в. в. шлыгин
ГРАФИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ
В МАШИНОСТРОЕНИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва 1967

УДК 518.3+518.4(022)
В книге на конкретных примерах показано применение гра¬
фических методов расчета в машиностроении. Даны характе¬
ристики большого количества номограмм и указаны способы
их построения.
Графические методы резко сокращают трудоемкость расче¬
тов и необходимое время для их выполнения.
Книга содержит основные сведения о графических методах,
применяемых в математике, данные о графиках функций и
графическом интерполировании, приемы графических построе¬
ний для нахождения численных решений различных техниче¬
ских задач, функциональные шкалы и практические приемы
построения номограмм для расчета допусков и посадок, объ¬
ема деталей, режимов резания, структуры и свойств чугуна,
паровоздушных молотов и т. п.
Книга предназначена для конструкторов, технологов и ши¬
рокого круга инженерно-технических работников промышлен¬
ности. Она может быть использована студентами втузов при
освоении приемов приближенных вычислений и для выполне¬
ния номографических расчетов при проектировании.
Рецензент канд. техн, наук Ю. Э. Шарикян
Редактор инж. Л. И, Слуцкая
3—1—3
500—66

ПРЕДИСЛОВИЕ
Графические методы расчетов применяются во всех отрас¬
лях народного хозяйства и науки, поэтому ими в той или иной
мере пользуются все. Нет документа убедительнее, доходчивее
и образней, чем тщательно отработанный график.
В машиностроении расчет, конструирование и технология
производства новых быстроходных высокопроизводительных ма¬
шин, м.ашин-автоматов, автоматических линий и приборов не
обходится без применения графических и графо-аналитических
методов, которые значительно упрощают и ускоряют решение
задач, экономя время.
В настоящей работе автор имел в виду дать в систематизиро--
ванной и сжатой форме справочный технический материал, сум¬
мирующий опыт разработки и применения графиков, графиче¬
ских методов раскроя и разметки, графических методов прибли¬
женных вычислений путем построений и методов прикладной
номографии.
В книге приводятся примеры применения графических мето¬
дов технических расчетов и расчетных номограмм в различных
отраслях машиностроения.
В настоящее время остро ощущается недостаток книг по
графическим методам технических расчетов. Предполагаемая
книга должна в известной мере восполнить этот пробел.
Все замечания и предложения по этой работе будут приняты
автором с благодарностью.
Автор благодарит В. В. Чудакову, которая провела большую
работу по подготовке рукописи к изданию.
АВТОР

ВВЕДЕНИЕ
В машиностроении графические методы расчетов применяют¬
ся для быстрого, удобного и наглядного решения теоретических
и прикладных задач и для наглядного изображения результа¬
тов этих решений. Графические методы применяются для заме¬
ны вычислений при решении практических вопросов графиче¬
ской статики и механики.
Графическая алгебра и графическое исчисление ставят сво¬
ей задачей создание геометрических построений, эквивалентных
аналитическим операциям. Графическое умножение и возведе¬
ние в степень, графическое решение уравнений и интегрирование
представляют собой систему построений, заменяющих с извест¬
ным приближением аналогичные аналитические действия. Вы¬
полнение этих операций требует каждый раз последовательных
построений, приводящих в результате к графическому определе¬
нию искомой величины.
При расчете деталей машин часто приходится интегрировать
функции, которые не могут быть представлены аналитически
и задаются графически в виде кривых на чертеже. Интегриро¬
вание функций, заданных графически, производится также гра¬
фически. Для этого существует несколько приемов, позволяю¬
щих решать эти задачи.
Графические методы определения приведенных статических
моментов, моментов инерции и центра тяжести, построения эпюр
изгибающих моментов и поперечных сил прочно вошли в прак¬
тику технических расчетов заводов и проектных организаций.
Графические расчеты отличаются простотой, удобством контро¬
ля и дают возможность нагляднее выявлять физическую сущ¬
ность вопроса.
Графическим методам, отдают предпочтение и в том случае,
когда требуется определять перемещение заданных точек стерж¬
невых систем.
В ряде случаев графические приемы дают наиболее простое
решение, а иногда и единственно возможное, если аналитиче¬
ское решение сопряжено с интегрированием сложно интегрируе¬
мых или неинтегрируемых функций.
4

X
Если требуется определить интеграл Р(Х) = [ [(х)с1х и для
а
Цх) дан график, то вместо вычислений Р(Х) для различных зна¬
чений X гораздо проще построить график функций Р(Х), кото¬
рый позволит с достаточной точностью находить значения этой
функции для различных значений аргумента.
Точность графических методов решений та же, что и при
расчетах на логарифмической линейке обычного типа и равна
в среднем 0,3%.
При экспериментальных исследованиях в машиностроении
широко применяются приемы графического анализа. Обработка
результатов измерений завершается графическим изображени¬
ем функциональной зависимости переменных. График дает не
только наглядное представление о взаимосвязи исследуемых ве¬
личин, но- служит также для измерений, так как по графику
можно находить значение одной величины при известных дру-
гих, хотя таких измерений непосредственно не производилось.
Графическая интерполяция значительно проще аналитической,
применяемой в приближенных вычислениях.
На основании графического анализа опытных данных со¬
ставляются эмпирические формулы зависимости переменных.
В инженерной практике чаще приходится встречаться с эмпири¬
ческими формулами, воспроизводящими непосредственно ре¬
зультаты наблюдений, нежели с теоретическими формулами.
На заводах графические методы анализа производства поз¬
воляют вскрыть резервы, выявить узкие места и организовать
более ритмичную работу предприятия. Ход производственного
процесса заносится в график. Фиксируются моменты начала и
окончания операций и перерыва между ними.
График имеет большое организующее значение как для ру¬
ководящих органов, так и на рабочем месте. Например, мастер
московского завода «Калибр» Н. Российский и мастер Ново-
Краматорского машиностроительного завода П. Корнев решили
подчинить весь производственный процесс твердому графику.
Были разработаны месячные, декадные и суточные графики.
График определял на каждый отрезок времени загрузку обору¬
дования, последовательность подачи деталей на сборку, сроки
подготовки материалов, инструмента, приспособлений и техниче¬
ской документации. График помог вовлечь каждого рабочего
в активную борьбу за выполнение производственного плана,
добиться правильной расстановки людей и ликвидировать про¬
стои.
Развитие современного машиностроения связано с широким
использованием специальных математических знаний. Расчеты
становятся трудоемкими. Во избежание ошибок ответственные
вычисления производятся 2—3 раза. Необходимость упростить
5
и облегчить вычисления, сделать их наглядными и контролируе¬
мыми привела к применению номографии.
Номограммы — это тоже графики. Пользуясь методами но¬
мографии, можно построить номограммы для большинства
расчетных формул. Вычисления по номограммам ускоряют окон¬
чание расчета в десятки раз, они не столь утомительны, как ана¬
литические расчеты, а потому более надежны и могут выпол¬
няться работниками средней квалификации. За короткий срок
можно выполнить несколько вариантов, что важно при выборе
решения. Появилась возможность унификации расчетных мето¬
дов на научной базе. При построении номограммы учитываются
йределы изменения переменных, значения коэффициентов и их
зависимость от экспериментальных данных.
В настоящее время область применения номографических
методов в технических расчетах значительно расширена. Преи¬
мущества массовых расчетов при помощи номографии стали оче¬
видны.
Быстродействующие вычислительные машины, внедряемые
на крупных машиностроительных заводах и в проектных науч¬
но-исследовательских институтах, не являются конкурентами
расчетных номограмм. Эти машины дороги, сложны и предна¬
значены для выполнения комплекса расчетных вариантов се¬
рий сложных машин и математического моделирования, тогда
как с помощью номограмм в машиностроении производятся рас¬
четы деталей и узлов машин, определение рациональных режи¬
мов резания и лимитирующих факторов технологических про¬
цессов, а также расчетов по экономике и организации произ¬
водства.

ГЛАВА
1
ГРАФИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
1.	ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Физические величины, которые применяются в машинострое¬
нии и в других областях техники, под влиянием тех или иных
факторов принимают различные числовые значения, т. е. они
изменяются. Изучая эти изменения, мы можем установить функ¬
циональную зависимость, существующую между изменениями
различных величин.
Две переменных величины х и у находятся в функциональной
зависимости, если каждому значению переменной х соответству¬
ет определенное значение переменной у. Величину х в этом слу¬
чае называют независимой переменной, а величину у—функци¬
ей от х. Иначе говоря, переменная х является аргументом функ¬
ции у. Какую из переменных целесообразно выбрать за незави¬
симую, определяется сущностью проводимого исследования
или расчета. В общем случае понятие функции распространяет¬
ся на несколько независимых переменных.
Примеры функций от одной или двух переменных можно
найти в технических справочниках в виде формул и таблиц.
Формула показывает, какие действия следует произвести над
аргументом, чтобы получить искомое значение функции. По
формуле можно составить таблицу, подставляя ряд произволь¬
ных значений аргумента и производя вычисления. Таблица поз¬
воляет без вычислений по значению аргумента сразу найти зна¬
чение функции. Однако в таблице приводятся лишь некоторые
значения независимой переменной, а не всевозможные.
Для определения промежуточных значений функции, соот¬
ветствующих частным значениям независимой переменной, не
указанным в таблице, можно с достаточной точностью интерпо¬
лировать по прямолинейному закону, т. е. принять, что функция
между двумя какими-либо табличными значениями изменяется
в линейной зависимости от аргумента. Если в таблице имеются
значения Х1 и х2 аргумента и им соответствуют значения У1 и у2
функции, то промежуточному значению х аргумента отвечает
значение у функции. Если разность х — хг составляет определен¬
ную часть разности х2— то такую же пропорциональную
часть от разности у2 — У\ составляет разность у — у\.
7

Таким образом,
У = У1 + ——— (х — хх).
хг — хг
Функциональная зависимость у = /(х) в прямоугольной си¬
стеме координат выражается некоторой линией и называется
графиком функции. На оси абсцисс в определенном масштабе
откладывают значения независимой переменной х, на оси орди¬
нат— значения функции у\ при этом масштабы могут быть раз¬
ные, а знаки от начала координат по оси абсцисс вправо и по
оси ординат вверх считаются положительными, в обратном на¬
правлении — отрицательными.
Графический способ изображения функциональной зависи¬
мости по сравнению с аналитическим и табличным наиболее на¬
гляден. Неудивительно поэтому, что график функции стремятся
построить и в том случае, когда функциональная зависимость
определена табличными данными или формулой. Из графика
непосредственно выявляется ряд свойств функциональной за¬
висимости. По характеру кривой, например, без вычислений ви¬
ден темп нарастания или снижения показателей. Располагая
лишь числовыми данными об этом процессе, пришлось бы при¬
бегнуть к вычислениям.
Построение графика функции по данным таблицы решает
вместе с тем задачу графического интерполирования. Стоит
лишь измерить соответствующую ординату по графику, чтобы
найти значение функции для такого значения аргумента, кото¬
рого не было в исходной таблице. Для получения надежных ре¬
зультатов следует обратить внимание на тщательность построе¬
ния кривой графика при достаточном количестве расчетных или
опытных точек, определяющих полностью характер всей кривой,
особенно если имеют место перегибы. Если график является
прямой линией или дугой окружности, то его можно построить
по двум или, соответственно, по трем точкам. В других случаях
приходится находить и наносить достаточно большое число то¬
чек, и для того чтобы нанести линию достаточно точно, нужен
навык.
Наглядность графика можно характеризовать примером вы¬
бора наилучшего конструктивного варианта в машиностроении
(рис. 1). Заготовки деталей могут быть выполнены различными
способами. При одном и том же назначении детали или узла
заготовки отличаются по технологии производства и по конст¬
руктивным формам. Отливки, исходя из рациональных требова¬
ний конструктора, литейщика и модельщика, будут иметь раз¬
личное оформление. Один вариант может быть трудоемким для
литейного производства, но удовлетворять технологии механи¬
ческой обработки, другой вариант может оказаться весьма тру¬
доемким для механической обработки, но удобен в литье и т. д.
8
(1)

Качественные показатели учитывают такие факторы, как проч¬
ность, внешний вид, отсутствие коробления и др. График дает
возможность найти лучший вариант при наименьшей полной се¬
бестоимости, при уравновешивании затрат на изготовление от¬
ливок и их обработку при высоких качественных показателях.
Графики наглядно отражают преимущества унификации
в машиностроении (рис. 2). Например, трудоемкость изготовле¬
ния и вес насосов равной производительности в унифицирован¬
ной конструкции резко снижаются.
варианты конструкции
Рис. 1. График идеальной литой
конструкции:
а — стоимость литья; б — стоимость
механической обработки; в — полная
себестоимость; г — качественные
показатели
Рис. 2. Преимущества унифицирован¬
ных конструкций насосов:
а — трудоемкость изготовления насосов
после унификации; б — вес насосов после
унификации; в и г — то же до унификации
Требуемая точность размеров деталей машин тесно связана
с трудоемкостью и стоимостью механической обработки. Поэто¬
му широкие допуски для деталей будут наиболее экономичными.
С повышением точности обработки затраты на изготовление рез¬
ко1 возрастают (рис. 3).
Для сравнения количественных данных объектов одного ря¬
да, имеющих общие единицы измерения, применяются столби¬
ковые графики. Количественное соотношение, например, отхо¬
дов металла на изготовление поковок, если принять за 100%
отходы при точной штамповке на механическом прессе, можно
характеризовать гистограммой (рис. 4). В исследовательской
и экспериментальной работе гистограммы применяются при до¬
статочно большом количестве данных наблюдений. Гистограм¬
мой называют столбиковый график, в котором столбики распо¬
ложены вертикально один за другим без интервалов.
Влияние колебательных явлений на надежность и долговеч¬
ность машин возрастает с увеличением их быстроходности.
Из графика (рис. 5) следует, что при совпадении значений
9

Стоимость обработки 6 условных
единицах
Рис. 3. График зависимости затрат на
обработку от требуемой точности:
а — со шлифовкой и доводкой; б — со шли¬
фовкой; в — точить, развернуть; г — отвер¬
стия сверлить, валик из холоднотянутого
прутка
Рис. 4. Гистограмма отходов ме¬
талла при разных способах изго¬
товления поковок:
а — свободная ковка; б — выдавли¬
вание на гидропрессе; в — обыкновен¬
ная штамповка на молоте; г — точная
штамповка на механическом прессе;
д — обыкновенная штамповка на го¬
ризонтально-ковочной машине; е — точ¬
ная штамповка на горизонтадьяо-
ковочной машине
Рис. 5. График условий резонанса: 5
и %—коэффициенты динамичности и
демпфирования; Ш1 и (Ог — частоты
Рис. 6. График распределения
силы света
10

частоты возмущающей силы с частотой со2 собственных коле¬
баний наступает явление резонанса.
Применение графиков в полярной системе координат удобно
для изображения функций углового аргумента, например, рас¬
пределения силы света электрических источников (рис. 6).
В прямоугольной системе координат при построении графика
на осях Ох и Оу деления шкал наносят обычно от нуля. В том
случае, когда график строят для известных пределов изменения
значений переменных, достаточно удаленных от нуля, на осях
координат в целях уменьшения
значения переменных в преде¬
лах рассматриваемого диапа¬
зона. Точка пересечения осей
в данном случае не является
истинным началом координат.
Ценным свойством графи¬
ков является простота чтения
их в разных единицах измере¬
ний. Например, график, состав¬
ленный для измерения механи¬
ческих напряжений в опасных
сечениях вала в кгс/см2 в за¬
висимости от нагрузки, может
быть без изменений использо¬
ван для чтения в международ¬
ной системе единиц СИ, для
размеров графика откладывают
Рис. 7. Индикаторная диаграмма
чего на осях координат следует указать соответствующие новые
единицы измерений.
В ряде установок регистрирующие приборы автоматически
наносят на бумагу график функциональной зависимости, анали¬
тическое значение которой в ряде случаев бывает неизвестно.
В этом случае функция задается графиком. С помощью записан¬
ных графиков решаются сложные технические задачи в маши¬
ностроении.
Например, для записи зависимости между положением
поршня и давлением газа или пара в двигателе служит индика¬
тор. В результате записи получается индикаторная диаграмма
(рис. 7). Если Р— площадь поршня индикатора в см2, р—
масштаб индикатора (величина перемещения пишущего штиф¬
та, отвечающая давлению в 1 кгс!см2), д— передаточное число,
определяющее отношение перемещения штифта к перемещению
поршня, то перемещение р штифта при давлении 1 кгс)см2 и пе¬
ремещение 5 = ц/9 поршня индикатора соответствуют силе
Р кгс. В индикаторной диаграмме отрезок 5051 в масштабе пред¬
ставляет собой ход поршня в цилиндре двигателя. Верхние
участки I и II соответствуют впуску пара и расширению его при
движении поршня вперед; участки III и IV отвечают выпуску
11

пара и сжатию его при движении поршня назад. Работа пара
выражается уравнением А = У Рс18, где сила Р является функ-
цией пути 5. Работа пара геометрически определяется пло¬
щадью индикаторной диаграммы, умноженной на произведение
масштабов рицг, принятых для силы и пути.
Индикаторная диаграмма служит для расчета и экспери¬
ментальной проверки рабочего процесса и парораспределения
паровых и газовых машин. В последнее время с помощью инди¬
каторных диаграмм производится проверка вредного' простран¬
ства цилиндров.
Рис. 8. Торсиограм-ма крутильных колебаний
Для1 экспериментального определения крутильных колебаний
силовых установок предназначен торсиограф. Прибор записы¬
вает колебания исследуемого сечения вала от среднего положе¬
ния при кручении. Располагая из расчета свободных колебаний
масштабом напряжений, подсчитывают искомые величины дей¬
ствительных напряжений как при резонансе, так и вдали от не¬
го и устанавливают запретные зоны чисел оборотов, в пределах
которых в установке ожидаются напряжения выше допустимых.
Торсиограмма представляет собой запись крутильных колеба¬
ний в зависимости от времени (рис. 8). Масштаб записи выби¬
рается в зависимости от предполагаемой величины колебаний
вала.
Осциллограф производит запись осциллограмм быстро про¬
текающих процессов в зависимости от времени посредством
магнитоэлектрического или электронно-лучевого измерительно¬
го устройства. Для вращающегося гибкого вала в качестве
примера приведем осциллограмму нестационарных изгибных
колебаний при переходе через критическую скорость с нарастаю¬
щей угловой скоростью. Несовпадение упругих свойств вала
в главных плоскостях изгиба, совмещенных с центральными
осями инерции сечения, приводит к образованию зон неустойчи¬
вого движения- и к раздвоению спектра частот (рис. 9).
12

Виброграф фиксирует смещения колеблющегося тела. Запи¬
санная виброграмма линейных смещений показана на рис. 10.
Для одно- и двухцилиндровых машин с основными гармоника¬
ми возмущающих сил и моментов обязательно производится
Рис. 9. Осциллограмма напряжений изгиба вала при нестационар¬
ном переходе через критическую скорость:
а и б — напряжения в двух главных плоскостях изгиба;
в — среднее напряжение в каждой плоскости
динамический расчет фундамента. Виброграммы показывают
колебания с частотой, равной
Рис. 10. Виброграмма фундамента
машины с кривошипно-шатунным
механизмом:
а — только первые гармоники;
б — влияние вторых гармоник
основной частоте вращения рото¬
ра машины. Виброграмма пока¬
зывает, что вторые гармоники
возмущающих сил и моментов по
сравнению с первыми гармоника¬
ми малы. Даже в том случае, ког-
Т'П"'
Рис. 11. График колебания суппорта
токарного станка
да одна из собственных частот колебаний фундамента близка ко
второй гармонике неуравновешенных сил или моментов криво¬
шипно-шатунного механизма машины, амплитуды колебаний
фундамента, вызванные вторыми гармониками, малы вследствие
демпфирующих реакций.
Акселерограф записывает во времени и заданном направле¬
нии ускорения системы, движущейся с переменной скоростью.
13

В качестве примера приведем график записи амплитуды В
ускорения колебания суппорта токарного станка в процессе то¬
чения (рис. 11).
2.	ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФИКОВ В ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Самопишущие гальванометры и ваттметры применяются для
автоматического контроля работы станков и производственных
участков. Графики с записью работы отдельных станков по вре¬
мени дают материал для решения целого ряда вопросов. Таким
путем определяется не только время, необходимое для обработ-
Рис. 12. Запись работы станка
ки детали (рис. 12), но и время работы станка без нагрузки, а
также время его простоя.
Графики оптимальной работы каждого станка при обработке
типовых деталей служат критерием для оценки работы смены.
В целях уточнения хронометража при изучении работы токар¬
ного станка приборы регистрируют время включения и выклю¬
чения электродвигателя и фрикциона, время вращения шпинде¬
ля. При анализе работы производства графики дают представ¬
ление о работе цеха, его участков и групп.
Структурные графики применяются при проектировании ста¬
ночного оборудования. При разработке универсальных станков
проводится нормализация и унификация деталей и узлов, в ре¬
зультате чего оказалось возможным значительно упростить ки¬
нематику и конструкцию и, таким образом, снизить себестои¬
мость станков. Особенно перспективно применение сменных эле¬
ментов привода, что вполне отвечает интересам потребителя.
Так, например, универсальный токарно-винторезный станок
был запроектирован с двухскоростным электродвигателем, ше¬
стискоростным редуктором, двумя- сменными шкивами и с трех-
14

скоростной коробкой главного привода. 36 ступеней регулирова¬
ния скорости обеспечивают изменение числа оборотов шпинделя
от 20 до 2000 в минуту в одном исполнении и от 40 до
4000 об)мин— в другом. Структурный график привода такого
станка приведен на рис. 13.
Циклограмма (рис. 14) отражает работу элементов автома¬
тизации, применяемой для перемещения рабочих органов метал¬
лорежущих станков. Если, например, стол расточного станка, на
Рис. 13. Структурный график привода универсального
станка:
а — первая ступень редуктора; б — вторая ступень редук¬
тора; в — привод шкива; гид — коробка главного привода
котором закреплена плита с сердечниками шагового преобразо¬
вателя, надо переместить на 8,04 мм, то отсчет перемещения осу¬
ществляется по шаговой и внутришаговой системе. Контроль
перемещения выполняется по циклограмме отсчета импульсов
с предварительной отработкой шаговых перемещений и после¬
дующей отработкой внутришаговых перемещений (рис. 14).
Циклограммы могут отражать совокупность любых взаимо¬
связанных процессов и операций, образующих законченный
цикл.
График работы исполнительных органов и управляющей ап¬
паратуры [48]. Графический способ фиксирования последова¬
тельности срабатывания управляющей аппаратуры и исполни¬
тельных органов машин, станочного оборудования и приспособ¬
лений весьма нагляден и краток, что дает возможность выпол¬
нять оперативный контроль и устранять неисправности.
15

В графике рабочего цикла пневмо- и гидроприводов (рис. 15)
принята единая система обозначения срабатывания исполни¬
тельных органов и аппаратов. Позиция 1 соответствует исход¬
ному положению, а позиция 2— конечному. Если управляющая
аппаратура включается и выключается от стола, головки или
каретки станка, то эти элементы также вносятся в график. Пе¬
ремещение рабочих органов, золотников, переключателей и
клапанов изображается наклонными линиями из исходного по¬
ложения в одну сторону и из конечного положения к исходному
в другую сторону. Вертикальными линиями обозначается нали¬
чие пневматических и гидравлических связей.
Рис. 14. Циклограмма отсчета импуль¬
се перемещения стола расточного
станка
Рис. 15. График работы исполни¬
тельных органов машины
Производственные графики представляют собой календар¬
ный план выпуска продукции предприятием в целом, его цеха¬
ми, участками и сменами. При составлении производственного
графика предприятия исходят из расчетной величины производ¬
ственного цикла по каждому виду выпускаемых изделий. Из
производственного графика вытекают календарные сроки тех¬
нической подготовки производства. Производственный график
дает возможность систематически контролировать выполнение
производственной программы.
Для соблюдения графика необходимо обеспечить ритмичную
работу предприятия. Организация ритмичной работы, как пока¬
зал опыт многих предприятий,— дело сложное. Немногим за¬
водам удавалось добиться успеха. Новочеркасский электро¬
возостроительный завод разработал свою систему управления
производством, которая теперь перенимается и дополняется
многими предприятиями.
Производственный график Новочеркасского завода очень
прост, в нем всего три гр'афы: название месяца, рабочие дни
и количество условных изделий, которое завод должен выпу¬
стить за каждое число этого месяца. Для расшифровки условно¬
го изделия создана картотека пропорциональности, которая
представляет собой основу всей системы. На каждую деталь
16

или операцию в этой картотеке имеется отдельная карточка.
Планирование производства и учет состоят в перемещении этих
карточек в ящиках вправо или влево от даты текущего дня.
Картотека позволяет в любое время видеть ход производства
и получить сведения о том, что данная1 деталь или узел комплек¬
туют условное изделие под таким-то номером, при этом комплек¬
тование идет в соответствии с графиком, или же есть отстава¬
ние или опережение. Картотеки дублированы и установлены,
кроме производственного отдела, у каждого мастера непосред¬
ственно на участке.
В картотеке участка карточки деталей, закрепленных за
каждым рабочим, лежат в отдельном отсеке с ячейками по
количеству рабочих дней в месяце. Это позволяет добиться пра¬
вильной расстановки рабочих, а также выявить узкие места
и наметить пути к их устранению, используя внутренние резер¬
вы, обеспечить правильную загрузку станков с учетом квалифи¬
кации и способностей рабочего, подобрать для каждого рабо¬
чего детали, подобные по обработке, своевременно подготовить
материалы, инструмент, приспособления и техническую доку¬
ментацию. Теперь рабочий не ждет ежедневного задания масте¬
ра или бригадира, так как по карточке он видит, какие работы
ему запланированы на каждый день месяца. Система помогает
вовлечь каждого рабочего в борьбу за выполнение производст¬
венного плана.
Система, разработанная коллективом Новочеркасского заво¬
да, после внедрения и освоения дала положительные результа¬
ты. Она создает такой поток деталей, который обеспечивает не¬
прерывность сборки изделий. Уже третий год завод работает
ритмично, выпуская в каждой декаде любого месяца около 33%
товарной продукции. За эти годы многие заводы, перейдя на
новочеркассую систему управления производством, добились
хороших результатов.
Единичные заказы с длительным производственным циклом
также охватываются картотекой пропорциональности. При пла¬
нировании таких заказов пользуются цикловыми графиками для
определения календарных сроков выпуска.
Цикловые графики. Производственный цикл состоит из ряда
последовательных производственных процессов, предназначен¬
ных для изготовления данного изделия. Для установления сро¬
ка изготовления изделия в расчетую продолжительность произ¬
водственного цикла включается время, необходимое непосред¬
ственно на производство и время, затрачиваемое на перерывы.
Разработка циклового графика изготовления изделия — до¬
вольно сложная и трудоемкая задача. В основу построения цик¬
лового графика должны быть положены схемы сборки машины.
В схемах сборки достаточно учитывать основные узлы, подузлы
и детали. Мелкие узлы, не определяющие цикла изготовления
17
всей машины, можно объединить в группы, не выделяя входя¬
щие в них подузлы и детали.
Для машин, длительность цикла изготовления которых не
превышает одного месяца, в графике указывают все рабочие
дни; для машин с длительностью цикла в несколько месяцев
достаточно разбивки по декадам.
Чтобы отразить в графике продолжительность каждого про¬
цесса, составляют таблицу с графами: наименование работ, цех-
исполнитель, норма времени в часах, коэффициент выполнения
Опера¬
ции
Наименование
узлов
Рабочие дни
Ю 20 30 40	50 6 0 70 ВО 90 100
1
Корпус помпы
Задний подшипник
2
3
и
4-5
Рама
I
г
Вкладыш 1
	и— 2
6
Диафрагмы
7-8
Ротор
Уплотнения
9-11
Направляющий аппарат
а
3
"7
ИИ
12-13
Корпус редуктора
I'
Вкладыш
Шестерня
I
Муфта
I
и
Дефлектор
ГРЕ
Измерительные приборы
Масляный насос
Рис. 16. Цикловой график изготовления турбокомпрессора:
а — изготовление заготовок; б — перерыв; в — механическая обработка;
г — узловая сборка; д — главная сборка
норм, количество рабочих, выполняющих одновременно работу,
режим сменности на участке, продолжительность выполнения
работы.
Наличие графика сборки поможет установить очередность
подачи деталей на сборку и уточнить сроки запуска их в обра¬
ботку, процесс комплектации и межцеховые связи.
В качестве примера на рис. 16 показана часть циклового
графика изготовления турбокомпрессора<.
График сменности устанавливает порядок выхода на работу.
По оси абсцисс наносится время, а по оси ординат—рабочие
места, участки, бригады. Порядок сменности, устанавливаемый
графиком, обеспечивает бесперебойную работу производства,
соблюдение месячных норм рабочего времени и отдыха, переход
из смены в смену, удобный для рабочих. График определяет
организацию труда и устанавливает, сколько человек необходи¬
мо для круглосуточного обслуживания одного рабочего места,
18

а на участке — количество бригад. Условия труда рабочих и его
производительность зависят от того, насколько рационально
составлен график сменности, особенно при круглосуточной ра¬
боте предприятия.
3.	ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ
В массовом и крупносерийном производстве статистические
методы контроля дают возможность следить за ходом техноло¬
гического процесса и предупреждать появление некачественной
продукции. Для этой цели используются точечные графики, по
которым можно судить об отклонении процесса от нормальных
условий. Применение методов математической статистики и тео¬
рии вероятностей значительно расширяет возможности техни¬
ческого контроля на производстве. Статистический анализ де¬
талей, отобранных из партии путем выборочного контроля,
позволяет делать вывод о качестве всей партии деталей и
добиться возможной однородности качества, и взаимозаменяе¬
мости деталей, поступающих на сборочный конвейер.
В промышленности введение статистического метода конт¬
роля проводится в два этапа. Технологами, н/аладчиками и конт¬
рольными мастерами сначала оценивается стабильность работы
налаженных станков, частота разладки, влияние на размеры
детали износа инструмента, отжима резцов при затуплении, на¬
грева державок и др. Затем отлаженный процесс на поточных
и -автоматических линиях, а также на отдельных решающих
операциях технологического процесса переводят на регулярный
статистический контроль. Графики статистического контроля
в зависимости от технологического процесса и технических тре¬
бований могут строиться как для индивидуальных замеров, так
и для производных от них величин, таких как средних арифме¬
тических, медиан, средних квадратичных отклонений и размаха
колебаний, которые определяют наиболее важные стороны про¬
цесса— центр группирования, рассеяния и др. Рассмотрим по¬
строение графика средних арифметических.
Вначале пробы отбирают через каждый час, а после выявле¬
ния устойчивости процесса отбор проб ведут 3—4 раза в смену.
В условиях массового производства каждая проба состоит из
пяти деталей текущей выработки станка. По данным замеров
в ведомости подсчитывают среднее арифметическое X и раз¬
мах Я значений замеров пробы, вычитая из наибольшей вели¬
чины замера в одной пробе наименьшую. Значение среднего
уровня размаха используется для определения среднего квад¬
ратичного отклонения. Результаты подсчетов в точечном графи¬
ке для каждой пробы отмечают в масштабе точками, которые
соединяют прямыми линиями и получают график средних ариф¬
метических X и колебаний размаха Я (рис. 17).
19

В графике наносят линии верхнего и нижнего технических
пределов (в. т. п. ин. т.п.), соответствующие заданным в черте¬
же допускам на размеры деталей. Кроме того, наносят линии
верхней и нижней контрольных границ (в. к. г. и н.к. г.), кото¬
рые ограничивают зону нормального течения процесса. Выход
точек средних арифметических X за контрольные границы сиг¬
нализирует о начале разладки процесса, что угрожает появлени¬
ем брака. В таких случаях необходима подналадка процесса.
Значения не должны выходить за верхнюю границу размаха
(в. г. р.).
Правильное установление расчетом контрольных границ яв¬
ляется основой построения графика статистического контроля.
Неудачно установленные границы приводят к ложным сигналам
о нарушении нормального хода процесса в то время, когда пос¬
ледний протекает нормально и не требует подналадки, или
к неожиданному появлению брака. Основным источником обра¬
зования производственных погрешностей в этом процессе яв¬
ляется изменение центра группирования во времени.
Для определения величины контрольных границ предложе¬
ны различные методики, разбор которых не входит в план дан¬
ной работы. В заводских условиях для определения удаления
контрольных границ от пределов допуска обычно пользуются
заранее разработанными таблицами, по которым можно выбрать
наивыгоднейший вариант статистического контроля, задавшись
допустимым процентом незамеченного брака, проникающего на
сборочные операции.
20

Метод средних арифметических значений наиболее точный,
но и более трудоемкий. Чаще применяют метод медиан, в кото¬
ром все значения замеров пяти деталей в каждой пробе нано¬
сятся точками в графике статистического контроля без вычис¬
лений (рис. 18). Медианой считают третью наносимую точку при
пяти замерах и отмечают ее крестиком. Точки с крестиками со¬
единяют линиями и получают график статистического контроля
по медианам.
Эпюра
Размеры
в мм
А/° п р О 5 ы
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
5
6
7
8
18,65
в. т.п.
&
18, 60
о
О
в. к. г.
18,55
о
ОО
о
18, 50
о®4
ОЛ
о
ОО
оо
о о
о
ОО
ОО
о
в
18,65
о
о
о ’
1°
0^
ОО
0
■*®о
о
сРё
о3
18, ЬО
о
о
о
о
СТО
о
н.к.г.
18,35
ОО
н.т.п.
Рис. 18. График статистического контроля по медианам
Процесс считается разлаженным, когда медиана выйдет из
контрольных границ. Пользуясь графиками статистического
контроля при четырех пробах в смену, можно уверенно следить
Рис. 19. График статистического контроля и уровень наладки
при незначительном размерном износе инструмента
за ходом сложного процесса, получая однородную доброкачест¬
венную продукцию. Непременным условием для нормального
хода производства является быстрое заполнение и анализ гра¬
фика статистического контроля после замеров каждой пробы
и при наличии сигнала разладки немедленное устранение ее
причин.
Наладка станков с помощью графика статистического конт¬
роля позволяет дольше работать без переналадки, реже оста¬
навливать станки для подналадок, а следовательно, улучшить
качество обработки деталей.
21

Уровень наладки зависит от качества и конструкции режу¬
щего инструмента, а также от того, какие поверхности подлежат
обработке — наружные или внутренние.
При обработке твердосплавным инструментом с незначи¬
тельным износом уровень наладки должен совпадать с середи¬
ной поля контрольных границ (рис. 19). На графике наносят
линии верхнего и нижнего уровня наладки (в. у. н. и н. у. н.),
при обработке наружных поверхностей с заметным размер¬
ным износом инструмента
При обработке наружных поверхностей деталей инструмен¬
том, подверженным заметному износу, целесообразно станок на-
Рис. 21. График статистического контроля и уровня наладки
при обработке внутренних поверхностей с заметным размер¬
ным износом инструмента
лаживать на нижний уровень (рис. 20). Это избавляет от частых
остановок станка для переналадок.
Для обработки внутренних поверхностей деталей инстру¬
ментом, подверженным заметному износу, станок следует нала¬
живать на верхний уровень (рис. 21).
Для каждой операции станок налаживается на заданный
уровень по шкале контрольного графика.
22

В массовом процессе обобщающим показателем является
средняя величина, около которой группируются отдельные зна¬
чения наблюдаемых и изучаемых элементов. В практике работы
промышленных предприятий для анализа производственного
процесса применяется сводная статистическая средняя арифме¬
тическая характеристика
X =	.	(2)
п
Если среди индивидуальных величин имеются группы оди^
наковых, то определяют среднюю взвешенную
Индивидуальные значения отклоняются от среднего в ту или
другую сторону. Величина этих отклонений показывает, в- какой
мере индивидуальные значения отличаются друг от друга, т. е.
показывает размер вариации признака. В качестве показателя
размера вариации признака принимают среднее квадратичное
отклонение. Этот показатель применяется в анализе при контро¬
ле качества продукции.
При обработке результатов наблюдений для определения
средней взвешенной, в силу подобия формул, можно применить
известный графический метод, используемый при определении
положения центра тяжести однородного тела [4]. Пусть замера¬
ми получен ряд значений х2, *з, Д и %5 с соответствующими
частотами т2, т3, т4 и т5. Из произвольной точки О (рис. 22)
на прямой ОА строим силовой полигон, откладывая на верти¬
кали ОВ величины т2, ..., т5 и соединяя эти отрезки лучами
с полюсом Р, расположенным на произвольном расстоянии I от
прямой От5. На горизонтальной прямой ОА от точки О отло¬
жим отрезки, соответствующие всем значениям хг-, и через ко¬
нечные точки этих отрезков нанесем вертикали. Вертикаль Х\1
пересечет луч ОР в точке /, через которую проведем отрезок 1 2,
параллельный лучу пцР, затем отрезок 2 3, параллельный лучу
т2Ру и т. д., т. е. построим веревочный полигон. Через точку 5
проведем прямую, параллельную лучу т$Р, до пересечения с
продолжением прямой 01 в точке 5, которую проектируем на
прямую ОА. Координата точки Е является статистической сред¬
ней измерения или средней взвешенной
1=к
2 Х‘т‘
2т/
/=1
23

Если в формуле дисперсии
2 (*<— ^т'
= -^-7=5		(4)
2^'
1=1
подставить 2г вместо (%г — X), то выражение для о2 будет по¬
добно приведенной выше формуле для определения средней
взвешенной. Таким образом, графический метод применим и» для
определения- дисперсии при условии, что величина 2^ откладыва¬
ется как линейная; в графическом расчете следует пользоваться
линейкой с квадратичной шкалой.
Рис. 22. Определение средней взвешен- Рис. 23. График нормального рас-
ной измерений	пределения случайной величины
При пользовании графическим методом среднее квадратич¬
ное отклонение следует определять по формуле
/ У, (XI — а)2т,	_
° = I/ -^7=л	(а-Х)\	(5)
г 2
1=1
где а — округленное значение X , кратное цене деления шкалы.
Графическим расчетом 'найдем значение дисперсии
1=к
1=к
/=1
зная которое вычислим среднее квадратичное отклонение
° = К°1~ (а — X)2-	(6)
24

Графический метод определения средней взвешенной и сред¬
него квадратичного отклонения по сравнению с аналитическим
требует меньше времени и избавляет от ошибок.
Для вычисления средней квадратичной погрешности ряда
измерений и определения соответствия экспериментального рас¬
пределения нормальному закону распределения применяется
также графический способ обработки результатов путем сопо¬
ставления кривых экспериментального распределения с семейст¬
вом теоретических кривых [47].
Теоретическая кривая нормального распределения характе¬
ризует его плотность (рис. 23) для значения х и соответствует
формуле Ляпунова
(х-а)2
у = ср (х) =—^= е 2а ,	(7)
а У 2л
где у — ордината кривой распределения;
х—абсцисса кривой распределения;
о — среднее квадратичное отклонение величины х;
а — среднее значение величины х.
Наибольшее значение функции <р(х) получается при
(х — а) =0
ф(х)"аиб = ?Г^'
Если значение функции <р(х) выразить через ее максимум, то
получим новую функцию
__ (х—а)2
/х ф(х)	2°2
Ф1 (X) =	= е
ф \х)наиб
Построив семейство кривых функции ф1(х) для значений о
от 0,5 до 10 в полулогарифмическом масштабе, можно графиче¬
ски определить значение параметра о рассматриваемого эмпи¬
рического распределения (рис. 24). При х — а = а
срх (%) = е“1/г = 0,606 = сопз1,
т. е. имеем уравнение прямой линии, параллельной оси х. Абс¬
цисса точки пересечения этой прямой с любой кривой семейства
функции ф1(х) соответствует значению параметра о для данной
кривой. По разности ординат точек эмпирического ряда и теоре¬
тической кривой можно установить, насколько эмпирическое
распределение соответствует нормальному распределению. Этот
способ исключает необходимость производить сложные расчеты
с использованием таблиц значений интеграла вероятностей
Ф(г). Для эмпирического ряда распределений, например
25

у = ф(х), значения Хг представляют собой погрешности измере¬
ний, а у — частоту тг- появления погрешностей. При х = 0 бу¬
дем иметь наибольшее значение функции у с тгнаиб . Для всех
значений X; составим таблицу значений функции
т;
У = —-—
^наиб
и на кальке, наложенной на полулогарифмическую сетку, по¬
строим оси координат и точки значений ух (рис. 24) для всех
Рис. 24. Семейство теоретических кривых
нормального распределения
значений хг-. Затем наложим кальку на график семейства тео¬
ретических кривых, совмещая оси координат, и нанесем ту тео¬
ретическую кривую, с которой совпадает наибольшее число рас¬
четных точек. Может оказаться, что точки не соответствуют ни
одной кривой; тогда расчетная кривая строится с применением
интерполяции (см. рис. 24 — кривая а).
Абсцисса точки пересечения построенной кривой с линией о
соответствует средней квадратичной погрешности (здесь о =
= 2,7), а ординаты кривой для всех абсцисс X; являются значе¬
ниями теоретических частот ггц данного эмпирического распре¬
деления.
26

4.	ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
И РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Зависимость между двумя переменными может быть пред¬
ставлена математической формулой, в которую, кроме перемен¬
ных, входят постоянные коэффициенты. Если формула получена
в результате наблюдений над изменением одной переменной в за¬
висимости от изменения другой, то ее называют эмпирической.
Правильно найденная по опытным данным формула дает воз¬
можность достаточно точно определять в ограниченном интер¬
вале значения одной переменной при заданном значении другой,
а также делает наглядным общий закон изменения исследуемой
функции. Эмпирическая формула позволяет обобщать результа¬
ты опыта путем математической обработки полученных данных
(дифференцирование, интегрирование, нахождение максимума и
минимума и др.).
Применение графических методов при обработке опытных
данных способствует нахождению вида эмпирической формулы.
Графические методы обработки опытных данных имеют то пре¬
имущество, что для усвоения и применения их требуются лишь
элементарные знания высшей математики, которыми облада¬
ют студенты и начинающие исследователи.
Рекомендуется заранее построить на чертежной бумаге ряд
сеток с различными неравномерными шкалами; это ускорит ре¬
шение задачи, так как на построение каждого графика с нерав¬
номерной шкалой приходится затрачивать значительное время.
Имея набор сеток, накладывают на них нанесенные на кальку
опытные или расчетные точки и выясняют возможность спрям¬
ления экспериментальных кривых. Если процесс не подчиняется
уже известным теоретическим законам, то задачей является на¬
хождение вида формулы, а затем и значений входящих в нее
постоянных коэффициентов.
Графическое изображение плавных кривых, построенных по
точкам, предполагает наличие таких функций, у которых мало¬
му изменению одной переменной соответствует малое изменение
другой. Это верно для любого значения переменных в пределе
опыта или расчета. В большинстве случаев, применяя, например,
полулогарифмические или логарифмические сетки, удается
спрямлять кривые, полученные опытом. Если же кривая отра¬
жает плавное изменение переменных, но темп роста в разное
время был неодинаков, например вначале, функция возрастала
медленно, затем более энергично и, наконец, снова медленно до
конца опыта, то можно предвидеть, что эмпирическая формула
данной кривой будет сложной, многочленной.
Нельзя претендовать на то, чтобы эмпирическая формула
27
точно воспроизводила результат опыта и чтобы кривая точно
проходила через заданные точки. Следует учитывать, что наши
наблюдения и измерения неизбежно связаны со случайными по¬
грешностями. Извилистая кривая, которая проходила бы через
все опытные точки, воспроизводила бы эти погрешности. Плав¬
ная кривая, которая выравнивает данные опытов, должна про¬
ходить по середине разброса опытных точек.
При составлении эмпирической формулы ставится задача ох¬
ватить все результаты опытов, применяя интерполяцию для по¬
лучения тех значений переменных, которые опытами не были
установлены. Следует предостеречь против экстраполяции за
пределы данных, полученных экспериментом, так как это может
привести к грубой ошибке.
Если посмотреть вдоль вычерченной кривой, то изменения ее
наклона могут быть легко замечены. Плавность и характер кри¬
вой, кроме того, полезно проверять построением дифференциаль¬
ной кривой, которая дает возможность сразу найти участки, тре¬
бующие исправления, и выявить точки перегибов.
Показателем наклона МЫ в точке Л1 служит тангенс угла оц
между нормалью А1С1 в этой точке и прямой параллельной
оси ординат (рис. 25). Вместо проведения касательных в точках
Л2, Л3, ...удобнее строить нормали, допустив, что малые
участки кривой представляют собой дуги окружностей некото¬
рых диаметров.
В точках Л2 и Л3 кривой могут быть построены такие же тре¬
угольники А2В2С2 и Л3В3С3, причем при построении отрезки
Л1В1, А2В2 и Л3В3 должны быть равны между собой. Тогда от¬
резки ВХСЪ В2С2 и В3С3 будут находиться в той же пропорции,
как углы аь с&2 и аз или их тангенсы и могут служить мерилом
наклона кривой в рассматриваемых точках. В этом случае для
построения дифференциальной кривой следует на ординатах то¬
чек Ль Л2 и Л3 отложить от оси абсцисс отрезки В\ЕХ = В\С{,
О2Е2 = В2С2 и 1>з^з = В3С3. Кривая, проведенная через точки
/)2 и -Оз, будет искомой дифференциальной кривой.
Если исследуемая линия является прямой с наклоном к оси
абсцисс, то ее дифференциальная линия будет прямая, парал¬
лельная оси абсцисс. При наличии излома в исходной прямой
дифференциальная линия будет состоять из двух прямых, па¬
раллельных оси абсцисс, сдвинутых соответственно углу излома
исходных прямых.
Если кривая МЫ (рис. 25) в точке А2 изменит свое направле¬
ние на А26, то дифференциальная кривая сигнализирует об этом
резким поворотом в точке В2. При изломе кривой в точке Е[ диф¬
ференциальная кривая перейдет к резкому падению в точке Г2
до нуля вследствие того, что функция перестала возрастать и
исходная кривая пошла по Г{Н.
28

Сравним две кривые, построенные по формулам (рис. 26)
= 0,0652 и Р = 0,002а2’5.
Дифференцируя эти уравнения, получим
= а (0,0652) = 2 • 0,065;
(1Р = Л (0,002а2’5) = 2,5 • 0,002а1’5.
Вид каждого уравнения показывает, что дифференциальная
кривая представляет собой в первом случае прямую линию, а во
втором — кривую.
Для кубического уравнения у = ах3 + Ьх2 + сх + й первая
дифференциальная линия — кривая, но при вторичном диффе¬
Рис. 25. Построение дифференциаль¬
ной кривой
Рис. 26. Сравнение дифференци¬
альных кривых
ренцировании получим прямую линию. Отсюда следует, что
функция может быть представлена многочленом с целыми по¬
казателями у переменных, если последовательным дифференци¬
рованием приходим к прямой линии.
Для нахождения эмпирических формул важен выбор мас¬
штаба и правильное проведение кривых. Масштаб следует вы¬
бирать так, чтобы возможные погрешности наблюдений, отра¬
жаясь на положении точек, не вызывали смещения точек от
действительного направления кривой более чем на 1 мм. Если,
например, погрешность наблюдения составит 5%, то при мас¬
штабе 1 = 1 мм и значении переменной, равном 60, опытные
29

точки могут отстоять на 3 мм от истинного направления кри¬
вой. При масштабе 1 = 0,25 мм отклонение опытных точек при
прочих равных условиях не будет превышать 0,8 мм. Другой
пример: погрешность эксперимента 3%, значение переменной
равно 10, масштаб 1 = 2 мм. Возможное отклонение точки от
истинного положения кривой составит
А ^2-10-3 Л а
Лх С	= 0,6 мм.
^100
Для значения переменной 25 мм отклонение точки от кривой
составит в этом примере 1,5 мм.
Если применить масштаб 1 = 4 мм, то проведение кривой по
точкам окажется затруднительным и может привести к нежела¬
тельным погрешностям при отсчете.
Выбору масштаба надо уделять особое внимание в тех слу¬
чаях, когда кривые предназначены не для определения характе¬
ра изменения функции, а для составления эмпирической форму¬
лы или графических построений и вычислений. Большой разброс
точек указывает на то, что в данном случае нельзя претендовать
на более или менее точное выражение формулой опытных дан¬
ных.
При вычерчивании графиков лучше всего пользоваться имею¬
щейся в продаже бумагой с миллиметровой, логарифмической и
полулогарифмической сеткой. Удобно наносить точки и прово¬
дить линии, применяя рейсшину и прозрачные треугольники и
лекала. Это облегчает проведение линий так, чтобы точки лежа¬
ли по обе стороны примерно на равных от нее расстояниях.
Равномерные шкалы характерны тем, что расстояния между
делениями равны на всей шкале. Если требуется построить
функцию у = /(х) и масштаб х принят в п раз больше, чем для у,
то это равносильно тому, что переменная х заменена новой
переменной хп, равной пхь и построена функция у = ?(пх). Под¬
писывая деления шкалы величинами х, а не пх, получим график
функции у = /(х).
При построении графика по опытным точкам с целью нахож¬
дения вида формулы, определяющей зависимость между пере¬
менными, можно рекомендовать применять одинаковые масш¬
табы по осям х и у, особенно для тех кривых, вид которых при
различных масштабах искажается. Однако это возможно не
всегда.
Д неравномерным шкалам (рис. 27) относятся логарифмиче¬
ская шкала, шкалы квадратов и кубов чисел, шкалы корней из
чисел и шкала обратных чисел. Кривые, полученные в графике
с равномерной шкалой, могут быть выпрямлены при применении
неравномерной шкалы.
30

ОО -
Г67
о-
Г'7
I 11
т°
0-
1-
г^
1-
Г°
20-
0,25-
-
4-
-
2-
-
10 —
8~
-0,1
/-
2-
-1
5-
-100
3-
3,5-
-10
2-
-0,2
6-
6~
-0,2
-о9з
3-
6-
5~
10—
-2
-3
6~
-200
-300
4-
Ч-,Ц—
5-
5,5-
-20
-30
з-
4-
-0,6
-0,6
3-
7-
5-
2,5-
-0,Ь
-4
-1+00
6-
-^0
6-
-0,8
20—
6,5-
7-
8-
2~
-0,5
-5
8-
-500
7~
-50
9-
10-
-1,0
-0,6
30-
-6
-600
7,5-
-60
60-
8 -
20-
1,5-
^0,7
50-
-7
-700
-70
-1,6
9-
8,5-
30-
1,25-
-0,8
60-
-8
-800
9 -
-80
60-
-1,6
70-
50-
-0,9
80-
-9
-900
9,5-
-90
60-
70-
-1,8
90-
и
80-
1 -
-1,0
100—
-10
10-
^1000
10-
-100
90-
100 Л
-2,0
ч
ч
ч
о
ч
Ч
II
Ч
Рис. 27. Неравномерные шкалы
31

График функции у = 2х2 в прямоугольной системе коорди¬
нат с равномерной шкалой изображает параболу. При примене¬
нии логарифмической шкалы получим прямую линию. Логариф¬
мическая шкала строится для равномерной шкалы от 0 до 1,
представляющей собой у = Так как 0 = 1^ 1 и 1 =	10,
то в начале шкалы пометим 1, а в конце 10. По таблице лога¬
рифмов находим промежуточные значения логарифмов от 1 до
10 и отмечаем все точки делений, соответствующие значениям
1^х, но на каждой отметке пишем значение х. Если длину шка¬
лы принять за единицу, то отсчет 2 поместим в конце отрезка,
отношение которого к длине шкалы равно 1^2 = 0,301; отсчет3,
соответствено, поместим в конце отрезка, отношение которого
к длине шкалы составляет 1^3 = 0,477 и т. д. Эти отсчеты от¬
мечаются крупными штрихами. Каждый отрезок между круп¬
ными штрихами делится средними штрихами, расположенными
так, чтобы отношение расстояния каждого штриха от 1 к длине
шкалы равнялось логарифму того числа, которое соответствова¬
ло бы этому штриху на равномерной шкале. По> такому же прин¬
ципу наносятся мелкие штрихи. Длина логарифмической шкалы
для значений от 1 до 10 называется ее модулем. На рис. 27
построена шкала с модулем, равным 7,5 см. Если длину моду¬
ля уменьшить вдвое, то числа, выражающие длины всех отрез¬
ков, увеличатся вдвое. Например, отрезку определенной длины
соответствовало число' 1^х, теперь отрезку той же длины будет
соответствовать число 21§ х = 1§х2 и отсчет на шкале будет
у = х2. В частности, в конце новой шкалы придется поместить
100, так как 1§ 100 = 2. Отсюда вытекает правило: при уменьше¬
нии модуля шкалы в 2 раза отсчеты заменяются их квадратами,
при уменьшении модуля в 3 раза отсчеты заменяются их куба¬
ми и т. д.
Для определения вида эмпирической зависимости необходи¬
мо иметь образцы графиков различных кривых, вычерченных
в прямоугольных координатах в одном и том же масштабе. Ког¬
да опытная кривая начерчена, надо сравнить ее с графиками
различных элементарных функций. Это подскажет варианты
уравнения, которые надо испробовать.
Для уравнения линейной функции
у = ах + Ь	(8)
можно привести графики с различными значениями постоянных
(рис. 28 и 29). Для того чтобы установить зависимость вида (8)
между величинами х и у, необходимо иметь достаточное коли¬
чество данных наблюдений. Опытные точки (%ь гл), (х2; //2),
(хп; Уп) наносим на график в подходящем масштабе и прово¬
дим прямую линию так, чтобы она прошла через большее их
число и ближе подошла к точкам, которые расположились бы
равномерно над ней и под ней. Постоянная а характеризует
32

наклон прямой по отношению к оси абсцисс и является ее угло¬
вым коэффициентом а = а; постоянная Ь представляет собой
начальное значение функции у при х = 0. Поэтому предвари¬
тельно постоянные могут быть определены графическим методом.
Чаще определение постоянных а и Ь производится решением
двух уравнений, составленных для двух точек на прямой.
гарифмическую сетку. График изобразится прямой линией. Для
уравнения степенной функции вида
У = ахь	(9)
применяется логарифмическая сетка. При этом нет надобности
вычислять логарифмы. Если на осях наносить отсчеты х и у на
логарифмических шкалах, то тем самым будут откладываться
их логарифмы.
Методом интерполяции пользуются для определения прибли¬
женного значения одной величины при любых значениях дру¬
гой. Надо учесть, что интерполировать на логарифмической
сетке значительно труднее, причем точность снижается.
Только один вид уравнения (9) с двумя переменными при
любых положительных значениях постоянной а и любых поло¬
жительных и отрицательных значениях показателя степени Ь
дает прямую линию на логарифмической сетке.
Логарифмируем уравнение \^у = Ь + 1§а. Если обозна¬
чить \^у через у', через / и через а', то получим урав¬
нение прямой у' = Ьх' + а', как результат преобразования
(анаморфозы) уравнения (9). Угловой коэффициент Ь = 1&а,
где а — угол наклона прямой к оси абсцисс. При положитель-
2 Зак. 334	33
ном значении Ь угол а будет острым, считая против часовой
стрелки; при Ь отрицательном — угол а тупой.
Зависимость (9) представляет собой параболическую кри¬
вую при Ь > 0 или гиперболическую кривую при Ь < 0.
Уравнение
у = ахь + с	(10)
представляет собой усложненную форму уравнения (9); эта па¬
раболическая или гиперболическая кривая находится легко, ес-
Рис. 30.
Уравнение у = хь
ли показатель о можно вы¬
брать заранее.
По характеру кривых, полу¬
ченных в эксперименте, подоб¬
ные кривые помогут подобрать
вид уравнения с двумя пере¬
менными. Эти графики с рав¬
номерной шкалой показаны на
рис. 30—34; с логарифмиче¬
ской шкалой — на рис. 35 и 36.
В графике (рис. 30) все кри¬
вые пересекаются в одной точ¬
ке с кординатами х = 1 и у =
= 1; при Ь = 1 кривая у = хь
превращается в прямую линию.
Аналогично, на рис. 31 все кри¬
вые проходят через точки с ко¬
ординатами х = 1 и у = 3, а
при Ь = 1 кривая у = Зхъ ста¬
новится прямой. Такие же яв¬
ления имеют место в графиках,
изображенных на рис. 33 и 34.
Вид кривой может сильно
измениться при изменении чи¬
словых значений параметров ее уравнения. Так, для степенной
функции (9) при Ь положительном и большем единицы имеем
параболу, симметричную относительно оси ординат; при Ь поло¬
жительном, но меньшем единицы получим параболу, симметрич¬
ную относительно оси абсцисс; наконец, при Ь отрицательном
получим гиперболу (рис. 31 и 34).
Другая группа кривых относится к показательным и лога¬
рифмическим функциям.
Уравнение показательной функции имеет вид
у = ьх.
(П)
При положительном значении постоянной Ь функция у > 0,
все кривые проходят через точку х = 0 и у = 1. Ось абсцисс яв¬
ляется асимптотой (рис. 37).
34

