Author: Шлыгин В.В.  

Tags: математика   инженерия   машиностроение   инженерная графика   методы расчета   издательство машиностроение  

Year: 1967

Similar

Графические методы расчетов в машиностроении

Отраслевая дифференциация и специализация производства в машиностроении

Линейные автоматические системы (Элементы теории, методы расчета и справочный материал)

Численные методы

Text 
                    fДК 518.:Н518,4(022)
В книге на конкретных примерах показано применение гра ­
фических методов расчета в машиностроении . Даны ха р акте ­
ристики большого количества номограмм и указаны сп особы
их построения .
Графические методы резко сокращают трудоемкость расче ­
тов и необходимое время для их выполнения.
Книга содержит основные сведения о графических методах,
применяемых в математике, данные о графиках функций и
графическом интерполировании, приемы графических построе­
ний для нахождения численных решений различных техниче­
ских задач, функциональные шкалы и практические приемы
построения номограмм для расчета допусков и посадок, объ­
ема деталей, режимов резания, структуры и свойств чугуна,
паровоздушных молотов и т. п.
•
Книга предназначена для конструкторов, технологов и ши­
рокого круга инженерно-технических работников промышлен ­
ности. Она может быть использована студентами втузов при
освоении приемов приближенных вычислений и для выполне­
ния номографических расчетов при проектировании.
Рецензент канд . техн. наук Ю. Э . Шарикян
Редактор инж. Л. И; Слуцкая
3-1-3
...__
500- 66


ПРЕДИСЛОВИЕ
Графические методы расчетов применяются во всех отрас~
лях народного хозяйства и науки, поэтому ими в той или иной
мере пользуются все. Нет документа убедительнее, доходчивее
и образней, чем тшател_ьно отработанный график .
В машиностроени,и расчет, конструирование и технология
производства новых быстроходных высокопроизводительных ма­
шин, машин-автоматов, автоматических линий и приборов не
обходится без применения графических и графа - аналитических
методов, которые значительно упрощаю_т и ускоряют решение
задач, экономя вре;мя.
-
В настоящей работе автор имел в виду дать в систематизиро,­
ванной и сжатой форме справочный технический материал, сум­
мирующий опыт разработки и применения• графиков , графиче­
ских методов раскроя и разметки, графических методов прибли•
. женных
вычислений путем построений и метод о.в прикладной
номографии.
•
В книге приводятся примеры применения графических мето­
дов технических расчетов и расчетных номограмм в различных
отраслях машиностроения.
В наGтоящее время остро ощущается недостаток книг по
rр.афическим методам технических расчетов. Предполагаемая
книга должна в известной мере восполнить этот пробел .
,
Все замечания и предложения по этой работе будут приняты
автором с благодарностью.
Автор благодарит В. В . Чудакову, которая провела большую
работу по подготовке рукописи к изданию .
АВТОР


ВВЕДЕНИЕ
В машиностроении графические методы расчетов применяют­
ся для быстрого, удобно·rо и наглядного решения теоретических
и прикладных задач и для наглядного изображения результа­
тов этих решений . Графические методы применяются, для заме­
ны вычислений при решении практических вопросов графиче­
ской статики и механики.
Графическая ,алгебра и графическое исчисление ставят , сво­
ей задачей создание геометрических построений, эквивалентных
щ~алитическим операциям. Графическое умножение и возведе­
ние в степень, графическое решение уравнений- и интегрирование
представляют собой систему построений, заменяющих с извест­
ным приближением аналогичные аналитические действия. · Вы­
полнение этих операций требует каждый раз последовательных
построений, приводящих в результате к графическо·му определе­
нию искомой величины.
При расчете деталей машин часто приходится интегрировать
фун'кции, которые не могут быть представлены аналитически
и задаются графически в виде кривых на чертеже. Интегриро­
вание функций, заданных графически, прои,зводится также гра­
фически. Для этого существует несколько приемов, позволяю­
щих решать эти задачи.
Графические методы определения приведенных статических
моментов, моментов инерции и центра тяжести, построения эпюр
изгибающих моментов и поперечных сил прочно вошли в прак­
тику технических расчетов заводов и проектных организ. аций.
Графические расчеты отличаются простотой, удобством контро­
ля и дают возможность нагляднее выявлять физическую сущ­
. ность
вопроса.
Графическим методам отдают предпочтение и в том случае,
когда требуется определять перемещение заданных точек стерж­
невых систем.
В ряде случаев графические приемы дают наибо·лее простое
решение, а иногда и единственно возможное, если анали ,\'иче­
ское решение сопряжено с интегрированием сложно интегрируе­
мых или неинтегрируемых функций.
4


х
Если требуется определить интеграл F(X) ~ J f(x) -dx и для
а
f (х) дан графкк, то вместо вычислений F(X) для различных зна­
чений Х гор.аздо проще построить график функций F(X), кото­
рый поэволит с достаточной точностью нахо•дить значения этой
функции для· разли,чных значений аргумента.
Точность графических методов решений та же, что и при
расчетах на логарифмической линейке обычного типа и ра.вна
в среднем · 0,3 %.
•
При экспериментальных исследованиях в машиностроении
широко применяются приемы графического анализа . Обработка
результатов измерений завершается графическим изображени­
ем функциональной зависимости переменных. График дает не
только нагля 1дное предст; авление о взаимосвя 1зи исследуемых ве­
личин, но служит также для измерений, так как по графику
можно находить значение одной величины при и.звестных дру·
гих, хотя таких _измерений непосредственно не производилось.
Графическая интерполяция значительно проще аналитической,
применя~емой в приближенных вычислениях.
На основании графического анализа опытных данных со­
ставляются эмпирическке формулы зависимости переменных.
В инженерной практике чаще приходится встречаться с эмпири­
ческими формулами, воспроизводящими непосредственно ре­
зультаты наблюдений. нежели с теоретическими формулами.
На заводах графические методы анализа производства поз­
воляют вскрыть резервы, выявить узкие места и организовать
более ри.тмичную работу предприятия. Ход произ.водственного
процесса заносится в график. Фиксируются моменты начала и
окончания, операций и перерыва· между ними. .
График имеет большое организующее значение как для ру­
ководящих органов, так и на рабочем месте. Например, мастер
московского завода «Калибр» Н. Российский и мастер Ново•
Краматорского машиностроительного , завода П. Корнев решили
подчинить весь производственный процесс твердому графику.
Были разработаны месячные, декадные и суточные графики.
График определя,л на каждый отрезок времени загрузку обору­
дования, последо.вательность подачи деталей на сборку, сроки
подготовки материалов, инструмента, приспособлений и техниче­
ской документации. График помог вовлечь каждого рабочего
в активную борьбу за выполнение производственного плана,
добиться правильной расстановки людей и ликвидировать про·
стаи .
Развитие современного машиностроения связано с широким
использо·ванием специальных математических знаний. Расчеты
становятся трудоемкими. Во ·избежание ошибок ответственные
вычисления производятся 2- 3 раза . Необходимость упростить
5


и облегчить вычисления~, сделать их наглядными и контролируе-
мыми пр-ивела к применению номографии .
•
Номограммы - это тоже графики. Пользуясь методами но­
мографии, можно построить номограммы для большинства
расчетных формул. Вычисления по номограммам ускоряют окон•
чание расчета в десятки раз, они не столь утомительны, как ана ­
литические расчеты, а потому более надежны и могут выпал- ·
няться работниками средней квалификации,. За корпткий срок
можно выполнить несколько варианто;в, что важно при выборе
решения. Появилась возможность унификации ра,счетных мето­
дов на научной базе. При построении номограммы учитываются
nределы изменения переменных, значения коэффициентов и их
завис-имость от экспериментальных данных.
В настоящее время область применения: номографических
методов в технических расчетах значительно расширена . Преи­
мущества массовых расчетов при помощи номографии стали оче­
в-идны.
Быстродействующие вычислительные машины, внедряемые
на крупных машиностроительных заводах и в проектных науч­
но-исследовательских институтах, не являются , конкурентами
расчетных номограмм. Эти машины дороги, сложны и предна­
значены для выполнения комплекса расчетных варианто в се­
рий сложных машин и математического моделирования , тогда
как с помощью номограмм в машиностроении производятся рас­
четы деталей и узлов машин, определение рациональных режи ­
мов резания и лимитирующих факторов технологических про­
цессов, а также расчетов по экономике и организации произ ­
во·дства.


ГЛАВА
1
• 1. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
ГРАФИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Физические величины, которые применяются в машинострое­
нии и в других областях техники, под влиянием тех или иных
факторов принимаю'!' различные числовые значения, т. е. они
измЕ:няются. Изучая эти изменения, мы можем уст?новить функ­
циональную зависимость, существующую между изменениями
различных величин.
Две переменных величины х и у находятся в функциональной
зависимости, если каждому значению переменной х соответст:ву­
ет определенное значение переменной у. Величину х в этом слу­
чае называют независимой переменной, а величину у - функци,­
ей от х. Иначе говоря, переменная х является аргументом функ­
ции у. Какую из переменны х целесообразно выбрать за незави­
симую, определяется сущностью проводи,мого исследования
или расчета . В общем случае понятие функции распространяет­
ся на несколько незав-исимых переменных.
Примеры функций от ощюй или двух переменных можно
найти в технических справочниках в виде формул и таблиц.
Формула показывает, какие действия следует произвести над
аргументом, чтобы получить искомое значение функции. По
формуле можно составить табщщу, подставляя ряд произволь­
ных значений аргумента и произв,одя вычисления·. Таблица поз­
воляет без вычислений по значению аргумента сразу найти зна­
чение функции . Однако в таблице приводятся, лишь некоторые
:щачения независимой переменной, а не все возможные.
Для определения промежуточных значений функции, соот­
ветствующих частным значениям независимой переменной, не
указанным в таблице, можно с даст.а.точной точностью uнтерпо- ,
лuровать по прямолинейному закону, т. е. принять, что функция
между двумя1 какими-либо табличными значениями изменяется
в линейной зави-симости от аргумента. Если в таблице имеются
значения х 1 и Х2 аргумента и им соответствуют значения У1 и У2
функuии, то промежуточному •значению х аргумента отвечает
значение у функции. Если разность х - х 1 состанляет определен­
ную , часть разности х2 -х 1 , то такую же пропорциональную
часть от разности У2 - У1 составляет разность у
-
У1: .
7


Таким образом,
(1)
Функциональная зависимость у = f (х) в прямоугольной си­
стеме координат выражается некоторой линией и называетс я
графиком функции . На оси аб ~ цисс в определенном масштабе
откладывают значения независимой переменной х, на оси орди ·
нат - значения функции у; при этом масштабы могут быть раз·
ные, а знаки от начала координат по оси абсцисс вправо и по
оси ординат в1верх считаются положительными, в обратном на ­
правлении - отрицательными.
Графический способ изображения функциональной зависи­
мости по сравнению с аналитическим и табличным наиболее н а­
гляден. Неудивительно поэтому, что график функции стремятс я
построить и в том случае, когда функциональная, зависимость
определена табличными данными или формулой . Из график а
непосредственно выявляется ряд свойств функциональной за­
висимости. По характеру кривой, например, без вычислений ви­
ден темп нарастания или снижения показателей. Располага я
лишь числовыми данными об этом процессе , пришлось бы при­
бегнуть к вычислениям . .
Построение графика функции по данным таблицы решает
вместе с тем задачу графического интерполирования. Стоит
ли:шь измерить соответствующую ординату по графику, чтоб ы
найти значение функции для такого значения аргумента , кото ­
рого не было в исходной таблице. Для получения надежных ре­
зультатов следует обратить внимание на тщательность построе­
НИЯ! кривой графика при достаточном количестве расчетных или
опытных точек, определяющих полностью характер всей кривой ,
особенно если имеют место перегибы. Если график являетс я
прямой линией или дугой окружности, то его можно построить
по двум или, · соответственно, по трем точкам. В других случая х
приходится находить и наносить достаточно большое число то-­
чек, и для того чтобы нанести линию достаточно точно, нуже н
на.БЫК.
Наглядность графика можно характеризовать примером вы­
бора наилучшего конструктивного варианта в машиностроени и
(рис . 1). Заготовки деталей могут быть выполнены различным и
способами. При о•дном и том же назначении детали или узл а
заготовки отличаются по технологии производства и по конст­
руктивным формам. Отливки, исходя из рациональных требова­
ний конструктора, литейщика и модельщика, будут иметь раз­
личное оформление. Один вариант может быть трудоемким дл я
литейного производства, но удо.влетворять технологии механи ~
ческой обработки, другой вариант может оказаться весьма тру ~
доемким для механической обработки , но удобен в литье и т . д.
8


К:ачественные показатели учитывают такие факторы, как проч­
ность, внешний вид, отсутствие коробления и др. График дает
возможность найти лучший вариант при наи-меньшей полной се·
бестоимости, при уравновешивании затрат на изготовление от•
ли.вак и их обработку при высоких качественных показателях.
Графики наглядно отражают преимущества унификации
в машиностроении (рис. 2). Например, трудоемкость и-зготовле­
ния и вес насосов равной производительности в унифицирован­
ной конструкции резко снижаются.
Варианты конструкции
Рис. 1. График идеальной литой
конструкции:
а - стоимость литья; б
-
стоимоС.ть
механической обработки; в - полная
себестоимость; г - качественные
показатели
Произ8оilцтельность насосо8
Рис . 2. Преимущества унифицирован-
ных конструкций насосов :
а - трудоемк6сть изготовления насосов
после унификации; 6 - вес насосов после
унификации; в и г - то же до унификации
Требуемая точность размеров деталей машин тесно связана
с трудоемкостью и стоимостью механической обработки . Поэто­
му широкие допуски для деталей будут наиболее экономичными.
С повышением точности обработки затраты на изготовление рез ­
ко· возрастают (рис. 3) .
Для сравнения -количественных данных объектов одного ря­
да, имеющих общие единицы измерения, применяются столби­
ковые графики. Количественное соотношение, например, отхо­
дов металла на изготовление поковок, если принять за 100%
отходы при точной штамповке на механическом прессе, можно
характеризовать гистограммой (рис. 4). В исследовательской
и экспериментальной работе гистограммы применяются при до­
статочно большом количестве данных наблюдений. Гистограм­
мой называют столби·ковый график, в котором столбики распо­
лож.ены вертикально один за другим без интервалов.
Влияние колебательных явлений на надежность и долговеч·
ность машин возрастает с увеличением их быстроходности .
Из графика · (рис. 5) следует, что при совпадении значений
9


а
f.
г
0,005 0 ,020 0,050
О, 100 ми
Точностt, о§раооткц
Рис. 3. График зависимости затрат на
обработку от требуемой точности:
а - со шлифовкой и доводкой; б
-
со шли­
фовкой; в - точить, разве_риуть; г
-
отвер­
стия сверлить, валик из холо:днотянутого
прутка
J
.'
з
2
1
Q..
w,
IJJ2
Рис. 5. График условий резонанса: ~
%
200
fBl%
100 --- --
а
г
Рис. 4. Гистограмма отходов ме­
талла при разных способах изго-
товления поковок:
а - свободная ковка; б
-
выдавли­
вание ·на гидропрессе; в - обыкновен­
ная штамповка на молоте; г - точна я
штамповка на механическом прессе;
д - обыкновенная штамповка на го­
ризонтально-ковочной машине; е - точ-
ная штамповка на горизонта.-ьао­
ковочно!I машине
и ').., -
,коэффициенты динамичности и Рис. 6. График распределенюr
демпфирования; ro 1 и ro 2 - частоты
силы света
10


частоты (1)1 возмущающей силы с частотой w2 собственных коле ­
баний наступает явление резонанса.
Применение графиков в поля~рной системе координат удобно
для изображения функций углового аргумента, например, рас­
пределения, силы света электрических источников (рис. . 6) .
В прямоугольной системе координат при построении графика
на осях Ох и Оу деления шкал наносят обычно от нуля . В том
случае , когда график строя~т для из.вестных пределов изменения
значений переменных, достаточно удаленных от нуля, на ося:х
координат в целях уменьшения размеров графика откладывают
значения переменных 1в преде- F
лах рассматриваемого диапа­
зона . Точка пересечения осей
в данном случае не является
истинным началом координат.
Ценным ~войством графи­
ков я~вляется простота чтения
их в разных единицах измере­
ний . Например, график, состав­
ленный для измерения механи ­
ческих напряжений в опа•сных
сечениях вала в кгс/см2 в за-
1виоимости от нагрузки, может
быть без изменений использо­
ван для чтения в международ­
ной системе единиц СИ, для
./
s
Рис . 7. Индикаторная диаграмме
чего на осях координат следует указать соответствующие новые
единицы измерений.
В ря~де установок регистрирующие приборы автоматически
наносят на бумагу график функциональной зависимости, анали­
тическое значение которой в ряде случаев бывает неизвестно .
В этом случае функция задается графиком. С помощью записан­
ных графиков решаются сложные технические задачи в маши•
настроении .
Например, для записи зависимости между положением
поршня~ и давлением газа или пара в двигателе служит индика·
тор. В результате записи получается индикаторная, диаграмма
(рис. 7). Если F - площадь поршня индикатора в см 2, μ -
масштаб индикатора (величина перемещения пишущего штиф­
та , отвечающая давлению в 1 кгс/см2 ) ·, q - передаточное число,
определяющее отношение перемещения штифта к перемещению
поршня, то перемещение μ штифта при давлении 1 кгс/см2 и пе­
ремещение S = μ/q поршня индикатора соответствуют силе
F кгс. В индикаторной диаграмме отрезок SaS 1 в масштабе пред­
ставляет собой ход поршня в цилиндре двигателя . Верхние
участки 1 и 11 соответствуют впуску пара и ра.сширению его при
движении поршня вперед; участки JII и IV отвечают выпуску
11


пара и сжатию его при движении поршня~ назад. Работа пара
s,
выражается уравнением А = J FdS, где сила F является функ-
s,
цией пути S . Работа пара геометрически определяется пло­
щадью индикаторной диаграммы, умноженной на произведение
масштабов μ 1μ 2, принятых для силы и пути .
Индикаторная диаграмма служит для расчета и экспери­
ментальной проверки рабочего процесса и парораспределения
паровых и газовых машин. В последнее время с помощью инди­
каторных диаграмм производится проверка вредного· простран­
ства цилиндров .
N = 284 хал/мин
0,5 сех
Рис. 8. Торсиограм,ма крутильных колебаний
Для1 экспериментального определения крутильных колебаний
силовых установок предназначен торси,ограф. Прибор записы­
вает колебания исследуемого сечения вала от среднего положе·
ния при кручении . Располагая из расчета свободных колебаний ­
масштабом напряжений, подсчитывают искомые величины дей­
ствительных напряжений как при резонансе, так и вдали от не·
го и устанавливают запретные зоны чисел оборотов, в• пределах
которых в устано:Вке ожидаются напряжения выше допустимых.
Торсиограмма представляет собой запись крутильных колеба­
ний в зависимости от времени (рис. 8) . Масштаб записи выби­
рается в зависимости от предполагаемой величины колебаний
вала.
Осциллограф . производит запись осциллограм~ быстро про­
текающих процессов в зависимости от времени посредством
магнитоэлектрического или электронно-лучевого измерительно­
го устройства . Для вращающегося гибкого вала в качестве
примера приведем осциллограмму нестационарных изгибных
колебаний при переходе через критическую скорость с нарастаю­
щей угловой скоростью. Несовпадение упругих свойств вала
в главных плоско·стя·х изгиба, совмещенных с центральными
осями инерции сечения, приводит к образованию зон неустойчи­
вого движения и · к раздвоению спектра частот (рис. 9).
12


Виброграф фиксирует смещения колеблющегося тела . Запи~
санная виброграмма линеЙ'НЫХ смещений показана на рис-. 10.
Для одно- и двухцилиндровых машин с основными гармоника·­
ми возмущающих сил и моментов обяз _ательно производится
t =2огц
1 =21щ
f= 2Огц
Рис. 9. Осциллограмма напряжений изгиба вала при нестационар­
ном переходе через критическую скорость:
а и б - ,напряжения в двух главных плоскостях изгиба;
в - среднее напряжение в каждой плоекости
динамический расчет фундамента . Виброграммы показывают
колебания с частотой, равной основной частоте вращения рота·
_
ра машины . Виброграмма пока­
зывает, что вторые гармоники
возмущающих сил и моментов по
а)
сравнению с пер1выми гармоника­
ми малы. Даже 1в том случае, ког-
r\/\1\;
5)
Рис. 1О. Вибро грамма фундамента
машины с кривоwипно-wатунным
механизмом:
а - только первые гармоники;
б - влияние вторых гармоник
Рис . 11. График колебания суппорта
токарного станка
да одна из собственных частот колебаний фундамента близка ко
второй гармонике неуравновешенных -сил или моментов кривое
шипно-шатунного механизма машины, амплитуды колебаний
фундамента, вызванные 'Вторыми гармониками, малы вследс11вие
демпфирующих реакций.
Акселерограф записывает во времени и заданном направле­
нии . ускорения системы, движущейся с переменной скоростью.
13


В качестве примера приведем график записи амплитуды В
ус1юрения колебания суппорта токарного станка в процессе то ­
чения' (рис. 11).
2. ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФИКОВ В ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Самопишущие гальва1-W,м етры и ваттметры применяются для
автоматического контроля работы станков и производственных
участков . Графики с записью работы отдельных станков по вре·
мени дают материал для решения целого ряда во прос ов . Таким
п утем определяется не толь к о -время, необходимое для обработ -
ооооооооооооооооооооо
м
.i.
.,у
1\1
.-А..
,..
.,
-~
1
1
..
1..
...,
""
.. ..
~
"'
·с-,;::
1/::::
~1~
~
..:::
оооооооооооооооооооооо
Рис . . 12 . Запись работы станка
ки детали (рис. 12), но и время работы станка без нагрузки, а
также время его простоя' .
Графики оптимальной работы каждого станка при обработке
типовых деталей служат критерием для оценки работы смены .
В целях уточнения хронометража при изучении работы токар­
ного станка приборы регистрируют время включения и выклю·
чения электродвигателя и фрикциона, время вращения шпинде­
ля . При анализе работы производства графики дают представ­
ление о р~аботе uexa, его участ к ов и групп.
Структурные графики применяются при проектировании ста­
ночного оборудования. При разработке универсальных станков
проводится нормализация и унификация деталей и узлов, в ре­
зультате чего оказалось возможным значительно упростить ки­
нематику и конструкцию и, таким образом, снизить себестои­
мость станков. Особенно перспективно применение сменных эле­
менто·в привода, что вполне отвечает интереса·м потребителя .
Так, например, универсальный , токарно-винторезный стана .к
был запроекти,рован с двухскоростным электродвигателем, ше­
стискоростньrм редуктором, двумя, сменными шкивами и с трех-
14


скоростной коробкой главного привода. 36 ступеней регулирова- .
ния скорости обеспечив1ают изменение числа оборотов шпинделя
от 20 до ,2000 в минуту в одном исполнении и от 40 до
4000 об/мин. - в другом. Структурный график привода такого
станка приведен на рис. 13.
ЦиклограММ'а (рис. 14) отражает работу элементов автома"
тизации, применяемой для. перемещения рабочих органов метал­
лорежущих станков. Если, например, стол расточного станка, на
а
о
/~
/
'
/.- '
~
------
"~
/
~
.L..-,:
._.~
---~
',
........~,
,,
-
8г
а
r--...
................
................
'\
.............. ..
''
...... ..... .....
,'\. '\ .
[' ,-. .. ........ .
1\.1\.1\.\
г--, ........ ,1\.1\.'1 \
r,,...,_ '
,
,'\.'\.~\\
, ... ', ·,1\.1\.~\\
, .... l',\ '\.·'11\\ \ \
I'\ \ ' '\Д\\\\
\ ',\r,.\\\\\
'\ ·, 1\\\\\1
\[\ \\\\'
\,\\\\I
\ \\\\
\\\\
\\
\
·,
2000
7600 :::, .,
7250 ·~
7000 ~
800 ::,
630 $~
500
400 ~
315 ~
250 ~
200 "'
160 ~
125 ~
100 ~
80 "'
63i
50 с:,
40~
31,5 ~
25 ::,.
20
Рис. 13. Структурный графи-к привода универсального
станка:
а - первая ступень редуктора ; б
-
втора я ступень реду к­
тора; в - привод шкива; г и д
-
коробка главного привода
котором закреплена плита с сердечниками шагового преобразо­
вателя, надо переместить на 8,04 мм, то отсчет перемещения осу­
ществля1етсЯ' по шаговоЙ/ и внутришагов-ой сист·еме. Контроль
перемещения выполняется по циклограмме отсчета импульсов
с предварительной отработкой шаговых перемещений и после­
дующей отработкой внутришаговых перемещений (рис. 14) .
Циклограммы могут отражать совокупность любых взаимо­
связанных процессов и операций, образующих законченный
цикл.
•График работы исполнительных органов и управляющей ап­
паратуры 1[48]. Графический способ фиксирования последова­
тельности срабатывания управляющей аппаратуры и исполни­
тельных органов машин, станочного оборудования и приспособ­
лений весьма нагляден и краток, что дает возможность выпол­
нять оперативный контроль и устранять неисправности .
]5


В графике рабочего цикла пневмо- и гидроприводов (рис. 15)
принята единая система обозначения срабатывания исполни­
тельных органов и аппаратов. Позиция 1 соответствует исход­
ному положению, а позиция 2 -' -- конечному. Если управляющая
аппаратура включается и выключается от стола, головки или
каретки станка, то эти элементы также вносятся в график . Пе­
ремещение рабочих органов, золотников, переключателей и
клапанов изображается наклонными линиями из исходного по­
ложения в одну сторону и из конечного положения к исходному
в другую сторону. Вертикальными линиями обозначается нали­
чие пневматических и гидравлических связей .
Рис. 14. Циклограмма отсчета импуль ­
св перемещения стола расточного
станка
ПриЬор По;ц-
Операции цикла
ция
Ццлuнар ц, 1
2
r-....
../
-.,-ц, 1
2
J ,..........
./
l/1tf1tклНl'ft1meльn, 2 ~
'
1
- ..-
п,121
N
lfлапан ~,
1 ,N·1/
-
..-х,1
'
/
2
-н-/(J 11
\J
2
-
.,-
1(. 1
'
J
2
Рис. 15. График работы исполни­
тельных органов машины
Производственные графики представляют собой календар­
ный план выпуска продукции предприя,тием в целом, его цеха­
ми, участками и сменами. При составлении производственного
графика предприятия исходяrг из расчетной величины производ­
ственного цикла по каждому виду выпускаемых изделий. Из
производственного графика вытекают календарные сроки тех­
нической подготовки производства. Производственный гр~афик
дает возможность систематически контролировать выполнение
произв,одственной программы.
Для соблюдения графика необходимо обеспечи .ть ритмичную
работу предприятия. Организация ритмичной · работы, юак пока·
зал опыт многих предприятий, - дело сложное. Немногим за·
водам удавалось добиться успеха. Новочеркасский электро­
возостроительный завод разработал свою систему управления
произ-водством, которая теперь перенимается и дополняется
многими предприятия ,ми,.
Производственный график · Новочеркасского завода очень
прост, в нем всего три гр,афьi: название месяца, рабочие дни
и количество условных изделий, которое завод должен выпу•·
стить за каждое чи,сло этого месяца. Для расшифровки условно­
го изделия создана картотека пропорциональности, которая
представляет собой основу всей системы. На каждую деталь
16


или операцию :в этой картотеке имеется отдельная к,арточка.
Пла1нирование производства и учет состоят в перемещении этих
карточек в ящиках вправо или влево от даты . текущего дня.
К:артотека позволяет, в любое время видеть ход производства
и получить сведения о том, что данная, деталь или узел комплек­
туют условное изделие под таким-то номером, при этом комплек­
тование идет в соответствии с графиком, или же есть отстава­
ние :или · опережение. К:артотеки дублир•ова:ны и установлены,
кроме производственного отдела, у каждого мастера 1непосред­
ственно на участке.
В картотеке участка карточки деталей, закрепленных за
каждым р,абочи·м, лежат в отдельном отсеке с Я'Чеиками по
количеству рабочих дней в месяце. Это позволяет добиться пра­
вильной расстановки рабочих, а тdкже выявить узкие места
и наметить пути к их устранению, используя В'нутренние резер­
вы, обеспечить правильную загрузку станков с учетом квалифи­
ка ции и способностей рабо•чего, подобрать для КJаждого рабо­
чего детали, подо,бные по обработке, своевременно подготовить
м,атериалы, инструмент, приспособления и техническую доку­
ментацию. Теперь рабочий ·не ждет ежедневного задания масте­
ра или бригадира, так как по карточке он видит, к,акие работы
ему запланированы на каждый день месяща. Система помогает
вовлечь каждого рабочего в борьбу за выполнение производст­
венного плана.
Система, разработанная коллективом Новочеркасского заво­
да, после внедрения и осв·оения д,ала положитель ные результа­
ты. Она создает такой поток деталей, который обеспечивает не­
прерывность сборки изделий. Уже третий год завод р,аботает
ритмично, выпуская в каждой декаде любого месяца около 33 %
товарнdй продукции. За эти годы многие заводы, перейдя на
новочеркассую систему упр,авлени~ производством, добились
хороших результатов.
Единичные заказы с длительным производственным циклом
также охватываются картотекой пропорциональности . При пла­
нировании таких заказов пользуются цикловыми графиками для
определения календарных сроков выпусКJа.
Цикловые графики . Производственный цикл состоит из ряда
последовательных производственных процессов, предназначен­
ных для изготовления д,анного изделия . Для~ установления сро­
ка изготовления изделия в расчетую продолжительность произ­
водственно го цикла включается время, необходимое непосред­
ствен1но на производство и время, з-атрачи ·ваемое на перерывы.
Разработка циклового графика изготовлени'Я1 изделия - до­
вольно сложная и трудоемкая задача. В о·снову построения цик­
лового графика должны быть положены схемы сборки машины.
В схемах сборки достаточно учитывать основные узлы, подузлы
и детали. Мелкие узлы, не определяющие цикла изготовления
17


всей машины, можно -объединять в группы, не выделяя входя­
щие в них подузлы и детали.
Для машин, длительность цикла изготовления• которых не
превышает одного месяща, в гр1афи-ке указывают все рабочие
дни; для машин с длительностью цикла в несколько месяцев
достаточно разбивки по декадам .
Чтобы отразить в графике продолжительность каждого про­
цесса, составляют таблицу с графами: наименов•а1ние р1абот, цех­
исполнитель, норма времени в часах, коэффициент выполнения
Оп~ро- Наимено6ание
РаЬочц е
они
ции
1/JЛOtf
,о?ОJO405060708090,оо
, Корпи, ПОNПЫ
11.
"'
Jаdниц поdшuпник
1,
2
111
J
Рама
1
Vli/= ,
ч-5 8клаtlь,ш 1
,,
2
б Диафрагмы
1,
78
ротор
r
v=
=11=
Уплотнения
-
9 1f H11npallл11юшuiJ аппарат
""
а
' lд. 'tJ
г 1111 ld
Хорп11с petl11кmopa
1
V
8клаtlь1ш
,.
Шрстернд
12 .тз Митта
1и
-
"=·
Дефлектор
1v,- мz=,
Н1мерительнь,е приборы
11fас11янь1Ц насос
Рис. 16. Цик ло вой график изготовления турбокомпрессора:
а - изготовление заготовок; 6
-
перерыв; в - меха,ническая обработка ;
г - узловая сборка; д
-
главная сборка
норм, количество рабочих, выполняющи•х одновременно работу,
режим -смен1ности на участке, продолжительность выполнения
работы .
Наличие графика сборки поможет уегановить -очередность
подачи деталей на сборку и уточнить сроки запуска их в обра­
ботку, процесс комплектации и межцеховые свя1зи.
В качестве примера на рис. 16 показана, часть циклового
графика изгото•вления турбокомпрессора,.
График сменности устан•авливает ПО'рядок выхода на работу.
По оси абсцисс 1н~аносится время, а по оси ордина,т - рабочие
места, участки, бригады. Порядок сменности, устанавливаемый
графиком, обеспечивает бесперебойную работу производства,
соблюдение месячных норм рабочего времени и отдюса, переход
из смены в смену, удобный для рабочих. График определяет
организацию труда и уеnанавливает, сколько чело·век необходи­
мо для круглосуточного обслуживания. одного рабочего места,
18


а на участке- количество бригад. Условия труда рабочих и его
производительность з,ависят от того, насколько рационально
составлен график сменности, особенно при круглосуточной р1а -'
боте предприятия~.
3. Г,РАФИЧЕСКИА МЕТОД КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ
·В
массовом и крупносерийном производстве статистические
методы КО'нтроля дают возможность следить за ходом, техноло­
гического процесса и предупреждать появление некачественной
продукции. Для этой цели используются, точечные графики, по
которым можно судить об отклонении процесса от нормальных
условий. Применение методов мат,ем,атической ст,атистики и тес­
ри-и вероятностей значительно расширяет возможности техни ­
ческого контроля на произв-одстве. Статистический анализ де­
талей, отобранных из партии путем выборочного контроля,
позволяет делать вывод о качестве всей партии , деталей и
добиться во-зможной однородности качеств-а и взаимозаменне­
мости деталей, поступающих на сборочный конвейер.
В промышле'Нности вв'едение статистического метода конт­
роля проводится в два этала 1 Техноло·гами, Н1аладчиками и конт­
рольными мастерами сначала оценивается стабильность работы
налаженных станков, частота разладки, влияние н,а размеры
детали износа ИIНструмента, отжима резцов при затуплении, на­
грева держанок и др. Затем отлаженный процесс на поточных
и ,а~-томатических линия~х, а также на отдельных решающих
операциях технологического процесса переводят на регулярный
статистический контроль. Графики статистического контроля
в зависимости от технологического процесса и те:х,нических тре­
бований могут строиться как для индивидуальных замеров, так
и для производных от них величин, таких как средних арифме­
тических, медиан, -средних квадратичных отклонений и размаха
~юлебаний, которые определяют ,наиболее в·ажные стороны про­
цесса - центр группирования, рассеяния и др. Рассмотрим по­
строение графика средних арифметических.
Вначале пробы отбирают через каждый, час, а после выявле­
ния устойчи'вости лроцесоа отбор проб в-едут 3- 4 раз·а в смену.
В условия1х массового производства каждая проба состоит из
пяти деталей текущей выработки станка. По данным ~амеров
в ведомости подсчитывают среднее арифметическое Х и раз•
мах R значений замеров пробы, вычи-nая, из наибольшей вели­
чины замера в одной пробе наименьшую. Значение среднего
уровня размаха используется для определения среднего квад•
ратичн,ого отклон-ения~. Результаты подсчетов в точеЧ'НОМ' графи­
ке для каждой пробы отмечают в масштабе точками, которые
соединяют прямыми линиями и получ·ают график средних ариф-
метических Х и колебаний размаха R (рис. 17).
19


В графике нанося,т линии верхнего и нижнего технических
пределов (в. т. п. и ·н. т. п . ), соответствующие заданным в черте­
же допускам на размеры деталей. К:роме того, наносят линии
верхней и нижней контрольных границ (в. к. г. и н. к. г.), кото­
рые ограничивают зону нормального течения процесса. Выход
точек средних арифметических Х за контрольные границы сиг­
нализирует о начале разладки процесса, что угрожает появлени­
ем брака . В таких случаях необходима подналадка процесса .
Значения R не должны выходить за верхнюю границу размаха
(в. г. р.).
Размеры
Uмм
с ре онее значение про о х
/J.т.п.
18 60
l.lf .e.
18 55
("\
А
18, 50
~
С1
:.о.
А
18, 45
r-.,_
lZ
\ I.D"
11,.
1,Р- i... -.
ъ I.D
18 40,
l'd
ст
U'
V
H.lf.e .
18.35
н.т.п.
Noпрооы12J45б7в
12J45б78
Размах значений R ~
о. 24
1 (J,г.f],
О20
а.
о, 16
Q
1'1')
о.
Среtfнца иооtJень
О12
"
j
'
.А.
~,;
1
"
О08
~
\.,\.1Р'
.,,
),..,
~'
1"'О
О04
~
tf'
""
о
Рис. 17. . График статистического контроля по средним арифметическим Х
и размаху значений R
Правильное установление расчетом контрольных границ яв­
ляется основой построения графика статистического контроля .
Неудачно уст·ано•вленные границы приводят к лож•ным сигналам
о нарушении нормального хода процесса в то в.ремя, когда пос­
ледний протекает нормально и не требует подналадки, или
к •неожиданному появлению брака . Основньщ источником обра­
зования пр,оизводственных погрешностей , в этом процессе яв­
ля• ется изменение центр а группирования во в,ремени.
Для определения величины контрольных границ предложе­
ны различные методики, разбор -которых не входит в пла•н дан­
ной работы. В занодски.х условиях для• определения удаления
контро,льных границ от пределов допуска обычно пользуются
заранее разработанными таблицами, по которыМ' можно выбрать
наивыгоднейший вариант статистического контроля, задавши сь
допустимым процентом незамеченного брака, проникающего на
сборочные операции.
20


Метод средних ;арифметических значений наиболее точный,
но и более трудоемкий. Чаще применяют метод медиан, в кото­
ром все значения замеров пяти деталей в каждой пробе нано­
ся1тся точками в графике статистического контроля~ без вычис­
лений (рис. 18). Медианой считают третью наносимую точку при
пяти замерах и отмечают ее крестиком. Точки с крестиками со­
единяют линиями и получают график статистического контроля
по медиа,нам.
Эntopa Размеры
NOпробы
(jмм12з45б7{J
12Jt,5б7в
18, б5
tl.m.п.
~ 18,БО о
о
8.к.г.
~ 18,55
о
00
о
~ 18,50 ®с;'~~о 00
оО
оо
о
к0000 о
~~18,45оо о о~lo-800
u"" о
.J 'Wa
о
-
~
IP
7
-
о~
~18,40
о@"
о~о
о~
о н.к.г .
~ 18,35
00
н.т.п.
--
Рис. 18. График статистичес,кого контроля по медианам
Процесс считается~ разлаженным, когда медиана выйдет из
контрольных границ. Пользуясь графиками статистического
контроля при четырех пробах в смену, можно уверенно следить
IU.m.п.
tl.к.г
оо
оо
о
ff.!/,H,
~
ооосоо
~ооо
о
.. ..
о
о
о
с::,•
!/роf/ень ~ _о
_оj
о_
-
-
-
-
-
налаtJкц о
-
-
~/о-о-
-
'<;)
о
1~
о 00Оо
оо
оо
о н.у.н.
о
оо
о
о
о
о
н.к.г.
с-
н.т.п.
Рис. 19. График статистического контроля и уровень наладки
при незначительном размерном износе инструмента
за ходом сложного процесса, получая однородную доброкачест­
венную продукцию. Непременным условием для, нормального
хода производства явля1ется быстрое заполнение и анализ гра·
фика статистического контроля~ после замеров каждой пробы
и при наличии сигнала разладк и немедленное устранение ее
причин.
_
Наладка станков с помощью графика статистического кант·
роля~ позволяет дольше работать без переналадки, реже оста­
навливать станки для подналадок, а ,следовательно, улучшить
качество обработки деталей.
21


Уровень ·наладки зависит от качества. и конструкции режу­
щего инструмента, а также от того, какие поверхности подлежат
обработке - наружные или внутренние.
При обработке твердосплавным инструментом с незначи­
телЬ'ным жшосо·м уровень наладки должен совпадать с середи•
ной поля контрольных границ (рис. 19). На графике наносят
линии верхнего и нижнего уровня наладки (в. у. н. и н. у . н.),
11.тп
tf.к.г.
ъ ouQO
~.. ,
8.!/.lf .
-
~
i
оо
V
~-оо
v'
s;i
о
~
оо
1
о
о
с
$
о
о
,д,;;
..-@с
о
/
оо
~~оо
\
о
~
о
!lро8е'нь о
ОСо с
'
__g H.l/.H
<:3 налаохц
~оо
-о
~
о н.к.г.
ff. т.п.
Рис. 20. График статистического нонтроля и уровня наладки
при обработке наружных поверхностей с заметным размер­
ным износом инструмента
При обработке наружных поверхностей деталей инструмен­
том, подверженным заметному износу, целесообразно станок на-
-~
~
$
'8.т.п.
d.x.г.
.Уроdень 00
о
✓• г~ о с IJ.y.н.
,~
налаохц "-е::: vo 0 0 V Q
'
-
-
о
~
о
оо
о
о~
о
о
\
о
о
о~
о
о
'
о
"'"0..
о
о
'"0,,,
оо
\,
о
о 0оОГ"&.
\
н.у.н.
-
о
'
ОоОо ~
~✓
1
оOn
ff.K.г.
н.т.п.
Рис. 21. График статистического контроля и уровня наладки
при обработке внутренних поверхностей с заметны,м размер­
ным износом инструмента
л·аживать на нижний уровень (рис. 20). Это избавляет от частых
остановок станка для, переналадок.
Для обработки внутренних поверхностей деталей .инстру­
ментом, подверженным заметному износу, станок следует нала­
жи·вать на ii,ерхний уровень (рис. 21).
Для •каждой операции станок ' налаживается на заданный
уров,ень по шкале контрольного графика .
22


В массовом процессе обобщающим показателем является
средняя~ величина, около которой группируются~ отдельные зна­
чения наблюдаемых и изучаемых элементов. В _ практике работы
промышленных предприятий для а•нализа производственного
процесса применя•ется сводная стати·стшческая- средняя арифме­
тическая характеристика
-
"2:х·
Х=-'.
п
(2)
Если среди индивидуальных величин имеются группы оди~
наковых, то определяют среднюю взвешенную
Х= -r.x;m; .
"2:т;
(3)
Индивидуальные з•начения отклоняются от среднего в ту или
другую сторону. Величина этих отклонений показывает, в какой
мере индивидуальные значения отличаются~ друг от друга , т . е.
показывает размер вариации признака . В качестве показателя
размера вариации признака прИ1нимают среднее квадратич•ное
откJюнение. Этот показатель применяется в анализе при контр-о­
ле качества продукции.
При обработке результатов наблюдений· для определения
средней в,звешенной , в силу подобия формул, можно· применИ1ть
известный графический метод, испоJiьзуемый при -определении
положения, центра тяжести одно-родного тела {4]. Пусть замера­
ми получен ря1д значений1 х 1 , Х2, х3 , х4 и х5 с соответствующими
частотами т1, т2, тз, m4 и ms. Из произнольной~ точки О (рис . 22)
на прямой ОА строим силовой полиго·н, откладывая на верти­
кали ОВ величины т 1 , т2, ... , ms и1 соединяя~ эти отрезки лучами
с полюсом Р, расположенным на произвольном расстоянии l от
прямой От5 . На горизонтальной прямой ОА от точки О отло ­
жим отрезки, соответствующие в-сем значениям Xi, и через ко­
нечные точки этих отрезков нанесем вертикали. Вертикаль х 1 1
пересечет луч ОР в точке 1, через которую проведем отрезок 1 2 ,
параллельный лучу т1Р, затем отрезок 2 3·, параллельный лучу
т2Р, и т. д., т . е . постро•им вер-ев,очныЙ! полигон. Через точку 5
проведем пря•мую, параллельную лучу т5Р , до пересечения с
продолжением прямой О 1 в точке S, которую проектируем на
пря1мую ОА. К:оордината точки Е является' статистической сред­
ней измерения или, средней взвешенной
i=k
~х;т;
х = _i_=_l ~-
i=k
~т;
i=l
23


Если в формуле дисперсии
i=k
~ (xi-X)2m;
.cr2 =
_i _=_l _~- --
i=k
~mi
i=l
(4)
подставить zi вместо (xi - Х), то выражение для с,2 будет по­
добно приведенной выше формуле для определения средней
взвешенной. Таким образом, графический метод применим и, для
определения дисперсии при усло ·вии, что величина zi откладыва­
ется как. линей~н?,я; в графическом расчете следует пользоваться
линейкой с квадратичной шкалой.
s
J(
Рис. 22. Определение средней взвешен­
, ной изм ерен ий
Рис. 23. График нормального рас­
пределения случайной величины
При пользовании графическим методом среднее
ное откло-нение следует определя,ть по формуле
-✓- ~k(xi - a)2mi
•
i-1
-
'
cr=
-
.
-
(а- Х)2
·
t=k
,
~mi
i=l
квадратич-
(5)
где а - округленное значение Х, кратное цене деления шкалы.
Графическим расчетом •найдем значение дисперсии
i=k
~(xi - a)2mi
2
i=l
crl =
- -l=~
k---
~m;
i=l
зная которое вычисли,м среднее квадратичное отклонение
V2
-
cr=
cr1-(a-X)2·
24
(6)


Графический метод определения средней взвешенной и сред"
него квадратичного откло.нения по сравнению с аналитическим
требует меньше времени и избавляет от ошибок.
Для вычи1сления средней квадратичной погрешности ряда
измерений и определения соответствия экспериментального рас­
пределения нормальному закону распределения применяется
также графический способ обработки результатов путем сопо­
ставления кривых экспериментального распределения с семейст­
вом теоретических кривых [47].
Теоретическая, кривая нормаль·ного распределения характе­
ризует его плотность (рис. 23) для значения х и соответствует
формуле Ля1Пунова
где у - ордината кривой распределения;
х - абсцисса кривой распределения;
а - среднее квадратичное отклонение величины х;
а - среднее з1-iачение величины х.
Наибольшее значение функции ер (х) получается при
(х-а)=О
1
ер (х)наuб =
~r-
·
аr2л
Если значение функции •ер (х) выразить через ее максимум, то
получим новую функцию
(х-а)'
ер1(х)= ер(х)
ер (х)наuб
-2а2
=е
Построив семейство кривых функциИJ ер 1 (х) для значений а
от 0,5 до 10 в полулогарифмичес ком масштабе, можно графиче­
ски определить значение параметра а рассматриваемого эмпи ­
ричес ~ ото распределения (рис. 24). Приr х - а = а
ер1 (х) = е- '!, = 0,606 = const,
т. е. имеем уравнение прямой линии, параллельной оси х. Абс­
цисса точки пересечения этой пря1мой с любой кривой семейства
ф у нкции ер 1 (х) соответствует значению параметра а для данной
кривой. По разности орди·нат точек эмпирического ря·да и теоре­
тической кривой можно установить, насколько эмпирическое
распределение соответствует нормально м у распределению. Этот
способ ис ключает необ х одимость производить сложные расчеты
с использованием таблиц значений интеграла вероЯ'тностей
Ф (z) . Для эмпирического ряда распределений, например
25


