 16.6). 1.6. Я понимаю, что, делая такое заявление, я в некотором смысле попадаю в собственноручно расставленную ловушку. Дело здесь, вообще говоря, вовсе не в том, составляют ли в действительности меньшинство те математики, что придерживаются столь крайних субъективных взглядов (о чем я, разумеется, не могу судить, так как не проводил среди математиков социологического опроса на этот счет), а в том, следует ли такую экстремистскую позицию принимать всерьез. Думаю, ответ на этот вопрос читатель знает и без меня. 1.7. Кое-кто из читателей, возможно, знаком с результатами Гёделя и Коэна, согласно которым аксиома выбора независима от более базисных стандартных аксиом теории множеств (системы аксиом Цермело - Френкеля). Необходимо пояснить, что из самой по себе аргументации Гёделя - Коэна вовсе не следует, что истинность аксиомы выбора никогда не будет так или иначе установлена. Это особо подчеркивается, например, в последнем параграфе книги Пола Коэна «Теория множеств и континуум-гипотеза» ([153], гл. 14, § 13) — хотя там, надо признать, Коэн более пристальное внимание уделяет все же континуум-гипотезе, а не аксиоме выбора (см. § 16.5). §1.4. 1.8. Существует некая ирония в том, что вполне законченному антиплатонисту, искренне убежденному в том, что вся математика содержится «внутри разума» и больше нигде, приходится, по всей видимости, верить и в невозможность истинных математических утверждений, принципиально разумом непостижимых. Например, если бы последняя теорема Ферма была недоступна (в принципе) разуму, то наш антиплатонист не смог бы прийти к обоснованному заключению ни относительно ее истинности, ни относительно ее ложности, поскольку такое обоснованное заключение можно получить лишь через посредство ментального акта восприятия соответствующего доказательства или опровержения. 1.9. См., например, [616]. 1.10. Свои представления о возможном характере перемен в нашем физическом мировоззрении, необходимых для объяснения феномена сознательного мышления, я изложил в [610, 613, 615, 616].
Глава 2 Древняя теорема и современный вопрос 2.1. Теорема Пифагора Начнем с геометрии. Что это за «другие геометрии», о которых мимоходом упоминалось в предыдущей главе? Для того чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к Пифагору и рассмотрим знаменитую теорему, носящую его имя'2-1': в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (стороны, противоположной прямому углу) равен сумме квадратов длин катетов (остальных двух сторон) (см. рис. 2.1). Почему мы должны верить, что это утверждение истинно? Как, в самом деле, «доказать» теорему Пифагора? Из всех известных способов доказательства (а их немало) я выбрал для рассмотрения два — оба исключительно прозрачны, но используют несколько различные подходы. Для доказательства первым способом нам потребуется построение, изображенное на рис. 2.2. Оно состоит исключительно из квадратов двух разных размеров. Можно полагать «очевидным», что такое построение, будучи бесконечно продолжено во все стороны, позволяет заполнить квадратами всю плоскость без разрывов и перекрытий, регулярным и периодическим образом. Для того чтобы убедиться в периодичности этого заполнения, соединим центры примыкающих друг к другу больших квадратов прямыми линиями; в результате мы получим решетку из квадратов несколько большего размера, слегка наклоненную относительно исходного построения (см. рис. 2.3), но точно так же заполняющую всю плоскость. «Узоры» а2+Ь2=с2 Рис. 2.1. Теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы с равен сумме квадратов длин катетов а и Ь \ \ л \ л > \ \ Рис. 2.2. Заполнение плоскости квадратами двух Рис. 2.3. Центры больших квадратов совпадают разных размеров с узлами решетки, составленной из еще больших квадратов, наклоненных относительно исходных
46 Глава 2 внутри каждого наклонного квадрата совершенно одинаковы и образуют в совокупности исходное «двухквадратное» построение. То же самое получится, если вместо центра мы выберем в каждом большом квадрате исходного построения любую другую точку (одну и ту же, разумеется, во всех квадратах). Новая наклонная квадратная решетка окажется точно такой же, как и в предыдущем случае, только сместится в какую-либо сторону с сохранением угла наклона — такое смещение называется параллельным переносом. Простоты ради выберем новую начальную точку в одной из вершин исходного построения (см. рис. 2.4). Очевидно, что площадь наклонного квадрата должна быть равна сумме площадей двух меньших квадратов — в самом деле, если разбить этот наклонный квадрат по оказавшимся внутри него линиям исходного построения (вне зависимости от выбора начальной точки), то из полученных кусков (перемещая их без поворотов друг относительно друга) можно составить два меньших квадрата (см., например, рис. 2.5). Более того, как ясно видно на рис. 2.4, сторона большого квадрата представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, длины катетов которого равны длинам сторон соответствующих исходных квадратов. Таким образом, теорему Пифагора можно считать доказанной: квадрат гипотенузы действительно равен сумме квадратов катетов. Рис. 2.4. Наклонная квадратная решетка смещена Рис. 2.5. При любой начальной точке наклонный таким образом, что ее узлы совпадают с верши- квадрат делится на части, из которых можно со- нами исходного двухквадратного построения — ставить два меньших исходных квадрата при этом сторона наклонного квадрата оказывается гипотенузой прямоугольного треугольника (затушеванного), длины катетов которого равны длинам сторон соответствующих исходных квадратов Вышеприведенное рассуждение и в самом деле содержит в себе все, что требуется для простого доказательства теоремы Пифагора, и даже дает нам некоторые «разумные основания» поверить в ее истинность, — каковых оснований мы вполне могли бы не получить, ограничься я каким-либо более формальным рассуждением, т. е. последовательностью логических шагов без наглядного объяснения их необходимости. Однако следует отметить, что в нашем «доказательстве» мы сделали несколько неявных допущений, из которых далеко не последним является допущение о том, что очевидное на первый взгляд периодическое построение из квадратов, изображенное на рис. 2.2 (да и на рис. 2.6, если уж на то пошло), действительно возможно геометрически — не говоря уже о том, что мы почему-то решили, что геометрически возможна такая фигура, как квадрат. Что, вообще говоря, мы подразумеваем под словом «квадрат»? Обычно квадратом называют плоскую фигуру, все стороны которой равны, а все углы являются прямыми. А что такое прямой угол? Вообразим себе
