СВЧ оптика. Оптические принципы в приложении к конструированию СВЧ антенн - Корнблит С.

Author: Корнблит С.

Tags: электротехника общая радиотехника оптика антенны свч

Year: 1980

Similar

Устройства СВЧ и антенны

Антенны и устройства СВЧ

Методы измерения характеристик антенн СВЧ

Антенны и устройства СВЧ

Text

' Г й
S. CORNBLEET
Microwave Optics
The Optics of Microwave Antenna Design
ACADEMIC PRESS
LONDON NEW YORK SAN FRANCISCO
1976
198
gio
С.КОРНБЛИТ
СВЧ оптика
Оптические принципы в приложении
к конструированию СВЧ антенн
Перевод с английского
под редакцией О. П. Фролова
ОН
1Л
е!
ci
МОСКВА *СВЯЗЬ»
1980
ББК 32.845
К67
УДК 621.396.67
Коряблнт С.
К67 СВЧ оптика. Оптические принципы в приложении
к конструированию СВЧ аитени: Пер. с англ./Под
ред. О. П. Фролова. —М.: Связь, 1980, —360 с., ил.
Впер.: 2 р.
Рассматрпаактся те<ф*геяеекие вопросы работы зеркальных и лин-
зовых аатеял.ПрюодШсЯ ковав форма представления законов отраженна
К вреАоыЯепня, играющих важную роль при разработке антенных систем.
На основе скааярно! теория дифракции анализируются вопросы апертур-
ных ном* к диаграмм излучения;
Для инженерно-технических работников, специализирующихся в об-
ласти антенной техники.
К
39404—151
----“—— 19—80
045(01)—80
2402020000
ББК 32.845
6Ф2.12
Перевод с английского Г. Б. 3 в о р о н о
© Academic Press, 1976
© Период иа русский язык, предисловие, прныеЧаяии.
f .ВЕ2б«?ГГ ' Издательство «Связь», 1980 г.
. -!325Я4Ц^8 :<i; г
\ СООР .• т . •
ПРЕДИСЛОВИЕ* К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Много лет подряд выходят серия монографий и книг, объединенных
общим названием «Теоретическая й прикладная физика» («Риге
and Applied Phystes»). Эта серия быстро завоевала популярность.
Часть монографий этой серии, посвященных в основном «чистым»
физическим дисциплинам, была переведена на русский язык и из-
дана в нашей стране. l'"J
Значительно менее известна советским читателям более «при-
' кладнай» часть работ упомянутой серии, в частности, такие инте-
ресные монографии, как «Распространение волн и групповая ско-
рость» Л. Бриллюэна, «Оптика лучей, волновых фронтов и каус-
тик» О. Ставрудиса и др. В этой связи мне хотелось бы привет-
ствовать весьма полезную инициативу издательства «Связь», вы-
пускающего в свет на русском языке данную книгу. Это позволит
частично восполнить имеющийся пробел.
Уже сам факт включения монографии д-ра Сиднея Корнблита
«СВЧ оптика» в состав серии «Теоретическая и прикладная физи-
ка» может в определенной мере служить априорным гарантом ее
достоинств. Знакомство чйтателя с книгой не разрушает это мне-
ние, а тщательное изучение укрепит первоначальный вывод.
Чем же привлекает данная книга? На мой взгляд, тому есть
три основные причины. Во-первых, любой круг читателей найдет
в ней для себя много интересного, причем это практически не за-
висит от уровня профессиональной подготовки читателя и его науч-
ных или технических наклонностей. Во-вторых, основной объем по ;
теории и практике микроволновой оптики1 СВЧ устройств пред-
ставляет собой систематику фундаментальных, по этой области
знания работ, которым не свойствен процесс старения.
Есть, наконец, и третья причина. Читатель, внимательно изучив-
ший эту книгу, безусловно обнаружит, что во многих ее местах
автор отмечает, на первый взгляд, совсем не очевидные аналогии;
между рассматриваемыми проблемами теории микроволновой оп-
тики н далеко отстоящими проблемами других разделов физики.
Изучение таких взаимосвязей, несомненно, необходимо. Это позво-
лит не только взаимно обогатить далеко отстоящие разделы физи-
ки, но и способствует более философскому (в прямом смысле это-
го слова) пониманию природы различных явлений.
' В процессе подготовки книги к изданию на русском языке был
проделан значительный объем работы, связанной с непосредствен- -
ным переводом, редактированием, выверкой формул (в некоторые'
1 В оригинале книги часто используется понятие микроволновая оПТйка,
ял», эквивалентно принятому в отечественной литературе термину СВЧ оптика.
' (Ярим, ред.)
из них пришлось внести исправления), составлением дополнитель-
ного списка литературы по данному вопросу на русском языке.
В книге по возможности сохранен стиль и манера изложения ав-
тора. Издательство надеется, что эту книгу по достоинству оценит
советский читатель.
Кандидат техн, наук О. П. Фролов
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
АНГЛИЙСКОГО ИЗДАНИЯ
Расчет антенн диапазона СВЧ в значительной мере основан на ис-
пользовании оптических методов, и элементарные принципы гео-
метрической оптики, естественно, известны всем разработчикам.
Многие инженеры, работающие в этой области техники, неизбеж-
но приходят к выводу, что достигнутые ими результаты, по суще-
ству, повторяют те, которые много раньше уже были получены
специалистами, преимущественно развивавшими теорию геометри-
ческой оптики. Поэтому вполне естественным представляется их
желание — как, впрочем, и мое собственное— получить исчерпы-
вающее изложение сведений о привлекающих их идеях, написан-
ное, к тому же, на понятном для них языке. Эта задача решена
д-ром Корнблитом .Следует отметить, что он располагает вполне
достаточными возможностями для ее решения — его математичес-
кая подготовка, полученная за время работы в промышленности в
качестве руководителя группы по разработке антенн для аэробор-
товых радиолокационных систем, позволяет ему быть вполне ком-
петентным в обоих аспектах задачи. Еще большее значение, ве-
роятно, имеет его энтузиазм — энтузиазм, который ощутит и чита-
тель, увидев как автор постепенно ведет его от подробного и ясно-
го анализа уже известных ему проблем к аналогичным проблемам,
лежащим в других областях науки и техники, например в: кванто-
вой механике.
Оптика СВЧ — это дисциплина, в которой практический расчет
и теоретические вопросы связаны между собой в чрезвычайно силь-
ной степени. На первый взгляд книга д-ра Корнблита может по-
казаться предназначенной только для теоретиков. Однако следует
полагать, что такое впечатление у читателей все же не сложится,
поскольку инженер, знающий, что ему может предложить теория,
только выигрывает от этого, даже если он не проявляет интереса
к ее разработке. В тех случаях, когда это может оказаться полез-
ным для понимания, д-р Корнблит приводит полные доказатель-
ства соответствующих теоретически/ положений н в то же время
увязывает изложение с практическими ситуациями. Даже в тех
случаях, когда некоторые используемые автором функции, напри-
мер полиномы Церннке, могут оказаться незнакомыми для чита-
тёля, анализ оказывается доступным для любого > разработчика,
прослушавшего курс математики па техническом факультете. В ря-
де случаев, в особенности в последней главе, автор сосредоточи-
вает внимание на описании достигнутых техникой результатов, по-
могая специалисту, желающему в еще большей степени изучать
предмет, ориентироваться в-весьма обширной литературе, по мик-
роволновой оптике.
Мною уже отмечен энтузиазм д-ра Корнблита. Ярче всего он
проявляется в шестой главе, где автором привлечен материал из
самых различных областей науки и техники, что позволяет пред-
положительно наметить направления, по которым может пойти
дальнейшее развитие оптики СВЧ. Когда я ознакомился с этой'
главой, мне захотелось иметь год свободного времени, в течение
которого я смог бы проследить некоторые из этих направлений.
Приблизительно 30 лет назад в теории цепей произошел радикаль-
ный переворот; связанный с признанием того значения, которое в
указанной теории имеют функции комплексного переменного. Ана-
лиз изложенного в шестой главе материала'дает мне основания
задуматься над тем, не находимся ли мы в преддверии такого же
переворота в теории антенн. Возможно, для кого-то из читателей
ознакомление с этой книгой сыграет роль стимула, подтолкнувше-
го его на путь пояска недостающего звена цепи.
Проф. Джон Браун
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга была задумана в связи с постановкой краткого, но весь-
ма насыщенного курса по микроволновой оптике в 1974 г. в Сур-
рейском университете. Цель курса состояла в том, чтобы ознако-
мить инженеров, работающих в технике СВЧ и в особенности в
области проектирования и эксплуатации антенн, с основными эле-
ментами оптики антенн СВЧ, с многообразием конструкций таких
антенн и существующими средствами оценки и корректировки их
диаграмм направленности. Таким образом, в этом курсе должны
были быть освещены такие основополагающие теории, как теория
геометрической оптики и скалярная теория дифракции, используе-
мая при анализе и синтезе диаграмм направленности в дальней
зоне. В курсе были также рассмотрены некоторые проблемы; пред-
ставляющие определенный интерес для автора книги, например
расчет стенок антенных укрытий, нелинейные линзы п поляриза-
ционные решетки. Чтение курса базировалось на учебнике, в ко-
тором приводились основные исходные данные и формула для рас-
четов при минимальном теоретическом освещении соответствующих
вопросов. Курс завершался рассмотрением таких актуальных про-
блем, как геометрическая теория дифракции, стекловолоконная
оптика и эффекты поляризации, возникающие в некоторых^ Кон-
струкциях несимметричных рефлекторов.
Как оказалось, инженеры п научные сотрудники, прослушав-
шие этот курс, проявили к нему интерес, достаточный для того,
чтобы оправдать введение в его состав серьезных теоретических
; .... 7
у
обоснований и придать ему, таким образом, законченную форму.
Задача приведения предполагаемых у слушателей знаний в строй-
ную систему потребовала более глубокого анализа имеющегося
материала и привела к формированию более четкой точки зрения
на предмет исследования как на. отдельную дисциплину, базирую-
щуюсяна современных физических теориях. Результатом этого
явилась переоценка сущности процесса практического расчета ан-
тенных систем и выявление далеко идущих связей с другими об-
ластями физики и математики, так или иначе имеющих отноше-
ние ктой единственной дисциплине, название которой носит дан-
ная книга.
Вместе с тем, чтобы это название не показалось слишком
объемлющим, следует упомянуть, что в книге рассмотрены только
те аспекты указанной дисциплины, которые непосредственно свя-
заны с расчетом и практическим применением антенн диапазона
СВЧ. Действительно, в книге отсутствует сколько-нибудь подроб-
ное исследование таких актуальных проблем микроволновой оп-
тики, как стекловолоконная оптика, лучеводы, открытые резона-
торы, анизотропные или плазменные среды и голография. Основ-
ная часть этих вопросов рассмотрена в специальной литературе.
Данная книга преследует три основные цели. Во-первых, ин-
женеру, мало знакомому с техникой антенн СВЧ, она должна
дать основополагающие^ методы расчета, а также должна озна-
комить его с литературой по этому вопросу. Во-вторых, опытный
разработчик может найти в ней большое количество уже извест-
ного ему материала, но освещенного по-новому, что, как можно
полагать, будет способствовать расширению его кругозора в об-
ласти микроволновой оптики. В-третьих, читатель, мыслящий ши-
рокими теоретическими категориями, ознакомившись с книгой,
видимо, сможет сделать вывод, что некоторые практические воп-
росы расчета антенн определенным образом связаны с рядом
трудных для понимания концепций теоретической физики.
В предлагаемой книге автор пытался, по возможности, ука-
зать те области, в которых оптика накопила давний и весьма цен-
ный опыт, который мог бы быть использован при расчете антенн. \
Иногда перенос накопленного опыта может происходить и в об-
ратном направлении. Это позволяет констатировать, что .в технике
антенн СВЧ рассматриваются в основном обобщенные случаи по-
верхностей и волновых фронтов, исследуемые как частные с по-
мощью лучевых методов в геометрической оптике.
По меньшей мере, странными представляются причины того,
что наиболее изящные и эффективные математические Средства,
которые предлагает геометрическая оптика, оказываются недо-
ступными именно теы раэрабдтйн$сам оптических систем, которые
наиболее заинтересованы в их применении, и по мере возможно-
стей автор пытался восполнить этот пробел. И поэтому следует
снисходительно относиться к тем, кто полагает, что единственны-
ми возможными вариантами таких систем являются параболоид,
антенны Кассегрена в линзы Люнеберга.
В первой главе представлены основные законы отражения и
преломления в наиболее общей форме, на основе чего, как это
показано далее, могут быть получены практически все типы опти-
ческих систем. Это положение иллюстрируется выводом методов
расчета для большей части традиционных оптических устройств
и демонстраций метода, пригодного для расчета сравнительно
малоизвестных систем. Для отражающих пли преломляющих по-
верхностей можно упомянуть такие следствия, как метод полу-
чения каустических кривых, фокальных кривых н кривых нуле-
вой фазы. Все эти закономерности играют большую роль при
расчете или оценке оптической системы: так, например, фокаль-
ные кривые используются при оценке искажений фазовых фрон-
тов и т. п. Переход к оптическим методам и конструктивным ре-
шениям, связанный с использованием микроволновых линз, при-
водит к концепции широкоугольных линз н рефлекторов и, сле-
довательно, к концепции сканирования диаграммы. По сравнению
с оптическими системами, содержащими значительное количест-
во отражающих н преломляющих поверхностей, системы СВЧ от-
личаются более широким углом излучения п имеют меньшее чис-
> ло поверхностей, каждая из которых должна играть максимально
важную дйя характеристик системы рать. Такая поверхность, на-
пример, может корректировать аберрацию, создавать апланатизм
или корректировать распределение поля с целью получения опти-
мальной диаграммы направленности.
Во второй главе теоретический анализ дискретных поверхно-
стей распространен на случай среды с плавным изменением пока-
зателя преломления. Основной закон для этого случая представ-
лен в формах, соответствующих основным общепринятым систе-
мам координат; анализ пути распространения лучен в таких сре-
дах позволяет получить метод расчета оптических линз. В этом
отношении неиспользованными остаются многие возможности, в
частности возможности применения других, нетрадиционных ко-
ординатных, систем. Предложен новый подход к решению стан-
дартных задач для сред to сферической симметрией. Особой вни-
' манне уделено плоской слоистой среде ввиду возможности ее
применения в технике СВЧ в качестве прозрачного для электро-
магнитных волн окна. Кроме того, во второй главе рассмотрен
ряд'новых конструктивных решений, а также предложен новый
метод анализа неоднородных слоев. Это позволяет реально, с
физической точки зрения сравнить обычное приближение Борна
и ВКБ-приблнжение для точного дифференциального уравнения.
В третьей главе рассматриваются приближенные выражения
для полей, создаваемых при излучении апертуры, причем эти вы-
ражения учитывают как положения геометрической оптики, так
н дифракционные эффекты. Для всех представляющих интерес
случаев установлено, что скалярная теория дифракции дает, воз-
можность получить окончательные результаты более простыми и
более непосредственными методами, чем точная теория поля.
Скалярная теория учитывает даже такие эффекты, для объясие-
ния которых необходимо привлекать явление интерференции, на*
пример распределение поля вдоль оси системы. Благодаря вве-
дению скалярной теории может быть получено решение в замк-
нутой форме, что достигается применением круговых полиномов.
Это дает возможность, с одной стороны, учитывать основные абер-
рации, которые могут иметь место в системах СВЧ, а с другой
стороны, вводить в распределение поля возмущения, необходимые
для получения надлежащей Диаграммы направленности. Симмет-
рия, присущая методу, позволяет поставить вопрос об обратимое*
ти процесса, задаваясь, например, целью синтезировать требуе-
мую диаграмму направленности на заданной апертуре. Этот воп-
рос обсуждается в четвертой главе, где также устанавливаются
ограничения, связанные с непрерывностью поверхностей оптиче-
ских систем, рассмотренных в первой главе. Вместе с тем, в ней
показаны преимущества, которые могут быть реализованы при
непрерывном распределении, причем это подтверждается теоре-
тическими результатами для зонированных круговых апертур или
апертур с многомодовым возбуждением.
Несколько отклоняется от основной темы материал, изложен-
ный в пятой главе, где обсуждаются проблемы поляризации, про-
водится их анализ и рассматриваются возможностиее практиче-
ского использования. В этой области боляще, чем в какой-либо
другой, оптические методы являются более предпочтительными,
чем микроволновые, ввиду чего анализ поставленных проблем вы-
полнен здесь чисто оптическими способами, В частности, в пятой
главе показано, что матричный метод и его конкретные примене-
ния позволяют рассчитывать поляризационные фильтры и враща-
тели поляризации нескольких типов; здесь приведены эксперимен-
тальные данные для одного из таких устройств. В этом случае в
теории имеют место некоторые параллели с теорией спинов час-
тиц. Отмечается, что наиболее раннее из исследований такого ро-
да было основано на методах, используемых в настоящее время
в квантовой механике. Применительйб к материалу пятой главы
сюда можно отнести описание поляризации в кватернионной фор-
ме, а спина частицы — в форме матрицы спина. Такте представ-
ление, находящееся в очень тонкой связи с теорией линий пере-
дачи, позволило выявить звено между поляризацией и более
сложной теорией групп вращения.
Как показывает анализ изложенного в книге материала, су-
ществует ряд весьма, интересных аналогий, например аналогий
между путями лучей в геометрической оптике и траекториями
частиц, между неоднородными средами и неоднородными потен-
циалами, между поляризацией и спином частицы, между прозрач-
ным для электромагнитных волн с?.сном н туннельным эффектом.
Этот перечень можно завершить аналогией между группой линз,
воздействующих на систему лучей, я группой непрерывных пре-
образований в квантовой механике. В шестой главе - приведены
характерные примеры аналогий и предложен новый метод, поз-
воляющий производить эти ’преобразования на основе теория
функций кватернионного переменного. Эта теория базируется на
четырехмерном анализе оптических явлений и совместно с тео-
рией групп и дифференциальной геометрией представляет собой
основу для прогресса в нов&х областях, не обязательно обязанных
с инженерными методами расчета антенн.
В каждой главе наряду с основным списком литературы имеет-
ся Дополнительный, содержащий работы, ознакомление с которы-
ми, по мнению автора, может оказаться полезным для исследова-
теля, а также множество работ, которые опытному разработчику
антенн покажутся имеющими несколько иной характер, чем рабо-
ты, на которые обычно ссылаются в литературе по антенной те-
матике, Это объясняется тем, что автор старался, по возможности,
отойти от традиционных источников по антенной технике и прив-
лечь внимание к литературе по оптике, прикладной математике и
физике, ввиду чего он должен был отказаться от упоминания
многих источников, которые в противном случае должны были
быть включены в книгу с таким названием.
~ Автор особенно признателен проф. Дж. Брауну, сотруднику
«Империал колледж» (Лондон), за его согласие написать предис-
ловие к этой книге. Кроме того, автор признателен ему и мис-
теру С. Моссу, старшему математику фирмы «Маркони» (Стея-
мор, Миддлэссекс), за участие в обсуждений книги, за советы и
поддержку, а также д-ру Р. Хансену, nd предложению которого
н была написана эта книга. Автор также чувствует себя обязан-
ным по отношению к лицам, предложившим ему воспользоваться
данными, которые графически представлены в книге как резуль-
таты расчета пли эксперимента. К числу этих лиц относятся сот-
рудники вычислительной группы физического факультета, Суррей-
ского университета во главе с мистером Найтом и сотрудники
экспериментальной секции группы антенной техники Лаборатории
фирмы «Маркони» во главе с мистером Уайменом. В этой связи
автору хотелось бы особо поблагодарить мистера Н. Дувра и
многих других лиц, работающих в области антенн СВЧ.
Автор чувствует себя обязанным по отношению к его колле-
гам, сотрудникам й студентам физического факультета за под-
держку его изысканий в теории кватернионов. Это в еще большей
степени относятся к сотрудникам группы техники СВЧ и ее ру-
ководителю д-ру К- Фулдсу, а также д-ру М. Джонсу. Кроме то-
го, автор отмечает требовавшее больших затрат времени внима-
ние, с которым к нему относился библиотечный персонал обеих
организаций. Особую благодарность ему хотелось бы выразить
также миссис СмиТ.за перепечатку рукописи с высокой скоростью
И неизменной доброжелательностью, что способствовало созданию
рабочей атмосферы и облегчало работу над рукописью в самые
критические моменты, а также своей супруге, с большой терпи-
мостью; отнесшейся к необходимости перенести длительный йе-
риод ограниченного общения с внешним миром и связанных с
этим неудобств.
-•( С. Корнблит
' н
ГЛАВА ПЕРВАЯ

Линзы и рефлекторы
Оптика и, в частности, геометрическая оптика относятся к самым
древним наукам на Земле, и вступительные главы к любой из
многочисленных работ по геометрической' оптике дают достаточ-
ный материал для обсуждения вопроса о месте этой науки среди
других. Так, например, в работе [1] изложены следующие заслу-
живающие внимания соображения.
«Как теория геометрическая оптика является идеальной я представляет зна-
чительную ценность. Открытие того факта, что распространение света представ- ,
ляет собой электромагнитный процесс, привело к тому, что оптика как дисцип-
лина стала совместимой с теорией электромагнитного поля. Некоторые разделы
оптики, однако, представляется возможным изучать, не прибегая к указанной
теории, ио при этом всегда следует иметь в виду, что физическая точность по-
лученных таким путем результатов имеет определенный предел. Термин «физи-
ческая оптика» обычно относят к более сложной п физически более строгой тео-
рии, а «геометрическая оптика» — к более простор идеализированной теории,
которая и будет, изложена далее. Геометрическуто оптику можно рассматривать
как предельный случай физической, когда длина снеговой волны стремятся к
нулю. Вместе с тем, мы должны довольствоваться развитием геометрической
оптики «На базе ее собственных принципов»
Однако из этой цитаты нельзя уяснить то обстоятельство, что
хотя объекты изучения оптики и теории электромагнитного поля
«совместимы», их,-1 практические результаты применяются в со-
вершенно различных областях: Если, например, вопрос стоит о
разработке оптнческцх устройств, то единственным приемлемым"
средством являются методы геометрической оптики. Разработка
этих устройств действительно представляет собой область, теоре-
тические основы для которой можно создать, не прибегая к Элек-
тромагнитным явлениям. Если же, далее, .требуется исследовать
физические свойства созданного таким образом устройства, необ-
ходимо привлечь методы физической оптики.
: Следовательно, дальнейшее развитие геометрической оптики
<ца базе ее собственных принципов» приводит к/ более полному
пониманию свойств современных оптических систем и возможно-
стейсоздания новых. ,
**. - Д;. 1 '
•
В данной главе функциональные свойства рефлекторов и линз
будут исследованы на основе теории, кратко изложенной в при-
ложении 1, т. е. на основе принципов геометрической оптики. Та-
кое исследование позволяет создать основополагающие методы,
базирующиеся на законах отражения и преломления, интерпре-
тируемых, как полагает автор, несколько отличным от принятых
способом. В основном — применительно к целям расчета антенн
диапазона СВЧ — будет рассмотрена состоящая из небольшого
количества поверхностей оптическая система, преобразующая из-
лучение, поступающее от первичного номинально точечного источ-
ника, в систему параллельных лучей, т. е. фокусирующая их на
бесконечность.
Вместе с тем, методика, предложенная для реализации этой-
Йели, обладает большей степенью общности, ввиду чего она пред-
ставляет интерес уже сама по себе. Ее применение не только ве-
дет к созданию новых методов расчета, но и дает возможность
разработки новых оптических систем, практическая значимость
которых к1 настоящему времени в должной мере еще не оценена.
Кроме того, она Дозволяет лучше уяснить роль геометрий в гео-
метрической оптике — вопрос, который исследован в удивительно
малой ётепенн. Более полное понимание тонкой связи между оп-
тикой лучей и геометрией поверхности оказывается полезным при
Исследовании обеих сторон проблемы.
Поскольку на практике не могут быть использованы световые
лучи с нулевой длиной волны, коллимирующие свойства устройств
не могут быть идеальными. Степень расхождения становится од-
ним из главных факторов, определяющим, с какой целью могут
быть использованы дополнительные степени свободы системы.
Эти дополнительные степени свободы, как известно, могут быть
получены путем введения в систему дополнительных отражающих
или преломляющих поверхностей. Введение дополнительных по-
верхностей позволяет решить п некоторые другие задачи, напри-
мер, снизить оптическую аберрацию в целом. Основной задачей в
данном случае является создание сравнительно простого метода,
базирующегося на принципах геометрической оптики и позволяю-
щего получить форму дополнительных поверхностей, соответству-
ющую Заданным расчетным критериям или требованиям по абер-
рации.
Отметим,что в микроволновой оптике таким способом прихо-
дится учитывать лишь немногие оптические аберрации, ц системы
с числом оптических поверхностей более трех встречающихся до-
вольно редко. Большие размеры и конструктивная сложность ря-
да систем не позволяет применять в них оптимальные решения.
Это диктует необходимость перехода к более высоким частотам
и к системам, в большей мере напоминающим оптические п рас-
считываемым согласно методике, предложенной в данной книге. *
После-того как методы расчета определены и их применимость -
показана для систем с небольшим числом поверхностен, эти мето-
ды легко перенести на более сложные системы, и способ пспользо-
‘ . 13
вания каждой дополнительной поверхности —- в соответствии с
поставленной целью — будет зависеть от особенностей конкретно-
го устройства.
1.1. Одноповерхностные фокусирующие рефлекторы
- Основное определение законов отражения и преломления мо-
жет быть выведено из принципа Ферма (и наоборот). Наиболее
просто его можно описать следующим соотношением [2] (см.
приложение I):
iHfr=«=i]p<o. (1-П
где т]г н т|р — коэффициенты преломления сред с освещенной сто-
роны, определяемой координатами г, и 0, и со стороны, обратной
ей, определяемой координатами р, <р соответственно (рис. 1.1а).
В случае идеального рефлектора полагаем, что ipAlr™—1»
вследствие чего (1.1) принимает более простой вид:
v (1.2)
к '
<0
Двойной знак в правой части (1.2) введен для того, чтобы
отобразить некоторые присущие отражающей поверхности свой-
ства, а именно, отрицательный знак относится к поверхности, соз-
дающей действительный фокус, а положительный знак — к по-
верхности, создающей мнимый фокус.
Исходя из элементарного построения, показанного на рнс. 1.16,
можно установить, что соотношение, эквивалентное (1.2), будет
иметь следующий вид:
rif 0=±рЛр,
(1-3)
в котором знак правой части относится к положительному и от-
рицательному значениям приращения угла1.
Теперь рассмотрим случай, когда поверхность взаимодейст-
вует с пучком лучен, исходящих из одного фокуса. Данный улучай
применим при анализе двумерной задачи, когда рис. 1.2 соответ-
ствует поперечному сечению бес- z
.конечного длинного цнлиндриче- /
J ского рефлектора, или же при » г<й /
анализе плоского поперечного се- '1 \jL--------------
чения системы с круговой снимет- ------
рией и осью, проходящей через / \ \
фокус. При этих условиях, наибо- / \\
лее часто встречающихся в техни- /
ке антенн СВЧ, Соотношение (1.3) /
поддается интегрированию и его /
можно использовать для расчетг } 9(\__________. ,
отражающих поверхностей с тре- F
буемыми фокусирующими свойст- рис. 1.2. Парабола
вами.
Представляется вероятным, что именно из-за указанных огра-
ничений (1.3) не находило широкого применения, и при всех фун- у
даментальных расчетах в основном использовались соотношение
(1.2) н его описывающий преломление аналог (1.1), предложен- >
ные Гамильтоном.
Уравнение .(1.3) позволяет объединить и увязать законы оп-
тики и геометрию поверхностней весьма тесным образом, благо- а
даря чему геометрические свойства кривых оказывается возмож- j
ным..описать исходя из свойств известных оптических систем (и
наоборот). ;
В дальнейшем изящество этих, казалось , бы, элементарных
соотношений автор, намеревается показать, выводя непосредствен-
но вз них уравнения, характеризующие оптические свойства обще-
известных коллимирующих и фокусирующих устройств. а
Параболоид. Требуется синтезировать поверхность (г, 0), пре-,
образующую лучи, исходящие из источника, в параллельный .пу-
чок. "
‘ Автор выражает благодарность С. Моссу, старшему математику фирмы
«Маркони спейс вид дифеиз система», указавшему ему на это важное соотноше-
яае-
15
Согласно (1.3) и рис. 1.2 — rd0=dz, где z=rsin0. Следова-
тельно, —rdQ=r cos 0а0+sin Qdr или
г=' COfB^
l-}-cos0
Таким образом, получено уравнение параболоида в полярной
форме.
Конические зеркала. Принципиальное различие в подходах по
уравнениям (1.2) и (1.3) можно проиллюстрировать путем «рас-
чета» конических зеркал. Это, как известно, зеркала, поперечные
сечення которых являются коническими и фокусирующие свой-
ства которых хорошо известны [3], например, по работе Брюгге-
манна. В этой работе конические сечения получены в предполо-
жении, что отражающая поверхность обладает идеальным анас-
тигматизмом, т. е. фокусирует в одной и той же точке лучи плос-
ких взаимно ортогональных пучков: касательного и сагиттального.
Выбранная Брюггеманном методика позволяет установить, что
конические зеркала — это единственные поверхности, обладающие
этим свойством.
Два возможных случая таких сечений показаны на рис. 1.3,
причем на рпс. 1.3а имеет место действительный фокус, а на
рис. 1.36 — мнимый. Уравнение (1.2) Принимает здесь следующие
формы: dr ——dp для рис. 1.3а н dr=dp для рис. 1.36.
Рис. 1.3. Эллипс (я) и гипербола (б)
16
бебгг
Путем непосредственного интегрирования получаем, что
r±p=const=2a.'
Это уравнение описывает фундаментальные геометрические
свойства эллипса (положительный знак) и гиперболы (отрицатель-
ный). Вместе с тем, при желании вывести точные уравнения этих
поверхностей в полярной форме необходимо исходить нз (1.3).
В случае действительного фокуса согласно рис. 1.3а rsin0=
=psiri<p и
rcos94-psinq)^=Fif2 = 2ae. (1.4)
Учитывая зависимость rdQ — —ptftp и воспользовавшись (1.2),
- d0 _ sin 9
находим, что —-------. Это соотношение после непосредст-
венного интегрирования дает, что
sin0 sin® . , ,
—-----------4т- = const == А.
1 + содп I + ссвф
Исключив из полученного таким образом результата 0 или ф
и используя (1.4), получаем уравнение эллипса в полярной фор-
ме .
_ ________4 Лае______
~ (1-Л’) —(1 _.4’)TOse ’
из которого находим постоянную интегрирования А: А =
e —в)/(14-е) >0, где е — эксцентриситет эллипса.
<5? Поскольку эллипс описывается двумя выражениями: п»
»//(!—есозО) и р = //(1—е cos ф), то из (1.3) можно получить еше
одно соотношение:
49 sin 9 _ (1 — в cos fl)
d ф : sin ф (1 — е cos ф) ’
Для гиперболы соответствующее решение имеет вид
d0___sin 0
d ф sin ф *
откуда
sin fl 1 cos ф__ 1 „ 1 + в
1 -f- cos 0 sin ф А 1 — в ’
Таким образом^ можно сделать вывод, что указанные кривые
(и, конечно, парабола) представляют собой единственные отража-
ющце поверхности, обладающие свойством преобразования пото-
ка лучей, исходящих из некоторой фиксированной точки, в поток
лучей, сходящихся во второй фиксированной точке. Этот вывод
совпадает с результатом, полученным Брюггеманном для анастиг-
матических рефлекторов.
1*3. Двухповерхиостные рефлекторы
Гамильтон fl] показал, что уравнение (1.2) может быть обоб-
щено на сколь угодно большое количество отдельных отражаю-
щих- (а затем и преломляющих) поверхностей. Позднее Мосс [4]
4' .. -< : 17
обнаружил аналогичную возможность для (1.3), Так, например?
если, как показано на рис. 1.4, п — расстояние от основного ис-
точника, расположенного в исходной точке О, до первого рефлек-
1 тора, г2 — измеряемое по направлению луча расстояние от перво-
го до второго рефлектора, а (р, ф)— полярные координаты отно-
сительно фокуса третьего рефлектора, можно получить два соот-
ношения для л отражающих поверхностей, эквивалентные (1.2)
t н (1.3):
й.. 4О±4б± .... ±drn—dp и пе(01±М91± - • • ±Гп4Йп=р</ф, (1.5)
;; Причем знаки в уравнениях определяются по тем же правилам,
что н в случае (1.2) и (1.3).
Рве. 1.4. Ход лучей при отражении Рис. /Л. Ход лучей в антенне Кассегре-
на -
к
Рефлекторы Кассегрена и Грегори. Й качестве самой простор
иллюстрации рассматриваемого принципа можно предложить соче-
тание параболоида н второго рефлектора, позволяющее полу-
чить те же результаты, что и при использовании одиночного па-
раболоида. Если две поверхности, изображенные на рис. 1.5, имеют ,
общее начало координат в точке О, то согласно (1.5) rid9|±
±г^2=‘фг, где парабола определяется соотношением dz=rd9.
Если полярное уравнение второго рефлектора записано для
системы координат (р, ф) с началом в точке О, то я
Ticf0i=* (rj:fcr2)4(ls=p<i<p. > j
Полученное уравнение представляет еббой не что иное, как
уравнение конического зеркала, рассмотренное в предшествую-
щем разделе. Следовательно, в зависимости от знака оно описы-
вает или гиперболу (система Кассегрена) s или эллипс (система
Грегори). ' \
18 х ,
Благодаря введению второй поверхности создана дополнитель-
ная степень свободы, что подтверждается наличием бесконечного
количества конусов, удовлетворяющих указанным выше условиям.
Таким образом, однозначность системы может быть обеспечена,
если будет введено второе условие (первое условие — обеспечение
коллимации). Это условие может быть сформулировано многими
способами, что зависит от распределения аберраций или распре-
деления энергии в системе. Отметим, что к мысли о необходимости
введения условия, позволившего сформулировать фундаменталь-
ное соотношение (1.3), Мосс пришел в процессе вычисления неко-
торого закона распределения энергия, требовавшего коренным
образом изменить форму поверхностей рефлекторов.
Кардиоида Цейсса. Анализируя структуру (1.5), легко уста-
новить, что если определены требования ко всем поверхностям,
кроме одной, то ее форма может быть, определена по требуемым
фокусирующим свойствам. Это значит, что для любой двухпо-
верхностной системы, одна из поверхностей которой имеет зара-
нее заданный контур, всегда можно синтезировать другую поверх-
ность, способную фокусировать лучи в заданную точку или на
бесконечность. - Применительно к сферическому рефлектору это
означает, что в данном случае возможны две переотражающие
поверхности; что связано с тем, что от одной пз них происходит
внешнее отражение (виртуальная фокусировка), а от другой —
внутреннее. Первый из этих случаев [5] — с фокусированием на
бесконечности — соответствует комбинации кардиоидного рвф
лектора и сферы (кардиоида Цейсса). Хотя конструирование
трехмерных рефлекторов нецелесообразно с практической точки ;
зрения ввиду двойного внутреннего отражения, этот вопрос пред-
ставляет собой еще одну иллюстрацию метода; указанная комби-
нация была реализована в одномерной форме способами, которые
будут рассмотрены далее.
В соответствии с рпс. 1;6а можно записать: г,^0,—
rt = FM, г2 — РМ, где для радиуса круга adz^= a cos 0dB.
Учитывая отражающие свойства поверхности в точке Р, т. е.
еще раз применяя закон отражения, легко установить, что 0, = 20,
и, следовательно,
(a cos 64-2га) dti. (1,6а)
Согласно второй форме записи принципа Ферма соотношение
(1.2) можно" привести к следующему виду: dx — drt + dr;=a.sin.0d0.
После интегрирования, выполненного обычным способом, убеж-
даемся в постоянстве длины оптического пути:
Па соз 0=const—2dj -rd2. Ч1.66)
Третье соотношение может быть получено исходя нз геомет-
рии; фигуры: *
fi=dj cos Bi-J-a cos (6—00 -f-rs cos (20—6t). (1 6b)
Решение уравнений (1.6) зависит от выбора d2, места распо-
что
19 г'
ложешгя фокуса и величины dt. Путем анализа установлено.
простейшее решение может быть получено, если положить О=0(
и d|==d2—а/2. Другими словами, г2=const=а/2 и
ri=o(14-cos0i). (1-7)
Это решение геометрически описывается кардиоидой.
Произведя геометрические построения на основании этик зна-
чений, как, например, показано на рис. 1.6а, по рис. 1.66 легко
усыновить, что четырехугольник FOPM представляет собой тра-
пецию с тремя сторонами фиксированной длины (JFO, ОР и AfP).
Следовательно, вг принципе можно изготовить пантограф, посред-
> ' 1 : ".
ь. _
ством которого может быть построена кардиоида (при перемеще-
нии точки М точка Р движется по окружности). Однако резуль-
таты параллельного переносу окажутся не вполне «чистыми», по-
скольку в точке N имеет место скользящее соединение.
Кроме того, поскольку пересечение лучей происходит в точке-
Q, а фигура FOPQ представляет собой параллелограмм, точка Q'
будет описывать окружность с центром в точке F. Следовательно^
в данной системе условие синусов (см. приложение 1) выполня-
ется автоматически, и, таким образом, профили обеих поверхно-
стей и соответственно две степени свободы оказываются полно-
стью заданными.
Другие способы выбора положения фокуса ведут к усложне-
нию соотношения между 0 и 0ь В этом случае, как правило, при-
ходится производить вычисления, представляющие собой итера-
ционный процесс, с участием трех указанных ранее уравнений.
Корректор для сферического зеркала. Если отражение являет-
ся внутренним по отношению к сфере, то вторая поверхность вы-
бирается из условия коррекции сферической аберрации и обеспе-
чения фокусировки в одной точке, как это осуществляется, напри-
мер, в системе Кассегрена,
Основные уравнения в данном случае аналогичны тем, кото-
рые были применены в случае кардиоиды Цейсса, Согласно рис,
1.7я 01“20 и, следовательно, rid&t = (acosO—2ra)d0, где Г1 = РЛ(,.
г2 = РМ и
drt+d>a=dx, x= a cos 0.
Интегрируя второе из этих соотношений, находим постоянную
интегрирования, которая представляет собой предельную длину
луча при устремлении 0 к нулю: r} + га+я cos 0=2di+da+a.
Из геометрических соображений можно получить еще два со-
отношения: Г] cos 0| =ra cos 0а+а—я cos 0—tfa; п sin 0, =га sin Оз—
—asin@. Допустив в целях упрощения, что rfa“0, а затем-возве-
дя эти соотношения в квадрат и исключив га, получаем, что
_ а Г2 — 2Р-р Ра — 4 Р с<м93) cos3 0 - 4 coss 61
Г1 2 [ р — 1 — 2 cos 0 + 2 cos3 0 J ’
где P“l+2t/i/a.
В принципе, последнее выражение может быть приведено к
обычному полярному уравнению (r>, 01) путем использования
«оптических» дифференциальных уравнений, связывающих df) if-
dQi. Однако такой подход представляется неоправданно сложным.
Из соображений симметрии вытекает, что контррефлектор дол-
жен быть вогнутым по отношению к падающим на него лучам.
Кроме того, профиль, контррефлектора не должен пересекать каус-
тическую кривую (рис. 1.76). В противном случае на симметрич-
но расположенные точки контррефлектора падали бы по два лу-
ча, исходящих с различных точек основного зеркала. Сфокуси-
ровать.Такне лучи в одну точку невозможно.
21- f
Крайний луч системы лучай
I •
f. Контррефлекторы Кассегрена следовало бы размещать меж-
ду основным рефлектором и вершиной каустики, т. е. они долж-
ны были бы находиться в зоне, каждая точка которой представ-
ляет собой пересечение двух отдельных лучей, как, например,,
точка Р на рис. 1.76. Очевидно, ни один рефлектор не может сфо-
кусировать два отдельных луча, находясь в точке их пересечения.
Геометрию Кассегрена можно было бы реализовать, уменьшив,
апертуру рефлектора настолько, чтобы можно было выделять
только один из двух возможных лучей. Однако такой способ не-
эффективен при конструировании антенн СВЧ. Этот вывод под-
тверждается и аналитически, поскольку в случае геометрии Кас-
/ сегрёна второе геометрическое соотношение меняет свой знак по-
/ отношению к приведенному ранее и принимает вид г। sin 61
=asin9—rjsinBj.
Следовательно, решение для rh зависящее, как это имеет мес-
то в действительности, от квадрата этого выражения, дает вогну-
тую конфигураций, идентичную конфигурации Грегори.
ИспоЛьзуя при анализе приемлемые с практической точки зре-
ния значения d2, можно получить различные обобщенные формы'
контррефлекторов.
1.3. Одноповерхностные преломляющие линзы
Линзу называют одноповерхностной, если изменение в нап-
равлении луча вследствие его преломления происходит только па
одной поверхности линзы. Тогда другая поверхность (или другие
поверхности) линзы является ортогональной по отношению ко
всем падающим на нее лучам. Проведенный здесь анализ, как и
в предшествующем параграфе, ограничен случаем поперечного се-
чения осесимметричной или двумерной системы.
Прежде всегр рассмотрим преломление сфокусированного пуч-
ка лучей, входящих, как показано на рис. 1.8a, из менее плотной
среды (воздух) в более плотную среду с коэффициентом прелом-
ления V. Необходимо синтезировать поверхность, способную пре-
образовать этот поток в параллельную систему лучен, и, следова-
тельно, (1.1) принимает вид .
dr=vdx, (1.8) ,
где х—rcosO. Интегрируя (1-8), находим, что r = vrcos9+const.
Постоянную интегрирования получаем из условия r~f при
0=0, откуда приходим к уравнению гиперболической поверхности:
r-to. a.9),
vcos 0~1
Если преломление имеет место при переходе из более плотной
в менее плотную среду, то соотношение (1.8) принимает следую-
щий вид:
vdr=dx,
V
(1.10)
23-
что идентично переходу v-*-i/v в проведенном анализе и в сле-
дующем решении для эллиптической поверхности (рис. 1.86):
причем полюс расположен в фокусе, наиболее удаленном от по-
верхности.
Рис. 1.8. Одноповд)хиостные линзы: гипербола
(а) и эллипс (б)
Если показатель преломления v=—I, закон преломления пе-
реходит в закон отражения, и из (1.9) и (1.10) получаем, что
х—2f/(l+cos0),т. е. приходим и-параболе, рассмотренной в § 1.2.
йя* 'Т: ' ' ’ 1
Эллиптическая и параболическая — две наиболее часто упот-
ребляемые микроволновые линзы, предназначенные для фокуси-
рования лучей на бесконечность.
Аналогичный анализ может быть проведении в случае более
общей проблемы повторной 'фокусировки лучей в другую, более
предпочтительную точку.
Овал Декарта. Овал Декарта [6] — это одноповерхностная
преломляющая линза, которая перефокусирует, как показано на
рнс. 1.9, поток лучей из одной точки в другую.
Рис. 1.9. Овал Декарта в его построе-
ние посредством натянутого шнура
(пунктирные лннпн с центром в Точ-
ке Ft соответствуют вторым возмож-
ным поверхностям линзы)
Это свойство поверхности называется астигматизмом. Как по-
казывает изучение литературных источников, о таких поверхно-
стях вспоминают приблизительно через каждые 10 лет; однако
сколько-нибудь эффективного применения они не нашли. 3fit по-
верхности отличаются способностью «переносить» точку фокуйй
на значительное расстояние «вперед» в том случае, если второй-
поверхность линзы является ортогональной к проходящим через
нее лучам, т. е. образована поверхностью сферы с центром, сов-
мещенным со вторым фокусом.
В случае действительного фокуса для поверхности выполня-
ется условие
dr^—vdp, (1.12)
которое после интегрирования обычным способом дает закон пос-
тоянства оптического пути:
r-t-vp=const=ft+vf2, (1.13)
" ' Л- / , , . ’ 25
----------—
лричем постоянная оценивается для луча, направленного вдоль
оси.
Здесь может быть использовано одно из двух следующих гео-
метрических соотношений (рис. 1.9а): pa«ra+Fs—2rFcos0 или
/'2=p»4-f2—2pf.cos<p; iF—ft+ft. Дифференцируя их и используя
(1.12), находим, что
<rfr F г sin 8 dp Fsitty
40, ,p/v—г+Рожб vr —p+F«e<p
или (р/т+^^^^гсояб) 11 (vr+p)</p=d(fpcos ф).
Подставляя вместо г или р их значения из (1.13) и произво-
дя интегрирование, находим
ЛояЦД+А)>+А( . )+£(Нг)}
(1.14 а)
илн
fpcos<p= (ftv+fr»»)p+ -£ (l_yj)_(/tfa(v^l)-b £-(1-т«)}.
(1.146)
Последний член в каждом из этих соотношений представляет
собой постоянную интегрирования, определяемую значениями г
и р при граничном условия 9=чр=0, Т. е. г—ft; p=ft.
Уравнения (1.14) — это полярные уравнения, определяющие
Декартовы овалы. Отметим, что по сравнению с уравнениями, за-
писанными в прямоугольной системе координат, они имеют до-
вольно простой вид [6]. Подставив в (1.14) значение v=—>1, по-
лучим выражения для конических, эллиптических и гиперболиче-
ских зеркал (в зависимости от соотношения величии ft и ft):
f=s- . - 2Mr . . ; р
(ft4-/t)cos0-(ft-/x) . + '
В предельном случае, когда ft или ft стремится к бесконечно-
сти, эти уравнения переходят в уравнения для параболических
зеркал.
В том же предельном случае произвольного значения v (1.14)
переходят в (1,9) н (1.11) для эллиптических и гиперболических
линз соответственно. Кроме того, легко показать, что (1.14а) и
(1.146) переходят одно в другое при условии, что v->l/v; ft—• ft.
Таким образом, уравнения (1.14) описывают всю систему оди-
ночных отражающих и преломляющих поверхностей, обладяютих
свойством астигматизма, которые рассматривались на практике
до настоящего времени. Метод вычерчивания овалов Декарта
(сходный с методом вычерчивания^ эллипса) посредством шнура,
туго натянутого между двумя фокусами, представлен на рке. 1.96.
Апланатические точки сферы. Чтобы получить поверхности с
профилем, прягодным для использования и в оптике я в технике
СВЧ, прнменяют еще один способ построения овалов Декарта.
При этом поверхность преломления должна быть чисто сфери-
ческой. Данный способ показан на рис. 1.10, где через а и b обоз-
начены расстояния от идеальных фокусов до центра сферы О.
Исходя из соотношений для виртуального изображения, можно
Рис. 1.10. Аплаяатические точки сферы (пунктирная линия с центром в точке F
соответствует второй возможной поверхности линзы)
записать, что dr—vdr, р!=<Р+аа 4-2ad cos ф, r2=d2+&a+2&dcosip,
где d — радиус сферы.
Дифференцируя два последних выражения и исключая ф, на-
ходим, что bpdp=ardr. После интегрирования первого выражения
находим, что r=*vp-f-const. Будем считать, что эта постоянная
равна нулю, и таким образом получим стандартное соотношение
для аплднатических точек сферы: b=vd, a=d/v.
Улитка Паскаля. В заключение попробуем синтезировать вы-
пуклую преломляющую поверхность, обладающую свойством пре-
образования точечного фокуса во второй точечный фокус. Второй
фокус будет находиться на определенном расстоянии от первого,
как показано на ряс. 1.11, и представляет собой виртуальный фо-
кус. В. данном случае фокус смещен относительно поверхности, и
физические процессы заметно отличаются от описанных в пред-
шествующем параграфе. Два необходимых для анализа соотно-
шения имеют следующий вид:
dr—vdp, p2=a2+r24-2racos 0 (1.15)
или
1
Г=V {ra+a34~2or COS 0} 1 4-D, (1.16)
где Д— постоянная интегрирования, получаемая при приравни-
вании r=f для 0=0, т. е. Z?=/—v(ti+/).
А / 27
Переписав (1.16) в несколько ином виде, получаем
(1—v2) r=Z)+v2a cos 6+ { (P4-v®a cos 0) 2— (1—v2) (£>2—v2a2) } 2 ,
(1-17)
Это уравнение описывает особую форму овала Декарта, изве-
стную под названием улитки Паскаля (рис. 1.11). Гораздо про-
ще ее биполярная форма (7], являющаяся интегралом уравне-
ния (1.15):
r=vp+D. (1.18)
Полная улитка Паскаля содержит вторую кривую, показан-
ную пунктиром на рис. 1.11. Ее появление обусловлено отрица-
тельным корнем в уравнении (1.17)/ По существу, пунктирная
кривая^ представляет собой рассмотренный ранее овал Декар-
та, однако в данном случае она связана с отрицательной формой
закона преломления, т. е. с тем случаем, когда преломленный
луч проходит ’’с той же стороны нормали к поверхности, что и
падающий, как показано в нижней левойчасти рис, 1.11.
28 '' ./ '‘
Сходства кривой в области между точками А и А' и формы
обычной пластины, корректирующей сферическую аберрацию
(корректор Шмидта), позволяет применять принцип смещения
фокусов к более общим задачам.
1.4. Двухповерхностные линзы
Как было отмечено ранее, к одноповерхностным относят лин-
зы, вторая поверхность которых ортогональна проходящим лу-
чам, В технике СВЧ источник излучения не обладает изотропией
[8], что влияет йа параметры окончательно сформированного пуч-
ка. Вследствие такого упрощенного подхода контролировать эти
параметры с достаточной степенью точности не представляется
возможным. Проблема, однако, может быть быть решена путем
использования астигматической поверхности, что позволит пере-
местить фокус в более удобную для практики точку, что, в свою
очередь, может дать более предпочтительное амплитудное распре-
деление. Если, например, воспользоваться для этой цели аплана-
тическими точками сферы, то фокус сферической поверхности пе-
реместится вперед и, как показано на рнс. 1.12, можно будет по-
лучить более тонкую линзу.
Рис. 1.12. Проецирование
фокуса эллиптической
линзы (точка F> — фокус
Эллиаса ADA'; кривая
АВА'—дуга окружности
с центром в точке Ft и
представляет собой «есте-
ственную» вторую по-
верхность; кривая АСА'—.-ь=
дуга окружности с цент- F,
ром в точке О, для кото-
рой Ft я Ft—апланатн-
ческие точки; источник
проецируется из точки Ft
в точку Ft, что приводит
к уменьшению толщины
линзы)
Аналогичным образом фокус может быть спроецирован назад,
для Чего следует использовать поверхность тина улпткц Паскаля
(рис. 1.116). В этом случае, появляется дополнительная степень
свободы/создаваемая введением второй поверхности. Данная ме-
тодика может быть отнесена н к более общему случаю, когда
рассчитываемая поверхность менее пригодна для целей фокуси-
рования, чем только что рассмотренный эллипсоид. Фбкус пред-
ъявляет собой частный случай каустики, которая выродилась в
точку (9J, так что поверхность, способная создать другую задан-
ную каустику, всегда может быть рассчитана. Проиллюстрируем
этот принцип на примере следующего оптического устройства.
Рис. 1.13. Корректор Шмидта для Сферического вогнутого зеркала (о), каустика
окружности — иефройд каустика при преломлении на плоской поверхности
(») и суперпозиция каустики и возникновение вынесенного фокуса (г)
30 -
, у г-
Корректор Шмидта. Корректор Шмидта рассматривается в лю-
бом учебнике по оптике и, в частности, в работе Борна и Вульфа
[10]. Это устройство предназначено для коррекции длины пути
-каждого луча параллельной системы лучей, падающих на выпук-
лую поверхность сферического рефлектора. Коррекция осущест-
вляется с целью обеспечения идеальной фокусировки в заданной
точке, как показано на рис. 1.13а. Аналитический расчет для по-
верхности корректора может быть осуществлен только прибли-
женными методами. Общая (хотя п несколько утрированная)
форма профиля поверхности корректора Шмидта показана на
рис. 1.13а. Хорошо известно, что при падении параллельного пуч-
ка лучей на внутреннюю поверхность сферического рефлектора
наблюдается каустика, поперечное сечение которой изображено
на рис, 1.136 н представляет, собой нефроид [7]. Каустическая
поверхность, создаваемая при преломлении на плоской грани кор-
ректора (рис. 1.13о), имеет приблизительно ту же форму [6].
Следует отметить, что в данном случае преломление создает-
ся при переходе от более плотной среды к среде, менее плотной.
Поэтому может оказаться необходимым, чтобы источник разме-
щался внутри диэлектрика. Эта проблема решается Созданием
виртуального точечного фокуса путем применения поверхности с
астигматическими свойствами. В корректоре Шмидта в качестве
такой поверхности используется поверхность, показанная на рис.
1.11 (улитка Паскаля).
В этой связи хотелось бы особо подчеркнуть, что действие,
корректирующей пластины фактически обратное тому, которое
ему приписывают. Дело в том, что каустику, необходимую для
коррекции, создает плоская поверхность, а фигурная поверх-
ность— это всего лишь способ реализации (и ни в коем случае
не уникальный!) необходимого виртуального источника. Последо-
вательные этапы процесса показаны на рис. 1.13в и г.
Рассмотренный здесь принцип может быть применен также н
при коррекции каустик с целью создания точечных («неразмы-
тых») фокусов. Однако, как правило, подобные каустики встре-
чаются в асимметричных оптических системах, а до настоящего
момента вами рассматривались лишь центрально-симметричные
системы. В более общем случае каустическая поверхность стано-
вится .весьма сложной, и для создания точечных виртуальных
источников требуются в высшей степени сложные корректоры
[11]. Еще одну возможность применения принципа можно оце-
нить, ограничиваясь двумерной системой пли же рассматривая
лишь плоское поперечное сечение каустической поверхности асим-
метрично освещенного параболоида в плоскости асимметрии (в
оптическом отношении — сагиттальной плоскости). В этой плос-
кости; каустика имеет форму, показанную на рис. 1.14. Для си-
стемы координат, симметричной относительно кривой, Зальцер
[12] выводит уравнение каустики в следующем виде:
(1.19)
, , 31
В результате преобразования системы координат можно уста-
новить, что каустика представляет собой разновидность синусо-
идальной спирали [7], известную под названием кривой Чнрнхау-
эена. Такую форму каустики легко подобрать, обеспечив нужное
преломление при переходе луча из толщи диэлектрика в свобод-
***
s
Рис. 1.14. Каустика асимметрично воз- 5
буждаемого параболоида — кривая Чирн-
хаузена
Рис. 1.15. Теорема Дамиена
»—П1MP; h — волновая поверхность
нулевого порядка; gl— волновая по- б|
верхность нулевого порядка)
ное пространство. Подобный подход б сочетании с методом соз-
дания внешних виртуальных источников позволяет строить кор-
ректирующие линзы для параболоидов со смещенным источником
облучения.
Теория Дамиена.В свете изложенного весьма перспективной
представляется разработка теории вывода каустических кривых.
Такая Теория, созданная Дамиеном, базируется [13] в основном
на тех же формулировках принципа Ферма, которые заложены в
(1.1)—(1.3) . Фактически такая теория в общем виде была сфор-
мулирована еще j Гамнльтоном [9], который исходил нз резуль-
татов, ранее полученных Коши при изучении' данного вопроса.
Сам Гамильтон называет ее «...новой теорией обратимости, поз-
воляющей по-новому рассматривать структуру волны... и дающей
возможность установить взаимосвязь между положением точек
заострения и окружностями, соответствующими волне Френеля,
с одной стороны, и аналогичными точками и окружностями на
конкретных поверхностях, с другой».
Такая взаимосвязь устанавливается посредством «взаимно об-
ратных радиусов». Другими словами, здесь мы имеем то, что на
современном этапе именуют инверсией плп обращением.
В более точной формулировке Дамиена, именем которого сей-
час называют данную теорию, эту взаимосвязь можно определить
следующим образом (рис. 1.15):
«Если волновой фронт, определяемый лучами, исходящими па точечного источ-
ника 5 н преломляемыми поверхностью g, разделяющей две среды с показате-
лями преломления tj, и цг, есть поверхность ft, то поверхность g', являющаяся
инверсией g по отношению к S, будет представлять собой волновой фронт,
определяемый лучами, исходящими из источника 5 и преломляемыми поверхно-
стью h', являющейся инверсией Л по отношению к S, причем порядок инверсии
в обоих случаях одинаков».
В частности, отметим, что преломляющие поверхности обра-
щаются в вол новые фронты, и наоборот. Рассматриваемую в дан-
ном случае поверхность волны можно получить, отложив вдоль
луча (в обратную сторону) расстояние, равное оптической длине
от источника до поверхности. Такую поверхность называют вол-
новым фронтом нулевой длины.
Из множества примеров каустик, которые получены Дамиеном
согласно его теории (отражение лучен на инволюте окружности1
или на гиперболической спирали3), здесь целесообразно рассмот-
реть случай отражения от окружности лучей, исходящих из то-
чечного источника [13].
Исследуем в этой свя-
зи параболу с фокусом 5
и директрисой d (рис.
1.16). Исходящие из точ-
ки S лучи, отражаемые
параболой, перпендику-
лярны примой d, которая,
таким образом, представ-
ляет собой «критический
волновой фронт». Для ин-
версии d относительно
точки S, т. е. окружности,
проходящей через S, кри-
тический фронт волны
представляет собой ин-
версию параболы для той
же окружности. Другими
\ ‘Волковой фронт — спираль Архимеда!
Л Волновой фронт — спиральная трактриса!!
. 2-in ’:х-5
33
словами, это — кардиоида с точкой заострения, совпадающей с
точкой 3. Если D —» основание перпендикуляра, опущенного из
ючки 3 на d и S£>~2f, то уравнение параболы принимает следую-
щий вид: г—2f/(l+cos 0), а уравнение вертикальной прямой г~
=2f/cos0.
После инверсии порядка 4f прямая d принимает вид окруж-
ности cos9, а парабола вид кардиоиды г=2f(1 + cos0)- Та-
ким образом* для источника, лежащего на поверхности кругово-
го рефлектора, кардиоида представляет собой волновой фронт
нулевой длины.
Исследуй проблему преломления, Дамиен использовал свою
теорию как средство, позволяющее перейти от анализа прелом-
ления на сфере к анализу преломления на овале Декарта и, сле-
довательно, к вопросу об апланатическпх точках сферы, с кото-
рыми читатель уже знаком. Инверсией конической отражающей
линзы является улитка Паскаля, вследствие чего кривую, пока-
занную на рис. 1Л1, можно было бы получить исходя из формы
линзы, изображенной на рис. 1.186. В принципе можно было бы
поставить задачу о распространения этого подхода на поеледова-
Рис. 1117. Поверхноставулевых фаз при преломления на пло-
г ' ' «оста, млтатаЧесхйй и гяаерболяческоД поверхностях
•1.. г , • - >
тельность преломляющих поверхностен, однако до настоящего
времени такая задача не ставилась.
Кроме того, возникает вопрос, является ли преобразование та-
кого родй однозначным. В общем случае по мере распростране-
ния волны в однородной среде волновой фронт не остается инва-
риантным. В любом семействе распространяющихся в среде вол- >
новых фронтов, создаваемых преломлением лучей точечного ис- >
точника, существует один особенный фронт, а именно волновой
фронт нулевой длины. Это означает, что данный фронт являет-
ся виртуальным. Таким образом, преломление на плоской
поверхности раздела [14} приводит или к гиперболическому или
к эллиптическому волновому фронту нулевой длины, что зависит
от того, проходит ли луч из менее плотной в более плотную сре-
ду п наоборот. Другими словами, гиперболический профиль соз-
дает плоский волновой фронт, а плоский профиль — гиперболи-
ческий волновой фронт, если луч проходит из менее плотной в у
более плотную среду. Для эллиптического профиля будет спра-
ведлива та же закономерность, если луч проходит из более плот-
ной в менее плотную среду. Следовательно, данное пвеобразова-
нне является простой инверсией, но с заменой волновых фронтов
преломляющими поверхностями и наоборот (рис. 1.17).
Рассмотрение вопроса о преобразованиях оптических поверх-
ностей будет продолжено в следующей главе.
1.5. Микроволновые линзы
Помимо оптических линз, принцип действия которых в диапа-
зоне СВЧ аналогичен принципу действия в диапазоне опти-
ческих волн, в диапазоне СВЧ представляется возможным ис-
пользовать преломляющие среды, действие которых основано па
различии фазовых скоростей волны, распространяющейся в сво-
бодном пространстве, и волны, распространяющейся между па-
раллельными металлическими стенками. Если расстояние между
стенками составляет от 0,5 до 1,0 длины волны излучения, то при
поляризации вектора Е, параллельной стенкам, будет распростра-
няться только волна типа ТЕ0(. Для этого случая шьишдричес-
кие линзы, облучаемые линейным источником, рассчитываются на
основании тех же принципов, что и оптические. На бконча^дв-;
ный результат расчета оказывает влияние только тот фаЛЖ что
кажущийся показатель преломления среды берется меньше I.
Этот показатель преломления' описывается следующим выра-
жением: .
Й = И l^(4/2a)s, с; (L20)
где а —расстояние между пластинами; Ло — длина волны в сво-
бодном пространстве.
• На практике значение показателя преломления колеблется в пределах от
0,5 до ОД ;
Мл- ‘ '' 35
Непосредственная подстановка показателя преломления, мень-
шего 1, а уравнения (1.9) в (1.11), определяющие профили по-
верхностей, приводит к тому, что гиперболическая поверхность
преобразуется в эллиптическую, а эллиптическая — в гиперболи-
ческую (рис. 1.18). Вторая поверхность линзы выбирается, как
обычно, нормальной по отношению к направлению падающих пли
проходящих-через нее лучей. Однако при использовании точечно-
го источника! это возможно только для одной плоскости падения,
а именно той, которая параллельна вектору поляризации волны
Ппоскосп. и эллипс, Окружность и гипербол*
Рис. 1.18. Металло-воздушные линзы
источника. В ортогональной плоскости волна принуждена изме-
нить свое направление на направление, параллельное поверхно-
сти пластин. Аналогичный эффект также имеет место, когда век-
тор поляризации перпендикулярен набору параллельных пластин.
Это приводит к появлению так называемых псевдопоказателей
отражения, величина которых изменяется в зависимости от угла
падения волны. ... 1
Для построения линзы, свойства которой не зависят от углов
падения и ориентации вектора поляризации, создаете)» конструк-
ция из двух наборов ортогональных систем металлических плас-
тин, как правило, с одинаковым расстоянием между ними, что
позволяет получить среду (из волноводов квадратного сечения)
с показателем преломления, определяемым (1.20). /Ввиду того,
что псевдопоказатель преломления изменяется а зависимости от
угла падения луча, расчет таких линз необходимо вести всходя
из длины оптического пути.
Принципы расчета двух этих основных типов линз хорошо из-
вестны [10, 15]. -
-Следует отметить, что согласно (1.20) .теоретическая диспер-
' спя среды оказывается более высокой, чем это имеет место в
реальных диэлектриках. Поэтому все системы, рассчитанные с
1 применением (1.20), будут иметь оптим а л ьную рабочую частоту
и некоторую полосу пропускания, в которой ухудшение нх харак-
4. терпетик не будет выходить из допустимых пределов. Отсюда сле-
' '»6 у
'' -2 7 ,
дует, что помимо одной или двух хроматических аберраций, ти-
пичных для микроволновых устройств, система будет иметь так-
же и дополнительные аберрации.
Разновидности преломляющих сред волноводного тина могут
быть получены также из волноводов шестиугольной, прямоуголь-
ной (для линейно поляризованного источника) и, если допусти-
мы потерн до 10%, круглой формой поперечного сечения. Еще
одну степень свободы можно получить, обеспечив изменение по- .
казателя преломления среды путем изменения размеров волново-
да в надлежащих зонах, что, естественно, должно быть согласо-
вано с конструктивными требованиями. Основное отличйе микро-
волновых линз от оптических состоит в том, что оптические лин-
зы имеют максимальную ширину (в осевом направлении) в цент-
ре. Как показано на рис. 1.18, для сред с показателем преломле-
ния, меньщим 1, справедливо обратное утверждение, и поэтому н
последующем изложении толщина линз в центре будет принята
равной нулю.
Теперь покажем, что два основных типа линз с принудитель-
ным преломлением (с эллиптическим и гиперболическим профи-
лями) не являются отдельными, изолированными категориями, как
это имеет место для соответствующих оптических линз, а пред-
ставляют собой два бесконечных множества форм, любая из ко-
торых может быть выбрана в целях реализации предпочтитель-
ной геометрии или распределения возбуждения.
Фокусирующие линзы. В общем виде форма двухповерхностной
линзы с постоянным показателем преломления ограничена, как
показано на рис. 1.19, кривыми OPP' п OQQ', причем первая по-
верхность линзы описывается кривой (р, <р), отнесенной (как к на-
чалу<координат) к точке размещения источника F, а вторая поверх-
ность описывается кривой (г, 0), отнесенной к точке /. Без потери
<< / &
общности можно считать, что в центре линза имеет нулевую толщи-
ну, поскольку в этом случае введение дополнительного постоян-
ного пути распространения внутри линзы приводит только к пе-
ремещению кривой OQQ' вправо параллельно самой себе. Если
для простоты положить, что OF—F и Of~f, то для реализации'
волны с плоским фронтом QNQ', нормальным осн, для любых то-
чцж Р и Q поверхностей необходимо выполнение условия
* -F/»4-nPQeFO4-<W (1-21).
иля p+tj[F—р cos ф+г cos О—f] = F4-rcosO—f и, следовательно;
р(1—t|cos<p)— F(1—ц) = (1—ц) (гcos0—f). ••.(1,22)
Примем во внимание, что в пределах линзы все лучи PQ долж-
ны быть параллельными осн, т. е. ч
zsinO==psm<p. (1,23)
В (1.22) и (1.23) представляется возможным разделить пере-
менные, предположив, что члены каждого уравнения, содержа-
щие р и ф, находятся в опредедсиной функциональной зависимо-
сти, а члены, содержащие г и 9, находятся в аналогичной функ-
циональной зависимости. Другими словами, две эти поверхности
в общем виде можно определить следующим образом:
р(1—цсозф)—F(l—ц) == любая функция рsin<р, 1 (124)
(1— ц) (rcos0—f)—та же функция г sin 0. J
Наиболее простое решение состоит в том, чтобы выбрать про-
извольную функцию в качестве постоянного множителя, например,
в виде а( 1—ц), где 0<а<оо. Отсюда
р(1—rjcoscp)— F(1—n)=a(l—T))psin<p
я
(1—ц) (гcos в—/) = а(1— n)rsin0.
В результате находим, что профили поверхностен представ-
ляют собой эллипсы
(1 — т|) (FJ-apatn ф)
1—ЦСО&Ф
или
1 4-a sin <рц (a sin ф — costp} ' '
н гиперболы
Z——------1--- .
спев— а sin в ' (1.26)
При а=0 получаем линзу с одной эллиптической й одной
плоской поверхностью. ~ \
Асимптоты гиперболы образуют с осью угол, определяемый
выражением ±arctg а. Таким образом, непрерывное изменение
Зв
параметра а приводит к изменению формы обоих профилей, одни
из которых, перемещаясь по осн, сохраняет эллиптическую кон-
фигурацию, а другой — гиперболическую конфигурацию.
Подобный метод «деформации профилей линзы» весьма прост
и удобен при анализе сред с принудительным преломлением. От-
метим, что аналогичные методы анализа «обычных» оптических
линз в настоящее время разрабатываются многими исследовате-
лями [16].
Уравнение (1.24) может быть также использовано для опреде-
ления формы второго профиля линзы по любой наперед заданной
форме первого. Так, например, чтобы рассчитать линзу, профиль
второй поверхности которой QOQ' образован дугой окружности
с радиусом а и центром в точке А, ее уравнение необходимо за-
писать в следующем виде; 2а (г cos 0—/) — (г cos 0—7)2=г* sin* в, ;
г. е. как функционал левой части второго из уравнений (1.24),
выраженный через другую функцию его правой части.
Тогда искомый профиль поверхности (р, гр) можно найти, вы-
разив функции через первое из уравнений (1.24);
2ar>C-ncosg»,„f 1 1’ = р!Sinsф.
I 1—И J L 1—ч J
В общем случае функциональные соотношения (1.24) совер-
шенно не обязательно выражать в явном виде.
Теперь сделаем ряд замечаний относительно возможных при-
ложений принятого подхода. Так, например, с его применением
можно анализировать неоднородные, линзы, в которых показатель
преломления является функцией расстояния от осн. Это позволяет
считать показатель преломления функцией как rsinB, так и psincp,
и его можно будет в надлежащей форме вводить в то или другое
из уравнений (1.24). Еще одна возможность обобщения связана с
изменением закона преломления, что позволило бы, например, ввес-
ти условие: г sinO=pp sin q> (0 — второй постоянный параметр), од-
нако сложность конструкции, несомненно, превосходит преимуще-
ства, которые могут иметь такие системы. Однако с теоретической
точки зрения наличие дополнительных степеней свободы застав-
ляет предполагать, что при расчете можно уделять внимание не
только фокусировке как основному параметру, но и таким свой-
ствам, как амплитудное распределение, ширина полосы, наличие
дополнительных точек фокусировки или применимость условия си-
нусов (см. приложение 1). . .
Широкоугольные линзы. Для реализации точно расположенных
фокусов в Двух симметричных относительно осп точках при расче-
те микроволновых линз с принудительным преломлениеммогут
быть использованы дополнительные степени ^свободы. Если сог-
ласно-Методу Рузе [17, 18] исходить из равенства длины Оптиче-
ских путей до Каждого из фокусов, то это даст возможность опре-
делить профиль фронта. Однако при этом заданным оказывается
только оДНо соотношение, а именно между толщиной Линзы и
показателем преломления. Следовательно, форма второй поверх-
ности остается пока неопределенной. Поэтому для обеспечения
определенности требуется сформулировать второе условие, что
позволит выбирать третью лежащую на оси точку в качестве мес-
торасположения точного фокуса или, по меньшей мере; в каче-
стве точки минимальной остаточной аберрации. Три заданные та-
ким образом точки определят дугу, вдоль которой может пере-
мещаться источник, прячем в этом случае фронт преломленной
волны наиболее близок, к плоскости. В качестве такой дуги обыч-
но выбяраютдугу окружностя, содержащую три указанных точ-
ки, прячем в такой системе реальный угол сканирования оказы-
вается шире, чем это следует из анализа положения двух край-
них положений фокусов. Метод расчета такой линзы несколько
отличается от обычного метода расчета оптических линз, и его
основные особенности будут кратко рассмотрены далее.
Пусть Требуется синтезировать две криволинейные поверхно-
сти— POP' и QO'Q' (рис. 1.20). На первом этапе расчета пред-
Рис. 1.20. Широкоугольные сканирующие линзы
полагается, что в центре линза имеет;,конечную толшйну do- Точ-,
ки и F# —два идеальных фокуса, Ду^аПмежду которыми стя-
гивает углы ±а с центром в точке О'. Показатель преломления
т} является функцией расстояния от вертикальной оси и, таким
образом, функцией координаты х. На оси линзы, т. е. на оси z,
показатель преломления имеет значение т|о-
Далее, поскольку Fl ~ идеальный фокус, то
Fi₽'+i)P,Q/^Fl04-Tj<>00'+^. (1.27)
Если толщина P'Q'=d и F]O=f, то в прямоугольной системе
координат (1.27) принимает следующий вид:
[ (jc-H sin <х)3+ (г+f cos а)2] 1/2=/+т]о^о—(d—do4-z)cos аЦ-
4-х sin а. (1-28)
Из условия «идеальности» фокусировки в точке F2 путем за-
мены в последнем соотношении а на —а, вычитания второго вы-
ражения из первого и возведения в квадрат с целью исключения
корней получаем, что
[(x4-/sina)s4-(z4Tf cosa)2]1'2—[ (х—f sin а)2Ч- (z+f cos <x)2]1/2—
«(x sin a-f-f) — (f—x sin a) = 2x sin a ' (1.29а)
H
z2+2xf cos a+x2 cos2 a=0. (1.296J ,
Обратная подстановка дает
(d—rfo-f-z)cos <x=0. (1.30)
Уравнение (1.296) определяет профиль первой поверхности
POP'. Это — эллипс, однако в противоположность предшествую-
щему случаю его большая ось перпендикулярна осн линзы, при-
чем фокусами эллипса являются точки F। и F2.
Уравнение (1.30) определяет соотношение между т| н d, н та-
ким образом может быть выбрано второе произвольное соотно-
шение.
Эти соотношения позволяют: а) конструировать линзы постоян-
ной толщины; б) конструировать линзы с плоской поверхностью
выхода; в) выбирать третью произвольную точку идеального фо-
куса на оси линзы (предпочтительное положение точки— на ок-
ружности с центром 0, проходящей через точки fi и Л); г) кон-
струировать линзы с постоянным показателем преломления.
Варианты (а), (б), (г) дают возможность цайтп точку мини-
мальных фазовых искажений на осп. Теперь ошибку по фазе от-
носительно фронта плоской волны при произвольном положении
источника на окружности, проходящей через три точки наплуч-
шей фокусировки, можно рассчитать непосредственно по длине
оптических путей. Если, далее, задавать величины допустимых
отклонений от фронта плоской волны, то угол сканирования мо-
жет быть определен как угол, соответствующий положению источ-
ника, при котором реализуются эти величины. Допустимые откло-
нения выбираются до некоторой степени произвольно. Неточный
выбор этйх величин повлечет за собой некоторое ухудшение диа-
граммынаправленности. Однако после того, как выбор произве-
ден, МОЖНО проводить сравнения различных вариантов расчета.
Легко заметить, что при определении таким образом всего
лишь трех фокусных точек оптимальная кривая перемещения ис-
точника, т. е. дуга сканирования, не отличается от проходящей
через них дуги окружности. После того как в результате перефо-
кусировки, проведенной с целью получения минимальной фазовой
ошибки во всех точках, была получена оптимальная дуга скани-
рования, было установлено, что полный угол сканирования равен
158(f*X/a)1/3 град, где Л —длина рабочей волны; а—-полный рас-
крыв линзы.
Перефокусировку целесообразно проводить в любой оптнмаль-
нойг.сйстеме, в которой требуется оптимальное положение фокуса
(для широкого диапазона значений углов). Для этого нужно оце-
нить изменение длины оптического пути (до величин первого по-
рядка малости), обусловлен-
ное перемещением источни-
ка по радиус-вектору, обра-
щенному к центру линзы.
Такое перемещение не толь-
ко единственное, которое
следует рассматривать в
данном случае, но н дающее
наибольшие практические
преимущества.
Если перемещение источ-
ника составляет е/ в направ-
ления к центру линзы (рис.
1.21), то путь до тач-
ки Р(х, z) изменится [8]
на
F'P— 8х). (1.31)
Величина этого, приращения может быть использована для.
уменьшения коэффициентов аберрации второго н третьего поряд-
ков, т. е. для снижения влияния сферической аберрации и комы.
С точки зрения сохранения формы и ориентации диаграммы на-
правленности предпочтительнее корректировать коэффициент
третьего порядка, оставив коэффициент второго порядка без из-
менения.
Заметим, что эллиптическую форму передней поверхности этой
линзы в параметрической форме можно выразить с помощью со-
отношений: -
z=feosa(l— созОт x=/sin/, (132)
где / и а —константы, определяющие в полярной системе коор-
динат положение фокусов и F2.
Другой метод расчета широкополосных сканирующих линз
можно получить на основании изложенных'соображений, приме-
нив принцип дуальности — основной принцип проективной геомет-
рии. Этот метод более пригоден при расчете широкоугольных
линз, выполненных из искусственного диэлектрика, а также при
расчете линз-рефлекторов, для анализа которых предшествующий
метоДне может быть применен вообще.
л - .... 1 ' ___, =
В упрощенной форме, достаточной для наших целей, принцип
дуальности можно сформулировать следующим образом: два
дуальных геометрических образа могут быть получены один из
другого путем замены линий точками, а точек — линиями [19].
Так, например, в той мере, в какой две точки определяют одну
прямую, две пересекающихся прямых определяют одну точку.
Дуальность имеет место и при большом количестве измерений, на-
пример дуальность между точками и плоскостями в трехмерном
пространстве.
Согласно ранее рассмотренному способу предполагалось, что
все лучи, идущие по трем заданным направлениям, сходятся в .
трех идеальных фокусах. Направления лучен при этом задаются
углами ±«, а направление осн, положение фокусов и Г2 и
третьей осевой точки показаны на рис. 1.20. Теперь попробуем
получить образ, геометрически дуальный данному. Для этого пред-
положим, что в каждой точке дуги FiF2 фазы трех из лучей пуч-
ка полностью совпадают.
Направления трех этих лучей могут быть выбраны произволь-
но, но в целях упрощения будем считать, что главный луч направ-
лен к центру линзы; второй луч параллелен оси линзы; третий
луч -направлен в точку линзы, диаметрально противоположную
топ. в которую направлен второй.
Подобный выбор направления лучей оказывается также весь-
ма удобным при анализе бицилиндр пческих линз.
В этом случае расчет производится аналогично предыдущему,
т. е. в предположении постоянства оптических путей выбранных
лучей. Из рис. 1.22 следует, что
. (1.33)
причем предполагается, что в центре линза имеет нулевую тол-
щину. В снлу симметрии PQ = P'Q' и, следовательно, из (1.33)
легко найти, что FP+QJV—FP'.
После возведения в квадрат и перегруппировки членов имеем
(Q-/V)**=2FP*QAf, т. е. 4/г sin- a cos2 a=2(fcos а—z)2fsin2a или в
параметрической форме
z=/cosa(l—-cosa), x=/sina, (1.34)
где £-и а — переменные; f, являясь функцией а, определяем дугу
сканирования.
Далее (из 1.33) находим^, что i]PQ = FT—FP или -
135)
cos’a — т)
Теперь, поскольку f — функция a, (1.34) и (1.35) представ-
ляют.собой выражения для-двух поверхностей лпнзьг в парамет-
рнческой форме. (Второе условие в данном случае не требуется,
поскольку показатель преломления выбран постоянным.)
' Итак, линзы наиболее общего вида могут быть рассчитаны по
заранее заданной форме одной из трех следующих кривых: дуги
Рис. J.22. Первый вариант построения профиля линзы по методу трех лучей
(лучи, исходящие из произвольной точки F и проходящие через текущие точки
Р и Р7, — синфазны)
сканирования, профиля первой (передней) и второй (тыльной)
поверхностей. Изменения величины показателя преломления, свя-
занные с увеличением расстояния от осн, можно учесть, считая ц
функцией sin а и подставляя эту функцию непосредственно в
(1.35).
Отметим сходство в способе описания передней поверхности
при расчете по способу трех лучей и по способу двух фокусов,
т. е. сходство между уравнениями (1.34) и (1.32) соответствен-
но. Если бы три луча были выбраны так, как показано на рис. 1.23,
т, е. первый луч был бы направлен в центр линзы О, второй и
третий лучи были бы направлены к двум фиксированным точ-
кам Р и Р', то из условия равенства оптических путей вытекало
бы, что QN+FP = FP' или же (если Р — точка с координатами z,
хр, где Хр — постоянная)/что [(z+f cosa)3+ (xp+f sin a)2]1^—
— [ (г+f cos a)2 + (xp—/ sin a)2]1/2 = 2xp sin a.
Последнее выражение идентично уравнению (1.29а), за исклю-
чением того, что в нем хр — постоянная. Поэтому результирую-
щее выражение для профиля в данном случае принимает вид
z2cos a-|-x2p cos2a=О,
аналогичный виду уравнения (1.296), за исключением того, что
здёеь f и a — переменные, а хр—постоянная.
1.6. Рефлекторы с фазовой коррекцией
Методика расчета. Теперь рассмотрим двухповерхпостную си-
стему е одной отражающей и одной преломляющей поверхностя-
ми. Для обеспечения высокой степени коллимации в том случае,
когда источник находится на большом угловом расстояния от оси,
необходима еще одна степень свободы. Впервые о расчете подоб-
ного зеркала, свободного от комы п сферической аберрации, было
сообщено в 1876 г. Манпшом [20]. Им была рассмотрена система
из Двух Оферпческпх поверхностен, одна из которых — цыпук-
лая —была покрыта слоем серебра. В дальнейшем возможности
применения таких зеркал в технике антенн СВЧ были исследо-
ваны весьма подробно [21]. При использовании зеркала в каче-
стве .механического сканирующего устройства очевидные преиму-
щества дает сканирование по дуге окружности. Кроме того, если
центр линзы совмешен с центром этой окружности, ряд преиму-
ществ можно получить, обеспечив вращение зеркала вокруг не-
подвижного источника.
Отметим, что сканирование по дуге окружности не являлось
основным свойством первоначального варианта зеркала Мангнна
[20], Его.дальнейшее совершенствование, в первую очередь, свя-
зацо с широкоугольностыо микроволновых линз и введением от-
ражающей поверхности во внутреннюю область линзы с целью
Преобразования " ее в рефлектор, покрытый корректирующим
слоем преломляющего материала. Однако если такой подход прн-
.. 45
менить к линзам, рассчитываемым по методу двух фокусов, то
дополнительная степень свободы, позволяющая находить третью
точку на дуге сканирования, будет утеряна, т. е. дуга сканиро-
вания уже не может быть определена. Поэтому в данном случае
целесообразно обратиться к методу трех лучей [22].
Выбрав направления распространения лучей так, как показа-
но на рне.1.24, потребуем, чтобы в точках с одинаковой фазой
(Р7, М И А?), выполнялось следующее условие:
f/’+2n(x')d(x)+^^=fO+2n0d0+OAl=7;’P,+2T1(x)d(x). (1.36)
Отсюда FP+PM^FP', т. е. геометрия данной линзы идентична
геометрии линзы, профиль которой в параметрической форме опн-
сыйается (1.34).
Рас. 1.24. Рефлектор с фазовый корректором
Теперь уравнение для определения толщина линза d(x) при-
нимает вид • . •, •
2[d(x)tj(x) — d^o] —xcosa. (1.37)
Если считать величину гу(х) постоянной (что целесообразно
в целях упрощения конструкции линзы), то уравнение (1.37) пе-
реходит в следующее:
2q[d(x)—d0] =x cos a—/cos’ a(1—cos a)
: '6 . *
5 •, • А г-Л
(1.38)
Сравнив кривые, описываемые (1.34) при f=const и (1.32), с
одной стороны, и окружность, описываемую соотношениями г—
=г(1—cosa), x==rsina, убеждаемся, что средняя часть кривой
(1.34) аппроксимирует окружность с большей степенью точности,
чем эллипс (1.32). Таким образом, метод трех лучей позволяет
получить профиль, более строго отвечающий условию синусов в
отношении минимальной комы, чем метод двух фокусов.
Фазовое распределение. Весьма важно получить выражения,
характеризующие распределение фаз для произвольного луча.
Пусть источник облучения размещен под некоторым углом 6 по
отношению к оси. Необходимо рассчитать разность длин путей
главного луча, направленного в центр линзы, и любого другого
Луча, задаваемого параметром а. Если поверхности системы вы-
ражены через а посредством (1.34) и (1.38), то эта разность пу-
тей равна
Ер=/(0)—f (a) sin a sin 0+f (a) cos a cos 0(1—-cosa) —
—f (a)tossa (I—cos a) — { [f (0) cos 0—f (a) cos a (1—cos a) ] ’+
H/(0)sinW(a)sinaP}V2, (1.39)
причём знак a совпадает co знаком 0, если точка поверхности a
находится на той же стороне, что и смещенный источник, и не
совпадает с ним в противоположном случае. Исходя из этого,
можно показать, что в соответствии с требованиями метода, при
котором точная фокусировка производится для трех выбранных
лучей, Ер—0 при а — ±0 и при а=0.
Сканирующие свойства конкретных типов рефлекторов. На ос-
нове записанных в параметрической форме соотношений (1.34) и
(1.38) (при пбстоянном показателе преломления) и соотношения
(1.39), характеризующего распределение фаз, представляется воз-
можным анализ систем, которые могут быть заданы одним пз
трех следующих способов: 1. Можно выразить f через а, т. е. оп-
ределить дугу сканирования и, следовательно, два профиля.
2. Можно задать профиль преломляющей поверхности. Сравнение
уравнения, описывающего этот профиль, с соответствующим урав-
нением, записанным в параметрической форме, дает возможность
выразить / через а и, следовательно, определить и дугу сканиро-
вания и отражающую поверхность. 3. Можно задать профиль от-
ражающей поверхности. Если задается профиль этой поверхности,
легко убедиться, что форма преломляющей поверхности зависит
от показателя преломления поверхностного покрытия. Итак, по-
, скольку выражение для дуги сканирования зависит от формы -
профиля преломляющей поверхности, оно также содержит Мены,
в состав которых входит показатель преломления. Если же зна-
чение этого показателя известно, то профиль преломляющей по-
верхности может быть определен, и методика расчета аналогична
описанной в пункте 2.
'Задание вида сканирования. Наибольший интерес -представ-
ляют-два вида сканирования: сканирование по дуге окружности,
, ii i ; уй1'- ' ' “ *7
центр которой совпадает с центром рефлектора, и сканирование
по прямой липни, перпендикулярной осн. Первый случай соответ-
ствует механическому процессу сканирования, который легко мо-
жет быть реализован или путем перемещения источника или ка-
чанием рефлектора. Во втором же случае производится фокуси-
ровка плоских воли* приходящих под углом к оси.
Рис. 1.25. Фазовые ошибки для
круговой дуги сканирования
Рис. 1.26. Фазовые ошибки для сканиро-
вания по прямбб
Сканирование др дуге окружности. Дотех пор пока поздней-
шие исследования не выявили возможности Использования других
типов систем е перефокусировкой я сканированием по дуге ок-
<0
ружностн, эксперименты проводились с использованием рефлек-
торов, имеющих / = con st—с. Другими словами,
z=c cos а(1—cos tx), х=с sin а, d=x cos а/(2ц), (.1.40)
причем толщина линзы в центре <Л)=0.
Кривые фазовых распределений для данного случая представ-
лены на рис. 1.25.
Сканирование по прямой линии. Для обеспечения сканирова-
ния по прямой линии, направленной под прямым углом к оси, не-
обходимо выполнение условия /=c/cosa. Таким образом,
z—с(1—cosa), x=ctga, d=x cos а/(2ц), (1.41)
причем толщина линзы в центре —
Кривые фазовых распределений представлены на рис. 1.26.
Высокая степень асимметрии существенно сужает пределы реали-
зуемых на практике углов сканирования.
Задание профиля преломляющей поверхности, Пусть x2=F(x)
— уравнение профиля преломляющей поверхности. Если этот про-
филь должен быть задан в параметрической форме посредством
(1.34), ТО
f2 sin2 a—F[f cos a (1—cos a) ]
и, следовательно, f можно будет выразить через а, определив, та-
ким образом, дугу сканирования.
Так, например, если преломляющая поверхность представляет
собой окружность с радиусом г, определяемую как z? + x2—2zr=0,
то, воспользовавшись значениями х и у из (1.34), легко найти, что
f2cos2a(l—cos a)2 4- /а sin2 a — 2rfcosa(l—cos a) = 0, t. e.
— 2r cos a/[cos2 a(l—cos a) + (I 4-cos a)]. Последнее уравнение опи-
сывает дугу сканирования для случая преломляющей плоскости
в виде кругового цилиндра.
Результаты соответствующих расчетов для некоторых прелом-
ляющих поверхностей приведены в табл. 1.1.
Для фазовых распределений, представленных на рис. 1.27, при
углах смещения до 45° характерна высокая степень симметрии
относительно главного луча. Сходство между этими кривыми и про-
филями корректоров Шмидта для сферических зеркал весьма ве-
лико, Поскольку фазовая ошибка в основном определяется . сфе-
рической аберрацией. В подобных системах может быть с успе-
хом применена перефокусировка, вопрос о которой будет рас-
смотрен в следующем параграфе.
В профиле с двумя точками коррекции дуга сканирования, Как
н ожидалось, проходит через две точки коррекции (рис. 1.27г).
Следует отметить, что попытки расчета отражателя с плоской
или конической поверхностью преломления оказались безуспеш-
ными.
Задание профиля отражающей поверхности. Допустим, что си-
стема имеет в центре нулевую толщину и постоянный показатель
* ,4Я.
^ 60 *
Таблица 1.1
1 Фазовое распределение [.. ж дуг* сканирования । < Q N ё О» « за 5 J I См. на рис. 1.276 См. на рис. 1.27л Си. на рис. 1.27а <р «= 30е
1 . . lOcetooa фокус- ное мсетоянка I - к 3>| О 5 fa cos ф । 1 1
Уравнение дуги Сканирования я полярной ферме, в § сч в1 v> 8 + + о § 1 а 8 1 [. . _ to сад а f «• со8*а(1—coset) 4-—(l-j-cosa) о1 4дсоза ' 1-f-COSQC § е- g U **Т сч » § 4- в* 1 + в* 8 в 8 и 1
w . ч. X t с о 2 « & z1 + — 2f z « 0 о 1) Й : OJ J + •J. и я* 4- х>созяф— — 2/вг cos Ф = 0
с ж 1 црофилъ преломляющей поверхности . -ч^— -- >11 Окружность радиуса г ‘1 Эллипс с полуосями о> Ь j Парабола с фокусным рас- стоянием a k •/ Коррекция по днум точкам. Эллипс е фокусами /е, ±ф|
х.
О.в < Л 0,8 1,0
-0.02-0,01 0 0,0! 0,02 -0,02 -Од» О 0,01 0,02
Рис. 1.27. Преломления на круговом (в), параболическом (о), эллиптическом
(tf), профиле я на профиле, скорректированном по двум точкам (г)
преломления. Согласно (1.34) и (1.38) отражающая поверхность
описывается уравнениями:
xt»x»sf sin a, zi=»z—d—z(I—cos а/(2ц) ) —
==fc0Sa(l—cosa) (1—cos а/(2ц)). (1.42)
7 51
* 1
Введя сокращение х2^/7^,), J
можно применить ту же методн- *
ку, что и в предшествующем па- |
раграфе. Этот способ анализа
применим при коррекции пара-
болических и сферических отра-
жателей. Соответствующие ре-
зультаты приведены в табл. 1.2
И на рис. 1.28. В обоих случаях
выражение для осевого фокусно-
го расстояния /(0) содержит ко-
эффициент (2—1/ц), что приво-
дит к уменьшению нижнего пре-
дела диапазона значений показа-
теля преломления (до 0,5) по
сравнению со случаем использо-
вания корректирующих ; покры-
тий. Кроме того, как и в случае •
рефлекторов без коррекции, осе-
вое фокусное расстояние парабо-
лоидного отражателя с фокусным
расстоянием о в 2 раза превы-
шает соответствующее расстоя-
ние для сферического отражате-
ля с радиусом а. В обоих вариан-
тах решение может быть получе- '
но при i|*l. Это означает, что
существует только одна конст-
рукция, соответствующая данно-
му решению.
Угловая апертура. _Из диа-
грамм фазового распределения
представляется возможным опре-
делить максимальное угловое
смещение, которое может иметь
место в системе с заданной апер-
турой, или, если задано макси-
мальное угловое смещение, соот-’
ветствующую ему апертуру. ‘
Это можно осуществить илн
находя Максимально допустимую
остаточную фазовую ошибку я
сдвигая источник облучения по
дуге сканирования до тех пор,
пока не будет найден максимум,
илн же, наоборот, сдвигая источ-
ник до максимального значения
угла и ограничивая размер апер-
туры значением, которому соот- >
ветствует максимально допустимая ошибка.
Повторная фокусировка. Системы со значительными симметрич-
ными или почти симметричными аберрациями относительного
главного луча в известных пределах допускают возможность пе-
рефокусировки путем радиального перемещения источника.
б)
Рис. 1.28. Скорректированные парабола при п=1,6 (я) и окружность при
4=1,6 (б)
Сущность перефокусировки сводится к введению квадратичной
фазовой ошибки, которая может быть сделана равной по величи-
не и протпвополжиой цо знаку квадратичной составляющей сим-
метричного распределения фаз. Как следует из диаграмм фазо-
вого распределения для преломляющих профилей, описываемых
коническими сечениями (см. рпс. 1.27), среднюю часть кривых
симметричной фазовой ошибки можно с достаточной точностью
аппроксимировать квадратичным членом.
Если источник находится в положении F на дуге сканирова-
ния (см. рис. 1.21) одного из этих рефлекторов, то смещение
вдоль прямой F0 на величину е^{0), гДе FO=/(9), приводит к
следующему изменению длины пути по отношению к центрально-
му лучу [см. (1.31)]: f
-„в. Г** б*3]
~ 2 (/(6) /»(6) J’
Это выражение справедливо с точностью до величин первого
порядка относительно е и 0 и третьего порядка относительно
53
Если теперь рассматривать Д как квадратичную аппроксима-
цию фазовой ошибки при любом промежуточном значении а, то
приращение, которое дает перефокусировка, можно будет найти
как
’ [/(a)sinaj’(l—esina). (1.43)
Эту величину можно рассчитать для нескольких значений 0
ери а и Ер, задаваемых крйвой фазовой ошибки, соответствую-
щей конкретному значеянЮ^При правильном выборе знака' это
дозволяйполучить 'ф^йф|ы^^гу^1скаищ)о^внкя.
; Наличие кубического члеяа приводит к некоторой асимметрий,
?4 ® осоДеиносгй присвязанные е пе-
, говыыпреломляющим профилем,
приведены на рис. 1.29. После
компенсации квадратичной со-
ставляющей остается незначи-
тельная остаточная фазовая
ошибка и наблюдается некоторая
аснмметрпя, обусловлевнзя в ос-
ковном кубической составляю-
щей. Перефокусировка дает воз-
> „ нежностьполучить оптимальную
** дуту сканирования, которая пред-
ставляет собой дугу окружности
с радиусом, равным 0,94 исход-
ной осевой фокальной длины.
При использовании данного
метода в случае профиля с кор-
рекцией по двум точкам и при
< сканировании по дуге, изобра-
жеиноЙ на рис. 1.30, дуга скани-
рования опять-таки превращается
« , , в дугу окружности, но с радиусом
Рис. 1.29. Влияние перефокусировки 1 лоК т . лп,, Vwp бплипр нр
на рефлекторе с круговым прелом.™- Т’ Па У316 оольше «е
ющим профилем проходит через две точки кор-
рекции.
Исходя из сходства параметрического задания дуг сканирова-
ния и кривых распределения фазовой ошибки для двух рассмот-
ренных ранее систем, с одной стороны, и других систем, указан-
ных в табл. 1.1, с другой, можно ожидать, что при перефокуси-
ровке этих систем также будут получены круговые дуги скани-
рования. Можно показать, что это действительно так, хотя сле-
дует отметить, что полный анализ проблемы до енх нор ме завер-
шен. Общим для этих систем является то, что их преломляющие
профили описываются кривой, представляющей собой коническое
сечение. Такны образом, данные преломляюще-отражающие си-
стемы образуют класс устройств, для которых оптимальная дуга
"'С 54’
рефокуспровкой приращений, рассчитанные для рефлектора с кру-
' зь’о* J5*
** 0е Дугвжииучшай
фокусировки
I 50* .
a* 101
0.3 _
0.2
0.1
о

