/
Author: Фейнберг Е.Л.
Tags: физика монография радиоволны электродинамика радиосвязь электромагнитные волны
ISBN: 5-02-015243-9
Year: 1999
Text
.- С С w I 0 А<лЛ£».иЯ НАУ!»
О ,3 ЧЕСЧИЙ НСТИТУ" и n H ЛЕВЕ
Е Л ФЕЙ-'БЕ
<* ' \-*S<J :3
л
R-- v --ca с <кв* ^тлит
J'
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им П Н ЛЕБЕДЕВА
Е.Л. ФЕЙНБЕРГ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
РАДИОВОЛН
ВДОЛЬ
ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
МОСКВА
НАУКА • ФИЗМА ГЛИ Г
1 999
УДК 530.1 0» Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.31 г>«-14-.т>г Российского фонда фундаментальных
►<фри
ф 36 — ТТ —- исследований по проекту № 98-02-30002
ФБЙНББРГ Б. Л. Распространение радиоволн вдоль
земной поверхности. — 2-е изд. — М.: Наука. Физматлит, 1999. — 496 с. —
ISBN 5-02-015243-9.
Монография охватывает основные разделы теории распространения
поверхностных волн (для которых роль ионосферы несущественна).
Особое внимание уделено теории и физической картине явлений для реальной
поверхности земли, неровной и неоднородной в электромагнитном
отношении. Рассмотрена роль слоистой неоднородной тропосферы, эффекты ее
турбулентности. Настоящее издание практически без изменений повторяет
текст классической книги в издании 1961 г.
Для научных работников, аспирантов, студентов старших курсов
радиофизических и радиотехнических специальностей вузов, а также для
инженеров, занимающихся прикладными проблемами (в акустике, сейсмологии и
других областях).
Табл. 3. Ил. 136. Библиогр. 160 назв.
Научный редактор Ю.К. КАЛИНИН
ТП-99-П © Е.Л. Фейнберг, 1999
ISBN 5-02-015243-9 © Наука. Физматлит, оформление, 1999
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора 5
Предисловие ко второму изданию б
Предисловие к первому изданию б
Глава 1. Основные уравнения
§ 1. Введение. Комплексная диэлектрическая проницаемость 9
§ 2. Система дифференциальных уравнений 16
§ 3. Потенциалы 17
§ 4. Граничные условия 24
§ 5. Интегральная форма волнового уравнения 28
§ 6. Точечный источник 34
§ 7. Принцип Гюйгенса 37
§ 8. Функция Грина 40
§ 9. Теорема взаимности 43
Глава 2. Область пространства, существенная для процесса
распространения радиоволн
§ 10. Прямолинейное распространение света и метод стационарной фазы . 51
§ 11. Дифракция от отверстия в экране (область, существенная для
прохождения излучения в однородной среде) 68
§ 12. Область, существенная для отражения 75
§ 13. Границы применимости приближения Кирхгофа в случае дифракции
на экране 84
§ 14. Область, существенная при преломлении 86
Глава 3. Распространение радиоволн в однородных средах и преломление
на плоской границе раздела
§ 15. Электрические свойства сред, встречающиеся в теории
распространения радиоволн 92
§ 16. Плоские волны в однородной среде и их связь со сферическими
волнами 100
§ 17. Поглощение плоской волны 107
§ 18. Поле точечного диполя 109
§ 19. Отражение и преломление на плоской границе раздела однородных
сред 113
§ 20. Бесконечно проводящая плоская поверхность 125
Глава 4. Поле вблизи плоской поверхности раздела однородной земли и
однородной атмосферы
§ 21. Приближенные граничные условия 133
§ 22. Эллипс поляризации 148
Глава 5. Диполь вблизи плоской поверхности земли
§ 23. Предварительные замечания 153
§ 24. Интегральное уравнение для функции ослабления 158
§ 25. Вывод функции ослабления для вертикального диполя методом
интегрального уравнения 162
§ 26. Метод отраженного источника 173
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§27. Выражения для напряженностей полей вертикального
электрического диполя 181
§ 28. Вертикальный магнитный диполь 187
§ 29. Горизонтальные электрический и магнитный диполи 189
§ 30. Источник в почве 194
§ 31. Решение задачи о вертикальном диполе разделением переменных в
цилиндрических координатах 199
§ 32. Метод неоднородных плоских волн 209
Глава 6. Диполь вблизи сферической поверхности земли
§ 33. Вводные замечания 213
§ 34. Оценки и определение основных параметров 214
§35. Интерференционные (отражательные) формулы и фактор
расходимости 223
§ 36. Поле на поверхности земли в случае малого влияния кривизны 225
§ 37. Поле вблизи плоскости горизонта на больших расстояниях 232
§ 38. Полное решение по методу параболического уравнения 238
§ 39. Анализ полного решения 247
Глава 7. Поле над электрически неоднородной поверхностью земли ,
§ 40. Приближенные граничные условия 272
§ 41. Обобщенное интегральное уравнение 276
§ 42. Кусочно-однородная трасса. Общие формулы 284
§ 43. Трасса, составленная из двух однородных участков 287
§ 44. Трасса, составленная из трех однородных участков 294
§45. Общая картина распространения радиоволн над плоской землей .... 303
§ 46. Кусочно-однородная трасса на сферической поверхности земли 305
Глава 8. Распространение радиоволн над неровной поверхностью
§ 47. Введение 312
§ 48. Малые выступы на идеально проводящей плоскости 316
§ 49. Пологие неровности 326
§ 50. Возмущение поля вблизи границы неоднородности 338
§51. Поле над пологой, хаотически неровной и неоднородной
поверхностью (скользящие волны или низкие неровности) 350
§ 52. Поле над пологой хаотически неровной поверхностью (крутое
падение, высокие неровности) 371
§ 53. Усиление препятствия 388
Глава 9. Распространение радиоволн в слоисто-неоднородной среде
§ 54. Введение 394
§ 55. Трехслойное пространство 395
§ 56. Рефракция в тропосфере. Элементарное рассмотрение 403
§57. Слоистая среда с изменяющейся диэлектрической проницаемостью.
Приближение геометрической оптики 411
§ 58. Сферически слоистая атмосфера. Общая теория 437
Глава 10. Распространение радиоволн в турбулентной тропосфере
§ 59. Введение 449
§ 60. Метод возмущений 456
§ 61. Геометрическая оптика 463
§ 62. Диффузия лучей 481
Список литературы
489
ОТ РЕДАКТОРА
Необходимость переиздания монографии академика Е.Л. Фейнберга,
ставшей в настоящее время библиографической редкостью, обусловлена
прежде всего тем, что в этой книге уникальный круг задач математической
физики усилиями автора трансформировался в задачи теоретической
физики, которые были с успехом им решены. Успеху дела в особенности
способствовали ясные физические образы: приближенные граничные условия,
область, существенная для распространения радиоволн, интегральное
описание процесса распространения радиоволн вдоль земной поверхности. Вся
методология пути от локальных соотношений в виде уравнений Максвелла
к нелокальным формулам для комплексной напряженности поля на
неоднородной трассе дает замечательную возможность научиться такому подходу
как молодым, так и зрелым неофитам.
Но дело не только в этом. В монографии значительное внимание
уделено соответствию излагаемой теории и эксперимента. Прошедшие со
времени выхода первого издания десятилетия дали многочисленные тому
подтверждения. Именно поэтому содержание монографии представляет особый
интерес для нового поколения инженеров-практиков, применяющих
изложенные в книге методы.
Тщательное прочтение книги при подготовке второго издания показало,
что ее содержание не нуждается ни в исправлениях, ни в дополнениях.
Конечно, со времени выхода в свет первого издания получили развитие
различные затронутые автором, а также смежные области теории. Особенно это
касается теории рассеяния радиоволн атмосферной турбулентностью, далеко
продвинутой трудами СМ. Рытова, Ю.А. Кравцова, В.И. Татарского.
Далее, более строго построена теория однородной трассы в трудах
петербургской школы Г.И. Макарова. Усилиями таких исследователей, как Ф.Г. Басе,
D.D. Crombie, D.E. Barrick, разработана теория рассеяния радиоволн
взволнованным морем. Весьма продуктивным оказалось осуществленное
редактором настоящего издания применение ряда подходов Е.Л. Фейнберга к
описанию процесса распространения декаметровых радиоволн в ионосфере.
Однако все эти результаты не обусловливают необходимости какой-либо
переработки монографии, поскольку все они базируются на вопросах теории и
эксперимента, изложенных в этой книге. Настоящее издание практически
повторяет текст предыдущего издания (с исправлением замеченных
опечаток). Таково свойство классики.
Декабрь 1998 г.
Ю. К. Калинин
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Новое издание этой книги предпринято прежде всего потому, что она, как
оказалось, и теперь полезна при обучении молодых специалистов в
радиофизике, радиотехнике и в близких по используемой теоретической методике
дисциплинах — сейсмологии, акустике и т. д. Важно также и то, что книга
используется в работах по научно-техническому применению
рассматриваемых в ней вопросов к разнообразным прикладным задачам.
Между тем изданная в 1961 г. книга превратилась в библиографическую
редкость. К сожалению, вскоре после выхода в свет первого издания автор,
активно в течение двух десятилетий (1941-1961 гг.) работавший в области
радиофизики, сосредоточился на совершенно других областях теоретической
физики. Поэтому при подготовке второго издания автору не представлялось
возможным выполнить необходимую работу по пересмотру книги. Вместе с
тем, по мнению экспертов, никаких существенных изменений и не
потребовалось. Всё необходимое любезно согласился сделать авторитетный в этой
области специалист действительный член Российской академии
естественных наук Ю.К. Калинин, с которым мы работали вместе ранее и чье имя
неоднократно встречалось в тексте издания 1961 г. Я очень благодарен ему
за это.
Я выражаю большую благодарность Российскому фонду
фундаментальных исследований за финансовую поддержку, а также сотрудникам
Издательской фирмы «Физико-математическая литература», без усилий которых
это издание не состоялось бы.
Декабрь 1998 г. Е. Л. Фейнберг
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 1)
Изучение процесса распространения радиоволн, излучаемых земными
источниками, с самого начала было связано со сложными теоретическими, в
частности математическими, проблемами. Даже после того, как было
обнаружено влияние ионосферы и удалось выделить круг явлений, не связанных
с ионосферой, эта ограниченная область проблемы, которую мы и называем
теорией распространения радиоволн вдоль земной поверхности, оставалась
все же обширной. Десятилетие за десятилетием приносили решения
крупных разделов всей проблемы, однако каждый раз возникали все новые
задачи. При этом речь всегда шла не об уточнениях, не о «доводке» уже
созданной теории, а о новых явлениях, приводивших к серьезному
изменению или существенному обогащению приобретенных ранее знаний.
') Воспроизводится практически без изменений текст Предисловия автора к изданию
1961 г. (Прим. ред.)
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Причина неожиданного появления новых крупных вопросов в
значительной мере была связана с тем, что здесь отсутствовали правильные
наглядные представления о процессе распространения радиоволн вблизи земной
поверхности. В оптике сначала была создана удобная и наглядная
приближенная теория дифракции Френеля-Кирхгофа, и лишь много лет спустя
удалось строго решить одну-единственную электродинамическую
проблему — проблему дифракции на абсолютно проводящей полуплоскости.
Найденное строгое решение было использовано главным образом для оценки
пределов применимости теории Френеля-Кирхгофа. В противоположность
этому в проблеме распространения радиоволн вдоль земли, отличающейся
от обычных оптических проблем «только» тем, что источник и точка
наблюдения находятся близко к земле, наглядные представления либо
отсутствовали, либо были ошибочны. Здесь теория сначала развивалась в строгой
математической постановке для резко идеализированных схем (однородная
плоская или сферическая земля). Несмотря на участие крупных
математиков, развитие было мучительным и сопровождалось годами
удерживавшимися ошибками принципиального характера. Только в сороковых годах
удалось выработать приближенную методику и наглядные представления,
которые позволили легко получить прежние правильные результаты
сложных теорий и сверх того решить ряд новых проблем (неоднородная почва
и т. п.).
Однако и после этого переход в практике на более короткие волны
привел к обнаружению совершенно новых факторов — рефракции и
суперрефракции, рассеяния на хаотических неоднородностях в тропосфере. Это, с
одной стороны, значительно усложнило теоретические задачи, с другой —
усилило роль статистической трактовки. Необходимо подчеркнуть, что и
сейчас относительная роль различных факторов далеко не всегда ясна, и
теория продолжает развиваться.
Таким образом, даже пренебрегая влиянием ионосферы, т. е.
рассматривая тропосферные волны (термин предложен М.П. Долухановым), мы
имеем дело со сложными теоретическими проблемами, требующими
углубленного изучения. Практические запросы, на которые должна ответить
теория, очень многообразны. Они специфичны для радиовещания и
радиосвязи (выбор трассы, флуктуации уровня), для радиолокации (искажения
вследствие дифракции вокруг земли, рефракции, рассеяния на неровностях
поверхности земли и неоднородностях воздуха), для радиогеодезии и ради--
онавигации (фазовые скорости, искажения из-за неоднородности и
неровности земной поверхности), для телевидения (дифракция, рефракция,
рассеяние в тропосфере и усиление вследствие препятствий), для радиогеологии и
радиометеорологии.
В 1953 г. Я.Л. Альперт, В.Л. Гинзбург и автор этой монографии издали
книгу «Распространение радиоволн» (М.: Гостехиздат). В ней рассмотрена
также теория распространения радиоволн в ионосфере и вопросы,
непосредственно связанные с экспериментом. В настоящее время ясно, что охватить
весь этот круг проблем в одной книге с достаточной полнотой почти
невозможно. В результате переработки и расширения второй части упомянутой
книги появилась монография В.Л. Гинзбурга «Распространение
электромагнитных волн в плазме» (М.: Физматгиз, I960), из третьей и четвертой
частей возникла книга Я.Л. Альперта «Распространение радиоволн и ионо-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
сфера» (М.: Изд-во АН СССР, I960), а первая ее часть послужила основой
для этой монографии.
В настоящей книге делается попытка изложить основные вопросы в
рамках указанной выше темы (процессы распространения радиоволн, не
испытывающих влияния ионосферы). Исключение составляет глава 10 о влиянии
турбулентной неоднородности тропосферы, которому посвящена обширная
литература. Здесь пришлось ограничиться рассмотрением методов теории.
При систематическом изложении материала, не полностью соблюдено
равновесие, в частности относительно много места уделено вопросам, с
которыми в большей степени связаны научные интересы автора (роль
неоднородности земной поверхности).
Что касается характера изложения, то здесь можно отметить известную
двойственность. С одной стороны, в ряде параграфов довольно подробно
излагается полная теория, которая может оказаться доступной и нужной только
специалисту — научному работнику. С другой стороны, имеются параграфы
и целые главы (гл. 2, §33-37 и др.), в которых подробно анализируются
качественные черты явления. Эти места могут способствовать выработке
наглядных физических представлений, позволяющих ориентироваться в тех
случаях, когда полной теории не существует (или она слишком сложна), и
должны облегчить понимание смысла формальных результатов строгой
теории. Подобная двойственность является, вообще говоря, довольно
рискованной, но она была допущена и в упомянутой выше книге «Распространение
радиоволн», из которой здесь использована значительная часть материала.
По отзывам, которые были мною получены, такой подход в общем оправдан
практикой использования книги. Вместе с тем хочется верить, что единый
стиль изложения при этом не оказался нарушенным.
При работе над книгой я использовал замечания Ф.Г. Басса, Д.Е. Вак-
мана, М.А. Исаковича, В.Г. Носова, В.И. Татарского и Е.В. Чаевского,
прочитавших ряд параграфов, а также советы и пожелания Л.А. Вайнштейна,
М.П. Долуханова, Ю.К. Калинина и М.М. Кобрина. Всем им я очень
благодарен.
Июнь I960 г.
Е.Л. Фейнберг
Глава 1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
§ 1. Введение. Комплексная диэлектрическая проницаемость
Задача теории распространения радиоволн, понимая буквально, должна
была бы сводиться к определению поля радиоволн в некоторой области, когда
оно задано, например, на какой-нибудь части ее границы. Действительно,
часто требуется найти поле по одну сторону от воображаемой поверхности, на
которой, как можно утверждать, по определенным причинам оно с большой
точностью совпадает с полем плоской волны, приходящей с другой стороны.
Однако во многих случаях такая постановка задачи невозможна, поле на
поверхности не известно и речь идет о том, чтобы найти поле радиоволн,
излучаемое тем или иным источником при определенном расположении и
свойствах окружающих сред.
Ток в антенне зависит не только от подводимой электродвижущей силы,
но и от геометрии и от физических свойств как самой антенны, так и
окружающих тел. Поэтому задача о распространении радиоволн нежелательно
переплетается с вопросами теории антенн. Чтобы избежать углубления в
теорию антенн, мы условимся считать, что ток в излучающей антенне (точнее,
его распределение) нам известен (он может быть, например, промерен).
В основе теории распространения радиоволн лежат уравнения
Максвелла, связывающие напряженности Е и Н электрического и магнитного
полей и их индукции D и В с плотностью тока и заряда:
ro«H=i§ +^+^Г-, (1.1)
с at с с
rotE=--~, (1.2)
divD = 47r(p + pCTop), (1.3)
divB = 0. (1.4)
Здесь из плотностей тока и заряда явно выделены (не равные нулю в
области излучающей антенны) их части jCT°P и рстор, которые отличаются от
остальных частей j и р тем, что они определяются посторонними силами. В
нашем случае — это тоже электромагнитные поля (однако не включенные в
Е и Н), поддерживающие «сторонние» ток и заряд, которые благодаря этому
не зависят от условий распространения радиоволн в окружающем
пространстве.
Из (1.1) и (1.3) следует уравнение непрерывности (закон сохранения
заряда)
divj=-|, (1.5)
справедливое в отдельности, конечно, также для jCT°P и рстор.
10
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для того чтобы система уравнений была определенной, нужно знать три
связи: между Е и D, Н и В, j и Б. Для сред, встречающихся в теории
распространения радиоволн вдоль Земли, можно повсеместно считать, что
В = Н. (1.6)
При этом здесь уравнение (1.4) является по существу излишним: оно
вытекает из уравнения (1.2), если к нему применить оператор div. Что же
касается остальных связей, то нужно учесть, что только для бесконечно
медленных процессов в линейной и изотропной среде достаточно задать две
функции точки — проводимость а и диэлектрическую проницаемость е:
Б = ф, у,г)Е, j = a{x,y,z)E. (1.7)
В области же быстропеременных полей (для радиоволн в почве — в
области УКВ и более коротких волн) это, вообще говоря, невозможно, поскольку
диэлектрическая поляризация, например, может отставать от поля.
Следовательно характер связи между D и Е, j и Е (а также, если В ф Н, между
В и Н) зависит от временного режима. Пользоваться уравнениями поля в
форме (1.1)—(1.7), вообще говоря, невозможно. Поэтому выбирают
временной режим определенного типа — гармонический, и ограничиваются его
изучением, а затем, пользуясь линейностью уравнений поля, представляют
любой другой процесс как суперпозицию гармонических процессов. Конечно,
с этой точки зрения был бы допустим и набор любых других режимов,
математически описываемый полной ортогональной системой функций. Однако
гармонический режим имеет то преимущество, что, во-первых, для него
справедливы (в достаточно однородной среде) простые соотношения (1.7),
где е и а являются функциями числового параметра, характеризующего
данный режим, частоты и>:
Это тесно связано с тем, что заряды среды под влиянием гармонической
силы совершают гармонические же колебания.
Поэтому повсюду в дальнейшем мы будем рассматривать только
распространение поля, зависящего от времени гармонически и характеризуемого в
соответствии с этим определенной частотой и.
Мы будем пользоваться комплексными величинами, а зависимость от
времени описывать множителем e~lwt. Реальный смысл будут иметь
вещественные части используемых величин. Известно, что именно по этой
причине можно с равным правом брать и e+lwt. Оба способа описания
встречаются в литературе одинаково часто. Однако при рассмотрении
распространения радиоволн вдоль Земли (как и в общих электродинамических
вопросах) чаще пользуются выбранной нами зависимостью e~lwt, в то время
как при рассмотрении распространения радиоволн в ионосфере почти
всегда используют e+'wt. Никаких разумных оснований, кроме традиции, для
того или иного выбора нет. В [1], где объединено рассмотрение обоих
вопросов, ради единообразия был выбран определенный вид зависимости, именно
exp(+iu>t). Чтобы перейти от формул, полученных при временной
зависимости ехр(—tut), к формулам, полученным при выборе exp(+iu>t), следует
просто перейти к комплексно сопряженным величинам, заменяя i на —г.
Поэтому формулы настоящей книги будут отличаться от соответствующих
формул первой части книги [1] заменой г на —г.
§ 1. ВВЕДЕНИЕ. КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ 11
Теперь уравнения поля примут вид
rotH = (—а(и) - -е(и)) Е + —Г°р, (1Ла)
\ с с J с
rotE = —H, (1.16)
с
div(eE) = \ж(р + р™*), (1.1в)
divB = 0, (l.lr)
с уравнением непрерывности
div (сгЕ) = хир. (1.1д)
Здесь учтено, что для данной частоты
j(w) = а(ш)Е, D = е(ш)Е. (l.le)
Сторонние силы пока учитывать не будем.
Если а и е вещественны, то с феноменологической точки зрения правую
часть уравнения (1.1а) можно рассматривать как составленную из
источников вихрей Н двух типов: находящихся в фазе с rotH (член (4тг/с)аЕ) и
опережающих по фазе rotH на 7г/2 (член — (ш/с)£Е = (и>/с)Еехр (—in/2)).
В общем случае инерционных проводников и диэлектриков ток
проводимости и ток смещения могут не поспевать за полем, и потому сдвиг фаз этих
двух источников вихря по отношению к самому rotH может отличаться
соответственно от значений 0 и 7г/2. Так, например, если вещественные поля
Е и Н зависят от времени как cosut, то индукция и ток могут отставать от
них:
D = |£|Ео COS (wt - <ре). j = |<х|Ео COS (ijjt - <ра),
где <ре, <ра — некоторые сдвиги фаз. Это, как легко проверить, можно
отразить и в комплексной записи, просто считая £ и а в уравнениях (1.1а),
(1.1в) и (1.1д) комплексными. В таком случае два источника вихря Н в
(1.1а) отличаются друг от друга по фазе уже не на 7г/2. Но тогда исчезает
всякий смысл в том, чтобы делать различие между £ и ст. В самом деле,
написав а = а' + ia", £ = е' + is", мы можем переписать уравнение (1.1а) и
в такой форме:
где опять правая часть разложена на источники, находящиеся в фазе с rotH,
и источники, опережающие rotH на 7г/2 (таким образом здесь учитывается
самый общий случай). Поэтому наличие мнимой части i£n у
диэлектрической проницаемости эквивалентно наличию эффективной омической
проводимости:
ш ч 4тг и „
—£ = —сгэф, сгэф = —£ , (1.9)
С С 47Г
и, с другой стороны, наличие инерционности у омической проводимости
эквивалентно некоторой вещественной диэлектрической проницаемости:
а" = -£эф, £эф = а". (1.10)
с с v v ш
12
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поэтому физический смысл имеет только полный ток jn = j — (iu>/47r)D =
= [а — (га>£/47г))Е, а не ток смещения или ток проводимости, взятые
порознь. Его можно описывать, либо вводя полную комплексную проводимость
а вместо суммы а — (ше/^ж) в виде jn = сгЕ, либо, что и принято делать,
вводя полную комплексную проницаемость
Airi
ЕЛ о-+Е (1.11)
и>
в виде
iijj
J" = -4^E- (1Л2)
Можно было бы думать, что эквивалентность мнимой части £ и
вещественной части а нарушается уравнением (1.1в), явно включающим именно
е, но не а. Однако в действительности это не так. К числу основных
уравнений мы можем по желанию относить любое из двух уравнений (1.1в), (1.1 д).
Если, например, мы вместо £ и а поставим некоторые £ via, причем
положим, что а = 0, но зато £ отличается от е, е: = е+ Ае, где Ае = 4nia/oj, то
мы из уравнений (1.1в) и (1.1д) получим соответственно
div(eE) = 4тг{р + рстор), (1.13)
р = 0,
т. е.
div (еЕ) = 4тгрстор - div (—iE\ .
Таким образом, «истинного тока» не будет, но зато появляется
дополнительная поляризация
РЭф = -—АеЕ = г-Е
47Г Ш
с соответствующим током поляризации
Зполяр.эф = Qt = -^Рэф = ^Е,
вызывающим те же магнитные эффекты, что и ток проводимости. Если
же, наоборот, мы положим £ = 1, а = а + Асг, Асг = — (iu>/4n)(e — 1), то
из уравнения непрерывности будет следовать, что р возрастает на некоторое
Ар:
Ар= — div (Да-Е), (1.14)
ги>
так что из уравнения (1.1в) при £ —у£ = \ и р -* р + Ар мы получим
div Е = 4тг(р + рстор) + div (^Aa-EJ, (1.13a)
что снова, как легко убедиться, эквивалентно исходному уравнению (1.1в)
при£ ф 1. Здесь вместо поляризации (г—1)Е/4я-появляется «истинный»
заряд Ар.
Как известно, согласно уравнениям поля, вещественная проводимость
среды и связанные с ней токи (член 47rj/c = 47гсгЕ/с в (1.1)) приводят к
SI- ВВЕДЕНИЕ. КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ 13
тому, что в среднем совершается работа dW/dt = (jE*)/2 = сгЕЕ*/2 на
единицу объема в единицу времени. Закон Джоуля-Ленца указывает, что
эта работа выделяется в виде тепла:
Наличие инерционной части ie" у поляризации, естественно, также
приводит к тому, что поле в диэлектрике совершает работу
dW 1 __4 ие''„л . .
1Г = Г*ш = ^ГЕЕ • (1Л6>
Вводя обозначение
J = tg*. (1.16а)
где 5 — угол на фазовой диаграмме, показывающий отставание вектора D
от вектора Е, пишут иногда и так:
— = -e>tg5.-EE*. (1.166)
Для малых 6 имеем е' и \е\. Отсюда видно, почему 6 называют углом
потерь. Более того, за исключением редкого случая, имеющего место лишь
в весьма разреженных газах, где инерционность поляризации обусловлена
только так называемой реакцией излучения (лучистое трение), эта работа
также переходит в тепло и приводит к нагреванию диэлектрика. В
случае действия одного лишь лучистого трения эта энергия вновь излучается и
приводит к рассеянию падающей волны. Так, например, в реальных газах
энергия, переданная атомам из электромагнитной волны, переходит в тепло
в результате столкновений возбужденных атомов. В случае ориентационной
поляризации переход в тепло обусловлен трением колеблющихся диполей
и пр.
Таким образом, если мы допускаем возможность дисперсионных
явлений, т. е. допускаем комплексность проводимости и диэлектрической
проницаемости, то различие между этими двумя физическими величинами
становится чисто условным: мнимая компонента е ничем физически не
отличается от вещественной компоненты сг, и наоборот. Так, например (см.
§ 15), экспериментально обнаружено, что сухой песок при весьма высоких
частотах (/ ~ 109-1010 Гц) ведет себя так, как будто его проводимость резко
(в 10-100 раз) превышает проводимость, найденную при измерениях в
постоянном поле, й достигает Ю10 CGSE. Это, конечно, означает просто, что
при таких частотах существенно сказывается инерционность поляризации,
и согласно (1.9) становится е" 3> Ажа/ш. Однако это явление неотличимо
от изменения проводимости, и его описывают как возрастание а. Очевидно,
что принятое в теории распространения радиоволн разделение полного тока
на ток смещения и ток проводимости целесообразно понимать только как
разделение полной (комплексной) диэлектрической проницаемости на
вещественную (г') и мнимую (е" = А-ка/ш) части, в которых а — вещественный
параметр. Вводить раздельно е' и а = ше"/Аж имеет смысл потому, что
зависимость этих величин от частоты в радиодиапазоне появляется только
14
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
при высоких частотах, когда длина волны в воздухе становится существенно
меньше 1 м, и то только в некоторых средах (см. табл. 1 в §15). Однако
поскольку такая зависимость все же существует и сверхвысокочастотный
диапазон играет все возрастающую роль, мы будем повсюду пользоваться
понятием полной комплексной диэлектрической проницаемости е,
понимая под е' ее вещественную часть, а под Апа/и = е" — мнимую1).
Таким образом, уравнения (l.la)-(l.lr) мы будем писать в следующем
виде:
iu) Атг
rotH = -—е(ш)Е + —jCTOp, (1.17а)
ее
ш
rotE=—H, (1.176)
с
div {е'Е) = Ап{р + рСТор), (1.17в)
divB = 0, (1-17г)
£ = £■' + 4я-г—, е' = Лег.
и>
Учтем уравнение непрерывности
div j = div (crE) = шр. (1-18)
Тогда уравнение (1.17в) превратится в уравнение
div (eE) = 4тгрстор (1.18а)
и будет следствием уравнения (1.17а) (оно может быть из него получено
применением оператора rot, если учесть, что для j01,013 и рСТОр, конечно, также
справедливо уравнение непрерывности)2). Поэтому уравнения (1.17в) и
(1.17г) можно уже не рассматривать в числе основных и, обозначая
*=-, (1.186)
с
получим систему уравнений поля в виде
rotH = -ikeE + 1^jct°p, (1.19.a)
rotE = iJfcH. (1.196)
Уравнение непрерывности (1.18), которым нужно их дополнить, чтобы
получить уравнение (1.17в), можно рассматривать просто, как определение
величины р, которая нигде больше не фигурирует.
') Подчеркнем, что эти обозначения обратны распространенным. Так, в fl] и
вообще во многих книгах по радиофизике под е' понимают комплексную диэлекту ическую
проницаемость, которую мы здесь будем обозначать через е (без штриха), а под е — ее
вещественную часть, которую мы будем обозначать через с .
2) Иногда считают, что третьим уравнением Максвелла должно оставаться не уравнение
(1.18а), котороев отсутствие сторонних силимеет вид div (гЕ) =0, а уравнение div (г'Е) = О,
как это следует из (1.17в), при р = О. Однако, согласно (1.18), р = О только при divj = О,
т. е. либо в отсутствие проводимости или вообще мнимой части с, либо в однородной среде
(см. ниже (1.216). Тогда div(£'E) = div(iE) = 0 и обе формулировки совпадают. В общем
случае следует пользоваться формулой (1.18а).
§1. ВВЕДЕНИЕ. КОМПЛЕКСНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ 15
Решение этих уравнений зависит от материальных характеристик среды
только через единый параметр е. Даже при а и е', не зависящих от частоты,
е явно зависит от и>. Поэтому мы могли бы ожидать, что при реальной
радиопередаче, когда поле представляет собой суперпозицию полей разных
частот (например, при художественном радиовещании Aw ~ 2ж ■ 104),
различие условий распространения для разных частот приведет к искажению
радиопередачи. В принципе это, конечно, и имеет место. Однако обычно
количественные соотношения таковы, что, как мы увидим в § 27,
искажение остается совершенно несущественным, и только в специальных случаях
(распространение импульсов и т. п.) дисперсия влияет на форму волны.
В однородной среде с проводимостью, в отсутствие сторонних сил,
объемные заряды не могут присутствовать. Если даже они в некоторый момент
времени были внесены с плотностью ро(х, у, z), то, как это вытекает из
уравнений
,. i, 47Г
div E = —гр.
£'
^ = -divj = -div (<тЕ) = -^-р, (1.20)
с течением времени их плотность в каждой точке будет убывать
экспоненциально:
р(х, у, z, t) = р(х, у, z) exp {-4nat/e'), (1.21)
независимо от того, как в этой точке меняется часть поля Е, не имеющая
здесь источников.
Однако этот вывод несправедлив для неоднородной среды, если е' и а
становится функциями точки. В этом случае объемные заряды также
подчиняются уравнению непрерывности
^ = -divj = -div (<rE) = -div (pD) = -р div D - (D, grad |) ,
и согласно (1.3)
dp 47ГСГ
Из решения этого уравнения можно выделить убывающую со временем
часть
р — р0ехр(-4тг(т1/е') +pi, (1.21а)
причем pi само удовлетворяет уравнению (1.20а).
Поскольку мы рассматриваем поля, зависящие от времени гармонически,
можно положить dpi/dt = —iu>pi, так что уравнение (1.20а) принимает вид
" = i (D<grad f) 7 = ~h (D-grad ln ?) • (L216>
Следовательно, объемная плотность содержит осциллирующую часть plt
исчезающую только в среде, в которой отношение а к е' постоянно (или
меняется лишь в направлении, перпендикулярном D). Так, например, на
границе проводящего тела и диэлектрика отношение а/е' меняется скачком от
конечной величины до нуля. Поэтому в точке скачка (т. е. на поверхно-
-Р
(D.gradp). (1.20а)
16
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
сти) должна возникать бесконечно большая объемная плотность. Интеграл
от нее вдоль нормали конечен и дает гармонически меняющуюся со
временем поверхностную плотность заряда. Таким образом, на границах раздела
однородных сред заряды могут существовать в виде поверхностных.
Объемные же заряды в однородной среде могут существовать только там, где их
поддерживают сторонние силы.
§2. Система дифференциальных уравнений
Рассмотрим антенну в среде, которую в непосредственно примыкающих
к антенне точках можно считать однородной.
Пусть антенна, являющаяся областью действия сторонних полей,
обладает проводимостью Ох и вещественной диэлектрической проницаемостью
е[, а в окружающем пространстве сторонние поля отсутствуют и
характеристики среды равны а и е'.
Уравнения поля (1.19а), (1.196) в области, занятой антенной, отличаются
от уравнений в окружающей среде присутствием члена jCT°P и заменой е на
. 47ггсг1
и>
Правую часть уравнения (1.19а) для антенны мы представим в виде
-ttexE + —jCTOp = -tteE + —j0, (2.1)
с с
где
Зо = Гор-(е1-е)г-^. (2.2)
Антенна всегда устраивается так, чтобы токи в антенне были
значительно больше, чем в непосредственно примыкающих к ней областях среды.
Так, например, в случае проводящей антенны ее проводимость заведомо
весьма велика по сравнению с проводимостью окружающей среды. Даже
для медной антенны, погруженной в морскую воду, среды. Даже для
медной антенны, погруженной в морскую воду, о\ ~ 1017, а ~ 10u CGSE,
отношение а\ к а имеет порядок 106. Это условие должно соблюдаться
всегда, в противном случае сторонние силы возбуждали бы токи не столько в
антенне, сколько в окружающей среде (то же, разумеется, справедливо для
диэлектрических антенн). Поэтому приближенно
Jo«JCT°p-*'teiE. (2.3)
Система уравнений в области, занятой антенной, принимает вид
4л"
rot Н = -ikeE -\ j0, (2.4а)
rotE = iA;H. (2.46)
Таким образом, мы выделили главную часть тока в антенне j0 в
отдельный член, который, конечно, гораздо больше, чем прибавляемое к нему
выражение — ikeB (равное по порядку величины плотности полного тока в
окружающей среде).
§3. ПОТЕНЦИАЛЫ
17
Теперь очевидно, что система уравнений для ноля внутри антенны (2.4)
отличается от системы уравнений для поля в окружающей среде только
присутствием члена 47rJo/c в правой части уравнения (2.4а). Следовательно, мы
можем рассматривать все пространство, включая объем антенны, как
однородное пространство, характеризуемое электрическими константами
окружающей среды а и е', причем в области, занятой антенной, нужно учесть
наличие тока j0, поддерживаемого частично полем, частично сторонними
силами (и также наличие однозначно определяемых им плотностей
заряда — объемного ро и поверхностного 5о, см. ниже (4.3а)).
Определение тока, протекающего в антенне при данных сторонних
силах, данных геометрии и свойствах сред, представляет собой предмет
теории антенн, и мы будем считать эту часть проблемы решенной, т. е. будем
считать распределение токов j0 (2.2) в антенне известным.
Предметом теории распространения радиоволн является определение
полей при условии, что ток, протекающий в антенне, задан. Поэтому проблема
сводится к решению системы уравнений Максвелла (2.4) в однородной среде
со свойствами окружающей среды и с источниками, задаваемыми в виде
известной функции j0.
Заметим, что достаточно найти только одно из двух полей, например Е.
Тогда другое получается простым дифференцированием (из (2.46)).
§ 3. Потенциалы
Как всегда в электродинамике, отыскание решения уравнений Максвелла
для сформулированной задачи в случае однородной среды может быть
существенно облегчено, если от этих уравнений перейти к некоторым
потенциалам. Их можно ввести обычным для теории электромагнитного поля
способом, а именно, положив, например,
H = rotA, (3.1)
1 дА
E=-grad<^ — =-gtdA(p +ikX. (3.2)
Уравнения (2.4) будут удовлетворены, если векторный потенциал А и
скалярный потенциал <р удовлетворяют уравнениям
V2A + eA;2A = -^j0, (3.3)
v=ijbdivA- (з-4)
(Если здесь и в последующем выражения типа V2A понимать не как
сокращенное обозначение для graddiv A — rot rot А, а как результат действия
оператора V2 на каждую компоненту А, то (3.3) справедливо только в
декартовых координатах.)
Отсюда для (р легко получить уравнение
V V + ек2<р = ро, (3.4а)
где
Ро = — -div j0. (3.46)
18
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поскольку, однако, согласно уравнению (3.4), <р однозначно определяется
через А, так что
Е=—гг-TgraddivA + i'ArA, (3.5)
(—гке)
то нет необходимости вводить особое уравнение для <р.
При этом в свободном пространстве возможно, вообще говоря,
дальнейшее упрощение, поскольку, пользуясь некоторой остающейся свободой в
выборе потенциалов [16, §1.9] («калибровочная инвариантность» уравнений
поля), можно их выбрать так, чтобы было
divA = 9 = 0. (3.6)
Однако в теории распространения радиоволн установилась традиция
вводить несколько иные потенциалы. , По существу, как мы сейчас убедимся,
речь идет только об иной терминологии. Она связана с тем, что в
большинстве проблем ранее приходилось иметь дело с весьма специальным
видом распределения токов j0 — либо в виде короткой, по сравнению с
длиной волны, прямолинейной антенны, которая эквивалентна колеблющемуся
электрическому диполю, либо в виде маленькой рамки (эквивалентной
магнитному диполю). В настоящее время с переходом на все более короткие
волны и на излучатели сложных конфигураций нет даже этого оправдания.
Тем не менее по-прежнему широко приняты потенциалы, слегка отличные
от А и (р. Поскольку различие, по существу, сводится к изменению
обозначений, это не вызывает дополнительных усложнений.
В зависимости от конфигурации антенн эти потенциалы вводят одним
из следующих двух способов.
Если излучатель является прямолинейным, то целесообразно
рассматривать ток j0 как ток некоторой поляризации Р0, распределенной по объему
излучателя. Формально это означает, что мы вводим вспомогательный вектор
Ро, связанный с током j0 формулой, обычно определяющей ток поляризации:
яр
Jo = -Qf = -**Po. (3.7)
Тогда из уравнения непрерывности (3.46) следует, что
p0 = -divP0. (3.8)
Эта поляризация Р0 порождает такое же электромагнитное поле, какое
порождали бы истинные заряд р0 и ток j0.
Введем теперь вспомогательный вектор П — так называемый
электрический вектор Герца — по формулам
Н = -ike rotn, (3.9)
Е = grad div П + ek2U = rot rot П + У2П + ек2П. (3.10)
Сравнение с (3.1) и (3.2) показывает, что просто
\ = -ikeU, <p = -divll. (2.11)
Естественно поэтому, что при подстановке (3.9), (ЗЛО) в уравнения поля
они удовлетворяются, если (ср. (3.3))
-,■>„ , о„ 4я" 47гг.
У2П + гА;2П= Р0= А,. 3.12
е и>е
§3. ПОТЕНЦИАЛЫ
19
Таким образом, действительно, использование вектора Герца вместо
векторного потенциала есть, по существу, вопрос терминологический
(постоянный фактор — ike в (3.11), разумеется, несуществен).
Итак, считая ток в антенне заданным, мы должны решить три
дифференциальных уравнения для трех составляющих П (при граничных
условиях, о которых речь будет идти в дальнейшем), а затем по ним определить
Е и Н по формулам (3.9) и (3.10).
Удобство проведенного преобразования проявляется в случае
прямолинейной антенны, когда j0 содержит только одну составляющую, и потому
для бесконечно протяженной среды, а во многих случаях, не нарушающих
симметрии, и в неоднородной среде (вертикальная антенна на плоской или
сферической земле) П также сводится к одной составляющей.
Прежде чем перейти к другим случаям, заметим, что, действуя на
уравнение (3.12) оператором ike rot, мы в силу уравнения (3.9) получим
А-7Г
(V2 + к2еЩ = Anik rotP0 = rotj0. (3.9a)
Действуя же на уравнение (3.12) оператором graddiv + ек2, согласно
уравнению (3.10), получим
{V2 + k2e)E = - — (graddivP0 + e*2P0) = - — (graddivj0 + ek2'io). (3.96)
e we
Это дает нам два отдельных дифференциальных уравнения для полей Е и
Н. Решив одно из них, можно по (2.4а) или (2.46) найти второй вектор поля.
В случае антенн более сложной конфигурации уравнение (3.12), конечно,
также будет справедливо, однако соотношения составляющих могут
усложниться. Поэтому, по крайней мере для одного, часто встречающегося в
практике, вида антенн, целесообразно дать иное, более удобное преобразование.
Мы имеем в виду рамочные антенны (размеры которых малы по сравнению
с длиной волны).
Здесь целесообразно заменить каждый контур тока магнитным листком,
т. е. считать, что он затянут тонким слоем, в пределах которого существует
некоторое намагничение Мо (меняющееся с той же частотой и>).
Поскольку полный ток J постоянен по длине контура, то интеграл от Мо
по объему листка, дающий полный магнитный момент контура, будет равен
просто IS/c, где S —: площадь контура.
Это «намагничение» считается заданным, оно не пропорционально Н в
данной точке. Поэтому следует писать
В = Н + 4тгМо. (3.13)
Таким образом, нам придется вернуться к уравнениям (1.1)—(1.4),
содержащим В. Вне рамки мы будем по-прежнему иметь уравнения (2.4) с j0 = 0, в
пределах же воображаемого слоя намагничения уравнения поля вместо (2.4)
дадут
rotH= -ikeE, (3.14a)
rot E = tfc(H + 4тгМ0), (3.146)
div E = 0, (3.14в)
div Н = -4тг div M0, (3.14г)
где снова, конечно, последние два уравнения являются следствиями первых.
20
ГЛ.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поскольку теперь соленоидально Е, а не Н (как в случае прямолинейной
антенны), мы введем магнитный вектор Герца Пт по формулам
E = iA;rotnm, (3.15)
Н = graddiv Пт + £k2Um = rot rot Пт + V2IIm + ek2Um. (3.16)
(последнее равенство опять предполагает разложение Пт на прямоугольные
составляющие).
При подстановке этих выражений уравнение (3.14а) соблюдается
тождественно, а (3.146) удовлетворяется, если Пт подчинить уравнению
V2nm + ek2Um = -4тгМ0. (3.17)
Очевидно, что это уравнение хорошо приспособлено к случаю
маленькой плоской рамки, когда Мо сводится к одной составляющей; к одной же
составляющей сведется и Пт.
Аналогично этому можно было бы ввести хорошо приспособленные к
случаю рамки магнитные векторный Ат и скалярный <рт потенциалы.
Действительно, легко убедиться, что, положив
E = rotAm, (3.18)
Н = egrad^m - ike\m, (3.19)
мы удовлетворим уравнениям (3.14), если подчиним Ат и <рт уравнениям
4я" 4я"
V2 Ат + ек2 Ат = шМ0 = j0m, (3.20)
с с
V»m = ^divAm. (3.21)
Отсюда для <рт следует уравнение, эквивалентное уравнению (3.14г):
VVm + £*Vm = --^divMo = --p>Om, (3.22)
где введены фиктивные магнитный ток j0m и заряд рот'-
Jom = —Qf, Pom = divM0. (3.22a)
Однако уравнение (3.22) излишне, поскольку существует простая связь
(3.21). Соответствие между соотношениями (ЗЛ)-(3.4а), с одной стороны,
и (3.18)-(3.22), с другой, — очевидно. Уравнения для А и <р формально
совпадают с уравнениями для Ат и <рт.
Соответственно, устанавливается связь Ат и <рт с магнитным вектором
Герца Пт:
Ат = ikUm, (3.23)
9m = -divnm, (3.24)
что следует сопоставлять с формулами (3.11).
§3. ПОТЕНЦИАЛЫ
21
Явные выражения для полей через производные вектора Герца таковы:
для электрического вектора Герца
д2их | д Гдиу | аил
дх2 дх \ ду dz ) '
^ = .VU + ^+^(^ +
Их = —ikz
/an» дп,\
\ду dz J •
)•
. О ■
dz2 dz \ дх dy
fdJiy an,
\ дх ду
для магнитного вектора Герца
^ д2иу | a fdiis duz
у ^ ду2 ду \ дх dz
„ ., fdux dii2
ну = ~гк£ХдГ ~ -дх-
Hz = -ike ( ^ - ?£*\ ;
р _ :/, [dTl™ dllmy\
х ~ \~ду дГ) '
и Г72тт , д211тх д (dllmy dUmz\
Пх = - V llmx Н — 1- — I —- 1 — I ,
дх1 дх \ ду dz J
(dllmx dllmz\
Еу = гк(-дГ--дх-)>
ду2 ду \ дх dz
о
(3.25)
(3.25а)
dz2 dz \ дх ду J
В случае сферической системы координат, которую необходимо
выбирать, если мы рассматриваем, например, излучение вертикального диполя
(электрического или магнитного), помещенного над сферической землей,
У2П в уравнении (3.10) и в других аналогичных формулах нужно понимать
как сокращенное обозначение для graddivll — rot rot П и т. д. Уравнения
для П существенно усложняются, и в качестве потенциалов удобно выбирать
специальные векторы Герца — так называемые потенциалы Дебая.
Рассмотрим, например, уравнение (3.12). В сферической системе
координат г, $, <р для источника, имеющего вид вертикального электрического
тока, Р = Рг, и вводя новые скалярные функции и и ф, мы можем принять
П = ти + grad ф. (3.26)
Но rot grad ф = 0. Следовательно, последнее слагаемое не сказывается на
значении полей Н = — ike rotU и Е = rot rot П — 47гР0/£ (см. (3.9) и
22
ГЛ.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(3.10) при учете (3.12)). Если мы подставим (3.26) в (3.12), то,
используя формулы векторного анализа (в частности, формулы rot[grad и, г] =
= (rV) gradu — (grad «V)r + gradu • divr — rdivgradu и т. д.), мы в конце
концов придем к следующему результату.
Если наложить на ф условие
Ч2ф + ек2ф = -2и, (3.27)
то и должно удовлетворять уравнению
47Г
r(V2« + ек2и) = Р0. (3.28)
Следовательно, во-первых, подстановка (3.26) возможна только в том
случае, если Ро направлено по г, т. е. для вертикального тока j0. Во-вторых,
поскольку все рассуждения могут быть перенесены и на Пт, подобная же
подстановка в уравнении (3.17) возможна в случае вертикального
магнитного момента. Например, в электрическом случае
V2u + ek2u = -^-. (3.28а)
ег
В-третьих, если найдено и, то из условия (3.27) определяется ф. Однако
поскольку, каким бы ни получилось значение ф, оно не влияет на значения
полей, его можно не учитывать.
Поэтому можно сказать, что в случае вертикальной линейной антенны
мы вправе считать просто
П = ги(г), (3.29)
причем и(г) удовлетворяет уравнению (3.28а). В случае же горизонтальной
рамки аналогично этому получим
Пт = ге(г), (3.30)
причем и(г) удовлетворяет уравнению
V2v + ek2v = -4n^-. (3.31)
г
Функции uhv называются функциями Дебая (подробнее см., например, [4]).
Поля в этих двух случаях — поля «электрического» и «магнитного»
типа — обладают разными свойствами симметрии. Целесообразно выписать
их явные выражения в свободном пространстве (в точках, где Р0 и М0 равны
нулю). Из формул (3.29), (3.9) и (3.10) (напрмтер, для излучающей антенны
с вертикальным электрическим током) следует, что
R *(»)+d.„=-»/"(*:«'/»*>, яг=о,
or1 г sin v
г or ov rsinw dip
1 д2(ги) _ ike д{ги)
v r sin -в дг д<р ' v r д-д
§3. ПОТЕНЦИАЛЫ
23
С другой стороны, из формул (3.30), (3.15) и (3.16) (например, для
горизонтальной рамки) следует
or1 г sin v
Е,= *?М, щ = 1|М, (3.33)
г sin V д<р г or ov
_ гк d{rv) и — * d2(n>)
v r дд ' v r sin i? dr cfy?'
До сих пор мы рассматривали потенциалы для поля в однородном
пространстве. Однако, как будет видно в дальнейшем, неоднородность
электрических свойств земной атмосферы (а также почвы) во многих случаях
необходимо принимать во внимание. Вообще говоря, здесь переход от
уравнений Максвелла к волновым уравнениям становится невозможным. Тем не
менее существует важный частный случай неоднородности, который
допускает такой переход. Он имеет место, когда неоднородности обладают
слоистой структурой, т. е. параметре, характеризующий электрические свойства
среды, зависит только от одной координаты — от высоты над
поверхностью земли или от глубины под этой поверхностью. Если землю достаточно
рассматривать как плоскую, то это значит, что £ зависит только от одной
декартовой координаты, скажем,
e = e(z), (3.34)
а если существенна сферичность земли, — то от радиальной координаты
£ = е{г). (3.35)
Рассмотрим уравнения Максвелла в свободном пространстве (j0 = 0)
сначала в декартовых координатах. Поле, имеющее характер
«электрического» т. е. создаваемое, например, током в вертикальной антенне, снова,
как и для однородной среды, можно описать вектором Герца П с
единственной отличной от нуля составляющей П = Пг. Для этого достаточно положить
Е = ^ rot rot(nA;1) = -^(grad div (ЛХП) - У2(^П)), (3.36а)
H = trot(Jbin), (3.366)
к\ = к2е, (З.Збв)
и подставить эти выражения в уравнение (1.196) (уравнение (1.19а) при
такой подстановке удовлетворяется тождественно). Можно убедиться, что
подстановкой (3.36) проблема решается, если П является решением волнового
уравнения с зависящим от z волновым числом:
У2П + ^2(г)П = 0, (3.37а)
24
ГЛ.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если же поле порождено горизонтальной рамкой (вертикальный
магнитный диполь), то положение оказывается еще проще. Как легко убедиться,
сохраняют силу формулы (3.15)—(3.17), причем в уравнении (3.17) просто
нужно учитывать зависимость е от z:
У2Пт + ^(г)Пт = 0. (З.37в)
Перейдем теперь к случаю сферической симметрии, когда к\{г) = к2е(г).
Для электрического вертикального тока мы можем положить
к
Е = -у rotrot(A:r«). (3.38а)
H = ikl rot(ru), (3.386)
причем и должно быть подчинено уравнению
V2u + kf{r)u = Q, (3.39а)
kf(r) = kl-k1~j-, (3.396)
что очевидным образом напоминает случай плоской слоистости (3.36), (3.37).
Для магнитного вертикального диполя положение снова упрощается. Для
сферической слоистости, как легко убедиться, сохраняет силу формулы
(3.29)—(3.31), где просто нужно теперь считать е = s(r), т. е.
V2u + kl(r)v = 0. (3.39в)
Таким образом, поле при слоистых неоднородностях как для плоской, так
и для сферической структуры, может быть найдено из решения уравнений
волнового типа, но с волновым числом, зависящим от одной координаты.
Для поля «магнитного типа» квадрат волнового числа есть просто к2е, для
поля же «электрического типа» в уравнения входит ArJ2.
§ 4. Граничные условия
Дифференциальные уравнения должны быть дополнены граничными
условиями на поверхности раздела различных сред, например, воздуха и
земли. Как известно, из уравнений поля вытекают следующие условия для
полей.
а) Тангенциальные к поверхности раздела компоненты напряженности
электрического поля одинаковы с обеих сторон этой поверхности:
Еи = E2t. (4.1)
Поскольку в касательной плоскости поле может быть разложено на две
независимые компоненты, здесь заключено, по существу, два условия.
Например, если поверхность раздела нормальна к оси z, то Е\х = Е2х, Е\у = Е2у.
Это условие получается при предельном переходе из уравнения rot E =
= ikH, не содержащего электрических параметров среды, и потому
справедливо, например, при сколь угодно большой проводимости одной из сред.
б) Нормальная компонента вектора D удовлетворяет условию для
«поверхностной дивергенции» смещения:
Div D = Dlni + D2n2 = 4тг5, (4.2)
§4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
25
где индексы п\ и п2 указывают, что берется проекция вектора на нормаль
к поверхности раздела, направленную соответственно либо в первую среду
(ni), либо во вторую (пг) (рис. 1); 5 — плотность поверхностного заряда.
Рис. 1. Граничные условия для электрической индукции
в) Поверхностный заряд 5 может, вообще говоря, присутствовать
независимо от наличия тока в той или иной среде. Однако мы будем повсюду
предполагать, что такой статический заряд отсутствует просто потому, что
создаваемое им статическое же поле (например, всегда существующее
статическое поле земли) вместе с полями индуцируемых им на разных предметах
статических зарядов накладывается на высокочастотное поле радиоволн, но
не воспринимается радиоприемниками. Поэтому поверхностная плотность
заряда 5 может быть определена из уравнения непрерывности, которое для
поверхностной плотности имеет вид
ft = "Divj, (4.3)
т. е.
i i
& = (jlni + J2n2) = (ffl^in, + <T2#2n2)- (4.3a)
Здесь опять jlni и J2n2 — проекции токов в первой и второй средах на
нормали к поверхности, направленные соответственно в первую и вторую
среду. Если лишь одна из сред обладает заметной проводимостью, например
Oi = 0, то поверхностный заряд
А - г(Т2 V
(4.36)
определяется полем в проводящей среде.
Условия (4.2) и (4.3а) целесообразно объединить, исключив из них 8.
При этом получаем важное соотношение, которое, с другой стороны,
непосредственно вытекает из уравнения (1.12а) для случая pCI°v = 0 после
обычного предельного перехода от объемной дивергенции к поверхностной:
eiElni + е2Е2п2 = 0. (4.4)
г) Соответственно уравнению (1.1г) для В = Н поверхностная
дивергенция напряженности магнитного поля исчезает:
Я1П1 + Я2П2 = 0. (4.5)
При проецировании на одну и ту же нормаль, например, первую, имеем
Я1П1=Я2„2, (4.5а)
т. е. нормальная составляющая магнитного поля непрерывна.
26
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
д) Из уравнения (2.4а) в случае конечной проводимости сред и,
следовательно, конечной объемной плотности тока следует непрерывность любой из
тангенциальных составляющих магнитного поля:
Ни = H2t- (4.6)
Это условие нарушается при бесконечно большой проводимости какой-
либо из сред (1, 2) или, точнее, при столь большой проводимости, что скин-
слой становится чрезвычайно тонким и всякое измерение вблизи
поверхности производится заведомо все же вне пределов этого скин-слоя (рис. 2).
®
с 51L
Ж.
:}
Скин-слой
Н
2<
Рис. 2. Граничные условия для магнитного поля
В таком случае, естественно, возможен скачок касательной составляющей
магнитного поля. Как известно, согласно (2.4а), он равен (в обозначениях
рис. 2)
4л"
H2t - Ни = —iiv, (4.6а)
с
где гдг — полный ток, который протекает по направлению,
перпендикулярному к направлению t (и на рисунке направлен к читателю), рассчитанный
на единицу длины, уложенной в направлении t. Однако представление о
поверхностном токе на границе среды с бесконечно большой проводимостью
удобно лишь при идеализации, употребляемой в некоторых специальных
случаях. В случае же распространения радиоволн вдоль земли скин-слой
обычно велик и изменение поля в его пределах представляет
самостоятельный интерес. Поэтому предпочтительнее повсюду учитывать непрерывное
изменение тангенциальных составляющих Н, считая ток распределенным
по скин-слою конечной толщины и потому всегда обладающим конечной
объемной плотностью.
Было бы естественным перенести сформулированные граничные
условия для полей Б и Н на векторы Герца П и Пт. Однако в общем случае
эти условия получаются чрезмерно сложными. Они упрощаются только в
специальных случаях благодаря симметрии задачи. Так, например, если
вектор П имеет только одну составляющую П = Пг, что имеет место для
вертикальной антенны и плоской границы раздела z = 0 однородной земли
и атмосферы {е\ = const, е2 = const). Тогда из формулы (3.25) следует
Нх = —ikedUz/dy. Вследствие непрерывности тангенциальных
составляющих Н (4.6) отсюда получаем £idUz /ду = ег^Щ /ду. Интегрируя это
соотношение по у до ±оо и учитывая, что вдали от источника Щ ' = Щ ' = О,
получаем,
eillM = е2П{2), z = 0. (4.7)
§4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
27
0. (4.9)
С другой стороны; непрерывность тангенциальных составляющих Е,
согласно (3.25), означает, в частности,
дъР = a2nj2) г = о
дх dz dxdz'
Интегрируя по х, получаем условие непрерывности нормальных
производных Щ
дП™ <Ш<2)
(использование равенства составляющих Еу не дает ничего нового). Условия
(4.7) и (4.8) существенно используются в дальнейшем.
Из непрерывности тангенциальных составляющих поля, например, Е,
следует, что непрерывны и их производные в тангенциальном направлении,
и потому
дЕ^ + дЕ^ = дЕ^_+дЕ^_ 2 = Q
дх ду дх ду
В то же время имеют место уравнения div E^ = 0, div Е^2) = 0. Вычитая
их одно из другого, получаем
дЕ(^ _ dEJ2)
dz dz
С другой стороны, из непрерывности тангенциальных составляющих Н
и, следовательно, их производных в тангенциальном направлении вытекает
rot^HW = rot*H(2\ z = 0,
поскольку сюда входят только эти производные. Но тогда уравнения
Максвелла (1.1), взятые для каждой из сред, дают
EXEW = e2E?\ (4.10)
Для магнитного вертикального диполя над плоской землей вектор Пт
сводится к одной вертикальной составляющей. Требуя непрерывности
тангенциальных компонент Е и Н при z = 0, совершенно так же получаем
ПЙ>=ПЙ>, г = 0; (4.11)
Для диполя над сферической поверхностью г = а = const, требуя
непрерывности Е#, Ev, H-g и Н^, из формул (3.32) и (3.33) таким же способом
получаем (здесь интегрирование производится по $):
для вертикального электрического диполя
I».IM, г = о; (4.13)
г or r or
28
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
£(DU(1) = £(2)U(2)) r = a. (4Л4)
для вертикального магнитного диполя
„(1) = у(2)) г _ а. (4щ
1 d(rvW) 1 d(rvW)
дг г дг
(4.16)
Граничные условия для вертикального магнитного вектора Герца, таким
образом, вообще не содержат констант среды.
Важное соотношение (4.10) показывает, что нормальная к поверхности
раздела составляющая электрического поля резко падает при переходе в
среду с большим \е\. Поэтому, например, прием на вертикальную антенну
резко ухудшится при погружении несущей такую антенну подводной лодки
(ех = 0 — воздух; \ег\ ~3> 1 — морская вода*, см. табл. 1 в § 15).
Заглубление же вертикальной антенны в чрезвычайно сухую почву может не вызвать
столь плохих последствий.
С другой стороны, горизонтальные составляющие Е непрерывны при
переходе через границу раздела. Поэтому, принимая на горизонтальную
рамку, мы не почувствуем перехода через плоскость z = 0. Отсюда,
разумеется, пока еще вовсе не следует (хотя в действительности это верно,
см. § 30), что прием под водой на горизонтальную рамку даст лучший
результат, чем прием на вертикальную антенну. Выбор зависит также от того, в
каком соотношении между собой находятся Et и Еп над поверхностью
раздела, — вопрос, требующий особого рассмотрения (которое мы проводим ниже
в §21).
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
§ 5. Интегральная форма волнового уравнения
В случае однородного пространства наша задача, таким образом,
сводится к решению трех независимых уравнений (например, (3.3) или (3.12)
и т. п.) вида
V2u + k2u=U, (5.1)
где и, например, — одна из составляющих вектора Герца; к2 = ей2/с2; U —
заданная функция, описывающая источники (в этом параграфе и и v вовсе
не обязательно обозначают функции Дебая).
Пусть нам нужно найти и в точке R, и — и(К).
Обратим внимание на то, что функция от координат двух точек
t;(R,R0 = eXp(lfcr), r=|R-R'|, (5.2)
г
если U = 0, удовлетворяет уравнению (5.1) при всех R и R' (как в
отношении дифференцирования по компонентам R, так и в отношении
дифференцирования но компонентам R'), кроме случая R —> R', г —» 0, когда
дифференцирование невозможно.
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
29
Понимая под V^/ лапласов оператор, содержащий дифференцирование
по составляющим вектора R/, мы можем написать
(V2w + k2)u(R') = U(R'), (5.3)
(V&, + k2)v(r) = 0, кроме точки R = R/. (5.4)
По теореме Грина любые функции (а значит, и и и и), непрерывные
вместе со своими первыми производными в некотором объеме V, удовлетворяют
соотношению
y"Hr)V^t.(R')V^(r)}^ = y"{i;(r)^l-t.(R')^} dS\ (5.5)
v s
где интегрирование справа распространено по поверхности, охватывающей
объем V, и д/дп означает дифференцирование по внешней нормали. Мы
выберем этот объем так, чтобы точка R, в которой мы ищем и, лежала
внутри него. Мы потребуем далее, чтобы этот объем был целиком расположен в
однородной области пространства, в которой справедливы уравнения (5.3) и
(5.4) для постоянного к. Тогда можно заменить Vp^u и V^u их
выражениями из (5.3) и (5.4). Однако предварительно нужно исключить из области
интегрирования точку R', совпадающую с точкой наблюдения R, в которой
мы хотим определить и(К), так как здесь v не непрерывно и уравнение (5.4)
не справедливо. Для этого окружаем точку R' = R малой сферой радиуса
а с поверхностью So, так что под объемом V будем понимать однородную
(по электрическим свойствам) часть пространства, заключенную между
поверхностями So и 5', где S' — наружная поверхность. Теперь интеграл по
S распадается на две части, относящиеся соответственно к So и S', причем
нормаль п будет направлена каждый раз наружу по отношению к V.
Поэтому при интегрировании по So она направлена в центр сферы. Очевидно,
что поверхность S', в свою очередь, может состоять из отдельных частей.
Если, например, мы хотим учесть, что некоторые части пространства
обладают отличными электрическими свойствами, так что в них уравнения (5.3),
Рис. 3. Объем интегрирования
(5.4) неверны, то мы можем окружить эти части новыми поверхностями 5",
S'", ... Тогда объем V будет заключен между поверхностями So, S', S", ...,
как на рис. 3.
30
ГЛ.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим прежде всего интеграл по S0 и притом в пределе, когда
радиус сферы стремится к нулю. Здесь дифференцирование по п сводится к
—д/да, т. е. (поскольку а совпадает с г = |R — R'|) к —д/дг. Функции
и(К') и ди(К')/дг конечны в пределах всей сферы, так как по
предположению уравнение (5.3) верно повсюду. Значит, обе эти функции могут быть
заменены их средними значениями на сфере и вынесены из-под интеграла.
Напротив, и(г) и
dv dv ■ ,., ч / гк 1 \ .„ „.
Тп = -^=ехр (.*.) {-- + -,) (5-6)
с убыванием а неограниченно растут. Однако dSo = a2dQ (где dQ — элемент
телесного угла) при этом убывает по крайней мере столь же быстро, так что
в пределе останется отличный от нуля результат только от члена с 1/а2.
Окончательно находим
,. f ( ди dv\ ,. Г /ди\ fexp(ika) 2
lim / v-^ итг- ) dS = hm < ( тг- ) / —^-^ Lal dSl-
a-*Oj \ ОП ОП J a-+0 { \ОП J R»_».R 7 a
s
-u(R) fexp{ika) (-— + ^ J a2 d£l\ =-4?ru(R). (5.7)
Поэтому, подставляя (5.3), (5.4) в соотношение (5.5), мы получаем
u(R) = -— I U{R')v(R, R') dV'+
4л" J
s
где под S будем понимать все поверхности, охватывающие объем V, в
котором находится точка наблюдения R (на рис. 3 это поверхности S', 5",
5'",...).
В частности, если бы однородная среда простиралась безгранично, то S
свелось бы к одной наружной поверхности и ее можно было бы раздвинуть
до бесконечности, например, считая ее сферой, описанной радиусом г вокруг
точки наблюдения. Однако сразу еще не видно, что влияние такой
поверхности в точке наблюдения исчезло бы, как это имеет место в аналогичных
случаях теории потенциала. В самом деле, хотя при этом v убывало бы
как 1/г, однако дифференцирование v по нормали, которое здесь сводится
к д/дг, дает при больших г
dv _ exp (ikr) {,и 1Д ^ exp(ikr)
дг г
(•Ч)
С другой стороны, dS растет как г2, и потому на скорость убывания и
нужно накладывать требование
lim (иг) ->■ 0. (5.9)
г-+оо
Для вещественных к, т. е. в непроводящей среде, это требование
невыполнимо, потому что, как известно (это мы ниже получим из вычислений),
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОР!ЯА ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
31
поле излучения убывает только как 1/г, для уходящей из области
наблюдения волны поле имеет характер exp (ikr)/r, для приходящей волны —
характер ехр {—гкг)/г.
Выход, найденный уже давно в оптике, заключается в наложении нового
требования, называемого принципом или условием излучения. Оно
аналогично отбрасыванию опережающих потенциалов. Именно требуют, чтобы
на бесконечности поле и переходило в уходящую волну, т. е. вело себя, как
ехр [ikr)/r. Однако в действительности вполне достаточно ограничиться
требованием (5.9), потому что чисто вещественное к является идеализацией.
Мы всегда можем предположить существование некоторой сколь угодно
малой проводимости (комплексности г), благодаря чему условие (5.9) будет для
уходящей волны выполнено. Для приходящей же волны поле на
бесконечности будет неограниченно возрастать, условие (5.9) будет нарушено и его
придется отбросить.
Это условие мы в дальнейшем будем повсюду считать выполненным и
потому все интегралы по бесконечно удаленной поверхности будем
отбрасывать. В частности, для безграничной однородной среды остается
u(R) = j-fuvdV'. (5.10)
v
Таким образом, физический смысл первого слагаемого в соотношении (5.8)
состоит в том, что оно выражает поле, которое заданные источники создали
бы в интересующей нас точке R, если бы среда была однородна и
безгранична. Так, для любой антенны, пользуясь электрическим вектором Герца,
мы будем, согласно уравнению (3.12), иметь в безграничной среде поле
ВД = рЬу / З^Ы*) «V = \ / SIMpM dV,
V V
r = |R-R'|, к2=е^. (5.11)
Для любой комбинации рамочных антенн при условии, что каждую из них
можно описывать только постоянным намагничением Мо, пользуясь
магнитным вектором Герца, согласно уравнению (3.17), имеем
nm(R) = J eXp^r)M0(RO dV. (5.12)
v
Применение этой же формулы (5.10) к уравнениям (3.9а) и (3.96) дает
(для однородной среды) явное выражение полей через заряд и ток в антенне:
ехр (ikr)
Jo, grad
dV, (5.13)
тт 1 Г ехр (ikr) . JT„ 1 Г
с I ~ г rotJo^ = " /
= yf^exp^ + ^gradexp|«r)j(iv,, (5]3a)
32
ГЛ.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Итак, в случае безгранично простирающейся однородной среды мы
пришли к полному решению поставленной в конце § 2 задачи: по заданным
источникам найти поле. Однако в действительности во многих случаях этого
недостаточно. Раздвигая границы области интегрирования, мы неизбежно
натолкнемся, с одной стороны, на поверхность земли, с другой — на
ионосферу. Здесь отнюдь не очевидно, в каком случае поверхностным
интегралом можно пренебречь. Для ограниченной среды нельзя наложить условия
(5.9), потому что заведомо от границы раздела сред будут приходить в точку
наблюдения отраженные волны. Поэтому, вообще говоря, нам необходимо
пользоваться формулой (5.8) в полном виде.
Объединяя в векторной форме три формулы для составляющих П, мы
можем написать
P(R')
n(R) = - f P-^ exp {ikr) dV'+
v
щЦЫВД.^ВД К s,
r on on I
В такой формуле уже нет решения поставленной нами задачи, так как
интересующая нас функция П входит и в правую часть под интегралом. В
этом интеграле содержится, по существу говоря, вся специфика той или иной
конкретной задачи о распространении радиоволн для заданных источников.
В зависимости от свойств и расположения границ областей, имеющих иные
свойства, чем та область, в которой находится точка наблюдения R, т. е.
характеризуемых иным значением к, и от распределения полей на этих
поверхностях мы будем получать различные результаты.
Заметим, что если в среде, в которой мы ищем поле, источников нет,
т. е. они вынесены в другую среду, то первый член справа отсутствует и
поле определяется исключительно его значениями (и значениями его
нормальной производной) на поверхности S, охватывающей точку наблюдения
и целиком расположенной в той же среде (в частном случае - проходящей
по поверхности, ограничивающей эту среду).
Векторная формула (5.14) может быть записана также и для
напряженности поля. Так, например, в отсутствие зарядов и токов каждая компонента
Е удовлетворяет волновому уравнению, и потому, объединяя три формулы
для составляющих, имеем
S
Однако эта формула не всегда удобна, поскольку она содержит
производную вектора Е по направлению нормали, вообще говоря, меняющемуся
от точки к точке. Существует эквивалентная формула, которая может быть
получена непосредственным интегрированием векторных уравнений
Максвелла, если воспользоваться методом, в принципе вполне аналогичным
использованному при выводе формулы (5.8). Не излагая всех выкладок (см.
например, [16, §8.14]), укажем окончательный результат (в отсутствие
5 5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
33
источников!)
E(R) = -^ f{i{u/c)v[H{R')n] + [[E(R')n]gradu] - (nE(R')) gradu} dS',
s
(5.146)
H(R) = — /"{-i(w/c)e«[E(R')n]+'[[H(R')n]grad«]-
s
- (nH(R')) grad v] dS'. (5.14b)
Интегральное уравнение (5.8) может быть несколько обобщено на случай
неоднородной среды. Предположим, что как это имеет место в слоистой среде
(см. §3), речь идет о волновом уравнении (5.3) с к2, зависящим от точки
и>
2
V2wu + k2{R')u = U, к2 = -^e(R'). . (5.15)
с-
Воспользуемся функцией Грина u(|R— R'|) вида (5.2)
^ехр(г*г)
г
где К — некоторое постоянное число, обладающее хотя бы малой
положительной мнимой чатью, т. е. v удовлетворяет условию излучения и, кроме
того, волновому уравнению
V2v + K2v = 0. (5.17)
В таком случае можно, повторяя те же рассуждения, что для однородного
пространства, прийти к уравнению
u(R) = ±Ju(R')v(R, R')dV'+ ±J {«(R, R')^1 - u(R')x
v s
^1\ dS+— /"u(R')(V^«(R, R') + Jfc2(R>(R, R')) dV. (5.18)
dr
v
Согласно уравнению (5.17), последний интеграл в уравнении (5.18) равен
^- f{k2{R') - K2)u{R')v(R, R') dV. (5.18a)
47Г J
v
Этот интеграл является мерой влияния неоднородности пространства.
Если к2 = const, то мы можем выбрать v с К = к и интеграл исчезает.
В общем случае речь идет об интегральном уравнении для u(R). Оно
может быть использовано для разных целей, например хотя бы для оценки
погрешности, возникающей от пренебрежения неоднородностью среды, или
от замены однородной среды некоторой однородной средой с измененными
параметрами и т. п.
34
ГЛ.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 6. Точечный источник
В дальнейшем мы будем существенным образом основываться на
формуле (5.14). Пока же мы несколько упростим ее применительно к одному
важному случаю. Предположим, что источники поля сосредоточены в весьма
малом объеме, столь малом, что в объемном интеграле можно множитель
exp (ikr)/r вынести из-под знака интеграла. Для этого, очевидно,
необходимо, с одной стороны, чтобы при данном R показатель ikr = ik\K — R'|
мало менялся при изменении R вблизи его некоторого среднего значения
Ro, т. е. чтобы фазы волн, приходящих в точку наблюдения от разных
частей источника, мало различались между собой. Фактор же 1/г будет, с
другой стороны, достаточно постоянен и близок к 1/|R— Ro|, если
возможные значения |R' — Ro|, т. е. размеры источника, малы по сравнению с г.
Второе требование означает, что мы будем рассматривать только точки
наблюдения R, удаленные от источника на расстояние, большое по
сравнению с его размерами. Первое же требование будет удовлетворено, если
размеры источника будут малы по сравнению с величиной порядка длины
Рис. 4. Диполь
волны в данной среде. В самом деле, если, например, источник — линейная
антенна длины /, то, выбрав за среднюю точку Ro ее середину, мы видим,
что (рис. 4) г изменяется вблизи r0 = |R — Ro| в обе стороны на величину
Дг « (1/2) sin a.
Следовательно, ikr меняется на величину, меньшую, чем
ikl . ml .
—— sin a = —— sin a.
2 А
Если эта величина весьма мала, то exp (ikr) та ехр (ikr0). Поэтому
необходимо, чтобы
/<—^—. (6.1)
7rsin a
Это значит, что для всех углов достаточно потребовать / >С А/я-, т. е.
малости линейных размеров по сравнению с длиной волны. Но для точек
наблюдения, расположенных вблизи плоскости, перпендикулярной к антенне
и проходящей через ее середину (а и 0), это требование существенно
смягчается и даже большую антенну можно рассматривать как точечную.
Разумеется, соотношение (6.1) здесь уже несправедливо, так как разность г — го
только с точностью до членов второго порядка в / равна (1/2) sin а. Для точек
вблизи а = 0 мы получим г2 ~ г% + I2, так что, поскольку r0 ^ /,
к(г - го) ~ k(\Jr20 + l2- го) и kl2/(2r0).
§6. ТОЧЕЧНЫЙ ИСТОЧНИК
35
Следовательно, для того чтобы разные точки антенны посылали волны почти
в одной фазе, нужно потребовать, чтобы
/2«I^, 1<J^. (6.2)
7Г V 7Г
Это характерное соотношение будет встречаться нам неоднократно.
Очевидно, что при достаточно большом г0 даже очень большие антенны для
точек наблюдения вблизи плоскости а = 0 можно трактовать как
маленькие. Подчеркнем, что это верно только для прямолинейной антенны. Вообще
же говоря, должно быть
I « £. (6.3)
Если эти условия соблюдены, мы можем вынести exp (ikr)/r из-под
знака интеграла и, обозначив
fp{R')dV
р, (6.4)
V
где р — полный дипольный момент системы, получим для безграничной
среды на расстоянии г0 от источника с дипольным моментом р
n=pexp(^ro)_
£' г0
Источник, который полностью характеризуется одним вектором р,
помещенным в соответственно подобранную точку, называется точечным
электрическим диполем.
Если этим источником является вертикальная линейная антенна, то,
заменяя поляризацию Р через ток по формуле (3.7), мы можем выполнить
интегрирование по сечению провода 5, что даст вместо плотности тока j0
полный текущий через данное сечение ток 1(h), где h отсчитывается вдоль
оси провода. Полагая
dV = dSdh,
имеем
р = f - i-jQdV = - ~ [ 1(h) dh. (6.4a)
J ги> ги J
Если длина диполя мала по сравнению с длиной волны 2тт/к, то, как
известно из теории квазистационарных токов, величина J постоянна вдоль
провода и может быть вынесена из-под знака интеграла:
Ih. ,
р = —г, (6.46)
и)
где h — длина антенны. В противном случае можно вынести максимальное
значение тока /макс, а оставшийся интеграл обозначить через
h^=fW-dh. (6.4в)
J -*макс
Эта величина называется приведенной или действующей высотой. Она
всегда меньше h. Обычно индексы «макс» и «эф» отбрасывают, подразумевая
под J и h указанные величины.
зе
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В более общем случае действующая высота антенны определяется
формулой (см. рис. 4)
h
эф
-Л- 11(h) exp (t*|R' - Ro|) dh
-■макс J
1
/ 1(h) exp (ikh sin a) dh
(6.4r)
либо же вещественной частью этого выражения.
Для средних и длинных волн, а во многих случаях и для коротких волн
реальные антенны можно рассматривать как точечные, в особенности если
точка наблюдения находится вблизи плоскости а = 0 и антенна
прямолинейная, так что критерием для суждения является формула (6.2), а не
формула (6.3).
Это последнее требование должно быть выполнено, если антенна состоит
из нескольких прямолинейных участков, произвольно расположенных в
пространстве.
В частности, оно всегда выполнено, если мы рассматриваем поле рамки
и применяем общее соотношение (5.8) к магнитному вектору Герца.
Действительно, сама замена контура магнитным моментом возможна только,
если размеры рамки / малы по сравнению с А (см. § 3). Поэтому различные
участки поверхности магнитного листка будут давать в точке наблюдения
почти синфазные колебания, и,
вынося ехр (гкг)/г из-под знака
интеграла, мы можем обозначить
/
M0dV' = т,
(6.6)
где ш
полный магнитный
момент рамки, так что
Пп
m
exp (ikr0)
г0
(6.7)
Рис. 5. Квадруполь
Такой источник называют
точечным магнитным диполем.
В дальнейшем мы будем
рассматривать только точечные
источники. Более сложные случаи всегда могут быть получены суперпозицией
элементарных.
Так, например, если мы имеем два точечных электрических диполя
равной мощности и противоположного знака, сдвинутых друг относительно
друга на малый вектор 1 (рис. 5), то суммарный вектор Герца равен
П
p/exp(tfc|r0-//2|) _ exp(ik\r0+l/2\)\
е\ \r0-l/2\ \r0 + l/2\ )
Е дг0
д ехр (гкго)
го
сое (fro), (6.8)
где г0 — расстояние от средней точки вектора 1 до точки наблюдения.
Такая система называется электрическим квадруполем. Если вектор 1
направлен по оси р, то мы имеем аксиальный квадруполь. Принимая в этом
§7. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
37
случае направление р за ось z, видим, что вектор Герца имеет отличную от
нуля составляющую
pi д exp (ikr0)
Пг
£ 8zq г0
(6.8а)
где индекс «Q» при z показывает, что дифференцирование происходит по
«точке истока» — по координате начала г0.
Величина
q = 2pl (6.86)
называется моментом квадруполя. Если / направлено, например, по оси х
(ар — по-прежнему по оси z), то
Пг
pi д exp (ikr0)
е 8xq r0
(6.9)
§ 7. Принцип Гюйгенса
Основное интегральное уравнение (5.14) допускает наглядное
истолкование.
Первый (объемный) интеграл имеет очевидный смысл: каждый элемент
объема dV с полным дипольным моментом dp = P dV посылает в точку
наблюдения сферическую волну такую
же, как если бы мы имели точечный
диполь в бесконечном однородном
пространстве.
На это поле накладываются поля,
излучаемые с поверхности,
ограничивающей объем. При этом каждый
элемент поверхности dS' обладает
дипольным моментом (dU/дп) dS'
и квадрупольным моментом,
образованным совокупностью равных по
величине и противоположных по знаку
дипольных моментов П dS'/l,
сдвинутых друг относительно друга вдоль
нормали на отрезок /, в пределе
равный нулю.
Если, например, мы
рассматриваем поле над землей, создаваемое
источником, находящимся в атмосфере,
то можно провести поверхность S так, чтобы она охватывала как источник
О, так и точку наблюдения А (рис. 6) и притом состояла бы из плоскости,
прилегающей к поверхности земли (будем пока считать землю плоской), и
бесконечной полусферы. Интеграл по поверхности полусферы в пределе
исчезает (см. §5), а интеграл по поверхности земли остается. Он и описывает
влияние земли на поле в пространстве.
Согласно приведенному выше толкованию, мы можем считать, что на
поверхности земли индуцируются источники в виде диполей и квадруполей.
Рис. 6. К формулировке принципа
Гюйгенса в присутствии земли
38 ГЛ.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эти вторичные источники создают поле, накладывающееся на поле
первичного источника. Так как в атмосфере Е к. 1, к к, к0 = и /с, то
U(A) = jF^f^dV' +
v
1 Г (dU exp (ikpr) п д exp (ik0r) I ^
4тг J \дп г дп г /
s
Если же нас интересует поле в земле, то мы можем построить
поверхность 5', состоящую из плоской поверхности земли и бесконечной
полусферы, замыкающей объем с другой стороны3). В данном случае в объеме,
охватываемом поверхностью 5', источников нет, объемный интеграл
отсутствует и поле равно
П(А') = JL [ /|Ее*Р(^) _ ng ехрЕУгП
47гУ [дп' г Qn' г )
где п' — нормаль, внешняя по отношению к поверхности 5', т. е. на
поверхности земли направленная вверх; к' — волновое число в почве: к' = у/ёк0\
г — расстояние от текущей точки поверхности до точки наблюдения А .
Здесь поле создается исключительно вторичными диполями и квадрупо-
лями, индуцированными на поверхности земли.
Разумеется, в действительности токи возбуждаются не только на
поверхности земли, но и по всей толще скин-слоя, так что в действительности
излучение в точку А' посылают все точки объема V. Интерференция этих
волн с излучением поверхностных вторичных диполей и квадруполей
изменяет скорость радиоволн при их распространении в земле. Это
обстоятельство уже выражено в том, что к' отличается от А;0. Таким образом, мы
действительно можем считать поле в А' созданным вторичными источниками,
распределенными по поверхности земли.
Однако формула (5.14) допускает еще более широкое толкование.
Представим себе, что поверхность S лежит целиком в атмосфере,
лишенной проводимости, и притом так, что источник О и точка наблюдения
А находятся по разные стороны от этой поверхности (рис. 7 а, б). В этом
случае поле в А равно
П(А) = JL /Ш^-Иад _ п£«ф(*м) dS (7<3)
4я- J [ дп г on r J
s
Так как поле П(А), вообще говоря, отнюдь не равно нулю, то это значит,
что и в вакууме следует представлять себе такую поверхность S заполненной
вторичными излучателями.
Поверхность S можно деформировать произвольным образом, так, чтобы
она проходила через любую точку поля. Поэтому каждая точка поля сама
является источником вторичных сферических волн, как это и должно быть
по принципу Гюйгенса.
3) Напомним, что в формуле (5.14) во всем объеме, охватываемом поверхностью S, среда
должна описываться одной и той же комплексной диэлектрической проницаемостью.
§7. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
39
Следует подчеркнуть, что интегрирование должно проводиться по всей
поверхности 5, например в случае, изображенном на рис. 7 а, и по той ее
стороне, которая «не видна» из точки А.
Отметим также, что между текущей точкой в интеграле по поверхности
и точкой наблюдения может вклиниться другая среда, через которую
электромагнитные волны реально не проходят, например, в случае сферической
Рис. 7. Поверхность виртуальных источников: а— окружает излучатель; б— окружает точку
наблюдения; в — в случае сферической земли
земли, как это изображено на рис. 7 е. Тем не менее и здесь г отсчитывается
по прямой, соединяющей точки поверхности S с точкой наблюдения А (при
этом наглядность физической интерпретации утрачивается). В дальнейшем,
однако, мы увидим (гл. 2), что отнюдь не все точки поверхности S одинаково
существенны для формирования поля в точке А. Если размеры и
проводимость вклинившегося тела достаточно велики, так что в точку наблюдения
может доходить только слабое дифрагировавшее поле, то интегрирование по
невидимой из А поверхности дает ничтожный вклад.
40
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 8. Функция Грина
Уравнение (5.8) позволяет вычислить поле в любой точке объема V, если
известны расположенные в нем источники и, кроме того, известны
значения искомой функции и и ее нормальной производной ди/дп на
поверхности (или на поверхностях) 5, охватывающей объем V. Вывод этой формулы
оказался возможен потому, что при применении теоремы Грина
вспомогательная функция v была выбрана специальным образом, а именно v есть
такая функция расстояния г между двумя точками х, у, z и х', у', z',
которая а) удовлетворяет волновому уравнению V2u + k2v = 0; б) удовлетворяет
условию излучения и в) при обращении г в нуль стремится к
бесконечности совершенно специальным образом — как 1/г. Если бы v стремилось
к бесконечности быстрее, чем 1/г, и значит, ее производная — быстрее,
чем 1/г2, то интегрирование по малой сфере So, окружающей точку
наблюдения, дало бы бесконечность; если бы v стремилось к бесконечности
медленнее, чем 1/г, то интегрирование давало бы нуль. Только из-за того
что lira (r2dv/dr) есть конечное число, отличное от нуля, мы могли, вынося
г~+0
за знак интеграла среднее значение и(К') на сфере So, получить в пределе
член А7ги(К).
Очевидно, что перечисленным условиям удовлетворяет не только
функция v = v0 = exp (ikr)/r, но, например, и всякая другая функция,
удовлетворяющая волновому уравнению и отличающаяся от v0 множителем,
остающимся конечным при г —> 0. Правда, если этот множитель будет возрастать
в бесконечности, то мы не сможем беспредельно раздвигать поверхность S',
замыкающую объем. При указанных ограничениях остается еще широкий
выбор, позволяющий, удачно выбирая и, упрощать решение многих задач,
чем мы и воспользуемся в дальнейшем (см. также, например, гл. 7).
Следовательно, можно в качестве функции v взять и функцию вида
v = v0 + <p(x, у, z; x', у', z') (8.1)
при условии, что <р удовлетворяет волновому уравнению (V2 + к?)<р = 0 и,
кроме того, остается повсюду внутри объема V конечной4). При
интегрировании по сфере So слагаемое <р даст в пределе, когда а —>• 0, нуль. Мы
получим вместо (5.8)
«B) = -±/tw<*+^+£/{<*+*>£-3^}«'.
v s
(8.2)
Если нам удастся выбрать добавочную функцию <р так, чтобы повсюду
на поверхности S обращалась в нуль, например, сумма v0 + <p, то первое
слагаемое в поверхностном интеграле исчезнет и для определения и(К) в
любой точке нужно будет знать только источники U в объеме и поле и на
поверхности, но не нужно знать ди/дп. Если же мы подберем <р так, чтобы
на поверхности исчезало d/dn(v0-\-<p), то выпадет второй член и нужно будет
4) Или точнее говоря, если и обращается в какой-нибудь точке В в бесконечность, то
медленнее, чем 1/г, где г — расстояние до точки В. В таком случае, выделив эту точку
сферой S'0, мы все равно при стягивании S'0 к точке В в пределе получим нуль.
§8. ФУНКЦИЯ ГРИНА
41
знать на поверхности только ди/дп. В первом случае v = v0 -\- <p иногда
называется просто функцией Грина, во втором случае — второй функцией
Грина или характеристической функцией Неймана.
Существенно, что такой подбор функции <р нужно произвести для данной
формы поверхности S и для данной среды один раз. Зная <р, можно находить
и при любых расположениях источников и любых заданиях поля u(R) (или
соответственно ди/дп) на поверхности S. Поэтому говорят о функции Грина
для пространства внутри шара, о функции Грина для полупространства и
т. п. Функция Грина может, таким образом, служить характеристикой
поверхности S. Это показывает, с другой стороны, что и в общем случае поле
однозначно определяется, если задавать, помимо источников и формы
ограничивающих поверхностей, либо и, либо ди/дп на поверхности, а не обе
величины вместе, что могло бы показаться сначала обязательным. Лишь
наша неспособность подобрать для всякой конфигурации функцию Грина
заставляет, если мы идем путем интегрального соотношения (5.8), задавать
помимо и также и ди/дп или связь между ними. Наконец, отсюда следует,
что нельзя независимо друг от друга задавать на поверхности две функции
и и ди/дп. Мы найдем функции Грина для S следующей формы. Пусть
5 состоит из плоскости z — 0 и полусферы бесконечно большого радиуса,
замыкающей полупространство z > 0.
Подбирая <р, мы можем руководствоваться следующими соображениями.
Так как функция <р должна удовлетворять волновому уравнению, то ее можно
интерпретировать как поле некоторых фиктивных источников в среде со
свойствами среды, заполняющей наш объем V (полупространство z > 0).
С другой стороны, поле <р не должно иметь источников в пределах V,
поскольку уравнение (V2 + к2)<р = 0 должно
быть справедливо во всех точках объема.
Следовательно, <р может быть,
например, полем воображаемых источников,
помещаемых нами вне объема V. Наконец,
эти воображаемые источники следует
подобрать так, чтобы они гасили поле v0 =
= exp (ikr)/r на поверхности S или
исчезали на ней вместе с vo.
Для случая полупространства такие
источники подобрать нетрудно. Если мы
ищем поле в точке A(R), то достаточно
представить себе точечный источник в точке Ai(Ri), являющейся
зеркальным изображением А относительно плоскости z = 0, и притом такой
источник, чтобы на плоскости z = 0 его поле было равно как раз — exp {гкг)/г,
где г — расстояние до данной точки плоскости z = 0 от точки наблюдения.
Итак, полагаем (рис. 8):
Рис. 8. К выводу функции Грнна для
плоскости
(р= —
exp (tfc|Ri - R'l)
|Ri - R'l
R=R(x,y, z), Ri -Ri(x, y, -z),
Vo + <p = u-
exp (ik\R — R'|) exp (lArjRt — R'|) _ exp (ikr) exp (ikri)
|R-R'|
|Ri - R'l
П
42
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Г=у/(Х- X')* + (у - у')2 + (Z - г')2,
И = >/(*-*')2 + (У-У')2 + ('г + 'г')2- (8.3)
Действительно, когда R/ обозначает одну из точек плоскости z — 0, то и_
обращается в нуль. Что же касается поверхности полусферы, то на ней оба
слагаемых удовлетворяют условию излучения и потому обращают интеграл
в нуль.
Наконец, как видно уже из соображений симметрии, при R/,
обозначающем какую-либо точку на плоскости z — О, имеем
д ехр {гкг\) _ д exp(ikr)
дп г\ дп г
В самом деле, если под п понимать —г', то, поскольку z' в г и г\ входит
с разными знаками, справедливо соотношение
\dz')z,=Q \dz')z,=Q'
С другой стороны, r\zt=Q — ri\zi-Q. Отсюда и следует формула (8.4).
Таким образом, поле произвольных источников, расположенных в
верхнем полупространстве, равно5)
V (,=о)
(8.5)
Теперь достаточно знать (кроме источников) поле на плоскости z = О,
чтобы определить поле повсеместно.
С другой стороны, можно положить
ехр (ik\R — R'|) ехр (iA;|Rx — R'|) ехр (ikr) ехр (ikri)
v0 + <P = v+= ,( + |Ri_R/| = -——+-——.
(8.6)
В данном случае, когда R' есть радиус-вектор одной из точек
плоскости г = 0, вследствие формулы (8.4) исчезает dv+/dn. Поэтому исчезнет
интеграл, содержащий неизвестную функцию и(К') на поверхности 5:
(*=о)
(8.7)
В частности, если точка наблюдения находится на самой плоскости z —
= 0 (например, если речь идет о плоскости, отделяющей землю от
атмосферы, — на поверхности земли), то
ехр (г'Ат)
s) Мы пишем u_(R, R'), а не f-(R, R', Ri), потому что Ri однозначно определяется
заданием R.
§9. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ
43
и поэтому
Сравним это выражение с форму; ой (5.8). Мы помним, что первый
интеграл в формуле (5.8) выражает поле, которое заданные источники U создали
бы в данной точке R, если бы все пространство было однородно и
характеризовалось константой распространения к (т. е. если бы поверхность S можно
было отодвинуть на бесконечность). Обозначая это «невозмущенное» поле
через «o(R), получим в нашем случае
.(R)|,=o = 2MR) + f / У'"" ^ dS, (8.7a)
27Г J ОП Г
(z=0)
где интеграл распространен по плоскости z = 0. Это уравнение в
дальнейшем будет нами широко использовано.
Функции и+ и V- называются функциями Грина для полупространства.
Этими примерами далеко не исчерпываются возможности выбора
специальных функций Грина, облегчающих решение частных задач. Как ясно
из вышеизложенного, функцией Грина может служить любое решение
волнового уравнения, удовлетворяющее тем или иным граничным условиям
на поверхности, которая охватывает интересующую нас область
пространства и имеет особенность типа 1/г, характерную для реально
осуществляемых полей точечных источников. Поэтому функцией Грина может служить
любая функция, описывающая поле, реально возможное при наличии
точечного источника в объеме, окруженном поверхностью с теми или иными
физическими свойствами. Так, например, Vq есть поле точечного источника
в безграничном пустом пространстве. Как мы увидим в § 20, и+ описывает
вертикально поляризованное электрическое поле точечного источника в
полупространстве над идеально проводящей плоскостью, аи. — горизонтально
поляризованное поле в том же пространстве.
В §41 будет показано, что широкий класс проблем для поля над
электрически неоднородной поверхностью может быть исследован, если в качестве
функции Грина выбрать функцию, описывающую поле над плоской (а также
над сферической) поверхностью конечной проводимости (эти функции
выводятся в гл. 5 и 6).
§ 9. Теорема взаимности
Рассмотрение общих соотношений мы завершим изложением теоремы
взаимности. Весьма широкое применение этой теоремы делает ее
чрезвычайно полезной в ряде практических случаев. Примеры использования будут
неоднократно встречаться в дальнейшем.
Пусть мы имеем произвольный объем, заполненный любой комбинацией
сред, от которых потребуем только, чтобы в любой их точке были
справедливы уравнения Максвелла с независящими от поля значениями е' и а.
Рассмотрим поле созданное некоторой распределенной в
антеннах и гармонической во времени системой сторонних сил. В частном случае
44
ГЛ.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЭДС может быть сосредоточена в точечном диполе момента р^\ помещенном
в некоторую точку А\.
Пусть, с другой стороны, можно, выключив эту ЭДС, приложить
некоторое другое стороннее поле той же частоты, например, сосредоточенное в виде
диполя момента р(2\ в некоторой точке Ai (существенно, чтобы включение
и выключение этих ЭДС не сопровождалось какой-либо перестановкой тел,
например, антенн). Мы получим в пространстве некоторое новое
распределение полей: W2\x, у, z) и W2\x, у, z). Оказывается, что поля и
Е^2) могут быть связаны со сторонними ЭДС (в частном случае, с
моментами р(х) и р(2)) некоторым полезным соотношением, выводимым ниже.
Это соотношение и составляет содержание теоремы взаимности. Так как
мы хотим, чтобы окончательный результат был справедлив при
переменных в пространстве е' и сг, то мы, вообще говоря, не можем исходить из
волновых уравнений, а должны обратиться к уравнениям поля, например в
форме (1.1), (1.2) (полагая при этом (l/c)(d/dt) = —гА;0):
rotH^-tdfcbEW + ^E*1)™*
гоШ<2> = -ггАьЕ<2> + ^Е<2>™Р,
rotE(2) = iJfc0H(2).
+Е(2)
+Н(2) (9-1)
-E(D
_Н0)
Здесь мы положили j(')CT°p = сгЕ^)стор, где Е^)стор — напряженность поля
сторонних сил, интеграл от которых дает стороннюю ЭДС, что справедливо,
если проводимость антенн (т. е. области приложения сторонних сил) велика
по сравнению с проводимостью окружающей среды.
Помножим скалярно эти четыре уравнения на векторы, выписанные в
правом столбике, и сложим. Пользуясь формулой
A rot В - В rot A = div [BA],
получим
div [Н^Е*2)] - div [Н^Е™] = — (E^^E^ - E^^PE^). (9.2)
с
Пусть сначала сторонние силы распределены по объему непрерывно, так
что поля Е и Н нигде не обращаются в бесконечность. Тогда полученное
равенство справедливо во всех точках, в том числе и в объеме антенн, где
Е(1)стоР и Е(2)стоР отличны от нуля;
Проинтегрируем уравнение (9.2) по всему пространству. Покажем, что
интеграл от левой части исчезает. Для этого преобразуем его к интегралу
от по поверхности, состоящей из:
а) поверхностей £', £", выделяющих поверхности разрыва
электрических констант S', S", ... (границы раздела сред), и
б) бесконечно удаленной внешней сферы So (рис. 9). Интеграл по £',
£", ... исчезает потому, что хотя при переходе через 5', S" векторы поля
испытывают разрыв, нормальные компоненты [E^'H^jn векторных
произведений непрерывны, поскольку они содержат лишь тангенциальные
компоненты векторов поля, остающиеся непрерывными. Интеграл же по
бесконечно удаленной сфере S0, когда все источники поля находятся на конечном
S9. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ
45
взаимном расстоянии, как обычно, исчезает. Таким образом, интегрируя
соотношение (9.2) по объему, мы получаем
/"Е(1)сторЕ(2)а<П/=: /"E(2)cTopE(l)adK (93)
Здесь интегралы берутся по всему пространству. Фактически, однако, они
распространены только в области действия сторонних ЭДС: левый интег-
Рис. 9. К доказательству теоремы взаимности
рал — по «первому» источнику, правый — по «второму» . Поэтому равенство
(9.3) удобно переписать так:
f a{l)E^CTOp{l)E^{l)dV1 = f a{2)E^CTOp{2)E^{2)dV2. (9.3a)
(i) (2)
Здесь сг(1) и сг(2) — проводимости в области действия соответственно первой
и второй сторонних ЭДС, Е^2'(1) — поле в объеме «первого» источника,
создаваемое при включении сторонних сил Е^2^стор во «втором» источнике,
Е^(2) — поле во «втором» источнике, генерируемое ЭДС, подключенной к
«первому» источнику.
Это равенство и составляет содержание теоремы взаимности в самой
общей форму. В практических случаях его можно существенно упростить и
конкретизировать 6).
6) Из формулы (9.3а), конечно, не следует равенство подынтегральных выражений (как
иногда считают). Это видно, в частности, из того, что антенны 1 и 2 могут иметь разную
форму и тогда равенству подынтегральных выражений вообще нельзя придать никакого
смысла.
46
ГЛ.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где
Распределение тока, как и распределение Естор по сечению антенны,
конечно, может быть неоднородным, так как, например, вследствие скин-
эффекта наружное поле первого источника во второй проводник не всегда
проникает.
Если, однако, можно считать, что Е0™13 распределено в обеих антеннах
по сечению равномерно, то, написав элемент объема проводника dV\ в виде
dVx =dhldSu (9.4)
где dh\ — элемент длины проводника, dS\ — элемент сечения, мы можем
при любом распределении
Я(1) = а(1)Е(2)(1)
проинтегрировать по сечению:
I аЕ^Е^стор dVi = /E(1)cTop<tai ji(2)dSx =
= ffiW'^p(hi)I^(hl)dhu (9.5)
I(2)(^i) = y"j(2)(l)^i (9-6)
есть полная сила тока в первом проводнике, появляющаяся в его сечении на
высоте hi при включении ЭДС во второй антенне. Таким образом, получаем
следующую форму теоремы взаимности:
Г /(2)(/*i)£(1)cTop(/*i) dhi = Г I^(h2)E^CTOp{h2) dh2, (9.7)
(1) (2)
где подразумевается, что векторы спроецированы на направление оси
проводника.
Если, наконец, ЭДС прикладывается на весьма малом участке
проводника, то l(2\hx) и I^(h2) можно вынести из-под знака интеграла, а
величину
fE(i)^opdh. = €(i) (98)
(»)
обозначать как стороннюю ЭДС. Тогда
/(^(Л?)^1) = I^(h°2)S{2\ (9.9)
где hi и Щ — точки приложения сторонних ЭДС в соответствующих
проводниках.
Таким образом, простые формулировки (9.7), (9.9) получаются только
при определенных предположениях о подводимых ЭДС и распределении
токов. Однако в действительности уже из-за скин-эффекта эти предположения
могут не соответствовать действительности. Тем не менее, мы можем
истолковать выведенную для общего случая формулу (9.3а), если ограничимся
рассмотрением сосредоточенных ЭДС, проще всего — точечных электриче-
§9. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ
47
ских диполей. При этом, с другой стороны, мы выиграем в общности
приложений, так как в окончательном результате речь будет идти не о полях,
наводимых одной антенной в материале другой антенны, а о поле,
создаваемом излучением антенны в пространстве.
Мы могли бы для вывода теоремы взаимности в этом случае, как это
обычно делается, исходить по-прежнему из уравнения (9.2), но,
интегрируя по объему левую часть, необходимо было бы выделить малыми сферами
точки А\ и Аг, а затем устремить радиусы сфер к нулю. При этом нам нужно
было бы в интеграле по малым сферам подставлять выражение для поля
точечного диполя, окруженного средой с некоторыми Е\ или e^i характерными
для сред, окружающих точки А\ и Ai (см. (6.5)). Но мы можем поступить
и иначе, именно, совершая предельный переход от случая распределенных
источников.
Мы знаем, что если проводимость антенн достаточно велика по
сравнению с проводимостью окружающей среды, то имеют место уравнения (2.4),
отличающиеся от уравнений (9.1) только тем, что под е нужно всюду
понимать комплексную диэлектрическую проницаемость среды в данной точке,
а вместо сгЕстор подставить полный ток j0 в данной антенне.
В таком случае формула (9.3) принимает вид
J j0X)E(2)(l) Щ = J j02)E(x)(2) dV2. (9.10)
(1) (2)
Здесь E^^A:) — напряженность поля в месте расположения А;-й антенны,
когда сторонняя ЭДС подключена только в месте расположения г-й антенны,
рассчитанная, однако, в предположении, что свойства материала в объеме
обеих антенн совпадают со свойствами окружающих сред (см. §2). Таким
образом, можно сказать, что, например, Е^2'(1) — поле в месте
расположения первой антенны, которое установилось бы, если бы эта первая антенна
отсутствовала, а работала бы вторая антенна и ток jj, ' был бы создан в месте
расположения второй антенны7).
При указанном смысле величины Е^''(А;) ясно, что, имея дело с точечным
источником, можно вынести ее из-под знака интеграла. С другой стороны,
остающийся интеграл, согласно формуле (6.4а), выражается через диполь-
ный момент источника. Сокращая на i/u> обе части уравнения, окончательно
получаем
р(1)Е(2)(А1) = р(2)Е(1)(А2). (9.11)
Для двух диполей с одинаковой действующей высотой это соотношение
можно переписать так:
l(i)E(2)(Al) = 1(2)Е(1)(д2). (9.12)
причем 1^ — амплитуды токов в диполях.
) Строго говорч, мы пренебрегаем влиянием неработающей i-й антенны на работу
передающей к-й антенны. Если обе антенны достаточно малы н взаимно удалер.ы, то это
влияние исчезающе мало.
48
ГЛ.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эти две формулы представляют собой наиболее распространенную форму
теоремы взаимности. Изложим еще раз ее содержание8).
Поместим в точках А\ и А2 произвольно неоднородного пространства
одинаковые точечные диполи, направленные вдоль некоторых осей. Пусть,
создав в одном из них переменный момент с амплитудным значением тока
1^1\ получим в точке расположения второго диполя А2 составляющую поля
Е^\А2) вдоль его оси. Тогда, возбудив во втором диполе момент той же
частоты с амплитудным значением тока F2' (при выключенных ЭДС
первого диполя), получим в точке расположения первого диполя А\ в
направлении его оси поле Е^2\А\). Эти поля и амплитудные значения токов и
связаны соотношением (9.12). В частности, если амплитудные значения
токов равны, то и поля равны. Другими словами, диполь, помещенный в
точке А\ и направленный вдоль hi, создает в точке А2 вдоль направления h2
электрическое поле, равное тому, которое в точке А\ в направлении h\ было
бы создано этим диполем, помещенным в А2 и направленным вдоль h2. Эта
теорема справедлива при любых проводимостях сред, при которых остаются
справедливыми наши исходные уравнения поля (2.4). Как показано в §2,
они верны, если проводимость антенны много больше проводимости
окружающих сред9). Они принципиально неверны, например, в ионосфере,
где свойства среды зависят от амплитуды поля и, таким образом, уравнения
могут быть нелинейны.
Следует отметить, что иногда в понятие «теорема взаимности»
вкладывают несколько иное содержание. Именно, рассматривают два поля Ei, Hi
8) Обратим внимание, что в соотношение (9.12) не входят явным образом константы сред в
точках расположения антенн. В правильности этого результата можно убедиться следующим
образом. Пусть антенны в действительности окружены произвольными средами. Если затем
удалим эти среды из весьма тонких слоев, окружающих каждую из антенн, то, разумеется,
это не может повлиять на поле каждой антенны вдали от нее. С другой стороны, после
этого антенны окажутся в вакууме н равенство (9.12) должно быть справедливо. Значит, оно
вообще не может содержать постоянных среды.
9) Формула (9.12) отличается от той, которая иногда приводится в литературе в
качестве выражения теоремы взаимности для точечных диполей в среде с проводимостью, когда
вместо (9.12) пишут
^1(1,В(а,И0 = ^1(2)Е(1)(Л2). (9.13)
£1 £2
Здесь £i, е[ и £г, «2 — комплексная диэлектрическая проницаемость и ее вещественная
часть соответственно в точках расположения первого и второго диполей. Таким образом,
различие формулировок возникает только в том случае, если среды в точках Ai и уЬ
обладают проводимостью. Причина этого различия состоит в том, что при выводе соотношения
(9.13) полагали электрическое поле в непосредственной близости от диполя с мгновенным
значением момента р, равным электрическому полю в соответственном диэлектрике, т. е.,
например, поле на расстоянии Ri от точки Ai с диполем момента р полагали равным (при
|fcfiIv^T| -С 1)
Между тем, как видно из формулы (6.5), справедливой при нашем условии о проводимости
(проводимость среды значительно меньше проводимости антенны), в формуле (9.14) вместо
множителя \/е[ в действительности должно стоять l/ei. Разумеется, формулу (9.12) можно
получить также, выделяя диполи малыми сферами и устремляя радиусы этих сфер к нулю,
если только для Е использовать выражение (9.14) с е[, замененным на ej.. Применение
неверной формулы может привести к значительным ошибкам (ср. §31).
§9. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ
49
и Ег, Нг, созданные, скажем, разными источниками, или при разных
расположениях тел. Так, например, одно из них может быть полем
радиолокатора в отсутствие цели, а другое — его полем при наличии отражающей
цели. Рассматривая область пространства, в которой расположение тел
остается неизменным и в которой отсутствуют сторонние силы, мы можем вновь
воспользоваться уравнением (9.2). Интегрируя его по объему и преобразуя
объемный интеграл в поверхностный, вновь получаем нуль от интегралов по
поверхностям разрыва (Е', Е" и т. д.), так что остается
f{[H^E^]n - [HWEW]B} dS = 0, (9.15)
где интеграл распространен по поверхности, охватывающей объем (и, в
случае необходимости, по поверхностям, выделяющим внутри объема те
области, в которых присутствуют сторонние токи или в которых изменяются
условия, например, появляется новая среда, отражающая цель и т. п. при
переходе от поля (1) к полю (2)). Если поле Е^\ Н'1' известно, то отсюда,
при умелом использовании, можно извлекать результаты для поля Е^2\ Ш2)
(см., например, [13, приложение А, с. 686]).
Теорема взаимности может быть сформулирована и для полей,
созданных магнитными диполями. В этом случае уравнения Максвелла имеют
вид (3.14) и, кроме того, существуют соотношения (6.6), (6.7).
Приведенные выше рассуждения, дающие теорему взаимности (9.11), могут быть
полностью повторены и в этом случае. Они, очевидно, дадут
щ(1)н(2)(Л1) = т^Н^)(Л2), (9.16)
т. е. два магнитных диполя т^ и т^2), помещенных в разных точках А\
и Лг, дают каждый такое магнитное поле Н^^Лг) или ~ВУ2\Л\) в точке
расположения другого диполя, что скалярное произведение этого поля на
момент расположенного здесь другого диполя в обоих случаях одно и то же.
Глава 2
ОБЛАСТЬ ПРОСТРАНСТВА, СУЩЕСТВЕННАЯ
ДЛЯ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Условия, в которых происходит распространение радиоволн вблизи
земной поверхности, даже если мы ограничимся теми случаями, когда от
влияния ионосферы можно отвлечься, разнообразны и сложны. Различные
факторы (присутствие земной поверхности, ее рельеф, неоднородность
электрических свойств почвы, меняющаяся с высотой плотность воздуха,
турбулентные неоднородности атмосферы и т. п.) невозможно, да обычно и не
нужно учитывать все сразу. Они сказываются по-разному, смотря по тому,
каковы длина волны излучения и расположение приемника и передатчика.
Для оценки относительной роли разных факторов прежде всего
необходимо знать, какова та область пространства, которая существенно
захватывается процессом распространения в данных условиях. Для этого
рассмотрим некоторые вопросы, связывающие теорию распространения радиоволн
в однородной среде с волновой оптикой.
Распространение радиоволн вблизи земли, несомненно, в ряде случаев
весьма сходно с теми явлениями, с которыми имеет дело волновая оптика.
Так, распространение сантиметровых волн между пунктами, поднятыми на
высоту нескольких сотен метров (мачты телевизионных и ретрасляционных
станций), должно очень напоминать распространение луча в свободном
пространстве. Однако уже в этом примере мы сталкиваемся с особенностями
еще более существенными, когда речь идет о более длинных волнах.
Главной из них является близость источника и (или) точки наблюдения к
поверхности раздела сред с разными электрическими свойствами к поверхности
земли. Мы увидим, что обычно простая малость длины волны в одной из
сред по сравнению с расстоянием до поверхности раздела не может служить
достаточным критерием: корреспондирующие точки могут быть удалены от
земной поверхности на много длин волн, но если расстояние между ними
очень велико, то условия существенно отличаются от условий, обычных для
оптики. Правда, исследуя проблемы радиотелеграфии, Л.И. Мандельштам
еще в 1914 г. указал на оптическое явление, в котором проявляются
аналогичные особенности благодаря близости источника к поверхности раздела
двух сред [17]. Но это было специально подобранным исключением.
Несмотря на эти особенности, необходимость привлечения оптической
теории дифракции почти очевидна. Уже давно пытались использовать
теорию дифракции от края плоского экрана, чтобы описать искажающее
действие холмов на распространение ультракоротких волн. Однако
примененная идеализация была чрезмерно далеко идущей. Этот путь может быть
успешным только в ограниченном числе случаев (см. §53).
Мы в этой главе извлечем из теории дифракции не полные решения
отдельных проблем, а некоторые полуколичественные критерии, которые
понадобятся нам в дальнейшем для оценки влияния различных изменений
условий распространения радиоволн на волновое поле.
§ 10. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 51
§ 10. Прямолинейное распространение света
и метод стационарной фазы
Займемся интегральным уравнением (7.1) для вектора Герца:
Здесь объемный интеграл распространен по произвольному объему,
включающему точку наблюдения A(R). От этого объема, вообще говоря, требуется
лишь, чтобы он был заполнен однородной средой, характеризуемой
константой распространения к; Р — плотность поляризации, связанная с
плотностью тока в источниках поля формулой j0 = —iu;P; n — внешняя по
отношению к объему V нормаль к поверхности 5, охватывающей объем; v —
функция Грина, которая может быть всегда положена равной ехр (ikr)/r, но
в отдельных случаях ее можно брать и в ином виде. Такое же уравнение
справедливо для любого вектора поля, подчиняющегося волновому
уравнению, в частности, вместо П можно подставить Е или Н, если Р заменить
источниками полей Е и Н согласно уравнениям (3.9 а, б).
Как уже упоминалось, эта формула содержит принцип Гюйгенса, в
частности, из нее в некотором предельном случае вытекает прямолинейное
распространение света. Из нее же следуют нарушения и ограничения
прямолинейности распространения, связанные с явлениями дифракции. Принцип
Гюйгенса можно получить, например, в нижеследующей формулировке.
Если известно, что в точке О однородного пространства находится
источник колебаний, дающий на некоторой замкнутой вокруг О
поверхности S поле вектора П = р ехр (ikp)/p, где р — расстояние от О до этой
точки поверхности S, то в любой
точке А, находящейся вне поверх- ^^.*~-"~ \
ности S и удаленной от О на
расстояние D, поле вектора П можно /'
считать созданным не истинным /
источником, а виртуальными ди- /
полями и квадруполями, распреде- /
ленными специальным образом по /
поверхности 5. Они также дают |
П = рехр (ikD)/D. Таким обра- \
зом, в этой внешней по отношению \
к S точке поле можно произвольно
считать либо результатом
суперпозиции сферических волн,
излучаемых различными элементами
поверхности 5, либо дошедшим сюда л ^-^-«.^ I
непосредственно по прямой О А. ~~~ "—
Получим этот результат из
уравнения (10.1) и воспользуемся
самим выводом, чтобы
проиллюстрировать применение одного математического приема, имеющего простой
физический смысл и чрезвычайно важного для дальнейшего.
\
N
Рис. 10. Прямолинейное распространение
радиоволн
52 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Сначала для определенности будем считать к вещественным. Пусть
поверхность S состоит из бесконечной плоскости, перпендикулярной к отрезку
О А, и из бесконечной полусферы, опирающейся на эту плоскость и
замыкающей объем, в котором находится источник (рис. 10).
В объеме V, в котором находится точка наблюдения, нет источников,
р = 0. Поэтому, выбрав, как показано в §8, функцию Грина одним из двух
способов (и = и_ или v = и+), можем получить два равноправных
выражения для П (см. (8.5) и (8.7а)):
П(К) -~^J ЩЯ)- i^-^ dS , (10.2)
П(К) - 2^ J ^ |R-R'| dS ' (1°-3)
где интегрирование производится по всей плоскости, причем |R— R'| = г,
II(R') = pexp (ikp)/p (таким образом, благодаря специальной форме
поверхности удается выбрать такую функцию Грина, что виртуальные источники
являются только квадруполями или только диполями).
Рассмотрим выражение (10.3). Здесь (см. рис. 10)
др _ Д) д exp(ikp) _ / 1 \ ехр (гкр) р0
дп р ' дп р \ р) р р '
где ро — расстояние от точки О до плоскости. Так как точка наблюдения
у нас всегда будет находиться в волновой зоне, то можно считать, что хотя
бы ро (а, может быть, также и го) велико по сравнению с длиной волны:
Ро/^ ~3> 1. Значит, и подавно р ~3> А, и так как к = 2я-/А, то тем более
А;р>1. (10.4)
Следовательно, \/р мало по сравнению с ik и может быть отброшено.
Поэтому
n(R) = ^fgoexp[iHr + ,)]d5,
27Г J р гр
Этот интеграл имеет своеобразный характер. Если при интегрировании
г и р будут меняться, то благодаря условию (10.4) даже относительно малое
изменение р вызовет быструю осцилляцию множителя ехр [ik(r -\- р)], т. е.
частое изменение знака как вещественной, так и мнимой частей
подынтегрального выражения. С другой стороны, остальные множители
подынтегрального выражения меняются при относительно малом изменении р и г
также относительно мало.
Как увидим в дальнейшем, эти особые свойства интегрируемой
функции являются весьма общими для всех тех случаев, с которыми приходится
иметь дело в теории распространения радиоволн. Почти всегда хотя бы одно
из расстояний — от источника или от точки наблюдения до поверхности, по
которой приходится интегрировать, применяя соотношение (10.1), — велико
по сравнению с длиной волны. Это подчеркивается еще тем, что расстояние
должно быть велико не по сравнению с длиной волны, а по сравнению с
длиной волны, поделенной на 27Г, так как большой величиной должно быть
произведение кро = 2ттр0/\.
§10. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 53
Длину волны, поделенную на 2л-, мы будем обозначать буквой Л:
*р0=^>1, А = ^. (10.4а)
В далеком предельном случае, когда отношения всех расстояний к Л
настолько велики, что чрезвычайно велики также и все комбинации всех
возможных расстояний, если только у них в знаменателе стоит Л в какой-
либо положительной степени, мы в конце концов приходим к
геометрической оптике. В теории распространения радиоволн вдоль земли положение
обычно является промежуточным: соотношения типа (10.4) справедливы, но
их левые части не настолько велики, чтобы волновыми явлениями
(дифракцией) можно было пренебречь. Наоборот, учет этих явлений и представляет
главный предмет теории. Поэтому рассмотрение интегралов с подобными
подынтегральными выражениями имеет принципиальное значение.
Как оказалось, эти интегралы с достаточной (и притом контролируемой)
точностью когут вычисляться с помощью метода стационарной фазы.
Этот метод показывает, в частности, что наиболее существенной областью
интегрирования является та, где показатель осциллирующей функции имеет
экстремум, т. е. область, где фаза стационарна относительно малых
смещений. Остановимся на этом методе подробнее.
Рассмотрим его сначала для одной переменной, именно, рассмотрим
интеграл
G= У exp[tpv>(0]/(0#, (Ю.6)
— со
в котором р — большое число: р ^> 1; <£>(£) и /(£) — безразмерные функции
безразмерной же переменной £. Удобно считать, что они имеют
абсолютную величину порядка единицы и производные того же порядка. Однако
подлинные условия, которым они должны удовлетворять, изложены ниже.
Предположим, что <£>(£) обладает единственным экстремумом в некоторой
точке £о> причем для конкретности пусть это будет минимум:
V'tfo) = 0, <р"(£о) > 0. (10.7)
Введем новую переменную
«2 = P[V(0-V(fc)], (Ю.8)
2и du = w'tf) d£, -^ = ^P<f'(0, (10.8a)
так что пределами интегрирования станут
«i,2 = vMv(Too)-v>(&)]. (10.86)
Поскольку функция <р монотонно возрастает от точки £0 в обе стороны,
ui и t*2 являются положительными числами и притом большими, так как
р велико. Интеграл по и можно разбить на два. Заметим, что <£>'(£) имеет
разные знаки по обе стороны от точки минимума £о- Поэтому в интервале
0 < u < ui, получаемом из интервала —оо < £ < £о? имеем <^>'(£(и)) =
54 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
= —1<^'(£)| < 0, а во втором интервале 0 < и < «2 будет <р'(£(и)) > 0.
Следовательно, используя равенство (10.8а), можно написать
G = exp [w(£o)] <
У-ф (•■«')/(«•)) (1/2.w;({W)i
к О
(1/2о)Ру(««))|
и
Рассмотрим, например, первый из этих интегралов, G\:
и
О, = - exp [w(&)] / exp (.V) —j^-j»^—.
»=G! + G2. (10.6a)
(10.9)
Разложим знаменатель в ряд по и вблизи точки и = 0. Нам понадобится
знать величину
(£) .
Из (10.8а), раскрывая неопределенность, получим
/d£\ _ 1и _ 2du/d$, _ 2 /du\
так что
и«Л=& V^'tfo)
(10.10)
Согласно (10.10), находим (штрих повсюду означает дифференцирование
по О
f
l2<p"(Zo) и
Р Жо)
Следовательно,
exp [ip<p(Zo)] /(&)
+
9"'Ы
2/'(&)
p/(W(&) p/2(£o)J
«2 +
(10.10а)
■G,=
у/р^Ш/^
?
s 1+чА
ехр (г'и2) du
^/1/(2Р9"(^о))к"(6)/9"(^о) - 2/'(&)//Ы]«
(10.11)
+
Таким образом, знаменатель оказывается разложенным по степеням
величины
P<f"(Zo)
и.
§ 10. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 55
Считая р очень большим числом, в качестве нулевого приближения получаем,
оставив в знаменателе только единицу,
j Щ
d и G0 = -J —!_/(&) exp [w(&>)] J exp (iu2) du. (10.12)
' о
Входящий сюда интеграл сводится к известным интегралам Френеля. Нам
важно, что по мере роста и\ он быстро стремится к некоторому пределу:
х
1 1-3
/
/ • ?ч . 1 /—: ехР (ix2)
exp(tt2)dt=-v^7+ У2\х '
1 + ^т-х +
2ix2 (2ix2)2
+ ...
(10.13)
где у/г = ехр (in/4). Это разложение получаем, выделив интеграл от 0
до оо и интегрируя многократно по частям, причем каждый раз считаем
exp (it2) dt = d exp (it2)/(2it). Таким образом, если x —> oo, то этот
интеграл равен (l/2)y/ni + 0(1/я).
Если положить t2 = 7г£2/2, то получим другую форму:
2/7ГХ
/
ехр (г'тг£2/2) d£
у/г /У ехр (ix2)
^Д V тг 2Лх
1 1-3
2га;2 (2га;2)2
или при у/2/пх = v
(10.13а)
F(v) = Jexp(i7re/2)dt=Z± +
у/г ехр (mv2/2)
niv
1 1-3
1 Н 1 h . •
7гги2 (inv2)2
(10.136)
Это выражение называется интегралом Френеля. Интегралами Френеля
(или соответственно косинус-интегралом Френеля и синус-интегралом
Френеля) называются также раздельно взятые его вещественная и мнимая
части:
V V
C(v) = Jcos?fdt, S(v) = Js\n^-dt (10.13b)
о о
F(v) = C(v) + iS(v).
Очевидно (см. (10.136)), что
С(оо) = 5(оо) = 1/2,
и вообще
/
ехр (ia£*) d£= \j— = «/ — ехр (г'7г/4).
а \ а
(10.13т)
Это формула верна и при комплексном а, если Ira a > 0. Действительно,
мы можем вычислить квадрат этого интеграла, переходя при вычислении
56 ГЛ.2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
к полярным координатам, d£d£' = r dr dip, £2 + £ 2 = г2, а затем, полагая
г2 = t:
+00 +00
/2= |^У>'ехрИ£2 + £'2)] =
оо 2п оо
= I г dr I dip ■ ехр (гаг2) = 7Г / exp (га£)
-00 —00
2тг
7гг
Отсюда вновь следует соотношение (10.13г).
Вернемся к нашему интегралу G (10.6), (10.6а), (10.9). Если в
знаменателе в интеграле (10.11) допустимо ограничиваться единицей и если Ui и
t*2 достаточно велики, то, согласно формуле (10.13г),
2т /tfo)exp[tpv>(&)]. (10.14)
PP"(Zo)
Желая получить поправки порядка l/u^ или 1/иг, мы должны учесть не
только поправочные члены в разложении (10.13), но и отличие от единицы
знаменателя в (10.11).
Можно написать
/=/exP(^yU 1- , l №-Ж)ц + ... .
(10.14a)
Здесь поправочные член дает элементарный интеграл. Условие его
малости формулирует требования, предъявляемые к функциям <р и / в
рассматриваемом методе. Проистекающая отсюда поправка исчезает, как легко
убедиться, если ui = u<i- Но, кроме того, этот член вообще отсутствует,
если <р и / являются четными функциями и (см. (10.10а)). Именно этот
случай, который мы в дальнейшем и будем иметь в виду, как убедимся,
осуществляется в интересующей нас проблеме, связанной с интегралами
типа (10.5). (Это обусловлено тем, что г и р зависят от квадрата
переменной интегрирования х или у; см. ниже.) Следующие члены
разложения (10.10а) имеют уже порядок 1/р<р"(£о) и, если <р ограничено,
несущественны по сравнению с возникающими в разложении (10.13) членами
порядка l/ui,2 ~ l/Wp[<£>(±oo) — <£>(£о)], которые в этом случае только и
нужно учитывать:
/ 2п
X ехр (in/4)
1 ехр (ги?) ехр(ги?>)\ . . . .
1 + ( А, + А, ) ехр (-3W4)
(10.15)
л/nUi ypKU-i
Пренебрежение квадратной скобкой эквивалентно случаю и\ = u<i — 00.
Это значит, что с точностью до поправочных членов в скобке мы можем в
интегралах (10.6а) или (10.12) отодвигать пределы в бесконечность.
§ 10. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 57
Мы рассмотрели частный и простейший случай интегралов типа (10.6).
Если бы точка £0 была максимумом, а не минимум для <£>(£), <р"{£о) < 0, то
вместо и2 (10.8) мы ввели бы переменную
«2 = p[v(fc)-v(0], (10Л6)
и, повторяя все предыдущие рассуждения, пришли бы к выводу, что
27Г
г/(&) exp [tpy>(&)] X
P|V"«0)I'
. ,2\ ov„ /■ V.,2-\
X exp (—г7г/4)
j /exp(-n,?) exp(-,ug)\
(10.17)
Следующий по сложности случай — это, когда интеграл в формуле (10.6)
берется в конечных пределах:
X ь
G = G(a, Ъ) = J f(t) exp [ip<p(0] d£. (10.18)
a
Поступая, как и раньше, т. е. вводя новую переменную и по формуле
(10.8) или v по формуле (10.16), будем иметь дело с теми же интегралами
(10.6а) или (10.12), однако пределы интегрирования теперь равны
«i = \/p[v(a)-V(&)], »2 = y/p[<p(b)-<p(to)] (10Л9)
(и аналогично в формулах (10.16), (10.17)). Мы предполагаем, что Ui и и2
велики, поскольку велико р. Более общий случай см. в работах [18, 19].
Отличие квадратной скобки в соотношении (10.15) от единицы будет
теперь отражать влияние конечности интервала интегрирования.
Если экстремум лежит внутри интервала интегрирования, но не
является единственным, то иногда также можно применять метод стационарной
фазы. Для этого следует разбить интервал на меньшие интервалы так, чтобы
в пределах каждого интервала оставался только один экстремум, и затем к
каждому из них применить формулу (10.15) или (10.17), что допустимо при
ограничениях, ясных из сказанного выше. Прежде всего необходимо, чтобы
щ и V{, соответствующие границам каждого малого интервала, были
достаточно велики.
Уже при х и 8 интеграл (10.13) отличается от его значения в
бесконечных пределах менее чем на 10%. Таким образом, если эта точность
достаточна, то при интегрировании по и существенна область значений и
вблизи нуля, в которой и < 10. Поэтому, определяя из соотношения (10.86)
границы интегрирования по и, можно сказать, что существенна та область,
в которой <£>(£) отличается от значения в экстремуме <р(£о) на величину
порядка 100/р. Если р велико, то это указывает в масштабе £ весьма узкие
пределы для существенной области.
58 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Следовательно, согласно формуле (10.14), для интегралов типа (10.18),
содержащих произведение быстро осциллирующего множителя на
медленно меняющийся множитель /(£), можно медленно меняющийся
фактор взять в той точке, где показатель экспоненты имеет экстремум,
и вынести его за знак интеграла, и, кроме того, ввиду
несущественности удаленных областей интегрирования пределы можно раздвинуть в
бесконечность.
Заметим, что применение метода стационарной фазы требует, по
существу, чтобы было велико не р, а р<р"(£о)- Поэтому, если даже фаза не имеет
вида р<р(£), но вблизи некоторой точки £0 имеет экстремум и быстро
меняется на длине Д£ ^С 1, этот метод также справедлив. Так, например, если
в показателе вместо р<р(£) стоит <р(у/р£), где под <р(х) понимается функция,
имеющая, как и ее производные, величину, вообще говоря, порядка
единицы, и притом такая, что при изменении х на величину порядка единицы
<р(х) также меняется на величину порядка единицы, то для большого р при
изменении £ на малую величину функция <р(у/р£) может испытать много
осцилляции. Поэтому, повторяя прежние рассуждения, получим вместо
формулы (10.9) выражение
G= J /(О exp [MVK)] # = / е*Р MvRo) + '^ [^(^)]/(2fl '
—со
10.20)
где и2 = <р(у/р£) — <f{y/P^o), а штрих означает дифференцирование по
аргументу. Учитывая, что теперь вместо (10.10) будет справедливо соотношение
(=)„.=шт (10-21>
и производя такие же преобразования, опять получим
/2я"г
G*G0= Jр^(^о)ехР ЫуШ]№). (Ю.22)
Такой подход к интегралу, содержащему быстро осциллирующую
функцию, возможен и тогда, когда стационарная точка лежит вне (конечного)
интервала интегрирования а < £ < Ь (подробнее см. [18, 19], случай
двукратных интегралов см. [12, 11, 21-23].
Практически метод стационарной фазы применяют следующим образом.
Если задан интеграл (10.18), то раскладывают <£>(£) в ряд около точки £0 и
ограничиваются квадратичными членами (<£>'(£о) = 0):
V>(0 = Vtfo) + V(£o)(£ - <£о)2. (10.23)
Тогда
о
G = exp [iptp(to)] I /(О ехр
^"(Ш-ЬУ
d£. (10.24)
Вынося значение /(£) в точке £ = £0 из-под интеграла и применяя формулы
(10.13) для интегралов Френеля, получаем результат (10.17). Очевидно, что
§ 10. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 59
выносить из-под знака интеграла /(£) в точке экстремума и в то же время
сохранять второе слагаемое в скобке в (10.17) (или применять (10.15)) можно
только в том случае, если разложения как <£>(£), так и /(£) не содержат
членов, которые дали бы вклад того же порядка, что поправка в (10.17) (ср.
сказанное после формулы (10.14а)).
Если /(£) изменяется в пределах интегрирования не очень слабо, то
результат можно уточнить, полагая /(£) = exp (in /(£)) и
г'МО + In №) = гФ(0 * г |ф(&) + *^(£ - 6)2} , (Ю.25)
где £i — стационарная точка полной фазы, Ф'(^1) = 0. Затем можно
применять прежний метод. Однако при этом может возникнуть мнимость фазы
Ф, и мы должны это уточнение осуществлять в рамках более общего метода
(соответствующего случаю комплексного р или <£>(£)) — метода перевала, о
котором речь пойдет ниже.
Может оказаться, что <^"(£о) мало или даже обращается в нуль. В таком
случае разложение (10.23) должно быть продолжено, например,
V>(0 = Vtfo) + \<Р"(Ш - &>)2 + \<РМ(Ш ->о)3. (Ю-26)
Подстановкой
*~&-у^чь) ^o) (10-27)
разложение <£>(£) приводится к виду, не содержащему квадратичных членов
вообще. Вынося после этого из-под интеграла значение /(£) при £ = £0
(допустимость этого требует, вообще говоря, дополнительного обоснования,
подобно тому, как это было сделано выше), мы получаем [196, 18]
G = ехр
ip V>(6») +
3
2
/(&)
dx, (10.28)
* =
X / ехр i ( tx+ -x3\
1р№123П~"
2 ?"'(&) \РР"'(£оУ
Фигурирующий здесь интеграл есть интеграл Эйри. Для него
существуют подробные таблицы. При <£>"(£о) = 0 (стационарная точка есть точка
перегиба), учитывая, что (см. [66а])
оо
/Г -рЗ 27Г
exp(ix3/3)dx = 2Jcos — dx = 2у^(0) = 32/зГ(2/з)' (1°'28а)
о
где и(0) = lmw(0), w(t) — функция Эйри, и(0) = 0,62927..., получаем
О = /(6) ехр iwtfo)] JIjjZ . ¥j^m. (Ю.286)
60 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Возможен, однако, и другой подход [20]. Вместо того чтобы сводить этот
особый случай к табулируемому интегралу, поскольку все равно разложение
(10.26) справедливо лишь с точностью до кубичных членов, можно <р
заменить суммой тригонометрической и линейной функций, так что интеграл
примет форму интегрального представления функции Бесселя. В результате
G выразится через цилиндрические функции большого порядка от большого
аргумента. Для них известны удобные асимптотические представления.
Так, например, можно положить
V(0 = Vtfo) + Щ ~ &>) + Ф1п <*$, ~ sin а&), (10.28в)
где £0 определяется условием <р'(£о) = 0, а три константы 6, с и а
определяются из требования, чтобы эта аппроксимация передавала <£>(£) с точностью
до членов третьего порядка относительно £ — £0:
¥>'(£о) = b + cat cos a£o = 0,
¥>"(£о) = -ca2sina£0,
V#W(&) = -ca3cosa£0.
Полагая после этого
а£ = в, а£0 = Р, = ccosa£0 = v,
а
приводим интеграл к виду
J exp [w(0] di = | exp {tp[y>(&) - i/(tg/3 - /3)]} X
x / exp [tpi/(sec /3 • sin в - в)] dd. (10.28r)
Остающийся интеграл при соответствующем выборе пределов переходит
в цилиндрическую функцию [27] Zpv(pi/ sec /3), причем
^чр=ь^Ш' v=-(f)3^(&>- (1°-28д)
До сих пор мы говорили об интегралах G (10.6) с чисто вещественными
р. Если р— чисто мнимое число с положительным знаком, то высказанные
утверждения справедливы еще в большей мере. Действительно, в интеграле
оо
G(i\p\) = J № exp [-\РШ] dt (10.29)
если функция /(£) не влияет существенно на сходимость интеграла,
функция <£>(£) должна быть положительной. Здесь /(£) может (в отличие от случая
вещественного р) даже возрастать, лишь бы это возрастание не было
слишком быстрым. Для такого интеграла очевидно, что существенной областью
является область, примыкающая к экстремуму — и притом обязательно к
§ 10. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 61
минимуму — функции <£>(£). Вводя опять переменную и2 = |р| [<£>(£) — 9(£о)],
это обстоятельство легко связать с быстрой сходимостью гауссова интеграла
f / 2ч , V^r ехр (-я2) Г 1 1-3
О
получающегося из (10.13) при замене —it2 = t2.
Различие между случаями вещественного и мнимого р состоит, таким
образом, в том, что при мнимом р важна область минимума фазы, а при
вещественном р — в равной мере область минимума и максимума.
Существенно также, что влияние далеких областей в случае
вещественного р убывает лишь как 1/р£, в случае же мнимого р — гораздо сильнее:
экспоненциально. Поэтому если интервал интегрирования не бесконечен,
то положение границы интегрирования для вещественного р сказывается в
членах порядка 1/р£ь где £i — расстояние до границы, а для мнимого р —
в членах порядка ехр (—р£2), т. е. гораздо слабее.
В действительности оба эти случая являются частными случаями более
общего рассмотрения, справедливого для интегралов вида (10.6) при р, не
являющемся ни вещественным, ни мнимым. Более того, здесь уже не имеет
смысла ограничиваться интегрированием по вещественным значениям £.
Рассмотрим поэтому интеграл
G(p) = J f(t) ехр [v>(0] d£, <p = <pi + i<p2, (Ю.30)
с
взятый вдоль некоторого контура С в комплексной плоскости £. Функцию
<р, в которую мы теперь включили большой параметр р, предположим быстро
меняющейся при изменении £.
Нас интересует случай, когда на плоскости £ на конечном расстоянии от
начала существует такая точка £0, что в ней производная <р обращается в
нуль:
(!L=°- (io-3i)
Из теории функций комплексного переменного известно, что, вообще
говоря, grad<^! (т. е. вектор, указывающий направление наиболее быстрого
изменения <р\) в каждой данной точке направлен по линии, вдоль которой
<Р2 постоянно, и наоборот. Точка £ = £0 отличается тем, что в ней (если
<р" ф 0) перекрещиваются под прямым углом две (если <р" = 0, то более
двух) линии, вдоль которых постоянно <fi и, одновременно, две (или более)
линии, вдоль которых постоянно <f2- Следовательно (рис. 11), окрестность
точки £0 разбивается, во-первых, на четыре сектора, разделяемых линиями
fi = <Pi{€o) = const, в которых <pi(£) попеременно больше (а и с) или
меньше (6 и d), чем в точке £0- Если изображать <£i(£) в виде рельефа над
плоскостью £, то от точки £0 в два противоположных сектора (6 и d)
поверхность <pi(£) будет опускаться, в два других, расположенных крестообразно
относительно первых — подыматься (в самой точке £0 функция <рг, а также
<Р2 имеют экстремум). Следовательно, <£i(£) образует седловидную поверх-
(10.29а)
62 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
ность, которая в то же время напоминает рельеф горного перевала; ц>г также
образует седловидную поверхность, однако в точке £о линии <р2 = const
проходят относительно линий <р\ = const под углами, равными 45°.
L
Re© &
—^^^
© II
if
i ^
\
©
^^Сг
©
f'* const
Рис. 11. Метод перевала и метод стационарной фазы
Предположим, что контур С проходит через точку £о из одного сектора с
91 (£) < fi(£o) (скажем, из d) в другой такой же сектор (6). Модуль функции
ехр (<£>(£)) будет проходить через максимум, и очевидно, что главный вклад
в интеграл будет давать окрестность точки
Повыше говорилось, что направление градиента, т. е. быстрейшего
изменения <рх, — как его называют, направление крутейшего спуска —
одновременно является направлением неизменного <р2• Контур С может проходить
как раз вдоль этого направления С = С\. Но если даже это не так, он в
большинстве случаев может быть смещен до совпадения с этим направлением
(нужно лишь, как известно, принять во внимание пересекаемые при таком
смещении полюса). Тогда в любой точке на контуре С\ <р2(£) = 92 (£о) и
потому <р(£) = <р(£о) + <fi (£) — 9i(£o)- Следовательно, можно написать
G = ехр [<р(£0)] J ехр [МО ~ Vi(&)]/(0 #• (Ю-32)
Под интегралом стоит экспоненциальная функция, быстро
изменяющийся вещественный показатель которой имеет максимум (равный нулю) при
£ = £о- Если /(£) меняется сравнительно медленно, то существенна только
непосредственная окрестность точки £о и можно вынести значение /(£),
взятое в точке £ = £о> из-под интеграла.
Кроме того, интегрирование можно выполнять вдоль бесконечной
прямой — касательной к С\ в точке £о, — на которой можно обозначить
£-£о = а:ехр(*^1). * = |£-£о|, фх = arg (£ - £0) = const. (10.33)
§ 10. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 63
Разлагая на этой прямой <pi в ряд и ограничиваясь квадратичными
членами (по условию (dtpi/d£){={0 = (d<pi/(exp[ix/>i]dx))x-Xo = 0), получаем
d£ — exp(iijji)dx,
где у?"(£о) = d2<pi(£o)/dx2 < 0. Таким образом, интеграл (10.32) сводится к
гауссову интегралу
+оо
G = exp(<p(£o))f({o)exp(iil>i) / exp (-<р"(£о)х2) dx =
—оо
= )1щ£й ехР МЫ)/(Ы exp (г^). (10.34)
С другой стороны, контур интегрирования мог бы быть задан вдоль
линии Сг, y?i = const, или его можно было бы (соблюдая те же самые
предосторожности в отношении полюсов) совместить с линией Сг. Тогда, рассуждая
вполне аналогично, мы получаем
G = exp (<р(£0)) / exp [i(<p2(0 " Ы£о))]/(0 <£• (Ю.35)
Осциллирующая функция, если у?г(£) меняется быстро, вновь выделяет
в качестве наиболее существенной области окрестность точки £о (правда,
здесь уже нет экспоненциального убывания), и интеграл можно брать вдоль
бесконечной прямой, касательной к Сг-
Полагая на С^
£ — £о = ж ехр (г^г), ^2 = const, (10.36)
причем, так как угол между С\ и Сг в точке £о есть 7г/4, то
Фг = Фх ~ \, (Ю.Зба)
разлагая у?г(£) в ряд до квадратичных членов и вынося /(£) в точке £о из-под
интеграла, мы приходим к интегралу Френеля (10.13)
+оо
С = ехр(у?(£0))/(£о)ехР(^2) / exp(-<p2(Zo)x2)dx =
—оо
= J-Йт е*Р МЫ)/(Ы exp (t^x), (10.37)
64 ГЛ.2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
G
где ф\ появилось от того, что в формуле (10.13) фигурирует общий
множитель \Д, причем принято во внимание равенство (10.36а).
Таким образом, метод стационарной фазы является одним крайним
случаем для интеграла от быстро меняющейся функции. Другим
предельным случаем является интеграл от экспоненциально убывающей функции
(10.29). Если же контур С занимает промежуточное положение, то можно,
смещая его, воспользоваться любым из этих предельных случаев, причем,
как видно из формул (10.34) и (10.37), результаты, конечно, совпадают.
Понимая под <р" производную по £, а не по х и учитывая, что d2<p/dx2 =
— exp(2iifri)d2<p/d€2, результат можно переписать в форме
= J ехр (у>(0)/(0 # = J-^j exP M*o))/(fc). (Ю.34а)
С*! V °
Более подробное рассмотрение метода перевала см. в книгах [23].
Практически при применении этого метода нужно только отыскать точку
£о и воспользоваться формулой (10.34а). Иногда для уточнения вопроса о
знаке при извлечении корня из комплексной величины нужно еще найти
направление крутейшего спуска С\, что определит Vi в формуле (10.34).
При этом может встретиться особый случай, если вблизи контура находится
полюс подынтегральной функции (как раз в проблеме распространения
радиоволн вдоль земли это и имеет место). Этот случай подробно рассмотрен
в работе [24].
Возвратимся к вопросу о прямолинейном распространении света и
принципе Гюйгенса. Он был сведен к рассмотрению интеграла (10.5), который
и побудил нас обратиться к методу стационарной фазы. Этот интеграл —
двумерный, вследствие чего метод несколько усложняется. Мы должны
теперь отыскать на поверхности интегрирования точку, в которой фаза была
бы стационарна при смещении по любому направлению, и последовательно
применить метод к каждой из двух переменных, по которым нужно
интегрировать. Проиллюстрируем эту процедуру на примере интеграла (10.5).
Введем на плоскости 5 прямоугольные координаты х, у с началом в той
точке, где плоскость 5 пересекается лучом О А. Показатель к(г + р) можно
написать, например, в виде любой из двух форм
к(г + р) =
го го J { V ро
где го и ро — расстояния до начала координат от точек О и А.