Построение графика показательной функции вида
у = аЬх	(12)
по опытным данным выполняют на полулогарифмической сетке,
применяя для х равномерную шкалу, а для у — логарифмиче¬
скую.
Рис. 31. Уравнение у = Зхъ
Рис. 32. Уравнение у = 2х2 + Ь
Рис. 33. Уравнение у = ах2 + 5
Если у = Ьх, то х = 1о§ь//. Получим логарифмическую функ¬
цию, которую после замены мест переменных можно записать
у = 1о§ь х, т. е. логарифм числа х по основанию Ь (рис. 38).
График логарифмической функции получается из графика
показательной функции простым поворотом вследствие того, что
показательная и логарифмическая функция являются взаимно
обратными.
35
2*

36

Логарифмы чисел, взятых по одному основанию а, получа¬
ются из логарифмов тех же чисел, но по другому основанию Ъ
путем умножения на постоянный множитель
поэтому соответственные ординаты
рис. 38 пропорциональны.
любых двух кривых на
Целый ряд данных наблюдений в различных областях науки
и техники можно выразить логарифмической формулой
у = аеЬх,
(13)
где е — основание натуральных логарифмов.
Все кривые, выражаемые этой формулой, проходят не через
начало координат, а через некоторую точку с координатами
х = 0 и у = а. Кривые типа гиперболы по уравнению
<14>
ох + Ь
также находят применение в различных областях техники
(рис. 39—42). Убедиться в том, что полученные эксперимен¬
тальные данные вписываются в эту формулу, можно следующим
образом. Преобразуем уравнение (14)
1	Ъ ,
— —	р а.
У	X
~ / 1 1 \
Если кривая ( —; — , построенная по опытным данным,
\ х у /
представляет собой прямую, то эту экспериментальную зависи¬
мость можно выразить формулой (14).
37

В тех случаях, когда невозможно найти эмпирическую фор¬
мулу с одной или двумя постоянными, переходят к формуле с
тремя постоянными. В качестве примера приведем уравнение па¬
раболического вида
у = ах2 + Ъх + с	(15)
и графики (рис. 43).
Для определения постоянных а, Ь и с надо иметь уравнения
ний с двумя переменными, задавшись определенными значения¬
ми одной из переменных. Графики их с равномерными шкалами
дают семейство кривых или прямых линий. Затем задаются оп¬
ределенными значениями другой переменной и снова строят
графики. Сопоставление этих графиков позволяет сделать вы¬
воды. Сравнение характера линий семейств по двум переменным
дает возможность подобрать вид эмпирической формулы. При
этом нужно иметь в виду следующее:
а)	обе переменные должны входить в числитель искомого
уравнения в первой степени, если семейства линий по обеим пе¬
ременным состоят из одних прямых;
б)	одна переменная войдет в числитель в первой степени, а
вторая переменная — в знаменатель в степени выше первой или
в первой, если семейства линий по первой переменной состоят
из прямых, а по второй — из кривых;
38

в)	обе переменные войдут в знаменатель в первой или более
высокой степени, если семейства линий по обеим переменным
состоят из кривых.
В целях усовершенствования графического метода построе¬
ния эмпирических зависимостей, связывающих три и более пе¬
ременных, П. С. Зак предложил способ контрольных простран¬
ственных сечений [28]. Если число опытных точек невелико и они
находятся в такой взаимосвязи,
что совокупность их не дает пол¬
ного представления о пути эмпи¬
рической кривой, то применение
этого способа обеспечивает хоро¬
ший результат. Он повышает точ¬
ность выявления закономерно¬
стей при ограниченном числе на¬
блюдений.
Если каждая из п кривых име¬
ет для своего обоснования только
к точек, то положение поверхно¬
сти, представляющей геометриче¬
ское место всего семейства кри¬
вых, определяется по кп точкам.
При графической обработке
опытных данных зависимость
/(х, у,х) =0 можно рассматри¬
вать как уравнение поверхности
в трехмерном пространстве х, у, 2
(рис. 44, а). Тогда для проверки
закономерности взаимного распо¬
ложения кривых у = <р(х) при
2 = сопз! (рис. 44, б) в качестве
Рис. 43. Уравнение: 1) у = х2 +
+ 2х + 4; 2) у = —0,1 х2 + х +
+ 10;	3) у = 0,5х2 — Зх + 9;
4) у = 0,1х2 + 0,5х + 5; 5) у =
= -—0,1 х2 — 0,8х + 14; 6) у =
= 2х2 — 2,5х + 1
контрольных сечений можно ис¬
пользовать сечения поверхностных, у, 2) = 0 плоскостями х
= сопз!. Это равносильно построению семейства кривых у =
= ср(г); х= сопз! (рис. 44, в). Картина сечений поверхности
плоскостями позволяет устранить точки, выпавшие из каждой
кривой у = Ф(х), по трем-четырем соседним точкам, а также уст¬
ранить нарушение закономерности при переходе от одного зна¬
чения переменной 2 к другому, т. е. между кривыми у = <р(х).
Этот способ может быть использован и при обработке рас¬
четных данных для устранения случайных погрешностей, а так¬
же для повышения точности построения графиков по ограничен¬
ному числу данных наблюдений.
Определение постоянных и коэффициентов. Положим, что
вид эмпирической зависимости тем или иным способом установ¬
лен и требуется лишь определить значения постоянных и коэф¬
фициентов а, Ь, с, ..., входящих в эмпирическую формулу. Для
39
определения значений постоянных и коэффициентов применяют
следующие методы:
1.	Метод избранных точек, который заключается в том, что
постоянные и коэффициенты находятся путем выбора двух или
нескольких точек в зависимости от числа постоянных, наиболее
хорошо совпадающих с кривой (прямой) и решения для них со¬
ответствующего числа уравнений.
2.	Метод средних. Он состоит в том, что постоянные и коэффи¬
циенты определяются таким образом, чтобы алгебраическая сум¬
ма всех расхождений между действительным положением точек
Рис. 44. Схема получения семейств кривых:
а — поверхность /(х, у, г) = 0; б — семейство кривых у = ф(х);
г — сова!: в — семейство кривых у = ф(г), х — сопв!
и определенным по формуле была бы близка к нулю, а в лучшем
случае равна ему.
3.	Метод наименьших квадратов. Метод основан на нахожде¬
нии минимума суммы квадратов разностей между действитель¬
ными и вычисленными значениями функции.
Если необходима большая точность результатов при обработ¬
ке опытных данных, то применяют метод наименьших квадратов,
хотя он отличается значительно большей сложностью, чем метод
средних. Метод средних проще и в ряде случаев является пред¬
почтительным. Метод избранных точек не свободен от элемен¬
тов случайности и субъективного подхода исполнителя.
5.	ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПЛАНОВЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
И УЧЕТНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ
То, что было сказано выше об особенностях построения гра¬
фиков, применяется также при планировании, учете и в статисти¬
ке машиностроения.
40

В статистико-экономических графиках применяются полуло¬
гарифмические и вариационные сетки.
Если на равномерной сетке одинаковый наклон кривых обоз¬
начает равномерный прирост в единицу времени, то одинаковый
наклон прямых на полулогарифмической сетке показывает уве¬
личение переменной в одно и то же число раз, т. е. указывает на
одинаковый темп роста.
Графики на полулогарифмической сетке применяются для оп¬
ределения темпа роста и относительных колебаний без пересче¬
та в проценты, независимо от наименования и уровня этих ве¬
личин.
Полулогарифмическая сетка удобна для анализа динамики
структуры, например, себестоимости по элементам, сметы по
статьям, или продукции предприятия по ассортименту. Аналогич¬
ным образом можно построить динамику «геометрической струк¬
туры», определяющей соотношение между произведением и мно¬
жителями. Например, стоимость материала можно определить по
элементам структуры — заданному весу, цене и др.
При разработке диаграмм для наглядного восприятия абсо¬
лютных величин и их разностей полулогарифмическая схема не¬
пригодна; здесь нужна равномерная сетка. Анализ кумулятив¬
ных кривых нарастающих итогов на полулогарифмической сетке
также нецелесообразен ввиду тдго, что кумуляты в равномерной
сетке имеют вид, более близкий к прямой, нежели в полулога¬
рифмической.
Вариационная сетка В. М. Турбина применяется для сравне¬
ния эмпирических и нормальных кривых, а также для определе¬
ния средней арифметической и среднего квадратичного отклоне¬
ния при статистическом контроле качества продукции. На вари¬
ационной сетке нормальная кривая анаморфируется в прямую,
что значительно облегчает сравнение двух рядов.
Составление графиков связано прежде всего с их композици¬
ей, что определяется назначением. Различают графики: иллюст¬
ративные, информационные, оперативные, аналитические и рас¬
четные.
Иллюстративные графики поясняют излагаемую мысль.
Информационные графики передают фактические данные и
требуют строгого подбора фактов и предварительного анализа.
Оперативные графики должны обладать подвижной и гибкой
формой, допускающей включение и исключение отдельных
записей.
Аналитические графики требуют применения математического
аппарата и сопоставления используемого материала.
Расчетные графики в основном представляют собой номо¬
граммы.
Оформление любого графика должно отличаться простотой,
ясностью и доходчивостью. График должен обладать наиболь-
41
шей полнотой содержания, поэтому наиболее сложные графики
прорабатываются в нескольких вариантах.
Чтение графика связано с представлением смыслового зна¬
чения характера очертания ‘кривых. Рассмотрим два примера.
Расчет оптимального размера партии деталей в серийном произ¬
водстве приводит к составлению графика (рис. 45). Производст¬
во партии деталей на каждом рабочем месте связано с перена¬
ладкой станка. Поэтому, чем больше размеры партий, тем боль¬
ше периоды между переналадками. Таким образом, размеры
Рис. 45. Расчет наивыгоднейшей
величины &0 партии деталей в се¬
рийном производстве:
а — затраты по переналадке; б — по¬
тери от связанных оборотных средств;
в — сумма затрат и потерь
Рис. 46. Себестоимость годовой
продукции трех вариантов опера¬
ций:
а, б, в — варианты операций
партий влияют на экономические показатели производства. Наи¬
выгоднейшая величина партии соответствует наименьшей сумме
затрат и потерь.
Организация технической подготовки производства требует
проведения сравнительной оценки технологических вариантов с
точки зрения их влияния на себестоимость продукции. В качест¬
ве примера приведем график одного из наиболее часто встреча¬
ющихся случаев определения пределов годового выпуска при ми¬
нимальной себестоимости для каждого из трех сравниваемых
вариантов операции (рис. 46). Из графика видно, что при объе¬
ме годового выпуска кг < к2 следует применить вариант а, при
кг > к2— варианте.
Рассмотрим основные виды применяемых графических по¬
строений.
Хронологические графики (хронограммы) изображают распо¬
ложение и длительность процессов во времени. Эти графики
строят с равномерными шкалами. Допускаются разрывы шкал с
разными масштабами для отдельных участков. При составлении
42

графика текущее рабочее время распределяют на основную ра¬
боту, вспомогательную работу, простои во время работы и пе¬
рерывы, обозначая их условными знаками. Длительность собы¬
тий обычно обозначают отрезками горизонтальных линий. На-
Рис. 47. График для расчета заданий цехам при серийном производстве:
а — выпуск заготовительного цеха; б и в — запуск и выпуск механического цеха;
г и д — запуск и выпуск сборочного цеха
Операции
Время в мин
Станки
$
§
§1
§
в
А
Б
Подготовитель -
ное время
—1
Заключительное
время
।
9
—
Вспомогательное
время
।
п
1 1
п
п
11
п
1
А
п
1 1
П
| |
51
42
Машинное время
с
н
] 4*1
н
п
л
-•
-
-
г--
1 1
1
375
395
1
Установка
и снятие детали
1
с
Б'
1
1
д7
32
Обслуживание
рабочего места
-ь
1
1.
13
11
Ц и к л
иьо
480
Рис. 48. График совмещения работы двух станков в течение смены
клонными линиями обозначают работу движения. Общеизвестны
хронограммы железнодорожного движения, которые являются
диспетчерскими железнодорожными графиками.
При оперативном планировании серийного производства со¬
ставляется хронологический график для расчета заданий цехам
(рис. 47).
43

Расчет цикла многостаночной работы заканчивается составле¬
нием хронологического графика совмещения работы станков
(рис. 48). Здесь при мелкосерийном производстве типичны мно¬
гопереходные операции, для которых за цикл принята смена.
Пункты
погрузки
и разгрузки
Путь приема
Склад угля
Склад срормовочных
материалов
Склад металла
Склад готовой
продукции
Утильце\
Склад леса
Склад строитель¬
ных материалов
Путь сдачи
Часы
Рис. 49. Диспетчерский график по вагонам МПС и погрузочно-
разгрузочным работам (цифрами обозначено количество
вагонов)
Рис. 50. Сменный график работы двух электрокаров по меж¬
цеховым перевозкам при кольцевом маршруте
Внутризаводские железнодорожные перевозки и погрузочно-
разгрузочные работы находятся под контролем диспетчера и
фиксируются в графике. По вагонам МПС ведется отдельный
график (рис. 49).
По ежедневным перевозкам электрокарами составляется
сменный график при кольцевой маршрутной системе (рис. 50).
Диаграммы сравнения предназначены для сопоставления ана¬
лизируемых данных. Величины, сравниваемые между собой,
44

можно выразить прямыми линиями или столбиками от одной
базы. Столбики могут быть расположены вертикально или гори¬
зонтально.
Столбиковые диаграммы широко применяются при оператив¬
ном учете в диспетчерской службе, при материальном учете на
складе завода или при учете хода производства и т. п.
Показатели хозяйственной дея¬
тельности группы предприятий мо¬
гут быть сопоставлены путем срав¬
нения столбиковых диаграмм, вы¬
полненных в одном масштабе
(рис. 51).
Контрольно-плановые графики
предназначены для сопоставления
плана с его выполнением по основ¬
ным элементам — срокам, количест¬
ву, качеству и др. Графики этого ви¬
да отражают состояние выполнения
плана лишь на данный момент.
Контроль выполнения сроков осу¬
ществляется с помощью обычных
хронограмм, рассмотренных выше.
Однако хронограммы не дают отве¬
та на вопрос о количестве, выпол¬
ненном на данный момент. Для хо¬
зяйственника же важно знать, вы¬
полнено ли заданное количество к
сроку и насколько предприятие опе¬
режает или отстает от него.
В койтрольно-плановом графике
план и выполнение изображаются
отдельными линиями (полосами),
причем на линии выполнения указа¬
но выполнение в процентах на каж¬
деятельности предприятий по
ряду показателей
дый рассматриваемый момент. В ка¬
честве примера приведем сводный график подготовки серийного
производства нового изделия (рис. 52). Первый этап охватывает
разработку конструкции, технологическую подготовку, изготов¬
ление и испытание опытного образца. Во втором этапе произво¬
дится корректирование чертежей изделия, технологическая под¬
готовка серийного производства, изготовление опытной серии,
отладка процесса и оснащения.
На основании сводного графика составляются аналогичные
дифференцированные графики для каждого подразделения, уча¬
ствующего в работах по освоению производства нового изделия.
Графики временных рядов, как динамических, так и хроноло¬
гических, находят широкое применение в плановой и учетно-
45
статистической работе предприятий. Различают временные ряды
моментные и интервальные. К моментным рядам относятся, на¬
пример, нарастающий итог готовых изделий, наличие материа¬
лов на складе на каждое число и др. В интервальных рядах зна¬
чение отдельных членов относится к периоду. Так, выпуск про¬
дукции предприятием по месяцам определенного года есть ин¬
тервальный ряд.
Наименование
работ
Испол¬
нители
Объем
работ
Месяцы и декады
I
И
III
IV
V
VI
VII
УШ
IX
X
XI
ХП
7
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
К онструкторские
работы
ОГК
325
чертежей
Технологическая
подготовка
ОГТ
60 при¬
способле¬
ний и 80
инструк¬
ций
Производственная
подготовка
и выпуск опытного
изделия
Цехи
3 ком¬
плекта
Подготовка серий¬
ного производства
1-й серии
ПХдО п
тзо'лзо
350 ком¬
плектов
и 30
единиц
I
I
Выпуск
2 -й серии
Цехи
250 ком¬
плектов
иЗО
единиц
Рис. 52. Сводный график технической подготовки серийного производства
нового изделия:
I |	— план; Ц — выполнение
Если графическим выражением моментных рядов является
кривая, то интервальные ряды преимущественно изображаются
ломаной линией. Каждая точка кривой моментного ряда соответ¬
ствует определенному числовому значению в заданный момент
времени. В ломаной линии интервального ряда реальное значе¬
ние имеют только некоторые точки, отнесенные к определенным
периодам; промежуточные точки не имеют смысла. Поэтому ин¬
терполировать по этой ломаной линии не следует.
Кривую нарастающих итогов называют кумулятивной кривой
(кумулятой). В основе ее лежит моментный ряд. Кумулята при¬
меняется для контроля выполнения производственного и финан¬
сового планов. По ней можно судить как об общей сумме про¬
дукции на данный момент, так и о продукции, изготовленной за
определенный период, так как превышение последующей точки
над предыдущей, а следовательно, и величина подъема кривой
дает выполнение за этот период. Кумулятивная кривая выпуска
46

продукции непрерывна, начинается от нуля и по ней можно ин¬
терполировать любые ее точки. Кумулята может начинаться не
с нуля, а с какой-нибудь значащей величины, если, например, при
контроле выпуска машин учитывается задел.
Оперативное планирование производства органически связа¬
но с непрерывным систематическим диспетчерским контролем
выполнения плана и является одним из примеров социалистиче-
Рис. 53. График выпуска машин по стадиям изготовления
с учетом заделов:
а — подача узлов на сборку; б — начало сборки; в — конец сборки;
г — испытание и исправление; д — начало отделки; е — конец
отделки; ж — отправка; и — план отправки
ского планирования. При непрерывном выпуске изделий постоян¬
ной номенклатуры учет нарастающих итогов с начала месяца в
абсолютном исчислении и в процентах выполняется посменно
или по часам. Весьма нагляден учет при помощи линейного гра¬
фика с кривыми нарастающего ежедневного выпуска и линией
планового выпуска. Приведем пример графика выпуска изделий,
отражающий последовательно ход выполнения и состояние за¬
делов по стадиям изготовления (рис. 53). На оси ординат графи¬
ка с начала месяца откладывается в приведенных показателях
количество изделий, имеющихся в заделе по стадиям изготовле¬
ния. От полученных точек строятся линии нарастающих итогов
по каждой стадии. Расстояния между линиями по вертикали по¬
казывают наличие изделий в заделе.
47

Подвижная средняя и подвижной итог. При экономическом
анализе выполнения по валовой продукции, по числу рабочих, по
производительности труда, по браку и себестоимости в сопостав¬
лении с показателями предыдущего года прибегают к составле¬
нию графиков кривых подвижной средней и подвижного итога.
Если первичный моментный ряд может принимать как поло¬
жительные, так и отрицательные значения, то кумулятивная
кривая не останется монотонной, а будет иметь резкие колеба-
М е ся цы
Рис. 54. График выпуска продукции предприятия:
а — подвижной итог; б — подвижная средняя; в — ежемесячный
выпуск продукции
ния около постоянного уровня или около прямой постоянного
роста. Это мешает восприятию общего направления кривой. Для
выявления общей тенденции временного ряда необходимо сгла¬
дить его кривую. Применяемая иногда с этой целью средняя ме¬
сячная по данным кварталов вместо месячных данных уменьша¬
ет число точек, а потому ведет к снижению точности кривой.
Метод подвижного итога и подвижной средней приводит к
сглаживанию кривой, сохраняя ее гибкость. Подвижным итогом
считают итог определенного числа членов ряда, взятых последо¬
вательно. Каждый следующий итог равен предыдущему за выче¬
том -одного члена слева и прибавлением одного члена справа.
Подвижная средняя является частным от деления каждого
подвижного итога на число членов ряда, вошедших в подвижной
итог. Деление подвижных итогов на -одно и то же число графи-
48

чески равносильно уменьшению масштабной шкалы. Таким об¬
разом, имея сопряженную шкалу ординат, можно на одном и
том же графике иметь кривые подвижных итогов и подвижных
средних. По существу это одна и та же кривая, дважды вычер¬
ченная со сдвигом, так как точки подвижных итогов наносятся
на ординате последнего члена, вошедшего в каждый подвижной
итог, а точки подвижных средних наносятся на ординатах сред¬
них членов каждого подвижного итога (рис. 54).
Введением дополнительной шкалы, например шкалы процен¬
тов к плану или к условному уровню, можно сделать график бо¬
лее содержательным.

ГЛАВА
II
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
РАСКРОЯ И РАЗМЕТКИ
6.	РАСКРОЙ МАТЕРИАЛА
Холодная штамповка получила широкое распространение во
всех областях машиностроения. По сравнению с литыми или го¬
рячештампованными заготовки деталей машин, полученные хо¬
лодной штамповкой, по своим конструктивным формам и раз¬
мерам более приближаются к готовым деталям ийи точно со¬
ответствуют им.
Отходы при холодной штамповке составляют в среднем 20—
30%, Потери материала при раскрое зависят от формы детали,
Рис. 55. Заготовка ка¬
бельного наконечника:
а — старый раскрой с от¬
ходом; б — новый безот¬
ходный раскрой
от некратности размеров листов и
полос и от величины неиспользован¬
ных отходов. Перемычки, припуски
на заготовку и прижимные фланцы
Рис. 56. Заготовка планки:
а — старый раскрой; б — новый раскрой
при вытяжке, а также припуск для шаговых ножей образуют
технологические потери.
Особая роль в экономии материалов 'принадлежит конструк¬
торам, в задачи которых входит разработка совместно с техноло¬
гами штампованных деталей безотходных и малоотходны-х кон¬
фигураций (рис. 55 и 56). Разработка конфигурации деталей
для безотходного раскроя решается графическим путем. При та¬
ком способе раскроя отход материала получается только за
счет вырубки отверстий в деталях, а производительность штам-
50

па увеличивается вдвое, так как одним пуансоном за каждый
удар вырубаются две детали.
Потери на некратности листа возникают вследствие несовпа¬
дения длины или ширины листа и суммы линейных размеров
деталей, размещаемых на этом листе. Уменьшение отходов от
некратности достигается подбором и размещением на одном ли¬
сте таких деталей, для которых сумма размеров по длине макси¬
мально приближается к размерам листа.
Организация централизованного раскроя дает возможность на
одном листе размещать детали различной формы для наиболее
полного использования площади листа и завозить листы с таки¬
ми стандартными размерами, которые дают наименьшие отходы.
Рис. 57. Раскрой круглых заготовок:
а — параллельное расположение с перемычками; б — шахматное рас¬
положение с перемычками; в — раскрой без перемычек
Раскрой круглых заготовок деталей одного диаметра может
быть выполнен с параллельным и шахматным расположением
(рис. 57, а, б). Коэффициент использования материала увеличи¬
вается при шахматном расположении круглых заготовок. При
раскрое с рассечкой без перемычек (рис. 57, в) коэффициент ис¬
пользования материала также увеличивается.
Для раскроя листового материала иногда применяют способ
раскладки на листе вырезанных из картона заготовок. Этот спо¬
соб достаточно нагляден, но требует значительной затраты вре¬
мени и не обеспечивает получения наилучшего результата. Рас¬
четные методы рационального раскроя дают обоснованное ре¬
шение, но требуют довольно громоздких вычислений ряда вари¬
антов, которые сопровождаются вычерчиванием эскизов раскроя.
Графический способ раскроя значительно быстрее ведет к
цели. Раскрой выполняется на миллиметровой бумаге в масшта¬
бе 1 :2, 1 : 5 или 1 : 10 в зависимости от размеров заготовок. Рас¬
крой листа на прямоугольные заготовки встречается наиболее
часто. Для заготовок средних и малых размеров, которые поме¬
щаются по длине и ширине листа по несколько раз, производят
размерную разметку по той и другой стороне листа, причем с
каждой стороны размечают длину и ширину заготовки (рис. 58).
Встречное направление разметки, указанное стрелками, позволя¬
ет найти рациональное решение.
51

На шкале СО находят совпадающие или близко расположен¬
ные деления в точке В. Если, например, производится раскрой
листа с размерами 1420 X 710 мм на прямоугольные заготовки с
размерами 150 X 85 мм, то ширина отхода = 1420— (900 +
+ 510) = 10 мм. По шкале ЕВ деления совпадают в точке А. Ши¬
рина отхода е2 = 710— (450 + 255) = 5 мм.
Разрезка всей партии листов по упору производится сначала
по линии АА, затем по линии ВВ. После этого листы разрезают¬
ся на полосы шириной 85 мм и на заготовки длиной 150 мм.
Графический способ раскроя позволяет одновременно прора¬
ботать несколько вариантов раскроя на одном и том же эскизе
и по сравнению с аналитическим расчетом значительно ускоряет
выбор наиболее подходящего варианта.
Раскрой полосового и круглого проката, а также труб с уче¬
том припусков на отрезку и обработку также производится гра¬
фически с размерной разметкой шкал, исходя из осевых разме¬
ров заготовок различных деталей.
Практика показывает, что.при раскрое мелких деталей вы¬
годнее иметь немерный прокат. Отходы получаются небольшие,
и потребитель проката не платит за мерность. При длине заго¬
товки 0,5 м и более и при использовании легированной стали ну¬
жен мерный прокат.
7.	РАЗМЕТКА ДЕТАЛЕЙ МАШИН
В машиностроении одной из операций технологического про¬
цесса обработки металлов является разметка. В индивидуаль¬
ном и мелкосерийном производстве разметкой указываются гра¬
ницы обработки поверхностей деталей машин, фиксируется по-
52
ложение осей симметрии и центров отверстий и проверяется со¬
ответствие заготовок размерам чертежа.
Тяжелые заготовки с большими габаритными размерами раз¬
мечаются до установки на станок для обработки.
В крупносерийном и массовом производстве разметка приме¬
няется при изготовлении шаблонов, приспособлений, штампов^
моделей и прочей оснастки произ¬
водства.
При разметке приходится
иметь дело с прямыми и кривы¬
ми линиями, с геометрическими
фигурами и производить геомет¬
рические построения для графиче¬
ского решения возникающих за¬
дач.
Деление отрезка прямой на
две равные части. При разметке
эта операция производится по¬
строением перпендикуляра (рис.
59). Точка Е делит отрезок ОХО2
на две равные части. Если одна
из точек А или В окажется за
пределами плоскости, то из цент¬
ров 01 и 02 засекаем одним и тем
же радиусом новые центры 03 и О
которые проходит перпендикуляр
Рис. 59. Деление отрезки пополам
построением перпендикуляра
’4 и находим точки С и О, через
АВ.
Построение перпендикуляра в конечной точке прямой.
1-й с п о с о б. Для построения перпендикуляра в конечной точ¬
ке А прямой АВ из произвольной точки О радиусом ОА описы¬
ваем дугу САО и проводим прямую через точки С и О до встречи
с дугой в точке О, которая лежит на перпендикуляре ОА
(рис. 60,а).
2-й способ предусматривает использование произвольной
точки Ох на заданной прямой АВ. Одним и тем же радиусом ОХА
описываем дуги О1О2Оз из центра Л, АО2 из центра О\ и О3С из
центра О2. Из центра О3 тем же радиусом засекаем точку С, ко¬
торая лежит на перпендикуляре АС (рис. 60,6).
Построение перпендикуляра в точке С к прямой АВ, которую
нельзя продолжить. Из произвольных центров 01 и О2 на прямой
АВ описываем дуги через заданную точку С. Дуги пересекаются
в точках С и О, через которые проходит искомый перпендикуляр
(рис. 61).
Построение параллельных прямых линий. Первая задача.
Через заданную точку С провести прямую, парллельную пря¬
мой АВ.
1-й способ. На прямой АВ из произвольной точки О1 опи¬
сываем дугу 02СО03 радиусом 0{С. Из центра О3 радиусом
53

02С засекаем точку 79, которая вместе с точкой С определяет
положение искомой прямой СО (рис. 62, а).
Построение
Рис. 60.
перпендикуляра в
а
нечной точке А прямой:
— 1-й способ; б — 2-й способ
ко- Рис. 61. Построение перпен¬
дикуляра к прямой АВ че¬
рез заданную точку С
2-й способ. Заданную точку
С
вольной точкой О2, расположенной
соединяем прямой с произ-
на прямой АВ. Из другой
произвольной точки 01 на прямой АВ проводим дугу радиусом
О2С, а из точки С — дугу радиу¬
сом О1О2. Пересечение этих дуг
дает вторую точку 79 искомой пря¬
мой (рис. 62, б).
Рис. 62. Построение парал¬
лельной прямой через за¬
данную точку С:
а — 1-й способ; б — 2-й способ
Рис. 63. Построение параллельной прямой
на заданном расстоянии
Вторая задача. Провести прямую, параллельную прямой АВ,
на заданном расстоянии Н (рис. 63). Из произвольных точек 01
и О2 на прямой АВ радиусом, равным Н, описываем дуги, каса¬
тельная к которым является искомой прямой., Но провести ка¬
сательную с требуемой точностью труднее, чем. провести прямую
через две известные точки. Поэтому из точек Ох и О2 восставим
перпендикуляры до встречи с дугами в точках С и 79, которые
являются точками искомой прямой. Для того чтобы восставить
54

перпендикуляры из точек 01 и 02, засекаем на прямой АВ точки
С, Р, С и К и произвольным радиусом засекаем точки М и П.
Деление отрезка прямой на части. На прямой АВ требуется
разделить отрезок А7 на семь равных частей (рис. 64). Прово¬
дим под произвольным острым углом к прямой АВ прямую АС,
на которой от точки А отложим семь равных отрезков А1', Г2',
2'3'и т. д. Точку 7х соединяем с точкой 7 и через все остальные
точки деления прямой АС проводим прямые, параллельные отрез¬
ку 7'7, до встречи с прямой АВ в точках /, 2, 3 и т. д., которые
делят отрезок А7 на заданное число равных частей.
Построение можно применить не только для деления отрезка
-	что заданный отрезок требуется
на равные части. Допуст
разделить на пропорцио¬
нальные части. На пря¬
мой АС в данном случае
отложим не равные части,
а такие, длины которых
относятся между собой
так же, как искомые час¬
ти отрезка АВ.
Построение и деление
углов.
Первая задача. По¬
строить углы 30; 45 и 60°.
На вертикальной прямой
Рис. 64. Деление отрезка прямой на равные
части
АВ из точек А и В описываем дуги радиусом, равным АВ. Через
точки С и О пересечения дуг проводим перпендикулярную к АВ
прямую СО. Из точки О описываем дугу ВЕ радиусом 05 и со¬
единяем прямыми точки А и С, В и Е. Тогда получим угол АСО,
равный 30°, угол ВЕО, равный 45°, и угол ОЛС, равный 60°
(рис. 65).
Вторая задача. Разделить данный угол на две равные части,
т. е. построить биссектрису угла при наличии на чертеже верши¬
ны угла. Из вершины О описываем произвольным радиусом дугу,
которая засечет на сторонах угла точки А и В. Из этих точек ду¬
говыми засечками находим точку С, лежащую на биссектрисе
(рис. 66).
Третья задача. Провести биссектрису угла с недоступной вер¬
шиной.
1-й способ. В произвольных точках Н, К, М и И сторон СО
и АВ угла восставим перпендикуляры и отложим на них одина¬
ковые отрезки, равные радиусу Т?2 (рис. 67). Через полученные
точки проводим стороны ОЕ и ОС угла ЕОС, который разделим
пополам, проведя биссектрису ОР.
2-й способ. К стороне АВ угла в произвольной точке Е вос¬
ставим перпендикуляр ЕР (рис. 68). В точке Р восставим
перпендикуляр к стороне СО угла. Полученный построением угол
55

Рис. 66. Деление угла биссектрисой
56

ЕРО равен заданному углу, вершина которого недоступна. Из
построения следует, что биссектриса РН угла ЕРС перпендику¬
лярна к искомой биссектрисе Л7И, которую находим известным
приемом.
Четвертая задача. Разделить прямой угол на три равные ча¬
сти. Из вершины О угла АОВ произвольным радиусом опи¬
сываем дугу и находим точки А и В, из которых тем же радиусом
проводим дуги ОО и ОС (рис. 69). Через точки С и О из вер¬
шины проводим лучи, которые делят прямой угол на три равные
части.
Пятая задача. Построить угловой масштаб для разметки уг¬
лов. Для разметки углов и наклонных линий предпочитают поль¬
зоваться угловым масштабом, так как он позволяет получить
Рис. 70. Построение углового мас¬
штаба
разметку точнее, чем с помощью транспортира. Угловой мас¬
штаб, построенный для дуги с радиусом 7? = 600 мм, дает длины
хорд для углов до 90° при дуге 7? = 600 мм (рис. 70). Из центра
О описываем дугу АВ радиусом 7? = 600 мм и наносим деления
от 0 до 90°. Эти деления сносим на угловой масштаб АО по дугам
концентрических окружностей с центром в точке А. Если, напри¬
мер, требуется построить угол 40°, то проводим горизонтальную
прямую ОА, равную 7? = 600 мм, описываем дугу АС, на которой
засекаем по угловому масштабу хорду, соответствующую углу
40°, и проводим вторую сторону ОС искомого угла.
Построение элементов окружности. Первая задача. Постро¬
ить точки дуги окружности с недоступным центром по данным
хорде СО и ее стрелке АВ.
1-й способ. Проводим касательную к окружности в точке А
параллельно хорде СО, прямую АО и под прямым углом к ней —
отрезок ОР до встречи с касательной. Под прямым углом к хор-
57
де проводим отрезок ОК. Каждый из отрезков АР, ВБ и ОК де¬
лим на четыре равные части. Пересечения лучей, соединяющих
точки деления, как показано на рис. 71, дают искомые точки
дуги окружности. Из правой части чертежа точки деления от¬
резков ВС, АЕ и СЕ переносим в левую часть.
2-й способ. В отличие от первого способа здесь построение
производится одновременно в правой и в левой части. Вершину
А стрелки АВ соединяем прямыми с точками С и О (рис. 72). Из
Рис. 72. Построение точек дуги окружности с недоступным
центром (2-й способ)
точки А радиусом равным отрезку АВ, описываем дугу
КЕРМ. Из точек К и М радиусом равным отрезку ВК = ВМ,
засекаем точки Е и Р, которые соединяем прямыми с точкой А.
Каждый из отрезков АВ, АЕ и АР делим на четыре равные части.
Искомые точки окружности находятся на пересечении лучей,
проведенных из точек С и О через точки деления этих отрезков.
Вторая задача. Построить дугу окружности по трем заданным
точкам А, В и С при недоступном центре. Из крайних точек А и
С радиусом, равным длине хорды АС, описываем дуги А О и СО
58

(рис. 73). Через заданную среднюю точку В до встречи с этими
дугами в точках С1 и Аг наносим лучи АА{ и СС{. Отрезки дуг
АС1 и СА1 делим на пять равных частей. Эти деления продолжим
на участках дуг С^О и А^Э и соединяем лучами крайние задан¬
ные точки А и С со всеми точ¬
ками деления вспомогательных
дуг. Искомые точки дуги ок¬
ружности находятся на пересе¬
чении лучей 1А и /С, 2А и 2С,
ЗА и ЗС и т. д.
Третья задача. Определить
положение центра окружности,
заданной дугой. Заданную дугу
МЫ делим на две части в точ¬
ке К и проводим хорды МК и
КЫ (рис. 74). Пересечение
перпендикуляров АВ и СО,
восставленных к хордам, оп¬
ределит положение центра О
окружности.
Рис. 73. Построение дуги окруж¬
ности по трем заданным точкам
Если точки А и С окажутся за пределами детали, то построе¬
ние ведется по другой схеме (рис. 75). На данной окружности
(или дуге) выбираем две произвольные точки Л и В, из которых
ГОЙ	ности
радиусом 7?1 засекаем точки /, 2, 5, и 4. Из этих точек радиусом
/?2 засекаем точки С и О, которые определяют положение ради¬
альных лучей АС и ВО, пересекающихся в центре О окружности.
Радиусы и Т?2 берутся произвольной величины.
В производственной практике для быстрой разметки центра
окружности применяют центроискатели различной конструкции.
59

Четвертая задача. Найти стрелку дуги по заданной точке и
хорде окружности с недоступным центром. Заданную точку Р1,
лежащую на дуге окружности, соединяем прямыми с крайними
точками С и О хорды (рис. 76). Радиусом равным отрезку
О1\/, засекаем на прямой С^ точку К. Соединив ее с точкой I),
получим угол КО1У. В средней точке хорды СО восставляем пер¬
пендикуляр и строим угол ЕОР, который на основании подобия
равнобедренных треугольников К^О и СРВ равен углу КОЫ.
Тогда сторона ОР построенного угла пересечет перпендикуляр
в точке Р, являющейся вершиной стрелки ЕР. Зная хорду и стрел¬
ку, можно найти точки дуги СРО, пользуясь построением, пока¬
занным на рис. 71 или 72.
Рис. 76. Построение стрелки дуги по заданным точке М
и хорде
Деление окружности на равные части. Способ деления окруж¬
ности на три части показан на рис. 77, а. Чтобы разделить окруж¬
ность на пять частей, из точки А, расположенной в середине ра¬
диуса ОО (рис. 77,6), описываем дугу ВС радиусом Т?2, равным
отрезку АВ, до встречи с горизонтальным диаметром в точке С.
Из точки В радиусом равным отрезку ВС, засекаем точки 1
и с?, а затем точки 4 и 5 деления окружности на пять частей.
При делении окружности на шесть частей повторяем опера¬
цию деления на три части (рис. 78,а); при делении на восемь
частей повторяем операции деления на четыре части (рис. 78,6);
при делении на 10 частей повторяем операции деления на пять
частей. Отрезок ОС равен стороне десятиугольника (рис. 77,6).
Деление окружности на семь, девять, одиннадцать и большее
число частей осуществляется так: из точки М проводим произ¬
вольную прямую МА, на которой от точки М откладываем про¬
извольные, но равные деления (рис. 79). Число делений равно
заданному количеству частей деления окружности. Если, напри¬
мер, требуется разделить окружность на девять частей, то пос-
леднее девятое деление на прямой АМ соединяем с точкой В, а
через два деления в обратную сторону, т. е. через точку 7, -про
водим прямую 7Е, параллельную прямой 9В, до встречи с вер¬
тикальным диаметром в точке Е. Затем горизонтальный радиус
ОС разделим на четыре равные части и три таких деления от-
60

5)
Рис. 77. Деление окружности:
а — на 3 части; б — на 5 частей
Рис. 79. Деление окружности на 9 равных частей
61

дожим от точки С влево. Получим точку О. Через точки Д и Е
проводим прямую до встречи с окружностью в точке Г. Дуга ВЕ
является девятой частью окружности, а хорда этой дуги — сто¬
роной девятиугольника.
Деление окружности на заданное число равных частей и по¬
строение многоугольников может быть выполнено и другим спо¬
собом. Описываем окружность, проводим вертикальный диаметр
АВ и делим его на равные части, количество которых соответст¬
вует заданному числу частей деления окружности (рис. 80). Ра¬
диусом равным диаметру окружности, из точек А и В засека-
Рис. 80. Деление окружности на 11 равных частей
ем два -полюса 01 и О2, расположенных на линии горизонтально¬
го диаметра, и проводим лучи от этих полюсов через точки
деления диаметра АВ до встречи с окружностью, причем лучи
проводим через одно деление на диаметре АВ, т. е. через точки
только четных или только нечетных делений. Точки пересечения
лучей с окружностью делят ее на заданное число частей.
Построение касательных к окружности. Первая задача. Про¬
вести касательную к крайней точке дуги СВ окружности с недо¬
ступным центром. Заданные точки С и В соединяем хордой и на¬
ходим среднюю точку А дуги СВ (рис. 81, а). Радиусом
равным хорде АВ, описываем дугу ИА, на продолжении которой
радиусом /?2, равным хорде АИ, из точки А засекаем точку Е.
Прямая, проведенная через точки В и Е, является касательной
к дуге окружности в точке В.
Вторая задача. Провести касательную к средней точке С ду¬
ги окружности с недоступным центром. Из точки С радиусом
засекаем крайние точки А и В дуги, проводим хорду АВ и соеди¬
няем среднюю ее точку И с точкой С (рис. 81,6). Перпендикуляр
СЕ к стрелке СИ является искомой касательной.
62

Определение длины окружности и ее дуг. Первая задача. За¬
дана окружность диаметром АС, требуется определить ее длину.
Проводим касательную к окружности в точке С (рис. 82). Ра¬
диусом 7?ь равным радиусу окружности, из точки И засекаем
Рис. 81. Построение касательных к окружности:
а — к крайней точке В; б — к средней точке С
точку Е. Из центра О через точку Е проводим луч ОЕ до встре¬
чи с касательной в точке Р. От точки Р по касательной 3 раза
отложим отрезок, равный радиу¬
су Полученную точку соеди¬
няем с точкой А. Удвоенная дли¬
на отрезка АК равна искомой
длине окружности.
Рис. 83. Определение длины дуги
окружности:
а — при а< 90°; б — при а > 90°
Вторая задача. Определить длину дуги окружности при
а 90°. Дана дуга окружности АС (рис. 83, а). Находим ее се¬
редину — точку Е. К точке С проводим касательную МП. Сое¬
диняем крайние точки дуги хордой и продолжаем ее за точку С.
Радиусом равным отрезку СЕ, на продолжении хорды засе¬
каем точку Р. Радиусом 7?3, равным отрезку РА, из точки Р за¬
секаем на касательной МИ точку В. Отрезок ВС является иско¬
мой длиной дуги АС.
63

Третья задача. Определить длину окружности при а > 90°.
Дана дуга АС (рис. 83,6). Находим ее середину в точке В, се¬
редину хорды ЕС в точке О и середину дуги ЕС в точке Д. Про¬
водим касательную ММ к окружности в точке С и хорду АС. На
продолжении хорды за точку С радиусом /?2, равным отрезку
СО, засекаем точку Л, от которой отложим отрезок КГ, равный
отрезку СО. Из точки Г радиусом /?з, равным отрезку ГА, засе¬
каем на касательной точку В. Отрезок СВ равен искомой длине
дуги АС.
Построение дуги окружности по заданной ее длине. Дана
длина Ь дуги. Построим касательную к окружности в точке С
Рис. 84. Построение дуги по задан- Рис. 85. Сопряжение двух прямых
ной ее длине	дугой
(рис. 84). Отложим на касательной отрезок СА, равный задан¬
ной длине Ь, и засечем отрезок СВ, равный одной четверти отрез¬
ка СА. Из точки В радиусом /?2, равным отрезку ВА, описываем
дугу АЕ до встречи с окружностью в точке Е. Дуга СЕ окружно¬
сти— искомая.
Построение сопряжений. Построение основано на свойствах
прямых — касательных к окружностям или на свойствах касаю¬
щихся между собой окружностей.
Первая задача. Сопряжение двух непараллельных прямых
дугой заданного радиуса. Из произвольных точек 1, 2, 3 и 4 на
прямых АВ и СО заданным радиусом /?1 описываем дуги, каса¬
тельные ГЕ и КЕ к которым пересекутся в точке Е (рис. 85).
Точка Е является центром радиуса сопрягающей дуги.
Вторая задача. Сопряжение двух непараллельных прямых ду¬
гой окружности, касающейся третьей заданной прямой. Сопря¬
гаемые прямые АК и ВГ пересекаются в точке С (рис. 86).
Третья прямая ОЕ пересекается с прямой ВГ в точке Г. Находим
для углов АСВ и ВГО их биссектрисы СМ и ГМ, на пересечении
которых расположен искомый центр О сопрягающей дуги.
Третья задача. Сопряжение касательных с двумя окружно¬
стями.
1.	Сопряжение внешнее (рис. 87, а). Из центра Ох описываем
вспомогательную окружность радиусом, равным разности
64

/?1 — #2 радиусов основных сопрягаемых окружностей. Заметим,
что результат не изменится, если вспомогательную окружность
опишем из центра О2. Расстояние Ь между центрами Ох и О2
окружностей делим пополам. Из точки Оз радиусом /?3, равным
0,5Л, описываем дугу ВОгСу которая пересекает вспомогатель¬
ную окружность в точках В и С. Радиусы, проведенные из
центра Ох через точки В и С, определяют искомые точки А и О
сопряжения первой окружности с касательными. Искомые
точки Е и Р сопряжения второй окружности с касательными оп¬
Рис. 86. Сопряжение двух
прямых дугой, касательной
к третьей прямой
б)
Рис. 87. Сопряжение касательных
с окружностями:
а — внешнее; б — внутреннее
ределяются проведением радиусов О2Е и О2Р, параллельных со¬
ответственным радиусам ОИ и ОгО.
2.	Сопряжение внутреннее (рис. 87,6). В отличие от внешнего
сопряжения окружностей с касательными, рассмотренного выше,
в данном случае вспомогательную окружность описываем из цен¬
тра 01 или 02 радиусом, равным сумме + К2 радиусов сопря¬
гаемых окружностей. Искомые точки касания В и С первой
окружности, Е и Р второй окружности определяются радиусами
01В, 01С, 02Е и 02Р, направление которых фиксируется точками
А и О пересечения впомогательной окружности с дугой радиуса
/?з, описанной из центра 03.
Четвертая задача. Сопряжение окружностей дугой заданного
радиуса.
1.	Дуга вогнутая (рис. 88,а), радиус ее Вз задан расстоянием
между центрами 01 и 02 сопрягаемых окружностей. Центр 03
з Зак. 334	65
засекается из центров О\ и О2 радиусами, равными сумме 7?1 +
+ 7?3 и /?2 + #з- Точки сопряжения А и В расположены на пря¬
мых, соединяющих центры 01 и 03, 02 и Оз.
2.	Дуга выпуклая (рис. 88,6), радиус ее 7?з задан расстояни¬
ем между центрами 01 и 02. Центр 04 засекается из центров
и 02 радиусами, равными разности /?3— и 7?3— /?2. Точки со¬
пряжения С и О расположены на продолжении прямых, соеди¬
няющих центры 01 и 04, 02 и 04.
Пятая задача. Сопряжение окружности и прямой линии ду-
Рис. 88. Сопряжение окружностей дугой заданного радиуса:
а — вогнутое; б — выпуклое
1.	Дуга вогнутая (рис. 89, а) радиуса /?2. К заданной прямой
АВ проводим параллельно вспомогательную прямую СО на рас¬
стоянии, равном радиусу #2- На прямой СО радиусом, равным
.сумме	заданных радиусов окружности и сопрягающей
дуги, засекаем точку Р, которая будет центром сопрягающей ду¬
ги радиуса /?2. Восставив перпендикуляр из точки Р к прямой АВ
и соединив точку Р с центром О окружности, находим точки со¬
пряжения Е и Н.
2.	Дуга выпуклая радиуса /?3 (рис. 89,6). К заданной прямой
ММ проводим параллельную прямую ОК на расстоянии, равном
радиусу /?з. Из центра О описываем вспомогательную окруж¬
ность радиусом, равным разности радиусов /?3—7?1. Точка Р пе¬
ресечения вспомогательной окружности и прямой ОК будет цент¬
ром сопрягающей дуги радиуса /?3. Границы сопряжения нахо¬
дим, опуская перпендикуляр из точки Р на прямую ММ в точку
5 и проводя прямую РО в точку 0.
Для выполнения разметочных работ существуют специальные
инструменты и приспособления; тем не менее, разметка отнимает
много времени и иногда является источником ошибок. Размет-
66

чики-новаторы разработали и широко применяют простейшие
счетные приспособления, которые обеспечивают необходимую
точность, просты в эксплуатации и значительно ускоряют разме¬
точные работы, снижая их трудоемкость.
Эти приборы предназначены для деления отрезков на равные
части, для деления окружностей на равные части и отыскания
длин хорд, для решения треугольников и определения тригономет
рических функций углов, для
расчетов при разметке ли¬
ний пересечений поверхно¬
стей.
Разметочные шаблоны
позволяют резко повысить
качество разметочных ра¬
бот, упрощая разметку и
увеличивая производитель¬
ность труда. Вследствие зна¬
чительных затрат, необходи¬
мых на изготовление шаб¬
лонов, вопрос о рентабель¬
ности их применения должен
решаться в каждом отдель¬
ном случае.	Рис. 39 Сопряжение окружности и пря-
Наиболее Простые И име- МОЙ линии дугой заданного радиуса:
ЮТ широкое применение Ша-	а — вогнутое; б — выпуклое
блоны для плоской размет¬
ки. Рабочие кромки их лежат в одной плоскости. В целях исполь¬
зования одного и того же шаблона для ряда однотипных дета¬
лей часто изготовляют плоские шаблоны с передвижными эле¬
ментами. Это снижает затраты на изготовление шаблонов и
расширяет возможности их использования. Передвижные элемен¬
ты шаблона для разметки кривых дают возможность использо¬
вать его для построения разнообразных кривых. Плоские шаб¬
лоны применяются и для объемной разметки на плоских поверх¬
ностях.
Сложные шаблоны для объемной разметки в ряде случаев
применяются для разметки отдельных ответственных деталей
или мелких партий. Устройства передвижных элементов в этих
шаблонах расширяют область их применения.
8. ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ
При пересечении прямого кругового конуса плоскостями по¬
лучаются сечения, ограниченные различными кривыми — окруж¬
ностью, эллипсом, параболой или гиперболой. Эти кривые выра¬
жаются уравнениями второй степени с двумя неизвестными
(рис. 90). Кривые, образуемые коническими сечениями, имеют
большое практическое применение в машиностроении.
67
3*

Окружность представляет собой геометрическое место точек,
находящихся на равном расстоянии от центра. Вычерчивание ок¬
ружности с помощью циркуля не представляет труда.
Если х и у — координаты произвольной точки А на окружно¬
сти (рис. 91, а), находящейся в первой четверти системы коор-
Рис. 90. Конические се- Рис. 91. К уравнению окружности в прямо-
чения	угольной системе координат
динат уОх, а и Ь — координаты центра О2 и г — радиус окруж¬
ности, то уравнение окружности имеет вид
(х — а)* + (у — Ь)2 = г\	(16)
В том -случае, когда начало координат лежит на окружности
и ось х будет касательной к окружности, а ось у — ее диамет¬
ром, уравнение окружности примет вид (рис. 91,6)
у2 = 2гу-х2.	(17)
Если совместить центр окружности с началом координат
(рис. 91, в), то уравнение окружности будет иметь вид
х2 + у2 = г2.	(18)
Графические приемы определения длины окружности и ее
дуги показаны на рис. 82—84.
Эллипспредставляет собой геометрическое место точек А,
для которых сумма расстояний АРХ + АР2 от двух данных точек
Рх и Е2, называемых фокусами, остается постоянной и равна
полной длине 2а большой оси эллипса (рис. 92). Если взять нить
длиной 2а, концы которой закреплены в точках Рх и Е2, то, натя¬
гивая ее острием карандаша, можно вычертить эллипс. Этот
способ применяется при разбивке шаблонов арок и сводов.
68

Если главные оси эллипса принять за оси координат, то урав¬
нение его будет иметь вид
2	2
^- + -^- = 1,	(19)
а2	Ь2
где а и Ь — длины большой и малой полуосей эллипса;
отсюда
У а = — а2 — X2.
а
Величина радикала
у0 окружности радиуса
представляет собой величину ординаты
а, соответствующей абсциссе х, так как
Рис. 92. Способ построения эллипса
из уравнения окружности х2 + у2 = а2 имеем у0 = ]/а2—х2; после
подстановки получим
Уэ_ =
Уо а '
Это отношение использовано для разработки способа постро¬
ения эллипса (рис. 92). Из центра О радиусами, равными задан¬
ным полуосям эллипса а и Ь, описываем окружности. Большую
окружность делим на 12 равных частей. Через все точки деле¬
ния проводим диаметры, которые на меньшей окружности засе-
69
кают также 12 точек. Точки пересечения вертикальных и гори¬
зонтальных линий, проведенных через одноименные точки деле¬
ния наружной и внутренней окружности, будут точками эллипса.
Другой способ построения эллипса показан на рис. 93. Вы¬
черчивают описанный прямоугольник со сторонами, равными
осям эллипса 2а и 2Ь. Проводят оси ААХ и ВВХ этого прямоуголь¬
ника, т. е. оси вписанного эллипса. Большие полуоси эллипса и
отрезки АС и сторон описанного -прямоугольника делят на
семь равных частей. Из точек В и Вх через точки деления прово¬
дят лучи, точки пересечения которых образуют эллипс.
Специальные конструкции эллипсовых циркулей и эллипсо¬
графов основаны на том, что если отрезок ВС, равный сумме
полуосей эллипса а + Ь, передвигать без отрыва концов его В и
С от осей координат, то точка А прямой ВС будет описывать
эллипс (рис. 94). Известно, что
СОЗ2 ф + 31П2 ф = 1,
но
х . у
СОЗ ф = 	 и 81П ф =	.
После подстановки получим уравнение эллипса
^-+^ = 1.
а2 6*
Для определения положения фокусов эллипса из точки В ра¬
диусом равным большой полуоси а, описываем дугу. В точках
пересечения этой дуги с большой осью расположены полюсы
(рис. 95).
Длина дуги эллипса, меньшая одной четверти его периметра,
может быть определена графическим способом В. П. Гончара.
70

Определим длину дуги АМ. Точки А и М соединяем прямой. Из
полюса Р к прямой АМ проводим перпендикуляр РС. Отрезок
Рис. 94. Схема эллипсового циркуля
АС разделим пополам и половину отложим слева от точки С.
Таким образом, отрезок АО равен 1,5 АС. Из точки А радиусом
раллельную малой оси эллипса. Из точки Р\ радиусом /?3, рав¬
ным отрезку Р[М, засекаем на вертикали точку <2, которая опре¬
делит искомую длину А ($ дуги АМ.
.71

Для графического определения, например дуги МЫ, требу¬
ется описанным выше способом определить отдельно длины дуг
МА и АЫ, что и показано на чертеже. Длина дуги АЫ равна от¬
резку Л5.
Этот способ может быть применен для определения длины
лишь тех дуг, которые начинаются от большой или малой оси
эллипса.
Нормаль и касательная к точкам эллипса представляют со¬
бой биссектрисы внутренних и внешних углов между радиусами-
Рис. 97. Способ построения параболы
векторами точки касания,
что является основой для их
построения.
Парабола является гео¬
метрическим местом точек
А, равноудаленных от фоку¬
са Р и прямой ВС, называе¬
мой директрисой (рис. 96).
Если вдоль директрисы по¬
ложить рейсшину, по кото¬
рой скользил бы угольник
КЕМ, и нить длиной ЬМ за¬
крепить одним концом в фо¬
кусе Р, а другим — в точке
М, то, натягивая нить остри¬
ем карандаша и двигая
угольник, можно вычертить
параболу, так как отрезки
ЬЕ и ЕР равны между со¬
бой.
Уравнение параболы, отнесенное к ее вершине в точке О,
имеет вид
У2 = 2рх,
(20)
где постоянная р — параметр параболы.
Расстояние ЁР от фокуса Р до директрисы ВС равно р. На¬
чало координат, а следовательно, и вершина параболы располо¬
жены от фокуса Р на расстоянии Величина хорды Р8, прохо¬
дящей через фокус Р перпендикулярно оси Ох, равна 2р.
Построение параболы производится следующим образом.
Пусть дана ось параболы, совпадающая с осью Ох, заданы вер¬
шина ее в точке О и две точки А и А[ параболы, расположенные
симметрично относительно ее-оси (рис. 97). Строим прямоуголь¬
ник АА[В1В и делим его стороны АВ и А[В1 на равные части,
например на 10 частей. На такое же число частей делим от¬
резки ОВ и ОВХ. Вершину параболы соединяем лучами с точка¬
ми деления прямых АВ и АВь Затем через точки деления ор-
72