2.2. Постулаты Евклида 47 . Рис. 2.6. Самая обыкновенная решетка, состоящая из одинаковых квадратов. Откуда нам известно, что такая решетка геометрически возможна? С Рис. 2.7. Строим квадрат. Отрезки АВ, ВС и CD равны по длине, а углы ABC и BCD — прямые. Следует ли из этого, что отрезок DA равен трем предыдущим, а углы DAB и CDA также являются прямыми? две прямые, пересекающиеся в некоторой точке таким образом, что все четыре угла при этой точке оказываются равными. Каждый из этих равных углов и будет прямым. Попробуем теперь построить квадрат. Возьмем три одинаковых отрезка прямой (АВ, ВС и CD) и расположим их так, чтобы углы ABC и BCD были прямыми, а точки D и А располагались бы по одну сторону от отрезка ВС (как показано на рис. 2.7). Вопрос: равен ли отрезок AD по длине трем первоначальным отрезкам? И еще: являются ли углы DAB и CD A также прямыми? Эти углы должны быть равны между собой, поскольку получившаяся фигура симметрична, но являются ли они на самом деле прямыми? Ответы на эти вопросы кажутся нам очевидными потому, что с идеей квадрата мы давно и хорошо знакомы — возможно, мы помним, как нам рассказывали в школе о каком-то Евклидовом «постулате», по которому выходит, что стороны ВА и CD должны быть «параллельны» одна другой, и еще о том, что если через пару параллельных прямых провести «секущую», то «соответственные» углы между этой секущей и параллельными непременно будут одинаковыми. Отсюда следует, что угол DAB должен быть равен углу, дополнительному к углу ADC (т. е. углу EDC на рис. 2.7, поскольку угол ADE здесь является развернутым), а также (как отмечено выше) и самому углу ADC. Угол (ADC) может быть равен своему дополнительному углу (EDC) только в том случае, если он является прямым. Нужно еще доказать, что длина стороны AD равна длине стороны ВС, но это следует все из тех же свойств секущих к параллельным прямым (например, ВА и CD). Таким образом, с помощью этого евклидова рассуждения мы и в самом деле можем доказать, что квадраты действительно существуют, а все углы в них действительно являются прямыми. Впрочем, и тут не обошлось без подводных камней. 2.2. Постулаты Евклида При создании своей геометрии Евклид самое пристальное внимание уделял тем допущениям, на основании которых он выстраивал свои доказательства^2-2\ В частности, он проводил четкую границу между аксиомами (т. е. утверждениями, принимаемыми без доказательства, самоочевидно истинными; сюда в основном входят определения основных понятий — точки, прямой и т. д.) и пятью постулатами (допущениями, истинность которых не столь очевидна, но которые тем не менее достаточно правдоподобно описывают геометрию нашего мира). Последнее из этих допущений — так называемый пятый постулат Евклида — считалось менее очевидным, нежели остальные, и на протяжении многих веков математики полагали, что должен существовать способ доказать его, исходя из этих самых четырех
48 Глава 2 постулатов. Пятый постулат Евклида называют также постулатом о параллельности, и в дальнейшем я буду придерживаться именно этого термина. Прежде чем перейти к постулату о параллельности, давайте выясним, что же представляют собой первые четыре постулата Евклида. Постулаты эти описывают геометрию плоскости (евклидовой), хотя в более поздних трудах Евклид рассматривал и трехмерное пространство. Основными элементами плоской евклидовой геометрии являются точки, прямые и окружности. В дальнейшем под «прямой линией» (или просто «прямой») я буду понимать линию, бесконечно протяженную в обе стороны; в противном случае я буду говорить об «отрезке прямой». Согласно первому постулату Евклида, любые две точки можно соединить одним и только одним отрезком прямой. Второй постулат утверждает, что любой отрезок прямой можно бесконечно (непрерывно) продолжать в обе стороны. Третий постулат говорит о возможности построения окружности с центром в любой точке и радиусом любой длины. И наконец, четвертым постулатом устанавливается равенство всех прямых углов, t2-3' С современной точки зрения некоторые из этих постулатов могут показаться несколько странными (в особенности четвертый) — впрочем, от этой странности не останется и следа, если вспомнить о происхождении идей, легших в основу евклидовой геометрии. В сущности, Евклид исследовал движение идеальных твердых тел, а также феномен конгруэнтности, который имел место, когда одно такое идеальное твердое тело совмещалось в своем движении с другим идеальным твердым телом. Если прямые углы в двух телах равны, то эти тела можно совместить таким образом, что прямые, образующие прямой угол в одном теле, совпадут с соответствующими прямыми другого тела. По сути, четвертый постулат устанавливает изотропность и однородность пространства — в таком пространстве две геометрические фигуры могут быть одинаковыми по форме (т. е. конгруэнтными), где бы они ни находились друг относительно друга. Второй и третий постулаты выражают идею неограниченной протяженности пространства и отсутствия в нем «дыр», первый же описывает элементарную природу отрезка прямой. Хотя взгляды Евклида на геометрию весьма отличны от сегодняшних, его первые четыре постулата в общем и целом охватывают современное представление о метрическом пространстве (двумерном), бесконечно протяженном и обладающем абсолютной однородностью и изотропностью. Более того, похоже, что такая картина довольно точно соответствует, по данным современной космологии (см. §§27.11, 28.10), макроскопической пространственной природе реально существующей Вселенной. В чем же заключается пятый постулат Евклида, постулат о параллельности? В первоначальной формулировке Евклида он, в сущности, сводится к следующему: если две прямые а и Ь, расположенные в одной плоскости, пересекают третью прямую с (такая прямая с называется секущей по отношению к прямым а и Ь) таким образом, что сумма внутренних углов по одну сторону прямой с оказывается меньше двух прямых углов, то прямые а и Ъ, будучи продолженными в ту же сторону достаточно далеко, в некоторой точке пересекутся (см. рис. 2.8 а). В другой, эквивалентной, формулировке (называемой иногда аксиомой Плей- фера) этот постулат выглядит так: если взять любую прямую и любую точку, не лежащую на этой прямой, то через эту точку можно провести лишь одну прямую, параллельную данной прямой (см. рис. 2.8 б). «Параллельными» здесь называются прямые, лежащие в одной плоскости и нигде не пересекающиеся (вспомним также, что под «прямыми» я подразумеваю не «отрезки прямых», как Евклид, но настоящие прямые, продолжающиеся бесконечно в обе стороны)*. Теперь, когда у нас есть постулат о параллельности, мы можем доказать свойство, необходимое для обоснования существования квадрата. Если секущая пересекает две прямые таким образом, что сумма внутренних углов по одну сторону от секущей составляет <Жх Покажите, что вывод Плейфера о том, что через точку вне прямой проходит одна-единственная прямая, параллельная данной, является следствием из евклидовой формулировки (при условии, что она справедлива) постулата о параллельности.