у = .ер (х), значения х; представляют собой погрешности измере­
ний, а у - частоту m; появления погрешностей. • При, х -=
О бу­
дем иметь наибольшее значение функции у с т;наиб , Для • всех
значений Х; состави,м таблиц,у значений функции
m;
У= -т----
1 наuб
и на кальке, наложенной на полулогарифмическую сетку, по­
строим оси координат и точки з·начений у 1 (рис. 24) для всех
!I
f,
о,в_
&а_
6
5
, 1 ~ ~ ~;_ !i!_.,,,o ==6
' '\'
...
'
.
s::'
1:---
?,J
1;,
1
0,2
оf
~
о)fв
0,06~
0,04
0,02
о,о 1
5
о,оо
о,ооз
0,002
о,оо f
-
о
''
'""' -
--
\\
~~''
'
,, ~ -. ;:- :::.:::::
\ \ 1\.'\ '\."
',"'- ."-..
"'
~ :--,.::
\ •,\
'"'
"1:~ ~
"'
\ \ ,,t\ \. '\. '\. '\. ,....
.
.
.
.'
'
С>. •
',
,,,
.
'
,~~
"
11,
'
~-4-- ~--
..,
~~~\ ~""
\\
...,
С) ..... - ,·о
'\
\,
'.\\'\
\\\\
\
\,\·.
\'
1
\
'\
'
.'
'
\
\
'
\
1
\'·
\\-\-а
\
\
1.\
1
\
\
2
4
6
8
10
,/(
1 Рис. 24. Семейст,во теоретических кривых
нормального распредепения
значений х;. Затем наложим кальку на график семей,ства тео•
ретических кривых, ·со·вмещая оси, координат, и нанесем ту тео­
ретическую кривую, с которой совпадает наибольшее число рас- ·
четных точек. Может оказаться, что точки не соответствуют ни
одной кривой; тогда расчетная кривая стро_ится, с применением
интерполяции (см. рИ1с. 24 - крив1ая а).
Абсцисса точки пересечения построенной кривой с линией а
соответствует средней квадратичной , погрешности (здесь (J =
= 2,7), а ординаты кривой для всех абсцисс Х; я·вляются знач~­
ниями теоретическИ1х частот m; дан·ного эмпирического распре­
деления . .
26


4. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
И РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕННА
Зависимость между двумЯ! переменными ,может быть пред•
ставлена математической формулой, в которую, кроме перемен­
ных, входят постоянные коэффициенты. Если формула получена
в результате наблюдений над изменением одной переменной в за­
виси~мо,сти от из,менения ,другой, то ее называют эмпирической.
Правильно найденная по опытным данным формула дает воз­
можность достаточно точ,но определять в ограниченном интер­
вале значения одной переменной при заданном значении другой,
а также делает наглядным общий заКО'Н изменения исследуемой
функции. Эмпи:рическая формула позволя'ет обобщать результа­
ты опыта путем математической обработки полученных данных
(дифференцирование, интегрирование, нахождение максимума и
мини~мума и др.).
Применение графических методов при обработке опытных
данных способствует нахождению ви1да эмпирической формулы.
Графические методы обработки опытных данных имеют то пре­
и~мущество, что для, усвоения и применения их требуются, лишь
элементарные знания высшей математики, которыми облада­
ют студенты и начинающие исследователи.
Рекомендуе'Гся заранее построить на чертежной бумаге ряд
се'Гок с различными неравномерными шкалами1; это ускорит ре­
шение задачи, так как на построение каждого графика с нерав­
номерной шкалой приходится затрачивать значительное время .
Имея набор сеток, накладывают на них нанесен,ные на кальку
опытные или расчетные точки и выясняют ·возможность спрЯ'м­
ления экспериментальных кривых. Если процесс не подчиняется
уже известным теоретическим законам, то задачей ЯВ'ляется1 на­
хождение вида формулы, а затем и значений входящих в нее
постоя,нных коэффициентов.
Графическое изображение плав,ных кривых, построенных по
точкам, предполагае'Г наличие таких функций, у которых мало­
му изменению одной переменной соответствует малое изменение
другой. Это верно для любого значения переменных в пределе
опыта или расчета. В большинстве случаев, применнЯ', например,
полулогарифмические или логарифмические сетки, удается
спрямлять кривые, полученные опытом. Если же кривая отра­
жает плавное изменение переменных, 'НО темп роста в разное
время был неодинаков, например вначале, функция возрастала
медленно, затем более энергично и, наконец, снова медленно до
конца опыта, то можно предвидеть, что эмпирическая формула
данной кривой будет сложной, многочленной.
Нельзя претендовать на то , чтобы эмпирическая формула
27


точ·но вос п ро,изводила результат опыта ИJ что-бы кривая точно
проходила через заданные точки . Следует учитывать, что наши
наблюдения и измерения неизбежно свЯ'заны со случайными по­
грешностя'Ми. Извили1стая кривая, которая проходила бы через
все опытные точки, воспроизводила бы эти погрешности. Плав­
ная криваЯ', которая выравнивает данные опытов, должна про­
ходить по середине разброса опытных точек.
При составлении эмпирической формулы ставится задача ох­
ватить все результаты опытов, применяя интерполяцию для· .по­
лучения тех значений переменных, которые опытами не были
установлены. Следует предостеречь против · экстраполяции за
пределы да'Нных, полученных эксперИJментом, так как это может
привести к грубой ошибке.
Если посмотреть вдоль вычерченной кривой, то изменения ее
наклона могут быть легко замечены. Плавность и характер кри­
вой, кроме того, полезно проверять построением дифференциаль­
ной кривой, которая дает возможность сразу найти участки, тре­
бующие исправления, и выявить точки перегибов .
Показателем наклона MN в точке А 1 служит тангенс угла а 1
между нормалью А 1 С1 в этой точке и прямой А 1 В 1 , параллельной
оси ординат (рис. 25). ·.вместо проведения касательных в точках
А 1 , А 2 , Аз, ... удобнее строить нормали, допустив, что малые
участки кривой представляют собой дуги окружностей некото­
рых диаметров.
В точках А 2 и Аз кривой могут быть п остроены такие же тре­
угольники А2В 2 С2 и АзВзСз, причем при построении отрезки
А 1В 1 , А2В2 и АзВз должны быть равны между собой. Тогда от­
резки В 1 С1 , В2С2 и ВзСз будут нах,одиться в той же пропорции,
как углы а1, а2 и аз или их тангенсы и могут служить мерилом
накло'На кривой в рассматриваемых точках. В этом случае для
постр-оения дифференциальной кривой следует на ординатах то­
чек А 1 , А2 И! Аз отложить от оси абсцисс отрезки D1E1 = В1С1,
D2E2 = В2С2 и DзЕз = ВзСз. К:ривая, проведенная через точки
D1, D2 И! Dз, будет искомой дифференциальной кривой.
Если исследуемая линия является прямой с наклоном к оси
абсцисс, то ее дифференциальнаЯ' линия будет прямая, парал­
лельнаЯ' оси абсцисс. При наличии излома в исход1юй прямой
дифференциальная линия будет состоя1ть из двух прямых, па ­
раллельных оси абсцисс, сдвинутых соответственно углу излома
ИСХОДНЫХ прямых.
Если кривая MN (рис. 25) в точке А 2 изменит свое направле -
. ние
на A 2G, то дифференциальная кривая сигнализирует об это-м
резким поворотом в точке D2 . При изломе кривой в точке F 1 диф·
ференциальная кривая перейдет к резкому падению в точке F2
до нуля вследствие того, что функция перестала возрастать и
исходная кривая пошла по F1H .
28


Сравним. две кривые, построенные по формулам (рис. 26)
Q= 0,06S2 и Р = 0,002v2•5
•
Дифференцируя эти уравнения,, получим
dQ= d(0,06S2) = 2 ·0,06S;
dP = d (0,002v2'5) = 2,5 • 0,002v1•5
.
Вид каждого уравнения показывает, что дифференциальная
крива-я представля,ет coбofr в первом случае прямую линию, а во
втором ,- кривую.
Для кубического уравнения, у = ах3 + Ьх2 + сх + d первая
дифференциальная линия - кри.вая, но при вторичном диффе-
Рис . 25. Построение дифференциаль­
ной кривой
ор
llJ00
В= О,Об·S 2 /
5
/
1
/
1600 4
/
1/
/
/
,,
• 1?00
/
/
3
,.,
,
I
)
800
V
f.,,,
_.,,...
l
V '?'~_Р •О, OOJ·v 2>
V
/_v
,.,"'7 -d!0.06 S1J
1
-?"J-
-~
~ -d(O,0O?v 1•5J
/
+-
о
50
/00
150 ?00 250 S
l
б
8
10V
Рис. 26. Сравнение дифференци­
альных кривых
ренцировании получим прямую линию. Отсюда следует, что
функция может быть представлена многочленом с целыми, по­
казателями у переменных, если последовательным дифференци­
рова,шем приходим к прямой линии.
Для нахождения эмпирических формул важен выбор мас­
штаба и правильное проведение кривых. Масштаб следует вы­
бирать так, чтобы возможные погрешности наблюдений, отра­
жаясь на положении точек, не вызывали смещения точек от
действительного направления кривой более ч~м на 1 мм. Если,
например, погрешность наблюдения составит 5%, то при мас­
штабе 1 = 1 мм и значении переменной, равном 60, опытные
29


точки могут отстоять на 3 мм от истинного направления : кри­
вой. При масштабе 1 = 0,25 мм отклонени,е опытных точек при
прочих равных условиях не будет превышать 0,8 мм. Другой
пример : погрешность эксперимента 3 %, значение переменной
равно 10, масштаб 1 = 2 мм. Возможное отклонение точки от
истинного поло~еншr кри1ВО·Й составит
2•10•3
Л1<
· = 0,6мм.
.
100
Для значения, переменной 25 мм отклонение точки от кривой
составит в этом примере 1,5 мм .
Если применить масштаб 1 = 4 мм, то проведение кривой по
точкам окажется затруднительным и может при,вести к нежела '-
тельным погрешностям при отсчете.
.
Выбору масштаба надо уделять особое внимание в тех слу­
чаях, когда -кривые предназначены не для· определения характе­
ра изменения функции, а для составления эмпирической форму­
лы или графических построений и вычислений. Большой разброс
точек указывает на то, что в данном случае нельзя претендовать
на более или менее точное выражение формулой опытных дан­
ных.
При вычерчивании графиков лучше всего пользоваться имею­
щейся в продаже бумагой с миллиметровой, л-огарифмической и
полулогарифмической сеткой. Удобно наносить точки и, прово­
дить линии, применяя рейсшину и прозра'чные треугольники и
лекала . Это облегчает проведение линий так, чтобы точки лежа­
шu по обе сто,роны пример·но на равных от нее расстояниях .
Равномерные шкалы характерны тем, что расстояния между
делениями равны на всей шкале. Если требуется построить
функцию у = f (х) и масштаб х принят в п раз больше, чем для у,
то это равносильно тому, что переменная х заменена новой
переменной Хп, равной пх 1 , и· построена функция у= f (пх). Под­
писывая деления шкалы в-елшчи,нами х, а не пх, получим график
функции у= f(x).
При построении графика по опытным точкам с целью нахож­
дения вида формулы, определяющей зависимость между пере­
менными, можно рекомендовать применять одинаковые масш­
табы по осям х и у, особенно для тех кривых, вид которых при
различных масштабах искажается. Однако это возможно не
всегда.
К неравномерным шкалам (рис. 27) относятся логарифмиче­
ская шкала, шкалы квадратов и кубов чисел, шкалы корней из
чисел и шкала обратных чисел. Кривые, полученные в графике
с равномерной шкалой, могут быть выпрямлены при применении
неравномерной шкалы.
30


00
о
оо
1
о
оо.
1о
2
1
з
20
О,25
2
4
10 о,1
f1
100
310
0,2
8
5
3,5
2
2
6
J
4
0,2
42
б2004,520
О,4
5
з
4
5
0,3
J
300 5,5 30
4 О,б
10
з
7
5
6
2,5 0,4
4
400
40
о,в
б,
20
2 0,5
5
8500750
1,0
JO
7,5
О,6
б
600
60
1,2
40
8
20
1,5
О,7 50-
,7
700
70
1,4
9
8,5
30
60
1, 25 О,8
8
800
80 40 1,б
9
70
50
809
60
О,9
900 9,5 90
7011,8
,.
90
80
90
11,о10010
10 1000 10 100 100 2,О
-1 >.:
-~
,..,
.
"'
~
~
~
:,,с;:
:,,с;: ,. )(
-
~
)(
11
11
IJ
11
"'
~
~
-
~
11
~
:::,..,
Рис. 27. Неравномерные шкалы
31


График функции у = 2х2 в прямоугольной системе коорди­
нат с равномерной шкалой изображает параболу . При примене­
ни·ИJ логарифмической шкалы получим прямую линию. Ло,гариф­
ми,ческая шкала строится для, равномерной шкалы от О до 1,
представляющей собой у = lgх. Так как О= lg1 и 1= lg10,
то в начале шкалы пометим 1, а в конце 10 . По таблице лога­
рифмов находи·м промежуточные значения логарифмов от 1 до
10 и отмечаем все точки делений, соответствующие значениям
lg х, но на каждой отметке пишем значение х. Если длину шка­
лы принять за единицу, то отсчет 2 помести·м в конце отрезка,
отношение которого к длине шкалы равно lg 2 = 0,301; отсчет 3,
соответствено, помести~м в конце отрезка, отношение которого
к длине шкалы составляет lg 3 = 0,477 и т. д. Эти отсчеты от­
мечаются крупными штрихами. Каждый отрезок между круп­
ными штрихами делится средними штрихамщ расположенными
так, чтобы отношение расстоя·ния• каждого штриха от 1 к дли·не
шкалы равнялось логарифму того числа, которое соответствова­
ло бы этому штри1ху на равномерной шкале. По такому же прин ­
ципу наносятся. мелкие штрихи . Длина логарифмической шкалы
для значений от 1 до 10 называется ее модулем. На рис . 27
построена шкала с модулем, равным 7,5 см. Если длину моду­
ля уменьшить вдвое, то числа, выражающие длины всех отрез­
ков, увеличатся вдвое. Например, отрезку определенной длины
соответствовало число, lg х, теперь отрезку той же длины будет
соответствовать число 2 lg х = lg х2 и отсчет на шкале будет
у = х2 . В частности, в конце новой шкалы придется поместить
100, так как lg 1·00 = 2. Отсюда вытекает прави·ло: п ри уменьше ­
нии модуля шкалы в 2 раза отсчеты заменяются их квадратами,
при уменьшени·и модуля в 3 раза отсчеты заменяются их куба­
ми·ит.д.
Для определения вида эмпирической зависимости необходи­
мо иметь образцы графиков различных кривых, вычерченных
в прямоугольных координатах в одном и том же масштабе . Ког­
да опытная кривая начерчена, надо сравни1ть ее с графиками
различных элементарных функций. Это подскажет варианты
уравнения, которые надо испробовать.
Для уравнения линейной функции
у=ах+Ь
(8)
можно привести графи1ки с различными з'Начениями постоянных
(рис . 28 и 29). Для т,ого чтобы установить зависимость вида (8)
между величинами х и у, необходИiмо иметь . до·статочное коли­
чество данных наблюдений. Опытные точки (х1; у 1 ), (х2; У2), ... ,
(хп; Уп) наносим на график в подходящем масштабе и прово­
дим прямую линию так, чтобы она прошла через большее их
число и ближе подошла к точкам, которые расположились бы
равномерно над ней и под ней. Постоянная, а характеризует
32


наклон прямой по отношению к оси абсцИ1сс и является ее угло­
вым коэффициентом а = tg ех,; постоя'нная Ь представляет собой
начальное значение функции у при х = О. Поэтому предвари­
тельно постоянные могут быть определены графическим методом.
Чаще определение постоянных а и1 Ь производится решением
двух уравнений, составленных для двух точек на прямой.
Если подойдет степен·ная или пока зательная формулы, -то
надо нанести опытные данные на логарифмическую или полуло-
У
у,----,-.--~-.--~--~~~
8
б
4
l
о---..,._-+-+-+--+-_ ___,,_ _ _ _--4
-2
-4
-б
-8
l4б8х
Рис. 28. Уравнение у = ах + 5
8
б
4
2
or----+- ---E-- --. ---- -+--
-2
-1;
-б
-
8
-
8-б-4
-2О2468Х
Рис. 29. Уравнение у = 2х + Ь
гарифмическую сетку . График изобразится прямой линией. Для
уравнения степенной функции вида
у= ахь
(9)
применяется логарифмическая сетка. При этом нет надобности
вычислять логарифмы. Если на· осях н аносить отсчеты х и у на
логарифмических шкалах, -то тем самым будут откладываться
и·х логарифмы.
Методом интерполяции пользуются для определения прибли­
женного значения одной величины при любых значениях дру­
гой. Надо учесть, что интерполи·ровать на логарифмической
сетке значительно труднее, причем точность снижается.
Только один вид уравне ния (9) с двумя переменными при
любых положИ1тельных значениях постоянной а и любых поло­
жи•тельных и отрица-тель·ных значениях показателя степени Ь
дает прямую линию на логарифмической сетке .
Логарифмируем уравнение lg у = Ь lg х + lg а. Если, обозна­
чить lg у через у', lg х через х' и ]g· а через а', то пол учим урав­
нение прямой у' = Ьх' + а', как результат преобразования
(анаморфозы) уравнения (9) . Угловой коэффициент Ь = tg ех,,
где а - угол наклона прямой к оси абсци·сс. При положитель-
2 Зак. 334
33


нам значении Ь угол а будет острым, считая против часовой
стрелки; при Ь отрицательном - угол а тупой.
Зависимость (9) представляет собой параболическую кри­
вую при Ь > О или гиперболи•ческую кривую, при Ь < О.
Уравнение
(10)
представляет собой усложненную форму уравнения (9); эта па­
раболическая или гиперболическая кривая находи,тся легко, ес­
ли показатель Ь можно вы­
брать заранее.
у
• to t--+ - --t --J -+l+-J+---ll'-+ -- - -+-1-+-/+- z
/
/
3/i-
//у
По характеру кривых, полу­
ченных в эксперименте, подоб­
ные кривые помогут подобрать
вид уравнения с двумя пере­
менными. Эти графики с рав­
номерной шкалой показаны на
рис. 30- 34; с логарифмиче ­
ской шкалой - на рис. 35 и 36.
8t---+---++-t-+ --t-#-t-t-- --;lf--+---;
JJIV
6t--+---11-..-+-r-
/ ....., ../ -,- -,/---+- --+ -- -+-- - - -<
IV/
В графике (рис. 30) все кри­
:вые пересекаются в одной точ­
кескординатамих= 1иу=
=
1;ПР'ИЬ=1кривая у=хь
превращается в прямую линию.
Аналогично, на рис. 31 все кри-
JI/
зj;J
У.>-
4 г--+--Н-1-Ь,,-7'--t---t--1--:::,-"1"'=-+~
/ '///
~.,,.,., .,,,. .-
tj= ~
2 =-.,,,,_..,..
yVx
о
2
4
6
в
Рис. 30.
Уравнение у = хЬ
rвые проходят через точки с ко­
ординатами х= 1иу=3, а
приЬ=1криваяу=3хЬ ста­
новится прямой . Такие же яв-
х ления имеют место в графиках,
изображенных на рис . 33 и 34.
Вид кривой может сильно
измениться при изменении чи­
словых значений параметров ее уравнения. Так, для степенной
функции (9) при Ь положительном и большем единицы имеем
параболу, симметричную относительно оси ординат; при Ь поло­
жительном, но меньшем единицы получим параболу, -симметрич­
ную относительно оси абсцисс; наконец, при Ь отрицательном
получим гиперболу (рис. 31 и 34).
Другая группа кривых относится к показательным и лога­
рифмическим функциям.
Уравнение показательной функции имеет вид
у= ьх.
(11)
При положительно·м значении постоянной Ь функция у> О,
все кривые проходят через точку х = О и у = 1. Ось абсцисс яв­
ляется аси•мптотой (рис. 37).
34


----------------------------
Построение графика показательной функции вида
у= аьх
(12)
по опытным данным выполняют на полулогарифмической, сетке,
применяя для х рав;номерную шкалу, а для у - логарифмиче-
СКУJ?·
у
8
~,
J 1-<-
"'
//
lj~iv
"'
:::,,j
""//
/'V
1:::.
,.,
6
1,'
/
.....
V
IV
i
4
//Vj:
1/
2
Л\-.
-
,.,._
/// ,~
--
у=Зх·0,j .-
1{/у
о
у
12
10
в
б
4
2
о
-2
-
4
=Зх-i'>..._ -
у=Зх- 1
--
~
2
4
б
в
Рис. 31 . Уравнение у = 3хь
\/
\ /_а=1
_а=2
\'l
'\.\ п
7 \'\.
fj \ _а=-1
/
,.,а_=-2
/\
/
\
/J
1\
-8
-6
-
4-2О24б·
.8х
Рис. 33. Уравнение у = ах2 + 5
х
у
в
б
4
2
о
-ч.
-2
о
2
х
Рис. 32. Уравнение у = 2х2 + Ь
-у
1-т =З m=tl
i
12
10
m=ч. /
/
m;J
I
_,J,. ~
-
/ v..-: т=}
8
1/ ./
,,,,
-
__,. 1--
'~
~
;
бд~
m =-1
fl
,....... _
\1
-
lп=-2
2
4
б
8
)(
Рис. 34. Уравнение у = 2хт + 5
1
Если у = ь х , то х = Iogьy. Получим логариф'мическую функ-
цию, которую после замены мест переменных можно записать
у = logь х, т. е. логарифм числа х по основанию Ь (рис. 3:8) .
График логарифмической функции получается из графика
показательной функции простым поворотом вследствие того, что
показательная и логарифмическая функция являются взаимно
обратными.
35
2*


36
з
2
0,6
0,5
0,4
о,з
0,2
2
J456Вх
Рис. 35. Уравнение у = ха
-1
о
Рис. 37. Уравнение у = ьх
80
2
J t,.
5б8х
Рис. 36. Уравнение у = 40ха
Рис. 38. Уравнение у = Iogь х


Логарифмы чисел, взятых по одному основанию а, получа­
ются из логарифмов тех же чисел, но по другому основанию Ь
путем умножения· на постоянный множитель
•
1
Iog"b= -- ;
1оgьа
поэтому соответств•енные ординаты любых двух кривых на
рис. 38 пропорциональны.
у
1
1
8
х
V
1..- -'
tj• О,2х :-0,1
\
1
б
~
х
-
--~
~х•1/ --
...._
~
4
k'-::y__x_
...-,....
\
/ -Olx•1
,.,,,.,.
\/v---
2
'~ ,,,/
1
//" /
,'(
(/
у=О,5х-0,1
1
о
2
4
6
8
!О
Рис. 39. УравнJние у =
ах+ь
х
1
1
1
г~...__--:---'-"--'--L..--J___J
О
2
4
б
х
5
Рис. 40. Уравнение у =-+2х + а
х
Целый ряд данных наблюдений в различных областях науки
и техники можно выразить логарифмической формулой
у= аеьх,
(13)
где е - основание натуральных логарифмов.
Все кривые, выражаемые этой формулой, проходят не через
начало координат, а через некоторую точку с координатами
х = О и у = а. Кривые типа гиперболы по уравнению
х
у=-­
ах+ь
(14)
также находят при•менение в различ·ных областях техники
(рис. 39-42). Убедиться в том, что полученные эксперимен­
тальные данные вписываются в эту формулу, можно следующим
образом. Преобразуем урав-нение (14)
1
Ь
-=-+а.
у
х
Если кри·вая ( +; +), построенная по опытным данным,,
представля·ет собой прямую, то эту экспериментальную зависи­
мость можно выразить формулой ( 14) .
37


В тех случаях, когда невозможно найти эмпирическую фор­
мулу с одной или двумя постоянными, переходят к форм уле с
тремя постоянными. В качестве примера_ приведем уравнение па-
раболического вида
•
у=ах2+Ьх+с
(15)
и графики (рис . 43).
Для определения постоянны:х: а, Ь и с надо иметь уравнения
трех опытных точек.
Уравнения с тремя переменными приводят к серии уравне-
У
/
110
,')vl
i
1/
/
\
8
1
/
/,,
J
'-V
1./
б
\ ~~\/
\"
........
,,,
4
\
'\.
2
--~~
-
-
i
О
'2
4
б
х
5
Рис. 41. Уравнение у = -
+ах+1
х
2
4
х
ь
Рис. 42. Уравнение у=-+ 2х+t
х
,(
ний с двумя переменными, задавшись определенным•и значения­
ми одной ·из переменных. Графики их с , равномерными шкалами
дают семей,ство кривых или прямых линий. Затем задаются оп­
ределенными значениями другой переменной· и снова строят
графики. Сопоставление этих графиков позволяет сделать вы­
воды. Сравнение х1арактера линий семейств по двум переменным
дает возможность п одоб р ать вид эмпирической формулы. При
этом нужно иметь в виду следующее:
а) ·обе переменньrе должны входи1ть в числитель искомо г о
уравнения в первой степени, если семейства линий по· обеим пе­
ременным состоят из одних прямых;
б) одна переменная войдет в числитель в первой: степени, а
вторая переменная - в знаменатель в степени выше первой или
в первой, если семейства линий по первой переменной состоят
из прямых, а по второй - из кривых;
38


в) обе переменные вой~дут в знаменатель в первои или более
высокой степени, если семейства линий по обеи•м переменным
состоят из кривых.
В целях усовершенствования графического метода построе­
ния эмпирических зависимостей, связывающих три и более пе­
ременных, П. С. Зак предложил способ контрольных простран­
ственншс сечений 1[28]. Если число опытных точек невелико и они
находятся в такой взаимосвязи, у
что совокупность их не дает пол- 12
нога представления о пути эмпи­
рической кривой, то применение
этого способа обеспечи~вает хоро- 10
ший результат. Он повышает точ­
ность вьшвления .закономерно­
стей при ограниченном числе на­
блюдений.
8
Если каждая из п кривых _ име- • 6
ет для СJвоего обоснования только
k точек, то положение поверхно­
сти, представляющей геометриче­
ское место всего семейства кри­
вых, определяется по kn точкам.
При • графической обработке
опытных данных зависимость
l;
2
\
2,.,,,
V
1,J
\'j
\/
'J/
~"\
б
'
>--
/
Q'
,
/
,_
.,. _
к4,/зJ
.......
'
1\
7/
J\/ /
,
J\I
и
V'j
f1
j\
5
//\
r-- у
\
'
\
'
'\
f (х, у, z) = О можно рассматри­
,вать как уравнение поверхности
в трехмерном пространстве х, у, z
(р ис. 44, а). Тогда для проверки
закономерности взаимного распо­
ложения кри~вых у = <р ( х) при
z = coпst (рис. 44, 6) в качест,ве
контрольных ,сечений можно ис­
О
2
4
6
8х
Рис. 43. Уравнение: 1) у = х2 +
+2х+4; 2) у=-0,1х2 +х+
+1О; 3) у=О,5х2- 3х+9;
•4)у=О,1х2+О,5х+5; 5)у=
= -0,1х2- О,Вх+14; 6)у=
= 2х2- 2,5х+1
пользовать сечения поверхностиf (х, у, z) = О плоскостями х
=
const. Это равносильно построению семейсТ1ва кривых у =
=
,ер (z); х = const (рис. 44, в). :Картина сечений поверхности
плоскостями позволяет устранить точки, выпавшие из каждой
кривой у= ,ср(х), по трем-четырем ·соседним точкам, а также уст­
ранить нарушение закономерности при переходе от одного зна­
чения переменной z к другому, т. е. между кривыми у = •<р (х).
Этот способ может быть использован и при обработке рас­
четных данных для устранения, случайных погрешностей, а так­
же для повышения точности построения графиков по ограничен­
ному числу данных наблюдений.
Определение постоянных и коэффициентов. Положим, что
вид эмпирической зависимости тем или иным способом установ­
лен и требуется лишь определить значения постоянных и коэф­
фициентов а, Ь, с, ... , в-ходящих в эмпирическую формулу.
Для
39


определения значений постоянных и коэффициентов применяют
следующие методы:
1. Метод избранных точек, который заключается в том, что
постоянные и коэффициенты находятся путем выбора двух или
нескольких точек в зависимости от числа постоянных, наиболее
х,орошо ,совпадающих с кривой (прямой) и решения для них со­
ответствующего числа уравнений.
2. Метод средних . Он состоит в том, что постоянные и коэффи­
циенты определяются таким образом, чтобы алгебраическая сум­
ма всех расхождений между действительным положением точек
!J .-
- ,-~-~~
15)
z
а)
8J
Р~1с. 44. Схема по л учения семейств кривых:
а - поверх.иость f(x, у, z)· -
О; б - семейство кривых у
-
Q)(x);
z- const;"
-
.
семейство кривых у - QJ(Z), х - const
и определенным по формуле была бы близка 'К нулю, а в лучшем
случае равна ему.
•
3. Метод наименьших квадратов. Метод основан на нахожде­
нии минимума суммы квадратов разностей между действитель­
ными и вычисленными значениями функции.
Если необходима большая точность результатов при обработ­
ке опытных данных, то применяют метод наименьших квадратов,
хотя он отличается значительно большей сложностью, чем метод­
средних. Метод средних проще и в ряде -случаев является пред­
почтительным. Метод избранных точек не свободен от элемен­
тов случайности и субъективного подхода ис п олнителя.
5. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПЛАНОВЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
И УЧЕТНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ
То, что было сказано выше об особенностях построения гра­
фиков, применяется также при планировании, учете и в •статисти­
ке машиностроения.
40


В статистика-экономических графиках применяются полуло­
гарифмические и вариационные сетки .
Если на равномерной сетке одинаковый наклон кривых обоз­
начает равномерный прирост в единицу времени, то одинаковый
наклон прямых на полулогарифмической сетке показывает уве­
личение переменной в одно- и то же число раз, т. е. указывает на
од ина1ковый темп роста.
Графики на полулогарифмической сетке применяются для оп­
ределения темпа роста и относительных колебаний без пересче­
та в проценты, независимо от наименования и уровня этих ве­
личин.
По.тrулогарифмическая сетка удобна для анализа динамики
структуры, например, себестоимости по элементам, сметы по
статьям, или продукции предприятия по ассортименту. Аналогич­
ным образом можно построить динамику «геометрической струк­
туры», определяющей соотношение между произведением и мно­
жителями. Например, стоимость материала можно определить по
элементам структуры - заданному весу, цене и др.
При разработ•ке диаграмм для наглядного во·сприятия абсо­
лютных величин и их разностей полулогарифмическая схема не­
пригодна; здесь нужна равномерная сетка. Анализ кумулятив­
ных кривых нарастающих итогов на полулогарифмической сетке
также нецелесообразен ввиду т6го, Ч'ГО кумуляты в равномерной
сетке имеют вид, более близ•кий к прямой, нежели в по.лулога­
рифмической .
Вариационная сетка В. М. Турбина применяется для сравне­
ния эмпирических и нормальных кривых, а также для определе­
ния средней арифметической и среднего квадратичного отклоне­
ния при статистическом контроле качества продукции. На вари•
ационной сетке нормальная кривая анаморфируется в прямую ,
что значительно облегчает сравнение двух рядов.
Составление графиков связано прежде всего с их композици­
ей, что определяется назначением. Различают графики: иллюст­
ративные, информационные, оперативные, аналитические и рас­
четные.
Иллюстративные графики поясняют излагаемую мысль.
Информационные графики передают фактические данные и
требуют строгого подбора фактов и предварительного анализа.
Оперативные графики должны обладать подвижной и гибкой
форм,ой, допускающей включение и ис,ключение отдельных
записей.
Аналитические графики требуют применения матем·атического
аппарата и сопоставления используемого материала.
Расчетные графики в основном представляют собой номо­
граммы.
Оформление любого графика должно отличаться пр,остотой,
ясностью и доходчивостью . График должен обладать наиболь-
41


шей полнотой содержания, поэтому наиболее сложные графики
прорабатываются в нескольких вариантах.
Чтение графика ,связано с представлением смыслового зна­
чения характера очертания 1кривых. Рассмотрим два примера.
Расчет оптимального размера партии деталей в серийном произ­
водстве приводит к составлению графика (рис. 45). Производст­
во партии деталей на каждом рабочем месте связано с перена­
ладкой станка. Поэтому, чем больше размеры партий, тем боль­
ше периоды между переналадками. Таким образом, размеры
Руб.
fl
ko
Величина партии
Шт_
Рис. 45. Расчет наивыгоднейшей
величины k0 партии деталей в се­
рийном проиэводс11ве:
а - затраты по переналадке; б
-
по­
тери от связанных оборотных средств;
в - сумма затрат и потерь
g<..,
"';:
::,
"1::<.. ,
~s,
'-'
"'
"'
"'<..,
.,
:,.
::,
"'
"
""
"~
'
.,
.._ _
r.,
а
k1
k,
k1
Объем гоооflого flьmycxa
прооухции
Рис. 46. Себестоимость годовой
продукции трех вариантов опера­
ций:
а, б, в - варианты операций
партий влияют на экономические показiЗ-тели производства. Наи­
выгоднейшая величина партии соответствует наименьшей сумме
затрат и потерь.
Организация технической подготовки производства требует
проведения сравнительной оценки технологических вариантов с
точки зрения их влияния на себестоимость продукции. В качест­
ве примера приведем график ,одного из наиболее часто встреча­
ющихся случаев определения пределов годового выпуска при ми­
нимальной себестоимости для каждого из трех сравниваемых
вариантов операции (рис. 46). Из графика видно, что при объе­
ме годового выпуска kг < k2 следует применить вариант а, при1
kг>k2- вариант в.
Рассмотрим основные виды применяемых графических по­
строений.
Хронологические графики (хронограммы) изображают распо­
ложение и длительность процессов во времени. Эти графики
строят с равномерными шкалами. Допус-каются разрывы шкал с
разными масштабами для отдельных участков. При составлении
42
::&
E:,...»W 8
Т::::--~ ;;:se;::J.~
- -,,а:
,,.


г рафика текущее рабочее время распределяют на основную ра ­
боту, вспомогательную работу, простои во время работы и пе­
рерывы, обозначая их условными знаками. Длительность собы­
тий обычно обозначают отрезками горизонтальных линий. На-
1
_. .]
1
1
J
1
1
l
1
r
~-
г-
-
L..J
1
6~
р/! 1
7
а
1
r
~
.,
1
-
. .,J
г/rl/
, -1-J
1
VVJ
1
1
/
.,
1
1
1/V
г-г
~
1//
1
LJ
V~
1
1
1
., .,,.
✓
l1
1
1//
о5!О1520
5101520
5101520
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
Месяцы и раоочие iJнu
Рис. 47. График для расчета задани.й цехам при серийном производстве:
а - выпуск заготовительного цеха; 6 и в
-
запуск и выпуск механического цеха;
г и д - запуск и выпуск сборочного цеха
Время tJ мцн
{танни
Операции
~~ <::, <::,<,,
1
<::,
~
~
<,,
I..C::)Q:;:i~
<::,
<::,
<::,
а:,
АБ
"'
""'
~
~
ПоiJгото8итель -
ное tJремя
'
Jа,rлючцтельное 1- ,
8ремя
:
9-
Вспомогательное ,,
Гl :щ~
11-- А
/!ремя
1
Г'
г,
15142
1,1
1
1
Машиннае /!/!емh 1 -
,_JLJL•J
4FIJ:
1LГ
.::..tf - 1
fi~
-
-
L-
f1:J
i1
1
375 395
,-
---
,
!Jcmaнotlкa •
(_J
11
Б-\_ •
1
и снятие i!еrпалц
LJ
1зг32
Оослужиtlа ние
j11311
рабочего места
L
Цикл
480 480
Рис. 48. График совмещения работы двух станков в течение смены
кл онными линиями обозначают работ у движения. Общеизвестны
х ронограммы железнодорожного движения, которые являются
диспетчерокими железнодорожными графиками .
При оперативном планировании серийного производства со­
ставляется хронологический график для расчета заданий цехам
(рис. 47).
43
r'


Расчет цикла м н,огос::таночной работы заканчивается составле­
нием хронолоrическото графика -совмещения работы станков
(рис. 48). Здесь при мелкосерийном производстве типичны мн о ­
гопереходные операции, для которых за цикл принята смена.
Пункты
ч асы
погрузки
иразгрузки 1?}45б789!О111?/J1415151718191?0
Луть приема 4 }
l.
!_;
5
'
1'1
,-
Склаd угля
.. ..
Склаi! rрормоfJочных
матери ало{}
\l_
Склдr} металла
1
.. ..
\
склаil готоfJоц
\
пpoil111<цuu
-
-
УmиРьце;,,,
~
\
[1<1100 леса
'- --
.
\
'-
C1<лarJ строитель -
1
ных материdло{}
Луть соачи
t,
~J\ jl!
~
''-
Рис. 49. Диспетчерский график по вагонам МПС и погрузочно­
разгрузочным работам (цифрами . обозначено количество
вагонов)
Пgн:tты
погру.Jки
иразерузк и
А
Б
в
г
д
Часы
9
10
11
12
Рис. 50 . Сменный граф ик работы двух электрокаров по меж­
цеховым перевозкам при кольцевом маршруте
Внутризаводские железнодорож ные п еревозки и погр узочно­
разгру зоч ные работы находя11ся под контролем дис петчера и
фиксируются в графике. По вагонам МПС ведется отдельный
график (рис. 49) .
По . ежедневным перевозкам электрокарами составляется
сменный график при коль цевой маршрутной системе (рис . 50).
Диаграммы сравнения предна зна чены для •сопоставления _ ана­
лизируемых данных. Величины, сравниваемые между собой,
44


--- -------------
можно выразить прямыми линиями или столбиками от одной
базы. Столбики могут быть расположены вертикально или гори ­
зонтально.
Столбиковые диаграммы шир,око применяются при оператив­
ном учете в диспетчерской службе, при материальном учете на
складе завода или при учете хода производства и т. п.
Показатели хозяйственной дея­
тельности группы предприятий мо­
гут быть сопоставлены путем срав ­
нения столбиковых диаграмм, ~вы­
полненных ,в одном масштабе
(рис . 51).
Контрольно-плановые графики
предназначены для сопоставления
плана с его выполнением по основ ­
ным элемент-ам - срокам, количест-
1ву, качеству и др. Графики этого ви ­
да отражают состояние . ·выполнения
плана лишь на данный момент.
Контроль выполнения сроков осу ­
ществляется с помощью обычны х
хронограмм, рассмотренных выше,
Однако хронограммы не дают отве­
та на ,вопрос о количестве, выпол­
ненном на данный момент. Для хо­
зяйственника же ,важно знать, вы·
полнено ли заданное количество 1<
сроку и насколько предприятие опе­
режает или отстает от него.
Преilприятие
100%
А
50°/4
Б
в
Показатели
хозяt1ст8енноi1
ilеятельности
аоdгIJежз
Рис . 51. Анализ хозяйственной
В кщ'прольно-плановом графике
план и выполнение изображаются
отдельными линиями (полосами),
причем на линии выполнения указа- деятельности предприятий по
ряду показателей
но выполнение в процентах на каж-
дый рассматриваемый момент. В ка-
чес11ве примера приведем сводный график подготовки серийно го
производства н ового- изделия (рис. 52). Первый этап о х ватыва ет
разработку конструкции, технологическую подготовку, изготов­
ление и испытание опытн0го образца. Во втором этапе произ1Во ­
дится корректирование чертежей изделия , технологическая под­
готовка серийного производства, изготовление опытной серии,
отладка процесса и оснащения .
На основании сводного графика составляются аналогичные
дифференцированные графики для каждого подразделения, уча­
ствующе.го в работах по освоению производства новог-о изделия .
Графики временных рядов, как динамических, так и хроноло­
гичесжих, находят широкое применение в плановой и учетно-
45


статистичес~юй работе предприятий. Различают временные ряды
моментные и интервальные. К мо м ентным рядам относятся, на­
пример , нарастающий итог готовых из делий, наличие материа­
л ов на складе на каждое число и др . В интервальны х рядах зна ­
чение отдельн ых членов относится к периоду. Так, вып уск про­
дукции пре д приятием по месяцам определенного года есть ин­
~е рвальный ряд.
1 :::,
Месяц ы и dекаdы
Наuмено8анце ~;;; Ооъем
IfIIIlIVVVJVJJVJJJ!ХхХ/хп
раоот
с:: Е:ё раоот
с.,:::,
1 213
~"'
12312312312312З12312З12312З 123123
lf онструl(торсl(це ;;::
]25
работы
'---
чертежей
с:,
бОпрц-
Тех нолоеическа я , __ _
способле
пoiJгomo{/l(a
'---
ниииВО
<::,
инструк-
ЦUtl
ЛроизfJоастtJенная :::,
поогото{/ка
'<
]ком -
ц {!ыпусl( опытного . ,
плекта
изiJелця
::::r
•-
'.
'-
350ком-
ЛоiJгото81(а серии -
'-- -:: :,
плектоf!
1101:0 прош8оt3стf!а
<::, ~
1
>с'"" ц 30
1-и серии
'-- -:: :, еiJиниц
<::,
:::,
250 ком-
Выпуск
'<
плектоf!
.,
изо
2 -и серии
::::r
еоинцц
Рис. 52. Сводный график технической подготовки серийного производства
нового изделия:
□
-
план; ■ - выполнение
Бели графическим выражением моментных рядов является
кривqя, то интервальные ряды преимущественно изображают-ся
ломаной линией. Каждая точка кривой моментного ряда соответ­
ствует определенному числовому значению в заданный момент
времени. В ломаной линии интервального ряда реальное значе ­
ние имеют только некоторые точ•ки, отнесенные к определенным
периодам; промежуточные точки не имеют смысла. Поэтому ин ­
терпо.лировать по этой ломаной линии не следует.
Кривую нарастающих итогов называют кумулятивной крнвой
(кумулятой). В основе ее лежит моментный ряд. Кумулята при­
меняется лля контроля выполнения производственного и финан,
совоrо плано·в . По ней можно судить как об общей сумме про­
дукции на данный момент, так и •О продукции, из·.готовленной за
определенный период, так как превышение последующей точки
над предыдущей, а сле.D:овательно, и величина подъема кр!:!вой
дает выполнение за этот период. Кумулятивная кривая выпуска
46


продукции непрерывна, начинается от нуля и по ней можно ин­
терполировать любые ее точки. К:умулята может начинаться не
с нуля, а с какой-нибудь значащей величины, если, например, при
контроле выпуска машин учитывается задел.
Оперативное планирование производства органически связа­
Н·О с непрерывным систематическим диспетчерским контролем
выполнения плана и является одним из примеров социалистиче-
Шт.
240
~ 200
:::1
t::,
~ 160
40
о
4
в
12
16
Дна
и
20 24
28
Рис. 53. График выпуска машин по стадиям изготовления
с' учетом заделов:
а - подача узлов на сборку; б
-
начало сборки; в - конец сборки;
г - испыта,ние и исправлеl'lие ; д
-
начало отделки ; е - конец
от-?,елки; ж - отправка; и
-
п лан отправки
ского планирования. При непрерывном выпуске изделий постоян­
ной номенклатуры учет нарастающих итогов с начала месяца в
абсолютном исчислении и в процентах выполняется посменно
И,IIИ по часа м. Весьма нагляден учет при помощи линейного гра­
фика с к,ривыми нарастающего ежедневног:о выпуска и линией
планового выпуска. Приведем пример графика выпуска изделий,
отражающий последовательно ход выполнения и состояние за­
делов по стадиям изготовления (рис. 53) . На оси ординат графи­
ка с начала месяца ,от·кладывается ·в приведенных пюказателях
количество изделий, и,меющихся в заделе по стадиям изготовле­
ния. От пол ученных точек строятся линии нарастающих итогов
по каждой стадии . Расстояния между линиями по вертикали по­
казывают наличие и зделий в заделе .
47


Подвижная средняя и подвижной итог. При экономическом
анализе выполнения по валовой прос1Lукции, по числу рабочих, по
производительности труда, по браку и себестоимости в солостав­
лении с показателями предыдущего года прибегают к составле­
нию графиков 1кривых подвижной средней и подвижного итога .
Если первичный моментный ряд м,ожет принимать как поло­
жительные, так и . отрицательные значения , то кумулятивная
кривая не останется монотонной, а будет иметь резкие колеба-
ТЬJс.руб.,--------------------~
::;J
:::i
" :::f
<
~с,
<::)_
<::
..,
Е:<. ,
<:,
~
::,
<:,
Е:
"
50
Тыс. руб
40
fбQ
~
~<l>
30- ~·
140
а
/
)-_
_,,.,,
120
,,,,,,
~:х:::
20~
~
~
,,,
,,,
1'
100
/
/
80
/
/
60
/
/
70
/
40
-./
20
о .____,__
_,__ __._ _
_, ___. '- -_, ___, _
_. __. __, __. ,_ __J
1lfff1IVVVIVflVIII/ХХХ/Х/1
Месяцы
Рис. 54. График выпуска продукции предприятия:
"'с,
~::,
' '::j
с,
:х:::
~::,
~
.~
с,
с::::
а - подвижной итог; 6
-
подвижная средняя; в - ежемесячный
выпуск продукции
ния около постоянного уровня или около прямой постоянного
роста. Это мешает восприятию общего направления кривой. Для
выявления общей тенденции временного ряда необходимо сгла­
дить его кривую. Применяемая иногда с этой целью средняя ме­
сячная по данным кварталов вместо месячных данных уменьша­
ет число точек, а потому ведет к снижению точности кривой.
Метод подвижного итога и подвижной средней приводит к
сглаживанию кривой, сохраняя ее гибкость. Подвижным итогом
считают итог определенного числа членов ряда, взятых последо­
вательно. Каждый следующий итог равен предыдущему за выче­
том одного члена слева и прибавлением 0,11:ного члена справа.
Подвижная средняя является частным от деления каждого
подвижного итога на число членов ряда, вошедших в п одвижной
итог. Делен,ие по,ц~вижных итогов на •одно и то же число графи-
48


чески равносильно уменьшению масштабной шкалы. Таким об­
разом, имея сопряженную шкалу ординат, можно на одном и
том же графике иметь кривые подвижных итог,ов и подвижных
средних. По существу это одна и та же кривая, дважды вычер­
ченная со сдвигом, так ка·к точки подвижных итогов наносятся
на ординате последнего члена, вошедшего iз каждый подвижной
итог, а точки подвижных средних наносятся на ординатах сред­
них членов каждого подвижного итога (рис. 54) .
Введением дополнительной шкалы, например шкалы процен­
тов к плану или к условному уровню, можно сделать график бо­
лее содержательным.


ГЛАВА
11'
6. РАСКРОЙ МдУЕРНдЛд
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
РАСКРОЯ И РАЗМЕТКИ
Холодная штампо,в-ка получила широкюе ра·спространение во
всех областях машиностроения. По ,сравнению с литЫ1ми или го­
рячештампованными заготовки деталей машин, полученные хо­
лодной штамповкой, по с:воим конструктивным формам и раз-
,
мера1м более приближаются к гот,овым деталям или точно со·
ответствуют им.
Отходы при холодной штамповке составляют в среднем 20-
30 %. Потери материала при - раскрое зависят от формы детали,
а)
oJ
Рис. 55. Заготовка ка­
бельного наконечника:
а - старый раскрой с от•
ходом; б - новый безот·
ходный раскрой
от некратности размеров листов и
полос и от величины неиспользован­
ных отходов . Перемычки, прип уски
на заготовку и прижимные фланцы
oJ
Рис. 56. Заготовка планки:
а ~ старый раскрой; б - новый раскрой
при вытяжке, а также припуск для шаговых ножей образуют
технологические потери.
Особая роль в эконимии материалов ·принадлежит конструк­
торам, в задачи которых входит разработка совместно с техноло­
гами штампованных деталей без,отходных и малоотходны~ кон­
фигу,рап:ий (рис. 55 и 56). Разработка конфигурации деталей
для безотходного раскроя решается графическим путем. При та­
ком способе раскроя отход материала получается тальк@ за
счет вырубки отверстий в деталях, а произ,водительность штам-
50
,
:.е._"'
~


па увеличивается вдвое, так как одним пуансоном за каждый
удар ,вырубаются две детал1-1.
Потери на некратности листа Еозникают вследствие несовпа­
дения длины или ширины ли.ста и суммы линей н ых размеров
деталей, размещаемых на этом листе. Уменьшение отхюдов от
некратности достигается подбором и размещением на одном ли­
сте таких деталей, для которых сумма размеров по длине макси­
мально 'Приближается к размерам листа.
Организация централизованного раскроя дает возможность на
одном листе размещать детали различной формы для наиболее
полного использования площади листа и завозить листы с таки ­
ми станда ,ртными разrмерами, которые дают наименьшие отходы.
Рис. 57. Раскрой круглых заготовок:
а - параллельное располо·жение с перемычками; 6
-
шахматное рас­
положение с перемычками; в - раскрой без перемычек
Раскрой круглых заготовок деталей од:ного диаметра может
быть выполнен с параллельным и шахматным расположением
(рис. 57, а, 6). Коэффициент использоiВания материала увеличи ­
вается при шахматном расположении круглых заго'Dовок. При
ра,скрое с рассеч,кой без перемычек (рис. 57, в) коэффициент ис­
пользования материала также увеличивается .
Для раскроя листового материала иногда применяют способ
раскладки на лмсте вырезанных из картона заготовок. Э11от спо ­
соб достаточно нагляден, но требует значительной затраты вре­
мени и не обеспечивает получения наилучшего резуv1ьтата. Рас­
четные методы рационального раскроя дают обоснованное ре - •
шение, но требуют довольно громоздких вычислений ряда вари ­
антов, которые сопровождаются вычерчиванием эскизов раскроя.
Графический способ раскроя значительно быстрее ведет к
цели. Раскрой выполняется на миллиметровой бумаге в масшта­
бе 1 : 2, 1 : 5 или 1 : 10 в зависимости ,от размеро'в заготовок. Ра,с­
крой листа на прямоугольные заготовки встречается наиболее
часто. Для заготовок средних и малых размеров, которые поме­
щаются по длине и ширине листа по· несколько раз, производят
размерную разметку по той и другой стороне листа, причем с
каждой ,стороны 'размечают длину и ширину заготовки (рис. 58).
Встречное направление разметки, указанное стрелками, ·позволя­
ет найти рациональное решение .
51


На шкале CD находят совпадающие или близко расположен­
ные деления в точке В. Если, например, производится раскрой
листа с размерами 1420 Х 710 мм на прямоугольные заготовки с
размерами 150 Х 85 мм, то ширина отхода е'1 = \ 1420 - (900 +
+ 510) = 10 мм. По шкале ЕР деления совпадают IJ3 то_чке А. Ши­
рина,отходае2= 710- (450+255)= 5мм.
Разрезка всей партии листов по упору ·производится сначала
по линии АА, затем по линии ВВ. После этого ли~ты разрезают­
ся на полосы шириной 85 мм и на заготовки длиной 150 мм.
1420
150
-т
""'
1--------
18
--
""
f
1~
r
"
';;,
А
c-,t
А~
t
'
~
! "'11
""'
'<
<:::,
~
~ч
-
!J!_
--
t
15UXб~YU0
18
Е
--
с
IJ
-
1
,Ч5хб=570
1
Рис. 58. Раскрой прямоугольных заготовок
Гр ,афический способ раскроя позволяет одновременно прора­
ботать ,несколыко вариантов раскроя на одном и том же эскизе
и по сравнению с аналитическим расчетом значительно ускоряет
Рьrбор наиболее подходящего варианта.
Раскрой полосового и круглого проката, а также труб с уче­
том припусков на отрезку и обработку также производится гра­
фически с размерной разметкой шкал, исходя из ос евых разм .е­
ров заготовок различных деталей.
Практика показывает, что. при раскрое мелких деталей вы­
годнее иметь немерный прокат. Отходы получаются небольшие ,
и потребитель ·проката не платит за мерность. При длине заго­
товки 0,5 м и более и при использовании легированной стали ну­
жен мерный прокат.
7. РАЗМЕТКА ДЕТАЛЕЙ . МАШИН
В машиностроении одной из операций тех ноJюгичеокого про­
цесса обработки металлов Я'вляется разметка . В индивидуаль­
ном и мелкосер11йном производстве разметкой указываются гр а­
ницы обработки поверхностей деталей машин, фиксируется по-
52


ложение осей симметрии и центров отверстий и проверяется со ­
ответствие заготовок размерам чертежа.
Тяжелые заготовки с большими габаритными размерам и раз­
мечаются до установки на станок для обработки.
В крупносерийном и массово,м производстве разметка пр и ме­
няется при изготовлении шаблонов, приспособлений, штампов,
моделей и прочей оснастки произ­
водсrеа .
При разметке приходится
иметь дело с прямыми и кривы­
ми линиями, с геометрическими
фигурам-и и производить геомет­
рические построения для графиче­
ского решения возникающих за-
дач1 .
~еление отрезка прямой на
две равные части. При разметке
эта операция производится по­
строением пе_рпендикуляра (рис.
59). Точка Е делит отрезок 0 102
на две равные части. Если одна
'
А
о,
8
из точек А или В окажется за Рис. 59. Деление отрезк~ пополам
пределами плоскости, то из цент-
построением перпендикуляра
ров 0 1 и 02 засекаем одним и тем
же радиусом новыецентры 03и 04и находим точки С и D,через
которые проходит перпендикуляр АВ .
Построение перпендикуляра в конечной точке прямой .
1-й способ. Для построения перпендикуляра в конечно й точ­
ке А прямой АВ из произвольной точки О радиусом ОА оп и сы­
ваем дугу CAD и проводим прямую чере з точки С и О до встречи
с дугой в точке D, которая лежит на перпендикуляре DA
(рис. 60, а) .
2 - й с л ,о с об преду,сматрИiвает использование прои з вольной
точки 0 1 на заданной прямой АВ . Одним и тем же радиусо м О1А
о~1шсываем дуги О1 О2Оз из центра А, АО2 из центра 01 и Оз С из
центра 0 2. Из центра 0 3 тем же радиусом засекаем точку С, ко­
торая лежит на перпендикуляре АС (рис. 60 , 6) .
Построение перпендикуляра в точке С к прямой АВ, которую
нельзя продолжить. Из произвольных центров 0 1 и 0 2 на прямой
АВ описываем -дуги через заданную точку С. Дуги пересекаются
в точках С и D, через которые проходит искомый перпендик уляр
(рис. 61).
Построение параллельных прямых линий. Первая задача.
Через заданную точку С провести прямую , парллельную пря­
мой АВ.
1-й способ . На прямой АВ из произвольной точки 01 опи­
сываем дугу 0 2CD03 радиусом O 1 С. Из центра Оз радиусом
53


0 2 С засекаем точку D, которая вместе с точкой С определяет
положение ис,комой прямой CD (рис. 62, а) .
с
8
aJ
о)
Рис. 60, Построение перпендикуляра в ко- Рис. 61. Построение перпен-
нечной точке А пря,мой:
дикуляра к прямой АВ че-
а - 1-й способ; б
-
2-й способ
рез заданную точку С
2-й с.по с об . Заданную точку С соединяем прямой с ,произ­
вольной точкой 0 2, расположенной на прямой АВ . Из другой
произвольной точки 01 на прямой АВ 1проводим дугу радиусом
а)
·р~
D
R1
с
бJ,
Рис. 62. Построение парал­
лельной прямой через за­
данную точку С:
а - 1-й способ; 6
-
2 -й способ
02С, а из точки С - дугу радиу­
сом 0 102. Пересечение этих дуг
дает вторую точку D искомой пря­
мой (рис. 62, 6).
с
Рис. 63. Построение пара_ллельной прямой
на заданном расстоянии
Вторая задача. Провести прямую, параллельную прямой АВ,
на задан,но,м расстоянии Н (рис. 63). Из произвольных точек 01
и 0 2 на прямой АВ радиусом, равным Н, описываем дуги, каса­
тельная к которым является искомо:й прямой., Но провести ка ­
сательную с требуемой точностью труднее, чем про·вести прямую
через две известные точки. Поэтому из точек 0 1 и 02 восставим
перпендикуляры до встречи с дугам.и в точках С и D, которые
являются точками искомой .прямой. Для того чтобы ,восста1вить
54


перпендикуляры ив точек 0 1 и 0 2 , засекаем на прямой АВ т•очки
Е, F, G и К и произвольным радиусом засекаем точки М и N.
Деление отрезка прямой на части . На прямой АВ треб у ется
разделить отрезок А7 на семь ра1вных частей (рис. 64) . Пров-о­
дим 1под произвольным острым углом к прямой АВ прямую А С,
на которой •от точки А отложим семь равных отрезков Al', 1'2' ,
2'3'и т. д . Точку 7' соединяем с точкой 7 и через все остальные
точки деления прямой АС проводим прямые, параллельные отрез­
ку 7'7, до встречи с прямой АВ в точках 1, 2, 3 и т. д., которые
делят отрезок А7 на заданное число равных частей.
Построение можно применить не только для деления отрезка
на равные части. Допустим, что заданный отрезок требуетс я
разделить на пропорцио-
с
нальные части. На пря­
мой А С в данном случае
отложим не равные части,
а такие, длины которых
относятся между собой
·так же, как искомые· час ­
ти отрезка АВ.
Построение и деление А--+--+-+-~--+--+-~---8
углов .
2J45б7
Первая задача. По­
строить углы 30; 45 и 60°.
На ~вертикальной прямой
Рис. 64. Деление отрезка прямой на равные
l части
АВ из точек А и В описываем дуги радиусом, равным АВ . Через
точки С и D пересечения дуг проводим перпендикулярную к АВ
прямую CD. Из точки О описываем дугу ВЕ радиусомОВ и со­
единяем прямыми точки А и .С, В и Е. Тогда получим угол АСО,
равный 30°, угол ВЕО , равный 45°,
и угол ОАС, равный 60°
(рис . 65).
Вторая задача. Разделить данный угол на две равные ч асти,
т . е. построить биссектрису угла при наличии на чертеже верши­
ны угла. Из вершины О описываем произвольным радиусом дугу ,
которая засечет на сторонах угла точки А и В . И з эти х точек ду­
говыми засечками находим точку С , лежащую на биссектрисе
(рис. 66) . •
Третья задача. Провести биссектрису угла с недоступно й вер­
шиной .
1-й способ. В лр ,оизвольных точка х Н, К, М и N сторо н CD
и АВ угла восставим перпендикуляры и отложим на них одина­
ковые отрезки , ра1вные радиусу R2 (рис. 67). Через полученные
точки проводим стороны ОЕ и 0G угла E0G, который ра з делим
пополам, проведя биссектрису 0F.
2 - й способ. К стороне АВ угла в произвольной точке Е вос­
ставим перпендикуляр EF (рис. 68). В точке F восставим
перпендикуляр к стороне CD угла. Полученный построением угол
55


А
Рис. 65 , Построение углов 30, 45 и 60° Рис.- 66. Деление угла биссектрисой
56
Р и с. 67. Построение биссектри­
сы угла с недоступной верши­
ной (1-й способ)
Рис. 68 . Построение биссектри­
сы угла с недоступной верши ­
ной (2-й способ)
])


EFG равен заданному углу, вершина которого недоступна. Из
построения следует, что биссектриса FH угла EFG перпендику­
лярна к искомой биссектрисе КМ, которую находим изв,естным
приемом.
Четвертая задача. Разделить прямой угол на три равные ча­
сти. Из вершины О угла АОВ произ,вольным радиусом R1 опи­
сываем дугу iI находим точки А и В, из ,которых тем же радиусом
проводим 'дуги OD и ОС (рис. 69). Через точки С и D из вер­
шины проводим лучи, которые делят прямой угол на три равные
части.
Пятая задача. Построить угловой масштаб для разметки уг­
ло,в. Для разметки углов и наклонных линий предпочитают поль­
зоваться угловым масштабом, так как он по зволяет получить
А
в
Рис. 69. Деление прямого
угла на три равные части
Рис. 70. Построение углового мас­
штаба
разметку точнее, чем с помощью транспортира. Угловой мас­
штаб , построенный для дуги с радиусом R = 600 мм, дает длины
хорд для углов до 90° при дуге R = 600 мм (рис. 70). Из центра
О описываем дугу АВ радиусом R = 600 мм и наносим деления
от О до 90°. Эти деления сносим на угловой масштаб АО по дугам
концентрических окружностей с центром в точке А. Если, напри­
мер, требуется построить угол 40°, то проводим горизонтальную
прямую ОА. равную R = 600 мм, описываем дугу АС, на которой
засекаем ,по угловому масштабу хорду, соответствующую углу
40°, и проводим вторую сторону ОС искомого • угла.
Построение элементов окружности. Первая задача. Постро­
ить точки дуги окружности с недоступным центром по данным
хорде CD и ее стрелке АВ.
1-й способ. Проводим касательную к окружности в точке А
параллельно хорде CD, прямую AD и под прямым углом ·к ней­
отрезок DF до встречи с касательной. Под прямым углом к хор-
57


де проводим отрезок DК. Каждый из отрезков АР, BD и DK де ­
лим на четыре ра'Вные ча-сти. Пересечения лучей, соединяющих
точки , деления, как •показано на рис. 71, дают искомые точки
дуги окружности. Из правой части чертежа точки деления от ­
рез·к ов ВС, АЕ и СЕ переносим в левую часть .
JЕ
2
А
2
Рис. 71. Построение точек дуги окружности с недоступным центром
'
(1-й способ)
2-й способ. В отличие от первого способа здесь построение
производится одновременно в правой и в левой части. Вершину
А стрелки АВ ·соединяем прямыми с точками С и D (рис. 72). Из
Рис. 72. Построение точек дуги о.кружности с недоступным
центром (2-й способ)
точки А радиусом R 1, равным отрезку АВ, описываем дугу
KEFM .. Из точек К и М радиусом R 2 , равным отрезку ВК = ВМ,
засекаем точки Е и F, которые соединяем прямыми с точкой А.
Каждый из отрезков АВ, АЕ и АР делим на четыре ра1вные части .
Искомые точки окружности находятся на пересечении лучей,
проведенных из точек С и D через точки деления этих отрезков.
Вторая задача. Построить дугу окружности по трем заданным
точкам А, В и С .при недоступном центре. Из крайних точек А и
С радиу,сом, равным длине хорды А С, описываем дуги AD и CD
58
- --------- --
-----
- ------


(рис. 73). Через заданную среднюю точку В до встречи с этими
дугами в точках С 1 и А 1 наносим лучи АА1 и СС1. Отрезки дуг
АС 1 и СА 1 делим на пять равных частей. Эти деления продолжим
на участках дуг C1D и A 1D и соединяем лучами ~крайние задан­
ные точки А и С со всеми точ­
ками деления ~вспомогательных
дуг . Искомые точки дуги ок­
ружности находятся на пересе­
чении лучей 1А и 1С, 2А и 2С,
ЗАиЗСит.д.
Третья задача. Определить
положение центра окружности,
заданной дугой. Заданную дугу
MN делим на две части в точ­
ке К и проводим хорды МК и
KN (рис. 74). Пересечение
перпендикуляров АВ и CD, А
с
восставленных к хордам, оп-
Рис. 73. Построение дуги окруж-
ределит положение центра О ности по трем заданным точкам
окружности.
Если точки А и С о·кажутся за пределами ,детали, то построе­
ние ведется по другой схеме (рис . 75). На данной окружности
(или дуге) выбираем две произвольные точки А и В, из которых
Рис. 74. Определение положения
центра окружности, заданн о й ду­
гой
2
3
с
\/
\/
*о
Рис. 75. Нахождение центра окруж­
ности
радиусом R 1 засекаем точки 1, 2, 3, и 4. Из этих точек радиусом
R2 засекаем точки С и D, которые определяют положение ради­
альных лучей АС и BD, пересекающихся в центре О окружности.
Радиусы R1 и ,R2 берутся произвольной величины.
В производственной пра·ктике для быстрой разметки центра
окружности применяют центроискатели различной конструкции.
59


Четвертая задача. Найти стрелку дуги по заданн,ой точке и
хорде окружности с недоступным центром. Заданную точку N,
лежащую на дуге окружности, соединяем прямыми •с крайними
точ,ками С и D хорды (рис. 76). Радиусом R1, равным отрезку
DN, з асекаем на прямой CN точку К. Соединив ее с точкой D,
получим угол KDN. В •средней точке хорды CD восста·вляем пер­
пендикуляр и строим угол EDF, который на основании: подобия
равнобедренных треугольников KND и CFD равен углу KDN.
То r;да сторона DF построенного угла пересечет перпендикуляр
в точке F, являющейся ,вершин·ой стрелки ЕР. Зная хорду и стрел­
ку, можно найти точки дуги CFD, пользуясь построением, пока­
занным на рис. 71 или 72.
F
Рис. 76. Построение стрелки дуги по заданным точке N
и хорде
Деление окружности на равные части. Способ деления окруж­
ности на три ча,сти показан на рис. 77, а. Чтобы разделить окруж­
ность на пять частей, из точки .4, расположенной в сер,едине ра­
диуса OD (рис. 77, 6), описываем дугу ВС радиусом Н2 , равным
отрезку АВ, до встречи с горизонтальным диаметром в точке С.
Из точки В радиусом Rз, равным отрезку ВС, засекаем точки 1
и 3, а затем точки 4 и 5 деления окружности на пять частей.
При делении окружности на шесть ча·стей повторяем опера­
цию деления на три части (рис. 78, а); при делении на восемь
частей повторяем операции деления на четыре части (рис. 78, 6);
при делении на 10 частей повторяем операции деления на пять
частей. Отрезок ОС равен стороне десятиугольника (ри,с. 77, 6).
Деление окружности на семь, девять, одиннадцать и большее
число частей осуществляется так: из точки М проводим произ­
вольную прямую МА, на которой от точки М откладываем про­
извольные, но равные деления (рис. 79). Число делений равно
'
заданному количеству ча,стей деления окружности. Если, напри­
мер, требуется разделить окружность на девять частей, то пос,
леднее девятое деление на прямой АМ соединяем с точкой В, а
через два деления в обратную сторону, т. е. через точку 7, про
водим прямую 7Е, параллельную прямой 9В, до встречи с вер­
тикальным диаметром в точке Е. Затем горизонтальный радиус
ОС разделим на четыре равные части и три таких деления от-
60


2
/
])
6)
Рис. 77. Деление окружности :
а-на3части;б-на5частей
А
в
м
о)
Р1-1с . 78. Деление окружности :
а,- на6частей;б- на8частей
1)
Рис . 79. Деление окружности на 9 равных частей
61


ложим от точки С влево. Получим точку D . Через точки D и Е
проводим прямую до встречи с окружностью в точке F. Дуга BF
является девятой чжтью окружности , а хорда этой дуги - сто­
роной девятиугольника.
Деление окр уж ности на заданное число равных частей и по ­
строение многоугольников может быть выполнено и другим спо­
собом. Описываем окружность, проводим вертикальный диаметр
АВ и делим его на равные ча.сти, количество которых соответст­
вует заданному числу частей деления окружности (рис. 80) . Ра ­
диусом .R1, равным диаметру окружности, и-з точек А и В засека-
'А
Рис. 80. Деление окружности на 11 равн ы х ч а стей
ем два •полюса 0 1 и 02, расположенных на линии горизонтально ­
го диаметра, и проводим лучи от этих полюсов через точки
деления диаметра АВ до встречи с окружностью, причем лучи
проводим через одно 1.деление на диаметре АВ , т. е . через точк~-1
только четных или только нечетных делений . Точки пересечения
.11учей с окружностью делят ее на заданное чмсло частей.
Построение касательных к окружности. Первая задача. Про­
вести касательную к крайней точке дуги СВ окружности с недо­
сту,пным центром. Заданные точки С и В соединяем х,ордой и на­
ходим среднюю точку А дуги СВ (рис. 81, а). Радиусом R 1,
равным хорде АВ, описываем дугу DA, на продолжении которой
радиусом R2, равным хорде AD, из точки А засекаем точку Е.
Прямая, проведенная через точки В и Е, является касательной
к дуге окружности в точке В .
Вторая задача. Пр.овести касательную к средней точке С ду­
ги окружности с недоступным центром . Из точки С радиусом R. 1
засекаем крайние то-чки А и В дуги, проводим хорду АВ и соеди­
няем среднюю ее точку D с точкой С (рис. 81 , 6). Перпендикуляр
СЕ к стрелке CD является искомой касательной .
62


Определение длины окружности и ее дуг. Первая задача. За ­
дана окружность диаметром АС, требуется определить ее длинv .
Проводим касательную к окружности ,в точке С (рис. 82) . Ра­
диу,сом R1, равным радиусу окружности, из точки D засекаем
Рис. 81. Построение касательных к окружности:
а-ккрайнейточкеВ;б
-
к средней точке С
то,чку Е. Из центра О чере з точку Е проводим луч ОЕ до встре­
чи ·С касательной 'В точке F. От точки F по касательной 3 раза
отлож~им отрезок, равный радиу­
су R1. Полученную точку соеди­
няем с точкой А. Удвоенная дли­
на отрезка АК равна искомой
длине окружности .
к
Рис. 82. Определение длины окруж­
ности
Рис. 83. Определение длины дуги
окружности :
а-прна<90';б-прна>90'
Вторая задача. Определить длину дуги окруж ности при
а~ 90°. Дана дуга окружности АС (рис. 83, а) . Находим ее се­
редин у - точку Е. К точке С проводим касательную MN. Сое­
диняем крайние точки дуги хордой и продолжаем ее за точку С .
Радиусом R2 , ра,вным отрезку СЕ, на продолжении хорды за,се­
каем точку F. Радиусом Rз, равным отрезку FA, из точки F за­
секаем на касательной MN точку В . Отрезок ВС является иско­
мой длиной дуги А С .
63


Третья задача. Определить длину окружности при а> 90°.
Дана дуга АС (рис. 83, 6) . :Находим ее середину в точке Е, се­
редину хорды ЕС в точке G и середину дуги ЕС в точке D. Про­
водим касательную MN к окружности в точке С и хорду АС. На
прод:олжении хорды за точку С радиусом R2, равным отрезку
CD, засекаем точку К, от которой отложим отрезок KF, равный
отрезку CG. Из точки F радиусом Rз, ра·вным отрезку FА, засе­
каем на касательной точку В. Отрезок СВ равен искомой длине
дуги АС.
Построение дуги окружности по заданной ее длине. Дана
длина L дуги. По·стр,оим ,касательную к окружности в точке С
А
вс
Рис. 84. Построение дуги по задан­
ной ее длине
Рис. 85. Сопряжение двух прямых
дугой
(рис. 84). Отложим на касательной отрезок СА, равный задан­
ной длине L, и за,сечем отрезок СВ, равный одной четверти отрез­
ка СА. Из точки В радиусом R2, равным отрезку ВА, очисываем
дугу АЕ до встречи с окружностью в точке Е . Дуга СЕ окружно­
сти - искомая.
П.ос:гроение сопряжений. Построение основано на свойствах
прямых - касательных к окружностям или на свойствах касаю­
щих,ся между собой окружностей.
Первая задача. Сопряжение двух непараллельных прямых
дугой заданного радиуса. Из произвольных точек 1, 2, 3 и 4 на
прямых АВ и CD заданным радиусом R1 описываем дуги, каса­
тельные FE и КЕ к которым пересекутся в точке Е (рис. 85).
Точка Е является центром радиуса R 1 сопрягающей дуги . .
Вторая задача. Сопряжение двух непараллельных прямых ду­
гой окружности, касающейся третьей заданной прямой. Сопря­
гаемые прямые АК и BF пересекаются в точке С (рис. 86).
Третья прямая DE .пересекается с прямой BF в точке F. :Находим
для углов АСВ и BFD их биссектрисы СМ и FN, на пересечении
которых расположен искомый uентр О -сопрягающей дуги .
Третья задача. Сопряжение касательных с двумя -окружно-
стями.
1. Сопряжение внешнее (рис. 87, а). Из центра 0 1
вспомогательную окружность радиусом,
равным
6~
описываем
разности


.:э.• СПЬZI ■
R1 - R2 радиусов основных сопрягаемых окружностей. Заметим ,
что результат не изменится, если вспомогательную окружность
опишем из центра 02. Расстояние L между центрами 0 1 и 0 2
окружностей делим пополам. Из точки 0 3 радиусом R3 , равным
0,5L, описываем дугу ВО1 С, которая пересекает вспомогатель­
ную окружность в точках В и С. Радиусы, проведенные из
центра 0 1 через точки В и С, определяют искомые точки А и D
сопряжения первой окружности с касательными. Искомые
точки Е и F сопряжения второй окружности с касательными оп-
А
с
Рис. 86. Сопряжение двух
прямых дугой, касательной
к третьей прямой
в
oJ
Р,1с. 87. Сопряжение касательных
с окружностями :
а - внешнее; 6 - внутреннее
ределяются проведением радиусов О2Е и 0 2F, параллельных со­
ответственным радиусам 0 1 А и 0 1D .
2. Сопряжение внутреннее (ри.с. 87, 6). В отличие от внешнего
со пряжения окружностей с касательными, рассм,отренного выше,
в данном случае вспомогательную окружность описываем из цен­
тра 0 1 или 0 2 радиусом, равным сумме Rr + R2 радиусов сопря­
гаемых окружностей. Искомые точки касания В и С пер.вой
окружности, Е и F вт,орой окружи-ости определяются радиусами
0 1 В, 0 1С, 0 2Е и 0 2F, направление которых фиксирует,ся 11очками
А и D пересечения впомогательной о·кружности с дугой радиуса
Rз, описанной из центра Оз.
Четвертая задача. Сопряжение окружностей дугой заданного
радиуса.
1. Дуга нагнутая (рис. 88, а), радиус ее Rз задан расстоянием
между центрами 0 1 и 0 2 с,опрягаемых окружностей. Центр Оз
З Зак. 334
65,


засекается из центров 0 1 и 0 2 радиусами, равными сумме R, +
+ Rз и R2 + Rз. Точки сопряжения А и В расположены на пря­
мых, соединяющих центры О, и 0 3
,
02и0 3
.
2. Дуга выпуклая (рис. 88, 6), радиус ее Rз задан расстояни ­
ем между центрами О, и 02. Центр 04 засекается из це·нтров 0 1
и 02 радиусами, равными разности Rз - R1 и Rз -R2. Точки со­
пряжения С и D расположены на продолжении прямых, соеди­
няющихцентры01и 04, 02и04.
Пятая задача. Оопряжение окружности и прямой линии ду­
гой заданного радиуса.
б)
Рис. 88. Сопряжение окружностей дугой заданного радиуса:
а - вогнутое; 6
-
выпуклое
1. Дуга вогнутая (рис. 89, а) радиуса R2 . К заданной прямой
АВ .проводим пар аллельно вспомогательную прямую CD на рас­
стоянии, равном радиусу R2 . На прямой CD радиусом, равным
. сумме R, + R2 заданных радиус-ов окружности и сопрягающей
дуги, засекаем 11очку F, которая , будет центром сопрягающей ду­
ги радиуса R 2 . Восставив перпендикуляр из точ·ки F к прямой АВ
м соединив точку F с центром О окружности, находим точки со­
пряжения Е и Н.
2. Дуга выпуклая радиуса Rз (рис. 89 , 6). К: заданной прямой
MN проводим параллельную прямую GK на ра,сстоянии, равном
радиусу R3 . Из центра О о,писываем вспомогательную окруж­
ность радиусом, равным разности радиусов R3-R1. Точка Р пе­
ресечения в-спомогательной -окружно-сти и прямой GK будет цент­
ром .сопрягающей дуги радиуса R3 . Границы сопряжения нах,о-.
дим, опу,ская перп'ендикуляр из точки Р на прямую MN в точку
S и проводя прямую РО в точку Q.
Для выполнения разметочных работ существуют специальные
инструменты и приспособления; тем не менее, разметка отнимает
много времени и иногда является источншюм ошибок. Размет-
66


чики-новаторы разработали и широ1ю применяют простейшие
счетные приспособления, которые обеспечивают необходимую
точность, просты в эксплуатации и значительно ускоряют разме 0
точные работы, снижая их трудоемкость.
Эти приборы предназначены для деления отрезков на равные
ча,сти, для деления окружностей на равные части и отыскания
длин хорд, для решения треуг'ольников и определения тригономет-
рических функций углов, для д
Е
8
расчетов при разметке ли-
~
ний пересечений поверхно- с
_.--,-.
.о
стей.
Разметочные шаблоны
позволяют резко повысить
качество разметочных ра­
бот, упрощая разметку и
у~величивая производитель­
ность труда. Вследс11ви'е зна­
чительных затрат , необходи­
мых на изготовление шаб­
лонов, вопрос о рентабель-
G-
ности их применен_ия должен _м_..,,6-____s"-< >- "' """ '~ -- --- -- <~N
решаться 1в каждом отдель-
о)
ном случае .
Рис. 89. Сопряжение окружности и пря-
Наиболее простые 'И име- мой линии дугой заданного радиуса:
ют широкое применение ша­
блоны для плоской размет­
а -, вогнутое; б - выпуклое
ки . Рабочие кромки ·их лежат в одной плоскости. В целях исполь ­
зования одного и того же шаблона для ряда однотипных дета­
лей часто изготовляют плоские шаблоньJ с передвижными эле•
ментами. Это снижает затраты на изготовление шаблонов и
расширяет возможности их использования . Передвижные элемен­
ты шаблона для разметки кривых дают возможность использо­
вать его для построения разнообразных кривых. Плоские шаб-
'
лоны применяются и для объемной разметки на плоских по~верх­
ностях.
Сложные шаблоны для объемной разметки в ряде случаев
применяются для разметки отдельных ответственных деталей
или мелких •партий. У,стройства передвижных элементов в этих
шаблонах р~сширяют область их применения .
8. ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ
При пересечении прямого кругового конуса плоскостями по­
лучаются ,сечения, ограниченные различными кри.выми - окруж­
ностью, эллипсом, параболой или гиперболой. Эти кривые выра­
жаются уравнениями второй степени с двумя неизвестными
(рис . 90) . Кривые, образуемые коническими сечениями, имеют
большое пр·актическое применение в машиностроении.
67
з•


Окружность представляет собой геометрическое место точек,
находящихся на равном расстоянии от ц ентра. Вычерчивание ок­
ружности с помощью циркуля не представляет труда.
Если х и у - координаты произвольной точки А на окружно­
сти (рис. 91, а), находящейся в первой четверти системы коор-
Рис. 90. Конические се­
чения
у
а)
х
а
х
Рис . 91. К уравнению окружности в прямо~
угольной системе координат
динат уОх, а и Ь - координаты центра 0 2 и r - радиус окруж­
ности, то уравнение окружн,ости имеет вид
(х-а)2+(у-Ь)2= r2•
(16)
В том ,случае, когда начало координат лежит на окружности
и ось х будет касательной к окружности, а ось у - ее диамет­
ром, уравнение окружности примет вид (рис. 91, 6)
у2=2ry- x2•
(17)
Если совместить центр окружности с началом координат
(рис. 91, в), то уравнение окружности будет иметь вид
х2+у2= r2.
(18)
Графические приемы определения длины окружности и ее
дуги показаны на рис . 82-84.
Эллипспредставляет собой геометрическое место точек А,
для которых сумма расстояний AF1 + AF2 от двух данных точек
F1 и F2, называемых фокусами, остается пос.тоянной и равна
полной длине 2а большой оси эллипса (рис. 92). Бели взять нить
длиной 2а, концы которой закреплены в точках F 1 и F 2 , то, натя­
гивая ее острием карандаша, можно вычертить эллипс. Этот
способ применяется при разбивке шаблонов арок и сводов.
68


--
-
-
----·-·------
Если главные оси эллипса принять за оси координат, то урав­
нение его будет иметь вид
х2
у2
-
'+-1
=1
(19)
а2
ь2
'
где а и Ь - длины большой и малой полуосей эллипса;
отсюда
ь
уэ= - Vа2- xz.
а
Величина радикала представляет собой величину ординаты
Уа о,кружности радиуса а, соответствующей абсциссе х, так как
у
4
10
у
Рис. 92. Способ построения эллипса
из уравнения -окружности х2 + у2 = а2 имеем Уо = V а2-х2; после
подстановки получим
Уо
а
Это отношение использовано для разработки способа постро­
ения эллипса (рис . 92) . Из центра О радиусами, равными задан­
ным полуосям эллипса а и Ь, описываем окружности . Большую
окружность делим на 12 равных частей. Через все точки деле ­
ния проводим диаметры, которые на меньшей окружности засе-
69


кают также 12 точек. Точки пересечения вертикальных и гори­
зонтальных линий, проведенных через одноименные точки деле­
ния наружной и внутренней окружности, будут точками эллипса.
Другой способ построения эллипса показан на рис . 93. Вы­
черчивают описанный прямоугольник со сторонами, равными
осям эллипса 2а и 2Ь. Проводят оси АА 1 и ВВ 1 этог•о .прямоуголь­
ника, т. е. оси вписанного эллипса. Большие полуоси эллипса и
отрезки АС и А 1 С 1 сторон описанного ,прямоугольника делят на
семь равных частей. Из точек В и В 1 через точки деления прово­
дят лучи, точки пересечения которых образуют эллипс
у
х
Рис. 93 . Способ вычерчивания эплипса
Специальные 1юнструкции эллипсовых циркулей и эллипсо­
графов основаны на том, что если отрезок ВС, равный сумме
полуосей эллипса а + Ь, передвигать без отрыва концов его В и
С от осей координат, то точка А прямой ВС будет описывать
эллипс (рис. 94) . Известно, что
cos2ер+sin2ер =1,,
но
х
.
у
COSер=
-
ИS!Пер= -
.
а
Ь
После подстановки получим уравнение эллипса
х2
у2
-
+-=1.
а2
ь2
.
Для определения положения фокусов эллипса из точки В ра­
диусом R1, равным большой полуоси а, описываем дугу. В точках
пересечения этой дуги с большой осью расположены полюсы
(рис. 95).
Длина дуги эллипса, меньшая одной четверти его периметра,
может быть определена графическим способом В. П. Гончара.
70


Определим длину дуги АМ. Точки А и М соединяем прямой. Из
полюса F к прямой АМ проводим перпендикуляр FC. Отрезок
а
у
8
о
:::,.,
х
Рис. 94. Схема эллипсового циркуля
х
АС разделим пополам и половину отложим слева от точки С.
Таким образом, отрезок AD равен 1,5 АС. Из точки А радиусом
R2 , ра1Вным отрезку AD, описыва- к
ем дугу до встречи с продолжен·и-
..... ,
ем линии АМ 1в точке Р1. Из точ -
'- ...,
ки А прО1водим прямую AQ, па-
r, ',,
1 ..........
..... ....
1
.. ... ... ...
. .. .. ......
fу',,',
1
............
...... ....
..__ __
-- -- --'
L
м
/
х
с
Рис. 95. Определение длины дуги
эллипса
Рис. 96. Гео,метрия параболы
раллельную малой оси эллипса . Из точки Р 1 радиусом Rз, рав­
ным отрезку Р 1 М, засекаем на вертикали точку Q, которая опре­
делит искомую длину А Q дуги АМ.
71


Для графического определения, например дуги MN, треб у ­
ется описа·нным выше способом определить отдельно длины дуг
МА и AN, что и показано на чертеже. Длина дуги AN равна от­
резку AS.
Этот способ может быть применен для определения длины
лишь тех дуг, которые начинают,ся от большой или малой оси
эллипса.
Нормаль и ка-сательная к точкам эллипса представляют со ­
бой биссектрисы внутренних и внешних углов между радиусами-
векторами точки касания,
У
что является основой для ·их
построения .
Парабола является гео­
метрическим местом точек
А, равноудаленных от фоку­
са F и прямой ВС, называе­
мой директрисой (рис . 96).
х Если ~вдоль директрисы по-
..,,о_ ________ _____,, , _ _ _
ложить рейсшину, по кото-
Рис. 97. Способ
5б789
рой скользил бы угольник
KLM, и нить длиной LM за­
крепить ОДНИМ КОНЦОМ в фо­
кусе F, а другим - в точке
М, то, натягивая нить остри­
ем карандаша
и двигая
угольник, можно вычертить
построения параболы
параболу, так как отрезки
LE и ЕР ра1вны между со -
бой.
Уравнение параболы, отнесенное к ее вершине в точке О.
имеет ·вид
у2 = 2рх,
(20)
где по-стоянная р - параметр параболы.
Расстояние DF от фокуса F до директрисы ВС равно р. На­
чало ко-ординат, а следовательно, и вершина параболы располо-
жены от фокуса F на расс;оянии L. Величина хорды RS, прохо-
2
дящей через фокус F перпендикулярно оси Ох, равна 2р.
Построение параболы производится следующим образ,ом .
Пу,сть дана ось параболы, совпадающая с осью Ох, заданы вер­
шина ее в точке О и две точки А и -4 1 параболы, расположенные
симметрично относительно ее ,оси (рис. 97). Стр-оим прямоуголь­
ник АА1В1В и делим его стороны АВ и А1В1 на равные части,
на.пример на 10 частей. На такое же число частей делим от­
резки ОВ и OВ 1 . Вершину параболы соединяем лучами с точка­
ми деления прямых АВ и А1В 1 . Затем через точки деления ор-
72


динат проводим прямые, параллельные оси параболы до пере­
сечения с соответствующими лучами. Точки пересечения
являются точками параболы.
Для проверки этог,о положения обозначим ,отрезки ВА и ОВ
через а ,и Ь. Число равных частей их деления обозначим через п.
у
с
2' з'
5'
б'
А
х
о
Рис. 98. Способ вычерчивания параболы
Тогда для т-го деления отрезков ВА и ОВ в точках С и D мож­
но на,писать
ВС= _!!!_аиOD= _!!!_Ь.
п
п
Из подобия треуюльников ODE и ОВС следует, что
о тсюда
поэт,ому
DE=вс ноDE=х·OD=у·ОВ=Ь·
0D
ОВ'
'
'
'
х
у
таНОт
у
пЬ'
-;;
-
Ь'
•ь2
у2=-Х .
а
Получено уравнение параболы, отнесенное к вершине с пара­
метром
ь2
р=
2а
Для построения параболы иногда пользуются модификацией
описанног,о способа. Заданы ось параболы , ее вершина в точке О
и точка А кривой (рис. 98). Соединяем лучом вершину О с точ­
кой А и проводим ряд прямых, параллельных оси параболы.
73


Через точки перееечения этих линий с лучом ОА проводи м вер­
тикали до пересечения с прямой СА в точках 11 , 21 , . . • , 61, ,к.ото­
рые соединяем лучами с вершиной О. Точки пересечения лучей
с соответствующими прямыми, паралле л ьными оси парабо л ы ,
соединяем плавной линией. Полученная кривая является пара­
болой .
Длина дуги параболы , начинающейся от вершины, м ож ет
быть определена способом, показанным на рис. 95.
Касательная и нормаль к параболе являются биссектрисами
углов между радиус,ом-вект,ором точки касания и перпендик уля-
Рис . 99. Построение кубической параболы
ром, опущенным из этой точки на директрису. Это определение
представляет основу для их построения. Но касательную можно
построить и при отсутствии фокуса, опуская из точки касания
перпендикуляр на ось параболы и откладывая по оси от верши­
ны к директрисе отрезо·к, равный отрезку от основания перпенди­
куляра по оси до вершины. Касательная пройдет через т,очку
ка,сания и конечную точку этого отрезка на оси параболы .
Куби ч еская парабол.а имеет уравнение
у= ах8•
Заданы вершина О, ось Ох и точка М искомой параболы . По­
строим прямоугольник OKMN, ,стороны его ОК и КМ делим на
одинаковое число равных частей и на КМ описываем полуокруж­
ность (рис . 99). Из точки К, принимая ее за центр, проводим дуги
la, 2Ь, ... ,бh радиусам,и Kl, К2, ... ,Кб. Через точки а, Ь, с, ... ,h
проводим вертикали до пересечения с КМ в точках 11, 2', 3' , . .. ,б' ,
которые соединяем лучами с началом координат О . Горизонтали,
74


проведенные через точки деления ординаты ОК, пересекут лучи
в точках, лежащих на искомой кубической параболе.
Полукубическая парабола выражается уравнением
у = ах'1•.
Заданы вершина О , ось Ох и точка М иекомой параболы. По­
строим прямоугольник OKMN, стороны 1юторого ОК и КМ де ­
лим на одинаковое число равных частей (рис. 100). Через точки
деления стор,оны КМ , проводим вертикал,и до встречи ·С полуок­
ружностью, •описанной на КМ. Из точки К, принимая ее за центр,
.У
к ~-------.--.------,-:;,г--<;>--т;;,г--,г.;,т,r,-т--,,-,,----;,г,,~
Nх
•О
Рис. 100. Построение полукубичесжой параболы
радиусами Ка, КЬ, . . . ,Kh проводим дуги al', Ь2', ... ,hб'. Точки
1', 2', .. . , б' •Соединяем лучами с началом 'координат О . Горизон­
та л и , проведенные через точки деления ординаты ОК, пересекут
л учи в точках, являющихся точками искомой полукубической
параболы .
Гипербола есть геометрическое место точек К, для которых
разность фоку,сны х расстояний KF 1 и KF все время остается по ­
стоянной и равна данному отрезку 2а между вершинами ветв е й
кривой (рис. 101) .
Если взять линейку DC длиной l и закрепить ее концом D в
ф окусе F,, а к другому е е концу С и к фокусу F прикрепить нить
длиной l - 2а, то, натягивая нить острием карандаша и вращая
линейку отнооительно фокуса F 1, можно вычертить ветвь гипер-
болы.
'
Оси координат служат осями симметрии гиперболы, которая
распадается на две обособленные ветви с центром в начале
к оординат .
75


Уравнение ги1пер-болы относительно осей прямоугольной си­
стемы координат
х2
у2
-
-
-
=1
а2 ь2
'
где а и Ь - длины пол.уосей.
При а = Ь ура1внение примет вид
х2-у2= а2;
такая гипеР'бола называется равнобочной .
(21)
Точки А и А 1 называют вершинами, а диагонали - асимпто-
тами гипер'6олы. Гиперболы, расположенные си·мметрично
!/
Рис. 101. Геометрия гиперболы
относитель,но оси Оу с ~вершинами 1в точках В и В1, называютоя
сопряженными и определяются уравнением
у2
х2
-
-
-
=1.
(22)
ь2
а2
Построение точек гип,~р~болы в ~практике необходимо глав­
ным образом для шаблонов . Задаются ~прямоугольная система
координат, в которой центр гипер,б-олы совпадает с началом
координат, вершина А и точка М на ветви гиперболы. Если
ура,внение асимптоты, проходящей через начало координат ,
имеет вид
ь
где -
= tga,
а
76
ь
У=±-х,
а


то асимптоту .проще всего строить по ее угловому коэффициенту.
Для этого откладывают от ,начала координат катет а по
оси Ох до вершины гиперболы и от вершины по вертикали J{а­
тет Ь; гипотенузой является асимптота (рис. 1О 1).
Асимптота может быть построена и .другим способом
(р,ис. 102). Через заданную точку М проводим прямую, парал­
лельную оси Ох, до пересечения с осью Оу в точке В', из кото­
рой радиусом В'М засекаем дугу MD' до пересечения в точке D'
с прямой A'D'. Прямую A'D' проводим параллельно оси Ох, от­
ложив по оси Оу отрезок В'А' = ОА. Из точки D' опускаем пер­
пендикуляр 1на В'М в точку С', которая является точкой асимпто­
ты ОК1.
Продолжив вертикаль D'C' вниз, отложим циркулем от­
резок С0 С", равный С'С(). Полученная точка С" принадлежит
асимптоте ОК2 .
Для нахождения точек М 1 , М2 , М3 ... наносим ~произвольно ряд
прямых В1С1, В 2 С2, В3 С3 , !Параллельных оси Ох. Из точек
С1, С2, Сз, ... , расположенных на асимптоте, в ·ос,ставляем перпен­
дикуляры C1D1= C2D2 = C3D3 = ОА. Из то,чек В1, В2, В3,... ра­
диусами B 1D1, B 2D2, ВзDз засекаем на продолжении пря·мых
В1С1, В2С2, В3С3,... т•очки М1, М2, М3,... ,
которые являются точка-
ми т1иперболы. Точки м; , м;, м;, ... нижней части ветви гипер-
болы расположены симметрично относительно оси Ох на верти­
калях М 1м;, М2м;, ,'v13M;, ..
Другой способ ~построения гиtпер·болы менее точный, но быст­
ро дает результат. Он применим 1в то.м слу1чае, когда заданы
асимптоты и точка К на криtвой. В прЯ'моугольной системе коор­
динат наносим заданные асимптоты OS и OS 1 и точку К гипер­
болы (рис. 103). Если через точку К провести вертикаль, пере­
секающую асимптоты в точках К 1 и В 1 , и отложить на ней от
точки В 1 отрезок В1В, равный отрезку КК1, то точка В будет
точкой гиперболы. Тот же результат получится, если отложить
от точки К 1 отрезок К 1 В, равный отрезку КВ 1 . Таким образом, на
пр ,ямой, ~проходящей через заданную точку гиперболы, отрезок
от заданной точки до точ 1ш пересечения с любой асимптотой
откладываем от точки пересечения с другой асимптотой и полу­
чаем новую точку гиперболы. Для построения гиперболы через
заданную точку проводим пучок секущих, которые определят
положение точек кривой. На левой ветви гиперболы показано
построение в том случае, когда точка К совпадает с вершиной
в точке А.
Длина ду ги ,гиперболы, начинающейся от вершины, может
быть определена способом, показанным на рис. 95.
Касательная и нормаль к гиперболе представляют собой бис­
сектрисы ~внутреннего и ~внешнего углов между радиусами - век­
торами точки касания, что является основой их построения.
77


- --1
00
lj
Рис . 102. Способ построен~~ я гиперболы
х
s
х
Рис. 103. Способ ,вычерчивания гиперболы


Циклоидальные кривые по характеру образования получают­
ся как след одной ,из точек радиуса при качении окружности без
скольжения ,по шр,ямой (циклоида), по окружности снаружи
(эпицикшоида) или внутри окружности (гипоциклоида). К: этой
группе относятся кривые, получа ­
ющиеся от качения прямой по ок­
ружности без скольжения (эволь­
вента). Циклоидальные кривые
находят применение в теории
циклоидальных и эвольвентных
зацеплений зубчатых колес.
Циклоида. Если фиксировать
след точки окружности при ее
качении по прямой без ·скольже -
у
ния, · то получится нормальная Рис. 104. Геометрия циклоиды
циклоида.
х
Если окружность радиуса R касается прямой в точке О и эту
точку примем за начало координат, а прямую, по которой ка­
тится окружность, за ось Ох (рис. 104), то уравнение циклоиды
примет вид
х=RarccosR- У +V2Ry- у2•
R·-
(23)
Для восходящей части .циклоиды следует брать знак плюс,
а для нисходящей - мин.ус.
!/
Аi
4"
5"
О
JГR
В
t------------ .J
Рис. 105. Способ построения циклоиды
Для построения циклоиды откладываем на прямой отрезок
ОВ, равный полуокружности ОА = nR (рис. 105). Делим дугу
ОА и прямую ОВ на четыре равные части и строим точки а', Ь',
с' ординат циклоиды, отнесенные к диаметру круга. На горизон­
талях от точек а', Ь', с' отложим влево соответственно отрезки
1а, 2Ь, Зс и находим точки 111 , 211 , 811 циклоиды.
Циклоида применяется в ~прикладной механике и теории
меха,низмов. Циклоидальное зацепление используется в часовых
механи·змах и в цевочном зацеплении"
79


Эпициклоида.1 • Точка А прои.зводящей окружности радиуса
R1 при качении ее без скольжения снаружи основной окружно­
сти радиуса R2, образует кривую, называемую эпициклоидой
(рис. 106). Уравнения эпициклоиды в прямоугольной системе
координат имеют вид
х=(R1+R2)cos~а- R1cos
R1 +R2 а·
(24)
R2
R2
'
у=(R1+R2)sin~а- R1sin R1+R2а.
(25)
R2
R2
При построении эпициклоиды откладываем на основ,ной ок­
ружности дугу АЕ, рав,ную половине производящей окружности.1
у
Рис. 106. Построение эпициклоиды
Д у~и АЕ и АВ делим на одинако1вое число п ра~вных частей, на­
пример на четыре (рис . 106) . Через точки деления дуги АЕ из
центра О проводим радиусы до пересечения в точках а', Ь', с'
с дугами, описанными из центра О через точки 7, 2, 3 деления
полуокружности АВ. На этих последних дугах от точек а', Ь', с'
откладываем по часовой стрелке соответствующие величины дуг
al, Ь2, с3 и получим точки 1", 2", 3", принадлежащие эпицик ­
лоиде.
Гипоцuклоuда в отличие от эпициклоиды 1полу1чается п ри ка­
чении производящей окружности ,внутри основной ·окружности
80


(рис. 107). Уравнение ги1поциклоиды в прямоrугольной системе
ко ординат
х=(R2- R1)cos.;: а+R1cos
R2- R1 а·
(26)
R2
'
у=(R2- R1)sin~а- R1sin
R2-R1
а.
(27)
,R2
R2
Способ построения гипо:циклоиды такой же, как и эпицикло­
иды .
х
Рис. 107. Построение гипоциклоиды
Рис . 108. Построение эвольвенты
Эвольвента, развертка окружности, получается при качении
прямой по окружности без скольжения . Если нить навернута на
цилиндр по часовой стрелке, то ,при раз'матывании натянутой ,ни­
ти ,против часовой стрелки при непод1вижном цилиндре конец ее
опишет кривую, которая называет,ся эвольвентой круга.
Уравнения эвольвенты дл,я окружности радиуса R с центром
в начале ,прямоугольной системы координат и с началом раз­
вертки ,в точке А, лежащей на оси Ох, имеет вид
х = R (cosa + asina);
у= R(sina-acosa).
(28)
(29)
Для построения эвольвенты по точкам откладываем на пер­
пендикуляре к оси Ох от точки В отрезок ВС, равный длине по­
л у окружности АВ (рис. 108). Делим отрезок ВС и полуокруж­
ность АВ на равное число п частей (п = 6) и на касательных
81


к окружности от точек 1', 2', 31, ... откладываем соот,ветс11венно
отрезки Bl, В2, В3, ... Точки А, 1", 2", 311, .. .
принадлежат эволь­
венте.
Существуют -специальные при1боры для вычерчивания эволь­
вент - 1эвольвентографы.
• Эвольвента применяется при профилировании зубьев зуб;ча­
тых колес, при проектировании эксцентриков, кулачков и за­
ж,имных приспособлений .
8
у
а
aff
Рис. 109. Построение лемнискаты
Лемниската предста1вляет собой геометрическое место точек S ,
для которых произведение расстояний FS и F 1S от фокусоrв F
и F 1 при фокусном расстоянии 2а является постоянной величи­
ной, равной а2 (рис. 109) . Кривая ~пересекает ось абс,цисс в двух
точках, находящихся на равных расстояниях от начала коорди­
нат, и, кроме того, обе ветви ее проходят через начало коорди­
нат. Из уравнения лемнискаты в декартовых координатах
(х2+у2)2 = 2а2 (х2 _ у2)
(30)
следует, что лемниската , представляет собой кривую четверто ­
го порядка.
Более удобно для расчетов и построений пользоваться выра­
жением лемнискаты ,в пол,ярных координатах
r2 = 2а2 cos 2сх.
(31)
82


В технике лемниската применяется в соплах для определе­
ния расхода воздуха. Для эксплуатационного определения со­
ста1вляющих воздушного ,баланса котельных агрегатов применя­
ют сапла с входом, выполненным по лемниакате с использова­
нием, разумеется, одной ее ветви. Для практического осуществ­
ления лемнискатного сечения сопла производит,ся гра,фический
расчет шаблона и развертки.
При заданном фокусном ра,сстоянии OF = а для построени,я
лемнискаты отложим на оси абсщисс от начала координат от-
резки АО= А 1 O = a-V2, а на перпендикулярной к оси прямой,
проходящей через точку А 1 , нанесем отрезок А 1 В, равный от ­
резку АО. Отрезки А 1 O и А 1 В разделим на одинаковое число п
частей (п = 8) и из начала координат О опишем дуги концентри­
чес,ких окружностей, проходящие через точки В и К и через точ- ·
ки деления 1, 2, 3, ... и 1', 2', 3', ... отрезков А1О и А 1В. Дуга Еб',
например, пересечет ось абсцисс в точке Е. Проведем через точ­
ку Е прямую, перпендикулярную оси, до пересечения с дугой
ВК в точках С и D. Соединим эти точки с началом координат
прямыми r;o и DO. Дугу, проходящую через точку 6 на оси
абсцисс, эти радиальные пря·мые пересекут ,в точках S1 и S2, ко­
торые являютс,я точками лем,нискаты.
Спираль Архимеда представляет собой траекторию точки, рав­
номерно движущейся по лучу, который в то же время ра~вномер­
но вращается вокруг неподвижной точки. Если точку О принять
з а полюс , а луч Ох - за полярную ось, то полярный радиус-век­
тор r представляет собой пройденный 1путь точки , равномеР'НО
движущейся по лучу, который равномерно вращается вокруг по­
люса О (рис . 11 О) . Ура,внение кривой в полярной системе коор­
динат
r=аср,
(32)
где а - некоторая ~положительная постоянная;
ер - полярный угол .
.
Спираль и·меет две ·ветви, ·образующиеся при пра1вом и левом
вращении луча.
Спираль Архимеда ~применяется в технике при проектирова­
нии к улаков и эксцентриков.
При построении спирали Архимеда исходят из тех ,соо'6раже­
ний, что при возрастании угла ер от О до 4:л значения r изменя­
ются от О . до 2:па (рис . 111) . От полюса О на !Полярной оси Ох
откла!Дываем отре.зок ОС = 2:па. Затем отрезок ОС и окружность
ради уса а , описанную из полюса О, делим на равное число п
частей (п = 8). Из полюса О через точки деления окружности
проводим лучи и на этих лу,чах засекаем циркулем точки деле­
ния отрезка ОС. Полученные точки принадлежат спирали.
При втором и ,последующих витках рассто,яние по лучам
между соседними витками равно 2:па.
83


Спираль лоrарифмическая - кривая, пересекающая все лучи ,
выходящие из полюса, под одним и тем же углом. Уравнение
логарифмической спирали ·в полярных координатах имеет вид
(33)
где а и т - постоянные, причем т = ctg'ljJ ; здесь угол 'ljJ между
лучом и хордой участка спирали.
Если угол (J) поворота лу1ча возрастает в арифметической 'Про­
грессии, то радиус~вектор r, отражающий путь, пройденный по
нему точк·ой, возрастает ,в геометрической юротрессии. Полюс О
является асимптотической точкой, к -которой спираль при,бли-
'1
1
\
\
\
'
б
'
'',
................ _
_
Рис . 11 О. Спира л ь Архимеда
Рис. 111 . Построение спирали Архи­
меда
жается, но не достигает ее. Ращиальное расстояние между смеж ­
ными витками ,быстро возра-стает .
Логарифмическая спираль применяется в технике !При конст­
руировании фрез с затылованными зубьями, кулач·ковых меха­
низмов и др .
Графа-аналитический способ построения
с подсчетом радиусов - векторов при делении
на1пример, на восемь ра,вных частей. При этом
п=О,1,2,...,8.
спирали связан
полуокружности,
nп
угол(J)=8
, где
Если требует-ся построить спираль для т = 0,2 то после ,под­
становки получим
О,2пп
r=аетч, =ае_8_=а•1,08n;прип=Оr= а.
Задавшись произвольным зна,чением а, вычислим r для ~всех
значений п и приступ им к построению -спирали, для чего прове­
дем полярную ось хх, на которой наметим полюс О. Опишем
произвольным радиусом полуокружность и разделим ее на во­
семь равных частей. Через точки деления проведем лучи, на ко­
торых от точки О отложим вычисленные значения r. Начальная
84


точка А при п = О лежит на полярной оси (рис. 112) . Продол­
жая подобные ,построения вни:з ,и ,вверх от полярной оси для от­
рицательных и 1положительных степеней п, 1полу~чим новые витки
логарифмической опирали .
х
а
-Рис . 112. Логарифмическая спираль
Построение логарифмической -спирали по хордам основано н а
постоянстве угла '\jJ метд у каждым лучом и прилегающей хор­
дой (рис. 113). На поляр 1ной оси хх наносится точка О полюса ,
отрезок ОА, равный а, и ра,вномерно расположенные лучи.
10
!2
х
Рис. 113. Построение логарифмической спирали
Есл.и задано, ,как и в предыдущем 1Примере, т = 0,2 = ctg '\jJ ,
то угол '\jJ = 78°40' находим по тригонометрическим таблицам .
От полярной оси в точке А откладывается угол '\jJ и проводится
8&


хорда Al и т. д. Через полученные точки 1, 2, 3, ... , 12 проводится
плавная кривая спирали.
Винтовая линия является траекторией точки М, которая дви­
жется равномерно по образующей равномерно вращающегося
круглого цилиндра. Радиусом винтовой л,инии называется ра- '
диус r ,цилиндра. Шагом S ви1нтовой линии явл,яется прямоли-
с
~
с.,,
в
2 Jrr
\
'-
"
""-
""1"
"'"" /
2'4'б'вб42
'
'
'
'
/
М/
/
V
\
~
о
1'
2'
]'
4'
S'
б'
7'
в
7
б
5
4
з
2
1
в
А J--j
1~(
2 ...._ _
~
''r---. .
~
,.. 7
~
,_...
З45
Рис. 114. Построение винтовой линии
. нейный
,путь точки по образующей за один оборот цилиндра
(рис. 114):
S = 21trtga..
Винтовая л.иния строится по уравнению
у= rtga.cp,
где ер - угол ~поворота радиуса r .
(34)
(35)
Развертка винтовой линии 1представляет собой прямую. Для
того, чтобы разметить ~винтовую линию на цилиндре, берут лист
тонкой жести или ,картона и размечают на нем прямоугольный
треугольник АВС, у которо,rо катет АВ равен длине окружности
основания цилиндра, а катет ВС - шагу винтовой линии. Выре­
за,нный после разметки шаблон (треугольник) ·о·борачивают во­
круг цилиндра так, чтобы точки А и В сошлись. По гипотенузе
АС размечают винтовую линию на цилиндре.
Винтовая линия применяется в резь6овых соединениях, в хо­
довых винтах, а та,кже при конструировании кулачковых меха­
низмов и др.
При конструировании шнеков, пространственных кулаrчкоrв
и др . применяется винтовая линия переменного шага {36].
86


.А!бсцисса XL = 2nrn, где п - число оборотов •винтовой линии
на цилиндре заданной длины L (рис.115). Уравнение винтовой
линии с ~переменным ша гом
tg2 ct2 - tg2 ct1
36
у = rcp tg а1 + --=---=--.с.__.:... ,2ср2.
()
4L
Начальный шаг
S1 = 2тсr[tgа1+ ;{ (tg2CG2 - tg2а1)]•
Конечный шаг
S2 = 2тсr[tgа2-
;{ (tg2 а2 - tg2 а1)].
Рис. 115. Винтовая линия переменного шага
(37)
(38)
Для определения начального и конечного ша,га и построения
винтовой линии геометрические параметры шнека или кулачка
должны быть заданы.
•
9. ПОСТРОЕНИЕ ТИПОВЫХ РАЗВЕРТОК
Сложная разметка деталей и их разверток значительно уп­
рощается, если ,в конструктороких или технололических бюро
составляются детальные чертежи разверток. Построение развер­
ток _по правилам нагчертательной .геометрии производится для
нейтрально,го слоя лист.а.
Линии разреза листав располагают по о·бразующим в преде­
лах одного ращиуса ·вальцов~и . Разрезы в листах !Патрубков или
переходов, напр-имер, с квадрата .на круг, размещают по глав­
ным осям в той части, где листы остаются прямыми.
Вальцовку эллиптических поверхностей заменяют вальцов­
кой по радиусу, со1Пр.ягая части дуг различного радиуса и фикси­
руя переходы с одного радиуса на другой.
81


В конструкции пересечения двух цилиндров расчет для при­
мыкающего цилиндра ведется 1по ~внутреннему диаметру, а для
цилиндра, к которому примыкает другой цилиндр, - по наруж­
ному диаметру . Длину развертки ,принимают по нейтральному
слою.
В заводских условиях при построении раз,верток для о п реде­
ления ординат или длин оrбразующих основание (окружность
или ее часть) раз1бивают на п равных частей в зависимости от
диаметра D;
D
До 250 мм
Св. 250» 350 »
»
350 » 500
»
п
8
12
16
D
Св. 500 До 750
»
750 » 1000
»
1000 » 1500
п
24
32
48
При определен-Ии размеров разверток под гибку шод прямым
или острым углом рассчитывается длина выпр ,я,мленного изги­
баемого участка ,для нейтрального слоя . При определении длины
развертки заготовок rпод :гибку фасонного профиля также расчет
ведут для нейтрального слоя, проходящего через центр тяжест,и
сечения .
Развертывание кривой проиЗ1водится приближенным, но до­
статочно точным 'Графическим опосоrбом малых хорд. В кривую
вписывается ломм-1ая линия, звенья -которой представл,яют со ­
бой малые хорды данной кривой. Хорды откладывают последо­
вательно на прямой и суммарный отрезок принимают за длину
опрямляемой кривой . Если принять отношение длины ду ги, стя­
гиваемой малой хордой, к ее радиусу равным одной четверти,
• то относительная ошибка от .замены дуги хор,дой, как показал
расчет, не :превышает 0,3 %, что вlПолне ,доп у стимо для тщатель­
ных графических построений.
При спрямлении плоской кривой переменной кривизны раз­
бивают ее на части, имеющие приблизительно одинако1вую кри­
визну. Затем намечают центры кривизны, выбирают радиусы
для каждой части и в!Писывают ломаную линию с хордами, рав­
ными примерно одной ,чет,верти радиуса .
Спрямление пространственной кривой. Пространс'J\венная кри­
вая может 6ыть представлена в двух ,проекциях : в гор,изонталь­
ной плос.кости ;кривой АВ и в •вертикальной плоскости кривой
А'В' (рис . 116). Применяя способ малых хорд, сначала спрямим
кривую АВ и получим прямую KL . Через точки деления пря ­
мой KL нанесем вертикали, на которые по горизонталям перене­
сем . точ,К,и второй проекции rв вертикалыной плоскости кривой
А'В' и получим кривую ЕР. Спрямление кривой ЕР, как пло­
ской, даст искомую ,полную длину пространственной кривой от ­
резком MN.
Развертка цилиндра, пересеченного наклонной плоскостью.
Дано : диаметр цилиндра D, наименьшая и ·наибольшая высота
88
:=аааша_...-m


образующих h 1 и h2 (рис. 117). Основ-ание цилиндра делим на
12 равных частей . Из точек деления проводим образующие ци ­
линдра , параллельные его оси. Для шостроения развертки боко­
вой ,поверхности цилиндр а _ rrр()водим горизонтальную пр,ямую
в'z
6F
./6
5./
./5
4./
./4
з ../
./з
2 ../
/2
1./
:41/ 1
Е о./-~
о
Т'
ко
1
2з
5бL
х
4
у
оМо
1
2
з45бN
А
\"2'......._ _
в
з
~б
45
у
Рис. 116. Спрямление пространственной кривой
длиной лD и делим ее на 12 ,равных частей . Через точки деления
наносим вертикали , на которых откладываем отрезки, равные
4
J ----
,. ...___
5
2/
["б
D~ .А'
1
v-
7
1,.....-
{
12 [\.__
//
11r--- 1 -g
10
/
/
!'\.
V
V.\
V~V
\
/
/
'
"" '-
-
1
J
7Т.lJ
I
1
1
12З45б7891011121
Рис. 117. Разверт к а боковой поверхности усеченного
цилиндра
соответствующим образ у ющим цилиндра . Линия , проходящая
через концы отрезков образующих , даст ~верхнюю ,кромку ра з ­
вертки у сеченного цилиндра, представляющую собой разверну ­
тую длину эллипса .
89


Развертка цилиндра с усеченными основаниями. Дано: ось
цилиндра [Iараллельна фронтальной плоскости, диаметр ци­
линдра D, высота образующей h1, расстояние между параллель­
ными основаниями Н (рис. 118).
Опишем на фронтальной проекции окружность, которую раз­
делим . на 12 равных частей. Через точки деления проводим
образующие цилиндра. В плане оба основания цилиндра проекти ­
руются в виде эллиптических кривых. Горизонтальный отре­
зок АВ длиной лD делим на 12 равных частей. Через точки деле­
ния проводим вертикали, на которые проектируем конечные
точки образующих. Соединяя пол ученные на вертикалях точки
плавными кривыми, получим развертку боковой по1верхности
цилиндра.
~~
./
......
~
~
-<::"'
_/
r- .....
V о,'-..
'\ 12
/
1'-..,
1-- ....
,
1......
7
А12з45б7в9101112
!"-.
~
JТIJ
, 1)4
~·
'
1.,,..
.........
"
о,
~:/
'
.........
/
'
'-
_,
......
Рис. 118. Развертка боковой поверхности усеченного ц.илиндра
8
1
Развертка прямого кругового конуса. Дано: диаметр оснО'ва­
ни~Я D и высота конуса Н (рис. 119).
Построим равнобедренный треугольник со сторонами R и ос­
нованием АВ, значения которых находим аналитически. Затем
из вершины F радиусом R описыва~м дугу, которая пройдет че­
рез точки А и В. Развертка боковой ,поверхности к,онуса пред ­
ставляет собой круговой сектор, радиус которого равен образую­
щей конуса, а длина дуги ВЕА равна длине окружности
основания конуса.
Развертка прямого кругового усеченного конуса с доступной
вершиной. Дано: диаметры D 1 и D 2 верхнего и нижнего оснований
усеченного конуса, высоты h и Н усеченной части конуса и пол­
ная высота до вершины F (рис . 120).
r
По формуле а = 360 -, где r - радиус основания конуса и
L
L - длина _ образующей, подсчитываем угол развертки а и 01пре­
деляем радиусы R 1 и R2 , равные образующим CF и AF. Постро­
им . равнобедренный треугольник AFB и опишем из вершины F
90


дуги АВ и СЕ, ограничивающие развертку боковой поверхности
усеченного :конуса.
Рис. '119. Развертка боковой
поверхности конуса
Рис. 120. Развертка боковой
поверхности усеченного ко­
нуса
Развертка прямого кругового усеченного конуса с недоступной
вершиной. Дано: диаметры D1 и D2 верхнего и нижнего оснований
и высота Н усеченного конуса (рис. 121).
Рис. 121. Развертка боковой поверхности усеченного ко•
нуса с недоступной вершиной
Подсчитаем длины хорд АВ и СЕ и высоту равнобокой
трапеции АВЕС и вычертим ее. Построим по точкам дуги АВ и
СЕ, ограничивающие развертку боковой поверхности усеченного
конуса. Стороны АС и ВЕ образуют, как известно, угол а. Нахо­
дим биссектрису 0 10 2 этого угла известным нам способ.ом
91


а,
(см. рис. 68). Затем находим 6,иссектрису MN угла -
.
Из про-
2
извольной точки Оз, расположенной на ·биссектрисе MN, радиу­
сами Rз и R4 засекаем точки К и F, которые лежат на искомых
дугах и о1Пределяют высоты их стрелок.
Таким ,образом, зная длины хорд и высоты стрелок, можно
построить дуги при недоступно'М центре (см. рис. 71 - 74). Маж­
а.
но построить биссектрисы углов -- и и-з ,произвольных точек 0 4
'
.
4
и 0 5, расположенных на этих iбиссектрисах, радиусами R5 и R6
засечь точки М и N, являющиеся точками искомых дуг, ·и так
продолжать построение до тех пор, ,пока ·не получим достаточ ­
ное ,к·оличество точек для •проведения дуг АКВ и CFE.
А
В
с ~-,--,--.-----◊к------.---г---,--,--~
h
1
F
Рис. 122. Приближенный способ построения развертки усеченного конуса
Для построения дуг АВ и СЕ развертки усеченного конуса
часто применяют приближенный способ (рис . 122). Определяем
стрелку h дуги CFE, делим хорду СЕ ,на п равных частей и в точ­
ках деления проводим ординаты 11, 2 2, 3 3 .... Построим отдель­
но вспомо ·гательную окружность радиусом, равным длине стрел­
ки h. Четверть окружности делим на п равных частей, точки
деления соединяем лучами с центром 0 1, который вынесен по вер­
тикальному диаметру за окружность на одну ;пятую длины
стрелки h. Отрезки лучей от горизонтального диаметра до точек
деления на окружности равны соответс11вующим ис~юмым орди­
натам дуги CFE.
Развертка косого конуса, усеченного наклонной плоскостью.
Дан о: диаметр D основа•ния конуса, полная высота конуса Н,
наибольшая и наименьшая высоты Н 1 и Н2 усеченного конуса и
эксцентрицитет е ...:_ расстояние между центром ·основания ,кон у ­
са и проекцией вершины на это основание (рис. 123).
Полуокружность основания делим •на шесть равных частей,
точки деления соединяем лучами с проекцией вершины F, пере­
носим их на фронтальную проекцию и проводим образующие до
вершины F'. Для определения длин образующих
строим диаг­
рамму с прямым углом ABF0. На оси абсцисс откладываем от-
92


резки ВО, Bl, В2, .. .,Вб, равные отрезкам · образующих ОР, JP,
2Р, ... ,бР в плане. Концы этих ОТР.езков, отложенные на оси
абсцисс АВ, соединяем лучами с вершиной Р0 и получаем длины
образующих. С фронтальной ;проек ции no горизонталям перено­
сим на соответствующие о'6разующие точ-ки сечения конуса
наклонной плоскостью и соединяем эти точки кривой линией.
Для построения развертки боковой поверхности усеченного ко-
х
о
z
Рис. 123. Развертка боковой поверхности косого конуса, усеченного
наклонной плоскостью:
а - сечение конуса; б
-
диаграмма образующих; в - развертка
нуса проводим вертикальную линию Р0б, которая является осью
симметрии, и откладываем на ней из диаграммы длину образую­
щей Р0б, которая соответствует наименншей высоте Н2 усеченно­
го конуса . Справа и слева от точки б развертки засечем дуги
радиусом, равным делениям окружности основания. На них засе­
чем длины о·бразующих Рr/5. Так последовательно перенесем дли­
ны всех образующих и соединим конечные точки плавной кри­
вой. Для ,получения развертки эллиптического сечения конуса
из диаграммы на каждую образующую ;перенесем отрезки О 0 0 ,
.11,220,..., б бо.
Полученные точки 0 0, 10, 20, ...
соединим плав-
93


ной кривой и полу,чим развертку боковой поверхности косого
усеченного ,к·онуса.
.
Развертка переходного патрубка с круглым и прямоугольным
основаниями . Дано: размеры прямоугольного основания а Х Ь ,
диаметр круглого ос.нования D и высота патрубка Н (рис. 124).
Боковая поверхность такого па-~:рубка образует,ся из четырех
частей конической поверхности и четырех ,плоских треугольни­
ков. Вершины конических поверхностей совпадают с углами
прямоугольного основания . Четверть окружности верхнего осно-
z
о'1'2' J'4'
м
у
(!J
Рис. 124. Развертка патрубка с круглым и прямоугольным основа ­
ниями:
а - патрубок; б
-
диаграмма образующих; в - развертка
вания патрубка делим на четыре равные части , и точки деления
соединяем с углом прямоугольника в точке А. Эти лучи перено­
сим на фронтальную проекцию, и для определения действитель­
ной длины образующих :построим •диаграмму с прямым углом
F04. На горизонтальной оси от точки О откладываем отрезки
АО, Al ,...,A4 равные проекциям образующих на горизонтальную
плоскость. На вертикальной оси откладываем отрезок OF, рав­
ный высоте Н ~патрубка. Гипотенузы 1F, 2F, ...,4F прямоугольных
треугольников представляют собой действительные длины обра­
зующих .
Построение развертки надо начинать с оси симметрии 4С ,
которая является -высотой равнобедренно·го треугольника А'4'В' .
От точки 4 впраrво и влево откладываем отрезки, равные деле­
ниям окружности в плане . Из диаграммы циркулем берем по­
следовательно длины образу~рщих и засекаем из точек А и В
94


iJ:
соответствующие точки развернутой окружности. Патрубок изго­
товляют из двух одинаковых разверток, стыкуемых по ли­
нии MN.
Развертка винтовой поверхности. Дано: D 1 - внутренний и
D2 - наружный диаметры шнека; S - шаг винтовой поверхности
(рис. 125).
Развернутая длина одного витка винтовой линии равна гипо­
тенузе прямоугольного треугольника, один катет которого равен
шагу S винтовой линии, а другой - длине окружности цилиндра,
на котором нанесен·а винтовая линия. Построим прямоугольные
Рис. 125, Определение элементов развертки винтовой поверхности
треу гольники АСЕ и ВСЕ, у которых общий катет СЕ равен ша­
гу S в интовой поверхности, катеты АС и ВС равны длинам ок­
ружностей лD2 и лD 1 , а гипотенузы АЕ -И ВЕ равны длинам раз­
вернутых винтовых линий L 2 и L 1 одного витка. От точки А на
гипотенузе отложим отрезок АК, равный отрезку ВЕ, а от точ­
ки Е отложим отрезок EN, равный ширине Ь винтовой поверхно­
сти . Соединим прямой точки В и К и через точку N проведем пря­
мую MN, ,параллельную пр,ямой ВК. Отрезок ЕМ равен радиусу
R 1 отверстия кольцевой развертки одного витка винтовой поверх­
ности. Если ширина винтовой поверхности Ь = 0,5 (D 2 - D 1 ), то
наружный радиус R2 разверт,ки равен
R2=R1+Ь.
У.гол выреза развертки
' 360° (2лR2- L2)
<р=
2лR 2
95


а хорда
аЬ=2R2sin__!__
2
Для получения винтовой поверхности вырезают необходимое
количество разверток отдельных витков . На цилиндре диа­
метра D 1 наносят винтовую линию шага S, кольцевые раз1вертки
отдельных витков растягивают ,по винтовой линии и привари­
вают их к цилиндру, а также сваривают между собой по торцам.
Винтовые поверхности в технике применяются в конст,рукции
транспортеров для перемещения и •подъема ,сыпучих материалов
и жидкостей в растворомешалках и др.
Развертка двух пересекающихся прямых круговых цилиндров.
Да .но : пересечение симметричное под прямым углом, диаметры
цилиндров D1 и D2 (рис. 126).
б)
х
О1
мо0
7ёlJ·
z
!! C-0 -12
__--t-.c-_~
4 о--Е
8)
1/J 15 16
зsо0 N
Рис. 126. Развертка . пересечения цилиндров:
а - пересечение цилиндров; б
-
развертка боковой поверхности;
в - развертка отверстия
Из центров о; и о; на фронтальной и профильной проекциях
опишем полуокружность диаметра D1 и разобьем ее на восемь
равных частей. Через точки деления проведем линии, параллель­
ные вертикальной оси цилиндра, до встречи с окружностью гори­
зонтального цилиндра в 11очках О', 1', 2', ... , 4', которые rперено-
96


сим по горизонталям на соответствующие параллели профиль­
ной проекции, в результате чего ...:получим линию пересечения
двух цилиндров . Длины ординат О" о;, 1" J;, 2 11 2; и 3" 3;
используем дл,я построения развертки боковой поверхности вер­
тикального цилиндра. На горизонтальной прямой MN отложим
отрезок, длина которого :равна лD 1 , и разделим его на 16 равных
частей. Через точки деления проведем вертикали, на которых от
линии MN отложим ординаты О" о;, 111 1{, 211 2;' и 3" 3; и
соединим полученные точки 1пла1вной кривой .
Развертку отверстия горизонтально-го цилиндра строят нане­
сением сетки из взаимно перпендикуляр,ных прямых, взятых
из основных проекций. Точки пересечения линий сетки опреде­
ляют очертание выреза в цилиндре.
Развертка , поверхности пересекающихся круговых конусов.
Оси конусов расположены во фронтальной плос,кости и пере­
секаются под произвольным у глом в точке О (рис. 127) . В этом
DJ
Рис. 127. Развертка пересечения конусов:
а - пересечение конусов; б
-
развертка бо ковой повер х ности у сечен•
ного кон уса; в - ра з вертка отверстия конуса
сл у чае для ~построения линии пересечения поверхностей конусов
целесообразно применить метод вспомогательных концентриче·
ских сфер.
Это по з воляет пользоваться лишь одной фронтальной п,роек­
uией с нанесением пол уокружностей оснований конусов.
4 Зак. 334
97


Из центра О пересечения осей конусов построим произвольную
с феру, которая на чертеже изобразится окружностью /. Эта
сфера будет ооосна с той и другой конической поверхностью и
рассечет каждую иэ них по окружности . О~ружности на чер­
теже, в данном случае, ,изобразятся отрезками прямых АА и ВВ,
а точка С ~пересечения этих прямых ·будет р.асположена на иско­
мой линии пересечения.
Для нахождещ~я линии ,пересечения поверхностей ,конусов
важно, чтобы радиус окружности сферы был меньше расстоя­
ния 01 . Изменяя радиус вспомогательной сферы, можно пол у ­
чить необходимое число точек дл,я вычерч~ивания линии пересе­
чения. Точки 1 и 5 являются точками пересечения очерковы х
образующих к1онусов. Для нахождения границы линии пересече­
ния построим сферу III, вписанную в конус с вертикальной осью.
В результате получим точку 3. Промежуточная сфера II даст
ТОЧК1И 2 И 4.
Для построения разверток разделим полуокружности основа­
ний вертикального конуса на шесть частей, а усеченного ко­
нуса - на четыре части. Через точки деления, перенесенные на
диаметр, проводим образующие, находим их истинные длины J1
подсчитываем угол а, при вершине развертки усеченного конуса .
10. ТОЧНОСТЬ РАЗМЕТКИ
В графических построениях неиз•бежны пог,решности, кото ­
рые ,вызываются совместным влиянием ряда независимых фа,кто­
ров. Часть ·из них носит систематический характер, например,
неточность tрадуировки шкал. Другая часть относится к случай ­
ным ошибкам, ,связанным с несовершенством органа зрения,
невнимательностью и неаккуратностью.
Для повышения точности графических построений и расчетов
необходимо знать и учитывать причины возникновения и вели­
чины ошибок. По данным Б. Я. Мирошниченко, эксперименталь­
ными и стат,истичеекими методами определены 1пределы точности
элементарных графических построений.
Приведем некоторые из этих данных. Например, при проведе­
нии прямой через точ,ку минимальная ~погрешность составляет
0,08 мм, при откладывании отрезка - 0,94 мм, при отмер,ивании
отрезка циркулем - 0,04-0,09 м,и, при нахождении точки пере ­
сечения прямых - 0,03 мм, при нанесении точки на пр,ямой ка­
рандашом - 0,05 мм, при нанесении точки на прямой ци.рку­
лем - 0,03 мм, при установке ножки циркуля в данную точку--
0,08 мм.
Диаметр пятна ошибок rпри установке ножки циркуля ра ­
вен 0,2 мм, то же при отметке карандашом - 0,25-0,3 мм. По д
пятном ошибок понимают поле, в пределах ,кото,рого уклады­
ваются ошибки данного графического построения.
98
;,е;:;;;:,еи;


Точность нанесения угла по транспортиру равна 0,06°, т. е.
приблизительно 4', угловая точность проведения по угольнику
и линейке перпендикуляров и ,параллельных линий при длине
их l = 100 мм - 16", угловая точность прикладывания
линейки
к двум точкам, отстоящим д,руг от . друга на расстоянии
lt
о ,04
"
•"lt
о. ооз
: g{JJ=
-
l-, то же к прямои линии длинои : g<р=
-l-
Рис. 128. Определение точности графического деления отрезка
прямо·й пополам
Элементарные графические ,пост.роения (разметка точек, пря­
мых , дуг окру :щностей) применяются при более сложных по­
строениях, например, при построении углов, делении отрез -ков
и ок,р ужностей на части, разметке плоских фигу.р и др. Необхо­
димо учитывать, что оши1бки, допущенные в элементарных
построения х, накапливаются. Поэтому каждое элементарное
построение следует выполJ-Iять с наибольшей возможной точ­
ностью.
99
4*


Особенно высо~ие требования к точности ,разметочных работ
предъявляются при выполнении объемной машиностроительной
разметки, при инст.рументальной и некоторых в•идах плазовой
разметки, при разметке штампов и прессформ, связанной со
сложными графическими построениями.
Для определения сумма,р.ной погрешности в графическом по ­
строении :применяется метод сложения пятен ошибок. Ра,ссмот­
рим, например, ' по данным Б. Я. Мирошниченко, с какой вероят­
ной точностью с помощью циркуля и линейки можно разделить
отрезок пополам (.рис . 128). При установке ножки циркуля сна ­
чала в точку А 1 , а затем в точку А 2 неизбежна некоторая по­
грешность, которая может быть изображена пятном ошибок
в 13иде окружности с центрами в точках А1 и А2 . Исходя из ,край­
них возможных ,положений ножки циркуля в пределах окруж­
ности, пятном ошибок для точек В1 и В2 будет заштрихованная
:-юна, ограниченнр.я пересечением дуг k1, k2 •и т 1 , т2 в пределах
которой, вероятно, окажутся точки пересечения- дуг k и m.
При проведении между точками В 1 и В2 общей хорды, которая
должна в точке С 1 разделить отрезок А 1 А 2 пополам, возникнут
дополнительные пог.решности, которые изоrбразятся эллипсами.
Огибающая их кривая п определяет границы суммарного пятна
ошибок. Наи,большая оrшиlбка при делении от,резка А1А 2 :попо ­
лам получится, очевидно, при смещении общей хорды в положе­
ние касательной к суммарному пятну ошибок, для которой С 2 бу­
дет искомой точкой. Отрезок С 1 С2 характеризует наибольшую
возможную ошибку при делении отрезка А1А2 пополам.
Для достижения наи·большей точности пр•и графическом де ­
лении отрезка следует так подбирать длину ,радиуса R 1 дуг k
и m, чтобы касательные к ним в точках В 1 и В 2 пересекались под
углом, близким к 90°. Этому
услов,ию удовлетворит радиус,
равный А1А2 : V2 = 0,7 А1А2. В этом случае эллипсы ошибок
обратятся в круги с радиусом, равным 0,03 мм. Ширина заштри­
хованного пятна будет 2- 0,08 мм. Значение ошибки С 1С2 будет
равно в этом случае сумме прое,щий на А 1 А 2 двух отрезков
С1С2= D1E+EFcos45° = 0,03+2•o,osV'2 = О,14мм.
~
2
Вычислив точность деления отрез-ка пополам, не следует
в дальнейшем дробить эти построения на элементарные, а нужно
пользоваться полученным результатом. Суммируя ошибки типо­
вых построений, можно быст.ро о·пределить точность сложного
графического построения.


ГЛАВА
111
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
11. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
При графических построениях оперируют геометрическими
элементами, имеющими то или иное физическое измерение.
Результат графического построения дает только число, наи­
менование же единиц зав1исит от наименований данных чисел .
Если числа а и Ь измеряются ·в м, то произведение их - в м 2
илиеслиаиЬ-в к.гсим,то результат- вк.гсм.
Пользуясь циркулем и линейкой, каждое число можно ,изо ­
бразить лрафически отрезком прямой линии, длина которого
зависит от выбора модуля построения. Модулем •графичеекого ·
изображения числа •считают число миллимет,ров, условно при­
нятое для ,изображения единицы данного числа.
Выбор модулей позволяет так подобрать размеры чертежа,
чтобы графические пост.роения не выходили за рамки выбран­
ного формата листа.
Сложение и вычитание чисел. При сложении чисел соотв-етст ­
вующие им отрезки прямых линий от,кладывают один за другим
в одну сторону, принятую для положительного направления.
При вычитании вычитаемый отрезок откладывается от конца
первого отрезка в об.ратную сторону. Для нахождения числовых
значений ,результата сложения или вычитания необходимо знать
модуль построения.
Сложение и вычитание отношений. Требуется произвести
алгебраическое сложение отношений, которые приводим к об­
шему знаменателю
Ь11Ь2 Ьз_У1+У2
-
Уз
-
,
----
С1 С2
С3
d
а
d
В прямоугольной системе координат отложим в мм по оси
ординат отрезки числителей отношений с учетом знака, а по оси
абсцисс от,резки знаменателей и отрезок d общего знаменателя
произвольной длины (рис. 129). Соединим прямыми линиями
соответствующие точки от.резков числителей ,и знаменателей В 1
и С1, В2 и С2, В3 и Сз и из точки D проведем лучи, параллельные
этим линиям, до пересечения с осью ,ординат. Исходя из подобия
треугольников ОВ 1 С 1 и Oy 1D найдем графически отрезок У1•
. 101


Таким же путем найдем отрезки У2 ,и Уз - Суммирование и х п о
общему пра1вилу даст величину и знак от.резка а. Разделив о тре ­
зок а на отрезок d, найдем искомую сумму .
tj
t
!J
/
1/з /
/
/
/
/
Рис. 129. Сложение отношений
Сложение кривых. В инженерной практике чаще пользуются
эмпирическими кривыми и г.рафиками функций, нежели их ана­
питическими •выражениями , по-
+g,
этому ,возникает необходи­
)(1 .1х .1х
L)x
х
мость производить с кривыми
алгебраические действия.
Даны кривые У1 = f(х) и
у2=(j)(х)соднойитойжене­
за1висимой переменной (рис.
130). Требуется построить кри­
вую ·
Уз=f(х)+(j)(х),
о
ординаты которой равны су мм е
соответствующих ординат дан­
ных кривых . Кривые ,строят 1в
общей системе координат и ·В
+1J2
одинаковом ма·сштабе. Дл я
удобства ,сложения кривых ор-
Рис. 130. Сложение кривых
динаты функции у 1 отклады-
вают вверх, а ординаты функ­
ции У2 - ~вниз . На оси Ох возьмем абсциссу х 1 начальной точки
разби,вки и от нее ряд точек, отстоящих одна от другой на рас­
стоянии Лх. Через эти точки проведем ординаты, после чего от
оси Ох циркулем откладываем ,суммарные ординаты 1'1". 2'2'1,
102
,


3'3", ... Найденные точки 1, 2, 3, ... •соединим пла1вной кривой, ко­
т ора я представляет собой сумму заданных кривых.
Вычитание кривых. При вычитании кривые также строят
в об щей системе координат и в одинаковом масштабе, но орди­
наты для обеих кривых откла1дывают от оси Ох в одну сторону.
Отрезки ординат, ог,раниченные данными ,кривыми, откладывают
циркулем от оси Ох и через полученные точки проводят плавную