динат проводим прямые, параллельные оси параболы до пере¬
сечения с соответствующими лучами. Точки пересечения
являются точками параболы.
Для -проверки этого положения обозначим отрезки ВА и ОВ
через а и Ь. Число равных частей их деления обозначим через п.
Рис. 98. Способ вычерчивания параболы
Тогда для т-го деления отрезков ВА и ОВ в точках С и О мож¬
но написать
ВС = — а и ОЛ = — 6.
п	п
Из подобия треугольников ОВЕ и ОВС следует, что
, НО ОЕ = х; 00 = у; ОВ = Ь;
ОО ОВ
отсюда
х	та	т	у .
— =	. но — = —;
у	пЬ	п	Ь
поэтому
Получено уравнение параболы, отнесенное к вершине с пара¬
метром
Ь2
Р~ 2а
Для построения параболы иногда пользуются модификацией
описанного способа. Заданы ось параболы, ее вершина в точке О
и точка А кривой (рис. 98). Соединяем лучом вершину О с точ¬
кой А и проводим ряд прямых, параллельных оси параболы.
73

Через точки пересечения этих линий с лучом ОА проводим вер¬
тикали до пересечения с прямой С А в точках Г, 2',..., 6', кото¬
рые соединяем лучами с вершиной О. Точки пересечения лучей
с соответствующими прямыми, параллельными оси параболы,
соединяем плавной линией. Полученная кривая является пара¬
болой.
Длина дуги параболы, начинающейся от вершины, может
быть определена способом, показанным на рис. 95.
Касательная и нормаль к параболе являются биссектрисами
углов между радиусом-вектором точки касания и перпендикуля-
Рис. 99. Построение кубической параболы
ром, опущенным из этой точки на директрису. Это определение
представляет основу для их построения. Но касательную можно
построить и при отсутствии фокуса, опуская из точки касания
перпендикуляр на ось параболы и откладывая по оси от верши¬
ны к директрисе отрезок, равный отрезку от основания перпенди¬
куляра по оси до вершины. Касательная пройдет через точку
касания и конечную точку этого отрезка на оси параболы.
Кубическая парабола имеет уравнение
у = ах3.
Заданы вершина О, ось Ох и точка М искомой параболы. По¬
строим прямоугольник ОКММ, стороны его ОК и КМ делим на
одинаковое число равных частей и на КМ описываем полуокруж¬
ность (рис. 99). Из точки К, принимая ее за центр, проводим дуги
1а, 2Ь,... ,61г радиусами К/, К2,... ,К6. Через точки а, Ь, с,... ,Н
проводим вертикали до пересечения с КМ в точках 2', 3',... ,6',
которые соединяем лучами с началом координат О. Горизонтали,
74

проведенные через точки деления ординаты ОК, пересекут лучи
в точках, лежащих на искомой кубической параболе.
Полукубическая парабола выражается уравнением
у = ах’1'.
Заданы вершина О, ось Ох и точка М искомой параболы. По¬
строим прямоугольник ОКМ^Т, стороны которого ОК и КМ де¬
лим на одинаковое число равных частей (рис. 100). Через точки
деления стороны КМ проводим вертикали до встречи с полуок¬
ружностью, описанной на КМ. Из точки К, принимая ее за центр,
Рис. 100. Построение полукубической параболы
радиусами Ка, КЬ,... ,К1г проводим дуги аГ, Ь2',... ,Н6'. Точки
Г, 2',... ,6' соединяем лучами с началом координат О. Горизон¬
тали, проведенные через точки деления ординаты ОК, пересекут
лучи в точках, являющихся точками искомой полукубической
параболы.
Гипербола есть геометрическое место точек К, для которых
разность фокусных расстояний КР] и КР все время остается по¬
стоянной и равна данному отрезку 2а между вершинами ветвей
кривой (рис. 101).
Если взять линейку ОС длиной I и закрепить ее концом О в
фокусе Р\, а к другому ее концу С и к фокусу Р прикрепить нить
длиной I — 2а, то, натягивая нить острием карандаша и вращая
линейку относительно фокуса можно вычертить ветвь гипер¬
болы.
Оси координат служат осями симметрии гиперболы, которая
распадается на две обособленные ветви с центром в начале
координат.
75

Уравнение гиперболы относительно осей прямоугольной си¬
стемы координат
х2	у*_
а2	Ь2
(21)
где а и Ь — длины полуосей.
При а = Ъ уравнение примет вид
х2 — у2 = а2;
такая гипербола называется равнобочной.
Точки А и А1 называют вершинами, а диагонали — асимпто¬
тами гиперболы. Гиперболы, расположенные симметрично
Рис. 101. Геометрия гиперболы
относительно оси Оу с вершинами в точках В и называются
сопряженными и определяются уравнением
у2	х2 = 1
Ь2	а2
(22)
Построение точек гиперболы в практике необходимо глав¬
ным образом для шаблонов. Задаются прямоугольная система
координат, в которой центр гиперболы совпадает с началом
координат, вершина А и точка М на ветви гиперболы. Если
уравнение асимптоты, проходящей через начало координат,
имеет вид
I ь
у = ± -— X,
а
где — = а,
а
76

то асимптоту проще всего строить по ее угловому коэффициенту.
Для этого откладывают от начала координат катет а по
оси Ох до вершины гиперболы и от вершины по вертикали ка¬
тет 6; гипотенузой является асимптота (рис. 101).
Асимптота может быть построена и другим способом
(рис. 102). Через заданную точку М проводим прямую, парал¬
лельную оси Ох, до пересечения с осью Оу в точке В', из кото¬
рой радиусом В'М засекаем дугу МИ' до пересечения в точке В'
с прямой А'И'. Прямую А'И' проводим параллельно оси Ох, от¬
ложив по оси Оу отрезок В'А' = ОА. Из точки В' опускаем пер¬
пендикуляр на В'М в точку С', которая является точкой асимпто¬
ты ОК\.
Продолжив вертикаль В'С' вниз, отложим циркулем от¬
резок С3С", равный С'С0. Полученная точка С" принадлежит
асимптоте ОК2.
Для нахождения точек М\, М2, М3... наносим произвольно ряд
прямых В{С1, В2С2, В3С3, параллельных оси Ох. Из точек
Сь С2, С3,..., расположенных на асимптоте, восставляем перпен¬
дикуляры = С2/)2 = С3В3 = ОА. Из точек В2, В3,... ра¬
диусами В.В., В2В2, В3В3 засекаем на продолжении прямых
В\СХ, В2С2, В3С3,... точки Мх, М2, М3,..., которые являются точка¬
ми гиперболы. Точки М'{ , М2 , М',... нижней части ветви гипер*
болы расположены симметрично относительно оси Ох на верти¬
калях М^! , М2М'2 , М3М^,..
Другой способ построения гиперболы менее точный, но быст¬
ро дает результат. Он применим в том случае, когда заданы
асимптоты и точка К на кривой. В прямоугольной системе коор¬
динат наносим заданные асимптоты 05 и 051 и точку К гипер¬
болы (рис. 103). Если через точку К провести вертикаль, пере¬
секающую асимптоты в точках и В[, и отложить на ней от
точки В} отрезок В{В, равный отрезку ККь то точка В будет
точкой гиперболы. Тот же результат получится, если отложить
от точки К1 отрезок К\В, равный отрезку КВХ. Таким образом, на
прямой, проходящей через заданную точку гиперболы, отрезок
от заданной точки до точки пересечения с любой асимптотой
откладываем от точки пересечения с другой асимптотой и полу¬
чаем новую точку гиперболы. Для построения гиперболы через
заданную точку проводим пучок секущих, которые определят
положение точек кривой. На левой ветви гиперболы показано
построение в том случае, когда точка К совпадает с вершиной
в точке А.
Длина дуги гиперболы, начинающейся от вершины, может
быть определена способом, показанным на рис. 95.
Касательная и нормаль к гиперболе представляют собой бис¬
сектрисы внутреннего и внешнего углов между радиусами-век¬
торами точки касания, что является основой их построения.
77

Рис. 102. Способ построения гиперболы	Рис. 103. Способ вычерчивания гиперболы
78

Циклоидальные кривые по характеру образования получают¬
ся как след одной из точек радиуса при качении окружности без
скольжения по прямой (циклоида), по окружности снаружи
(эпициклоида) или внутри окружности (гипоциклоида). К этой
группе относятся кривые, получа-	у.
ющиеся от качения прямой по ок-
ружности без скольжения (эволь- X
вента). Циклоидальные кривые /	\
находят применение в теории /	/ /V \
циклоидальных и эвольвентных 4		Г
зацеплений зубчатых колес.	\	/\	/
Циклоида. Если фиксировать \	у
след точки окружности при ее	*
качении по прямой без скольже-	0
НИЯ, ТО получится нормальная Рис. 104. Геометрия циклоиды
циклоида.
Если окружность радиуса 7? касается прямой в точке О и эту
точку примем за начало координат, а прямую, по которой ка¬
тится окружность, за ось Ох (рис. 104), то уравнение циклоиды
примет вид
х — Цагссоз —— - ± У2Яу — у2.
(23)
Для восходящей части циклоиды следует брать знак плюс,
а для нисходящей — минус.
У*
Рис. 105. Способ построения циклоиды
Для построения циклоиды откладываем на прямой отрезок
ОВ, равный полуокружности О А = пВ (рис. 105). Делим дугу
ОА и прямую ОВ на четыре равные части и строим точки а', Ь',
сг ординат циклоиды, отнесенные к диаметру круга. На горизон¬
талях от точек а', Ь', с' отложим влево соответственно отрезки
1а, 2Ь, Зс и находим точки 1", 2", 3" циклоиды.
Циклоида применяется в прикладной механике и теории
механизмов. Циклоидальное зацепление используется в часовых
механизмах и в цевочном зацеплении.
79

Эпициклоида., Точка А производящей окружности радиуса
при качении ее без скольжения снаружи основной окружно¬
сти радиуса #2, образует кривую, называемую эпициклоидой
(рис. 106). Уравнения эпициклоиды в прямоугольной системе
координат имеют вид
х =	соз а — 2?! соз —1 + ■ а; (24)
У = (/?1 + /?2)81П-^-а —	а.	(25)
*\2	■*'2
При построении эпициклоиды откладываем на основной ок¬
ружности дугу АЕ, равную половине производящей окружности.
Рис. 106. Построение эпициклоиды
Дуги АЕ и АВ делим на одинаковое число п равных частей, на¬
пример на четыре (рис. 106). Через точки деления дуги АЕ из
центра О проводим радиусы до пересечения в точках а', Ь', с'
с дугами, описанными из центра О через точки /, 2, 3 деления
полуокружности АВ. На этих последних дугах от точек а', Ь', сг
откладываем по часовой стрелке соответствующие величины дуг
а/, &2, сЗ и получим точки 1”, 2", 3", принадлежащие эпицик¬
лоиде.
Гипоциклоида в отличие от эпициклоиды получается при ка¬
чении производящей окружности внутри основной окружности
80

(рис. 107). Уравнение гипоциклоиды в прямоугольной системе
координат
х = (Я2 — Дх) соз а 4- СОЗ а; (26)
В2	В2
у = ЦЪ —	— &8Ш	(27)
%2	^2
Способ построения гипоциклоиды такой же, как и эпицикло¬
иды.
Рис. 107. Построение гипоциклоиды Рис. 108. Построение эвольвенты
Эвольвента, развертка окружности, получается при качении
прямой по окружности без скольжения. Если нить навернута на
цилиндр по часовой стрелке, то при разматывании натянутой ни¬
ти против часовой стрелки при неподвижном цилиндре конец ее
опишет кривую, которая называется эвольвентой круга.
Уравнения эвольвенты для окружности радиуса В с центром
в начале прямоугольной системы координат и с началом раз¬
вертки в точке А, лежащей на оси Ох, имеет вид
х = Я (соз а + а зтп а);	(28)
у = Я (зш а — асоз а).	(29)
Для построения эвольвенты по точкам откладываем на пер¬
пендикуляре к оси Ох от точки В отрезок ВС, равный длине по¬
луокружности АВ (рис. 108). Делим отрезок ВС и полуокруж¬
ность АВ на равное число п частей (п = 6) и на касательных
81

к окружности от точек 2', 3',... откладываем соответственно
отрезки В/, В2, ВЗ,... Точки Л, 2", 3",... принадлежат эволь¬
венте.
Существуют специальные приборы для вычерчивания эволь¬
вент — эвольвентографы.
Эвольвента применяется при профилировании зубьев зубча¬
тых колес, при проектировании эксцентриков, кулачков и 'за¬
жимных приспособлений.
В
Рис. 109. Построение лемнискаты
Лемниската представляет собой геометрическое место точек 5,
для которых произведение расстояний Р8 и Л5 от фокусов Р
и Р\ при фокусном расстоянии 2а является постоянной величи¬
ной, равной а2 (рис. 109). Кривая пересекает ось абсцисс в двух
точках, находящихся на равных расстояниях от начала коорди¬
нат, и, кроме того, обе ветви ее проходят через начало коорди¬
нат. Из уравнения лемнискаты в декартовых координатах
(х2 + у2)2 = 2а2 (х2 — у2)	(30)
следует, что лемниската представляет собой кривую четверто¬
го порядка.
Более удобно для расчетов и построений пользоваться выра¬
жением лемнискаты в полярных координатах
г2 = 2а2 соз 2а.	(31)
82

В технике лемниската применяется в соплах для определе¬
ния расхода воздуха. Для эксплуатационного определения со¬
ставляющих воздушного баланса котельных агрегатов применя¬
ют сопла с входом, выполненным по лемнискате с использова¬
нием, разумеется, одной ее ветви. Для практического осуществ¬
ления лемнискатного сечения сопла производится графический
расчет шаблона и развертки.
При заданном фокусном расстоянии ОР = а для построения
лемнискаты отложим на оси абсцисс от начала координат от¬
резки АО = АХО = а]/ 2, а на перпендикулярной к оси прямой,
проходящей через точку нанесем отрезок АХВ, равный от¬
резку АО. Отрезки А\О и А\В разделим на одинаковое число п,
частей (п = 8) и из начала координат О опишем дуги концентри¬
ческих окружностей, проходящие через точки В и К и через точ¬
ки деления /, 2, 3,... и 2', 3',... отрезков АХО и АХВ. Дуга Е6\
например, пересечет ось абсцисс в точке Е. Проведем через точ¬
ку Е прямую, перпендикулярную оси, до пересечения с дугой
ВК в точках С и О. Соединим эти точки с началом координат
прямыми СО и ОО. Дугу, проходящую через точку 6 на оси
абсцисс, эти радиальные прямые пересекут в точках 51 и 52, ко¬
торые являются точками лемнискаты.
Спираль Архимеда представляет собой траекторию точки, рав¬
номерно движущейся по лучу, который в то же время равномер¬
но вращается вокруг неподвижной точки. Если точку О принять
за полюс, а луч Ох — за полярную ось, то полярный радиус-век¬
тор г представляет собой пройденный путь точки, равномерно
движущейся по лучу, который равномерно вращается вокруг по¬
люса О (рис. НО). Уравнение кривой в полярной системе коор¬
динат
г = аф,	(32)
где а — некоторая положительная постоянная;
Ф — полярный угол.
Спираль имеет две ветви, образующиеся при правом и левом
вращении луча.
Спираль Архимеда применяется в технике при проектирова¬
нии кулаков и эксцентриков.
При построении спирали Архимеда исходят из тех соображе¬
ний, что при возрастании угла ф от 0 до 4л значения г изменя¬
ются от 0 до 2ла (рис. 111). От полюса О на полярной оси Ох
откладываем отрезок ОС = 2ла. Затем отрезок ОС и окружность
радиуса а, описанную из полюса О, делим на равное число п
частей (п = 8). Из полюса О через точки деления окружности
проводим лучи и на этих лучах засекаем циркулем точки деле¬
ния отрезка ОС. Полученные точки принадлежат спирали.
При втором и последующих витках расстояние по лучам
между соседними витками равно 2ла.
83

Спираль логарифмическая — кривая, пересекающая все лучи,
выходящие из полюса, под одним и тем же углом. Уравнение
логарифмической спирали в полярных координатах имеет вид
г = ае™
№
где а и т — постоянные, причем т = с!^ф; здесь угол яр между
лучом и хордой участка спирали.
Если угол ф поворота луча возрастает в арифметической про¬
грессии, то радиус-вектор г, отражающий путь, пройденный по
нему точкой, возрастает в геометрической 1прогрессии. Полюс О
является асимптотической точкой, к которой спираль прибли¬
жается, но не достигает ее. Радиальное расстояние между смеж¬
ными витками быстро возрастает.
Логарифмическая спираль применяется в технике /при конст¬
руировании фрез с затылованными зубьями, кулачковых меха¬
низмов и др.
Графо-аналитический способ построения спирали связан
с подсчетом радиусов-векторов при делении полуокружности,
и т—г	ЭТ72
например, на восемь равных частей. При этом угол ф = — , где
п = 0, 1, 2,...,8.
Если требуется построить спираль для т = 0,2 то после под¬
становки получим
0,2тсп
г = аетср = ае 8	= а • 1,08™; при п = 0 г = а.
Задавшись произвольным значением а, вычислим г для всех
значений п и приступим к построению спирали, для чего прове¬
дем полярную ось хх, на которой наметим полюс О. Опишем
произвольным радиусом полуокружность и разделим ее на во¬
семь равных частей. Через точки деления проведем лучи, на ко¬
торых от точки О отложим вычисленные значения г. Начальная
84

точка А при п = 0 лежит на полярной оси (рис. 112). Продол¬
жая подобные построения вниз и <вверх от полярной оси для от¬
рицательных и положительных степеней п, получим новые витки
логарифмической опирали.
Рис. 112. Логарифмическая спираль
Построение логарифмической спирали по хордам основано на
постоянстве угла ф между каждым лучом и прилегающей хор¬
дой (рис. ИЗ). На полярной оси хх наносится точка О полюса,
отрезок
Если задано, как и в предыдущем примере, т = 0,2 = с!^ф,
то угол ф = 78°40' находим по тригонометрическим таблицам.
От полярной оси в точке А откладывается угол ф и проводится
85
хорда А1 и т. д. Через полученные точки 1, 2, Зу...у 12 проводится
плавная кривая спирали.
Винтовая линия является траекторией точки М, которая дви¬
жется равномерно по образующей равномерно вращающегося
круглого цилиндра. Радиусом винтовой линии называется ра¬
диус г цилиндра. Шагом 5 винтовой линии является прямоли-
Рис. 114. Построение винтовой линии
нейный 1путь точки по образующей за один оборот цилиндра
(рис. 114):
5 = 27гг1§а.	(34)
Винтовая линия строится по уравнению
У = г аф,	(35)
где ф — угол поворота радиуса г.
Развертка винтовой линии представляет собой прямую. Для
того, чтобы разметить пинтовую линию на цилиндре, берут лист
тонкой жести или картона и размечают на нем прямоугольный
треугольник АВС, у которого катет АВ равен длине окружности
основания цилиндра, а катет ВС — шагу винтовой линии. Выре¬
занный после разметки шаблон (треугольник) оборачивают во¬
круг цилиндра так, чтобы точки А и В сошлись. По гипотенузе
АС размечают винтовую линию на цилиндре.
Винтовая линия применяется в резьбовых соединениях, в хо¬
довых винтах, а также при конструировании кулачковых меха¬
низмов и др.
При конструировании шнеков, пространственных кулачков
и др. применяется винтовая линия переменного шага [36].
86

Абсцисса Хъ = 2лгп, где п — число оборотов винтовой линии
на цилиндре заданной длины Л (рис. 115). Уравнение винтовой
линии с 'переменным шагом
у = гФ ах + 168(4	Г2ф2.	(36)
4Ь
Начальный шаг
5х = 2тег	—	•	(37)
Конечный шаг
Рис. 115. Винтовая линия переменного шага
Для определения начального и конечного шага и построения
винтовой линии геометрические параметры шнека или кулачка
должны быть заданы.
9.	ПОСТРОЕНИЕ ТИПОВЫХ РАЗВЕРТОК
Сложная разметка деталей и их разверток значительно уп¬
рощается, если в конструкторских или технологических бюро
составляются детальные чертежи разверток. Построение развер¬
ток по правилам начертательной геометрии производится для
нейтрального слоя листа.
Линии разреза листов располагают по образующим в преде¬
лах одного радиуса вальцовки. Разрезы в листах патрубков или
переходов, например, с квадрата на круг, размещают по глав¬
ным осям в той части, где листы остаются прямыми.
Вальцовку эллиптических поверхностей заменяют вальцов¬
кой по радиусу, сопрягая части дуг различного радиуса и фикси¬
руя переходы с одного радиуса на другой.
87

В конструкции пересечения двух цилиндров расчет для при¬
мыкающего цилиндра ведется по внутреннему диаметру, а для
цилиндра, к которому примыкает другой цилиндр, — по наруж¬
ному диаметру. Длину развертки принимают по нейтральному
слою.
В заводских условиях при построении разверток для опреде¬
ления ординат или длин образующих основание (окружность
или ее часть) разбивают на п равных частей в зависимости от
диаметра Д;
О	п	О	п
До	250	мм	 8	Св.	500	До 750	  24
Св.	250 »	350	»	12	»	750	» 1000	  32
»	350 »	500	»	16	»	1000	» 1500	  48
При определении размеров разверток под гибку под прямым
или острым углом рассчитывается длина выпрямленного изги¬
баемого участка для нейтрального слоя. При определении длины
развертки заготовок под гибку фасонного профиля также расчет
ведут для нейтрального слоя, проходящего через центр тяжести
сечения.
Развертывание кривой производится приближенным, но до¬
статочно точным графическим способом малых хорд. В кривую
вписывается ломаная линия, звенья которой представляют со¬
бой малые хорды данной кривой. Хорды откладывают последо¬
вательно на прямой и суммарный отрезок принимают за длину
спрямляемой кривой. Если принять отношение длины дуги, стя¬
гиваемой малой хордой, к ее радиусу равным одной четверти,
то относительная ошибка от замены дуги хордой, как показал
расчет, не превышает 0,3%, что вполне допустимо для тщатель¬
ных графических построений.
При спрямлении плоской кривой переменной кривизны раз¬
бивают ее на части, имеющие приблизительно одинаковую кри¬
визну. Затем намечают центры кривизны, выбирают радиусы
для каждой части и вписывают ломаную линию с хордами, рав¬
ными примерно одной четверти радиуса.
Спрямление пространственной кривой. Пространственная кри¬
вая может быть представлена в двух проекциях: в горизонталь¬
ной плоскости кривой АВ и в вертикальной плоскости кривой
А'В' (рис. 116). Применяя способ малых хорд, сначала спрямим
кривую АВ и получим прямую КЬ. Через точки деления пря¬
мой КЬ нанесем вертикали, на которые по горизонталям перене¬
сем точки второй проекции в вертикальной плоскости кривой
А'В' и получим кривую ЕР. Спрямление кривой ЕР, как пло¬
ской, даст искомую полную длину пространственной кривой от¬
резком М№
Развертка цилиндра, пересеченного наклонной плоскостью.
Дано: диаметр цилиндра наименьшая и наибольшая высота
88

образующих /11 и /г2 (рис. 117). Основание цилиндра делим на
12 равных частей. Из точек деления проводим образующие ци¬
линдра, параллельные его оси. Для построения развертки боко¬
вой поверхности цилиндра проводим горизонтальную прямую
Рис. 116. Спрямление пространственной кривой
длиной лО и делим ее на 12 равных частей. Через точки деления
наносим вертикали, на которых откладываем отрезки, равные
4
соответствующим образующим цилиндра. Линия, проходящая
через концы отрезков образующих, даст верхнюю кромку раз¬
вертки усеченного цилиндра, представляющую собой разверну¬
тую длину эллипса.
89

Развертка цилиндра с усеченными основаниями. Дано: ось
цилиндра параллельна фронтальной плоскости, диаметр ци¬
линдра I), высота образующей расстояние между параллель¬
ными основаниями Н (рис. 118).
Опишем на фронтальной проекции окружность, которую раз¬
делим на 12 равных частей. Через точки деления проводим
образующие цилиндра. В плане оба основания цилиндра проекти¬
руются в виде эллиптических кривых. Горизонтальный отре¬
зок АВ длиной делим на 12 равных частей. Через точки деле¬
ния проводим вертикали, на которые проектируем конечные
точки образующих. Соединяя полученные на вертикалях точки
плавными кривыми, получим развертку боковой поверхности
цилиндра.
Рис. 118. Развертка боковой поверхности усеченного цилиндра
Развертка прямого кругового конуса. Дано: диаметр основа¬
ния О и высота конуса Н (рис. 119).
Построим равнобедренный треугольник со сторонами В и ос¬
нованием АВ, значения которых находим аналитически. Затем
из вершины Р радиусом В описываем дугу, которая пройдет че¬
рез точки А и В. Развертка боковой поверхности конуса пред
ставляет собой круговой сектор, радиус которого равен образую¬
щей конуса, а длина дуги ВЕА равна длине окружности
основания конуса.
Развертка прямого кругового усеченного конуса с доступной
вершиной. Дано: диаметры и 2)2 верхнего и нижнего оснований
усеченного конуса, высоты К и Н усеченной части конуса и пол¬
ная высота до вершины Р (рис. 120).
По формуле а = 360 где г — радиус основания конуса и
I,— длина образующей, подсчитываем угол развертки а и опре¬
деляем радиусы и равные образующим СР и АР. Постро¬
им равнобедренный треугольник АРВ и опишем из вершины Р
90

дуги АВ и СЕ, ограничивающие
усеченного конуса.
развертку боковой поверхности
Рис. 119. Развертка боковой
поверхности конуса
Рис. 120. Развертка боковой
поверхности усеченного ко¬
нуса
Развертка прямого кругового усеченного конуса с недоступной
вершиной. Дано: диаметры и верхнего и нижнего оснований
и высота Н усеченного конуса (рис. 121).
Рис. 121. Развертка боковой поверхности усеченного ко¬
нуса с недоступной вершиной
Подсчитаем длины хорд АВ и СЕ и высоту равнобокой
трапеции АВЕС и вычертим ее. Построим по точкам дуги АВ и
СЕ, ограничивающие развертку боковой поверхности усеченного
конуса. Стороны АС и ВЕ образуют, как известно, угол а. Нахо¬
дим биссектрису О1О2 этого угла известным нам способом
91

(см. рис. 68). Затем находим биссектрису МЫ угла . Из про¬
извольной точки О3, расположенной на биссектрисе МЫ, радиу¬
сами и /?4 засекаем точки К и Л которые лежат на искомых
дугах и определяют высоты их стрелок.
Таким образом, зная длины хорд и высоты стрелок, можно
построить дуги при недоступном центре (см. рис. 71—74). Мож¬
но построить биссектрисы углов — и из произвольных точек О4
4
и О5, расположенных на этих биссектрисах, радиусами /?5 и
засечь точки М и Ы, являющиеся точками искомых дуг, и так
продолжать построение до тех пор, пока не получим достаточ¬
ное количество точек для проведения дуг АКБ и СРЕ.
Рис. 122. Приближенный способ построения развертки усеченного конуса
Для построения дуг АВ и СЕ развертки усеченного конуса
часто применяют приближенный способ (рис. 122). Определяем
стрелку Н дуги СРЕ, делим хорду СЕ на п, равных частей и в точ¬
ках деления проводим ординаты 11,2 2, 33.... Построим отдель¬
но вспомогательную окружность радиусом, равным длине стрел¬
ки И. Четверть окружности делим на п равных частей, точки
деления соединяем лучами с центром который вынесен по вер¬
тикальному диаметру за окружность на одну пятую длины
стрелки И. Отрезки лучей от горизонтального диаметра до точек
деления на окружности равны соответствующим искомым орди¬
натам дуги СРЕ.
Развертка косого конуса, усеченного наклонной плоскостью.
Дано: диаметр Б основания конуса, полная высота конуса Н,
наибольшая и наименьшая высоты и Н2 усеченного конуса и
эксцентрицитет е — расстояние между центром основания кону¬
са и проекцией вершины на это основание (рис. 123).
Полуокружность основания делим на шесть равных частей,
точки деления соединяем лучами с проекцией вершины Р, пере¬
носим их на фронтальную проекцию и проводим образующие до
вершины Р'. Для определения длин образующих строим диаг¬
рамму с прямым углом АВР^. На оси абсцисс откладываем от-
92

резки ВО, В1, В2,...,В6, равные отрезкам образующих ОР, 1Р,
2Р,...,6Р в плане. Концы этих отрезков, отложенные на оси
абсцисс АВ, соединяем лучами с вершиной Р^ и получаем длины
образующих. С фронтальной проекции по горизонталям перено¬
сим на соответствующие образующие точки сечения конуса
наклонной плоскостью и соединяем эти точки кривой линией.
Для построения развертки боковой поверхности усеченного ко-
Рис. 123. Развертка боковой поверхности косого конуса, усеченного
наклонной плоскостью:
а — сечение конуса; б — диаграмма образующих; в — развертка
нуса проводим вертикальную линию Ро6, которая является осью
симметрии, и откладываем на ней из диаграммы длину образую¬
щей Ро6, которая соответствует наименьшей высоте Н2 усеченно¬
го конуса. Справа и слева от точки 6 развертки засечем дуги
радиусом, равным делениям окружности основания. На них засе¬
чем длины образующих Р&5. Так последовательно перенесем дли¬
ны всех образующих и соединим конечные точки плавной кри¬
вой. Для получения развертки эллиптического сечения конуса
из диаграммы на каждую образующую перенесем отрезки О О0,
1 1,2 20,..., 6 60. Полученные точки О0, /0, 20,... соединим плав-
93
ной кривой и получим развертку боковой поверхности косого
усеченного конуса.
Развертка переходного патрубка с круглым и прямоугольным
основаниями. Дано: размеры прямоугольного основания ах Ь,
диаметр круглого основания О и высота патрубка Н (рис. 124).
Боковая поверхность такого патрубка образуется из четырех
частей конической поверхности и четырех плоских треугольни¬
ков. Вершины конических поверхностей совпадают с углами
прямоугольного основания. Четверть окружности верхнего осно-
Рис. 124. Развертка патрубка с круглым и
ниями:
прямоугольным основа-
а — патрубок; б — диаграмма образующих; в — развертка
вания патрубка делим на четыре равные части, и точки деления
соединяем с углом прямоугольника в точке А. Эти лучи перено¬
сим на фронтальную проекцию, и для определения действитель¬
ной длины образующих построим диаграмму с прямым углом
РО4. На горизонтальной оси от точки О откладываем отрезки
АО, А1,...,А4 равные проекциям образующих на горизонтальную
плоскость. На вертикальной оси откладываем отрезок ОР, рав¬
ный высоте //патрубка. Гипотенузы 1Р, 2Р,„.,4Р прямоугольных
треугольников представляют собой действительные длины обра¬
зующих.
Построение развертки надо начинать с оси симметрии 4С,
которая является высотой равнобедренного треугольника А'4'В'.
От точки 4 вправо и влево откладываем отрезки, равные деле¬
ниям окружности в плане. Из диаграммы циркулем берем по¬
следовательно длины образующих и засекаем из точек А и В
94

соответствующие точки развернутой окружности. Патрубок изго¬
товляют из двух одинаковых разверток, стыкуемых по ли¬
нии М№
Развертка винтовой поверхности. Дано: Л1— внутренний и
Дг — наружный диаметры шнека; 5 — шаг винтовой поверхности
(рис. 125).
Развернутая длина одного витка винтовой линии равна гипо¬
тенузе прямоугольного треугольника, один катет которого равен
шагу 5 винтовой линии, а другой — длине окружности цилиндра,
на котором нанесена винтовая линия. Построим прямоугольные
Рис. 125. Определение элементов развертки винтовой поверхности
треугольники АСЕ и ВСЕ, у которых общий катет СЕ равен ша¬
гу 5 винтовой поверхности, катеты АС и ВС равны длинам ок¬
ружностей лТ)2 и а гипотенузы АЕ и ВЕ равны длинам раз¬
вернутых винтовых линий В2 и одного витка. От точки А на
гипотенузе отложим отрезок АК, равный отрезку ВЕ, а от точ¬
ки Е отложим отрезок ЕМ, равный ширине Ъ винтовой поверхно¬
сти. Соединим прямой точки В и К и через точку М проведем пря¬
мую ММ, параллельную прямой В/С Отрезок ЕМ равен радиусу
отверстия кольцевой развертки одного витка винтовой поверх¬
ности. Если ширина винтовой поверхности Ь = 0,5 (В2— В)\), то
наружный радиус /?2 развертки равен
=
Угол выреза развертки
_ 360° (2л#2 — Л2)
2л/?2	’
95

а хорда
аЬ = 2/?2 зш
Для получения винтовой поверхности вырезают необходимое
количество разверток отдельных витков. На цилиндре диа¬
метра наносят винтовую линию шага 5, кольцевые развертки
отдельных витков растягивают по винтовой линии и привари¬
вают их к цилиндру, а также сваривают между собой по торцам.
Винтовые поверхности в технике применяются в конструкции
транспортеров для перемещения и подъема сыпучих материалов
и жидкостей в растворомешалках и др.
Развертка двух пересекающихся прямых круговых цилиндров.
Дано: пересечение симметричное под прямым углом, диаметры
цилиндров 2)1 и О2 (рис. 126).
Рис. 126. Развертка пересечения цилиндров:
а — пересечение цилиндров; б — развертка боковой поверхности;
в — развертка отверстия
Из центров О\ и О\ на фронтальной и профильной проекциях
опишем полуокружность диаметра 2)1 и разобьем ее на восемь
равных частей. Через точки деления проведем линии, параллель¬
ные вертикальной оси цилиндра, до встречи с окружностью гори¬
зонтального цилиндра в точках О',	2', ..., 4', которые перено-
96

сим по горизонталям на соответствующие параллели профиль¬
ной проекции, в результате чего .'получим линию пересечения
двух цилиндров. Длины ординат О" О", Г' Г', 2" 2\ и 3" 3"
используем для построения развертки боковой поверхности вер¬
тикального цилиндра. На горизонтальной прямой ММ отложим
отрезок, длина которого равна тсО1, и разделим его на 16 равных
частей. Через точки деления проведем вертикали, на которых от
линии МЫ отложим ординаты О" О'[, Г' Г[, 2" 2'' и 3" 3'[ и
соединим полученные точки плавной кривой.
Развертку отверстия горизонтального цилиндра строят нане¬
сением сетки из взаимно перпендикулярных прямых, взятых
из основных проекций. Точки 'пересечения линий сетки опреде¬
ляют очертание выреза в цилиндре.
Развертка поверхности пересекающихся круговых конусов.
Оси конусов расположены во фронтальной плоскости и пере¬
секаются под произвольным углом в точке О (рис. 127). В этом
Рис. 127. Развертка пересечения конусов:
а — пересечение конусов; б — развертка боковой поверхности усечен¬
ного конуса; в — развертка отверстия конуса
случае для построения линии пересечения поверхностей конусов
целесообразно применить метод вспомогательных концентриче¬
ских сфер.
Это позволяет пользоваться лишь одной фронтальной проек¬
цией с нанесением полуокружностей оснований конусов.
4 Зак. 334	97
Из центра О пересечения осей конусов построим произвольную
сферу, которая на чертеже изобразится окружностью I. Эта
сфера будет соосна с той и другой конической поверхностью и
рассечет каждую из них по окружности. Окружности на чер¬
теже, в данном случае, изобразятся отрезками прямых АА и ВВ,
а точка С (пересечения этих прямых будет расположена на иско¬
мой линии пересечения.
Для нахождения линии пересечения поверхностей конусов
важно, чтобы радиус окружности сферы был меньше расстоя¬
ния 01. Изменяя радиус вспомогательной сферы, можно полу¬
чить необходимое число точек для вычерчивания линии пересе¬
чения. Точки 1 и 5 являются точками пересечения очерковых
образующих конусов. Для нахождения границы линии пересече¬
ния построим сферу ///, вписанную в конус с вертикальной осью.
В результате получим точку 3. Промежуточная сфера // даст
точки 2 и 4.
Для построения разверток разделим полуокружности основа¬
ний вертикального конуса на шесть частей, а усеченного ко¬
нуса — на четыре части. Через точки деления, перенесенные на
диаметр, проводим образующие, находим их истинные длины и
подсчитываем угол а при вершине развертки усеченного конуса.
10.	ТОЧНОСТЬ РАЗМЕТКИ
В графических построениях неизбежны погрешности, кото¬
рые вызываются совместным влиянием ряда независимых факто¬
ров. Часть из них носит систематический характер, например,
неточность градуировки шкал. Другая часть относится к случай¬
ным ошибкам, связанным с несовершенством органа зрения,
невнимательностью и неаккуратностью.
Для повышения точности графических построений и расчетов
необходимо знать и учитывать причины возникновения и вели¬
чины ошибок. По данным Б. Я. Мирошниченко, эксперименталь¬
ными и статистическими методами определены пределы точности
элементарных графических построений.
Приведем некоторые из этих данных. Например, при проведе¬
нии прямой через точку минимальная погрешность составляет
0,08 мм, при откладывании отрезка — 0,04 мм, при отмеривании
отрезка циркулем — 0,04—0,09 мм, при нахождении точки пере¬
сечения прямых— 0,03 мм, при нанесении точки на прямой ка¬
рандашом— 0,05 мм, при нанесении точки на прямой цирку¬
лем— 0,03 мм, при установке ножки циркуля в данную точку —
0,08 мм.
Диаметр пятна ошибок при установке ножки циркуля ра¬
вен 0,2 мм, то же при отметке карандашом — 0,25—0,3 мм. Под
пятном ошибок понимают поле, в пределах которого уклады¬
ваются ошибки данного графического построения.
98

Точность нанесения угла по транспортиру равна 0,06°, т. е.
приблизительно 4х, угловая точность проведения по угольнику
и линейке перпендикуляров и параллельных линий при длине
их 1= 100 мм—16", угловая точность прикладывания линейки
к двум
л =
точкам, отстоящим друг от друга на
0,04
-у-, то же к прямой
линии
длиной I:	=
расстоянии
0,003
I ’
Рис. 128. Определение точности графического деления отрезка
прямой пополам
Элементарные графические построения (разметка точек, пря¬
мых, дуг окружностей) применяются при более сложных по¬
строениях, например, при построении углов, делении отрезков
и окружностей на части, разметке плоских фигур и др. Необхо¬
димо учитывать, что ошибки, допущенные в элементарных
построениях, накапливаются. Поэтому каждое элементарное
построение следует выполнять с наибольшей возможной точ¬
ностью.
99
4*

Особенно высокие требования к точности -разметочных работ
предъявляются при выполнении объемной машиностроительной
разметки, при инструментальной и некоторых видах плазовой
разметки, при разметке штампов и прессформ, связанной со
сложными графическими построениями.
Для определения суммарной погрешности в графическом по¬
строении применяется метод сложения пятен ошибок. Рассмот¬
рим, например, по данным Б. Я. Мирошниченко, с какой вероят¬
ной точностью с помощью циркуля и линейки можно разделить
отрезок пополам (рис. 128). При установке ножки циркуля сна¬
чала в точку Аь а затем в точку А2 неизбежна некоторая по¬
грешность, которая может быть изображена пятном ошибок
в риде окружности с центрами в точках А{ и А2. Исходя из -край¬
них возможных -положений ножки циркуля в пределах окруж¬
ности, пятном ошибок для точек В1 и В2 будет заштрихованная
зона, ограниченная пересечением дуг к2 и /пь т2 в пределах
которой, вероятно, окажутся точки пересечения дуг кит.
При проведении между точками и В2 общей хорды, которая
должна в точке С! разделить отрезок ЛИ2 пополам, возникнут
дополнительные погрешности, которые изобразятся эллипсами.
Огибающая их кривая п определяет границы суммарного пятна
ошибок. Наибольшая ошибка при делении отрезка АгА2 попо¬
лам получится, очевидно, при смещении общей хорды в положе¬
ние касательной к суммарному пятну ошибок, для которой С2 бу¬
дет искомой точкой. Отрезок характеризует наибольшую
возможную ошибку при делении отрезка А[А2 пополам.
Для достижения наибольшей точности при графическом де¬
лении отрезка следует так подбирать длину радиуса дуг к
и т, чтобы касательные к ним в точках В{ и В2 пересекались под
углом, близким к 90°. Этому условию удовлетворит радиус,
равный 41Л2: V 2 = 0,7Д1Д2. В этом случае эллипсы ошибок
обратятся в круги с радиусом, равным 0,03 мм. Ширина заштри¬
хованного пятна будет 2-0,08 мм. Значение ошибки С{С2 будет
равно в этом случае сумме проекций на А1 А2 двух отрезков
СА = ЕХЕ + ЕР соз 45° = 0,03 + 2 ' °’°8 ^2- = 0,14 мм.
Вычислив точность деления отрезка пополам, не следует
в дальнейшем дробить эти построения на элементарные, а нужно
пользоваться полученным результатом. Суммируя ошибки типо¬
вых построений, можно быстро определить точность сложного
графического построения.

ГЛАВА
III
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
11.	СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
При графических построениях оперируют геометрическими
элементами, имеющими то или иное физическое измерение.
Результат графического построения дает только число, наи¬
менование же единиц зависит от наименований данных чисел.
Если числа а и Ь измеряются в ж, то произведение их — в м2
или если а и Ь — в кгс и ж, то результат — в кгсм.
Пользуясь циркулем и линейкой, каждое число можно 'изо¬
бразить графически отрезком прямой линии, длина которого
зависит от выбора модуля построения. Модулем графического
изображения числа считают число миллиметров, условно при¬
нятое для изображения единицы данного числа.
Выбор модулей позволяет так подобрать размеры чертежа,
чтобы графические построения не выходили за рамки выбран¬
ного формата листа.
Сложение и вычитание чисел. При сложении чисел соответст¬
вующие им отрезки прямых линий откладывают один за другим
в одну сторону, принятую для положительного направления.
При вычитании вычитаемый отрезок откладывается от конца
первого отрезка в обратную сторону. Для нахождения числовых
значений результата сложения или вычитания необходимо знать
модуль построения.
Сложение и вычитание отношений. Требуется произвести
алгебраическое сложение отношений, которые приводим к об¬
щему знаменателю
*>1 ।		=	+ Уч — Уз = а
с с	с з	б/	с1
В прямоугольной системе координат отложим в мм по оси
ординат отрезки числителей отношений с учетом знака, а по оси
абсцисс отрезки знаменателей и отрезок б/ общего знаменателя
произвольной длины (рис. 129). Соединим прямыми линиями
соответствующие точки отрезков числителей и знаменателей В{
и Сь В2 и С2, В3 и С3 и из точки О проведем лучи, параллельные
этим линиям, до пересечения с осью ординат. Исходя из подобия
треугольников ОВ^С^ и ОухВ найдем графически отрезок у{.
101

Таким же путем найдем отрезки у2 и у3. Суммирование их по
общему правилу даст величину и знак отрезка а. Разделив отре¬
зок а на отрезок й, найдем искомую сумму.
Сложение кривых. В инженерной практике чаще пользуются
эмпирическими кривыми и графиками функций, нежели их ана¬
литическими выражениями, по¬
этому «возникает необходи¬
мость производить с кривыми
алгебраические действия.
Даны кривые у\ = и
у2 = <р(х) с одной и той же не¬
зависимой переменной (рис.
130). Требуется построить кри¬
вую
Уз = /(*) + <Р (х),
ординаты которой равны сумме
соответствующих ординат дан¬
ных кривых. Кривые строят в
общей системе координат и в
одинаковом масштабе. Для
удобства сложения кривых ор-
Рис. 130. Сложение кривых ДИНЗТЫ фуНКЦИИ у{ ОТКЛЗДЫ-
вают вверх, а ординаты функ¬
ции у2— вниз. На оси Ох возьмем абсциссу Х1 начальной точки
разбивки и от нее ряд точек, отстоящих одна от другой на рас¬
стоянии Дх. Через эти точки проведем ординаты, после чего от
оси Ох циркулем откладываем суммарные ординаты ГГ\ 2'2",
102

3'3",... Найденные точки /, 2, 5, ... соединим плавной кривой, ко¬
торая представляет собой сумму заданных кривых.
Вычитание кривых. При вычитании кривые также строят
в общей системе координат и в одинаковом масштабе, но орди¬
наты для обеих кривых откладывают от оси Ох в одну сторону.
Отрезки ординат, ограниченные данными кривыми, откладывают
циркулем от оси Ох и через полученные точки проводят плавную
кривую, которая представляет собой разность данных кривых.
12.	УМНОЖЕНИЕ
Умножение чисел и отношений. При графическом умножении
и делении знак произведения и частного определяют по прави¬
лам алгебры, а действия производят, не обращая внимания на
знаки величин.
Произведение вида аЬ = у можно представить отношением
а _ У
1 Ь ’
На горизонтальной прямой от точки О отложим отрез¬
ки ОА = 1 и ОВ =Ь (рис. 131). Восставим перпендикуляры
в точках Л, В и X. От точки А вверх отложим отрезок АС, рав¬
ный а. Через точки О и С проведем прямую ОС, которая пере¬
сечет два других перпендикуляра в точках О и У. Отрезок ВБ
равен искомому произведению аЬ, что вытекает из подобия тре¬
угольников О АС и ОБО.
Перпендикуляр, восставленный в любой точке X до пересе¬
чения с прямой ОС, даст отрезок XV, равный произведению ах.
Таким образом, это построение может быть использовано для
пересчета масштаба и пропорционального увеличения заданных
величин.
Произведение вида — с = у или	можно найти,
Ь	о с
пользуясь описанным выше построением (рис. 131).
Произведение отношении — . — • — находим следующим
Сх б?2 С3
образом. На оси Ох от начала координат О отложим отрез¬
ки ОС. = с., ОС2 = с2 и ОС3 = с3. На вертикалях от точек Сь
С2 и С3, отложим отрезки В.С. = &ь В2С2 = Ь2 и В3С3 = Ь3
(рис. 132). На оси Ох берем отрезок ОХ. произвольной длины Х1
и проводим луч ОВ. до пересечения в точке У1 с вертикалью, про¬
ходящей через точку X., Получим ординату у.. Затем отклады¬
ваем абсциссу х2, равную ординате у., проводим луч ОВ2 и нахо¬
дим ординату у2. Откладываем, аналогично, абсциссу х3, равную
ординате у2, проводим луч ОВ. и находим ординату уз.
Из подобия треугольников ОВ.С. и ОУ.Х., ОВ2С2 и ОУ2Х2,
ОВ3С3 и ОУ3Х3 находим, что произведение отношений равно
^2	^3 _ Уз
С-^	^2	с3 Х-^
103

Если принять, что %1 = 1, то уз даст значение искомого произ¬
ведения.
Умножение кривой на постоянную величину. Дана кривая
Уа = Нх) (рис. 133). Требуется построить кривую уъ = К}(х'),
где К — некоторая постоянная величина.
На кривой уа = Нх) возьмем несколько характерных равно¬
мерно распределенных точек /, 2, 3,... и спроектируем их на оси
Рис. 133. Умножение кривой на постоянную величину
Оу и Ох. Выберем на продолжении оси Ох произвольно точку
полюса Р и соединим ее лучами с точками, перенесенными с кри¬
вой на ось Оу. Пересечем пучок лучей произвольно выбранной
вертикалью АВ. Точки пересечения перенесем по горизонталям
на соответствующие ординаты данной кривой и соединим их
плавной кривой линией, которая представляет собой искомую
104
кривую уъ = К}{х) в некотором масштабе. Для определения мас¬
штаба полученной кривой зададимся произвольным значением
данной функции уа, например у{ = ОС, и найдем соответствую¬
щее ему произведение Ку\ = АВ = а {мм). Затем изме¬
рим ОС = {/1 в масштабе данной кривой и вычислим аналити¬
чески произведение Ку\ = Ь {единиц). Отсюда масштаб иско¬
мой кривой равен — {единиц/мм).
а
Если масштаб искомой кривой указан заранее, то верти¬
каль АВ должна быть проведена на определенном расстоянии
от полюса Р. Для этого вычислим аналитически произведе¬
ние Ку. Полученная ордината в масштабе, указанном для иско¬
мой кривой, засечет луч СР в точке В.
Через точку пересечения проведем вертикаль АВ.
Если К — отвлеченное число и умножение данной кривой слу¬
жит только для измерения масштаба ординат, то положение
полюса Р на оси Ох, т. е. расстояние ОР выбирается произволь¬
но. Расстояние же вертикали АВ от полюса Р вычисляется по
формуле АР = ОР -К.
Умножение двух кривых. Даны кривые уа = Нх) и уь = $(*)•
Требуется построить кривую
ус = |(х)ч>(х).
Первую данную кривую строим в системе координат у'Ох
(рис. 134). Точки 1, 2, 3,... спроектируем на ординату. Из полю¬
са Р, взятого произвольно на продолжении оси Ох, проведен
пучок лучей через спроектированные точки. Вторую заданную
кривую строим в системе координат у"Рх, повернутой по часовой
стрелке на 90° по отношению к первой системе координат.
На второй кривой 'берем точки, соответствующие точкам первой
кривой, и переносим по вертикальным прямым на соответствую¬
щие лучи. Полученные на лучах точки 1", 2", 3”,... по горизонта¬
лям переносим в первую систему координат на соответствующие
ординаты и соединяем плавной линией, которая и является
искомой.
Метод основан на подобии треугольников РО1 и РА1"
Из треугольника РО1 имеем	треугольни¬
ка РА1" имеет АГ' =	= -^1	. Отсюда следует, что
в некотором масштабе ординаты искомой кривой пропорцио¬
нальны произведению соответствующих ординат данных кривых.
Если искомая кривая является промежуточным построением,
то масштаб ее может остаться неопределенным.
Если искомая кривая не входит в дальнейшее построение и
представляет собой конечный результат, то для определения ее
масштаба зададимся произвольными значениями первой и вто-
105
рой заданных функций, например ух = 01 и уА = РА. Верти¬
каль А1", проходящая через точку А и пересекающая луч 1Р
в точке выражает графически произведение принятых значе¬
ний данных функций ух-у а = А1" = а {мм). Это произведение
найдем аналитически, для чего измерим отрезки 01 = у{ и
РА = уА, каждый в масштабе данных кривых, и получим у\-уА =
= Ь (единиц). Масштаб искомой кривой равен
— (единиц/мм),
а
(39)
Если масштаб, в котором должна получиться искомая к]
произвольным. Расстояние ОР надо определить, для чего произ¬
вольное значение второй функции выбирают так, чтобы отре¬
зок А1" совпал с отрезком 01 первой функции на оси орди¬
нат Оу'. Тогда соответствующее значение искомой функции, т. е.
произведение частных значений Ух-У^ выразится на чертеже
отрезком 01. Измерим отрезок 01 сначала в масштабе первой
функции и найдем численную величину у{, затем — в масштабе
искомой функции, получим численное значение ^'".Но у['У'^=у\\
у.
тогда г/ц = ОР =	— . Отложим по оси Ох от точки О отре-
зок у"0 в масштабе второй функции и найдем положение полюса.
106

Умножение кривых, заданных шкалой. До сих пор рассматри¬
вались алгебраические действия над кривыми, заданными в опре¬
деленной системе координат. Такое изображение переменной
является наглядным, но не всегда удобным для выполнения
различных операций. Можно задать функцию шкалой. Для
этого возьмем на оси Ох (рис. 135) абсциссу х0 начальной
точки кривой и длины участков разбивки Лх. Разбивка делается
всегда на равные участки. Если разбивка начинается от начала
координат, то х0 = 0. Через точки разбивки проводим ордина¬
Рис. 135. Задание кривой шка¬
лой
Рис. 136. Умножение кривых, за¬
данных шкалами
ты 1 1,2 2,3 3,... до пересечения с заданной кривой у = /(х);
полученные точки кривой проектируются на ось Оу и соответ¬
ственно нумеруются. Таким образом, нанесение точек кривой на
оси ординат является заданием функции в виде шкалы.
Если при выполнении алгебраических действий имеют дело
с несколькими кривыми при одной независимой переменной, то
для использования в общих построениях кривых, заданных шка¬
лами, абсциссы начальных точек деления х0 длины участков
разбивки Дх и нумерация точек должны быть одинаковыми для
всех кривых.
Пусть даны кривые уа = /(х) и Уъ = ф(*)> заданные шкала¬
ми. Требуется произвести их умножение и построить шкалу
кривой
Ус = №ч(х).
На оси ординат нанесем шкалу первой кривой (рис. 136).
На оси абсцисс выберем произвольно полюс Р и построим пучок
лучей к точкам шкалы первой кривой. От полюса Р по оси
абсцисс нанесем шкалу второй кривой и от точек этой шкалы
проведем вертикали до пересечения с соответствующими лучами.
107

Точки пересечения Г, 2', 3',... определяют ординаты искомой кри¬
вой. Для получения шкалы кривой ус =-!(х) -ф(х) переносим точ¬
ки /х, 2х, 5х,... на произвольно нанесенную вертикаль АВ.
Для определения масштаба построенной кривой, как описано
выше, следует задаться двумя частными значениями функ¬
ций уа и уъ и найти их произведение графически и аналитически.
Масштаб искомой кривой равен — единиц!мм.
а
Умножение функции на независимую переменную. Кривая
У а = /(х) задана шкалой. Требуется построить кривую
у6 = х/(х).
Шкалу кривой уа = I(х) нанесем на оси Оу (рис. 137).
На оси Ох выберем произвольно точку полюса Р и построим
Рис. 137. Умножение функции на независимую пере¬
менную
пучок лучей к точкам шкалы заданной кривой. От полюса Р
по оси Ох отложим абсциссу х0 начальной точки разбивки иско¬
мой кривой и длины участков Дх. Через точки разбивки на
оси Ох проведем вертикали 1 Г 2 2', 3 3',...до пересечения с
соответствующими лучами. Через точки пересечения проведем
плавную линию, которая и будет искомой кривой. Масштаб ее
определяется так же, как и в предыдущих случаях.
13.	ДЕЛЕНИЕ
Деление чисел и отношений. Задача графического деления св о
дится к графическому умножению, рассмотренному выше.
Имеем:
Ь] .	= ь±_ с2 _ у2
с2 сг Ь2
108

Частное от деления чисел определяется как четвертая про¬
порциональная к отрезкам Ь, с и Г.
Ь
- =
с
_ У
с 1 ’
На горизонтальной прямой от точки О откладываем отрез¬
ки О А = Ь, ОВ = с и ОХ = х (рис. 138). В точках Л, В и X восста¬
вим перпендикуляры к прямой ОХ и от точки В откладываем от¬
резок ВО = 1. Прямая ОО пересечет два других перпендику¬
ляра в точках С и У. Отрезок АС представляет собой искомое
частное —. Отрезок ХУ для любой другой величины х будет
с
частным от деления х на с. Этот прием может быть использован
Рис. 139. Определение обратной ве-
Рис. 138. Деление чисел	личины
для пересчета масштаба и
личин.
пропорционального уменьшения ве-
Если в предыдущем отношении Ь = 1, т. е.
Ь	у 1	у	<
- = т; — = т-;су = 1.
С	1	с	1
то с и у будут обратными величинами, так как произведение их
равно единице.
Для графического определения обратных величин построим
полуокружность на отрезке ОА = 1 и в точке А проведем каса¬
тельную к окружности до пересечения с произвольной пря¬
мой ОС (рис. 139).
Из подобия треугольников ОАС и ОАВ следует
ОС
1
— ; ОС ■ ОВ= 1; ОС =
ОВ
1
ОВ
ов = —
ос
В зависимости от того, будет ли данный отрезок больше или
меньше единицы, из центра О, засечем точки на касательной
к окружности радиусом ОС или ОВ и найдем отрезки обратных
величин.
109