2.3. Другое доказательство теоремы Пифагора 49 Если сумма этих углов меньше двух прямых углов, то прямые аиЬ пересекаются Через точку Р проходит одна-единственная прямая, параллельная а Рис. 2.8. а) Евклидов постулат о параллельности. Прямая с является секущей по отношению к прямым а и Ь, при этом внутренние углы при точках пересечения прямых а и Ь с прямой с оказываются в сумме меньше двух прямых углов. Если теперь прямые а и b бесконечно продолжить, то они обязательно где-нибудь пересекутся. 6) Аксиома Плейфера (эквивалентная постулату о параллельности): через точку Р, не лежащую на прямой а, можно провести одну и только одну прямую, параллельную а два прямых угла, то можно доказать, что эти прямые действительно параллельны. Более того, отсюда непосредственно следует, что любая другая секущая по отношению к такой паре прямых обладает тем же свойством. Собственно, для того чтобы построить квадрат, нам больше ничего и не нужно. В самом деле, используя один лишь постулат о параллельности, мы можем показать, что в результате нашего построения действительно получается квадрат, т.е. фигура, все стороны которой равны, а все углы являются прямыми. Без постулата о параллельности возможность существования квадратов (в общепринятом смысле этого термина, предполагающем, что все четыре угла квадрата — прямые) доказать невозможно. Вероятно, кому-то покажется, что столь преувеличенное беспокойство о том, какие именно допущения необходимо сделать для того, чтобы выстроить «строгое доказательство» существования такой очевидной вещи, как простой квадрат, является не чем иным, как проявлением чрезмерного математического педантизма. К чему все эти тонкости, когда речь идет всего лишь о «квадрате» — самой обыкновенной фигуре, которая всем нам хорошо знакома? Что ж, как мы вскоре увидим, Евклид, уделяя пристальное внимание упомянутым тонкостям, проявил, вообще говоря, чрезвычайную проницательность. Благодаря своей педантичности, Евклид ухитрился заглянуть в глубинную суть вещей и сделать во многих отношениях верные выводы о действительной геометрии Вселенной. В частности, вовсе не очевидно, что в космологическом масштабе реальной Вселенной физические «квадраты» в самом деле существуют. Для подтверждения их существования необходимы наблюдения, результаты же таких наблюдений на данный момент представляются весьма противоречивыми (см. §§2.7,28.10). 2.3. Доказательство теоремы Пифагора, основанное на подобии треугольников К математической значимости отказа принимать постулат о параллельности на веру мы вернемся в следующем параграфе. Соответствующие физические вопросы будут подробно
50 Глава 2 рассмотрены в §§ 18.4, 27.11, 28.10, 34.4. Однако прежде чем мы перейдем к обсуждению этих вопросов, думаю, будет небесполезно ознакомиться с обещанным мною выше другим доказательством теоремы Пифагора. Один из простейших способов убедиться в том, что в евклидовой геометрии утверждение Пифагора действительно истинно, заключается в следующем: разделим данный прямоугольный треугольник на два меньших треугольника, опустив из прямого угла перпендикуляр на гипотенузу (рис. 2.9). Теперь на рисунке изображены три треугольника: исходный и два меньших, полученных в результате разделения. Очевидно, что площадь исходного треугольника равна сумме площадей двух меньших треугольников. Рис. 2.9. Доказательство теоремы Пифагора с помощью подобных треугольников. Возьмем прямоугольный треугольник и опустим перпендикуляр из прямого угла на гипотенузу. Площади полученных таким разделением меньших треугольников составляют в сумме площадь исходного треугольника. Все три треугольника подобны, а это значит, что их площади пропорциональны квадратам их гипотенуз. Теорема Пифагора доказана Нетрудно убедиться, что все три треугольника подобны друг другу. Это означает, что они одинаковы по форме (хотя и различаются размерами), т. е. один такой треугольник можно получить из другого посредством равномерного расширения или сжатия и перемещения (с сохранением формы). Подобие этих треугольников следует из того факта, что каждый из углов одного треугольника в точности равен соответствующему углу другого треугольника. Один из углов каждого меньшего треугольника совпадает с одним из углов большого треугольника, и, кроме того, один из углов в каждом из трех треугольников прямой. Третьи углы также должны быть равными, поскольку сумма углов любого треугольника одинакова. А среди общих свойств подобных плоских фигур имеется следующее: их площади пропорциональны квадратам их линейных размеров. За такой линейный размер мы можем принять длину самой длинной стороны каждого треугольника, т. е. длину гипотенузы. Отметим, что гипотенуза каждого из меньших треугольников есть не что иное, как один из катетов исходного треугольника. Поскольку площадь исходного треугольника равна сумме площадей двух меньших треугольников, отсюда непосредственно следует, что квадрат гипотенузы исходного треугольника действительно равен сумме квадратов его катетов: именно это и утверждает теорема Пифагора] Впрочем, и в этом рассуждении мы не обошлись без некоторых допущений, требующих дополнительного рассмотрения. Одной из важных составляющих нашего рассуждения является утверждение о том, что сумма углов любого треугольника всегда одинакова. (Равна эта сумма, разумеется, 180°, однако Евклид предпочитал говорить о «двух прямых углах». В более современной «естественной» математической терминологии говорят, что сумма углов треугольника в евклидовой геометрии равна тг. При этом в качестве абсолютной меры угла используется единица, называемая радианом — 1 градус (°) равен тг/180 радиан, т. е. 180° = = тг.) Общепринятое доказательство этого утверждения проиллюстрировано на рис. 2.10. Продолжим отрезок СА до точки Е и проведем через точку А прямую AD, параллельную СВ. Углы EAD и АСВ равны (что следует из постулата о параллельности), также равны углы DAB и СВА. Поскольку углы EAD, DAB и ВАС составляют в сумме тг радиан (или 180°,
2.4. Гиперболическая геометрия: конформное представление 51 Рис. 2.10. Докажем, что сумма углов треугольника равна тг радиан (или 180°, или двум прямым углам). Продолжим С А до точки Е и построим отрезок AD, параллельный СВ. Из постулата о параллельности следует, что углы EAD и АСВ равны, также равны углы DAB и СВА. Поскольку углы EAD, DAB и ВАС составляют в сумме тг, сумма углов АСВ, СВА и ВАС также должна быть равна тг или два прямых угла), этой же величине должна быть равна и сумма углов АСВ, СВА и ВАС исходного треугольника — что и требовалось доказать. Отметим, впрочем, что для доказательства нам пришлось воспользоваться постулатом о параллельности. В приведенном доказательстве теоремы Пифагора мы также воспользовались утверждением о том, что площади подобных фигур пропорциональны какому-либо из их линейных размеров (в качестве такого линейного размера мы выбрали длину гипотенузы каждого треугольника). Это утверждение опирается не только на саму возможность существования подобных фигур, различных по величине (каковую возможность в случае треугольников на рис. 2.9 мы установили с помощью постулата о параллельности), но и на некоторые существенно более сложные соображения, связанные с тем, как мы, вообще говоря, определяем «площади» непрямоугольных областей. При рассмотрении общих вопросов такого рода не обойтись без обращения к методам перехода к пределу, углубляться же в обсуждение этих материй представляется мне пока несколько преждевременным, поскольку оно неизбежно повлечет за собой другие, еще более общие, вопросы, связанные с используемыми в геометрии типами чисел (о типах чисел мы поговорим в §§ 3.1-3.3). В предыдущих параграфах содержится, помимо прочего, одна наиважнейшая идея: доказуемость теоремы Пифагора, по всей видимости, целиком и полностью зависит от истинности постулата о параллельности. Так ли это на самом деле? А что если постулат о параллельности ложен? Означает ли это, что и сама теорема Пифагора также может не соответствовать истине? Имеет ли такое предположение хоть какой-нибудь смысл? Попробуем разобраться, что же получится, если предположить, что постулат о параллельности может быть ложным. Хочу сразу предупредить читателя: мы входим в таинственный воображаемый мир, где геометрия, которой нас учили в школе, буквально вывернута наизнанку. Впрочем, путешествие это мы предпринимаем не только забавы ради — как мы вскоре увидим, есть и более серьезная причина. 2.4. Гиперболическая геометрия: конформное представление Взгляните на репродукцию гравюры М. К. Эшера «Предел круга I», помещенную на рис. 2.11. Наряду с прочими своими достоинствами, эта гравюра замечательна еще и тем, что дает очень точное представление о так называемой гиперболической геометрии (или геометрии Лобачевского) — той самой геометрии, в которой постулат о параллельности ложен, теорема Пифагора не выполняется, а сумма углов треугольника не равна тт. Более того, для фигуры данного размера здесь, в общем случае, не существует подобной фигуры большего размера. Эшер воспользовался в своей гравюре таким представлением гиперболической геометрии, где вся «Вселенная» гиперболической плоскости «втиснута» во внутреннюю область