Рассматривая кго или кро как большой параметр р, входящий в метод
стационарной фазы, можно перенести сюда все полученные для этого метода
результаты. Так, в подынтегральном выражении, взятом, например, как
функция х, существенной областью будет область значений х, близких к
точке, в которой
d . . х х
_(г + ,)=_ + _ = 0,
§ 10. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 65
т. е. к точке х = 0, где фаза имеет минимум. Рассматривая, с другой
стороны, показатель как функцию у, получаем совершенно так же, что при
интегрировании по у существенна область вблизи точки у = 0. Поэтому все
множители, кроме осциллирующего, могут быть взяты в точке х = у = О
и вынесены из-под интеграла. Считая, что кго >1 и кро ^> 1 (основной
случай; о случае кго < 1 см. ниже), разложим показатель в ряд
(р = Цг + р)
-'{
г0 +
х2 + у2
х2 +у2
+ ... + PQ+ „ +
■■}'
2г0 ■---■»-". 2р0
ограничиваясь членами, квадратичными относительно ж и у, имеем
(10.38)
П(А)
Р (-**)
exp [ik(r0 + ро)] х
IIdxdyexp[Kh+p\)
27Г Горо
-)-оо
X
ехр
ik f I 1 \ ,1 1лп
2 \г0 poj J
.39)
Для каждого из интегралов можно воспользоваться формулой (10.13г).
Поэтому
П(А)
2жг0р0
рехр [гк(г0 + ро)]
гх
(к/2)(1/г0+1/ро)
= р^Ш.. (10.40)
Таким образом, действительно, если на плоскости 5 источник О создал
поле рехр (ikp)/p, то в точке А виртуальные диполи, распределенные по 5,
создадут поле П(А) = р ехр (ikoD)/D, такое же, как и поле прямой волны.
В этом и можно видеть содержание принципа Гюйгенса. Вышеприведенное
доказательство справедливо, поскольку в формуле (10.11) или (10.14а) мы
пренебрегаем членами более высокого порядка относительно l/\/p<p"((io), в
частности, членами порядка
1 (<£_ _ 2f\
•У>"(6)) U" /У'
взятыми в точке экстремума. Но здесь, согласно формуле (10.38),
V>"' = /' = 0, р<р"^к(- + -).
Это является следствием четности <р как функций ж и у, о чем упоминалось
выше. Следовательно, поправка порядка 1/у/р<р" исчезает и все
рассмотрение законно с точностью до членов порядка 1/р<р"(£о). Разумеется, в силу
общей теоремы (10.3) в действительности результат верен точно.
Как известно из элементарной оптики, область вблизи точки х = у = О
выделяется в качестве существенной потому, что действие более далеких
областей взаимно погашается.
В самом д*еле, в интеграле (10.5), распространенном по 5,
П(А) = р^
(-ik) f p0exp[ik(r + p)]
2тг
/
гр
dS,
(10.5а)
66 ГЛ.2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
плоскость разбивается на концентрические кольца, такие, что при переходе
от одного кольца к другому вещественная либо мнимая часть интеграла
меняет знак. Границы этих колец определяются условием
k{(r + p)-(r0 + p0)} = m^, ш = 1, 2, ... (10.41)
Виртуальные диполи, находящиеся в пределах одного кольца, посылают
в точку наблюдения излучения, фазы которых имеют одинаковый знак,
диполи же двух соседних колец посылают излучения, гасящие друг друга.
Элементарное, но нестрогое рассмотрение показывает, что неисчезающий
результат остается только от первого, центрального кольца. Метод
стационарной фазы дает строгое доказательство этого. Самые кольца называются
зонами Френеля1). Подсчитаем их ширину.
Полагая х2 + у2 = а2, имеем (см. (10.38))
*
2
т. е. для первой зоны, тп — 1,
a2(- + -)=m^, (10.41a)
*-^?+7=^ПП7й~УТГ~^ (10'416>
где через R мы обозначили наименьшее из двух расстояний — г0 и р0.
Таким образом, ширина первой зоны значительно больше длины волны,
если кг0 >1и кро >■ 1:
а~\/Хй» А. (10.42)
Для более далеких зон, для которых ширина Аа много меньше
расстояния до центра зон а, получим из формулы (10.41а)
kaAal — + — ) = £, (10.42а)
\г0 poj 2
т. е.
7Г R ак ,
Аа -— <а0. (10.426)
2к а а
Здесь всюду R — наименьшее из двух расстояний корреспондирующих
точек до плоскости 5. Таким образом, ширина этих колец убывает с ростом
их номера. Площадь же остается постоянной:
2тгаАа~|дА. (10.43)
Остановимся на одном математическом вопросе, существенном в
дальнейшем для некоторых вычислений.
1) Зонами Френеля чаще называют области, определяемые несколько иным условием:
А|{(г + р)-(г0 + ро)}=ш7г, ш = 1, 2, ... (10.41*)
Однако определение (10.41) нам представляется в некоторых отношениях более удобным
(ср., например, нитке (11.11)).
§ 10. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 67
Мы могли бы вычислить интеграл (10.5) по 5 с учетом формулы (10.38)
в полярных координатах, положив
х = acosip, у = аъ\пф.
Тогда было бы
оо 2»г
П(А) W Ш-Е-е^ы,) [щЛа f ""» [WW/ro+1/Po)]
(10.44)
Произведя замену a2 = £, получим после интегрирования по ф
оо
,(Л) = *JL exp (ikD) I "Ф(«*'/»)(1/п.+ УлЛ] А (10.441)
Этот интеграл от осциллирующей функции в отличие от интеграла
(10.13) был бы при вещественных к несобственным, если бы в знаменателе
не оказались множители, хотя и медленно, но все же растущие с ростом t
(т. е., если бы мы просто заменили в знаменателе г и р на го и ро, как это
делали раньше). Благодаря им интеграл (10.44а) сходится, но его значение
все же не зависит от точного вида этих множителей, если они мало
меняются, когда фаза успевает измениться на величину порядка единицы. Если,
например, го < Ро, то независимость значения интеграла от точного вида
медленных множителей имеет место, когда
т. е. когда кго ^> 1, что мы и предполагали с самого начала.
В этом случае, пренебрегая t/r^ и t/p^ по сравнению с единицей, мы
можем вычислить интеграл, введя для обеспечения сходимости фактор другого
вида: exp (—at) с бесконечно малым значением параметра а, т. е. положив2)
оо оо
/exp \ik- ( 1 ) dt — lim / exp \ik- I 1 I — at
L 2 \r0 poJ\ a-юу |_ 2 \r0 p0J
dt =
(-ifc/2)(l/r0 + l/Vo)'
что и приводит к прежнему результату (10.40).
В дальнейшем нам неоднократно будут встречаться интегралы,
содержащие медленно меняющуюся функцию, которая одна только обеспечивает
сходимость интеграла. Заменяя эту функцию ее значением в существенной
2) Правильность такого определения несобственного интеграла может быть подтверждена,
с одной стороны, тем, что при этом определении результат получается совпадающим с
результатом заведомо правильного вычисления в прямоугольных координатах; с другой стороны,
случай вещественного к является идеализацией. Мы всегда можем считать, что среда
обладает хотя бы весьма малой проводимостью, из-за чего у к появится малая мнимая часть «о,
обеспечивающая сходимость интеграла. После вычисления ею можно пренебречь.
68 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
области, мы иногда будем при вещественном к получать в отличие от случая
интеграла Френеля несобственный интеграл
оо
I — I exp (ikr) dr.
а
Его мы всегда будем понимать именно в таком смысле:
оо оо
/С exD Икол
exp (ikr) dr = lim / exp (ikr — or) dr — —;——-—. (10.45)
a-+oJ (-ik)
a a
До сих пор мы предполагали, что не только ро, но и го велико по
сравнению с длиной волны. Если это не имеет места, то легко показать, что
полученный вывод также остается верным (см. [1, с. 55]).
Таким образом, мы проследили, как из общей формулировки принципа
Гюйгенса (10.1) вытекает его частный случай. Именно если считать, что
в каждую данную точку наблюдения посылают волны виртуальные диполи
(виртуальные источники сферических волн), распределенные по плоскости
5, то их суммарное поле точно дает поле непосредственно доходящей волны.
Очевидно, эти вычисления сохраняют свою силу и в том случае, когда
поверхность 5 не есть плоскость. Правда, для более сложных конфигураций
вычисления не всегда могут быть произведены столь просто, однако
правильность принципа Гюйгенса гарантируется справедливостью общего
соотношения (10.1).
Чтобы более подробно изучить роль существенной области, мы
перейдем к случаю физически ограниченной плоскости, именно к прохождению
электромагнитных колебаний сквозь отверстие в непрозрачном экране.
§11. Дифракция от отверстия в экране (область, существенная
для прохождения излучения в однородной среде)
Пусть плоскость 5 представляет собой реальный совершенно
непрозрачный экран3), в котором прорезано отверстие, для начала предполагаемое
прямоугольным и простирающимся по оси ж от 0 до +а, по оси у от —Ь до
+Ь (рис. 12). Перпендикулярно к экрану проведем ось z и положим для
простоты, что источник О расположен также где-то на оси z в точке z = —zq.
Точку наблюдения поместим в некоторой точке А(жд, уд, гд), вообще
говоря, не находящейся на оси z. Таким образом, плоскость экрана здесь не
перпендикулярна к линии О А. Предполагается, что расстояния от источника
до отверстия (ро = z0) и от А до экрана (г0) намного больше по сравнению
с размерами отверстия.
Применяя общую формулу (10.1), можно, выбрав специальный вид
функции Грина, положить в основу уравнение (10.2). Далее имеем
д exp(ikr) г exp (ikr) exp (ikr)
on г г0 г г
) Это значит — изготовленный из бесконечно проводящего материала.
S 11. ДИФРАКЦИЯ ОТ ОТВЕРСТИЯ В ЭКРАНЕ
69
так что
■H) = -£/!*i(S)<S,
(11.1)
где П(5) — поле в плоскости экрана 5, которое нам не известно. Стоящая
перед нами проблема в строгой формулировке чрезвычайно сложна. Полное
ro A(xA,yA,zA)
Рис. 12. Дифракция на прямоугольном отверстии
решение для нее найдено Зоммерфельдом [25] только в случае
полубесконечного экрана (например, а, Ь -» оо).
Однако, по предложению Кирхгофа, все классические задачи теории
дифракции успешно решаются с помощью следующего приближенного метода
(границы его применимости мы обсудим впоследствии в § 13).
Предположим, что в каждой точке плоскости отверстия поле совпадает
с невозмущенным полем, которое имело бы здесь место, если бы экран
вообще отсутствовал, и что на неосвещенной стороне поверхности экрана поле
равно нулю. Конечно, эти предположения не могут совершенно точно
соответствовать действительности, так как, например, вследствие дифракции
теневая сторона экрана должна быть частично освещена, а в плоскости
отверстия, хотя бы вблизи его краев, поле должно испытывать возмущение.
Однако можно ожидать, что в каких-то случаях (мы обсудим в дальнейшем,
в каких) на этом пути можно получить хорошее приближение. Сравнение с
упомянутым выше точным решением показывает правильность этого
ожидания.
Приняв приближение Кирхгофа, мы должны в интеграле в (11.1)
положить
{О вне области отверстия,
exp (ikp)
р в области отверстия.
Р
Для нашего прямоугольного отверстия получаем
а ' +Ь
(-t'fcL f j_ f j. exP t*'*(r + p)\
(11.2)
П(А)
2тг
,JdxJ
О -Ь
dy-
rp
(11.3)
70 ГЛ.2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Считая размеры отверстия (а, Ь) малыми по сравнению с го и ро, получим
(х - хА)2 + (у - уА)2 _ , х2 + у2
ГЙГО+- -—i , рыр0 + —- . (11.4)
2r0 2pQ
Мы, таким образом, приходим опять к интегралам Френеля. Вынося
медленно меняющиеся множители из-под интеграла, получаем
П(А) = Ь^реХР^(Г0 + Р°)] [^№(&^ + -)]<Ьх
2тг r0po J [2 V г0 pojj
X
-ь
Положим
(х - ХА V Г— + — ^ = -и2
\Х l + rQ/pQ) \rQ р0) 2U '
(у - УА У Г-+-1 = v
\ 1 + г0/р0) \г0 ро) 2
(11.5)
и соответственно
(11.5а)
V 2 U + *) ("ГТТоТ^) = ~ V Ь'
уК£+*)("*" ГТТоТ^) = -\/fUl'
yK£+*)(fl" тт^)= V^U2'
V К£+*) (6" гтТоТ^)= У!"2-
Таким образом, «i, U2, t>i, t>2 измеряют в определенном масштабе расстояние
от краев отверстия той точки плоскости 5, которая является проекцией на
5 точки наблюдения. Все они могут иметь любой знак, но положительны,
когда проекция лежит внутри отверстия.
Смысл принятого масштаба легко установить. Например, если р0 >■ г0,
т. е. источник весьма удален (другими словами, если можно считать, что на
экран падает плоская волна), то, согласно формуле (10.416),
ха Ь+уА а - хА Ь- уа ,.. _сч
гц = —, t?i = , и2 = , г?2 = , (11.56)
ао ао а,о о-о
т. е. в этом случае масштабом является размер первой зоны Френеля.
Учитывая, кроме того, что
г0 + Ро + цС+к) * ^г° + *>)2 + ха + У2а = В>
§ 11. ДИФРАКЦИЯ ОТ ОТВЕРСТИЯ В ЭКРАНЕ
71
где D — расстояние точки А от точки О по прямой, можно переписать (при
этом мы заменяем в знаменателе г0 + ро — D)
. . _ (—гк) ж
ЩА)~~ъГРк(1/г0 + 1/Ро)Х
exp (ikD)
I exp (г— u2\du / exp (г—г?2] dv =
ropo
-Uj -VI
= ^P^N-fhilKfN-FU)}, (Ц.6)
где F(u) = J exp (гтги2/2) du = —F(—u) — интеграл Френеля. Очевидно,
о
что
рехр£*0)=По(Л) (П7)
есть поле в точке А, которое имело бы место, если бы экран был убран и все
пространство, таким образом, было бы однородно.
Наличие экрана вызывает отклонение от этого идеального поля. Однако
пока «1, и2, t?i и г?2 положительны и велики по сравнению с единицей,
возмущение невелико, так как в этом случае справедливы разложения типа
(10.136), в которых ряды, содержащие осциллирующий множитель,
представляют собой малую поправку. Действительно, в этом случае
{F(u2) - F(-Ul)}{F(v2) - F(-Vl)} «2^-2^ = 2t\
так что П = По. Если же, например, и2 > 0, но и\ < 0 и они снова велики
по модулю, то в выражении F(u2) — F(—щ) мы получим, согласно формуле
(10.136),
Р(Ы) - Р(Ы) и eXP(t1/2) - '""'Г;72', (П.7а)
что по модулю весьма мало.
Согласно формуле (11.5а), отрицательное значение щ получается, когда
ха < 0. Легко видеть из рис. 12, что при таком положении точки А она
находится в геометрической тени. При этом чем больше |«i|, тем глубже по-,
лучится тень. Таким образом, граница между светом и тенью размывается.
Запишем поле в виде
JI(A) = JI0(A)wx(xA)wy(yA), (11.8)
Wx(xA) = ^{j/4){F(u2)-F(-u1)},
Г • /л\ (11.8а)
ехр(-гтг/4)/ . v ;
Taewx(xA), ^у(уа) — множители ослабления поля, обусловленные наличием
экрана. Здесь, например, |гуд(жд)|2 показывает ход искажения
интенсивности при перемещении вдоль оси х.
72 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Рассмотрим частный случай (рис. 13). Пусть полупространство х < О
закрыто экраном, а область х > О свободна. В этом случае мы имеем
а = оо, Ь — оо, так что F{u2) — у/г/\^2 =
= ехр (1ж/А)/у/2 и, кроме того, гоу(уд) = 1,
wx(xA)wy(yA) =
_ ехр (—гл-/4) Г ехр (in/4)
l + exp(^4)F(ui)
+ i=>i)} =
(11.86)
При и\ -» 0 и -F(«i) обращается в нуль.
Рис. 13. Дифракция на полуплоскости Это соответствует геометрической границе
тени. Как видим, здесь wx = 1/2 и,
следовательно, интенсивность равна одной четверти интенсивности
невозмущенной волны. Ход функции wx(xa)\2 изображен на рис. 14.
Для дифракции на прямолинейном крае плоского экрана часто
используют другие координаты. Вместо того чтобы считать плоскость экрана
Область
геометрической
roy*(i/vi/PQ)
Рис. 14. Распределение интенсивности в случае дифракции на полуплоскости
Ео перпендикулярной линии ОТ, проведенной из источника к его краю
(рис. 15а), как это было сделано выше (см. рис. 13), мы, по-прежнему
интегрируя вдоль полуплоскости 5, можем произвольно наклонить экран,
например, переместить его в положение £' (штриховые линии на рис. 15 а),
лишь бы сохранялось неизменным положение края Т. Очевидно, при этом
ничто в изложенном выше выводе формулы ослабления (11.86) не изменится.
Однако при выбранных выше координатах нам пришлось бы для каждого
положения экрана по новому проводить перпендикуляры р0 и го из О и А
к экрану. Поэтому лучше выражать щ не через ха и го, а, скажем, через
Ро = гх и гг — через расстояния источника О и точки наблюдения А от
края экрана Т, и через угол дифракции ф:
г2 = г0 cos ф « г0, ха = — r2 sin ф.
§ 11. ДИФРАКЦИЯ ОТ ОТВЕРСТИЯ В ЭКРАНЕ
73
Следовательно,
щ =
РоГо
— sin ф
к гхг2
(11.8в)
л" ро + го V * ri + г2
Здесь мы заменили cos ^ « 1, поскольку вся теория верна только для малых
ф (ср.ниже § 13). Иногда применяют и иное выражение щ. Если за основу
взять линию, соединяющую О и Л, и перпендикулярно к ней расположить
экран (см. рис. 15 6), то из соотношений risino; = r2sin/3, ф = а + /3,
Рис. 15. Дифракция на прямолинейном крае плоского экрана: а — плоскость экрана
перпендикулярна линии, проведенной от источника О к краю экрана Т; б — плоскость экрана
перпендикулярна линии, соединяющей источник О и точку наблюдений А
полагая по-прежнему cos a « cos^ « 1 и вводя расстояние // края экрана
Т до линии О А, находим sin^ и (п + г2) sin а/г2 = (п + r2)H/(rir2), и
потому
к ri + г2
щ = -Н\ .
Ж Г!Г2
(11.8г)
В тех случаях, когда интегралом Френеля называют не (10.136), а
интеграл (10.13), аргумент и\ заменяется на ^Jir/2u\.
Возвратимся к общему случаю прямоугольного отверстия и рассмотрим
поле на оси z, полагая хд = ул = 0. При этом, однако, будем считать, что
отверстие простирается по оси х от —с^ до +а2, по оси у от —b\ до +Ь2, т. е.
что оно расположено, быть может, и несимметрично относительно линии
ОА, однако плоскость экрана перпендикулярна линии О А. Формулы (11.8),
(11.8а) останутся при этом справедливыми, но под и\, и2, v\ и г?2 нужно
понимать несколько отличные от (11.5) выражения:
щ = ±а.{
= ±Ь{
-), г = 1, 2.
>о/
(11.9)
74 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Близость функций ослабления к единице определяется превышением
аргументов и, и г?, над единицей. Как легко видеть, эти числа просто
показывают, сколько зон укладывается от линии О А в направлении каждой из
осей до соответствующей границы отверстия.
Действительно, число таких зон то,- определяется формулой, аналогичной
формуле (10.41):
k[(ri + Pi)-(r0 + po)] =пц|, (НЛО)
где г,-, pi — соответственно расстояния от точек О и Л до соответствующего
края отверстия. Разлагая г,- и р{ в ряд, отсюда мы как раз и получаем
(П = y/rl+x^ + yf, pi = yjp* + х] + у,2)
к 2 U %oj *2'
и, следовательно, для точек ж,- = а,-, у,- = 0 или ж,- = 0, у,- = Ь,- соответственно
щ = ±л/тп7 или г?, = ±л/тп7. (11-11)
Аргумент функций ослабления есть просто корень квадратный из
числа зон Френеля, укладывающихся в плоскости отверстия в направлении
данной оси между прямым лучом О А и границей отверстия (это число
может быть различным в направлениях ж и у).
Таким образом, множитель ослабления зависит от расстояний до экрана
и размеров отверстия, взятых в определенной комбинации.
Представим себе, что, приняв точки О и А в свободном пространстве за
два фокуса, мы будем строить систему конфокальных эллипсоидов
k(r + p) -kD = m^ (11.12)
(здесь D — расстояние между точками О и А; г, р — расстояния текущей
точки до каждой из них), придавая то последовательно значения 1, 2, ...
(рис. 16). Если kD очень велико, мы сначала будем получать очень
вытянутые эллипсоиды4).
Поместим перпендикулярно к линии О А непрозрачный экран с
прозрачным отверстием в нем так, чтобы ось ОА проходила сквозь экран.
Диафрагма обусловит некоторое искажение в точке наблюдения,
определяющееся, как мы только что вывели, числом охватываемых отверстием зон.
Следовательно, если передвигать экран вдоль линии О А так, чтобы размеры
отверстия одновременно изменялись, пропуская при всяком положении экрана
одни и те же зоны, то наблюдаемое в А поле не будет изменяться.
Пусть отверстие находится сбоку от оси. Тогда наблюдаемое поле (это
будет поле в геометрической тени) окажется очень слабым. Если, передвигая
экран, деформировать отверстие так, чтобы его края скользили по
неизменным эллипсоидам, то и в этом случае поле будет оставаться неизменным.
Это можно рассматривать как некоторый закон подобия.
4) Ради четкости построения на рис. 16, как и на последующих рисунках, эллипсоиды
сделаны очень широкими, что соответствует такому отношению длины волны к
расстоянию ОА, которое в случае распространения радиоволн не встречается. Обычно поперечные
размеры первых эллипсоидов весьма малы.
§ 12. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ ОТРАЖЕНИЯ
75
Отметим еще одну особенность формул (11.6). Они имеют такой вид, как
будто каждый из краев отверстия создает некоторый возмущающий эффект,
причем эффекты от противоположных краев определенным образом
суммируются. Между тем мы исходили из рассмотрения действия всей площади
Рис. 16. Существенная область в случае дифракции иа прямоугольном отверстии
отверстия. Эта особенность являет< я частным случаем общей теоремы,
согласно которой суммарный эффект действия виртуальных диполей,
расположенных по участку поверхности, можно всегда представить как результат
интегрирования некоторой функцич по его периферии. Оба представления
эквивалентны. Вследствие этой аддитивности действия краев в случае
эксцентричного положения отверстия, иообще говоря, каждый раз будет играть
преобладающую роль область отверстия, прилегающая к эллипсоидам с
наименьшим то. Поэтому, перенося отверстие из одной точки в другую, мы
будем, вообще говоря, получать усиление поля, если в результате переноса в
отверстие попадут эллипсоиды с меньшими то, чем до переноса, и, наоборот,
будет иметь место ослабление поля, если наименьшие то для эллипсоидов,
охваченных отверстием, будут возрастать.
§ 12. Область, существенная для отражения
В теории распространения радиоволн нас в малой степени могут
интересовать случаи прохождения через отверстия. Однако понятие зон сохраняет
и здесь свое значение при определении существенной для образования
возмущения области.
Рассмотрим, например, поле в точке А(ха, уд, za) над поверхностью
однородной и плоской земли, когда источник находится в точке 0(хо, Уо, %6)
также над поверхностью раздела. Без всякого ограничения общности мы
можем провести оси координат так, чтобы было xq = 0, ул = Уо = 0.
76 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Применим по-прежнему формулу (ЮЛ), понимая под объемом
интегрирования все пространство над плоскостью раздела двух сред. Поверхность S
состоит из (плоской) поверхности земли и бесконечно удаленной полусферы,
опирающейся на плоскость раздела и заключающей в себе все верхнее
полупространство.
В этом случае, в отличие от предыдущих, интеграл по источникам поля
не выпадает. Согласно формуле (10.1), поле П в точке наблюдения сложится
из «невозмущенного» поля По (А), которое имело бы место при данном
расположении источников в однородной атмосфере (в отсутствие земли), и поля,
испускаемого виртуальными диполями (и квадруполями), размещенными
на поверхности S. Но интеграл по полусфере исчезает, интеграл же по
поверхности земли и дает «отраженное» поле, которое накладывается на поле,
прямо доходящее от источника. Этот интеграл, как бы мы ни выбрали
функцию Грина, всегда будет содержать произведение типа ехр (г£г)П/г.
Поле П на поверхности земли всегда можно считать произведением
невозмущенного поля в данной точке П0 = pexp(ikp)/p и некоторой
медленно меняющейся функции — множителя ослабления w. В таком случае
мы опять имеем дело с интегралом от быстро осциллирующих функций из-
Рис. 17. Существенная область при отражении от плоскости, когда оба корреспондирующих
пункта подняты
вестного нам типа. Поэтому опять можно попытаться выделить наиболее
существенную область поверхности.
Рассмотрим показатель осциллирующей функции iip = ik(r + р) на
поверхности интегрирования (х, у) (рис. 17) и найдем точку х0, уо, в которой
он достигает экстремума. Так как (см. рис. 17)
г= ^J(xA-x)2 + y2 + z2A, p = sjx2 + у2 + z%,
то условия экстремума имеют вид
(Ё£) =k(?L-xA-x) =0,
\дх) х=х0 \ро Г0 / х=х0
У=У0 У=УО
№ =*(£ + jl) =o.
\Оу) х=х0 \Ро Г0 J x=x0
У=Уо У=УО
§ 12. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ ОТРАЖЕНИЯ
77
Следовательно, во-первых, экстремальная точка находится на оси х
(у0 = 0); во-вторых, в этой точке
Xq Xa — Xq
Ро
Го
= cos ф,
(12.2)
«угол падения равен углу отражения» (ф — угол скольжения). Таким
образом, существенная область лежит вблизи точки правильного зеркального
отражения (х0, у0, 0). Исследуем поведение <р вблизи нее. Для этого
положим
£ = х - х0, г/ = у - уо (12.3)
и, считая £, г) <С г, р, разложим г и р в ряд, ограничиваясь членами второго
порядка в £ и Г)\
= yl{xA-xo-Z)2 + rP + z\ =
= J{(xA-x0)* + zA}
г | (-2)(хА-х0)^ + е + У2
(хА - ж0)2 + zA
' ~ го — £ cos V' +
£2 sin2 ф + rj2
2г0
/9 И ро + £ COS V> +
Таким образом, фаза имеет вид
£2 sin2 ф + т}2
2р~о
(12.4а)
(12.46)
V = *(r + .)«*{(r„ + A,) + «^±^(i+l)}, (12.5)
и экстремальная точка является точкой минимума фазы. Линии равной
фазы <р(£, г/) = const имеют вид эллипсов, описанных вокруг точки
правильного отражения. Осциллирующий фактор меняет знак вещественной
либо мнимой части при переходе через эллипсы
2 \г0 Ро/
(£2 sin2 ф + rj2) = го-, ш=1, 2,
Эти уравнения можно переписать так:
£2
+
тгто/ [к sin2 ф(1/г0 + 1/ро)] птп/ [к(1/г0 + 1/ро)]
= 1,
или
+
mag/ sin2 ф гоа2,
= 1,
(12.6)
(12.6а)
(12.66)
где ао — размер первой зоны Френеля при прохождении света сквозь
отверстие (10.416).
78 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Полуоси этих эллипсов равны:
1 [ж го .— Оо
вдоль оси х ат = -—-. -г—. —.— = у/т—
sin ф у к 1/г0 + 1/ро sin^'
вдоль оси у bm = Jt"77 , -, , = ч/""*о
ft 1/го+ 1/>о
(т=1,2,...).
(12.7)
Эти эллипсы служат границами зон для отражения. При скользящем
падении, когда ф мало, ат >■ Ьт, т. е. эллипсы сильно вытянуты вдоль
оси х — вдоль направления распространения. Если все же а и Ь малы по
сравнению с интервалами, на которых остальные («медленно меняющиеся»)
сомножители, входящие в интеграл, испытывают заметные изменения, то
быстро осциллирующая функция exp (i<p) определяет область
интегрирования, являющуюся наиболее существенной. Интегрирование по плоскости
(х, у) можно выполнять в переменных (£, г/), и тогда фактор
exp (»» = exp [»*(г0 + Ро)] ехр *— ( — + — j (£2sin2 ф + т?2) (12.8)
[2 \го Ро/ J
определяет в качестве такой существенной области участок плоскости вблизи
точки правильного отражения, захватывающий первые зоны. Вынося из-
под интеграла медленно меняющиеся факторы, взятые в точке £ = rj = О,
опять получим интегралы Френеля.
Если, например, считать существенными первые восемь зон, т = 8
(действительно, когда аргумент F(v) равен v = у/т = \/8, значение
интеграла, согласно формуле (10.136), отличается от его значения в бесконечных
пределах на величину
1/(7гг?) ехр (гжv2/2)
1/2 1
-V — =77-«0,16,
ж V гп 2л-
'1/2
т. е. только на 16%), то размеры существенной области составляют вдоль
оси х
а вдоль оси у
2a8=-^./^7~-Ti7V^A)
sin ф у Го + ро sm ф
2Ь8 ~ 4л/Ш\,
где R — наименьшее из двух расстояний, — г0 и pq. Эти соображения
теряют силу в двух случаях: во-первых, если г0 либо р0 становятся порядка
у/RX (т. е., что то же самое, порядка А), так как в этом случае значение £/R
не мало и разложение фазы (12.4) несправедливо; во-вторых, если
множитель ослабления для поверхности земли таков, что он заметно меняется в
пределах одной зоны. В обоих случаях осциллирующий фактор не является
более определяющим.
Второе ограничение связано со свойствами почвы. Мы займемся им
впоследствии (гл. 7) и убедимся, что во многих практически встречающихся
S 12. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ ОТРАЖЕНИЯ
79
случаях оно несущественно. Первое же ограничение носит чисто
геометрический характер и может быть рассмотрено уже сейчас.
Зона может приобрести размер порядка R, если одна из
корреспондирующих точек — О или А — приблизится к поверхности земли. Рассмотрим
предельный случай: пусть А находится весьма близко к поверхности земли,
так что мы можем считать za — 0. В этом случае г + р достигает наимень-
А(хл, 0,0)
Рис. 18. Существенная область при отражении, когда один из корреспондирующих пунктов
опущен на плоскость
шего значения в точке А, т. е. когда х = хд, у — у а- Положим у а = 0 и
введем для точек вблизи А полярные координаты с центром в А (рис. 18):
х = ха + г cos а, у = г sin а. (12.9)
Разлагая р и всю фазу в ряд по г вблизи ее минимального значения,
получим, ограничиваясь членами, линейными относительно г,
р = yjx2 + у2 + z^ = J(xA + г cos a)2 + у2 + z20 ы p0 + r cos а cos ф,
i(p — ik(r + р) к, ikpo + г£г(1 + cos а cos ф).
При интегрировании по плоскости в полярных координатах г, а фактор
ехр(гу?) выступает снова в качестве быстро осциллирующего множителя,
определяющего наиболее существенную область. Границы зон определяются
условием
kr(\+ cqs a cos ф) ■= т—, m = 1, 2, ..
тк/2к
г =
(12.10)
1 + cos a cos ф
Это — уравнение эллипса с фокусом в точке г = 0 (в точке наблюдения А) и с
эксцентриситетом £ = cos ф. Он определяется углом скольжения радиоволн.
Большая полуось эллипса направлена вдоль оси х и равна
тпж/2к
тпп
"m- 1_£2 -2fcsinV
Малая полуось направлена вдоль оси у и равна
bm = v
/1 — £2аГ1
7ГТО
2к sin ф
(12.11)
(12.11а)
80 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Эти эллипсы сильно вытянуты в направлении к источнику поля (см. рис. 18).
Если считать по оси х в направлении к источнику, то расстояние от А до
последовательных эллипсов равно
(г) - ™
1 Г)а=«- 2к(1-совф)'
В направлении от источника оно равно
[Г)а=°- 2к(1 + совф)'
В поперечном направлении размер эллипса около точки наблюдения тоже
невелик: при а = ж/2 мы получаем г = тж/2к = тоА/4.
Таким образом, при скользящем падении (низко расположенный
передатчик, ф мало) уже первые зоны могут охватывать большую часть трассы
на отрезке между О и А. Вне этого отрезка («вне пределов трассы» )
эллипсы сходятся очень близко, расстояние между их границами имеет порядок
(cos ф и 1)
4-=- =-Л, (12.12)
Ак 8 4 ' v ;
т. е. порядок одной восьмой длины волны.
Так, оценивая существенную область цифрой то = 8, получим для ф =
= 15° в направлении к передатчику ее размеры равными
2кфУ2 *Ш'
в направлении от передатчика ~ А; при ф = 30° — соответственно 16А
и ~ А и т. д.
Нужно, однако, заметить, что если нас не интересуют детали
отраженного луча, то минимально необходимая для отражения площадь может быть
оценена уже из значения размеров одного-двух первых эллипсов, например,
если положить то = 2.
Эти соображения имеют значение, например, при выборе площадки для
радиолокаторной установки (Леонтович, 1942 г.). Принимаемые после
отражения от цели радиоволны могут претерпевать существенные искажения,
если окружающая приемник поверхность земли недостаточно ровна и
однородна. Очевидно, подобные требования должны предъявляться главным
образом к нескольким первым зонам (разумеется, это справедливо только в
том случае, если и на более значительных расстояниях нет очень резких
неровностей — высоких домов, мачт и т. п., отражения от которых могли
бы слиться с полезным сигналом).
Мы видим, что область позади приемника не так существенна, как
область перед ним. По мере удаления объекта, когда ф уменьшается, все
труднее становится удовлетворять условиям хорошей работы. Отсюда может
следовать ограничение дальности действия установки.
Очевидно, что поверхность действует как плоская только в том случае,
если в пределах существенной области она не уклоняется от плоскости
(точнее, уклоняется так, что длина пути лучей из-за уклонения изменяется менее
чем на А). В частности, правильное зеркальное отражение даже от хорошо
S 12. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ ОТРАЖЕНИЯ
81
отражающей поверхности может возникнуть только в том случае, если ее
плоский участок вблизи точки отражения охватывает хотя бы несколько зон
Френеля. Подобные соображения помогают оценить, например, в каких
случаях холмистую поверхность или поверхность отдельных участков морских
волн можно заменять соответственно наклоненной плоской поверхностью.
Всем известным примером может здесь служить образование ярких бле-
стков на снегу. Для того чтобы с высоты порядка высоты человеческого
роста (~ 200 см) можно было при невысоком расположении Солнца видеть
правильное отражение солнечных лучей (А rs 5-Ю-5 см) от групп слипшихся
кристалликов снега, необходимо, чтобы размер плоскости такой группы был
порядка нескольких зон, т. е. порядка
V5 • 10~5 • 2 • 102 и 0,1 см.
Очевидно, что такой случай осуществляется довольно часто.
Наконец, перейдем к рассмотрению конфигурации зон, образующихся,
когда оба пункта, как передающий, так и приемный, расположены на весьма
малых высотах, в пределе — на плоскости z = 0. В этом случае границы
эквифазных зон на плоскости определяются тем же требованием:
к(г + р) = const, (12.13)
где р, г — лучи, проведенные из двух точек О и А той же плоскости. Но
это — уравнение эллипса с фокусами в О и А. Так как наименьшее значение
константы достигается при г-\-р = хд, то границы зон определены условием
к(г + р) = кхА + т —, m = 1, 2, ... (12.13а)
Большая полуось m-го эллипса равна
Р+ Г Хл 7Г Хл 7Г ,
°~ = — = T+mTk = f + m4A' (,2Л4)
Позади точек О и А эти эллипсы весьма близко подходят один к другому,
они являются весьма вытянутыми. В самом деле, малая полуось (рис. 19;
Рис. 19. Существенная область при отражении, когда оба корреспондирующих пункта
опущены на плоскость
см. примечание на с. 74; на этом рисунке масштаб также не соблюден) равна
82 ГЛ.2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Для небольших та
/т7Г /т. /ттг , ,,„,„ ч
й V Ж1Л = V i = VT (12.15а)
Таким образом, поперечные размеры эллиптической зоны определяются
хорошо известным нам соотношением. Как всегда, если жд ^» Л, что, конечно,
предполагается, то bm «С хд, т. е. зона узкая.
Очевидно, первые несколько эллипсов, узкой петлей охватывающие точки
расположения приемника и передатчика, опять определяют наиболее
существенную область. Расстояния между последовательными эллипсами позади
приемника и передатчика весьма невелики. Они определяются
приращением величины (1/2)(/9+ г — хд) = тпж/Ак — тА/8, т. е. составляют одну
восьмую длины волны. Расстояние между эллипсами вблизи О или А в
поперечном направлении также мало. Так, расстояние qm вдоль оси у от О до
тп-го эллипса определяется соотношением (р = qm)
х\ + Qm + 9m \ = кхА + ТО-.
Так как qm <С хд, то получаем отсюда, пренебрегая qjn/2xA по сравнению
с qm,
ТП7Г А
9т = -гт- = "г-. - (12.156)
Эти соображения позволяют ввести важное, хотя и несколько условное
понятие трассы радиоволн. Ею можно считать область, охватываемую
первым (или одним из первых) эллипсом.
Таким образом, мы нашли существенные зоны для трех случаев: когда
обе корреспондирующие точки расположены достаточно высоко, когда одна
из них опущена до земли и когда обе они находятся на земле. Объединяя
все эти случаи, можно поступить следующим образом.
При произвольном положении точек О и Л в пространстве над землей мы
должны представить себе систему конфокальных эллипсоидов вращения в
пространстве, имеющих общие фокусы в О и Л и определяемых уравнением
к(г + р) = kD + М~, М=1, 2, ..., (12.16)
где D — расстояние между точками О и А, а г и р — расстояния от А и О
до текущих точек в пространстве. Начиная с некоторого М = Mi, эти
эллипсоиды будут пересекаться поверхностью земли. Та точка, где происходит
первое касание, будет точкой, в которой происходит правильное отражение,
k(rQ + pQ) = kD + Mi^
(по свойству эллипса лучи из фокусов, проведенные в любую его точку,
образуют с нормалью одинаковые углы), а последующие значения М = М\ +т,
т = 1, 2, ..., дают в сечении с поверхностью земли контуры зон Френеля
(мы пренебрегаем здесь отличием М\ от целого числа).
Если высоты точек О и А равны, то в сечении будут (для небольших
т) получаться концентрические эллипсы (рис. 20 а). Если же одна или
§ 12. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ ОТРАЖЕНИЯ
83
обе точки расположены на земле, то сечения будут иметь форму эллипсов
соответственно с одним (рис. 20 6) или двумя (рис. 20 в) общими фокусами.
Разумеется, как уже подчеркивалось, замечание о преимущественном
значении области первых зон следует понимать условно: они наиболее
существенны при прочих равных условиях. Если же, например, в более далеких
Рис. 20. Эллипсоиды зон Френеля при отражении: а — оба корреспондирующих пункта
подняты над плоскостью; б — один из пунктов опущен на плоскость; в — оба
корреспондирующих пункта находятся на плоскости
зонах встречаются особенно хорошо проводящие (как мы увидим дальше,
это значит — особенно хорошо отражающие) участки поверхности, то они
могут оказать в известных случаях заметное влияние. То же относится (см.
выше) к расположенным в более далеких зонах особенно большим башням,
мачтам, горам и т. п.
В заключение перечислим еще раз формулы, в которых указаны
поперечные и продольные размеры существенных зон (эллипсов): для обоих
поднятых корреспондирующих пунктов — (12.7); для одного поднятого, другого
опущенного до земли — (12.11) и (12.11а); для обоих пунктов на земле —
(12.14), (12.15) и (12.15а).
84 ГЛ.2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
§ 13. Границы применимости приближения Кирхгофа
в случае дифракции на экране
В качестве примера использования концепции наиболее существенной
области рассмотрим вопрос о том, когда справедлив метод Кирхгофа,
который был применен нами при разборе дифракции от отверстия.
Для этой цели рассмотрим простейший случай — дифракцию от
прямолинейного края полубесконечного экрана (рис. 21), когда источник на-
Рис. 21. Расположение зон Френеля при различных положениях точки наблюдения
ходится в точке О, наблюдатель — где-то вблизи границы геометрической
тени, в точке А, или же глубоко в тени, в точке А\.
При расчете по методу Кирхгофа предполагается, что в плоскости экрана
поле на неосвещенной его стороне равно нулю, в то время как в плоскости
отверстия поле равно невозмущенному полю
П-П0 = р^Щ (13.1)
Р
которое имело бы здесь место, если бы экран отсутствовал. В
действительности, во всяком случае вблизи края экрана, поле в плоскости отверстия
искажено. Рассмотрим это искажение.
Прежде всего выясним, в какой мере может быть справедливо
предположение, что в плоскости отверстия поле является невозмущенным.
В некоторой точке отверстия А', удаленной от края экрана на расстояние
d, поле образуется в соответствии с принципом Гюйгенса доходящими сюда
волнами из разных точек. Наиболее существенны точки пространства,
лежащие в пределах первых эллипсоидов, построенных на точках О и А' как
на фокусах (см. рис. 21).
Расстояние в плоскости отверстия до m-го эллипса определяется
формулой (12.156). Из нее видно, что вблизи А' эллипсы сходятся очень близко
один к другому — на расстояние порядка А. Поэтому можно утверждать,
что если точка А' удалена от края экрана на расстояние, существенно
превышающее длину волны А, то поле в нем практически не возмущается
присутствием экрана. В частности, это имеет место в случае, изображенном на
рис. 21.
§ 13. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ КИРХГОФА
85
Действительно, прямое вычисление, выполненное в предположении, что
это возмущение мало, показывает [1, с. 69-70, формула (13.8)], что на
расстоянии d от края экрана в плоскости отверстия поле равно
П
exp (ikpo) \ exp [i(kd - 37г/4)]
Ро
1 +
уДтгЫ
(13.2)
А поправка к невозмущенному
Таким образом, уже на расстоянии d
полю имеет порядок (27г)-1 ~ 15%.
Теперь остается выяснить, в какой мере в точке наблюдения позади
экрана — в точке А или Ai — сказывается тот факт, что в отверстии, вблизи
его края (на расстоянии, как мы только что выяснили, порядка А) поле
является все же возмущенным. Для этого построим первые существенные
эллипсоиды на точках О и А, а также на точках О и А\ как на фокусах.
Эти эллипсоиды определяют ту область пространства, которая участвует в
образовании поля соответственно в точках А и А\.
В плоскости отверстия размеры первых зон для точки А, расположенной
близко к геометрической границе тени, довольно велики, они имеют порядок
\/RA ^> А, где R — наименьшее из расстояний точек О и А до экрана. Если,
например, как это изображено на рис. 21, первая такая зона только краем
затрагивает экран, то почти во всей этой зоне поле является действительно
невозмущенным. Лишь в краевой ее части, на расстоянии порядка А, его
нельзя задавать формулой (13.1). Но эта область составляет долю порядка
А/л/ДА = y/X/R <С 1 от всей площади зоны. Поскольку все точки одной
зоны посылают почти синфазные поля, возникающая отсюда погрешность
соответственно мала.
Таким образом, можно считать, что для точек наблюдения вблизи
границы тени (и, тем более, в хорошо «освещенной» области, гораздо выше
линии ОВ на рис. 21) применение метода Кирхгофа оправдано на
расстояниях R ^> А.
Если, однако, точка наблюдения находится глубоко в тени (точка Ai),
то расстояние между существенными эллипсоидами (размеры
существенных зон в плоскости отверстия) может стать
малым. Оно соответствует большим номерам
m и по формулам (10.426), (10.41а) равно
Аа
7Г
R
2fc y/ivmR/2 V m
/Ж
Оно, таким образом, велико по сравнению с А
только в том случае, если R ~^> тпХ.
Следовательно, глубоко в тени метод Кирхгофа
может оказаться неточным. Это видно и из более
простого построения, приведенного на рис. 22.
Проведенные здесь из точки наблюдения в
точки отверстия лучи различаются на длину
волны. Следовательно, отсекаемые ими на оси х
отрезки определяют зоны Френеля. Эти зоны сами имеют размеры порядка
А, если угол лучей с плоскостью экрана /3 не близок 7г/2. Следовательно,
Рис. 22. Дифракция на большие
углы
86 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
во всей первой из существенных зон поле искажено присутствием экрана,
и потому поле в А методом Кирхгофа дается неправильно. Это будет тогда,
когда
7Г
Заметим, что электродинамическая проблема дифракции на
полубесконечном экране решена полностью [25] и результаты могут быть сравнены
с приближенным решением по методу Кирхгофа. Сравнение подтверждает
правильность выведенного нами критерия*): для полубесконечного экрана
метод Кирхгофа неприменим лишь при 7г/2 — (3 ~ 1.
Мы не обсуждали второго условия метода Кирхгофа — исчезновения поля
на теневой стороне непрозрачной части экрана. Аналогичными
вычислениями можно показать, что его рассмотрение не прибавляет ничего нового.
§ 14. Область, существенная при преломлении
Рассмотрим теперь кратко вопрос о том, какова область границы
раздела двух сред, существенная при прохождении излучения из одной среды
в другую. Мы разберем этот вопрос только для того случая, когда волновое
число к в одной среде (скажем, в той, где расположена точка наблюдения)
по модулю много больше, чем в другой.
Рассмотрим поле в среде 2, характеризуемой константой к, например в
почве, когда источник расположен в среде 1, характеризуемой волновым
числом ко -С |fc|, например в воздухе. В этом случае излучение приходит на
ip<0,0, z0)
d
А(хА, 0, -rf)
\
\
У
/
/
Рис. 23. Существенная область при преломлении
поверхность, распространяясь главным образом в среде /, а волны,
приходящие через почву, быстро затухают (это будет строго показано в §31).
Поле в некоторой точке А(жд, О, z^ = — d), если источник помещен в
точке О(0, 0, zq), можно выразить по неоднократно применявшейся нами
5) Подробный разбор некоторых случаев дифракции и анализ допустимости различных
приближений содержатся в книге А.И. Потехина [26].
|14. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ПРИ ПРЕЛОМЛЕНИИ 87
формуле (10.2), взяв за поверхность 5 плоскость раздела сред z = 0,
дополненную бесконечной полусферой, замыкающей нижнее полупространство
(рис. 23):
ИИ(,Л, 0, -i) = -£/■«(., у, -0)АНЕ£МdS<
г = у/(хА-х)2 + у2 + <Р, dS = dx dy, к = кг + ik2. (14.1)
В силу граничных условий значения П^2' на плоскости z = — 0 определяются
значениями П^1' в соответствующих точках по другую сторону поверхности.
Поэтому П'2' существенно меняется при перемещении вдоль поверхности
z = 0 на отрезке порядка длины волны в воздухе Ао = 1/&о, в то время
как ехр (гкг) при смещении вдоль поверхности может осциллировать (или
экспоненциально убывать) на интервале порядка ширины соответствующей
зоны Френеля, т. е. порядка ^/|fc|d. Он может быть гораздо меньше длины
волны в воздухе, если ограничимся не очень большими глубинами d, d <C
•С |&/&о| Ао (которые, однако, все еще велики по сравнению с длиной волны
в почве). Разобьем показатель на вещественную и мнимую части:
ikr = ik0r ^ + (^) cos | - ког Це* + (^) sin |,
47Г<7
X = arctg-7-.
Возможны два случая:
а) Почва может быть «почти непроводящей» , Ажс/{е'ш) <С 1. Это имеет
место для ультракоротких волн. В таком случае экспоненциальное
убывание фактора ехр (ikr) может быть невелико, и главную роль будут играть
осцилляции.
б) Если почва достаточно высокопроводящая или частоты достаточно
малы, 4тг(т/(е'и)) ^> 1, то экспоненциальная и осцилляторная зависимости
будут сказываться на отрезках одного порядка.
В любом случае в интеграле (14.1) в качестве существенной области
поверхности z = 0 выделяется зона Френеля вблизи точки, где показатель
имеет минимум. Эта область лежит около точки, для которой г = d.
Таким образом, при переходе в высокопроводящую (или «сильно
диэлектрическую»: е' ^> 1) среду при наблюдении в точках, заглубленных на
глубину d, не превосходящую |&/&о|Ао, существенную роль играет область
поверхности, расположенная над точкой наблюдения и имеющая размеры,
много меньшие длины волны в воздухе. Вся она поэтому посылает в точку
наблюдения почти синфазные колебания.
Получим теперь описанные выше результаты более строго из формулы
(14.1). Будем считать, что излучателем является вертикальный диполь и
потому П сводится к одной вертикальной компоненте, а также, что жд ^> zo
(сравнительно низко расположенный излучатель), но все же -Zolv^l ^ ^о-
Применяя граничное условие (4.7), выразим в (14.1) П^ через П^ на
поверхности почвы в воздухе. Оно не равно полю в свободном пространстве,
(14.2)
88 ГЛ. 2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
так как на него накладываются волны, отраженные от поверхности раздела,
создаваемые токами, которые порождает в почве падающее из воздуха
первичное излучение. В дальнейшем (§ 19) мы увидим, что благодаря этому
полное поле на поверхности раздела отличается от падающего поля только
множителем 1 + /, где / — постоянное число, коэффициент отражения,
зависящий от частоты, угла падения, поляризации волны и свойств почвы и
воздуха. Поэтому мы примем
П(1)(х,у,0) = р(1 + /)еХр(^), p=y/x2 + y2 + z20. (14.3)
Далее, так как мы можем считать \k\d ^> 1, и потому и подавно \к\г >■ 1,
из (14.1) и (4.7) мы получим
пм(*д, о, -Л)=-|fp('+/)/expl'(*;;:+';r)1^!,. a^
Здесь в соответствии с вышеизложенным качественным рассмотрением
принято дг/дп R3 1. По тем же причинам можно вынести из-под интеграла р и
г, взятые в некоторой эффективной точке поверхности вблизи точки
наблюдения (точнее она определяется ниже). Таким образом, мы вновь приходим
к интегралу
I = — I exp [i(kop + kr)] dx dy, (14-5)
rp J
который, однако, отличается от встречавшихся ранее тем, что к ф ко и,
более того, к комплексно.
Интегрирование по у легко выполняется прежним методом. Экстремум
фазы по у расположен при у = 0, так как условие
д(ЬоР + кг)=коУ + ку=о
ду Р г
удовлетворяется только при у = 0. Мы можем поэтому разложить фазу по
у, ограничиться квадратичным членом разложения и с помощью (10.13г)
получим
/ = i- j exp Г г [к^х2 + z20 + к у/(хА - х)2 + d2)
X
'2гтг
^Jk0/<Jx2 + zl+ к/у/(хА - х)2 + г\
dx. (14.7)
Интегрирование по х не так просто, поскольку экстремум фазы
расположен при комплексном х. Мы несколько упростим дальнейшие выкладки
(они могли бы быть проведены точно по той же схеме и без этого
упрощения), если учтем, во-первых, что при жд >■ zq можно положить
+
г2
2ж'
х2 + z20 = х +
§ 14. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ПРИ ПРЕЛОМЛЕНИИ
89
во-вторых, что из-за фактора к во втором члене экспоненты эффективны
значения \хд — х\ -С d, и потому можно считать
y/(XA-X)2 + Wd+{XA~dX)2.
Экстремальное значение х = xs получается, если приравнять нулю первую
производную фазы по ж в виде
Если, как мы считаем, |£-| = |&|2/&о ^" 1> то xs ~ %а- Таким образом,
в пределе для очень больших \е\ величина xs вещественна и наиболее
существенная область поверхности раздела расположена как раз над точкой
наблюдения. Однако при конечных \s\ вещественная часть xs несколько
сдвинута в сторону источника (тем больше, чем больше d и чем меньше
\е\) и, кроме того, экстремальная точка немного смещена в комплексную
плоскость. Поэтому мы деформируем контур интегрирования, проходящий
в интеграле (14.7) по вещественной оси х, так, чтобы он проходил через
точку xs, и применим метод перевала. Прежде всего отыщем направление
крутейшего спуска. Для этого положим
х = xs + £ + irj, (14.9)
где £ и rj — вещественны, и будем рассматривать всю функцию на прямой,
проходящей по этому (подлежащему определению) направлению. Именно,
положим г/ = у£, где у — тангенс угла наклона прямой с осью £. Разлагая
теперь показатель экспоненты в ряд по £, мы получим (в некоторых членах
мы при этом пренебрегаем величиной *„, которая мала по сравнению с к2,
и величиной k%d/2k, малой по сравнению с единицей)
iip = г I k0Jx2 + z^ + ку/(хл - х)2 + d2 1 и
и г ( k0\Jx2s + z2Q + ky/{xA -xs)2 + d2j +
+|^{#i(l - 72) - 2fc27] - [*2(1 - 72) + 2*i7]}. (14.10)
Направление крутейшего спуска определяется тем, что для него мы имеем
убывание без осцилляции. Поэтому определим у из требования
кг(1 - у2) - 2к2у = 0, т. е. 7 = -r + \ Л + 1- (14Л1)
Знак перед корнем был выбран так, чтобы при къ = 0 мы получили
7 = +1 (при 7 = —1 это было бы направление скорейшего возрастания, а
не убывания для ф). В частности, при к^ >■ *i можно считать у и k\j1ki-
90 ГЛ.2. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ДЛЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
Полагая, далее, в предэкспоненциальных множителях х — xs, мы
окончательно получаем (при у яз fci/2fc2) \kps\ >■ |Arr^l и \kd\ и т. п.):
/ = exp [i(k0ps + krs)] X
V (kors + kps)psrs
+00
/
X / exp
—00
(1 + 17) of ~ 27П ь -. (14.12)
PS
Здесь /t>5 = yjxs + z£ и г5 = ^/(жл -ж5)2 + ^2 (|rs| < \ps\) —
комплексные «расстояния» от источника до точки (xs, 0, 0) и от этой точки до
точки наблюдения. Если в формуле (14.12) величину kops + krs разбить на
вещественную и мнимую части, то вещественная часть будет давать набег
фазы на пути от источника к наиболее существенной области поверхности
раздела, лежащей над точкой наблюдения, но смещенной в сторону
источника, а затем оттуда в точку наблюдения (штриховая линия на рис. 23).
Мнимая часть этой суммы, пропорциональная d, дает затухание по мере
распространения в почве от этой области в точку наблюдения.
Ширина эффективной области поверхности может быть оценена из вида
интеграла по £ в формуле (14.12); для к^ ^> к\ мы отсюда получаем
Д£эф ~ Д*зф ~ Wj^ ~\lm~\lr% = Л*- (14.13)
Таким образом, эта ширина имеет порядок ширины зоны Френеля по
отношению к «длине волны в почве» А = l/|fc|. В рамках оговоренного выше
условия d -С y*1iJA0; отсюда следует} что АжЭф -С Ао.
Лежащие вне этой существенной области участки будут посылать в точку
наблюдения волны, затухающие вследствие большого пути еще сильнее. Их
относительная роль будет экспоненциально убывать с ростом номера их
зоны.
В случае чисто диэлектрической почвы более далекие зоны будут
посылать взаимно погашающееся излучение, которое, однако, не будет
испытывать экспоненциального затухания, и потому их роль будет убывать с ростом
их номера более медленно (обратно номеру, ср. формулы (10.13) и (10.29а).
Однако в интересующем нас диапазоне длин волн и свойств почвы
проводимость все же имеет место и экспоненциальное затухание оказывается
весьма значительным.
Как мы убедились, ширина области, посылающей синфазные колебания,
имеет порядок А0 и, таким образом, много больше глубины d точки
наблюдения. Поэтому можно наглядно представлять себе, что в точку наблюдения
приходит от поверхности плоская волна, затухающая по мере
распространения в глубь почвы так, как при распространении в однородной среде со
свойствами почвы.
Таким образом, поле в почве определяется его значениями в
близлежащих точках поверхности, т. е. оно как бы привязано к полю в воздухе на
границе раздела и переносится вдоль границы вместе с ним. В частности,
§14. ОБЛАСТЬ, СУЩЕСТВЕННАЯ ПРИ ПРЕЛОМЛЕНИИ 91
вдоль оси х поле в земле заметно меняется на отрезке порядка длины волны
в воздухе.
Подчеркнем, что эти соображения справедливы с некоторыми оговорками
и в случае «почти диэлекрической» почвы (или очень высоких частот ш).
Правда, поскольку здесь роль далеких зон ослабляется лишь довольно
слабым экспоненциальным затуханием, может показаться, что постепенное
изменение напряженности поля в воздухе, например его усиление по мере
отхода в сторону источника, скомпенсирует погашающее действие зон. Более
подробный анализ (§ 31) показывает, однако, что необходимо лишь, чтобы
волна, идущая в почве от источника, успела затухнуть (т. е. чтобы успело
сказаться экспоненциальное затухание). Это условие соблюдается даже при
малой проводимости почвы на достаточно большом расстоянии от источника.
Изложенные соображения лежат в основе чрезвычайно эффективного
приближенного метода, который был успешно применен к большому
числу проблем, связанных с распространением радиоволн над поверхностью
с достаточно большим \е\ или во всяком случае на достаточно большом
расстоянии от источника. Мы рассмотрим его в гл. 4 и будем им неоднократно
пользоваться в дальнейшем.
Глава 3
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА
§ 15. Электрические свойства сред,
встречающихся в теории распространения радиоволи
Среды, с которыми приходится иметь дело в теории распространения
радиоволн вдоль земли, это почва (к которой можно относить также воду
морей, озер и рек) и атмосфера.
В течение долгого времени, пока практический интерес представляли
только длинные, средние и короткие волны, считалось, что каждую из этих
сред всегда можно приближенно считать однородной. Затем было показано,
что даже в этом диапазоне наличие крупномасштабных неоднородностей
почвы (море-суша и т. п.) может качественно изменять характер процесса
распространения радиоволн. Все же можно было думать, что если мы
отвлекаемся от влияния ионосферы, то воздух, диэлектрическая проницаемость
которого при нормальных условиях равна е ~ 1,0003, а проводимость
чрезвычайно мала, можно отождествить с вакуумом. Однако постепенно, по мере
того как возрастала роль более коротковолновых диапазонов, все более
выяснялось, что неоднородности воздуха играют фундаментальную роль.
Прежде всего была осознана роль нормального убывания плотности
воздуха с высотой, которое всегда усиливает проникновение радиоволн за
горизонт. Затем обнаружилось влияние разного рода инверсий в этом высотном
ходе. В определенных условиях — а именно для ультракоротких,
дециметровых и сантиметровых волн — слоистые неоднородности в виде волновод-
ных каналов могут обусловить сверхдальнее распространение. Наконец, уже
после 1950 г. оказалось, что нерегулярные, турбулентные неоднородности,
всегда присутствующие в атмосфере, существеннейшим образом влияют на
прохождение дециметровых и сантиметровых волн как в пределах прямой
видимости, где вызванное ими рассеяние радиоволн в основном мешает
распространению, так и за горизонтом, куда проникает рассеянное излучение
и где благодаря этому поле горазда сильнее, чем можно было ожидать.
Разделить влияние этих факторов не всегда легко (хотя для достаточно
длинных волн положение во всяком случае упрощается). Прежде чем изучать
их совместное действие, целесообразно провести раздельное рассмотрение и
в первую очередь проанализировать распространение радиоволн в
однородной среде со свойствами, соответствующими средним свойствам атмосферы
или почвы.
Проводимость нижних слоев атмосферы и соответственно мнимая часть
г чрезвычайно малы. Практически принято считать, что они равны нулю,
£ = £'. Дополнительный набег фазы на пути / вследствие отличия £ от
единицы равен А<р = kl — kol = ko(VP — 1)1- В нормальных условиях, когда
£ = 1,0003, имеем А(р = 27Г-1,5-10-4//Ао ~ 10-3//Ао. Таким образом, фаза
заметно смещается только на пути порядка 103Ао. Однако само по себе это
§ 15. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СРЕД
93
смещение не может привести ни к чему особенно существенному. Оно
эквивалентно некоторому (на доли процента) изменению расстояния / и легко
могло бы быть учтено. Только неоднородности е — систематические или
хаотические — могут привести к искажению направления распространения,
рассеянию радиоволн.
Значение е или показателя преломления п = ^/ё в атмосфере
определяется экспериментально специальными рефрактометрами. Оно зависит от
плотности воздуха (в свою очередь зависящей от температуры) и от
содержания водяных паров. Показатель преломления дается следующей формулой
B=l + f(,+ ^)-.0-, (15.,)
где р и е — соответственно давление воздуха и водяных паров в
миллибарах, Т — термодинамическая температура. Часто вместо п используют
приведенный показатель преломления
iV = 106(n-l). (15.2)
Пользуясь барометрической формулой для зависимости р от высоты h над
уровнем моря, отсюда можно получить при Т = 273 К для уровня моря
{ж) « = - {о, ЮТ + (1,05 + 0,037.) f - 5, 05^} . 10« (15.3)
(здесь высоты h берутся в метрах).
Первый член в фигурной скобке описывает убывание плотности в
равновесной сухой атмосфере. Обычно при сухой (но неравновесной) атмосфере
dT
•— 0, 0098 ss -0,01 К/м.
dn
По международному соглашению «стандартной атмосферой» или
«радиоатмосферой» считается атмосфера в таком состоянии, в котором на уровне
моря Г = 273+ 15 К, dT/dh = -0,0065 К/м, de/dh = -0,0033 мб/м,
е = 10 мб.
Отсюда получается постоянный но высоте градиент показателя
преломления
dn . ,„ s _i de dn „ я i /
-п- = -4-10_8м-1, — = 2— = -8-10-8м-1. (15.4
dn an dn
Подобные условия действительно соответствуют некоторому
усредненному состоянию атмосферы. Однако даже средний линейный ход г на
высоте порядка 10-16 км нарушается (что и понятно, так как здесь п достигает
значения единицы). Кроме того, вся картина сильно меняется с сезоном и
вообще очень часто искажается. На некоторых высотах градиент г может
отличаться от указываемого формулой (15.4) в несколько раз по абсолютной
величине, а временами также и по знаку. Между тем наличие уровней с
разными знаками градиента е вызывает появление слоев, которые обладают
по отношению к достаточно коротким волнам «волноводными» свойствами.
Здесь возникает своеобразное явление распространения радиоволн внутри
94
ГЛ. 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
такого слоя, канализирующего их на весьма большие расстояния (см. §57).
Подобные инверсии хода е часто наблюдаются вблизи морских берегов,
особенно в тропиках, и в значительной мере обусловлены перемещением
водяных паров. В то же время уже наличие градиента одного знака (15.4)
является причиной нормальной атмосферной рефракции радиоволн,
облегчающей их проникновение за горизонт (см. §56).
На крупномасштабные неоднородности атмосферы накладываются
мелкомасштабные колебания е, которые также непосредственно измеряются
приборами. В отличие от крупномасштабных, эти колебания быстро
флуктуируют и во времени. Их принято связывать с развитием турбулентности
в атмосфере. Согласно статистической теории однородной турбулентности
А.Н. Колмогорова и A.M. Обухова (см., например, [28, 29]), в вязкой среде
крупномасштабные движения с очень большим числом Рейнольдса должны
измельчаться и переходить в турбулентные вихри все меньших размеров до
тех пор, пока число Рейнольдса не упадет до единицы. После этого
кинетическая энергия не будет уже затрачиваться на создание более мелких вихрей,
а будет переходить в тепло за счет вязкости. Таким образом, при данной
средней плотности р и вязкости г\ характерная скорость vt и характерные
размеры 1а в наименьших возможных вихрях определяются условием
Re=^ = l. (15.5)
V
Здесь, как и повсюду в подобной трактовке, v имеет порядок и
некоторой средней скорости в вихре данного масштаба, и характерной разности
скоростей на расстоянии порядка размеров вихря /, (At?/)2 ~ F2.
При зарождении крупномасштабного вихря с размерами /о и характерной
скоростью г?о в систему вводится кинетическая энергия порядка То ~ pVg/2
на единицу объема. Это может быть, например, энергия ветра. Тогда г?о —
скорость ветра. Энергия То, не растрачиваясь на тепло, переходит в
меньшие вихри, причем для вихрей масштаба / полная их энергия на единицу
объема имеет, конечно, порядок Т/ ~ pvf/2. Так как ни на что другое эта
энергия не тратится (пока / > lt) и этот переход осуществляется за время
порядка Т[ ~ l/vi, то мы заключаем, что для каждого / имеет место условие
постоянства скорости перераспределения энергии 5/:
5/ = — = const.
Следовательно,
г?3
■j- = const, vf ~ /2/3. (15.6)
Таким образом, средний квадрат флуктуации скорости или разности
скоростей пропорционален расстоянию /, на котором эту разность замеряют
взятому в степени 2/3 («закон двух третей»). Учитывая (15.5), отсюда получаем
и наименьший размер вихря:
/п\3/4/1/4
§ 15. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СРЕД
95
где /о — значение / для начальной крупномасштабной неоднородности.
(Подробнее о теории изотропной турбулентности см. [28, 29, 140].)
Флуктуации скорости в масштабе / неизбежно связаны с флуктуациями
давления, температуры и плотности. Следовательно, они приводят и к флук-
туациям диэлектрической проницаемости. Таким образом, возникает
электрическая неоднородность среды, влияющая на распространение радиоволн
(а также света), и акустическая неоднородность, влияющая на
распространение звука. Мерой электрической неоднородности могут служить квадрат
(8е)2 флуктуации е в данной точке, а также функция корреляции F
флуктуации в двух точках на расстоянии R = |г — г'| друг от друга (в случае
однородной и изотропной турбулентности, которой мы ограничиваемся,
зависящая только от R)
fe(r) • 8е(т>) = {Ss)2Fc{R) (15.7a)
или связанная с ними так называемая структурная функция для
флуктуации е
Dc(R) = (s(r)-s(r'))\ (15.8)
Если считать
е(г) = £0 + Se(r), £0 = е(т), fe(r) = 0, (15.8а)
то, как легко видеть,
De(R) = 2(fc)2(l - F.{R)). (15.86)
Теория изотропной турбулентности предсказывает для скоростей и для
параметров, не влияющих на развитие турбулентности (для «пассивных
примесей»), вроде е или п — у/е, единообразную структурную функцию,
выражаемую формулой, например,
DC{R)
W /Р42/з (15-8В)
C2R2/3 = C2l2J3(f) , /3<Д</0.
Здесь С2 — константа. Для других физических величин указанного типа
изменится только постоянный фактор С2. При R^> lo структурная функция
DC(R) остается постоянной.
Для определения константы С оказывается чрезвычайно существенным
учитывать вертикальные градиенты р, Т и е, реально имеющие место в
атмосфере. Связанное с ними перемешивание влияет, таким образом, на
абсолютную величину флуктуации. Именно, как показано в работе [140],
если положить
С2 = а2Х/3М2 (15.8г)
и ввести удельную влажность q — 0,62е/р, то
79-10_6p/ 15500g\ (dT 7800 dq\ . оЧ
96
ГЛ. 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Величина М имеет размерность обратной длины. Если /о и R измеряются в
метрах, то и h нужно измерять в метрах и т. п.; а2 — остающийся
неопределенным числовой фактор порядка единицы; 7а — упомянутый выше
градиент температуры для сухой (неравновесной) атмосферы; 7а ~ —0,0098 К/м.
В стандартной атмосфере главную роль, как легко убедиться, во
второй скобке в формуле (15.8д) играют первые два члена; согласно сказанному
выше, имеем dT/dh + ул т —0,0163 К/м, т. е. при Т = 288 К на уровне
моря (р и 1000 мб)
М » °'79J'63p ■ Ю-6 м-1 ~ 2 • Ю-8 м-1 = 2 • Ю-10 см"1.
Для турбулентностей, вызванных ветром, можно рассмотреть следующий
пример. Пусть /0 ~ 0,1 км, г?0 ~ 1 м/с. Для воздуха, г) ~ 2 • Ю-4 г/см,
р ~ 10_3 г/см3, имеем вначале
10-3-102-104 7
Ке ~ ~ 10 .
2 • Ю-4
Размер наименьших вихрей
/2.10-4чЗ/4(1о4)1/4
(ближе к действительности, по-видимому, l3 ~ 1 см). Далее,
Cl ~ 1016/3 • 4 • Ю"20 ~ Ю-14 см"2/3.
Для определения (fe)2 нужно, согласно равенству (15.86), взять De при
максимальном расстоянии, когда F -> 0, т. е. при R ~ /о- Следовательно,
Щ2 « ^DE(Zo) ~ ^ • 10-14(104)2/3 ~ 2 • Ю-11.
Действительные значения этих величин в сильнейшей степени зависят от
метеорологических условий в данный момент. Так, непосредственные
измерения дают в приземном слое атмосферы [30]
Щ5 = I(fe)3 ~ Ю"11 -f- КГ12,
причем характерные размеры неоднородности имеют порядок 103 -г 104 см,
а на высоте порядка 2 -f- 5 км [31] (8п)2 ~ Ю-13 -f 2 • Ю-12. При этом
важный для теории (см. гл. 10) параметр (8п)2/1 меняется от Ю-16 до
10"19 см-1. Близкие порядки для значений (Sn)2/l вытекают из измерений
в приземном слое [30], в которых, как мы говорили, было найдено (5п)2 ~
~ Ю-11 + 10~12 при I ~ 1034-104 см, что дает (8п)2/1 ~ 10~15 Ч- Ю-16 см"1.
Это показывает, что для Iq можно принимать значения, составляющие доли
километра, причем тогда измеренные значения (Sn)2 неплохо согласуются
с предсказываемыми теорией. Однако изменение этой величины на один,
два или даже три порядка в зависимости от метеорологической обстановки
и высоты над землей является вполне нормальным.
§15. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СРЕД
97
Как мы увидим ниже, такие флуктуации £ следует считать весьма
значительными, они могут оказать очень существенное влияние на
распространение дециметровых и более коротких радиоволн.
Вопрос о том, насколько представления теории изотропной
турбулентности соответствуют действительной картине турбулентных флуктуации £,
экспериментально нельзя считать вполне выясненным. Существуют
непосредственные измерения, в которых получено указание на то, что
распределение флуктуации по размерам следует предсказаниям теории. Однако
вопрос до конца не изучен.
Наконец, возможно комбинированное действие обоих видов
неоднородности — систематического хода с высотой и турбулентных флуктуации.
Уже из сказанного видно, что при изучении влияния турбулентности
воздуха на распространение радиоволн необходимо применять статистические
методы трактовки. Существенная область пространства (см. § 10) будет
неизбежно включать много таких неоднородностей, и наблюдаемое поле всегда
будет передавать некоторый средний результат их действия. Этот
результат будет зависеть не только от средних, но и от других статистических
характеристик среды: от дисперсии, функции корреляции и т. п. Поэтому
рассмотрение этих вопросов образует главу статистической радиофизики.
I e I, Im e
X, см
Рис. 24. Модуль диэлектрической проницаемости \е\ и ее мнимая часть Ime для различных
почв и длин волн. Наклонные прямые указывают Im е. В области более коротких волн |е|
отличен от Im е
Что касается почвы, то здесь наблюдается чрезвычайно большое
разнообразие свойств. Оно обусловлено главным образом малой проводимостью
сухой земли (ст ~ 106 CGSE). Обычно такая почва богата солями и потому
ее проводимость резко изменяется при увеличении количества влаги. Как
мы увидим, в распространении радиоволн вдоль земли принимает участие
только сравнительно тонкий поверхностный слой, содержание влаги в
котором в разных местах совершенно различно. Резкое отличие в условиях
распространения вносят участки, покрытые морем. Проводимость соленой
98 ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
морской воды в тысячи и десятки тысяч раз больше проводимости почв.
Экспериментальные данные представлены в табл. 1 и на рис. 24
(сплошные кривые, там, где экспериментальные точки дают разброс, имеют весьма
приближенный характер). Эти данные должны рассматриваться в качестве
некоторых средних, весьма ориентировочных. Колебания а в два-три раза
в ту или иную сторону нужно считать нормой. Кроме того, следует иметь
в виду, что эти данные получены на различных установках, разными
исследователями, часто довольно субъективно характеризовавшими изучаемую
Таблица 1
Ориентировочные значения электрических параметров различных сред
Среда
Сухой
песок
Песок
Средне-
влажная
земля
Влажная
земля
Пресная
вода
Морская
вода
Длинные, средние
и короткие волны
/
£
2
5
10
20
80
80
а
2-Ю6
2-Ю7
2-Ю7
2- 108
2-Ю7
4-Ю10
2а
150
40
80
15
600
0,3
* Сухая почва (песчаный суглинок'
** Водопроводная вода.
*** Четырехпроцентный раствор. Сол<
**** Морская вода при 28 °С.
А<2>
700
70
0
0
0
0
УКВ
А
г
4*
30
80
:ная вода.
= 100см
а
9-Ю5
9-Ю7
9106-
-9-107
А = 9 см
£
2'
24
80
80
а
3- 108*
6-109
2-Ю10**
5, 5х
Х1010"*
А = 3, 2 см
/
£
65
а
1,4х
Х1010****
(4тгсг)/(и;) = е' при Л = А*1»
|е'| > 10 при Л > А<2>.
почву. Поэтому мы в сносках в табл. 1 указываем характеристики,
приводимые авторами.
В некоторых странах производится систематическое определение
«эффективных проводимостей», в результате чего составляется для всей страны
карта эффективных проводимостей. Так, например, в США такая карта
была составлена в 1954 г. на основе измерений ослабления поля заданного
передатчика и сравнения этого ослабления с теоретически
предсказываемыми (для однородной поверхности) при различных проводимостях а [32].
Было изучено 7000 трасс. Авторы отмечают, что найденные (Тэф не только
колеблются в зависимости от сезона, погоды и т. п., но различаются (более
чем в два раза) и в зависимости от направления трассы, частоты,
применяемого оборудования, способа интерпретации измерений и т. п. даже на одной
и той же видимым образом однородной поверхности. Как будет показано в
гл. 8 (§ 48 и 51), в ряде случаев влияние неровностей поверхности сводится к
изменению проводимости, к замене истинной проводимости некоторой
эффективной, специфически зависящей от длины волны. С другой стороны,
наличие электрических неоднородностей даже на сравнительно небольшой
части трассы может заметно изменить характер распространения (гл. 7). По-
S 15. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СРЕД
99
этому неудивительно, что полученные описанным выше способом значения
(7эф столь сильно различаются между собой. В то же время отмечается, что
для данного вида почв значения логарифмов эффективных проводимостей
распределены вокруг среднего стэф по нормальному закону со стандартной
ошибкой 0,266. Это значит, что в двух третях случаев значения (Тэф лежат
между (1/1,85)аэф и 1,85стЭф-
Из табл. 1 видно, что в диапазоне частот и>/2л" > 108 начинают
проявляться дисперсионные свойства некоторых сред, начинает сказываться
зависимость диэлектрической проницаемости от частоты. При этих частотах
член Ажа/ш, вычисленный по значению а для и — 0, становится для почвы
очень малым; поэтому считают, что появляется комплексная часть £,
связанная с инерционностью поляризации, как говорилось в §1, неотличимой
от проводимости. Производя измерения, например, коэффициента
отражения ультракоротких радиоволн из почвы, этот эффект интерпретируют как
возрастание проводимости. (Если учитывать различие молекулярных
механизмов, то можно говорить, как указывалось в §1, что здесь измеряется
(Тэф.) Как видно из табл. 1, эта проводимость может раз в 100 превышать
проводимость, измеренную при ш — 0.
Однако в уравнения теории входят повсеместно не сами е' и и, а
комплексная диэлектрическая проницаемость е — е' + 4ж1(т/и>, которая сильно
зависит от частоты даже при постоянных и вещественных е' и и. Поэтому
поверхностный слой земли всегда ведет себя совершенно различно в
отношении волн разных частот. Мы можем в некотором смысле говорить, что
он всегда является сильно диспергирующей средой.
При достаточно коротких волнах (но до наступления дисперсии е') и
небольших проводимостях мнимая часть е становится весьма малой по
сравнению с £"'. Соответственно е почти перестает зависеть от длины волны, и
условия распространения для волн разной длины, вообще говоря, становятся
близкими. Это остается справедливым даже при сантиметровых волнах,
когда только на очень больших частотах а возрастает во много раз (пресная
вода, песок). Мы можем выбрать это обстоятельство в качестве критерия
для различия между длинными и короткими волнами [5].
Так как отношение плотности токов проводимости оЕ к плотности токов
смещения ше'Е/Аж как раз равно Ажс/е'ш, то это разделение одновременно
указывает, что играет большую роль: токи смещения или токи
проводимости.
С этой точки зрения «короткие» волны — это такие волны, для которых
при данной проводимости почвы играют большую роль токи смещения:
— < е. (15.9)
ш
Для «длинных» волн, наоборот, главную роль играют токи проводимости:
4™ » г'. (15.10)
и
Длина волны А^1), при которой лежит граница между «короткими» и
«длинными» волнами, приближенно равная 2жс/и>(1\ где о^1) = 4жи/е', также
приведена в табл. 1 для некоторых видов почв.
100
ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
В одном предельном случае (обычно весьма коротких, но не
ультракоротких волн), когда дисперсия совершенно исчезает, среда ведет себя «почти
как диэлектрическая». В другом предельном случае (весьма длинных волн),
когда вещественной частью у е можно полностью пренебречь, среда ведет
себя как идеально проводящая (и —>• оо).
Этот способ разделения волн на «длинные» и «короткие», разумеется, во
многих случаях совершенно не совпадает с принятой общеизвестной
радиотехнической терминологией.
Наконец, все встречающиеся среды можно рассматривать как
немагнитные. В соответствии с этим мы повсюду будет полагать
/х=1. (15.11)
Мы увидим в дальнейшем, что большое значение в процессе
теоретического исследования играет абсолютная величина комплексной
диэлектрической проницаемости. Если \е\ велик, то множество формул упрощается.
Многие результаты теории вообще справедливы только при |е| >■ 1.
Поэтому целесообразно для каждого вида сред определить ту длину волны, при
которой |е| действительно становится большим.
Критерием понятия «много больше» условно выберем превышение в
10 раз. Таким образом, мы вводим некоторую критическую длину волны
такую, что для нее становится |е| = 10. Очевидно, если е' > 10, то |е|
«весьма велик» для всех длин волн. В остальных случаях (е' < 10)
\W=Vl00-e'2^-. (15.12)
2(7
Величина А(2) для разных почв приведена в табл. 1.
Таким образом, в области коротких и более длинных волн почти все
встречающиеся в проблеме распространения радиоволн среды можно
рассматривать как обладающие «весьма большим» \е\. Только почвы с малым
содержанием влаги {е' < 5, а < 107 и еще более сухие) не подходят под этот
критерий.
§ 16. Плоские волны в однородной среде
н их связь со сферическими волнами
Уравнение д,ля вектора Герца в однородной среде вне области, занятой
источниками,
У2П + к2П = 0, (16.1)
к2 = е'к%, £ = е' + 4жг—, к0 = —, (16.1а)
допускает гармонические во времени решения вида
П = П0 exp [i(kxx + куу + kzz - wt)], (16.2)
где кх, ку, к2 — некоторые, вообще говоря, комплексные числа. Подстановка
в уравнение показывает, что единственное требование, которому должны
удовлетворять эти числа, имеет вид
к2х + к2у + к\ = к2. (16.3)
Следовательно, только два из них произвольны. Так как это комплексные
числа, то частное решение (16.2) содержит четыре произвольных параметра
(помимо амплитуды П0), позволяющих удовлетворять граничным условиям.
§ 16. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ И ИХ СВЯЗЬ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ВОЛНАМИ101
Разобьем все к на вещественную и мнимую части, т. е. положим
кх = К\х + lk2x, Ку = к\у + tK2y, . „ ,,
kz = ku + ik2z, k = ki + ik2, ^ ' '
и, кроме того, представим совокупность трех чисел (fclx, fcly, k\z) как
некоторый вещественный вектор q, а совокупность чисел {k2x, k2y, k2z) как
вещественный вектор р:
k\x = qsmficostp, к2х — psinacos/3,
к\у = ^ sin #sin<^>, fc2y = р sin a sin/3, (16.5)
^iz = ?cosi?, A;2i=pcosa.
Другими словами, вместо шести параметров к\х, ..., k2z, связанных
условием (16.3), введем шесть параметров q, #, <р, р, а, /3, связанных условиями,
вытекающими из подстановки (16.5) в соотношение (16.3):
pqcos£ = kik2, (16.6a)
q2-p2 = k\-k\, (16.66)
где cos £ = cos(pq) = cos # cos a + sin tfsin a cos (y> — /?), т. e. £ — угол между
векторами q и р. Можно, например, считать, что условия (16.6)
определяют абсолютную величину векторов р и q. Тогда остается произвольным
направление каждого из них.
Теперь решение (16.2) имеет вид
n = n0exp[t(qR-u>t) - pR], (16.7)
где R — радиус-вектор точки [R = R(x, у, г)].
Выбирая различные направления векторов q и р в пространстве, мы
можем перебрать все возможные решения типа (16.2).
Рис. 25. Распространение фронта волны
Рис. 26. Перемещение плоскости равных амплитуд
Фактор exp [t(qR — u>t)] указывает, что каждое решение определяет
плоскую волну, фаза которой остается постоянной на поверхностях
qR — ut — const, (16.7а)
т. е. на плоскостях qR = ut + const, перпендикулярных к вектору q.
Положение этих плоскостей в два разных момента времени показано на рис. 25.
Очевидно, что скорость движения этой поверхности (в нормальном к ней
102
ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
направлении) — фазовая скорость — равна
V = W\- (16-7б>
Таким образом, фактор exp [t(qR— u>t)] указывает, что мы имеем дело с
плоской волной, распространяющейся в направлении, определяемом
вектором q.
Фактор exp (—pR) описывает экспоненциальное убывание амплитуды
волны. Оно происходит по мере роста произведения pR, следовательно, на
всех плоскостях
pR = const (16.7в)
амплитуда постоянна. Это уравнение определяет плоскость,
перпендикулярную к вектору р (рис. 26). Таким образом, фактор exp (—pR) указывает,
что экспоненциальное затухание происходит в направлении, определяемом
вектором р.
Мы видим, что волновое уравнение допускает существование решений в
виде плоских волн, убывание амплитуды которых происходит не в
направлении распространения.
Иногда такие решения записывают в ином виде, полагая
кхх + куу+ kzz = |Аг|(ж cosw + у cos г? + г cosw), (16.8)
где под cos u, cost?, cosw понимают комплексные числа (вообще говоря, по
модулю не меньшие единицы), значение которых через кх, ку и к2 легко
определить. В таком случае говорят, что введены комплексные
направляющие косинусы плоской волны. Их вещественные части в совокупности
определяют направление и скорость распространения фазы (направление и
величину вектора q), их мнимые части — направление и скорость
убывания амплитуды (направление и величину вектора р). При этом, согласно
формуле (16.3), они должны удовлетворять обычному для истинных
направляющих косинусов условию
cos2 и -\- cos2 v -\- cos2 w = 1.
Не следует думать, что такие решения возможны только в проводящей
среде, т. е. только в случае комплексных к. Согласно равенству (16.6а),
при вещественном к плоскости равных фаз и плоскости равных амплитуд
взаимно ортогональны. Так, например, функция
П = П0 exp [i(kxx - Lot) - усу] (16.9)
является решением волнового уравнения при вещественных кх, ус и к2, если
только
к\ - ус2 = к2. (16.9а)
Однако эта функция не остается конечной при у —>• —оо. Поэтому она
может описывать поле только в ограниченной области значений у, например,
при у > 0. Если же мы напишем
то такая функция будет возможным решением, однако при у = 0 она
испытывает излом, следовательно, соответствует наличию источников, распре-
Чй
ехр
ехр
i{kxx — u>t) — усу
i(kxx - u>t) + усу
§ 16. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ И ИХ СВЯЗЬ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ВОЛНАМИЮЗ
деленных бесконечно тонким слоем в плоскости у = 0, и потому является
решением неоднородного волнового уравнения, а не уравнения (16.1).
То обстоятельство, что сама по себе функция (16.9) при у > О
является решением однородного уравнения, неудивительно, поскольку ее можно
представить в виде интеграла
+оо
dk„
■ exp [i(kxx + куу) - iut], (16.9в)
п = п0/
2wi(ky — ix)
— оо
составленного из незатухающих плоских волн. (Чтобы убедиться в этом,
достаточно в интеграле (16.9в) замкнуть контур —оо < ку < +оо в верхней
полуплоскости комплексного переменного ку полуокружностью бесконечно
большого радиуса и взять вычет при ку = ix.) Однако входящие сюда
плоские волны нормального типа отвечают различным длинам волн, поскольку
для них условия не существует (интеграл распространен в
бесконечных пределах). Очевидно, что и вообще подобные поля могут быть
представлены как суперпозиция обычных плоских волн с различными
длинами волн, каждая из которых является решением волнового уравнения для
одной и той же частоты (поскольку к2 в уравнении (16.1) возникло как
обозначение для и>2/с2, где ш — единая для всех волн частота), однако фазовые
скорости этих волн (в случае (16.9в) v = ш/ Jkx + к2,) различны для разных
длин волн.
Из плоских волн путем суперпозиции может быть образовано любое поле
данной частоты и>, удовлетворяющее не только волновому уравнению (16.1),
но также и граничным условиям. Эти граничные условия резко распадаются
на три группы.
1) Условия на бесконечности, требующие, чтобы соблюдалось условие
излучениями во всяком случае, чтобы поле не возрастало при возрастании
R). Это значит, что при больших R суммарное поле должно переходить в
расходящуюся сферическую волну.
2) Условия на границах раздела однородных сред особенно простые, если
границы раздела — плоскости.
3) Условия в точках, где находятся точечные излучатели. Если,
например, излучателем является точечный диполь, помещенный в точку Ro, то
вблизи него поле неограниченно возрастает и потому должно переходить в
поле данного излучателя, устанавливающееся, когда он находится в
безграничной однородной среде. Таким образом, не только в бесконечности, но и
при стремлении R -» Ro поле должно переходить в поле сферической волны
П exp\i(kr-u>t)], r=|R-Ro|.
г
Мы убедимся сейчас, что условиям 1) и 3) нельзя удовлетворить набором
плоских волн, в котором присутствуют только волны с вещественными кх,
ку и kz и с одной определенной длиной волны.
В самом деле, функция трех переменных exp (ikR)/R может быть
разложена в тройной интеграл Фурье
+оо
6ХР^Д) = /// A(q') exp (tq'R) <*q', (16.10)
104
ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
в котором каждая из суперпонированных плоских волн является решением
однородного уравнения
(V2 + q'2) ехр (tq'R) = 0, q'2 = q'2 + q'2 + q'2.
Поскольку в интеграле q'x, q'y, q'z независимо пробегают все вещественные
значения, волны с q', не равными некоторому одному определенному q',
например q' = к, могли бы выпасть лишь при специальном виде A(q'). В
данном случае, однако, они не выпадают. Действительно, A(q') однозначно
определится, если обе части формулы (16.10) умножить на ехр (—tqR) и
проинтегрировать по всему пространству. Справа мы получим
+оо +оо
HI A(q') d4' HI exp [t(q' - q)R] <Ж = (2тг)3А(Ч),
—oo —oo
а слева, пользуясь вещественностью q, мы можем всегда положить qR =
= qR cos # и интегрировать в сферических координатах R, #, <р. Это дает
oo ir 2ir
/ exp(ikR)RdR j exp (iqR cost?) sin fidfi j dip —
oo о
oo
/jp
exp (ikR)[exp (iqR) — exp (—iqR)]-r~.
iq
В действительности среда всегда является хотя бы в ничтожной степени
проводящей. Поэтому к всегда содержит малую мнимую часть, знак перед
которой еще не определяется формулой (16.1а), но должен быть выбран так,
чтобы поле в бесконечности не возрастало; это значит, что к — к\ + ik2,
где &2 > 0. Поэтому мы можем формально заменить к на к + га, считая к
по-прежнему вещественным, а > 0. Так как на физическом результате в
области конечных расстояний от источника столь малая проводимость
сказаться не может, мы по окончании всех вычислений можем положить а = 0.
Благодаря этой замене интеград становится сходящимся и подстановка
верхнего предела дает нуль. Подставляя же нижний предел, мы получаем
2тг2 q2 - (к + т)2
и разложение сферической волны на плоские приобретает вид
+оо 1
ехр (ikR) _ 1 fff exp [i(qxx + qyy + q2z)\
—R— ~ ъ? И] ql + ql + ql-{k + i*Y *** **' **> (16'П)
—oo
где а впоследствии будет положено равным нулю.
Таким образом, в разложение существенно входят плоские волны с
различными q - ijql + ql+q2.
§ 16. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ И ИХ СВЯЗЬ СО СФЕРИЧЕСКИМИ ВОЛНАМИ!05
В этом нет ничего удивительного. Если бы имело место обратное, т. е.
если бы все плоские волны принадлежали одной длине волны А = 2ж/к, то
они все были бы решениями одного и того же однородного уравнения (16.1).
Между тем сферическая волна, имеющая особенность при R — О, является
решением соответствующего неоднородного уравнения, именно такого
уравнения, в правой части которого стоит точечный источник.
Однако так же, как в случае взаимно эквивалентных формул (16.9) и
(16.9в), мы можем формально представить это разложение как суперпозицию
плоских волн с комплексными волновыми числами, являющихся
решениями одного и того же однородного уравнения (16.1).
Прежде всего выполним одно из входящих в разложение (16.11)
интегрирований, скажем, интегрирование по qz. Для этой цели достаточно
дополнить контур — оо < qz < +oo полуокружностью, интеграл по которой
исчезает, и взять вычет в полюсе. Полюсов имеется два:
ч°ж = ±i^ql + q2y-{k + iay.
Для определенности будем считать, что при извлечении корня берется то из
его двух значений, для которого вещественная часть положительна.
Когда мы применим результат в области z > 0, то интеграл по
полуокружности исчезает, если мы замкнем контур в верхней полуплоскости.
Но здесь находится только один из полюсов. Учитывая, что вблизи полюса
знаменатель имеет вид q2 — (g0)2 и 2g°(gz — g°), и устремляя хотя бы уже
теперь а к нулю, получаем (полагая ^Jq2 — k2 = —i-y/fc2 — q2)
exp (ikR) 1 Г Г ехР ПЧхХ + qyy) - zJq2 + q2 - k2]
= — / / dqx dqy =
R 2жЦ yjql + ч1 - k2
exp(«r/2) f f exP ПЧхХ + qyy + zJk2 - q2 - q2)]
= \ I / , V dqxdqy. 16.11a
27r J J. yjv-ql-ql
Это выражение можно рассматривать как разложение на плоские волны с
комплексными q {qz в области q2 + q2 > к2 становится мнимым).
Если в плоскости qx, qy ввести полярные координаты и, if, положив
qx — v cos if, qy = v sin ip,
а в плоскости х, у — полярные координаты г, а, положив
х — г cos а, у — г sin a,
то, поскольку qxx+qyy = vr cos (ip — а), выполняя интегрирование по ip (что
дает бесселеву функцию нулевого порядка), мы получим
оо
exp (ikR) f Jo(vr)
R
оо
= f Jq^ 2 exp {-zy/v2 - k2)u dv. (16.12a)
106
ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Легко убедиться, что в случае z < О, замыкая контур интегрирования в
нижней полуплоскости, получим
exp (ikR)
= Г ff^exp^V^TTfc?),,^ (16.126)
к Jo \v2 - к2
если квадратный корень повсюду брать с таким знаком, чтобы
Rev^2 - к2 > 0. (16.13)
Представлениями сферической волны в виде (16.12а) или (16.126) в
теории распространения радиоволн часто пользуются.
Таким образом, сферическая волна с длиной волны 2тг/к может быть
представлена либо как суперпозиция обыкновенных плоских волн (16.11),
однако неизбежно с участием волн разных длин, произвольно отличающихся
от 2тг/к, либо как суперпозиция (16.11а), допускающая участие плоских волн
с комплексным вектором распространения q, но таким, что каждая волна
соответствует определенной длине волны (q2 = q2 + q2 + q2 = к2). В самом
деле, если интегрирование в соотношении (16.11а) разбить на две части,
отделив те случаи, когда qx + q2 < к2, от тех, когда qx + q2 > к2, и для
каждого интервала выбирать ту из двух форм, при которой подкоренное
выражение положительно, то мы получим (при z ^ 0)
exp (ikR)
R
i
~ 2тг
ч\
1
+ 2^
„2
//
II
!_L„2v.I.2
dqx dqy
dqx dqy
exp [i(qxo
exp [i(qxo
t + qyy±zyjk2 -
J*2 - ч1 - ч1
с + ЧуУ) Т ZyfqJ
Jqx + ч1 - k2
-Й-
+ я1-
■9l)}
i
l
-k2]
(16.14)
В первом члене множитель при iz — вещественный; этот член
представляет собой, таким образом, совокупность обычных плоских волн с длиной
волны 2тг/к1 совпадающей с длиной сферической волны. Второе же
слагаемое состоит из волн с направлением распространения, лежащим в плоскости
х, у (их длина волны в этой плоскости отлична от 2тг/к), но экспоненциально
затухающих вдоль оси z при z —> ±оо. Отсюда видно, что в сферической
волне присутствие таких затухающих волн необходимо даже в
непроводящей среде. Все это совершенно аналогично равноправности формул (16.9) и
(16.9в).
Однако так же, как в формуле (16.9в), каждая из входящих в соотношение
(16.14) волн с данными qx, qy соответствует фактически наличию
источников в плоскости z — 0, т. е. является решением неоднородного волнового
уравнения.
Разумеется, мы могли бы выделить в разложении (16.11) в качестве
направления затухания не ось z, а ось х или у, если бы выполнили
интегрирование не по qz, a no qx или qy. Отсюда видна условность этого представления,
§ 17. ПОГЛОЩЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
107
которое, однако, также широко используется в теории распространения
радиоволн (см. §32).
Волны типа (16.9) иногда называют неоднородными плоскими волнами.
Для плоских волн связь между электрическим и магнитным полями
особенно проста. Если П имеет характе) плоской волны, то, согласно основным
формулам (3.9), (3.10) и т. п., Е и Н "акже описываются плоскими волнами с
тем же вектором распространения к = коу^- Поэтому уравнения Максвелла
(1.19а) и (1.196) в свободном пространстве дают
fc0E=-4=[k0H], (16.15)
fc0H = \/?[к0Е]. (16.16)
§ 17. Поглощение плоской волны
Рассмотрим специальный случай, в котором благодаря граничным
условиям, скажем, из-за симметрии условий, убывание интенсивности
происходит в направлении распространения. Совместив с этим направлением ось
Jl = JlQexp[i(kx-u)t)]. (17.1)
Введем обозначения для фазы и амплитуды к, которыми мы будем
повсюду пользоваться:
к= |fc|exp(tx/2),
где
|*| = *о^'2+(^)2, X = arctg^. (17.2)
Для «длинных» волн х ^ 7Г/2, для «коротких» волн х « Ажа/еш -» 0.
Поэтому в диэлектрической среде (с = 0) х = 0, к — чисто вещественно,
и распространение происходит без сатухания (без потерь на тепло).
(Разумеется, при весьма коротких волнах из-за дисперсии самого г' оно станет
комплексным и появятся диэлектрические потери. Тогда и заменится на
(7Эф = (u>/47r)Im£.) Поэтому
n = n0exp[i'(|fc|xcos(x/2) - u>t) - \k\xsm (х/2)]. (17.3)
Следовательно, фазовая скорость равна
v = . , =^——т -. (17.4)
к0Це'2 + (4ti-ct/u>)2cos [(1/2) Mctg^Kc/s'u)]
Для «длинных» волн, когда Ажа/е'ш >■ 1,
v -» . ° , = cJA- (v2 < Ц- ) . (17.5)
Для «коротких» волн, когда Ажс/е'ш <с 1,
v-+j=t (17.6)
как и должно быть для немагнитного диэлектрика.
Выраженная в этих формулах зависимость скорости распространения от
частоты и является первым признаком диспергирующей среды.
108
ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Амплитуда волны убывает в е « 2, 71 раза по прохождении характерного
отрезка
1 А0
1 =
к0\у/ё\ sin (x/2) 2Trt/e'2+(4rr(T/u)2sm [(1/2) arctg(47TCT/f'w)] '
(17.7)
Значения отрезка / и его обратной величины Ь = 1/1, имеющей смысл
Рис. 27. Зависимость глубины проникновения I и коэффициента поглощения Ь от частоты
/ (или длины волны А) для различных сред: 1 — сухой песок, е' = 2, а = 2 • 10е; 2 —
пресная вода, е' — 80, а = 2 • 10 ; 3 — средневлаишая земля, е' = 10, а = 2 • 107; 4 — песок,
е' = 5, а = 2 • 107; 5 — влажная земля, е' = 20, <т = 2 • 108; б — море, е' = 80, <т — 4 • 1010
коэффициента поглощения, в зависимости от ш для разных d и и показаны
на рис. 27.
При больших проводимостях и малых частотах, \жа ^> du),
An 1 /AnС
J* =7Г-\—- (17.7а)
2жу/2жа/ш 2тг V <т
При малых проводимостях и больших частотах arctg и sin можно заменить
их аргументами, так что
Таким образом, с увеличением частоты константа / достигает предельной
для данной проводимости величины. Обратим внимание, что в обоих
предельных случаях эта константа с ростом проводимости убывает. Чем больше
S 18. ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ДИПОЛЯ
109
проводимость среды, тем быстрее колебания затухают. Чем больше длина
волны, тем слабее затухание (только для сухих почв и очень коротких волн
эта закономерность выявлена слабее).
В такой среде, как море, затухание радиоволн является исключительно
сильным. Оно делает почти невозможной радиосвязь между подводными
лодками в погруженном состоянии или между ними и пунктами в воздухе.
Радиопередача возможна только при небольших погружениях и то на очень
длинных волнах.
С другой стороны, сильная зависимость как скорости распространения,
так и поглощения от характера почвы является причиной использования
радиометодов в геологических исследованиях.
§ 18. Поле точечного диполя
В дальнейшем нам неоднократно придется пользоваться формулами,
выражающими поле точечного источника. Соберем их здесь.
Согласно формуле (6.5), точечный электрический диполь момента р на
расстоянии R создает поле с вектором Герца
П = -^exp(ikR).
s К
(18.1)
Направим полярную ось сферической системы координат (R, #, ф) вдоль
х х
Рис. 28. Обозначения в принятой сферической системе координат
направления диполя. Тогда повсюду П направлено по оси z:
П = Пг. (18.2)
Следовательно, направив оси так, как показано на рис. 28, получим
YlR = Ilcosti, Il,!> = -Ilsini?, I1V = 0.
Далее,
div П =
д\1г
dz
- — exp [i(kR — cjt)] I ik — — } cos #.
s R \ R)
110
ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Пользуясь выражениями для grad и rot в сферических координатах,
1 8
8
й Лй
Srad« = ТГ5, grad,, = -—, gradv
rot^A
1 / д . . .. . дА<>\
__j_(sintMv)___J,
i f 5Ад д ,„ . „ „ . 1
rot^A = ———- < — •7r— (R&mvAv) } ,
JSsint? \ dtp dRK v'У
и учитывая, что, согласно формулам (3.9), (ЗЛО),
Е = grad div П + ек^И, H = —ik0£ rot П,
находим
^Л = еR еХр И^-^)] | да " -д-] cost?,
Я* = ~\^ exp [*(*Д - art)] l^o " ^ (-t* + |J j sin tf,
HR = О, Я* = 0,
exp [i(kR - u>t)] ( к + -^ J sin #.
H*-—R
Отделяя вещественную часть от мнимой, для чего мы положим к — к\ +
-fifc2 = fco\/kIexP(*x/2) (следует помнить, что к\, к?, > 0), получаем
2fclCost? /
\e\R?
x exp < г -wi + &Д - x - arctg - ' > exp (-&2Д),
&i cos i?
{(
k2
1 _ _?.
И
X exp < г —u>t + kR — ж — x + arctg
*2 1 У / 1 2fc2V
*!Д(Ц-2*2Л)
X
(*? - k%)R2 - k2R
- \exp(-k2R),
(18.3a)
§ 18. ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ДИПОЛЯ
111
Hr = О, Щ = 0,
tf, = MisinWl +
Ui + kiRJ X
X exp < г -u>t + kR + ж + arctg — ^ > exp (-fc2J?),
(18.36)
где
Ana
X — arg г = arctg ——, fcj — k2 = £ к&, 1k\ki —
Ажа,
■fro-
Для случая диполя в воздухе (вакууме), fc2 = 0, к — foi выражения
упрощаются и мы получаем
2ко cos 1? / 1 г ,
^я = ™ Р\11 + ,.2г>9 ехР [Н^оД - arctg £0Д - wi)J,
R2
k*R2
Е#
knsin tf
R
-Pi/1
+
/Cq xX "^n "^^
exp
г'(^оД + т + arctg
fc0#
A;2/?2 - 1
■w«)
Яд = 0, Щ = 0,
tf, = |psinW1+_l p
г'(&оД + 7Г+ arctg
fcoi?
■wf)
(18.4)
Область «малых расстояний» от диполя, koR < 1, образует
квазистатическую зону, где поле совпадает с квазистационарным полем электрического
диполя, медленно изменяющего свой момент.
Область «больших расстояний», koR S> 1, образует так называемую
волновую зону, где Е-в и Н^ убывают обратно пропорционально R, а все прочие
компоненты по крайней мере в koR раз меньше этих главных.
Именно, в вакууме
Е# « -kip
exp [i(koR — cut)]
R
sint? = -&oIlsin#,
Hv «
-kip
exp [i(k0R - u>t)]
R
sint? = -fcollsini? = E$\
в среде
Я* = -kip
2 exp [г'(£й - ijjt)\ 1
tf.
(18.4a)
(18.46)
Как здесь, так и повсюду при извлечении квадратного корня из е в
выражении к = коу/ё следует позаботиться, чтобы поле удовлетворяло условию
излучения, т. е. брать значение корня, для которого
lmfc>0. (18.5)
112
ГЛ. 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
F - h2 — П
Е --к2^-П
&У — К0 R2 '
е - ех2 + у2
&Z — «0 по
п,
#* = ^|п,
Ну = -*2|п,
#z = o.
Иногда поле диполя нам будет нужно знать в декартовых составляющих.
В волновой зоне, в вакууме, согласно (3.25), имеем
(18.4в)
Таким образом, вдали от источника влияние среды сказывается только
множителем у/е в Hv и комплексностью волнового числа. Необходимо,
однако, отметить в случае проводящей среды одно обстоятельство,
существенное для процесса излучения диполя, помещенного в эту среду.
Дело в том, что в непосредственной близости от источника поле Е
пропорционально 1/R3. Следовательно, выделяемое в среде тепло, составляющее
на единицу объема в единицу времени иЕ2, при интегрировании по всему
объему обращается в бесконечность. Таким образом, для поддержания
колебаний точечного диполя с постоянной амплитудой момента р приходилось
бы подводить бесконечно большую мощность. Этот абсурдный результат
связан с тем, что мы не учли ни конечности размеров диполя (из-за чего в
действительности при R -> 0 и ER3 -> 0), ни того, что фактически диполь
часто помещают в непроводящую полость.
Рассмотрение излучения диполя в полости выходит за рамки наших
задач. Поэтому мы ограничимся замечанием, что затратами энергии в
неволновой зоне можно пренебречь только в том случае, если полость охватывает
всю неволновую зону.
В вакууме поток энергии, пульсирующий в каждой точке по величине (но
всегда направленный от диполя), дает среднее по времени (заменяем р через
/ и h по формуле (6.46), р = ilh/oj, переходим к вещественным выражениям
для поля и учитываем, что cos2 (wt + х) = 1/2) значение
S=^ReS*R*tfv='!^~~££ эрг/(см2.с). (18.6)
Полная же энергия, излучаемая в единицу времени, получается после
умножения на sin fidfid<p и интегрирования по поверхности сферы радиуса
R. Это дает
... 4тг2/2 fh\2 . .„ о//Л2
W
3 с
(д) эрг/с = 407Г2 (^) /2Вт, (18.7)
причем в последнем члене подразумевается, что / выражено в амперах.
Если выражать напряженность поля в практических единицах, то мы
получим для амплитуды
|^| = ^^sint?B/M, (18.8)
где амплитуда тока / выражена в амперах, а все длины — в метрах.
§ 19. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ОДНОРОДНЫХ СРЕД113
Эту величину часто удобно выражать через излучаемую мощность.
Комбинируя формулы (18.7) и (18.8), можно получить формулу
.„ . 0,3 sin $ f— „ , 3-105sint? f— n. /inn4
\E*\ = -L—=—VWB/u = vWmkB/m, (18.9)
R R
где R выражено в километрах, а мощность W — в киловаттах.
Для оценки того, насколько существенно влияет на возможность
приема соответствующее ослабление поля с расстоянием, надо иметь в виду
что, вообще говоря, атмосферные и промышленные электромагнитные
помехи препятствуют приему радиоволн, у которых напряженность
электрического поля ниже уровня в несколько микровольт (или даже в несколько
десятков микровольт) на метр. Только применением специальных
методов приема (прием на разнесенные антенны и т. п.) этот предел может
быть снижен и тогда сказывается ограничение, налагаемое шумами в
лампах и других элементах приемника (эквивалентными менее чем десятым
долям микровольта на метр). Для специальных целей и этот предел может
быть превзойден (применением разнообразных приемов повышения
помехоустойчивости, используемых, например, в радиоастрономии и
радиолокации). Вообще необходимое превышение над уровнем помех обусловливается
назначением приема: для художественного радиовещания напряженность
поля должна намного превосходить средний уровень напряженности поля
помех. В действительных условиях, когда оказывает влияние присутствие
земли или ионосферы, поле, излучаемое элементарным диполем, будет
существенно отличаться от поля, излучаемого диполем в безграничной
однородной среде. Конечно, мы всегда можем писать его в виде
exp \i(kR — tjt)] ,
П = р V R -™(*, У. *), (18-10)
где w(x, у, z) — некоторая функция, описывающая влияние земли и
ионосферы.
Задача теории распространения радиоволн вдоль земли по существу и
сводится к определению этого «.множителя ослабления» при пренебрежении
влиянием ионосферы. Мы сохраним обозначение w для этой функции в
общем случае. Для ослабления, вносимого однородной плоской поверхностью
земли, употребляют обозначение w = у или w = 1y (этого обозначения
мы будем придерживаться, например, в гл. 5, 7 и 8), или обозначение /.
Влияние земли при учете ее кривизны описывают функцией, обозначаемой
через V или 2W (гл. 6).
§19. Отражение и преломление на плоской границе раздела
однородных сред
Если две однородные среды с проницаемостями ei и e-i разделены
плоской границей, совпадающей, например, с плоскостью z = 0, то в широком
классе случаев распространение радиоволн в них описывается простыми
формулами, которые называют интерференционными (или
отражательными, или френелевскими). Они справедливы, когда приемник и
передатчик достаточно удалены от границы раздела, вследствие чего излучение
точечного (вообще, сосредоточенного) источника можно представлять в виде
114
ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
плоской волны. Здесь мы, по существу, имеем дело с обычной оптической
задачей и рассмотрение, действительно, ничем не отличается от обычного в
оптике. Точные критерии применимости метода имеют существенное
значение. Они будут получены ниже.
Пусть из среды 1 (z > 0) падает однородная плоская волна частоты ш
с электрическим Е^е^ и магнитным Н^е^ векторами напряженности поля и
с вектором распространения к = код/ёГ, расположенным в плоскости х, z.
Полное поле всегда может быть представлено как набор плоских волн (если
необходимо — неоднородных), нужно лишь, чтобы этот набор обеспечивал
соблюдение граничных условий на границе раздела и удовлетворял
условиям излучения. Никакого дополнительного условия в источнике при таком
рассмотрении не возникает. Оно, по существу, заменено тем, что
допускается присутствие только одной волны, формально противоречащей условию
излучения, — падающей из бесконечности плоской волны. Утверждается,
что все эти условия могут быть выполнены, если мы к падающей волне
добавим только две волны: отраженную Е^г\ Л^ в среде 1 и преломленную
в среде 2, обладающие волновыми векторами которые
лежат в той же плоскости х, z, причем к^ = коу/Ц, к^ = кол/ё^. Ампли-
ч
к\
У
i
1
1
1
1
1
1
Л 1 /
V
|\
i у
"А
i \
i
i
i
i
/<о
N^'
/w
\к(й
©
X
©
Рис. 29. Отражение и преломление плоской волны
туды электрических полей отраженной и преломленной волн отличаются от
£?(е) только не зависящими от координат множителями:
|Е<г>| = /|Е<е>|, |Е<*>| = 0|Е<е>|. (19.1)
Множитель / можно называть коэффициентом отражения. Коэффициенты /
и д зависят от угла падения, от поляризации падающей волны и от констант,
характеризующих обе среды.
Граничные условия (4.1), (4.4)-(4.6) таковы:
Е\х ■
Н\х
Е2х,
Иг*,
Е
is/
Я
is/
Е2у, S\E
Н2у, Н
\z
\z
- ^Е2г
H2z
'}
при z = 0.
(19.2)
S 19. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ОДНОРОДНЫХ СРЕД115
По предположению,
Е! = Е<е> + Е<г>, Е2 = Е(°К (19.3)
Для плоской волны с вектором распространения к Н определяется по Е
формулой rotE = —(l/c)(dH/dt), т. е. xi, yl5 Z\ — единичные векторы.
fc0H = [kE] = (kyEz - kzEy)xx + (kzEx - кхЕг)У1 + (kxEy - kyEx)%x. (19.4)
Мы можем ввести (в общем случае комплексные) углы падения а, отражения
а' и преломления j3 (см. рис. 29) или дополняющие их до 7г/2 углы
скольжения (называемые также углами встречи) ф = 7г/2 — а, ф' = 7г/2 — а',
Ф = тг/2 - /3:
кх = к\ соьф, кх' = к\ соьф', кх' = £2соэФ; к\ = koy/si; /10 ,.\
kz = — ki sinф, k(zr' = ki sinф', fc* — —£2зтФ; fc2 = fco>/£2-
Рассмотрим сначала падение волны, поляризованной перпендикулярно
плоскости падения; опуская временной множитель, имеем
£(е) _ Ще) _ Е0 ехр ^ъj _ ^9>gj
Из шести граничных условий три удовлетворяются автоматически, а три
остальных (для Еу, Нх и Hz) дают
ехр {ik\x cos ф) + /j_ ехр {ik\X cos ф') = д± ехр {ik2x cos Ф),
— к\ sin ф ехр (ffcix cos ф) + ^! sin ф'/± ехр (г'^х cos ^/) =
= — £2зтФ<7х ехр(г'£2а:со8Ф),
&! cos ^ехр (zfcja; cos^) + fcj cos^Z/x ехр (г'^х cos^/) =
= fc2 cos Ф<7± ехР (гк2х cos Ф).
(19.7)
Они могут быть удовлетворены при всех х только в том случае, если
к\Созф = к\С08ф' = ^соэФ, т. е., во-первых, если «угол падения равен
'углу отражения», во-вторых, если соблюдается закон Снеллиуса
ф = ф', (19.8)
ki cos^ = к2 соэФ, т.е. соз^ = псозФ. (19.9)
Здесь введен комплексный «коэффициент преломления»
п2 = ^. (19.10)
Очевидно, что в общем случае Ф комплексно и не имеет простого смысла.
После этого два остающихся независимыми уравнения (19.7) дают
1+/± = <7±, (19.11)
*1sinV'(l-/x) = *2 8in«^x> (19.12)
откуда для горизонтальной поляризации
_ f?(r) _ к\ sin ф — к2 sin Ф _ sin ф — у/п2 — cos2 Ф
1 "~ Е° ~ ki sin ф + к2 sin Ф ~~ sin ф + Vn2 - cos2 Ф " "
116 ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Таким образом, поля в 1-й и 2-й средах равны
Ei = Е° f ехр [гfci (x cos ф — z sin ф)] +
+ /ехр [г&1 (х cosф + zsin ф)]) ехр (—tut), (19.14)
Е2 = д±Е°ехр [ik2(xcos4t - zsin Ф) - iut]. (19.15)
Совершенно так же рассматривается случай поляризации параллельной
плоскости падения, когда
Ех = Е°sin ф ехр [гк\(х cos ф — z sin ф) — iut],
м м (19Л6)
Еу' = Е° cos ф ехр [г^! (х cos ф — z sin ф) — iut], Еуе' = 0.
Тем же путем получаем наряду с законом Снеллиуса (19.8) и (19.9)
га n^sin V+vra cos V7
= n'sin^-^-cogj (19Л8)
n2sin ^ + уте2 — cos2 ^
Напомним, что в этом случае коэффициенты 5|| и /ц дают только
отношения амплитуд электрического поля, но не отдельных его составляющих.
Так, в отличие от (19.14), (19.15) Ei"' ф f\\Exe' и т. п. Однако такое
простое соотношение все же имеет место для единственной отличной от нуля
составляющей магнитного поля: Ну = f\\Hy , Щ9' = guHf'.
Остается позаботиться о том, чтобы было удовлетворено условие
излучения. Для этого нужно, чтобы в среде 2 при z -> — оо поле не возрастало.
Следовательно, при извлечении корня из e-i нужно выбрать тот, который дает
ImAr^ < 0, т. е. Im(fc2sin*) = fc0Im f \Je\ -^cos2^) < 0. (19.19)
В среде же 1 при z -> +оо может возрастать только падающая волна, а
отраженная должна убывать:
Im к{г) > 0, т. е. Im у^Г > 0. (19.20)
Мы условились, что падающая волна — однородная, т. е. в ней
направление убывания амплитуды и направление распространения фазы совпадают
(это выражается в том, что а — вещественно). Тем же свойством будет
обладать отраженная волна, но, вообще говоря, им не обладает
преломленная волна.
Рассмотрим падение волны из воздуха на плоскую поверхность почвы:
e-i = £, к\ = ко, п2 = г, соэФ = (l/n)cos^r. Так как \п\ > 1 (а для
достаточно хорошо проводящей почвы \п\ >■ 1), то | соэФ| < cosф. Преломленная
§ 19. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ОДНОРОДНЫХ СРЕД117
волна имеет вид
/ Г /
2
Ё^ = д±пЕ°, £° = ехр<
гк0
(19.21)
х cos Ф — \ (£' — cos2 ф)2 + ( I
X z cos х(&) + i \ (£'— cos2 ф)2 + I I zsinx(a)
Х(а) = - arctg -— j—■ (г < 0).
2 Ш{£' — COS"2 ф)
Убывание амплитуды происходит в отрицательном направлении оси z,
распространение фазы — под некоторым углом у к этому направлению,
cos ф
tg7 = У (19.22)
{/V - cos2 V>)2 + (4тг<г/и>)' cos {(1/2) arctg Цд>^ ф) }
Скорость убывания амплитуды, а также угол 7 зависят от угла падения
а, однако если cos2 ф = sin2 а -С е' или sin2 а <С Ажс/ш, следовательно,
вообще, если sin2 a <C |г|, то затухание от ф не зависит, а величина 7 очень
мала и много меньше, чем а. В то же время изменение поля вдоль оси
х не зависит от свойств среды: поле в почве как бы привязано к полю на
поверхности и переносится вместе с ним вдоль этой оси (ср. § 14).
Рассмотрим теперь обратный случай — падение из почвы (среда 1) на
границу с воздухом (среда 2), \п\ < 1. В этом случае имеем
&2х = к\х = коу/ёсоьф, k2z = -fcosin* = -к0\/1 - £соь2ф.
Если г вещественно, то kiz может стать чисто мнимым. При этих условиях
вдоль оси z в воздухе было бы не распространение, а только
экспоненциальное затухание. Это — полное отражение от границы, известное в оптике.
Оно имеет место, таким образом, при
cos ^ = sin a > -7=. (19.23)
При комплексном £ проникновение становится возможным.
Рассмотрим подробнее отраженную волну при падении из воздуха.
Коэффициент отражения при горизонтальной поляризации f± (19.13)
для среды с вещественным п не может обратиться в нуль: /х = 0 только
при п = 1, но /ц = 0 при n4sin2 ф = п2 —cos2 ф, т. е. при падении под углом
Брюстера «в = 7Г/2 — фв '■
ctg фъ = tg аБ = п = у/е. (19.24)
Однако при комплексном £ отражение в этом направлении волны с
электрическим вектором в плоскости падения становится возможным, хотя /ц
здесь и имеет минимум (псевдобрюстеровский угол). Модули и фазы
коэффициентов отражения для некоторых сред при падении волны из воздуха
118 ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
показаны на рис. 30 и 31, где положено
/ц = рц ехр (г'£ц), /х = р± ехр (г'£х). (19.25)
При больших \е\ коэффициент отражения /ц (19.18) можно записать так:
v/e sin V' - 1
/ll
-у/г sin ф + 1"
(19.26)
Следовательно, при j-^/esin V7! ^* 1 имеем идеальное отражение: /ц = 1, дц =
= 0. Заметим, что, с другой стороны, при ф -> 0 имеем /х>|| -> — 1, <7||д -> 0,
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
О
— — •
"■
■>
е
—s=
ч
Ч
'=80
2 м
\
\
\
Юм
ч
\
\
1
^\
\ 1
\ II
\ 11
\U
\
'
11
1
1
i ..
20 10 О
V,град
20 10 О
V,град
Рис. 30. Модули и фазы коэффициентов отражения для плоской волны, электрический вектор
которой лежит в плоскости падения (рц; <5ц; штрих-пунктирные линии), либо
перпендикулярен ей (рх; <5х", сплошные линии) при падении из воздуха на плоскую поверхность суши,
е' = 4, а = 9 • 107 CGSE; штриховая линия — предельный случай, а = 0
Рис. 31. То же, что на рис. 30, для падения из воздуха на поверхность моря, е' = 80,
<т = 3,6-1010 CGSE
§ 19. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ОДНОРОДНЫХ СРЕД119
т. е. снова имеет место полное отражение в 1-ю среду, однако теперь уже со
сдвигом фазы на 7Г. При этом остается невыясненной допустимость такого
перехода хотя бы потому, что этот результат, как мы видим, зависит от
порядка перехода к пределу п -> оо, ф -> 0.
Замена поля плоской волной, конечно, вполне допустима, когда речь идет,
например, о хорошо коллимированном луче дециметровых или
сантиметровых волн от поднятого источника. Однако в общем случае мы имеем дело с
источником ограниченных размеров. Существенная для отражения область
поверхности (§ 12) может быть так велика, что в ее пределах угол падения
луча от излучателя может принимать самые разные значения. Ввести для
них единый коэффициент отражения может оказаться недопустимым.
Необходимо поэтому специально выяснить, в какой мере можно представлять,
например, поле точечного вертикального диполя в воздухе в виде суммы
прямой и отраженной волн
_ exp(ik0R) exp(tfcpfii)
R +I Rx
R = y/x2 + y2 + (z-z0)2, (19-27>
Rl = ^ + y^ + (z + z0)2,
где zo — высота подъема диполя, R\ — расстояние до мнимого источника
под плоскостью, а / — коэффициент отражения. Область применимости
приближенной формулы можно в полной мере оценить, лишь зная более
точное решение. Это мы сделаем позже, в §26. Однако уже сейчас мы
убедимся, что формула (19.27) может быть получена, если в процессе вывода
сделать определенные приближения, именно, если 1) удовлетворять
граничным условиям не на всей плоскости, а только в пределах существенной зоны
и 2) допустить, чтобы / и амплитуда прошедшей волны являлись
функциями точки, однако меняющимися настолько медленно, что при подстановке
поля в волновое уравнение их производными можно пренебречь. Мы
покажем, что поле П (19.27) и поле преломленной волны в почве ГЦ при этих
допущениях дают хорошее приближение и получим количественный
критерий пригодности этого приближения.
Разложим R и Ri в ряд вблизи точки правильного зеркального отражения
(х0) 0, 0), расстояние которой до источника равно R0 = л/х^ + Zq-.
У2
R m Ro+ (х — х0) cos ф + —— z sin ф,
2R0
У2
Ri и R0 + (я - х0) cos ф + —— + z sin ф.
г Но
Поле в почве мы будем искать не в виде exp (t'kr), что было бы самым
простым, а для получения большей точности добавим фактор
If у2 ^
— exp I t(k0R0 - кхх0) + ко-тй- >,
120
ГЛ.З. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
слабо зависящий от координат. Именно, мы положим
Пхг = 111 = 9 ——jr- — exp [i(kx(x - х0) + куу - kzz)],
к2х + к2у + к22 = к2 = к2е.
(19.28)
Знак минус перед z соответствует условию (19.20).
Для того чтобы эта функция удовлетворяла волновому уравнению в почве,
должно быть (подставляем значение (19.28) в волновое уравнение и
отбрасываем члены порядка 1/kRo)
2
-к2х -к2у-к2г-кА- 2к0ку^- + к2 = 0. (19.29)
К0 -Ко
(Кроме того, производные от д по каждой из осей должны быть малы по
сравнению соответственно с кхд, куд и кгд.)
Входящие сюда члены, зависящие от координат, в пределах
существенной зоны очень малы. Действительно, если мы ими пренебрежем, то
получим обычное значение к2 + к2 + к2 = к2 = ек%. Поэтому члены с у и у2 в
пределах зоны, т. е. пока у2 < R0/ko, имеют порядок
Ц£<!^, 2kQky^-<2y/i^L.
-Kg -«to -КО У tlQ
Они, таким образом, отличаются от главных множителями \l/koRo£\ -С 1 и
\\/\fekoRo\ <C 1. Следовательно, в пределах существенной зоны принятая
нами функция (19.28) достаточно близка к плоской волне и приближенно
удовлетворяет волновому уравнению.
С помощью выписанных функций легко удовлетворить в пределах
существенной зоны и граничным условиям
Пг = еП1г, ^к = ~р * = 0. (19.30)
Подставляя сюда функции (19.27) и (19.28) и пренебрегая при
дифференцировании членами порядка 1/koRo, получим
, ,. exp [ik0(RQ +(x- x0) sin a + у2/2Д0)] _
V * J } ту
exp [ik0(R0 + y2/2R0)}
= eg *■ L exp [г(кх(х - x0) + kyy)\, (19.31a)
i ,л ^eXP[iko(R0+(^-xo)^a + y2/2Ro)] a
k0(l- f) L- '-cos/3 =
Ко
= "[Wi'W^^[1(Ml_Io) + *,,)]. (19.3i6)
ito
Отсюда вытекают прежние формулы для законов преломления и отражения
(19.9), (19.17) и (19.18). Но теперь можно оценить границы их
применимости, определяемые сделанными при выводе пренебрежениями (см. [9]).
S19. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ОДНОРОДНЫХ СРЕД121
Во-первых, мы упростили соотношение (19.29), считая \л/ек0Но\ >■ 1.
Но это условие считаем соблюдающимся всегда.
Во-вторых, найденные поля должны удовлетворять волновому
уравнению. Так как соБф = x/Ri, то, например, df/dx и — (sin ф/В.х)д//дф,
df/dy = О, df/dz и (cosi{>/Ri)df/di{>. Поскольку df/дф и дд/дф —
величины порядка fug, это означает, что и волновое уравнение приближенно
удовлетворяется при kR\ ^> 1.
Наконец, и это самое существенное, коэффициенты / и g в соотношениях
(19.31) считались постоянными, в то время как в результате они получились
зависящими от ф. Таким образом, необходимо потребовать, чтобы их
изменением в пределах существенной зоны, на которой должны соблюдаться
граничные условия, можно было пренебречь.
Для того чтобы в граничных условиях (19.30) учесть изменчивость / в
пределах существенной зоны, мы должны пользоваться не значением f(otQ)
функции /(а) в центре этой зоны, а, например, разложением в ряд
/(а) = /(а0) + Аа/'(а0) + {-^~f" Ы + • • • (19.32)
Как видно из рис. 32, смещение вдоль оси х от точки правильного
отражения равно
(=^, (W.33)
COS а0
так что для предельно удаленных точек существенной зоны, для которых
f ~ (1/ cosa0)^/R0/k0 (см. (12.7)),
имеем
|До|
1
\До#о
(19.34)
Поэтому изменением фактора (1 + /)
в соотношении (19.31а) можно
пренебречь, если
|1 + /Ы1>
(ао±тт)
/(«о)
(19.35)
Рис. 32. К выводу критерия
справедливости интерференционных формул
Члены первого порядка в Да
можно не учитывать, так как, добавив их,
мы получили бы добавочное поле на поверхности земли, дающее в точке
наблюдения в сумме нулевой результат, поскольку в разных половинах зоны
оно имеет равную по величине, но обратную по знаку амплитуду. Поэтому
1
-ГМ
потребовать
<|1 + /Ы|.
(19.36)
2k0R0-
При вычислении правой части учтем, что нарушения отражательных
формул можно ожидать только в случае малых углов. Поэтому sin а и 1, а
122
ГЛ. 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
cos a = cos (я"/2 — ф) rs ф, и
/
еф - у/е — 1
еф + л/е - I
/'
2ev/FzT
f"
4e2y/F=l
(19.37а)
(19.376)
(еф + VF^T)2 (еф + VF^T)3'
Кроме того, учтем, что интересны только случаи у/ёф < 1, иначе мы
приходим к идеальному отражению (ср. (19.26)) и формулы для коэффициента
отражения заведомо верны (мы в этом убедимся в § 26). Поэтому еф в
знаменателе можно отбросить, считая, что л/е — 1 есть величина во всяком случае
порядка единицы. Соотношение (19.36) принимает при этих
пренебрежениях простой вид
4е2
2еф
Ve-1
т. е., поскольку Яоф = zo,
k0zo >
>
(е - l)k0R0
1
|VF+I|.
(19.38)
Изложенный выше метод пригоден только, если существенная зона
имеет симметричный вид. В противном случае нельзя пренебрегать членами,
линейными в Да. Это предполагает, что z и zo — величины одного
порядка. Однако в дальнейшем мы убедимся, что поле излучателя зависит
только от суммы высот излучателя и точки наблюдения (§ 26). Поэтому
условием применимости метода коэффициента отражения является выполнение
неравенства
к(г + zo) > |Ve+T|. (19.39)
К этому же результату приводит более строгое рассмотрение (см. (26.28)).
Таким образом, интерференционные («отражательные») формулы
применимы, если источник и точка наблюдения подняты достаточно высоко над
плоскостью раздела. В случае длинных волн, когда, кроме того, и |е| >■ 1,
критерию (19.39) удовлетворить трудно. Здесь необходимо совсем другое
рассмотрение, которому посвящен ряд последующих глав. В то же время
эти формулы вполне достаточны для рассмотрения огромного большинства
проблем, возникающих при изучении распространения ультракоротких и
еще более коротких волн над землей в однородной атмосфере. Так, если
даже е переходит ве'и для суши становится величиной порядка единицы,
то достаточно, чтобы источник был поднят на несколько длин волн. Как раз
в указанном диапазоне это всегда осуществляется.
Рассмотрим выражение для поля, вытекающее из интерференционных
формул, для случая, когда угол скольжения мал и потому, согласно
соотношениям (19.13) и (19.18), коэффициент отражения весьма близок к —1.
Предположим, что в пределах интересующих нас углов источник испускает
излучение, не зависящее от угла. Поле в точке наблюдения складывается из
прямо дошедшей волны (по пути О А = R) и из отраженной волны с
коэффициентом отражения / = —1, т. е. по существу просто со сдвигом фазы
§19. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ОДНОРОДНЫХ СРЕД123
на 7Г. Из рис. 33 видно, что путь отраженного луча от О до А равен пути
В! от изображения источника О' в плоскости z = 0 до А. Будем считать
Л«1>го, х ^> za- Тогда
R = \/х2 + (zA - zo)2 и ух2 + z\ + zQ-
ZAZO
\/х2 + *А + *Ъ
ф
X + ZA + Zq —
(19.40)
R' = у/х2 + (ZA + Zoy « y'x2 + z\ + z% +
ZAZO
R
Рассмотрим сначала горизонтальную поляризацию луча, Е = Еу. Тогда
поле в точке наблюдения равно
Е = Е° [exp (ikR) + /х exp (ikR1)] =
Е° exp (ikR)
!_ехр(гА:^)
= Е&
( 2zAz0\
. (19.41)
При очень малых углах скольжения, вводя множитель ослабления а по
отношению к падающему полю Е^е\ получаем
2ikZOZA (19.42)
Е = E^w, E^ = Е° exp (ikR),
w
R
Если учесть, что само поле Е° убывает обратно пропорционально
расстоянию, то отсюда следует, что при предельно малых углах скольжения поле
Рис. 33. Обозначения к квадратичной формуле
убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Эта простая
формула, полученная Б.А. Введенским [33], является одной из основных при
расчете полей ультракоротких радиоволн.
124
ГЛ. 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Если угол скольжения не настолько мал, чтобы синус можно было
заменить аргументом, то из формулы
1 fr,4ZAzO\ (.,ZAZO\t оЛ . kzAZ0
w = 1 — exp ( 2гк——- 1 = exp [ гк——— И —2t) sin ———,
т. е.
kzAZo
\Е\ = 2
sin
R
\E\ (19.43)
вытекает весьма сложный характер изменения поля с изменением
взаимного расположения корреспондирующих точек. Так, если при данном zo
и R менять za (например, передвигаясь по окружности с центром в О),
то поле будет последовательно проходить через максимумы и минимумы, а
соответствующая диаграмма имеет «лепестковый» характер («лепестковая
диаграмма»). Первый лепесток не захватывает поверхность земли.
Соответственно этому, если двигаться на определенной высоте по горизонтали,
то снова изменение поля по мере удаления имеет характер сменяющихся
максимумов и минимумов до тех пор, пока ф не станет столь малым, что
точка наблюдения окажется под максимумом первого лепестка. После этого
поле будет монотонно убывать (обратно квадрату расстояния).
Несколько сложнее обстоит дело с вертикальной поляризацией луча. В
случае горизонтальной поляризации мы могли, исходя из формулы (19.13)
считать /х к, —1, потому что в области применимости формул, согласно
соотношению (19.38), наименьший допустимый угол ф имеет порядок
ф>\п\/кЯ,
так что для него
sin ф <С уга2 — cos Ф-
Между тем в формуле (19.18) при наименьших допустимых ф мы получим
п2 sin ф>\п3\/кН,
и отбросить эту величину как малую по сравнению с л/п2 — cos ф можно
только, если
kR>\n2\ = \e\. (19.44)
Для ультракоротких радиоволн над сушей (и для сантиметровых волн
всегда), т. е. в наиболее важной области применения отражательных формул,
это и имеет место. Поэтому мы вновь можем считать /ц = — 1 и
повторить все прежние рассуждения, приводящие к той же картине лепестковой
структуры.
Только для сравнительно длинных волн, когда \е\ может измеряться
большими цифрами, в особенности над морем, может сложиться обратное
положение, так что n2sin^r будет больше, чем sjn2 — cos2 ф. Тогда станет
/м = +1 и вместо формулы (19.43) мы получим
w = I + exp (2гк^±), &Д«|п2|. (19.45)
Здесь, таким образом, поле на поверхности земли имеет максимум при гд =
= 0, w = 2, первый лепесток прижат к земле.
Обширный графический и числовой материал по отражательным
формулам, иллюстрирующий их применение, см., например, в книгах [2, 6-8].
S 20. БЕСКОНЕЧНО ПРОВОДЯЩАЯ ПЛОСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
125
§20. Бесконечно проводящая плоская поверхность
В конце предыдущего параграфа мы рассмотрели особый случай, когда
модуль диэлектрической проницаемости |е| настолько велик, что даже при
малых углах скольжения для вертикально поляризованной волны
коэффициент отражения обращается в +1, а для горизонтально поляризованной —
в —1. Целесообразно остановиться на этом случае подробнее. Итак, будем
считать границу раздела земли и (однородной) атмосферы плоской, а
почву идеально проводящей.
Почти очевидно, что при достаточно малых расстояниях между
корреспондирующими точками кривизной земли можно пренебречь. И,
действительно, для волн длиннее 100 м это допустимо, как впоследствии будет
показано, по крайней мере вплоть до расстояний порядка 100 км.
Второму условию в интересующем нас диапазоне длин волн, кажется,
также возможным удовлетворить, потому что проводимость существенна не
сама по себе, а в комбинации 4жа/и. Между тем мы видели в § 15, что обычно
этот параметр велик. Однако положение здесь не столь просто. Даже при
больших значениях параметра Ажа/и поле на земле может чрезвычайно
сильно отличаться от поля над идеально проводящей поверхностью, если
отойти от источника достаточно далеко. Действительно, мы видели (см.
(19.44) и последующие замечания), что /ц обращается в +1 только тогда,
когда модуль е настолько велик, что \o\e\ ^> 2nR, т. е. когда расстояние
до источника не очень велико. Только после того, как мы рассмотрим более
общую проблему — сферическую и не идеально проводящую землю, можно
будет получить строгие критерии. Они подтверждают сказанное выше, и,
таким образом, на достаточно малых расстояниях от источника оба
упрощения допустимы.
Приняв эти упрощения, мы оказываемся перед проблемой определения
поля данных источников (расположенных в верхнем полупространстве) при
граничных условиях, которые вытекают как предельный случай из условий
(4.1) и (4.5). Поскольку в идеально проводящей почве Е = 0 (иначе там
протекал бы ток бесконечно большой плотности), то на поверхности раздела
должна исчезать касательная составляющая электрического поля:
Et = 0. (20.1)
Из уравнения rotE = гА;Н следует, что в почве исчезает и магнитное поле.
Поэтому, согласно формуле (4.5), на поверхности раздела исчезает
нормальная составляющая магнитного поля:
Яп = 0. (20.2)
Тангенциальная составляющая магнитного поля не исчезает, потому что,
согласно формуле (4.6а), она компенсируется поверхностным током, так же
как нормальная составляющая Е, компенсируемая пульсирующим
поверхностным зарядом (ср. (4.36)).
Вводя систему прямоугольных координат х, у, z, в которой поверхность
земли служит плоскостью z = 0, получаем
Ех(т, у, 0) = Еу(х, у, 0) = Нг(х, у, 0) = 0. (20.3)
Необходимое решение можно получить совершенно элементарно.
126
ГЛ. 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Представим себе (рис. 34) элемент тока в антенне разложенным на два —
вертикальный joz и горизонтальный, например, j0x — и рассмотрим их
раздельно. Если вертикальный элемент тока j0z дополним его отражением j02
в плоскости z = 0 с тем же направлением тока, то, как это видно из выраже-
Рис. 34. Расположение источника и его «изображения»
ний для поля точечного диполя (18.36), каждый из вертикальных диполей
даст на плоскости z = 0 только горизонтальную составляющую магнитного
поля и, таким образом, удовлетворит граничному условию (20.2).
С другой стороны, и горизонтальный диполь Jqx можно дополнить его
отражением, но у отражения мы изменим знак. Тогда на поверхности земли
вертикальная составляющая напряженности магнитного поля (в системе
координат, использованной в формулах § 18, — это Н^) будет точно погашена
полем диполя j0x = —jox. Следовательно, комбинация источников j0 и j0
даст в безграничной среде поле, которое на поверхности z = 0
удовлетворяет граничным условиям для магнитного поля над идеально проводящей
землей. Кроме того, эта комбинация удовлетворяет и граничному условию
для электрического поля (20.1). В самом деле, в любой точке плоскости
z = 0, как легко убедиться, используя формулы (18.3а), тангенциальные
компоненты электрических полей диполей Jqx и JqJ взаимно гасятся, так
же как тангенциальные компоненты полей источников Jqz и j^J. Произведя
подобное построение отраженных источников для всех элементов антенны,
мы получаем полное решение поставленной задачи, поскольку поле такой
комбинации источников удовлетворяет волновому уравнению и граничным
условиям.
Таким образом, вполне строго, без каких-либо пренебрежений, например,
не только в волновой зоне излучателя, но и в ближней зоне, поле любого
источника (или любого набора источников) над идеально проводящей
плоскостью слагается из поля этого источника и поля его «отражения» в плоскости,
построенного по определенному правилу: каждой точке х', у', z' источника, в
которой протекает ток с плотностьюJo(jox,joy,joz), нужно сопоставить
отраженный источник в точке х', у', —z' с плотностью тока Jq (— Jqx, —joy,joz).
Этот результат мы иногда будем называть строгой теоремой об отражении.
Приведем для справок явные выражения полей вертикального и
горизонтального электрических диполей над идеально проводящей поверхностью.
§ 20. БЕСКОНЕЧНО ПРОВОДЯЩАЯ ПЛОСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
127
Пусть в точке0(0, 0, zo) расположен вертикальный (индексу)
электрический диполь момента р. В свободном пространстве (в вакууме) он давал
бы поле с однокомпонентным вектором Герца П° = П° = pexp(ikR)/R (см.
(18.1)). Согласно строгой теореме об отражении, над идеально отражающей
плоскостью
„ „ ^
1г = п:
exp (ikRi) exp (ikR2)
#!
Ri
к
■' (20.4)
Ri = Vх2 + У2 + (2 ~ zo)2, R2 = Vx2 + y2 + (z + zo)2-
Поэтому, вводя полярные углы для векторов Ri и R2, соответственно равные
i?i и 1?2 (см. Рис- 34), и общий азимут у?, пользуясь формулами (3.25),
получаем в волновой зоне
К
El
е:
Н-
т
-к2р
exp (ikRi) . exp {ikR2)
smwicoswi г- + sm v2 cos i?2 ■
■k2p
sin i?i cos i?
Ri
exp (ikRi)
R~,
+ sin i?2 cos i?2
Ri
exp (ikR2)
Ri
cosy?,
siny?,
k2p
k2p
-k2p
'. 2 ехр(гЩ0 . 2 exp (ifc_R2)
sin i?! ^ - + sin w2
Ri
. „ exp (г'/гДх) . „
Sin 1?! —^- — + Sin 1?2
Ri
. „ exp (ifc^j) . „
sin i?i —^—— + sin i?2
#2
exp (ikR2)
m = o.
#2
exp (ikRi)
Ri
sin y?
cosy?
> # = #„
(20.4a)
Для горизонтального электрического диполя (индекс h),
ориентированного вдоль оси х, очевидно, в свободном пространстве П° = П0. =
= рехр (ikR)/R. Поэтому над идеально проводящей плоскостью
exp(ikRi) exp(ikR2)
ГГ
nhx=P
Ri
Ri
E* = k2p
,Л • 2q 2 ч exP jikRi) 1л . 2 . i ,exp(ikR2)
(1 - Sin 1?! COS (f) — (1 - Sin V2 COS-4 y?)
£,h
m
■k2p
Ri
. 2 <, exP (MRi) . 2 <, exP (tfc#2)
Sin 171 Sin V2
Я2
#1
Д2
k2p
Яхь = О,
exp (ikRx) ,
Sin Ui COS I?! j- Sin #2 COS V2
sin y? cos y?,
exp (ikR2)
Ri
cosy?,
#*
я*
fc2p
ехр(г'А;Д1) exp (г/гД2)
cos i?i — cos v2
-k2p
Ri Ri
. exp (ikR^ . exp (ifci?2)
sin i?i sin i?2 5 L
tii K-1
siny?.
(20.46)
128
ГЛ. 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Наконец, для горизонтального электрического диполя,
ориентированного вдоль оси у, имеем
exp (ikRi) exp(ikR2)~
П*
Ehx
Щ=Р
-k2p
sirH -&i
R\ R2
exp (ikRi) ■ 2
Ri
sin i?2
exp (ikR2)
R~2
Sill (fCOS(f,
E* = k2p
E*.
Hx
у
exp (ikRi)
-k2p
-k2p
(1 — sin2 i?i sin2 (p)
Ri
exp (ikRi)
sini?i cosi?i-
(1 — sin2 i?2 sin2 <p)
exp (ikR2)
exp (ikR2)
R^
COS1?i
exp (ikRi)
R~i
COS ■&■
sin i?2 cos i?2
exp (ikR2)
Я2
Я2
siny?,
0,
Щ = k2p
sini?]
exp (ikRi)
sini?'
Ri
exp (ikR2)
cosy?.
Ri R2
(20.4b)
В частности, для точек на плоскости z = 0 имеем Ri = R2, д2 = ж — i?j,
sini?i = sini?2i cosi?! = — cosi?2- Поэтому здесь, как и должно быть,
тангенциальные составляющие электрического поля и вертикальная составляющая
магнитного поля исчезают, а вертикальная составляющая электрического
поля и тангенциальные составляющие магнитного поля удваиваются.
Следовательно, вертикальная антенна, помещенная на идеально
проводящей поверхности, создает такое же поле, как антенна удвоенной длины
(сама антенна плюс ее «изображение») в свободной атмосфере1).
Это наглядное толкование позволяет нам получить еще одну довольно
общую теорему для идеально проводящей поверхности.
Рассмотрим произвольной формы выступ Г на идеально проводящей
поверхности и поместим над этой поверхностью произвольный излучатель О
z = 0
е=оо
Рис. 35. Излучатель О в присутствии выступа Т на бесконечно проводящей плоскости (а) и
эквивалентная проблема: источник О и его изображение О' в присутствии Т и его отражения
Т" в пустоте (6)
(рис. 35 а). Можно утверждать, что выше плоскости z = 0 поле будет таким
же, как в следующей эквивалентной проблеме (рис. 35 6).
') Этот же результат был бы справедлив для «бесконечно диэлектрической» среды, т. е.
для среды с а = 0, е' = оо, если бы такая существовала. В самом деле, повсюду в граничных
условиях фигурирует е, и для е' -» оо горизонтальная составляющая электрического поля в
воздухе исчезает так же, как и для <г —у оо.
§ 20. БЕСКОНЕЧНО ПРОВОДЯЩАЯ ПЛОСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
129
Пусть в безграничном пустом пространстве сохранен только
интересующий нас выступ Г, дополненный его отражением Т" в плоскости z = 0. Пусть
далее, кроме истинного источника О, присутствует его «изображение» в
описанном выше смысле О'. Поле этих двух источников в пустоте в присутствии
объемного рассеивателя и даст нам искомое решение задачи. В самом деле,
когда рассматривалось поле при z = 0, наличие идеально проводящего
полупространства проявлялось только в том, что на плоскости z = 0
накладывалось условие исчезновения тангенциальной составляющей электрического
поля. Но в эквивалентной проблеме, описанной выше, то же условие
выполняется благодаря симметрии задачи. В частности, каждый индуцированный
на поверхности выступа диполь будет посылать поле, которое тоже должно
удовлетворять указанному условию при z = 0. Но и это обеспечено
симметрией, так как диполь на поверхности отражения выступа Т' тоже будет
испускать поле. Он будет действовать как отраженный источник для
индуцированного на выступе диполя.