I 0,8 0,9 tp
| fW/HOJ
Дуг* скмфоинм
10°
-0.02 -0.01 0 0,01 0Д2
Uf
$*6^(01
сканирования является дугой окружности с центром, расположен-
ным в центре системы. Хотя рассмотренная здесь методика пере-
фокусировки и не подтвердила справедливость априорного соот-
ношения между преломляющим профилем и дугой сканирования.
Рис. 1.30. Перефокусиро-
ванная дуга сканирова-
ния для преломляющего
профиля с коррекцией по
двум точкам
“введение упомянутого ранее класса кривых создало основу для
итерационного расчета аналогичных рефлекторов с корректирую-
щим слоем из естественного диэлектрика.
Фазовая коррекция с помощью естественного диэлектрическо-
го материала. Отметим, что форма рассмотренных ранее рефлек-
торов, у которых корректирующий слой представляет собой ре-
шетку нЗ металлических волноводов, как правило, аналогична
форме линз Мангпиа, т. е. является вогнуто-выпуклой. Этот факт
противоречит опыту сравнения оптических в микроволновых линз.
Другими словами, по меньшей мере, для этих рефлекторов форма
среды с принудительным преломлением сама по себе представ*
ляет удовлетворительное первое приближение к форме коррек-
тирующего слоя из естественного диэлектрика, т. е. без принуди-
тельного преломления. Это особенно характерно для систем, в
которых толщина корректирующего слоя никогда не превышает
половины длины волны для используемой среды. Допущение, сог-
ласно которому лучи, распространяющиеся в корректирующей
среде, по-прежнему параллельны осн, приводит к некоторому
увеличению квадратичной ошибки в системе. Эта ошибка может
быть устранена дальнейшей фокусировкой.
Более точное приближение в случае естественной диэлектри-
ческой- среды можно получить, рассчитав преломляющий профиль
по исходной формуле (1.34), а затем рассчитав отражающий"про-
филь в предположении, что в корректирующем слое лучи распро-
страняются Ио нормалям к поверхности преломляющего профиля.
В этом случае длина пути вдоль каждой нормали d должна быть
рассчитана по (1.38). Подобное допущение особенно целесообраз-
но применять в случае кругового преломляющего профиля, когда
при осевом положении источника лучи действительно распростра-
няются по Нормалям. Такой подход также приведет к росту оста-
точной квадратичной ошибки, которая может быть скорректиро-
вана аналогичным образом.
Ъ.г' ,• , - 55/
Вместе с тем* во всех системах с естественным диэлектриком
в качестве еще одного параметра можно рассматривать толщину
корректирующего рефлектора в его центре. Установлено, что из-
менение этого параметра также приводит к росту квадратичной
составляющей фазовой ошибки, что может быть использовано
для компенсации указанных эффектов.
Кроме того, в случае естественного диэлектрика может быть
непосредственно применен метод трех лучей. Метод, как было по-
казано ранее, требует проведения перефокусировки. Вместе с тем,
данный метод, согласно которому перемещение источника по за-
данной дуге определяет как эту дугу, так и преломляющий про-
филь, реализуется последовательными этапами, что облегчает
программирование ЭВМ. Метод предполагает нахождение усло-
вия равенства фаз трех лучей при допущении, что зоны, в кото-
рых два внешних луча пересекают поверхность отражателя, пред-
ставляют собой сечения тонких отражающих призм, одинаковых
по форме и симметричных относительно осн. Однако метод трех
лучей не позволяет точно определить положение фокуса на оси.
Дуга сканирования ограничена точкой на оси, 8 которой пересе-
каются три луча. Таким образом, данную точку нельзя выбирать
в качестве исходной, точки итерации. Это означает, что сущест-
вует некоторая первоначальная произвольность выбора профиля
на его внешнем краю, причём правильность выбора устанавли-
вается исходя из условия, что при перемещения к осевому поло-
жению толщина нигде не должна становиться равной нулю. Ме-
тодика расчета преломляющего профиля аналогична описанной
в § 1.14.
Результаты экспериментов. Анализ, проведенный в предшест-
вующих параграфах, применим к случаю двумерных рефлекторов
с цилиндрической симметрией. Вместе с тем, исследованные ра-
нее профили можно было бы рассматривать как поперечные се-
чения рефлектора, обладающего симметрией вращения. Такой
рефлектор можно получить путем вращения соответствующего
профиля вокруг его осн. Это, естественно, приводит к дальнейше-
му росту астигматической аберрации, которая ограничивает угол
сканирования рефлектора с симметрией вращения до гораздо
меньшего значения, чем угол сканирования рефлектора с цилинд-
рической симметрией. При построении двумерных волноводных
решеток могут быть рассмотрены системы с прямоугольной сим-
метрией. В этих системах поверхности образуются путем перено-
са через заданный профиль (под прямым углом) профиля.анало-
; гичного заданному. Отметим, что вопрос об астигматизме таких
систем еще подлежит изучению.
Экспериментальные исследования, проводившиеся до настоя- .
щего времени с такого рода системами, были направлены на про-
верку корректности элементарной теории и на оценку ограниче-
ний, накладываемых на характеристики сканирования астигматиз-
- ном рефлектора с симметрией вращения, а также допущением о
'Л SS .’"'Ь
-‘о л "" . :
.......... ’ — ............> г :
характере распространения лучей в диэлектрике, упомянутом в
§ 1-6.
Для проверки корректности теории был изготовлен линейный
рефлектор (цилиндрическая’ система), корректирующий слой ко-
торого представлял собой параллельную решетку из^ металличес-
ких пластин с эффективным показателем преломлейия, равным
0,6. Профили были определены по уравнениям (1.34) и (1.38) при
постоянном значении f, в результате чего нескорректированная
дуга сканирования имела вид дуги окружности /=с. Рефлектор
имел длину 0,92 м, фокусное расстояние 0,77 м и работал на час-
тоте 9,375 ГГц. Отношение //Р = 0,83. В соответствии с формой
кривых остаточной фазовой ошибки можно было ожидать, что
влияние комы станет заметным при угловом смешении более 30°,
что объясняется асимметрией указанных кривых. Результаты из-
мерений, как показано на рис. 1.31, подтвердили это предположе-
ние. Смешение луча на 30°, что соответствует 15-кратной ширине
Рис. 1.3t. Диаграммы направленности цилиндрического рефлектора с круговой
дугой сканирования при различных углах смещения облучателя
диаграммы направленности, реализуется без сколько-нибудь за-
метного ухудшения формы основного лепестка, по сопровождает-
ся снижением усиления и существенным ростом уровня бокового
излучения.
Система с симметрией вращения, построенная па основе ме-
талляческнх труб квадратного сечения, имеет диаграммы направ-
ленности при сканировании, показанные на рпс. 1.32. По мере
перемещения источника по дуге сканирования усиление и-форма
луча неуклонно ухудшаются. Весьма сходные результаты полу-
' .... «7
яь
чены для рефлектора с диэлектрическим покрытием, разработан-
ного в соответствии с допущением, упомянутым в § 1.6.
Как показывает анализ кривых остаточной фазовой ошибки
(см. рис. 1.29), при использования цилиндрического рефлектора
с круговым преломляющим профилем должен быть получен угол
1
Рас. 1.32. Диаграммы направленности сферического рефлектора с круговой ду-
гой сканирования при различных углах смещения облучателя:
а — сканирование в Н-плоскостп; б — сканирование в Е-плоскости
сканирования 45°. Может быть реализована система с г=20Х,
максимальной допустимой фазовой ошибкой, равной Х/10, н «пе-
рефокусированной» дугой сканирован^ представляющей собой
дугу окружности.
Таким образом, можно ожидать, что сферическая система с
естественным диэлектриком и той же апертурой будет иметь эф-
фективный угол сканирования до 30°. Рефлектор такого типа был
изготовлен на практике. Согласно результатам измерений он имел
эффективный угол сканирования 30°, причем при этих значениях
угла усиление уменьшалось на 2 дБ без сколько-нибудь сущест-
венного, ухудшения формы основного лепестка и без заметного
возрастания уровня первых боковых лепестков.
Следовательно, методика расчета, согласно которой для трех
лучей, исходящих из любой точки заданной дуги сканирования,
должно выполняться условие равенства фаз, позволяет проекти-
ровать целый класс рефлекторов с фазовой коррекцией, облада-
ющих следующими свойствами: преломляющий профиль рефлек-
тора представляет собой комическое сечение или, в простейшем
случав, дугу окружности: при углах сканирования до 45° кривые
Р’.к. 1:33. Построение профиля реф-
лектора путем перемещения образую-
щей ВВ' вдоль направляющей .-1Л'
при постоянном угле АОВ
остаточнов фазовой ошибки имеют высокую симметрию относи-
тельно главного луча; перефокусировка системы приводит к кру-
говой дуге сканирования.
Использование таких систем в целях обеспечения сканирова-
ния (с неподвижным источником и механическим качанием реф-
лектора) позволяет осуществлять линейное сканирование в диа-
пазоне до ±90° (цилиндрические рефлекторы) и коническое ска-
нирование с половинным углом при вершине конуса до 60° (сфе-
рические рефлекторы).
1.7. Рефлекторы с параллельным переносом образующей
Известен определенный класс рефлекторов, которые обычно-
рассчитывают^ эмпирическимп методами и поверхность которых
получают путем перемещения заданной кривой параллельно са-
мой себе в направлении второй ортогональной ей кривой (рис.
1.33). За исключением особого
случая параболоида,, который
представляет собой результат по-
добного переноса вокруг идентич-
ной параболы, такие рефлекторы,
строго говоря, не являются фоку-’
снрующпмп устройствами. По-
этому их следует рассчитывать
исходя из принципов, несколько
отличающихся от тех, которые
описываются уравнениями для
фокусирующих устройств (1.1) и
(1.3). Методика их расчета; будет
рассмотрена в § 1.13. В общем
случае форма таких рефлекторов
представляет собой результат пе-
реноса заданной кривой относи-
тельно параболы, что в двумер-
ном случае линейного источника
создает: диаграмму направленно-
сти специальной формы [22]. Таким образом; при использовании
метода переноса требования к линейным источникам становятся '
аналогичными требованиям к точечным. При довольно низкой
точности приближения к заданной форме диаграммы направлен- ’
ностй, обычно допускаемой на практике, этот метод оказывается
вполне приемлемым. г
При построении рефлекторов других тппор используются бо-
лее простые способы вращения кривой заданного вида относи-
тельно вертикальной осп. Как известно, парабола может быть дос-
таточно точно аппроксимирована дугой окружности [23], и, та-
ким образом, перенос параболы вдоль окружности дает хорошее
приближение к параболоиду, а также позволяет получить допол-
нительнее преимущество, связанное с круговой симметрией в од-
>Э'-- ; * ! ~ 5Г .
ной плоскости. С учетом особенностей поляризации поля таким
способом представляется возможным реализовать, как показано
на рис. 1.34, полное азимутальное сканирование диаграммы [24].
Подобная конструкция получила множество своеобразных наиме-
нований. Ее диаграмму направленности можно улучшить, приме-
нив специальную комбинацию источников в горизонтальной плос-
кости, наиболее согласующуюся с круговой формой поперечного
сечения в этой плоскости.
Рис. 1.34. Рефлектор типа «бочонок» (поверхность рефлектора образуется путем
крашения сектора параболоида вокруг вертикальной оси. Конструктивно эта
поверхность представляет собой систему параллельных проводов, ориентирован-
ных под углом 45s к вертикали; такая конструкция при определенной поляриза-
ции источника излучения позволяет лучам после отражения от «освещенной»
поверхности рефлектора свободно проходить Через его противоположную поверх-
ность; вращением двух облучателей достигается сканирование на полный угол
Помимо метода, изложенного в § 1.13, едва ли можно упомя-
нуть какие-либо возможности систематического исследования та-
ких рефлекторов. Вместе с тем, целесообразно отметить, что они
представляют собой более общий принцип — принцип замены од-
ной двумерной поверхности рефлектора произвольной формы дву-
мя одномерными поверхностями, т. е. двумя цилиндрическими
поверхностями;
Цилиндрические рефлекторы. Простейшим случаем переноса
является параллельное перемещение заданной. кривой вдоль пря-.
мой линии, что дает возможность получить строго цилиндрический
рефлектор. Если кривая описывается функцией f(x, у)=О и пере-
нос осуществляется параллельно реи z, то источник, лежащий в
плоскости z=О, будет представлять собой виртуальный линейный
источник в той же плоскости, т. е. фокальную линию. Фокальная
линия формируется как совокупность точек пересечения отражен-
ных лучей с указанной плоскостью и ее положение не зависит от
.высоты точки отражения (рис. 1.35). Хотя уравнение фокальной
линин может быть получено сравнительно простыми средствами,
оно имеет большое значение в теории и применимо к рефлекто-
рам в целом.
Если, как показано на рис. 1.35, уравнение кривой имеет вид
f(x, у) = 0 н источник лучён расположен на плоскости z=0 в точ-
ке (d, h), то после отражения от точки (а, Ь, с) на поверхности
О
рефлектора лучи будут пересекать плоскость z—Q в точке, поло-
жение которой не зависит от с и определяется как
! I дх ду J/ 1\дх/ J (L44)
y^+2}±Ua-d^+(b-k}a/ >/[^У+
j йу I дх Эу)/ 1\Эх/
где производные берутся в точке (а, Ь).
I Поскольку точка (а, Ь) удовлетворяет соотношению [(a, Ь)**>0,
i можно-получить уравнение фокальной лпнип в системе прямо-
угольных координат. Эта кривая может быть интерпретирована
!; более чем одним способом. С практической точки зрения она пред-
ставляет собой виртуальный линейный источник, созданный ком-
бинацией рефлектор—точечный источник, и как таковой его мож-
,61'
но использовать для облучения второго рефлектора с переносом
соответствующей формы. Однако с физической точки зрения по
отношению к поперечному сечению рефлектора эта кривая пред-
..ставляет собой волновой фронт нулево# длины. В тех же случаях,
когда симметрия сохраняется, это поперечное сечение может
быть повернуто относительно оси симметрии (#=0), что дает воз-
можность получить полный фронт волны. При асимметрии такая
возможность существует только в случае двумерной задачи или
в случае одной плоскости трехмерной модели. Этому соответст-
вуют волновые фронты, к которым применима теория Дамиена,
т. е. путем инверсии их можно использовать для определения гео-
метрии Другого рефлектора или волнового фронта.
В заключений отметим, что уравнения (1.44) представляют
собой весьма простое средство анализа волнового фронта при
аберрации, вызванной сдвигом источника по отношению к истин-
ному положению фокуса. Точные формулы для этих фронтов со-
вершенно необходимы при оценке фактических диаграмм направ-
ленности па основе скалярной теории дифракции. Изложенные
далее результаты, иллюстрирующие указанные стороны вопроса,
могут быть Получены непосредственно из (1.44).
а) Случай параболического цилиндра' с фокусным расстоя-
нием / п источником, расположенным в фокусе: f(x, у)** у2—4Р4*
+ 4tx. Следовательно, х=2/, у=Ь, и кривая является директрисой
параболы в плоскости 2=0 Таким образом, это — виртуальный"
источйик в виде прямой линии; возможности его практического
применения будут рассмотрены ниже.
б) Случай кругового цилиндра с радиусом Z? п источником,
расположенным в центре: f(x, у)=хг+у2—R2, откуда х=2а,
у~2Ь и, следовательно, .г2 + у2=4/?2. Итак, получен круговой ис-
точник с радиусом 2R.
в) Случай кругового цилиндра с радиусом R и источником,
расположенным в точке d = /?/2. Здесь х==а(2/?—a)/R+R/2; у=
— b(2R—a)/R, откуда после исключения а и b находим, что
(х-/?/2)2+у2 = (/?- (3R2/2~~Rx)*>*} 2.
Из анализа этой кривой следует, что при облучении сфериче-
ского рефлектора из его номинальной фокусной точки имеет мес-
то сферическая аберрация. Изменяя положение источника, пред-
ставляется возможным минимизировать крутизну этой фокальной
линии. Найденная таким образом точка будет «наилучшнм» фо-
кусом сферического рефлектора.
г) Случай эллиптического цилиндра с источником, располо-
женным в фокусе: f(x, у)™х2/Р+у2/т2—1, d— V l2~m2.
После упрощения получаем известный результат, • а именно
окружность радиусом 21 с центром в Другом фокусе. Аналогич-
ный результат может быть получен ддя гиперболического ци-
лнндра. /
д) Случай параболоида с расфокусировкой в осевом направ-
лен^ При расположении источника в точке x=d, у=0 результа-
та " - . V . ' -
том примера будет следующее решение: (х2+у2—еР){х—
—2t—d)—4td(d—х). Из этого соотношения может быть получе-
но выражение для волнового фронта параболоида с осевой рас-
фокусировкой.
е) Параболоид с расфокусировкой в поперечном направлении.
Если источник помещен в точку х=2/, у—h, получаем Следующую
кривую: {у (x—2f) —2ht) 3 = х2 {Ла— (x—2i)!}.
Кривая примера «д» удовлетворительно аппроксимирует ок-
ружность и после поворота координат дает точное уравнение вол-
нового фронта, связанного со, сферической аберрацией. Кривая
примера «е» удовлетворительно аппроксимирует кубическую па-
раболу и представляет собой точную форму волнового фронта с
учетом первичной комы.
Конические рефлекторы. Вращение произвольной прямой ли-
цин вокруг пересекающей ее оси дает конус, оптические свойства
которого могут быть определены теми же методами. Если верши-
на конуса совпадает с точкой начала координат, а ось — с осью z,
то уравнение поверхности имеет следующий вид:
х2+у2г=т2г2,
где m=tg0; в — половина угла при вершине конуса (рис. 1.36).
Если источник расположен на расстоянии h в осевом направ-
лении от вершины, то для произвольной точки на поверхности ко
нуса (ai Ъ, с) направление нормали будет определяться как
• ai +>j—m’ck
63
а направление падающего луча как
S fc
* [а’ + й> + (с — A)*jV= ‘
Тогда согласно формуле (П.З) приложения 1 отраженный луч
будет иметь направляющие косинусы, пропорциональные
= а (а24*Ь2+щ4с2) —2а (а24-Ь2—/п2с (с—Л)),
Sr,v =ft(a24-fr2-|-ffiV)~2ft(a2+ft2—m2c(f-ft)),
Sr.*== (c—h) (аа+624-^4с*)+2тгс(аа4-6г-~‘m2c(c—ft)).
r Итак, уравнение отраженного луча имеет следующий вид:
х—-я__у — Ь я.— с
$г,х $г,у $r.z
Предположив, что изображение лежит в той же плоскости, что
и изображение источника, находящегося в касательной плоско-
сти, найдем, что пересечение этого луча с плоскостью
2 aft 2bk
определяется как х= ——— ; и— ---------------
с (1 + ж*) с(1 + «*)
Таким образом, виртуальное изображение в этой плоскости
представляет собой окружность с радиусом
Xй -I- у» = = ft= sin2 2 0.
(I + m*)»
Особый интерес представляет тот случай, когда половина угла
при вершине конуса равна 45°. Тогда плоскость, содержащая все
виртуальные изображения осевых источников, содержит также
и вершину конуса. Далее, виртуальные изображения системы ис-
точников, расположенных вдоль осп, представляют собой систему
концентрических колец; ввиду того, что каждое кольцо соответ-
ствует определенному источнику, антенна позволяет в существен-
ной степени управлять амплитудно-фазовым распределением.
Вопрос о диаграмме направленности такого рефлектора будет
рассмотрен далее. Вместе с тем, дтметиМ;*^го описанный эффект
уже привлекал внимание спецналпстов-оптиков [25]. Следует
также отметить, что результирующая виртуальная апертура в
этом случае имеет радиус, в 2 раза больший, чем радиус реаль- :
ной апертуры конуса, н, следовательно, усиление такой антенны ,
превышает усиление реальной апертуры. Дополнительное усиле- !
нне обусловлено наличием системы источников, что при достаточ- j
ном уровне возбуждения приводят к эффекту, эквивалентному I
эффекту осевого излучения. Кроме Того, необходимо учитывать '
особенности поляризации. t
; Внешний вид антенны, построенной на основе рассмотренной f
концепции, показан на рНс. 1.37.
I ®
Бицилиндрические рефлекторы. Возможность реализации внр-
туального линейного источника посредством параболического цн-1
линдра, возбуждаемого точечным источником, расположенным на
фокальной линии, открывает путь для возбуждения второго пара-
болического цилиндра, ориентированного под прямом углом к
первому. Этот принцип уже был использован как в оптике [26],
так и в технике СВЧ [27]. В первом случае при фокусировке не
обязательно добиваться параллельности лучей в бесконечно уда-
ленной точке, п здесь были использованы эллиптические и круго-
вые цилиндры. В одной из работ [26] отмечено, что по меньшей
мере, для лучей со слабой _____
расходимостью (парак-
спальное лучи) система Z/X—\\\
может быть ориентирова- ////----х\\\ ft—ч
на так, чтобы она была а ! ////^^^ \
состоянии отражать их I \
наподобие перископа на / 1
достаточно широкий сек- ’• "**
тор сферы. С точки зре- , I \ /
ния практического нс- " n iuv^-///7x. v /
пользования в технике
СВЧ применение рефлекс
' торов с одной криволи-
нейной поверхностью
всегда дает преимущест-
ва — как в отношении
простоты конструирова-
ния, так и в отношении
влияния на поляризацию
результирующего излуче-
ния — по сравнению с эквивалентными асимметричными рефлек-
торами, имеющими две криволинейных поверхности. Многие воз-
можности применения линз в оптике, очевидно, должны быть ис-
пользованы в технике СВЧ.
Рис. 1.37. Коническая антенна (система ак-
сиальных источников преобразуется кониче-
ским рефлектором в систему кольцевых
источников)
1.8. Бкцилиндрнческяе линзы
Фокусирующие линзы. Отражающие каустики двух цилиндри-
ческих рефлекторов могут быть согласованы для получения би-
цилиндрнческого рефлектора. Аналогичными средствами ^две пре-
ломляющие каустики могут быть согласованы для получения би-
цилнвдрнческой линзы. Этот принцип находит применение при
разработке обычных оптических линз, а также микроволновых
линз, т» е. для среды с принудительным преломлением, выполнен-
ныхн3sбазе волноводных решеток (см. § 1.5). Как обычно в слу-
чафтакяхсред, расчет основан на приравнивании длины оптнче-
.скогтпуги от • источника до требуемого волнового фронта, и по-
сколькуСсимметрия вращения в данном случае отсутствует, при
ее может быть использована биполярная система коор-
./ • .65.
ft
динат. Поэтому в дальнейшем целесообразно воспользоваться си-
стемой прямоугольных .координат [28].
Поместив источник, как показано на рис. 1.38, в начало коор-
- дннат, рассмотрим линзу, первая поверхность которой представ-
ляетсобой цилиндр с осью, параллельной оси г, причем предпо-
лагается, что его профиль описывается зависимостью y^ffxi).
Рис. 1.3S. Бпцплиндрпческая фокусирующая линза
Вторая поверхность линзы независима от координаты у и, следо-
вательно, имеет профиль вида z—g(Xi), т. е. ось х является осью
линзы.
Если Р — произвольная точка на первой поверхности, для па-
раллельных лучей можно потребовать равенства длин оптических
путей FPP' р FOO'N:
FP-f-tjfy, z)d(p, z)~OF-j-r|odo+(x2—OF—do}, (1.45)
где и — показатель преломления, зависящий от положения точки;
4— толщина линзы в точке (у, z).
После упрощений (1.45) принимает вид
FP=[no4o—п(у, z}d(y, z)]-f-(xa—do)-
Первое слагаемое нередко встречается при расчете линз (см.
$1.5); для упрощения положим, что
l?(y, z)»*4ode—z)d(y, z). (1.46)
После возведения в квадрат получаем
^1+^+^= (D+xj-doJJ. (1.47J
Однако Xj не зависит от z, а х2 не зависит от у, ввиду чего
уравнение (1-47) можно разделить на два:
.t2,+y3^const=42, &+А2= (D+xr-do)2. (1.48J
при условии, что D(y, z) является функцией только z.
Решения (1.48) могут быть легко найдены; почти всегда они
зависят от произвольно выбираемых значений 4 и £>(z). Ограни-
чивающим фактором при этом является не сложность математи-
ческих расчетов, а реализуемость окончательного варианта лин-
зы, т. *е. диапазон значений показателя преломления для данного
тина среды.
Простейшее решение состоит в том, чтобы приравнять А фо-
кусному расстоянию OF, a D(z) — нулю. Тогда результирующие
профили описываются выражениями:
н z2 + /-’2=(x2—do)7. (1.49$
Первое из них описывает окружность с центром в точке F, а
второе—гиперболу, проходящую через точку О'.
В связи с этим следует упомянуть вызывающее удивление об-
стоятельство. Из допущения, что O(z)=0, вытекает, что
По^о—i\(y, z)d(y, z) —О для всех положений точки Р. Следова-
тельно, длина оптического пути каждого элемента параллельных
лучен РР' одинакова во всем объеме линзы. Поскольку согласно
этим рассуждениям она имеет ту же величину, что в центре лин-
зы, данная линза, в отличие от ранее рассмотренных, не может
иметь в центре нулевую толщину. На первый взгляд, это пред-
ставляется маловероятным, особенно разработчику, привыкшему v
с целью обеспечения надлежащей фазовой коррекции хода лучей
использовать различия в оптической ширине линзы. Однако в слу-
чае линзы, первая поверхность которой является чисто сфериче-
ской, а вторая —чисто плоской, причем поверхности соединяет
среда с принудительным преломлением, выполненная в виде на-
борз. Волноводов, возможность равенства фазовых длин для; всех
проходящих через линзу лучей становится очевидной. Бицнлинд-
рическая линза фактически представляет собой один из вариантов
такой линзы, действие которой сходно с искривлением лучей, ошг-
саниым в § 1.5.
, Ив уравнений (1.49) следует, что если в любой линзе данного
типа, осуществляющей фокусировку на бесконечность лучей, по-
ступающих . от точечного источника, первая поверхность' имеет
круговое сечение, то вторая поверхность должна иметь гипербо-
лическое сечение, н наоборот. Как показывает практика; различие
кругового и гиперболического профилей весьма невелико п обыч-
но допуск на фазовые искажения не превышает Х/16. Таким обра-
зом, не будет большой ошибкой наготавливать оба профиля оди-
наковыми, например круговыми, а затем при необходимости ком-
пенсировать эту малую погрешность, целенаправленно изменяя
показатель преломления среды. В результате будет получена лин-
Ра, осуществляющая точно на бесконечность фокусировку лучей,
поступающих от источников, расположенных с обеих ее сторон в
фокусах, удаленных от линзы на одно и то же расстояние.
, Сканирующие бицнлиндрнческие линзы. В соответствии с прин-
ципом, согласно которому для обеспечения дополнительного по
отношению к обычной фокусировке эффекта могут быть исполь-
зованы две поверхности,
совместим точку облучения,
смещенную относительно
точки Г, с точкой, имеющей
полярные координаты (р,
а). В том, что эта точка
должна лежать в плоскости
х, у, легко убедиться, рас-
смотрев поперечное сечение
центра линзы в другой пло-
скости. Ее профиль будет
прямолинейным со стороны
падающих лучей и искрив-
ленным со стороны прелом-
Рос. /.39, Сканирование в вертикаль-
лой плоскости
ленных. Как можно видеть из рис. 1.39; при смещении источника
на угол а положение луча определяется углом причем tga=
=tgpsecp.
Хотя при малых углах сканирования этот эффект незначителен
я на практике он едва ли заметен, будем рассматривать скани-
рование только в указанной плоскости. Затем в соответствен с
рис. 1.40 потребуем, чтобы выполнялось условие
SP+П (у. 0)РРЧР'Л=30+ПоСЮ'+0'М=$<Ж (У, 0) QQ', (1.50)
где S —положение источника с координатами (р, а) относительно
точки начала координат О.
«Внешнее» равенство (1.50) дает параметрическое описание
кривой PQ. Если перейти к координатам (xi, у, г) с центром в
точке О, легко убедиться, Ито оно идентично равенствам, выве-
денным для линз, рассчитанных методом трех лучей (1.34); а
именно
х(=р(а)соз®(1—сова), $/== р (а) sin а, <1.51)
где р(а) — определяет дугу сканирования, по которой перемеща-
ется источник S.
Решив последнее из равенств (1.50) относительно оптической
"толщины 0)4(у, 0), получаем, что т}(у, O)rf(p, 0)—t)edoeO.
Другими словами, в данном случае имеет место ограничение,
•а не свободный выбор параметров, как в предшествующем пара-
трафе. Отметнм, что свободный выбор возможен лишь для зоны

Итак, установлено, что применение бнцнлпндрическон линзы
в качестве сканирующей автоматически обеспечивает равенство
длин путей для каждого элемента линзы (согласно принципу рас-
Рис. 1.40. Сканирование в бицплпидрической линзе (сканирование осуществляет-
ся перемещение» источника в горизонтальной плоскости SPOQN)
Форму второй поверхности можно получить в предположении,
что произвольная точка R с координатами, отнесенными к точке F
(рис. 1.40), определяется как {F—р (a) cos a (I—cos а), р (а) sin а, z],
F-OF.
Потребуем, чтобы для фронта плоской волны выполнялось со-
отношение
да-iito (1.52)
т. е. FR=x2— da + D, где, как и ранее, O = i|odn-q(у, z)d(y, z).
Возводя в квадрат обе части (1.52) и выделяя ,г3 п //зави-
сящие только от z, находим, что
{F—р(а)соза(1—cosa)}2+ [p(a)]asm2a=const=.=P, 1 (153)
(хя—<lo+D)5—гЪ=А3. . J ’
Решив первое из этих уравнений относительно р как функции
а, можно найти дугу сканирования. Второе уравнение определяет
профиль второй поверхности линзы.
'' " &
Так, например, приняв A—F и 0=0, получаем гиперболиче-
скую поверхность и приходим к равенству оптических путей для
каждого элемента линзы в целом, как это имело место в случае
простых фокусирующих линз. Это означает, что профиль, полу*
ченный согласно (1.53) с использованием данной функции р, дол-
жен быть круговым.
Итак, из первого уравнения (1.53) находим, что
p=»2/?cosa/(14-cosa+cos2a—cos3 a), (1.54J
и, следовательно, из (1.51) вытекает, что
xi—2F cos2 a (1—cos a) / (14-cos a-|-cos2 a—cos3 a),
«/=2/’sin a cos a/(l-(-cosa+cos3a—cos8 a).
Это — дуга окружности с центром в точке £, поскольку
CF—'X>)*+y2=F3. Придавая различные значения параметру a
(здесь это — неполярная координата), можно получить выраже-
ние для ограниченной дуги окружности. Это одновременно опре-
деляет границы апертуры линзы и дуги сканирования. Будучи
круговым, профиль также удовлетворяет условию синусов для
данной плоскости сканирования.
Выбирая различные значения константы А и функции толщи-
ны D(z)t можно получить линзы различных форм. Изменение кон-
станты А приводит к изменению гиперболического профиля вто-
рой поверхности и, следовательно, радиуса круговой первой по-
верхности и соответственно дуги сканирования.
Изменение величины позволило бы, как и в случае обыч-
ных фокусирующих линз, получить сканирующие линзы с одина-
ковыми круговыми профилями с обеих сторон. Тогда симметрич-
ные линзы будут способны фокусировать лучи, приходящие под
наклонными углами, в отдельных точках с каждой стороны плос-
кости симметрии (рнс. 1.41).
•
Линзы с линейными источниками. Бицилиндрическая структу-
ра весьма просто может быть преобразована так, чтобы она мог-
ла создавать линейный источник. Как показано на рис. 1.42, линей-
ный источник будет создан на расстоянии а от точечного (а=#=0),
если линза имеет толщину %
П(у, z)d(y, z) = ТР'-ОР^ {(х2-а)а+г2} ''2-{*2i+j/2+^},/г. (1.55)
Рос. 1.42, Источник, расположенный в точке О, имеет линейное отображение,
лежащее с другой стороны линзы
Показатель преломления в центре линзы r)odo=do—й- Он мо-
жет быть произвольно выбран так, чтобы в (1.55) диапазон зна-
чений t|(y, z) не выходил за пределы, определяемые свойствами
конкретной среды (например, 0,5<t]<0,8). Профиль одной из по-
верхностей также может быть выбран произвольно (например,
если Xieconst»» 1.2F, то вторая поверхность является плоскостью
do^O,2JF и Т)(у, z) =О,4-бО,75). Целью расчета является создание
сканирующего лннеййого источника или виртуального фокуса пу-
тем перемещения единственного точечного источника.
Результаты экспериментов. На основе изложенного была изго-
товлена сканирующая линза, в которой были использованы вол-
новоды квадратного сечения, а изменение показателя преломле-
ния достигалось путем заполнения каждого элемента диэлектри-
ком с надлежащим показателем преломления. При использова-
нии практически не имеющих потерь диэлектриков из пеномате-
риалов установлено, что показатель преломления является линей-
ной функцией плотности, и; следовательно, требуемое соотноше-
ние
й(х. у) = [«е(х, у)~Хг/(4а2)]^, (1.56)
определяющее показатель преломления как функцию координат
точки в линзе, может быть преобразовано’в соотношение между
*4
плотностью заполнения диэлектрической среды и положением вод*
неводного элемента. Значения показателя преломления, которые
могут быть реализованы данным методом, лежат в диапазоне
между соответствующими значениями для самого легкого промыш-
ленного пеноматериала и твердого диэлектрика (незаполненные
волноводы оказываются слишком непрочными в изготовлении).
Из необходимости того, чтобы каждый элемент имел одну и ту
же электрическую длину, вытекает ограничение на максималь-
ную ширину л ннэы в любой точке. Это требование также опре-
деляет практически реализуемый размер апертуры. Реальная лин-
за без скачкообразных изменений формы, спроектированная иа
длину волны 3 см, имела толщину от 5 до 10 см н апертуру (при-
близительно круговую) 60 см.
Диаграммы направленности этой линзы при сканировании в
Е- н Н-плоскостях приведены на рнс. L43. В этом случае Е-плос-
кость сканирования представляет собой горизонтальную плос-
кость, а Н-плоскость — вертикальную, проходящую через цент-
ральное сечение линзы н источник и, таким образом, позволяю-
щую работать с применением наклонно падающих лучей,: о чем
уже упоминалось ранее. На практике в обеих плоскостях возмож-
но линейное сканирование в пределах угла ±30°, а также сфери-
ческое сканирование, типичное для сферических линз, рассчитан-
ных другими, описанными ранее методами. Таким образом, эф-
фект «перекоса», прогнозированный для центрального поперечно-
го сечения, может быть в большой мере скомпенсирован, если
апертура задействована полностью.
<
1.9. Линзы с принудительным преломлением
Термин «линза с принудительным преломлением» относится к
двухповерхностпой линЗе, первая поверхность которой представ-
ляет собой систему приемных элементов, а вторая (перензлучаю*
щая) поверхность— систему элементов, каждый из которых сое-
динен с соответствующим элементом первой поверхности линией
передачи. В технике СВЧ в качестве, элементов указанных систем
могут быть использованы приемные диполи, расположенные на
отражающих поверхностях и соединенные проводными пли коак-
сиальными линиями передачи. В оптике в качестве таких элемен-
тов могут использоваться имеющие специальную форму концы
стекловолоконного кабеля, который сам по себе образует линию
передачи. Аналогичным образом, могут быть применены элемен-
ты волноводов (собственно волновод — линия передачи; открытые
концы волновода — излучатели). Для разработки линзы такого
типа, названной своими создателями линзой типа «шнурок от бо-
тинок» [29], используется только одни метод—метод непосред-
ственного измерения или вычисления длйй оптических путей от
источника до требуемого фазового фронта при различных задан-
ных условиях (рнс. 1.44).
В принципе, поверхности могут быть полностью разъединены,
и соответствующие линии передачи будут представлять единствен-
ное средство связи точек одной поверхности с соответствующими
точками другой.
Перед тем как приступать к конкретном}' расчету, необходимо
сделать ряд предположений относительно возможных свойств
линчы До сях пор оговаривалась только осевая симметрия линз ч
способ их соединения между собой. Даже при таких ограничениях
дополнительная степень свободы позволяет получить широкий вы-
бор профилей поверхностей линзы или дуг сканирования. Так,
представляется возможным удвоить число „точных фокусов, как,
ия пример, это имеет место в широкоугольной линзе Рузе [17].
: /! j 73
Если, как показано на рис. 1.44, точки
Fi= (—/саза, [sin а), (—f cosa, —f sin а), 1 $
Gt—(—geos p,gsin ₽), <?s=»(—geosp, —gsinp) J ' ''
представляют собой попарно симметричные точки точных фоку-
сов, которые создают плоские фазовые фронты с нормалями, на-
Рис. 1.44. Линза типа «шнурок от ботинка»
правлснными под углом к осн симметрии ± а и ±р соответствен-
но, то условия для длин оптических путей принимают следующий
вид:
cos <х+н sin а=а/4-®о—a cos а,
FtF-f-a—Е cos а—п sin а=/4~юа—а соз а,
(1.581
GiP4-e>—J cos sin 3=g4-w<r—о cos p,
GjPH-fB—£ cos p—r^sin 3=g-f-w<r—a cos p, J
где (5, ij)—точка на второй поверхности. соединенная с точкой
Р(х у)на первой поверхности посредством линий передачнеоп-
тнческой длиной w(x, g); йм“<а>(0, О').
Используя два первых уравнения (1.58), получаем
. (tag,
. .а«па • 2а1я5 ..
Это — единственное соотношение между х п у, оно описывает
контур первой поверхности. Контур второй поверхности можно
найти, воспользовавшись двумя другими уравнениями (1.58):
а + F + Gi Р - 2 g)- (Fi Р + f i Р~ 2 /) I
2 (cos Р — cos а)
щ ( = «s+iGsP+GtP-S g) cos а - - (ЛР - 2 /) cos р .
' * 2 (cos р— cos а)
В зависимости от положения точек F2t Gt и G2 или огра-
ничений на <в(х, у), например w(.r, y)=const, могут быть полу-
чены линзы различной конфигурации.
Если четыре фокусных точки размещены на окружности, мо-
гут быть получены поверхности наиболее простой формы. Если
точки Fh Ft, Gt n-Gi лежйт,на окружности, проходящей через
точку (—Л, 0) и имеющей радиус Л/(1—2ц), то контур первой
(фронтальной) поверхности принимает вид окружности х2+уг—
—хЛ=0 с радиусом Л/2 и центром в точке (—Л/2, О), а контур
второй поверхности — вид эллипса с=« + 2ц[Л— (Л2—q2)Wi] с
центром в точке (a-j-2pA, О) и осями (2цЛ, Л). Требуемая задерж-
ка на длине пути между точками (х ц) ца фронтальной поверх-
ности и (£, л) на второй поверхности /
са=»«ю4- (2р+1) [h—(Л*—
Итак, если р=—1/2, то фокальная дуга имеет радиус Л/2, а все
линии передачи имеют одну и ту же электрическую длину &)=©о.
Надлежащим образом подобрав эту длину, можно уменьшить уро-
вень отражений в линии передачи, обусловленных рассогласова-
нием. Для окончательной отработки конструкцпн линзы необхо-
димо рассчитать фазовый сдвиг для источников, расположённых
в промежуточных точках фокальной дуги, и при необходимости
минимизировать погрешность путем перефокусировки. Минимизи-
руя аберрации и используя метод трех лучей, можно получить и
другие варианты линз (30]. В литературе обсуждаются три осо-
бых случая линз: линза с плоской второй поверхностью, почти
круговой дугой сканирования и низким уровнем аберраций; лин-
за с почти линейной дугой сканирования; частотонсзавнсимая
лииа^'Л: нулевыми геометрическими аберрациями на круговой ду-
ге Сканирования.
Некоторые варианты геометрии линз представлены па рис. 1.45.
Практические трудности, которые должны быть преодолены в
данном случае, аналогичны тем, с которыми приходится- сталки-
ваться разработчикам планарных систем. К ИХ числу, в первую
очередь, относится проблема совместимости приемной и передаю-
щей систем элементов при изменении в широких пределах угла
радАиуя плоских волн, обусловленного взаимодействием элемен-
тов я прр изменении сопротивления. Кроме того, выбором, расстоя-
ния между элементами решетки необходимо исключить возмож-
ность появления дифракционных лепестков при сканировании.
Можно также говорить о введении в линии передачи фазо-
вращателей с электронным управлением или даже усилителей на
активных элементах я преобразователей частоты. Однако такая
Рис. 1.45. Варианты линз типа «шнурок от ботинка >:
а—линза е плоской Внешней поверхностью; б—линза с почти линейной дугой
сканирования; в — частотояезависияая линза с круговой дугой сканирования
линза, по существу, превращается в целую систему, и ее уже
нельзя рассматривать в качестве простого оптического устройства.
Введение в линии передачи короткозамыкателей позволяет по-
лучить фазокорректпрованный рефлектор, однако то обстоятель-
ство, что п для приема н для передачи при этом должна исполь-
зоваться только одна поверхность, не дает этой конструкция
сколько-нибудь заметных преимуществ перед рассмотреннойра-
нее. Если рассматриваются полностью разъединенные поверхно-
сти с любым законом соответствия между элементами, размещен-
ными на них, можно представить, что вторая поверхность имеет
ту же конфигурацию, что и первая. В этом случае система будет
состоять из последовательности приемных И передающих элемен-
тов, расположенных на единственной отражающей поверхности и
соединенных попарно линиями передачи. Такая конструкция, по
существу, представляет собой отражательную антенную решетку
(31]. Применив условия симметрии, ее можно преобразовать в
моностатнческпй рефлектор, соединив, например, каждый ее эле-
мент с Диаметрально противоположными ему (относительно цент-
ра системы) линиями передачи одной длины. Модифицировать
эту конструкцию можно, меняя длину линий, вводя активные эле-
менты и т. п. На практике известны также оптико-волоконные я
акустические конструкции, основанные на том Же принципе.
1.10. Решетчатые рефлекторы
Напомним, что входящие в состав оптических систем отража-
ющие и преломляющие поверхности, которые были рассмотрены
в данной главе, предполагались гладкими и непрерывными. Та-
ким образом, они, как следует из принципов лучевой оптики, мо-
гут использоваться во всей полосе частот от бесконечности, где
расчеты ло законам геометрической оптики дают точные резуль-
таты, до самых больших длин волн, где точность приближения
является пределом, устанавливаемым разработчиком системы.
Теоретические результаты обычно проверяют экспериментально и
определяют таким способом точность совпадения и необходимость
модификации.
Таким образом, в подобной широкодяапазонностя системы зак-
лючена еще одна степень свободы, которая может быть исполь-
зована для получения в системе дополнительных преимуществ.
Потери качества при этом сведутся лишь к тому, что система бу-
дет работать оптимальным образом в более узком частотном
диапазоне.
Данный принцип может быть перенесен на разработку парабо-
лоидных отражающих и преломляющих поверхностей, чтобы/ как
будет показана в данном примере, существенно расширить диапа-
зон работы при смещении источника относительно осн. Такая кон-
струкция, впервые предложенная Колиньп, основана на следую-
щих соображениях [32].
Реальная линза должна отвечать принципу Аббе и быть сво-
бодной от комы. При ее использовании в качестве антенны СВЧ
она соответственно должна обес-
печивать более широкий угол
сканирования.
При необходимости иметь па-
раболоид, осуществляющий ска-
нирование луча в заданном угло-
вом диапазоне без искажений,
идеальный метод его построения
состоит в том, чтобы вращать
рефлектор вокруг фиксированной
оси, например оси / (рис, 1.46).
В точке пересечения исходного
положения параболоида с его но-
выми положениями имеется об-
ласть Н'Н", положение которой в
пределах заданной точности мож-
но считать' Неизменным. Размер
этой области зависит от допуска
на точность положения фазового
фронта. Обычно этот допуск вы-
бирается равным А/16, ввиду чего
мождо считать, что смещение
крайних точек области Н'Н"
Рис. 1.И>. Пиворот параболы отно-
сительно осн /
относительно соответствующих исходных точек не более чём на
А/32, не будет создавать искажений фазового фронта. Отметим,
что если за центр вращения принят фокус параболоида в его ис-
ходном положении, то область Н'Н" будет вершиной самого па-
раболоида.
•к -Л’•*•-! • • • 7
Таким образом, положение точки Н является функцией угла
поворота, геометрии параболоида и ориентации оси вращения.
Теперь применим этот метод к случаю системы параболоидов
С общей осью и общим фокусом, но с фокусными расстояниями,
отличающимися на величину, кратную А./2. В этом случае точки Я
каждого параболоида будут лежать на кривой, которую Колиньн
ваЗвал «несущей кривой» (рис. 1.47). Каждый элемент по
Рис. 1.47. Построение решетчатого рефлектора
существу, представляет собой элемент параболоида, фокусное рас-
стояние которого отличается на рХ/2 от фокусного расстояния ос-
тальных элементов, где р—целое Число. Результирующий фазо-
вый фронт при размещении источника в фокусе можно считать
плоским, хотя в сущности он содержит набор парциальных волно-
вых фронтов, отличающихся по фазе на 2рл.> Однако в осевом
направлении расстояния между краями последовательных элемен-
тов превышают Х/2, п, следовательно, система представляет собой
дифракционную решетку, и в ней следует принимать во внимание
возможность появления лепестков высших порядков. В литерату-
ре [32] имеются экспериментальные данные, подтверждающие,
что с применением рассматриваемого метода угол сканирования
обычного параболоида, ограниченный, как правил о, приблизи-
тельно 5-кратным значением ширины луча, может быть увеличен
до 40—50-кратного значения. s ,
Форма несущей кривой может быть получена следующим об-
разом.
Основное уравнение параболического поперечного сечения, ес-
ли фокус помешен в точку начала координат, а фокусное расстоя-
ние равно f, имеет следующий вид: у*—4Цх±1)=0. Если центром
вращения, как показано на рис. 1.47, является точка {т,п), то
перенос начала координат в эту точку позволяет переписать дан-
ное уравнение в виде
ч ; Тогда для системы конфокальных парабол с фокусными рас-
стояниями, возрастающими на величины, кратные А/2, будет спра-
ведливо аналогичное уравнение, в котором, однако, f должно быть
заменено на F=/ + pA/2 (р — целое число), т, е.
(£4-п)?_4F(x-Hn+F)=0. <1-61)1
После поворота системы на фиксированный угол 9 уравнение
(1.61) принимает вид ъ
Sxs (х sin 0-f-jy cos 04~n)a—4F(x cos 0—if sin 4F®=0. (1.62/
Характеристическая кривая определяется соотношением
JdS/t>O|a„(l=O, а несущая представляет собой кривую, содержа-
щую точки пересечения каждой параболы с соответствующей ха-
рактеристической крнрой. ”
Согласно .(1.62) характеристические кривые представляют со-
бой гиперболы (с параметром р)
x(p4-n)4-2Fy=0. (1.63)
Следовательно, несущая кривая, которую можно найти, исклю-
чив F из (1.61) и (1.63), описывается следующим уравнением:
х2(у—п)+уг(х+п)+2тху=0. Это уравнение отнесено к точке
(т, п) как к началу координат. Если же за начало координат
будет принята точка исходного фокуса, оно примет вид
(х2 + у2) (у—2п) +2тлх+ (л2—т2)у=0. (1.64/
Эта кривая, изображенная на рис. 1.47, называется строфои-
дой.
Как известно нз литературы, методику можно обобщить, ис-
пользуя ; более общую форму смещения в параболоиде. Помимо
вращения она может предусматривать перенос или изменение фо-
кусного расстояния от параболы к параболе, зависящее от пара-
метров задачи р и 0. Для более сложной. формы S анализ, в ко-
тором используются характеристические кривые, остается в прин-
ципе тем Же. Критерий плоскостности фазового фронта должен
быть, естественно, сохранен. Вместе с тем такого рода обобщение,
как сообщают литературные источники, позволяет получить более
эффективные несущие кривые.
Одну нз специальных форм решетчатых рефлекторов [33], ко-
торую можно получить, совместив центр вращения с осью исход-
ной параболической системы, называют зонированным зеркалом
или дифракционными рефлекторами Рончи п Тор альдо ди Фран- :
чпа.
Соотаететвующпе результаты можно получить непосредствен-
но, положив в (1.63) и (164) /!=0. Тогда гиперболы (1.58) пре-
вращаются 0 прямые, параллельные оси у и отстоящие друг от
друга на А/2, а несущая кривая принимает вид окружности:
х3+у2=т3>
Что касается выбора значения т н таким образом также и
круговой дуги сканирования для источника, то в качестве т вы-
бирается фокусное расстояние наиболее удаленной из конфокаль-
ных парабол системы. Геометрия результирующей системы пред-
ставлена на рис. 1.48.
?У:. ./ , ' ТО
Рис. 1.48. Частный случай решетчатого рефлектора (центр вращения I находит*
ся на оси; образующая кривая вырождается в точку О)
Рис. 1.49. Построение, решетчатой линзы
Как показано Колиньи [32], данный принцип в равной степени
применим и в случае преломления, что позволяет получить ши-
... рЪкоугольяый вариант гиперболической линзы . (рис. 1,49). . По*
скольку центр вращения расположен на оси гипербол, несущая
кривая и здесь имеет вид окружности, а система в целом пред-,
ставляет собой разновидность сканирующей линзы Френеля.
Рассмотренный принцип, согласно которому любая система
отражающих н преломляющих поверхностей может быть замене-
на решеткой, непосредственно применим, абсолютно ко всем опи-
санным ранее оптическим системам. Для техники СВЧ отказ от
широкополосное™ и переход к узкополосной системе не является
такой уж большой жертвой на фоне возможности получения до-
полнительной степени свободы. Ввиду того, что такая спстема
является в конечном итоге дифракционной, на различных часто-
тах она будет иметь различные фокусирующие свойства. Таким
образом, при ее расчете может быть использована хорошо извест-
ная дуальная зависимость между угловыми н частотными эффек-
тами (см., например, теорию многослойное™ в гл. 2).
1.11. Дяфракционно-фокусирующие системы апертур
Одно нз основных различий между оптическими и СВЧ систе-
мами Состоит в том,, что в последних дифракционные эффекты
имеют гораздо большее значение.
В оптике применяется немало устройств, в которых эти эф-
фекты попользуются целенаправленно.
Как известно, многие из оптических устройств имеют непо-
средственные аналоги в технике СВЧ. Как следует из предыду-
щего параграфа, зонированные дифракционные системы с отра-
жающими илн преломляющими элементами находят применение
при конструирован пи антенн диапазона СВЧ. Кроме того, извест-
ны опийескпе системы, основанные на использовании исключи-
тельно дифракционных эффектов. Примером таких устройств яв-
ляется хорошо известная зонированная пластина Френеля, тео-
рия которой изложена в гл. 4, где обсуждаются свойства зониро-
ванной круговой апертуры.
В оптике затеняющие апертуру элементы играют чрезвычайно
важную роль. Однако они не нашли применения в технике СВЧ
ввиду, тех осложнений, которые, видимо, связаны с их дифрак-
ционными свойствами.
За последнее время теория зонированных пластин Френеля и
затеняющих элементов вышла па новый этап, что связано с появ-
лением нового класса устройств. В этих устройствах создающие
дифракцию края расположены не в плоскости, поперечной оптп-
ческойоси, как это имеет место в зонированной пластине Френе-
ля, Я;ВДоль оси системы. Геометрия такой системы, которую пред-
дагайФШит и Тремблей, представлена на рис. 1.50 [34].
В ближней зоне система имеет свойства, близкие к свойствам
зонированной пластины Френеля; и причин, которые могли бы
помешать успешному использованию системы в диапазоне СВЧ,
как будто бы пет. Дальнейшее развитие подобного класса уст-
.'Г:Ий*. '' 81
роиства, очевидно, связано с использованием идей геометричес-
кой теории дифракции.
В этой связи целесообразно рассмотреть один весьма интерес-
ныйрезультат, имеющий прямое отношение к технике СВЧ. Как
показано на рис. 1.50, при фокусировке в определенную точку
Рис. 1.50. Каскадная
система апертур (та-
кая система, обеспечи-
вающая фокусировку
на бесконечность,- ос-
нована на применения
парабол, а не эллип-
сов):
1 — краевые дпфрагное-
ванные лучи; 2 — окруж-
ности с центром S имеют
возрастающие па 1Л ра-
диусы; а — вроводяшаа
пмкм&я с круговыми
аиертураыя; 4 — км*о>
кальные параболы, раз-
несенные на 1/2
Рис. 1.51. Представление гофрированного рупора как каскадной системы апертур
•
края апертур совпадают с точками семейства фокальных эллип-
сов. Их можно также расположить на цилиндре н, видимо, на
любой другой кривой при надлежащем выборе расстояния меж-
ду ними. При этом предполагается, что апертуры представляют
собой отверстия в бесконечно протяженном проводящем экране.
Если края апертур расположены на конической поверхности, то
при сравнительно частой расстановке плоскостей (приблизитель-
но через Л/4) в области между ними будет поддерживаться толь-
ко волна типа ТЕМ. Режим холостого хода (бесконечно большое
сопротивление) по отношению к краям апертур каждой пары
плоскостей может быть обеспечен с помощью короткозамыкаю-
щпх перемычек, устанавливаемых на расстоянии 1/4 от края апер-
туры. Подобная система представлена на рис. 1.51. Таким спосо-
бом оптическая система, предложенная Литом и др. [35], может
быть преобразована в рупор с ребристыми стенками, широко ис-
пользуемый во многих типах антенн СВЧ.
1.12. Двухрефлекторные сканирующие антенны (
Одна из основных возможностей, которую дает дополнитель-
ная степень свободы при проектировании двухповерхностных реф-
лекторных антенн, — это возможность расширения сектора ска-
нирования луча. Методики расчета и теоретические характеристи-
ки таких антенн остаются стандартными, базирующимися на прин-
ципах геометрической оптики. Вместе с, тем, круг альтернатив,
перёд которыми встает разработчик, не всегда оказывается четко
очерченным, что можно показать, рассмотрев в общих чертах ме-
тодику расчета трех таких антенн.
Антенна-раковина. Целенаправленное изменение геометрии
двухрефлекторных антенн Кассегрена пли Грегори, в которых по-
ложение источника вовсе не ограничено осью симметрии главного
параболоида, достигается простыми известными методами. Един-
ственное требование в данном случае состоит в том, чтобы источ-
ник и фокус параболоида представляли собой сопряженные фоку-
сы промежуточного рефлектора (вспомогательного или контрреф-
лектора), Некоторые возможные варианты геометрии таких ан-
тенн представлены на рис. 1.52, причем их конструкция должна
быть такой, чтобы затенение главного рефлектора контр рефлек-
тором было нулевым или, по крайней мере, минимальным. Одним
из известных недостатков таких антенн является рост уровня
кросс-поляризационных составляющих излучаемого поля, обуслов-
ленный асимметричным освещением параболоида [37]. Вместе с
тем, с точки зрения принципов геометрической оптики единствен-
ное требование к, антеннам заключается в том, чтобы контрреф-
лектор обладал симметрией вращения относительно линии, соеди-
няющей источник с фокусом параболоида.
Такой подход применим при проектировании антенн, имеющих,
в отличие от параболоида, не точечный фокус, а каустику, в осо-
бенности при проектировании сферичных рефлекторов, что свя-
. 83
зано с преимуществами их симметрии. Такая антенна известна
под названием сферической антенны-раковины [36]. Она приме-
няется для сканирования луча в очень больших (более 100 mJ
радиоастрономических системах путем перемещения только мень-
радиоастрономических системах
шего рефлектора и источника.
Рис. 1£2. Геометрия коитррефзеКтора для различных ехем возбуждения пара-
болоида (коятррефлектор представляет собой поверхность тела вращения отно-
сительно линии Рг, соединяющей источник с фокусом)
< J Геомеярая контррефлекторд ддя сферического
‘ . i- «ртяла
.. М
...............
Принцип построения этой антенны показан на рнс. 1.53. Кри- ;
вая М отображает поперечное диаметральное сечение корректо-
ра сферического рефлектора, возбуждаемого источником, поме-
щенным в точку А.Его профиль можетбыть рассчитан по мето-
ду, изложенному в § 1.2 для корректора сферического зеркала
(при этом, однако, должны быть изменены знаки, что связано с
иной геометрией пути лучей).
При расчете, очевидно, не могут быть использованы преиму-
щества, которые дает симметрия вращения относительно цент-
рального луча, исходящего из точки А. Для получения трехмер-
ной поверхности контррефлектора необходимо исследовать осо-
бенности прохождения также и наклонных лучей. Для более эф-
фективного использования поверхности антенн в целом можно
применить второй спнфазныр источник, расположенный в точке
А', зеркально симметричной относительно точки А. В такой си-
стеме контррефлектор вращается вокруг горизонтальной осн ЛА',
причем сама эта ось, как показано на рис. 1.54, вращается вокруг
вертикальной осн, чем обеспечивается, сканирование в пределах
углов (<р, б). В статическом варианте на периферии рефлектора
могут быть установлены дополнительные источники с соответст-
вующимиконтррефлекторами.
Рис. 1.54. Схема сканирования при неподвижном сфе-
рическом зеркале
ПОТОК
Сканирующие антенны Кассегрена. Коллимированный
лучей может быть отклонен в любом направлении посредством
плоского зеркала, установленного под надлежащим углом. Обыч- ’
но направления, по которым может распространяться отраженный
луч, должны выбираться так, чтобы луч не попадал па основное
фокусирующее зеркало и не создавал таким образом затенения.
Эту задачу можно решить особым способом, используя поляриза-
ционные свойства поля. Основному фокусирующему зеркалу дол-
жна быть Дрндана поляризационная избирательность, для чего
его отражающая поверхность выполняется в виде решетки из
близко расположенных проводников, например тонких проволок.
Для волны, поляризованной параллельно направлению элемен-
? 85
Toe сетки, эта сетка представляет собой как бы непрерывную про-
водящую поверхность. Плоское зеркало при этом покрывается
слоем, который не только отражает волну, но и поворачивает
вектор поляризации на 90° (контррефлектор с поворотом плоско-
сти поляризации). Методика расчета таких элементов рассмотре
на в гл. 55.9).
Kaijf показано на рис. 1.55, отражаемая волна поляризована в
направлении, перпендикулярном направлению элементов сетки
основного рефлектора, и, таким образом, полностью проходит
Рис. 1.55. Сканирование
в области полусферы при
использовании антенны
Кассегрена:
I ~ памболояд. вьиюляеи-
вый из веитнкалыю рясво-
ложеиных проводов; -3 — нз-
хучение с горизонтально*
ооляризэкией; Л — источи»
ертпкалыгс* полnpiuoaa ино-
го излучения; 4 — система
в виде решетив, обеспечи-
вающей поворот поляриза-
ции и плоского рефлектора
сквозь него. Угол поворота луча вдвое превышает угол поворота
нормали к поверхности контррефлектора. Таким способом можно
реализовать диапазон углов сканирования, охватывающий полу-
сферу в целом, поскольку при пересечении плоской поверхности
фронтом плоской волны дополнительных искажений не возникает.
В некоторых случаях, когда столь сложный характер скаии-
рования является излишним, можно использовать иные отражаю-
щие профили с теми же поляризационными свойствами н тем же
типом сканирования, но более эффективной геометрией или ам-
плитудным распределением в апертуре.
В подобных случаях рефлекторы могут быть рассчитаны на
основе известных теоретических положений. Так, например, пер-
внчиому сферическому рефлектору, хак показано на рис. 1.56,
будет соответствовать рефлектор с поворотом плоскости полярн-
зацим. нмеюшнй профиль в виде так называемой улитки Паскаля.
В данном случае допустимый угол скаиировання ограничен рос-
' С;- ‘
•L-т-. г-:..-. А. -s-л1 ••
том аберрационных эффектов, в особенности комы. Вместе с тем,
поскольку по-прежнему сохраняется преимущество удвоения угла
сканирования, основные требования, предъявляемые к реальным
\
Рис. 1.56. Модификация сканирующей антенны Кассегрена
системам, все же могут быть удовлетворены. Расчетные кривые
фазовой ошибки в плоскости смещения луча для антенн данного
типа представлены на рис. 1.57. В соответствии с экслерименталь-
г ными данными можно ожидать, что угол сканирования луча по 6
' достигнет ±90° (при угле раскрыва основного зеркала ф«70°).
Двойные цилиндрические антенны. Аналогичные соображения
применимы й в случае перископической антенны, состоящей нз
двух цилиндрических рефлекторов (рис. 1.58). Характеристики
ч: сканирования подобных систем Для ортогональных поперечных
? сечений таких цилиндрических рефлекторов близки к полученным
характеристикам полноповоротных систем. Использование двух
зеркал одинаковой кривизны уже было предложено для этой це-
ли в оптике, и из литературы [39] известны данные, позволяю-
щие Определить угол сканирования луча по этому методу.
1.13. Антенны с особой формой луча и амплитудное
распределение в апертуре
При использовании оптических антенных систем важное зна-
чение имеют два частных случая, исследование которых требует
иного подхода, чем анализ геометрии фокусирующих лучей, про-
веденный в предшествующей главе. Один из этих случаев связан
с тем обстоятельством, что источник лучей, который в геометри-
ческой оптике считается полностью изотропным, фактически, т. е.
в реальных антеннах СВЧ, представляет собой направленный ис-
точник с известным угловым распределением поля. Оптический
подход в данном случае по-прежнему нужен ввиду того, что лу-
чи, испускаемые таким анизотропным источником, должны в ко-
нечном итоге; иметь нужную фазу, причем известные способы рас-
чета сводятся к тому, что анизотропное поле источника может
быть преобразовано оптическим устройством в разнообразные ам-
плитудные распределения в апертуре. Требуемая для этого др-
полнптельная степень свободы реализуется благодаря использо-
ванию антенн с двумя поверхностями.
Влияние амплитудного и фазового распределения на форму
диаграммы направленности можно оценить, воспользовавшись ме-
тодом'скалярного интеграл а Кирхгофа, который будет рассмот-
рен в гл. 3. Применение данного метода позволяет получить ре-
зультат, достаточно близкий к экспериментальным диаграммам
направленности, что дает возможность использовать метод как
средство установления соответствия между свойствами оптичес-
ких устройств, с одной стороны, «формой ожидаемых от них диа-
грамм направленности, с яругой. Связующим звеном между ними
должен явиться способ, который — с той же точностью прибли-
жения — по известному угловому распределению источника лучей
позволяет найти амплитудное распределение в результирующей
апертуре.
*188
В случае симметричного кругового нлц цилиндрического реф-
лектора этот способ может быть упрощей до стандартной проце-
дуры. В основу этой процедуры положен принцип сохранения по-
тока энергии в лучевой трубке, взаимодействующего с отражаю-
щими или преломляющими поверхностями. Поскольку в данном
случае рассматриваются скалярные величины типа плотности
энергии, эффектами интерференции между соседними или пере-
секающимися лучевыми трубками пренебрегают. Применение ска-
лярного интеграла дифракции для анализа результирующего рас-
пределения позволяет частично компенсировать этот недостаток.
Такой подход может быть использован при исследовании диа-
граммы направленности излучения из апертуры, когда методами
геометрической оптики ^определено распределение фаз, а на осно-
ве принципа сохранения энергии получено распределение поля.
Как будет показано в гл. 4, обратная процедура, т. е. нахожде-
ние распределения по заданной диаграмме направленности, отли-
чается гораздо большей сложностью и во многих случаях просто
невозможна.
В рассматриваемом случае использование одного лищь прин-
ципа сохранения энергии позволит получить профиль рефлектора
по известной диаграмме направленности источника и заранее за-
данной диаграмме направленности антенны в целом. Приближе-
ние при этом оказывается гораздо менее точный, а амплитудно-
фазовое распределение — слишком сложным для того, чтобы уп-
рощенная теория Кирхгофа могла бы обеспечить требуемую ре-
зультирующую точность. Для подавляющего большинства систем,
для которых данный метод может быть использован, точность
окончательных результатов определяется изложенными ранее со-
ображениями.
Таким образом, принцип сохранения энергии применим при
анализе основных проблем, относящихся: 1) к нахождению рас-
пределений в апертуре- или ближней зоне для симметричных реф-
лекторов пли линз; 2) к нахождению поперечного сечения профи-
ля рефлектора с целью определения требуемой формы диаграм-
мы направленности в дальней зоне (в той же плоскости); 3) к
обобщению проблемы 1), т. е. проблемы рассеяния излучения лю-
бого вида, поступающего от известного источника, поверхностью
самого общего вида (без учета краевых эффектов); 4) к обобще-
нию проблемы 2), т. е.'лроблемы нахождения полной поверхности
рефлектора по требуемой полной пространственной направленно-
сти аитенны и характеристикам источника.
Распределение амплитуд в апертуре. К первому из перечислен-
ных случаев могут быть отнесены почти все обсуждавшиеся ранее
фокусирующие рефлекторы и линзы. Если подходить с геометри-
ческой точки зрения (рис. L59), легко установить, что энергия,
ограниченная конусом с телесным углом dll', после отражения
или преломления ререизлучается в конусе с телесным углом dQ.
Для осесимметричной системы с коллимацией лучей в ближ-
ней зоне это означает [15], что d!l'=sin OdOd<p, dQ=pdpdq>.
Следовательно, результирующее’ распределение энергии в ра-
диальном направлении может быть найдено по формуле
р,®^Авв*4£., (165)
pdp
где Pj(6) — распределение энергии источника.
Распределение А (р) нельзя представить как явную функцию р.
Если поверхность рефлектора в однозеркальной системе имеет
Ри& К выводу урявнеякЯ сохраиеавя эяергни в лучевых Трубках для
сферических (а) и цвлмдряческях (б) систем:
*'^»ввчврмЙ ясяйтщ 2—освсаммегрмяи темвхяоеп; Л — хшеДиы* кютвкк; 4 — ци-
«мркшжая вомрююеп.
поперечное сечение, определяемое выражением г=/(0), то, по-
скольку p=rsin0, уравнение (1.65) можно'переписать в следую-
щем виде:
Pi(p)=P2(0)/{[H0)]2cos9+/(9)r(O)Sin9}. (1.66)
Если система подчиняется условию синусов, то f(0)=const и
второй член знаменателя (1.66) обращается в нуль, т. е. Pi(p) =
=P2(0)/(aacos0).
В случае, цилиндрической системы рассматривается элемент
dz рефлектора, и тогда (рис. 1.596) dQ'—dtyiz и dQ—dydz.
Итак, мощность, отнесенная к единице длины системы в плос-
кости раскрыва, определяется как
Л(?)^ Р2(Ф), (1.67J
где Р3(ф)—распределение мощности, отнесенное к единице дли-
ны линейного источника.
Если падающие и отраженные (пли преломленные) лучи пе-
ресекаются на поверхности, определяемой выражением г=/(ф),
то, поскольку у=гзтф,
Л(у)^/МФ)/{/(Ф)со8ф-ЬГ (ф)зшф}. . (1-68);
Для систем, подчиняющихся условию синусов, находим, что
Л(^) =Рг(Ф)/(«созф).
Для определения диаграммы направленности в дальней зоне
по методу, изложенному в гл. 3, может быть использовано соот-
ношение (1.66). Оно учитывает тот факт, что в случае параболои-
да г= 2f/(1 + cos 0) однородное возбуждение раскрывд Р[(р) =
=const может быть получено при Р(0) ос (1+cos О)"1, т. е. при
распределении амплитуд по закону |P(0)|.ocsec2(0/2).
Рефлекторы с диаграммой направленности особой формы.
Стандартный метод нахождения профиля цилиндрического реф-
лектора, создающего диаграмму направленности особой формы
яри использовании линейного источника с известной характери-
стикой, не претерпел заметных улучшений п рассматривается
здесь в основном для обеспечения полноты изложения [41, 15].
Если распределение мощности излучения линейного источника,
отнесенной к единице длины, определяется как Pi (ф), а распре-
деление мощности излучения системы в целом равно Ра(0), то
можно предположить, ’fro вся излучаемая источником энергия в
любом угловом интервале будет содержаться в соответствующем
угловом интервале общей диаграммы направленности антенны.
Другими словами,
♦ в
f ^(ФМФ J Р,(О)Д0 “
]\(ФИФ f Pjtejde
в»
где фи 0-7-7любые значения в интервалах [ф0, ф(] и fOo. 0?] соот-
91
ветственно, которые определяют ширину диаграмм направленно-
сти источника и антенны в целом.
Из (1.69) графическим способом [41] можно получить соот-
ношение между 0 и ф, заданное, например, в виде функции 0=
=£<Ф)-
, - Если форма рефлектора относительно координаты ф опреде-
ляется законом то, как показано в приложении 1, мож-
НО нанти, ЧТО — = tg ( --- ПЛ!!
t р ' 2 /
1П tg [ (t> ] d Ф, (1.70)
где ра соответствует ф0, а 0О представляет собой «исходную» точ-
ку на профиле рефлектора.
В общем Случае ввиду особенностей функции #(ф) решение
уравнения (1.70) может потребовать численного интегрирования.
Для перехода от рефлектора, рассматриваемого в цилиндри-
ческой системе координат с соответствующим линейным источни-
ком, к рефлектору, требующему только точечный источник, необ-
ходим более сложный анализ [41]. Наиболее простой метод тако-
го диализа состоит в том, чтобы преобразовать данный рефлек-
тор л некий новый рефлектор, перемещая полученный ранее про-
филь параллельно самому себе относительно второй кривой.
В самом простом случае ею могла бы быть окружность; более
естественным вариантом выбора представляется парабола. Более
точное приближение может дать метод построения рефлектора в
виде набора параболоидов, причем фокус каждого параболоида
должен быть совмещен с источником облучения, а вершина — ле-
жать на поперечном сечении.
Общий случай рассеяния волн поверхностями. Наиболее общий
случай рассеяния волн поверхностями был недавно исследован
применительно как к оптическим антеннам, так и к антеннам
СВЧ. Соответствующий математический процесс предусматривает
использование, дифференциальной геометрия поверхностей, что
позволяет установить соотношение между конусом падающих лу-
чей (или областью его пересечения с элементом рефлектора илн
рефрактора) и конусом перертраженных лучей (пли областью его
пересечения с приемной поверхностью).
Полный обзор принципов дифференциальной геометрии выхо-
дит за рамки данной книги. Поэтому результаты этих исследова-
ний будут представлены здесь в виде, удобном для применения в
технике антенн СВЧ. Вывод соответствующих формул можно най-
ти в § 10 приложения I.
Буркхард я Шили предлагают следующую формулу для прин-
ципа сохранения энергия [43]:
f (dSi->dS2)=p<ico3 , (1.71 J
где JFfdSr-^tlSi) — поток энергии через единицу площади прнем-
И ..... .
ной поверхности dSa, соответствующую элементу отражающей или
преломляющей поверхности dSj (рис. 1.60); р — коэффициент от-
ражения или перепзлучення элемента (может быть функцией <pf);
о —плотность потока энергии для падающего луча.
Приемная
поверхность
Рис. 1.60. Расположение источника излучения, переотражающей и приемной по-
верхностей
Направления лучевых трубок (конусов лучен) могут быть по-
лучены исходя из законов отражения пли преломления.
Дифференциальная геометрия' дает метод нахождения отноше-
ния dSJdS2 для (1.71); результаты анализа приведены в прило-
жении 1.
Такой подход может быть применен при расчете антенн СВЧ
в двух основных случаях. Во-первых, если приемная поверхность
представляет собой плоскую выходную апертуру оптической систе-
мы, а о — платность потока от анизотропного источника, апертур-
ные распределения могут быть получены скалярным методом. Во-
вторых, если приемная поверхность проходит через ожидаемый оп-
тический фокус (илн близко от него) «.то может быть найдена каус-
тика падающей плоской волны. Луч заданной формы может быть
построен исходя из ряда таких падающих плоских волн, а требуе-
мая диаграмма направленности будет создана составной системой
облучения с источниками, лежащими на каустике. Для нахожде-
ния этих каустик, как показано в приложении I, разработана прак-
тически пригодная теория.
Исследования Весткотта и Норриса [44] представляют собой
попытку решения проблемы синтеза рефлекторов и в основном ка-
саются вопросов распределения излучения в дальней зоне. Соглас-
но геометрнческим построениям, изображенным на рис. 1.61, закон
сохранения энергии имеет следующий вид:
<f Q'
dQ
т. е. тот же, что и в случае, рассмотренном в § 1.13.
2^^. плотность энергии отражающей волны
Плотность ввергай падающей волны
(172)
93
Если использовать единичные векторы (см. § 1.1 приложения
1), то закон отражения для точки Р будет иметь следующий вид:
у=г—2п(тп) или ту—г, (1-731
где г — радиус-вектор, соединяющий точки О и Р; N — неедннич-
ный вектор в направлении нормали в точке Р.
рефлектор Проке ция сферы
Рис. 1£1. Дальняя зона излучения рефлектора
Если поверхность задана в параметрической форме выраже-
нием г=.г (и, и) i+у (и. о) j+z(u, и)к н направление у определяет-
ся теми же координатами (например, ы=Э, о=ф в сферической
полярной системе), то
da'-^lr.iTx^naa-y^x^-
гэ да ди ди до
Следовательно,
D (и, о) =
(1-74)
Проблема синтеза, таким образом, сводится к нахождению
поверхности г(п, о), удовлетворяющей уравнениям (1.73) и
(1,74). Теория, очевидно, может быть приспособлена для практи-
ческого анализа в тех случаях, когда значение rfu/o) известно за-
ранее.
1-14. Графоаналитический метод расчета двухповерхностных
систем
Успешность применения приближенных методов расчета двух-
поверхностных рефлекторов или линз зависит от того, насколько
иросто критерий, связанный с имеющейся степенью свободы, мо-
жет^быть использован для разработки процедуры нтерацнн вдоль
Профильных кривых системы (в предположении, что система осе-
симметричная или цилиндрическая). При достаточно частом задя-
нин точек кусочно-линейное приближение может дать настолько
близкие к точной кривой результаты, насколько это допускает
обычное условие расхождения фаз на Л/16, В случае линз это раз-
личие представляет собой фазовый сдвиг между лучом в линзе
идеальной формы и ее приближенном графическом представлении.
Следует отметить, что для линз, как правило, имеют место более
широкие допуски на точность выполнения поверхности, чем, для
рефлекторов. Отметим, что в случае рефлекторов сумма допусков
для свободного пространства не должна превышать минимально
допустимую ошибку по фазе, причем это значение следует умень-
шать вдвое на' каждой отражающей поверхности. Таким образом,
при расчете рефлекторов шаг итерации желательно иметь меньшим.
Однако при наличии средств вычислительной техники эти трудно-
сти легко могут быть Преодолены.
Представляет интерес вопрос о том, каким образом неразреши-
мая в общем случае задача, а именно задача о двухповерхностном
оптическом устройстве наиболее общего вида становится разре-
шимой, если ввести расчетный критерий, — в частности, для случая
условия синусов Аббе — в том виде, в котором би применим для
коллимирующих систем. Согласно этому требованию (см. § 1.9
приложения 1) каждый перензлучаемый луч Дблжен пересекать
соответствующий падающий луч в точках, лежащих на окружно-
сти, центр которой совпадает с источником лучей. Воспользовав-
шись этим критерием, можно установить соответствие между пос-
ледовательными линейными элементами и их ориентацией для
обеих поверхностей. Далее в этой связи будет рассмотрен метод
Пономарева [45]. ' ,
Графической базой расчета является окружность, в точках ко-
торой происходит пересечение лучей (рис.' 1.62). Опа разделена
на одинаковые угловые интервалы, размер которых определяется
допустимым расхождением по фазе. Для исследуемой здесь отра-
жающей системы в качестве исходной выбрана точка Л, лежащая
на внешнем луче. В этом случае горизонтальный луч, проходящий
через точку пересечения внешнего луча с окружностью, по сущест-
ву, должен быть лучом, отраженным второй поверхностью. Окон-
чательная геометрия системы зависит от того, где — внутри или
снаружи по отношению к окружности — выбрано положение точки
Л, а также от первоначального наклона элементарного интервала
и точке Я. Другими словами, выбор касательного элемента в точ-
ке А определяет положение исходной точки В на втором рефлекто-
ре, а также тангенциальное приращение в этой точке. Таким обра-
зом, три величины, а именно положение точки Ви значения углов
наклона в точках Л и В вполне определены, если задана хотя бы
одна из них. Второй луч и соответствующая ему вторая Горизон-
таль пересекают элементы Л и В в точках Л1 и В(. По известным
положениям точек Л1 и В< можно получить новые элементы н их
ориентации, что позволяет найти положения точек Л2 и В» и т. д.
Hai^/рис. 1.62 представлены два из многих возможных вариан-
товрефлекторов. Для определения координат точек Ли и В* по
Л ,
координатам точек zU-i и могут быть использованы следую-
* щие рекуррентные формулы [46]:
х =х tg{« - (*- О 4- ctg «е—(А -1) ае + р^/г)
* *-1 tg(0-*«e}+cteae-(*-i)W+₽*-i}/2) ’
y* = ^»tg(O—А60)
Рис. 1.62. Графическое построена двухзеркальной антенны, удовлетворяющей
условию синусов
для координат точек А и
xA=-xfe_,+2/tg(pft_i/2)sin(60/2)cos[e-(2A—1)60/2],
yA=f$in(f)—fe60)
для координат точек 0, где.
tgPb—1= (ув-—Уа)/(хд—Хл) (1.75J
для точек \
k В рассмотренном случае предполагалось, что окружность Аббе
разделена на одинаковые элементы 60. Отметим, что могут быть
/ ; 96 ’... ... Л'
разработан1ИГ другие методики, базирующиеся на разделении на
различные по длине элементы или на переходе от луча к лучу.
Расчет апл апатических линз можно вести, в принципе, тем же
способом, используя для точек А и В не закон отражения, а закон
преломления (рис. 1.63).
Рис.1.63. Графическое
построение двухпо-
верхиостной линзовой
антенны, удовлетво-
ряющей условию си-
нусов
В этом случае рекуррентные формулы для координат точек А
имеют вид
tg[fl-(t-l)691 + ctg|a -р' 1
= Л>-< t Aft. -L. ft. , (О -Л 66). ...
H 1 ft—I
а для координат точек В
x*=x/t^i4-2/tgrpft-i sin (60/2) cos [0—(2А—1)66/2],
^=/sin(6—Й69). (1.76)
Здесь согласно закону преломления
(при £„_,)= *>5|П а*Ь , tgp; jnprM^.j»
Т) COS Oft—J— 1 * 1
sinlfl—(it —))6Й —gft-J
4—c« [0 — (k—1) SB— <x h,|
II
tg щ-t = (Ув—Ул)/ (xb—Xa) (1.77)
для точек (A— 1). <•, -
Применение различных критериев, естественно, приводит к '
различным итерационным процедурам. Применение принципа трех
лучей (§ 1.6) для расчета рефлекторов е коррекцией по фазе поз-
воляет разработать следующий метод. Будем считать, что внешний
Горизонтальный луч системы пересекает элемеИт отражающей
призмы, причем падающий на призму луч преломляется поверх-
ностью, образующей угол ф| с горизонталью, а после отражения
этот луч пересекает поверхность, образующую с горизонталью
угол фа(рис. 1.64). Углы ф( и фз различаются на очень небольшую
величину, ‘Результирующий луч образует с горизонталью угол а, и
поэтому источник имеет координаты (Да).
? 97
Согласно принципу трех лучей должна
шествовать вторая,
симметричная первой, призма, которая аналогичным образом отра-
жает падающий луч, образующий угол 0 с Горизонталью, после
чего он образует с горизонталью угол а. В соответствия с законом
преломления для нижней призмы справедливо соотношение
cos(ipt—а) «т| sin{2q>—ф1—фг—arcsinf (1/т})со5(9+ф2) ]}, (1.78a)
а для верхней призмы — соотношение
—cos (ф i -|-а) я=а т] sifl {ф14-фг—2ф+arcsin [ (1 /т)) cos ♦1]}, (1.786)
где ф — угол между отражающей поверхностью и горизонталью;
tg0s2/sin a/d; d —расстояние между источником и точкой пре-
ломления, измеренное по горизонтали.
Рис. 1.64. Графическое построение фазокорректирую-
щего рефлектора по методу трех лучей
Как показано в § 1.6, представляется возможным задавать од-
ну из трех кривых: профиль отражающей поверхности, профиль
преломляющей поверхности или дугу сканирования. В двух пер*
вых случаях могут быть получены приращения ф или ф, по кото-
рым можно определять приращения би, следовательно, d, для
чего нужно совместно решить уравнения (1.78). Если Же заданы
Дуга сканированиями начальные значения d и <р (или ф), могут
быть предприняты дальнейшие шаги. В этом случае результирую-
щие кривые могут пересекаться, и расчет следует повторить еще
раз при новых значениях или при большей толщине на краю.
Нриб.гЩ&?нную форму линз с малым углом раскрыва (парак-
сиальных) можно получить непосредственно из условия Аббе. В
основном форма линзы и соответственно особенности ее расчета
определяются ее диаметром, фокусным расстоянием и толщиной
по центру. Так, например, если заданы ОА, d, в и t (рис. 1.65), то
положение точки Р находится из соотношения
PQ = F+1)Z—d/sine, (1.79)
где d — радикс линзы; t — толщина линзы по центру.
Рис. 1.65. Приближенное построение" профили л и из о с использованием условия
Аббе
В этом случае окружность Аббе представляет собой просто
окружность с центром О п радиусом ОР.,Если рассматривать один
из промежуточных лучей, например луч О MV. легко установить,
что касательные к профильным поверхностям, проведенные в точ-
ках М и N, не могут пересекать прямые Р.4 пли РВ на интервале
до точки их пересечения. При произвольном выборе положения
точки М на падающем луче направление преломленного луча. т. е.
элемента Af/V, а также направление кйсателыюй к поверхности в
точке N могут быть найдены из следующих соотношений:
_ . —nslHau iisinav
Рм—.arctg ! * ,pw = arctg-!—2L , (1.80)
Iт)cosT]cosav—1
где ал, —больший угол между ОМ и 5/.V: — меньший угол
между AfiV и горизонталью.
' При условии, что описанным способом найдено практически
приемлемое решение для касательной в точке N, кривую, прохо-
дящуючерез три точки н имеющую известный наклон, в. средней
из них, можно аппроксимировать большим количеством способов.
Можно ожидать, что при широком поле допуска, типичном для
микроволновых линз с малым углом раскрыва, такие приближен-
но рассчитанные профили будут достаточно приемлемыми.
4* 99
ГЛАВА ВТОРАЯ
Неоднородные среды
Часть I
НЕОДНОРОДНЫЕ МИКРОВОЛНОВЫЕ ЛИНЗЫ
; Как было отмечено во введении к гл. 1, к проблеме распростране-
ния электромагнитных волн в изотропной неоднородной /среде су-
ществует два фундаментальных подхода, а именно использование
методов теории поля и использование принципов геометрической
оптики. При этом целесообразность применения того или иного из
этих подходов зависит от специфики задачи. В тех случаях, когда
Свойства среды точно известны или же могут быть предсказаны,
необходимо использовать теорию поля, которая позволит оценить
явления отражения и прохождения волн через среду, и такие век-
торные свойства поля, как поляризация я напряженность. По по-
лученным таким образом данным при необходимости можно опре-
делить траектории лучей и волновые фронты.
Ситуация совершенно меняется, если требуется создать среду
с заданными оптическими свойствами — как правило, со свойством
фокусирования системы параллельных лучен в точку. В этом слу-
чае единственным методом, позволяющим получить достаточно
близкое приближение «заданным величинам, является применение
принципов геометрической оптики к анализ поведения лучей в не-
однородных средах. Таким образом, геометрическая оптика — это
один из самых существенных элементов исследования при разра-
ботке линз.
Теория поля чаще всего применяется — и применяется с самых
первых дней истории радиосвязи — как основа изучения процес-
сов отражения и преломления воля в таких неоднородных средах,
как атмосфера и ионосфера. Однако общая теория даже для са-
мых простых видов неоднородностей в высшей степени сложна.
В одном или двух случаях теория ноля может быть применена
к анализу антенн СВЧ, например, тогда, когда волна распростра-
няется через радиопрозрачные окна (антенные укрытия). Обычно
задача ставится в простейшей форме, т. е. как задача 6 падении
плоских волн на плоскую бесконечную слоистую среду. Попытки
рассмотрения других поверхностей, например цилнндряческнх илн
конических, как показывает опыт, до сих пор не позволякугсоз-
дать простые аналитические методы, пригодные для разработки
реальных конструкций.
В первой чйсти данной главы будут рассматриваться вопросы
геометрии лучей, распространяющихся в неоднородных средах.
ЭГо исследование представляет собой попытку распространить за-
коны, которые были сформулированы в гл. 1 применительно к си-
стемам с небольшим числом поверхностей, на более сложные си-
стемы. Возможность применения принципов геометрической опти-
ки к расчёту фокусирующих устройств известна всего лишь для
нескольких практических случаев, которые все же рассмотрены в
главе, несмотря на то, что общие принципы их расчета хорошо из-
вестны. Автор включил их в данную главу не с целью простого
повторения материала; он полагает, что облегчение понимания ос-
новополагающих проблем даст возможность найти большее коли-
чество технических решений.
В главе упомянуты некоторые представляющие интерес, воз-
можности, в частности возможность применения теории сред, опи-
сание которых базируется на различных системах координат. Исхо-
дя из этой теории, можно, например, показать, что привязка К
сферическим координатам может оказаться при расчете оптиче-
ских устройств таким же ненужным ограничением, как привязка
к параболическим координатам при расчете отражающих систем.
Кроме того, эта теория позволяет глубже проникнуть в сущность
основных процессов, происходящих в таких средах, и соответствен-
но проиллюстрировать аналогии с другими областями теоретиче-
ской физики.
Во второй части с волновой точки зрения рассмотрена пробле-
ма отражения п передачи энергии через плоскую слоистую среду
и предложен метод исследования свойств конечного слоя типа
стенок укрытий, который можно считать совершенно новым. Метод
может быть применен для решения обратной задачи расчета слоя
с заранее заданными свойствами.
2.1. Лучевая оптика в неоднородной среде
Как показано в приложении 1, законы Снелл нуса пли принцип
Ферма могут иметь самые различные формулировки, начиная от
простых тригонометрических соотношений й кончая диаднымн. Со-
ответственно исходные соображения для обобщения этих законов
применительно к лучам, распространяющимся в неоднородной сре-
де,могут быть столь же разнообразными и сложными.
. Из. указанных соотношений, как показано в приложении 1„ наи-
более часто используется следующее:
' '2.1>
где т| — показатель преломления, представляющий скалярную
функцию, определяемую радиус-вектором г, исходящим из пронз-
вольно выбранной точки; ds — приращение, измеряемое вдоль пути
луча.,
; (2.1), можно выделить отдельные области неодно-
родной ереды с заранее заданными -свойствами. Интегрирование
производится (как и в гл. 1) по отдельности для каждого ннтер-
вала с целью нахождения классов линз с фокусирующими свой-
ствами, пригодными для использования в антенной технике.
Прежде всего соотношение (2.1) целесообразно рассмотреть
применительно к средам, «расслоенным» вдоль координатных по-
верхностей трёх основных систем координат.
2.2. Лмиебная горизонт&лыю-слоистая среда
В прямоугольной системе координат, в которой ч представляет
собой функцию одной переменной, например т;—n (jc) , и в которой
лучи распространяются в плоскостях, параллельных плоскости
(х, г), уравнение (2.1) принимает следующий вид:
(2.2)
где i, j, k — орты данной системы координат.
Приравняв компоненты с 1 и к, получаем, что
<tf \1 Л / й \ <1л) dt . '
Оба уравнения дают один и тот же результат1:
i\=dzfds=cosst=A (вдоль пути распространения луча).
Согласно рис. 2.1
Пашф—А, (2А)
где зр—-угол между направлением луча и нормалью к границе
.раздела сред; А — постоянная, различная для каждого луча.
Рис. 2.1. Прохождение
луча в линейной мно-
гослойной среде
После подстановки ds= (dx’+dz®)1/2 уравнение для траектории
луча принимает вид
dz=Adxl(x\i~Ai)4'. (2.5)
На данном этапе целесообразно рассмотреть одно-два частных
решения уравнения (2.5), поскольку они могут понадобиться
позднее.
* В„ соответствии с рас. 2.1 второе из этих уравнений принимает вид:
4 4п <6t
СОЗ* ~г * °т«уда—Чcostsinф -Т" «== sin’t шш nsin* =
el AS Of OS
. 'Г f
НЙ ' " <
Пусть показатель преломления определен как т](х)=с/х для
лука, исходящего нз точки (х=х0; z=zu), где показатель прелом-
ления равен т)о=с/хо. Пусть луч в-этой точке образует угол а с
вертикалью. Тогда (2.5) можно переписать в следующем виде:
dz =° «ли (zr)2osins а-|-й)а=с*—rf^sin2а, (2.6)
(с1—гр» ** si Ц*а)'м
где b— произвольная постоянная интегрирования.
Если для простоты положить, что Ь~с, то, как легко видеть,
(2.6) будет представлять собой уравнение эллипса. Для конкрет-
ного луча, для которого rjosin a==r sin <х/ха= ], эллипс превращает-
ся в окружность. Необходимо отметить, что если допустить суще-
ствование бесконечно большого показателя преломления при х,
стремящемся к нулю, и. отрицательного показателя преломления
при отрицательных значениях х, то математическое решение будет
соответствовать лучам, распространяющимся по замкнутым кри-
вым. Позже будет показано, что это — существенное условие для
полностью непрерывных сред. Все лучи, проходящие через точку
(х0, 0), снова пересекаются в точке, лежащей на противоположном
конце диаметра кругового луча, и, следовательно, повторно фоку-
сируются. Таким образом, среда обладает астигматическими свой-
ствами (рис. 2.2).
РНО 2-2. Круговой и эллиптический лучи в среде с изменением показателя пре-
ломлення по закону
Дляформирования линзы нз среды такого рода в пределах диа-
пазонафизически реализуемых значений показателя преломления
необходимо найти поверхность, на которой преломление в свобод-
; ЮЗ
ное пространство, заставляло бы лучи отклоняться от их эллипти-
ческих траекторий и следовать по требуемым для фокусировки
(или иным) направлениям. В данном случае (двумерная задача)
источник оказывается линейным, однако общий принцип остается
тем же и для трехмерных задач и для точечных источников.
В качестве второго примера рассмотрим следующий закон из-
менения показателя преломления:
Л (x)s= qo зсЬ(ох). (2.7)
Тогда dz« , где для лучей, образующих с
вертикалью угол а, Л ^ijosin а.
Воспользовавшись известными тригонометрическими и гипербо-
лическими соотношениями, можно найти, что
dz~ .«inach(^
[cos* a—eta* а ' г
После интегрирования получаем
sin(oz) =tgash(ax). (2.9)
Выбрав положение источника лучей в, точке z—0, постоянную
интегрирования можно приравнять нулю.
В этом случае лучи непрерывны и многократно фокусируются
в точках, лежащих на оси а и отстоящих друг от друга на расстоя-
нии 2/=л/а (рис. 2.3).
Следовательно, если источник лучен помещен в точку начала
координат, то вследствие симметрии плоскость, расположенная
посередине между двумя фокусами, будет пересекать каждый луч
Рис. ЗЛ. Траектории лучей и фазовые фронты в среде с изменением показателя .
преломления ш> захоиу i)(x)wachax
. Ж . V Х >
ортогонально направлению его распространения, формируя, таким
образом, требуемую поверхность для фокусировки лучей на беско-
нечность без дополнительного преломления. Такие линзы, способ
расчета которых предложен Брауном [1], известны под названием
короткофокусных рупоров. Уравнение для волновых фронтов в
данном случае имеет вид: cos (oz) =pch(ax), где р —переменный
параметр, соответствующий различным волновым фронтам.
Другими словами, здесь рассмотрен второй тип фокусировки,
не связанный с наличием замкнутых кривых. В этом случае фо-
кусировка периодична, и на прямой имеется бесконечно большое
количество точек фокусировки. Если бы источник лучен был сме-
щен относительно оси симметрии, то по обеим сторонам оси, как
показано на рис. 2.4, имели бы место две серии изображений.
2.3. Цилиндрические полярные координаты
В системе координат с цилиндрической симметрией относитель-
но осн г уравнение (2.1) принимает следующий вид:
у- [n -~(p₽ + zk] -* (2J°)
ds I rfs J ар дг i
поскольку согласно допущению дт)/<5<р —0; g, tp и k— орты цилин-
дрической системы координат.
Для того чтобы полностью раскрыть левую часть уравнения
(2.10), необходимо, чтобы выполнялись соотношения: 1
di 4з <к ds г
Тогда
(2.116)