52 Глава 2 Рис. 2.11. М. К. Эшер, «Предел круга I». Гравюра на дереве, очень точно иллюстрирующая конформное представление гиперболической плоскости самой обычной евклидовой плоской окружности. Для этой гиперболической Вселенной ограничивающая ее окружность является «бесконечностью». Чем ближе к ограничивающей окружности, тем теснее «сбиваются» рыбы на рисунке Эшера. Однако это не более чем иллюзия. Представьте себя на месте одной из этих рыб. Неважно, где вам случилось оказаться, на краю рисунка или же неподалеку от центра — в обоих случаях прочая (гиперболическая) Вселенная будет выглядеть для вас совершенно одинаково. Понятие «расстояния» в гиперболической геометрии не совпадает с таковым на евклидовой плоскости (на которой его, собственно, и приходится изображать). Глядя на рисунок Эшера с точки зрения евклидовой геометрии, мы видим, что рыбы по мере приближения к краю становятся все меньше и меньше. С «гиперболической» же точки зрения самих рыб (как белых, так и черных), их размеры и форма ничуть не отличаются от размеров и формы рыб, находящихся в центре. Внешнему евклидову наблюдателю также представляется, что рыбы подбираются к ограничивающей окружности все ближе и ближе, однако для гиперболических рыб эта граница всегда остается бесконечно далекой. С точки зрения рыб, ни сама окружность, ни какое бы то ни было «евклидово» пространство за ней просто-напросто не существуют. На наш же взгляд, вся их бесконечная Вселенная умещается исключительно в области, ограниченной окружностью. Как описать такую гиперболическую Вселенную в более строгих математических терминах? Представьте себе окружность в евклидовой плоскости. Множество точек, лежащих внутри этой окружности, соответствует множеству точек во всей гиперболической плоскости. Прямые в гиперболической геометрии представляются дугами евклидовых окружностей, пересекающих ограничивающую окружность ортогонально — т. е. под прямым углом. Как оказалось, гиперболическое понятие угла между двумя пересекающимися кривыми в точности совпадает с понятием угла при точке пересечения двух евклидовых кривых. Представления такого рода принято называть конформными. Поэтому представление гипер-
2.4. Гиперболическая геометрия: конформное представление 53 болической геометрии, которым воспользовался в своей гравюре Эшер, называют иногда конформной моделью гиперболической плоскости. (Другое распространенное название этой модели — диск Пуанкаре, хотя с точки зрения исторической справедливости термин этот весьма сомнителен, см. § 2.6.) Теперь у нас есть все необходимое для того, чтобы наконец выяснить, равна ли двум прямым углам сумма углов треугольника в гиперболической геометрии. Бросив беглый взгляд на рис. 2.12, можно заподозрить, что не равна и что, скорее всего, она окажется меньше. Так, вообще говоря, и есть: сумма углов треугольника в гиперболической геометрии всегда меньше тг. Может показаться, что в этом отношении гиперболическая геометрия несколько неудобна — во всяком случае на вопрос о сумме углов треугольника «однозначного» ответа здесь, похоже, нет. Впрочем, в действительности все не так уж плохо. Сложение углов гиперболического треугольника дает поразительный и весьма изящный результат: «недостача» в сумме углов всегда пропорциональна площади треугольника. Иными словами, если обозначить углы треугольника буквами а, /3 и 7, то справедливо следующее равенство (обнаруженное Иоганном Генрихом Ламбертом, 1728-1777): где Л — площадь треугольника, а С — некоторая постоянная. Величина этой постоянной зависит от «единиц», выбранных для измерения длин и площадей. Мы всегда можем выбрать масштаб таким образом, чтобы постоянная С была равна единице. Возможность выразить площадь треугольника таким простым образом является весьма примечательной особенностью гиперболической геометрии. В евклидовой геометрии выразить площадь треугольника Рис. 2.12. Та же гравюра Эшера, что и на рис. 2.11, только теперь на ней выделены гиперболические прямые (евклидовы прямые или дуги евклидовых окружностей, пересекающие ограничивающую окружность под прямым углом) и гиперболический треугольник. Гиперболические углы совпадают с евклидовыми углами. Постулат о параллельности (в формулировке, проиллюстрированной на рис. 2.8 б) явно нарушается, а углы треугольника дают в сумме величину, меньшую тг
54 Глава 2 только через его углы невозможно, определение же площади треугольника через длины его сторон значительно сложнее. Однако на этом описание гиперболической геометрии в ее конформном представлении не заканчивается, поскольку я еще не рассказал, как определяется гиперболическое расстояние между двумя точками (кроме того, мы должны знать, что такое «расстояние», прежде чем сможем всерьез говорить о площадях). Позволю себе привести выражение для определения гиперболического расстояния между точками А и В, расположенными внутри ограничивающей окружности: log QA-PB QBPA' Рис. 2.13. В конформном представлении гиперболическое расстояние между точками А и В равно log(QA • PB/QB • РА), где QA и т. д. — евклидовы расстояния, а Р и Q — точки, в которых евклидова окружность (гиперболическая прямая), проходящая через точки А и В и ортогональная к ограничивающей окружности, пересекает эту окружность где Р и Q — точки пересечения евклидовой окружности (т.е. гиперболической прямой), проходящей через точки А и В и ортогональной к ограничивающей окружности, с этой самой ограничивающей окружностью; QA и т. д. — евклидовы расстояния (см. рис. 2.13). Если хотите включить сюда постоянную С из формулы Ламберта для площади гиперболического треугольника (в случае С Ф 1), то нужно просто умножить записанное выше выражение на С~1//2 (т. е. на величину, обратную квадратному корню из С)'2'4' .* По причинам, которые, надеюсь, вскоре станут понятными, величину С/2 я буду называть псевдорадиусом данной геометрии. Если вас уже пугают математические выражения — вроде вышеприведенной формулы с логарифмом (log), — прошу вас, не беспокойтесь. Я привожу их исключительно для тех, кому интересны подробности. Как бы то ни было, объяснять, почему это выражение «работает» (т. е. почему определенное таким образом кратчайшее гиперболическое расстояние между двумя точками и в самом деле измеряется вдоль гиперболической прямой или почему расстояния, отложенные на гиперболической прямой, «складываются» так же, как и обыкновенные евклидовы расстояния) , я не стану. В общем, я прошу прощения за логарифм, но без него тут не обойтись — такова природа вещей (хотя если быть совсем точным, то здесь должен стоять так называемый натуральный логарифм или, иначе говоря, «логарифм по основанию е»). Об этом и других логарифмах я подробно расскажу в §§ 5.2, 5.3. Мы увидим, что математические объекты, называемые логарифмами, не только чрезвычайно красивы и загадочны (как, собственно, и число е), но и во многих случаях совершенно незаменимы. Обзаведясь определением расстояния, гиперболическая геометрия получает все свойства евклидовой геометрии, за исключением тех, что нуждаются в постулате о параллельности. Мы можем строить треугольники и прочие плоские фигуры различных форм и раз- * ?5. Можете ли вы указать простую причину необходимости такого преобразования? **ЙИ Попробуйте доказать, что если А, В и С — три последовательные точки на гиперболической прямой, то определенные по вышеприведенной формуле гиперболические расстояния (обозначим их 'АВ' и т.д.) удовлетворяют равенству 'АВ' 4- 'ВС = 'АС'. Можно допустить, что логарифмы обладают следующим общим свойством: Iog(a6) = log a + log Ь (см. §§ 5.2, 5.3).