Простейшее применение этих соображений относится к рассеянию
плоской волны плоским экраном с прямолинейным краем, который помещен на
идеально проводящей плоскости (рис. 36 а). Здесь можно рассматривать
поле двух симметричных волн, падающих в пустоте на экран, дополненный
его отражением (рис. 36 б). В точке наблюдения А мы наблюдаем поле двух
волн, каждая из которых дифрагирует на двух краях экрана, т. е. всего
Рис. 36. Экран Т на идеально проводящей плоскости (а) и эквивалентная проблема: экран
Т и его отражение Т' в пустоте (6)
приходит четыре луча: ОТ А, О'ТА, О'Т'А и ОТ'А. Легко видеть, что
физически здесь речь идет о лучах (рис. 36 а), из которых один (ОТА)
непосредственно дифрагирует на прямолинейном крае, второй (OS\TA)
предварительно отражается от плоскости z = 0 перед экраном, третий (OTS^A)
отражается от плоскости z = 0 после дифракции, а четвертый (OS1TS2A)
испытывает два отражения. Наконец, вместо того чтобы рассматривать в
одной точке наблюдения А дифракцию полей двух источников на удвоенном
экране, можно считать, что у нас имеется только один край экрана Т, но поле
двух источников О и О' рассматривается как в истинной точке наблюдения
А, так и в ее изображении А', причем все четыре поля складываются. В
таком случае упомянутым четырем лучам соответствуют лучи ОТ А, О'ТА,
ОТ А' и О'ТА'.
Подобное рассмотрение особенно часто применяют именно для плоских
волн, когда можно говорить об отражении под определенным углом волн от
определенных участков плоскости Si и S?. В таком случае можно ввести ко-
130
ГЛ. 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
эффициенты отражения для второго, третьего и четвертого лучей. Так, если
речь идет о горизонтально поляризованном скользящем луче, то
коэффициент отражения /х, согласно соотношению (19.13), при ф —^ 0 обращается в
—1. Соответственно поле каждого однократно отраженного луча нужно
снабдить дополнительной фазой к.
Применение этого метода см., в частности, в §53.
Отметим, что если выступ является не идеально проводящим
образованием на идеально проводящей плоскости, то такая замена одной проблемы
другой тоже справедлива. Поэтому, например, если на поверхности
находится искажающий поле не идеально проводящий предмет, то поле можно
искать как поле «удвоенного» источника, рассеиваемое данным предметом,
дополненным его изображением и помещенным в пустоте.
В том частном случае, когда размеры малы по сравнению с длиной
волны, можно найти поле по формуле Релея для света, рассеиваемого
малой частицей. Мы рассмотрим рассеяние от «малых» частиц в § 48.
Отметим, что и этот вывод был бы справедлив для непроводящей почвы
с е' = оо, если бы такая существовала. На самом деле, на плоскости z = О
и для нее будет Е = Ez. Следовательно, в некоторых случаях выступы
на поверхности диэлектрика также можно приближенно изучать, исходя из
представления об изображениях. Это, в частности, относится к случаю моря
(е' = 80) при весьма коротких волнах.
Строгую теорему об отражении можно сформулировать и несколько
иначе. Пусть нужно найти функцию <р, удовлетворяющую при z > 0 волновому
уравнению
(V2 + к2)и = -4жр (20.5)
(где р — произвольная функция распределения источников в верхнем
полупространстве) и одному из двух условий на плоскости z = 0:
либо
Yz = 0, (20.5а)
либо
и(х, у, 0) = 0. (20.56)
В первом случае мы найдем решение с помощью функции Грина Ул. (8.6)
по формуле (8.7). Тогда поверхностный интеграл вследствие условия (20.5а)
выпадает и
„(R) = fP„+dV = /,(R')=M*+
,^У* (20.6)
Однако (см. рис. 37) вместо того чтобы брать расстояние от источника О
до отражения Ai(Ri) точки наблюдения, мы можем брать равное ему
расстояние от точки наблюдения А(К) до отражения источника 0\(К[), т. е.
положить |Rj — R'| = |R— Rj|. Но тогда второй из интегралов в формуле
(20.6) можно понимать как поле отраженного источника, взятого точно
таким, как истинный, но помешенного в точку 0\. Следовательно, решение
§ 20. БЕСКОНЕЧНО ПРОВОДЯЩАЯ ПЛОСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
131
уравнения (20.5) с граничным условием (20.5а) можно сформулировать
следующим образом: пусть известно решение уравнения (20.5) для безгранич-
О(Д') 0(jt>
Рис. 37. Замена изображения точки наблюдения (а) изображением источника (б)
ного пространства. Обозначим это решение
ио{х, у, г; [p(x0, уо, г0)]), (20.7)
где через [р] отмечено, что это решение получено при заданном
распределении источников р(хо, уо, го).
Тогда в случае полупространства и граничного условия (20.5а) решение
будет иметь вид
и = и0(х, у, z; [р(х0, уо, z0)]) + u0(x, у, z; [p(x0, у0, -г0)]), (20.8)
где через щ{х, у, z; [р(хо, Уо, — го)]) обозначено поле в безграничном
пространстве, созданное источниками, отраженными в плоскости г = 0.
Если же граничное условие имеет вид (20.56), то мы возьмем функцию
Грина V- (8.3), вследствие чего решение выразится формулой (8.5). Снова
поверхностный интеграл исчезнет, но результат будет отличаться от суммы
(20.6) знаком при втором слагаемом. Следовательно, здесь решением будет
и = и0(х, у, г; [р(х0, у0, г0)]) - и0(х, у, г; [р(х0, у0, -г0)]) =
= «о(х> У> г; Wxo» Уо, г0)]) + и0(х, у, г; [-р(х0> у0, -г0)]), (20.9)
т. е. накладывающееся отраженное поле нужно брать для источников
обратного знака (в последнем случае использован тот факт, что изменение знака
р эквивалентно изменению знака поля и).
Выше мы, по существу, решали волновые уравнения для полей Б и Н.
Так как одно из них определяется по другому, то достаточно отыскать,
например, Н из трех уравнений:
(V2 + А:2)Н = -— rot j0. (20.10)
Граничное условие для Нг было написано (см. (20.3)), а для Нх и Ну может
быть получено из условий для Ех и Еу. Действительно, согласно равенству
132
ГЛ. 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
(20.1) и уравнению rotH = — ikoE; при z = 0 rotxH исчезает так же, как
rotj,H. Раскрывая их выражения и учитывая равенство (20.2), получаем
^ = ^ = 0. (20.11)
oz oz
Поэтому Нх и Ну определяются по формуле (20.8), а Нг — по формуле
(20.10). При этом источником р для Нх и Ну являются
а для Нг
1 1 (dj0z дзоу\
- rOtxJ0 = - -j-* ,
с и с \дуо dzQ J
1 1 fdj0x dj0z\
-cTOt»3o=-c{jz^--d^)'
- rot • = - (Ohs. _ di°A
Эти источники в первых двух случаях, согласно формуле (20.9), должны
сохранять знак, а в третьем (20.10) — изменять знак на обратный. Это будет
иметь место как раз в том случае, если мы заменим Jqx и joy на —Jqx и —joy,
a joz сохраним без изменений. Здесь нужно только учесть, что поскольку
в аргументе j одновременно zq заменяется на — z0, то d/dzo переходит в
—d/dzQ. Так мы снова получаем сформулированное выше правило
отражения источника.
Глава 4
ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
ОДНОРОДНОЙ ЗЕМЛИ И ОДНОРОДНОЙ АТМОСФЕРЫ
§ 21. Приближенные граничные условия
В гл. 3 мы рассмотрели поле сосредоточенного излучателя — диполя —
в безграничной однородной среде, а также изменение, которое вносит в
это поле наличие другой однородной среды, отграниченной от первой среды
плоской поверхностью. Полученные формулы, однако, справедливы только
в том случае, если источники расположены достаточно далеко от
поверхности раздела (19.39). Этот простейший с теоретической точки зрения
случай недостаточен для изучения распространения коротких и более длинных
радиоволн в непосредственной близости от поверхности земли, даже когда
атмосферу можно считать однородной. Близость земной поверхности
существенно изменяет структуру поля по сравнению с тем, что дают упомянутые
формулы. Теория этого случая оказывается гораздо более сложной.
С физической точки зрения действие земли является двояким. Токи,
возбуждаемые полем радиоволн в почве, приводят к потерям энергии на джо-
улево тепло и поэтому ослабляют поле в атмосфере. С другой стороны, эти
токи экранируют более глубокие области почвы и препятствуют оттоку
энергии в нижнюю полусферу. Это усиливает поле в атмосфере. Точный учет
совокупного влияния обоих обстоятельств и составляет, по существу,
предмет нашего рассмотрения.
В общем случае электродинамическая задача состоит в одновременном
рассмотрении полей в атмосфере и в земле, причем следует позаботиться
об удовлетворении граничных условий на поверхности земли. Таков путь
классических методов (§31, 32). Однако все эти методы обычно приводят к
замкнутым и обозримым результатам только в том случае, когда мы
учитываем некоторые специфические особенности, характерные для
распространения радиоволн в земных условиях. Именно, как мы видели в § 15 (см.
табл. 1), реально встречающиеся почвы почти всегда таковы, что для них
|е| существенно больше единицы. Только совершая соответствующие
пренебрежения в общих формулах, удается получить практические результаты.
Поэтому естественно с самого начала учесть эту особенность земных условий
и соответственно упростить постановку вопроса. В ряде работ было почти
одновременно указано [10, 34-38], что вблизи поверхности среды с |е| ^> 1 для
составляющих полей справедливы некоторые приближенные соотношения.
С одной стороны, А.Н. Щукин [10] показал, что на основе этих
соотношений можно придать большую наглядность процессам на поверхности, просто
и достаточно строго получить некоторые существенные выводы теории
(например, эллипс поляризации; см. § 22), благодаря чему эти соотношения
становятся полезными элементами инженерной практики. С другой стороны,
эти соотношения были сформулированы, обоснованы и применены как
граничные условия краевой задачи, при которых можно рассматривать только
134
ГЛ. 4. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
однородное полупространство, например атмосферу, и вовсе не вводить в
рассмотрение поле в земле, учитывая влияние земли в самих граничных
условиях (М.А. Леонтович [35-37]).
Этот особый подход к проблеме распространения радиоволн породил
целое направление в радиофизике. Он обусловил как ряд совершенно новых
успехов теории распространения радиоволн вдоль земли, так и пересмотр,
новую формулировку и новое изложение фундаментальных старых проблем
теории (см. §22 и гл. 5-8). Отсюда в свою очередь возникла наглядная
физическая картина всего процесса распространения радиоволн (§45),
помогающая разбираться в разнообразных практических вопросах.
Известным недостатком всех этих выводов вначале было то, что они
были справедливы лишь с точностью до величин порядка \е\~1, а так как
для ультракоротких волн и для сухих почв \е\ сводится к е' и не всегда может
считаться очень большим, то область применимости метода была ограничена
диапазоном коротких, средних и длинных волн. Между тем другими
методами удалось (правда, только для однородной почвы) достигнуть большей
точности и тем самым охватить все возможные на практике случаи. Однако
впоследствии (см. ниже) выяснилось, что если этот метод несколько
уточнить, то подлинным критерием пригодности метода является, собственно
говоря, вовсе не малость величины \е\~1, а условие, чтобы изменение поля
в горизонтальном направлении имело характер невозмущенной волны,
умноженной на медленно меняющийся фактор. Это, как показывает
теория, действительно имеет место при больших \е\, но оказывается, что в
волновой зоне поле имеет упомянутый характер почти при любых \е\ и весь
метод после некоторого усовершенствования становится применимым здесь
практически всегда. По существу дело сводится к тому, чтобы в волновой
зоне можно было пренебречь волной, доходящей от источника через почву.
Для всех реально существующих почв это нельзя считать серьезным
ограничением.
Для вывода граничных условий нам достаточно рассмотреть поле на
малом участке поверхности, лишь бы на нем укладывалось несколько длин
волн. Мы можем считать, что в плоскости z = 0 и вблизи нее зависимость
всех компонент полей от х и у описывается функциями типа
Е ^ wexp[i(k0xx +k0yy)], (21.1)
где w — «множитель ослабления» (или «функция ослабления»), который
мы уже вводили в § 18 и 19. Здесь мы не делаем предположений о том,
как поле зависит от z. Наоборот, эта зависимость должна быть найдена.
Относительно w можно высказать одно важное утверждение, в
справедливости которого мы, в частности, убедимся впоследствии, когда будут получены
окончательные результаты. Именно, можно утверждать, что этот
множитель мало меняется на отрезке, равном «длине волны в воздухе» Ао. Мы
примем это основное положение с самого начала, а затем из получаемых
выводов определим, в каких случаях оно неверно. Мы убедимся, что оно
неправильно только в непосредственной окрестности источника или в
области резкого изменения свойств почвы (или формы поверхности), где нельзя
пренебречь волной, доходящей через почву.
Таким образом, если оси х и у направлены вдоль границы раздела
воздуха и земли (предполагаемой плоской), то мы будем считать, что функция
S 21. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
135
ослабления w удовлетворяет условиям
Xq8w
w дх
<1,
Ао dw
w ду
<1.
Поэтому
дЕ дЕ
-г— и гк0хЕ, -г— и гЛоу-С/.
ах ау
(21.2)
(21.3)
Будем сначала считать, что ось х направлена в плоскости распространения
неискаженной волны, т. е. в плоскости, содержащей источник и данную
точку поверхности раздела, так что к0у = 0.
В этой главе мы принимаем, что почва однородна в электрическом
отношении, откладывая случай неоднородной почвы до гл. 7.
После этих предварительных замечаний перейдем к рассмотрению
граничных соотношений для полей вблизи плоской поверхности раздела
однородной земли и атмосферы.
В атмосфере и в земле справедливы соответственно уравнения
rotH = — ik0E, rot Hi = — ikoeEi,
div E = 0, div Ex = 0.
(21.4)
(21.5)
Здесь E, H — поля в атмосфере, Ei, Hi — поля в земле, е — не зависящая
от координат комплексная диэлектрическая проницаемость земли. Можно
было бы для воздуха не считать е = 1, но результат от этого изменился бы
совершенно несущественно. Прежде всего мы определим закон убывания
поля с углублением в почву для случая, когда модуль |е| достаточно велик
(ср. [73]).
Для поля в почве Ei справедливо уравнение (3.96)
д2Ег a2Ei д2Ег f2„
дх2
ду*
dz2
0.
(21.6)
Согласно условию (21.3), поле на поверхности земли меняется с
расстоянием почти строго периодически. Как мы видели в § 14, при больших |е| в
каждой данной точке непосредственно под поверхностью поле определяется
полем в близлежащих точках поверхности. Поэтому поле в почве
«привязано» к полю на поверхности и переносится вместе с ним. Тот же результат
был получен для преломления плоской волны (§19). Следовательно, для
поля в почве Ei можно утверждать, что (напомним, мы выбрали
направление оси х таким образом, что коу = 0)
дх
ika*E
Ox^l,
0.
(21.7)
Поэтому первые два члена в уравнении (21.6) меньше последнего и также
меньше третьего в отношении 1/\е\.
Пренебрегая этими малыми членами, мы приходим к уравнению
д2Ех
dz2
+ ek^Ej, = 0,
(21.8)
136
ГЛ. 4. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
которое немедленно решается:
Ei(x, у, z) =Ei(x, у, 0)exp(~ikoy/ez)> (21.9)
причем из двух возможных знаков в показателе экспоненты мы выбрали
такой, что поле остается конечным при z —¥ —оо, если у/ё понимать в смысле
v£=|V£|exp(iX/2), X = arctg-^. (21.10)
Таким образом, зная поле на поверхности z = 0, мы можем сразу
написать поле в любой точке в почве. Заметим, что в § 19 для преломленной
волны в почве было получено выражение (19.21), совпадающее с
выражениями (21.9) и (21.10), если |е| >> cos2 гр. Следовательно, в этом приближении
поле в почве имеет характер плоской волны.
Полученное нами выражение показывает, что поле быстро убывает при
углублении в землю, — тем быстрее, чем больше вещественная часть
величины —ikz, т. е.
|*|«„| = ^+(±!£) sinjiarctgi^}. (21.11)
Этот же показатель характеризовал в § 17 распространение радиоволн в
однородной поглощающей среде. Поэтому величина /, показанная на кривых
рис. 27, дает глубины проникновения в землю радиоволн,
распространяющихся вдоль поверхности земли. Мы видим, что волны радиовещательного
диапазона (10 м < Ао < б • 103 м) проникают в землю обычно на десятки
метров. В морской воде глубина проникновения составляет сантиметры и
десятки сантиметров.
Затухание проникающих в почву волн не случайно определяется такими
же параметрами, как и затухание при распространении в однородной среде.
Это обстоятельство тесно связано с тем, что поле в земле под поверхностью
раздела определяется условиями лишь в ближайшем участке поверхности
раздела. В § 14 было показано, что размеры этого участка могут быть
намного меньше длины волны в воздухе и сравнимы с «длиной волны в почве».
Поэтому поле в его пределах имеет одну и ту же фазу. Следовательно,
каждый такой участок, рассматриваемый из точки наблюдения,
расположенной в земле, представляется эквифазной поверхностью — фронтом плоской
волны. От него в землю идет волна, в окрестности точки наблюдения
ведущая себя как плоская. Естественно, что и затухание ее совпадает с
затуханием плоской волны в однородной среде.
Зная закон затухания поля в почве, мы можем с помощью граничных
условий (4.9) и (4.10), имеющих в нашем случае вид
—— = ——, z = 0, (21.12)
OZ OZ
Ez = eElz, z = 0, (21.13)
получить необходимое нам граничное условие для поля в воздухе.
Подставляя Е\г из формулы (21.9) в соотношения (21.12) и (21.13) и исключая
Е\г (х, у, 0), получаем
S 21. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
137
Это и есть искомое граничное условие, которое налагается на поле в воздухе
и позволяет, вообще отвлекаясь от исследования поля в почве, рассматривать
волновое уравнение только в верхнем полупространстве, — условие Леонто-
вича. Оно показывает, что в воздухе вблизи земли поле Ez меняется по
вертикали гораздо медленнее, чем по горизонтали (ср. (21.3)).
Совершенно так же мы можем рассмотреть магнитное поле Н. Для
него, конечно, справедливы соотношение типа (21.1) (поскольку в воздухе
Ar0H = [koE]), волновое уравнение в почве типа (21.6) (с заменой Ei на Hi)
и граничные условия для Hz, вытекающие из формул (4.5а) и (4.6) при
учете того, что div Н = div Hi = 0:
f, = fH ,=0, (21.ш)
Hz = Hlz, z = 0 (21.13a)
(где, в отличие от формулы (21.13), отсутствует коэффициент е). Повторяя
для Hz рассуждения, проведенные для Ez, получаем
-^ = -ikoy/lHz, z = 0. (21.14a)
Это условие правильно с точностью до величин порядка |е|-1 (что видно
хотя бы из приведенного выше сравнения формулы (21.9) с точным
решением в случае плоских волн (19.21)). Для сухих почв и коротких волн такой
точности недостаточно. Однако, как мы сейчас покажем, это условие
может быть уточнено в рамках того же основного приближения, — если мы
пренебрегаем волной, пришедшей через почву, так, чтобы условие такого
вида было верным при любых |е| [40]. Действительно, если верно, что в
непосредственной окрестности плоскости z = 0 изменение поля вдоль оси х
определяется формулой (21.7), то волновое уравнение в почве (21.6)
принимает вид
^- - A^Ei + *% = 0. (21.15)
Его решением, очевидно, является функция
Ei(x, z) = Ei(x, 0) exp (±iy/k*-k*xZy (21.16)
Для того чтобы при z —t — оо получалось конечное выражение, нужно
выбрать знак минус. Таким образом, более точное, чем (21.9), выражение для
поля в земле имеет вид
Ei(x, z) = Ei(x, 0) exp (-zWi\/l-^4, (21.17)
где
совф =-£?■. (21.18)
Ко
Это точно совпадает с выражением для преломленной плоской волны в почве
(19.21). Отсюда с помощью (21.12) и (21.13), подобно тому, как было
получено (21.14), получаем
138
ГЛ. 4. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
е° =
cos2 ф
2е
е — cos2 ф'
cos4 ф cos6 ф
8е2
1бе3
-О-
(21.20)
(21.20а)
Таким образом, все уточнение свелось к замене е на некоторое еэф,
которое мы здесь и повсюду в дальнейшем обозначаем через £°. Часто, когда
|е| достаточно велико, в таком уточнении нет особенного смысла. Поэтому
можно пользоваться выражениями, справедливыми с точностью до одного,
двух или более членов ряда (21.20а). Так, первоначально ([36] и т. п.)
считали
Ve° = y/i (неточность в членах порядка cos2 ф/2е). (21.21а)
Затем было показано [1], что точнее считать
Vt° = ve + cos2V> (неточность в членах порядка со&4ф/8е2). (21.216)
Разумеется, этой точности почти всегда достаточно. Однако если мы будем
в дальнейшем пользоваться точным выражением
^=s[?-
cos2 ф/е
(21.21в)
то не столько из-за количественного уточнения, сколько потому, что эта
формула допускает переход даже к случаю е = 1 (отсутствие земли) и дает в
соотношении (21.19) правильный результат (в отличие от совершенно
неразумных выражений, получающихся, если мы пользуемся приближениями
(21.21а) и (21.216)). Действительно, при е = 1 мы получаем
—- = -гк0&тфЕг = -гк0гЕг,
oz
как и должно быть для плоской волны, падающей на плоскость z = 0 под
углом скольжения ф,
Ег ~ exp [i(fc0cosV> • х — k0smф ■ г)].
С другой стороны, для количественных подсчетов обычно совершенно
достаточно приближения (21.216). Оно гораздо удобнее точной формулы,
потому что изменение по сравнению с совсем простой формулой (21.21а)
состоит только в том, что вещественная часть е увеличивается на cos2 ф
(или просто на единицу при ф яа 0). Погрешности (относительные) при
использовании формул (21.21а, 6) таковы:
И
2
5
10
(21.21а)
0, 25 cos2 ф
0,10 cos2 ф
0,05 cos'2 ф
(21.216)
0,03 cos4 ф
0,005 cos4 ф
0,001 cos4 ф
Таким образом, эти погрешности столь малы, что точность
приближенных формул не может определяться малостью \е\. Более существенным в
определенных условиях может стать отклонение от формулы (21.3) (убы-
S 21. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
139
вающее по мере увеличения расстояния от источника) и влияние волны,
доходящей через почву (также падающее с расстоянием). Этот последний
фактор будет оценен в §31. Пока можно отметить, что это условие заведомо
верно не только при |е| ^> 1, но и при \е—1| -С 1, когда различие между
свойствами сред исчезающе мало, и потому w снова изменяется с расстоянием
гораздо медленнее, чем ехр(г'А;хх). Что касается влияния угла скольжения
ф, то, поскольку при выводе использованы соотношения, имеющие место в
плоской волне, во всяком случае (21.19) верно в области применимости
отражательных формул, т. е. когда k0zo ^ уИ» где zO — высота источника
(см. (19.38), для \е — 1| > 1). В действительности, конечно, оно верно в
более широкой области углов.
Рассмотрим изменение |е°| при изменении е:
,о, = Н2 = *'2+(W^)2 (2122)
\е -cos2 VI у/{е' - cos2 ф) + {Ana/и)2 V
Когда модуль |е| велик, е° не отличается от е. Однако при <т -4 0 и е' -4 1
sin ф
т. е. при ф —У 0 снова |е°| стремится к бесконечности. Где-то при |е| ~ 1
модуль е° обладает минимумом. В этой области обычно Апа/ш «с е' — cos2 ф.
Поэтому, положив (7 = 0, находим что минимум |е°| расположен при е =
= 2 cos2 ф. Он равен
к°|мин = 4 cos2 ф при е = 2 cos2 ф (а = 0) (21.23)
и при ф = 0 (важнейший случай) |е°|М1Ш = 4.
Таким образом, мы имеем граничное условие, пригодное с очень большой
точностью для всех существующих почв и длин волн и позволяющее при
рассмотрении поля в воздухе отвлечься от поля в почве и ограничиваться
решением волнового уравнения в однородном пространстве, z > 0. Для
ф = 0 имеем
е0 = |е0|ехр(гХ), (21.22а)
= /2 + (Wb>)2 (2122б)
у/(е> - I)2 + (Ажа/и)2
4тг<7 4тг<7 __ лл .
Х = 2arctg— - arctg^-^. (21.22в)
Как следует из (21.14), относительное изменение поля с высотой в воздухе
происходит медленно: поле заметно только при подъеме на высоту порядка
|v^|Ao = A0|v^|, что обычно много больше «длины волны в воздухе» Ао.
Чем лучше проводимость почвы (чем больше |е|), тем более неизменна вдоль
оси z направленная по ней составляющая поля. Другими словами, на
поверхности хорошо проводящей земли поле почти однородно.
140
ГЛ. 4. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
Заметим, что вещественная часть этой производной отрицательна,
ЫЕг _ к0 cos [тг/2 + (1/2) arctg(4?
dz */£'2 + (Anaffi
_ / 1 дЕЛ 8\пЕг fc0cos[7r/2+(l/2)arctg(47r(T/e/u;)]
ReU"^"J=Re~5—= -"- <0'
(21.24а)
т. е. поле при подъеме над землей убывает. Это может показаться
удивительным, поскольку мы знаем, что земля должна оказывать ослабляющее
действие. Однако этот вывод справедлив только вблизи самой земли, где
полученное возрастание можно вычислять как малую поправку, т. е. на
расстояниях
Дг<А|л/£|. (21.246)
И действительно, мы увидим в дальнейшем, что на больших высотах
поле опять начинает возрастать. Отмеченное же нами убывание в самом
деле имеет место. Оно означает, что для улучшения приема нужно подняться
существенно выше этой зоны ослабления, т. е. существенно больше, чем на
величину Дг ((21.246)). В противном случае лучше оставаться на земле х).
Отметим, что для Нг (21.14а) те же рассуждения приводят к формуле
Q гт _
——- = -ikQ\/e — cos2 грНг = —ik0—==Hz, z = 0, (21.19а)
dz v V^
вместо формулы (21.19). Отличие от формулы (21.14а) здесь несколько более
сложно.
Наконец, перейдем к установлению связи между вертикальными и
горизонтальными компонентами полей. Если направление распространения
совпадает с осью х, то производные полей по у могут быть отличны от нуля
только благодаря отклонению фронта волны от плоскости. Следовательно,
они должны быть порядка 1/koR (где R — расстояние от источника)
относительно производных по х и могут быть опущены. Поэтому, исходя из
соотношения divE = 0 и из формулы (21.19), мы имеем
., „ _ дЕх _ дЕг _ ik0
lKQxIlix — — — /__£,2,
ox oz Ve°
т. е.
Ех = l—7=Ez, z = 0. (21.25)
cos фуе°
Аналогично, из divH = 0, опуская производную по у и используя
формулу (21.19а), получаем
1 £■ х, \Д — cos2 ф х, „ /лч л„ .
Нх = r-7=Hz = * г-^Я,, z = 0. 21.25а
cos гр у^о cos гр
Наконец, из rot2H = —ikoEz следует (в том же приближении):
дну дн..
—гкоЬ2 — — — ~ гкохНу,
дх fy (21.256)
Ну = гЕг,
cos гр
') Разумеется, иногда улучшение происходит из-за того, что при подъеме устраняется
возмущающее действие окружающих предметов. Наши рассуждения относятся к случаю
идеально плоской и однородной поверхности земли.
S 21. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
141
а из rot2E = ikoHz совершенно так же находим
Еу = -^—:Нг. (21.25в)
v cosV>
Связь Еу с Ez и Ну с Нг в общем случае установить нельзя. В отличие от
рассмотренных до сих пор соотношений здесь придется проводить различие
между случаями различной поляризации. Так, например, формула (21.25)
показывает, что на поверхности хорошего проводника \ЕХ\ -С \Ег\. Это и
понятно, так как на поверхности идеального проводника тангенциальные
компоненты поля вообще исчезают. Однако в случае горизонтально
поляризованного первичного излучения на поверхности идеального проводника все
компоненты поля равны нулю, и сделать заключение о том, каково Еу при
конечном е невозможно.
В случае вертикальной поляризации по соображениям симметрии Еу =
= 0. Далее, учитывая, что производные по у выпадают, из rotE = ikoH.
находим
Нх = 0, Я2 = 0, z = 0. (21.25г)
Разумеется, если ось х направлена не в плоскости распространения, а
образует с ней угол ip, мы получим
Ех= l C°^?EZ, Ey= l Sm/?EZ, z=Q. (21.26)
В случае горизонтальной поляризации Еу является главной
составляющей, как и Нг для магнитного поля волны, причем по соображениям
симметрии Ну = 0. Поэтому, согласно формулам (21.256) и (21.25), также
Ех = Ег = 0, а Нг определяется через Еу, согласно равенству (21.25в). При
произвольной ориентации оси х, аналогично формулам (21.26), имеем
Нх = у/е — cos2 фНг = cos(py/e — cos2 фЕу,
sin^y! (21.26а)
Hv = ve — cos2 фН2 = sin (руе — cos2 фЕу, z = 0.
cos^
Рассматривая в § 19 коэффициент отражения для плоских волн, мы
различали случай «больших» ф, когда l^/esin ф\ > 1 и случай «малых» ф, когда
Iv^sin i/'l < 1. Так рак \у/ё\ существенно (а иногда чрезвычайно сильно)
превышает единицу, то область «больших» углов в действительности может
соответствовать ф, весьма малым по сравнению с единицей. Но во всяком
случае область «малых» углов соответствует действительно весьма малым
ф. Эта область, существенная при весьма скользящем распространении
радиоволн, представляет наибольшие трудности для теории. Мы видим, что в
ней можно считать ф = 0 и потому в граничном условии (21.20) и формулах,
дающих (при вертикальной поляризации) связь тангенциальных
составляющих с нормальными, полагать cosV' = 1:
„ cos<£-v/l — 1/е „ „ sin<£\/l — 1/е „
Ех = ^^j= '—ея, Еу = ?-*— !—Ея, z = 0, (21.27а)
причем можно считать cosy? = kox/ko, sin <p = koy/ko.
142
ГЛ. 4. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
Для не очень коротких волн можно пренебречь отличием £эф от е и
пользоваться приближенными формулами [10]
cos v> sin v>
EX = —7^EZ, Ey=—^E2, 2 = 0. (21.276)
y/£ \/S
Установим теперь граничные условия для тангенциальных
составляющих^. Из уравнения rotE = г&оН, учитывая непрерывность этих
составляющих при переходе через границу раздела, следует
-х-^- = -х-^- + ikQHy = ik0cos фЕ2 + ik0Hiy.
oz ox
Но при z < 0 изменение Hi с г описывается обычной зависимостью типа
(21.17), причем дЪг/ду = 0. Поэтому уравнение rotHt = — ikoeEi дает
,- / COS2 ф
-ikoy/e\Jl Hiy = гк0еЕи
Следовательно, искомое условие для Ех имеет вид
—i = -ik0Ve°Ex + ik0 cos фЕг, z = 0. (21.28a)
oz
Совершенно таким же путем, принимая во внимание равенство (21.25в),
находим
дЕу /-г / cos2V>\ „ •,/-/, cos2V>
-^ = -ik0Ve° (1 1 Еу = -ik0y/edl ^у
Еу, z=0.
(21.286)
Если поле испускается точечным источником, то удобно ввести
цилиндрические координаты (г, <р, z). Тогда в каждой точке направление
распространения совпадает с осью г, и эти соотношения можно переписать в виде
ар
-^- = -ik0V^Er + ik0 cos фЕг, (21.28в)
d-ff = -ikoV^o (\ _ E^) Evt 2 = o. (21.28т)
По поводу полученных граничных условий необходимо сделать несколько
замечаний.
Первое замечание касается условий, в которых допустимо производить
уточнение, связанное с заменой е на е°. Мы видели, что оно обусловлено
представлением поля в виде слабо модулированной в пространстве ллоской
волны. Только решение всей задачи, осуществленное хотя бы с помощью
приближенных граничных условий, может показать, оправдано ли это
представление. Мы получим это решение в гл. 5 и убедимся, что оно, вообще
говоря, достаточно хорошо совпадает с действительностью, но иногда
совпадение имеет место только в том случае, если расстояние до передатчика
достаточно велико. Однако как раз в тех случаях, в которых такое
уточнение вообще имеет смысл — при не очень больших |е| (короткие и
ультракороткие волны, плохая проводимость), — найденное нами уточнение
§ 21. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
143
правильно, уже начиная с расстояния в несколько длин волн. С ростом
длины волны это расстояние растет, но тогда различие между е и е° вообще
исчезает. Поэтому мы повсюду будем пользоваться величиной е° вместо е,
учитывая, что там, где такая замена имеет смысл, она верна практически
во всей волновой зоне передатчика.
Точное значение е для данной почвы вообще довольно неопределенно.
Замена истинного среднего е на несколько отличную величину никогда не
может быть очень существенной. Поэтому смысл производимого уточнения
следует видеть прежде всего в том, что, как мы выяснили, вся структура
формул, зависимость полей от расстояния и т. п., найденные дли больших
|е|, полностью сохраняются для области коротких волн, если только мы
изменим числовой параметр.
Второе замечание относится к форме граничных условий. Полученные
выше условия первого приближения можно записывать в другом виде [36].
Именно, можно исходить из того, что поле в хорошо проводящей почве
(|е| Э> 1) имеет, как мы убедились, характер плоской волны, причем
плоскости равной фазы перпендикулярны к оси z. Следовательно, электрический и
магнитный векторы в ней связаны между собой так же, как в обычной
плоской волне, распространяющейся в среде с ц = 1 и заданной величиной е:
Е\х = —j=Hiy, Е\у = —j=.II\x. (21.29)
Но входящие сюда компоненты полей являются касательными к
поверхности z = 0 и потому остаются непрерывными при переходе через границу
раздела. Следовательно, и в атмосфере
Ех = —j=Hy, Еу = —j=Hx, z = 0. (21.30)
Отсюда опять следует условие (21.14). Действительно, дифференцируя
первое из этих соотношений по х, второе по у, складывая и используя уравнения
поля
div Е = 0, rotH = -гА:0Е,
мы получим
E-(£+t)-;i(£-t)->- ™
Дифференцируя же первое из соотношений (21.30) по у, а второе по х и
вычитая одно из другого, получаем условие (21.14а).
Уточнение этого граничного условия, учитывающее члены следующего
порядка по 1/е, также может быть получено отсюда на основе
последовательного разложения по степеням 1/у/ё [34].
Уточненное граничное условие (21.29) имеет следующий вид [36] 2):
р_ 1 1Н 1 (^Нх д*Ну д*Ну\\
Ех--^\ у~Щ{д^д~у~'^'+~д^')г (2 2)
2) Формула (14) в работе [36] содержит несколько опечаток.
144
ГЛ. 4. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
Для волны, которую можно приближенно представить как плоскую,
считая Нх = О, д Ну/ду2 = 0, д2Ну/дх2 = —к^хНу, отсюда получаем то же,
что дает формула (21.29) при замене е на е° и при учете первого поправочного
члена в формуле (21.20а).
Форма условия (21.32) отличается от формы условия (21.19) тем, что она
не содержит прямого указания на вид зависимости поля от координат, хотя
в действительности по условиям вывода обе формы эквивалентны.
Вообще, пока мы ограничиваемся рассмотрением Ег, например при
вертикальной поляризации излучения, переход от условия (21.14) к условию
(21.19) (замена е на е°) эквивалентен переходу от соотношений (21.30) к
соотношениям
ЕХ = -^==НУ, ЕУ = ~НХ, z = 0. (21.32а)
Действительно, отсюда, совершенно аналогично процедуре, примененной
при выводе формулы (21.31), снова получаем условие (21.19). Однако тот же
подход при рассмотрении Нг (необходимом в случае горизонтальной
поляризации) даст вместо правильной формулы (21.19а) соотношение
^ = -ik0V^Hz.
dz
Для случая |е| ^> 1, вводя вектор внешней нормали к поверхности почвы
п, можно условие (21.29) переписать в форме
Е = 4=[n» H]. (21.326)
Vе"
Граничные условия рассмотренного типа носят название импедансных
условий, а величина 1/у/ё или 1/Ve° — импеданса поверхности,
поверхностного импеданса. Нормальным импедансом называют отношение
полных значений тангенциальных к поверхности раздела составляющих: Z =
= Et/Ht. Вводя импеданс как универсальную локальную характеристику
поверхности раздела сред, мы получаем возможность рассматривать поле
заданных источников в одной из сред, игнорируя поле в другой среде. По
поводу этого метода вообще см. [43]. Если нижняя среда является
анизотропной, то формула (21.326) содержит тензорный импеданс (см. [99, §76]).
Наконец, заметим, что если вместо напряженности электрического поля
принимать за основу вычисления векторы Герца, то для поля вертикального
диполя и плоской поверхности однородной земли можно, как и в однородном
пространстве, свести задачу к отысканию одно компонентного вектора П =
= П2, граничные условия для которого такие же, как для Ег:
дП дПх
П = гПь — = -_!, z = o
dz dz
(см. (4.7) и (4.8)). Поэтому все, что было сказано про Ег, относится и
к П. Следовательно, приближенное граничное условие можно писать в виде
(21.19), т. е.
dz ve°
Мы будем этим в дальнейшем пользоваться.
дП ik° П. (21.33)
§21. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
145
Рассмотрим поле, созданное вертикальным магнитным диполем. В
присутствии плоской земли его удобно описывать магнитным вектором Герца с
единственной отличной от нуля — вертикальной — составляющей Пт (§4).
Для вектора Пт1 в почве можно повторить все рассуждения, посредством
которых выше было получено для Ei под землей выражение (21.17). Поэтому
дПглХ* = _;** nml2, z = 0. (21.34)
дг
Так как, согласно формулам (4.11), (4.12), Пт2 и его нормальная
производная непрерывны при переходе через границу раздела, то
-~- = -г/г0-7=Пт2 = -ikoy/e - cos2 фПт2. (21.35)
oz vg-o
Выведенные выше граничные условия (21.19), (21.26) получены при
специальном предположении относительно вида поля (21.1). Только при |е| ^> 1
мы имеем граничные условия (21.30), (21.31), свободные от предположений
о конкретном виде поля. Однако был указан общий вид граничного условия
при любом |е|, из которого вытекает последовательный метод приближений,
приводящий в одних случаях к условию (21.19), в других к условию (21.31),
но позволяющий сделать и иные заключения. Мы изложим вывод этого
условия, следуя оригинальной работе Ф.Г. Басса [41].
Для вертикальных составляющих полей в двух средах справедливы
волновые уравнения (вне источника). Из точных граничных условий (21.13),
если применить к ним оператор
к%е + А,
где
д2 д2
следует
{k2e + A)Elz=^{k2e + A)Ez, z = 0, (21.37)
причем вследствие волнового уравнения (21.6)
-(^^j = (k2e + A)Elz = ^(k2e + A)Ez, z = 0. (21.38)
Рассмотрим теперь функцию dExz/dz в земле. Она, конечно, тоже
удовлетворяет волновому уравнению и потому может быть по формуле (8.7)
выражена через ее нормальную производную (это будет d2Eiz/dz2) на
плоскости z = 0. Существенно, однако, что при этом функция Грина будет
v+ = v0(R- R') + v0(R+ R'),
где
„o(R-R0 = "P(i^,,-R'l). (21.39)
146
ГЛ. 4. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
Таким образом, она содержит в экспоненте у/ё. Поэтому, заменив под
интегралом [d2Eiz/dz2) z_Q с помощью формулы (21.38), получим выражение
для dE\zjdz при z = 0 или для равной ему величины дЕг/дг:
8Ez(r) _ 1 /Yexp^ov^lr'-rl),,,
8z
= ~Ш II 6ХР (г1° И " Г|) {kl£ + АГ,)^(Г0 ^ (21'40)
Полагая г' — г = р, dr' = dp, Ar» = Аг, имеем
lt = ~:L{k2o + e~A) H^P(ikoV^P)Ez(r + p)j, z = 0. (21.41)
Это интегральное соотношение само по себе является просто одним из
возможных выражений принципа Гюйгенса. Однако из-за присутствия в
экспоненте у/ё, когда е существенно комплексно, интегрирование будет
эффективно ограничено малой окрестностью точки наблюдения г.
Следовательно, выражение (21.41) имеет характер граничного условия,
связывающего нормальную производную поля с самим полем в близлежащей
окрестности. Это условие, таким образом, нелокально. Но оно справедливо при
любом е и может рассматриваться как вполне строгое и общее граничное
условие для Ег.
В простейшем случае, если |е| Э> 1, так что под интегралом щ меняется
гораздо быстрее, чем Ez, мы можем вынести значение Ег в точке р = О
из-под интеграла, и поскольку
//
j О
exp {ikoy/ep)— = --—j=, (21.42)
р гкоу/е
получаем (локальное) условие
дЕ,
дг
=-тА^щМ*-Ч1Е" г=0- (2143)
Это условие Леонтовича (21.14). Относительно поля Ег здесь использовано
только предположение, что оно мало меняется на «длине волны в почве»,
|Ai?2| -С &q|£152|. Конкретный вид поля безразличен.
Чтобы получить последовательный метод приближений, удобно в (21.41)
разложить Ez (г + р) в ряд по р:
оо 1
Ez(r+p) = J2-i(pVr)nEz(r).
п—0
В это выражение, по существу, входит cosy?, где (р — угол между р и
градиентом Ez. Нечетные степени интеграла по <р дают нуль, а при п = 2р
|cos^^=f£(2;). (21.44)
§21. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
147
С другой стороны,
Г , d2p 1 / 1 \2p+1
/ ехр (гк0у/ёр)р2р dp = --jrr.—т=г^- -—т= = - -—j= ) • (2р)!
о
(21.45)
Поэтому после некоторых вычислений получаем
где символически обозначено
Л^лУ" f>(l/2)(l/2-l)---(l/2-")/Ar\n
(21.46)
(21.47)
В частности, если AfEz = —{к1х + к%у)Ег, как мы это принимали в условии
(21.19), то
в соответствии с формулой (21.216). Как видим, этот результат верен не
только для поля плоских волн. В самом деле, пусть поле имеет характер
пакета, составленного из элементарных волн Е*\ являющихся решениями
волнового уравнения
AEi*) = alEl*\ Ez = /V(x)£?<x>(r) dx, (21.49)
где x нумерует решения (выше считалось х = (кох, коу), а2* = х2)-
Подставляя Ег в формулу (21.46), получим
дЕг
dz
1/2
= -*|v(x)(l + <^) ЕГ,,)*,. (21.50)
Если пакет достаточно узкий и х лежат в пределах Ах вблизи некоторого
>fo, именно, если
1 da2(x0) Ax
2к2е dx {l + tfxo/kleyl2
dEz
dz
< 1, (21.51)
то
1/2
В частности, это условие имеет место и для разложения по
цилиндрическим функциям. При разложении по плоским волнам поля, имеющего
характер почти монохроматической волны (что как раз и будет иметь место
если поле описывается произведением плоской волны на медленно
меняющуюся функцию ослабления, а2 просто заменяется на х2 = kficos2 ф, и мы
снова приходим к результату (21.48).
148
ГЛ. 4. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
Аналогично соотношению (21.46), граничные условия (21.28а) и (21.286)
для тангенциальных составляющих Е могут быть записаны в общем виде, не
предполагающем формы поля [41]. Для этого нужно использовать векторную
форму теоремы Грина (5.146). Применяя ее к нижнему полупространству,
можно получить
ИМ] = -^/exp(i|r°^-r,|){[n[..H(rO]]+
+i!-VKVInH(r')])|rfr', z = 0,
а разлагая по степеням е
-1
["E<r>i - т? О+4д)""2 {["["«и+4[nvi(v[nH))}-
Если использовать уравнения Максвелла, то отсюда следует
ЭЕ-.. - -/ 1 \1/2
}ЕхУ .,2 /-Л 1 ,\ ' л е-1 дЕя
г = 0,
(21.53)
что при Д —¥ — /jqCOs2^ переходит в граничные условия (21.28а), (21.286).
§ 22. Эллипс поляризации
Полученное выше соотношение (21.27) для скользящей вдоль границы
раздела волны, добавляя временной множитель ехр (—iut), можно
представить в виде (ось х направлена вдоль направления распространения, так что
&ох = к0)
Ег = А ехр [-i(wt - V>)J,
Ех = А£ ехр
-*' (ut- ф+ -ХА
(22.1)
(22.2)
где
£ =
ТёГ-'ё
v/kFH У(е'+1)2 + (4ла/и)^
Ana 1 4тг<т 1 4тг(Т
Хе = arctg — - - arctg ^—^ « - arctg ^j-.
Последние выражения соответствуют замене е° яа е + 1 = еЭф и, как мы
знаем, обеспечивают точность порядка 1/(8|е|2).
Переходя к вещественным значениям, имеем
Ег = Л cos (ut — ф), Ех =
V^
:COS
эф I
(wt- V+ ~хД
(22.3)
Таким образом, Ех и £?г не только имеют разные амплитуды, но и сдвинуты
друг относительно друга по фазе на величину (1/2)хе- Если бы этого сдвига
§22. ЭЛЛИПС ПОЛЯРИЗАЦИИ
149
не было, то результирующее поле было бы всегда наклонено под
определенным малым углом а к вертикали,
\ЕХ\ 1
tga =
\Ег\ ^/(е' + 1)2 + (4тг(7/^)2'
(22.4)
и пульсировало бы по величине с периодом, равным 2л/и>. Наличие сдвига
фазы означает, что конец вектора Е описывает с частотой и эллипс, большая
ось которого наклонена к вертикали (рис. 38). Чтобы получить параметры
этого эллипса, нужно найти его уравнение,
а затем привести это уравнение к главным
осям. Обозначим Ех = X, Ег = Z и
отбросим несущественный общий фактор А:
Z = cos (ut — ф),
X = f COS (Ut - ф + -Xej =
= £ < cos (ut — ф) cos — —
— sin (ut — ф) sin ~^-\ =
= <{
Xe
Xe
Zcos — — v/l — Z2sin
2 2
Рис. 38. Эллипс поляризации
Освобождаясь во втором соотношении
от иррациональности путем возведения в квадрат разности X—£Zcos (хе/2),
мы получаем
или
X2 + ez2 cos2 ^ - 2£A~Zcos ^ = ^(1 - Z2) sinJ
v2 i rrl *• v r? Xe . 2 Xe
-jA + Z --I/cos-- = sm —.
(22.5)
Рассматривая это уравнение как уравнение кривой в прямоугольных
координатах X, Z, мы и приходим к уравнению эллипса, который описывается
концом вектора Е. Приведем теперь уравнение (22.5) к главным осям. Для
этого повернем систему координат на некоторый угол а (см. рис. 38)
X = X'cosa + Z'sina, Z = -A^'sina-)- Z'cosa (22.5a)
и потребуем, чтобы при такой замене исчез смешанный член. Коэффициент
при смешанном члене X'Z' в результате подстановки получится равным
—г2 sin a cos а — 2 sin a cos а — — cos — (cos2 a — sin2 a)
t2 f 2
Приравняв его к нулю, получаем угол а, на который нужно поьсрнуть
систему координат:
tg 2а = (2/Otc<f(Xe/2) = ^ Ук^
1/е -1
кэф| -1
COS(Xe/2).
(22.6)
150
ГЛ.4. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
Если модуль |е| достаточно велик, то это приближенно дает (мы здесь
пренебрегаем также отличием £эф от £)
- «*<^2> , со8'^2» (22.7)
Для хорошо проводящей земли, когда е <С Апа/ш, \ та тг/2, имеем просто
а=\[ъг„ = {1- <22-7а>
Здесь введена частота / = ш/2ж.
Для плохо проводящей, но «сильно диэлектрической» земли, когда е' ^>
>• Ажа/ш иг/>1, имеем х = 0. Поэтому
а » -7=. (22.76)
Ve'
В этом случае, как упоминалось выше, эллипс вырождается в прямую,
поскольку сдвиг фаз исчезает.
Заметим, что эти результаты получены [10] в предположении, что
модуль \е\ велик. Поэтому они справедливы лишь постольку, поскольку угол а
получается малым. Но в реальных условиях модуль \е\ только в
исключительных случаях бывает равен 2-5 (сухой песок, короткие волны), а обычно
не опускается ниже 10. Следовательно, и угол а на поверхности раздела
воздуха и земли не превышает примерно 20 градусов3).
Таким образом, для данной частоты / угол а однозначно и просто связан
с проводимостью почвы следующим методом.
Установив прямолинейную приемную антенну приблизительно
вертикально, следует поворачивать ее до тех пор, пока не будет замечено
максимальное значение тока в приемнике. Очевидно, при таком положении
антенна будет направлена вдоль большой оси эллипса.
Однако в случае хорошей проводимости при этом получаются малые
углы. Так, при средневлажной почве, а = 5 • 10 CGSE, и при длине волны
А = 300 м (/ = 106)
1 / Ю6 1 ,„
a=2V5^*l4*4-
Измерять такие углы с большой точностью трудно, тем более, что
максимум получается все же не очень острый.
Поэтому было предложено [42] измерять не а, а отношение осей эллипса
Ь/а = К; именно, один раз находить положение наилучшей слышимости,
другой — наихудшей и измерять отношение токов в приемнике.
) В рамках этого вывода не может получиться физически нелепый результат,
соответствующий неправильной теории Цениека [44], согласно которому на поверхности раздела
тождественных сред угол а становится равным 45°. В самом деле, если в формуле (22.4),
понимаемой буквально (у Ценнека считалось, что она имеет точное значение при любых а),
положить £эф = 1, то а = 7г/4. В действительности же, если мы полагаем £ —>• 1, то нужно
пользоваться более полным выражением для £° (21.21в), и мы получаем, что £Эф —>• оо (как
для металлической, отражающей поверхности), а —>• О. При изменении £ от оо до 1 угол а
сначала растет до некоторой величины аиа.хс, а затем вновь убывает до нуля. Эту величину
ан&кс можно найти после несколько громоздких выкладок.
§22. ЭЛЛИПС ПОЛЯРИЗАЦИИ
151
Это отношение осей получится, если из отношения коэффициентов при
X2 и Z2 в уравнении эллипса, приведенном к главным осям, извлечь
квадратный корень. Для больших |е|, т. е. малых а, отношение осей можно
получить и проще. Можно сказать, что малая полуось эллипса это есть
значение Е, получающееся в тот момент t, когда Ez = 0, т. е. при u>t — ip =
7г/2. В этот момент Е яа Ех = (А/у/\е\) &\п (х/2). Так как
максимальное значение Е равно примерно А (большая полуось), то отношение
полуосей равно (l/y'iej) sin (х/2), т. е., согласно
формуле (22.7), atg(x/2). Для хорошо проводящей
земли х = ""/2, и, таким образом,
К = - = а.
а
(22.8)
Рис. 39. Направление
потока энергии на
поверхности раздела
Следовательно, измерение отношения полуосей
при большой проводимости дает ту же самую
величину а, равную (1/2) y/JJa.
При малой проводимости К резко отличается от
а. Благодаря этому, одновременно измеряя К и а,
можно определить как е, так и ст.
Отметим в заключение, что угол а
положителен, т. е. силовые линии наклонены вперед. Это
и понятно: так как вектор магнитного поля
перпендикулярен к Ех и Ez, то вектор потока энергии S (рис. 39) будет не
горизонтален, а в среднем наклонен под углом а к поверхности, что
означает втекание энергии в почву. (Точнее говоря, в течение одного периода S
пульсирует по величине и несколько колеблется по направлению, пока
конец вектора Е описывает эллипс. Но как раз в те моменты, когда S больше
всего отклоняется от своего среднего направления, его величина является
наименьшей.)
Энергию, поглощаемую на единицу поверхности в среднем в единицу
времени, получим, усреднив Sz за один период Т. Она равна (поскольку
-Щ «
Е.)
^ ISzdt = -^ [ReExReHydt&
о о
о Т
Ас Г ( y\
« — / cos (wt - ф) cos I ut - ф + —) dt =
4nTy/\e\ J ^ 2/
Ah
8ny/\F\
\»-€\&-°s- ™
Разумеется, эти результаты могут быть уточнены учетом членов более
высокого порядка относительно 1/е, если использовать формулу (22.6) в
полном виде, не пренебрегая отличием е от еэф. В частности, подставляя
152
ГЛ. 4. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
еЭф = \е + 1|, получаем
tg2a=\/2
^/>/(е'+1)2+~^2+(г' + 1)
(22.10)
где т) = Ажа/ш.
На рис. 40 и 41 приведены заимствованные из работ [48] и [40] кривые
для угла а, вычисленные по формуле (22.10), для различных почв и длин
а, град
2а//
Рис. 40. Зависимость параметров эллипса поляризашш от частоты и от свойства почвы [48]
а, град
«'-1,2
10~22 4 610_12 4 6 10° 2 4 6 101 2 4 6 102 2 4 6 1032 4б1042 4а//
Рис. 41. Угол наклона а большой оси эллипса поляризации для малых значений е
волн. Расчет угла а, согласно более точной формуле (21.21в), дает кривые
для значений е', весьма близких к единице и а = 0 (см. [40]).
Глава 5
ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
§ 23. Предварительные замечания
Мы переходим к рассмотрению одного из основных и «классических»
вопросов теории распространения радиоволн вдоль земли. Им является
проблема распространения радиоволн в однородной атмосфере вдоль земли,
идеализированной в виде однородной среды с плоской поверхностью, когда
источник расположен на границе раздела сред или очень близко от нее —
настолько близко, что интерференционные формулы § 19 недостаточны.
Формулы, которые будут получены, можно будет применять только к
радиопередаче на небольшие расстояния, пока кривизной поверхности
можно пренебречь. Количественный критерий, определяющей эти расстояния,
можно получить из следующих соображений.
С одной стороны, уклонение точки наблюдения от плоской поверхности
не сказывается, если возвышение Az мало по сравнению с Azi = Ai/jiJ =
= \у/ё\/к (см. (21.24)); с другой стороны, даже для идеально проводящей
плоской поверхности, для которой Az\ обращается в бесконечность, поле не
меняется при подъеме, только если Az\ мало по сравнению с размерами
зоны Френеля, построенной в вертикальной плоскости, Azi = \RX, где
R — расстояние до источника. Обозначим радиус земной поверхности через
а. Удаление от источника, отсчитанное по поверхности земли, и расстояние
точки наблюдения от плоскости, касательной к земле в точке источника, Az,
связаны соотношением
Az « iisina « R2/a,
где а = R/a — угловое расстояние между источником и точкой наблюдения.
Очевидно, что для возможности замены поверхности земли на плоскость
необходимо, чтобы Az было мало по сравнению как с Az\, так и с Аг^:
Az < Дгь т. е. R < \Ja\y/\e\K, v/a2A3-^,
Az < Az2, т. е. R < УаУк.
Более подробный анализ условий, в которых землю можно считать плоской,
мы отложим до гл. 6.
Несмотря на ограниченную область применения, проблема
распространения радиоволн вдоль плоской поверхности занимает в теории особенно
важное место вследствие ее принципиального значения.
Чтобы оценить тонкость вопроса, рассмотрим один метод трактовки,
который кажется весьма естественным и тем не менее глубоко неправилен.
Он действительно был применен около полувека тому назад, когда проблема
была впервые поставлена, и ошибочные выводы, полученные на этой основе,
в течение десятилетий продолжали оказывать влияние и в научных
исследованиях, и в практике радиосвязи.
154
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Рассматривая область поверхности земли, расположенную не очень
близко к излучателю, можно попытаться предположить, что здесь, где кривизна
фронта волны невелика, поле должно иметь вид плоской волны,
скользящей вдоль поверхности раздела. Именно, можно допустить, что если ось х
направлена вдоль поверхности раздела по направлению распространения, а
z — вертикально вверх, то
в атмосфере1)
П = П12 = Пх = Ах exp [ikt (ацх + ftz)], (23.1а)
(23.16)
в почве
П = П22 = П2 = А2 exp [ik2(a2x + (32z)],
ki = к0 = и/с, к2 = у/ёк0,
где в силу волновых уравнений для П должно быть
а\ + ft = al + PZ = l. (23.2)
Таким образом, ац, а2, (3\ и j32 могут быть истолкованы как
направляющие косинусы векторов распространения lq и к2 (в общем случае —
комплексные, ср. § 16). Из-за слагаемых /3z скользящая волна
распространяется и по вертикали.
Предположенный вид решения кажется довольно естественным, так как
при условии (23.2) это решение является точным решением волновых
уравнений вне области источника, а погрешности, проистекающие от замены
цилиндрической волны на плоскую, должны убывать по мере возрастания
расстояния от источника и на больших расстояниях не должны быть
велики. Однако на самом деле здесь сделаны два произвольных допущения.
Во-первых, подразумевается, что наклон фронта волны, определяемый
отношением постоянных чисел (3\ и а\, в воздухе не зависит от z\ во-вторых, что
изменение поля с х имеет чисто экспоненциальный характер. Как мы
увидим впоследствии из точного решения, оба эти предположения ошибочны.
Помимо двух условий (23.2), наложенных на коэффициенты ац, ..., /32
имеются еще два граничных условия (4.7) и (4.8) при z = 0:
Пх = eU2, (23.3а)
Отсюда получаем, во-первых, из условия (23.3а)
Ai exp (ikiaix) = еА2 exp (ik2a2x). (23.4)
Приравнивая показатели и коэффициенты, находим сразу два условия,
налагаемых на «направляющие косинусы» и амплитуды:
— = ^ = V?, <x2i = ea22, (23.5а)
а2 ki
Ах = еА2. (23.56)
]) В дальнейшем мы повсеместно отбрасываем временной множитель exp (—iwt).
§ 23. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
155
Во-вторых, из условия (23.36) получаем
01*1^1 = №А2, (23.6а)
что вместе с условиями (23.2) и (23.5) дает по возведении в квадрат
e2{\-a\)kl= {\-a\)k\. (23.66)
Отсюда и из условия (23.5а) находим
у/ё 1
jVE+1 V^+l (23.7)
у/е + 1 Ve + 1
Теперь решение (23.1) определено, казалось бы, полностью: оно
удовлетворяет волновому уравнению и граничным условиям при z = 0. Однако
с формальной точки зрения это не так: не приняты во внимание условия
в месте расположения источника, например в случае точечного диполя —
необходимый характер особенности поля.
В § 19 мы тоже начинали с рассмотрения плоской волны. Однако там
вопрос об убывании поля с расстоянием от источника не ставился, а
математически, кроме падающей и преломленной волны, принималась во
внимание также и отраженная волна. Поэтому там не было получено неверных
выводов.
Проанализируем полученный здесь результат. Если свойства второй
среды (почвы) стремятся к свойствам первой и, значит, плоскость z = 0
становится воображаемой границей раздела в бесконечно протяженной
атмосфере, т. е. если е —> 1, то из формул (23.7) следует
ai==72 = /92' a2 = 72 = /?1- (23-8)
Выходит, таким образом, что в этих условиях волна распространяется
под углом 45° к воображаемой границе раздела. Между тем из соображений
симметрии следует, что поле вертикального диполя, помещенного на
плоскости z = 0, должно при этом переходить в плоскую волну типа exp (ikox),
распространяющуюся вдоль оси х. Поэтому полученный результат явно
абсурден. Следовательно, решение не может иметь предположенный вид, и вся
трактовка неверна.
Это обстоятельство избавляет от необходимости подробно разбирать
дальнейшие выводы. Следует, однако, отметить, что в другом предельном
случае, е —* оо, получается результат, совместимый со строгой теоремой об
отражении. Именно, при £ —> оо
Ал
ах -» 1, а2 -» 0, А2 = — -» 0. (23.9)
Таким образом, получается плоская волна, распространяющаяся с
волновым числом ко, т. е. со скоростью света, вдоль границы раздела, а поле в
земле исчезает. Видимо, разумность решения в пределе £ —> оо побуждала
156
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
в свое время думать, что хотя бы при больших \е\ оно имеет физический
смысл. В таком случае, если мы положим
c*i « 1 — —, р «
решение в воздухе будет иметь вид
/ cosx\ — КЛ1 -,
(1-ж)Х ^-г
cos(х/2)
Пх = Uiz = Ах exp < ifco
fcosmx fc0sin(x/2)_|
причем из двух возможных при извлечении корня для /?i знаков выбирается
тот, который не приводит к экспоненциальному возрастанию с ростом z.
Таким образом, скорость распространения волн оказывается зависящей
от свойств почвы: для распространения вдоль оси х она больше скорости
света и равна
С' = ТТл " /ol |ч > С- (23Л1)
Кроме того, при распространении волна затухает, и это затухание
описывается экспоненциальным фактором
ехр
(_***,). (2,12)
В целом можно сказать, что в этом неправильном, как мы видели, решении
влияние почвы сказывается при z — 0 в появлении фактора у = ехр (—sx) =
= ехр (-/>),
.к0х .к0х . .
р = sx = i~==i-^rr {cos x-isinx)- (23.13)
Указанному отличию скорости распространения от скорости света с, а
также экспоненциальному убыванию с расстоянием долгое время
придавалось реальное значение. Однако в действительности эти заключения
ошибочны, как и все описанное решение. Поле на поверхности земли не
может быть описано плоской волной типа (23.1). В действительности, как
увидим, хотя затухание волны (медленное при больших \е\) происходит на
характерном расстоянии l/|s| ^> Ао, оно не носит экспоненциального
характера. Фронт волны изгибается при подъеме над поверхностью, причем
это изменение наклона совершается при подъеме на высоту, по порядку
величины гораздо меньшую, чем расстояние до источника. Поэтому, заменяя
истинную волну плоской, мы совершаем ошибку гораздо большую, чем та,
которая происходит от замены цилиндрической волны на плоскую. Как
показывает полное решение (Зоммерфельд [45], Вейль [46] и др.; см. подробнее
ниже), ошибка сказывается как раз в членах, содержащих самую сущность
решения.
В этой и в некоторых последующих главах в основу рассмотрения
положен метод, позволяющий сравнительно просто исследовать на единой основе
§ 23. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
157
как давно решенные «классические» проблемы (однородная плоская или
сферическая земля), так и более сложные вопросы (неоднородная почва и
т. п.), для решения которых он, собственно говоря, и был разработан. Идея
этого метода исходит из двух обстоятельств, всегда имеющих место в
практически наиболее интересных проблемах: во-первых, расстояние между
источником и точкой наблюдения велико по сравнению с длиной волны; во-
вторых, проводимость почвы всегда значительна. В традиционных методах
(Зоммерфельд, Вейль, Ван-дер-Поль и др.) обычно проблему формулируют
вполне строго, и лишь на некотором этапе решения, обычно почти в самом
конце, используют указанные обстоятельства для приближенного получения
практических выводов, без этого не достижимых.
Другой метод, о котором идет речь, использует эти обстоятельства с
самого начала. Основными положениями метода являются следующие.
Во-первых, вместо того чтобы искать поле, скажем Е, разумно с самого
начала написать
E(R) = AeXpilkR)w(R), (23.14)
где R — расстояние от источника (предполагаемого точечным), aw —
функция ослабления, при R = 0 обращающаяся в единицу. Именно она и
представляет интерес. Характерным для нее является то обстоятельство, что она
мало меняется на длине волны, т. е. плавно модулирует (в пространстве)
волновое поле ехр (ikR). В традиционных методах отыскивают полное поле
и лишь в конце отщепляют функцию w. Между тем целесообразно учесть
относительно медленное ее изменение с самого начала. Тогда можно либо,
подставив выражение (23.14) в волновое уравнение, перейти к
приближенному уравнению для w (оно оказывается тогда уравнением параболического
типа, см. § 38) [37, 68], либо, применяя к полю формулу Грина, получить
удобное интегральное уравнение для w [74, 75].
Во-вторых, если \е\ ^> 1, можно пользоваться граничным условием Леон-
товича (21.14) [36] (а если даже модуль \е\ не велик, но w меняется все же
медленно — обобщающим его условием (21.19)), которое является условием
импедансного типа и потому позволяет искать решение в одном
полупространстве (в воздухе), не включая в рассмотрение поле в другом
полупространстве. В случае неоднородной почвы необходимо (и возможно)
соответственно обобщить это условие (§40).
В-третьих, используя путь интегрального уравнения (т. е. по существу
принцип Гюйгенса), можно свести интегрирование по поверхности земли
к интегрированию вдоль линии. Это возможно потому, что в силу условия
kR ^> 1 не вся поверхность интегрирования играет одинаково существенную
роль, наиболее существенна первая зона Френеля (§ 12), которую при
прочих равных условиях можно условно рассматривать как «трассу радиоволн».
Таким образом, для определения w получается интегральное уравнение с
одной независимой переменной [74, 75].
Наконец (это существенно в проблемах неоднородной почвы),
формулируя теорему Грина, вместо функции Грина (1/-R) ехр (ikR), физически
соответствующей полю диполя в пустоте или над идеально проводящей
плоскостью, целесообразно брать поле диполя (1/R) ехр (ikR) ■ wo(R) над
однородной поверхностью той же формы, что в данной конкретной проблеме
(плоскость или сфера), но с некоторой произвольной характеристикой е° (см.
158
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
замечания в конце §8, а также §41) [74, 75]. Распоряжаясь значением
произвольного параметра £°, в ряде практически важных случаев можно сразу от
интегрального уравнения для w переходить к его выражению в квадратурах.
Следует подчеркнуть, что все эти упрощения и пренебрежения
соответствуют обычным для традиционных методов и снижения точности
результата при этом не возникает (что подтверждается сравнением выводов,
полученных разными методами, в тех случаях, когда это возможно).
В следующих двух параграфах будет дано решение проблемы поля
вертикального диполя над плоской поверхностью раздела однородной земли и
однородной атмосферы на основе описанного метода. Сначала (§ 24) будет
сформулирован метод интегрального уравнения (который впоследствии, в
§41, будет обобщен на случаи неоднородной почвы и ляжет в основу теории
распространения радиоволн вдоль неоднородной и неровной поверхности).
Решение этого интегрального уравнения будет получено в § 25. Затем,
в § 26, решение будет получено в наиболее общей форме методом, который
мы называем методом отраженного источника. Решение анализируется в
§27. В §28 оно обобщается на случай вертикального магнитного, а в § 29 —
горизонтальных электрического и магнитного диполей. В § 30 рассмотрено
поле подземного излучателя. Другие методы решения той же проблемы,
необходимые нам, в частности, и потому, что те или иные из них допускают
обобщения на некоторые случаи нарушения указанных идеальных
условий (слоистая атмосфера, см. гл. 9), а также позволяют аккуратнее
оценить погрешность метода приближенных граничных условий, приводятся в
§31,32.
§ 24. Интегральное уравнение для функции ослабления
Мы прежде всего получим интегральное уравнение для функции
ослабления w в том случае, когда источником является вертикальный диполь,
расположенный на поверхности земли или на некоторой высоте zq над ней, а
точка наблюдения находится в плоскости раздела z = 0. В этом случае поле
можно описывать вектором Герца с единственной отличной от нуля
составляющей П = Пг. Если бы диэлектрическая проницаемость е была бесконечно
велика, то, как мы знаем, поле было бы в два раза больше того поля, которое
этот же диполь создавал бы в данной точке в отсутствие земли. Оно имело
бы вид const • exp (ikR)/R. Выберем постоянный множитель так, чтобы
в случае пустоты было (при этом мы повсюду ограничиваемся изучением
волновой зоны)
П(х, ,, 0) = 1^Ш>. (24.0)
Тогда в присутствии земли с е — oq
П = П°(х,у,0)=еХР^Д), Д=^ + у2 + 4- (24Л)
Истинное поле при е ф оо будет отличиться некоторым «множителем
ослабления» w, который нам и надлежит найти:
П(х, у, 0) = w(x, у, zofXP{^R). (24.2)
§ 24. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ОСЛАБЛЕНИЯ
159
Выразим поле в произвольной точке плоскости с помощью функции
Грина v+ по формуле (8.7). В данном случае г' = О, R и Rj совпадают. Без
всякого ограничения общности мы можем считать в точке наблюдения у = 0.
Поэтому
v ' ' ; 2w J p 2тг J дп р
p = ^(x - x')2 + y'2, dS' = dx' dy'.
Здесь д/дп= —д/dz'. Согласно граничному условию (21.34),
dll ik
(24.3)
dz v£o
II, г = 0, (24.4)
в случае идеально проводящей земли мы имели бы дН/дп = 0, так что
интеграл по поверхности исчезал бы. Объемный же интеграл не зависит от
£ и, следовательно, дает П° (24.1). Поэтому
n(,.,,0)=22^a + -^-/=EiMnib'(V. (24.5)
М 2пу£° J Р
Поверхностный интеграл показывает, насколько отличие проводимости
почвы от идеальной ослабляет и вообще искажает поле. Благодаря соотношению
(24.4) (справедливому, если w — достаточно медленно меняющаяся
функция, что должно быть впоследствии оправдано получаемым решением; это
имеет место в волновой зоне) мы получили интегральное уравнение для
одной неизвестной функции П. Этот метод, позволяющий уклониться от
включения в подсчет поля в почве, был впервые использован Леонтовичем
[37], а также Гринбергом [73]. Мы убедимся в дальнейшем в его
плодотворности.
Подставляя значение (24.2) в уравнение (24.5), получаем уравнение
ikD f dS'
w(D; zo) = И т== / exp [ik(R + р - D))—w{x\ у; z0),
2nV£° J KP
R = ^х'2 + у'2 + 4, Р = Л/{Х-Х')2 + У\ D = у/Х2 + у2 + 4.
(24.6)
По смыслу вывода формулы (24.4) можно видеть, что она верна и при
диэлектрической проницаемости £, зависящей от точки, т. е. для неоднородной
земли. Детальное рассмотрение показывает, что необходимо лишь, чтобы
величина £ менялась не очень быстро, именно, чтобы ее относительное
изменение на отрезке, равном «длине волны в почве», было мало (подробнее
см. гл. 7; относительно возможности пренебрежения неволновой зоной см.
ниже):
grad £°
< *|л/е°|. (24.4а)
Это — обычно легко выполнимое условие, вследствие чего £° можно
оставлять под интегралом и считать £° = £°(г). Однако в этой главе мы считаем
почву однородной: £° = const.
160
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Стоящий в правой части уравнения (24.6) интеграл принадлежит к типу
многократно нам встречавшихся. Быстро осциллирующая функция ехр[г'А:х
X (R + р — D)] умножается на сравнительно медленно меняющиеся w и
1/гр. Она выделяет на поверхности существенную область, которую мы
уже рассматривали в § 12; если обе корреспондирующие точки находятся на
плоскости z = 0, то такая область имеет форму эллипса, охватывающего эти
точки (см. рис. 19, а также рис. 42 и формулы (12.14), (12.15)); если одна
Рнс. 42. Обозначения к выводу интегрального уравнения для функции ослабления. В
практически интересных случаях эллипсы гораздо более вытянуты, чем показанные на чертеже
из точек поднята — форму эллипса, в одном из фокусов которого находится
точка, остающаяся на земле (см. рис. 18 и формулы (12.11), (12.11а)).
Рассмотрим сначала первый случай. Пусть источник находится на
земле, zq = 0.
При х < 0 и х > D, т. е. вне области, которую можно считать «трассой
радиоволн», эллипсы, отграничивающие разные зоны Френеля, сходятся очень
близко — на расстояния порядка А (для действительно встречающихся на
практике длин волн и расстояний эти эллипсы гораздо уже, чем на рис. 42).
Согласно формуле (12.15а), отношение ширины первой зоны Ь « (1/2)VaD
к ее длине D
всегда весьма мало. Поэтому в существенной области значений х' и у'
у' < х', у' < £> - х'.
Исключение составляют области с размерами порядка А каждая,
прилегающие к точкам О и А. Однако влиянием этих областей вообще можно
пренебречь, как это будет видно из дальнейшего. С другой стороны, функция
ослабления w сравнительно слабо зависит от расстояния, и особенно слабо
она зависит от у' при постоянном х' в пределах первых зон. Следовательно,
подобно тому как это делалось в § 10-12, мы можем осуществить ряд
полезных упрощений, в результате которых интегральное уравнение для функции
двух переменных превратится в уравнение для функции одной переменной,
так что интеграл в правой части окажется распространенным не по
плоскости, а по линии. Во-первых, мы можем показатель разложить в ряд по у' и
§ 24. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ОСЛАБЛЕНИЯ
161
ограничиться первыми неисчеЗающими членами:
2
R -> г = v^'2 + У2 « *' + f-;,
2х'
р = у/(D - х')2 + у'2 zzD-x' +
/2
2(£> - ж')
Кроме того, можно считать, что
гу(г) = w(x').
(24.8)
В знаменателе можно г заменить на х', р — на х — х'.
Наконец, само интегрирование мы можем производить по х' не от —оо
до +оо, а, скажем, от О до D. Точное положение этих пределов
несущественно. Мы могли бы изменить его на величину порядка А в ту или
другую сторону и этим внесли бы, как можно показать, погрешность порядка
VsA< 1 (см. (24.11)).
Итак, мы преобразуем уравнение (24.6) для случая zo = 0 в следующее
приближенное:
D +оо г .
/™ , ikD f dx' w(x') f .,V2fl 1 \
w(D) = 1 + ■= / , „ , / exp гк^— — + —
2nVe°J x' D-x' J v 2 \x' D - x'J
О -оо L
Интеграл по у' является интегралом Френеля (10.13) и равен
dy'. (24.9)
j£yfx'{D - ж'), у/г = exp (г|),
так что
w
(D)
i D
ikD Г 1
w(x')
y/x'(D - ж')
dx'.
Введем чрезвычайно важную для дальнейшего величину s:
. к
ik(e-l)
2е2 '
Тогда уравнение примет вид
w
{D) = l + iJ?RDf '"И dx', zo = 0
V 7Г У л/ж'Ш - X')
(24.10)
(24.11)
(24.12)
Это — окончательное интегральное уравнение для искомой функции
ослабления w в случае zo = 0. Отсюда сразу видно, что она зависит от D и от
электрических характеристик почвы только как функция произведения sD:
w{D; 0) = w(sD).
(24.13)
162
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Результат, выраженный этой формулой, очень существен.
Действительно, так как наименьшее значение \е°\ = (\е\ — 1)/И2 равно четырем (и
достигается при \е\ = 2, см. (21.23)), обычно же гораздо больше четырех, то
1*1 < I- (24.14)
Следовательно, модуль \s\ всегда существенно меньше, чем к, и потому
функция w меняется на отрезке, равном А = /г-1, очень мало (в
действительности, положение еще лучше, чем указывается формулой (24.14), см. (26.31)).
Поэтому соотношение (21.2), лежащее в основе метода приближенных
граничных условий, справедливо всегда, пока можно пренебрегать
производными от 1/г в формуле (24.2). Это заведомо возможно в волновой зоне.
Следовательно, метод верен во всей волновой зоне.
Перейдем теперь к случаю zo ф 0. При этом мы будем считать zo/x =
= sinV> «С 1. Существенная зона здесь по-прежнему относительно узка,
= у' <С ух"2 + Zq (см. рис. 18), и потому
'2 '1
Г "2
R*Jx'i + z20+ У р = х-х'+ У
V ^ /../о . у2 2(Х - X1)
w(x', у'; zo) -> w(x'\ zo).
Подставляя эти выражения в уравнение (24.6), выполняя
интегрирование по у' и пренебрегая в предэкспоненциальных множителях величиной
z0, малой по сравнению с х2, мы получаем
w(x; zo) =
л . [Ш Г ехР И* - \1х2 + zo- x'+ \lx'2 + zo)} ,, 4J//_F4
= 1 + у- J \{х_х,)х, «I* *о) *' (24.15)
о v
р = sin ф < l) .
§ 25. Вывод функции ослабления для вертикального диполя
методом интегрального уравнения
Рассмотрим сначала уравнение (24.12) (как источник, так и точка
наблюдения расположены на плоскости z = 0).
Мы можем сразу получить разложение функции w в ряд, практически
пригодный для расстояний, при которых отличие w от 1 еще невелико. Для
этого достаточно под интегралом положить сначала w = 1. Так как
D
§ 25. ВЫВОД ФУНКЦИИ ОСЛАБЛЕНИЯ ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО ДИПОЛЯ 163
ТО
w(D) w 1 + iVnsD, (25.1)
n .kD ikD(e- 1) |)Ш
SD-12^- 2е* ~2{е + 1 + 1/е + ...у (25'2)
Величина sD называется численным расстоянием, соответствующим
истинному расстоянию D. Это — комплексная безразмерная величина, при
данном D тем меньшая, чем больше е° (т. е., например, чем лучше
проводит почва) и чем длиннее волна. Зависимость от длины волны является
особенно резкой, так как входит дважды: через к и через £. Если
пренебречь токами смещения, т. е. считать \е\ >> 1, е = 4жа1/и>, то численное
расстояние становится вещественным:
„ шк „ ж с „ .
5С = ^0 = 5Л5°- (25'2а>
Согласно формуле (25.1), чем меньше численное расстояние при данном D,
тем ближе поле к полю над идеально проводящей поверхностью. Малость sD
является, таким образом, мерой того, насколько существенно для данного D
отличие проводимости почвы от идеальной. При длине волны А = 1000 м и
при а = 2 • 108 мы находим из формулы (25.2а)
ж 3-Ю10 ,п о , 1 ,
"= 2 2.103(ЮУ а2'10 -8™ =500 ВМ
Так, например, на расстоянии D = 5 км sD будет равно только 0,01 и почву
еще можно рассматривать как идеально проводящую. Для А = 100 м то же
расстояние в 5 км будет соответствовать численному расстоянию sD = 1.
Вообще, выражая А в метрах, а а в единицах CGSE, получим в обратных
километрах
М = 2,12J. 10-е --'• Р")
Для определения s в общем случае следует воспользоваться формулой
{прие° = е2/(е-1))
s = \s\ exp (г'Ь), (25.4)
где
, ж ж Ажа Ажа
6 = args=--x = ^-2 arctg — + arctg ———. (25.56)
При 4жа/е'и Э> 1 можно считать Ь « тг/2 — arctg (4жа/ие') <С 1. При
Ажа/e'bJ ■С 1 можно заменить arctg его аргументом, и тогда
. ж Ажа £■' - 2 ж
Ь- ——тт ~ г- (25.5в)
2 и е'(е' -1) 2 v ;
Значения \s\ в км-1 для разных значений А, е' и а приведены в табл. 2.
164
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Значения |в|, км 1 для разных значений А, е' и сг
Таблица 2
А, м
1,0
2,0
5,0
10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
<т = 2 • 10s
£' = 2
1,14-10-2
4,32-10-2
1,71-Ю-1
1,06
4,26
1,70-10
1,07-102
4,26-Ю2
1,70-Ю3
1,06-10*
5
1,42-10-2
4,64-10-2
1.7410-1
1,06
4,26
1,70-10
1,07-Ю2
4,26-Ю2
1,70-Ю3
1,06-10*
10
2,05-10-2
5,47-10-2
1,84-Н)-1
1,07
4,28
1,70-10
1,07-Ю2
4,26-Ю2
1,70-Ю3
1,0610*
20
1,3510-2
3,51-10-2
7,92-10-2
2,15-10-1
1,12
4,32
1,72-10
1,07-Ю2
4,26-Ю2
1,70-Ю3
1,06-10*
80
2, 58-Ю-2
5,18-10-2
1,30-10-1
2,62-10-1
5,4310-1
1,67
4,96
1,7810
1,07-Ю2
4,26-Ю2
1,70-Ю3
1,06-10*
а =4-101°
е' = 20
8,52-Ю-2
3,40-10-1
2,11-10-1
8,49
3,40-10
2,11-Ю2
8,49-Ю2
3,40-Ю3
2,11-10*
40
8, 59-Ю-2
3,41 10-1
2,11
8,49
3,40-10
2,11-Ю2
8,49-Ю2
3,40-Ю3
2,1110*
80
8.87-10~2
3,43-10-1
2,11
8,49
3,40-10
2,11-Ю2
8,49- Ю2
3,40-Ю3
2,11-10*
Таблица 2 (окончание)
А, м
1,0
2,0
5,0
10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
<т = 2 • Ю8
е' = 2
1,14-Ю-2
4,32-Ю-2
1,71-10-1
1,06
4,26
1,70-10
1,07-Ю2
4,26-Ю2
1,70-Ю3
1,0610*
5
1,42-Ю-2
4,64-10-2
1,74 10-1
1,06
4,26
1,70-10
1,07-Ю2
4,26-Ю2
1,70-Ю3
1,06-Ю*
10
2,05-Ю-2
5,47-10-2
1,84 10-1
1,07
4,28
1,70-10
1,07-Ю2
4,26-Ю2
1,70-Ю3
1,0610*
20
1,35-10-2
3,51-Ю-2
7,92-Ю-2
2,15-Ю-1
1,12
4,32
1,72-10
1,07-Ю2
4,26-Ю2
1,70-Ю3
1,06-Ю*
80
2,58-Ю-2
5,18-Ю-2
1,30-10-1
2,62-10-1
5,43-10-1
1,67
4,96
1,78-10
1,07-Ю2
4,26-Ю2
1,70-Ю3
1,0610*
<т = 4 • 1010
е' = 20
8,52-Ю-2
3,40-10-1
2,11-10-1
8,49
3,40-10
2,11-Ю2
8,49-Ю2
3.4О.103
2,1110*
40
8,59-10-2
3,41-10-1
2,11
8,49
3,40-10
2,11-Ю2
8,49-Ю2
3,40-Ю3
2,1110*
80
8.87- Ю-2
3,43-10-1
2,11
8,49
3,4010
2,11- Ю2
8, 49 • Ю2
3,40-Ю3
2,11-10*
Следующее за (25.1) приближение можно получить, вновь подставляя
найденное значение (25.1) в интеграл в уравнении (24.12). Это дает
w(D) = 1 + i
1 + WnsD - 2sD.
(25.6)
Так можно продолжать и дальше. Однако получаемый при этом ряд будет
хорошо сходиться лишь при малых sD, т. е. пока численное расстояние
между точками О и А мало. Как раз в этом случае отличие от идеальной
проводимости незначительно и результат практически мало интересен.
Отыскать полное решение интегрального уравнения (24.12),
справедливое для любых расстояний, можно либо непосредственным методом
суммирования упомянутого ряда, например, составляя резольвенту [75г], что
просто, но очень громоздко, либо применяя преобразование Лапласа (см. ниже
§36), либо, проще всего, переходя от интегрального уравнения к
дифференциальному.
§ 25. ВЫВОД ФУНКЦИИ ОСЛАБЛЕНИЯ ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО ДИПОЛЯ 165
Для этой цели сначала преобразуем уравнение (24.12), снова подставив
вместо w(x') под интеграл правую часть этого уравнения:
W(D) = l + iMj\-7=J==
К ' V ж J \ yJx'{D- x'
= М'( -<*•>*• W (25.7)
с') У п J Jx»(x' - х")
y/x'{D - х') V п J у/х'Чх' - х")
Первый интеграл равен ж; во втором, поменяв порядок интегрирования,
получим
D x' D D
dx'
Г dx' Г w(x") dx" f w(x") dx" f
J yjD-x' J Jx"(x' - x") ~ J yfx~" J
Jx"(x' - x") J \fx" J J(D - x')(x' - x")
0 v о х"
D
n]~7^~- (25,8)
Поэтому уравнение (24.12) приобретает другую, вполне эквивалентную
форму
(D) = 1 + iVHh^ - sJb f ^ф- dx'. (25.9)
J vx'
Вводя новую функцию и>, уравнение (25.9) можно переписать так:
.(D) = ^ti = ,V?-V;/^<ix'. (25.10)
о
Дифференцируя это уравнение по D и заменя w через ш, получим
u'(D) + su(D) + Jjj = 0. (25.11)
Это уравнение интегрируется подстановкой
u(D) = exp {-sD)r){D), (25.12)
откуда
T)'(D) = -J^exp{sD), (25.13)
у/с
I
/jn г
exp {sD)-j±z = 2y/s I exp (su2) du. (25.14)
166
ГЛ.5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Здесь С — постоянная интегрирования. Таким образом,
Vc
w(D) - y/s~Dw(D) + 1 = 1 + 2VT>sexp (sD) / exp (su2) du. (25.15)
VS
Разбивая интеграл на два — от 0 до л/D и от О до у/С — соотношение
(25.15) можно переписать так:
Vc
w(D) = 1 + 2\/Ds exp (-sD) / exp (su2) du -
-2\/JDsexp(-s£>) / exp{su2)du. (25.16)
о
Так как при D —> 0, согласно уравнению (25.9) (или (25.1)), решение
должно переходить в 1 + is/sDn (последнее слагаемое в (25.16) дает член
более высокого порядка относительно D), то должно быть
2\/s I exp (su2) du = i\/n.
о
Следовательно, если С может быть выбрана так, чтобы это условие было
соблюдено, то при любом s функция ослабления имеет вид (при zo = 2д = 0)
w(x) = 1 + iy/iFsxexp (—sx) — 2s\/xexp (—sx) / exp(su2)du. (25.17)
о
Но выбрать так С можно. Действительно, положим
y/su — itf = exp (i—)v.
Тогда требуемое условие перейдет в равенство
ехр(-»7г/2)\/яС
2 Г ,
—1= I exp(—v)dv=l.
Vn J
о
Это равенство будет соблюдено, в частности, в том случае, если верхний
предел равен +оо:
exp^-i-JVsC' = oo, \С\ = оо, argVC = - - - args.
Отсюда достаточно, чтобы
arg^=^ + |.
Конечно, требуемые соотношения будут выполнены не только при этом
значении С, но и в том случае, если аргумент верхнего предела отличается
от нуля в любую сторону на величину, не превышающую тг/4. Мы тогда
вновь можем свести интеграл к интегралу по вещественной оси, деформируя
S 25. ВЫВОД ФУНКЦИИ ОСЛАБЛЕНИЯ ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО ДИПОЛЯ 167
контур. Поэтому значение argvC может быть выбрано любым в интервале
2 ~ ь -22
Это, конечно, всегда возможно. В частности, поскольку \ лежит между
нулем (для а = 0) и тг/2 (для а = оо), можно положить arg%/C = тг/2, т. е.
у/С = гоо.
Следовательно, для любых почв функция (25.17) является решением.
Входящий сюда интеграл не берется в элементарных функциях. Полученная
формула и является поэтому окончательным выражением для функции
ослабления поля радиоволн, испускаемых вертикальным диполем, находящимся
на поверхности плоской и однородной земли, и наблюдаемых на расстоянии
х ог него также на этой поверхности. Эту формулу обычно пишут несколько
иначе, обозначая w через y(sx) и заменяя в интеграле su2 = v2. Тогда
интеграл берется вдоль некоторой линии на комплексной плоскости между
точками 0 и y/sx:
y/sx
w{x) = y(sx) = 1 + iy/nsx exp (—sx) — 2y/sxexp {—sx) I exp(v2)dv.
0 (25.18)
Здесь видно, что аргументом функции является численное расстояние р =
= sx. Функция ослабления (25.18), обычно обозначаемая буквой у, играет
фундаментальную роль в проблеме распространения радиоволн. Часто ее
называют функцией Зоммерфельда (сам Зоммерфельд получил ее с
неточностью: неправильным знаком второго члена). Мы будем называть ее
нормальной функцией ослабления. Значение самого поля П получим, умножив
w(x) = y(sx) на exp [ikx)/x. Если уже в формуле (25.15) положить su2 = v2,
у/С = гоо, х = D, то мы получим
y/sx
y(sx) = 1 -2y/sxexp(-sx) / exp (v2) dv. (25.18a)
ioo
При малых р мы можем интеграл и экспоненциальные множители в
формуле (25.18) разложить в ряд, что даст снова формулу (25.6).
С другой стороны, при больших \р\ можно воспользоваться формой
(25.18а) и интегрировать, как при вычислении интегралов Френеля, по
частям:
»'оо 'оо »оо
2^ ' r exp (v2) dv
\/жс y/sx y/sx
exp (v2) exp (v2)
2v + 4v3
n JOO
»oo
3 f exp (t;2) ,
+ 7 / \ dv,
y/sx
4
/exp [v2
т. е.
y/sx
JOO
/I I
exp (v2)dv =-—■—- ,+M, (25.19)
ly/sx Aisxyi*
168
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
где
\М\<
Зехр (—sx)
4(sx)5/2
too
- / exp (v2)vdv
y/sx
8 (sx)5/2
Подставляя разложение (25.19) в формулу (25.18а), мы видим, что если
\sx\ >> 1, то можно положить
y(sx)
'2sx+0\\sx\2)
(25.20)
(25.20а)
Более полное разложение для y(sx) имеет вид
1 3 15
y(") = -27~v"s^---
Итак, на очень больших расстояниях х от источника — столь больших, что
численное расстояние по модулю сильно превышает единицу, единственная
отличная от нуля вертикальная составляющая вектора Герца равна
П(х, 0, 0)
1 exp (ikr) _ 2 exp [i(kx + тг/2 + х)}
2sx
2x\s\
(25.21)
Здесь принята во внимание формула (25.56).
Таким образом, амплитуда ноля на больших расстояниях начинает
убывать как 1/х2, а не как 1/х (случай свободной атмосферы или идеальной
проводимости), фаза же сдвигается на некоторую постоянную величину
А<р-
+ Х,
(25.22)
при хорошо проводящей почве равную л\ Следовательно, скорость
распространения остается равной с. Отсюда, в частности, видна ошибочность
функции ослабления (23.10).
В промежуточной области значений \sx\ вычисление функции
ослабления может быть произведено только путем численного интегрирования. На
рис. 43 и 44 приведены модуль и фаза функции ослабления у(р),
вычисленные в работах [47] и [48] в приближении е° = е + 1.
Перейдем теперь к пространственному случаю zo Ф 0 и решим уравнение
(24.15). Поступая совершенно так же, как с уравнением (24.12), подставим
всю правую часть этого уравнения вместо w под интегралом. Нам прежде
всего встретится интеграл
х
/
exp [ik(<Jx'2 + z2Q - x')J ; /• еХр (ш/xfl
i/(x — х')х'
dx'
I
^ФЧ)
<%
exp
exp (iav2/x)
l + v2
dv
1-Ф
—г-
(25.23)
§ 25. ВЫВОД ФУНКЦИИ ОСЛАБЛЕНИЯ ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО ДИПОЛЯ 169
Здесь мы, во-первых, разложили показатель по степеням Zq/x 2. Это
допустимо, поскольку разложение могло бы внести погрешность при малых х',
zo/x' ~ 1, но эта область составляет малую часть всего интервала
интегрирования 0 < х' < х, так как Zq/x2 ■С 1. Во-вторых, обозначено а = kzp/2
Рис. 43. Модуль функции ослабления |у(р)| как функция модуля численного расстодагая
\р\ для различных значений фазы численного расстояния Ь = argp « arctg ^*1"\ш (оба
корреспондирующих пункта на поверхности земли). Кривые приведены для следующих
значений tgb ss Ьжа/Це' + l)w]: 1 — tgb = oo; 2 — 5; 3—2; 4 — 1; 5—0,5; 6—0,2;
7—0
arg yip), град
180. . . ■ 1 . 1 rr=_ 1 1 .
160
140
120
100
80
60
40
20
0 1234567 89 10 \p
Рис. 44. Фаза функции ослабления, argy(p) как функция модуля численного расстояния
\р\ для различных Ь
/
б£
' 45>—■
-^30° ._
j£-
___о1
170
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
и, в-третьих, после замены переменной интегрирования х' = х£ = xv 2
интеграл сведен к интегралу ошибок
г
Ф(г) = —= I ехр (—х2) dx.
Jn J
(25.23а)
При zo ~ а1/2 —> 0 имеем Ф(0) = 0, и мы получим второй член правой части
в (25.9).
Далее, при подстановке w в правую часть уравнения (24.15) возникает,
как и в формуле (25.7), двойной интеграл. В нем мы переставляем порядок
интегрирования, как в формуле (25.8), и выполняем одно из
интегрирований. В результате вместо уравнения (24.15) получаем уравнение
w = 1 + isy/жхехр [ — г— ) 1 — Ф I \1—г— ) —
V х/ [ \ у х).
х
г- ( .а\ f w(x')exp(ia/x') , , kzk . „ л„.
-sy/xexp I-г-) / V ' у2 ' dx', а = —У-. (25.24)
Здесь, поскольку Zq <С х2, мы повсюду разложили показатели и удержали
член каждого разложения.
Образуем функцию
•ш(х') ехр (га/х') ,
== dx .
Vx1
о
(25.25)
Продифференцировав это уравнение по х и вновь заменив w через £2, мы
получаем уравнение для £2:
£2' + s£2 — ехр (г—)
,а\ I л/га y/s
х) \^з/2 ~ ^Т/2
= 0.
(25.26)
Делая подстановку £2 = ехр (—sx)C находим
,а\ { у/га y/s \ _
С' = ехр (sx + i—J I -
,3/2 -1/2
= ехр (—2v ias) ехр
^°+v'i
Г"^^ (2527)
откуда (мы в интеграле вводим новую переменную интегрирования y/sx +
§ 25. ВЫВОД ФУНКЦИИ ОСЛАБЛЕНИЯ ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО ДИПОЛЯ 171
+-у/га/х = и)
X
С = ехр (—2Vias) I ехр
га f-\ dx
~ V* "Г
•ysJcfl+Y^'a/si2}
= -2 ехр (\/ios) / ехр (и2) dv. (25.28)
В'
Легко видеть, что
y/ia/s = Ve°z0 = Ve°x sin ф, (25.29)
а В' определяется так же, как С в уравнении (25.15). Окончательно получаем
w(x; zo) = y(sx; zo) = 1 + 2>fsxX '
y/sx(l+Vc°s\nxl>)
Xexp[-sx(l + V/e5sinV)2] / exp(u2)du. (25.30)
ioo
Найденная функция ослабления не является наиболее общим решением
проблемы диполя над однородной плоской поверхностью в том отношении,
что она не охватывает случай, когда как источник, так и точка наблюдения
подняты над землей. Правда, функция w зависит от высоты источника
zo только в комбинации sinV> = zo/x. Это подсказывает, что и вообще
существен только угол отражения ф, так что для обобщения формулы нужно
лишь заменить этот угол его значением для случая, когда и zo, и za = z не
равны нулю. Согласно рис. 33,
sin ф = Ъ+1± й ZO+JA ^ f^±£_ (25>31)
R' х х
Если так понимать смысл sin ф в формуле (25.30), то w будет давать поле в
наиболее общем случае. Мы не будем строго доказывать этот результат
методом, принятым в данном параграфе. Он будет ниже получен иным методом
(§26).
Весь вывод функции ослабления можно было бы проводить не для П, а
для Ez. Это особенно ясно для случая zo = 0 (диполь и точка наблюдения
расположены на земле), поскольку здесь П° и EQZ совпадают с точностью
до множителя —к2. В частности, если бы мы пользовались в
интегральном уравнении (24.12) условием dEz/dz = —(ik/Ve°)Ez, уравнение (24.12)
имело бы точно тот же вид.
Интегральные уравнения (24.12) и (24.15) будут в дальнейшем играть
большую роль в нашем рассмотрении. Поэтому необходимо внимательно
разобрать сделанные при их выводе допущения. Основное из них кроется
в замене dll/dz = -(ik/Ve°Il или дЕя/дг = -(ik/Ve°)Ez, справедливой,
как мы знаем, только в волновой зоне. Между тем интегрирование
охватывает всю плоскость z = 0, в том числе и ту область, где Ег (в
непосредственной окрестности диполя) меняется как 1/г3. Однако наш вывод
верен. Действительно, величина dEz/dz вблизи вертикального диполя при
z = 0 обращается точно в нуль (см. ниже). Поэтому в исходном строгом
172
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
интегральном уравнении (24.3) область малых г не играет роли. Заменяя в
этой области dEz/dz с помощью малой (и интегрируемой, поскольку после
замены мы подставляем Ег = w(r) exp (ikr)/r) величины —ikEz/Ve°, мы
не можем получить ошибки.
Можно рассматривать и аналогичное интегральное уравнение для
горизонтального диполя. Здесь нужно проявлять известную осторожность.
Рассмотрим поле статического заряда и горизонтального диполя,
помещенных на поверхности диэлектрика. Потенциал заряда е в точке R(x, у, z)
будет равен
*=тгА' (25-32)
так что при z = О
_ 2ех _ 2еу _ дЕг _ 2е
х~ (1+е)Д3' у~ (1+е)Д3' 2 ' ~Jz~~ (1+е)Д3' (25'33)
Для вертикального диполя момента р, расположенного при z = 0, поле,
наблюдаемое также при z = 0, имеет вид
Ех = 0, Еу = 0, Е2 = -^~, !~ = 0- (25.34)
Для диполя же момента р, ориентированного вдоль оси х,
_ 2р Зх2-Д2 _ _бр_ ху 8Е2 _ брх
^Х — -, , _ nS I ^S" 1 I .DR' ^2 — U,
1 + е Д5 ' у 1+eR5' г ' dz (е+1)Д5"
(25.35)
Если бы мы для горизонтального диполя воспользовались, как и для
вертикального, функцией Грина и+, то мы получили бы уравнение
E- = ^-h /f^EiiM^. (25.36)
In J oz p
Хотя в волновой зоне по-прежнему dEz/dz = —ikEz/v£®, мы не могли
бы произвести подобную замену в интеграле, потому что этим самым мы
пренебрегли бы ролью неволновой зоны, в то время как здесь dEz/dz
особенно велико, а Ег мало.
Поэтому здесь для вертикальной составляющей удобнее воспользоваться
функцией Грина и_, так как в соответствующее уравнение войдет Ez,
Ez = h /(§rad*divJo + k2jo,)v. dV'+~J Ez^ (6XP^'M) dx'dy',
(25.37)
и ролью области, близкой к источнику, можно пренебречь, поскольку здесь
Ег = 0. Следовательно, под интегралом можно считать
exp (ik0r)w(r)
bz = _
г
где w(r) — медленно меняющаяся функция. По тем же причинам для Ех
и Еу нельзя выбрать^ и_, так как здесь неволновая зона может оказаться
существенной.
S 26. МЕТОД ОТРАЖЕННОГО ИСТОЧНИКА
173
С другой стороны, при вычислении Ег для вертикального диполя
нехорошо пользоваться функцией Грина и_.
Во всех формулах мы использовали эффективное выражение е° для
комплексной диэлектрической проницаемости е. Очевидно, однако, что
найденная при этом функция ослабления пригодна отнюдь не при всех е. В самом
деле, при е —> 1 имеем е° —> оо, s -> 0, и приведенные выше формулы
дают у —> 1 совершенно так же, как при е —> оо, т. е. как для идеального
проводника. Между тем е —* 1 означает переход к свободному пространству
и мы должны были бы получить у —> 1/2. Ошибочный результат связан
с тем, что по мере уменьшения е область справедливости приближенного
граничного условия с е° = s2/(e — 1) (24.4) отодвигается все дальше от
источника, так как все дальше доходит поле, распространяющееся через почву.
В пределе, при е = 1, это условие верно только на бесконечности. Между
тем, при выводе интегрального уравнения (24.12) существенно
предполагалось, что граничное условие справедливо на большей части трассы. Таким
образом, как ясно уже из физических соображений, мы фактически всюду
предполагали отличие е от единицы достаточно большим для того, чтобы на
тех эффективных расстояниях, на которых используется граничное условие
гэф, волна, идущая через почву, затухала. Для zq = za = 0 существенная
зона покрывает всю трассу, г эф ~ D, и должно быть
1гпу£ •££>>!• (25.38)
Для поднятой точки наблюдения, когда существенная зона прижата к
источнику, гэф ~ DsinV> "С D, условие становится более жестким. Только при
выполнении этого условия (оно будет строго получено в §31) верна
функция ослабления, содержащая е°. Однако практически при распространении
вдоль земли это ограничение не является серьезным.
Сказанное относится также и к последующим главам, где будут получены
функции ослабления для других случаев (сферическая земля, неоднородная
поверхность др.). Заметим еще раз (см. §21), что практически почти
повсюду под е° достаточно понимать е + 1.
§ 26. Метод отраженного источника
Весьма простой способ вывода нормальной функции ослабления может
быть основан на соединении приближенных граничных условий (21.19) с
представлением о мнимом источнике, посылающем отраженную от земной
поверхности волну, которое принято, например, в случае идеально
отражающей поверхности. Обратимся в этой связи к §20.
Мы видели, что если речь идет о решении волнового уравнения для
некоторой скалярной функции и, удовлетворяющей условию, что на плоскости
z = 0 исчезает либо нормальная производная функции (20.5а), либо сама
функция (20.56), то решение выражается через сумму полей истинного
источника в безграничном пространстве и его отражения, построенного по
определенному правилу (формулы (20.8) и (20.9) соответственно).
Как показал Г.Д. Малюжинец [49], это рассмотрение может быть
обобщено и на тот случай, когда граничное условие для функции и имеет вид
174
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Оно, как мы знаем, справедливо для вертикальной составляющей
электрического поля (и = Ez), а в случае вертикального электрического
диполя — также и для единственной отличной от нуля составляющей вектора
Герца (« = П = П2). .
Нам нужно найти решение волнового уравнения
V2« + ku = -Ажр, (26.2)
где р — некоторый источник.
Будем искать его в виде
« = «o+«i, (26.3)
где «о — поле, испускаемое данным источником, расположенным в
безграничной атмосфере, например в точке (0, 0, zo)'
цо=1ехр(^Д)> д=л/х2 + у2 + (г_го)2. (2б.4)
L К
Добавочное поле и\ можно называть отраженным полем. Оно
удовлетворяет волновому уравнению (26.2) повсюду при z > 0. Если бы граничное
условие имело вид
« = 0 при z = 0, (26.5)
то, как мы знаем (см. (20.9)), отраженное поле было бы полем отраженных
источников, взятым с обратным знаком:
«1 = ~«о(х, у, z; [p(x0, Уо, -zo)])- (26.6)
Далее, так как z и zo входят в «о (поле источника в безграничной
атмосфере) только в комбинации (z—zo)2, то изменение знака у zo эквивалентно
изменению знака z, т. е. можно писать
«1 = ~«о(х, у, -z\ [р(хо, Уо, zo)]) = -«о(х, у, -z). (26.6а)
Таким образом, для граничного условия (26.5) решение отыскивается
весьма просто. Сведем к этой схеме нашу проблему с граничным условием
(26.1). Для этого рассмотрим функцию и, получаемую из и посредством
такого преобразования
v = v(u), (26.7)
чтобы для v получилось граничное условие типа (26.5) и в то же время,
чтобы v удовлетворяло волновому уравнению (26.2). Оказывается, это
возможно сделать. Именно, пусть
ди ik ( ik \ д ( Г ik "|\ ,„„..
v = -7Г + Т=и = ехР 7=2)— «exp —r=z . (26.8)
Так как каждое слагаемое в v должно удовлетворять волновому уравнению,
то и и ему должно подчиняться. В частности, источнику в безграничном
пространстве соответствует v = Vo, где
(ik \ д ( Г ik ]\
"^V^roexpL^lJ" (26"9)
§26. МЕТОД ОТРАЖЕННОГО ИСТОЧНИКА
175
Далее, очевидно, что в силу условия (26.1) на v накладывается граничное
условие
v = 0 при z = 0. (26.10)
Таким образом, речь идет о том, чтобы найти функцию и,
удовлетворяющую волновому уравнению и граничному условию (26.10) (а потом из нее
найти нужную нам функцию и). Но решение этой задачи дается формулами
(26.3), (26.6а), после чего используем формулу (26.8):
v = v0 + vu (26.11)
Щ = -v0(x, у, -г) =
= "ехР (-^Е2)д^7) (и°(х' »• -*)ехР [-^z]) ' (26Л1а)
т. е.
v = v0(x, у, z) - v0(x, у, -z). (26.116)
Определив v, мы можем найти и и. В самом деле, из формулы (26.8) следует,
что
u = exp(--^=zj exp(-^==C)v(x,y,QdC. (26.12)
с
Нижний лредел интеграла будет выбран впоследствии. Во всяком
случае нужно будет выбрать его так, чтобы интеграл сходился; следовательно,
на нижнем пределе подынтегральное выражение должно исчезать. Ниже
будет показано, что должно быть С = гоо. Мы сразу подставим это
значение. Поэтому, подставляя выражения (26.11а) и (26.116) в формулу (26.12)
и интегрируя по частям, получаем
2ik f ( ik \
«х = «о(х, у, -z) --y==l expf ~j==(t-z)Ju0(x, у, -C)rfC- (26.13)
ioo
Таким образом, полное поле равно
г
2ik f f ik \
и = u0(x, у, z) + «0(x, y, -z) - -j== / exp f -= (C - z) J u0(x, у, -С) d(.
ioo
(26.14)
В случае, если источник расположен в точке (0, 0, zo) и является
точечным диполем, это дает
_ lexp(ikRi) 1 exp (г'А;Д2) ik
11 ~~ ~Т" "Т"
2 R! 2 Д2
»оо
* /expfiJ^ + ^'hg,
(26.15)
где Ri = \fx2 + у2 + (z — zo)2 — расстояние точки наблюдения до
источника, Ri = у/х2 + у2 + (z + zo)2 — расстояние до его отражения в
плоскости z = 0; R'2 = у/х2 + у2 + (С + zo)2- Интеграл выражает поправку к тому
полю, которое имело бы место в случае идеально проводящей поверхности.
176
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Эта формула, иногда называемая формулой Вейля (или леммой Вейля),
раньше получалась из строгой громоздкой теории [456, 46, 50] только после
сложных вычислений, а также пренебрежений, эквивалентных допущению,
что модуль |е| достаточно велик. Приведенный здесь ее вывод [49],
несомненно, прост и, поскольку он опирйется только на приближенное граничное
условие, исходит из того же допущения, что и вся теория, и потому во
всяком случае справедлив в волновой зоне излучателя при всех встречающихся
в природе почвах. Обобщение изложенного метода, позволяющее
рассматривать в случае импедансного граничного условия (26.1) более широкий круг
проблем, дал М.Д. Хаскинд [61]. Распространение электромагнитных волн
над плоской поверхностью анизотропной среды было исследовано
изложенным выше методом в работе [62].
Мы покажем теперь, что отсюда весьма просто может быть получено
выражение для нормальной функции ослабления.
Рассмотрим интеграл в формуле (26.15). Поскольку Re Vt° > 0, по мере
изменения С от г по направлению к £ = С подынтегральное выражение
будет быстро (экспоненциально) убывать. Поэтому главную роль при
интегрировании играет область значений £, непосредственно примыкающих к
точке С = z. Следовательно, мы можем преобразовать R'2, учитывая, что
|С — z\ мало.
Введем новую переменную
Тогда
Да = V'2 + (С + zoY = лД2 + {zo + z)2 + 2£(z0 + z) + £2. (26.16)
Из рис. 45 видно, что г2 + (z + zo)2 = R2,, z + zo = i?2sin 4>. Поэтому,
разлагая по степеням £, получим
£2
R'2^R2 + ^smrp+:~cos2rp. (26.17)
2R
Ограничимся выписанными членами. Члены второго порядка в £,
вообще говоря, необходимо удержать, поскольку нас могут интересовать точки
Рис. 45. Обозначения к формуле (26.20)
наблюдения, для которых тр = 0 (точки на уровне земли, когда источник
также находится на земли), и член первого порядка в ф выпадает.
S 26. МЕТОД ОТРАЖЕННОГО ИСТОЧНИКА
177
В таком случае, под интегралом в формуле (26.15) появляется
экспоненциальный множитель с показателем, который можно преобразовать
следующим образом:
R'i +
C-z
e°j
= к
R2-
R2(l + Ve5smj>y
2е°cos2 ф
/fcosV> / Ri 1 + Ve°sin ф
2l
. (26.18)
\у/2Щ ' V 2e° cosV
Заменяя в предэкспоненциальном множителе R'2 на R2 и вводя в
интеграле новую переменную интегрирования
^1 + Ve^sini//
' = ^{twH
2е° cos ф
(26.18а)
мы получаем
£/«4Ч*+£)
=-^-exp[-p(l + V/e5sinV')2sec2V'] / exp (t2) dt =
cosV> J
seci/"
= ЫЕ1. exp \-p{\ + ч/е° sin V>)2 sec2 ф] x
cos V>
»^/p(l+V5^sin ф) seci/" ^
X | 1 H—-f= / exp(-r2)dr
0 /
= %^Щ exp [-p(l + v^sin ф)2 sec2 V][l + Ф(гу^(1 + v^sin V) sec ф)],
COS ID
(26.19)
где Ф(х) — интеграл ошибок, в данном случае от комплексного аргумента.
Для него существуют подробные таблицы [51]. Следовательно, если мы все
выражение (26.19) обозначим через (/ — 1)/2, то
п _ 1 Г exp {ikRJ exp jikR2) _ exp (ikR2)
2 I Ri
Ri
R
2
ioo
/-1 = —^-exp[-/)(l + v/eOsmV)2sec2V] /
cosV> J
seci/"
| , (26.20)
exp (t2) dt,
(26.20a)
178
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
ikR2 . . z + zo
Ri = \/x2 + y2+(*-*o)2, (26.206)
Д2=ч/х2 + у2+(г+2Г0)2.
Первый член в скобке в формуле (26.20) дает поле, которое данный источник
создал бы в безграничном свободном пространстве. Второй — поле такого
же (мнимого) источника в точке (0, 0, —zo). Два этих члена вместе дают,
следовательно, поле вертикального диполя над плоской идеально проводящей
поверхностью. Действительно, при е —> оо, когда е° —> оо и р —> 0, имеем
/ — 1 -> 0, и последний член в скобке в формуле (26.20) исчезает. Он дает
поправку, обусловленную неидеальностью проводимости почвы. Второй и
третий члены вместе дают поле, отраженное от такой реальной почвы,
_ 1. /expfo'fcffi) exp (ikR2)
~ 2 V #i ; R2
и, следовательно, / есть коэффициент отражения. Для того чтобы при z =
= zo = 0, R\ = R2 = х (cosV> = 1, sinV> = 0), эта формула давала
найденную ранее функцию ослабления (25.18а), т. е. чтобы было
/ = 2у - 1, (26.20г)
верхний предел интеграла в формуле (26.20а) должен быть положен равным
гоо (что уже и сделано). Этим и определяется выбор константы С (по
существу, здесь просто учтено, что при г=го = 0иг-> 0 должно получаться
разложение (25.1)).
В эту формулу входит величина е°, которая, если модуль |е| невелик,
содержит cosV>- В процессе вывода мы пренебрегали соответствующей
дополнительной зависимостью от координат. Это, действительно, допустимо
с хорошей точностью. В самом деле, величина е° появилась из граничного
условия (26.1). Удовлетворять ему приходится прежде всего в пределах
существенной зоны (см. соответствующие рассуждения в § 19). Поэтому под
углом ф, входящим в е°, мы понимаем постоянную величину,
совпадающую с тем углам ф. который фигурирует в других выражениях в формуле
(26.20). Замена cos ф в е° на постоянную может показаться некорректной
только при z = zo = 0, когда существенная зона охватывает всю трассу.
Однако как раз в этом случае cos2 ф обращается в единицу для всех точек.
Полученная формула (26.20) является наиболее общей для выбранной
постановки вопроса.
Весьма важным ее свойством является то, что высоты точки
наблюдения и источника входят в коэффициент отражения / только в комбинации
z+zo (через sin ф = (z + zo)/R2). Поэтому коэффициент отражения не
изменится, если одну из корреспондирующих точек поднять, а другую
опустить на одну и ту же величину.
Для источника, расположенного на земле (Ri = R2), и не очень больших
ф (cos ф и cos2 ф и 1) формулу (26.20) можно записать в виде (для функции
ослабления мы вводим обозначение у (г, z\ zo), где аргументы обозначают
(26.20в)
§26. МЕТОД ОТРАЖЕННОГО ИСТОЧНИКА
179
j горизонтальное расстояние от источника, z — высоту точки наблюдения
над землей, zo — высоту источника)
П = 52£*Щ»(г. г, 0), (26.21)
»оо
y(r,z;0) = l + 2y/s^ J exp[v2-sr(l + Ve°sm4>)2]dv, (26.22)
y/sr"(1+Ve°sin ф)
2y(r, z) - 1 = f(r, z). (26.22a)
Рассмотрим / для случая, когда численное расстояние велико:
l^F(1 + V^Slr">)l > 1. (26.23)
cos ф
Интегрируя в соотношении (26.20а) по частям, как в формуле (25.19),
отбрасывая малые члены, мы получим
2 cos ф
/ = 2ш-1 = 1- ~т= j=£ ... (26.24)
Ve° sin ф + 1 sx (1 + ve° sin V>)3
Следовательно, когда численное расстояние велико, то, удерживая первые
два члена и воспользовавшись формулой (21.20), имеем
Ve^sin ф-l esinV>- у/е - cos2 ф
f и —= = : = /м, (26.25)
V е° sin ф + 1 е sin ф + у/е + cos2 ф
как и должно быть для отражения волны, поляризованной в плоскости
падения (ср. (19.18)). Это, конечно, не значит, что при больших численных
расстояниях можно вообще вместо функции ослабления (26.20) пользоваться
сложением плоских волн с коэффициентом отражения (19.18). При очень
малых ф и больших \sx\ формула (26.22а) вместе с (26.24) дает
у(Г| 2, 0) « ^*п* * ► --L. (26.26)
l + v^sinV 2sx(l + v/e5sinV)3 2sx
Этот результат невозможно получить из интерференционных формул
(дающих здесь, если п ф оо, поле, равное нулю). Ими, очевидно, можно
пользоваться только в том случае, если третий член в правой части формулы
(26.24) мал по сравнению с суммой первых двух, т. е. если
V^sin ф • sx(l + Ve~° sin ф)2 > 1,
k{z +zo) (I+ VE5sin ф)2^> Ve~°. (26.27)
Так как при |V£°sin V>| >■ 1 мы приходим к идеальному отражению (когда
интерференционные формулы заведомо верны), то для оценки в области
малых углов нас интересует случай V£°sin ф < 1 и можно отбросить V^sinф
или
180
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
в скобке. В результате получаем критерий применимости
интерференционных формул
k{z + z0)>\V^\
е-1
(26.28)
совпадающий с критерием (19.38), полученным ранее из других
соображений.
Сейчас уместно разобрать вопрос о физическом смысле условия,
позволяющего как в формуле (19.18) (или (26.24)), так и в формуле (19.13)
переходить к предельному случаю идеального отражения (/ц = 1, /х = — 1).
Этот переход, как мы видим, имеет место при
|>/e°sin^|>l. (26.29)
Поле в поднятой точке наблюдения (см. рис. 46) образуется сложением
прямого поля источника и полей вторичных излучателей, в основном тех,
которые создаются в пределах существенной области поверхности z = 0 (на
А(х, О, z)
Рис. 46. Формирование поля в поднятой точке наблюдения. Заштрихованный эллипс,
расположенный вблизи источника в плоскости 2=0, определяет существенную зону
рисунке— заштрихованный эллипс). Ясно, что если в пределах этой
области первичное, возбуждающее вторичные излучатели, поле еще не ослаблено
и является таким же, как и над идеально отражающей плоскостью, то и
вторичные поля, а следовательно, и суммарное поле в точке наблюдения А
будет таким же, как над идеально отражающей поверхностью. Размеры
существенной зоны мы определяли раньше: согласно формуле (12.11), длина
заштрихованной области равна 2at = к/k sin2 ф. На этом расстоянии поле
будет таким же, как над идеально отражающей поверхностью, если
соответствующее численное расстояние много меньше единицы, т. е. если (см.
(25-1))
yj\ns-2ai\
7Г"
fcsin2V>2e°
<1,
или
|v^sinV|»4=-
v2
(26.30)
Но это практически то же самое, что условие (26.29).
Итак, поле в поднятой точке совпадает с полем над идеальным
отражателем, если она поднята достаточно высоко, чтобы прижатая к
(находящемуся на земле) излучателю существенная область стала достаточно малой —
настолько малой, чтобы в ее пределах скользящее по земле поле еще на
испытало влияния отличия |е| от оо.
§ 27. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ НАПРЯЖЕННОСТЕЙ ПОЛЕЙ
181
Таким образом, задачу определения поля над плоскостью раздела можно
считать решенной. Функция ослабления поля диполя, помещенного на
поверхности земли, по мере удаления от источника вдоль границы раздела
убывает от единицы, начиная с расстояний, для которых численное
расстояние \р\ порядка единицы, причем, начиная с \р\ и 5, это убывание
передается множителем — 1/2/>. Следовательно, при \р\ ^> 1 производная dw/dr
есть величина порядка |гу/г|. Поэтому, если ограничиваться волновой
зоной, ког ^> 1, то это убывание происходит медленно на интервале порядка
длины волны, и предположение о медленности изменения w (см. (21.2)),
которое мы кладем в основу всего рассмотрения, оказывается справедливым.
Сомнение может вызвать лишь область \р\ < 1. В этой области w и w'
порядка единицы, точнее, как показывают численные расчеты, \dw/dp\ ~ 0,2
при \р\ ~ 1:
dw
dr
dw dp
dp dr
0,2
dp
10|е°Г
(26.31)
Следовательно, условие (21.2) соблюдено, если значение 10|е°| достаточно
велико. Но это всегда так.
Для весьма коротких волн и сухих почв мы практически всегда
оказываемся в области \р\ ^> 1, в которой достаточно пользоваться
асимптотической формулой у{р) = —1/2р. Ослабление оказывается весьма сильным
(амплитуда поля убывает обратно пропорционально квадрату расстояния).
Поэтому здесь чаще пользуются передачей на пространственной радиоволне
(отраженной от ионосферы), либо поднимают корреспондирующие точки над
землей, чтобы ослабить ее влияние (для волн короче примерно 10 м, не
отражающихся от ионосферы).
§27. Выражения для напряженностей полей
вертикального электрического диполя
Полученное в § 26 выражение для П позволяет путем несколько
громоздкого дифференцирования вычислить компоненты полей Е и Н. Обычно их
вычисляют, отбрасывая члены порядка (1/е0)2 относительно главных, но
удерживая члены порядка 1/е°. Однако иногда при вычислении необходимо
учитывать и неволновую часть поля, т. е. члены порядка 1/кг относительно
главных, потому что вдали от источника их отношение к члену,
содержащему y(sr), влияет на значение Ег в поправке порядка 1/е°.
Результирующие выражения снова содержат функцию у (г, z; го), не
сводящуюся к элементарным. Фигурирующий в ней интеграл есть не что
иное, как интеграл ошибок от комплексного аргумента. Как уже
говорилось, существуют достаточно полные таблицы для его фазы и амплитуды
[51]. Кроме того, в более старых работах по теории распространения
радиоволн выполнялись специальные численные подсчеты и были даны таблицы
и графики для некоторых специальных случаев. Очень часто достаточно
пользоваться асимптотическими разложениями для малых и больших
значений аргумента (см. § 10, в частности формулу (10.13), а также формулы
(25.6) (25.20) и (26.26)).
В формулах для функции ослабления у (г, z; zq) у нас фигурирует не е,
а еэф или е°. Замена е на е° для нас существенна прежде всего отнюдь не
182
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
тем, что при реальных вычислениях поля мы вместо е должны подставлять,
скажем, £ + 1 (что эквивалентно замене вещественной диэлектрической
проницаемости е' на е' + 1) или, еще точнее, е2/(е — cos2 ф). Практически это
уточнение мало что дает, поскольку значения е' для почв являются вообще
довольно неопределенными величинами и чаще всего измеряются как раз
по затуханию радиоволн или по наклону силовых линий на поверхности,
или каким-либо другим способом, использующим теорию распространения
радиоволн, т. е. фактически измеряется еэф.
Значение произведенного уточнения состоит прежде всего в том, что, как
мы убедились, форма решения сохраняется в членах порядка 1/е и даже еще
далее. В самом деле, могло случиться, что уточнение решения привело бы
к замене функции у(/>) другой, что, как увидим, и происходит, если мы
продолжаем уточнять результат (см. §31).
Поэтому мы можем удовлетвориться этим общим заключением и при
вычислении полей пользоваться функцией ослабления, пренебрегая членами
порядка 1/е, т. е. пренебрегая отличием е от еЭф. Более полные выражения
для производных функции у и для составляющих напряженностей полей,
справедливые также и в неволновой зоне и учитывающие члены порядка
1/е°, можно найти, например, в работах К. Нортона [48, 52] и П.А. Рязина
[47]2). Мы здесь (при вычислении напряженностей поля)
ограничиваемся тем случаем, когда вертикальный электрический диполь находится
на поверхности земли.
Дифференцируя формулу (26.22) с указанной точностью, мы получаем:
тг-= 7=(1 + Ve°sm4>)y + iksmil>, (27.1a)
oz y/eo
j- = s{(e°sin2 ф- l)y- v^sinVtv^sinV- 1)}, (27.16)
f)2y 1.2
^ = ^^о]з^(г°51г12^-1){(1 + ^зт^У+^8т^}, (27.1в)
^-| = —g-{(l + Ve^sm ф)2у - Ve^sm ф(\ + Ve^sin ф)}. (27.1г)
Отметим, что, согласно формуле (27.16), действительно,
I; <%|, (27.1д)
как это и требовалось при выводе граничных условий в соответствии с
соотношением (21.2). Это верно даже при |Ve°sin VI ^ li когда
g*|sin2V>(y-l),
г) При этом следует иметь в виду, что в фигурирующих в работе [48] формулах
встречаются выражения типа которые можно заменять на 1/у/е + 1
(поскольку все вычисления проводились лишь с точностью до членов порядка 1/е
включительно), и выражения, содержащие члены порядка 1/е2, которые в таком случае можно
опускать.
§ 27. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ НАПРЯЖЕННОСТЕЙ ПОЛЕЙ
183
потому что в этом случае, согласно формулам (26.24) и (26.25),
у—l=w—1= — 1»-
и снова справедливо соотношение (27.1д).
Заметим, далее, что при z = 0 получаем
е° sin ф
и
ду ik
т. е. у удовлетворяет, конечно, граничному условию, налагавшемуся на П.
Переходя к вычислению полей с помощью соотношений
мы получаем с той же точностью, отбрасывая члены порядка и выше, чем
1/е°, 1/кг и sin3 ф и ф3:
JS. = f=H|«i{»('.40)--»'*+^}. (27.4)
Ег = к2^1Ш^!1(г2.0)_Апфу (275)
Выражениям для поля можно придать изящную форму [52], представив
поле Е в виде суперпозиции двух волн: «поверхностной» и
«пространственной».
Для этой цели введем вместо нашей функции ослабления (26.22)
функцию
у*{уз) = 1 - 2л/шёхр (-w) / exp (u2) du, (27.6)
ioo
w = sr(l + Ve^sin ф)2. (27.6a)
Функция y*(w) отличается от y(r, z\ 0) множителем 1 + v£° sin ^ перед
интегралом. Поэтому она совпадает с функцией у {г, 0; 0), в которой г
заменено на r(l + Ve^sin ф)2:
y*(w)-l= (l + v/e°sinV)(y-l). (27.7)
Воспользуемся, кроме того, формулой для френелевского коэффициента
отражения волны, электрический вектор которой лежит в плоскости падения
(26.25):
/„ = ^£-1 , _ J, _ _* _ _1±4-. (27.8)
11 VeOsinV + l " l + v/^sinV Ve°sin ф
Тогда имеем
у(г, г; 0) = i^y>) + ЦА'> (27-9)
184
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
функция ослабления распалась на две части, из которых вторая на
поверхности земли (ф = 0, /ц = —1) исчезает, а первая, наоборот, максимальна.
Теперь формулы (27.4) и (27.5) примут вид (мы снова ограничиваемся
членами низшего порядка относительно 1/е°)
Ег = ^2ехр|*Я) |ЦД^ + 1Щ (2?л0а)
2exp{ikR) П-/|| , 1 + /|| ■ Л /оттт
г Д l^VP" 2~ ^Г (27.106)
Введем единичные векторы rj>i, Zi, ri, направленные по осям ф, z и г.
Между ними существует соотношение
•0Х = zi cos ф — т\ sin ф ~ zi — ri sin V>. (27.11)
Используя его, можно сгруппировать компоненты поля так, чтобы
образовалось два вектора, один из которых пропорционален y*(w), зависит от
численного расстояния, убывает'с высотой точки наблюдения и поэтому
может быть назван «поверхностной» волной. Другой — не содержит y*(w),
исчезает на плоскости z = 0, направлен перпендикулярно к радиус-вектору,
и поэтому может быть назван «пространственной» волной:
Е„„ = ЦЛ» (., + -L*,) *»«Е£*Э, (27.12а)
К^^^Ф^-^Ш. (27.126)
Действительно, при ф = 0 имеем /ц = — 1 и Епростр = 0. Епростр может
быть истолковано как суперпозиция двух волн — прямой и отраженной с
коэффициентом отражения /ц. С ростом ф коэффициент отражения стремится
к единице и соответственно этому Епов исчезает.
По вектору Герца (26.21) компоненты электрического поля можно
вычислить и более точно с учетом членов следующего порядка относительно 1/е°
и sin ф и виде [52]
_ , 2ехр (гкR) 1 - /и ,. . Г . Д sin2 г^Л 1 1 , .„ ч
Е„ов = *2—^—'—^-УМ z1+r1cosV(l+-y^J -р= , (27.13а)
Е„Ростр = fc2exP(^)cosV,i±Zil^b (27.136)
причем здесь под /ц следует понимать выражение (26.25)
еьтф-у/е-соьЪф л>7 1ъл
/|| - . . , Г 2 .• (27.13b)
е sin ф + у/е — cos2 ф
Это разбиение на «пространственную» и «поверхностную» волну уже
содержится в разбиении у (27.9).
Все эти формулы относятся к случаю, когда источник находится на
поверхности земли. Обобщение на случай произвольного zo можно
получить, если учесть, что в общей формуле (26.20) /ц есть функция только
§ 27. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ НАПРЯЖЕННОСТЕЙ ПОЛЕЙ
185
суммы z + zo. Поэтому для отраженного луча нужно / считать функцией от
sin ф = (z+ zo)IR2 и отличать, кроме того, от ф угол ф\, sin ф\ = (z—zo)/R\
(cosV>cos<£ = (x — хо)/Й2) cos^ cosy? = (x — xo)/R\)- Таким образом, если
отбрасывать члены порядка l/R2, 1/Д2., sin2 ф, sin2 ф\ и 1/е относительно
оставляемых, то
Щ(х, У, г; 0, 0, zo)
Е*(х, у, г; 0, 0, zo)
. . , , exp(ifc_R2) cosV»,, , ч ., ч exp (ikR?) 1 /л„ , , .
+/||SinV>cosV> ^ 2; - —^(1 - /ц)у*И К^2 ;| , (27.146)
££ = О (27.14в)
(Е% = cos ipE*, Ey = sin <рЕ*), где, имея в виду дальнейшие случаи, мы
индексом v отметили, что речь идет о вертикальном электрическом диполе.
В последнее время в отечественной литературе по радио принято
называть пространственной волной поле волн, отраженных ионосферой, а
поверхностной — поле, устанавливающееся над землей при отсутствии влияния
ионосферы [14]. При такой терминологии «пространственная» и
«поверхностная» (в кавычках) волны этого параграфа вместе образуют
поверхностную волну.
Пространственная зависимость амплитуды и фазы поля вертикального
диполя была представлена в виде графиков [47] с помощью специально
построенных удобных рядов для y*(w). Эти подсчеты, кроме того, не были
ограничены только волновой зоной. Как правило, е° полагалось равным
е+1 или e + cos2 ф, что по приведенным выше соображениям обеспечиваем
достаточную точность.
На рис. 47-49 воспроизведены некоторые результаты этих вычислений
в виде полярных диаграмм напряженности электрического поля. Каждая
кривая показывает изменение амплитуды нормальной к радиус-вектору
составляющей напряженности электрического поля \Еф\ при перемещении по
окружности радиуса R, описанной в вертикальной плоскости вокруг
источника, принятого за центр.
Кривые построены для разных расстояний от источника R и различных
почв и соответствующих им разных численных расстояний р = \kR/2(e+l)\.
За единицу принята напряженность, которая от данного источника
получилась бы в безграничном пространстве. Кривые для длинных волн (большое
|е|, рис. 47) показывают, что на малых численных расстояниях (рис. 47 а)
на земле поле в два раза больше, чем в отсутствие земли. По мере
увеличения численного расстояния поле на земле падает. Для идеального
проводника диаграмма имела бы вид полуокружности радиуса, равного единице,
лежащей своим диаметром на горизонтальной оси.
к2 ( , , exp(ikRt) , , , exp (ikR2)
= Т |cos * ъГ^ + h cos * ib +
+(W||)s.M!e)J, (27.14a)
186
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Из кривых видно, что уже при небольших ф все кривые переходят в
такую полуокружность. Это и соответствует условию, что при \у/е + 1 sin ф\ ^
>• 1 функция ослабления и коэффициент отражения переходят в единицу.
По этой причине, как мы неоднократно подчеркивали, практически
достаточно изучать функцию ослабления при малых ф.
Из кривых далее видно, что с увеличением высоты точки наблюдения
поле сначала убывает соответственно ослаблению поверхностной волны (как
это следует, в частности, из граничного условия, см. (21.24)), достигает на
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0
Д = 16А
р = 0,05
Д=160А
Р = 0,5
е'=10; 4жг/<» = 1000
Д = 800А
Р = 2,5
Рис. 47. Полярная диаграмма амплитуды электрического поля в вертикальной плоскости на
разных расстояниях от источника в случае преобладания токов проводимости
'О
1,0
Д = 6,4А
р = 0,2
Д=32А
р=1,0
е'=4; 4тет/а>=100
Д=160А
Р = 5,0
Рис. 48. То же, что на рис. 47, но для меньшего |е|
1,0-
1,0
Л
1,0
Д=1,Ш
р = 0,05
Р=1,0
е'=80; 4яа/а> = \0
Д = 1Ш
р = 5,0
Рис. 49. То же, что на рис. 47, но для меньшего |е| и при преобладании токов смещения
некоторой высоте минимума, а затем, когда достаточно нарастает
пространственная волна, начинает быстро увеличиваться.
§ 28. ВЕРТИКАЛЬНЫЙ МАГНИТНЫЙ ДИПОЛЬ
187
Приведем, кроме того, формулы для магнитного поля:
Н_ = -*»-",gtJ"1-/'«— (l + S^) У-МЪ, (27.15а)
Нпроср = -*>'*> (jf) ' У» cos^, (27.156)
где (^ — единичный вектор, направленный вдоль направления возрастания
азимутального угла <р.
Согласно полученным результатам, условия распространения
существенно различны для разных частот, т. е. имеет место дисперсия. Так, согласно
формуле (26.26), на больших расстояниях ослабление пропорционально для
длинных волн квадрату частоты (s ~ о;2). Обычно практически
используются столь узкие полосы частот, что это не вызывает искажения формы
сигналов. Однако все более привлекает внимание вопрос о
распространении импульсов и об искажении их фронтов (излучение грозовых разрядов и
т. п.), вызванном указанной дисперсией (см. [59, 60]).
Экспериментальная проверка подтвердила правильность теоретических
результатов. Особое значение имела проверка правильности предсказаний
относительно изменения фазы радиоволн с расстоянием, так как это
изменение влияет на наблюдаемую фазовую скорость радиоволн, которая, таким
образом, вплоть до расстояний в \sr\ ~ 10 и больше (для сухих почв)
становится функцией расстояния от излучателя. Однако на больших расстояниях
она, как подчеркивалось в связи с формулой (25.22), достигает значения с.
Тщательные измерения дали превосходное согласие с теорией. В
частности, из измерений Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, Е.Я. Щеголева,
Я.Л. Альперта и В.В. Мигулина [53, 54] получилось значение с с точностью,
близкой к точности оптических измерений, и отличающееся от цифры,
полученной оптическими методами Мзйкельсоном, в четвертом знаке [53]
(подробнее см. [2]).
§ 28. Вертикальный магнитный диполь
Зная поле вертикального электрического диполя, можно легко написать
выражения для поля вертикального же магнитного диполя. Будем описывать
его магнитным вектором Герца Пт = Пт2. Отличие от поля П
вертикального электрического диполя возникает здесь только оттого, что в граничные
условия для Пт при z = 0 (21.35) входит у/е — cos2 ф вместо 1/Ve° (21.19).
Поэтому могут быть повторены все рассуждения § 24-26, и выражение для
Пт будет отличаться от П заменой е° на (е — cos2 ф)~*, в частности —
заменой численного расстояния на «магнитное численное расстояние» (для
горизонтального расстояния, ф = 0)
smr = ik(e - l)r/2. (28.1)
Очевидно, что во всей волновой зоне излучателя это «магнитное численное
расстояние» всегда велико. Согласно формуле (26.20), мы поэтому получаем
для диполя, дающего в пустоте поле Пт = exp (ikR)/2R, т. е. согласно (6.7)
имеющего момент т = 1/2,
Пт = 1Гехр|р + /техр^ад| (282)
188
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
/m = 1 —г ехр
cos ф
-smr 1 +
у/е — cos2 ф
X
/ ехр (и2) dv :
т. е.
2 cost/!» /л/ч .
1 , - + •••> (28.3)
1 + sin ф/уе — cos2 ф smr(l + sin ф/ye — cos2 ^>)3
Л. « Д : C°St (28.4)
smr(l + sin ф/\/е — cos2 ф)3
(см. (19.13)). Но sin ф/у/е — cos2 ф всегда невелико, a |smr| ~Э> 1. Поэтому,
оставляя первые два члена, имеем
_ sin^>- y/g-cos2^ _
/m - -———/ 2 -Ль (28.5)
sin ф + ye - cos'' ф
что совпадает с выражением для коэффициента отражения горизонтально
поляризованной волны (19.13). Так, конечно, и должно быть, потому что в
случае вертикального магнитного диполя отлична от нуля только
горизонтальная (перпендикулярная к плоскости падения, см. ниже (28.6))
составляющая электрического поля. Итак, особенность рассматриваемого случая
по сравнению со случаем электрического диполя состоит в том, что здесь
численное расстояние всегда велико, если е хотя бы в несколько раз превышает
единицу. Поэтому в случае влажных почв для низкого расположенного
магнитного диполя мы на земле всегда находимся в области, где у ~ (—2smr)-1,
т. е. поле убывает квадратично с расстоянием. Только при больших
высотах точки наблюдения и (или) источника, когда начинает сказываться
«пространственная волна», становятся применимыми интерференционные
формулы, и поле может убывать обратно первой степени расстояния.
Может возникнуть сомнение в применимости для рассматриваемого
случая приближенных граничных условий (21.35), поскольку в ближней зоне
убывание будет быстрым и условие (21.2) не будет выполнено. Однако эта
область охватывает только малую часть существенной для распространения
зоны и потому не может повлиять на окончательный результат. В остальной
же области
1 ду у ,
У = -~ и Ъ < кУ-
2smr or r
Перейдем к выражениям для поля. Согласно формулам (3.25) и (3.25а),
используя формулы (27.15), легко написать выражения для электрического
поля вертикального магнитного диполя Е^, которое равно ifcrotnm.
Достаточно в Hv (27.15) (равном —ifcerotn, где е — относится к воздуху и потому
равно 1) заменить / на /m = f± по формуле (28.3) или (28.5) и изменить
§29. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ ДИПОЛИ 189
общий знак:
2 exp (ikR)
Ev — к*
Ьтпов — К д
1—М,С05ф ^i + ?Н^ y*{wm)4>u (28.6а)
2ехр (ikR) 1 + Д
Етпростр = *3 £— Т~ сов^11 (28"6б)
wm = V [l + -7=^£==], R = RX = R2. (28.6b)
\ ye — cos' ^ у
Практически всегда |smr| ;> 1, sin ^> <C | y/e — cos2 ^>| и потому, согласно
(27.7),
У-Ы = -£- " "7^=- Р8.7)
^«m^ y/S - COS2 ^
Что касается магнитного поля, то, поскольку оно выражается через Пт
точно так же, как Е электрического диполя — через П, мы получаем из
формулы (27.12)
Н^... = *'И"'^Л)1"г/11Г(«т)(«. + v'e-cos^r,), (28.8а)
■C.p..., = *'eXP<fm+24,. (28.86)
§ 29. Горизонтальные электрический и магнитный диполи
Поле горизонтального электрического диполя в некотором отношении
сложнее поля вертикального диполя. Здесь нарушается осевая симметрия
задачи, и потому, в частности, вектор Герца не может быть сведен к одной
составляющей, приходится принимать во внимание по крайней мере две его
составляющие. Волновые уравнения могут быть решены и для этого случая
[45]. Однако мы пойдем по другому пути и, используя найденные уже
решения для вертикальных электрического и магнитного диполей и теорему
взаимности, получим все необходимые нам результаты почти без
вычислений.
Любой горизонтальный диполь может быть разложен на два диполя,
ориентированных один вдоль, другой поперек направления в точку наблюдения.
Мы изучим их поля порознь.
Пусть диполь находится в точке (0, 0, zo), т. е. поднят на высоту zo,
а наблюдение производится в плоскости xz. Таким образом, направление
распространения совпадает с осью х.
Рассмотрим сначала поле Ehx диполя, направленного вдоль оси х.
Найдем прежде всего вертикальную, г-ю составляющую его
электрического поля в точке (ж, у, z)
Ezx(x, у, z; x0, yo, zo).
190
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
По теореме взаимности она равна ж-й составляющей поля в точке хо, Уо,
zo, которое создает такой же диполь, ориентированный вертикально (индекс
v) и помещенный в точке (ж, у, z):
Е^х(х, у, z; х0, уо, zo) = El{x0, Уо, z0; х, у, z). (29.1)
Согласно формуле (27.146), получаем для у = 0 (нужно учесть, что при
перестановке xyz с хоуо*о величина sin^>i меняет знак)
Е*х(х, О, z- 0, 0, zo) = у
Лх/
exp (ikRi)
Ri
sin ф\ cos ф\
exp(ikR2) exp(ikR2) . „, cosj^
./(| у- L sin ф Cos ф + y— (1 - /„)y (w) -7=-
R2
R2
(29.2)
Д1,2 = >/(* " Xo)2 + (У " УО)2 + (^ ± ZO?,
Z — Zo . Z + Zo
sm^i = ———, sm^=—-—,
ill /12
u; = sr(l + >/e° sin ^>)2.
(29.3)
Эта формула позволяет написать, в частности, Е^х и на плоскости z = О,
а в силу связи между компонентами поля, выражаемой формулой (21.25),
также и другие компоненты (нужно помнить, что, при z = 0, sin ф\ = —ьтф
и кроме того Rt = R2 = R= J(x - xQ)2 + (у - Уо)2 + zQ):
Е*х(х, 0, 0; 0, 0, z0) =
•т[
(l + /„)sin^ + '(l
exp (ikR)
R
cos^, (29.4a)
Е?{х, 0, 0; 0, 0, zo) =
_ fc2
2
(1 - /||) sin ф чУ*Н] ехр (гЕД)
v/£o +^ W е° J Д '
Е*х(х, 0, 0; 0, 0, zo) = 0.
(29.46)
(29.4в)
В случае, если источник расположен на земле, zo = 0, а точка
наблюдения поднята, выражение для Е^х вытекает из формулы (29.2), где просто
нужно считать ф = фх, Ri = R2 = R, а выражение для Е^х совпадает с
формулой (29.46), как это следует из теоремы взаимности. Если в этой
последней формуле еще учесть, что 1 + /ц = Vt° sin ф(1 — /ц), то мы получаем:
к2
Е*х(х, 0, z; 0, 0, 0) = -(1 - /„)
sin^> +
y*(w)
exp (ikR)
Д
cos ф, (29.5a)
k2
E*x(x,0, z; 0,0,0) = Т(1-/ц)
sin2 ф +
y*(u;)l exp (ikR)
R
E*x(x, 0, z; 0, 0, 0) = 0.
(29.56)
(29.5b)
§ 29. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ ДИПОЛИ 191
В частности, на поверхности земли (ф = 0) поле присутствует только
благодаря отличию е° от оо, причем его главная составляющая направлена
вдоль оси г, хотя диполь не имеет а-составляющей. Это означает, что
диполь возбуждает вертикальные токи в земле, которые и создают наблюдаемое
поле.
Получим теперь поле Е у поднятого на высоту zo горизонтального
диполя, направленного вдоль оси у. Для этого мы воспользуемся уже
найденным полем вертикального магнитного диполя (§28). Такой магнитный
диполь можно без всякой потери общности представить себе в виде квадратной
рамки, у которой две стороны (а, с) параллельны оси х, а две (6, d) — оси
у, причем все они имеют, скажем, длину / (малую по сравнению с длиной
волны) и сдвинуты каждая на 1/2 от оси z (рис. 50). Его поле есть простая
£3
А(х, 0, 0)
о
Рис. 50. Магнитный диполь и эквивалентная ему рамка
суперпозиция полей четырех горизонтальных диполей — четырех сторон
рамки. Поскольку / ■< Л, их токи синфазны. Каждое из этих полей в точке
А(х, 0, 0) имеет вид
■— , г = а, Ь, с, d, (29.6)
Hi
E® = ±wM(Ri)-
где Ra,c = ух2 + I2/4 + Zq, Rb,d = J{x ± J/2)2 + Zq, функция ослабления
uA') есть очень медленная функция координат и ее можно заменить на w(R),
R = Jx2 + Zq. Знаки перед w берутся различными для а и с, а также для
Ь и d, поскольку токи в них имеют противоположное направление.
Следовательно, поле каждой пары получается дифференцированием по координатам
источника поля электрического диполя.