(2.11в)
«т-
Последнее уравнение эквивалентно следующему:
р л V а/
Этн уравнения, очевидно, слишком сложны для того, чтобы их
можно было решить. Если свойства среды заранее заданы, т. е.
если задано значение п(р, z), то траектории лучей могут быть
определены, однако возможность создания реального фокусирую-
щего устройства весьма мала. Поэтому в дальнейшем будут рас-
сматриваться толькоте практические ситуации, когда лучи рас-
пространяются в координатных плоскостях системы.
а) Меридиональные плоскости. Для плоскостей, содержащих
ось симметрии, в уравнении (2.11) положим <йр—О. В этом случае
(2.11а) и (2.116) Оказываются взаимозаменяемыми, что приводит
к двумерной задаче, рассматриваемой в прямоугольной системе
координат. Эту задачу, впрочем, можно сделать и одномерной,
предположив, что по отношению к одной из переменных показа-
тель преломления остается постоянной величиной. В этом случае,
очевидно, следует принять Л|/дх=0, в результате чего задача н ее
решения для меридиональных плоскостей будут идентичны соот-
ветствующей задаче и решениям для прямоугольной системы ко-
ординат, если конечно координата х будет заменена координа-
той р.
В частности, в системе с симметрией вращения для фокусиров-
ки лучей от точечного источника в последовательных лежащих на
оси точках могут быть использованы изменения показателя пре-
ломления по закону гиперболического секанса (2.7). Аналогичная
двойная линия повторяющихся фокусов имеет место, если источ-
ник смещен относительно оси симметрии. В этом случае фокусы
образуются поочередно с каждой стороны оси в меридиональной
плоскости, содержащей источник (2J-
В симметричном случае, когда источник расположен на оси,
короткофокусный рупор можно получить, разрезав линзуа пло-
скости, лежащей посередине между двумя фокусами, т. ё/ ф йлб-
скости, в которой все лучи — вследствие только лвдпь одиой овм-
метрии — должны быть параллельны осн и, следовательно,додж-, ।
ны фокусироваться на бесконечность. Как известно (3J, рассчитан-
ные таким способом линзы могут допускать достаточно большую
осевую расфокусировку, в особенности, если рассматриваются толь-
ко параксиальные лучи. Справедливость этого утверждения для
техники СВЧ легко доказать, напомнив, что подобная осевая рас-
фокуенровкасрздает лншьнезначительный фазовый сдвиг между
осевым я лщбым другим лучом. Это — особое свойство всех неод-
НОрбДНЫХ ЛИНЗ.
Если в короткофокусном рупоре конечной длины облучатель
смещен относительно оси в плоскости, содержащей исходный фо-
кус, то ситуация оказывается гораздо более сложной. В-меридио-
нальной плоскости, содержащей смещенный источник, когерент-
ность лучей др некоторой степени сохраняется. На использовании
этого свойства базируются некоторые конструкции оптических линз
[4] с переменным усилением (с переменной длиной цилиндрической
среды). Однако для других плоскостей, для которых приходится
учитывать также и наклонные лучи, решение вовсе не является
определенным, и данная проблема остается нерешенной [3].
Итак, короткофокусный рупор представляет собой обладающую
симметрией вращения среду, в которой' показатель преломления
изменяется по законуц(р)==нобсЬ (лр/(2/)) ив которой расстояние
от плоской поверхности до фокуса на выходной апертуре равно/.
При других законах изменения показателя преломления в цилинд-
ре могут иметь место аналогичные фокусирующие свойства, если
только форма выходной поверхности подобрана правильно, так
что вследствие преломления все лучи, как И требовалось, будут
направлены параллельно оси.
Получить такую поверхность средствами геометрической опти-
ки можно для всех законов изменения показателя преломления,
и из всех полученных таким образом классов линз представляется
возможным выбрать такой, который подчиняется условию синусов
в большей степени, чем остальные. Такая линза при смещения об-
лучателя будет более эффективна, чем простая линза с плоской
передней поверхностью. Линзе может быть придана способность
к произвольному изменению показателя преломления по оси г
(в диапазоне от 0 до 1). Кроме того, при наличии дополнительной
Степени свободы можно «развязать» угол смещения облучателя
относительно углового положения луча. Таким образом, мы при-
ходим к возможности создания обладающей усилением линзы на
базе цилиндрической отражающей среды, которая в состоянии
обеспечить сканирование луча с большим максимальным углом,
чем угол смещения облучателя.
б) Поперечная плоскость. Для лучей, распространяющихся
только И плоскостях, перпендикулярных осн, рассмотрим двумер-
ную задачу о линейном источнике, параллельном осн цилиндриче-
ской среды (параметры среды не зависят от координаты г).
Согласно (2.11 в) »
тцэ* (2.12)
& у
Для поперечной плоскости ds2 = dp2+p2dy~. Подставив это вы-
ражение в (2.12), получаем
- (2.13)
т. е. уравнение луча, проходящего через точку (р0, q>0). В этом
уравнении знак «плюс» соответствует первоначальному направле-
нию луча, т. е. его направлению к оси симметрии, а знак «минус»—
направлению луча от оси симметрии.
Далее, поскольку p(d<p/ds) =sin а, где а — угол между радиус-
: вектором и направлением самого луча ds, нз (2.12) вытекает, что
'• Вдоль пути луча Tfpsin Аналогичная ситуация будет рассмот-
; репа в следующем параграфе в связи с вопросом о среде со сфе-
§ рическойсимметрией.
Луч^рйсярОстраняющиеся только по поверхности цилиндра.
Совершеийо очевидно, что при формировании лучей, распростра-
В няюшнхсятолько по поверхности кругового цилиндра, соосного с
осью симметрии среды, изменение показателя преломления в на-
правлении оси г недопустимо (это положение легко вывести из
t рассмотрения только меридиональной плоскости). Для такого луча
изменения р и. следовательно, т| при увеличении пути на величину
ds должны быть равны нулю, ввиду чего (2.11) принимает следу-
ющий вид:
п 4^-=const, п — — const» А
аз . ЦЬ .
(для поверхности р=const и, следовательно, т]=const)
-»(?)’“&• (214>
\ ад / ар
Для первых из этих уравнении показывают, что путь луча име-
ет спиральную форму, а отношение двух указанных констант
представляет собой щаг спирали. Подстановка второго из этих
уравнений в третье позволяет найти, что
—— А’= — или ц2=с2—А 2р2. (2.15)
п др
Это — хорошо известный «параболический градиент» показате-
ля преломления [5), для которого все лучи распространяются по
спирали с одним итем же шагом. Таким образом, когерентность
сохраняется, и среду можно использовать для построения оптиче-
ского волоконного световода.
Вместе с тем, целесообразно отметить, что этот результат за-
висит только от двух последних уравнений системы, а шаг спира-
ли — от двух ее первых уравнений. Поэтому можно высказать
предположение, что изменение показателя преломления в направ-
лении г (например, линейное), а также эффект радиального пара-
болического градиента приведут к расширению или сжатию спи-
рального пути луча с(лннейно) изменяющимся шагом. Это явле-
ние аналогично явлению изменения траектории заряженной части-
цы в магнитной «бутылке*.
г) Наклонные лучм. Обратившись к ; (2Л1в), относящемуся к
наиболее общему случаю среды с круговой симметрней, т. е. сре-
ды с показателем преломления n=»*ii(p, г), можно найти вторую
постоянную для траектории луча, определяемую как
- . " ' .. \ ..
...... ........ ..--
Здесь подразумевается, что при й=0 распространение лучей
снова ограничено меридиональными плоскостями, и, таким обра-
В зом, (2-16) позволяет оценить эффект наклона этих лучей. Это
д положение подтверждается анализом, проведенным Люнебергом
(2]. Представив (2.16) в виде функции осевой переменной z, т. е.
j произведя подстановку dsJ=dp’+p2d(ps + (fza, можно получить [2J,
что
Решив это уравнение относительно dyidz и проинтегрировав
результат [2], находим
ф1_Фо=Л ?!1+<1Лл, (2.17)
J Pttfp1-*’)173
где (фо, го) и (ф|, zt) — угловые положения краевых точек луча.
Теперь разделим оптический путь луча (от точки в плоскости
z0 до точки в плоскости Zi) на эквивалентные «радиальный» и
«угловой» оптические пути, причем последний определяется как
ft(d<p/dz). Тогда «радиальный» путь можно вычислить как раз-
ность полного и «углового» путей, т. е.
,2Л8’
После упрощений получаем выражение
(2.19)
зависящее только от р и z и, следовательно, описывающее «ради-
альный» оптический путь.
Этот путь эквивалентен пути луча в меридиональной плоско-
сти а среде с показателем преломления _
[*(pi^ = (’r,~A,/Pt)wl. (2-20)
Итак, для наклонного луча из уравнения (2.19) нами получено
радиальное перемещение (по отношению к расстоянию пр реп),
как и в случае прямоугольной системы координат, но с использо-
ванием показателя преломления р(р, z) н углового перемещения,
задаваемого (2.17).
2Л. Сферические полярные координаты
Раскрыть фундаментальное уравнение (2.1), записанное для
сферической системы координат, можно гораздо проще, введя не-
которые апрнорные допущения относительно природы среды. По-
казатель преломления, как правило, хотя это и совершенно не
обязательно, считают функцией радиальной переменной г в систе-
ме координат (Л 6, ф) с ортами ег, ёв, е,.
Это позволяет свести трехмерную задачу к одномерной; рас-
простраиение всех лучей будет ограничено диаметральными пло-
скостями. Решение теперь представляет собой «вращательный*
аналог одномерной задачи, рассмотренный в «б* предшествующего
... параграфа.
Г Однако когда уровень исследования таких сред позволит изу-
; чать случай, по меньшей мере, двумерного изменения показателя
преломления, например ijwi|(ir, 0), уравнений (2.1) будет необхо-
димо представить в более полном виде в указанной системе коор-
динат.
Теперь целесообразно отметить следующие соотношения между
производными ортов:
der=</0e e+sin 9</феф ,
4ев=—rf0er+cos 0^фвф ,
de*=—sin Qd 9er—cos Осйрео.
Тогда (2.1) принимает следующий вид:
d / d 9 \ . а д /</ Ф V , dr dв 1 дт] о
т]г — 1 —Ttrstn0cos0 (— } +п----------- , (2.216)
ds \ А / \ А / as ds г 3 в
~/nrsin0^®)+nrcos0^^4-r|sin0~“®™-~—“ . (2.21в)
А \ ' ds } ’ ds ds ds ds г sin 9 д ф
Если показатель преломления изменяется только в радиальном
направлении, то распространение любого луча будет ограничено
плоскостью, проходящей че^ез/центр симметрии; который можно
считать точкой начала координат. Тогда без потерн общности эту
плоскость можно считать плоскостью постоянного ф. (Уравнение
(2.216) при 4&p/ds=“0 дает в итоге тот же результат, что й уравне-
ние (2.21в) при 0—const=n/2.) Итак, при = ~ = (2.216)
v v Оф 0S
принимает вид ® и> следовательно,
tj г1—=const = Д. (2.22)
Для луча, распространение которого ограничено плоскостью
Ф=const, (</г),+г2(</е)1, и уравнение (2.22) может быть пе-
реписано в следующем виде:
уSinфажД, (2.23)
. ИО >
где ф— угол между касательной к лучу и радиус-вектором, исхо-
дящим нз точки начала координат (рис. 2.5).
Решив (2.22) относительно 0,-находим, что
de *
(2.24)
Уравнение (2.23) представляет собой обобщение закона Снел-
лиуса применительно к средам со сферической симметрией (теоре-
ма Бугера [6]).
Источник Центр
Рис. 2.5. Траектория луча в многослойной сфере с изменяющимся показателем
преломления. Теорема Бугера
Интересное преобразование можно осуществить, если в качест-
ве угловой переменной выбрать угол между касательной к лучу
и линией, параллельной центральному диаметру и содержащей
источник [3], т. е. угол £ (рис. 2.5).
Воспользовавшись соотношением [3] dg= и уравнением
Л
(2.23), получаем
Это соотношение можно получить непосредственно из (2.24),
применив преобразование г—т]
Результат интегрирования (2.24) принимает одну из двух форм,
что зависит от того. задан ли показатель преломления q(r) зара-
нее или же он должен быть получен исходя из требуемой геомет-
рии лучей. Для второго случая разработана стандартная методи-
ка,' в соответствии с которой интегрирование выполняется с ис-
пользованием теоремы Абеля [7] (см. приложение 2). В несколько
измененной форме она также представлена в работе Флетчера и
др. (З)/Однако на основе рассмотренной теории может быть соз-
Дано всего лишь один или два практически пригодных типа ан-
* ill
тенн. Они рассчитываются в соответствии с описанным методом.
Результаты расчета достаточно знакомы разработчику, и свойства
этих линз рассматриваются здесь довольно кратко.
а) Линза МаксвеллаПоказатель преломления, изменяющий-
ся по закону
T|(r)±=2/(i+rs)t (2.26)
Источник
Рис. 2J>. Траектория лучей
к фазовые, фронты в среде со
сферической симметрией, для
которой показатель прелом-
ления изменяется по зако-
ну tiW-i/O+r1) (в), лин-
за Максвелла со смещенным
источником (б), линза Мак-
свелла с вынесенным фоку-
сом (а) (для фокуса, рас-
положетиого на бесконечно-
сти, лучи системы становят-
ся яармлеж>ньшя. а выход-
ная поверхность линзы обра-
щается в плоскость) и лин-
за Максвелла, на плоскости
выходной поверхности кото-
рой лучи от смещенного
источника преломляются под
различными углами из-за
различий в показателях пре-
ломления (е)
S
источнике
- 1 Известна под названием <рыбнй глаз». (Прим, ред.}
113
определяет среду с фокусирующими свойствами, известную под
названием линзы Максвелла [8]. Закон изменения оптической
плотности среды можно найти, задав требуемые фокусирующие
свойства линзы и проинтегрировав (2.24). Однако известны и дру-
гие способы вывода этого соотношения: или по фокусирующим
свойствам или путем преобразования каких-то других законов из-
менения показателяпреломления. Эти способы представляют боль-
шой интерес. Л
Рассмотрим внешнее относительно сферической линзы прост-
ранство,' Для этого пространства закон (2.26) справедлив для
значений показателя преломления, меньших 1.
В этом случае траектории лучей представляют собой окружно-
сти, я все лучи* проходящие через данную точку (источник), пере-
секаются во второй обшей точке (фокусе). Таким образом, траек-
тории лучей представляют собой замкнутые кривые. Если источ-
ник помещен в точку, лежащую на единичной окружности, где
^=1, то фокус находится в диаметрально противоположной точке
той же окружности. Лучн при этом образуют Систему окружностей
(рис. 2.6а) с центрами, лежащими на диаметре, пересекающем
диаметр источник — фокус под прямым углом. Если а — текущий
угол, который конкретный лун образует с диаметром, то парамет-
рические уравнения этих окружностей имеют следующий вид:
Jts+y24-2y/?ctgf<x=J?2. (2.27)
Если источник расположён в какой-либо иной точке, фокуси-
ровка имеет тот же характер и фокус лежит на прямой, прохо-
дящей через источник и центр симметрии среды. Относительные
положения источника и фокуса могут быть получены путем обрат-
ной инверсии на единичную окружность, т. е., как показано на
рис, 2.66, все лучи, проходящие через точку (х0, у0), будут пере-
секаться в точке (*ь У1), причем xt~—х*/г‘в; =—Цо/г2о, где
rae=x1Q-i-y1Q и, если
ГоП=1. (2.28)
В обоих случаях волновые фронты представляют собой орто-
гональные системы окружностей. Линзу с вынесенным фокусом
можно получить, разделив исходную линзу но поверхности любого
из ее волновых фронтов. В этом случае лучи будут направлены
вдоль нормалей к поверхности, которая, будучи сферической, име-
ет фокус в собственном центре (рнс. 2.6в). Для микроволновых
линз в качестве такого волнового фронта целесообразно выбирать
фронт волны, проходящей через вентральной течение, создающее
систему параллельных лучей.
Что касается частного случая линзы Максвелла, показанного
на рнс. 2.6г, то неизвестно, в каком интервале эта линза позволяет
производить сканирование луча, не приводящее к существенному
ухудшению характеристик вследствие аберраций. Однако ширина
этого интервала, очевидно, может быть рассчитана на основе при-
веденных уравнений и выражена через фазовую ошибку.
Траектории лучей, определяемые уравнением (2.27), как из-
вестно, представляют собой стереографические проекции больших
кругов единичной сферы на экваториальную плоскость. Способы,
позволяющие вывести из этого факта показатель преломления,
представляют значительный интерес, поскольку они связаны с
представлением луча как геодезического пути в пространстве и
его преобразования в геодезический путь на плоскости. Другими
словами, здесь имеет место преобразование, геодезии некоторого
пространства в геодезию пространства с меньшим числом измере-
ний. Стереографическая проекция является конформным отобра-
жением двух пространств; особенности этого отображения будут
подробно рассмотрены в гл. 6. -
Основой построения стереографической проекции с полюса
единичной сферы являются, простые геометрические соотношения,
связывающие подобные треугольники POR и QM/?, а также1 ОРТ
и SMT (рис. 2.7).
Рае. 2,7. Стереографическая проекция
Согласно рис. 2.7
Л.= У 1 29V
X ¥ l-Z (X» + Y>)iy3 (X»-|-№ + (i_z)i)V5 ’ ,5- • '
где г2= (О|/?)2=»х2+у2 н Pbs (0, 0,1).
С использованием (2.29) точка (Л’, У, Z) может быть отобра-
жена на плоскость (х, у} .
Для большого круга на единичной сфере справедливо соотно-
шение п, следовательно, r2= (14-Z)/(l—Z), откуда
Х~2х/(1-(-г2); Z= (г2—1)/(г2+1). (2.30)
Приращение дуги окружности на сфере определяется как dS2 =
wdX* 4* d У2+dZ3.
.: - Л..-
115
*
„ J vs Г 2dx 4rxdr I*
Из (2.30) .
" После суммирования члены вида dr2 исключаются, что дает
: d&=> —(2.31)
Еслц это — геодезическая линяя лучей на плоскости, то ds2=^
ад iinpfx, у)(^\;4-й/а), где т| — изменение показателя преломления,
вызывающее Искривление лучей.
а Такимобразом, кажущийся показатель преломления опреде-
ляется!+/•’)2 или ц = 2/(1 + г1), т. е. снова получено
условие реализации линзы Максвелла.
Рассмотренную методику можно применить с обратной целью.
Получив закон изменения показателя преломления для конкрет-
ной задачи фокусировки методом интегрирования, стереографиче-
скую проекцию можно использовать для нахождения в простран-
стве плоскости с единичным показателем преломления, на которую
лучи проектируются в виде геодезических кривых. Такая процеду-
ра становится возможной после проведения одного пли двух пре-
образований других типов, преимущественно конформных отобра-
жений. Полученные таким способом линзы, именуемые геодезиче-
скими, уже давно являются предметом тщательного изучения (1],
как Йо, кстати, видно из библиографического списка, сопровож-
дающего данную главу. Подробное рассмотрение теории расчета
этих линз не входит в намерения автора.
б) Линзы Люнеберга. Исходная задала, которую исследовал
Люнеберг [2], состояла в том, чтобы определить закон изменения
показателя преломления сферической области (г< 1), для которой
источник, лежащий на диаметре, отображается в точку фокуса,
лежащую на том же диаметре, причем обе точки являются внеш-
ними по отношению к сфере. Исключая какие-либо эффекты пре-
ломления на поверхности сферической среды, мы подразумеваем,
что показатель преломления изменяется плавно, и, следовательно,
для линзы, находящейся в свободном пространстве, показатель
преломления на поверхности г«1 должен быть равен 1.
Используемая в данном случае процедура, рассмотренная в
приложении 1, может служить; яркой иллюстрацией обобщенного
метода, применяемого при решении такого рода задач. ;
Когда источник размещен на поверхности единичной сферы, а
фокус находится в бесконечно удаленной точке, результирующая
коллимирующая линза имей показатель Преломлений, изменяю-
щийся по следующему закону: -
i)(f)=/W. < (2.32)
Если теперь применить этот закон к реальному пространству,
то, окажется, что лучи не могут выходить за границу г= У~2, по-
сколькумы исключаем наличие сред с мнимым показателем пре-
ломления.
*
Траектории лучей в такой среде представляют собой полные
№ эллипсы, уравнения которых имеют следующий вид [1}:
J x2+ys(l+2cfgta)—2xpCtga=I, (2.33).
rf. где параметр а—угол между направлением луча в точке нсточ-
ника и диаметром сферы.
Дифференцируя (2.33) по параметру и затем исключая а из
полученного таким образом уравнения и уравнения (2.33), нахо-
дим, что огибающая этой системы представляет собой . эллипс:
Таким образом, в этой среде, как и ранее, траектория лучей
образуют эллипсы (рис. 2.8), и обычно излучающий раскрыв пред-
ставляет собой поверхность самой единичной сферы. Можно пока-
зать, что все касательные к эллипсам параллельны оси х в точ-
ках, в которых они пересекают поверхность сферы, и поскольку на
этой поверхности показатель преломления равен 1, дополнитель-
ного преломления при этом не происходит и вся система лучей,
как и требовалось, параллельна осн.
Модифицированная линза Люнеберга. В технике антенн СВЧ
находят применение два следствия, вытекающие из проведенного
Люиебергом анализа.
Первое из них связано с именем Моргана [8], который перешел
от исходной системы Люнеберга, т. е. сферической системы с внеш-
ним источником и фокусом, к системе, в которой показатель пре-
ломления является кусочно-непрерывным. Другими словами, сфе-

ра в данном случае состоит из оболочек, в каждой из которых
показатель преломления изменяется по своему закону. Наиболь-
шее значение.из подобных конструкций имеет двухзонная линза, в
которой внешняя оболочка имеет постоянный показатель прелом-
ления, а по внутренней показатель преломления изменяется по
определенному закону. Способы вывода этого закона при задан-
ных параметрах внешнего слоя рассмотрены в работе [9J.
Расчет здесь ведется по тому же (описанному в приложении)
методу, что и ранее. Следует отметить, что в качестве основы изу-
чения сферических неоднородных линз анализ и выводы Моргана
имеют основополагающее значение для каждого специалиста, на-
меревающегося проектировать такие антенны.
Рис ^.Траектория лучей для случая сферической линзы, окруженной оболоч-
кой с постоянным показателем преломления, при ширине диаграммы направлен-
ности облучателя, меньшей? 180° (а), изменение показателя преломления линзы,
окруженной оболочкой с постоянным показателем преломления (б) и траекто-
рии лучей в линзе Гутмана для случая f==]/2 и малого f (г)
Если параметры внешнего слоя преломляющей линзы заданы,
то закон изменения показателя преломления в ее средней зоне
однозначно определен. Различные линзы, имеющие различные внеш-
?- ние слои, при использовании неизотропных источников, обладают
различными распределениями амплитуд в апертуре, что соответ -
ственно влияет на форму их диаграмм направленности.
г Рассмотрим случай постоянного показателя преломления во
; < внешнем слое. Поскольку показатель преломления не может быть
равен 1 , на поверхности он будет претерпевать разрыв, т. е. на
поверхности будет иметь Место преломление. Строго говоря, эта
( линза, показанная на рис. 2.9а, эффективна только в отношении
лучей, распространяющихся в области, ограниченной лучами, ка-
сательными к ее внутренней зоне. По этой причине ее можно нс-
< пользовать с источниками СВЧ излучения, имеющими диаграмму
направленности шириной менее ±99°. Собственно, такая линза не
является объектом изучения теории идеальных фокусирующих
устройств. Она представляет собой результат приближенного рас-
чета; однако ее характеристики, как будет показано далее, явля-
? ются адекватными для большинства случаев практического при-
менения. В связи с этим отметим, что применение однородного
внешнего слоя дает для центральной; зоны показатель преломле-
ния, который имеет в центре более высокое значение, чем в исход-
ной линзе Люнеберга, но общая девиация показателя преломле-
ния оказывается меньшей. Некоторые типичные кривые показателя
преломления приведены на рис. 2.96. Как будет отмечено далее,
в большинстве реальных линз данного тина приведенные сообра-
жения, к сожалению, во внимание не принимаются.
Второй вывод из анализа Люнеберга относится к закону изме-
нения показателя преломления для случая, когда источник поме-
щен внутри самой сферы. Для фокуса, расположенного в бесконеч-
но удаленной точке, решение было найдено Гутманом (10]. Пока-
затель преломления на поверхности единичной сферы, которую в
данном случае следует рассматривать как апертуру, равен 1. Сле-
довательно; в точках пересечения лучей с поверхностью сферы лу-
чи должны иметь касательные, параллельные оси х, как и в случае
сферы Люнеберга. Однако Гутман определил направление этих
лучей другим методом, который, хотя и был упомянут Люнебергом
(2], фактически не использовался при расчете линз. Согласно это-
му методу световой луч рассматривался как путь частицы в по-
тенциальном поле. При показателе преломления, равном ц, потен-
циальное поле определяется как
Такнм образом, по аналогии можно установить, что значитель-
ная часть теории динамики частиц применима в оптике, а метод
Гамильтона, основанный на принципе Ферма, применим и в дина-
мике, частиц и в оптике (см. гл. 6).
, Для источника лучей, расположенного на расстоянии f от цент-
ра среды со сфернческой симметрией, где JF< 1 (поверхность линзы
определяется через г= 1), полученный Гутманом закон изменения
показателя преломления имеет следующий вид:
П=(1+/*-'а«- (2.34)
В пространстве в целом траектории лучей при таком законе из-
менения показателя преломления имеют эллиптическую форму,
описываемую уравнением
^3+(ctgla-|-facosecict)yI—2xyctga==/2. (2.35)
Оба приведенных соотношения представляют собой обобщение
эквивалентных соотношений (2.32) и (2.33). При постоянном рас-
стоянии f огибающая этих эллипсов также представляет собой эл-
липс
х2/(1+Р)+р2=1. (2.36)
Отсюда следует, что лу^и в пространстве не выходят за преде-
лы окружности радиуса (1 +/)1/2. По мере уменьшения [ траекто-
рии лучей все более и более приближаются к поверхности единич-
ной сферы, а показатель преломления в ее центре возрастает. В
предельном случае нулевого f показатель преломления в центре
становится бесконечно большим, а эллипсы вырождаются в ра-
диальные линии, «удерживаемые» внутри сферы, за счет полного
внутреннего отражения на поверхности, как это следует из (2.34).
Этот результат аналогичен сингулярности Шварцшильда (в теории
относительности), которая позволяет высказать Предположение о
существовании «черных дыр* [11J (рис. 2.9в) .
Х5. Общая теория фокусировки лучей в среде со сферической
симметрией
Неоднородная среда со .сферической симметрией длительное
время находится в центре внимания исследователей ввиду возмож-
ности применения таких сред в микроволновых линзах.
Исследуем свойства пространства, в котором закон изменения
показатели преломления имеет сферическую симметрию по отно-
шению к фиксированной точке начала координат. Допустим, что
в этом пространстве показатель преломления принимает все воз-
можные действительные значения: значения меньше 1, отрицатель-
ные, нулевые и бесконечно большие (но не комплексные). Пока-
затель преломления является непрерывной 'функцией радиальной
координаты г и имеет непрерывную первую производную. Вэтом
пространстве можно построить реальные линзы, выделив зону с
«практически приемлемым* показателем преломления. Если\в та-
кой среде возможна фокусировка, то все лучи, пересекающиеся в
данной точке (источнике), пересекутся еще раз во второй точке
(фокусе), т. е. лучи образуют замкнутые кривые. Если в это про-
странство (или в его плоское поперечное сечение) включены ок-
ружности бесконечно большого радиуса, то тогда такие кривые,
каК гипербола или парабола, можно будет считать замкнутыми.
В этом случае плоскость является проективной плоскостью;
."В--"' *' ' : 121::
Оптическое расстояние от источника до фокуса, измеряемое
вдоль любой такой кривой, должно быть одинаковым для обоих
направлений ее обхода. Привлекая в качестве динамической ана-
логии представление о траектории частиц, можно сказать, что поле
описывается потенциальной функцией. Данное обстоятельство
можно также усмотреть н в тем, что ротор (2.1) тождественно
равен нулю, откуда следует, что оптическая длина кривой по лю-
бому направлению обхода равна нулю.
Рассмотрим две сопряженные точки Р и Q, расположенные на
такой кривой. Вследствие эквивалентности оптического путей от
точки Р к точке Q для бесконечно малого треугольника, располо-
женного у точки Р, и соответствующего ему сопряженного тре-
угольника, расположенного у точки Q (рнс. 2.10), можно найти,
что т|РРР/=г)<?0(?/ и tjpPP'^HqQQ7- т- е- (2.37Х
(2.38)
причем выбор знака, как и в гл. 1, зависит от того, является ли
фокусировка действительной или виртуальной.
Рис. 2.10. Источник и его изображение на замкнутой траектории луча
Поделив одно из этих соотношений на другое, после преобра-
: зований получаем:-<Д1п rp]=Td[ln rQ], откуда
ГрГдясЦ1 ИЛИ Гр/Гд=ь2, (2.39)
где а и б — произвольные постоянные.
Если каждый источник имеет только один фокус, то точки Р
и Q можно Поменять местами., н, следовательно, Гд/гр^Ь2, т. е. в
данном случае
Теперь покажем, что первое из соотношений (2.39) представ-
ляет собой закон для линзы Максвелла, а второе — для линз Лю-
v неберга и Гутмана.
Траектории лучей, подчиняющихся закону грГд—а2, где Р и
й" С — лЛбые-точки на радиус-векторе, проходящем через точку на-
чала координат, являются взаимообратнымн кривыми по отноше-
нию к окружности радиуса а. Попробуем получить закон измене-
ния показателя преломления, для которого траектории лучей были
бы окружностями. Пусть одна из таких траекторий представляет
собой окружность с радиусом R и центром М (рис. 2.11), где ОМ
ческой симметрией
имеет длину D. Тогда 2а —это длина хорды, пересекающей ОМ
под прямым углом, и, следовательно, rprQ = a2. Для любой точки,
подобной Л и расположенной на луче, имеем, что
2Rrsina. (2.40)
Из (2.38) можно вывести закон Бугера, а именно: iysiFia=
« const (вдоль луча) = С.
Подставив это соотношение в (2.40), находим D3~R2+r2—
~2RC/t] или
п—а/гсдг’-ь/г’-дг). (2.41)
Это — закон преломления для линзы Максвелла при таком вы-
боре постоянных, что 1, №—й’=1, т. е.*цля показателя пре-
ломлеяия, равного Г на единичной окружности.
Во втором случае траектории лучей удовлетворяют условию
где Р и Q — точки, расположенные на противоположных
сторонах радиус-вектора, проходящего через центр сферической
симметрии. Простейшими кривыми в данном случае являются ко-
нические сечения, проходящие через центр. Выберем те эллипсы,
которые проходят через точки ±1 на диаметре, выбранном в ка-
честве осн х (рнс. 2.12). Далее потребуем, чтобы касательные к
этим эллипсам были параллельны оси х в точках, в которых они
пересекают единичную окружность. Траектории лучей — те же,
что и в случае линзы Люнеберга.
' . *- - л 123
При заданных условиях указанные эллипсы должны описы-
ваться следующими уравнениями:
(2.42)
Если касательная к эллипсу образует с осью х. угол а в точке
—1, а касательная в точке 4-Гугол л4-а, то постоянные в
последнем уравнении могут быть определены, что дает
(14-2ctg*a)^-2xy ctga= 1,
, Если касательная в любой лежащей ЙД эллипсе точке Р с ко-
ординатойгобразует угол <р с радиус-вектором (рис. 2.12a), то,
Рис. 2.12. Геометрий 'эллиптического луча в линзах Лювеберта
(а) и Гутмана (б) и линза с гиперболическими траекториями
лучен (в)
как можно показать при помощи довольно сложных преобразова-
ний, уравнение эллипса принимает вид
г2— 1 ± (1—sin2 a/sin2 ф) W, - • (2.43)
причем выбор знака зависит от того, является лн данная часть
эллипса внутренней или внешней по отношению к единичной ок-
ружности.
Если теперь для луча в соответствии с теоремой Бугера выпол-
няется условие sin ф = const, то pr sin (p = sin а, так как г] = 1 при
г= 1. т. е. там, где (ps= а.
Подставив выражение для sin cc/sin ф в (2.43). находим закон
изменения показателя преломления п?=2—г2, требуемый в линзе
Люнеберга.
Соответствующее выражение для линзы Гутмана можно полу-
чить аналогичным образом. Если источник лучей помещен, в точ-
ку F на расстоянии /<1 от точки начала координат (рис. 2,126),
а эллипс имеет надлежащие касательные, то уравнение "эллипса
принимает следующий вид: „ '
= (2'44)
Отсюда после значительно более сложных преобразований может
быть получено следующее соотношение:
2^= 147Ч;{(!+/)’—4/* sin2 a/sin2 ф)|/2. (2.45)
После . подстановки выражения и (г) г sin <р=п (/)/ sin а=sin а
из первого уравнения, относящегося к лучу в, точке источника, и
лз второго уравнения, относящегося к лучу в точке пересечения,
; . ‘ >‘лг. .. 125
может быть получен закон изменения показателя преломления для
линзы Гутмана: т]2— (1+/*—га)/Р-
Такнм образом, частные решения уравнения (2.39) дают линзы,
с которыми читатель уже знаком.
Общее решение представляет собой решение функционального
соотношения, которое может быть получено путем объединения
(2.38) с соотношением rPrQ=а2, откуда
fe (246)
<• V * / гр \ ₽/
г Без какой-либо потери общности постоянную можно считать
равной 1, после чего общее решение (2,46) принимает вид
Л1(г)=/{ф(г) (2-47)
где f и ф — произвольные функции своих аргументов, а знак®под-
разумевает ассоциативный закон сочетания. Считая для простоты,
что это — суммирование, получаем
гц(г)=/{ф(г)+ф(1/г)}. (2.48)
Линза .Максвелла задается соотношениями ф (г) = г; f(x)=A(x.
В работе Люнеберга [2] приведено обобщенное выражение для
линзы Максвелла, полученное путём непосредственного конформ-
ного отображения поперечного сечения для рассмотренной задачи.
В этом случае показатель преломления изменяется по следующему
закону: ц(г)=2гт_,/(1+г®’).
Учитывая (2.48), легко видеть, что последнее выражение полу-
чено из функций /(x)=l/jf, ф(х)»гт Более подробно вопрос об
обобщении будет рассмотрен в § 2.8.
Для уравнения (2.38) не может быть получено аналогичного
общего решения, за исключением тривиального, а именно решения
rn(A) «f(if), и, елрдоватё^щно, нз этого уравнения не может быть
получено какого-либо обобщения для линзы Люнеберга.
Следствием из рассмотренной теории является возможность
постулировать существованне среды со сферической симметрией,
в которой траектории лучей представляют собой гиперболы. По-
скольку эти гиперболы, как показано на рис. 2.12в, искривлены
во внешнюю сторону, закон изменения показателя преломления
является возрастающей функцией радиуса г, и в реальной линзе,
в которой ц всегда больше 1, должно иметь место преломление на
поверхности г “ !. Тогда значенне показателя преломления Должно
быть выбрано равным ц(1) ’-k. Если вследствие преломлекяя на-
правление каждого луча становится более близким к горизонтали,
то линза приобретает фокусирующие свойства, аналогичные свой-
ствам линз Люнеберга. г
Для центральной гиперболы, пересекающей ось В точках
х—±1, и при заданных преломляющих свойствах из окружности
г = 1 получаем следующее уравнение:
х’+р1! l+^l?lL^*lilH^l-^2xyctga==l. (2.49а)
... . t •
\ 126 '
Если, как и ранее (рис. 2.12в), <р — угол между радиус-векто-
ром и касательной к лучу, то 2хур+у2—xa=tga/tg<p или
ra ctg а=2хя ctg а—2хур ctg аЦ-ctg <р, Р—( 1—£2sin2 а)|/2/(k sin а),
(2.496)
(2.49в)
(2.49г)
что приводит к следующему соотношению:
(/Л _ | У = J l г* С5С* а ~С5С* Ф
\ 2/4- 2 (pctga +1) ’
Подстановка закона Бутера не ведет к одновременному исклю-
чению а и <р, т. е. подстановка цг sin <р = А sin а приводит к следую-
щему результату:
- — 4-_________*г*-*г*______________
\ 2/ 4 2{Acosa(l — A*sin’a)U2 + A»sin’a} ’
Произведя проверку, убеждаемся, что значение fe—1 дает линзу
Люнеберга с эллиптической траекторией луча. Как будет показа-
но далее, в однородной сфере (§ 2.9) в случае линейного распро-
странения лучей fe«2, и, следовательно, при искривлении луча во
внутреннюю сторону k должно быть больше 2. При таких значе-
ниях k и при сравнительно узком диапазоне изменения а знамена-
тель (2.49г) можно приравнять к 2k, после чего результирующий
. приближенный закон для линзы будет иметь следующий вид:
[П(/')]3=2А+(А’—24) г2. ' (2.49Д)
Это уравнение содержит результат, полученный Люнебергом.
При более высоких значениях k приближение справедливо в более;
узком диапазоне а. Однако ввиду возрастания кривизны лучей по-
прежнему возможна выходная апертура, равная по величине весь-
ма значительной части общего диаметра линзы. Если луч описы-
вается уравнением (2.49а), апертура равна —2k sinamax-
Подставив этот закон изменен ня показателя преломления в
(П2.31), можно найти, что до значений первого порядка малости
относительно Psin2 а, т. е. при условиях, при которых может быть
получено приближенное решение, лучи следуют требуемым 'траек-
ториям.
Необходимость использования аппроксимации является под-
тверждением того, что решение поставленной задачи о законе из- л
менения показателя преломления едва ли существует в алгебраи-
ческой форме. Решив эту задачу с применением предложенной
Абелем-формулы интегрирования (см. приложение 2), видимо,
можно будет получить формулу показателя преломления, содержа-
: щую эллиптические интегралы.
; Аналогичная ситуация имеет место и в случае расфокусирован-
; ной по оси линзы Люнеберга, когда необходимо прибегать к чис-
ленным методам расчета. -
г Линза,» которой через коэффициент k соотнесены углы аир
(рнс.212в), а ие их синусы, как это требуется при преломлении,
исследована в работе Торальдо ди Франчиа [13] (см. приложение
' 127
2). Коэффициент пропорциональности между указанными углами
выбран равным k—2(1—р), а закон изменения показателя пре-
ломления линзы определен как
п,/р). (2.50)
Выбор 1/2 приводит к результату Люнеберга, а р=1—к
результату Максвелла. Таким образом, уравнение (2.50) — еще
одно обобщенное выражений для линз рассматриваемого типа.
2.6. Преобразование Лежандра
Преобразование Лежандра представляет собой соотношение
между волновыми фронтами в двух различных системах коорди-
нат. Оно было использовано Люнебергом для того, чтобы устано-
вить взаимосвязи между характеристическими функциями Гамиль-
тона в оптической системе [2]. Кроме того, оно было применено
Люнебергом для вывода закона изменения показателя преломле-
ния в линзе Максвелла исходя из некоторого другого закона из-
менения. В данном случае методику целесообразно изменить и на-
чать рассмотрение, наоборот, с линзы Максвелла.
Если S (х, у, z) = const — волновые фронты, связанные с систе-
мой лучен в пространстве х, у, z, имеющем показатель преломле-
ния т| (х, у, г), а-Т (Я, р, у) — волновые фронты в пространстве
(1, ц, v), имеющем показатель преломления N (Л, ц, v), то они
связаны преобразованием Лежандра, если
дх ду д» ЙЛ йц йт
(2-51)
Поскольку 5 и Г — волновые фронты, может быть применено
уравнение эйконала (П 1.27) (см. приложение 1), откуда
I ’ Р52)
При линейно независимых 5 и Т соотношения (2.51) могут быть
просуммированы следующим образом: 5+7=хЛ+уц-гху.
Если в пространстве (х, у, г) применим закон изменения пока-
зателя преломления для линзы Максвелла, то
ц(х,'у, г)=2/(14-г1)=2/(1+х2+у2+г5); г2=хг+уЧг2, т. е.
После преобразования имеем (М+ра4;Уа)|/2*“1/(14-АГй), т. е.
№s==2/p-4; p,=iX2+h’+vs- (2.53)
Показатель преломления равен 1 на единичной окружности.
Траектории лучей представляют собой эллипсы с общим фокусом
, в точке начала координат и с горизонтальными касательными в
двух точках их пересечения с единичной окружностью1 (рис. 2.13).
Если в этой точке луч образует угол а с радиус-вектором, то боль-
шая ось эллипса всегда имеет длину 2, Я малаяось — длину 2 sin а.
Следовательно, расстояние по оси х от единичной окружности
(Точка D) до центра эллипса (точка £) равно расстоянию от на-
чала координат до точки пересечения эллипса с осью (точка С).
Рис. 2.13. Геометрия эллиптического луча в линзе Итона (точки О я О' — фоку-
сы; показатель преломления изменяется'по закону ц2=(2/т—I))
Поэтому лучи, параллельные оси, изгибаются вокруг начала ко-
ординат н возвращаются назад по тому же направлению. Линза
такой формы называется линзой Итона [14].
Можно показать, что в результате преобразования Лежандра
или в результате преобразования q-~ г закон изменения показате-
ля преломления для линзы Люнеберга остается инвариантным, а
аналогичный закон для линзы Гутмана имеет следующей вид:
2,7. Искривление светового лгуча в непосредственной близости
от Солнц* J £
Наличие центра гравитационного притяжения в такой степени
искажает геометрию пространственно-временного континуума, -что
приращение длины пути по так называемой мировой линии соот-
ветствует уже не линейному элементу Лоренца: </s2=czt/(,—dr2—
Sdq?2, а элементу Шварцшильда:
.-----r2d03—^sin’Ods»’ ,
/ (1-I2Km/(c«r)]} *
может показаться интересным вывести для этих эллипсов соот-
сое a y l—tg’a/tg’^p я затем» применив подстановку цг в1Пф=»
—ЗЩ« (усдавие яри п=“Г«аН), получить выражение п’=2/г—I.
I 29
где К —универсальная гравитационная постоянная; т — масса
центра гравитационного притяжения; с — скорость света.
Это изменение приводит к искривлению геодезических линий в
пространстве. В случае светбвых лучей такое искривление наибо-
лее сильно проявляет себя тогда, когда они проходят в непосред-
ственной близости от массивного тела типа Солнц.!.
«Координатная» скорость света определяется соотношением
^5=0; в райИ8льном направлении (^9=<йр=*=О) oni равна drjdt=*c
для пространства Лоренца и dr/dtf»(^-2Kml(c2ri)c^c' для про-
страяства Шварцшильда при г#=0 и 2А>н/(с2г) 1.
Таким образом, при наличия гравитационного ноля радиальное
изменение показателя преломления может быть представлено в
следующем виде:
с/с'^г|(г) = (Ц-2К/п/(с2г)). (2.54)
С той же степенью точности можно записать, что т|а™1+Л/г. В
этом случае, как показал Люнеберг (2), траектории лучей пред-
ставляют собой гиперболы с фокусом в точке начала координат.
Если для простоты положить 2/<т/с2 = ф, то в соответствии с (2.24)
угол отклонения радиус-вектора от прямой 5 может быть опреде-
лен из формулы
л+6 = 2 ["* ~каг. t
J rtrfrl—htyt*
(2.55)
hdv
где rm — минимальное расстояние между точкой начала координат
и лучом, измеренное по радиусу.
Это расстояние целесобразио считать равным радиусу Солнца
гс> поскольку предполагается,’что луч проходит но самому краю
солнечного диска. Постоянная луча равна й, так чти при минималь-
ном расстоянии луча от Солнца: й=т;(г)г sin а, где г™гс; а=я/2;
Л “ гс (14-2Кт/(с*гс)) ил и гс «= й—
Произведя подстановку с«1/г и преобразовав интеграл, видим,
что
я 4-6“ 2 ( -------1larcsinX
i J (14-2фо + (ф> —Л»)о»р/2 (Л*—ф1)1 ,г I
х “(«-ф.р/г (v+aTCSm’i J *
После вычислений находим, что при малых зплчениях tp полу-
ченное выражение приближенно равно я 4- (2tp/h).
Следовательно, угол отклонения
б—2<p/fts= 4Xnt/(c*r<:)>
Это — классический результат, позволяющий оценить искривле-
ние лучей в окрестности Солнца.
Аналогичнымобразом можно оценить рефракцию в атмосфере
с переменными параметрами, например, с точки зрения ее влия-
ния на форму луча антенны ИСЗ или с точки зрения возможности
распространения волн за линией горизонта.
v- 2.8. Системы координат с разделяющимися переменными
Ж Как следует из изложенного, существует лишь очень неболь-
* шое число законов изменения показателя преломления, которые
7. приводят к поддающимся интегрированию формам уравнения
траектории луча, заданным через элементарные функции, причем
сами эти законы выражаются через алгебраические функции и
имеют довольно элементарную форму. Рассматривая, в частности,
элементарный параболический закон, соответствующий спираль-
ному распространению луча (§ 2.3), Бухдаль [15] исследовал усло-
вия разделимости переменных, которые могли бы быть применены
к уравнению эйконала для лучей, распространяющихся в среде с
произвольно меняющимися параметрами (см. приложение 1),
IV $| 2=Т]1 в различных системах'координат, и могли бы дать про-
стые с алгебраической точки зрения результаты. Ему удалось по-
лучить формулу простейших законов изменения показателя пре-
ломления, которые, возможны в исследованных нм системах коор-
динат. Наибольший интерес и этой связи представляет то, что он,
видимо, впервые использовал некоторые нетрадиционные системы
координат, применение которых оказалось целесообразным при
проектирования исследуемых здесь линз. Предложенные им систе-
мы координат эффективны при расчете лива с желаемыми свойст-
вами с помощью изложенного метода, т. е. метода определения
траекторий лучей и формы поверхности раздела,-Преломление на
которой, если оно конечно имеет место, может быть использовано
для фокусировки лучей в соответствии с поставленными требова-
ниями. Результаты исследований Бухдаля кратко изложены в дан-
номпараграфе.
а)Прямоугольная система координат. .Эта система координат
определяется следующим образом: n2’=/(x)+g(y) +ft(z), где вви-
ду симметрии относительно оси 2: f(x)+g(y)sa(x2+y2), а —
const; Л;(м) — (а+рег^), а, р, у — const.
б) Система цилиндрических полярных координат: г)2—f(p) +
+p“2#(<p)4-ft(z). Осевая симметрия требует, чтобы выполнялось
условие £(ф)” const, а исходя нз условия регулярности вдоль, оси
(не существенно, каким образом), эта постоянная должна быть
равна нулю. Функция Л (г) также должна быть постоянной, откуда
?(р) «Ър’+Р+у/р2 или а+р/р+у/р2, а, 0, у—-const.
Это - выражение содержит параболический закон для сйпраль-
ной траектории лучей, но не закон sechap (§ 2.3), который в ос-
новном применим к случаю лучей, ограниченных меридиональными
(плоскостями, и не применим к общему случаю распространения
лучей. •••>
в) Система параболических координат. В системе параболиче-
ских координат, определяемых как x=pvcosO, y=j*vsin0, z=
= “(ц2-—v2), существуют разделяющиеся решения для показателя
преломления nJ(n2+v2)~'[f (р)+g(v)]+(pv)~2ft(0).
i' 5* 131.
Вследствие осевой симметрии Л(6)—const и поскольку ц’№—
E9X1+j^«p>, задача сводится к случаю цилиндрической симмет-
рии, причем т],’=а+ (6+cz) (p*+z*)-1/*, где a, b, с—const
г) Система сферических полярных координат. л2—f(r) +z“lg\(0),
где ff(0) — (a+p sin,0+ysin40)/(sin2 0cos20), откуда при выпол-
нении условия регулярности #(0)—Pi+fhsec2 0, /'(г)=г“2(а1+агГА+
. где всё греческие символы — константы, a k —
произвольная постоянная.
Линза Максвелла определяется следующим образом: А=2,
₽1“Й1ввв1,^®э“0-
Интересно отметить, что полученный результат можно согласо-
вать с общим решением (2.48), положив в приведенном уравне-
нии at = Оз н f (х) == (А 4-В/х1)1/а, <р(г) —в (2.48).
д) Система кардиоидных координат. Эта система определяется
следующим образом: x—pv (ц2+v2) -^оз 0, у = pv (ра+v2) -^sin 0, г =
(-Ц8—v1) (p2+v2)“2.
Пренебрегая измерением показателя преломления, приводящим
к возникновению сингулярностей в среде, находим па“(р’+
+v2)’[/(p)+g(v)] н /(p)4-g(v)=a+pp,+yva для простых реше-
ний.
Если r^x’+f/’+z’, то 'q2==r-$(ar2+br+cz)t а, Ь, с — const.
Для каждой из рассматриваемых систем координат основной
закон
^6>£)-V4 (2-Ю)
может быть сведен к уравнениям траекторий лучей (при выполне-
нии условий симметрии и регулярности). При заданных постоян-
ных координатных поверхностях могут быть определены траекто-
рии лучей, и метод Бухдаля, таким образом, позволяет найти те
законы изменения показателя преломления, которые дают под-
дающиеся интегрированию результаты, по которым, в свою оче-
редь, могут быть получены траектории лучей и построены фоку-
сирующие системы.
2.9. Сфержческме лмнзы из концентрических оболочек
С конструктивной точки зрения неоднородные сферические лин-
зы обычно представляют собой совокупность концентрических сфе-
рических оболочек, образующих, таким образом, многослойную ;
сферу, причем каждая оболочка имеет собственный показатель
преломления.
Заданное изменение показателя преломления достигается ку-
сочно-линейной аппроксимацией непрерывного закона изменения
этого показателя. Обычно считается, что при достаточно большом
числе шагов аппроксимации аппроксимируемая кривая дает до-
статочно близкое приближение с точки зрения требуемой кривизны
132 ' :
лучей [7]. Однако эта методика не учитывает два основных прин-
ципа расчета антенн.
Во-первых, она подразумевает, что каждый луч, испускаемый
источником в направлении передней полусферы, учитывается при
формировании возбуждения в раскрыве антенны. Действительно,
при расчете, как показано на рис. 2.8, учитываются лучи с началь-
ными углами ±а=»90°. Однако на практике источник СВЧ коле-
баний конечных размеров будет иметь оптимальное угловое рас-
пределение с углом, меньшим указанного, и, таким образом, лучи,
лежащие вне пределов этого углового диапазона, не включаются
в рассмотрение, хотя их наличие приводит к ухудшению эффектив-
ности системы в целом. Такне системы целесообразнее рассчиты-
вать по методу, иллюстрируемому посредством рис. 2.9а.
Во-вторых, принцип расчета антенн, установленный в работе
Моргана [91, гласит, что наличие внешнего сферического слоя с по-
стоянным показателем преломления, как. показано на рис. 2.96,
приводит к изменению показателя преломления всей внутренней
зоны, линзы. Это утверждение справедливо даже для тонкого слоя,
и попытки изготовления такого слоя из материалов с очень малой
плотностью приводили лишь к ненужному усложнению конструк-
ции, например, к необходимости нанесения поверхностного покры-
тия из материала, обладающего весьма высокой плотностью.
Поэтому представляется очевидным, что линзу — с учетом двух
этих априорных условий — следует рассчитывать ,как многослой-
ную структуру при заданном угле ее освещения лучами, исходя-
щим н из источника. Требуемый для этого анализ сводится к срав-
нительно. простым геометрическим построениям и позволяет огра-
ничиться гораздо меньшим числом слоев с постоянным показате-
лем преломления, чем в конструкции с произвольным количеством
слоев. Действительно, для построения линз с апертурой средних
размеров, имеющей, например, диаметр 10 а, необходимо иметь
всего 2—3 оболочки.
Проиллюстрируем геометрические построения при расчете та-
ких линз путем вывода теоремы Бугера (в дифференциальной
форме), исходя из структуры многослойной среды [16]. Если, как
показано на рис. 2.14, луч преломляется последовательными слоя-
ми в точках Pi, Р3 и т. д., прячем радиусы слоев равны ?i, Л,...
и т. д„ а углы падения лучей — ф2 и т. д., то по закону Снел-
лиуса в каждой точке Р ipsin ф|=т]3з1п ф'1 пли, в более общем виде,
i]i ф'<- (2.57)
Из треугольника PiOPi+i: г<з!пф'(«г4| sin ф;+ь что после под-
становки в (2.57) дает фП sin ф(=тн+1Г,-.н sin ф<+1, т. е. ту sirup=Const
для каждого радиального слоя.
Для непрерывного распределения это соотношение эквивалент-
но законуБугера.
Теперь, вернувшись к проблеме угла выхода лучей из источни-
ка, будем считать, что источник Р (рнс. 2.15а) находится на рас-
стояний Л от центра сферы единичного радиуса. Луч, Исходящий
.А.. .... 133
из источника и образующий угол а с осью, проходя через сферу,
дважды преломляется в точках Q и /?. Если этот единичный луч,
выходя за пределы сферы, распространяется параллельно осн, то,
как можно показать, продолжение лишит Q/? образует с осью
Рис. 2.14. Траектория лучей а многослойной среде со сферической симметрией
угол а/2 и требуемый показатель преломления в точках прелом-
ления
sin {arcsin (й shi а) — а/2)
Действительно, преломляясь, луч изменяет свое направление в
каждой из двух точек на а/2.
Если луч проходит только через однородную оболочку с ука-
занным ранее показателем преломления, то после выхода в сво-
бодноепространство его можно считать сточный» в смысле па-
радлельнрсти относительно оси.
е
В предельном случае, когда должна быть использована полная
апертура, луч проходит так, как показано на рис. 2.156. Тогда
PQ = PT=(ft1—I)'/2 и, поскольку луч является касательной к сфе-
ре и в точке Q и в точке Р, п = ?--- — sinJL
’ 1 sin<р р ' Л + (Л!_I)V« 2
п, следовательно,
Поэтому в случае размещения источника на поверхности линзы
могут быть_нспользованы внешняя сфера с показателем преломле-..
ния ч = и источник с углом расхождения лучей ±45'’.
Рис, 2J& Траектория луча в однородной сфере (а) я предельная траектория5
луча в однородной сфере (б) s "
Далее, если луч преломляется не на одной, а на несколй&к
сферических поверхностях [17], то, как показано на рис. 2.14, Он
будет проходить в свободном пространстве горизонтально при ус-
ловин. что сумма углов преломления, измеренная на половине пу-
" . J 135
тн его прохождения через линзу, равна половине угла излучения
источника (половина ширины диаграммы направленности). Дру-
гими словами, для луча, исходящего под углом «:$]—ф1+фа—
—-..........: ........................
Для линзы c N преломляющими поверхностями (включая внеш-
нюю)
<<- Я я.
* £ *- £
р Очевидно, в случае сферической линзы с дискретными слоями
* все лучи не могут быть «точными» (18]. В технике СВЧ не пред-
ставляется возможным рассматривать в качестве критерия наи-
большее значение угла излучения источника, при котором откло-
нение от точности можно считать еще допустимым. Вместо этого
целесообразно рассчитывать допустимые отклонения от плоскост-
ности волнового фронта. Другими словами, необходимо рассчи-
тать длину оптического пути (см. рис. 2.14) РР|+тцР(Рг-|-
.i\ii?2pfi+P'iN и в пределах заданного допуска устано-
вить ее значение, подобрав радиусы и показатели преломления.
Это можно осуществить эмпирически на основании концепции точ-
ного луча, поскольку такой луч автоматически направляется по
надлежащей траектории.
Таким образом, методика расчета состоит в том, чтобы уста-
новить угол излучения источника и, следовательно, его положение,
а также показатель преломления во внешней оболочке для внеш-
него точного луча. Диаметр внешней оболочки берется таким, для
которого направленный по касательной луч (теперь уже не яв-
ляющийся точным) проходит по оптической траектории, длина ко-
торой находится в пределах заданного допуска на фазу. После
этого для следующегослоя выбирают показатель преломления,
при котором точный луч проходнт поблизости от поверхности раз-
дела, и проводят проверку с тем, чтобы убедиться, что траекторий
лучей, проходящих ближе к этой поверхности, по-прежнему обе-
спечивают требуемую точность по фазе. Следующий диаметр мож-
но найти, рассчитывая фазы лучей до тех пор, пока не возникнет
необходимость во введении следующего слоя. Окончательное рас-
пределение фаз графически представлено на рнс. 246 Графики
построены для линзы диаметром 8 К состоящей из трех слоев [17].
Сравнив результаты, полученные для линз с показателем прелом-
ления, аппроксимируемым ступенчатой функцией, с точным реше-
нием (внешняя оболочка имеет тот же показатель преломления),
У- можно установил», насколько такая аппроксимация отличается от
точного расчета (рис. 247). < .
Тот же аналитический подход может быть использован при
определений глубины фокусировки, которая в принципе должна
быть аналогячиой ддя всех неоднородных линз такого типа. Уста-
' нрвледр, что цриводящее к расфокусировке перемещение источника
net.осн на. величяну с создает разность.фаз между центральным и
Ц I#. / -Г-; ” '
краевым лучами порядка 0,06 в. Отсюда следует возможность пе-
ремещения источника в значительных пределах без заметного
ухудшения диаграмм направленности. Некоторые результаты из-
мерения этих диаграмм представлены на рис. 2.18,
Рис. 2.16. Фазовое распределение в трехслойной сферической линзе (ширина
диаграммы направленности облучателя фЗО*):
1 — лучи проходят только через пнешкнА слой; 2 —лучи проходят через яее трй слои; 3 —
луча ** проходят через ядро
Аналогичная методика расчета может быть принята и для линз,
показатель преломления которых возрастает от центра к перифе-
рии. Некоторые сложности в данном случае возникают из-за того,
что угол излучения источника должен быть намного уменьшен во
избежание интерференции рассеянных аномальных лучей с основ-
ным потоком. Явление полного внутреннего отражения также мо-
Рис. 217. Изменение показателя преломления в зонированной линзе (пунктирная
линяя соответствует точному решению для внешней оболочки с тця-1,06)
137
жет привести к фазовым искажениям, однако в случае, показан-
ном на рис. 2.19, этот эффект следует учитывать только для наи-
более удаленного луча. Такая линза [19), впервые предложенная
Рис. 3.18. Киагримжи. направленной лжнэовых витаю для различных значений
f (фогуваоераостояше ужами» в дюймах)
jae-\ . ; _ •’ '
Тор альдо ди Франчиа и Золи, видимо, обладает большей апертур-
ной эффективностью при меньшем числе слоев, чем рассмотренная
ранее. Из, литературы [19, 20] известны двухслойные линзы с весь-
ма сходными характеристиками. Линзы имеют внешний слой с по-
казателем преломления 3,4 или 3,236 и ядро с показателем пре-
ломления 2,665 или 2,618.
Если необходимо использовать полную апертуру, то согласно
рис. 2.19, такую линзу можно рассчитать исходя из критерия ра-
венства оптической длины краевого и центрального лучей.
Рис. 2.19. Траектория лу-
ча в двухслойной линзе
и переход к гиперболиче-
ской траектории лучей
(а) н траежтаршх лучей
в однородной сфериче-
ской линзе (б) (возмож-
ное использование фазо-
вого корректора)
В соответствии с построением на рис. 2.19 и с учетом преломле-
ния и точке /? для краевого луча, образующего с осью в точке
источника угол а, можно найти, что i)i—l/sin а.
Тогда следовательно,
(2.60)
Итак, г и а определены по заданному показателю преломления.
Для того чтобы луч PQRM имел ту же оптическую длину, что
и луч Р&М (для линзы единичного радиуса), необходимо выполне-
ние условия
»Г><г+1—ЙЙ4-2П1(1“Г), (2.61)
которое совместно с (2.60) дает, что
(2.62)
1/2 2 V2
Это — толькоодня из множества критериев, которые могут
быть использованы при расчете; прочие,критерии могут быть при-
менены для достижения «плоскостности» фронта волны.
Основной интерес в связи с расчетом таких линз представляет
вопрос об экстраполяций расчетной методики на линзы, состоящие
из множества тонких слоев. В этом случае траектории лучей будут
представлять собой непрерывные изогнутые во внешнюю сторону
кривые вида, в точности соответствующего теоретически предска-
занному, т, е. гиперболы, определяемые уравнением (2.62).
В заключение рассмотрим самую простую конструкцию лин-
зы— однородную сферу. Путем сравнительно простых геометриче-
ских построений мОДКно установить, что в однородной сфере—в
ограниченном диапазоне параксиальных лучей — создается кау-
стика, аналогичная каустике р сферическом зеркале. Она может
быть скорректирована ацалогичным способом, т. е. путем приме-
нения пластины Шмидта, рассчитываемой, как и для случая зер-
кал. Как показано на рис. 2.196, корректирующую пластину следу-
ет размешать таким образом, чтобы в пространстве между ней и
сферой не пересекался бы ни один луч. Это условие ограничивает
размер апертуры. Кроме того, установлено, что указанное прост-
ранство само по себе ограничено и его размеры меняютсяв зави-
симости от значения показателя преломления. Действительно, об- .
ратнвшись к ряс. 2.196, легко убедиться, что согласно закону пре-
ломления на поверхности sinfl—(l/o)sin а и, таким образом, угол
2р—а будет равен нулю, если
что ограничивает показатель преломления значением, меньшим 2,
для лучей, надлежащим образом преломляющихся в верхней по-
лусфере.
140 ; ’
If
2.10. Неоднородные линзы из параллельных пластин
и геодезические линзы
Полное изложение методов, с применением которых в двумер-
ном пространстве могут быть образованы неоднородные среды,
можно найти в литературе по данному предмету.
Один из методов состоит в создании двумерного аналога кон-
кретной линзы путем ограничения волны в пространстве между
проводящими параллельными пластинами и целенаправленного
изменения свойств среды, позволяющего получить необходимую
кривизну лучей. В случае волны типа TEot эту задачу можно ре-
шить, изменяя, как например, в работе Джонса [22], расстояние
между пластинами или же надлежащим образом изменяя свойст-
ва диэлектрической среды, но сохраняя параллельность пластин,
как, например, в работе Гутмана [10]. В работе [22] указано на
возможность получения показателя преломления от 0 до 1, однако
большие трудности здесь доставляет, проблема преломления на пе-
риферию Для решения этой проблемы могут быть использованы
неоднородные линзы из параллельных пластин. Неоднородные лин-
зы такого типа могут быть, рассчитаны на основании стандартных
методов.
Геодезические линзы имеют гораздо большее значение. В этих
линзах волны ограничены в пространстве между двумя параллель-
ными пластинами, которые изогнуты таким образом, что лучи,
являющиеся геодезическими линиями поверхностей этих пластин,
искривлены так, чтобы система имела требуемые фокусирующие ..
свойства. Это достигается в результате преобразования траектории
лучей, рассчитанных на плоскости (поперечное сечение трехмер-
ной линзы), в геодезические линии на поверхности.
До сих пор нами рассматривались лишь системы с симметрией
вращения, а теперь речь идет уже об одномерном описании закона
изменения показателя преломления v’lf1') с помощью двумерной
кривой (р, z), которая путем вращения вокруг оси г создает тре-
буемую поверхность.
Один из частных случаев данной концепции уже был кратко
рассмотрен ранее (§ 2.4) в связи с тем, что траектории лучей в
Линзе Максвелла представляют собой стереографические проекции-
большихкругов сферы. Таким образом, геодезические линзы. со-
отвегствующне линзе Максвелла, представляют собой две коццей-
? трячеекнх проводящих сферы.
£. Для полноты освещения вопроса необходимо рассмотреть сам
| методлПрнращение расстояния между двумя соседними точками
к на цоверхности, создаваемой вращением кривой p**p(z) вокруг
Ц оси (рис. 2.20), определяется как
(2.63)
Радиальную координату можно также выразить как функцию
расстояния, от вершины, измеренного вдоль естественных геодези-
ческих линий ф“= const. Тогда, поскольку предполагается, что в
• ' * - 141
системе распространяется волна типа ТЕМ, показатель преломле-
ния равен 1, н (2.63) можно переписать в следующем виде:
да»ДО4-рг(а)4ф*. (2.64)
При переменном показателе преломления т] (г) оптическое рас-
стояние (2) между двумя точками на плоскости определяется как
^№^ц2(г, e){drs-f-r*d0’}. (2.65)
Рис. 220, Геодезические линия на поверхности тела
вращенвя
Сравнивая эти соотношения, замечаем, что
d(p=dO, р(а) =гц(г) и da—ц (г) dr. (2.66)
Первое из уравнений (2.66) может быть проинтегрировано не-
посредственно ё результатом 9=<р. поскольку постоянная интегри-
рования может быть принята равной нулю. Это показывает, что
в данном случае имеет место преобразование между линейным
изменением ц (г) и кривой (р, о).
Для некоторые <частиых случаев решения известны [23].
При изменении показателя преломления ио закону Люнеберга
ц (г)«(2—г8)1/3 находим, что da =* (2—г1) 1/3dr и [p(a)]2“2r8—г*,
Т. е. ^=1-(1-р»)1/3. “ /Т
Исключение г и dr приводит К дифференциальному уравнению,
, связывающему и и р: ?
(2.67)
или
с=-~ (p+arcsinp). (2.68)
142 7 ’ '
(Предположив, чтор=0 при <т=0, постоянную опять-таки мож-
но считать равной нулю.)
Преобразование этого решения к виду a=z(p) приводит, одна-
ко, к более сложному результату:
-ln(* + 3VLz_P*+j\ | (2.69)
2 Уз L \ 24-/3 /.
У 12^9рг4-12(1—р2)^. '
Этот результат получен путем интегрирования [24] следующего
выражения (рис. 2.20): dz2 = a?o2—dp2, т. е.
<2J4
Используя ту же методику применительно к линзе Максвелла,
можно установить, что. в этом случае траектории лучей дают гео-
дезические Линии на сфере. Действительно, при т] = 2/(14-г2) из
(2.66) следует, что r==[l—(1—р2),д*]/р и, следовательно, dcr=dp/(l—
Таким образом, получаем
o=arcsinp, (£-71)
т. е. уравнение окружности. ,
Закон изменения показателя преломления, полученный путем;
преобразования т]—г для линзы Итона, имеет вид iq = 2/r—1, где
г=1— (1— р2)1/2. Следовательно, da= [1 + (1—p2)-I/2]dp или
a=p4-arcslnp. (2.72)
Обобщенный закон с применением конформного отображения
[2], выведенный Люнебергом, записывается в виде т] = 2г’~1/(14-г2’),
откуда r*>(i—(l—p2)|/2]p и
da=—__*рг или о=—arcsinp. . (2.73
7 (l—p*)v* у Н
;
Результаты применения этой методики к расчету линз, рас-
смотренных в данной главе, приведены в табл. 2.1. (В табл. 2.1
также включены данные для плоской поверхности <т=р и прямого
кругового конуса о=ар, где аcosec ф, ф— половинный угол при
вершине: конуса.)
Для конуса закон изменения показателя преломления выведен
на основе обратной методики. В результате при о = ар и а> 1 полу-
чено уравнение '" *
da=adp =е= а (гб/т|4-тр/г) «s= -^dr,
решением которого является
* 143
Таблица 2.1
Лаеш ж гвпд—WW тлэт
Ливы П(г) а
Лнвдя Люнеберга 1)«(2 - 1,1 . а=^ — Р4- —агсапр
ЛябмМаксвелла 4) «2/(1+^ а » arcsin р
Линза Итона а = р-|-arcsitt р
Обобщенная линза Лю- неберга Tl«2r’t-,/(i+TST) I а = •—arcsin р 7
Линза Гутмана 1 , 1+Л о=—p + '-jy—агсзшх 2/ -
Трансформированная линза Гутмана Плоская линза Ч * 1 а =««P + ———arcsin а» р
Прямой круговой конус 4=*/^*“* <т = вр, в—совесф
Линзы с гиперболиче- скими траекториями лу- чей т)в2й + (й» —2й)г> *>2 я= 1 х
2 р + 2(1 — 2/*)*j* X »rcch[l+р’(1—2/*)СЛ
Следовательно, кривая любого закона изменения показателя
преломления, которая может быть построена из сегментов, под*
чнняющихся закону н характеризующихся надлежащим зна-
чением параметра а,может быть преобразована ^ соответствую-
щий геодезический аналог с применением кусочных конических
сечений, причем половинный угол при вершине конуса соответст-
вует тем же значениям а^совесф. При этом центромгеодезиче-
ской линзы будет плоское сечение, соответствующее (предполагае-
мому) плоскому участку закона изменения показателя преломле-
ния. Порождающая форма для всех этих линз определяется выраже- й
нием aTcr—ndp »a (rdt) 4- rjdr) «* qdr,
o=Ap+B arcsin Ср, (2.74)
гдеЛ, В, С— постоянные. <
Таким образом, с применением обратной методики, использо- |
ванной в случае конуса, представляется возможным получить диф-
ференциальное уравнение общего вида для закона изменения ^(г),
< содержащее эти постоянные и относящееся ко всем рассмотренным
типам линз. *
Известия еще один метод, посредством которого с нспользова- <
нйем геодезических аналогов оказывается возможным преобразо-
i с < вывать линзы в линзы другого, предпочтительно нового типа. Ме-
l-'j. ' •':*•, . .... , у* • , ~. ~H.| I - / - «“•'о “ “•
тод предусматривает преобразование самих геодезических поверх-
ностей. Конформное отображение геодезических поверхностей
представляет собой хорошо отработанную процедуру, освоение ко-
торой позволило создать метод исследования траекторий частиц в
силовом поле. Поскольку, как показано Гутманом, траектория ча-
стицы аналогична пути луча в неоднородной среде, применимость
метода в данном случае очевидна.
Практически реализованная геодезическая структура может
быть апробирована с привлечением такой аналогии, как поведение
частицы в силовом поле, поскольку уравнение поверхности враще-
ния можно рассматривать как потенциальную функцию. Падаю-
щая на поверхность частица, траектория которой проецируется на
эту поверхность подобно лучу света, может быть представлена в
виде маленького шарика с соответствующей энергией [2]. Эта ча-
стица будет катиться по поверхности, совершая путь, идентичный
геодезическому пути луча в линзе той же формы.
На практике этот принцип используется в аудиторных физиче-
ских опытах для демонстрации траекторий частиц при различных
распределениях потенциала [25]. Поверхность представляет собой
мембрану, выполненную нз резины или подобного ей материала.
Ее форма соответствует требуемому распределению потенциала.
С помощью маленьких шариков, катящихся 'по этой поверхности,
можно продемонстрировать такие эффекты, как отражение, рассея-
ние, а также установить траекторию движения частицы. Аналогич-
ным образом могут быть продемонстрированы преломление и тун-
нельный эффект. Можно полагать, что как метод расчета геодези-
ческих линз этот метод по эффективности ничуть не уступает дру-
гим.