Деление двух кривых. Даны кривые уа = ^(х) иуб = <р(х).
Требуется построить кривую
ф(х)
Первую данную кривую строим в системе координат уОх
(рис. 140). Через точки 1, 2, 3,... этой кривой проведем вертикали
до пересечения с осью Ох. Вторую данную кривую строим в си¬
стеме координат у'Рх', повернутой по часовой стрелке на 90°
по отношению к первой системе координат, с началом координат
в произвольно выбранной точке Р, расположенной на продол¬
жении оси Ох. Через точки /, 2, 3... первой кривой проведем го¬
ризонтали до пересечения с вертикалями, проведенными через
точки /, 2, 3, ... второй кривой. Точки пересечения Г, 2', 3', ...
соединим пучком лучей с полюсом Р. Пересечем пучок лучей
произвольной вертикалью АВ. Ординаты точек пересечения 2",
3", представляют собой в некотором масштабе ординаты искомой
кривой. Перенесем их горизонтально на соответствующие орд**
наты первой данной кривой. Соединив полученные точки 2,
3,..., найдем искомую кривую.
Метод основан на подобии треугольников РЕ4' и РА4", от¬
куда
= 2^1 Или А4" = РА ,
РЕ РА	<р (х)
ПО

г. е. ординаты искомой кривой пропорциональны частному от
деления двух заданных функций в некотором масштабе.
Масштаб -искомой кривой определяется аналогично предыду¬
щему. Зададимся произвольными значениями первой функции
у' = Е4' и второй функции у^ = РЕ. Найдем графически част-
/
ное	а мм Затем измерим отрезок Е4' в масштабе
Уо
первой кривой, отрезок РЕ в масштабе второй кривой и опреде-
У о
лим аналитически частное —
= Ь единиц.
кривой равен
Деление
Уъ
Масштаб искомой
— единицам,
а
кривых, заданных
шкалами. Кривые уа = 1(х) и
= <р(х) заданы
Требуется построить
шкалы кривую
ф(х)
В прямоугольной
шкалами,
в виде
системе
координат по оси ординат на¬
несем шкалу первой кривой и
Рис. 141. Деление кривых, заданных
шкалами
через точки шкалы проведем горизонтали (рис. 141). По оси
абсцисс, также от начала координат, отложим точки шкалы вто¬
рой кривой, через которые проведем вертикали до пересечения с
соответствующими горизонталями. Точки пересечения Г, 2', 3',...
соединим с началом координат пучком лучей и пересечем произ¬
вольной прямой АВ, параллельной оси Оу, на которой отложена
первая кривая — делимое. Ординаты точек Г', 2", 3", ... по от¬
ношению к оси Ох представляют собой в некотором масштабе
шкалу искомой кривой. Масштаб этой кривой определяется ана¬
логично предыдущему.
Если тот же пучок лучей пересечем прямой СИ, параллельной
оси Ох, то расстояния точек Г', 2", 3‘
от оси Оу представляют
собой в некотором масштабе ординаты кривой ус =
Ф(х)
«х)
Деление постоянной величины на заданную функцию,
кривая уа = $(х). Требуется построить кривую
Дана
_ С
Уь~ Их) ’
где С — постоянная величина.
111

В системе координат уОх дан график функции уа = 1(х)
(рис. 142). Точки /, 2, <?,... этой кривой перенесем на ось Оу и
соединим пучком лучей с полюсом Р, произвольно выбранным
на продолжении оси Ох. Проведем вертикаль Р8 через полюс Р.
Пересечем пучок лучей произвольной горизонталью АВ. Тогда
отрезки А1", А2", АЗ",... будут ординатами искомой кривой, по¬
строенной в виде шкалы в некотором масштабе.
Для того чтобы получить искомую кривую в развернутом
виде, на оси Р8 от точки А отложим абсциссу х0 начальной точ¬
ки разбивки и длины участков Дх. Проведем через эти точки го-
Рис. 142. Деление постоянной величины на заданную
функцию
ризонтали до пересечения с соответствующими вертикалями,
проведенными из точек 1", 2", 3",... Через полученные точки про¬
ведем искомую кривую. Масштаб искомой кривой определяем
вышеуказанным способом.
Деление функции на независимую переменную. Дана кривая
У а = !(%)• Требуется построить в виде шкалы кривую
Нанесем на оси Ох длины участков Дх и точки кривой /, 2,3,...
соединим пучком лучей с началом координат (рис. 143). Если
пучок лучей пересечь произвольной горизонталью АВ, то точки
пересечения ее с лучами определят ординаты искомой кривой.
Деление с переносом полюса пучка лучей. Перенос полюса
пучка лучей позволяет решить графически ряд новых задач.
Пусть даны две функции уа = 1(х) и #ь = ф(х) в виде шкал.
Требуется найти шкалу кривой
_ Их) — а >
Ус	, ~	»
где а равно расстоянию, на которое перенесен полюс пучка лу¬
чей по оси Ох (рис. 144).
112

При пересечении лучей горизонтальной линией СО получим
ряд точек	2', 5х,..., расстояния которых от новой оси Ру\, про-
Рис. 143. Деление функции на неза¬
висимую переменную
Рис. 144. Деление с переносом полю¬
са пучка лучей
ходящей через полюс Р, представляют собой в некотором мас¬
штабе ординаты кривой
ф(х)
С другой стороны, пересечение пучка лучей вертикалью АВ
даст ряд точек 2", расстояния которых от оси Ох будут
ординатами кривой
у = -*(х} ■■
/ М — а
Деление с двойным переносом полюса. Шкалы заданных кри¬
вых уа = Цх) и уъ = ч(х) наносим на осях прямоугольной сис¬
темы координат (рис. 145). Полюс Р из начала координат пере¬
несен от оси ординат на расстояние а и от оси абсцисс на рас¬
стояние Ь. Пучок лучей пересечем горизонтальной прямой АВ.
Точки пересечения /, 2, 5,... от новой оси ординат Рух находятся
на определенных расстояниях, которые представляют собой
ординаты кривой
у = Кх)~а .
Ср (х) — 6
Деление с вынесением полюса пучка лучей. Четыре кривые
у = /1(х), у = ф1 (х), у = ^2(*) и у = ф2(*) заданы шкалами. Тре¬
буется построить кривую
Ф1 (*) — Фа (х)
/1(х)-/2(х)
ИЗ

Шкалу кривой у = ф1(Х) отложим по вертикали ВС (рис. 146).
Шкалу кривой у = }1(х) нанесем по горизонтали АВ. Построим
кривую ОЕ. Шкалу кривой у = <рг(х) отложим по оси Оу. Шка-
Рис. 145. Деление с двойным переносом
полюса
лу кривой у = И(х) нанесем от начала координат по оси Ох. По¬
строим кривую ММ. Точки кривой ОЕ соединим с соответствую-
Рис. 146. Деление с вынесением полюса
щими точками кривой Л4М лучами 1'1", 2'2", 3'3",..., которые об¬
разуют с осью Ох углы 1(11, аг, аз-.- Тангенсы этих углов, пропор¬
циональные ординатам искомой кривой, выражаются уравнением
= Ф1 М — ф2 (х)
114

Цля получения шкалы искомой кривой вынесем полюс Р{.
На произвольном расстоянии РгК от полюса нанесем секущую
вертикаль КВ и проведем пучок лучей Рх1, Р{2, Р^,... параллель¬
но лучам 1'1", 2'2", 3'3",... Шкала искомой кривой в некотором
масштабе получается на вертикали КВ.
Для получения шкалы кривой обратной функции
у =
<Р1 (*) — <р2 (х)
пучок лучей наносится от полюса Р% к горизонтальной секущей
8Т. Шкала искомой кривой читается на линии 8Т.
Совмещение умножения и деления в одном построении. Пусть
требуется построить в виде шкалы кривую
и =	(х)
ЯЧх)
по трем известным функциям у' = 1(х), у" = ср(х) и у'" = ф(Х),
заданным также в виде шкал. На горизонтальной оси РМ отло-
ц"=(р(х)
У'"=
Рис. 147. Умножение и деление кривых в одном построении
жим от полюса Р заданную шкалу кривой у'" = ф(Х), входящей
в знаменатель (рис. 147). На вертикальной оси МК отложим
шкалу кривой у' = }(х), входящей в числитель. Точки пересе¬
чения вертикалей и горизонталей, проведенных через точки раз¬
бивки, соединим пучком лучей с полюсом Р. Шкалу кривой
у" = 4>(х) нанесем на произвольно расположенной горизонтали
АВ. Вертикали, проведенные через точки разбивки этой кривой
до пересечения с соответствующими лучами, засекают точки
115
ординат искомой кривой. Шкалу искомой кривой найдем путем
переноса точек ординат на ось АР.
Для определения масштаба искомой кривой зададимся част¬
ными значениями функций и найдем графически, а затем, изме¬
ряя отрезки в масштабах кривых, вычислим ту же величину ана¬
литически
= а (мм)\	= Ь (единиц).
у'о"	у'о"
Масштаб искомой кривой равен — единицам.
14. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ
Возведение отношения в степень. Графическое возведение
в степень может быть сведено к повторному умножению, как это
показано на рис. 132. Имеем
Ь \з
Уз
с
с с с
На оси Ох отложим ОД = с, из точки Д проведем вертикаль,
на которой нанесем отрезок ДД = &, и через точку Е проведем
луч ОЕ (рис. 148). На оси Ох произвольно нанесем точку
абсцисса которой равна Вертикаль, проведенная через точку
Хь пересечет луч ОЕ в точке Ур Ордината = у\. На оси Ох
отложим абсциссу х%, равную у\. На вертикали, проведенной
через точку Х2, получим ординату у2. Снова отложим от точки О
абсциссу х3, равную уг, и на вертикали, проходящей через точку
Аз, получим ординату у3, которая при Х1 = 1 даст искомый ре¬
зультат.
Нужно учесть, что при Ь < с отрезок Х1 следует выбирать
возможно больше, а при Ь > с отрезок хг надо брать возможно
меньше, чтобы построения не выходили за пределы чертежа.
Для отношения
/ Ь
\ с )
где п — целое число, построение сводится
к предыдущему слу¬
чаю, а именно
Возведение в степень п числа &, где п — целое число, тоже
может быть сведено к предыдущему случаю, так как
Графические построения удобно вести по способу, приведен¬
ному на рис. 131 для умножения двух величин.
116

В координатах уОх на оси абсцисс отложим от точки О в со¬
ответствии с принятым масштабом отрезки ОА = 1 и ОВ = Ь
(рис. 149). Через точки А и В проведем прямые, параллельные
оси ординат. От точки А отложим отрезок АЕ{ = Ь и из начала
координат О через точку Е[ проведем луч ОВ{, который пересе¬
чет вторую вертикальную линию в точке Е2. Отрезок ВЕ2 =
= Ь • Ь = Ь2. Через точку Е2 проведем линию ьО2^2, параллельную
оси абсцисс. Через точку О2 снова проведем луч ОР)2 и найдем
точку Е3. Отрезок ВЕ3 = Ь2 • Ь = Ь3.
Если аналогичные построения продолжить в другую сторо¬
ну— вниз, то получим
ВЕ0 = — = 1;	ВЕ_2 = — = Ь~2 и т. д.
Ь	Ь	Ь*
Возведение кривых в квадрат. Дана кривая у = }(х)‘ Тре¬
буется построить кривую
У = [Ж12.
Заданную кривую построим в прямоугольной системе коор¬
динат уОх (рис. 150). Точки кривой /, 2, 5,... спроектируем на ось
ординат и соединим пучком лучей с произвольно выбранным на
продолжении оси Ох полюсом Р. На продолжении оси ординат
выберем произвольную точку А и соединим ее лучом РА с по¬
люсом. Проведем горизонтальные прямые от точек кривой до
пересечения с лучом РА. Полученные точки пересечения по вер¬
тикалям перенесем на соответствующие лучи. Ординаты точек
Г, 2', 3',... являются ординатами искомой кривой в некотором
117

масштабе. Перенесем эти точки на соответствующие ординаты
данной кривой и проведем искомую кривую.
Масштаб искомой кривой, как и ранее, определяется из част¬
ного значения функции, например, отрезка ОА. Графически най¬
дем ОА = у^ = (Уд)2 = и мм. Затем измерим у'^ в масштабе дан¬
ной кривой и вычислим аналитически (у^)2 = Ь единиц. Масштаб
искомой кривой равен — единиц/мм.
а
Возведение кривых в куб. Дана кривая у = ?(х). Требуется
построить кривую
У = [Ц*)]3-
Метод, примененный при возведении кривой в квадрат, здесь
повторяется дважды (рис. 151). Масштаб искомой кривой опре¬
деляется аналогично предыдущему.
Возведение кривых вл-ю степень. Дана кривая у = }(х). Тре¬
буется построить кривую
У= [/(*)]“ при и >4.
В прямоугольной системе координат уОх построим заданную
кривую (рис. 152) и на продолжении абсциссы выберем точку Р,
через которую проведем вертикаль — ось параболы. Точка Р яв¬
ляется вершиной параболы, одну ветвь которой построим в коор¬
динатах уОР. Для построения параболы аналитически вычис¬
лим ее ординаты по формуле у = Кхп, задаваясь значениями х =
= 0; 0,1; 0,2;...; 1,0. Для получения необходимой точности по-
118

У
Рис. 151. Возведение кривой в куб
Ось параболы
Рис. 152. Возведение кривой в п-ю степень
119

строений наибольшая ордината параболы должна иметь размер
15—20 см, в связи с чем и выбирается коэффициент К. Затем
проведем произвольную секущую РА. Точки данной кривой
1,2,3,... перенесем по горизонталям на секущую РА и с нее по
вертикалям на параболу. Ординаты точек 1", 2", 3",..., располо¬
женных на параболе, являются ординатами искомой кривой.
Перенесем по горизонталям эти точки на соответствующие орди¬
наты данной кривой и вычертим искомую кривую. Масштаб ее
определится по частному значению функции у^ = ОА = (у'ц)п,
как было указано выше.
Возведение кривых в дробную степень—. Дана кривая
п
у = 1(х). Требуется построить кривую
т
У = [Нх)]~,
для чего построим две параболы (рис. 153). В системе координат
уОх вычертим заданную кривую. На продолжении абсциссы вы-
Рис. 153. Возведение кривой в дробную степень
берем точку, через которую проведем вертикаль — ось парабол.
В точке Р совмещаются вершины двух парабол, ветви которых
строим в системе координат уОР. Уравнения этих парабол у^ =
= К\Хп и у2 = КгХт. Точки 1, 2, 3,... данной кривой перенесем по
горизонталям на параболу п-го порядка. Затем точки Г, 2', 3',...
спроектируем по вертикалям на параболу т-го порядка. Ордина¬
ты точек 1", 2", 3",... являются ординатами искомой кривой в не¬
котором масштабе. Перенесем эти точки по горизонталям на
ординаты заданной кривой и вычертим искомую кривую.
Рассмотрим основы этого метода. Возьмем, например точку
Г на параболе п-го порядка. Ордината ее определяется урав-
120

нением у\ = К\Хп, абсцисса х =	” • На параболе т-го по¬
рядка соответствующая точка 1" имеет ту же абсциссу, ордината
этой точки у2 = Кг*™ Подставим значение абсциссы в послед¬
нюю формулу
т
/	\~п т
у = кЛ^-\ =су?.
\ Л1 /
Отсюда следует, что ординаты искомой кривой пропорцио-
т	„
нальны степени — ординат данной кривой.
п
Для определения масштаба искомой кривой зададимся част¬
ным значением ординаты соответствующей общей точке А
обеих парабол. Из построения следует, что
пг
у’о =ОА = (уо)п = а мм.
Измерим отрезок ОА в масштабе данной кривой и найдем
т
аналитически (г/о ) п = Ь единиц. Масштаб искомой кривой
— единиц/мм.
а
15. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ
Извлечение квадратного корня из произведения двух чисел.
В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из
вершины прямого угла, является средней геометрической между
отрезками гипотенузы. Сумму отрезков Ь п с примем за диаметр
АР окружности (рис. 154). Если АЕ = с и ЕР = Ь, то ВЕ = УЬс '
На том же основании находим ]/Ь . Можно написать У Ь =
= Уд-1, а также Ь = УЬ . То и другое построение пока-
4 —	—
зано на рис. 155 для Ь < 1, поэтому у Ь > ]/ Ь > Ь. Исходя из
принятого масштаба, диаметр окружности в первом случае равен
АР = 1 + Ь\ во втором АР' = 1 + У Ь. Находим ВЕ = У Ь\
В'Е=УЪ.
Извлечение кубического корня из числа. 1-й способ. В ко¬
ординатах уОх, соответственно принятому масштабу, отложим
по осям Ох и Оу отрезки ОА = 1 и ОВ = Ь (рис. 156). Из точек
А и В проводим произвольно по три луча при условии, что
ВС\ || АОХ\ ВС21| АО2; ВС$ || АЕ$. Из точек С2, С3 пересечения
оси абсцисс лучами, исходящими из точки В, проводим под пря¬
мым углом к лучам прямые до пересечения в точках 2)1, 2)2, 2)3
с лучами, исходящими из точки А. Точки 2)ь 2)2, 2)3 лежат на кри-
121.
вой, исходящей из точки Л и называемой кривой корней. Кривая
з,—
пересекает ось ординат в точке О2, для которой ОО2 = у Ь.
Точку, в которой кривая О1О3 пересекает ось ординат, можно
быстро найти с помощью прозрачного треугольника.
Уравнение кривой корней имеет вид
у3 — ху (1 — х) — (1 — х)2 Ь = О,
причем направление вниз по оси ординат принято за положи¬
тельное. Для х = 1 получим у3 = 0 и у = 0, т. е. кривая корней
должна исходить из точки А. Для нахождения точки пересечения
Рис. 154. Извлечение корня квад¬
ратного из произведения двух
чисел
Рис. 155. Извлечение корня из числа
кривой с осью ординат примем х = О, тогда у3 = Ь или у =
=Уб = оо2.
Для извлечения кубического корня из отношения двух вели-
з	уь
чин!/ — это выражение можно представить в виде —;—,т. е.
/7
каждый корень извлечь отдельно и произвести деление. Удобнее
преобразовать дробь
? /

Н’* /Л = ^.
2-й способ. Простой способ извлечения кубических корней
основан на использовании кривых конических сечений — окруж¬
ности и параболы. В прямоугольной системе координат строится
парабола с вершиной в начале координат и с осью симметрии Ох
(рис. 157). Затем описывается окружность через начало коорди¬
нат с центром 01 -^.Ордината точки А пересечения окруж¬
ности с параболой дает искомое значение кубического корня
в принятом масштабе.
Способ основан на том, что при заданных координатах центра
01 окружности уравнение ее имеет вид
х2 + у2 — Ьх — ау = 0.
122

Уравнение параболы, отнесенной к вершине, лежащей в на¬
чале координат О, будет
У2 = Ьх.
При совместном решении этих уравнений абсцисса точки А
равна )/б2с, а ордината -уАЬс2.	Если принять с = 1, то орди-
ната точки А будет у Ь, а координаты центра окружности
/_1_, _Ь_\
V 2 ’ 2 /
Парабола при Ь = 1 имеет вид у2 = х, т. е. не зависит от
величины Ь, и может быть вычерчена один раз. Окружность
при расчетах целиком не наносится, а лишь радиусом окружно¬
сти на ветви параболы засекается точка А. Положение центра
Рис. 156. Извлечение кубического корня
из числа
Рис. 157. Извлечение кубиче¬
ского корня с помощью
круга и параболы
окружности 01 по отношению к началу координат О известно,
так как расстояние между этими точками равно радиусу окруж¬
ности.
Извлечение квадратного корня из выражений Ь2 + с2 и Ь2 — с2
графически производится построением прямоугольных треуголь¬
ников, для которых квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов. Под знаком радикала может быть сумма (разность)
любого числа квадратов одночленов. Для выражения х =
— ]/а2 + Ь2 + с2 — (I2 построение показано на рис. 158.
Извлечение корня из кривой. Дана кривая у = 1(х). Требу¬
ется построить кривую

У=У? (х).
Действие это обратно возведению кривой в степень, поэтому
построение аналогично приведенному на рис. 152. Строим пара¬
болу п-й степени, соответствующей степени корня (рис. 159).
Затем из вершины параболы проводим прямую РА с произволь-
123
ним углом наклона. Точки данной кривой переносим по горизон¬
талям на параболу, а затем по вертикалям на прямую РА. Орди¬
наты точек 2", 3",... пропорциональны корню заданной сте¬
пени от ординат данной кривой. Для получения искомой кривой
следует перенести точки 2", 3",... с прямой РА по горизонта¬
лям на продолжение ординат данной кривой. Определение мас¬
штаба аналогично предыдущему.
Рис. 159. Извлечение корня из кривой
членов
16. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ГРАФИКИ
ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Операции умножения, деления, возведения в степень и извле¬
чения корня аналитическим путем выполняются с помощью
таблиц логарифмов. Логарифмическая спираль и логарифми¬
ческая кривая Иванова при графическом исчислении заменяют
таблицы логарифмов. Числа и их логарифмы выражаются от¬
резками прямых и дуг.
Построение логарифмической спирали для графических рас¬
четов. На полярной оси ОР из вершины О радиусом г0 = 1 в
принятом масштабе описываем окружность и делим ее на 16 рав¬
ных частей (рис. 160). Через точки деления проводим лучи. Ра¬
диус-вектор Г1 принимаем равным 1,10 в том же масштабе. Дли¬
ны остальных радиусов-векторов находим вспомогательным
построением (рис. 161, а). На горизонтальной прямой ОЕ из точ¬
ки О откладываем длину радиуса г0. Из точки О описываем дугу
радиусом Го = 1, которую пересекаем в точке В дугой радиуса
= 1,1 из точки А. Через точки О и В проводим прямую
ОР и получаем угол ЕОР пропорциональности векторов. Хор¬
да АВ равна Проводим дугу радиусом гх. Хорда ее равна
длине радиуса-вектора г% спирали. Продолжая аналогичные
построения, получим длины всех радиусов-векторов спирали в
124

положительном направлении отсчета углов (против часовой
стрелки).
Радиусы-векторы спирали в отрицательном направлении от-
Рис. 160. Применение логарифмической спирали
для графических расчетов
вспомогательным построением (рис. 161, б). На прямой ОХС из
точки О] радиусом гх описываем дугу, которую в точке 2) пере-
Рис. 161. Графическое определение
для углов:
<9
длин радиусов-векторов
а — положительных; б — отрицательных
секаем дугой радиуса г0 и проводим прямую О^Э— вторую сто¬
рону угла пропорциональности векторов. Хорда СО равна длине
радиуса г0. Описываем дугу радиусом г0. Хорда ее равна длине
125

радиуса-вектора г'. Хорда дуги радиуса г' равна длине радиуса-
вектора г" и т. д.
Построив логарифмическую спираль вида г = тф, можно най¬
ти логарифм любого числа 5 по основанию т. Радиусом г2 = 8
засекаем на спирали точку 2 и находим точку Со пересечения
этого радиуса с делительной окружностью (рис. 160). Длина ду¬
ги АС0 будет логарифмом числа 5 по основанию т. Угол <р выра¬
жен в радианах, поэтому численно ф = 1§т^2 является длиной
дуги АСо радиуса -г0 = 1- Логарифмы положительны, если дуги
от точки А направлены против часовой стрелки, и отрицательны,
если дуги направлены по часовой стрелке.
Для решения обратной задачи, т. е. для нахождения числа
по логарифму на окружности радиуса г0 = 1 следует отложить
дугу ЛСо = ф и через точку Со провести радиус-вектор 02 = г2,
длина которого в принятом масштабе будет выражать число, ло¬
гарифм которого равен ф.
Имея логарифмическую спираль с основанием т, можно най¬
ти логарифмы при других основаниях (натуральных, десятич¬
ных), для чего в уравнении спирали
г = т = гп\
принимаем пгх = е или = 10. Из т = т\ находим число к и
описываем новую окружность радиусом ОА1 = к, для которой
длина дуги ЛС! равна ку = 1^ г2 = 1^ 5.
Умножение. Даны радиусы-векторы гь г2, г3. Требуется найти
произведение у = ц • г2 • г3.
Засекаем на спирали из центра О радиусы-векторы г2 и г3
и находим углы фЬ ф2 и ф3 (рис. 162). После логарифмирования
получим
у =	г2 + 1е 'з = Ф1 + ф2 + фз,
где фь ф2, фз — углы, образуемые радиусами-векторами гь г2, г$
с полярной осью ОР. На окружности радиуса г0 откладываем
суммарную дугу АС и проводим радиус-вектор ОВ, длина кото¬
рого будет искомым произведением у в принятом масштабе.
Деление. Даны радиусы-векторы р! и р2, причем р2 > рь Тре-
буется определить частное у = — .
Рз
Засекаем на спирали из центра О радиусы-векторы р! и р2 и
находим углы щ и а2 (рис. 162). Логарифмируем
= 16Р1 — 1§р2 = а1 — а2 = — а3.
Разность углов (или дуг) в данном случае отрицательна, сле¬
довательно, радиус-вектор ОЕ расположен ниже полярной
оси ОР. Длина его будет искомым частным.
Возведение числа а в п-ю степень. Здесь п — целое положи¬
тельное число. Пересекаем спираль дугой радиуса ОВ = а и оп-
126

ределяем угол (или дугу) а (рис. 163). Откладываем угол (или
дугу) /га и проводим радиус-вектор ОВЬ длина которого равна
искомой величине ап.
При возведении числа в отрицательную степень угол (или ду¬
гу) па откладываем от полярной оси по часовой стрелке. Длина
радиуса-вектора ОВ2 равна а~п или— >
ап
Извлечение корней следует рассматривать как действие, об¬
ратное возведению в степень. Дано у5 . Для извлечения корня
Рис. 162. Умножение и деление с помощью логарифмиче¬
ской спирали
степени т засекаем спираль дугой радиуса ОС = й и определяем
угол (или дугу) <р (рис. 163). Откладываем угол (дугу) — и про-
т
водим радиус-вектор ОСЬ Длина его в принятом масштабе равна
искомой величине у = у а .

Для извлечения квадратного корня из дроби — находим
у = —, а затем строим/у. Для выражения у^Ь" находим сначала
с
ГП г—
у = Ъп, а затем у у.
Масштаб, принятый при построении логарифмической спира¬
ли, необходимо соблюдать при проведении геометрических по¬
строений алгебраических выражений. Если числа, выраженные
отрезками, отложим в другом масштабе, то масштабный коэф¬
фициент для отрезков искомых величин должен иметь в числи-
127
теле единицу, принятую для построения логарифмической спира¬
ли, а в знаменателе — единицу, принятую для отрезков.
При графическом логарифмировании не различают характе¬
ристику и мантиссу логарифма числа. Разница между положи¬
тельными значениями логарифмов чисел, больших единицы, и от¬
рицательными значениями логарифмов чисел, меньших едини¬
цы, выражается направлением, по которому откладываются уг¬
лы (или дуги) от полярной оси.
Рис. 163. Возведение в степень и извлечение корней
по логарифмической спирали
Построение логарифмической кривой Иванова. На полярной
оси ОР откладываем радиус-вектор ОЛ0 = г0 = а = 1 и через точ¬
ку Ао проводим перпендикулярную к оси линию РР, на которой
вверх и вниз наносим ряд одинаковых отрезков, равных 0,2го
(рис. 164). Через точки деления прямой РР из полюса О прово¬
дим лучи, на которых откладываем соответственные радиусы-
векторы и, г2, г3,... и ниже оси г ' , г'2 ,... Соединяя концы векто¬
ров — точки Ло, Ль Л2,...Л7 и А ' , А ',... плавной линией, получим
логарифмическую кривую. Уравнение кривой имеет вид
н
Г = атс ;	(40)
Н = а\&а.	(41)
Из уравнения следует, что при изменении И в арифметической
прогрессии радиусы-векторы соответственно образуют геометри¬
ческую прогрессию. Отсюда вытекает способ определения разме¬
ров ряда радиусов-векторов для построения логарифмической
кривой, пользуясь углом пропорциональности. Построим произ¬
вольный острый угол ЬОО с вершиной в точке О. На его стороне
ОО отложим радиус г0 = 1, а на вертикальной стороне ОЬ —
128

радиус Г1 = 1,Ьг0. Соединяем точки Е и 1. Из точки 1 проводим
горизонтальную прямую 1 2 и получаем радиус г2. Далее, анало¬
гичными построениями находим радиусы г3, г4,..., причем прямые
23,45,67 параллельны прямой Е1, а 34 и 5 6— горизонтальные.
Такими же построениями находим длины радиусов г[ , г'2 ,...
нижней части кривой.
Логарифмическая кривая обладает ценным свойством: для
любой точки 5 ее радиус-вектор 08 отсекает на прямой РР отре-
Рис. 164. Построение логарифмической Рис. 165. Умножение по логариф-
кривой Иванова	мической кривой
вектора 08 в масштабе а. При а = 1 радиусы-векторы дают, со¬
ответствующие числа непосредственно.
Умножение. Даны числа и г2 Требуется найти их произве¬
дение г3 = Г1 • г2. .
Радиусами ОАХ = гх и ОА2 = г2 засекаем на кривой точки Л1
и Л2, проводим лучи и находим точки Вх и В2 на прямой РР
(рис. 165). Отрезки /и и к2 представляют собой логарифмы чи¬
сел гх и г2 в масштабе с, следовательно:
12 >з = 1ег1 + 1ег2 = А±^_.
С
5 Зак. 334
129

На прямой ГР откладываем отрезок Л053 = Н3 =	+ Л2 и на¬
ходим длину радиуса-вектора ОЛ3, представляющую собой иско¬
мое произведение.
Рис. 166. Деление с помощью лога¬
рифмической кривой
Деление. Частное от деления г3 = —- после логарифмирования
Г2
имеет вид
1егз = 1ё'1 — 1ё/’2= 111-/12
с
и определяется радиусом-век¬
тором ОА3 (рис. 166), для ко¬
торого
Д(Дз = ^3 = ^1	^2*
Возведение в степень. Тре¬
буется найти г = г\. Логариф¬
мируем
1ег = 31ег1=^-;
С
отсюда длина радиуса-вектора
ОА2 представляет собой иско¬
мый результат возведения чис¬
ла в куб, для которого До^2 =
= /1 = 3/^ (рис. 167). Для ум¬
ножения отрезка Л1 на 3 про¬
водим из точки Ло 'произвольную прямую АоБ, на которой от точ¬
ки Ло наносим три деления (соответственно показателю степени).
Рис. 167. Возведение в степень по
логарифмической кривой
Рис. 168. Извлечение корня по ло¬
гарифмической кривой
Деление / соединяем с точкой Вь для которой Л0В1 = Н\. Через
деление 3 проводим прямую ЗВ2II1ВХ до пересечения с прямой
РР в точке В2. Получим Л0В2 = ЗН\.
130

зА~
Извлечение корня. Требуется найти о = V /1 ■ Логарифмируем
1	1 1	А,
1й'2 = —= ^--
О	о
Проводим прямую Ло/?, на которой наносим деления
(рис. 168). Проводим 1Й2ЦЗВ! <и находим точку В2, для которой
И =—. Через точку В2 проходит искомый радиус-вектор г2 =у/~Г1-
з
17. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Для решения технических задач часто прибегают к графичес¬
кому способу решения уравнений, довольствуясь приближен¬
ным, но достаточно точным результатом. Графическое решение
уравнений избавляет от трудоемких аналитических вычислений,
а в ряде случаев является единственно возможным. Большим
преимуществом графических методов по сравнению с аналити¬
ческими является их наглядность, позволяющая при беглом
просмотре графиков определить характер изменения переменных.
Линейные уравнения первой степени с одним неизвестным
имеют вид
ах — Ь = 0.	(42)
Графическое решение такого уравнения представляет собой
определение частного х = — графическими способами, рассмот-
а
ренными выше.
Уравнения с одним неизвестным в общем случае имеют вид
/(х) = 0.
Для решения этого уравнения построим кривую у = /(х) и
найдем точку пересечения кривой с осью абсцисс. При у = 0 абс¬
цисса х = х0 будет искомым корнем уравнения.
Для решения уравнения вида
Ш = ф(х)
построим две кривые у = (х) и у = ф (х). Абсцисса точки А пере-
сечения кривых х = х0 будет корнем уравнения (рис. 169).
Квадратные уравнения. Уравнение второй степени в общем
случае имеет вид
а0х2 + О1Х + а2 = 0.	(43)
Для графического решения квадратных уравнений применя¬
ются различные способы.
Способ прямых углов. Обозначим левую часть уравнения че-
рез/(х):
/ (х) = а0х2 + а1Х + а2,
131
5*

Причем коэффициент а0 будем считать положительным, так как
■заменой знака перед всеми членами уравнения этого всегда
можно достигнуть. Коэффициенты а0, «1 и а2 в принятом масшта¬
бе можно представить отрезками В0В1 = а0; ВХВ2 = и В2В3 =
= а2 (рис. 170). Все три отрезка взаимно перпендикулярны.
Стрелками обозначено положительное направление для каждого
отрезка.
а считается направление по часовой
стрелке от прямой
определяется угол
равенства а = х.
ВъВ\,
а из
Под
Из точки Во проведем луч В0В0 под углом а к прямой ВОВЬ
Положительным для угла
Рис,
170. Графическое решение уравнения
способом прямых углов
Рис. 169. Определение корня
уравнения
прямым углом к линии В0В0 проведем линию Во^1 до пересече¬
ния с продолжением линии В2В3. Угол ВчРаО^ = а.
Из геометрических построений следует, что
ПОВХ = а0а = аох- П0В2 = а0 х2 + ахх;
Р1В3 = а0х2 + ахх + а2 = / (х).
Если О\В3 = 0, то точка О1 совпадет с точкой В3 и
а0х2 + а1* + а2 = 0,
а корнем уравнения будет х = 1%а. Следовательно, для опреде¬
ления корней уравнения углу а надо дать такое значение, при
котором сторона прямого угла Во^о^1 проходила бы через
точку В3. Для этого соединим точки Во и В3 прямой В0В3 и, при¬
няв ее за диаметр, опишем окружность, на которой точки С\ и С2
пересечения этой окружности с отрезком ах (или его продолже¬
нием) являются решающими.
132

Корни уравнения:
Х1 = 1ё<*1 =
х2 = 1§а2 =
<^2^1
В0В!
Во^1
На чертеже (рис. 170) эти корни отрицательны, так как углы
О1 и аг отрицательны и отрезки С\ВХ и С2ВЬ направленные от С\
и С2 к В1, не совпадают по направлению с отрезком а.\.
Поясним этот способ примерами.
Пример 1. Решим графически способом прямых углов урав¬
нение
60х2 — 70х — 90 = 0.
В этом уравнении а0 = 60,	= —70, а2 — —90.
Проведем горизонтальную прямую, на которой отложим в от¬
рицательном направлении отрезок В\В2 = ах (рис. 171). От точки
Вх по вертикали отложим отрезок В0Вг = а0 и от точки В2 по дру¬
гой вертикали — отрезок В2В3 = а2 в отрицательном направле-
Рис. 171. Графическое решение
уравнения 60х2 — 70х — 90 = 0
Рис. 172. Графическое решение урав¬
нения ЗОх2 + 40х — 25 = 0
нии. Соединим точки Во и В3, опишем из центра О окружность
и найдем точки С! и С2. Определим с учетом масштаба длины от¬
резков и знак:	= 117, С2В1 = —46. Подсчитаем корни урав¬
нения
*1 =
С1В1
В0В1
— = 1,95; х2=-^-
60	2 В0Вг
46
60
— 0,77.
Пример 2. Решим способом прямых углов уравнение
ЗОх2 + 40х — 25 = 0,
<в котором а0 = 30, а\ = 40, а2 = —25.
Здесь отрезок В2В$ = а2 отрицателен, поэтому его отложим по
вертикали вниз (рис. 172). Определим отрезки С^В^ = 14 и
= —55.
133

Подсчитаем корни уравнения
14 л »я?	(7ов|
%1 = —=	= 0,47; х2 = 2 1
В0В! 30	ВОВХ
— = — 1,82.
30
Способ окружности. Квадратное уравнение можно привести
к виду
х2 — рх + д = 0.
(44)
Для того чтобы найти корни этого уравнения в прямоуголь¬
ной системе координат, в принятом масштабе радиусом, равным
Рис. 173. Графическое решение уравнения
способом окружности
единице, опишем окружность, проходящую через начало коорди¬
нат с центром на оси ординат (рис. 173). В точке А проведем ка-
4
сательную и на ней отложим отрезок АВ =—. На оси абсцисс
Р
отложим отрезок ОР = — . Оба отрезка АВ и ОР отложим впра-
Р
во или влево от оси ординат, соблюдая правило знаков.
Точки В и Р соединим прямой, которая пересечет окружность
в точках К и Е. Из точки А проведем лучи через точки К и Е
до пересечения с осью абсцисс в точках и С2. Отрезки
Х1 = ОС1 и х2 = ОС2 в масштабе, принятом для радиуса окруж¬
ности, являются корнями уравнения.
Построение основано на том, что х^ + х2 = р и хг -х2 = д. Из¬
вестно, что всякое квадратное уравнение имеет лишь одну пару
корней. Они обладают тем свойством, что сумма их должна рав¬
няться коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому
с обратным знаком, а произведение их равно свободному члену.
134

Пример. Решить способом окружности уравнение
х2 + 1,6а; — 3,2 = 0.
В координатах хОу на оси Оу радиусом, равным единице, опи¬
шем окружность, проходящую через начало координат (рис. 174).
На касательной от точки А отложим в масштабе отрезок
а на оси Ох — отрезок
ОР = -2- =	= 2.
р —1,6
Соединим точки В и Р прямой ВР, которая пересечет окруж¬
ность в точках К и Е. Из точки А через точки К и Е проведем
лучи, которые на оси абсцисс отсекут отрезки ОС\ = хх = 1,16 и
ОС2 = х2 = —2,76, равные искомым корням уравнения.
Способ параболы и пересекающей ее наклонной прямой.
Квадратное уравнение
х2 + рх + д = 0
можно представить в виде
X2 = — (рх 4- Я); у = х*; у = — (рх + <?)
и найти общие для двух функций значения х, которые будут
корнями исходного уравнения.
Функция у = х2 представляет собой параболу, вершина ко¬
торой совпадает с началом координат, а ось ординат является ее
осью симметрии. Вторая функция есть прямая линия, пересекаю¬
щая параболу. Абсциссы точек пересечения будут искомыми
корнями уравнения.
При решении ряда квадратных уравнений параболу строят в
принятом масштабе один раз. Прямые же наносят в том же мас¬
штабе для каждого решаемого уравнения.
135

Пример. Решим уравнение
х2 — 0,4* — 2 = 0.
Построим параболу у = х2, причем масштаб по оси абсцисс
возьмем в 2 раза больше масштаба по оси ординат. Затем по¬
строим прямую у = 0,4 х— 2 в том же масштабе (рис. 175). Для
этого определим координаты двух точек прямой: х = 0; у = 2 и
у = 0; х = —5. Абсциссы точек пересечения параболы с прямой
дают искомые корни уравнения Х1 = 1,63 и х2 = —1,23. Проверим
сумму и произведение корней р = —(%1 + х2) = —0,4; д =
= Х\ • х2 = —2; отсюда следует, что корни определены правильно.
Рис. 175. Графическое решение уравнения х2 — 0,4х — 2 = 0
Применение графического способа для решения квадратных
уравнений, разумеется, имеет смысл только в тех случаях, когда
корни эти вещественны. Исходя из этих соображений уравнения
*2 ± рх — д = 0;
х2 ± рх = 0;
х2 — д = 0;
х2 ± рх + д = 0 при —

(45)
(46)
(47)
(48)
7>0
являются основными видами приведенных квадратных уравне¬
ний, для решения которых может быть применен графический
способ. Разработано несколько графических способов с примене¬
нием параболы второго порядка, но для практического использо¬
вания удобен лишь способ, приведенный здесь.
Кубические уравнения. Всякое полное уравнение третьей сте¬
пени
Ах3 + Вх2 + Сх + О = 0	(49)
после преобразований и подстановок может быть приведено к
более простому виду
х3 ± ах ± Ъ = 0.	(50)
136

Уравнение (50) имеет три вещественных корня для группы
х3 — ах ± Ь = 0
(51)
при условии, что 4а3	27&2, но имеет один -вещественный корень
и два мнимых в том случае, когда 4а3 < 27&2.
Для группы
х3 + ах ± Ь = 0	(52)
приведенное уравнение (50) имеет один вещественный и два мни¬
мых корня. Графическое решение предусматривает нахождение
лишь вещественных корней. Найденные вещественные корни
приведенного кубического уравнения должны удовлетворять сле¬
дующим условиям:
~Г ^2 + = 0»
• %2 + • х3 + х2 • х3 = а;
• х2 • х3 = — 6,
(53)
что дает возможность проверки правильности решения урав¬
нения.
Способ изображающей кривой применяется как при решении
полного кубического уравнения, так и приведенного.
Полное кубическое уравнение изображают графически в виде
кривой. Точки пересечения кривой с осью Ох дают значения абс¬
циссы, равные искомым корням уравнения, так как значения
функции в этих точках равны нулю.
Пример 1. Решим уравнение
12х3 — 52х2 + 23х + 42 = 0.
Представим его в виде функции у = 12х3— 52х2 + 23х + 42.
Для ряда последовательных значений х определим значение у
X
—1
0
0,5
1
2
2,5
3
4
У
—45
42
42
25
—24
—38
—33
70
Примем масштабы для оси абсцисс 1 = 20 мм, для оси орди¬
нат 1 = 0,5 мм и построим кривую (рис. 176). Из графика сле¬
дует, что корни уравнения х{ = 3,5, х2 = 1,5 и х3 = —0,67.
Пример 2. Решим приведенное кубическое уравнение
х3 — 15х — 2 = 0.
Напишем его в виде функции у = х3— 15%— 2.
Уравнение имеет три вещественных корня, так как 4а3 > 27&2;
из них один положительный корень и два отрицательных, потому
что произведение корней (—Ь = 2) положительно.
137

Для ряда значений х определим значения у:
X
—4
—3
—2
—1
0
1
2
3
4
У
—6
16
20
12
—2
—16
—24
—20
2
Рис. 176. Графическое решение уравнения 12х3— 52х2 + 23х + 42 = О
Примем масштабы для оси абсцисс 1 = 20 мм, для оси орди¬
нат 1 = 1 мм и построим кривую (рис. 177). Из графика опреде¬
лим корни уравнения: = 3,92; х2 = —0,14 и х3 = —3,78.
Для решения приведенного кубического уравнения существу¬
ют различные графические и графо-аналитические способы. Наи¬
более распространенный способ построений описан ниже.
138

Способ кубической параболы и пересекающей ее наклонной
прямой.
Пусть дано уравнение
х3 — ах — Ь = О,
(54)
которое может быть представлено в виде
х3 — (ах + Ь) = О,
откуда у = х3 и у = ах + Ь.
В прямоугольной системе координат строим в принятом мас¬
штабе кубическую параболу у = х3. Она имеет вершину в начале
координат и ось, совпадающую
с осью ординат.
Рис. 179. Графическое решение
уравнения б/5 — ай — Ъ = 0:
I, 2 и 3 — наполнительная, напорная
и сливная линии рабочих цилиндров;
4 и 5—напорная и сливная линии воз¬
вратных цилиндров; 6 и 7 — напорная
и сливная линии возвратных цилинд¬
ров без уравновешивающих цилиндров
Затем в той же системе координат строим наклонную прямую
у = ах + Ь- Абсциссы точек пересечения прямой с параболой пред¬
ставляют собой искомые вещественные корни уравнения.
Пример. Решим уравнение
х3 — Юх —5 = 0.
Строим кубическую параболу у = х3 (рис. 178). Определим
координаты двух точек прямой
у = Юх + 5
х =	у = 0 и х = 0; у = 5. Примем масштаб по оси ординат
1 = 1 мм, по оси абсцисс 1 = 10 мм. Абсциссы точек пересечения
параболы с прямой представляют собой искомые корни данного
уравнения хх = 3,40, х2 = —0,51 и х3 = —2,89.
139

При решении графическим способом ряда уравнений третьей
степени кубическая парабола, построенная один раз по уравнению
у = х3, пригодна для определения корней других приведенных ку¬
бических уравнений, если прямые, пересекающие параболу, нано¬
сятся в том же масштабе- Кубическая парабола может быть вы¬
черчена на миллиметровой бумаге, а прямые линии — на кальке,
наложенной сверху.
Способ параболы п-й степени и пересекающей ее наклонной
прямой находит применение в машиностроении для графического
решения уравнений различных степеней. В качестве примера при¬
ведем графическое решение уравнения пятой степени в расчете
элементов гидросистемы мощных вертикальных ковочных и штам-
Рис. 180. Построение выражения у = аг
побочных гидравлических
прессов с насосно-аккумуля¬
торным приводом [67]. В пер¬
вой стадии проектирования
гидравлического пресса из¬
вестны лишь длины трубо¬
проводов. Определение диа¬
метров связано с графичес¬
ким решением уравнения
й5 — ай — Ь = 0 для каж¬
дой линии трубопровода
(рис. 179).
Для графического реше¬
ния квадратных и кубических уравнений используются также но¬
мограммы (см. гл. V).
Для уточнения намеченных графическим способом значений
корней уравнений применяют известные в математике общий ме¬
тод приближения или метод ложного допущения.
Линейные уравнения с произвольным числом переменных.
Пусть имеем линейное уравнение -с п переменными г2, ...,гп
а0 + а1?1 + а2^2 4“ • • • + апгп —
(55)
где «о, #1, а2, ...,ап — коэффициенты, положительные или отрица¬
тельные числа.
Рассмотрим способ построения выражения у = ах- В прямо¬
угольной системе координат уОх отложим влево от начала коор¬
динат по оси абсцисс отрезок РО = 1, а по оси Оу отрезок О<2 = г
(рис. 180). Отрезок 00 откладываем по оси вверх для положи¬
тельного числа или вниз для отрицательного числа. Из полюса Р
проведем луч РО. По оси Ох отложим отрезок ОВ = а в сторону
положительных значений х, если а положительное число, или в
сторону отрицательных значений, если а отрицательное число.
В точке В проведем линию АВ, перпендикулярную к оси Ох, и ли¬
нию ОА параллельно РО. Отрезок ВА будет равен у = ах. На¬
правление отрезка ВА считается от В к А. Отрезок будет поло-
140

жительным, если он направлен вверх, и отрицательным, если на¬
правлен вниз. Построение основано на подобии треугольников
РОО и ОБА:
АВ __ О(? . у
~ОВ~~ РО ’ Т
2
—; у = ах.
Масштабы отрезков а и х могут быть разные. Если для отрезка
а принят масштаб щ, для отрезка х — ц2 и для отрезка РО — %, то
масштаб отрезка у будет
В линейном уравнении (55) левая часть представляет собой
линейную функцию от п переменных
У = а0 + а1?1 + а2?2 + • • • 4"«апгп-
Найдем графически величину этого выражения для п = 4.
На оси абсцисс отложим полюсное расстояние ОР = 1 и на оси
У
Рис. 181. Определение линейной функции
ординат отложим отрезки О()о =- ОР, а также	002 = г2,
Офз = г3, 0(2 4 =.г4 и проведем лучи из полюса Р, причем х2 и ?3
считаем отрицательными (рис. 181). От начала координат на оси
Ох отложим отрезки ОВ0 = а0, В^ВХ = ВХВ2 = а2, В2В3 = а3,
В3В4 = а4. Через точки Во, Вь В2, В3 и В4 проведем вертикали и
от точки О нанесем ломаную линию ОА0А1А2А3А4. Отрезки лома¬
ной линии проводим параллельно соответствующим лучам. Тогда
ордината у0 точки Ло будет равна а0 и направлена вверх, если от¬
резок а0 отложен вправо. Если отрезок я0 отложен влево, то ор¬
дината уо будет направлена вниз. Разность ординат у г — уо точек
4! и 40 по длине равна так как у\ — Уои ах относятся так же,
как ООд и РО, Ордината ух равна а0 + ^1^ь Ордината у2 точки А2
равна а0 + 6Х12Г1 + а2х2 и т. д.
Если отрезок а3 отрицательный, то ломаная линия примет вид,
показанный на рис. 182. Если значения г2, з3, ...,гп удовлетво¬
ряют уравнению
Я0 + <21^1 + а2г2 + . . . + апгп = О»
141

то ордината уп обращается в нуль и значения переменных гь г2,
г3,...,гп будут корнями уравнения (рис. 183).
Путем смещения полюса Р в точку Рг можно изменить мас¬
штаб ломаной линии (рис. 181, пунктир) в отношении, обратно
Рис. 182. Ломаная линия при отрицательном значе¬
нии а5
пропорциональном полюсным расстояниям РО и Р\О:
' РО
У к ~ р^0 У к-
Этот способ применяется для получения желаемых размеров
ординат на чертеже.
Если в уравнении известны все переменные, кроме одного, на¬
пример г4, то вычерчивают ломаную линию от О до Л3 и с другого
конца от Ап до А4. Прямая, параллельная А3А4, проведенная из
полюса Р, даст точку <24, а следовательно, и г4 (рис. 183).
Если неизвестно гп, то ломаную линию чертим до Ап-ь Из¬
вестно, что Ап должно совпасть с точкой Вп, поэтому из полюса
Р проводим луч, параллельный линии Ап^Ап и находим точки
Оп и 2п.
142

(57)
Полюс с лучами, упирающимися в ось ординат, на которой от¬
ложены отрезки неизвестных г, будем называть полигоном неиз¬
вестных.
Система п линейных уравнений с п неизвестными в общем
случае имеет вид
ао +	+ ^2г2 + • • • + апгп — 0;
+ ^2^2 + • • • + Ьпгп = 0;
с0 + ел + с2г2 + ... + спгп = 0.
Положим, что для каждого уравнения на оси абсцисс построе¬
на схема расположения отрезков Ло, ..., ап; Ьь ..., Ъп\ с0,
С\,...,сп и для всех схем найден общий полигон неизвестных, при
котором ломаные линии всех уравнений замыкаются, т. е. орди¬
наты уп обращаются в нуль. Тогда отрезки О<21 = 2Ь Оф2 =
= 22, ..., О0,п = хп будут искомыми корнями системы уравнений.
Это принципиальное решение вопроса. Практическое графиче¬
ское решение системы линейных уравнений основывается на
исключении неизвестных. Поясним это на примере.
Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неиз¬
вестными:
5 —	+ 2?2 — Зг3 = 0;
6 — 2?! — 4,7?2 + 2,7г3 = 0;
7,2 — 3,521— 1»322 — 1,6г3’= 0.
Сведем решение этой системы уравнений к решению одного
уравнения с одним неизвестным. Проводим ось ординат и три оси
абсцисс О1%1, О2х2 и О3х3 на произвольном расстоянии друг от
друга (рис. 184). На оси нанесем схему расположения отрез¬
ков постоянных величин первого уравнения, на оси О2х2— схему
постоянных второго уравнения и на оси О3х3—третьего уравнения,
соблюдая знаки этих величин. Для этого выберем масштаб =
= 10 мм, т. е. каждая единица отрезка на оси абсцисс равна
10 мм. Например, в первом уравнении свободный член а0 = 5,
следовательно, нанесем на оси отрезок О1В0 = 5 • 10 =
= 50 мм; коэффициент а,]. = —5 при 21 отложим отрезком В0В1 =
= —5-10 = —50 мм; коэффициент а2 = 2 при 22 отложим отрез¬
ком ВХВ2 = 2-10 = 20 мм и т. д.
Из первого и второго уравнений, схемы которых нанесены на
осях О1%! и О2х2, исключим неизвестную 23, соединяя для этого
прямыми линиями соответствующие точки их схем, т. е. точку Во
соединим с точкой Со, точку Вх с точкой Сь точку В2 с точкой С2
и т. д. Через точку Е2 пересечения отрезков В2С2 ъВ3С3 проведем
новую ось абсцисс О4х4. Пересечение этой оси с прямыми, соеди¬
няющими соответствующие точки на осях Оххх и О2х2 даст точки
Л"о, Е\ и Е2 схемы уравнения, которое не содержит неизвестной 23.
143

Теперь исключим неизвестную г3 из второго и третьего уравне¬
ний, соединяя соответствующие точки из схем. Через точку ^пе¬
ресечения отрезков С2/)2 и С3/)3 проведем ось абсцисс О5х5, схема
уравнения которой в точках Ро, А и Р2 также не содержит неиз¬
вестной 23.
Из уравнений, схемы которых изображены на осях О4х4 и
О5х5 исключим неизвестную г2, соединяя, аналогично, соответст¬
вие. 184. Графическое решение системы линейных уравнений
вующие точки. Отрезки ЕХР{ и Е2Р2 не пересекаются, поэтому
продолжим их до пересечения в точке через которую проведем
ось О6Хв.
Продолжим также отрезок ЕоРо до пересечения с осью ОвХе в
точке /Со. Уравнение, схема которого изображена на оси О6х6, со¬
держит лишь одну неизвестную с коэффициентом, выраженным
отрезком /СоЛь и свободным членом — отрезком О6Л0.
Примем масштаб для оси ординат р3 = 10 мм, т. е. такой же,
как и для оси абсцисс, что даст возможность пользоваться цирку¬
лем, и определим неизвестную От точки /Со на вертикали отло¬
жим циркулем точку , учитывая, что отрезок Об/Со равен от¬
резку /Со/Сд, и проведем замыкающую /С& К\ ломаной линии.
Выберем произвольно на продолжении оси О1х1 полюс Р с по¬
люсным расстоянием Л = 30 мм и построим полигон неизвестных-
Из полюса Р проведем луч Рг1||/Со /С1 и определим значение гх
(Огх = 24 мм), для чего надо знать масштаб ординат полигона:
|Ао% 10 • 30 ор.	021	24	«л
а2 = —=	= 30 мм\ 21= —— =	= 0,80.
Г2	Ю	30
144

Теперь из схемы оси О4х4 определим неизвестную х2. На верти¬
кали от точки Ео отложим циркулем отрезок Е$Е'О , равный О4Е0
и представляющий собой в масштабе свободный член уравнения.
Через точку Е° проведем прямую Е^ Е' \\Рг^ до пересечения с
вертикалью Е^Е^ . Соединим точки Е[ и Е2 замыкающей лома¬
ной линии, проведем из полюса Р луч Аг2||Е \Е2 и определим
отрезок Ог2 = 57 .юи, изображающий в масштабе неизвестную г2\
= — = 1,90.
14 зо
Зная корни и г2 системы уравнений, обратимся к схеме пер¬
вого уравнения, нанесенной на оси 0{х{ для определения корня
23. Через точку проведем вертикаль и отложим циркулем отре¬
зок В0В^ , равный отрезку О1В0. Через точку В$ проведем пря¬
мую Вц В[ ||Л?1. Вертикаль, проходящую через точку В2, пересе¬
чем линией В[В2 \\Рг2 и получим точку В2', из которой проведем
замыкающую В2 В3 ломаной линии. Луч Рг3\\В'2В3, проведенный
из полюса Р, отсечет в полигоне отрезок Ог3 = 49 мм, представля¬
ющий собой искомый корень г3 в принятом масштабе:
г3 = -^- = —= 1,63.
Н2 30
Подставив значения корней в уравнения, можно проверить
точность полученных при построении результатов.
Функции многих переменных. В. А. Пахомова разработала но¬
вый графический метод определения функций многих независимых
и зависимых переменных [56]. Метод позволяет вычислить функ¬
цию для заданных значений аргументов и получить ее графичес¬
кое изображение. Решение возможно и при отсутствии аналити¬
ческого выражения функции, если имеются графики опытных дан¬
ных. Точность результата построений получается достаточная для
технических расчетов. Метод применим и для тех функциональных
зависимостей, которые не поддаются номографированию.
Если дана функция с п переменными
Г(х, у, 2,	I),
(58)
то неизвестное х выделяется в качестве главного; остальным пере¬
менным придаются любые постоянные значения, в результате че¬
го получается функция с одним переменным, которую можно
представить графически в прямоугольной системе координат.
Любая ордината этой кривой выражает величину функции при
выбранных частных значениях всех прочих переменных
Р(х, у0, г0,	/0).
(59)
145