Очевидно, что диполи а и с взаимно гасятся, так как
#(•) + е& и w^{RQ)l
В expJ^R) (a) } £4® =
дуо R v ; Ro R
192
ГЛ.5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
С другой стороны (д/дхо = —д/дх),
^) + ^>^^)(ilo)f/-eXPfil)^
дхо R
» -w^{RQ)ikl^-^^- = -Ш «**£?«.
Ко R
Следовательно, это выражение и равно Е^.
Таким образом, поле вертикального магнитного диполя отличается от
интересующего нас сейчас поля Е^ горизонтального электрического
диполя, направленного по оси у, множителем — iklcosф. Но магнитный
момент рамки есть т = IS/с = II2/с, где / — ток в рамке, S — ее площадь,
и, согласно формуле (6.46), может быть выражен через дипольные моменты
р = II/[—vJ) каждой из сторон рамки: т = (—ш)1р/с = —iklp.
Следовательно,
Eid) = -чГ—7Е™ = --^-ySm- (29-7)
гк1 cos ф т cos ф
Если для Е^ подставить формулы §28, выписанные для т = 1/2, то мы
получим поле горизонтального электрического диполя с р = 1/2. В
результате, согласно формулам (28.6), отбрасывая члены, содержащие y*(wm) «
« — (2smr)-1 как пропорциональные г-2, получаем на оси х поле
горизонтального электрического диполя, направленного вдоль оси у (ось <р совпадает
с нею):
Е*у = О, (29.8а)
Е*у = О, (29.86)
Е?(х, О, 0; 0, 0, zo) = Е^(х, 0, г; 0, 0, 0) = у (1 + /х)6ХР^Д). (29.8в)
Таким образом, поле горизонтального диполя в плоскости,
перпендикулярной оси диполя, сводится к полю, которое дает отражение по
интерференционным формулам.
Теперь можно записать поле произвольно ориентированного
горизонтального диполя. Если он образует угол <р с осью х, то, разлагая его на два
диполя, один — вдоль оси х, другой — вдоль оси у, с моментами,
пропорциональными соответственно cos <p и sin <p, мы можем сложить поля этих
диполей. Для этого умножим правые части формул (29.5а)-(29.5в) на cosy),
а правые части формул (29.8а)-(29.8в) на sin <p и сложим.
В полученных формулах вместо того чтобы считать направление диполя
переменным (угол <р), а точку наблюдения закрепленной (на оси х), мы
примем за ось х направление диполя, а точку наблюдения будем брать в
цилиндрических координатах г, <р, z. В таком случае нужно просто заменить
<р на —<р, после чего Ej будет давать Е^, а Еу —> Е^. Таким образом,
У (to)
£2h(r,v,,z;0,0) = f(l-/„)
Erh(r,v,,z;0,0) = ^(l-/„)
2
2
+ sin^
exp (ikR) , /лл „ .
FV ; cosфcosy), (29.9a)
—~~ — sin ф
■U
eu
R
exp (ikR)
R
cos <p, (29.96)
§ 29. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ ДИПОЛИ 193
E$(r, <р, z; О, 0) = у(1 + /х)вХР^Д)вту- (29.9в)
Структура этих формул ясно указывает, как они должны быть
изменены, если источник также поднят над землей. Действительно, слагаемые
(1 — /ц) sin ф cos ф в формуле (29.9а), (1 — /ц) sin2 ф в формуле (29.96) и
выражение (29.9в) явно дают поле падающей волны, отраженной с
коэффициентами отражения /ц для составляющей, лежащей в плоскости падения, и fj_
для перпендикулярной составляющей. В этом легко, в частности, убедиться,
сравнив перечисленные формулы с тем, что дают формулы (20.4а)-(20.4в)
в случае идеального отражения. Поэтому, если zo ф 0, они должны иметь
структуру этих последних формул, но с коэффициентами отражения, вообще
говоря, отличными от ±1 (можно сказать, что они должны образовать
решение волнового уравнения, переходящее при z -> 0 в соответствующие
слагаемые в (29.9а)-(29.9в)). В остальных же слагаемых, содержащих y*(w),
достаточно под sin^> понимать (z + zo) I R<i- Таким образом, в произвольной
точке (г, <р, z) поле горизонтального диполя, помещенного в точке (0, zo) и
ориентированного вдоль оси х, равно
Fh & /(l-/||)cos^ чехр(»А;Да) ,
. , , exp (ikRi) , . , , exp (ikR2) 1
+ sin фх cos фх ^ - /ц sin ф cos ф > ,
,-,h ^2 f(1-/||) »/ ч exp (г'£Д2) • 2 / exP (ikRi)
ffrh = ycosy>| g0"VW да a;-smafr *Ri 1; +
^=Р85п^ехр^ + дехр^р)|) (29iQ)
с обозначениями (29.3) (cosФ1 cosy) = r/Ri, cos^>cos</> = r/R?).
Аналогично формулам (27.12), группируя компоненты так, чтобы
получить «поверхностную» и «пространственную» волны, можно вместо формул
(29.9а)-(29.9в) написать (с несколько большей точностью) [52]
{c°s4i+^)zi+^ri}
ЕЬов = ^^Щ. [со&ф (l+^f] Ж1 + ^ > х
х J}[y*(w)cos(p, (29.11а)
eUxp = у 6ХР %*Д) (cos у sin ф(\ - Ыфу + sin у(1 + Д )У1> (29.116)
(для источника, находящегося на земле).
194
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Перейдем теперь к горизонтальному магнитному диполю с осью,
направленной вдоль оси у. Мы заменим его квадратной рамкой в плоскости
xOz со стороной /, состоящей из двух вертикальных и двух лежащих вдоль
оси х горизонтальных электрических диполей. Дифференцируя формулы
для их полей (27.12) и (29.10), легко получить поле рамки. При этом нужно
учесть, что если магнитный момент направлен вдоль оси у, то в более
близком к точке наблюдения (верхнем) горизонтальном диполе ток
положительный, а в более близком вертикальном — отрицательный. Поэтому,
дифференцируя, как обычно, только фактор exp (ikR), имеем
Кроме того, при дифференцировании по zo нужно учесть, что при сдвиге
источника по оси z вверх его отражение сдвигается вниз. Поэтому для
падающего поля нужно брать d/dzo = —д/dz = — iksin ф, а для отраженного
(содержащего fj_) —д/dzo = д/dz = iksmil). В результате подстановки,
отбрасывая члены порядка sin2 ф и порядка sin ф/ve® и опуская фактор
ikl = —т/р, получаем
EL„B = -~^^(1 - /||)У» cos*, {Zl + -Lri} , (29.12а)
Е^просГр=-уеХР^Д){со5у(1 + /ц)^1-вт^вт^(1-Д)У1}. (29.126)
Разумеется, в некоторых случаях — когда выписанные в формулах
настоящего параграфа поля исчезают — могут быть существенны члены второго
порядка относительно 1/г. Более подробные формулы см. в работе [48].
§ 30. Источник в почве
В этом параграфе мы исследуем поле излучателя — электрического
диполя, — помещенного в среду с достаточно большим |е| (z < 0), отделенную
плоской границей от среды с е = 1 (z > 0). Этот случай представляет
значительный интерес, поскольку он охватывает такие явления, как
передача через подводную антенну и пр. Он может быть без труда изучен с
помощью полученных уже нами решений для источника в воздухе, если
мы используем, во-первых, теорему взаимности (§9), во-вторых, факт
экспоненциального изменения поля в земле под поверхностью, выражаемый
формулой (21.17) (мы здесь ограничиваемся точностью представления е°,
соответствующей формуле (21.216)), и, в-третьих, граничные условия (4.1),
(21.13) и (21.26).
а) Вертикальный диполь в точке (0, 0, —zo)- Рассмотрим
вертикальную составляющую поля этого диполя в воздухе при z = 0 в точке (ж, 0,
+0)3). Согласно теореме взаимности (9.11), она равна вертикальной
составляющей поля, которое такой же диполь, помещенный в точку (х, 0, +0),
3) Аргумент +0 указывает, что мы рассматриваем поле на плоскости z = О в воздухе, а
аргумент —О обозначает, что мы рассматриваем точку непосредственно под плоскостью z = 0
в почве.
|30. ИСТОЧНИК В ПОЧВЕ
195
создал бы в точке (0, 0, —zo). Но это последнее поле лишь множителем
exp {ikyje — lzo) (для скользящей волны ф = 0) отличается от поля,
создаваемого тем же (помещенным в воздухе) диполем в точке (0, 0, —0), которое
в свою очередь множителем 1/е отличается от его поля в точке (0, 0, +0),
равного (при определенной нормировке мощности диполя) exp (ikx)y(sx)/x.
Собирая все эти множители вместе, получаем для вертикальной
составляющей поля диполя, помещенного в точку (0, 0, —zo) (и имеющего такое
произведение силы тока на действующую высоту, что в безграничной
атмосфере его поле было бы exp (ikR)/2R),
1 ъког
ЕЛх, 0, +0) = -exp (iky/e - lz0) y(sx). (30.1)
€ X
Так как
то зависимость от zo содержит экспоненциальное убывание:
47ГСТ
exp i -kz0 V |е - 1| sin — >, х' = arctg —
l)w'
Таким образом, погружение вертикального диполя в почву на глубину
zo для поля, наблюдаемого воздухе, приводит к такому оке результату,
как изменение дипольного момента в е-1 exp (iky/e — lzo) раз. Это верно
для точки на самой поверхности z = 0, А(х, 0, +0), а так как поле в
пространстве z > 0 определяется исключительно полем на плоскости z = 0, то
это справедливо и в любой точке z > 0. Другими словами, чтобы
получить поле в пространстве, нужно лишь в формулах (27.13) добавить фактор
е-1 exp (ik^e — lzo).
Рассмотрим теперь поле под поверхностью z = 0, в точке А(х, 0, —0). От
поля в воздухе над поверхностью, согласно формуле (21.13), оно отличается
еще одним множителем е-1:
Ez(x, 0, -0) = -^exp (iVe-bo)eXP^ у(зх), (30.2)
е х
а для горизонтальной составляющей, согласно формуле (21.26), получаем
Ех{х, 0, -0) = Ех(х, 0, +0) =
= -jL=Ex[x, 0, +0) = -4= ехр [.'*(* + Ve^zo)}^^-. (30.3)
Ve +1 eVe° x
Наконец, поле на глубине — \z\ под поверхностью будет, согласно (21.17),
выражаться формулами
Ez(x, 0, -И) = ^ exp {ik[x + Ve^T(z0 + \Z\)]}^1, (30.4)
Ех(х, 0, -И) = -4== exp {ik[x + y/T=\{zo + N)]}^^, (30.5)
eve0 x
Ey(x,0,-\z\)=0. (30.6)
196
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Таким образом, в почве горизонтальная компонента больше
вертикальной приблизительно в у/ё раз во всех точках. Сам метод вывода и структура
полученных формул подсказывают физическую трактовку результата: ввиду
того, что при распространении в толще земли волны экспоненциально
затухают, эффективным путем прохождения радиоволн является следующий. От
заглубленного источника вверх идет волна, ослабевающая по мере
прохождения. Направление ее движения не вполне совпадает с вертикалью. Чтобы
найти его, нужно выделить вещественную часть фазы волны и затем
определить направление нормали к плоскости равных фаз. Мы рассматривали
этот вопрос в § 14 и нашли, что эффективная область поверхности раздела —
та область, откуда в основном идет излучение, поступающее в подземную
точку наблюдения, несколько смещена от вертикали в сторону
корреспондирующей точки. Только при е -> оо эта область приближается к вертикали. В
этой области волна создает виртуальные диполи, которые являются
источником радиоволн, распространяющихся затем в воздухе (фактор ехр (ikx)/x) и
затухающих так, как должны затухать волны в воздухе над плоской
проводящей почвой (фактор y(sx)). В каждой точке поверхности z = О появляются
виртуальные диполи, созданные этой волной. До сих пор мы рассматривали
поле этих диполей (фактически — токов в поверхностном слое) только в
воздухе. Теперь мы видим, что они посылают волны и в глубь почвы. В точке
наблюдения z = —\z\ поле в ехр [iky/e — 1|г|] раз меньше того поля, которое
устанавливается в находящейся над точкой наблюдения точке поверхности
(А.И. Берг, 1928 г.).
Этот результат можно получить и из формул (30.4)-(30.6). В самом
деле, найдем направление распространения волны, которая приходит в точку
А(х, О, — |г|). Будем для простоты считать расстояние х настолько большим,
что \sx\ >1 и потому y(sx) и — (2sx)~1. Значит, фаза волны содержит
зависящие от а; и г члены только в виде i<p = ik(x + \/e — \\z\). Вещественная
часть <р равна
Re<p = kx + kV(e'-l)2+(^p) cos^|z| =
= к
N
1 +
J(e' - I)2 + {^f\ {xsin0 + |z|cos0},
где в — угол, образованный направлением распространения с вертикалью.
Отсюда
ctg,= ^-V+(^)2c«(iarctg5i^). (30.T)
При больших |е| угол в, действительно, очень мал. Амплитуда волны
убывает экспоненциально в ином направлении (см. §16).
Если взять горизонтальное численное расстояние меньшим, \sx\ ~ 1, то
аргумент y(sx) внесет в фазу зависящую от расстояния часть и формула для
в несколько изменится.
§30. ИСТОЧНИК В ПОЧВЕ
197
Разумеется, таков путь распространения электромагнитной энергии
только в том случае, если затухание на вертикальных отрезках меньше
затухания прямой волны в почве на пути О А (рис. 51). Но так как излучение
заглубленного источника имеет смысл рассматривать только тогда, когда
глубины zo и \z\ не очень велики по сравнению с ly'efcl-1, а горизонталь-
(0. 0. +0)
(х, 0, +0)
'//////////////,
Рис. 51. К вычислению поля, созданного источником, погруженным в почву. А — точка
наблюдения
ный отрезок пути х мы считаем большим по сравнению с «длиной волны» в
воздухе l/к, то соотношение х 3> zo + \z\ подразумевается выполненным
заведомо.
По поводу формул (30.1)-(30.6) необходимо напомнить сказанное после
формулы (18.5). Следуя теореме взаимности, мы требовали, чтобы
амплитуда тока J и действующая высота h диполя, заглубленного в почву,
поддерживались такими, какие в однородной атмосфере обеспечивают на
расстоянии R от диполя поле ехр (ikR)/2R. He нужно, однако, думать, что
расходуемая в таком заглубленном диполе мощность будет совпадать с
расходуемой мощностью такого же диполя в воздухе. Действительно, в воздухе
расход мощности определяется только излучением и задается выражением
поля в волновой зоне. В противоположность этому в проводящей среде,
помимо затраты мощности в волновой зоне (в силу затухания она определится
интегралом по пространству затрат на джоулево тепло), существует
значительное расходование энергии в неволновой зоне, где напряженность поля
и, следовательно, плотность тока меняются обратно кубу расстояния до
диполя. Поэтому практически нужно учитывать конечность размеров диполя
или помещать диполь в непроводящую полость. Только в том случае, если
эта полость охватывает всю неволновую зону и, таким образом, потерь в
этой зоне нет, мощность будет совпадать с мощностью, излучаемой диполем
того же момента в воздухе. В противном случае, поддерживая необходимый
переменный момент в диполе, приходится тем самым поддерживать
квазистационарные токи в проводящих участках неволновой зоны. Так как в
формулировке теоремы взаимности константы среды не встречаются, то
помещение диполя в полость не меняет полученных формул, меняется только
соотношение между расходуемой мощностью и моментом диполя.
б) Горизонтальный диполь в точке (О, 0, —zo)- Согласно формуле
(27.5), вертикальный диполь, помещенный в точке (х, О, +0), создает в точке
(О, 0, +0) горизонтальную составляющую поля, направленную вдоль
отрицательного направления оси х и равную (если момент диполя такой же, как
198
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
в предыдущем пункте этого параграфа)
1 exp (ikx)
y(sx).
\/ё° х
Составляющая, ориентированная вдоль оси у, исчезает. Под поверхностью
в точке (0, 0, —0) горизонтальная составляющая такая же, а на глубине zo
в точке (0, 0, —zo) отличается экспоненциальным фактором обычного типа.
Обращая рассуждения с помощью теоремы взаимности, получаем следующее
выражение для вертикальной составляющей поля диполя, направленного
вдоль положительного направления оси х и помещенного в точке (0, 0, —zo):
Ehz{x, 0, +0) = i= exp [гк(х + VF^Tzo)]^1. (30.8)
V£° x
В этой точке горизонтальная составляющая поля меньше еще в у/ё® раз:
££(*, 0, +0) = -^ exp [ik(x + yfe^lzo)} £^. (30.9)
В точке (х, 0, —0) вертикальная составляющая меньше, чем Е^(х, 0, +0)
(30.8) в е раз, а горизонтальная (направленная вдоль оси х) совпадает с
составляющей (30.9). На глубине, в точке (х, 0, z) = (х, 0, — \z\), к этим
выражениям добавляется фактор exp [iky/e — l|z|]. Диполь, ориентированный
вдоль оси у, в точках, расположенных на оси х, поля не создает. Поэтому,
если горизонтальный диполь образует с осью х некоторый угол ср, то,
разлагая его по осям х и у на диполи с моментами, пропорциональными cosy:
и sin (p, и учитывая, что полем второго из этих моментов можно пренебречь,
приходим к следующим окончательным выражениям для поля
горизонтального диполя:
Е*(х, 0, -\z\) = ^=ехр [ik{x + Vs^izo + \z\)}]^^-cos(p, (30.10)
eVe° x
E*(x,0, -\z\) = ~exp[ik{x + y/e^T(zo + \z\)}]^^coe<p1 (30.11)
E}(x, 0, -\z\) = 0. (30.12)
Все замечания о путях переноса энергии и о подразумеваемой величине
момента диполя, сделанные в связи с формулами для вертикального
заглубленного диполя, относятся, конечно, и сюда.
Сравнение формул (30.1) и (30.8) показывает, что при равных
моментах диполей горизонтальная заглубленная антенна дает на земле поле в
е/\/ё® раз большее, чем вертикальная. Далее, из формул (30.4) и (30.5),
а также (30.10) и (30.11) видно, что прием под землей излучения
заглубленной антенны лучше производить на горизонтальную антенну. Разница
дается фактором е/veP. На поверхности земли, разумеется, вертикальная
составляющая остается больше горизонтальной.
Поле в воздухе над землей, подобно случаю вертикального диполя,
получается из формул наземного горизонтального диполя уменьшением момента
диполя. Однако это изменение дается фактором exp (iky/e — lzo), который в
е раз больше, чем в случае вертикального диполя и потому положение здесь
благоприятнее.
§31. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЕРТИКАЛЬНОМ ДИПОЛЕ
199
§ 31. Решение задачи о вертикальном диполе
разделением переменных в цилиндрических координатах
В этом и следующем параграфах будут изложены два метода трактовки
задачи о вертикальном электрическом диполе на поверхности земли,
отличные от того метода, который был использован ранее. Первый из них был
исторически первым строгим методом, примененным к указанной проблеме.
Он принадлежит Зоммерфельду [45] и был развит Ван-дер-Полем [50].
Второй метод — метод плоских волн, намеченный Зоммерфельдом в той же
работе и примененный Вейлем [46]!.
Изложение этих классических методов необходимо не только в целях
полноты, но и потому, что получаемые здесь результаты допускают
обобщение на такие случаи (слоистая атмосфера и волноводное распространение,
гл. 9), которые не могут быть рассмотрены в рамках метода,
использованного выше. Кроме того, мы получим некоторые результаты, которые помогут
уточнить оценку пренебрежений, делаемых при использовании метода
приближенных граничных условий.
С одной стороны, можно исходить из того, что поле вертикального
диполя на плоской земле обладает цилиндрической симметрией, и решать
волновое уравнение обычным для краевых задач методом разделения
переменных в цилиндрических координатах (Зоммерфельд [45]). Решение имеет
вид определенного интеграла (см. ниже (31.9)). Однако вычисление этого
интеграла, осуществляемое довольно сложно методом вычетов, удается
произвести только для случая не очень малых \е\ (являющегося, как мы знаем,
практически наиболее важным).
Именно так было впервые получено решение рассматриваемой нами
проблемы. Правда, это решение содержало в окончательном результате
небольшую ошибку, долгое время остававшуюся незамеченной.
Впоследствии интегральное выражение (31.9) было исходным пунктом
различных вычислений ([55, 47, 48, 52] и др.), имевших целью вновь
получить окончательную формулу для поля.
Трактовка иного рода (Вейль [46]) исходит из представления решения
волнового уравнения в виде суперпозиции частных решений совсем другого
типа — типа плоских волн. Удовлетворяя граничному условию для каждой
из плоских волн, что просто, подбирают затем такую суперпозицию
решений, которая обеспечивала бы нужное поведение вблизи источника (§32).
Полученная формула — ее мы и называем нормальной функцией
ослабления — первоначально [46] также была ограничена условием |е| ;> 1. Она
не содержала той ошибки, которая была в окончательной формуле в работе
[45а]. Оба вывода были настолько сложными, что вопрос о том, какое
выражение правильно, пытались решать экспериментально (и решали, конечно,
в пользу формулы [46]). Значительная доля причин такого
неудовлетворительного положения заключалась в том, что в решении Зоммерфельда в
качестве одного из слагаемых содержалась экспоненциально убывающая
поверхностная волна (§23), что по ошибочным соображениям считалось почти
необходимым. Однако, с одной стороны, Ван-дер-Поль, проведя
рассмотрение в цилиндрических координатах несколько иным способом [50], получил
и здесь функцию ослабления в правильном виде. С другой стороны, в 1937 г.
при редактировании русского перевода работы Зоммерфельда В.А. Фок [456]
200
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
обнаружил ее нестрогость, исправил вывод и получил правильный
результат4). В дальнейшем метод плоских волн был применен в ряде работ, в
частности, в работах Л.М. Бреховских [9, 120], обобщившего решение на
некоторые проблемы (слоистая среда и др.; см. гл. 9). Следует заметить, что
для справедливости полученного при этом решения, собственно говоря, не
требуется (как и в том методе, который мы применили выше), чтобы модуль
|£| был действительно очень велик. Решение имеет место при больших кг,
а от £ требуется лишь, чтобы обеспечивалось достаточно быстрое
затухание волны, распространяющейся непосредственно через почву (см. ниже).
Наконец, метод приближенных граничных условий применялся для
получения нормальной функции ослабления с помощью дифференциального (а не
интегрального, как в §25) уравнения поля М.А. Леонтовичем [37]. Мы не
приводим этого решения, так как впоследствии тот же метод был применен
для вывода функции ослабления над сферической землей, и это решение мы
даем в § 38.
Пусть, как обычно, вертикальный диполь расположен в точке (0, 0, +0)
и требуется найти выражение для вектора Герца (единственная отличная от
нуля составляющая П = П2) при граничных условиях (4.7), (4.8):
n(r,tp,0)=en1(r,tp,0), (31.1)
дЩг, <р, 0) ЯП! (г, <р, 0)
dz dz
(31.2)
где П относится к атмосфере (верхнее полупространство), Пх — к почве. В
переменных г, ср, z уравнения для П и Пх будут иметь вид
V2II + klU = 0,
V2IIi + РПх = 0, k2=ekl,
^2 & 1 д 1 д2 д2
В точке г = z = 0 эти уравнения несправедливы, и решение должно иметь
особенность, определяемую структурой источника (в нашем случае —
точечный диполь).
Будем искать решение, разделив переменные, в виде суперпозиции
частных решений
Jo(vr) exp (-zy/v2 - к%), z > 0, (31.4а)
JQ(ur)exp(+z\/v2-k2), z<0, (31.46)
где Jo — бесселева функция нулевого порядка от аргумента иг, v —
постоянная разделения. Прямой подстановкой в волновое уравнение можно
убедиться, что эти выражения ему удовлетворяют, т. е. действительно
являются частными решениями.
*) В тексте русского издания [456] на с. 954 по недоразумению сохранилась сноска,
имевшаяся в немецком издании, в которой говорится, будто бы этот результат совпадает с
полученным в 1909 г. Зоммерфельдом.
S 31. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЕРТИКАЛЬНОМ ДИПОЛЕ
201
Для того чтобы решения удовлетворяли также условию излучения, они во
всяком случае должны оставаться ограниченными в бесконечности. Поэтому
квадратные корни должны пониматься в таком смысле, который
обеспечивает соблюдение требования
Re yju2 - к2 > О, Re \/v2 - к2 > 0. (31.5)
Тогда верхнее решение при z -* +оо и нижнее при z -> —оо остаются
ограниченными.
Суперпозиция выражений вида (31.4) для разных v должна, кроме того,
удовлетворять определенным требованиям вблизи диполя. Так как при
одновременном стремлении г и г к нулю поле, непосредственно излучаемое
диполем, приобретает преобладающее значение, то можно потребовать, чтобы
при г, г -> 0 решение имело характер поля уединенного диполя
Пи l/y/r2 + z2 = 1/Д.
Вместо этого можно было бы потребовать, чтобы при е -> 1 получаемое
решение переходило в поле диполя в свободной атмосфере. Мы увидим, что
решение, полученное при условии lim (ЯП) = const, будет удовлетворять и
этому второму условию. В обоих предположениях целесообразно из полного
решения выделить член типа поля диполя в свободной атмосфере. Чтобы
этот член, кроме того, при е -> 1 давал полное решение, его можно снабдить
соответствующими множителями. Поэтому мы, складывая частные решения
с произвольными множителями f(v) и /i {v) &), приходим к следующему
виду искомого решения:
оо
П = е + 1 6ХР {RR) + J f^J°^ ехр (~2 \А2 ~ fco) «*". (31-6а)
о
оо
Пх = 1 е*РуД) + Г h{y)j^vr) ехр (+2^~к2~) dv (31.66)
£ + 1 ti J
О
(добавление интеграла по отрицательным v ничего нового не дает из-за
четности Jo и всего частного решения).
В обоих решениях выделенные члены также удовлетворяют волновым
уравнениям. Необходимо теперь удовлетворить граничным условиям (31.1),
(31.2) путем подбора правильных функций / и f\. Для этого удобно
разложить первые слагаемые в решениях (31.6) в интеграл по бесселевым
функциям нулевого порядка, пользуясь формулой (16.12а, б):
оо
ехр (ikR) f r—z — v dv
I Jo(vr) ехр (^fzyv2 — к2)-
R J v ' v Wu2-k2'
о
Мы можем при этом объединить оба интеграла вместе, так что получим
оо
П = / { £ . rJL-^ + /(i/) I J0{vr) ехр (-zy/u2 - kl) dv, (31.7a)
е+1ф?~=Н%
5) He следует их путать с коэффициентами отражения других параграфов.
202
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
оо
П1 = J | е j г г^р + Л И} Ы") exp (+zVv2 - к2) dv. (31.76)
о
Подставляя эти выражения в формулы (31.1) и (31.2) и учитывая
ортогональность бесселевых функций, относящихся к разным и, получаем два
уравнения для определения двух функций / и Д, из которых следует
£
£+1
£
V
yjv2-
V
кЬ
V"2-
ty/v2-
yjv2
- Kq
- Kq "
-к2
■Vv2-
\-V»2-
-у/ИР
•к2
-к2'
-к2
ли = -tttt^^iT^W^^^' {nM)
и окончательно
оо
П= / ^J0(ur) exp {-zyjv2 - kl)vdv, (31.9a)
о
оо
III = / iJo(it) exp (zVV2 - k2)i> di/, (31.96)
о
jV = g^i/2 - kl + V"2-k2. (31.9b)
В предельном случае k = ко, £ = 1 имеем N = 2y/v2 — Kq, и, согласно
соотношению (16.12а), обе формулы дают вместе
n = ni=lexpf^ R=V^7*, (S1.10)
т. е. поле диполя в безграничной атмосфере. С другой стороны, при £ -* оо
имеем так что
_ exp (ik0R)
11- д , z>u, (3in)
Пх=0, z<0,
как и должно быть для поля диполя над идеально отражающей
поверхностью.
Таким образом, в принципе решение получено для любого е и выражается
формулами (31.9). Однако в действительности этот результат пока
практически бесполезен. Более того, внешний вид этого (вполне строго
полученного) решения даже не напоминает произведение «невозмущенного»
решения (31.11) на медленно меняющуюся функцию ослабления. Получение этой
функции ослабления остается еще непростой задачей.
Пользуясь четностью подынтегрального выражения относительно и,
оо +оо
можно J заменить на (1/2) J . После этого, выразив бесселеву функцию
О -оо
§ 31. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЕРТИКАЛЬНОМ ДИПОЛЕ
203
через полусумму функций Ханкеля первого и второго рода, можно замкнуть
контур полуокружностью и применить метод вычетов. При этом приходится
тщательно обходить две точки ветвления (при v = ко и v = к) и учитывать
полюс N = 0. Оказывается существенным, что одна из точек ветвления
лежит вблизи полюса (пренебрежение этим обстоятельством и обусловило
ошибку в работе [45а]). Пользуясь, i*poMe того, методом перевала и
пренебрегая членами порядка 1/е, удается получить замкнутую формулу (подробнее
см. [456, 9]).
Однако гораздо проще преобразовать интеграл (31.9) к интересующему
нас выражению другим методом [55], который к тому же позволяет весьма
просто учесть члены порядка 1/е и вообще оценить совершаемую
погрешность [48].
Мы ограничимся здесь случаем z = 0, т. е. получим функцию ослабления
для точек на поверхности земли.
Именно, учтем, что имеет место тождество
и=у/с/<?
n = T^ J v2 - Ч°2«2 d W^t)' (ЗЫ2)
U=l/<7
где 1/ст2 = 1 + 1/е, в справедливости которого можно убедиться
непосредственным интегрированием с помощью замены 1/л/и2 - 1 = v. Благодаря
этому тождеству можно написать вместо формулы (31.9а)
-т£/ '(яп)/5!пя^ (3113)
и=1/<т 0 и
Меняя порядок интегрирования, в силу формулы (16.12а), дающей
разложение сферической волны по бесселевым функциям, мы получаем
£3/2 /"1 / 1 \
П=Г^ J - exp (iArortrt.) d ^-—==j . (31.14)
u=l/a=y/l+l/e
В этом выражении еще не сделано никаких пренебрежений и
предположений относительно е. Оно является вполне точным. Так как величина а
в общем случае комплексна, интегрирование ведется по некоторому пути в
комплексной плоскости переменного и. При \е\ ;> 1 имеем
а= . * , = 1- j- + -L-...»l-j-, (31.15)
у/1 + 1/е 2е 8е* 2е' v ;
и, следовательно, значение а близко к единице. Вблизи точки и = 1
расположен при этом и нижний предел интеграла. Наоборот, верхний предел
тогда находится в области больших \и\.
Разобьем интеграл на два (рис. 52):
3/2
П = ^—^{h - hh (31.16a)
204
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
u=too
U = / - ехр (гкргап) d . ,
J r ^v ; V«2 - 1
U=l/<7
U=tOO
/2 = / - ехр (t'fcoreru) d . :
(31.166)
(31.16в)
u=v/l+£
и рассмотрим их порознь, используя упомянутое свойство пределов, а также
то обстоятельство, что мы всегда можем считать к$г *& \. В силу этого
последнего условия подынтегральное выражение содержит быстро изменя-
u=vTT? = £
4»УГ
Рис. 52. Разбиение пути интегрирования
ющуюся функцию exp(tfc0r<7u), которая экспоненциально убывает при
изменении и по мере стремления к пределу и = гоо.
Рассмотрим 1\. Здесь главной областью значений является область и,
близких к нижнему пределу, который сам близок к единице. Поэтому мы
можем положить
и = 1 - iv2 (31.17а)
и считать эффективной область малых v. На нижнем пределе при и = и\ =
= 1/<7 имеем (учитывая (31.15))
v = v\ = ехр [ г
1
(••!)
1
4/V2(e + l/4)
, Н < 1. (31.176)
На верхнем пределе и -> гоо. Разложим предэкспоненциальную функцию
в ряд по v. Это дает
1
у/и*~^1
ехр (г'7г/4)
у/2
W
+
ги
3 з ,
32
ехр (г7г/4) f 1 г 9
V5 1 "
^ +
32
«' +
•}
dv. (31.17в)
§ 31. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЕРТИКАЛЬНОМ ДИПОЛЕ
205
Таким образом,
_ ехр (г'7г/4 + гк0га)
too
J ехр {kQrav2) |-^ + \ - ^2 + ... | dv
ехр(г'7г/4) • ... ч г.
= —=■—- ехр {ikQra)yJk0rax
too
/exp(^)d«{-i + i^-A_i^_ + ...}, (3U8)
too
X
p = vlk0r(T = ik0r(l-(T). (31.19)
Введем знакомое уже нам обозначение
Vp
у(р) - 1 - 2^/рехр (-р) / ехр (w2) dw. (31.20a)
too
Ниже мы еще вернемся к вопросу о том, с какой точностью фигурирующее
здесь р совпадает с нашим прежним численным расстоянием. Теперь
интегрированием по частям все слагаемые в 1\ могут быть сведены к интегралам,
содержащим у(р). Так, например,
Vp
j ехр (u,2) dw = (1 - У(Р))~=, (31-206)
/ ехр (w2)^ = -^- ехр/э (31.20в)
.2^ _ У(Р)
W2 у/р
и т. д. Поэтому 1\ принимает вид
ехр (ik0r)
х
x{J) + lL^ + A(i^yi + ..|(3,21)
Так как, согласно формуле (31.15), отношение (1 — с)/<т « 1/2£, т. е. мало,
то это разложение содержит последовательно убывающие члены. Сохраняя
только первый из них, мы допускаем погрешность порядка
I±2febLI. (31.22а)
8 2£ у(р) р
206
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
При малых р, как мы знаем, у(р) и l+iy/Wp, следовательно, это — величина
порядка
mfi-Jisks- (31-226)
При больших р можно считать у(р) и —1/2/э, следовательно,
погрешность имеет порядок
We2=h- <31-22B>
Таким образом, полагая, что \е\ > 2, к0г > 4, и сохраняя только первый
член разложения, мы допускаем даже для ультракоротких волн и самых
сухих почв погрешность, никак не большую, чем ~ 5%. Сохранив второй
член, можно повысить точность еще больше.
Удовлетворяясь указанной точностью, можем считать
exp (ikQr) I ст . _ exp (ikQr) y(p)
/__£_ { \ - езср {гк0г) у(р)
р = ikQr [ 1 . ].
(31.23)
Перейдем к I?. Как мы убедимся, этот интеграл даст малую поправку
к результату, нужную по существу только для того, чтобы оценить
погрешность, совершаемую при его отбрасывании. Поэтому можно ограничиться
первым приближением.
Именно, учитывая, что и здесь существенно значение подынтегральной
функции только вблизи нижнего предела, мы можем предэкспоненциальный
множитель разложить в ряд и сохранить лишь первое слагаемое, взяв его
значение при и = y/s/a (не составляет труда учесть и дальнейшие члены
ряда, который оказывается рядом по степеням 1/ек0г и хорошо сходится):
1 udu u\du у/ёа2
y/W~^T (U2- 1)3/2 („3-1)3/3 (е_а3)3/3
Поэтому
du.
too
(е - а2)3/2
и, следовательно,
Г exp(zfc0raU)du = _.l+£exp(tfc0rv^ (31>24)
J г е2 к0г2
g3/2 exp(tfc0r)
е2 - 1 г
_1 у{р) exp [ik0r(y/e - 1)] е + 1
^ y/y/TTTji-i ik°r
(31.25)
Оставляя в предэкспоненциальных множителях только члены порядка 1/е
относительно главных, получаем
п=0+h) !^£7М К>+'т^ехр lil:to)rl} ■ (з12б)
где к — к0 = к0(у/ё — 1) — разность волновых чисел в земле и в воздухе.
§31. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЕРТИКАЛЬНОМ ДИПОЛЕ
207
Таким образом, мы получили окончательное выражение для поля в
воздухе в виде двух членов. Один из них — главный — имеет знакомый вид и
содержит нормальную функцию ослабления. Другой описывает волну,
распространяющуюся от источника к точке наблюдения с волновым числом
к = \/ек0, характеризующим распространение в почве. Это волна,
доходящая в точку наблюдения через землю.
Найденное выражение (31.25) справедливо с точностью до членов 1/8£ (в
области больших численных расстояний р (31.22в)) или до членов l/Sy/k0re
(в области малых численных расстояний (31.226)). Переход к формуле
(31.26) связан с дополнительным (как легко видеть, мало существенным)
пренебрежением в предэкспоненциальных множителях, именно с
пренебрежением членами порядка 1/е2. Разумеется, его можно было бы и не
производить.
Перейдем к сравнению полученного результата с нашим прежним
выражением для функции ослабления (25.18).
Прежде всего видно, что у нас раньше отсутствовал член, описывающий
прохождение радиоволн через землю. Этот член изображает волну, подробно
исследованную в ряде работ ([56-58, 9]) для того случая, когда передатчик
и приемник расположены в среде с большим \е\ (например, в земли). Было
предложено называть ее «боковой волной».
В частности, решение, найденное нами выше для источника в земле
(§ 30), целиком сводится к волне, распространяющейся в основном не в той
среде, в которой расположен излучатель. Следовательно, оно по этой
терминологии сводится к боковой волне в атмосфере. Здесь волна,
соответствующая члену h — прямо доходящая, — успевает затухнуть. В случае
излучателя, находящегося в воздухе, если земля достаточно проводящая,
этот член будет мал из-за обычного ослабления, происходящего при
распространении волн в поглощающей среде, т. е. будет экспоненциально мал. Его
затухание описывается экспонентой
ехр I — коГл/Щьт —;— |.
4ж(т\
В некоторых случаях затухание может оказаться незначительным. Так,
если Ьжа/е'и <С 1, то фактор ослабления получится порядка
ехр (-fcorv^) = ехр (-^§г), (31.27)
что для сэмых сухих почвj о w 106 CGSE, £ и 2, дает ослабление в е
раз на пути порядка 40 м. Правда, в действительности как раз в области
сверхвысоких частот начинает проявляться дисперсия, а резко возрастает
и истинное затухание становится еще больше. Дополнительный
множитель l/kQr в этом члене не меняет положения, потому что первое слагаемое
у(р) для малых |£| уже при довольно небольших значениях превращается
в — 1/2/э и ie/kQr. Однако все же отношение второго члена к главному будет
иметь порядок ехр [—г/(у/ё • 25 м)] (1 +£)/е7/2 и при е = 2 уже при г ~ 20 м
это отношение равно примерно 15 %. При е = 3 на том же расстоянии оно
равно примерно 6%.
208
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
В случае всех такого рода затруднений можно пользоваться более полной
формулой (31.26) или (31.25), учитывающей явным образом все
необходимые члены.
Отсутствие волны, проходящей через землю, в нашем прежнем решении
вполне закономерно: при выводе граничных условий, лежащих в основе
всего решения, в гл. 4 мы исходили из того, что можно пренебречь этой
волной и что вблизи поверхности изменение поля описывается функцией
exp (ikQx)w(x) с медленно меняющимся фактором w(x). Волна, идущая
через землю, этому условию не удовлетворяет. Однако она может быть
существенна, как мы видели, только вблизи от источника. На описание поля в
этой области граничное условие (21.20) и не претендует.
Перейдем теперь к вопросу о том, насколько численное расстояние
(31.19) совпадает с тем численным расстоянием (25.2), которое мы до сих
пор считали аргументом функции ослабления. Из формулы (31.19) имеем
p = Pl = ik0r [1 ) . (31.28а)
\ Vl + 1/e/
Разлагая р\ по степеням 1/е и ограничиваясь членами первого порядка,
получим
ikor
2(еТз/4)'
Рх « ik0r± (l - ^) « ол.7о/,ч- . (31-286)
Между тем до сих пор мы считали
„ „ ik°r ik°r ли oq\
р = Р2 = 2^0" = 2(е + 1 + 1/е + ...у (31'29)
С практической точки зрения различие ничтожно. Оно тем более
несущественно, что сказаться могло бы только при малых |£|, когда функция
ослабления может быть заменена ее асимптотическим выражением — 1/2/э
уже на расстоянии порядка одной длины волны от источника, так что (если
пренебрегать волной, идущей через землю) формула (31.26) дает
Пи«Ф(адЛ+Пм^и«Ф(!М^Л + Л (31.3о)
г V 8е/ (-гк0г) г k0r \ 8е J ' v ;
а наше прежнее решение (24.22), (25.20) —
Следовательно, относительная погрешность равна 1/8£, что даже для самых
сухих почв означает введение не зависящей от расстояния поправки порядка
6%.
Таким образом, пренебрежение этим различием скажется в таких же
величинах, что и пренебрежение членами порядка 1/е2.
Следует вообще отметить, что в разных работах под численным
расстоянием понимают выражения, несколько различающиеся в членах высшего
порядка относительно 1/е. Так, в работах [45, 47], в графиках и таблицах
§ 32. МЕТОД НЕОДНОРОДНЫХ ПЛОСКИХ ВОЛН
209
[48] под численным расстоянием понимается результат умножения гк^г на
фактор
*g(fc»-fcg) е-1 1 „ 1
2JH 2е2 2е° ~ 2е(1 + 1/е + 1/е2 + ...)' ^ ;
Как видим, это совпадает с тем, что дает формула (31.29), которую мы
получили в решении, основанном на приближенном граничном условии и
которой мы пользовались повсеместно.
В точном решении, приведенном в настоящем параграфе ([55, 486),
56]), вместо этого получается формула (31.28а), как мы видели, практически
совпадающая с формулами (31.29) и (31.32).
Наконец, в работе [456] вместо множителя (31.32) фигурирует
к В I \ 1
Q _ (31.33)
^ЩТ&Ж Ъе^/Т+ТГе 2(е + 1/2)'
Как мы уже неоднократно подчеркивали, поскольку значение е
устанавливается из сравнения экспериментальных данных с выводами теории,
реально измеряемой величиной является некоторое эффективное значение £Эф
(т. е. е°, е + 3/4, е + 1/2 или £ + 1) в зависимости от того, какой
теоретической формулой мы пользуемся). Уточнение решения, полученное путем
учета этих малых добавок, имеет только тот смысл, что оно доказывает
применимость нормальной функции ослабления вплоть до самых сухих почв
и коротких волн.
Мы не приводим соответствующего вывода для поля в пространстве или
для поднятого над землей источника [48] (см. также §58). Очевидно, что
поле в пространстве определяется полем на поверхности. Поэтому совпадение
решений для z = О предопределяет их совпадение и при z ф 0.
§ 32. Метод неоднородных плоских воли
Рассматриваемая здесь задача теории распространения радиоволн может
быть решена также и другим методом, — если частные решения волнового
уравнения брать в виде плоских волн [45, 46]. Как показано в § 16, поле
точечного излучателя в однородной среде может быть представлено набором
плоских волн только в том случае, если среди них присутствуют волны с
комплексным вектором распространения, или, что то же, с комплексными
направляющими косинусами (16.11а):
1 exp (ik0R)
По = 2 R =
+оо
= ttff eXp fa** + qyy + *\Ao - Й - <&] , d4xd4y ■ (32.1)
227r J J L V J . /*•? _ „2 _ „2
\]Ч
4i-4y
Поэтому и в полном решении для излучателя над землей присутствие таких
волн неизбежно.
6) В тексте работы [48], с которым по существу совпадает вывод, приведенный в
настоящем параграфе, используется формула (31.28а). Однако переходя к числовым данным [48,
с. 1385], автор использует формулу (31.29), не останавливаясь на совершаемом при этом
несущественном изменении.
210
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Полагая
qx = ко sin a cos <p, qy = ко sin a sin <p, qz = ко cos a,
перейдем к переменным интегрирования (а, ф). Якобиан этого
преобразования, как легко проверить, равен &q sin a cos а. Считая, что <р меняется от
О до 27г, получим
2тг
По = - -— / sin a da I d<p ехр [г&о(а; sin a cos кр + у sin a sin кр + г cos a)].
I о (32.2a)
Вопрос о пределах интеграла по а или, точнее, о пути интегрирования Г в
комплексной плоскости а решается разбиением интеграла по qx, qy на две
части. Оно осуществлено в формуле (16.14). Пока qx + q% = kos\n2a <
< &q, можно считать, что а пробегает все значения от 0 до 7г/2. В области
Qx + Чу > ^о мы Должны считать sin a > 1. Следовательно, чтобы описать
интегрирование по всей плоскости переменных (qx, qy), мы должны к
интегралу по а, взятому в пределах от 0 до 7г/2, добавить интеграл по пути от
7г/2 до 7г/2 ± гоо. Требование конечности при z -> oo заставляет выбрать
знак минус. Окончательно получаем, таким образом, что контур Г
начинается в точке a = 0 и уходит в a = 7r/2 - гоо. Ввиду отсутствия полюсов
у подынтегральной функции он может быть деформирован в плоскости a
произвольным образом, лишь бы оставался закрепленным конец при a = 0.
Пусть теперь источник расположен не в точке х = у = z = 0, а поднят
на высоту zo- Тогда мы даже в области только положительных z должны
различать случаи z > zo и z < zo- В области z > zo мы попросту сдвигаем
начало отсчета. В области же г < го, в согласии со сказанным в § 16, нужно
знак при г заменить на обратный. Поэтому вместо формулы (31.2а) мы
будем иметь
1 ikQ
2~2ж
г
тт 1гк0 /" .
По = оТГГ / sin a aax
2тг
X
/ d<p ехр [г£0(а; sin a cos <p + у sin a sin <p ± (г — zo) cos a)]
0 (*£*&)• (32.26)
Метод состоит, таким образом, в замене поля источника пучком плоских
волн. Рассматривая отражение и преломление каждой из них на
поверхности раздела сред, мы можем получить полное поле в присутствии земли.
Каждая из падающих на границу раздела плоских волн порождает
отраженную плоскую волну, отличающуюся от падающей волны комплексным
коэффициентом / и изменением знака при г в показателе, поскольку
отраженная волна распространяется от земли. Каждая преломленная волна
отличается комплексным множителем д^, заменой ко на к = коу/ё (поскольку
она должна удовлетворять волновому уравнению в нижней среде) и заменой
а, <р на некоторые а', <р', являющиеся функциями первых. Она,
следовательно, описывается функцией
<7ц ехр [ikoy/e(x sin a' cos <p' + у sin a' sin <p' + г cos a')]. (32.3)
§32. МЕТОД НЕОДНОРОДНЫХ ПЛОСКИХ ВОЛН
211
Каждая тройка таких волн должна при z = О удовлетворять граничным
условиям (31.1), (31.2). Этот вопрос мы уже рассматривали ранее (см. §19)
и нашли, что отсюда следует обычный закон преломления, справедливый,
как легко видеть, и при «комплексных углах падения» плоской волны. Для
/ = /ц и д = <7||) а также для а они выражаются формулами Френеля (19.9),
(19.17) и (19.18). Поскольку входящие в них ^иФ выражаются через а и
а', ф = яу2 — а, Ф = тг/2 — а', имеем
(32.4)
(32.5)
^\\
sin а' 1
sin а у/ё'
t £ cos а — у е — sin2 а
k . / Г~2—'
£ cos а + v £ — sin а
1 + /ц 2 cos а
£ £ cos а + V £ — sin2 а
(32.6)
Складывая падающую и отраженную волны для каждого а и затем
интегрируя по а, находим поле в верхней среде при z > zo и, в частности,
полагая zq = 0, при z > 0:
тт 1г^о . . ,
11 = -—— / sin a daх
2 2я"
Г
/ sin a <
Г
/ d</>{l + /ц(а)}ехр [ifco(a;sinacos</> + У sin asin</> + г cos a)]. (32.7)
2тг
X
О
Интегрируя же по а выражения для преломленной волны, получаем поле в
земле
тт Ик0 Г .
Ill = «т:— / sin a da х
2 2л- J
Г
2тг
X
О
/ d</><7||(a) exp [ifc0(a;sinacos</> + у sin a sin <p + zy£ — sin2 a)], (32.8)
где в силу формулы (32.4) в показателе заменены ^/?sin a' на sin a и \ficos a'
на v £ — sin2 a.
В дальнейшем можно поступать двояко.
Во-первых, можно полученные формулы свести к известному уже
разложению по бесселевым функциям (31.9). Для этой цели мы положим
х = г cos 7, y = rsin7>
так что в показателях в формулах (32.7) и (32.8) будем иметь
xsinacos</) + у sin a sin </> = г sin a cos (<p— j).
212
ГЛ. 5. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Выполняя теперь интегрирование по <р
2-х
exp [ikQr sin a cos (<p — j)] dtp = 2nJo{kQr sin a) (32.9)
о
/■
и полагая затем
мы получаем
и dv
ко sin a = i/, kQ sin a da =
Vko ~ v
2'
оо
П = \ I J?~¥{1 + fll)Mrv) ехр (-'у/* ~ *°)• <32Л0)
о v °
Но (ср. (31.9в))
1 + /|| _ ' £ £
Таким образом, результат, действительно, совпадает с формулой (31.9а).
Аналогично можно показать, что совпадают формулы (32.8) и (31.96).
Однако вместо этого можно выполнять интегрирование непосредственно
в переменных а, <р. Этот метод был применен и к другим проблемам,
сохраняющим симметрию задачи, прежде всего к проблеме слоисто-неоднородной
среды, важной, в частности, для изучения распространения весьма
коротких волн в неоднородной атмосфере, в которой свойства среды считаются
зависящими только от одной координаты z (§55).
Глава б
ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
§ 33. Вводные замечания
В наиболее общем случае теории распространения радиоволн над землей
в однородной в электрическом отношении атмосфере должна учитываться
сферическая форма земли. История вопроса может быть разбита на два
периода соответственно целям, которые ставились перед теорией.
Уже в первые годы развития радио, в середине первого десятилетия XX
века, когда неожиданно удалось установить радиосвязь между Европой и
Америкой, возник вопрос, могут ли радиоволны, испущенные источником,
расположенным на земле, преодолеть кривизну земной поверхности.
Оптические аналогии подсказывали, что столь значительное дифракционное
проникновение излучения в область геометрической тени невозможно (если
пропорционально изменить размеры, то радиоволны с длиной волны порядка
1 км так же не могут обогнуть земной шар, как светящееся пятнышко на
поверхности вишневой косточки не может осветить ее противоположную
сторону) . Поэтому сразу возникла гипотеза о существовании в верхних областях
атмосферы ионизированного слоя, который, отражая радиоволны,
канализирует их в сравнительно тонком приземном слое.
Смелость и неподтвержденность этой гипотезы в течение многих лет
побуждали к попыткам точного математического решения дифракционной
проблемы. Тот факт, что цилиндрический провод служит осью, вдоль которой
может распространяться волна, с одной стороны, и неправильное ценне-
ковское решение для плоской волны, кажущимся образом подтвердившее
предположение о существовании подобной же поверхностной волны у
плоскости (см. §23), с другой стороны, внушали ложное представление о том,
что часть излучаемого поля в виде прилипшей к поверхности шара волны
может огибать этот шар на значительной части его окружности.
Прошло довольно много времени, прежде чем это представление было
опровергнуто и выяснилось, что на больших расстояниях поле
экспоненциально убывает с расстоянием. Поскольку это убывание, как и всякое
дифракционное ослабление поля в тени, менее заметно для длинных волн (см. ниже
§ 39), интерес концентрировался на проблеме длинных волн (до 10-20 км) и
значительных угловых расстояний (значительные вдоль окружности шара).
Когда было экспериментально выяснено, что истинным механизмом
распространения радиоволн вокруг земли является именно отражение от
ионосферы и радиосвязь на больших расстояниях стали все более переключаться
на короткие волны, распространение поверхностной или земной волны
(«дневное поле») при учете кривизны стало представлять особый интерес
именно для коротких, а с развитием радиолокации — ультракоротких волн.
Соответственно уменьшились те расстояния, которые стали играть главную
роль в теории, и в настоящее время можно считать, что в проблеме
однородной атмосферы, пока мы пренебрегаем лучом, отраженным от ионосферы,
нас интересуют в основном лишь расстояния между корреспондирующими
пунктами, очень малые по сравнению с радиусом земли.
214 ГЛ.6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
В одной из первых работ [63] по дифракции радиоволн вокруг земли
Ватсон с помощью обычного разложения по ортогональным (сферическим)
функциям получил решение в виде ряда, который, однако, сходился
чрезвычайно плохо. Единственным найденным из него результатом было
асимптотическое выражение для поля весьма длинных волн на поверхности земли
на очень больших расстояниях от источника. Оно обнаружило
экспоненциальный характер убывания амплитуды поля и, такими образом, было
доказано, что объяснить распространение радиоволн вокруг земли одной
дифракцией невозможно.
Преобразование этого ряда к практически приемлемым формулам было
осуществлено сначала путем замены некоторых входящих в него функций
различными асимптотическими выражениями. Эти замены часто были
недостаточно обоснованы, взаимно противоречивы и не позволяли оценить
совершаемую погрешность.
Последовательная формула, позволившая приближенно вычислять
функцию ослабления для земли конечной проводимости при учете дифракции,
была получена в 1935-1937 гг.. Б.А. Введенским [64]. Построенные на основе
этой формулы графики получили широкое применение, и их роль в практике
была очень велика. Затем Ван-дер-Поль и Бреммер [65, 11] использовали
более точные асимптотические выражения для заменяемых функций и
получили общую правильную формулу (см. ниже (39.20)). Они ее представили
в виде графиков для большого числа практических случаев.
В этих работах был недостаточно проанализирован важный вопрос о
переходной области вблизи геометрической границы тени и оставалась
неясной область допустимости сделанных аппроксимаций. Эти вопросы были
исследованы В.А. Фоком в работе [66], в которой он дал весьма полное решение
задачи. Основные окончательные формулы, полученные Фоком, совпадают с
формулами Ван-дер-Поля и Бреммера. Для практических применений
оказалось весьма существенным, что решение в виде ряда (плохо сходящегося
вблизи границы тени) Фок свел к интегралу (см. формулу (39.2)). Вместе
с результатами последующего табулирования входящих в решение функций
[66, 67] эти результаты можно рассматривать как прочную основу для
необходимых числовых подсчетов и как завершение всей проблемы. Вскоре
точно такое же решение М.А. Леонтович и В.А. Фок [68] получили гораздо
более просто совершенно иным методом, исходящим из приближенного
граничного условия Леонтовича (§21).
Таким образом, в настоящее время проблему распространения радиоволн
в однородной атмосфере вблизи однородной в электрическом отношении и
гладкой сферической поверхности земли следует рассматривать как
решенную.
Однако прежде чем излагать это решение, мы проведем
полуколичественный анализ, чтобы выяснить относительную роль различных входящих в
проблему факторов и достичь известной наглядности в трактовке процесса.
§ 34. Оценки и определение основных параметров
Основным фактом, обусловливающим возможность различных
упрощений в изучаемой нами проблеме, является малость длины волны всех
интересующих нас радиоволн по сравнению с радиусом кривизны земной
S 34. ОЦЕНКИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
215
поверхности. Этот радиус, который мы будем обозначать буквой а, можно
считать в среднем равным 6370 км « 6,4 • 108 см. Величина ка есть тот
новый геометрический большой параметр проблемы, который добавляется к
имеющемуся уже у нас электрическому (обычно большому) параметру е.
Наличие двух больших параметров несколько усложняет классификацию
различных частных случаев, потому что в решение могут входить как их
отношения, так и отношения различных степеней этих параметров.
В § 33 уже говорилось, что обычно нас интересуют участки земной
поверхности, линейные размеры которых малы по сравнению с радиусом
земли. Поэтому если за координату точки на поверхности взять центральный
угол (рис. 53), то этот угол повсеместно можно считать малым и
соответственно заменять sin i? на ■д или в
крайнем случае на ■д — i?3/6, a cos ■д на 1 или
на 1 - #2/2.
Если в некоторой точке земной
поверхности провести касательную к ней
плоскость ху, а вертикальную ось z направить
вдоль радиуса в атмосферу (рис. 53), то
уравнение поверхности можно
приближенно записать в прямоугольных
координатах как
* = -Чг- <34Л>
(В самом деле, точным уравнением было
бы уравнение а2 = х2 + у2 + (а + г)2, т. е.
z= -(ж2 + у2 + г2)/2а. Нож2 + у2 « a2i?f,
в то время как г2 « a2i?j/2, и потому при
малых i?i можно г2 отбросить.)
Так же как при изучении ПОЛЯ вблизи Рис. 53. Обозначения к § 34
плоской поверхности земли, мы можем
ограничиться рассмотрением поля вне земли, если введем приближенное
граничное условие Леонтовича для поля на поверхности. Допустимость
использования этого граничного условия в неплоском случае обусловлена тем,
что радиус кривизны поверхности весьма велик по сравнению с глубиной
проникновения поля в землю. Поэтому и здесь поле в земле вблизи ее
поверхности определяется полем на поверхности вблизи точки наблюдения, на
участке, который можно считать плоским.
Более точно критерий применимости для неплоской земли можно
определить из следующих соображений.
В § 14 мы видели, что в земле с большой диэлектрической
проницаемостью £ от поверхности вглубь распространяется плоская волна.
Существенно, что на глубинах порядка глубины проникновения Х/у/е фронт ее
создается синфазными колебаниями поля на поверхности земли. Для
сохранения этой картины в случае изогнутой поверхности важно, чтобы в пределах
участка длиной хотя бы порядка глубины проникновения поверхность
уклонялась от плоскости все еще на величину, малую по сравнению с «длиной
волны» в почве А/\f\e\.
216
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Совместим с серединой рассматриваемого участка начало прямоугольной
системы осей xyz так, чтобы уравнением поверхности было уравнение (34.1).
Тогда, согласно сказанному, необходимо, чтобы при х2 + у2 = А2/|£|
уклонение z поверхности земли от плоскости было весьма мало по сравнению с
Х/у/Щ, т. е.
2кау/\ё\->1. (34.2)
Отсюда легко понять, что при пренебрежении кривизной ошибка в
граничном условии будет порядка 1/ка\/Щ [36] (см. ниже (40.13)). Это условие
всегда очень хорошо выполняется.
В дальнейшем мы будем рассматривать поля электрического и
магнитного вертикальных диполей. В обоих этих случаях поле в сферических
координатах может быть описано однокомпонентным вектором Герца П или Пт
либо связанными с ними функциями Дебая и(г) и и(г), согласно формулам
(3.29) и (3.30) и волновым уравнениям (3.28а) и (3.31). Компоненты
электрического и магнитного полей определяются по функциям Дебая из формул
(3.32) и (3.33).
Поскольку приближенные граничные условия (21.33) и (21.35) верны
(критерий (34.2) выполняется с огромным запасом), мы можем просто
переписать их, заменяя Пг на ги и Пт2 на rv:
д(ги) гк . .
v ; - -.ги, г = а; (34.3)
дг v^o
d(rv)
= —iky/e — cos2 ibrv, r = a. (34.4)
or
Однако на поверхности земли, г = а, пользуясь тем, что вплоть до А ~
~ 10 км даже на морской поверхности, а на суше и для более длинных волн
*a>|v£°|,
можно пользоваться граничным условиями для и и и в более простой форме:
—- = —iky/e — cos2 ipv, r = а. (34.5а)
or
Мы можем объединить оба этих случая, рассматривая функцию и,
удовлетворяющую волновому уравнению, а также граничному условию
ди
—- = —iknu, г = а, (34.6)
or
г) = —j= для вертикального электрического диполя, (34.6а)
г] = у/е — cos2 ф для вертикального магнитного диполя. (34.66)
Поле заданных на поверхности источников должно быть определено так,
чтобы на малых расстояниях от источников оно переходило в поле,
найденное для плоской земли. Поэтому мы можем не выписывать источники в
явной форме.
5 34. ОЦЕНКИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
217
Представим себе источник в некоторой точке над поверхностью. С явным
нарушением масштабов (высота поднятия источника и точки наблюдения
почти никогда не превышает долей процента от радиуса земли;
исключение — радиосвязь с искусственными спутниками, и вообще
радиоастрономия) этот случай изображен на рис. 53. Разность между радиальной
координатой точки г и радиусом земли а будем обозначать для источника через
ho, Для точки наблюдения — через h& или просто через h:
ho = го — а,
Л = Лд = г — a <g. a.
Угловое расстояние между источником О и точкой наблюдения А обозначим
через т?, линейное — через R. Расстояние по дуге большого круга между
проекциями этих точек на поверхность равно D = ат?.
Если представить себе источник испускающим лучи, которые
распространяются по законам геометрической оптики, то очевидно, что
фундаментальную роль будет играть плоскость горизонта ОС, т. е. касательная к
сфере плоскость, проведенная через источник О. В приближении
геометрической оптики поверхность сферы слева от точки С является освещенной,
остальная часть поверхности (справа от С) находится в тени, за
горизонтом. Это, однако, может иметь место только для бесконечно малой длины
волны. При конечных А дифракция будет размывать границу тени. Если бы
граница была образована резким краем экрана, как это было рассмотрено в
§ 11, то по мере снижения точки наблюдения под плоскость горизонта
интенсивность поля убывала бы по кривой френелевой дифракции от края экрана,
изображенной на рис. 14, а функция ослабления изменялась бы в согласии с
формулой (11.7а), т. е. обратно пропорционально расстоянию до плоскости
горизонта (ср. (11.8в); h'Ajr\ «sin^>):
ехр (гтг£2/2)
, {= /*(I+i)^i (34.7)
где h'A — расстояние до «плоскости горизонта», р\ = ОС, г\ = АС —
расстояния до края экрана (рис. 54). Таким D
образом, было бы (при г\ ~ р\) j
, /— О Р\ 'С гх
М~ТГ\Ъ (34.7а) ^" А — -^ JJT
и ослабление измерялось бы числом зон
Френеля в вертикальной плоскости,
укладывающихся между точкой наблюде- I
ния и горизонтом. I
Как показал В.А. Фок [69], это дей-
„™„~,«т,. „„ „,,««т ,,«„„,„ „„„„,.„ „„„, „„ Рис. 54. Замена сферической поверхно-
ствительно имеет место, однако только * * v
„ _ ' сти клином
в непосредственной близости от
горизонта, пока h' невелико и составляет малую долю расстояния от плоскости
горизонта до поверхности земли в данном месте (подробнее см. § 39). При
дальнейшем увеличении h'A поле убывает с ростом \hA\ гораздо быстрее
(экспоненциально, см. § 39), и это существенно связано с тем, что метод Кирхгофа
218
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
в данном случае неприменим. Именно, в методе Кирхгофа интегрирование
проводилось бы по «плоскости отверстия», т. е. выше точки С по плоскости
CD, а на остальных частях поверхности, замыкающей точку наблюдения
(«теневая сторона экрана»), поле считалось бы равным нулю. Между тем
из-за малой кривизны земли поле проникает по земной поверхности
значительно дальше точки С, и потому интеграл по «теневой части» поверхности
земли отбросить так, как это делалось для экрана, нельзя. Поэтому замена
сферической земли в расчете резким краем экрана может быть правильной
только в некоторых случаях.
Перейдем к вопросу о том, насколько поле на освещенной части сферы
можно считать невозмущенным.
Для получения оценок мы будем исходить из того же интегрального
соотношения (5.14), которое служило нам для анализа поля над плоскостью.
Считая, что поверхность S совпадает с поверхностью земли, и обозначая
расстояние точки наблюдения до текущей точки поверхности через г', мы
перепишем это соотношение для и (все выводы, конечно, в равной мере будут
справедливы и для v) в виде
1 Г (exp(ikr')du д exp (ikr') "I ,„. ,„, „ч
S
где дифференцирование осуществляется по внешней нормали, т. е. д/дп =
= —д/дг. Заменяя ди/дп из граничного условия (34.5), имеем
1 Г exp(ifcr') f ik ., / 1 \ дг') Jr,, /oj/44
s
Слагаемые в фигурной скобке являются сравнительно медленно
меняющимися функциями текущих координат, а и можно написать в виде
u = 2uQw(r, #), (34.10)
где w — сравнительно медленно меняющаяся функция ослабления, «о —
поле которое было бы создано данным источником в отсутствие земли.
Выбрав мощность источника так, чтобы в свободном пространстве было
_ exp (ikR)
где R — расстояние до источника (для текущих точек на поверхности
обозначаем R = р'), видим, что и здесь относительная роль различных
участков интегрирования определяется прежде всего множителем exp [ik(r' + //)],
выделяющим на поверхности земли зоны, которые в данном случае
являются неплоскими. Очевидно, что влияние кривизны определяется
искажением формы первых зон по сравнению с теми, которые мы изучали в случае
плоскости. Заметим, что выбранное нами значение ио (34.11) соответствует
П° = ruo « auo, которое отличается множителем 1а от использованного в
гл. 5 (см. (24.0)).
Пусть, например, источник расположен на земле, и потому плоскость
горизонта совпадает с плоскостью, касательной в точке источника. Как и на
(34.11)
S 34. ОЦЕНКИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
219
А(х, 0, *)
рис. 53, мы введем для нее декартовы координаты ж, у и по нормали к ней
z (рис. 55). Уравнением поверхности земли опять будет уравнение (34.1).
Рассмотрим раздельно два случая.
Пусть сначала точка наблюдения А приподнята над горизонтом. Если
бы землю можно было считать плоской, то, как мы знаем (формула (12.11),
рис. 18 или 46), существенными были
бы значения х' такие, которые
укладываются в первой зоне, выражаемой
эллипсоидом на плоскости. Именно, при
значительных высотах z точки
наблюдения
»' < 20! = * , (34.12)
ksm'if}
где ф — угол возвышения. При малых
ф зона покрывает все расстояние, х' ~
~ х. Это имеет место при
sin ф ~ -^L 7=. (34.13)
у/кх у/кх
При достаточно больших ф, в
частности, справедливы интерференционные
(отражательные) формулы. Очевидно,
что кривизна земли несущественна и
не изменит результат, полученный для
плоской земли, если в пределах этой
существенной области поверхность
уклоняется от плоской незначительно,
именно настолько, что замена плоской
зоны на изогнутую, даже на ее конце,
вносит малый набег фазы Ф на пути OSA, ДФ ■< п. Но этот
дополнительный набег фазы для волны, идущей под углом ф к горизонту, т. е. с
волновым числом по оси z, равным kz = к sin ф, составляет
Дф = kzz' = kz'sm ф, (34.14)
где z1 — удаление от плоскости ху точки поверхности земли в конце зоны.
Согласно формулам (34.1) и (34.12)
■а-2
(34.15)
Рис. 55. Роль кривизны поверхности в
пределах существенной зоны
'2
z>~X-
1а 2fc2asin4^'
и условие принимает вид
или
ДФ =
sin^> >
2fcasin3^>
1 J_
" Pi
<7Г,
(34.16)
(34.17)
Здесь через р\ обозначен впервые появляющийся у нас важный для всей
теории большой безразмерный параметр л/ка. Так как эти рассуждения
220
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
относились к случаю достаточно высоких точек наблюдения, т. е. во всяком
случае к области
sin^ > -у=, (34.17а)
то говорить об условии (34.17) вообще имеет смысл только в том случае если
оно оказывается новым ограничением, т. е. если
2 1
<
у/кх у/ка
или, другими словами, если удовлетворяется следующее условие для новой
безразмерной величины р2'.
Р2 = U > 1. (34.18)
Этот параметр рг также весьма важен для теории. Выражая расстояние
х в километрах, а длину волны А в метрах, этот параметр, считая а =
= 6,4-103 км, удобно выражать так:
~з
р2«2-1(Г5—. (34.18а)
А
Можно подробнее разъяснить вывод соотношения (34.16). Для этого
рассмотрим сумму путей р' + г' для текущей точки, во-первых, на плоскости
ху, во-вторых, на поверхности земли.
Для точки на плоскости в случае значительных z имеем х' ■< х и
r' + p'= yj{x - X1)2 + у'2 + Z2 + уж'2 + у'2
Для точки на сфере
г' + р'=
= ^_,r + !/,+ (,+ ^+£!)2 + ^ + ^+(i!±^)2K
1 ,, х z2 + x'2z/a x'3x
~х + оУ "Г? л +^7 7Г+ГТ, 7ч» 34.19а
2 х'(х — х') 2{х — х') 8а'(х — х')
где отброшены члены высшего порядка (мы учитываем, что у' •< х').
Следовательно, избыток фазы, получаемый умножением на к разности этих двух
выражений, равен, как мы и считали в формуле (34.16^ (последнее слагаемое
в (34.19а) мало, а х' подставляем из формулы (34.12)),
kx'2z kx'2z n2kz ж2
ДФ
f*j
2а(х — х') lax 2k2axsm4^ 2fcasin3^
Рассмотрим теперь случай малых высот, в пределе z = 0, т. е. тот
случай, когда точка наблюдения находится в плоскости горизонта. Здесь
§ 34. ОЦЕНКИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
221
мы получаем вместо формулы (34.19а)
Учитывая, что теперь первая зона охватывает область всех х' вплоть до
х' ~ х, причем все они играют в общем одинаковую роль, мы полагаем
х' ~ х ~ х — х'. Это дает
х3
Следовательно, для того чтобы кривизна не оказывала влияния, должно
быть
кх3
Р2=8а*<1- (34,20)
Таким образом, резюмируя условия (34.17), (34.18) и (34.20), можно
сказами следующее. Если безразмерный параметр рг = кх3/8а2, где х —
проекция на плоскость горизонта расстояния до точки наблюдения, мал, то
даже для точек наблюдения, лежащих в этой плоскости, кривизна
несущественна. Если он велик, то кривизна не сказывается на точках наблюдения,
поднятых на такую высоту, что угол скольжения ф удовлетворяет условию
(34.17).
Применяя теорему взаимности, мы можем высказать также следующее
утверждение. Если источник находится выше плоскости горизонта или на
ней, то поле, которое он создает на поверхности земли, не отличается от
того поля, которое было бы здесь создано, если бы эта точка находилась
на плоской поверхности, совпадающей с касательной (в точке наблюдения)
плоскостью, при условии либо, что р2 "С 1) либо, если Р2^1> что угол
скольжения падающих лучей ф превышает 1/ука.
Таким образом, область расстояний х (от источника, находящегося на
поверхности) в касательной плоскости, удовлетворяющих условию кх3/8а2 =
= Р2 ■< 1) можно считать невозмущенной. Результат для поднятой точки
наблюдения можно поэтому получить из следующих простых соображений:
для того чтобы кривизна не сказывалась в поднятой точке, необходимо,
чтобы существенная для нее область поверхности х' < 2/к sin2 ф (ср.
(34.12)) укладывалась в невозмущенной зоне х' < у 8а2/к. Отсюда сразу
следует условие (34.17).
До сих пор мы говорили только о геометрических параметрах. Но
очевидно также, что кривизна проявляется в большей или меньшей степени в
зависимости от того, насколько быстро поле ослабевает с расстоянием из-за
плохих электрических свойств почвы. Именно, существенно, какое из двух
ослаблений — геометрическое или электрическое — сказывается раньше,
когда мы удаляемся от источника, находящегося на поверхности земли,
двигаясь по самой поверхности. Это можно сформулировать иначе так: успевает
ли проявиться отличие £ от бесконечности, когда начинает проявляться
кривизна, т. е. на расстояниях х ~ у/8а2/к? Для ответа на этот вопрос нужно
определить, больше или меньше единицы соответствующее численное
расстояние. Положение, конечно, будет различным для электрического и для
222
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
SX0
магнитного диполей, поскольку для них численные расстояния р = ikx/2e°
(25.2) и рт = ik(e — \)х/2 (28.1) по-разному связаны с геометрическим
расстоянием х. Обозначим для вертикального электрического диполя
v/i5 e 1
S = i-r= = i = —туг- (34.21)
у/Ы у/кНу/Г^Т $/2q
(параметр 6 фигурирует у Бреммера [11], a q — у В.А. Фока [135], по
существу же они встречаются и в более ранних работах по дифракции радиоволн
вокруг земли, например, у Б.А. Введенского).
Численное расстояние, которое нас интересует, есть
-&#-^-4-••*"*«•• 04.22)
Таким образом, если параметр S велик (длинные волны, морская
поверхность), то главную роль играет геометрическое убывание. Параметр S
мал, т. е. соответствующее численное расстояние велико, для коротких и
ультракоротких волн при сухой почве. Параметр S также играет в теории
весьма значительную роль. Будем считать, что Ажа/ш ;> е' (однако для
ультракоротких волн это обычно неверно). В таком случае
_1_ ,/ кас? _ А
\6\ * V (47Г)3<т3 ~ о1'2****' { }
Часто, вычисляя этот параметр, выражают а в электромагнитных
единицах, а Л — в километрах. Тогда
А и 0,44-Ю-6,
или
Iv^ol"1 = 0,23 • 10V/2A5/6, (34.24)
где х0 взято из условия kx^/Sa2 = 1.
Как показывает полное исследование, случаи |Л/55^| ^ 1, действительно,
резко различаются видом решения (ср. [6, с. 199; 11, с. 47]).
С другой стороны, для вертикального магнитного диполя действие
электрических параметров почвы сказывается на гораздо меньших расстояниях.
Соответственно введем
*■-?'= *е^т—«4:- (3425)
Численное расстояние равно
smxo = f (е - 1) ^ = -^ = -.' • 2^я1. (34.26)
Если проводимость настолько велика, что Ажа ;> еш, то
w = «*&=*/&?>■ B=\S' <34-27>
или
|V5~5S| = ^1/2^1/6- 4«2,4-109.
§35. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ И ФАКТОР РАСХОДИМОСТИ 223
§ 35. Иитерфереициоииые (отражательные) формулы
и фактор расходимости
Перейдем к определению поля в освещенной части пространства.
Как уже выяснено в § 34, о точках наблюдения на земной поверхности
здесь можно говорить только в том случае, когда источник поднят, потому
что в противном случае вся поверхность земли оказывается в полутени или
тени.
Для достаточно больших углов скольжения ф (34.17) в каждой точке
поверхности мы можем считать поле равным тому, которое здесь было бы, если
бы в окрестности этой точки поверхность совпадала с касательной
плоскостью. Но в этом случае поле слагалось бы из падающего поля и отраженного с
коэффициентом отражения Френеля / = /ц. Вводя функцию Дебая и (§34),
будем иметь вблизи точки С (рис. 53)
11 = «о + «1 = (1 + /)«о, (35.1)
где (см. (34.11))
Ыо=ехр£М (352)
В некоторой поднятой точке наблюдения А поле в общем случае
отличается от того, которое здесь получилось бы при отражении от плоскости,
касательной к шару в точке С. Объясняется это тем, что существенная для
поля зона на поверхности шара может стать настолько велика, что на ней
может сказаться кривизна.
Для вычислений обратимся к уравнению (34.9). В данном случае
дг'
— = ьтф, (35.3)
и потому, подставляя выражения (35.1), (35.2), получим (при этом, в
согласии с принципами метода отражательных формул, мы считаем ф для всей
существенной области интегрирования постоянным и выносим все
выражения, содержащие ф, из-под интеграла, причем учитываем, что кг0 ^> 1):
" = "о + £ (-F= - sin ф) (1 + /)/, (35.4а)
4тг
/=^/^еХР^(г' + ^- (35'4б)
Интеграл распространен по поверхности сферы.
Воспользуемся прямоугольной системой координат х', у', z' (с началом
в точке отражения С), в которой источник и точка наблюдения имеют
координаты х'0, О, z'0 и х'а, О, z'a. Разлагая г' + р' вблизи точки С по степеням
х', у' и z', имеем
р' + г'яРо + г0+-у2 — + — +г'ьтф + х2——2- — + — . (35.5)
224
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Подставляя вместо координаты z' ее значение на поверхности z' =
= — (ж2 + у2)/2а и заменяя г'р' в предэкспоненциальном множителе в J
на г0р0, приходим к двум френелевским интегралам (по х' и по у').
Воспользовавшись формулой для этих интегралов (10.13), получим
_ exp (ikR) exp (ikR')
aR' sin ф
roPo + oRf sin ф'
(35.6)
Рис. 56. Возникновение фактора рас
ходимости
где R' — г0 + ро — суммарный путь отраженной волны.
При отражении от плоской поверхности, а = оо, последний
множитель (квадратный корень) обращается в единицу. В таком случае формула
имеет обычный наглядный смысл: в точку наблюдения помимо прямой
волны приходит отраженная, ослабленная
в меру коэффициента отражения / и с
полным набегом фазы kR', соответствующим
пройденному пути. Простой смысл имеет
также различие знаменателей Д и R' обоих
слагаемых. Всякий пучок лучей,
испущенных источником, расходится конусом, и его
энергия распределяется по площади,
пропорциональной квадрату пройденного пути
R. Следовательно, амплитуда поля (пропорциональная корню квадратному
из энергии) из-за этого чисто геометрического эффекта должна убывать
обратно пропорционально пути. Отраженный пучок проходит путь R',
больший, чем путь прямого луча (рис. 56). Это и объясняет фактор R/R',
который можно назвать фактором расходимости при отражении от плоскости.
В случае сферы расходимость, очевидно, больше. Отсюда возникает в
формуле (35.6) последний множитель, меньший единицы, который обычно и
называют фактором (или коэффициентом) расходимости для сферы.
В случае поля горизонтального электрического или вертикального
магнитного диполя эти чисто геометрические соображения сохраняют силу.
Следовательно, не повторяя всего вывода, мы можем считать, что и в этом
случае можно пользоваться формулами для отражения от плоскости,
добавляя в отраженной волне тот же фактор расходимости. В самом деле,
коэффициент расходимости появился у нас при интегрировании по поверхности
оттого, что в разложении фазы (35.5) возникло новое, не встречавшееся в
случае плоскости слагаемое г'sin ф = — (х 2/2а) sin ф, и во френелевском
интеграле по х' это сказалось. Очевидно, что при вычислении с помощью
интегральной формулы (34.8) такой результат получится для любого источника
и для любой составляющей поля. Он связан исключительно с искривлением
поверхности, на которой нанесены зоны. Подробное изложение частных
случаев и техники применения отражательных формул см. в книгах [6-8].
Коэффициент расходимости
а =
aR' sin ф
го/>о + ail'sin^
существенно отличен от единицы только при весьма малых ф,
(35.7)
§ 36. ПОЛЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ В СЛУЧАЕ МАЛОГО ВЛИЯНИЯ КРИВИЗНЫ 225
Для практического использования выписанные выше формулы
необходимо преобразовать так, чтобы в них входили не ф, г0, ро и R', а
непосредственно задаваемые условиями практики величины ho, hA и •&. Поэтому
учтем, что
Ро = -—г, го = -—-, (35.8а)
sin ф sin ф
а& = росоьф + госоьф = R'соаф. (35.86)
Следовательно,
Отсюда также следует, что
ho + hA
«'^лЧ^)2*"^^' <*->
в то время как
Поэтому
R=a#+l(hO+hA)2 (35Л0б)
2 av
D/ D 1hohA _ 2hohA
R — R= z— « —-—, (35.10в)
av R
и коэффициент расходимости можно переписать так (считая теперь cos^>«
и1):
01 = у l + h0hAR?/a{h0 + hA)3- (35Л1)
§ 36. Поле иа поверхности земли
в случае малого влияния кривизны
В этом параграфе мы рассмотрим поле на поверхности земли, созданное
вертикальным диполем, также расположенным на этой поверхности,
интересуясь специально столь малыми расстояниями от источника, чтобы влияние
кривизны выступало как малая поправка. Полученный результат позволит
определить область применимости теории, в которой земля считается
плоской. Соответствующий критерий (см. (34.20)) мы уже получили из весьма
простых соображений. В настоящем параграфе мы получим более точную
оценку, которая позволит оценить погрешность.
Рассмотрим уравнение (34.9) для точки наблюдения, находящейся на
поверхности земли. Здесь необходима некоторая осторожность. Дело в том,
что во втором члене в интеграле
Г д exp(ifcr') ,„, Г /., 1 \ exp (ikr') дг' „, /0/. ,.
имеются члены, которые для точки наблюдения на сфере, hA = 0, кажутся
расходящимися. Преобразуем их, считая hA ф 0, а затем перейдем к
пределу hA = 0.
226
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Введем на время ось сферической системы координат, проходящую через
точку наблюдения А, с полярным углом в (рис. 57). Из треугольника ABC
(точка В — переменная точка на
расстоянии г от С) имеем для расстояния г" от
А до точки В
г"2 = (а + hA)2 + г2 - 2г(а + hA) cos0,
дп~ \дг )r=a ~
а — (а + hA) cos#
= fa
г'
2г' \дп)0 г' v ;
где через (дг'/дп)0 обозначена та
выделенная часть дг'/дп, которая не исчезает
при Ид -> 0 и не зависит от hA. Как
видно,
(?Л =-ЩмА. (зб.з)
\дп)0 2аг' 2 V ;
Мы покажем, что остающийся после этого
выделения интеграл равен в пределе — 2жи. Действительно, dS' = 2na26de,
а так как г'2 = (г"2)г=а = h\ + 2а(а + hA){l - cos0), то г'dr' = a26de, и
потому этот остающийся интеграл равен
оо
= ^(-2^) J и (,* - I) f&&ll dr'. (36.4)
Рис. 57. Обозначения к § 36
Так как
оо
/« /, /ч . / exp(ikr') I f (ди ., \ exp (ifcr') , .
P?exp(.fcrOdr/= VKr, >u | -у (^7 + »*«) ^ ^r',
(36.5)
то, учитывая, что величина ди/дг' ограничена, а и при подстановке г' = оо
исчезает, внося этот результат в интеграл (36.4) и устремляя hA к нулю,
получаем
Г д exp(ifcr') ,„. Г /., 1\ exp(ifcr') /dr'\ ,„, n /п/.
В оставшемся интеграле можно считать к ;> 1/г'. Действительно, член 1/г'
не дает при г' —>• 0 расходимости, поскольку, согласно формуле (36.3), при
§ 36. ПОЛЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ В СЛУЧАЕ МАЛОГО ВЛИЯНИЯ КРИВИЗНЫ 227
г' —>• 0 будет (дг'/дп)0 ~ —г'/2а, dS' = 2ж г' dr' и г' сокращается. В то же
время первый член в скобке в интеграле (36.6) будет содержать кг'. Поэтому
главный вклад будет давать именно этот, растущий с г' член. Удерживая
только его, мы внесем значение (36.6) в формулу (34.9), заменим ди/дп =
= —ди/дг с помощью формулы (34.3) и получим (нужно еще перенести и/2
в левую часть и умножить все уравнение на 2) для точек наблюдения на
поверхности сферы в случае электрического вертикального диполя
гк Г exp(ifcr') ( 1 дг'\ ,„, . .
Мы отбросили значок нуль при дг'/дп, поскольку теперь ясно, что г'
соединяет две точки на сфере: текущую точку и точку наблюдения. Для
магнитного вертикального диполя l/vt° заменяется на у/е — 1. Здесь интеграл
распространен по поверхности земли. Член и0 выражает поле, которое
данный источник создал бы в отсутствие земли.
Положим (что с точностью до множителя 1/2
совпадает с (34.11))
1 exp (ikR)
Uo=2—ll —
(36.8)
Существенно, что расстояние R отсчиты-
вается по прямой О А, соединяющей точки
источника и приемника, т. е. проходящей в
данном случае сквозь землю. То же справедливо
для расстояния г' между точкой А и текущей
точкой S' (рис. 58).
С другой стороны, практически
расстояние отсчитывается по поверхности земли, т. е.
по дуге. Различие между этими двумя мерами расстояния весьма
существенно. Введем расстояние АО, отсчитываемое по дуге
D = ад, (36.9)
Для текущей точки S', находящейся на дуге
Рис. 58. Переход к расстоянию,
отсчитываемому вдоль дуги
большого круга
где т? — центральный угол.
О А, имеем
Так как
R = 2а sin
т?
D' = а#\
1ш?3
а# _ ____
3 8
= D
D3
24а2
и аналогично для каждой точки дуги О А
г0 = 2а sin
D-D'
{D - D'f
(36.10)
(36.11)
(36.11a)
2 " 24a2 '
где вторые члены при малых i? всегда малы, то, приближенно решая эти
уравнения относительно D и D — D', получим
^« + |j- (36.12)
228
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
'3
D-D's*r'0+^. (36.13)
(36.14)
Далее, согласно формуле (36.3),
дт^ _ #-д' _ D-D'
дп~~ 2 ~~ ~ 2а
Введем, как обычно, функцию ослабления (относительно расстояния,
отсчитываемого по дуге)
„=«PJ*5^D)l „(„о = «2^i.(Dl)l (36.15)
где D\ — расстояние по дуге большого круга от источника до текущей точки.
Подставим все эти выражения в уравнение (36.7) для и, которое тогда
превратится в следующее уравнение для w:
ехР Щк- в)] а г / 1 д^л
Д/D 2тг У VV? 2а /
х exp [ik{D! + г' - £>)] W^)dS ■ (36.16)
Для интегрирования по поверхности введем следующие, несколько
необычные, ортогональные координаты. Рассматривая большой круг, частью
которого является дуга О А, как экватор, проведем параллельные ему круги-
параллели, а затем соответствующую сетку меридианов, в каждой точке дуги
О А проходящих перпендикулярно к ней. Тогда в узкой области,
примыкающей к дуге О А (только эта область и эффективна при интегрировании),
мы получаем почти прямоугольную сетку координат (D', у'), где у' измеряет
расстояние параллелей до «экватора» — дуги О А. В этой системе координат
будет
dS' = dD'dy',
r-y/r0+y ~r0+2^~L> U 24fl2 +2{D_D,y (36.17)
'2
Dmy/D'i + y'^D'+i^j.
Пренебрегая в предэкспоненциальных множителях и в аргументе у w(Di)
величиной у 2, малой по сравнению с D 2 и с (D — D')2, а также величиной
_D2/24a2, малой по сравнению с единицей, приведем уравнение (36.16) к
виду
( -, D3 \ ikD П 1 D - D'\ w{D') dy'dD'
/ ., Ш - Я')3 »*£> '2\ ,
Х^(-'*Ь4* +22У(Р-2Г)У J' (36Л6а)
5 36. ПОЛЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ В СЛУЧАЕ МАЛОГО ВЛИЯНИЯ КРИВИЗНЫ 229
Выполняя обычное интегрирование по у 2, получаем окончательный вид
уравнения:
(-&){=
w(D) = ехр ( -Л— ){ 1 + •
/• «;(£>') ехр {(tfc/24a2)[Z>3 - (JP - £>')3]}
y/D'{D - D')
(1 + ^5^-)dD'}' (36-18)
где s имеет обычное значение s = ik/2e°.
Это уравнение отличается от уравнения для плоской земли (24.12)
помимо замены горизонтального расстояния на расстояние, отсчитываемое по
дуге, двумя множителями под интегралом: один из них —
экспоненциальный — имеет чисто геометрический характер. Он указывает эффективную
в некотором смысле область интегрирования по D', как ее задает эллипсоид,
соответствующий первой зоне. Для случая больших рг = kD3/Sa2, когда
эллипсоид чрезвычайно вытянут, он показан на рис. 58. Как видно из рисунка,
«эффективных» областей две: при точке О и при точке А, когда
D*-{D-D>f<^.
Однако положение далеко не так просто, как в случае плоской земли. Дело
в том, с одной стороны, что влияние участка, прилегающего к точке
наблюдения, подавлено присутствием множителя w(D'). На плоской земле
он меняется в худшем случае только обратно пропорционально расстоянию.
Здесь же, если точка А далеко в тени, он экспоненциально мал. С другой
стороны, множитель D — D', в особенности если |£°| велико, подчеркивает
роль участков, удаленных от источника. Поэтому выделение указанных
«эффективных» областей отнюдь не всегда имеет решающее значение.
В случае малых рг этот эллипсоид охватывает всю дугу О А. Тогда
экспоненциальный множитель близок к единице для всех ТУ и кривизна
может сказаться только благодаря второму множителю под интегралом:
l + Ve?{D-D')/2a. Этот множитель особенно существен при относительно
больших |£°|. Так, в пределе для бесконечно проводящей земли мы
получаем, полагая D = D£,
1
w{D) = 0xp[-ik^){l + iJ^Jw{D€)J±-^x
х ехр
(^i-a-o3])^}- (зе.19)
Отсюда видно, что в случае идеально проводящей земли, когда все
ослабление связано только с геометрическим искажением зон Френеля, функция
230
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
ослабления зависит от расстояния только в комбинации p<i = kD3/Sa2 и
обращается в единицу, когда рг стремится к нулю.
Уравнение (36.19) может быть решено разложением w в ряд по степеням
корня квадратного из рг> причем для не очень больших р2, Рг ^ 2, этот
ряд хорошо сходится. В случае плохо проводящей земли может оказаться,
что w(D') под интегралом убывает с расстоянием быстрее, чем происходят
осцилляции экспоненциального множителя, и уже в пределах первой зоны
Френеля сказывается множитель w(D'). Для того чтобы это произошло, как
мы знаем (см. § 34), должен быть мал параметр
5 = г—=. (36.20)
\/ка
Этот случай представляет основной интерес для ультракоротких волн.
При выводе уравнений (36.18) и (36.19) мы не налагали никаких
ограничений на величину расстояния D (кроме малости по сравнению с а), и в
этом смысле полученные уравнения являются точными (в волновой зоне).
Теперь мы перейдем к рассмотрению вопроса о том, с какой точностью
справедливы формулы, выводимые для плоской земли. Для этого будем считать
геометрические искажения малыми, полагая соответственно
kD3
Р2 = g^r < I- (36.21)
Отличие от единицы экспоненциальных множителей в уравнении (36.18)
может дать поправки лишь порядка рг- Член v^(D—D')/2a, как мы увидим
ниже, дает более существенную поправку. Поэтому мы можем заменить
ехр (грг) на единицу и рассмотреть оставшееся более простое уравнение
D
w(D) = 1 + J— f w(D')11 a{D ~ D>) dD', a = v^^-. (36.22)
V ; V к J v ; y/D'{D- D') 2a K >
Разделим все уравнение на y/D и применим к нему преобразование
Лапласа, т. е., помножив уравнение на ехр (—pD), проинтегрируем по D от 0
до оо. В правой части интегрирование по D' и по D можно поменять
местами. Тогда, пользуясь тем, что
оо
/
exp(-p£)i|=^, (36.23)
о
мы получим для преобразованной по Лапласу функции
оо
w(D)
Щр) = J
VD
о
ехр (-pD) dD (36.24)
простое алгебраическое уравнение
п«=Л+^{\/?+^а}од- (36-25)
§ 36. ПОЛЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ В СЛУЧАЕ МАЛОГО ВЛИЯНИЯ КРИВИЗНЫ 231
Отсюда
ОД = -что—. У**' ./оЧ—F- (36.26)
v ; рЗ/2 _ i^p _ (i/2)cty/s '
Интересующая нас «первообразная» функция, как известно, получится после
обратного преобразования
У+t'oo
^=2^ / ОДехР(^)^. Т'>0, (36.27)
■у '—too
где интегрирование производится по прямой, проходящей вдоль мнимой оси
на малом расстоянии у' от нее.
Мы вычислим этот интеграл только для больших численных расстояний
{\sD\ ;> 1) и, кроме того, учитывая малость aD. Именно, полагая pD = р',
sD = p, aD = а' и отбрасывая штрих, получим
-y+t'oo
р3/2-ч^(р+«/2)'
w{D) = f: f Рехр(р)ф
7—too
При а = 0 получаем функцию ослабления для плоской земли y{sD) (25.17)
(применяя формулу (2.9) из справочника [70] или самостоятельно
интегрируя).
Разложим подынтегральное выражение по степеням 1/^/р:
(D\ _ V^ ' f[P exP Н dP l [ (P5/2 exP (?) dP 1_
^ } 2niy/p\] p + a/2 Jp] (p + a/2)2 +"-J
Первый интеграл берется просто, если мы замкнем контур слева
полуокружностью бесконечно большого радиуса, и выражается через вычет в точке
р = -а/2:
h = 2та(-а/2) ехр (-а/2) и -гтга. (36.30)
Во втором интеграле имеется точка ветвления р = 0. Однако так как
нас интересует результат только при малых а, то можно разложить 1^ по
степеням а/2:
'-'•<">+ (2$5)L,!+- (3631)
и ограничиться не зависящим от а первым членом (поскольку член (36.30)
скажется в разложении (36.29) сильнее)
7+too
/з(0)= J ^pexp(p)dp. (36.32)
■у—too
232
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Он берется заменой р = г£2:
I2 = -iyfii. (36.33)
Поэтому
*>(D) « -^-(1 + *<*V*P), (36.34)
lp
причем отброшены члены, которые имеют относительно главного порядок
1/р, порядок а и порядок р2.
Подставляя значения а и р, получаем
w{D) и -^-(1 + iy/iirpi),
N*»l - jfcV У?) •
(36.35)
Таким образом, оказывается, что поправка появляется в члене порядка y/p<i.
Резюмируя, мы можем сказать, что на поверхности земли нормальная
функция ослабления, вычисленная для плоской земли, у{р), остается
правильной при единственном ограничении:
Если мы удовлетворимся точностью, скажем, в 10%, то это значит, что
формула справедлива до расстояния
Расстояние, на котором р2 = 1, можно записать так (ср. (34.18а)):
D и {37Л1/3} км. (36.38)
В соотношениях (36.37) и (36.38) предполагается, что длина волны Л
выражена в метрах.
§ 37. Поле вблизи плоскости горизонта иа больших расстояниях
Для практики коротких и ультракоротких волн весьма важен тот случай,
когда расстояние от источника велико, т. е. р^ = кх3/8а2 3> 1 (это значит,
что х > 37А1/3, где х выражается в километрах, а Л — в метрах), но точка
наблюдения находится вблизи плоскости горизонта, в области полутени, где
ослабление поля, обусловленное кривизной земли, еще не очень велико. В
настоящем параграфе мы ограничимся выводом функции ослабления для
этого случая. Кроме того, интересуясь специально областью коротких волн,
мы будем считать, что \8\ = \\/ё®/у/ка\ •< 1 (см. формулы (34.21) и (34.25)).
Пусть источник находится на поверхности земли. Мы снова можем
применить уравнение (34.9) при и и uq, даваемых формулами (34.10) и (34.11),
причем, так как высота точки наблюдения над поверхностью земли всегда
в интересующих нас сейчас условиях очень велика (по сравнению с длиной
S 37. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОСТИ ГОРИЗОНТА НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ 233
волны), слагаемым \/ikor' можно пренебречь. Следовательно, уравнение
имеет вид (обозначения см. на рис. 59)
w=h%RSw{p)^[ik{r+p-R)]di{-7?-d£)- (37Д)
Применяя прямоугольные координаты с плоскостью (ж, у), касательной
к сфере в месте расположения источника, и полагая для текущей точки z1 и
« —ж 2/2а, мы имеем приближенно
r + p-R= yj(x - ж')2 + у'2 + (z - z'Y + лД'2 + у'2 + г'2 - л/ж2 + г2
I/O Ж
г2 ж'
/2
жж
'3
~ 2* ж'(ж-ж') +2жж^ж/+г2а(ж-ж') + 8а2(ж-ж')* ^37'^
Далее, предэкспоненциальный фактор дг/дп можно определить
приближенно, например, для точки, лежащей в плоскости горизонта, z = 0. Из
О(0,0,0),
А(х, 0, 0)
Рис. 59. Обозначения к выводу уравнения (37.3)
рис. 59 в таком случае следует, что
(ж - ж') tg (/?'-<) =-г' =
или, заменяя sin и tg аргументом,
£ * fi * # +--*L
on 2а(ж — ж
2а'
0*т(1 + 2(ГП?))- <87А>
После обычного интегрирования по у' получаем
1 г fsx f dx'w(x')
w = —I-
2 2
fsx~ Г dx
■у/ж'(ж — Ж')
Ж
а
-Ve0
у^ж'2
2а(ж — ж')
х
'ч
&гж
'2
А; г2 ж'
\ ж2(ж — ж') 2а(ж — ж') 2ж(ж — ж')
(37.3)
234
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Это уравнение пока является вполне точным (здесь использовано только, что
г<ги что выполняются другие подобные достаточно легкие условия).
Если мы теперь примем, что расстояние от источника очень велико,
П = |^г > 1, (37.4)
то экспоненциальный множитель, содержащий этот параметр, будет
эффективно ограничивать интегрирование областью весьма малых х', именно
такой, чтобы было
кх'3
17 *'' <37'4а>
т. е.
х' 1
- < -тт= « 1, (37.46)
причем вследствие весьма частых осцилляции при возрастании х' сверх
указанной величины роль больших х' резко падает. Легко видеть, что эта
быстрота погашения далеких от источника областей х' связана с тем, что
поверхность земли, уклоняясь от плоскости горизонта вниз, весьма резко
выходит из зоны Френеля, построенной в вертикальной плоскости. Поэтому
повсюду можно в выражениях х — х' отбросить х', малое по сравнению с
х. Кроме того, из условия (37.46) следует, что второе (и тем более третье)
слагаемое в скобке под интегралом в уравнении (37.3), отличающееся от
первого множителем
а ~ a*/pi ^'
мало по сравнению с первым, и потому может быть оставлено только первое
слагаемое.
Наконец, и это является самым важным, условие (37.4а) показывает,
что в области интегрирования, согласно формуле (36.35), еще не успевает
сказаться кривизна. Поэтому под интегралом можно w(x') заменить его
значением, известным для плоской земли:
w{x')&y(sx'). (37.5)
Таким образом, вычисление функции ослабления сводится к квадратуре.
Ограничимся сначала точками наблюдения, расположенными строго на
плоскости горизонта, z = 0. Тогда
= 5 + ШЗрЧ*Й"- (376)
х
1 Ъ fT
W
2 2 V *
о
Легко убедиться, подставляя значение (25.18а), что существует тождество
^y(sx) = d l ~ V(sx) /37 7ч
yfx dx yfsx
S 37. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОСТИ ГОРИЗОНТА НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ 235
Действительно, правая часть равна
у/зх
12ехр(-5*> /exp(„V»=-2*=xP(-S*) /«,(Л*+4 =
dx J J y/x
V х= V ^
too
1
= — 8-
y(sx)
Поэтому интегрируя в соотношении (37.6) по частям, получаем
1 - »'•>-* I -**
W = l + 2^{
y{sx') I. х
'sx'
Jo
Зг Г\
y(sx')
'SX'
x ' exp I ipi —
dx' } . (37.6a)
При подстановке пределов мы учитываем, что (см. формулу (25.1))
вблизи х' = О
y(sx') и 1 + iVftsx',
и распространяем остающийся интеграл до бесконечности. Теперь под
интегралом можно отбросить величину y(sx'), малую по сравнению с единицей
(поскольку теперь замена y(sx') на —\/2sx' не приводит к расходимостям
при х' = 0). Производя после этого еще замену переменной ip^x z/xz = £3 и
пренебрегая в результате членами порядка l/^/sx, мы получаем
exp (ikR)
" = д w°>
г>0 =
ЪС
2^^/Ш
ехр
К).
где, полагая г'£3 = t, имеем
оо
С = J e12 exp (if) <Щ = I exp (г|) Г (§) * 0, 38 ехр (г|)
(37.8a)
(37.86)
С — константа, которая не зависит ни от свойств почвы, ни от длины волны.
Можно, учитывая обозначение (34.21), также написать
ЗС / .Зтг\_ 0,57 / .тг\. _0 .
Wo= 2АехЧ"гт;5="а ехрггзГ (37-8в)
Мы пришли, таким образом, к важному результату: если двигаться вдоль
плоскости горизонта, то, начиная с расстояний, на которых р2 = кх3/8а? >
1/3
> 1, т. е. практически при хКМ > 37ЛМ' , функция ослабления вообще не
зависит от расстояния, напряженность поля убывает так же, как в
свободном пространстве (как 1/х), но существенно ослаблена множителем ~ S,
модуль которого по условиям вывода предполагается малым. В
действительности, как показывает сравнение с результатами более полной теории
(см. ниже рис. 73-76), эта зависимость устанавливается уже на расстояниях
236
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
в несколько раз меньших. Это объясняется следующим. Условие р2 ;> 1 нам
потребовалось только для того, чтобы выделить в качестве наиболее
существенной в интеграле (37.3) область х' <С х. Но эта область существенно
выделяется уже множителем w(x') и y(sx'), который при \5\ <С 1
сказывается раньше, чем экспоненциальный.
Чтобы получить поле вблизи плоскости горизонта, можно
воспользоваться разложением в ряд по z правой части уравнения (37.3). Именно (с теми
же пренебрежениями, что в соотношении (37.6)),
(SL = l2]flly{SX,) {-4^Х>7/2 + ^} eXP (ip*lP) dx'
(37.96)
и т. д.
В этих интегралах можно сразу положить y(sx') = —l/2sx', что дает
где, полагая г£3 = t, имеем константы с модулем порядка единицы:
оо
Сг = J?" ехр (га <% = 1-Г (?) ехр [гЩ ,
о
оо
C2=Iti ехр (*3) ^=2Г G)ехр (*й) ' (3
О
2гС\ + С2 « 1, 24 ехр f i^) .
Таким образом, для функции ослабления вблизи плоскости горизонта
z = 0 можно написать
w« w0 jl + 0,52exp(-i|)\^- + l,09exp(-i|) fv^fca-) + ...}.
(37.11)
Следовательно, функция ослабления разлагается по степеням отношения
(г/х)у/кат ffiasmt/}, где ф — угол возвышения точки наблюдения и
зависит от координат х и z только в такой комбинации. Этим приближенным
разложением можно пользоваться, пока параметр разложения мал.
Вспомним, что для больших значений этого параметра верны отражательные
формулы (см. §35 и условие (34.17)). Таким образом, полученные в
настоящем параграфе результаты являются дополнением к отражательным
формулам.
i 37. ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПЛОСКОСТИ ГОРИЗОНТА НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ 237
В более общем случае y/k0a sin ф ~ 1 можно в уравнении (37.3), как и при
переходе к уравнению (37.6а), отбросив малые члены и проинтегрировав по
частям, написать
w =
Зр2Х2 kzx' kz
ах
2ж2
}
ехр
'ч
Р2-
кх
'2
Z+
кх'
3 lax 2ж2
(37.12)
Этот интеграл, конечно, может быть подсчитан численно для любых
соотношений к, ги х. Однако при очень, больших отрицательных ф (в глубокой
тени) метод становится непригодным, поскольку по мере углубления в тень
эффективная область в интеграле растет и х' становится порядка х.
Сейчас мы можем разобрать также случай, обратный рассмотренному,
именно тот, когда источник поднят достаточно высоко, так что его
излучение хорошо изображается плоской волной, а точка наблюдения находится
на поверхности. В освещенной области, вдали от границы тени, такое поле,
разумеется, описывается интерференционными (отражательными)
формулами. Сложным является только вопрос о поле вблизи границы тени. Его
мы сейчас и рассмотрим. Как и ранее, мы считаем \6\ ■< 1.
Пусть в направлении, касательном к земной сфере в точке В, падает
плоская волна (рис. 60). Согласно формулам (3.32), связывающим функцию
Дебая и с радиальной составляющей электрического поля Ег, поскольку за-
Рис. 60. К вычислению поля вблизи плоскости горизонта в случае падения плоской волны
ведомо ди/дг <С ки, функция и с точностью до почти постоянного
множителя к2г равна Ег. Поэтому к и можно применить теорему взаимности.
Можно утверждать, что наблюдаемое в точке В поле радиально
направленного электрического диполя, расположенного в точке О и посылающего
плоскую волну, которую мы изучаем, равно полю в точке О, которое создал бы
расположенный в В такой же диполь. Но его мы знаем, оно дается формулой
(37.8) или (37.11) при z = 0:
ехр (ikR)
А ехр (ikx)wo,
wQ = ^|J ехр (£)б. (37.13)
\/7Г V 3/
238
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Здесь поле диполя заменено плоской волной и координата х отсчитывается
вдоль направления ОВ. Таким образом, уже в точке, где находится
геометрическая граница тени, поле существенно уменьшено, тем значительнее,
чем меньше |£°| и А. Рассмотрим теперь точку наблюдения В', смещенную
относительно В. По той же теореме взаимности, поле в ней равно полю,
которое в точке О создал бы диполь, помещенный в этой точке В'. Но это
поле (для небольших углов ф = ■&) мы вычислили ранее. Здесь речь идет об
отрицательных z, и потому, заменяя ф на —■&, мы имеем, согласно формуле
(37.11),
w(B') « tcb(l - 0,52exp(-i7r/6)v/Jbasini? +
+ l,09exp(-i7r/3)(v/fcasini?)2+ ...). (37.14)
Это разложение верно, пока v^tasini? < 1, т. е. как раз в той области, где
отражательные формулы неверны.
Разумеется, эта формула верна и для точек В' слева от точки В, но здесь
нужно считать i? < 0. Мы видели, что отклонение функции ослабления от
ее значения в точке В невелико, пока
1 IkD3
-v^asintf~y-^r~^<l, (37.15)
где D = ai? — расстояние по поверхности земли от границы тени. Эта длина
является мерой того расстояния на земной поверхности D ~ {37A1/3} км,
которое охватывает полутень, переход от освещенной области далеко слева
от точки В к полной тени далеко справа от В.
§ 38. Полное решение по методу параболического уравнения
После того как мы получили решение в некоторых предельных случаях
и выяснили, каковы основные параметры нашей задачи, перейдем к
изложению полного решения. Мы будем следовать работе [68], сохраняя принятые
в ней обозначения.
В основе рассмотрения лежит предположение, что можно пользоваться
граничным условием (34.6). Будем считать, что источник, которым
является вертикальный диполь, расположен на поверхности земли. Вместо того
чтобы решать волновое уравнение для функции и, мы сразу переходим к
дифференциальному уравнению для функции ослабления W (ср. формулу
(36.8) и сопровождающее ее замечание)
ы=ехр^Д)ж
Здесь R — расстояние от диполя до точки наблюдения по прямой.
Обратим внимание, что в этих обозначениях функция W для плоской идеально
проводящей земли равна 2, а не 1, как у нас было ранее (W = 2w).
Уравнение, получающееся после подстановки выражения (38.1) в
волновое уравнение, имеет следующий вид:
у^ + 2(Л-1)а|Щ = 0. (38.2)
Его можно существенно упростить, если принять во внимание некоторые
особенности поведения функции W.
§ 38. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 239
Исследование случая плоской земли показало, что на ее поверхности
функция ослабления меняется по вертикали гораздо быстрее, чем по
горизонтали. В самом деле, по горизонтали производная w имеет порядок su/,
если мы находимся на малых численных расстояниях, и w/x — на
больших (где w и —l/2sx). Между тем для производной по вертикали имеем
\dw/dz\ и \kw/\/eP\. Таким образом, отношение производных по
горизонтали и по вертикали на малых расстояниях (u/ ~ w) имеет порядок l/2Vt°,
на больших — порядок l/2\/ePsx. В обоих случаях оно мало. В
пространстве, где верны отражательные формулы, изменение w проявляется при
изменении v^sinV' на величину порядка единицы, т. е. при Az ~ Ax/Ve°,
откуда снова \dw/dx\ ~ \(l/y/F)(dw/dz)\.
Аналогичными свойствами обладает дополнительное искажение,
появляющееся, когда очень сильно сказывается сферичность земли. Вблизи
плоскости горизонта на больших расстояниях от источника, где рг ^ 1 (см.
(37.11)), w заметно меняется при увеличении sin^/y/ka на величину
порядка единицы, т. е. когда Ах ~ \/k~aAz ^ Az. Следовательно, \dw/dx\ ~
~ (l/y/ta)\dw/dz\.
Таким образом, всегда функция ослабления меняется по горизонтали
медленнее, чем по вертикали. Это можно записать следующим образом.
Вместо координат г, ■д введем безразмерные координаты
х = aN#, у = (г - а) ■ 2MN = h ■ 2MN,
(38.3)
соответственно определим масштабные множители М и N. Функция
ослабления теперь запишется как W(x, у), и условие, что изменение W по
горизонтали происходит медленнее, чем по вертикали,
dW
д{а#)
0W
dh
приобретает вид
N
3W
дх
«2MJV
dW
ду
(38.4а)
(38.46)
т. е. если мы будем считать dW/dx и dW/dy величинами порядка W, то
должно быть
2М > 1. (38.4)
Таким образом, М имеет смысл отношения производных W по
вертикали и по горизонтали. Поэтому в случае малых расстояний, где кривизна
не сказывается, М может быть выбрано порядка Ve°\ При рг ^" 1 вблизи
плоскости горизонта М ~ \/к~а. Величина N остается совершенно
произвольной. Для удобства мы положим ее равной N = М/а.
Теперь можно произвести преобразование уравнения для W. Переходя
к новым переменным, разложим R в ряд по степеням ■д и h, ограничиваясь
выписанными ниже членами:
R
ах
М
{1+1Ь(»+&-т)}- (зм)
240
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Уравнение (38.2) оказывается при этом разложенным по степеням 1/М.
Ограничиваясь низшими степенями, получим следующее уравнение
(отброшены члены порядка 1/М2)г
d2W гка (/ у\ dW dW\ n ,nn ^
Смысл сделанного приближении состоит в том, что из уравнения
выпала вторая производная по х, которая уж совсем мала, и, таким образом,
вместо уравнения эллиптического типа мы должны решать уравнение
параболического типа. Такое преобразование, связанное с переходом к функции
ослабления, было впервые осуществлено Леонтовичем для плоской земли, и
весь метод носит название метода параболического уравнения.
Теперь мы можем выбрать масштаб длины М. Выбор остается еще в
значительной мере произвольным. Необходимо лишь, чтобы было М >■ 1.
Очевидно, удобно выбрать его так, чтобы из уравнения (38.6) выпали
размерные величины. Этого можно достигнуть, положив
' М=$[Ц. (38.7)
В таком случае переменные хну имеют нижеследующий смысл (см.
рис. 61):
х = М# = М— = л/у# = {/4^", (38.8)
y = -a-l^=V4W-a = V2pl-a. (38.9)
Мы видим, что введенные здесь масштабы длины просто связаны с
введенными нами в предыдущих параграфах характерными параметрами р\
неудобство новых единиц видно, в частности, из того, что уравнение
плоскости горизонта
D2 а#2
гыа + — = а + -— (38.10)
2а 2 '
в этих единицах запишется так:
у = х2. (38.10а)
Соответственно уравнению нужно записать в новых переменных и
граничное условие (34.6). Так как д/дг= (2М2/а)(д/ду), то это условие
принимает вид
д_ ( exp(ikR)\ _Jk__o_wexp(ikR) _ _jM
ду\ R ) y/&2M*W R ~ jpWexp(**H),
(38.11)
или, отбрасывая члены порядка 1/kR (при дифференцировании нужно
использовать формулу (38.5)),
§ 38. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 241
х' у
6
4
3
2
106
6
4
3
2
10s
6
4
3
2
10*
б
4
3
2
103
б
4
3
2
ю2
б
4
3
2
ю1
б
4
3
2
10°
10
"""^
1^ ""
„х-"1
..*
W
рл?.- .
а
ite
ft"
Si"
0«J*
u*
I .<itf£?
£>V
^Ф*
v°
1*
a"*1
3 4 6 10'1 2 3 4 6 10° 2 3 4 6 101 2 3 4 6 102 2 3 4 6 103 2 3 4 6 104
X,M
Рис. 61. Переводные множители (как функция длины волны Л) для перехода: а) от
безразмерного горизонтального расстояния х к истинному расстоянию по дуге большого круга D
(М = D/х); б) от безразмерной высоты у к истинной высоте Л. Нижняя кривая в каждом
случае для истинного среднего радиуса земли, верхняя — для вчетверо большего радиуса
(см. §56); D, h и А даны в метрах
Здесь через q обозначена величина которая нам уже встречалась.
Именно, согласно формулам (34.21) и (38.7),
М
= г
1
(38.12а)
Эта величина по модулю мала для длинных волн и хорошо проводящих
почв. Как мы знаем, ее модуль показывает, какое ослабление сказывается
раньше, — обусловленное кривизной земли или связанное с неидеальностыо
проводимости.
Наконец, для однозначности постановки проблемы в случае плоской
земли мы учитывали поведение функции ослабления в источнике. Здесь это
означало бы, что нужно задать характер поведения функции ослабления в
242
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
точке х — у — О, где расположен источник, или учитывать, что на достаточно
малых расстояниях поле должно быть таким же, как над плоской землей,
т. е., согласно формуле (25.1),
W — 2
lim —=- - 2iy/7rs, у - 0. (38.13)
Однако в настоящей проблеме этого недостаточно. Параболическое
уравнение в отличие от волнового требует, чтобы условие было задано не в точке,
а, например, на всей осевой линии х — 0, т. е. для всех у (подобно тому,
как в случае уравнения теплопроводности нужно задать в начальный
момент времени распределение температур во всем пространстве). Но при
г = 0и любых высотах у кривизной земли можно пренебречь. Мы будем
все время находиться в области применимости отражательных формул. В
таком случае, неограниченно приближаясь к этой линии, можно
воспользоваться формулой (26.20г), полагая lim W(D) — 1 + /. Более детальный
анализ показывает [68], что и этого условия недостаточно для однозначности
решения. Однозначность достигается только в том случае, если поставить
более жесткое условие
W - (1 + Л
lim - K1JJ) = 0, у > 0. (38.14)
Здесь всюду / весьма близко к единице и можно считать 1+/ = 2. Если этой
замены не производить, то просто ниже 6, определяемое формулой (38.36),
а следовательно, и все решение (38.33) умножится на близкий к единице
фактор.
Следовательно, предельное условие необходимо поставить в форме
W — 2 1
lim —^=- = 0, sin^>—7=-. (38.15)
Это условие и принимается ниже.
Вместо искомой функции ослабления W введем функцию
V = exp (twb)W, (38.16)
где
У2 ху х3
Шо ~ Тх + Y " И' (38Л7)
причем, согласно формуле (38.5),
шо=( 1 j 2M2x = kR - кад (38.17а)
представляет собой разность между расстоянием по прямой и дугой от
источника до проекции точки наблюдения на сферу.
Подставляя функцию (38.16) в дифференциальное уравнение для W
(38.6) и учитывая значение wo (38.17), получаем для V
02V
dV ( i\
§ 38. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 243
причем теперь
и = ^2%. (38.19)
Теперь ясен смысл перехода от W к V, функция ослабления W такова, что
ее фаза измеряет сдвиг по отношению к набегу фазы невозмущенной волны
по прямому расстоянию от источника до точки наблюдения, а V — также
функция ослабления, но сдвиг фазы отсчитывается по отношению к набегу
фазы по дуге большого круга. Полагая
V = ^/xWlt (38.20)
вместо уравнения (38.18), граничного условия (38.12) и предельного условия
(38.15) имеем
-w+i-t+да=0' <38-21>
-Q^ = -*Wit у = 0, (38.22)
^о{^-^еХР,Ш}=°' |>М- <38-23)
Задача, сформулированная этими тремя соотношениями, решается
разделением переменных; положим
W!=X(x)Y(y). (38.24)
По подстановке в (38.21) получаются два уравнения. Во-первых,
уравнение для Х(х), которое решается элементарно:
X(x)-exp(itx), (38.25)
где t — постоянная разделения (но не время!). Во-вторых, уравнение для У
У" + (У - t)Y = 0. (38.26)
Заменяя переменную, можно писать
y = w(t-y), (38.26а)
где w(t) — функция, являющаяся решением уравнения1)
w"(t) - tw(t) = 0. (38.27)
Это уравнение может быть решено с помощью цилиндрических функций
порядка 1/3. Именно, для отрицательных t решение, убывающее с ростом
\t\, получается, если из всех возможных цилиндрических функций выбрать
ганкелеву функцию первого рода:
w(0 = ехр (г|) У|(-01/2Я^> Q(-03/2) • (38-28)
') Не путать с функцией ослабления предыдущих параграфов.
244
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Но в общем случае удобнее писать решение в виде интеграла в
комплексной плоскости:
(38.29)
vr(t) — —== I ехр I zt — -г3 j dz.
В самом деле, подставляя его в уравнение (38.27) и производя
дифференцирование под интегралом, получаем
±J{f _ t) еХр (* - 1,з) dz=±J-d ехр [zt - \z^ = 0.
(38.30)
Нуль мы получаем, конечно, только в том случае, если контур замкнут или
выбран так, что на его концах первообразная функция ехр (zt — 2?/3)
исчезает. Таким контуром может быть контур, изображенный на рис. 62. Все
возможные незамкнутые контуры определяются вообще условием, чтобы
показатель обращался в —оо при уходе на концы контура. Для этого
необходимо, чтобы
Re г3 >0.
Этому удовлетворяют г, лежащие в секторах, заштрихованных на рис. 62.
Поэтому вместо Г можно было бы взять, например, контур, идущий из
области III в область I. Однако указанный на рисунке выбор Г (жирная ломаная)
обеспечивает обращение функции в
бесконечность, когда |t| -¥ оо. Почему это
необходимо, будет ясно из дальнейшего.
Наконец, асимптотическое поведение
функции w при больших \t\ можно
получить сразу из уравнения (38.27). В самом
деле, очевидно, что приближенным
решением является
Плоскость z
w = No ехр
(43/2>
(38.29а)
где No — постоянная. В этом легко
убедиться, подставляя решение (38.29а) в
Рис. 62. Контур интегрирования в фор- уравнение (38.27) и отбрасывая члены по-
муле (38.30) рядка \/t относительно главных.
Решение, обращающееся в бесконечность при
Щ -* оо (что соответствует нашему выбору контура Г, т. е. функции (38.29)),
получится, если мы будем брать в разных секторах плоскости комплексного
переменного t различные знаки в показателе. Более точное асимптотическое
выражение, вытекающее из формулы (38.28) для отрицательных t, дается
известными асимптотическими выражениями для функций Ганкеля первого
рода:
w
ехр
(г|)(-0"1/4ехР(ф-03/2). (38.296)
Однако на других лучах, проведенных в плоскости t из начала (при
аргументах t, отличных от выбранного здесь arg£ = 7г), они имеют другие выра-
§ 38. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПО МЕТОДУ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 245
жения. Функции w имеют фундаментальное значение для рассматриваемой
проблемы. Они подробно исследованы Фоком [66] и называются функциями
Эйри.
Постоянная разделения определяется из граничного условия (38.22).
Очевидно, ему должна удовлетворять функция w. Так как dw(t — y)/dy —
— —dw/dt, то
^ - gw(0 = 0. (38.31)
Это уравнение может, вообще говоря, соблюдаться только при некоторых
значениях t — ts, которые оно и определяет. Частное решение поэтому
имеет вид
Wi = exp (ixts)w(ts - у). (38.32)
Однако пока еще не принято во внимание условие (38.23), и поэтому эту
функцию еще нельзя рассматривать как решение. Между тем указанное
условие является чрезвычайно важным. Вспомним, например, что
ошибочность решения Ценнека для вертикального диполя на плоской земле (§23)
в том и состояла, что это решение, удовлетворявшее дифференциальному
уравнению и граничным условиям на границе раздела земли и атмосферы,
не имело требуемой особенности в точке расположения источника. Условие
(38.23) требует, чтобы функция W\ обращалась при х — 0 в бесконечность и
притом определенным образом. Очевидно, что функция (38.32) этому
условию удовлетворить никак не может. Более того, всякая сумма таких
решений при конечных ts остается повсюду ограниченной. Но контур Г,
выбранный нами в формуле (38.29) (см. рис. 62), как раз тем и отличается от
других возможных контуров, что обеспечивает обращение в бесконечность
функции w при \t\ -* oo. Поэтому такой выбор контура и позволяет получить
особенность при х — 0.
Следовательно, решение должно быть составлено из частных решений
вида (38.32) с участием t, принимающих неограниченно большие значения.
Такие корни уравнения (38.31), как можно доказать, встречаются. Итак,
оо
Wi = J2b> exP (***-М*» - у), (38.33)
3=1
где индекс s нумерует корни уравнения (38.31). Эту сумму удобно записать
иначе, в виде контурного интеграла, следующим образом. Проведем контур
С, охватывающий все корни ts (как показывает более подробный анализ,
все эти корни лежат в первой четверти плоскости переменной t), и возьмем
контурный интеграл
ехр (гж£)\у(£ — у) , ,пп „„ .
,, ч / ч «Й. (38.33а)
•I
где 6 — некоторая постоянная. Подынтегральное выражение имеет
особенности там, где знаменатель обращается в нуль, т. е., согласно уравнению
(38.31), как раз в точках t — ta. Так как числитель в этих точках конечен,
то интеграл равен сумме умноженных на 2жг вычетов в этих точках.
246
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Чтобы вычислить эти вычеты, разложим знаменатель в ряд, например,
вблизи полюса t — ts, в котором, таким образом,
w'(ts) - qw(ts) - 0. (38.336)
Мы получим
w'(0 - gw(*) = {w'(0 - 9w(0}t=tj + {w"(0 - q*'(t)}t=u(t -«,)+...,
т. e.
w'(£) - 9w(t) и (w"(*s) - gw7 (*,))(* - ts).
Но, используя формулу (38.336) и дифференциальное уравнение (38.27) для
функции w, можно написать
w"(ts) - qw'(ts) = tsvt(ts) - qvt'(ts) = (ts - q2)w(ts).
Поэтому сумма вычетов равна
/ = 27ri6Y:eXp(^)w(V")- (38.34)
^ t3-q2 w(*s) V ;
Таким образом, интеграл (38.33а) представляет собой решение (38.33) со
специальным значением bs, именно, bs — 2irib/(ts — q2)w(ts). Оказывается,
такого выбора коэффициентов bs достаточно, чтобы выражение (38.33)
удовлетворяло условию в начале координат. Это доказывается исследованием
интеграла (38.33а), которое мы кратко опишем (подробнее см. [68]).
Как уже упоминалось, особенность в точке расположения источника
может появиться только от членов с весьма большим t. Поэтому для анализа
поведения функции W\ при х -* 0 достаточно в интеграле (38.33а)
рассмотреть участки контура С, лежащие вблизи бесконечно больших t. На
этих участках функцию w можно заменить ее асимптотическим выражением
(38.29а). Здесь нужно знать выражения для w при arg£, не совпадающем с
7г. Именно, чтобы охватить все полюса ts, лежащие, как отмечалось, в
первой четверти, можно выбрать контур С идущим из t — too вдоль мнимой оси
до t — 0, а затем по вещественной оси до t — оо. Взяв знаки в экспоненте в
решении (38.29а), соответствующие данному сектору, разлагая показатель
(t — у)3/2 по степеням t и оставляя главные члены, получаем
w
(«-») I ;лйф(~!п/')' -TSarg!<!'
w(t)-,w(() i _.±exp(yv/f)] '<vgt<±
(38.35)
Vt KV*V ;' з -~&"-^ з •
Теперь можно вычислить асимптотическое значение интеграла (38.33а).
На части контура С, совпадающей с мнимой полуосью, подставляем
нижнее из значений (38.35), а на отрезке, совпадающем с вещественной осью,
— верхнее. Таким образом, подынтегральные выражения в интегралах по
полупрямым — различные. После этого можно вторую полупрямую
совместить с первой (напомним, что теперь подынтегральные выражения уже не
содержат полюсов) и заменой t — гр2 перевести интеграл в следующий:
W\ ~ 6- 2ехр (г—J / ехр(—хр2 + \/iyp)dp — 2ехр ft—)bJ— exp I t— J.
—oo
(38.35a)
§ 39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
247
Следовательно, выбрав постоянную 6 равной
6 = 7ГхрНг)'
мы получим
^ехрШ'
(38.36)
(38.37)
и при таком значении 6 решение W\ удовлетворяет не только
дифференциальному уравнению и граничным условиям, но и требованию (38.23).
§ 39. Анализ полного решения
Собирая вместе формулы (38.19), (38.20), (38.33), (38.34), (38.36), имеем
e*P«w (39Л)
ехр (гка'д) т _
и — i- -V
V — 2уДжх 2_]ехр (ixts)
где
a w есть функция (38.29) или (38.28), удовлетворяющая уравнению (38.27);
ta — корни уравнения (38.31).
Эта формула получена для вертикального электрического диполя, и
соответственно и — функция Дебая, аП = г« — абсолютная величина вектора
Герца для электрического диполя. Но очевидно, что эта же формула
справедлива и для магнитной функции Дебая v (когда магнитный вектор Герца
есть Пт = rv) с единственным отличием: q должно быть заменено на
Ve5^
(39.26)
(см. §28, а также граничные условия (34.5), (34.6)).
Эти выражения являются окончательной общей формой искомого
решения в случае, когда одна из корреспондирующих точек поднята над
поверхностью земли на произвольную высоту. Дополнительным исследованием
можно показать, что оно переходит для достаточного возвышения над
линией горизонта в отражательную формулу (это будет, как мы знаем, при
■ф >> 1/\/ка, или в обозначениях §38 — см. формулы (38.8) и (38.9) —
при у — х2 3> х), а для достаточно малых х при у — 0 — в формулу для
плоской земли (это будет, как мы знаем, формула (36.35) при у/р2 ■< 1, т. е.,
согласно формуле (38.8), при ж3/2 ■< 1).
Чтобы пользоваться полученным решением, нужно либо суммировать
ряд (39.1), для чего нужно предварительно определить все значения ts
корней уравнения w'(£) = gw(£) для интересующей нас длины волны и свойств
248
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
почвы (так как q зависит от них), либо выполнить численным способом
интегрирование в формуле (39.2).
Остановимся подробнее на использовании решения в форме ряда (39.1).
Важны прежде всего два предельных случая: q — оо, 8 — 0 (короткие
волны) и q — О, 8 — оо (длинные волны). В первом случае значения t3 будем
обозначать через £°. Они, следовательно, являются корнями уравнения
w(t?) = 0. (39.3)
Во втором случае обозначим корни через t's. Они удовлетворяют уравнению
w'(0 = 0. (39.4)
Комплексные числа t® и t'3 можно находить как нули функции Ганкеля
(38.28) и ее производной (см. работы [66, 11]; нужно иметь в виду, что во
второй из этих книг фигурирует параметр т3, который отличается от ts работ
Фока [66], ts — \/2ts). Первые из корней таковы:
«Короткие волны», q = оо
t\ =2,33811exp(ijr/3)
tS=4,08795exp(i'jr/3)
t% =5,52056ехр(|'я-/3)
t\ = 6, 78671 exp (i'jt/3)
t% =7,94417exp(i?r/3)
«Длинные волны», q = О
t[ = 1,01879 exp (iV/3)
t'2 = 3,24820 exp (iV/3)
t'3 =4,82010exp(iV/3)
t'4 = 6,16331 exp (iV/3)
t's =7,37218exp(i?r/3)
Для вычисления корней при малых q (длинные волны) удобно
пользоваться дифференциальным уравнением, которое получаем, дифференцируя
уравнение (38.31) по q
w w-gw^- = 0,
aq dq
и заменяя w" на tw (38.27), a w' на gw (38.31). Отсюда получаем, что
£ = -Ц- (39.5)
dq t-q2 v ;
Теперь можно последовательно определить все коэффициенты ряда, дающего
разложение t по степеням q. Для больших q (малые 8, короткие волны)
перепишем это уравнение так:
*ш=r=wr (39-6)
Отсюда легко получить ряд для t по степеням малой величины 1/q.
Подставляя значения £° или t's из вышеприведенной таблицы в
экспоненты в ряде (39.2), мы видим, что показатели всех экспоненциальных
множителей содержат отрицательную вещественную часть. Как уже
упоминалось, и вообще все ts лежат в первой четверти, т. е. имеют положительную
мнимую часть. Поэтому экспоненциальное убывание каждого члена ряда
по мере роста х является общим правилом. По мере роста номера члена
s в обоих предельных случаях, а следовательно и в любом промежуточном
случае, абсолютная величина показателя быстро растет. Поэтому при
значительных х (это значит, при ^/рг > 1) главную роль будут играть первые
§ 39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
249
члены ряда, если остальные сомножители при этом не будут возрастать.
Легко видеть, что это будет иметь место во всяком случае при у = 0. Именно,
на поверхности земли получаем
M = 2exp(^)v^^expJ^ (39j)
Чем больше х, тем меньше членов ряда нужно взять. Ограничиваясь первым
членом, получим
и = 2expJ^v^exp_(^)
В случае идеально проводящей земли, q = 0, получаем
', = с2в«.,(-«Ж)),
с= ^
(1 + г'л/3)1,019
(39.8)
В случае q = oo (бесконечно короткие волны), разумеется, получаем нуль,
поскольку это соответствует геометрической оптике и проникновение
излучения в теневую область исключено.
Таким образом, на больших расстояниях поле убывает экспоненциально,
если точка наблюдения находится на поверхности земли, как это было
впервые показано Ватсоном [63]. Это обстоятельство исключало бы передачу на
большие расстояния, если бы отсутствовала ионосфера.
На расстоянии D от источника точка наблюдения на земле расположена
ниже плоскости горизонта на величину |Лд| = D2/2a, так что
экспоненциальное убывание с расстоянием одновременно является экспоненциальным
(~ ехр {—ot{/k2/a^J\hA\)) убыванием по мере снижения под плоскость
горизонта. Это совершенно не похоже на дифракционное убывание в тени
плоского экрана, о чем говорилось в § 34.
Коэффициенты ts, как видно из приведенной для них таблицы, довольно
слабо зависят от длины волны. Даже при переходе отА = 0кА = оо сильно
меняются только 11 и t^. Все же с ростом А модуль Щ уменьшается. С другой
стороны, и х ~ А-1/3. Поэтому можно убедиться, что при увеличении А
проникновение радиоволн усиливается (как оно, конечно, и должно быть).
На малых расстояниях (р2 ^$ 1) ряд сходится медленно. Им совершенно
нельзя пользоваться при р2 «С 1, когда потребовалось бы вычислить
огромное число членов. Но здесь можно воспользоваться формулой (36.35), в
случае необходимости продолжив это разложение (ср. [11, гл. IV, §4]).
Перейдем к рассмотрению поля в пространстве, у ф 0. Существенно, что
отличие от поля на земле проявляется лишь присутствием в каждом члене
ряда «высотного множителя»
250
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Если расстояние от источника х настолько велико (р2 > 1), что достаточно
одного члена ряда, то это означает, что все поле с ростом h увеличивается
в меру этого «высотного множителя». Правда, для весьма малых высот
сначала будет иметь место убывание, так как, согласно формуле (38.31),
w(t, - у) » w(t.) - yv/(t.) = w(t,)(l - qy) (39.10)
и притом вещественная часть q положительна. Это то самое убывание, с
которым мы уже встречались в случае плоской земли. Оно является просто
следствием граничных условий (см. (21.24)) и играет незначительную роль.
При дальнейшем увеличении h, учитывая, что ts всегда заметно больше
единицы, можно оценить ход высотных множителей по асимптотическому
поведению w (38.29а). Отсюда видно, что поле будет экспоненциально
возрастать.
Особенно интересен случай больших у, когда дифракционные явления
резко выражены, что имеет место, в частности, для коротких и
ультракоротких волн на значительных расстояниях. Разлагая в этом случае показатель
в формуле (38.296) по степеням t/y
v(t - у) » -^ ехр (ф3/2 - iy/yt + ... J (39.11)
и ограничиваясь выписанными членами, получаем, подставляя значение
(39.11) в формулу (39.2),
#У \3У )^ (ts- q2)w(ts)
Vy Чзу )J w(*)-*w(0 dt' (39Л2)
с
В частности, в самой плоскости горизонта, у = х2,
у=2^=хр(фз)2___те (39ЛЗ)
и так как, согласно формуле (38.5), при у = х2
J 2/Л
R = av [1 + - — J, причем h
(oi?)2
2а
то
= «xp(i*atf)y = ехр[г*И-Я)] ^ (.Щу =
^р(,'*Д)Уехр(-ф3). (39.14)
U~ ад ' ~ R
Следовательно,
и =
R
ехр (ikR)
2^E„__iw„.r <39л5>
Д ^(t.-q2Mt.)
Таким образом, как мы уже получили раньше (37.8), в плоскости горизонта
функция ослабления (отнесенная к невозмущенному полю ехр (ikR)/R) не
§ 39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
251
зависит от расстояния. Вообще же при х — у/у ф 0 функция ослабления
распадается на множители, из который один имеет чисто осцилляционный
характер (ехр (г • 2г/3/2/3)), а другой зависит от координат в определенной
комбинации, которую можно обозначить через z:
z = x-y/y. (39.16)
Над плоскостью горизонта z отрицательно, в тени z > 0. Если в предэкс-
поненциальном множителе заменить (х/у/у)1'2 его значением в плоскости
горизонта, т. е. единицей, то
У = ехр(г|у3/2)у1(2,9), (39.17)
1 Г exP(izt)dt = у, е*Р(^) (39.18)
Г 4
Следует иметь в виду, что представление в виде ряда в формуле (39.18)
возможно только при положительных z, т. е. в тени, так как при отрицательных
z, поскольку ts содержит положительную мнимую часть (ts ~ exp (in/3)),
последовательные члены ряда экспоненциально растут. Но и при
положительных z рядом удобно пользоваться только в том случае, если z не очень мало.
Таким образом, непосредственно вблизи горизонта необходимо прибегать к
использованию интеграла, который вычисляется численными методами.
Заменим, однако, что если не применять асимптотическое выражение, а
сразу пользоваться рядом, дающим полное решение (39.2), то хотя для точек
в плоскости горизонта он сходится не очень хорошо, возможно прямое
вычисление, поскольку значения ts и w(ts) для разных случаев табулированы.
Правда, при этом иногда приходится брать много членов ряда [67].
Итак, если приемник находится на земле далеко за горизонтом, то поле
экспоненциально мало (см. формулы (39.8)). По мере подъема над
поверхностью сначала поле немного ослабевает (см. (39.10)), в меру граничного
условия (34.6), а затем начинает быстро — экспоненциально (см.
разложение (39.11)) — возрастать. Когда мы приблизимся к плоскости горизонта
(sin ф < 1/\/ка), то (это будет показано ниже, см. (39.32)) поле будет
возрастать так же, как при выходе из тени за краем плоского экрана (френелева
дифракция), а в непосредственной окрестности плоскости горизонта — под
ней, над ней и на самой плоскости, пока \\Zkasinij>\ <С 1, — поле
описывается формулами (37.11) (см. также (39.15)). Наконец, при дальнейшем
подъеме над плоскостью горизонта мы входим в освещенную область, где
справедливы интерференционные (отражательные) формулы (учитывающие
сферичность земли коэффициентом расходимости (35.7)).
Строгий вывод отражательных формул из общего решения (39.2) см. в
работах Фока [66].
До сих пор мы считали источник расположенным на земле. Однако
решение (39.1) может быть без труда обобщено на случай произвольного
положения источника.
252
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Прежде всего, пользуясь теоремой взаимности, можно переписать это
решение для поля на поверхности земли, созданного диполем, поднятым на
высоту ho-
«(*, 0; ho) = ех?^у(х, 0; уо),
V(x, 0; уо) = 2V^J2 е?(гаУ/'Ы, (39.19)
t , ч w(fa - уд) 3/niun\ih°
МУ0)= w(t.) ' yo = V4ka)2—.
Но мы видели, что решение в пространстве на высоте h\ получается
из ряда, дающего решение на земле, умножением каждого члена ряда на
высотный множитель. Следовательно,
и(1?, hA; ho) = —^ V(x, yA; Уо),
V(x, уА; уо) = 2V^J2 e7 (г'**д) /,(уо)/а(ул), (39.20)
, r* q
W=VW7, fs(VA)= w(t<) •
В самом деле, мы видели, что каждый член ряда, рассматриваемый как
функция х и уд, удовлетворяет дифференциальному уравнению и
граничным условиям. Что же касается поведения решения в месте расположения
источника, то оно, как мы убедились, определяется членами ряда, для
которых t весьма велико. В этой области справедливы формулы (38.35). Они
показывают, что введение нового высотного множителя fs(yo) при больших t
эквивалентно замене у а на ул+Уо- Поэтому, переходя к интегральной форме
решения, легко убедиться, что все доказательство, описанное в § 38, может
быть повторено, поскольку в асимптотическом выражении подынтегральной
функции (38.35а) изменение выразится только в замене у на у о + у а- Этим
доказывается правильность решения (39.20).
В случае уо = 0 решение могло быть представлено не только в виде
ряда, но и в форме интеграла, суммой вычетов которого этот ряд является
(см. (39.2)). Подобно этому и при уо ф 0 ряд (39.20) эквивалентен, как
показал Фок [66], интегралу (ср. также работу Фуруцу [71])
V(x, уА; уо) = V(x, уо] уа) = ехр (~^)Утг / 6ХР ^ixt^F^ yo> УА^ dt>
С
(39.21)
п, уо, у.) - i.l(. - wk« - м, {^} - i§5^|} •
(39.21а)
Здесь W! и W2 — те же комплексные функции Эйри, т. е. решения
уравнения (38.27), различающиеся асимптотическим поведением при больших
§39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
253
отрицательных t:
w,(l) = exp (i|)(-j)->/««p (.|(-t)3/2) =
w2(t) = exp (-,|) (-()-"-exp (-if H)3/2) =
(39.22)
Контур С может быть выбран в виде ломаной линии, идущей из
бесконечности во втором квадранте, оо х ехр (г • 2л"/3), в 0 и из 0 в +оо. Именно
представление в виде интеграла позволяет исследовать решение в той
области, где ряд плохо сходится.
Рассмотрим более детально зависимость поля от глубины погружения в
тень. Выше уже отмечалось, что для точки наблюдения на земле далеко за
горизонтом можно ограничиться одним членом ряда и потому поле
экспоненциально убывает по мере удаления от источника, по мере роста D = а&.
С другой стороны, вблизи плоскости горизонта убывание с расстоянием
должно быть гораздо более медленным (согласно формуле (37.13), функция
ослабления w не зависит от расстояния и т. п.). И действительно, вблизи
горизонта, в тени, можно получить простой и важный результат: функция
ослабления совпадает с той, которая получается для дифракции Френеля на
некотором эквивалентном плоском экране. Этот вывод имеет большое
практическое значение, в частности при дифракции поля удаленного внеземного
источника или при дифракции на холмах и других выпуклых телах. Мы
приведем результаты анализа Фока [69], а также Фуруцу [71].
Обычную теорию френелевой дифракции на прямолинейном крае
непрозрачного бесконечно тонкого экрана (§11, рис. 14) уже давно пытались
применять для описания дифракции на закругленном крае, в частности, даже
для дифракции вокруг земли. Такое применение было необоснованно и,
как ясно из сказанного выше, на поверхности земли ведет к принципиально
неверным результатам. Как отмечалось уже в §34, дифракция на
прямолинейном крае тонкого экрана дает сравнительно медленное убывание
интенсивности по мере погружения в тень, Е ~ 1/V", если d — расстояние от
геометрической границы тени.
Дифракцию вокруг земли мы рассматривали в предположении, что
существенная зона на поверхности сферы охватывает область, размеры
которой малы по сравнению с радиусом земли о. Поэтому мы могли заменять
уравнение поверхности приближенной параболической формулой (34.1),
z = — (х2 + у2)/2а, где х, у, z — прямоугольные координаты с
плоскостью z = 0, касательной к сфере в некоторой точке, принимаемой за начало
координат. Описание с помощью этой формулы допустимо и тогда, когда
вне существенной области форма поверхности уклоняется от
параболической или от сферы. Поэтому результаты можно применять и к дифракции
254
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
на любых выпуклых телах, для которых при разложении уравнения
поверхности в пределах существенной зоны можно ограничиться членами второго
порядка.
Напомним, что в § 37 были получены формулы для поля на поверхности
шара (вблизи геометрической границы тени), когда падающее излучение
имеет характер плоской волны, т. е. источник очень удален и поднят над
землей, а также для обратного случая — источник на поверхности шара,
точка наблюдения вдали, вблизи плоскости горизонта.
Из вывода этих формул ясно, что они верны и тогда, когда речь идет,
соответственно, о поле скользящей волны, падающей на выпуклое
возвышение, если наблюдение производится вблизи его вершины, а также, наоборот,
о поле источника, помещенного, например, на вершине холма и
наблюдаемого вдали от него. Однако если мы будем переносить эти выводы на
случай холма, например, на плоской земле, то нужно учесть, что на вершину
холма падает не только плоская волна от источника, но и ее отражение от
поверхности земли перед холмом. Это важное обстоятельство мы
рассмотрим впоследствии (§53). Пока же будем повсюду считать, что речь идет об
уединенном выпуклом теле в пустоте.
Воспользуемся обозначениями рис. 63, где нанесена точка Т,
указывающая линию пересечения плоскостей горизонта для источника О и точки
наблюдения А. Угол ф между этими плоскостями есть угол дифракции па-
Рис. 63.' Обозначения
дающей волны, а угловое расстояние точки Т от точек касания плоскостей
горизонта со сферой В и С равно, как легко видеть, ф/2. Очевидно, что
нас интересует область значений ф <С 1. В дальнейшем существенное
значение имеют расстояния Do ~ сь'&о и Da « cl'&a ot источника и от точки
наблюдения соответственно до точек В и С.