Часть П *
МНОГОСЛОЙНЫЕ СТРУКТУРЫ. АНТЕННЫЕ УКРЫТИЯ
Возможность применения плоской многослойной среди в качестве
остовы для построения оптического элемента в технике СВЧ в ос-
новном (но не исключительно) сводится к созданию прозрачных
окон Дли антенных укрытий. Эти устройства содержат меиывее
число поверхностей по сравнению с их оптическим аналогом —оп-
тическим Фильтром. К числу других устройств, к которым Прнме-
? ним тот же способ расчета, относятся частотные фильтры, днэлек-
: ' трические слои, наносимые на проводящих поверхностях с целью.
увеличения или снижения их отражающей способности, многослой-
? ные поглотители и СВЧ эквиваленты полупрозрачных зеркал,
г Во веек этих устройствах требуется определять частотные ха-
рактеристики коэффициента отражения й коэффициента передачи,
фазу и поляризацию, ввиду чего подход к задаче с точки зрения
геометрической оптики уже неприемлем.
< С другой стороны, полное решение уравнений поля (с нахожде-
ннем строгого решения для заранее заданной неоднородной или
н5..
слоистой среды) не может быть использовано как метод расчета,
который позволял бы обеспечить в системе требуемые от нее свой-
ства передачи или отражения.
_: _ Имеяввиду практическую возможность изготовления подобных
структур, Целесообразно рассматривать такие свойства плоской
многослойной среды,какотражение и преломление, которые мо-
гут оказаться полезными При переходе к среде с непрерывно изме-
няюЩИмисяцараметрами. Отражение н прохождение плоских волн
' через аеярнйлеяный слой, радиус кривизны которого значительно
превышает длину Волны, обычно считаются эквивалентными соот-
ветствукнцим характеристикам плоской структуры, касательной к
поверхности в точке падения луча. Это, по существу, то же самбе
упрощение, которое используется в случае криволинейных рефлек-
торов, когданаводнмые на них токи считаются равными токам в
локальной Касательной плоскости. Однако справедливость этого
утверждения применительно к криволинейным укрытиям не под-
тверждена ни теоретически ни экспериментально.
Сходство между многослойным укрытием й оптическим филь-
тром как ' полоснопропускающим устройством хорошо известно.
Кроме тогб, оптический фильтр представляет собой аналог волно-
водного фильтра. Однако если в последнем обеспечивается частот-
ная избирательность, то оптический фильтр характеризуется про-
странственной избирательностью, и эти явления в достаточной ме-
ре близки эффектам дифракции решеток и линейных апертур. Не-
которые из указанных устройств рассмотрены в литературе более
полно, чем остальные; для ряда других устройств разработано мно-
жество математических методов, которые по аналогии могут быть
перенесены и на прочие. Читатель, вероятно, сумеет сам найти при-
. меры таких отраслей знания, в которых теоретические методы ис-
следования можно легко переносить от одной проблемы к другой.
Далее нами будет применен давно известный в оптике [26] ме-
< тод перемножения матриц передачи отдельных слоев, образующих
многослойную структуру. Как известно, прохождение волны через
такую структуру без отражения невозможно, если многослойная
среда не будет полностью симметрична (за исключением случая,
когда слон не создают отражений). Симметрию среды можно ис-
пользовать, чтобы упростить некоторые процедуры. В этом случае
для Каждой симметрично расположенной пары поверхностей число
степеней свободы возрастает на одну. Поскольку простейшей яв-
ляется трехслойная структура, на ее примере целесообразно пока-
зать, каку/о пользу можно извлечь из наличия дополнительной
степени свободы н как Это отразится на системе в целом.
Для перехода к среде с плавно изменявшимися свойствами
может быть использован матричный метод. Однако обычная про-
цедура, предусматривающая аппроксимацию такой среды последо-
вательностью бесконечно Малых интервалов, может быть проведе-
на только тогда, когда результирующие бесконечно малые матри-
цы перемножаются корректно. Приближенное перемножение мат-
риц дает результат применительно только к слою, общая оптиче-
скан ширина которого во много раз меньше длины волны. Точное
перемножение матриц — в высшей мере сложная операции/ что
существенно снижает выгоды метода.
Потери в материалах, а также реальная проводимость’мате-
риала учитываются стандартными методами, что в значительной
степени усложняет анализ. Отметим, что, используя изложенные в
главе общие методы, представляется возможным оценить некото-
рые новые типы антенных укрытий. ; -
2.11. Матричная форма для единичного слоя
Однородный плоский слой конечной толщины. Матрица дере-
дачи однородного слоя конечной толщины, выполненного па одно-
родного диэлектрического материала, определяется решением для
совокупности компонент поля,, относящихся к двум поверхностям
слоя [26j. Такой метод является стандартным и описан во многих
учебниках по теории электромагнитных колебаний. В матричной
форме выражение для поля со стороны падения волны на поверх-
ность слоя (при нормальном падении плоской волны в свободном
пространстве) имеет следующий вид:
£П»Л /cpspd sinpd\ / 1 \
| = | II |, (2.75)
tfm,. I cospd l\~—/
J \«р / \ £ ю ц* /
где p—aVpe — постоянная распространения плоской волны в бе-
сконечной среде, состоящей из того же материала, что и слой,
прячем для постановки задачи в наиболее общем виде среда со
стороны выхода волны (рис. 2.21) характеризуется параметрами
е', ц' и постоянной распространения у'.
При наклонном падении волны необходимо различать два со- -
стояния ее поляризации: перпендикулярное, когда электрический
вектор перпендикулярен плоскости, содержащей направление па-
дения волны и нормаль к поверхности (плоскость падения), и па-
раллельное, когда магнитный вектор перпендикулярен этой пло-
скости, а электрический вектор, следовательно, параллелен ей.
/ Относительная диэлектрическая проницаемость Ке и относя-
• тельная магнитная проницаемость Кт определяются как /С^е/ео
И* Km^vJp-o соответственно, а полные проводимости среды —как
У—^в/р)*^ и Уо—(ео/ро)|/2, где во и цо — постоянные для свобод-
кого пространства.
| Теперь (2.75) можно переписать в следующем виде:
Ж" /с*.»! /cos Л — sin Л \/ I Д
= Y I г (2.76)
г \ЯМд/ V У sin Л cos Л /\¥вых'
U где А~ фазовый угол: Л *=^-^-(КвКт—sina0)1/s. ;
I
И7
Для перпендикулярно поляризованное падающей волны
+ оме
а для параллельно поляризованной
/ a «Т*.
KWiaHWeP.-
(2-77)
Рас. 2.21. Нориальаое ладеете плоской волны на одно-
родный слой
Через УВы1 обозначена проводимость внешней среды, со сторо-
ны выхода волны. В наиболее общей случае можно считать, что
проводимость среды со стороны поверхности падения Уя.а. Тогда
коэффициент отражения для плоскости падения волны [27] будет
иметь вид .
Г”ч£д«д~я"»л (278)
Утя Длщ %Дмд
а коэффициент прохождения
' > (2.79) I
(Упад^а«д+ #п»д) (У«ид +У^ад !
где символом » обозначены сопряженные комплексные величины.
. В большинстве рассматриваемых случаев среда со стороны па-
дения вояны н среда со стороны ее выхода представляет собой
148 ' г 1 - V
свободное пространство, и соотношения (2.78) и (2.79) сводятся к
следующим:
------------ (2.80)
У» + Яп1 д
Эти выражения могут быть упрощены в еще больше# степени,
поскольку абсолютные значения коэффициентов отражения н про-
хождения зависят только от относительной проводимости сред.
Таким образом, определив относительную проводимость однород-
ного слоя как Y'=Y/Yo, исходя из матрицы передачи
КI СО8'Л ' ’ <l'/^)sin А\ /1 \ (а;81
\HnJ UP* sin A cos Л 7\ч
и Коэффициентов р = (£Пад—$вад)/(Епад+Яцад), Т=2/(£Пад+ #«ж),
можно получить тот же результат, который дает (2.75).
Лр настоящего момента среда считалась не имеющей потерь.
Потерн можно ввести, целенаправленно изменяя некоторые пара-
метрытаким образом, чтобы придать диэлектрической проницае-
мости /Q комплексные значения, т. е.
Ке«Гг^^=Ке(1—й8в) = тг(^-“)’ (2Л2)
где о — проводимость среды; tg 5 — тангенс угла диэлектрических
потерь.
Если среда обладает очень высокой проводимостью, то для
больших <г уравнение (2.82) можно упростить следующим образом:
Ju®
В этом случае У и и Ух,-а также постоянные распространения
становятся комплексными, и тригонометрический функции в выра-
жемин для матрицы передачи должны быть заменены гиперболиче-
скфф/Вопрос о применении полученных результатов обсуждается
Коэффициент отражения однородного слоя. Здесь собраны дан-
ные отакнх явлениях, как отражение или прохождение водны че-
рез одиночный однородный слой шириной d,что в дальнейшем
должно облегчить расчет структур с иным характером неоднород-
ности. Из (2.80) и (2.81)
_ fain А((1/Г)-Г] л V
-5 aa»A+(«taA[(I/P)4-rj ’ .
(2.84)
* J : .
&о«Л-Н»й1Л[(1/У') + Г'] J
Эти величины периодически изменяются с изменением частоты,
становясь равными соответственно нулю и единице при тех значе-
едх А, при которых
г , 14$
Таким образом, наименьшая толщина не создающего отраже-
ний слоя d соответствует п = 1, а именно
<f=A/[2(X,-sin^)‘/1]. (2.85)
Отсюда следует, что эффект наклонного облучения ограничива-
ет полосу рабочих частот устройства такого типа. Если при по-
строении такого укрытия должны быть учтены все углы падения,
необходимо принимать во внимание оба состояния поляризации.
Кроме того, установлено, что частота максимального коэффициен-
та передачи для двух этих состояний отличается от соответствую-
щей частоты при нормальном падении волны (рнс. 2.22). Таким
Кчаффжймг
лрохиидвии"
1-0
„ О-в
АО* углом
таС
1Д
од
во*
i>
од
45°
1Л
!| од
I од
X '
0,7
А \ 2fo A
\ Рис. 2.22.Зависимость коэффипиеята Ирохождеяия через однородный слой От
частоты:.-
перпевдякдохриач аомрвмцм; t — плраллыыыя поидеыацая
образом, получит^ единственную частоту максимальной передачи
представляется возможным только в очень узком диапазоне углов
падения. z с,- .*
Данный эффект можно продемонстрировать, построив в поляр-
ной системе координат (т,Л) график функции (рис.2.23):
4совМ + 1Г-^(1/П]* ^Л *
При нормальном падении волны график представляет собой
эллипс. При ее наклонном падении как малая ось эллипса, так и
радиус-вектор умножаются на коэффициент П"+(1/К')Ъ и перио-
дичность А изменяется; Эллипс разделяется на две системы: одну
Рис. 2.23. Представление
передачи энергии через
однородный слой с ис-
пользованием полярных
координат:
1 — окружность, соответст-
вующих . 100VH передаче
энергии: 2 --г наклонное па-
дение и верпеиднкулярвай
полярвзааия; 3 — наклонное
падение я параллельная по-
ляродциИ; 4 — эллипс, со-
ответствующий нормальному
падению
с возрастающим эксцентриситетом, а другую — с убывающим. Пер-
вая система соответствует перпендикулярной поляризации, а вто-
рая — параллельной, причем по доСтщкеини угла Брюстера второй
эллипс превращается в окружность. Одновременно вследствие из-
мененияпериодичности последовательное .изменение орбит эллип-
са, связанное с изменением частоты, вызывав!поворот большой
оси, что создает эффект, напоминающий сдвиг перигея планетной
орбиты. Это, в свело очередь, приводит к смещению максимума
-коэффициента передачи относительно его положения, согласован-
ного (с точностью до величин первого порядка) с положением эл-
липса нормального падения волны.
2.12. Трехслойкые антенные укрытия
Свойства многослойного антенного укрытия можно оценить пу-
тем непосредственного перемножения матриц передачи каждого
слоя.: Простейшей структурой, помимо полуволнового однородного
у . слоя, позволяющей получить дополнительную степень свободы, ко-’
торая может быть использована для повышения эффективности
системы/является симметричная трехслойная структура. Основной
J тип трехслойного укрытия типа <сэндвпч> рассчитывается на мак-
симальный коэффициент передачи при заданном угле падения для
одного нз состояний поляризации, обычно перпендикулярного, по-
сколькуп ар аллельная поляризация связана с угловым эффектом
Брюстера и ее стараются не применять. Этот вопрос хорошо осве-
щен в литературе [28].
.1 * 151
Для структуры, показанной на рис. 2.24, М в К — относитель-
ные полные проводимости слоен, показатели преломления которых
равны и У Ле t соответственно. Согласно (2.81) поля со сто-
роны падения волны определяются следующим образом:
/Аад \в /соза (»'/Л)зша\/созр (Z/Af)sinp\
\ЯмД/ \(КНп« cosa /VAfsinp совр /
х(с"в (Wt)»ta«Wiy (ыв)
Vasina сова Д1/
где а= УЛ,—sin^; р== УЛ,—sin20.
X * X
Рис. 224. Трехслойвый симметричный сэйдич
Для перпендикулярно поляризованной волны Лд.=(Ле,—
—sin2 0) 1/2/соз 0, а для параллельно поляризованной волны Лп =
=К», $os 0/(Ле, — sin2 0) 4я.
Соотношения для М х и ЛГц аналогичны.
Коэффициент отражения имеет следующий вид:
|р!2== Jsinpcos’a^—Af^4-sin2aCosp(-^—Л^— „
— sin2 a sin р 2c°s p cos 2a—sin 0 sin 2a +
+£sin p cos’ a "^"s*n 2a coS P jQ— s*ni a s^n P
c <287’
*
а фаза коэффициента передачи — вид
аг£т=arctg {—sin р cosa а +М) —sin 2а cos ₽ (^ + +
-{-sin2 а sin р 2cospcos2dt—sin р sin 2а } •
(2.88)
Из (2.87) находим, что |р|=0, если
₽=ял—arctg (---------------------------—
• Л (ЛР—Ю) (№ +1) + (Af* + №) (К» — 1) СОЗ 2а
(2.89)
В принципе существует целый ряд возможностей использова-
ния степеней свободы, присущих данной структуре. Здесь будет
рассмотрено четыре таких возможности. Заключительный пример
относится к случаю проводящего среднего слоя, при котором при-
веденные соотношения оказываются несколько измененными, хотя
методика расчета в целом остается той же.
Итак, далее будут приведены следующие случаи [29]: а) трех-
слойная структура, не создающая отражений при нормальном па-
дении волны на двух частотах и nfo и характеризующаяся тем,
что Ke, >К*, (структуру этого типа обычно называют Л-сэндвн-
чем); б) структура, не создающая отражений на двух частотах и
характеризующаяся тем, что К,, =№*, (5-сэндвич); в) структура,
не создающая отражений при нормальном падении волны и вно-
сящая нулевую задержку по фазе на заданной частоте; г) струк-
тура, которая на заданной частоте не, создает отражений как при
нормальном, так и при наклонном падении волны для обоих со-
стояний поляризации. В заключение будете рассмотрена трехслой-
ная структура, средний слой которой представляет собой тонкую
пленку проводящего материала.
Перечисленные случаи, как будет показано далее, ие исчерпы-
вают всех возможностей, заложенных даже в трехслойной струк-
туре:
а) А-сэндвич. Двухчастотное устройство можно сравнительно
легко реализовать, подобрав такие значения и К^/для которых
отдельно взятый слой на более высокой частоте имеет толщину,
равную половине длины волны, к не создает отражений. После то-
го, выбрав значение Kt, достаточно близким к I, например
!</(«,,< 1,2, и воспользовавшись (2.89), можно получить трехслой-
ную структуру, не создающую отражений на второй частоте. Опыт
показывает, что при малом К*, коррективы в расчете внешних
слоев весьма незначительны или же не требуются вовсе. Реэульта-
ты расчета ддя частот/о к 5/о при Ке,=4 и Kt, =.1,1 приведены на
рЯс. 2.25, Отметим такие типичные эффекты, как появлениедопол-
нител^ьдых полос пропускания в окрестности частот З/o и 4f0 я по-
лрсысцедропускания на частоте 2fe. Эффект Брюстера определяет-
с^мазбериалом внешних слоев. Кроме того, как и в случае одно-
Р^ЩОГО*Слоя наблюдается смещение пиков максимальной переда-
.153
-лТЛГ'- ’
чи при изменении угла падения. Этот эффект чрезвычайно затруд-
няет обеспечение отсутствия отражений в широком диапазоне уг-
лов падения на любой из выбранных частот.
б) Б-сэндвич. Выбрав- те- же частоты, что и в предшествующем
примере, выполним толщину внешних слоев равной четверти дли-
Рис. 2.25. Расчетные кривые завнснмостн коэффициента прохожденпя от частоты
, для трехслойного сэндвича тана А:
I — параллельная пояярмаация; 1 — перпеидихулиркая поляриацня
ны волны, что приводит к согласованию со средним слоем, обла-
дающим высоким показателем преломления [26]. Другими словами,
и каждая поверхность среднего слоя независимо не соз-
дает отражения на более высокой частоте. Толщину среднего слоя
после этого можно выбирать совершенно произвольно и, в частно-
сти, так, чтобы весь эквивалентный слой на более низкой частоте
оказывался равным половине длины волны. Для параметров
/С«,= 16 и значения коэффициента передачи показаны на
рйс. 2.26. Результаты заметно отличаютсяот полученных ранее. <<
Полосы пропускания теперь наблюдаются На большем количестве .Й
гармоник (до шести), причем на более высокой частоте две из
них сливаются, образуя еще одну широкую полосу. Хотя сами Ц
полосы пропускания имеют меньшую ширину, чем в случае Л-сэн-
двнча, при нзменеини утла падения в широком диапазоне их по-
ложеяие остается фиксированным, т. е. угловой эффект Брюстера О
.? ' не проявляется.
z " ‘-'1
>, '< . . -1 I
.............. ..< '..... : ....... : : : :s: :
«в
Коэффициент прохождения
(по мощности) ,16
Рис. 2.26. Расчетные кривые зависимости коэффициента прохождения qt частоты
для трехслойпого сэндвича типа В:
/ — параллельная поляризация; 2 — перпендикулярная поляризация
в) Укрытие с нулевой вносимой задержкой по фазе. При любом
заданном угле падения вносимая задержка по фазе представляет
собой разность (на поверхности выхода волны) между фазой не-
задержанной плоской волны и фазой волны, прошедшей через слой:
ф—argt— (2tfi+da)cos0, (2.90)
где arg т определен в уравнении (2.88). 1
Для того чтобы задержка была равна нулю, как подсказывает
интуиция, необходимо, чтобы средний слой был выполнен из «фа-
эо-ускоряющего> материала, если внешние диэлектрические слон
выполнены из «фззо-замедляющего». Опережение по фазе может
быть получено с применением двумерной системы волноводов
квадратного сечения, подобных тем, которые используются в мик-
рбврлновых волноводных линзах (см. гл. I). Преимущества такой
конструкции наиболее полно обнаруживаются в тех случаях, когда
фазовый сдвиг, вносимый укрытиями, является основной причиной
" искажений формы или смещения луча. Использование волновод-
ной среды изменяет характер относительной проводимости, причем
в данном случае проводимость одинакова и при перпендикулярной
иприца рал дельной поляризации. Другими словами, для симмет-
ричных; волноводов квадратного или круглого сечения, а также
для волноводов шестиугольного сечения выполняются следующие
155
соотношения (для волноводов шестиугольного сечения приближен-
но) :
(2ЛЩ
, М«Л1±|/ 1 —(и ₽— .Л5
где Ле — критическая длина волны.
Типичные значения М лежат в данном случае в диапазоне
0,5—0,75, а Хе, приближенно равно 4. Теперь становится возмож-
. ним совместное решениеуравненнй (2.90) при ф=0 и (2.89). При
> ЛМ,6и К*, «4 для а и 0 получаем одинаковые значения, а имен-
но а=0=28,6°. Отсюда при длине рабочей волны Х=3 см находим,
что </]=0,1192 см, d2=0,3986 см. Как показано на рис. 2.27, укры-
Кмффифйит щюхожяения
(nO MOWHOCWl,%
2.0 2.5 3.0 3.5
Длина волны, см
Рис. 2.27. Расчетные Кривые зависимости хоэффишюИта прохождения от длины
волны для волноводного сэндвича (Хе<»4; ЛГ»О,в; di“0,12С(с dt=0,4 см):
Г— параллельна^ во""ПК>«ПВя:'> — пч>“ИЫЯ«Т*«риая помрВаацяи
тне оказывается весьма широкополосным, причем в основной части
его полосы и в широком диапазоне углов падения вносимая за-
держка по фазе поддерживается с точностью 1 рад. (рис. 2.28).
Возможностьприменения сред с относительной проводимостью,
меньшей 1, приводит к крайне любопытному явлению. Отметим,
что яри |4>1 знаменатель (2Л9) имеет действительный корень,
притаен в этой точне е целью нахождеяия решення для ₽ необхо-
димо дополнительно ввести целое чибйо, кратное л Физически уго
означает, что по мер* того, как толщина вовертаостных слоев стре-
мится* нулю, трехслойнаяструктура А-сэндвича стремится к по-
луволновой толщине относительно материала, из которого выпол-
нен средний слой. Если в данном случае показатель преломления
весьма близок к 1, то ширина полуволнового слоя может стать как
угодно близкой к половине длины волны в свободном пространст-
ве и, следовательно, не стремится к нулю, что, казалось бы, было
наиболее логичным результатом для реализации исчезающей малой
отражающей способности.
Фшмяый
ойиг, рад
Рис. 2.28. Фазовый сдвиг, вносимый волноводным сэндвичем:
/ — параллельная ооляризяпяя; 2 — перлецдакулярпая поляряэяцая
Для волноводной среды М не превышает I, и указанное условие
не нмрег инета (рис. 2.29). С уменьшением толщины поверхност-
ных слоев средний слой также становится тоньше, т. е. возникает
система очень тонких, не создающих отражений структур. Опыт !
показывает, что частотный диапазон этих структур может быть
расширен и продолжен за критическую частоту волноводной среды.
Поэтому как М, так и р (2.91) становятся комплексными. Однако.
* ввиду тть sin р и М (или 1/Af) всегда фигурируют в составе
произведения, результат остается действительным я может изме-
! ннться только его знак. Для длин волн, значительно превышающих
I критическую, р стремится к некоторому предельному значению. Af
| стремится к бесконечности, а коэффициент отражения — к ji; CKO-
Г. рость, с которой этот коэффициент стремится к своему пределу.
1 зависит, естественно, от толщины среды, определяющей крнтичё-
I скую частоту, а толщина среды, как это уже было отмечено, может
I быть сделана сколь угодно малой.
Как показывают результаты расчетов, в сэндвиче очень малых
з размеров можно обеспечить потерн на отражение на уровне не бо-
Рис. 2.29. К расчету размеров сэндвича, не создающего отражатель:
а — сэндвич типа А (Ке =4; Kt б — волноводный сэндвич (Ае =4,
1И=0,6) ‘
Длина волны, см
Ряс. 230. Кривые зависимости коэффдицента прохождения от длины волны для
широкополосного волвдродаого сэндвича при dtuO.Ol си, d»=«0,l см (кривая д) и
<fi—0,®CM, </>««0,185 см (кривая б);
г — ваМрйв иод упюн'вО*(вериекдикуде^агиолдриаша); !- Мх«м то* JMW 00*
(мдоДО«ЫмяимардаЯкя): 3 — яормшаое вадЫше 7
,168.. ''
<’7 '> : ' , < \ Л
лее 10% в Волосе частот шириной 10: 1. В этом случае при длине
волны 3 см толщина внутреннего слоя должна составлять 1 мм,
а толщина поверхностного — 0,1 мм (точка Р на рис. 2.29). Укры-
тие вдвое больших размеров имеет приблизительно вдвое меньшую
ширину полосы. Зависимость коэффициента прохождения для это-
го укрытия от длины волны представлена на рис. 2.30.
г) Укрытие* не создающее отражений при двух значениях угла
падения. Из уравнения (2.87) может быть определено условие
нулевого отражения, выраженное через параметры а, р, М н К,
соответствующие заданным углу падения и поляризации.
Для-этих параметров уравнение разрешимо при множестве
априорных условий. Выберем в качестве примера укрытие, которое
не только не создает отражений при нормальном падении волны,
но и не создает их при o6oHxf типах поляризации при некотором
другом значении угла падения на одной • заданной частоте. От
этого.условия можно перейти к,более общему условию отсутствия
отражений для обоих типов поляризации при двух заранее задан-
ных значениях угла падения.
Обозначив символами 0, JL л || нормальное падение, наклонное
падение с перпендикулярной поляризацией и наклонное падение с
параллельной поляризацией (при фиксированном угле падения &),
потребуем выполнения трех следующих условий:
(Л4д — Кд) (^ -f-1) -f- (AIq + «о) (Кд — 1) соз 2а,
ta«
° (A^|-X2B)(^I+i) + (<+^)(4-l)cOS2ae
tgB -УхМх«-1)8Ш2ае
° «-Л1) (Ki + l) + (M2j. + №J К- 1)соз2а8
Согласно (2.77) для всех углов падения У a —KJY ±
зовавшись этим соотношением также для М g и К ц . из
(2.92b) находим, что
cos 2ае -(Д^—1) (К2', + К») -К,. \,(^,— №±) х
х') Л.
>2-93>
Поскольку KL — sin2 0) 1/2/cOS 0, Ло= t и М ха*
» (Л«, — sin2 0)>/2/cos 0, Ma=V уравнение (2.93) представля-
ет сдбой первое соотношение между Кг, н Л'е, для заданного угла
, а (2.92а) — второе соотношение между этими параметрами,
однако ов определено здесь как нулевое значение ае , а Ре — как
нул^врезначение Ре. В данном случае целесообразно использо-
ватьПггррационную процедуру, которую: следует закончить в мо-
мент достижения заданной полосы. Результаты частного решения
: ’ ' >59
(2.92а)
(2.926)
(2.92в) ;
Восполь-
(2.926) и
этой задачи для не создающей отражений системы при углах па-
дения 0 и 60° и длине волны 3,2 см графически представлены на
рис. 2.31. Установлено, что наилучшие результаты могут быть по-
лучены при высоких значениях диэлектрической проницаемости
во внешних слоях; расчетные значения диэлектрической проницае-
мости соответствовали реальным керамическим материалам. Сог-
Puc. 221. Характеристика укрытия, ив создающего отражения ври углах паде-
нии 0 я 60° м« К<1и9; <»э-1,6; di —0,137 ем; а*—0,29 см (кривая а) и
К, —20; К. —2,8; d(—0,09 см; d>—ОД см (кривая б):
f-пшм мдугжш вГ (аарммммм иомярма^гя); 1 —pi деме пож углом МУ* (пероеи-
дажулжраая ишМртаяя): 3 ~ воржажж» ждана»
149 . ' М:‘. ч ;>'
> Г " ' _ >
ласно результатам вычислений оптимальным является вариант для
волны длиной 3,1 см, рассчитанный исходя из среднего значения^.
В теории укрытий известно соотношение между углом и часто-
той, благодаря которому любой структуре, работающей в широком
диапазоне углов падения, может быть придана способность рабо-
тать и в широком диапазоне частот. С этой точки зрения устрой-
ство, рассмотренное в последующем примере, можно рассматри-
вать в качестве своеобразного «углового» варианта Л-сэндвнча.
д) Укрытие с проводящим слоем. Если аналогичная процедура
проводится применительно к трехслойному укрытию, средний слой
которого представляет собой весьма тонкий слой материала с
очень высокой проводимостью, то среднюю матрицу (2.86) необ-
ходимо заменить следующей:
Zch₽ (lAM)shp
\M$hp chp
(2.94)
где р с учетам уравнения (2.83) определяется как
_sin*0Г/2
* Л2шцл>/ ]
при соответствующей комплексной форме записи М. и М ц.
Теперь условие нулевого отражения принимает вид
о ____________(1 /К — К) sin 2g_____
(№/Л4 — -J- (1 ;М — Л1) cos4 g
(2-95)
(2.96)
где М — комплексная величина.
Воспользовавшись соотношением
a 4.U • 1 > /1 — X* , i 2х \
В— arcth ix= — in I-4- ----)
2 U +х» I +x*J
и приравняв действительные и мнимые части, это уравнение мож-
но решить при заданных практически приемлемых значениях К,-,
и о, что дает возможность найти толщину соответствующих слоев
dj и d2. Теоретическое значение толщины среднего слоя, выполнен-
ногсд.из Таких материалов с высокой проводимостью, как олово пли
алюминий, имеет порядок 10—20 А, причем большее значение от-
носится к внешним слоям с более высокой диэлектрической прони-
цаемостью. Теоретические кривые коэффициента отражения трех-
слойного сэндвича с проводящим средним слоем для длины волны
?.=4,5 см приведены на рис. 2.32. Внешние слон сэндвича выполне-
ны из керамики с К?, «9, а средний слой — из олова, для которого
в—мо-м-1. Расчетные значения толщины слоев равны
4 ^-^инми^гмг лсг’м.
Графики, представленные на рис. 2.32. заметно отличаются по
’ форме от обычных графиков коэффициента передачи; угловой эф-
фекТлБрюстера отсутствует. Аналогичные кривые с гораздо боль-
шей^ шириной полосы (приблизительно 2: 1)' теоретически могут
быть. получены при использовании внешних слоен с днэлектриче-
"• 161
ской проницаемостью К(1=4, однако при этом средний слой будет
иметь совершенно неприемлемую для практики толщину
9,15-10-* м.
Отсюда следует, что перед расчетом структуры в целом необхо-
димо ориентировочно оценить толщину среднего слоя.
Длина волны, см
Рис, 2-32. Кривые зависимости коэффициента прохождения от длины волны для
трехсложного сэндвича со средним проводящим слоем для К, «9; dt«0,3 см;
dt=2442-10-» см; о=0,87-107 мо/м: *
I — пераевдикуляриая пЪляризацхя; г — иарадмльиаа яолярязяция
2.13. Многослойные среды
На основании изложенного можно прийти к выводу, что суще-
ствуют бесчисленные возможности использования дополнительных
степеней свободы, имеющих место в структурах, состоящих из пя-
ти и семи слоев. Формулы коэффициентов отражения и прохожде-
ния, для симметричных укрытий такого типа приведены в работе
Каплуна [31]. К числу рассмотренных в литературе примеров отно-
сится также однослойное укрытие, д центре которого расположена
проволочная решетка. Указанные коэффициенты выражены через
коэффициенты Френеля для промежуточных поверхностей. Матри-
ца передачи для случая использования проволочных решеток будет
\ приведена в гл. 5. Учесть факт введения таких решеток в стенки
укрытая можно, используя тот же матричный метод, что и в пред-
шествующих параграфах.
Теории многослойных структур, которые можно найти в лите-
ратуре по оптике, обычно оперируют со структурами, микровол-
новые аналоги которых имели бы совершенно неприемлемые с
точки зрения практики размеры. Вместе с тем, известны методы,
применяемые при перемножении большого количества симметрич-
ных матриц передачи, т. е. таких, которые рассматриваются в
данной главе. Поэтому эти методы применимы в технике СВЧ, в
которой многослойную структуру можно считать, как это имеет
место и на практике, состоящей нз множества очень тонких слоев.
Таким образом, эти методы пригодны при расчете,стенок укрытий.
В этой связи в первую очередь следует рассмотреть теорему
Эрпена, .согласно которой любую симметричную многослойную
структуру всегда можно представить посредством одной эквива-
лентной матрицы передачи. Дополнительное утверждение о воз-
можности представления любой несимметричной структуры по-
средством двух матриц передачи также справедливо, однако непо-
средственного отношения к нашей задаче оно не имеет. Для тео-
ремы Же Эрпнна весьма изящное доказательство предложено Ян-
гом [32].
Матрицы передачи имеют следующий вид:
\isn с j
Такую матрицу можно преобразовать в симметричную:
Af' = f‘sn С V
\ с isfn }
воспользовавшись соотношением /И'=ЛЛ1, где Л — матрица Паули:
/о п
Симметричная многослойная структура с матрицей S=MiMj...
... Msi..MjAfi может быть представлена как 5 = ЛЛГ|ДМ'а...
... .. AM'iAM'x} =AS’.
Теперь матрица S*— симметрична, что обусловлено симметри-
ей М' и XS'T—5'. Поэтому S — эквивалентная матрица одиночного
слоя, посредством которого представляется вся многослойная
структура ц целом.
Симметричные периодические многослойные структуры были ис-
следованы многими авторами методом перемножения повторяю-
щихся матряц передачи [3]. В частности, в работе Миленца уста-
новлено/ что в случае симметричной периодической структуры из
2« или 2п+1 слоев унитарная матрица, представляющая повто-
ряющуюся пару матриц, должна быть возведена в степень п [27].
. в* 163
Это производится следующим образом. Действительно, если М и
М — отдельные матрицы передачи повторяющейся пары и
U=MN~(a” а”\,
\°«i °п f
s требуется оценить Un.При других более сложных формах сим-
метрии предъявляется аналогичное требование.
Поскольку U унитарная матрица, ее можно представить в
S следующем виде: £/««асгв4Ц + с<Т2+dna, где Со = > ffi =“ (® q) .
(?~q) ' ст,=* (б—i) матрицы Паули, а а2—Ь2—с2—<Г=*= 1*.
Привлекая метод индукции, получаем, что
jyn== / I (Д) 2 С-®) fll2^n—1 (х) \ (2 97)
\HziSn-f(x) а22$п-1(х)—Sn-a(x)/
где Sn(x) — полиномы Чебышева (те же, что и в работе Эрпнна
[34]), определяемый как
5П (х) _ sin , х=2созф, xs^2, или
зшф
* 5» (х) = sh(n ]'!^-, x=2ch <р, х>2 (2.98)
sh<p
«х-вц+((а.
Полученные17 результаты существенно упрощаются при услови-
ях, соответствующих чисто оптическим устройствам типа много-
слойных структур или отдельных четвертьволновых слоев, но яв-
ляются практически неприемлемыми для диапазона СВЧ.
Предложенный метод обеспечивает связь между оптикой и дру-
гими отраслями волновой техникн. Те же аналитические способы
применимы при расчете четвертьволновых связанных фильтров,
при синтезе нагруженных линий [34], а также неоднородных вол-
новодныхлиний передачи. При этом используются полиномы Чебы-
шева а матрицы. Полиномы Чебышева — это ключевой метод рас-
чета линейных систем источников [24], где матрицы или их экви-
валенты, кватернионы, еще не нашли применения. Другие методы
анализа фильтров, например, метод функций Уолша [35], видимо,
также будут использоваться в теория решеток и, следовательно,
в теории оптических фильтров.
2.14. Среды е ппмых изменением показателя проломления
Существуют два метода, посредством которых матрнчная тео-
рия многослойной среды может быть перенесена на среДу с плавно
меняющимся показателем преломления. Согласно первому из них
непрерывный закон изменения аппроксимируется ступенчатым,
’ Вайду того, *го о, б, с, d могут быть комплексным^, в можно представить
в юмггержяояноЯ форме (см/ приложение2).
>. -1в4-. ’ :"7 .
т. е. вводятся дискретные бесконечно малые ступеньки, и произвол
днтся перемножение матриц этих ступенек. В принципе такой под-
ход не дает больших преимуществ, поскольку перемножение таких
матриц — чрезвычайно сложная операция. Если же перемножение
производится приближенными методами, то степень приближения,
т. е. погрешности, аналогичным образом перемножаются, так что
в конечном итоге решение оказывается приемлемым лишь в весьма
узком диапазоне толщин среды (измеряемом в длинах оптических
волн). Как таковая эта аппроксимация аналогична аппроксимации
Борна — в том виде, в каком она применена к дифференциальному
уравнению, определяющему распространение волны в подобной
среде [36]. Данный метод рассматривается здесь в иллюстратив-
ных целях-
Для слоя толщиной 6х матрица передачи имеет следующий вид:
(cos (2л6 х а/Х) —5— sin (2я6 х а/А) \
/(*) ], (2.99)
tY(x)sIn (2пбха/А) cos(2л6ха/А) /
где а — фазовый угол [Ке(х)—sin2 О]1/2; У(х) —переменная прово-
димость среды.
Теперь, если допустить, что угол а весьма мал, то
(I 1 х \
И*) А (2.100)
(У(х)2пбха/А 1 /
(Перемножение большого числа таких матриц дает полную мат-
рицу рассеяния слоя:
I 1
Мяи
\^'Е'1/(х)8х
2rtt су абх
A i У(х)
1
< (2.101)
Отметим, что степени бх выше первой отбрасываются при каж-
дой операции перемножения матриц.
В пределе
/ 1
1 • w
(2.102)
Значение ошибки результата можно оценить, рассмотрев случаи
однородного слоя толщиной D. При постоянстве а и У(х) матрица '
Л! в (2.102) определяется как
(1 -^-2л£><хА\
• г • I
iY 2л£>а/А 1 /
165
т. е. теперь всякая связь с периодическим результатом (2.81) утра-
чена:
(соз (2л £>а/Х) —• sin(2nDa/X) \
г |.
iY sin (2л РаД) соз(2лРа/Л) /
Фактически оба результата сравнимы только при значениях D,
при которых cos (2я£о/А) *=< 1, т. е.
Такнм образо», Необходим более эффективный метод, пригод-
ный дмя аналвзд слоев произвольной толщины. С этой целью це-
лесообразно диагонализироватьматрицу одиночного тонкого од-
нородного слоя. Теперь матрицы передачи (2.81) и (2.87) разде-
ляются на матрицы «проводимостей» поверхностей, между кото-
рыми помещена матрица фазовых углов;
— П/е'л О Ц I
2У уД 0 е-мД — У(2.103)
Л=2я£>а/1. J
Перемножение матриц N таких слоев с целью получения мат-
рицы слоя толщиной D производится в соответствии со следующим
соотношением: tAh-. .Л<я илн
Внутреннее произведение матриц проводимостей берется как
( (2.105)
Ух In У./ YifYj
Если Y9 и У|, а также А3 и Ль различаются очень мало, то
(2.105) принимает вид
1 /У14-У1+6У ГН-ЗУх-УЛ
«гДУН-вУх-У* Гх+Ух+вУх/
' ’ (2.106)
В пределе вУг-М) я все внутренние произведения стремятся к
единичной матрице. Теперь (2.104) может быть переписано в сле-
дующем виде:
° Hi ЛА 0 ехр(-Мх)/
ZexptfWx-l-ddx] 0 \ / У. 1 \ 1
V 0 ехр(—»Их-Р*Мх)]/ ' ' ' У» 1 ) 2У* ’
• (2.Ю7Х
1W -Ч
ехрг—ij Adx
Окончательно
Г 1
| ар -
еалов)
(созФ -Д-з1пф\
7 •
tY.sintP -тг-созФ/
,ч ‘ М /
где Ф — фазовый интеграл [37], определяемый как
(2.109)
о о,
ф =» С a dx = J У (х) —rsins 0 dx. (2.110)
К о
Перемножение двух таких матриц дает третью матрицу этого
же вида. Как легко видеть, эта матрица соответствует бесконечно
тонкому слою, в котором свойства среды от плоскости падения
волны до плоскости ее выхода изменяются по линейному закону.
Такой слой имеет следующую матрицу
/да^а -Lsin^aX
ДЛГ = | 1 Y* 1 I. (21111)
I _;_2ядх_ Yi I
\n,stn a —-cos al
\ 1 v У, X /
Перемножение таких матриц и предельный переход дх—>-0 да-
ют тот же результат, что и (2.109). Таким образом, фактически
кривая показателя преломления может быть аппроксимирована в
L, виде последовательности весьма малых линейных интервалов без
разрывов непрерывности на поверхностях раздела.
Фазовые интегралы были введены в работе Эккерсли и Ба д-
дена [38] для решения задачи распространения радиоволн в атмо-
сфере с изменяющимися параметрами, однако эта операция пред-
ставляется несколько произвольной. Через несколько лет Якобсон
[39] получил тот же самый результат и показал, что его можно
интерпретировать как процесс усреднения коэффициентов отраже-
ния Френеля при ступенчатой аппроксимации. Этот результат по-
лученИсходя из дифференциального уравнения, описывающего рас-
пространение волн, и, по существу, представляет собой ВКБ-приб-
лнженне [40],
Из представления фазового интеграла (2.110) вытекают огра-
ничения на толщину слоя D и закон изменения показателя пре-
': * ДАя»еохраиеаия унитарности ЛМ в (2.111) может быть умножена на
4W » дальнейшем не приведет к потере общности.
ломления Ке(х). Эти параметры должны быть такими, чтобы по-
дынтегральное выражение становилось комплексным. Физически
это соответствует или полному внутреннему отражению в материа-
ле на большой глубине или же очень малому (относительно поверх-
ности) углу падения. Все эти проблемы в большей степени отно-
сятся к анализу распространения радиоволн и, следовательно, ко
всем терретиЧёскнм аспектрам данного вопроса. По существу мат-
ричный анализ представляет здесь звено, объединяющее все эти
теоретические вопросы, с одной стороны, н иные области Теории
СВЧ, с другой. В частности, матрячныйанализ может быть приме-
’ иен в теории неоднородных
волноводов.
Как отмечено в работе
Якобсона [39], «в принципе, не-
однородные пленки, по воз-
можности, в сочетании с одно-
родными могут быть исполь-
зованы для реализации боль-
шей части спектральных тре-
бований, предъявляемых со-
временяой.тонкопленочной оп-
тикой». Дополнительные сте-
пени свободы, получаемые
Рис. 2.33. Некоторые конструкции трех- вследствие разделения отра-
слойиых сэндвичей жений на промежуточных по-
верхностях в зависимости от
разности фаз между ними и, кроме того, за счет различных значе-
ний коэффициентов Френеля на этих поверхностях, позволяют рас-
сматривать самые различные варианты укрытий. Некоторые из этих
вариантов схематически показаны на рнс. 2.33.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
Скалярная теория дифракции круглых
раскрывов
Использование методов лучевой оптики, рассмотренных в преды-
дущих гладях дли определения основных характеристик фокусиро-
вания зеркальных н линзовых антенн, позволяет получить лишь
только качественное описание распределения интенсивности^ поля
вдоль осн раскрыва антенны для предполагаемого или известного
распределения поля источника.
Эти методы не могут быть использованы для определения излу-
чаемого антенной поля.ее диаграммы направленности без учета
еше одного важного фактора, которым для раскрыва конечного
размера является дифракция. Дифракция наиболее заметна в дна-
168 '777<
пазоне СВЧ для небольших (в длинах волн) раскрывов, и ее
можно в известной степени скомпенсировать, принимая во внима-
ние некоторые аберрационные эффекты, создаваемые оптической
системой.
Еще одно существенное отличие от оптических задач заклю-
чается в том, что при изменении амплитудного распределения в
раскрыве излучаюЩей антенны наблюдается значительное измене-
ние формы диаграммы направленности. Строгое решение данной
задачи требует знания распределения поля (в векторной форме)
по всей бесконечной поверхности, охватывающей излучающий рас-
крыв, и применения теоремы Грина к полупространству .свободно-
му от источников, и в которое, собственно говоря, и «осуществляет-
ся» излучение антенны. Теорема Грина, применительно к замкну- .
той поверхности, требует интегрирования по всей поверхности,
охватывающей источники (т. е. излучающий раскрыв и любые ло-
кальные поля, создаваемые им), а также замкнутую поверхность,
которая, как правило, является поверхностью сферы бесконечно
большогорадиуса.
При интегрировании по поверхности сферы бесконечно боль-
шого радиуса используется «условие излучения на бесконечности»,
при; котором результат интегрирования стремится к нулю при
стремлении радиуса сферы к бесконечности.
Даже в том случае, когда источники, обусловливающие поле
излучения,"определены точно, при последующем интегрировании
они могут быть аппроксимированы тем или иным образом. При
этом оценка неточности, обусловленной аппроксимацией, может
быть произведена как для полей источников, так и для результи-
рующей диаграммы излучения.
За последние годы появилось большое количество работ, посвя-
щенных увеличению точности расчетов полей. Основной задачей,1
решаемой в этих работах, является учет влияния краев и границ,
что является существенным обстоятельством для излучающих _
устройств оптического типа, раскрыв которых имеет конечные раз-
меры.
Попытка систематизировать различные теории и вытекающие
из них решения для нахождения полей излучения представлена в
табл. 3.1. В библиографии к этой главе в разделе теории дифрак-
ции можно найти полные данные о работах авторов, приведенных
в таблице.
В случае, когда излучающая система содержит одиночное иде-
ально проводящее зеркало, наиболее плодотворным является ме-
тод; физической оптики, для которого основой служит определение
токов, наведенных на зеркале известным полем падающей волны.
Эти токщ в свою очередь, являются источниками поля. При этом
предполагается, что распределение токов, наведенных в любой точ-
ке‘зеркала, определяется через известное значение падающего
магнитного поля, а сами токи, наведенные однородной плоской
волной, имеют такую же амплитуду и поляризацию, как тонн на
бесконечной проводящей плоскости. Несмотря на то, что этот ме-

I ^ik'|r~r*( поил jutoTAiouwi
S’ —---------* функция Грим дм саобоажио гиюстран^;Й^ктар, непременный из точкиисточника г' точку пом г; Я-г-г'
• 8ПОЛНОСТЬЮ ОКрУЖМГ " -ежа.
жрана; п пормалк а
- . ®
РхЖ-HU* —
* A

.HGdj
4л
сД, t x EGdi | V x H -1 + **j-
в S; S-А проводящая поверхность бесконечно Лратйвенного плоского
Эепвздь>ее>ощиелот«и»»»пы
j-lx Н
Л-Д
i х HGdr
О-Л
Ри -

V.D - p
p - ci.8
Ф
Н-в -Е д**с j*L L- -J.
-А; ♦ * X; X + -Ф и для асех'решений Ер •* Нр и т.д.
- д^ + V х L + " Vp -/« у, Л Л Скалярное урмнеине вотш
l^m^Hewnr^MenecKoSeoiiHM в'-^ \ р*“*и* И—**2f
t — - i curi F + iwA - grad Ф.
Преобраэоашн
В-*Н
ТОгддА^Р; F*
Д-*А
йя -* 'Р
Мрпрмур
de
Комплексно*
сопряженное число
РшШШтАмобшмкого источника
i-Д, * J -*’k xVCr + -Vg| dr
Приближение для дйымй ЮНЫ
' t | едиа-г1.!»
e>"3“ J {V*’’K^‘*8l‘ku“i-xRl — —de
Приблюмкря
e точки фенм J - X x H„. j,.p..oz i « E - I.II - 0
фижиоксй ©тики
;е
Cg-Eg
.fti о . At

Г {GULF) it - w(i.VG)ds
Js i .
Рмюмиедля
повархмостиого
встчянкка,
8,« — V
«ж

U.
{„Л»
G7'"*tTrfds
da dnj
I По компонентам
„Л£ AG)'
ел7"ЕлГ['*’
on on J
t
Е) X VG + H.E)VG|ds
ж * V ж А
<о
V X I й X H)Gdj +V X f Ш х E)Gds
l I
--VxF
a
Апертурша интегралы
MExt}G<U~ —A U.HjFGd/* | (iw(AxB>G+(i.E^G}da
i«l Ja
дополнительный краевой ток
(Ml)VGdf
х Е) ж VGdfl
Лрибликспие
Кирхгофа
РэмЙ—
Зоммерфельд “*
о ж и наЗ-А
eG
и—ds
fa
fa л „ t
— - OwaS-A
Лв
^E ₽<?GH
” - Errde
r» rej
- Ф
IxH-OmiS-A
Вектор Рзлая-Зомыерфеяьда
Поле в г' - вектор, направленной
дйп^шй ; е«м г !'• и! начала кооржняг к
—---► — ~4и Й*Ьк‘м'*М элементу da
»»• 2* R Ja J Ik-
A x E »0 HtS -r A
V*4 4- Й
о
do
М а
Диффракцдя a<iiui на диертурах
«Кирхгоф “ «геом.опт. + граничная «олив
Геометрическая
теорий диффракции
Разложение
Л юнеберга-Д ебая
Спектр плоской волны
Ер « геом.оптика + краевая днффрагпроданная волна
е"‘г ik f
/ = < «р{/1[а(х - х') 4 #> - /) 4 Ttt - J jjdfl
U — sin 0 d£ d^ ф 10 -» 2л
41 --------------J
* 4я Я
co»a.R\e“* ,
—Л ” l“=-<b
Я /Я
4 cos в) I w c‘
«1-11+0010)1 F(£i0eaih,*<kJ"**<',"**dl;d»f
Круговая апертура радиуса а
и.
/U. ^|е“* **'•'’ rdrdd'
Уравнение 3.1
тод неверно определяет распределение токов вблизи краев зерка-
ла, он, тем не менее; дает весьма точные результаты для больших
(в электрическом смысле) размеров зеркала с достаточно боль-
шим радиусом кривизны. Как это будет отмечаться неоднократно,
учет влияния краевых эффектов является основной проблемой всех
дифракционных теорий. Для метода физической оптики это влия-
ние незначительно, я метод дает хорошее совпадение с экспери-
ментальными данными по сравнению с другими методами.
К сожалению, такой метод расчета требует проведения боль-
шого объема вычислительных работ. И поэтому данный анализ
проводился только применительно к двухзеркальным антеннам
Кассег^ейна [lj, уже рассчитанных методами геометрической опти-
ки. Так как такие антенны обладают, в принципе, возможностью
бесконечной вариации геометрических параметров и, следователь-
но, функций возбуждения, становится объяснимым тот значитель-
ный объем вычислительных работ, необходимый для получения
достаточного количества данных для их оценки. Метод физической
оптики трудно использовать для анализа линзовых антенн, за
исключением; может быть, одной возможности его использования,
а именно для расчета волноводных линз. Для сложных форм реф-
лекторов зеркальных антенн (например, рассмотренных в гл. 1)
требуются совершенно новые вычислительные процедуры для каж-
дого конкретного случая, и это обстоятельство, естественно, тор-
мозит развитие данного метода.
Почти то же самое можно сказать и о других, сравнительно
более новых методах, устанавливающих особую роль краевых эф-
фектов в явлении дифракции антенн. Речь идет о геометрической
теории дифракции, предложенной Келлером [2]. Келлер к геометро-
оптическим полям добавляет поля дифракции на краях апертуры.
Эти поля вычисляются Для каждой точки границы раскрыва как
поля дифракции плоской водны, имеющей такую же амплитуду
и поляризацию, как и в случае дифракции волны на бесконечной
полуплоскости. Келлер в качестве эталонного решения использо-
вал известное решение Зоммерфельда задачи дифракции волны
на полуплоскости. В дальнейшем пришлось вводить необходимые
усовершенствования, чтобы эта теория была применима и в «уязви-
мых:» областях, которыми являются граница свет — тень, области
каустик и фокусов [3]. И, как и ранее, в этом случае требуются
весьма громоздкие вычисления.
Ранние работы по дайной тематике до снх пор остаются не-
превзойденными. В этих работах обычно применялись интеграль-
ные выражения, базирующиеся на использование теоремы Грина,
причем векторное распределение поля на раскрыве антенны пред-
полагалось известным. Более полное обсуждение этой проблемы
можно найти в работе Баукампа [4], где приводится ссылка приб-
лизительно на 500 различных работ. Сильвер [5J, используя теоре-
му Стокса, показал возможность перехода от интегрирования поля
в бесконечных пределах к интегрированию по конечной области
путем введения контурного интеграла по границе апертуры. Сле-
i« ' ; /.. < -

} дует отметить, что на линейный источник, входящий в контурный
интеграл, накладывается дополнительное требование, в силу ко-
торого источник должен обеспечить непрерывность поля при пере-
ходе от раскрыва антенны к «неосвещенной» области. Тот же кон-
турный интеграл возникает при .использовании приближения Кирх-
гофа для определения запаздывающих потенциалов.
Как показал Сильвер, вклад, вносимый дополнительными
! источниками, действие которых учтено в контурных интегралах,
весьма мал, и им можно пренебречь. Такая аппроксимация приво-
дит к тому, что подынтегральное выражение сводится к форме, ко-
торую бы оно имело в Случае бесконечной плоскости. Это соответ-
ствует приближению Кирхгофа в векторной форме. Этот результат,
по сути дела, означает, что во всей области вне раскрыва антенны
поле считается тождественно равным дулю. Б этом случае дифрак-
ция определяется волной, проходящей через отверстие в бесконеч-
ном экране, причем распределение поля в раскрыве считается та-
ким, каким оно было бы при отсутствии экрана. Такая задача в
। определенной мере эквивалентна задачам дифракции, и в этой
связи она привлекла очень большое внимание исследователей. Сле-
дует, однако, отметить, что прежде, чем перейти к рассмотрению
задачи об излучении антенны с неравномерным возбуждением, не-
, обходимо провести дополнительные исследования.
1 Можно сравнить решения, полученные рассмотренными метода-
! ми для апертур с равномерным возбуждением. Это сравнение поз-
i волнт оценить точность решения при других условиях, например,
для других законов возбуждения раскрыва.
Другие фор4мы приближения Кирхгофа, не зависящие от вида
представления бесконечного интеграла, представляют собой ре-
зультат интегрирования только по самому раскрыву, полностью
: игнорируя результат интегрирования по остальной области. Этот
| результат аналогичен результату, используемому в методе запазды-
1 вающих потенциалов. Он так же равносилен принципу Гюйгенса,
! так как относится к излучению источником сферической водны.
Скалярное приближение Кирхгофа, для которого игнорируется
поправка, обусловленная контурным интегралом, может быть ис-
пользовано для нахождения векторного представления излученного
поля. Для этого, естественно, достаточна определить поле нзлуче-
ния для каждой компоненты векторного поля в раскрыве антенны.
Для каждой компоненты вектора, являющейся скалярной величи-
ной, справедливы принятые приближения, которые позволяют све-
£ сти более сложный случай (векторную форму) к уже известным
(решениям. Для одной яз наиболее распространенной формы рас-
крыва антенны, а именно круглой, скалярный интеграл дифрак-
ции в рассматриваемой таблице приведен в виде формулы).
Рассматривая родственную задачу дифракции падающей волны
на отверстие в плоском экране, в частности дифракции плоской
- волны на круглом отверстии, можно получить иные приближенные
решения. Такое рассмотрение позволяет перейти к задаче об язлу-
ченци апертуры. Преобразования, связанные с вычислением интег-
Т 173
рала излучения, могут быть выполнены как для скалярного, так
и векторного случая, причем в обоих случаях могут быть приме-
йены различные граничные условия. Для скалярного случая, со-
ответствующего дифракции плоской волны, два результирующих
интеграла известны как интегралы Рэлея — Зоммер фельд а. В век-
торной форме интегральное представление для характеристик из-
лучения антенны получило название преобразования Франца. Ис-
пользование, каки раньше, граничных условий для различных
компонентнеприводит в данном случае к векторной форме приб-
лижения Кирхгофа,так как данное выражение включает в себя
краевой ицтеГрал, Окончательный результат в данном случае пред-
ставлен ввиде векторного интеграла Рэлея — Зоммерфельда.
Выбранное граничное условие близко совпадает, с приближенными:
результатами, вытекающими из физической оптики, которые, как
было указано, наиболее хорошо подтверждаются экспериментом.
Поэтому можно Ожидать, что результирующий интеграл будет
иметь тот же порядок совпадения.
При анализе дифракции волны на отверстии в экране Вольф
с коллегами обнаружил, что различие в решениях, полученных ме-
тодом геометрической оптики и приближенным методом Кирхгофа,
может быть представлено в виде «граничной Волны», возбуждае-
мой краем отверстия.
Для случая возбуждения плоской волной были получены приб-
лиженные представления (первого и второго порядка ) для гранич-
ной волны. В принципе, рассматриваемый эффект отличается как
от эффекта; обусловленного контурным интегралом краевых токов,
так и от краевого эффекта геометрической теории дифракции, хо-
тя он имеет общие черты со вторым из названных эффектов.
Во всех этих методах значительную роль играет функция Гри-
на для свободного пространства, вытекающая из исходного реше- :
НИЯ. . ..
Рассмотренные методы могут быть обобщены для случая неод-
нородного возбуждения апертуры. В данном случае неоднородную
волну можно рассматривать как бесконечный спектр однородных
плоских Или сферических волн. Следует отметить, что использова-
ние этих формул дает менее точное совпадение - эксперименталь-
ными данными по сравнению с другими, рассмотренными прибли-
женными методами.
Можно предположить, что существуют в другие До снх пор нео-
пробнрованные методы, позволяющие «улучшить» приближение
Кирхгофа. Так, например, нз эксиерямеяталькых работ Эййрйгеа :
и Андреевски известно, что в раскрыве, возбужденном достаточно j
однородным полем ;(т. е. в том случае, когда счнтаетсд, что нриб- «
лиженне Кирхгофа не нуждается в какой-либо дополнительной
коррекций), наблюдается стоячая волна. Очевидно, тгоявлейие стоя-
чей волны обусловлено взаимодействием между краевыми токами.
Амплитуда стоячей волны враскрыве зависит как ог диаметра
раскрыва, так и от уровня возбуждающего поля на краю раскры-
> ва. Амплитуда стоячей волны возрастает с увеличением уровня
. \
Jr. Alf. -Л .1 . - .л ..’>4:. . ________________. .С д' : .
г •»
к возбуждающего поля на краю раскрыва и с уменьшением раскры-
W ва, прячем для малых размеров апертур распределение поля на
В них становится таким же, как и распределение поля в волноводе,
Т имеющем то же самое поперечное сечение. И наоборот, т. е., когда
размер апертуры составляет Юли более, распределение поля на
Р апертуре практически повторяет распределение падающего поля
и отличается от него наличием небольших по уровню осцилляций.
Дифракционная диаграмма, соответствующая стоячей волне,
имеет второй порядок малости по отношению к рассчитанной в
приближении Кирхгофа основной диаграмме направленности в
' области основного н первого бокового лепестков и имеет внд силь-
но осциллирующей функции для области малой интенсивности
। поля.
Можно показать, что только Скалярное приближение Кирхгофа
дает возможность получить решение в замкнутой форме, позволя-
ющее связать любую априорную форму диаграммы направленно-
сти антенны с необходимым распределением по раскрыву антенны.
t Это решение является такцм же основным инструментом для диф-
ракционного анализа антенн, каким является аппарат геометриче-
ской оптики Для анализа оптических устройств. Сравнение реше-
ний многих задач, полученных в приближении Кирхгофа, с экспе-
. рнментальнымн данными , показывает достаточно хорошее совпа-
। дение обоих результатов. Это имеет место даже в тех случаях,
когда анализируются распределения полей в областях, примыкаю-
щих к фокусам н каустикам, а также для сравнительно небольших
1 размеров апертур. Принимая во внимание возможные факторы
появления ошибок в измерениях, например, такие, как затенеяне
раскрыва или рассеяние на элементах крепления, которые вносят
более значительный вклад, чем это может быть учтено в прибли-
жении Кирхгофа, обычно получаем, что для реальных функций
возбуждения раскрыва качественные результаты оценки характе-
ристик антенн могут быть признаны удовлетворительными.
Другие причины применения выбранного приближения для
£ анализа и построения антенн СВЧ будут обсуждаться далее. В
|частноств, будет показано, что это приближение позволяет полу-
чить решенне в виде рядов, что, в свою очередь, дает возможность
перфатцк решению обратной задачи, т. е. к вопросу о том, каким
обраёом надо возбудить излучающий раскрыв, чтобы получить ди-
аграмму направленности требуемой формы. В последующих раз-
делах эти проблемы подвергнуты всестороннему рассмотрению.
3.1. Сжаллриые мнтегральные преобразования
Рассмотрим интеграл Гюйгенса-Грина для круглых раскрывов"
[5]; '
g(u, j{(г, <p)eiurc'M1’f_4'>rdrd<p/, (3.1)
. • 17в
..._______________________________________>________: . „....