2.5. Другие представления гиперболической геометрии 55 меров, мы можем «жестко» (т. е. сохраняя гиперболические форму и размер) перемещать их по гиперболической плоскости, причем так же свободно, как мы могли перемещать фигуры в евклидовой геометрии — естественным образом возникает понятие «конгруэнтности» двух фигур, совпадающее с аналогичным понятием евклидовой геометрии, где конгруэнтными называются фигуры, которые можно точно совместить друг с другом посредством тех или иных «жестких» перемещений. С точки зрения гиперболической геометрии, все белые — равно как и черные — рыбы на гравюре Эшера конгруэнтны. 2.5. Другие представления гиперболической геометрии Разумеется, белые рыбы отнюдь не выглядят одинаковыми по форме и размерам, но это только потому, что мы смотрим на них не в гиперболическом, а в евклидовом «ракурсе». Эшер в своем рисунке всего лишь воспользовался одним из частных евклидовых представлений гиперболической геометрии. Сама по себе гиперболическая геометрия — чистая абстракция, и никакое евклидово представление не описывает ее в полной мере. Тем не менее такие представления могут оказаться очень полезными, поскольку позволяют визуализировать гиперболическую геометрию путем соотнесения ее с вещами, более, на наш взгляд, привычными и «конкретными» — в данном случае с евклидовой геометрией. Кроме того, эти представления ясно и недвусмысленно показывают, что гиперболическая геометрия является непротиворечивой структурой и, следовательно, постулат о параллельности невозможно доказать, опираясь на прочие законы евклидовой геометрии. Существуют и другие представления гиперболической геометрии средствами геометрии евклидовой, отличные от конформного представления, использованного в рисунке Эшера. Одним из таких представлений является так называемая проективная модель. Согласно этой модели, гиперболическая плоскость так же умещается целиком внутри окружности на евклидовой плоскости, однако гиперболические прямые представлены здесь не в виде дуг окружности, но в виде самых обычных евклидовых прямых. За это очевидное упрощение, впрочем, приходится платить (причем многие находят плату чересчур высокой): гиперболические углы в проективном представлении не равны евклидовым углам. Формула для определения гиперболического расстояния между точками А и В выглядит в данном случае следующим образом (см. рис. 2.14): 2 &RBSA' где R и S — точки пересечения прямой, проведенной через точки А и В, с ограничивающей окружностью (отметим, что при С = 1 это выражение почти совпадает с выражением для определения расстояния в конформном представлении). Проективное представление гиперболической геометрии можно получить из конформного представления путем так называемого радиального расширения (т.е. смещения всех точек внутри окружности в направлении от центра) на величину 2Д2 где R — радиус ограничивающей окружности, а гс — евклидово расстояние от точки в конформном представлении до ограничивающей окружности, измеренное вдоль радиуса, проведенного через эту точку (см. рис. 2.15)*. На рис. 2.16 представлен результат преобразования рисунка Эшера (рис. 2.11) из конформного вида к проективному с помощью этой формулы. (Несмотря на то что многие мелкие детали стали вовсе неразличимыми, безукоризненная точность кисти Эшера очевидна и здесь.) * ?§_ Покажите, что это действительно так. (Подсказка: если хотите, можете воспользоваться геометрическим представлением Бельтрами; см. рис. 2.17.)
56 Глава 2 R Рис. 2.14. В проективном представлении формула для определения гиперболического расстояния имеет вид i log(RA • SB/RB • SA), где R и S — точки пересечения евклидовой (гиперболической) прямой АВ с ограничивающей окружностью Рис. 2.15. Для того чтобы перейти от конформного представления к проективному, сместим все расположенные внутри окружности точки в направлении от центра на величину 2R2/(R2 + + г с), где R — радиус ограничивающей окружности, а гс — евклидово расстояние от точки в конформном представлении до ограничивающей окружности Рис. 2.16. Гравюра Эшера (рис. 2.11) в проективном представлении Между конформным и проективным представлениями существует и более наглядная геометрическая связь — через посредство еще одного хитроумного представления все той же геометрии. Всеми этими тремя представлениями мы обязаны гению итальянского геометра Эудженио Бельтрами A835-1900). Вообразим себе сферу 5, экватор которой совпадает
2.5. Другие представления гиперболической геометрии 57 с ограничивающей окружностью описанного выше проективного представления гиперболической геометрии (см. рис. 2.17). Теперь попробуем построить представление гиперболической геометрии на северной полусфере 5+ сферы 5 (это представление я буду называть полусферическим). Для того чтобы перейти от проективного представления в плоскости (в нашем случае горизонтальной) к новому представлению на сфере, мы просто-напросто проецируем все точки внутри окружности вертикально вверх (рис. 2.17 а). Прямые в плоскости, являющиеся представлениями гиперболических прямых, на полусфере 5+ предстанут в виде полуокружностей, ортогональных к экватору. Для того чтобы теперь получить из представления на 5+ конформное представление на плоскости, нам потребуется другая проекция, а именно: центральная проекция с центром в южном полюсе сферы (рис. 2.176). Такая проекция называется стереографической, и мы еще не раз встретимся с ней на страницах этой книги (например, в §§ 8.3,18.4,22.9,33.6). Отметим два важных свойства стереографической проекции (подробнее см. § 8.3): 1) она конформна, т. е. сохраняет углы, и 2) окружности на сфере проецируются в окружности (или, в особых случаях, в прямые) на плоскости*'**. Рис. 2.17. Геометрическое представление Бельтрами, связывающее три представления гиперболической геометрии, а) Вертикальная проекция полусферического представления (конформного на северной полусфере 5+) на экваториальный диск дает проективное представление, б) Стереографическая проекция (с центром в южном полюсе сферы) того же полусферического представления дает на экваториальном диске конформное представление *$Э Пользуясь этими свойствами стереографической проекции и описанием конформного представления гиперболической геометрии, данным в §2.4, покажите, что полусферическое представление Бельтрами, где «гиперболические прямые» имеют вид вертикальных полуокружностей, конформно. **1Ш Попробуйте доказать эти свойства. (Подсказка: покажите, что в случае окружностей конус проекции пересекают две плоскости с противоположным наклоном.)