Рассмотрим безразмерную величину
£ = х-^Б-^а~= y^(D - ^/2ah0 - y/2ahA) (39.23)
(при ho = 0 величина £ совпадает с z (39.16)). Так как y/2aho « OB =
= П = ado и y/2ah,A « AC = г2 = а^л, a D примерно равно расстоянию
от О до А, то £ является мерой дуги ВС. Если представить себе, что между
§ 39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
255
точками О и А натянута упругая нить, то £ измеряет длину участка, на
котором эта нить прилегает к поверхности сферы. Ясно, что когда точка А
приближается к плоскости горизонта источника О А', точка С приближается
к точке В и £ обращается в нуль. Таким образом, £ является в то же время
мерой погружения точки наблюдения в тень. С точностью до членов высшего
порядка относительно малых углов ф и д
(39.23а)
а для глубины d погружения точки наблюдения под плоскость горизонта
источника имеем d = Г2Ф, где г2 — расстояние AT от точки наблюдения до
точки Т. Как увидим, оно мало отличается от ад а. Приближенное
выражение точной формулы (39.20), (39.21), о котором будет идти речь, относится к
случаю, когда £ не очень велико, а расстояние х и высоты ho и h\ достаточно
велики, именно, когда справедливо условие
ц > 1, (39.24)
где
у/УоУа в/2А;2 у/Ео~Ка
= №
2= v~ ™;_.= fl — JL1-"-™. (39.25)
л/УО + л/УА V О y/UO + aAI
Таким образом, ни одна из корреспондирующих точек не должна быть
расположена на земле. Эти условия можно выразить и иначе. Согласно формулам
(39.23) и (39.24),
_2 _ у/УоУа _ y/h0hA^/4k/a2 _ -др-дА з[ка _ #о#а
* х-£ д-ф д-ф\ 2 #0 + «Л 2" ^39"26^
Если одно из угловых расстояний до и #д много больше другого, например,
при падении плоской волны, до >• #л, то
P2 = -JaT~, (39.27)
где р2 — параметр (34.20) для расстояния точки А от точки С. Требование
/х >• 1 означает, что параметр р2 должен быть очень велик для расстояний
обеих корреспондирующих точек до их горизонтов (если одна из точек,
например точка О, опустится до поверхности земли, то для нее станет "до = 0
и условие (39.24) будет нарушено).
Преобразование множителя ослабления (39.21) при условиях, когда х,
УО, Уа и Ц велики, а £ мало или конечно, осуществлено в работе [69]. Мы
приводим здесь только окончательный результат:
V = -^Ц= exp [i(u0 - u(x))] j^W " 92(0 + 4^72'tf)} ,
£ > 0 (в тени); (39.28а)
V=l- ^
: ехр [г(ыо - ы(х))] j/z<7i(-/x£) + </2(£) - ^з^зЧО } •
УУОУА
£ < 0 (в освещенной области), (39.286)
256
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
где wo — и(х) = (2/3) (yj + у J ) — k(R — D) (R — расстояние от источника
по прямой). В эти формулы входят две функции, <7i и д^. Одна из них, как
мы увидим, совпадает с тем выражением, которое должно было бы иметь
место при френелевой дифракции на прямолинейном крае экрана:
оо
<7i(/z£) = ехр (-г>2£2 - г J) -j= j exp (га2) da. (39.29)
Другая имеет сложный вид и асимптотически ведет себя следующим
образом:
й(0 = ^Т7^7. *>1. £>0(втени); (39.30а)
ехр(гтг/4)1 y/^q + i^/2 ( г Л
92{0 = 2^ ? + ~Г\—^2 еХр ^12* У
М\ > 1, i < 0 (в освещенной области) (39.306)
При конечных и малых £ эта функция и ее производные — порядка
единицы, причем, вообще говоря, они зависят от параметра q,
характеризующего электрические свойства сферы. В противоположность этому <7i(/if) от q
не зависит и, поскольку мы считаем /i>l, дает в тени главный член.
Покажем, что он, действительно, описывает френелевскую дифракцию от
прямолинейного края экрана. Аргументом <7i является, согласно формулам (39.26)
и (39.23а),
/ кав04А , / кРрРА ,
* = iW^U)*=p(Do + DA)^ (39-31>
где Do = о-'&о и DA = о-'&а — расстояния корреспондирующих точек О и А
до их видимого горизонта, т. е. соответственно до В и до С, взятые вдоль
дуг большого круга. Нас интересует случай, когда величина £ мала или
конечна, и во всяком случае не очень велика. Согласно формуле (39.23а), это
значит, что ф < (fca)-1/3. Между тем интересующие нас до и 1?д, согласно
формулам (39.27) и (39.24), таковы, что "д >• (fca)-1/3. Следовательно, ф <С
<£. $0) "&А- В этих условиях Do « ri = ОТ и Da « Г2 = AT. Поэтому
аргументом функции (39.29) является величина /z£ « \fkriri/2{ri + гъ)ф.
Если же положить а = ^/тт/2и, то
ОО 1
*(/*) = ехр {-1П-п\ - ф • -L J ехР (г|«2) <*«; -Ul = ^^[^Ф-
(39.29а)
С другой стороны, если заменить землю плоским экраном с прямолинейным
краем, проходящим через точку Т на рис. 63, то, согласно формуле (11.86),
мы получили бы для френелевой дифракции функцию ослабления
оо
wp = ехр ( — i— J —— I ехр Г г— u2jdu (39.32)
-ui
§39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
257
с тем же значением щ (см. (11.8в)). Поэтому
9i(f*€) = ехР (-*>2£2)«>F = exp (-i-ul)WF. (39.33)
Таким образом, с точностью до фазового множителя ехр (—г/х2£2),
обеспечивающего вместе с остальными множителями в формулах (39.28а), (39.286)
необходимый набег фазы, поле позади выпуклого тела совпадает при
указанных условиях (/х2 >• 1, £ < 1) с полем френелевой дифракции позади
плоского экрана. Этот результат был впервые полукачественно получен Брем-
мером ([11, с. 77]). Отметим, что, как видно из сказанного, для большей
точности расстояние следует отсчитывать от точек О и А не до Г, а до
точек В и С, т. е. пользоваться для аргумента не выражением щ (39.29а), а
формулой (39.31).
Этот вывод позволяет понять многие уже известные результаты. Так,
становится понятным, почему дифракция света удаленной звезды на крае
лунного диска дает на земле картину обычной френелевой дифракции на
крае экрана и т. п. Физическое происхождение этого своеобразного
результата может быть пояснено хотя бы на примере коротких волн, для которых
параметр 6 мал.
Поле в точке А, по теореме Кирхгофа, может быть получено (ср. рис. 54
и относящиеся к нему замечания), например, интегрированием по
замкнутой поверхности, содержащей, во-первых, плоскость MQ, проходящую
через свободную часть воображаемого экрана и частично через сам экран до
поверхности сферы (рис. 64), и, во-вторых, обращенную к А поверхность
Рис. 64. Переход от дифракции на сфере к дифракции на прямолинейном крае плоского
экрана
сферы, начиная от Q. Но первый интеграл может быть заменен интегралом
только по свободной части экрана ТМ, который даст точно <7i(/x£)- Дей_
ствительно, отрезок TQ = аф2/8, поскольку ф < (А;о)-1/3 гораздо меньше
ширины первой зоны Френеля, построенной в вертикальной плоскости ТМ
для точки наблюдения А, эта ширина равна у/адд/к и отношение двух
258
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
величин удовлетворяет неравенству
^:5|!> 8^/^*8
(см. оценки перед формулой (39.29а)). Следовательно, интегрирование по
QT вносит пренебрежимо мало (см. §11). Что же касается поля
виртуальных источников, распределенных по поверхности сферы вблизи
горизонта, накладывающегося на <7i(/if), то оно описывается формулами (37.8в)
и (37.11). При малых S оно соответственно мало и может быть отброшено.
Однако ценность изложенного результата снижается тем, что он
справедлив только в очень ограниченной области высот Лд. Требование /х2 ^ 1
является очень жестким. Так, согласно формуле (39.25), для земли (о «
« 6,4 • 106 м) для высот ho ~ h\ ~ h, выраженных в метрах, должно быть
h1/2 > 10А1/3, (39.24а)
т. е. даже для ультракоротких волн, А ~ 1 м, h1!2 3> 10 м. При А = 10 см
и h = 100 м параметр /х2 равен всего примерно 2. Он уменьшается, когда
уменьшается h и когда растет А. С другой стороны, этот вывод применим
только не в очень глубокой тени, пока £ не очень велико. В самом деле, при
£ >• 1 заведомо /^>1и потому, согласно формуле (10.13),
Учитывая формулу (39.30а), мы видим, что в соотношении (39.28а)
первые члены в скобке точно сокращаются. Более подробное рассмотрение
показывает, что сокращаются и последующие члены, как и должно быть, когда V
экспоненциально убывает по мере углубления в тень. Таким образом,
заменять дифракцию от шара френелевой дифракцией от прямолинейного края
тонкого экрана можно только, пока £ < 1, т. е., согласно формуле (39.23а),
пока
^~\М& dZa^]f]^ = d<>- (39-35)
Если сравнивать d с расстоянием от плоскости границы тени до поверхности
сферы, с^макс ^ (я$л)2/2а, то это очень малая величина (ср. (39.26)):
do ,/Т 2а = 2 tfo 1 <<; ^ (з9 35а)
^макс V ka atiA -до + $А М2
Таким образом, область френелевой дифракции охватывает только область
сравнительно малых погружений в тень, d <C dM&Kc.
Оставаясь вблизи границы геометрической тени, в пределах, указанных
формулами (39.35) и (39.35а), можно ожидать, что картина дифракции от
экрана применима в довольно широком круге случаев, поскольку возможны
два важных обобщения. До сих пор считалось, что речь идет о
сферической поверхности, причем источник и точка наблюдения взаимно удалены
от точки Т на расстояние, которое мало по сравнению с радиусом кривизны
о, соответственно "до, "&А "С 1. Во-первых, полученный результат остается
§ 39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
259
справедливым и тогда, когда точка О удалена на сколь угодно большое
расстояние, так что падающая волна является плоской [66] (см. приведенное
выше сопоставление с результатом §37). Во-вторых, можно ожидать, что он
верен даже в том случае, если и точка наблюдения А находится произвольно
далеко, лишь бы соответственно малым оставалось погружение в тень d. На
этом последнем предположении и основано применение теории дифракции
от края тонкого экрана к дифракции на холмах и горных цепях.
Представление о пригодности приближения, выражаемого дифракцией от
плоского экрана, дают графики на рис. 65 и 66, заимствованные из работы
1«
in1
q
2
10°
10"1
2
ю-2
с
я
1ГГ3
'I
^
§
д«
<
<
*е
=ё
■^ \
X-
IX
>
А)
V,
V-
*-
s
е
«фракция на пол)
? D° п
/*к^
'ПЛОСКОСТИ
' I ^
^
«оо
._ ""*
50"^
го*"4
10
1~
о
8
ю &
Рис. 65. Модуль функции ослабления w при дифракции иа сфере для высоко поднятых
источника и точки наблюдения при q = со. Кривые проведены для разных значений /3 « 0,909/i
[71]. По оси абсцисс отложено /i£ = y/kDoDA/2(Do + Оа)Ф, где ф — угол дифракции
260
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Фуруцу [71]. На рис. 65 дана функция ослабления для q = oo в зависимости
от /х£ для разных /х (соответствующие значения параметра /3 = {/3/4/х
указаны на кривых). Видно, что даже для /х ~ 20 отличие от дифракции на
экране весьма значительно и растет по мере удаления от экрана. На рис. 66
дана зависимость функции ослабления от р = (3/4)2/3£ (т. е. по существу
10z
5
3
ml
10
5
2
10°
5
з
2
10 l
5
3
2
in-2
10
5
3
2
in-3
N*
*
Ps
^
N
\
\
—^G> **
^a =
sa =
\
4
\
\
\
2
3
5
10
oo
10"
10"
5 101
P
Рис. 66. Модуль функции ослабления при дифракции на сфере для высоко поднятых
источника и точки наблюдения при /1^>7и разных q как функция угла дифракции ф в условном
масштабе: р = (3/4)2'3 у/ка/2ф\ а = —iy/4/3q. По оси ординат отложен модуль функции
ослабления, умноженной на /3 « 0,909/i [71]
§ 39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
261
от ф, см. (39.23а)) при разных q (a = —iy/4/Sq обозначено на кривых) для
/if > 7. В обоих случаях предполагается, что уо, У а >• 1 и \те •< Re е. По
оси ординат отложена в первом случае функция w = W/2, во втором случае
функция 0w = 0W/2.
Сравнение следствий строгой теории с теорией дифракции от экрана и
с экспериментом проведено весьма детально в работе [72], в которой
содержится также довольно подробная библиография.
Рассмотрим весьма кратко вопрос о вычислении напряженности полей и
о функциях ослабления для иных источников, чем рассматривавшийся до
сих пор вертикальный диполь.
Как уже говорилось, в случае вертикального магнитного диполя поле
описывается функцией Дебая v (а не и), которая отличается от (39.1) заменой
q на qm (39.26). При вычислении составляющих напряженностей электри-
Е, мкВ/м
Е,ДБ
Рис. 67. Напряженность поля над средневлаяшой почвой как функция расстояния D от
передатчика для разных длин волн при излучаемой мощности в 1 кВт. Оба корреспондирующих
пункта находятся на земле (Бреммер [11])
262
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
ческого и магнитного полей нужно для электрического диполя пользоваться
формулами (3.32), для магнитного — формулами (3.33). Таким образом,
если из и уже получены напряженности поля Ev, Hv электрического диполя,
то напряженности поля магнитного вертикального диполя Е^, , Н^, мы
получим из них, заменив q на qm и взяв — W(qm) в качестве Е^,, a Ev(qm) в
качестве Щ,. Так же, как в случае плоской земли (§27-29), при
дифференцировании по г, #, ip, если нас не интересуют члены порядка 1/Д2 и выше,
можно дифференцировать только множитель exp (ikR).
Пусть сначала и передатчик, и приемник находятся на земле. Поскольку
R2 = а2 + (о + h)2 - 2о(о + К) cos#, R и ад, то
dR 1 . ,ч . „ ar-д аЧ
— = -2а(а+Л)8т,?« — « —«а.
Таким образом, мы можем дифференцирование и по д заменять умножением
на ik(dR/d'd) « гка. Далее, интересуясь полем на поверхности земли, в
силу условия (34.6), можно дифференцирование по г заменять умножением
на — ikrj. Следовательно, если только кад и kR >• 1, для электрического
Е, мкВ/м
10000
5000
—i—i—i—г
ст=10"13 CGSM;e'=4
J—1—4-
150 кГц (2000 м) . .
300 кГц (lfliOO м)
-¥—1~- 310s D~
Е,дР
80
О 50 100 150
Рис. 68. То же, чю на рис. 67; более короткие волны, меньшие расстояния
§ 39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
263
вертикального диполя имеем
Е* = к2аи,
к2а
Е1
Щ = -к2аи.
(39.36)
Остальные компоненты равны нулю. Отсюда видно, что, выбрав для диполя
в свободном пространстве и = ехр (ikR)/R, мы тем самым считали момент
диполя равным не единице, а о (действительно, П = аи).
Поле Е горизонтального электрического диполя, ориентированного
вдоль линии распространения, т. е. вдоль оси i9, получается отсюда на
Е, мкВ/м е, дБ
100000м i i т- j i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 100
10000
1000
100
Рис. 69. То же, чю на рис. 67; метровые, дециметровые и сантиметровые волны
основе теоремы взаимности (Е^ = Е$), а также из обычного граничного
условия Ех = Ez/Ve°, т. е. Е$ = Ег/л/еР:
Е™ = Щи=-Н™, г = а,
(39.37)
Е™ =
к2а
:ги'
г = а.
Поле вертикального магнитного диполя, согласно изложенному выше
правилу, равно
Е^ = k2av,
(39.38)
Н^ф = k2ay/e — cos2 -фу, г = a,
264
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
где v отличается от и заменой q на qm, v = u(qm). Следовательно, как и
в случае плоской земли (см., например, формулу (28.7)) это поле мало,
например пропорционально 1/R2. Этот магнитный диполь можно, как в § 29,
заменить квадратной рамкой с двумя сторонами, параллельными
направлению распространения и потому дающими взаимно погашающиеся поля, и
двумя сторонами, перпендикулярными линии распространения. Поле Ehy
одного такого горизонтального электрического диполя,
перпендикулярного линии распространения, отличается от Е^ делением на — ikl cos ф.
Следовательно, выбирая соответствующий моменту рамки момент
электрического диполя, аналогично формуле (29.8), мы получаем
ЕЬу = ffhy = k2av
(39.39)
Таким образом, опущенный до земли диполь дает на поверхности земли
поле слишком высокого порядка относительно R. Кроме того, за горизонтом
функции и и v убывают экспоненциально.
Поэтому в реальных условиях для горизонтального электрического
диполя важнее тот случай, когда он поднят над поверхностью земли и появля-
Е, мкВ/м
10000
5000
—1 1 1 1 1—I 1—
cr=410"uCGSM;e'=80
Я.дБ
80
500
1500
2000
D, км
Рис. 70. То же, чю на рис. 67, но над морем
§39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
265
ется волна, отраженная в соответствии с интерференционными формулами
(учитывающими коэффициент расходимости (35.7)).
В случае горизонтального магнитного диполя, расположенного на земле,
как и для плоской земли, диполь можно заменить рамкой, в которой только
ее вертикальные стороны дают поле, не содержащее дополнительного малого
фактора 1/у/еР или 1/kR. Поэтому оно множителем I sin <р(д/дг) = ikls\n<p
отличается от поля вертикального электрического диполя момента m/ikl. В
результате мы вновь приходим к формулам для Ev с дополнительным
множителем sin уз, где уз — угол, образованный направлением распространения
с осью магнитного диполя.
Таким образом, только поле горизонтального магнитного диполя столь
же значительно, как поле вертикального электрического диполя, если оба
корреспондирующих пункта находятся на земле. Что же касается других
случаев, то они представляют практический интерес только в освещенной
области, где применимы интерференционные формулы.
В заключение приведем сводку окончательных формул для полей
рассмотренных выше источников. Эти формулы [ббб] справедливы во всем
пространстве над землей при условии \у/е\ >• 1. (Отброшены члены
порядка \/М и 1/у/е относительно оставленных.)
D, км
Рис. 71. То же, чю на рнс. 68, но над морем
266
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
а) Для вертикального электрического диполя:
Щ = -Щ = E0V(x, уо, уА, q),
в* - мЕо ду~о ' ( ]
El = Щ = Щ = 0.
б) Для вертикального магнитного диполя:
Ятг = ffmV = E0V(x, Уо,УА, Ят),
Н™« ~ МЕо ду~о ' (39'41)
в) Для горизонтального электрического диполя, расположенного в
плоскости <р = 0:
Е^-Н*- -E0V(x, уо, Уа, fa) sin v,
ph_ irh_ » р ^(». УО, УА, «?) ц
вг ~ ~я* ~ м^° а^ COSV5'
„h _ < р дУ{х, уд, уА, fa) (39-42)
ph _ ! ph
E*--^Er.
г) Для горизонтального магнитного диполя (вертикальная рамка),
расположенного в плоскости <р — 0:
Нт* = -£mr = -W(«, УО, УА, <7) sin y>,
#mr - -bmv - -JjEo 7[- cosv,
м °Уа (39.43)
Em« ~ мЕо Wo ^
*&* = o-
Здесь повсюду для электрического диполя
„ к2 exp (ikatf) .„„ А л.
Ео = Р ^=2, (39.44)
ay/v sin v
для магнитного же диполя вместо р (момент электрического диполя р =
= ilhj^/u) (6.46)) следует подставлять т (момент рамки т = IS/c, где
I — ток в источнике; Лэ<ь — эффективная высота электрического диполя;
5 — площадь рамки). Остальные обозначения обычны: М — большой
параметр (38.7); q и fa — см. формулы (39.2а), (39.26); уо ^ Уа —
приведенные высоты источника и точки наблюдения, у — kh/M (см. формулу
(39.2а)); х — приведенное угловое расстояние между ними, х — М"д.
Наконец, V — функция (39.21), в которой явно выписана зависимость от q или
соответственно fa.
§ 39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
267
Е, мкВ/м
Е,дБ
100
10 000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Горизонт D, км
Рис. 73. Напряженность поля как функция расстояния от передатчика (мощность 1 кВт),
находящегося на земле (ho = 0), для разных высот Ъа приемника при длине волны А = 7 м
(42,9 МГц) над средневлажной почвой
268
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Е, мкВ/м
ЮОООг
5000
1000
£,дВ
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
D, км
р
Горизонт
Рис. 74. То же, что на рис. 73, но для передатчика, поднятого на высоту ho = 50 м
Е, мкВ/м ег „Б
10 000
1000
100
10
0,1
\\
-^ч
*
^
"V-.
1
-—
N
JT(
^
^
ризо
о=
и
10~1;
Ч^
1
CGJ
^
^
i 1
М;е'
*>и
у^Г
= 4
-
-
-
S4S-
70
60
50
40
30
20
10
-10
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ПО 120 130 140 150
D, км
Рис. 75. То же, что на рис. 73, но при длине волны А = 3 м (100 МГц)
-20
§ 39. АНАЛИЗ ПОЛНОГО РЕШЕНИЯ
269
В настоящее время функции ослабления для сферы табулированы и
представлены в виде графиков для большого числа частных случаев (см.,
например, работы [11, 67]). Особенно подробно вопрос разработан в книге
D, км
Рис. 76. То же, чю на рис. 73, но для ho = 50 м и при А = 3 м (100 МГц)
Азрилянт и Белкиной [67], где для двух предельных видов почв q — 0 и
q — ос составлен обширный атлас кривых, в том числе для V и ее
производных, позволяющий с высокой точностью производить расчеты для фазы
и амплитуды функции ослабления. В частности, можно строго оценивать
применимость отражательных (интерференционных) формул. Мы с
иллюстративной целью привели здесь некоторые менее детальные, но наглядные
графики (см. рис. 67-77), заимствованные из книги Бреммера [11]. Они
дают представление о влиянии свойств почвы, длины волны и высот
корреспондирующих пунктов на ослабление радиальной составляющей поля.
Однако экспериментальные данные показывают, что теоретические
кривые для сферы, окруженной однородной атмосферой, описывают
действительное ослабление поля далеко не всегда удовлетворительно.
Расхождение обнаруживается главным образом для ультракоротких волн и еще более
коротких волн (дециметровых, сантиметровых) за пределами прямой
видимости, где, действительно, наблюдаемое поле сильнее предсказываемого
формулой (39.20). Это расхождение связано с неоднородностью атмосферы.
Отклонения в области волн длиннее метровых объясняются нормальным
убыванием плотности воздуха с высотой (см. § 15) и, как оказывается, с
хорошим приближением описываются той же формулой (39.20), в которой
нужно только вместо истинного радиуса земли о подставить эффективный
радиус ое, существенно больший, чем о (см. §58).
270
ГЛ. 6. ДИПОЛЬ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
В области же более коротких волн положение оказывается сложным.
Формулы настоящего параграфа, даже при замене о на ое, в лучшем случае
описывают дифракцию только при некоторых средних условиях. Большей
же частью они оказываются совершенно непригодными для столь коротких
Е,мкВ/м
10000
5000
1000
500
100
50
10
5
1
0,5
>ризонт
N. 1
Vj\
II
о
1 '
— — _
\ ч
\
3-
ч
<T=10-,*CGSM-e'=4
О5/)71"
^
^
4*7
к
Рис. 77. Влияние перехода через линию горизонта; средневлаяшая почва, ho = 100 м,
t*A = О (Бреммер [11])
волн как из-за образования волноводных каналов вследствие иннерсий в
высотном ходе показателя преломления тропосферы, так и из-за диффузного
рассеяния радиоволн на нерегулярных флуктуациях плотности нозд/ха. Эти
вопросы будут рассмотрены в гл. 9 и 10.
Глава 7
ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ
ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
В предшествующем рассмотрении мы идеализировали проблему
распространения радиоволн вдоль земли в различных отношениях. Во-первых,
поверхность раздела земли и атмосферы считалась либо идеально плоской,
либо строго сферической. Во-вторых, атмосфера считалась совершенно
однородной. Наконец, в-третьих, почва также считалась вполне однородной по
своим электрическим свойствам.
Геометрическая идеализация очень часто оказывается недопустимой, и
это прежде всего имеет место, когда неправильности рельефа не малы по
сравнению с длиной волны. Учет этого обстоятельства мы откладываем до
следующей главы. Неоднородность тропосферы, особенно существенную для
весьма коротких волн, мы рассмотрим в гл. 9 и 10. Здесь же мы
отказываемся от представления об однородности почвы, которое, конечно, отнюдь
не отражает положение дел в случае суши. Малость глубины проникновения
радиоволн в почву (рис. 27) приводит к тому, что не происходит
существенного «усреднения по глубине», и местные вариации электрических
параметров вдоль трассы радиоволн, обусловленные прежде всего колебаниями во
влагосодержании почв, оказываются значительными. Кроме того, уже такие
практически важные случаи, как радиосвязь между берегом и кораблем в
море, показывают, что необходимо исследовать распространение радиоволн
над неоднородной землей.
Мы увидим ниже, что распространение радиоволн над неоднородной
поверхностью обладает весьма своеобразными свойствами. Ряд интересных
особенностей возникает для коротких и более длинных волн. Однако и в
других диапазонах появляются, например, такие случаи, когда при
специальных, но часто встречающихся условиях поле не убывает, а значительно
возрастает по мере увеличения расстояния и т. п. Изучение этих свойств,
с одной стороны, существенно для понимания механизма распространения
радиоволн, с другой, — помогает выбирать наилучшие условия
радиопередачи и учитывать привносимые неоднородностью почвы искажения.
Теория вопроса была в свое время развита для плоской земли [73-76]
(а впоследствии обобщена для сферической земли [77, 78]) на основе того
же метода приближенных граничных условий типа (21.14) и интегрального
уравнения для функции ослабления типа уравнения (24.12). При этом,
однако, они были пересмотрены и обобщены, во-первых, так, чтобы они были
справедливы для переменного s; во-вторых, так, чтобы можно было их
эффективно решать в возникающих гораздо более сложных условиях.
С другой стороны, впоследствии были применены и другие методы [79-
81]. Они подтвердили выводы упомянутого рассмотрения. Была также
впервые развита теория для сферической поверхности [81] (результаты которой
были получены и на основе единого интегрального уравнения, см. работу
[78] и ниже §46). Эти исследования завершились, в частности, созданием
272 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
таблиц и графиков для окончательных формул [806, 82]. Мы их частично
приводим ниже. Вопрос о возмущении фазы и направления
распространения радиоволн при пересечении границ между разными почвами, а также
вопросы о влиянии многих хаотических неоднородностей вынесены из этой
главы и рассматриваются вместе с подобными же влияниями рельефа в гл. 8.
§ 40. Приближенные граничные условия
Прежде всего обобщим приближенные граничные условия (21.19) на
случай переменного е. Мы будем вести рассуждения для плоской земли, но
в действительности, конечно, получаемые локальные соотношения
справедливы и для неплоской поверхности (в частности, для сферы), если только ее
радиус кривизны достаточно велик (см. формулу (34.2)). Мы будем, кроме
того, подразумевать, что источник испускает вертикально поляризованное
излучение.
Введем понятие длины, на которой свойства почвы заметно изменяются,
6 = г-Ц— (40.1)
и рассмотрим сначала почву, которую можно считать однородной в пределах
расстояний порядка длины волны в воздухе,
Ь> А, А;Ь>1. (40.2)
В таком случае рассуждения, которые привели к формуле (21.19),
сохраняют свою силу. Действительно, в §21 мы требовали только, чтобы в
воздухе поле Е удовлетворяло условию (дЕ/дх) « ikxE, что имеет место,
если функция ослабления мало меняется на длине волны. Но если на этом
расстоянии неоднородность почвы еще не проявляется, то поведение
функции ослабления не может ухудшиться. Далее, как мы знаем, поле быстро
затухает по мере углубления в землю так, что оно исчезает на отрезке,
существенно превышающем ((17.7))
1 _ 1 _. А > 1
~ Im {кф} ~ у/Щsin [(1/2) arctg {Ажа/е'и)} ' ~ *| v^l' ^°'^
Поэтому, если выполнено условие (40.2), то & > / и в пределах глубины
проникновения поля изменчивость свойств почвы по вертикали не успевает
проявиться. Следовательно, считая просто диэлектрическую проницаемость
е = s(x, у) медленно меняющейся (по сравнению с Е) величиной, мы можем
переписать условия (21.14), (21.19), (21.26), (21.27) в виде
ЭЕя *'* :EZ, z = 0, (40.4)
dz y/e°(x, у)
1 COS <fi
1 sin уз
соафу/еО(Х1уУ
1 cosv
Ex = / Ez, z = 0, (40.5a)
1 sin <s
Ey = 7 / n, 4g" 2 = 0' (40-56)
§ 40. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
273
где
£°{Х> У) = с(х?1)Х-У1* ф * Ф' У) + COs2 Ф * Ф' У)- (4°-6)
Здесь <р — угол направления распространения волны с осью х; ф — угол
скольжения волны с плоскостью z = О,
кх = к cos ф cos <p, ку = к cos ф sin <p, kz = к sin ф.
Как обычно, условие (40.4) справедливо не только для Ez, но и для вектора
Герца (П или Пт) вертикального (электрического или магнитного) диполя
или, в случае сферической поверхности, — для функций Дебая и или v
(конечно, в магнитном случае вместо [s°(x, у)]~ стоит [s{x, у)—cos2 ф]1^2,
ср. формулы (34.5), (34.6)).
Таким образом, при соблюдении условия (40.2) вопрос решается просто.
Сложнее обстоит дело для резко неоднородных почв, когда b < X. Здесь в
общем случае, по-видимому, вообще не существует локальных условий типа
(40.4)-(40.5б). Однако уместно рассмотреть важный частный случай, когда
можно продвинуться довольно далеко в область малых Ь. Граничные условия
рассматриваемого типа могут быть написаны, если комплексная
диэлектрическая проницаемость весьма велика,
И > 1, (40.7)
Ь>-А=, W|Ve|»l, (40.8)
V\£\
т. е. если характерная длина неоднородности превышает «длину волны в
почве», даже если она мала по сравнению с длиной волны в воздухе. Эта
область значений Ь возникает, когда имеет место условие (40.7). Поэтому мы
можем вернуться к первоначальным условиям Леонтовича (см. §21). Они
основаны на том, что при очень больших \е\ значение ку/е всегда велико
и потому в почве можно применить лучевое приближение геометрической
оптики. Следовательно, как это имеет место в плоской волне, должны быть
справедливы формулы (21.29).
Если почва неоднородна, но все же пределах отрезка 1/ку/ё свойства
почвы не успевают измениться, т. е. удовлетворяется неравенство (40.8),
лучевое приближение должно быть по-прежнему справедливо. Таким
образом, можно переписать соотношения (21.30) для переменного е:
Ех = Ну, Еу = =НХ, z = 0. (40.9)
у/е(х, у) у/е(х, у)
Совершенно так же, как при переходе от соотношений (21.30) к
соотношениям (21.31), мы можем использовать уравнения поля. Однако
дифференцируя уравнения (40.9), нужно учитывать, что е переменно. Из div E = 0
следует
дЕг
dz
(8ЕХ дЕу\_ 1 (дНу ЭНЛ 1 1 Где _д±н\
\дх + ду ) уД\дх ду ) 2£з/2 \дхИу дуМ*) ■
274 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
Так как rotH = — гкЕ, мы имеем
Эта формула обобщает условие (40.4) на случай быстропеременной почвы
с большим |е|. Легко видеть, что, поскольку Ех<у ~ Е2/т/е, отношение
добавленного справа члена к первому имеет порядок \/кЬ. В рамках условия
(40.8) эта величина может быть очень велика. Дело в том, что для хорошо
проводящей почвы dEz/dz — аномально малая величина (по сравнению с
«естественным» масштабом изменений, кЕг). Поэтому учет неоднородности
даже хорошо проводящей почвы может быть существен.
Далее, в пределах отрезка порядка нескольких А изменение е
(остающегося повсюду большим) может повлиять на главные компоненты поля Ez,
Нх и Ну только в членах порядка \/у/ё (это будет показано прямыми
вычислениями в §49 на основе условия (40.10)). Поэтому с точностью до членов
высшего порядка относительно этой малой величины связь Ez с Нх и Ну
такая же, как для постоянного е. В результате, согласно соотношениям (21.26)
и (21.30) из равенств (40.9) следует
COS КО
Ех = Z. -Ez, г = 0, (40.11a)
COS фу/£(х, у)
Еу = *"^ Ez, z = 0 (40.116)
cosipy/e{x, у)
(другой вывод соотношения (40.10), см. [1, §40]). Формулы (40.11а, б) могут
быть получены иначе, если мы учтем, что формулу (40.10) можно переписать
в виде
или, учитывая, что div E = 0,
±(^EX) + ^(V£Ey) = ikEz. .
Поскольку с точностью до членов порядка 1/л/ё можно считать
Ez ~ exp [i(kxx + куу)],
решением этого уравнения, исчезающим вместе с Ег, и являются формулы
(40.11а, б).
Формулу (40.10) теперь можно переписать и так:
Если же учесть, что dEz/dx и ikxEz, то
^ = -r-iT7fk'Srad-7THV z = 0> (40Л2)
dz fccos2^ ^ у/ф, у) J
где к — двумерный вектор к(кх, ку).
§ 40. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
275
Формулы (40.11а), (40.116) показывают, что для быстр опер еменного е,
кЬ < 1, заметное изменение Ех и Еу в отличие от изменения Ez происходит
на отрезках, гораздо меньших длины волны в воздухе: дЕх/дх ~ Ех/Ь
и т. д.
Более подробная оценка точности вышеприведенных формул получается,
если применить последовательно к уравнениям Максвелла с переменным с
приближение геометрической оптики и не останавливаться на первом неис-
чезающем приближении по l/л/ё, а вычислить также и следующее. Это дает
[36] для неоднородной и неровной поверхности
где /х — магнитная проницаемость, считающаяся постоянной (мы полагаем
повсюду /х = 1), р\ и р2 — главные радиусы кривизны поверхности, z —
нормаль к поверхности. Таким образом, граничные условия (40.9) особенно
чувствительны к изменчивости свойств почвы по вертикали z
(производные по а; и у появляются только в следующем порядке по 1/л/ё). Область
применимости приближенных условий (40.9), как видим, такова: радиусы
кривизны поверхности должны быть велики по сравнению с глубиной
проникновения радиоволн:
р1'2 > кйД-
Свойства почвы должны мало меняться на этом же интервале.
Итак, подобно тому, что мы имели в случае однородной почвы, мы
получили граничное условие импедансного типа для функции Ez, т. е. условие,
не содержащее ни поля в земле, ни других неизвестных функций. С
помощью этого условия Ez может быть найдено в верхнем полупространстве
из волнового уравнения. Затем можно определить Ех и Еу на поверхности
z = 0 по формулам (40.11а, б) и, наконец, решить уравнения для Ех и Еу
при z > 0. С другой стороны, оставаясь в рамках приближения
геометрической оптики, при малых отрицательных z все компоненты поля можно
считать убывающими по закону
Ei(ar, у, z) = Ei(ar, у, 0) exp (-iky/ez). (40.14)
Следовательно, поле в земле тоже известно, если известно поле Е(х, у, 0),
однозначно с помощью точных граничных условий дающее Ei(a;, у, 0).
Обычно почвы имеют характер резко неоднородных, кЬ < 1, для
длинных волн, когда токами смещения можно пренебречь. Поэтому условие
применимости (40.8) полученных формул можно записать в виде
Ь»Ь(О)«У^«2.103^, (40.15)
где последнее выражение дает минимально допустимое значение Ь в метрах,
если длина волны в воздухе А выражена в метрах, а а — в единицах CGSE.
Так, для средних почв, а ~ 108, для А ~ 100 м характерная длина неод-
нородностей должна существенно превосходить 2 м. В частности, при
рассмотрении распространения радиоволн вблизи морского берега переходную
зону между морем и сушей всегда можно считать широкой по сравнению с
этой величиной fe(0) и тогда теория может быть использована.
276 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
§41. Обобщенное интегральное уравнение
Теория для неоднородной поверхности существенно упрощается, если
основываться на интегральном уравнении, обобщающем на этот случай
уравнение (24.6) и на обобщенных граничных условиях (40.4), (40.11). В
случае неоднородной почвы мы не можем заранее утверждать, что поле даже
вертикального электрического диполя описывается вектором Герца с
единственной отличной от нуля составляющей. Поэтому мы будем рассматривать
сразу поле Е. Для него, конечно, также справедлива теорема Грина, поэтому
для Ех и Еу, вводя функцию Грина и_, мы имеем, согласно формуле (8.5),
если Е° — поле того же источника над идеально проводящей плоскостью,
Ех,у(х, у, z) = Egty+±fE.,y(z', у', 0) (А^И№Г) dx'dy>,
p=yf{x- x'Y + (y- у')2 + (z - z'Y.
(41.1а)
С другой стороны, для Ez, по формуле (8.7) (функция Грина и+),
i? i \ со * Г дЕЛх'> У', 0) ехР (ikP) j i j i (лл л*\
Ez(x, у, z) = El - — / к-х- '- * dx dy . (41.16)
Z7T J OZ' p
Действительно, при е = ос как Ех, Еу, так и dEz/dz при z' = 0
исчезают. Но в формуле (41.1а) др/dz' = —dp/dz и потому дифференцирование
можно вынести из-под знака интеграла. С другой стороны, подставляя в
формулу (41.16) выражение (40.12), можно выполнить интегрирование по х'
и у' по частям. Поскольку поля на бесконечности исчезают, отынтегрирован-
ные выражения выпадут. Заменяя после этого др/дх' = —др/дх, др/ду' =
= —др/ду, видим, что все три выражения (41.1) можно записать в
следующей симметричной форме (считая dEz/dx = ikxEz и т. п.):
(41.2а)
(41.26)
kу = Z- f , к*'У2 , / 1 =Ея(х', у', 0)eXpiikp)dx'dy', (41.2b)
где выражение Ау отличается от выражения Ах заменой кх = к cos ф cos <p
под интегралом на ку = к cos ф sin (p. Если источником является
вертикальный электрический диполь в точке (0, 0, zo), то, выбрав подходящим
образом момент диполя, мы имеем в плоскости z = 0
Eo=e*P(ibD)cos2^ D=Jx2 + y2 + z2o. (41.3а)
Переходя к функции ослабления w,
Ez = E°zw, (41.36)
Ех
^xty
= Е°х
Ez
дАх
dz '
= E°Z +
1
Ey
дАх
дх
F, (г1
= Е°У-
| дАу
ду
. 7/'. 0V
дАу
' dz '
!
exp (ik,
§ 41. ОБОБЩЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
277
мы получаем для нее уравнение
w
, ikD f w(x', у') ( i ., ., /-«ч1
1 + / . v ' " ' <1+ — r—(k grad n Vs°) }
2тг J y/s°(x', у') I кЧов*фУ б ;/
гр
v^
2 + У2 + 4. Р= \/(х-х')2+(У-У')2 + 22-
Здесь под интегралом появляется множитель cos2 ф(х', у')/cos2 ф(х, у),
который мы отбросили, считая zo и z достаточно малыми.
Особенно просто обстоит дело, если отличие от поля над бесконечно
проводящей поверхностью оказывается малым. Тогда вследствие малого
фактора 1/%/е0 интеграл можно считать небольшим возмущением и подставлять
для Ez справа невозмущенное поле. Примеры этого будут даны в
дальнейшем. Однако особенность процесса распространения над землей состоит в
том, что если даже модуль |е"| велик, поле может существенно отличаться от
поля над бесконечно проводящей поверхностью, т. е. весь интеграл может
быть не мал. Это видно хотя бы из того, что для е° = const, когда
решением является нормальная функция ослабления, отличие поля от поля над
идеальным проводником на больших численных расстояниях становится
весьма велико. Поэтому решение по методу последовательных приближений
в общем случае непригодно и нужны какие-то другие методы.
Если членом, содержащим grade0, можно пренебречь (например, если
й > 1; однако при особых обстоятельствах и не только в этом случае,
см. ниже), то фигурную скобку в уравнении (41.4) можно опустить. Такое
уравнение может быть при специальном виде функции £°(х, у)
непосредственно решено даже для случая произвольно больших искажений
однородности почвы. Оно было решено [73-75] для случая z = 0 и
£о="' я<4: («■»)
£Г° = £$ = COnst, X > О,
описывающего распространение радиоволн над плоскостью, состоящей из
моря (е « ос) и суши (е ф ос). Конечно, нужно при этом еще доказать, что
область скачка е, где grade = oo, несущественна; это действительно имеет
место при расположении корреспондирующих точек по обе стороны границы
раздела. Однако если обе эти точки расположены по одну сторону от границы
(«отражение от берега»), то хотя возмущение мало, оно существенно зависит
от переходной зоны и здесь член с grade очень важен (см. §50).
Этот специальный случай, получивший название береговой рефракции,
поскольку весь вопрос вырос из изучения ошибки радиопеленгования в
прибрежной полосе, был первой проблемой неоднородной поверхности,
получившей решение. Он обнаружил ряд своеобразных особенностей процесса и
имел поэтому принципиальное значение.
Однако уже в чуть более сложных случаях, даже, например, для двух
различных почв конечной проводимости,
е° = £° = const ф ос, х < 0,
£° = е% = const ф оо, х > 0,
278 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
решение удалось получить лишь другим методом, который позволяет
упростить решение и для случая (41.5). Метод основан на замене интегрального
уравнения (41.4) другим, более общим [75]. К выводу этого уравнения мы
и перейдем.
В предыдущих главах мы исходили из интегрального уравнения для
напряженности поля или для вектора Герца, в основе которого лежит формула
(5.8) или (5.14). Она выражает поле в данной точке через сумму объемного
интеграла по заданным источникам и поверхностного интеграла,
содержащего значения самого поля и его производной на некоторой поверхности.
При выводе этих формул, дающих решение волнового уравнения (5.1)
V2u + k2u = U, (41.7)
существенно используется вспомогательная функция — функция Грина vo =
= exp (ikr)/r, где г = |R — R'| — расстояние между точкой наблюдения и
текущей точкой. Весь метод и основанное на нем интегральное соотношение
являются фундаментальными в теории распространения волновых
процессов вообще.
Однако еще в §8 подчеркивалось, что такой выбор функции Грина не
является единственно возможным. Уже в случае идеально проводящей
поверхности (§ 20) мы использовали в качестве функции Грина совокупность
функции vq и функции, описывающей отражение в плоскости. В частности,
в §8 мы видели, что от функции Грина требуется лишь, чтобы она
1) была решением волнового уравнения (41.7) без источников (U = 0);
2} при г —)■ 0 обращалась в бесконечность как 1/г,
3) на бесконечности убывала бы быстрее, чем 1/г, либо же убывала как
1/г и удовлетворяла при этом условию излучения.
Использованная нами повсеместно функция Грина Vo может быть
интерпретирована как поле точечного диполя в пустоте. Из физических
соображений очевидно, что всем предъявляемым к функции Грина требованиям
удовлетворит также и поле диполя, расположенного над плоской
поверхностью земли конечной проводимости. Другими словами, за функцию Грина
мы можем принять не только vq, но и функцию
v = v0w0(R, В!) = "Р [* jfg*0 «*>(*, «•'), (41-8)
где wq — функция ослабления для указанного в аргументе расположения
корреспондирующих пунктов над поверхностью, характеризуемой
некоторым £° = £q = const. В частности, если под wq понимать найденную нами в
гл. 5 функцию ослабления для случая вертикального диполя, находящегося
в точке R' и наблюдаемого в точке R, т. е. нормальную функцию
ослабления, даваемую формулой (25.30), то функция (41.8) будет подходящей
функцией Грина, так как (что ясно из физической интерпретации функции
у) она удовлетворяет всем трем перечисленным выше требованиям, в
частности, является приближенным решением волнового уравнения (41.7). С
той же точностью, с которой она является решением волнового уравнения,
будут справедливы и все найденные с ее помощью результаты.
Эту функцию согласно обозначению, принятому в формулах (26.21)-
(26.22а), можно записать как уо(|г — r'\', z'', z), где г и г' — проекции R
и R' на плоскость хОу, z' — текущая точка в интеграле, z — ордината
§ 41. ОБОБЩЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
279
точки наблюдения; или же, поскольку z' и z входят только в виде суммы, —
как у(|г — r'|; z + z'). При z + z' = 0 эта функция удовлетворяет условию
^(lV/h0)=-^.(|r-r1;0). (41.9)
Здесь
*7 Г / г— \2'
dv,
у0(р; z + z') = 1 + 2^/ioP / ехр и2 - s0p (1 + у £о sin ^ )
>/»оР(1+\/е^8т^)
(41.10)
где sin ф « (-г + z')/D, s0 = ik/2e%.
Подчеркнем, что при этом параметр е% является произвольным.
Другими словами, в качестве функции Грина мы берем поле диполя над
некоторой фиктивной вспомогательной однородной поверхностью. Распоряжаясь
этим параметром, мы получаем возможность упрощать решение различных
задач.
Для поля в любой точке пространства (х, у, z) мы согласно (5.14) можем
теперь написать
5
Желая выбрать в качестве поверхности S плоскость раздела земли и
атмосферы (д/дп = —d/dz'), мы должны с некоторой осторожностью
произвести дифференцирование функции ехр (ikr)/r no z, так как здесь г может
обратиться в нуль. Поэтому нужно действовать так, как это изложено в §36
(см. формулы (Зб.б), (36.7)). Можно поступить и иначе, как в §20, выбрав
в качестве функции Грина не функцию (41.8), а функцию
_ fexp(tt|R-R'|) expMRi-R/pi т ,„ „,х ш лоЛ
U+-\ |R-R'| + |Rl-R'| )^(R-R)- (41Л2)
Мы получим, дифференцируя по z произведение и учитывая формулу (41.9),
/s(sF-)^-M(»-;)sPl(i)0-s'-
-2кЕяУо + гк [ -^y0Ez 6XP ^ dS'. (41.12а)
Поскольку для плоскости (др/дп)о = 0, то справедлива, в частности,
следующая общая формула:
д ехр (гкр)
Ып<о£р'-
dx'dy' = -2nf(x, у). (41.126)
280 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
Таким образом, мы получаем
exp (ikp)
Е.
-±Juri
VodV-
exp (ikp)
yodx'dy'. (41.13)
Здесь р = ^/(x — x')2 + (y — у')2; в интеграле по 5', yo = Уо(р; 0) — функция
ослабления для диполя, помещенного в точке (х1, у', 0), поле которого
рассматривается в точке (х, у, 0); уо вычислена для некоторой вспомогательной
однородной земли с е° = е0,; U — плотность источников поля (3.96), более
подробное выражение которой нам не потребуется. Так как dEz/dz
определяется при z = 0 через Ez, то мы и получаем интегральное уравнение для
Ez. Подставляя значение (40.12) и вынося, вследствие точечного характера
U, из-под знака объемного интеграла уо, мы получаем
Ez = E°zy0(D; го) + ^
1 +
у/е°(х,у) L k2 cos2 Ф
1
(k grading)
Ezyo(p;0)eXPiikp)dx'dy', (41.14)
где
Ео=.J. [u{R.fVLmdV>
2тт J p
(41.15)
является полем, которое данные источники U создали бы в точке
наблюдения, если бы земля была идеально проводящей; D = ух2 + у2 — проекция
на плоскость z = 0 расстояния от источника до точки наблюдения. Таким
образом, первое слагаемое в правой части дает поле, которое в данной точке
создал бы данный источник, если бы земля была однородной и имела бы е0
такое же, как у выбранной вспомогательной почвы £q.
Для источника, имеющего характер вертикального диполя, на
поверхности земли с точностью до постоянного множителя
£
D
exp (ikR) D2 exp (ikR)
R
\/x2 + y2,
R2
R
R
v^
(41.16)
+ 4-
В дальнейшем мы подвергнем подробному рассмотрению основной
случай, zo = 0, т. е. случай, когда не только приемник, но и передатчик
находятся на плоскости z = 0. Для него нормальная функция ослабления
является функцией только численного расстояния. Поэтому мы будем писать
уо в виде y(sop) и т. д.
Главный интерес представляет случай не очень быстро меняющейся
функции £°, когда выполнено условие (40.2), и потому квадратную скобку
§ 41. ОБОБЩЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
281
в (41.14) можно опустить. Далее, переходя от поля Ег к функции
ослабления w по формуле (41.36), мы вместо уравнения (41.4) получаем обобщенное
интегральное уравнение [74, 75]
х ехр [ik(r' + р - R))y(s0p) dS', (41.17)
эквивалентное уравнению (41.4) при £$ = ос, у(«оР) = yo(D; zo) = 1. Как
обычно, экспоненциальный фактор выделяет в качестве наиболее
существенной области первую зону Френеля. Если е° в поперечном направлении в
пределах зоны постоянно, то, разлагая г и р по степеням у 2 и интегрируя
по у', окончательно получаем
— х
т J \/x'{D - х')
s{x'>y>) = 2^7)' So = 55 = const-
(41.18)
Это уравнение, обобщенное по сравнению с уравнением (41.4)
(квадратная скобка из уравнения (41.4) конечно, может быть перенесена и сюда)
введением произвольного постоянного параметра «о, оказывается очень
полезным.
Все вышеприведенные рассуждения могут быть обобщены и на случай
сферической земли [77, 78].
Теорема Грина для радиальной составляющей поля ЕГ(А) в точке А над
неоднородной сферой дает
W = *) + i/{^-^.}« (41.19)
где Ег, как мы убедимся ниже, — поле над некоторой однородной сферой.
Здесь точка наблюдения находится не на самой сфере. Чтобы перейти к
случаю г = о, мы должны воспользоваться формулами аналогичного
рассмотрения в §36. Обозначим, как и там (см. рис. 57), расстояние от точки
наблюдения А в пространстве до текущей точки поверхности
интегрирования через г', центральный угол между точкой А и текущей точкой через в,
высоту точки А над землей через h^. В качестве функции Грина v выберем
поле точечного диполя над однородной сферой, характеризуемой некоторым
параметром £% (и соответствующим значением qo = q(£o) (39.2а)). Согласно
формулам (39.1), (39,2),
г
где х' соответствует расстоянию ав по формуле (39.2). Так как при г = а
on дг д/eg дп у/ёЦ
282 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
и, следовательно,
dv _ exp (ika9) ( 1 дг' ik \
On" г' \r>dn + J?JV> ^-U)
то, подставляя в соотношение (41.19) выражение (36.2), имеем
(41.23)
Предпоследний член в скобке очень мал. Действительно, когда мы перейдем
к h, то (следует различать г' = |R— R'| и расстояние от центра земли г)
ia92 i
2i^^Wa (41'24>
Возникающий интеграл от этого члена имеет порядок Е®/2ка и потому
может быть отброшен (это по существу тот же член, который мы отбрасывали
и в соотношении (36.6), когда принимали во внимание, что кг' ^> 1).
Последний же член в скобке в формуле (41.23) дает, как в § 36 (dS' « 2nr'0dr'0 =
= 2nr'dr';r'2 = r'02 + h2),
оо
h /exp ({ка9)УЕгЩ = 2nh /exp [ika9(r')]V(r')Er(r')% =
2;r exp[^H]F(r/)gr(r/)
oo
+
+
J A{eXp [ika9(r'))V(r')Er(r')}^\. (41.25)
В пределе h —)■ 0 производные под интегралом во всяком случае конечны
и, поскольку весь интеграл умножается на h, он выпадает из результата.
Первый же член дает 2тгЕГ(А). Перенося в формуле (41.23) этот член в
левую часть и умножая уравнение на 2, получаем для точек наблюдения на
самой сфере
ЕГ(А) = Е?(А) + *
2тгУ ^v^ V^i
хвхр[^-^)] ,. ,, S|
a[itA - v')
где i?' — центральный угол текущей точки на поверхности, отсчитываемый
от оси, проходящей через источник; V^a — &'', <7о) — функция ослабления
для углового расстояния 9 = •$& — •$' при h^ = 0 (39.2). В переменных
D = а-дл, ГУ = а-д', вводя вместо е° и е% соответствующие им параметры
§ 41. ОБОБЩЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
283
q(S) и qo, а также большой параметр М, это уравнение можно переписать в
следующих очевидных обозначениях:
Er(D; q) = E»{D; qo) + Ш I Ъ^Ег{П'] *)Х
x exp [ik(D - D')] V{ti - tf'; q0) dS'. (41.26a)
Как и в случае плоскости, его можно свести к уравнению с интегралом
вдоль линии — в данном случае вдоль большого круга, соединяющего
источник и точку наблюдения. Для этого введем координаты на сфере
следующим образом (рис. 78). Пусть большой круг, проходящий через источник
Рис. 78. Вспомогательные координаты на сфере
О и точку наблюдения А, является экватором. Вдоль него отсчитывается
долгота текущей точки уз (<ро = 0, <рл = &а)- Широта текущей точки ф
в пределах существенной области всегда мала (если дл не очень велико,
■ва < 1). Поэтому приближенно можно считать, что
~ Ф2
$ - $'«(рА - уз + у . (41.27)
tf'
ф2
2(уэл-уэ)'
Решение ищем в виде
Er(4\q)
exp (ika'd)
W{d;q),
(41.28)
где W — некоторая медленно меняющаяся функция ослабления (по
отношению к q = q((p, ф) она, как и Ег, является функционалом). Во всех медленно
меняющихся функциях W, V, 1/# и т. д. можно положить ф = 0, а
интегрирование распространить от —оо до +оо. После всех этих подстановок и
сокращения на D'1 exp (ikD) уравнение (41.26а) примет вид
W(4a\ Я) = V{dA; q0) + ^ J W(<p; q)V{-dA - уз; q0) d<px
о
284 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
Рассмотрим случай q = q(<p), т. е. предположим, что свойства почвы
меняются только вдоль дуги большого круга, соединяющего передатчик и
приемник, и что границы раздела разных почв перпендикулярны к этой
дуге. Впоследствии мы рассмотрим и наклонную границу и убедимся, что
поправка на наклон границы очень невелика. В таком случае q(<p) — qo
выносится из-под интеграла по ф, который дает (/гат^^)-х/2 [27гг^(ч9л — у)] •
В результате для функции ослабления W получается следующее уравнение,
справедливое при q, зависящем от точки (мы здесь заменяем уз на #,
поскольку на экваторе они совпадают):
(41.30)
Это уравнение имеет совершенно такой же вид, как уравнение для плоской
земли (41.18). Действительно, учитывая значения М и q (38.7), (38.12а):
л, з[ка .3Пёа 1 г'М
м=Уу 9 = гУТ7Го = 7Го' (41,30а)
видим, что
iM#A/ . РМЧА
(q - qo)
V 7Г \у/?Щ yffij
= ij^-(y/s - у/ъ) (D = a#A). (41.306)
Все отличие от уравнения (41.18) состоит в замене искомой функции
ослабления w на W и вспомогательной функции для однородной плоской земли
Уо на соответствующую функцию для сферической земли V (если положить
ГУ = о1?' и D = oi?^, то будет также отличие в замене х', х на ГУ, D).
Это уравнение получено для не очень быстро меняющихся свойств почвы,
именно, удовлетворяющих условию (40.2). Нетрудно, конечно, получить
уравнение и для случая кЬ < 1, если использовать граничное условие,
аналогичное условию (40.12).
§ 42. Кусочно-однородная трасса. Общие формулы
Рассмотрим плоскую поверхность. Пусть трасса радиоволн (первая зона
Френеля, которая для случая zo = zA = 0 имеет вид вытянутого эллипса с
корреспондирующими точками в качестве фокусов) может быть разбита на
некоторое число N участков, каждый из которых однороден и
характеризуется постоянным параметром е0 = е°, j = 1, 2, ..., N. Переходные области
предположим весьма малыми по сравнению с размерами самих участков
(хотя бы и большими по сравнению с длиной волны; все области первой
зоны посылают в точку наблюдения возмущение с близкими фазами, так что
играет роль только относительная величина площади той или иной области).
При этом, однако, для простоты мы примем, что, как это и бывает довольно
часто, особенно для коротких и средних волн, переходные области велики
§42. КУСОЧНО-ОДНОРОДНАЯ ТРАССА. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ
285
по сравнению с «длиной волны» Л, кЪ >• 1. В таком случае справедливо
уравнение (41.18) с zo = 0, уо = y(sop)-
Разбивая трассу на однородные участки, это уравнение можно переписать
так:
(y/sj ~ y/so)w(z') dx'
_ ik
Si = 4 (42.1)
Здесь xj-i и xj — границы j-го участка, x0 = 0, x?{ = D.
Это уравнение [74] будет основным при рассмотрении процесса
распространения радиоволн над плоской кусочно-однородной поверхностью.
Заметим, что, перейдя, согласно этому уравнению, к однородной поверхности с
г0 = е\, т. е. положив N = 1, мы должны получить w(D) = y(siD), где под
y(siD) понимается такая же нормальная функция ослабления, как и y(soD),
но вычисленная для е° = е®. Это значит, что любые две нормальные
функции ослабления y(soD) и y(s\D) удовлетворяют соотношению
D
yi(six')y(s0(D - х'))
„(51В)-„(*,/>) = '(V'JID-V^) f""-y-'»tf. (42.2)
V71" J y/x'(D - x')
Частным случаем этого уравнения при «о = 0, y(soD) = 1 является
уравнение (24.12).
В случае кусочно-однородной сферической земли при тех же
предположениях из уравнения (41.30) вместо (42.1) имеем
W(#A; Я) = V(#A; q) + ^ — J> - *) J _ М,
(42.1а)
где qj — параметр, характеризующий свойства почвы на j-u участке.
Обобщенное уравнение (42.1) (а также (42.1а)) допускает развитие
регулярного метода, дающего в принципе возможность путем последовательного
вычисления квадратур найти функцию ослабления для кусочно-однородной
трассы. Аналитическое вычисление этих квадратур в самом общем случае
оказывается невозможным, однако значительное число интересных
частных формулировок проблемы может быть исследовано до конца. В других
случаях необходимо численное интегрирование.
Функция ослабления w является сложной функцией расстояния от
источника. При переходе через каждую границу между двумя участками
меняется самый характер ее поведения. Поэтому, закрепив положение источника,
удобно на каждом участке обозначить ее особым символом (рис. 79). На
интервале значений D между 0 и х\ назовем ее Wi(D). Когда D превышает
xi, но меньше чем Х2, обозначим w через Wi и т. д., вообще
wj(D) = w(D) при zj_i < D <xj (42.3)
286 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
(на рис. 79 изображен случай, когда на одном из участков w возрастает с
расстоянием; мы увидим в дальнейшем, что такое поведение w,
действительно, возможно). Мы будем здесь для конкретности говорить о плоской
земле, однако все рассуждение, конечно,
сохраняет силу и в сферическом случае.
Для определения поля в данной
точке, согласно формуле (42.1), нужно
производить интегрирование только по
области значений х', лежащей между
источником и данной, интересующей нас,
точкой. Но для первого (однородного)
участка функция ослабления известна —
это нормальная функция для
соответствующего г0:
wi(D) = y(SlD). (42.4)
Разумеется, строго говоря, Wi
зависит не только от D, но и от расстояния
до расположенной позади точки D
границы со следующим однородным участком. Однако поправками,
связанными с эффектом «отражения» поля от последующих участков мы в этой
главе будем пренебрегать. Соответствующую оценку см. в формуле (50.27).
Подобные эффекты имеют самостоятельное значение в ряде практических
проблем (мы разберем их в §50).
Найдем W2(D) — функцию ослабления для точек второго участка. Сумма
в формуле (42.1) для этого случая содержит только два слагаемых.
Выберем произвольный параметр s0 равным «2- Тогда один из двух членов
суммы — интеграл по второму участку — выпадет. В остающемся же интеграле
по первому участку функция ослабления уже известна, — это y(siD) (42.4).
Следовательно, заменяя все величины с индексом 0 соответствующими
величинами с индексом 2, получим (N = 2, w —)■ u^)
х или/)
Рис. 79. Схематическое изображение
возможного хода функпии ослабления
MD) = *,!>) + J£^- V3J) /*-'Wfl-'» *<. (42.5)
V тг J y/x'(D - х')
Таким образом, для определения w на втором участке нужно вычислить
интеграл от известных функций. Когда функция W2(D) найдена, можно
искать W3(D), т. е. функцию ослабления для третьего участка. Для этого
в уравнении (42.1), где сумма теперь содержит три члена, N = 3,
выберем «о = S3. Выпадает интеграл, содержащий неизвестную функцию W3, и
остается
,. г- ,-> 7«»(*')уЫД-*')) . ,
Xl
\, (42.6)
причем здесь функция W2 считается уже определенной из (42.5).
§ 43. ТРАССА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ДВУХ ОДНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ
287
Вообще, очевидно, для к-то участка можно написать, полагая £$ = е°,
,k(D) = yistD) + iM£(v^-V5S / ^')УЫВ-'))Лх, (42.7)
V тг ^ J y/x'(D - х')
(где х0 = 0).
Аналогично для сферической земли находим
wk{*A', q) = v(#A; Як) +
+
где вновь интегралы берутся только от функции ослабления на
предшествующих участках.
Разумеется, фактическое применение этого рекуррентного метода может
встретиться с затруднениями чисто вычислительного характера. Ниже мы
иллюстрируем его применение на ряде простейших примеров, дающих
практически интересные результаты.
§ 43. Трасса, составленная из двух однородных участков
В этом и последующих параграфах (до §45 включительно) мы
рассмотрим плоскую неоднородную земли, а затем перейдем к сферической.
Пусть (рис. 80) на участке 0 < х < xi имеем s = Si, при х\ < х,
s = «2- На первом участке функция
ослабления, конечно, известна (42.4).
Для W2 (т. е. при xi < D)
справедливо уравнение (42.5). Чтобы
вычислить W2, нужно в интеграл
подставить у из (41.10) при z = z' = 0.
Тогда возникают, в частности,
кратные интегралы от интегралов ошибок
Ф для комплексного аргумента. Они не всегда могут быть снова сведены к
таким же Ф от других аргументов. Помимо них остаются члены типа
а Ь
Рис. 80. Существенная область для трассы
суша-море
/ du I dv exp (и2 + и2).
(43.1)
о о
Они должны быть специально табулированы или же приходится
рассматривать их асимптотическое поведение при больших и малых значениях
соответствующих аргументов. Выписать все выражение для W2,
содержащее эти интегралы, нетрудно. Однако оно чрезвычайно громоздко. Для
некоторых случаев этот результат был изображен в виде графика в работе
Фуруцу [80], который получил его иным путем. Этот график будет приведен
впоследствии. Мы же рассмотрим простейшие предельные случаи. Вместо
того чтобы выписывать упомянутое сложное полное выражение и находить
из него результаты для этих предельных случаев, мы, используя
асимптотические представления для Ф(х) и интегралов типа (43.1), сразу будем
производить упрощения в формуле (42.5) соответственно рассматриваемому
288 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
случаю. Таблицы точных значений W2(D) также удобно вычислять,
подставляя в уравнение (42.5) вещественные и мнимые части у и выполняя
численное интегрирование.
Рассмотрим сначала случай х\ <С D (один из корреспондирующих
пунктов находится относительно близко к границе раздела участков). Тогда в
подынтегральном выражении можно положить
иг***0-*»"*№ (432)
(поскольку х' меняется от 0 до х\ и, следовательно, D — х' меняется от
D до D — xi « D) *) и вынести этот множитель из-под знака интеграла.
Остающийся интеграл можно вычислить, используя формулу (37.7),
?уЩ^Ы = ГТ( _ _i _ |
0
и потому
MD) = y^D) {0i+ ^/^C - ,<*.,))} . (43.4)
В частности, если более протяженный участок обладает бесконечной
проводимостью, «2 = 0, то, согласно формуле (41.10) при z = z' = 0,
,^ч г 1 — y(six) . .
w2(D) = ——£ф->. = exp (-slXl) {
V7T y/SiXi
2г Г , 2. ,
1 Н—т= / ехР (и ) <">
л/т J
► (43.5)
(xi — длина относительно короткого неидеально проводящего участка).
Если допустимо считать море обладающим идеальной проводимостью
(|«2^| <С 1), то этот случай можно отнести к ослаблению поля радиоволн,
например при радиосвязи между кораблем и береговой радиостанцией, когда
расстояние радиостанции до берега х\ много меньше расстояния до корабля.
Функция ослабления (43.5) [74, 83]2)
w2(D) = z(slXl) = l (1 - y(si*i)) (43.6)
^/TTSiXi
решает простейшую проблему распространения над неоднородной
поверхностью. Она лежит в основе теории береговой рефракции радиоволн.
Асимптотическое ее поведение было найдено еще ранее [73]. Мы получаем его,
подставляя разложения у для малых и для больших численных расстояний
') Здесь и в аналогичных случаях в дальнейшем используется «гладкость» функпии у и
ее производных, а именно то обстоятельство, что относительно малое изменение аргумента
вызывает относительно малое же изменение функции и ее производных.
J) Мы вводим для нее особое обозначение z, потому что она играет существенную роль
и в других проблемах неоднородной трассы. Именно эта функция табулирована в таблипах
[24].
§ 43. ТРАССА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ДВУХ ОДНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ
289
(это будут численные расстояния до берега для меньшего из участков
сухопутного). Согласно формуле (25.6),
и, согласно формуле (25.20),
z(S!Xi)
1г
l + -y=y/s1x1, \sixi\<^l,
у/Щх^'
|*i*i|>l.
(43.6а)
(43.66)
Характерным здесь является, во-первых, сравнительно медленное
убывание функции ослабления с расстоянием при больших |sia;i| (обратно
пропорционально квадратному корню из численного расстояния до берега, в то
время как над однородной поверхностью — обратно пропорционально
первой степени численного расстояния между корреспондирующими точками).
Объясняется это обстоятельство тем, что суша (неидеально проводящий
участок) занимает лишь малую долю площади существенной области (первой
зоны; см. рис. 80) и притом имеющую такую форму, что возрастание длины
этой доли с ростом х\ вызывает пропорционально малое изменение части
эллипса, покрытой сушей.
Другой важной особенностью этой формулы (на больших расстояниях)
является то, что скорость распространения радиоволн, как и над однородной
поверхностью, равна скорости в воздухе с. В самом деле, зависящий от
расстояния множитель ослабления на больших расстояниях от берега дает
дополнительную фазу, не зависящую от расстояния:
Z =
у/тЩх1
ехрК|"|)]' * = аг^-
(43.7)
Постоянный сдвиг фазы 7г/2 — (l/2)argsi устанавливается в
переходной области между морем и сушей, которую мы здесь не будем
рассматривать (см. §50), и затем остается постоянным. Выяснение этих
особенностей асимптотического поведения z [73] имеет принципиальное
значение для понимания механизма
распространения радиоволн (см. §45).
Для вещественного «i функция z
изображена на графике рис. 81.
Рассмотрим формулу (43.4) для случая,
когда ни $!, ни «2 не равны нулю (две
разные почвы конечной
проводимости). Более того, пусть оба
численных расстояния Si^i и S2(D — xi)
велики, так что обе функции
ослабления можно заменить их
асимптотическими выражениями
2siXi'
y(MD-xi)) = -
2s2(D-x1)
0
Рис. 81. Функция ослабления г{р) для
трассы море-суша как функция
вещественного численного расстояния р = SiXi,
соответствующего сухопутному участку,
который считается относительно коротким.
Кривые 2у/р/у/п и 1/y/Wp —
асимптотические для lvnz(p)
290 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
Мы получаем из соотношения (43.4) [74, 76]
w2(D) = -——, |eixi|>l, |e3(Z?-*i)|>l. (43.8)
Таким образом, кратко можно сказать, что при больших численных
расстояниях функция ослабления составной трассы есть среднее
геометрическое из функций ослабления, которые для данного расстояния дала бы
каждая из почв (т. е. из y(siD) = —(2si£))_1 и y(s2D) = — (2s2D)~1).
Эта простая закономерность получена выше для случая неравных
участков, xi <C D — xi. Однако выражение (43.8) получилось совершенно
симметричным относительно двух участков, причем длина каждого из них в
отдельности вообще не входит в результат. В частности (учитывая
теорему взаимности), это значит, что формула (43.8) имеет место как для
х\ •< D — xi, так и для х\ ^> D — xi, лишь бы каждое из численных
расстояний было велико.
Пусть мы движемся от источника, находящегося на участке s = Si. По
мере удаления функция ослабления будет меняться как y(siD) и при
достаточном удалении D перейдёт в —l/2siD. Когда мы пересечем границу
между первым и вторым участками D = xlf то на расстояниях D — х\ от
границы, которые малы по сравнению с xi, будет справедлива формула (43.4)
(с заменой х\ на D — xi, а также Si на s2 и обратно)
т\ / тл\1 1*1 , .У^2-У^1-У(^2(Д-Д1))1 (Л1Л\
w2{D) = y(siD) ( J— + *- j=- . - ) , (43.4a)
[ V S2 VS2 \/TTS2(D - Zi) J
которая при удалении от границы на такое расстояние, что \s2(D — xi)\ >• 1,
переходит в формулу w2(D) « — 1/2^/siS^D, справедливую, пока D — х\ <С
•С х\. Мы не вычислили w при больших удалениях, когда D — xi становится
порядка xi. Однако если мы пропустим эту область и перейдем еще дальше
к противоположному случаю D — xi ^> xi, то опять, согласно формуле (43.8),
будет верна зависимость w2 = —1/2^/siS^D, поскольку снова один из
участков много меньше другого. Отсюда мы заключаем, что эта формула должна
быть верна и в промежуточном случае D — Xi ~ xi. Таким образом, для
справедливости формулы (43.8), действительно, требуется лишь соблюдение
условий |sia;i| > 1 и \s2(D - xi)\ > 1.
На рис. 82 рассмотренные нами соотношения проиллюстрированы для
случая Si = 2,0 км-1, s2 = si/4 = 0,5 км-1. По оси абсцисс отложено
расстояние от передатчика в километрах, по оси ординат — амплитуда поля
в микровольтах на метр для передатчика мощностью W = 1 кВт. Она
рассчитывается с учетом формулы (18.9):
|£| = Li°WWB)[ (439)
При этом предположено, что длина участка с s = Si равна 20 км.
После перехода через границу между разными почвами сплошная кривая,
построенная по формуле (43.4), сливается с кривой (43.8) уже на очень
малых расстояниях от границы, на расстоянии порядка 1,5 4- 2 км, когда
s2(D — x\) «0,75-т-1,0. Таким образом, условия применимости
упрощенной асимптотической формулы (43.8) в действительности не являются очень
§43. ТРАССА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ДВУХ ОДНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ
291
жесткими: знак 3> в этих условиях может быть заменен знаком >.
Подтверждение этого мы найдем и в дальнейшем (см. рис. 85). Вспоминая, что
нормальная функция ослабления у(р) заметно отличается от своего
асимптотического выражения — 1/2р даже при р « 5, мы видим, что в случае
составных трасс условия применимости асимптотических выражений мо-
20Ig£
70
60
50
40
30
20
in
Е, мкВ/м
-103
-102
-101
S-
\
\
\
ч \
\ \
1
Sj-2km"!J s- s2-0,5km~1
1 1 1 i i i 1.
10
20
I
D-x,
30
40
50
60
70
80 А км
Рис. 82. Напряженность электрического поля в депнбеллах (к уровню 1 мкВ/м) прн
мощности 1 кВт как функпня расстояния для трассы, составленной из двух участков разных
электрических свойств: а = 0, 5 км-1 («хорошая почва») и а = 2 км-1 («плохая почва»)
гут быть в некотором смысле более легкими. Объяснить это можно тем, что
упрощения состоят в заменах у(р) « — 1/2р в подынтегральных
выражениях, в которых интегрировать приходится по целой области, так что если
в начале области интегрирования эта замена и не очень точна, то в более
далеких точках положение улучшается и допущенная неточность сказывается
на всем интеграле не очень сильно.
Интересным и практически важным является подъем кривой при
переходе на лучшую почву. Он показывает, что иногда улучшение слышимости
может быть достигнуто путем некоторого удаления приемника от
передатчика, если при этом он окажется на почве с лучшей проводимостью [746], и,
наоборот, даже относительно небольшое увеличение дальности может
привести к чрезвычайно значительному ослаблению поля, если прилегающий
к приемнику участок трассы будет хуже проводящим, чем раньше. Этот
эффект сильно выражен на сравнительно коротких волнах. На длинных
волнах он был бы заметен только при столь больших расстояниях, при
которых уже нельзя отвлечься от кривизны земли.
292 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
1,0-
R = \s2D\ = 20
Л = 50.
R = 100,
R = 200^
Специфическое влияние свойств начального и конечного участков трассы,
приводящее к явлениям вроде отмеченного выше, особенно ярко
проявляется при рассмотрении крайнего случая неоднородности, именно того,
который возникает, когда один из участков — бесконечно проводящий, s = О
(море).
Мы рассмотрим его теперь более подробно.
Соответствующая формула (43.5) справедлива только при
xi < D - xi.
Она дает поэтому только поле вблизи границы раздела участков и может,
в частности, применяться для изучения фазовых соотношений в поле (см.
§ 50; на больших расстояниях от
границы, как отмечалось выше, фаза
смещается на постоянную, не
зависящую от расстояния величину, в то
время как вблизи границы
наблюдаются своеобразные искажения
фронта волны, приводящие, в частности,
к береговой рефракции). При х\ <
< D — х\ соответствующая формула
должна быть выведена заново.
Случай D — xi <C xi (основная часть
трассы — суша) можно получить из
общей формулы (43.4), устремляя в
ней Si к нулю, что при \s2D\ >• 1
дает
W2(D) = ~^-^ \ 1 7=лЛ2*1 \ •
2s2D [ у/ж
(43.10)
Здесь xi — длина (более короткого)
бесконечно проводящего участка. Но
при х\ « D — xi формула (43.10)
несправедлива.
Вернемся к общей формуле (42.5)
и рассмотрим ее при любом
соотношении между xi и D — а?!, предполагая, однако, что численное расстояние,
проходимое радиоволнами над сушей, велико. Пусть участок 1 длины х\ —
бесконечно проводящий, Si = 0. Следовательно, мы требуем, чтобы было
|e3p-*i)|>l.
Полагая в формуле (42.5)
y(Slx') = l, y(s2(D-x')) = -2sJ_x/y
получаем
0,0025
Рис. 83. Зависимость функции ослабления w
oi заполнения трассы длины D бесконечно
проводящим участком длины х\. По оси
абсцисс отложена доля заполнения. Кривые
относятся к разным свойствам почв, что
соответствует разным численным расстояниям R
при данном D
§ 43. ТРАССА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ДВУХ ОДНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ
293
откуда
w2(D) = -
rV^7J =
|*a(#-*i)|>l. (43.11)
2s2D T v^FV D y/s2D{\- xx/D)'
Здесь x\ — длина идеально проводящего участка, D — х\ — длина участка,
характеризуемого параметром s2. (Очевидно, что в предельном случае х\ -С
•С D эта формула переходит в формулу (43.10), а при D — хг <С D с
соответствующим изменением обозначений — в формулу (43.66), как и должно
быть.)
Для вещественного численного расстояния модуль функции ослабления
равен
\w2(D)\ =
1 Хл
+ -
4s2D)2 ж D 1 - Xi/D s2D'
(43.11а)
Комбинируя формулу (43.11) и (для \s2(D — хг)\ < 1) формулу (43.6),
в которой для данного случая надо заменить х\ на D — xi, можно
построить графики функции ослабления. На рис. 83 приведены кривые, дающие
201g£
3-^S.u2&_^
K\t~l
^•LXm-i
xc
Граница
Суша суши для
кривых I
50 хс
Граница
суши для
кривых II
100
•-^J
D, км *~-"-^ij(^~i
Море
Рис. 84. То же, чю на рис. 82, для случая, когда радиоволны переходят с сушина море, при
двух разных протяжениостях суши и для трех значений параметра *
294 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
модуль функции ослабления для различных почв и расстояний между
корреспондирующими точками, для разных R = \s2D\, в зависимости от
заполнения трассы бесконечно проводящей поверхностью (по оси абсцисс отложена
занятая ею доля трассы £). Кроме того, на рис. 84 приведены кривые,
дающие амплитуду поля для нескольких типов почв и положений границы,
приведенную к мощности излучателя W = 1 кВт. Все эти кривые
показывают эффект усиления поля с удалением, когда концевой участок становится
хорошо проводящим.
§ 44. Трасса, составленная из трех однородных участков
При рассмотрении трассы, составленной из трех однородных участков,
мы снова ограничимся выводом функций ослабления для специальных
соотношений длин участков и их электрических свойств.
Как видно из § 43, целесообразно рассматривать поле для трассы, в
которой ни один участок не является идеально проводящим, отдельно от случая,
когда хотя бы один участок имеет s = 0.
Пусть сначала ни один из участков не имеет s = 0. Более того, мы
ограничимся случаем, когда численные расстояния, соответствующие каждому
из участков, достаточно велики. Именно, потребуем, чтобы было
|eixi|>l, |*3(*2-*i)|>l, |*з(#-*з)|>1. (44.1)
Как будет видно в дальнейшем из сравнения с экспериментом, эти
условия в действительности, по-видимому, являются не очень жесткими, так
что знак ;» можно читать просто как знак > , подобно сказанному в связи с
рис. 82. Поле на первом и втором участках дают формулы предыдущего
параграфа: Wi(x) = y(six), a W2(x) при удалении от х\ на такое расстояние, что
\s<i{x—xi)\ « 1, дается формулой (43.8). Так как по условию |«2(^2—£i)| >• 1)
то область неприменимости формулы (43.8) охватывает весьма малую долю
второго участка и мы можем считать W2(D) = — l/2^/siS2D. Наконец, в
силу третьего из условий (44.1) в подынтегральных выражениях в формуле
(42.6) можно заменить y(s3(D — х')) « — \/2s3(D — x'). Поэтому формула
(42.6) сводится к следующему:
1 • [dL r- rs ?y(*i*') dx>
>> n
2s3(D - z')3/2
о
X2
-(V*-*nft J-2X^2S3(D-Xr'4- <44-2)
X\
Окончательное вычисление легко провести в следующих двух случаях.
Во-первых, пусть свойства концевых участков совпадают: S\ = «2- Тогда
первый интеграл выпадает, и мы получаем
W3 2s3D\ v^F JsTsiD
D-2xi D-2(D-x2)
y/x^D - zi) \/x2(D - x2)
(44.3)
§ 44. ТРАССА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ТРЕХ ОДНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ
295
На рис. 85 приведены теоретические кривые и экспериментальные
данные [84], которые соответствуют рассмотренному случаю. Хотя здесь
промежуточный участок был заполнен морем, поскольку частота была очень
высока (А = 3,9 м), его нельзя считать идеально проводящим, именно,
s2 = 0,86 км-1. Этот случай интересен также тем, что здесь Si и «з не
вещественны: е3 яа 15 + 2, Зг, Si = s3 ^ (7 + i' • 50) км-1. Развитая теория
требует лишь, чтобы успели затухнуть волны, идущие через почву как от
самого источника, так и от границы между почвами, и потому область, в
которой функция ослабления заметно меняется на длине волны в воздухе,
отсутствовала бы или была очень мала. Такая область в принципе может
встретиться около границы между почвами, если в одной из них |е| ~ 1, а
в другой |е| 3> 1. Но здесь даже и это невозможно, так как модуль |е| всюду
Е, мкВ/м
По формуле (44.3)
По формуле (44.13а)
Рис. 85. Теоретические кривые и экспериментальные данные для случая трех участков
разных электрических свойств (промежуточный — высокопроводящий). Длина волны 3,9 м,
мощность 11 Вт, крестики и кружки — данные двух серий измерений
велик. Поэтому хотя здесь s — почти чисто мнимое, мы вправе применять
теорию и к этому случаю ультракоротких волн. Теоретические кривые
проведены согласно формулам (43.8) (на втором участке) и (44.3) (на третьем
участке). Кроме того, нанесены теоретические кривые, полученные в
предположении бесконечной проводимости второго участка, т. е. по формулам
(43.11) (для второго участка) и (44.13а) (см. ниже, для третьего участка).
Разумеется, на втором участке вблизи D = хх более точную кривую можно
было бы построить по формуле (43.4). Однако видно, что уже применение
простейших асимптотических формул дает хороший результат. В
частности, хотя в данном случае «2(^2 — х\) и 2, условия (44.1) практически
соблюдены.
Другой случай, когда (44.2) вычисляется элементарно, — случай малого
начального участка, х\ <С D, когда в первом интеграле можно заменить
D — х' fa D. Применение формулы (43.3) показывает, что при Si ф «з, но
малом Xi, отличие от формулы (44.3) сводится к добавлению в фигурной
296 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
скобке слагаемого \fs^/s\ — 1, так что
ц;3(£>)«- . _ х
2{D
т-
(44.4)
^s^D ly/xiiD-Xi) y/x2(D-x2)
(Интеграл в уравнении (44.2) может быть вычислен и при х\ не малом.
Результат, однако, оказывается громоздким.) В случае не очень хорошо
проводящих почв, когда все численные расстояния велики, вторым членом в
фигурной скобке можно пренебречь, и мы приходим к формуле
w* * - vsko- (445)
В этом выражении, которое в некотором смысле аналогично формуле (43.8),
вообще отсутствуют константы, характеризующие промежуточный участок.
Функция ослабления определяется лишь свойствами концевых участков, т. е.
«взлетной» и «посадочной» пдощадок (понятия, предложенные Л.И.
Мандельштамом). Но это справедливо только в том случае, если соблюдены
некоторые условия, в которые входят свойства промежуточного участка.
Поскольку для однородной трассы со свойствами промежуточного участка
было бы№« — \/2siD, формула (44.5) означает, что «хорошие» или
«плохие» концевые участки даже относительно малой протяженности могут
существенно улучшить или, соответственно, ухудшить прием. Этот эффект,
как уже отмечалось выше, особенно заметен на коротких волнах (А < 100 м).
При больших длинах волн он значителен лишь при таких абсолютных
длинах участков, при которых уже нельзя пренебрегать кривизной земли.
Особенно значительно его влияние, когда один или два участка обладают
бесконечной проводимостью (море). Здесь непригодны формулы (44.1)-(44.5),
и мы рассмотрим этот случай особо.
Исследуем два частных случая, которые можно обозначить как море-
суша-море и суша-море-суша. В случае море-суша-море, полагая в
формуле (42.6) Si = «з = 0, мы получаем
Ыт.1 + {Ш7 у(*'> &. (44.6)
V 7Г J y/x'(D — X1)
Однако если сюда подставить для «^(а;') его приближенное выражение
(43.10), то полученный результат будет непригоден при х\ —)■ 0, так как на
l
а б *2
Рис. 86. К вычислению функции ослабления для трассы море-суша-море
этом пределе в интеграле образуется неинтегрируемая особенность. Чтобы
этого не было, для wi{x') необходимо было бы подставить точную функцию
(в отличие от функции (43.11) справедливую и при S2D —)■ 0), которую мы
не выводили. Поэтому поступим несколько иначе.
§ 44. ТРАССА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ТРЕХ ОДНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ
297
Наряду с рассматриваемым случаем (рис. 86 о) рассмотрим другой,
изображенный на рис. 865; пусть третий участок имеет свойства, совпадающие
со свойствами второго, «2 = s3- Для функции ослабления можно применить
уравнение (42.2), выбрав «о равным не s2, как следовало бы согласно общему
методу (что дало бы соотношение (42.5)), а «о = Si = 0. Тогда получим
^H1+^;^=. (44.7)
Решение этого уравнения было найдено ранее в форме (42.5). Согласно
формуле (43.11), функция W2(x') под интегралом приближенно равна
2S2X' y/TrS2X'(x' - x{)
Это решение справедливо только для точек, достаточно удаленных от xi, и
во всяком случае справедливо для всего интервала Х2 < х' < D.
Вычитая уравнения (44.7) и (44.6) одно из другого, получим (заметим,
что в обоих этих уравнениях не содержится некаких специальных
предположений о размерах участков и т. п.)
w3(D) = w2(D) -±у/ъ5( "f'^' • (44.9)
V* J \/x'{D — х')
х2
Теперь устранено обстоятельство, мешавшее подставить под интегралом
простое выражение для W2(x') (43.10). Внося его, мы можем выполнить
элементарное интегрирование и в результате получим
| . (44.10)
w3(D) =
&02LS у7Г*'2-Ь' \ V ■Ь' — л\ у *2 /
■ хг(Р- х2)
x2(D-x1)
Если суша заполняет всю трассу, то х\ = 0, Х2 = D и, как и должно быть,
w3 = —1/2S2D. В противоположном случае, х\ = Х2, arcsin дает — 7г/2, и,
отбрасывая члены порядка l/y/s2~D и I/S2D по сравнению с главным, мы
получаем w3 = 1, как и должно быть. Вообще, когда концевые участки малы,
xi <С D , D- х2 < D , arcsin « п/2 - 2y/xi(D- x2)/D2 , так что
Если трасса очень длинна, \s2D\ >• 1, то относительно малые концевые
участки (последний член) дают сильное увеличение поля.
Перейдем теперь к случаю суша-море-суша (рис. 87 о). Здесь уравнение
(42.6) для Si = «з дает при «2 = 0
TJ5 J W2{x')y{sl{D- х'))
V 7Г J y/x'(D — X1)
Xl
298 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
Подставляя для w2(x'), согласно формуле (43.11), приближенное выражение
(s2 заменяется на «i, х\ заменяется на х' — х\)
W2(X>) = -_±- + *J*E^JJ~ (44.12)
2six' фт V а;' у «1^1
и заменяя y(s\{D—х')) = —\/2s\{D—x') (соответственно этому полученный
результат будет верен только при \s\{D — х2)\ >• 1), мы можем выполнить
интегрирование, в результате чего получаем
jP-2?i D_-2x2__
y/xi(D- xi) y/x2(D- x2)
1 /x2 - xx 1 . \xx(D-x2) ... 10.
7==^\rn — arcsin*/—7-=- f. (44.13)
nSi^/xTD]/ D-x2 nSiD yx2(D-xi) v '
Так как мы считаем все численные расстояния большими, то первый член,
содержащий в знаменателе добавочные множители y/sixi, y/si(D — х2) и
т. п., можно отбросить. В результате остается
^--М^^+^^Щ- (44лза)
Если промежуточный участок исчезающе мал, х\ « х2, то w3 переходит
в —l/2siD, как и должно быть. Обратный предельный случай, х\ -> О,
х2 -> D, не охватывается этой формулой, так как при выводе мы предпола-
^EEEEzP- -^Ег—Ч£>
i i i i
xi а х2 xi б *2
Рис. 87. К вычислению функции ослабления для трассы суша-море-суша
гали численное расстояние для каждого из участков большим. Но, с другой
стороны, здесь можно воспользоваться условием х\ <С D, D — х2 <С D на
более ранней стадии. Именно, поступим следующим образом. Наряду с
рассматриваемым нами случаем рис. 87а рассмотрим случай рис. 875, т. е.
предположим, что участок х2 < х' < D также является идеально
проводящим. Полагая в уравнении (42.1) (для этого случая сумма по j содержит два
члена) s2 = 0 и выбирая произвольный параметр «о равным Si, мы получим
для функции ослабления
(г>\ I m . f^D ?w2(x>)y{Sl(D-x')); ,
wa(#) = y(siD) ~td-— / ,/rt л dx • (44.14)
V 7Г J \/x'{D - x')
xi
Вычитая это уравнение из уравнения (44.11), получаем
MD) = W2(D) + i^ — J ~-j=——dx. (44.15)
Х2
w3(D) =
V^2(SlD)3/2
§ 44. ТРАССА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ТРЕХ ОДНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ 299
Е, мкВ/м
^йэа^:
^2*^*оре_
•са^
сУШа
10 20 30 40 50 60 70 80 й, км
I 1 i i I i i 1
*1
*2
Море
s^-
Море
Рис. 88. Напряженность электрического поля как функция расстояния на трассе
море-суша-море для суши с * = 2 км-1
201&Е
20
10
— 4f-zz? _^ море
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 D, км
i I i i i J i i i i
*i
*2
%уу^
^ж
Море
Рис. 89. Напряженность электрического поля как функция расстояния на трассе
суша-море-суша для суши с s = 2 км-1
300 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
Если мы считаем х\ << D и D — х2 -С D, то под интегралом оказывается
функция ослабления w2 для такого случая (суша-море), когда хорошо
проводящий участок значительно больше плохо проводящего. Поэтому для w2(x')
можно подставить функцию (43.6)
w2(x')
z(s1x1) =
:(l-y(sia;i)).
(44.16)
y/TTSiXi
Вынося, кроме того, из-под знака интеграла мы имеем
I8i fy{Sl(D-x'))
w3(D) = z(s1x1) 1
y/W
dx'
(44.17)
Входящий сюда интеграл нам уже встречался, (43.3):
D
I
х2
y{Sl(D-x'))
VD-x'
D-x2
и. I
уЫ) Je . [Г ■ 1-уЫр-х*))
72— **s = М/ 1 ,
v£ Vsi л/sly/Si(D - х2)
и, следовательно,
w3(D) = z(s1x1)z(s1(D-x2)) (ii<A D-x2<D). (44.18)
Таким образом, функция ослабления в случае двух одинаковых не
бесконечно проводящих участков, расположенных по концам относительно
гораздо более длинного идеально проводящего участка, распадается на
произведение двух функций ослабления,
каждая из которых имела бы место,
если бы присутствовало по одному
такому плохо проводящему участку.
В частности, когда их численные
расстояния велики,
1
w3 =
TTSiy/xi(D- Х2)
(44.18а)
-2,0
О
На рис. 88 и 89 показаны
кривые для амплитуды поля в случаях
море-суша-море и суша-море-суша,
когда суша характеризуется
константой \s2\ = 2 км-1 и длины участков
выбраны некоторым определенным
образом. Напряженность поля пока-
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис. 90. Зависимость функции ослабления ох зана в мкВ/м и в децибелах по от
заполнения трассы сушей для заполнения, иа- ношению К порогу Е = 1 МкВ/м,
читающегося с концов (нижняя кривая) и с се- причем принято ЧТО W = 1 кВт
редины (верхняя кривая). Суша такова, что g gQ П0казана роль 3апол-
при совершенном заполнении трассы сушей r r
численное расстояние равно 100 НвНИЯ трассы хорошо проводящими
участками: для однородной,
вначале бесконечно проводящей трассы закрепленной длины показано изменение
w по мере заполнения концевых участков (нижняя кривая) или середины
(верхняя кривая) сушей. Свойства суши подобраны такими, чтобы при
совершенном заполнении сушей получилось \sD\ = 100.
§44. ТРАССА, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ТРЕХ ОДНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ
301
Эти кривые показывают, что хорошо проводящие концевые участки резко
повышают уровень поля, даже когда они относительно малы (правая часть
верхней кривой), а относительно малые плохо проводящие концевые участки
резко снижают уровень поля (левая часть нижней кривой). Наоборот,
внесение в середину трассы хорошо проводящего участка (правая часть нижней
кривой), как и внесение плохо проводящего участка (левая часть верхней
кривой) слабо сказываются на интенсивности поля.
Эти соотношения вновь подчеркивают роль «взлетной» и «посадочной»
площадок для распространения радиоволн над плоской поверхностью земли.
Теория поля над кусочно-однородной трассой, состоящей из двух и трех
участков, была весьма подробно разработана другими методами в работах
Климау [79] и Фуруцу [80]. Физические допущения, лежащие в основе этих
методов, те же, что в методе обобщенного интегрального уравнения,
изложенном выше. Эти авторы, в частности, выполнили весьма большую работу
по составлению графиков и таблиц для функций ослабления, не выражаю-
10°
5
3
2
10"
10
1-2
Х\ D— х\
" 1 1
з-
^
п = 0
п = 0,01
п = 0,02
п = 0,05
п = 0,1
п = 0,2
п = 0,5
п=1,0
п»2
п = 5
п = 10
п = 20
п-50
п=100
п = 200
0,02 0,03 0,05 0,1 0,2 0,3 0,5 1,0
2 3
10 20 30 50
100 200
R
Рис. 91. Модуль функции ослабления для трассы суша-море при различных соотношениях
п длин отдельных участков трассы, п = x\j(D — х\) (отношение проводимостей принято
равным (Тм/<Тс = 200) [80]. Абсцисса — численное расстояние при заполяении всей трассы
сушей (п = со), R = $CD = —ikD/2ec.
щихся через элементарные функции (см., например, (43.1)). В тех
предельных случаях, когда получаются выражения через элементарные функции,
эти результаты, разумеется, совпадают с приведенными выше. Некоторые
важнейшие из графиков см. на рис. 91-93.
Выведенные выше формулы несколько сложны для применения в
инженерной практике. В связи с этим появился полуэмпирический метод (Мил-
лингтон [85]), который довольно прост в обращении. Как показало сравнение
с теоретическими формулами ([86], см. также [89]), он дает в ряде случаев
очень хорошее, а в других — вполне удовлетворительное приближение к
302 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
10°
5
3
10"
5
3
2
10~2
0
шт
1,0
0,5
0,2
0,1
0,05
■^С^Щ
*1
шттик
°i \
,1 0
20
3 0
,5 1,
Ж
0,2
0,1-
0,05
0,02
0,0 И
0,005-
§
■"
D~*i Л
2L
лоо
У050
% °2
о :
! 2
1 ^
^•20
О10
С-2
» 1
0 2
0 3
^
0 5
£;20
^50
ЛОО
^200
-500
Ж
Ss^
^
^Ч
^
^
0 100 \
10"
Рис. 92. То же, что рис. 91, но при соотношении проводимостей <J\I<j-z = 5
ша-озеро) [80]
1ш1
= 0
(случай су-
R 0,1 0,2 0,3 0,5 1,0
20 30 50 100
т-яо
Рис. 93. Модуль функции ослабления для трассы суша-море-суша, когда длины двух
первых участков равны, хг — xi = х\, а третий в т раз длиннее каждого из первых двух,
D — хг = т{хг —xi) = mxi, для разных т; <гы = со. Ось ординат — численное расстояние
при полном заполнении всей трассы сушей, R = acD = —ikD/2ec [80]
S 45. ОБЩАЯ КАРТИНА РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН НАД ПЛОСКОЙ ЗЕМЛЕЙ 303
строгой теории. Так, для случаев суша-море и суша-море-суша и т. п.
ошибка в амплитуде не превышает 2-4 дБ, а ошибка в фазе 21,5°.
§ 45. Общая картина распространения радиоволн над плоской землей
Прежде чем переходить к сферической поверхности, целесообразно под-
итожить результаты, полученные в настоящей главе для плоской земли.
Вместе с выводами для поля в пространстве над однородной плоскостью
(§ 25-27) они подводят нас к определенной физической картине процесса
распространения радиоволн над плоской землей. Общие черты этой картины в
свое время, еще до разработки теории для неоднородной земли, обрисовывал
Л.И. Мандельштам.
Поле в каждой данной точке есть наложение «прямо дошедшего» поля
источника и поля индуцированных им в почве вторичных источников. Если
почва является бесконечно проводящей, то поле вторичных источников
удваивает «прямо дошедшее» поле. Отличие от бесконечной проводимости
эквивалентно появлению возмущающих поле дополнительных вторичных
источников.
Большое значение имеет распределение этих возмущающих источников
вдоль трассы или вообще по существенной для образования отражения зоне.
Можно сказать, что излучает вместе с источником и вся существенная зона.
Особую роль играют «взлетная» и «посадочная» площадки, что мы
неоднократно подчеркивали по ходу изложения. Главный вывод, к которому мы
приходим на основе рассмотренных случаев неоднородной поверхности,
состоит в том, что влияние отдельных участков трассы не обладает
свойством аддитивности. В литературе, в особенности до создания
вышеизложенной теории, встречались неоднократные попытки построить функцию
ослабления для неоднородной трассы, исходя из различных наглядных
соображений и произвольных предположений. Они всегда основывались на
представлении о волне, скользящей вдоль поверхности земли и
претерпевающей возмущение соответственно свойствам проходимых ею участков
поверхности. Так, была попытка взять в качестве функции ослабления
нормальную функцию ослабления, положив в ней s равным его среднему значению
вдоль трассы [87]3). Разумеется, это не может быть верно, так как средняя
часть трассы при таком расчете играет столь же важную роль, как и
концевые участки. Эти методы заведомо не могут объяснить возрастания поля
при удалении (рис. 85) и т. п. Между тем такие попытки предпринимались
вплоть до середины 50-х годов.
В действительности распространение радиоволн есть в значительной
мере пространственный процесс. Каждая точка поля в пространстве
служит источником сферических волн. В отсутствие земли все эти источники
давали бы волны, которые, интерферируя, обеспечивали бы образование
одной волны со сферическим фронтом. При наличии бесконечно проводящей
земли поля вторичных излучателей, распределенных по поверхности, не
только восполняют отсутствие поля в нижнем полупространстве, но и уси-
3) Кажущееся совпадение с экспериментом было при этом основано на том, что
эксперимент был ограничен малыми численными расстояниями, \sD\ « 0,5-i-l,0. Когда численные
расстояния так малы, все способы приводят к близким цифрам. Как уже отмечалось,
специфика явления, поскольку мы пренебрегаем кривизной земли и, следовательно, ограничены
небольшими расстояниями, проявляется ярко только при Л < 100 м.
304 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
ливают поле в верхнем полупространстве, причем так, что фронт снова
оказывается сферическим, а до небольших высот над землей — практически
плоским.
Отступление проводимости земли от бесконечной ведет к поглощению
энергии в почве и к изгибу фронта волны. Эквифазные поверхности вблизи
земли оказываются отогнутыми назад, и, соответственно этому, нормаль
к фронту, а значит, и вектор потока энергии имеют составляющую,
направленную к земле4). Поэтому в пространстве по мере удаления от источника
происходит непрерывное перераспределение поля. Энергия из пространства
перетекает к поверхности. На достаточно больших расстояниях от
источника поддержание поля на поверхности земли обеспечивается теми
областями поля в пространстве, которые расположены настолько высоко, что
они не испытали на себе ослабляющего действия земной поверхности (в
конце § 26 было показано, что при достаточно больших углах возвышения,
|Ve°sin VI ^ 1) поле создается источником и существенной зоной
поверхности земли, прижатой к источнику, причем эта зона столь мала, что в ее
пределах землю можно рассматривать как бесконечно проводящую; см.
формулу (26.30) и рис. 46). Именно благодаря этому на больших расстояниях
функция ослабления не имеет вид ехр (—р), как было бы при постепенном
поглощении скользящей волны (§23), а убывает гораздо медленнее,
пропорционально 1/р.
Разумеется, в каждой данной точке наблюдения сказываются также и
поля вторичных излучателей ближайшего участка поверхности (с размерами
порядка 1/s, поскольку эти поля распространяются вдоль земли и затухают
по закону y(sr)), возбужденные той же волной, дошедшей из пространства.
Поэтому играют столь важную роль оба концевых участка.
Один из практических выводов, к которым приводят эта общая
концепция и конкретные формулы настоящей главы, состоит в возможности
усиления принимаемого поля за счет удачного размещения приемника и
передатчика. Уже кривые рис. 82 показывают, что, сдвинувшись дальше от
источника, можно получить усиление поля, если при этом один из концов
трассы оказывается покрытым почвой лучшей проводимости. То же видно
из формул и кривых, относящихся к случаю море-суша (рис. 85 и 89).
Сравним, например, поле в следующих двух случаях. Пусть сначала
трасса однородна, расстояние D = 50 км, А = 70 м, а = 108 CGSE.
Согласно табл. 2 (с. 164), это означает, что s « 1,0 км-1, sD « 50. Функция
ослабления дает множитель w = —\/2sD = —0,01. Пусть теперь
расстояние между корреспондирующими пунктами увеличилось до 70 км за счет
того, что с каждого конца добавился идеально проводящий (морской)
участок длиной 10 км. К этому случаю надлежит применить формулу (44.10)
или сразу формулу (44.10а). Здесь x^/D = (D — x2)/D = 10/70, s^D = 70.
Подставляя числовые значения, получаем
Этот член, как легко видеть, является главным. В результате оказывается
*) Как мы видели в § 22, на самой поверхности угол наклона вектора потока, энергии
равен a ss cos (\/2)/\л/с + 1|, X = arctg[4ff(r/(e' + 1)ш] (см. формулу (22.9)).
§ 46. КУСОЧНО-ОДНОРОДНАЯ ТРАССА НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ 305
|гУз| « 0,05. Таким образом, увеличение расстояния почти в полтора раза
должно привести к увеличению поля в пять раз. Подобный случай должен
иметь место, например, при радиосвязи между двумя кораблями, стоящими
у противоположных берегов острова, если они затем оба отходят от берега.
Экспериментальные данные (см., например, рис. 85) подтвердили
правильность этих предсказаний теории.
Изложенные качественные соображения позволяют высказать некоторые
замечания и о поведении поля в пространстве по мере подъема точки
наблюдения над неоднородной поверхностью.
Пусть, например, почва на отрезке 0 < х < х\ характеризуется
постоянной $!, при х > х\ — постоянной «2- Считая длины всех отрезков достаточно
большими, можно сказать, что для точки наблюдения, опущенной до земли
z = 0, справедлива формула (43.8)
w(D, 0) = - JL.„.
По мере увеличения высоты точки наблюдения существенная зона
поверхности будет укорачиваться, как это описано в § 26 (рис. 46), оставаясь прижатой
к расположенному на земле передатчику. В конце концов будет достигнута
высота z такая, что вся существенная зона окажется уместившейся в
области первого участка с s — s\. Начиная с этого значения z, функция
ослабления будет совпадать с функцией ослабления в пространстве для однородной
почвы, т. е., поскольку при \siD\ >• 1, заведомо |sia;i| >• 1 (см. (26.26)),
ij(T~) z\ rsj ' 'и,, • '" sin ib ^ ~~~
У ' H-v/eJsinV 2зх(1 + ^5\пф)^ D'
Если первый участок «лучше» второго, то это вызовет более значительное,
чем при обычном подъеме, улучшение приема и наоборот.
Более полные формулы для поля в пространстве над кусочно-однородной
трассой могут быть сразу получены в виде квадратур, поскольку поле на
самой земле нам уже известно, а по теореме Грина этого достаточно, чтобы
найти поле в пространстве (см. [100]). Но возникающие здесь интегралы
не сводятся к сколько-нибудь простым аналитическим функциям (см. [79,
80], где они были получены другим способом и табулированы).
Описанная картина распространения радиоволн оказывается, однако,
слишком простой, когда мы переходим от плоской земли к сферической,
точнее — к полю далеко за горизонтом. Здесь представление о волне,
скользящей вдоль поверхности, «прилипшей» к ней, оказывается более
допустимым. В следующем параграфе мы исследуем этот случай.
§ 46. Кусочно-однородная трасса на сферической поверхности земли
Рассмотрим некоторые специальные случаи неоднородной сферической
поверхности, опираясь на уравнение (42.7а) [78].
Сначала получим функцию ослабления И^Д^ъ Д#2', 9i, Чг) Для трассы,
которая состоит из двух однородных участков (JV = 2), имеющих угловые
длины Д#! = #i и Д#2 = 'ва — $1 и характеризуемых параметрами q = q\ и
q = ft- На первом участке функция ослабления W\ известна. Это V{"d; q\).
306 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
В формуле (42.7а) сумма содержит только один член, j = 1, причем
Ws№ g) = W1(#; ft) = V(#; ft),
W2(Mi, Atf2; ft, ft) = V{fiA\ ft) +
+
^«-)/!ffl«^-- <->
Подставим из формул (39.1), (39.2) для у = 0 функции V в виде рядов и
выполним интегрирование по "д. Это даст
W2{Mi, Д#2; ft, ft) = F(^; ft) + j*iM4A{tty - q2)x
ехр {iM[AiMfc(ft) + AiMKft)]}
x V"
fcfe (Mft) " ft2)('/(ft) " <tf)(Mft) " '/(ft))
/ .,,, , x v^ exp[iMflAff(g2)]
(46.2)
Фигурирующую в последнем члене справа сумму по А; легко вычислить,
используя тождество (представляющее собой, по существу, разложение на
элементарные дроби)
у^ 1 1 _ w(Q
^tk(qi)-qlt-tk(qi) W(t)-ftw(t) ^ "'
(если tk(qi) — корни уравнения w'(ffc) = ftw(ffc)). Справедливость этого
соотношения доказывается тем, что обе стороны равенства (46.3) после
умножения на произвольную функцию f(t) и интегрирования по контуру С,
охватывающему все полюса t = tk, дают совпадающий результат. В самом деле,
если мы разложим f(t) в интеграл Фурье по функциям ехр (ixt), то каждый
член разложения даст требуемое равенство (см. формулу (39.2) при у = 0),
значит, даст его и вся функция f(t).
Принимая теперь во внимание, что w'(fy) = ftw(f/), мы получаем
V- I I = ?Ы = _!_ (46 4)
^ tk{qi) - q\tk{qi) - ti{q2) W(ij) - ftw(tj) ft - ft"
Подставим этот результат в последнее слагаемое в правой части в
соотношении (46.2). Мы убеждаемся, что оно сокращается с V($a\ ft) (см. формулу
(39.2)), и получаем окончательно для трассы, состоящей из двух участков с
угловыми размерами Д#! и Д#2 и характеризуемых параметрами ft и q2,
W2(Atfi, Atf2; ft, ft) = \fiirMdA{qi - ft) X
У* ехр [гМ (tfc(ft)A0i + ft(ft)A0a)]
x ^(^(ft)-«?)(««(»)-й)(«*Ы-««(ft))'
Эта формула была впервые получена Фуруцу [80] иным способом.
§ 46. КУСОЧНО-ОДНОРОДНАЯ ТРАССА НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ 307
В предельном случае столь больших расстояний, что в каждой сумме
можно оставить только первый член (т. е. если каждый отрезок трассы
соответствует уходу за горизонт, MAtii > 1, М Д#2 > 1)) мы находим
ИЪ(Д01, Д02; ft, ft) =
Г^ТПГ ft ~ ft exp [i(t!(ft )МД#! + 11(q2)MAti2)]
= V^#Afi(ft)_fi(ft) itli9l)-#№»)-& • (46'6)
Вводя функции ослабления F(Ai?i; ft) и У(Д#25 ft) Для каждого из
участков трассы, формулу (46.6) можно переписать так:
w,(A*., Д^; *,«) = /МцМ„,(,;;:"ы^.; ft)v<A#,; „).
(46.7)
Во многих случаях первые два алгебраических множителя играют
второстепенную роль. Если это так, то, как видно, ослабление поля имеет
характер постепенного ослабления волны, экспоненциально убывающей сначала
над первым участком, затем над вторым. Это накапливание ослабления
резко отличает случай сферической земли от случая плоской.
Аналогичным способом можно получить и формулу для функции
ослабления в случае трех участков.
Полагая в формуле (42.7а) к = 3, получим
W3(Atfi, Д02, Д*з; ft, ft, ft) = V(#A] ft) +
/lM^7 V(tf; qi)V(4A - tf; ft)
[Шй( v fw2(Mi, tf - *i; ft, ft)FQ9A - 0; ft) Ja
+V—<*-*>У v/^-tf) (46,8)
Подставляя сюда V" из формулы (39.2) и W2 из формулы (46.5) и выполняя
элементарное интегрирование по #, мы получим три члена, из которых два
содержат тройные ряды. Один из этих тройных рядов содержит следующую
сумму (см. (46.4)):
j* («/(ft) - ?2)(Mft) - *»Ы)(«/(ft) - *«Ы) Mft) - *™Ы
2^ Г*,ГЛлЧ _Л2\Л,/Я \ _ * (пЛ\ ~ 2^
V (*» (ft) " «а) (*» (ft) - *« (ft)) , (*» (ft) - <?2) (*» (ft) " ** (ft))
i r_j —1 = qi~q3
- tm(q3) I ft - ft ft - ft / (ft -
tk (ft) - tm (ft) I ft - ft ft - ft J (ft - ft) (ft - ft) (tk (ft) - *m (ft)) '
где fm(ft) — корень уравнения w'(f) = ftw(f). После этого два из трех
членов сокращаются, и остается, если Д#1 = #i, Д#2 = #2 — $1, Д$з =
308 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
= "Оа — $2 — угловые длины трех участков трассы,
W3(Atfi, Д03| Д#з; fti ft, ft) = у/™м#А(д1 - ft)(ft - ft)x
ху, exp {tM[Atfitfc(gi) + A0a*t(ft) + Afl3fm(ft)3}
(46.9)
Совершенно очевидно, как эта формула распространяется на случай N > 3.
Проанализируем формулу (46.9) для случая, когда концевые участки
имеют одинаковые свойства, ft = ft. Рассмотрим влияние промежуточной
полосы со свойствами q = q2. Если наблюдение производится далеко за
горизонтом, а ширина промежуточной полосы почвы Д#2 и ее положение таковы,
что соблюдаются, кроме того, условия MAfli > 1, М Д#3 > 1, то при
суммировании по к и т можно ограничиться первым членом и формула (46.9)
приобретает вид
W3(Atfi, Д03, Д*з; fti ft, ft)■«
£?(Mft)-fca)('/(ft)-M«i))J(M«i)-«?)a '
Таким образом, полоса с иными свойствами почвы, помещенная в средней
части в остальном однородной длинной трассы, влияет на ослабление поля
(для однородной трассы мы имели бы V{$a', ft))- Однако это влияние
определяется только шириной и электрическими свойствами полосы, но никак
не зависит от положения полосы на трассе. Созданное этой полосой
возмущение амплитуды и фазы переносится в точку наблюдения без изменения,
где бы эта полоса ни находилась. Это обстоятельство в корне отличает
случай сферической земли от случая плоской. В самом деле, одним из наиболее
характерных свойств распространения земной волны над плоской
поверхностью является слабая зависимость от свойств почвы на промежуточных
участках, если вся трасса достаточно длинна (§44, особенно рис. 90). В
предельном случае очень длинных трасс справедлива формула «среднего
геометрического» (44.5), согласно которой функция ослабления есть среднее
геометрическое из значений функции ослабления, вычисленных для всей
длины трассы по отношению к свойствам концевых участков. Свойства
почвы на промежуточных участках при этом совершенно выпадают.
Распространение целиком определяется «взлетной» и «посадочной» площадками.
В случае же наблюдения за горизонтом, как показывает формула (46.10),
положение в принципе отлично. Это, конечно, не означает, что электрические
свойства концевых участков трассы вообще не играют особой роли.
Рассмотрим, например, такой случай, когда не только MAfli > 1, М Д#3 > 1, но и
MAi?2>l, т. е. все участки достаточно длинны. Тогда в формуле (46.10)
можно оставить один первый член в сумме и
W3(A#U Д02, Atf3; ft, ft, ft) =
= ^Ш1 "»{*"!(** + **>(*(*> + *«*(»>]>{qi _ g2)2. (4бЛ1)
С/Ы - ftWite) - 922)Mft) - Mft))
§ 46. КУСОЧНО-ОДНОРОДНАЯ ТРАССА НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ 309
Рассмотрим далее два соответственных случая, различающихся тем, что
та почва, которая в одном случае была на концах трассы, в другом
оказывается посредине, и наоборот. Так, например, можно, для наглядности,
представить себе случаи суша-море-суша (CMC, случай о) и море-суша-море
ШСМ, случай Ь), аналогично тому, как это было сделано для плоской земли
(§44). Мы сравним эти случаи при одинаковом заполнении данной почвой
трассы, имеющей заданную полную длину. Именно, пусть в случае о, когда
л л(а) л л(а) л л(а) (я) (я) (а)
длины участков Av\ ', Д#2 , Av3 » имеем 9i — 9з = 9о а Ч\ 9м!
в случае Ь пусть Д#[6) + Д#36) = Д^ и &#? = A^i] + А^з\ причем
?i = ?з6) = ?20) = 9м , 9г = 9i = 9з = 9с- Из формулы (46.11) следует,
что отношение функций ослабления в этом случае равно
и£1 = н(*.)-& (4612)
и, таким образом, в отличие от случая плоской земли это отношение не
только не зависит от положения полосы Д#2) но и вообще не зависит от
относительной доли трассы, которая заполнена данной почвой. Однако поле
зависит довольно существенно от того, какая именно почва находится на
конце. Так, например, в случае суши с <тс = 9 • 107 CGSE, моря с <тм =
= 4 • 1010 CGSE при длине волны А = 300 м мы имеем
qc и 3,02expU—J, qM « 0,14exp (ij), Ми 40,6.
Соответствующие значения ti можно найти приближенно, например, из
асимптотических разложений с помощью формул (39.5) и (39.6):
h (9м) = h (0) + -^- + ... « 0,55 + 0,87г,
h(qc) =ti(oo)+ — + ...» 1,4+ 1,8г.
9с
Отсюда
цгСМС 1 Q4
_|_ и _1_ и о, 14. (46.12а)
На рис. 94 и 95 показаны для А = 100миА = 300 м в логарифмическом
масштабе W™c и И^см в зависимости от заполнения трассы сушей, т. е.
от величины £ = (Д#1а' + Д$з )/^л = Д$2 /&А- Принято, что вся трасса
имеет длину Ьд = 8/М и 0,14, что соответствует D = а-дд и 900 км. Так
как формулой (46.11) можно пользоваться пока МД#,- > 1, кривые
рассчитаны лишь в области 1/4 < £ < 3/4, а на остальных участках — плавно
соединены с известными точками при £ = 0 и £ = 1. На тех же
графиках показаны подобные же кривые, вычисленные по формулам для плоской
неоднородной трассы (которые здесь при D = 900 км и А = 100 и 300 м,
конечно, неприменимы). Отсюда видно (см. также рис. 90), что хотя в
случае сферической земли свойства почвы сами по себе и играют значительную
роль (например, для А = 300 м при изменении £ от 0 до 1 поле убывает на
310 ГЛ. 7. ПОЛЕ НАД ЭЛЕКТРИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ
Рис. 94. Зависимость модуля функции ослабления oi заполнения трассы сушей, когда
заполнение начинается с концов (нижние кривые) или с середины (верхние кривые) трассы
для плоской и сферической поверхностей, А = 100 м
Рис. 95. То же, что на рис. 94, но А = 300 м
Е, мкВ/м
100 200 300
D, км
Рис. 96. Сравнение теории с экспериментом (крестики и кружки). Штриховые линии —
теория для плоской земли, сплошные кривые — для сферической: I, II — для
однородной морской трассы; V, VI — для однородной суши; III, IV — для трассы суша-море.
(Тс = 9 • 107 CGSE, мощность передатчика 10 кВт, А = 96 м
92 дБ), распределение этой почвы по трассе далеко не так существенно, как
в случае плоской земли.
В самом деле, если посередине трассы помещен хорошо проводящий
участок, то, как показывает, например, нижняя из верхней пары кривых на
§46. КУСОЧНО-ОДНОРОДНАЯ ТРАССА НА СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ 311
Е,мкВ/м
10
рис. 95, в случае плоской земли это не сказывается на поле, даже если он
занимает половину всей трассы (для £ = 0,5 и для £ = 1 мы имеем почти
совпадающие значения, 20lg \w\ и —38 дБ). В случае же сферической земли
мы, в аналогичном случае, получаем при £ = 0, 5 поле на 20 дБ большее,
чем когда все было заполнено сушей (при £ = 1 получаем 201g|tu| = —92 дБ,
при £ = 0,5 имеем —72 дБ).
Таким образом, в случае сферической поверхности земли, если речь идет
о наблюдении далеко за горизонтом, то «взлетная» и «посадочная» площадки
для радиоволн оказывают заметное влияние (расстояние между двумя из
нижней пары кривых составляет 14-18 дБ), но в отличие от случая
плоской земли здесь в общем в
значительной мере оправдано
представление о земной волне,
скользящей по поверхности земли и
постепенно, аддитивно
накапливающей ослабление. В этой
связи интересно напомнить, что,
как было отмечено еще ранее (см.
[1, §122]), дополнительная фаза
волны, обусловленная
затуханием, которая в случае однородной
плоской земли не нарастает, для
сферы линейно растет с D.
На рис. 96 дано сравнение
теории с экспериментом для А =
= 96 м [846], на рис. 97 — то же
для А = 250 м [88]. Как видно
из этих рисунков, отступление от
кривых для неоднородной
плоской земли здесь явно выражено
и теоретические формулы этого
параграфа хорошо согласуются с
экспериментальными данными.
Формулы (46.5) и (46.9)
просто обобщаются на случай
приемника, поднятого на высоту za над поверхностью земли и передатчика,
поднятого на высоту го- Для этого под знаком сумм необходимо внести высотные
множители (см. формулу (39.20) и обосновывающие ее рассуждения). В ряд
(46.5) вносятся w(tk(qi) - bz0)/-w(tk(qi)) и w(*/(g2) - bzA)/w{ti(q2)), а в ряд
(46.9) w(tk(qi)-bzo)/w(tk(qi)) и w(tm(q3)-bzA)/w(tm(q3)), где Ь = 2М2/а.
Именно в таком обобщенном виде эти ряды были получены в работе [81].
Весьма подробные таблицы и графика, облегчающие вычисление
функции ослабления при произвольном расположении корреспондирующих
пунктов и произвольном числе однородных отрезков трассы на сферической
поверхности земли содержатся в работе [82].
Ю'
Ю~
Ю~
гЗ
10
10"
\\
\ \
ч
<
0
oV
■
^,
ч
гч
^
■Qj^J
Чй
Sv^O
%0
I
II
jj£
IV
sV
море шшш^штшшшт
100
200
300
400
500
А км
Рис. 97. To же, что иа рис. 96, для <гс = 10е CGSE,
А = 250 м
Глава 8
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
§47. Введение
После того как изучены основные законы распространения радиоволн
над идеально плоской и сферической поверхностями, естественно перейти
к исследованию роли неровностей. Вряд ли можно указать практические
условия, в которых эти неровности отсутствуют. Однако пока применялись
главным образом длинные и средние волны, очень часто можно было
рассчитывать, что малые по сравнению с длиной волны шероховатости влияют
несущественно. Мы увидим ниже, что даже и это не всегда правильно
(влияние на точность радиопеленгования, §50; изменение эффективной
проводимости почвы, §51). Однако в общем это было верно.
Лишь по мере перехода к использованию все более коротких волн
положение становилось все менее благоприятным. В некоторых случаях
неровности поверхности в корне меняют картину процесса распространения.
Достаточно указать, что радиолокационное просматривание земной
поверхности с самолета было бы невозможно (точнее, точки строго горизонтальной
поверхности возможно было бы наблюдать лишь в том случае, если бы они
находились точно по вертикали под самолетом), если бы не неровности этой
поверхности, обеспечивающие рассеяние радиоволн под углом, не равным
углу падения на некоторую среднюю поверхность земли. В связи с этим
теории распространения радиоволн над неровной поверхностью посвящается
все возрастающее число работ (см., например, [90]).
Трудность вопроса связана, в частности, с тем, что подлежащие
исследованию условия чрезвычайно разнообразны. Теория вопроса уже поэтому
не может быть единой для всех случаев.
Обычно, весьма грубо, производят разделение возникающих проблем по
следующему критерию: отношение характерной высоты неровностей £
к длине волны излучения А. Однако в действительности играет роль не
«длина волны», не обратное ей волновое число к само по себе, а проекция
соответствующего вектора не вертикаль. В самом деле, рассмотрим падение
плоской волны под углом скольжения ф на плоскую поверхность с впадиной
глубины £ (рнс. 98). Даже если луч О'В", попавший во впадину, найдет
горизонтальную поверхность и отразится в направлении А" под углом
падения, он наберет разность фаз А<р по сравнению с отражением О'В'А' от
невозмущенной плоскости
А<р = fc-2Csin^. (47.1)
Пренебречь этой разностью фаз можно, если
2CsinV< A. (47.2)
В этом случае когерентность лучей не нарушается. По вопросу о том, что
означает знак «много меньше», нельзя высказаться определенно. Обычно
§47. ВВЕДЕНИЕ 313
считают, что должно быть А<р < тг/2 и потому 8CsinV> < А. Однако
разумеется, этот критерий зависит от целей исследования: для точности
радиопеленгования существенны и малые А<р.
Конечно, условие (47.2) существенно, если неровности покрывают всю
поверхность, так что возмущение накладывается на значительное число лу-
Рис. 98. Сдвиг фазы из-за неровности
чей. Если же неровность является единичной или если неровностей немного,
то даже при нарушении условия (47.2) они вызовут заметное возмущение
поля только тогда, когда они охватывают большую часть существенной для
отражения области. Пусть ближайший из корреспондирующих пунктов
находится на расстоянии г, а горизонтальные размеры неровности (или всех
неровностей вместе) имеют порядок I. Тогда, согласно формуле (12.7), если
даже условие (47.2) не выполнено, возмущение все же мало, когда
Оба эти условия показывают, что чем меньше угол ф, тем слабее
возмущающее влияние неровностей. Как известно, по этой причине даже
шероховатый лист бумаги, если на него смотреть под очень малым углом
скольжения, отражает как глянцевый.
Таким образом, кроме деления возникающих проблем по критерию
короткие волны-длинные волны (по сравнению с Q, есть и другое
важное деление: скользящие волны (малый угол ф) и круто падающие волны
(большой угол ф). В значительном числе случаев эти два разбиения
совпадают, потому что практически при передаче на коротких волнах источник
и точку наблюдения поднимают высоко над земной поверхностью. Поэтому
длинные волны обычно являются скользящими, а короткие — падающими
круто. Все же это ни в какой мере не является общим правилом.
Однако высота и длина неровности сами по себе также не являются
вполне определяющими величинами. Рассмотрим, например, плоскую
волну, скользящую вдоль плоскости z = 0. Если мы поднимем всю плоскость до
высоты z = С, то в пространстве над ней поле останется прежним.
Возмущение может возникнуть только от краев смещаемого участка поверхности. Но
этот краевой эффект — вдали от краев — всегда можно считать малым, если
горизонтальные размеры участка / велики. Сильно изменится поле только
в области 0 < z < С, откуда оно «вытеснено». В остальном же пространстве
(47.3)
314 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
возмущение будет мало, как бы велики ни были и (, и I. Таким образом,
наиболее существенным геометрическим параметром является угол наклона
поверхности у. Для пологих неровностей, |7| <С 1, возмущение, созданное
данным участком, меньше, чем для крутых при тех же £. Оказывается, что
для пологих неровностей может быть развит довольно общий метод (§49).
Только в том случае, если у ~ 1, начинают играть решающую роль
условия (47.2) и (47.3). Мы, следовательно, должны различать случай 7 *§С 1 от
случаев у>1. Это — третий критерий, который следует иметь в виду.
Наконец, проблемы делятся и по характеру требуемого ответа. В
одних случаях речь идет о возмущении поля данной отдельной неровностью.
Таков, например, вопрос об искажении направления распространения
радиоволн береговым уступом (ошибка радиопеленгования) или очень важный
вопрос об усилении поля позади холма («obstacle gain»). Но это только
избранные случаи. Чаще же требуется знать влияние большого числа
неровностей одинакового типа: морского волнения, растительного покрова,
холмистости. Сюда же примыкает вопрос о рассеянии от нижней границы
турбулентного слоя в тропосфере, который, по мнению некоторых
исследователей, должен объяснить аномальное проникновение весьма коротких
радиоволн за горизонт. Во всех этих случаях требуется статистический
подход: зная статистические характеристики поверхности (число
неровностей на единицу поверхности, среднюю высоту, средние горизонтальные
размеры и угол подъема отдельных неровностей, распределение этих величин,
их взаимную корреляцию), нужно найти средние значения, флуктуации и
корреляционные характеристики амплитуды и фазы поля.
Для всех подобного рода проблем можно привести некоторые общие
соображения.
Уже в случае плоской однородной (а затем и неоднородной) поверхности
мы видели, что ее влияние может быть сведено к появлению вторичных
«виртуальных» излучателей, возбужденных падающей «первичной» волной.
Так как обычно е не вещественно, то их поля возникают со сдвигом фазы,
например, в формуле (24.5) — фактор
гк к Г./тг 1 \]
^ = FieXPK2-2arg£JJ-
Однако если почва однородная, этот сдвиг постоянен. Поле вторичных
излучателей в точке наблюдения имеет фазу <р = к(г + р) + const,
определяемую прежде всего длиной пути г от источника до данного вторичного
излучателя и затем пути р в точку наблюдения. Именно областью минимума
этой фазы определяется существенная область на плоскости — первые зоны
Френеля.
Когда поверхность возмущена — в электрическом или в геометрическом
отношении, — то каждый вторичный излучатель будет иметь иную
амплитуду и обусловит иной набег фазы, отличный от к(г + р). Однако если мы
имеем большое число более или менее равноправных вторичных
излучателей, то фаза к(г + р) вновь определит область поверхности, излучатели
которой посылают в точку наблюдения в среднем синфазные колебания. Поля
этих вторичных излучателей будут складываться когерентно. Ясно, что в
общем это когерентное рассеяние будет значительным в том же направлении, в
§47. ВВЕДЕНИЕ
315
котором распространялась волна, зеркально отраженная от плоскости,
играющей роль некоторой средней плоскости.
Конечно, кроме того, неровности поверхности обусловят рассеяние и в
направлениях, отличных от направления зеркального отражения от
усредняющей плоскости. Уже поэтому поля рассеяния, посылаемые разными
участками поверхности, в этом случае будут в основном некогерентными.
Значительные успехи были достигнуты в изучении влияния
периодических неровностей: строго синусоидальной поверхности, правильно
расположенных канавок прямоугольного сечения, бесконечного набора равномерно
расположенных параллельно один другому полуцилиндров. Однако эти
случаи, играющие большую роль в теории дифракционных решеток,
гофрированных волноводов и т. п., для проблемы распространения радиоволн вдоль
земли имеют небольшое значение. Здесь нам никогда не встречаются строго
периодические поверхности. Более того, в наиболее трудном случае, когда
подобные строгие решения были бы нужны для крутых поверхностей и
малых длин волн — действие неровностей не обладает аддитивностью (см.
§52). Отступления от формы периодической поверхности, для которой была
построена та или иная теория, могут полностью изменить результат.
Поэтому мы не будем излагать относящиеся сюда работы (см, например, обзор
[90]), а сосредоточим внимание на статистических задачах.
С рассмотрением влияния неровностей мы в ряде случаев объединим
изучение неоднородностей электрических свойств. Это относится к таким
вопросам, в которых совместное исследование обоих типов нарушения
идеальности подсказывается условиями практики и единством математических
методов (искажение поля вблизи берегового уступа, статистическое влияние
хаотических неровностей и неоднородностей).
В настоящей главе излагается теория проблем, для которых в той или
иной мере было получено решение. Еще со времен Релея [91] известны
основные пути решения проблемы неровностей — не только пологих, — малых
по сравнению с длиной волны. Здесь возможен простой метод возмущений,
развитый в работах [92-94]. Однако он применим только к достаточно
крутому (по отношению к усредняющей плоскости) падению радиоволн. Для
скользящих волн (источник и точка наблюдения вблизи поверхности земли)
требуется, вообще говоря, другой подход [75]. Он оказывается успешным
лишь для пологих поверхностей, зато здесь он является довольно общим
и применим, если поверхность достаточно пологая, для высот неровностей,
даже не малых по сравнению с А. Главная причина, по которой эти методы
неприменимы к крутым и большим неровностям, заключается в трудности
учета взаимного влияния неровностей друг на друга (лишь в упомянутой
только что теории учесть это влияние оказывается возможным). Частный
случай этого влияния — взаимное затенение. Однако теоретическое
рассмотрение оказывается успешным в некотором обратном случае: при достаточно
крутом падении затенением можно пренебречь, и если длина волны
достаточно мала по сравнению с С, то переизлучение незначительно [95].
В §48 рассматривается поле как скользящей, так и круто падающей
волны при наличии малых по сравнению с длиной волны выступов на
хорошо проводящей плоскости. Если выступы расположены достаточно редко,
то возможно статистическое рассмотрение, приводящее к выводам,
имеющим общее значение.
316 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
В §49 выводятся общие исходные формулы теории, справедливой для
поверхности с пологими неровностями (при наличии также и неоднород-
ностей), справедливые при любых углах скольжения волны, если высоты
неровностей малы, £ <С А, а для скользящей волны (ф —> 0) и достаточной
пологости — также и для значительных £•
В § 50 эта теория используется для анализа индивидуальной неровности и
неоднородности — берегового склона и прибрежного изменения е («береговая
рефракция»).
В § 51 на той же основе рассматриваются статистические характеристики
поля: средние значения напряженностей, а также средние квадратичные
величины, характеризующие рассеяние излучения неровностями и неоднород-
ностями.
В §52 такие же статистические характеристики рассеянного излучения
рассматриваются для пологих неровностей большой высоты по сравнению с
длиной волны, но в случае достаточно больших углов скольжения, на основе
приближения, которое можно называть кирхгофовским.
Наконец, в § 53 рассмотрена дифракция на отдельном препятствии типа
холм.
§ 48. Малые выступы иа идеально проводящей плоскости
В § 20 было показано, что если на идеально проводящей плоскости
расположен выступ с произвольными электрическими свойствами, то поле любого
источника может быть получено как суперпозиция полей этого источника и
его изображения в плоскости (построенного по обычным правилам),
взятых в пустоте в присутствии тела, образованного данным выступом и его
отражением в той же плоскости. В настоящем параграфе мы применим
этот результат к распространению радиоволн вблизи идеально проводящей
плоскости, на которой расположены выступы, малые по сравнению с длиной
волны в воздухе, но с произвольными углами подъема j.
Интересующая нас задача сводится к рассмотрению рассеяния — в
пустоте — волн от малых частиц. Общий метод решения таких задач,
указанный Релеем [96], состоит в рассмотрении прежде всего квазистационарного
поля в непосредственной близости от объекта, где линейным параметром,
определяющим быстроту изменения поля в пространстве, является не длина
волны, а размеры предмета. Внешнее падающее поле во всей этой области
в пространстве постоянно и меняется со временем одновременно во всех
точках. Подставим в уравнение для какой-либо из составляющих поля
V2n + fc2II = 0 (48.1)
функцию
П = П°(х, z)w(x, у, г); П° = Aexp[i(kxx + kzz - ut)], (48.2)
где П° — падающее поле, распространяющееся от источника к объекту вдоль
направления, которое лежит в плоскости xz.
Сначала пусть kz = 0. Функция искажения w вблизи объекта меняется
на отрезке порядка его размеров, т.е., поскольку эти размеры малы по
сравнению с длиной волны,
dw dw dw w , ,,„„,
to' %' 7>7~7>>Ы' (48-3)
где d — линейный параметр, характеризующий размеры объекта, kd <С 1.
§ 48. МАЛЫЕ ВЫСТУПЫ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ ПЛОСКОСТИ 317
Подставляя П (48.2) в уравнение (48.1), получим, учитывая соотношения
(48.3),
d2w d2w d2w n.,dw n .,„„ .
w+W + l^ + 2tkte=0- (48-3а)
Положим w = wq + w\ + ..., где отношение последовательных членов имеет
порядок kd. Внося это разложение в уравнение (48.3а) и приравнивая члены
одного порядка, получим
д2и>р d2w0 d2w0 _
-d^ + W + -d^-°' (48-3б)
d2wi d2wi d2wi o.,dw0
-M+-W+-dsr = ~2tk~te' (48-3B)
Следовательно, в нулевом приближении нужно решить статическую
проблему V2tuo = 0, удовлетворяющую определенным граничным условиям для
поля на поверхности объекта. Поправки любого порядка можно отыскать из
неоднородных уравнений для последующих приближений.
После того как поле вблизи объекта найдено, функция w для остального
пространства определяется сшиванием с решением волнового уравнения.
Таким образом, проблема сводится к изучению поля в теле, помещенном
в однородное (в пространстве) переменное (во времени), но
квазистационарное поле падающей волны. Если значение е таково, что длина волны велика
по сравнению с размерами тела не только снаружи, но и внутри него, то поле
волны создает электрическую поляризацию, изменяющуюся во всех точках
тела синфазно. Замкнутых токов внутри тела не возникает и можно считать
поляризацию однородной. Если, однако, длина волны внутри тела мала, то
поле не проникает глубоко, и, с другой стороны, имеет в разных точках
различные фазы. В таком случае возникают замкнутые круговые токи по
поверхности, так что тело в целом приобретает не только электрический, но
и магнитный момент. Нужно учитывать излучение как электрического ди-
польного момента, наведенного электрическим полем падающей волны, так
и магнитного дипольного момента, который, естественно, пропорционален
ее магнитному полю.
Полная теория рассеяния существует для шара и цилиндра (см.,
например, работы [97, 25]), а также для эллипсоида [98]. В применении к частицам
малого радиуса она дает значения указанных электрического и магнитного
моментов.
Рассмотрим однородное полушарие радиуса а, лежащее плоски срезом на
плоскости. Примем центр его основания В за начало координат и положим,
что излучение падает под углом ф к плоскости от диполя, расположенного в
точке О (рис. 99). Если поляризация горизонтальная, то суммарное
(тангенциальное к плоскости z = 0) падающее поле в месте расположения выступа
В отсутствует. В случае же вертикальной поляризации падающее
электрическое поле в точке В имеет ^-составляющую
2Я<°> = 2|Е<°)| cos ф = 2k2pcos2 ^ехР(**Д>, (48.4)
R
где Б'0' — поле данного источника в пустоте.
318 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Рассмотрим сначала случай не очень больших е, к\у/е\а <С 1. Поле
внутри тела будет однородно и в шаре радиуса а оно создаст дипольный момент,
как известно, из электростатики (см., например, [99]), равный
,e-l_,„i (48>5)
P' = p'z = a3i
2£<°>.
£ + 2 г
По формулам § 18 отсюда получаем рассеянное под углом х (к моменту р')
поле Е<е>':
El'Y = k>P>coSX™P{ikpA)
РА
(48.6)
где Ех направлено по возрастанию угла Xi Ра — расстояние от точки В.
Поделив поток энергии (Т,рл dQ) в пределах телесного угла dQ на поток
первичного излучения, приходящийся на единицу поверхности, перпендикулярной
Рис. 99. Рассеяние эллипсоидальным выступом
падающему лучу, Ео, получим эффективное дифференциальное сечение
рассеяния полушария (можно надеяться, что употребление одного и того же
символа а для разных величин — проводимости и эффективного
сечения — не вызовет неудобства)
da =
Ep\dQ _ (c/%ir)\Exe)'\2P\dQ
(с/8тг)|£(°)|2 '
!
cos2 x c°s2 i> dQ-
So
da = 4a6k4
£-1
£ + 2
Полное сечение рассеяния (интеграл по всем углам)
32тг
а =
к4а6
£- 1
£ + 2
Эта величина имеет размерность площади.
cos ф.
(48.7)
(48.8)
(48.9)
§48. МАЛЫЕ ВЫСТУПЫ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ ПЛОСКОСТИ 319
Если модуль е велик, то формула (48.5) по-прежнему может быть
использована, но, кроме того, нужно учесть излучение магнитного момента
то'. Если бы речь шла о шаре с магнитной проницаемостью /х, то в
статическом поле 2Н'0' он приобретал бы магнитный момент
т' = то, = а6-
у М + 2
2Я^0). (48.10)
Из формул (48.5) и (48.10) можно найти излучение бесконечно проводящего
шара следующим приемом, который применил Релей. Учтем, что внутрь
такого шара поле не проникает. Поэтому непрерывные (при переходе через
границу раздела) нормальная составляющая магнитной индукции и
тангенциальная составляющая электрического поля должны вне шара, на его
поверхности, исчезать. В то же время, благодаря квазистационарности, это
поле можно описывать формулами электро- и магнитостатики. Они дадут
требуемое внешнее поле (не содержащее упомянутых составляющих), если
мы материалу шара припишем значения е = оо и /х = 0. Согласно
формулам (48.5) и (48.10), это означает, что мы приписываем шару электрический
дипольный момент р' = p'z = а3 • 2EZ и магнитный дипольный момент
то' = тп'у = — (1/2)а3 • 2Щ . Следовательно, поле излучения будет суммой
полей электрического диполя (48.6) при таком p'z и поля магнитного диполя
Еут)' = 0, (48.11)
i^>'= -fc2 cosx cos *,^Mm'
Р
при указанном то'.
Учитывая, что для любого вектора А, направленного по оси х> А-х =
= — A sin х cos </?, Ау = — A sin x sin </?, Az = Acosx, и подставляя значения
p' и то', получаем
E' = 2£>2^|^F(x,*>), (48.12)
Fx = а3 (-COSXCOSVJ+- rjsinx,
Fy = -a3 sin x cos x sin <p, (48.12a)
»-, ч ( 1 cosyA
Fz = a?\ cosx - т г ) cosx-
\ 2 costpj
Заметим, что формула (48.6) тоже может быть записана в форме (48.12).
Соответствующие значения функции F, которую можно назвать функцией
рассеяния (она аналогична так называемой амплитуде рассеяния), даются
первыми членами правых частей в формулах (48.12а), которые нужно только
домножить на (е — 1)/(е + 2).
Здесь необходимо отметить поляризационные свойства рассеянного
излучения. Как уже говорилось, горизонтально поляризованное излучение
вообще не возмущается выступом. С другой стороны, излучение вертикального
320 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
диполя, согласно формулам (48.12а), деполяризуется сильно проводящим
выступом. Действительно, при рассеянии под азимутом <р = тг/2 поле имеет
горизонтальную составляющую Fy = —a3sinxcosx- Между тем слабо
проводящий выступ не дает такого эффекта. Это и понятно: в слабо проводящем
выступе индуцируется только вертикально поляризованный электрический
диполь, излучающий поле (48.6). При высокой же проводимости на него
накладывается поле магнитного диполя, ориентированного вдоль оси у. Его
электрические силовые линии образуют окружность вокруг этой оси. В
результате сложения двух полей образуются, например, линии, на которых
вертикальная составляющая поля равна нулю: по формулам (48.12а), это
имеет место при cos<p = 2cosx- Здесь Fy = —a3 y/l — 4 cos2 x sin X cos X-
Таким образом, на этой линии поле имеет горизонтальную поляризацию, а
в точке х = 0, <р = тг/2 вообще исчезает.
Вычислим поток энергии рассеянного излучения в элементе телесного
угла dQ раздельно для вертикальной составляющей E'z и для
горизонтальной составляющей, что будет соответствовать приему в одном случае на
вертикальную антенну, в другом — на горизонтальную рамку. Эти
потоки пропорциональны соответственно F% = a6cos2x[cosx — (1/2) cos</?]2
и F% + Fy = a6sin2 x(cos2x — cosy?cosx + 1/4). Таким образом, для
вертикально поляризованной составляющей принимаемого излучения
da(v) = 4fcVcos2Vcos2x(cosx-xcosv?) dQ; (48.13а)
для горизонтальной составляющей
der(h) = 4fc4a6cos2V>sin2x f cos2x - cosv?cosx + т) dQ. (48.136)
Суммарное поперечное сечение выступа равно
da = da{v) + da{h) = 4к4а6 cos2 ф
cos2x
I 1 + - cos2 <p j
+
+- sin x — cos X cos V
4
и полное сечение
40тг,4 6 о
а = —А о cos ip.
dQ (48.13в)
(48.14)
Для случая большой, но конечной проводимости более подробные
вычисления дают (см. [99, с. 383])
327ra6fc4., . ... о ,
а= (1 + |t|2)cos2V,
где
7=2
3 3
1 + -г—7= ctgkay/e - ут—j=-r
(48.15)
(48.15а)
и при е —> оо параметр у —> 1/2.
§48. МАЛЫЕ ВЫСТУПЫ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ ПЛОСКОСТИ 321
Тот же прием определения магнитной поляризуемости /х сильно
проводящего тела был применен к случаю эллипсоида [96]. Пусть на плоскости
z = О плоским срезом лежит половина эллипсоида с полуосями а, Ь, с,
соответственно направленными по осям х, у, z. Рассеяние в этом случае
соответствует рассеянию в пустоте на целом эллипсоиде. Поле 2Е\ ,
поляризованное вдоль оси г, создает в диэлектрическом и непроводящем эллипсоиде
момент
"■="'■ = 4,+Т-тт-2Е(°к (4816а)
а в непроводящем магнетике с магнитной проницаемостью /х — магнитный
момент
•»-47Т5^Т)мг'2Н»°1' (48Л66)
то' = то'
где
4
Г = -паЬс,
3
оо
М = 2паос
N — 2nabc
J (а2 + А)1/2(Ь2 + Л)3/2(с2 + А)1/2'
О
оо
Г d\
J (а2 + А)1/2(Ь2 + А)1/2(С2 + А)3/2'
о
(48.1бв)
Отсюда получаем поля этих диполей, а затем, устремляя е к бесконечности
и /х к нулю, — суммарное поле, излучаемое рассеивающим эллипсоидом; это
поле, разумеется, имеет форму (48.12), но с иной функцией рассеяния F:
^ = -(£со8Хсо8*,-^^)8тх,
Г
Fy = - — smx cos x sin V, (48.17)
(Т Т \
-{мС08Х-4^ГмС°^)С08Х-
В случае шара а = b = с, Т = (4/3)тга3, N = М = 4тг/3 и мы снова
получаем формулы (48.12а). Здесь и далее дифференциальное сечение для
рассеянного излучения, поляризованного вертикально, da^y\ пропорционально
\FZ\2, для излучения же, поляризованного горизонтально, пропорционально
\Fx\2 + \Fy\2- Суммарное дифференциальное сечение для эллипсоида равно
da = 4к4 cos2 ф
WC°s2x+{4^=~m) (1-cos2*sinV)-
dQ, (48.18)
2Г2
—— rjr COS X COS V?
N(4n - M)
322 ГЛ.8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
а его полное сечение
оо— Г 1 1 1
^*4Г2
1 1
+
cos^V- (48.19)
.JV2 (47Г-М)2.
Здесь, таким образом, имеет место деполяризация того же типа, что и для
полушария.
Рассмотрим теперь поле над идеально проводящей плоскостью,
хаотически усеянной многими выступами рассмотренного выше типа [79г]. Простой
результат может быть получен только в том случае, если выступы
расположены достаточно редко, так что каждый из них можно считать находящимся
в поле Е = 2Е'°) + Е , составленном из невозмущенного поля 2Е'°\ которое
имело бы место в отсутствии выступов, и среднего («локально
усредненного» или среднего по ансамблю; подробнее о понятии среднего см. §51)
поля рассеяния всех остальных выступов. Такое пренебрежение местными
колебаниями рассеянного поля допустимо только в том случае, если
взаимные расстояния выступов значительно превышают их размеры.
Действительно, поле каждого выступа мало, так как оно пропорционально (ко)6.