1<р и вую, которая ПР,едставляет собой разность данных кривых.
12. УМНОЖЕНИЕ
Умножение чисел и отношений. При графичео~юм умножении
и д елении знак произведения и частного определяют по прав.и­
лам алгебры, а действия производят, не обращая внимания на
з н а ки величин.
Произведение вида аЬ = у м,ожно представить отношением
а
__J/.__
ь
На горизонтальной прямой от точки О отложим отрез­
ки ОА = 1 и ОВ =Ь (рис. 131). Во·сставим перпендикуляры
в т очках А, В и Х. От точки А вверх отложим от.резок АС, ра1в­
ны й а. Через точки О и С проведем прямую ОС, которая пере­
се чет два других перпендикуляра в точках D и У. Отрезок BD
р авен искомому произведению аЬ, что вытекает из подобия тре­
угольников ОАС и OBD.
Перпендикуляр, восставленный в любой точке Х до пересе­
че ния с прямой ОС, даст отрезок ХУ, равный произведению ах .
Та к им образом, это пост.роение может ·быть использовано для
п ересчета масштаба и пропорционального увеличения заданных
вел ичин .
а
а
у
Произведение вида - с = у или -
=-
можно найти,
ь
ь
с
пол ьзуясь описанным выше построением (рис . 131).
п
"
Ь1Ь.Ь3
роизведение отношении -
.
-"-•
-
находим следующим
С1
С2
С3
об.разом . На оси Ох от нач'ала координат О ·отложим отрез­
I<и ОС1 = с1, ОС2 = с2 и ОСз = Сз. На вертикалях от точек С1,
С2 и Сз, отложим отрезки В1С1 = Ь1, В2С2 = Ь2 и ВзСз = Ьз
( рис. 132). На оси Ох берем отрезок ОХ1 произвольной длины Х1
и п роводим луч ОВ 1 до пересечения в точке У 1 ,с вертикалью, про ­
ход ящей через точку Х 1 . Полу,чим ординату у 1 . Затем отклады­
в а е м абсциссу х2 , равную -ординате У1, проводим луч ОВ2 и нахо­
д им ординату У2- Откладываем, аналогично, абсциссу Хз, равную
о рдинате У2, проводим луч ОВ 1 и находим ординату Уз.
Из подобия треугольников ОВ1С 1 и ОУ1Х 1 , ОВ2С2 и ОУ2Х2,
О В з Сз и ОУзХз находим, что произведение отношений равно
Ь1Ь2ЬзУз
-
.
-
.-==-.
103


Если принять, что х 1 = 1, то Уз даст значение искомого произ­
ведения.
(J .,_____--1...,...,_-~1..---1-.....1_
\-----'- - - - - -alA
вх
ь
;(
Рис. 131. Умножение двух
величин
у
х
Рис. 132. Умножение отношений
Умножение кривой на постоянную величину. Дана кривая
Уа= f(x) (рис. 133). Требуется построить кривую Уь = Kf(x),
где К - некоторая постоянная величина.
На к,ривой Уа= f (х) возьмем несколько характерных равно­
мерно распределенных точек 1, 2, 3, ... и спроектируем •их на оси
у
Рис. 133 . Умножение кривой на постоянную велич. ину
Оу и Ох. Выберем на продолжении оси Ох произвольно точку
полюса Р и соединим ее лучами с точками, перенесенными с кри­
вой на ось Оу. Пересечем пучок лучей произвольно выбранной
вертикалью АВ . Точки пе.ресечения перенесем по горизонталям
на соответствующие ор,динаты данной кривой и соединим их
плавной кривой линией, которая представляет со·бой искомую
104


1<ривую Уь = Kf (х) в некотором масштабе. Для определения мас­
штаба полученной ,кривой зададимся произвольным зна чением
данной функции Уа, например у 1 = ОС, и .найдем соо11ветствую­
щее ему произведение Kyi = АВ = а (.м..м.). Затем изме­
рим ОС = у 1 в масштабе данной кривой и вычислим аналити­
чески произведение Ку 1 = Ь (единиц). Отсюда масштаб иско-
мой кривой равен _!! _ __ (единиц/мм.).
а
Если масштаб иск·омой кривой указан заранее, то верти­
каль АВ должна быть проведена на определенном расстоянии
от полюса Р. Для этого вычислим аналитически произведе­
ние Ку. Полученная ордината в масштабе, указанном для иско­
мой кривой, засечет луч СР в точке В.
Через точку пересечения проведем вертикаль АВ.
Если К - отвлеченное число и умножение данной ,кривой слу­
ж ит только ,для измерения масштаба ординат, то положение
полюса Р на ос-и Ох, т. е. расстояние ОР 1выби.рается произволь­
но. Расстояние же вертикали АВ ·от полюса Р вычисляется по
формуле АР= ОР - К.
Умножение двух кривых. Даны кривые Y ci = f (х) и Уь = (j) (х) .
Требуется построить кривую
Ус= f(х)ер(х).
Первую данную кривую ст.роим в системе координат у'Ох
(рис. 134). Точки 1, 2, 3, ... спроектируем н а ординату. Из полю­
са Р, взятого произвольно на продолжении оси Ох, проведен
п у чок лучей через спроектированные точки. Вторую заданную
кривую строим в системе координат у"Рх, повернутой по часовой
стрелке на 90° по отношению к первой системе координат.
На второй кривой ~берем точки, ,соответствующие точкам первой
1< ри1вой, и переносим по вертихальным прямым на соответствую­
щие лучи. Полученные-на лучах точки 1", 211, 311, .. .
по горизонта­
лям перено си м в перв у ю систему координат на соответствующие
ординаты и соединяем плавной линией, которая и являетс,я
искомой.
Метод основан на подобии треугольников POl и PAl"
01
У1
Из тре угольника POl имеем tga 1 = -
=-
.
Из треугольни-
ОР QP
ка PAl" имеет Al" = APtga:1 = ~;1
.
Отсюда следует, что
в некотором маошта,бе ординаты искомой кривой прщюрцио­
нальны произведению соответствующих ординат данных кривых.
Если искомая кривая является промежуточным построением ,
то масштаб ее может остаться неопределенным.
Если искомая кривая не входит в дальнейшее построение и
представляет собой конечный результат, то для определен,и,я ее
ма сштаба зададимся произ1вольными значениями первой и вто-
105


рой заданных функций , например у 1 = 01 и Ул. = РА . В ерти­
каль Al", проходящая через точ,ку А и пересекающая луч 1Р
в точке 1", •выражает графически произведение принятых зн ач е­
ний данных функций У1 ~ Ул = Al" = а (мм). Это произведение
найдем аналитически , для чего измерим отрезки 01 = у 1 и
РА = Ул, каждый в масштабе данных кривых, и получим у 1 • Ул =
= Ь (единиц). Масштаб искомой кривой равен
ь
-
(единиц /мм) .
(39)
а
Если масшта~б, в котором должна ·получиться искомая кр и­
вая, задан заранее и равен, например, п единиц/мм (ра змер ­
ность у' • у") , то полож·ение
полюса Р не может быть
х
Рис. 134. Умн о жение двух кри­
вых
произвольным . Расстояние ОР надо определить, для чего п рои з ­
~ольное значение второй функции выбирают так, чтобы отр е ­
зок Al" совпал с отрезком 01 первой функции на оси ор ди ­
нат Оу'. Тогда соответствующее значение искомой функции , т. е .
произведение частных значений у; •у~, выразится на чертеж е-
отрезком 01. Измерим отрезок 01 сначала в масштабе п ерво й
функции и найде-м численную- ·величину у;, затем - в мас.ш та~б е
искомой функции, по~:чим чl!сленное значение у;".Но у;.у;= у';' ,
тогда у; = ОР = ~. Отложим
по оси Ох от точки О отре-
У1
зак у; в масштабе второй функции и найдем положение пол юса .
106


Умножение кривых, заданных шкалой. До сих пор рассматри­
вались алгебраические действия над кривыми, заданными в опре­
деленной системе координат . Такое изображение переменной
является наглядным, но не всегда удобным для выполнения
различных операций. Можно задать функцию шкалой. Для
этого возьмем на оси Ох (рис. 135) абсциссу Хо начальной
точки кривой и длины участков разбивки Лх. Раз,бивка делается
всегда на ра,в1ные участки. Если разбивка начинается от начала
к оординат, то х0 = О . Через точки разбивки проводим ордина-
у
5
4
з
2
о
Хо
~s
4
/з
/2
,
1
• LIх L1x L1x LJx
х
2
З
4
5
Рис . 135. Задание кривой шка­
лой
Уа
4
з
о
УсВ
'h ------- -----j4
s:
~
"h-___,,__------jJ3=
4
" --.
11
~~с----'-! 2 ~
3
2
1
1/ь = (fJ (Х)
Рис. 136. Умножение кривых, за­
данных шкалами
ты 1 1, 2 2, 3 3, ..: до пересечения с заданной кривой у = f(х);
полученные точки кривой проектируются на ось Оу и соответ­
ственно нумеруютая. Таким образом, нанесение точек юривой на
оси ординат является заданием функции в виде шкалы .
Если при выполнении алгебраических действий имеют дело
с н есколькими кривыми 1при одной независимой переменной , то
для использования в о·бщих постр-оениях кривых, заданных шка-
• лами, абсциссы
начальных точек деления х0 длины участков
р а з·бивки Лх и нумерация точек должны быть одинаковыми :для
всех кривых .
Пусть даны кривые Уа = f (х) и Уь = ,ер (х), з1аданные шкала­
ми . Требуется произ~вести их умножение и построить шкалу
кр ивой
Yc=f(x)cp(x).
На оси ординат нашесем шкалу первой кривой (рис : 136).
На оси а1бсцисс выберем произвольно полюс Р и построим пучок
луче й к точкам шкалы первой кривой. От полюса Р по оси
абсци сс нанесем шкалу второй кривой и от точек этой шкалы
пров едем вертикали до пересечения с соответствующими лучами.
107


Точки пересечения 1', 2', 3' ;.. . опреде л яют ординаты искомой кри­
вой. Для получения шка л ы кривой Ус = f (х) •ер (х) перенос и м точ­
ки 1', 2', 3', ... на произвольно нанесенную вертикаль АВ.
Для определения масшта1ба построенной кривой, •как описа1но
выше, следует задаться двумя частными значениями ф у ю, ­
ций Уа и Уь и найти их произведение ·графически и аналитически .
Масштаб искомой кривой равен .!?___ единиц/мм.
а
Умножение функции на независимую переменную. Кривая
Уа = f (х) задана шкалой. Требуется построить кривую
Уь= xf(х).
Шкалу кр-ивой Уа = f (х) нанесем на оси Оу (,рис. 137).
На оси Ох выберем произвольно точку полюса Р и построим
!J
!
Рис. 137. Умножение функции на неза,виси ,мую пере­
менную
пучок лучей к точкам шкалы заданной ,кривой. От полюса Р
по оси Ох отложим абсциссу х0 начальной точки разбивки иско­
мой кривой и длины участков Лх . Через точки разбивки на
оси Ох проведем вертикали 1 1' 2 2', 3 3', . .. до
пересечения с
соответствующими лучами. Через точки пересечения проведем
плавную линию, которая и будет искомой к,ривой. Масштаб еЕ>
определяется так же, ·как и ·в предыдущих случаях.
13. ДЕЛЕНИЕ
Деление чисел и отношений. Задача графического деления сво­
дится к графическому умножению, рассмотренному выше.
Имеем:
108


Частное от деления чисел 'определяется как четвертая про-
порц,иональная к отрезкам Ь, с и 1:
ь-
.
ь-у
--У,--- .
с
с
1
На горизонтальной прямой от точки О откладываем от,рез­
киОА=Ь,ОВ=сиОХ=х(рис.138).ВточкахА,ВиХвосста­
вим перпендикуляры к прямой ОХ и от точки В откладывае м от ­
резок BD = 1. Прямая OD пересечет два других перпендику­
ляра в точках С и У. Отрезок АС представляет собой искомое
частное _!! __ Отрезок ХУ для любой другой величины х будет
с
частным от ,деления х на с. Этот прием может быть использован
у
ь
с
х
о
_____ J_ __ ~-
Рис . 138. Деление чисел
Рис. 139. Определение обратной ве­
личины
для пересчета масштаба и пропорционального уменьшения ве­
лич-ин.
Если в предыдущем отношении Ь = 1, т. е.
: = f;+=~;су=1,
то с и у будут обратными величинами, так как произведение их
равно единице.
.
Дл,я графического определения обратных величин построим
полуокружность .на от.резке ОА = 1· •и в точке А проведем ка•са­
тельную к окружности до пересечения с произвольной пря­
мой ОС (рис. 139).
Из подо,бия треугольников ОАС и ОАВ следует
ос=
-
1-
•ос·0В=1•ос=
-
1-
• 0В=
-
1-
.
1
ов'
'
ов'
ос
В зависимости от того, ,будет ли данный отрезок больше или
меньше единицы, из центра О, засечем точки на касательной
к окружности радиусом ОС или ОВ и найдем 011резки обр1атных
величин.
109


Деление двух кривых. Даньi кривые Уа = f (х) и Уь = сР'(х).
Требуется построить кривую
у=f(х)
с <р(х)•
Первую данную кривую строим в системе координат уОх
(рис. 140) . Через точки 1, 2, 3, ... этой кривой проведем вертикали
до пересечения ·.с ,осью Ох. Вторую ,да:нную кривую строим в си­
стеме координат у'Рх', повернутой по часовой стрелке на 90°
по отношению к первой системе координат, с началом координат
х'
х
Рис. 140. Деление двух
кривых
в произвольно выбранной точке Р, расположенной на продол­
жении оси Ох. Через точки 1, 2, 3 ... первой кривой проведем го­
ризонтали до пересечения с вертикалями, проведенными через
точки 1, 2, 3, ... второй кривой. Точки пересечения 1', 2', 3', ...
соединим пучком лучей с полюсом Р. Пересечем пучок лучей
произвольной вертикалью АВ . Ординаты точек пересечения 1", 2",
3", представляют собой в некотором масштабе ординаты искомой
к,ривой. Перенесем их горизонтально на соответствующие ордР
наты первой данной кривой. Соединив полученные точки 1; 2,
3, ... , найдем искомую кривую.
Метод основан на . подобии треугольников РЕ4' и РА4", от­
куда
110
Е4'
РЕ
А4"
РА
илиА4"=РА f(х) ,
<р (х)


r. е. ординаты ,искомой кривой пропорциональны частному от
деления двух заданных функций в некотором масштабе.
Масштаб искомой кривой определяется аналогично предыду­
щему. Зададимся произвольными значениями первой функции
у~ = ~4' и второй функции у~
=
РЕ. Найдем графически част-
ноеУо=А4" =амм.
11
~
Затем измерим отрезок Е4' в масштабе
Уо
первой кривой, отрезок РЕ ~ масштабе ~второй кривой и опреде-
Уо
лим аналитически частное -,, =
Уо
=
Ь единиц. Масштаб искомой
кривой ра~вен
ь
а
единиц/мм.
Деление кривых, заданных
шкалами. Кривые Уа= f (х) и .
tJь = ({) (х) заданы шкалами.
Требуется построить в виде
шкалы кривую
f (х)
Ус=ер(х) •
Уа
3: J1-------,<-++- - -+- - -n -
....._
~4t-------t-t--т--t--,f-----t-j~
12З45
Yь-lfl(r)
Уь
В прямоугольной системе Рис. 141. Деление кривых, заданнь'~х ·
координат по оси ординат на­
несем шкалу первой кривой и
ш- калами
через точки шкалы проведем горизонтали (рис. 141). По оси
абсцисс, также от начала координат, отложим точки шкалы вrо -
, рой крив-ой, через которые проведем вертикали до пересечения с
соо11ветс11вующими горизонталями , Точки пересечения 1', 2', 3', ...
соединим с началом координат пучком лучей и пересечем произ­
вольной прямой АВ, параллельной оси Оу, на которой отложена
первая кривая - делимое. Ординаты точек 1", 2", 3", ... по от­
ношению к оси Ох предста1вляют собой -в некотором масштабе
шкалу искомой кривой. Масштаб этой кри1вой определяется ана­
логично предыдущему.
Если тот же пучок лучей пересечем прямой CD, параллельной
оси Ох, то расстояния точек 1", 2", 3", ... от оси Оу предста1вляют
собой ,в некотором масштабе ординаты кривой Ус = <F(x) .
f(x)
Деление постоянной величины на заданную функцию. Дана
кривая Уа= f(x) . Требуется построить кри1вую
с
Уь= f(х) '
где С - постоянная величина.
111


В системе координат уОх дан график функции Уа = f(x)
(рис. 142) . Точк,и 1, 2, 3, ...
этой кривой перенесем на ось Оу и
соединим пучком лучей с полюсом Р, произвольно выбранным
на продолжении оси Ох . Проведем вертикаль PS через полюс Р.
Пересечем пучок лучей произвольной горизонталью АВ. Тогда
отрезки Al", А2", АЗ", ... будут ординатами искомой кривой, по­
строенной в виде шкалы в некотором масштабе.
Для того чтобы получить искомую кр,ивую в развернутом
виде, на оси PS от точки А отложим абсциссу х0 начальной точ­
ки разби,вки и длины участков Лх. Проведем через эти точки го­
У
х
s 1--,.--1-------.;;:-r
х
Рис. 142. Де л ение постоянной в~л ичины на зада нн ую
функцию
ризонтали до пересечения с соответствующими вертикалями,
проведенными из точек 111 , 211 , 3", ... Через полученные точки про ­
ведем искомую кривую. Масштаб· искомой кривой определяем
вышеуказанным способом.
'
Деление функции на независимую переменную. Дана кривая
Уа= f(х). Требуется построить в виде шкалы кривую
f (х)
Уь=--.
х
Нанесем на оси Ох длины участков Лх и точки кривой 1, 2, 3, ...
соединим пучком лучей с началом координат (рис. 143). Если
пучок лучей пересечь произ,вольной горизонталью АВ, то точки
пересечения ее с лучами определят ординаты искомой кр,ивой .
Деление с переносом п о люса пучка лучей. Перенос полюса
пучка лучей позволяет решить графически ряд новых задач.
Пусть даны две функции Уа = f (х) и Уь = ср(х) в в_иде шкал.
Требуется найти шкалу кривой
f(х)-а ,
Ус= (J)(XJ >
где а равно расстоянию, на которое перенесен полюс пучка лу ­
чей по оси Ох (рис. 144).
112


При пересечении лучей горизонтальной линией CD поJJучим
ряд точек 1', 2', 3', ... , рас-стояния которых от новой оси Ру1 , про-·
.lJ
Уь
!
-·2
3:J
~4
11
$;'
5
с
х
о
2
з45
У,
(1
р
А
2З4
Ya=f(X),
!j,
Уа·
Рис. 143. Деление функции на неза- Рис. 144. Деление с переносом полю-
висимую переменную
са пучка лучей
ходящей через полюс Р, представляют собой в некотором мас­
штабе ординаты кривой
f (х)-а
у=
.
ер (х}
С другой стороны, пересечение пучка лучей вертикалью АВ
даст ряд точек 1", 2", 3", ... , расстояния которых от оси Ох будут
ординатами кривой
ер (х)
Y=--'--'---'---
f (х)-_ а
Деление с двойным переносом полюса. Шкалы заданных кри­
вых Уа= f(x) и Уь = ср(х) наносим на осях прямоугольной сис­
темы координат (рис. 145). Полюс Р из начала координат пере­
несен от оси ординат на расстояние а и от оси абсцисс на рас­
стояние Ь. Пучок лучей пересечем горизонтальной прямой АВ.
Точки пересечения 1, 2, 3, ... от новой оси ординат Ру, находятся
на определенных расстояниях, которые представляют собой
ординаты кри,вой
f(х)-а
у=-'-~--
ер (х) -Ь
Деление с вынесением полюса пучка лучей. Четыре кривые
у= f, (х), у= ер, (х), у= f2 (х) и у= ср2 (х) заданы шкалами. Тре­
буется построить кривую
ер1 (х)-ер 2 (х)
у=
f1 (х) -f2 (х)
113


Шкалу кривой у= <р 1 (х) отложим повертикалиВС (рис .14 6 ) .
Шкалу кривой у= f1(x) нанесем по горизонтали АВ. Пост р о им
кривую DE. Шкалу кривой у = '<J) 2 (x) отложим по оси Оу. Ш ка -
у"
1
2
1•
2
---
3
~4
Т~' 5
::,.., 6
У,
А
а
р
Х1
-с:,
У'
о
12з45б
IJ=f (х).
Рис. 145. Деление с двойным п ереносом
полюса
лу кривой у = f2(x) нанесем от начала координат по оси Ох . По ­
строим кривую MN. Точки кривой DE соединим с соответст ву ю -
к
Р1
А y~J,(x)
8
1
2
]
-..
4
"< >---
+-->--+--<J.
~1--"5--+ -+ -+- +- - - -"::t.
1З45б
.д-t-+--t---+----12 ~
. ,Q-t -t - -t---,J ~
r>-+-+--
-- -14
11
'Т>--+----<5 ~
•'t>=----1 6
с
: 1-"б--+-+-+-+--t----'""Q..;;--
Рис. 146. Деление с вы несением полюса
щими точками кривой MN лучами 11111, 2'2'1, 3 1811 , . .. ,
которые об­
разуют с осью Ох углы ,а1, а2, ,а3.... Тангенсы этих углов, пропор­
циональные ординатам искомой кривой, выражаются уравне ни ем
114
tgа= ср1(х)- cpz(х)
f1(х)--f2(х)


Для получения шкалы искомой криво й вынесем полюс Р 1 •
Н а произвольном расстоянии Р 1 К от полюса нанесем секущую
вертикаль КР и проведем пучок лучей Р 1 1, Р 1 2, Р 1 3, ... параллель ­
но лучам 11111, 21211, 31811,.. .
Шкала искомой кривой в некотором .
ма сштабе получается на вертикали КР.
Для получения шкалы кривой обратной функции
f1 (х)- f2 (х)
y=-~-~~-
(JJ1 (х) - (JJ2 (х)
п учо к лучей наносится от полюса Р2 к горизонтальной секущей
ST. Шкала искомой кривой читается на линии ST.
Совмещение умножения и деления в одном построении. Пусть
требуется построить в виде шкалы кривую
f(х)•'f' (х)
у= 'Ф (х)
по тр ем известным функциям у1 = f(x), у11 = ср(х) и у111 = '1/)(х),
з ада нным также в виде шкал . На горизонтальной оси РМ отло-
~
N
1----------0
2----------<l
з----------'-а .
41---------0..
5t------- ~
'- б t-------{)с...
'ii"
~
. 7t------ ,;i.._ _
у"= YJ(X)
812З45678910
А
~
2~~
.
--...:.
:8: :Э-
~ -"-d '" -<-+ -+- -+-++1-----jJ ...... _
11
\ Qc--> -t .c -"' <f"'<+ -t++----i 4 ~
~с+~Чс+----15
Рис . 147. Умножение и деление кривых в одном построении
жим от полюса Р заданную шкалу кривой у111 = '1/)(х), входящей
в зн аменатель (рис. 147) . На вертикальной оси MN отложим
ш кал у кри1вой у1 = f(x), входящей 'в числитель . Т очки пересе­
чени я вертикалей и горизонталей , проведенных через точки раз­
б ивки , соединим пучком лучей с полюсом Р . Шкалу кривой
у11 = ср(х) нанесем на произвольно расположенной горизонтали
А В. Вертикали, проведенные через точК'и разбивки этой кривой
д о п ересечения с соответс11вующими лучами, засекают точки
115


ординат искомой кривой. Шкалу искомой кривой найдем путем
переноса точек ординат на ось АР.
Для определения масштаба искомой кривой зада димся част­
ными значениями функций и найдем графически, а затем, изме­
ряя отрезки в масштабах кривых, вычислим ту же ~величину ана­
литически
,
,,
,
,,
Уо·Уо
()
--, -,,
-
=
а мм;
Уо•Уо
,,,
=
Ь (единиц).
Уо
Уо
мб
u
u
ьд/
асшта искомои кривои равен -
е uнuц мм.
а
14. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ
Возведение отношения в .степень. Графическое возведение
в степень может быть сведено к повторному умножению, как это
показано на рис. 132. Имеем
(Ь)З_ЬЬЬ
_
Уз
-
--· -
·-
---.
С
С
С
С
Х1
На оси Ох отложим OD = с, из точки D проведем вертикаль,
на которой нанесем отрезок DE = Ь, . и через точку Е проведем
луч ОЕ (рис. 148). На оси Ох произ,вольно нанесем точку Х 1 ,
абсцисса которой равна х 1 . Вертикаль, проведенная через точку
Х1,пересечет луч ОЕ 1в точке У1. Ордината Х1У1 = у1. На оси Ох
отложим абсциссу Х2, равную у 1 . На вертикали, проведенной
через точку Х2 , получим ординату у2 . Снова отложим от точки О
абсциссу xi, равную У2, и на вертикали, проходящей через точку
Х3 , получим ординату у3 , которая при х 1 = 1 даст и.скомый ре­
зультат .
Нужно учесть, что при Ь < с отрезок х 1 следует выбирать
возможно больше, а при Ь > с отрезок х 1 надо брать возможно
меньше, чтобы построения не выходили за пределы чертежа.
Для отношения
где п - целое число, построение сводится к предыдущему слу­
чаю, а именно
Возведение в степень п числа Ь, где п - целое число, тоже
может быть сведено к предыдущему случаю, так как
Графическr~е построения удобно вести по спо<:обу, приведен­
ному на рис. 131 для умножения двух величин.
116


В координатах уОх на оси абсцисс отложим от точки О rв со­
ответствии с принятым масштабом отрезки ОА = 1 и ОВ = Ь
(рис. 149). Через точки А и В проведем прямые, параллельные
-
оси ординат. От точки А отложим отрезок AD1 = Ь и из начала
координат О через точку D1 проведем луч OD 1, который пересе­
чет вторую вертикальную линию в точке Е2 . Отрезок ВЕ2 =
=
Ь. Ь = Ь 2 . Через точку Е2 проrведем линию D 2E 2, параллельную
оси абсцисс. Через точку D 2 снова проведем луч OD2 и найдем
точкуЕ3.ОтрезокВЕ3=Ь2•Ь =Ь3.
у
j/
о
lJ ,х.1
""
с
о
ь
Рис . 148. Возведение отношений
в степень
Рис. 149. Возведение числа в степень
Если аналогичные построения продолжить в другую сторо ­
ну - ВНИЗ, ТО ПОЛУЧИМ
ВЕ0= }!__ =
1; ВЕ_1 =
-
1-
=
ь-1; ВЕ_2=
-
1-
=
ь-2ит.д.
ь
ь
-
ь2
Возведение кривых в квадрат. Дана кривая у = f(x). Тре­
буется построить кривую
у= [f(x)]2.
Заданную кривую построим в прямоугольной системе коор­
динат уОх (рис. 150). Точки кривой 1, 2, 3, ... спроектируем на ось,
ординат и соединим пучком лучей с произвольно выбранным на
продолжении оси Ох полюсом Р . На продолжении оси ординат
выберем произвольн ую точку А и ,соединим ее лучом РА с по­
люсом. Проведем горизонтальные прямые от точек кривой до.
пересечения с лучом РА. Полученные точки пересечения по вер­
тикалям перенесем на соответствующие лучи. Ординаты точек
11, 21, 31,... являются ординатами
искомой кривой в некотором
117.


масштабе . Перенесем эти точки на соответствующие ординаты
данной кривой и проведем искомую кри~вую .
Масштаб искомой кривой, как и ранее, определяется из част­
,ного значения функции, например, отрезка ОА. Графически най-
!/
А
р
х
Рис. 150. Возведение крив о й в\ квадрат
д~м ОА =у~ = (у~ ) 2 = а мм. Затем измерим у~ в масштабе дан­
ной кривой и вьrчислим аналитически (у~) 2 = Ь единиц. Масштаб
u
,
u
ьд/
искомои кривои равен - е uнuц мм .
а
Возведение кривых в куб . Дана кривая у = f(x). Требуется
лостроить кривую
у= [f (х)]3.
Метод, примененный при возведении кривой в квадрат, здесь
повторяется дважды (рис . 151) . Масштаб искомой кри~вой опре­
деляется аналогично предыдущему.
Возведение кривых вп-ю степень. Дана кривая у = f(х).Т'ре­
буется построить кривую
у= [f(x)]n при п>4.
В прямоугольной системе координат уОх построим заданную
кривую (рис. 152) и на продолжении абсциссы выберем точку Р,
через которую проведем вертикаль - ось параболы . Точка Р яв ­
ляется вершиной параболы, одну ветвь которой построим в коор­
динатах уОР. Для построения параболы аналитически 1вычис­
.лим ее ординаты по формуле у = Kxn, задаваясь значениями х =
= О; 0,1; 0,2; ... ; 1,0. Для получения необходимой точности по­
J18


у
р
)1]
Рис. · 151 . Возведение кривой в куб
!/
х
р
Рис , 152. Возведение кривой в п - ю степень
11 9.


строений наибольшая ордината параболы должна иметь размер
15-20 см, в связи с чем и выбирается коэффициент К. Затем
лроведем произвольную секущую РА. Точки данной кривой
1, 2, 3,...
перенесем по горизонталям на секущую РА и с нее по
вертикалям на параболу. Ординаты точек 111 , 2 11 , 3 11 , . . . ,
располо­
женных на параболе, являются ординатами искомой кривой.
Перенесем по горизонталям эти точки на соответствующие орди­
наты данной кривой и вычертим искомую кривую. Масштаб ее
определится по частному значению функции у~= ОА = (у~)п,
как было указано выше.
т
Возведение кривых в дробную степень-. Дана кривая
п
у = f ( х). Требуется построить кривую
т
y=[f(x)]",
для чего построим две параболы (рис. 153). В системе координат
уОх вычертим заданную кривую. На продолжении абсциссы вы­
у
А
о
Рис. 153. Возведение кривой в дробную степень
>берем точку, через которую проведем вертикаль - ось парабол.
В точке Р совмещаются вершины двух парабол, ветви которых
.строим в системе координат уОР. Уравнения этих парабол у 1 =
= К1хп и У2 = К2хт. Точки 1, 2, 3, ... данной кривой перенесем по
горизонталям на параболу п-го порядка. Затем точки 11, 21 , 31, ...
спроектируем по вертикалям на параболу т - го порядка. Ордина­
тыточек111, 211, 311, .••
являются ординатами искомой кривой в не­
котором масштабе. Перенесем эти точки по горизонталям на
.ординаты заданной кривой и вычертим искомую кривую.
Рассмотрим основы этого метода. Возьмем, например точку
11 на параболе п-го порядка. Ордината ее определяется урав -
120


1
нением у1 = К1хп, абсцисса х = (}f_) _)n. На параболе т-го по-
К1
рядка соответствующая точка 1" имеет ту же абсциссу, ордината
этой точки у2 = К2хт. Подставим значение абсциссы в послед­
нюю формулу
т
п
т
у=К2( :: ) =Су1п.
Отсюда следует, что ординаты искомой кривой пропорциа--
т
u
u
нальны степени - ординат даннои кривои.
п
Для определения масштаба искомой кривой зададимся част­
ным значением ординаты ОА1, соо11ветствующей общей точке А
обеих парабол. Из построения следует, что
т
у~=ОА .(у~)п =амм.
1
Измерим отрезок ОА в масштабе данной кривой и найдем
т
аналитически (у~)" = Ь единиц. Масштаб искомой кривой
ь
-единиц/мм .
а
15. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ
Извлечение ~квадратного корня из произведения двух чисел .
В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из.
вершины прямого угла, является средней геометрической между
отрезками гипотенузы. Сумму отрезков Ь и с примем за диаметр
AF окружности (рис. 154). Если АЕ =си EF = Ь, то ВЕ = Vьс •
На том же основании находим у·ь. Можно написать Vli =
= VГI, а также Vb = VVli . То и другое построение пока­
занонарис.155для Ь<1, поэтому у'Ь>VЬ >Ь.Исходяиз
принятого масштаба, диаметр окружности в п ервом случае равен
AF= 1+Ь; во~втором АР'=1+v·ь. Находим ВЕ=VЬ;
В'Е = -VЬ.
Извлечение кубического корня из числа. 1-й сп о с о б. В ко­
ординатах уОх, соответственно принятому масштабу, отложим
поосямОхиОуотрезкиОА=1иОВ=Ь(рис.156). Източек
А и В проводим произвольно по три луча , при условии, что
ВС1 11AD1; BC2 II AD2; ВС3 11 АDз. Из точек С1, С2, Сз пересеченин
оси абсцисс лучами, исходящими из точки В, проводим под пря­
мым углом к лучам прямые до пересечения в точках D 1, D2, D 3,
с лучами, исходящими из точки А. Точки D 1, D 2, D 3 лежат на кри-
12:t


вой, исходящей из точки А и называемой кривой корней. Кривая
•
3
D 1Dз пересекает ось ординат в точке D2, для которой OD2 = уЬ.
Точку, в которой кривая D 1 Dз пересекает ось ординат, можно
быстро найти с помощью прозрачного треугольника.
Уравнение кривой корней имеет нид
у3- ху(1- х)
-
(1- х)2Ь=О,
пр~чем направление вниз по оси ординат принято за положи­
тельное.Длях=1получимуз=Оиу =О, т.е.криваякорней
должна исходить из точки А. Для нахождения точки пересечения
д
Рис. 154. Извлечение корн,я квад-
/Б
ратного из произведения двух
чисел
Рис. 155. Извлечение корня из числа
кривой с осью ординат примем х = О,
'J ri::
=vЬ=OD2.
тогда уз= ь или у=
Для извлечения кубического корня из отношения двух вели­
з
з r-;;
.
.
vь
чинv - это выражение можно представить 1в виде
-
3-
,т.
е.
с
Vc
каждый корень извлечь отдельно и произвести деление. Удоб нее
преобразовать дробь
_!!_ =
_!!:_ = d•
сI
'
з Гь _з,r­
v7=Vd.
2-й способ. Простой способ из1влечения кубических корней
основан на использовании кривых конических сечений - окруж­
ности и параболы. В прямоугольн,ой системе координат строится
парабола с вершиной в начале координат и с осью симметрии Ох
(рис. 157). Затем описывается окружность через начало коорди-
нат с центром 0 1 (+; +)·Ордината точки А пересечения окр уж-
"
-3.г~.
ности с параболои дает искомое значение кубического корня v Ь
в принятом масштабе.
Способ основан на том, что при заданных координатах центра
0 1 окружности уравнение ее имеет вид
х2+у2- Ьх -ау=О.
122


Ура-внение параболы, отнесенной к вершине, лежащей в на ­
чале координат О, будет
у2=Ьх.
При совместном решении этих уравнений абсцисса точки А
~г,:.-
_з;-
равна v и2с, а ордината v Ьс2• Если пр,инять с = 1, то орди-
з-
ната точки А будет V Ь, а координаты центра окружности-
(~ ;+)·
Параболапри Ь=1имеетвиду2=х,т. е.независитот
величины Ь, и может быть вычерчена один раз. Окружность.
при расчетах целиком не наносится, а лишь радиусом окружно­
сти на ветви параболы засекается точка А. Положение центр а,
у
в
Рис. 156. Извлечение кубического корня
из числа
у
А
х
Рис. 157. Извлечение кубиче­
ског-о корня с ПОМОЩЬЮ•
круга и nар-абалы
окружности 0 1 по отношению к началу координат О известно ,
так как расстояние между этими точками равно радиусу окруж-
ности.
.
Извлечение квадратного корня из выражений Ь 2 + с2 и Ь 2 -
ci
графически производится построением прямоугольных треуголь­
ников, для которых квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов. Под знаком радикала может быть сумма (разность)
любого числа квадратов одночленов. Для ,выражения х =
= -Va2 + Ь2 +с2- d2 построение показано на рис. 158.
Извлечение корня из кривой. Дана кривая у= f(x) . Требу­
ется построить кривую
Дейс11вие это обратно 1возведению кривой в степень, поэ том у
построение аналогично приведенному на рис. 1-52. Строим пара­
болу п-й степени, соо11ветствующей степени корня (рис. 159) .
Затем из вершины параболы проводим прямую РА с произволь-
123


ным углом наклона. Точки данной кривой переносим по горизон ­
талям на параболу, а затем по ~вертикалям на прямую РА. Орди­
наты точек 1'1, 2'1, 3",: .. пропорциональны корню заданной сте­
пени от ординат данной кривой. Для получения искомой кривой
следует перенести точки 1", 2", 3", ... с прямой РА по горизонта­
лям на продолжение ординат данной кривой. Определение мас ­
штаба аналогично предыдущему.
Рис. 158. Извлечение квадратного
корня из су,ммы квадр атов одно- Р
у
о
А
членов
Рис . 159. Извлечение корня из кривой
16. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ГРАФИКИ
ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
х
Операции умножения, деления, возведения в степень и извле­
чения корня аналитическим путем выполняются с помощью
таблиц логарифмов. Логарифмическая спираль и логарифми ­
ческая кривая Иванова при графическом исчислении заменяют
таблицы логарифмов. Числа и их логарифмы выражаются от­
резками прямых и дуг.
Построение логарифмической спирали для графических рас­
четов. На полярной оси ОР из вершины О радиусом r 0 = 1 в
принятом масштабе описываем окружность и делим ее на 16 рав­
ных частей (рис. 160). Через точки деления проводим лучи. Ра ­
диус-вектор r 1 принимаем равн ы м 1,10 в том же масштабе. Дли ­
ны остальных радиусов-векторов находим вспомогательным
построением (рис. 161, а). На горизонтальной прямой ОЕ из точ­
ки О откладываем длину радиуса r0 . Из точки О опис ы ваем дугу
радиусом r 0 = 1, которую пересекаем в точке В дугой радиуса
r 1 = 1,1 из точки А. Через точки О и В проводим прямую
OF и получаем угол EOF пропорциональности векторов. Хор ­
да АВ равна r 1. Проводим дугу радиусом r 1. Хорда ее , равна
длине радиуса-вектора r 2 спирали. Продолжая аналогичные
построения, получим длины всех радиусов-векторов спирали в
124


положи т ел ьном направлении отсчета углов (против часовой
стрелки).
Радиусы - векторы спирали в отрицательном направлении от­
счета угл о в (по часовой стрелке) от точки А определяем другим
8
5
А,р
Рис. 160. Применение ло г арифмической спирали
для графических расчетов
в спомог ательным построением (рис . 161, 6). На прямой O 1 С из
точки 0 1 р адиусом г 1 описываем дугу, которую в точке D пере-
r
r0=1
r, =t,1
а}
о)
Р и с. 161. Графическое определение длин радиусов-векторов
для углов:
а - положительных; б
-
отрицательных
секаем дугой радиуса r0 и проводим прямую 0 1D - вторую сто­
рону угла пропорциональности векторов . Хорда CD равна длине
радиуса r o. Описывае м дугу радиусом r0 . Хорда ее равна длине
125


радиуса-вектора r'. Хорда дуги радиуса r' равна длине ра диуса -
вектора r" и т. д.
•
Построив логарифмическую спираль вида r = m" , можно най ­
ти логарифм любого числа S по основанию т. Радиусом r2 = S
засекаем на спирали то~ку 2 и находим точку С0 пересеч ени я
этого радиуса с делительной окружностью (рис . 160) . Длин а ду­
ги АСо будет логарифмом числа S по основанию т. Угол ер в ыр а­
жен в радианах, поэтому численно ср = lgm,r 2 я1вляет,ся дл иной
дуги АС0 радиуса ,r 0 = 1. Логарифмы положительны, если дуги
от точки А направлены против часовой стрелки, и отрицательны,
если дуги направлены по часовой стрелке .
Для решения обратной задачи, т. е. для нахождения числа
по логарифму на окружности радиуса r0 = 1 следует отл ожи ть
дугу АС0 = ср и через точку С0 провести радиус-вектор 02 = r2 ,
длина которого в принятом масштабе будет выражать числ о , ло ­
гарифм которого равен ср.
Имея логарифмическую спираль с основанием т, можно н а й­
ти логарифмы при других ~:>енованиях (натуральных, десятич ­
ных), для чего в уравнении спирали
с;,
k c;,
r=m =m1
принимаемт1=еилит1=10.Изт = mf находимчислоkи
описываем новую окружность радиусом ОА1 = k, для которой
длина дуги АС 1 равна kcp = lgт, r2 = lgт, S.
Умножение . Даны радиусы-векторы .r 1, r2 , r 3 : Требуется н айти
произведение у = r1 • r2 • rз.
Засекаем на спирали из центра О радиусьнвекторы r 1, r 2 и Гэ
и находим углы ср 1 , ср2 и срз (рис. 162). После логарифмиров ания
получим
lgу= lgr1+lgr2+lgrз= (!)1+(/J2+(/)з,
где ср 1 , <р2, срз - углы, образуемые радиусами-векторами r1, r2, Гз
с полярной осью ОР . На окружности радиуса r0 отклады ваем
суммарную дугу АС и проводим радиус - вектор ОВ, длина кото ­
рого будет искомым произведением у в принятом масштабе .
Деление . Даны радиусы-векторы р 1 и р2, причем р2 > р1 . Тре -
буется определить частное у = fi:.._
.
Р2
Засекаем на спирали из центра О радиусы-векторы р 1 и р2 и
, находим углы •а1 и 1а2 (рис. 162). Логарифмируем
lgу=lgР1- lgР2=а1-а2= -
аз.
Разность углов (или дуг) в данном случае отри:цательн а, сле­
довательно, радиус-вектор ОЕ расположен ниже поля рно й
оси ОР. Длина его будет искомым частным .
Возведение числа а в п -ю степень. Здесь п - целое по лож и­
тельное число . Пересекаем спираль дугой радиуса ОВ = а и о п -
126


ределяем угол (или дугу) а (рис. 163). Откладываем угол (или
дугу) 11;а и проводим радиус-вектор ОВ 1 , длина которого равна
ис ко мой величине an.
При возведении числа ,в отрицательную степень угол (или ду­
гу) п а откладываем от полярной оси по часовой стрелке . Длина
1
ра ди уса-вектора ОВ2 равна a-n или-; ~
а
Извлечение корней следует рассматривать как действие, об-
ратн ое возведению в степень. Дано yd . Для извлечения корня
q-2
р
Рис. 162. Умножение и деление с помощью логарифмиче­
ской спирали
степ ени т засекаем спираль дугой радиуса ОС = d и определяем
угол (или дугу) ер (рис. 163). Откладываем угол (дугу)
...1_ и про­
т
в оди м радиус-вектор ОС 1 . Длина его ,в принятом масштабе равна
иско мой величине у = 11d
Для извлечения квадратного корня из дроби V : находим
Ь
,Г
т-
у=-, а затем строим у у. Для выраженияу ьпнаходим сначала
с
у=ьп,азатем';1/у.
М асштаб, принятый при построении логарифмическо й спира­
ли, необходимо соблюдать при проведении геометрических по­
стро ений алгебраических выражений. Если числа, выраженные
отрез к ами, отложим в другом масштабе, то масшт а бный коэф ­
фиц иент для отрез ков искомы х величин должен иметь в числи-
127


теле единицу, принятую для построения логарифмической спира­
ли, а в знаменателе - единицу, принятую для отрезков.
При графическом логарифмировании не различают характе­
ристику и мантиссу логарифма числа. Разница между положи­
тельными значениями логарифмО1в чисел, больших единицы, и от­
рицательными значениями логарифмов чисел, меньших едини­
цы, выражается направлением, по которому откладываются у г­
лы (или дуги) от полярной оси.
Рис. 163. Возведение в степень и извлечение корней
по логарифмической спирали
Построение логарифмической кривой Иванова. На полярной
оси ОР откладываем радиус-вектор ОА 0 = r 0 = а = 1 и через точ­
ку А 0 проводим перпендикулярную к оси линию FF, на которо й
вверх и вниз наносим ряд одинаковых отрезков, равных О,2г0
(рис. 164). Через точки деления прямой FF из полюса О прово­
дим лучи, на которых откладываем соо11ветственные радиусы-
векторы r1, r2, r3, ... и ниже оси r; , r~ ,.. . Соединяя концы векто-
ров -точки Ао, А1, А2, .. .А7 и А; , А~, ... плавной линией, получим
логарифмическую кривую. Уравнение кривой имеет вид
h
h = atga.
(40)
(41)
Из уравнения следует, что при изменении h в арифметической
прогрессии радиусы-векторы соответственно образуют геометри­
ческую прогрессию . Отсюда вытекает способ определения раз ме ­
ров ряда радиусО1в-векторов для построения логарифмической
кривой, пользуясь углом пропорциональности. Построим произ­
вольный острый угол LOD с вершиной в точке О. На его стороне
OD отложим радиус r0 = 1, а на вертикальной стороне OL -
128
--.,,.,- •
а--м++-,аап
m• -т~--•


радиус r 1 = l,l,r0 . Соединяем точки Е и 1. Из точки 1 проводим
горизонтальную прямую 1 2 и получаем радиус r2 . Далее, анало­
гичными построениями находим радиусы r 3, r 4, ... , причем пр ям ые
23, 45, 67 параллельны прямой EJ, а 34 и 56-горизонтальные.
Такими же построениями находим длины радиусов r ~ , r ~ ,...
нижней час11и кривой.
Логарифмическая кривая обладает ценным свойством: для
любой точки S ее радиу,с-вектор OS отсекает на прямой FF отре­
L
])
F
s
А,
зок А0В1 = h, который 1В
масштабе с представляет
собой логарифм по осно­
ванию т числа, изобра­
жаемого длиной радиуса-
F
о
р
Рис. 164. Построение логарифмической Рис. 165. Умножение по логариф-
Кривой Иванова
мической кривой
вектора OS 1в ма,сштабе а. При а = 1 радиусьr-векторы дают _со­
ответствующие числа непосредственно.
Умножение. Даны числа r 1 и r 2 Требуется найти их произве­
дениеrз=r1•r2. .
Радиусами ОА1 = r 1 и ОА2 = r2 засекаем на кри,вой·точки А1
и А2, проводим лучи и находим точки В1 и В2 на прямой FF
(рис. 165) . Отрезки h 1 и h2 представляют собой логарифмы чи­
сел r 1 и r2 в масштабе с, следовательно:
5 Зак. 334
129


На прямой FF откладываем отрезок А 0В3 = h3 = h1 + h2 и на­
.ходим длину радиуса-вектора ОА 3 , представляющую собой иско­
lМое произведение.
о
Деление. Частное от деления ,r3 = _!_!после логарифмирования
Г2
а=1
F
имеет вид
р
1
1
1
h1- !10
grз=gr1-gr2=
-
с
и определяется радиусом-век­
тором ОА 3 (рис . 166), для ко­
торого
А0В3=h3= h1- h2.
Возведение в степень. Тре­
буется найти r = rf. Логариф­
мируем
3h
lgr= 3lgr1 =
--
1;
с
отсюда длина радиуса-1вектора
ОА 2 представляет собой иско­
мый результат возведения чис­
ла в куб, для которого А0В2 =
Рис. 166. Деление с помощью лога-
= h = Зhi (рис. 167). Для ум­
рифмической кривой
ножения отрезка h1 на 3 про-
водим из точки А 0 произвольную прямую АоЕ, на которой от точ­
ки А 0 наносим три деления (соответс11венно показателю степени).
F
Рис. 167. Возведение в степень по
логарифмической кривой
Рис. 168. Извлечение корня по ло­
гарифмической кривой
Деление 1 соединяем с точкой В1, для которой А0В1 = h1. Через
деление 3 проводим прямую ЗВ2 111 В 1 до пересечения с прямой
FF в точке В2. Получим АоВ2 = 3h1.
130


_з; -
Извлечение корня . Требуется найти ,r2 = v r1. Логарифмируем
1
11
h1
gr2=- gr1=-.
3
3
Проводим прямую А 0Е, на которой наносим деления
(рис . 168). Проводим 1В 2 113В 1 ,и находим точку В2 , для которой ·
h
3
h=-
1 . Через точку В2 проходит искомый радиус-вектор r2 =yr1 •
3'
17. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Для решения технических задач часто прибегают к графичес­
кому способу решения уравнений, довольствуясь приближен­
ным, но достаточно точным результатом. Графическое решение
ура~внений избавляет от трудоемких аналитических вычислений,
а в ряде случаев является единственно возможным. Большим
преимуществом графических методов по сравнению с аналити­
ческими является их наглядность, позволяющая при бег~ом
просмотре графиков определить характер изменения переменных.
Линейные уравнения первой степени с одним неизвестным
имеют вид
ах-Ь= О.
(42)
Графическое решение такого уравнения представляет собой
ь
определение частного х = -
графическими способами, рассмот­
а
ренными выше.
Уравнения с одним неизвестным в общем случае имеют вид
f(х)= О.
Для решения этого уравнения построим кри,вую у = f (х) и
найдем точку пересечения кривой ,с осью абсцисс. При у = О абс­
циссах = Хо будет искомым корнем уравнения .
Для решения уравнения вида
f(х)='Р(х)
построим две кривые у = f (х} и у = 'Ф (х). Абсцисса точки А пере­
сечения кривых х = Хо будет корнем уравнения (рис . 169) .
Квадратные уравнения . Уравнение второй степени в общем
случае имеет вид
(43)
Для графического решения квадратных уравнений применя­
ются различные способы .
Способ прямых углов. Обозначим левую часть уравнения ч е­
резf(х):
f(х)=аох2+а1х+а2,
131
s~


'причем коэффициент ао будем считать положительным, так как
:заменой знака перед всеми членами ура1внения этого всегда
можно достигнуть. К:оэффициенты ао, а 1 и а2 в принятом масшта­
бе можно представить отрезками ВаВ1 = ао; В1В2 = а1 и В2В3 =
=
а2 (рис. 170). Все три отрезка взаимно перпендикулярны.
Стрелками обозначено положительное направление для каждого
отрезка.
.
Из точки Во проведем луч BaDo под углом ,а к прямой B0 Bi.
Положительным для угла а считается направление по часовой
стрелке от прямой В0В I ;
.
определяется угол а из
равенс11ва tg а = х. Под
lj
' bt--'-'':"-c-'--c'---,-+-----'----►x
Хо
Рис.. 169. Определение корня
. Рис. 170. Графичес,кое решение уравнения
уравнения
способом прямых углов
прямым углом к линии B0D0 п,роведем линию DrJ) 1 до пересече­
ния с продолжением линии В2Вз. Угол B2DoD1 = а .
Из геометрических построений следует, что
D0B1 = а0tgа .а0х; D0B2 = а0х2+щх;
D1B3 = а0х2+а1х+а2= f(х).
Если DIB3 = О. то точка D1 совпадет с точкой Вз и
а0х2+а1х+а2=О,
а корнем уравнения будет х = tg а. Сл·едовательно, для опреде­
ления корней уравнения углу ,а надо дать такое значение, пр·и
котором сторона D0D1 прямого угла B0D0D1 проходила бы через
точку В3. Для этого соединим точки В0 :и Вз прямой В0В3 и, при­
няв ее за диаметр, опишем окружность, на которой точки С 1 и С2
пересечения этой окружности с отрезком а 1 (или его продолже­
нием) я~вляются решающими.
132


Корни уравнения:
t
С1В1 .
t
С2В1
Х1= gСХ1=
--,
Х2= gСХ2= --.
В0В1
В0В1
На чертеже (рис. 170) эти корни отрицательны, так как углы
а, и а2 отрицательны и отрезки С1В1 и С2В1, направленные от С,
и С2 к В 1 , не совпадают по направлению с отрезком а 1 .
Поясним этот способ примерами.
Пример 1. Решим графически способом прямых углов урав­
нение
60х2 - 70х-90 = О.
В этом уравнении а0 = 60, а1 = -70, а2 = -90.
Проведем горизонтальную прямую, на которой отложим в от­
рицательном направлении отрезок В 1 В 2 = а 1 (рис. 171). От точки
В 1 по вертикали отложим отрезок В0В1 = а0 и от точки В2 по дру­
гой вертикали - отрезок В 2В3 = а2 в отрицательном направле-
Рис. 171. Графическое решение
уравнения 60х2 - 70х
-
90=О
Рис. 172. Графическое решение урав­
нения 30х2+40х- 25 =О
нии. Соединим точки В 0 и Вз, опишем из центра О окружность
и найдем точки С 1 и С2 . Определим ,с учетом масштаба длины от­
резков и знак: С1В 1 = · 117, С2В1 = -46. Подсчитаем корни урав­
нения
х= С1В1 =_!,.!2:., = 195· х = С2В1 =
-~= -0 77
1-
В0В1 60
'
'
2
В0В1
60
'
•
Пример 2. Решим способом прямых углов уравнение
3Ох2+40х-25= О,
,вкоторома0=30,а, =40,а2 = -25.
Здесь отрезок В2В 3 = а2 отрицателен, поэтому его отл ожим по
вертикали вниз (рис. 172) _ Определим отрезки С1В, = 14 и
С2В1 = -55.
133


Подсчитаем корни уравнения
Х=С1В1 =_!!_= О47·
_
С2В1 _
55_ l82
1
В0В1 30
'
'
Х2-В0В1--30 -
-
'
.
Способ окружности. Квадратное уравнение можно привес ти
к виду
х2-рх+q=О.
(44)
Для того чтобы найти корни этого уравнения в прямо уголь­
ной системе координат, в принятом масштабе радиусом , равны м
у
4
15
л
с
Рис. 173. Графическое решение уравнения,
способ о м окружности
единице, опишем окружность, проходящую ч~рез начало коорд и­
нат с центром на оси ординат (рис . 173) . В точке А проведем к а-
сательную и на ней отложим отрезок АВ = ___! __ _ На оси абсцисс:
fJ
отложим отрезок OF = ..!L . Оба отрезка АВ и OF отложим впра­
Р
во или влево от оси ординат, соблюдая правило знаков.
Точки В и F соединим прямой, которая пересечет окружность
в точках К и Е. Из точки А проведем лучи через точки К и Е
до пересечения с осью абсцисс в точках С 1 и С2 . Отрезки
х 1 = ОС 1 и х2 = ОС2 в масштабе, принятом для радиуса окруж­
ности, являются корнями уравнения.
Построение основано на том,чтох1+х2=р их1•х2= q. Из­
вестно, что ~всякое квадратное уравнение имеет лишь одну пар у
корней. Они обладают тем свойством, что сумма их должна рав­
няться коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятом у·
с обратным знаком, а произведение их равно свободному члену _
134


Пример. Реш ить способом окружности уравнение
х2+1,6х-3,2= О.
В коорди н атах хОу на оси Оу радиусом, равным единице, опи­
шем окружность, проходящую ч ерез начало координат (рис. 17 4).
На касательной от точки А отложим в ма,сштабе отрезок
4
4
АВ=-=--=-25
р
1,6
''
а на оси Ох - отрезок
OF= __g_ =
-
3,2
=2.
р
- 1,6
Соединим точки В и F прямой BF, которая пересечет окруж­
ность в точках К и Е. Из точки А через точки К и Е проведем
lj
8
!i..=- 25
/J'
4
Xz=-2 ,76
Рис. 174. Графи ч ес к ое реш е ние уравнения х2 + 1,6х-З,2 = О
лучи, которые на оси абсцисс отсекут отрезки ОС 1 = х 1 = 1,16 и
ОС2=Х2 =
-
2,76, равные искомым корням уравнения.
Способ параболы и пересекающей ее наклонной прямой.
Квадратное уравнение
х2+рх+q=0
можно представить в виде
х2= -
(рх+q); у=х2; у= -
(рх +q)
и найти общие для двух функций значения х, которые будут
корнями и.сходного уравнения .
Функция у = х2 представляет собой параболу, вершина ко­
торой совпадает с началом координат, а ось ординат является ее
осью симметрии. Вторая функция есть прямая линия, пересекаю­
щая параболу. Абсциссы точек пересечения будут искомыми
корнями уравнения.
При решении ряда квадратных уравнений параболу строят в
принятом масштабе один раз. Прямые же наносят в том же мас­
штабе для каждого решаемого уравнения.
135


Пример. Решим уравнение
х2 -О,4х. -2 = О.
Построим ·параболу у = х 2, причем масштаб по оси абсцисс
возьмем в 2 раза больше масштаба по оси ординат. Затем по­
строим прямую у= 0,4 х-2 в том же масштабе (рис. 175). Для
этого определим координаты двух точек прямой: х = О; у = 2 и
у = О; х = - 5 . Абсциссы точек пересечения параболы с прямой
дают искомые корни уравнения Х1 = 1,63 и Х2 = -1,23. Проверим
сумму и произведение корней р = -(х1 + х2) = - 0,4; q =
= х 1 • х2 = -2; отсюда следует, что корни определены правильно .
!/
)(
Рис. П.5. Графическое решение уравнения х2 - 0,4х - 2 = О
При11:1енение графического способа для решения квадратных
уравнений, разумеется, имеет -смысл только в тех случаях, когда
корни эти вещественны. Исходя из этих соображений ура1внения
x 2 ±px-q=0;
(45}
х2±рх=0;
(46)
x2- q=0;
(47)•
х2±рх+q=Опри :
2
-
q>О
(48)
являются основными ,видами приведенных квадратных уравне•
ний, для решения которых может быть применен графический
способ. Разработано несколько графических способов с примене­
нием параболы второго порядка, но для практического использо­
вания удобен лишь способ, приведенный здесь.
Кубические уравнения. Всякое полное уравнение третьей сте­
пени
Ах3+Вх2+Сх+D=О
(49),
после преобразований и подстановок может быть приведено 1<
более простому виду
х3±ах±Ь=О.
(50}
136


Н'l!!:•W - nz::т:,к:,....,.....
- --Н:3i_.....,_....
Уравнение (50) имеет три вещественных корня для группы
х3- ах±Ь=О
(51)
при условии, что 4а3 ~ 27Ь 2, но имеет один ,вещественный корень
•и два мнимых в том -случае, когда 4а3 < 27Ь2•
Для группы
(52)
приведенное уравнение (50) имеет один вещественный и два мни ­
мых корня. Графическое решение предусматри1вает нахождение
Jiишь вещественных корней. Найденные вещественные корни
приведенного кубического уравнения должны удовлеТ1ворять сле­
дующим условиям:
Х1-t-Х2+Хз=0;,
Х1•Х2+Х1•Х3+Х2•Х3 =а;
Х1•Х2•Хз = - Ь,
] (53)
что дает возможность проверки правильности решения урав­
нения.
Способ изображающей кривой применяется как при решении
полного кубического уравнения, так и приведенного.
Полное кубическое уравнение изображают графически в виде
кривой. Точки пересечения кривой с осью Ох дают значения абс ­
циссы, равные искомым корням уравнения, так как значения
функции в этих точках равны нулю.
Пример 1. Решим уравнение
12х3-52х2+23х+42=О.
Представим его в виде функции у= 12х3 - 52х2 + 23х + 42.
Для ряда последовательных значений х определим значение у
х
-
1
2
2,51.з
4
у
-45
42142125
-24
-
381-33
70
Примем масштабы для оси абсцисс 1 = 20 мм, для оси орди­
нат 1 = 0,5 мм и построим кривую (рис. 176). Из графика сле­
дует, что корни уравнения х1 = 3,5, х2 = 1,5 и Хз = -0,67.
Пример 2. Решим приведенное кубическое уравнение
х3-15х -2=О.
Напишем его в виде функции у= х3- 15х - 2.
Уравнение имеет три вещественных корня, так как 4а 3 > 27Ь 2 ;
из них один положительный корень и два отрицательных, потому
что произве~ение корней (-Ь = 2) положятельно.
137


Для ряда значений х определим значения у:
х
-4
у
-6
161201121-21
-
16 1 -241
-
201 2
60
х
4
Рис. 176. Графическое решение уравнения 12х 3 - 52х2 + 2Зх + 42 = О
Примем масштабы для оси абсцисс 1 = 20 мм, для оси орди­
нат 1 = 1 мм и построим кривую (рис. 177). Из графика опреде­
лим корни уравнения: х1 = 3,92; х2 = - 0,14 и х3 = - 3,78.
-,
Хз = -3,78
!/'
30
20
-20
-зо
Х1 = 3,92
2
J
Рис. 177. Графичес к ое решение уравнения х3 -15х-2 = О
х
Для решения приведенного кубического уравнения существу­
ют различные графические и графа-аналитические способы. Наи­
более распространенный способ построений описан ниже .
138
--- ------ --


Способ кубической пар аболы и пересекающей ее наклонной
прямой.
Пусть дано уравнение
х3-ах -Ь=О,
(54)
которое може т быть представлено в виде
х3- (ах+Ь)=О,
откудау=х3иу=ах+Ь.
В прямоугольной системе координат стро и м в п ринятом мас­
штабе кубическую параболу у = х3 . Она имеет'!Вершину в - начале
координат и ось, совпадающую
х ,0,104;:,,0'-2-~~~~~~~~~
с осью ординат.
d~'c,,,'
-4
Рис. 178. Графическое решение урав­
нениях3-10х- 5 =О
Рис. 179. Графическое решение
уравненияd5- ad- Ь =О:
1, 2 и З - наполнительная, напорная
и сливная линии рабочих цилиндров;
4 и 5-напорная и сливная линии воз•
вратных цилиндров; 6 и 7 - на п орная
и сливная линии возвратных цилинд •
ров без уравновешивающих цилиндров
Затем в той же системе ,координат строим наклонную прямую
у = ах+Ь - Абсциссы точек пересечения прямой с параболой пред­
ставляют собой искомые вещественные корни уравнения.
Пример. Решим ура1внение
х3- 1Ох-5=О.
Строим кубическую параболу у = х3 (рис. 178). Определим
координаты двух точек прямой
у=10х+5
1
х=
-
2;у=Оих =О;у =5.Примеммасштабпоосиординат
1 = 1 мм, по оси абсцисс 1 = 1О мм. Абсциссы точек пересечения
параболы с прямой представляют собой искомые корни данного
уравнения х 1 = 3,40, х2 =
-
0,51их3=
-
2,89.
139


При решении графическим способом ряда уравнений третьей
степени кубическая парабола, · построенная один раз по уравнению
у = х3 , пригодна для определения корней других приведенных ку­
бических уравнений, если прямые, пересекающие параболу, нано ­
сятся в том же масштабе- Кубическая парабола может быть вы­
черчена на миллиметровой бумаге , а прямые линии - на кальке ,
наложенной сверху.
Способ параболы п-й степени и пересекающей ее наклоюшй
прямой находит применение в машиностроении для графического
решения уравнений различных степеней. В качестве примера при ­
ведем графическое решение уравнения пятой степени в расчете
элементов гидросистемы мощных вертикальных ковочных и штам­
lj
А
()
р
х
l(ЛJ О
а (aJ1,J
в
повочных
гидравлически х
прессов ·с насосно-аккумуля ­
торным приводом (67}. В пер­
вой •стадии проектирования
гидравлического пресса из­
вестны лишь длины трубо­
проводов. Определение диа­
метров овязано с графичес­
ким решением уравнения
d5- ad-Ь=О длякаж­
дой линии трубопров-од а
Рис. 180. Построение выражения у = az ' (рис. 179).
Для графического реше­
ния квадратных и кубических уравнений используют-ся также но­
мограммы (см. гл. V).
Для уточнения намеченных графическим способом значений,
корней уравнений применяют известные в математике общий ме­
тод приближения или метод ложного допущения.
Линейные уравнения с произвольным числом переменных.
Пусть имеем линейное уравнение ,с п переменными z1, z2, .. ,,zп
(55),
где ао, а1, а2, ... ,ап - коэффициенты, положительные или отрица­
тельные числа.
Рассмотрим способ построения выражения у = az. В прямо­
угольной системе координат уОх отложим влево от начала коор­
динат по оси абсцисс отрезок РО = 1, а по оси Оу отрезок OQ = z
(рис. 180). Отрезок OQ откладываем \ по оси вверх для положи­
тельного числа или ~вниз для отрицательного числа. Из полюса Р ·
проведем луч PQ. По оси Ох отложим отрезок ОВ = а в сторону
положительных значений х, если а положительное число, или в.
сторону отрицательных значений, если а отрицательное число.
В точке В проведем линию АВ, перпендикулярную к оси Ох, и ли­
нию ОА параллельно PQ. Отрезок ВА будет ра~вен у = az. На­
правление отрезка ВА считается от В к А. Отрезок будет поло -
140


жительным, если он напра1влен вверх, и отрицательным, если на­
правлен вниз. Построение основано на подобии треугольнико~в
POQ и ОВА:
у
z
--
y=az.
а--I
-
,
Масштабы отрезков а и 2 могут быть разные. Если для отрезка
а принят ма,сштаб μ1, для отрезка 2 - μ 2 и для отрезка РО - 'А, то
масштаб отрезка у будет
μ3= μ1μ2 .
(56) .
А,
В линейном уравнении (55) левая часть представляет собой
линейную функцию от п переменных
у=ао+a1z1+a2z2+ ...+_anzn.
Найдем графически величину этого выражения для п = 4 .
На оси абсцисс отложим полюсное расстояние ОР = 1 и на оси
у
А,
::,,,
/
ft
.,,,_
~-::::р
Во
в, В;
8
в~
х
ао
а,
а
аз
а~
Рис. 181. Определение линейной функции
ординат отложим отрезки OQo = - ОР, а также OQ 1 = 21, OQ2 = z2,
ОQз= 23, OQ4 = 24и проведем лучи из полюса Р, причем 22и z3
считаем отрицательными (рис. 181). От начала координат на оси
Ох отложим отрезки ОВо= ао, В0В, = а1, В1В2 = а2, В2Вз = аз,
ВзВ4 = а4. Через точки Во, В1, В2, В 3 и В4 проведем вертикали и
от точки О нанесем ломаную линию ОА 0А 1 А2А 3А 4 . Отрезки лома­
ной линии проводим параллельно соответствующим лучам. Тогда
ордината у0 точки А 0 будет равна а0 и направлена вверх, если от­
резок а0 отложен вправо. Если отрезок а0 отложен влево, то ор­
дината у0 будет направлена вниз. Разность ординат Yi - Уо точек
А 1 и А0 по длине равна a,zi, та.к как у, -Уа и а1 относятся так же,
как OQ 1 и РО. Ордината у 1 равна ао+а,21. Ордината У2 точки А2
равна ао+а121 +щ22 и т. д.
Если отрезок а5 отрицательный, то ломаная линия примет вид,
показанный на рис . 182 . Если значения 21, z2, 23, . . , ,Zn удовлетво­
ряют уравнению
ао+a1Z1+a2Z2+ .. .+апzп=0,
141


то ордината У,п обращается в нуль и значения переменных 2 1, z 2,
Zз, .. . , Zn будут корнями уравнения (рис. 183).
Путем смещения полюса Р в точку Р 1 можно изменить мас­
штаб ломаной линии (рис. 181, пунктир) в отношении, обратно
у
Рис. 182. Ломаная линия лри отрицательном значе­
нии а5
пропорциональном полюсным расстояниям РО и Р1О:
,
РО
Yk= --Yk•
Р10
Этот способ применяется для получения желаемых размеров
ординат на чертеже.
Если в уравнении известны все переменные, кроме одного, на­
пример 2 4, то вычерчивают ломаную линию от О до Аз и с другого
конца от An до А 4. Прямая, параллельная А 3А 4 , проведенная из
полюса Р, даст точку Q4, а следовательно, и 2 4 (рис. 183).
!!
А,
As Ап-1
L
Рис. 183. Определение неизвестной z 4
Если · неизвестно 2n, то ломаную линию чертим до Ап-1-
Из­
вестно, что An должно совпасть · с точкой Bn, поэтому из полюса
Р проводим луч, параллельный линии An_1An и находим точки
QnИ2n.
142


"
"
Полюс с лучами, упирающимися в ось ординат, на которой от­
ложены отрезки неизвестных z, будем называть полигоном неиз­
вестных .
Система п линейных уравнений с п неизвестными в общем
случае имеет !Вид
а0+a1z1+a2z2+ .. .+ anzn_
~;)
Ьо+b1Z1+b2z2+...+bnzn- О,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Со+C1Z1+C2Z2+...+CnZn= 0.
(57)
Положим, что для ,каждого уравнения на оси абсцисс построе­
на схема расположения отрезков ао, а1, .. ., ап; Ьо, Ь 1 , .. ., Ьп; со,
c1, .. ,,cn и для всех схем найден общий полигон неизвестных, при
котором ломаные линии ·всех уравнений замыкаются, т. е. орди­
наты Уп обращаются в нуль . Тогда отрезки OQ 1 = Z1, OQ 2 =
=
Z2, .. ., ОQп = Zn будут искомыми корнями системы уравнений.
Это принципиальное решение вопроса . Практическое графиче­
ское решение системы линейных уравнений основывается на
исключении неиз·вестных. Поясним это на примере .
Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неиз­
вестными :
5- 5z1 +2z2- 3z3=О;
6- 2z1- 4,7z2+2,7z3= О;
7,2 - 3,5z1- l,Зz2- 1,6z3'= О. j
Сведем решение этой системы уравнений к реше,нию одного
уравнения с одним неизвестным. Проводим ось ординат и три оси
абсцисс О1х1, О2х2 и Озхз на произвольном расстоянии друг от
друга (рис. 184) . На оси 0 1 х1 нанесем схему расположения отрез­
ков постоя~н н ых величин первого уравнения, на оси O2х2 - схему
постоянных второго уравнения и на оси 03х3-третьего уравнения,
соблюдая знаки этих величин . Для этого выберем масштаб μ1 =
= 10 мм, т. е. каждая единица отрезка на оси абсцисс равна
10 мм . Например , в ,первом ура~внении свободный член а0 = 5,
следовательно, нанесем на оси O1х1 отрезок O1В0 = 5 • 10 =
=
50 мм; коэффициент а 1 ~ - 5 при z1 отложим отрезко м ВоВ1 =
=
-5-10=
-50
мм; коэффициент а2 = 2 при z2 отложи м отрез­
комВ1В2=2-10=20ммит.д.
Из первого и второго уравнений , схемы •которых нанесены н а
осях О1х 1 и О2х2, исключим неизвестную z3, соединяя для этого
прямыми линиями соответствующие точки их схем , т . е . точку В 0
соединим с точкой С0, точку В1 с точкой С1, точку В2 с точкой С2
и т. д. Через точку Е2 пересечения отре:зков В2 С2 и В3 С3 проведем
новую ось абсцисс O4х4 . Пересечение этой оси с прямыми , соеди­
няющими соответ,ствующие точки на осях О1х 1 и О2х2 даст точки
Ео , Е 1 и Е2 схемы уравнения, которое не содержит неизвестной zз .
143


Теперь исключим неизвестную z 3 из второго и третьего уравне­
ний, соединяя соответствующие точки из схем. Через точку F2'пе­
ресечения отрезков C2D2 и СзD 3 проведем ось абсцисс O 5х5 , схема
уравнения которой в точках Fo, F 1 и F2 также не содержит неиз ­
вестной zз.
Из уравнений, схемы которых изображены на осях O 4х4 и
Osx 5 исключим неизвестную . Z2, соединяя, аналогично, соответст-
Рис. 184. Графическое решение. системы линейных уравнений
вующие точки. Отрезки E 1F 1 и E 2F 2 не пере,секаются, поэтому
продолжим их до пересечения в точке К,, через которую проведем
ось Овхв.
Продолжим также отрезок EoFo до пересечения с осью O6хб в
точке К0 . Уравнение, схема которого изображена на оси 06х6 , со ­
держит лишь одну неизвестную z 1 -с коэффициентом, выраженным
отрезком КоК1, и свободным членом - отрезком 0 6К0 .
Примем масштаб для оси ординат μ 3 = 10 мм, т. е. такой же,
ка.к и для оси абсцисс, что даст возможность пользоваться цирку­
лем, и определим неизвестную z 1. От точки Ко на вертикали отло­
жим циркулем точку К~ , учитывая, что отрезок ОбКо равен от-
резку КоК~, и проведем замыкающую К~ К 1 л оманой линии .
Выберем произвольно на продолжении оси O 1 х 1 полюс Р с по­
люсным расстоянием л = 30 мм . и построим полигон неизве.стных­
Из полюса Р проведем луч Pz1 ![К ь К1 и определим значение z1
(Oz 1 = 24 мм), для чего надо знать масштаб ' ординат полигона:
μ2 = \J.з"-
=
!О. 30 = 30 мм; Z1=__0:!__ =
~ = 0,80.
μ1
10
μ2
30
144


Теперь из схемы оси 04Х4 определим неизвестную 2 2 . На верти­
кали от точки Е0 отложим циркулем отрезок Е0Е ~ , равный O4Е0
и представляющий собой в масштабе свободный член уравнения.
Через точку в; проведем прямую в; в; l[ P21 до пересечения с
вертикалью Е1Е; . Соединим точки в; и Е2 замыкающей лома­
ной линии, проведем из полюса Р луч P22 IIE ;в2 и определим
отрезок 022 = 57 мм, изображающий в масштабе неизвестную 2 2 :
Зная корни 2 1 и 2 2 системы уравнений, обратимся к схеме пер ­
вого уравнения, нанесенной на оси 0 1 х 1 для определения корня
23 . Через точку В0 проI;Jедем вертикаль и отложим циркулем отре­
зок ВоВ~ , равный отрезку OiBo. Через точку В~ проведем пря-
мую В~ В; II P21. Вертикаль, проходящую через точку В2 , пересе­
чем линией в;в; l!P22 и получим точку в;, из которой проведем
замыкающую в; В3 ломаной линии. Луч P23J!B;B3, проведенный
из полюса Р, отсечет в полигоне отрезок 023 = 49 мм, представля­
ющий собой искомый корень 2 3 в принятом масштабе:
_
Oz3 _
49 _l6-3
23-
-
-
'
.
μ2
30
Подставив значения корней в уравнения, можно проверить
точность полученных при построении результатов.
Функции многих переменных. В. А. Пахомова разработала но­
вый графический метод определения функций многих независимых
и за1висимых переменных [56}. Метод поз1воляет азычислить функ­
цию для заданных значений аргументов и получить ее графичес­
кое изображение. Решение возможно и при отсутствии аналити­
ческого выражения функции, если имеются графики опытных дан­
ных. Точность результата построений получается достаточная для
технических расчетов. Метод применим и для тех функциональных
зависимостей, которые не поддаются номографированию.
Если дана функция с п переменными
F(x,у,z, ...,t),
(58)
то неизвестное х выделяется в качестве главного; остальным пере­
менным придаются любые постоянные значения, в результате че­
го получается функци~ с одним переменным, которую можно
представить графически в прямоугольной системе координат .
Любая ордината этой кривой выражает величину функции при
выбранных частных значениях всех прочих переменных
F(х,у0,z0, •.• , t0).
(59)
14-5


Если в (58) исключить f1 (х) и принять у за переменн ую, а
остальным переменным снова придать любые постоянные значе-
ния, то функцию
•
F(у,Zo, ..., fo)
(60 )
также можно представить графически. Затем в (60) примем за
переменную z, а всем остальным придадим постоянное значение и
т. д . Кривых строится столько, сколько переменных входит в вы­
ражение рассматриваемой функции. Лишь одна из них, главная,
F (x ,y,Z)
F(x,y0 ,z0J
F(y,zo)
F(y0 ,z)
,;г----т------,1------'о,1
строится с учетом всех пере­
менных .
Для вычисления функции
многих зависимых переменных
сначала строят кривые зависи­
мости переменных 1в функции
от аргумента, а затем графиче­
ски изображают функцию мно­
гих переменных и находят зна­
чение функции .
Рассмотрим порядок постро­
ений для определения значения
функции с тремя перменными
(рис. 185) .
F(х,у,z) =f1(х)f2(у)f3(z).(61)
Строим три кривые : глав-
х,у, z
F
..J.....J~=------".J...J..----'--.,,....1...,...;.__
ная кривая (х, Уо, z0) в коор-
!!1 z.1 Х1
динатах х, F(x, у0, z0) ; кри·вая
Рис. 185. Графическое определение F(y, zo) в координатах у ,
функции многих переменных
F(у,z0) и кривая F(Уо,z)в ко­
ординатах z, F (Уо, z).
Полюсом графика является точка А. Эту точку надо выбрать
так, чтобы в ней пересекались кривые всех переменных , ,кроме
кривой главной п~ременной. Ордината АВ точки А представля(:т
собой в масштабе численное значение функции F (у 0 , z0 ) . Эта ве ­
личина принимается за единицу при графическом умножении .
Абсцисса ОВ точки А определяется таким расположением шкал
переменных, при котором значения Уо, z0 совмещаются в одной
точке. Надо учитывать предел изменения переменных и назначат ь
величины у0 и 2 0 близкими к средним. Выбор частных значений
переменных не изменяет характера кривых и связан лишь с под­
бором соответствующих масштабов. Для повышения точности
графического расчета в ряде случаев целесообразно применять
н е равномерные шкалы .
Определив положение полюса А, нанесем на оси абсцисс
значениЯ! переменных х1, у1 w z1
,
для к оторых по условиям зада -
146
'


чи требуе т ся определить значение функции. Ординаты точек 1, 2
и 3 кривых соответственно дают значения функций F(x1, Уо, zo);
F(У1, zo) и F(Уо, z1).
Для определения искомой величины функции F (х, у, z) надо
ввести поправки, умножив полученные значения ординат на ко ­
эффициенты
К:аждый п оправочный коэффициент является отношением
величин ординат кривых, соответствующих заданным перемен-
ным у 1 , z 1, к величине ординаты
F (x,y,z)
АВ. Эти отношения ЯВJ!ЯЮтся про- F(x,y0 ,z0 J,
межуточными элементами постро-
F (y,zoJ
,ений, поэтому определять абсо- F(yo,zJ IJ
лютное значение их не требуется.
Искомое значение функции
F (Х1, У1, Z1) = F (Х1, Уо, Z0) СХ1~1 (62)
найдем графическим умножени­
ем, нанося ,под определенным уг­
лом вспомогательную прямую
OD. Расположение последней в
графике за1висит от задачи. Она
может находиться спра1ва или
слева от оси ординат, или на про- д'f,;;--1~,,.---_+--v-,:,j'_,...._..,+~:,,,--_-=ir--'9---LJ
зрачном шаблоне. При много-
,.
кратном применении кривых гра­
фика · иногда проводят через на­
чало координат несколько пря-
мых.НапрямуюODточки2и3О 1•2 J 4 5 б 7 x,y,z
кривых переносим по горизонта- Рис. 186. Графическое решение
ЛЯМ IB ТОЧКИ 2' И 3'.
К:оэффициенты ,а1 и ~1 нахо­
дим графически, соединяя точки
уравнения с многими переменн .ы­
ми
2' и 3' с проекцией А' полюса на ось ординат. Для определения
произведения F (х 1 , у0 , zo) 1a1 ~1 проведем и1з точки, 1' прямую, па­
раллельную отрезку А'3', до встречи с пря,мой OD в точке 4.
Точку 4 перенесем на ось ординат в точку 5. Ордината 05 соот­
ветствует произведению F(x1, у0 , z0H1-.
Проводя прямую 5 6 па­
раллельно отрезку А'2', найдем· -ординату 07, которая с учетом
масштаба определяет численное значение функции F (х, у, z)
при заданных значениях переменных Х1, у 1 и z1.
Пример. Дано
F= [ -1 х2+Vx2+4+1][ У+I +s][--з_,зб~...,..,.,.]
.
8
yz+y-12
(0,Iz+l)(0,5z+l).
147


Требуется определить ч-исленное значение функции для зна­
ченийаргументовх1 = 5,у1 = 6-и z1 = 2.
В прямоугольной системе координат нанесем равно1мерные
шкалы на оси абсцисс для х, у и z, а на оси ординат - для
функций F(x, у0 , z0); F(y, z0); F(y0 , z) (рис . 186). В качестве
главного аргумента выберем х и назначим пределы -изменения
переменныхО<х::,;;8;О<у::,;;8;О< z::;;:;8.
Для средни•х значений переменных х0 · = у0 = za = 4 постро­
им кривые функций
F(х,Уа,z0) = 6,885[+х2+Vх2+4+1];
F(у,z0)=1,224[ у+I +5];
у2 + у-12
F (Уа, z) = 5,625
3•36
(0,Iz+ 1/a,Sz+l)
Для размещения полюса А в середине графика подберем со­
ответс-гвенно масштабы и найдем положение точек 1, 2, 3, O11ве­
чающих заданным значения1 м аргументов.
Найдем графическим построением коэффициенты а, и ~1 и
произведем графическое умножение F(x, у{), za)a1 ~ 1
.
Для этого
из точки 1' проведем отрезок 1'411 А'З' и отрезок 56 11А'2'~ Орди­
ната 07 является искомой величиной функции F (х 1 , у 1 , z 1) = 115 .
Метод отличается наглядностью и удобством ко,нтроля , ,
18. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Графическое дифференцирование применяется главным об­
разом для исследования движения точек по определенной тра­
ектории. Исследуемая функциональная зависиМ'ость может быть
выражена кривой, полученной по да·нным наблюдений· и·ли с по­
мощью регистрирующих приборо в, а также в том случае, если
аналитическое выражение этой~ функции неизвестно.
Если имеем график дви•жения S = f (i), т. е. графичес1<ую
заi:шсимо·сть перемещения от времени, то, применяя двухкрат ­
ное графическое дифференц,ирование, найдем графики измене­
ния скорости и ускорения движущихся частей машины.
Графическое дифференцирование с успехом применяется при
исследовании движения частей плоских механизмов, когда дви­
жение на-столько сложно, что аналитическое его ,изучение за ­
труднительно. К:риволинейное дви,жение расоматривают как
составное из дв,ижений проекций точки по осям координат, т. е.
как составное прямолинейное дв,ижение.
Задача определения скорости, с которой изменяется перемен­
ная величина, приводит к понятию производной. Производной
148


функции у по независимому переменному х, как известно, назы­
вается предел отношения приращения функци'И ,Лу к прираще­
нию независимого .переменно,го ,Лх, если последнее стремится,
к нулю.
Для любого процесса функции у = f (х) с физической точки
зрения производную у' представляем себе как скорость течения
процесса: скорость движения, скорость нагрева и т. д.
Не менее важен геометрический смысл производной. С гео ­
метрической точки зрения производная у' есть тангенс угла или
угловой коэффициент, который образует касательная к опреде­
ленной точке кривой~ у = f (х) с положительным направлением
оси Ох прямоуго льной~ -системы к;оординат, в кото'РОЙ построена
кривая. Если производная в данной точке кривой положительна ,
то функция возрастает., и наоборот, при отрицательном з,наче­
нии производной функция убывает. Если кривая функции зигза­
гообразна, имеет пи,ки, то в точке перелома .профиuтя нельзя1 про­
вести каса тельную, не параллельную оси Оу, а поэтому в этих.
точках функция не имеет прои•зводной.
Метод касательных. Если уравнение исходной кривой
· у = f (х), то уравнение производной дифференциальной кривой
имеет вид
у'=f,(х) = dy = tg,у,_
dx
(63}
На исходной кривой АВС в точке А проведем касательную,
(рис. 187). На оси абсцисс от основания ординаты точки А отло­
жим отрезок DE, равный единице, и проведем из точки Е луч
ЕА' 11 АР до пересечения с ординатой, AD. Из треугольника
A'ED следует, что A'D = tg а 1 = у' и точка А' есть точка прои з­
водной кривой, ,со·ответственная точке А исходной кривой. Та­
ким образом, для определения скорости движения по графику
пути достаточно в расоматриваемой точке кривой~ провести каса ­
тельную и найти тангенс угла наклона касательной к горизон ­
тали .
Если провести ка,сательную в наивысшей точке В исходной,
кривой (а равно и в наинизшей ее точке) , то касательная будет
параллельна оси абсцисс, поэтому угол, а -следовательно, и тан­
генс угла, и ордината .производной~ кривой~ будут равны нулю .
Производная кривая в точке В' пересечет ось абсцисс и следую­
щие ее ординаты будут отри цательными. Знаки у' и tg а долж­
ны быть одинаковыми.
Метод хорд. Построение касательных к заданной кривой ,
урав,нение которой ·неизвестно, возможно лишь при помощи при­
ближенных приемов. Рассмотрим их. Если задана кривая AD
(рис. 188), то для построения~ производной кривой на продол­
жении оси абсцисс нанесем полюс Р •С координатами (- 1; О).
Из полюса Р нанесем пучок лучей до встречи с осью ординат
14 9,


!В точках У1, У2, Уз, По направлению каждого луча построим по
две параллельных ему хорды исходной, кривой. Через середины
хорд проведем прямую до встречи с кривой. Здесь хорды по-
У
F8
х
Рис. 187. Построение производ­
ной кривой по касательным
х
Рис. 188. Графическое дифферен ­
цирование методом касательных
;с троены только для определения, точки В. В точках А, В, С и D
угловые коэффициенты касательных равны У1, У2, Уз и у4; им со­
ответствуют абсциссы х 1 , Х2, Хз и, х4 точек А', В', С' и D' искомой
произв-одной кривой .
Чтобы .избежать утомительного проведения по две хорды для
,каждой точки заданной кривой, наметим на этой кривой ряд то-
1/
чек А, В, С в зависимоети от
•
характера кривой и соединим
их хордами (рис. 189). При­
мем, что угол наклона хорд ра­
вен углу наклона касательных
к кривой в точках, расположен­
ных росередине между точка­
ми}).иВ,ВиС.Этодопуще­
ние вносит ошибку, но она ма-
,D
х ло влияет на точность построе-
ния производной кри~вой, тем
более, что она относится
только к одной точке. Эти
:Рис. 189. Построение производной погрешности не суммируются,
кривой по хордам
как это бывает в других по-
строениях.
Проведем средние ординаты и построим полигон с полюсом
в точке Р. Из точки Р проведем лучи, параллельные хордам, до
встречи с о·сью ординат в точках у 1 , У2, .. ., которые перенесем на
,средние ординаты и получим точки D, Е и F прои,зводной
кривой.
150


Наинизшая точка исходной кривой при у = О соответствует
точке F пересечениЯJ оси абсцисс дифференциальной кривой•.
Если ординаты зада•нной кривой велики по сравнению с еди­
ницей длины ; принятой для полюсного расстояния полигона, то
производная кривая будет очень пологой. Чтобы этого не полу­
чилось , полюсное рас'стояние полигона увеличив,ают до л, и при
масштабе μ 1 по оси абсцисс и μ2 по оси ординат исходной кри ­
вой ордината производной кривой будет равна
лμ2 f' (х).
(64)
ft1
Если исходная лини'Я представляет собой наклонную прямую .
то первая производная будет пря,мая, параллельная оси абс -
SV
t
Рис. 190. Построение дифференциальной кривой методом хорд
цисс . Второй производной не будет, так как она совпадет с­
осью абсцисс.
Пример. Закон движения точки определен уравнением S =
= f (,t) . Требуется построить дифференциальную кривую зави­
симости ,скорости от времени v = f' (.t). Масштабы : по оси абс­
цисс μ1 = 5 мм ( 1 сек соответствует 5 мм), по оси ординат μ2 =
= 1 мм ( 1 м соответствует 1 мм). Время движения точюr от А 1·
до А3 Л.,t = 2 сек; производная лs представляет собой среднюю,
Лt
скорость за время ,Лt (ри·с. 1901). От точки 2 отложи.м ординату,
лs
равную Лt = v 2. Величину v 2 получим, построив треугольник
!БI


PQ1Q2, подобный треугольнику А1С 1 Аз, в котором сторона А 1А 3
я~ляется хордой. Луч РQ2/!А1Аз. Полюсное расстояние 'А =
= 40 мм. Ордината Q1Q2 полигона пропорциональна скорости v 2.
Масштаб его равен
л.μ2
40•1 8
μ3 =--=-- -=
мм,
μ1
5
·что -соответствует скорости 1 м/сек.
Если, например, ордината Q7Q2 = 48 мм, то v2 = 48 : 8 =
=
6 м/сек. Это можно проверить: при ЛS = 12 мм, т. е. 12 м за
12
.Лt=2сек,v2=
-
=
6 м/сек.
2
Из графика функции v = f' (t) видно, что скорость имеет по­
.ложительные и отрицательные значения. Кривая v = f' (t) пе­
ресека,ется с осью абсцисс в точках, которые соответствую т
.наибольшему и наименьшему расстояния,м кривой S = f ('t) до
-аси абсцисс. Точка В 1 2 дифференциальной кривой, в которой
касательная параллельна оси абсцисс, соответствует точке А 1 з
перегиба исходной кривой.
Построение ' точек производной кривой связано с переносом
параллельных линий от хорд к лучам полигона. В этой опера- ·
;ции трудно добиться высокой точности, так как построение ве­
дется от коротки:х! участков к длинным. Можно уточни'!;ь по•­
,строение, исходя из принятых масштабов, с учетом того, что от
А1доАзЛrt = 2сек= 2μ1
PQ7_ л.
_
40_4
Лt- 2μ1
-
2-5-•
Следовательно, точку В2 можно было бы построить на орди­
яате дли.ной 4,ЛS, точку В10-на ординате 4(S11 - S9)
=
4- (-4) = - 16 мм, точку В22 = на ординате 4(S2з -S21) =
=
4·5 =20ммит.д.
Дифференциальную кривую можно построить, используя об­
ратимость графического интегрирования. К: заданной кривой
у= f (х) в намеченных точках А 1 , А2, Аз, А 4 проводят касатель­
ные, которые создают описанный многоуго,льник (рис. 197). Для
проведения касательных используем метод двух хорд (рис. 188).
Построим полигон с полюсом Р и лучами, параллельными про­
веденным касательным. Через точки Q1, Q2, Qз, ... встречи лучей
,с ординатой проведем прямые, параллельные оси абсцисс,
до пересечения в точках В 1 , В2 , Вз,, ... с ординатами точек А1, А2,
Аз, :.. исходной кривой. Точки В 1 , В2, Вз, .. . являются точками
дифференциальной кривой. Дифференциальную кривую между
этими точками проводят так, чтобы ,площадк треугольников
каждой ,ступени были равны между -собой.
ii 52


19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Определенные интегралы в технике и механике применяются•
весьма часто, но аналитическое решение их: в большинстве слу­
чаев трудоемко или вовсе неосуществимо, если функция сложна
и не может быть выражена в элементарных функциях, или же
подынтегральная функция эмпирическая и задана лишь табли­
цей или графиком. Тогда прибегают к графическому интегри­
рованию.
Графическое интегрирование функций - действие, обратное:
графическому дифференцированию. Графическое интегрирование
нах:одит большее применение в технике, чем графическое диф­
ференцирование. Оно применяется для определения площадей.
фигур, деления данного контура на заданные части, для опреде­
ления центра тяжести фугуры, статического момента и, момен,а
инерции сечения; наконец, для определения перерезывающих
сил, изгибающих моментов· и реакций опор балок или построе•.
ния упругой линии и определения критического числа оборотов.
вала, а также при расчете кривых брусьев.
Основными методами являются метод хорд и метод каса­
тельных. Графическое ин,егрирование сводится к графическому
определению площади с криволинейным очертанием путем заме­
ны -ее площадью, составленной из прямоугольни.ков, превращаю­
щих кривую в ступенчатую линию.
Используется известное свойство интегралов - нулевое зна­
чение заданной функции соответствует точкам максимальных и
минимальных ординат искомой функции; максимуму и минимуму
данной функции соответствуют точки перегиба интегральной
кривой.
Метод хорд. Имеем участок А 1 А 2 данной~ кривой (рис. 191) .
Площадь A 1A 2KD, ограниченная этой кривой, двумя ордината­
ми A 1D и А2К и осью абсцисс выражается интегралом
ь
• пл. A1A2KD = Sydx.
(65)
а
Проведем пря•мую ЕР 11 DK так, чтобы площадь A1A2KD бы­
ла равна площади EPKD или, что то же, площади треугольни­
ков А 1 ЕС и А 2 СР были бы равны. Ордината КР= Yin является
средней ординатой площади, ограниченной кривой А1А 2. Про­
должим пря·мую ЕР до вс,речи с осью ординат в точке Q, кото­
рую соединим лучом с полюсом Р.
На продолжении прямой A 1D выберем произвольную точ­
ку В 1 , через которую пров-едем прямую B1B2 II PQ. Прямая
В 1 В2 является хордой интегральной кривой В1В2.
153


В треугольнике В1NВ2 B2N = l tg а,
B 2N = l Ym , отсюда площадь.
НО tgаУт
).,
тогда
).,
(66)
Если кривой А,А 2 соответствует интегральная кривая В 1 В 2 ,
то для средней~ прямой EF интегральной, линией является пря­
мая B 1Bz. Начальные и конечные точки интегральной кривой
и интегральной прямой совпадают, а крайняя ордината B 2N,
равная h, умноженная на полюсное расстояние л, равна площа-
82
ди A,A2KD.
х'
р
о:о /}
к
ь
Рис. 191. Построение интегральной
кривой методом хорд
х
82
р
Рис. 192. Построение интегральной
-кривой методом касательных
Метод касательных. Кривой А 1 А 2 , так же как и в предыду­
щем случае, соответствует интегральная кривая В 1 В 2 (рис. 192).
Проведем прямую EF параллельно- оси ординат так, чтобы пло­
щадь A,A2Q2Q 1 была равна площади EFQ2Q 1 и площади тре­
угольников A 1ED и A 2FD также были равны. Тогда абсцисса
Q 1E = Хт будет средней абсциссой площади A 1AzQ2Q 1. Перене­
сем крайние точки кривой А1А2 на ось ординат и проведем лучи
PQ1 и PQ2, параллельно которым проведем касательные к на­
чальной и конечной точкам В 1 и В2 интегральной кривой. Каса­
тельные В 1 С и В2 С пересекутся в точке С, лежащей на продол­
жении ординаты EF, соответствующей средней абсциссе Хт. Та­
ким образом, для нахождения точки В 2 при построении интег­
ральной кривой следует в точке В 1 провести .касательную
В 1 С 11 PQ 1 до пересечения с ординатой, соответствующей средней
абсциссе Хт, и из точки С провести прямую СВ2 11 PQz. Крайняя
ордината B 2N = h интегральной кривой В 1 В2, умноженная на
полюсно~ расстояние л, равна площади' А1А2МК.
Равенства треугольников для нахождения средних ординат
и средних абсцисс при построении ступенчатой ломаной линии
154


исходной кривой достигают, пользуя,сь опред~ленными соотно­
шениями.
Если отдельные участки исходной кривой можно принять з ru
отрезок пря•мой, то середина такого участка совпадет со средней
ординатой Ут и абсциссой Хт (рис. 193).
Криволинейные участки принимают за дуги парабол второго
порядка. Предположим, что ось параболы параллельна оси абс­
цисс. Проведем хорду А 1 А2 и через -среднюю ее точку Е нанесем
горизонтальную прямую ED, которую поделим на три равные
части. На расстоянии 1/ 3 длины прямой. ED от точки D проведем
через точку С вертикаль EF, которая даст равные площади за­
штрихованных треугольников (рис. 194, а).
Если ось параболы параллельна оси ординат, то через сред­
нюю точку Е хорды А 1А2 проведем вертикаль ЕЕ и на расстоя­
нии 1/ 3 ЕЕ от точки Е проведем через точку D прямую DC, па­
раллельную хорде А1А2., до встречи в точке С с горизонталью ,
проведенной через точку Е. Вертикаль KF, проведенная через,
точку С, обеспечит равенство площадей заштрююванных тре­
угольников (рис. 194, 6).
В целях повышения точности графических построений ступе­
ни элементарных криволинейныХ> трапеций, заменяемых тре­
уго-льниками, не следует делать чрез•мерно малыми. Разумеет­
ся, при очень малых делениях ломаная :Линия более приближа­
лась бы к интегральной кривой . Но при большом числе угла&
ломаной линии неизбежно резкое увеличение суммы небольших.
погрешностей построения.
Интегрирование отдельной функции. Задана графически:
функция у = f (х). Требуется определить величину интеграла
х,
f f (х) dx, т. е. подсчитать площадь фигуры, ограниченной дан -
х.
ной кривой, двумя ординатами и осью абсцисс .
1-й способ , Графическое суммирование орди-·
на т (рис. 195). Участок (х1
-
хо) разобьем на равные ча­
сти Лх. Чем мельче разбивка, тем точнее будет интегрирова­
ние. Практически достаточная точность будет обеспечена, если
Лх будет равно 7-10 мм. Важно достаточно точно измерить.
участок (х 1 - хо). Через точки разбивки проведем ординаты .
Каждую криволинейную трапецию заменяем равновеликим
прямоугольником, для чего проведем горизонтальную линию ,
с таким расчетом, чтобы выделить два равновеликих треуголь ­
ника. Затем сложим графически высоты всех прямоугольников .
и умножим сумму на ширину пря•моугольника Лх. Графическое
суммирование высот удобно выполнять на полоске бумаги : ко­
нец первого отрезка совмещается с началом второго и т. д. Мас­
штабной линейкой измеряется полная длина. Считают, что не-·
смотря на примитивность этого способа, он дает достаточно,
15S.


-
ел
а,
у
о
IJ
1(
f
А2
'-> в,
li,,,-/ 82
'-'
А1v[
е
е
4
Е:: ·
Хт
:::,-;
х
о
с
IJ
Рис. 193. Средние ордината и
абсцисса прямого участка
y=f{X)
~..,
-
~~
~
::,;
~
х
Хо·
Llx L1x L1x L1x
Xt
Рис. 195. Графическое сложение ор­
динат
f
А2
~~
А1
Рис. 194. Построение равных площадей:
а-~
ось параболы параллельна осн Ох; б - ось пар а болы
параллельна осн Оу
у
,·
х,
Рис. 196. Графическое интегрирование методом хорд
<::
,.J
)(


хорошие результаты, не уступающие по точности измерению
площади планиметром .
2-й способ. Построение интегральной кри-
в ой по JC ·O р дам . Для построения этой. крив·ой воспользуем­
ся основными свойствами интеграла, а именно тем, что произ­
водная от интеграла равна подынтегральной, функции
х
х
у= sf(х)dx; dy =
___!!_sf(х)dx = f(х).
dx
dx
о
о
Отсюда следует, что тангенс угла наклона касательной к ин­
тегральной кривой в некоторой точке рав·ен соответствующей
ординате подынтегральной кривой.
Разделим участок (х1 - хо ) на п рав,ных малых частей Лх
, (рис. 196). Точную длину Лх найдем, измерив длину (х 1 - х0 )
и разделив ее на п частей . Ординаты деления разбивают фигу­
ру на , п криволинейных трапеций. Каждую криволинейную тра ­
пецию заменим равновеликим прнмоугольником, т. е. найдем
средние ординаты. Ординаты прямоугольников перенесем на
ось Оу в точки 1', 2', 3', ... На продолжении
оси Ох наметим
произвольно положение полюса Р, который -соединим с точками
1', 2', 3', ... лучами. _ Построим последовательно ряд хорд интег­
ральной кривой, а затем вычертим по ним плавную кривую.
• Ордината точки О' интегральной кривой представляет собой
постоянную интегрирования С0 . Искомый интеграл является
разностью ординат конечной и начальной точек интегральной .
кривой:
х,
Jf(х)dx = у1- у0= h мм.
(67)
Хо
Расстояние л полюса Р от начала координат может быть
определено из соотношения
(68)
где μ1 - масштаб по оси абсцисс исходной крив-ой в мм;
μ 2 - масштаб по оси ординат исходной кривой в мм.
Произвольный выбор полюсного расстояния позволяет при­
дать чертежу желаемые размеры.
Масштаб интегральной кривой при известном полюсном рас ­
стоя1нии определяем по фор1муле
μ3 = μ1μ2 единиц/мм.
'), ,,
(69)
157


Таким образом, при вычерчивании интегральной кр и в·о й
в масштабе имеем
(70)
Хо
Масштаб интегральной кривой при двойном интегрировании
для ординат второй интегральной кривой
μiμ2
11-
•з-л1л2.
(71}
при тройном интегрировании для ординат третьей интегральной
кривой
μfμ2
~tз= ---
л1л2л3
(72)
3-й способ . По строение ин тег р аль ной кр и­
в ой по касательным. Дана кривая В 1 В6 (рис. 197) _
Требуется построить интегральную кривую
х
У= F(х)=Jf(х)dx.
Хо
Замени·м интегральную кривую параллельными ступенями .
число которых зависит -от конфигурации кривой . Эти ступен и:
у
Рис . 197. Графическое интегрирование методом касательных
расположим так, чтобы в· произвольных точках В1, В2, Вз, ... , где
кривая и ступени имеют одинаковые ординаты и абсциссы, он и
ограничивали бы одинаковые площади. Для этого необходимо
так проводить вертикали супеней, чтобы .заштрихованные тре-
1~
,


угольни.ки справа и слева от вертикалей имели одинаковые
площади (см. рис. 194). Горизонтальные отрезки ступеней про­
должим до в,стречи с осью ординат в точках Q1, ·Q2, Q3, . .. , кото­
рые соединим лучами с полюсом Р, расположенным на произ­
вольном расстоянии от начала 'Координат . Начиная от точки
А1 (ОА1 =хо), построим многоугольник А1С1 11 PQ1, C1C2 II PQ2,
С2С3 11 PQ3, .. . Этот многоугольник касательных к искомой интег­
р альнон кривой имеет соприкосновение ,с последней в точках
А1, А2, А3, ... ,
абсциссы которых равны абсциссам точек В 1 , В2 ,
В 3 , ... интегрируемой кривой. С по•мощью лекал по описанному
многоугольнику касательных вычерчивается искомая интеграль­
ная кривая. Построение интегральной кривой· по касательным
дает более ясное представление о ее направлении, чем вписан­
ная в нее ломаная линия в построении по хордам. Для. опреде­
ления конечного результата интегрирования способ построения
по хордам более удобен.
Определение масштаба интегральной кри.вой производится
так же, как и в предыдущем случае.
Интегрирование произведения д1вух функций. Даны • кривые
двух функций у' = f(x) и у" = <р(х). Требуется найш интеграл
произведения этих функций
х,
У=Jf(х)ер(х)dx.
(73)
Хо
1-й способ. Определение момента фиктивных
с ил . Уча,сток (х 1 - хо) между пределами интегрирования ра­
зобьем на п равных частей Лх и проведем ординаты (рис. 198).
Площади элементарных трапеций примем для одной из данных
кривых, например,, кривой у" = '(!) (х) за фиктивные силы. Так,
фиктивная сила с индексом i равна Pi = <р(Хi)Лх = у; Лх, где
у;· является средней ординатой участка Лхi. Условимся считать
фиктивные силы направленными параллельно оси абсцисс и
приложенными к вершинам средних ординат другой данной кри­
вой у' = f (х). Момент силы Р i относительно оси абсци·сс равен
Piy; = <р(х)f(х) 1Лх. Момент всех сил относи.тельно оси абсцисс
представляет собой сум'М,У
i=n
М=~ср(х)f(х)Лх.
(74)
i=I
При достаточно малых участках Лх разбивки •момент фик­
тивных сил относительно оси абсцисс можно рассмат,ривать как
приближенную величину искомого интеграла .
Для определения момента параллельных сил строим полигон
сил и веревочный полигон. В целях уменьшения размера-в поли­
г она сил средни,е ординаты трапеций, откладываемые вместо их
159


площадей, для удобства размещения на чертеже, у меньш а ю тся
обычно в· 3 раза, для чего к крайней ординате нижней; кривой
на оси ординат строится прямоугольный треугольник DEF
с отношением размеров катетов 3 : 1. Затем чере-з вершины
средних ординат каждой трапеции наносят горизонтальные л и­
нии, которые пересекают треугольник DEF; отрезки этих пря- .
мых между сторонами DE и DF треугольника принимают за •Си­
лы и вычерчивают силовой и веревочный полигоны. Если замы­
кающую ВО веревочного полигона на _оси абсцисс обозн а чим
6
5
в
к
у
4
З2f
J/=j(X)
1
1
1
1
1
111
' -' "-" +-~ ..: :. -. .. .=. .- -=- .. =LJc.:.:xc..LJ=c.x "'- -
• ._, LJ::.:x- '- 1-- - х
ЕF
!j"=(JJ(X}
Рис. 198. Интегрирование произведения двух функций по­
строением веревочного полигона
через К и полюсное расстояние полигона сил через L, то момент
фиктивных сил относительно оси абсцисс будет равен М = KL.
Отрезок К измеряем в масштабе ординат кри,вой у' = f (х),
полюсное расстояние L - в том же масштабе, в которо·м отло­
жены фиктивные силы. Если масштаб ординат кривой а еди­
ницfм,м и коэффициент уменьшения ординат взят 3., то масштаб
фи,ктивных -сил равен
3 л размерность (у' у")
а• х -'---~---~ .
(75)
мм
2-й способ. По ст.роение поды н тег р аль ной кр и­
в ой. Даны кривые функций у'= f (х) и у"= ср(х). Требуется
произвести интегрирование произведения этих функций . Графи­
ческое умножение двух · кривых было рассмотрено выше (см.
рис. 134). Пользуясь этим методом, можно построить кривую
произведения этих функций, которая б удет подынтегральной
160
j
j


у= f(x)cp(x). Для нахождения интеграла произведения задан­
ных функций следует определить площадь подынтегральной
кривой ,методом графического суммирования ординат, описан­
ным в предыдущем параграфе.
Этот способ наиболее прост и точен, так как он содержит
наименьшее число операций. Для наиболее точного определения
длин ординат необходимо выбирать достаточно крупный мас­
штаб. При вычислении площади в целях повышения точности
важно взять достаточно большое число ординат. При наличии
планиметра площадь, ограниченная подынтегральной кривой,
двумя ординатами и осью абсцисс, может быть определена
очень точно. Тогда ошибка в основ­
ном будет определяться погрешно­
стями при графическом умножении
данных кривых . Операция упро­
щается, если кривые заданы шка­
лами (см. рис. 136).
Интегрирование отношения двух
функций. Заданы графически две
функции у'= f(x) и у11 = ср(х) . Тре ­
буется найти интеграл отношения
ЭТИХ функций
х,
SJJ!)_dx.
<р (х)
(76)
Хо
х
/Jy·
Р;
\
1~
1,
/п .S:
\
/
9-,
',/11~
Рис. 199. Схема построени~
моментов сил
1-й способ. Построение веревочного полиго­
на с переменным полюсным расстоянием.Изгра­
фостатики известно, что момент силы Pi относительно оси
абсцисс, параллельной силе, равен произведению полюсного
расстояния Hi на отрезок Луi, отека-емый на оси лучами вере­
вочного полигона (рис. 199):
Участок интегри,рования (х1 - х0 ) разобьем на п равных
малых частей Лх и нанесем средние ординаты кривых (рис. 200).
За фиктивные силы примем отрезки ,Лх. Фиктивные силы на­
правлены параллельно оси абсцисс и приложены к вершинам
средних орд_инат первой кривой. Расстояние этих сил от оси абс­
цисс равно f (xi) . Момент относительно оси абсцисс' Mi =
= Лxif (xi).
Построим полигон сил с переменнь1м полюсным расстоянием
Hi, равным средним ординатам второй кривой, и веревочный
6 Зак. 334
~ 161


полигон, крайние лучи которого отсекут на оси абсцисс отре­
зок АВ, равный искомому интегралу
Масштаб отрезка АВ равен
аЬ
-
единиц/м,и,
с
Хо
(77)
(78)
где а единиц/мм - для величины Лх; Ь единиц/мм
-
для f (х);
с единиц/мм - для ер(х).
у
Р; y'=j(x)
х
Рис. 200. Интегрирование отношен~1я двух кривых
построением веревочного по л игона с переменным
по л юсным расстоянием
2-й способ . Построение подынтегральной кри­
вой: Если даны. кривые двух функций у= f(х) и у= ер(х)
и требуется найти интеграл отношения э тих функций, то можно
построить подынтегральную кривую, пользуясь ,методом, пока­
занным на рис. 140, для деления дву х кривых, и графически сло­
жить ординаты. Для кривых, заданных шкалами, операция де­
ления упрощается (см. рис . 141).
Интегрирование более сложных фун к ци й . . При вед ем
приме­
ры графического интегрирования более сложных выражений.
Пример 1. Заданы графически функции у = f (х); у = ер (х)
и у= 'Ф (х); требуется найти интеграл
162
х,
J.f (х\ rv (х)
--
- -dx=Y.
'Р (х)
(79)


Применим здесь метод интегрирования построением веревоч­
ного полигона с переменным полюсным расстоянием, описанный
выше. Средние ординаты кривой у = f (х) примем за фиктивные
силы Pi, направленные параллельно оси абсцисс и приложенные
к вершине средних, ординат кривой~ у = ер (х). Построим полигон
сил с переменным полюсным расстоянием, равным средней ор­
динате каждого участка кривой у =
'ljJ (х) и веревочный полигон
(рис. 201). Отрезок АВ. отсекаемый на оси абсцисс крайними
!/
лучами веревочного полигона,
xJ является в некотором масшта­
и"' !l бе приближенной величиной
искомого интеграла.
!!
х
Рис. 20 1. Графическое определе- О
О,
-+ --+- -1 - -+--+- - --'l--''l----f_ .. .; .- - ~. ..
х,
ние интеграла S
f(X)'f(X)
'У(х)
dx
7654321
Рис. 202. Графический расчет кривого
бруса
Если f (х) имеет масштаб а единиц/мм, ер (х) - Ь единиц/мм
и 'ljJ (х) - с единиц/мм, то масштаб результата построения, ра­
аЬ
вен -
единиц/мм.
с
Пример 2. При расчете кривых брусьев для :вычисления ин­
теграла
(80)
при меним гр афи чес кий метод. В подынтегральное выражение
входят следующие величины: ds - элементарная площадка се­
чения бруса; У - расстояние ее от оси абсцисс, проходящей че­
рез центр тяжести сечения; R - радиус кривизны оси бруса
в расчетно м сечении (рис. 202).
Сечение разобьем на элементарные полоски прямыми, парал­
лельными оси хх. Площади полосок примем з·а фиктивные силы,
приложенные в центре тяжести полосок и направленные парал­
}.63
6*


лельно оси хх. Построим полигон сил с переменным полюсным
расстоянием, равным для каждой силы расстоянию ее от оси 00,
проходящей через центр кривизны и параллельной оси хх
(Hi = R + У) . Силы отложим по оси 00, а подвижный полюс -
на линиях действия сил. При таком построении нет надобности
строить веревочный полигон. Площадь, заключенная между ли­
нией подвижного полюса, его крайними. лучами и отрезками
·оси хх, даст величину искомого интеграла.
Определение площади замкнутой фигуры и деление ее на
части. Дана замкнутая фигура R 1,R 2R3R4 . Требуется определить
р
х
Рис. 203. Деление площади фигуры на части
ее площадь и разделить на три равные части (рис. 203). Можно
было бы построить интегральные кривые для двух исходных
кривых R2aR 3 и R1dR4 и по разности их ординат определить
искомую площадь . Удобнее перенести ординаты фигуры на ось
абсцисс, например, ордината ad фигуры 1R1R2RзR4 равна орди­
нате AsDs; получим фигуру D1A1A1D1. Площади этих фигур рав­
ны. Для построения интегральной кривой разделим площадь
фигуры D 1A 1A1D7 прямыми, параллельными оси Оу, на несколь­
ко частей; для каждой части найдем среднюю ординату и по­
строи·м полигон с полюсом Р и лучами, по которым построим
интегральную кривую В 1 В1. Площадь фигуры D1A 1A7D1 =
= R1R2RзR4 = лh.
Для того чтобы разделить эту площадь на три равные части,
разделим ординату B1D1 = h на три части, равные f .Им со­
ответствуют на интегральной кривой точки· С 1 и С2. Проведем
164
~ ZILizL:
... ..,_ __
'
-·


через эти точки ординаты, которые пересекут фигуру R 1R2R3R4
и разделят ее на три равные части .
Применяя подвижный по.люс, можно обойтись без построе ­
ния кривой А 1 А1. Операции ведутся в той же последовательно­
сти, но строя,тся три полигона при одном и том же полюсном
расстоянии (рис. 204).
у'
у
Рз
Pz,P4f7''-7~---г~-----+-+-+--c-:i...o,.J..
Pt,/Js l'-----t --- -
- - +-Q- -f- - - -'"'+-+- -="-+~
о'
il
о
.Р2 Лз IJ4 .Р5 Л5
Рис. 204. Определение площади замкнутой фигуры
х
Деление площади круга на части. С помощью интегральной
кривой можно быстро выделить заданную часть площади фигу­
ры. Пусть дан круг диаметром 10 слt . Требуется разделить его
площадь на две части в отношении 7 : 9, а затем вырезать дву­
мя вертикалями площадь 15 см 2 на расстоянии 1,5 см от верти­
кального диа·метра (рис. 205). После построения интегральной
кривой найдем площадь круга В 10 Сл = 15,7 •5_=
78,5 см 2. Край­
нюю ординату В 1 0 С разделим в отношении 7: 9 и точку D деле­
ния перенесем в точку Е интегральной кривой. Вертикаль 1 - 1,
проведенная через точку Е, делит площадь круга в отноше­
нии 7: 9.
Для того чтобы вырезать площадь 15 см2 , на расстоянии
1,5 см от вертикального диаметра, нанесем вертикаль ll - JJ,
которая пересечет интегральную кривую в точке N. Искомая
площадь соответствует отрезку FK ординаты В 10 С:
15
15
S= -=-=3см
/1,
5
,
который засекает на интегральной кривой точку М. Верт,икалью
JJJ - lll, проходящей через точку М, определя,ется граница вы-
резанного заштрихованного участка.
.
Приборы для графического интегрирования. Из наиболее
старых приборов, которые применяются для графического ин-
•
165


тегрирования и в настоящее время, можно лазвать интеграцион­
ный треугольник системы Тэра. Он представляет собой прозрач­
ный равнобедренный треугольник с катетом 10'5 мм. Прибор
позволяет строить интегральные кривые методами хорд и каса­
тельных с полюсным расстоянием до 5 см.
у
~
~' -..,
i1=5см
"lri
--
F
.D
·со
Ао
Р5
'см
1
~
Р4
1
Рз
1
1
P2I
11
/!/
х
Р,О
с
Рис. 205. Деление площади круга
Интеграторы и планиметры предназначены только для опре-
деления площадей.
-
В целя,х механизации проектно-конструкторских работ раз­
ные научно-исследовательские институты для графического ин­
тегрирования заданных функций создали и применяют интегри­
метры различных систем - шаровые, дисковые, с роликом, с но­
жевыми роликами и линейные для определения площадей· фи­
гур, объемов, весов и др.
Вычислительный центр :Иркутского _ университета разрабо­
тал и изготовил комбинированный · интегратор К:И-3, который,
кроме операций интегрирования графически заданных функций .
166


предназначен для выполнения ряда других вычислительных, из ­
мерительных и чертежных1 операций.
Эти приборы в большинстве своем промышленностью не вы­
пускаются.
Широкое применение получил п_рибор - интегрант, изготов­
ляемыи Ростокски.м дизелемеханическим заводом (ГДР). При­
бор очень про~т, дешев и представляет собой раздвижной уголь­
ник, состоящии, из двух ,металлических линеек, соединенных
шарниром. Внутренние кромки проходяrг через ось вращения
шарнира. Несмотря на свою простоту, прибор дает возможность
на базе гр':фическоrо интегрирования сравнительно точно ре­
шать целыи ряд технических за-
дач:
а) определение площадей пло-
'
-еких фигур и деление их на за ­
данные части;
6) определение объемов иве­
сов;
в) определен~е статических
моментов, центров тяжести и мо­
ментов инерции площадей;
г) р_ешение статически неопре­
делимых систем;
д) определение опорных реак­
ций и построение эпюр попереч­
ных сил и изгибающих моментов;
е) определение остойчивости
в судостроении .
,\'
Рис. 206: Построение интеграль­
ной кривой с помощью инте­
гранта
При построении интегральной кривой площадь, ограничен­
ную интегрируемой кривой, делят орди,натами на элементарные
криволинейные трапеции. Посередине каждой из них наносят
.средние ордин а ты. Неподвижная линейка интегранта уста-нав­
ливается на рейсшине параллельно оеи абсцисс определенным
деление м , совпадающим со средней ординатой край,ней трапе­
ции . Это деление определяет полюсное расстояние. Верхняя
линей1ка у станавливается на вершине той же средней, ординаты.
Не изменяя угла раствора, и,нтегрант с помощью рейсшины
без поворота опускают д о совмещения вер х ней л иней к и с точ ­
кой А 1 графика и проводят х орд у А 1 А2 в предела х первой эле­
ментарной трапеции (рис. 20(?) .
Сохраняя выбранное полюсное расстояние , эт у операцию
повторяют со второй элементарной трапецией, и т. д. В резуль­
тате получают ломан у ю линию хорд, которую описывают иско­
мой интеграль н ой кривой.
В том случае, когда имеют дело с плоской замкнутой фигу­
рой , не опирающейся на ось абсцисс, площадь также делится
на элементарные трапеции и проводятся средние ординаты.
167


Нижняя линейка всегда должна быть параллель,на оси абс­
цисс и устанавливаться делением полюсного расстояния на точ•
ку пересечения средней ординаты с контурной линией, ограничи­
вающей площадь снизу . Верхняя линейка, как и ранее, устанав­
ливается . на вершине той же средней ординаты . В остальном
постр·оение ведется так же, как и в первом случае.
20. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Уравнения, связывающие независимые переменные, их функ­
ции и производные этих функций, называются дифференциаль­
·ными уравнениями . . Порядок дифференциального уравнения
определяется, производной высшего порядка, входящей в урав·
нение; степень уравнения определяется высшим показателем
степени, в которой производная высшего порядка входит в урав­
нение, приведенное к рациональному виду.
Изучение процессов, в которых все искомые величины явля­
ются функция,ми лишь одной независимой переменной , приво­
дит к обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержа­
щим обыкновенные производные или дифференциалы.
Простейшие дифференциальные уравнения можно решать
графически с помощью интегральных кривых. Возьмем урав­
нение
:~ = f(х),
(81)
решение которого сводится к нахождению и,нтеграла
у= Sf (х) dx,
(82)
значение которого можно найти, построив интегральную кривую.
Пример. Требуется найти определенный интеграл
б
J = J(Зх2 + 2х-15) dx.
2
Сначала строим кривую у = 3х2 + 2х - 15,
,
для чего зададимся рядом значений х и подсчитаем соответст­
вующие значения у:
х
2
3
4
5
6
у
18
41
70
105
Примем масштаб по ,оси абсцисс μ 1 = 1 см, по оси ординат
1
μ2=
-
см, "л = 4 см (рис. 2·07). Построим полигон средних ор­
зо
168


динат исходной кривой и интегральную кривую описанным выше
способом. Крайняя ордината интегральной кривой h = 2,45 см,
масштаб ее равен
-
μ1μ2 = __1_
-
_
1_ см
μ3 -:-
'А, 30·4
-
120
•
Величина искомогЬ интеграла равна
J= __!:__ =
2,45 • 120 = 294.
μ3
1
у,
2з45б
.6
Рис. 207. Определе~ние интег.рала J(Зх2 + 2х - 15)dx
2
'х
Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид
d2y = f(х).
(83)
dx2
Общий интеграл этого уравнения
У=S(J)(х, С)dx+С1
(84)
находят двукратным интегрированием.
Последовательное интегрирование находит применение во
многих прикладн ых вопросах техники, но для каждого конкрет­
ного случая должны быть известны значения постоянных интег ­
рирования, которые не всегда определяются условиями задачи
и требуют применения особого метода.
Интеграл уравнения содержит две произвольные постоян-
,
ные С и С 1 , которым в графическом методе соответствует произ-
вольность выбора начальных точек двух интегра,(!ьных кривых
при их построении.
•
Графическое решение связано с выполнением од,ного из двух
поставленных условий:
169


1) при заданном значении независимой переменной х 1 перва я
интегральная кривая должна проходить через точку, ордината
которой соответствует значению функции и представляет собой
в масштабе определенное значение k 1 ; при значении независимой
переменной Х2 вторая интегральная кривая должна проходить че­
ре з точку , ордината которой. определяет интеграл У и представля-
ет собой в масштабе заданное значение k 2 ;
•
2) вторая интегральная кривая, при значениях независимой
переменной х1 и х2 должна проходить через заданные точки, пр и
этом интеграл У, определяемый в масштабе ординатами этих
точек, должен принимать заранее установленные значения k 1
и k2.
Для выполнения первого условия, графические построени я
производятся следующим образом . Построим исходную кри­
вую A1As , полигон средних ординат с полюсом Р 1 и первую ин­
тегральную кривую В 1 В 5 , начальную точку В 1 которой выбере м
на ординате / произвольно (рис. 208). Проведем новую ось абс­
цисс O 1 х 1 так, чтобы ординат а точки N 1, соответствующая абс­
циссе х 1 , была равна μ3k 1. Построим: полигон средних ординат
кривой В 1 В5 с полюсом Р2 и вторую интегральную кривую D1Dr,
с прои з вольным положением начальной точки· D 1 на ординате / .
Нанесем новую ось абсцисс О2х2 так, чтобы ордината точки N2 ,
с оответствующая абсциссе х2 , была равна μ;k2 . Таким образом ,
кривая D 1D5 является иско·мой кривой, удовлетворяющей урав­
нению
d2y
-
=--= f(x) .
dx2
Для выполнения второго условия вторая интегральная кри­
вая должна проходить через две заданные точки N 1 и N z
(рис. 209) . Решение начинается с построения ис х одной кривой ,
полигона с полюсом Р 1 , первой интегральной кривой и ее поли­
гон а средних ординат с полюсом Р2.
Начальная точка С 1 второй интегральной кривой С 1 С6 выби­
рается произвольно на ординате / . 'Кривая С 1 С6 пересекает ор­
динату 11, соответствующую заданной абсциссе Х1 , в точке N1 .
Чтобы точка N 1 стала одной из точек, заданны х по условию за­
дачи, следует так расположить новую ось абсцисс О2х2, чтобы
ордината точки N 1 в нов·ой системе координат была равна μ;k1
(на рис . 209 ординаты k 1 и k2 приняты отрицательными) . После
того как определилось положение оси 0 2х2, отложим от абсцис­
сы х2 ординату μ;k 2 второй заданной точки N2, учитывая знак
величины k2. Так как точка N2 оказалась в стороне от кривой
С 1 Сб, то производим корректировку.
Хорду С5 С6 продолжим до встречи в точке F с ординатой 11 ,
на которой должны пересечься обе кривые . Из точки· F прово­
дим луч через точку N2 и параллельно ему луч QsPз до встречlf
170


-
---J
!J
I11//1IVV
85
Х,2
х,
-
As
х
Xz
Рис. 208. Решение дифференциального уравнения
второго порядка (по первому условию)
У.
х
х,
}Jj Х;
02
Сб
1
N.I А1⁄2/
1
86
м
;,~,г ·Bl} lш 1/У 1, 1,:;;
х
Рис. 209. Решение дифференциального уравнения
второго порядка (по второму условию)
\
1
1


с вертикалью ММ для определения положенин новой ос и абс­
цисс О; х; и полигона с полюсом Р3 , что соответствует выбору
одной из постоянных интегрирования.
Теперь от,несем первую интег ральную кривую В 1 В 6 к новой
системе координат уо; х;, построим полигон средних ордин ат из
полюса Р3 и нанесем в координатной системе у02х2 втор у ю ин­
тегральную кривую D1N1N2Dв, которая удовлетворяет уравне­
нию
d2y
-= f(x) .
dx2
Пример. Дано дифференциальное уравнение
d2y
-- = 6х2-1--2х+7.
dx2
'
Интеграл этого уравнения, в ы раженный графи ч ески, должен
иметь крайние абсцис,сы Х1 = 0,5 и Х2 = 5,5 и ,соответствующие
ординаты k1 = 400 и k2 = 2'400.
Для ряда значений х найдем значения у:
х
0,5
1,5
1
2,5
3,5
'1
4,5
5,5
у
9,5
23,5 '•1 49,5
87,5
1
137,5
199,5
Примем масштаб по оси абсцисс μ 1 = 1 см, п о оси ординат
1
μ2= -
см, полюсное расстояние 'А= 4 см постоянное для
50
всех полигонов (рис. 210) . Проведем прямые 1 - VI, параллель­
ные оси ординат, причем крайние из них проведем через точки
абсциссы, со,ответствующие Х1 = 0,5 и Х2 = 5,5 .
Построим первую интегральную кривую В 1 В 6 , полиг,он сред­
них ординат с полюсом Р2 на произвольной оси абсцИ<:с О1х1
и вторую интегральную кривую N 1C6 , которая пересечет парал­
лель 1в точке N1.
Определим в масштабе ординаты заданных точек N1 и N2
,
μ1μ2
1.400
,
1.2400
У1 = μзk1 =--k1 = ---
0,5см;У2=μзk2 =---= 3см.
л2
42•50
42•50
От точки N 1 отложим вниз 0,5 см и найдем ось абсцисс О2х2 ,
а затем от этой оси на параллели Vf отложим вверх ординату
3 см и найдем точку N2 , которая не лежит на кривой N1Св.
Для того чтобы В'Горая интегральная кривая проходила че­
рез заданные точки N 1 и N2, необходимо определить новую ось
абсци,сс для первой интегральной кривой и постро и ть новый по­
лигон средних ординат. Для это г о п родолжим хорду CsCs до
172


встречи в точке F с параллелью /, на которой должны пересечь ­
ся в точке N 1 кривая N 1C6 и иск9мая вторая интегральная кри­
вая . Точку F соединим прямой · с точкой N2 и через точку Qs
проведем луч Q5P 3 11 FN2 до встречи с вертикалью ММ в точке
Рз . Точку Р3 примем 1за новый полюс и построим через точки N 1
и N2 искомую вторую интегральную кривую N 1N 2 в систе,ме ко­
ординат уО2х2.
'}
IIIIIIIVVVI
Х21
Х1
~
- ::.::
~'">
N,
~
м
в,
~: ::____. :. - 1- - - --l- ----l -- l----! ----al-----! -- -;. . . X;
о;
i1
о
Рис. 21 О. Решение уравнения
d2y
-
=6х2 +2х+7
dx2
Найдем значение интеграла уравнения при х ·=
2,5
та равна 1,25, см):
у= 1,25, -
1- = 1,25•42•50=1000.
μ~
Дифференциальное уравнение вида
ddy =у'= f:((х)).
х
(j) х
Если f' (х) и ер' (х} выражены
. кривыми,
то
проинтегрировать их графически.
Отношение соответствующих ординат кривых f' (х)
~=-ф'(х) = dy = tgа
<р' (х)
dx
(ордина-
(85)
можно
и ср'(х)
(86)
173


задает подъем искомой интегральной кривой
J'Ф' (х) dx.
(87)
Средние ординаты кривых А 1 А 5 и В 1 В 5 спроектируем на ось
ординат и из начала координат про~ведем прямую ОЕ под уг ­
лом 45° (рис. 211) .
Тогда для точки 1 данных кривых пол у чим
,
УА=OQ1= OQ1=tgа
у~ oq1
Р1О
'
т. е. луч P 1Q1 определяет направление хорд ы D 1D2 интегральной
кривой. Произведем подобное построение для остальных сред­
них ординат и_ по хордам вычертим искомую кривую у = 'Ф (х).
!/
q"
485
'()()
1
/
j(x)
t,
А,
х
Р4Р1Р2Р1
о
Рис. 211. Решение уравнения
dy = f'(x)
dx
'1', (х)
Функциональные шкалы для изображения функций.
М. Л . Франк предложил графический метод интегрирования
дифференциальных уравнений с помощью функциональных
шкал ,[87, 88] . При интегрировании дифференциаль ного уравне­
ния первого порядка
:: =f(y,х)
(88)
рассматривают его как уравнение семейства кривых с парамет­
ром х. На оси ординат наносят функциональную шкалу произ­
водной у' и вычерчивают кривые, придавая х ряд равноотстоя ­
щих на величину Лх = 0,1 значений Х1⁄2, xr+1⁄4 , ... , Xn-1⁄2• На
оси абсцисс от произвольной точки а0 строится зубчатая лома­
ная а0М 1 а 1 М2... (рис. 212). К.аждыЙI зубец представляет собой
равнобедренный треугольник. Для удобства построений поль-
174
-
,.,. _
::-::te,;-:C-:зz EEПГF-ES'U.iiE."'-&& 22 tai,tai8P_~ ...i & SA
Wi"~~


зуются шаблоном, у которого угол ~ = 90° -
..! !:_
.
Угол
2
а
,
выбирается так, чтобы tg -
= 0,1.
2
2
Вершины Mi зубцов при построении должны лежать на соот­
ветствующих кривых х i+'!. . Тогда точки ai дают на оси абсцисс
искомую функциональную шкалу для, у.
Для построения интеграла функции в этом способе исходят
из формулы средних прямоугольников
хп
i=n- 1
Jf(х)dx~ L f(х;+,1,)(хн1- xi),
(89)
Хо
i=O
где
xi+'!. = 0,5(xi+I - xJ
Можно интегрировать уравнение (88) с применением форму­
лы трапеций
хп
i=n -1
Jf (х) dx ,..._ ,
~ 0,5 [f (xi+1) + f (xJ] (xi+i - х;).
(90)
Хо
Кривые семейства вычерчиваются для ряда равноотстоящих
значений х = Хо, Х1, ... , Хп.
На оси абсцисс построение начинает­
ся от произвольной точки а0 , которая проектируется на кри­
вую х0 в точку М0. От точки М0 строится, так же как и раньше,
зубчатая ломаная МоЬ ,М 1 Ь2 (рис. 213). Проекции точек М 0 , М 1 ,
М2, ... , Мп на ось абсцисс в точках а0, а1, а2, ... , ап дают искомую
функциональную шкалу для у.
Вычерчивание кривых требует много времени, поэтому, поль­
зуясь этим методом интегрирования, не вычерчивают заранее
всех кривых, а в процессе построения наносят по две точки
и соединяют их отрезком прямой в тех местах, где может ока ­
заться вершина следующего зубца. В ряде случаев при х =
= const кривые превращаются , в прямые линии.
В уравнении вида
:~ = f(у)
(91)
производная· не зависит от х, поэтом у строится лишь одна кри­
вая, на которой расположатся вершины всех зубцов.
Уравнения с разделяющимися переменными· вида
f(у)dy=ер(z)dz
(92)
175


можно интегрировать в функциональных шкалах,
нять обе части уравнения. Получим два уравнения
dy
1.
dx
tм'
dz
----,
dx
'f (z)
если прирав•
(93)
(94)
которые принадлежат к рассмотренному типу. При графиче­
dу
ском интегрировании шкалу dx размещают на оси ординат,
шкалу у - на оси абсцисс, шкалу
1/
у
о
dz
-
на оси абсцисс в от­
dх
Рис. 212. Интегрирование в функциональ- Рис. 213. Интегрирование в функ­
ных шкалах способом средних прямо- циональных шкалах способом тра-
угольников
пеций
рицательн.ую сторону, шкалу z - на оси ординат в отрицатель­
ную сторону. В верхнем правом квадрате вычерчивается кри­
вая (93), в нижнем левом (94), и описанным методом строятся
1функциональные шкалы для у и z, которые и будут координата­
ми искомой интегральной кривой F (у, z) = ·О с начальными ус­
ловиями у0 и z0 при одном и том же значении Хо,
Интегрирование в функциональных шкалах уравнения второ­
го порядка вида
с начальными условиями Хо, Уо, Уо'.
По оси абсцисс в положительную сторону направлена шка­
ла у, в отрицательную сторону - у", по оси ординат
-
у'
•(рис. 214).
176


Метод заключается в построении шкалы у' по данной шка­
.ле у"
и в построении по шкале у' искомой шкалы у.
По заданным начальным условиям намечаем точки а0 и с0 , по
вычислениям у" - точку ео, Строим по шаблону точку Ь 0 , для
"
,
,
,,Лх В
которои У11, = у0 +у 2 ,.
точке а1 получаем у1 = у0+
+ У1'Лх и Х1 = Хо + Лх. Получив значения у1 и х1, строим ко­
роткий отрезок кривой у"= f (у', У1, t1) в декартовой системе
координат у'у" только в том месте, где намечается вершина еле~
дующего зубца интегральной ломаной,.
Первое интегрирование целесообразно вести по способу тра­
пеций, ~второе по способу средних прямоугольников или наобо­
рот, учитывая, что оба спо­
соба дают погрешности раз­
ных знаков, если кривая
внутри интервала не имеет
перегибов.
Найдя вершину N 1 зуб­
ца, по шаблону построим
точку Ь 1 . В системе коорди ­
нат уу' по точкам М0 и М1
получим искомую функцио­
нальную шкалу со, С1, С2, ..
для у.
Для того чтобы чертеж
не был сложным, на прак­
тике при выполнении интег­
рирования в функциональ-
IJ'
ео
с0 с1
Рис. 214. Интегрирование
нальных шкалах уравнения
рядка
у
С2
в функцио­
второго . по-
ных шкалах нет необходимости вычерчивать все зубцы и все ли ­
нии; дос таточно отметить в каждом построении лишь конечные
точки.
'
Если зубцы при интегрировании получаются очень малыми,
то значения х следует брать не через Лх =
·0,1, а через Лх = 0,2.
При очень больших зубцах, выходящих за пределы чертежа ,
значения у' берут в определенном отношении, например вдвое
меньше ис тинного . Тогда то же построение даст точки шкалы
0,Sy' и для получения соответствующего приращения Лу надо
вместо одного зубца построить два равных зубца.
В некоторых случаях уравнение в полярных координатах
проще, чем в декартовых., Построение также может быть вы­
полнено интегрированием в функциональных шкалах с после­
дующим перенесением точек шкалы на радиусы-векторы .
Вычисление определенных однократных интегралов изло­
женным методом в обычных случаях не отличается от вычис­
ления неопределенных интегралов при заданном начальном
•условии. После пол у чения функциональной шкалы для
перво­
начальной функции подставляют верхний предел интеграла.
177


Графические методы решения дифференциальных уравне­
ний, предназначенные для, построения п ереходных процессов
в системах автоматич е ского регулирования и в динамических
системах, разработаны Д. А. Башкировым ![6] и А. А. Погосо­
вым 1[59, 60~ . Учит ывая
специальное назначение этих методов ,
здесь их рассматривать не будем .
21. ГРАФИЧЕСКАЯ СТАТИКА
Последовательное графическое интегрирование дает возмож ­
ность получать ряд интегральных кривых. Вторая и третья ин­
тегральные кривые в связи с первой интегральной кривой могут
служить - одна для определения статического момента, другая
для определения момента инерции площади , ограниченной на ­
чальной кривой, относительно любой оси, параллельной оси ор ­
динат.
Определение масштабов интегральных кривых. При графи­
ческом интегрировании бывают затруднения в определении мас­
штабов ординат интегральных кривых. Положим, что масштаб
исходной кривой по оси абсцисс 1 см = 2 м, а по оси ординат
1 см = Б кг . Если построить первую интегральную кривую с по­
люсным расстоянием л = 8 см, то 1 см ординаты этой· кривой
будет 2•5 •8 = 80 кГм, а 1 см абсциссы по-прежнему будет со­
ответствовать 2 м.
Если построить вторую интегральную кривую с 'А = 10 см,
то при абсциссе 1. см = 2 м, при ординате 1 см = 80 кГм первой
интегральной кривой масштабы второй интегральной кривой
будут: ордината 2-80-10 = 1600 кГм, а абсцисса снова 1 см =
= 2мит.д.
Ранее масшта·б обозначался: μ 1 - число единиц длины . абс­
циссы, равное единице независимого переменного; μ2 - число
единиц длины ординаты, равное единице функции. Масштаб ин­
тегральной кривой
μfμ2
μfμ2
--, - --.
л1л2 л1л2л3
1
Теперь удобнее обозначить иначе: -
= а - число единиц
μ1
независимого п еременного, равное единице длины абсциссы;
= Ь - число единиц фу н кции, равное единице длины ор-
μ2
дина ты.
Масштаб и н тег р альной
1
178
кривой
1
(95)


Статический момент S площади
х,
S~.\у(е-х)dx
(96) ·
Хо
от носительно вертикали х = е равен интегралу произведения
каждого мо·мента ydx на его расстояние е - х от вертикали . Ес­
ли к•ривая а (рис. 215) ограничивает площадь, для которой оп­
ределяется статический момент, кривая Ь - первая ~интеграль­
ная кривая . и кривая с - вторая интегральная кривая, то каса­
тельные в начальной и конечной точках D 1 и D 2 кривой с отсе-
у
е
х,
Е
Ог
Хо
1,,
р
Рис . 215. Определение статического момента площади
к ают на вертикали ЕМ отрезок ЕР, равный в масштабе статиче­
скому моменту площади A 1A2KG. Направление касательных D1F
и D2E определяется лучами PQ 1 и PQ2 полигона крайних орди­
нат первой интегральной~ кривой.
Точка N пересечения касательных D 1F и D 2E лежит на оси
NR, п·роходящей через центр тяжести рассматриваемой площа­
ди. Статический момент •относ,ительно оси, проходящей через
центр тяжести, равен нулю .
В пра,ктических расчетах статического момента площади1 на­
чальные то ч ки первой и второй интегральных кривых размеща­
ют на оси абсцисс, поэтому касательная D 1F и точка N совпада­
ют с осью абсц,исс и графическое построение упрощается.
Статический момент в этом случае в масштабе равен отрезку
крайней ординаты от точки пересечения с касательной до оси
абсцисс. Если статический момент определяется для части пло­
щади, органиченной двумя о•рдинатами, то через точ1ш пересече­
ния этих ординат со в-горой интегральной кривой проведем к ней
касательн ые и измерим отреза.к, заключенный между этими ка-
179


сательными на оси, относительно которой измеряется статиче­
ский момент.
Пример. Требуется определить статический момент площади
эллипса с полуосями а = 45 см и Ь = ЗО см относительно каса­
тельной, проходящей через конец большой оси. Эллипс вычер-
1
тим в масштабе - ; учитывая симметричность фигуры, изо-
20
6разим лишь верхнюю ее половину до большой оси (рис. 216) .
Примем масштаб по ОСИ абсuисс I см = 20 см, по оси ординат
1 см = 20 см и полюсное расстояние 'А = 3 см. Масштаб по оси
ординат первой интегральной кривой I см = 20-20-3 = 1200 см 2 .