58 Глава 2 Такое изобилие различных представлений гиперболической геометрии средствами евклидова пространства лишний раз подчеркивает, что все эти представления являются всего лишь евклидовыми моделями — о том, что в действительности представляет собой гиперболическая геометрия, вы из них не узнаете. Гиперболическая геометрия обладает собственным «существованием в платоновском смысле» — точно так же, как и евклидова геометрия (см. § 1.3 и предисловие). Ни об одной из моделей нельзя сказать, что она описывает гиперболическую геометрию более «корректно», нежели прочие. Рассмотренные представления в значительной степени облегчают нам понимание исходного математического объекта, однако лишь потому, что евклидов взгляд на мир нам более привычен. Разумному существу, всю жизнь прожившему в условиях непосредственного восприятия гиперболической (а не евклидовой) геометрии, показалось бы куда более естественным попытаться представить евклидову геометрию гиперболическими средствами. В § 18.4 мы рассмотрим еще одну модель гиперболической геометрии, на этот раз воспользовавшись геометрией четырехмерного пространства Минковского. Рис. 2.18. Вершины гиперболического «квадрата» ABCD располагаются в точках пересечения двух прямых, пересекающихся под прямым углом в точке О, с какой-либо окружностью с центром в этой же точке О. Благодаря симметрии, все четыре стороны квадрата равны; равны и все четыре его угла. Эти углы не являются прямыми, но могут составлять любую положительную величину, меньшую -тг В завершение параграфа вернемся к вопросу о существовании в гиперболической геометрии таких объектов, как квадраты. Привычных квадратов с прямыми углами здесь, разумеется, нет, но зато имеются «квадраты» более общего вида — если такой термин применим к фигуре, все углы которой являются острыми. Для построения гиперболического квадрата проведем две прямые, пересекающиеся под прямым углом в точке О. Четырехугольник с вершинами в точках пересечения этих прямых (обозначим эти точки буквами А, В, С и D; см. рис. 2.18) с некоторой окружностью с центром в точке О и будет искомым «квадратом». Поскольку фигура симметрична, все четыре стороны четырехугольника ABCD равны; равными должны быть и все четыре угла. Однако являются ли эти углы прямыми? В гиперболической геометрии — определенно нет. Углы квадрата здесь могут иметь любую величину в интервале между 0 и 90°. Чем больше квадрат (гиперболический) — иначе говоря, чем больше окружность в описанном построении, — тем меньшими будут его углы. На рис. 2.19 а) я изобразил решетку гиперболических квадратов в конформном представлении; в каждой
2.6. Гиперболическая геометрия в исторической перспективе 59 вершине сходятся пять квадратов (вместо четырех в евклидовой плоскости), а значит, каж- су дый угол такого квадрата равен |тг или 72°. На рис. 2.19 б) показана та же решетка, но уже в о проективном представлении. Нетрудно видеть, что двухквадратную решетку вроде той, что изображена на рис. 2.2, из этих квадратов построить нельзя*. а) Рис. 2.19. Решетка из квадратов в гиперболической плоскости; в каждой вершине сходятся пять квадратов, вследствие чего ка: ективное представление су ратов, вследствие чего каждый угол квадрата равен -тг или 72°. а) Конформное представление, б) Про- о 2.6. Гиперболическая геометрия в исторической перспективе Обратимся к истории открытия гиперболической геометрии. В течение многих столетий после того, как Евклид (приблизительно в 300 г. до н. э.) обнародовал свои знаменитые «Начала», многие математики предпринимали попытки доказать пятый постулат, опираясь на другие аксиомы и постулаты. Своей кульминации эти героические усилия достигли в монументальном трактате иезуита Джироламо Саккери, опубликованном в 1733 году. Сам Саккери, похоже, пришел в конце концов к выводу, что труд всей его жизни представляет собой одно сплошное недоразумение, поскольку сводится единственно к неудавшейся попытке доказать постулат о параллельности посредством демонстрации противоречивости предположения, что сумма углов треугольника может быть меньше двух прямых углов. Осознав, что логического доказательства, несмотря на все старания, ему получить не удастся, Саккери неубедительно заключает: Гипотеза об остром угле, безусловно, не имеет ничего общего с истиной, ибо противна самой природе прямой линии J25' Упомянутая гипотеза об «остром угле» допускает, что прямые а и Ъ иногда не пересекаются. Гипотеза эта, вообще говоря, вполне жизнеспособна, и логическим следствием из нее является не что иное, как гиперболическая геометрия! Как же так получилось, что Саккери, по сути дела, открыл нечто, по его искреннему убеждению, невозможное, причем к открытию привела как раз попытка эту самую невозможность доказать? Для доказательства пятого постулата Евклида Саккери выбрал простой способ: сначала допустить, что пятый постулат ложен, а затем показать, что такое допущение приводит к противоречию. Иначе говоря, он решил воспользоваться одним из самых I Попробуйте построить нечто подобное из гиперболических правильных пятиугольников и квадратов.