Если в (58) исключить /1 (х) и принять у за переменную, а
остальным переменным снова придать любые постоянные значе¬
ния, то функцию
Р(у, 20, . . /0)	(60)
также можно представить графически. Затем в (60) примем за
переменную г, а всем остальным придадим постоянное значение и
т. д. Кривых строится столько, сколько переменных входит в вы¬
ражение рассматриваемой функции. Лишь одна из них, главная,
Рис. 185. Графическое определение
функции многих переменных
строится с учетом всех пере¬
менных.
Для вычисления функции
многих зависимых переменных
сначала строят кривые зависи¬
мости переменных в функции
от аргумента, а затем графиче¬
ски изображают функцию мно¬
гих переменных и находят зна¬
чение функции.
Рассмотрим порядок постро¬
ений для определения значения
функции с тремя перменными
(рис. 185).
Р (х, у, г) = к (х) /а (у) /з (г). (61)
Строим три кривые: глав¬
ная кривая Р(х, уо, г0) в коор¬
динатах х, Г(х, у0, го); кривая
Р(у, г0) в координатах г/,
Р(у, г0) и кривая Р (уо, г) в ко¬
ординатах г, Е(у0, г).
Полюсом графика является точка А. Эту точку надо выбрать
так, чтобы в ней пересекались кривые всех переменных, кроме
кривой главной переменной. Ордината АВ точки А представляет
собой в масштабе численное значение функции Р (у0, г0). Эта ве¬
личина принимается за единицу при графическом умножении.
Абсцисса ОВ точки А определяется таким расположением шкал
переменных, при котором значения #о, г0 совмещаются в одной
точке. Надо учитывать предел изменения переменных и назначать
величины уо и г0 близкими к средним. Выбор частных значений
переменных не изменяет характера кривых и связан лишь с под¬
бором соответствующих масштабов. Для повышения точности
графического расчета в ряде случаев целесообразно применять
неравномерные шкалы.
Определив положение полюса А, нанесем на оси абсцисс
значения переменных хь у^ и гь для которых по условиям зада-
146

чи требуется определить значение функции. Ординаты точек /, 2
и 3 кривых соответственно дают значения функций ^(хь //о, 20);
Р(У\, 20) и Г(у0, 21).
Для определения искомой величины функции Р(х, у, г) надо
ввести поправки, умножив полученные значения ординат на ко¬
эффициенты
„	?(У1, *о) л _ Г(Уо, 21)
СХ1 = 	 И Р1 — 	 .
Г(Уо> 20)	Р(Уо,2о)
Рис. 186. Графическое решение
уравнения с многими переменны¬
ми
Каждый поправочный коэффициент является отношением
величин ординат кривых, соответствующих заданным перемен¬
ным У1, к величине ординаты
АВ. Эти отношения являются про¬
межуточными элементами постро¬
ений, поэтому определять абсо¬
лютное значение их не требуется.
Искомое значение функции
Уъ 2х) = Г(хх, у0, г0)а^! (62)
найдем графическим умножени¬
ем, нанося под определенным уг¬
лом вспомогательную прямую
ОО. Расположение последней в
графике зависит от задачи. Она
может находиться справа или
слева от оси ординат, или на про¬
зрачном шаблоне. При много¬
кратном применении кривых гра¬
фика иногда проводят через на¬
чало координат несколько пря¬
мых. На прямую ОО точки 2 и 3
кривых переносим по горизонта¬
лям в точки 2' и 3'.
Коэффициенты си и р1 нахо¬
дим графически, соединяя точки
2' и 3' с проекцией А' полюса на ось ординат. Для определения
произведения Р(хх, уо, ^0)сх1 р1 проведем из точки Г прямую, па¬
раллельную отрезку А'З', до встречи с прямой ОО в точке 4.
Точку 4 перенесем на ось ординат в точку 5. Ордината 05 соот¬
ветствует произведению 7ДХ1, у0, 20)рь Проводя прямую 5 6 па¬
раллельно отрезку А'2', найдем ординату 07, которая с учетом
масштаба определяет численное значение функции Р(х, у, г)
при заданных значениях переменных хь у{ и .
Пример. Дано
— х2 + Ухг + 4 + 1
8
Г У+1
[ 1/2 + у _ 12
Р =
+ 5
3,36	1
(0,1г+ 1)<°•5г+1)] ‘
147

Требуется определить численное значение функции для зна¬
чений аргументов = 5, у\ = 6 и хх = 2.
В прямоугольной системе координат нанесем равномерные
шкалы на оси абсцисс для х, у и г, а на оси ординат — для
функций Р(х, у0, г0); Р(у, г0); Р(уо, г) (рис. 186). В качестве
главного аргумента выберем х и назначим пределы изменения
переменных 0< х 8; 0 < у 8; 0 < х 8.
Для средних значений переменных х0 = Уо = го = 4 постро¬
им кривые функций
Р(У, г0) = 1,224
У+1
у* + у-12
Р(Уь, г) = 5,625
3,36
(0,1г + 1)(0’52+1)
Для размещения полюса А в середине графика подберем со¬
ответственно масштабы и найдем положение точек /, 2, <?, отве¬
чающих заданным значениям аргументов.
Найдем графическим построением коэффициенты си и р1 и
произведем графическое умножение Р(х, у$, 20)<Х1 рь Для этого
из точки Г проведем отрезок Г4 || А'З' и отрезок 56 || А'2'. Орди¬
ната 07 является искомой величиной функции Р(х\, у^ х{) = 115.
Метод отличается наглядностью и удобством контроля.
18.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Графическое дифференцирование применяется главным об¬
разом для исследования движения точек по определенной тра¬
ектории. Исследуемая функциональная зависимость может быть
выражена кривой, полученной по данным наблюдений или с по¬
мощью регистрирующих приборов, а также в том случае, если
аналитическое выражение этой функции неизвестно.
Если имеем график движения 5 = /(/), т. е. графическую
зависимость перемещения от времени, то, применяя двухкрат¬
ное графическое дифференцирование, найдем графики измене¬
ния скорости и ускорения движущихся частей машины.
Графическое дифференцирование с успехом применяется при
исследовании движения частей плоских механизмов, когда дви¬
жение настолько сложно, что аналитическое его изучение за¬
труднительно. Криволинейное движение рассматривают как
составное из движений проекций точки по осям координат, т. е.
как составное прямолинейное движение.
Задача определения скорости, с которой изменяется перемен¬
ная величина, приводит к понятию производной. Производной
148

функции у по независимому переменному х, как известно, назы¬
вается предел отношения приращения функции Ду к прираще¬
нию независимого переменного Дх, если последнее стремится
к нулю.
Для любого процесса функции у = /(х) с физической точки
зрения производную у' представляем себе как скорость течения
процесса: скорость движения, скорость нагрева и т. д.
Не менее важен геометрический смысл производной. С гео¬
метрической точки зрения производная у' есть тангенс угла или
угловой коэффициент, который образует касательная к опреде¬
ленной точке кривой у = [(х) с положительным направлением
оси Ох прямоугольной системы координат, в которой построена
кривая. Если производная в данной точке кривой положительна,
то функция возрастает, и наоборот, при отрицательном значе¬
нии производной функция убывает. Если кривая функции зигза¬
гообразна, имеет пики, то в точке перелома профиля нельзя про¬
вести касательную, не параллельную оси Оу, а поэтому в этих,
точках функция не имеет производной.
Метод касательных. Если уравнение исходной кривой
У = Их)» то уравнение производной дифференциальной кривой
имеет вид
у'=/'(х)==1ба.	(63>
На исходной кривой АВС в точке А проведем касательную*
(рис. 187). На оси абсцисс от основания ординаты точки А отло¬
жим отрезок ЕЕ, равный единице, и проведем из точки Е луч
ЕА' || АР до пересечения с ординатой АИ. Из треугольника
А'ЕЕ следует, что А'Е =	= у' и точка А' есть точка произ¬
водной кривой, соответственная точке А исходной кривой. Та¬
ким образом, для определения скорости движения по графику
пути достаточно в рассматриваемой точке кривой провести каса¬
тельную и найти тангенс угла наклона касательной к горизон¬
тали.
Если провести касательную в наивысшей точке В исходной
кривой (а равно и в наинизшей ее точке), то касательная будет
параллельна оси абсцисс, поэтому угол, а следовательно, и тан¬
генс угла, и ордината производной кривой будут равны нулю.
Производная кривая в точке В' пересечет ось абсцисс и следую¬
щие ее ординаты будут отрицательными. Знаки /и^а долж¬
ны быть одинаковыми.
Метод хорд. Построение касательных к заданной кривой,
уравнение которой неизвестно, возможно лишь при помощи при¬
ближенных приемов. Рассмотрим их. Если задана кривая АЕ
(рис. 188), то для построения производной кривой на продол¬
жении оси абсцисс нанесем полюс Р с координатами (—1; 0).
Из полюса Р нанесем пучок лучей до встречи с осью ординат
149

® точках уь у2, Уз- По направлению каждого луча построим по
две параллельных ему хорды исходной кривой. Через середины
хорд проведем прямую до встречи с кривой. Здесь хорды по-
Рис. 187. Построение производ¬
ной кривой по касательным
Рис. 188. Графическое дифферен¬
цирование методом касательных
строены только для определения точки В. В точках А, В, С и О
угловые коэффициенты касательных равны уъ у2, Уз и ус им со¬
ответствуют абсциссы хь х2, *з и- х4 точек А', В', С' и В' искомой
производной кривой.
Чтобы избежать утомительного проведения по две хорды для
каждой точки заданной кривой,
Рис. 189. Построение производной
кривой по хордам
Проведем средние ординаты
в точке Р. Из точки Р проведем
наметим на этой кривой ряд то¬
чек А, В, С в зависимости от
характера кривой и соединим
их хордами (рис. 189). При¬
мем, что угол наклона хорд ра¬
вен углу наклона касательных
к кривой в точках, расположен¬
ных посередине между точка¬
ми А и В, В и С. Это допуще¬
ние вносит ошибку, но она ма¬
ло влияет на точность построе¬
ния производной кривой, тем
более, что она относится
только к одной точке. Эти
погрешности не суммируются,
как это бывает в других по¬
строениях.
и построим полигон с полюсом
лучи, параллельные хордам, до
встречи с осью ординат в точках у2, ..., которые перенесем на
средние ординаты и получим точки В, Е и Р производной
кривой.
150

Наинизшая точка исходной кривой при у = 0 соответствует
точке Р пересечения оси абсцисс дифференциальной кривой.
Если ординаты заданной кривой велики по сравнению с еди¬
ницей длины," принятой для полюсного расстояния полигона, то
производная кривая будет очень пологой. Чтобы этого не полу¬
чилось, полюсное расстояние полигона увеличивают до Л, и при
масштабе щ по оси абсцисс и ц2 по оси ординат исходной кри¬
вой ордината производной кривой будет равна
(64)
Если исходная линия представляет собой наклонную прямую,,
то первая производная будет прямая, параллельная оси абс¬
Рис. 190. Построение дифференциальной кривой методом хорд
цисс. Второй производной не будет, так как она совпадет с
осью абсцисс.
Пример. Закон движения точки определен уравнением 5 =
= /(/). Требуется построить дифференциальную кривую зави¬
симости скорости от времени V = }'(1). Масштабы: по оси абс¬
цисс Ц1 = 5 мм (1 сек соответствует 5 мм), по оси ординат ц2 =
= 1 мм (1 м соответствует 1 мм). Время движения точки от
Д5
до Л3 Д/ = 2 сек\ производная — представляет собой среднюю
скорость за время Д^ (рис. 190). От точки 2 отложим ординату,
Д5 ~
равную — = с2. Величину с2 получим, построив треугольник
151

РфтФг. подобный треугольнику А^СхАз, в котором сторона А{А3
является хордой. Луч •РфгНАЛз- Полюсное расстояние 7. =
= 40 мм. Ордината полигона пропорциональна скорости а2-
Масштаб его равен
40 • 1 л
|л3 = —— =	= 8 мм,
М-1	5
что соответствует скорости 1 м/сек.
Если, например, ордината ОлО.2 = 48 мм, то с2 = 48 : 8 =
= 6 м/сек. Это можно проверить: при Д5 = 12 мм, т. е. 12 м за
12
= 2 сек, с2 = — =6 м/сек.
Из графика функции V = видно, что скорость имеет по¬
ложительные и отрицательные значения. Кривая V = /'(/) пе¬
ресекается с осью абсцисс в точках, которые соответствуют
наибольшему и наименьшему расстояниям кривой 5 = /(/) до
оси абсцисс. Точка В12 дифференциальной кривой, в которой
касательная параллельна оси абсцисс, соответствует точке Л13
перегиба исходной кривой.
Построение точек производной кривой связано с переносом
параллельных линий от хорд к лучам полигона. В этой опера¬
ции трудно добиться высокой точности, так как построение ве¬
дется от коротких участков к длинным. Можно уточнить по¬
строение, исходя из принятых масштабов, с учетом того, что от
до Л3 А/ = 2 сек = 2
= X 40	4
Д/	2-5
Следовательно', точку В2 можно было бы построить на орди¬
нате длиной 4Д5, точку Вю— на ординате 4(5ц—5Э) =
= 4- (—4) = —16 мм, точку В22 = на ординате 4(523— В21) =
= 4-5 = 20 мм и т. д.
Дифференциальную кривую можно построить, используя об¬
ратимость графического интегрирования. К заданной кривой
у = /(х) в намеченных точках Ах, Л2, А3, А4 проводят касатель¬
ные, которые создают описанный многоугольник (рис. 197). Для
проведения касательных используем метод двух хорд (рис. 188).
Построим полигон с полюсом Р и лучами, параллельными про¬
веденным касательным. Через точки (?1, С}2, <2з, ... встречи лучей
с ординатой проведем прямые, параллельные оси абсцисс,
до пересечения в точках Вь В2, В3,, ... с ординатами точек Ль А2,
Л3, ... исходной кривой. Точки Вь В2, В3, ... являются точками
дифференциальной кривой. Дифференциальную кривую между
этими точками проводят так, чтобы площади треугольников
каждой ступени были равны между собой.
$52

19.	ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Определенные интегралы в технике и механике применяются
весьма часто, но аналитическое решение их в большинстве слу¬
чаев трудоемко или вовсе неосуществимо, если функция сложна
и не может быть выражена в элементарных функциях, или же
подынтегральная функция эмпирическая и задана лишь табли¬
цей или графиком. Тогда прибегают к графическому интегри¬
рованию.
Графическое интегрирование функций — действие, обратное
графическому дифференцированию. Графическое интегрирование
находит большее применение в технике, чем графическое диф¬
ференцирование. Оно применяется для определения площадей
фигур, деления данного контура на заданные части, для опреде¬
ления центра тяжести фугуры, статического момента и момента
инерции сечения; наконец, для определения перерезывающих
сил, изгибающих моментов и реакций опор балок или построе¬
ния упругой линии и определения критического числа оборотов
вала, а также при расчете кривых брусьев.
Основными методами являются метод хорд и метод каса¬
тельных. Графическое интегрирование сводится к графическому
определению площади с криволинейным очертанием путем заме¬
ны ее площадью, составленной из прямоугольников, превращаю¬
щих кривую в ступенчатую линию.
Используется известное свойство интегралов — нулевое зна¬
чение заданной функции соответствует точкам максимальных и
минимальных ординат искомой функции; максимуму и минимуму
данной функции соответствуют точки перегиба интегральной
кривой.
Метод хорд. Имеем участок ЛИ2 данной кривой (рис. 191).
Площадь	ограниченная этой кривой, двумя ордината¬
ми Аф и А2К и1 осью абсцисс выражается интегралом
ь
пл. А^Еф = уйх,	(65)
а
Проведем прямую ЕР || В К так, чтобы площадь А{А2КО бы¬
ла равна площади ЕРКф или, что то же, площади треугольни¬
ков АфС и А2СР были бы равны. Ордината КР = ут является
средней ординатой площади, ограниченной кривой ДИ2. Про¬
должим прямую ЕР до встречи с осью ординат в точке С, кото¬
рую соединим лучом с полюсом Р.
На продолжении прямой Аф выберем произвольную точ¬
ку через которую проведем прямую Вф2\\РО. Прямая
Вф2 является хордой интегральной кривой Вф2.
153

В треугольнике В^В2 В2Ы = а, но а — ,
х
В2Ы = I отсюда площадь.
АГА2КО = В2Ы -К = Л1.
тогда
(66)
Если кривой АИг соответствует интегральная кривая В{В2,
то для средней прямой ЕР интегральной линией является пря¬
мая В\В2. Начальные и конечные точки интегральной кривой
и интегральной прямой совпадают, а крайняя ордината В2Ы,
равная И, умноженная на полюсное расстояние X, равна площа¬
ди аха2кв.
Рис. 191. Построение интегральной
кривой методом хорд
Рис. 192. Построение интегральной
кривой методом касательных
Метод касательных. Кривой АИг, так же как и в предыду¬
щем случае, соответствует интегральная кривая ВХВ2 (рис. 192).
Проведем прямую Ер параллельно оси ординат так, чтобы пло¬
щадь ЛИяФгФ! была равна площади	и площади тре¬
угольников А\ЕО и А2РЕ также были равны. Тогда абсцисса
= хт будет средней абсциссой площади ЛрАгфгФь Перене¬
сем крайние точки кривой Л1Л2 на ось ординат и проведем лучи
Р($1 и Р<22, параллельно которым проведем касательные к на¬
чальной и конечной точкам В{ и В2 интегральной кривой. Каса¬
тельные ВХС и В2С пересекутся в точке С, лежащей на продол¬
жении ординаты ЕР, соответствующей средней абсциссе хт. Та¬
ким образом, для нахождения точки В2 при построении интег¬
ральной кривой следует в точке Вг провести касательную
В^ || Р($1 до пересечения с ординатой, соответствующей средней
абсциссе хт, и из точки С провести прямую СВ21| Р(^2. Крайняя
ордината В2М = Н интегральной кривой ВХВ2, умноженная на
полюсное расстояние %, равна площади Л И2Л4/С
Равенства треугольников для нахождения средних ординат
и средних абсцисс при построении ступенчатой ломаной линии
154

исходной кривой достигают, пользуясь определенными соотно¬
шениями.
Если отдельные участки исходной кривой можно принять за
отрезок прямой, то середина такого участка совпадет со средней
ординатой ут и абсциссой хт (рис. 193).
Криволинейные участки принимают за дуги парабол второго
порядка. Предположим, что ось параболы параллельна оси абс¬
цисс. Проведем хорду А1А2 и через среднюю ее точку В нанесем
горизонтальную прямую ВТ), которую поделим на три равные
части. На расстоянии 7з длины прямой В1) от точки В) проведем
через точку С вертикаль ЕР, которая даст равные площади за¬
штрихованных треугольников (рис. 194, а).
Если ось параболы параллельна оси ординат, то через сред¬
нюю точку В хорды А1А2 проведем вертикаль ВЕ и на расстоя¬
нии !/з ВЕ от точки Е проведем через точку О прямую ОС, па¬
раллельную хорде ЛИ2, до встречи в точке С с горизонталью^
проведенной через точку В. Вертикаль КР, проведенная через,
точку С, обеспечит равенство площадей заштрихованных тре¬
угольников (рис. 194, б).
В целях повышения точности графических построений ступе¬
ни элементарных криволинейных трапеций, заменяемых тре¬
угольниками, не следует делать чрезмерно малыми. Разумеет¬
ся, при очень малых делениях ломаная линия более приближа¬
лась бы к интегральной кривой. Но при большом числе углов,
ломаной линии неизбежно резкое увеличение суммы небольших
погрешностей построения.
Интегрирование отдельной функции. Задана графически
функция у = 1(х). Требуется определить величину интеграла.
/ }(х)с1х, т. е. подсчитать площадь фигуры, ограниченной дан-
ной кривой, двумя ординатами и осью абсцисс.
1-й способ. Графическое суммирование орди¬
нат (рис. 195). Участок (Х1— х0) разобьем на равные ча¬
сти Ах. Чем мельче разбивка, тем точнее будет интегрирова¬
ние. Практически достаточная точность будет обеспечена, если
Ах будет равно 7—10 мм. Важно достаточно точно измерить-
участок (х!—х0). Через точки разбивки проведем ординаты.
Каждую криволинейную трапецию заменяем равновеликим
прямоугольником, для чего проведем горизонтальную линию-
с таким расчетом, чтобы выделить два равновеликих треуголь¬
ника. Затем сложим графически высоты всех прямоугольников,
и умножим сумму на ширину прямоугольника Ах. Графическое
суммирование высот удобно выполнять на полоске бумаги: ко¬
нец первого отрезка совмещается с началом второго и т. д. Мас¬
штабной линейкой измеряется полная длина. Считают, что не¬
смотря на примитивность этого способа, он дает достаточно'
155

Рис. 195. Графическое сложение ор-	Рис. 196. Графическое интегрирование методом хорд
динат
156

хорошие результаты, не уступающие по точности измерению
площади планиметром.
2-й способ. Построение интегральной кри¬
вой по хордам. Для построения этой кривой воспользуем¬
ся основными свойствами интеграла, а именно тем, что произ¬
водная от интеграла равна подынтегральной функции
О	о
Отсюда следует, что тангенс угла наклона касательной к ин¬
тегральной кривой в некоторой точке равен соответствующей
ординате подынтегральной кривой.
Разделим участок (Х1— х0) на п равных малых частей Дх
,(рис. 196). Точную длину Дх найдем, измерив длину — х0)
и разделив ее на п частей. Ординаты деления разбивают фигу¬
ру на п криволинейных трапеций. Каждую криволинейную тра¬
пецию заменим равновеликим прямоугольником, т. е. найдем
средние ординаты. Ординаты прямоугольников перенесем на
ось Оу в точки 2', 3', ... На продолжении оси Ох наметим
произвольно положение полюса Р, который соединим с точками
2', 3', ... лучами. Построим последовательно ряд хорд интег¬
ральной кривой, а затем вычертим по ним плавную кривую.
Ордината точки О' интегральной кривой представляет собой
постоянную интегрирования Со. Искомый интеграл является
разностью ординат конечной и начальной точек интегральной
кривой:
Х1
;(х) йх = у± — у0 = Н мм.	(67)
Расстояние % полюса Р от начала координат может быть
определено из соотношения
А = мм,	(68)
Рз
где Ц1 — масштаб по оси абсцисс исходной кривой в жж;
Ц2 — масштаб по оси ординат исходной кривой в жж.
Произвольный выбор полюсного расстояния позволяет при¬
дать чертежу желаемые размеры.
Масштаб интегральной кривой при известном полюсном рас¬
стоянии определяем по формуле
р3 =	един11ц!(69)
А»
157

Таким образом, при вычерчивании интегральной кривой
в масштабе имеем
С Уйх = Р(х)=	= -- мм.
Л	Рз Р1Р2
*0
(70)
Масштаб интегральной кривой при двойном интегрировании
для ординат второй интегральной кривой
(71)
при тройном интегрировании для ординат третьей интегральной
кривой
Р1Р2
Из =
(72)
3-й способ. Построение интегральной кри¬
вой по касательным. Дана кривая В{ВЪ (рис. 197).
Требуется построить интегральную кривую
у = Г(х) = $ }(х)с1х.
Хо
Заменим интегральную кривую параллельными ступенями,
число которых зависит от конфигурации кривой. Эти ступени
Рис. 197. Графическое интегрирование методом касательных
расположим так, чтобы в; произвольных точках В2, В3, ..., где
кривая и ступени имеют одинаковые ординаты и абсциссы, они
ограничивали бы одинаковые площади. Для этого необходимо
так проводить вертикали супеней, чтобы заштрихованные тре-
158

угольники справа и слева от вертикалей имели одинаковые
площади (см. рис. 194). Горизонтальные отрезки ступеней про¬
должим до встречи с осью ординат в точках <21, <Э2, <?3, кото¬
рые соединим лучами с полюсом Р, расположенным на произ¬
вольном расстоянии от начала координат. Начиная от точки
Д1 (041 =Хо), построим многоугольник 41С1||РС1, СХС2\\РО,2,
С2С3 || Р(&, ... Этот многоугольник касательных к искомой интег¬
ральной кривой имеет соприкосновение с последней в точках
4Ь 42, 43, ..., абсциссы которых равны абсциссам точек В2,
В3, ... интегрируемой кривой. С помощью лекал по описанному
многоугольнику касательных вычерчивается искомая интеграль¬
ная кривая. Построение интегральной кривой по касательным
дает более ясное представление о ее направлении, чем вписан¬
ная в нее ломаная линия в построении по хордам. Для. опреде¬
ления конечного результата интегрирования способ построения
по хордам более удобен.
Определение масштаба интегральной кривой производится
так же, как и в предыдущем случае.
Интегрирование произведения двух функций. Даны кривые
двух функций у' = 1(х) и у" = ф(х). Требуется найти интеграл
произведения этих функций
У = р(х)?(х)йх.	(73)
Хо
1-й способ. Определение момента фиктивных
сил. Участок (Х1—х0) между пределами интегрирования ра¬
зобьем на п равных частей Ах и проведем ординаты (рис. 198).
Площади элементарных трапеций примем для одной из данных
кривых, например, кривой у" = ф(х) за фиктивные силы. Так,
фиктивная сила с индексом I равна Рг = ф(хг)Дх = у'[ Дх, где
у'! является средней ординатой участка Дх$. Условимся считать
фиктивные силы направленными параллельно оси абсцисс и
приложенными к вершинам средних ординат другой данной кри¬
вой у' = ^(х). Момент силы Рг относительно оси абсцисс равен
Ргу'. = ф(х)/:(х)Дх. Момент всех сил относительно оси абсцисс
представляет собой сумму
1 = П
м= 2 Ф(х)/(х)Ах.	(74)
1=1
При достаточно малых участках Дх разбивки момент фик¬
тивных сил относительно оси абсцисс можно рассматривать как
приближенную величину искомого интеграла.
Для определения момента параллельных сил строим полигон
сил и веревочный полигон. В целях уменьшения размеров поли¬
гона сил средние ординаты трапеций, откладываемые вместо их
159
площадей, для удобства размещения на чертеже, уменьшаются
обычно в 3 раза, для чего к крайней ординате нижней кривой
на оси ординат строится прямоугольный треугольник ЕЕЕ
с отношением размеров катетов 3: 1. Затем через вершины
средних ординат каждой трапеции наносят горизонтальные ли¬
нии, которые пересекают треугольник ЕЕГ-, отрезки этих пря¬
мых между сторонами ЕЕ и ЕЕ треугольника принимают за си¬
лы и вычерчивают силовой и веревочный полигоны. Если замы¬
кающую ВО веревочного полигона на оси абсцисс обозначим
Рис. 198. Интегрирование произведения двух функций по¬
строением веревочного полигона
через К и полюсное расстояние полигона сил через А, то момент
фиктивных сил относительно оси абсцисс будет равен М = КЬ.
Отрезок К измеряем в масштабе ординат кривой у' = /(х),
полюсное расстояние Ь — в том же масштабе, в котором отло¬
жены фиктивные силы. Если масштаб ординат кривой а еди-
ниц!мм и коэффициент уменьшения ординат взят 3, то масштаб
фиктивных сил равен
За • Ах Размерность(Д) ,	(75)
мм
2-й способ. Построение подынтегральной кри¬
вой. Даны кривые функций/ = /(х) и у" = <р(х). Требуется
произвести интегрирование произведения этих функций. Графи¬
ческое умножение двух кривых было рассмотрено выше (см.
рис. 134). Пользуясь этим методом, можно построить кривую
произведения этих функций, которая будет подынтегральной
160

подынтегральной кривой,
может быть определена
У = /(х)ф(х)- Для нахождения интеграла произведения задан¬
ных функций следует определить площадь подынтегральной
кривой 'методом графического суммирования ординат, описан¬
ным в предыдущем параграфе.
Этот способ наиболее прост и точен, так как он содержит
наименьшее число операций. Для наиболее точного определения
длин ординат необходимо выбирать достаточно крупный мас¬
штаб. При вычислении площади в целях повышения точности
важно взять достаточно большое число ординат. При наличии
планиметра площадь, ограниченная
двумя ординатами и осью абсцисс,
очень точно. Тогда ошибка в основ¬
ном будет определяться погрешно¬
стями при графическом умножении
данных кривых. Операция упро¬
щается, если кривые заданы шка¬
лами (см. рис. 136).
Интегрирование отношения двух
функций. Заданы графически две
функции у' = /(х) и у" = ф(х). Тре¬
буется найти интеграл отношения
этих функций
Рис. 199. Схема построений
моментов сил
<1х.	(76)
Ф(х)
*0
1-й способ. Построение веревочного полиго¬
на с переменным полюсным р асстоян и ем. Из гра¬
фостатики известно, что момент силы Рг относительно оси
абсцисс, параллельной силе, равен произведению полюсного
расстояния Нг на отрезок Дуг-, отекаемый на оси лучами вере¬
вочного полигона (рис. 199):
М1 = НЛУс ИЛИ ^у1
Л/ Л[
Участок интегрирования (Х1— х0) разобьем на п равных
малых частей Дх и нанесем средние ординаты кривых (рис. 200).
За фиктивные силы примем отрезки Дх. Фиктивные силы на¬
правлены параллельно оси абсцисс и приложены к вершинам
средних ординат первой кривой. Расстояние этих сил от оси абс¬
цисс равно /(Хг). Момент относительно оси абсцисс Мг =
= Дхг-/(Хг).
Построим полигон сил с переменным полюсным расстоянием
Н^ равным средним ординатам второй кривой, и веревочный
6 Зак. 334	161
полигон, крайние лучи которого отсекут
зок АВ, равный искомому интегралу
"	" ?(*») Л
Масштаб отрезка АВ равен
на оси абсцисс отре-
-Ж. дх.	(77)
<?(*)
(78)
единиц! мм,
где а единиц/мм — для величины Ах; Ь единиц/мм — для /(х);
с единиц/мм — для ф (х).
Рис. 200. Интегрирование отношения двух кривых
построением веревочного полигона с переменным
полюсным расстоянием
2-й способ. Построение подынтегральной кри¬
вой: Если даны кривые двух функций у = /(х) И У = ф(х)
и требуется найти интеграл отношения этих функций, то можно
построить подынтегральную кривую, пользуясь методом, пока¬
занным на рис. 140, для деления двух кривых, и графически сло¬
жить ординаты. Для кривых, заданных шкалами, операция де¬
ления упрощается (см. рис. 141).
Интегрирование более сложных функций. Приведем приме¬
ры графического интегрирования более сложных выражений.
Пример1. Заданы графически функции у = /(х); г/ = ф(х)
и у = ф(х); требуется найти интеграл
С1Х = у.
Ф (х)
Х0
(79)
162

Применим здесь метод интегрирования построением веревоч¬
ного полигона с переменным полюсным расстоянием, описанный
выше. Средние ординаты кривой у = /(х) примем за фиктивные
силы Рг, направленные параллельно оси абсцисс и приложенные
к вершине средних ординат кривой у = <р(х). Построим полигон
сил с переменным полюсным расстоянием, равным средней ор¬
динате каждого участка кривой у = ф(х) и веревочный полигон
(рис. 201). Отрезок АВУ отсекаемый на оси абсцисс крайними
Рис. 201. Графическое ©пределе-
ние интеграла I		— ах
Л К*)
Хо
лучами веревочного полигона,
является в некотором масшта¬
бе приближенной «величиной
искомого интеграла.
Рис. 202. Графический расчет кривого
бруса
Если /(х) имеет масштаб а единиц!мм, ф(х) —Ь единиц!мм
а ф(х) —с единицам, то масштаб результата построения ра¬
вен — единиц/мм.
с
Пример 2. При расчете кривых брусьев для вычисления ин¬
теграла
(80)
применим графический метод. В подынтегральное выражение
входят следующие величины: — элементарная площадка се¬
чения бруса; У—расстояние ее от оси абсцисс, проходящей че¬
рез центр тяжести сечения; Р — радиус кривизны оси бруса
в расчетном сечении (рис. 202).
Сечение разобьем на элементарные полоски прямыми, парал¬
лельными оси хх. Площади полосок примем за фиктивные силы,
приложенные в центре тяжести полосок и направленные парал-
163
6*

лельно оси хх. Построим полигон сил с переменным полюсным
расстоянием, равным для каждой силы расстоянию ее от оси ОО,
проходящей через центр кривизны и параллельной оси хх
(Нг =	+ У). Силы отложим по оси ОО, а подвижный полюс —
на линиях действия сил. При таком построении нет надобности
строить веревочный полигон. Площадь, заключенная между ли¬
нией подвижного полюса, его крайними лучами и отрезками
оси хх, даст величину искомого интеграла.
Определение площади замкнутой фигуры и деление ее на
части. Дана замкнутая фигура /?1Т?2^з^4- Требуется определить
Рис. 203. Деление площади фигуры на части
ее площадь и разделить на три равные части (рис. 203). Можно
было бы построить интегральные кривые для двух исходных
кривых и и по разности их ординат определить
искомую площадь. Удобнее перенести ординаты фигуры на ось
абсцисс, например, ордината ас! фигуры 7?1/?2#з#4 равна орди¬
нате 245О5; получим фигуру	Площади этих фигур рав¬
ны. Для построения интегральной кривой разделим площадь
фигуры РИ1Л7Ру прямыми, параллельными оси Оу, на несколь¬
ко частей; для каждой части найдем среднюю ординату и по¬
строим полигон с полюсом Р и лучами, по которым построим
интегральную кривую ВХВ7. Площадь фигуры ОХАХА7О7 =
— -/?1^?2^3^4 = АЛ.
Для того чтобы разделить эту площадь на три равные части,
разделим ординату В7О7 = И на три части, равные — . Им со-
о
ответствуют на интегральной кривой точки С\ и Са. Проведем
164

через эти точки ординаты, которые пересекут фигуру
и разделят ее на три равные части.
Применяя подвижный полюс, можно обойтись без построе¬
ния кривой Л1Л7. Операции ведутся в той же последовательно¬
сти, но строятся три полигона при одном и том же полюсном
расстоянии (рис. 204).
Деление площади круга на части. С помощью интегральной
кривой можно быстро выделить заданную часть площади фигу¬
ры. Пусть дан круг диаметром 10 см. Требуется разделить его
площадь на две части в отношении 7 : 9, а затем вырезать дву¬
мя вертикалями площадь 15 см2 на расстоянии 1,5 см от верти¬
кального диаметра (рис. 205). После построения интегральной
кривой найдем площадь круга = 15,7-5 = 78,5 см2. Край¬
нюю ординату ВюС разделим в отношении 7 : 9 и точку О деле¬
ния перенесем в точку Е интегральной кривой. Вертикаль I — /,
проведенная через точку В, делит площадь круга в отноше¬
нии 7 : 9.
Для того чтобы вырезать площадь 15 см2, на расстоянии
1,5 см от вертикального диаметра, нанесем вертикаль II — II,
которая пересечет интегральную кривую в точке IV. Искомая
площадь соответствует отрезку РК ординаты В10С:
с 15	15	о „
8 = 	=	= 3 см,
X	5
который засекает на интегральной кривой точку М. Вертикалью
III — III, проходящей через точку М, определяется граница вы¬
резанного заштрихованного участка.
Приборы для графического интегрирования. Из наиболее
старых приборов, которые применяются для графического ин-
165
тегрирования и в настоящее время, можно назвать интеграцион¬
ный треугольник системы Тэра. Он представляет собой прозрач¬
ный равнобедренный треугольник с катетом 105 мм. Прибор
позволяет строить интегральные кривые методами хорд и каса¬
тельных с полюсным расстоянием до 5 см.
Рис. 205. Деление площади круга
Интеграторы и планиметры предназначены только для опре¬
деления площадей.
В целях механизации проектно-конструкторских работ раз¬
ные научно-исследовательские институты для графического ин¬
тегрирования заданных функций создали и применяют интегри-
метры различных систем — шаровые, дисковые, с роликом, с но¬
жевыми роликами и линейные для определения площадей фи¬
гур, объемов, весов и др.
Вычислительный центр Иркутского университета разрабо¬
тал и изготовил комбинированный интегратор КИ-3, который,
кроме операций интегрирования графически заданных функций,,
166

предназначен для выполнения ряда других вычислительных, из¬
мерительных и чертежных операций.
Эти приборы в большинстве своем промышленностью не вы¬
пускаются.
Широкое применение получил прибор — интегрант, изготов¬
ляемый Ростокским дизелемеханическим заводом (ГДР). При¬
бор очень прост, дешев и представляет собой раздвижной уголь¬
ник, состоящий из двух 'металлических линеек, соединенных
шарниром. Внутренние кромки проходят через ось вращения
шарнира. Несмотря на свою простоту, прибор дает возможность
на базе графического интегрирования сравнительно точно ре¬
шать целый ряд технических за¬
дач:
а)	определение площадей пло¬
ских фигур и деление их на за¬
данные части;
б)	определение объемов и ве¬
сов;
в)	определение статических
моментов, центров тяжести и мо¬
ментов инерции площадей;
г)	решение статически неопре¬
делимых систем;
д)	определение опорных реак¬
ций и построение эпюр попереч¬
ных сил и изгибающих моментов;
е)	определение остойчивости
Рис. 206. Построение интеграль¬
ной кривой с помощью инте-
гранта
в судостроении.
При построении интегральной кривой площадь, ограничен¬
ную интегрируемой кривой, делят ординатами на элементарные
криволинейные трапеции. Посередине каждой из них наносят
средние ординаты. Неподвижная линейка интегранта устанав¬
ливается на рейсшине параллельно оси абсцисс определенным
делением, совпадающим со средней ординатой крайней трапе¬
ции. Это деление определяет полюсное расстояние. Верхняя
линейка устанавливается на вершине той же средней ординаты.
Не изменяя угла раствора, интегрант с помощью рейсшины
без поворота опускают до совмещения верхней линейки с точ¬
кой А1 графика и проводят хорду А[А2 в пределах первой эле¬
ментарной трапеции (рис. 206).
Сохраняя выбранное полюсное расстояние, эту операцию
повторяют со второй элементарной трапецией, и т. д. В резуль¬
тате получают ломаную линию хорд, которую описывают иско¬
мой интегральной кривой.
В том случае, когда имеют дело с плоской замкнутой фигу¬
рой, не опирающейся на ось абсцисс, площадь также делится
на элементарные трапеции и проводятся средние ординаты.
167

Нижняя линейка всегда должна быть параллельна оси абс¬
цисс и устанавливаться делением полюсного расстояния на точ¬
ку пересечения средней ординаты с контурной линией, ограничи¬
вающей площадь снизу. Верхняя линейка, как и ранее, устанав¬
ливается на вершине той же средней ординаты. В остальном
построение ведется так же, как и в первом случае.
20. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Уравнения, связывающие независимые переменные, их функ¬
ции и производные этих функций, называются дифференциаль¬
ными уравнениями. Порядок дифференциального уравнения
определяется производной высшего порядка, входящей в урав¬
нение; степень уравнения определяется высшим показателем
степени, в которой производная высшего порядка входит в урав¬
нение, приведенное к рациональному виду.
Изучение процессов, в которых все искомые величины явля¬
ются функциями лишь одной независимой переменной, приво¬
дит к обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержа¬
щим обыкновенные производные или дифференциалы.
Простейшие дифференциальные уравнения можно решать
графически с помощью интегральных кривых. Возьмем урав¬
нение
=	(81)
решение которого сводится к нахождению интеграла
у=ф(х)сй,	(82)
значение которого можно найти, построив интегральную кривую.
Пример. Требуется найти определенный интеграл
6
Сначала строим кривую у = Зх2 + 2х — 15,
для чего зададимся рядом значений х и подсчитаем соответст¬
вующие значения у:
X
2
3
4
5
6
У
1
18
41
70
105
Примем масштаб по оси абсцисс щ = 1 см, по оси ординат
Р2 = —-	см, X = 4 см (рис. 207). Построим полигон средних ор-
□и
168

динат исходной кривой и интегральную кривую описанным выше
способом. Крайняя ордината интегральной кривой И = 2,45 см,
масштаб ее равен
Величина искомого интеграла равна
2.45-120 = 294.
Рис. 207. Определение интеграла^ (Зх2 + 2х— 15)</х
2
Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид
=	(83)
Общий интеграл этого уравнения
У = ф (х, С) <1х + С1!	(84)
находят двукратным интегрированием.
Последовательное интегрирование находит применение во
многих прикладных вопросах техники, но для каждого конкрет¬
ного случая должны быть известны значения постоянных интег¬
рирования, которые не всегда определяются условиями задачи
и требуют применения особого метода.
Интеграл уравнения содержит две произвольные постоян¬
ные С и Сь которым в графическом методе соответствует произ¬
вольность выбора начальных точек двух интегральных кривых
при их построении.
Графическое решение связано с выполнением одного из двух
поставленных условий:
169

1)	при заданном значении независимой переменной Х\ первая
интегральная кривая должна проходить через точку, ордината
которой соответствует значению функции и представляет собой
в масштабе определенное значение к\\ при значении независимой
переменной х2 вторая интегральная кривая должна проходить че¬
рез точку, ордината которой определяет интеграл У и представля¬
ет собой в масштабе заданное значение к2\
2)	вторая интегральная кривая, при значениях независимой
переменной Х\ и х2 должна проходить через заданные точки, при
этом интеграл У, определяемый в масштабе ординатами этих
точек, должен принимать заранее установленные значения к^
и к2.
Для выполнения первого условия графические построения
производятся следующим образом. Построим исходную кри¬
вую Лр45, полигон средних ординат с полюсом Рх и первую ин¬
тегральную кривую В\В$, начальную точку В^ которой выберем
на ординате I произвольно (рис. 208). Проведем новую ось абс¬
цисс О1%1 так, чтобы ордината точки соответствующая абс¬
циссе была равна р,3&1. Построим полигон средних ординат
кривой ВХВ$ с полюсом Р2 и вторую интегральную кривую
с произвольным положением начальной точки -01 на ординате Л
Нанесем новую ось абсцисс О2х2 так, чтобы ордината точки М2,
соответствующая абсциссе х2, была равна Цдй2. Таким образом,
кривая является искомой кривой, удовлетворяющей урав¬
нению
Для выполнения второго условия вторая интегральная кри¬
вая должна проходить через две заданные точки Л^1 и
(рис. 209). Решение начинается с построения исходной кривой,
полигона с полюсом Р^ первой интегральной кривой и ее поли¬
гона средних ординат с полюсом Р2.
Начальная точка второй интегральной кривой С[Се выби¬
рается произвольно на ординате I. Кривая пересекает ор¬
динату II, соответствующую заданной абсциссе хь в точке
Чтобы точка 7/1 стала одной из точек, заданных по условию за¬
дачи, следует так расположить новую ось абсцисс О2х2, чтобы
ордината точки в новой системе координат была равна
(на рис. 209 ординаты к{ и к2 приняты отрицательными). После
того как определилось положение оси О2х2, отложим от абсцис¬
сы х2 ординату Цз&2 второй заданной точки ?/2, учитывая знак
величины к2. Так как точка Л^2 оказалась в стороне от кривой
С1С6, то производим корректировку.
Хорду С5С6 продолжим до встречи в точке Р с ординатой //,
на которой должны пересечься обе кривые. Из точки Р прово¬
дим луч через точку 1\12 и параллельно ему луч С^Рз до встречи
170

ш и
171

с вертикалью ММ для определения положения новой оси абс¬
цисс О' х' и полигона с полюсом Р3, что соответствует выбору
одной из постоянных интегрирования.
Теперь отнесем первую интегральную кривую В{В6 к новой
системе координат уО\ х', построим полигон средних ординат из
полюса Р3 и нанесем в координатной системе уО2х2 вторую ин¬
тегральную кривую В^^2Вб, которая удовлетворяет уравне¬
нию
— = /«■
б/х2 7 К 7
Пример. Дано дифференциальное уравнение
= 6х2 + 2х + 7.
Лх*
Интеграл этого уравнения, выраженный графически, должен
иметь крайние абсциссы Х[ = 0,5 и х2 = 5,5 и соответствующие
ординаты к\ = 400 и к2 = 2400.
Для ряда значений х найдем значения у.
X
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
У
9,5
23,5
49,5
87,5
137,5
199,5
Примем масштаб по оси абсцисс щ = 1 см, по оси ординат
1	Л л
Р2 = — см, полюсное расстояние к = 4 см постоянное для
50
всех полигонов (рис. 210). Проведем прямые I—VI, параллель¬
ные оси ординат, причем крайние из них проведем через точки
абсциссы, соответствующие = 0,5 и х2 = 5,5.
Построим первую интегральную кривую ВХВ^, полигон сред¬
них ординат с полюсом Р% на произвольной оси абсцисс О{х{
и вторую интегральную кривую Л^1С6, которая пересечет парал¬
лель I в точке Л/р
Определим в масштабе ординаты заданных точек и Л/’г
.	1-400 пс	>,	1-2400 о
У1 =[1зА!1 =-—*?!= .2	= 0,5 СМ", у2 = |Х3& =	= 3 см.
X2	4а -50	4 • 50
От точки отложим вниз 0,5 см и найдем ось абсцисс О2х2,
а затем от этой оси на параллели VI отложим вверх ординату
3 см и найдем точку М2, которая не лежит на кривой
Для того чтобы вторая интегральная кривая проходила че¬
рез заданные точки и Л/2, необходимо определить новую ось
абсцисс для первой интегральной кривой и построить новый по¬
лигон средних ординат. Для этого продолжим хорду С5С6 до
172

встречи в точке Р с параллелью I, на которой должны пересечь¬
ся в точке кривая Л/\С6 и искомая вторая интегральная кри¬
вая. Точку Р соединим прямой с точкой Л2 и через точку ^5
проведем луч С^Рз II Р^2 до встречи с вертикалью ММ в точке
Рз. Точку Р5 примем 13а новый полюс и построим через точки Л7]
и Л^2 искомую вторую интегральную кривую в системе ко¬
ординат уО2х2.
I Л III IV V VI
м	О
Рис. 210. Решение уравнения
а2у
— бх2 + 2х + 7
Найдем значение интеграла уравнения при х = 2,5 (ордина¬
та равна 1,25 см):
у = 1,25 • — = 1,25 • 42 • 50 = 1000.
Из
Дифференциальное уравнение вида
=1л = Г М .
йх	ф'(х)
Если /'(х) и <р'(х) выражены кривыми, то
проинтегрировать их графически.
Отношение соответствующих ординат кривых /Х(х) и ф'(х)
_т.^м^ = 1еа (86)
(85)
МОЖНО
173

задает подъем искомой интегральной кривой
У Ар' (х)дх.	(87)
Средние ординаты кривых А{А5 и В1В5 спроектируем на ось
ординат и из начала координат проведем прямую ОЕ под уг¬
лом 45° (рис. 211).
Тогда для точки 1 данных кривых получим
оа
от. гр
т. е. луч Р&1 определяет направление хорды 0^2 интегральной
кривой. Произведем подобное построение для остальных сред¬
них ординат и по хордам вычертим искомую кривую у = ф(х).
Функциональные шкалы для изображения функций.
М. Л. Франк предложил графический метод интегрирования
дифференциальных уравнений с помощью функциональных
шкал [87, 88]. При интегрировании дифференциального уравне¬
ния первого порядка
(88)
рассматривают его как уравнение семейства кривых с парамет¬
ром х. На оси ординат наносят функциональную шкалу произ¬
водной у' и вычерчивают кривые, придавая х ряд равноотстоя¬
щих на величину Ах = 0,1 значений х»/2 , х\+у2 , ..., хп-л/в. На
оси абсцисс от произвольной точки а0 строится зубчатая лома¬
ная а0М1а1М2... (рис. 212). Каждый зубец представляет собой
равнобедренный треугольник. Для удобства построений поль-
174

зуются шаблоном, у которого угол р = 90°—-|-
Угол —
2
выбирается так, чтобы -у- = 0,1.
Вершины М1 зубцов при построении должны лежать на соот¬
ветствующих кривых х/+1/8 • Тогда точки щ дают на оси абсцисс
искомую функциональную шкалу для у.
Для построения интеграла функции в этом способе исходят
из формулы средних прямоугольников
хп	1=п—\
С Цх)	У ;(хж/г)(х/+1—х,),
х0	1=0
(89)
где
0,5(х^1	х^.
Можно интегрировать уравнение (88) с применением форму¬
лы трапеций
хп	1=п— 1
У / (х) <1х У 0,5 [/ (хж) + / (х,)] (хж — х,).
Хо	1=0
(90)
Кривые семейства вычерчиваются для ряда равноотстоящих
значений х = х0, хх, ..., хп. На оси абсцисс построение начинает¬
ся от произвольной точки а0, которая проектируется на кри¬
вую х0 в точку 2И0. От точки Мо строится, так же как и раньше,
зубчатая ломаная М0Ь1М1Ь2 (рис. 213). Проекции точек Мо, 2ИЬ
М2, на ось абсцисс в точках а0,	а2, ..., ап дают искомую
функциональную шкалу для у.
Вычерчивание кривых требует много времени, поэтому, поль¬
зуясь этим методом интегрирования, не вычерчивают заранее
всех кривых, а в процессе построения наносят по две точки
и соединяют их отрезком прямой в тех местах, где может ока¬
заться вершина следующего зубца. В ряде случаев при х =
= сопз! кривые превращаются в прямые линии.
В уравнении вида
йх
(91)
производная не зависит от х, поэтому строится лишь одна кри¬
вая, на которой расположатся вершины всех зубцов.
Уравнения с разделяющимися переменными вида
/ (у) ^У = ф (г) &	(92)
175
можно интегрировать в функциональных шкалах, если прирав¬
нять обе части уравнения. Получим два уравнения
бу 	1	.
бх	I(у)
бг 		1
бх <? (г)
которые принадлежат к рассмотренному типу. При
Лу
ском интегрировании шкалу размещают на оси
(93)
(94)
графиче-
ординат,
Рис. 212. Интегрирование в функциональ- Рис. 213. Интегрирование в функ-
ных шкалах способом средних прямо- циональных шкалах способом тре¬
угольников	пеций
рицательную сторону, шкалу г — на оси ординат в отрицатель¬
ную сторону. В верхнем правом квадрате вычерчивается кри¬
вая (93), в нижнем левом (94), и описанным методом строятся
функциональные шкалы для у и г, которые и будут координата¬
ми искомой интегральной кривой Р(у, г) = 0 с начальными ус¬
ловиями уо и г0 при одном и том же значении х0.
Интегрирование в функциональных шкалах уравнения второ¬
го порядка вида
(Ру = * ( <*У
йх* '\ с!х ’
У, х
с начальными условиями х0, уо, у0'.
По оси абсцисс в положительную сторону направлена шка¬
ла у, в отрицательную сторону — у", по оси ординат — у'
(рис. 214).
176

Метод заключается в построении шкалы у' по данной шка¬
ле у" и в построении по шкале у' искомой шкалы у.
По заданным начальным условиям намечаем точки а0 и с0, по
вычислениям у" — точку во. Строим по шаблону точку Ьо, для
которой = у*+у"— . В точке ах получаем ух = у0-г
+ У\Ах и х1 = х0 + Ах. Получив значения у^ и строим ко¬
роткий отрезок кривой у" = }(у', уь в декартовой системе
координат у'у" только в том месте, где намечается вершина сле¬
дующего зубца интегральной ломаной.
Первое интегрирование целесообразно вести по способу тра¬
пеций, второе по способу средних прямоугольников или наобо¬
рот, учитывая, что оба спо¬
соба дают погрешности раз¬
ных знаков, если кривая
внутри интервала не имеет
перегибов.
Найдя вершину зуб¬
ца, по шаблону построим
точку В системе коорди¬
нат уу' по точкам 7И0 и Л41
получим искомую функцио¬
нальную шкалу с0, сь с2,..
для у.
Для того чтобы чертеж
не был СЛОЖНЫМ, на прак- нальных шкалах уравнения второго по-
тике при выполнении интег-	рядка
рирования в функциональ¬
ных шкалах нет необходимости вычерчивать все зубцы и все ли¬
нии; достаточно отметить в каждом построении лишь конечные
точки.
Если зубцы при интегрировании получаются очень малыми,
то значения х следует брать не через Ах — 0,1, а через Ах = 0,2.
При очень больших зубцах, выходящих за пределы чертежа,
значения у' берут в определенном отношении, например вдвое
меньше истинного. Тогда то же построение даст точки шкалы
0,5г/х и для получения соответствующего приращения Ау надо
вместо одного зубца построить два равных зубца.
В некоторых случаях уравнение в полярных координатах
проще, чем в декартовых. Построение также может быть вы¬
полнено интегрированием в функциональных шкалах с после¬
дующим перенесением точек шкалы на радиусы-векторы.
Вычисление определенных однократных интегралов изло¬
женным методом в обычных случаях не отличается от вычис¬
ления неопределенных интегралов при заданном начальном
условии. После получения функциональной шкалы для перво¬
начальной функции подставляют верхний предел интеграла.
177

Графические методы решения дифференциальных уравне¬
ний, предназначенные для построения переходных процессов
в системах автоматического регулирования и в динамических
системах, разработаны Д. А. Башкировым [6] и А. А. Погосо¬
вым [59, 60]. Учитывая специальное назначение этих методов,
здесь их рассматривать не будем.
21.	ГРАФИЧЕСКАЯ СТАТИКА
Последовательное графическое интегрирование дает возмож¬
ность получать ряд интегральных кривых. Вторая и третья ин¬
тегральные кривые в связи с первой интегральной кривой могут
служить — одна для определения статического момента, другая
для определения момента инерции площади, ограниченной на¬
чальной кривой, относительно любой оси, параллельной оси ор¬
динат.
Определение масштабов интегральных кривых. При графи¬
ческом интегрировании бывают затруднения в определении мас¬
штабов ординат интегральных кривых. Положим, что масштаб
исходной кривой по оси абсцисс 1 см = 2 ж, а по оси ординат
1 см = 5 кг. Если построить первую интегральную кривую с по¬
люсным расстоянием К = 8 см, то 1 см ординаты этой кривой
будет 2*5*8= 80 кГм, а 1 см абсциссы по-прежнему будет со¬
ответствовать 2 м.
Если построить вторую интегральную кривую с 2с = 10 см,
то при абсциссе 1 см = 2 м, при ординате 1 см = 80 кГм первой
интегральной кривой масштабы второй интегральной кривой
будут: ордината 2-80-10 = 1600 кГм, а абсцисса снова 1 см =
= 2 м и т. д.
Ранее масштаб обозначался: ц! — число единиц длины абс¬
циссы, равное единице независимого переменного; цг— число
единиц длины ординаты, равное единице функции. Масштаб ин¬
тегральной кривой
Теперь удобнее обозначить иначе:— =а — число единиц
независимого переменного, равное единице длины абсциссы;
— = Ь — число единиц функции, равное единице длины ор-
динаты.
Масштаб интегральной кривой
——;	!	; 	?	 (95)
аЬ^
178