Есл,и конечная ордината первой интегральной кривой по черте-
!/
х
Рис. 216 . Статический момент эллипса
жу равна 1,77 см, то площадь эллипса равна F = 1,77-1200-2 =
= 424'0 см 2. Для проверки подсчитаем площадь эллипса по фор­
муле
F=тт.а.Ь =3,14.45.30 =4240см2.
Посгроим вторую интегральную кривую с тем же полюсным
расстоянием, причем начальные точки той и другой интеграль­
ных кривых будут лежать на оси абсцисс, конечная ордината
D6D7 = 1,33 см. Для большей яснос11и на рис. 216 эти кривые
построены отдельно . Для построения касательной D 6N спроекти­
руем точку В 6 первой интегра,1ьной ,к р ивой на ось ординат
и проведем луч P2Q 6 . Проведем касательную DвN 11 Р2Qв. Точ­
ка N лежит на вертикали, проходящей через u ентр тяжести фи­
гуры. Определим масштаб ординат второй интегральной кривой:
1 см= 20-1200-3 = 72 ООО см3 . Статическ,ий момент площади
эллипса из графического расчета равен
S = 1,33. 72000 • 2 = 191400 см3•
180


Для про-верки результата вычислим статический момент по
фо•рмуле
S=aF=45•4240=190800см3;
ошибка около 0,3 %, что вполне допустимо .
Таким же образом может быть определен статический мо­
мент части площади эллипса относительно любой вертикальной
о·си. В этом случае для проведения, касательной к промежуточ­
ной точке второй интегральной кривой, соответствующей грани­
це ·ра ссматриваемой части площади эллипса, проектируют на
ось ординат пограничную точку первой интегральной к·ривой
и проводят луч из полюса Р2. Касательная должна быть парал­
лельна этому лучу.
Статические моменты площади эллипса относительно осей,
проходящих слева от центра тяжести эллипса, будут отрица­
тельньrми.
Центр тяжести плоской фигуры. При определении статиче­
ского момента площади фигуры с помощью графического инте­
грирования ка·сательная к ·конечной орд,инате второй интеграль­
ной кривой, как было показано, засекает на оси абсцисс точку,
которая определяет положение вертикали, проходящей через
центр тяжести этой площади. Для определения положения· цент­
ра тяжести площади несимметричной фигуры следует произве­
сти графическое интегрирование второй раз в системе коорди­
нат, ·расположе нной под углом 90° к первой и найти вертикаль ,
на которой расположен центр тяжести. Пересечение верт,икалей
определит положение центра тяжести плос'кой фигуры.
Для проверки правильности определения положения центра
тяжести площади исходят из того, что площадь фигуры F вы­
ражается конечной ординатой в масштабе первой интегральной
кривой, а статический момент S той же площади относительно
конечной ординаты •равен этой ординате в масштабе второй ин­
тегральной кривой и представляет собой произведение площади
на расстояние ее центра тяжести от этой оси . Отсюда расстоя­
н,ие центра тяжести от конечной~ ординаты в каждой системе
коо,рдинат равно
(97)
Пример. Требуется определить положение центра тяжести
половины эллипса по большой его оси при размерах полуосей
а = 60 см и Ь = 40 см (рис. 217). Выберем масштабы: по оси
абсцисс 1 см = 10 см; по оси о•рдинат 1 см = 10 см; полюсное
ра·сстояние л = 4 см; ордината первой интегральной кривой
1см=10•10•4 =400см2.
Построим первую ,интегральную кривую ВВ. Конечная орди­
ната равна 9,42 см, площадь половины эллипса F ·равна 9,42Х
181


Х400 = 3,770 см 2 . Проверим полученный результат по формуле
F = О,БлаЬ; F = 0,5-3,14-60 -40 = 3770 см2 . Результаты точно
сов падают . Масштаб ординаты вто'рой интегральной кривой
1 см= 10-400-4 = 16000 см 2 . Построим вторую интегральную
кривую DD. Статический момент при размере конечной ордина­
ты 14,2 равен S 1 = 14,2-16 ООО= 226 200 см 3 , отсюда расстояние
центра тяжест,и от конечной ординаты
Х1=~ = 226200 =60СМ,
F
3770
на чертеже х1 = 6 см.
В другой ·системе координат, расположенной под углом 90°
к первой, при тех же масштабах конечная ордината первой~ ин­
тегральной кривой Р0В1 равна 9,42 см и F = 9,42- 400 = 3770 см2•
Конечная ордината второй интегральной кривой Р0Е ·равна 4 см,
статический момент S 2 = 4-16 О·ОО = 64 ООО см3 . Расстояние
центра тяжести от конечной, ординаты
S2
64 ООО
Х2=F
=
3770. = 17см,
на чертеже Х2 = 1,7 см.
Таким образом, центр тяжести площади половины эллипса
имеет координаты F (6; 1,7) .
Момент инерции площади сечения дета".ли графически опре­
деляется построением первой, второй и Т'ретьей интегральных
кривых. Момент инерции площади сечения относительно оси,
параллельной конечной ординате третьей интегральной кривой,,
равен удвоенному отрезку этой ординаты, заключенному между
касательными параболами, проведенными к начальной и конеч-
ной точкам кривой.
.
Касательные параболы представляют собой первые интег ­
ральные кривые прям олинейных касательных, проведенных
в начальной и конечной точках второй интегральной кривой.
В начальной точ.ке кривой касательная парабола превращается
в прямую, совпадающую с осью абсцисс, поскольку прямоли­
нейная касательная в начальной точке вто·рой интегральной кри­
вой совпадает с осью абсцисс .
При определении момента инерции сечения относительно оси,
совпадающей с конечной ординатой третьей интегральной ·к·ри­
вой, построение касательной, параболы также является излиш ­
ним, так как парабола будет касаться кривой в ее конечной
точке. Момент инерции сечения в данном случае равен удвоен­
ной конечной ординате.
В технике практический интерес представляет момент инер ­
ции площади сечения относительно оси, проходящей через центр
тяжести. Построение касательной параболы к конечной точке
третьей интегральной кривой здесь неизбежно. Касательная
парабола, как известно, является первой инте г ральной кривой
182


прямолинейной касательной к конечной точке второй интеграль­
ной кривой с тем же полюсным расстоянием, которое было при­
нято при построении третьей интегральной кривой.
Величина искомого махового момента равна удвоенному от­
резку ординаты, проходящей через центр тяжести , заключенному
между ·ка сательной па•раболой ·и осью абсцисс в масштабе орди­
нат третьей интегральной1 кривой.
Пример. Требуется определить момент инерции площади се­
чения эллипса относительно -малой оси с теми же размерами.
которые были п-риняты в пр rд ыдущем примере (рис. 217). Пе­
ренесем из этого чертежа вторую интегральную кривую 1 и по­
строим полигон С'редних ординат с полюсом Р 1 и третью инте­
гральную кривую 2 (рис. 218). Затем построим полигон средних
ординат касательной BF с полюсом Р2 и касательную парабо­
лу 3.
Примем масштабы: по оси абсцисс 1 см = 10 см, по оси ор­
динат 1 см = 10 см, полюсные расстояния двух полигонов оди­
наковы л3 = л4 = 7 ot. Масштаб ординаты второй интегральной
кривой из предыдущего при-мера 1 см = 16 ООО см 3 . Подсчитаем
масштаб о-рдинат третьей интегральной кривой: 1 см= 10 Х
Х16ООО•7 =1120ОООсм4.
Момент инерции площади сечения половины эллипса по
большой оси при расчетной ординате КР= 1,52 см, отсекаемой
параболой
J~2•1,52.1120ООО=3400ООО см4•
Искомый момент инерции площади полного сечения эллипса
относительно малой оси
Jо=2 •3400ООО=6800ОООсм4•
Проверим результат по формуле
J=зtсзd =
:rt • 12оз •80
=
6 790 ООО см4'
о64
64
где с и d - большая и малая оси эллипса.
Точность результата графического решения вполне удовлет­
ворительна.
Есть возможность сравнить полученный результат непос•ред­
ственного -определения момента инерции площади сечения эл­
ли пса 10 относительно ординаты, проходящей через центр тяже­
сти эллипса, с данными графического определения момента
инерции площади сечения эллипса J относительно оси, совпа­
дающей с конечной ординатой третьей интегральной кривой, по
форм·уле
J=Jo+Fa2,
где F - площадь сечения эллипса в см 2 ;
а - расстояние между осями в см.
(98)
183


х
91+2,см
Рис. 217. Центр тяжести половины
~с.., ,.
,-,c_u--rt--нe-+--,t ""
-- -+ -. ,_,' -l,
r--."
.Х
Рис. 218. Мо,мент инерции сечения эллипса
184


Отсюда при .расчетной конечной ординате у = 7,6 см кри­
вой 2 имеем
J0 = J -Fa2 = 2(2 • 7,6 • 1120000-3770 •602) = 6900000 см4.
Ошибка результата графического построения составляет 1,5% .
Расчет балок с применением графического интегрирования .
Рассмотрим балку на двух опорах с равномерно распределен­
ной нагрузкой q кГ/см . В прямоугольной системе координат про­
дольную ось балки примем за ось абсцисс . Тогда поперечная
сила .
х
Q= R1 - Sqdx,
о
(99)
где R1 - реакция опоры, а второй член уравнения представляет
собой ординату У1, отстоящую на расстоянии х от начала коор­
динат первой интегральной кривой, полученной из кривой на­
грузки, как исходной кривой:
Q = R1-Y1•
Так ка.к dQ = -q, то кривая нагрузки q является произ­
dх
водной для кривой поперечных сил· Q, которая является интег­
ральной кривой от первой.
Изгибающий момент
х
х
х
х
х
х
Мх= SQdx = SR1dx - Sdx5qdx = R1x - SdxSqdx.
(100)
о
о
о
о
о
о
Первый член уравнения представляет собой ординату пря­
мой линии, второй - ординату второй интегральной кривой от
исходной кривой нагрузки. Выберем полюсное расстояние л 1
и построим первую интегральную кривую OD от кривой нагруз­
ки АВ (в данном случае прямая линия). Первая интегральная
кривая здесь то же прямая линия, расположенная под углом а
к оси Ох; tg а= !!!:._
= q (рис; 219) . Уравнение первой интеr-
l
ральной кривой у = qx.
Выберем полюсное ·расстоя-ние л2 для второго полигона и по­
строим вторую интегральную кривую EF, которая является па- •
раболой второго порядка; ее уравнение у =
-
1- qx2. Точки Е
2
и F соединим прямой. Ординаты между прямой EF и второй
интегральной кривой представляют собой величины изгибающих
моментов, а кривая EF является линией изгибающих моментов.
После того как определилось положение прямой EF, из по­
люса Р2 проведем луч Р2А 1 11 EF. Через точку А 1 проведем пря­
• 185


мую А 1 В 1 п араллельно оси Ох. Ординаты между п рямыми OD
и А1В 1 для каждого сечения балки дадут ~величину поперечной
силы Q. При Q = О точка С 1 определяет положение опасного се­
чения и соответствует Мшах•
Наибольший изгибающий момент расположен посередине
балки, а следо1вательно, и опасное сечение находится там же.
!J
к
R1
х
Рис. 219. Расчет балки с распределенной нагрузкой
Уравнение прямой ЕР у = R 1x; угол подъема этой прямой
оп1ределяется соотношением
tg~=L
= R1-
x
Для того чтобы кривая ЕР не поднималась круто, что вызы ­
вает неоправданное увеличение размеров чертежа, полюс Р2
следует расположить выше оси Ох, соблюдая принятый размер
полюсного ра,сстояния.
Балка на двух опорах с сосредоточенными нагрузками. Бал­
ка несет три сосредоточенных нагрузки Q 1, Q2 и Q3 (рис. 220).
Построим эпюру поперечных сил AKCDEPGHB без учета еще
неизвестной реакции опоры R1 и без полигона сил. Ордината НВ
ра в на сумме реакций R1 и R2 опор.
Для линии поперечных сил, 'Как исходной кривой, построим
по ли гон с полюсом Р и полюсным расстоянием л и вторую ин­
тегральную кривую А , В I в виде ломаной линии.
Соединим прямой точки А 1 и В I и проведем из полюса Р луч
PA 2 IIA 1B 1. Через точку А2 проведем прямую А2В2 параллельно
186


оси Ох. Крайние ординаты от оси А2В2 будут равны реакциям
опор R1 и R2.
Наибольший изгибающий момент соответствует ординате
Ymax, расположенной на вертикали направления силы Q2 , где
эпюра поперечных сил относительно оси А2В2 меняет знак.
Упругая линия балки. Дифференциальное уравнение упругой
линии изогнутого в одной плоскости ,стержня имеет вид
d2y
М
dx2 =±EJ'
(101)
гп.е М - изгибающий момент;
Е - модуль упругости материала;
J - момент инерции сечения.
Следовательно, упругая линия может быть найдена с пом:о­
М
шью двойного графического интегрирования кривой у=-·
EJ
у
G
н
F
~
82
~
в
х
Q3
Рис. 220. Расчет балки с сосредоточенными нагрузками
Учитывая, однако, что изгибающий момент М определяется так­
же двойным интегрированием кривой нагрузки, для нахождения
упругой линии необходимо четырехкратное интегрирование этой
кривой.
Графический способ определения прогибов имеет преиму­
щество перед аналитическим при нескольких сосредоточенных
нагрузках, при неравномерно распределенной нагрузке, для ва­
лов с переменным сечением и, особенно, при количестве опор бо­
лее двух .
187


Пример. Вал переменного сечения на двух опорах несет со­
средоточенную нагрузку Q = 5000 кГ, приложенную на расстоя-
•нии l1 = 60 см от опоры А; остальные размеры указаны на чер­
теже (рис. 221). Требуется построить упругую линию вала и оп­
ределить наибольший прогиб.
а
Q
'(;
'-3
Рис 221. Построение упругой линии вала
8
Реакции опор удобнее определять аналитически. Составим
уравнение R2l - Ql1 = О и найдем реакции опор
RQ=.9Ь__=5000.во =2000кГ·
~
l
150
'
R1 = Q-R2 = 5000.:__ 2000 = 3000 кГ.
Примем масштабы: по оси абсцисс 1 см = 10 см; по оси ор­
динат 1 см= 1000 кг, полюсное расстояние .л 1 = 7 см. Построим
эпюру а поперечных сил.
Принимая ломаную линию а за исходную кривую, построим
первую интегральную кривую Ь, которая представляет собой ли-
188


нию изгибающих моментов. Масштаб ординат кривой изгибаю ­
щих моментов ра1вен 1 см = 10 •1000 •7 = 70 ООО кГсм.
Теперь следует учесть ступенчатость вала. :Каждому сечению
вала соответствует определенный момент инерции. Если при­
нять, что построенная кривая Ь изгибающих моментов относится
к сечению вала с наибольшим из заданных диаметров, а следо­
вательно, и к наибольшему моменту инерции 11, ординаты эпюры
изгибающих моментов на участках вала с моментами инерции ! 2 ,
lз, 14, . . . должны быть изменены пропорционально отношениям
!1.!1
.
!1.
-
-,
--
, --,
. ....
!2 ·Jз
J4
Сопоставим данные этого примера.
Диаметр вала
Момент инерции
Отношение момен -
Высота треуголь-
ной эпюры
всм
сечения в слt 4-
тов инерции
изгибающего мо-
мента в см
15
!1 = 2490
-
1,6
13
!2= 1410
J1
1,6 - 1,77=2,84
-
=1,77
!2
!1
\
12
!3=1018
-
=2 44
1,6·2,44=3,91
J3
'
10
J4= 491
!1
1,6•5,08= 8,15
-
= 508
J4
'
'
Отложим высоты СаС,, СаС2, С0 Сз и С0 С4 на чертеже и по­
строим треугольные эпюры из гибающих моментов для каждого
диаметра вала по ~всей его длине . Для получения эпюры изгиба­
ющих моментов ступенчатого вала проведем вертикали В2Вз,
В4В5, В6В7, В8В9 и В10В 11 , соответствующие границам участков
вала с различными диаметрами. Эта э п юра В 1 В 12 показана жир-
ной линией.
•
В практике графических расчетов валов избегают построений
полных эпюр изгибающих моментов для каждой . ступени. Вместо
этого ординаты, соо11ветствующие каждой ступени в эпюре, по­
строенной для наибольшего диаметра вала, умножают на отно ­
шение наибольшего момента инерции к моменту инерции сече­
ния данной ступени.
Примем ломаную линию В 1 В 12 за исходную кривую и постро­
им следующую интегральную кривую ,с полюсом Р2 и полюсным
расстоянием л2 = 5 см . Масштаб ординат кривой D1Dз 1 см= l0X
Х 70000-5 = 3500000 кГ/см2 .
Наконец, приняв за исходную кривую D1D3, построим_ послед­
нюю интегральную кривую Е 1 Е4 , которая представляет собой
189


упругую линию вала. Ординаты кривой Е 1 Е4 , заключающиеся
между кривой и ее замыкающей- прямой Е 1 Е4 , дают в масшта­
бе прогибы вала в любом сечении. Масштаб ординат: 1 см =
= 10 •3 500 ООО· 5. 175 ООО ООО кГсм3.
Для определения наибольшей ординаты упругой линии из.
полюса проведем луч PзFIIE 1 E4. Из точки F проведем горизон­
тальную прямую FН ,и через точку D2 пересечения этой прямой с
кри1вой D1Dз нанесем вертикаль D2Ез, которая и определит орди­
нату Е2Ез, равную 2,6 см. С помощью касательной SSIIE 1E 4 так­
же можно определить положение точки Е3 на кривой Е 1 Е4 .
Для определения действительного прогиба необходимо пол у ­
ченную ординату упругой линии умножить на масштаб ординат
и разделить на произведение · модуля упругости Е и момента
инерции J наибольшего ,сечения вала. При Е = 2 200 ООО кг/сл12
для стали и / 1 = 2490 см 4 наибольший п рогиб вала
Е2Е3 • 175000000
2,6 • 175000000
Утах =
-~
~
-----
--'-----
-
=
0,083 СМ,
EJ1
2200 ООО · 2490
0,083
1
что составляет -- =
--
часть его пролета .
150
1800
Угол наклона изогнутой оси в точках опор нужно знать
при конструировании подшипниковых узлов. Если принять пря ­
мую FH (рис. 221) за ось абсцисс кривой D1D3, то ординаты
D1F = 3 см и D 3H = 2,8 см этой кривой дадут тангенсы углов на­
клон·а изогнутой оси вала в опорных точках rв масштабе
tgа= W-3500ООО • 3 •3500ООО = 000192.
·
EJ1
2200ООО ·2490
'
'
tg~ =
2,8. 3500000
= 0,00179.
2200ООО•2490
Коническая форма вала. Если отдельные участки вала име­
ют коническую форму, то соответствующие им части эпюры изги­
бающих моментов получают криволинейное очертание. П о этому
здесь следует находить значения достаточно большого числа . о р­
аин ат, чтобы получить кривую с возможно большей точн остью.
Пересчет полюсного расстояния . Следует отметить, что при
графическом интегрировании для удобства подсчета значений ко­
нечной ординаты интегральной кривой иногда приходится пере­
считывать размер полюсного расстояния пошrгона средних орди­
нат. Если, например, конечная ордината . первой интегральной
кривой поперечных сил ра1вна 12,9 см, то при полюсном расстоя­
нииЛ,1= 5,5 см и масштабе 1см= 1,5 •1,5 •5,5 = 12,4 см2, соот­
ветствующая площадь будет равна 12,9 • 12,4 = 160 см2 • Далее ,
если каждый квадратный сантиметр обозначает )О кГ н агрузки,
то полная нагрузка вала равна 1600 кГ. Масштаб ординат кри-
190


вой поперечных сил в этом случае равен 12,4 • 10 = 124 кГ = •
=
1 см. Дл_я непосредственного отсчета по чертежу это неудобно,
поэтому строится новая кривая поперечных сил с тем условием,
что 1 см ее ординаты равен 100 кГ нагрузки. Конечная ордината
новой кри~вой должна быть равна 1600: 100 = 16 см. Для по­
строения этой кривой надо знать новое полюсное расстояние л2 ,
для определения которого составим уравнение. Площадь ограни­
ченная кривой, равна
160=12,9 •1,5 •1,5 •5,5 или
160= 16•1,5 •1,5 л2. По-
лучим уравнение 12,9 Х
Х 1,5-1,5•5,5 = 16· 1,5 Х
х 1,5л2, откуда л2 =
=4,44 см. При интегриро ­
вании с этим полюсным
расстоянием получим кри­
вую поперечных сил с
масштабом 1 см = 100 кг.
Новый метод графиче­
ской механики маши н и
<:ооружений. В ,заключе­
ние главы нельзя не упо­
мян уть о разработанно м
Н . А. Туманским новом
весьма перспективном ме­
тоде в графической меха­
нике, значительно упро­
щающем применяемый в
настоящее время веревоч­
но-силовой способ дейст­
вий над векторами {82].
Автор разработал беспо ­
А
1Р
1
1
1
Р,з 1
11
11
Р121
8
люсное графическое диф- \ Рис. 222. Построение эпюры изгибающих
ференцирование и интег­
рирование .
Введение в практику
моментов и перерезывающих сил мето­
дом весовой линии
инженерных расчетов силового и веревочного многоугольника
дало в свое время большой толчок развитию графических мето­
дов. Впоследствии, однако, специалисты убедились на практике
в неудобстве решения задач графической механики веревочно­
силовым методом . Неудобство это заключается прежде всего
в необходимости двойного построения - полигона сил и веревоч­
ного полигона. Кроме того, параллельный перенос большого чис­
ла лучей представляет собой основной источник накопления
ошибок. Эти х недостатков нет в новом методе, но он еще не
_имеет широкого применения и требует дальнейшей отработки.
Новый метод я,в л яется методом весовой линии. Покажем на
191


примере вала на двух опорах с сосредоточенными нагрузками
применение этого метода. Построим эпюры изгибающих момен­
тов и поперечных сил (рис. 222) . При наличии в пролете четырех
сил Р 1 Р2, Р3 и Р4 одного знака определим их равнодействую ­
щую Р. Для этого сна·чала найдем равнодействующую сил Р 1 и
Р2 , затем - равнодействующую этой новой силы и силы Рз и, на­
конец, равнодействующую всего пролета. Перенесем силу Р 1 на
линию дейс11вия силы Р2 . Этой операцией определим ·их равно­
действующую Р 1 2. От точки а 1 до точки Ь 1 проведем так называе­
мую весовую линию, которая, как выразился автор метода, вы­
полняет роль «безмена». Нанесем делительный луч c1d 1II AB. Точ­
ка d 1 на весовой линии определит положение силы Р 1 2. Таким же
построением с помощью весовой линии а2Ь2 и делительного луча
c2d2 определим положение равнодействующей Р 1 з, а п о весовой
линии а3 Ь 3 и делительному лучу c3d3 найдем равнодействующую
пролета силу Р. Вектор суммы реакций опор R.a и Rь равен век­
тору Р. Весовая линия АК пересечет вектор Р в точке d4; прове­
денный из нее делительный луч d4 c4 определит размер вектора
реакции Rь опоры В, а отрезок с4К даст вектор R.a опоры А.
Для построения эпюры изгибающих моментов точку d4 соеди ­
ним с точкой В и получим точку 4 .. Затем проведем прямую 4N1 и
получим точку 3. Проведем прямую Зd 1 , найдем точку 2 и нане­
сем отрезок 12. В результате построения определилась э п юра мо­
ментов А/234В.
Эпюру поперечных сил можно п олучить, если на уровне реак­
ции Ra провести нулевую линию 001 и по линиям действия отло­
жить силы .


ГЛАВА
IV
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ТЕХНИЧЕСК ИХ РАСЧ ЕТОВ
Технические расчеты на базе графической математики и м е­
ханики находят широкое применение в конструкторских и т е х ­
нологических отделах заводов и проектных организ,аций. П ри ­
ведем здесь некоторые из расчетов в различных отраслях ма ш и­
ностроения .
. 2 2 . РАСЧЕТ ВАЛА НА ДВУХ ОПОРАХ С ПРИВОДНЫМ КОНЦОМ
Графический расчет вала состоит из трех основных з адач :
а) построение эпюры изгибающих моменто~в;
б) построение эпюры приведенных моментов ;
~в) построение упругой линии вала.
На рис . 223 приведен порядок построения упругой лини и дл я
определения первой критической скорости {3, 97].
Вычерчивают вал в масштабе 1 : т 1 и наносят схем у нагру ­
зок (рис. 223, а) . Строят полигон сил в масштабе т2 с полюсным
расстоянием т3 (рис. 223, 6). Строят первичный полиг о н в сл е­
дующем порядке: через произвольную точку т, ле ж ащу ю н а
вертикали, проходящей через опору (со стороны привода ), п р о­
водят прямую, параллельную лучу Ь, до пересечения с верти ­
калью силы Р 1 в точке п. Из точки п строят веревочный полигон
путем последо1вательного проведения прямых, параллель ны х лу ­
чам а, с и d. Точки k и т соединяют замыкающей линией
(рис. 223, в). Это построение дает эпюру изгибающи х моментов.
Через все точки перемены сечения вала проводят вертю<аль ­
ные линии. Выбирают некоторый средний момент инерции / 0 из
моментов инерции наиболее длинны х участков в а ла . Ор динаты
эпюры изгибающи х моментов на концах каждого уч а стк а вала ,
ограниченного вертикальными линиями, умножают на JO и деля т
на моменты инерции сечений эти х участков вала . Пол ученны е
новые ординаты откл а дывают на ~вертикальных лини.я х от замы ­
к а ющи х веревочного полигона пт и mk . Концы этих ординат
соединяют прямыми линиями и получают эпюру приве де н ных
моментов, показанн ую на рис. 223, в жирной линией .
Затем вычисляют площади треугольни ков и тр апеций эпюр ы
приведенных моментов и, принимая и х за нагрузки , прил оженные
в центре тяжести каждой площади, строят полиго н пр иведенных.
нагр у зок (рис . 223 , г ) в масштабе т4 с полюсным р асстоянием
т 5 и н овый веревочный полигон, который в не к оторо м ма сштабе
7 Зак. 334
193


~изображает упругую линию вала (рис. 223, д). Прямую, от кото­
,рой измеряют прогибы, проводят через точки пересечения упру ­
гой линии вала с вертикалями опор.
Если1:т1- масштабвала,т2- числокгвIсм, т3- по­
люсное расстояние в см, т4 - число см 2 площади приведенных
~
~
~
Р,
тз
Р1
а
ь
сб)
Рзп
Рис. 223. Графический расчет вала на двух опорах:
а - схема нагрузок; б
-
полигон сил; в - эпюра изгибающих
и приведен.ных моментов; г - полигон приведенных нагрузок;
д - упругая линия вала
моментов в I см и т5 - полюсное р-асстояние в см,. то коэффи­
циент масштаба прогиба равен
где Е - модуль упругости материала вала в кГ/см 2 ;
lo - средний момент инерции в см 4 .
(102)
Измерив ординату у любой точки упругой линии в см, можно
подсчитать прогиб этой точки вала в см
'
f=т0у.
(103)
Первая критическая скорость вала в общем случае опреде- 1
ляется по формуле
п = 300-.
( -Р-1У_1_+_Р_2У_2_+____.-+-Р_п_У_п _
_ _ _ __l= об/мин,
(104)
"
V P1Yi +Р2У~ + ... +Рпу~
то
194


где у 1 , у2, ... , Уп - ординаты упругой линии вала, соответст вую­
щие точкам приложенных нагрузок Pr, Р2 , .. ., Рп, взятые в см.
Данные эпюры ,изгибающих моментов используют для рас­
чета вала на прочность . Величину изгибающего момен та в ка­
ком-либо сечении вала iВычисляют по формуле
Ми,,= т 1т2т3s (кГ/см) ,
(105)
где s - ордината эпюры для данного сечения вал а в см.
23 . РАСЧЕТ ВАЛА НА ТРЕХ ОПОР АХ ,
Вычерчивают вал в масштабе 1 : т 1 и наносят схему нагру­
зок (рис. 224, а) . Чтобы построить упругую линию трехопор но го
вала, необходимо прежде всего определить реакц,ию с ред ней
Р1
IJ
Р2
Р3
В)
Рис. 224. Графический расчет вала на трех олорах :
а - схема нагрузок; 6 - построения к расчету реакции сред­
ней опоры; в - полигон сил; г
-
эпюры моментов; д - пол и ­
гон приведенных нагрузок ; е - у пругая линия в ала
опоры . Между вертикалями крайних опор наносят горизонт аль ­
ную прямую линию аЬ (рис . 224, 6). Точки а и Ь соединяют с про~
извольной точкой d, лежащей на вертикали средней опор,ы. Ис­
х одя из предположения, что фигура adb представляе т собой
эпюру изгибающих моментов вала под действием одной с илы,
195
7*


ра,вной реакции средней опоры, проводят вертикали через все
точки перемены сечения 'вала и строят аналогично предыдущему
эпюру приведенных моментов. Строят полигон приведенных на-
1грузок и веревочный полигон, изображающий упругую линию ва­
.ла (рис. 224, 6). Реакцию средней опоры определяют по формуле
D = P2z2+Рзzз- P1z1 (кг),
Zd
(106)
где z 1, z 2 , z 3 и zd - ординаты упругой линии точек приложения
нагрузок Р 1 , Р2, Рз и реакции средней опоры.
Если при вычислении по этой формуле значение реакции
средней опоры получится положительным, то . принимают, что
1
2
З
4
5
Рис. 225. Графическое определение ступеней вала
реакция опоры направлена вверх (противоположно силам Р2 и
Р3 ); при отрицательном значении реакции - вниз. На рис. 224
принято, что реакция опоры D направлена вверх,
Далее графический расчет ведется в той же последователь­
ности, как и для вала на двух· опорах. Строят полигон сил, счи­
тая реакцию опоры D за силу (рис. 224, в), и ,веревочный полигон,
изображающий эпюру изгибающих моментов (рис. 224, г тонкая
линия). При построении веревочного полигона из произвольной
точки т на вертикали левой опоры наносят прямую, параллель­
ную лучу а (рис. 224, в), до пересечения с вертикалью силы Р 1
в точке п. Из точки п ?аносят прямую, параллельную лучу Ь, до
пересечения с вертикалью средней опоры и т. д. Крайние точки
т и k соединяют замыкающей прямой, на которой после пересче­
та ординат строят эпюру приведенных моментов (рис. 224, г, жир­
ная линия). Принимая площади треугольников и трапеций за
нагрузки, строят полигон приведенных нагрузок (рис . 224, д) и
упругую линию вала (рис. 224, е). Точку d' пересечения упругой
линии с вертикалью средней опоры соединяют прямыми линия ­
ми с крайними точками а' и Ь' упругой линии. Теоретически ли­
ния a'd'b' должна быть прямой, но из-за неизбежной погрешно­
сти графического рij.счета в практике допускается небольшое
отклонение от прямой линии.
196


Ординаты у 1 , У2 и Уз упругой лини,и вала в точках приложе­
н ия сил Р 1 , Р2 и Рз представляют собой прогибы ~вала в опреде ­
ленном масштабе . Первая критическая скорость вала опреде­
ляется формулой
11,к=зооу Р1У1+Р2У2+РзУз
Р1УТ +Р2У~ +РзУ~
(об/мин),
(107)
тде ПJ, 0 - коэффициент масштаба прогиба, в который входят
масштабы т1, т2, тз, m4 и ms, рассмотренные выше.
Ступени ,вала в той части, где отсутствуют крутящие моменты ,
часто ·определяют графически , исходя из наибольшего диаметра
нала и из диаме11ра цапфы. Для этого строят часть кубической
параболы, котора,я определяет очертание вала с равными напря­
ж ениями на изги·б на всех ступенях ~вала (р1ис. 225) .
24 . РдСЧЕТ КОРОБОК СКОРОСТЕЙ
Графический !v\етод расчета коробок скоростей станков при­
!Меняют при проектировании н,а основе д~,uнамического 6аланса
~и в проверочных расчетах при паспортизации станков [29, 94] .
Графический расчет по сравнению с аналитичес-ким требует для
<Выполне ния в несколько ,раз мень,ше времени. Охватывая сразу
ки нематику и динамику коробки скоростей, графический метод
упрощает унификацию и дает полную картину передаваемой
мощности при различных оборотах ШПИ!нделя и заданной проч­
ности деталей .
В этом методе действия умножения, \деления и возведения
;в степень l!Зеличин, входящих в расчетные формулы, заменяются
,сложением и вычитанием пр,ямолинейных отрезков, взятых
:в лога,рифмическом маошта>бе. Постоянные коэффициенты учи­
тываются п утем смещения линий при отсчете по шкалам нор­
малыных ,расчетных формуляров, которые изготовляются типо­
графским способом .
Нанесение линии мощности электродвигателя , зубчатых пе­
редач, пусковой муфты, ременной передачи наглядно выявляет
-сл абые звенья в различных ступенях скорости .
В расчетном графике линия АВ отражает баланс подводимой
.мощности (рис. 226)
тде N - мощность электродвигателя;
rJ- К.П..Д.
После логарифмирования пол учим
lgNe = lgN+lg·ri.
(108)
(109)
197


Если на оси ординат отложить .в масштабе логарифмы <б алан ­
сируемых величин, то получим возмоЖJность линейно суммиро­
вать отрезки . К п. д. меньше единицы, поэтому lg11 - величина
/
1
198
[
п
lJ[
IV
V
Yl
Q
п
375
,
1'.. '-'-'-'-
1'..'-'-'-'-
......_..
.......... .. .... _..
95
,1'..'-'-'-'-'\.1",.. ..........
.....,.
75
1'.. "-"-"-'-'-"- .......... ......_..
60
"-" -'-" -'-1",..
......_..
......_..
475
t"-"-"-'-
..... ._.. .. .... ..._
..... ._..
37-:?,
"-"-'\.1",.. ........._ ..........
-io
"-'-г-,...
.. ... .. .._
.........
19
\
г-,... .......... " '"
15
..........
... ..._ ..
,тя
.........
9.5
в·
с
D
N
м:
.___Е__,_ __ _... ._ ____._ __ __.__ ____._ ____, F
Рис. 226. Графический расчет коробки скоростей


отрицательная и в г.рафике откладывается вниз. Линия АС отра­
жает мощно•сти, передаваемые валами отдельных ступеней ко­
робки скоростей. В графике при одинаковых расстояниях по
горизонтали между ступенями, обозначаемыми вертикалями с /
по VI, и одинаковым . к. п. д. передач линия АС- прямая, угол
наклона 1которой связан с конструкцией передач.
• Формула крутящего момента
M=975Ne,
(110)
п
Рде Ne и п - подводимая мощность и число оборотов электро­
двигателя в минуту; после логарифмирования получим
1gM+lgn=lgNe+lg975.
(111)
В таком виде соотно1Шения между величинами могут балан­
сироваться от,резк,ами прямых. Проведем ГОР'изонтальную линию
OD, соответс11вующую lgl = О, и от нее вниз отложим в приня­
том масштабе отрезок, равный lg 976. Через полученную
точку Е проведем •горизонтальную прямую ЕР, тогда для каж­
дого вала орд:ината между линиями АВ и ЕР 6удет равна ·сумме
отрезков, соответствующих в том же масштабе величИJнам lgM и
lg п, где М и п - крутящий момент и число оборотов данного
вала. По оси ординат от линии ЕР вверх откладывается шка-.
ла lg п и на ~Вертикали пеР'вого вала откладывается значение
lg п 1 отрезком ЕК. От точки К строятся ломаные линии чисел
оборотов . Отрезок АК соо11ветствует lg М 1 .
Кинематика цепи отражается линиями чисел оборотов. Ки­
нематический баланс для т-го вала, выраженный в виде
(112)
в логарифмической шкале приводит к линейному <балансу отрез­
ков
(113)
где lg im при замедляющей передаче откладывает,ся вниз, при
ускоряющей - вверх. Статика системы, определяемая равнове­
сием действующих в цепи крутящих моментов, фиксируется в
верхней части расчетного графика
M1Y\I-m = MmiI-m,
(114)
где М 1 и Мт- крутящие моменты на валах 1 и m;
'r\I-m
-
суммарный к . п. д. передачи между этими вала­
ми;
i1-т - передаточное число передачи между этими ва­
лами.
Тогда после логарифмирования с. учетом знаков логариф-
мов получим
lgМ1-lgУ\1-т= lgмт± Igi1-m,
(115)
19
\.


где знак плюс берут для ускоряющей, а минус - для замедляю­
щей передачи.
Линии ON и ОМ являются характеристиками потерь мощ­
ности в зубчатом зацеплении, первая - на подшипниках каче­
ния, вторая - на подшипниках скольжени,я.
Аналогичным образом решаются вопро·сы расчета валов на
юручение, определение угла закручивания и расчета на проч -
ность зубчатых колес.
•
Расчет валов на жесткость при кручении для наибольших
моментов ведут по схеме М = 10 + 0° в отрезках логарифмиче­
ских шкал. Отрезок по шкале 10 для определенного диаметра
первого вала отложим по линии числа оборотов вверх до точ­
ки Q. Вертикальный отрезок от точки Q до линии АС передавае­
мой мощности, взятый по шкале 0°, определит угол заюручивания
для первого вала, -отнесенный ,к 1 м длины. Для остальных валов
отрезки lo нужно откладывать от нижних линий числа оборотов,
для того чтобы вести расчет при наибольших крутящих момен­
тах.
Напряжения в валиках при кручении определ,яют по схеме
М = W0 + О"кр также в отрезках логарифмических шкал.
Для поверочных расчетов при паспортизации станков раз­
работаны методика с преобразованными формулами и инструк­
ция с табличными данными допускаемых напряжений и коэф­
фициентов долговечности, а также специальные формуляры
графиков с логарифмическими шкалами.
25. РАСЧЕТ ОБКАтноrо ИНСТРУМЕНТА
Зубчатые ,колеса и другие зубчатые детали ,различного фа­
сонного профиля обрабатываются преимущественно зуборезным
инструментом, работающим по методу обкатки. Расчетные фор­
мулы для профилирования обкатного инструмента выражаются
очень громоздкими дифференциальными зависимостями .
На практике пользуются графическим методом расчета [68].
В этом методе расчет любого сложного профиля сводится
к •расчету инструмента дл.я прямолинейного профиля изделия.
Определение оптимальной начальной окружности. Возмож­
ность получения заданного профиля изделия, а также форма
профиля инструмента и чистота обработки зависят от величины
радиуса начальной окружности. Для определения оптимального
радиуса начальной окружности заданный профиль зубьев изде­
лия разбивают на характерные участки - прямолинейные, дуго­
вые и д,р. На каждом участке отмечают узловые точки 1, 2, 3, ...
(рис. 227). Через эти точки проводят касательные 1 1', 2 2',
3 3', ... и нормали 01', 02', :.. к ним из центра О. При выборе
радиуса начальной окружности следует учесть, что под опти­
мальной начальной окружностью понимается наименьшая и з
200
- ---


возможных, при которой обеспечивается профилирование всех
точек заданного профиля. К1роме того, требуется выполнить сле­
дующие условия:
а) нормали к профилю изде­
лия 1в любой точке должны быть
касательными к начальной ок­
ружности или пересекать ее;
б) точки заданного профиля
должны профилироваться после­
довательно, в соответствии с из­
менением расстонния от центра О
до этих точек;
1в) рабочая ча,сть линии зацеп­
ления при нарезании не должна
заходить за пределы режущей ча­
-сти инструмента;
г) длина пере ходной- кривой у
,--0
Рис. 227. Определение радиуса
начальной окружности зацепления
{)Снования профиля должна быть наименьшей;
д) инструмент в любой точке профиля должен иметь поло­
жительный задний угол .
Все эти условия, кроме четвертого, стимулируют увеличение
радиуса начальной окружности. Бели за радиус начальной
окружности ПР'Инять 011резок касательной 2 2', как наибольший,
то он удовлетворит поставленным условиям, кроме последнего,
так как профиль инструмента в точке, профилирующей точку 2
изделия, не будет иметь положительного заднего угла. Для
удовлетворения этого условия к касательной 2 2' из точки 2 под
углом В до встречи с нормалью в точке 211 проводится - прямая
2 211 , которая 'И принимается за радиус R начальной окружности:
R' 22'.
(116)
cos 13
Угол В при криволинейном профиле изделия при нарезании
фрезой принимается равным 8-10°, долбяком - 12 -15°. Для
прямолинейного участка профиля изделия при определении
радиуса начальной окружности отрезок 0211 не должен быть
более О, 1 длины нормали 02'.
Построение профиля фрезы. При известном радиусе началь­
ной окружности построение профиля режущих кромок зубьев фре ­
зы производится по точкам, каждая из которых профилирует оп­
ределенную узловую точку профиля изделия. Профиль фрезы
-строит,ся относительно оси ·ординат как оси симметрии впадины
между зубьями изделия.
Из центра О радиусом R описывают начальную ок,ружность
(рис. 228). Через полюс Р зацепления ,перпендикулярно оси
ординат провод,ят начальную прямую а фрезы.
Рассмотрим построение одной точки профиля. Для одной
201


из узловых точек, например точки Е, раствором циркуля , рав­
ным радиусу R начальной окружности, сделаем засечку в точ­
ке п на нормали ОК, проведенной к касательной ЕК. Из полюса
зацепления Р на окр·ужности радиуса RE сделаем засечки в точ­
ках Ь радиусом ,r = Оп. Через точки Ь проведем прямую , а из
точки Е радиусом r на началь-
Ou
ной окружности засечем точ­
ку С, которой на начальной
прямой соответствует точка Си,
Последняя находится из уело-
Рис. 22~. Определение профиля
фрезы
V
Рис. 229. Определение профиля дол­
бяка
вия РС = PCu. Из точки Си радиусом r на прямой ЬЬ засечем
искомую точку Еи профиля червячной фрезы.
Для отыскания остальных точек профиля фрезы пос-гроения
повторяют для нсех узловых точек профиля изделия .
Построение профиля долбяка мало чем отличается от постро­
ений для червячных фрез. Опишем начальные окружности изде­
R.
лия и долбяка радиусами R и Rи, причем -
= i (рис. 229).
Rи
Покажем построение для одной узловой точки, которое затем
повторяется для всех узловых точек профил,я изделия. Для узло­
вой точки Е построим касательную ЕК и нормаль к ней ОК.
На нормали рад:иусом R засечем точку .п для определения вели­
чины отрезка Оп, равного радиусу r, который необходим для
дальнейших .построений. Из точки Е радиусом r засечем iНа на­
чальной окружI:Iости изделия точку С, а на начальной окруж­
ности инструмента найдем точку Си из условия равенства дуг
'-._.,/
'-._.,/
РС = PCu, Затем из центра О через точку Е опишем дугу
окружности радиусом RE и на ней из полюса -Р .радиусом r за­
сечем две точки Ь, через которые из центра Ou опишем дугу
радиусом RЕи, На этой дуге из точки Си радиусом r засечем
искомую точку Еи профиля инструмента, которая профилирует
точку Е профиля изделия.
•
202


26. РАСЧЕТ ДИСК·ОВ ТУРБОМАШИН
Весьма ~на глядным и удобным мето:и.ом расчета дисков яв­
ляется I1рафический метод, разработанный С. Д. Пономаре­
вым [61]. Метод освобо;ждает конструктора от утомительных
выч·ислений, при которых незначительная погрешность в цепочке
выкладок может свести на нет всю проделанную работу.
,
Рассмотрим графический метод расчета неравномерно нагре­
того диска постоянной толщины с це1Нтральны~ отверстием . Если
характеристики материала в связи с нагревом меняются по
радиусу, а также меняется и толщина диска, то диск рассматри­
вают расчлененным на кольца постоянной толщины, для каж­
дого из которых характеристики остаются постоянными. Диски
тур,бомашин в эксплуатации за счет вращени,я, посадки на вал
и неравномер1ного нагрева подвергаются растяжению и сжатию.
Для окружного Ut и ,радиально го ,Gr напряжений , являю­
щихся главными напряжениями, пол учены преобразованные
формулы:
at =А +Bx-S;
ar=A-Bx-R,
rде А и В - постоянные;
(117)
(118)
S и R .:_ _ функции неравномерного нагрева диска по 'ра,диусу.
Для I1рафического представления этих зависимостей исполь­
зуют две системы координат (xat), расположенная справа, и
(хат), расположенная слева. Оси ординат совмещают, а оси абс­
цисс направляют в противоположные стороны (рис . 230). Коор ­
дината Х имеет только положительные значения.
Продолжение оси ординат вни:з дает вспомогательную ось r
радиусов диска, от внутреннего радиуса r 1 до наружного r2 . За­
в,исимость
1
Х=-
(119)
Г2
в системе координат (xr) представлена линией аЬ.
Кривая cd ·в координатах (Hr) отражает характер изменения
по радиусу диска температурной деформации 8. С помощью
кри,вых аЬ и od можно установить соот,ветствие значений абсцисс
хи8.
Неравномерность нагрева д,иска отражается функциональной
зависимостью
,.
Т = S8~d~,
(120) ,
,,
которую получим г,рафическим способом . Для этого в координа­
тах (8r) построим кривую, ординаты ,который равны пр-оизведе­
нию 8,r, а затем в ычи слим интегральную кривую uv функции Т.
203


Теперь в масштабе для напря ж ений построим кривую АВ
функции S и кривую CD функции R. В завершение расчета про­
ведем прямую 1-II в совмещенной системе координат, соответ­
ствующую уравнениям (117) и (118) в заданных граничны х
r условиях. Прямая 1-II для
11
диска с центральным . отвер­
стием проходит через точки
СиDприr=r1,cr,, = О ипри
r=r2,Gr"
=
О . Вертикальные
отрезки, заключенные между
пряrмой 1-II и кривой CD вы ­
ражают величины Gr в масшта­
бе напряжений, а отрезки, ог­
раниченные кривой АВ и пря­
мой 1-II, дают ,величины напря­
А жений бt. В ча1стности, отрезок
:
BL определяет напряжение Gt
х
5
'
х при х 1 , отрезок АР дает напря-
---------,,-Н,.-+----...--'с-
ГТJ77t--.;;;;::--г----===-+-:2 жение cr 1 при Х2. Эпюры напря-
жений заштрихованы.
v
Рис. 230. Графический расчет диска
постоянной толщины с центральным
отверстием и неравномерным нагре-
вом
Если диск не имеет цент­
рального отверстия, то замы­
кающая прямая 1-II пройдет
горизонтально, так как посто­
янная В = О . Положение ее оп­
ределяется граничными усло­
виями при r = r2.
Если значения напряжений отнести к величине радиуса д:иска ,
то можно пост,роить внизу лрафика эпюры изменения напряже­
ний crr и Gt в новом масштабе, пользуясь вспомогательной кри­
вой аЬ.
При гра,фическом расчете диска фигурного сечения заменяют
его ступенчатым ра,диальным сечением. 1( каждому кольцу по­
стоянной толщины применяют графический метод, описанный
выше.
В местах перехода от одного участка к другому кривые
АВ и CD будут иметь разрывы. Для каждого участка долж ­
на быть построена своя замыкающая прямая. На границе
кольцевых участков должны быть соблюдены условия ,равновесия
элемента диска, выреза1нного на границе двух участков, ·и усло ­
вие неразрывности деформаций. Это ,вызывает необходимость
пересчета напряжений на радиусах, соответс11вующих погранич­
ным точкам.
Задача профилирования дисков имеет ,большое значение
в машиностроительной практике •и решается также ,графическим
методом.
204


27. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИН СТРЕЛЫ И ХОБОТА ПОРТАЛЬНОГО КРАНА
По.ртальные краны с шарнирно-сочлененной укосиной и гиб­
кой оттяжкой имеют хобот с криволинейной частью, по которой
обкатывается оттяжка. Это обеспечивает получение заданной
траектории концевого блока. При определении длин стрелы и хо­
бота исход,ят из ·следующих условий:
а) груз должен перемещаться Г()lризонтально при любом вы­
лете укосины;
б) в целях уменьшения веса стрелы и х.обота суммарная
длина их должна быть наименьшей;
в) для умень шения скручивания стрелы от действия попереч­
ных горизонтальных сил на конце хобота длина его должна
быть наименьшей.
Заданными величинами являются: 1Наибольший R1 и наи­
меньший R2 рабочие вылеты укосины, высота Н0 от нижнего
шарнира стрелы до оси концевого ,блока лри наи,большем вылете
и положение оси 02 6лока подъемного каната и точки 0 3 крепле-
ния ОТТЯЖ•КИ (рис. 231).
•
Графический метод выбора длин сттрелы и хобота нагЛ:яден,
про·ст и быстро дает результат [19, 76] . .
Вылет укосины увеличивается на ,радиус r концевого блока,
поэтому целесообразно перейти от рабочих вылетов R1. и R2
к расчетным (теоретическим):
(121)
(122)
при этом необходимо проверить, чтобы угол а наклона хобота
к •горизонту при наименышем вылете R; не превышал допусти­
мой величины, определяемой возможностью отрыва грузового
каната от концевого блока хобота •инерционными силами.
Олре,деляющей кривой движения хобота при работе крана
я!Вляется неподвижная центроида, которая представляет собой
геометрическое место точек мгновенных центров вращения твер­
дой плоской фигуры, движущейся в своей плоскости. Это дви­
жение можно рассматривать как качение без скольжения под­
вижной центроиды по неподвижной . Движение укосины пол­
ностью отвечает этим условиям.
Форма неподвижной центроиды хобота зависит от его длины.
Только плавное повышение центроиды в сторону меньших !ВЬIЛе­
тов до максимума или перегиба дает возможность реализовать
горизонтальное перемещение Г•руза (р•ис. 231, wривые а, Ь, с).
Отсюда следует, что первое и третье условия ~бу,дут выполнены,
если выберем неподвижную центроиду хобота с максимумом или
перегибом в точке наименьшего вылета укосины.
205


Второе условие будет выполнено в том случае, если стрела и
хобот будут вытянуты в одн у линию при наибольшем заданном
вы лете укосины.
По з аданным наибольшем у вылету R; и высоте подъема Но
/
/
/
/
/
I
/
/
/
/
'/
1--..,_
а I t,Oll
'-,, /
/
/
а}
]
J
6)
Рис. 231. Графичеокий выбор длины стрелы и криволинейного хобота
портального крана с гибкой оттяжкой:
а - расчетная схема; б
-
построение кривой хобота
из прямоугольного треугольника найдем гипотенузу, равную
длине укосины (L + l). Задаваясь рядом ра:зличных значений
длин стрелы и хобота при постоянной суммарной их длине ,
строят каждый ,раз неподвижные центроиды хобота (важно
иметь их верхние части). Выбирают вариант центроиды с мак-
206


симумом в точке, близ,кой к наименьшему вылету укосины,
и соответствующие ей длины •стрелы и хобота .
Рассмотрим один вариант построений. При известной длине
укосины ,наметим длину стрелы и хобота и опишем из це,нтра 0 1
дугу d1d4 по верхнему шарниру стрелы. Грузовой канат в дан­
ном случае идет непараллельно оси ,стрелы; он перек_атывается
по блокам при _ изменении вылета, при этом траектория движе­
ния концевого блока криволинейна. Ее получим построение м.
Угол (ср2 - ср1) подъема стрелы разобьем на 6-8 равных часте й
(на рис. 231 на три части). Подсчитаем по формулам, приведен­
ным в справочниках по кранам, ординаты "у1 , у2, у3,•. . траектории
движения концевого блока для каждого значения угла ер, опре­
деляющего наклон стрелы, и отложим их на чертеже . Че2_ез эти
точки проведем горизонтали, на которых радиусом, равным дли­
не хобота, из точек di сделаем засечки ,в точках е 1 , е2 , е3 , ... Кри­
вая е 1 е4 определяет траекторию -движения оси концевого блока.
При параллельном расположении грузового кшната относи­
тельно оси стрелы траектория движения оси ·концевого блок а
представляет собой горизонтальную прямую, проходящую на
высоте Но.
Для построения неподвижной центроиs11:ы хобота из точек ei
проведем вертикальные прямые до встречи в точках ki с линия­
ми грузО1вого каната O2di. В точках ki пересекаются силы гру­
з а Q и натяжения грузового каната S, -равнодействующая кото­
рых N пересекает ось, стрелы в точках mi . Плавная кривая,
проведенная через точки mi, является искомой неподвижной цен­
троидой.
Для построения криволинейной части хобота точку Оз креп­
ления -оттяжки соединим лучами с точками mi. Продолжим ось
хобота до встречи с лучами в точках ni и определим искомые
отрезки dini, и углы ~i-
Ha горизонтальной оси отложим отрезок l, равный длиrне
х обота (рис. 231, 6) . От оси ~вращения хобота вправо отложим
отрезки dini и построим углы 1~i- Прямые 1 1, ... , 4 1 представ­
ляют собой касательные, в которые вписывается искомая кри­
вая хобота .
28. КРУГОВАЯ ДИАГРАММА АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
На машиностроительных заводах для электропривода приме­
няется болншое -число асинхронных электродвигателей. Их при­
х одится ремонтировать и испытывать . В П1роектных организа­
циях, г,де рассчитывают и проектируют ,электродвигатели, и на
з аводах, где их •изготовляют, всюду необходимо иметь ха,ракте­
ристики электродвигателей.
П усковые, рабочие ,и регулировочные характеристики асин­
хронного электродвигателя можно получить из опыта непооред­
с11венной нагр у зки. Но этот п ут ь отнимает много времени , вызы-
207


вает ненужную затрату энергии и требует соответствующей
аппарату,ры. При конструировании электродвигателей расчет
каждой характеристики вызывал бы значительные 11рудности.
Поэтому для получения характеристик электродвигателя
применяют косвенный метод холостого хода и короткого замы­
кания, который позволяет построить круговую диаграмму асин­
хронной электрической машины. Результаты, полученные из кру­
говой диаграммы, близко совпадают с опытными данными; это
делает круговую диа1трамму весьма ценной с теоретической
и практической точек зрения.
К:руговой диаграммой пользуются в разных странах свыше
70 лет. За этот период рядом авторов для усовершенствования
ее были внесены существенные изменения и дополнения. В наше
время для уточнения круговой диаграммы многое сделал акаде­
мик М. П. К:остенко. Для достижения единообразия графических
расчетов по круговой диаграмме при испытаниях асинхронных
электродвигателей в СССР введен ГОСТ 7217- 59 .
К:руговую диаграмму можно обосновать. Выражение дл.я
тока /1 в перв'ичной обмотке можно привести к виду
•
• a+6s
11=И1-.- . ,
(123)
c+ds
а из теории переменных токов известно, что это ура1внение круга
тока.
Так как в эксплуатации прео'6ладают а,синх,ронные электро­
дв.игатели с короткозамкнутым ротором, то здесь рассмотриi\:I
построение круговой диаграммы \11.ЛЯ электродвигателя ,с простой
клеткой ротора.
Исходные данные: фазовый ток холостого хода i 0 при номи­
нальных напряжении и частоте; разность между потерями холо­
стого хода и механическими потерям·и РO - Р мех; фазовый ток
короткого замыкания i-к при номиналь~ном напряжении:
(124)
где i-кн - фазовый ток короткого замыкания, равный номи­
нальному;
И,,, - номинальное линейное напряжение;
И-к - линейное напряжение короткого замыкания при
токе i-кн;
потери короткого замыкания при номинальных ~напряжении и ча­
стоте
(125)
где Р-кн - потери короткого замыкания при токе i-кн; сопротивле­
ние r1 фазы обмотки статора, приведенное к стандартной рабочей
температуре.
208


Масштаб тока : ! .мм -А а; масштаб мощности: 1 мм =
=11зи/lА-1
-
квт.
1000
П олюс диаграммы 0 1 разместим в левом 1нщкнем углу че,р­
тежа, от него проведем горизонтальную ось мrrимых количеств
0 1 х и вертикальную ось ~вещественных количестlВ 0 1ИФ (рис. 232).
иф.
Рис. 232. К р у го вая диагр а мма а синхронного электродвигателя с корот­
козамкнут ы м ротором с простой клеткой
По току i0 и потерям Р0 -=- Рмех построим точку О холостого
хода, через которую проведем линию 0G параллельно ~оризон­
тальной оси. Из точки О проведем линию 0D под углом а к ли­
нии 0G; при этом
.
2i0r1
2VЗi0r1
sша =
--
=
----- ,
ИФ,
Ин
(126)
rде ИФ - номинальное фазовое ,напряжение.
По ток у i" и потерям Р,. (отрезок КН 1 ) найдем точку К.
короткого замыкания и прове д е м прямую ОК, которая является
линией полезной мощности. Из середины отрезка ОК восста­
вим перпендикуляр до встреч и в точке С с линией 0D . Точка С
будет центром окружности, являющейся геометрическим местом
концов ·векторов тока статора относительно полюса 01 . Через
точки О и К из центра С опишем окру ж ность .
И з точки О под угло м у к лин·ии 0D проведем прямую ОВ,
кот ора я я1вляется линией м о ментов:
(127)
гд е D а -диаметр кр уговой диаграммы (отрезок 0DJ 1в а.
Из полюса 0 1 радиусом 100 мм опишем дугу окружности для
о пре деления коэффициента мощн ости ,cos ер.
209


Для построения шкалы скольжения проведем радиус СВ, на
КР
л1-rнии ОВ от точки В отложим отрезок l = -
•100см и.под
OF
прямым углом к СВ через конец отрез.ка l проведем шкалу сколь­
жений, на ·которой от ли,нии ОВ нанесем шкалу S % в масштабе
1%S=lсм.
Подсчитаем номинальный момент электродв,игател,я
(128 )
где
Р2 - полезная мощность;
Р мех и Рд -механические и добавочные потери;
пс и п - синхронная и а1си-нхронная ·скорости вращения
;при номинальной мощности .
Отложим номинальный момент М-н в масштабе мощности от­
резком aL от линии ОВ перпендикуля,рн,о линии OD.
PR
Через точку L проведем линию 0 1 Р . Отрезок 100 мм опреде-
ляет величину коэффициента мощности при номинальной мощно­
сти элект.родвигателя. Проведем линию BL, точка пер есечения
которой со шкалой скольжения определяет величину скольжения
п.ри номинальной мощности.
Пользоваться графическим способом дл,я определения к п. д.
станда,ртом не разрешается ввиду .недостаточной точности ре­
зультата. К. п . д. определяется по формуле
11=100(1- ~)%.
(129)
При подсчете суммы потерь J:.P потер.и в о,бмотке статора Рм,
и в .роторной клетке Рм2 определяются по величинам тока i и
скольжения S, полученным из круговой диаграммы для момен­
та М-н. Потребляемая мощность Р 1 выражается отрезком LN
в масшта,бе мощности.
:Круговая диаграмма позволяет определить все основные ве­
личины для любого режима двигателя, исходя из любой из этих
величин, заданной наперед. Обычно за исходную величину при­
нимается полезная мощность Р2. Точка L, лежащая на окружно­
сти, является концом вектора тока статора, изображаемого от­
резком 0 1L.
Придавая ,различные значения ~полезной мощности Р2, можно
для каждого из них определить из круговой диаграммы все
остальные величины, кроме к. п. д., который подсчитывается по
формуле. По полученным данным строится график ·характеристик
дв,игателя в зависимости Qт Р2 так же, ·как это делается при об­
работке опытных данных при снятии рабочих характеристик.


rлдвд
V
.основы
ПОСТРОЕНИЯ НОМОГРАММ
29. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ШКАЛЫ И СЕТКИ
Номограммы представляют собой геометрические изображе­
ния фу,нкциональных зависимостей . В отличие от ранее рассмот­
ренных графических методов расчетов номограммы не требуют
для нахождения числовых значений функций ;каких-либо постро­
ений . Номограмма является счетным приспособлением, которое
без вычислений простым прикладыванием линейки или натяну­
той нити дает возможность находить значения одной переменной
при известных значениях остальных переменных. Выполнение
большого количества расчетов с помощью номограмм по одним
и тем же формулам дает значительную экqIIомию времени . Наи­
более эффективно использование номограмм в том случае, когда
номографированы 1все расчеты, связанные с решением опреде­
ленной инженерной задачи.
Основанием для построения номограмм служат функциональ­
ные шкалы, выражающие зависимость между функцией и аргу­
ментом . Для построения функциональной шкалы известной
функции f (х) выбирают ма,сштаб ее, ,называемый модулем шка­
лы ~L. С помощью уравнения функциональной шкалы
А= μf (х)
(130)
определяют длины откладываемых на шкалах отрезкол . В кон­
це каждого отрезка помечают соответствующее значение аргу­
мента. Для отрезка А1 = μf (х1), например, указывается аргу­
мент х1, для отрезка А2 = ~vf(х2) - аргумент х2.' В начале шкалы
ставится то значение х, при котором f (х) = О.
При определении модуля μ исходят из пределов изменения
переменной и возможной длины шкалы . Если переменная х из­
меняется в пределах от а до Ь, то длина шкалы равна L =
= ~v[f ( Ь) - f (а)], отсюда модуль шкалы
L
μ=--- .
(131)
f(Ь)- f(а)
Например , при f (х) = х2 + 2, L = 195 и пределах изменения
х от 1 до 14 модуль равен
195
195
μ=f(l4)-f(l)
198 -3
= 1мм.
(132)
211


При номографических расчетах в машиностроении наиболь­
шее применение находят равномерная и логарифмическа я ф у нк­
циональные шкалы.
Равномерная шкала имеет одинаковые расстояния между по­
метками. Любая масштабная линейка является примером равно­
мерной шкалы, представляющей собой функциональную , шкалу
линейной функции. Абсолютная погрешность шкалы постоянна ,
относительная же погрешность увеличивается обратно пропор ­
ционально изменениям аргумента, поэтому применять равномер­
ную шкалу при широких пределах изменения переменной не ре­
комендуется.
Логарифмическая шкала строится с изменением аргумента в
пределах от 1 до 10; при этом длина шкалы и ее модуль совпа­
дают. Еслиf(х) = Igх и длина шкалы L= 150 мм, то модуль μ
шкалы равен
μ=
150
= 150 мм.
lg10-lg1
По формуле А = μf (х) d 150 lg х, пользуясь трехзначными
логарифмами, найдем 'длины отрезков шкалы для х, равного це­
лым числам 1,2, 3, ..., 10; тогда А1= 150lg1= О мм; А2=
= 150lg2=45; Аз=150lg3=71; А4=150lg4=90; А5=
= 150lg5=105; As= 150lg6= 117;А7= 150lg7=127;А8=
=
150lg8=135;А9=150lg9= 143мм.
В конце каждого отрезка .нанесем соответственные значения
аргумента х = 1, 2, 3, ... , 10. Каждый интервал разделим на
10 частей', для чего подсчитаем А 1 ,1 = 150 lg 1,1 = 6; А1,2 =
= !50lgl,2= 12; А1,з= 150lgl,3= 17; А1, 4 = 150lgl,4=22;
A1,s = 150lg1,5 =26; А1,6= 150lg1,6 = 31; А1,1= 150lg1,7 =
= 34,5; А1,в=150lg1,8 =38; А1,9= 150lg1,9 =42 мм и т. д.
В логарифмической шкале расстояние от 1 до 10 равн6 рас­
стоянию от 0,1 до 1 или от 10 до 100; периодичность шкалы яв ­
ляется ее преимуществом. Для построения шкалы удобно поль­
зоваться логарифмическим шаблоном (рис. 233), который дает
возможность сразу же получить модуль логарифмической шка­
лы любого заданного размера. Кроме того, логарифмическая
шкала обладает постоянством относительной погрешности. Это
делает ее наиболее удобной для большинства номограмм, так
как результат, как правило, определяется с относительной точно­
стью. Деления обычной логарифмической линейки представляют
собой логарифмическую шкалу.
Проективная шкала. При построении номограмм из выравнен­
ных точек иногда приходится применять преобразования прямо­
линейных шкал для придания им желаемого вида . При этом пре­
образовании прямолинейные шкалы номограммы становятся
проективными по отношению ·к их перво.начальному виду . Недо­
статком проективной шкалы является резкая сбегаемость, для
212


устранения которой вводится коэффициент п проекти в но й
шкалы.
Если на прямой CD нанести пометки исходной шкалы ф у нк­
ции f (х) и в точке Е середины этой шкалы восставить перпен­
дикуляр, то лучи, прове ­
денные к делениям шкалы
из произвольной точки А,
лежащей на этом перпен­
дикуляре, засекут на пря­
мой СВ пометки проек­
тивной шкалы (рис. 234).
При СВ~ L, СЕ = f(х),
BF=УаиАВ=пизпо­
добия треугольников ABF
и ECF следует, что
L
Уо= ------
1.
1+-Мх)
п
1'
Рис. 233. Логарифмический шаблон
Таким образом, для i
выпол•нения преобразова­
ния шкалы необходимо •
определить коэффициент
п проективной шкалы .
Для ·случая совмещения ~в точке С начала исходной и проектив­
ной шкал графическое определение коэффициента п пока з ано,
А
п
В на рис. 234.
Исходную шкалу обычно·
преобразуют в проек'Гивную ,
шкалу с ра~вномерной или
логарифмической хара ктери­
стикой , На прямой CD на ­
но·сят заданную шкалу у =
= μf (х) (рис. 235). Выбира­
ют произвольно полю с А и
c--4 -- -1 - --4 --+=--+-'- -+- --+- -+ -- -JJ соединяют его лучами с де~
о12з45б7С
лениями шкалы . На шабло -
Рис. 234. Построение проективной не наносят желаемый ви д;
шкалы и графически подби ­
рают его положение. Тогд а
коэффициент п проекти,вной шкалы определяется по форм уле
шкалы
(134)
213


Проективно-функциональная шкала является разновидно­
-стью проективной шкалы и относится к тому случаю, когда ис­
ходная шкала не равномерная, а логарифмическая.
Координатные сетки. Широкое применение находят логариф­
;мические и полулогарифмичесжие сетки. Для построения полуло­
гарифмической сетки на одной оси на.носят равномерную шкалу,
а на другой - логарифмическую. Если кривую у = f (х) изобра­
зить графически, применяя сначала равномерную миллиметро­
вую сетку, а затем различные функциональные сетки, то, очевид­
.но, форма кривой во всех этих случаях должна быть различной.
:Этим пользуются на пра,ктике, применяя такие фун:кциональные
с
б78910
Рис. 235. Графическое определение коэффициента
п проективной шкалы
:шкалы на координатных осях, при которых ,кривая получает воз­
можно более простую форму.
В логарифмической сетке на осях откладывают значения ло­
гарифмовчиселА=μ1lgхиВ=μ2lgу,гдеμ1иμ2- модули,
характеризующие принятый масштаб по осям. Кривые степенных
:функций вида у = ахь, где а и Ь - постоянные коэффициенты,
на логарифмическсrй сетке изображаются прямыми линиями.
В полулогарифмической сетке на осях откладывают у = μ1Х
и у = μ2 lg х. Кривые показательных функций вида у = аЬх на
:полулогарифмической сетке та:кже изображаются прямыми ли­
·ниями.
Функциональные сетки являются основными элементами в
• сетчатых номограммах.
:ЗО. КЛАССИФИКАЦИЯ НОМОГРАММ И НОМОГРАФИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЙ
В номограмме каждой переменной соответствует своя шкала .
·Функциональная зависимость между несколькими переменными,
отвечающая заданному уравнению, может быть выражена раз­
:ными типами номограмм.
Номограммы классифицируются по их геометрической фор­
ме. Задаваясь определенным типом номограммы, определяют те
'21 4


формы уравнений, для которых она может быть построена. Наи ­
большее распространение получили :номограммы из выра,внен­
ных точек и сетчатьrе номограммы.
Номограммы из выравненных точек для уравнения с тремя
переменными делятся на жанры и типы. Жанром номограммы
называется число криволинейных шкал, составляющих номо~
грамму.
Нулевой жанр охватывает номограммы с прямолинейными
носителями шкал: 1-й тип - Z-номограммы; 2-й тип
-
номо­
граммы из трех прямолинейных шкал, пересекающихся в одной
точке; 3-й тип · _ номограммы из трех прямолинейных шкал , па­
раллельных между собой.
Первый жанр состоит из номограмм с одним криволинейным
и двумя прямолинейными носителями шкал (4-й тип).
Второй жанр включает в себя номограммы с д~вумя криволи­
нейными и одним прямолинейным носителями шкал (5-й тип) .
Третий жанр предназначен для номограммы с тремя криво­
линейными носителями шкал (6-й тип).
Номограммы из выравненных точек с тремя шкалами долж­
ны удовлетворять уравнению в общем ,виде
f1'{)2 + f2'{)з + fз'{)1 - f1'{)a + f2'{)1 - fз'{)2 = О.
(135 ),
Левая часть уравнения представляет собой сумму произведе­
ний, в которых каждый множитель зависит лишь от одного пере­
менного. Номограмму из выравненных точек можно построить.
лишь для такого ура,внения, ,которое может быть преобразовано,
к виду ( 135). Такое ура,внение называется номографируемым
уравнением. Рассмотрим частные виды номографируемых урав­
нений, которые классифицируются.
Номографируемые уравнения различают по их номографиче­
скому порядку. Номографическим порядком уравнения называ­
ют число всех входящих в него различных функций, зависящих
каждая от одного переменного, после упрощения и приведения,
к виду ( 135). Низшим номографическим порядком является тре· .
тий, потому что в уравнение с тремя переменными входит не ме.­
нее одной функции каждого переменного. Высший порядок -
шестой, когда в ура,внении (135) все шесть функций различны .
Номограммы высшего, шестого, порядка встречаются редко.
При номографировании уравнение стремятся привести к од­
ной из канонических форм. В теории номографии доказывается ,
что всякое уравнение третьего номографического ,порядка может
быть приведено к любой из трех канонических форм.
Первая каноничеокая форма
f1 (х1) = f2 (х2) fз (х3)
(13611
приводит к 1-му и 5 •му типам номограмм, отличающихся по сво­
ей геометрической структуре, а также к 3-му типу путем лога,­
рифмирования.
21:5,


Вторая каноническая форма
fз(хз)=f1(х1)+f2(х2)
(137)
iПриводит ко 2- .
3- и 5-му типам номограмм.
Третья каноническая форма (встречается редко)
f1(х1)f2(х2)fз(хз)=f1(х1)+f2(х2)+fз(хз),
(138)
Уравнения четвертого номографического порядка могут быть
приведены к одной из двух канонических форм:
каноническая форма Коши
f1(х1)f'i! (хз)+f2(х2)ЧJз(х3)+'Фз(х3)=О
(139)
приводит к 4-му типу номограмм:
каноническая форма Клярка
f1(х1)f2(х2)fз(х3)+[f1(х1)+f2(х2)]ср3(х3)+'Фз(х3)=О (140)
приводит к 6-му типу номограмм.
Зf. ПОСТРОЕНИЕ НОМОГРАММ ИЗ ВЫРАВНЕННЫХ ТОЧЕК
В номограммах из выравненных точек три точки на трех шка­
лах, удовлетворяющие заданному уравнению, лежат на одной
прямой. Таким образом, если известно значение двух перемен­
+1ых, то, соединяя ,пометки их на шкалах прямой линией, можно
прочитать значение третьей переменной на ее шкале в точке пе-
1ресечения с проведенной прямой.
1
1-й тип - Z-номоrрамма. Каноническая форма уравнений
U=VW,
(141)
тде и, v, w - функции,
,или uv = w после логарифмирования v lg и = w .
Для построения номограммы необходимо знать уравнения ее
шкал. Уравнения шкал задают в декартовых координатах в па­
раметрической форме, принимая за параметр то переменное, для
;которого строится шкала.
Z-номограмма состоит. из двух параллельных прямых D01 и
02Е и соединяющей их наклонной прямой 0102 (рис. 236).
Из подобия треугольников АС0 1 и ВСО2 имеем
J!L - J,-y3
У2
Уз
Если модули шкал и и v примем равными μ1 и μ2, то уравне­
ния этих шкал примут вид
'216
У1 = μ1u;
У2 = μ2v.
(142)
(143)


Каноническое уравнение можно представить в виде
и
W=-
.
V
Умножим обе части уравнения на отношение модулей
μ1
μ1и У1L-Уз
-- W=--=-=
--.
μ2
μ2v
У2
Уз
Уравнение шкалы w:
L
Уз= -----
1 + -1::.!__ w
μ2
(144)
_Модули μ1 и μ2 шкал и
И V ВЫЧИСЛЯЮТ ИСХОДЯ ИЗ
пределов изменения пере ­
менных и длины шкал.
Размеры L и В произ­
вольные.
Если пределы измене­
ния функций f1 И f2 со­
ставляютА1~f1~В1и
А2~f2~В2, томодули
параллельных шкал при
длине h рабочей части
каждой шкалы равны
Рис. 236. Схема Z-номограммы
(145 )
Результаты подсчета модулей μ 1 и μ 2 следует округлять. Зна­
~t1
чение модуля μ3 = -
округлять нельзя.
μ2
При пользовании миллиметровой бумагой градуировк у на­
клонной шкалы удобнее производить с помощью ординат у; от
горизонтали, проходящей через точку 0 2 или с помощью абсцисс
х3 от носителя шкалы v:
Уз=
н
(146 )
1+-1::.!__ w
μ2
Хз=
в
(147 )
1 + -1::.!__ w
μ2
217


Если точки 01 и 02 находятся за пределами чертежа, то для
построения наклонной шкалы подсчитывают абсциссы
в
в
Х1=h1-
;Х2=h2-
.
( 148)
н
н
Порядок построения номограммы. Исходное уравнение пре­
образовывают и приводят к канонической форме. Определяют
вид функций и, v и w. Выбирают габаритные размеры номограм­
мы и по заданным пределам изменения переменных подсчитыва­
ют модули и длины ра,бочих участков шкал. Составляют таблицу
результатов расчета уравнений шкал. Строят эскиз номограммы,
Рис. 237. Графическое постро­
ение Z-номограммы
!J
х
Рис. 238. Схема номограммы с
прямолинейны.ми шкалами, пе­
ресекающимися в одной точке
нанеся шкалы и и v и задав им различные напра,вления. Прово­
дят анализ построенной номограммы, находят недостатки и пу­
ти их устранения. Проверяют точность -результатов по двум-трем
примерам.
Пример ,построения Z-номограммы дан на рис. 253.
Z-номограмма может быть построена графически без всяких
вычислений в том случае, когда номографируемое уравнение
u
и
имеет простои вид w =
-
.
V
На д•вух параллельных прямых построим равномерные шка­
лы и и v. Модули определим исходя из габаритных размеров но­
мограммы (рис. 237). Если нулевые точки шкал и и v располо­
жены в пределах чертежа, то соединим их диагональю, на кото­
рой нанесем шкалу w, пользуясь лучами для ряда округленных
значений переменных. Если нулевые точки недоступны, то на­
правление носителя шкалы w определим по точкам пересечения
218


лучей для двух крайних пометок шкал.ы w, так как одни и те же­
значения частного могут быть получены при различных значени­
ях делимого и делителя. По найденным точкам проводим прямую
носителя шкалы w. Пометки округленных значений шкалы и со­
еди н им с различными пометками шкалы v, в местах пересечения,
лучей с наклонной прямой нанесем пометки шкалы w.
2-й тип - номограмма из трех прямолинейных шкал, пересе­
кающихся в одной точке. Каноническая форма уравнения
_1+_1= _1'
(149 )
(,[
V
W
где и, v, w - функции. К этому уравнению могут быть приведе­
и•v
ны уравнения - -
=
wии+v=w.
и+v
Особенно часто эта номограмма применяется с равномерны­
ми шкалами . Пометки на шкалах определяются \Ординатами у,,
У2, Уз (рис. 238):
У1=ОАcosсх1;
У2=ОВcosсх2;
Уз=ОСCOSсх3.
Примем модули μ,, μ2 и μз ординат у , , У2 и Уз- Для того что­
бы номограмма соответствовала уравнению ( 149), должно вы­
полняться условие
(150)
Это можно проверить, рассмотрев равенство треугольников
riл. ОАС + пл. ОСВ = пл. ОАВ,
которое, пользуясь теоремой синусов, выразим следующим об­
разом:
1-
-
=-
ОА•ОВsin(сх1+ 0:2).
2
1 ---
Разделив все члены равенства на- ОА •ОС• ОВ, получим
2
sin(а1+аз)+ sin(а~аз) = sin(а~+а2) .
~
ОА
ОС
НоОА=_ μ
_
l_и;ОВ=_μ
_
2-
v; ОС= _& _ w, отсюда
cos а1
cos а2
cos аз
sin(а1+а3)cosа2._1_+ sin(а2- аз)cosа1
μ2
V
μ1
U
sin(а1+а2)cosаз
(151)
w


Для того чтобы уравн.ение ( 151) было тождественно уравне­
rн ию ( 149) ~ должно выполняться условие
sin(а1+ сtз)cosа2 sin(а2- а3)cosа1 _ sin(а1+ а2)cosа3
μ2
μ1
μ3
Используя свойства равных отношений, можно после преоб­
разований записать μ1 + μ2 = μ3.
Уравнения (150) и (151) подтверждают, что рассматриваемая
номограмма действительно дает решение уравнения (149).
Для удобства построения номограммы носители шкал и и v
располагают симметрично относительно оси ординат, принимая
,а1 = а2, тогда
sin (а+ а3)
sin(а- а3)
sin 2а
---'-- ~'-- cos а = ---'------'СС.. cos а =
-
-
-:os а.
/12
μ1
/1з
После преобразований получим формулу для определения
угла аз
tga3 = 112μ 1 tgcx.
(152)
/1з
Не определяя угла аз, обычно находят положение носителя
,средней шкалы w по двум «подгоночным» примерам для одного
и того же значения Уз (рис. 238, штриховая линия) .
Порядок пЬстроения номограммы. Искомая величина w; соот­
ветственно преобразовывают заданное уравнение. О п ределяют
вид функций f(u), f(v) и f(w). По заданным пределам измене­
ний и, v и w подсчитывают пределы изменений функций f1 и f2:
Ai~f,~Bi;А2~f2~В2. ЗадаютсяразмерамиВиН. Вы­
числяют масштабы
н
μ2=
В2-А2
μ3= μ1+μ2,
Вычисляют два примера при Уз = const для определения по­
ложения средней шкалы, рассчитывают шкалы по уравнениям
У1= μ1f(и);У2= μ2f(v);
Уз= μзf (w).
(153)
Строят равнобедренный треугольник с основанием В и сто­
ронами, равными наибольшим значениям у для и и v, и наносят
шкалы.
Пример построения номограммы дан на рис. 252.
3-й тип - номограмма с _тремя параллельными шкалами. Ка­
ноническая форма уравнения
u+v=w.
(154}
220


К: этому уравнению может быть приведено уравнение и. v =
= w путем логарифмирования. В технических расчетах большое
число формул приводится к виду
,
w = Auavь,
(155)
где
А - постоянный коэффициент;
а и Ь - постоянные показатели степеней, целые илм дроб­
ные, положительные или отрицательные.
После логарифмирования получим
lgw = algи+ Ыgv+IgA.
(156)
Это уравнение принадлежит ко второй канонической форме
уравнений третьего номографического порядка и для него может
быть построена .номограмма с па- у
82
раллельными шкалами по общим
i-------= - ---
-i
правилам. Для от~ветн-ой шкалы
81
в этом случае можно непосредст ­
венно применять логарифмиче­
скую шкалу.
Три точки А, С, D на прямой
AD, удовлетворяющие ура~внени­
ям (154), (155), называют выра1в­
ненными точками, которые дают ~
решение уравнения относительно
w при заданных значениях пере­
менных и и v (рис. 239).
w
F__
о
V
к
Е
В системе координат хОу про ­
ведем три параллельные пря­
мые - три носителя шкал и, w, v.
Рис. 239. Схема номограммы
)(
Из начала координат проведем с тремя параллельными шкалами
произ~вольную прямую ОЕ, кото-
рую будем считать исход:ной для нанесения шкал, и через точ­
ку С нанесем параллельную ей прямую FK.
Из подобия треугольников CAF и CKD следует, что
У1- d
В1
'
-"'
-
е - -"'-d
илиУ1т1-
'
-
1-о
,
d-e
В2 -В1
11,
11,
(157)
rде
(158)
Пустьшкалы и, v и w имеют модули μ1 ,
μ2иμ3
.
Умножим обе
части уравнения (154) на модуль μ1:
'
μ1U + ~L1V = μ1W,
Это уравнение будет тождественно уравнению ( 157), если
Л,
1
у1=μ1и;--е=μ1v;- - d =μ1w.
1-л
1-л
221


Еслиμ2=μ1(+-1}μ3=μ1(1-л),тоУ1 =μ1u; е= ~L2V ~
d=μ3W.
Ординаты нулевых точек шкал при условии; что середины ра­
бочих участков шкал и и и будут на одной высоте, можно запи­
сать так:
hv = Yuo + О,5Ни- 0,5Hv -Yvo;,
hw = 'AHv.
Уравнения шкал :
У1=μ1u; У2=μ2v+hv;
·уз=μ3W + hw.
(159)
(160)
(161)
Из четырех параметра-в μ1, μ2, ~L 3 и л номограммы можно про­
извольно задаться двумя, вычисляя остальные. При этом может
быть шесть вариантов:
1. Заданы μ 1 и μ 2 ; определяются
μ3=
μ1μ2 ил=
μ1
(162)
μ1+μ2
μ1+μ2
2. Заданы μ1 и μ3; определяются
(163)
3. Заданы μ 2 и μ 3; определяются
и
(164)
4. Заданы μ1 и 'л; определяются
μ2=μ1(+-1)иμз=μ1(1-л).
(165)
5. Заданы μ2 и 'л; определяются
μ =~иμ u.л
1
l-л.
з=,2.
( 166)
6. Заданы μ3 и л; определяю т ся
μ =--1:!__И
1
1- л,
( 167)
Порядок расчета. Заданное уравнение преобразовывают в
каноническую форму, ш;щсчитывают пределы изменения функ­
ций, вычисляют масштабы. Задавшись двумя парами значений
и и v, проверяют положение шкалы w. Вычерчивают номограм-
222


му сообразно с направлением шкал по отношению к направле­
нию оси у. Пример построения номограммы дан на рис . 251.
Взаимное расположение шкал влияет на величину графиче­
,ской ошибки при пользовании номограммой. В случае располо­
жения шкалы w между шкалами и и v при перемене направле­
ния шкалы и или v шкала w будет внешней (рис. 240, а). Если
шкала v будет растянута, то шкала w перейдет с правой стороны
на левую (рис. 240, 6). Если шкала w слева, то она будет иметь
одина,ковое направление со шкалами и и v (рис. 240, в). Если
шкала w справа от шкалы v, то направление ее будет обратным
,(рис. 240, г).
Расположение и направление шкал зависят от знаков перед
членами ,уравнения. Для уравнения и + v = w с последователь-
:f+{~НiН1~
а)
б)
8)
г)
Рис. 240. Схема расположения шкал номограммы
ностью расположения шкал по схеме и - w
-
v все шкалы на­
правлены вверх; для уравнения -и + w = v шкалы расположе­
ны по схеме w - v - и, шкала и направлена вниз, остальные .­
вверх; для уравнения w - v = и шкалы расположены по схеме
.v ·-
и - w, шкала v направлена вниз, остальные - вверх. Шка­
.ла искомой переменной размещается в середине. В общем слу­
чае на среднюю шкалу помещают ту из переменных, для кото­
рой произведение коэффициента на разность пределов функции
является наибольшим.
Для определения направления прямолинейных шкал следует
найти производные от выражений для ординат точек шкал по
переменному, представляемому шкалой. Шкала имеет то же на­
правление, что и ось ординат, если производная в пределах из­
менения переменного положительна.
4-й тип - номограмма с одной криволинейной и двумя пря­
молинейными шкалами. Каноническая форма уравнений типа
Коши
UW1+VW2+W3=0,
(168)
где w1
,
w2иw3
-
разные функции одной переменной.
Прямолинейные шкалы и и v номограммы первого жанра
могут быть параллельными или пересекающимися. Рассмотрим
здесь номограммы с параллельными шкалами и и v .
Номограмму строят в прямоугольной системе координат,
шкалу и раополагают на оси ординат, параллельно ей на рас-
223


стоянии В проводят шкалу v. Положим, что шкала w находится
между этими шкалами; при известных условиях она может быть
расположена с внешней стороны.
Разделим все члены уравнения (168) на w2 и обозначим 11 =
= wi и t2 = ~; после преобрааований: каноническая форма при-
w~
W2
мет вид
(169)
В построенной схеме номограммы проведем решающую пря ­
мую (рис. 241). Координаты точек пересечения шкал равны:
.1/
А(х=О; у=у1); D(x=B;
t-'<'-----"'s__
-,,,_
у=У2);С(х=хз;у=Уз).
Из подобия треугольников
АСЕ и CDF получим равенство
])
х
У1 -Уз
Хз
у,,-Yv- hv
В- Хз
'
которое после преобразования
примет 1вид
У1 (_!! __
-
1) +Yv+hv - У3
_!!__ =
Х3
Х3
=0.
(170)
Рис. 241. Схема номограммы первого
жанра
Пусть μ 1 и μ2 буду'Г модуля­
мишкалииv. Умножим все.
члены уравнения (169) на мо­
дуль μ 2, первый член этого
уравнения, кроме того, умно­
жим и разделим на модуль μ1:
(171)
Уравнения (170) и (171) будут тождественны, если
,.в1μ2.
У1=μ1и, -
-
=
-
f1,
Х3
μ1
отсюда найдем уравнения прямолинейных шкал
(172)
224


и уравнения криволинейной шкалы
(173 )
Ординату hv, соответствующую началу отсчета шкалы v, вы­
бирают исходя из условия, что середины шкал и и v расположе-
ны на одной высоте:
-
hv;:::::: μ1 (А1 + В1) _ μ2 (А2 +В2)'
2
2
rдеА1~f1~В1; А2~f2~В2- пределы изменения функ­
цийUИV.
Для того чтобы шкала w оказалась между шкалами и и v,
необходимо так выбрать функции w1 и w 2 , чтобы их отношение
f1 было положительным для всех точек кривой.
·-
Если искомое и, то шкалу w следует располагать слева от
шкалы и, для чего отношение t 1 должно быть отрицательным, а
величина~ ,t1 по абсолютному значению должна быть больше
μ1
единицы. Этого достигают подбором значений μ1 и μ2.
Если искомое v, то шкала w должна быть справа от шкалы v,
отношение t 1 должно быть отрицательным, а величина~ t 1, -
μ1
'
меньше единицы, что выполняется подбором μ 1 и μ2: При подбо­
ре μ1 и μ2 может оказаться, что шкалы и и v будут слишком
большими. Если отношение t 1 имеет отрицательное значение, то
при подборе модулей знаменатель абсциссы х3 в этом случр.е по
формуле ( 173) на всем протяжении шкалы w не должен превра-
щаться в нуль. В этом случае предел значения отношения.!:!μ1
подбирают из условия, по которому абсолютное значение вели-
чины ~t1 может быть близко к единице .
μ1
При hv = О начало отсчета шкалы v ведется от оси абсцисс.
При отрицательном значении ординаты hv точка начала отсчета
шкалы v лежит ниже оси абсцисс.
•
Порядок расчета номограммы. Заданное уравнение приводят
к канонической форме и определяют вид функции. Подсчитыва­
ют пределы функций и и v. Задаются габаритными размерами В
и Н номограммы. Определяют масштабы и ординату hv и рас­
считывают координаты криволинейной шкалы.
Пример построения номограммы приведен на рис. 254.
5-й тип - номограмма второго жанра со шкалами на окруж­
ности (эллипсе) и секущей.
8 Зак. 334
225


Уравнения умножения и· v = w и сложения и+ v = w соот ­
ветствуют первой канонической форме третьего номографическо­
го порядка.
Круговые номограм.мы второго жанра являются наиболее
, удобными для построения и использования и имеют в ряде слу ­
' чаев преимущества перед Z-номограммами.
Номограмм а умножен и я. Примем модули всех шкал
μ1, μ2 и μз . равными единице. Опишем окружность . диаметром
0102 = D и проведем решающую прямую АВ (рис. 242). Из тре­
угольника АСО1 на основании теоремы синусов следует, что
Vz
в
'--
01~
Рис. 242. Схема круговой но­
мограммы второго жанр11
sin (90° -
~)
sin(90°+~-а)
'
(174)
если 01А = D cosа, а отрезок 01С
обозначить через К, то можно запи­
сать
К
Dcosа
cos ~
cos(а-
~)
К=D
1+tgаtg~
1
1
еслипринятьtg~=-иtgа= - , то
U
V
после прео·бразований получим
Duv
К =---
1+иv '
(175)
а из уравнения и• v = w следует, что
K=D--w-
1+w
(176)
Уравнения шкал:
1
I
•
D
~=arctg- ;а=arctg- .
;D-K=
---
и
V
1+W
(177)
Отрезок D - К измеряется от точки 0 2 . Нулевая точка всех
шкал в точке 01, оо - в точке 0 2 . Шкалу w наносят 1_1а диаметре
D окружности, причем точка w = 1 совпадает с центром окруж­
ности. Шкалы и и v, рав·номерные в угловом измерении, наносят
на окружности от точки 0 1; положительные значения шкалы и
по часовой стрелке, шкалы v - против часовой стрелки; отрица­
тельные значения наносят в обратном направлении.
Если уравнение· имеет вид u(-v) = - w или (!_u)v = - w,
то шкалу w наносят на диаметре от точки 0 2 к точке 01. Поло­
жительные значения шкал и и v откладывают от точки 01 по ча­
совой стрелке; отрицательные значения- -'- от точки 02 по часо-
226
. -t'r..::ue
-
•
-
,.


вой стрелке. Если модули шка.т~ равны единице, то деления шкал
и и v, равные единице , находятся в середине этих шкал. Это не
всегда удобно, поэтому модули в таких случаях выбираются не
ра1Вными единице .
Если переменные и и v меньше единицы , . то для построения
шкал номограммы проводят к точке 0 ( окружности касательную ,
на которой откладь11Вают деления равномерных шкал А = Du
влево и В = Dv вправо (рис. 243) . Начало отсчета 1в точке 01 .
Лучи, проведенные и з полюса 0 2 ко всем делениям шкал, распо­
ложенных на касательной, засекут на окр ужности деления шкал
54З2
A, = IJu,
B,=. Dv,
Рис. 243 . Построение шкал номо­
граммы по касательным
о,
Рис. 244. Построение шкал номо­
раммы с помощью решilющей
прямой
и и v, которые обо з начают теми же пометками, что и на шкалах
касательной.
В том случае, когда переменные и и v больше единицы , каса­
тельную провод ят в точке 0 2 окружности. Полюсом . для луче й
будет точка 0 1. Шкалы на касательной от начальной точки 02
АDВD
под считывают по формулам = - и
=-.
U
V
Если модули ~t 1 и μ2 шкал и и v не равны единице, то форму­
лы дл я подсчет а шкал имеют вид
А=μ1Dи;В= μ2Dv;
А=μ1DиВ=μ2D'.
и,
V
(178)
(179)
Сносить деления с касательной на окружность можно · лишь
до тех пор , пока точки на касательной не будут отстоять от ок­
р уж ности с ли шком д алеко. Полученные на (жружности деления
шкал и и v исполь з уют для построения шкалы w (рис . 244). За­
тем , поль з уясь шкалой w и производя аналогичные построения,
227


продолжим шкалы и и v, чтобы охватить весь диапазон измене­
ний переменных .
Пример построения круговой номограммы приведен на
рис . 263.
Номограмма сложения для канонической формы
уравнения и+ v = w имеет шкалы и и v на окружности и шка ­
лу w на касательной. Правила построения шкал и и v те же, что
·и в номограмме умножения. Модули μ 1 и μ 2 этих шкал выбира ­
ют одинаковыми. Обе эти шкалы строят по обе стороны одной и
той же полуокружности, причем на одной полуокружности на -
'1
\
L,
носят положительные значе ­
ния, на другой - отрицатель­
ные. Шкала w строится на ка-
' сательной по уравнению
п2
С=--;
μw
(180)
o~=
L_j ..._ _ _μ,,..i _ _- -+-- ---'l--+~x
где модуль μ одинаковый для
Xz
всех трех шкал .
Номограммы второго жанра
со шкалами на эллипсе и секу­
щей (рис. 245). Каноническая
форма уравнения uv = w. Ис-
Рис. 245. Схе.ма эллиптической но- комое w; · заданное уравнение
приводят к канонической фор -
мограммы второго жанра
ме и определяют вид всех трех
функций.
Зададимся габаритными размерами номограммы: длин о й Lз
рабочей части шкал и высотой . Н 1 номо г раммы . Определим пре ­
делы изменения функций: А,~ f1 ~ В1; А2 ~ f2 ~ В2; Аз~
~fз~Вз.
Модули μ 1, μ 2 и μ 3 криволинейных и прямолинейных шкал и,
v и w связаны соотношением
(181)
где параметр р характеризует смещение нуля шкалы от верши­
ны эллипса; если криволинейные шкалы расположены симмет ­
рично относительно прямолинейной шкалы, то р = О. Для выбо­
ра модулей μ 1 и μ 2 криволинейных шкал и параметра р применя ­
ют графические приемы [54].
Определим длину L 1 большой оси эллип с а:
L
Lз
1;:::::; --------=- -- -- -- --
!
(182)
228


Длину малой оси эллипса принимают равной высоте Н1 но­
мограммы. Определим координаты Н2 и L2 точки пересечения
прямолинейной шкалы с эллипсом
Н2=
HiP •L2- ~
(183)
l+р2'
-
1+р2 •
Шкалы построим по координатам точек, определяемых из
уравнений:
шкала и
шкала v
Yz=
-
шкала,,, -ш
l,2
Хз = ---'l =---
1+-
w
μ3
( 184)
(185)
у,
Рис. 246. Схема круговой но­
мограммы третьего жанра
Н2
У3= -
-
-=- -1 --
(186)
l+-
w
μз
Перечисленных данных достаточно для построения номо­
граммы.
Пример построения номограммы приведен на рис . 255.
6-й тип - номограммы третьего жанра с тремя криволиней­
ными шкалами . Каноническая форма Клярка уравнений четвер­
того номографического порядка имеет вид
UVW1+(u+v)w2+Wз=0,
(187)
Номограмма содержит шкалы и и v с общим носителем на
кривой второго порядка (окружность, эллипс или парабола) и
шкалу w на кри1вой, вид которой определяется ~видом функций
w 1, w 2 и w 3 (рис . 246). Шкалы строятся по координатам их точек.
Номограммы третьего жанра применяются редко, так как ме­
тодика их построения не разработана. При1ведем уравнения шкал
для круговс,й диаграммы 1[83]:
шкала и.
Dи
1+и2
Du2
У1=
1+и2
(188)
229


где D - диаметр окружности носителей шкал и и v;
шкала v
Dv
Dv2
Х2=
1+v2
;У2=
1+ v2
шкала w
Хз=- ·
Dw2
; Уз=
Dw3
W1 +wз
W1+Wз
Пример построения номограммы показан на рис . 256.
32. ПОСТРОЕНИЕ СЕТЧАТЫХ НОМОГРАММ
Пусть дано уравнение
F(х, у, z)=О.
(189)
(190)
(191)
Присвоим переменному z определенное значение а, тогда по­
лучим уравнение с двумя переменными F (х, у, а) = О, кривую
которого с пометкой а можно построить. Если переменному z
давать последовательно значения Ь, с, d, .. . и для каждого
стро­
ить кривые, то получим семейство кривых, представляющих со ­
бой номограмму уравнения ( 191). Таким образом, рассматривая
переменные х и у как координаты точки на плоскости, а третье
переменное z · как параметр, получим семейство ·кривых с одним
параметром. Если кривые вычертить тщательно, то этим черте ­
жом можно пользоваться для определения значения одной и з
hер·еменных х, у или z по заданным значениям двух других .
На осях координат строят равномерные шкалы. Для точки с
координатами Х1 и у 1 по номограмме смотрят, какая из вычер­
ченных кривых проходит через точку (х1, У1). Если, например,
через эту точку проходит кривая с пометкой d, то ЧИСЛО d и бу­
дет искомым значением z. Если ни одна из кривых не проходит
через эту точку, то применяют интерполирование, допуская, что
в пределах небольшого интервала значений параметра, который
отвечает двум соседним кривым, расстояния между ними изме ­
няются пропорционально их индексам. С помощью линейного ин­
терполирования находят точки интересующей нас промежуточ­
ной кривой. Для удобства отсчетов наносится сетка из прямых
линий, параллельных осям координат, поэтому такой чертеж на­
зывается сетчатой номограммой с тремя семействами помечен -
ных линий.
'
Учитывая заданные пределы изменения переменных, при по­
строении сетчатых номограмм значения Х1 и У1 откладiшают в
различных масштабах. Если приняты модули шкал μ1 и μ2, то
уравнения шкал можно записать так :
(192)
230


где Х1 и У1 - длины отрезков в мм, откладываемь1х на осях ко­
ординат; .
х и у - пометки, соответствующие этим отрезкам.
Уравнение номограммы, отнесенное к данной прямоугольной
системе координат, имеет вид
(193)
При разработке сетчатой номограммы строят лишь ту ее
часть, которая соответствует пределам изменения заданных ве­
личин, т. е . строят рабочую часть номограммы . Важно, чтобы
номограмма имела приемлемые размеры · и дос.таточную частоту
линий. Это определяется требуемой степенью точности вычисле­
ний. Далеко не всегда цри построении рабочая часть номограммы
удовлетворяет всем поставленным требованниям. Простейшим
преобразованием для придания номограмме наиболее удобного
вида служит изменение масштабов по осям координат.
Наиболее простыми являются радиантные сетчатые номо­
граммы с семейством прямых, проходящих через начало коорди­
нат или через какую-нибудь точку . Затем можно назвать _ номо­
граммы с семейством -параллельных прямых и с сем_ейством дуг
окружностей . Из более сложных сетчатых номограмм с равно­
мерными шкалами следует назвать номограмму для умножения
чисел по уравнению х • у = z с семейством гипербол с общими
асимптотами, совпадающими с осями координат (рис. 247).
Главным затруднением при построении сетчатых номограмм
является большая вычислительная работа и вычерчивание се­
мейства кривых . Это затр уднение устраняется при применени11
логарифмических и пол улогарифмических сеток, на которых
кривые спрямляются.
Такое преобразование номограммы называется логарифмиче­
ской анаморфозой . Это возможно не .для всякого исходного
у равнения ( 191) . Возмо ж ность замены криволинейной номо­
г раммы на прямолиней ну ю определяется видом функции .
Если к номограмме с семейс11вом гипербол (рис. 247), по­
строенной по уравнению х • у = z, в равномерны х шкалах при­
м енить логарифмическ у ю. а наморфоз у , то пол учим логарифмиче­
с1<у ю номограмму с се м ейством прямых, располо женных под
углом 45° к оси абсцисс (рис. 248) . Уравнение х • у= z является
частным сл учаем ура в нения вида у = ахт. Если принять т = -1
и z = а, то получим у = ах- 1 . Для построения семейства прямых
прологарифмир уем - это · р ·авенство: lg у= lg a-1 -g х. Дадим - а
послед овательно з начения: 1,5; 2; 2,5 . При а == 2 получим J.g у=
= - lg х + l·g 2. Это уравнещrе прямой , которая пересечет ось
орд инат в точке, отстоящей от начала координат на 100 lg 2 при
•
231


длине шк~лы 100 !'1-м, т. е. в точке с пометкой 2. Угловой коэффи­
циент этои прямо11 равен -1 , что соответствует tg а= -1 или
а = 135°; смежны~ с ним угол 180° -
а= 45°.
Номограмма Yf авнения х • у = z позволяет производить дей­
ствия умножения 11 деления. Чтобы найти произведение чи­
с·ел 2,4 и 2,5 , щщо найти точку на наклонной прямой с
пометкой 6. Если ~ада найти частное от деления 5 на 2,5, то возь­
мем наклонную прямую с пометкой, равной делимому, и на пер­
пендикуляре к оси абсцисс, проходящем через точку шкалы с
пометкой 2,5, ищем; точку пересечения с этой прямой (рис. 248) .
у i-0-,г-т--.~~-.-~~....---'~~~
o.!---L---!:-2-.L..._4t_..1__б.L....-!-........lв_L_x_j 0
Рис. 247. Схема гипербq1111ческой сеr­
чатой номогр~ммы
70
60
i.-----+---'...,__..,.....___:_--+-..,.._--+->i,.....j->i50
.з
5 6789х
Рис. 248. Схема логарифмической
сетчатой номограммы
Снесем ее на ось ор,д~-~:нат ,и прочтем число 2 - частное от деле­
ния 5 на 2,5.
Порядок построекия сетчатой комограммы. По заданному
уравнению и предела,м изменения переменных рассчитывается
таблица зависимост-11 у от х для нескольких целых значений па­
раметра z.
В зависимости 01' заданных пределов изменения х берут рав­
номерное или логар~-~:фмическое семейство прямых х1 = μ1х или
х 1 = μ 1 lg х; для переменного у, в соо11ветс11вии с желаемой харак­
теристикой семейства, принимают у 1 = μ2 у или У1 = μ2 lg у и,
учитывая размеры номограммы, определяют модули μ1 и μ2. За­
тем наносят сетку прямых, параллельных осям координат, и
строят линии z = coпst по данным расчетной таблицы. Построив
номограмму, следует проверить, нет ли дефектов, которые мож­
но устранить преобразованием .
Если номограмма удовлетворяет предъявляемым требова­
ниям, то рассчитывают все промежуточные значения z.
232


33. ПОСТРОЕНИЕ НОМОГРАММ УРАВНЕНИЙ
С ЧИСЛОМ ПЕРЕМЕННЫХ БОЛЕЕ ТРЕХ
Составные номограммы для уравнений со многими перемен­
ным.и представляют собой систему отдельных - номограмм, свя­
занных общими шкалами или семействами линий. Элементами
составных номограмм являются номограммы из выравненных
точек, сетчатые номограммы и бинарные поля. Для построения
составной номограммы требуется ввести вспомогательные пере­
менные, которые дают возможность свести номографирование
таких уравнений к построению нескольких :;~,11ементарных номо­
грамм с тремя переменными в каждой.
Пусть дано уравнение
W = Buavbtc,
(194)
где В, а, Ь и с - постоянные;
w, и, v и t - переменные, изменяющиеся в заданных пре­
делах.
Введем вспомогательное переменное л и заменим уравнение
(194) системой двух уравнений с тремя пере/\fенным.и в каждом:
'}.., = Buavb;
(195)
W = tс'л.
(196)
Эти уравнения позволяют построить две номограммы из вы­
равненных точек с тремя параллельными шкалами, причем в
каждую номограмму войдет шкала л. Если известны перемен­
ные и, z.• и ,t и требуется найти щ то из первой номограммы мож­
но определить л, а затем из второй определить w. Так можно ре­
шить уравнение ( 194). При наличии одинаковых шкал л можно
эти номограммы совместить так, чтобы шкальr л обоих номограмм
совпадали, и построить составную номограмму с двойным вы­
равниванием с пятью шкалами (рис. 249). Шкала л служит
лишь для перехода от одного элементарного уравнения к друго­
му . Эта шкала «немая», деления на нее не наносятся, однако
модуль и длину ее рабочего участка надо определить.
Для решенния уравнения ( 194) по составной номограмме
(рис. 249) найдем точки на шкалах и и v для заданных значений
переменных и проведем решающую прямую АВ, которая пересе­
чет шкалу л в точке С. Через точку, полученную на шкале 'л, и
точку D на шкале t проведем вторую решающую прямую CD.
Пересечение последней со шкалой w в точке Е даст ответ.
В каждой элементарной номограмме ответную шкалу распо­
лагают между шкалами данных величин. В первой элементарной
номограмме немая шкала л является ответной . При замене но­
мографируемого уравнения системой элементарных уравнений
переменные группируют так, чтобы пределы изменения вспомо­
гательного переменного были возможно уже, если группировка
233


не обусловлена зависимостями, физическим содержанием и тре«
бованиями точности ответа.
Пример построения составной номограммы приведен на
рис. 258.
Составная номограмма может состоять и з элементарных сет­
чатой номограммы и номограммы и з выравненных точек . Их
также можно совместить. Переходная · шкала без делений на з ы ­
вается бинарной шкалой . Для решения уравнения с четырьмя
переменными могут быть совмещены две сетчатые номограммы.
Для решения уравнrний с числом переменных более трех в
сочетании со шкалами применяют бинарные поля.
Бинарным полем называют геометрическое место точек , каж ­
дая из которых изображает одновременно значения двух пере ­
менных . Каждая точка бинарного поля имеет две пометки -
А
U
itV
i\.
W
t
Ц
V
Wt
D
А
с
8
а)
8)
Pi,ic. 249. Схема составной номограммы:
а и б - две элементар-ные номограммы;
.в - составная из двух элементарных номограмм
.D
первого и второго переменного. В прямоугол ь ной системе коор­
динат бинарное поле задается уравнениями
х=f(и,v);у=(f>(и, v).
(197)
На номограмме бинарное поле изображают семейством ли­
ний и = const и v = . const. Эти линии имеют то же н азначение,
что и штрихи на шкалах, т. е . по значениям переменных позволя­
ют находить точку поля и ее пометки.
В номограммах с бинарным полем так же, как и в номограм­
мах с носителями шкал, три точки, пометки которых удовлет­
воряют уравнению, лежат на одной прямой. Если каждая и з
трех шкал номограммы заменена бинарным полем, то такая но­
мограмма будет представлять собой уравнение с шестью пере­
менными.
В уравнении номограммы с бинарным полем
f1(и)fз(w, t)+f2(v)(fJ(w, t)+ч,(w, t) =О
(198)
четыре перменных, но оно отличается от уравнений, представ­
ляемых составными номограммами. Если переменной t дать опре­
деленное значение t1, то получим уравнение
f1(и)fэ(w, t1)+f2(v)Ч>(w, f1)+ч,(w, l1)=О,
(199)
234


для которого можно построить номограмму первого жанра . Пусть
переменная .t 1 будет последовательно иметь значения .t 2, t3 , t4 , . . . ,
tn, .тогда эти номограммы, имеющие общие шкалы и и v , м ожно
и з образить на одном чертеже двумя параллельными шкалами и
и v и семейством линий t, пересекаемых семейством линий w
(рис. 250).
tJ.
10
8
,,
V
200
160
6',
120
'
'
',
',
/;.
во
2
40
(J,
о
w
50
60
E:::iic:::r::.,_J ._ __ _JL_ ._. ..J...90
124fi
8
10t
f'нс. 250. Схема номограммы 11з выравненных точек с бинарным
полем
Уравнение бинарного поля (w , t)
μ1μ2q,(w, t)
х = --~~~
-
--
-
μlq, (w, t) + μJ3(w, t)
μ1μ2 'Ф(w,t)
у=--~--~---
μlq,(w, t)+μJз(w, t)
Пример построения номограммы приведен на рис . 257.
34. КОНСТРУИРОВАНИЕ НОМОГРАММ
(200)
Номограмма, построенная для решения заданного уравнения.
д о лж на д ать ответ с установленной • степенью точности . Для
уд Gв летворения этого требования номограмму из выравненнь1х
235


точек можно подвергнуть преобразованиям, в результате чего
меняются шкалы и их взаимное расположение. Номограмма, по­
строенная с помощью уравнений ее элементов , редко может быть
сразу использована для расчетов. Приходится видоизменять ее
форму, сохраняя характер геометрической з ависимости з аданны х
функций .
По своей структуре номограммы и з выравненных точек наи­
более удобны для вычислений и дают более точный результат ,
чем объясняется их преимущественное применение. Точность вы­
числений по сетчатым номограммам, как правило, в 2 раза ниже ,
чем по номограммам из выравненных точек.
По своему назнаvению одни номограммы предназначены для
наглядного изображения и анализа функциональной зависимо­
сти, для технико-экономических расчетов, для сравнения эконо­
мической эффективности разработанных вариантов. Эти номо­
гра!\fмы должны отличаться наглядностью, а точность и удобство
получения результатов не являются основными требованиями.
Другие номограммы применяются для массовых вычислений по
конкретным задачам я научно-исследовательской работе и в рас­
четах машин. Они должны давать надежный и точный результат .
С этой целью шкалы заданных переменных желательно распола­
гать по краям, а шкалу искомой переменной - в середине. Во
всяком случае, расстояние между шкалами «Дано» должно
быть больше, чем расстояние до шкалы «Ответ» . Размеры от­
ветной шкалы не должны быть меньше размеров других шкал .
Важно, чтобы углы при пересечении решающей прямой с носи­
телем ответной шкалы не были бы меньше 20-30°.
Источниками погрешностей в расчете по номограммам яв­
ляются:
а) ош.ибки лри ~вычерчивании номограммы; 6) ошибки при
определении действительного положения .расчетных точек на
шкалах; в) ошибки при совмещении контактов неподвижных и
подвижных элементов.
Если графические работы выполнены правильно, то погреш­
ностью вычерчивания можно пренебречь, так как она менее
0,1 мм. Остальные погрешности достигают 0,5 мм, если ответная
шкала расположена между шкалами данных переменных. · Они
могут значительно возрасти в том случае, если ответная шкала
находится снаружи .
Нужно объективно оценивать величины допустимых погреш­
ностей · каждой номограммы. Точность ответа должна соответст­
вовать практическим требованиям. Необоснованное повышение
этих требований усложняет задачу конструирования номо­
граммы.
Повышения точности номограммы легче всего добиваться
увеличением масштаба чертежа, так как уменьшение ошибки
обратно пропорционально увеличению масштаба. Если размеры
236


номограммы увеличивать нежелательно, то следует в уравнени я
шкал ввести параметры преобразования . Подбирают такие зн з ­
чения параметров, при которых номограмма приобретает прие м ­
лемый вид .
Точность результата оценивается по абсолютной или относ и ­
тельной величине погрешности ответа . Если оценка точности в е ­
дется по абсолютной величине погрешности , то ответную шка лу
целесообразно построить равномерной. При оценке по относ и ­
тельной величине погрешности ответную шкалу делают логариф­
мической.
Чем уже пределы и з менения переменных , тем легче построит ь
номограмму, удовлетворяющую поставленным условиям. По­
этому вопросу определения пределов изменения переменных сле­
дует уделить особое внимание .
Для выбора наилучшего варианта номограммы для массовы х
расчетов процесс конструирования начинают с составления схе м
всех допускаемых данным уравнением номограмм . Сравнен ие
схем позволяет отобрать перспективные . После преобразовани я
отобранных схем выявляется наилучший вариант .


ГЛАВА
VI
1·
РАСЧЕТНЫЕ НОМОГРАММЫ
В МАШИНОСТРОЕНИИ
35. РАСЧЕТЫ СПРАВОЧНЫХ ДАННЫХ ПО УНИФИКАЦИИ
И НОРМАЛИЗАЦИИ
Номограмма моментов инерции прямоугольных сечений.
Момент инерции стержня прямоугольного сечения относи ­
тельно -оси абсцисс, проходящей через центр тяжести сечения,
' определяют по формуле
где Ьиhвсм (рис.251) .
bh3
J=-
'
12'
После преобразования и логарифмирования получим
l lgJ+lg12=lgb+Зlgh .
(201)
Это уравнение принадлежит к канониче-ской форме w = аи +
+ bv, для которой можно построить номограмму из выравнен­
ных точек с тремя параллельными логарифмическими ш калам-и,
на-правленными вверх. В этом уравнении функции и = lg Ь, v =
= lgh,w =lgJ+lg12,постоянныеа=1,Ь =З.
Модули μ1 и μ 2 крайних шкал одинаковы, поэтому модуль
μ 3 средней шкалы при ~Lr === μ 2 вычислим по формуле
_
μ_1
_
а+ь
(202)
Построим номограмму с пределами изменений переменных
Ьиhот1ДО100см.
Определим модули при длине логарифмических шкал L =
= 250 мм:
μ1=μ2 =
250
= 125·
lg100- lg1
'
125 .
μ3=
--=
31,25.
1+з
Если расстояние между шкалами Ь и J обозначим через er,
а между шкалами J и h через е2, то положение средней шкалы J
определится отнпшением этих расстояний
е1
Ьμ1
3
~=аμ2=-1-•
238


ь
J
h
100
1001
L
п
-
5000000
\ 200
у
Г'500
50
11~
500 ООО
50
40
Ь
JOO ООО
40
1
\- tбU
t-1660
зо
IJ
75000 •
./1
'
1
1
ключ
20
. 20000 .../
20]·
\'' ь
,
l-d-п
10
/ 800~
10
~--/
lп([
1
1/
_\ R'<::>/:'r:::- .(11
2150
1
'
1
50t .
5
JO
t,.
Ключ
3
/J-h-J
,о
з-1
\
1
~
2500
2
'r
21
\
•
1
100
l 100
о
1
L..
1_~
•
3000
р
-'
tv Рис. 251. Номограмма ,моментов инерции прямоуголь-
Рис. 252. Номограмма чисел оборотов двигателей внут-
w
ф
ных сечений
реннего сгорания


Расположим начало шкал Ь и h на одной горизонтали и про­
ведем две параллельные прямые на расстоянии е 1 + е2 = 168 мм
друг от друга. Построим шкалу функций lg Ь и 1g h по уравне­
ниям Yr = 125 lg Ь; У2 = 125 lg h. Среднюю шкалу J проведем на
168•3
расстоянии е1 от шкалы Ь; е1 =
--
=
126 мм.
4
Шкалу J построим по уравнению у3 = 31,25 (lg J + 1g 12).
Начало шкалы J расположим на горизонтали, проходящеи
через пометки Ь = 1 и h = 1 крайних шкал, что соответствует
.
1
по уравнению (201) пометке 10 = 12
=
0,084.
Номограмма числа оборотов двигателей внутреннего сгора­
ния [83] строится по уравнению
п= 150000 (+++) ,
(203)
где l- ходпоршнявмм;
d - диаметр цилиндра в мм.
Пределы изменения переменных: l и d - от 100 до 200 мм;
п - от 1500 до 3000 об/мин.
Пусть длина рабочей чаети шкалы l = 600 мм, угол а = 8°
(рис. 252). Преобразуя исходное уравнение, получим
1
=-
1+-1.
(204)
150000
l
d
п
Это уравнение соответивует канонической форме
_
1_=_
1·+
-1,
W
U
V
V__d,w__150000,и
где функции и = l,
может быть представ -
п
лено номограммой из трех прямолинейных шкал, пересекающих­
ся в одной точке.
Модули шкал l, d и п пропорциональны синусам углов меж­
ду двумя другими шкалами:
μ1:μ2:μ3 = sin(d, п):sin(l, п):sin(l, d),
но углы равны между собой, поэтому
μ1:μ2:μ~ = sinа:sinа:sin2а=1:1:2cosа,
отсюда
μ1=μ2;μ3=2μ1cos1Х.
(205)
Точка Р ле~ит за пределами чертежа, но АЕ = ЕС; BF =
= FD; шкалы l и d равномерные, направлены вверх и имеют
пометкиО,100,200вточкахР,А,ВиР,С,D. Отсюда РА =
240


= АВ =L;АЕ=ЕС
=
Lsinа=83,5 мм; ВР=PD =
= 2Lsinа=167мм;ЕР=Lcosа=595,2мм;μ1= μ2= 6;шка­
ла п направлена вниз и представляет собой шкалу функции
150000
с модулем ~Lз= 2μ1cosа = 11,88.
п
Пометки шкалы п нанесем так, чтобы три т,очки, удовлетво­
ряющие заданному уравнению, лежали бы на одной решающей
прямой.
Номограмма угловых ускорений шатуна кривошипных меха­
низмов [83].
Зависимость углового ускорения шатуна от числа оборотов
кривошипа и отношения л длины шатуна к ходу поршня выра­
жается формулой
:rtn
где w-=
-
зо
w2
а= ---- рад/сек 2 ,
-,r4л,2 - 1
(206)
Преобразуем заданное уравнение п2 = (:0)2 .а -V 4л2 - 1.
Можно построить Z-номограмму, так как это уравнение при­
надлежит к канонической форме и= v • w, где функция f (п) = п2,
f2 (л) = -V 4л2 - 1, fз (а) = (:0)2 а. Пределы изменения перемен­
ных: п - от 1000 до 2000 об/мин; л.-от 1,5 до 2,2; а - от 2500
до 15000 рад/сек2 . Точки 0 1 и 0 2 лежат за пределами чертежа
(рис. 253). Примем расстояние между параллельными шкалами
В = 240, длина рабочей части этих шкал L = 300 мм. Направ­
ление шкал а и п - вверх, шкалы л - вниз. Выберем модули
μ1 = 0,0001, μ2 = 200. Подсчитаем отрезки О1А = μ1f1 (1000) =
= 0,0001•10002= 100мми02Р= μ2f2(1,5) =200·V4•1,52- 1 =
= 565,6 мм . Расположим точку 0 1 на 100 мм ниже точки А с
пометкой 1ООО и точку 0 2 выше точки Р на 560 мм.
Для того чтобы наклонная прямая проходила через точки 01
и 02, должны быть выдержаны соотношения
АС
01А
100
--=--- =-- И
СЕ
KD
DF
860
400
560
Так какАС+СЕ=KD+DF=240мм, то А=25мм,
СЕ=215мм,KD=100мм,DF=140мм.
Ординаты точек шкалы а от линии КР определяются из урав­
нения
(207)
241


Номограмма полных поверхностей цилиндров [42] строится
по уравнению
где r - радиус цилиндра в см;
h - высота цилиндра в см.
Приведем заданное уравнение к канонической форf,1е для
того, чтобы убедиться в возможности его номоrрафирования.
После п·реобразовани5f получим
•
-
2ттrh+S- 2ттr2 = О.
Уравнение приводится к канонической форме Коши uw 1 +
+VW2+Wз=О,если принять функциии=h; v=S;w1=
=-2nr;W2=1;w3=-2л:r2.
Применяя простейшие уравнения шкал, приведенные в пре·
дыдущей главе для номограммы 4-го типа с одной криволиней·
ной и двумя прямолинейными параллельными шкалами, далеко
не всегда можно получить удовлетворительную номограмму.
При разработке номограммы, предназначенной для многократ•
наго практического приме·нения, необходимо в уравнения шкал
ввести параметры преобразования.
Запишем уравнения шкал в общем виде. Шкала h: х 1 = О,
У1 = μ1(h-a); шкала S:x2 = В, У2 = μ2(S - b); шкала r:
μ1В
Хз=-----
μ1 - μ22лr
μ1μ2(2лr2+ 2лrа- Ь)
Уз=
μ1 - μ22лг
где q и Ь - параметры преобразования.
Шкалы h и S будут равномерными. Пределы изменения пе·
ременных: 1' -
от·0,5до2см, Ь- от5 до 10 см. Подставляя
крайние значения переменных r и h, найдем пределы изменения
S ОТ17ДО150.
Особые условия: 1) допустимая погрешность ответа
о < 0,5 см2 ; точность ответа оценивается по величине абсолют·
ной погрешности; 2) размеры чертежа не более 220Х310 мм.
Номограмма будет состоять из трех шкал: из прямолиней•
ных шкал h и S и криволинейной шкалы 1' .
Построим номограмму, в которой ответная шкала S будет
расположена между шкалами h и r. Шкала r будет крайней с
правой стороны (рис. 254).
Определим направление шкал и составим схему номоrрам·
мы . Дифференцируем выражения для ординат точек шкал h
по h и S по S . Значение производных у 1 и у2 положительные, сле­
довательно, направление шкал h и S совпадает с направлением
оси ординат. Значения S монотонно растут, поэтому шкала r
будет также иметь направление вверх.
242


r
п,.
i\
1•h
8
1 2,0
2000
1,51
а
5
10
140-\
.,,,,,-1"!,9
14000
1
1
КЛЮI/
1,б
п-71 -а
-
-
-
-
1800
/
1,7
9
100
1,8
8
Oz
i
~
/1
1,9
80
/1
,,;_,,
1
/\1
/1
1400 1
~1
/1
7
/1
/1
2
60
200Оак_ '!j__1
1
{5
КЛЮI/
1
h-r -s
1000
2,2 2,1
б
40
А,с--Е
1
01
1
2,2
t-:)
Рис. 253. Номограмма угловых ускорений шатуна
,5;
20
~
кривошипных механизмов
· Рис. 254. Номограм,ма полных поверхностей цилиндров
ы


Определим значение параметра а. На оси абсцисс будет на­
ходиться пометка 5 шкалы h; отсюда а = (h) 5 = 5 . Если при­
нять длину шкалы h равной 250 мм, то модуль μ 1 = 50 . Окон­
чательно уравнения шкалы h будут
Х1=О;У1 =50(h- 5).
(209)
Определим значение параметра Ь . Если на оси абсцисс рас­
положить пометку 17 шкалы S, то Ь = (S) 11 = 17. Модуль μ2
ответной шкалы S должен соответствовать треб у емой точности
отсчета б = 0,5. Не зная заранее расположения шкал, можно
допустить, что геометрическая погрешность номограммы не пре­
вышает Лl =::;; 1 мм; тогда модуль шкалы S
(21 О)
ДлинашкалыS L8 = 2(150- 17) =266мм.
Параллельные шкалы номограммы - надо расположить вдоль
длинной стороны чертежа, чтобы не превыси3ь заданных раз­
меров.
Уравнение ординаты S
У2=2(S- 17).
(211)
Ширина номограммы определяется расстоянием между носи­
телем шкалы h и наиболее удален н ой точкой •С пометкой 2 шка­
лы r. Размер В получим из уравнения абсциссы шкалы r.
Уравнения шкалы r:
В-50
Хз =----
50- 2 •2:nr
50•2(2:nr2- 5 •2:nr- 17)
Уз =--~-------
50- 2 •2:nr
в
1- 0,251 r
125,6(О,lr2 +0,5, -
О, 271)
1 - 0,251,
Приr=2иширине номограммы 180ммхз= -
8-
=
180;
0,498
В~ 90 ММ= Х2.
Составим таблицы расчета шкал и построим номограмму.
Номограмма приведенных коэффициентов лучеиспускания
[54] строится по уравнению
С=С1С2
(213)
т
Со'
где С 1 и С2 - коэффициенты лучеиспускания двух тел;
244
С0 - коэффициент лучеиспускания абсолютно черно г о
тела .


Пределы изменения переменных: С0 = 4,96; С 1 - от О до
4,96; С2 - от 1 до 4,96; Ст - от О до 4,96 . Перепишем заданное
уравнение
С2
Уравнение принадлежит к первой канонической форме w =
= _.!:!:. _
и может быть представлено номограммой второго жанра
V
со шкалами на эллипсе и секущей, если принять функции и= С1 ;
1
v=
-
, w = 4,96Ст , Установим размеры номограммы Lз =
С2
= 150 мм и Н 1 = 100 мм (рис. 245). Пределы криволинейных
шкал С 1 и С2 одинаковы, поэтому можно принять модули этих
шкал μ1 = μ2. Расположим шкалы С 1 и С2 симметрично относи­
тельно шкалы Ст, причем р= О. Для принятых размеров номо­
граммы удобно взять ~t 1 =
~ t2 = 0,3, тогда модуль μ3 шкалы Ст
равен
1+ р2
100
μ3=
=--
μ1μ2
9
Шкала Ст в пределах 1-5 получится в этом случае близкой
к логарифмической.
'
Определим длину продольной оси эллипса
L-
150
200 •
1 - ---------- =
мм.
1
1+(0,3 •0)2
Уравнения шка л:
I+(0,3•5)2
шкала С 1
200
;У1=
30С1
Х1=
1 + (О,3С1)2
1+ (О,3С1)2
шкала С2
200
30С2
Х2=
1 +(О,3С2)2 '
Yz=-
1 + (О,3С2)2
шкала Ст
200
;Уз=0.
Хз=
1 + О,09Ст
(214)
(215)
(216)
Составим таблицы расчета шкал и построим номограмму
(рис. 255).
Номограмма перемещений ползуна кривошипа {83] строится
по уравнению
о= 1-2cos<р+f(1- V1- si::<р) '
(217)
где а - отношение перемещения ползуна к диаметру окружно­
сти, описываемой кривошипом;
245


(!} - угол кривошипа с линией мертвых точек;
р- отношение длины шатуна к радиусу кривошипа .
Уравнение приведем к виду
-pcoscp - (l-2cr)(coscp - p)+ l+(l- 2a)
2
=0.
2
Это уравнение принадлежит к канонической форме Клярка
UVW1+(И+V)W2+W3=0
и для него может быть построена номограмма третьего жанра
с о шкалами и и v на окружности. Функции, входящие в уравне-
4
J
~
~
~
5
5
S
4
J
1
о
КЛЮ'I
с, - с2-с'т
J.
Рис. 255. Н о мограмма приведенных коэффициентов
лучеиспускания
н ие канонической формы, представляют собой следующие вы­
ражения:
246
И=COS•cp; V= -р; W1= 1;
W2=
-
(1- 2cr);Wз= 1+(1- 2а)2
2


Пределы изменения переменных: ер - от О до 360°, р - от 2,5
ДО20, О--ОТOДО 1.
За начало координат примем точку окружности ер = 90",' @сь
ординат совпадет с вертикальным диаметром, причем положи- .
тельное направление ординаты примем вниз, а абсциссы -
влево. Примем диаметр окруж~ости D = 200 мм (рис. 256) .
\Q
\
\\
\
\
!Р
+1
0,5
Ключ
q;-p-6
/
/
,,, '
/
/
/
/
/
/
/
160"
Рис. 256. Номограмма перемещений ·ползуна кривошипа
Уравнения шкал :
шкала ер
200 cos ер
1+cos2 ер
шкала р
200
У1=200-----
!+cos2 ер
Х2=
-
~,·
У•=200-~•
1+р2 "
1+р2'
(218 )
(219 )
247


шкала а
400(1- 2а) ;Уз=200_
400
3
+
(
1- 2а)2
3
+
(
1
-
2а) 2
(220)
Расчеты шкал сведем в таблицы и построим номограмм у
(рис. 256).
Номограмма площадей равнобедренных трапеций [54] стро­
ится по уравнению
S=bh+h2ctgер,
где Ь - длина меньшего основания трапеции;
h- высота;
(221)
ер - угол между боковой стороной и нижним основанием.
, После преобразования получим
S- bh
-
h2 ctgep = О;
это уравнение с четырьмя переменными приводится к виду урав­
нений четвертого номографического порядка (форма Коши) и
имеет в своем составе одно бинарное поле. Правила построения
простейших номограмм с бинарным полем принципиально не
отличаются от правил построения обычных номограмм из вы­
равненных точек.
Каноническая форма уравнения имеет вид
Ьlз+f2ep3+'Фз=О;
здесь f,(S) = S; f2(b) = Ь; fз(h, ер)
=
1; ерз(h, ер) =
-
h;
'Фз(h, <р) = - h2 ctg ер. Ответная шкала S расположится между
бинарным полем (h, ер) и шкалой Ь.
Предел изменения переменных: S - от О до 200; Ь - от О
до 10; h- от О до 10; угол ер- от 45 до 90°. Зададимся габарит­
ными размерами номограммы: Н = 150 мм и В= 100 мм
(рис. 257).
Определим модули шкал S и Ь:
150
μ1= 200_0
= 0,75 мм;
150
μ2=10-0 =15мм.
Шкалы S и Ь начинаются от нуля, расположенного на оси абс ­
цисс, и направлены в одну сторону '- вверх. Определим расстоя­
ния между параллельными шкалами. Если для абсцисс бинар ­
ного поля имеем
В1 <О
15
1
'
1-----
0,75 h
248


то ширина всей номограммы равна
В=В1----В~1--= 100,
15
1
1-----
0, 75
10
откуда В1 = 50 мм, т. е. расстояние между Пс!,раллельными шка­
лами равно ширине би_нарного поля .
s
/J
10
S,{JO
200
/( ЛЮУ
(fP,hJ-/J-S
180
50
!бО
60
70
80
40
2
20
90
о
h987654321
Рис. 257. Номограмма площадей равнобедренных трапеций
249


Приняв за ось х прямую, проходящую через нулевые точки
шкал S и Ь, а за ось у - носитель шкалы S, получим уравнение
шкал.ШкалаS:х=О,у =0,75S; шкалаЬ:х 50,у=15Ь;
поле (h, ер):
х=_
50h .у
_
I 5h2 ctg (J)
20- h
'
-
20- h
•
(222)
Составим таблицы расчета шкал и построим номограмму.
Номограмма числа оборотов и диаметров шкивов ременной
передачи 03] строится по уравнению
n1d1i
n2=~,
(223)
rд~ i - передаточное число;
d 1 и d2- диаметры шкивов;
n1 и п2 - числа оборотов шкивов в минуту.
Пределы изменения переменных: п 1 - от 10 до 2000; d 1 - от
100 до 800; d2- от 800 до 100; i - от 0,04 до 1. Подставив в урав­
нение (223) крайние значения переменных, найдем пределы
измен,ения n2 от 0,05 до 16000.
Для построения составной номограммы из выравненных то-
чек прологарифмируем уравнение (223):
•
lnn2=lgn1+lgd1+lgi- Igd2,
введем вспомогательные переменные л 1 и Лz и з ам еним уравне­
ние с пятью переменными системой трех уравнений с тремя
переменными в каждом:
lgп1+lgd1 = л2;
1gi- 1gd2=л.1;
lgn2=л1+Л.z.
Каждое из этих уравнений принадлежит ко вт орой канониче­
ской форме третьего номографическо го порядка и потому для
них мы можем построить номограммы из выравненных точек с
тремя параллельными шкалами. Если в первом уравнении при­
нять длину шкал п 1 и d 1 равными 135 мм. то модули этих шкал
равны
135
μ1=- - - --~60мм;
lg2000- lg10
135
μ2= -----~150мм.
lg 800-; - lg 100
Уравнения шкал n1 и d 1
у1=60(lgn1- 1); Yz = 150(lgd1- 2).
(224)
Модуль шкалы ,.2
250
300
7


Ответную шкалу л2 расположим между шкалами п 1 и d 1,
причем отношение расстояния между ответной шкалой и шкал(!­
ми п1 и d1 равно отношению модулей шкал п1 и d1:
Ь1
μ1.
2
ь:=---;;=s·
Пусть расстояние между шкалами п 1 и d 1 равно 140 мм.
тогда Ь1 = 40 мм; Ь2 = 100 мм. Рассчитав шкалы п1 и dI по
уравнениям (224}, построим для них немую шкалу л2 . Направ­
ление шкал п1 и d1 вверх (рис. 258) .
Для второго уравнения модуль μ 4 шкалы d2 примем равным
модулю шкалы d 1, так как их пределы изменения одинаковы;
μ4 = 150 мм. Модуль μ5 шкалы i при длине ее, равной 140 мм.
140
μ5=
-- ---
=
100 мм.
lg l - lg0,04
Шкалы d2 и i построим по уравнениям
Уз= 150(lgd2- 2); у4= 100(lgi-1g0,04).
Модуль шкалы л1
μ4μ5 = 60.
μ6=
μ4+~t.
(225 )
Шкала л 1 будет расположена между шкалами i и d2 . Отно­
шение расстояний между ответной шкалой л 1 и шкалами i и d 2 .
равно
При расстоянии между шкалами i и d2, равном 150 мм, най­
дем Ьз = 60 мм; Ь4 = 90 мм. Шкала i направлена вверх, а шка­
ла d2 - вниз, так как в исходном уравнении перед lg d2 стои т
знак минус .
В последнем уравнении системы модули л 1 и л2 уже извест -
ны. Модуль шкалы п2 равен
μ_ μ3μ6
7-
μз+μв
__
з_о_о_. _60
__
= 25_
( 300
)
7-7
- +60
Ответная шкала п2 должна быть расположена между шкал а ­
мил1ил2:
_li_ =
д=~ =_о_
ь6
1-tв
7•60
7
Примем расстояние между шкалами л 1 и л2 равным 120 мм ,
тогда расстояние Ь5 = 50 мм от шкалы л2 ; расстояние Ь 6 = 70 мм
251


1
'
1
1
·~
r--:,
CJ1
r--:,
.
;
J\1
d1
П2
d2
i\2
~,в_
[
800
.~
fбОО.О г100
1
10000
'
5000
,6---.,___
бОl)
1
1
{1,4
1 -------
-------i__
1
1
1
1
1
........_ _
1
1
0,2
Ключ
i- d2 -ii,
~200
r1.0
Jo~
dг п; -.л2
0,1 А,- Jt2-п2
0,08
0,06
1
~00/ to,,.
[ оии
1
lo,04
800
0,05
1
Рис . 258. Номограмма чисел оборотов и диаметров шкивов ременной передачи.
'--
п,
г2{}{)0
нооо
t- 500
200
./1
. ~100
80
ьо
40
~20
LJO


\
1'-.:>
ел
с,.,
kн
10000
5000
Е:' 2000
<.,
с,:;
с,'; 1 ООО
~
t
500
~
t::J
~~
1:::1
200
:i::
""t::;
"'1::
:::i
~
~0- ,
~
0,2
во
70 ~<..,
60 t"
50 ,,,...
1::
40~
~
30~
~
1:::1
:i:
20~
~
~t::)
10
2
5
10 20
50 100 200 500 1000 1(Q
Измеритель про из8о8цтельности, м3/сек
Рис. 259. f-:!омограмма для подбора вентиляторов и насосов


от шкалы л 1 . С помощью одного под гоночного примера найде м
положение одной пометки шка л ы п2 , после чего построим вс ю
шкалу, пользуясь уравнением
у5• 25(lgn2- lgn0),
(226)
где п 0 соответствует значению п 2 подгоночного примера.
Номограмма для подбора вентиляторов и насосов [79]. Со­
ставная сетчатая номограмма построена на базе двух уравне­
ний, каждое с тремя переменными
к'~
D О 6672_i_ .
'
'/'
кн·
к •~.
n=81,3-н-,
,
к'~ .Q
где D - диаметр рабочего колеса в м:
п - число оборотов в минуту ;
KQ и Кн - измерители производительности и напора. Уравнения
составлены для нормальной плотности воздух а
О, 1223 кг • сек2/м 4 . Для другой среды необходим пе­
ресчет.
В прямоугольной системе координат по оси ординат нанесе­
на логарифмическая шкала измерителя напора Кн в мм вод. ст.•
а по оси абсцисс - логарифмическая шкала измерителя произ­
водительности KQ в м3 / сек. В этих координатах наложено одно
на другое два семейства прямых линий D и п, представляющих
собой логарифмическую анаморфозу указанных уравнений.
Искомые знапения D и п определяются в точке , соот·ветствую­
щей вычисленным значениям измерителей l(Q и Кн (рис. 259) .
36. РАСЧЕТЫ ДОПУСКОВ Н ПОСАДОК
Номограмма допусков на расстояния между центрами [74].
В рабочих чертежах значительное количество размеров относит­
ся к расстояниям между центрами отверстий деталей. Отвер­
стия в деталях размещаются по прямой линии или по окруж­
ности.
При расположении отверстий по прямым линиям номограм­
ма допусков составлена для уравнений Л = ± 0,7 S и ,л =
=
±0,35 S при двухрядном и многорядном расположении отвер­
стий. Зазор S оqределяется как разность между наименьшим
диаметром отверстия и наибольшим диаметром стержня.
Номограмма (рис. 260, а) предназначена как для равных,
так и неравных допусков двух размеров , параллельных осям
координат и определяющих положение отверстий. Например ,
при зазоре S = 0,85 мм равные отклонения составляют ±0,6 мм .
Если же для одного из размеров, определяющих положение от­
верстий, устанавливают ±0,4 мм, то для второго по номограм­
ме с дугами постоянных зазоров S допустимо принять ± 0,75 мм :
254


Это значительно облегчит изготовление детали . .
Для расчета отклонений от заданных координат отверстий,
расположенных на окружности, пользуются формулой
S=2VR2sin2Ла+ЛR2cos2Ла ,
(227)
где R и ЛR - радиус окружности расположения отверстий: и его
допуск;
!Ла- допуск угла между отверстиями.
Для выбора Ла и 1ЛR приведем номограмму из выравненных
точек с бинарным полем (рис. 260, 6).
Номограммы для расчета посадок. с н.атяr10м (1]. Расчеты
посадок с гарантированным натягом связаны с определением
удельного давления на контактной поверхности и крутящего
момента, который может передать эта посадка. Валы изготов­
ляются из стали, ступицы могут быть стальными или чугунны ­
ми. Удельное давление р определяем по формулам:
при стальной ступице
л
р 21 --------- кГ/мм2 ;
=
( d;+di)
d1 1,02+----
d~ -df
прw чугунной: ступице
р=10,5 _ ___л
___
_
(
d~+df)
d1 0,61 +
d~ -df
где .л - расчетный натяг в мк.
кГ/мм2,
Формулы справедливы при условии, что коэффициент Пуас ­
сона для стали μ = 0,3, для чугуна μ = 0,25; модуль упругости
-стали Е1 = 2,1 • 104 кГ/мм2, чугуна Е2 = 1,05 • 104 кГ/мм2.
При четырех переменных уравнение позволяет построить со­
,ставную номограмму из выравненных точек с двойным вырав­
,ниванием (рис. 261).
В зависимости от конструкции и диаметра валы изготовля ­
ются цельными или имеют сквозное отверстие. Отношение диа­
метра отверстия к номинальному диаметру сопрягаемой поверх- .
ности принято равным О, 1. Номограмма пригодна как для пол­
ного, так и для цельного вала.
Крутящий момент М"р при стальной ступице
кГм;
255


~
R, ,,,,.,
S,мм
ел
/Jcx.=10' 1 L0
c:r,
50
0,2
,.,.,, / /1 1
л
,1-
Ключ
,нн
't/'O
/?-S-(ЛН,ЛО()
Л/ .,j t-li;ч
f
~~~
~~ f.o
f \\(.,
~~i ъо~ •
40
0,6
0,8
-
0.61 -=::::
•
::ь,1
',;: х
30
0,8
0,4
q2+--.v>,Л \1\\1\ \\\
l-20
11~!
L/\\\1\1\111
t'o 30
~
Lf
.J
а
о)
о
0,2
0,4
0,6
0,8
f /JMM
а)
Рис. 260. Номограмма допусков на расстояния между центрами:
а - для отверстий, расположенных по прямым линиям; 6 - для отверстий, расположенных по окружности