Только совместное поле многих удаленных выступов может дать заметный
эффект. Пусть v — число выступов на единицу поверхности. Тогда ^(r') dS'
выступов, находящихся на элементе площади в точке г', обладают в
полном среднем поле Е такими индуцированными электрическим и магнитным
моментами, что в некоторой точке пространства г они создают рассеянное
среднее поле
^exp^fclr'-rl)
Е'я(т) = Д«И* |;,_Г| "Fz(x, <p)udS't (48.20)
где Xi V — углы вектора г' — г = р. Поэтому полное поле в точке наблюдения
А равно (возьмем, например, ^-составляющую)
E^A) = 2Ei°\A) + jT^)uk2Fz(x, <pf*p{*P)dS'. (48.21)
Выбрав точку А в плоскости z = 0 (х = 0), мы получаем интегральное
уравнение для среднего поля Ez(r):
ВД = 2£<°)(г) + [vk*Fz(0, tf^fif&Mds',
J P (48.22)
р=у/(Х-Х>)2 + (у-у>)2.
Оно имеет совершенно такой же вид, как обычное уравнение для
однородной плоской поверхности, которым мы неоднократно пользовались, скажем,
уравнение (24.6).
Пусть сначала источник находится в плоскости z = 0. Полагая
E7Ky) = 2Ei°\x,y)w(x,y), 2£(°>(s,y) = eXP^r), г = у/^Ту1
(48.23)
(поле вертикального диполя, находящегося на плоскости z = 0), мы можем
определить функцию ослабления w для среднего поля над поверхностью,
§ 48. МАЛЫЕ ВЫСТУПЫ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ ПЛОСКОСТИ 323
покрытой хаотически расположенными выступами. Разумеется, и здесь
существенной областью является узкий эллипс — первая зона Френеля.
Поэтому для медленно меняющейся функции Fz можно взять ее значение на
оси эллипса Fz(0, 0). Тождественность уравнений для этих двух случаев
неудивительна. Еще в § 6 и 8 подчеркивалось, что интегральное уравнение,
получающееся в результате применения теоремы Грина, допускает
истолкование в терминах полей вторичных диполей (а также иногда и квадруполей),
распределенных по плоскости. В случае неровной поверхности вторичные
диполи приобретают осязаемую форму.
Таким образом, среднее поле над идеально проводящей поверхностью
с выступами подчиняется тем же закономерностям, что поле над плоской
поверхностью с некоторым эффективным конечным е° = £°. Это значение
£° можно найти, сравнивая коэффициенты в уравнениях (24.6) и (48.22):
1 9тг
%k2Fz(0, 0). (48.24)
£о гк
Для плохо проводящих полушарий, (48.5), это дает
-= = 2тг ехр (-4) ^—W; (48.24а)
для хорошо проводящих полушарий, (48.12а), —
= тгехр (-i|)W; (48.246)
для полуэллипсоидов, (48.17),-
4j=*«р (-4Н (jf - srh#) • (48-24в)
Решением уравнения (48.22) будет снова нормальная функция
ослабления (25.18)
w(r) = y(sgr), (48.25)
ik ( ,ж\ж2кги2
-9
ш
а6,
4Г2(1--^— V
\N Атт-MJ
(48.25a)
соответственно для трех разобранных случаев (48.24а)-(48.24в).
Действительно, в § 25 было показано, что y(sr) является решением этого уравнения
при любом s, если соответственно подобрать фазу постоянной
интегрирования С. Именно, тг/4 — (1/2) args < &щ\/С < Зтг/4 — (1/2) args. В данном
случае args = —тг/2 и потому тг/2 < argvC < тт. Следовательно, снова
можно считать у/С = too.
324 ГЛ.8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Поведение функции ослабления при малых значениях \sgr\ вновь дается
выражением (25.6) при s = sg (это ясно из того, что уравнение (48.22) при
малых \sgr\ тоже можно решать методом итераций). На больших
расстояниях будет снова справедливо разложение (25.19а). Для достаточно больших
е будет, согласно формулам (48.25а), в случае полушарий,
sg = ехр (-г-) . (48.26)
Сводя все к некоторой эффективной проводимости <тд, можно считать
е°д = 4niag/u, причем
*- = ic4^h&- <48-27>
Площадь, занятая одним выступом, равна 5 = па2. Средняя высота
h = а/2. Поэтому выражение для ад можно переписать и в виде
хс
^=i<*W' ф = 5"' (48'27а)
где Ф — суммарная площадь, занятая всеми выступами, расположенными
на единичной площадке. Ее можно назвать заполнением. По
предположению, Ф < 1. Таким образом, даже очень хорошо проводящие выступы
вызывают рассеяние радиоволн и потому обусловливают в плоскости z = О
ослабление среднего поля, эквивалентное появлению неидеальной
проводимости почвы.
Так, например, для населенного пункта, если для него заменить
рассеяние от здания рассеянием от идеально проводящего полушария и считать
заполнение Ф малым, например Ф И 0,1, полагая h и 10 м = 103 см, для
распространения волн радиовещательного диапазона, А и 300 м = 3-Ю4 см,
мы получим
3 • 1010 • 3 • 104
W* 32J-ioe.io-2 й3'lo8 CGSE- <48-28)
Эта величина близка к обычной проводимости почвы, и потому уже при
таких Ф, h и А дополнительное затухание может оказаться существенным.
Для городов с большим Ф, где формулы, строго говоря, уже неточны, можно
ожидать весьма больших эффектов. Это находится в соответствии с
полуколичественными экспериментальными результатами. Так, измерения над
Амстердамом приводят на волне 299 м к стЭф = ад ~ 105 CGSE. Подробнее
см. работу [100].
До сих пор мы рассматривали среднее поле источника, находящегося в
плоскости z = 0. Оказалось, что в самой плоскости оно ослабевает
пропорционально функции ослабления y(sgr). Так как поле в пространстве
определяется полем на плоскости z = 0, то отсюда следует, что и при za ф 0
в поднятых точках наблюдения среднее поле описывается функцией у для
поднятой точки наблюдения при тех же эффективных константах почвы.
Отсюда на основании теоремы взаимности следует, что та же функция
ослабления с теми же эффективными константами будет описывать и среднее
поле поднятого источника. В частности, если углы скольжения ф достаточно
велики, |«/£°sin^>| > 1, как мы знаем, справедливы интерференционные
§ 48. МАЛЫЕ ВЫСТУПЫ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ ПЛОСКОСТИ 325
(отражательные) формулы. Коэффициент отражения /ц для среднего поля,
поляризованного в плоскости падения, будет равен
/II
yj£°&mil>- 1
ч/е°sin ф + 1
(48.29)
Это среднее поле, таким образом, возникает от соответствующего
возмущенного неровностями участка плоскости z = 0 в направлении зеркального
отражения. В других направлениях, если этот участок невелик, оно отсутствует.
Однако ослабление поля, описываемое функцией y(sgr), имеет совсем
иную природу, чем в случае плоской поверхности конечной проводимости.
Оно обусловлено не оттоком энергии в почву и поглощением на джоулево
тепло, а рассеянием в пространство. В частности, уже рассеяние отдельным
выступом дает поле с составляющей электрического поля, направленной по
оси у (см., например, формулу (48.12а)), да и поток энергии по оси у
отличен от нуля (см. формулы (48.8) и (48.13)), что невозможно для плоской
поглощающей поверхности. Среднее поле от многих хаотических выступов
не дает такого потока. Однако это не значит, что рассеяние в этих
направлениях отсутствует. Чтобы найти его, следует усреднить потоки энергии,
т. е. квадратичные величины. Для всех трех рассмотренных случаев (48.8),
(48.13) и (48.18) эффективное сечение участка поверхности S может быть
после умножения на vS получено в виде (таким же образом получаются da^
и da^ для рассеянного излучения данной поляризации — вертикальной и
горизонтальной)
da = 4k4vS cos2фв{х, <р) dQt
G(X,<P)-
e — 11
e + 2\
cos2*,
cos2x
(l + icosVj+^si
г2 2 / т у
^cos*+U^m;
sm x — cosx cos <p
(1 — cos2 x sin2 <p) —
(48.30)
(48.30a)
(48.306)
Xsin
2Г2
JV(4tt - M)
cos x cos V (48.30b)
соответственно для плохо проводящих полушарий (&|^|а •< 1), для хорошо
проводящих полушарий и для хорошо проводящих полуэллипсоидов.
Общий множитель 4cos2^ присутствует потому, что da вычисляется
делением на поток энергии от поднятого источника в пустоте.
Индуцированный в выступе момент пропорционален вертикальной составляющей
падающего поля, которая равна 2cosV|E'°'|, где Е^0' — поле уединенного диполя.
Желая получить абсолютное значение энергии, рассеиваемой участком
поверхности 5 в направлении (х, <р), нужно da умножить на (с/87г)|Е*°)|2, если
источник поднят настолько высоко, что его поле на участке 5 можно считать
еще не ослабленным из-за рассеяния на выступах. В общем же случае нужно
326 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
da еще домножить на |y(r; zo\ 0)|2, где функция ослабления падающего поля
на участке S берется для источника на высоте zo и для точки
наблюдения — на плоскости z = 0.
Выпишем в качестве примера значения G(x, ф) Для двух практически
важных положений точки наблюдения — в направлении правильного
отражения от плоскости (х = Фч V = 0) и Ддя рассеяния назад, в источник
(х = i>i V = ТП «радиолокационный случай»), в обоих случаях для выступов
в форме полушарий, — а) плохо проводящих и б) хорошо проводящих (см.
формулы (48.30а) и (48.306)):
(а)
Ф, Ч>
Ф, Ч>
о,
я-,
У
\е- 1
к + 2
cos2^>
(6)
- + cos2 ф — cos ф,
4
1 о
- +COS ф + СОвф.
§ 49. Пологие неровности
Весьма общий метод может быть развит для неровных поверхностей, в
известном смысле мало уклоняющихся от некоторой плоскости, если эти
неровности являются пологими, т. е. углы подъема повсюду малы.
Сначала мы будем считать, что поверхность — идеально проводящая,
е = оо. Пусть она описывается некоторой функцией (рис. 100)
z = ((x,y), (49.1)
причем введем специальное обозначение для производных этой функции
_<К _дс
1х~дх' ъ~
и будем считать их малыми:
ду
(49.1а)
дС
дх
<1,
дС
ду
(49.2)
Критерий малости уклонения самого С от нуля, помещаемого на
некоторой средней плоскости, приведем впоследствии. Заранее скажем, что, как
tin
Рис. 100. Пологие неровности
^Ш
будет видно, для скользящего падающего поля и достаточно малых у высоты
С могут превышать длину волны излучения А.
Граничное условие для электрического поля на этой поверхности,
согласно формуле (21.26), требует, чтобы касательные составляющие Е
исчезали:
[En] = 0, z = С, (49.3)
§49. ПОЛОГИЕ НЕРОВНОСТИ
327
где и — единичный вектор нормали к поверхности z = £ в данной точке;
^/l + ri + ff v yji + tl + tl z ^/i + 72 + Tif
(49.2а)
Пренебрегая величинами третьего порядка относительно у, имеем, согласно
формуле (49.3),
Еу + 1УЕЯ = 0, Ex + yxEz = 0, z = (. (49.3a)
Третье из соотношений, содержащихся в формуле (49.3), является
следствием написанных. Они все имеют место на поверхности z = £(x, у).
Проведем плоскость z = 0 и перенесем эти условия на нее, разлагая Е
по степеням уклонения £:
Е(х, у, С) = Е(х, у, 0) + (jpj _ С + • ■ - (49.4)
Удерживая члены с С в степени не выше первой и пренебрегая
произведениями С на 7) мы получим
Ех(х, у, 0) = -£?,(», у, 0)7, - дЕх{*гУ* 0)С, * = 0,
Еу(х, у, 0) = -£?,(», у, 0)7у - дЕ'(*>* 0)С, z = 0.
(49.5)
Поскольку сами Ех и Еу, а также, как видно будет ниже, и dEz/dz уже
являются величинами порядка fx>y, здесь в действительности учтены члены
второго порядка по £.
Таким образом, если форма поверхности (49.1) и расположение
источников заданы, проблема состоит в определении поля в пространстве z > 0,
когда на плоскости z = 0 справедливы граничные условия (49.5).
Обобщим теперь эти условия на случай почвы с конечным, но большим
\е\. Это особенно просто сделать, когда поле поляризовано в плоскости
падения, например, для вертикальной поляризации. Если мы примем, что |е°|
велик, то мы можем пренебречь членами, содержащими произведения С и 7
на малую величину 1/Ve°.
В случае действительно плоской поверхности с конечным е при
вертикальной поляризации справедливы соотношения (21.26), и горизонтальные
составляющие Ех, Еу малы по сравнению с вертикальной составляющей Ez.
В случае идеально проводящей, но неровной (с малыми £, 7) поверхности
составляющие Ех и Еу на плоскости z = 0 вновь малы, согласно формуле
(49.5). Пренебрегая перекрестным эффектом, мы можем в общем случае
больших, но конечных \е\ и пологой неровной поверхности считать, что на
плоскости z = 0 малые тангенциальные составляющие поля, обусловленные
двумя разными причинами, складываются:
/ кх 1 \ дЕх
*-Ы&*иг *)*-£<• г=0- <49'66)
328 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Последние члены справа — второго порядка относительно £ (точнее, порядка
7 -С) и нужны только для некоторых специальных целей (см. §51).
Дифференцируя эти выражения по х и у и используя уравнение div E =
= 0, получаем условие, обобщающее условие (40.12):
dEz
dz
гк
l + ^(kgradlnVe°)
Ez +
д_
дх
( Р -L dE*f
I 1xEz + -аГ"С
dz
)
+
+— (lyEz +
д_
ду
Щ
dz
?<)--
Е.
к cos2ф
(kgrad)-7% + (7gradJ?,)+
+Е>
О
Тх . &Гу\
+
+
д
m
д
(.№£
+ ъ\<ж)'
z = 0. (49.6в)
дух
дх ' ду J ' дх У* dz
Если пренебречь членами второго порядка, то формулы (49.6) можно
истолковать следующим образом. Для радиоволны, скользящей по плоскости
(ф = 0) вдоль оси х (ку = 0), если С меняется только в этом направлении,
появление неровностей эквивалентно замене е° на е£ф или у на 7эф:
1 1 1
- 7 = ~7эф,
(49.7)
причем,если
1
то
X X
cos — — i sin —
2 2
)•
\Я*\
( Хэф . . Хэф
: COS ——■ — t S1II —~
\ 2 2
)•
vnf
/cos(x/2) '
+
sin2 (x/2)
x/Fl :
tg
Хэф
sin (x/2)
(49.7a)
(49.76)
cos (x/2) - уМт
Весь метод применим только при у •< 1. Однако и при этом, если модуль
|е°| достаточно велик, например в случае бесконечно большой проводимости,
когда х * тг/2, может оказаться, что tg (Хэф/2) < 0, т. е. Хэф/2 > тг/2.
Обратно, учет конечной проводимости эквивалентен замене углов
наклона ух и 7j/ на
7*эф — 1х
к cos2 ф л/^о'
7з/э
7»
A; cos2 ф д/^о
(49.7в)
(причем С в членах второго порядка оставляем прежним).
Граничное условие (49.6в), которое обобщает условие (40.12) на случай
полого неровной поверхности, позволяет переписать для этого случая и
обобщенное интегральное уравнение (41.13) и (41.14):
dEz ikEz \ exp (ikp)
Ех(х, у, 0) = £°у0(А *о) -
-Уо(р, 0)dx'dy',
(49.8)
§49. ПОЛОГИЕ НЕРОВНОСТИ
329
где dEz/dz' следует подставить из формулы (49.6в). Здесь £§ — постоянный
вспомогательный параметр (е° для некоторой фиктивной почвы);
предполагается, что излучатель поднят на высоту zo\ D — расстояние от излучателя
по горизонтали до точки наблюдения, находящейся в плоскости z = 0; уо —
нормальная функция ослабления для заданного расположения источников
над почвой с £° = £§ = const. Интегрирование, как всегда, производится по
плоскости z = 0.
Аналогично, для других составляющих Е мы выберем функцию Грина
в виде
P=Jp20 + (z-z>y, Px = yjpl+{z + *)*, р0=у/(х-х'У+(у-у'У
(49.8а)
и, пользуясь теоремой Грина (5.8) (нужно помнить, что при z' —> 0 имеем
V- = 0 и dv/дп = —dv/dz1 = + (2d/dz)[exp (ikp)/p]y0(p0; z)), получаем,
например,
Ex(x, у, z; z0) = E&.(x, y, z\ z0) -
= E*{x, у, г; го) - ± j (£ 4- -^ J f E,(x', y\ 0; z0)vdS'. (49.86)
Здесь учтено, что дуо/dz = — (ik/y/sfyy0; через Eqx обозначен
соответствующий объемный интеграл по источникам. В случае Sq = 0 — это просто
поле тех же источников для идеальной проводимости и плоской земли (при
z = 0 имеем Eqx = Eqv = 0) и под v следует понимать
v=^mMp.z) (498в)
Так как в (49.8) dEz/dz1 можно заменить через —(дЕх/дх' + дЕу/ду1) и
выполнить по х' и соответственно по у' интегрирование по частям, причем
dv/dx', у' = —dv/dx, у, то формулы (49.8)-(49.8в) можно записать и в
следующем виде:
^ '* 1 тр _ т?А ( & **
Ex = E£x+l~ + -^)AX} Ey = E$y+[— + -7^)Ay, (49.9а)
Ez = Е0, -
A ik fFvJR' ЭАх ЭАу UQOR\
0*-^MJE*VdS--dx---dy-' (49'96)
A* = ~h j E*vdS'=~h j {^-d-§ft)vds',
(49.9b)
330 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
причем в случае вертикальной поляризации поля EJ
^x-V
*x,y
к cos2 фд/^о
-%
х,у
(49.9г)
(в случае горизонтальной поляризации мы рассматриваем только неровную
идеально проводящую поверхность, е° = оо). Величина Eqz вблизи
плоскости z = 0 или при опущенном источнике (zo = 0) есть просто
E& = E°yo(Po;z + z0). (49.9д)
Эта система уравнений может служить основой для решения ряда
проблем (см., например, §50, 51).
Рассмотрим влияние неровностей, а также отличия е° от бесконечности
как малое возмущение. Положение источника и точки наблюдения будет
произвольным. Воспользуемся граничными условиями (49.6). Мы будем
сначала отбрасывать слагаемые с е° и писать все формулы для идеально
проводящей поверхности. Переход к конечной проводимости осуществляется
просто заменой по формулам (49.7в). Положим
Е = Е<°) + Е*1) + Е<2) + ... , (49.10)
где Е^0' — поле, которое имело бы место для £ = 0. Оно известно по строгой
теореме об отражении (§20). Следовательно, Е'1' определяется формулами
(49.9а)-(49.9г) (причем в них мы положим £§ = оо, уо = 1), если
воспользоваться граничными условиями (49.6а), (49.66), принимающими, согласно
формуле (49.10), вид
ЕЮ --°Ьх*С - у Я<°>
'х,У
dz
о.
(49.10а)
Рассмотрим три частных случая.
а) Пусть в точке О (рис. 101) расположен вертикальный
электрический диполь момента р. Его вектор Герца в свободном пространстве сво-
Рис. 101. Обозначения к выводу выражения для рассеянного поля
дится к одной составляющей, направленной вдоль момента и равной П =
= рехр (ikR)/R. Таким образом, его момент вдвое больше того, который мы
выбирали в гл. 5. Его отражение в 0\ должно быть направлено также
вертикально. Введем сферические системы координат (R, д, <р) и (R\, Ф\, <р\ =
= <р) для каждого диполя. Согласно формуле (20.4а), получим в плоскости
§49. ПОЛОГИЕ НЕРОВНОСТИ
331
z = О (R = Ri, 0 = тг — #i), опуская временной множитель,
4°) = £<°) = 0, E^ = 2k2p&m2^PfR).
Д
(49.11)
Далее, так как при kR >• 1
д sind д
Я Я
— +COS1? SSCOS1? ,
8z й W dR 0Д'
д sini?i д . д . д
a^i Я a$i аДх oR\
— и sin I? cos v?—, — « sin tf sin v?—,
ax аД ay dR
(49.12)
то можно считать
дЕ\
(о)4
az
—2гк ps'm д cos д
2 exp(i^R)
а£
(оГ
az
z=0
z=0
Д
cosy?,
—2ik ps'mдcos #
2 exp(ifcfl) .
Д
sin</?.
(49.13a)
(49.136)
(49.14a)
(49.146)
Следовательно, при z = О, согласно формуле (49.10а),
JSW = 2fc2/XP^fcfi){iKcos21? cos v? - 7* sin i?} sintf,
EW = 2k2peXp(LkR>> {ik( cos21? sin <p - Ъ sin i?} sin i?;
здесь i? — угол луча с осью диполя.
б) Пусть в точке О расположен горизонтальный диполь, направленный
вдоль оси у. Его отражение в 0\ будет ориентировано в обратном
направлении. На поверхности z = 0, согласно формуле (20.4в), будет
EW = -2k*peXp(ikR)
R
sin </? sin I? cos 1?.
Если по-прежнему считать
dz ~C°S,?cm' dz ~C°S,?1a^'
(49.15)
(49.16)
где i? — угол луча, проведенного из диполя в точку наблюдения, с осью z,
д\ = тт — ■д, то, согласно формуле (20.4в),
dz
дЕ,
(оУ
dz
z=0
г=0
п.,з exp(ifcfl) Г sin2 tf cos v> sin </>;
► - 2гк3р—^—'- cos i? < (49.17)
R I sin2 i? sin21?- 1.
332 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Поэтому
Ех1) = ) ,, ехр(гШ A (ikCsmдcos<р + ух)ял4ша.<р,
m >2к*р ^—-cosi?<
Еу ' = J н { ik((sm2 д sin2 <р - 1) + уу sin ■д sin <p, z = 0.
(49.18)
в) Для горизонтального диполя, ориентированного вдоль оси х,
ЕЫ = \ exp (ikR) { «K(sin2 i? cos2 v? - 1) + 7* sin d cos щ
\ £ft P ,.,... ,,., COS J/ s
Ey — ) "• \ (ifcCsintfsiny-)- yy) sin t9 cosy.
(49.19)
Таким образом, нам известно значение Ex и Еу ' на плоскости г = 0 (для
вертикального диполя — (49.14), для горизонтального — (49.18) и (49.19)) и
потому без труда можно определить поле Ех ' и Еу ' в любой точке
пространства z > 0 (разумеется, физический смысл полученному решению нужно
будет придавать лишь в точках z > С,).
Для того же чтобы определить Е\ , нужно воспользоваться формулой
divE'1' = 0. Так как из формулы (49.14) и соответственно из формул (49.18)
и (49.19) можно найти дЕх ' /дх и дЕу /ду, то нам известно и dEz '/dz
(поле Е'1) не имеет источников помимо виртуальных источников,
распределенных по плоскости z = 0). Теперь можно воспользоваться формулами
(49.9а)-(49.9в) или сразу дающей тот же результат формулой (8.5):
Eil\x, у, z) = ~f, (49.20а)
£<*)(*, у, г) = Ц±> (49.206)
где
^--s/4V.»'.o)=Epi*'*'.
(49.21)
Далее, следуя соотношению (8.7) или согласно формуле (49.96), находим
*■"=-'-& - ж- (49-22)
Используя формулы (49.14), (49.18) и (49.19), получаем (в каждой
формуле верхнее выражение — для х-составляющей, нижнее — для у-состав-
ляющей):
а) для вертикального электрического диполя
(49.23)
§49. ПОЛОГИЕ НЕРОВНОСТИ
333
X
б) для горизонтального электрического диполя, направленного вдоль
оси х,
_ к2р Г j ik£(sm2 tfcos2 (р—1)+yxs\n'dcos<p I
х,у тг J \ (ik£ sin i? sin <p + fy) sin # cos </? J
xcos/XP^f + p)]dx>dy>; (49.24)
в) для горизонтального электрического диполя, направленного вдоль
оси у,
к2р [ ( (г'&С sin # cos </? — 7*) sin # sin </? 1
*'* — n J \ ik£(sm2 dsm2<p-l)+yysm'&siR<p J
xcos/XP^f + ^^^. (49.25)
Формулы (49.20), (49.22) вместе с формулами (49.23)-(49.25) дают поле в
любой точке, если известна форма поверхности £. Во многих случаях удобно
вносить дифференцирование под знак интеграла. Так, например, для Ez
(при этом мы учитываем, что от х и у под интегралом зависит только р,
причем dv/dx, у = —dv/dx', у', и вновь выполняем интегрирование по х' и
у' по частям) имеем:
а) для вертикального диполя
Е^1'(х, у, z) = / < ik(cos21? — sin21?)(fx cos <p + yy sin <p) —
_ (JLyx + |_7з/) sin , _ k4sin * cos2 *} sin /хрИд+р)] ^ dy,
(49.26)
б) для горизонтального диполя, направленного вдоль оси у,
Щ1'(х, у, г) = / cos,&<siR,&sm(p\k2£cos2 •& + 2iksin,&(yxcos<p+
д д
lexp [ik(R + p)]
+yysm<p) + — Ъ + ^Ъ ~гкъ\ — dx'dy'. (49.27)
Формулы существенно упрощаются в двух предельных случаях. Во-
первых, если источник расположен в плоскости z = 0, когда ■д = тг/2.
Во-вторых, если источник весьма удален от существенной для отражения
зоны плоскости z = 0, так что падающую волну можно считать плоской. В
первом случае (диполь на плоскости z = 0, 1? = тг/2, R = г) имеем:
а) для вертикального диполя, согласно формуле (49.23),
g/^^W (49.28)
б) для любого из горизонтальных диполей, согласно формулам (49.24) и
(49.25),
Ах,у = 0. (49.29)
Ах>у
334 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Таким образом, в этом приближении (т. е. пренебрегая членами порядка
1/кг и высшими членами по Q поле низко расположенного горизонтального
диполя вообще не возмущается неровностями поверхности. Для
вертикального же диполя формула (49.26) дает
Ер(х, y,z) = —-£ I |ik(yxcos <р + уу sin <p) + -^ух + j—jy | х
x<*P[iHr + P)}dx,dy,
гр
Эта формула, в частности, иллюстрирует сделанное выше (§ 47)
замечание о том, что для возникновения возмущения поля существенна не высота
С сама по себе, а углы наклона поверхности у (в формулах (49.26), (49.27)
есть, кроме того, член, содержащий С,' °н передает влияние сдвига
отраженного источника при подъеме горизонтальной границы раздела). Далее,
4!>(*, ,. .) = ^/т,^''^'1 «*'«»'• (49.30а)
Перейдем к другому частному случаю — падению плоской волны.
Выбрав за плоскость падения плоскость у = 0 и соответственно положив в
интегралах <р = 0,
^Р^ехр^ш*), q = peXPiikRo), (49.31)
п Но
где q, Rq — постоянные, мы можем написать:
а) для вертикального диполя
Ах?у = / < ikC, I q > cos2 tf - yXiy sin i? I x
„exp \ik(x'smtf + p)] ,
x sinfl L V ^-^-dx'dy', (49.32)
P
откуда
iw k2q /*,... о „ . „, „d exp \ik(x'smti + p)] ....
E?> = — / {-iK cos2 д + чх sin d\ sin d- =-l—^ 2-££l dx' dy',
я- J dz p
ElD =кЛ[1у sin2 ,aexp[tt(xW + ,)j dx,
IT J OZ p
E*l) = 4 ffa™2 * - sin2 *)* - (£;T, + ^77,) ^п *-
ДехрИх-sin^ + p)]^^
-fc2Ccos2^sin^eXP^(a:/sin,? + ^
§49. ПОЛОГИЕ НЕРОВНОСТИ
335
б) для горизонтального диполя, ориентированного вдоль оси х,
Axy = -k^f ~ik< cos2 д + 7. sin * 1 cos exp[rt(^rintf + p)]
'y n J Ъ sm i? J p y'
(49.34)
в) для горизонтального диполя, ориентированного вдоль оси у,
k2Q f ( 0 1 „exp [ifc(x'sini? +/э)1 ....
Ах,у = - —Ч- J | _УЛС J cos fl Hl ^ dx' dy'. (49.35)
41) = о, е[х) ф о, Мг) # о,
л(1, fc29 /*., nexp[i*(a:'sm0 + p)] , , , , (49"36)
Ell> = / ikjycosd KL v ^-dx'dy1.
Эти формулы вновь показывают, что поле горизонтального диполя,
подвержено значительно меньшим возмущениям со стороны неровностей
почвы, чем поле вертикального излучателя. Это обстоятельство служит
одной из причин преимущественной роли горизонтальных излучателей в
области радиолокации, где длины волн малы и потому возмущения могут
быть, вообще говоря, значительны.
Надо заметить, что для точек наблюдения в плоскости z = 0 формула
для Ех и Еу ', которая содержит дифференцирование по z выражения
exp(ikp)/p, кажущимся образом дает расходимость в интеграле по (х', у').
Однако согласно формуле (41.126),
lim [f(x\ у/)|_ехР(»'М dx>dy> = -2тг/(х, у),
г-М) J CfZ p
и потому при наблюдении в плоскости z = 0, если падает плоская волна
можно написать:
а) для вертикального диполя, из формул (49.33),
Ех = — 2k2q(—ik£cos2 ■& — fx sin #) exp (ikx sin #),
Eyl) = -2k2qyy sin2 i? exp (ikx sin ti), (49.33a)
Ы ' остается в прежнем виде;
б) для горизонтального диполя, ориентированного вдоль оси х, из
формулы (49.34),
Ех = 2k2q(—ik^ cos2 fl -\- jx sini?) cos#exp(ifcxsini?),
(49.34a)
Ey = 2k2qyy sin # cos # exp (ikx sin #);
в) для горизонтального диполя, ориентированного вдоль оси у, из
формулы (49.35), Мх
££ ' = 0,
£^г) = -2ik3qC cos i? exp (гkx sin i?), (49.35a)
Ez остается в прежнем виде.
336 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Те из формул от (49.9) до (49.35), которые относятся к полю Б'0',
поляризованному в плоскости падения, охватывают, как упоминалось, и случай
неровной поверхности с конечным е, если под ух и уу понимать уХлф и уУзф
(49.7в). В случае плоской поверхности с конечным (и даже меняющимся в
рамках условия (40.8)) е, эти формулы описывают слабое (по сравнению со
случаем е = оо) возмущение поля, если в них положить
1х = -и Х2 . rtr, 7» = —г—Vt-Ttp C = 0. (49.37)
fccos2We° fccos2V>Ve°
Пределы применимости метода пологих неровностей вытекают прежде
всего из разложения (49.4), (49.5), в котором удерживаются только явно
выписанные члены. Кроме того, в дальнейшем применялся метод возмущений:
при вычислении Е'1' в интегралы подставлялось невозмущенное поле Е'°).
Таким образом, мы считали, по модулю,
В рамках метода возмущений величина этих производных определяется
поведением невозмущенного поля. Но для него дифференцирование по z при
отражении волны, падающей под углом скольжения ф, эквивалентно
умножению на ikz = iksmil>. Следовательно, одним из условий справедливости
изложенного метода является
fcCsinV><l. (49.38а)
Таким образом, для скользящего луча, ф •< 1, можно рассматривать
даже высоты С, превосходящие длину волны излучения. Однако нужно
иметь в виду, что при очень малых ф эффективная рассеивающая область
поверхности может стать очень большой. Соответственно возрастут правые
части в формуле (49.26) и в других аналогичных формулах, так что Е'1'
может оказаться не малым по сравнению с Е'°\ а разложение (49.10) и
метод возмущений — непригодными. Соответственно для соотношений (49.38)
критерий может иметь форму, отличную от условия (49.38а). Этот случай
рассматривается в §51.
Рассмотрим искажение поля, вызванное местными уклонениями свойств
почвы от средних или поверхности С °т нулевой плоскости в том случае,
когда размеры такого отдельного пятна неоднородности Ь малы по сравнению
с длиной волны в воздухе.
Могло бы показаться, что его влияние должно быть соответственно мало
и, сверх того, должно исчезать по мере роста длины волны. Мы увидим,
что это не всегда так. Для этого рассмотрим уравнения (49.6в)-(49.8) при
е§ = сю- Отбросим член второго порядка малости £дЕх>у/дг. Далее, вместо
того чтобы рассматривать и неровность, и неоднородность электрических
свойств, положим 7 = 0, зная, что в результате можно заменить е° на е0^,
по формуле (49.7).
(49.38)
§49. ПОЛОГИЕ НЕРОВНОСТИ
337
Пусть область неоднородности имеет размеры порядка b и в пределах
этой области максимальное отклонение величины 1/Ve° от ее значения вне
пятна l/^/e^o есть г], так что
е° V<^
где / — безразмерная функция порядка единицы с производными также
порядка единицы, спадающая до нуля, когда удаление х — xq, у — уо от
условного центра пятна (х0, Уо) значительно превышает величину Ь.
Поскольку мы приняли, что kb •< 1, и так как (д/дх)(1/у/ё®) ~ 1/bV^, в
общем выражении (49.бв) главным членом является член с gradln Ve°. При
этом для достаточно длинных волн все еще может быть соблюдено условие
-4=- < kb < 1. (49.40)
Пусть падающее поле имеет вид плоской волны, распространяющейся
вдоль оси х,
E° = exp(ikx).
Положим под интегралом Ег = Е°. Оставляя главные члены, мы получим
exp \ik(p + x' — х)] ... Л
х KL ^ ^dx'dy'y (49.41)
где р = у/(х — х')2 + (у — у')2 + -г2 и штрих у / означает
дифференцирование по первому аргументу.
Возможны два предельных случая.
а) Точка наблюдения далеко вне пятна, /э Э> Ь. Выбирая начало
координат где-то внутри пятна, мы можем пренебречь изменением знаменателя р
и, заменив его на расстояние точки наблюдения до начала отсчета ро,
вынести из-под знака интеграла. Кроме того, учитывая малость величины
к(р— ро) ~ kb <С 1, можно разложить в ряд экспоненциальное выражение:
х[1 + ik(p - ро + х') + ...]dx'dy'\.
Первый член разложения после интегрирования даст нуль (поскольку
/(±оо) = 0), из второго же члена, учитывая, что по порядку величины
Р — Ро + х> ~ Ь, получим следующую оценку:
Ez * exp (ikx) (l + "Ф И* - «)] j^A , (49.41а)
РО V£°
338 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
где положено
. Ц f ^__*o f У^ р-Ро + х* dx4y> = 27гс; |27rc|^L
Возмущение пропорционально произведению трех малых величин: Ь/ро,
кЬ и 1/\/е°, и потому исчезающе мало.
б) Рассмотрим другой предельный случай: точка наблюдения в пределах
пятна неоднородности, вблизи его середины, ро <С Ь. В этом случае
экспоненциальный множитель под интегралом можно считать равным единице.
Вводя полярные координаты dx' dy1 = podpodipo, получим
Ez и exp (ikx)
1 + —
2тг
^//Ч^.^)^Ч-(49-41б)
и поправочный член оказывается порядка
1 6= *
£0 у/£0
Следовательно,
Ez = exp (ikx)
ш\
1 + 01 -7== I - (49.42)
Таким образом, пока точка наблюдения находится в пределах пятна,
возмущение поля определяется только максимальным значением уклонения
электрических свойств почвы от «невозмущенных». Оно вообще не зависит
от отношения длины волны и размеров пятна и убывает с ростом длины
волны только потому, что при этом растет £°. Это приводит к еще более
значительному искажению направления распространения и связанной с этим
ошибке радиопеленгования (см. §50).
§ 50. Возмущение поля вблизи границы неоднородности
Специальный интерес представляет возмущение фазы, возникающее,
когда на пути радиоволн находится склон или граница между двумя почвами,
например, когда радиоволны переходят из пространства над морем в
пространство над сушей. Формулы предыдущих параграфов, в особенности § 43
и 49, дают ответ на возникающие здесь вопросы. Практически особенно
важны два вопроса: искажение направления распространения (в практике
морской радионавигации, например, при радиопеленговании между
береговой станцией и кораблем, этот вопрос приобрел специальное наименование
«береговая рефракция») и изменение фазовой скорости распространения
(радиогеодезия, фазовые методы радиопеленгования).
Пока мы находимся в окрестности подобной границы электрически или
геометрически однородной области, мы можем пользоваться теорией
возмущений (§49), примененной к падающей плоской волне. Эта теория
заключена, вообще говоря, в формулах (49.9а)-(49.9г) и последующих
формулах, а специально для плоской волны — в формулах (49.33) (вертикальный
диполь) и (49.34)-(49.3б) (горизонтальный диполь), причем в случае
вертикальной поляризации формулы для учета электрической неоднородности
§ 50. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ НЕОДНОРОДНОСТИ
339
получаются отсюда при
С = 0, ух,у -4 --
*х,у
к cos2 ф у/Ё®'
Ввиду малости искажения можно считать
Ei = Д<°> + Е^ = iif >(l + fi) » Д<°> exp fi,
где
eP _ f f
— fin ~r /tp,
/,=
?m
(50.1)
(50.2)
(50.3)
причем (мы будем отбрасывать индекс i) /п — поправка, обусловленная
неоднородностью почвы, /р — то же для рельефа.
Искажение фазы кр\ = —Im / определяется мнимой частью /.
Соответственно искажение направления распространения а,
а = ап + <*Р, (50.4)
определяется как угол, на который поворачивается нормаль к фронту волны
по отношению к нормали для невозмущенной волны; а может быть получено
из / следующим образом (мы будем иметь в виду скользящую волну, к =
= Кх)'
Пусть в плоскости z = 0 проведены системы координат (х, у) и (£, ?7))
причем ось £ нормальна к линии раздела почв (берег) или основанию склона
Рис. 102. Береговая рефракция
(рис. 102), а ось х выбрана вдоль направления распространения
невозмущенной волны и имеет начало в точке расположения источника. Уравнение
340 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
эквифазной линии есть
= -ctga« . (50.5)
сх
const
Но <р = <р0 + <pi, где невозмущенная фаза <ра = kD = кх (D — расстояние
от источника). Поэтому
д<р/дх _ дщ/дх + d<pi/dx
д<р/ду ~ дщ/ду + д<рг/ду'
Пренебрегая d<pi/dx по сравнению с д<ро/дх = к и учитывая, что д<ро/ду =
= 0, имеем
В дальнейшем кр\ часто будет выражаться через гл и D, где х& —
расстояние от точки наблюдения А вдоль линии распространения волны до ее
пересечения с берегом. Но
где в — «угол падения волны на берег». Поэтому
„ = _!|?£ii!Im4M. (5„.8)
к D оха
Для плоской волны (D -4 оо) просто
tgfldlm/ sing df
к Эха к Э£а
Фазовая скорость v(x) в данной точке по определению дается
соотношением
<p = <p0 + <pi
-UIWY (50-""
а так как <ро = kD = кх, то дифференцируя по х и учитывая, что <р\ = Im /,
имеем
Часто пользуются понятием средней скорости V на пути от источника до
точки наблюдения. Ее определяют как такую скорость, при которой данный
набег полной фазы <ро + <pi равнялся бы ojD/v (в пустоте он есть u)D/c).
Поэтому
£ = Vo+ZL = ! + £lE/. (50.12)
v uD uD y J
Мы ограничимся изучением возмущения фазы вертикальной
составляющей поля вертикального диполя, расположенного на земле [zq = 0).
§ 50. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ НЕОДНОРОДНОСТИ
341
Сначала мы будем считать, что падает плоская волна, т. е. источник
весьма удален:
Е(о)
= exp (ikx) = exp [ifc(£cos# + ?7sin0)]. (50.13)
Согласно формулам (49.22) и (49.32), при д = тг/2, q = 1,
Е^ = -
дАх _ дАу
дх ду '
к2 Г
Ах,у = — / fx,y exp (ikx' + гкр)
dx' dy'
(50.14)
Рассмотрим возмущение пологим склоном (рис. 103)
0, -оо < f < 0,
с =
Coy = 7of,
(50.15)
0 < £ < /,
Со, I < S < оо.
По условию применимости метода должно быть 70 •С 1. В точках излома
поверхности метод, строго говоря, неверен, так как здесь велики высшие
SflA/io
1/\/ёо
/
£
Рис. 103. Пологий склон. Переходная полоса от моря к суше
производные поля по координатам. Специальное исследование [101а], в
котором приведенные ниже формулы обобщены на случай z ф 0, показывает,
насколько плавными должны быть эти переходы.
Подставляя выражения (50.13) и (50.15) в формулы (50.14), мы можем
выполнить интегрирование в переменных £, г), причем интегрирование по
■q приводит к функциям Ганкеля Щ ':
+оо
exp [ik(p + ri sin exp (ik%A sin в). (50.16)
/
а при интегрировании по £ нужно учесть, что
exp (±it)H^\t) dt = t exp (±it) [H^l\t) ^ гН[1)(1)) = F±(t),
I
/■
rU)/
exp(-it)H^>(t)tdt = -t exp(-it)[tH^>(t) + (it + l)H\l)(t)] = G(t).
О
(50.17)
Это позволяет получить поле возмущения Е^ в точках а) перед
склоном, б) на склоне (0 <£</), в) позади склона (/ < £), соответственно
выбирая пределы интегрирования по £. Поле выражается через функции F±
от аргументов
Ri = k£A cos0, R2 = к(£А ~ I) cos0 = Rx - R0,
Ro = kl cos 0, £a — xa cos в.
342 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Если ограничиться достаточно большими расстояниями \R\\, \R2\ Э> 1,
то формулы довольно просты [75г]:
exp (2iRi) == ехр (2iR2) ) ,
а)/~ У 8п10 у^щгг^— jm
б) /= У|то^+у^7о^==ехр(2Ш2),
в) f = -]J^7o(y/R~i- у/Щ) •
(50.19)
Таким образом, перед склоном возмущение осцилляторно зависит от
расстояния до склона, от А; и от cos#, позади склона — монотонно. Это является
общей чертой всех такого рода возмущений. На больших расстояниях позади
склона y/R\ — л/Щ * lVk/2y/^A и, таким образом, возмущение постепенно
исчезает.
Чтобы получить ар и и, нужно выполнить дифференцирования,
указываемые формулами (50.9) и (50.11). Вычисления дают [75г]
1 с
ар = -Фр sin 20, 1 = Фр cos2 в,
2 v
Фр = |{[Ji(fli) cos Ri + Ni(Ri) sin fa] - [Ji(R2) cosR2 + Ni(R2) sin R3]}t
(50.20)
где предполагается, что мы формально считаем не только бесселеву
функцию Ji, но и функцию Неймана N\ нечетной функцией аргумента, Ni(—x) =
Рис. 104. Графики функции, определяющей изменение направления распространения и
фазовой скорости вблизи пологого склона
= — Ni(x). На рис. 104 даны графики функции Фр/7 Для некоторых
значений klcosO, заимствованные из работы [101].
Совершенно аналогично вычисляется возмущение неоднородностью
почвы (берег). Положим (см. рис. 103)
( 0, -оо < f < 0,
= <-7?Ь °<{<'' (50.21)
1<£<оо.
уЩ£)
i 50. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ НЕОДНОРОДНОСТИ
343
Здесь справа е° — постоянная величина, характеризующая сушу.
Различие результатов возникает только при выделении из / его мнимой части,
поскольку С вещественно, а е° комплексно. Мы получаем
1с 1
<*п = --Фп«п2«, --1 = Ф„со820 = - —-ап,
2 v tg0
Фп=фт{Ф№)-Ф№)}и'
Ф(Я) = MR) cos (й + |) + ЛЬ (Я) sin (Я + |)
+
+ ■
Я
tg0cos20
a„ = —. = cos
у/2жкхА\е°\
^2в {[MR)-Ni(R)]sm(R+^)-[N0(R)+MR)]cos(R + ^)},
(50.22)
где для отрицательного аргумента снова нужно брать N\(—x) —> — Ni(x),
N0(-x) -+ iV0(x).
Пользуясь асимптотическими выражениями для цилиндрических
функций, можно перейти к более простым выражениям в некоторых предельных
случаях.
а) Наблюдатель в море, R\ < О, \R\\ Э> 1, \R\\ » Rq:
ж X ~, (i~ i 1\ Л sin (kl cos в) .„л ,.
Т-f + Ц (I6.I+;j~«J ^Z- (50.23)
б) Наблюдатель на суше, R\ > 0, Ri ^$> 1, R\ ^$> Rq:
ап = - , tgg sin (£ + *). (50.24)
Мы видим, что в последнем случае влияние переходной зоны совершенно
выпало. Другое различие между случаями а) и б) — осцилляторное
поведение а перед берегом и монотонная зависимость от £4 и к на суше —
вполне аналогично тому, что имеет место для геометрической
неоднородности. При переходе к численным результатам полезно иметь в виду, что если
мы пренебрегаем токами смещения (х — ""/2, £° « 47пст/а>) и выражаем £а
в километрах, а ст в единицах 107 CGSE, сто = 10~7ст, то
1 1
1,1 град. (50.25)
у/2жк\и\\<?\ ' VStoET
Отметим, что этот общий множитель не зависит явным образом от длины
волны. При удалении от береговой черты возмущение исчезает. Графики
для некоторых случаев, заимствованные из [101], приведены на рис. 105
и 106. Существование бросков фазы (всплески кривых на границах
переходной области, где в данной идеализированной схеме с резкими границами
Фп обращается в бесконечность) недавно было обнаружено экспериментально
(подробнее см. в работе [100]).
Рассмотрим специально вопрос об «отражении радиоволн от берега», т. е.
тот случай, когда как передатчик, так и приемник находятся на
поверхности моря в точках соответственно О и А' (рис. 102). Если передатчик
очень удален, то можно говорить о падении и возмущении плоской волны.
344 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
УТё5]ф„
СО80=1
«0=0,4
4 5
Рис. 105. Вспомогательные кривые для определения искажений направления
распространения и фазовой скорости, вызванных неоднородностью электрических свойств почвы вблизи
берега при нормальном падении радиоволн (в = О). Различные кривые соответствуют
различным размерам переходной области
УТё"|фп
4 5
Рис. 106. То же, что на рис. 105, при падении радиоволн под углом в = 30°
i 50. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ НЕОДНОРОДНОСТИ
345
Мы, однако, рассмотрим более общий случай. В формулы §49 в качестве
невозмущенного поля теперь следует подставлять не плоскую волну, а
функцию exp (ikr)/r. В интеграле по области, занятой сушей (0 < f < оо,
—оо < г] < +оо), будет фигурировать функция ехр [t'fc(r+ />)]. В ее
показателе, как обычно, произведем разложение вблизи стационарной точки. Этой
точкой оказывается точка В на границе суши и моря, в которой должно было
бы происходить отражение с «углом отражения», равным «углу падения» в.
После этого интегрирование выполняется обычным образом и мы получаем
= exp^fcD) / D nZcos^ _ Л
D у yJkD'ZoU1 V 2тг£° 2 costf Fl v /
Здесь D — расстояние по прямой от источника О до точки наблюдения А',
ГУ = хо + ха' — путь отражающегося от берега луча ОВА'. Таким образом,
k(D'—D) есть дополнительный набег фазы; £о = хо cos#, £4* = хд> cos# —
расстояния до берега (точнее, до касательной к нему в точке правильного
отражения) от источника и от точки наблюдения.
Этот результат существенно определяется тем, что мы приняли во
внимание переходную зону. Следует обратить внимание на то, что возмущение
поля убывает по мере удаления от берега. Это обстоятельство оправдывает
приближенный метод расчета поля вдоль кусочно-однородной трассы,
который был изложен в гл. 7. Мы там последовательно считали, что свойства
почвы, лежащей позади точки наблюдения (вне трассы, соединяющей
источник и точку наблюдения), не влияют на наблюдаемое поле. Соответственно,
сводя интеграл по плоскости к интегралу вдоль линии, мы ограничивали
пределы интегрирования точками О и А. Согласно формуле (50.26), это
допустимо, если
cos20 D 1 „
< 1. (50.26а)
/SJ
2 cos в y/kD'£oZA> л/2»г?
Значит, если отбросить тригонометрические факторы и положить D ~ ГУ
~ хо, то даже при минимальном значении |е°| ~ 4 (см. (21.23))
пренебрегать отраженной волной можно, если расстояние до границы, лежащей
позади точки наблюдения ха>, удовлетворяет условию
y/kxZ > —7s==. (50.27)
Уже на расстоянии одной длины волны это неравенство соблюдается с
точностью около 5 %. Вообще же пренебрежение отраженной волной (характерное,
например, для всей гл. 7) вносит погрешность порядка левой части в
формуле (50.26а).
Пусть теперь наблюдения и источник находятся на конечном расстоянии
от границы по разные стороны от нее. Мы видели, что влияние переходной
зоны в этом случае вдали от берега не появляется и потому можно
положить, например, / = 0. Это значит, что мы считаем все расстояния — хо,
ха, xqcosO = £ и xacosO — £4 — большими по сравнению с /. Так как
возмущение мало, то и здесь в интегральное выражение можно подставить
невозмущенное поле
В-В«ЧМ+ * ||вС)Ма£М*', ,=.|г-г'|. (50.28)
346 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Интеграл распространен по области, занятой «сушей», где е° ф оо и
£(°)(г) = exp(ifcr)/r. При предположении kD » 1 его можно было бы
вычислить в эллиптических координатах, применяя метод перевала (см.
работу [75г], а также [76а]). Однако в этом нет необходимости. Можно
обычным образом разлагать показатель экспоненты по степеням уклонения
от kD:
г' + "«с + т(?+вЬ)-
и интегрировать по у' от —оо до (х' — xo)/tg#, по х' от хо до D (рис. 107).
Разбивая интеграл по у' на две части от —оо до 0 и от 0 до (х' — xo)/tg0,
после перехода к переменной t = у'у/(к/2)(1/х' — 1/(D — x')) видим, что
Рис. 107. К вычислению береговой рефракции
предел второго интеграла велик, если ctg# не очень мал. Именно, пользуясь
формулой (10.13), мы получаем
Е =
exp (ikD)
D
dx'
1-
л/x'iD - х')
exp {i[(x' - x0)/tge]2[kD/2x'(D - х')]}'
[2(х' - xo)/tg0\y/iirkD/x'(D - x')
(50.29)
При интегрировании по х' все точки области интегрирования играют в
общем равную роль. Если считать хо ~ %а ~ D, T0 это означает, что и
х' ~ D — х' ~ D. Следовательно, пренебречь вторым членом в скобке под
интегралом можно, если kD ~^> t% в. Если же хо ^ хд, то х' — хо ~
~ D — х' ~ хд, х' ~ D и пренебрежение допустимо, если кхд » tg20.
Вообще, можно сказать, что должно быть
fcx»tg20, (50.30)
где х — наименьшее из двух расстояний до берега: от приемника и от
передатчика.
Это условие имеет простой смысл. Ширина первой зоны Френеля,
определяющей существенную для образования возмущения область, на
расстоянии х от ближайшего фокуса есть sfxjk. При падении радиоволн под углом
§ 50. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ НЕОДНОРОДНОСТИ
347
в на прямолинейный берег уклонение берега от нормали к линии
распространения, даже на границе этой зоны, не превышает tgOy/x/k. Все точки
зоны дают в интеграл вклад в общем одного порядка. Уклонение берега
от нормали мало изменит результат, если оно мало по сравнению с длиной
х области зоны, по которой происходит интегрирование. Следовательно,
должно быть tg# -С \/кх, что и приводит к соотношению (50.30). Отсюда
можно заключить, что выведенные формулы верны и в том случае, если
берег не является прямолинейным, лишь бы береговая линия не шла слишком
близко к оси существенной зоны.
Так как мы считаем кх > 1, то практически условие (50.30) означает, что
указанное пренебрежение недопустимо для радиоволн, скользящих вдоль
берега, когда в близко к тг/2. Полагая в этом случае sin0 ~ 1, условие
(50.30) можно переписать так:
fczcos20»l. (50.30а)
При соблюдении этих ограничений выражение (50.29) упрощается, и,
выполнив интегрирование, мы получаем
Е = -J- exp (ikD) 11 + %- V^lD fl + - arcsin ——— ) \
D I2 \ n хА + хо/)
(50.31)
(ха + xq = D). Если xq < хд, то считая arcsin [(1,4 — xo)/D] = п/2 — х,
cosx = (ха — xo)/D, sin x = ^4xaxo/D2, получим
Е = -^ exp (ikD) 11 + 1\/1йЮ 11 - - arcsin J4^° J 1. (50.32)
Если же хо > xa, to arcsin [(1,4 — xq)/D\ = —(тг/2 — x) и
E = ^ exp (ikD) < 1 + -^=\/П) arcsin J X**° 1. (50.33)
Соответственно при падении плоской волны со стороны моря на сушу,
ха •< хо ~ D, из формулы (50.33) следует
Е = -5j exp (ikD) j 1 + -^L-y/Sil j . (50.34)
Если же хо -С ха ~ D (по теореме взаимности это соответствует падению
плоской волны со стороны суши), то из формулы (50.32) находим
Е = -!- exp (ikD) j 1 + WnsD - -^=y/sx^\ . (50.35)
Если xq = 0, то, как и должно быть, мы получаем первые члены разложения
по sD для функции ослабления (см. формулу (25.1)).
Все эти выражения дают поправки к невозмущенному полю,
возрастающие по мере роста размеров возмущающей области (х^ или, соответственно,
хо)- В этом находит отражение неприменимость методов возмущений, когда
348 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
численное расстояние, проходимое волной над возмущающей поверхностью,
велико. Физическая причина этого кроется в пренебрежении тем фактом, что
поле вторичных излучателей, налагающееся на первичное поле, по мере
распространения само затухает и вообще испытывает влияние возбуждаемых
им третичных и т. д. излучателей. Это не учтено в методе возмущений.
Для полного учета «переизлучения» необходимы иные методы. Они были
изложены в гл. 7. Эти методы основаны на том, что в качестве функции
Грина берется не функция vq = exp(ikp)/p, физически дающая поле
диполя над идеально проводящей поверхностью, а функция v = voy(sp) (где
y(sp) — нормальная функция ослабления), описывающая поле диполя над
поглощающей поверхностью. Фазовый сдвиг, как было показано в §43, в
действительности достигает на больших численных расстояниях
постоянной величины. Для разбираемых в этом параграфе вопросов он не
представляет интереса: при Im / = const имеем а = 0 и v = с.
Формулы (50.32) и (50.33) позволяют по тем же правилам, что и для
плоской волны, вычислить ап и v (см. формулы (50.9) и (50.11)).
Особенность вопроса состоит в том, что здесь нужно соблюдать осторожность при
С-А/3
£.-*
$л-&
Г --—■ '■' -\
3*
2е
Iе
(Iе
5е
4е
3*
2е
Iе
8е
7е
6е
5°
4е
3е
2е
Iе
■7*
Iе
4е
3*
2е
Iе
7»
S°
4е
3*
2е
Iе
/ Ч
Iе
<Ц5
3*
2е
Iе
5°
4е
3*
2е
Iе
U5
2»
3*
2»
Iе
/ \
05
s
2й
Iе
05
<tfS
Iе
90° 60е 30"
Угол падении в
4><-^4> <*о 1-1 <*о <*о 1-1 <*о ф <-ч ф ф <-ч ф Ф <-^ Ю
« « J >>•?■> J t t I t t 1 « ■ J
* Ч. Ц1 V Ъ ы Ъ Ч. Ы •* Ъ. ы Ъ Ъ Ы *. W Ы
W W W W W W WW WW WW
«л Д >л »л Я »л »л Д »rt »л Н »л «л Я >л t/)St/)
> * •
о о
о о о о
А-300м Х-600мХ-300м А-б00мА-300м Х-бООм
Рис. 108. Номограмма для определения угла береговой рефракции («ошибки почвы») <*„•
Справа — шкалы ординат, указывающие — аа в градусах для различных А, (л, <г и е'
применении теоремы взаимности. Хотя при взаимной перестановке точек
О и А значение Ez и, следовательно, / для вертикального диполя не
меняется, искажения направления распространения а получаются различными.
В одном случае в формуле (50.9) дифференцирование / производится по хд,
в другом — по xq. Как видно из формулы (50.31), эти величины входят
несимметрично. Если передатчик находится в море, а приемник — на суше,
то мы вместо формулы (50.24) получаем
§ 50. ВОЗМУЩЕНИЕ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ НЕОДНОРОДНОСТИ
349
Если же передатчик — на суше, приемник — в море, то нужно изменить
знак всего выражения и под ха понимать морской отрезок трассы. Когда
этот отрезок значительно больше сухопутного, то при такой перестановке
приемника и передатчика ошибка пеленга ап резко упадет по абсолютной
величине. Получающиеся из формулы значения ап для некоторых случаев
даны на рис. 108.
Выведенные здесь формулы для ап, согласно соотношениям (50.11), дают
v(xa), а согласно соотношениям (50.12), — и и.
До сих пор мы рассматривали границу между областями с £° = оо и
конечным е°. В более общем случае речь идет о границе между областями
с двумя разными конечными £°. Обозначим их е\ и е%. Применим здесь
уравнение (41.17), полученное с помощью функции Грина exp(ikp)y(s0p).
Выберем произвольный параметр £°, равным £°, где индексом 1 обозначена
почва, например, слева от границы раздела. Тогда слева от границы, где
£°(х, у) = £° = const, подынтегральное выражение равно нулю. Интеграл
остается распространенным только по области справа от границы раздела,
где £°(х, у) = £° = const. Из него можно вынести постоянный
множитель l/V^-1/V^. Далее, ограничиваясь расстояниями от границы, для
которых все численные расстояния еще малы, мы может считать уо = 1.
Наконец, поскольку мы ограничиваемся методом возмущений, под
интегралом можно считать w = 1 (либо, если источник очень удален и его численное
расстояние до берега не мало, то w можно заменить значением у для почвы
слева от границы раздела, взятым на берегу, и вынести из-под интеграла).
После этого функция w выражается совершенно так же, как для случая море-
суша, разобранного выше, для которого мы получили формулу (50.31), с тем
единственным отличием, что вместо \/у/ёо входит разность
(50.37)
Соответственно для ап сохраняет силу формула (50.36), где, однако, вместо
|£°| и х нужно подставить модуль и фазу величины £°^ из формулы (50.37).
В частности, если обе почвы хорошо проводящие и можно пренебречь
токами смещения, то \ = я-/2,
где о\ и 02 — проводимость этих почв. Более подробное изложение этих
вопросов см. в работах [75в, г, 100, 101].
Значительно труднее исследовать случай, когда нарушается условие
(50.30). В пределе в = тг/2 речь идет о поле источника, расположенного на
линии раздела моря и суши, наблюдаемом вблизи от этой линии. В точках
вдали от берега оно переходит с одной стороны в поле над морской
трассой, с другой — в поле над сухопутной трассой. Поправки, обусловленные
наличием неоднородности позади источника, в каждом случае можно найти
по методу возмущений. Формулы, показывающие, как эти поля переходят
одно в другое, когда точка наблюдения перемещается через линию раздела
почв, в общем виде еще не были получены. Некоторые относящиеся сюда
результаты см. в работе [100].
350 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
§ 51. Поле иад пологой, хаотически неровной и иеодиородиой
поверхностью (скользящие волны или низкие неровности)
В этом и следующем параграфах мы продолжим начатое в §48
статистическое рассмотрение поля над поверхностью, хаотически покрытой
неровностями, но для других соотношений между характеристиками поля и
поверхности. Кроме того, в настоящем параграфе мы допустим
существование хаотических неоднородностей электрических свойств почвы. При этом
будем считать неровности пологими, т. е. углы ух и уу поверхности с
некоторой усредняющей плоскостью малыми,
17*1 < 1, Ы < 1, (51.1)
а параметр е большим и достаточно плавно изменяющимся,
-= < 1, |gradlnVe| <у/ёк. (51.2)
Рассмотрение в § 51 и 52 различается тем, что в первом из них мы
считаем высоты Со неровностей либо малыми по сравнению с Л (но их
горизонтальные размеры любыми), либо, если угол скольжения ф падающей волны
достаточно мал, даже превышающими длину волны, но все же
удовлетворяющими критерию (см. ниже формулу (51.30а))
2ttv/7o<o<V/A. (51.3)
Таким образом, мы сможем использовать приближение, развитое в §49.
При этом взаимное влияние неровностей будет учитываться полностью. В
следующем параграфе будет рассмотрен в некотором смысле обратный
случай: неровности, высота которых может быть больше длины волны, лишь
бы соответственно достаточно велики были углы скольжения ф падающей
волны.
Уже пример §48 показал, что совокупное действие многих неровностей,
каждая из которых вне своей непосредственной окрестности очень слабо
искажает поле, способно существенно повлиять на среднее поле, если
неровности покрывают значительную площадь. В случае пологих неровностей
и высокой проводимости главной составляющей поля является
вертикальная составляющая. Как показано в §49, она испытывает от отдельной
неровности или неоднородности только слабое возмущение, убывающее при
удалении на расстояние порядка горизонтальных размеров неровности или
неоднородности /. Поэтому и здесь нас будет интересовать
накапливающееся действие многих возмущений, эффективное число которых растет при
увеличении расстояния от передатчика до приемника. Мы будем следовать
работе [756, г].
Итак, пусть отклонение £ поверхности от некоторой усредняющей
плоскости z = 0, а также малые углы подъема ух, уу в среднем равны нулю.
Колебания величины г) = 1/у/е — обозначим их £ — около ее среднего
значения щ = \/у/ё
1Д/е = »? = % + £, £ = 0, % = 1Д/е (51.4)
также должны быть достаточно плавными (малы на расстояниях порядка
длины волны в почве).
§ 51. ДОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ, ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ И НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 351
Мы имеем, таким образом, четыре независимых малых параметра,
помимо 1/у/ё = %: средне-квадратичные значения Со и £0 величин С и £,
а также амплитуды их градиентов у и, например, /3. Можно вместо этого
характеризовать поверхность амплитудами Со, £о и средними
горизонтальными размерами геометрических и электрических неоднородностей 1д и 1е,
поскольку ^ -.
7~|VC|~f, /?~|V*|~f. (51-5)
Более того, параметры 1д и 1е могут быть различными вдоль разных
горизонтальных осей, так что вместо 1д нужно ввести 1дх и 1ду, а вместо 1е — /„:
и 1еу. Только в том случае, если поверхность статистически изотропна,
они сводятся к двум параметрам 1е и 1д. Статистические свойства
поверхности мы (в настоящем параграфе этого достаточно) будем описывать
функциями корреляции в двух точках, задаваемых двумерными
радиус-векторами г(х, у) и г'(х', у'). В общем случае
СЙСЙ = СоЧ (^, *р) , (51.6)
\ 19х '93/ /
ШФ) = tf F. (^, *р) . (51.7)
\ 1ех 1еу /
Здесь предположено, что оси выбраны вдоль главных направлений
изменения F (строго говоря, для Fe и Fg они могли бы не совпадать). Функции
корреляции F равны единице, когда аргументы равны нулю (следовательно,
например, Со есть средний квадрат высоты (Со = С2)) и убывают до нуля,
когда расстояния \х' — х\ и \у' — у\ превышают, соответственно,
характерные длины 1Х и 1У, называемые длинами корреляции вдоль осей х и у или
радиусами корреляции. Так, для моря, покрытого регулярными волнами
(например, после шторма на некотором расстоянии от него), корреляция
высот вдоль волны сохраняется на гораздо больших расстояниях, чем
поперек волн. Это значит, что если мы направим ось х поперек волн, то lgx <! lgy
(если оси направлены произвольным образом, то аргумент функции F
записывается более сложно). То обстоятельство, что функции F положены
зависящими только от разностей координат, выражает статистическую
однородность поверхности. Если статистические свойства на значительных
расстояниях изменяются, мы можем считать все параметры медленными
функциями координат.
Впоследствии мы будем с некоторого момента считать поверхность,
кроме того, статистически изотропной, т. е. считать 1Х = 1У = /. Это не
принципиальное, но упрощающее некоторые выкладки допущение.
Нужно сделать замечание о понятии среднего. Как здесь, так и в
дальнейшем мы имеем в виду усреднение по ансамблю. Это значит, что, взяв
неизменным расположение (относительно плоскости z = 0) источника и точки
наблюдения (или точек г и г' в (51.6) и (51.7)), мы «подставляем» разные
экземпляры поверхности, обладающие одинаковыми статистическими
параметрами и вообще с одинаковыми функциями корреляции F. Вместо этого
можно говорить, что, закрепив взаимное расположение источника и точки
наблюдения, мы помещаем их в разные положения относительно данной
поверхности. Практически под средним полем часто понимают результат
352 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
усреднения величин, полученных при закрепленном источнике, когда
производятся измерения около некоторой средней точки в разных пунктах
наблюдения в пределах расстояний, которые малы по сравнению с расстоянием
до передатчика. Эти два определения, вообще говоря, не совпадают.
Мы будем считать электрические и геометрические параметры
независимыми. В действительности это не всегда верно: более высоко расположенные
участки местности обычно являются более сухими и потому хуже
проводящими, и наоборот. Учесть это было бы нетрудно. Однако мы ограничимся
указанным более простым случаем.
Часто вместо самих функций С, €, Fg и Fe удобно пользоваться их фурье-
образами:
С(г) = Со / $(q) exp (iqr) dq, (51.8a)
£(г) = & [ e(q) exp (iqr) dq, (51.86)
Fg(p) = jGg(q)exp(iqp)^, Gg(q) = J Fg(p) exp(-iqp)^,
Fe(p)= /'Ge(q)exp(iqp)§, Ge(q) = [ Fe(p) exp(-iqp)^-,
?2 / ?2 ?2 ч ?2 / ?2 ?2 \
Яд = —i Яе = -^-, <s = 2^V + W' 'e = ^e* + еУ'' (51.10)
p = r'-r.
Здесь все векторы — двумерные.
Наконец, следует обратить внимание на правила перехода от средних
произведений градиентов к функциям корреляции. Так как операции
усреднения и дифференцирования можно взаимно переставлять, то
- -- -Е-Е-п
Ух - Ъ - дх - ду - *>,
(51.9)
2—F -+С2—,
dxta~+kodPx "
(51.11)
С(г)7*И = -тЛг)С(г') = -C6W* = +Q-zz-F9,
■>х
д а .2 д2
ъМъР) = -ъ^ЪЛг1) = ottwCMCH = -Со
8x3?"-'"' ' ™дрхдру а
и т. д.; здесь рх = х' — х, ру = у' — у. Принимается, что
|;г'(0) = з^(0)=0- (51Л1а)
Действительно, в данной точке возможны любые значения наклонов, и
потому 7*(*)СМ = 7у(*)СМ = 0.
Рассмотрим среднее поле вертикального диполя, помещенного в точке
(0, 0, zq), и наблюдаемое на плоскости z = 0 (za = 0). Мы предположим,
§ 51. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ, ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ И НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 353
что (см. ниже) поле в каждой точке можно записывать в виде
£Ь(г) = ад (l + 5>*Л°(*)). (51.12)
где afc — малые параметры нашей задачи: среднеквадратичные значения
С, 7) f и 1/>/ё°; £"; — среднее значение г'-й составляющей поля; /j[*'(г) —
множители, описывающие флуктуации этих составляющих. Их средние
значения, по определению Е{, равны нулю.
Мы можем далее написать
Ez(r) = E°z(r)w(r), (51.13)
где id (г) — медленно меняющаяся функция ослабления, а Е^ — поле,
которое было бы в случае идеально проводящей плоскости. Очевидно, что и
здесь справедливы обычные соотношения
q
—Ez{r)KikxEz{r), (51.14)
причем
kl + kl = к2сов2ф = х2, (51.15)
где ф — угол скольжения волны, а через х обозначен двумерный вектор,
74х — Кх, лу — К у.
Выведем прежде всего уравнение для Ez. Усредняя уравнение (49.9),
имеем (мы примем для произвольного параметра значение £°, = °°)
- = -<Ы{ъЪфЪЕ^ + Щф^) - 7.,и) *.м-
дЕхл(г>)
C(r')\v(r'-r)dr'. (51.17)
dz
Умножая, с другой стороны, Ez(r') на соответствующие множители и
только после этого производя усреднение, мы можем, действуя методом
итераций (т. е. подставляя в правую часть вновь выражение для Ez через АХгУ
и, следовательно, через Ez), получить необходимые подынтегральные
выражения. Так, имеем
+7«И7,И) д<^~ Г° W") dr", (51.18)
№(г'К, л д2 1
0л
С(Г° = J?^ f C(r'hx(r')Ez(r")v(r" - г') dr" (51.19)
354 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
и еще два выражения: одно, отличающееся от (51.18) заменой кх и ух(т') на
ку и 7з/(г')) второе, отличающееся от (51.19) заменой Ех на Еу и fx на уу.
При их выводе мы учли, что, согласно формуле (51.12), например, yxfvEz =
= Ixly'Ez, Z£EZ = ZZ'TZz и т. д. с точностью до членов высшего порядка по
С, а также, что {дЕх>у/дг)С для вертикально поляризованного излучения уже
есть величина второго порядка малости и потому произведение ее на £ или
7 можно отбросить и т. п. Допустимость этих пренебрежений определяет
границы применимости метода (см. ниже).
Все эти выражения можно существенно упростить, если учесть, что
средние произведения типа £(r)£(r'), 7*7з/ и т. п. выражаются через функции
корреляции и потому отличны от нуля только до тех пор, пока разность
координат р = г" — г' порядка /, т. е. мала. Следовательно, эффективная
область интегрирования по г" невелика, в ее пределах функции ослабления
не успевают измениться и мы можем считать
Ёг (г") « Ez (г') exp [г*г(г" - г')] • (51.20)
Теперь Ez(r') можно вынести из-под знака интеграла по г". В
соотношении (51.19), разумеется, нужно считать р = у/(х" — х')2 + (у" — у')2 + z"2 и
лишь после вычислений положить z' = 0. При этом удобно воспользоваться
тем, что функция v удовлетворяет волновому уравнению
&>v=-{k2+&+w)v- (51'20а)
После этих упрощений мы можем подставить выражения (51.18) и (51.19)
в формулу (51.17), а затем полученные выражения — в формулу (51.16).
Поскольку из Ах и Ау теперь исключены все компоненты полей, кроме Ez,
мы получаем интегральное уравнение для Ez, что и является нашей целью:
m=v+£J(j=+j=+*)Ej?-H,'-,)*, (51.21)
где обозначено
£ = 2ЙВД /«* N-""''» {(«£ + к'к4) "(г"" <+
+ (M'^+iw),'(r"-r')^l*"; (51'22)
гк
= А. |ехр [,х(г" - г')] | (уЛг'ЪЛг")^ + 7.И7,(»")^7-
+7»И7,И^7 " СМ7,(«*)р) *>('" - г')± | dr" (51.23)
551. ДОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ, ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ И НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 355
(нужно помнить, что функция и (г" — г') берется от аргумента
р = yj(x» - х')2 + (У" - У')2 + *'2
и только после дифференцирования по г' мы полагаем т! = 0). Полученное
уравнение для Ez такое же, какое для заданных источников должно быть в
случае плоской земли, характеризуемой электрическим параметром
^=^+4=+4=- (5i-24)
Здесь этот параметр еще имеет вид оператора (так как содержит д/дх и
д/ду). Но если мы учтем, что средние произведения (51.6), (51.7) зависят
только от разности координат р = г" — г', то можно от интегралов по г"
перейти к интегралам по р. После этого удобно операторы д/дх и д/ду,
действующие на и(г' — г), заменить на —д/дх' и —д/ду' и выполнить
интегрирование в (51.21) по частям. В соответствии с формулой (51.14) все
это сведется просто к замене д/дх на ikx и д/ду на iky. Поэтому,
окончательно, переходя к функциям корреляции с помощью соотношений (51.11)
и т. п. и подставляя, если удобно, разложения Фурье, мы получаем любую
из следующих трех форм:
" ,& / Ж?Ш^Шфа'ы^• (5125)
1 _
= _jCL
2nk
с2
2nk
k cos2 ф J y/q2 + 2(>rq) - k2 sin2 ф
/exp (i*p)Fg(p){k2*2 - i{k2 + A^HxrV) - (*V)(>«:V)}t;(p) dp =
/ exp (ixp)v(p){k2 sin2 ф - (xV) + i(xV)(xV)}Fg(p) dp =
= _^n^)2-fc2sinV.(*4) G{q)d4 (5L26)
k J vV + 2*q-fc2sin2V ' $
Здесь все векторы — двумерные. При переходе к последнему выражению
был использован интеграл [103]
оо оо
/ exp (ikp)J0(pp) dp= lim / exp (ikp-ap)J0(pp) dp = lim . ==,
J °->°У °->° Jp2 + (a - гк)2
оо
(51.27)
где знак при квадратном корне должен быть выбран так, чтобы было
\а - ik + уУ+ (а-г'А;)2| > |j»|. (51.27a)
356 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Практически, при а = 0 р2 = х2 = к2 cos2 ф; это означает, что
у/х2 - к2 = -гк sin ф.
Полученное нами уравнение (51.21) при обычной подстановке (51.13)
сводится к уравнению для функции ослабления w(r), совпадающему с обычным
уравнением (24.6) для данного источника над плоской и однородной
поверхностью с эффективной диэлектрической проницаемостью £tot. Для
вертикального диполя, как мы знаем, решением этого уравнения является
нормальная функция ослабления, или функция Зоммерфельда. Численное
расстояние в ней нужно вычислять с помощью параметра s^t = ik/2etot
(подробнее см. ниже). Можно пойти еще далее. Если статистические
характеристики поверхности различны в разных ее областях, то среднее поле над
ней нужно рассматривать как поле над плоскостью с эффективной
диэлектрической проницаемостью etot, имеющей в этих областях соответствующие
значения. Его нужно искать, например, методами гл. 7 или § 50.
Наконец, можно избавиться от ограничения, выраженного формулами
(51.6) и (51.7) и заключающегося в том, что оси статистической
анизотропии для геометрической и для электрической неоднородностей мы считали
совпадающими. Если главные оси для Fg совпадают с х и у, а для Fe —
с повернутыми относительно х и у некоторыми осями х\ и у\, то это не
изменяет результата: в величину \/^/ёщ, статистическая неровность и
статистическая неоднородность вносят независимые вклады и вычисляться по
формулам (51.25) и (51.26) они могут независимо.
Прежде чем оценивать по полученным формулам величину £tot в
различных случаях, рассмотрим пределы применимости всего метода и этих
формул. Они определяются:
а) предположением, что отклонения Е'1' поля Е от среднего Е
относительно малы, Е'1' <Е. В силу этого предположения мы заменяли jxfxE
на fxfx • Е и т. д., т. е. считали, скажем,
1x{t)1x{t>)EzX) < 7*(г)7*И ' Ez{f), (51.28а)
£(гЖг')^г) < £(r)£(r') • Ez{r) (51.286)
и т. п.;
б) отбрасыванием 7С • (dEx/dz), т. е. предположением, например, что
7.WCM • ^^ « 7.М7.И • ЕЛЛ (51.28в)
Заметим, что это условие не является обязательным. В работе [102] на той же
основе, что у нас, вопрос рассмотрен без отбрасывания этих членов. Однако
мы увидим, что они не влияют на наиболее существенные результаты;
в) наконец, условиями, заключенными в основном разложении метода
пологих неровностей (49.4)
<(0). -<(©-
S 51. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ, ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ И НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 357
и в методе приближенных граничных условий (40.8)
ЫеУД > 1 (51.28д)
(во всех неравенствах, разумеется, речь идет о модулях).
Рассмотрим эти ограничения. Согласно формулам (49.9), (51.16) и
(51.17), рассматривая только влияние неровностей, имеем
4" = -hklb'E' ~ i'E''^vds-
-^/<^-^>"',5+0(^',,>+0(с^)-
Следовательно, оставляя, скажем, только х-е члены,
7,(r)7,MJ5iV) = -^/*(')7.М7.Их
хЩ^>(г' - г") dS" + 0(т4) + 0 (т2С^) •
Среднее от тройного произведения мало, если хотя бы одно из трех
расстояний г — г', г — г", г' — г" превышает /. Поэтому можно для целей оценки
считать
7*(гЬ(г'Ыг") = То3*1 (^) FX (^-=р г') ,
где F\ параметрически зависит от г' и имеет свойства, подобные свойствам
F. Подставляя после этого, как обычно, формулу (51.20) и р = г' — г",
dp = —dt", имеем
7*(гЫг/)Я*И~7о3£7 {E.P)F (^) j} ,
J = — / Fi ( —; гг J exp [ikp(l - cos <p)] dp sa
F2(x)dx, Ц,<1,
F2 dx, klg > 1,
« la <
— f~
/kTJ \b
где F2(x) — функция со свойствами функций корреляции; подробнее об этом
см. ниже. Другими словами,
Мы видим, что условие \ухухЕг | <С \fxjx • Ez\ выполнено при klg <С 1
всегда, а при klg ^ 1 только в том случае, если
7оу/кТд ~ -^== < 1. (51.28е)
у/1дЛ
358 ГЛ.8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Это важное условие показывает, что (о может быть не мало по сравнению с
А, если углы подъема поверхности 7 достаточно малы.
Совершенно так же оценивается допустимость замены ££EZ на ££ • Ez.
Поскольку мы знаем, что переход от неровностей к неоднородностям
эквивалентен замене f на 1/у/ё ~ £ и обратно (см. формулу (49.7)), то можно
сразу сказать, что при kle <С 1 условие (51.286) выполняется всегда, а при
А:/е ^> 1 — только в том случае, если £л/Щ <С 1.
Условия (51.28в) и (51.28г) содержат производные по вертикали от Ех,у.
Здесь нужно различать две возможности. Если углы скольжения ф очень
велики, то возмущение падающего поля мало, как об этом говорилось в §49.
Соответственно этому производные по вертикали составляющих поля таковы
же, как для невозмущенного поля, dE/dz = ikzE = гкзтфЕ. В частности,
если падает волна горизонтальной поляризации, то Ez в пространстве
отсутствует и dEx/dz = ik sin фЕх не выражается через Ez. Если же влияние
неидеальности почвы велико (скользящее падение), то Ех и Ех связаны
соотношением, зависящим от £tot:
-= 1 -= д~Ёх 1 ЭЁг
Ех 7F=-E*< ~~aZ 7F=~nT =
y/Stot OZ y/Stot OZ
В частности, здесь не сказывается влияние первоначальной поляризации.
Учитывая эти замечания, рассмотрим условие (51.28в). Заменяя в нем
fxfx на (l/lg)fxCi приходим к следующим критериям.
При больших ф (смысл этого понятия выяснится ниже) для
вертикальной поляризации Ех = sin фЕг и мы имеем fc^sin2^ <. 1. Для
горизонтальной поляризации Ez вообще отсутствует и указанное пренебрежение
недопустимо. Соответствующий случай рассмотрен в работе [102].
При малых ф, когда роль неидеальности поверхности велика, должно
быть
ц, < ktotl-
Наконец, условия (51.28г) и (51.28д) в случае малого влияния
неровностей имеют прежний смысл, (49.38а), k<^s\nrf) < 1. В случае же большого
их влияния необходимо более подробное рассмотрение, которое мы и
проведем. Для этого рассмотрим роль рельефа. Согласно соотношениям (49.9),
заменяя г)х на fx и отбрасывая, ввиду оценочного характера рассуждений,
у-е члены, имеем
1 Я /*
Ex = ^d~zjlxEzVdS-
Подставив Ez из формулы (51.12), отбросим члены высшего порядка;
используя соотношение (51.20), вынесем медленно меняющиеся факторы из-под
знака интеграла и подставим для £ разложение Фурье (51.8а). Это даст
/* /* Д /* Act
Ех = -—£г(я, у) I $(q) dqiqx— / — exp [»(q - x, p0) + ikp],
„2 _ „2 , ,2
P = Po + Z •
551. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ, ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ И НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 359
Вместо того чтобы сравнивать соседние члены разложения (dk+1Ex/dzk+1)^
и dkEx/dzk, удобно сравнивать члены (дк+2Ех/дгк+2)С2 и dkEx/dzk.
Добавление лишнего двукратного дифференцирования по z можно, как и в
соотношении (51.20а), свести к дифференцированию по х и у, а после
интегрирования по частям — к дифференцированию по х' и у':
^2 / — exp [»(q - х, р0) + гкр] =
= /(-£-&-*■)«»[<<«-'•.-Д^Р^
/dS'
— exp[i(q-x,p0)+ikp}.
Таким образом, сравниваемые члены различаются тем, что в интеграле по q
добавляется лишний множитель Со(? — 2kq). Для оценки порядка величин
можно вынести из-под интеграла некоторое среднее значение этого
множителя. Последующий член разложения по £ будет, таким образом, мал по
сравнению с предыдущим, если \(o\l4g ~ 2kqg\ •< 1.
Оценивая d2Ez/dz2, применяем тот же метод к выражению для Ez. Это
приводит к тому же результату.
В случае длинных волн, к <С qg, полученное условие не дает ничего
нового, так как СоЯд ~ То и мы снова имеем требование малости углов подъема,
7о "С 1. Для коротких же волн, к >• qg = 2n/lg, мы имеем 2пу/(£/1д\ •< 1,
что совпадает с формулой (51.28е).
Таким образом, полученные выше результаты справедливы при
следующих условиях:
7о = у2 < 1, (51.29а)
4= < 1, (51.296)
к1еу/ё » 1, (51.30а)
у/кТду0 < 1 (т. е. 2тг-|Ц: < 1), Ыд > 1, (51.306)
у/кТе—= < 1, Ые > 1. (51.30в)
Кроме того, в случае малого влияния неровностей и неоднородностей
(большие ф) для вертикально поляризованной волны имеют место условия
fc/5sin2V<l, (51.31а)
fcCsinV<l, (51.316)
в случае же большого влияния — сравнительно слабое условие
klg < |etot|. (51.31в)
360 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Для горизонтально поляризованного падающего излучения в области
слабого влияния неидеальностей (большие ф) неравенство (51.28в) может
не выполняться и рассмотрение необходимо уточнить (см. работу [102]).
Однако именно потому, что это влияние мало, здесь можно пользоваться
теорией возмущений (см. ниже).
Исследуем подробнее эффективную константу поверхности.
Ограничимся (мы впервые вводим это ограничение) случаем статистически изотропной
поверхности, 1ех = 1еу = 1е, \дх = 1ду = 1д. Соответственно функции G
будут зависеть только от модуля q, а в формулах (51.25) и (51.26) можно
еще выполнить интегрирование по углам. Так как (xV)F(p) = xpdF/pdp
и т. д. и, кроме того (хр = хр cos ip, dp = p dp dip),
2?r 2ir
/ exp (ixp) dip = 2irJ0(xp), J xpexp (ixp) dip = —2irixpJ'0(xp),
о о
2?r
/ (xp)2 exp {ixp) dip = -27ГХ2 Jo(xp) = 2ЖХ2 \J0(xp) -\ «/0(*Y>) J,
о
то мы можем, воспользовавшись первой из форм (51.25) и второй из форм
(51.26), написать (в члене, содержащем d?F/dp2, выполняем
интегрирование по частям и используем свойства корреляционных функций (51.11а),
F'(0) = F'(oo) = 0)
оо
-£= = -^ [exp(ikp)Jx(xp)(l - ikp)Fe(p)^, (51.25a)
у/ее cos ф J p
о
оо
JF = ^/ехР(г'М{(1 - ikp)J0(xp)+
0 (к2р ik l\f/ AdFadp ,
Эти выражения можно считать окончательными для изотропной
поверхности. Рассмотрим предельные случаи.
Электрическая неоднородность дает статистический вклад в
эффективную константу почвы l/^tot, который, согласно формуле (51.25а), имеет
второй порядок по £о- Если мы положим
-7=Р= = r,'-W', г,' = й + ?, if = 4ff + «",
V£(x> У)
то поскольку г/ и г)" положительны, а £' и £" равномерно флуктуируют в обе
стороны, очевидно, что |f | < ?^, |£"| < ?7о- Поэтому
£ = К'2 + Л < Ы2 = I W£|2- (51-256)
Следовательно, \/у/Ё1 есть величина , по крайней мере, второго порядка
малости относительно 1/\/е{т).
§ 51. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ, ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ И НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 361
В случае малых неоднородностей, fcie < 1, мы можем сразу в формуле
(51.25а) положить кр •< 1, Jo(xp) = 1, Ji(xp) = ху/2, exp (ikp) = 1.
Действительно, благодаря фактору Fe(p) эффективно область
интегрирования ограничена интервалом 0 < р < 1е. Вводя безразмерную переменную
х = р/1е, от которой, собственно, и зависит Fe, получаем
оо
-L = --^г /Ve(x)—, kle < 1. (51.32а)
yjel cos ф J x
о
В обратном случае больших неоднородностей, kle ~Э> 1, мы рассмотрим
сначала область столь малых углов, что
kle (1 - cos ф) = 2kle sin2 ^ < 1. (51.326)
В этих условиях произведение exp (ikp)Jn (хр) содержит медленно
меняющуюся часть и играют роль очень большие расстояния, кр ~ Ые >• 1.
Поэтому, заменяя бесселевы функции их асимптотическими выражениями
М*й) ~ {^р [C°S (*> ~ l) ~ -t~p Sln (*> " l)] '
(51.32в)
J^P) ~ f^Tp [COS ("P ~ l) " 8^Sin (*> ~ Т)] '
переходя от тригонометрических функций к экспонентам, отбрасывая
слагаемые ехр(гху>), дающие по умножении на ехр(гкр) быстроосциллирующее
подынтегральное выражение и заменяя exp[i(k — н)р] = exp [ik(l — cosV0]i
а также cosV' на 1, получаем (вновь считая р = xle)
оо
—; = exp (г— °^— / ~7=Fe(x), kle > 1, Ые(1 - cosф) < 1.
у/ё; V 4/ v2tt j Vх ,
о (51.32r)
Легко видеть, однако, что обе предельные формулы (51.32а) и (51.32г)
дают пренебрежимо малый вклад в £tot, лежащий за пределами точности
рассмотрения. Действительно, принимая во внимание соотношение (51.256),
видим, что, согласно формуле (51.32а), 1/у€7 < (\/у/е)2 <С 1/л/ё, а согласно
соотношению (51.30в) то же справедливо и для формулы (51.32г), т. е при
kle >• 1. Это избавляет нас от необходимости рассматривать область еще
больших углов (когда роль ее может быть только меньше) и позволяет
вообще пренебрегать в формуле (51.24) членом l/^/eJ, малым по сравнению
cl/VP.
Рассмотрим теперь влияние шероховатостей.
При klg <С 1 — малые неровности, длинные волны — вновь можно
считать <;/><1и Jo(xp) w exp (ikp) « 1, так что формула (51.26а) дает
оо
1 _ «*<о _ 2 , fldFg
£д ^д
^oCos2v/-^dx, Ц,<1. (51.33a)
о
С другой стороны, при klg >• 1 в области малых углов (51.326) вновь играют
роль большие ро. Подставляя формулы (51.32в) и отбрасывая слагаемые,
362 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
содержащие быстроосциллирующие множители, получаем
оо
= ехр(г — ) %-п / -т=—т1-2. KkL. (51.336)
* о
Эти величины, конечно, малы по сравнению с единицей: (51.33а) — в
силу формулы (51.29а), а (51.336) — в силу формул (51.29а) и (51.306).
Однако они могут быть не малы по сравнению с l/y/ё и поэтому их, вообще
говоря, следует учитывать. В частности, при скользящем распространении
над идеально проводящей шероховатой поверхностью (вообще, если 1/y^J >
> l/л/ё) даже малое 1/y^J может вызвать на достаточно больших
расстояниях сколь угодно сильное затухание среднего поля.
Область больших углов, к!д(1 — со&ф) ^ 1 ПРИ Ыд ^ 1) не представляет
существенного интереса. Как мы знаем, если |v/fJsinV'| > 1, то
обусловленное неровностями искажение поля должно быть исчезающе мало (см.
формулу (26.29)). Но уже на границе этой области углов, sin^ = 2/y/2klg,
формула (51.336) дает
/- • / 1з 1 ( 1 У
Согласно формуле (51.306), в рамках пригодности метода это очень большая
величина. Следовательно, уже здесь среднее поле мало отличается от поля
над идеальной поверхностью. Поэтому оно может быть здесь рассмотрено
методами теории возмущений. Резюмируя, можно сказать, что
1 * +4=. (51-34)
гдее5 дается формулами (51.33а) и (51.336), причем формулу (51.336) можно
применять без ограничения на значения ф, поскольку при 2klgsin2(ip/2) > 1
влияние £д исчезает.
Отметим, что при усреднении электрических свойств такому усреднению
подвергается не е, а l/y/ё. Это значит, например, что если 4тгст ^ е'и, то
усредняется l/л/а. При равномерных колебаниях а в т раз между ах и
02 = то\ эффективное значение
g*=(l + WEi)a- (5L34a)
Следовательно, если различия проводимостей очень велики (т ^ 1), стЭф
примерно в четыре раза больше, чем для хуже проводящих участков.
Найденные нами эффективные константы имеют несколько необычный
характер.
При klg <С 1 мы имеем arg (1/^/fJ) = тг/2 (51.33а), при klg >• 1, согласно
формуле (51.336), arg (l/sg) = Зтг/4, в то время, как для почвы эта величина
отрицательна. Заметим, что в случае малых крутых неровностей (48.23) мы
имели arg */£° = —тг/2. Но найденный для крутых неровностей эффект и
не должен совпадать с эффектом для пологих неровностей. Для того чтобы
от результатов §48 перейти к формуле (51.33а), следовало бы рассмотреть
5 51. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ, ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ И НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 363
весьма плоские эллипсоиды, а ~ £0 ^" b ~ с. Но тогда при а -4 0, согласно
формуле (48.24в), мы получили бы 1/*/^ ~ Т ~ а -4 0. Действительно, в
случае пологих неровностей эффект остался только в членах второго порядка
по Со- Как показано в §25, решением уравнения w(r), удовлетворяющим при
г = D -4 0 условию (25.1) (это условие есть следствие того, что при малых
г уравнение (25.1) можно решать итерациями) при любом е является
формула (25.18а). Однако определяя константу С в формуле (25.16), мы теперь,
учитывая, что axgy/s = тг/2 + arg(l/y/£), получим при к1д •< 1 значение
&Щл/*>д = Зтг/4, а при klg >• 1 значение argy'sj = п. Поэтому в случае
идеально проводящей почвы, когда Stot = sg, согласно формуле (25.16в) и
учитывая, что argx/C может отличаться от указанного в ней значения на
±тг/4, получаем
при klg < 1 : -тг/2 < arg у/С < 0,
при klg > 1 : -Зтг/4 < arg \/С < тг/4.
Поэтому можно положить у/С = —too. В остальном же решение (25.15)
сохраняется. Отсюда вытекает, в частности, что для функции ослабления
среднего поля, а значит, и для самого среднего поля Ez на плоскости z = 0
справедливо граничное условие Леонтовича
д4± = —рУ?„ * = 0. (51.36)
dz v/e^
Эффективные параметры неровной и неоднородной поверхности можно
получить также и непосредственно усредняя приближенное граничное
условие (40.9) [102].
Вышеприведенные формулы для £tot справедливы, как уже отмечалось,
при пренебрежении величиной 8Ex/dz (см. формулу (51.28в)). Это
пренебрежение не необходимо, и если использовать в процессе вывода
уравнения (51.21) граничные условия (21.28а), (21.286), то можно не только
уточнить выражения для ед так, чтобы они стали пригодными при больших ф
(где, правда, ед уже очень велико, так что роль неровностей невелика), но
и, что более важно, получить ед для горизонтально поляризованного поля
источника [102]. Именно, в формуле (51.33а) появляется дополнительный
фактор (1 — tg2V0, и если -специально рассмотреть при klg >• 1 область
y/Mls\n ф •< 1, то V-y/eJ = A;2Co sin3 ф (мы ранее не обсуждали эту область,
так как здесь 1/у/£д~ очень мало). Для горизонтальной поляризации, как
оказывается, тс
1 =_^7ЦШЛг, Hf<1, (51.37а)
(Гд 2lg J X dX
л/ёд~
о
v/ej V 4/ y/2nklg J y/x dx a v
о (51.376)
= fc2<^sinV, Ц, > 1, v/fc/^sinV>l. (51.37b)
y/£g
364 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
До сих пор мы интересовались только средним полем. Мы убедились, в
частности, что в пространстве над поверхностью оно описывается такими же
формулами, как над плоской и однородной поверхностью с некоторыми
эффективными характеристиками (зависящими от поляризации поля и угла
скольжения). Таким образом, при достаточных высотах
корреспондирующих пунктов, именно, если к(гл + zo) ^ Iv^totb среднее поле
описывается интерференционными
(отражательными) формулами и поэтому отлично от
нуля только в направлении зеркального
отражения от плоскости z = 0. Однако
мы знаем, что неправильное рассеяние
должно иметь место и в других
направлениях (именно из-за этого рассеяния
среднее поле ослабевает по мере
распространения вдоль идеально проводящей
неровной поверхности). Поэтому среднее
значение квадратичных величин поля,
например вектора потока энергии и
функций корреляции напряженности поля, не
исчезает, вообще говоря, и в любых
других направлениях.
Перейдем поэтому к рассмотрению
квадратичных величин. Здесь мы
ограничимся следующей постановкой задачи:
идеально проводящая неровная
рассеивающая поверхность имеет размер S ~ б2, причем 6 мало по сравнению с
расстояниями Ro и рл от источника и от точки наблюдения до некоторой
средней точки поверхности, принимаемой за начало координат х = 0, у = 0
в усредняющей плоскости z = 0 (но, конечно, велико как по сравнению с А,
так и по сравнению с lg). Источник О расположен в плоскости у = 0, угол
скольжения падающего луча ф и связанный с ним угол падения д = тг/2 — ф
можно считать приблизительно постоянными для всего участка 5, поскольку
6 <С Ro- Аналогично, направление от средней точки рассеивающего участка
до точки наблюдения А образует угол скольжения с плоскостью z = 0,
равный Xi и азимут, по отношению к оси х, равный <р (см. рис. 109).
Введем два единичных вектора направлений распространения падающей
и рассеянной волн:
а{ах, ау, az) = a(cosф, 0, -sinV) = a I —, 0, —J ,
&Ё' а~' ~d~z) '
(51.38)
Кроме того, мы будем пользоваться двумерными векторами
а0(ах, ау) = а0 №, о) , /30(&, 0У) = /30 №, |^ . (51.38а)
Рис. 109. Обозначения при вычислении
методом возмущения рассеяния пологой
шероховатой поверхностью
§ 51. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ, ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ И НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 365
В плоскости z = 0 в пределах участка S каждую составляющую поля
можно представить в виде (51.12)
При этом, как мы знаем, можно написать
где Е\ ' — невозмущенное падающее поле, / — соответствующий
коэффициент отражения плоской волны (для эффективной диэлектрической
проницаемости £tot)- Считая углы ф и х достаточно большими, мы можем
пренебречь отличием / от единицы (это несущественное пренебрежение: /
входит общим множителем в окончательный результат). Поэтому, по
существу, речь идет о вычислении поля по теории возмущений, развитой в
§49. Это позволяет легко получить результат. В дальнейшем изложении мы
следуем работе [104]. Мы можем воспользоваться соответствующими
формулами для поля Е{ , совпадающего с EiY^akfk (49.31)-(49.36). Примем
к
во внимание также то, что для точек интегрирования в пределах 5
exp (ikp) exp (ikpA) , .. а , , ч
'- г ' ехр(-гк/30г), т = (х,у),
(51.39)
exp(ifcaor).
Р Ра
exp (ikR) exp (ikRo)
_ w __
Учтем далее, что
д exp (ikp) ., dp exp (ikp) .,exp(ikp)„
oz p oz p p
Поэтому для поля вертикального диполя, помещенного в О, согласно
формулам (49.33), вынося из-под интеграла слабо меняющиеся факторы, имеем
41) = ^6ХР^+^)]а,^/{-гХ(1 " «S) + «,7.}х
х exp [ik(a0 — (30, г)] dr, (51.40а)
Е<" = V-к2 6ХР ^^+ РЛ)] a\ik0, J у, exp [*(ao - $„, г)] Л, (51.406)
-к2Сах(1 - а2х) \ exp [ik(a0 - /30, г)] dr.
366 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Вычислим прежде всего функции корреляции, например
Суу — £jy £jy — - 2 2 axpzl,
где, согласно формулам (51.8а) и (51.9),
1 = / 7»(*)7у(*0 ехР [**(<*о - Аь г - г')] dr от' =
= / Gg(q)^q2y f exp [.-(*(«о - (30) - q, г' - г)] от' от.
J Чд J
Заменим г' — г = р, от'от = dpdr и учтем, что площадь интегрирования
+оо
равна 5. Мы получаем (пользуясь ^-функцией, 2п6(х) = j exp (i£x) d£)
—-оо
I=^f [Gg(q)q2y dq(2n)2S(kax - к/Зх - qx)S(kay - k/3y - qy) =
Чд J
= ^^-k\ay - /3y)*Gg[k(a0 - A,)]- (51.41)
%
Здесь Gg [k(ao — /30)] — фурье-составляюЩая функции корреляции высот
С, взятая для q = к(ао — /30).
Таким образом,
£yy = Q02JlaiGg[k(ao-/3o)},
п lp>k*QS 4P4*S (IgCoV (5L42)
Q ~ R2opW9 ~ Щ>р\ V 2W •
Если для вертикального диполя ввести выражение потока падающей
энергии Ео на поверхности 5, равного
^ ^ ср2к4 о ,
Ео=Ео» = 8щ;с08 *•
то соответственно можно считать
Для горизонтального диполя, направленного вдоль оси у,
срЧ4
Ео — Еох —
ср*к* 8 5ЕохЛ,СоУ ,_-._,
*щ> Q = Q^ = n^PYV^) • (5Ы2б)
При этом вычислении особенно характерным было интегрирование (51.41).
Оно показывает, что из фурье-разложения функции корреляции неровностей
поверхности отбираются компоненты с q = к(а0 — /30), где а0 и /30
характеризуют направления падения и рассеяния. Тот же интеграл с другими
степенями qx и qy встретится и при вычислении других функций корреля-
§51. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ, ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ И НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 367
ции поля. Поэтому уже до вычислений можно положить в формулах (49.33)-
(49.36)
7» (О ~» ЧуС -+ ik(ay ~ РуК,
"7д(г ) v (i„ \2/- v 1.2/„, а \2/
0z'
^->(Ы2С->-*2К-&)2С
и т. п., т. е. можно написать для вертикального диполя
J?W « Aik/3zax [-ik(l - а2х) + ikax(ax - /Зх)] J,
Eyl) ю A*fcj9,aJ»fc(a„ - 0y)J, (51.43)
J5?W « A{**(1 - 2a2x)ik(ax - 0X) + ax ■ ik3[(ax - 0X)2 +
+ (ay-0y)2]-k2<;ax(l-al)}j,
J= /(exp[ifc(ao-/30lr)]dr, ^ = Pfc2exp fo(flQ + M)]
J Я ПОРА
В результате таких вычислений получается [104]
€ik = Е\х)Е^)л = QGg{k(a0 - /30))Ф*, (51.44)
где:
а) для вертикального диполя
Фхх = 01(1 ~ <*х0х)2<*1,
*уу = 02Я<*х,
ф„ = (*1[0х-ах(0х+02у)]2,
Фху =-01{\ - ах0х)а10у,
Фуг = 0г[0х-С*х(01 + 01)]ах0у,
Фгх = -0z(l - ах0у)ах[0х - ах{01 + /?*)];
б) для горизонтального диполя, ориентированного вдоль оси у,
*?хх — *?ху — *?xz — "j
Г Г (51.46)
ФУг = -0у0г(1-а1).
Аналогично вычисляется вектор потока рассеянной энергии W, компоненты
которого равны (после усреднения по времени, дающего фактор 1/2)
(51.45)
Wi = £ J2^£kk - рьл (5L47)
368 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Поэтому
W = ^QGg{k(*0 - /3))B/3, (51.48)
где
(0l+0l)(l — а2) для горизонтального диполя, ориентированного
и _ . вдоль оси у,
(0Х + 01) (1 - <*х/ЗхУа1 - 2/Зх/31а3х (1 - ах0х) + (/?2 + 01)0^
для вертикального диполя.
(51.48а)
Рассеяние удобно выражать в виде дифференциального эффективного
сечения da, которое было уже использовано в §48. Поток рассеянной энергии в
телесном угле dQ есть Wp\ dQ. Деля его на Ео, получаем, согласно формуле
(51.42), для излучения вертикального диполя
da{y) = —^-В(ф; х, Ч>) d°o, (51.486)
cos^ ф
где обозначено
d„0=^Gg{k(ao-/30))№f) SdQ. (51.48b)
Через эту величину будут выражаться и другие сечения. Для излучения
горизонтального диполя фактор cos2 ф в знаменателе отсутствует.
В этой величине объединены потоки энергии разных поляризаций.
Можно (и это представляет практический интерес) отдельно написать сечения
рассеяния для различных поляризаций. Так, например, \ — составляющая
рассеянного поля выражается через декартовы составляющие следующим
образом (xi — единичный вектор в направлении возрастания х):
Eg) = Е^хьЕ^хц + Е^хи, xi = Xi(-sinxcosv?, -sinxsin<p, cosx),
и поток излучения, поляризованного параллельно плоскости наблюдения
(вертикальная поляризация), равен согласно формуле (51.44),
х{Хь*** + Xi„*yy + Хь*« + 2xi«XI»*xw + 2хьгХЬ*м + 2xi»Xl**»*}.
Здесь для рассеянного поля горизонтального диполя, ориентированного
вдоль оси у, согласно формулам (51.46), имеем {} = sin2 v?(l — а2).
Помножив на р2А <Ш и поделив на Eoi (51.426), получим сечение рассеяния в
составляющую, поляризованную в плоскости наблюдения:
AtJ10 = sin2 v?(l - ах) daQ. (51.49)
Если мы вычтем эту величину из суммарного сечения (51.48а) для В =
= (0у + /?2)(1 — а2) (и отбросим в знаменателе cos2^), то получим
сечение рассеяния в составляющую, поляризованную перпендикулярно
плоскости наблюдения:
da±' = sin2 фйт2 xcos2 <P da0. (51.49а)
§ 51. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ, ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ И НЕОДНОРОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 369
Формула (51.49) дает меру деполяризации рассеянного излучения.
Практически, однако, часто нужно знать сечение рассеяния, соответствующее
приему на вертикальную антенну, т. е. знать поток энергии, переносимый
z-составляющей (а не х-составляющей) рассеянного поля Ez '. Этот поток
есть Wz = (c/8n)Ez 'Ez , что, согласно формулам (51.46), дает
da^1' = sin2 ф cos2 x sin2 <p daQ. (51.466)
По теореме взаимности отсюда можно получить сечение рассеяния для
излучения вертикального диполя, если наблюдается горизонтально
поляризованная (перпендикулярно плоскости наблюдения) составляющая. Нужно
только заменить ф на х (и обратно), т. е. 0У(1 — а2) = cos2xsin2фsin2<p
на sin2 xcos2 V'sin2 <p и учесть, что сечение получается делением не на Е0х?
а на Е0ц, содержащее cos2^>. Поэтому
da± = sin2 x sin2 <p daQ. (51.49в)
Для z-составляющей поля вертикального диполя (прием, как и передача, на
вертикальную антенну), согласно формулам (51.42а) и (51.45), получаем
day' = cos2 x[c°s v — cos Фcosx]2 d°~o- (51.49r)
Рассмотрим значения Gg в предельных случаях.
а) Для коротких волн, \к(а0 — /30)\lg >• 1, т. е. если ф ~ 1, klg >• 1,
функция корреляции является относительно медленно меняющейся.
Поэтому в выражении (51.9) для Gg, взятого при q = к(а0 — /30), мы можем
заменить Fg его значением в точке р = 0 и вынести из-под знака
интеграла. В остающемся интеграле распространяем пределы до бесконечности
и, пользуясь свойством ^-функции, S(ax) = S(x)/a, получаем
Gg [k(a0 - /30)] = q2gS[k(ax - 0x)]6[k(ay - 0У)] = ^6(а0 - /30). (51.50)
Мы видим, что для достаточно коротких волн рассеянное излучение
распространяется только в направлении правильного отражения от плоскости
z = 0, а0 = /30.
б) В случае длинных волн, klg\a0—/30\ <С 1, наоборот, можно в формулах
(51.9) пренебречь множителем ехр(—iqp). Тогда
■G[k(a0 - /30)} = ^ / С(Г)С{2Г + Р) dp = const. (51.51)
Таким образом, фактор G вообще не зависит от углов; угловая
направленность определяется только плавно меняющимися величинами Ф^ и В.
Рассмотрим в качестве примера обратное рассеяние — поле,
наблюдаемое в той точке, где расположен передатчик («радиолокационное
наблюдение» или «реверберация»). В этом случае х = Ф-i V = п> так что
а = a(cos ф, 0, — sin ф), (3 = /3(— cos^», 0, sin ф), (51.52)
т. е.
a = -/3.
370 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Следовательно, согласно формулам (51.45) и (51.47):
а) для вертикального диполя
фхх = sin2 Vcos2 V(l + cos2 ф)2 = jsin2 2^(1 + cos2 ф)2,
ФуЗ/ = Фху = Фуг = О,
Фгг = С084^(1 + С082^)2, (51-53)
фхг = sin фсоа2 ф(1 + cos2 ф),
В= (1 + cos2 V)2cos2V>;
б) для горизонтального диполя, направленного вдоль оси у, согласно
формулам (51.46) и (51.47),
Фхх = Фху = Фхг = Фгг = Фуг = О,
Фто =sin4V, (51.54)
В = sin4 ф.
Далее, в случае коротких волн (klg ~^> 1) в рассмотренном приближении
рассеянное поле в точке наблюдения, согласно формуле (51.50), исчезает для
всех углов ф, кроме случая вертикального падения — ф = тг/2 (так как
S(ax — flx) —> 6 (2 сов ф) = 0, если cosV' ф 0). Но это соответствует
направлению зеркального отражения от плоскости и нас сейчас не интересует. В
случае же длинных волн, согласно формуле (51.51), величина Gg есть константа
порядка единицы, которую мы обозначим G£. Формулы (51.49)-(51.49в) для
этого случая дают:
а) излучение горизонтального диполя, направленного вдоль оси у.
Прием на горизонтальную антенну (51.49а)
^{1) = ^*™4^(1-ф) SdQ- (51-55)
Прием на вертикальную антенну (51.496)
do-M = 0,- (51.55а)
б) излучение вертикального диполя. Прием на горизонтальную
(перпендикулярную плоскости распространения) антенну (51.49в)
da(l] = 0. (51.56)
Прием на вертикальную антенну (51.49г)
da^ = ^1cos2ф(l + cos2ф)2G0g(l-^\ SdQ. (51.56а)
Таким образом, в этом приближении деполяризация радиолокационно
принимаемого рассеянного излучения отсутствует. При гауссовой
корреляции (Fg = exp {—p2/l2g)) G°g = it. Так как речь идет о длинных волнах,
то (lgCo^~2)2 = (klg)4Jo "С 1. Что же касается коротких волн, то следует
§52. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 371
помнить, что при ф ~ 1 речь идет о случае к£0 •< 1. Только поэтому
рассеяние не в зеркальном направлении исчезает. В § 52 мы увидим, что при
&Со > 1 для коротких волн появляется значительное рассеяние во всех
направлениях. Из формул (51.55) и (51.56) видно, почему для целей
радиолокации целесообразно применять горизонтальную поляризацию излучателя,
если хотим, чтобы «засветка» от шероховатой поверхности была слабой
(разумеется, если задачей является изучение рассеивающей поверхности, то
этот результат имеет обратное значение).
Поскольку рассеянное поле прямо выражается через фурье-компоненты
функции корреляции высот точек поверхности, изучение рассеяния может
служить методом определения статистических характеристик поверхности.
Подобным же методом могут быть найдены функции корреляции для
полей, наблюдаемых в двух разных точках, Е^(К), Е[ (Rf). В этой связи
могут оказаться полезным некоторые общие соотношения между
корреляционными функциями в электромагнитном поле, полученные в работе [116].
Во всем проведенном выше рассмотрении неровности считались
неподвижными. Между тем, например, при рассеянии радиоволн на морском
волнении из-за движения неровностей возникают интересные явления,
прежде всего изменение частоты рассеянных волн. Учитывая медленность
движения поверхности по сравнению со скоростью радиоволн и рассматривая
смещение и углы наклона у в граничном условии (49.5) как медленные
функции времени, нетрудно рассчитать модуляцию рассеянного излучения,
напоминающую комбинационное рассеяние света.
Смещение Аш частоты ш невелико, Аш ~ ojv/c, где v — скорость
перемещения неровностей. Однако оно в принципе позволяет, например, измерять
радиометодом скорость морских волн. Для случая пологих неровностей, в
приближении, соответствующем принятому в настоящем параграфе, этот
вопрос исследован в работе Ф.Г. Басса [117].
§ 52. Поле иад пологой хаотически неровной поверхностью
(крутое падение, высокие неровности)
В § 51 было рассмотрено поле, рассеянное поверхностью с пологими
неровностями. Полученные результаты применимы к случаю неровностей,
высоких по сравнению с длиной волны, только тогда, когда поверхность весьма
пологая (51.30):
2тгСо < >ДД (52Л)
где 1д — характерная длина неровностей поверхности, Со — высота. С другой
стороны, эта теория верна в случае скользящих волн, когда ф —> 0; здесь
теория является строгой в том отношении, что в каждой точке поверхности
строго принимаются во внимание переизлученные волны (поле, рассеянное
близлежащими неровностями).
В случае произвольно высоких неровностей и произвольных углов
падения мы сталкиваемся с трудной проблемой учета в каждой рассеивающей
точке переизлученного, вообще говоря, не слабого, поля. В частности,
существенно, что некоторые точки поверхности оказываются в тени по
отношению к первичному лучу, а также по отношению к переизлученному полю. Все
372 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
это препятствует созданию единой полной теории. Одним из случаев,
допускающих специальные упрощения, является проблема, рассмотренная в §51.
Другим может служить рассеяние волн, падающих под достаточно большим
углом ф (отсчитываемым от некоторой усредняющей плоскости) на
поверхность, неровности которой произвольно высоки, но углы подъема достаточно
малы, чтобы можно было пренебрегать: а) эффектом затенения отдельных
участков; б) квадратами углов подъема местности (в предэкспоненциаль-
ных множителях; следовательно, это требование является довольно слабым);
в) переизлученным полем. Именно, необходимо, чтобы в каждой точке
поверхности можно было считать поле суммой падающего (невозмущенного)
поля и отраженного, в соответствии с граничным условием в данной точке.
Последнее требование характерно для приближения Кирхгофа в теории
дифракции. Действительно (см. § 11), при дифракции на отверстии в экране,
согласно этому приближению, считается, что в плоскости отверстия поле
равно невозмущенному полю падающей волны. Соответственно этому и
приближение, о котором идет речь в настоящем параграфе, можно называть
кирхгофовским.
Очевидно, что третье требование может выполняться лишь для коротких
волн,
А < 1д. (52.2)
В этом случае каждый элемент поверхности можно заменить касательной
к нему плоскостью и считать, что для г'-й составляющей Е справедливо
соотношение
Е{ = Е?(1 + Ы, z = C(*, У), (52.3)
где Ef — невозмущенное поле в данной точке, /t- — коэффициент отражения
г'-й составляющей для поверхности с данными электрическими свойствами
при данном угле падения невозмущенного поля на касательную плоскость.
Мы уже оценивали допустимость использования коэффициента отражения
Рис. 110. Обозначения в случае рассеяния неровной поверхностью при достаточно крутом
падении волн
в случае сферической поверхности. Эту оценку можно применить и здесь.
Очевидно, отражение будет таким же, как от касательной плоскости, если,
§ 52. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 373
согласно формуле (34.17),
sinV'>-57r=> (52.4)
3/Ы
где ф' — угол скольжения падающей волны с касательной плоскостью,
а — радиус кривизны в данной точке, т. е., вообще говоря, величина порядка
lg/Со- Все три условия будут выполняться только в том случае, если угол
скольжения ф первичной волны с плоскостью z = 0, как правило, отличен
от углов подъема поверхности, имеющих порядок у ~ Со/'э (см. рис. 110,
где ф' = ф±ух). При этих условиях не будет затененных мест, лучи,
отраженные от одного участка поверхности, не будут попадать на другой, а при
достаточно больших к можно будет удовлетворить и условию (52.4). Таким
образом, рассматриваемый метод, развитый в работах [95, 105-108],
пригоден для пологих поверхностей,
7 < 1, (52.5)
для больших углов падения и для коротких волн:
lV>-7l»-yU a~lf~li- (52.6)
ука чо 7
Следовательно, во всяком случае должно быть \Пса >• 1, что можно
переписать в виде
/2
Со < ^\ДА (52-7)
Сравнивая с формулой (52.1), видим, что в этом методе, поскольку речь идет
о коротких волнах, (52.2), можно рассматривать гораздо большие высоты,
чем в методе §51.
Заметим, что, как и в случае кирхгофовской теории дифракции, этот
метод удовлетворителен только для направлений рассеяния, близких к тем,
которые следуют из геометрической оптики — к направлениям,
соответствующим правильному отражению от каждого элемента, или (поскольку 7 "С 1)
от усредняющей горизонтальной плоскости (ср. замечание после формулы
(52.42)).
В дальнейшем мы следуем работе М.А. Исаковича [95]. Будем исходить
из векторной формы формулы Кирхгофа (5.146) и ограничимся идеально
проводящей поверхностью, [пЕ] = 0. Тогда мы имеем для рассеянного поля
в точке наблюдения А
Е(А) = --}- f{ik[nO\v+ (nE) gradu} dS, (52.8)
47Г J
где v = ехр (гкр)/р. Для больших расстояний р от рассеивающей
поверхности до точки наблюдения можно считать
v ss — ехр (ikpA — ik/Зг), graxl v ss —ik(3v, (52.9)
PA
где, как и в §51, рл — расстояние от точки наблюдения А до некоторой
точки рассеивающей поверхности С, выбранной за начало векторов г,
обозначающих текущую точку поверхности, а /3 — вектор (51.38) (см. также
374 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
рис. 109). Аналогично, для падающего поля источника О, удаленного от той
же точки поверхности 5 на расстояние Ro, можно написать
Е° = Е°(С)ехр(г*аг), Е°(С) = р^Е^М, (52.10)
Ro
где а определено формулой (51.38) и Р — постоянная амплитуда падающей
волны. Можно обозначить через
q = k(a-(3) (52.11)
вектор рассеяния. В случае идеального проводника коэффициенты
отражения для вертикальной составляющей электрического поля и горизонтальной
составляющей магнитного поля равны единице, и потому в формуле (52.8)
[пН] = 2[пН°], (пЕ) = 2(пЕ°), Е = Е° + Е1.
В падающей волне
E° = -i[kH°] = -[aH0], Н0 = [аЕ°]=еХр(^Д)[аР].
Поэтому, вынося из-под интеграла медленно меняющиеся множители R ss
и Ro и р и ра, имеем
Е, _ _|ехр ЩЯо+ИЛ j{Han _ лл)}пр щ„ _ д r)] is.
(52.12)
В предэкспоненциальном множителе от переменной интегрирования
зависит только п. Поэтому, если мы обозначим
= /пехр {itp)dS (52.13)
и введем вектор в падающей волне, указывающий векторную амплитуду
магнитного поля,
Q = [aP], P = -[aQ], (aP) = (aQ) = 0, (52.14)
то интеграл в (52.12) можно записать в виде, допускающем удобные
преобразования:
У {[n[aP]] - /3[nP]} exp (iqr) dS = [IQ] + /3(l[aQ]). (52.15)
Подставим в формулу (52.13) для п его выражения по формулам (49.2а) и,
в силу малости 7x,j/ (52.5), пренебрежем их квадратами в знаменателях.
Далее, учтем, что на поверхности 5 имеем qr = qxx + qyy + qzG{x, у). Поэтому,
например,
^ exp (iqr) = i ( qx + qz — J exp (t'qr) S3 i(qx + qz-yx) exp (iqr)
(и аналогично для д/ду). Значит,
-Ух exp (t'qr) = — ( qx + i-^~ ) exp (t'qr)-
qz \ dx/
I
§ 52. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 375
Подставляя эти выражения для ух и yv в I, мы можем отбросить
интегралы, содержащие производные от интегрируемой функции (они исчезают
после интегрирования по всей поверхности, так как поле вдали исчезает,
а при интегрировании по ограниченной поверхности они дают краевой
эффект, который пренебрежимо мал). Поэтому
I = I n exp (iqr) dS = — I exp (tqr) dS, (52.16)
и направление вектора I совпадает с направлением q. Следовательно,
учитывая, что (c*Q) = 0, можно написать для интеграла (52.15) (мы используем
то обстоятельство, что [qQ] = /32[qQ] = (/3/3)[qQ] = [/3[[qQ], /3]] + /3(/3[qQ]);
[qQ] + /3(q[aQ]) = -&3&8[qQ]]] + &Ш) " 0(a[qQ]) = -[/3[^[qQ]]] -
—/3(q[qQ]). Но последнее слагаемое равно нулю. Поэтому окончательно
рассеянное поле равно
E' = |^^i^l[W[4QJ]]/<°), (52Д7)
где все статические свойства поверхности заключены в множителе
J<°) = f exp (tqr) dS. (52.17a)
Если бы поверхность была плоской, мы имели бы £(х, у) = 0 и интеграл
J<°> = J exp [i{qxx + qyy)] dx dy = {2n)2S{qx)S{qy) (52.18)
указывал бы, что поле отлично от нуля только в направлении зеркального
отражения: ах = /Зх, ау = (Зу. Ввиду малости углов подъема поверхности
мы и теперь можем положить dS = dxdy. В таком случае все отличие
поля Е от поля над плоской поверхностью обусловлено присутствующим под
интегралом фактором exp [tffeCC1» У)]-
Рассмотрим статистические свойства интеграла /(°). Они определяются
функцией распределения точек поверхности по высоте, W(Q. Среднее поле
Е будет содержать
/(о) = dx dy exp [i{qxx + ^у)]ехр {iqzQ, (52.19)
exp(i(fcC) = J W(Q exp (iq,Q d£ = f(qz). (52.19a)
Оно отличается от поля над плоскостью только числовым множителем f(qz),
имеющим смысл коэффициента отражения. Это поле по-прежнему будет
отлично от нуля только в направлении зеркального отражения, но будет
отличаться от него по интенсивности. Так как fW(£)d£ = 1, то очевидно,
что / < 1, отражение ослаблено из-за рассеяния в прочих направлениях.
Подобный же результат был получен нами в §51 для любых углов падения
и низких шероховатостей (&£о -С 1), а также для более высоких
шероховатостей при скользящем падении.
376 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Так, например, если распределение высот является нормальным,
гауссовым,
W(Q = -±= ехр (-С2/2Со2), (52.20)
Cov2tt
то (мы учитываем, что для направления зеркального отражения ф = х,
<р = 0, qz = —2к sin ф)
f{qz) = ехр {-qlQl/2) = ехр (-2k2$ sin2 ф). (52.21)
Таким образом, правильное отражение разрушается, когда проекция
средней высоты неровности на направление падающего луча Со sin ф превышает
длину волны, деленную на 2я\
Значительно больший интерес, чем среднее поле, представляет
рассеянное излучение, которое будет присутствовать также и в направлениях,
отличных от направления правильного отражения от плоскости. Среднее (по
экземплярам поверхности) поле здесь равно нулю, но средний квадрат поля,
определяющий флуктуации напряженности, а также средний поток энергии,
вообще говоря, отличны от нуля. Средний (по времени) поток энергии в
направлении вектора /3, определяемый вектором
Е = ^[ЕН*], Н = [/3,Е],
согласно формуле (52.17), равен
ск4 1
Е =
32n*Rlp\q]
I|[/3[/3[«-/3,Q]]]|2|/(°)|2. (52.22)
Это выражение нужно еще усреднить по экземплярам поверхности.
Введем бинарную функцию распределения, вероятность W^CCi» Сг) того,
что в двух точках, определяемых двумерными радиус-векторами ri(a;i, y{) и
г2(я2, Уг) высоты поверхности окажутся равными Qi и £2. В случае
изотропной поверхности эта функция зависит только от расстояния р = \г\ — г2|.
Для нормального распределения
2nQ\/l - Fg{p)
-(Ci2-2F3GC2 + C22)
2Co2(l " *?)
(52.23)
где £q и Fg(p) определяются формулой (51.6); Fg — коэффициент корреляции
высот в двух точках поверхности. Интересующее нас среднее имеет вид
(мы заменяем г2 на ri + р, одно интегрирование — по п — дает площадь
рассеивающей поверхности S)
jT^P = У ехр {tq(ri - г2) + tfc[G(ri) - Сз(г2)]}х
х W2(Ci, C2; p) dri dr2 dCi d£2 =
= S f exp (tqp) dp J exp [iqz(b - Ca)] W2(G, C2; p) <*G <*C2. (52.24)
S 52. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 377
Если все высоты малы, то, разлагая exp [t<fe(Ci — С2)] B ряд и ограничиваясь
первыми неисчезающими степенями, мы придем к случаю, разобранному в
§51 (так как распределение W2 нормировано на единицу, интеграл по £i
и С,2 будет равен 1 — q2C} + <72&С2 + •••)• Здесь, однако, нас интересуют
значительные высоты, и мы считаем
оо
ITWp = 2*sjj0(\q\p)pdpf(qz, -qz; fj =
о
оо
= 2nSl2g f J0(\q\lgx)xdxf{qz, -qz; x). (52.24a)
о
Здесь выполнено интегрирование по углам двумерного вектора q(qx, qy) и
введена так называемая характеристическая функция распределения
f(a, Ь;х) = J ехр [г«! + 6Сз)] W2(Ci, C2; *) <*G dQ2, (52.25)
представляющая собой преобразованную по Фурье от функции W2. В случае
нормального распределения (52.23)
f(qz, -qz; x) = ехр [-q2z$(l ~ Fg (*))], * = ?lh- (52-26)
Формулы (52.22), (52.24) и (52.25) полностью определяют интенсивность
рассеянного излучения в различных направлениях, если известна функция
W2. Очевидно, и обратно, изучая экспериментально распределение
рассеянного излучения, можно получить сведения о корреляционных
характеристиках рассеивающей поверхности.
В рассматриваемом приближении, когда длина волны мала по
сравнению с геометрическими характеристиками поверхности, выражения типа
|q|/3 и (feCo велики. Это значит, что в формуле (52.25) нас интересуют
высокочастотные фурье-компоненты функции W2. Соответственно под
интегралом эффективно входят значения W2 при малых р/1д, где функция Fg
близка к единице и W2 обладает резким максимумом, расположенным при
£i = £2. Это имеет простой физический смысл: в нашем приближении
отражение происходит от небольших участков на отдельных шероховатостях,
повернутых под таким углом, что правильное отражение от этого участка
обеспечивает приход рассеянной волны в точку наблюдения. В пределах
соответствующей малой области поверхности высота £i всегда близка к
высоте Q2. Так, например, при нормальном распределении, согласно формуле
(52.26), / быстро исчезает, когда Fg уже немного отличается от единицы.
Поэтому мы можем разложить функцию Fg в ряд вблизи нуля ее аргумента и
ограничиться первым неисчезающим членом. Так как вследствие принятых
свойств функции корреляции
F,(0) = 1, *Z(0) = 0, <(0)<0, (52.27)
то можно считать Fg(x) и 1 + Fg(0)x2/2,
f
(q„ -qz; £) « exp |-I^C2^|F;(0)||. (52.28)
378 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Подставив / в формулу (54.24а), выполним интегрирование с помощью
формулы
/ Jo(ax)
ехр {-Ьх2)х dx = — exp ( -^- j;
получаем
Wr= 2nSl
?Ж'(о)|
еХР "о
2Со2?,21^'(°)1
(52.29)
Так, например, для гауссовой корреляции, F(x) = ехр (—а;2), имеем
|/7«»| = 2 и
Поток энергии в первичном луче (мы учтем, что (аР) = 0) равен
г„ = £[н>нО]]=й|<,
Помножив S на рА dfi, где dfi — элемент телесного угла вблизи
направления рассеяния, и поделив на So, получим эффективное дифференциальное
сечение поверхности для рассеяния в данном направлении:
2
(52.30)
(52.30а)
da =
ZpAdSl
So
fc%2
a-(3,
-(-¥?)'*■
(52.31)
В общем случае, если не делать предположений о статистических
свойствах поверхности, из формул (52.22) и (52.30а) следует, что для рассеяния в
направлении единичного вектора (3 излучения, падающего по направлению
вектора а и имеющего поляризацию, определяемую единичным вектором
магнитного поля падающей волны
._Q_H^
справедлива следующая формула дифференциального поперечного сечения:
|2
(52.32)
da(a, (3; h) = ±—Т —-f-k'\№ 2 dSl,
4ir'(az - pzy
где
|/(0)|2 = у ехр {iq(n - г2) + ifc[Ci(n) - С2(г2)]}х
x^(Ci(ri), Сз(гз)) *i dr2 dCi rfCa =
= / ехр [tq(ri - r2)]f(qz, ~Яг', fi, r2) drx dr2. (52.32a)
§ 52. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 379
Таким образом, da выражается через преобразованную по Фурье
характеристическую функцию /. Для статистически однородной поверхности /
зависит только от г = ri — Г2 (если поверхность статистически изотропна,
то только от модуля г). В этом случае можно написать обратную формулу
/(*, -*; г) = Г Гдг^"Уи1112ЖТехр(-iqr>' <52-32б>
J [(3[j3[a-(3, h]]]'«* S
так что характеристическая функция поверхности (для специальных
значений ее аргументов) может быть определена, если достаточно подробно
изучено рассеяние.
В случае вертикальной поляризации падающего излучения вектор Q
параллелен плоскости z = О, Q = Qy. В случае горизонтальной поляризации
вдоль оси у имеем Р = Ру.
Рассмотрим формулу (52.31), полученную для нормальной корреляции.
Статистический фактор (экспоненциальный сомножитель) имеет
максимальное значение в направлении правильного отражения от плоскости z = О,
qx = qy = 0, когда qz = —2ksmip. Так как 1д ^> Со, то максимум острый.
Если а. лежит в плоскости xz, то, раскрывая векторное произведение,
находим, что для любой из двух поляризаций
[/3[/3[a-/3,Q]]]2=4sin4V"Q2. (52.33)
Вблизи максимума мы можем положить
Х = ф + Ах, Av? = v?<l.
Разлагая показатель экспоненты по приращениям А ^ и Д</? углов ф и </?, мы
получим
9х + 9у _ cos2 ф + cos2 х — 2 cosф cos x cos <p {Ax)2 + ctg 2х(А<р)2
q\ ~ (sin ф + sin х)2 4
Поэтому вблизи максимума
причем dfi « cosx^(Ax) d(A<p). Отсюда видно, что максимум имеет
угловую (среднеквадратичную) ширину
(Дх)эф~\/8^.
Это значит, что при lg ~ ЮСо (что по порядку величины имеет место при
морском волнении) максимум размыт в пределах угла порядка 2(Ах) ~ 0,6,
т. е. порядка нескольких десятков градусов.
Полное рассеяние получаем, интегрируя по Ах и Д</? в пределах от — оо
до +оо:
ff=51cos^ = 5sin
380 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Как и должно быть, полное эффективное сечение площадки 5 равно ее
проекции на направление, перпендикулярное падающему лучу. Вся
падающая на эту проекцию энергия рассеивается в пределах конуса вблизи
направления зеркального отражения от горизонтальной плоскости. В этих
пределах распределение дает формула (52.34).
Характерная независимость рассеяния от длины волны, выраженная
формулами (52.31) и (52.34), объясняется тем, что при А, много меньших
радиуса кривизны поверхности в данной точке, как показано в §35,
коэффициент отражения отличается от коэффициента отражения для плоскости,
касательной к поверхности, только «фактором расходимости», не зависящим
от длины волны (см. (35.6)). Отражение происходит от многих маленьких
почти плоских зеркал, наклон которых соответствует возможности
правильного отражения в интересующем нас направлении. Число таких зеркал
определяет интенсивность рассеяния. Это число зависит только от свойств
поверхности, но не от свойств излучения. В соответствии с таким
представлением был даже предложен метод трактовки рассеяния (см. ниже) без
привлечения электродинамической картины процесса, исходящий только из
статистики расположения отражателей.
Для обратного рассеяния в точку наблюдения («радиолокационное
наблюдение»), а = -(3, q = 2ка, [/3[/3[а - /3, Q]]] = 2[aQ], qz = -2&sin V>,
qx = 2ксовф, мы получаем (независимо от поляризации)
ll ( ll cos2v\ SdSl /p„OF4
d° = ^Г7г-р> exp ( - -|y —я-*- -Т-ГТ- (52.35)
16я"С,? \ Kl sin2 ф J sin4 ф v '
Угловая зависимость рассеяния в общем случае дается, в основном,
экспоненциальным множителем в формуле (52.31):
/ Ц cos2 ф-\-cos2 х-2со&ф cos x^os<p\
d<7~exp -—X г-.—■——. гх . (52.36)
^ 4Со (sinV + sinx)2 J
Некоторые графики и оценки можно найти в работе [95], где и были
получены, в основном, изложенные выше результаты.
Необходимо подчеркнуть, что многие из этих результатов чрезвычайно
сильно зависят от закона распределения высот и других статистических
характеристик поверхности. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим
поверхность, на которой высоты распределены так же, как в синусоидальной
волне:
С = Со cos (Kx), К = 2ж/1д. (52.37)
Вероятность найти высоту £ в интервале dQ пропорциональна отношению
длительности dx пребывания высоты в пределах от £ до С + ^С к периоду 1д
(коэффициент 2 учитывает, что на длине 1д есть две такие точки):
Wl(OdC = 2^ = -^^ = —7^=, C<Co (52.37а)
lg ir\dC,/dx\ тгуЧо-С2
(Wi(C) = О ПРИ |С| > Со)- Следовательно, например, характеристическая
функция, которая играет здесь роль коэффициента отражения для
среднего поля (присутствующего только в направлении правильного отражения
§ 52. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 381
от плоскости) равна
Со т/2
f(qz) = / exp {iqzQWi{() d( = - / exp {iqz(0 sin (p) d<p = J0{qzCo)-
~Co -*'2 (52.38)
Как видим, этот результат резко отличен от выражения (52.21). Функция
/ довольно велика, при больших qz£o убывание является чрезвычайно
медленным, да к тому же осциллирующим — функция Jo принимает оба знака
(JoiqzCo) « у/УЩг(о cos (qz(0 - тг/4)).
Рассмотрим, далее, квадратичные величины, например поток
рассеянной энергии для поверхности с такой же корреляцией близких точек, как
на синусоидальной поверхности (52.37). Мы имеем дело с короткими
волнами, рассеивающимися в результате зеркальных отражений от отдельных
участков синусоиды. Поэтому мы пренебрегаем корреляцией точек
поверхности на расстояниях > 1д. Можно считать, что поверхность составлена из
кусков (длины ~ 1д) синусоиды со сдвигами фаз между ними,
распределенными вполне случайно. Краевым эффектом на стыке отрезков синусоиды
мы пренебрегаем.
Функция W^CCi» Сг! *i> Гг) для этого случая будет содержать полную
корреляцию. Расстройство этой корреляции вблизи границ каждого участка
можно не учитывать, так как нас будет интересовать корреляция только на
отрезках порядка l/qx, которые мы предполагаем много меньшими 1д.
Вероятность найти в точке т2{х2, у2) высоту ^2, если в точке ri(a?i, у{) высота
есть Ci, равна
W2(Ci, Сз; гь г2) = РМС1ИС2 - 6 - Со [cos(#z2) - cos(^1)]}. (52.39)
Подставляя это значение в формулу (52.32а), получаем
|/(°)|2 = / exp liqx(xi - х2) + iqy{yl - у2) + iqzQ0x
х2sin K{X1 + Х2) sin K^~x*)\^l(Cl) d0 dri dr2. (52.39a)
Интегралы по y\ и y2 дают 2nLS(qy), где L = \/S — линейный размер
рассеивающей поверхности. Заменим xi + х2 = 2Х, х\ — х2 = х, dx\ dx2 =
= dxdX, а интервал L интегрирования по X разобьем на КЬ/2к отрезков
длины 2ж/К каждый. В результате, полагая КХ = <р, имеем
Li
I
L
exp \iqzC,o • 2 sin KX sin (Kx/2)] dX =
KL
2к К
- / exp [iqzCo ■ 2 sin {Kx/2) sin <p] d<p. (52.396)
Интегрирование по £1 дает, вследствие нормированности Wi(Q, единицу.
Далее, интеграл по х эффективно берется в пределах малого отрезка
(поскольку высоты на разных отрезках длины 1д считаются
некоррелированными). Поэтому можно положить sin (Kx/2) и Кх/2 и пределы интеграла
382 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
+КдхСо
раздвинуть в бесконечность:
|/(°)|2 = L2S{qy) ■ 2п 18{qx + KqzQQ sin <p) dip =
о
= 2nS(qy)S f S(qx-t) *\
J Kqz^0cos<p
-Kg, Co
где в последнем интеграле произведена замена переменной t = Kqz£os\n<р.
Оставшийся интеграл равен единице, если \qx\ < KqzCo, и равен нулю, если
|<7з:| > KqzC,o. Таким образом, окончательно, согласно формуле (52.32),
_ [(3[/3[<х-(3, h]]]2 2nSS(qy)k2
4пЦа2-(Зг)2 y/KiqlQ - qx
^=1:Г аЦ ; Т=. (52-4°)
если qx < K2q2Q; da = 0 для qx > K2q2^. Если мы учтем, что S(qy) =
= S(ay—/3y)/k, то последний сомножитель в формуле (52.40) можно записать
в виде
ЫЧ--Ы (52.40а)
Полученное выражение для da существенно отлично от выражения (52.31).
По мере роста qx рассеянный поток не убывает, как указывается формулой
(52.31), а возрастает. В направлении правильного отражения, при qx = 0,
строго говоря, в интеграле по х нельзя заменять sin (Кх/2) его аргументом,
но нужно выполнить интегрирование по х от 0 до / с помощью формулы
7Г
Jo(2zsin <р) d<p = itJq(z),
о
а затем учесть, что
JoiqzCo) « (2/я-^Со) cos2 (&Co - я-/4),
причем можно заменить квадрат косинуса его средним значением, равным
1/2. В результате, как и из формулы (52.40), мы получим
d(7=SS(<Xy-0y)sinil,d^ qx = 0 (5241)
47ГЛ£о
Это совсем не похоже на выражение (52.34). Рассеяние падает по мере
убывания ф (конечно, формула (52.41) справедлива только, пока ф>
~> K(,q ~ 7) см- неравенство (52.6)). Для обратного рассеяния в источник,
(<** - Аг)2 = 4 cos2 ф, {az - (3Z)2 = 4 sin2 ф,
da= S8(«y-(3y)dSl К2С20Ъ2ф>1,
16п8т2фу/к2С$а\п2ф-со82ф (52.42)
da = 0, tf2C£tg2V<l
§ 52. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 383
(разумеется, нуль получается только в рамках используемого приближения
Кирхгофа; в действительности какое-то дифрагировавшее поле всегда
присутствует). Действительно, если угол ф недостаточно велик, на поверхности
не найдется участка, перпендикулярного направлению падения. Эту формулу
следует сопоставлять с формулой (52.35).
Сравнение конкретных результатов, полученных для двух статистически
различных поверхностей, показывает исключительно сильную зависимость
выводов от статистических характеристик. Поэтому пользоваться
окончательными формулами в практических условиях нужно с большой
осторожностью.
Важным свойством статистически рассеянного излучения является
неаддитивность эффекта. Пусть, например, функция, описывающая поверхность
С{х, у), может быть представлена как сумма двух независимых случайных
функций, Q{x, у) = £(х, у) + rj(x, у), имеющих различную природу
(например, мелкая рябь на крупном морском волнении). Тогда, скажем, если мы
ищем среднее поле, вместо выражения (52.19а) будет фигурировать
выражение
ехр fa,К+ 1/)] = j ехр fa,(£ + rj)]Wx^)W[{r,) d^dr,, (52.43)
где W\ и W[ — соответствующие функции распределения.
Интегрирование по £ и по г) может быть выполнено порознь и Е будет пропорционально
не f(qz), а произведению характеристических функций /(<7,)/'(<fe), где /'
соответствует распределению W[. To же имеет место для двумерных
функций распределения Wi и соответствующих им функций f(qz, — qz\ x). В
формулу (52.24) войдет произведение двух таких функций /. Если обе
величины распределены по нормальному закону, то положение упрощается, так
как, согласно соотношению (52.28), в этом случае произведение двух
функций / совпадает с одной из них, взятой при другом аргументе. Например,
при гауссовой корреляции F"(0) = —2 мы получим
/ ( Я„ -q*] ф-Л flqz, -q,\ ф)) =
'я
= ехр
,Чгр Ui)2 if)2.
(52.44)
где Со , Со , 1д я lg — параметры обоих распределений. Таким
образом, просто складываются квадраты средних углов наклона поверхности в
этих распределениях, 7о = Co/v Ослабление рассеянного излучения будет
определяться неровностями с большими углами наклона.
Представляет интерес тот случай, когда С образована наложением
регулярной части £ (например, правильная волна) и более мелкомасштабной
случайной части г). Тогда
f{qz, -qz) = / ехр {iq2[£{ri) + »?(ri) - £(r2) - »7(г2)]}И/2(»71, щ) йщ<1щ.
(52.45)
Мы видим, что функция / содержит дополнительный регулярный
множитель ехр {t'<7,[£(ri) — £(г2)]}) который войдет под знак интеграла в формуле
384 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
(52.24). Пусть, например, £ — это синусоидальные волны с амплитудой £ и
волновым вектором К,
£ = &, cos (Кг), Кф < 1, (52.46)
где 1д — горизонтальный масштаб хаотических неровностей. Тогда,
обозначая новый интеграл /(°) через /$, имеем
|^|2 = / ехр < iq(n - г2) + iqz$o • 2sin — (п + г2) sin —(ri - r2) > х
x/U„-9,;-^yJ dridr2. (52.47)
В координатах R = (ri + г2)/2, р = Г\ — г2, dridr2 = dKdp мы возьмем
сначала интеграл по R, выбрав направление оси х вдоль К. Поступая так же,
как при переходе от выражения (53.39а) к выражению (52.396), мы получим
J ехр [2iqz£0 sin (Kp/2) sin KX] dX dy =
L2 f
= — / ехр [2iqz£o sin (Kp/2) sin <p] d<p.
о
Подставляя это выражение в интеграл по р, учтем, что К<ди что, согласно
условию (52.46), Klg <S 1. Поэтому sin (Кр/2) — сравнительно медленная
функция и можно заменить синус его аргументом:
W = g^ / ехР [*(ч + 4ztosin<pK, p)] f [Я** -Я*'* -щ) dpd<p =
= 5 / / M\q + q,(osmipK\p)fiq„ -qz; -£у J dpd<p. (52.48)
0 0 \ 9 /
Сравнивая этот результат с формулой (52.24а), мы видим, что поскольку
К£о < 1 (углы подъема поверхности должны быть малы), в результате
наложения регулярной части £ к q добавляется малый вектор. Если для г) снова
принять нормальное распределение и гауссову корреляцию (52.26) со
среднеквадратичным значением 770 величины г), то вместо выражения (52.29)
мы получим
Sll 7 ( /J')2|q+a0sinv>K|2,
^7Г *
/еХР("
W = ^Ь «р -Ъ-1 ЧЪ, ' ^
8*ЧЧ2 У Г \ 4itf q\
о ч
и, считая |q + qz£o sin <pK\2 & q2 + 2qz£o(Kq) sin<p, найдем
\h\2 = \№?h -brfObii . (52.49)
\ ^70 Hz I
§52. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 385
где /(°) — прежнее значение интеграла и /о — функция Бесселя нулевого
порядка от мнимого аргумента. При £о -► 0 °на дает единицу
(случайные неровности на плоскости, т. е. прежний случай). Если же модуль ее
аргумента велик, то Iq{z) и ехр(|г|)/^/2тг|г|. Этот дополнительный
множитель может оказаться значительным (хотя относительное изменение
показателя в (52.29) остается небольшим; показатель умножается на фактор
1 — 2q~2£oqz(Kq), который мало отличается от единицы). Интересно
отметить, что в этом дополнительном множителе аргументом является сложная
комбинация характеристик обоих типов неровностей, в чем и проявляется
их неаддитивность.
В этом результате снова обнаруживается, насколько выводы зависят от
статистики распределения высот точек поверхности. Ясно, что если бы
высоты крупномасштабных неровностей были распределены по нормальному
закону, то даже при наличии регулярности в их расположении мы должны
были получить формулу (52.44). В таком случае добавление
крупномасштабных неровностей снижало бы рассеяние. В самом деле, при интегрировании
в формуле (52.43) главную роль играют очень малые расстояния,
определяемые мелкомасштабными неровностями. Наличие дальнего порядка в
неровностях с длиной корреляции ~ \/К ^> 1д не может повлиять на результат.
Однако при синусоидальном распределении высот (52.46) результат.
Однако при синусоидальном распределении высот (52.46) результат получился
принципиально иным, рассеяние возрастает.
Вместе с тем, если сравнить этот результат с формулой для da в случае
синусоподобной поверхности (56.40), то становится очевидным, что
наложение на такую поверхность мелкомасштабных неровностей г) с нормальным
законом распределения резко снижает рассеяние в основной области углов,
но зато появляется рассеяние там, где без мелкомасштабных
шероховатостей было da = 0. Мы вновь видим, что главное влияние на рассеяние
оказывают неровности с наибольшими углами подъема.