Статический момент 5 площади
Х1
5 = [ у (е — х)йх	(96)
Хо
относительно вертикали х = е равен интегралу произведения
каждого момента уйх на его расстояние е — х от вертикали. Ес¬
ли кривая а (рис. 215) ограничивает площадь, для которой оп¬
ределяется статический момент, кривая Ь — первая интеграль¬
ная кривая и кривая с — вторая интегральная кривая, то каса¬
тельные в начальной и конечной точках и кривой с отсе-
Рис. 215. Определение статического момента площади
кают на вертикали ЕМ отрезок ЕР, равный в масштабе статиче¬
скому моменту площади А{А2КО. Направление касательных О{Р
и О2Е определяется лучами и РС}2 полигона крайних орди¬
нат первой интегральной кривой.
Точка Л/' пересечения касательных Е{Р и Е2Е лежит на оси
проходящей через центр тяжести рассматриваемой площа¬
ди. Статический момент относительно оси, проходящей через
центр тяжести, равен нулю.
В практических расчетах статического момента площади1 на¬
чальные точки первой и второй интегральных кривых размеща¬
ют на оси абсцисс, поэтому касательная ОгР и точка совпада¬
ют с осью абсцисс и графическое построение упрощается.
Статический момент в этом случае в масштабе равен отрезку
крайней ординаты от точки пересечения с касательной до оси
абсцисс. Если статический момент определяется для части пло¬
щади, органиченной двумя ординатами, то через точки пересече¬
ния этих ординат со второй интегральной кривой проведем к ней
касательные и измерим отрезок, заключенный между этими ка-
179

сательными на оси, относительно которой измеряется статиче¬
ский момент.
Пример. Требуется определить статический момент площади
эллипса с полуосями а = 45 см и Ь = 30 см относительно каса¬
тельной, проходящей через конец большой оси. Эллипс вычер¬
тим в масштабе —; учитывая симметричность фигуры, изо¬
бразим лишь верхнюю ее половину до большой оси (рис. 216).
Примем масштаб по оси абсцисс 1 см = 20 см, по оси ординат
1 см = 20 см и полюсное расстояние % = 3 см. Масштаб по оси
ординат первой интегральной кривой 1 см = 20-20-3 = 1200 см2.
Если конечная ордината первой интегральной кривой по черте¬
Рис. 216, Статический момент эллипса
жу равна 1,77 см, то площадь эллипса равна Р = 1,77-1200-2 —
= 4240 см2. Для проверки подсчитаем площадь эллипса по фор¬
муле
Р =. тс • а - Ь = 3,14 - 45 - 30 = 4240 см2.
Построим1 вторую интегральную кривую с тем же полюсным
расстоянием, причем начальные точки той и другой интеграль¬
ных кривых будут лежать на оси абсцисс, конечная ордината
ВбВ7 = 1,33 см. Для большей ясности на рис. 216 эти кривые
построены отдельно. Для построения касательной спроекти¬
руем точку В6 первой интегральной кривой на ось ординат
и проведем луч Р2(2в- Проведем касательную II В2(?б. Точ¬
ка № лежит на вертикали, проходящей через центр тяжести фи¬
гуры. Определим масштаб ординат второй интегральной кривой:
1 см = 20-1200-3 = 72 000 см3. Статический момент площади
эллипса из графического расчета равен
5 = 1,33.72 000 - 2 = 191 400 см3.
180

Для проверки результата вычислим статический момент по
формуле
5 = аР = 45 • 4240 = 190 800 см3;
ошибка около 0,3%, что вполне допустимо.
Таким же образом может быть определен статический мо¬
мент части площади эллипса относительно любой вертикальной
оси. В этом случае для проведения касательной к промежуточ¬
ной точке второй интегральной кривой, соответствующей грани¬
це рассматриваемой части площади эллипса, проектируют на
ось ординат пограничную точку первой интегральной кривой
и проводят луч из полюса Р2- Касательная должна быть парал¬
лельна этому лучу.
Статические моменты площади эллипса относительно осей,
проходящих слева от центра тяжести эллипса, будут отрица¬
тельными.
Центр тяжести плоской фигуры. При определении статиче¬
ского момента площади фигуры с помощью графического инте¬
грирования касательная к конечной ординате второй интеграль¬
ной кривой, как было показано, засекает на оси абсцисс точку,
которая определяет положение вертикали, проходящей через
центр тяжести этой площади. Для определения положения цент¬
ра тяжести площади несимметричной фигуры следует произве¬
сти графическое интегрирование второй раз в системе коорди¬
нат, расположенной под углом 90° к первой и найти вертикаль,
на которой расположен центр тяжести. Пересечение вертикалей
определит положение центра тяжести плос'кой фигуры.
Для проверки правильности определения положения центра
тяжести площади исходят из того, что площадь фигуры Р вы¬
ражается конечной ординатой в масштабе первой интегральной
кривой, а статический момент 5 той же площади относительно
конечной ординаты равен этой ординате в масштабе второй ин¬
тегральной кривой и представляет собой произведение площади
на расстояние ее центра тяжести от этой оси. Отсюда расстоя¬
ние центра тяжести от конечной ординаты в каждой системе
координат равно
х1 = АИХ2 = А.	(97)
Пример. Требуется определить положение центра тяжести
половины эллипса по большой его оси при размерах полуосей
а = 60 см и Ъ = 40 см (рис. 217). Выберем масштабы: по оси
абсцисс 1 см = 10 см; по оси ординат 1 см = 10 см; полюсное
расстояние К = 4 см; ордината первой интегральной кривой
1 см = 10 • 10 • 4 = 400 см2.
Построим первую интегральную кривую ВВ. Конечная орди¬
ната равна 9,42 см, площадь половины эллипса Р равна 9,42X
181

Х400 = 3770 см2. Проверим полученный результат по формуле
Р = 0,5ла&; Р = 0,5-3,14-60-40 = 3770 см2. Результаты точно
совпадают. Масштаб ординаты второй интегральной кривой
1 см = 10-400-4 = 16000 см2. Построим вторую интегральную
кривую ОБ. Статический момент при размере конечной ордина¬
ты 14,2 равен 51 = 14,2-16000 = 226 200 сж3, отсюда расстояние
центра тяжести от конечной ординаты
226 200
= 		 = 	 = 60 СМ,
Р 3770
на чертеже Х{ = 6 см.
В другой системе координат, расположенной под углом 90°
к первой, при тех же масштабах конечная ордината первой ин¬
тегральной кривой Р0В1 равна 9,42 см и Р = 9,42-400 = 3770 см2.
Конечная ордината второй интегральной кривой Р0Е равна 4 см,
статический момент 52 = 4 -16 000 = 64 000 см3. Расстояние
центра тяжести от конечной ординаты
х2 =
52	64 000	. „
— =	 = 17 СМ,
Р 3770
на чертеже х2 = 1,7 см.
Таким образом, центр тяжести площади половины эллипса
имеет координаты Р (6; 1,7).
Момент инерции площади сечения детали графически опре¬
деляется построением первой, второй и третьей интегральных
кривых. Момент инерции площади сечения относительно оси,
параллельной конечной ординате третьей интегральной кривой,
равен удвоенному отрезку этой ординаты, заключенному между
касательными параболами, проведенными к начальной и конеч¬
ной точкам кривой.
Касательные параболы представляют собой первые интег¬
ральные кривые прямолинейных касательных, проведенных
в начальной и конечной точках второй интегральной кривой.
В начальной точке кривой касательная парабола превращается
в прямую, совпадающую с осью абсцисс, поскольку прямоли¬
нейная касательная в начальной точке второй интегральной кри¬
вой совпадает с осью абсцисс.
При определении момента инерции сечения относительно оси,
совпадающей с конечной ординатой третьей «интегральной кри¬
вой, построение касательной параболы также является излиш¬
ним, так как парабола будет касаться кривой в ее конечной
точке. Момент инерции сечения в данном случае равен удвоен¬
ной конечной ординате.
В технике практический интерес представляет момент инер¬
ции площади сечения относительно оси, проходящей через центр
тяжести. Построение касательной параболы к конечной точке
третьей интегральной кривой здесь неизбежно. Касательная
парабола, как известно, является первой интегральной кривой
182

прямолинейной касательной к конечной точке второй интеграль¬
ной кривой с тем же полюсным расстоянием, которое было при¬
нято при построении третьей интегральной кривой.
Величина искомого махового момента равна удвоенному от¬
резку ординаты, проходящей через центр тяжести, заключенному
между касательной параболой и осью абсцисс в масштабе орди¬
нат третьей интегральной кривой.
Пример. Требуется определить момент инерции площади се¬
чения эллипса относительно малой оси с теми же размерами,
которые были приняты в предыдущем примере (рис. 217). Пе¬
ренесем из этого чертежа вторую интегральную кривую 1 и по¬
строим полигон средних ординат с полюсом Р\ и третью инте¬
гральную кривую 2 (рис. 218). Затем построим полигон средних
ординат касательной ВР с полюсом Р2 и касательную парабо¬
лу 3.
Примем масштабы: по оси абсцисс 1 см = 10 см, по оси ор¬
динат 1 см = 10 см, полюсные расстояния двух полигонов оди¬
наковы А,з = А,4 = 7 см. Масштаб ординаты второй интегральной
кривой из предыдущего примера 1 см = 16 000 см3. Подсчитаем
масштаб ординат третьей интегральной кривой: I см = 10 X
X 16 000 • 7 = 1 120 000 см*.
Момент инерции площади сечения половины эллипса по
большой оси при расчетной ординате КР = 1,52 см, отсекаемой
параболой
7 = 2 • 1,52 . 1 120 000 = 3 400 000 см*.
Искомый момент инерции площади полного сечения эллипса
относительно малой оси
/0 = 2 • 3 400 000 = 6 800 000 см*.
Проверим результат по формуле
т лс3с! л • 1203 • 80 р	4
Л =	=	 = 6 790 000 см*,
0	64	64
где с и (1 — большая и малая оси эллипса.
Точность результата графического решения вполне удовлет¬
ворительна.
Есть возможность сравнить полученный результат непосред¬
ственного определения момента инерции площади сечения эл¬
липса /0 относительно ординаты, проходящей через центр тяже¬
сти эллипса, с данными графического определения момента
инерции площади сечения эллипса 7 относительно оси, совпа¬
дающей с конечной ординатой третьей интегральной кривой, по
формуле
7 = 70 + Р&,	(98)
где Р — площадь сечения эллипса в см2-,
а — расстояние между осями в см.
183

2?
Рис. 217. Центр тяжести половины эллипса
уВ
1^,2 СМ
Рис. 218. Момент инерции сечения эллипса
184

Отсюда при расчетной конечной ординате у = 7,6 см кри¬
вой 2 имеем
} — Ра2 = 2 (2 • 7,6 • 1 120 000 — 3770 • 602) = 6 900 000 см\
Ошибка результата графического построения составляет 1,5%.
Расчет балок с применением графического интегрирования.
Рассмотрим балку на двух опорах с равномерно распределен¬
ной нагрузкой д кГ1см. В прямоугольной системе координат про¬
дольную ось балки примем за ось абсцисс. Тогда поперечная
сила
<2 = 7?1~ дйх,	(99)
о
где 7?1 — реакция опоры, а второй член уравнения представляет
собой ординату у\, отстоящую на расстоянии х от начала коор¬
динат первой интегральной кривой, полученной из кривой на¬
грузки, как исходной кривой:
С =	— У1-
Так как — = —?, то кривая нагрузки д является произ-
д,х
водной для кривой поперечных сил С, которая является интег¬
ральной кривой от первой.
Изгибающий момент
х
Мх = ЦЛх = у К^х — (1х § д(1х = Я±х —
(Ю0)
0	0	0	0
о о
Первый член уравнения представляет собой ординату пря¬
мой линии, второй — ординату второй интегральной кривой от
исходной кривой нагрузки. Выберем полюсное расстояние
и построим первую интегральную кривую ОО от кривой нагруз¬
ки АВ (в данном случае прямая линия). Первая интегральная
кривая здесь то же прямая линия, расположенная под углом а
к оси Ох; 1§а = — = д (рис. 219). Уравнение первой интег¬
ральной кривой у = дх.
Выберем полюсное расстояние Ля для второго полигона и по¬
строим вторую интегральную кривую ЕР, которая является па¬
раболой второго порядка; ее уравнение у = дх2. Точки Е
и Р соединим прямой. Ординаты между прямой ЕР и второй
интегральной кривой представляют собой величины изгибающих
моментов, а кривая ЕР является линией изгибающих моментов.
После того как определилось положение прямой ЕР, из по¬
люса Р2 проведем луч II ЕР. Через точку А{ проведем пря-
185
мую параллельно оси Ох. Ординаты между прямыми Ой
и для каждого сечения балки дадут величину поперечной
силы ф. При 0 = 0 точка С\ определяет положение опасного се¬
чения и соответствует Л4тах.
Наибольший изгибающий момент расположен посередине
балки, а следовательно, и опасное сечение находится там же.
Рис. 219. Расчет балки с распределенной нагрузкой
Уравнение прямой ЕР у = Рхх\ угол подъема этой прямой
определяется соотношением
X
Для того чтобы кривая ЕР не поднималась круто, что вызы¬
вает неоправданное увеличение размеров чертежа, полюс Р2
следует расположить выше оси Ох, соблюдая принятый размер
полюсного расстояния.
Балка на двух опорах с сосредоточенными нагрузками. Бал¬
ка несет три сосредоточенных нагрузки <21, 02 и (рис. 220).
Построим эпюру поперечных сил АКСОЕРОНВ без учета еще
неизвестной реакции опоры 7?! и без полигона сил. Ордината НВ
равна сумме реакций и Т?2 опор.
Для линии поперечных сил, как исходной кривой, построим
полигон с полюсом Р и полюсным расстоянием Л, и вторую ин¬
тегральную кривую А1В1 в виде ломаной линии.
Соединим прямой точки А1 и В{ и проведем из полюса Р луч
РЛ21И1^1. Через точку А2 проведем прямую А2В2 параллельно
186

оси Ох. Крайние ординаты от оси А2В2 будут равны реакциям
опор и /?2.
Наибольший изгибающий момент соответствует ординате
Утах, расположенной на вертикали направления силы <22, где
эпюра поперечных сил относительно оси А2В2 меняет знак.
Упругая линия балки. Дифференциальное уравнение упругой
линии изогнутого в одной плоскости стержня имеет вид
<?У
йх2
М
Е^ ’
где М — изгибающий момент;
Е — модуль упругости материала;
7 — момент инерции сечения.
Следовательно, упругая линия может быть найдена
щью двойного графического интегрирования кривой
(101)
помо¬
ги
У Е^
с
Рис. 220. Расчет балки с сосредоточенными нагрузками
Учитывая, однако, что изгибающий момент М определяется так¬
же двойным интегрированием кривой нагрузки, для нахождения
упругой линии необходимо четырехкратное интегрирование этой
кривой.
Графический способ определения прогибов имеет преиму¬
щество перед аналитическим при нескольких сосредоточенных
нагрузках, при неравномерно распределенной нагрузке, для ва¬
лов с переменным сечением и, особенно, при количестве опор бо¬
лее двух.
187

Пример. Вал переменного сечения на двух опорах несет со¬
средоточенную нагрузку = 5000 кГ, приложенную на расстоя¬
нии /1 = 60 см от опоры А; остальные размеры указаны на чер¬
теже (рис. 221). Требуется построить упругую линию вала и оп¬
ределить наибольший прогиб.
Рис 221. Построение упругой линии вала
Реакции опор удобнее определять аналитически. Составим
уравнение	= Ои найдем реакции опор
= 5000'60 = 2000 кГ;
I	150
= (2 —	= 5000 — 2000 - - 3000 кГ.
Примем масштабы: по оси абсцисс 1 см = 10 см\ по оси ор¬
динат 1 см = 1000 кг, полюсное расстояние М = 7 см. Построим
эпюру а поперечных сил.
Принимая ломаную линию а за исходную кривую, построим
первую интегральную кривую Ь, которая представляет собой ли-
188

нию изгибающих моментов. Масштаб ординат кривой изгибаю¬
щих моментов равен 1 см = 10-1000-7 = 70 000 кГсм.
Теперь следует учесть ступенчатость вала. Каждому сечению
вала соответствует определенный момент инерции. Если при¬
нять, что построенная кривая Ь изгибающих моментов относится
к сечению вала с наибольшим из заданных диаметров, а следо¬
вательно, и к наибольшему моменту инерции Л, ординаты эпюры
изгибающих моментов на участках вала с моментами инерции /2,
Л, /4,... должны быть изменены пропорционально отношениям
Л . Л . Л .
У2 /з *^4
Сопоставим данные этого примера.
Диаметр вала
в см
Момент инерции
сечения в слс4
Отношение момен¬
Высота треуголь¬
ной эпюры
изгибающего мо¬
мента в см
тов инерции
15
= 2490
—
1,6
13
^2 = 1410
-у-=1,77
/ 2
1,6-1,77=2,84
12
/3= 1018
-у-=2,44
Л
1,6-2,44=3,91
10
Л= 491
-у-=5,08
Л
1,6-5,08=8,15
Отложим высоты С0С1, С0С2, С0С3 и С0С4 на чертеже и по¬
строим треугольные эпюры изгибающих моментов для каждого
диаметра вала по всей его длине. Для получения эпюры изгиба¬
ющих моментов ступенчатого вала проведем вертикали
В4В5, В6В7, В8В9 и ВюВп, соответствующие границам участков
вала с различными диаметрами. Эта эпюра ВХВХ2 показана жир¬
ной линией.
В практике графических расчетов валов избегают построений
полных эпюр изгибающих моментов для каждой ступени. Вместо
этого ординаты, соответствующие каждой ступени в эпюре, по¬
строенной для наибольшего диаметра вала, умножают на отно¬
шение наибольшего момента инерции к моменту инерции сече¬
ния данной ступени.
Примем ломаную линию ВХВХ2 за исходную кривую и постро¬
им следующую интегральную кривую с полюсом Р2 и полюсным
расстоянием К2 = 5 см. Масштаб ординат кривой 1 бш=10Х
X 70 000 • 5 = 3 500 000 кПсм\
Наконец, приняв за исходную кривую построим послед¬
нюю интегральную кривую ЕХЕ^ которая представляет собой
189

упругую линию вала. Ординаты кривой ЕХЕ±, заключающиеся
между кривой и ее замыкающей — прямой ЕХЕ^ дают в масшта¬
бе прогибы вала в любом сечении. Масштаб ординат: 1 см =
= 10 • 3 500 000 • 5. 175 000 000 кГсм*.
Для определения наибольшей ординаты упругой линии из
полюса проведем луч РзР\\ЕхЕ^. Из точки Р проведем горизон¬
тальную прямую РН и через точку Д2 пересечения этой прямой с
кривой Е]Е>ь нанесем вертикаль 7)2Е3, которая и определит орди¬
нату /?22:з, равную 2,6 см. С помощью касательной 55ЦЕ1Е4 так¬
же можно определить положение точки Е$ на кривой ЕХЕ^.
Для определения действительного прогиба необходимо полу¬
ченную ординату упругой линии умножить на масштаб ординат
и разделить на произведение модуля упругости Е и момента
инерции 7 наибольшего сечения вала. При Е = 2 200 000 кг) см2
для стали и 71 = 2490 см* наибольший прогиб вала
Е2Е3 - 175 000 000	2,6 • 175 000 000	п
= 	= 	 — 0,иОО СМ,
*тах	Е^	2200 000-2490
0,083	1
что составляет 	=	 часть его пролета.
150	1800	н
Угол наклона изогнутой оси в точках опор нужно знать
при конструировании подшипниковых узлов. Если принять пря¬
мую ЕН (рис. 221) за ось абсцисс кривой Д^з, то ординаты
В{Р = з см и ИзН = 2,8 см этой кривой дадут тангенсы углов на¬
клона изогнутой оси вала в опорных точках в масштабе
1§а =
РХД-3500 000 _ 3 • 3 500 000
Е^
2 200 000 • 2490
= 0,00192;
р =	2,8 - 3 500 000	= 0 00! 79
6 г 2 200 000 - 2490
Коническая форма вала. Если отдельные участки вала име¬
ют коническую форму, то соответствующие им части эпюры изги¬
бающих моментов получают криволинейное очертание. Поэтому
здесь следует находить значения достаточно большого числа.ор¬
динат, чтобы получить кривую с возможно большей точностью.
Пересчет полюсного расстояния. Следует отметить, что при
графическом интегрировании для удобства подсчета значений ко¬
нечной ординаты интегральной кривой иногда приходится пере¬
считывать размер полюсного расстояния полигона средних орди¬
нат. Если, например, конечная ордината первой интегральной
кривой поперечных сил равна 12,9 см, то при полюсном расстоя¬
нии Х1 = 5,5 см и масштабе 1 см = 1,5 -1,5* 5,5 = 12,4 см2, соот¬
ветствующая площадь будет равна 12,9 • 12,4 = 160 см2. Далее,
если каждый квадратный сантиметр обозначает 10 кГ нагрузки,
то полная нагрузка вала равна 1600 кГ. Масштаб ординат кри-
190

дом весовой линии
вой поперечных сил в этом случае равен 12,4 • 10 = 124 кГ =
= 1 см. Для непосредственного отсчета по чертежу это неудобно,
поэтому строится новая кривая поперечных сил с тем условием,
что 1 см ее ординаты равен 100 кГ нагрузки. Конечная ордината
новой кривой должна быть равна 1600: 100 = 16 см. Для по¬
строения этой кривой надо знать новое полюсное расстояние А,2,
для определения которого составим уравнение. Площадь ограни¬
ченная кривой, равна
160=12,9-1,5-1,5-5,5 или
160 = 16-1,5- 1,5 %2. По¬
лучим уравнение 12,9 X
X 1,5-1,5-5,5 = 16-1,5 X
X 1,5Л,2, откуда Л,2 =
= 4,44 см. При интегриро¬
вании с этим полюсным
расстоянием получим кри¬
вую поперечных сил с
масштабом 1 см = 100 кг.
Новый метод графиче¬
ской механики машин и
сооружений. В заключе¬
ние главы нельзя не упо¬
мянуть о разработанном
Н. А. Туманским новом
весьма перспективном ме¬
тоде в графической меха¬
нике, значительно упро¬
щающем применяемый в
настоящее время веревоч¬
но-силовой способ дейст¬
вий над векторами [82].
Автор разработал беспо-
люсное графическое диф¬
ференцирование и интег¬
рирование.
Введение в практику
инженерных расчетов силового и веревочного многоугольника
дало в свое время большой толчок развитию графических мето¬
дов. Впоследствии, однако, специалисты убедились на практике
в неудобстве решения задач графической механики веревочно¬
силовым методом. Неудобство это заключается прежде всего
в необходимости двойного построения — полигона сил и веревоч¬
ного полигона. Кроме того, параллельный перенос большого чис¬
ла лучей представляет собой основной источник накопления
ошибок. Этих недостатков нет в новом методе, но он еще не
имеет широкого применения и требует дальнейшей отработки.
Новый метод является методом весовой линии. Покажем на
191
примере вала на двух опорах с сосредоточенными нагрузками
применение этого метода. Построим эпюры изгибающих момен¬
тов и поперечных сил (рис. 222). При наличии в пролете четырех
сил Р] Р2, Рз и Р4 одного знака определим их равнодействую¬
щую Р. Для этого сначала найдем равнодействующую сил Рг и
Р2, затем — равнодействующую этой новой силы и силы Рз и, на¬
конец, равнодействующую всего пролета. Перенесем силу Р{ на
линию действия силы Р2. Этой операцией определим их равно¬
действующую Р12. От точки ах до точки Ъх проведем так называе¬
мую весовую линию, которая, как выразился автор метода, вы¬
полняет роль «безмена». Нанесем делительный луч С\Л}\\АВ. Точ¬
ка с?! на весовой линии определит положение силы Рх2. Таким же
построением с помощью весовой линии а2Ь2 и делительного луча
с2<12 определим положение равнодействующей Р13, а по весовой
линии азЬз и делительному лучу с343 найдем равнодействующую
пролета силу Р. Вектор суммы реакций опор Ра и Ръ равен век¬
тору Р, Весовая линия АК пересечет вектор Р в точке б/4; прове¬
денный из нее делительный луч б/4с4 определит размер вектора
реакции Рь опоры В, а отрезок с4К даст вектор Ра опоры А.
Для построения эпюры изгибающих моментов точку б/4 соеди¬
ним с точкой В и получим точку 4. Затем проведем прямую 4Л^ и
получим точку 3. Проведем прямую Зб/Ь найдем точку 2 и нане¬
сем отрезок 12. В результате построения определилась эпюра мо¬
ментов А1234В.
Эпюру поперечных сил можно получить, если на уровне реак¬
ции Ра провести нулевую линию ОО' и по линиям действия отло¬
жить силы.

ГЛАВА
IV
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ТЕХНИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
Технические расчеты на базе графической математики и ме¬
ханики находят широкое применение в конструкторских и тех¬
нологических отделах заводов и проектных организаций. При¬
ведем здесь некоторые из расчетов в различных отраслях маши¬
ностроения.
22.	РАСЧЕТ ВАЛА НА ДВУХ ОПОРАХ С ПРИВОДНЫМ КОНЦОМ
Графический расчет вала состоит из трех основных задач:
а) построение эпюры изгибающих моментов;
б)	построение эпюры приведенных моментов;
в)	построение упругой линии вала.
На рис. 223 приведен порядок построения упругой линии для
определения первой критической скорости [3, 97].
Вычерчивают вал в масштабе 1 : и наносят схему нагру¬
зок (рис. 223, а). Строят полигон сил в масштабе т2 с полюсным
расстоянием т3 (рис. 223, б). Строят первичный полигон в сле¬
дующем порядке: через произвольную точку т, лежащую на
вертикали, проходящей через опору (со стороны привода), про¬
водят прямую, параллельную лучу Ь, до пересечения с верти¬
калью силы Р1 в точке п. Из точки п строят веревочный полигон
путем последовательного проведения прямых, параллельных лу¬
чам а, с и <1. Точки кит соединяют замыкающей линией
(рис. 223, в). Это построение дает эпюру изгибающих моментов.
Через все точки перемены сечения вала проводят вертикаль¬
ные линии. Выбирают некоторый средний момент инерции 70 из
моментов инерции наиболее длинных участков вала. Ординаты
эпюры изгибающих моментов на концах каждого участка вала,
ограниченного вертикальными линиями, умножают на /0 и делят
на моменты инерции сечений этих участков вала. Полученные
новые ординаты откладывают на вертикальных линиях от замы¬
кающих веревочного полигона пт и тк. Концы этих ординат
соединяют прямыми линиями и получают эпюру приведенных
моментов, показанную на рис. 223, в жирной линией.
Затем вычисляют площади треугольников и трапеций эпюры
приведенных моментов и, принимая их за нагрузки, приложенные
в центре тяжести каждой площади, строят полигон приведенных
нагрузок (рис. 223, е) в масштабе т4 с полюсным расстоянием
т5 и новый веревочный полигон, который в некотором масштабе
7 Зак. 334	193

изображает упругую линию вала (рис. 223, д). Прямую, от кото¬
рой измеряют прогибы, проводят через точки пересечения упру¬
гой линии вала с вертикалями опор.
Если 1 : тх— масштаб вала, т2 — число кг в 1 см, т3 — по¬
люсное расстояние в см, т4 — число см2 площади приведенных
р1	\р2	Рз
Рис. 223. Графический расчет вала на двух опорах:
а — схема нагрузок; б — полигон сил; в — эпюра изгибающих
и приведенных моментов; г — полигон приведенных нагрузок;
д — упругая линия вала
моментов в 1 см и т5 — полюсное расстояние в см,. то коэффи¬
циент масштаба прогиба равен
<5
/П|/И2/П3/П4/П5
ЁТо
(Ю2)
где Е — модуль упругости материала вала в кГ/см2-,
/о — средний момент инерции в см4.
Измерив ординату у любой точки упругой линии в см, можно
подсчитать прогиб этой точки вала в см
? = тоу.	(103)
Первая критическая скорость вала в общем случае опреде¬
ляется по формуле
Пк = 300 1/ Р1У1 + Р2У2+ ...+РпУ^г . об]МиН' (104)
V Р1У1 +Р2У% + .... +РпУп т0
194

где уь Уп — ординаты упругой линии вала, соответствую¬
щие точкам приложенных нагрузок •, Рп, взятые в см.
Данные эпюры изгибающих моментов используют для рас¬
чета вала на прочность. Величину изгибающего момента в ка¬
ком-либо сечении вала вычисляют по формуле
Миз = т1т2т38(кГ/см),
(Ю5)
где 5 — ордината эпюры для данного сечения вала в см.
23.	РАСЧЕТ ВАЛА НА ТРЕХ ОПОРАХ
Вычерчивают вал в масштабе 1 : и наносят схему нагру¬
зок (рис. 224, а). Чтобы построить упругую линию трехопорного
вала, необходимо прежде всего определить реакцию средней
'А	1Р2 Р3
е)
Рис. 224. Графический расчет вала на трех опорах:
а — схема нагрузок; б — построения к расчету реакции сред¬
ней опоры; в — полигон сил; г — эпюры моментов; д — поли¬
гон приведенных нагрузок; е — упругая линия вала
опоры. Между вертикалями крайних опор наносят горизонталь¬
ную прямую линию аЬ (рис. 224, б). Точки а и Ь соединяют с про¬
извольной точкой (1, лежащей на вертикали средней опоры. Ис¬
ходя из предположения, что фигура айЬ представляет собой
эпюру изгибающих моментов вала под действием одной силы,
195
7*

равной реакции средней опоры, проводят вертикали через все
точки перемены сечения вала и строят аналогично предыдущему
эпюру приведенных моментов. Строят полигон приведенных на¬
грузок и веревочный полигон, изображающий упругую линию ва¬
ла (рис. 224, б). Реакцию средней опоры определяют по формуле
О =
Р 2^2 Ч~ -Р3^3 — Р 1г1
(кг),
(Юб)
где г2, 2з и Зй— ординаты упругой линии точек приложения
нагрузок Р2, Рз и реакции средней опоры.
Если при вычислении по этой формуле значение реакции
средней опоры получится положительным, то принимают, что
Рис. 225. Графическое определение ступеней вала
реакция опоры направлена вверх (противоположно силам Р2 и
Рз); при отрицательном значении реакции — вниз. На рис. 224
принято, что реакция опоры О направлена вверх.
Далее графический расчет ведется в той же последователь¬
ности, как и для вала на двух опорах. Строят полигон сил, счи¬
тая реакцию опоры И за силу (рис. 224, в), и веревочный полигон,
изображающий эпюру изгибающих моментов (рис. 224, г тонкая
линия). При построении веревочного полигона из произвольной
точки т на вертикали левой опоры наносят прямую, параллель¬
ную лучу а (рис. 224, в), до пересечения с вертикалью силы Р\
в точке п. Из точки п наносят прямую, параллельную лучу Ь, до
пересечения с вертикалью средней опоры и т. д. Крайние точки
тик соединяют замыкающей прямой, на которой после пересче¬
та ординат строятэпюру приведенных моментов (рис. 224, г, жир¬
ная линия). Принимая площади треугольников и трапеций за
нагрузки, строят полигон приведенных нагрузок (рис. 224, д) и
упругую линию вала (рис. 224, е). Точку с1' пересечения упругой
линии с вертикалью средней опоры соединяют прямыми линия¬
ми с крайними точками а' и Ь' упругой линии. Теоретически ли¬
ния а'й'Ь' должна быть прямой, но из-за неизбежной погрешно¬
сти графического расчета в практике допускается небольшое
отклонение от прямой линии.
196

Ординаты уь у2 и у3 упругой линии вала в точках приложе¬
ния сил Р[, Р2 и Рз представляют собой прогибы вала в опреде¬
ленном масштабе. Первая критическая скорость вала опреде¬
ляется формулой
пж = 300 1/ р^ + р^ + рзУз	1 (об/мин), (107)
’ Р1У1 + Р2&2 + РзУз	ГПо
где т0 — коэффициент масштаба прогиба, в который входят
масштабы т2, т3, т4 и т5, рассмотренные выше.
Ступени вала в той части, где отсутствуют крутящие моменты,
часто определяют графически, исходя из наибольшего диаметра
вала и из диаметра цапфы. Для этого строят часть кубической
параболы, которая определяет очертание вала с равными напря¬
жениями на изгиб на всех ступенях вала (рис. 225).
24.	РАСЧЕТ КОРОБОК СКОРОСТЕЙ
Графический метод расчета коробок скоростей станков при¬
меняют при проектировании на основе динамического баланса
и в проверочных расчетах при паспортизации станков [29, 94].
Графический расчет по сравнению с аналитическим требует для
выполнения в несколько раз меньше времени. Охватывая сразу
кинематику и динамику коробки скоростей, графический метод
упрощает унификацию и дает полную картину передаваемой
мощности при различных оборотах шпинделя и заданной проч¬
ности деталей.
В этом методе действия умножения, деления и возведения
в степень величин, входящих в расчетные формулы, заменяются
-сложением и вычитанием прямолинейных отрезков, взятых
в логарифмическом масштабе. Постоянные коэффициенты учи¬
тываются путем смещения линий при отсчете по шкалам нор¬
мальных расчетных формуляров, которые изготовляются типо¬
графским способом.
Нанесение линии мощности электродвигателя, зубчатых пе¬
редач, пусковой муфты, ременной передачи наглядно выявляет
•слабые звенья в различных ступенях скорости.
В расчетном графике линия АВ отражает баланс подводимой
мощности (рис. 226)
Л^ = ЛЧ	(Ю8)
где М — мощность электродвигателя;
П — к. п. д.
После логарифмирования получим
№ =	+ 1§г|.	(109)
197

Если на оси ординат отложить в масштабе логарифмы балан¬
сируемых величин, то получим возможность линейно суммиро¬
вать отрезки. К. п. д. меньше единицы, поэтому — величина
198

отрицательная и в графике откладывается вниз. Линия АС отра¬
жает мощности, передаваемые валами отдельных ступеней ко¬
робки скоростей. В графике при одинаковых расстояниях по
горизонтали между ступенями, обозначаемыми вертикалями с /
по V/, и одинаковым к. п. д. передач линия АС — прямая, угол
наклона которой связан с конструкцией передач.
Формула крутящего момента
м = 975 ^,	(110)
п
где и п — подводимая мощность и число оборотов электро¬
двигателя в минуту; после логарифмирования получим
1еМ + 1еп = 1е^ + 1е975.	(111)
В таком виде соотношения между величинами могут балан¬
сироваться отрезками прямых. Проведем горизонтальную линию
01), соответствующую 1&1 = 0, и от нее вниз отложим в приня¬
том масштабе отрезок, равный 1& 975. Через полученную
точку Е проведем горизонтальную прямую ЕР, тогда для каж¬
дого вала ордината между линиями АВ и ЕР будет равна сумме
отрезков, соответствующих в том же масштабе величинам 1бЛ4 и
1§п, где М и п — крутящий момент и число оборотов данного
вала. По оси ординат от линии ЕР вверх откладывается шка¬
ла \%п и на вертикали первого вала откладывается значение
16^1 отрезком ЕК. От точки К строятся ломаные линии чисел
оборотов. Отрезок АК соответствует 1&Л11-
Кинематика цепи отражается линиями чисел оборотов. Ки¬
нематический баланс для т-го вала, выраженный в виде
=	(112)
в логарифмической шкале приводит к линейному балансу отрез¬
ков
1еп^ = 1е«1 + 1егт,	(ИЗ)
где при замедляющей передаче откладывается вниз, при
ускоряющей — вверх. Статика системы, определяемая равнове¬
сием действующих в цепи крутящих моментов, фиксируется в
верхней части расчетного графика
■441Ц1 — т =	ту	(114)
где и Мт—крутящие моменты на валах 1 и т;
т| 1—772, — суммарный к. п. д. передачи между этими вала¬
ми;
1\~т — передаточное число передачи между этими ва¬
лами.
Тогда после логарифмирования с учетом знаков логариф¬
мов получим
1е Л4Х — 1е П1—т = 1§мт ± 1еи-т,	(Н5)
19
где знак плюс берут для ускоряющей, а минус — для замедляю¬
щей передачи.
Линии ОМ и ОМ являются характеристиками потерь мощ¬
ности в зубчатом зацеплении, первая — на подшипниках каче¬
ния, вторая — на подшипниках скольжения.
Аналогичным образом решаются вопросы расчета валов на
кручение, определение угла закручивания и расчета на проч¬
ность зубчатых колес.
Расчет валов на жесткость при кручении для наибольших
моментов ведут по схеме М = /0 + 0° в отрезках логарифмиче¬
ских шкал. Отрезок по шкале 70 для определенного диаметра
первого вала отложим по линии числа оборотов вверх до точ¬
ки ($. Вертикальный отрезок от точки ($ до линии АС передавае¬
мой мощности, взятый по шкале 0°, определит угол закручивания
для первого вала, отнесенный к 1 м длины. Для остальных валов
отрезки /о нужно откладывать от нижних линий числа оборотов,
для того чтобы вести расчет при наибольших крутящих момен¬
тах.
Напряжения в валиках при кручении определяют по схеме
М =	+ окр также в отрезках логарифмических шкал.
Для поверочных расчетов при паспортизации станков раз¬
работаны методика с преобразованными формулами и инструк¬
ция с табличными данными допускаемых напряжений и коэф¬
фициентов долговечности, а также специальные формуляры
графиков с логарифмическими шкалами.
25.	РАСЧЕТ ОБКАТНОГО ИНСТРУМЕНТА
Зубчатые колеса и другие зубчатые детали различного фа¬
сонного профиля обрабатываются преимущественно зуборезным
инструментом, работающим по методу обкатки. Расчетные фор¬
мулы для профилирования обкатного инструмента выражаются
очень громоздкими дифференциальными зависимостями.
На практике пользуются графическим методом расчета [68].
В этом методе расчет любого сложного профиля сводится
к 'расчету инструмента для прямолинейного профиля изделия.
Определение оптимальной начальной окружности. Возмож¬
ность получения заданного профиля изделия, а также форма
профиля инструмента и чистота обработки зависят от величины
радиуса начальной окружности. Для определения оптимального
радиуса начальной окружности заданный профиль зубьев изде¬
лия разбивают на характерные участки — прямолинейные, дуго¬
вые и др. На каждом участке отмечают узловые точки 7, 2, 3,...
(рис. 227). Через эти точки проводят касательные 1 Г, 2 2',
33', ... и нормали 01', 02', ... к ним из центра О. При выборе
радиуса начальной окружности следует учесть, что под опти¬
мальной начальной окружностью понимается наименьшая из
200

возможных, при которой обеспечивается профилирование всех
точек заданного профиля. Кроме того, требуется выполнить сле¬
дующие условия:
а)	нормали к профилю изде¬
лия в любой точке должны быть
касательными к начальной ок¬
ружности или пересекать ее;
б)	точки заданного профиля
должны профилироваться после¬
довательно, в соответствии с из¬
менением расстояния от центра О
до этих точек;
в)	рабочая часть линии зацеп¬
ления при нарезании не должна
заходить за пределы режущей ча¬
сти инструмента;
г)	длина переходной кривой у
Рис. 227. Определение радиуса
начальной окружности зацепления
основания профиля должна быть наименьшей;
д)	инструмент в любой точке профиля должен иметь поло¬
жительный задний угол.
Все эти условия, кроме четвертого, стимулируют увеличение
радиуса начальной окружности. Если за радиус начальной
окружности принять отрезок касательной 2 2', как наибольший,
то он удовлетворит поставленным условиям, кроме последнего,
так как профиль инструмента в точке, профилирующей точку 2
изделия, не будет иметь положительного заднего угла. Для
удовлетворения этого условия к касательной 2 2' из точки 2 под
углом р до встречи с нормалью в точке 2" проводится прямая
2 2", которая и принимается за радиус начальной окружности:
2 2'
СОЗ 3
(116)
Угол р при криволинейном профиле изделия при нарезании
фрезой принимается равным 8—10°, долбяком—12—15°. Для
прямолинейного участка профиля изделия при определении
радиуса начальной окружности отрезок 02” не должен быть
более 0,1 длины нормали 02'.
Построение профиля фрезы. При известном радиусе началь¬
ной окружности построение профиля режущих кромок зубьев фре¬
зы производится по точкам, каждая из которых профилирует оп¬
ределенную узловую точку профиля изделия. Профиль фрезы
строится относительно оси ординат как оси симметрии впадины
между зубьями изделия.
Из центра О радиусом Р описывают начальную окружность
(рис. 228). Через полюс Р зацепления перпендикулярно оси
ординат проводят начальную прямую а фрезы.
Рассмотрим построение одной точки профиля. Для одной
201

из узловых точек, например точки Е, раствором циркуля, рав¬
ным радиусу К начальной окружности, сделаем засечку в точ¬
ке п на нормали ОК, проведенной к касательной ЕК. Из полюса
зацепления Р на окружности радиуса РЕ сделаем засечки в точ¬
ках Ъ радиусом г = Оп. Через точки Ь проведем прямую, а из
точки Е радиусом г на началь¬
ной окружности засечем точ¬
ку С, которой на начальной
прямой соответствует точка Си.
Последняя находится из усло¬
Рис. 229. Определение профиля дол-
бяка
Рис. 228. Определение профиля
фрезы
вия РС = РСи. Из точки Си радиусом г на прямой ЬЬ засечем
искомую точку Еи профиля червячной фрезы.
Для отыскания остальных точек профиля фрезы построения
повторяют для всех узловых точек профиля изделия.
Построение профиля долбяка мало чем отличается от постро¬
ений для червячных фрез. Опишем начальные окружности изде¬
лия и долбяка радиусами К и Ри, причем = I (рис. 229).
Ей
Покажем построение для одной узловой точки, которое затем
повторяется для всех узловых точек профиля изделия. Для узло¬
вой точки Е построим касательную ЕК и нормаль к ней ОК.
На нормали радиусом К засечем точку п для определения вели¬
чины отрезка Оп, равного радиусу г, который необходим для
дальнейших построений. Из точки Е радиусом г засечем на на¬
чальной окружности изделия точку С, а на начальной окруж¬
ности инструмента найдем точку Си из условия равенства дуг
РС = РСи. Затем из центра О через точку Е опишем дугу
окружности радиусом Ре и на ней из полюса Р радиусом г за¬
сечем две точки Ь, через которые из центра Ои опишем дугу
радиусом #Еи. На этой дуге из точки Си радиусом г засечем
искомую точку Еи профиля инструмента, которая профилирует
точку Е профиля изделия.
202

26.	РАСЧЕТ ДИСКОВ ТУРБОМАШИН
Весьма (наглядным и удобным методом расчета дисков яв¬
ляется графический метод, разработанный С. Д. Пономаре¬
вым [61]. Метод освобождает конструктора от утомительных
вычислений, при которых незначительная погрешность в цепочке
выкладок может свести на нет всю проделанную работу.
Рассмотрим графический метод расчета неравномерно нагре¬
того диска постоянной толщины с центральным отверстием. Если
характеристики материала в связи с нагревом меняются по
радиусу, а также меняется и толщина диска, то диск рассматри¬
вают расчлененным на кольца постоянной толщины, для каж¬
дого из которых характеристики остаются постоянными. Диски
турбомашин в эксплуатации за счет вращения, посадки на вал
и неравномерного нагрева подвергаются растяжению и сжатию.
Для окружного О1 и (радиального >аг напряжений, являю¬
щихся главными напряжениями, получены преобразованные
формулы:
а/ = А + Вх — 5;	(117)
сг = А — Вх — К,	(118)
где А и В — постоянные;
5 и — функции неравномерного нагрева диска по радиусу.
Для графического представления этих зависимостей исполь¬
зуют две системы координат (хо<), расположенная справа, и
(хог), расположенная слева. Оси ординат совмещают, а оси абс¬
цисс направляют в противоположные стороны (рис. 230). Коор¬
дината X имеет только положительные значения.
Продолжение оси ординат вниз дает вспомогательную ось г
радиусов диска, от внутреннего радиуса гх до наружного г2. За¬
висимость
х=—	(119)
ч
в системе координат (хг) представлена линией аЬ.
Кривая ей в координатах (6г) отражает характер изменения
по радиусу диска температурной деформации 0. С помощью
кривых аЬ и ей можно установить соответствие значений абсцисс
х и 0.
Неравномерность нагрева диска отражается функциональной
зависимостью
т =	(120)
которую получим графическим способом. Для этого в координа¬
тах (0г) построим кривую, ординаты который равны произведе¬
нию 0г, а затем вычислим интегральную кривую цу функции Т.
203

Рис. 230. Графический расчет диска
постоянной толщины с центральным
отверстием и неравномерным нагре¬
вом
Теперь в масштабе для напряжений построим кривую АВ
функции 5 и кривую СО функции Я. В завершение расчета про¬
ведем прямую 7-/7 в совмещенной системе координат, соответ-
(И8) в заданных граничных
условиях. Прямая 1-11 для
диска с центральным отвер¬
стием проходит через точки
С и О при г = гь о,, = 0 и при
г = г2, 0г" = 0. Вертикальные
отрезки, заключенные между
прямой 1-П и кривой СО вы¬
ражают величины (уг в масшта¬
бе напряжений, а отрезки, ог¬
раниченные кривой АВ и пря¬
мой 7-77, дают величины напря¬
жений сгь В частности, отрезок
ВЬ определяет напряжение О/
при %1, отрезок АР дает напря¬
жение вг при х2. Эпюры напря¬
жений заштрихованы.
Если диск не имеет цент¬
рального отверстия, то замы¬
кающая прямая 1-11 пройдет
горизонтально, так как посто¬
янная В = 0. Положение ее оп¬
ределяется граничными усло¬
виями при г = г2.
Если значения напряжений отнести к величине радиуса диска,
то можно построить внизу графика эпюры изменения напряже¬
ний ог и о/ в новом масштабе, пользуясь вспомогательной кри¬
вой аЬ.
При графическом расчете диска фигурного сечения заменяют
его ступенчатым радиальным сечением. К каждому кольцу по¬
стоянной толщины применяют графический метод, описанный
выше.
В местах перехода от одного участка к другому кривые
АВ и СО будут иметь разрывы. Для каждого участка долж¬
на быть построена своя замыкающая прямая. На границе
кольцевых участков должны быть соблюдены условия равновесия
элемента диска, вырезанного на границе двух участков, и усло¬
вие неразрывности деформаций. Это вызывает необходимость
пересчета напряжений на радиусах, соответствующих погранич¬
ным точкам.
Задача профилирования дисков имеет большое значение
в машиностроительной практике и решается также графическим
методом.
204

27.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИН СТРЕЛЫ И ХОБОТА ПОРТАЛЬНОГО КРАНА
Портальные краны с шарнирно-сочлененной укосиной и гиб¬
кой оттяжкой имеют хобот с криволинейной частью, по которой
обкатывается оттяжка. Это обеспечивает получение заданной
траектории концевого блока. При определении длин стрелы и хо¬
бота исходят из 'следующих условий:
а)	груз должен перемещаться горизонтально при любом вы¬
лете укосины;
б)	в целях уменьшения веса стрелы и хобота суммарная
длина их должна быть наименьшей;
в)	для уменьшения скручивания стрелы от действия попереч¬
ных горизонтальных сил на конце хобота длина его должна
быть наименьшей.
Заданными величинами являются: наибольший и наи¬
меньший Т?2 рабочие вылеты укосины, высота Яо от нижнего
шарнира стрелы до оси концевого 'блока при наибольшем вылете
и положение оси О2 блока подъемного каната и точки О3 крепле¬
ния оттяжки (рис. 231).
Графический метод выбора длин стрелы и хобота нагляден,
прост и быстро дает результат [19, 76].
Вылет укосины увеличивается на радиус г концевого блока,
поэтому целесообразно перейти от рабочих вылетов и Т?2
к расчетным (теоретическим):
= 1,03/?х — г;	(1.21)
Я'=/?2-г,	(122)
при этом необходимо проверить, чтобы угол а наклона хобота
к горизонту при наименьшем вылете 7?2 не превышал допусти¬
мой величины, определяемой возможностью отрыва грузового
каната от концевого блока хобота инерционными силами.
Определяющей кривой движения хобота при работе крана
является неподвижная центроида, которая представляет собой
геометрическое место точек мгновенных центров вращения твер¬
дой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Это дви¬
жение можно рассматривать как качение без скольжения под¬
вижной центроиды по неподвижной. Движение укосины пол¬
ностью отвечает этим условиям.
Форма неподвижной центроиды хобота зависит от его длины.
Только плавное повышение центроиды в сторону меньших выле¬
тов до максимума или перегиба дает возможность реализовать
горизонтальное перемещение груза (рис. 231, кривые а, &, с).
Отсюда следует, что первое и третье условия будут выполнены,
если выберем неподвижную центроиду хобота с максимумом или
перегибом в точке наименьшего вылета укосины.
205

Второе условие будет выполнено в том случае, если стрела и
хобот будут вытянуты в одну линию при наибольшем заданном
вылете укосины.
По заданным наибольшему вылету и высоте подъема Но
I
/
а /\о21
а)
Рис. 231. Графический выбор длины стрелы и криволинейного хобота
портального крана с гибкой оттяжкой:
а — расчетная схема; б — построение кривой хобота
из прямоугольного треугольника найдем гипотенузу, равную
длине укосины (/, + /). Задаваясь рядом различных значений
длин стрелы и хобота при постоянной суммарной их длине,
строят каждый раз неподвижные центроиды хобота (важно
иметь их верхние части). Выбирают вариант центроиды с мак-
206
симумом в точке, близкой к наименьшему вылету укосины,
и соответствующие ей длины стрелы и хобота.
Рассмотрим один вариант построений. При известной длине
укосины наметим длину стрелы и хобота и опишем из центра 01
дугу 6/16/4 по верхнему шарниру стрелы. Грузовой канат в дан¬
ном случае идет непараллельно оси стрелы; он перекатывается
по блокам при изменении вылета, при этом траектория движе¬
ния концевого блока криволинейна. Ее получим построением.
Угол (ф2 — Ф1) подъема стрелы разобьем на 6—8 равных частей
(на рис. 231 на три части). Подсчитаем по формулам, приведен¬
ным в справочниках по кранам, ординаты уь у2, Уз,- траектории
движения концевого блока для каждого значения угла <р, опре¬
деляющего наклон стрелы, и отложим их на чертеже. Через эти
точки проведем горизонтали, на которых радиусом, равным дли¬
не хобота, из точек сделаем засечки в точках е2, е3,... Кри¬
вая в1в4 определяет траекторию движения оси концевого блока.
При параллельном расположении грузового каната относи¬
тельно оси стрелы траектория движения оси концевого блока
представляет собой горизонтальную прямую, проходящую на
высоте Но.
Для построения неподвижной центроиды хобота из точек
проведем вертикальные прямые до встречи в точках кг с линия¬
ми грузового каната О2с?г. В точках кг пересекаются силы гру¬
за <2 и натяжения грузового каната 5, равнодействующая кото¬
рых И пересекает ось стрелы в точках тг-. Плавная кривая,
проведенная через точки тг-, является искомой неподвижной цен-
троидой.
Для построения криволинейной части хобота точку 03 креп¬
ления оттяжки соединим лучами с точками Шг. Продолжим ось
хобота до встречи с лучами в точках Пг и определим искомые
отрезки б/гПг, И УГЛЫ 0г.
На горизонтальной оси отложим отрезок /, равный длине
хобота (рис. 231, б). От оси вращения хобота вправо отложим
отрезки (Цпг и построим углы фг. Прямые 1 /, ..., 4 4 представ¬
ляют собой касательные, в которые вписывается искомая кри¬
вая хобота.
28.	КРУГОВАЯ ДИАГРАММА АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
На машиностроительных заводах для электропривода приме¬
няется большое число асинхронных электродвигателей. Их при¬
ходится ремонтировать и испытывать. В проектных организа¬
циях, где рассчитывают и проектируют электродвигатели, и на
заводах, где их изготовляют, всюду необходимо иметь характе¬
ристики электродвигателей.
Пусковые, рабочие и регулировочные характеристики асин¬
хронного электродвигателя можно получить из опыта непосред¬
ственной нагрузки. Но этот путь отнимает много времени, вызы-
207
вает ненужную затрату энергии и требует соответствующей
аппаратуры. При конструировании электродвигателей расчет
каждой характеристики вызывал бы значительные трудности.
Поэтому для получения характеристик электродвигателя
применяют косвенный метод холостого хода и короткого замы¬
кания, который позволяет построить круговую диаграмму асин¬
хронной электрической машины. Результаты, полученные из кру¬
говой диаграммы, близко совпадают с опытными данными; это
делает круговую диаграмму весьма ценной с теоретической
и практической точек зрения.
Круговой диаграммой пользуются в разных странах свыше
70 лет. За этот период рядом авторов для усовершенствования
ее были внесены существенные изменения и дополнения. В наше
время для уточнения круговой диаграммы многое сделал акаде¬
мик М. П. Костенко. Для достижения единообразия графических
расчетов по круговой диаграмме при испытаниях асинхронных
электродвигателей в СССР введен ГОСТ 7217—59.
Круговую диаграмму можно обосновать. Выражение для
тока /1 в первичной обмотке можно привести к виду
Л =	(123)
С + (18
а из теории переменных токов известно, что это уравнение круга
тока.
Так как в эксплуатации преобладают асинхронные электро¬
двигатели с короткозамкнутым ротором, то здесь рассмотрим
построение круговой диаграммы для электродвигателя с простой
клеткой ротора.
Исходные данные: фазовый ток холостого хода г'о при номи¬
нальных напряжении и частоте; разность между потерями холо¬
стого хода и механическими потерями Ро — Рмех] фазовый ток
короткого замыкания 1К при номинальном напряжении:
1К = 1КН^,	(124)
и к
где 1Кн фазовый ток короткого замыкания, равный номи¬
нальному;
С/н —номинальное линейное напряжение;
Ук —линейное напряжение короткого замыкания при
токе 1кн]
потери короткого замыкания при номинальных напряжении и ча¬
стоте
Рк = РкА±-\\	(125)
\ 1КН /
где Ркн — потери короткого замыкания при токе 1КН', сопротивле¬
ние г\ фазы обмотки статора, приведенное к стандартной рабочей
температуре.
208

Масштаб тока :	— А а; масштаб мощности: 1 мм =
= ]/3 II„А —-— кет.
г н 1000
Полюс диаграммы О1 разместим в левом «нижнем углу чер¬
тежа, от него проведем горизонтальную ось мнимых количеств
О]Х и вертикальную ось вещественных количеств О^^ (рис. 232).
По току /0 И потерям Р0 — Рмех построим точку О холостого
хода, через которую проведем линию ОО параллельно горизон¬
тальной оси. Из точки О проведем линию ОО под углом а к ли¬
нии 06; при этом	__
51П а =	= 2	3 /о-1 •,	(126)
Уф Ун
где 1Уф — номинальное фазовое напряжение.
По току 1К и потерям Рк (отрезок КН{) найдем точку К
короткого замыкания и проведем прямую ОК, которая является
линией полезной мощности. Из середины отрезка ОК восста¬
вим перпендикуляр до встречи в точке С с линией ОО. Точка С
будет центром окружности, являющейся геометрическим местом
концов векторов тока статора относительно полюса 0^ Через
точки О и К из центра С опишем окружность.
Из точки О под углом у к линии ОО проведем прямую ОВ,
которая является линией моментов:
=	(127)
Уф
где Оа — диаметр круговой диаграммы (отрезок ОО) в а.
Из полюса О{ радиусом 100 мм опишем дугу окружности для
определения коэффициента мощности соз ср.
209

Для построения шкалы скольжения проведем радиус СВ, на
линии О В от точки В отложим отрезок I =	• 100 см и под
ОР
прямым углом к СВ через конец отрезка I проведем шкалу сколь¬
жений, на которой от линии ОВ нанесем шкалу 5 % в масштабе
1 % 5 = 1 см.
Подсчитаем номинальный момент электродвигателя
= (Ра + Рмех + Рд) кет,	(128)
п
где	Р2— полезная мощность;
Рмех и Рд — механические и добавочные потери;
пс и п — синхронная и асинхронная скорости вращения
при номинальной мощности.
Отложим номинальный момент Мн в масштабе мощности от¬
резком аЬ от линии ОВ перпендикулярно линии ОВ.
Через точку Л проведем линию 0}Р. Отрезок мм опреде¬
ляет величину коэффициента мощности при номинальной мощно¬
сти электродвигателя. Проведем линию ВЬ, точка пересечения
которой со шкалой скольжения определяет величину скольжения
при номинальной мощности.
Пользоваться графическим способом для определения к. п. д.
стандартом не разрешается ввиду недостаточной точности ре¬
зультата. К. п. д. определяется по формуле
/	ЕР \	1
т)= 100(1 — — ) %.	(129)
\	Р1 /
При подсчете суммы потерь 2Р потери в обмотке статора РмТ
и в роторной клетке Рмг определяются по величинам тока I и
скольжения 5, полученным из круговой диаграммы для момен¬
та Мн. Потребляемая мощность Рх выражается отрезком ЬМ
в масштабе мощности.
Круговая диаграмма позволяет определить все основные ве¬
личины для любого режима двигателя, исходя из любой из этих
величин, заданной наперед. Обычно за исходную величину при¬
нимается полезная мощность Р2. Точка I, лежащая на окружно¬
сти, является концом вектора тока статора, изображаемого от¬
резком 0}Ь.
Придавая различные значения полезной мощности Р2, можно
для каждого из них определить из круговой диаграммы все
остальные величины, кроме к. п. д., который подсчитывается по
формуле. По полученным данным строится график характеристик
двигателя в зависимости от Р2 так же, как это делается при об¬
работке опытных данных при снятии рабочих характеристик.