где it, <j>' — нормированные координаты точки интегрирования в по-
лярной системе координат, совмещенной с плоскостью раскрыва;
0, Ф —угловые координаты точки наблюдения, находящейся на
достаточно большом расстоянии от раскрыва (рис. 3.1).
Рас. 3.1. Геометрия круговой апертуры
Максимальное значение параметра u—2nasin0/X, где а — ра-
диус раскрыва, X —длина волны излучения для реальных значе-
ний углов 0, равно 2ла/Х. В дальнейшем, однако, мы будем рас-
сматривать и случаи, когда и принимает любые значения на дейст-
вительной оси.
Выражение, представленное в виде (3.1), укрощено за счет
исключения постоянных множителей, а также: множителя, имею-
щего вяд (14-003 0). Первое упрощение справедливо, если нас ин-
тересует формадиаграммы направленности, а не абсолютное зна-
чение ноля в зоне излучения. Второе упрощение справедливо в том
случае, когда форма диаграммы направленности нас будет интере-
совать для малых углов 0. Форма основного и боковых лепестков
антенны, вычисляемая по формуле (3.1), дает обычно/удовлетво-
рительные результаты до значений параметра «<5.
В последующих параграфах мы будем анализировать случай
больших значений и и, следовательно, 0.В этом случае изложен-
ная теория легко может быть видоизменена эа Ьчет рассмотрения
функции g(u)-*g(n)/(14-cos0). В дальнейшем мы особо обратим
внимание на данный переход \
Функция J (г, V) из подынтегрального выражения (3.1 ) пред-
ставляет собой распределение поля, заданное в комплексной фор-
ме, на излучающем раскрыве. Если заданы составляющие вектор-
ного полян раскрыве, то после вычисления по (3.1) соответствую-
щих компонент поля излучения можно легко определить вектор-
ный характер распределения поля Для дальней зоны.
На характер функции Дг, $') накладываются определенные ог-
раничения, в частности, требуется непрерывность мнимой части
176 ~
функции и ее производной. Сюда же добавляется условие на от-
сутствие скачкообразного изменения в амплитудной или фазовой
функции возбуждения. В дальнейшем мы будем считать эти функ-
ции кусочно-непрерывными и не накладывать каких-либо ограни-
чений на изменение амплитуды и фазы, за исключением тех, кото-
рые невозможны в практических ситуациях.
Мы используем условие осевой симметрии функции возбужде-
ния /(г, <р'), которое позволит заменить двукратное интегрирова-
ние по поверхности одномерным интегралом по радиусу.
а) Осевая симметрия. При осевой симметрии функции возбуж-
дения, т. е. когда f(r, <р') не зависит от ф' и, следовательно, сам
интеграл не зависит от ф, можно предположить, что ф=0. Тогда
используется соотношение [6]
— С exp(iarcos<p')^<p'=-Mwr). (3.2)
2л J
а
Перепишем выражение (3.1) следующим образом:
i
g(ut 0) —2л Jf (r)J0(Ur)rdr. ' (3.3J
о
В дальнейшем постоянный множитель 2л будем опускать.
Выражение (3.3) представляет собой конечное преобразование
Ганкеля нулевого порядка от функции /(г) (7],
б) Диаметральная асимметрия [8]. Разделяя раскрыв на две
равные части по диаметру ф'=О и <р/=л, рассмотрим тот случай,
когда эти части раскрыва возбуждены противофаз но. В этом слу-
чае выражение ДЛЯ возбуждающей функции имеет вид
/(г. ф')=НО. 0<ф'<-т.
п<ф'<2л.
На практике такое распределение может быть реализовано, напри-
мер, при размещении фазосдвигающем среды на одной из половин
раскрыва;
Выражение (3.1) для рассматриваемого случая имеет вид
я 1
g(«, ф) j; j f (О exp [iur cos (ф—ф') ] rdry' —
Я « -Т l
—| р(т)ехр[—iur cos(ф—ф') ] rdrd p(r)sin[ur cos(<p—<p')]X
iff o' о
xrdrdy'. (3.4J
Наибольший интерес представляет та плоскость наблюдения, где
эффекттакого задания распределения проявляется максимальным
образом. Указанная плоскость перпендикулярна линии диаметра,
" 177
разделяющей раскрыв. Полагая ф=л/2, перепишем (3.4) следую-
щим образом:
1 *
g[u,± ш= ±2i Jf(r)dr j sin (ur sin </)&$'. (3.5J
Внутренний интеграл представляет собой функцию Ломмеля —
Вебера нулевого порядка f6];
Я
f sin(wsin$')dip'=Qo(w). (3.6)
о '
Преобразование (3-6) идентично функции Струве Но(иг).
Если положительные и отрицательные значения и соответству-
ют значениям <р, отличающимся на л, то согласно (3.5)
j
g^ u, ± -|-)=±2.ч j f (r)Qo(ur)r<ir, (3.7);
u
что представляет собой преобразование Ломмеля нулевого поряд
Рис. 32. Фазовое расцредеяе-
ние ва круговой апертуре! <'
а — возбуждав» двух половяи
раскрыва с фазами 4*а в-их;
о — асямаетряувое возбужде-
ние; в—осесимветрмчвое воз-
буждение
В случае, когда обе половины раскрыва возбуждены не строго
в противофазе, выражение для диаграммы направленности для
плоскости наблюдения ф—±я/2 можно получить, комбинируя ре-
зультаты Двух первых разделов. Так, если фазы возбуждения обе-
их половин раскрыва равны +а и —а (рис. 3.2а), то
ж 1 я 1
g (и, ф) = e-ia J J f (г) exp £tиг cos (<p—ф') ] rdrd<p'+ettt f Г f (г) X
0 0 oo
Xexp[—/агсб5(ф—ф')]МгФр'; (3.8)'
для плоскости ф=я/2 оно преобразуется следующим образом:
1 . 1
g ± и, —2л cos a f / (г) Jo (цт) rdr±2jt sin а J f (г) Qe(ur)rdr.
в) Фаза возбуждения раскрыва периодична по угловой коорди-
нате. Функция возбуждения раскрыва в данном случае может
быть записана в следующем виде:
f(r, фЭ— f(r)exp(—*рф'), ' (3.10)
где р —- целое число.
• Тогда
•<>;' I 2«
g(u, ф) — j f (г) rdr J exp {i[ur cos (ф—ф')рф']}с/ф'. (3.11),
Внутренний интеграл может быть вычислен через функции
Бесселя более высокого порядка [6]. Поэтому
g(u, ф) =2л exp [‘/’(-J— ф)] f(r)Jp(iu-)rdr. (3.12)
Множителе перед интегралом в (ЗП2) указывает на тот факт, что
диаграмма направленности имеет периодическую цикличность в
изменении фазы по ф. Интегральное выражение в (3.12) представ-
ляет собой интегральное преобразование Ганкеля порядка р.
Данный пример приведен для того, чтобы проиллюстрировать
ситуацию, в которой могут , иметь место подобные преобразова-
ния более высоких Порядков.
Аналогичным образом можно определить преобразования Лом-
меля более высокого порядка от радиальной функции /(г):
(3.13)
: г)Синусоидальное изменение фазы. Синусоидальное изменение
' фазы;обр.азует фазовую поверхность, полученную вращением радн-
альнрЙ/коОрдннаты вокруг центра раскрыва; при этом фазовый
сдвигпропорционален значению sinq/. В антеннах такое фазовое
распределение имеет место при выносе облучателя из фокуса в на-
правлении, перпендикулярном оси симметрии, т. е. таким образом,
как было рассмотрено в § 1.7.
В большинстве случаев, когда фазовое изменение по радиаль-
ной координате аппроксимируется кубической зависимостью
(рнс. 3.26), имеет место аберрация типа комы.
Функция возбуждения раскрыва в данном случае имеет вид
/(г, ’ ’ (3.14)
где функция ф (г) оцнеыЙет поведение фазовой поверхности для
поперечного сечения при,ф'=я/2. Такая ситуация рассматривалась
ранее В гл. 1 применительно к фокальной кривой параболического
цилиндра со смещенным источником облучения.
Скалярный дифракционный интеграл в данном случае равен
2л 1
g(u, <p) = J | f (r)exp(i[
Для плоскости ф—л/2, где наиболее эффективно сказывается
данный вид фазового возбуждения, имеем
g^u, (г)/0(w—ф(г))г&. (3.
Используя формулу сложения для функций Бесселя [6], полу-
чим
иг cos(q>—q/)—ф(г)з1п ф'] }rdrdy'. (3.15)
яЛ±«, -f )-4л V'(-l)’ ./ l,(^(r))J.(ur)f,(r)rdr (3.17)
(штрих у знака сумм^ Р^вЙШ, что первый член ряда (х = 0) *
умножается на 0.5). j
В частном случае, когда ф(г) — а, первый член подынтеграль-
ного выражения может быть вынесен нз-под знака’ интеграла:
g(±и, ) —4л% (-1)(ч=а) j/ (г)Л(urjrdr. . (3.18J
В большинстве случаев, представляющих практический инте-
рес, первый член подынтегрального выражения из (3.17) может
быть представлен в виде разложения в ряд по г, который, в свою
очередь, вместе с f(r) может быть представлен в виде преобразо-
вания Ганкеля более высокого порядка.
д) Радиальное изменение фазы возбуждения. Все рассмотрен-
ные фазовые соотношения относились к нзменейням фазы по угло-
вой координате раскрыва. Более важны е практической точки зре-
ния ситуации, когда фазовые соотношения постоянны по угловой
координате, а имеют место вариации фазы от центра раскрыва к
его краям. < '
Эти ситуации соответствуют оптическим системам, в которых
источник имеет осевое расположение, но смещен из фокуса, что со-
-180 J. X •" ' " '
I ответствует сферической аберрации (рис. 3.2в). Функция возбуж-
* дения в данном случае имеет вид
фЭ=/(г>ыр[“й*|(г)], (3 19)
где, как правело, функция ty(r)=br2 является хорошей аппрокси-
мацией рассматриваемой ситуации, о чем говорилось ранее, в § 1.7.
В предыдущие параграфах приведено вычисление данного ин-
теграла, цравда, только для самого простого случая, а именно
равномерного амплитудного возбуждения = Другие ситуа-
ции, в которых рассматриваются реальные типы амплитудного воз-
буждения, будут оценены в дальнейшем.
ж) Угловое изменение амплитуды возбуждения раскрыва. Ко-
нечные преобразования Ганкеля более высоких порядков имеют
место при представлении скалярного дифракционного интеграла,
когда фазовое возбуждение раскрыва постоянно, и имеются перио-
дические по угловой координате изменения амплитуды возбужде-
ния. Можно показать, что такие условия создаются для состав-
ляющих векторного поля, когда параболоид возбужден линейно
поляризованным источником (диполь или рупор), расположенным
в фокусе параболоида, [9]. Эти составляющие создают так назы-
ваемую ; кросс-поляризацию диаграммы направленности, которая
имеет Место для любого вида отражающего зеркала.
Амплитудное распределение кросс-поляризационной составляю-
щей может быть представлено функцией вида
•.f (г, ф') =f (г)sin 2ф'. (3.20)
Максимальное значение функции н в то же время максимальный
уровень боковых лепестков кросс-полярнэационной диаграммы со-
ответствуют плоскостям наблюдения ф=±л/4 и ф=±Зл/4.
Вычисление скалярного интеграла ,
g (и, -—J ~ J f f О') exp iur cos Г ,ф'-—\ sin 2ф'</ф'г4г
приводит к выражению, пропорциональному
got. f(r)h(ur)rdr. (3.21)
Из рассмотренных ранее примеров видно, что для большинства
| ситуаций, соответствующих реально используемым антенным сясте-
1 мам. влияние на диаграмму направленности вариаций амплитуд-
I ио-фазового возбуждения может быть учтено в приближении Кирх-
I Гофа путем вычисления интегральных преобразований ГанкеДя и
Г Ломмелятйпа
I .'/р4 । •
Г ln(u)= J f(r)Qn(ur}rdr (3.22)
I относительно действительных функций/(г).
Г ' 181
82. Преобразованы нулевого порядка
Обычно, когда отсутствуют флуктуации в амплитудно-фазовом
возбуждении раскрыва, диаграмма направленности определяется
соотношением
ffo(«)-J Jk)Je(«r)rdr. . (3.23)
Для большинства реальных ситуаций функции f (г) представ-
ляют собой функции, монотонно спадающие от значения /(0) = 1
в центре раскрыва до f(l) =0,14-0,3 на краю. Эти функции могут
быть хорошо аппроксимированы учетом нескольких первых членов
ряда
(3.24J
р—0 '
Кроме того, достаточно хорошая аппроксимация может быть до-
стигнута при-использовании биномиальных выражение типа
f (г) — (1—Аг2)р, А< 1, р — целое число;
= (l-J-Ar*)?, А>1, р>0;
-(14-Аг») й.
Полученный ряд по существу аналогичен ряду (3.24).
Подставляя полином из (3.24) в (323), получим
f (1—r»)p/#(ur)rdr==2₽pl — Дд+1(7 , НК 1, 2. (3.25)
5 и"4-1
Соотношение (325) определяет так называемую лямбда-функ-
цию (10]. Поведение функции Бесселя при больших значениях ^
аргумента и, следовательно, больших значениях степени аргумента
в знаменателе свидетельствует о том, что практически необходи-
мо учитывать только несколько первых членов ряда
«.(“)= Е^Т^ТТУ- (МЧ
р—о
Результаты вычислений приведены в § 3.4.
При интегральном преобразовании Ломмеля нулевого порядка
аналогичными квадратичными функциями будут [7] функции
f (1—r1)J’Qft(w)rdr=2₽-^±^-, (3.27J
х я*"к
где (х) — функции Струве.
Функция /0 —(1—г^)> для больших значений параметра р с
трудом поддаются интегрированию при вычислении преобразова- .
г....: е
I ний высокого порядка, и поэтому их практически не применяют
f для анализа «невозмущенных» раскрывов с круговой симметрией
* и антисимметрией. Эти функции не образуют ортогональную сис-
тему функций и интервале [04-1], и поэтому они не могут бцть ис-
пользованы для разложения в ряд функций f(r) или для решения
задачи синтеза. Ортогонализация этих функций по методу Шмид-
та приводит к излишнему усложнению алгебраических выражений,
I начиная уже с первых членов. Поэтому целесообразно для наших
целей использовать другие, более удобные полиномы.
3.3. Круговые полиномы
Лямбда-функция, определенная соотношением (3.25), является
отношением функции Бесселя к аргументу функции в той же степе-
ни, что нпорядок самой функции Бесселя. Для большинства мик-
роволновых антенн, имеющих игольчатую диаграмму направленно-
сти, основной лепесток лежит внутри области —5<и<5, а пер-
вые дифракционные лепестки лежат в соседних областях измене-
ния: 5<|ц| <10. Таким образом, влияние знаменателя уже для
второго члена ряда (3.26) практически сглаживает влияние функ-
ций Бесселя, находящихся в числителе, и не сказывается на ре-
зультирующей диаграмме направленности. На этот факт указано в
• работе Мак-Кормика [11], где также показано, что наиболее при-
, емлемыми рядами, для которых «эффект знаменателя» будет зна-
чительно снижен, являются ряды Неймана [6]
«<“)-= (ЗЛЧ
с аналогичными преобразованиями Ломмеля над рядами функций
Струве. '
Рассмотрим теперь более общий случай:
4 tf («) “ f НИ A (uf)rdr= £ а (а) 2в+| , (3.29)
\ *=о
где а — произвольная постоянная, которая позднее будет прирав-
ненаединице.
Используя преобразование Лапласа выражения (3.29), получим
[£ T 2з-|-1
. (3.30)
J/я+а *4 <2.+i)i“+’
'' -1
Полагая У tf-yP—t—v 2 или t—(a2—о)/У и и Vа2-НЧ-*~
I =а21 получим
| Г . 7-Д«(«и—• (3.31)
| ° (а4 —2д*и^-о»4-4ог«)2 s=0 (й-Н)**4-3
Интегрирование можно провести, используя разложение в виде по-
линомов Лежандра:
a(a)2ri-i=*2(2s+i)(p
Далее, приравнивая коэффициенты у членов разложения via2 в
обоих рядах, получим
i
<3-32>
, V л/
Таким образом, мы показали, что диаграмма направленности
может быть представлена через ряд Неймана в виде (3.28), коэф-
фициенты которого определяются через функцию возбуждения
раскрыва /(г) с помощью формулы (3.32), Полагая а==1, полу-
чим
1
O2H-i=2(2s+1) J P4(l—2r*)t(r)rdr. (3.33)
о
Функции Ра(1—2г2), где Р —является полиномом Лежандра, по-
лучившие название круговых полиномов, впервые использовал
Цернике 112]. Эти функции получили обозначение: Р»(1—2г2) —
==(—1)^2»(г). Таблицы круговых полиномов и их свойства при-
ведены в приложении 2.
Используя принятую термннологню, перепишем выражение
(3.33) следующим образом:
г <
о4ж=2(2з + 1) J R%,(r)f(r)rdr. (3.34)
О
Круговые полиномы более высокого порядка лучше выражать
через полиномы Якоби, по отношению к которым полиномы Ле-
жандра представляют собой частный случай:
t (n т> .
(1_2г»)(—1) 2 ^г-, л (3.35)
— (n—т)
где (л—т) — любое положительное целое число или нуль. Как
следствие этой взаимосвязи fe ортогональными полиномами Ле-
жандра и Якоби, получим следующее свойство ортогональности:
бп.р, (3.36)
я * Ч
где бп>>) — символ Кронекера.
184 '< "[
Также согласно приложению 2
1 1 (Я—Д1)
( Rnm(r)Jm(ur)rdr—(—1) 2 _i±A—, (3.37)
5 и
где (п—т) — любое целое положительное число или нуль.
Последнее выражение дает возможность оценить вид разложе-
ния для функции возбуждения f(r\, соответствующей преобразо-
ваниям Ганкеля (или Ломмеля) всех порядков.
Итак, полагаем
ИО-2 b2t+,R”>2i(r). (3.38)
|ззж0
Временно ограничиваясь преобразованием нулевого порядка, из
выражений (3.38) и (3.28) соответственно получим:
NO- У АжЯМО; (3.39)
t-0
g(u)= J. а2Ж ••
1х=0 “
где согласно (3.36) и (3.34)
1
fe2(+i=2 (2t +1) j R°2t (r) f (г) rdr,
о
адж - (—l)*2(2s+l) J ^(r^rjrdr
и, следовательно,
^«(-Ч)*^. • (3.40)
Возвращаясь к уравнению (3.39), запишем:
f (г) =7 2 1) *а5н-^0а* (О >
g(tt)== У С^н.! £«±1^1 ,
.. р ' ' -о и
1
a2»+j—(—1)’2(2$+1)j R°2t(г)f (г)rdr. (3.41)
Таким образом, имеет место дуальность, в соответствии < ко-
торойкак функция апертурного распределения, так и диаграмма
направлышости описываются через два различных ряда (не обра-
щая.внимания на знаки) с идентичными коэффициентами разло-
жения.
<^'.4 185
Выпишем теперь соответствующие формулы, полученные путем
использования преобразования более высокого порядка:
*
f (/-)« 5* аж>т/?"т(г), {п—т) — любое целое четное положнтель-
ное число или нуль;
II
(3.42)
(3.43)
«пда=“2(л<1) | f(r)Rnm(r)rdr.
Возвратимся теперь к дальнейшему рассмотрению свойств пре-
образований. После подстановки г->(1—г1) 2 получим 1—2г2->-
-*2/^—1. Круговые полиномы, выраженные через полиномы Ле-
жандра, являются четными или нечетными функциями, т. е.
Р,(1—2г1) =₽>(—»!y*P,(2r8—1). После подстановки г-» У 1—г’
можно получить следующие результаты:
| f(r)J0(ur)rdr~^ OSH., ;
Г /( VT^yi^uryrdr^ £ (-1)^1 ;
5 se.0
J /(Г)Jo(Ц£ MPou+14s±^;
о . So *
f Я KI^)Jo(a/I^jM-r £ ,
где коэффициенты a^i определены выражением (3.41). Приве-
денные соотношения не справедливы для преобразований более
высокого порядка.
Круговые полиномы обладают еще следующими свойствами:
/?%(0)««=(—1)J и Подставляя эти результаты в выра-
жение (3.41), получим '
/(О)аж£ (^^/(1) = ^ (—1)*Оад-Ь
. * «—о
Эти величины яредставляют собой значение функции возбуждения
в центре я на Яраю раскрыва соответственпо.
Если f(г) определена только, « области круга с радиусом дс 1
и тождественно равна нулю вне круга, то, используя подстановку
(3.44)
r'^rja, получим, что
?(“)=£ ^+](au).
где
a(a)is+i=2(2s+1) j f(r)/?’’ss^jrdr=2(2s+i) j f(r)/?°as(~) X
(3.45)
X rdr,
поскольку в (3.32) вне области x=±i Лва,(х)»Рл(1—-2х2)=0.
Выражение (3.45) представляет собой не что иное, как норми-
рованную диаграмму направленности, и указывает на возможность
: получения более «широких» диаграмм направленности.
Аналогичные результаты могут быть получены и в случае пре-
образования Ломмеля [14]. Основное соотношение, сходное с
(3.37), согласно[14] имеет вид
!• -~(п—т) Г2пХ1(и) ,
j /?n«(f)am(«r)rdr==(-I) 2 +
o L
. л ./««Vi
+2cog( 2 / . (3.46)
(л 4-1) яа J
Здесь в ряде Неймана функции Бесселя заменены функциями
Ломмеля — Вебера (3.46), а коэффициенты разложения ct2,+i опре-
делены, как и прежде, формулой (3.41).
Ддя преобразований нулевого порядка получим нечетную
функцию вида
«<“>- 2^
Первоначальное интегральное выражение (3.1) представляет
собой Двумерное Фурье-преобразование (это было бы более на-
глядно при использовании прямоугольной системы координат).
Поэтому двойное интегрирование можно было бы разделить на два
одиночных Фурье-преобразования [5]. Согласно теории Фурье-пре-
образований «косинус-преобразование» может быть выражено че-
. рев «синус-преобразование» и, наоборот, посредством преобразо-
; ванвя Гильберта.
i Аналогичным образом четные и нечетные преобразования для
| круАэвой полярной системы .координат представляют собой преоб-
t разоВания Ганкеля и Ломмеля соответственно. Результирующие
। диаграммы также могут быть трансформированы одна в другую
I посредством того же преобразования Гильберта. На это обстоя-
I тельстврвпервые обратил внимание Мосс [14]. Следовательно, ес-
г ли полуЧевная любым методом диаграмма направленности кругло-
187
У А...
го раскрыва может быть описана через ряды Неймана (преобразо-
вание нулевого порядка, функция возбуждения обладает круговой
симметрией):
/ 1 V Jt«+i w
£(“) = 2* “2«+t 7—>
*=0
тогда преобразование Гильберта над этим выражением определя-
ет излучение вплоскости, перпендикулярной диаметру, делящему
апертуру на две протнвофазно возбужденные части.
Итак. прймейяя к выражению ug(u)= 2 а2,+1/2»+1(м) преобра-
зование Гильберта, получим [7]
*/А(у) + -Ь- f g(y)dy=*^ £ ewQwfit)-
, —«о s**fl
Подставляя выражение g(y) в подынтегральное выражение
V Т р %»+1
,4 < У dy~2 ** (ЬЧ-1) *
••V —<О
найдем, что
,, \ V га„+1(2) , 2 1
*<й—2,““" I-7~ +«,S+T)1
Полученное выражение идентично выражению (3.47) (выбор
знака зависит от способа задания фазовых соотношений на рас-
крыве) .
Можно показать, что аналогичное преобразование трансфор-
мирует (3.25) в (3.27).
3.4. Преобразования для различных функций возбуждения
раскрыва
Синфазное возбуждение раскрыва. С целью иллюстрации изло-
женного метода определим диаграммы излучения синфазного кру-
гового раскрыва, амплитудное возбуждение которого изменяется
по радиусу по законам, достаточно близким к используемым на
практике: (
а) Биномиальное разложение. Функции возбуждения {(г)*?*
= (1—Аг3)?, где р —целое положительное число, А<1, соответ-
ствует диаграмма
М*(Р — m)f 2(м-г*)
б) Функции возбуждения f(r) — (l-f-Ar3)-^, л>0, А> I,соответ-
ствует диаграмма
188
»м=<й>-[-Г+гГ*-^+4',(я+,,и-Т7-> - + • •]•
(3.49)
Ряды Неймана:
в(«)=-2«.^,^±^ ...
жО
в) Функция возбуждения задана формулой Полагая
}(/)= (г), где си = 1 при s = 0, а для всех aSa+l=0, з>0, полу-
чим: g(u)=Z| («)/«.
г) Для функции возбуждения/(г) =г*> получим [7], что
<-I)*2(2s-{- njl]’
где ( —л)! может быть заменен гамма-функцией Г[( — л) + 1] для
2 * 2
нечетных значений п. Выражение
с g(«)= У ОЙ.-Ц
*-в “
может быть записана в виде (7] ;
е (и)=—L- Л(— 4-1;1; —+2; —V п > О,
64 ’ « + 21 ’l 2 2 4j <
I где if2 — гнпергеометричеекая функция. Эта функция может быть
Использована для других законов радиального изменения возбуж-
дения раскрыва, которые заданы или в виде рядов по г или иными
полиномами.
д) НДпрцмер, пусть f(r) = l—г. Этому «треугольному» распре-
делению соответствует диаграмма направленности
Г(«) - — {4- А (") +4 7Э («) + ~ Л («) + ~ (3. 51
Utd а 21 40 )
е) Функции возбуждения f(r)=cos~ согласно [8] соответст-
вует диаграмма
g (и) — 0,46267 + 0,49904 + о,3733 +0,00095 .
и и и и
(3.52)
ж) Функции возбуждения f(r)=cos3 — соответствует диаграм-
ма
/(«)-0,297^ + 0,473^- +0,205^- + 0,022 +
U и, и и
189
4-0,002^?. (3.53)
ft
э) Функция возбуждения задана в виде /(г)=ехр(—25г*). Для
т этой функции
“‘“57 l-t)+( 1+4г>-»].
и остальные коэффициенты агн-i находятся из рекуррентного соот-
ношения
”*н-1 a»*-i д- av-»
2>4-1 b
Для частного случая 1/2 получим: at—1—е_|; аэ=3(1—Зе-1);
05=5(7—19е“‘); «7=7(71—193е-'); а,=9(1001—2721ег~‘); ап =
= 11 (18089—49171 е~’).
Значения коэффициентов агл+i монотонно уменьшаются к нулю
с ростом индекса, так как каждое следующее выражение, заклю-
ченное в скобки, представляет собой более точное приближение к
е. Аналогичное Приближение к степенне е можно получить, под-
ставив в рекуррентную формулу другие значения Ь.
и) Функция возбуждения задана выражением
fw“FT=^a
= 0 ,Й<Г<1.
Для этого типа возбуждения (практически нереализуемого в свя-
зи с тем, что на краю раскрыва, т. е. для функция возбуж-
дения равна бесконечности) коэффициенты разложения [7]
“u+i= С *** И 5 dr** — sinI(2s4- Вarcsinal. ас 1.
, «
где (—1) являются полиномами Чебышева перво-
го рода. Поэтому V
/и- —Л.+.
/1 -да. ±оя
и, следовательно,
Г(«0- V2(-l)*Ttt+1(a)^S. 0-54)
***° г
Так как из [7] известно, что при а=1 f(r)=B—— и £(н)«“
- Н-г»
= Й5Л> можно аналогичным образом записать, что для f(r) =
и
.«—1—tf(u)x=^^- .Следовательно,
ню '
=2У(—1)*Г„+1(а) (3.55)
MZo u
к) Функция возбуждения задана в виде /(г)==1/т. Используя
формулу преобразования (3.43) применительно к данной функции
/V), получим
К(и)-2ук»±>±Ь (3.56)
ОТ “
Это выражение справедливо, поскольку Гг»+|(1)==1, а множитель
(—1)‘ в (3.54) исключен. Поэтому g(u) может иметь следующий
вид [7]:
л) Функция возбуждения задана в виде f(r) = (1— г*)». Этому
виду функций f(r), для которых ранее получено выражение для
g(u) через лямбда-функцию (3.25), соответствуют коэффициенты
разложения [7]: \
(,-lF(2^ + l)(pip
(Р-Н-Ы) ! (Р —s)i
(3.57)
Результирующий ряд эквивалентен лямбда-функция. Это мож-
но показать, применив формулы приведения к функции Бесселя
[6]. Отметим, что для нецелых значений индекса р необходимо в
формуле (3.57) произвести замену факториалов на соответствую-
щие Гамма-функции.
На этом мы закончим рассмотрение преобразований. Для иных
функций возбуждения соответствующие им преобразования полу-
ченыЭрдели [7].
Распределение возбуждения в раскрыве, заданное в виде ряда.
Для круглых синфазно возбужденных раскрывов, амплитудное
возбуждение которых изменяется по радиусу, диаграмма направ-
ленности определяется через ряды Неймана (см. формулу (3.41)]
с известными коэффициентами аг,+1- Эту процедуру можно упрос-
тить посредством использования рекуррентных соотношений меж-
ду коэффициентами, которые, в свою очередь, вытекают из рекур-
рентных соотношений между круговыми полиномами (см. прило-
жение 2).
Для заданного распределения J(r) мы получим, что
• л.’. 1 1 I 1
01—2 J f{r)rdr; 03=12 J /(г) Hdr—3ai; а5=60 J f(r)r*dr— 1
* ! °- ° 1(3.58)
—5а3— Юаь а7=280 f f (г) r7dr—21 аг—35а,.
° '
V, 191
Если/(г) записать в виде ряда
/(г)- J
то согласно (3.58) получим, что
ai== 2 ^>/(Р+ О? «а—— £ 6рЗр/(р+1) (р+2); ав=
р р
= 2 Мр(Р~ 0/(Р+1) (р+2) (р+3); az=— 1 (3.59)
р
-X Мр(р-1) (р-2)/(р+ 1) (р+2) (р+3) (р+4).
р J
Формулы для последующих коэффициентов <Х2«+1 легко получить
методом индукции.
При условии, что число членов ряда, описывающих функцию
возбуждения /(г) и число членов ряда, описывающих диаграмму
направленности g(u), равны между собой, возможно однозначное
Рис. 3.3. Диаграмма направленности с малым уровнем бокового излучения:
а —диаграммы направленности, полученные исходя из произвольных рядов Ней-
мана; б—уровень бокового излучения, полученный в результате наложения
диаграмм; а — апертурное распределение, соответствующее диаграмме направлен-
ности с мам» уровием бокового взлучерня '
>92 '
Используя принцип суперпозиции, а именно две вспомогатель-
ные диаграммы направленности (рис. 3.3а), боковые лепестки ко-
торых противофаэны, а каждая из них описывается через ряды
Неймана, можно получить результирующую диаграмму, уровень
бокового излучения которое показан на рис. 3.36. Такая комбина-
ция, которая описывается рядом [15] g (и) =0,34/1 (н),/11—
—0,44/э (и)/и+0,198Л (и) /«—0,022/7 (и)/и, реализует уровень боко-
вого излучения не выше —47 дБ для области и>7 и не приводит
к значительному расширению основного лепестка диаграммы по
уровню —3 дБ.
Используя процедуру обращения, т. е. нахождения необходимо-
го амплитудно-фазового возбуждения по заданной форме диаграм-
мы направленности, получим, что /(г) =0,076—0,0441(1—г2) -f-
+0,528(1—г2)2+0,44(1—г2)3, что иллюстрируется графиком на
рис. З.Зв.
3.5. фазовые ошибки
Существуют два аспекта рассмотрения фазовых ошибок. Во-
первых, это —те фазовые ошибки, которые помимо оптических
устройств свойственны также и антенным устройствам СВЧ. И во-
вторых, это — фазовые аберрации, присущие только оптичёским
системам.
Для оптических систем основное внимание уделяется «чистоте»
/ изображения, формируемого в окрестности номинального фокуса
системы и занимающего достаточно малую поверхность. С этой
целью «выходной» раскрыв системы возбуждают плоской волной,
которая реализует равномерное амплитудное распределение. Влия-
нне фазовых ошибок различного порядка при равномерном, воз-
буждении раскрыва достаточно полно изучено в оптике (см., на-
пример; работу Линфута [16]) и, как правило, требует использо-
вания Круговых полиномов.
Для СВЧ, антенн распределению поля в фокальной области
уделяется значительно меньше внимания, чем нахождению диа-
грамм направленности, и кроме того, для обоих случаев рассмат-
ривается лишь аберрация низших порядков. Это, в частности, свя-
зано с тем, что границы фокального пятна в оптических устройст-
вах более четко вьигажены, чем в устройствах СВЧ.
Для антенных СВЧ устройств необходимо заранее знать харак-
тер неравномерности распределения поля в раскрыве. И это обсто-
ятельство в определенной мере является причиной применения ме-
тода круговых полиномов, используемых в оптике для анализа
влияния фазовых ошибок, для оценки влияния неравномерности
амплитудного распределения в СВЧ антеннах.
Практически СВЧ системам присущи только две первичные
аберрации, а именно: сферическая аберрация и кома, которые воз-
ншцрот прн смещении облучателя антенны из фокуса на расстоя-
нияГхонзмернмые с длиной волны. Поэтому целесообразно к аиа-
лиз^ дарной проблемы привлечь метод круговых полиномов, мо-
,м
дифнцирсвав его таким образом, чтобы можно было учесть нерав-
номерность амплитудного распределения.
Результаты, как и ранее, должны быть получены в замкнутое
форме в виде рядов от табулированных функций, что, естественно,
облегчает простоту вычислений.
Квадратичные фазовые искажения. Симметричные фазовые ис-
кажения могут быть учтены при анализе путем задания комплекс-
ной формы возбуждения апертуры:
Цг,
где ф(г) фазовая функция вдоль радиальной координаты, кото-
рая может быть получена путем вычисления оптического пути
вдоль луча от источника до раскрыва антенны (см. рнс. 3.2а).
В оптических системах лучи исходят из точечного фокуса и фа-
зовый фронт сферической расходящейся волны определяется
функцией В литературе по оптике аберраций рассмат-
ривается как результат Отклонения фронта волны от чисто сфери-
ческой формы в виде первичной сферической аберрации, пропор-
циональной 0(г1), вторичной, пропорциональной 0(г) и т. д.
В антеннах СВЧ, (фокусированных на бесконечность, неиска-
женный фронт воли представляет собой плоскость и создается при
размещении источника излучения точно в фокусе. Если источник
имеет аксиальное смещение по отношению к фокусу, то образую-
щаяся фазовая ошибка будет пропорциональна смещению; более
точное соотношение приведено ранее (см. § 1.7).
В первом приближении фазовая функция ф(г) может быть
представлена в виде ф(г)®=Ьг*, где параметр b пропорционален
волновому числу 2яД и радиусу кривизны волнового фронта. <
Как следствие того факта, что фазовые функции в обоих слу-
чаях имеют идентичное описание, становится возможным исполь-
зовать выводы теории аберраций оитяческих систем для анализа
сферической аберрации микроволновых антенн. Однако в литера-
туре по оптике, как правило, ре учитывается неравномерность амп-
литудного распределения /(г), что весьма важно в антенной тех-
нике.
а) Равномерное амплитудное распределение. Полагая f(r)s=l,
получим выражение
* " ''
£(«) — J e-ibTtI0(ur)rdr. (3.60)
В работе Лкнфута [16], где рассмотрен случай полного отсут-
ствия аберрации, была использована формула Бауэра [6]
exp (ia cos 0) “ ]/ ~~ (2л +1) 1"/^+ t (г) Рл (cos 0). (3.61)
V 2г 1
Тогда . , . .
ехр(—ibr*) =ехр (—~ i b\cxpl — lb (2г1— J)j—
\ * Л- 1- *
Г
< «ехр ( -3- id) у^. (2л+1) (-O*A^(-~j *%»('>- (3.62)
Танин образом, комплексная амплитуда возбуждения раскрыва
уже представлена в виде ряда круговых полиномов, что требуется
в соответствии с теорией § 3.3 и формулой (3.41). Следовательно,
можно сразу получить значения коэффициентов а»,-м и
g(«)-exp(-^i&)/^ 2 (2»+'1)Мн1(у)/яж(«)/« (3.63)
; в виде ряда Неймана,
j Как yitee указывалось ранее, результат интегрирования (3.60) с
; ' использованием подстановки г2-►(!—г2) (3.43) и результат в фор-
ме (3.63) являются комплексно сопряженными. Для обоих случаев
мощность излучения,определяемая формулой P(u)= Kff(u)g*(«),
одинакова. Поэтому диаграмма направленности (по мощности)
имеет те же изменения для положительных и отрицательных зна-
i чений параметра^, т. е. при перемещении источника излучения из
I фокуса в положительном или отрицательном направлениях вдоль
| оси.
Применим теперь эти результаты к нахождению распределения
I поля в фокальной области антенны с круглым: раскрывом; возбуж-
- даемой плоскойеоднородной волной, падающей нормально на рас-
। крыв антенны. Параметр b характеризует степень сферичности
1 фронта волны, сходящейся в фокус (рис. 3.4), и согласно [16) оп-
I ределяется как
= А р ’
где а — радиус раскрыва; f — фокусное расстояние; А, — длина ;
волны; г —осевая координата точки наблюдения, отсчитываемая
из точки фокуса.
В приведенной координатной системе
2пар
а он
V ’
где ввиду круговой симметрии риг — координаты точки в поляр-
ной системе координат. Такое определение незначительно отлича-
ется от предложенного ранее. В самом деле, если ф— угол между
<< осьюсийметрни н направлением на точку наблюдения, то приве-
у дениую формулу можно приближенно записать в виде
*
Ц i Для полного описания распределения поля в фокальной плос-
В. коспгантенны обратимся к выражению (3.63). Для поперечной
| плоскости, т, е. для плоскости 2=const, распределение представ-
I ляетсобой ряд Неймана и имеет такое же описание, как и дна-
J грамма.направленности, т. е. основной лепесток и уменьшающиеся
f ' 195
боковые лепестки. Это проявляется в виде яркого пятна, охвачен-
ного кольцами меньшей интенсивности.
Для плоскости z=0 это распределение представлено в виде ко-
лец Эйри, интенсивность которых спадает пропорционально Л(и)/и.
Рис. 3.4. Сферические фазовый фронт
Полагая и—0, т. е. для распределения вдоль оси, получим ре-
зультируюшее распределение поля в форме sin (6/2)/(£>/2). Таким
образом, распределение ноля в осевом направлении изменяется по
закону sin x/х. Визуально это распределение представляет собой
систему вытянутых ярких пятен, окруженных вытянутыми в том
же направлении сферическими областями с меньшей яркостью
(рис. 3.5). Центр области с наибольшей яркостью находится в но-
минальном фокусе, т. е. в точке, в которую следует устанавливать
приемный элемент. Дальнейшее увеличение уровня принимаемой
энергия молено получить путем размещения других приемных эле-
ментов в других точках, соответствующих максимальной интенсив-
ности поля. Идентичные результаты пблуфенц » [ 18], где проведен
анализ распределения поля в приемной антенне.
Можно показать, что интенсивность возбуждения первого боко-
вого лепестка для плоскости z=0 равна — It дБ (относительно
основного), что следует из анализа функции 7^х)/*, описывающей
распределение поля в данной плоскости. Также можно доказать,
что второй максимум интенсивности возбуждения вдоль осевой
линий составляет уровень —13 дБ (это следует из условия, что
распределение интенсивности поля вдоль осевой линия описывает-
ся функцией sinx/x). Хотя эта величина составляет крайне неэна-
ч „тельную часть общей принимаемой энергии (приблизительно
1/4 дБ), осевое распределение поля может играть важную роль
при прецизионных измерениях положения электрической осн ан-
тенны [19].
Рис. 3.5, Распределение поля в фокальной области рефлектора, возбуж-
даемого плоской волной
Как правило, для параболических зеркал положение электриче-
ской оси антенны не совпадает с ориентацией осн, найденной из
конструктивных признаков, поскольку геометрия поверхности ан-
тенн с достаточной степенью точности не бываем известной. Это
Характерно для антенн с большим раскрывом и изменяемой гео-
метрией поверхности, используемых. например, в радиоастрономии.
Измерение осевого распределения поля при возбуждении нормаль-
но падающей плоской волной однозначно определяет положение
электрической оси антенны.
Чтобы определить это положение, второй вспомогательный при-
емнЫйэлемент размещают сзади основного в положении, соответ-
ствующем второму максимуму распределения sinx/x. Это положе-
определяется через геометрические параметры
ЗеркДдж.можяо выбрать таким, чтобы минимизировать эффект за-
«щаа^^второго приемного элемента первым. Далее сравнивают
... .ter
Прмамныа рупоры
□да
Рис. 3.6. Схема устройства для обна-
ружения вторичного максимума с
целью определения ориентации осн
рефлектора (а), результаты распреде-
ления поля вдоль осн параболоида
(б) и зависимость разностного сигна-
ла, измеренного по схеме на рис. З.бо,
от точности ориентации осн антенны
(в)
поверхности зеркала от идеальной.
-ода -0,01
Bl
уровня энергии, прини-
маемые дополнительным
приемным" элементом и
ослабленным на расчет-
ное значение основным
элементом- Когда раз-
ность между данными
сигналами соответствует
нулю, можно считать, что
линия между двумя при-
ёмными элементами точ-
но соответствует электри-
ческой оси антенны, воз-
буждаемой падающей
плоской волной.
Описанная схема из-
мерений приведена на
рис. 3.6а. Измеренное рас-
пределение поля вдоль
осн параболоида показа-
но на рнс. 3.66, а резуль-
тат измерения по схеме
на рнс. 3.6а приведен на
рнс. З.бв. Применяемый
дифференциальный спо-
соб измерения уровней
сигнала крайне чувстви-
телен к любым погрешно-
стям, в том числе к лег-
ким механическим вибра-
циям самого параболиче-
ского зеркала, и позво-
ляет оценить даже чрез-
вычайно малые отклонения поверхности зеркала от идеальной.
Таким образом, процедура настройки, конечный результат ко-
торой сводится к тому, чтобы сфокусировать антенну по направ-
лению отдаленного источника излучения, который создает в рас-
крыве параболы практически плоскую волну, заключается в регу-
лировке положения обоих приемных элементов до тех пор, пока
они не окажутся на одной линии с источником излучения, что ин-
дуцируется ио нулевым показаниям измерительного прибора. Ли-
j ння, соединяющая приемные элементы, будет являться точной
осью оптической системы, а первый из приемных элементов будет
находиться точно в фокусе зеркала. Как уже было отмечено, Дан-
наяметодика обеспечивает чрезвычайно высокую точность юстн-
ровки и поэтому требует использования прецизионных настроеч-
ных н регулировочных устройств. Наконец, изменив положение фа-
эовряшателя в схеме на рнс. 3.6а на 180°, можно увеличить общий
уровень принимаемой энергии (примерно на 0,25 дБ).
199
б) Диаграмма направленности в ближней и дальней зонах. Рас-
смотрим два случая, для которых имеет место квадратичная фазо-
вая ошибка при неравномерном амплитудном возбуждении рас-
крыва: :
‘ распределение поля в дальней зоне при облучателе, смещенном
по отношению к фокусу (вдоль оси);
распределение поля в ближней зоне при облучателе, располо-
женном в фокусе.
Во втором случае, когда рассматривается поле в ближней зоне,
фазовая ошибка определяется квадратичной формой [20], про-
порцнональпой а2/(2Х).
Обычное выражение интеграла
г
g(u) = J (3,64)
о
может быть представлено в классическом виде, использующем или
функции Ломмеля от двух переменных для равномерного возбуж-
дения или модифицированные круговые полиномы для неравно-
мерного возбуждения. Для этого, как показано в [21], необходимо
представать функцию возбуждения /(г) в виде ряда от (1—г2)?.
Однако мы ограничимся рассмотрением одного частного случая
задания функции /(г) в виде f (г) = лля р=0,1 и 2 и при-
меним метод, изложенный в [22].
Для р=0 f (г) *==1, а соответствующая этому случаю диаграм-
ма направленности #(«) определяется выражением (3.63), кото-
рую мы далее будем определить.как диаграмму g(u, b).
Для р~ 1 с ошибкой меньше 2% для области 0<г<1 можем
считать, что cos( -у) ~1— У’Зsin(“•). Тогда
g{u)p—। = J {1—К 2 sin /—1} (ur) rd г— |’ е ~ (иг) г dr -j-
о ‘ о
+ Рт “Р [ т) ,!] 'o(“r)rdr- I «Р [' - (6+т)г’]х
XJo(ur)rdr (3.65)
и, следовательно,
«<«) -г(«.»)+(“• »-т)-р^ (*-‘+т) •
Проведя аналогичную процедуру для [(г) =соз’(у), получим
4+(“•ь—г)-у? ’ (“ ь+‘^)—
—(3.66)
< 4 \ / а / 4 \ х /
♦
«М)-
Этим методом можно определить диаграмму направленности
g(u, b) для любого значения показателя р.
в) Асимметричная фазовая ошибка. Обычное описание фазовой
поверхности, соответствующей ситуации, когда источник смещен из
фокуса в плоскости, перпендикулярной оси, может иметь вид
f (г, ф') =/(г) ехр (—fanr”sin <pz).
В этоц выражении On представляет собой фазовый угол, измеряе-
мый в радианах.
Для более сложного вида фазовых искажений может истребо-
ваться более одного значения п н, следовательно, большее число
фазовых множителей. Окончательный результат в данном случае
может быть получен с использованием метода суперпозиции. Для
антенн СВЧ наибольший интерес представляет функция
/(г, <р'),
которая соответствует фокальной линии, рассмотренной в § 1.7.
Подставляя это выражение в основной скалярный интеграл, для
плоскости ф—л/2 получим, что
2я 1
J J f (г) exp (iur sin ф7) exp (—iar’sin q>')rdrdtp'. •- (3.67)
Процедура, предложенная в работе [23], состоит в том, что
второй экспоненциальный множитель разлагают в ряд по функци-
ям sinmip' и cos m<pz (т — целое число), и к этому ряду применя-
ют преобразование Ганкеля. Для равномерного возбуждения эти
ряды достаточно просты, если фазовую функцию аг3 заменить со-
гласно [16] круговым полиномом/?'3 (г)—Зг3—2г.
Метод, который приведен далее, заключается в комбинирова-
нии Двух экспоненциальных множителей и представления получен-
ного выражения с помощью теоремы сложения для функций Бессе-
ля. Каждый член результирующего ряда может быть выражен че-
рез круговой полином. В этом случае можно получить конечный
результат для общего представления функции (inrnsin ф'.
Согласно [24] имеем:
У (“О”1 Сf(r)Im(anr*)Jm(ur)rdr= (3.68)
' . m=0 О
=4л V (3.69)
A SJ s’1 V 2 7 o’
Здесь символ означает, что первый член ряда (т~0) берется
с учетом множителя 1/2. z
t Если мы представим /(г) в виде ряда (1—г2)р, то получающне-
V ся интегралы вычисляются элементарно. Положив, что f(r)=j±
| -bfe’-t-fr, в итоге получим ряд Неймана
... (3.70)
' 201
где At — коэффициенты для асимметричных диаграмм направлен-
ности:
A / * . И / 7 * > 1 \ < а*( i ,
1 \ 2 + 4 + 6 / 8 \(« + i) +(« + S) +(л + 3)/ + 128((2я+1) +
। * । 1 Y а* / /_______. *_____<2_______
(2« + 2) (2ЛН-3)/ 4608k(3»4-l) (Зя + 2) (Зл+З)/*
At=>2aJ—L— -| 1 —L-----------------4.—*----1-1—\ц_
\ л-4-3 «4-5 л 4-7/ 4 \ 2л + 3 2 «4-5 2n^-7j
1 f f ] * I 1 у
96\5»4-3 5«4-5'Г5л-|-7/’
A = — / * । f /з/ . за . з/________________i_____t___
’ \ 4 _ 4/ 4 \2л + 4'Г2л4-б’Г2л + 8 2«4-2 2«4-4
f Y °" ( I ц I 41 • I j • Г *____________________
2в-Ь6/ - 34 \4л + 4'Г4в + б’Г4п + 8*Г2л + 2'Г2в + 4 2л + 6
__i______k I X.
4ft ^2 4rt 4” 4 4/* +6/
4_____4«./’-«+Л5_+Л^_Л-_“ _2i_)+j4/_w_ +
\л-}-5 л7 n-j-9 H-f’S я+ 5 3 уЗл^З
, 5A . 51 j k_____________t \ 4 7 7/ I 7*
*ГЗл + 7'ГЗп+ 9 Sb+3 3« + 5 Зл + 6/ 96 \5n4-5^ 5л-|-7 +
. 71 4/ 4A 4f A
5л -J- 9 5я 3 . 5л 5 5л + 7/. ,
При небольших искажениях фазовой функции наибольший
вклад дает кубическая ошибка (й=3),влмяняе которой в основ-
ном сводится к небольшому сдвигу положения максимума диа-
граммы направленности относительно оси и«=0. Угловое значение
этого сдвига не совпадает точно с угловым смещением источника,
что приводит к формированию фронта волны с кубическими иска-
жениями. Это различие представляет наибольший интерес для ан-
тенн, от которых требуется высокая точность ориентации парци-
альных диаграмм направленности отдельных облучателей, распо-
ложенных в окрестности Истинного фокуса антенны. Дополнитель-
ный сдвиг диаграммы направленности можно «ценить путем диф-
ференцирования выражения (3.70) и вычисления коэффициентов
г) Симметричные ошибки более высокое» порядка. Выражение,
которое представляет функцию возбуждений круглого раскрыва с
равномерной амплитудой и с осесимметричной фазовой ошибкой,
имеетвнд
f(7, <₽?)««exp(—
«02
Такое представление функции позволяет получить интегральное
представление для g(u) в виде
..1 ; '
g («) “ J exp (—iPrrTn) Jd (w) rdr.
S
Данный интеграл может быть вычислен в замкнутой форме в виде
ряда [25] j
Cm-ipn), (3.71)
' (т1) \ 2 7
где 1Л (Цт, ст, X) — вырожденная гипергеометрическая функция:
Л(°ж,с».Х)=1 +^Х + “«<°".±|)А‘ + . . . (3.72)
Сщ c,n (cm + 1) 2 1
а коэффициенты и ст определены выражениями am«e2(m+l)7n
и Cm™ 14-вт. что позволяет существенно упростить результаты вы-
числения. -
Результаты вычислений приведены в [25] для л^5, т. е. вклю-
чают в себя наиболее важные для нас квадратичные и биквадрат-
ные члены аберрации.
3.6. Переход к раскрывам эллиптической формы
В ряде модификаций параболические антенны имеют раскрыв
эллиптической формы. В этом случае проведенный ранее анализ
может быть непосредственно применен с использованием проекци-
онного преобразования, устанавливающего соответствие между эл-
липтическим раскрывом и круговым.
Как показано на рис. 3.7 эллиптическая форма раскрыва мо-
жет быть выбрана лежащей в плоскости ху, для которой ось z
проведена нормально к центру. Большая ось эллипса ^ выбрана
вдоль оси ж,а малая равна 2b=2acosa, где угол а —-угол между
плоскостью, проходящей через плоскость, на которой проекция эл-
липса является кругом, и плоскостью ху, Для плоскости, содер-
жащей круглый раскрыв, используем систему координат * (г, ф7).
Как и. раньше, угловые координаты точки наблюдения обозначим
черезбиф. В этой системе координат волновой вектор ke-fA,,
в») НЙёег составляющие; kx—k sin 0 cos <р, £S=A sin 0 sin ф,
=Acos0,4«=«2n/X, а координаты в плоскости эллипса: .г == ar cos ф\
ф', 0<r< 1.
Элемент поверхности раскрыва dA~a2 cos a rdrdq>'\ скалярный
интеград, взятый по апертуре, записывается в виде выражения
gf0r<p)*= И f(x- у)ехр[~i(^x+kvy)]dA.
Апертурное распределение раскрыва эллипса f(x, ^ преобра-
зуется^ апертурное распределение круглого раскрыва F(r, ф').
203
i зя
g (fl, <p) => a’cos a J J ф') exp {—ikar sin 0 (cos <p cos <p'+
+sinq> sin cos a}rdrdф'.
(3.73)
Puc. 3.7, Переход от круговой апертуры к эллиптической
Полагал u—ka sin 0(cos! ф+соз2а sin3 р) }n~ka sin 0(1—sin! aX
Xsin2y)1/2 и <fj== arctg (cos a tg ф), получай, что
z 1 ЗЯ
g (0, ф) a2cos a J J F(r, q/) exp [—itir cos (<pi—фЭ ] rdrd ф'. (3.74)
Такая форма позволяет использовать предыдущие результаты и
для случая раскрыва эллиптической формы. . /
3.7. МжкрошмшовыЙ ахецкоя
В качестве иллюстративного примера вычисления скалярного
адтеграла дифракции рассмотрим эффект влияния конической рас- /•
фажировки на форму диаграммы направленности уже сфокусиро-
/ ванной антенны. На практнке этот эффект можно достичь, напри-
' v-. .
мер, путем введения конической призмы (аксикона) из диэлектри-
ческого материала в раскрыв параболической или линзовой антен-
ны. Это аналогично (ио не идентично) устройству, которое в оп-
тике получило название аксикона Маклеода [26].
& оптике аксикон непосредственно облучается точечным источ-
'ником я представляет собой стеклянный конус, формирующий не-
прерывную линию изобра-
жений, создаваемых этим
источником. Ранее, до появ-
ления лазера эффект акси-
кона использовался для пре-
цизионной коррекции ориен-
тации луча на большие рас-
стояния. Интерес представ-
ляет вопрос о том, сущест-
вует ли аналогичный эф-
фект для малых апертур в
антеннах СВЧ [27].
Рассмотрим диэлектри-
ческий конус, изображенный
на рис. 3.8. Считаем, что он
реализует только дополни-
тельный фазовый набег, и,
следовательно, пренебрега-
ем рассмотрением отражен-
ных и переотраженных от
его поверхностей волн.
Фазовый набег вдоль лу-
ча PQV
(3.75)
Ф=2л (tjjPQ 4- QjV ) /А 4- const,
где и — коэффициент преломления материала конуса.
В соответствии с законом преломления запишем, что для точ-
ки Q
nPQ+<?tf=flf—flrtga+ —-===^-——- = fl/ + &'r,
cos а у i— tpsin’a-J-Tj sin’а
(3.76)
где У, которая мажет быть определена из выражения (3.76), яв-
ляется постоянной для выбранного конуса.
. Как следует из (3.76), фазовый набег линейно изменяется с из-
менением радиуса.
Для оценки У рассмотрим случай малых значений угла а. Тог-
да y*»(l^-fl)tga. Подставляя полученное выражение в формулу
(3.1) н используя соотношение А=2я/А, получим, что
-|
-г «(р)ехр(—/АУар)/9(ир)рар.
, J- '. A 1 205
...............< - - - ......— ;
Отбрасывая постоянный множитель ехр(—/Ат]?), получим
i
g(u) = | а(р)ехр(—/bp)J0(up)pdp, (3.77)
2 я *
Отметнм, что для диэлектрических материалов (л>1) значе-
нне&.<;0. Однако для последующего анализа значение знака b
значения b могут быть получены путем непосред-
ственной подстановки (3.76) в (3.77). Однако эта процедура не
' является обязательной, поскольку b является постоянной величн-
ной; нас же. яак правило, интересует порядок этой величины. Для
конуса, изготовленного из пластического материала, например из
1 полистирола, ц==1,6. Для случая tg а ^0,25 значение b не превы-
< шаст значения о/Х, т. е. отношения радиуса апертуры к длине вол*
НЫ.
Интегральное выражение (3.77) может быть вычислено с по-
мощью рядовяз круговых полиномов:
g(i)^|^)eH^(«p)pdp= £ Оп(-1)"д (3.78)

где а„—2(п+1) (р)Я°«(р)р<4>- (3.79)
В приведенных выражениях а(р)—амплитудное распределе-
ние.
Рассмотрим форму задания амплитудного распределения в ви-
де простой квадратичной функции вида а(р) —(1— р5)* для р=0
я Тогда интеграл (3.79) может быть, легко вычислен. Вы-
числение (3.79) сводятся к нахождению интегралов типа
। : "
/„=« J e-*₽p"dp, (3.80)
о
которые определяются рекуррентными формулами
4-----T+W7—:/,=£Т + JT (381)
П> Jv jo 1
и, следовательно,
/ - г-М 1 I Л I ”(«-0 [ > Д* I _ «I 1 I
* I lb UW (/«’ ’ ’ ‘ ^<Jbf (M)rt+l /
+-^Г- -
Теоретические диаграммы иаправленностк в дальней зоне. Рав-
номерное возбуждение раскрыва. Согласно формулам (3.78) я
(3.79) имеем, что _
< (3,83)
> : V '
I *
' При написании этой формулы мы ограничились лишь тремя пер*
। вымн членами разложения, что, естественно, ограничивает область
' изменения аргумента и до тех пор, пока значением /т(и) можно
пренебречь по сравнению с /$(«)• а также накладывает ограниче-
ние на порядок величины параметра Ь, при котором коэффициенты
при последующих членах разложения либо уменьшаются, либо ос-
таются практически неизменными. Однако ограничение на значе-
ние параметра Л не является обязательным. Для меньшего значе-
ния параметра 6 необходимо учесть больше членов разложения из
(3.78). 1
’ Для значений параметра Ь>5 достаточно воспользоваться фор-
мулой (3.83). Область изменения и, для которой приведенное вы-
ражение достаточно точно определяет диаграмму излучения, огра-
ничнвается значением и <6. Эта область включает как основной
лепесток диаграммы (и<4), так и первый боковой лепесток
; 5,5). Полагая в выражении (3.79) а(р) = 1 и используя (3.82),
получим:
. • !0Н‘(-L+^-^+^L +^)+ 1о(-25-
_36____
ь* / ’
Для простоты вычислений диаграмм, рассмотрим частные случаи
задания параметра Ьт= (2ш+-~ )л, для которого exp (—/7>т) =—/.
Имеем
——-JL-}.-
в*»/ « »’» МИ/ «
, 10/ 1 1____84 36 .720_ 720_\ ДРОр f___2 7t (и)
Vm Ъ** / « J I Я» “
<=/ S 12 Xfr.fr) 10Л 12 . 324_720 \(и) «
« +1U\ . *> / « 1 ’
Диаграммы излучения для значений параметра &т=Зя/2, 7л/2
и 11я/2 приведены на рис. 3.9.
Ограничиваясь разложением по степеням Ь~]т, можно показать,
L что минимум диаграммы излучения приходится на значение и»
L те2,5, которое определяется из решения /уравнения /|(ц)/п=
>; =3Jj(u)/u. Именно влияние этого «вынужденного» минимума при-
Л ВОДИТ К уменьшению ширины диаграммы направленности в отно-
шеини 2,5:3,8.
Первый минимум диаграммы излучения наиболее ярко прояв-
ляется при значениях параметра Ь<3,5л. Описанный эффект до-
стигается и при других типах амплитудного распределения.
207
6 V / 2
»4)+
\ / 2 102 240
J+ ' Ч +7Г_ »4
1440 30240 30240X
+и
/
0
Спадающее к краям возбуждение раскрыва. Для закона воз-
буждения раскрыва в виде а(р) = 1—р* получим коэффициенты
: ae=2(/t—73); о2=6(2/5+3/3—Л); а4=10(—6/7+12/5—7/3+Л).
которые для значений параметра 6m=(2m+—) л имеют вид
< 'о/ 1 6 6 V Л . / 2 6 \ 2
- в’”2д
; „ / 1 22 18 240 21
а. = 6-т-—:Г~4-~Г' + ~7— •+'
v I &2 bl. b*:-: & i
\ tn Ш Я ’fft
/ I 54 42 3600
• v / 2 582 13680 . 302401
\ ф м Л ш m f
Для этих значений коэффициентов диаграммы направленности,
рассчитанные во формуле (3.83), приведены на рис. 3.10. Й В этом
случае минимум диаграм-
мы излучения приходит-
ся на значение и, опреде-
ляемое как первый ко-
рень уравнения /i (u)/u±=
=3/з(н)/и-
Заметим, что отмечен-
ный эффект обнаружива-
ется и для некоторых Дру-
гих законов возбуждения.
Так, например, он сохра-
няется для функций воз-
буждения раскрыва в ви-
де о (р) =« (1—р2)F или
а (р) «=1 +р. Однако для
ряда функций возбужде-
ния, например, а(р) =
= 1—р, отмеченный эф-
фект не обнаруживается.
Эксяернмеи т а л ь н ы е
дачные и выводы. Были
проведены Два различных
эксперимента: один — в
ближней зоне излучения,
а другой — в дальней, при
ко^рых был отмечен ука-
занный выше эффект.
Диаграмма направ-
ленности антенны изме-
рялась на расстоянии.

м
существенно превышающем дальнюю зону излучения. Этот экс-
перимент был проведен с синфазной антенной с конусной насадкой
диаметром 45 см; угол полураскрыва конуса составлял 76°. Для
этого конуса Параметр 6» 9. Хотя результат», графически пред*
ставленные на рис. 3.11, хорошо согласуются с теоретическими по-
ложениями относительно уменьшения ширины диаграммы направ-
ленности и наляпия вынужденного минимума при и== 2,5, величи-
ны боковых лепестков оказались ниже ожидаемого уровня, а уси-
ление — ниже ня 5 дБ. Следует отметнть, что в эксперименте диа-
метр излучающего раскрыва антенны был меньшим, чем диаметр
конической линзы, и поэтому эквивалентный излучающий раскрыв
антенной системы следует считать увеличенным по сравнению с
раскрывом одиночной антенны за счет наличия многократных
внутренних отряжений влинзе.
Тем не менее, ширина диаграммы направленности измеренной
антенной системы (по уровню —3 дБ) оказалась уже, чем это
можно было бы ожидать от антенны с эквивалентным раскрывом,
синфазно возбуждаемой с равномерным амплитудным распределе-
нием.
3.8. Тжпы волн в открытом резонаторе с конфокальными
параболическими зеркалами
В этом параграфе будет показано, что решение интегрального
уравнения Фокса и Ли [28] длявнутренней полости открытого ре-
зонатора с конфокальными параболическими зеркалами может
быть представлено в виде рядов от круговых полиномов. Хотя это
не чисто антенное устройство, сходная процедура применяется для
решения достаточно широкого кругаяроблем, например для опре-
деления полей в лучеводах, лазерных устройствах. В последних
случаях используются разложения рядов по другим полиномиаль-
ным функциям. Позднее будет показано, что эти задачи могут
быть решены также с использованиемкруговых полиномов. В свою
очередь, к решению задач скалярной теории дифракции антенн
могут быть привлечены методы, нспользованяые для других ранее
упомянутых задач.
Для того чтобы использовать приближения Кирхгофа для оп-
ределения поля в области Френеля, мы полагаем [29], что разме-
ры резонатора значительно превышают дляцу волны и электромаг-
нитное поле внутри резонатора в основном имеет поперечную
структуру.
Тогда скалярное поле может быть представлено в следующей
форме:
• г Ь л ,-~kR
(l+cose)ds.
где 6 — угол между направлением /? и нормалью к раскрыву;
14 —- амплитудно-фазовое распределение поля в раскрыве одного
310 ' 'с'' ' \
(3.84)

йз зеркал; Uv — амплитудно-фазовое распределение поля в рас-
крыве другого зеркала.
Используя условие симметрии системы, зеркала которой имеют
одинаковые раскрывы и одинаковую кривизну, перепишем урав-
нение (3.84) в следующей форме:
v(rb <pi) = YJ /C(rk фЬ ra, фг)?(г3, фг)^, (3.85)
л
где Л'= 4““(l-|-case)e~ikfl, # = PiP2, a v(r, <p)—собственные ти-
пы колебаний резонатора. При этом было учтено то обстоятельст-
во, что поле излучения одного из зеркал повторяется на другом с
некоторой поправкой на постоянную У, которая учитывает диф-
ракционные потери и фазовый сдвиг.
Потребуем, чтобы при резонансе фазовый сдвиг для одиночно^
го переизлучателя был равен л, а дифракционные потери были
пренебрежимо малыми по Сравнению с коэффициентом переизлу-
чения. . (
Используем геометрические параметры задачи, приведенные на
рнс. 3.12: b — расстояние между зеркалами; 2а —диаметр раскры-
ва зеркал; X — длина волны излучения в свободном пространстве.
Рис. 3.12. Резонатор с конфокальными зеркалами (точка F — обшпй
фокуе парзболическиз зеркал, имеющих круговой раскрыв)
Как показано В [28], на геометрические размеры резонатора на-
хладырается условие я’/(6Х)с (bfa)2, при котором уравнение
(3.85) -лерепнсывается в виде
v (6> фО = У f J К (и. фь Г1, фг) v (г2, Фг) Г2^ф2^г2. (3.86)
". v о о
... ' 211
Для конфокальной конфигурации зеркал с общим фокусом,
размещенным в центре резонатора,
x(r„T.,r»Tj- 1.
л& t 0 J
В силу круговой симметрии
*» (г» ф) (г).
Подставляя предшествующие выражения в (3.86), получим
ая ;<t+i , А» г 1
“Ju f —у Zn(,ft)f2dr‘2
или окончательно
Zn(Г1) - УЛ Jn(Zn(гЩг,.
(3.87)
Здесь in+l включен в множитель Уп, а |
ядро полу-
ченного интегрального уравнения.
Уравнение (3.87) представляет собой интегральное уравнение
Фредгольма. Так как ядро уравнения непрерывно н симметрично
относительно г, то собственные функции Znm, соответствующие соб-
ственным значениям УПЛ|, ортогональны на интервале (0, а), т. е.
J Znm(r)Znp(r)rdr=^O, т^р, и j j vnm(r, ф)тУе(г, ^)rdrdtf—О,
если или т^е.
Будем считать, что vnm(r, <р) являются собственными модами
резонатора. В дальнейшем, как и в работе [28], введем обозначе-
ние Vnm (Г, ф) «sT**,.
В связи с тем что ядро уравнения (3-87) действительно и сим-
метрично, Уям также должно быть действительным.
Решение интегрального уравнения можно получить следующим
образом. Обозначим гг=^ах и ri=ay, а также введем параметр
^^Aa^/&a»2лa2/(^дX) =2яХ(чйсло зон Френеля, укладываемых
на одном из зеркал относительно центра другого). При принятых
обозначениях уравнение (3.87) принимает вид
| NJn[Nxtf)Zn(x}xdx. (3.88)
Как показано в приложения 2 [формула П.20], функция Бессе-
ля первого рода может быть представлена в следующей форме:
In(NxyY^Y 2(л+2з + !)(-))* }Я*»+2.(у) (3.89)
212 г , ’
' '' •' • Л, .
для Os^x^l, Подставляя (3.89) в (3.88), получим:
ЗД)~У»АГУ 2(n+2s + l)(-V)‘Rnn+M { /ж+УX
> Л Л X
1=0 р
XZn(x)xdx (3.90)
или Za(y) - J (п+ 2s +1) WA”Jlnn+M. (3.91)
а=0: j
где Л\-2(л+2а+1)»»(-1)'Уж J In+2&№x)Zn(x)dx. (3.92)
Используя уравнения (3-91) и (3.92), получим
2(л+2Г+1)‘'г(-1)‘У,,( Jn+2t+i(Ny)Z„(y)dy=y 2(« + 2/ +
0 s=0
+ !)'/>(n+ 2S +1) ilzYn (—-1) M-. ] Rn+2,(y)Jn+2t+l(Ny)dy (3.93)
или Ant= 2 ynA,nBttatl где (3.94)
B”m=2(/i+2s+ 1)'^+2/+ 1)l'3(-l)‘!j‘ R”n+i,(y)Jn+2l+t(JVy)<ly.
о
(3.95) ,
Отметим, что в соответствии с формулой (П.21) приложения 2,
имеет место соотношение В",1=ВП(,.
Уравнение (3.94) может быть записано следующим образом:
0=24%!^
6S1(|=0,
(3.96)
где — дельта-функция.
Выражение (3.96), в сущности, представляет собой систему ли-
нейных однородных уравнений, имеющую при условии
нетривиальное решение. Такая форма указывает на тот факт, что
определитель системы бесконечен и, следовательно, система нераз-
решима.
Если мы ограничим систему (3.96) конечным числом р+1 чле-
нов, то получим решение в виде (р+1) моДы резонатора. Ограни-
чения ряда (3.96) конечным числом членов возможно только при
условии конечного числа членов ряда (3.89), определяющего ядро
уравнения, т. е.
2(л+25+1)(-1)^ Дпп+г(х). (3.97)
213
*
Тогда
Гпт=е-^«* 24nw^n"+a><xHn+2s+1>l/®- (3.98)
«—<1
Используя соотношение, приведенное в приложении 2 [форму-
ла П.9], получим
i
| /„ (Nxy)Rnn+it(x)xdx= (—1) *
о

Можно показать, что Гпт записывается как
е~’"фСтя V („1). (rt+2s +!) >/», (3.99)
t-o х
где С„п — постоянные, которые при нормировке становятся рав-
ными УПт- Это означает, что коэффициенты A(nm имеют одинако-
вые значения как в уравнении (3.98), так и в уравнении (3.99).
Потерн на излучение (при одной итерации) составляют
1-|Уп«к2. (3.1Q0)
Если положить, что JV~>0, Л”т«-»-0 и Лптп->-1, то решение имеет
вид
7’ntn=e-<n’l7?rtn+2m(x) (n+2m+1) ’/».
Так как А/—2ла3/(бА), полученный результат означает, что при
использовании частот диапазона СВЧ (например, в таких устрой-
ствах, как лучеводы) значение N обычно оренъ мало, и поэтому
ряды из круговых полиномов имеют быструю Имонотонную схо-
димость, в то время как ряды из других функций имеют осцилли-
рующую сходимость. Это обстоятельство позволяет с высокой сте-
пенью точности определять поля между зеркалами. Можно также
показать, что и для мод с большими значениями индексов колеба-
ния тип ряды обладают быстрой сходимостью.
Для основного типа колебания Л», для которого ЛГ=2л, доста-
точно учесть шесть членов ряда, чтобы получить погрешность оп-
ределения полей не более I0-* для х®®0 н IO-5 для ха=1.
Отмеченные свойства круговых полиномов сохраняются и при
различных аберрациях резонансной системы (например, Для зер-
кал с неровной поверхностью, сферических зеркал) и при переме-
щении, наклоне или расфокусировке отражающих зеркал. В рабо-
те [29] показано, что и в этих случаях реализуется быстрая схо-
димость рядов.
В качестве других базисных функций, используемых для реше-
ния задач по отысканию полей в оптических резонаторах,
раются функции Гаусса — Лагерра[30] нгнперсфероидальжые
функции [31]. Для первых модификация достигается нутем умно-
жения функций Лагерра на экспоненциальный множителе, обес-
печивающий быстрое спаданиеполя в радиальном направлении.
V- л-'.-tst-v- * • "f'. . -.i
- • г*. . 7'. .. • - Cl '
Для функций Лагерра радиальный интервал, на которой функ-
ции являются ортогональными, простирается от нуля до бесконеч-
ности. Введение экспоненциального множителя практически сокра-
щает этот интервал до любого конечного размера. Функция Гаус-
са—Лагерра использовались для решения задачи об излучении в
ближней зоне конического рупора с гофрированной внутренней по-
верхностью (32].
Гиперсферондальные функции (или, как они обычно называют-
ся, функции вытянутого сфероида) ранее уже использовались для
решения задачи дифракции на плоском диске. Однако они могут
рассматриваться. как общее решение интегрального уравнения
(3.88).
Параметром решения является число с, которое соответствует
числу зон Френеля, укладываемых на одном из зеркал относитель-
но центра другого.
В работе [31] также было показано, что при условии с->0 гп-
персфероидальные функции вырождаются в круговые полиномы,
а для больших значений с они совпадают с асимптотикой рядов нз
функций Лагерра — Гаусса. Поэтому для решения задач, иссле-
дуемых в данной главе, , видимо, можно использовать не круговые
полиномы, а гиперсферондальные функции. Однако в связи с про-
стотой представления круговых полиномов едва лн можно ожи-
дать, что этот путь приведет к каким-либо заметным преимущест-
вам.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
Синтез диаграмм направленности антенн
в дальней зоне
Одним1 из каждых преимуществ приложения рядов Неймана, с по-
мощью которых можно описать диаграмму направленности апер-
туры, является их привлечение к решению задачи о нахождении
необходимой функции возбуждения апертуры, которая бы реализо-
вала требуемую (или наиболее близкую к требуемой) форму диа-
граммы направленности.
ЕЙц^как Это сделано в работе Поповкина [1]) в качестве ос-
новиого соотношения для диаграммы направленности рассмотреть
уравнение (3Л), которое в операторной форме имеет вид
- (4.1)
. где ^ — заданная функция, которая получается в результате воз-
действия оператора Д на неизвестную функцию f, то для задачи
синтеза нам потребуется инверсия оператора Л-1.
Такой оператор в принципе существует, но он не является не-
прерывным и поэтому на характер распределения f(r) должны
'33ft . 215
быть наложены дополнительные ограничения, В противном случае
полученное решение будет нестабильным и практически нереали-
зуемым.
В общем виде задача синтеза диаграмм направленности антенн
является некорректной.
Приведенные соображения могут быть подтверждены, нахожде-
нием инверсии оператора решения, заданного в виде ряда (3.28),
для задачи синтеза. ; "
Опытного разработчика антенн СВЧ едва ли удивит тот факт,
, что даЖе сравнительно большие возмущения в амплитудном рас-
пределенян оказывают незначительное влияние на форму основио-
< го лепесткд диаграммы направленности антенны. В данном случае
в основном изменяется ширина диаграммы направленности и кон-
фигурация боковых лепестков.
Таким образом, синтез диаграммы направленности даже срав-
нительно простой формы является чрезвычайно сложной задачей.
В целом это связано с тем, что мы заранее должны иметь хотя бы.
самые приблизительные априорные данные о характере фазового
распределения в раскрыве, без знания которых проблема была бы
неразрешимой.
4.1. Смжметрячные диаграммы направленности. Метод
Вебба—-Каитейна
Для симметричных диаграмм направлепностн для сннфазно
возбужденных раскрывов требование инверсии оператора в урав-
нении (4.1) означает применение обратного конечного преобразо-
вания Ганкеля нулевого порядка. Используя представление диа-
граммы направленности в виде выражения (3-28)
g («) •» 2 ~ -
де “
определим коэффициенты aw-i, знание которых необходимо, что-
бы получить искомое апертурное распределение f(r) с применением
следующего выражения; -
f(r)= 2 (-1)*а«нЛ(0.
ВаО
С этой целью воспользуемся методом Вебба — Каптейна [2], кото-
рый основывается на следующем результате:
fwowt) T-dSn- <4-2)
Тогда, если нечетная функция Г(х) допускает представление в
виде '
F(x)^У ат+1/ая+1(х), (4.3)
. , . *~<1 , с
. Ste
[У то коэффициент разложения определяется формулой
am+1=(4n-f-2) f F(0J2n+I(0 (4.4)
I \ o'. *
Законность этого преобразования, схожего; с Фурье-преобразова-
нием, справедлива только ври некоторых ограничениях, наклады-
ваемых на вид функции Р(л).
Согласно [2] это ограничение сводится к тому, что интеграл
J F(t)dt существует и имеет абсолютную сходимость, функция
F{1) имеет непрерывную производную для всех положительных
Значений аргумента, не превышающего значение х, а функция
^(0 удовлетворяет уравнению
[F(o-H)+F(v-0]^ (4-5)
о
при t^x.
Применительно к четной функции
. «2Н-1
мы имеем более строгие условия: а) интеграл j ug(u)du сущест-
о
вует и имеет абсолютную сходимость; б) функция g(u) имеет не-
прерывную производную; в) функция g(u) удовлетворяет соотно-
шению
. tg'(t)+g,(t)^ “ f {(v+t)g(v + t) + (V~t)g(v-t)}du (4.6)
м! J 0
0
для всех ( в интервале [0, и].
Как показано в (2], нельзя упростить критерии, устанавливае-
мые для функций, удовлетворяющих уравнениям (4.5) и условиям
<а>—«в». .
* ' Такам образом, мы определили ограничения, накладываемые
> на реализуемые диаграммы направленности. Этим ограничениям
Й) удовлетворяют уже известные функции, представленные через ря-
Й ды Неймана, или любые другие функции, образованные в виде ря-
да Неймана. Но для любого случая, не удовлетворяющего услови-
Ц.: ям <а»—св», включение найденных коэффициентов разложения а
Ж в ряд (3.28) приведет к расходимости этого ряда,
Ж Общее доказательство данного положения мы опустим и огра-
Ж кичимся только рядом примеров:
Т 1. g(«)==cosu«2(la^—+ _ 1
\ и и и f
где коэффициенты, определенные по формуле (3.44), имеют вид
/(!)*» J (2s+l)a.
fc=O
Очевидно, этот ряд расходится.
„ . sin а и
2.g(«) = -—.
хш
Используя условие (4.6), получим выражение
cosau== — f sinafcosnudf,
2a J t
о
которое справедливо только при a^l. Следовательно, функция
(sinau)/au удовлетворяет условию (4.6), но эта функция не удов-
о»
летворяет условию «а» об абсолютной сходимости J sin (au)du.
Следовательно, коэффициенты, полученные по формуле (4.4), а
именно
a2»+i = 2(2n+1) f —— J3t+i(u)du*= — sin[(2s+l)arcsina]
J ati a
ал
1Д
1.6
1.о
од
од
2,4
ад
ОД-
ОЛ
О
““ Т'(а),
я
идентичны тем, которые получе-
ны в § 3.4, н приводят к появле-
нию разрыва в амплитудном рас-
пределении при г (рис. 4.1).
3- g(o)==/»n+i(au)/(au).
Эта функция обесценивает вы-
- полнение равенства в уравнении
(4.6) при ц^1 и удовлетворяет
двум другим критериям.
। » 1_L,VU< C'Sl
0,1 ОД 0,3 0,4 W ЯД 0,7 ОЛ 0,8 1,0
Рис. 4.1. Амплитудное . распределение
кругового раскрыва, иктбходямое для
реализации диаграммы направленно-
го (и/2)
стя вида g(u)* Точное ре-
шение -решение в виде
» / 1 \
ряда Х4П.+,—1 Я%»(г)
«ак О . \Х /
Согласно (4.4) коэффициенты разложения /
0^ = 2 (21) J(оы> Jw+1 А «Л g х
• ' ** *w»
',^4. ' -‘Si. *;- ' < f' \ л» ' '
..------- - ----
у + « + , $ > л. (4.7)
л т ((2 а + «4-1) 1 (s— п — т) 1
Тогда можно показать, что
J_v (_])*v* (-1)5^1------------(5+от+"?------яуг)=
2 Zj ' ' 4- 1 mF (2я + т+ 1) 1 (s — п —т) Г 21
-(-1Г^,(-^).о<г<« (4'8)
= D, a<r< 1;
п I ту( n„ °W" + Лм-нС”) _ м9)
2 .^а т! (2л+т-|-1) ! (s — т — я)! и аи
Второе: выражение представляет собой теорему умножения для
функций Бесселя. Последний пример позволяет перейти к концеп-
ции называемых квазндействительиых функций.
Анализируя вывод уравнения (4.5), можно заключить, что эта
формула выражает ограничение лишь в той мере, в какой ее обра-
щение в нуль дает возможность обеспечить точное совпадение ря-
да F(x) и исходной функции. Если же такого совпадения нет, то
ряд F (л) и исходная функция также не будут совпадать точно, од-
нако на практике достигнутая степень приближения может быть
приемлемей. Так, например, для последнего разложения можно
отбросить ограничение а^1 и попытаться получить функцию воз-
бужденна для диаграммы g(u) =h (2и)/и.
Такая диаграмма, ширина которой в 2 раза меньше, чем это
можно было ожидать исходя из размера апертуры, должна обла-
дать свойствами сверхнаправлённоетя.
Коэффициенты разложения можно по-прежнему получить, ис-
пользуя ряд (4.7). Однако когда они будут использованы для сум-
мирования ряда,
. >Н>'
то последний будет сходящимся и совпадающим с требуемой
функцией7i(2u)/u только до значений и^8, после чего ряд начи-
нает расходиться.
Это хорошо согласуется с известным физическим результатом
[3], согласно которому конечная апертура может обеспечить лю-
бую степень разрешения, если, начиная с некоторого значения уг-
ловой функция и, большой уровень энергии будет сосредоточен в
боковых лепестках.
Из.этого примера следует, что выбор значения а>1 приводит к
увеличению разрешающей способности. При этом если высокий
уровень Локового излучения будет определяться значениями и, не
i соответствующими реальным значениям угловой координаты, то
можеГ /быть достигнута определенная сверхнаправленность снсте-
МЫ^/У^
f . - ' ' 219
4.2. Разложение функций в ряд Маклорена
Рассмотрим частную ситуацию, когда ряды Неймана, описы-
вающие диаграмму направленности, получены из рядов Маклоре-
на. Отметим, что некоторые, представляющие интерес выражения
для функций Бесселя могут быть получены по данному методу не-
зависимо от рассматриваемого далее прикладного характера зада-
чи. Согласно Нейману [2] можно утверждать, что если разломе-
• ® •
ние Маклорена функции F(z) имеет вид F{z) = S 6nz", то
л-0
F(z) = V anJn(z), (4.10)
Ми
ЛзогО
где коэффициенты дп и Ьп связаны соотношением
<.п/3 „ , ...
V 2" —<Ь±-=Ш(4.11)
“ л* J
т=0
Таков способ получения коэффициентов рядов Нейманн; и та-
кие ряды можно использовать для нахождения апертурного рас-
пределения. Однако критерий, требующий сходимости этих рядов,
не удовлетворяется, если применить этот метод к некоторым функ-
циям задания диаграЫйьг направленности, например, для [4]:
g («) = I Г или g («) — .
I « J cshH
Поэтому мы и ограничились рассмотрением только определенного
класса диаграмм направленности, синтезируемых на круглом син-
фазном раскрыве, которые удовлетворяют критериям, сформули-
рованным условиями «а>—«в».
Интегрируя выражение (4.6) в пределах [0, ц] Относительно t,
получим
ug(a)=~ f cfw [ :{(»+*)£(« + 0 + (о—Z)g(w—0}^- (<12)
2 о ° о
Рассмотрим случай, когда внутренний интеграл из (4.12) может
быть представлен в виде разделяющихся сомножителей, т. е.
J {(у + 0«(р-Ь0 + (у—t)g(v~t))d^Fi(o)Fa(u);
о
тогда, приравнивая Fj (о) некоторой постоянной Ь, получим/что
Fs(u)^ ~- ug(u).
' .s. <• •'
Уравнение (4.12), про которое можно сказать, что оно содержат
в своей структура проявление принципа Гюйгенса, имеет ядро
/д(«)/о (вместо функции для свободного пространства), а
внутренний интеграл, по сутн дела, является некоторой симметрия-
ной по раскрыву весовой функцией. Но далее этих размышлений
попытки получить физическую интерпретацию уравнения (4.6)
не идут.
4.3. Разложение функции апертурного возбуждения
в ряд Бесселя
Другой метод синтеза диаграмм направленности, основанный
на скалярной формуле ^ирхгофа, уже, в определенной форме, рас-
сматривался ранее [5J. Этот метод основан на представлении амп-
литудного распределения раскрыва в виде ряда по функциям Бес-
селя нулевого порядка:
и
(4.13)
Для вычисления скалярного дифракционного интеграла Кирхго-
фа для синфазного раскрыва, амплитудное распределение кото-
рого имеет осевую симметрию, нам потребуется использовать фор-
мулу Ломмеля:
f(r)= V aJo(unr)7 0<г<1;
J0(4nr),/O(ur)rdr= —- [ui9(u«r)J'9(ttr)— unra(u,lr)Ja(ur)].
(4.14)
Получаем, что
.1 N
g(u) = V . " (4.15)
—о
Правая^ часть формулы. (4.15) может быть упрощена путем вы-
бора таких W значений ип, которые удовлетворяют условиям
/o(u«)=0 или /'аХмп^О' (4.16)
или более общему условию
unJ'0(un)+hJo(un)=0, (4.17)
которое-нам потребуется позднее.
Для выбранных .таким образом N значений ип коэффициенты
разложения а„ определяются формулой
2 ц® .
°" ^ао(“п)г(«п). (4.18)
Одним из первых применений этого подхода явилось определение
положений н уровня боковых лепестков, а также нулей диаграм-
мы направленности, хотя при этом не ставилась задача по реали-
зации уочной формы основного лепестка.
Рузе пряменнл этот же анализ для воспроизведения «столооб-
разнойхднаграммы направленности. Он показал, что такие диа-
ЯВЖ ' ' 321
*
граммы могут быть представлены через ряд (4.15), однако апер-
турное распределение, обусловленное подстановкой этих же коэф-
фициентов в ряд (4.13), не было ям показано.
Асимметричные диаграммы направленности могут быть вос-
созданы с использованием фазового множителя [см. урав-
нение (3.10)} только при р«1. Более высокие значения р реали-
зуют диаграммы направленности с более высокой периодичностью
по координате, которые, как правило, не представляют практиче-
ского интереса. Повторяя анализ, но уже используя функции Бес-
селя первого порядка (р>1), получим «карандашнук» форму ди-
аграммы направленности с линейным сдвигом по осн и. Но и в
этом случае невозможно сказать, достигнем ли мы требуемой фор-
мы диаграммы, направленности, хотя в данном случае не исклю-
чается использование неоднородного фазового распределения.
4.4. Доиолшпедьные возможности метода Вебба—Каптеина
На основании рассмотренного примера можно сделать выводы
о том, какие дополнительные процедуры необходимо выполнить,
чтобы можно было реализовать более общий класс диаграмм на-
правленности.
Для этого вместо обычных рядов Неймана необходимо исполь-
зовать более сложныеряды вида
,Ц(«)
и
функция
Л(«/2) “
+ 7 ; в — решение,
полученное с использова-
нием первых трех членов
выражения (4.19) при
«1-0.
(4.19)
граммы направленности:
а — фужция вида---------(
*Т“ .“ — г О’*
Рис. 4.2. Расчетные диа-
f ф
’ Функции Л и 7S, а также функции более высокого порядка, не
приведенные здесь, удовлетворяют критерию физической реали-
зуемости. Несколько диаграмм направленности, реализованных с
помощью данного ряда, приведены на рис. 4.2.
Каждый член этого ряда имеет форму J2,+I(au)/(au) при
й, следовательно, реализует частное апертурное распределе-
ние, для которого f(r)=O при а>1 [см.;формулу (3.45)]. Если не
применять соответствующих условий, то апертурное распределе-
ние, требуемое для воспроизведения диаграммы направленности в
виде (4.19), может иметь разрывной характер для каждого нз зна-
чений, используемых Как далее будет показано, использование
этих условий, а также условия непрерывности апертурного распре-
деления (но не обязательно непрерывности ее производной) приво-
дит к гладким амплитудным распределениям, однако при этом су-
жается класс воссоздаваемых диаграмм направленности по срав-
нению со случаем свободного выбора коэффициентов ®п-
Поэтому теперь рассмотрим возможность использования апер-
турных распределений с намеренно включенными разрывами.
4.5. Зонированная круговая апертура
Известно много практических схем микроволновых антенн я оп-
тических устройств, раскрыв которых разделен на определенные
зоны. К таким устройствам относятся, например, оптические уст-
ройства, содержащие зонированные отражатели, а также зониро-
ванные пластины Френеля, которые более подробно будут рас-
смотрены далее.
В работе Коха [6] рассмотрено антенное устройство в виде со-
вокупности коаксиальных кольцевых излучателей, причем каждый
парциальный излучатель имеет независимую регулировку ампли-
туды и фазы возбуждения поля (рис. 4.3а). Путем введений осо-
бой связи между коаксиальными элементами были обеспечены ус-
ловия существования надлежащей системы мод в каждом кольце-
образном излучателе, что позволяло создать существенно равно-
мерное распределение в системе в целом. Такая ситуация, в част-
ности, возникает при возбуждении колебаний типов ТЕ(1 и ТМН в
центральной области и при возбуждении колебаний типов ТЕП и
ТЕй в кольцевых областях, что иллюстрирует рис. 4.36. Основное
внимание прн исследовании облучателей антенн или рупоров, кото-
г рые реалнауют необходимые характеристики направленности, те-
перь уделяется формированию таких мод с применением преобра-
зователя тнпов колебаний, размещенного в горловине рупора [7],
у; илиже использованию гибридных мод, возникающих при структу-
< ре в виде гофрированной внутренней поверхности рупора нл и при
I размещении на внутренней поверхности рупора диэлектрических
I покрытий.
| : Сущность проектирования таких устройств сводится к формп-
% рованию надлежащего типа колебаний с соответствующим ампли-
223
тудно-фазовым соотношением, т. е. к получению зонированного
распределения.
можно заметить из рассмотрения рнс. 4.3, размещение
кольцевого проводника, разделяющего одну кольцевую зону от
•>
а»
Рис. 4.3. Продольное сечение яятеины, реализующей зонированный круглый
раскрыв (а) я сложение мод, позволяющее получить равномерное возбуждение
в раскрыве зонированной антенны (б) -
другой, не приводит к искажению структуры поля в соседних зо-
нах, что поэволяет рассматрнвать каждую кольцевую зону как не-
зависимую по амплитуде и фазе возбуждения. Такая степень сво-
боды, как мы увидим, облегчает реализацию асимметричных диа-
грамм излучения.
Антенны больших размеров могут быть сконструированы в ви-
де совокупности отдельных круговых апертур с дискретными из-
лучателями (рис. 4.4). Однако конструкция таких антенн крайне
сложна, н поз^рму диаметр реализуемых антенн обычно не превы-
шаетиескйЛь^да длин волн. . . - ................
L
«•э
Представленная схема антенны обладает дополнительной воз-
можностью, связанной с реализацией моноимпульсного режима пу-
тем соответствующего возбуждения с помощью гибридного устрой-
ства четырех квадрантов раскрыва антенны.
Рис. 4.4. Зонированный раскрыв, возбуждаемый дискрет-
ными элементами:
1 — элементарные излучатели: 3— волноводная линия питании;
3 —сжяэв с первичным волноводом
Из оптики известен анализ зонированных пластин Френеля н
фазосдвигающвх зонированных пластин. Аналогичным образом мо-
гут быть проанализированы сходные антенные устройства. Разли-
чие, как и ранее, состоит во введении дополнительного фазового
коэффициента е-’*”4 в подынтегральное выражение для лучей, фо-
кусируемых в какую-либо точку на оси. Если диаграмма направ-
ленностиопределяется в дальней зоне, т. е. игнорируется указан-
ный выше коэффициент, этот анализ становится достаточно прос-
тым,; хотя из него непосредственно вытекают весьма интересные
возможности использования зонированных раскрывов, а также
многомодовых рупорных антенн. При анализе выбор радиусов зон
произволен. Поэтому при анализе рупорной антенны радиусы зоны
выбираются из условия существования той пли ином комбинации
мод ТЕ-или ТМ.
Осесимметричные диаграммы. Ряды Фурье—Бесселя и ряды Дн-
ям. Применяя скалярный интеграл для определения диаграммы
8—111 * 225
излучения одиночной кольцевой зоны (внутренний радиус которой
равен гп-ь а внешний — гп), комплексная амплитуда возбуждения
которой равна ап+ь получим
£(«)f Яж А М rrfr- о. ( гя —га_' . (4.20)
Суммируя все Л/ зон раскрыва, получим
«(«>’Jr. •‘V5’ («I)
я™1
где av+l =0.
Полагая An—an—an+i, а также, что радиус гп любой n-й зоны
равен Гп^АпГь где ri=l/m и Gv—l, имеем, что
n
g (u) « ’ (4.22)
Наконец, полагая ц—/по, получим, что
ы
m^vg (/по) >= £ А Хп Jt (Хя и). (4.23)
rt=»l
Это уравнение, которое можно рассматривать как отправную точку
для синтеза диаграммы направленности, заданное относительно
функции F(v), связанной с исходной функцией g(u) соотношени-
ем
f(v)^m2ug(mo). . (4-24)
Предел lim(F(v)/e), как это следует из уравнения (4.23), опреде-
п—О
ляется выражением
JL л_13
(4-25)
л«1
Уравнение (4.25) следует рассматривать как основное условие, на-
кладываемое на амплитудные коэффициенты Лп®»ап—а*+ь каким
бы ни был способ их задания.
Теперь сравним ряд, заданный формулой (4.23), с бесконечным
рядом:;
(4.26)
Известен ряд способов, с помощью которых последнее выраже-
ние может быть использовано для описания функции общего вида
F(o). Выбор целиком и полностью зависит от радиусов зоны, т. ц.
Ж.:-1 X- ;
w
от параметров хп. Выберем Хп так, чтобы Ап = ль Х2, Аэ, ... были
пропорциональны последовательности (по возрастающим значени-
ям) корней уже встречавшегося уравнения (4.16), а именно [2]
x-v{xJ'v(x) + hJ0(x)}, , (4.27)
для которого..в рассматриваемом случае v*!, а параметр h задан
в виде произвольной постоянной. Выбор значения Л—0 или Л=1
приводит к тому, что Ад становятся корнями функции J'i(x) или
/о(х) соответственно. Выбор Л->оо определяет выбор корней функ-
ции\
Описанная процедура выбора значений параметров Ап диктует-
ся требованием удовлетворения граничных условий для многомо-
дового колебания в круглом рупоре.
Коэффициенты ряда, заданного уравнением (4.26), определяют-
ся выражением
21® А
Ьп =* — --—----------д---- °F(и) Л (^п 0 du. > (4.28)
{(*п -1)4М + *вЛ
Следовательно, амплитудные коэффициенты для конечного ряда
задаются уравнением
2т!Лг
(4.29)
Л - 3 - . ------ J v-g (™)Л (An u) du).
{(*n -1)/?(Ап)+ЛаЛг(Ап)}^
Можно показать, что полученные с помощью преобразования
Фурье — Бесселя значения коэффициентов разложения конечного
ряда наилучшим образом (в смысле наименьшего квадратичного
отклонения) описывают заданную функцию g(u).
Интеграл в правой части уравнения (4.29) теперь можно вы-
числить методонг круговых полиномов. Поэтому
J JJ«ar+i(—О’ —<Хп)
О
(4.30)
Ап
где a2»+i»=2(2s-i-2) J и2е(ти)^2^(и)йи.
Следовательно,
л " 2m*
(4.31)
•"V /;=»,)} Е““+'( (W)
Рассмотрим три наиболее интересных случая;
а) Л-кр; Ап пропорциональны корням (дс)» п ряд представ-
ляет собой ряд Фурье-- Бесселя:
wo
8* - /
(4.33)
.227
б) Л—-0; Хп пропорциональны корням 7i(x), и ряд представля-
ет собой ряд Дини [2J:
Л"“ (k-0№<WI« (<34)
в) 1; пропорциональны корням /0(х):
Л --------——? -------VJ %+1 (- О’ А,+2 (М-
(4.35)
Все полученныерешения должны удовлетворять условию
(4.25). Для некоторых диаграмм направленности g(u) суммирова-
ние по формуле (4.25) приводит к осциллирующей функции, кото-
рая пересекает функцию g(Q) в ряде дискретных точек, что приво-
дит к ограничению свободы выбора g{u) по размеру, но не по
•форме.
Проиллюстрируем этот эффект на примере синтеза; столообраз-
ной диаграммы направленности с помощью апертуры, раскрыв ко-
торой разделен на восемь Эон. Итак, пусть диаграмма направлен-
ности описывается следующим образом [9]:
g(u) = l, —«о< u <«o;
=0, u0< [u(<JVh,
где N — число зон (в данном случае Лг=8). Для данного случая
m2vg(mv)=^m2v, |п|<о0; 1 (4 36)
=0, |v|:>Oo, Ор<1. J
Из уравнений (4.29) и (4.33) получим
= (4-37)
п
и m==fcw.
Интеграл можно вычислить или ё использованием круговых по-
линомов или с использованием результатов работы Снеддона
ПО}:
J= J Р2/1(ХЛо)<(п=о3(( J 0 0 Следовательно, Л г- i-А(^»“/Аг) ^1(^090^ = ^ - *п , (4.38)
/ Si&fcW- ' . ' '
Подставляя эти коэффициенты в формулу (4.25), получим функ-
цию V ——, зависящую от «о так, как показано на рнс. 4.5а.
в=Д N '
Только для тех значений и0, прк которых эта функция точно равна
значению g(0), мы получим диаграмму с надлежащим значением
в исходной точке. При других значениях «о полученная форма ди-
аграммы направленности будет отличаться от заданной.