Сильная чувствительность рассеяния к статистическим свойствам
поверхности не позволяет получить общих для любых поверхностей
окончательных формул рассеяния. Однако с другой стороны, отсюда следует, что
исследование рассеяния излучения является возможным способом
определения статистических свойств поверхностей. В частности, это исследование
может проводиться не только с помощью электромагнитных волн, но и
акустическими методами, для которых формулы имеют такую же структуру [95].
В рассматриваемом случае высоких неровностей имеют место
поляризационные соотношения, в частности явления деполяризации, подобные тем,
которые для малых неровностей были рассмотрены в §48 и 51. В данном
случае они целиком содержатся в множителе [/3[/3[qQ]]], присутствующем в
формуле (52.17), или в квадрате аналогичного выражения в формуле (52.22).
При последующем усреднении эти множители не меняются, и, таким
образом, поляризационные соотношения не зависят от статистических свойств
поверхности. Оказывается [95], что для горизонтально (т. е.
перпендикулярно плоскости падения) поляризованной падающей волны, Р = Ру, и
для вертикально (т. е. параллельно плоскости падения) поляризованной
падающей волны, Q = Qy, компоненты соответствующих напряженностей
электрического поля рассеянной волны Е1^ и Е1'^ имеют следующие угло-
386 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
вые зависимости:
£#v) = £*(h) = A sin у>, (52.50a)
Ы(Ь) = йМ = AcoeycosX-coBy(H-in^rinX) 5Q
v x sin ^ + sin x
причем через А обозначена совокупность всех остальных множителей в
формуле (52.17), кроме [/3[/3[qQ]]]. Здесь Ev дает непосредственно
горизонтальную составляющую принимаемого излучения, а Ех отличается от
(вертикальной) z-составляющей множителем cosx- Квадраты угловых
множителей дают соответствующие парциальные сечения. Поляризационные
соотношения получаются, вообще говоря, отличными от тех, которые имеют
место для малых неровностей. В некоторых случаях, однако, отличие не
велико. Так, вертикальная составляющая поля горизонтального диполя,
согласно формуле (51.496), содержит фактор sin2 V'cos2 xsin2 </?, а, согласно
формуле (52.50а), получим cos2 x sin2 </?. В обоих случаях максимум лежит при
<р = к/2 в направлении, образующем прямой угол с плоскостью падения.
Экспериментальное изучение изложенных в настоящей главе вопросов
находится пока в малоудовлетворительном состоянии. Мы не будем
разбирать все имеющиеся работы. Отметим только, что в работе [109] при
отражении от моря (высота волнения около 30 см) радиоволн с А = 3 см
было найдено, что по мере увеличения угла ф от нуля до 80° в направлении
правильного отражения от усредняющей плоскости средний коэффициент
отражения меняется, убывая примерно от единицы (в области ф < 10°) до
значения порядка (—25)-(—30) дБ, которое достигается при ф ~ 20-25° и
затем остается практически постоянным (убывание на несколько
децибелов). Заметим, что даже при малых углах мы не можем применять теорию,
развитую в §51. Действительно, для морских волн можно считать, что 1д
раз в десять превосходит амплитуду Coi равную половине высоты волн, т. е.
Со ~ 15 см, 1д ~ 150 см. Следовательно, условие (51.306), 27г£о <С у/1д^,
не выполнено. С другой стороны, приближение настоящего параграфа
пригодно, согласно неравенству (52.6), только тогда, когда углы ф превысят
углы наклона поверхности у. После этого для / можно рассчитывать на
применимость формулы (52.19а) и ее частных случаев для разных
статистических свойств поверхности (52.21) и (52.38). Так как для морского
волнения 7о ~ 1/4 ~ 15°, то речь идет как раз о той области, где
экспериментально найденное / достигает постоянного значения. Однако согласно
формуле (52.21), при &Со = (27г/3)15° и 30° мы должны были бы ожидать
довольно сильного изменения /, когда sin^ меняется от sin 30° = (1/2) до
sin80° и 1 (на 20lg4 ss 12 дБ). Этого в действительности, согласно работе
[109], нет. С другой стороны, формула (52.38) дает / и Jo(30sinV0.
Заменяя бесселеву функцию ее асимптотическим значением и используя для
cos (30sinф — 7г/4) его среднеквадратичное значение 1/\/2, получаем, что
коэффициент отражения / должен меняться от (-y/2/7rA:Cosin30°)(l/\/2) ss 7
до ~ 1/10, или, в децибелах, от —20lg7 и —17 дБ до 20 дБ. Это довольно
близко соответствует упомянутым экспериментальным данным (особенно,
если учесть неточность в задании Со)-
Таким образом, распределение высот С синусоидального типа (52.37а)
кажется более правдоподобным, чем нормальное распределение (52.20). Од-
§ 52. ПОЛЕ НАД ПОЛОГОЙ ХАОТИЧЕСКИ НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 387
нако с другой стороны, есть довольно серьезные теоретические
соображения, исходящие из механизма образования морского волнения, в пользу
нормального распределения. Положение ни в какой мере нельзя считать
выясненным и приведенный выше анализ эксперимента имеет прежде всего
иллюстративный характер.
Как в настоящем параграфе, так и в §48 и 51 мы рассматривали
средние значения полей и их квадратичных образований. Отсюда, в
частности, получаются средние значения коэффициента отражения. Однако очень
часто этих величин недостаточно для практики и необходимо знать
полностью статистическое распределение амплитуд поля или коэффициентов
отражения. Иногда эти характеристики сводят к вероятности того, что
амплитуда поля (или коэффициент отражения) превысит заданную
пороговую величину. Между тем, лишь в случае гауссова, нормального
распределения данной величины все
распределение полностью определяется только двумя
параметрами — средним и
среднеквадратичным значениями этой величины. Мы
видели, что статистические свойства
поверхности существенно влияют на значения этих
параметров. Очевидно, что сильным будет их
влияние и на закон распределения амплитуд
рассеянного поля в целом.
», Рис. 111. К расчету зеркального от-
Мы приведем теоретические результаты ражения от Поверхности с ломаным
для одного специального случая, полученные профилем
Бекманом [110]. В этой работе
рассматривается рассеяние от поверхности с ломаным профилем в направлении
правильного отражения от горизонтальной плоскости (рис. 111), причем это
рассеяние рассматривается как суперпозиция волн, правильно отраженных
от случайно расположенных горизонтальных участков поверхности. Переиз-
L
ч
^\\\
к
JL
1
Т"
/
SW
\
/
/
/
^
/
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4;
1,2
1.0
0,8
0,6
0,4
0,2
^^, «■
^0-
~**-
Z."J*~
■T^J
^
—
■—,.
.-.-,
tf=
—
S5S
^
—
—.
~2»
-*=
р
1 г
1
г
TJT^ XI =U.U1
\'ср
р*
1 1
1 1
-Р = 0,05-
■ i i
Р = 0,1
)
Р = 0,95
О.ЭД
f
!> = 0,5
'~0
о
гт~
-4-
30
60
90
120
150
180
V,град
Рнс. 112. Вероятность Р{х) того, что прн данном угле скольжения ф отношение амплитуды
к среднеквадратичному значению г/гср превысит данное значение х. Вдоль каждой кривой
значение Р постоянно
лучением, а также взаимным затенением автор пренебрегает (следовательно,
угол падения ф должен быть достаточно велик, а длина волны А —
достаточно мала). Относительно закона распределения высот у,- горизонтальных
388 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
участков и их полного числа делаются определенные предположения:
существует максимальная разность ((Ау)макс = srj) значений у,-.
Соответственно этому существует максимальная возможная разность фаз
отраженных волн — максимальный сдвиг фазы </?, = 4n(s — l)r)s'mip, где s —
максимальное число элементарных ступенек. В пределах (Ау)млкс высоты
предполагаются распределенными равномерно. Соответственно равномерно
распределены сдвиги фаз </? в пределах между —а и +а, где
а = <р3/2 = 2k(s — l)?7sin ф.
Эта величина а существенно определяет распределение суммарной
амплитуды рассеянной волны г. При а = к задача совпадает с классической
задачей Релея [111] и, соответственно, г распределено по Релею: р(г) =
= const х г ехр (—г2/го). То же имеет место при а ^> ж. В более общем
случае а ф ж формулы получены в работе [110]. Мы приведем лишь
результирующий график. На рис. 112 даны кривые постоянных значений вероятности
Р того, что суммарная амплитуда г, выраженная в долях ее
среднеквадратичного значения г/у/г^, при данном а превышает некоторое значение х.
Для других статистических свойств поверхности вопрос не исследован.
§ 53. Усиление препятствия
Неровности почвы могут обусловить интересный эффект, позволяющий
радиоволнам в некоторых случаях проникать далеко за горизонте. Он
обнаружен экспериментально («усиление препятствия», «obstacle gain») [112,
113] и находит практические применения.
Как следует из теории дифракции на выпуклом теле (см. §39), вблизи
плоскости горизонта, приближенно разграничивающей освещенную и
теневую области, поле плоской волны, падающей на это тело, описывается
формулами френелевой дифракции на некотором эквивалентном плоском экране
с прямолинейным краем (см. рис. 64). «Вблизи плоскости» — это значит
там, где не велика безразмерная координата (39.23), (39.23а)
Здесь а — радиус кривизны препятствия, ф — угол дифракции. При этом
предполагается, что vka >• 1. В случае холма с а ~ 100-1000 м и волн
А ~ 10-100 см параметр \/ka ~ 10-50 и интервал углов, охватываемых этим
приближением, весьма значителен. Физически замена плоским экраном
допустима потому, что излучение виртуальных диполей, индуцированных
на теневой стороне выпуклого тела, оказывается вблизи плоскости горизонта
малым (§37, 39).
Но есть еще одно ограничение, которое нужно иметь в виду. Рассмотрим
эквивалентный экран (рис. 113, масштабы резко нарушены). Поместим в
точке Т начало прямоугольной системы координат х, у, z, причем х
направлено вдоль проекции линии распространения на плоскость горизонта, а
z — по вертикали. Применять формулы дифракции от прямолинейного края
недопустимо, во всяком случае, если размеры препятствия вдоль оси у малы
по сравнению с размерами зоны Френеля, т. е. по сравнению с у/\г. В этом
S 53. УСИЛЕНИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ
389
случае нужно рассматривать скорее дифракцию на закругленном острие. Это
существенное ограничение. Так, в опытах [114] было А = 3 м, г = 80 км, и
256 км, а высота горы Н в этих двух случаях была 465 м и 1700 м. Поэтому
равнялось соответственно 1,15 и 2,5. Можно ожидать, что
эффективный радиус кривизны вершины существенно меньше Н, поэтому выводы
Рис. 113. Замена холма плоским экраном
теории дифракции вокруг шара здесь, строго говоря, неприменимы. Если,
однако, речь идет не об изолированной горе, а о горном хребте или кряже, то
проблема может быть схематически сведена к дифракции от цилиндра. Это
вновь приведет к формулам дифракции от края экрана подобно тому, как это
выше было изложено для шара.
Явление «усиления препятствия» состоит в том, что поле в точке А
позади препятствия может оказаться во много раз сильнее, чем при
аналогичном расположении источника, точки наблюдения и поверхности земли,
когда этого препятствия нет.
Чтобы понять сущность этого явления, рассмотрим сначала случай
плоской земли (рис. 114). Заменим возвышение плоским экраном.
Пусть поляризация волн является горизонтальной, а модуль е достаточно
велик, так что коэффициент отражения от земли для скользящей волны
равен —1. Примем, далее, что расстояние D между корреспондирующими
■Щ>7Ш&
А
w/s/fy)////////.
А
D
Рнс. 114. К расчету усиления препятствия в случае плоской поверхности земли
точками О и А (с высотами ho и Лд) достаточно велико, чтобы при
подсчете поля в отсутствие препятствия можно было пользоваться простыми
390 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
формулами типа (19.42), (19.43). Модуль функции ослабления будет равен
kh0hA 2kh0hA
\wA\ = 2 sin » ———. (53.1)
Пусть теперь на расстоянии £>i от О помещено препятствие высоты Н,
которое мы можем заменить тонким экраном с прямолинейным краем. Поле
в А можно получить по методу изображений, причем интересующий нас
случай был рассмотрен в §20. Именно, нужно построить изображение
источника О' и изображение Т' экрана Т и рассмотреть дифракцию излучения
обоих источников на двойном экране в пустоте (рис. 36) или же суммировать
поля в истинной точке наблюдения Л и в ее изображении А'. При этом для
лучей OSiTA и OTS^A (или эквивалентных им лучей О'ТА и ОТ А') нужно
ввести дополнительную фазу к, учитывающую значение коэффициента
отражения в этих условиях. Для каждого из полей можно воспользоваться
формулой (11.8) или (39.32), однако значения щ для них будут различны.
Если брать «1 в форме (11.8г), то для каждого луча нужно построить
экран, перпендикулярный к линии, соединяющей соответствующие два
корреспондирующих пункта: О и А, О и А', О' и А, О' и А':
«<;> = -#(•')<
г = 1, 2, 3, 4, (53.2)
где г)*' и fj — расстояния от источника (О или О') и от точки наблюдения
(А или А') до перпендикуляра, опущенного из Т на линию, соединяющую
данный источник с данной точкой наблюдения. С достаточной точностью в
формуле (53.2) можно считать г^ = Di, r2 = D2, т. е.
а если £>i>I>2, той!' й
Таким образом, поле в точке А будет иметь вид
Е{А) ~ exp [»*г (г<1} + г51))]ю^(«(11)) - ехр [»* (г<2) + r22)y^wF{u^])-
- ехр [»* (г[3) + г<3)) ] </>И<43)) + ехР [** (ri4) + r24)) ] WF(tt(x4)) • (53.3)
Учитывая, что wp мало меняется на длине волны, можно ввести
средние расстояния до Т из средней точки Ое между источниками О и О', ri »
« (ОТ + 0'Т)/2, и из средней точки Ле между точками наблюдения, г2 «
и (AT + А'Т)/2. Обозначая далее через ф угол между ri и г2 (угол
дифракции), можно считать, что на свободную часть плоскости экрана вблизи
Т падает суммарная волна Eq ~ 2 sin (kHho/ri), которая и дифрагирует на
угол ф. То обстоятельство, что в реальную точку наблюдения приходят две
волны — непосредственно дифрагировавшая и отразившаяся после
дифракции в точке S2 — можно учесть, вводя фактор 2sin (kHhA/r2).
S 53. УСИЛЕНИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ
391
Таким образом, поле в А вместо формулы (53.3) можно выразить
функцией ослабления (см. формулы (11.8в) и (11.8г))
, . kHh0 . kHhA
wA ~ 4 sin sin wpiux),
fi Го
(53.4)
/к rxr2 /А"
«i = — \ sin w = —H\l —
V 7Г Г! + Г2 Iff
fl + r2
Г1Г2
Между тем в отсутствие препятствия мы имели выражение (53.1).
Отношение этих величин может быть как меньше, так и больше единицы. В
последнем случае оно называется усилением препятствия
С=Щ. (53.5)
В самом деле, Н может быть достаточно велико для того, чтобы точка Т
оказалась, например, в максимуме лепестка диаграммы направленности, а
гор при этом было еще не очень мало. Так, если \щ\ ^> 1, пользуясь для wp
формулой (10.136), в общем случае получим
G = 4 sin jkHho/n) sin (kHhA/r) 1
2sm[kh0hA/(ri + r2)] тгл/2|«г|"
Если
ho hA я- 1 ho hA
7Г"~2ПГ "F'jy*1' (536a)
TO
Г1 + Г2 1 /ЯТ1Г2 /2 /гх + ггГ! г2 1
'УЦГ1 + г2) Уя-У'
А;Л0Лл я-\/2Я у Мг1 + г2) V я- V &Г1Г2 Ло hA kH'
т. е.
©V
кНх1Ц±^- = ч/2"4гЫ. (53.7)
Axir2 к
Это максимальное значение величины G может быть очень велико (формула
(53.7) и получена в предположении, что \щ\ >• 1), если, как видно из
соотношения (53.6а), ho/ri и Ло/г2 малы. Так, при А = 1 м, ho = hA = 10 м,
fj = г2 = (1/2) • 105 м неравенство (53.6а) удовлетворяется, если кН =
= (тг/4) • 104, т. е. если Н = (1/8) • 104 = 1250 м. При этом \щ\ « 24 и
G « 13, 5. Таким образом, если по дороге оказалась гора, поле усиливается
почти на 43 дБ.
Характеризуя физическое содержание этого интересного эффекта, часто
говорят, что край экрана действует как пассивный ретранслятор. Это,
конечно, неточно. Если бы та же вершина препятствия, в виде срезанной
верхушки, была помещена на том же месте в отсутствие всей нижней части
горы, то эффект ее был бы ничтожен. Важно, что все препятствие
закрывает доступ в точку наблюдения А лучам от О, идущим вблизи земли и
испытывающим сильное ослабление. Фазовые интерференционные
соотношения для лучей, приходящих в Л по разным путям, весьма своеобразны.
Они таковы, что ниже расположенные (и сильнее ослабленные присутствием
392 ГЛ. 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
земли) лучи в совокупности все же погашают действие менее ослабленных
лучей, идущих через верхние слои пространства. Существенная для
прохождения лучей в отсутствие препятствия зона по-прежнему охватывает
эллипсоиды с относительно малыми порядковыми номерами (ср. § 11), хотя поле
здесь ослаблено. Препятствие экранирует, устраняет эти «вредные» лучи и
оставляет открытым доступ для неослабленных пространственных лучей.
Поле, дифрагирующее сквозь отверстие и первоначально имеющее, по
принципу Гюйгенса, вид суперпозиции полей от виртуальных источников,
распределенных по площади отверстия, всегда можно свести к выражению,
имеющему вид поля излучателей, распределенных по периметру отверстия
(см. замечание в конце §11). Поэтому и здесь входит расстояние от точки
наблюдения до вершины горы, т. е. до края экрана. Тот факт, что
свойства материала экрана не фигурируют в выражении поля, лишний раз
показывает, что говорить о «ретрансляции вершиной горы» можно только в
условном смысле и с осторожностью.
Вышеприведенное рассмотрение существенно опирается на теорию,
применимость которой в случае реальных препятствий — холмов, горных
кряжей и т. п. — далеко не всегда очевидна. Если мы даже согласимся
применять выводы теории, изложенной в § 39, на больших расстояниях от сферы,
£>2 ^ ai и схематически будем описывать вершину холма уравнением
второго порядка с единым радиусом кривизны а, то, согласно формуле (39.35),
этой теорией можно пользоваться лишь при достаточно малых углах ф. В
приведенном выше примере ф « 2Н/г « 1/40 и для справедливости
теории должно быть ф ~ 1/4 < у/2/ка, т. е. ка < 3 • 104. Таким образом,
при А = 1 м должно быть а < 5 • 103 м. Несомненно, для реальных холмов
это имеет место (мы отвлекаемся от вопроса о геометрической правильности
формы холма) и теорию можно считать применимой
Физическое истолкование эффекта подсказывает — и это оказывается
верным, — что усиление препятствия должно быть еще более
значительным, если в отсутствие препятствия играет существенную роль кривизна
земли, если А оказывался за горизонтом по отношению к О. Необходимо
только, чтобы высота препятствия Н была достаточно велика, именно, чтобы
край эквивалентного экрана Т оказывался в освещенной области как по от-
Рнс. 115. Усиление препятствия в случае сферической поверхности земли
ношению к О, так и по отношению к А (рис. 115). В этом случае снова
падающее в Т поле может быть получено с помощью отражательных
формул, и с их же помощью можно учесть отражение дифрагировавшей волны
S 53. УСИЛЕНИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ
393
от земли. (Конечно, в этих формулах можно учесть кривизну земной
поверхности.) Грубо говоря, поле в точке наблюдения при этом будет почти таким
же, как если бы земля была плоская, а высота препятствия Н отсчитывалась
от линии О А. Но поле в отсутствие препятствия (год), по отношению к
которому отсчитывается G, будет гораздо меньше. Поэтому усиление
препятствия возрастает. Подробный расчет для этого случая дан С.Я. Брауде
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
10*
А/Я
Р =
J
=0,0
Л
■/к
//
г/
/,
//
W
У
/
/,
у
/
V
,н
р =
ть
\
\
1
\
\\
\
л
i
-р=
V
\
),5
320
280
240
200
160
120
80
40
ш|103
6
и-л/#=о
1
р=1
-hlH
= 0,01
2 3 4 5 6 7
4 5 6
Рис. 116. Множитель ослабления (по отношению к свободному пространству) при наличии
усиления препятствия: а — для заданного отношения высот источника н края экрана и
разных высот точки наблюдения Лл (р = Лл/Ло); б — прн равных высотах источника н
точки наблюдения (р = 1) для разных отношений высот источника h н экрана
в работе [115], откуда мы заимствуем кривые рис. 116а, б. Здесь значения
множителя ослабления (по отношению к свободному пространству) даны как
функции величины H/^/\(ri + Г2) для таких (оптимальных) условий,
когда соблюдены соотношения (53.6а) и когда ho/H = 0,01 (рис. 116 а; здесь
различные кривые соответствуют разным значениям р = Лд/Ло), а также,
когда ho/H = hA/H = 0,01 и 0,001 (рис. 116 6).
Глава 9
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
§54. Введение
Едва ли не главной проблемой теории распространения радиоволн
является радиопередача за горизонт. Классическая теория дифракции вокруг
однородной сферической земли при вполне однородной атмосфере (гл. 6)
объяснила быстрое ослабление длинных и средних волн по мере ухода в
геометрическую тень, однако она оказалась неспособной предсказать или хотя
бы объяснить неожиданно далекое проникновение за горизонт метровых,
сантиметровых и даже более коротких волн, иногда зависящее от
состояния атмосферы, иногда — нет (речь, разумеется, по-прежнему идет о
таких случаях, когда роль ионосферы несущественна). При объяснении этого
явления опираются на три физических эффекта, которые иногда могут быть
явно разделены, так что роль каждого из них становится ясна. Однако
в некоторых случаях возникают конкурирующие теории при истолковании
одного и того же факта, а порой эти эффекты действуют совместно. Ими
являются: а) усиливающее действие отдельных неровностей (§53); б)
хаотическое рассеяние на турбулентных неоднородностях атмосферы (гл. 10)
и в) влияние слоистой неоднородности атмосферы, всегда присутствующей
хотя бы из-за нормального убывания плотности воздуха с высотой.
Последнее явление, называемое также иногда рефракцией в тропосфере, является
основным предметом настоящей главы.
Слоисто-неоднородной средой называется пространство, в котором
электрические характеристики зависят только от одной из координат
ортогональной системы, например, от z в прямоугольной и цилиндрической
системах, либо от г — в сферической. Строго говоря, простейшими проблемами
этого рода являются уже разобранные случаи — распространение радиоволн
в однородной атмосфере, отделенной плоской (гл. 5) или сферической (гл. 6)
поверхностью от однородной же земли. В настоящей главе нас будут
интересовать более сложные явления, которые встречаются в основном при
идеализированных формулировках в следующих трех практически важных
вопросах, соответственно определяющих специальные постановки задачи и
используемые приближения.
1) Слоисто-неоднородная почва может встретиться при геофизической
разведке (радиогеология). При этом речь может идти о резко
разграниченных однородных горизонтальных слоях с существенно различными
электрическими характеристиками. Так как на заметную глубину проникают
только длинные волны, то нужно прежде всего иметь в виду большие А, для
которых модуль е велик. Длина волны в воздухе обычно велика по
сравнению с толщиной слоев. Однако для теории более существенна длина волны
в самом слое, которая может быть мала по сравнению с толщиной слоя. В
практике до сих пор обычно удовлетворялись столь длинными волнами, что
можно было ограничиться квазистационарный трактовкой. Эти вопросы мы
не будем рассматривать.
§55. ТРЕХСЛОЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
395
2) Проблема сверхдальнего распространения радиоволн в пространстве,
ограниченном сферической поверхностью земли и отражающей сферической
же (концентрической с поверхностью земли) поверхностью
соответствующего ионосферного слоя. Здесь иногда можно считать каждый из трех слоев
(земля, атмосфера до отражающего слоя, атмосфера выше него)
однородным. Однако в действительности е меняется с высотой непрерывно и потому
сама эффективная высота отражающей поверхности ионосферы зависит от
длины волны излучения, а коэффициент отражения зависит от всего хода
е. Отражение волн короче, например, 10-100 м является предметом теории
распространения радиоволн в ионосфере и потому здесь рассматриваться не
будет.
3) Рефракция в тропосфере и, в частности, образование тропосферных
волноводных каналов (суперрефракция, сверхрефракция). Эта теоретически
наиболее трудная проблема сводится к изучению распространения
радиоволн в среде, в которой диэлектрическая проницаемость е весьма близка к
единице, причем е — 1 зависит только от одной вертикальной координаты,
и заметное изменение этой величины имеет место на интервалах, которые
обычно очень велики по сравнению с длиной волны. Соответственно велика,
по сравнению с А, толщина волноводного канала. Во многих случаях
существенную роль играет также присутствие земной поверхности. Как правило,
е можно считать вещественным. Этот третий вопрос и будет главной целью
нашего рассмотрения.
Таким образом, во многих случаях вертикальные масштабы среды
велики по сравнению с А. В этих условиях естественно прибегать к методу
геометрической оптики. Кроме того, можно пытаться рассматривать
прохождение радиоволн как результат последовательных отражений от границ
однородных слоев. Однако подобный подход удобен, когда играет роль
небольшое число отражений. В тех же случаях, когда речь идет о расстояниях
вдоль слоя, которые велики по сравнению с его толщиной (а это наиболее
существенные случаи), иногда приходится учитывать очень много
отражений.
Перечисленные выше вопросы исследованы в очень большом числе работ,
и всей проблеме в целом посвящена, в частности, обстоятельная монография
[9], к которой мы во многих случаях будем отсылать читателя. Здесь будут
изложены только некоторые основные моменты.
§ 55. Трехслойное пространство
Физическое содержание многих сторон процесса может быть понято, если
исходить из следующей простейшей проблемы.
Пусть плоский, бесконечно протяженный в горизонтальных
направлениях х и у однородный слой с е = £2 граничит при z = 0 с нижним
полупространством, в котором е = £з, а при z = Н — с верхним
полупространством, е = £i (Н < z < оо; рис. 117). Пусть источником является либо
электрический, либо магнитный вертикальный диполь. В силу
цилиндрической симметрии задачи поле можно описывать однокомпонентным вектором
Герца, П = Пг в электрическом случае или Пт = Umz — в магнитном.
В каждой однородной области, и в частности внутри слоя е = е2, имеем
( -ш/с) (V2 + £2к2)и = 0, u = U или « = Пт. (55.1)
396 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
*'
z = #
z = 0
i
£ = «!
£ = £2
е=е3
X
В простейшем случае, если £\ = ез = оо, т. е. границы слоя являются
абсолютно отражающими (и, следовательно, источник находится внутри слоя),
на этих границах имеют место условия
Ех = Еу = О, что, соадасно формулам
(4.8) и (4.11), означает как при z = О,
так и при z = Н:
для « = П
-^ = 0; (55.2а)
для и = Пт
и = 0. (55.26)
Существует два (чрезвычайно близ-
Рис. 117. Три однородных плоских слоя ких и сразу сводящихся один к
другому) метода рассмотрения этой
проблемы. Первый («метод нормальных волн») состоит в том, что разделяют
переменные и отыскивают всю полную систему частных решений уравнения
(55.1), образующих ортогональную систему функций, «собственные
функции» или «нормальные волны». Затем подбирают такую их линейную
комбинацию, которая удовлетворяет условию излучения и условию в источнике.
Для двухслойной проблемы — плоская однородная земля и однородная
атмосфера — этот метод сводится к методу Зоммерфельда, §31, когда
собственные функции (31.4а) и (31.46) образуют непрерывную
последовательность — они существуют для всех положительных значения параметра и.
Второй метод («метод плоских волн») состоит в том, что поле источника
вблизи него представляется как суперпозиция плоских волн (с
комплексными, вообще говоря, направляющими косинусами) и рассматривается
прохождение каждой плоской волны в отдельности. В случае двухслойного
пространства этот метод сводится к методу, изложенному в § 32. Там же
показано, как применение метода плоских волн приводит к результатам, которые
дает первый метод. В применении к более сложной слоисто-неоднородной
среде эти методы были развиты Эккерсли [118] и в дальнейшем успешно
разработаны рядом авторов (в особенности см. работы [119, 9, 11].
Эккерсли опирался главным образом на приближение геометрической оптики (см.
ниже §57, а также §61).
Обратимся сначала к методу нормальных волн. Вводя цилиндрические
координаты (г, </?, z) с осью z, проходящей через диполь вдоль него, мы
в силу симметрии задачи можем ограничиться решениями, зависящими
только от г и г. Частное решение (индекс и) получаем, разделяя
переменные, т. е. подставляя в формулу (55.1) и в виде произведения и = ZR
функции Z(z), зависящей только от z и подчиняющейся уравнению
d?Z
__ + (k2e2 - u2)Z = 0, (55.3)
и функции -R(r), зависящей только от г и подчиняющейся уравнению
<PR ldR - ,
где v — параметр разделения. Первое уравнение решается в синусах и
косинусах, второе же — в цилиндрических функциях нулевого порядка. Чтобы
§ 55. ТРЕХСЛОЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
397
удовлетворить условиям на границах слоя, удобно для П выбрать косинус, а
для Пт — синус от аргумента V'к2е2 — v2z. Условия (55.2а) и (55.26) тогда
в обоих случаях дают у/к2е2 — v2H = In, I = ±1, ..., т. е.
S = „f = k*e2-1^. (55.5)
Поэтому
*7Г Z
П = По cos ——, (55.6а)
Н
Пт = Пт0 sin —. (55.66)
Уравнение же (55.4) решается в цилиндрических функциях нулевого порядка
от аргумента иг. Удовлетворить условию излучения (уходящая волна при
больших г) можно, выбрав функцию Ханкеля первого рода для значений,
параметра v = vi, определяемых условием (55.5),
Я = Д, ~ tfj1 V) = Н^ к Jet ~ ( т^ ) г . (55.7)
На бесконечности Щ ' ~ exp(tVjr). Следовательно, выбирая тот знак у
квадратного корня, который в свободном однородном пространстве (ег = 1
и Н = оо) дает незатухающую волну,
Re Je2 - (J^j > 0, (55.7а)
видим, что даже при £2 = 1 волны с достаточно большим /,
1>1С = ~, (55.8)
7Г А
будут экспоненциально затухать на бесконечности, для них слой
непроходим. Существует минимальная толщина слоя, еще допускающая решение в
виде незатухающей (при вещественном £2) бегущей волны. В самом деле,
если
к А
Н < Ямин = —— = ——:, (55.8а)
Ку/£2 *л/£2
то даже при / = 1 параметр v — комплексный и Щ ' экспоненциально
затухает на бесконечности. На малых расстояниях и эти волны должны,
вообще говоря, учитываться в решении. В общем случае поле есть
суперпозиция, вышеприведенных частных решений, называемых нормальными
колебаниями, нормальными решениями или модами (английское mode) с
некоторыми коэффициентами Bi'.
1 \ = 12В, 7: }^W\k\h2-(i^)r). (55.9)
398 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Подбором коэффициентов нужно удовлетворить условиям в источнике
(lim (ги) = const). Число модов, не затухающих на бесконечности, т. е.
число членов ряда, которые дают вклад в поле на больших расстояниях, как
видно из формулы (55.5), при е ~ 1, грубо говоря, имеет порядок Н/\.
Все вышеизложенное, разумеется, представляет собой обычную теорию
плоского волновода с идеально проводящими стенками. Отметим, что
разрешенные значения v = vi образуют дискретную последовательность, волновод
имеет дискретный спектр. Если мы заменим, например, косинус через
полусумму экспонент, то каждое парциальное решение на достаточно больших
расстояниях приобретает характер суперпозиции плоских волн. Именно,
поскольку при \vr\ >• 1
имеем
1кг
^'^"^""К"-?)]'
COS
f"°1)("<r)*\^e4-'Dx
х < ехр г f i/;r 4- — z J + exp i f v\r - — z )\\ ■ (55.9a)
Таким образом, каждое нормальное решение можно рассматривать как
суперпозицию плоских волн, идущих под углами 9i к оси z:
ct8ft = ±» <55-96>
Можно сказать, что 1-я волна распространяется, вообще говоря, под
комплексным углом ai с осью z, причем
тг/
к sin at = i>i, k cos оц = —. (55.9b)
H
Фазовая скорость каждой из этих волн, например при / < /с и е2 = Re £2,
есть
Vl = = = -—= < с. (55.9г)
у^2 + (7Г//Я )2 kV£2
Если же искать фазовую скорость распространения вдоль оси г
непосредственно из формулы (55.9), то мы получим
и/(Г) = * = к^е2 -"{Ы/кН)* > *^Г (55*9Д)
т. е. при £2 = 1 имеем v\r > с. Каждая из этих плоских волн
последовательно отражается от границ слоя. Наложение всех волн и их отражений
образует поле на бесконечности.
Этот результат возникает и в том случае, если то же решение мы будем
строить, исходя из метода плоских волн, используя теорию изображений.
155. ТРЕХСЛОЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 399
Источник О (рис. 118) испускает поле, которое имеет такой же вид, как в
однородном пространстве и непосредственно доходит в точку наблюдения А
(луч О А). Однако это поле не удовлетворяет граничным условиям при z = О
Of,
о;
О'
Рис. 118. Расчет поля в плоском волноводе с абсолютно отражающими стенками методом
отраженных источников
и z = Н. Чтобы им удовлетворить, нужно (см. §20) добавить поле
изображений 0[ и 0'2 источника соответственно в плоскостях z = 0 и z = Н. Так
возникают однократно отраженные волны, доходящие в А. Однако эти
добавленные поля помогают удовлетворить граничным условиям на одной из
пары плоскостей, но не удовлетворяют условиям на второй из них: поле
источника 0[ не удовлетворяет условию на плоскости z = Н, и потому нужно
добавить его изображение О" в этой плоскости, а поле источника 0'2 —
условию при z = 0, и потому нужно добавить 02'. Соответственно добавятся
дважды отразившиеся лучи, также доходящие в точку А. Продолжая так
далее, получаем бесконечную цепочку источников на оси z и соответственно
бесконечный набор волн, доходящих по разным путям в точку А. Это и
соответствует суперпозиции волн (55.9а), приходящих в точку А под разными
углами 9i (55.96) или оц (55.9в).
Первое обобщение полученной картины состоит в том, что мы допускаем
не бесконечные значения для ei и ез- Соответственно этому отражение от
плоскостей z = 0 и z = Н уже не является полным. Будет происходить
отток энергии из слоя. С другой стороны, излучение будет приходить в Л и
400 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
другими путями, через внешние области. Это существенно меняет характер
решения: к дискретному спектру значений v = v\, как мы увидим,
добавляется непрерывный спектр. Мы будем здесь следовать Бреховских [120, 9].
Пусть источник — вертикальный диполь — находится внутри слоя на оси z
на высоте го-
Введем относительные коэффициенты преломления
n = ni(z)=J£-^; Z>H,
п = n3(z) = J^lf), г < 0.
V ^2
(55.10)
Они могут быть и комплексными, если комплексы £i, £2 и (или) £з-
Поле, излучаемое точечным диполем, на расстоянии R от него можно
разложить на плоские волны (частично с комплексными направлениями
распространения). Это разложение дается формулой (32.26). Каждая из
представленных в нем плоских волн, падая на границу слоя, будет отражаться
от нее, затем от противоположной границы, затем снова от первой и т. д.
При каждом отражении от нижней границы z = 0 она будет умножаться на
соответствующий коэффициент отражения /з(<*)> при каждом отражении от
верхней границы — на /i(a). Кроме того, на пути от одной границы до
другой она будет увеличивать свою фазу на 2ikHcosa = 2ikz(a)H. Нумеруя
отражения индексом / и складывая волны, дошедшие после всех
возможных отражений, мы, выписав аккуратно члены, соответствующие разным /,
и просуммировав получающуюся геометрическую прогрессию, получим
следующее выражение для полного поля (подробнее см. [9, §27]), например при
z> zo,
ik f
П = — / sin а<1аФ>(а)^(кг8та), (55.11)
г
где использована формула (32.9) и обозначено
Ф>(а) =
_ [exp(-ikzzo)+f3exp(ikzzo)] [exp(-i(H-z)kz) + /гехр (i(H-z)kz)]
~ exp {-iHkz) [1 - /i/3 exp {2iHkz)\ '
z > zo- (55.12a)
Контур интегрирования Г должен быть выбран так, чтобы при г —¥ 0 z —¥ zo
выражение для П переходило в выражение, справедливое для уединенного
диполя. Следовательно, контур Г должен совпадать с указанным в § 32.
Для z < zo справедливо то же выражение (55.11) с заменой Ф> на Ф<,
получаемое взаимной перестановкой гигов Ф>:
Ф<(а) =
_ [exp {-izkz)+/3 exp jizkz)] [exp {-i{H-zo)kz)+/г exp (i(H-zp)kz)]
exp {-iHkz) [1 - A/3 exp {2iHkz)]
z < zq. (55.126)
S 55. ТРЕХСЛОЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
401
Рассмотрим некоторые предельные случаи.
а) Если £i = £2 = 1, то мы возращаемся к случаю диполя, помещенного
в атмосфере на высоте zo над плоской однородной землей. Отражение от
уровня Н отсутствует, Д = 0, и, например, для электрического диполя Д =
= /ц (32.5). Это приводит к прежним результатам, например при zo = О,
если использовать обозначение (55.12а) — к формуле (32.10). Спектр по
параметру v = к sin а является непрерывным.
б) Если обе поверхности являются отражающими, ei = £3 = 00, Д =
= /з = 1, мы должны получить вместо интеграла ряд (55.9). Это
действительно имеет место, как мы сейчас убедимся. Однако лучше сразу
рассмотреть более общий случай конечных £\ и £з-
Заменим Jo по формуле Jo = {Щ + Щ )/2 и воспользуемся тем, что
щ \vr) = —Щ \—vr). Дополняя контур интегрирования по а его
отражением в точке а = 0, так что (см. рис. 119) новый контур Ti идет от
а = —к/2 + too до а = — 7г/2, затем по вещественной оси до а = +7г/2 и
затем к а = ж/2 — too (это эквивалентно переходу при интегрировании по v
от 0 до 00 к интегрированию от —оо до +оо), мы получаем, например, при
z > zo
П= ^ f sin a da • Ф> {а) н£\кг sin a). (55.13)
При этом учитывается, что Д и /з, согласно формуле (32.5), удовлетворяют
соотношениям
/("<*) = 7^)' Ф(а) =-Ф(-а). (55.14)
Интеграл (55.13) можно преобразовать, заменив интегрирование по кон-
ТУРУ Гх интегрированием по другим контурам, именно (см. рис. 120): а)
по прямой, идущей из а = 7г/2 + too в а = п/2 — too; б) по бесконечно
-я/2
©
±3/2]
I
Рис. 119. Контур интегрирования в формуле (55.13)
-я/2
©
I
I
I
I
I
Рис. 120. Замена контура интегрирования Ti (рис. 119) при переходе от формулы (55.13) к
формуле (55 17)
402 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
удаленной дуге окружности в верхней полуплоскости, на которой щ '
экспоненциально мало (при а —► too имеем sin а —► — ехр (+oo)/2t ~ too, так
что До \vr) ~ ехР (-0О))> в) по окружностям вокруг полюсов Pi, P2,... под-
интегрального выражения, что дает сумму вычетов, и г) по берегам разрезов
(штриховая линия на рис. 120), проведенных из точек ветвления Ак в -Иоо.
Но первый из этих интегралов обращается в нуль, поскольку Щ ^(Arsin a),
sin а и, согласно соотношениям (55.14), Ф(а) все порознь, а значит и их
произведение являются нечетными функциями а. Второй интеграл также
равен нулю. Полюса Pi, P2, ... определяются обращением в нуль
знаменателя, что ведет к уравнению 1 — /1/3 exp (2ikzH) = О, kz = A; cos а, или
In fi{ai) + In /з(<*/) + 2ikHcosai = 2nil, (55.15)
где / — произвольное целое число, нумерующее полюса.
Точки ветвления Ai и Лг возникают из-за наличия квадратных корней
в /i и /з. Именно, заменяя в формуле (32.5) для верхней и нижней границ
е на п\ и п\ соответственно, видим, что речь идет о точках aAl и aAi, для
которых
Jn\ - sin2 aAl = 0, Jnl - sin2 aAi = 0. (55.16)
Окончательно получаем
• i f 00
П = — < 21ггчу2Ке5Ф(оц)Щ ^(Arsina/)sina:/+
*• /=o
2 <л*)
+ Ё / $(a)^o1)(A;rsinQ:)sinQ:daf- (55.17)
^«oo
Если ni и пз очень велики, то <*Ак, согласно равенствам (55.16), имеют
большие положительные мнимые части. Поэтому на пути интегрирования
по берегам разрезов Щ ' экспоненциально мало, и эти интегралы можно
отбросить. Таким образом, П сводится к сумме вычетов, к сумме дискретных
членов. При этом Д « /з « 1, и из условия (55.15) следует, если мы
обозначим A;sina/ = щ, что Hdk2 — i/f = я7, т. е. v\ таково же, как и в
формуле (55.5). Кроме того, при / ф 0
11е5Ф>(а:/) = [1 - /1/зехр(2г'ЯА;2)]Ф>(а/) = 4cos (zoA;2) cos ((# - z)kz).
Таким образом, возникает решение вида (55.9), (55.9в). (Мы не
останавливаемся на детальном определении коэффициентов Bi для вертикального
диполя, которое должно привести к тождественности обеих формул.)
Разобранный здесь простейший пример показывает, что волноводное
распространение выражается дискретной частью спектра v (или а), в то
время как непрерывная часть спектра (интегралы в формуле (55.17))
описывает распространение через наружные слои. В предельном случае бесконечно
тонкого волновода, Н —> 0 (или, что, конечно, эквивалентно, при совпадении
свойств волновода и одной из наружных областей, например, £i —> £2), как
S 56. РЕФРАКЦИЯ В ТРОПОСФЕРЕ. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ 403
мы видели, остается только непрерывная часть спектра (32.10), в другом
предельном случае, — когда нет оттока в окружающие области, — только
дискретная часть. В более общем случае коэффициенты / отличны как от
нуля, так и от единицы. Если они известны, то, определив из формулы
(55.15) полюса а/, а из равенств (55.16) точки ветвления адк, можно прийти
к суммам и квадратурам, вместе составляющим П.
Рассмотренные выше вполне однородные слои, для которых /i и /з
сводятся к коэффициентам Френеля, представляют собой простейший случай.
Он может найти применение, например, в проблемах радиогеологии (но,
кроме того, может быть использован при излучении распространения
радиоволн вблизи сферической земной поверхности). Более сложно применение
этой теории к неоднородным (по вертикали) слоям (см. §56, 57).
§ 56. Рефракция в тропосфере. Элементарное рассмотрение
Неоднородность тропосферы вызывает прежде всего два важных эффекта
в распространении радиоволн. Во-первых, монотонное убывание е с высотой
создает рефракцию, усиливающую проникновение за горизонт волн любой
длины, если градиент е удовлетворяет некоторым условиям. Во-вторых, при
немонотонном изменении е могут возникнуть области волноводного
характера, что обеспечивает канализирование достаточно коротких волн далеко за
горизонт. Соответственно этому мы от рассмотрения плоских слоев должны
перейти к анализу сферически слоистой атмосферы, т. е. совместно
рассматривать неоднородность среды и дифракцию вокруг земли.
Оказывается, что эта более сложная задача во многих отношениях сводится либо
к плоско-слоистой атмосфере, либо к дифракции вокруг земли, окруженной
однородной атмосферой.
Итак, мы считаем неоднородность такой, что е зависит только от высоты
над землей:
e = e(h), h = r-a, (56.1)
*
где г — расстояние по радиусу от центра земли (а не одна из координат
цилиндрической системы, как это было, например, в §55).
Вместо диэлектрической проницаемости часто пользуются показателем
преломления п = у/ё, причем в силу малости отличия п от единицы е-1й
«2(п-1).
Чтобы получить грубую ориентировку, придадим неоднородности
характер однородных концентрических слоев постепенно убывающей плотности.
Вообразим источник на поверхности земли и разобьем его излучение на
набор лучей, покидающих землю под разными углами к горизонту. Каждый
луч, переходя из одного слоя в другой, более высокий и, следовательно, менее
плотный, будет испытывать отклонение от нормали, постепенно уменьшая
свой угол скольжения ф (рис. 121). Луч, вышедший с земли под достаточно
малым начальным углом ф = фо, может на некоторой высоте приобрести
горизонтальное направление и после этого начать отклоняться вниз,
проходя в обратной последовательности с постепенно увеличивающимися ф те
же слои, пока не вернется на землю. Очевидно, что такое возвращение на
землю при данном фо возможно не при всяком законе убывания е.
Наоборот, может случиться, что лучи, вышедшие под слишком большим углом
фо, дойдя до области, где е достигает предельного значения е = 1, испытают
404 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
некоторое отклонение от первоначального направления, после чего
дальнейшее отклонение прекратится, луч уйдет из тропосферы и сможет вернуться
лишь после отражения от ионосферы (если подобные же обстоятельства и в
этом случае не приведут к тому, что он уйдет из атмосферы вовсе).
Действительно, пусть тонкие сферические слои имеют толщину Аг (см.
рис. 122). Луч, падающий на t'-й слой в точке А под углом 0,- к радиусу г,-,
преломляется и в слое распространяется
под иным углом в\ (к тому же радиусу)
в соответствии с законом Снеллиуса
n;_i sin 0, = n, sin 0j. (56.2)
Однако на следующий, (г + 1)-й слой,
он падает в направлении, которое с
радиусом r,+i составляет угол 0;+i,
отличный от 0\, поскольку точка
падения В смещена относительно А и
направление самого радиуса r,+i здесь
Рис. 121. Возможные траектории лучей в слоисто-неоднородной атмосфере с монотонным
изменением показателя преломления
Рис. 122. Преломление при прохождении луча сквозь тонкий однородный сферический слой
с резкими границами
не совпадает с направлением г,. По теореме синусов, примененной к
треугольнику ОАВ, имеем sin (к — 0t')/sin<?»+i = r,+i/n- Выразив отсюда
sin 0\ и подставив его в формулу (56.2), причем с точностью до величин
высшего порядка малости можно положить п^х/щ « n,-/n;+i, получаем важный
результат: произведение n,r,-sin 0,- остается при преломлении постоянным,
n(r)r sin 0(r) = const = nofosintfo-
(56.3)
Здесь индексом «О» отмечены значения этих величин в какой-либо точке,
например в точке выхода луча. Отсюда следует, что угол в(г) в каждой точке
известен, если известен показатель преломления п(г) и параметры в начале
траектории. В частности, так можно найти условия, при которых станет в =
= 7г/2, т. е. луч приобретет горизонтальное направление (после этого, в силу
полной симметрии задачи, луч будет изгибаться по направлению к земле,
проходя все лежащие ниже слои под теми же углами, что на восходящей
траектории, если е зависит только от h).
Радиус кривизны луча р в данной точке равен отношению приращения
пути As = АВ к приращению угла касательной Д</?, т. е. на толщине слоя
S 56. РЕФРАКЦИЯ В ТРОПОСФЕРЕ. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ 405
Аг (см. рис. 122) р = As/A<p = Аг/{9'{ — #;) cos 9. Поскольку А9 определено
как Oi+i — Oi, имеем
А<р = 9'i -9i = 9\ - 0,+i + A9 = Ад + А9 = Artg<?'+1 + Ав.
Далее, дифференцируя (56.3), находим, что nr cos9-A9 = — sin9• А(пг).
Отсюда получаем
P=-(dn/dr)sm9- (56-4)
Очевидно, что луч достигает максимального удаления от поверхности
земли, когда р(г) = г, sin 9 = 1. Это значит, что — п = (dn/dr) г, т. е.
d(nr) dn n .„„ „.
V = n + r*=°- (56.5)
Таким образом, «точка отражения» луча определяется условием dn/dr =
= —п/г. Однако как раз в области отражения лучевое рассмотрение
(геометрическая оптика) не точно (см. §57).
Уже из закона преломления для сферических слоев (56.3) следует
чрезвычайно полезный метод анализа [112], состоящий во введении
эффективного радиуса земли и, шире, позволяющий для распространения радиоволн
в неоднородной атмосфере использовать результаты теории, развитой для
однородной атмосферы, и наоборот.
Если ограничиться небольшими интервалами высот, то п можно
разложить в ряд по г — а и ограничиться первыми членами, так что п и
» no + (dn/dr)o(r — а). Полагая г — а = h, г = а(1 + h/a), имеем
вместо формулы (56.3)
no a
Таким образом, уравнение луча содержит аддитивно члены, отражающие
влияние сферичности земли, h/a, и влияние неоднородности атмосферы,
(dn/dh)o. Поэтому, если использованное разложение для п справедливо,
т. е. градиент п допустимо считать постоянным, то целесообразно положить
1_1 + ±(£), (56.7)
ае а по \0"/о
где ае — новая постоянная, «эффективный радиус земли». Тем самым
задача о распространении лучей в неоднородной атмосфере сводится к задаче
распространении лучей в однородной атмосфере над сферической землей
иного — большего (так как (dn/dh)o < 0) — радиуса. Более того,
рассматривая плоскую неоднородную атмосферу (а = оо, см. §57), можно
заменить ее однородной атмосферой над сферической поверхностью с се =
= no/(dn/dh)o. С другой стороны, и наоборот: распространение радиоволн
в однородной атмосфере над сферической землей можно рассматривать как
распространение над плоской землей в атмосфере с измененным,
модифицированным, показателем преломления. В самом деле, полагая в формуле
(56.3) г = а(1 + h/a) и не делая даже предположений о постоянстве
градиента п, мы приходим к выводу, что картину распространения радиоволн
406 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
можно получить, рассматривая плоскую слоистую атмосферу с п = пмод,
где, учитывая малость величин h/a и п — 1,
«мод = n{h) М + - J и n(ft) + -. (56.8)
Так как эта величина имеет обычно порядок 10~4, то принято
пользоваться индексом рефракции М:
М = (пмод - 1) • 106 = (п - 1) • 106 + 0,157ft, (56.9)
где ft выражено в метрах. Аналогично можно ввести модифицированную
проницаемость еМод:
£мод= «мод» 1+2(пмод-1). (56.10)
Таким образом, мы сможем в дальнейшем перенести на сферически
слоистую атмосферу все результаты, выводимые для плоско слоистой (§57).
Этот последний подход — исключение кривизны слоев — является
наиболее важным в практическом отношении.
Заметим, что при sin в, близких к единице (обычно самый существенный
случай), согласно формулам (56.4) и (56.7), можно написать
-=--i, (56.11)
ае а р
т. е. эффективный радиус ае измеряет «относительную кривизну»
поверхности земли и траектории луча. Откладывая строгое обоснование метода
эффективного радиуса до § 58, мы уже сейчас рассмотрим некоторые
следствия.
Монотонное убывание s(h) с постоянным градиентом является
идеализацией, осуществляющейся довольно редко. Однако удобно отправляться
именно от этого случая.
а) Наличие отрицательного градиента е (de/dh < 0) увеличивает
эффективный радиус земли. Соответственно возрастает эффективное расстояние
до горизонта: для источника, поднятого на высоту ho, оно будет не y/2ah,
a y/2aeh. Физическое содержание этого эффекта — изгибание лучей в
неоднородной атмосфере, обеспечивающее их проникновение за видимый
горизонт (нижний луч на рис. 121). Для dn/dh справедлива формула (15.3) (см.
также последующие замечания). Из формулы (15.4) для так называемой
«стандартной атмосферы» получаем («нормальная рефракция»)
а 4
°е « 7~. /. /..ч « о° « 8500 км- (56.12)
1 + a(dn/dh) 3
Вообще же ае может достигать и больших значений. Так, для насыщенной
парами атмосферы из формул (15.3) и (56.7) можно получить ае и 10000 км.
б) Может оказаться, что градиент s полностью скомпенсирует влияние
кривизны, правая часть в формуле (56.7) обратится в нуль, ае —>• оо
(«критическая рефракция»). Это значит, что благодаря рефракции радиоволны
распространяются неограниченно далеко, как над плоской землей (мы здесь
повсюду отвлекаемся от поглощения в почве). Это будет иметь место при
-dn/dh -> 15,7-Ю-8 м-1.
§ 56. РЕФРАКЦИЯ В ТРОПОСФЕРЕ. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ 407
в) Если ае < 0, лучи будут столь сильно загибаться к земле,
испытывая подобное же отклонение и после отражения от земной поверхности,
что они останутся в приземном слое («сверхрефракция», «суперрефракция»).
Это соответствует волноводному распространению и, поскольку здесь, по
существу, речь идет о случае р < г, в согласии с формулой (56.4) имеем
—dn/dr > п/r и 1/а, эффективный радиус отрицателен.
На рис. 123 показано, как выглядят траектории лучей при
тропосферной рефракции, обусловливающей их проникновение за горизонт, с одной
стороны, в действительности (рис. 123 а); с другой — после того, как мы
а 6
Рис. 123. Сверхрефракция (а) и ее представление при переходе к эффективному радиусу
земли с отрицательной кривизной (б)
перейдем к однородной тропосфере с измененным радиусом земли для
случая, когда —dn/dh чрезвычайно велико, все лучи способны возвратиться на
поверхность земли и ае отрицательно (рис. 1236). Эффективное изменение
знака кривизны земной поверхности позволяет — теперь уже
прямолинейным («однородная атмосфера») — лучам непосредственно достигать
поверхности земли.
На рис. 124 изображены некоторые возможные виды зависимости пмод
от h, причем, как это принято, строится обратная зависимость Л(пмод).
Прямая линия 1, если тангенс угла наклона равен a (dnMO„/dh = 1/а,
dh/dnMO„ = а, ср. (56.8)), описывает однородную атмосферу над
сферической землей. Если такая прямая идет более круто, то это соответствует
равномерному (dn/dh = const) убыванию п с высотой, т. е., например,
стандартной атмосфере. Особый интерес представляют «аномальные» случаи
вроде изображаемых кривыми 2~4-
Кривая ,2 соответствует случаю, когда вначале, около земли, dh/dnMOK >•
>• а, т. е. dn/dh ss —1/а — «критическая рефракция», которая затем
переходит в быстрое убывание п с высотой. На кривых S и 4 показан
немонотонный ход п(Л), вызывающий непостоянство знаков dnMOA/dh. В
частности, здесь возникают области, где пмод, а следовательно, и к2емож настолько
велики, что, как мы увидим в дальнейшем (§57), важный для теории
коэффициент к2емод — v2 в уравнении (57.3) может стать положительным для
некоторых вещественных значений допустимых v. Соответственно
возникнут частные решения, в которых множители Щ (иг) для некоторого набора
дискретных значений v не будут затухать по мере роста г.
Так же, как для однородного трехслойного пространства (§55), это будет
соответствовать волноводному распространению (подробнее см. §57).
Такое положение может возникнуть в области z\ < z < z2 B случае кривой
S («приземный волновод») и в случае кривой 4 («приподнятый волновод»).
Действительно, здесь можно провести прямые (штриховые вертикали), у
408 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
которых есть участки, лежащие слева от кривых. Разумеется, наличие
подобных участков на кривых Л(пмод) — условие необходимое, но не до-
hkz
Пмод
Рис. 124. Некоторые виды профилей n„ox(h)
Рис. 125. Идеализированные типы профилей пМОд(Л), использовавшиеся в теоретических
подсчетах
статочное. Так, например, должно еще удовлетворяться условие (57.25),
А < 2НЭфу/бё. В противном случае дискретный спектр положительных и2
не возникнет.
Кривые 5-7 на рис. 56 показывают три идеализированных типа
профилей М, которые были широко использованы при теоретических подсчетах.
Это:
а) профиль 5, который, как думают некоторые авторы [122], хорошо
изображает средние условия в тропосфере: убывание п с высотой до некоторого
го, после чего п остается постоянным и равным единице. Действительно,
убывание п не может продолжаться безгранично, так как уменьшающаяся
плотность воздуха не может сделать е меньшим единицы (поскольку мы
отвлекаемся от влияния гораздо выше расположенной ионосферы);
б) «билинейный» или «линейно-ломаный» профиль (кривая 6) [13, гл. 2;
9, §40];
в) «степенной профиль» (кривая 7) [123]
'мод
= 1 + 9
-(£)'!]■
(56.13)
где q, А и р — постоянные, причем р придаются разные значения между
О и 1, q берется из стандартной атмосферы, q = l/a+ (1/п)(^п/йЛ)станд,
Д — параметр длины, имеющий смысл эффективной толщины волновода.
Используя эти — или другие — зависимости емод(Н) в теории
плосконеоднородной слоистой среды, например в приближении геометрической
оптики (§57), или при точном решении уравнений (57.2), (57.3) (§58), в
принципе можно получить искомое поле.
Очевидно, что кривые 6 и 7 должны схематизировать условия,
существующие в случае кривых 3 и 4- При этом, однако, как и для схемы,
выраженной кривой 5, остается спорным вопрос о законности замены плавной кривой
на ломаную.
Для завершения лучевой трактовки изложим более строгий метод, не
предполагающий разбиения среды на элементарные однородные слои с
резкими скачками п на из границах.
|56. РЕФРАКЦИЯ В ТРОПОСФЕРЕ. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ 409
Рассмотрим прохождение луча на основе принципа Ферма [124]. Согласно
этому принципу (см. ниже (61.45) и вообще §61), траектория луча между
двумя заданными точками 1 и 2 соответствует экстремальному значению
интеграла, дающего время его распространения. В координатах (г, 0), если
п = п(г), речь идет о двумерной задаче. Элемент пути луча можно считать
равным
dl = v/(dr)2 + r2(dtf)2 = M Jf2 + (£Л
и необходимо найти такое г(#), что
J = J F{r, r') dd = extr, (56.14)
*i
dr
F{r, r') = п{г)у/г1 + (г')\ r' = —. (56.14a)
av
Это означает, что вариация J исчезает, если варьируем г{д) при
закрепленных значениях г(д{) = ri, r(#2) = г2. Особенностью слоисто-неоднородной
среды является независимость п, а потому и F от д. В общем случае
требование SJ = 0 приводит к уравнениям Эйлера, к дифференциальным
уравнениям второго порядка для г(#). Однако когда F не содержит явным
образом независимой переменной, одно интегрирование выполняется сразу и мы
приходим к уравнению первого порядка
F - г'|£ = С, (56.15)
где С — константа интегрирования.
Введем угол а луча с горизонтом в данной точке:
r' = rtga. (56.16)
В начале пути угол а есть угол выхода оц.
Подставляя выражения (56.14а) и (56.16) в уравнение (56.15), находим
r/i(r)
С = rin(ri)cosai = гп(г) cos a = . (56.17)
у/1 + (г'/г)2
Это уравнение совпадает с уравнением (56.3). Разрешая его относительно
г', получаем
Г2"2<Г> ' -1, (ИЛ8)
r2n2(ri) cos2 «i
откуда для конкретного п(г) определяется траектория луча г(д). Этот метод
был применен в работе [124] для случая
e(r) = n2(r) = *+-!,
410 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
где S и у — постоянные. Такая зависимость соответствует реально
возможному е(г). Действительно, разлагая в ряд по h = г — а, находим
«(*)-'^0-4)-",w(1-^)-
При 7 = 0) 13а2, S = 0,87 получаем стандартную атмосферу (в работе [124]
подробно проанализирован случай у = 0,2а2, S = 0,8). Мы рассмотрим
более общий вид линейного хода п:
п = п{а) Л - 7-) = п(гх) (l - 7^^-) • (56.19)
Прежде всего определим условия, при которых луч, достигнув высшей
точки, поворачивает назад к земле. В этой точке го = а + Ло имеем г' = 0,
и, следовательно, формулы (56.16) и (56.19),
если учесть, что
^^
г2п2(г) и г\п2(г{)
дают
1 + 2(1 - 7)
Г -Г!
h0 — hi = —
hi +
а
2(1-7)
sin «i.
Таким образом, точка возврата ho > hi
существует только если 1 — у < 0, как мы
получали уже раньше, т. е. в области
сверхрефракции. В случае нормальной рефракции
луч, направленный вверх («i > 0),
постепенно отклоняется книзу от прямой линии,
но его угол с горизонтом не обращается в
нуль. В точку 2 (рис. 126), видимую из
начальной точки 1 под углом <*о с горизонтом,
луч приходит несмотря на то, что
начальный угол «1 был больше «о- Их разность,
угол рефракции Аа = «i — a0 можно найти, проинтегрировав уравнение
луча (56.18). Для линейного п (56.19), пренебрегая квадратами (г - г{)/а,
мы можем привести уравнение (56.18) к виду
Рис. 126. Различие между углом
выхода луча и углом направления в
точку прихода, возникающее
вследствие рефракции
d(r-ri)
dd
Г1 ч/sin2 «i + 2(1 - 7 + sin2 аЛ -——. (56.18a)
cosai V a
Интегрируя по г от ri до r2, по д от di до д2, получим (если отбросим общий
множитель ri/a и 1)
д =
COSQfl
Ah
1 -7 + sin2ai
'sin2 «i + 2(1 - 7 + sin a{) si
sin «i >
(56.20)
(Ah = h2 — hi — Г2 — ri). Рассмотрим практически важный случай «i <C
«С 1. Поскольку, например, в стандартной атмосфере у и 1/4, мы отбросим
557. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 411
величину oif, малую по сравнению с единицей и с 1 — 7, и получим
(1-7)* + «1 = у«? + 2(1-7)
Ah
или, после возведения в квадрат,
Ah 1 — -V
ai = l^~ 2 * («i ^ I1 -Tl). (56.21)
Заметим, что в другом предельном случае, sin оц ~ 1, поскольку АЛ «С
■С а, можно разложить корень по степеням Ah, что дает, в рассматриваемом
приближении,
tgai и — (sin2ai ~ 1). (56.21а)
Вычислим теперь «о- Применяя теорему синусов, можно написать
г2 sin (к - - - а0 - д) = гг sin {- + а0],
так что
cosi? - гх/го r2-ri-ad2/2 Ah д ,„„ „„ч
ао = afCtg sin/ * afCtg а* й ^Г" 2• (56-22)
Здесь учтено, что д = д2 — di мало (иначе Ah/a не мало) и что к тому же
мало «о- Сравнивая с формулой (56.21), получаем
уд
Да = <*! - а0 = ~. (56.23)
Следовательно, в этом приближении {а\ <С |1 — 7|> &h < «i ^ < 1) угол
рефракции вообще не зависит от утла выхода оц. Он целиком определяется
угловым расстоянием до цели и градиентом показателя преломления у =
= -(a/n(ri))(dn(r)/dr).
Более развернутое и практически весьма полезное применение лучевой
трактовки в случае немонотонного хода п(г) было дано в работе [138].
§ 57. Слоистая среда с произвольно изменяющейся диэлектрической
проницаемостью. Приближение геометрической оптики
В предыдущем параграфе было элементарным методом показано, что
сферически слоистую среду можно заменить плоско слоистой, если вместо
истинной диэлектрической проницаемости s(h), зависящей от высоты над
земной поверхностью Л, пользоваться модифицированной проницаемостью
£мод или модифицированным показателем преломления пмод
£мод = пмод> (57.1)
«мод = n(h) + h/a, (57.1a)
где а — радиус земли (строгое обоснование и ограничения этого правила
будут рассмотрены в §58). Поэтому наша задача теперь сводится к
изучению плоско слоистой среды с е = £МОд(Л) над плоской поверхностью земли
е = еэ = const. В настоящем параграфе волновое уравнение для поля будет
412 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
изучено применительно к этой проблеме на основе приближения
геометрической оптики, часто являющегося вполне достаточным, в декартовой системе
координат, в которой z отсчитывается по вертикали и имеет смысл высоты
над земной поверхностью. Под s(z) повсюду в этом параграфе нужно будет
понимать £Мод(Л), хотя индекс «мод» и не всегда будет выписываться.
Как отмечалось в § 15, уже нормальное изменение плотности воздуха с
высотой создает неоднородную среду. Обычно же ход функции s(h) довольно
сложен. Связь показателя преломления п = у/е с плотностью, температурой
и влажностью воздуха дается формулой (15.1), справедливой даже для
сантиметровых волн.
На больших высотах, выше нескольких десятков километров,
начинаются области заметной ионизации воздуха — ионосфера, где s(z) = n2(z)
сложным образом меняется с высотой (и различно в разное время суток и
разные сезоны). Здесь можно в большинстве случаев считать
е = 1-
4nNe2
™("2 + ^эф)
(>-'£)•
где N — число электронов в единице объема, т — масса и е — заряд
электрона, 1/Эф — эффективное число соударений электрона в секунду, причем
N = N(h). Распространение радиоволн в ионосфере составляет предмет
особой теории (см., например, монографии [2, 3]). Нас же будет интересовать
тропосфера, где справедлива формула (15.1) и с хорошим приближением
можно считать е вещественным.
Как показано в §3, для слоисто-неоднородной среды поле
вертикального электрического или магнитного диполя можно, подобно случаю
однородной среды, описывать однокомпонентными векторами Герца, соответственно
П = Пг и Пт = Птг, подчиняющимися уравнению (3.37а) или (3.376).
Именно, если речь идет о магнитном диполе, то уравнение имеет вид
V2u + k2£(z)u = 0, (57.2)
и = Пт, к = и/с. Для электрического же диполя, и = П, нужно, строго
говоря, под s(z) понимать s(z) — \/s(d2/'dz2)(l/\/е). Однако и здесь почти
всегда отличием от s(z) можно пренебречь.
Применим метод нормальных волн. Производя подобно §55 разделение
переменных в цилиндрических координатах г, z, т. е. и = Z(z)R(r), видим,
что все отличие от случая однородных слоев сводится к замене системы
уравнений (55.3) и (55.4) на систему уравнений
d?Z
— + (k2e(z)-v2)Z = 0, (57.3)
cPR ldR 2_ n /r„n ч
+ +1/2д = 0. (57.3а)
drz r dr
Второе из них решается в цилиндрических функциях нулевого порядка от
иг, так что полное решение может иметь вид, аналогичный (31.9а):
= 2 f B{u)J0{ur)Z{z; и) du, (57.36)
и
с
557. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 413
или, если, как обычно, заменить функцию Бесселя функцией Ханкеля (ср.
(55.11) и (55.13)),
= 2 [ B(u)H^\ur)Z(z; v) dv. (57.3в)
и
с
Коэффициенты разложения В(и) и контур интегрирования подбираются так,
чтобы удовлетворялись условия в источнике и на плоскости z = 0. Если
окажется, что этим условиям можно удовлетворить при вещественных и,
то подобно тому, как это показано в §55, а также в §31, зависимость от г
не имеет характера экспоненциального убывания. Однако найти Z(z; и),
решить уравнение (57.3) аналитически можно только при некоторых
специальных видах функции s{z). Мы перечислим здесь наиболее важные случаи,
причем будем для простоты считать v = 0. Если и ф 0, то нужно заменить
s(z) на s(z) - и2/к2.
а) «Линейный слой» [125]:
e = c + bz, (57.4)
где с, b — константы; s(z) обращается в нуль в точке zq = —c/b. Вводя
новую независимую переменную
ЧйГ'МиГ'Н)' (575)
сводим уравнение (57.3) к виду d2Z/dC,2 + QZ = 0. Решение выражается
через цилиндрические функции порядка 1/3 и имеет на больших расстояниях
от точки zq по разные стороны от нее различное асимптотическое поведение.
Из двух независимых решений уравнения можно сформировать одно,
ведущее себя на бесконечности определенным образом, например убывающее
при z —)• +оо, т. е., если с и zq положительны, — при С —> — оо,
z = А?'2 { j1/3 (?С3/2) + Л/з Qc3/2) }, О о,
z = Л(-о1/2 {-/,/8 [^(-03/2] + /-1/8 [^(-03/2]}, С < о.
(57.6)
Эти две формулы описывают одну функцию, непрерывную вместе со своими
производными при С = 0.
При С ~> 1 (вдали от плоскости, на которой s = 0) имеем, используя
асимптотические выражения для бесселевых функций, Jp(x) ~ y/2/Jnx) х
х cos [х - (2р + 1)тг/4],
ЗА
решение имеет характер стоячей волны. При £ < 0, —С >• 1, поле
экспоненциально затухает. На рис. 127 схематически показан характер решений
в обеих областях. Этому рисунку соответствует убывание е по мере роста
z, т. е. b < 0. Стоячая волна (57.7) может быть интерпретирована как
суперпозиция волн, бегущих в противоположных направлениях: падающей со
^^^cos(|c3/2-f), (57.7)
414 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
стороны отрицательных z и отраженной обратно из области вблизи точки
г = го, за которой поле экспоненциально убывает.
Этот вид зависимости s(z) особенно важен по двум причинам.
Во-первых, он используется для определения постоянной интегрирования в весьма
общем приближенном методе (см. ниже). Во-вторых, при замене е на €мод
[-!<-*>*]
*>-Й
Рис. 127. Лниейный слон
он соответствует проблеме однородной атмосферы и сферической земли,
рассмотренной в гл. 6. Действительно, решение этой проблемы может быть
получено излагаемым здесь методом, если положить, согласно равенству (57.1),
2 h
-мод
(Л)
=КУ
1 + Ъ
а
(57.4а)
где а — радиус земли, так что в равенстве (57.4) и последующих формулах
нужно считать с = 1, b = 2/а. В соответствии с этим решение проблемы
дифракции в гл. 6 и содержало в качестве высотных множителей функции
Эйри, т. е. функции Ханкеля порядка 1/3 (38.28). В случае неоднородной
атмосферы, но с е, линейно зависящим от Л, нужно только считать с = £(0),
Ъ = 2/ае.
б) «Параболический слой», когда в некотором интервале значений z от
-zm до + zm [126] (с, Ь — константы)
s = c+bz2, 6>0. (57.8)
Результаты существенно различны в зависимости от знака с. При с > 0
функция s(z) нигде не обращается в нуль. Уравнение (57.3) решается в
функциях Вебера — в функциях параболического цилиндра [127]. Именно,
если положить при v = 0
и = \/4к2Ьехр (_*т)г>
то уравнение (57.3) приводится к виду
Р="2 +
к2<
2AV&'
cPZ
du2
+
и-и-
(57.8а)
(57.86)
S 57. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 415
и имеет независимые решения [27]
Zi = Dp{u), Z2 = D-P„i(iu). (57.8в)
Из них можно образовать решения, которые сугубо схематически
изображены на рис. 128.
В случае с > О решению можно придать вид стоячей волны (с
изменяющимися расстояниями между узлами и изменяющейся амплитудой). Но
существуют решения и такого вида, когда в одном полупространстве, ска-
Рис. 128. Параболический слой
жем, при z —)• оо решение имеет вид уходящей волны, а при z —>• — оо —
суперпозиции падающей и отраженной волн. Другое независимое решение
будет при этом иметь вид уходящей волны при z —>• -оо, а при z —>• +оо —
суперпозиции волны, падающей из z = +оо, и отраженной волны.
Амплитуда отраженной волны тем больше, чем меньше значение е(0) = с.
С другой стороны, при с < О осциллирующее решение (стоячая волна или
суперпозиция падающей и отраженной волн) имеет место только в областях,
где е > 0. Решение, содержащее при z —>• оо уходящую волну, содержит
при z —)• —оо падающую и отраженную волны, а в области, где е < 0 —
экспоненциально убывающее поле. Очевидно, здесь имеет место частичное
просачивание волны и частичное отражение.
в) Слой [128]
е= ехр(т*0 4ехр(тУ)
1 + exp {mz') (! + ехр (mz'))2
приводящий к решению в виде гипергеометрических функций. При Р = 0,
М вещественном и положительном — это так называемый «симметричный
416 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
слой», при М — 0 и Р вещественном и положительном — «переходный
слой» (рис. 129). Здесь z' отсчиты-
вается от середины слоя, z' = z-zq.
г) Слой
*=ih <57Л°>
после замены переменной d + z = £
приводит к уравнению, решаемому
в вырожденных
гипергеометрических функциях.
д) Слой
1 (57.11)
е =
(d+z)*
Рис. 129. Переходный слой
после такой же замены сводит
уравнение к уравнению для функции
Бесселя. Однако в проблемах
атмосферного распространения радиоволн часто можно обойтись без точных
решений. Специфика задачи состоит в том, что интересующие нас
вертикальные параметры слоев — толщины, на которых заметно меняется е и
соответственно заметно меняются условия распространения радиоволн, —
обычно очень велики по сравнению с длиной волны.
Это не имеет места, например, при распространении сверхдлинных волн
(/ ~ 100-1000 Гц, т. е. А ~ 3000-300 км), возникающих при грозовых
разрядах и распространяющихся в слое между поверхностью земли и
ионосферой. В этом последнем случае длина волны больше высоты волновода
Н или во всяком случае сравнима с ней. Далее, соотношение А ~ Н имеет
место и для тропосферных волноводов при инверсии высотного хода е (см.
ниже §58). Соответственно число мод, которые приходится учитывать на
больших расстояниях, невелико. Однако будет полезно сначала рассмотреть
обратный случай, который не только во многих отношениях допускает
упрощенную трактовку, но и облегчает ориентировку в проблеме.
Будем сначала исходить из того, что v вещественно. Малость изменения
е на длине волны является обстоятельством, весьма благоприятствующим
использованию так называемого приближения геометрической оптики.
Действительно, введем характерную длину /q:
1 ds
s(z) dz
1_
/о'
Если
kl0 > 1,
(57.12)
то в формуле (57.3) коэффициент при Z меняется медленно и решение
должно быть либо «почти синусоидальным», если k2s(z) — и2 > 0, либо «почти
экспоненциальным», если k2s(z) — v2 < 0. В самом деле, обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка (57.3) имеет два независимых
решения. Если на больших расстояниях, например, при z —>• —оо и z —>• + оо
функция s(z) переходит в некоторые постоянные величины Si и £2, то при
S 57. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 417
соответственно больших \z\ решениями уравнения можно считать
Zf ~ exp (±Wk2Si - v2z), z ->• -оо,
+ /-*—— (57ЛЗ)
Zf ~ exp (±Wk2€2 - v2z), z ->• +oo.
Первое в каждой паре решений дает волны, бегущую вдоль оси z, второе —
волну, бегущую в обратном направлении.
Однако это верно только в том случае, если корень y/k2£if2 — v2
веществен. Когда он мнимый, решения имеют характер экспоненциального
возрастания или убывания. Вместо этих решений в качестве основных можно
взять их линейно независимые комбинации:
Z\c ~ Z+ T Zl ~ ^ | xA%! - u2z,
ZY ~ Z+ Т Z; ~ J£ { s/k2e2 - v2z.
(57.13a)
Обычная форма этого приближения геометрической оптики
(относительно его усовершенствования см. ниже в этом параграфе, а также в § 61)
состоит в том, что мы ищем решение нашего уравнения
(Р7
— + P2(Z)Z = 0, (57.14)
p2{z) = k2e{z)-v2 (57.14a)
в виде, напоминающем решение (57.13), именно
Z = A(z) exp [iktp(z)], (57.15)
и последовательно учитываем малость величины 1/Ыо или просто 1/&.
Подставив Z в уравнение (57.3), мы получаем (штрих обозначает
дифференцирование ПО Z)
А" + i{2AV + A<p")k - А<р'2к2 + р2А = 0. (57.15а)
Если сохранить в первом приближении только члены наивысшего
порядка по к (и по р ~ к), то возникает уравнение для определения </?, имеющее
два решения (они различаются знаком):
Z
k2<p'2 = p2(z), k<p = ± I p(z) dz. (57.16)
Приравнивая нулю члены следующего порядка по А; в уравнении (57.15а),
получаем уравнение для определения А: 2А'ср' + Аср" = 0, т. е.
In А = - In V^7 + const, A -==. (57.16а)
VP(Z)
Таким образом, мы получаем два независимых решения, которые можно
записать так:
В
z± _
ZQ
exp(±il[p(z)dz + xl>\\ (57.17)
418 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
где В, ф, zq — константы интегрирования (по существу одна независимая
комплексная или две вещественных: ф и zq связаны между собой).
Очевидно, что решать уравнение (57.15а) методом последовательных
приближений можно лишь в том случае, если не только А;2, но и
значения p(z) достаточно велики. Это второе условие нарушается в точке z = zq
(если таковая существует), где p2(z) = 0. Но эта точка вообще особенно
важна. По одну сторону от нее функция p2(z) положительна, фаза волны
Z вещественна и решение имеет осциллирующий характер. По другую
сторону решение экспоненциально убывает или возрастает. Таким образом,
в окрестности zq решение, найденное методом геометрической оптики,
несправедливо. Однако в этой малой области мы можем аппроксимировать
ход e{z) линейной функцией, положив, например, и2/к2 = с + bz. Тогда
можно получить точное, для указанной малой области, решение вида (57.6)
или (57.7) (где нужно е заменить на е — v2/k2) и где-то на границе области
сшить оба решения вместе. В частности, из формулы (57.17), взяв
полусумму частных решений, в области, где к2е — и2 > 0, получим
2е = .... °- rcosj f у/к2е(г)-и2<1г+ф\. (57.17а)
Цк2е{г) - I/2
Это решение нужно сшить с точным решением в области z « zq. Но
выражение (57.17а) имеет как раз такую же структуру, как и выражение (57.7).
Приравнивая, например при v = 0 множители перед косинусами,
определяем несущественный постоянный фактор, сравнение же самих косинусов
дает (выполняя интегрирование, мы пользуемся формулой (57.4))
С08(зШ£3/2^~4/ =cos[k IvW&zdz + V) =
= cos(^e3/2(z) + v). (57.176)
Если, для конкретности, Ь < 0 (см. рис. 121), то ф = п/4. Таким
образом, для функции e(z), убывающей с z, приближение геометрической
оптики, правильно сшитое с точным решением в области z = zq (где
приближение непригодно), дает два независимых решения (57.17) с ф = п/4. Там,
где p2(z) > 0, решение со знаком плюс в показателе описывает волну,
распространяющуюся в положительном направлении оси z, решение со знаком
минус — отраженную волну. Коэффициент отражения / при наблюдении в
точке z поэтому равен
z
/ = JL = exp (-2il j y/k*£(z) - t/2 dz + j | V z<Zo. (57.18a)
«o
Если же e{z) возрастает с высотой, b > 0, то можно говорить только об
отражении вверх волны, идущей из z = +oo вниз. При этом, согласно
формуле (57.176), получим ф = —п/4. Поэтому при таком ходе e(z) в точке
S 57. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 419
z, расположенной выше точки zo, в которой корень обращается в нуль, будет
г
/ = |з = ехр М2г { f у/кЩг) - v2 dz - j| J, z > z0. (57.186)
го
В пределах линейного слоя интеграл может быть вычислен. Он равен
(при v = 0) {2/3){k/b)e3l2{z) (см. формулу (57.176)). Однако как ясно из
вывода, формулы для / верны при произвольной зависимость £(z), лишь бы
было справедливо приближение геометрической оптики: вводить линейную
зависимость e(z) нам нужно было только в малой области вблизи «точек
возврата» го, где приближение геометрической оптики несправедливо, и то
лишь для определения постоянного сдвига фазы ф, поскольку он не может
быть определен из приближенного решения.
Ясно, однако, что найденные выражения не могут быть верны, если точка
zq оказывается вблизи экстремума кривой e(z), где de/dz исчезает и
линейная аппроксимация для e(z) непригодна. Но в таком случае возможна
параболическая аппроксимация с использованием в качестве точного решения
в малой области не функций (57.6), а функций параболического цилиндра
(57.8в). Мы, однако, изложим этот случай ниже.
Основываясь на решении (57.17), можно утверждать, что для данных к
и (вещественного) v пространство разбивается вдоль оси z на области, в
которых разность к2е(г) — и2 положительна и соответственно решение имеет
осциллирующий характер, и области, в которых она отрицательна и
независимые решения имеют характер экспоненциального убывания или
возрастания. Очевидно, что во всяком случае осциллирующее решение возможно
только для достаточно малых и2.
Покажем теперь, что если такие осциллирующие решения имеют место
лишь в ограниченной области значений z, то возможные значения v обра-
е(г)
Рис. 130. Приподнятый волновод
Рнс. 131. Приземный волновод
зуют дискретную последовательность — имеют, как для однородного слоя
между отражающими границами (55.5), дискретный спектр.
420 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Пусть существуют такие значения числа и, что k2e(z) — v2 обращается в
нуль в точках zoi и Z02 > •zbi, между которыми это выражение положительно
(рис. 130). Следовательно, при zoi < z < Z02 решение является
осциллирующим, вне этого участка экспоненциально убывает (этот ход решения
схематически показан на том же рисунке, см. левую кривую). Выше мы
рассматривали только одну точку возврата zq. Удовлетворить в ней условию
сшивания с точным решением удалось подбором постоянной
интегрирования ф. Теперь нам нужно, кроме того, удовлетворить условию сшивания во
второй точке возврата. Этого можно достигнуть, распорядившись
единственным оставшимся параметром v. Таким образом, решение, конечное во всем
пространстве (и соответственно экспоненциально убывающее за точками zoi
и Z02), может существовать только при избранных значениях и, называемых
собственными значениями. Сами решения при этом будут нормальными
решениями или нормальными волнами для данной среды. Они
определяются из следующих соображений.
Рассматривая при убывающем с высотой e(z) осциллирующее решение
ниже точки возврата, т. е. в данном случае в области z < zq = 202, мы
нашли его в виде (57.17а) с ф = к/4:
Zc = 4/,„B oeos I J y/k*e(z)-v*dz+ j|. (57.19)
у/к2£ - V2
Когда мы вместо этого считали, что e(z) есть возрастающая функция z,
т. е. в формуле (57.4) Ь > 0, то те же рассуждения привели нас к выводу,
что ф = —7г/4. При этом осциллирующее решение имеет место при z > zq.
Полагая zq = zqi, имеем
Zc = ih0B „cos J J y/k*e(z)-v*dz-j\. (57.20)
</k2£ - V2
Однако эти два решения при zq\ < z < 202 должны совпадать, что имеет
место только в том случае, если аргументы косинусов различаются на 1тт,
где / = 0, 1, 2, ... — целое число:
Z Z
[ y/k2e-v2dz+^-= f y/k2e-v2dz-j-ln,
или
202 All
202
/ yjk2e{z) -v2dz=(l+ ^ n. (57.21)
ZQI
Перебирая все возможные значения I, получаем соответствующие v\ и,
следовательно, нормальные колебания Zf, выражаемые любой из совпадающих
после подстановки vi формул (57.19) и (57.20). Заметим, что с чисто
формальной точки зрения этот процесс отбора нормальных решений полностью
соответствует процедуре квантования орбит в атоме в квазиклассическом
приближении, формула (57.21) совпадает с правилом квантования, а
интегралы типа (57.21) — с фазовыми интегралами теории Бора-Зоммерфельда;
S 57. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 421
отсюда происходит первоначальное наименование описанного метода в
теории распространения радиоволн — «метод фазовых интегралов» [118].
Аналогичный отбор возможных vi возникает, если e(z) в некоторой
области монотонно убывает с высотой, но снизу область значений, где разность
k2e(z) — v2 может быть положительна, ограничена поверхностью земли z = О
(рис. 131). В области 0 < z < гьь где zqi еще должно быть определено, вновь
может возникнуть решение вида (57.17а), которое должно удовлетворять при
z = 0 граничному условию для вертикально поляризованной волны
^- = -~Z\ z = 0, (57.22a)
или — для горизонтальной поляризованной волны
-г- = -ik^/e^\Zc, z = О (57.226)
dz
(ез — проницаемость почвы). Если мы будем считать |ез| ~> 1, то
практически эти условия означают:
(dZc\
—:— I = 0; (57.22в)
dz ) z-o
горизонтальная поляризация— \ZC) = 0. (57.22г)
В первом случае, подставляя решение (57.17а) при ф = 7г/4, zq = zqi,
приходим к условию
sin | [ y/k4{z) - v2 dz - J I = 0, (57.23а)
т. е. аргумент синуса равен ±/7Г, где / — целое число. Так как корень под
интегралом положителен, то окончательно для вертикальной поляризации
имеем
201
[ Vk2£(z)-v2dz=(l+^\n, / = 0,1,2,...
о
Для горизонтальной поляризации аналогично получим
[ y/k2e{z)-v2dz= U- iW, / = 1,2,...
(57.236)
(57.23в)
о
Так как точка zoi определена условием k2e(zoi) — v2 = 0, то эти соотношения
можно записать несколько иначе:
Г М-1/4;/ = 0,1,...
. Л I (вертикальная поляризация),
y/£(z)-£(z0l)dz=-{ V (57.23r)
V ' 2 J I-1/4; 1 = 1,2, ... V '
0 \ (горизонтальная поляризация).
zoi
/
422 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Придавая / различные значения, находим точки возврата z01 , ZqX'
(рис. 131), определяющие высоту области над поверхностью земли, в
пределах которой поле осциллирует вдоль оси г и в то же время существуют
вещественные значения параметра v\ = &у£(.гщ).
Возвратимся к полному выражению для и„ = Zl/(z)Rl/(r) и рассмотрим
его для функции e(z), изображенной на рис. 130 или 131. Функция Ru(r)
будет, как уже упоминалось, решением уравнения, совпадающего с уравнением
для однородного слоя (55.4), т. е. сводится к функциям Ханкеля щ '(vir)
для значений vi, отобранных согласно формуле (57.21) или (57.23).
Таким образом, в интервале между минимальным еМин и
максимальными еМакс значениями е, при к2£мт < v2 < &2£макс, спектр v дискретен.
При v2 > А;2£Макс все v запрещены (решения при всех z экспоненциально
возрастают или затухают), а при и2 < к2£м„н никаких ограничений не
накладывается, спектр сплошной. Соответствующие Zv представляют собой
свободно распространяющиеся от источника парциальные волны.
Мы увидим в дальнейшем, что это грубое приближение для многих
проблем тропосферного распространения недостаточно, и произведем уточнения
в двух отношениях. Во-первых, вблизи экстремума e(z) = е(гв)
линейная аппроксимация недопустима и сшивать решение типа (57.17), (57.17а)
нужно с точным решением не для линейного е (57.4), а, например, для
параболического (57.8). Во-вторых, даже если p2(z) > 0 при всех z,
прохождение волн вдоль z не является вполне свободным. Однако дискретный участок
спектра в области вещественных v (если только значение f/, определяемое из
формулы (57.21) или (57.23г), не окажется вблизи экстремума e{z))
определяется вышеприведенными рассуждениями вполне удовлетворительно.
Отобранные решения, если такие окажутся (на рис. 130 показан случай, когда
ими являются два, на рис. 131 — три первых значения: и2 = к2£(г^х'),
v\ = k2e(zQ1') и и2 = А;2еГго/)), показывают, что область 0 < z < zb
(рис. 130) или 0 < z < Н (рис. 131) обладает волноводными свойствами.
Принято говорить, что эти нормальные волны «захвачены» волноводом.
Соответствие со случаем трех однородных слоев (§ 55) очевидно (нужно, однако,
заметить, что соответствие не является буквальным: в случае § 55 поле вне
волновода отсутствует потому, что здесь предполагается существование
проводимости, в противном случае при £\ = £з = оо здесь распространение волн
было бы возможно при любых и). Рис. 131 изображает приземный
волновод, рис. 130 — приподнятый волновод. Выше и ниже волновода решения,
соответствующие собственным значениям и2, распространяться вдоль z не
могут — они экспоненциально затухают.
Если в слое zqi < z < ZQ2 помещен излучатель, то его поле будет
содержать суперпозицию решений uv = Rv(r)Zu(z), которая в точке расположения
излучателя имеет нужную особенность. Здесь, вообще говоря, будут
представлены все v. Но те из них, для которых и2 < &2£мин, — в рассматриваемом
приближении — свободно расходятся в пространстве. Лишь захватываемые
волноводом парциальные волны остаются внутри него и распространяются
вдоль г неограниченно далеко.
Пусть излучатель помещен вне волновода. Волны дискретного спектра не
могут распространяться вне волновода и экспоненциально затухают вдоль z
§ 57. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 423
в обоих направлениях от источника. Однако если расстояние до истинно вол-
новодной области не очень велико, то экспоненциально затухающее решение
на ее границе может еще оказаться заметным. На этой границе его нужно
будет сшить с осциллирующим решением, оно может оказаться
распространяющимся волноводным образом вдоль г. Это значит, что поле частично
просочится в волновод и здесь уже
будет распространяться без
затухания. Аналогично этому, если точка
наблюдения находится не в самом
волноводе, а вблизи от него,
воспринимаемое поле будет
экспоненциально мало по сравнению с полем
в близлежащей точке волновода.
Рассмотрим теперь случай
такого e(z), когда разность k2e(z) — v2
может быть положительной не в
одной, а в нескольких областях z
(рис. 132). Тогда возможно, что
решение будет отличным от нуля и
осциллирующим в двух областях: в
области a, 2bi < z < zo2, и в
области Ь, гоз < z < Z04- Очевидно,
что захватываемые волны от
источника, помещенного внутри волно-
водной области а, будут не только
распространяться вдоль слоя, но и
слабо просачиваться в другую
область 6, в которой они вновь при
«*>-¥
Рнс. 132. Два связанных волновода
е(г)
соответствующих параметрах волновода будут распространяться, не
затухая. Второй волновод будет отсасывать в себя энергию из первого, пока, в
области достаточно больших г, не станет существенным обратное
просачивание в первый волновод. В конце концов установится некоторое равновесие,
поля в обоих волноводных каналах будут распространяться взаимно
согласованно.
Рассмотрим теперь вопрос о минимальной ширине области, необходимой
для возникновения волноводного распространения. Пусть по мере удаления
от точки zo, в которой к2е — и2 = О, e(z) линейно растет, т. е. e(z) =
= ^(•Jb) + /?z, пока мы не дойдем до середины канала (до точки z = zq +
+#эф/2), а затем также линейно убывает. Тогда даже для / = 0 формула
(57.21) дает условие
*о+Н*ф/2
[ ^k2(£{z0)+/3z)-u2dz = 2-
ZO
3\/2
где бе = e(zo + Нэф/2) — e(zo) — максимальное отклонение функции е от ее
значения при zq. Следовательно, должно быть
А<
4ч/2
Нэф\/бё.
(57.24)
424 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Так как эта формула получена для специального профиля e(z), то лучше
говорить о порядках величины. Таким образом, условие имеет вид
А < 2Яэф^. (57.25)
Следовательно, образования волноводных каналов можно ожидать только
для коротких волн. При 8е ~ е — 1 ~ 10~4 и Н^ ~ 10-100 м
А < 10-100 см. (57.26)
Разделение переменных с использованием цилиндрических координат
было необходимо потому, что источником нам служил вертикальный диполь.
Если вместо этого рассматривать плоскую волну с вектором
распространения, например, в плоскости xz, падающую под углом <*о из однородного
полупространства z < 0 на слоисто-неоднородное полупространство z > 0,
П = По ехр [i(kxx + kzz)], z < 0, кх = к sin «о, kz = к cos «о, (57.27)
то при z > 0 решение разумно искать в виде П = По ехр (ikxx)Z(z), причем
подстановка в волновое уравнение
+ |^ + Ф)*2)п = 0 (57.28)
дает уравнение для Z:
^ •2/ / \ -2
dz2 + к (Ф) ~ sin <*o)Z = 0. (57.29)
Если применить приближение геометрической оптики, то аналогично
формуле (57.17) получаем решения
В_
Vfc2(e(z)-sin2ao)
Z± = лГ,п, , ~ . , ч ехр j ±i\ к J \/e{z) - sin2 a0dz + ф \ I,
(57.30)
где снова, когда речь идет об области z < zq (zq — точка обращения в нуль
подкоренного выражения) и e(z) убывает с высотой, то ф = п/4. В обратном
случае ф = —п/4. Таким образом, волна, распространяющаяся вверх, к
точке .го, описывается функцией
п= в
yk*{£(z)-sin2a0)
х ехр
(* 1 * / Vе (z) ~ s'n2 ao dz + к sin а0 ■ х + — > I, (57.31)
которую можно истолковать как плоскую волну с непрерывно меняющимся
углом наклона нормали по отношению к оси z. Суперпозицией двух
подобных решений П(«о) и П*(—<*о) можно образовать поле
П = 4/,2/Л ■ rhcos\k ЧФ) ~sin <*odz+-\. (57.32)
yk2{e{z) -snrao) { J 4J
157. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 425
Оно описывает волну, распространяющуюся вдоль оси х (затухающую, если
«о комплексно) и являющуюся стоячей волной вдоль оси z. При профиле
e{z), дающем волновод (рис. 130 или 131), условие (57.21) (или (57.23г))
для приземного волновода выделит «захваченные» нормальные колебания.
Перейдем теперь к более тонким проблемам, одна из которых —
уточнение решения для области р2 > 0 — особенно важна в вопросах
тропосферного распространения радиоволн.
Приближение геометрической оптики дает решение, которое имеет
важную особенность: каждая из волн Z+ (57.17) является (в этом
приближении) решением волнового уравнения и существует независимо от другой,
если нет области, где это решение несправедливо, именно, если нет точки
возврата p(z) = 0. Следовательно, волна, распространяющаяся, например,
вверх, может отразиться, т. е. породить волну, распространяющуюся вниз,
только в том случае, если в некоторой точке приближение геометрической
оптики станет непригодным и условие сшивания с точным решением в этой
области заставит нас добавить вторую из пары волн. Последующие
приближения в рамках того же метода, получающиеся при учете высших членов
разложения по 1/А; в уравнении (57.15а), могут дать лишь поправки
алгебраического характера к нулевому приближению, т. е. независимые поправки
к каждой из раздельно существующих волн (57.17). Так, например, для
профиля e{z), изображенного на рис. 132, если и2 превышает k2e(zA), где
А — самая крайняя правая точка кривой e{z), при всех z будет p2{z) < 0.
Следовательно, здесь два независимых решения будут одно экспоненциально
убывающее вверх, другое — вниз. Если, наоборот, и2 меньше к2е(гв), где
В — крайняя левая точка кривой e{z), то повсюду p2(z) > 0, два
независимых решения представляют волны, свободно проходящие без всякого
отражения вверх и вниз.
Между тем из физических соображений можно ожидать, что частичное
отражение должно иметь место при наличии даже такой неоднородности и
при таком угле падения «о, при которых p2{z) повсюду положительно.
Следовательно, можно заключить, что в этом случае отражение экспоненциально
мало. Поэтому встает важная проблема такого обобщения приближения
геометрической оптики, которое при соблюдении условия (57.12) позволило бы
учесть и упомянутое экспоненциально малое искажение, в частности —
отражение.
Кроме того, необходимо усовершенствовать решение и в другом
отношении. Выше мы ограничивались случаем, когда точки возврата zqi и zq2
удалены одна от другой достаточно, чтобы была допустима линейная
аппроксимация для р {z), например, чтобы на рис. 132 штриховая прямая
проходила справа от точки В на достаточном расстоянии от нее. Между
тем, нужно иметь решение для всех возможных и2, т. е. для всех
положений штриховой ординаты, включая даже тот случай, когда она проходит
через точку В.
Для этого нужно вновь вернуться к точному уравнению (57.14). Проблема
прохождения волны через область переменного e(z) формально совпадает с
проблемой прохождения частицы через область переменного потенциала в
квантовой механике. Приближение геометрической оптики в первом
случае соответствует квазиклассическому приближению (или методу Венцеля-
Крамерса-Бриллюэна) во втором случае. При этом сопоставлении нужно по-
426 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
ложить k2(e(z) — 1) = —U(z), где U(z) — потенциальная энергия частицы, а
к2 —и2 = к2 cos2 «о = Е, где Е — полная энергия частицы; p2(z) = E — U —
кинетическая энергия «в данной точке». Если и2/к2 выбрано слева от точки
В на рис. 132, v2 < к2е(гв), то это соответствует значениям Е — U > О, т. е.
«надбарьерному прохождению частицы», — волна в приближении
геометрической оптики и в квазиклассическом приближении квантовой механики,
как и частица в класической механике, проходит в любом направлении
беспрепятственно. Если и2/к2 выбрано справа от точки В, но слева от С, то
р2 = Е - U < 0.
В классической физике прохождение частицы, например, из области а в
область b вообще невозможно. Но в приближении геометрической оптики и
в квазиклассическом приближении квантовой механики появляется «подба-
рьерное просачивание». Наконец, если к2е(г) < и2 < k2e(zA), то в области
b могут возникнуть захваченные нормальные волны.
В квантовой механике им соответствуют стационарные связанные
состояния частицы в потенциальной яме. При строгой трактовке в квантовой
механике, как и в волновой оптике, частичное отражение при р2 > 0 все же
будет иметь место.
Для данного барьера оно тем меньше, чем больше «кинетическая энергия
частицы» в ее минимуме (над вершиной барьера). Следует при этом
подчеркнуть, что случай больших энергий в нашей проблеме отвечает не только
большим к, но и большим мнимым v. Весь вопрос был проанализирован
применительно к квантовой механике в ряде работ (см. например [129,130]),
наиболее полное решение дано в работе [131], где получена формула,
справедливая при любых значениях Е, а следовательно, и и2.
Мы приведем сначала не вполне строгое, но краткое рассмотрение.
Оно исходит из того обстоятельства, что как уравнение для Z, так и его
решения можно рассматривать не только при вещественных z и i/, но и при
комплексных. В частности, если мы говорили, что p2(z) всюду больше нуля,
то подразумевались вещественные z. Ограничимся сначала вещественными
v. Когда v2 изменяется так, что штриховая прямая на рис. 132
перемещается справа налево, по направлению к точке В, то вещественные корни
функции p*(z), например zq2 и zo3, сближаются и в конце концов сливаются
в двойной корень гв- При дальнейшем изменении и2 корни становятся
комплексными и, поскольку остается два корня, — комплексно
сопряженными: zo2 = ^оз- Если мы продвинемся далеко за точку В, то они будут
настолько удалены один от другого, что вблизи каждого из них можно
заменить p2(z) линейной функцией р (z) ~ (z — zoi) подобно функции (57.4).
В небольшой области, в которой справедливо это разложение, точным
решением снова будут цилиндрические функции порядка 1/3 от (теперь уже
комплексного) аргумента С- В промежуточной же области, содержащей точку
В, необходима иная — параболическая — аппроксимация. В обоих
случаях мы имеем в малой области вблизи корней точное решение. Вдали от
них, где p2(z) велико, по-прежнему можно писать решение в виде (57.17),
причем теперь интегрирование в фазе не обязательно производить по
вещественной оси z. Мы можем вблизи корней сместить контур интегрирования
в комплексную плоскость, довести его до области вблизи одного из корней,
в которой справедлива линейная (в случае необходимости — параболиче-
§ 57. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 427
екая) аппроксимация и известно точное решение, и сшить решение (57.17)
с этим точным решением. Очевидно, что при линейной аппроксимации это
совершенно такая же процедура, как для вещественных корней, и мы
получим такие же формулы с тем лишь отличием, что под zo, следует понимать
комплексный корень уравнения p2(z) = 0 и интегрирование в экспоненте
необходимо вести по конуру в комплексной плоскости z между
вещественной точкой наблюдения z и корнем zo,. Специально следует разобрать вопрос
о том, какой из двух корней zo, следует выбрать. Он решается процедурой
сшивания решений, причем можно обнаружить, что две волны — падающая
из —оо и отраженная обратно — сшиваются с волной, уходящей в сторону к
+оо, если взять корень, лежащий в верхней полуплоскости. Наоборот, если
речь идет о волне, приходящей из +оо и частично отражающейся обратно,
то должен быть взят корень, лежащий в нижней полуплоскости.
Для волны, падающей из z = —оо и распространяющейся в
положительном направлении оси z, коэффициент отражения, естественно, имеет тот же
вид (57.18а), что при вещественном корне:
/=f^=exp(-2tjy^(z)dz+^|j, z->-oo, (57.33)
где Imzo > 0 и знак при извлечении корня из p2(z) определяется хотя бы
тем, что должно быть |/| < 1. Для волны, падающей из z = +оо,
коэффициент отражения аналогично формуле (57.186) равен
/= — = ехр( 2г| fp{z)dz-^\ J, z ->• +оо, (57.33а)
где Im zo < 0.
До сих пор мы говорили о вещественных и. В разложении общего
решения (57.36), (57.3в), удовлетворяющем заданным условиям в источнике,
быть может, встретятся и комплексные v (как это имело место, например,
в §32 для sin2 a = и2/к2). Однако обобщая выражения для коэффициентов
разложения на случай комплексных точек возврата zot, мы говорили о
корнях величины jp2(z), в которую и2 входит на равных правах с e(z). Поэтому
в действительности формулы (57.33), (57.33а) верны и при комплексном v.
Заметим, что эти результаты получаются также и иным, более
строгим способом, к тому же без раздельного рассмотрения областей, близких
к точке возврата (вещественной или комплексной) и далеких от нее. Для
этого нужно [132] заменить уравнение (57.14) видоизмененным уравнением
d27
1-T + (p2(z)-9(z))Z = 0, (57.34)
где добавленный член в(г) подбирается так (фактически его не приходится
выражать явно), чтобы на бесконечности он исчезал, а вблизи точки zq
обеспечивал справедливость решения вида
Z(z) = Ae/2p~1/2J±m(0, (57.34a)
428 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
где (по существу £ = 2£/3 в формуле (57.5))
z
Z = Jp(z)dz, rn=-^ (57.35)
*0
и п — показатель в формуле, выражающей поведение p(z) вблизи точки zo,
p2(z) ~ (z — zo)n. Для рассматривавшихся выше случаев п = 1 (простой
корень). Такое решение (подробнее см. монографию [133])
асимптотически переходит в решение (57.17), но сверх того автоматически дает
переход между областями z<zqw.z>zqu случае вещественных корней или
между областями слева от области экстремума p2(z) и справа от нее — для
комплексных, с правильной фазой ф. Здесь по-прежнему нужно требовать
чтобы второй корень функции p2(z) находился достаточно далеко, так чтобы
можно было учитывать только ближайший. В частности, если речь идет о
случае, изображенном на рис. 132, то и2 не должно быть близким к i/2p,
при котором ордината проходит через экстремальную точку кривой. Можно
сказать, что угол падения волны ао> ^2 = A;2 sin2 <*о> должен быть не очень
близок к критическому (в квантово-механическом случае это соответствует
требованию, чтобы кинетическая энергия частицы даже вблизи вершины
барьера не была мала).
Необходимо, однако, сказать, что даже и в этом случае вопрос нельзя
считать решенным в общем виде. При переносе дифференциального
уравнения с вещественной оси в комплексную плоскость решение оказывается
весьма чувствительным к деталям аналитического поведения функции e(z).
Прежде всего важно наличие полюсов у p2{z). Так, например, две колоко-
лообразные функции
е{г) - 1 ~ ехр [-(г - zB)2/a2], e{z) - 1 ~ [а2 + {z - zs)2]"1
могут приводить к значительно различающимся коэффициентам
отражения. В случае надбарьерного прохождения нас интересует весьма тонкий
эффект — экспоненциально малое отражение. Он существенно зависит от
расстояния между корнями zq и полюсами zc. Этот вопрос рассматривался, в
частности, в работе [130]. Оказалось, что при наличии полюсов на конечном
расстоянии коэффициент отражения / (57.33) дол-
<жен быть домножен на некоторую функцию от k/i,
где
/i = zq - ze (57.36)
есть расстояние между корнем и полюсом,
различную для полюсов первого и второго порядка. В обоих
случаях эта функция стремится к 1 при k/i —)• оо, но
^оГ) существенно влияет на результат при k/i < 1.
Рис. 133. Точки возврата , Перейдем к случаю сливающихся корней, т. е. к
вблизи минимума ф) v или а0, которые могут быть близки, например на
рис. 132, к ординате, проходящей через точки А или
В. Как уже упоминалось, общий метод рассмотрения состоит здесь в том,
что мы сшиваем асимптотическое решение с точным решением не для
линейного слоя, а для параболического (57.8). Поэтому для i/, лежащих вблизи
§57. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 429
220
= J p(z)dz, (57.37а)
i/Kp, коэффициент отражения асимптотически сводится к коэффициенту
отражения от параболического слоя [126]. Наиболее общее рассмотрение в
рамках приближения геометрической оптики было выполнено в работах [131,
134]. В первой из этих работ метод замены уравнения близким к нему
(57.34) был существенно обобщен и, в частности, был применен к случаю
комплексных, а также сливающихся корней. Развернутое исследование
распространения радиоволн в слоистой атмосфере [134], выполненное другим
методом, привело к аналогичным результатам. Эту последнюю формул
решения мы и изложим.
Наряду с переменными показателями
2
£{z) = jp{z)dz (57.37)
о
мы введем величины (см. рис. 133)
гтгр
210
210 220
*°=l j pw dz+ljp{z) dz- (57-з7б)
о о
Параметр р есть функция от и2 и заменяет и2. Если и2 < к2е(гв),
можно сказать: если мы находимся «слева от точки В», то при всех z имеем
p2{z) > 0; корни гю и Z20 комплексны, подынтегральное выражение в
формуле (57.37а) вещественно. В обратном случае, и2 > к2е(гв), «справа от
точки В» и вблизи от нее гю и Z20 вещественны, так как p2{z) < 0 в
пределах между гю и Z2Q, и p2(z) > 0 при z < гю и z > z-iq. Таким
образом, здесь подынтегральное выражение мнимо. Выберем знак перед корнем
таким, чтобы p(z) слева от В было положительно, p(z) = +\/\p2{z)\, и
разложим под интегралом p(z) в ряд вблизи гв- Сохраняя квадратичные члены
и учитывая, что е'(гв) = 0, е"{гв) > 0, мы получим
k2e(zB) - v2 p2(zB) ( 3?в)
у/2к*е"{гв) VWM'
Таким образом, «слева от гв» (т. е. при и2 < к2е{гв)) р вещественно и
положительно. Аналитически продолжая это выражение в область и2 > к2е(гв),
получаем, что при «подбарьерном прохождении», «справа от гв» р
вещественно и отрицательно. Исходя из физических соображений, можно
заключить, что при р —)• +оо коэффициент отражения должен
экспоненциально стремиться к нулю, при р —>• —оо — к единице.
Рассмотрим функции Z+ и Z~, асимптотически переходящие высоко над
слоем, при г ~^> гв, в функции (57.17), т. е. соответственно в уходящую и
приходящую волны. Из сшивания с функциями параболического цилиндра,
дающими решение для параболического слоя (57.8), получается выражение
430 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
для Z* во всей области изменения z [134]. Приведем окончательный
результат. Выбрав в формуле (57.17) значение константы В так, чтобы высоко над
слоем было
z+ = ^ferpK<-2u+?)] =
n/pW
ехр
2 210 >
/ p{z) dz- p(z) dz+^
2jo *0
мы далеко внизу под слоем (z -С zb) имеем
Z+ = xi(p)-r==exp [t ($ - 26, + j)] + ехр (-ртг)
(57.38a)
exp[-t(^ + »r/4)]
W)
где
V5jr
Xl(p) = га/2-ыexp ("?)exp ti(p " р1п/,)Ь
(57.386)
(57.38b)
Таким образом, ниже слоя помимо волны, идущей вверх (ср. (57.38а);
первый член в формуле (57.386)), присутствует отраженная волна.
Коэффициент отражения дается отношением второго члена в этой формуле к
первому:
/ =
ехр (-ртг)
Xi(/>)
ехр [-2t (*-$>+£)] =
ехр (—2я-р)
Xi(/>)
ехр
(57.39)
Таким образом, отличие от / (57.18а), получающегося вдали от
экстремальной точки В (и в том случае, если полюса функции p(z) достаточно
далеки от zio), выражается дополнительным множителем ехр (—2np)xi1{p)- С
другой стороны, отношение амплитуд волны Z+ над слоем и под слоем дает
«проницаемость барьера» (по амплитуде!) д:
9 = -4т- (57-40)
XI (Р)
Заметим, прежде всего, что для р = 0, т. е. для волны, «касающейся
барьера», v2 — к2е(гв), мы, учитывая, что Г(1/2) = у/п, находим
5(0) = |/(0)| =
V2
(57.40а)
(здесь zio = zb и в формуле (57.39) интеграл в показателе веществен, он
дает только сдвиг фазы). Таким образом, половина энергии в этом случае
проходит, половина отражается. Конечно, это приближенно верно и для
малых положительных р. Между тем, элементарная геометрическая оптика
§ 57. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 431
дала бы для такого надбарьерного приближения д = 1, / = 0. В общем
случае коэффициент прозрачности по энергии равен ([131, формула (37)], где в
наших обозначениях Е = 2р)
Ыр)? =
|Х1 (р)|2 1 + ехр (-2тг/>)
(57.406)
(здесь использовано свойство Г-функций |Г(1/2+ гр)\2 = ж /chirp [27]).
Таким образом, как и должно быть при р —)• +оо, при прохождении
асимптотически высоко «над барьером» имеет место полная прозрачность. Для волны
«гораздо ниже барьера», р —)• —оо, прозрачность исчезает.
Итак, при надбарьерном прохождении недалеко от вершины барьера
{p{z) нигде не обращается в нуль, но в некоторой области мало по сравнению
с к или сравнимо с ним) значительное отражение может иметь место. При
волноводном профиле e(z) такие волны будут не полностью удерживаться
волноводом, однако дальность их распространения вдоль г будет все же
существенно повышена. Наоборот, при «слабо подбарьерном» прохождении
волна частично просачивается наружу. Конкретные числовые примеры,
рассмотренные в соответствии с более полной теорией [134], излагаемой ниже
(§58), показывают [137], как нарастает просачивание по мере перехода из
подбарьерной в надбарьерную область.
Заметим, что даже для полностью захваченных волн линейная
аппроксимация функции e(z) и соответственно вычисления, основанные на
рассмотрении точек возврата и условий захвата (57.21), (57.23г), относительно
менее точны для первых захваченных волн,
для которых в пределах волновода (вдоль
оси z) укладывается мало длин волн.
Очевидно, что здесь плохо соблюдается
основное условие приближения геометрической
оптики (57.12) (соответственно, для
первых стационарных орбит в атоме
квазиклассическое приближение не точно).
Применим с целью иллюстрации
приближение геометрической оптики к двум
проблемам. Первая из них — простейший
случай суперрефракции. Вторая
проблема — рассмотренная строго в гл. 6 —
дифракция в однородной атмосфере над
однородной (для простоты) бесконечно
проводящей сферической землей. Пусть
источник помещен на высоте zo, посередине однородного слоя высоты Н
(которую мы впоследствии устремим к нулю), а в обе стороны от этого слоя е
изменяется линейно (см. рис. 134, где изображен случай /3 > 0):
e(z)
Рис. 134. К расчету в приближении
геометрической оптики в случае
профиля (57.41)
e = ei{z) = 1 - (3(z- zi),
£ = £3(z) = l + f3(z-z3),
z> zi = z0 + H/2,
z < z3 = zo - H/2.
(57.41)
Мы получаем трехслойное пространство, и поле в однородном слое
выражается формулой (55.17). Ряд вычетов берется в точках, определяемых
формулой (55.15), причем нужно найти коэффициенты отражения Д и /з от
432 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
верхней и нижней границ слоя. В приближении геометрической оптики они
выражаются формулами (57.18а) и (57.186), причем в первом случае e(z)
совпадает с £i{z), во втором случае e(z) = £3(2). В пределах интеграла
нужно заменить z на ординату точки, в которой мы вычисляем отношение
амплитуд падающей и возвращающейся волн, т. е. для верхней границы
однородного слоя положить в формуле (57.18а) z = z\, для нижней
границы — в формуле (57.186) z = z$. При этом в обоих случаях zo — точка, в
которой обращается в нуль соответственное подкоренное выражение.
Заметим, что, вводя в интеграле новую переменную С, С2 = £i{z)—s\n2 a,
dz = 2(,d(t/{d€x/dz), коэффициент отражения можно переписать в виде
{cos а Ч
-«* [ ?$и-ч\ <57-42»
где в de1/dz нужно z выразить через С- Согласно соотношениям (57.41),
-/3, /1(а) = ехр|— tfccos3a-t||. (57.42а)
Для параболического слоя £i(z) = 1 — g(z — zi)2/a2, где д, а — некоторые
постоянные,
, / ч (ikan о .т 1 /„„ „„ ч
fi(a) = ехр < —— — cos а — г— >. (57.426)
Коэффициент отражения от нижней границы, z — Z3, согласно формуле
(57.186), будет отличаться знаком перед интегралом. В результате
уравнение для определения полюсов (55.15) приводится к виду
ln/i(a/) + In /3(011) + 2гкНcos a/ = 2nil,
23 *10
de\
dz
2ik I у £3 — sin2 at[ dz + 2ik I у £i — sin2 a/ dz — in + 2ikHcos a/ = 2nil,
(57.43)
zi . .
где / — целое число. Так как Н cos а/ = J у £2 — sin2 a/ dz, где е2 = 1> то
можно объединить все три интеграла вместе и переписать уравнение в виде
* / \l£iz) - sin2 aidz = n(l+-\ . (57.43а)
*30
Мы, разумеется, вновь получили условие (57.21). Интеграл берется от
«нижней» до «верхней» точки возврата.
Для e(z) (57.41) это дает
| cos3 а, + /ЗН cos a, = ± (l + ±) /ЗА. (57.436)
S 57. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 433
По условию применимости геометрической оптики изменение е на длине
волны должно быть мало. Следовательно, |/ЗА| -с 1 и оц при малых / близки
к тг/2. При /3>0иЯ-40
q / i\ I1/3
s('+5)/»* • ("•«)
COS a/
Для
К1^=Щ~\ (57-45)
существуют «разрешенные» (захватываемые волноводом) значения а/ среди
вещественных значений а. Соответствующие нормальные колебания не
затухают при распространении вдоль г.
Перейдем теперь к другой проблеме — однородная атмосфера с е = 1 и
сферическая земля, для простоты — с £з ->■ оо- При всех положительных z
мы, согласно формуле (57.1а), должны просто считать
ф) = 1+—. (57.46)
Кроме того, при z = 0 наложено граничное условие, соответствующее
поляризации излучения. При e(z) (57.46) для волны, распространяющейся
вверх, вещественный корень p2(z) существует для любого вещественного и:
*Ь
§(И
При комплексных v комплексной будет и точка возврата zq. Однако
необходимость удовлетворить граничному условию при z = 0 дает еще одно
условие для поля Zv, и требование однозначности решения в интервале
О < z < zq накладывает на значение v (единственный оставшийся
свободным параметр) ограничение, которое мы уже получали для вещественных
zq. Поскольку комплексность zq и v не влияет на вид /, мы и здесь имеем
для отбора разрешенных v формулы (57.236) и (57.23в). Необходимый
интеграл был только что вычислен: вновь считая и2 — к2 sin2 а, мы должны
только, как видно из сравнения формул (57.41) и (57.46), в формуле (57.42а)
положить /3 = —2/о, что дает
1
/
\/k2e(z) — v2 dz = —-A;acos3a.
О
Разрешенные v или а определяются формулой (57.23г). Подставляя в нее
найденное значение интеграла, видим, что они оказываются существенно
комплексными:
= _ЗА Г / +
2а\ I-
з -j.tI/4
cos a/ —
Зтг f / +
ка\ l-
1/4
+ 1/4;/ = 0, 1, ... (вертикальная поляризация),
1/4; /=1,2,... (горизонтальная поляризация).
(57.47)
434 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Так как ка ~Э> 1, то для не чрезмерно больших / решение этого уравнения
а/ близко к 7г/2. Полагая — 1 = ехр(±г7г), а также вводя величину
А'= 2-°'.
(57.48)
имеем после извлечения кубичного корня одну из двух возможностей
|1/3 / 7Г\
exp (±i — j и cos а/. (57.49)
sin/3/ « /3i S3
Зтг
ка
К)]
Согласно формуле (57.42а) это означает, что коэффициент отражения
экспоненциально мал, как и должно быть, поскольку для комплексных v все
точки возврата zq комплексные. В полном выражении поля (55.17) на
больших расстояниях от источника можно заменить функцию Ханкеля Щ (щг)
ее асимптотическим выражением1)
rW/
= w(i)
H^'iutr) = ЩХ> (кг cosfit)
ч
nkr cos Д
exp (ikr cos/3i) S3
exp
(,*r-,-£#).
(57.50)
Наличие мнимой части у /3/ приводит к физически осмысленному, невоз-
растающему решению, если в формуле (57.49) выбрать перед г знак минус.
(При этом zq = (a/2)(sin2a, - 1) ~ (а/2)[-сов(2тг/3) + t'sin (2тг/3)], т. е.
в согласии с правилом выбора корня в формуле (57.33) zq лежит в верхней
полуплоскости.) Следовательно, нужно считать, что / + 1/4 соответствует
вертикальной поляризации, /— 1/4— горизонтальной, см. формулу (54.47):
,га"ИЕН)Г1те*»(-1р)' <*м1>
ослабление поля с расстоянием описывается множителем
exp
у/кг
или, учитывая, что г = ад,
1 /
4 [ка
уД
\Пжд
Зтг
('±т)| (*«*)1/3*[- (57.52)
Между тем мы видели (см. формулу (39.7)), что при более строгом
решении на поверхности сферической земли поле вертикального электрического
диполя описывается точно таким же рядом, в котором показатели, дающие
затухание, в последовательных членах равны
—xlmt.
') Следует помнить, что здесь г — расстояние от источника по дуге большого круга,
г = at?, а не расстояние от центра земли.
§ 57. СРЕДА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ 435
где при бесконечно проводящей земле нужно для tt брать значения t't из
§39. Таким образом, вместо \mt't мы получили
[(Зтг/2)(I + 1/4)]2/3 Im exp (-2тг»/3),
причем нужно считать / + l = s=l,2,3... Для горизонтальной
поляризации граничное условие на поверхности земли (57.22г) соответствует случаю
«коротких волн» в § 39, т. е. q = ос. Поэтому полученные в приближении
геометрической оптики значения [(Зтг/2)(/ — 1/4)] Imexp (— 2ni/3)
следует сравнивать с lmt° из §39, полагая при этом s = I = 1, 2, 3 ... Мы
получаем табл. 3 для t,/|Imexp (—2iri/3)\.
Таблица 3
»
1
2
3
4
Округленные точные
значения
вертикальная
поляризация
1,02
3,14
4,82
6,163
горизонтальная
поляризация
2,34
4,09
5,52
6,77
Приближение геометрической
ОПТИКИ
вертикальная
поляризация
1,12
3,26
4,83
6,170
горизонтальная
поляризация
2,58
4,08
5,53
6,79
Этот пример хорошо иллюстрирует точность приближения
геометрической оптики: оно может быть неточным только для низшего значения /, где
погрешность в показателе достигает 10 %.
Мы не останавливаемся на вопросе о том, насколько совпадают также
постоянные предэкспоненциальные множители в отдельных членах ряда, т. е.
насколько решения совпадают в целом. Существенно, что на больших
расстояниях важным является именно наименьшее I. Для него поэтому нужно
отыскивать f(a) более строгими методами. Но как раз в случае сферической
земли и однородной атмосферы это не составляет труда: при линейном ходе
£мод(<*) уравнение для Z(z) может быть решено точно; заменой переменных
(57.5) оно приводится к уравнению, которое решается в функциях Эйри или
цилиндрических функциях порядка 1/3. Заметим, что здесь мы уже не
можем быть связаны требованием, чтобы каждый член ряда убывал с ростом
z. Наоборот, из § 39 мы знаем, что поле возрастает по мере подъема над
землей и отдельные члены ряда растут экспоненциально. Соответственно этому
выбираемые цилиндрические функции порядка 1/3 будут не бесселевыми, а
ханкелевыми. Однако в силу мнимости аргумента при больших значениях
аргумента эти функции совпадают, как и должно быть, поскольку метод
геометрической оптики, приводящий в области z < zo к «стоячим» волнам
(тригонометрические или бесселевы функции), справедлив только при
больших значениях фазы.
Полное решение (55.17), кроме ряда вычетов, содержит интегралы по
берегам разрезов, проведенных в бесконечность из точек ветвления обоих
коэффициентов отражения. Однако в данном случае коэффициент отражения
от верхней границы /i (57.426) не имеет точек ветвления, а коэффициент
отражения от нижней границы имеет, поскольку |е3| —*• °с, точку ветвления
в бесконечности, и интеграл, как об этом говорилось в связи с формулой
(55.15), исчезает. При большом, но конечном \ез\, когда он экспоненциально
мал, этот интеграл описывает «боковую волну» — волну, доходящую в точку
наблюдения через землю.
436 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
До сих пор мы считали, что точка наблюдения, как и источник,
находится на земле, zo = z = 0. Пусть теперь z ф 0. Решение по-прежнему
выражается рядом вычетов (55.15), однако «высотные множители» Ф(а/)
зависят от z (и становятся все более существенными члены ряда с / > 0,
так что неточность приближения геометрической оптики уменьшается).
Поскольку они могут только постоянным множителем отличаться от решения
Z(z) уравнения (57.3), их вид в приближении геометрической оптики нам
известен — это функция (57.19) с e(z) (57.46) и с Zoi, определяемым
соотношением e(zoi) = 1 + 2zoi/a = sin2 а/, где а/ дается формулой (57.47).
Отсюда, вычисляя интеграл, аналогично тому, как при получении формулы
(57.42а), находим
С_
{jlzja + cos2 ol\
(57.53)
Но легко видеть, что (ka)2/3z/a = у/21/3, где у — введенная в § 39
безразмерная высота.
Так как приближение геометрической оптики справедливо только при
больших значениях аргумента, то мы должны считать либо у ;§> 1, либо / ^>
> 1. Для этого случая, как упоминалось выше, косинус вследствие
мнимости аргумента а, можно заменить одной экспонентной (или, что то же,
бесселеву функцию — ханкелевой). Так, например, полагая для у ~^> I
Z, = ,,_ , ° „ сое || [2(*a)2/3f + (*a)2/3cos2 a,]^ + j\.
У +
Зтг(/+1/4)
2/3^1 3/2
7Г 2
4~33
+ т« оУ3/2 +
+ у1/2
Зтг(/+1/4)] ( 2тгД 7Г
1ехЧ-ту
2 J V 3 У 4'
получаем, выбрав постоянный множитель С так, чтобы при у —> 0 высотный
множитель Z\ переходил в единицу:
Z| и ехр {2Й/3/2/3 + (у1/2уз/2)[3тг(/ + 1/4)/2]2/3}
{/l+ [-2/Зтг(/+1/4)]2/3у
Этот высотный множитель совпадает с тем множителем, который дает
при у ^> 1 строгая теория (§39), где соответственно нужно брать
асимптотическое выражение для w(t — у), т. е. для Щ1. Заметим, что формула
(57.53) и есть асимптотическое выражение для 1х/3.
Мы разобрали применение метода нормальных волн в волноводе к
случаям, в которых значения / могут быть приближенно определены из
аналитического решения уравнения (57.43) (или (55.15)). В более реальных
случаях необходима довольно сложная численная процедура. В качестве
примера укажем на решение [121] проблемы распространения
сверхдлинных волн (тысячи и десятки тысяч герц), порождаемых, например,
грозовыми разрядами (атмосферики) в слое между поверхностью земли (которую
здесь можно считать идеальным проводником) и ионосферой. В
упомянутом исследовании высотная зависимость e(z) в ионосфере
характеризовалась формулой для «переходного слоя» (57.9) при М = 0 (рис. 129), причем
! 58. СФЕРИЧЕСКИ СЛОИСТАЯ АТМОСФЕРА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
437
из данных радиозондирования ионосферы подбирались значения констант
Р и М раздельно для дня и для ночи. Точное решение для такого слоя [128]
дает значение коэффициента отражения f\ (а /з считаем равным единицы).
После этого путем численного решения уравнения (55.15) были найдены щ
и суммированием полей соответствующих функция ослабления поля с
расстоянием г по горизонтали. Полученные зависимости от г и от частоты для
дневного и для ночного поля оказались довольно причудливыми. При этом
они чрезвычайно хорошо совпали с экспериментально найденными
(подробнее см. монографии [2, 121]).
§ 58. Сферически слоистая атмосфера. Общая теория
Рассмотрим систематически решение уравнений поля для сферически
слоистой атмосферы. Для произвольного распределения e(h) по радиусу над
сферической землей мы могли бы воспользоваться методом
модифицированного показателя преломления, введенным, правда, весьма нестрого в § 56, а
затем решением для трехслойного пространства (55.17). При этом нужно
было бы считать, что источник, находящийся на высоте zo, помещен в
однородном слое бесконечно малой толщины, к которому сверху и снизу
примыкают неоднородные слои. В таком случае нам нужно было бы вычислить
коэффициенты отражения от границ этих слоев, причем для нижнего слоя
этот коэффициент отражения должен был бы учитывать, кроме
неоднородного слоя тропосферы 0 < z < zo, также и влияние земли. Для вычисления
этих коэффициентов отражения, а по ним — функций Ф<(а) были развиты
специальные методы (см. [9]). Однако широко распространенные способы
рассмотрения (тождественность обоих подходов нетрудно доказать) исходят
непосредственно из интегрирования уравнений поля в неоднородной среде
над землей (см. [13, гл. II; 135]. К их изложению, содержащему также
обоснование метода модифицированного показателя преломления, мы и
перейдем.
Как было показано в § 3, в этом случае решение уравнений Максвелла
можно заменить решением скалярного уравнения для функций Дебая и(г)
(в случае поля вертикального электрического диполя) или и(г) (в случае поля
вертикального магнитного диполя), удовлетворяющих уравнениям (3.39а)-
(З.ЗЭв), которые мы запишем в сферической системе координат (г, ■&, <р) с
центром в центре земли и с полярной осью, проходящей через диполь. В
силу симметрии, функции и и v от <р зависеть не должны. Поэтому мы
имеем
1 д2 . ч 1 д ( . ади\ ,.»
г or2 г2 sin v ov V д'д J
k2 = e(r)kl, к0 = -, к"2 = к2-к~\. (58.1а)
с аН к
Во многих случаях можно считать &* = &. Это имеет место прежде всего
тогда, когда е испытывает только монотонное изменение из-за нормального
убывания плотности в тропосфере, т. е. меняется на величину порядка 10_3-
10-4 на интервале порядка 10 км = 106 см. В самом деле, поскольку е близко
438 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
к единице, можно написать
к(г) = v/1 + (e(h) - l)k0 « (l + £{-h)~ l\ k0
и потому (г = а+ h)
, d2 1 rrrsd2 1 d2 (л е-\\ ld2e ,голЧ
kdT2k*^dT2l + ie-l)/2*dT2\l-—)=-2dT2- <58'2)
С другой стороны, главный член левой части определяется масштабом длины
для изменений поля по вертикали, т. е., согласно формуле (38.9),
д2и {к2\2/3
Поэтому отличием /г* от /г можно пренебречь, если
Легко видеть, что неравенство (58.3) соблюдается с большим запасом
даже для самых длинных волн, поскольку \d2e/dr2\ ~ 10-15 см2. Если же
речь идет о резких изменениях е(г) типа инверсий, когда может возникнуть
вопрос об образовании волноводов, то подобные вариации е(г) нас
интересуют на интервалах порядка Яэф, где Яэф — эффективная толщина слоя
инверсии:
«Ре _6е_
dr2 ~ Яэу
С другой стороны, в этом случае, например, для захваченного волноводом
поля \д2и/дг2\ ~ |«|/Яэф, и снова отличием Л* от /г можно пренебречь,
поскольку \5е\ <С 1. Поэтому мы можем рассматривать единое уравнение
(51.1а) для обеих поляризаций поля, в случае необходимости понимая под А;
величину А;*.
Но уравнение (58.1а) отличается от уравнения для однородной
атмосферы только присутствием А;2 = £к$ вместо к$ = и>2/с2. В дальнейшем
целесообразно ввести (отличное от единицы) значение диэлектрической
проницаемости воздуха на уровне земли £о = е(а) и понимать под к$ величину
£ош2/с2. После этого удобно произвести те же преобразования, что в §38,
а именно: во-первых, от вертикальной переменной г и горизонтальной t?
перейти к переменным у и х (38.8) и (38.9):
s/S", зДо~ „ ._, к0а# а#
х = V "Т* = V ма» = ш = Ш* = Щху (58'4)
у={г-а)^2 = 1±- = к4, (58.5)
,, зДоо п ,.. 2М2 М
М = у —, Д,(А) = -у-, h0(\) =
Ао(А) М
" Ло'
(58.6)
! 58. СФЕРИЧЕСКИ СЛОИСТАЯ АТМОСФЕРА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
439
где М ;§> 1 — большой параметр задачи, Do и Ло — горизонтальный и
вертикальный масштабы; во-вторых, от функции поля и (под которой мы
будем понимать также и функцию Дебая вертикального магнитного диполя
и) перейти к функции ослабления U по формуле
и = eXp('p*0<"Vt/ (58.7)
И
(см. формулы (38.19) и (38.20); U заменяет Wi). В результате, разлагая
по степеням малой величины М-1 и сохраняя низшие члены, для U
получаем, аналогично (38.21), уравнение, отличающееся присутствием величины
е(г)-е0[135],
д2 U .8U
ду2 дх
с граничным условием (ср. (38.22))
8U
у + М
г0
U = 0 (58.8)
д =-qU, y = 0. (58.9)
Здесь для электрического диполя (вертикальная поляризация)
гМ гМ
Я =
для магнитного диполя (горизонтальная поляризация)
= \Дз - sin2 a, (58.10)
q = qm = iMy/e3 — sin2 a, (58.11)
причем £з — диэлектрическая проницаемость земли (точнее, ее отношение
к диэлектрической проницаемости воздуха у поверхности земли £о); <* —
угол падения (заменящий угол скольжения ф = 7г/2 — а) волны в данной
точке. Поэтому слагаемое — sin2 а под корнем имеет ясный смысл для
плоской волны. Но так как поле диполя может быть разложено на плоские волны
с комплексными sin а, то условия (58.9)-(58.11) будут иметь место и для
каждой такой парциальной волны. В частности, в методе плоских волн, как
он применялся в § 32 и 55, нужно считать sin2 a = v2/к^, где v2 — параметр
разделения цилиндрических переменных в методе Зоммерфельда, §31 (ср.
также §55 и 57).
Таким образом, проблема сведена, как и для однородной атмосферы, к
параболическому уравнению. Переход к нему от волнового уравнения (58.1а)
основан на утверждении, что функция ослабления меняется по вертикали
гораздо быстрее, чем по горизонтали. Соответственно вертикальный масштаб
/io(A) гораздо меньше горизонтального Д)(А) (58.6), fto(A) = M2Do(X)/ka =
= Do(A)/2M. В случае слоистой неоднородности это различие масштабов
может только усилиться, если, например, поле будет следовать за
изменениями е(г). Поэтому переход к параболическому уравнению здесь не менее
допустим, чем в § 38.
Граничные условия (58.9)-(58.11) характерны тем, что для
горизонтальной поляризации параметр q = qm всегда очень велик. С другой стороны,
для вертикальной поляризации даже при большом значении £з параметр q
440 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
может быть также велик, если речь идет о достаточно коротких волнах —
если М > y/ez- Физический смысл такого соотношения параметров
разобран в § 34 (см. (34.22)), где показано, что если \q\ ;§> 1, то в ослаблении поля
наземного источника раньше, чем геометрическое искажение поверхности,
сказывается поглощение волн в почве.
Таким образом, в случае очень коротких волн, для которого рефракция
в тропосфере в основном и интересна, даже при хорошо проводящей почве,
главным случаем является тот, когда \q\ 3> 1 и граничное условие (58.9),
для любой поляризации приобретает вид
U = 0, у = 0. (58.12)
Для вертикальной поляризации это имеет место, согласно формулам (34.22),
(34.24), тогда, когда при пренебрежении токами смещения
107а1/2А5/6«1, (58.13)
т. е. при средней почве, а ~ Ю-13 CGSM, должно быть А < 0,3 км; для
моря, а ~ 0,4 • ДО-10 CGSM, А <С 25 м. Если, наоборот, токи смещения
малы, £з ss Re£3) как это имеет место для весьма коротких волн, то модуль
\q\ = М/л/Кеез и подавно велик.
Теперь формулировка проблемы существенно упростилась. Уже из этой
формулировки следует важный результат: если в формуле (58.8) из
квадратной скобки вынести множитель М2, то мы можем, учитывая формулы (58.5)
и (58.6), переписать уравнение в следующем виде:
д2 U .8U „2
+ г — + М2
ду2 ох
2Л e(h)-e0
£о
U = 0. (58.14)
Его можно понимать как уравнение для плоской поверхности земли и
плоской слоистости в координатах х, у для функции e(h), меняющейся с
высотой по закону
£мод(Ь) = e(h) + —е0. (58.15)
Это приводит к методу модифицированного показателя преломления, §56
(см. также формулу (57.1)): кривизну земли можно заменить
дополнительным линейным возрастанием е.
С другой стороны, если подлинная диэлектрическая проницаемость е(К)
меняется линейно (или почти линейно), можно считать е(К) — е0 = е0 +
+h(de/dh)o и ввести эффективный радиус ае по формуле
Если после этого переопределить в формулах (58.4)-(58.6) х,у и М, положив
, к0а& М2 , k0h M ,го .
ЗГ=2М^ = ЖМ^' y=W = yW (58Л7)
М* = (/*!£«, (58.18)
! 58. СФЕРИЧЕСКИ СЛОИСТАЯ АТМОСФЕРА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
441
то мы получим
р + С + »'" = °> <5819>
т. е. в переменных х', у' такое же уравнение, как для однородной атмосферы
над сферической землей, например уравнение (38.21). Отсюда следует, что
для линейного изменения e(h) поле имеет такой вид, как в случае
однородной атмосферы с тем лишь отличием, что вертикальный и горизонтальный
масштабы длины изменяются путем замены а на эффективный радиус ае
(58.16):
2М*2 М*
D0(A)->D*(A) = —-, hQ(\)^h*Q(\) = —, (58.20)
«о «о
т. е. Do(X) увеличивается в у/а2/а2 раз, ho(X) — в \/ае/а раз.
В этом обосновании методов модифицированного показателя
преломления и эффективного радиуса земли они возникают в том же приближении,
в котором можно волновое уравнение заменять параболическим. Однако
можно исходить и непосредственно из волнового уравнения (58.1) и,
разделив переменные г и 0, в уравнении для функции от t? систематически
разлагать sin t? по степеням 0, т. е. по степеням отношения ад/а.
Основанная на этом оценка погрешности в значении высотного множителя поля Z(h)
показывает [136], что относительная погрешность имеет порядок kh5/2/a3/2.
Для сантиметровых волн, например А = 10 см, ошибка достигает 20% на
высоте порядка 2 км. Таким образом, для столь коротких волн методом £мод
можно пользоваться только для ограниченной области высот, например при
рассмотрении тропосферных волноводов. Однако уже для А ~ 10 м ошибка
пренебрежимо мала во всей тропосфере, так что можно рассматривать
волновое уравнение
V2« + к2емол(г)и = 0, * = -, (58.21)
где z = h — высота над (плоской) поверхностью земли, т. е. имеет тот же
смысл, что в § 56 и 57.
Решение параболического уравнения (58.14), как и волнового уравнения
(58.21), взятого в цилиндрических координатах г, z, отыскивается методом
разделения переменных. В первом случае мы полагаем в формуле (58.14)
U - J-. / exp (ixt)F(y; t) dt, (58.22)
27гг J
С
и, следовательно, F должно быть решением уравнения
d2F М*2
1^ + (p2(y)-t)F = 0, Р2(У) = — (^мод-1), (58.23)
а С — специально подобранный контур.
Во втором случае, согласно формуле (57.36), можно считать (в отличие от
уравнений (58.1)-(58.3) здесь г — цилиндрическая координата, г = at?)
и = 2 J B(v)J0(vr)Z{z; v) dv, (58.24)
442 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
причем Z должно быть решением уравнения, которое мы неоднократно
рассматривали в § 55 и 57:
d27
-j^ + (к2емод(г) - v2)Z = 0. (58.25)
Так как U есть функция ослабления, а и — функция поля, содержащая
фактор г-1, то условия в источнике, которым должны удовлетворять эти
функции, различны. Контур С и свойства F в формуле (58.22), а также
коэффициенты B(v) и функции Z в формуле (58.24) должны подбираться
соответственно этим условиям, граничному условию при z = 0 и условию
излучения. Мы видим, что уравнения для «высотных множителей» F и
Z различаются только масштабом независимой переменной, у = koz/M,
&о = ш2ео/с2, и обозначением параметра разделения
v*=$Lt + k\ (58.26)
Мы будем исходить из уравнения (58.25).
Рассмотрим вопрос об определении высотных множителей. Уравнение
(58.25) имеет два независимых решения, причем так как при z —> ос
заведомо e(z) —> 1 и £Мод(<г) переходит в 1 + 2zeo/a, т. е. в линейную функцию
от z, то эти решения должны переходить в решения уравнения для
линейного слоя (57.4) и выражаться через цилиндрические функции порядка 1/3
или функции Эйри. Как отсюда, так и из решения в приближении
геометрической оптики ясно, что это будут решения Z+ и Z~, ведущие себя как
уходящая и приходящая волны. Условие излучения требует, чтобы было
сохранено только решение Z+, асимптотически при z —> ос дающее
уходящую волну. Если источник находится на высоте zo, то ниже его поле может
содержать оба фундаментальных решения:
Z = AZ+, z>z0,
' ' (58.27)
Z = dZ+ + C2Z-, zo>z>0,
где A, C\, Ci — постоянные, определяемые из сшивания этих функций при
z = zo и из граничного условия при z = 0. Мы возьмем его в форме (34.6),
однако теперь нужно учесть, что углы скольжения ф, cos2 ф = sin2 a =
= v2/k2, могут быть любыми, т. е. нужно считать
ft 7
— = -ikrjZ, z = 0, (58.28)
где т} = у/ез — v2/k2/e3 для вертикальной поляризации, т? = у/е3 — v2/k2
для горизонтальной поляризации. Отсюда мы получаем два уравнения
AZ+(z0) = dZ+izo) + C2Z-(z0),
Cl *g°) + с2ЦШ = -iknfrZ+iO) + C2Z-(0)),
определяющих две из трех постоянных.
Общий постоянный множитель зависит от того, как нормированы Z±.
При z —> +ос их поведение дается формулой (57.17), которую, если угодно,
! 58. СФЕРИЧЕСКИ СЛОИСТАЯ АТМОСФЕРА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
443
можно рассматривать как асимптотическое выражение функций Эйри (57.6)
(в этом случае В± = ехр(±г7г/4)):
В±
Здесь В^ — произвольные нормирующие множители. В таком случае, как
мы сейчас убедимся, следует положить
С2 = £вТдТ^+(*о). (58.29а)
В результате, определив А и С\, находим (штрихом обозначены
производные по z)
i_ 7 f Z-'(0; v) + ikr,Z-(0; v) Z-(zo; v) \
U B+B- J 1 Z+'(0; v) + ikr,Z+(0; v) Z+(z0', v) j
о
oo
x Z+(zq; v)Z+(z; v)JQ{vr)vdv, z > zq,
= i__ f \ Z-'(0; v) + ikrjZ-jO; v) Z~(z; ,
U B+B- J \ Z+'(0; v) + ikvZ+(0; v) Z+(z- * '
x Z+(zo] v)Z+(z] v)JQ(vr)vdv, 0 < z < zo.
(58.30)
Действительно, указанный выбор Ci и пределов верен, если теперь и
удовлетворяет последнему, еще не принятому нами во внимание требованию:
при z —> zo, г —> 0 функция и должна переходить в функцию Дебая для
уединенного диполя (16.12)
оо
exp(ikR) f vdv r— тт. ^
и = - = / -j===JQ{ir) expfe(z - z0)\Jv2 - «2J, z ^ z0.
о
(58.31)
Но при йчОв этом интеграле (как и в (58.30)) главную роль играют
бесконечно большие v. Поэтому в интегралах (58.30) нам достаточно
подставлять значения Z* при v —> оо. Мы можем воспользоваться
асимптотическим видом Z* (58.29) при v2 3> k2e(z):
В±
Z± = ехр fe(z - z0)v ± Щ. (58.32)
y/iv
Подстановка этих выражений в (58.30) дает
оо
и = / Jo{vr) ехр fe(z - zo)v) dv, z ^ zo.
о
Таким образом, действительно, имеет место совпадение с интегралом
(58.31) (в котором также следует считать v —> оо).
444 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Итак, (58.30) есть поле диполя в произвольной сферически симметричной
атмосфере, если под Z* понимать решения уравнения (58.25),
нормированные в соответствии с их асимптотическим поведением (58.29). Заметим, что
множитель —i/B+B~ можно выразить безотносительно к асимптотическому
поведению функций. Именно, можно в формулах (58.30) считать
«ИГ = 1*0-1(*-^1-*♦£). (5S.33)
Действительно, согласно формуле (58.25), dW°/dz = 0, т. е. W° от z не
зависит. Поэтому значение этой константы можно получить, например,
используя в формуле (58.33) значения (58.29) для Z* при z —> ос. Тогда мы
получаем, что W° = 2iB+B~.
Решение (58.30) очевидным образом обобщает решение (31.9а),
справедливое для однородной атмосферы и плоской земли. Поэтому его иногда
называют обобщенным интегралом Зоммерфельда. Оно так же, как формула
(31.9а), пока еще далеко от вида, пригодного для практического
использования.