<D
ll
р
d1
d1
w
d1л
м
d1; L
.,
},/К
~
'КfJммг
d2
А.1
ёf; Л2
""
нм мк
кrм
мм
~ r2s
1
0,201 о,901--0.во
г250 25
О,90
,
Г25
0,8
10·
200
10 ОС)
0,50i
1.---
-
~150 40
с:::,
с::;-
1:::1
20 11
:t:
::,.,
ч.......
t
::::i
40 ::::i
1- 50
::,.
~100
~
...,
1:::1
::::i
~
200 100
100 60
0.б~
·~
J'
'
80 80
80
:;,и
~ 0,50 t'
lбо ~ 0,75
100
"
10
~
f0Q
10
0,70 0,40
120
140
20
40{)(J 2000
160
0,60 о
40
1150
~
4000
'
180
10000
200
50
0,50
'0000
200
1
250
1
100J
0,40
25
JOOQO 15000,
L2so
•
'
о
о
Рис. 261. Номограмма удельных давлений в сопряжении
Рис. 262. Номограмма крутящих моментов, передавае-
1--:>
вала со ступицей
•
мых посадкой с натягом
ел
-.J


при чугунной ступице
Мкр = 0,0165f---Лd~1L___ кГм,
d2+d2
0,61+:
~
d2-d1
где L- длина посадочной поверхности в мм.
Величина коэффициента трения f в посадке с натягом зави­
сит от ряда факторов. В расчет вводится среднее значение коэф­
фициента трения, получаемого экспериментально для выпрес­
совки при установившемся процессе смещения. Так, при насад­
ке под прессом принято f = 0,08, при насадке с нагревом
ступицы или с охлаждением вала f = 0,14.
При пяти переменных, кроме коэффициента трения f, по­
строена составная номограмма из выравненных точек с тройным
выравниванием (рис. 262). Носитель крутящего момента имеет
две шкалы при f, равном 0,08 и 0,14.
Если переменные ,Л, d 1 или L имеют численное значение, пре­
вышающее верхний предел соответствующей шкалы номогра,м­
мы, то значение данного параметра уменьшают в 10 раз, а по­
лученный ответ увеличивают в 10 раз, если этот параметр стоит
в числителе, или уменьшают в 10 раз, если он в знаменателе
формулы.
При расчете крутящего момента по номограмме безразлично,
какой параметр, d 1 или L откладывается первым по шкале
(d1, L).
37. ПРОЧНОСТНЫЕ РАСЧЕТЫ
Номограмма для расчета толстостенных труб и сосудов [83]
строится по уравнению
m=..,/R+P _ 1,
VR-p
где R- допускаемое напряжение в кГ/мм 2 ;
р- внутреннее дав.'Iение в кГ/.мм 2 ;
т - отношение толщины стенки к внутреннему радиусу.
После преобразований уравнение примет вид
R
(т+1)2+ 1
р
(т+1)2 - 1
Уравнение принадлежит к первой канонической форме и для
него может быть построена круговая номограмма из выравнен­
ных точек 5 - го типа второго жанра, если принять, что
258
-5
f(R) = 0,1R; f2(р)=
-
;
р
fз(m) =
-
0,5 (т+l)z+1
(т+ 1)2 -1