в в 10 п 14 18 18 X 3 24 28 28 X 32 34 X X 40
в
Рис. 4J. К выбору ширины диаграммы направленности {«), расчетные сектор-
ные диаграмм направленности (решение с использованием рядов Фурье—Бессе-
ля) (б)
229
*
Самой узкой диаграммой направленности является обычная ди-
аграмма карандашной формы, которой соответствует монотонный
спад амплитуды к краям раскрыва при синфазном возбуждении
всех зон.
Самые широкие диаграммы реализуют излучение во всю не-,
реднюю полусферу, что соответствует действительным значениям
u=2а sin 0Д, т. е. условию и<2ла/Х. Требуемые амплитуды воз-
буждения всех зон раскрыва приведены в табл. 4.1.
Таблнца 4.1
Амплитуда Зоны раскрыва
1 II III IV V VI VII VIII
«X 0* о» Ч» а» 1,0 0.95 0,86 0,74 0.67 0,423 0,285 0,136 1,0 0,84 0,60 0,335 0,07 -0,057 -0,10 —0,067 1.0 0,805 0,186 —0,102 —0,156 —0,057 0,044 0,057 1,0 0,402 —0,08 —0,142 0,018 0,083 0,004 —0,044 1.0 0,15 —0,20 0,004 0,078 —0,04 -6,033 0,036 1.0 —0,05 -о,н 0,114 —0,025 —0.015 G.064 —0,025 1,0 —0,257 0,017 0.022 —0,68 0,039 —о.сёв 1,0 —0,345 0,162 —0,10 0.051 —0,038 0,012 —0,000
Конечно, физическая реализация таких широкоугольных диаграмм
во многом гипотетична, так как этот метод базируется на скаляр-
ном интеграле, который справедлив для малых углов [см. уравне-
ние (3.1)] и игнорирует множитель (1-|-соз0). Учет влияния этого
фактора может быть произведен способом, рассмотренным не-
сколько далее.
Еще один результат выявляется, если продолжи+ь область из-
менения и в комплексную область, для которой sin 0> 1, Каждому
решению соответствует некоторый наиболее удаленный лепесток
диаграммы, перемещение положения которого приводит к расши-
рению диаграммы, как показано на рис. 4.56. Для наибольшей ши-
рины диаграммы данный боковой лепесток имеет наибольший уро-
вень и примыкает к основному лепестку диаграммы. В результате
этого любые попытки создания сверхшироксй диаграммы направ-
ленности, функционально обратные по отношению к созданию
сверхнаправленных антенн, обречены на провал вследствие интер-
ференции основного и противофазного ему бокового лепестка.
Математически это означает появление выбросов Гиббса для
линейных рядов Фурье, физически «диаграмма направленности» в
комплексном пространстве означает энергию индукционного по-
ля в форме поверхностных волн. Эти волны могут возникнуть, ес-
ли между отдельными зонами излучения существует взаимосвязь*
Такая концепция находится в соответствии с характером ампли-
тудного распределения, приведенного в табл. 4.1, из которой сле-
дует, что для самых шнроких диаграмм направленности, которые
имеют наивысший уровень бокового лепестка я, следовательно,
макснмальное энвчение реактивного поля.соседняе зоны излучате-
ля возбуждены в противофазе. Это обстоятельство, естественно,
приводит к возрастанию взаимного влияния между отдельными из-
лучающими областями рассматриваемого антенного устройства.
Другой интересный эффект заключается в том, что прямая,
проведенная на уровне 0,5 (рис. 4.56), пересекает синтезирован-
ную диаграмму направленности g(u) в Тех самых точках и», кото-
рые образованы пересечением прямой g(u) = l с суммирующим
рядом (4.25). Это аналогично явлению, наблюдаемому при ди-
фракции волиы на отверстии, при котором уровень поля' на грани-
це свет—тень составляет половину уровня поля для освещенной
области.
Для того чтобы оценить параметры бокового лепестка, связан-
ного с явлением Гиббса, на рнс. 4.6 приведена диаграмма на-
правленности, синтезированная на апертуре, составленной из 40
Рис. 4.6. Расчетная диаграмма направленности
зонированной апертуры (40 зон)
эон. В .этом случае спад диаграмм направленности более крутой,
а результирующий выброс имеет более высокий уровень. При пре-
дед^НОМ$переходе к точно прямоугольной форме диаграммы на-
прЗДАфШрстн уровень этого лепестка будет равен уровню основной
диадраимы направленности.
.231
Теперь аналогичным образом проведем синтез осесимметричной
диаграммы направленности «параболической» формы типа ...
g(u) — l+p2u2. (4.39)
Здесь параметр р выбран таким образом, чтобы диаграмма имела
вид, близкий к £(8)==sec20 пли sec2 6/2. Такая форма диаграммы
направленности выбрана с целью компенсации множителя (1Ц-
-f-COS6).
Для диаграммы направленности такой формы интенсивность
излучения растет с увеличением и, что необходимо для обеспече-
ния равномерного амплитудного возбуждения зеркальных антенн.
В свою чередь, это приводит к уменьшению шумовой температуры
наземных космических антенн, а также к повышению эффективно*
сти использования параболических антенн при применений таких
облучателей [11].
На рис. 4.7 приведена характерная форма синтезированной ди-
аграммы направленности. Амплитуда возбуждения парциальных
зон раскрыва определяется из выражения [12]:
А. X.__{/ кН—I
“+ 3 р v X» з 1, Г
Метод синтеза может
быть использован при по-
лучении диаграмм с про-
валом любой ширины в
центре, в том числе и во-
ронкообразных диаграмм.
Это достигается одним из
указанных далее способов:
а) Суперпозиция. Если
сложить в противофазе
две столообразные диа-
граммы направленности,
имеющие равные усиле-
ния, то получим диаграм-
му направЛенностис ну-
левым провалом в основ-
ном направлении, причем
ширина провала равна
ширине более «узкой»
диаграммы. Необходи-
мые амплитуды возбуж-
Рис. 43. Расчетная диаграмм
направлеиностн тала g-fujas
-мс*и (решение с использоая-
нием рядов Фурье—Бесселя)
дення зон раскрыва вычисляются простым вычитанием соответст-
вующих амплитуд коэффициентов двух диаграмм направленности
(рнс. 4.8).
Рис. 4.8. Расчетная
диаграмм направлен-
ности, полученная пу-
тем вычитания диа-
граммы / из анаграм-
мы V (рис. 4.56)
б) Непосредственное использование функции
g(u) = l, k0<u<mi;
=0 для остальных значений и.
В этом случае

2lW*
{А (МР
oV, (Ki v)do =
2
Ьп {Л(Х„)}5
(4.41)
причем при тех значениях «о и а(, для которых g(0)=0.
в) Выбор особого значения. Здесь выбираются те значения и,
для которых сумма (4.25) дает#(0)—О вместо ранее требуемогд
условия g (0) == 1. Такая процедура вынуждает диаграмму направ-
ленности «начинаться» с нулевого уровня и лишь с увеличением
значения и диаграмма внойь становится плоской. На рис. 4.9 при-
ведена диаграмма направленности, синтезированная таким спосо-
' бОМ.
Диаграммы направленности, представленные в виде рядов Ди-
ни, имеют два принципиальных отличия от диаграмм, выражен-
<• ных через ряды Фурье-— Бесселя. Сравнение столообразных-alia-
s'' грамм направленности, синтезированных для апертуры, состоящей
« из восьми зон, по обоим методам показывает, что, за исключением
ж одного случая, а именно карандашной диаграммы направленности,
ж столообразность диаграмм, синтезированных с помощью рядов Ди-
w' ни,'ниже, чем ’ для диаграмм, полученных с помощью рядов
> Фурье~Бесселя: действительно, для диаграмм, полученных с по-
г мощыб рядов* Днни, характерны более высокий уровень первого
t бокового лепестка, а также более высокий уровень флуктуации из-

лучения в области основного лепестка. Однако следует отметить
важный эффект, проявляющийся для самых широкоугольных диа-
грамм (рис. 4.10): здесь приведены различные диаграммы направ-
ленности, вычисленные по формулам (4.33—4.35) для различных
значений параметра h. Как видно из приведенных диаграмм, с из-
менением h от нуля до бесконечности изменяется крутизна ската
основного лепестка диаграммы и изменяется уровень первого бо-
кового лепестка. Очевидно, выбором значения h можно подобрать
наиболее оптимальную форму диаграммы направленности, т. е. ди-
аграмму с достаточно крутыми скатами основного лепестка я с ма-
лым уровнем первого бокового лепестка. Одна из возможных реа-
лизаций такой диаграммы направленности показана на рис. 4.10.
Осесимметричная диаграмма. Ряды Шлёмильха. Рассмотрим
теперь случай, когда раскрыв, синтезируемый круглой апертурой,
разбит на зоны с равными по радиусу интервалами. В этом случае
гп=пГ1; подставляя u=Nv в уравнение (4.22), найдем, что
Л'
?(uh=2V2og(Wo)= £ nA„Jt(nv), (4.42)
здесь (V— общее число зон и, следовательно, ri = l/.V. Этот ряд
можно сравнить с бесконечным рядом типа
AnI0(tiv),
который является рядом Шлёмильха.
Произведя почленное дифференцирование такого ряда, полу-
чим, что
nAnli(nv). (4.43)
.
Теперь, используя выражения (4.42) и (4.43), имеем, что
Sfojsa— J №vg(\Nv)dv. (4.44)
Согласно [2] коэффициенты ряда (4.42) определяются выра-
жением
ЯЯ/2
Лп=—Г Г эесф [S(osiriip)]cos/iL’d(pdy. (4.45)
л j j d .
о
Условие, аналогичное формуле (4.25) для предыдущего парагра-
фа, в данном случае имеет вид
w
<«•«>
* . 235

Для столообразной диаграммы направленности, заданной урав-
нением
«<Uo;
= 0, «oCU’CJVn,
находим, что
Л,Й-=^|А1й„/!&)+а!1си7!а\_Дйп/!!!!»)1. (4.47)
л \Nf tin* \N/ a3 \ N/} * 7
Самая широкоугольная диаграмма направленности имеет доста-
точно плоскую вершину, однако крутизна спада основного лепест-
ка недостаточно велика. Самая узконаправленная диаграмма на-
правленности здесь, как И ранее, реализуется с помощью моно-
тонно спадающего амплитудного распределения по раскрыву. Про-
межуточные формы диаграммы направленности достаточно плохо
аппроксимируют столообразную форму диаграммы, однако с ро-
стом ширины диаграммы аппроксимация улучшается (рис. 4.11).
- Более плоские вершины диаграмм могут быть получены при нс-
пользованяи свойства рядов Шлемяльха, исследованного Ватсо-
нем [2], который показал, что ряды
--! h У (~“ О'" =0 (448)
2г^+ч)------------------------1 (mx/2p 1
для x, определенного интервалом —л<х<;л, имеют осциллирую-
щий характер при х=0 и расходятся при .т=л.
•В [21 показано, что этот эффект не имеет аналога для рядов
Фурье, и в данном случае следует ставить вопрос о том, будет ли
справедлив этот резул1?гат вне интервала —I/2<v<l/2. Полагая
v=l, и | о[ <л, находим, что
2 Р(—О'”"1—1—(4.49)
то 2
т=-0
Этот ряд, как мы и полагали, осциллирует между значениями
± 1/2, причем знак в данном случае определяется числом членов,
точнее, четностью или нечетностью числа членов ряда. Для того
чтобы достаточно эффективно погасить осцилляцию, достаточно
tf=8
«наложить» друг на друга два ряда, один из которых имеет четное
число членов, а другой — нечетное, как, например, для
8 1
S2 (— 1 A (и11) । VI 2 (________J ),л—1 А ______।
то Zj то ’
(4.50)
т. е.
4 (— 1)'"
здесь
mt1
А(8р)
4v
(4.51)
Коэффициенты Лп, т. е. амплитуды возбуждения зон, уже за*
данные формулой (4J51), равны л4я/№«=4(—4)п-’/я при 1<п<7
и Дз/ЛГйя?—1/4.
На рис. 4J12 приведены диаграммы направленности для рас-
смотренного случая. .
Яеедмадщчныедиаграммы
Любую диаграмму направленности можно разделить на чет-
ную и нечетную составляющие, определенные равенствами:
8ич(и>“^ {g(u)—g(—u)}. Четная со-
ставляющая диаграммы может быть синтезирована методами, из-
ложеннымив предыдущем параграфе. Учет нечетной составляю-
щей в общей диаграмме направленности может быть осуществлен
с помощью принципа суперпозиции.
В этом параграфе мы рассмотрим задачи синтеза для диаграм-
мы направленности несимметричной формы.
Круговое изменение фазы. Как Показано в гл. 3 [см. уравнения
(3.10)—(3.12)], изменение фазы по угловой координате <pz по за-
кону efJ”' приводит к асимметричней форме диаграммы направ-
ленности для нечетных значений параметра р. При р>1 едва ли
можно ожидать заметного эффекта, поскольку в этом случае диа-
грамму направленности пришлось бы анализировать для большого
количества плоскостей ф—const.
Для плоскости ф—л/2 и для р~1 получим выражение для
диаграммы направленности зонированного раскрыва в виде разло-
жения в ряд.
Проведем интегрирование по ф'-координате:
2я
J expfifur sin ф'-—9')]^'=Л (ur). (4 52)
о " :
Для одиночной зоны раскрыва, амплитуда которой оп, фаза е**,
а внешний радиус зоны гп, имеем s
gn(u)=^ j anJY(ur)rdr. (4.53)
'«-i
Интеграл подобного рода может быть представлен через ряды из
круговых полиномов (см. гл. 3):
Е (4И>
в *“! 3, 3
Тогда для одиночной зоны
«W- £ 'w( '-Ч- (4-551
* г"и ... '«-г* J
Суммирование по всем N зонам приводит к результату
n
jgf u I □ 1 и Jd j
Пг=1
(4.56)
где /4„=an—an_] и аДч-1 = 0, как и раньше.
Проводя те же самые преобразования, что и с уравнениями
(4.22) и (4.23), получим, что
N
m2vg (m<0 = Ап А.п /а (^ уН Л (М) + • • ] • .(4-57)
/р®1
Такне данные ряды вряд
ли могут быть пригодны для
прямого; синтеза диаграмм на-
правленности, Но они могут ис-
пользоваться для метода проб
и ошибок. В заключение отме-
тим, что в уравнение (4.56)
входят только нечетные функ-
ции относительно и. Это выра-
жение в целом, как и требова-
лось, описывает асимметрич-
ную составляющую днаграм-
мы направленности.
7 Обобщенный ряд Шлёмиль-
ха. Рассмотрим раскрыв, раз-
деленный на N зон. Допустим,
что фазы возбуждения днамет-
Рис. 4.13, Особый случай возбуждения
раЛьно ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ час- зонированной апертуры
Тей ЗОНЫ составляют ±On (рис.
4.13). Амплитуду возбуждения эоны, как и раньше, обозначим че-
рез ап- Согласно соотношению (3.9) диаграмма в плоскости
<р~ ±л/2 одиночной зоны выражается формулой
g/ih = Icosa„ (------------------------------------J±l“r.n ± sina„ >
x 2 / l \ “Hi «''„„j /
X / J Я| ,(«Г||) ________r2 t)
\ " Wn 1,-1 ИГП_,
(4.58)
где ffi(x) —г функция Струве.
Суммируй вклад всех N зон при условии, что раскрыв разде-
лен на зовы с равными по радиусу интервалами, получим диа-
грамму направленности в виде обобщенных рядов Шлёмильха:
«(“• ±т)“Е^(л-у-(т)±в-"-(“)1' <4-59>
л«1
' 239
где
j4n^= flnCOS Un—"On+lCOSUn+l, | (460)
6n —OlnSinOn—On+lSinan+1 И fln+l = 0. I
Здесь, как и ранее [см. формулу (4.46)], имеет место одно ограни-
чивающее условие:
так как при х-*О Ht(x)/X-*0. Это условие существенно, поскольку
Hi(x) не имеет корней, за исключением точки х=0, и поскольку
для нечетной части этого разложения ряд Фурье—Струве невоз-
можен.
Полагая и—Nv, г—л<о<п, получим порождающую функцию
N
N3vg(Nv)= яХ*/|(т9±лВ*Я1(«о). (4.61)
rt«>l
В этом выражении первый ряд представляет собой симметричную
часть функции диаграммы направленности, а второй — антисим-
метричную.
Сравним ряд (4.61) сполным рядом Шлёмильха [2]:
3(0+/г= 2 AnJ6(nv)+BnHQ(nv), (4.62)
где /? — некоторая константа, которую требуется определить.
Интегрируя уравнение (4.61), получим
—J N2vg(Nv)dv— f Ап/0(пп)+ВлЯр(ад)-^-;
ft—I
тогда, обозначив
» N
J N*vg(Nv)dv,=0,
можно убедиться, что конечный ряд может быть сравнен с беско-
нечным, по отношению к которому он представляет более и менее
< точную аппроксимацию.
Согласно [2] имеем
А. = ~
(4.63)
(4-64)
j* sec Ф ~- [S (o s>n <p)] cos nod <p do;
я Зя
sin nod<pdo.
' (4.65)
' jmo '
Зная А л и Вп и используя уравнения (4.60), можно получить зна-
чения амплитуд и фаз возбуждения для каждой из N зон рас-
крыва.
Проиллюстрируем приведённую процедуру на примере синтези-
рования часто используемой «косеканс-квадратичной» диаграм-
мы направленности [13], заданной уравнением |g(u) |®=cosec20
для области О1<0<0г, не содержащей ось 0—0 (рис. 4.14). Так,
полагая й=2ла имеем g(u) = l/u для ut<Zu<Zu2. Следова-
тельно, g(Nv) = 1/ (jVv) для uj < о < v2.
v cos nvdu;
А
(4.66)
Bn=^—— i osin/iprf?,
2 J
где возможные значения U| и v3 получены из условия суммирова-
ния ',
в-1
241
Покажем, что ограничение на область 0 можно легко снять
смещением диаграммы направленности на значение up (или на со-
ответствующий угол для реальной диаграммы) (рис. 4Л4). При
этом диаграмма направленности, заданная теперь уравнением
g(u)=x приводит к тем же самым значениям Лп и Вп.
Но теперь значения Vj « с> могут быть выбраны по разные сторо-
ны от новой оси uo, a g (0) и условии суммирования выражается
как g(0)««—1/оо. Требуются некоторые вспомогательные вычис-
ления, чтобы получить значения »i и и2. Результаты расчета одной
такой днаграммы направленности приведены на рнс. 4.14.
Для косекансной диаграммы, заданной в области —JVn<u<
CnJV нлн —л<о<л,соотношения (4.66) могут быть записаны в
более простой форме:
Л„=^{(-1Г-1}; Вп = —(-!)".
Дя А
В этом случае g(0)==l +l/jV, ho S Bn^Q.
n«1
Pw. </5. Апггротсимация диаграммы направленности типа
<(Н)“4Уи- с помощью четных в нечетных радов Шлёмильха
На рнс. 4.15 показаны симметричные и антисимметричные со-
ставляющие функции, представляющие собой все более и более
близкие приближения к четной и нечетной частям функции g(u) =
~1/и.
Как это следует нз представлений Фурье и относится также к
рядам Шлёмил1>ха [2], четная функция имеет максимальное зна-
чение в Точке разрыва и нулевое значение в точке начала коорди-
нат. Это обстоятельство дает возможность осуществлять суммиро-
вание четной и нечетной составляющих функций диаграммы на-
правленности для того, чтобы получить асимметричную диаграм-
му косекансно-квадратичной формы [9].
4.7. Зонированные пластины Френеля
Амплитудно-зонированные пластины. Одним из очевидных при-
ложений рассмотренной теории зонированной апертуры являются
вопросы создания и использования зонированных пластин Френе-
ля. В олтйке их используют для фокусирования лучей в некоторую
точку, лежащую на осн фокусирующей системы.
В оптике постоянно имеют дело с множителем фокусирования
в виде функции eibr*. Теория оптики при игнорировании этого мно-
жителя была бы пригодна для расчета диаграмм направленности
в дальней зоне антенн СВЧ. К сожалению, большинство результа-
тов, опубликованных по теории оптики, не допускает значительно-
го упрощения при предельном переходе Ь—0. позволяющем уста-
новить зависимость между двумя теоретическими подходами.
Этой проблемы не возникает при рассмотрении зонированных
пластин в качестве дополнения к уже коллимированному пучку
лучей. Практически это означает, что дополнительные зонирован-
ные пластины установлены в апертуре, например, фокусирующего
параболоида* Для узких зон (минимальное расстояние А/2) мож-
но считать, что амплитудная характеристика распределения внут-
ри каждой зоны постоянна, и поэтому можно непосредственно ис-
пользовать анализ, приведенный в предыдущих параграфах.
Как и для всех коллимирующих устройств, основным недостат-
ком зонированных пластин является недостаточная эффективность
использования апертуры. Хотя для точечного источника можно
считать распределение амплитуды внутри каждой зоны постоян-
ным, учет «сферического» фазового множителя приводит к тому,
что коэффициенты а„ становятся комплексными.
Ранее мы для синтеза диаграммы направленности использовали
ряды в виде выражения (4.22). Их, конечно, можно прямо исполь-
зовать к для более простой задачи* которую мы сейчас рассмот-
рим, т. е. для расчета диаграммы направленности по известным
амплитудам и фазам возбуждения всех зон. Следовательно, /такой
анализ можно провести при исследовании зонированных пластин,
’ применяемых в качестве коллимирующих устройств или устройств,
изменяющих диаграммы направленности в дополнение к уже сфор-
мированным диаграммам.
Интересные результаты можно получить при подстановке в
коэффициенты произвольных законов распределения амплитуд,
фаз и размеров радиуса зон.
Для стандартной формы зонированной пластины Френеля та-
ких возможностей нет: радиусы чередующихся друг за другом зон
пропусканиям затенения пропорциональны корню квадратному
от радиуса зоны [14], т. е.
гЛ=₽л\^(уТ7)Л
где / — фокусное расстояние. Для такой пластины
—Ось апертуры
Рис. 4М. Фазовая зони-
рованная пластана
ы 2
£(«)= и
(4.67)
где Лп — попеременно или положительно
или отрицательно. Значение коэффициента
Л„ зависит от функции возбуждения источ-
ника, т. е. ОТ коэффициента ап, а также от
того, каким образом выполнена центральная
зона —- прозрачной или затененной.
Фазо-зоннрованные пластины. Зониро-
ванные пластины, которые выполнены пол-
ностью прозрачными, свободны от недостат-
ков, присущих пластинам с применением
затеняющих зон. Такие пластины позволяют
изменять фаговые соотношения между зона-
ми и могут быть использованы для колли-
мации и для изменения формЫ диаграммы
направленности. В том случае, когда плас-
тины расположены перед сфокусированной
апертурой, их действие можно описать фор-
мулой (4.22).
На практике ступенчатым изменением
толщины используемого диэлектрического
материала добиваются необходимого допол-
нительного фазового сдйга между соседнн-
ми зонами (рис. 4.16), ?Такяе ус'н>ойства
. достаточно близко аппроксимируют ступенчатые линзы f 15], но
имеют дополнительную степень свободы по сравнению с прос-
тыми коллимирующими устройствами, Физически это соот-
ветствует дополнительной поверхност», *оторая, как это было
показано в гл. 1, может быть использована Для реализации
дополнительных свойств. ' л
ГЛАВА ПЯТАЯ
Поляризация
Одной из категорий, наиболее ясным образом демонстрирующей
единство физических представлений, является поляризация элек-
тромагнитного поля.
Уже давно установлено и описано в классических работах
большинство основных свойств поляризации как световых, так и
радиоволн. Проведенные в последние годы работы по изучению
поляризационных характеристик света показали, что имеется глу-
бокая связь между представлением поляризации как вращающего-
ся по эллипсу поля и спнн-хара,ктеристпками частиц, а также груп-
повым подходом к некоторым вопросам теоретической физики..
В оптике такой подход используется гораздо чаше, чем в тех-
нике СВЧ, и поэтому изящество частной комплексной теории еще
в должной мере не оценено 'разработчиками антенн, которые мог-
ли бы ее применять к решению своих конкретных задач.
В первой части этой главы рассматриваются свойства поляри-
зационного эллипса. Здесь выводятся основные соотношения, уже
известные из литературы, которые потребуются' для дальнейшего
анализа. Далее приводятся некоторые новые представления опти-
ки, которые! могут быть использованы для изучения аналогичных
проблем в антенной технике. В заключение главы даются под-
тверждения о наличии такой взаимосвязи между теорией поляри-
зации и теоретической физикой в целом. Это позволяет надеяться,
что некоторые концепции теоретической физики окажутся полез-
ными при проектировании поляризационных,устройств, в том чис-
ле и антенн СВЧ.
5.1. Поляризационный эллипс
L Выразим вектор электрического поля через его составляющие
вдоль хну осей, единичные векторы которых равны e.t и е9 соот-
ветственно. Направление распространения волны выбрано в сторо-
ну положительных значений z. Тогда
Е*=ь£exp i(®t—kz), Е!/^£(у)е!,ехр t(w/—kz), (5.1)
где и £(у)— в общем случае комплексные векторы; йч»
Полагая E(x)>=axei6x и Е(у)—ауе‘^, получим, что для любой
поперечной плоскости, например для z=0, действительные части
+в«); Еу=ау cos («/+ба).
' - Отбрасывая множитель и/, можно получить отношение
4—тЬ”- —Л-* cos 8=sin3 б,
(5.3)
гдеб*«?б»—
(5.2)
245
Это — уравнение эллипса, однако его оси не совпадают с вы-
бранными осями координат. Предположим, что большая ось эллип-
са составляет угол 6 с осью х. Уравнение эллипса с большой осью
2а и малой осью 2ft, центр которого совмещен с центром коорди-
натной системы ху, а большая ось ориентирована под углом 6 от-
носительно оси х (рнс. 5.1), имеет вид
+ + 2 fl------Lkin 0COS 0=1.
(5.4).
Это уравнение получается путем поворота эллипса (х2/®2) +
+ (!г/Ь3) =1 на Положительный угол 0. Проведя линии, параллель-
ные осям х и у, н касательные к эллипсу, найдем, что прямоуголь-
ник, в который вписывается эллипс, имеет стороны
х= ± У a2cos20+62sin29= ±с;
± У a1sinI0+62cos20=±d. (5.5}
Эллипс, описываемый уравнением (5.4}, пересекает координатные
осн х и у в точках
х= ±а', где (а') 2= •;--------—т-
b* cos* 0 4- a* sin’ О
Л ' aW , .
И Мп» в 4-в* cos’9’
Mt, 7'
y=±b', где(&')2=
(5.6a)
Решая эту систему, найдем:
g3 _ (оТ(ГУси 20 у (дТИгусоУО ,-6 ,
(Г)’cos’0—(a')’sin’0 ’ (а*)* cos’в — (fi'):,sin*9 ’ V • /
а также, что
1/(а')2-|-1/(ЬЭ2=1/а2 + 1/Ь® и 1/6®—1/а2=—!—(1/(У)2—1/(а')2).
cos 20
(5-7)
Уравнение эллипса (5.4) после преобразований, проведенных
с учетом найденных выражений, записывается в виде
* . У® 2-4/sin 9 cos 0 / 1__Ц = . .
(а')* (6')’ cos 20 ^(У)’ (а')*) *
Сравнивая последнее уравнение с уравнением (5.3), записанный в
виде
| _____2Еж£уСоя6 __J
(оЛ sin й)я (ая sin 6)s a^ag sin* й
находим, что вершина вектора Е описывает тот же самый эллипс;
вписанный в прямоугольник ±ах и ±ау, если
a'secixSine, &/=a(tsin6 и (а2х—a%)tg 20=2axaycos<‘). (5.9)
Из уравнения (5.5) для сторон прямоугольника находим, что
c2+d®=a®4-62=a2a:+a2!F, а из (5.6), что d'~ab[d. Следовательно,
а'=аЫау или ab=axa,j<mb. (5.10)
Тогда
ЗдЬ _
a* + 6* «®+^ ’ *
Эксцентриситет определяется формулой е=1—{Ь/а). Подставляя
&/a=tgij> в уравнения (5.9) и (5.11), имеем, что
tg29 == , sin 2ф = A?a»sin^ . (5.12}
Значение (дф определяет отношение b/a, а знак полярен для двух
случаев задания эллипса, которые согласно принятой договорен^
ностн
0<5<л (поляризация правосторонняя tgi|;=+6/a); ।
} (оЛор
—Жв<0 (поляризация левосторонняя fgi(>=—6/a)J
5 X Параметры Стокса
Используя уравнения (5.12), можно ввести четыре новых па-
раметра, Их обычно Определяют следующим образом:
7=^4-^= |Е(хЯ®+ |ВД | »;•
(/=20x0^08 6=—2Re{£(x)E* (у)};
V«=2ax4sin 21ш{Е(*х)£*(У)}.
разевания — исчисления Мюллера. С друпЖКггороны, уравнения
(5.24) и (5.25) выражают поляризацию через двухэлементный
комплексный вектор, а нх преобразование — через матрицу 2X2.
Эти матрицы были предложены Джонсом [2]. В работе [1] при-
ведено девять основных различий между исчислениями Мюллера
и Джонса. Из них, так сказать, с «микроволновой» точки зрения,
х наиболее важно то, что при исчислениях Джонса сохраняется ин-
."7 формация о фазе для составляющих поля. Исчисление Мюллера
дает-полные сведения о деполяризованной волне, что, как прави-
ло, для практики СВЧ представляет меньший интерес.
Следует особо подчеркнуть, что матрицы Мюллера можно вы-
вести из матриц Джонса, но обратное преобразование, как прави-
ло, невыполнимо. Это примерно соответствует возможности опре-
деления мощности по известным комплексным составляющим
поля.
Таблица 5.1
Поляризация Векторы Джонса
Горжвоиталъаая /агехр(Гбх)<, \о J ко)
Вертикальная /П
- {aj/exptliff)/ V/
Линейная «од углом в ±45’ /axexp(i6*) X -U ( ч
\± «xeap(i бд/ /2 \±и
Линейная под углом р / «xexpttfijV z COSpX
(p-arctga,/ax) \±а»«р(<вД/ \ + sin р)
Правосторонняя круговая /йя®ф(Мх) \ \пхехрр^бж-}- -у)]/ vtG)
Левосторонняя круговая /а,ехр(|«Д \
Элпаптпческая /в,ехр(г«дх /ссирехр^ 1 ! 1
. 0“бр—вя \ ayexp(i 6F) 1 tsin рехр (-^Ч б) у
. _ С ... . Дц... . .. „ . - . < J.'.
250
Таблица 5S&
Поляризационные устройства Матрицы Джойса
1. Свободное простран- ство С ?)
2. Идеальный изотропный поглотитель с коэффици- ентом Передачи (по на- пряжению) т, который может быть разделен на составляющие т* и т, и
3. Линейные поляризато- ры (горизонтальные) (о 2) •
4. Линейные поляризато- ры (вертикальные) /0 °) До V
5. Линейные поляризато- ры (иод углом ±45°) 2 \+l -
6. Вращатель поляриза- ции на угол а /cos* a cosasiria^ \cos а sin а sin® а 2
7. Линейный фазовраща- тель (расстояние в сво- бодном пространстве d). Фазовый сдвиг на 90°: азимутальный угол у-О относительно «ускоряющей» осн азимутальный угол у—90* относительно «ускоряющей» осп азимутальный угол у—^45*0Щоситвль- , но «ускоряющей» оси /ехр (i 2л d/Ц 0 \ \ 0 exp(i2nd/X)/ /ар (1 л/4) 0 \ X 0 ехр( — £ л/4)/ , /ехр( —£л/4) 0 \ \ 0 ехр(£л/4) ) га U«- м
8. Произвольное значе- ние у (соз*у езр (£ л/4) 4- sin* ? exp (— i л/4) i V - cos 7 siflyA \ £"V^cosy sin у cos*yexp (—/ я/4) sin*? exp (i ttid)!
9. Фазовый сдвиг на «ускоряющая* ось ориентирован» под ут- лой V /cos 2y sin2y\ \ sin 2? — cos 2y /
№ Произвольный фазо- вый сдвиг на угол <р, «ускоряющая» ось орн- ентврована под углом у ' -4—— ,cos* yexp (£ tp/2)-j- 2i cos у sin у sin (<p/2) / -f-sin*yexp ( — -/tp/2) 1 I 2f cos у sin у sin(<p/2) cos* у exp (— £<p/2)-j- 1 ' -hsin* yest₽ (t ф/2) / 251’
Я-
Окончание табл. 52
Поляразацнокиые уетройстя» Матршы Дионея
11. Передача только пра- восторонней вращающей- ся поляризации, т.е. Ле- восторонняя вращающа- яся поЛяризаийЯ отража- ется полностью 2 \ ‘ 1/
12. Передача левосторон- ней вращающейся йоля- рнэацнн Х( 1 2 \-i 1/
Возможность такого обращения показана в работе Шмайдера
(3]. Для упрощения преобразований вектор Джонса может быть
нормирован путем деления на соответствующий коэффициент. Пос-
ле этого оценка нормированного вектора Джонса производится
следующим образом:
1) обращением вектора до его полной формы I а*ехР р'®1) ];
2) вычислением p=arctg(ay/ax) и б=б9—6Х;
3) вычислением угла наклона эллипса по формуле tg20 —
= tg2pcos6 (см. 5.39);
4) вычислением отношения осей эллипса по tgi|)(sini|p=
=sin2p|sin6|); '
5) определением направления вращения поляризации по знаку
sin б, т. е. sin 6>0 соответствует правосторонней эллиптической
вращающейся поляризации, a sin б<0 — левосторонней.
Отметим, что если нормированный вектор Джонса выражается'
посредством (™ ), то вектор Джонса, имеющий ортогональное со-
стояние по поляризации, выражается как ( (знаком • обо-
значена комплексно сопряженная величина).
Преобразование над вектором Джонса при прохождении волны
через систему оптических компонент осуществляется путем исполь-
зования матрицы Джонса применительно к этим компонентам. Эти
матрицы можно найти эвристически, т. е. анализируя свойства
каждой компоненты оптической системы в отдельности. Векторы
и матрицы Джонса приведены в табл. 5.1 й 5.2 соответственно.
5.4. Отраженные волны
До сих пор яри рассмотрении большинства оптических явлений
мы ограничивались рассмотрением только проходящей волны я
практически игнорировали процессы отражения. В технике СВЧ
возникают существеные потери, обусловленные отражениями, ко-\
Ч, торые могут значительно возрастать в устройствах, имеющих мяо-
252 "J ’/ у. : '
го отражавших поверхностей. Это обстоятельство ограничивает
число отражающих поверхностей, которые могут быть использова-
ны в микроволновых оптических системах. Отраженная энергия,
если она не рассеивается в боковых направлениях, возвращается
к источнику н обусловливает рассогласование. Для источника (с
любым уровнем мощности излучения) это приводит к ухудшению
его характеристик. В системах связи внутренние отражения, кото-
рые являются источниками переходных (между каналами связи)
помех, стараются сделать минимально
возможными. Поэтому очевидна необ-
ходимость учитывать в матричном опи-
саннн распространения йолны эффект Exi * > .. Ехл
отражения волн.
На рнс. 5,2 показана плоская по-
верхность S, нормальная к направле- Ev> * * вул
нпю распространения падающей вол-
ны и являющаяся источником отра- е„. « Е„
женнон волны. Векторы Джонса для
волн, распространяющихся в обе сто-
роны от поверхности S, могут быть еу2—< < Eyi
записаны как вектор-столбец, состоя-
щпп из четырех компонент, из которых
две верхние относятся к волне, рас- S
пространяющейся в направлении по- ?«< 5-2- К определению коэф-
ложнтельных значений г, а две ниж- Ф||ш,1'"тпв прохождения и от-
няв — для отрицательных значений z. ₽ажен,1Я
На этп векторы действуют мартнцы 4X4. Следует отметить, что эту
матрицу не следует путать с матрицей Мюллера, которая для рас-
сматриваемой ситуации имела бы размерность 8X8.
Все компоненты’отраженной и проходящей волн, показанные
на рис. 5.2, записываются в виде
#22
г»
г22
III
T'si
Яц
#21
fj/l
(5.27)
где Ех ц Ev, как в раньше, комплексные компоненты поля, парал-
лельные осям х и у соответственно.
Матрица (5.27) может быть изменена таким образом, чтобы
она была пригодна для последовательности отражающих поверх-
ностей, для Чего компоненты проходящего поля выражаются через
компоненты падающего поля [4]. Это выражение будет иметь вид
\ \
I 1<_д1 £jfl I
vHlrtc// \EV2/
(5.28)
253
- Где А имеет элементы АуНТ^Ти—ГиГмгЧ1^ Ап«- {Ти (ТцТгз—
.~2;.Уй^«1)+Ли<?‘1аЛя-*ГйЛи>4-Л»(^1Л1~*А1Я«1).};. A2i —(Т^х
Х(Г1И9—TaTzij+dtstiTaRzi—JW?n) 4-jf»(7jjJ?]|—Г11Л21)};
5=8 {ГиСТнГя—<js7ai)+<^ii(7W?aj—АаЛи)
Ли в (7и(ТцТя —T«?Jt) + <₽ai(7b/?aj — 2W?и), + /?«>(Tai/? 12--
—T(i^?2a)}> 4—TzfRiil Л22==Тк^21—T2i/?22i ЛнвТцТи-—
—~Т1я/?ц; Лм=Т1[/?иг—TjjRsii Лэ]==Т12/?21—T^Rn; At^^^T^iRw—
~—ТпЙл; Лэ2=»Т1г/?2г—Тй/?и; Л«=Гг1/?12—Гп/?и; Азз^Тзэ;
в—Т12; Л>4=—Ти; ЛмвТ»’
Пространство между поверхностями может быть учтено матри-
цей еространства, как это следует из табл. 5.2 для линейного фа-
зового сдвига, равного 2nd/X, где d —- расстояние между ионерх-
ностямй. Дляпадающей волны этот сдвиг положителен, а для от-
раженной — отрицателен. Таким образом, прострайственная мат-
рица представляет собой диагональную матриыу Ьг'' с элементами
Dll=Di2=exp{i2iuiT,l'>’.}-, Дэз^Пм^ехр^Г2я^^Д}(- (5.29)
где dr-s — расстояние в свободном пространстве между г и s по-
верхностями.
Так как'прошедшее одну поверхность ноле является падающим
для другой поверхности (рис. 5.3), тб для обшей системы, содер-
жащей п поверхностей, получим, что
£х1 \ /Ext \
I -AJJM-’A.-, ...D”AJ I . (5.30)
£*2 1 -
,Ej2' Щ+D \Еуя/пад
решетка решетка
решетк а - реф4р$*'
- ей i
Г',' -
» да»
е « - еД'
-Ч.
»дгг'
;f—-А,;/’«с- S.3. К определе-
Й" ж Е&* “ нию коэффициентов
прохождения и отра-
жения в системе из я
поверхностей
Это
уравнение позволяет определить составляющие прошедшего
/£Й+1’\ (Ей“\
поля I t ] и отраженного щ>ля (. ( через составляющие
\Е#1 / \ОДв*у ; :
/снад\ .' /.
| } падающего поля при условии, что, поле с составляю-
Wirt /
/ей+11А
щими | 1 тождественно равно нулю и представляет собой
. кЕ£н7
254 . , . >
поле, отраЗгейное от гипотетической (л+1) поверхности. Если
среда между поверхностями не является свободным пространст-
вом, то фазовый множитель в уравнениях (5.29) может быть мо-
дифицирован путем учета показателя преломления среды.
5.5. Передача и прием эллиптически поляризованных воля
Рассмотрим, какую мощность будет принимать антенна, кото-
рая при передаче создает эллиптически поляризованную волну
/ОхСХр^бх) \
\авехр((6„) /
с большой осью эллипса 2а и малой 2&, причем большая ось эл-
липса составляет угол 9 с осью х. Следовательно, к этому эллип-
су применимы соотношения (5.1)—*(5.12).
Пусть на антенну падает волна с эллиптической поляризацией.
Без потери общности рассмотрения будем считать, что оси эллип-
са, соответствующего падающей поляризованной волне, совпадают
с осями х и у. Обозначим характеристики падающей волны с эл-
липтической поляризацией через прописные буквы, т. е. Ах—А й
Ав=В, а отношение осей через tgi|?=S/A.
Поля, принимаемые антенной, записываются в виде произведе-
ния сомножителей
(«и
и. следовательно, принимаемая мощность будет равна
P=££*«A2Ia2v+A2ya2I + 2AxABaIalfsin6. (5.32)
Используя известные соотношения (5.10), (5.6а) и (5.66), нахо-
дим, что
axaysin бab; a'b'=axaijsin3i).
Тогда
/>=££•= (A2a2-f-B262)cos2e + {Вга2+АЧ2)ы\-Ъ±2АВаЬ, (5.33)
где положительный (или отрицательный) знак используется в том
случае, когда эллипсы имеют то же самое (или противоположное);
направление вращения.
Аналогичный результат получается при совмещении осей эл-
липса поляризации приемной антенны и эллипса полярпзации па-
дающей волны. Другими словами, если
15 3!'
то дает тот же результат, что и выражение (5.33).
Мощность падающего поля Л2+В2, а мощность, воспринп-
: маемая антенной, Рг—а2-|-д2. Тогда формула (5.33) может быть
записана в виде
(5.35)
где ц — коэффициент эффективности.
255
Полагая BfA—ri, 6/a=rr, получим, что’
К1 + '*)'(*'+ + О— г?) О — i
I}3” ' '
(5.36)
(5.39)
то тогда
Этот результат совпадает с данными работы [5].
5.6. Сфера Пуаяхаре
Согласно анализу, выполненному в § 5.1, установлено, что
tg ф=fr/a;tg|* аж/Йх; аах+а2„=а2 + Ьг;
а*х~—aJB=s («2—&а) cos 20; (5.3<)
cxavsind= ±ab; 20x0^005й—(6i2—b2) sin 20
и, следовательно,
cos 2ф=cos 2р cos 20+sin 2р sin 29 cos б. (5.38)
Такая запись уравнения (5.38) приводит к мысли о сфериче-
ском треугольнике, один внутренний угол которого равен л/2. а
другой
Другие соотношения, которые можно получить ИД уравнений
(5.37), имеют эйд ;
±sin 2ф—sin 2р sin б; tg 20=tg 2р cos б; }
cos 2p—cos 2ф cos 20; ±tg 2ф—sin 29tgd, I
и они оказываются- идентичными (при изменении буквенных обо-
значений) результатам, полученным Рамсеем [5].
Если ввести обозначение
ia_
а»е .. as
„ J6u ах
... H: + u2 + 2uctg20—1 = 0 и (5.40)
и24-о2—2и cosec 2ф+1~0. (5.41)
Постоянные значения 0 в уравнении (5.40) дают на плоскости и,
v окружности радиусом cosec 20 с центром в точке (—ctg20, 0).
В уравнении (5.41) постоянные значения ф Дают окружности
радиусом ctg 2ф с центром в точке (0, cosec 2ф). Эти окружности
ортогональны в плоскости и, v, и точки их пересечения имеют по-
лярный угол б.
Уравнения (5.40)и (5.41) могут рассматриваться как аналогн
уравнений постоянных активных я реактивНЙх сопротцвленнй, об- \;
разующях систему ортогональных окружностеЙ ва диаграмме пол-
ных сопротивлений [5]. Таким образоМ, )гравиеВДя (5.36), (5.40)
и (5.41) показывают, ^ диаграмма сопротивлений является сте- Ц
реотрафической проекцией сферы Пуанкаре. 1
е Рассмотрим сферу с радиусом 1/2, изображенную на рис. 5.4,
которая касается плоскости и, о в точке (—1/2, 0, 0) . Точка tn на Я
.. .
плоскости является стереографической проекцией точки М на сфе-
ре относительно точки (1/2, 0, 0), лежащей на противоположном
конце диаметра, перпендикулярного плоскости и, о.
Если I — широта, г k — долгота точки М относительно поляр-
ной оси Р1Р2, то можно показать, что 1) уравнение сферы имеет
Рис. 5,4. Стереографическая проекция сферы Пуанкаре:
I — правосторонняя круговая поляризация; г — кривые с постоянной эллиптичностью; 3 —
кривые с постоянной ориентацией; Т —линейная поляризация
вид х8-!-1/4; 2) точка М имеет координаты (х, у, z), а точ-
ка т (—1/2, tg р cos б, tg р sin б); взаимосвязь между используемы-
ми координатными системами определяется системой формул:
2x;=cos2ipcos 20; 2у=cos 2$ sin 20; 2z— sin 2ф. (5.42)
f| Так KairSzwsin/, то /ая«:2ф, а так как tg£—iy/x=tg 20, то й=29.
ей;-/ Тогда нз дыражения (5,38) можно определить значение полярного
Л угла 2р. "
Отчертим, что верхняя половина проекционной плоскости, соот-
' '' значениям б>0, определяет правостороннюю эллип-
Ю'Вращающуюся поляризацию, а нижняя половина (б<0)
„ _ эннюю. Тогда проекции полюсов представляют собой
I точке, соответствующие правосторонней круговой поляризации в
г верхней полуплоскости, а левосторонней — в нижней.
| чтобы применять представления, вытекающие из рас-
| смотреиия сферы' Пуанкаре, к различным устройствам, включен-
| »—Г11 л .257
ним в таблицу матриц Джонса, необходимо соотнести действие
этих устройств с вращением сферы.
Другими проекциями сферы, которые могут быть рассмотрены,
являются, например, ортографячегкие проекции, применение кото-
рых дает диаграммы полных сопротивлений иного вида, как, на-
пример, этосдел ано в работе [5].
Комфортные отображения диаграмм сопротивлений, например
диаграммы Смита, с применением стереографической проекции
могут дать другие формы сферы поляризации.
Вращение или другие изоморфные процедуры, которые позволя-
ютотобразить сферу на самое себя, теперь характеризуют изме-
нение состояния поляризация, «непрерывным изоморфизм харак-
теризует непрерывиыеизменення состояния поляризации по мере
прохождения волны через бнтич&кн активную зону. Такая анало-
гия между полярнзациейн полным сопротивлением имеет место на
практике: поляризационные устройства СВЧ могут быть использо-
ваны для-изменения КСВ.
На рис. 5.5 показан прямоугольный. волновод, соединенный с
круглым через элемент связи, расположенной на широкой стенке
волновода. Указанный элемент связи обладает такими поляриэа-
Поглотмт«иь
ционными свойствами, что он преобразует падающую и отражен-
ную волны в прямоугольном волноводе соответственно в волны
правосторонней и левосторонней вращающейся поляризаций в
круглом волноводе. Амплитуды этих волн могут быть пропорцио-
нальны амплитудам волн в прямоугольном волноводе. Тогда коэф-
фициент эллиптичности волны в круглом волноводе будет равен
отношению амплитуд волн в прямоугольном волноводе и, следова-
тельно, пропорционален КСВ. Измерение эллиптичности можно
осуществить вращением зонда в круглом волноводе. Положение
зонда на диаграмме поляризации будет в данном случае его рас-
положением на соответствующей диаграмме сопротивлений, а
ориентация эллипса определит фазу.
5.7. Полярмэация в антеинах СВЧ
Круговая поляризация. На рис. 5.6 показан обычный поляриза-
тор, который превращает волну с линейной поляризацией в волну
с круговой поляризацией. Это устройство состоит из ряда тонких
Рис. 5.6. Устройство для
преобразования линейной
поляризации в круговую,
выпояиеипое в виде ся-
стемм металлических пла-
СТЯ” -
параллельных между собой пластин, ориентированных под углом
45*к 'НдоряНлению ориентации линейно поляризованной волны. В
такойдАйястинчатойэсреде возможно распространение двух ти-
пов воли: волны типа ТЁМ, для которой вектор Е ориентирован
перпендикулярно плоскостям пластин и для которой длина волны
равна Дюше волны в свободном пространстве; волны типа TE«i.
для которой вектор Е ориентирован параллельно плоскостям пла-
~ стнн я для которой длина волны определяется известным для вол-
£ поводов соотношением
где Хо — длина волны в свободном пространстве; а —
между пластинами.
расстояние
259
Для большинства практических реалнзацЯГдолярнзатора отно-
шение Ао/А* находится в области значений 0,5—0,8.
На выходе поляризатора между двумя типами колебаний об-
разуется фазовый сдвиг, который определяется шириной пла-
стин
(5.43)
Для направления, параллельного плоскости пластин, т. е. для
угла у, находим из табл. 5-2 значение матрицы Джонса для
, ' Y 1 / f \
—90° и у =«45° (см. ft 7 данной таблицы) —}. Полагая,
л-и.ЛзН V2 \+‘
что падающая волна имеет линейную поляризацию, ориентирован-
ную вдоль оси х, яйдучям на выходе поляризатора волну с право-
сторонней вращающейся круговой поляризацией, т. е.
wCOGXC)
Используя более общую форму для матрицы фазового сдвига
(табл. 9.2, п. 8), можно, проведя аналогичный анализ, опреде-
лить характер поляризации на выходе поляризатора в некоторой
полосе частот, включая и ту частоту, для которой ф=х=90° Накла-
дывая определенные ограничения на коэффициент эллиптичности
прошедшей волны, можно, исходя из проведенного анализа, опре-
делить «рабочую» полосу частот данного поляризатора.
Тот же матричный анализ можно использовать и для поляри-
затора, который создает при падении линейной поляризованной
волны волны с любой заданной эллиптичностью поляризации. Без
потери общности рассмотрения в качестве падающей волны можно
взять волну с ляпейной поляризацией, ориентированной вдоль оси
Л; ’Для Того чтобы получить заданную эллиптичность, определен-
ную вектором Джонса (такая запись возможна, так как
абсолютное значение фазы может быть произвольным), потребует-
ся решить уравнение
/cos2 у е1 *'2 4- sin2 у е~1 ’'2 2 i cos у sin у sin (<р/2) Y f Л _ /m е‘9\
\2i cos у sin у sin (ф/2) cos2 у г-"’ 2-fsin~ ye * 2/ 0 / /
относительно у и ф.
Решение имеет вид
tg2y=———; sin(<p/2)=/nssina0 + n1
Ш sirtff
или cos(<p/2) cos 6, так как m2+л2=4.
Вращатели поляризации. Можно показать, что при использова-
нии ряда последовательно расположенных металлических пластин,
какие, например, показаны на рнс. 5.6, можно изменять ориента-
цию линейной поляризации на любой заданный угол. Проиллю-
стрнруем эту возможность н для простоты допустим, что плоскость
поляризации необходимо повернуть на угол 90s.
Рассмотрим систему, состоящую из двух фазосдвигающих на
180° секций. Выбираем азимутальные углы для обеих секций рав-
ными, например, 22,5° и 67,5°.
Согласно табл. 5.2 (п. 9) матрица Джонса имеет вид
(cos 2у sin 2у \
sin 2? —cos 2у /
при 7=22,5° для первой ц у=67,5° для второй системы металли-
ческих пластин.
Воздействуя такими матрицами на вектор Джонса волны с ли-
нейной поляризацией под произвольным углом а, получим
(, I 1 \ / 1 i \
У2 V2 \| yz V2 |/coscc \_
1 1 11 1 __ i I \sin а /
У 2 ) \ у 2 /
*/0 — l\/cosa\ /—sina^
О/^sina/ \ cosa /'
Отсюда следует, что поляризация волны на выходе системы
(eSa) состаэляет ПРЯМ01"1 Угод с поляризацией падающей вол- .
Независимость этого результата от выбора азимутального уг-
ла умазывает на возможность произвольного выбора ориентации
поляризации падающей волны. Это положение можно подтвердить,
рассматривая случай поворота на р двумя фазосдвнгающимн на
45° секциями.
Матрица Джонса для такой комбинации имеет вид
1 / cosp sinр\ / — 1 1\/ cosp sinpX/1 1\_/0 —Ц
2\— зшр cosp/\ 1 1/\—sinp сдар/\1 —I/ \1 0/
и показывает, что вращение поляризации, как и раньше, осуществ-
ляется на угол 90°.
Используя матрицу более общего вида (табл. 5.2, п. 9), мож-
но показать, что вращение поляризации, создаваемой комбина-
цией фазовращателей такого типа, осуществляется на двойной(
угол между азимутальными направлениями обоих элементов шт-
лярнзатора.
Другая комбинация из секций поляризаторов, также обеспечи-
вающая линейное вращение поляризации на угол 90°, приведена
' на рис. 5.7. Она состоит из: а) фазосдвигающей на 90° секции с
азимутальным углом у ориентация пластин, равным у=0; б) фа-
зосдвигающей на 180° секции с у=45°; в) фазосдвпгаюшей на 90°
секции с у =90°.
Результат перемножения соответствующих матриц
Д/1—i 0 \/0 IWl + i 0 \ ./0—1\
2 \ б 1+<Д1 ОД 0 1— <7 О/
261
показывает, что угол поворота ориентации ЖЯризации равен 90°,
а фазовый сдвиг составляет я/2.
Теперь рассмотрим возможность следующей комбинации сек-
ций: а) фазосдвигающая на 90° секция с углом у—у; б) фазосдви-
гающая на 180° секция с углом у=0°; в) фазосдвигающая на 90°
секция с углом у——у. Здесь осуществляется поворот ориентации
1
2
Рис. 57. Устройство для
поворота й апра влеки я по-
3 лярязацпи яа 90°:
I — сжввг фаэй на №. ази-
мут №: 2 — едввг фазы па
ISO*, займут 45s; 3 — сдвиг
фазы на №. азимут О*
линейно поляризованной падающей волны на угол и—2у. Для
большинства используемых симметричных систем у=60° и, следо-
вательно, угол поворота поляризации составляет 60°.
Хотя устройства," описанные здесь, рассматриваются для сво-
бодного пространства, а эффект проявляется по отношению к
плоской волне, нормально падающей на раскрыв поляризатора,
аналогичные результаты могут быть получены и для других си-
туаций, например для основных типов волн, распространяющихся
в круглом волноводе. Различный фазовый сдвиг, который необхо-
димо получить, достигается размещением пластины диэлектрика
пс оси вдоль диаметра волновода. В этом случае «ускоряющая»
ось перпендикулярна диэлектрической пластине, а длина пластины
с, учетом согласующих элементов (обычно в виде сплошных тре-
угольных пластин) определяет значение ф.
Матричная теория может быть полностью использована и для
этвх волноводных компонент. Большинство электронных устройств,
использующих ферритовые материалы, устроено по тому же прин-
ципу.
5А Многоэлементные важлошые решетжж
Основными недостатками вращателей поляризации, рассмот-
ренных в предыдущих параграфах, являются сравнительно боль-
шие размеры И достаточно сложная конструкция. Фазовращателям
цодярнзации, х описанию которых мы переходим и которые могут
\б2 . . г ) "
изменить ^иентацню линейно поляризованной волны на любой
требуемый угол (без потерь), отмеченные ранее недостатки свой-
ственны в меньшей мере. Эти устройства представляют собой пос-
ледовательно "расположенные близко друг от друга проволочные
решетки, причем угловой наклон каждой последующей решетки
несколько отличается от наклона предыдущей решетки. Поляриза-
ция падающей волны, которая ориентирована перпендикулярно
проводам первой решетки, трансформируется в поляризацию, ко-
торая перпендикулярна проводам последней решетки.
Исследования показывают, что если решетки располагать друг
за другом на расстоянии менее 1/16, то для реализации поворота
поляризации на угол 90° потребуется суммарная толщина, не пре-
вышающая половины длины волны. Это значительно предпочти-
тельнее по сравнению с аналогичными устройствами из плоских
металлических полос.
Проведем анализ для плоских решеток, расположенных нор-
мально к падающей волне. Пусть каждая решетка состоят из тон-
ких параллельных проводов круглого сечения, причем расстояние
между Проводами, диаметр проводов к расстояние между решет-
кам» очень малы по сравнению с длиной Волны, падающей на ре-
шетку, В данном случае основная проблема заключается в том,
каким образом минимизировать суммарный коэффициент отраже-
ния,обусловленный отражением тех компонент электрического
роля, которые параллельны проводам, при прохождении волны
через все решетки.
Вновь применим каскадное представление матриц, как это ис-
пользовалось в § 5.4 [(см. формулу (5.30)]. Для каждой решетки
коэффициенты прохождения и отражения для параллельной и пер-
пендикулярной составляющих обозначим через Гц, Г j., /? ц и R ±
Тогда элементы Тц и Ri}) которые входят в каскадную матрицу
Ац [см. формулу (5.28)], имеют вид
Г1|»Гусо5^г+Тх51п20г; Г13=Г3^~(Т ।—Г 1)sin26r;
Ги—Т^соз^гЧ-Г] sin20r;
I (5,44)
cosJOr-f-/? ±sin20r; ^12=^21—— (R ц—/?±)sin 29г; |
J?^«>^icosi0r+/?| sinJ0r, 1
где 6r — угол наклона проводников решетки.
Значения коэффициентов Гц, Г^, /?ц и R L могут быть получе-
ны израссмотрения эквивалентных схем, приведенных на рис. 5.8.
Согласно [6} они могут быть представлены как
2/х ? • - . т = 2’е_________-'
2Хх — 4-12/<Х — *) ’ 1 —2ВЬ — Ь'±\+2ЦВ + Ь) ’
р ,2Хх-х*-1 „ 2ДЬ4-Ь*г1
1 2Хх-х»Ц-1 4-2/рС — х) ’ 1 ~2ВЪ — z>*+ 1 + *
z (5.45)
263
41
Рис. 5.8. Эквивалентная схема системы параллельных проводов:
а —- вектор алектряческого поля параллелен проводам; б — вектор электрического
поля перпендикулярен проводам
Приведенный анализ не ограничивается проводами круглого се-
чения. Аналогичный анализ, основанный на методе эквивалентных
схем, может быть проведен для другого выполнения элементов ре-
шеток, для тонких полос или проводов с эллиптическим сечением
т-
Рассмотрим взаимодействие между решетками при наиболее
широко используемом на практике расстоянии между ними, при-
близительно равном 1/16. При анализе рассматривалась распро-
страняющаяся волна типа ТЕМ и игнорировались нераспростра-
няющиеся высшие типы волн. Исследования проводились на мо-
стовой СВЧ схеме, показанной на ряс. 5.9. Была использована си-
стема нз пяти проволочных решеток, которая обеспечивала пово-
рот поляризации на угол 9Кг. Результаты экспериментальных ис-
следований совпали с результатами теоретического анализа м по-
казали, что почти 100%-ный коэффициент передачи наблюдается
для трехкратного диапазона волн.
При расстояний между решетками, несколько меньшем 1/2, по-
является резонанс отражения (рис. 5.10), причем он становится
более заметным при увеличении числа решеток. Резонанс отраже-
. нии можно нсполъзбвать при построении (на основе таких реше-
тбй)'поляризационных частотных фильтров.
*
Другое возможное применение вращателей поляризации тако-
го типа заключается в использовании их в ЗбО°-й сканирующей
антенне, известной под названием «бочоночный отражатель». Как
уже обсуждалось в гл. 1 (рис. 1.34), для этой антенны обычно ис-
Рис. 5.9. Схема экспериментальной установки для измерения параметров поля-
ризационных решеток:
/ — волярязациодные решеткк; 2 антенна с линейной яолярйзацяей; 3 — элементы Под-
стройка; 4 — развязывающее устройство: 5 — источник; £ — приемник; 7 — ралоьадющее
устройство; S — волвоводпый троПншг; 5--прецизионный фавоврвЩатель; Ю—лреДОзвояяыЙ
аттенюатор; Л— аттенюатор для установки уровня
Рис. 5.10. Сравнение расчетных значений коэффициентов прохождения с экспе-
риментдллыми данными, полученными на установке по рис. 5.9:
I — результаты расчета для 9 решеток; 1 - результаты расчета для 5 решеток; J — экепери-
маитааыша дамжые для S решеток
л 265
пользуется как облучатель с линейно поЦдозованным полем,
ориентированный под углом 45°, так и решетчатый отражатель с
проводами, ориентированными под углом ±45* к вертикальной
осн. Отражатель представляет собой параболический тор, кото*
рый имеет в горизонтальной плоскости круговое сечение и парабо-
лу при сечении вертикальной плоскостью.
В этой антенне волна после отражения от одной части рефлек-
тора, где векторЕполя параллелен проводам, свободно проходит
через диаметрально «фотивоположную часть рефлектора (здесь
всктор Е поля нормален проводам).
Однако во многих практических ситуациях применение такой
антенны с линейной поляризацией, ориентированной под углом
45° к горизонтали, не всегда удобно или целесообразно. Этого
можно избежать, используя обычную или горизонтальную или
вертикальную поляризацию, но для этого к поверхности рефлек-
тора необходимо добавить несколько дополнительных слоев в ви-
де решетки проводов таким образом, как было описано ранее
(рис. 5.11).
Рис. 5.Н. Коррекция поЙяряМцш1 в аитеяне типа «бо-
чонок»:
I — пврдбоютасдй тор: 2 — провода, раоюложеммые под углом
4F; J горизонтально распможсйтю провода;
хорректврпмхже жшрнэацшо
Мы рассмотрели только одно из возможных применений кас-
кадных матриц Для описания поляризании. Онобыло выбрано,
чтобы показать применимость метода в экстремальных условиях
(при плотном расположении элементов). Используя этот прин* '
цип, можно разработать иные устройства (с большими расстоя-
ниями между решетками и проволоками, но более жесткими допу-
сками на изготовление). Такими устройствами могут быть, напри-
мер, поляризаторы я анализаторы вращающегося поля и др. ' '?
: |
. ..= < ъ
: -> ?
-•••£>. < . • • „л •.'••• / '
?-1-л -'I--' •?:* ' • • •••- • —•• •• • • -----4-4
.---Л - 3SI ?г-. * ••••£.- - .'Т-.'. • ... aJ... f •• • ----
Метод пюСе пригоден для анализа работы этих устройств
при углах падения, отличных от нормального. Для этого следует
надлежащим образом изменить коэффициенты в уравнениях (5,44)
и (5.45) и соответствующие матрицы передачи и среды.
5.9. Рефлекторы с поворотом поляризации
Любая система, которая пропускает волну и обладает симмет-
рией относительно средней плоскости, может быть преобразована
и отражающую систему с идентичными свойствами путем введения
в ее среднюю плоскость проводящей поверхности. Справедливость
этого положения, известного как нэ теории оптических фильтров,
так и из теории электрических цепей, прдтверждается примерами,
рассмотренными далее в этом параграфе.
Наиболее наглядное использование этого принципа видно на
примере обращения вращателя поляризации, состоящего из на-
бора йлоскнх пластин, в отражатель, имеющий аналогичные поля-
ризационные характеристики, что достигается установкой прово-
дящейповерхности в плоскости, проходящей через среднее сече-
ние набора пластин. В этом случае для достижения эффекта вра-
щения поляризации на угол 90° используется различие в фазовой
скорости воли ТЕМ и ТЕщ, которые распространяются соответст-
венно перпендикулярно или параллельно ребрам Пластин, отража-
ются от закорачивающей плоскости н вновь проходят через дан-
ную структуру (рнс. 5.12а).
*
L , Рис. 5.12. Рефлекторы с вращением поляризация:
L 1 — ллосм*щм*од>1ц1я поверхность; 2 — неталаячеекне пластины: .1 — проволочная решетка
К:- В подобных устройствах можно значительно сократить длину
I ’ пластин а сделать их, следовательно, проще, но при этом пластн-
I ныразмещаются на более близком расстоянии друг от друга. В
F этом сдучае для составляющей поля, параллельной ребрам лла-
I 267