ГЛАВА
ОСНОВЫ
ПОСТРОЕНИЯ НОМОГРАММ
29.	ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ И СЕТКИ
Номограммы представляют собой геометрические изображе¬
ния функциональных зависимостей. В отличие от ранее рассмот¬
ренных графических методов расчетов номограммы не требуют
для нахождения числовых значений функций каких-либо постро¬
ений. Номограмма является счетным приспособлением, которое
без вычислений простым прикладыванием линейки или натяну¬
той нити дает возможность находить значения одной переменной
при известных значениях остальных переменных. Выполнение
большого количества расчетов с помощью номограмм по одним
и тем же формулам дает значительную экономию времени. Наи¬
более эффективно использование номограмм в том случае, когда
номографированы все расчеты, связанные с решением опреде¬
ленной инженерной задачи.
Основанием для построения номограмм служат функциональ¬
ные шкалы, выражающие зависимость между функцией и аргу¬
ментом. Для построения функциональной шкалы известной
функции /(х) выбирают масштаб ее, называемый модулем шка¬
лы ц. С помощью уравнения функциональной шкалы
4 = .и/(х)	(130)
определяют длины откладываемых на шкалах отрезков. В кон¬
це каждого отрезка помечают соответствующее значение аргу¬
мента. Для отрезка = ц/(Х1), например, указывается аргу¬
мент хь для отрезка А2 = ц/(х2) — аргумент х2. В начале шкалы
ставится то значение х, при котором /(х) = 0.
При определении модуля ц исходят из пределов изменения
переменной и возможной длины шкалы. Если переменная х из¬
меняется в пределах от а до &, то длина шкалы равна Ь =
= рЯ(&) —/(а)], отсюда модуль шкалы
ц=			.	(131)
НЬ)-Ца)
Например, при /(х) = х2 + 2, Ь = 195 и пределах изменения
х от 1 до 14 модуль равен
19о	195	■«	/1 пл\
ц =	=	 = 1 мм.	(132)
Г НМ) — НО 198 — 3
211

При номографических расчетах в машиностроении наиболь¬
шее применение находят равномерная и логарифмическая функ¬
циональные шкалы.
Равномерная шкала имеет одинаковые расстояния между по¬
метками. Любая масштабная линейка является примером равно¬
мерной шкалы, представляющей собой функциональную шкалу
линейной функции. Абсолютная погрешность шкалы постоянна,
относительная же погрешность увеличивается обратно пропор¬
ционально изменениям аргумента, поэтому применять равномер¬
ную шкалу при широких пределах изменения переменной не ре¬
комендуется.
Логарифмическая шкала строится с изменением аргумента в
пределах от 1 до 10; при этом длина шкалы и ее модуль совпа¬
дают. Если /(х) = \§х и длина шкалы Ь = 150 мм, то модуль р
шкалы равен
150	. сл
ц =	= 150 мм.
г 1^10 — 1^1
По формуле А = р/(х) = 150 пользуясь трехзначными
логарифмами, найдем длины отрезков шкалы для х, равного це¬
лым числам 1, 2, 3,..., 10; тогда А{ = 1501^1=0 мм; А2 =
= 1501§ 2 = 45; А3 = 1501^ 3 = 71; А4 = 1501§4 = 90; А5 =
= 150 1^5 = 105; А6 = 150 1^ 6 = 117; Л7 = 150 1^7 = 127; А8 =
= 150 1е 8 = 135; Д9 = 150 1^9 = 143 мм.
В конце каждого отрезка нанесем соответственные значения
аргумента х = 1, 2, 3,..., 10. Каждый интервал разделим на
10 частей, для чего подсчитаем А[ 1 = 150	1,1 ~ 6; А12 =
= 150 1$ 1,2 « 12; А13 = 150 1,3 ~ 17; Л14 = 1501,4 ~ 22;
Л1.5 = 1501е 1,5 « 26;’ А1>6 = 1501,6 « 31; ’ Л1>7 = 1501^1,7 ~
— 34,5; Л18 = 150 1§Г 1,8 ~ 38; Л 1>9 = 150	1,9 ~ 42 мм и т. д.
В логарифмической шкале расстояние от 1 до 10 равно рас¬
стоянию от 0,1 до 1 или от 10 до 100; периодичность шкалы яв¬
ляется ее преимуществом. Для построения шкалы удобно поль¬
зоваться логарифмическим шаблоном (рис. 233), который дает
возможность сразу же получить модуль логарифмической шка¬
лы любого заданного размера. Кроме того, логарифмическая
шкала обладает постоянством относительной погрешности. Это
делает ее наиболее удобной для большинства номограмм, так
как результат, как правило, определяется с относительной точно¬
стью. Деления обычной логарифмической линейки представляют
собой логарифмическую шкалу.
Проективная шкала. При построении номограмм из выравнен¬
ных точек иногда приходится применять преобразования прямо¬
линейных шкал для придания им желаемого вида. При этом пре¬
образовании прямолинейные шкалы номограммы становятся
проективными по отношению к их первоначальному виду. Недо¬
статком проективной шкалы является резкая сбегаемость, для
212

устранения которой вводится коэффициент п проективной
шкалы.
Если на прямой СО нанести пометки исходной шкалы функ¬
ции /(х) ив точке Е середины этой шкалы восставить перпеп-
дикуляр, то лучи, прове¬
денные к делениям шкалы
из произвольной точки А,
лежащей на этом перпен¬
дикуляре, засекут на пря¬
мой СВ пометки проек¬
тивной шкалы (рис. 234).
При СВ = Ь, СЕ = [(х),
ВЕ = Уо и АВ = п из по¬
добия треугольников АВЕ
и ЕСЕ следует, что
Уй~ 1
1+ — ГМ
п
(133):^
для;
Таким образом,
выполнения преобразова¬
ния шкалы необходимо
определить коэффициент
250
2
100
250
Рис. 233. Логарифмический шаблон
г
п проективной шкалы.
Для случая совмещения в точке С начала исходной и проектив¬
ной шкал графическое определение коэффициента п показано
А п В на рис. 234.
О 1 2 3 Ь 5 6 7 С
Исходную шкалу обычно-
преобразуют в проективную-
шкалу с равномерной или
логарифмической характери¬
стикой, На прямой СО на¬
носят заданную шкалу у =
= Р-Цх) (рис. 235). Выбира¬
ют произвольно полюс А и
■/? соединяют его лучами с де¬
лениями шкалы. На шабло-
Рис. 234. Построение проективной Не ИЗНОСЯТ Желаемый ВИД
шкалы	шкалы и графически подби¬
рают его положение. Тогда
коэффициент п проективной шкалы определяется по формуле
п -
АВ
АЕ
И АС
(134)
21а

Проективно-функциональная шкала является разновидно¬
стью проективной шкалы и относится к тому случаю, когда ис¬
ходная шкала не равномерная, а логарифмическая.
Координатные сетки. Широкое применение находят логариф¬
мические и полулогарифмические сетки. Для построения полуло¬
гарифмической сетки на одной оси наносят равномерную шкалу,
а на другой — логарифмическую. Если кривую у = /(х) изобра¬
зить графически, применяя сначала равномерную миллиметро¬
вую сетку, а затем различные функциональные сетки, то, очевид¬
но, форма кривой во всех этих случаях должна быть различной.
Этим пользуются на практике, применяя такие функциональные
Рис. 235. Графическое определение коэффициента
п проективной шкалы
.шкалы на координатных осях, при которых кривая получает воз¬
можно более простую форму.
В логарифмической сетке на осях откладывают значения ло¬
гарифмов чисел А = щ х и В = ц2У» где щ и ц2 — модули,
характеризующие принятый масштаб по осям. Кривые степенных
функций вида у = ахъ, где а и Ъ — постоянные коэффициенты,
на логарифмической сетке изображаются прямыми линиями.
В полулогарифмической сетке на осях откладывают у = щх
и у = ц21§х. Кривые показательных функций вида у = аЬх на
полулогарифмической сетке также изображаются прямыми ли¬
ниями.
Функциональные сетки являются основными элементами в
сетчатых номограммах.
30.	КЛАССИФИКАЦИЯ НОМОГРАММ И НОМОГРАФИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ
В номограмме каждой переменной соответствует своя шкала.
Функциональная зависимость между несколькими переменными,
отвечающая заданному уравнению, может быть выражена раз¬
ными типами номограмм.
Номограммы классифицируются по их геометрической фор¬
ме. Задаваясь определенным типом номограммы, определяют те
214

формы уравнений, для которых она может быть построена. Наи¬
большее распространение получили номограммы из выравнен¬
ных точек и сетчатые номограммы.
Номограммы из выравненных точек для уравнения с тремя
переменными делятся на жанры и типы. Жанром номограммы
называется число криволинейных шкал, составляющих номо¬
грамму.
Нулевой жанр охватывает номограммы с прямолинейными
носителями шкал: 1-й тип — 2-номограммы; 2-й тип — номо¬
граммы из трех прямолинейных шкал, пересекающихся в одной
точке; 3-й тип — номограммы из трех прямолинейных шкал, па¬
раллельных между собой.
Первый жанр состоит из номограмм с одним криволинейным
и двумя прямолинейными носителями шкал (4-й тип).
Второй жанр включает в себя номограммы с двумя криволи¬
нейными и одним прямолинейным носителями шкал (5-й тип).
Третий жанр предназначен для номограммы с тремя криво¬
линейными носителями шкал (6-й тип).
Номограммы из выравненных точек с тремя шкалами долж¬
ны удовлетворять уравнению в общем виде
/1Ф2 + /гфз 4" /зФ1 — Лфз + /2Ф1 — /3Ф2 = 0.	(135)>
Левая часть уравнения представляет собой сумму произведе¬
ний, в которых каждый множитель зависит лишь от одного пере¬
менного. Номограмму из выравненных точек можно построить
лишь для такого уравнения, которое может быть преобразовано
к виду (135). Такое уравнение называется номографируемым
уравнением. Рассмотрим частные виды номографируемых урав¬
нений, которые классифицируются.
Номографируемые уравнения различают по их номографиче¬
скому порядку. Номографическим порядком уравнения называ¬
ют число всех входящих в него различных функций, зависящих
каждая от одного переменного, после упрощения и приведения’
к виду (135). Низшим номографическим порядком является тре¬
тий, потому что в уравнение с тремя переменными входит не ме¬
нее одной функции каждого переменного. Высший порядок —
шестой, когда в уравнении (135) все шесть функций различны.
Номограммы высшего, шестого, порядка встречаются редко.
При номографировании уравнение стремятся привести к од¬
ной из канонических форм. В теории номографии доказывается,
что всякое уравнение третьего номографического порядка может
быть приведено к любой из трех канонических форм.
Первая каноническая форма
Л(Х1) = /2(хг)/з(^)	(136>
приводит к 1-му и 5-му типам номограмм, отличающихся по сво¬
ей геометрической структуре, а также к 3-му типу путем лога¬
рифмирования.
21.5.

Вторая каноническая форма
/з (хз) = Л (х1) + /2 (*г)	(137)
приводит ко 2-. 3- и 5-му типам номограмм.
Третья каноническая форма (встречается редко)
Л (*1) /2 (^2) /з (хз) ~ А (х1) + А (^2) + А (хз)-	(138)
Уравнения четвертого номографического порядка могут быть
приведены к одной из двух канонических форм:
каноническая форма Коши
А (х1) А (хз) + А (^2) фз (хз) + Фз (хз) = 0	(139)
приводит к 4-му типу номограмм;
каноническая форма Клярка
А (*1) А (х2) /з (*з) + 1А (*1) + А Ы1 Фз (*з) + Фз (*з) = о (140)
приводит к 6-му типу номограмм.
31.	ПОСТРОЕНИЕ НОМОГРАММ ИЗ ВЫРАВНЕННЫХ ТОЧЕК
В номограммах из выравненных точек три точки на трех шка¬
лах, удовлетворяющие заданному уравнению, лежат на одной
прямой. Таким образом, если известно значение двух перемен¬
ных, то, соединяя пометки их на шкалах прямой линией, можно
прочитать значение третьей переменной на ее шкале в точке пе¬
ресечения с проведенной прямой.
1-й тип — 7-номограмма. Каноническая форма уравнений
и^хзхю,	(141)
где и, V, хю — функции,
или иу = хю после логарифмирования V и = хю.
Для построения номограммы необходимо знать уравнения ее
шкал. Уравнения шкал задают в декартовых координатах в па¬
раметрической форме, принимая за параметр то переменное, для
которого строится шкала.
2-номограмма состоит из двух параллельных прямых ООХ и
<О2Е и соединяющей их наклонной прямой О1О2 (рис. 236).
Из подобия треугольников АСО^ и ВСО2 имеем
У1 = Ь—
Уч Уз
Если модули шкал и и V примем равными ри и р,2, то уравне¬
ния этих шкал примут вид
О42)
«/2 = 1*2».	(143)
•216

Каноническое уравнение можно представить в виде
Умножим обе части уравнения на отношение модулей —-
Р1 ш = ЩЦ = У1 = —Уз
^2	у2 Уз
Уравнение шкалы га:
Уз =		• (И4)
Модули Ц! и ц2 шкал и
и V вычисляют исходя из
пределов изменения пере¬
менных и длины шкал.
Размеры Ь и В произ¬
вольные.
Если пределы измене¬
ния функций /1 и /2 со¬
ставляют Аг	В. и
^2^/2^ В2, то модули
параллельных шкал при
длине /г рабочей части
каждой шкалы равны
Рис. 236. Схема 7-номограммы
	 А		 А
И1 - в1-а1 ’ 112 - в2-л2 ■
(145)
Результаты подсчета модулей и ц2 следует округлять. Зна-
чение модуля ц3 = — округлять нельзя.
М2
При пользовании миллиметровой бумагой градуировку на¬
клонной шкалы удобнее производить с помощью ординат у'3 от
горизонтали, проходящей через точку О2 или с помощью абсцисс
х3 от носителя шкалы V:
(146)
(147)
21 7

Если точки 01 и 02 находятся за пределами чертежа, то для
построения наклонной шкалы подсчитывают абсциссы
= хг = Н^.	(148)
Порядок построения номограммы. Исходное уравнение пре¬
образовывают и приводят к канонической форме. Определяют
вид функций и, V и га. Выбирают габаритные размеры номограм¬
мы и по заданным пределам изменения переменных подсчитыва¬
ют модули и длины рабочих участков шкал. Составляют таблицу
результатов расчета уравнений шкал. Строят эскиз номограммы,
Рис. 237. Графическое постро¬
ение 7-номограммы
Рис. 238. Схема номограммы с
прямолинейными шкалами, пе¬
ресекающимися в одной точке
нанеся шкалы и и V и задав им различные направления. Прово¬
дят анализ построенной номограммы, находят недостатки и пу¬
ти их устранения. Проверяют точность результатов по двум-трем
примерам.
Пример построения 7-номограммы дан на рис. 253.
7-номограмма может быть построена графически без всяких
вычислений в том случае, когда номографируемое уравнение
о	и
имеет простои вид га = —.
На двух параллельных прямых построим равномерные шка¬
лы и и V. Модули определим исходя из габаритных размеров но¬
мограммы (рис. 237). Если нулевые точки шкал и и а располо¬
жены в пределах чертежа, то соединим их диагональю, на кото¬
рой нанесем шкалу га, пользуясь лучами для ряда округленных
значений переменных. Если нулевые точки недоступны, то на¬
правление носителя шкалы га определим по точкам пересечения
218

лучей для двух крайних пометок шкалы ау, так как одни и те же-
значения частного могут быть получены при различных значени¬
ях делимого и делителя. По найденным точкам проводим прямую
носителя шкалы хю. Пометки округленных значений шкалы и со¬
единим с различными пометками шкалы V, в местах пересечения
лучей с наклонной прямой нанесем пометки шкалы хю.
2-й тип — номограмма из трех прямолинейных шкал, пересе¬
кающихся в одной точке. Каноническая форма уравнения
(149)
где и, V, хю — функции. К этому уравнению могут быть приведе-
и • V
ны уравнения - = хюии + ю = хю.
Особенно часто эта номограмма применяется с равномерны¬
ми шкалами. Пометки на шкалах определяются ординатами
у2, Уз (рис. 238):

уг = ОА соз аг;
у.2 = ОВ соз а2;
у3 = ОС соз а3.
Примем модули щ, цг и ц3 ординат г/ь у2 и у3. Для того что¬
бы номограмма соответствовала уравнению (149), должно вы¬
полняться условие
+ Р*2 = Из-	(150)
Это можно проверить, рассмотрев равенство треугольников
пл. О АС + пл. ОСВ = пл. ОАВ,
которое, пользуясь теоремой синусов, выразим следующим об¬
разом:
-у О А • ОС зш (ах + а3) + ОВ - ОС зш (а2 — а3) =
= -у- О А • ОВ 31П (<*! + а2).
Разделив все члены равенства на-— О А - ОС - ОВ, получим
51п (ат 4- а3)
ОВ
51П (а2 — а3) _ з!п (аг + а2)
ОА	ОС
Но
О А = ——— щ ОВ = ——— V; ОС = ——— хю, отсюда
соз ах	соз а2	соз а3
зш (а! + а3) соз а2 1 зш (а2 — а3) соз ах 1

Р»2	V	Их	и
зш (ах + а2) соз а3 1
Из
(151)
219

Для того чтобы уравнение (151) было тождественно уравне¬
нию (149), должно выполняться условие
81п	+ а3) соз а2   зш (а2 — а3) соз аг   зт (а3 + а2) соз а3
Из	Н1	Из
Используя свойства равных отношений, можно после преоб¬
разований записать щ + нг = Из.
Уравнения (150) и (151) подтверждают, что рассматриваемая
номограмма действительно дает решение уравнения (149).
Для удобства построения номограммы носители шкал и и V
располагают симметрично относительно оси ординат, принимая
а1 = аг, тогда
51п (а + а3)	51п(а — а3)	81п 2а
	 —!—— соз а =			— соз а =	соз а.
Нг	Из
После преобразований получим формулу для определения
угла аз
=	(152)
Из
Не определяя угла аз, обычно находят положение носителя
-средней шкалы га по двум «подгоночным» примерам для одного
и того же значения уз (рис. 238, штриховая линия).
Порядок построения номограммы. Искомая величина га; соот¬
ветственно преобразовывают заданное уравнение. Определяют
вид функций /(и), /(а) и /(га). По заданным пределам измене¬
ний и, V и га подсчитывают пределы изменений функций /1 и /г-
В1; А2 /г В2, Задаются размерами В и Н. Вы¬
числяют масштабы
Н
И1~ Вх-Лх ’
_ Н
~ В2 — Л2 ’
Из =	+ Нг-
Вычисляют два примера при уз = соп§1 для определения по¬
ложения средней шкалы, рассчитывают шкалы по уравнениям
= Уз = М («);
Уз = Нз/(“О-	(153)
Строят равнобедренный треугольник с основанием В и сто¬
ронами, равными наибольшим значениям у для и и V, и наносят
шкалы.
Пример построения номограммы дан на рис. 252.
3-й тип — номограмма с тремя параллельными шкалами. Ка¬
ноническая форма уравнения
и-(-о = а).	(154}
22'0

К этому уравнению может быть приведено уравнение и • V =
= хю путем логарифмирования. В технических расчетах большое
число формул приводится к виду
хи = Аиах)ь,	(155)
где А — постоянный коэффициент;
а и Ь — постоянные показатели степеней, целые или дроб¬
ные, положительные или отрицательные.
После логарифмирования получим
1е ОУ = а и + Ь V +А.
(156)
Это уравнение принадлежит ко второй канонической форме
уравнений третьего номографического порядка и для него может
быть построена номограмма с па¬
раллельными шкалами по общим
правилам. Для ответной шкалы
в этом случае можно непосредст¬
венно применять логарифмиче¬
скую шкалу.
Три точки Л, С, О на прямой
АО, удовлетворяющие уравнени¬
ям (154), (155), называют вырав¬
ненными точками, которые дают
решение уравнения относительно
хм при заданных значениях пере¬
менных и и V (рис. 239).
В системе координат хОу про¬
ведем три параллельные пря¬
мые — три носителя шкал и, ХМ, V. Рис. 239. Схема номограммы
Из начала координат Проведем с тремя параллельными шкалами
произвольную прямую ОЕ, кото¬
рую будем считать исходной для нанесения шкал, и через точ¬
ку С нанесем параллельную ей прямую РК.
Из подобия треугольников САР и СКО следует, что
^ = -^— или +	(157)
(1 — ё	— В}	1 — X 1 X
где
% = или Вх = ЛВ2.	(158)
Пусть шкалы и, V и хм имеют модули щ, Ц2 и рз- Умножим обе
части уравнения (154) на модуль щ:
Р1Г/ +
Это уравнение будет тождественно уравнению (157), если
X	1	,
У\ = Н1И; -—-е =	—- й = щга.
1 — А	1 А
221

Если Ц2 = Ц1 	1 из = Ц1 (1 — X), то у\ = .щи; е = ц2у;
(1 = Ц,3йУ.
Ординаты нулевых точек шкал при условии, что середины ра¬
бочих участков шкал и и V будут на одной высоте, можно запи¬
сать так:
= Уио + О,5Яи — 0,5Яо — уо0;.	(159)
ЛЩ)=ХЯ0.	(160)
Уравнения шкал:
У1 = у* = №> -г
Уз = №> + 1Чг	(16О
Из четырех параметров ць ц2, Из и Л номограммы можно про¬
извольно задаться двумя, вычисляя остальные. При этом может
быть шесть вариантов:
1.	Заданы И1 и Ц2‘, определяются
=	и х =	.	(162)
Н1 + Из	+ Из
2.	Заданы щ и цз; определяются
=	и Л = 1	.	(163)
Г1 — Нз
3.	Заданы р2 и р3; определяются
„ = >ЧИз и % = _Нз_.	(164)
Из — Нз	Из
4.	Заданы щ и X; определяются
Н2 = Н1(-7	1^) И р3 = рД1 —X).	(165)
5.	Заданы ц2 и %; определяются
Их =	и рз = рЛ	(166)
6.	Заданы ц3 и X; определяются
Р1=-^ И Р2=^-.	(167)
1 — Л	Л
Порядок расчета. Заданное уравнение преобразовывают в
каноническую форму, подсчитывают пределы изменения функ¬
ций, вычисляют масштабы. Задавшись двумя парами значений
и и у, проверяют положение шкалы хю. Вычерчивают номограм-
222

му сообразно с направлением шкал по отношению к направле¬
нию оси у. Пример построения номограммы дан на рис. 251.
Взаимное расположение шкал влияет на величину графиче¬
ской ошибки при пользовании номограммой. В случае располо¬
жения шкалы хи между шкалами и и V при перемене направле¬
ния шкалы и или V шкала хи будет внешней (рис. 240, а). Если
шкала V будет растянута, то шкала хи перейдет с правой стороны
на левую (рис. 240, б). Если шкала ад слева, то она будет иметь
одинаковое направление со шкалами и и V (рис. 240, в). Если
шкала ад справа от шкалы V, то направление ее будет обратным
(рис. 240, г).
Расположение и направление шкал зависят от знаков перед
членами/уравнения. Для уравнения и + V = хи с последователь-
Рис. 240. Схема расположения шкал номограммы
ностью расположения шкал по схеме и — ад — V все шкалы на¬
правлены вверх; для уравнения —и + хи = V шкалы расположе¬
ны по схеме ад— V— и, шкала и направлена вниз, остальные —
вверх; для уравнения хи — V = и шкалы расположены по схеме
V — и — хи, шкала V направлена вниз, остальные — вверх. Шка¬
ла искомой переменной размещается в середине. В общем слу¬
чае на среднюю шкалу помещают ту из переменных, для кото¬
рой произведение коэффициента на разность пределов функции
является наибольшим.
Для определения направления прямолинейных шкал следует
найти производные от выражений для ординат точек шкал по
переменному, представляемому шкалой. Шкала имеет то же на¬
правление, что и ось ординат, если производная в пределах из¬
менения переменного положительна.
4-й тип — номограмма с одной криволинейной и двумя пря¬
молинейными шкалами. Каноническая форма уравнений типа
Коши
ихиг + аад2 + хи3 = 0,	(168)
где адь хи2 и хи3— разные функции одной переменной.
Прямолинейные шкалы и и V номограммы первого жанра
могут быть параллельными или пересекающимися. Рассмотрим
здесь номограммы с параллельными шкалами и и V.
Номограмму строят в прямоугольной системе координат,
шкалу и располагают на оси ординат, параллельно ей на рас-
223

стоянии В проводят шкалу V. Положим, что шкала XV находится
между этими шкалами; при известных условиях она может быть
расположена с внешней стороны.
Разделим все члены уравнения (168) на х&)2 и обозначим 1\ =
= — и т2 = —; после преобразовании каноническая (Ьорма при-
^2	^2
мет вид
4" V + ^2 — 0.
(169)
В построенной схеме номограммы проведем решающую пря¬
мую (рис. 241). Координаты точек пересечения шкал равны:
у,	Л(х = 0; У = У\)\ В(х = В;
Рис. 241. Схема номограммы первого
жанра
у = Уг); с (X = х3; У = Уз)-
Из 'подобия треугольников
АСЕ и СЁР получим равенство
У1 —Уз  *з
У Л Уу ^1) В *з
которое после преобразования
примет вид
/ в	1 \ .	. < в
У1 \	1 )	+ — у3 — —
\ х3 /	х3
= 0.	(170)
Пусть Р4 и |12 будут модуля¬
ми шкал и и V. Умножим все
члены уравнения (169) на мо¬
дуль Ц2, первый член этого
уравнения, кроме того, умно¬
жим и разделим на модуль 4щ:
|11^ —— /1 4" (12^ 4" Р-2^2 — 0.	(171)
Уравнения (170) и (171) будут тождественны, если
В	1	Р-2
У1 =		1 = — /ь
хз	Р1
I.	В /
Ую — ^2^, Лу	уз	— |^2^2,
Хз
отсюда найдем уравнения прямолинейных шкал
г/1 = Р1и; у2 = ц^ + Н,
(172)
224

и уравнения криволинейной шкалы
л— р2/2
В
х3 =
^2
(173)
Ординату й^, соответствующую началу отсчета шкалы V, вы¬
бирают исходя из условия, что середины шкал и и V расположе¬
ны на одной высоте:
(А + &1)   Р2 (^2 + 82)
”	2	2
где Л1 =< /1 А2 /2 В2 — пределы изменения функ¬
ций и и V.
Для того чтобы шкала хи оказалась между шкалами и и V,
необходимо так выбрать функции х&1 и хи2, чтобы их отношение
/1 было положительным для всех точек кривой.
Если искомое и, то шкалу ад следует располагать слева от
шкалы и, для чего отношение 1\ должно быть отрицательным, а
величина—/1 по абсолютному значению должна быть больше
единицы. Этого достигают подбором значений щ и ц2.
Если искомое V, то шкала ад должна быть справа от шкалы V,
отношение Л должно быть отрицательным, а величина —	—
Р1
меньше единицы, что выполняется подбором рл и ц2. При подбо¬
ре Ц1 и ц2 может оказаться, что шкалы и и V будут слишком
большими. Если отношение имеет отрицательное значение, то
при подборе модулей знаменатель абсциссы х3 в этом случае по
формуле (173) на всем протяжении шкалы хи не должен превра¬
ти	И2
щаться в нуль. В этом случае предел значения отношения —
Их
подбирают из условия, по которому абсолютное значение вели¬
чины —/1 может быть близко к единице.
Р1
При = 0 начало отсчета шкалы V ведется от оси абсцисс.
При отрицательном значении ординаты точка начала отсчета
шкалы V лежит ниже оси абсцисс.
Порядок расчета номограммы. Заданное уравнение приводят
к канонической форме и определяют вид функции. Подсчитыва¬
ют пределы функций и и V. Задаются габаритными размерами В
и Н номограммы. Определяют масштабы и ординату и рас¬
считывают координаты криволинейной шкалы.
Пример построения номограммы приведен на рис. 254.
5-й тип — номограмма второго жанра со шкалами на окруж¬
ности (эллипсе) и секущей.
8 Зак. 334	225

Уравнения умножения и • V = эд и сложения и + V = хи соот¬
ветствуют первой канонической форме третьего номографическо¬
го порядка.
Круговые номограммы второго жанра являются наиболее
удобными для построения и использования и имеют в ряде слу¬
чаев преимущества перед 2-номограммами.
Номограмма умножения. Примем модули всех шкал
Р1, р-2 и цз равными единице. Опишем окружность диаметром
О]О2 = О и проведем решающую прямую АВ (рис. 242). Из тре¬
угольника АСО[ на основании теоремы синусов следует, что
Рис. 242. Схема круговой но¬
мограммы второго жанра
	ОХС _ С^А .
зт (90° — 0) ~ 51п(90° + р —а) ’
(174)
если О[А = Особ а, а отрезок 0{С
обозначить через К, то можно запи¬
сать
К   О сов а
соз р	соз (а — Р)
1 а р ’
, п 1 . 1
если принять	р =—и	, т0
после преобразований получим
~ Ииу
1 + иу
(175)
а из уравнения и • V = хи следует, что
К = О
до
1 + ДО
(176)
Уравнения шкал:
Р = агс1§ —; а= агс1§—; Р — К = —-— .	(177)
и	V	1 + до
Отрезок В — К измеряется от точки О2. Нулевая точка всех
шкал в точке Оь оо — в точке О2. Шкалу эд наносят на диаметре
О окружности, причем точка эд = 1 совпадает с центром окруж¬
ности. Шкалы и и V, равномерные в угловом измерении, наносят
на окружности от точки Ог, положительные значения шкалы и
по часовой стрелке, шкалы V — против часовой стрелки; отрица¬
тельные значения наносят в обратном направлении.
Если уравнение имеет вид и(—у) = —хи или (—и)V = —хи,
то шкалу хи наносят на диаметре от точки О2 к точке Оь Поло¬
жительные значения шкал и и V откладывают от точки 01 по ча¬
совой стрелке; отрицательные значения — от точки О2 по часо-
226

вой стрелке. Если модули шкал равны единице, то деления шкал
и и V, равные единице, находятся в середине этих шкал. Это не
всегда удобно, поэтому модули в таких случаях выбираются не
равными единице.
Если переменные и и V меньше единицы, то для построения
шкал номограммы проводят к точке 01 окружности касательную,
на которой откладывают деления равномерных шкал А = Ии
влево нВ = Оо вправо (рис. 243). Начало отсчета в точке Оь
Лучи, проведенные из полюса 02 ко всем делениям шкал, распо¬
ложенных на касательной, засекут на окружности деления шкал
Рис. 243. Построение шкал номо¬
граммы по касательным
Рис. 244. Построение шкал номо-
раммы с помощью решающей
прямой
и и V, которые обозначают теми же пометками, что и на шкалах
касательной.
В том случае, когда переменные и и V больше единицы, каса¬
тельную проводят в точке 02 окружности. Полюсом для лучей
будет точка Шкалы на касательной от начальной точки 02
л	Д В О О
подсчитывают по формулам А =— и В = —.
и	V
Если модули Ц1 и ц2 шкал и и V не равны единице, то форму¬
лы для подсчета шкал имеют вид
А = В = |х2О^;	(178)
А = ±12_и в =	(179)
и ,	V
Сносить деления с касательной на окружность можно лишь
до тех пор, пока точки на касательной не будут отстоять от ок¬
ружности слишком далеко. Полученные на окружности деления
шкал и и V используют для построения шкалы оу (рис. 244). За¬
тем, пользуясь шкалой оу и производя аналогичные построения,
227
продолжим шкалы и и V, чтобы охватить весь диапазон измене¬
ний переменных.
Пример построения круговой номограммы приведен на
рис. 263.
Номограмма сложения для канонической формы
уравнения и + V = ш имеет шкалы и и V на окружности и шка¬
лу ш на касательной. Правила построения шкал и и V те же, что
и в номограмме умножения. Модули р4 и ц2 этих шкал выбира¬
ют одинаковыми. Обе эти шкалы строят по обе стороны одной и
той же полуокружности, причем на одной полуокружности на¬
Рис. 245. Схема эллиптической но¬
мограммы второго жанра
носят положительные значе¬
ния, на другой — отрицатель¬
ные. Шкала ш строится на ка¬
сательной по уравнению
С = —,	(180)
р-о;
где модуль ц одинаковый для
всех трех шкал.
Номограммы второго жанра
со шкалами на эллипсе и секу¬
щей (рис. 245). Каноническая
форма уравнения ио = м. Ис¬
комое до; заданное уравнение
приводят к канонической фор¬
ме и определяют вид всех трех
функций.
Зададимся габаритными размерами номограммы: длиной Аз
рабочей части шкал и высотой номограммы. Определим пре¬
делы изменения функций: Ах	А2 /2	52; А3
/з 53-
Модули щ, ц2 и Цз криволинейных и прямолинейных шкал и,
V и до связаны соотношением
1 + Р2
Из = —
(181)
где параметр р характеризует смещение нуля шкалы от верши¬
ны эллипса; если криволинейные шкалы расположены симмет¬
рично относительно прямолинейной шкалы, то р = 0. Для выбо¬
ра модулей р.1 и р2 криволинейных шкал и параметра р применя¬
ют графические приемы [54].
Определим длину Ц большой оси эллипса:
1 1
(182)
1+(М1 + р)2
1 + (Мх + р)2
228

Длину малой оси эллипса принимают равной высоте но¬
мограммы. Определим координаты Н2 и Ь2 точки пересечения
прямолинейной шкалы с эллипсом
Н
#1Р . ь = М
1 + р2 ’ 2	1+р2
(183)
Шкалы построим по координатам точек, определяемых из
уравнений:
Из	Из
Перечисленных данных достаточно для построения номо¬
граммы.
Пример построения номограммы приведен на рис. 255.
6-й тип — номограммы третьего жанра с тремя криволиней¬
ными шкалами. Каноническая форма Клярка уравнений четвер¬
того номографического порядка имеет вид
+ (и + V) = 0 ‘	(187)
Номограмма содержит шкалы и и V с общим носителем на
кривой второго порядка (окружность, эллипс или парабола) и
шкалу м на кривой, вид которой определяется видом функций
и (рис. 246). Шкалы строятся по координатам их точек.
Номограммы третьего жанра применяются редко, так как ме¬
тодика их построения не разработана. Приведем уравнения шкал
для круговой диаграммы [83]:
шкала и
Г)а	Ии2
= -7-7-7-»	= ТГ“
(188)
229

где О — диаметр окружности носителей шкал и и V;
шкала V
х, =	1)0	■ и, = Р°2 •
(189)
1 + I)2 ’	1 -1- 1)2 ’
шкала V)
У 		•	11		 	°
(190)
Лз —	.	> Уз —	,
^1 + '^3
Пример построения номограммы показан на рис. 256.
32.	ПОСТРОЕНИЕ СЕТЧАТЫХ НОМОГРАММ
Пусть дано уравнение
у, г) = 0.	(191)
Присвоим переменному х определенное значение а, тогда по¬
лучим уравнение с двумя переменными Г (х, у, а) = 0, кривую
которого с пометкой а можно построить. Если переменному х
давать последовательно значения &, с, б/,... и для каждого стро¬
ить кривые, то получим семейство кривых, представляющих со¬
бой номограмму уравнения (191). Таким образом, рассматривая
переменные х и у как координаты точки на плоскости, а третье
переменное х как параметр, получим семейство кривых с одним
параметром. Если кривые вычертить тщательно, то этим черте¬
жом можно пользоваться для определения значения одной из
переменных х, у или х по заданным значениям двух других.
На осях координат строят равномерные шкалы. Для точки с
координатами Х[ и У1 по номограмме смотрят, какая из вычер¬
ченных кривых проходит через точку (хь у\). Если, например,
через эту точку проходит кривая с пометкой б/, то число д, и бу¬
дет искомым значением х. Если ни одна из кривых не проходит
через эту точку, то применяют интерполирование, допуская, что
в пределах небольшого интервала значений параметра, который
отвечает двум соседним кривым, расстояния между ними изме¬
няются пропорционально их индексам. С помощью линейного ин¬
терполирования находят точки интересующей нас промежуточ¬
ной кривой. Для удобства отсчетов наносится сетка из прямых
линий, параллельных осям координат, поэтому такой чертеж на¬
зывается сетчатой номограммой с тремя семействами помечен¬
ных линий.
Учитывая заданные пределы изменения переменных, при по¬
строении сетчатых номограмм значения Х[ и у[ откладывают в
различных масштабах. Если приняты модули шкал щ и ц2, то
уравнения шкал можно записать так:
Х1 = |лхх; у± = ц2у,
(192)
230

где X] и у\ — длины отрезков в мм, откладываемых на осях ко¬
ординат;
х и у — пометки, соответствующие этим отрезкам.
Уравнение номограммы, отнесенное к данной прямоугольной
системе координат, имеет вид
р(— , —, 2^=0.	(193)
\ Их/ И2 /
При разработке сетчатой номограммы строят лишь ту ее
часть, которая соответствует пределам изменения заданных ве¬
личин, т. е. строят рабочую часть номограммы. Важно, чтобы
номограмма имела приемлемые размеры и достаточную частоту
линий. Это определяется требуемой степенью точности вычисле¬
ний. Далеко не всегда при построении рабочая часть номограммы
удовлетворяет всем поставленным требованниям. Простейшим
преобразованием для придания номограмме наиболее удобного
вида служит изменение масштабов по осям координат.
Наиболее простыми являются радиантные сетчатые номо¬
граммы с семейством прямых, проходящих через начало коорди¬
нат или через какую-нибудь точку. Затем можно назвать номо¬
граммы с семейством параллельных прямых и с семейством дуг
окружностей. Из более сложных сетчатых номограмм с равно¬
мерными шкалами следует назвать номограмму для умножения
чисел по уравнению х-у = х с семейством гипербол с общими
асимптотами, совпадающими с осями координат (рис. 247).
Главным затруднением при построении сетчатых номограмм
является большая вычислительная работа и вычерчивание се¬
мейства кривых. Это затруднение устраняется при применении
логарифмических и полулогарифмических сеток, на которых
кривые спрямляются.
Такое преобразование номограммы называется логарифмиче¬
ской анаморфозой. Это возможно не для всякого исходного
уравнения (191). Возможность замены криволинейной номо¬
граммы на прямолинейную определяется видом функции.
Если к номограмме с семейством гипербол (рис. 247), по¬
строенной по уравнению х-у = х, в равномерных шкалах при¬
менить логарифмическую анаморфозу, то получим логарифмиче¬
скую номограмму с семейством прямых, расположенных под
углом 45° к оси абсцисс (рис. 248). Уравнение х*у = г является
частным случаем уравнения вида у = ахт. Если принять т = —1
и х = а, то получим у = ах~х. Для построения семейства прямых
прологарифмируем это равенство: 1§ У = 1? а— 1^х. Дадима
последовательно значения: 1,5; 2; 2,5. При а = 2 получим \%у =
= —1^2. Это уравнение прямой, которая пересечет ось
ординат в точке, отстоящей от начала координат на 100 1^2 при
231

длине шкалы 100 мм, т. е. в точке с пометкой 2. Угловой коэффи¬
циент этой прямоц равен —1, что соответствует = —1 или
а = 135°; смежны^ с ним угол 180° — а = 45°.
Номограмма уравнения х»у = 2 позволяет производить дей¬
ствия умножения и деления. Чтобы найти произведение чи¬
сел 2,4 и 2,5, надо найти точку на наклонной прямой с
пометкой 6. Если надо найти частное от деления 5 на 2,5, то возь¬
мем наклонную прямую с пометкой, равной делимому, и на пер¬
пендикуляре к оси абсцисс, проходящем через точку шкалы с
пометкой 2,5, ищем точку пересечения с этой прямой (рис. 248).
Снесем ее на ось ординат и прочтем число 2 — частное от деле¬
ния 5 на 2,5.
Порядок построения сетчатой номограммы. По заданному
уравнению и пределам изменения переменных рассчитывается
таблица зависимости у от х для нескольких целых значений па¬
раметра 2.
В зависимости от заданных пределов изменения х берут рав¬
номерное или логарифмическое семейство прямых Х[ = или
= (И4 для переменного у, в соответствии с желаемой харак¬
теристикой семейства, принимают ух = цгУ или у\ = \к2\^У и,
учитывая размеры номограммы, определяют модули щ и Ц2- За¬
тем наносят сетку прямых, параллельных осям координат, и
строят линии х = сопз1 по данным расчетной таблицы. Построив
номограмму, следует проверить, нет ли дефектов, которые мож¬
но устранить преобразованием.
Если номограмма удовлетворяет предъявляемым требова¬
ниям, то рассчитывают все промежуточные значения 2.
232

33.	ПОСТРОЕНИЕ НОМОГРАММ УРАВНЕНИЙ
С ЧИСЛОМ ПЕРЕМЕННЫХ БОЛЕЕ ТРЕХ
Составные номограммы для уравнений со многими перемен¬
ными представляют собой систему отдельных номограмм, свя¬
занных общими шкалами или семействами линий. Элементами
составных номограмм являются номограммы из выравненных
точек, сетчатые номограммы и бинарные поля. Для построения
составной номограммы требуется ввести вспомогательные пере¬
менные, которые дают возможность свести номографирование
таких уравнений к построению нескольких элементарных номо¬
грамм с тремя переменными в каждой.
Пусть дано уравнение
ш = Ви<Ч)ь1с,	(194)
где В, а, Ь и с — постоянные;
XV, и, V и I — переменные, изменяющиеся в заданных пре¬
делах.
Введем вспомогательное переменное X и заменим уравнение
(194) системой двух уравнений с тремя переменными в каждом:
К = Ви^ь\	(195)
(196)
Эти уравнения позволяют построить две номограммы из вы¬
равненных точек с тремя параллельными шкалами, причем в
каждую номограмму войдет шкала Если известны перемен¬
ные и, V и / и требуется найти XV, то из первой номограммы мож¬
но определить X, а затем из второй определить XV. Так можно ре¬
шить уравнение (194). При наличии одинаковых шкал X можно
эти номограммы совместить так, чтобы шкалы % обоих номограмм
совпадали, и построить составную номограмму с двойным вы¬
равниванием с пятью шкалами (рис. 249). Шкала X служит
лишь для перехода от одного элементарного уравнения к друго¬
му. Эта шкала «немая», деления на нее не наносятся, однако
модуль и длину ее рабочего участка надо определить.
Для решенния уравнения (194) по составной номограмме
(рис. 249) найдем точки на шкалах и и V для заданных значений
переменных и проведем решающую прямую АВ, которая пересе¬
чет шкалу X в точке С. Через точку, полученную на шкале X, и
точку В на шкале I проведем вторую решающую прямую СВ.
Пересечение последней со шкалой XV в точке Е даст ответ.
В каждой элементарной номограмме ответную шкалу распо¬
лагают между шкалами данных величин. В первой элементарной
номограмме немая шкала % является ответной. При замене но¬
мографируемого уравнения системой элементарных уравнений
переменные группируют так, чтобы пределы изменения вспомо¬
гательного переменного были возможно уже, если группировка
233

не обусловлена зависимостями, физическим содержанием и тре¬
бованиями точности ответа.
Пример построения составной номограммы приведен на
рис. 258.
Составная номограмма может состоять из элементарных сет¬
чатой номограммы и номограммы из выравненных точек. Их
также можно совместить. Переходная шкала без делений назы¬
вается бинарной шкалой. Для решения уравнения с четырьмя
переменными могут быть совмещены две сетчатые номограммы.
Для решения уравнений с числом переменных более трех в
сочетании со шкалами применяют бинарные поля.
Бинарным полем называют геометрическое место точек, каж¬
дая из которых изображает одновременно значения двух пере¬
менных. Каждая точка бинарного поля имеет две пометки —
первого и второго переменного. В прямоугольной системе коор¬
динат бинарное поле задается уравнениями
х = /(&, у); у = у(и> V).	(197)
На номограмме бинарное поле изображают семейством ли¬
ний и = сопз1 и V = сопзЕ Эти линии имеют то же назначение,
что и штрихи на шкалах, т. е. по значениям переменных позволя¬
ют находить точку поля и ее пометки.
В номограммах с бинарным полем так же, как и в номограм¬
мах с носителями шкал, три точки, пометки которых удовлет¬
воряют уравнению, лежат на одной прямой. Если каждая из
трех шкал номограммы заменена бинарным полем, то такая но¬
мограмма будет представлять собой уравнение с шестью пере¬
менными.
В уравнении номограммы с бинарным полем
Л(и)/3(да, О + /2 (V) <р (да, /) +т])(да, /) = 0	(198)
четыре перменных, но оно отличается от уравнений, представ¬
ляемых составными номограммами. Если переменной / дать опре¬
деленное значение /ь то получим уравнение
/1(ы)/8(да, О) + /2(и)ф(да, 4)+Ф(а», 4) = 0,	(199)
234

для которого можно построить номограмму первого жанра. Пусть
переменная будет последовательно иметь значения /2,	^4, •••,
/п, тогда эти номограммы, имеющие общие шкалы и и V, можно
изобразить на одном чертеже двумя параллельными шкалами и
и V и семейством линий пересекаемых семейством линий 'Ш
(рис. 250).
Рис. 250. Схема номограммы из выравненных точек с бинарным
полем
Уравнение бинарного поля (а), /)
х _	И1Н2ф(д». О .
НхфС®. О + НаМ®. О
У =.	(200)
Н1Ф(Ю, О + ИгМаУ» О
Пример построения номограммы приведен на рис. 257.
34.	КОНСТРУИРОВАНИЕ НОМОГРАММ
Номограмма, построенная для решения заданного уравнения,
должна дать ответ с установленной степенью точности. Для
удовлетворения этого требования номограмму из выравненных
235
точек можно подвергнуть преобразованиям, в результате чего
меняются шкалы и их взаимное расположение. Номограмма, по¬
строенная с помощью уравнений ее элементов, редко может быть
сразу использована для расчетов. Приходится видоизменять ее
форму, сохраняя характер геометрической зависимости заданных
функций.
По своей структуре номограммы из выравненных точек наи¬
более удобны для вычислений и дают более точный результат,
чем объясняется их преимущественное применение. Точность вы¬
числений по сетчатым номограммам, как правило, в 2 раза ниже,
чем по номограммам из выравненных точек.
По своему назначению одни номограммы предназначены для
наглядного .изображения и анализа функциональной зависимо¬
сти, для технико-экономических расчетов, для сравнения эконо¬
мической эффективности разработанных вариантов. Эти номо¬
граммы должны отличаться наглядностью, а точность и удобство
получения результатов не являются основными требованиями.
Другие номограммы применяются для массовых вычислений по
конкретным задачам в научно-исследовательской работе и в рас¬
четах машин. Они должны давать надежный и точный результат.
С этой целью шкалы заданных переменных желательно распола¬
гать по краям, а шкалу искомой переменной — в середине. Во
всяком случае, расстояние между шкалами «Дано» должно
быть больше, чем расстояние до шкалы «Ответ». Размеры от¬
ветной шкалы не должны быть меньше размеров других шкал.
Важно, чтобы углы при пересечении решающей прямой с носи¬
телем ответной шкалы не были бы меньше 20—30°.
Источниками погрешностей в расчете по номограммам яв¬
ляются:
а) ошибки при вычерчивании номограммы; б) ошибки при
определении действительного положения расчетных точек на
шкалах; в) ошибки при совмещении контактов неподвижных и
подвижных элементов.
Если графические работы выполнены правильно, то погреш¬
ностью вычерчивания можно пренебречь, так как она менее
0,1 мм. Остальные погрешности достигают 0,5 мм, если ответная
шкала расположена между шкалами данных переменных. Они
могут значительно возрасти в том случае, если ответная шкала
находится снаружи.
Нужно объективно оценивать величины допустимых погреш¬
ностей каждой номограммы. Точность ответа должна соответст¬
вовать практическим требованиям. Необоснованное повышение
этих требований усложняет задачу конструирования номо¬
граммы.
Повышения точности номограммы легче всего добиваться
увеличением масштаба чертежа, так как уменьшение ошибки
обратно пропорционально увеличению масштаба. Если размеры
236

номограммы увеличивать нежелательно, то следует в уравнения
шкал ввести параметры преобразования. Подбирают такие зна¬
чения параметров, при которых номограмма приобретает прием¬
лемый вид.
Точность результата оценивается по абсолютной или относи¬
тельной величине погрешности ответа. Если оценка точности ве¬
дется по абсолютной величине погрешности, то ответную шкалу
целесообразно построить равномерной. При оценке по относи¬
тельной величине погрешности ответную шкалу делают логариф¬
мической.
Чем уже пределы изменения переменных, тем легче построить
номограмму, удовлетворяющую поставленным условиям. По¬
этому вопросу определения пределов изменения переменных сле¬
дует уделить особое внимание.
Для выбора наилучшего варианта номограммы для массовых
расчетов процесс конструирования начинают с составления схем
всех допускаемых данным уравнением номограмм. Сравнение
схем позволяет отобрать перспективные. После преобразования
отобранных схем выявляется наилучший вариант.