Для того чтобы получить удобное распределение делений на
шкалах, введены постоянные множители. Кроме того, введен
знак минус в целях расположения шкал R и р на окружности
по обе стороны от шкалы т, которая наносится на вертикальном
диаметре . Диаметр окружности номограммы D = 200 мм. Ось
5
Ключ
p-R -m
о
0,4
0,5
.... _
1·
--
--,
,--, -r
о
1
Рис. 263 . Номограмма для расчета толстостенных труб и сос·удов
ординат совпадает с, вертикальным диаметром, начало коорди­
нат находится в нижней точке окружности (рис .. 263).
Пределы изменения переменных: R и р- от О до 20 кГ/мм 2,
m- ОТ0,1ДО3.
Уравнения шкал:
шкала ,R
2000R
100+R2
200R 2
..
1oo+R 2 '
(228)
259
9*
10
9


шкала р
1000D
х--
•
2-
25+р2
5000
У2= 25+р2'
(229)
шкала т
Х3 =0;
200(m2+2m+2)
Уз=
3m2+6m+2
(230)
С ост а вим таблицы расчета шка .ТI и построим номограмм у.
do·
мм
---------------
-тт,гт-т--.........,.......,----------,
онтактнt,1
напряжениям
Рис. 264 i Номограмма для расчета зубчатых колес
Н омограмма для расчета зубчатых колес [12]. При конструи­
ровании зубчатых колес расчеты зубьев на изгиб и по контакт­
ным напряжениям отнимают много времени, поэтому для пред­
варительных расчетов весьма эффективно используется состав­
ная сетчатая номограмма (рис . 264) . Номограмма построена
для расчетных уравнений
аизг= 620 ООО . !!__
.
kизг '3⁄4 R кГ/мм2•
m2bzy
пkv
ь
'
210ООО/i+1Nk
2
а=---11 - -·
-
·-
,<а 8 кГ/мм
zm
Vib
пkv
оп
'
260