стнн, отражение происходит от их вершин, айЦ^ходимый фазовый
сдвиг определяется длиной пути только для ТЕМ-составляющей
падающей волны (рис. 5.126). Глубина пластин примерно равна
Х/4. При расчете необходимо учитывать некоторый дополннтель-
ный фазовый сдвиг для.составляющей поля, параллельной реб-
рам и обусловленной тем, что в этом случае близко расположен-
ные пластины не полностью эквивалентны отражающей поверхно-
сти. X'."-/'
При ориентации вектора электрического поля параллельно реб-
рам пластнн ммеёт место ситуация, в определенной мере соотеет-
ствующая режиму короткого замыкания*.Однако положение экви-
валентной отражающей поверхностняесколько отличается от по-
ложения поверхности, проведенной ®Ь вершинам ребер пластин,
что соответствует дополнительному фазовому сдвигу (правда, не-
болыцоыу) .
При ориентации вектора электрического поля перпендикулярно
ребрам пластин, что эквивалентно режиму холостого хода, рас-
сматриваемый эффект переноса положения эквивалентной отра-
жающей поверхности проявляется еще в более меньшей мере.
Точное значение дополнительного фазоного сдвига можно оп-
ределить по формулам, приведенным в работе [6].
Аналогичным образом при использовании чётного количества
проволочных параллельных решеток можно реализовать поворот
поляризации на 90°, используя для этого матричные методы, раз-
витые в § 5.3.
В случае простой структуры, показанной на рве 5.12*, доста-
точно двух решеток. Как показали приведенные в работе (7] ана-
лиз и экспериментальные данные, такое устройство дает вращение
поляризации на угол 90°. В этом случае действие проволочной сет-
ки можно представить себе как индуктивность для параллельной
проводам составляющей поля н (очень малую) емкость для пер-
пендикулярной составляющей. Такте образом реализуется фазо-
вый сдвиг, необходимый для изменения плоскости поляризации.
На практике для поддержания параллельности проводов и тре-
буемого расстояния до отражателя, как правило, используются
диэлектрические материалы с малыми значениями диэлектриче-
ской проницаемости, напрацер Жесткие пластмассы. Дополнитель-
ные отражения, обусловленные этими материалами, можно доста-
точно просто определить при матричном анализе такого устрой-
ства.
Введение металлической стенки в средней плоскости структуры
позволяет получить особенно эффективный тип рефлекторов с вра-
щением поляризации (тйист-рефлекторы).
Матричный анализ как расчетный аппарат нельзя признать пол-
ностью удовлетворительным, поскольку нельзя найти ни одной
простой итерационной процедуры для вывода элементов матрицы,
которые и определяют параметры системы. Поэтому приходятся
анализировать большое количество систем, а оптимум обычно на-
ходится графическими методами. <
.. ' 3w4tv •.
Анализ^ОК^мощью которого в [8] был рассчитан рефлектор с
поворотом поляризации (твист-рефлектор), использует метод эк-
вивалентных цепей, который, как известно, во многих случаях
обеспечивает высокую точность расчета.
Для схемы, изображенной на рис. 5.13, где через а обозначен
радиус провода а, через d — расстояние между проводами, экви-
валентная проводимость определяется формулой
для нормального падения и
В«,= X cos 0 In
для наклонного падения под углом 0.
Короткое
замыкание
Рис. 5.73.Поляризационный твист-рефлектор н его эквивалентная схема:
I — металлическая пластина: 2 — заполнитель из пенопласта: 3 — диэлектрические дер по-
тели для яроаодов; < — решетка из проводов
Если провода расположены на расстоянии L от проводящего
экрана, то для поляризации, перпендикулярной проводам решет-
ки, входную проводимость в месте расположения проводов сле-
дует рассматривать как проводимость Y короткозамкнутого отрез-
ка линни дляной L, а для поляризации, параллельной проводам,
входная проводимость обусловлена проводимостью короткозамк-
нутого отрезка линии, а также шунтирующей проводимостью Bv.
Фазовый сдвиг, необходимый для реализации вращения поля-
ризации на 90°, достигается при выполнении условия
Л = (5.48)
где У ±=ictg(2n£ cos 0/1) и У ц —i etg (2л£ cos 0/1) —Решение
уравнения относительно Вш имеет вид
Sw==2cosec(4nL cos 0/1) пли
2срзес(4л£ cos 0/1) =l/[d 60s 0 In (df( 2nd)) ]. (5.49)
269
Оптимальные характеристики могут быт^Ипучены, если соот-
ношения выполняются с точностью до второг6~порядка по X ИЛИ 0-
Дифференцируя по 0, получаем
<4л£ cos 0)/X=tg[ (4л Z. cos
и, следовательно,
(L соз 0)/Л=0,358. (5.50)
1 Подставляя полученный результат в (5.49), получим, что
—— А , (5.51)
4смв1п|—]
А 2яа /
Для любого заданного угла 0 это уравнение может быть реше-
но методом итерации. На практике угол 0 может быть выбран как
средневзвешенное значение углов падения перехватываемых реф-
лектором волн.
Радиус лровюда а обычно выбирается по каталогам имеющихся
материалов. На основании этих данных легко определяется значе-
ние d. И, наконец, некоторым подбором расстояния L, ориентиро-
вочное значение которого определяется из формулы (5.50), можно
скомпенсировать влияние поддерживающего диэлектрического ма-
териала. Дальнейшие сведения по таким же н аналогичным устрой-
ствам можно найти в работе Хансена [9].
В гл. 1 уже рассматривалась двухзеркальная антенна (см. рис.
1.59), первый отражатель которой является параболой и состоит
из набора близко расположенных проводов, ориентированных па-
раллельно поляризации поля излучателя. Второй отражатель вы-
полнен в виде рефлектора с поворотом поляризации иа 90°, что в
результате обеспечивает прохождение без потерь отраженной вол-
ны через первый рефлектор. Такое устройство [10], представляю-
щее собой комбинацию парабола—плоскость, обеспечивает скани-
рование узконаправленной диаграммы направленности в верхней
полусфере.
Как всегда, возможны иные конструктивные решения, которые,
ограничивая ширину угла сканирования в результате появления
аберраций, делают возможным использование некоторых других
желательных эффектов, например регулирование функции возбуж-
дения.
Свойства таких рефлекторов с поворотом плоскости поляриза-
ции оказываются постоянными я широком диапазоне углов па-
дения. .
5.10. Нереализуемые поляризационные устройства
Можно предсказать несколько поляризационных систем, при-
менение которых было бы крайне желательно в устройствах СВЧ,
но реализация которых, как это показывает апализ, базирующнй-
ся Н а использовании матриц Джонса, невозможна. Так, например,
270 ,
сигнал, на антенны, зачастую имеет случайно изменяю-
щийся во времени характер, что обусловлено для различных типов
трасс (например, протяженных сухопутных линий связи или линий
связи с искусственными спутниками, проходящими через атмосфе-
ру, и др.) явлениями поглощения или рассеяния радиоволн. Одна-
ко достаточно часто (хотя и не всегда это может быть заранее
учтено) такой же эффект вызывается вращением поляризации.
Различия в поляризационных эффектах могут быть реализованы
только за счет крайних усложнений.
Такие поляризационные устройства, которые обязаны реагиро-
вать на мгновенные замирания сигнала, должны быть построены
в виде адаптивных поляризационных систем. Поляризационные
устройства, j если они будут реализованы, должны (согласно
табл. 6) поворачивать произвольную ориентацию линейно
поляризованной волны в заданное направление и не иметь при
этом каких-либо потерь. Однако до сих пор устройства подобного
рода не реализованы на практике.
Далее следует отметить, что поляризационные устройства,
нмеющде матрнчное описание по п. II и 12 табл. 5.2, не имеют до
сих порфязического аналога. Напомним, что такие устройства
должны обеспечивать полное прохождение для волны, с одним из
направлений кругового вращения поляризации и полное отраже-
ние для волны с противоположной поляризацией:
Характерно, что основное отличие этих матриц от остальных,
приведённых в таблице, состоит в том, что они сингулярны. Поэто-
му они не могут быть построены в виде какой-либо комбинации
из других несингулярных матриц, которые могут быть реализова-
ны конкретными устройствами. Поэтому можно предположить, что
поляризационные устройства без потерь (например, потерь на от-
ражение) могут быть реализованы лишь в том случае, если матри-
ца Джонса, соответствующая данному устройству, не имеет син-
гулярности.
5.11. Применение бивекторов и кватернионов для анализа
поляризационных эффектов
При анализе, проводимом до сих пор в данной главе, предпо-
лагалось, что волна имеет направление распространения только
вдольнаправлений положительных или отрицательных значений
этом условии поляризационное состояние волны может
бытьедянственяым образом определено через дэухкомпонентный
вектор Джовса или путем комбинации компонент круговой поля-
ризации, заданной в виде уравнения (5.22).
Сейчас мы попробуем описать распространение эллиптически
поляризованной волны в любом произвольном направлении трех-
мерного пространства, используя для этих целей так называемые
<базнсныеполяризации>, выбранные вдоль осей декартовой систе-
мы координат.
' 271
-Изучение поляризационных характерися|Вполей оптики или
антенных устройств СВЧ включает в себя различные концепции,
которые сами по себе обусловлены многочисленными математиче-
скими методами, находящими в настоящее время применение при
изучении . спиновых характержтнк частиц. Еще в 1843 г. Гамиль-
тон в связи с открытием кватернионов писал [И]: «Представляет-
ся, что имеется какая-то аналогия между поляризационной интен-
сивностью в чисто мнимой части и нёполяризованной энергией
(независимой от направления) в действительной части кватернио-
нов, и поэтому имеется слабая надежда для решения в будущем
поляризационных задач...».
В своем высказывании Гамильтон приблизительно на столетие
предвозвестил появление спиновых матриц. В настоящее время как
методы спиновых матриц, так и метод кватернионов нашли широ-
кое распространение (12,3].
Применительно к оптике это имеет в основном отношение к
полям отражения измерителей поляризации и эллиптичности по-
ляризации [13]. Здесь изучаются или нендеально проводящие по-
верхности или нерегулярные проводящие поверхности, а также
свойства тонкопленочных диэлектрических материалов, нанесен-
ных на идеально проводящие пластины. Для этого определяются
как уровень, так и эллиптичность поляризации отраженной волны
при возбуждении исследуемой поверхности линейно поляризован-
ной ватной. ‘Такая методика позволяет и в диапазоне СВЧ изме-
рять свойства материалов (например, их свойства при нагреве),
измерять толщину их прозрачных слоев.
Метод, которым изучались поляризационные характеристики,
был применен к алтелиам СВЧ, что позволило установить основ-
ные свойства кватернионов. В ряде классических работ [5], опуб-
ликованных в 1951 г., при описании поляризации плоской волны
Кейлс использовал представление о вращающемся (в плоскости,
нормальной распространению волны) векторе н применил теорию
бивекторов Для описаиия этого процесса. Эти результаты согла-
суются с результатами, полученными с использованием спинорных
методов и представленными формулами (5.31) и (5.36).
Как бивекторы, так л кватернионы уже использовались при
изучении релятивистского инвариантного преобразования уравне-
ння Максвелла (14]. Рамсей и позднее Краут [15] при рассмот-
рении поляризационных диаграмм спиральных антенн нспользова-
/ лн бикомплексное обозначение, которое по сути дела является
частным случаем кватернионного Метода. Аналогичное рассмотре-
ние и сходные результаты получены, правда, в совсем другом кон-
тексте, в работе Левина [16], где рассматривалось волновое урав-
нение в ортогональной криволинейной координатной системе.
Здесь введение бивекторной нотации было обусловлено комплекс-
ной комбинацией вида E+iZH вектора электрического и магнитно-
го поля, которую пришлось ввести, чтобы различать комплексную
величину V— 1 с У —1, используемую во временном множителе
е&1. Такое вИВмплексное обозначение представляет, по существу,
кватернионный метод. Здесь, естественно, требуется использовать
свойства коммутативности, которые задаются соотношениями; р™
==/Js=—1, но в То же время не было использовано основное свой-
ство в виде соотношения ij=—ji, которое отличает кватернионы от
всех известных до них форм.
Полные соотношения между бивекторами и кватернионами при-
ведены в работе [17]. Продемонстрируем, каким образом с по-
мощью кватернионов можно описать поляризационные свойства
волны.
Введём три гнперкомплексных числа а, р и у (см. приложение
2), обладающие следующими алгебраическими свойствами: а2=
=^=у2=—,1; ар=у, ру=а, уа— р, из которых вытекает, что
ар;я=—ра (так как, например, арру—уа, но в то же время
арру=—ау). Последнее нз приведенных соотношений играет весь-
ма важную роль при преобразованиях кватернионов. Далее,
«обычное» комплексное число е’9 здесь используется для обозначе-
ния кругового поворота в плоскости Аржанда, т. е. поворота, отно-
сительно оси г. Оно может быть представлено в виде совокупности
двух гармонических колебаний cos 0, sin 6, которые сдвинуты по
фазе на 90° и ортогональны относительно друг друга в простран-
стве. '
Если мы допустим, что каждое из комплексных- чисел а, £ и у
обозначает простое вращение вокруг каждой из осей прямоуголь-
ной системы координат, то еа8 будет означать вращение вокруг
осн г, —вращение вокруг оси у, е’* — вращение вокруг оси х.
Принятые обозначения позволяют перейти от кватернионной но-
тация к спиновым матрицам.
Запись кругового вращения в плоскости, перпендикулярной на-
правлеяию (9, ф) распространения волны,- имеет вид е‘*. Здесь
ф ~ действительный угол поворота, a i —- «обычное» V —1. Это
значит, что К—1 нужно спроецировать на три основных коор-
динатныхнаправления, и поэтому каждая составляющая основно-
го вращения может быть выражена в форме е“е.
Согласно приложению 2 можно записать
i=acO$0+psin 9 sin ф+у sin 6 cos q>. (5.52)
Тогда поворог в плоскости, перпендикулярной направлению 9, р,
записывается в виде
cos ф+1 sin ф=cos ф + sin ф {a cos 9 + р sin 9 sin ф+у sin 9 cos ф}.
•' J (5.53)
В это выражение для любого вь/бр энного направления 0, ф входит
.форма cos<p+ (комплексное число) sin<p. Отсюда, в частности,
следует, что вращение вокруг осей х, у и z можно записать:
0я " । Ф=0, соэф+у sin ф;
273
С=~, ф=у. е<*=со8ф+0з1пф;
0=0, e1*=cos ф+а51Пф.
Взаимосвязь co свинами частиц становится очевидной, если матри-
цы комплексных спинов, которые имеют те же самые комплексные
числа а, р, у, можно выразить согласно [12] как a=io3; ₽ = io2;
7=10!, где
'“(ю)’ * \<0 /‘ * (о —1)
являются матрицами Паули.
Некоторые аспекты этого вопроса включены в последнюю '
главу.
Теория групп кватернионной алгебры в том виде, в котором
она здесь рассматривается, соответствует вращению как в трехмер-
ном, так ив четырехмерном пространстве. Преобразование для
поляризаций, рассматриваемых как вращение сферы Пуанкаре,
приводит к Операторным преобразованиям над произведением ква-
тернионов. Преобразование вращения в четырехмерном простран-
стве приводит к преобразованиям Лоренца, .что может служить
наглядным примером хорошо известной взаимосвязи между спи-
норами « операторами групп Лоренца,
ГЛАВА ШЕСТАЯ
Прогресс в области оптики
Название,этой заключительной главы совпадает с названием се-
рии ежегодников [1], посвященных Диализу современного состоя-
ния оптики во всех ее теоретических аспектах. В круг этих вопро-
сов несомненно входят и такие, которые относятся к расчету ан-
тенн диапазона СВЧ и которые при более полном анализе следо-
вало бы включить в работы с таким названием.
Вместе с тем это единственно возможное название для гла-
вы, в которой предполагается показать, что в оптике ; и, в частно-
сти, в микроволновой оптике широкоугольных неоднородных сред
по-прежнему возможен прогресс, причем прогресс весьма значи-
тельный. <
В предлагаемой главе автор намеревается показать, каким об-
разом основная часть современных исследований в области теоре-
тической физики, а также ряд уже забытых раббт могут быть ис-
пользованы в микроволновой оптике, а именно, пр и расчете реаль-
ных антенных систем. j.
Многие из вопросов, относящихся к общим задачам, по-види-
мому, незнакомы рядовому разработчику антенн, и их рассмотре-
ние.'- даже на элементарном уровне — выходит далеко за рамки
S74 . , .-Л- , >; ' ' / '
данной книги. Кроме того, отступление в область определений,
рассмотрение подробностей и строгий вывод результатов (хотя это
в принципе и желательно) отклонили бы читателя от основной це-
ли, состоящей в том, чтобы выявить центральную роль геометри-
ческой оптики и ее аналога, механики частиц, во «всей структуре
современной физики. Если эта поставленная автором цель будет
достигнута, то читатель, видимо, сумеет почувствовать, что изло-
женный в книге комплекс идей представляет собой нечто большее,
чем руководство по инженерному расчету антенн, а именно — нау-
ку в высоком смысле этого слова.
Читатели, лучше знакомые с материалом, чем сам автор, мо-
гут прийти к заключению, что некоторые из сделанных выводов
общеизвестны. На это следует ответить, что эти выводы, видимо,
никогда не былн применены в области антенной техники.
Возможно и такое мнение, что изложение не вполне коррект-
ных и отработанных положений можно было бы отложить до тех
пор, пока не будет выполнен их строгий анализ и не будут поду-
чены окончательные результаты и выяснены подробности. Однако
у автора нет никакой уверенности в том, что это произойдет скоро,
а повторение в новой книге уже изложенного Здесь материала
только для того, чтобы вывести читателя на необходимый уровень
.понимания,' означало бы напрасную трату времени.
Итак, излагаемый в главе материал представляет собой комп-
. леке довольно свободно подобранных тем, подтверждающих, что
основанием для микроволновой оптики являются концепции тео-
ретической физики, ин в коем случае не выходящие за пределы
понимания инженера, работающего в области айтенн СВЧ. При
этом, естественно, следует принять некоторые, фундаментальные
концепции концепции геометрической оптики и механики ча-
стиц, которые, по мнению автора, таят в себе источник аналитиче-
ского метода, который может быть использован для разработки
оптических устройств или установления свойств элементарных ча-
стиц.
Таким- образом, идеи, изложенные в Данной главе, в известном
смысле носят гипотетический характер, и их следует рассматри-
вать как указание на возможность, а вовсе не как строгое описа-
ние определенных процессов.
в.1. Матрицы оптических преобразовании
Положение в направление луча, проходящего через оптическую
систему, в любой точке его траектории может быть задано че-
тырьмя параметрами, к которым относятся направляющие косину-
сы касательной в данной точке луча и координаты пересечения
этой касательной с заданной плоскостью (обычно плоскостью
г=О), перпеяДикулярной осям системы.
Преобразование, которому подвергаются эти параметры в слу-
чае пересечения лучом системы преломляющих поверхностей, раз-
деляющрд.рреды с постоянным показателем преломления, может
быть реализовано посредством инвариантной функция, выведенной
Херцбергером [2] в 1931 г. Если известны исходная точка н на-
правление луча, а также свойства каждой преломляющей поверх-
ности и среды, то точку оересечеиня луча с любой поверхностью
можно определить по положению точки его пересечения с преды-
дущей поверхностью я расстоянию между двумя этими точками,
рассчитанному стандартными методами лучевой оптики. Для си-
стемы с двумя параметрами все указанные свойства могут быть
выражены через них, например и и и. Уравнение траектория луча,
по существу, представляет собой результат многократного приме-
нения законапреломленяя, а также геометрических соотношений
для точек падения луча яа последовательно расположенные пло-
скости и для нормалей к поверхностям в этих точках.
Если лежащая на луче точка характеризуется радиус-векто-
ром г, а направление касательной в этой точке — направлением s
(относительно фиксированной точки начала координат), то, как
показано Ставрудисом [3], при дифференцировании уравнения
траектории луча по параметрам и и о функция
г, «I)
’ L до до ди j v '
будет инвариантной. Другими словами, ее значение остается неиз-
менным вне зависимости от того, где находится выбранная на луче
точка: в пространстве предметов, в пространстве изображений или
в любом {Промежуточном пространстве между преломляющими по-
верхностями. Эту функцию называют «фундаментальным оптиче-
ским инвариантом»; она весьма близка к принципу Ферми для оп-
тических лучей..; ..•<
Если семейство лучей исходит из одного точечного источника,
_ fa. dr „
то в этой точке — =—=0 , н, следовательно, в пространстве
предметов инвариант становится равным нулю. Следовательно, он
будет равен дулю везде: отсюда вытекает, что путем надлежаще-
го выбора системы поверхностей лучи, если потребуется, снова мо-
гут быть сфокусированы в заданной точке. Отсюда также следует,
что в фокусе могут быть собраны только лучн, исходящие из одно-
го (в частности, виртуального) точечного источника. Тзкигм обра-
зом, лучи образуют нормальную конгруэнтную (илиортотомиую)
систему в том н только в тем случае, когда оптический инвариант
равен нулю. ' : -
Продолжая эти рассуждения, дискретные поверхности, иссле-
дуемые данной теорией, можно рассматривать как элементы среды
с непрерывным изменением показателя преломления, для которой
инвариант этого типа может быть найден, /у
Скалярный случай оптического инварианта может быть выра-
жен через четыре исходных параметра лучей: направляющие коси-
нусы з и координаты точки пересечения в с плоскостью z^O. Пос-
ле этого устанавливается соотношение между параметрами ннва-
276
I рианта в пространстве предметов и параметрами инварианта в
й пространстве изображений (за счет равенства функций инвари-
анта).
Это соотношение может быть представлено в виде матрицы
(4X4); результирующее матричное уравнение называется «урав-
нением линзы». Отметим, что для того чтобы выявить состав и
установить свойства матрицы, требуется довольно сложный алгеб-
раический аппарат. Матрица имеет форму якобиана п является
унитарной. Воспроизводить вид этой матрицы в Данной главе со-
вершенно нецелесообразно, поскольку одно лишь определение и
обозначения заняли бы слишком много места. Для наших целей
достаточно знать, что такая матрица существует, и исследовать
следствия, вытекающие из указанного соотношения. Подробности
же читатель может найти в литературе [3]. -
Несколько упростить упомянутое уравнение линзы можно, рас-
сматривая только случай системы с симметрией вращения. Для
этого частного случая получено решение [3], причем подстановка
полученного таким образом частного результата в общее уравне-
ние дает1 систему «разностных уравнений». Эти уравнения, как
можно показать, представляют собой произведения коэффициентов
матриц.
В частном решении для системы с симметрией вращения могут
* быть выделены матрицы, коэффициенты которых характеризуют
прохождение волны от одной преломляющей поверхности к другой
и преломление на каждой из поверхностен. Каждая из матриц, как
и их произведение, представляет собой якобиан.
Применение обычного матричного анализа» естественным обра-
зом ведет к концепции «группы линз», поскольку почтя все обще-
известные группы имеют матричное представление. Следующий
шаг состоит в том, чтобы установить природу групп или подгрупп,
в которые попадают группа линз с симметрией вращения и группа
параксиальных линз. Линзы последней из названных групп, по
существу, представляет собой приближение к тому случаю, когда
распространение лучей ограничено областью малых углов, для ко-
торых sin 9?«tg 0 в окрестности оси оптической системы.
Тетерь примем, что некоторые элементарные свойства групп
известны^ Введем лишь несколько определений и терминов для то-
< го, чтобыГмы могли узнать их при употреблении в ином контексте.
.. Группа, имеющая однозначное функциальное соответствие или
Г отображеаяе яо отношению к другой, называется гомоморфной по
г отношению ); ней. Две системы, представляемые гомоморфными
Кгруяпами.имеют многие общие черты, например сходными могут
Ц быть мх мятричадые представления. Если две группы полностью
а идентичны, то отображение имеет место между элементами одной
кгруппы н называется изоморфным.
й Группы обозначаются с помощью букв, а их индексы опреде-
I ляют порядок группы и устанавливают, таким образом, связь с
В числом пространственных измерений. В дальнейшем будут рас-
11 ; я 27?
сматриваться исключительно матрицы вида (<х4) и, следователь-
но, обозначения групп всегда будут иметь индекс 4.
Наиболее общее группой является группа всех несингулярных
матриц вида (4X4), обозначаемая как GL (4). Она изоморфна
по отношению к группе линейных преобразований в четырехмер-
ном векторном пространстве.
Прнпроведення таких преобразований подгруппы можно опре-
делять в совтвететйнисмявариантиостью некоторых квадратичных
форм. Так, ванр»кер; ^ оставляет инвариантной
симметричную билинейную форму типа х^+лув+хзуз+х^д^О-
Это — скалйрНоепронзведенне, и группа, оставляющая скалярное
произведение январнатным, представляет собой чистое вращение,
которое должно быть ортогональным преобразованием. Эта груп-
па обозначается как О (4).
Другая группа, имеющая наибольшее значение для дальней-
шего раэватиятеорин групп, оставляет инвариантной асиммет-
ричную билинейную форму типа х^з-хз^ч-х^—х^. Такая
группа, которая должна иметь четный порядок, называется симп-
лектической и обозначается как Sp (4). Эта группа может быть
представлена посредством матриц М, удовлетворяющих соотно-
шениюМЧМ=1, где А!т — транспонированная матрица М; 7 —
определяется следующим выражением:
/00 1 0\
, I О О 0 1 |
J “ 1—1 О О О
\ 0—1 о о/
Кроме того, 7 представляет собой базисную матрицу кватер-
нионной группы (см. приложение 2). Прочие группы и их инва-
риантные формы рассмотрены в работе Картена [4].
В некотбрых случаях группы или подгруппы могут быть по-
строены из конечного числа базисных элементов, которые имену-
ются порождающими элементами груипы или Подгруппы. Как из-
вестно из литературы [3], порождающие элементы спмплектиче-
ской группы представляют собой
1) переносы
/I 0 а с \
| 0 1 с & I (62)
I 0 0 1 0 Г
\0 0 0 1/
2) вращения
U 00
0 0
0 °
о о
где и
27«
< (6.3)
3) семи-инволюции
( Q '~Q\
\-/+Q Q /
(6.4)
где Q — одна из следующих матриц:
/О 0\ /1 0\ /0 0\ /1 0\
I 1. I 1, I I или I .
V) О/ \О. Of ^0 1/ V) 1/
Ставруднсом [3] показано, что матрица передачи между двумя
преломляющими поверхностями по форме идентична матрице пе-
реноса вплоть до свойства симметрии матрицы вида в
(6.2), Матрица преломления, по существу, представляет собой
комбинацию вращения, переноса'и одной из четырех возможных
семи-инволюций. Таким образом, класс линз с симметрией враще-
ния образует подгруппу Sp (4). Роль прочих семи-инволюций
должна быть разъяснена далее. '
В заключение рассмотрим случай параксиальных линз. Для
этого оптические соотношения разложены в степенные ряды, в ко-
торых затем отброшены все члены кроме членов первого порядка.
В результате порядок матрицы понижается с четвертого до второ-
го, и окончательное преобразование принимает вид подгруппы
Sp (4), гомоморфной по отношению к Sp (2).
Важное значение имеет тот факт, что произвольное приближе-
ние приводит к определенной подгруппе. Это означает, что парак-
сиальный случай — Не просто, некое абстрактное приближение, ка-
ковым оно представляется первоначально; оно приводит к реализа-
ции вполне конкретаой формы линз.
В кратком обзоре не представляется возможным передать всю
сложность необходимых в данном случае вычислений и изящество
конечного результата. Поэтому ограничимся здесь лишь цитатой
из работы Ставрудиса [3], который подвел итоги исследования в
следующих выражениях: «...хотя идея формирования оптического
изображения существовала долгие годы, возможность использова-
ния якобиана такого преобразовании, видимо, осталась незаме-
ченной. Основную роль в реализации этой возможности сыграл,
естественно, фундаментальный оптический 7 инвариант Херцберге-
ра. ...Несмотря на полную ясность Цели, Методы, применяемые для
ее достижения, затемняют и топят ее в потоке неимоверно слож-
ных вычислений».
Учитывая это обстоятельство, целесообразно использовать го-
товые результаты и рассмотреть некоторые умозрительные пред-
•положеиня .и вопросы, непосредственно вытекающие из них.
Один из таких вопросов относится к проблеме, впервые затро-
иутой в гл. 1. Как было показано в § 1.5, в случае волноводных
линзедмцствевный, по меньшей мере, параметр может быть ис-
пользован для описания целого класса линз, обладающих свойст-
вом коллнмации лучей, исходящих из точечного источника. Приво-
димая методика может быть использована для анализа волновод-
ных линз лишь в том случае, если вычисления каким-либо обра-
зом ^догут быть упрошены. При. некоторых условиях в диапазоне
СВЧпредстааляется возможным реализовать параксиальный ва-
риант оптической ликэы, т. е. применить групповое представление.
В такой ситуации непрерывное преобразование формы линзы,
осуществляемое за счет изменения единственного параметра а,
представляет собой непрерывное групповое преобразование. Это
позволяет установнть соответствие между операцией «изгибания
: линзы> (см. ссылки на литературу к гл. 1) и группой непрерывных
преобразований, известной как группа Ли.
Аналогичное соответствие должно быть установлено по отно-
шению к лучам, распространяющимся в неоднородной среде. Та-
кая среда действует как непрерывная линза, и, следовательно,
здесь имеет место непрерывное преобразование линз. Как было
показано ранее [5], существует аналогия между лучами в неодно-
родной среде ячастнцами в неоднородном потенциальном поле, н
поэтому совершенно не вызывает удивления то обстоятельство, что
группы Ли "МоЖйо встретить в теории групп квантовой механики.
В гл. 1 был упомянут еще один вид оптического преобразова-
ния — теоремаДамиена. Она относится к преобразованию между
поверхностями (преломляющей поверхностью и поверхностью
фронта волны). Таким образом, она довольно'далеко от ранее рас-
смотренного преобразования, которое относятся к каноническим
координатам луча. Однако должен существовать какой-то способ,
позволяющий применять комбинацию матриц преломления в обоих
случаях.
В следующем параграфе будут рассмотрены некоторые иные
преобразования, относящиеся к оптическим системам.
6.2. Преобразовании в двух измерениях
Как показано Л юн ебергом [6], обобщение конкретной геомет-
рии линзы можно получить методом конформного отображения
траекторий лучей при соответствующем преобразовании показате-
ля преломления. Это положение применимо и для такого идеаль-
ного оптического устройства, как линза Максвелла. Отметим, что
данное преобразование проводится прнмеяителыю не к трехмерно-
му телу, а к его двумерному поперечному сечению, после чего пе-
реход к реальной линзе осуществляется путем поворота вокруг
оси. Другими словами, рассматриваемое нреобразование состоит
из следующих этапов: проектирования яа пространство более низ-
кого порядка; собственно преобразования в этом пространстве;
обратного проектирования ца пространство более высокого по-
рядка.
При этом следует иметь в виду, что проектирование на прост-
ранство более низкого порядка и обратное преобразование не обя-
зательно должны быть взаимно обратными, а собственно преобра-
зование мойсет быть преобразованием общего вида. Люнеберг нс-
280 т .
ь : ::::::
пользовал предложенный им метод для преобразования полного
пространства и, следовательно, для преобразования показателя
преломления в любой точке этого пространства. Линзы такого ти-
па в каждом случае имеют границей кривую т|^1, что ограничи-
вает диапазон используемых значений показателя преломления.
Конформное отображение представляет собой преобразование
вида a?=/’(z), где
z=x-Hy, w=u + iv. (6.5)
Тогда линейный элемент в пространстве с показателем прелом-
ления I) (х, у) определяется как
ds®=ла(Х p)(dxa+dpa). (6.6)
Используя условия Коши—Римана, последнее выражение мож-
но представить в следующем виде:
dsJ==T),i(«, o)ff'|s(^w2+rf°2);
।и х» . / до \* • / ди \« , / до v (6.7)
что эквивалентно преобразованию показателя преломления
(6.8)
. Применив это преобразование к закону изменения показателя
преломления в Линзе Максвелла, Люнеберг пришел к выводу, что
все идеальные оптические системы могут быть получены с исполь-
зованием сред, для которых закон изменения показателя преломле-
ния (в плоскости) определяется как
К другим типам линз закон (6.9) применен Заборовым, в ра-
боте» которого [71 это преобразованне названо изометрическим.
В частности. Заборов исследовал случай цилиндрической лщь
зы(меридиональное сечение) и короткофокусного рупора с пока-
зателем преломления Tj^sch ар.
Необходимость преобразования показателя преломления во
всех точКах пространства, а также двумерный характер анализа
, представляютсобой ограничения на пути решения задачи в более
общеи виде- Действие первого фактора может быть ослаблено при
условии его локализации, так что в конечном итоге может быть
нспальзован ярнбляженный результат. Другими словами, основ-
ную роль здесь начинает играть не столько полное преобразование
ноля, сколько теорйя возмущений. .
уПреобразование Бейтмана для оптических систем
Небезынтересно отметить, что рассматриваемая в данной гла-
. ве проблема была исследована и решена приблизительно в 1910 г.
в серии ,статей Бейтмана [8], который применил для этой цели
конформнре;Яреобразование в четырехмерном пространстве. •-
;?л , 281
Алгебраический анализ доказывает, что существует ряд весьма
убедительных причин, по которым эта проблема не может быть
решена для трехмерного пространства. Попытки применить кон-
формное отображение к решению статической задачи в трехмер-
ном пространстве приводят к необходимости введения многознач-
ных потенциалов [9], что позволяет оценить распределение поля
линейного источника на полубесконечной плоскости по методу изо-
бражений на поверхности Римана. Зоммерфельд распространил
этотдодход на случай точечного источника на полубесконечной
плоскости, предположив, что пространство Римана так же соотно-
сится среальным пространством, как поверхность Римана с пол-
ной комплексной плоскостью. Однако ни один из этих методов не
представляется применимым для решений волнового уравнения, и
для любой, статической проблемы, кроме рассматриваемых здесь
базисных, эти методы оказываются чрезвычайно сложными.
Анализ Бейтмана основан на том, что после проведения преоб-
разований волновое уравнение должно быть инвариантным:
rfxi+dy,4-rfz3-4f^==0. (6.10)
Преобразование, которое позволяет получить этот инвариант,
хорошо нзвестяю. Это — преобразование Лоренца из частной тео-
рии относительности. Однако оно применимо только к случаю сво-
бодного пространства. Учет свойств преломляющих пондеремотор-
ных сред представляет собой весьма сложную и не вполне одно-
значную задачу, которая, кроме того, может быть с большим тру-
дом согласована с геометрией реальных систем лннэ. Однако, Дак
установлено Бейтманом [10], существует ряд других преобразова-
ний, оставляющих волновое уравнение и уравнение эйконала ин-
вариантными. Преобразование Лоренца есть.лишь частный случай
этих более общих преобразований. Некоторые из них рассмотре-
ны в работах Бианчи по дифференциальной геометрий, а также в
трудах Максвелла.
Бейтманом [11] выделено два представляющих особый инте-
рес преобразования:
X = х ‘ Y = & Z — г '
Г*— с*/1 ’ г* — с*/1 >* —’
т-^' <611>
X—:--------; Y--------1---; I- fl~‘ ;
2 — ct z— rf 2(z— ct)
rt^xa-f-ffa±zt.
' В упомянутых литературных^ источниках обсуждается конформ-
ность таких преобразований; преобразование (6.11) применяется
' непосредственно к случаю оптических линз (параксиальные сфери-
ческие поверхности) для получения трансформированной линзы.
Преобразования имеют форму обращений, но если обычно точ-
ка начала координат в результате отображения переходит в точку,
лежащую на бесконечности, то в данном случае речь идет уже о
полной окружности r=ct (или точка z=ct). Рассмотрев болееноб-
щие преобразования вида
X[dx2+dy2+dz2—dt2] +]i[(sIdx+svdy+szdI)2—s2d/2] =J.v'2 +
4-d/a+cte's—dt'3, (6.13)
Бейтман выводит преобразования, «которые могут быть использо-
ваны Для решения задач об отражении или преломлении света при
условии, что определены ортотомные поверхности, лежащие перед
или после точки падения*. Для случая параболоида преобразова-
ние имеет следующий вид:
x'^a—r; t'=t-, (6.14)
y'=>ay/(r+x); z'=az/(r+x).
Тот факт, что все эти преобразования представляют собой об-
ращения, подтверждается их взаимосвязью с методом Дамиена
(см. гл. 1). Свою работу Бейтман завершает словами, вполне со-
гласующимися с выводами автора данной книги: «Следует отме-
тить, что предложенный метод не может быть использован для ре-
шения каких-либо задач о преломлении; до сих пор соответствую-
щие преобразования найдены только лишь для случаев, когда оди-
ночная плоскость или сферическая волна трансформируется в бдит
ночную1 плоскость или сферическую волну...*. Однако этого вполне
достаточно для решения задач из области антенной техники" диа-
пазона СВЧ.
Может быть найдено преобразование, соответствующее обра-
щению (6.14) и позволяющее осуществить переход от одиночной
эллиптической преломляющей поверхности к гиперболической;
Согласно (1.9) и (1.11) для эллиптического профиля: '
™Г(й~'1)А(П—cos6). К этому профилю применимо преобразова-
ние: 9'=0
/? «=йг/ (г4-х) (поскольку у=г sin 0). (6.15)
Приравняв радиус' обращения k фокусному расстоянию /, обо-
значим через х длину пути луча вдоль оси от точки, в которой
фронт водны «еще сохраняет сферичность, до точки, в которой он
становится плоским (рис, 6.1), т. е. ,г«г. cos 0—f.
Теперь преебраэованне принимает вид
Я <1',
Г""/ + ^««8
а его. обращение записывается как
Я—/ + Д«вв
Воспользовавшись соотношением r=f(ij—cosfl), нахо-
дим, что
j?=f(T)_i)/(4CQse-4O.
Таким образом, преобразование позволяет перейти от эллип-
тического профиля к гиперболическому и наоборот. При т)=—1
парабола 2/у(1+совО) остается инвариантной.
Рис. 6.1. Эллиптический рефрактор
Плоскость r*= f cos 9 трансформируется в окружность R=f,
которая представляет собой своеобразный ключевой фактор при
операциях с этими поверхностями, проводящимися с целью пре-
образования сферических волн в плоские.
Однако всякие попытки распространить рассмотренную проце-
дуру на более сложные случаи, например на случай преобразова-
ния одного овала Декарта в другой показывают, что для этой це-
ли она недостаточна. Вместе с тем, эта ситуация показывает, что
поставленная задача по своей природе является четырехмеряой.
В дальнейшем будет исследована методика, позволяющая полу-
чать конформные отображения в четырехмерном пространстве
тем же способом, которым функции комплексного переменного
решают эту задачу в двумерном.
6.4. Функции гиперкомллексного переменного
Для четырехмерного конформного преобразования логически
оправданным представляется применение четырехмерных комп-
лексных чисел. Такими числами должны быть кватернионы, с ко-
торыми читатель уже встречало! при анализе поляризация (гл. 5)
и при изучении фундаментальных вопросов геометрической оптики
(см. приложение 1). Основные выкладки, связанные евведением
кватернионов, приведены в приложении 2, где, в частности, пока-
зано, что переход к четырехмерному пространству совершенно ис-
ключает возможность использования аналогичной структуры в
трехмерном пространстве.
Кватернион Q=(a, А)~(а, аь аа, а3) удовлетворяет соотно-
шениям (см. приложение 1)
(Q—а)2=б2, i2 = AOA,
где а= ~(q+q) и &а=—W(Q—а),
-А) и tf(Q)=Q-^=a2—АОА. ’ (6.16)
Теперь полиномиальная функция кватернионной переменной
может быть выражена как [12]
/(Q) = (Q-a)[f(o + &)-f(o-fr)]/2& j .
(6.17)
При 6 =®0 она примет следующий вид:
Ша-НбО; (Q-a)ff(a)}. (6.18)
В качестве примера рассмотрим кватернион <2С=(Л х, у, г),
отнесенный к основной системе координат. Тогда d2=x2+y2-l-z2.
а-< в f(Q.) = (l[f(<+r)+/(i-r)];-!i^-[f(/+r)-/(/-r))}.
Другими словами, имеет место преобразование
(6.19)
tf(/+r)~/(l-r)}: JL tf(/+r)-W~r)}.
Это преобразование виртуально идентично второму преобразо-
ванию Бейтмана, базирующемуся на инвариантности уравнений
Максвелла [10]. Различие между рассматриваемым здесь преоб-
разованием н преобразованием Бейтмана состоит в том, что Бейт-
ман исследует более общий случай с двумя независимыми функ-
циями f и ф в правой части (6.19).
В своем анализе Бейтман получил сходный результат, восполь-
зовавшись тем же подходом, который применяется в обычной тео-
рии комплексного переменного, введя определение
/(/, х, у, z) = (р, и, v, .w)
по аналогий с определением f(Q)=sflZ в теории комплексного пе-
ременного.
Итак, -
W7'—lirn-~[(р{/ + 6/, х + бх. у+бу, z+5z}; «( }; у{ }; )
Л-0 Л ; I (
®{ • у, z); и( ); «( ); а>( )], J
где Ж' стремится к пределу так же, как h стремится к нулю.
Поэтому поочередно приравнивая fi—М, абх, рйр, убг и пата-
гая прочие приращения равными нулю, представляется возмож-
, .. Л . ' 285 (
(6.20)
(6.21)
(6.22)
(6.23)
(6.24)
ным приблизиться к пределу по каждой из^^^рех координатных
осей в отдельности:
1Г=-*+а_*Ь+л-* +v^=
dt dt н л
1 др । йк । Р йо । у Рю
а дх дх а ' дх ‘ а дх
1 ф . а ди . , т йи>
р ду р ду ffp р др
1 др . а ди , Р до . ди>
у дг у дг у дг дг
Вследствие однозначности обращения имеем, что 1/а=—а и
что р/а—— и/p и т. дА Приравнивая коэффициенты при а, Р, у,
а/p и т. д., можно получить более широкий набор условий «Ко-
ши— Римана»:
др __ Ди _ до _ dw _ др _ —ди , др — до ф
at йх ду дг ’ дх • dt * др dt
- др — дз> . ди _ —до . ди _ — ди» . до _ — dw
дг dt ’ ду дх ’ дг дх ’ дг ' др J
(«Исходные» условия Коши—Римана подчеркнуты прямой ли-
нией) .
? Из этих соотношений легко установить, что и, v и ш по отдель-
ности удовлетворяют волновому уравнению, т. е.
д* д* _0 а*_________У
дх* • ду* =.л*. дг*'
Левая часть этого уравнения удовлетворяется преобразова-
нием «обычной» теории комплексного переменного, а его правая
часть представляет собой одномерное волновое уравнение. В ито-
ге приходим к преобразованию
yaeipseeq^X+iy);
u—w=<p(z—fy);
w=ft(z+/)-t-F»(2—/);
P»F| (z+f)—Л(Х—О
для произвольных функций ф, Г1 Н Ft.
Этот результат идентичен первому из преобразований Бейт-
мана (10].
Векторные решения волнового уравнения могут быть получены
нз соотношения
(О, а, Р, w)« tf (Q) —f(g)) /2- , (6-2S)
1 Строго говоря, определяя 1% я W'l, следует учитывать, проводится лк
уицожейи кя. зивмеяатель в левой иля в правой части. При условия, что а/р
ыи ие определены, сохранять еммеенгость можно, ясиользуя" - результат
- (см. прмложение 2), если обе часта уравнения мнет одни к тот же
б нйредок.<
МИ ' / ' .
\ v»:,-
| Кроме того, условия Коши—Римана (6.22) дают соотношения
| вида
Г ди I = Q__ du 3tt> . dt> Л»
дх дх dt dt ду ду дх дх ’
откуда следует, что в двух пространствах соответствующие коор-
динатные поверхности взаимно ортогональны, а преобразования
являются конформными. Частное преобразование, для которого в
(6.24) ш—z и p=t, очевидно, представляет собой «обычное» кон-
формное отображение в двумерном пространстве.
Небезынтересно отметить, что методика, принятая Бейтманом
при выводе преобразовании (6.11) и (6.12), предусматривает при-
менение бивекторной формы записи уравнения Максвелла, что,
кстати, было проделано при анализе поляризации (5]. Известна
также кватернионная форма записи уравнения Максвелла, исноль-
зованная Злльберштейном (13]. Отметим, что уравнение (6Л7)
заимствовано из работы «Кватернионы, бивекторы и группа Ло-
ренца» (12]. На связь с преобразованиями Лоренца, рассматри-
ваемыми, как частный случай преобразования (6.24), было также
указано Бейтманом [12]. Этот факт легко установить, представив
функции ф, Ft и F3 в виде линейных комбинаций их аргументов.
Обратившись к исследованию группы Лоренца, легко убедить-
• ся, что количество применений современной теории групп, которые
должны иметь отношение к преобразованиям оптических систем,
практически бесконечно. В качестве всего лишь одного примера
(остальные см. в списке литературы, приложенном к данной главе)
рассмотрим, не вводя излишних определений, группу в комплекс-
ном пространстве, исследованную Клотцем [14]. Эта группа
оставляет йнвариантпой метрическую форму
(6.26)
где чертой отмечены комплексно-сопряженные величины (обычно-
го вида). Она называется группой со связанной симметрией про-
странства вращения. Такие группы позволяют формулировать кон-
формно инвариантные соотношения в четырехмерном пространст-
ве. Установлено, что подобные соотношения соответствуют преоб-
разованиям Лоренца, переносам, ускорениям и замедлениям, ко-
торые образуют подгруппы конформной группы. В результате каж-
J дое непрерывное Преобразование создается преобразованием Ло-
ренца, переносом, ускорением, замедлением и одним из^четырех
;' специальных отображений. По существу, они представляют собой
i тождественные отображения и два преобразования Бейтмана
(190&г.), опредеЛяемые соотношениями (6.11) п (6.12), причем в
знаменателесоотношений (6.12) может стоять как плюс, так и
мнкус. В дальнейшем будет показано, что одна из частных форм
преобразования (6.1$) фактически представляет собой замедле-
ние. Она’была получена Лоренцом в 1901 г. Как указал Каннин-
гем (15],>с применением преобразовання (6,11) любое электроди-
намическое поле может быть трансформировано в поле иной
структуры.
287
6Л. Геометрическая оптика в четырехмерном пространстве
У читателя может сложиться впечатление, что автор слишком
далеко отклонился от своей первоначальной цели — исследования
вопросов создания оптических систем путем преобразования дру-
гих, уже известных систем.
Ранее было показано, что такое преобразование, скорее всего,
должно иметь четырехмерный характер и может содержать в ка-
честве частных случаев некоторые весьма редкие преобразования,
которые предлагает современная теория групп.
Тот факт, что указанные преобразования в основном находят
применение в теоретической физике, представляет собой еще одно
подтверждение. аналогии с лучевой оптикой. Однако поскольку
квантовая механика рассматривает траектории частиц приблизи-
тельно в том же аспекте, в каком теория дифракции рассматри-
вает геометрическую оптику, мы виряве включить явления дифрак-
ции и аберраций в наиболее общие из преобразований.
Отметим, что эти преобразования в равной мере применимы
как к переменным электромагннтногО поля, так и к реальным лу-
чам, фронтам волн и оптическим поверхностям. Оптические поверх-
ности всегда фигурируют как реальные системы, рассматриваемые
в реальном трехмерном пространстве. Очевидно, если их можно
представить в виде реальных проекций четырехмерного конти-
нуума, то между явлениями можно будет установить более тонкие
взаимосвязи.
Наиболее раннее изложение этой концепции можно найти в из-
данной в 1928 г. работе Пирпонта, [16]. В этой работе принцип
Ферма использован применительно к интервалу траектории луча в
гиперболическом четырехмерном пространстве. Изогнутая траекто-
рия луча в реальном пространстве выглядит, прямой в пространст-
ве Римана, я данные по отражению и преломлению были получе-
ны с применением теоремы Бугера исходя из результирующей ги-
перболической геометрии (плоского Сечении).
Эта проблема весьма обстоятельно рассмотрена в работе «Гео-
метрическая механика и волны де Бройля» [17]. Ее анализ также
основан на четырехмерном варианте вариационного принципа. Во
введении к этой работе исследована аналогия между траекторией
частицы и траекторией луча и предложен термин «геометрическая
механика». Цель работы состоит в том, чтобы показать преиму-
щества изучения указанной проблемы в четырехм ер ной-форме,
т. е. преимущества перехода к «релятивистской геометрической ме-
ханике». Подобные преимущества соответствуют преимуществам,
ожидаемым автором от перехода и «релятивистской геометрий*
ской оптике», поскольку все необходимые для этого преобразова-
ння, вядимо, имеют связь с группой Лоренца-Интерес представ-
' ляют выводы из этой работы, однако ее подробное изложение по-
требовало бы ее полвого воспронзведения. Поэтому целесообраз-
но рассмотреть лишь основные излагаемые в ней методы, я про-
анализировать результаты:
ч : •.< ....
| Функция f(x, а) определена в четырехмерном пространстве с
координатами хг (г»1, 2, 3, 4) и направляющими косинусами
ar (сцДХ))- Как известно, по направляющим косинусам можно
оценить показатель преломления среды в любой точке. Для полу-
чения пространственно-временных траекторий из обычного соот-
ношения (для истинных траекторий лучей)
б J f(x, a)ds=0 , (6.27)
использован вариационный принцип. В этом соотношении ds пред-
ставляет собой линейный элемент в плоском четырехмерном про-
странстве Минковского. Уравнения Эйлера—Лагранжа и опреде-
ление «действия» — такие же, что и в трехмерном случае [3]. Мо-
гут быть использованы масштабные преобразования, обеспечиваю-
щие переход от функции среды f к новой функции /*, причем в
данном случае используется преобразование вида
Г (^ «) а)~ 4s-«г. (6.28)
<Vr
где <р — функция только четырех пространственных координат хг..
Следовательно, в тех случаях, когда появляется xt=ict, это
. означает, кто во внимание принимаются, кроме того, подвижные
среды илн дисперсия. Известно, что это преобразование оставляет
траектории лучей (в четырехмерном пространстве) инвариантны-
ми (поскольку, если f удовлетворяет соотношению (6.27), то, и
[* также будет удовлетворять ему), но, очевидно, изменяет харак-
тер среды в пространстве (но не во времени).
В работе [17] рассмотрены некоторые особые виды функций
применительно к однородным и неоднородным изотропным средам,
а также применительно к среде со сферической симметрией. Пока-
зано, что в последнем случае траектории частиц, представляют со-
бой эллипсы в центральном поле, их форма сравнивается с фор-
мой эллиптических траекторий лучей в сферической среде. Однако
масштабнее преобразования для упомянутых функций различных
видов ве нсследованы в достаточной мере, и поэтому этот аспект
проблемы рассмотрен не до конца.
В заключительной частя работы кратко рассмотрены методы
сбобщеиия.Осиовной вывод состоит в том, что эффективное об-
общение может быть достигнуто как увеличением числа нзмере-
j НИЙ, тВк н переходом от плоских пространств Минковского к ис-
с КрИИЛенному пространству (путем введения метрической Функ-
цин). Второй способ относится к более позднему времени [18] и
весьма сложен, а характерные особенности первого можно найти в
литературе по дифференциальной геометрии. Он включает в себя
преобразования решений волнового уравнения (оператор Лапла-
са—Ведтрдминля Деламбера), осуществляемые путем вращения
сферы болсе высокого порядка.
•<'' В рдбрТС <Херцбергера [20] также исследуется возможность
ян трехмерного пространства к оптике четырех-
Hv / г ' ' ... ООП

мерного. Универсальность всей теоретической физики иллюстриру-
ется ни примере некоторого универсального соотношения, из кото-
рого выводится «фундаментальный оптический инвариант» (6.1).
В данном случае обобщение приводит к введению в анализ эф-
фекта дифракции. Таким образом, это обобщение позволяет вклю-
чить эффекты физической оптики в преобразования геометриче-
ской. Поэтому для решения волновых уравнений для пространств
более высокого порядка могут быть использованы дифракционные
функции в виде круговых полиномов или гнперсферических функ-
ций. й: '
Наиболее поздним нз рассматриваемых методов является ме-
тод Поверлейна [21]. Он основан на переходе к четырехмерному
соотношению Зоммерфельда—Рунге (см. приложение 1), также
рассмотренному Херцбергером. Как показано в приложении 1,
траектория луча в трехмерном пространстве подчиняется роторно-
му уравивнию VXf—0, которое, воспользовавшись четырехмер-
ным оператором □ е учетом того, что
с**»’
можно привести к следующему виду:
□ Xf==0. (6.29)
Могут быть введены разрывы непрерывности как для простран-
ства, так и для временн, что будет соответствовать введению эф-
фектов физической оптики типа дифракции (если, конечно, в виду
имеется геометрическая теория дифракции [22]). Этот вопрос,
естественно, требует значительных дополнительных исследований
в области антенной техники.
Следует также отметить возможность «проективной» постанов-
ки задач геометряческой оцтнки, рассмотренную Кэмбн [23], ко-
торый использовал принципы проективной, в основном четырех-
мерной геометрии. Согласно этой методике следует рассчитать
промежуточные отражающие или преломляющие поверхности с
тем, чтобы увязать их с конкретной степеньюсвободы, обычно с
аберрацией. В основном работаКэмби посвященавопросам опти-
ки, хотя в ней частично затронута и проблема распределения воз-
буждения в раскрыве применительно к технике СВ^1. Анализ Кэм-
би основан на том, что в случае преломления (см. приложение 1)
падающий луч, преломленный луч, линия, делящая угол Между
ними пополам, и нормальная поверхность имеют ангармоническое
отношение, равное отношению показателей преломления —т^ц/тц.
В случае отражения это отношение равно -?1. й * л
При проективном преобразовании (томография) ангармовнче-
s свое отображеийе остается инвариантным. Другими словами, если
два луча представлены двумя точками на плоскости, то их прелом-
ление определяется отношением на линии, соединяющей эти
й точки. Система лучей преобразуется при этом в кривую, а кон-
формное отображение в этой плоскости, безусловно, исключается.
V'/v-- -ЙЙ :"й- й<-
йй Ц/ : Л ЙЙ < й '
Проще всего задача решается, естественно, для меридиональной
плоскости осесимметричной системы. В случае наклонно падаю-
щих лучей и при введении аберраций проективность становится
комплексной, что приводит к комплексному томографическому
преобразованию на прямую линию. Практическая приемлемость
такого подхода иллюстрируется на примере корректора Шмидта
применительно к сферической аберрации. Данный подход упомя-
нут в связи с тем, что на взаимосвязь комплексных томографиче-
ских преобразований на линию, с одной стороны, и кватернионов
и вращений, с другой, указано в работе Дюваля [24].
6.6. Выводы
Итак, можно считать, что задача анализа антенны СВЧ
оптической системы в наиболее общем виде представляет собой
частный случай задачи о рассеянии на отражающих или прелом-
ляющих поверхностях, когда поле создается системой лучей, нсхо-
дящнхиз точечного источника, а характеристики рассеиваемого
поля известны. К особому классу подобных рассеивающих систем
относятся системы с осевой симметрией, в частности, со сфериче-
ской симметрией, а к одному из подклассов — системы, в которых
падающая волна является сферической, а рассеиваемая — пло-
ской.
Наиболее общие аналитические методы должны применяться /
для исследования самых общих случаев, включающих эффекты
дифракции и аберраций [25], а также зависящие от времени эф-
фекты тняа дисперсии и отражения от перемещающихся поверх-
ностей. При анализе таких подклассов, как осесимметричные или
параксиальные системы, очевидно, могут быть использованы более
простые методы. В принципе результат анализа должен будет при-
нять вид теории, базирующейся на одной или двух комбинациях
основных преобразований. Такая теория должна дать наиболее
широкие возможности создания обобщенных методов расчета ан-
тенп'СВЧ.
На основании изложенного в данной главе могут быть сдела-
ны следующие выводы.
1. Как показано Ставрудисом, существует общая группа линз,
для которой возможно матричное представление преобразования
между падающей системой лучей и проходящей (мнимой илп рас-
сеиваемой) системой лучей. Эта матрица (н ее представление в
ввДе некоторой реальной линзы) поддается только весьма слож-
ному алгебраическому анализу. Можно Полагать, что ее примене-
ние длярасчета конкретных поверхностей, предназначенных1 для
коррекцИн определенных оптических эффектов, окажется столь же
сложным.Преобразование относится к симплектической группе; а
порождающими элементами являются переносы, вращения и семн-
ннволюцнн.
j 2,Применение преобразований Бейтмана приводит к переходу
or одной физической проблемы к другой. В частном случае — это
?' , л/
переход от одной оптической линзы к другой. Данные преобразова-
ния получены Бейтманом я Каннингемом, которые провели общий
анализ инвариантов для случая линейных преобразований уравне-
ний Максвелла, а также волновых уравнений и уравнений эйко-
нала. Применение этих преобразований связано с меньшими труд-
ностями, и они предназначены для четырехмерного пространства.
3. Как показано в гл. 6, аналогичные 'преобразования могут
быть выведены еще более простым путем из теории функций ква-
терйнояного переменило. Этот способ позволяет получитькон-
формные отображения в четырехмерном пространстве тем же спо-
собом, которым комплвссныепеременные дают конформные ото-
бражения в двумерном, В ограниченном числе случаев двумерные
отображения были использованы применительно к системам, ос-
нованным на принципах геометрической оптики, и к задачам о
рассеянии. Эти преобразования, а также преобразования Бейтма-
на позволяют добавить к ранее рассмотренным порождающим эле-
ментам такие, как замедление, ускорение, преобразование Лоренца
н некоторые виды обращений. Напомним, что обращения примени-
мы в случае преобразований линз и используются в теории Да-
миена.
4. Согласно выводам Херцбергера в четырехмериом простран-
стве оптику можно рассматривать в качестве модели всей теорети-
ческой физики, а Сикс [26] высказал аналогичное утверждение от-
носительно кватернионной алгебры. (Отметим, что Гэмильтон был
убежден в этом факте и провел 20 последних лет жизни в попыт-
ках его доказать.) В одной нз работ [17], кроме того, показано,
что преобразования целесообразнее переносить в пространство бо-
лее высокого порядка, где они, видимо, будут иметь более простую
форму, например форму вращений гиперсферы. Таким образом,
это продолжает процесс, уже наблюдавшийся при переходе ОТ
трехмерного к четырехмерному пространству. Известен также ряд
работ о таких преобразованиях волнового уравнения Для про-
странства с более высоким числом измерений и для гиперсфер.
5. Основная часть групп и преобразований и основные алгеб-
раические приемы идентичны при переходе от классической дина-
мики частиц к квантовой динамике и далее к релятивистской кван-
товой теории.
Несомненно, существует процесс расчета, позволяющий преоб-
разовать заданную оптическую систему с известными свойствами
в другую систему с иными свойствами. Если эти системы имеют
одно к то же количество поверхностей, то действие определенной
поверхности одной системы может быть замеадяо действием соот-
ветствующей поверхности другой. Так, например, может быть при-
менено «изгибание> линзы с целью преобразования апланатнче-
ской линзы в линзу с заданной функцией возбуждения. Такой пе-
реход требует строгого понимания зависимости между преобразо-
ваниями поверхностей и нх влиянием на аберрации, дифракцию и
прочие свойства линз. Такие преобразования могут быть выполне-
, ны с использованием элементов конформной группы в четырёх-
мерном пространстве или средствами кватернионной алгебры. Бо-
лее простые преобразования могут быть получены путем проектн-
рования на пространство более высокого порядка. Подобный под.-:
ход может способствовать разработке более сложных преобразо-
ваний, связанных с несимметричным рассеянием и эффектами,
зависящими от времени. Такими проекциями являются преобра-
зования Кремона [27].
В этой книге автор старался воздерживаться от цитирования
классиков. Тем не менее, ему бы хотелось напомнить, что соглас-
но некоторым источникам, Леонардо да Винчи считал, что «опти-
ка — это рай для математиков». В связи с этим автору Хотелось
бы верить, что в своей книге он показал путь, позволяющий убе-
диться в этом физикам и прежде всего инженерам-разработчикам
антенн СВЧ.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
В приложений J в основном рассмотрены фундаментальные законы геометриче-
ской оптики п вопросы вывода конкретных формул, используемых как базисные
при расчете рефлекторов в линз в первых главах данной книг». Для этрДйелв
необходимо привлечь и проанализировать разнообразные формы указаний* за-
конов, которые на протяжении асторвп оптики формулировались в самых раз-
личных формах. Большое коля^ебтю формул здесь приведено без вывода или
* доказательства — в частности, в тех случаях, когда легко установить, что ре-
зультаты совпадают с общепринятыми. В качестве примеров будет рассмотрен
ряд возможностей практического применения теории к анализу устройств, кото-
рые в некоторых случаях трудно назвать чисто оптическими и имеющими непо-
средственное отношение к технике антенн СВЧ. ;
Выведенные в приложении формулы не только имеют фундаментальное зна-
чение для разработки оптических устройств, но и поддаются широким обобще-
ниям. С двжазательетвамн формул в их окоичатФчьяом виде и в особенное е -
выводом основных законов оптики пэ принципа Ферма читатель может нрзйа-
компться в литературе [1]. Т
Ш.1, Законы преломления и отражения
В дальнейшей индексами i, г и t будут обозначены соответствующие стороны
непрерывной поверхности, разделяющей две среды с показателями преломления
тц и Ч« соответственно (i — падение лучей, г — отражение, t—их передача илп
преломление). Через единичные векторы з будут обозначены направления лучей,
которые нгслучае однородных изотропных сред представляются прямыми ливня-
ми. В случаи неоднородных сред, для которых уже нельзя пспользовать кусоч-
но-лтшеЙнужг аппроксимацию, а будут касательными к лскрпвленпой траектории
луч»:-»ллюб*й’;’ее точке. В этом случае приращение траектории лтча обозначается
черезРадиус-векторы, исходящие из точки начала координат, будут обойа-
чены через Г влн р. Если луч сам представляется радиусом-вектором, как, на-
пример, при анализе вопроса о распределении источников s и ds могут быть
заменены на г и dr. Именно в такой форме они использованы в гл. 1. Если,
г я з ые деходят из одной в той же точки, различать их следует особенно тща-
тельно. ..
, Законы^отражения и преломления могут быть непосредственно получены из
решевяя Задачи о падении плоской электромагнитной волны на поверхность
раздела между двумя преломляющими средами [2], причем поверхность ечн-
II—» 293
тяется бесконечно протяженной, а граничные условия заданными. Допущения,
«пользуемые в геометрической оптике, позволяют отвлечься от «бесконечного»
хйрвжтфм задачи н рассматривать участок поверхности в качестве разрыва ило-
«йсав, непрерывной в касательном Направлении. Такой подход вполне оправдан
л дМяЛваствй ф радиусом крквязпы, намного превышающим длину волны, ж, сле-
jWWfeWMttt,. ДЛЯ областей, дай которых существует однозначно определенная
«орталь Ии На в»Ш|Д ааконев оТр»еяия и преломления из принципа Ферма йо
огракичеиие, я* первый взгляд, влияния не оказывает. Однако согласно Паула
,та случае математически не учитывается наличие отра-
ртадышм ущтокмма,ЖеТ’ ЧТ° ПРИН10П1 Фериа является лишь приближением к
ПряяявСобОзиачепия ряс, ПЛ, можно записать, что
»XSi"*«X»r ns,,
т. е. законы Снеллиуса для отражения, и
TliOXSi-TjinXir,
т. е. закон Снеллиуса для преломления.
(П(.1а. б)
(П1.1в)
Рас. П.1. Принцип отражения и преломления
Из решения задачи о плоской электромагнитной волне (с граничными усло-
виями) вытекает, что ее векторы лежат в одной плоскости.
Решив (ГПЛа) и (П1.16), для отраженного луча получаем соотношение
2n(Si*n), (П1-2)
которое, вероятно, наиболее применимо кр всея прочим формам закона Сяел-
лиуса для отражения.
Скалярная форма (П1.1в) дает уже знакомый кам закон преломления:
th sin sin 0(- j (ШЗ)
Чтобы получить векторное решение для преломленного луча, отметим, что
поскольку падающий и отраженный лучи проходят через одну и туже среду,
и. то кз (Ш.1а) в (П1.1в) можно найти, что
nXflrSr-nXnX—лХя«»«- \ ' , • C1H--4J
? Йехом вз втото еостзои№нКя, можж> ввести вектор t=ip, и, следовательно,
яз (П1Л) вытекает,что вектор пХ< представляет собой инвариант преломления
для плоской поверхности. При такой форме, записи (П1,!в) принимает вид
(t(—Л)Хп-0, (П1.5)
т, е, вид соотношения Зоммерфельда—Рунге [3]. Следовательно, вектор t<—t»
параллелен п, в существует такой скаляр у, что
t^t+yn. (П1.6)
Из (П1,4) вытекает, что
ti=tj-)-n(tj-n—й-nJ.
Сравнив это соотношение с уравнением (П1.6), видом, что
y=t( n—ti -n=.qf cos 0i—f|f cos 0t. (П1.7|
Используя (П1.3) с целью исключения 0t из (П1.7), получаем несколько
эквивалентных форм для у, зависящих от свойств падающего луча:
j
ц2, sinsej 2-r|,cos0(« (П1.8а>
= {ч2<—nJi(I— n-slf)| 2— T)jH-Sf= (П1Лб>
- - IF - *
= {n2i—if.tnXSiHj —n;n-Si= (П1.8в)
= {nS—nMnXsJ2} 2 -nm's* (П1Лг>
Теперь воспользуемся дифференциальной формой уравнения (П1.6):
dC-dtH-Ydn+ndy. (П1.9)
Из (П1.7)4у——i}jsin SidSi+UfSin 0id0f, а из (П1.3) тр cos0id0i=»ilcDS0td0»>
ввиду чего 0» и </0( можно исключить, откуда
Поскольку п — единичный вектор и n-dn=0, то найдя скалярное произве-
дение (П1.9) на п, получаем, что
п-dtt—ndtj-rfy. (П1.10>
Сравнив это выражение с дифференциальной формой уравнения (ПГ.7), по-
лучим соотношение 6-dn—Ъ-</п=О, которое, поскольку do является касательной
к поверхности преломления, представляет собой еще одну форму закона Снел-
лиуса. !
В работе [I] результаты анализа суммируются следующим образом: <Цо
существу уравнение (ГГ1.9) уже содержит ответ на все возможные вопросы от-
носительно свойств пучка преломленных лучей с бесконечно малым сечением, вы-
ражфиыхчереасвойстаа пучка падающих лучей. Достаточно лишь прочесть
этот бтвег и должным образом применить его в каждом конкретном случае».
Возможность Применения уравнения (Ш.6) покажем на примере прохожде-
ния наклонного луча через призму (рис. П.2), Рассмотрим для этого два после-
довательных эффекта преломления в призме с нормалями к поверхностям nt и.
п*; ребро призмы имеет направление е. Тогда, поскольку луч, преломляемы#
первой поверхностью, является для второй поверхности падающим, согласно
(ПЬ?) мржно закисать, что
II* : Ч 295
откуда для результирующего луча вытекает соотнош
Найдя скалярное произведение результата на е tr-e—h-e, получаем, что па-
даКицяй н выходящий из призмы лучи образуют с гранью призмы одни я тот
же угол.
Рис. П.2. Двойное преломление на плоской призме
Можно показать, что тем же свойством обладает двойное зеркало в случае
однократного отражения на каждой поверхности. При чисток отражении
и тогда согласно (П1.7)
?=—-2t]fcos0f.
Заменив Ъ на tr, из (П1.2) или (П1.6) получаем
зг«з(—2псозв«. (dl.il)
Теперь рассмотрим два соседних лгуча в плоском пучке, исходящем из точки
<| (рис. П.3). После преломления лучи (или их продолжения) снова пересека-
ются в точке F. Если расстояние между лежащими на поверхности точками Р
и Р" равно А, то
<fs( ®А sin 0f и dst «=Дз1п0(. (П1.12)
яс учетом (ИМ)
4<ds( - (П1.13)
В полученньи результатах необходимо учитывать знак, определяющий со-
отиотеиие между ds, и dst, от которого, в свою очередь, заряскт, будет ли изоб-
ражение виртуальным (т. е. лежащим с той же сторояы, что и точка 0) или
действительным (т. е. лежащим со стороны, протнвЩкиЕОЖвой О).
Еще раз отметим, что для чисто отражающей поверхности тц»—tjlf и
ХП1.13) пршгвмяет вид
, dst-±ds,. \ (П1.14) .
При атом два треугольннка с гнпотевуз<й Р/>' стаЯ0Нягся кО|Иру»ктИЫми, Ш
«следствие чего для отражающих поверхностей может быть змясаио сооТиоше-
яяе . '?
erd9t*«aid0t- (П1Л6)
А' ' 4 г
1 Л А-- V < ' ; >:
1 Л 1
--------------------------------------------------
траектории луча функция J пред-
Это — соотношения, на которых базируется расчет основных фокусирующих
систем, рассмотренных в гл. 1.
Согласно принципу Ферма, исходя из которого эти соотношения также мог-
ли бы быть выведены [4], на истинной
ставляет собой экстремум.
Риг. П.3. Преломленпе н отражение пучка лучей
Теперь в соответствии с рнс. П.4 рассмотрим ряд преломляющих поверхно-
стей, разделяющих дискретные среды с показателями преломления гц, т,> и т. д.
Тогда в соответствия с принципом Ферма
n4s“0,
И для траекторий всех лучей, проходящих между точками А и В (одна из них
мсидетбьслбескэиечио удаленной), справедливо соотношение
/J'1"
Г Ti^x-conat, (
297
которое для случая кусочно-линейной аппроксимация дос. П.4.) принимает вид
2 ’rj»ds»*=const, (П1.161
в
причем каждый член этого соотношения имеет соответствующий знак.
При рассмотрении отражений на последовательности рефлекторов можно
воспользоваться уравнением (П1.15). Тогда
const (П1.17)
Я
На этом соотношении может быть основан расчет оптических систем с чис-
лом поверхностей более одной.
Ш.2. Непрерывные неоднородные среды
Основная форма уравнения (П1.6) имеет следующий вид:
т)(э<—П<«;-уп. (П1.18)
(для единственной отражающей поверхности). Если эта поверхность оййеывается
соотношением ф(х,у,и)»0, то л пропорциональна Уф и, следовательйб, ротор
(ПЫ8) будет равен Нулю, откуда
УХ(ПЛ<)-УХ(П«»*<)- - (Ш.191
Продолжая эту процедуру сперва дня системы поверхностей, близко отстоя-
щих друг от друга, а затем для среды с' плавно меняющимся показателем пре-
ломления, находим, что вдень траектории луча
yx(^*const жли ~ (Vx»)i)-0. (ШЛО, П1Л1
Поскольку касательный вектор з в произвольной точке Р радиус-вектора г,
dr
берущего начало в точке О, определяется как-^г- =s, то (П1.21) принимает вид
d
откуда — (1)
(П1.22)
_ градиент пространственной функции,
ds
Направление этого градиента должно быть параллельно направлению нор-
малей х дискретным поверхностям (рнс. П.4). Таким образом, он представляет
собой градиент функции, описывающей пространственное изменение показателя
преломления, и в конечном итоге дает результат, образующий основу лучевого
метода, яспадьэуеыого при анализе неоднородных сред (см. гл. 2). А именно:
d / dr Л
VI Ч VJ"^®11!-
а» \ dt/
(П1.23)
Более строгий вывод этого результата можно найти в литературе по оптике
. (например, 12]).
П1.3. Теорема Малюса и Дюпнна
Теорема Малюса н Дюпнна приведена, в частности, в работе Знльберштейна
в связи с принципом Ферма и в работе Ставруднса [4] как следствие соотно-
шения (П1.19). Возможность се вывода исходя нз уравнения (П1.19) представ-
ляет весьма большой интерес с точки зрения перехода к четЫрехиерному анали-
зу. Здесь, однако, дается лишь упрощенная формулировка этой теоремы.
Если система лучей, исходящих из некоторого источника и создающих та-
ким образом вокруг него сферический волновой фронт, отражается или прелом-
ляется некоторое количество раз в если каждый Луч имеет одну п ту же опти-
ческую длину (относительно самого источника или. исходных волновых фрон-
тов), то поверхность, образованная оконечными точками лучей с равной опти-
ческой длиной, будет ортогональна системе лучей и будет создавать волновой
фронт.
По существу, это — иная интерпретация утверждения, согласно которому
после многократного преломления или отражения нормальная конгруэикня (или
ортотомная - система лучей) продолжает оставаться нормальной конгруэнцией,
Н1.4. Уравненне эйконала
Воспользуемся уравнением (П1.20) и, считая произвольную постоянною рав-
ной кулю, закяцкм
Vx(ns)-0 (П1.24)
или qs—VS. rxe S — функция пространственных координат. Ее свойства выте-
кают на того факта, что единичные векторы перпендикулярны поверхностям
S(x,jf,Z)*««const Поскольку векторы s направлены по касательной к лучам в
любой: их утрчие, эти поверхности являются нормальнымн поверхностям^, для
которых справедлива теорема Малюса и Дюпнна, и, следовательно, волновыми
фроитамя распространяющегося поля.
Итад, в соответствии с (П1.24)
VSVS-i^aa» |VS|-n- (П1.25)
239
Согласно интегральному определению ротора из (W1.24) вытекает, что для
любой замкнутой траектории в среде J цз-4Ез=0, и, следовательно,
в
(П1.26)
л .
вне зависимости от выбранного пути. Таким образом, это —другая формули-
ровка принципа Ферма (б |^<й=Овдоль истинного пути луча). Функция $
представляет собой уравнение эйконала (см. напрнмеф, литературу [4]), н его
аналогия с потенциальной функцией в теории спловыД полей, демонстрируемая
соотюшешим (П1.26), еще раз подтверждает наличие взаимосвязи между тео-
рией траекторий лучей и теорией- траекторий частиц.
В прямоугольной системе коордяизт(П1.25) принимает вид
/ЙЗ V , /dS , /dS Y .
( a?) + ('Z7i + (тг) = Т^’
(II1.27J
Аналогпчире «юотношенце йожво получить подстановкой предполагаемого
решения в скалярное волновое уравнение V’u4-AJu«0, где A**<n'V<iw==2.-i/>.;
и— магнитная проннцаемрстьсреды; е—диэлектрическая проницаемость среды;
X —длина Излучаемой волны в.среде.
Обозначив те Же параметры для случая вакуума индексом 0, запишем:
u=A(exp—4*eS), откуда, поскольку ц=й/&, следует, что
Г/<?5 \» /<35 V /й$ \> ’ 1
+Ы +(4) -*/*• +
Г 1 1 1
+ 2й»« I—- v*5+gradA-gradSl + . -
L , А ' J
(П1.28)
Оставшиеся члены имеют конечное значение в предельном случае геометри-
ческой оптики, т. е. когда Аг-*оо. Таким образом, приравняв первый член суммы
нулю, получим уравнение (П1.25), которое выведено из принципа Ферма. Теперь
потребуем, чтобы второй член был равен нулю или
1 1
—grad A grad 5-——V2S. (П1J29J
А *
ф *
Поскольку VS=T|s в grad А‘$«=04/0$, то
Л(а) » А(0) exp I —"z'j
\ И
(ШЛО)
Экспоненциальный коэффициент может быть выражен через Гауссовскую
кривизну фронта волны в двух заданных точках с параметрами Она [5]. Если
главные радиусы кривизны равны к и Л*» 1/(Я1Яз), то
«м ~4"Г*г* top. .(nut)
х <1 / •/
Эти соотношения, по существу, выражают закон сохранения энергии. Пожни
наложение данного вопроса можно найти в литературе [5], где, в частное™,
отмечмегся, что тройка вавимио ортогональных векторов, связанных с иекривлен-
«0 -V/. z .. ,
л >' - ”
? h. ' /
!-Ч. .•••-.4-. • • !••••..• . 'Ч ' • • Е . ....._ . • ; _ ......
ной траекторией луча в пространстве, т. е. касательный вектор s, нормаль п и
бинормаль Ь удовлетворяют «псевдомаксвелловским уравнениям», в которых
f]ti и цЬ играют роль Е и Н, а а — роль вектора Умова—Пойнтннга Ex Н.
(П1Л2)
Ill Л. Операторы преломления и отражения
а) Диадик отражения. Закон отражения (П1.2) s,==S,—2n(Si-n) может
быть Переписав в следующем виде:
2(tin)]sf,
где I — единичный оператор, или идемфактор; (пп)—диадик.
.Свойства диадпка отражения можно оценить, сравнив два этих уравнения.
Можно показать, что оператор Q™Z+-2(ttn) имеет необходимые алгебраические
свойства дистрибутивности и ассоциативности, которые потребуются в дальней-
шем, ио не свойство коммутативности [3]. Итак, чтобы определить направление
результирующего луча после нескольких промежуточных отражений, следует за-
писать
(Ш.34)
srn-Q.Q»_l.,.Q1s<. (П1.33)
Используя свойство ассоциативности, эти операторы можно группировать
произвольным образом (естественно, без нарушения их последовательности), что
существенно упрощает получение результата.
Угол между падающим и результирующим лучами можно обозначить через
ф, причем
cos ф=вА1въ
где через Q обозначено произведение всех операторов (Д 1.33).
Так, например, для двухзеркальной системы с нормалями щ и н»: 0“
“ QxQi = [/—2 (n:Hj) ] [Z—2 (П(я{) ] = I—2 (п2пг) —2 (nthi) + 4nt Па (mn2), откуда
sr|»Si—2л-П1Щ—2si*fiiHi4-4ni*naSiiiinz. (Ш.35)
Если линия пересечения зеркал задана направлением с, то e-ni=e*n»«Q и,
следовательно, e-sr,=e-Sj, и луч, как и в случае призмы, совершает поворот
вокруг е, >
Посколькуто достаточно широкий лучок лучей, как правило,
разделите*Фа два отраженних дучка. Есин зеркала размещены под прямым
углом, будет самсюопряженвым и последовательность отражений
^aaaKo Ни одна из таких двухзеркальных систем не в состоянии
зд иапрамшпе каждого падающего луча, как это ' делают
„вчсвстемы.
•^ЙЙЙЙ*1ЙЙ1'Р1'-Й случае преломления анализ оказывается бо-
ле»яложгамва/Иэ (Ш.6> и (ШЛ)
. О. / о
«лл.; 11 47
ty .?**'!!!*!fa. '' 1 S{J ’“J- fl | 1
, ifc V
6s
п; - -
2
(П1.36)
: ’ Найд* «аляраое произведение с п, откуда
f w? \.L
aosfywrl l——- ]a ,
V 4? /
можно доказать. что это — одна из форм закона Снеллиуса.
301
Обозначим Я(/П1=Ч1, п •»<«=•—р и — (n-sf—cos0i)=a.
Я*
Тогда (П1.36) можно переписать в следующем виде:
I / 1— Й»\М
«= 0Р. 1 + - 1" I дай а — (Lpq. (П1.37)
V.. 1 .’=• !•*%• . Г'\ /
Теперь (Ш36) пршивйает вид
•»»()(/—(П1.38)
откуда Я--Яйндик преломления.
Как Отйечейа ЭЙЙбВрштеЙном [3], q содержит р в явном виде, вследствие
чего Я не обла даеТШбЙспюм дистрибутивности. Однако Я имеет вполне кои*
кретяое обращение (пр
= р”1 [/--3- *Пп 1. (I11.39J
L Ч~1 -I
Обобщёнда представляет собой результат преобразования луча и может быть
получено из Я путем подстановок тр-*—м}( и 9(-<—н4. Оно ограничено условием
полного внутреннего отражения, так как
\1т,
д~1 | \ +1-₽«+₽«р«//
которое становится мнимым при T|i/t)i<sin О».
в) Кватернион отражения. Вернемся к законам Снелл нуса для отражения
(П1.1), которые Могут быть представлены также н в следующем виде:
n s<“—п-Sr; nXSr=—SfXn.
После сложения получаем
—n>Sr+«XSr“ns(—SiXn™—[—«ги+siXn]. (П1.40)
Такая комбинация скалярного: и векторного произведений представляет со-
бой произведение двух кватернионов с нулевыми скалярными элементами (при-
ложение 2).
Введя обозначения ЛГ«*(О,п), /?а«{0, з,) и /=(0,з<), уравнение (Й1.40)
средствами кватернионной алгебры можно теперь представить как NR=-~IN.
Следовательно, при однократном отражении R=K~4N. Для систем» с мно-
гократными отражениями после т отражений
.Nm (П1.4Н
илиКя»™(—где Q— единичный кватернион (произведение
В качестве примера рассмотрим трехзеркальную систему, показанную на
рис. П.5. Зеркдао, раслоложеиное в плоскости х, у, имеет при вершине угол W,
а два Других зеркала пересекают его плоскость по осям л. к у с наклоном в и
Ф соотиетсгоейна. Вследствие того,что произведение кватернионов не обладает
свойством коммутативности, порядок отражений от зеркал будет оказыватьлВЛиЯ*
нне на конечный результат (что, кстати, очевидно и с физической точки зрйИяя).
Если отражение Происходит сперва от зеркала <0, затем от зеркала ф и,нако-
нец, о? горизонтального зеркала, то в итак пядаюшегр луча с наяравлйкшийгм
косдауЁамаг (4 m, п) отраженный луч будет иметь следующие направляющие
косинусы: s '
с<9 2ф+тзш 29 sin 2<p—п cos 20 sin 2<p;
П—mcos284-rtsin20;
.. C“—{•(n?ф+т einSOcos 2<p—л cos20 cos 2ф.
(П1.42)
При 0=<р=я/2 мы имеем обычный трехгранный уголковый отражатель. t
В этом случае (Е; i), £) = (—I, —tn, —и), т. е. луч отражается в исходном на-
правлении. (
Весьма интересные результаты можно получить, подставив в (П 1.42) Значе-
ния в"л/2, ф=я/4 и 0=н/4, <р«=п/2, что дает возможность оценить отраже-
ние на отражателе с наклоном одной из плоскостей под углом 45°. Вместе с
Рис. П.$. Траектория луча в трехгранном отражателе
полностью оцёнить свойства, отражателя можно, лишь рассмотрев все комбя-
днт сперва на Плоскости <р, а затем на плоскости В, то в* (Ш.42) следовало бы
Анализ более сложных”случаев преломления и соответствующих кватернио-
пыпллйк п мЛггге Йагнепа 171. 1
затёрниои представляет собой
тем полностью оценить свойства отражателя можно, лишь рассмотрев все комби-
нации очередности отражений. Если в приведенном примере отражение происхо-
дит сперва на плоскости <р, а затем на плоскости В, то в (Ш.42) следовало бы
произвести замену h—»-т, Е*—и], 0—м₽.
Анализ более сложных Случая» преломления й соответствующих кватернио-
нов выполнен в работе Вагнера (7J. ' .
г)МвЦМи отряжеШ*. Кватернион представляет собой алгебраическую
форму. жнТрзЙЙДО пли тензорного оператора — приблизительно так же. как ком^
пдекс&с^ Яфсяр црёмстввлает собой алгебраическую форму вектора. Таким обра-
ЖЛ-'РйдМмйш, полученные в п. «в» должны иметь матричный аналог, что под-
тверждается ряботой Беттса {8].
В случае шюсхого зеркала, поверхность которого определяется уравнением
Ах+вр+Ся+Д=0, направляющие косинусы отраженного луча связаны с на-
праыяющюакосинусамя падающего луча посредством матрицы М:
-2AB/F* -2ACiF* \ ( 1\
, l~~2B*/F*
—2ВС1Р*
Л\ /1-2А«/£»
(Ч 1 = 1 -2AB/F*
\С/ -2АС/Р
где Л—В’+С1.
—2ЙС/Л
1—2C*/f=
(П1.43)
ЗбЙ
Последовательные отражения рассчитываются путем последовательного пе-
ремножения матрац отражения.
В технике СВЧ такие комбинации плоских зеркал играют основную роль при
конструировании уголковых отражателе цди их систем [9]. Подобные конструк-
ции позволяют избежать появления «слепых зон», которые могут иметь место
при использовании одиночных трехгранных уголковых отражателей. Взаимосвязь
между такими системами ц свойствами симметрии в кристаллах совершенно оче-
видна, н, таким образом, не следует удивляться тому, что некоторые из нсполь-
зуейыхв технике СВЧ Методов находят применение и при анализе кристалли-
ческих структур.
Ее?» рарайтрНЯеть отражения луча от системы зеркал как однократный цо-
воротлучана зеекхигорый угол относительно оси и при этом параметры луча и
угол онрИИелять рассмотренными методами, можно установить взаямо-
'.саязь шодймер, кватернионами, вращениями в трех- или четырехмерном
пространсУвр. «г группами симметрии [10].
Д1 ПроекУийое отображение при преломлений. Четыре лежащих в одн<й
плоскости прямых, проходящих через общую точку. О (рис. П.6) я пересекаемых
другой Прямой в точках Р, Q, R п S, обладают следующим свойством:
PRJOP=sin (pr)/sin (OPR),
где (рг) — угол между прямыми р
против часовой стрелки).
г (положительные углы отсчитываются
я
Рис. П.6. К. принципу проективности
Таким образом, можно записать
PR OP sin (pr)
QR “ OQsinfor) ‘
Обозначив это отношение символом PQR, отношение отношений можно
представить Как
______ ₽QR sin(pr) | sin (рх) pgr , , — -
(Ш.44)
\ '
'..................................................
Это выражение определяет ангармоническое отношение между точками Р,
Q, R, S или отрезками р. ч, г, s. Оно зависит только от значений углов между
отрезками и не зависит от положения секущей I. Оно накладывает на четыре
величины некоторое условие, в силу которого при заданном ангармоническом
отношении трн любых точки или прямых однозначно определяют четвертую.
Это свойство остается неизменным при любых секущих Г и при любом дру-
гом положении исходной точки О', которая может также лежать в другой пло-
скости. Доказательство этого фундаментального свойства можно найти в лите-
ратуре [11]. Соотношение (П1.44) называют инвариантом при проектировании
из точки, а точки (или прямые) называют проективным отображением.
Рассмотрим теперь случай преломления луча на границе двух сред с пока-
зателями преломления Tft н т|х. Обозначим падающий луч через р, преломлен-
ный— через ч, прямую, делящую угол между ними пополам, — через Ь, а нор-
маль к поверхности — через п (рис. П.76). Тогда, как показано Кэмби [12],
sin (рп) Tfe sin (рЬ) == _ j
sin(^n) ~ Th з!пДО)
н, следовательно, (pqnby=—Цг/щ.
Рис. П.7. Проективность преломления п отражения
Итак, закон Снеллнуса определяет проективное отображение на преломляю-
щую поверхность, которая, таким образом, остается инвариантной при проектив-
ных (или инволютивных) преобразованиях плоскости (или линии), содержащей
лучи (ни точкя) и поперечное сечение преломляющей поверхности.
В случав рефлекторе sin(pn)-»stn(?rt) и (рй)™—(?&). откуда (wn6)=—i-
Переход от точек и прямых к прямым и плоскостям производится всоответ-
ствии с принципом дуальности — от меньшего к большему числу измерений [12].
СлсментедНо, процесс преломления, определяемый изложенным способом, сви-
детедаствуеКо релевантности некоторых преобразований, например инволюций,,
упомяяутых’и гл. 6.
Ш.6. Фокальная дания рефлектора
Если система лучей, исходящих из точечного источника, отражается от поверх-
ности с известными свойствами, определяемой уравнением f{x, у, z)=const, то
лучи будут пересекать любую заранее заданную поверхность в точках, которые
могут быть найдены непосредственно но закону Снеллиуса. В тех случаях, ког-
да ути тачки лежат на одной и той же кривой, данная кривая будет представ-
лжть собой фокальную лишне рефлектора и заданной поверхности, например,
jH' дзлиндрических рефлекторов н дерпендикулярной плоскости, проходящей
чеМз^иЁточШк. В этих случаях фокальная линия, кроме того, представляет со-
бой прперечиое сечение волнового Дюойта нулевого порядка, необходимого для
однмеяеНия теоремы Дамиена;
Нормали к поверхности в точке Р (а, Ь, с) имеют направление
- _ grad ft»
Падающий луч з<, исходящий на точки (d, о о), будет иметь
* = ------:---------“t~.
{(a-d)?-|-b»-|-c»}2
Следовательно, преломленный луч будет иметь направление
I
направление
(П1.45)
(a —d)i4-d j + ck —
{(а-аП + й’-НП5
\ dx 9y дг J\ dx dy
' ( df V J 7 AS
причем все производные берутся в точке Р.
Если
Л Г. Л df t df
==D я j (a —<f)~ +b-7-
l dx oy
(П1.46)
(П1.47)
(П1.48)
то направляющие косинусы s, определяются как
df
I = (в — d)Dt — 2-/-В;
0х
а/
msblP — 2~В;
BScD»~ 2-—S.
д*
«г Уравнение луча принимает следующий вид:
(x~-a}fl*(y—i) /tn~(x~~c) /ж
-Эти линия пересекай заданную поверхность в точке, которая перемещает-
ся ио мере Ифбийммня точки (а. Ь, с) на поверхности рефлектора. Поэтому,
исходя из условия f (а, б, с) ««const, одну переменную в этих соотношениях
рюжиа .нсзииипть. Для некоторых поверхностей и рефлектора* могут быть
церийенмые, что приводят к системе точек с одним параметром,
йляиня.
Ш.7. Отражение и преломление в средах с потерями
Решение, полученное с учетом граничных условий и позволяющее получить
выведенную форму закона Снеллиуса для преломления, относится к случаю
падения волны на свободного пространства или среды с показателем преломле-
ния тр на «юлубесконечную» не имеющую потерь среду с показателем пре-
ломления тр.
Полученные здесь результаты обобщены [53] на случай, когда вторая среда
нмеет потери и, следовательно, характеризуется комплексным показателем пре-
ломления
n<=ni+i^- (Ш.49)
0 соответствии с принятой в приложении 1 системой обозначений обобщен-
ный закон Снеллиуса имеет вид
sin 0t=[ni/4»sin0f]F 2,
где
F == —
2
(ШЛО)
-(4-^ + ^sin* et)4-[(Tg-K*-Hgaiii»6i) +
К? - T|7sin= е( (1- №/т^)
+ <( — *li sitf M - **))]
(П1.51)
(П1.52)
ft, =
Случай К=0 соответствует среде без потерь.
Коэффициенты Френеля для двух условий отражения от поверхности разде-
ла с потерями имеют следующий вид:
1) для поляризации, перпендикулярной плоскости падения:
яп’ (б(—е() 1— j (————)
\ Лг / \ smfli cosOj /
sin^ у * -
sinftjcosfy J
2) Для поляризации, параллельной плоскости падения;
„ АГ с верхними знаками
о w--------------:----------, где
я с ннжнимн знаками
( Л, sin* 0j (cos 29{ -f. cos1 /J
„ 4 *sin*Oi__________ cos0tsjn0£ / , r ,
<>-4-4
. о J m m - 4sin9< \
” cosOjsinfy \sin22e< cos’ef+ sin2fl( cosfy } ’
При имеем ураннетше Френеля для сред без потерь.
(Ш.53)
Если рефлектор имеет профиль Л-б (ряс. П.8в) и возбуждается лучами,
исходящшинз точки начала косфднцат, то ф=Ф'-л/2, ф'=а+в и 2а«ф—в.
В прямоугольной системе координат профиль рефлектора определяется как.
(еФ-Г(я)-—ctg
(П1.54>
307
Если же профиль задан в полярной системе коордя^^(г, 5), то согласно
закону отраженна (рнс. П.86) tg a-dr/rd (в) и, следовательно,
Рис. П.8. К. выводу дифференциальных соотношишй для рефлектора
Если, как показано в гл. 1, величину <р можно представить как фуикпию
g(9). то уравнение (П1.55) поддаётся численному интегрированию, что дает
Щг/г,) ~Jtg—{f(fl) —8}d0, (П1.56)
где (г№ 0а) относятся к исходной точке А.
ПК». Условае скиусов Аббе к усдовве Гефшеля /
Во всех оптических системах с числом поверхностей более одной каждая нз
этих «допоанительных» ооаерхкостей позволяет придавать Дояодгаятельные свой-
ства фокусируемому пучку луче*. Для двухпоеерхиостной осесимметричной сис-
темы одно «з таких усжжк* состоит в тем, что лучи, исходящие из одного нс-
308 - . z
точника, должны ВВть сфокусированы на второй источник, расположенный в не-
которой окрестности первого. В связи с этим следует рассмотреть два следую-
щих случая: вторые фокусы смещены в поперечном направлении относительно
оптической осн системы н втоиые фокусы сметены в осевом направлении
(рис. П.9).
Рис. П.9. Траектория лучей прн малых смещениях источников
Примем, что Р п Рг — фокусы, лежащие на осп. a Q и Q' — фокусы, сме-
щенные относительно осп. Индексом ' будем обозначать свойства, относящиеся к
пространству изображений. Рассмотрим лучи s и t. исходящие из точек Р и Q
и направленные на центр и край раскрыва. В пространстве изображений им со-
ответствуют лучи s' И f И ТОЧКИ Р' И Q';
Для любой замкнутой траектории луча согласно (П1.26)
/w т]з ds ^0.
Считая такой замкнутой траекторией петь PP'QQP сначала для лучей s, а
, В
затем для лучей t n записав, что J ... я>{.45), находим, что
б/и» {P/x4-aT4-Q'QH-d(} для лучей s.
— -f-aT+Q'Q-l-dt} для лучей t.
Поскольку tyP'} Для лучей s равно {РР'} для лучей t и, кроме того, тре-
буетсяЧтобы (уОЭ ДЛя лучей s было равно (QQ'} для лучей Г, получаем, что
это сооткоцрыше бтдет выполняться, если для dZ н dl' будут удовлетворяться
(П1.57)
Дня малых смещений dl уравнение (П1-57) можно приближенно предста-
вить в виде следующего соотношения:
Ч(а-Г)-dl', (П1.58)
т. е. в вкде закока Брюна [1].
<."<< 309
Если смещение dt перпендикулярно осн системы, второе из уравнений
(П1.57) дает следующее приближенное соотношение:
nd/sine-ifdfstnO', (П 1.591
т. е.условие синусов Аббе [2J.
Втом случае, когда мнимый фокус лежит в бесконечно удаленной точке,
интеграл 7 вдоль луча $, исходящего из точки Р, должен быть равен интегра-
лу вдаль любого луча I, исходящего на точки р и прерывающегося в точке
встреча с соответствующим лучом t'. Другими словами, условие синусов выпол-
няется, ейИ асе точкн пересечения аадающнк и исходящих из системы лучей ле-
жат на окружности, центр которой совпадает с положением источника излучения
(plfc. ttiOj- Это условие может рассматриваться [2] как ограничение для соот-
ноптедая (П1.59).
Рис. П.10. Использо-
вание условия синусов
при фокусировании на
бесконечность
Если же рассматривать смещение dr по оси симметрия, то из (П1.5Й) лег-
ко получить, что ,
T]dr(I—cos 0)1—cose'). (П 1.60J
Это — условие Гершели для осевого смещения фокуса. Оно, очевидно, не-
совместимо с условием синусов, с которым оно совпадает лишь при малых зна-
чениях угла 8, т. е. в случае параксиальных лучей. Таким образом, ни одна
оптическая система не в состоянии одновременно создавать идеальные фокусы
в точках, смешенных в поперечном и реей* направлениях, при наличии точеч-
ного источника, смешенного относительно его идеального положения.
ШЛО. Плотность потока, рассчятываемая при анализе
распространения лучей средствами геометрической оптики
Здесь кратко изложен метод Буркхарда— Шали [14], позволяющий уста-
новить соотношение между скалярной плотностью энергии в отраженном или
преломленном (несфокусированном) пучке лучей и энергией падающего поля, а
также формой отклонаошей поверхности.
В прямоугольной системе координат положение точки, лежащей на излу-
чающей поверхности, определяется криволинейными координатами (к, с):
г-х(и, v)i+f/(u, c)j-f-z(u, о)к,
а положение точки, лежащей на облучаемой поверхности, координатами ((7, V),
где
R=X(U, Vji-WU V)i+ZfU, УД-
Луч, падающий с направления а, отражается поверхностью в направлении
А«а—2п(а-п),
где п —нормаль к поверхности рефлектора.
310
I
11
В случае преломления [см. (П1.6) и (П1.7)]
А = — а 4- J co&0f——- cos &J п.
4t (.Че J
Из этих соотношений могут быть получены направляющие косинусы линии,
соединяющей точки (ж, у, г) йа первой поверхности и точки (X, Y, Z) на вто-
рой. Косинусы обозначим через I, т, п, причем каждый из них является функ-
цией и и р.
Введем определения [14]:
'дг dr X
V X —) ;
ди av I
р = (7-г)М, Z,
К dr d Ад Iд А dr [ |
ди до/ \ди да / J
, - a a За
/1 = а’7Гх^7:
0U ОД
dR <?я
- dU*dV
' gj'l '
| Л/ Хд¥ |
Поток энергии, падающий на элемент dSi рефлектора пли рефрактора, оп-
ределяется как fn»B=ecos0tdSi, где с-—плотность потока падающего луча,
которая может являться функцией 0<.
Тогда поток приходящийся на единицу площади приемной поверхности,
можно представить как
Гпр=р<тсозО< AS^dS,, (П1.61)
где dSj — площадь, отображаемая на облучаемой поверхности лучами, прохо-
дящими через элемент dSi отклоняющей поверхности; о — коэффициент про-
хождения или отражения.
Ввиду того /что
[dr dr I
dSt« — X — dado;
1 J ди Sv |
•***— x I dl/dV
dU dV Г
im.e»
(HLW)
- . [dr dr
po cos Of cost H~X —
I du да
ЧЙ 111 '!1 1
IA + p Л+P* ЛI
Соотиошеяие dudv/dUdV может быть найдено средствами дифференциаль-
ной геометрии.
Урмйрнщ каустической поверхности определяется сингулярностями (ПЕ63),
ШИТОМУ
Л+рЛ+pVi-O (Ш«)
Реши* это уравнение как квадратное относительно р и учитывая, что /», h
в h ^-функции только нно, находим уравнение каустической поверхности:
R.»«>t->r(u, o)+pfu, о)А(А (П1.65)
.'Г
зи
' 'i
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
П2.1. Круговые полиномы
Применительно к теорем оптических аберраций круговые полиномы Церии-
не [J] могут быть записаны в следующем виде:
[(п + т-24)/2]Ц(л —m-2fc)/2]l ' Ы * ,n2J)
где (и—m) —четное положительное целое число (в противном случае
Кроме того, ял можно представить как
р« If) — f—"-------!-------/ —£—y"_m)/2 / (m_|_n)/2 ( 2 _ jUn-niJ/2)
" Г{И-т + 2)/2] \d(r^ ) ' > }
(П2.2)
или же, для более частного случая, как
Я? <г) = (-1 )<«-"•)/? + *)/2 j /»/•,•««+» + 4/2, - (л - л») /2;
т + 1; г»}. (П2.3)
Полный вывод этил полиномов, включая дифференциальное уравнение, ко-
торому они удовлетворяют, можно найти в работе Чако [2]. Здесь приведены
формулы для полиномов Цернжже Я“«(г) (»<10m<10); Я"я(г)=0, если (п—
—т) не является четным целым "числом:
Я*.-1 Л’т-Збг7—60г‘+г’—4г Я37-21г»—ЗОг’+Юг1
Я‘,-г Я’,-г’
Я*1в2г^—1 Я»,-г» Я%-70г’—140г«-|-90г‘—2Ог’+1 ^Ч-йбг*—J05r«+G0r‘—!0г»
R’,-3r>—2г 42г«+15г»
Я»,=г» /г%=»8г*—7г* Я*.=г*
бг*+1 Д\-4г*—3г» Я*,- 12бг»—280г7+2Юг’—60г’+5г
ЯЧ-г* Л3,-84г’—! 68г’+105г5—20г1 Я'.»36г*—56г’+21г»
ЯЧ»>10г«— 12г»+3г
Я»,-5г»-4г» H*t=r*
Я’»“Г4 Я%. - 252г«—в30г‘+560г«—гЮг’+ЗОг’—-1
Я\-2(И-30гЧ-12г*— 1 Я*1.-210г«—504г’+420г’— 140г‘+ 15г«
Я*««15г<—20гЧ-6г* Я’1.= 120г”—252г<+168г»—35г’
Я‘«-8г*—5г’ Я*»-45г«--72г«+28г*
ЯЧ-г« Я^и-Юг*»—^
t 4 j. сП* Я'»и-г'»
ф
Сравнив (П2.3) с одним из возможных определений полиномов Якоби [3]:
(П2.4)
видим, что
'*?«-(- /» (I -2г’). (H2.5J
Если т=0 и, следовательно, п — четное положительное целое число, то по-
линомы Якоби сводятся к полиномам Лежандра, и (П2.5) принимает вид
^(r) = Pn(2r>-l). (П2.6)
Исходя из ортогональности полиномов Якоби и Лежандра можно полу-
чить условие ортогональности для круговых полиномов:
1
| ^ят(г)Л,"-(г)г<(г-ая.Р/(2п+2), (П2.7)
где 6П,Г—символ Кронеккера.
Согласно преобразованию Гаккеля для полинома Якоби [4]
f °’(1 ~ (ил) rdr = ~ (П2.8)
J «и
о
Для случая круговых полиномов (о=1) получаем уравнение (3.37), т. е.
1
| Я»“ (г)7« (ar)rdr- (—1) < (и)/и, (П2.9)
Обращение Фурье—Бесселя для которого имеет следующий вид:
(^»)<rt-fl,,/2^(d = f4+1(r«)zm(«)<f«, г<( (П210)
D
“О .г >1
По рекуррентным соотношениям для полиномов Лежандра и Якоби могут .
быть найдены следующие рекуррентные соотношения [3]. Согласно выводам
Чако [2]:
2 (« + (г) = (л + т + 2) ЯД? W + («-«) ^”-1 И (П2.11) ,
и согласно выводам Мй}шка [5]
(2/>+4)(«+«!(«—ш)/?тя_3(г)4-{2л(л—ш+2)1+(2л+4) (n+m)=—
—2л/1(2л-Н) (2п+2)}/(," (гН2п(и—т+2) (п+т+2)Л’"я+г(г) »0. (Л2.12)
имеем
(л—ш+2) (л+т)/?«*-*(б)—{2пЧ-2т»~2т(2т—2)/гЧЯя™ (г) 4-
4-(«+л4-2)(л~Л)Яя"+*(г)=0. (П2.13)
В работе Чако также приведено следующее соотношение (скорректировав-
ное):
d
— Я*»(«)-2вЯ*я-1(г)4-2(л—2)Л1я-»(’')+-+4Л‘1(г): (П2Л4)
Лг -j-
Коэффициенты я» для случая равномерного возбуждения представляют со-
бой элементарные функции для всех порядков преобразования Ганкеля. Они
определяются уравнение (3.42)
';> -'.'г"' .' 313
1
tfnm = 2 (в + 1) [ f (r) (r) rdr,
.. .. О
которое для случая однородного возбуждения, т. е. при f (г) = 1 сводится к сле-
дующему:
(П2.16)
При использовании преобразования Ганкеля нулевого порядка применитель-
а к пвйииоииальиым функциям НО вычисление коэффициентов аг,+( в (3.41)
Целесообразно проводить с привлечением следующего интеграла:
аг<;ч-^гХ.+1, <•>»> 1П2-,в>
В заключение, учитывая соображения, изложенные в гл. 6, целесообразно
отметить, что как Чако, так и Мирик (ссылающийся на Церннке) считают со-
вершенно естественным распространение теории круговых полиномов на решение
уравнения Лапласа в полярных координатах для пространств более высокого
порядка.
П2.2. Функция Бесселя я другие родственные иж функции
Здесь приведены основные функции Бесселя и другие родственные нм функ-
ции, а также фундамевтажише соотношения, которые могут оказаться полез-
ными при выводе преобразований Гашселя я Ломмеля в виде бесконечных ря-
дов методом круговых полиномов [6]:
2. ^n-i(2)+/n+i(z)-2n/z/n(z).
3. J, -! (z)—+t (z) -2?« (z).
2«
4. Zn(z) = J cos(nO—zsin6)d0.
' о
5. 7B(p+z)- 2 '«W—W-
m»— qo
6* ; •
Sin(zsin 0) = 2 2 Ja.+i(»)sin((2n-|-l)9];
cos (z cos в) =s J, (z) + 2 2 (-.IfkfowH.
cos(3 3100)«22 (-If AiM-iю«"№» +1)®b
Hwl I -