60 Глава 2 древних и плодотворных принципов математического доказательства — принцип этот, впервые предложенный, по всей видимости, еще пифагорейцами, называется доказательство от противного (или reductio ad absurdum*, если на латыни). В соответствии с этой процедурой, для доказательства истинности какого-либо утверждения необходимо сначала предположить, что утверждение это ложно, а затем путем логических рассуждений показать, что в этом случае возникает то или иное противоречие. Обнаружив такое противоречие, математик делает вывод, что исходное утверждение является-таки истинным, t2 61 Доказательство от противного представляет собой очень мощный метод математического рассуждения и широко применяется по сей день. Думаю, здесь будет уместно привести слова выдающегося математика Г. X. Харди: Столь любимое Евклидом reductio ad absurdum предоставляет математику один из самых эффективных инструментов. Оно намного превосходит по изяществу любой шахматный гамбит: шахматист может пожертвовать пешкой или даже фигурой, математик же с легкостью жертвует всей игрой сразу, t2 ^ У нас еще будет возможность увидеть этот замечательный принцип в действии (см. §§3.1, 16.4, 16.6). Саккери, впрочем, отыскать противоречие не удалось. Следовательно, доказать пятый постулат он так и не смог. Однако его настойчивые попытки привели, в сущности, к тому, что он обнаружил нечто неизмеримо большее: новую геометрию, отличную от геометрии Евклида, геометрию, которую мы сегодня называем гиперболической (подробнее см. в §§ 2.4, 2.5). Из допущения ложности пятого постулата Евклида Саккери вместо ожидаемого противоречия вывел целый сонм странных на вид, почти невероятных, но чрезвычайно интересных теорем. Причем какими бы странными ни казались на первый взгляд полученные им результаты, ни один нельзя было с чистой совестью счесть противоречием в истинном смысле этого слова. Как мы сегодня знаем, шансов найти таким образом подлинное противоречие у Саккери не было, — по той простой причине, что гиперболическая геометрия действительно существует, т. е. существует в математическом смысле в виде целостной непротиворечивой структуры. В терминах, предложенных в § 1.3, можно сказать, что гиперболическая геометрия пребывает в платоновском мире идеальных математических форм. (Вопрос о физической реальности гиперболической геометрии мы вкратце рассмотрим в §§2.7, 28.10.) Вскоре после Саккери попытку доказать пятый постулат Евклида от противного предпринял удивительно проницательный немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт A728-1777) — он также получил множество завораживающих геометрических результатов, включая и то изящное выражение (упомянутое в § 2.4), что позволяет вычислить площадь гиперболического треугольника, если известна сумма его углов. Можно предположить, что у Ламберта вполне могло в тот или иной момент сформироваться убеждение в том, что последовательное отрицание пятого постулата Евклида может привести к открытию новой непротиворечивой геометрии. По всей видимости, в качестве пробной попытки Ламберт решил исследовать теоретическую возможность геометрии на «сфере мнимого радиуса», т. е. такого радиуса, который при возведении в квадрат даст отрицательное число. Согласно Ламберту, площадь Д гиперболического треугольника вычисляется по формуле тг — (а + /3 + 7) = = С А, где а, /3 и 7 — углы этого треугольника, а С — некая постоянная (величина —С в современной терминологии называется гауссовой кривизной гиперболической плоскости). Эта формула, в сущности, идентична предложенной еще в 1603 году Томасом Хэриотом A560-1621) формуле, Л = R2(a + /3 + j — п), для вычисления площади Л сферического треугольника, образуемого дугами окружности большого кругаI2'8! на сфере радиуса R (см. рис. 2.20)**. Для того чтобы получить из этого выражения формулу Ламберта, следует "Доведение до нелепости (лат.). — Прим. перев. **1Ш Попробуйте доказать справедливость формулы площади сферического треугольника, используя лишь соображения симметрии и тот факт, что общая площадь поверхности сферы равна 4пЯ?. (Подсказка: начните
2.6. Гиперболическая геометрия в исторической перспективе 6\_ всего лишь положить Однако если мы хотим добиться положительного значения С (требуемого для гиперболической геометрии), радиус сферы должен быть «мнимым» (иначе говоря, представлять собой квадратный корень из отрицательного числа). Отметим, что радиус R выражается мнимой величиной (—С)/2. Отсюда термин «псевдорадиус», который мы ввели в § 2.4 для обозначения вещественной величины С/2. В современной науке построения Ламберта находят блестящее подтверждение (см. главу 4 и § 18.4, рис. 18.9), что говорит о его математическом таланте и силе предвидения. Рис. 2.20. Формула Хэриота для вычисления площади сферического треугольника имеет вид: Л = = R2 (а + /3 + 7 — к), где а, /3 и 7 — углы треугольника, аи- радиус сферы, на поверхности которой этот треугольник построен. Постоянная С в формуле Ламберта для гиперболического треугольника равна С = -1/R2 Впрочем, традиционно (и несколько несправедливо, на мой взгляд) принято считать, что Ламберт тут вовсе не при чем, а честь построения первой неевклидовой геометрии принадлежит великому немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу — именно он якобы первым (на полстолетия позже Ламберта) пришел к ясному пониманию возможности существования полностью непротиворечивой геометрии, отличной от геометрии Евклида, геометрии, в которой постулат о параллельности ложен. Будучи человеком крайне осторожным и устрашившись бурной реакции, которую могло вызвать обнародование этого открытия, Гаусс решил сохранить свои находки в тайне и отказался от их публикации, t29^ Приблизительно через тридцать лет после того, как Гаусс начал исследования в этом направлении, гиперболическая геометрия была открыта вновь. На этот раз «открывателей» оказалось несколько, причем каждый работал совершенно самостоятельно, — среди прочих отметим венгерского математика Яноша Больяи A829) и, особо, русского геометра Николая Ивановича Лобачевского A826), в честь которого гиперболическую геометрию часто называют геометрией Лобачевского. Вышеописанные проективная и конформная реализации гиперболической геометрии (а также некоторые другие изящные представления, включая и упомянутое в § 2.5 полусферическое представление) были предложены Эудженио Бельтрами в 1868 году. Конформное с отыскания площади поверхности сегмента сферы, ограниченного двумя дугами окружности большого круга, соединяющими две диаметрально противоположные точки на сфере; далее рассуждайте по аналогии, не забывая о симметрии. Пользуйтесь рис. 2.20.)
62 Глава 2 представление, однако, более известно под названием «модель Пуанкаре», поскольку повторное открытие этого представления Пуанкаре в 1882 году наделало гораздо больше шума, нежели оригинальная работа Бельтрами (в основном благодаря интересному применению, найденному Пуанкаре для этой модели) J2-10! С проективным представлением всеми позабытого старика Бельтрами произошла аналогичная история — его чаще называют «представлением Клейна». Случаи, когда с математической концепцией ассоциируется в конечном счете имя, не имеющее ничего общего с именем первооткрывателя, в математике не редкость. По крайней мере, здесь Пуанкаре действительно повторно открыл конформное представление (а Клейн — проективное в 1871 году). А то бывало и так, что математики, чьи имена «прицепили» к тому или иному результату, о существовании этого самого результата даже не подозревали! 