где
N - мощность, передаваемая зубчатым колесом:
п - число оборотов колеса в минуту:
z - число зубьев;
т - модуль зацепления:
Ь - ширина колеса;
i - передаточное число;
kv, kизг, k - коэффициенты скоростной, долговечности зубьев
на изгиб и контактных напряжений;
у - коэффициент формы зуба.
Номограмма предназначена для расчета как ц илиндрических,
так и конических зубчатых колес. Расчет цилиндрических косо­
зубых колес ведется по нормальному модулю тп. За расчетное
число оборотов п принимают то, которое соответствует наиболь­
шей нагрузке на зубчатое колесо. Ряд факторов учитывается
усредненными коэффициентами.
Схемы расчетов показаны в чертеже номограммы. Последо­
вательность расчета изменяется в зависимости от того, какие
параметры заданы и какие определяются.
Номограмма запаса прочности i[24]. Прочность дщr пластич­
ных материалов при совместном действии нормальных и каса­
тельных напряжений определяется уравнением коэффициентов
запаса прочности
n= Vпf+п~ '
где п 1 и п2 - коэффициенты запаса прочности при действии ноr ­
мальных и касательных напряжений.
Уравнение приводится ко второй канонической форме, для
которой может быть построена номограмма из выравненных то­
чек с тремя прямолинейными логарифмическими шкалами, пере­
секающимися в одной точке (рис. 265).
Шкала искомого коэффициента запаса прочности п совпа­
дает _с осью ординат, относительно которой шкалы п 1 и п2 рас ­
положены симметрично.
Номограмма для расчета пластинчатых фрикционных муфт
[62]. Для предварительного расчета фрикционных муфт при
проектировании пользуются составной номограммой из вырав­
ненных точек (рис. 266). Исходное уравнение количества пла­
стин
71620N
i= --
-----
2nr2 (r2 - r1) npf
состоит из ряда простых уравнений
Мкр= 71 620 !!_"кГсм; r =
'
1+'2 см;
п•
2
Н= pFкГ; F=2пr(r2- -r1) с.м2,
которые используются при построении номограммы.
261