Прежде всего, учитывая, что, согласно формуле (58.25), Z±, а, согласно
формуле (58.28), и rj зависят только от f2, т. е. являются четными
функциями v, можно, как обычно, функцию Бесселя выразить через функцию
Ханкеля:
Joiyr) = \(НР + Я<2>) = \{Н^{ут) + я£>(-,г))
и распространить интегрирование на всю вещественную ось v:
+оо
и = f H^i^Z+izo; v)Z+(z; v)Q{z,v)vdv, (58.34)
Q(z, v) =
W°
Z~'(0;v) + ikriZ-(0; v)
Z+'(0;i/) + *Ar»7Z+(0;i/)
z-
z+
HA
Z^ ZQ,
(58.34a)
где в аргументах второй дроби в фигурной скобке берется zo при z > zo и
z при z < zo, т. е. меньшее из чисел z и zo-
Эта форма решения [13] уже очень похожа на форму (58.22) и может быть
к ней сведена полностью. С другой стороны, можно сразу, исходя из формулы
(58.22), искать выражение для F и форму контура С. Не давая вывода [135],
вполне аналогичного изложенному, приведем результат. Оказывается, что
контур С должен охватывать все полюса подынтегральной функции. Далее,
F = F(y,yo,t;q) =
1
W°
F-'(0;0 + gF-(0;Q
F+'(0;t) + qF+(0;t)
F~
F+
(M
F+(y;t)F+(yo;t),
У$Уо- (58.35)
! 58. СФЕРИЧЕСКИ СЛОИСТАЯ АТМОСФЕРА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
445
Здесь F±(y; t) — решения уравнения (58.23), асимптотически при у —> ос
ведущие себя как уходящая и приходящая волны:
F±(y; t) ~ B±J^^f exp Ujy/WW^dX (58.35a)
W° = F+F~' — F~F+' (штрих означает дифференцирование по у) и равно
2iJ3+J3~. При J3+ = В~ = 1 и г = 0 формула (58.35а) дает асимптотическое
выражение функций Эйри. Таким образом, F* отличается от Z* только
обозначением независимых переменных, a F очевидным образом совпадает
с Z+(z; v)Z+(zo; v)Q{z; v). Различие двух форм решений сводится, по
существу, к тому, что вместо функции Ханкеля Щ {vr) в формулу (58.22)
входит ее асимптотическое выражение для больших vг = vati:
H°1){ur)~y^expH"r-z)l
Действительно, согласно формуле (58.26), если только можно
утверждать, что играют роль не очень большие значения t, t <С М*2, то v яз
яз k(\ + £Qt/2M*2) и, согласно формулам (58.17), (58.34) и (58.35),
+оо
12k г / 7г\1 f А2
и » J — ехр [* (кг - - J J / exp (ixt)F(y, t0, t) -^^ dt. (58.356)
— OO
Предэкспоненциальный множитель соответствует переходу от и к U и для
доказательства тождественности формул (58.34) и (58.22) нужно было бы
еще рассмотреть лишь вопрос о сведении контура С к вещественной оси.
Оно вытекает из условия в источнике.
Реальное вычисление и или U должно состоять, во-первых, в
отыскании высотных множителей Z* как решений уравнения (58.23) или (58.25).
В некоторых случаях оно может быть выполнено для заданной функции
e(z) аналитически, в других же — численным интегрированием. Однако
во многих случаях достаточно брать решение в приближении
геометрической оптики (§57). Во-вторых, нужно выполнить интегрирование по t (или
v). Так же, как в случае однородной атмосферы (или линейного хода £(z)),
интеграл часто может быть сведен к ряду вычетов, в котором, если мы
рассматриваем поле «за горизонтом», можно ограничиться небольшим числом
членов. Это преобразование аналогично переходу от формулы (39.21) к
формуле (39.20) или от формулы (55.13) к формуле (55.17). Со случаем
трехслойного пространства, рассмотренным в §55, совпадение является полным.
Формула (58.34) является по существу другой формой соотношения (55.13),
и так как v dv = /г2 sin ad sin а, то функцию под интегралом, на которую
в формуле (58.34) умножается Hq {vr)v dv, можно считать совпадающей с
— (г/4А;со8а)Ф^(а) (ср. вводные замечания к настоящему параграфу).
Соответственно этому и теперь можно оттянуть контур интегрирования с
вещественной оси в направлении +гоо (на бесконечно удаленной полуокружности
интеграл экспоненциально мал), причем контур повисает на разрезах,
проведенных из точек ветвления подынтегрального выражения в -Нос и, кроме
446 ГЛ.9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
того, оставляет за собой вычеты в полюсах этого выражения (это вполне
эквивалентно, если заменить v = /г sin а, переходу от контура Т\ рис. 119 к
контуру на рис. 120). Таким образом, и переходит в сумму вычетов в
полюсах в верхней полуплоскости v\ и интегралов по берегам разрезов из точек
ветвления v\.. Этими полюсами и точками ветвления обладает Q:
и = 2т^Н^\и,г)г+(г; vi)Z+(z0; щ) ResQ(z; щ)+
i
ioo
+ Y2 I H^^r)Z+(z; v)Z+(z0; v)Q{z, v) dv. (58.36)
к
Полюса v\ определяются уравнением
Z+'(0; i//) + ikr]Z+(0; щ) = 0. (58.36а)
Точки же ветвления являются нулями функции 77(f) и при |ез| ^2> 1 так
же, как в случае трехслойного пространства (§55, формула (55.16)),
расположены очень высоко. Из-за этого соответствующие Щ '(fjtr)
экспоненциально малы и интегралами по берегам разрезов обычно можно пренебречь.
Предполагая, что полюса простые, можно считать (второй член в фигурной
скобке в (58.34а) не дает вклада)
ResQ(z) - WQ (rf/A/){z+,(0. „} + iktlZ+(0. щ)]^ ■ (58-37)
В случае, если мы пользуемся формулой (55.22), интеграл тоже сводится
к сумме вычетов в полюсах той же функции, взятой в переменных у, t.
Однако для исследования поля в «видимой области», «над горизонтом» или
«вблизи горизонта» (здесь эти понятия имеют несколько иной смысл, чем
в случае однородной атмосферы) пришлось бы брать слишком много членов
ряда либо же он вообще расходился бы. В этой области удобнее пользоваться
интегральным представлением (58.22) или (58.34).
При изучении волноводного распространения радиоволн наиболее
существенное значение имеет определение «характеристических чисел» —
значений vi, в особенности тех из них, которые имеют наименьшую мнимую
часть.
Подробное изложение методики расчетов по формуле (58.36) можно найти,
например, в работе [13], где приведены также некоторые результаты для
линейного и для линейно-ломаного профиля, т. е. для случаев, когда либо на
всех высотах e(z) линейно зависит от высоты, либо наклон прямой на
некоторой высоте резко изменяется (кривые 5 и б на рис. 56), а также для
профиля, составленного из двух прямых, соединенных параболическим
закруглением, и для профиля, содержащего линейный ход и
экспоненциальный степенной участок. Случай линейно-ломаного профиля рассмотрен в
работе [122]. Существенные результаты на основе решения Фока (§57,
формулы (58.22) и (58.35)) были получены в работах [137], где специально изучен
случай суперрефракции для профиля типа кривой 7 на рис. 56 или рис. 132,
т. е. при наличии приземного волноводного слоя. Этот профиль можно схе-
§ 58. СФЕРИЧЕСКИ СЛОИСТАЯ АТМОСФЕРА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
447
матически описать формулой
^гмод(г) = р2(у) = р2(у.) + ^Г^> <58'38)
£о У + У1
где у,- = коН{/М* — безразмерная высота середины слоя, а у/ = р2(у,) - 2у,-.
Для q выбран наиболее важный случай, q = ос. Если для вычисления
высотных функций Z (или функции F) применить приближение геометрической
оптики, то Z+ дается функцией (57.38а)-(57.38в), a Z~ является ее
комплексно сопряженной. Образуя из них функцию Q(z; v) (58.34а), а затем
переходя к безразмерным переменным у, у,-, уо и t и используя формулу
(58.35), получим после некоторых вычислений [1356]
p,t ч _ exp [i($(yo) - 2£о)] sin£(у)
\/Р2(Уо) ~ty/p2(y) - t[xi (р) exp (-2г£0) - * exp (-тгр)]
(58.39)
Здесь предположено, что одна из корреспондирующих точек — источник —
имеет безразмерную высоту уо и расположена над слоем, уо > у», а
вторая — под точкой инверсии, внутри волновода, у < у,-, значения величин
f (у)> fo, X и р даются формулами (57.37)-(57.37б) и (57.38в). Если в
глубокой тени ограничиться вычислением нескольких первых членов ряда
вычетов (т. е. учитывать лишь несколько первых полюсов, охватываемых
контуром С (58.22)), то получается ясно выраженный волноводный характер
распространения. Корни уравнения (58.36а) (при q = ос и, следовательно,
г] = оо оно превращается в условие Z+(0; f/) = 0, ср. (39.3)) дают значения
v\ и, согласно формуле (58.26), значения t\ для захваченных волноводом и
первых незахваченных нормальных волн. С другой стороны, эти значения
получаются и как полюсы функции F (58.39), т. е. как корни уравнения
Xi О) = гехр(-7гр + 2г£0), (58.39а)
которое может быть сопоставлено с таким же условием (55.15) в методе трех
слоев.
В [137] дан детальный численный анализ для нескольких наборов
частных значений параметров у,-, уо и у/. Волноводный характер
распространения проявляется в том, что мнимые части корней £/ гораздо меньше, чем
для однородной атмосферы над сферической землей.
Изложенная выше теория в тех двух ее формах, которые исходят
соответственно из формул (58.22) и (58.34), а также в третьей форме, опирающейся
на формулу (55.13) (все эти формы в своей основе совершенно тождественны,
если не считать, например, того, что в методе параболического уравнения
по существу для Hq (vr) берется асимптотическое приближение),
применялась и для неволноводных профилей e(h) в проблеме проникновения за
горизонт. В связи с трудностями вычисления высотных функций обычно
изучаются первые члены ряда вычетов, дающие наиболее слабое затухание
с расстоянием г. Естественно, что они дают по существу экспоненциальное
убывание поля с расстоянием.
Однако недавно весь вопрос вновь привлек внимание. Дело в том, что
разные Z\ по-разному возрастают с высотой. Только при z = 9 можно
безусловно говорить о преимущественном значении низших I. В работе [122]
448 ГЛ. 9. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
уравнение для высотных множителей (58.25) было решено в
предположении, что e{h) убывает с высотой по закону стандартной атмосферы (15.3),
(15.4) только в интервале от поверхности земли до высоты h = 9,3 км, где
при таком градиенте становится е = 1, а выше этого уровня е не меняется.
Таким образом, для £мод имеет место линейно-ломаный профиль с изломом
на высоте hi = 9,3 км. В указанном предположении уравнение (58.25) было
решено точно, а не в приближении геометрической оптики. Это становится
возможным потому, что при линейном ходе s(h) решением являются
функции Эйри (38.28). В интервале 0 < h < hi решение представляется суммой
двух функций Эйри (асимптотика которых имеет вид соответственно
приходящей и уходящей волн)
Z = Схw- + C2w+, 0 < h< hi, (58.40)
а при h > hi имеет характер только уходящей волны:
Z = Aw+, h!<h. (58.40a)
Сшивая обе функции при h = hi и удовлетворяя условию на поверхности
земли, соответствующему коротким волнам и большом £з(<7 = °°)> можно
определить не только два из трех коэффициентов С\, Сг и А, но и
собственные значения v\. Результат, полученный в работе [122], показывает, что для
достаточно высоко поднятых корреспондирующих точек (находящихся все
же далеко за горизонтом) вклад мод больших номеров убывает только для
небольших I. Для А = 6 м и высот антенн ho = h = 1000 футов яз 330 м,
начиная с I яз 90, вклад высших мод начинает резко возрастать и остается
большим во всяком случае вплоть до I = 126. Мнимая часть v\ остается при
этом гораздо меньшей, чем при однородной атмосфере над сферической же
землей. Известно, в частности, что экспериментальные точки ложатся на
кривую для безграничной стандартной атмосферы (т. е. на кривую,
соответствующую теории § 39 с а —у ае = 4а/3) только перед горизонтом и
непосредственно за ним. В дальнейшем действительное поле превышает расчетное
(для этого случая) на десятки и даже сотни децибелов. Для объяснения
этого факта привлекали механизм рассеяния радиоволн на турбулентностях
тропосферы. Между тем вышеописанный расчет с ломаным профилем дает
(если учитывать 80 мод в области значений I, где их вклад максимален)
очень хорошее согласие с экспериментом.
Однако линейно-ломаный профиль содержит идеализацию,
представляющуюся весьма сомнительной: если в некоторой точке производная e{h)
меняется скачком, то такая физически нереальная особенность кривой может
привнести в решение черты, которые в действительности не имеют места.
Этот слабый пункт всех подсчетов, опирающихся на профили с изломом, не
подвергся еще исчерпывающему исследованию.
Упомянем еще раз, что в пределах прямой видимости может оказаться
плодотворной простая лучевая трактовка, как это было показано в [138].
Глава 10
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
§59. Введение
До сих пор мы считали атмосферу либо однородной, либо
слоисто-неоднородной. Однако в действительности, как говорилось уже в § 15, реальная
атмосфера всегда заполнена случайными трехмерными неоднородностями,
хаотическими флуктуациями диэлектрической проницаемости е и показателя
преломления п. Они приводят к разнообразным эффектам, сказывающимся
на прохождении как радиоволн, так и света и звука. Их экспериментальное
изучение ведется соответственно этому разными методами, дополняющими
друг друга, и выводы часто имеют характер общий для всех трех видов
излучения. Мы, однако, для определенности будем говорить о радиоволнах в
тропосфере.
Пучок радиоволн, проходящий через статистически неоднородную среду,
испытывает беспорядочные сдвиги фаз, в разных точках фронта различные,
и соответственно этому — преломление и рассеяние (поглощением можно
пренебрегать, если речь идет о частотах, для которых е действительно).
Поэтому в точке наблюдения, которая помещена на пути невозмущенного
пучка, происходят колебания уровня сигнала, совершающиеся с частотой
колебаний е в среде. Так как эти частоты малы по сравнению с частотами,
характерными для радиопередачи, то фактически имеют место замирания
сигнала. Кроме того, из-за преломления на неоднородностях, направление
нормали к фронту флуктуирует. При прохождении света от звезды через
атмосферу эти два эффекта сводятся, соответственно, к мерцанию света звезд
и к дрожанию их видимого с земли положения. Кроме того, если рассеяние
очень велико, имеет место ослабление средней интенсивности.
Перечисленные эффекты играют отрицательную роль, они ухудшают
условия приема и при современной все возрастающей чувствительности
принимающих устройств очень важны (правда, их изучение позволяет извлечь
полезные сведения о характере турбулентных движений в тропосфере).
Однако с другой стороны, рассеяние излучения из прямого пучка вызывает
«засвечивание», попадание этого излучения в области, оставшиеся в иных
условиях в тени. Важнейшим случаем здесь является проникновение
радиоволн за горизонт, где, в отсутствие описываемого эффекта, поле в
глубокой тени экспоненциально мало. Поэтому благодаря рассеянию на
неоднородностях поле за горизонтом может быть существенно интенсивнее
того, которое предсказывает теория для однородной (§ 39) или стандартной
слоисто-неоднородной (§ 56-58) атмосферы. Экспериментально, как об этом
говорилось в конце § 58, действительно в случае весьма коротких волн
обнаружено превышение (на десятки и сотни децибелов) наблюдаемого поля над
рассчитанным для однородной среды. Несмотря на статистический
характер этого поля, подверженного значительным замираниям, а также флук-
туациям другого типа, оно может быть использовано (и уже используется)
для радиопередачи за горизонт. Эффект рассеяния, как мы ниже увидим,
450 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
особенно велик для сверхвысоких частот, т. е. как раз в том диапазоне,
где сферичность земли играет особенно вредную роль. Поэтому изучение
роли статистической неоднородности атмосферы приобрело, примерно с
начала 50-х годов, особенно большое значение. Поскольку, по самой
сущности явления, это изучение требует статистических методов исследования,
оно образует важную, очень быстро развивающуюся ветвь статистической
радиофизики. Ему посвящено огромное — и все возрастающее — число
работ. Уже в настоящее время существуют подробные обзоры и монографии
[139-142], содержащие также оригинальные результаты их авторов. Все это
заставляет нас в настоящей книге ограничиться кратким изложением только
некоторых простейших вопросов и ссылками на соответствующие обзоры, а
в некоторых случаях и на оригинальные статьи.
Действие неоднородностей на поле существенно зависит от соотношения
между размерами отдельной неоднородности I (эту величину можно
определить как I = rc/|Vrc|), длиной волны Л = 1/к и характерным размером
всей рассеивающей области L (в случае, если вся среда заполнена неодно-
родностями, то L ~ D, где D — расстояние между корреспондирующими
пунктами). Наиболее эффективны неоднородности с / > > = 1/к (см.
ниже. §60; ср. также §48, из которого видно, что при 1< А= 1/к рассеяние
имеет релеевский характер и пропорционально (kl)~4, т. е. мало). Поэтому
основным методом является приближение геометрической оптики в его
различных разновидностях. Кроме того, существенную роль играет «глубина
неоднородности» — величина бе — отклонение е от его среднего значения
ё. В атмосфере всегда \6е\ <С ё, поэтому мы имеем второй полезный малый
параметр задачи. Если размеры отдельных неоднородностей и их число не
очень велики, то созданное ими возмущение мало и, используя малость 5е,
можно применять простейший способ — метод малых возмущений (§60),
в котором поле, падающее на каждую неоднородность, считается
совпадающим с невозмущенным полем. Этот метод оказывается вполне достаточным
и является основными при расчете рассеяния на «большие» углы, в
частности при анализе проникновения излучения за горизонт. Однако
накапливающееся действие многих неоднородностей, хотя они частично и
компенсируют друг друга, в конце концов, по прохождении достаточно большого
расстояния, может, вообще говоря, сделать это приближение непригодным.
Ниже мы увидим, что это имеет место главным образом при наблюдении в
области прямой видимости. Становится необходимым учитывать
«переизлучаемые поля», и здесь возможны различные другие приближенные методы,
которые рассматриваются в последующих параграфах. Мы вкратце опишем
их здесь.
Если характерные размеры I неоднородностей достаточно велики, а
расстояния, на которых производятся наблюдения, L, достаточно малы, то в
поперечном направлении зона Френеля укладывается в пределах одной
неоднородности. При этом мал важный для теории параметр, так называемый
волновой параметр Р:
Р=^«1. (59.1)
В таком случае каждая неоднородность действует, как отклоняющая луч
призма и как собирающая или рассеивающая линза. Эти эффекты малы.
Суммарный эффект близок к тому, какой имеет место при прохождении
§59. ВВЕДЕНИЕ
451
через слоисто-неоднородную среду с хаотическим распределением 5е по
одной — продольной — координате. Поскольку kl » 1, постольку мы
можем применять геометрическую оптику, как в одномерной проблеме,
рассмотренной в § 57, однако при статистическом задании отклонений показателя
преломления от среднего.
Этот простейший случай приближения геометрической оптики далеко не
использует ее возможностей. И в трехмерной проблеме медленно
модулированную фазу ikip(r) и амплитуду волны А(т) можно при любых L отыскивать
последовательными приближениями из решения волнового уравнения для
волновой функции и. Можно, например, как в §57 (см. формулу (57.15)),
искать функцию «(г) в виде
«(г) = A(r) exp [ik<p(r)}, (59.2)
разлагая А и </? в ряд по степеням малого параметра 1/kl. Однако можно,
в принципе, достичь большего, если включить А в фазу, как это принято,
в частности, в квантовой механике или как это всегда делается, когда из
приближения геометрической оптики хотят извлечь точное значение малого
коэффициента отражения (ср. §57):
«(г) = ехр[Ф(г)], (59.3)
Ф(г) = ik<p(r) + In А(т). (59.3а)
В таком случае, разлагая Ф в ряд, можно учесть и относительно большие
искажения амплитуды. Однако преимущество формы (59.3) перед формой
(59.2) проявляется только в том случае, если первых двух приближений
геометрической оптики, дающих решение вида (57.17), не достаточно. Между
тем при прохождении волн через хаотически неоднородную атмосферу,
когда нас, в отличие от § 57, не интересует экспоненциально малое отражение,
уже простейшее решение вида (57.17) оказывается (если необходимо — при
соответствующем трехмерном обобщении) во многих случаях достаточным.
Более того, часто здесь можно определять фазу Ф не только обычным
способом, разлагая Ф по 1/kl и затем выделяя из главных членов выражение
первого порядка относительно 6п, но и сразу разлагать Ф по 5п (а затем по
1/kl). Это значит, что можно в формуле (59.3) считать
Ф = Ф0 + Фь (59.36)
где Фо соответствует решению волнового уравнения для заданных
источников в однородной среде (5п = 0), а фг — член пропорциональный 5п (в
одномерной задаче Фо = ikz, для точечного источника Ф = ikr и т. п.).
Этот подход, называемый иногда методом плавных возмущений [139, 140]
и использованный в ряде работ вслед за Рытовым [143, 144], как видно
из вышесказанного, принципиально тесно связан с другими формами
приближения геометрической оптики и часто им эквивалентен. Между тем в
литературе этот вопрос освещался по-разному. Относительные достоинства
этих методов (а также описываемого ниже метода диффузии лучей) и их
области применимости получали совершенно различные оценки. Во многих
случаях область применимости находили, рассматривая одну
изолированную неоднородность. Между тем крайне существенно, что нас интересуют
статистические величины для среды, сплошь заполненной неоднородно-
стями (здесь члены первого порядка относительно 5п в значительной
степени усредняются). С другой стороны, иногда привлекали критерии,
заимствованные из обычной оптики и неявно предполагающие, что 6п ~ га, что
452 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
также недопустимо. Поэтому мы вынуждены уделить сравнительно много
места вопросу об областях применимости различных методов (отметим, в
частности, что обзоры по этому вопросу часто расходятся с выводами,
излагаемыми в настоящей главе).
Упомянутый выше метод диффузии лучей является очень удобным и
ценным. В его основе лежит представление о независимом рассеянии отдельных
лучей пучка на некоторых центрах, причем расчет ведется, соответственно
этому, с помощью уравнения Фоккера. Ясно, что этот метод также
использует идеи геометрической оптики, однако связь между ними довольно
своеобразна (см. §62).
Мы выше говорили об определенной геометрической характеристике не-
однородностей I. Действительно, существуют прямые измерения е,
приводящие к заключению, что в некоторых процессах проявляется один подобный
геометрический параметр. На языке статистического описания это означает,
что, например, функция корреляции значений бе в двух точках гиг' имеет
вид
6е(т)-6е(?) = W?F (Ц-^) , (59.4)
где F(0) = 1, F(p) -*■ 0 при р >■ 1 и выбран простейший случай
статистически однородного и изотропного распределения неоднородностей:
коэффициент корреляции F зависит только от одного (постоянного) параметра I —
длины корреляции. В случае неизотропной неоднородности длины
корреляции 1Х, 1У, lz вдоль трех осей различны (ср. §51).
Вместо функции корреляции можно пользоваться структурной
функцией для флуктуации е (см. § 15)
De(\t-t'\) = 2(Se)2
-F(^H)]. (59.5)
так что De(0) = 0, DE(oo) = 2(5е)2. Часто вместо флуктуации е удобно
рассматривать флуктуации показателя преломления п = у/ё. Так как е =
= eo + Se, п = по + Sn т y/so + Se/2-^/ёо, то мы имеем вместо формулы (59.4)
5п(т) ■ 5п(т') = {SnfiF (^j^) , (59.6)
Щг = \№¥.. (59.6а)
4 е0
Структурная функция для п соответственно равна
l_F(]£Zl4)j=slDe(|r_r>|). (59.7)
Начиная с первых работ по статистическому распространению
радиоволн в тропосфере, обычный путь рассмотрения состоял в том, что для F
гипотетически принималась какая-либо определенная функция и затем из
сравнения с экспериментом результатов расчета поля радиоволн делались
заключения относительно параметров (Se)2 и /. Так, во многих работах
принималось, что
F(p) = exp(-p). (59.8)
Dn(\r-r'\) = 2(Sn)2
§59. ВВЕДЕНИЕ
453
Однако при р = 0 должно быть F'(0) = 0 (ср. §51). Поэтому такая
функция не может быть всюду правильной. Делались и другие предположения
(F(p) = ехр(—р2) и т. п.). Подобному феноменологическому подходу
противостоит теория [144, 145], которая принимает функцию F (или D) такой,
какой ее дает теория локально-однородной турбулентности
Колмогорова-Обухова (см. §15; подробнее см. [140]). На основании этой теории были
получены выражения для Dn (15.8в) (см. также (15.8г)):
ь C2R2/*, l3«R«io, (59'9)
R=\r-r'\, C2n = a2l40/3M2,
где l0 — размер максимального вихря, 13 — минимального. Поскольку
следует считать, что при R >■ fo функция F(R) обращается в нуль (вне
максимального вихря корреляция исчезает), то должно быть, согласно формуле
(59.5), Dt(lo) ~ 2(5е)2, т. е., согласно соотношениям (59.9),
c2~W¥
U« ~ ,2/3
(59.10)
о
Поэтому для функции корреляции можно написать
R2
F =
1-
,4/3,2/3'
-(f)
2/3
О,
R<ls
h< R< lo,
lo<R.
(59.11)
Чрезвычайно важно, что в этой теории появляются два масштаба длины,
«внутренний» ls и «внешний» /о, причем 13 •< fo. Какой из них играет
решающую роль — зависит от того, какие проявления турбулентности мы
рассматриваем. Таким образом, функция корреляции F почти постоянна и
близка к единице во всем интервале значений R от ls до ~ fo- Теория не
дает точного вида этой функции вблизи R = 1о- Однако для вычислений
удобно иметь какое-либо аналитическое интерполяционное выражение для
нее. Так как в условиях тропосферы ls ничтожно мало по сравнению с fo,
в основном речь идет об области R >■ ls. Мы можем, например, вывести
«сглаживающий» множитель х и считать
'Ш-ЧйГ *(£)■ '•«* (59Л2>
где х(р) = 1 ПРИ /><1, х(р) = Р-2/3 при р » 1. Можно, конечно, и просто
положить
О-ИГ]'
h^R,
(59.13)
и т. п.
454 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Если по аналогии с двумерным случаем (51.9) ввести спектральные
функции (для функции F с одним параметром длины I)
G(q) = JF(j) exp(-tqR)^, F (j) = j G(q) exp(iqR)^,
vl3 f If
Sn = vf(t) = -~~ / g(x) exp (txr) dx, g(x) = p /W exp (-ixr) dt,
(59.14)
где R, r, q и x — трехмерные векторы, (% = 2ir/l), то для функции
корреляции (59.8) имеем
G(*) = (UW (59Л5)
Если
то
F = ехр (-/) = ехр (-R'/l*), (59.16)
G(q) = тг3/2 ехр (-^р) • (59.17)
Наконец, если F(R) дается формулой (59.11), то, учитывая главную область
расстояний, ls <C R <С 1о, и соответственно для главной области значений q
можно интеграл брать в пределах от 0 до ос:
G(9) = /riFxVWJexpH4R)¥ =
сю
= (2*)^ - -rJ7,/exP(-iqR)X (£) Я»/»Л
0 о
Пренебрегая первым членом, относящимся к предельно малым q, и заменяя
qR на f, имеем
сю
G(?) = -№^/*(£H-fS/3<ie- (59Л8)
О
Произвол, связанный с интерполяцией, не влияет на вычисленный спектр,
если можно считать х = 1) т- е-> как видно из формулы (59.18), если
qlo » 1. (59.18а)
Этим определяется область значений q, в которой можно надежно
использовать предсказываемый теорией спектр флуктуации. Часто F интерполируют
с помощью формулы, предложенной Карманом (см. монографию [140]):
о2/3 D
^тт" К,/М' р=Го (59Л9>
Для такой функции корреляции можно получить [140]
Г(11/6) 8,3/2 _ №(11/6)*»/» 1
G(9) " Г(1/3) (1 + ^^п/б ~ Г(1/3) (ql0)"/* (59,20)
§59. ВВЕДЕНИЕ
455
(последнее выражение написано для qlo 3> 1, т. е. в области значений
q, на которую характер интерполяции не влияет); подразумевается также,
что qla •< 1). Отсюда возникает обычно используемая зависимость G(q) ~
~ 9"11/3-
На основании функции (59.9), как показали В.А. Красильников и
A.M. Обухов, можно производить анализ распространения радиоволн [145а,
144, 145в] (а на основании аналогичной формулы для флуктуации плотности
еще до того Д.И. Блохинцевым производился анализ распространения звука
[1456]) в турбулизованной атмосфере.
В последующих параграфах будут рассмотрены некоторые основные
методы теорий распространения радиоволн в статистически неоднородной
тропосфере. Лишь в очень незначительной степени, в качестве примеров будут
приводиться результаты применения этих методов к практически важным
проблемам. Среди таких проблем можно назвать определение в данной точке
среднеквадратичной флуктуации фазы (вроде рассматриваемого в §62
методом диффузии лучей) и амплитуды (вроде разбираемого в §61 «методом
эквивалентного экрана»). Эти характеристики нетрудно найти и другими
методами, например методом плавных возмущений, усредняя квадраты
соответственно мнимой и вещественной частей ф (61.62а). Более того,
проблема когерентности принимаемого излучения в разных точках приемного
устройства ставит вопрос о корреляции фазы (и амплитуды) в двух точках,
расположенных как вдоль, так и поперек первоначального луча. Знание
решения, например в форме (61.62), позволяет осуществить и эти
вычисления. Заметим, что последовательный учет двухпараметрической функции
корреляции (59.11) довольно сложен. Подобное детальное рассмотрение
содержится в книге В.И. Татарского [140]. Мы в большинстве случаев будем
иметь в виду один параметр (обычно совпадающий с 1о), в необходимых
случаях добавляя соответствующие замечания.
Все подобное рассмотрение достаточно, если, во-первых, можно отвлечься
от деполяризации излучения при рассеянии, т. е. рассматривать только
скалярное волновое уравнение (обоснование возможности этого см. в §60), и,
во-вторых, если среда является однородно-турбулентной, в частности, если
можно отвлечься от высотного хода s(z), на который накладываются
турбулентные флуктуации. Учет поляризационных соотношений возможен, если
исходить из уравнений Максвелла, а не из волнового уравнения. Такая
методика была развита в работах [146], причем в основу было положено явное
разделение всех составляющих поля на две части — на статистическое
среднее и на флуктуационную часть.
Совместное рассмотрение хаотических неоднородностей и
систематического хода е привлекает особое внимание. Здесь следует иметь в виду два
аспекта.
Во-первых, речь идет о совместном учете рафракции в тропосфере и
рассеяния на неоднородностях турбулентного происхождения (или на каплях
дождя и тумана). Этот вопрос рассмотрен в ряде работ различными
методами (см. [140]). В частности, применяется метод плавных
возмущений (§61), причем за нулевое приближение принимается поле в спокойной
слоистой среде, вычисляемое в приближении геометрической оптики [142,
154]. Используется также простейшая форма приближения геометрической
оптики (59.2) [153].
456 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Второй аспект состоит в учете влияния земной поверхности, которая, как
оказывается, обусловливает появление специфических явлений. Они были
обнаружены и объяснены в работе [155]. Эти особенности связаны с тем,
что вблизи земли в области справедливости квадратичной формулы (19.42)
результирующее поле есть следствие интерференции двух лучей — прямого
и отраженного от земли. Появление неоднородностей, даже если они слабо
возмущают каждый луч, может резко нарушить условия интерференции. В
результате оказывается, что статистические характеристики поля зависят от
расстояния совершенно иначе, чем в отсутствие земной поверхности. Теория
явления была развита в работе [156].
Мы ограничиваемся этими краткими замечаниями и отсылаем читателя
к цитированным выше обзорам [139-142] и к остальной весьма обширной
литературе, посвященной указанной специальной проблеме.
§ 60. Метод возмущений
Распространение радиоволн в произвольно неоднородной среде
описывается уравнениями Максвелла (2.4а), (2.46), которые при s = е(т) уже не
дают простого волнового уравнения: действуя оператором rot на уравнение
(2.46) и подставляя вместо rotH выражение (2.4а), мы в области, где j0 = 0,
получаем
rot rot E = grad div E - V2E = k2s{t)E,
а действуя оператором div на уравнение (2.4а), получаем, что
div (sE) = s div Е + Е grade = 0.
Следовательно,
V2E + k2e(r)E + grad (E gradIn е(т)) = 0. (60.1)
Так как
е(г) = е0 + 5s, so = е(т'), \Ss\ < 1, (60.2)
то in s(r) та in so + Ss/so — (\/2)(Ss/so)2. Положим
E(r) = Eo(r) + E, (r), k2s0 = к2, (60.3)
где Ео(г) — статистически среднее поле в данной точке, a Ei (г) — флукту-
ационный член:
Е0(г) = Е(г), Ei(r) = 0. (60.4)
Среднее поле Ео может, вообще говоря, сильно отличаться от его
значения при 5s = 0. Лишь в методе возмущений принимается, что Е0 совпадает
с его значением для однородной среды при s = So = const. В любом случае
можно ожидать, что Ei есть величина порядка 5s, т. е. относительно мало
(по отношению к главной составляющей вектора Ео).
Подставляя выражения (60.2) и (60.3) в формулу (60.1), мы получим,
учитывая члены вплоть до второго порядка по 5s,
к2 5s ( 5s\
V2E0 + ArgEo + V2Ei + -£— Ео + к2Ег + grad ( E0 grad — +
So \ £o/
+k2—Ei + grad (Ex grad — - ^Е0 grad (—) )=0. (60.5)
So \ So I \So/ /
§60. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ
457
Сюда входят члены нулевого порядка относительно 5е (первые два),
первого порядка и, наконец, второго порядка малости. Эти последние не могут
быть отброшены, если мы хотим учесть затухание (из-за рассеяния на не-
однородностях) среднего поля Ео. Положение здесь совершенно аналогично
рассмотренному в §51 для волны, скользящей вдоль хаотически
шероховатой поверхности. Затухание происходит на длине, которая велика как
по сравнению с А, так и по сравнению с I. Это значит, что среднее поле
Ео отличается от невозмущенного поля медленно меняющимся множителем
ослабления w(r). Усредняя уравнение (60.5) по ансамблю, мы получаем
уравнение, из которого члены первого порядка выпали (учтем также, что
grad (5s)2 = 0):
, ,
V2E0 + А^Ео + kl—Ei + grad ( Ex grad — ) = 0. (60.5a)
£o \ £o /
Так как градиент w мал, то первые два члена в сумме почти равны нулю и
потому для определения w необходимо учитывать последние — малые —
слагаемые. При определении же Ei их можно рассматривать как поправку.
Следовательно, собирая в формуле (60.5) члены первого порядка относительно
5е, мы имеем
V2Ei + k^Ei = -kl—Ео - grad ( Ео grad — ), (60.6)
?о \ £о/
где правая часть не содержит Ei. Мы получили волновое уравнение с
источниками. Поле Ei, исчезающее вместе с бе, согласно формуле (5.10),
получается отсюда равным
El(r) = ±-j ^^pEo(r') + gradr,(E0(rOgradr,^p)] x
xexP(ik0)\r-r>\dt,
\т — г |
В этом параграфе мы рассматриваем решение по методу возмущений.
Для него исходным пунктом является допущение, что рассеянное поле Ei
можно вычислить по формуле (60.7), подставляя для поля Ео его
невозмущенное значение — падающую от данного источника волну, которая до
рассеяния распространяется в однородной среде с е = £о = const. Физический
смысл этого допущения ясен из вида правой части уравнения (60.6). Поле Ео
создает в среде избыточную (по сравнению с тем, что было бы при 5е = 0)
поляризацию Р = 5еЕ/4к. Подставляя это выражение в формулу (3.96) и
учитывая, что div (eE) = 0, причем с точностью до членов высшего порядка
здесь можно заменять Е на Ео, мы снова можем получить формулу (60.6).
Считая Ео совпадающим с невозмущенным полем, мы тем самым
пренебрегаем влиянием поля, рассеянного одной неоднородностью, на поляризацию
другой неоднородности.
Подобный подход широко применяется при вычислении поля,
проникающего вследствие рассеяния за горизонт. В такой форме концепция
статистического рассеяния на неоднородностях и была применена впервые [147].
458 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Итак, примем (рис. 135), что на область, занятую неоднородностями,
падает плоская волна, в точке г дающая
Е0 = Аоехр^ог'), (60.8)
а наблюдение производится в точке г далеко вне рассеивающего объема, так
что
Л0|г — г'| = к0-\/г2 — 2rr'cosx + г'2 = к0г — k0r'cosх + •• • ~ к0г — к/т',
(60.9)
где х — угол между г и г', а к/ имеет смысл волнового вектора
рассеянного поля, k0r'cosx = k/г', Н = А;^. Интегрирование второго члена под
интегралом в (60.7) по частям дает
f л (ъ л 5s\ exP (iko\T ~ т'\) j i
J ^ (Eo *""* Г0) |r-r'| dt =
A f (v A 5S\ eXP (ik0\T - T'\) J /
= graxiry [E0 grad-J ^ _ ^ dr' ->
-+ -Л, J (e0 grad £) exp (-гк/Г') dr' ?*Ш..
Как видим, этот член выражает поле, направленное вдоль направления
распространения, — продольное электрическое поле. Очевидно, что он должен
сократиться с соответствующей составляющей первого члена. Не излагая
Рис. 135, Рассеяние на турбулентных неоднородностях в тропосфере
доказательства этого, мы просто вычтем из первого слагаемого его
направленную вдоль к/ ставляющую и отбросим второе слагаемое. Это значит,
что мы заменим А0 на А0 — к/(к/Ао)/к^ и отбросим под интегралом в (60.7)
второй член. Таким образом, мы получаем
El(г) = 6ХР4(^°Г) (к*А0 - Mk/Ao)) J ^ ехр [г(к,- - kf, г')) dr'.
(60.10)
Здесь /г2 = к%. Это выражение дает рассеянное поле вдали от рассеивающей
области при данном значении функции 5е(г'). Нас интересует поток
рассеянной энергии в элементе телесного угла dQ, £r2 dQ = (c/87r)|Ei|2r2dfi.
§60. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ
459
Его надлежит усреднить по различным экземплярам рассеивающей
области с данными статистическими свойствами. Кроме того, поделив на поток
падающей энергии Ео = cAq/8tt, мы перейдем к дифференциальному
эффективному сечению da совершенно так же, как мы это делали в §48 и 52.
Оно поучается равным
_ Ег2<Ш _ k*dQ Г A/A0\2l Г Г fe(r')fe(r"J
Ео 16тг2
А/А0\21 f f 6e(r>)6e(r»)
\koAo) J J J е2
x exp [t(ki - k/, r' - r")] dt' dr". (60.11)
Итак, совершенно подобно результатам § 52, эффективное сечение
определяется функцией корреляции неоднородностей, в данном случае — е,
причем, если важен только один параметр длины I, то
fe(r')fe(r") _ (бе)2
4 е,
И")
(60.12)
В зависимости от тех или иных предположений относительно функции
F получаются различные конкретные результаты. Формула (60.11)
показывает, что поляризация волны проявляется слабо, если углы рассеяния малы.
Действительно, все отличие от соответствующего решения для скалярного
волнового уравнения состоит в том, что появляется фактор
2
Ч!£) =>-«-•*•
где 0 — угол между направлением рассеяния и направлением поляризации
падающей волны Ао. Направление рассеяния характеризуется углами #, </?
где азимут </? мы можем отсчитывать от Ао. Тогда
1 - (-т-^) = 1 - sin2 0 cos2 и> (60.12a)
WW
и среднее (по двум поляризациям) значение этого множителя есть
1 - | sin2 t?. (60.126)
Следовательно, если углы рассеяния малы, if< 1, то вместо уравнения
(60.1) можно рассматривать волновое уравнение
V2E + к2е(г)Е = 0 (60.12в)
или скалярное уравнение для отдельной составляющей вектора Е.
В дальнейшем мы будем считать £0 = 1) ^о = *• Формула (60.12)
предполагает, что длина корреляции одинакова вдоль всех направлений. Можно,
конечно, рассматривать и более общий случай — анизотропную
турбулентность (см. [157]).
Обозначим
к/ - к,- = q, q2 = 2k2(l - cos t?) = 4k2 sin2 (t?/2), (60.13)
где q — «вектор рассеяния», at? — угол между направлениями
распространения падающей и рассеянной волн — угол рассеяния. С помощью формулы
(60.12), переходя к переменным р = (г' — т")/1 и г' и считая, что эффектив-
460 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
ные расстояния г' — г" очень малы по сравнению с интервалом изменения
г', т. е. с размерами объема V, мы можем независимо выполнить
интегрирование по г' (что дает полный рассеивающий объем У) и в бесконечных
пределах -
da =
- по р. В результате получаем
k4Vl3dQ
167Г2
-(^)2(l-sin'st?cosi
<p)Jf(p)
exp (iqpl) dp, (60.14)
или
da =
k4Vl3dSl
167Г2
(fe)2(l-sin't?cos>)G(q).
(60.14a)
Таким образом, сечение рассеяния на данный угол определяется
составляющей фурье-разложения функции корреляции для q, равного вектору
рассеяния (60.13), <j(q) = G(k/ — k,). Даже для ql >■ 1, когда функция корреляции
близка к единице, рассеяние определяется как раз отличием R от единицы
(например, в случае (59.11) — малым членом (R/Iq)2I3).
Для длинных волн или предельно малых углов •&: ql = 2&/sin (t?/2) <C 1,
интеграл в формуле (60.14) определяется убыванием функции F по мере
роста р. Полагая qpl —> 0, учитывая, что остающийся безразмерный интеграл
есть величина порядка единицы, пренебрегая поляризационным
множителем, мы получаем (здесь дают вклад большие р и потому существен больший
из двух параметров, /0)
da =
k4Vl3dSl
47Г
JWJF(p)
dp^k4Vl3^-(Se)\
47Г
(60.146)
Этот результат, естественно, имеет характер релеевского рассеяния на
малых частицах, W<1 (§48). Как всегда в таких случаях, физически
существенная малость / не по сравнению с самой длиной волны А, а по сравнению
с обратной величиной модуля, передаваемого волне вектора |q|, ql •< 1. При
малых ■& даже короткие волны A <ti l будут рассеиваться как длинные.
Сечения рассеяния для трех видов функций корреляции (59.8), (59.16)
и (59.19), которые мы назовем случаями (А), (В) и (С), выражается
соответственно с помощью формул (59.15), (59.17) и (59.20) (см. также работы
[139-141]) следующим образом:
da =
kAVl3dQ,
167Г2
(fe)2(l-sin2t?cos2v) <
8тг
(l+?2f2)2'
F = exp(-p), (A)
3/2
exp
F = exp(-p2),
8тг3/2Г(11/6)
Г(1/3)(1 + 92*2)п/б'
23/%1/3Ki/3(p),
(В)
F =
Г1/3
(С)
(60.15)
где стоящие после знака фигурной скобки выражения дают функцию G
соответственно для случаев (А), (В) и (С).
§60. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ
461
Необходимо, однако, с осторожностью пользоваться этими формулами в
области больших q. Действительно, большие q соответствуют малым р в
функции F(p). Между тем, случай (А) соответствует функции (59.8),
которая заведомо неправильна в области малых р, так как противоречит условию
F'(0) = 0. Функция (59.19) (случай (С)) подобрана так, чтобы передавать
ход F(p) в области R~> ls (см. формулу (59.11)), и, следовательно, также
неприменима при р —> 0. Только функция (В) внутренне непротиворечива. Все
эти функции указывают на быстрое убывание рассеяния, когда 2sin(t?/2)
превышает малую величину 1/Аг/, т. е. когда становится ql > 1. Однако
если рассеивающий объем достаточно велик, рассеяние оказывается все же
значительным и позволяет объяснить многие случае проникновения за
горизонт (см. рис. 135). Мы получаем соответственно для случаев (А), (В) и
(С), для 1? < 1, если q2l2 > 1:
V(Se)2dQ
da = -—
167Г2
(А)
>^ехр(-^), (В) (б0Лб)
8тг3/2Г(11/6) к1/3
Г(1/3) /2/3011/3-
(С)
Экспериментальные данные по проникновению за горизонт, которые в
настоящее время принято объяснять тропосферным рассеянием на неодно-
родностях, характерны тем, что поле очень слабо зависит от длины волны
излучения, пока она достаточно мала. Это очевидным образом согласуется
с формулой (60.16 А) или приближенно с формулой (60.16 С) (правда,
эксперимент [148] предсказывает скорее da ~ А;-1/3, чем /г1/3). Однако как
только что говорилось, функции G для (А) и (С) непригодны при предельно
больших q. Если для (С) можно все же считать, что эта функция
непротиворечива в области 1 <С qlQ, 1 >■ qls, где ее фурье-образ не зависит от
использованной интерполяции для функции (59.11) в области ls <g. R <g. Iq,
то для (А) вообще неизвестно, начиная с каких р и, следовательно, вплоть
до каких q ее можно считать правильной.
Зная da, можно вычислить поле в точке наблюдения. Нужно только
выполнить интегрирование по объему V в пределах, которые задаются
диаграммами направленности антенны. Многочисленные подсчеты такого рода
можно найти в литературе (см., например, обзор [141]).
Нужно отметить, что значительное рассеяние (к тому же слабо
зависящее от длины волны) может быть получено из (60.14) только в том случае,
если A <g /. В самом деле, уже из физических соображений ясно, что когда
на длине волны укладывается много неоднородностей, А >■ /, их действие
усредняется и ослабляется. Из формулы (60.15) тоже видно, что при kl —> 0
сечение рассеяния убывает как (1/\)*. Поэтому статистическое
проникновение за горизонт может иметь место только для достаточно коротких волн.
Если для / принять оценку, которая, по-видимому, следует из
экспериментальных данных (§ 15), I ~ 10-100 м, то мы приходим к выводу, что эффект
может быть значителен для метровых и еще более коротких волн.
Полученной формуле рассеяния (60.14) можно придать несколько иной
смысл. Пусть рассеивающий объем в направлении падения волны имеет
462 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
толщину L, так что V = SL, где S — площадь сечения объема. Если
рассеиваемую энергию мы поделим на первичный поток, падающий на всю
поверхность S, то вместо da получим величину
An k4 TI3
dw=^- = ^-pV dSl{Se)2(l - sin2 0 cos2 v)G(q), (60.17)
указывающую распределение (вероятность) рассеяния волн по
направлениям. В частности, отсюда можно найти средние величины, например
средний квадрат угла рассеяния ■д2 или среднее значение от 4sin2(t?/2) = q2/k2.
Так как существенные ■& малы, то оно совпадает с ■д2. Согласно формуле
(60.17), учитывая, что 27rsin t?dt?= (2n/k2)qdq, 0 < q < 2k, имеем
з 2к
4 sin2 (0/2) = f^PO1 f G(q)q3 dq. (60.18)
о
Таким образом, главный вклад сюда дают большие q. Поэтому, если
мы пользуемся двухпараметрической функцией (59.11), то I имеет скорее
значение, более близкое к 13, чем к Iq (это замечание относится и к формуле
(60.19), см. ниже, но не к формуле (60.20), где, согласно сказанному перед
формулой (60.146), играют роль большие расстояния и I ~ Jo). Далее, сюда
нельзя просто подставить G(q) соответственно формуле (60.15) поскольку
при kl >• 1 это означало бы в некоторых случаях (например, для (А) и (С))
существенное привлечение области значений q, в которой функция G может
быть неверна (при kl = ос для случая (А) интеграл разойдется). Поэтому мы
перейдем от G(q) к F{p) посредством формулы (59.14) и переставим порядок
интегрирования по q и по р. Последовательно учитывая, что F'(0) = 0, вводя
переменную ql = х и полагая в верхнем пределе kl —> ос, мы получим
сю сю сю
/ G(x)x3 dx= x3dx F(p) exp (ixp) dp =
7 d2 7
= 4?r / F(p)pdp— I sin(pz) dx. (60.18a)
о о
Последний (внутренний) интеграл равен 1/р (ср. формулу (10.45)).
Интегрируя дважды по частям и учитывая, что .F(oo) = 0, F'(0) = 0 (в отынте-
грированных членах нижний предел считаем равным а и затем устремляем
а к нулю), получаем окончательно
2 I J p dp2 I J p dp
о о
(60.19)
Таким образом, средний квадрат угла рассеяния в слое толщиной L
пропорционален этой толщине и не зависит от длины волны.
Аналогичные вычисления дают после интегрирования (60.17) по всем
q полную вероятность рассеяния. Они отличаются отсутствием в формуле
(60.18) множителя q2/к2 и от формулы (60.18а) — отсутствием оператора
§61. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
463
d2/dp2. Имеем
сю
w= I dw= ^k2lL{5s)2 f F(p) dp. (60.20)
о
Безразмерный интеграл есть число порядка единицы. Используемое в этом
параграфе приближение справедливо, пока щ < 1, i. е. пока
кЧьЩ2 ^ 1. (60.21)
При / ~ 100 м, (бе)2 ~ Ю-10, для длин волн А ~ 1 м имеем, что должно
быть L < 2 • 108 см.
Полезно также иметь выражение для интегрального рассеяния на угол,
превышающий некоторый данный угол t?o, т- е. для рассеяния с
параметром, превышающим 2/г sin (t?o/2) « &t?o- При интегрировании встретится
интеграл типа (60.18а) без оператора d2/dp2, имеющий нижним пределом
х = хо = kl'&o,
lim / ехр(—ах) sin pxdx
cospz0
Xq
так что
сю ею
f dw= he2lL{Se)2 I F(p) cos (px0) dp. (60.22)
tf=tfo
Если xq <C 1, то эта величина равна w. Если же Xq > 1, т. е. если
(учитывая также формулу (60.19), по крайней мере в случае однопараметрического
распределения, когда фигурирует всюду одно и то же I)
е2>-^- 1= ~ ^ (60.23)
0 к212 к2Ы(6е)2 ™
(так как щ<1, это значит, что t?o много больше среднеквадратичного угла
рассеяния), то полная вероятность рассеяния на угол, больший t?0) мала.
В заключение отметим, что мы совершенно не касались важного и
интересного вопроса о роли движения неоднородностей, который исследовал
Г.С. Горелик [160].
§ 61. Геометрическая оптика
В этом параграфе мы подробно рассмотрим различные формы
приближения геометрической оптики и, в соответствии со сказанным в § 59, сравним
их области применимости.
Условия распространения радиоволн в атмосфере привносят здесь
особенности, которые облегчают решение, но усложняют вопрос (до сих пор
вызывающий разногласия в литературе) о соотношении и областях
применимости разных форм метода. Помимо малого параметра 1/kl, где I —
радиус корреляции, т. е. по существу средний размер неоднородностей, мы
имеем малый параметр 6п = п - 1, который почти всегда еще меньше
первого. Наряду с этим играет роль обычный параметр теории дифракции —
волновой параметр (термин, предложенный Г.С. Гореликом) Р= (LX/12).
464 ГЛ.10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Таким образом, если мы положим 5п(т) = vf(r),
речь идет о трех параметрах:
" = й<1'
1/~>/(*")2<1.
где и2
~ (6п)2,
1/1
~ 1, то
(61.1а)
(61.16)
(61.1в)
Различным образом используя малость этих параметров, получаем
различные формы приближения геометрической оптики.
Если 5п = 0, то для плоской волны фаза равна </?0 ~ kz. По
прохождении неоднородности, т. е. на пути Дг = I, искажение фазы имеет порядок
kAz(n — 1) = kl(n — 1). Поэтому обычно говорят, что искажение может
проявиться на отрезке порядка 1/п и что искажение фазы (и амплитуды) есть
функция от zn/l = fikzn. Однако в действительности здесь входит п — 1, а
не га. Если параметр 5п мал, то по прохождении одной неоднородности
искажение будет соответственно малым, порядка цикг. Поэтому возмущение
фазы (и амплитуды) в действительности является функцией именно этого
аргумента. Тем не менее, если мы сначала учтем малость только одного
параметра, например /х, а затем малость и, или наоборот, то, конечно, ошибки
совершенно не будет.
Начнем с одномерной проблемы. Она рассматривалась уже в §57, где,
однако, интерес представлял другой ее аспект: рассматривалась одна
изолированная неоднородность и, кроме того, внимание концентрировалось на
проблеме отражения, а не прохождения волны.
Рассмотрим вновь скалярное уравнение (см. замечание перед формулой
(60.12в))
d2u
— + p2(z)u = 0, p2{z) = kh{z). (61.2)
Отделим переменную часть p{z) от постоянной и введем безразмерную
координату f:
d2u ,
jp+n2u = 0, (61.3)
f = kz, n = n0 + 5n, nQ = const. (61.3a)
а) Сначала мы положим в основу малость /х (61.1а). Используя ту же
форму приближения геометрической оптики, что в § 57, удобно и записать в
безразмерных переменных следующим образом:
и = А(ц£) ехр
-<p(rt)
I* = у• (61-4)
Подстановка этого выражения в уравнение (61.3) дает уравнение, только
формой записи отличающееся от уравнения (57.15а),
ц2 А" + гц(2А'<р' + А<р") - Ау>'2 + п2А = 0. (61.5)
§61. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
465
Здесь штрихи обозначают дифференцирование по аргументу /if = z/l.
Разложим А по степеням /х:
А = А0 + цА1 + ц2А2 + ... (61.6)
и подставим в уравнение (61.5). Приравняв нулю суммы членов одного
порядка по параметру /х, получим
А0(Ч>'2 ~ п2) = О,
{(2А>оЧ>> + А>¥>") = Аг(^ - п2) = О,
А% + i(2A[ip' + AW") = А2(ч>'2 - п2) = О,
Первые два уравнения дают снова формулы (57.16), (57.17) лишь в иной
форме:
га, </? = /i/radf = /iA;/ra dz;
A0 2tf 2n' ° >/"'
(61.8)
Следовательно,
const
и
l^exp(ik f n(z)dz\ (61.9)
Третье из уравнений (61.7) дает
л° = SRj^ = ~Ч2пЛ'1 + п'М) = _2г'^(Л1^'
л г Г 1 d2 1 г [J_JP_J_dz
2 >/»/■* J y/nd£2y/n 2цку/п J y/ndz2y/n
о
(здесь принято, что слой неоднородностей начинается при г = 0) и т. д.
Условие справедливости решения (61.9) требует, чтобы было n\Ai\ <g |Л0|
(и, конечно, ц\А2\ -С \Ai\ и т. д.), т. е.
(61.9а)
1 d2 1 _,
dz
~f —
\2к J s/n
(61.10)
\fndz2 sfri
о
Нужно различать два случая.
Если га — 1>1, то dn/dz ~ га//, d2n/dz2 ~ гг//2. Вынося из-под "знака
интеграла некоторые средние значения, получаем обычное для плотных сред
условие
L^nkl2 = nl2/X, (61.11)
где L ~ z — эффективный размер всей области интегрирования, т. е.
области, занятой неоднородностями. Когда речь идет об изолированном слое
с одним максимумом или минимумом (что соответствует рассмотрению в
§57), например об ионосферном слое, то L ~ I, и условие (61.11) сводится к
условию
kin > 1. (61.12)
466 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Это обычное условие малости длины волны в данном веществе. Среде,
сплошь заполненной неоднородностями, отвечает случай L >• I. Тогда
условие (61.11) можно переписать в виде 1 <ti L/l •< nkl. Отсюда следует, что и
для такой среды условие (61.12) является необходимым условием.
Рассмотрим теперь среду вроде тропосферы с относительно малыми
флуктуациями п, \п — 1| = \6п\ <С 1. Тогда неравенство (61.10) можно
переписать в виде
Iff 5п\ (Р5п 1 dSn 1 / d25n
ikj \l-T)~d^dz = iklb ~ й J 5nH* dz
< 1. (61.10a)
о
Считая \d5n/dz\ ~ \Sn/l\ и т. д. и вынося средние значения из-под
интеграла, получаем два условия:
Ш > 6п, (61.13)
Ski2 L 8 ,
_>i, Р =■&<.?. (61.14)
Первое из них является очень важным. Оно заменяет условие (61.12)
и показывает, в соответствии со сказанным выше, что при i/< 1 (61.16)
на длину волны налагаются гораздо более слабые условия, чем в оптике
плотных сред. Второе условие налагает ограничение на толщину слоя
неоднородности. Для изолированного слоя, L ~ I, оно еще слабее, чем условие
(61.13), и может не приниматься во внимание. В хаотически же
неоднородной среде, в принципе, условие (61.14) является новым и налагает
ограничения на расстояния L, вплоть до которых справедливо приближение и,
в частности, можно пользоваться решением (61.9), пренебрегая величиной
А\, малой по сравнению с А0. Заметим сразу, что при распространении
радиоволн в тропосфере это условие практически совершенно несущественно.
Действительно, здесь (6п)2 < Ю-10, I ~ 104 см, следовательно, должно
быть (в см)
L < 1020/А, (61.15)
где А — длина волны излучения (в см).
б) Рассмотрим теперь другую форму метода, в принципе свободную даже
от ограничения (61.14).
Вместо того чтобы из уравнения (61.5) находить полное выражение для
if и разлагать амплитуду, можно, как это принято, в частности, в
квантовой механике, ввести амплитудный множитель в фазу и полную фазу искать
последовательными приближениями. Именно, вместо равенства (61.4)
положим
и = ехр {(г/ц)(р(ц£)}, (61.16)
так что уравнение для и сводится к уравнению для </? (достаточно в формуле
(61.5) положить А = 1):
{щр" - v?'2 + n2 = 0, (61.17)
где штрихи обозначают дифференцирование по аргументу ц£. Фазу </? ищем
в виде ряда
V = Vo + — Vi + ^tV2 + • • • (61.18)
§61. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
467
Приравнивая порознь нулю коэффициенты при одинаковых степенях ц,
сводим уравнение (61.17) к системе уравнений
¥>о - "2
О,
Vo + ViVo = 0.
ip'{ + 2у?'2<^ + V? = 0,
(61.19)
Первые два из них дают точно результат первого приближения прежнего
рассмотрения (61.9),
<Ро = ц I п d£ = кц I п dz; </?i = In —p=;
J J Vn
и = —= exp [ik I n dz J.
V" V J )
Далее, совершенно подобно формуле (61.9а), третье уравнение дает
1 d2 1
(61.20)
(61.20а)
(61.206)
1 +
Mi
А0
__J_ f ±_£_±, ,
*2 ~ 2/** У ^dz2^
Если \fi(f2\ <С 1, то мы можем положить
fifi2 \ 1 г Г 1 d2 1 J
и приходим к прежнему результату. Если, однако, модуль |/х</?г| не мал
то разлагать экспоненциальный фактор нельзя, и возникает возможность
учитывать большие искажения амплитуды и фазы. Действительно, и здесь
условие применимости метода есть условие допустимости разложения, в
данном случае — разложения (61.18). Казалось бы, нужно потребовать, чтобы
было |/х</?2| 'С <pi- Однако </?i = — In^/n имеет особенную форму,
отличающую </?i от всех других </?,: в </?i никогда не входит размер всей области
L. Так как этот член сразу отделяется в общий множитель exp (— In у/п) =
= гс-1'2, его целесообразно пропустить и в качестве условий принять
|mV2| < Ы, (61.21)
\ИЫ < Ш (61.21а)
и т. д. Но ifo/fj. ~ nkL, </?o ~ nL/l. Используя для </?2 такую же оценку, как
в формулах (61.9а), (61.10) и (61.10а), приходим к условиям
г г
< —, т. е. A;2f2n2 >1 при гг — 1 > 1; (61.22)
пА;2*3
\6п\
<
4Аг2/2 ^ / '
т. е.
I
L
I
4к212
^<f,T.e.8^2»(^
> при гг—1 = 8п <С 1.
(61.22а)
(61.226)
468 ГЛ.10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Условие (61.22) для плотных сред совпадает с соответствующим условием
(61.12) для метода, использующего разложение амплитуды. Далее, условие
(61.22а) для атмосферы практически несущественно: даже при L ~ I оно
означает к212 >• \5п\. Условие же (61.226) совпадает с условием (61.13).
Что касается условия (61.21а) и последующих ограничений того же типа,
то легко видеть, что они не могут прибавить ничего нового. В самом деле
если 5п = п — 1 = 0, то, согласно формуле (61.19), <р'0 = 1, а все остальные
</?{■ равны нулю. Поэтому произведение /up' пропорционально хотя бы первой
степени Sn и подобно формуле (61.206) /крз может, кроме того, содержать
L/1. Но так как эта же величина L/1 содержится в </?2, то условие \/крз\ ■<
■С </>2 не может быть более жестким, чем /iSn <ti 1, что совпадает с условием
(61.13). Таким образом, мы приходим к выводу, что условия справедливости
решения (61.16), (61.18), где </?о, ¥>ь ¥>2 и т- Д- определяются формулами
(61.20)-(61.20б), таковы:
Мп> 1 при |п- 1|>1; (61.23а)
М> \6п\ при |п-1| = |И< 1- (61.236)
Отсюда следует, что в плотных средах разложение идет, по существу, по
степеням 1/kln = /i/n, а в среде с Sn <С 1 — по степеням Sn/kl ~ /iu, как
об этом и говорилось выше.
Если произведение /ир^ не мало по сравнению с единицей, а /х2</?з мало
и может быть отброшено, то
г
u=^exp[ikI{n+w^^) 4 (б1-24)
Однако в проблеме тропосферного распространения радиоволн
дополнительный член в показателе, согласно формуле (61.15), мал и не нужен. Две
рассмотренные формы приближения геометрической оптики вполне
эквивалентны и их условия применимости различаются только дополнительным
требованием (61.14) в первом из методов. Остальные же условия (61.23а) и
(61.236) совпадают с прежними.
в) Рассмотрим теперь так называемый метод «плавных возмущений»
[144] (см. также обзоры [139, 140]), специально приспособленный к случаю
малых 5п и использующий эту малость с самого начала. Именно, отыскивая
решение в форме (61.16), можно сразу полагать
ip = Ф0 + Ф1. (61.25)
Здесь Фо — решение уравнения для однородной среды, т. е. для случая
5п = 0 и потому просто
Ф0 = /if, «о = exp f -Ф0 J = exp (if) = exp (ikz), /j£ = -. (61.25а)
Подставляя значение (61.25) в уравнение (61.17) и учитывая, согласно
формуле (61.25а), что Фц = 1 (штрих по-прежнему означает дифференцирование
по аргументу /i£), имеем
щФ'[ - 2Ф; + 25п - (Ф[)2 + (5п)2 = 0. (61.26)
Метод основан на замечании [144], что при малых 5п, как почти очевидно,
(Ф^)2 ~ (<£")2 и потому последние два члена могут быть отброшены. Остав-
S 61. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
469
шееся уравнение легко решается. Мы, однако, имея в виду оценить
погрешность, будем действовать систематически. Разложим Фх по степеням и
(разложение начинается сев первой степени, так как в однородной среде
Фх исчезает):
фх = ф[х> + ф[2> + ... = vxi + f2X2 + • -. , (61.27)
и подставив это выражение в формулу (61.26), приравняем суммы членов с
одинаковыми степенями и нулю:
-*/*Xi+2xi = 2/, (61.28а)
-г>Х2 + 2Х2 = /2 " (Xi)2, (61.286)
Из уравнения (61.28а) после простого интегрирования находим решение,
обращающееся в нуль при f = 0:
Xi = 2г I f(ng) exp [-2t(£ - f)] *? = 2ik f /(*') exP [~2ik(z - z')] dz'.
о о
(61.29)
При kl >• 1 экспоненциальный фактор быстро осциллирует, a f(z') меняется
относительно медленно. Эффективная область интегрирования лежит при
г'йги определяется соотношением k{z — z') < 1. Поэтому, разлагая f(z')
в ряд по степеням £ = z — z', вводя временно фактор ехр(—aQ,
обеспечивающий сходимость, и затем устремляя а к нулю, получаем (интеграл по £
мы можем распространить до бесконечности)
сю
i/xi = 2ik J (/(г) + f'(z)C + \f"(г)С2 + ...)
о
x exp [(2Л - a)C] <K -+ Sn(z) + ~Sn(z) - ^^^ +■■■ (61.29a)
Таким образом, Ф^ ' « Sn. Соответственно из решения (61.29) получаем
точное значение Ф^ (при этом переставляем порядок интегрирования и
одно интегрирование выполняем)
Ф^ = nJ8n{\- exp [-2i(t - О]} <£, (61-30)
о
а из формулы (61.29а) — разложение по степеням /х (выписывается только
первый член):
-Ф^ » f Sndg = к f Sn(z') dz'. (61.30a)
о о
Формулу (61.30а) можно получить сразу из уравнения (61.28а), если учесть
малость ц и отбросить член цх'\-
470 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Второе приближение, Ф^ ', мы получим точно таким же способом, решая
уравнение (61.286), если в правую часть подставим значение (61.29а).
Решение сводится к формуле вида (61.29) или сразу (61.30а), в которых 2/
заменено на /2 — (xi)2> T- е-> согласно формуле (61.29а), на
Имея в виду оценки погрешностей, мы можем ограничиться
вычислением среднего значения Ф^ '. Усредняя для этого уравнение (61.286), видим,
что нам необходимо использовать среднее значение выражения (61.306). Но
среднее от первых двух членов в формуле исчезает. Поэтому, аналогично
формуле (61.30а),
1 ^(2) v 1 f. d2Sn ,. zii c d2Sn _. ,. ,z
ц * ц 8к J dz2 81 d(z/l)2 v^ ' ^ I
(61.30b)
Таким образом, источники в правой части уравнения (61.286) в высокой
степени погашают друг друга. Разность i/2f2 — v2(x'i)2 B среднем только
порядка n2v2, т. е. в /х2 раз меньше каждого из членов. Это и обеспечивает
полезность метода. Однако так как среднее значение разности не исчезает,
(2)
то Ф^ ' растет с расстоянием г и в конце концов может стать большим.
Условием применимости метода являются требования
|"Xi|<*o, k2X2|<kXil«U/ Snd?
(61.31)
о
Модуль v\\ мы можем оценивать по среднеквадратичному значению этой
величины. Полагая при интегрировании z' — z = £, z+z' = 2Z и интегрируя
по Z от 0 до г, а по С — в бесконечных пределах, мы получаем
ц I Snd? = ^ f dz' f dz"Sn(z')Sn(z") »
О 0 0 z +oo
О — oo
Поэтому, согласно формулам (61.25а), (61.30в) и (61.31), условия
применимости метода гласят (мы обозначаем расстояние z через L)
k2lL > и2, Р = ~ > i/2/z3; (61.32)
I 64
L < 64-J-5-, Р < -5-s-. (61.32а)
Эти условия совместны, если
i/V < 1. (61.326)
i 61. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
471
Первое приближение (61.30а) вместе с формулами (61.25), (61.25а) дает
и = ехр [г (kz + k f Sn(z') dz'j] = ехр (ik I n{z?) dz'j, (61.33)
о о
т. е. результат, точно совпадающий с тем, что дают другие формы
приближения геометрической оптики. Им можно ограничиться, если поправка
второго порядка мала по абсолютной величине, именно, если |Ф^ '//х| <С 1.
Рассматривая необходимое условие, мы можем для оценки пользоваться
средним значением (61.30в), требуя, таким образом, чтобы было (см. формулу
(61.30в))
/и/2у = i/2P<l. (61.34)
Кроме того, поскольку мы считаем /х <С 1, постольку должно быть во всяком
случае (см. формулу (61.326))
pv < 1. (61.35)
Итак, в рассмотренном одномерном случае все три формы приближения
геометрической оптики (выше — пункты а), б) и в)) приводят к одному
и тому же результату (61.33). Для всех них условие применимости имеет
вид к) >• 5п. Кроме того, должны соблюдаться дополнительные условия:
(61.14) — в первой форме метода (п. а) и (61.32)-(61.32б) и (61.34) — в
третьей (п. в). Отсюда видно, что в смысле области применимости метод
плавных возмущений — по крайней мере в одномерной проблеме — не имеет
преимуществ перед другими формами приближения геометрической оптики.
Во всех случаях разложение фактически идет по параметру /л/ ~ (5п/к1).
Перейдем к приближению геометрической оптики в трехмерном случае
для скалярного уравнения
(V2 + Р2)и = 0, р2 = к2е(г) (61.36)
(приближение геометрической оптики для уравнений Максвелла при любом
е, в частности изменение поляризации вдоль луча, рассмотрено СМ. Ры-
товым [151]). Мы сначала будем считать п произвольным. Представляя,
соответственно первой из форм метода, и в виде
и = A(fj^) ехр
(61.37)
причем
V|« + п2и = 0,
д2 д2
£ - кг, V^ - + Я(2 + Я(2,
2 д2 д2 д2 (61.38)
мы приходим к уравнению
p2V2A + i^[2(V0AV0ip) + AV2ip] - A[(V0ip)2 - n2) = 0. (61.39)
Здесь операторы Vo и Vq следует понимать как содержащие
дифференцирование по аргументу (j£: Vo = (l//x)V^.
Подставляя, аналогично формуле (61.6),
А = Л0 + М1+ ... (61.40)
472 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
и приравнивая члены одного порядка по /х, получаем вместо уравнений (61.7)
(Vov)2 = п\ (61.41)
in[AQWlip + 2(VoA,Vov?)] = ~ divo(^Vov) = 0, (61.41а)
г>2 [Аг Vfo + 2(Vo^! V0v?)] + ц2 VgA, =
= ц2 (~div0(AlV0ip) + VlA0J = 0. (61.416)
Основное уравнение (61.41), уравнение эйконала (фаза </?//х носит название
эйконала), является уравнением второго порядка в частных производных и
в отличие от одномерного случая не может быть непосредственно сведено к
квадратуре, содержащей одну постоянную; решение зависит от
произвольной функции, от значения </? на некоторой поверхности SQ, например на той,
на которой if постоянно: </?(г(5о)) = V»- Тогда, согласно уравнению (61.41),
задано и значение градиента </? на этой же поверхности: он направлен по
нормали к So и имеет абсолютное значение |Vo</?| = п. Зная п во всем
пространстве, можно, таким образом, в принципе, построить все поверхности
постоянного эйконала и найти полное решение </?. Оно будет функционалом
от начальной поверхности S0 и тем самым — от поля нормалей к этому
5о, единичных векторов 8(50). Волновым вектором волны в данной точке г
называется вектор
р = grad — = kV0<p, ^oV = "s> (61.42)
A*
где s — единичный вектор нормали к поверхности постоянной фазы,
проходящей через данную точку. При этом
р = ksn = p&. (61.43)
Кроме того, решение </? зависит от одной постоянной — от заданного
значения <р = <ра на So. Однако эта константа дает только общий множитель
exp (ikipa) при и.
В геометрической оптике принято характеризовать поле не столько
функцией </?, сколько непосредственно полем единичных векторов s. Оно
указывает направление лучей в каждой точке. Важно, что, согласно формуле
(61.42),
rot (ns) = rot grad </? = 0. (61.44)
Таким образом, можно для наглядности уподобить </?
электростатическому потенциалу, а поле векторов р или ns — силовым линиям. Из
формулы (61.44) вытекает, что это поле безвихревое, так что линейный
интеграл между двумя точками А и В от ns не зависит от пути. Приращение
эйконала </?//х равно (цк <й = d£)
Ч>(В)-<р(А)
Р
J knsсЛ= к J ncos(s, dl) ■ dl.
S 61. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
473
Если же под интегралом брать не скалярное произведение единичного
вектора s на dl, а просто путь dl, т. е. отбросить множитель cos(s, dl), то мы,
вообще говоря, получим большую величину. Правильное значение интеграла
сохранится только в том случае, если
путь интегрирования проложен вдоль
луча — вдоль s, — когда действительно
косинус обращается в единицу. Таким
образом, если интегрирование произ- ■—
водить вдоль истинного луча, то
интеграл
/
ndl
mm
(61.45)
Рис. 136. К выводу уравнения луча
принимает наименьшее значение из
всех тех, которые получаются для
соседних возможных траекторий. Это
соотношение — принцип Ферма — может служить исходным пунктом для
отыскания (вариационным методом) траекторий лучей (см., например, его
применение в §56). Дифференциальное уравнение для s, вытекающее из
этого принципа как уравнение Эйлера для данной задачи (см. книгу [139,
§3]), можно найти и из формулы (61.44).
При переходе от поверхности <р = <рг = const к поверхности <р = <fi +
+d<p на расстоянии da вектор s, вообще говоря, поворачивается, если Vrc не
совпадает с направлением s. Введем (см. рис. 136) в начале отрезка da, на
который мы смещаемся вдоль s, в плоскости, в которой лежат векторы Vrc
и s, прямоугольные координаты, характеризуемые ортами — единичными
векторами а и t. Из формулы (61.44), в частности, следует
d(nst) d^nsv)
дп dst дп
да да dt
ds
За dt
Но st и dsv/dt по определению равны нулю. Далее,
dt
ds
dn , „ .
s = (tv»),
1.
dst _
да da'
Поэтому (мы умножаем все соотношение, кроме того, скалярно на t)
n(ds/da) = t(Vn-t).
Далее, существует очевидная формула dn/da =
s и складывая с предыдущей формулой, получаем
(Vrc • s). Умножая ее на
dn ds .
s-—|- n— = slVrc • s) + tfvrc
da da
t),
или. окончательно.
d(rcs)
da
Vrc.
(61.46)
скалярная вели-
Это — дифференциальное уравнение лучей. Здесь а
чина, отсчитываемая вдоль данного, вообще говоря, изогнутого, луча.
Другими словами, предполагается, что уравнение луча ищется в
параметрической форме, г = г (а).
474 ГЛ.10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Уравнения в частных производных не могут быть решены при
произвольном п так, как в одномерном случае. Поэтому не все формы
приближения геометрической оптики, которые мы разобрали выше, одинаково
эффективны. Общие выражения можно получить только, если учесть малость 5п.
Первая — самая простая — форма метода состоит в том, что подобно
формулам (61.7)-(61.9) мы ограничиваемся первыми двумя членами
разложения по fi, т. е. уравнениями (61.41) и (61.41а). Для того чтобы их
решить, уместно сразу применить разложение по и [145а], т. е. положить
¥> = ¥>о + vipi + i/2ip2 + • • • , (61.47а)
Ai = 1 + vAQX + v2AQ2 + • • • (61.476)
В случае падения плоской волны имеем </? = </?о = Mso£ = дко*, где
s0 — единичный вектор направления падающих лучей. Поэтому Vo</?o = s0)
VoVo = ®' ^3 УРавнения (61-41), в первом приближении по и, получаем
8п
s0-VoVi = —; (61.48а)
далее из уравнения (61.41а) следует
VqVi + 2(s0 • Vo^oi) = 0. (61.486)
Если волна падает вдоль оси z, то уравнение (61.48а) содержит только
производную по n£z и немедленно интегрируется:
г
V(fi(x, у, z) = / Snfid^z = к 6п(х, у, z') dz'. (61.49)
о
Таким образом, в этом приближении набег фазы в точке (х, у, z)
определяется лишь оптической толщиной слоя, пройденного прямолинейным
лучом. Среда играет роль плоского экрана переменной плотности. Этот
результат приводит, следовательно, к так называемому методу эквивалентного
экрана. Далее, отсюда следует
^2 86п Г ( д26п д26п \ ..
*■ о >
где от дифференцирования по ^ мы перешли к дифференцированию по
координатам, V0 = V/A;, и ввели обозначение для «поперечного
лапласиана» V\ = д2/дх2 + д2/ду2. Решая теперь уравнение (61.486), получаем
г
А0(х, y,z) = l- Usn(x, у, z) + f{z - z')V2Jn(x, у, z') dz'\ (61.50)
о
(здесь принято, что 5п(х, у, 0) = 0 и изменен порядок интегрирования).
Найденное решение справедливо, если разложение по степеням и допустимо,
в частности, если отличие А0 от единицы мало. Для этого должно быть мало,
во-первых, само значение 5п, во-вторых, среднее квадратичное значение
интеграла. Именно, если обозначить Aq — 1 = 5А и считать, что наблюдение
§61. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
475
производится уже вне слоя, 6п(х, у, z) = 0, то средний квадрат флуктуации
амплитуды должен быть мал:
г г
ТЩ5 =±fdz'f dz"{z - z') (z - z")V2Jn(x, у, z>) ■ Vl8n(x, y, z") < 1.
о о
(61.51)
Если корреляция задается однопараметрической функцией, то
Vl5n(x, у, z>)S7\5n{x, у, z") = v2V\ ■ V2XF (о, О, £Ц-^) •
Положим z' — z" = pzl. Пренебрегая концевым эффектом, распространим
интеграл по pz до ±ос и заменим z — z" на z — z', Это дает
+оо
W = lj^f J' vl • v2xF(o, о, Pz) dPz.
— OO
Если поперечные операторы Лапласа понимать как действующие на
безразмерные переменные рх, ру, т. е. V^ —> V2,^//2, то
сю
— OO
где L = z — продольный размер неоднородной области. Таким образом,
одно из условий применимости метода есть
i/2A;3№ < 1. (61.52)
При v2 ~ Ю-10—Ю-12 это еще не очень жесткое условие: L <С (103-104) I.
Однако четырехкратное дифференцирование под интегралом в (61.51)
подчеркивает роль малых расстояний. В случае двухпараметрической
функции корреляции (59.11) это означает, что войдет не l~4, a lj4, интеграл же по
z' — z" даст lo. Поэтому в (61.51а) справа получится v2L3lolj4 и вместо
условия (61.52) мы придем к гораздо более тяжелому условию i/2L3IqIJ4 <C 1.
Кроме того, должны быть малы члены f2</?2 и т- Д- Не входя в
подробности, мы сразу можем сказать, что справедливость метода эквивалентного
экрана должна означать, что трехмерные неоднородности влияют как
одномерные. Это возможно только в том случае, если в пределах существенной
зоны — первой зоны Френеля — умещается малая часть одной
неоднородности. Следовательно, должно выполняться (ср. также ниже) гораздо более
сильное условие:
L<£kl2, Р<1. (61.53)
В трехмерном случае нельзя найти общее решение в виде,
соответствующем второй форме метода геометрической оптики (выше — п. б). Поэтому
мы сразу перейдем к третьей его форме, к методу плавных возмущений
[144]. Речь идет о том, чтобы сначала произвести разложение по и, а
затем по /х. (Подобная процедура впервые была предложена и последовательно
осуществлена для двумерной проблемы в работе [143].)
476 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Положим, аналогично формуле (61.16),
ехр
.Iх
(61.54)
Тогда для </? справедливо уравнение, аналогичное уравнению (61.17),
получающееся из формулы (61.39) при А = 1:
t/xV^v? - (Vov?)2 + n2 = 0. (61.55)
При 6п = 0 в случае плоской волны <р = ф0 = /xs0£ = /ik0r. В случае
точечного источника падающее поле имеет вид
const ... .
«о = —т— ехр (гкг) = ехр
-(^ + t/ilnf)
* = Ю,
так что Фо = /if+t/xlnf. Всегда Ф0 удовлетворяет уравнению, вытекающему
из волнового уравнения в однородной (5п = 0) среде,
г/хУ^Фо - (У0Ф0)2 + 1 = 0.
Поэтому для «рассеянного поля» (ср. формулу (61.25)) в одномерном случае
Ф1=</?-Ф0 (61.56)
уравнение (61.55) сводится к уравнению
t/iVjfci - 2(У0Ф0 • VoФl) - (У0Ф1)2 + п2 - 1 = 0; (61.57)
или, что удобнее, для вспомогательной функции х
Ф1=ХехрГ--фУ (61.58)
сводится к уравнению, пока строгому,
A^Vgx + X = ~(Х • V<^o + г/xVox)2 ехр f—U0J +
+{ц(25п + (5п)2) ехр (-Ф0 J. (61.59)
Нам необходимо решение, обращающееся в нуль, когда 8п = vf(r) —> 0.
Разложим х в ряд по и:
X = "XI + "2Хз + •••; Ф1 = Ф[1} + Ф[2) + ... (61.60)
Подставив Ф\ в формулу (61.57), получаем необходимую систему
уравнений, которую мы выпишем, возвратившись к переменной г — реальному
радиусу-вектору точки (/х£ = т/1):
V2xi + A2Xi = ^Г*п ехр (1ф0), (61.61а)
V2X2 + *2Х2 = - ( "v*o • Xi + *Vxi ) ехр ( --Ф0 ) + ^{Ьп)2 ехр -Ф0,
ц \ц ) \ ц ) I/2 ц
(61.616)
где V означает дифференцирование по обычным координатам, V = \ikS]Q.
S 61 ■ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
477
Первое приближение Ф^ ' для Фх получается из уравнения (61.61а).
Согласно формуле (5.10) имеем
*1 = *iX) = v\\ exp ( --Ф0 j = -гцф,
Ф
2тгУ |r-r'|
exp
Д
{Фо{т')-*о{*))+Щ*-А
8п{т'),
и
ехр
(Uo + ^(r)).
(61.62)
(61.62а)
(61.63)
Интеграл здесь берется формально по всему пространству. Однако
фактически эффективна, конечно, первая зона Френеля (см. §11). Поэтому можно
положить
, „ / , (х - х')2 + (У - У')2
г — г \ ы z — z + - ——Z-L-
1 ' ^ 2(z-z')
и интегрирование по z' производить от 0 до z.
Для плоской волны Фо(г) = pkz и
+оо
1"*кЦ-£Ь I dx'iJ'xv
■'w^^-v^y-w
X
х Sn(x', у', z'). (61.64)
Заметим, что этот же результат следует из уравнения (61*57), если мы,
отбросив члены второго порядка по 5п, последовательно учтем малость /х.
Раскрывая смысл оператора Vq, мы замечаем, что д2Ф\/д(ц(,г)2 входит с
коэффициентом /х2 и потому может быть отброшено как величина, малая
по сравнению с УоФо • V<^i = d$i/d(n£z). (Отбрасывать ц2[д2/д(ц£х)2 +
+д2/д(ц£у)2) нельзя, потому что масштаб изменения вдоль осей £х и £у
может быть иным, чем вдоль £2.) Мы получаем уравнение параболического
типа
д2Фг д2Фг „.,дФг
дх*
ду*
dz
2к2ц5п.
(61.65)
Его можно отождествить, например, с уравнением теплопроводности в
двух измерениях ж и у, когда коэффициент теплопроводности равен а2 =
= 1 и роль времени играет величина —z'/2ik, причем источники
распределены во «времени» и пространстве с плотностью 2к2ц5п. Точечный
источник единичной интенсивности, помешенный в точке (х', у') в «момент»
—z'/2ik = 0, дает в этом случае поле температур
/ (х-х')2 + (у-у')2\
еХЧ 4z-z>)/2ik У (61-65а)
2гк
4тг(г- z')
а распределенные источники — точно решение (61.64). Таким образом,
переход от выражения (61.62а) к решению (61.64) означает, что после
разложения по 5п мы производим разложение по ц.
478 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Важный частный случай имеет место, если расстояния настолько малы,
что ширина первой зоны Френенля мала по сравнению с длиной
неоднородности /, т. е. если волновой параметр Р мал: I2 ^> LX. В таком случае в
формуле (61.64) зависимость &п{х', у', z') от х' и у' является более
медленной, чем зависимость экспоненциального множителя, который имеет
характер произведения дельта-функций 5(х — х')8(у — %/). Вынося значение 6п,
взятое в точке х = х', у = у', и выполняя интегрирование по х' и у' (см.
формулу (10.13г)), мы, как и следовало ожидать, снова получаем формулу
(61.49). Тем самым убеждаемся, что она верна при условии (61.53).
Пределы применимости полученного таким образом решения для
трехмерно неоднородной среды обсуждались неоднократно. Однако
высказывания по этому поводу чрезвычайно сильно расходятся. Поэтому мы
рассмотрим вопрос вновь.
В изложенном выше выводе вопрос о справедливости решения (61.63)
сводится к оценке отброшенных высших приближений. Очевидно, должно
быть прежде всего
W2X2\ < Wxil (61.66)
Решая уравнение (61.616) так же, как решали уравнение (61.61а), мы
можем предварительно в правой части заменить первый член через
найденную величину (—г//х)(\7Ф^ ')2ехр(г'Ф0//х). В результате находим, согласно
(5.10),
1Ф(2) = £ехр (_1Фо(г))Х2 = ».j [{5п)2 _ ^(У*?>)»] х
х ехр (^(Фо(г') - Фо(г) + М|г - r'|)) |JJ^. (61.67)
Эта величина должна быть мала по сравнению с ф (61.62а), для того чтобы
разложение и весь метод последовательных приближений были пригодны.
Она должна быть мала по абсолютной величине, чтобы в решении можно
было ограничиться членами, учтенными в формуле (61.62). Сравнение с
(61.62а) показывает, что речь идет о дополнительных «источниках»,
добавляющихся к 6п. Поскольку функция 6п знакопеременна, а ее квадрат (5п)2
положителен, то даже при 8п <g 1 накапливающееся действие члена
второго порядка может стать значительным. Это приводит к интегральному
условию, указывающему предельные расстояния L, на которых мегод еще
верен. Ранее для одномерной проблемы мы убедились, что два источника
второго порядка в высокой степени компенсируют друг друга, так что их
сумма множителем ц2 отличается от каждого из них. Как мы сейчас
увидим, в трехмерном случае это не так.
Рассмотрим среднее значение источника второго порядка
(?Й)2_Д.-2/х-2(уф[1>)2
в формуле (61.67) или в формуле (61.57) (фактически, среднее значение
правой части в уравнении (61.616)) при падении плоской волны Ф0 = /хк0г.
Согласно формулам (61.62), (61.62а) и (61.64), внося оператор V под знак
$61. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
479
интеграла, учитывая, что г входит только в виде разности г — г7, и
интегрируя по частям, мы получаем
^(V**^)2 = ±Щ*= ^// V*.(rOV*n(r»)x
/ik Пр- р')2 (р - р")2 Л \ dt'dt"
где введены двумерные векторы р(х, у), р'(х', у'), р"(х", у").
Интегрирование по р1 и р" производится по всей плоскости х'у' и соответственно х"у",
а по г' и z" — от 0 до z. Для неоднородностей мы примем конкретный вид
функции корреляции (59.16)
V5n(r')V5n(r») = Vr/Vr«(^2exp (-?LZ-!LA =
= .^,exp(-^)=^(3-2ie^-2fe^)
х
x,xp(J'-''r;V-*r). (61.68a)
После этого интегрирование может быть выполнено (см. [159]), если
положить г' — г" = R, г' + г" = 2Ro и пределы интегралов по R и по Ro
считать независимыми и бесконечными. Такой способ интегрирования (как
и сам переход от решения (61.62а) к решению (61.64)) допустим, поскольку
все расстояния велики по сравнению с размером неоднородности /, если
область вблизи точки наблюдения не играет выделенной роли. В данном
случае существенная зона совпадает с основным эллипсоидом — первой
зоной Френеля — и такое приближение допустимо. В одномерном же случае
подобный подход, например, в применении к формуле (61.30), привел бы к
неверному результату, так как там (во втором члене под интегралом)
существенной областью является участок длины порядка 1/к вблизи точки z1 = z.
В процессе интегрирования, помимо элементарных, встречается инте-
оо
грал fRdRJo(aR)exp(-02R2) = (2/32)"1 ехр(-а2/4/32) [27]. Окончатель-
о
ный результат таков:
v2 _ J_7V^)2 = v2_ ^v2kl_^___ (61.69)
Однако как ясно из сказанного выше, этот результат неверен, если Р<1 и
проблема по существу является одномерной, подробно изученной выше.
Поэтому, интересуясь трехмерным случаем, мы должны считать R> 1. Тогда,
как мы видим, в отличие от одномерной проблемы, взаимная компенсация
источников второго порядка не имеет места, слагаемое и2 относительно мало
по сравнению с &_2(V^)2 и его можно отбросить.
Следует подчеркнуть, что это различие действительно связано с
трехмерным характером проблемы. Если в формуле (61.68а) мы отбросим
«поперечные» производные, т. е. в соотношении (61.68) вместо (Уф| )2
будем вычислять (дф[ '/dz)2, то получим вместо выражения (61.69) нуль
480 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
(это и означает необходимость учитывать следующие члены разложения
по /х, ср. формулы (61.29а) и (61.30в)). Фактически формула (61.69) дает
v2 — (1/к2) ((дф/дх)2 + (дф/ду)2). Поперечные производные возмущения
фазы гораздо больше продольных.
С помощью формулы (61.69) можно вычислить среднее значение члена
второго порядка Ф^ ' (оно во всяком случае не больше среднеквадратичного,
так что получаемое ниже условие будет необходимым, но, быть может,
недостаточным). Усредняя уравнение (61.616), мы для х2 и, следовательно, для
Ф^ ' (см. формулу (61.60)) получаем решение такого же вида, как для Ф^ '
(61.62), (61.62а) или (61.64), отличающееся от них только заменой 5п на
выражение (61.69). После этого интеграл легко вычисляется, и мы получаем
поправку второго порядка в фазе (см. [159]):
li^_*w{p[i-va(i-=ȣ)]-
-Ь^АгИп (1 + 16Р2) j * -4^1/W (p+ iln (1 + 16Р2Л . (61.70)
Найдем теперь среднеквадратичное значение Ф^'. С помощью формул
(61.62), (61.64), действуя так же, как при переходе от выражения (61.68) к
результату (61.69), после несложных вычислений получим (L = z— полный
путь вдоль оси z)
\Ф?\2 « ^Vy - и2ЫР. (61.71)
Для того чтобы метод разложения по параметру и (с последующим учетом
малости fi), был правилен, необходимо, во всяком случае, чтобы эта
величина была мала по сравнению с |Фо|2 = k2L2 = k4l4P2, что и имеет место,
если k2lL >• i/2, P >• v2fi3, а также чтобы она была велика по сравнению с
квадратом Ф^ '. Таким образом, согласно формуле (61.70), мы приходим к
окончательному условию
и2к313Р < 1. (61.72)
Для того чтобы было допустимо пользоваться простой формулой (61.62)-
(61.64), необходимо, чтобы поправка в фазе (61.70) была мала по абсолютной
величине. Это вновь приводит к условию (61.72), представляющему собой
очень жесткое ограничение на допустимые расстояния L. Сравнение формул
(61.71) и (61.72) показывает, что в пределах применимости метода (т. е.
когда условие (61.72) удовлетворено) вычисляемая с его помощью комплексная
фаза «рассеянного» поля Фх мала:
-ф1 ~ -у/\Ф^ < 1. (61.73)
И* И*
Такой результат совпадает с выводом, сделанным в работе [158]. Он
расходится с оценками других работ, в которых границы применимости
извлекались из рассмотрения одной изолированной неоднородности [140, 144] или
же правильные вычисления [159] использовались для иного заключения.
§62. ДИФФУЗИЯ ЛУЧЕЙ
481
§ 62. Диффузия лучей
Согласно формуле (60.21), для больших L, малых А и очень малых t?
метод возмущений непригоден. Становится существенно необходимым
принять во внимание вторичное, третичное и т. д. рассеяние лучей. Существует
простой метод, который исходит из предположения, что главную роль играет
многократное рассеяние, т. е. что
v2k2lL^>\, и2 ~Щ* (62.1)
или
u2k3l3P > 1, Р = L/kl2. (62.1а)
Таким образом, это метод в некотором смысле обратный методу возмущений.
Однако вопрос о точных критериях его справедливости не исчерпывается
неравенством (62.1); он весьма непрост и рассматривается ниже.
Мы будем считать (как это и имеет место в реальных проблемах для
атмосферы), что отклонение ■& направления распространения от
направления падающего излучения остается все время малым. Действительно, при
kl ;э> 1 многократное рассеяние является особенно вероятным в области
малых углов, как это видно, например, из формулы (60.16). Проходя через
среду, падающий пучок размывается по направлениям (с точки зрения
волнового поля это означает, что направление нормали к фронту волны в каждой
точке флуктуирует на малые углы ■& вблизи первоначального направления;
распределение этих флуктуации и есть распределение направлений лучей) и
размывается в ширину. Если справедливо неравенство (62.1), то
подавляющая часть излучения, прошедшего слой толщины L, остается в области углов
t? и расстояний от оси падающего пучка, соответствующих многократному
рассеянию. Это излучение характеризуется, в частности, значениями
средних статистических величин ■di, = у t?2(L), гх, = у r2(L), а также
корреляций (м9) между смещением г в перпендикулярной к оси потока плоскости и
вектором направления i9.
В области углов ■&, много больших, чем t?L, многократное рассеяние
отсутствует, и здесь метод диффузии неверен. Рассеяние на такие большие
углы (они все еще могут быть малы по сравнению с единицей)
маловероятно, оно является однократным и определяется формулами (60.16) (при
подсчете этого рассеяния размытием в пределах узкого диффузионного
конуса, ■& < t?L, можно пренебречь и считать, что основная масса излучения
идет в первоначальном, невозмущенном направлении).
Таким образом, наряду с областью многократного рассеяния, при углах
0 >■ #l должен присутствовать слабый «хвост» однократного рассеяния.
Разобьем всю среду на «элементарные объемы» с продольными (вдоль
первоначального направления распространения) размерами Lq и
поперечными размерами г0. Весь метод основан на предположении, что можно
подобрать эти размеры такими, что распространение волнового поля сводится
к многократному рассеянию отдельных лучей, переходящих из объема в
объем. При этом изменение поля при прохождении одного объема мало и
рассчитывается точно, с учетом волновых свойств, методом возмущений, а
482 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
при переходе к последующему объему волновыми эффектами можно
пренебречь. Другими словами, среда заменяется набором независимых
элементов, рассеивающее действие каждого из которых вычисляется точно методом
возмущений. Прохождение же поля через совокупность этих элементов
происходит по законам рассеяния отдельных лучей.
Итак, мы имеем дело с проблемой диффузии лучей, каждый из которых
испытывает последовательные рассеяния на углы Д#, в каждом случае
зависящие от случайных значений параметров среды в данной точке и от угла
падения луча на данную неоднородность. Таким образом, Ai9, а также
суммарное отклонение i9 после прохождения лучом (по прямой) пути z являются
случайными величинами. Поэтому физическая характеристика поля,
которую нужно вычислить, — это вероятность W(R, i9) того, что луч, вошедший
в среду в точке R = 0 под углом 4 = 0 к направлению, выбранному за
полярную ось, пройдет через произвольную точку R(z, у, z), имея в этой точке
направление, характеризуемое единичным вектором i9. Этот вектор задается
углами 4 и tp в сферической системе координат или компонентами 4Х =
= 4cos<p и 4У = t?sin</? — в прямоугольной. Удобно вместо R ввести
цилиндрические координаты R = R(z, х, у) = K(z, г), х = rcosx, У = rsinx,
где х — азимутальный угол в плоскости, перпендикулярной оси
распространения z. Углы 4, if направления луча отсчитываются также относительно
ОСИ Z.
Пусть сначала нас не интересует поперечное смещение луча и речь идет об
интеграле от W по г, который мы тоже будем обозначать через W, W(z, 4).
В силу цилиндрической симметрии результат не может зависеть от </?.
Таким образом, W = W(z, 4). Возникающая теперь проблема совпадает с
задачей о случайных поворотах (на угол 4) при вращательном броуновском
движении, где роль времени играет z. Вообразим сферу единичного радиуса,
для которой полярной осью является начальное направление луча, а любое
мгновенное направление распространения д изображается точкой на сфере.
В процессе распространения и рассеяния луча изображающая точка
совершает броуновское движение, в среднем удаляясь от полюса. Если полное
рассеяние и, следовательно, удаление от полюса невелики, i? < 1, то
диффузия происходит на малом участке сферы вблизи полюса. Этот участок
можно заменить касательной плоскостью. Поэтому речь идет о диффузии
броуновской частицы в плоскости. Пользуясь известной формулой для этого
случая (см., например, курс [149]), мы сразу можем написать распределение
изображающих точек W(z, 4) к «моменту времени» z:
W^ *)dQ=4?Dz-eXR ("ife) *>' (62-2)
где V — коэффициент диффузии, который для нашего случая нужно еще
найти особо. Эта функция нормирована согласно соотношению
2тг оо
I W(z, 0) dU = I dip I W(z, 0)0 dt? = 1 (62.3)
о о
и удовлетворяет условию W(0, 4) = 5(4)/тг4, где 5(4) — дельта-функция.
§62. ДИФФУЗИЯ ЛУЧЕЙ
483
Из (62.2) находим средний квадрат угла поворота луча на расстоянии z
оо
о
Таким образом, если пучок проходит слой малой толщины Az, то средний
квадрат угла t?2 = 4V ■ Az. Это позволяет нам связать результат с
микроскопической теорией и определить V. В самом деле, в случае прохождения
тонкого слоя (когда его толщина Az все же может быть велика по
сравнению с размером неоднородности /) можно вычислять рассеяние методом
возмущений. Поэтому ■д2 определяется формулой (60.19), в которой нужно
только заменить L на Az. Сравнивая получающиеся два выражения для t?2,
находим
о о
Важным фактом является независимость V от длины волны излучения (если
е от нее не зависит). Он является следствием того, что преломление плоской
волны на квазиплоской границе неоднородности не зависит от Л. Этот же
результат можно получить, рассматривая траектории лучей [139]. Нужно,
однако, помнить, что сами полученные формулы верны только пока / >■ А.
Когда становится А ^> /, как об этом говорилось в §60, действие
различных неоднородностей, укладывающихся на одной длине волны, в
значительной степени компенсируется и рассеяние падает. Если характерные /
имеют порядок десятков или сотен метров, радиоволны короче примерно
10 м должны рассеиваться с одинаковым V, а радиоволны с А > 10-100 м не
должны испытывать заметного влияния турбулентности воздуха. Если,
однако, флуктуации описываются двухпараметрической функцией (59.11), то,
как об этом говорилось в связи с формулой (60.18), могут быть эффективны
гораздо меньшие /. Формулы (62.2)-(62.4) могут быть обобщены также на
случай не малых углов [139].
Перейдем теперь к более общей проблеме — к диффузии пучка как по
направлениям, так и в пространстве, по-прежнему ограничиваясь случаем,
когда результирующие углы отклонения t? и результирующие смещения г
малы. Поскольку мы знаем элементарный закон рассеяния в тонком слое
(60.17) и вытекающий из него коэффициент диффузии (62.5), однозначно
связанный со средним квадратом угла рассеяния (62.4), наша проблема
совпадает с проблемой рассеяния пучка частиц в среде. Этот вопрос в нужном
нам приближении малых t? решил Ферми (см. монографию [150, §27]).
Функция распределения W(z; г, #), которую мы ищем, удовлетворяет
кинетическому уравнению. Число частиц в единице объема пространства пяти
координат z, г, i9 меняется, во-первых, из-за того, что одни лучи
(частицы) выходят из элемента реального пространства (z, г), другие входят
в него, т. е., вообще говоря, отлична от нуля пространственная
дивергенция; во-вторых, из-за того, что рассеяние меняет их содержание в
элементе двумерного объема пространства t?x, t?v. Чтобы составить
кинетическое уравнение, учтем сначала пространственное движение. Через точку
(z + Az, x + Ах, у + Ау) проходят те же лучи, которые проходили через
484 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
точку (z, х, у) и двигались под углами t?x = Ax/Az и t?v = Ay/Az. Если
бы на этом пути не было рассеяния, то величина
dW dW
W(z + Az, x + Ax, у + Ay, 0) ta W(z, x, y, i9) + "^jA* + -faTAx+
должна была бы совпадать с W{z, x, у, i9). Следовательно, последняя скобка
должна была бы равняться нулю. Однако число этих лучей меняется также
и из-за рассеяния: убыль их равна интегралу fW(z, х, у; i9) dw&z(0) по
всем в, где dw^z{0) — вероятности рассеяния в слое Az на угол в,
отсчитываемый от направления i9. С другой стороны, из-за того же рассеяния
увеличивается число лучей с данным i9, если до рассеяния они имели
направление i9 + в и рассеялись на угол в. Таким образом, мы получаем
где йи;д2(0) есть функция (60.17), в которой нужно заменить t? на в, L на Az
и dfi на OdOdQ. Заметим, что йиФ задают единичный вектор в, который
можно брать и в декартовых компонентах, вх = ЯсовФ, ву = <ЫпФ.
Это уравнение можно свести к дифференциальному, если учесть, что
рассеяние происходит преимущественно на малые углы 0. Разложим под-
интегральное выражение по степеням в и ограничимся членами до второго
порядка включительно:
dW dW
(d2W 2 d*W d2W Л
1 (d2W л9 32W
+ 2
Так как dw/dQ зависит только от в, но не от Ф, то после подстановки этого
разложения в интеграл члены, содержащие вх или ву в нечетной степень,
при интегрировании по Ф дают нуль, а интегралы от вх и в2 равны между
собой и равны интегралу от в2/2. Поэтому
(62.7)
Оставшийся интеграл дает средний квадрат угла рассеяния, поделенный на
толщину слоя, т. е., согласно формуле (62.4), равен 4Z>. Обозначая через Д#
двумерный лапласиан в пространстве if, мы окончательно получаем
дифференциальное уравнение, справедливое, пока д малы:
dw dw „ dw „ _,А „, „(d2w d2w\ tono.
|62. ДИФФУЗИЯ ЛУЧЕЙ
485
Решением этого уравнения, как нетрудно проверить подстановкой,
является функция
^'•'•*>=отЧ-М?г,-?*+т)]' (б2-9)
где i9r = t?xz -(- tiyy.
Эта функция нормирована так, что
I W(z, г; i9) dr dtf = I W(z, г; i9) dz dy dt?x dt?v = 1 (62.10)
и соответствует условию, что при z = 0 луч идет вдоль оси z.
Интегрируя общую формулу (62.9) по х и у, можно получить
распределение по ■&, совпадающее с распределением (62.2), а интегрируя по t?x и
■ду, — распределение по г,
И,(г'г) = 4^?Нф
•£?]• <62Л1>
Из формулы (62.9), далее, вытекают следующие средние значения:
W = \Vz; J^7) = 2Vz2; r* = (4/3)Vz3. (62.12)
Таким образом, среднеквадратичный угол растет пропорционально
квадратному корню из расстояния, а среднеквадратичное смещение в сторону —
пропорционально пройденному расстоянию в степени 3/2. Очевидно,
соотношение можно истолковать как показатель того, что на
данный угол у№ лучи эффективно рассеиваются на расстоянии порядка
1/\/3 пройденного пути от точки наблюдения. Полученный результат
справедлив прежде всего, если t?2 «С 1. Оставаясь еще в пределах применимости
приближения геометрической оптики, можно рассматривать и диффузию на
большие углы [139]. Однако как мы сейчас убедимся, в случае радиоволн в
этом нет никакой необходимости и полученные выше формулы практически
исчерпывают вопрос.
Рассмотрим числовой пример. Как уже неоднократно говорилось, для
(5е)2 в тропосфере можно принять величину порядка Ю-11—Ю-10, для
/ — порядка 104 см. В таком случае, как показывают и непосредственные
данные для (6п)2/1 на высоте нескольких километров, можно считать, что
V достигает значений
Х>~10~15-10_16см-1, (62.13)
но может быть и значительно меньше, например, ~ Ю-18 см-1. Приняв
значение V = Ю-16 см-1, получаем на расстояниях соответственно 100 и
1000 км:
Z, КМ см
100 0,6 Ю-4 4 102
1000 2 • Ю-4 104
486 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
Таким образом, разброс направлений распространения измеряется
минутами, а ширина размытия пучка — десятками метров. Отсюда следует
также, что в рассматриваемых нами проблемах встречается только случай
Vz <gi 1. Как видно из равенства (62.12), числовые оценки чувствительны к
значениям (Se)2, сильно зависящим от метеорологических условий. Кроме
того, если при функции корреляции (59.11) играют роль /, близкие к 1а, то
приведенное значение V окажется сильно заниженным.
Многократное рассеяние может иметь большое значение при оптическом
наблюдении астрономических объектов, когда хаотическое искажение
направлений прихода излучения даже на доли минуты вызывает дрожание
видимого в телескоп положения источника. В этом случае проходимый в
турбулентной атмосфере путь z измеряется гораздо меньшими цифрами, чем
в приведенном выше числовом примере. Несмотря на это, эффект
существен (подробное рассмотрение этого вопроса, последовательно
учитывающее функцию корреляции (59.11), выполнено В.И. Татарским [140] методом
плавных возмущений, см. §61).
Общие формулы (62.2), (62.9) и (62.11) позволяют получить ряд других
результатов. Вычислим, например, флуктуации А</? фазы </? приходящего
луча. В приближении геометрической оптики фаза равна
ip= f k(a')da', к(<т') = к0(1 + 6п(<т')), (62.14)
о
где интеграл, строго говоря, берется вдоль искаженного пути луча а. В
каждой точке можно считать da' = dz'/ cos t?, где z1 отсчитывается вдоль
первоначального направления, at? — угол луча относительно этого
направления в данной точке. Так как ■& всюду мало, то
(р = к0 f(l + 5п(<т')) da' к к0 [(1 + Sn(z')) (l + ^y^) dz' и
о о
« к0 J (l + Sn(z') + ?Цр-\ dz'.
о
Но согласно формулам (62.4) и (62.5), поскольку z/l < 104 даже для z ~
r*j 1000 км, a Sn ^ 10 10 6, имеем t?2 ~ (&п)2 (<*/0 "^ |^"|- Следовательно,
t?2 можно отбросить, т. е. различие между z и а дает эффект высшего
порядка малости. Поэтому
г
= </?о + А</?, ¥>о = k0z, Aip = ко I 5n(z') dz', (62.15)
и, следовательно
z z
(Д^)2 = k20 f f dz' dz"5n{z')5n{z").
о о
§62. ДИФФУЗИЯ ЛУЧЕЙ
487
Переходя к переменным z' — z" = lpz и z", можем выполнить
интегрирование по z", которое дает z, а для среднего произведения 5п в двух
точках, лежащих на расстоянии lpz одна от другой на оси z (х' = х" = О,
у' = у" = 0) ввести его значение (6n)2F(0, 0, pz). В результате получаем
(интеграл по pz можно распространить от — оо до +ос, так как z^> I)
+оо
(Щ* = к2г1Щ* I F(0, 0, pz) dpz. (62.16)
—оо
Безразмерный интеграл есть величина порядка единицы. Поэтому
Щр?'~ k20zl2V ~ k2l2W.
Полагая, например,
(8п)2 ~ Ю"11, I ~ Ю4 см, z ~ ЮО км = 107 см,
находим среднеквадратичную флуктуацию фазы
\/(А<р)2 ~ 2тг/А, (62.16а)
где А следует брать в сантиметрах. Для А = 1 см она велика (равна 2я"),
для А = 1 м составляет ~ 0,1 радиана. Разнофазность лучей в разных
точках антенны может вызвать нарушения ее работы. В действительности,
по-видимому, практический вред от этого эффекта оказался меньше, чем
опасались вначале [148].
Строго выяснить пределы применимости метода диффузии лучей можно
было бы, только имея более полное решение проблемы. Ввиду отсутствия
строгой теории (как было показано в §61, ею не всегда может считаться
теория, основанная на методе плавных возмущений) мы вынуждены
ограничиться некоторыми краткими замечаниями.
Прежде всего нужно решить, возможно ли (и в каких пределах)
подобрать размеры Lo и Го элементарных рассеивателей, упомянутых в начале
этого параграфа, таким образом, чтобы к ним можно было применять
использованную в соотношении (62.5) формулу (60.19), последовательно
учитывающую волновой характер рассеяния в элементарном объеме.
Совершенно очевидно, что во всяком случае должно быть г0 >■ / и Lo 3> I-
В противном случае акты рассеяния в последовательных объемах не будут
статистически независимыми. С другой стороны, рассеяние в пределах
каждого объема должно быть достаточно малым, чтобы к каждому акту можно
было применять формулы метода возмущений. Согласно формуле (60.21),
это значит, что должно быть
1
Следовательно, для того чтобы одновременно было / «С Lo, во всяком случае
необходимо соблюдение условия
v2k2l2 < 1. (62.17)
При
/ ~ 104 см, v2 ~ 10-10-10~12
488 ГЛ. 10. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ ТРОПОСФЕРЕ
это означает, что
А; < 10-102 см-1, А > 1-0,1 см.
С другой стороны, на всем пути должно произойти много актов
рассеяния. Следовательно, согласно формуле (62.1), должно быть v2k3l3P 3> 1.
Это условие само по себе позволяет применять метод диффузии во всяком
случае при очень больших Р. Но при Р < 1 он применим только в том
случае, если и2к313 ;§> 1, т. е. в силу формулы (62.17) должно быть kl » 1.
Итак, на расстояниях L, на которых волновой параметр Р = L/kl2
невелик, Р < 1, метод верен, если
j/2/З (/
Вообще же должно быть
1 /Г „ 1
v V L v
т. е., например, при и2 ~ Ю-12, / ~ 104 см должно быть 1 < А < y/lOL, где А
берется в сантиметрах, a L — в километрах. Следует, однако, помнить, что
при А < 1 см мы вступаем в область, где турбулентность в атмосфере
характеризуется двумя параметрами длины, поскольку внутренний параметр ls
имеет порядок 1 см и приведенные выше рассуждения, в которых
принимается во внимание один — большой — параметр, становятся количественно
ненадежными.
Таким образом, область применимости формул многократного рассеяния
(62.2), (62.9), определяемая условиями (62.1), (62.18), довольно узка (не
говоря уже о том, что эти условия необходимые, но, быть может, не
достаточные). Однако отсюда не следует, что такова же область применимости
более частных формул, например, формулы (62.4) для ■д2. В самом деле, эта
формула (как и было принято во внимание при ее выводе) верна также и в
области однократного рассеяния, для которой условие (62.1) несправедливо.
(62.18)
Список литературы
1. Альхерт Я.Л., Гиизбург В.Л., Фейиберг Б.Л. Распространение радиоволн.—
М.: Гостехиздат, 1953.
2. Альперт Я.Л. Распространение радиоволн и ионосфера.—М.: Изд-во АН СССР, 1960.
3. Гиизбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме.—М.: Фиэматгиз,
1960.
4. Вайиштейи Л. А. Электромагнитные волны.—М.: Сов. радио, 1957.
5. Введенский Б. А. Основы теории распространения радиоволн.—М.: ОНТИ, 1934.
6. Введенский Б.А., Ареиберг А.Г. Распространение ультракоротких волн.—М.:
Связьрадиоиздат, 1938.
7. Ареиберг А. Г. Распространение дециметровых и сантиметровых волн.—М.: Сов.
радио, 1957.
8. Долухаиов М. П. Распространение радиоволн. 2-е изд.—М.: Связьиздат, 1960.
9. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах.—М.: Изд-во АН СССР, 1957.
10. Щукин А.Н. Распространение радиоволн.—М» Связьиздат, 1940.
11. BremmerH. Terrestrial Radiowaves.—Elsevier Publ. Сотр., 1949.
12. BremmerH. Propagation of Electromagnetic Waves / Handbuch der Physik: Encycl.
Phys. V. 16.—Springer, 1958.
13. Propagation of Short Radio Waves.ed. by D.E. Kerr, M. I. T. Rad. Lab. Ser., McGraw-Hill
Book C., New York, V. 13, 1951. В русск. переводе: Распространение ультракоротких
волн / Пер. с аигл., под ред Б.А. Шиллерова.—М.: Сов. радио, 1954.
14. Терминология распространения радиоволн. Вып. 47.—М.: Изд-во АН СССР, 1957.
15. Черный Ф.Б. Распространение радиоволн.—Изд-во АРТА им. Л.А. Говорова, 1958.
16. С тр этт о и Дж. Теория электромагнетизма.—М.: Гостехиздат, 1948.
17. Мандельштам Л.И. Излучение источника света, находящегося очень близко от
границы раздела двух прозрачных сред /Phys. Zs. 1914. Bd. 15, S. 220-225; см.
Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. Т. I.—М.: Изд-во АН СССР, 1948.—
С. 261-272.
18. De Bruijn N.G. Asimptotic methods in analysis.—Amsterdam, 1958.
19. а) Кинбер Б.Е., Тартаковский Л.Б. К вопросу об определении поля антенны
с помощью принципа стационарной фазы /Вестник НИИ МЭСЭП. 1953. № 10 (44).
С. 32-48.
б) Пересада В. П. К вопросу о вычислении интеграла в конечных пределах от функций
с быстр опер еменной фазой /Радиотехника. 1957. Т. 12 (9). С. 12.
20. В а к м а и Д. Е. Приложение принципа стационарной фазы к расчету спектров
радиоимпульсов /Радиотехника и электроника. 1959. Т. 4. С. 1124-1133.
21. Van К amp en N. G. An asymptotic treatment of diffraction problems/Physica. 1948.
V. 14. P. 575; Method of stationary phase and the method of Fresnel zones /Physica.
1958. V. 24. P. 437.
22. а) Коиторович М.И., Муравьев Ю.К. Вывод законов отражения геометрической
оптики на основе асимптотической трактовки задачи дифракции /ЖТФ. 1952. Т. 22.
С. 394-407.
б) Jones D.S., Klein M. Asymptotic expansion of multiple integrals and the method
of stationary phase /J. of Math, and Phys. 1958. V. 37. P. 1.
23. а) Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3, Ч. 2.—М.: Гостехиздат, 1958. б)
В а тс он Г.Н. Теория бесселевых функций.—М.: ИЛ, 1949.—С. 256, 262.
24. Фадеева В.Н., Тереитьев Н.М. Таблицы значений интеграла вероятностей от
комплексного аргумента.—М.: ГИТТЛ, 1954. Вводная статья В.А. Фока.
25. Зоммерфель д А. — В кн.: Френк Ф. и Мизес Р. Дифференциальные и
интегральные уравнения математической физики. Ч. 2.—Л.-М.: ОНТИ, 1937.—С. 849-902.
26. По те хин А. И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн.—М.: Сов.
радио, 1948.
27. Рыжик И.М., Градштейи И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений.—М.: ГИТТЛ, 1951.
490
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
28. Лаидау Л. Д., Лифшиц Б.М. Механика сплошных сред.—М.: Гостехиздат, 1953.
29. Бэтчелор Д ж. Теория однородной турбулентности.—М.: ИЛ, 1955.
30. Birnbaum G., Bussey Н. Б. Amplitude, scale and spectrum of refractive index inho-
mogeneitiesin the first 125 meters of atmosphere /Proc. I. R. E. 1955. V. 43. P. 1412-1418.
31. Craine CM. Survey of airborne microwave refractometr measurements /Proc. I. R. E.
1955.V. 43. P. 1405-1412.
32. Fi n e H. An effective ground conductivity map for continental United States /Proc. I. R.
E. 1954. V. 42. P. 1405-1408.
33. Введенский Б. А. К вопросу о распространении ультракоротких волн /Вести, теор.
и экспер. электротехн. 1928. Т. 12. С. 439.
34. Рыт о в СМ. Расчет скин-эффекта методом возмущений /ЖЭТФ. 1940. Т. 10. С. 180-
190.
35. А ль пер т Я. Л. К вопросу о распространении электромагнтных волн в трубах /ЖТФ.
1940. Т. 10. С. 1358-1364.
36. Леоитович М. А. О приближенных граничных условиях для электромагнитного поля
иа поверхности хорошо проводящих тел.—В сб.: Исследования по распространению
радиоволн. Вып. П.—Изд-во АН СССР, 1948.—С. 5-12.
37. Леоитович М. А. Об одном методе решения задач распространения радиоволн по
поверхности земли /Изв. АН СССР. Сер. физ. 1944. Т. 8. С. 16-22.
38. Schelkunoff S. A. Electromagnetic Waves.—New York, 1943.
39. Паиыч О. И. О приближенных краевых условиях в задачах дифракции /ДАН СССР.
1959. Т. 70. С. 589.
40. Петровский А. Д., Фейиберг Е.Л. О приближенном граничном условии в теории
распространения радиоволн вдоль земли /Радиотехника и электроника. 1960. Т. 5.
С. 385-388.
41. Басе Ф.Г. О граничных условиях электродинамики иа плоской поверхности с
произвольным значением диэлектрической проницаемости /Радиотехника и электроника.
1960. Т. 5. С. 389-391; 1961. Т. 6. С. 655-656.
42. a) F el dm an G.B. The optical behaviour of the ground for short radio waves /Proc. I.
R. E. 1933. V. 21. P. 764-801.
6) Grosskopf J., Vogt K. /Hochfrequenztechn. 1941. V. 57. P. 28; TFT. 1940. Bd. 29.
S. 164.
43. Godzinsky Z. The surface impedance concept and the structure of radio waves over
real Earth /Proc. I. F. E. Monograph No. 434E, March, 1961.
44. Zenneck J. Ueber die Fortpflanzungebener electromagnetischer WeUen langs einer ebe-
nen Leitflache und ihre Beziehung zur drahtlose Telegraphie /Ann. Physik. 1907. Bd. 23.
S. 846; Phys. Zs. 1908. Bd. 9. S. 50.
45. a) So mm erf eld A. Ueberdie Ausbreitung electromagnetischer WeUen in der drahtlosen
Telegraphie /Ann. Physik. 1909. Bd. 28. S. 665-736.
б) Зоммерфель д A.—В ки.: Франк Ф. иМизес Р. Дифференциальные и
интегральные уравнения математической физики. Ч. 2.—Л.-М.: ОНТИ, 1937.—С. 937-967.
46. Weyl H. Ausbreitung electromagnetischer WeUen uber einem ebenen Leiter /Ann.
Physik. 1919. Bd. 60. S. 481.
47. Рязии П. А. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности /Труды ФИАН.
1946. Т. III, вып. 2. С. 47; Распространение радиоволн вблизи земной поверхности.
Новейшие исследования распространения радиоволн.—М.: Гостехиздат, 1946.—С. 101—
144.
48. Norton К. A. The propagation of radio waves over the surface of the earth and in the
upper atmosphere /Proc. I. R. E. 1936. V. 24. P. 1367-1387; 1937. V. 25. P. 1203-1236.
49. Малюжииец Г. Д. Об одном обобщении формулы Вейля для волнового поля иад
поглощающей плоскостью /ДАН СССР. 1948. Т. 60. С. 367-370.
50. V. d. Р о 1 В. Ueber die Ausbreitung electromagnetischer WeUen /Jahr. drahtl. Telegr. u.
Teleph. (Z. Hochfr.). 1931. Bd. 37. S. 152-156.
X
51. Карпов К. А. Таблицы функции F(z) = Jexp(x2)dx в комплексной области.—М.:
о
х
Изд-во АН СССР, 1958; Таблицы функции w(z) = exp (—z2)f exp (t2) dt в комплексной
о
области.—М.: Изд-во АН СССР, 1954.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
491
52. Norton К. A. The physical reality of space and surface waves in the radiation field of
radio antennas /Proc. I. R. E. 1937. V. 25. P. 1192-1202.
53. Мандельштам Л. И., Папалекси Н.Д., Щеголев Е.Я. Измерение скорости
распространения радиоволн вдоль земной поверхности.—В сб.: Новейшие исследования
распространения радиоволн.—М.: Гостехиздат, 1945.—С. 145-171.
54. Альперт Я. Л., Мигулии В.В. Экспериментальное исследование фазовой структуры
электромагнитного поля радиоволн.—В сб.: Новейшие исследования распространения
радиоволн.—М.: Гостехиздат, 1945.—С. 172-202.
55. V.d.P ol В., Niessen К. Ueber die Ausbreitung electromagnetigcher WeUen uber eine
eben Erde /Ann. Physik. 1930. Bd. 6. S. 273; 1931. Bd. 10. S. 485.
56. Бреховских Л.М. Отражение и преломление сферических волн /УФН. 1941. Т. 38.
С. 1.
57. 011 H. Refflexion und Brechung von KugelweUen /Ann. Physik. 1942. Bd. 41. S. 443-446.
58. Бреховских Л.М. Поле преломленных электромагнитных волн в задаче о точечном
излучателе /Изв. АН СССР. Сер. физ. 1948. Т. 12. С. 322-334.
59. a) Wait J.R. Transient field of a vertical dipole over a homogeneous curved ground
/Canad. J. Phys. 1956. V. 34. P. 27-35.
6)Johler J.R. Propagation of the radio frequancy ground wave over the surface of finitely
conducting plane earth /Geofis. pura at appl. 1957. V. 37. P. 116-126; Transient radio
frequency ground waves over the surface of a finitely conducting plane earth /J. Res. Nat.
Bur. Stand. 1958. V. 60. P. 281-285.
60. Новиков В. В. Распространение радиоимпульса над плоской однородной земной
поверхностью /Вестн. ЛГУ. 1960. № 10.
61. Хаскинд М.Д. Распространение звуковыхи электромагнитных волн в
полупространстве /Акустический журнал. 1959. Т. 5. С. 464—471.
62. Хаскинд М.Д. Распространение электромагнитных волн над гиротропной средой /
Симпозиум по дифракции волн.—Одесса, 1960 / Аннотации докладов.—М.: Изд-во АН
СССР.
63. Watson G.N. The transmission of electric waves by the earth /Proc. Roy. Soc. 1918.
V. A 95. P. 83.
64. Введенский Б. А. О дифракционном распространении радиоволн /ЖТФ. 1935. Т. 6.
С. 163-176; 1936. Т. 6. С. 1836-1847; 1937. Т. 7. С. 1647-1657.
65. V.d.Pol В., Bremmer H. The diffraction of electromagnetic waves from an electrical
point source round a finitely conducting sphere, with application to radiotelegraphy and
the theory of rainbow /Philos. Mag. 1937. V. 24. P. 141-176, P. 825-863; 1938. V. 25.
P. 817-834; 1939. V. 27. P. 261-275.
66. а) Фок В. А. Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности.—М.: Изд-во АН СССР,
1946.
б) Ф о к В. А. Поле от вертикального и горизонтального диполя, приподнятого над
поверхностью земли /ЖЭТФ. 1949. Т. 19. С. 916-924.
67. Азрилянт П. А., Белкина М.Г. Численные результаты теории дифракции
радиоволн вокруг земной поверхности. 2-е изд.—М.: Сов. радио, 1957.
68. Леонтович М. А., Фок В. А. Решение задачи о распространении электромагнитных
волн вдоль поверхности земли по методу параболического уравнения.—В сб.:
Исследования по распространению радиоволн. Выл. II.—М.: Изд-во АН СССР, 1948.—С. 13-39.
69. Фок В. А. Дифракция Френеля от выпуклых тел /УФН. 1950. Т. 43. С. 587-599.
70. Диткин В.А., Кузнецов П.И. Справочник по операционному исчислению.—М.:
ГТТИ, 1951.
71. Furutsu К. Field strength in the vicinity of the line of sight in diffraction by a spherical
mountain /J. Radio Res. Lab. (Japan). 1956. V. 3, No. 11. P. 55-76.
72. Wait J. R., С о n d a A.M. On the computation of diffraction fields for grazing angles.—
In: Electromagnetic Wave Propagation / Ed. by M. Desirant and J.L. Michiels.—Acad.
Press, I960.—P. 661-670.
73. а) Гринберг Г. А. О береговой рефракции радиоволн /Journ. of Phys. 1942. V. 6.
P. 185-209.
б) Гринберг Г. А., Фок В. А. К теории береговой рефракции радиоволн.—В сб.:
Исследования по распространению радиоволн. Выя. П.—М.: Изд-во АН СССР, 1948.—
С. 69-96.
492
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
74. Фейнберг Б. Л. Возмущение фронта радиоволн при распространении вдоль
неоднородной поверхности и береговая рефракция/Изв. АН СССР. Сер. физ. 1943. Т. 7. С. 167-175;
К теории распространения радиоволн вдоль реальной поверхности /Изв. АН СССР. Сер.
физ. 1944. Т. 8. С. 200-209.
75. Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль реальной поверхности /Journ. of
Phys.
а) 1944. V. 8. P. 317-330; б) 1945. V. 9. P. 1-6; в) 1946. V. 10. P. 410-418.
См. также: г) Сб. Исследования распространения радиоволн. Вып. II.—М.: Изд-во АН
СССР, 1948.—С. 97-215.
76. Фейнберг Е.Л. Неоднородная трасса земного луча /Радиотехника. 1950. Т. 5, № 4.
С. 3-16. См. также 4а. Bremmer H. /Physica. 1954. V. 20. Р. 441.
77. Godzinski Z. Extension of Feinberg's theory to the case of electromagnetic wave
propagation over an inhomogeneous spherical earth and introduction of an approximate method
of computation, based on equivalent secondary sources CCIR.—Warsaw, 1956. Document
454 (Пленарная ассамблея МККР.—Варшава, 1956. Документ 454).
78. Калинин Ю.К., Фейнберг Е.Л. Распространение земной волны над неодиородиой
сферической поверхностью земли /Радиотехника и электроника. 1958. Т. 3. С. 1122—
1132.
79. Clemmo w Р.С. Radio propagation over a flat earth across a boundary separating two
different media /Philos. Trans. Roy. Soc. (London). 1953. V. A246. P. 1.
80. a) F uru t s u K. Propagation of electromagnetic waves over a flat earth across a boundary
separating different media and coastal refraction /J. Radio Res. Lab. (Japan). 1955. V. 2,
No. 7. P. 1.
6)Furutsu K. Propagation of electromagnetic waves over a flat earth across two
boundaries separating three different media /J. Radio Res. Lab. (Japan). 1955. V. 2, No. 9.
P. 239-279.
81. Furutsu K. Propagation of electromagnetic waves over spherical earth across
boundaries, separating different earth media /J. Radio Res. Lab. (Japan). 1955. V. 2, No. 10.
P. 345-398.
82. Furutsu К., К о i m a i S. The calculation of field strength over mixed paths on a
spherical earth /J. Radio Res. Lab. (Japan). 1956. V. 3, No. 14. P. 391-401.
83. Фок В. А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики
/Математический сборник. 1944. Т. 14 (56), № 1-2. С. 3-50.
84. Milling ton G. Ground- Wave propagation across a land/sea boundary /Nature. 1949.
V. 163. P. 128-129; 1949. V. 164. P. 114.
85. Millington G. Ground-Wave propagation over an inhomogeneous smooth earth /PIEE.
Pt. III. 1949. V. 96. P. 53.
86. aJFeinberg E.L. Propagation of radio waves along an inhomogeneous surface /Nouvo
Cimento Suppl. 1959. V. 11, No. 1. P. 60-91.
б) Theory of mixed path propagation of radiowaves and engineering methods of calculation
/ CCIR.—Warsaw, 1956. Document 563 (Пленарная ассамблея МККР.—Варшава, 1956.
Документ 563).
87. Grosskopf J., Vogt K. Der Zusammenhangzwischen der effectiven Bodenleitfahigkeit
und der Ausbreitungsdampfung /Hochfrequenztechn. 1943. Bd. 62. S. 14-15.
88. KirkeH.L. Calculation of ground-wave field strength over a composite land and sea path
/Proc. I.R.E. 1949. V. 37. P. 489-496.
89. Godzinski Z. A comparison of Millington's method and the equivalent numerical
distance method with the theory of grond-wave propagation over an inhomogeneous earth.—
Inst, of Electrical Engineers. Monograph, No 318 R. Dec, 1958.
90. Лысанов Ю.П. Теория рассеяния волн на периодически неровных поверхностях
(обзор) /Акустический журнал. 1958. Т. 4. С. 3-12.
91. Lord Rayleigh. On the dynamical theory of gratings /Scient. Papers.—Cambridge
Univ. Press, 1912.—V. 5. P. 388^104; P елей. Теория звука. Т. П.—М.: ГИТТЛ, 1955.—
§272,а.
92. Мандельштам Л.И. О шероховатости свободной поверхности жидкости /Ann.
Physik. 1913. Bd. 41. S. 609-624; см. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов.
Т. I.—M.: Изд-во АН СССР, 1948.—С. 246-260.
93. Gans R. Lichtzerstreuung infolge der molekularen Rauhigkeit der Trennungfiache zweier
durchsichtiger Medien /Ann. Physik. 1926. Bd. 79. S. 204-226.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
493
94. Andronov A., Leontovicz M. Zur Theorie der molekularen Lichtzerstreuung an
Flussigkeitsoberflachen /Zs. Physik. 1926. Bd. 38. S. 485-501.
95. Исакович М.А. Рассеяние волн от статистически шероховатой поверхности /ЖЭТФ.
1952. Т. 23. Р. 305-314.
96. Lord Rayleigh. On the incidence of aerial and electric waves upon small obstacles in
the from of elipsoids /Scient. Papers.—Cambridge Univ. Press, 1904.—V. 4. P. 304-326.
97. Борн М. Оптика.—Киев: ГТТИ Украины, 1937.—§70, 71, 81.
98. Gans R. Uber die From ultramikroskopischer Goldteilchen /Ann. Physik. 1912. Bd. 37.
S. 881-900; Ultramikroskopischer Studien (Methoden der Formbestimmung subultra-
mikroskopischer Teilchen) /Ann. Physik. 1920. Bd. 62. S. 331-357.
99. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред—М.: ГТТИ, 1957.
100. Калинин Ю.К. Дифракция радиоволн на сферической неоднородной Земле /Труды
ИЗМИРАН. 1960. Т. 17.
101. а) Калинин Ю.К. К вопросу о фазовой скорости и направлении нормали к фронту
радиоволн над неоднородной поверхностью /Труды НИЗМИР. 1957. Т. 14. С. 87-109.
б) Калинин Ю.К. Возмущение поля плоской радиоволны неоднородностями земной
поверхности /Радиотехника и электроника. 1958. Т. 3. С. 557-561.
102. Басе Ф.Г. Граничные условия для среднего электромагнитного поля на поверхности
со случайными неровностями и с флуктуациями импеданса /Радиофизика. 1960. Т. 3.
С. 72-78.
103. Ватсои Г. Н. Теория бесселевых функций.—М.: ИЛ, 1949.
104. Басе Ф.Г., Бочаров В.Г. К теории рассеяния электромагнитных волн на
статистически неровной поверхности /Радиотехника и электроника. 1958. Т. 3. С. 180-185.
105. Антакольский М.А. Отражение волн от шероховатой абсолютно отражающей
поверхности /ДАН СССР. 1951. Т. 79. С. 585.
106. Eckart С. The scattering of sound from the sea surface /J. Acoust. Soc. America. 1953.
V. 25. P. 566-570.
107. A m e n t W. S. Toward a theory of reflection by a rough surface /Proc. I.R.E. 1953. V. 41.
P. 142-146.
108. Bullington K. Reflection coefficient of irregular terrain /Proc. I.R.E. 1954. V. 42.
P. 1258.
109. Davies H. The reflaction of electromagnetic waves from a rough surface /Proc. I.R.E.
1954. V. 101, part III. P. 209-214.
110. Beckmann P. A new approach to the problem of relation from a rough surface /Acta
Technica (Praga). 1957. V. 2. P. 311-355.
111. Релей. Теория звука. Т. I.—М.-Л.: ГИТТЛ, 1940.
112. Shelling J.С, Burrows C.R., Ferrell E.B. Ultrashort-wave propagation/Proc.
I.R.E. 1933. V. 21. P. 427-463.
113. Щетинин А.П., Каминский Н.К. Распространение ультракоротких волн в горах.
Труды Эльбрусской экспедиции АН СССР 1934 и 1935 гг. /Изв. АН СССР. 1936. С. 253-
283.
114. Dickson F.H., Egli J. J., Herbstreit J. W., Wickizer G.S. Large reduction of vhf
transmission loss and fading by the presence of a mountain obstacle in beyond line-of-sight
paths /Proc. I.R.E. 1953. V. 41. P. 967-969.
115. Брауде С.Я. Про поширення ультракоротких хвиль в горисмй М1Сцевост1 /Укр. физ.
ж. 1958. Т. 3. С. 246-254.
116. Roman P., Wolf E. Correlation theory of stationary electromagnetic fields /Nuovo
Cimento. 1960. V. 17. P. 462-490.
117. Басе Ф.Г. К теории комбинационного рассеяния волн на неровной поверхности
/Радиофизика. 1961. Т. 4. С. 58-66.
118. Eckersley T.L. On connection between ray theory of electrical waves and dynamics
/Proc. Roy. Soc. 1932. V. A132. P. 83-98; Radio transmission problems treated by phase
integral methods /Proc. Roy. Soc. 1932. V. A136. P. 490-527; Long wave transmission,
treated by phase integral method /Proc. Roy. Soc. 1932. V. A137. P. 159-173.
119. Краснушкин П.Е. Метод нормальных радиоволн в применении к проблеме дальних
радиосвязей.—М.: Изд-во Моск. ун-та, 1947; О волновых свойствах неоднородных сред
/ЖТФ. 1948. Т. 18. Р. 431-166.
494
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
120. Бреховских Л.М. Об одном новом методе решения задачи о поле точечного
излучателя в слоисто-неодиородиой среде /Изв. АН СССР. Сер. физ. 1949. Т. 13. С. 409-504;
О поле точечного излучателя в слоисто-не однородной среде /Изв. АН СССР. Сер. физ.
1949. Т. 13. С. 505.
121. а) Альперт Я. Л. О распространении электромагнитных волн низкой частоты над
земной поверхностью.—М.: Изд-во АН СССР, 1955.
б) Бородина СВ., Калинин Ю.К., Михайлова Г. А., Флигель Д.С. Обзор
современного состояния исследований распространения сверхдлинных электромагнитных
волн /Радиофизика. 1960. Т. 3. Р. 5-30.
122. Carroll Т. J., Ring R.M. Propagation of short radio waves in a normally stratified
troposphere /Proc. I.R.E. 1955. V. 43. P. 1384-1390.
123. Наг tree D., Michel J., Ni cols on P. Practical methods for the solution of the
equation of tropospheric refraction. Meteorilogical factors in radio wave pripagation / Report
of a Conference held on 8 april 1946 at the Royal Institutions London. Русск. перев. в сб.:
Распространение сантиметровых волн в тропосфере.—М.: ИЛ, 1950.
124. Введенский Б. А., Пономарев М.И. Применение методов геометрической оптики
для определения траектории УКВ в неоднородной атмосфере /Изв. АН СССР. Сер. тех-
нич. 1946. С. 1201-1209.
125. Hartree D.R. Optical and equivalent path in a stratified medium trated from a wave
standpoint /Proc. Roy. Soc. 1931. V. A131. P. 428-450.
126. Rydbeck O. On the propagation of radio waves. No. 3.—Gethenburg (Sweden): Trans.
Chalmers Univ., 1944.
127. Уиттекер E.T., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа. Ч. П.—М.: Гостехиздат,
1934.
128. Epstein P. Reflaction of waves in an inhomogeneous absorbing medium /Proc. Nat.
Acad. Sci. USA. 1930. V. 16. P. 627. См. также: Иванченко В.И. К вопросу об
отражении электромагнитных волн от не однородно стен типа слоев Эпштейна /Радиофизика.
1958. Т. 1. С. 150-152.
129. Морс П.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1, 2.—М.: ИЛ, 1959.
130. Покровский В. Л., Савиных С.К., Улинич Ф.Р. Надбарьерное отражение в
квазиклассическом приближении. I, II /ЖЭТФ. 1958. Т. 34. С. 1272-1277; С. 1629-1631.
131. Miller S.C., Good R.H. A WKB-type approximation to the Schrodinger equation
/Phys. Rev. 1953. V. 91. P. 174-179.
132. Langer R.E. On the connection formulas and the solution of the wave equations /Phys.
Rev. 1937. V. 51. P. 669-676.
133. Шифф Л. Квантовая механика.—М.: ИЛ, 1957.—§28.
134. Фок В. А. Приближенная формула для дальности горизонта при наличии
сверхрефракции /Радиотехника и электроника. 1956. Т. 1. С. 560-574.
135. а) Фок В.А. Распространение прямой волны вокруг земли при учете дифракции и
рефракции.—В сб.: Иследования распространения радиоволн. Выл. II.—М.: Изд-во АН
СССР, 1948.—С. 40-68.
б) Фок В. А. Теория распространения радиоволн в неоднородной атмосфере для
приподнятого диполя /Изв. АН СССР. Сер. физ. 1950. Т. 14. С. 70-94.
136. Pekeris C.L. Accuracy of the earth-flattening approximation in the theory of microwave
propagation /Phys. Rev. 1946. V. 70. P. 518-522.
137. Фок В. А., Вайнштейн Л. А., Белкина М. Г. О распространении радиоволн вблизи
горизонта при сверхрефракции /Радиотехника и электроника. 1956. Т. 1. С. 575-592;
Распространение радиоволн по приземному тропосферному волноводу /Там же. 1958.
Т. 3. С. 1411-1429.
138. Комаров Н.Н., Островский И.Е., Замараев Б.Д., Розенберг А.Д.
Применение методов геометрической оптики для расчета поля при наличии приводных или
приподнятых волноводов и при большей высоте одного из корреспондирующих пунктов
/Радиофизика. 1960. Т. 3. С. 39-47.
139. Чернов Л. А. Распространение волн в среде со случайными иеоднородностями.—М.:
Изд-во АН СССР, 1958.
140. а) Татарский В.И. Теория флуктуационных явлений при распространении волн в
турбулентной атмосфере.—М.: Изд-во АН СССР, 1959.
б) Татарский В.И. Радиофизические методы изучения атмосферной турбулентности
/Радиофизика. 1960. Т. 3. С. 551-583.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
495
141. Высок овскнй Д.М. Некоторые вопросы дальнего тропосферного распространения
ультракоротких волн.—М.: Изд-во АН СССР, 1958.
142. Денисов Н.Г., Зверев В.А. Некоторые вопросы теории распространения волн в
средах со случайными неодиородиостями /Радиофизика. 1959. Т. 2. С. 521-542.
143. Рыт о в СМ. Дифракция света на ультразвуковых волнах /Изв. АН СССР. Сер. физ.
1937. С. 223-259.
144. Обухов A.M. О влиянии слабых неодиородностей атмосферы на распространение
звука и света /Изв. АН СССР. Сер. географ. 1953. Т. 2. С. 155-165.
145. а) Красильников В. А. О влиянии пульсаций на распространение ультракоротких
радиоволн /Изв. АН СССР. Сер. географ. 1949. Т. 13. С. 33-57.
б) Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды.—М.: Гостехиздат,
1946.
в) Vi liars F., Weiss ko pf W.F. On the scattering of radio waves by turbulent
fluctuations of the atmosphere /Proc. I. R. E. 1955. V. 43. P. 1232-1239.
146. а) Лифшиц И.М., Каганов М.И., Цукерник В.М. Распространение
электромагнитных колебаний в неоднородных анизртропных средах /Ученые записки ХГУ. Труды
физ-мат. фак-та. 1950. Т. 2. С. 41-54.
б) Канер Э. А. К теории распространения волн в среде со случайными
неодиородиостями /Радиофизика. 1959. Т. 2. С. 827-829.
в) Басе Ф.Г. О тензоре эффективной диэлектрической проницаемости в среде со
случайными неоднородностями /Радиофизика. 1959. Т. 2. С. 1015-1016.
147. Booker H., Go dro n W. A theory of radio scattering in the troposphere /Proc. I. R.
E. 1950. V. 38. P. 401-412.
148. Bullington K. Characteristics of beyond-the-horizon radio transmission /Proc. I. R.
E. 1955. V. 43. P. 1175-1180.
149. Леонтович М. А. Статистическая физика.—M.: Гостехиздат, 1944.—С. 238.
150. Беленький С.З. Лавинные процессы в космических лучах.—М.: ОНТИ, 1948.
151. Рыт о в СМ. Модулированные колебания и волны/Труды ФИ АН. 1940. Т. 2. С. 41-133.
152. Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма.—М.: Гостехиздат, 1948.
153. Денисов Н.Г. О флуктуациях амплитуды и фазы волны, прошедшей через слой со
случайными неоднородностями /Радиофизика. 1959. Т. 2. С. 316-318.
154. а) Басе Ф.Г., Ханкина СИ. К теории распространения электромагнитных волн
в неоднородной среде с флуктуациями диэлектрической проницаемости /Радиофизика.
1960. Т. 3. С. 216-225.
б) Б а с с Ф.Г. Флуктуации фазы и амплитуды при сверхдальнем распространении
электромагнитных волн над земной поверхностью /Радиофизика. 1961. Т. 4. С. 377-378.
155. Мен ь А. В., Горбач В. И., Брауде,С.Я. Влияние поверхности раздела на флуктуации
электромагнитных волн в тропосфере при наличии поверхности раздела /УФН. 1961.
Т. 73. С. 89-120.
156. а) К а н е р Э. А., Б а с с Ф. Г. Распространение электромагнитных волн в среде со
случайными неодиородиостями над идеально проводящей поверхностью /Радиофизика. 1959.
Т. 2. С. 553-564.
б) Канер Э. А., Басе Ф.Г. Корреляция флуктуации электромагнитного поля в среде со
случайными неодиородиостями над идеально проводящей плоскостью /Радиофизика.
1959. Т. 2. С. 565-564.
157. Staras H. Forward scattering of radio waves by anisotropic turbulence /Proc. I.R.E.
1955. V. 43. P. 1374-1380. Русск. перев. в сб.: Вопросы дальней связи на УКВ / Под ред.
В.И. Сифорова.—М., 1957.
158. Писарев В.В. О границах применимости метода «плавных» возмущений в задаче о
распространении излучения через среду с неодиородиостями /Радиофизика. 1961. Т. 4.
С. 376-377.
159. Широкова Т. А. Второе приближение в методе плавных возмущений /Акустический
журнал. 1959. Т. 5. С. 485-489.
160. Горелик Г. С К теории рассеяния радиоволн на блуждающих неодиородиостях
/Радиотехника и электроника. 1956. Т. 1. С. 695.
Научное издание
ФЕЙНБЕРГ Евгений Львович
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
ВДОЛЬ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Редактор Л.А. Панюшкина
Компьютерный набор О.В. Салецкой
Компьютерная верстка и оформление А.П. Носова
Компьютерная графика М.В. Ивановского
ЛР №020297 от 23.06.1997
Подписано в печать 19.02.99. Формат 70x100/16.
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 40,18. Уч.-изд. л. 44,19.
Тираж 1000 экз. С-О05.
Издательская фирма
«Физико-математическая литература» РАН
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с оригинал-макета
в ППП «Типография «Наука» РАН
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
Заказ тип. № 466 .