1211^ В том же 1868 году Бельтрами предложил еще одно представление гиперболической геометрии, которое и принесло ему заслуженную известность. Речь идет о представлении геометрии на поверхности, которая называется псевдосферой (см. рис. 2.21). Псевдосфера получается путем вращения так называемой трактрисы (впервые исследованной Исааком Ньютоном в 1676 году) вокруг ее асимптоты. Асимптотой кривой называют прямую, к которой эта кривая в бесконечности приближается сколько угодно близко, но никогда не касается. В данном случае представим, что такая асимптота проходит по некоторой шероховатой горизонтальной плоскости; представим также, что по этой плоскости скользит легкий, прямой, жесткий стержень, к одному концу (Р) которого прикреплен тяжелый точечный груз, а другой конец (R) свободно движется вдоль асимптоты. При движении такого стержня точка Р будет описывать трактрису. В 1839 году Фердинанд Миндинг установил, что псевдосфера имеет постоянную отрицательную внутреннюю геометрию; опираясь на этот факт, Бельтрами и построил впоследствии первую модель гиперболической геометрии. Похоже, именно псевдосферическая модель Бельтрами убедила-таки математиков в непротиворечивости плоской гиперболической геометрии, поскольку на такой поверхности мера гиперболического расстояния вполне соответствует мере расстояния евклидова. Впрочем, модель эта не совсем удобна, поскольку представляет гиперболическую геометрию лишь локально, а не описывает ее целиком, как другие модели Бельтрами. 2.7. Гиперболическая геометрия и физическое пространство Двумя измерениями гиперболическая геометрия отнюдь не ограничивается. Имеются версии как конформного, так и проективного представлений для большего количества измерений. Например, в случае трехмерной гиперболической геометрии место ограничивающей окружности занимает ограничивающая сфера. Внутри этой конечной евклидовой асимптота Рис. 2.21. Псевдосфера а) получается путем вращения трактрисы б) вокруг ее асимптоты. Для того чтобы построить трактрису, вообразим горизонтальную шероховатую плоскость, по которой скользит легкий, прямой, жесткий стержень. К одному концу стержня прикреплен тяжелый точечный груз Р, другой конец R свободно (без трения) движется вдоль (прямолинейной) асимптоты
2.7. Гиперболическая геометрия и физическое пространство 63 сферы умещается вся бесконечная трехмерная гиперболическая геометрия. В остальном такие трехмерные модели, по сути, ничем не отличаются от тех, что мы рассмотрели выше. В конформном представлении гиперболические прямые имеют вид дуг евклидовых окружностей, упирающихся в ограничивающую сферу под прямым углом, углы соответствуют по величине евклидовым углам, а расстояния задаются той же формулой, что и в двухмерном случае. В проективном представлении гиперболические прямые выглядят как евклидовы прямые, а расстояния вычисляются по той же формуле, какая применялась в двухмерной модели. А что же наша реальная Вселенная в космологическом масштабе? Следует ли полагать, что ее пространственная геометрия все-таки евклидова, или не исключено, что более точное описание Вселенной дает какая-либо другая геометрия — например, вот эта замечательная гиперболическая геометрия, которой мы посвятили §§ 2.4-2.6 (в трехмерном, разумеется, своем варианте). Вопрос серьезный и непростой. Из общей теории относительности Эйнштейна (см. §§ 17.9, 19.6) нам известно, что евклидова геометрия представляет собой всего лишь приближение (пусть и чрезвычайно точное) к реальной геометрии физического пространства. Эта реальная физическая геометрия даже не является вполне равномерной: в присутствии плотной материи пространство искажается «рябью» нерегулярности. Самое поразительное здесь, впрочем, то, что, согласно результатам наблюдений, выполненных с помощью точнейших из имеющихся в распоряжении ученых-космологов приборов, рябь эта в космологических масштабах некоторым образом «сглаживается» (причем сглаживается практически идеально; см. §§27.13, 28.4-28.10) и пространственная геометрия реальной Вселенной приходит в замечательно точное соответствие геометрии равномерной (однородной и изотропной; см. §27.11). Во всяком случае первые четыре евклидовых постулата испытание временем, похоже, выдержали с честью и сдаваться пока не намерены. Здесь необходимо некоторое пояснение. В сущности, из известных нам геометрий условиям однородности (все точки пространства одинаковы и равнозначны) и изотропности (одинаковы и равнозначны все направления в пространстве) удовлетворяют три: евклидова геометрия, гиперболическая и эллиптическая. С евклидовой геометрией мы знакомы давно (что-то около двадцати трех столетий) и очень хорошо. О гиперболической геометрии достаточно полное представление дает настоящая глава. А что же такое эллиптическая геометрия? Если коротко, то эллиптическая плоская геометрия — это геометрия фигур, начерченных на поверхности сферы. Мы уже упоминали мельком о таком представлении в § 2.6, когда обсуждали подход Ламберта к гиперболической геометрии. На рис. 2.22 показано эше- ровское воплощение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий на примере одинаковой во всех трех случаях мозаики из ангелов и дьяволов, причем последний представляет собой интересную альтернативу мозаике на рис. 2.11. (Существует и трехмерная версия эллиптической геометрии, а также версии, в которых диаметрально противоположные точки сферы рассматриваются, как одна и та же точка. Несколько более подробно об этих моделях я расскажу в §27.11.) Со всей уверенностью можно сказать, что в эллиптической геометрии нарушаются второй и третий постулаты Евклида (как, собственно, и первый) — эта геометрия конечна (а через пару точек здесь можно провести несколько прямых). Так что же можно сказать, исходя из результатов наших наблюдений, о пространственной геометрии Вселенной в космологическом масштабе? Если честно, то мы пока ничего о ней не знаем, хотя в последнее время большой популярностью пользуются заявления о том, что Евклид-таки с самого начала был абсолютно прав, его пятый постулат повсюду справедлив, а посему пространственную геометрию Вселенной можно в целом считать вполне евклидовой^2 121 С другой стороны, имеются свидетельства (некоторые из них получены во время тех же самых экспериментов), решительно и недвусмысленно указывающие на в общем и целом гиперболическую природу пространственной геометрии Вселенной Р-13!. Более того, отдельные теоретики последовательно отстаивают эллиптическую точку зрения,
64 Глава 2 Рис. 2.22. Три основные разновидности плоской равномерной геометрии, проиллюстрированные Эше- ром на примере мозаики, составленной из ангелов и дьяволов, а) Эллиптическая геометрия (положительная кривизна), 6) евклидова геометрия (нулевая кривизна) и в) гиперболическая геометрия (отрицательная кривизна) в конформном представлении (гравюра «Предел круга IV», сравните с гравюрой на рис. 2.11) причем, находят ей подтверждение все в тех же данных, которые сторонники евклидовой геометрии Вселенной интерпретируют в свою пользу (см. заключительные абзацы § 34.4). Как читатель вскоре сможет убедиться самостоятельно, вопрос этот полон противоречий, что, как можно ожидать, часто приводит к весьма горячим спорам. В последних главах книги я попытаюсь изложить все основные взгляды на эту животрепещущую проблему (сохраняя
2.7. Гиперболическая геометрия и физическое пространство 65 по возможности беспристрастность, но в то же время отнюдь не скрывая, что сам я отдаю предпочтение гиперболической точке зрения). К счастью для всех тех, кто, подобно мне, очарован как красотами гиперболической геометрии, так и великолепием современной физики, эта замечательная геометрия находит еще одно применение, бесспорно, играющее самую что ни на есть фундаментальную роль в сегодняшнем понимании физической Вселенной. В самом деле, пространство скоростей в теории относительности Эйнштейна есть не что иное, как трехмерная гиперболическая геометрия (см. § 18.4) — в отличие от евклидова пространства скоростей, которым оперирует классическая теория Ньютона. Такой подход позволяет объяснить некоторые загадки относительности. Представим себе, например, некое транспортное средство, движущееся мимо некоего здания со скоростью, близкой к скорости света; представим также, что это транспортное средство выпускает в направлении своего движения снаряд, разгоняя его, в свою очередь, до околосветовой скорости. Однако скорость снаряда относительно здания никак не может превышать скорость света. Несмотря на кажущуюся парадоксальность, в терминах гиперболической геометрии ситуация получает простое и логичное объяснение (см. § 18.4). Впрочем, у нас еще будет возможнос