10
262
п'
,У
,,в
2,0 -
2,5
3
4
5
в
Рис. 265. Номограмма запаса прочн:,сти
___.........,._
_. ._ =-•
--; ,r_
5


»
J:
л,с.
см2
·м
·
.,., +-rz
нr=
103-i 1-sooo
к~м
1 нг1· см2
101
Гz -r;
см~
1
л1 i\2
i
П 102
102-f ]103
ооjмин
2
102-
\
ГяfК
114o-J1
f
р
iIU T/U
s~I
у -1А005
6-
0,08
10-i 1 f .............. _, ,и, 1кГ/см2 10 3
4
о,1
1
7
0,2
i~
102
1~~ l5ool;n _/ l'J/ 1 ~
0,4
0,6
1-1 1
,о'
50
1 -1 l-40
/'\.1
'
/
1
1
КЛЮЧ'
0,11 1
10:J~ q.
1) N-n-м
4) H-J-}1. 2
2) r - (rгr1J-F 5) il.z-r-л. 1
10
3) F-p-_H
б) м-лг;
5о~о _!_~_о
~
а,
Рис. 266. Номограмма для расчета пластинчатых фрикционных муфт
С;)


Здесь N - мощность, передаваемая муфтой, 1в л. с.; п- число
оборотов в минуту: r - средний радиус в см; р
-
удельное дав­
ление в кГ/см 2 и f - коэффициент трения.
Схема пользования номограммой указана на чертеже.
38. ТЕХНОЛОГИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
Номограммы режимов резания. При разработке технологиче­
ского процесса механической обработки технологи вынуждены
затрачивать много времени и труда на вьrбор режимов резания,
-..
так как приходится иметь дело с довольно сложными эмпириче-
скими формулами с дробными показателями степеней величин,
входящих в эти формулы. ВНИИТЭЛЕКТРОМАШ разработал
сборники номограмм рациональных режимов резания металлов
инструментами из быстрорежущей стали, инструментами, осна­
щенными твердыми сплавами, и номограммы по обработке изо­
ляционных материалов i[65].
Номограммы рациональных режимов резания позволяют
комплексно решать эти вопросы, причем в большинстве случаев
для выбора режима резания достаточно одной составной номо­
граммы из выравненных точек. Применительно к паспортным
данным станка номограммы удобны при пересчете режима реза­
ния, не требуя каких-либо вычислений. Кроме основного назна­
чения - расчета режимов резания,
-
номограммы используются
для пересчетов в техническом нормировании.
Рассмотрим здесь одну из таких номограмм для наружной
продольной черновой обточки конструкционной стали uь = 70 -: -
- - - - ;- 80 кГ/мм, резец TSIO0 (рис. 267). Зависимость скорости ре­
зания от глубины резания t и подачи S при принятой постоян­
ной С'ГОЙКОСТИ Т = 60 мин.:
V
97,3
/
60 = ----- М мин..
t0,1550 ,45
Усилие резания
pz = 151t 1•02S0,!\.2 КГ.
Подача определяется по глубине и усилию резания:
Глубина резания
S_ o,s2/ Pz
V мм/об.
-
J5ltl ,02
D-d
t =--- мм,
2i
где D и d - диаметры заготовки до и после снятия припусков;
i - число проходов.
264


При пользовании номограммой по глубине резания t и уси­
JJ ию резания Pz одним ходом определяют подачу S, скорость
IJt
пNл.Pz
V
5
1500 20
7
10000
4
50
!ООО
800
600
400
200 б
100
80
60
40
20
5
4
з
2
10t
10
20
40
200
600
800
1000
2000
3500
40
20
4
2,5
8000
6000
4000
600
400
200
150
J5
40
50
80
Ключ
t-Pz-N- v -S - .it
V-D-п
i\.- N-Pz
100
110
Рис. 267, Номограмма режимов резания
J
2
7,5
1
о,в
резания v и требуемую мощность N, которая выражается фор­
мулой
N=2,39S0 •37 t0 ' 87 квт .
Число оборотов шпинделя станка зависит от скорости реза­
ния и начального диаметра D заготовки:
1000v
п=
об/мин.
:лD
265


tv
о,
о,
Попра/Jка LI Хе
!lглоdал
~;1U. р
e,111 ,lv
!lc/?J{l
о
-Уо,.,
омм
б
4__~00
--
U,t-<?
' 17 ,\)~
---
1111.~~Cjl~
12~
1
1 1 гт---,..;!!_0
9
41---E"t -si=---ь.±:::::1 s.::t~ -/', \.,,.\ - 1/ 1/ 1/ 1/ ! / 1/ 1 /J1,! 14', 'Ш 11--1-
21t=4-----+LLГ'"1~~ r r ~ v v ~/ 11 1/ r~1'-«<
мм 200
100
Омм
Длина оr5разу1ощеи начального
КОН!/Са 1. ,
8
б
4
2
о
f!опра(]ка /JXp
Рис. 268 . Нqмqграм ,м<а1 поправок для налад_ки. cтctHl<Q,
20
Лопра(!кq LI Е 2
~о-?
~
~
>;;,
~
3
]0° ~
?'.
'?
200 ""'ь
,оо
30


Для определения числа оборотов шпинделя по номограмме
соединяют второй решающей прямой пометки на шкале v и шка­
ле D и в точке пересечения шкалы п читают искомое число обо­
ро тов.
Если мощность, полученная по номограмме, превышает пас­
портную мощность данного станка, то уменьшают скорость ре­
зания, что приводит к увеличению усилия резания, которое
может превысить лимиты нагрузки по прочности элементов
станка и инструмента, а также по жесткости обрабатываемой
детали . Тогда приходится уменьшать подачу S или глубину ре-
зания t.
•
С уменьшением подачи S возникающее усилие резания Р2
может быть определено по номограмме . при использовании
немой шкалы л. Через точку пересечения с этой шкалой первой
ре шающей прямой проведем третью решающую прямую от точ­
ки на шкале N, соответствующей паспортной мощности, до
встречи со шкалой Pz, на которой прочтем усилие Pz, соответст-
' вующее паспортной мощности станка.
Номограмма поправок для наладки станка 1[91]. Расчет нала­
дочных установок зуборезных станков для нарезания конических
колес с круговыми зубьями состоит из определения основных
данных для наладки станка и поправок к ним. Для чистового
нарезания шестерни вводится поправка осевой установки Лхр,
поправка смещения стола Лхв и поправка угла эксцентрика Ле2.
Эти попр-авки определяются по составной сетчатой номограмме
(рис. 268) . Последовательность расчета указана на чертеже
стре,тшами и порядковыми номерами.
39. СТАНКИ И ИНСТРУМЕНТ
Номограмма для расчета виброизмерительноr~о прибора {80].
Для исследования вибраций металлорежущих станков и других
исследований динамики машин пользуются виброметрами, кото­
рые рассчитываются по уравнению основной собственной ча-
стоты
\
h
f=О,046с - vf,
[2
где
h - толщина пружины;
l - длина пружины;
г-
.с = V ~ скорость распространения продольных волн
в материале пружины;
Е - модуль упругости материала пружины;
"YI - первый корень уравнения частот для одной из схем
прибора ;
:Р - плотность материала пружины;
1+cosУ1chv1 =~V1(sinV1chv1- cos'У1с!1v1),
.
'
т
267


м
где - - отношение масс груза и пружины.
т
•
Расчетная номограмма представляет собой составную номо­
грамму из сетчатой номограммы и номограммы из выравненных
точек (рис. 269). Составная номограмма позволяет определить
конструктивные параметры прибора - массу груза М и ширину
пружины Ь или установить частоту уже изготовленного прибора .
В номограмме предусмотрена возможность изготовления пружи­
ны из латуни, бронзы, дюраля, стали и гетинакса. На шкалах l
и l', h и h' откладываются одни и те же заданные значения этих
величин. Шкалы .л1, л2 и л3 -- немые. Порядок расчета по номо­
грамме обозначен uифрами и стрелками.
Номограмма р,ентабельности применения специальных ста­
ночных приспособлений {86]. Количество деталей N обрабатыва­
емых в год, начиная с которого приспособление становится рен­
табельным, и наибольшие допустимые затраты Ц на изготовле ­
ние приспособления, при которых оно еще рентабельно ,
определяются из уравнений
N =--Ц--'-k__
лз (i + __!!__)
100 .
шт.;
ЛЗ(1 1 __!!__) N
'
100
Ц=_
_:__ __:....__
руб.,
k
где k - коэффициент годовых расходов по приспособлению с
учетом срока амортизации и расходов по ремонту в процентах
к его стоимости;
ЛЗ - экономия в заработной плате от применения приспособ­
ления на одну деталь-операцию;
Н - процент начисления расходов на заработную плату
станочника.
Для указанных уравнений построена составная номограмма
из выравненных точек (рис. 270). Номограмма, кроме получения
ответа для N и Ц, может служить для определения чистой годо­
вой экономии от применения приспособления, а также для срав­
нения экономической эффективности ряда приспособлений. Шка­
ла произведения Ц на k по первой схеме расчета, обозначенной
на чертеже, дает полный размер годовых расходов по данному
приспособлению. Та же шкала по второй схеме расчета дает
величину ,ЛЗ, (1 + Н • 10-2 ) N руб., т . е. годовую экономию н а
заработной плате в связи с внедрением приспособления. Разность
значений по первой и второй схеме определит чистую годовую
экономию.
Номограмма зависимости погрешности обработки от размер­
ного износа резца {33].
268


""
а,
ф
i\1
1
l
ммf
1
гцh
101 fOOO lмм
о,1'
0,1
,J
it2
Ь itэ
мм
1 1 1111111
1 11111111
I IMIII~
[1
м
1 11111111 1 11111111 .U1"5 И 11 IJ.
г
1 11111111
1
1 l.t\-lWJI
lil 1 111 11111
1
'- 11
1-1
10,
5
2
,1
Рис. 269. Номограмма для расчета виброизмерительного прибора
l'
,.,,,.,,,
l-10
h'
ММ L20
o,s
/
50
0,1
100


Уравнение относительного износа резца и0 на 1000 м пути
резания и погрешности обработки Ли от износа резца найдены
экспериментальным путем
_
0198 l,020 ,79f0,7.
U0 -,
V
S
,
Ли=2u0(L+k),
где v - скорость резания;
;ц
p1j6.
зооо
2000
1000
500
300
s-подача;
1'-Я схема
2-я схема
s~--
з
Ц·х д
ру5.
7000
1000
500
--
-...
150
-
N
шт.
45000
1000
500
--
--
-, 100
---
зо-
k
2,J
3.
1
1
0,8
--
~-
0,6
2
- ....._....._ ---1....
0,45
н
°/о
50
100
t50
200
--
300
350
t]J
руо.
о,1
0,2
0,4
О,б
0,8
1,0
Рис. 270. Номограмма рентабельности применения специальных станочных
приспособлений
t - глубина резания;
L- путь резания;
k- коэффициент, равный отноtuению начального износа
к относительному.
Уравнения могут быть представлены составной номограммой
из выравненных точек (рис. 271). Такая номограмма для расче­
та размерного износа инструмента особенно полезна в условию:
автоматизированного производства.
Номограмма потребности режущего инструмента на програм­
му {98]. В условиях мелкосерийного и индивидуального произ­
водства потребность в режущем инструменте устанавливают по
· методу средних коэффициентов приме.нения инструмента.
270


Составная сетчатая номограмма позволяет быстро рас­
считать потребность режущего инструмента на производствен­
ную программу (рис . 272). Номограмма состоит из двух полей,
s
t
ММ/о5 ММ
1, 5'
0,4
1
о, tJ
1,5
2
0,25
V
Мjмц,r
30
/Jь
М/<.
км
2
10
2tJ
50
'
мк
5
IUO
50
Ключ
t-V
-
А
5 -i\..
-
Ио
U0-L
-
!JU
1,5
з
5
в·
Рис . 271. Номограмма зависимости погрешности обработки от размерного
износа резца
по первому из них найдем машинное время работы инструмента
до полного его износа.
Х= fc(n+l)rJ,
где tc - стойкость инструмента между двумя переточками в ч;
п - количество переточек до полного износа инструмента;
ri - коэффициент, учитывающий случайные потери (в дан­
ном случае ri = 0,8) .
По второму полю номограммы определим иском у ю потреб-
ность инструмента на программу
А1 = Та~ шт.,
х
где Т - количество станкочасов работы по программе данной
группы оборудования;
а - коэффициент машинного времени;
271


tv
--J
1"'
т
40000
20000
10000
5000
2000
1000
.,..,
с:::,
с:::,
с::,~
А,5
с:::,
с$
!О
~
~
с::,~
с:::,~
20
50
-
~
с::,~ с:::,- сх-;з
!00
200
5б789101214
20
30{,ОП
Рис. 272. Номограмма потребнос.ти режущего инструмента на программу мелкосерийного производства


13 - коэффициент удельной работы данного вида инструмен­
та. Значения произведения коэффициентов а и ~ для
каждого рода станков и вида инструмента дается в
таблице, прилагаемой к номограмме.
Последовательность расчета по номограмме указана стрел- ·
ками.
40. ЛИТЕЙНОЕ ПРОИЗВОДСТВО
Номограмма состава, структуры и свойств чугуна [39]. Номо­
грамма отображает зависимость между содержанием кремния
Si, углерода общего Саб, связанного Сев и графита Сгр, толщиной
отливки Ь, пределом прочности аь при растяжении и структурой
(рис. 273). Основой построения составной сетчатой номограммы
являются четыре уравнения:
о~"s· _
Ат- СОб
10 1- -----''-- -
о-
в-
0, 5 (Сев+ К)
75Ссв + 40
Сгр+10
кГ/мм2;
о,1С =а8(Соб+1,0)-40.
10 св
ав+75
'
01С _ Cc8G8+75Ссв- а8+40
10об-
,
ав
rде Ат= 6,3- lg Ь;
К - величина, зависящая от вида чугуна.
Левая часть номограммы дает значения Соб в виде семейства
прямых линий в системе координат ( а8 и % Сев перлита и фер­
рита) и семейства кривых линий в системе координат (ав и Ь).
Правая часть номограммы содержит семейства прямых, харак ­
теризующих содержание Сев для чугуна различной структуры.
Верхние три луча относятся к белому чугуну, подлежащему от­
жигу на ковкий чугун; средние лучи относятся к чугуну, пред­
назначенному для модифицирования; заштрихованная область
соответствует перлитному чугуну; нижние два луча - обычному
серому чугуну.
Для процесса отливки в землю номограмма позволяет опре­
делить, например, содержание Саб и Si для отливок из чугуна
заданных структуры и прочности. Для отливок, имеющих разные
толщины, по номограмме можно проверить, _ не получается ли
отбел в наиболее тонкой части и др.
Номограмма для расчета литнюювых систем [50]. При залив­
ке форм из поворотных ковшей на Днепродзержинском заводе
площадь F поперечного сечения литниковой системы для отли­
вок из углерод1ктой стали определяют по формуле
F= VQ см2
кVF ,
273


tv
--J
""'
Сси % 0,5
0,3
о,108
·/(Г/мм~--._
'<>
с:,
Чугун
~L---t--:ТJ' I_
1
~
~
;;-
/~v
7
1
у,I
1
":_ 1
J
'-С>
1'.n'd
~\\1V
178
1:А'Г"\1\. 1/ 116
l----+- - -- -+-<-+-- f - -,,"1>-4- - -+ -/2
ь,мм 125•!(}(} М 60 40 20
О,б
!,О
1,4
1,8
2,2
2"б o/Q si
Ри<::. 27J Номограмма состава , структуры и свойств чугуна


-
~
"'<::
rде Q - вес отливки в кг:
б - преобладающая толщина стенки в см;
К - коэффициент расхода в литниковой системе; для отли­
вок с преобладанием горизонтальных стенок К =
= 0,33 кГ/см • сек, с преобладанием вертикальных сте­
нок К= 1.
•
Соотношение площад ей поперечных сечений питателя, лит­
никового хода и стояка принимают равным 1: 1,2: 1,3. При по­
строении сетчатой номограммы применена логарифмическая
анаморфоза (рис. 274).
Дцаметр стонl(а
25зо 1,0 5060
80 мм
~1
1
11
1
1 Площаilь литнико!Jого хоиа
F
J45110
20
50 см2
см2
50
•
"'
20
Е:
<:::,
f;:
:::,
·С:: 10
·< >;
:::,
"'"',,.
5
"'
"
..; ;
з
<:::,
:f
<:::,
";
~
'2
1
lJ45
70
20 J0
50
100
200
500 11 trг
Вес о тлцflки
Рис. 274. Номограмма для расчета литниковых систем
Номограмма зависимости произв-одите-льности вагранки и
температуры металла от расхода кокса, газа и воздуха . На ос­
нова нии обобщения заводских и экспериментальных данных
.авторы статьи [46] разработали номограмму, характеризующую
работу вагранки на коксе и при применении природного газа.
Номограмма с двумя семействами прямых представляет собой
<:оставную сетчатую номограмму (рис. 275). Стрелками указан
ход расчета.
275


""
--i
cr,
::,-
"'
l~
:::,
::с:
:i:::
~
~
"'
Pacxoil га з а , мз/т
40JO2010О
·\:;18
~
,Q
Е::<..,
~ 8,5
,Q
~
Е::
~с:,
""' 9VIЛ
")
у);;{' л
~с:,
~
9,4
Пооача i!у,тья, м 3/м 2 мин
60 80
100
120
140
760
1250
1375
1
f475
1290
7475
1515
Температура '1!/г!/на, 0С
180 200
~")
~
"
C:::f Рис. 275. Номо-
")
1~ грамма зависимо-
сти
производи-
~
тельности вагранки
и
температуры
~ металла от расхо-
~ да кокса, газа и
11оздуха.


4f. КУЗНЕЧНО-ШТАМПОВОЧНОЕ ПРОИЗВОДСТВО
Номограмма приращения давления в цилиндре паровоздуш­
ного молота {99]. Расчет паровоздушного молота основан на по­
строении ожидаемых индикаторных диаграмм. Ход бабы разби­
вают на малые конечные участки ЛН с конечным приращением
давления ,Лр:
лн
Лр =К-с -· р атм,
н
где К - показатель адиабаты:
-с - величина, зависящая от объема поступающего в ци­
линдр пара (воздуха) и скорости перемещения поршня:
Н - ход поршня;
р - давление в цилиндре.
Э.то уравнение позволяет построить составную номогрq.мму
из выравненных точек (рис. 276). Приращение давления Лр
определяется по номограмме для каждого участка проектиру­
емой индикаторной диаграммы.
Номограмма степени уковки заготовки 1[101]. Степень уковки .
для каждого обжима определяется по уравнению
1
У= -----
1-е(!-f)'
где s - степень вытяжки;
f - коэффициент, зависящий от отношения величины пода­
чи / и ширины а заготовки.
l
По данным s и - степень уковки у определяется по номо­
а
грамме из выравненных точек (рис. 277).
Номограмма выбора заготовки для прямоугольной поковки
[101]. При ковке байками минимальная сторона квадра1ной за­
готовки
где Ь - ширина прямоугольной поковки;
h - высота прямоугольной поковки.
По составной номограмме из выравненных точек, задавшись
размерами Ь и h поковки, можно быстро определить необходи­
мый размер а заготовки или соответствующий диаметр круглой
заготовки (рис. 278).
277


t::'i
;r
t
со
.
1, 10(7Н
0,5
j·
1
1
1
,
i\
РOt,t40~
К
уj
ат
'
~7
11,. ,
0.5
/'J p
1,1;
10 ---1
o,2-t20 '
ат
н
0.3
-
L1
,
1
1
l
0,2
1,21
а
0,5 ~
5 ---I
1~10.1 --I~
1
j 1,101
/,t
0,04
.
/
1, 5-1
0,2
/
0,2 -J ~мJ, ~,!,_/
11
1
/1
2-
0,0f
21
0,02 2 jl
I
1,2 ~
I
:
-
,J ,., ,.,
ч.,, ,J
l,.,, ,
.. ,r
,,,,J
,.s1
Рис. 276. Номограмма приращення давления в цилиндре
? ис. 277. Номограмма степени уковки заготовки
паровоздушного молота


h
а
/Y//'J1 j
мм
ь
тоо
мм
0fШ
80
!,
20
350
мм
60
б
40'
10
40
бО
20
80.
100
20
150
200
20 20
300
12
10
400
10
Рис. 278 . Номограмма выбора заготовки для прямоугольной
поковки
42, ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ
Номограмма коэффициента мощности по показаниям двух
ваттметров [55]. В трехфазной системе при равномернои нагруз­
ке фаз для определения cos ер по показаниям двух ваттметров
пользуются уравнением
1
cos ер = ----:::=======-
~fl+З(Р1-Р2)2 ,
V
Р1+Р2
где Р1 и Р2 - мощности по показаниям ваттметров в относитеJiь­
ных единицах; для вт и квт на шкале одна и та же точка .
Для этого уравнения может быть построена Z-номограмма с
искомым на наклонной шкале (рис. 279).
279,


Р,
Р2
,1000
q.f.:
о
~
q...f '
900
r:,,f
~f
100
"Jf.
-
800
/
200
':!:::,'()\
f:<:::,
300
700
~ (:;.
~~-
YJ"\
<:::,
600
\.,
~f
400
с,
f
.
J,1' f~
.500
у
500
/-. :>'
400
,,,+
600
~().
"
300
<?<"
~'\.
700
YJ
200
~✓
~ ...
800
~~v~
100
900
Рис. 279. Номограмма коэффициента мощности по по­
казаниям двух ваттметров
43. ЭКОНОМИКА И ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВА
Номограмма удельной себестоимости новой машины '[45].
Себестоимость машины зависи т от технических параметров
(мощность, к. п. д., число оборотов, количество деталей и их
материал) и производственных параметров (серийность, техни ­
ческая оснащенность). Себестоимость в целях сравнения удобней
отнести к единице веса станка. Зависимость удельной себестои­
мости от основных производственно-технических параметров для
универсальных токарных станков выражается уравнением
с = 1 94р-о,19зNо.042к-1.12 1 к-о,994до,оs5Rо.49
у
'
т.о
ун
.
'
где Р - полный вес станка в кг;
N - номер станка с начала выпуска;
280


R - группа конструктивной сложности;
Кт . о - коэффициент технологической оснащенности;
.
Кун - коэффициент унификации;
Д - число наименований деталей станка.
Уравнение может быть представлено составной номограммой
из выравненных точек (рис. 280).
р
2,5
2
1,5
f
.i!.1
1
Кто
N
8
R
104
202
1
Л.4
Аз' Су0,25
0,5•
8
12
100
200
2000
4000
10000
30000
60000
Рис . 280. Номограмма удельной себестоимости новой машины
д
100(!
2000
4000
Номограмма числа станков на многопредметной поточно»
линии {96]. Число станков, необходимое для выполнения произ­
водственной программы п - й детали на т - й операции, определя­
. ется
из уравнения
где tn,m - т рудоемкость выполнения этой операции по данной
детали;
Тп - суммарная трудоемкость изготовления п - й детали по
всем операциям;
281


~Sp - число станков для в сей поточной линии, опр едел яе­
мое ис ходя из су м м арной тр удоемкости п,рогра мм ы
за расчетный период.
Это уравнение позволяет построить со ста вн ую номогр амм у
из выравненных точек (рис. 281) .
282
Sп, т
Тп
10
100
tn,m
10
50
.ESp
30
5
4
20
2
1
2
10
10
5
1
б
О,5
J
2
1,5
0,2
J
1
.
о,1
Рис . 281. Номограмма числа станков на многопредметной пото ч­
ной линии


ЛИТЕРАТУРА
1.АваковВ.А.иСтраховВ.В.Расчетпосадокснатягом..«Вестни~.
машинострое н ия», 1959, No 2.
2.АлександровА. И.иКобяковН.П. Разметочное дело. М.,.
Ма ш rиз, 1953.
3. Але к се ев А. Е. Конструкция электрических машин. М . , Госэнерrо­
издат, 1958 .
4. Ал я б ь ев Д. В. Графический метод определения статистического сред­
него и среднего квадратичного отклонения. «Измерительная, техника», 1958;
No 3.
5.ВатунерЛ.М.иПозинМ.Е.Математическиеметодывхимиче­
ской технике. М., Госхимиздат, 1960.
6. Б а ш к и р о в Д. А. Графа-аналитический метод построения переходных
процессов в системах автоматического регулирования. Л., ЛКВВИА, 1952.
7. Б ер лов М. Н. Техническая графика . М., Госмашметиздат, 1934.
8. Блох Л. С. Основные графические методы обработки опытных данных.
М.-Л., Машrиз, 1951.
9. БСЭ, т. 12, Графика
10. Бра ил о в с кий А. Е. Правила построения инженерных номограмм
(учебное пособие). Л. ЛИИЖТ, 1961.
.
11. Бы зов Л. А . Графические методы в планировании, статистике и учете.
М., Госстатиздат, 1952.
12.ВраrовЮ.Д.иСафроновичА.Х.Номограммадля расчета,
зубчатых колес на изгиб и по контактным напряжениям. «Станки и инстру­
мент», 1955, No 6.
13. Га в р а Д. Л . Основы номографии с примерами из машиностроения .
М., Машгиз, 1962 .
•
14. Гер се ван о в Н. М. Теория н построение инженерных номограмм .. ,
М., ОНТИ, 1937.
15. Глаголе в Н. А. Курс номографии М., ГТТИ, 1943.
16 . Го к у н В. В . Те хнологические основы конструирования машин. М. ,.
Машгиз, 1963 .
17 . Гор к у н В. Б. Технологические предпосылки экономии металлов . М.,.
М.ашгиз, 1957.
18. Гол о в ни н Д . Н . Графич еская математика. М., ГНТИ, 1931.
19. Г о р с к и й Б. Е. Графический метод определения длин стрелы и хо­
бота кранов с шарнирно - сочлененной укос иной и гибкой оттяжкой. «Вестник
машиностроения», 1959, No 6.
20 . ГОСТ 7217-59 . Электродвигатели трехфазные асинхронные мощностью·
от 0,6 до 1000 квт. Методы испытаний.
21 . Го ст ев В. И . Статистический метод контроля качества продукции.
«Машиностроитель», 1965, No 1.
22. Грин б ер r Д. Е . Разметчик механических цехов . М ., Машrиз, 1963,
23 . Г у р ев и ч И. С. Графа - аналитический метод раскроя металла. «Ма­
шиностроитель», 1965, No 1.
28:З:
/


24. ГянджунцеБП.А.иАваковВ.А.Определениезапасапрочно­
сти для плоского напряженного состояния. «Вестник машиностроения», 1963,
No li.
25. Дешев ой . Г. М. Справочник разметчика-машиностроителя . М., Маш­
гиз, 1962.
26 : Диме н т б ер г Ф. М. и др. Колебания машин. М., «Машинострое­
ние», 1964.
27. Длин А. М. Математическая статистика в технике. М., «Советская
наука», 1951.
28. 3 а к П. С. К графической обработке опытных данных. «Вестник ма ­
шиностроения», 1963, No 8.
29 . Игнатьев Н. В. Графический расчет коробок скоростей на основе
динамического баланса. «Станки и инструмент», 1935, No 8.
30.Кан!оровичЛ.В.и3алгаллерВ.А. Расчет рационального
раскроя промышленных материалов. Л., ЛКИ, 1951.
31. К ар в и цк и й М. П. Определение среднеквадратичных величин слож­
ных графиков. «Вестник электропромышленности», 1942, No 10.
32. Клим о в А. А. Определение температуры нагрева асинхронного
электродвигателя по круговой диаграмме. «Вестник электропромышленности»,
1947, No 9.
33. К ом и с с ар о в В. И. Расчет размерного износа резцов. «Вестник ма­
шиностроения», 1960, No 11 .
34. К о ст е н к о М. П . Электрические машины, специальная часть. М.,
Госэнергоиздат, 1949 .
35. КузнецовН. С., ОпанасюкА.А. Передовыеметоды разметки
по шаблонам и калибрам. М., Машгиз, 19 60 .
36. К ул а г ин П. В. Винтовая линия переменного шага. «Вестник инже­
неров и техников», 1946, No 7.
37. К у тай А. К. Статистические методы анализа качества машинострои­
тельной продукции. «Вестник машиностроения», 1949, No 7.
38. Лаврентьев П. Гарантия ритма. Газ . «Известия», 12 акт. 1964,
No 244.
39. Jl ан да А. Ф. Номограмма для расчета · состава, структуры и свойств
чугуна. «Литейное производство», 1952, No 8.
40. Л а р и о н о в В. В. Упрощенный способ графического интегрирования.
Вильнюс, ЦБТИ СНХ ЛССР, 1959 .
41. Лев к о в и ч В . Л. Аналитические и графические методы приближен­
ных вычислений . Минск, БПИ, 1959.
42. Лед не в Н. А. и др. Математический практикум на счетно-выч11сли­
тельных приборах и инструментах. М., «Советская наука», 1954.
43. ' Ли щи нс кий И. П. Автоматический контроль загрузки
станков и
производственных участков. «Вестник машиностроения», 1952, No 6.
44 . Л ь• в о в Д. С. Экономичность машин и процессов. М., «Машинострое ­
ние», 1964.
45. Л ь в о в Д. С. Экономический анализ при проектировании машин. М.,
ЦИНТИАМ Госкомитета по машиностроению, 1964.
46. Мар иен бах Л. М . и Долот о в Г . П. Применение природного га­
за для плавки чугуна. «Вестник машиностроения», 1963, No 8.
47 . Мед я н ц ев а Л. Л. Графический способ обработки результатов мно ­
гократных измерений. «Измерительная техника», 1956, No 5.
48. МетелицаА. В. иЦитовскийВ.И. Графическийметодописа­
ния последовательности срабатывания пневматических приводов и управляю ­
щей аппаратуры. «Автомобильная промышленность», 1963, No 1.
49. Ми р о ш н и ч е н к о В. Я. Точность машиностроительной разметки.
М., Машгиз, 1960.
50. Ми щ е н к о Н. И. Номограмма для расчета литниковых с и стем. «Ли­
тейное производство» , 1963, No ,11.
51. Мог ильный И. М . Техническое черчение. М., Машгиз, 1963 .
284


52.М.отыкоА.С.иОстровскийИ.Д.Разверткиповерхностейлис-
товых изделий. М., Машгиз, 1961.
53. Н е в с к и й Б . А. Методика построения номограмм. М., ОНТИ,
54. Н е в с к и й Б. А. Справочная книга по номографии. М., ГТТИ,
55. Номограмма для определения cos ер при равномерной нагрузке
трехфазной системы по показаниям двух ваттметров. «Электричество»,
J\Го 5.
1937.
1951.
фаз
1950,
56. Пахом о в а В. А. Новый способ графического вычисления функций
многих переменных. Новосибирск, Ин - т инж . ж.-д. транспорта, 1958. •
57. Пен т к о в с кий М . В. Номография . М.-Л., Гостехиздат, 1949.
58. Пен т к о JJ с кий М. В. Считающие чертежи (номограммы). М., Физ­
матгиз, 1959.
59 . П ого с о в А. А. Графический метод построения переходных процес
сов в некоторых динамических системах. Работы по механизации и автома­
тизации народного хозяйства. М., ЦБТИ-МЭП, 1956 .
60. По го с о в А. А. Построение переходных процессов в системах, опи­
сываемых диффереициальиыми уравнениями с постоянными и переменными
коэффициентами. «Вестник электропромышленности», 1957, No 8.
бl. Пономаре в С. Д. и др. Расчеты на прочность в машинос;rроении.
Т. III. М., Машгиз, 1959.
62. П о сп шил Б. Номограмма для расчета пластинчатых фрикционных
муфт. Чешский журнал «Машиностроение». Прага, 1960, No 8.
63. Пугаче в А. С. Развертки элементов листовых конструкций. Л.,
Судпромгиз, 1963 .
64. Работ но в Ю. Н. Сопротивление материалов. М., Физматгиз, 1962.
65. Режимы резания металлов и н струментом, оснащенным твердым спла­
вом. Сборник номограмм . Харьков, ВНИИТЭЛЕКТРОМАШ, 1959.
66. Род о в А. С. План, поток, ритм. Новочеркасск, БТИ НЭВЗ, 1964.
67 . Роз ан о в Б. В . Приближенный расчет элементов гидросистемы вер­
тикального пресса. «Вестник машиностроения», 1959, No 2.
68. Ром ан о в В. Ф. Графический и аналитический расчет обкатного ин ­
струмента. «Станки и инструмент», 1962, ,No 12.
69 . Руднев Ю. М . Графический способ раскроя листовых материалов .
«Вестник машиностроения», 1953, No 1.
70. Рунге К. Графические методы матемнтических вычислений. М.,
гтти, 1932 .
71. С вир и де н к о С. Х. и др. Элементы автоматизации металлорежу­
щнх станков . М., «Машиностроение», 1964 .
72. С е м е н д я ев К. А. Эмпирические формулы. М., ОНТИ, 1937.
,
73 . С лодке в и ч Н. И. Вопросы организации ритмичной работы в еди­
ничном и мелкосерийном производстве. «Вестник ма ш иностроения», 1954, No 2.
74. См и р но в А. С. Номографический расчет допусков на расстояния
между центрами . «Вестник машиностроения», 1957, No 7.
75 . С об о лев Ю. М. Метод конструирования деталей безотходной кон-
фигурации . М . , Сб. ИТС ЦБТИ, МЭП . Вып. 43, 1952.
•
76. Справочник по кранам под ред. А. И. Дукельского. Т. 2. М., Маш­
rиз, l 962.
77 . Справочник разметчика стальных конструкций, под ред. Беляева В. И.,
М . , Госстройиздат, 1952.
.
78 . Ст о ля ров Н. Новочеркасская система управления производством.
Журнал НТО, 1965, No 3.
79. Струве Э. Э. и др. Вентиляторы и насосы. М., Машrиз, 1955.
80. С у б бот ин М. И. Номографический расчет виброизмерительных при ­
боров простого типа. «Приборостроение», 1959, No 6.
81. Терских В. П. Расчет крутильных колебаний силовых установок.
Л . , Судпромгиз, 1954.
82. Ту м ан с кий Н. А. Графический расчет стержневых систем и меха­
ни,мов. М., «Машиностроение», 1964.
285


83. Учебный атлас по номографии под ред. Н. Л. Глаголева. М., ОНТИ,
1933.
84.ФармаковскийВ.П.Пособиедляграфическихрасчетов.М.,Гос­
техиздат, 1926.
85. Фи·хтен r ольц Г. М. Мат.ематика для инженеров. Ч. I, II. М.,
ГТТИ, 1933.
86. Ф о м и н А. А. Но мо грамма для экономического обоснования при ме ­
нения специальных станочных приспособлений. «Вестник машиностроения»,
1959, No 2.
•
87. Фр ан к М. Л. Графические методы интегрирования .обыкновенных
дифференциальных уравнений. М., ГТТИ, 1933.
88 . Ф р а н к М. Л. Графический метод интегрирования дифференциальных
у равнений второго порядка с помощью функциональных ш кал и его при ме ­
нение . Л., Труды ЛПИ, 1941, No 3.
89. Фр ан к М. Л. Номографический справочник. М., ГТТИ , 1933 .
90.ХаймовичЯ.М.иБерманЮ.Л.Графическиерасчетывмаши­
ностроении и технологии. Киев, КПИ, 1930.
91. Хлеб ал н н Н. Ф. Расчет наладочных установок станков для наре ­
зания конических колес с круговыми зубьями . «Станки и инстру мент», 1960 ,
No6.
92. Ц у к к ер м ан М. Л. Эмпирические формулы. М., Госэнерrоиздат ,
1932.
93.ЧеркашинВ.И.иЛаврухинА.М.Передовыеметодыразмет­
ки в инструментальном деле. М., Машrиз, 1960.
94. Ч е р н е в и ч В. Я. Графический расчет коробок скоростей при п аспор­
тизации станков. «Станки и инструмент», 1947, No 10.
95. Шварц Э. Номограммы и другие вспомогательные средства вычис ­
ления для инженера. ГДР, Берлин, 1960 .
96. Шей нм ан Р. П. Номограмма для ра,счета оборудования при проек­
тировании мноrопролетных поточных линий . <<Вестник ма шиностроения», 1962 ,
No·8.
97. Ш л ы r ин В. В. П рочно ст ные и размерные расчеты электрических
ма шин . М., Госэнергоиздат, 1963.
98. Ш л ю к о в П . Н . Графа-аналитический метод расчета потребност и,
в инструментах. М., Оборонrиз, 1950 .
99. Щеглов В. Ф . Уточненные методы расчета и исследования паровоз- .
душного молота . «Вестник инженеров и техников», 1946, No 9-10 .
100. Энциклопедический справочник «Машиностроение». Т. 1, кн. 1-2,
«Инженерные расчеты». М., Машгиз, 1947 .
10 1. Энциклопедический справочник «Машиностр .оение». Т. 6. «Технология
куз н ечно сштамповочиого производства» . М., Машгиз, 1948.
102. Энциклопедический справочник «Машиностроение». Т. 15. М., Маш­
гиз, 1950.
103. Я к о в лев К. П. Математическая ·обработка результа11ов измерений .
М., ГТТИ, 1953.


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................ ...... . ......... .............................. ...................... 3
Введение ........................................................................................... 4
Глава! . Графики и их применение............................ .................... 7
1. Графики функций
.....................................................................
7
2. Применение графиков в промышленности
................ ...................
14
3. Графический метод контроля качества продукции
.....................
19
4. Графическ и е методы обработ!(И о п ытных данных и результатов
измерений...•....;......................................................................27
5. Графические методы изображения плановых показателей и учет-
но-статистических данных ......................................................... 40
Глава II. Графические методы раскроя и разметки
.. .. ...... ... ..............
50
6. Раскрой материала
..................................................................
50
7. Разметка деталей машин
......................................................."'.
52
8. Построение кривых линий
.. ...... ....... ..... .... ..... .... ... .. ... . ......... .... .
67
9. Построение типовых разверток . . .. .... .. ... ... ... .. ... . .... .. ... . .. ... .... .. .. 87
10. Точность разметки
..................................................................
98
Глава I I !. Графические методы приближенных вычислений
.... .... .. .....
101
11. Сложение и вычитание
..., ....................................................... .. 101
12. Умножение
.........................................,. ...................................... 10.3
13 . Деление
...................... ............................................................
108
14. Возведение в степень
.................................,.............................. 116
15 . Извлечение корней
............•..•.................................................. 121
16. Логарифмические графики для выполнения алгебраических дей,ст-
вий .. .............. ... .................. .............. ... ...................... .............. 124
17 . Решение уравнений
............. ..,............................ .......... ........... 131
18. Дифференцирование
......................................... .._....................
148
19. Интегрирование
..........................................................................
153
20 . Решение дифференциальных уравнений
....................................
168
21. Графическая статика
................................................................
178
r лава 1V. Графические методы техничес1шх расчетов
.....................
193
22 . Расчет вала на двух опорах с приводным концом
................... ...
193
23. Расчет вала на трех опорах
............................................... .....
195
24 . Расчет коробок скоростей
............................ ........... ............ .... ....
197
25. Расчет обкатного инструмента
........................................ ; ....... 200
26. Расчет дисков турбомашин
................................... .....................
203
27. Определение длин стрелы и хобота портального крана
...............
205
28. Круговая диаграмма асинхронного двигателя
............. .............. .
207
Глава 11. Основы построения номограмм
.......................................
211
29 . Функциональные шкалы и сетки
..............................................
211
30 . Классификация номограмм и номограф:ируемых уравнений
.........
214
31. Построение номограмм из выравненных точек
............................
216
32. Пост р оение сетчатых номограмм
.............-....... .......... .................
230
33. Построение номограмм уравнений с числом переменных более
трех •...................................................................................... 233
34. Конструирование номограмм
.....................................................
235
287


Глава V! . Расчетные номограммы в машиностроении
...................... ..
238
35. Расчеты справочных данных по унификации и нормализации 238
36. Расчеты допусков и посадок
................................................
254
37. Прочностные расчеты
............................... ......... . ...................
258
38. Технология механической обработки
.......................................
264
39. Станки и инструмент
............. : ............ ........... . ...................... 267
40. Литейное производство
.........................................................
273
41 . Кузнечно - штамповочное производство
........ ......... .. . ................
277
42. Электроснабжение
.................................. .'... .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . 279
43. Экономика и организация производства
.................................
279
Литература .... .... ........... .................................... ............... ..... · -· ·· · ··· . ..
283
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ
В МАШИНОСТРОЕНИИ
Ш ,1 ы г и и Владимир Владимирович
Технический редактор А. Ф. Уварова
Корректор А. М. Усачева
Переплет художника Е. В. Бекетова
Сдано в производство 3N 1966 г.
Подписано к печати 10/XII 1966 г.
Т- 1 3299
Тираж 10.000 экз.
Печ. л. 18,О Бум. л. 9,0
Уч. - изд. л. 17.О Формат 60 Х 90'/ "
Темплан 1966 г., No 500
Цена I руб.
Зак. No 334
Издательство «МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва, Б-66, 1-й Басманный пер . , 3.
Экс п ериментальная тип . ВНИИПП
К:омитета по п ечати
при Совете ·Министров СССР
Москва И-51, Цветной бульвар, 30.


1 руб.
ИЭДдТЕЛЬСТВО
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»