ГЛАВА
VI
РАСЧЕТНЫЕ НОМОГРАММЫ
В МАШИНОСТРОЕНИИ
35.	РАСЧЕТЫ СПРАВОЧНЫХ ДАННЫХ ПО УНИФИКАЦИИ
И НОРМАЛИЗАЦИИ
Номограмма моментов инерции прямоугольных
Момент инерции стержня прямоугольного сечения
тельно оси абсцисс, проходящей через центр тяжести
определяют по формуле
7 = -^-,
12
сечений,
относи-
сечения,
(201)
где Ь и Н в см (рис. 251).
После преобразования и логарифмирования получим
л- 12 =	+ 3 1ЙА.
Это уравнение принадлежит к канонической форме гм = аи +
4- Ъс, для которой можно построить номограмму из выравнен¬
ных точек с тремя параллельными логарифмическими шкалами,
направленными вверх. В этом уравнении функции и = V =
= хл) = 1$ 7 + 1^ 12, постоянные а = 1, Ь = 3.
Модули Ц1 и ц2 крайних шкал одинаковы, поэтому модуль
цз средней шкалы при щ = ц2 вычислим по формуле
Ц11-Ч
ац2 +
Ц1
и Ь
(202)
Построим номограмму с пределами изменений переменных
Ь и И от 1 до 100 см.
Определим модули при длине логарифмических шкал Ь =
= 250 мм:
щ = и2 =		= 125;
И	18100-181
^3 = -^- = 31,25.
Если расстояние между шкалами Ь и 7 обозначим через
а между шкалами 7 и И через е2, то положение средней шкалы 7
определится отношением этих расстояний
	 з
^2	^^2	1
238

Рис. 251. Номограмма моментов инерции прямоуголь- Рис. 252. Номограмма чисел оборотов двигателей внут-
ных сечений	реннего сгорания
239

Расположим начало шкал Ь и 1г на одной горизонтали и про¬
ведем две параллельные прямые на расстоянии е\ + е2 = 168 мм
друг от друга. Построим шкалу функций \§Ь и по уравне¬
ниям у\ = 125 1^6; у2 = 125 Среднюю шкалу / проведем на
расстоянии е1 от шкалы &; ех =	 = 126 мм.
Шкалу / построим по уравнению у3 = 31,25 (1&7 + 1&12).
Начало шкалы 7 расположим на горизонтали, проходящей
через пометки Ь = 1 и К = 1 крайних шкал, что соответствует
по уравнению (201) пометке 70 = — = 0,084.
Номограмма числа оборотов двигателей внутреннего сгора¬
ния [83] строится по уравнению
п = 150000 (— + — V	(203)
\ I <1 )
где I — ход поршня в мм\
с1 — диаметр цилиндра в мм.
Пределы изменения переменных: I и с1 — от 100 до 200 мм\
п — от 1500 до 3000 об)мин.
Пусть длина рабочей части шкалы I = 600 мм, угол а = 8°
(рис. 252). Преобразуя исходное уравнение, получим
		= — + — .	(204)
150000	1	(1	'	'
п
Это уравнение соответствует канонической форме
— т >
и) и V
,	* г 150000	-
где функции и = /, V = а, до =	 , и может быть представ-
п
лено номограммой из трех прямолинейных шкал, пересекающих¬
ся в одной точке.
Модули шкал /, й и п пропорциональны синусам углов меж¬
ду двумя другими шкалами:
Их: М>2 • Из = 81п (^, п): 51п (Л п): §5п (^
но углы равны между собой, поэтому
: |12' Из = 5^п а: 5^п а: 8*п 2а = 1:1:2 соз а,
отсюда
= Из = 2^1С08 а-	(205)
Точка Р лежит за пределами чертежа, но АЕ = ЕС, ВР =
= ГО; шкалы I и (1 равномерные, направлены вверх и имеют
пометки 0, 100, 200 в точках Р, А, В и Р, С, О. Отсюда РА =
240

= АВ = Л; АЕ = ЕС = Ь зт а = 83,5 мм; ВР = РО =
= 2Ь 81П а = 167 мм; ЕР = Ь соз а = 595,2 мм; щ = цг = 6; шка¬
ла п направлена вниз и представляет собой шкалу функции
150000	п	1 1 ОО
	 с модулем цз = 2ри соз а = Н,88.
п
Пометки шкалы п нанесем так, чтобы три точки, удовлетво¬
ряющие заданному уравнению, лежали бы на одной решающей
прямой.
Номограмма угловых ускорений шатуна кривошипных меха¬
низмов [83].
Зависимость углового ускорения шатуна от числа оборотов
кривошипа и отношения X длины шатуна к ходу поршня выра¬
жается формулой
т2
а = Рад/сек*’	(206)
ЯП
где со =—
30
Преобразуем заданное уравнение и2=( — ) •	4Х2—1.
/
Можно построить 7-номограмму, так как это уравнение при¬
надлежит к канонической форме и = V • до, где функция / (и) = и2,
ММ = V 4%2— 1, /з(а) = а. Пределы изменения перемен¬
ных: п — от 1000 до 2000 об/мин; % — от 1,5 до 2,2; а — от 2500
до 15000 рад/сек2. Точки 01 и О2 лежат за пределами чертежа
(рис. 253). Примем расстояние между параллельными шкалами
В = 240, длина рабочей части этих шкал Ь = 300 мм. Направ¬
ление шкал а и п — вверх, шкалы % — вниз. Выберем модули
= 0,0001, ц2 = 200. Подсчитаем отрезки О\А = Ц1/1 (1000) =
= 0,0001 • 10002 = 100 мм и О2Р = И2/2(1,5) = 200•/ 4-1,52 — 1 =
= 565,6 мм. Расположим точку 01 на 100 мм ниже точки А с
пометкой 1000 и точку О2 выше точки Р на 560 мм.
Для того чтобы наклонная прямая проходила через точки 01
и О2, должны быть выдержаны соотношения
АС О±А 100
СЕ О2Г + ГЕ 860
КР = ОтА + ЛК = 400
Е>Г ~ О2Р	~~ 560
Так как АС + СЕ = КО + ОР = 240 мм, то А = 25 мм,
СЕ = 215 мм, КО = 100 мм, ОР = 140 мм.
Ординаты точек шкалы а от линии КР определяются из урав¬
нения
Уз =			О.Р =
1+-^/з(а)
Р-2
	—	560. (207)
0,0001 ( 30 \2	’
	 	 а
200	\ л /
241

Номограмма полных поверхностей цилиндров [42] строится
по уравнению
5 = 27гг(г +Л),	(208)
где г —радиус цилиндра в см;
К — высота цилиндра в см.
Приведем заданное уравнение к канонической форме для
того, чтобы убедиться в возможности его номографирования.
После преобразования получим
— 2кгЛ + 5 — 2тйг2 = 0.
Уравнение приводится к канонической форме Коши ихю\ 4-
+	+ ^з=0, если принять функции и = Л; V = 5;	=
= —2лг; ау2 = 1;	= —2лг2.
Применяя простейшие уравнения шкал, приведенные в пре¬
дыдущей главе для номограммы 4-го типа с одной криволиней¬
ной и двумя прямолинейными параллельными шкалами, далеко
не всегда можно получить удовлетворительную номограмму.
При разработке номограммы, предназначенной для многократ¬
ного практического применения, необходимо в уравнения шкал
ввести параметры преобразования.
Запишем уравнения шкал в общем виде. Шкала Н:х\ = О,
У\ = щ(Л — а); шкала 5 : х2 = В, у2 = цз(В — Ь); шкала г:
Ло 	 ,
рх —Ц22лг
__ Н1Н2 (2лг2 + 2лга — Ь)
3	Н1 —
где а и Ь — параметры преобразования.
Шкалы й и 5 будут равномерными. Пределы изменения пе¬
ременных: г — от 0,5 до 2 см, Ь — от 5 до 10 см. Подставляя
крайние значения переменных г и й, найдем пределы изменения
3 от 17 до 150.
Особые условия: 1) допустимая погрешность ответа
о < 0,5 см2; точность ответа оценивается по величине абсолют¬
ной погрешности; 2) размеры чертежа не более 220X310 мм.
Номограмма будет состоять из трех шкал: из прямолиней¬
ных шкал й и 5 и криволинейной шкалы г.
Построим номограмму, в которой ответная шкала 3 будет
расположена между шкалами й и г. Шкала г будет крайней с
правой стороны (рис. 254).
Определим направление шкал и составим схему номограм¬
мы. Дифференцируем выражения для ординат точек шкал К
по йиЗпоЗ. Значение производных {лиу2 положительные, сле¬
довательно, направление шкал й и 5 совпадает с направлением
оси ординат. Значения 3 монотонно растут, поэтому шкала г
будет также иметь направление вверх.
242

243

Определим значение параметра а. На оси абсцисс будет на¬
ходиться пометка 5 шкалы й; отсюда а = (Л)5 = 5. Если при¬
нять длину шкалы Л равной 250 мм, то модуль щ = 50. Окон¬
чательно уравнения шкалы Н будут
х1 = 0; У1 = 50(/г —5).	(209)
Определим значение параметра Ь. Если на оси абсцисс рас¬
положить пометку 17 шкалы 5, то Ь = (3)17 = 17. Модуль ц2
ответной шкалы 5 должен соответствовать требуемой точности
отсчета б = 0,5. Не зная заранее расположения шкал, можно
допустить, что геометрическая погрешность номограммы не пре¬
вышает А/ 1 мм; тогда модуль шкалы 5
Н2
1,0
0,5
(2Ю)
Длина шкалы 5 Ь8 = 2(150— 17) = 266 мм.
Параллельные шкалы номограммы надо расположить вдоль
длинной стороны чертежа, чтобы не превысить заданных раз¬
меров.
Уравнение ординаты 5
1/2 = 2(5 — 17).	(211)
Ширина номограммы определяется расстоянием между носи¬
телем шкалы И и наиболее удаленной точкой с пометкой 2 шка¬
лы г. Размер В получим из уравнения абсциссы шкалы г.
Уравнения шкалы г:
в-50	в
х3 =	=	;
6	50 — 2 • 2лг 1—0,251г
50 • 2(2лг2 — 5 • 2лг — 17) _ 125,6 (0,1г2 + 0,5г — 0,271)
50 — 2 • 2лг ~	1 —0,251г
(212)
При г = 2 и ширине номограммы 180 мм х$ =	■= 180’,
В « 90 мм = х2.
Составим таблицы расчета шкал и построим номограмму.
Номограмма приведенных коэффициентов лучеиспускания
[54] строится по уравнению
ст=-^-,	(213)
где С?! и С2 — коэффициенты лучеиспускания двух тел;
Со—коэффициент лучеиспускания абсолютно черного
тела.
244

Пределы изменения переменных: Со = 4,96; С1 — от 0 до
4,96; С2— от 1 до 4,96; Ст — от 0 до 4,96. Перепишем заданное
уравнение
стс0 = схс2 = -^-.
Уравнение принадлежит к первой канонической форме хю =
= —и может быть представлено номограммой второго жанра
со шкалами на эллипсе и секущей, если принять функции и =
V = —= 4,96Ст. Установим размеры номограммы Л3 =
Сг
= 150 мм и Н\ = 100 мм (рис. 245). Пределы криволинейных
шкал Сг и С2 одинаковы, поэтому можно принять модули этих
шкал Ц1 = Ц2- Расположим шкалы и С2 симметрично относи¬
тельно шкалы Ст, причем р= 0. Для принятых размеров номо¬
граммы удобно взять Ц1 = Ц2 = 0,3, тогда модуль ц3 шкалы Ст
равен
1 + р2	100
Из =	= “7“ •
Н1М2	9
Шкала Ст в пределах 1—5 получится в этом случае близкой
к логарифмической.
Определим длину продольной оси эллипса
1Х =	—	= 200 мм.
1 +(0,3-0)»	1 +(0,3-5)2
Уравнения шкал:
шкала Сх
_	200	.	_ 30Сх	.
Х1~	1+(0,ЗСх)2	’	У1 ~	^(О.ЗС!)2	’
шкала С2
200	30С2
1 +(0,ЗС2)2	”	1 + (0,ЗС2)2
шкала Ст
(214)
(215)
(216)
Составим таблицы расчета шкал и построим номограмму
(рис. 255).
Номограмма перемещений ползуна кривошипа [83] строится
по уравнению
1— СОЗф
а =	-
2
(217)
где о — отношение перемещения ползуна к диаметру окружно¬
сти, описываемой кривошипом;
245

<р— угол кривошипа с линией мертвых точек;
р — отношение длины шатуна к радиусу кривошипа.
Уравнение приведем к виду
— р соз ср — (1 — 2о) (сов ср — р) -1	_ = о .
Это уравнение принадлежит к канонической форме Клярка
+ (и + V) йу2 +	=0
и для него может быть построена номограмма третьего жанра
со шкалами и и V на окружности. Функции, входящие в уравне-
Рис. 255. Номограмма приведенных коэффициентов
лучеиспускания
ние канонической формы, представляют собой следующие вы¬
ражения:
и = соз ср; V = — р; = 1;
/1 ох	1 + (1 —2а)2
ау2 = — (1 — 2а); и>9 =	.
246

Пределы изменения переменных: <р — от 0 до 360°, р — от 2,5
до 20, о — от 0 до 1.
За начало координат примем точку окружности ф = 90°,' ось
ординат совпадет с вертикальным диаметром, причем положи¬
тельное направление ординаты примем вниз, а абсциссы —
влево. Примем диаметр окружности О = 200 мм (рис. 256).
Уравнения шкал:
шкала ф
X) =
200 сов ф
У1 = 200 — -
200
1 + СО82 ф
(218)
1 + СО82 ф
шкала р
х2
_ _ 200р
; уг - 200 —
200
(219)
~	1+ Р2
1+ Р2 ’
247

шкала а
_400(1—2а)_	200	—	.	(220)
8	3+(1— 2а)2	*	3+(1 — 2а)2
Расчеты шкал сведем в таблицы и построим номограмму
(рис. 256).
Номограмма площадей равнобедренных трапеций [54] стро¬
ится по уравнению
5 = &Й + Л2с1йф,	(221)
где Ь — длина меньшего основания трапеции;
Н — высота;
Ф— угол между боковой стороной и нижним основанием.
После преобразования получим
5 — ЬИ — Л2 с1§ ф = 0;
это уравнение с четырьмя переменными приводится к виду урав¬
нений четвертого номографического порядка (форма Коши) и
имеет в своем составе одно бинарное поле. Правила построения
простейших номограмм с бинарным полем принципиально не
отличаются от правил построения обычных номограмм из вы¬
равненных точек.
Каноническая форма уравнения имеет вид
А/з + АФз +^з = 0;
здесь /1(5) =5; /2(Ь) = Ь; /з(Л, ф) = 1; фз(Л, ф) = — Л;
фз(^, ф) = —Л2с1^ф. Ответная шкала 5 расположится между
бинарным полем (Л, ф) и шкалой Ь.
Предел изменения переменных: 5 — от 0 до 200; Ь — от 0
до 10; Н — от 0 до 10; угол ф — от 45 до 90°. Зададимся габарит¬
ными размерами номограммы: Н = 150 мм и В = 100 мм
(рис. 257).
Определим модули шкал 5 и Ь:
150	! с
Ц-2 =	= 1 О ММ .
г 10 — 0
Шкалы $ и & начинаются от нуля, расположенного на оси абс¬
цисс, и направлены в одну сторону — вверх. Определим расстоя¬
ния между параллельными шкалами. Если для абсцисс бинар¬
ного поля имеем
х =	*1—
1 +
И1Фз
	—< 0,
0,75 Л
248

то ширина всей номограммы равна
В = Вх		= 100,
1—
0,75	10
откуда В1 = 50 мм, т. е. расстояние между параллельными шка¬
лами равно ширине бинарного поля.
5	Ь
249

Приняв за ось х прямую, проходящую через нулевые точки
шкал 5 и 6, а за ось у — носитель шкалы 5, получим уравнение
шкал. Шкала 5 : х = 0, у = 0,75 5; шкала Ь : х = 50, у = 15 6;
поле (6, <р):
50/г	15Л2с1яф
х =	; у =	.	(222)
20 —Л	20 —А	7
Составим таблицы расчета шкал и построим номограмму.
Номограмма числа оборотов и диаметров шкивов ременной
передачи [13] строится по уравнению
п2 = -^1^- ,	(223)
б/о
где I— передаточное число;
и с?2 — диаметры шкивов;
и и2 — числа оборотов шкивов в минуту.
Пределы изменения переменных: пх — от 10 до 2000;	— от
100 до 800; й2— от 800 до 100; I — от 0,04 до 1. Подставив в урав¬
нение (223) крайние значения переменных, найдем пределы
изменения п2 от 0,05 до 16000.
Для построения составной номограммы из выравненных то¬
чек прологарифмируем уравнение (223):
1п п2 = 1 § пг 4-	+ 1б«— <4,
введем вспомогательные переменные и и заменим уравне¬
ние с пятью переменными системой трех уравнений с тремя
переменными в каждом:
+ 16^1 = ^2*,
I —	<4 - Хь
П2 — М + ^2-
Каждое из этих уравнений принадлежит ко второй канониче¬
ской форме третьего номографического порядка и потому для
них мы можем построить номограммы из выравненных точек с
тремя параллельными шкалами. Если в первом уравнении при¬
нять длину шкал пх и равными 135 мм, то модули этих шкал
равны
Ц-1 =

г 1^2000 — 1^10
И2“ 1е800-18
Уравнения шкал и (Ц
У1 = 60 (!§«!— 1); Уг = 150(1§<4 — 2).
(224)
Модуль шкалы Ъ2
	 Н1Н 2 	 зоо
Н1+Ш 7
250

Ответную шкалу Х2 расположим между шкалами пх и
причем отношение расстояния между ответной шкалой и шкала¬
ми П\ и равно отношению модулей шкал пх и
^1 _ Р1 __ 2
^2 Иг 5
Пусть расстояние между шкалами пх и равно 140 мм,
тогда Ь1 = 40 мм\ Ь2 = 100 мм. Рассчитав шкалы пх и по
уравнениям (224), построим для них немую шкалу Л2. Направ¬
ление шкал и вверх (рис. 258).
Для второго уравнения модуль ц4 шкалы й2 примем равным
модулю шкалы так как их пределы изменения одинаковы;
|14 = 150 мм. Модуль |л5 шкалы I при длине ее, равной 140 мм,
Н5 =
140
1 — 0,04
= 100 мм.
Шкалы й2 и I построим по уравнениям
Уз = 150 (12 - 2); у, = 100 (1§ I - 1§ 0,04).
Модуль шкалы 2ц
Не = И*Иб • = 60.
Р-4 + Рь
(225)
Шкала 2ц будет расположена между шкалами I и й2. Отно¬
шение расстояний между ответной шкалой 2ц и шкалами I и б/2
равно
_ Рб __ 2
ц4 3
При расстоянии между шкалами / и с?2, равном 150 мм, най¬
дем &з = 60 мм\ &4 = 90 мм. Шкала I направлена вверх, а шка¬
ла й2 — вниз, так как в исходном уравнении перед стоит
знак минус.
В последнем уравнении системы модули 211 и Х2 уже извест¬
ны. Модуль шкалы п2 равен
НзНб =	300 - 60	 25
Рз + Ре 7 ( 30° । АП\
7)
Ответная шкала п2 должна быть расположена между шкала¬
ми Х1 и Х2:
Ьъ _ ц3 _ 300 _ _5_
Ре 7 • 60	7
Примем расстояние между шкалами 2ц и Х2 равным 120 мм,
тогда расстояние = 50 мм от шкалы Х2; расстояние &6 = 70 мм
251

252

уээ/ы‘ чшзовоиэ ипныввно
10000
шэ 'род ым ‘ свои пн <шдшпвэыЕЦ
0,1 0,2	0,5	1	2	5	10	20	50	100 200	500 1000
Измеритель производительности, м3/сек
Рис. 259. Номограмма для подбора вентиляторов и насосов
253

от шкалы Х1. С помощью одного подгоночного примера найдем
положение одной пометки шкалы п2, после чего построим всю
шкалу, пользуясь уравнением
у6 = 25 (1§ п2 —1§ п0),	(226)
где /г0 соответствует значению п2 подгоночного примера.
Номограмма для подбора вентиляторов и насосов [79]. Со¬
ставная сетчатая номограмма построена на базе двух уравне¬
ний, каждое с тремя переменными
№/4
0 = 0,6672—^-;	/1 = 81,3-2-,
&
где В— диаметр рабочего колеса в м\
п— число оборотов в минуту;
Кд и Кн— измерители производительности и напора. Уравнения
составлены для нормальной плотности воздуха
0,1223 кг • сек21м*. Для другой среды необходим пе¬
ресчет.
В прямоугольной системе координат по оси ординат нанесе¬
на логарифмическая шкала измерителя напора Кн в мм вод, ст.?
а по оси абсцисс — логарифмическая шкала измерителя произ¬
водительности Кд в м31сек. В этих координатах наложено одно
на другое два семейства прямых линий В и и, представляющих
собой логарифмическую анаморфозу указанных уравнений.
Искомые значения В и п определяются в точке, соответствую¬
щей вычисленным значениям измерителей /<$ и Кн (рис. 259).
36.	РАСЧЕТЫ ДОПУСКОВ И ПОСАДОК
Номограмма допусков на расстояния между центрами [74].
В рабочих чертежах значительное количество размеров относит¬
ся к расстояниям между центрами отверстий деталей. Отвер¬
стия в деталях размещаются по прямой линии или по окруж¬
ности.
При расположении отверстий по прямым линиям номограм¬
ма допусков составлена для уравнений Д = ±0,7 5 и Д =
= ±0,35 5 при двухрядном и многорядном расположении отвер¬
стий. Зазор 5 определяется как разность между наименьшим
диаметром отверстия и наибольшим диаметром стержня.
Номограмма (рис. 260, а) предназначена как для равных,
так и неравных допусков двух размеров, параллельных осям
координат и определяющих положение отверстий. Например,
при зазоре 5 = 0,85 мм равные отклонения составляют ±0,6 мм.
Если же для одного из размеров, определяющих положение от¬
верстий, устанавливают ±0,4 мм, то для второго по номограм¬
ме с дугами постоянных зазоров 5 допустимо принять ±0,75 мм.
254

Это значительно облегчит изготовление детали.
Для расчета отклонений от заданных координат отверстий,
расположенных на окружности, пользуются формулой
5 = 2 ]/ У?2 81П2 Да 4- Д7?2 соз2 Да ,
(227)
где 7? и Д7? — радиус окружности расположения отверстий и его
допуск;
Да — допуск угла между отверстиями.
Для выбора Да и Д/? приведем номограмму из выравненных
точек с бинарным полем (рис. 260,6).
Номограммы для расчета посадок с натягом [1]. Расчеты
посадок с гарантированным натягом связаны с определением
удельного давления на контактной поверхности и крутящего
момента, который может передать эта посадка. Валы изготов¬
ляются из стали, ступицы могут быть стальными или чугунны¬
ми. Удельное давление р определяем по формулам:
при стальной ступице
при
чугунной ступице
р = 21

/
Й1 1,02 + ^^
\	6*2 —
кГ/мм2-,
р = 10,5
^2 + ^1
^2—а1
кГ/мм?,
где Д — расчетный натяг в мк.
Формулы справедливы при условии, что коэффициент Пуас¬
сона для стали р = 0,3, для чугуна р = 0,25; модуль упругости
стали Е} = 2,1 • 104 кГ/мм2, чугуна Е2 = 1,05 • 104 кГ!мм2.
При четырех переменных уравнение позволяет построить со¬
ставную номограмму из выравненных точек с двойным вырав¬
ниванием (рис. 261).
В зависимости от конструкции и диаметра валы изготовля¬
ются цельными или имеют сквозное отверстие. Отношение диа¬
метра отверстия к номинальному диаметру сопрягаемой поверх¬
ности принято равным 0,1. Номограмма пригодна как для пол¬
ного, так и для цельного вала.
Крутящий момент Мкр при стальной ступице
Д^Г
Мкр = 0,033/
1,02 +
4 + 4
4-4
кГм;
255

Рис. 260. Номограмма допусков на расстояния между центрами:
для отверстий, расположенных по прямым линиям; б — для отверстий, расположенных по окружности
I
256

9 Зак. 334
Рис. 261. Номограмма удельных давлений в сопряжении	Рис. 262. Номограмма крутящих моментов, передавае-
вала со ступицей	мых посадкой с натягом
257

при чугунной ступице
М„-0,0165/	-
^2 +
0,61 + —	±
^2 ~~
кГм,
где Ь — длина посадочной поверхности в мм.
Величина коэффициента трения / в посадке с натягом зави¬
сит от ряда факторов. В расчет вводится среднее значение коэф¬
фициента трения, получаемого экспериментально для выпрес-
совки при установившемся процессе смещения. Так, при насад¬
ке под прессом принято / = 0,08, при насадке с нагревом
ступицы или с охлаждением вала } = 0,14.
При пяти переменных, кроме коэффициента трения /, по¬
строена составная номограмма из выравненных точек с тройным
выравниванием (рис. 262). Носитель крутящего момента имеет
две шкалы при Д равном 0,08 и 0,14.
Если переменные Д, сУ или Ь имеют численное значение, пре¬
вышающее верхний предел соответствующей шкалы номограм¬
мы, то значение данного параметра уменьшают в 10 раз, а по¬
лученный ответ увеличивают в 10 раз, если этот параметр стоит
в числителе, или уменьшают в 10 раз, если он в знаменателе
формулы.
При расчете крутящего момента по номограмме безразлично,
какой параметр, или Ь откладывается первым по шкале
37.	ПРОЧНОСТНЫЕ РАСЧЕТЫ
Номограмма для расчета толстостенных труб и сосудов [83]
строится по уравнению
V я-р
где — допускаемое напряжение в кГ)мм2\
р — внутреннее давление в кГ1мм2\
т — отношение толщины стенки к внутреннему радиусу.
После преобразований уравнение примет вид
Р = (т+ I)2 + 1
Р (т+1)2-1
Уравнение принадлежит к первой канонической форме и для
него может быть построена круговая номограмма из выравнен¬
ных точек 5-го типа второго жанра, если принять, что
258

Для того чтобы получить удобное распределение делений на
шкалах, введены постоянные множители. Кроме того, введен
знак минус в целях расположения шкал 7? и р на окружности
по обе стороны от шкалы т, которая наносится на вертикальном
диаметре. Диаметр окружности номограммы О = 200 мм. Ось
ординат совпадает с вертикальным диаметром, начало коорди¬
нат находится в нижней точке окружности (рис. 263).
Пределы изменения переменных: 7? и р — от 0 до 20 кГ]мм2,
т — от 0,1 до 3.
Уравнения шкал:
шкала 7?
20007?	_	200/?2	.
100 + № ’ У1~ 100 + 7?2 ’
(228)
259
9*

шкала р
шкала т
ЮООо	5000
х2 =	:; у<> =	;
25 + р2	25 4-р2
А	200 (т2 4- 2т + 2)
х =0; у3 =	-	5	!.
3	Зт2 + 6т + 2
(229)
(230)
Составим таблицы расчета шкал и построим номограмму.
мм
Рис. 264, Номограмма для расчета зубчатых колес
Номограмма для расчета зубчатых колес [12]. При конструи¬
ровании зубчатых колес расчеты зубьев на изгиб и по контакт¬
ным напряжениям отнимают много времени, поэтому для пред¬
варительных расчетов весьма эффективно используется состав¬
ная сетчатая номограмма (рис. 264). Номограмма построена
для расчетных уравнений
кГ/мм2;
620 000 Ы
т2Ьгу п
а =

?т
к
ку
°доп КГ/ММ2,
260

где Ы — мощность, передаваемая зубчатым колесом;
п — число оборотов колеса в минуту;
г — число зубьев;
т — модуль зацепления;
Ь — ширина колеса;
I — передаточное число;
&изг, &— коэффициенты скоростной, долговечности зубьев
на изгиб и контактных напряжений;
у — коэффициент формы зуба.
Номограмма предназначена для расчета как цилиндрических,
так и конических зубчатых колес. Расчет цилиндрических косо¬
зубых колес ведется по нормальному модулю тп. За расчетное
число оборотов п принимают то, которое соответствует наиболь¬
шей нагрузке на зубчатое колесо. Ряд факторов учитывается
усредненными коэффициентами.
Схемы расчетов показаны в чертеже номограммы. Последо¬
вательность расчета изменяется в зависимости от того, какие
параметры заданы и какие определяются.
Номограмма запаса прочности [24]. Прочность для пластич¬
ных материалов при совместном действии нормальных и каса¬
тельных напряжений определяется уравнением коэффициентов
запаса прочности
где П1 и п2— коэффициенты запаса прочности при действии нор¬
мальных и касательных напряжений.
Уравнение приводится ко второй канонической форме, для
которой может быть построена номограмма из выравненных то¬
чек с тремя прямолинейными логарифмическими шкалами, пере¬
секающимися в одной точке (рис. 265).
Шкала искомого коэффициента запаса прочности п совпа¬
дает с осью ординат, относительно которой шкалы и п2 рас¬
положены симметрично.
Номограмма для расчета пластинчатых фрикционных муфт
[62]. Для предварительного расчета фрикционных муфт при
проектировании пользуются составной номограммой из вырав¬
ненных точек (рис. 266). Исходное уравнение количества пла¬
стин
71 620М
I =

2лг2 (г2 — гх) пр[
состоит из ряда простых уравнений
Л4 = 71 620 — кГсм\ г = Г1 + Г2 см\
кр	2
Н = рр кГ; Р = 2пг (г2 — Г1) см2,
которые используются при построении номограммы.
261

262

263

Здесь Ы— мощность, передаваемая муфтой, в л. с.; п— число
оборотов в минуту; г — средний радиус в см; р — удельное дав¬
ление в кГ/см2 и — коэффициент трения.
Схема пользования номограммой указана на чертеже.
38.	ТЕХНОЛОГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
Номограммы режимов резания. При разработке технологиче¬
ского процесса механической обработки технологи вынуждены
затрачивать много времени и труда на выбор режимов резания,
так как приходится иметь дело с довольно сложными эмпириче¬
скими формулами с дробными показателями степеней величин,
входящих в эти формулы. ВНИИТЭЛЕКТРОМАШ разработал
сборники номограмм рациональных режимов резания металлов
инструментами из быстрорежущей стали, инструментами, осна¬
щенными твердыми сплавами, и номограммы по обработке изо¬
ляционных материалов [65].
Номограммы рациональных режимов резания позволяют
комплексно решать эти вопросы, причем в большинстве случаев
для выбора режима резания достаточно одной составной номо¬
граммы из выравненных точек. Применительно к паспортным
данным станка номограммы удобны при пересчете режима реза¬
ния, не требуя каких-либо вычислений. Кроме основного назна¬
чения— расчета режимов резания, — номограммы используются
для пересчетов в техническом нормировании.
Рассмотрим здесь одну из таких номограмм для наружной
продольной черновой обточки конструкционной стали въ = 70 -?
80 кГ/мм, резец Т5К10 (рис. 267). Зависимость скорости ре¬
зания от глубины резания / и подачи 5 при принятой постоян¬
ной стойкости Т = 60 мин:
т/	97,3	,
я1мия-
Усилие резания
Рг= 151?,0250,82 кГ.
Подача определяется по глубине и усилию резания:
0,82/ Р~
5 = 1 / 		— мм об.
Глубина резания
, П —а
I —	 мм,
21
где 2) и й — диаметры заготовки до и после снятия припусков:
I—число проходов.
264

При пользовании номограммой по глубине резания I и уси¬
лию резания Рх одним ходом определяют подачу 5, скорость
и требуемую мощность М, которая выражается фор-
V
резания
мул ой
Число
М = 2,39$0,37/0’87 кет.
оборотов шпинделя станка зависит от скорости реза¬
ния и начального диаметра И заготовки:
1000а
п= 	 об мин.
лО 1
265

Рис. 268. Номограмма поправок для наладки станка
266

Для определения числа оборотов шпинделя по номограмме
соединяют второй решающей прямой пометки на шкале V и шка¬
ле Э и в точке пересечения шкалы п читают искомое число обо¬
ротов.
Если мощность, полученная по номограмме, превышает пас¬
портную мощность данного станка, то уменьшают скорость ре¬
зания, что приводит к увеличению усилия резания, которое
может превысить лимиты нагрузки по прочности элементов
станка и инструмента, а также по жесткости обрабатываемой
детали. Тогда приходится уменьшать подачу 5 или глубину ре¬
зания /.
С уменьшением подачи 5 возникающее усилие резания Р2
может быть определено по номограмме при использовании
немой шкалы X. Через точку пересечения с этой шкалой первой
решающей прямой проведем третью решающую прямую от точ¬
ки на шкале М, соответствующей паспортной мощности, до
встречи со шкалой Р2, на которой прочтем усилие Р2, соответст-
, вующее паспортной мощности станка.
Номограмма поправок для наладки станка [91]. Расчет нала¬
дочных установок зуборезных станков для нарезания конических
колес с круговыми зубьями состоит из определения основных
данных для наладки станка и поправок к ним. Для чистового
нарезания шестерни вводится поправка осевой установки ЛхР,
поправка смещения стола Ахв и поправка угла эксцентрика Ле2.
Эти поправки определяются по составной сетчатой номограмме
(рис. 268). Последовательность расчета указана на чертеже
стрелками и порядковыми номерами.
39.	СТАНКИ И ИНСТРУМЕНТ
Номограмма для расчета виброизмерительного прибора [80].
Для исследования вибраций металлорежущих станков и других
исследований динамики машин пользуются виброметрами, кото¬
рые рассчитываются по уравнению основной собственной ча¬
стоты
Г = 0,046САу2,
где Н — толщина пружины;
I — длина пружины;
г = 1/ — скорость распространения продольных волн
у Р
в материале пружины;
Е — модуль упругости материала пружины;
У1 — первый корень уравнения частот для одной из схем
прибора;
р — плотность материала пружины;
1 + СО8 ут сЬ У1 = — У! (8Ш ут сП ух — СО8 ух сП уг),
267

м
где —	отношение масс груза и пружины.
Расчетная номограмма представляет собой составную номо¬
грамму из сетчатой номограммы и номограммы из выравненных
точек (рис. 269). Составная номограмма позволяет определить
конструктивные параметры прибора — массу груза М и ширину
пружины Ь или установить частоту уже изготовленного прибора.
В номограмме предусмотрена возможность изготовления пружи¬
ны из латуни, бронзы, дюраля, стали и гетинакса. На шкалах I
и Л и Л' откладываются одни и те же заданные значения этих
величин. Шкалы Ль К2 и Лз—немые. Порядок расчета по номо¬
грамме обозначен цифрами и стрелками.
Номограмма рентабельности применения специальных ста¬
ночных приспособлений [86]. Количество деталей М обрабатыва¬
емых в год, начиная с которого приспособление становится рен¬
табельным, и наибольшие допустимые затраты Ц на изготовле¬
ние приспособления, при которых оно еще рентабельно,
определяются из уравнений
	Цк
ЬЗ (1 + -
шт.;
где к — коэффициент годовых расходов по приспособлению с
учетом срока амортизации и расходов по ремонту в процентах
к его стоимости;
АЗ — экономия в заработной плате от применения приспособ¬
ления на одну деталь-операцию;
Н — процент начисления расходов на заработную плату
станочника.
Для указанных уравнений построена составная номограмма
из выравненных точек (рис. 270). Номограмма, кроме получения
ответа для Ы и Ц, может служить для определения чистой годо¬
вой экономии от применения приспособления, а также для срав¬
нения экономической эффективности ряда приспособлений. Шка¬
ла произведения Ц на к по первой схеме расчета, обозначенной
на чертеже, дает полный размер годовых расходов по данному
приспособлению. Та же шкала по второй схеме расчета дает
величину АЗ* (1 + Н • 10—2) А/ руб., т. е. годовую экономию на
заработной плате в связи с внедрением приспособления. Разность
значений по первой и второй схеме определит чистую годовую
экономию.
Номограмма зависимости погрешности обработки от размер¬
ного износа резца [33].
268

Рис. 269. Номограмма для расчета виброизмерительного прибора
269

Уравнение относительного износа резца и0 на 1000 м пути
резания и погрешности обработки Ди от износа резца найдены
экспериментальным путем
а0 = 0,198?’0250,79 10'7;
= 2и0(Ь + к),
где V — скорость резания;
5 — подача;
Рис. 270. Номограмма рентабельности применения специальных станочных
приспособлений
/ — глубина резания:
Ь— путь резания;
к— коэффициент, равный отношению начального износа
к относительному.
Уравнения могут быть представлены составной номограммой
из выравненных точек (рис. 271). Такая номограмма для расче¬
та размерного износа инструмента особенно полезна в условиях
автоматизированного производства.
Номограмма потребности режущего инструмента на програм¬
му [98]. В условиях мелкосерийного и индивидуального произ¬
водства потребность в режущем инструменте устанавливают по
методу средних коэффициентов применения инструмента.
270

Составная сетчатая номограмма позволяет быстро рас¬
считать потребность режущего инструмента на производствен¬
ную программу (рис. 272). Номограмма состоит из двух полей,
$ €
по первому из них найдем машинное время работы инструмента
до полного его износа.
Х = /е(л + 1)П.
где /с— стойкость инструмента между двумя переточками в ч\
п— количество переточек до полного износа инструмента;
т] — коэффициент, учитывающий случайные потери (в дан¬
ном случае т] = 0,8).
По второму полю номограммы определим искомую потреб¬
ность инструмента на программу
шт.,
X
где Т — количество станкочасов работы по программе данной
группы оборудования;
а — коэффициент машинного времени;
271

А, 5	10	20	50 ЮО 200	5 б 7 8 9 10 12 /4	20	30 ЬО
Рис. 272. Номограмма потребности режущего инструмента на программу мелкосерийного производства
272

Р — коэффициент удельной работы данного вида инструмен¬
та. Значения произведения коэффициентов аир для
каждого рода станков и вида инструмента дается в
таблице, прилагаемой к номограмме.
Последовательность расчета по номограмме указана стрел¬
ками.
40.	ЛИТЕЙНОЕ ПРОИЗВОДСТВО
Номограмма состава, структуры и свойств чугуна [39]. Номо¬
грамма отображает зависимость между содержанием кремния
81, углерода общего СОб, связанного Ссв и графита Сгр, толщиной
отливки Ь, пределом прочности оъ при растяжении и структурой
(рис. 273). Основой построения составной сетчатой номограммы
являются четыре уравнения:
о/ С< 		Ср# .
0	0,5(Ссо + К) ’
75Ссо + 40
&гр +10
кГ1мм2\
%Ссв
(Те (Срб+1,0)-40.
а0 + 75
_ Ссвав + 75Сса — аб + 40
где Ат = 6,3 — Ъ\
К — величина, зависящая от вида чугуна.
Левая часть номограммы дает значения СОб в виде семейства
прямых линий в системе координат (ов и % Ссв перлита и фер¬
рита) и семейства кривых линий в системе координат (ов и Ь).
Правая часть номограммы содержит семейства прямых, харак¬
теризующих содержание Ссв для чугуна различной структуры.
Верхние три луча относятся к белому чугуну, подлежащему от¬
жигу на ковкий чугун; средние лучи относятся к чугуну, пред¬
назначенному для модифицирования; заштрихованная область
соответствует перлитному чугуну; нижние два луча — обычному
серому чугуну.
Для процесса отливки в землю номограмма позволяет опре¬
делить, например, содержание СОб и 81 для отливок из чугуна
заданных структуры и прочности. Для отливок, имеющих разные
толщины, по номограмме можно проверить, не получается ли
отбел в наиболее тонкой части и др.
Номограмма для расчета литниковых систем [50]. При залив¬
ке форм из поворотных ковшей на Днепродзержинском заводе
площадь Р поперечного сечения литниковой системы для отли¬
вок из углеродистой стали определяют по формуле
Р = см2,
273

0,1 бв
Рис. 273. Номограмме состава, структуры и свойств чугуна
274

где 0 — вес отливки в кг\
б—	преобладающая толщина стенки в см;
К—коэффициент расхода в литниковой системе; для отли¬
вок с преобладанием горизонтальных стенок К =
= 0,33 кГ)см • сек, с преобладанием вертикальных сте¬
нок К = 1-
Соотношение площадей поперечных сечений питателя, лит¬
никового хода и стояка принимают равным 1 : 1,2: 1,3. При по¬
строении сетчатой номограммы применена логарифмическая
анаморфоза (рис. 274).
Диаметр стояка
Площадь сечений питателей
Вес отливки
Рис. 274. Номограмма для расчета литниковых систем
Номограмма зависимости производительности вагранки и
температуры металла от расхода кокса, газа и воздуха. На ос¬
новании обобщения заводских и экспериментальных данных
авторы статьи [46] разработали номограмму, характеризующую
работу вагранки на коксе и при применении природного газа.
Номограмма с двумя семействами прямых представляет собой
составную сетчатую номограмму (рис. 275). Стрелками указан
ход расчета.
275

О
*
о
I
*
*
н
Ф (О
х 3 С
Расход газа, м3/т	Подача дутья, мЗ/мг мцн
40 30 20 10 0	60	80	100	120	140	160	180	200
‘ пет рохэъс)
и 1 пянъдгъд чшэомянашпдодсподу
Температура чугуна, °С
276

41.	КУЗНЕЧНО-ШТАМПОВОЧНОЕ ПРОИЗВОДСТВО
Номограмма приращения давления в цилиндре паровоздуш¬
ного молота [99]. Расчет паровоздушного молота основан на по¬
строении ожидаемых индикаторных диаграмм. Ход бабы разби¬
вают на малые конечные участки АН с конечным приращением
давления Др:
= дт р атм,
где К — показатель адиабаты;
т — величина, зависящая от объема поступающего в ци¬
линдр пара (воздуха) и скорости перемещения поршня:
Н — ход поршня;
р — давление в цилиндре.
Это уравнение позволяет построить составную номограмму
из выравненных точек (рис. 276). Приращение давления Др
определяется по номограмме для каждого участка проектиру¬
емой индикаторной диаграммы.
Номограмма степени уковки заготовки [101]. Степень уковки
для каждого обжима определяется по уравнению
1
У = 	,
1-8(1-/) ’
где 8 — степень вытяжки;
/ — коэффициент, зависящий от отношения величины пода¬
чи I и ширины а заготовки.
1-г	1
По данным 8 и — степень уковки у определяется по номо-
а
грамме из выравненных точек (рис. 277).
Номограмма выбора заготовки для прямоугольной поковки
[101]. При ковке бойками минимальная сторона квадратной за¬
готовки
1,5
1 + 1,8 —	1
Л
а
И мм,
где Ь — ширина прямоугольной поковки;
И — высота прямоугольной поковки.
По составной номограмме из выравненных точек, задавшись
размерами Ь и К поковки, можно быстро определить необходи¬
мый размер а заготовки или соответствующий диаметр круглой
заготовки (рис. 278).
277

Рис. 276. Номограмма приращения давления в цилиндре	Рис. 277. Номограмма степени уковки заготовки
паровоздушного молота
278

Рис. 278. Номограмма
выбора заготовки
для прямоугольной
поковки
42.	ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ
Номограмма коэффициента мощности по показаниям двух
ваттметров [55]. В трехфазной системе при равномерной нагруз¬
ке фаз для определения соз ср по показаниям двух ваттметров
пользуются уравнением
соз ф
1
где и р2 — мощности по показаниям ваттметров в относитель¬
ных единицах; для вт и кет на шкале одна и та же точка.
Для этого уравнения может быть построена 7-номограмма с
искомым на наклонной шкале (рис. 279).
279.

Рис. 279. Номограмма коэффициента мощности по по¬
казаниям двух ваттметров
43. ЭКОНОМИКА И ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВА
Номограмма удельной себестоимости новой машины [45].
Себестоимость машины зависит от технических параметров
(мощность, к. п. д., число оборотов, количество деталей и их
материал) и производственных параметров (серийность, техни¬
ческая оснащенность). Себестоимость в целях сравнения удобней
отнести к единице веса станка. Зависимость удельной себестои¬
мости от основных производственно-технических параметров для
универсальных токарных станков выражается уравнением
Су = 1,94Р-0>193№1042К“о1’121Д"°'994Д0’085/?0’43 * * * * * 49 ,
где Р— полный вес станка в кг\
М—номер станка с начала выпуска;
280

Я — группа конструктивной сложности;
Кт.о — коэффициент технологической оснащенности;
Кун — коэффициент унификации;
Д — число наименований деталей станка.
Уравнение может быть представлено составной номограммой
из выравненных точек (рис. 280).
Номограмма числа станков на многопредметной поточной
линии [96]. Число станков, необходимое для выполнения произ¬
водственной программы п-й детали на пг-й операции, определя¬
ется из уравнения
о 	 п,т	о
где /п,т — трудоемкость выполнения этой операции по данной
детали;
Тп — суммарная трудоемкость изготовления п-й детали по
всем операциям;
281

25р — число станков для всей поточной линии, определяе¬
мое исходя из суммарной трудоемкости программы
за расчетный период.
Это уравнение позволяет построить составную номограмму
из выравненных точек (рис. 281).
Рис. 281. Номограмма числа станков на многопредметной поточ¬
ной линии
282

ЛИТЕРАТУРА
1.	Аваков В. А. и Страхов В. В. Расчет посадок с натягом. «Вестник
машиностроения», 1959, № 2.
2.	Александров А. И. и Кобяков Н. П. Разметочное дело. М.„
Машгиз, 1953.
3.	Алексеев А. Е. Конструкция электрических машин. М., Госэнерго-
издат, 1958.
4.	А л я б ь е в Д. В. Графический метод определения статистического сред¬
него и среднего квадратичного отклонения. «Измерительная техника», 1958,
№ 3.
5.	В а т у н е р Л. М. и П о з и н М. Е. Математические методы в химиче¬
ской технике. М., Госхимиздат, 1960.
6.	Б а ш к и р о в Д. А. Графо-аналитический метод построения переходных
процессов в системах автоматического регулирования. Л., ЛКВВИА, 1952.
7.	Берлов М. Н. Техническая графика. М., Госмашметиздат, 1934.
8.	Б л о х Л. С. Основные графические методы обработки опытных данных.
М.—Л., Машгиз, 1951.
9.	БСЭ, т. 12, Графика.
10.	Б р а и л о в с к и й А. Е. Правила построения инженерных номограмм
(учебное пособие). Л. ЛИИЖТ, 1961.
11.	Бызов Л. А. Графические методы в планировании, статистике и учете.
М., Госстатиздат, 1952.
12.	Врагов Ю. Д. и Сафронович А. X. Номограмма для расчета-
зубчатых колес на изгиб и по контактным напряжениям. «Станки и инстру¬
мент», 1955, № 6.
13.	Гавра Д. Л. Основы номографии с примерами из машиностроения.
М., Машгиз, 1962.
14.	Гер сев а нов Н. М. Теория и построение инженерных номограмм..
М, ОНТИ, 1937.
15.	Глаголев Н. А. Курс номографии М., ГТТИ, 1943.
16.	Г ок у и В. В. Технологические основы конструирования машин. М.,.
Машгиз, 1963.
17.	Горку н В. Б. Технологические предпосылки экономии металлов. М.,
Машгиз, 1957.
18.	Головнин Д. Н. Графическая математика. М., ГНТИ, 1931.
19.	Горский Б. Е. Графический метод определения длин стрелы и хо¬
бота кранов с шарнирно-сочлененной укосиной и гибкой оттяжкой. «Вестник
машиностроения», 1959, № 6.
20.	ГОСТ 7217-59. Электродвигатели трехфазные асинхронные мощностью
от 0,6 до 1000 кет. Методы испытаний.
21.	Гостев В. И. Статистический метод контроля качества продукции.
«Машиностроитель», 1965, № 1.
22.	Г р и н б е р г Д. Е. Разметчик механических цехов. М., Машгиз, 1963.
23.	Гуревич И. С. Графо-аналитический метод раскроя металла. «Ма¬
шиностроитель», 1965, № 1.
283

24.	Г я н д ж у н ц е в П. А. и Аваков В. А. Определение запаса прочно¬
сти для плоского напряженного состояния. «Вестник машиностроения», 1963,
№ 11.
25.	Дешевой. Г. М. Справочник разметчика-машиностроителя. М., Маш¬
гиз, 1962.
26.	Д и м е н т б е р г Ф. М. и др. Колебания машин. М., «Машинострое¬
ние», 1964.
27.	Длин А. М. Математическая статистика в технике. М., «Советская
наука», 1951.
28.	Зак П. С. К графической обработке опытных данных. «Вестник ма¬
шиностроения», 1963, № 8.
29.	Игнатьев Н. В. Графический расчет коробок скоростей на основе
динамического баланса. «Станки и инструмент», 1935, № 8.
30.	Канторович Л. В. и Залгаллер В. А. Расчет рационального
раскроя промышленных материалов. Л., ЛКИ, 1951.
31.	Карвицкий М. П. Определение среднеквадратичных величин слож¬
ных графиков. «Вестник электропромышленности», 1942, № 10.
32.	Климов А. А. Определение температуры нагрева асинхронного
электродвигателя по круговой диаграмме. «Вестник электропромышленности»,
1947, № 9.
33.	Комиссаров В. И. Расчет размерного износа резцов. «Вестник ма¬
шиностроения», 1960, № И.
34.	Костенко М. П. Электрические машины, специальная часть. М.,
Госэнергоиздат, 1949.
35.	Кузнецов Н. С., О п а н а с ю к А. А. Передовые методы разметки
по шаблонам и калибрам. М., Машгиз, 1960.
36.	Кулагин П. В. Винтовая линия переменного шага. «Вестник инже¬
неров и техников», 1946, № 7.
37.	Кутай А. К. Статистические методы анализа качества машинострои¬
тельной продукции. «Вестник машиностроения», 1949, № 7.
38.	Лаврентьев П. Гарантия ритма. Газ. «Известия», 12 окт. 1964,
№ 244.
39.	Л а н д а А. Ф. Номограмма для расчета состава, структуры и свойств
чугуна. «Литейное производство», 1952, № 8.
40.	Ларионов В. В. Упрощенный способ графического интегрирования.
Вильнюс, ЦБТИ СНХ ЛССР, 1959.
41.	Левкович В. Л. Аналитические и графические методы приближен¬
ных вычислений. Минск, БПИ, 1959.
42.	Леднев Н. А. и др. Математический практикум на счетно-вычисли¬
тельных приборах и инструментах. М., «Советская наука», 1954.
43.	Л и щ и н с к и й И. П. Автоматический контроль загрузки станков и
производственных участков. «Вестник машиностроения», 1952, № 6.
44.	Львов Д. С. Экономичность машин и процессов. М., «Машинострое¬
ние», 1964.
45.	Львов Д. С. Экономический анализ при проектировании машин. М.,
ЦИНТИАМ Госкомитета по машиностроению, 1964.
46.	Мариенбах Л. М. и Долотов Г. П. Применение природного га¬
за для плавки чугуна. «Вестник машиностроения», 1963, № 8.
47.	Медянцева Л. Л. Графический способ обработки результатов мно¬
гократных измерений. «Измерительная техника», 1956, № 5.
48.	Метелица А. В. и Цитовский В. И. Графический метод описа¬
ния последовательности срабатывания пневматических приводов и управляю¬
щей аппаратуры. «Автомобильная промышленность», 1963, № 1.
49.	Мирошниченко В. Я. Точность машиностроительной разметки.
М., Машгиз, 1960.
50.	Мищенко Н. И. Номограмма для расчета литниковых систем. «Ли¬
тейное производство», 1963, №41.
51.	Могильный И. М. Техническое черчение. М., Машгиз, 1963.
284

52.	М о т ы к о А. С. и Островский И. Д. Развертки поверхностей лис¬
товых изделий. М., Машгиз, 1961.
53.	Невский Б. А. Методика построения номограмм. М., ОНТИ, 1937.
54.	Невский Б. А. Справочная книга по номографии. М., ГТТИ, 1951.
55.	Номограмма для определения соз ф при равномерной нагрузке фаз
трехфазной системы по показаниям двух ваттметров. «Электричество», 1950,
№ 5.
56.	Пахомова В. А. Новый способ графического вычисления функций
многих переменных. Новосибирск, Ин-т инж. ж.-д. транспорта, 1958.
57.	П е н т к о в с к и й М. В. Номография. М.—Л., Гостехиздат, 1949.
58.	П е н т к о в с к и й М. В. Считающие чертежи (номограммы). М., Физ¬
матгиз, 1959.
59.	Погосов А. А. Графический метод построения переходных процес
сов в некоторых динамических системах. Работы по механизации и автома¬
тизации народного хозяйства. М., ЦБТИ—МЭП, 1956.
60.	Погосов А. А. Построение переходных процессов в системах, опи¬
сываемых дифференциальными уравнениями с постоянными и переменными
коэффициентами. «Вестник электропромышленности», 1957, № 8.
61.	Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении.
Т. III. М., Машгиз, 1959.
62.	П о с п ш и л Б. Номограмма для расчета пластинчатых фрикционных
муфт. Чешский журнал «Машиностроение». Прага, 1960, № 8.
63.	Пугачев А. С. Развертки элементов листовых конструкций. Л.,
Судпромгиз, 1963.
64.	Ра бот нов Ю. Н. Сопротивление материалов. М., Физматгиз, 1962.
65.	Режимы резания металлов инструментом, оснащенным твердым спла¬
вом. Сборник номограмм. Харьков, ВНИИТЭЛЕКТРОМАШ, 1959.
66.	Родов А. С. План, поток, ритм. Новочеркасск, БТИ НЭВЗ, 1964.
67.	Розанов Б. В. Приближенный расчет элементов гидросистемы вер¬
тикального пресса. «Вестник машиностроения», 1959, № 2.
68.	Романов В. Ф. Графический и аналитический расчет обкатного ин¬
струмента. «Станки и инструмент», 1962, № 12.
69.	Руднев Ю. М. Графический способ раскроя листовых материалов.
«Вестник машиностроения», 1953, № 1.
70.	Рунге К. Графические методы математических вычислений. М.,
ГТТИ, 1932.
71.	Свириденко С. X. и др. Элементы автоматизации металлорежу¬
щих станков. М., «Машиностроение», 1964.
72.	Семендяев К. А. Эмпирические формулы. М., ОНТИ, 1937.
73.	Слодкевич Н. И. Вопросы организации ритмичной работы в еди¬
ничном и мелкосерийном производстве. «Вестник машиностроения», 1954, №2.
74.	Смирнов А. С. Номографический расчет допусков на расстояния
между центрами. «Вестник машиностроения», 1957, № 7.
75.	Соболев Ю. М. Метод конструирования деталей безотходной кон¬
фигурации. М., Сб. ИТС ЦБТИ, МЭП. Вып. 43, 1952.
76.	Справочник по кранам под ред. А. И. Дукельского. Т. 2. М., Маш¬
гиз, 1962.
77.	Справочник разметчика стальных конструкций, под ред. Беляева В. И.,
М., Госстройиздат, 1952.
78.	Столяров Н. Новочеркасская система управления производством.
Журнал НТО, 1965, № 3.
79.	Струве Э. Э. и др. Вентиляторы и насосы. М., Машгиз, 1955.
80.	С у б б о т и н М. И. Номографический расчет виброизмерительных при¬
боров простого типа. «Приборостроение», 1959, № 6.
81.	Терских В. П. Расчет крутильных колебаний силовых установок.
Л., Судпромгиз, 1954.
82.	Ту манский Н. А. Графический расчет стержневых систем и меха¬
низмов. М., «Машиностроение», 1964.
285

83.	Учебный атлас по номографии под ред. Н. Л. Глаголева. М., ОНТИ,
1933.
84.	Фармаковский В. П. Пособие для графических расчетов. М., Гос-
техиздат, 1926.
85.	Фихтенгольц Г. М. Математика для инженеров. Ч. I, II. М.»
ГТТИ, 1933.
86.	Фомин А. А. Номограмма для экономического обоснования приме¬
нения специальных станочных приспособлений. «Вестник машиностроения»,
1959, № 2.
87.	Франк М. Л. Графические методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений. М., ГТТИ, 1933.
88.	Ф р а н к М. Л. Графический метод интегрирования дифференциальных
уравнений второго порядка с помощью функциональных шкал и его приме¬
нение. Л., Труды Л ПИ, 1941, № 3.
89.	Франк М. Л. Номографический справочник. М., ГТТИ, 1933.
90.	Хаймович Я. М. и Берман Ю. Л. Графические расчеты в маши¬
ностроении и технологии. Киев, КПИ, 1930.
91.	Хлеба л ин Н. Ф. Расчет наладочных установок станков для наре¬
зания конических колес с круговыми зубьями. «Станки и инструмент», 1960,
№ 6.
92.	Цуккерман М. Л. Эмпирические формулы. М., Госэнергоиздат,
1932.
93.	Черкашин В. И. и Лаврухин А. М. Передовые методы размет¬
ки в инструментальном деле. М., Машгиз, 1960.
94.	Черневич В. Я. Графический расчет коробок скоростей при паспор¬
тизации станков. «Станки и инструмент», 1947, № 10.
95.	Шварц Э. Номограммы и другие вспомогательные средства вычис¬
ления для инженера. ГДР, Берлин, 1960.
96.	Ш е й н м а н Р. П. Номограмма для расчета оборудования при проек¬
тировании многопролетных поточных линий. «Вестник машиностроения», 1962,
№8.
97.	Ш л ы г и н В. В. Прочностные и размерные расчеты электрических
машин. М., Госэнергоиздат, 1963.
98.	Ш л юк о в П. Н. Графо-аналитический метод расчета потребности
в инструментах. М., Оборонгиз, 1950.
99.	Щеглов В. Ф. Уточненные методы расчета и исследования паровоз¬
душного молота. «Вестник инженеров и техников», 1946, № 9—10.
100.	Энциклопедический справочник «Машиностроение». Т. 1, кн. 1—2,
«Инженерные расчеты». М., Машгиз, 1947.
101.	Энциклопедический справочник «Машиностроение». Т. 6. «Технология
кузнечно-штамповочного производства». М., Машгиз, 1948.
102.	Энциклопедический справочник «Машиностроение». Т. 15. М., Маш¬
гиз, 1950.
103.	Яковлев К. П. Математическая обработка результатов измерений.
М., ГТТИ, 1953.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...»	 3
Введение 	-	 4
Глава I. Графики и их применение 		 7
1.	Графики функций 	 7
2.	Применение графиков в промышленности 	 14
3.	Графический метод контроля качества продукции 	 19
4.	Графические методы обработки опытных данных и результатов
измерений 	 .	.......	 27
5.	Графические методы изображения плановых показателей и учет¬
но-статистических данных	  40
Г лава II. Графические методы раскроя	и	разметки			 50
6.	Раскрой материала	 50
7.	Разметка деталей машин	 52
8.	Построение кривых линий 	 67
9.	Построение типовых разверток	 87
10.	Точность разметки 	 98
Глава III. Графические методы приближенных	вычислений 	 101
11.	Сложение и вычитание ..«	-	  .	 101
12.	Умножение 	   103
13.	Деление 	«...	.	 108
14.	Возведение в степень 			.	   116
15.	Извлечение корней ....	-	         121
16.	Логарифмические графики для выполнения алгебраических дейст¬
вий 	«	   124
17.	Решение уравнений 	«	 131
18.	Дифференцирование 	 148
19.	Интегрирование	   153
20.	Решение дифференциальных уравнений 	 168
21.	Графическая статика 	  .	 178
Глава IV. Графические методы технических расчетов 	 193
22.	Расчет вала на двух опорах с приводным концом 	  193
23.	Расчет вала на трех опорах 		 195
24.	Расчет коробок скоростей 	«...	«	 197
25.	Расчет обкатного инструмента 	 200
26.	Расчет дисков турбомашин 	 203
27.	Определение длин стрелы и хобота портального крана 	 205
28.	Круговая диаграмма асинхронного двигателя 	 207
Глава V. Основы построения номограмм 	 211
29.	Функциональные шкалы и сетки 	 211
30.	Классификация номограмм и номографируемых уравнений 	 214
31.	Построение номограмм из выравненных точек 	 216
32.	Построение сетчатых номограмм 	 230
33.	Построение номограмм уравнений с числом переменных более
трех 	 233
34.	Конструирование номограмм 	 235
287

Глава VI. Расчетные номограммы в машиностроении 	 238
35.	Расчеты справочных данных по унификации и нормализации 238
36.	Расчеты допусков и посадок 	 254
37.	Прочностные расчеты 	 258
38.	Технология механической обработки 	 264
39.	Станки и инструмент 	   267
40.	Литейное производство 	 273
41.	Кузнечно-штамповочное производство 	 277
42.	Электроснабжение 	 279
43.	Экономика и организация производства 	 279
Литература 	  ..	 283
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ
В МАШИНОСТРОЕНИИ
Ш л ы г и н Владимир Владимирович
Технический редактор А. Ф. Уварова
Корректор А. М. Усачева
Переплет художника Е. В. Бекетова
Сдано в производство З/У 1966 г.
Подписано к печати 10/ХП 1966 г.
Т-13299 Тираж 10.000 экз.
Печ. л. 18,0 Бум. л. 9,0
Уч.-изд. л. 17,0 Формат 60 X 9О’/16
Темплан 1966 г., № 500
Цена 1 руб. Зак. № 334
Издательство «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва, Б-66, 1-й Басманный пер., 3.
Экспериментальная тип. ВНИИПП
Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва И-51, Цветной бульвар, 30.