7- — = 4" {2V, (z) - 4V4 (z) + 6V, (z) + .
2 2*

«SZ=— {lVi(4-3Vz(z) + 5Ve(z)+ • • .}.
«>
i = /,W+2 £/«.•«;
Я«1
(CM. [61)
(1 \л»
— И
V.
W=H)
fl
10, Ev(z) = — Qv(z) = —Jsin(v0 —zsin0)d0
о
(функция Ангера—Вебера, см. [6]).
11. Q„(z)= ’• JJ
SvO
-4--/.W + ХтЛт A.W
я n iJ 4s2 — na
s=l
12. Ge(z)H-2S>t(z)'+2Q«(z)+ - =0;
Q»(z)—2fl»(z)+2Q«(z)—... ®sin z;
2[И<(д)— fl*(z)4-ffl»(z)—... ] =— cos z.
(I \2rt-J-2m
T2/
ia- ’fnA2)1* mt (2л 4-m)l [(» + «)!]*
ЯГ—9
14.-^-+J] (“l)'nA(^) = °. ^>0
1 , 1 Г1 0* + 2ПГ(о4-0
(CM. [6D
(четные л);
(нечетные л).
(CM. [6D.
(см- [61L
/
^“'T(v+6 Д-------------------а------х
issO
X А { — (; р. 4- С V + 1; а») <2)
(см. Эддерли, «Высшие трансцендентные функция», т. 2). Это соотношение ио-
жет быть также выведено из результата, полученного Мак-Робертом [7}; оно
совпадает с уравнением (4.9), полученным в гл. 4. Следовательно, при у*=п и
Ц—V—1 -
Y J„ (z) ~ Y £j (-1)‘ (л + 24 +1) 4+аж (z).
f»0
* 316
Таким образом.
А (*> 2( - °* + ° 7*+1 w •
о»
А (») в 1)(2*4-2)^M+aW и т. д.
16; Модифицированная функция Ангера—Вебера [8J. Из соотношения 10
может быть получена модифицированная функция Ангера—Вебера
При целых значениях
Фхя (г) «Ci» (z), но
«.n+1 (г) - Ct»+i (г)+
2
(2л -}-1) л
Основные нитересуюшие нас в данном случае свойства могут быть выве-
дены исходя из свойства функции Ev(z). В частности, интерес представляют
КВа следующих выражения:

-гЁ-Й^Й+йГ'“и-
" 4S5
*’• *«- -4г f J Й3?- S °-*™-
—О —“W ' 1 д»
18. 0,(3) = -Ма ю + 4-а ю+4-aW + -. ) -
п 1 о о /
(-1)‘ (a/Z)2»
Г1 г Is
£
2
20. Поскольку /п (ЛГлф) =

Г:
А (^ - g 8-fe.tg± °- (-1)1 4+xi+i(^)«:+a, W
Nx
\ ..
21. Аналогично
1 1
(- *)' f ^+2, (У) ^+1 (№) dy = (- 1)’ J w /„+*+! (*y) dy.
о °
2л
22. J exp(i { — n 6 4- « г cos 9 4- p r sin 0}) d 0 =
о
= 2л exp [f n arctg (a/₽)l Jn (V«* 4- ₽a г )
f V 2 (s +0 J,+1(«)
23. J (ur) rdr- 2j s(s’4-“2) й '•
t* нечетное
f V 4(s+0
J Jt(ur) rdr = £ s(s4-2) -----и---- :
» нечетное
Г. . . . в /.(«). 36 /,(«) . 16 3. («) 60 /„(«) ,
J/,(«r),*-7- —+——т—
j 2.(«,)Л- — — +-ц — +й — + м „ •
да Г 1 1
е*"“ Г I л I
24. —= j-----------------— Je (иг) exp [-г- (и* — А1) 2 zj , ft8 = z*4- га>
° (и8 — А8) 2
где верхний знак берется для z^O, а нижянй — z<;0.
П2.3. Функцию Грина — собственные интегралы волнового
уравненил
В соответствии с концепциями, нзложениыын в последней части данной
книги, ознакомим читателя с четырехмерным ‘скалярным анализом, позволяв-
шим вывести функции Грина [9]. Эти функции обычно определяются для трех-
мерного пространства, и теорема Грина (в векторной или диадной форме) пе-
пользует их св&йетаа [5].
Для четырехмернрГ'о пространства теорема сходимости — применительно к
величине, которай может быть разложена на ^четыре составляющих — может
быть записана в следующем виде: z 1
Г/вЙг. V С
J (-Ж“ + -Эу’+~^" + 'аГГ Т= J + +
т . н
(тел?)
где т — гицерпространство, содержащее три действительных измерения н одно
комплексное { измерение; Н — гиперплоскость, содержащая два действительных
и одно {-намерение; 7*. /„ 1^ — направляющие косинусы внешней «нормали»
к Я; £теТс4''5
Пск аиалогин с трехмерной теорией введем четырехмерный оператор О
(см. гл.в). Тогда волновое уравнение для исходного поля fix’, /, z7, г) прини-
мает вид ' /~ -
□ У'. D- - (П2Д8)
♦ 317
Произведя в (IJ2.17) замену 1Г- ({/□/— VEJU), находим, что
J(ya«K-FD»t/)dT= * (П2.19)
Это — теорема Грина для четырехмерного пространства.
Есяи -в — такой четырехмерный радйус-вектор, что Й’«2(х-х')1, то реше-
ние «ад Ry=0.
ЗшюооМйв точку поля Р(х, у, г, ^) я малую полусферу радиуса Р*=а и
подставная (П2.19) ф/™ф, ¥*=Ц1р, находим, что
X Я
поскольку O,U«^^(jt/y'z'5'); где Я — комбинироваанаяповерхность, состоящая
нз малой гиперсферы, окружающей точку Р(х, у, z,£), гиперсферы бесконечно
большого «радиуса» и находящегося между ними пространственно-временного
континуума.
Для малой гиперсферы
Используя гиперсфернческне координаты >
х=У?со5 01, (O<0i<n);
y=/?sin0i созбъ (О<0»<я);
a=R sin Bi sin 0» cos y, (0-< y<2n);
5—R sin 0t sin 0x sin <p,
легко установить, что «площадь» малой гиперповерхности, на которой ф==
=сопз1=фр, может быть определена как
И Я ЗЯ
Г] f o’ Sin10j sin 0z <20i<ftM<p—Зл’а’.
Поэтому, когда малая гиперсфера стягивается в нуль в точке Р, интеграл
по ее поверхности
Г/2.И_,Д
) Ы &V
-и1 0 ф
a dR '
4я»фр.
Вследствие этого (П2.20) принимает вид
Можио доказать, что интеграл но поверхности гиперсферы с бесконечно
большим «радиусом» стремится к нулю, если в предалвпоЛИ подчиняются ус-
ловию иашучения ла бесконечность. Таким обратом, Я в (П2.21) следует рас-
сматривать лвшь как гиперповерхность, содержащую тоаокушюстъ всех про-
странственных и аремеякых точек.
Ирсяогтегркруем лвяую часть по времени
rxeR’^tx—х')14-{у—jf,)r+ (х—z'P-F
_т\ . ' • . л.. ... i • • .'.--с
Примем, что временная координата в точке Р имеет нулевое значение, т. е.
Р**Р(х, у, г, 0)* Тогда
где г—действительный трехмерный радиус-вектор, соединяющий точку источни-
ка с точкой Р»г/.
Тогда
' “ - " f** <пгя|
—• с
где (р,ц)^-комплексная плоскость, а контур С (рас. П.И) содержит действи-
тельную ось. Полюсы подынтегрального выражения расположены в точках
»=±ip. Это противоречит обычному трехмерному анализу, когда полюсы рас-
доложены на контуре аитегрироВанняи для получения основного значения нри-
ходхтсжвыбирать оптимальныйметод. Если контур замкнут бесконечным по-
лукругдо в ляжвеЙ оолуйЛоскости, полюс выбирается только в точке р»—4р,
Ч»’м«, адЛужг показано далее, запаздывающие, потенциалы. Если бы кон-
тур быд аамквуТ в верхней полуплоскости, содержащей полюс в точке |i-i₽
(чтоарнроДОЙ? <Й* .< отедеЖаюшлм потенциалам), то методика анализа остава-
ласьбы,впрянцияе, той же. Теперь, согласно (П2.22)
/(<«»0)«2я/{зычет//(р*-{-р*) в точке р-=—(₽},
>—-<pl и’+р* j
Г ‘т
-*₽)
319
Отметим, что при д=ф, —i|r—г7) =y=icf и
r= ~lLz<l .
с
Отсюда
В момент t для точки Р по аналогии получаем, что
/(х. 9, г, 0 = - ~-”т / (< 9', z',t- 1 ) .
[г — г | \ с /
(П2.23)
т. е. запаздывающее значение f. Отметим, что коэффициент л «превращает» че-
тырехмерный коэффициент 4гс* в (П2.21) в трехмерный коэффициент 4л.
Здесь видны те трудности, которые связаны с наличием распределенных
источников, когда точка Р может находиться вне области г7 и, следовательно,
|г—г'| становится равным нулю. В этом случае оба полюса совпадают с точкой
начала координат, которая лежит на пути интегрирования, я необходимо искать
основное значение (по существу, это— среднее значение «опережающего» и «за-
паздывающего» решений).
Теперь 7(х, у. z, t) определяет функцию Грина для заданных источников
/« /, /, Г).
Так, например, если / — импульсная функция в точке (г, /), то
в । г | с” ] в ^ИM^УJIЬC^^ (П2.24)
если же f — гармоническая функция dexp(±W), то
, — я ,,,, — яЛехр(+ — г71)
1 “ । г _~г< j' И тар (±«<в 0 + I г — г' [ /с] =-|г—/7|~---Х
X тар(± i ш /') = — 4Л* 0гярм. (П2.25)
Подставив полученные результаты в (П2.21), находим, что
tnsae)
о W
где о — реальное трехмерное пространство, содержащее источники /, а измене-
ние знака учитывает тот факт, что теперь нормаль в поверхностном интеграле
направлена внутрь.
В принципе, далее следовало бы показать, каким образом от поверхностного
интеграла я (П2.26) можно перейти к стандартней форме, приведенной в одной
из таблиц 1л. 3. Однако эта процедура представляется довольно сложной. При-
веденный далее результат как будто бы можно «разглядеть» в (П2Л6). так как
интегрирование по времени членов, содержащих ЦЯ*; дейт функции Грина. Одна-
ко фактически можно лишь утверждать, что поскольку только первый щйеграл
(П2.26) содержит функцию источника 7, он Представляет собой частный интег-
рал (П2.18) и, следовательно, второй интеграл должен быть решением уравне-
ния □*ф’»о. ' ; ..
В случае стационарного решения можно пренебречь как остальными резуль-
татами Интегрирования по времени, так и членами вида d/df, что дает стандарт*
ныйрезуйвтат^
- "
♦’“"S'.
(ГИЛЛ
дп йя/

П2.4. Кватернионы
Кватернионы имеют долгую н весьма интересную историю [10]. Ее можно
проследить в области алгебры, обратившись к трудам Гамильтона, Грассмана
и даже Эйлера, в области геометрии (Клиффорд, Сервуа, Кейли) и в области
физики (Паули и Дирак). История кватернионов и описание множества их воз-
можных применений вполне могут, стать темой отдельной книги. Математиче-
ский аппарат в такой книге можно было бы свести к элементарной алгебре, по-
скольку материал в ней можно было бы изложить довольно просто и кратко.
Это, правда, не позволило бы показать чрезвычайное изящество и возможности
концепции кватернионов.
Зададимся вопросом, который позволяет практически подойти к кватернио-
нам и который впервые был поставлен Сервуа в 1813 г., т. е. вскоре после Ар-
жанда и Муавра: «Если ге’в описывает окружность, лежащую в комплексной
плоскости, то какое выражение будет огакывать сферу?». На этот вопрос Га-
мильтоном был найден ответ, гласивший, что в реальном трехмерном простран-
стве такого числа не существует, но его можно отыскать в четырехмерном
(позднее на такую возможность было указано для восьмимерного простран-
ства).
Теперь придадим каждой из координатных осей трехмерного пространства
некоторое комплексное число (по аналогии с тем, как число i= Д/—1 придано
осн у на Дваграмме.Аржанда). Как известно, комплексное число i соответству-
ет повороту вокруг оси z на я/2, а новые комплексные числа будут соответст-
венно давать поворот вокруг других Осей. Обозначим поворот на я/2 вокруг
оси х через комплексное число а, причем а’=—1, вокруг осн у— через комп-
лексное ч»с.ю р, а вокруг осн z— через комплексное число у. Итак, а2=р2=
ж=угхж—I,
. . На следующем этапе необходимо найти четырехмерный эквивалент произве-
дения скалярных инвариантов двумерного поля. Для заданных комплексных чн-
сел г, *= (о+<Ь) н zj== (c-f-id) по произведению их норм fzy 12|«s|s= |-^i-z3]2 мож-
но идите, что («*+&*) (f^-l-d1) =Аа4-£^, где ->-А=’1йс—ftd, B-=ad+bc.
Открытие Гамильтона как раз и состояло в том, что от Выполнил эту опе-
рацию для четырехмерного пространствами доказал, что рршенпя для трехмер-
ного пространства не существует). В результате он получил [I I], что
(a1+(rr4-c,'FdJ)(*14-xa+ffa+zi)=Ai+S2-f-C3+Zi-\ где A^at—Ьх—су—dz;-
=ax-i-bt+cz--<iy, G=ay—bz+ct+ilz, D = ai+by~cx^-dt.
Нахождение Произведения |Qt|21 Qs|I== ] Qi Qs|* Для гнпер комплексных чисел
Qi- (a+aH-fc+vei),
Q»-
требует догнмнйтельного свойства —свойства некоммутатнвностп: ар=у, ру«
=а, у а »«р и ар*—ра и т. д.
Числа Q представляют собой кватернионы. Первоначально Гамильтон при-
дал координатным осям числа 1, j и ft, что привело к векторному анализу и не-
коммутативному векторному произведению. Проникновение векторного анализа
в науку привело к забвению теория кватернионов. Трехмерность векторного ана-
лиза обладала большей притягательной силой, чем четырехмерность кватернион-
ного. fi нестоящее время ситуация несколько выправляется.
Единичное обращение определяется как
Q-‘Q-QQ-‘.
откуда ar1asa-la"l илн а=—а-1.
Для отношения а/Р существует альтернатива выбора илн левого (Р-1а) или
правого отношения (ар-1), которые отличаются на —L Во избежание необхо-
димости кажд^,раз указывать на то, является ли данное отношение правым
иди левым, отмутим, что a/p*ap“'*—ар —правое отношение, р/а=р«~‘>=
»-JJa:i-'левое отношение.
- Таким образом, если оба отношения являются правыми, то а/р=—р/a. Ана-
логячнаякартина наблюдается тогда, когда оба отношения являются левыми,
т. е. a/р—р/а.
;.ч. • • • 32i
Кватернион Q= (a-t-oft+ffc+yd) имеет сопряженный^Вим кватернион <J—
— (в—ай—-РР—yd),
Предварительно найдем квадрат кватерниона Q1—(a+afl+pc+yd)1—{а1—
_6«—(4_./Р2ааЬ, 2бас, 2yarf) и норму QQ*(a-|-aP+^c+yd)(a—ай—0с—ул) —
{в*+й*-^г*+Л О, О, О}. Согласно правилу умножения QiQ»—(e+afc+pc+’
4-yd) U+ax4*ftN*V«) “М+аВЧ-РС+уР, где Л, fl, С g D определены ранее.
Тогда, если рассматривать й, с, а и х, у, г в качестве составляющих трех-
мерных векторов V я W, то Qi = (a, V), W), и
QiQ>-(ctf—VOW, aW+/V+V 0W),
где символы О -и (g) относятся к скалярному и векторному произведениям V
и W в «обычном» векторном смысле.
Отсюда следует, что, еслн Q=«(a, V), то Q=(a, —V).
Норма вданном случае описывается выражением QQ»a:-^VOV, норма
«рыт) — выражением (ф—«) (Q—o)=»VO V, а квадрат (Q—а) — выражением
(Q-eMO-aJe+VOV. Это — те соотношения, которые требуются в § 6.4.
В обычной завися
(а, Ь, е. rf)1*» (а*~~Ь*—с*—d*, 2ab, 2ас, 2ad);
(О, ж, у, г)*»—(хЧ-рЧ-г1);
(О, х, у, z)J-=—(0, х, у, г) (хЧ-рЧ-*1);
(О, х, у, z)*=(xI+y14-?i)1 ит. д.
Следовательно,
х* + ^
“Р{0, х, у, г} = И (0, х-, у, г) — —
(О, X. у, г) (x«4-yJ4-z’) г - „4 ,
--------------------------- = еда ^хз д_ yi _|_ ztj
3!
{х’ + ^Ч-г*}3
Отсюда |ехр{0, х, у, г}|=1.
Введем следующие обозначения:
(хЧ-рЧ-г*}“Рх; .t»pcos<p;
y=psin<pcos(fr; z-«p sintp sin"ф.
Тогда
ехр{р(асоз<р4-рз&фсовф-|-у51Л <psin ф)}=созр4-
4-sin р{а cos <р+р sin <р а» ф+у sin <р sin Х>}.
Таким образом, выражение a cos <p+0 sin ф cos ф+v sin ф sin ф представляет
собой трехмерный аналог V—Т. что подтверждается непосредственным пере-
множением.
Для случая гнперсферических координат можно ввести следующие обозна-
чения: a—pcosp; P=epsinpcos ф; с—рsinрsinфcosф; d—рзшрз(пфз{лф.
Тогда {вЧ-РЧ-с’-Н’) 8 •
Теперь любой кватернион может быть представлен как
(?-р[сов р+ У —-1 sin р]
и обобщенная теорема Муавра может быть записана в следующем виде:
{ц соз р+р sin p(a cos ф+Р sin <pcos ф-f-y sin ф sin ф)} *—p *cos(vp4-2vnn) +|х*Ж
X У — Psin(vp4-dvnn).
322 " ‘ '
В качестве примера рассмотрим симплектическое разложение кватерниона,
т. е. его матричное представление. Исходя из матричного представления комп-
лексного числа
/ х у
z=x-\-iy, а именно г=> {
\ — У х
что можно подтвердить, найдя произведение
получаем
* + /г\
т. е. комплексную матрицу
где u«jH-iz.
Эта матрица Во всех отношениях удовлетворяет правилам умножения и оп-
ределениям коэффициентов Л, В, С яЬ. Итак,
Теперь, если Q=/+or-|-Pjf+yz, то
/» 0\ „ ( О 1\ /О A
а за j =inIt р= , 1 = 1 Он, у = ( „ 1.= i о*,
у» —»/ К —1 о/ g и о/
’ г .
где о*, av, а, —матрицы Паули.
Следует отметить изменение порядка обозначений.
Представление каждого комплексного Числа в виде матрицы (2X2) позво-
ляет получить результаты в кватернионной форме (4X4):
/ 0 0 0 1\
I ° 0-1 0 I
1 01 00 Г
\ — 1 о о о/
где Е, !, !, К в определенном смысле являются алгебраическими аналогами I,
а. ₽. У-
Матрица I представляет собой основную матрицу для преобразований сим-
метриилцнзы, рассмотренных в гл. 6. Комплексные формы £, /, /, К — бнква-
териноны, находящиеся в определенной связи с числами Клиффорда.
Физические ирадненення бикватернионов многочисленны н разнообразны. В
некоторых слумяД Т'ребуется еще более общая форма бикватерииона Qi+<Qi
(«обычное» 1)гкак,например, в случае матриц передачи (гл. 2).
Действительное направление определяется кватернионом Р=(0, х, у, z), а
вращение—кватернионом P'—QPQ-1, причем Q должно быть унитарным. Если
Q имеет вид (со»р, Йыпр), то это — вращение на угол 2р вокруг направления
А. Его можно разделить на вращения Эйлера н параметры Кейли-Клейна.
ч 323
Если Q имеет вид
—1_
где Л»(1—о’/с5)2, ТО QPQ*' — представляет собой преобразование Лоренца.
Прочие формы Q представляют собой вращения в четырехмерном пространстве
(см. гл. в).
Рассмотренные ДОЛ^к0ря мтчдфо считать центральными для теории преоб-
разований ЛИИз, расемотр^нной в гл. б. В более сложных преобразованиях мо-
жет потребоваться примёйенне бякватернионов и даже октонионов. Эти формы
учитывают эффекты аберраций или дифракции.
Здесь, вероятно., совершенно излишне рассматривать вопросы взаимодействия
теории кватернионов С теорией частиц и с теорией снйнов. Следует лишь отме-
тить, что кватернионымогут быть использованы для описания аналогии между
лучами и траектхШиШсн. ЧвстШ!. Кроме того, они ииеют несколько большее отно-
шение кспиЙойыЬёйр&Твэм, связанным с поляризацией, чем к динамическим
задачам. В этом плане оптические преобразования Могут иметь определенное
значение в квантовой механике.
П2.5. Лучевой интеграл в сферической среде
Здесь будет изложен стандартный подход |f2] к выводу закона изменения
показателя преломления ц(т) из определяющего его интегрального уравнения
(2.24). Касательная к любой плоской кривой, рассматриваемой в полярной сис-
теме координат (г, в), образует с радиус-вектором такой угол, что
d9
г —(П2.28)
аг
причем выбор знака в правой части зависит от того, возрастает или убывает
г с ростом 9. Согласно теореме Бугера для сферически неоднородной среды
rq(r)s(n<p=K, откуда
*8Ф =----------
[г2 if (г) - к=] 2
и, следовательно,
j* d 0 = J-~, (П2.29)
г [г? (г) — №)2
причем в качестве пределов интегрирования выбираются краевые точки рассмат-
риваемого пути. Для среды со сферической симметрией путь между двумя точ-
ками, лежащими на одном п том же радиальном расстоянии от центра, сим-
метричен относительно диаметра, делящего пополам стягивающую эти точки
хорду. Таким образом, как показано на рнс. П 12а, для луча, начинающегося в
заканчивающеюся на поверхности сферической линзы, угол ft описываемый ра-
диус-вектором, вдвое превышает угол, описываемый радаус-вектором ври его
движеи»1 между начальной точной на сфере Р и цейгралыкй точйой N, в кото-
рой би делит дугу ррпополам. Пр» этом учитывается изменение знака в пра-
вой Фили (П2.28) яри переходе луча через точку, максимально близкую я ис-
ходной В этой -няне луч перпендакулярен радиус-вектору й, следова-
тельно, ••• ••'•/
г ИП (''»»»)“ В.
324 v La - > -
Значение к можно определить нз условия для точки вхождения луча в лин-
зу:
T«n(r*)sin а=к, (П2.30)
где а — угол, который луч образует радиус-вектором г а точке Р.
Рис. П.12. Произвольный луч в сферической линзе («I п лин-
за Люиеберга (б)
Итак, для линзы единичного радиуса угол, описываемый радиус-вектором,
rmin
<?Р -<?w - J- - ~Kdr- 2 - (П2.31)
1 r(rj»r» —к») 2
Это интегральное уравнение для заданного значения 0 (что требуется при
заданных фдесуснрукицях свойствах линзы), которое должно быть решено отно-
снтелыю функмн Ti(r)-
- 325
Если, как показано на рис. П116, на поверхности луч образует с радиус-
вектором угол а, то в средней точке N касательная к лучу параллельна хорде
РР' и, согласно изложенному в гл. 2, образует угол а/2 с исходным положени-
ем радиус-вектора ОР.
Теперь левая часть (П2.31) принимает вид
''win
— яйг
J ‘
Г (ifrt-’-Kty 2
(П2.32)
В точке Р должно выполняться условие tj(1) = I и, следовательно, согласно
(П2.30)№sina. Как будет показано далее, именно отсутствие этого опреде-
ляющего условия не позволяло получить полное решение для лучей в гипербо-
лической форме
Подставив в (П2.32) значение а и воспользовавшись соотношением лг)(г)
«о, находим, что
„С — к (1 (г} (dr /du) du „
я — a resin к = 2 | ‘ (П2.33)
1 («* — *)“
Это — иитегфал Абеля [13], и способ его вычисления можно найти в лите-,
ратуре по математическому анализу. Умножим обе части (П2-33) на die!(к*—
—х*) где г гладам функция общего вида, к интегрируя результат по к в
пределах от г до 1, получаем
(Пгм)
* («•-,)’ ' (« —«Ч!
Воспользовавшись формулой Дирихле [13], правую часть (П2.34) можно
привести к следующему виду:
1а
Ji dr , f кЛс
~ Л*] —'------------— <пал5>
’ („_1
Согласно тождеству Абеля
«
Г_______юйс_________я
J J J, “ 2 ’
1 2{ц»^х>) 2
ввиду чего (П2.34) можно представить как
1 1 1
___А _ 1 Г arcsin д/х Г I
-* ~Я J -1 J Г
’ (к*-**)’ ’ (Лв-а«)а *
(П2.36)
1 Г >1
1 е же sin к - 1.1 _/»]
" TJ—~—ГЛвТ1и и+(<-*•) ь
Приравняв г=ЧЖ/т|(г), находим
in
L я
i
откуда ji*”2—г*.
— ln[l+(l— a*)a] = — 2 In —
Итак, для случая гиперболической траектории лучен условие преломления
на поверхности дает
З1п6р,"»я« sin о-Mt, <П2Л7)
где т)|— неизвестный показатель преломления па поверхности линзы радиусом
г»1; его следует сопоставить с результатом, полученным для rj(r) при r“k
Теперь левую часть (П2.33) можно привести к виду
я—arc sin ( — I.
\ Ъ /
Требуемое изменение пределов интегрирования в правой части долях пор
не позволяло получить форму, допускающую решение, с применением более про-
стых математических функций. Таким образом, эту задачу еще предстоит решить
теоретикам [14J. \ '
Подобной ситуации не возникает, если 0/ не изменяется по синусоидально-
му закону (П2.37), а является постоянной, краткой а. В этом случае будет по-
ручена линза Торальдо ди Франчна, рассмотренная в гл. 2.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 1
1. J. L. Synge. “Geometrical Optics", Cambridge University Press, 1937, p. I.
2. A. W. Conway and JL L. Synge (Eds). "The collected papers erf W. R. Hamilton
Vol. 1 Geometrical Optics”, Cambridge University Press, 1931, p. 10,
3. H. P. Ek^eggemann, “Conic Mirrors”, The Focal Press, 1968.
4, S, H. ;’Н|Й^фспн>е сообицяйе
5. D. W.^ryandF. K.Goward. “‘Aerials Гог Centimetre Wavelengths", Cambridge
' UBiversftyPress. 1950.
6? Q.W-;S|i^90db. “The Optics of Rays, Wavefronts and Caustics", Academic
Prti^ WrWk and London, 1972, p. 97.
7. J. D?'Ln#rence. ,‘A Catalogue of Spedal Plane Curves", Dover Paperback No.
0-486-60288-5,1972, p. 115. , Л
8. J. Brown. “Microwave Lenses”, Methuen, 1953, p. 33.
9, A Sommerfeld. “Lectures on Theoretical Physics, Vol IV, Optics”, Academic
Press, London and New York, I964,p.318.
10. M. Bom and E Wolf. “The Principles of Optics", Pergamon Press, 1953,
p.246. X
11. C. J. Sletten, R. В. ‘M»ik, W<G. Mavoridcs and H. M. Johanson. Collective
line sources ГтрйпфрШЙа, Trims./.£.£.£. AP6 (1958), 239.
12. H. J. Salzer, Jar. Comment on the caustic of а раййнЯф, Applied Optics 4 (9),
. (1965), 1Ж -X-
13. R. Damien. “TMortme sue les Surfaces d’Onde eb Ofttique Geomelrique",
Gauthier-Viflan, Paris, 1955.
14. O. N. Siavroudis. Refraction of wave fronts: a special case, Jour. Opt. Soc. Amer.
59(1969), IW-
15. S. Silver. "N&rowavc Antenna Theory and Design", MIT Radiation Laboratory
Series Vol. 12, McGraw Hill, 1949. p. 492.
16. T. P. Vogl and A. Lavi. Signal transfer functions of optical components. Jour.
OptSot. Amer.*» (1970), 813.
F. J. Lopez-Lopez. Generalized bending *<*d thickening of lenses (abstract),
Jow. Opt. Soc. 4mer. 62 (1972), 712. .(крвтаос совсржавмс)
17. 1. Ruze. Widc-angfc metal plate optics. Proc. i.R.E. 38.(1950), 51
18. R. E. Collin aod F. J. Zucker. “Antenna Theory Part 11”. McGraw Hill, 1969.
p. 123. '
F. G Friedlandcr.A dielectric lens «rial for wide angle beam scanning. J our. I.EE.
91 part tHA(1946). 65K.
Jour. I.EE 91 part IHA (1946). 658.
19. H. F. Baker. “Principles of Geometry VoL I”, Cambridge University Press,
1928, p. 5.
2(L L. C. Martin. "Technical Optics Vol IE', Pitman. 1954. p. 253.
21. R. C. Gunter, Jnr.. F. S. Hoti and C. F. Winter. "The Mangin Mirror", AFCRC
Report No. TR-54-1II, April 1955.
22. S. Corn Meet. A new design method for phase-corrected геЛесЮп at micro wave
frequencies, Prof.I.E.E. lfl7C(I960), 179.
23. D. W Fry. Some recent developments in the design of centimetre aerial systems,
Jo«r/.££93partIllA(1946k658. >
J. Ashmead and A. B. jHppardL Tbeuseof spherical reflectors as microwave
scanning antennas. Jour. l.E.E.E. 93 part 1ЦА (1946). 627.
24. J. D. Barab. J. G Marangoni and G. ScoiL "The Parabolic Dome Antenna".
IRE Wescoo Conventiori Record 1958, Vol 2 part I. p. 272.
328 - \ .
w
25. J. W. Y. Lit and E. Brannen. Optical properties of a reflecting cone. Jour. Opt.
Soc. Amer. 60 (1970), 370.
R. E. Ward. Jnr. Optical properties and uses of the conical mirror. Applied
Oprira,4(2),(l965),201.
26. J. P. C, Southall. "Mirrors, l*risms and Lenses". McMillan, New York, 1933, '
Chapter IX. <
27. IL C. Spencer, F. S. Holt, H. M. Johanson and J. Sampson. Double parabolic
cylinder pencil beam antennas. Trait. l.R.E. 3 (1955), 4.
28. S. CornbleeL Bt-cylindrical lenses. Proceedings of European Microwave Con-
ference. I EE Publication No. 58. 4-12 September 1969, p. 353.
29. H. Genl. "Lectures on Developments in Microwave Optics", Royal Radar
Establishment U.K. 1955 (не опубликовано). .
H. Gent. The bootlace arial. Л.А.Е. Journo/(1957).
S. S. D. Jones,_ H. Qcnl and A. A. L. Browne. British Patent No. 860826
February 8, 1961. .
30. C. Pomot, P. Sennet, J. Mimier and J. Benoit. Lentilles el reflectcurs bidimen-
sionelles a grand changes angulaire. '‘Electromagnetic Wave Theory" (J.
Brown. Ed.). Part 2. Proceedings of Symposium, Delft 1965. Pergamon 1967..
p. 685.
31. D. G. Berry, R. G. Malech and W. A. Kennedy, lhe rellectarray antenna.
Trans. l.E.E.E. API! (1963), 645.
N. Amitay. V. Galindo and G. P. Wu. "Theory and Analysis of Phased Arrii)
Antennas". Wiley-Intersciencc. 1972.
32. G. de Coligny and A. Fournier. Physique et technique des systems focalisUms
a reseau stationnaire, L'Orte Electrique. Special Supplement on the. Interna-
tional Congress oh Ultra-high frequency circuits and Antennas, Paris, 21-26
October, 1957; Vol. II. August, 1958, p. 690.
G. de Coligny, V. A. Altovsky, A. Fournier and A. Depauw. Construction of a
three-dimensional radar aerial provided with a fixed grating focusing device,
lot. cil. p. 770.
J. Deschamps hind J. Combeiles. A new zoned toric reflector providing a large
amplitude-volume sweep, lac. til. p. 694.
33. L. Rottcht and G, Toraldo di Francia. An application of parageometrical optics
to the design of a microwave mirror. Trots. I.R.E. AP6 (1958), 129.
J. H. Provencher. Experimental study of a diffraction reflector. Trans. IRE
AP6 (I960). 331.
L. Ronchi, V. Russo and G. Toraldo di Francia. Stepped cylindrical antennas
for radio-astronomy, Trans. l.R.E. AP9 (1961), 68.
34. J. W. Y. Lit and R. Tremblay. Boundary-diffraction-wave theory of cascaded
apertures. Jour. Opt. Soc. Arner. 69 (5), (1969), 559.
J. W. Y. Lit, Focusing capabilities of cascaded apertures. Jour. Opt. Soc. Amer
62 (4), (1972), p. 491.
J. W. Y. Lit, R- Boulay and R. Tremblay. Diffraction fields of a sequence of equal
radii circular apertures. Optics Communications, 1 (6), (1970), 280.
35. A. F. Kay. "The Scalar Feed", AFCRC TRG Report 19(604)-8057. 30 March.
1964.
R. E. Lawrie and L. Peters, J nr. Modifications of horn antennas for low side-lobc
leveis, Trans. l.E.E.E. AP14 (5). (1966), 605.
36. V. l. Prithlin. Some possible modifications of large radio astronomical antennas.
Rad. Enq and Electron Phys. 14 (12), (J969), 1817.
37. A. W. Rudge, T. Pratt, M, Shirazi. Radiation fields from offset reflector anten-
nas.“Proc European Microwave Conference, Brussels. 1973“, C4.3, p. 1.
12—IU ' A v ' 329

P. J. Wood. Depolarization with Cassegrain and frЖ reflectors. Elect. Lett. I
9(1973X 181.
38. C A. Cochrane. High frequency radio aerials. British Patent No. 700 868.
February, 1952; December, 1953. '
j P. F. Mariner and GA. Cochrane. British Patent No. 716939. Aueust i'hi-
( October. 1954.
?!’. P. F. Mariner. "Microwave aerials with full hemispherical scanning", L’Onde
£lectri4«.SpecHd Supplemnri(см. ссылку 32) , p. 767.
39. J. A. Arnaud and J. Ti Ruscfo. Foeusing and deflection of optical beams by
cylindrical mirrors, Лрр#е/Одасг9 (10X (1970), p. 2377;
W. D. White and L. lt;de$ie. Scanning characteristics’‘of two-reflector antenna
systems, "Convention Record of the I.R.E.", 1962, part I, p. 44.
40. J. B. Keller. The inverse scattering problem in geometrical optics and the design
of reflectors, Trans. I.R.E. APT (1959), 146. j
41. R. C Hansen (E<£X '‘Microwave Scanning Antennas", Chapter 2, Reflecting
Systems. L, K. DeS^ecnd J. F. Ramsay. Academic Press, London and New York, I
1964, p. 124-127 and p. 161. <
42. A. S. Dunbar. Calculations of doubly curved reflectors for shaped beams,
Proc. LR.E. 36 (1948), 1289.
L. Thourel. Caktdatioo arid construction of doubly curved reflectors, L’Onde
Electrique, 35,1955, p. 1153.
43. D. G. Burchard and & L. Shealy. Flux density for ray propagation in geome- >
trical optics, Ariw. Opr. Sue. Amer. 63 (3) (1973), 299.
D. L. Shefly Md D. G. Burkhard. Caustic surfaces and irradiance for reflection
and refraction Brians an ellipsoid, elliptic paraboloid and elliptic cone. Applied >
Optics, 12 (12) (1973), 2955.
44. B. S. Westco« imd A ^- H*H*»s- Reflector synthesis for generalized far fields.
Jour. Phyr. X (19751 521.
F. Brickeli and R. & WridcotK Reflector design fortwo^variaMc beam shaping in
the hyperbolic case..J;Piryx 4. Math, Gen. 9 (Ц (1976), 113. x
45. N. G. Ponomarev; method for the design of profiles of aplanc.lc
antennas, Radio Enth'diM-Eieemmia б (2X (1961), 42.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 1
ЛИНЗЫ
J. Brown. Microwave Optics, Ad». Efectton. Electron Phys. 19 (1958), 107.
R. M. Brown. Dielectric Bifocal Lenses. “Convention Record I.R.E." pt 1,1956,180.
J. E. Eaton. Zero phase frotits in mfcrowaw optics, Trans. l.R.E. API (1952), 38.
C Goatiey and C. F. Parker. “Symmetrical Microwave Lenses" Convention Record
of the l.R.E,pt. 1,1955, p. I).
E. it Proctor and M. M. Rees. Scanning lens design for minimum mean square
phase error, Trans. LR.E. APIS (1967), 348
5. Rorin and M. Amon. Colour corrected mangin mirror, AppliedOptics 6 (5X (1967),
897. -
W.Rotmari. Wide angle scanning with microwave double-layer piU boxes, Trans. t.R.E
AP6(1958X% I
D. H. Shinn. TBederign of a zoned dielectric lens for wide angle scanning, Marconi
Review 18(1955), 37. ।
R. L. StenriH^ Successive approximations and expansion methods in the numerical
design of microwave dielectric lenses. Jowr. Maths Phys. 34 (1956), 209. ,
G, SraenferWMiczowave antennas With op&al analogtics, Теки Tid. *6 (1956), 619. (
i R. ТгезвЭДку аЫ A- Boivin. Concepts and techniques of microwave optics, Applied ।
$.<,< азо : 7';'^ ' ' : ; '
ГЕОМЕТРИЧЕСюСГОПТИКА
S. W." Lee. Electromagnetic reflection from a conducting surface: Geometrical*
optics solution, Trans. i.E.E.E. AP23 (2), (1975), 184.
M. M. Sussmann. Maxwell's ovals arid the refraction of light. American Jour, of
Physics 34 (1966), 416.
РЕФЛЕКТОРЫ '
A. Brunner. Possibilities of dimensioning doubly curved reflectors for azimuth-'
search radar antennas, Trans. I.E.E.E. AP19 (1), (1971), 52.
T. F. Carberry. Analysts theory for the shaped-beam doubly curved reflector an-
tenna, Trans. I.E.E.E. AP17(2) (1969X 131.
V. Galindo. Design of dual reflector antennas with arbitrary phase and amplitude
distributions, Trans. I.E.EE. AP12 (1964), 403.
K. A. Green. Modified Cassegrain antbrina for arbitrary aperture illumination.
Trans. I.E.E.E. AP11 (1963), 589.
P W. Hannan. Microwawt antennas derived from the Cassegrain telescope, Trans:
I.R.E. AP9 (2), (1961), 140. ’
F S. Holt and E L. Bouchc. A Gregorian corrector for spherical reflectors, Trans.
I.E.E.E. APU (1964), 44.
B. Y. Kimber< two reflector antennas, Radio and Electron Phys. 7 (1962), 914. ’
T. Li. A sthdy st spherical reflectors as wide-angle scanning antennas, Trans. LR.E.
AP7 (19»), 223. .
- A. W. Love. Spherical reflecting antennas with corrected line sources, Trant. I.R.E.
AP10 (1962X 529 s
W. Magnus. 'Theory of cylindrical parabolic reflector, Z. Phys. 118 (1941), j43.
S. P. Morgan. Some examples of generalized Cassegrain and Gregorian antennas,
Trans. I.E.E.E. AP12 (1964). 685.
P. J. B. Ciarricoats and C. J. E Phillips. Optimum design of Gregorian corrected
spherical reflector antenna. Proc. l.E.E. 117 (1970X 718.
P. D. Potter. Aperture illumination and gain of a Cassegrain system, trans. I.E.E.E.
API! (1963), 373.
J. F. Ramsay and J. A. C. Jackson. Wide angle reflectors: Scanning performance
of mirror aerials, Marconi Review 19 (1956^116.
A. W. Rudge. Multiple beam antennas: Offset-reflectors with offset feeds. Trans.
/.£.£.£. АР2Э (3), (1975X 317.
W. V. T. Rusch. Phase error and associated cross-polarization effects in Cassegrain
fed microwave antenna, Trans. I.E.E.E. AP14 (3), (1966), 266.
R. E. Ward Jnr. Optical properties and uses of the conical mirror. Applied Optics,
4 (2), (1965), 201.
W. F. WilfiamfcHigh efficiency antenna reflector, Microwave Jour. No. 8 (1965), 79.
, W* D. White add L. K.DeSize. Scanning characteristics of two reflector antenna,
systems, “Convention Record of the I.R.E." Part 1.1962. p. 44. >
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 2 •• . «
l. L BrpWBt "Microwave Lenses", Methuen, 1953, p 89.
2. R- KiiLuheburg. **TbeMathematical Theory of Optics", University of California: ,
Pre»A19H p IM
3. A:JFjetcbpr,"T- Murphy and A Young Solutions to two optical problems,*
JVpC.BoK.Soc. 223A (19MX 216-
1. F. P. Kapron. Geometrical optics of parabolic indcx-^HKt cylindrical lense»,
JourOpr. Soc Amer. 60 (Ц (1970k 1433
5. E W. Marchand. Ray tracing in cylindrical gradient index media. Applied О pt id,
11 (5), (1972k -HOC *
<6. См. ссыпку 16 к гл. 6,
7. R. E Collin and F. X 2ucker. "Antenna Theory'*, Part II. Chapter 18.6. "Lens
Antennas”, by J. Brown, McGraw Hill, 1969, p. 133.
8. Q. N. Stavroedis. "The Optics of Rays, Wavefronts and Caustics". Academic
PreM, Lond<* and New York. Chapter IV. 1972. p. 42.
IBrown. <<1,0.81
R. K. Luotburg. kef 2, p 172.
C T. Tai. '’Dyadic Green's Functions m Electromagnetic Theory ". Chapter 12,
”lt&pio«gMtotK and Moring Media". Entext Press, 1971.
9. &;P. Morgah. Genetal solution ofthe Luneburg lens problem. Jour. Appl. Phvsies.
10. A. S-Gututan. Modified Luneburg lens. Jour. AppL Physics, 23 (7k 11954), 855.
11. H. A. Atwater, '’Introduction to General Relativity". Pergamon Press. 1974.
p 145.
12. W. Lenz, Theory of optical images, "Probleme dec Modernen
Physik" fl?. Debye, 6<M Hirzei Press Leipzig, 1924, p, 198....
13. G. Toraldo di Friincia. A family of perfect configuration lenses of revolution.
Optica Аси, 1 (4k (1955k f 57.
14. J. E Eaton. On spherically symmetric tenses, Trans. I.R.E. AP4 (1952k 66.
15. И. A. BuchdahL Rays in gradient index media: separable systems. Jour. Opt.
Soc. Amer. 63 (IX (1973k 46.
16. P. Prache. Lenses and dielectric reflectors of homogeneous spherical layers,
Anttales de Telecomm. 16 (3-4X 1961, 85. .
17. S, CornbteeL A simple spherical tens with external foci. Microwave journal
(May 1965k 65.
IB. H. F. Mathis, Checking the design of stepped Luneburg tens. Trans. /.REAPS
(1960X342
19. G. Tbnldo di Francia and M. T. ZoE Perfect Concentric Systems with an Outer
Sbcfl of Constant Refractive Index’*, Pobblicazione deU’ Istituto Nariohale di
Attica, Serie II, Nd. 827; Firenze, 19Я.
20. T, L. Ap Rhyl The design of radially Symmetric lenses. Trans. l.E.E.E. APIS (4)
(197% 497.
G. Tdfaldo di Francia. Spherical tenses fpr infrared and microwaves. Jour Appl
Physics, 32(1961X2051.
21. G. ToraModi Francia. Connection doublets. Jour. Opr. Soc. Anter. 45 (8k 1955.
621andRef 11
K. & Kpnz. Applications de la geometric diflerentielte a i'optique des micro
ondes, Supptemeu Nuevo Cimento l, Series IX No. 3 (19521 322.
22. S. S. D. Jones. A wide angle microwave radiator. Proc. (EE 97 (1947k Part III.
p 255.
-21 ГF. Ringhart. A solution of the problem of rapid scanning for radar antennae,
Jour. Appl Phys. 19 (194% ЖК A fifmity rtf designs for rapid scanning radar
antennas, Proc. I.R.E. 49 (1952), 686.
S. B. Myers. Parallel plate optics foe rapid scanning, Jour. App. Phys. IS (1947X
221. /'
24. R. C Hmuea (ЕгЦ "Microwave Scanning Antennas”. Vol. I, Chapter 1 npti^l
scanners by R. C. Johnson, Academic Press, London and New York. 1964. p. 224
and Refc. therein.
i- 332 •
125. J.W. МсС1ЛККиЬц«| nuclear potential wed. Amer Jour. Phys. 31 (11)(l963k
С. M. Anderson and fL*?. von Bayer. Theory of a ball rolling on a I </> surface of
revolution, Amer. Jour. of Phys. 30 (Ik (1970k 140.
26. M. Bom and E. Wolf. '*Tlie Principles of Optics'*. Pergamon Press, 1959. p. 57-65.
27. K. D. Mielenz. The use of Chehychev Polynomials in thin film computations.
Jour. Res. Nat. Нм. Stand A November-December (1959k Vol. 63, No. 3, p. 297.
28. S. Silver. “Microwave Antenna Theory and Design". M.I T Radiation Laboratory
Series, Vol 12. 1949, p 322.
29 S. Corn Meet. Mult (frequency operation of sandwich radomes, Microwave Journal.
August (4968k 59.
30. S. CornbleeL Waveguide sandwich electromagnetic window. Electronics Leiters,
' 3 (12k (1967k p. 540.
,31. ВЛЗС|аи)П|. Номограммы для оаредмешы параметре» плоских) диэлектрических
слоеп ршипйой структуры с оптхмальаыми радиочастотными характеристиками.
Радяогахжжкаа электровика, 9 (1964) /01
32. Р, A. Young. Extension of Hcrpin's theorem. Jour. Opt. Soc. Amer. 60(101’ (19TDL
1422
33. A. Herpin. Sur uric nouyclle methode d'introduction des polynomes de Lucas.
(Chevychev polynomials). Cofnptes Rentlus 2251 I k (1947k 17.
F. Ahet^s.; Transmission de la lumiere a travers un systeme de lames mince**
alten^ris. Cowpies Renjus 226 (22141948k 1809.
L L EpMem. The design of optical filters. Jour. Opt. Soc. Amer. 42 (Ilk (1952k 806..
34. L. Young. Multilayer interference filters with narrow stop-bands.. Applied
Optics, * (2k (1967k 297
S. Reedt 'A note on loaded line synthesis. Trans. I.R.E. PGMTT (March. 1961k
201. ’ J
35. K. G. Beauchamp. "Walsh Functions and Their Applications". Academic Press.
London and New York, January. 1976.
36. D. S. Jones. “Theory of Electromagnetism" Pergamon Press, 1964, Section 6.21,
p. 351.
37. A Heading: "Phase Integral Methods". Methuen Monographs, 1962. !
38. T; L Editirstey. Radio transmission problems treated by phase integral methodi.
Proc.Roj. Soc A 136 (830), (1932k 499.
K. G. Bd4den. “Radio Waves in the Ionosphere". Cambridge University Press.
1961. ' x
39. R. Jacobsson. Inhomogeneous and со-evaporated films for optical applications.
tn "Physics of Thin Films". Academic Press, Vol. 8, 1975. p. 51 and Light-
reflection from thin films of continuously varying refractive index, In "Progress
irt optics", ed. F- Wolf. V 11966) 249.
40. J. FL Richmond. The WKB approximation for transmission through mhomo-
geneous plane layers. Trans. I R E APIS (1962k 471
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
СРЕДЫ CO СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
G. Bekefi gad G. W. Farnelk A homogeneous dielectric sphere as a microwave Sens.
Coned. Amr. Phys. 3411956k 790,
S. M, Hanifc.Refractiou compensation m a spherically stratified ionosphere. Trans.
L/LE. AP9(2X (1961X207.
A. F.Kay.SpbericaUy symmetric lenses, Trans. I.R.E. APT (1959k 32
E. W, Manhand. Ray tracing in gradient index media. Jour. Opt. Soc. Amer. 60(f)
(two^
333
S. P. Morgan. Generalization* of spherically symmetnWmKs, Trans. I.R.E. AP
(1959k 341
G. D, M. Peeler and H P. Coleman. Microwave stepped index Luneburg tens,
Tran*./Л.Е AP4 (1958k 202
J. H. Richter. Application of cordbnnal mapping to earth flattening procedures in
radio propagation problem*. Radio Set 1 (12), (1966k 1435.
R. Stettler. Ute radial tynmctriscbe optiscbe medien, Optica Acta, 3 (3k (1955k 101.
С T. Tai. The electromagnetic theory of the spherical Luneburg lens. Applied Sci.
«лГ ЦйЦШ ;
P. L E Usteghi and Я G. Afcxopoulos. A special class of spherically inhomogeneous
dielectrics, Afrq Frepwnza, 3S (Special issue), p. 65. U.R.S.I. Symposium on E.M.
waves. STRESA.I96&
МЕТАЛЛИЧЕСКИЕПЛЕНКИ
D. Marcuse. “I^gkt Transmission Optics" Van Nostrand, 1972.
Z. H. Meiskia. TtiscOhtinuousand Cermet film*. “Physics of Thin Films”, Vol X.
1975, Academic Press, London and New York. p. 99.
J. Shamir. Optical parameters of partially transmitting thin films, Applied Optics, 15
H. Titcber. The electrical properties of a thin evaporated layer of silver at 3.000 mc/s,
Zeil A4. Phy* S (Ilk (195% 413. -
A. VSsiCek. “Optics of Thin films", NorthHolland. I960, p 5.
СРЕДЫ, НЕОДНОРОДНЫЕ В РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ
А. К. Ghatak, В. Р. & Mali and M. S. Sodha. Path of rays in conical Selfoc'fibres,
Jour. Opt. Soc. Amer. 62 (4fc (1972k 394.
3. P. Gordon, Optics of general pdtfag media, Вей Syst. Tech. Jour. 45 (19661 321.
S- Kawakami and J. Nishizawa, Ah opticalwaveguide with the optimum distribution
of refractive index with reference to waveform distortion Trams. l.E.E.E. PG MTT,
16 (10) (1968) 814.
E T. Komhauser and A. D. Yaghjian. ModiS solution of a point source in a strongly,
focusing medium, Radio Sci. 2 (1967k 299.
К. Ж Paxton and W. Streifer. Propagation toradjarty inhamogeneous media
(только краткое содержите), Jour, Opt. Soc. Amer. 6g (5) (l*)70k 238.
E G. RgWson and G. R. Herriott Analysis of grided index glass rods used as image
relay* (только краткое содержание), Jour. Opt. Soc. Amer. (1Ц(1969k 1520
M. S. Sodha, Д. K. Ghatak arid L C. GoyaL Series Solution for E.M. wave propagation
in rndinliy aDd aiiaBy non-uniform media; Geometrical optics approximation,
Awr. Opt. Soc Amer. 61(1 IX (197 Ik 1492, alsc 62 (121(1972X963.
W. Я Southwell Sine wave optical paths in gradient index media. Jour. Opt. Soc.
W. Streifer апй С Я КшШ&зЦаг analysis of radially inhomogeneous guiding media,
Лжг. Opt. Soc. Awr.56 (6X0967X779.
НАИБОЛЕЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА СРЕД
N. G. Alexopoulos. On the refractive properties rrf media with poles or zeros m the
index of refraction . Tram LEE E.AP22 (2k (I974X 242
D. W. Berreman. Optks in stratified andanisotropic media: 4 ж 4 matrix formulation,
J<w. Opr. Soc. Amer, 62 (4k (1972k 502. •
G. Eichmann. Quasi-geometric optics of media with inhomogeneous index of re-
i fraction,/mm Opt Soc. Ainor. 6t (2k (19711161.
'J. J. Gibbons and R. L. Schrag. Method of solving the wave equation in a region of
rapidly varying complex refractive index, Jour. Appt Phys. 23 (1972k 1(39.
?S. Gorn. Series expansions of rays in isotropic non-homogeneous media. Jour.
Quart. App. Math. 11 (1953k 355.
W. N. Hansen, Electric fields produced by the propagation of plane coherent electro-
magnetic radiation in a stratified medium. Jour. Opt. Soc. Amer. 58 (3) 41968k 380.
E W. Marchand Gradient index lasers, Progress in Optics (Ed. E Wolft Vol XI.
D. Marcuse. '‘Theory of Dielectric Optical Waveguides", Academic Press. London
and New Yorfc 1974k
M. Matsuhara, Analysis of electromagnetic wave modes in lens like media Jour. Opt.
Soc. Amer. 43 (2k (1973k 135, 68 (1) 1970 p. 1.
L Monihgmna Ray tracing in inhomogeneous media. Jour. Opt. Soc. Amer. 58 (12)
(1968X1667.
S. Nakao, S. Fujimoto, R. Nagata and K. Iwata. Model of the refrective index distri-
bution in the Rabbit crystalline lens (an elliptical parabolic distribul iont Jour
Opt Soc.Amer. 58 (8X( 1968k 1131
R. Sedney. Geometrical optics,of angular stratified media. Quart. Jour. Appl. Maths,
14(1956X225
A. Walther. Lenses, wave optics andeikonal functions. Jour. Opt. Soc. Amer. 9 (10)
(1969X1325.
ТЕОРИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕД
V. M. Agnfbhov. Polynomial filters from symmetrical units of the same system.
Radio Etig. and Electronic Physics. W (6k(1969> 962
H.G. Bodkbr, J. A. Fejer and K. F. Lee. A theorem concerning re (lection frdm a plane
stratified medium. Radio Sci. 3 (3k (1968), 207.
L. M. Btekbbvskikh. “Waves in Layered Media”, Academic Press, New Yoti and
London, 19601 ’ 5 .
H, Bremmer, The propagation of EM. waves through a stratified medium and its
WKB approximation for oblique incidence. In "Handbuch der Physik”. Vol. 16,
Springer-Verlag, Berlin. 1958.
К.ЁСЫеу, Application of Hill's functions to problems of propagation it: stratified
media, 7n»M. i.EE.E. AP28 (3k (1972k 368.
C. Favordk Coulomb. Theorie generale des milieux stratifies, Novelle Rev. d'Opttque,
5 (3k (1974). 186.
G. Franceschetti. Scattering from plane layered media, Trans. l.E.E.E. API 2 (6k
(1964k 754
G. Hines. Reaction of waves from varying media. Quart. Jour. App. Maths. II (1953k
9.
H. Levine, Reflection and transmission by layered periodic structures. Quart. Jour
App Matte. »(Ik (1966k К».
D. S. Saxon. Modified WKB approximation for the propagation and scattering of
E.M.waveL.lnSympouum on EM. Theory, University of Toronto, June 19 $9.
F. W.Sluijtcr, Gerieralixations of the Brenmer series based on physical concepts.
Jow^ttf Math. Analysis and Applications, 27 (2k (1969), 282. e
G T. Tat “Dyadic Green's Functions in E.M. Theory”, Inlext Press, 1971. Chapter 12
J. R. Wail. “Electromagnetic Waves in Stratified Media". Pergamon Press, 1970.
АНТЕННЫЕ УКРЫТИЯ И МНОГОСЛОЙНЫЕ СИСТЕМЫ
F, Abete& OpttcaTproperties of metallic films. In “Physics of Thin Films ', Vol. 6,
Academic Press, London and New York, 1973.
J*. W. Baumeister, Methods of altering the characteristics o! a multilayer stack.
? * 335
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 3
I 1. W. V. Т. Rusch and Р. О. Potter. "Analysts of Reflector Antennas". Academic ]
Press. New York and London, 1970.
1. J. B. Keller, Diffraction by an aperture, Jour. App. Phys. 28 (1957), 426 ,
3. L. B. Felten arid N. Marcdvitz. “Radiation and Scattering of Waves”. Prentice >
h*il 1973.
4. C. J, BOOWkamp- "Diffraction theory. In "Report* on Progress in Physics”.
.. <
5. < тайг/ ^Мйямвй#е Antenna Theory and Design", M.I.T. Series. Vol 12,
McGrawHiff.l949.P-192.
6. G. Nr Functions", Cambridge University Press. 1948.
7. A.JErifeM.erbf, "Tables of Integral Transforms", Vol, 2, McGraw Hiti. 1954.
8. S. Curableet. The diffraction fields of a non-uniform circular aperture. In
“Syr^pbsium on EM. Theory and Antennas" (E. C. Jordan. Ed.), Pergamon
Pres*, 1959, p l 57.
G. Lansraux, Conditions functioneiles de la- diffraction instrumentalle cat .
particuficr des zeros d’amplitude de figure de diffraction de revolution. Cahier
de Physique, September 1953, No 45. p. 29.
9. E. Ptnney, Laguerre functions in the mathematical foundations of the electro-
magnetic theory of the paraboloidal reflector. Jour. Mothe. and Phys, vol 25
(1946) 49, and VoL 26 (1947) also M. S. Alili. Radiation from a paraboloid of
revolution. Electromagnetic wtvbfheot-y, Part 2 (J. Brown. Ed.), Delft Symposium
1965, Pergamon Press, l967,p:6W
10. E. Jahnke and F. Emde. “Table of Functions”, Dover, 1945, p. 180.
II. G. C. McCormick. "McGill Symposium on Microwave Optics", Part *> 1959.
p .363.
12. F. Zernike. Beugungstheorie des Schneidenvefatirens, Physcia, Vol. 1 (1934). 689.
13. N. Chako. Characteristic curves in image space. In “McGill Symposium on
Microwave Optics", 1959, Part I, p. 67.
14. S. H. Moss. Lommd transforms in diffraction theory, Trans I.E.E.E. API 2
(1964), 777.
15. S. Cornbleet. Circular aperture pattern with ultra-low side-lobes, Electronics
Letters. 2(2) (1966), p. 79.
16. E. H. Linfoot. “Recent Advances in Optics", Oxford University Press, 1955, p. 5).
M. Born and E. Wolf. Principles of Optics”, Pergamon Press, 1959, p. 436.
17. H. C. Mfrtnett and В. M. Thomas. Fields in the image space of symmetrical
focusing antennas, proc. I.E.E. 115 (10) (1968), 1419.
18. P. A. Matthews and A. L. Cullen. “A study of the Field Distriburion at an Axial
Focus of a Sqnare Microwave Lens”, I.E.E. monograph Nd. 186R, July 1956.
19. $. Cornbleet. Feed arrangement for the axis definition of a paraboloid reflector.
Electronics Letters. 9 (3) (1973), 66.
20. R. C. Hansen L. Bidlin. A new method of near- field analysis, Trans I.R.E.
AP7 (1960), Special Supplement p S458.
21. Ming Kwci Hu, Fresnel region field distributions of circular aperture antennas.
Trans. I R E. APB (1960k 344; and Jour. Re* Nat. Bur. Stand. Sect. D « (2)
(1961), 137.
22. L. K. de Size. "Uniform, Cosine and Cosine Squared Illumination with a
Curved Phase Front”, A.1.L, Report, No. 35854, December 1957.
1 23. B. R- A. Nijboer. The diffraction theory of optical aberrations, Physica. 13 (10)'
(|947). 605.
\ 24. S. Cornbleet. Asymmetric phase effects in the circular aperture. In "Symposium
on Quasi-O{mK \ Polytechnic institute of Brooklyn, 1964, p 487.
25. R. M. McElvery and J. E. Smerczynski. The gain of a defocused circular aperture,
Quart. Jour. Appl Maths. 29 (1964-5), 319.
26. Ji H. McLeod. The axicoti: a new type of optical element, Jour. Opt. Soc. Amer.
44(1954), 592.
J. H. McLeod. Axicons and their uses, Jour. Opt. Soc. Amer. 50 (2) (1960), 166.
27. S. Cornbleet. Superdirective property of the microwave axicon, Proc. I.E.E. 117
(5) (1970), 869.
28. A. G. Fox and T. Li. Resonant modes in an optical maser, Bell System Tech. Jour.
40(1961), 453.
29. C- A. Bridges. ‘‘General Analyses of the Jpen Circular Resonator", Ph.D Thesis
University of Surrey, 1969.
C. A. Bridges and S. CombleeL Modes in confocal parabolic mirror cavities.
Presented at U.S.RJ. Symposium on E.M. waves, Stresa, June 1968 (unpublished).
30. H. Kogelnik. Coupling and conversion .coefficients for optical modes. In “Sym-
posium on quasi-qptics", Microwave Research. Vol. XIV, Brooklyn Polytechnic
Press, 1964, p. 333.
31. J. C. Heurtley. Hyperspheroidal functions—optical resonators with circular
mirrors. In “Symposium on quasi-optics”, Microwave Research, Vol. XIV.
Brooklyn Polytechnic Press, 1964, p. 367.
W. Streifer and H, Gamo. On the Schmidt expan sion for optical resonator modes.
In “Symposium on quasi-optics". Microwave Research. Vol. XlV, Brooklyn
Polytechnic Press. 1964. p. 351.
32. C. Aitbry and D. Bitter, Radiation pattern of a corrugated conrcsLhpm in terms
of Laguerre-Gaussian functions, Electronics Letters, 1! (7) (1975), 154.
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Y
ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
С. J. Bouwkamp. Note on diffraction by a circular aperture, Acta Physica Poloirica
27 (1965), 37.
C. J. Bouwkamp. Theoretical and Numerical treatment of diffraction through a
circular aperture, Trans. I.E.E.E. АРМ (2) (1970). 152.
A. Ishinuni and G. Held. Analysts and synthesis of radiation patterns from circular
apertures. Chapter 4 ref. 5.
Y. ltoh. Evaluation of aberrations using the generalized prolate spheroidal wave-
ftinctfon*, /лиг. Opt. Soc. Amer. МЦ\) (1970), 10.
B. KarireewakL Fraunhofer diffraction of an electromagnetic wave. Jour. Opt. Sot.
Лжет. 51 (1961 >,1055.
J. Kormska,Fraunbofer diffraction at apertures in the form of regular polygons.
Opftar deta. 1» (10) (1972), 807 and 28 (7) (1973), 549.
Y.T.Lo and H, C Hntan. An equivalence between elliptical and circular arrays,
H-Ostofberg. Rayleigh’s Integral in the near Fresnel region. Jour. Opt. Soc. Amer.
»(11)(1965),1467.
ARappuSa. Optical tyrtemi, singularity Functions complex Hankel transforms,
Jow.(^.Sae.Amer.57(2)(1967),207.
A. Ct S(&B« The d№action theory of large-aperture spherical reflector antennas.
Treat. ££££ API! (1963k 428.
S. Silver. Microwave aperture antennas and diffraction theory, Jour. Opt. Soc. Amer.
Ж2М1962ХР.131.
337
r- *
Й . ;
J. Sinnott. Patterns for out-of-phase Taylor semicircular apertures. Trans. i.E.E E
AP14 (1956), 390.
H. Slevogt Ein Vorschlag zur Darstdlung des Lichtgebinges. Optik Band 22 Heft 6.
1965,391.
J. P. Wild. Circular aerial arrays for radio astronomy. Proc. Roy. Soc. 262 119611. 84.
ИСКАЖЕНИЕ ДИАГРАММ НАПРАВЛЕННОСТИ
J. W. f^tncan. Asymmetric phase error in circular apertures.
Y. T. Lo. On the beam deviation factor ofa parabolic reflector. Trans. I.R.E. APS
(19601 347.
A. W. Rudge. Multiple beamantennas: offset reflectors with offset feeds, Trans.
L E.E.E. AP23 (j)3I7.
J. Ruse. Lateral feed displacement in a paraboloid. Trans. i.E.E.E. AP13 (1965), 660.
S. S. Sandler. Paraboloid reflector patterns for off axis feed, Trans. f.R.E. AP(1960).
ПРИЛОЖЕНИЯ
S. Cornbleet. Determination of the aperture field of an antenna by a beam displace-
ment method. Proc. i.E.E. 115 (10) (1968). 1398.
S. Cornbleet. Radiation patterns of circular apertures with structural shadows.
Proc, i.E.E. Ц7 (8) (1970), 1620.
К. K. Dey. Microwave aerial measurements at reduced range by on-axis defocus of
the feed. Лпбая Jour. Pure and Applied Physics. (9)(3)(197t), 179.
R. C. Hansen. Near field determination of antenna difference patterns, in "URSt
Conference on E.M. Wave Theory". 1.E.E1 Conference Publication. No. 114.
1974.179.
R. C. Johnson. H. A. Ecker and J. S. Hollis. Determination of fur-field patterns from
near field measurements. Proc. I.E.E.E. 61 (12) (1973). 1668.
АПЕРТУРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
P. Jacquindl and B. Roizen-Dossier. Apodisation In "Progress in Optics ’. Vol. 3 (E.
WoltEdJ. North Holland Press, 1964.
J. F. Kauffman, W. F. Croswell and L. J. Jowers. Analysis of the radiation patterns of
reflector antennas. Trans. i.E.E.E. А£ОД1)|!97ЭД p- 53.
G. Lansrauxand A. Boivin. Maximum factor of tbeencircled energy. Can. Jour. Phys.
January 1961.
G. O. Olaofe. Diffraction by Gaussian apertures. Jour. Opt. Sac. Amer. 61 (12) (1971L
1654.
D. R. Rhodes. On the aperture and pattern space factors for rectangular and circular
apertures. Trans. I.E.E.E. AP19 (6) (1971), 763.
D. R. Rhodes, On the Taylor distribution. Trans. I.E.E.E. AP29(2) (1972k 143.
R. S. Richardson. A new family of iUumination functions, Trans. i.E.E. AP18(I970).
284.
R. C. Schell and G, Tyras. Irradiance from an aperture with a truncated Gaussian
field distribution, JoW. Opt. Soc. Apter. 61 (I) (1971), 31.
A. F. SciambL The effect of aperture illumination on circular aperture pattern
characteristics, MIcroware Journal, (August 1965), 79-
H. H. Snyder. On certain wave transnusston coefficients for elliptical and rectangular
apertures, Ггда.г./.£.£.£. AP17 (1969). 107.
T. T. Taylor, Dhiga of circularapertures for narrow beam-width and low side lobes
338 ‘
1
АБЕРАЦИИ И ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ В БЛИЖНЕЙ ЗОНЕ
Н. Arsenault and A. Boivin. Optical filter synthesis by holographic methods, Jou,.
Opt. Soc. Xwr. 4B (II) (1968), 1490.
M.P.Bacbynski and G. Bekcfi. Aberrations in circularly symmetric microwave
lenses. Two. I.R.E. AP4( 1956) 412.
D J. Bcm, Electric field distribution in the focal region of an offset paraboloid,
Pw. /.££.116 (5) (1969), 79.
J. C; Bennett» A. P. Anderson, P. A. Mcinnes and A. J. T. Whittaker, investigation
of the chitocteristicsofa targe reflector antenna using microwave holography.
1973 l.E.ifeX P.G. А-P Symposium Digest, p. 298.
S. C. Biswas and A, Boivin. Formal expansion of the diffraction integrals in the
caustic region of an obliquely illuminated wide-angle spherical mirror. Jour. Opt.
Soc. Amer. & (ID) < 1973), 1284.
T. E. Cherot Jnr;Calculation of the near field of Circular aperture antenna using the
geometrical фей) of diffraction, Trans. I.E.E.E. EMC13 (2) (1971). 29.
T. S. Chu. A IWMpdft simulating Fraunhofer radiation patterns in the Fresnel region,
Trans. i.E.E.E AP19(1971), 691.
R. C. Hanseit. Minittunj spot size of focused antennas. In “Electromagnetic Wave
Theory”, Pt 2 (J. Brown, Ed.), Delft Symposium, 1965, Pergamon, 1967, p. 661.
G. Hyde. ЗЬЙй&рС the focal region of a spherical reflector: stationary phase evalua-
tion. TraM. I.E EE API6 (6) (1968), 646; also with R. C. Spencer, Polarization
Effects, 16(1968), 399.
E. M. Kennaugh a**! F. H. Ott Fields in the focal region erf a parabolic receiving
antenna. Trans. I.E.E.E. AP12 (1964), 376.
M. Landry and Y. Chasse. Measurement of the electromagnetic field intensity
in the focal regiem of a wide-angle paraboloid reflector. Trans. I.E.E.E. A Fl 9 (4)
(197Ц 539.
M. Novotny. Fod of axially symmetrical filters. Optica Acta 20 (3) (1973), 217.
B. RtChatthand E. Wolf. Electromagnetic diffraction m optical systems II: structure
of theimagefield, Proc. Rap. Soc. A. 253 (1959), 358.
Л W. Madge. Focal plane field distribution of parabolic reflectors, Electronics Letters,
3(21)(1969),510 .
W. V, T. Rusch. The Physical optics of focused scatterets using source multiple ex-
pansion, ffets./.££.£. AP22 (2) (1974). 236
J. J. Stengd nnd W. M. YarndL Pattern characteristics of an antenna focused in the
Frame!iqpoh, Convention Record of the I.R.E. pt. 1, 1962, p. 3.
W. H.WaUM. The field distribution in the focal plane of a paraboloidal reflector.
Trim». 46.E.E AP12 (1964k 561.
B. G» WhiHbcd and T. J. F. Paviasek. Focal region Adds of annular and sectoral
tnia’bw»* kpertures. Jour. Opt. Sat. Amer. SB (12) (1968), 1591.
ЛЙШтаК РЕЗОНАТОРЫ И ЛУЧЕВОДЫ
G.D»3k>ydandJ Р. Gordon. Confocal muhimode resonator for millimeter through
optrad wavdength masers, BeilBye. Tech. Jow.4B (1961). 489.
G. IM Boydand H. Kogdnik. Generalized confocal resonator theory, BellSytt. Tech.
Jaur.4l(l9f)2\ (347.
F. Schwesing. On the guided propagation of electromagnetic wave
l/R£ AP9 (1961k 248.
and W. Streifer. Optical resonator modes—Circular reflectors of
339

spherical curvature, Jour. Opt. Soc. Amer. 55 (11) (1!W), 1472.
H. J. Landau and H. O, Pollack. Prolate spheroidal wave functions-Fourier analysis,
Pt II, Bell Syst. Tech. Jour. 4» (1961), 63.
D. M. MpCumber. Eigenmodesofa symmetric cylindrical confocal laser resonator,
Bell Syst. Tech. Jour. 44 (1961), 333.
J. R. Pierce. Modes in sequence? of fenses. Proc. Nat. Acad. Sci. 47 (1961), 1803.
Tables of angular spheroidal waMffimctions,
Vol 1 Prolatem = 0, Vfrtltu^latein = Oftnc 156reft.),Naval Res. Lab. Washing-
ton D.C., June 1975.
D. SlepimiUtdMSwnhcnblick. Eigenvalues associated with Prolate spheroidal wave
functioni.W zerdafder, ted Syst. Tech. Jour. 44(1965X1745.
D. 31Ч?4и»ч^^Я^:Ш'Ройаск. Prolate spheroid^ wa*0 functions—Fourier analysis
and uncertainty, Pt. I, &7/Syn. ГесЛ. Jour. 46 (1961\ 43.
D. Sfepia^. РгоЪйе Spheroidal wave functions—Fourier analysis and uncertainty,
Pt iv. BdlSvst. Tech. Jour. 43 (1964X 3009.
ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ '
W. Adre£cwski. Rigorous theory of diffraction of plane EM. waves at a perfectly
conducting circular disc and a circular aperture in a perfectly conducting plane
screen, Jiaturwissenschafteu, 38(1951К 406.
C. L. Andrews. "The optics of the Electromagnetic Spectrum'*, Prentice Hall, 1960.
B. BBakerand E. T. Copson. "The Mathematical Theory of Huygcn’sPrinciple",
Oxford University Press, 1939.
H. G. Booker and P. C. Clemmow. The concept of an angular spectrum of plane waves
and its relation to that of polar diagram and aperture distribution. Proc. I.E.E. 97
(3)(1950), 11.
M. Bom and E. Wolf. "Principles of Optics**, p. 374. Chapter 8 Section 3, Pergatnon
Press.
C. J. Bouwkamp. Diffraction theory. Лг “Reports onProgress in Physics". Vol,
XVII, 1954, p.35. (Including 508 reft)
W. Franz, ref m Bouwkamp.
J. C Heurtiey. Scalar Rayleigh-Sommerfeld and Kirchhqfdiffraction integrals. A
comparison of exact evaluations at axial points, Jour. Opt. Soc. 4mer.63(8)(1973),
iote. ''
I. D. Jackson. “Classical Electrodynamics" John Wiley, 1962
J. B. Ketler. Diffraction by an aperture. Jour. App. Phys. 28(1957X 426.
M. К1ЙЙШ8 I- W. Kay. “Electromagnetic Theory and Geometrical Optics", Inter-
«ieace. W6£--’
F. Kottier, Diffraction at a Mack screen. In "Progress in Optics", vol. VI, (1967). 333.
H. LevipeandJ. Schwinger. On the theory of electromagnetic wave diffraction by an
aperture m an infinite conducting screen. In “Theory of E. M. Waves”, Washington
Square Symposium, Interscience, 1951,1.
E. W. Marchand and E Wolf Boundary diffraction wave in the domain of the Ray-
leigh-Kirchhoff diffraction theory, Jmn-.Ojpt. Soc./fmer. 5J (1962X 76.
E. W. Marchand and E. Wotf. Transmission cross section for smaB apertures in
black эстет». Jew. Opt. Soc. Amer. «6 (11) (1970), 150».
K. Miyamoto and E. Wotf.Generalization of the Maggf-RubinowKz theory of the
boundary diffraction wave, Jour. Opt. Soc. Amer. 52 (1962), 615.
С. H. Pnpas, ”TbeTbcoryof Electromagnetic Wave Propagation’*, McGraw Hill, 1965?
340 j .<’ ;

A. Rubinowicz. The Miyamoto-Wolf diffraction wave. In "Progress in Optics”
(E. Wolf, Ed.) vol IV. 1965 p. 201, North Holland.
W. V. T- Rusch. Scattering from a hyperboloid reflector in a Cassegrain feed system,
Trani. l.E.E.E. АР11 (1963), 414.
M. I. Sancer. An analysis of the vector Kirchhoff equations and the associated bound-
ary line charge, Radio Science 3 (2) (new series) (1968), 141.
S. A. Schclkuaoff. Kirchhoff’s formula, its vector analogue and other field equiva-
lence theorems, in “Theory of E.M. Waves”, Washington Square Symposium,
Intefteience,I951,107.
H. Severin. Methods <rf light optics for the calculation of the diffraction phenomena
within the range of centimeter waves. Supplemento al vol IX serie IX Nuoro
Chnpnto no 3, 1952, p. 381.
A. B. Shafer. Hamilton’s mixed and angle characteristic functions and diffraction
aberration theory, Jew. Opt. Soc, Amer. SJ (5) (1967), 630,
G. C. Sherman, Diffracted wave fields expressible by plane-wave expansions con-
taining only homogeneous waves.. Jour. Opt. Soc. Amer. 59 (6) (1969), 697; also
Integral transform formulation of diffraction theory, Jow. Opt. Soc. Amer. ST
(12) (1967), 1490.
S. Silver. “Microwave Antenna Theory and Design”, M.I.T. Radiation Laboratory
Series, Vol 12,1949.
A. Sommerfeld. “Optics”, Academic Press, 1964, Chapter V, p. 179; 4
J. A. StraffM,and L. J. Chu. Diffraction theory of electromagnetic waives, Physics
Review.56(1939), 99.
J. A. Stratton; “Electromagnetic Theory”, McGraw Hill, 1941.
С T. Tai.Kirchhoff theory: scalar, vector or dyadic?, Trans. i.E.EE. AP29 (1972), 114.
J. P. VaSSew. Diffraction of electromagnetic waves by apertures ih a plane conducting
screen, EOnde Electrique. 32 (1952), 3, 55, 97.
ДИФРАКЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ
A. I. Mahart,C. V. ttttcrii and S. M. Cannon. Far field diffraction patterns of single and
multiple apertures bounded by arcs and radii of concentric circles. Jour. Opt. Soc.
.Amer. 54 (6) (1964), 721.
D. Carter. Wide-angle radiation in pencil beam antennas. Jour. App. Phys, 26 (6)
(1975)643.
W. H. lerfey and H. Zucker. A stationary phase method for the compulation of the
far field of open Cassegrain antennas, Bell Syst. Tech. Jour. (March 1970), 431. '
H. H. Snyder. On certain wave transmission coefficients for elliptical and rectangular
apertui 3s,. Tram. l.E.E.E. API? (1969) 107.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 4
1. V. L Popovkin, G. t Shcherbakov and V. I. Yelumeyev. Optimum solutions of
problems in antenna synthesis, Rad. Eng. and Electronic Phys. 14 (7) (1969),
p. 1025. <
2. G.N.Watsdn, “The Theory of Bessel Functions", Cambridge University Press.
1944, p. 533.
3. G, Toraldo di Francia. Super gain antennas and optical resolving power.
SupplementМиню Cimento 1X Series IX (3) (1952), p. 426.
4. R. G Hansen. “Microwave Scanning Antennas", Academic Press, London and
New York. 1964, Vol. I. Chap. I, p. 67.
- s 341
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 5
1. W. A. Shurcliff. “Polarized Light", Harvard University Press, 1962.
R- C Newton. “Scattering Theory of Waves and Particles”, McGraw НШ, 1966,
PP-4-10.
P. Beckman. “The Depolarization of Electromagnetic Waves", Golem Press,
1968.
2. R. C Jones. A new calcuhu for the treatment of optical systems, Parts 4-VIII,
Уомг Oft Soc. Xmer. 31 (194Ц 488; 31 (1941k 493. with H. Hurwitz; 31 II941X
SOG: 32 (1941), 486; 37 (1947^ 107; 37 (1947), НО; M (1948), 671; 46 (1956), 126.
1 L W, SchmridcX. Stokes algebra formalism. Jour. Opt. Soc. Amer. 39 11959),
297.
4. N. Hill and S. Cornbleet, Microwave transmiigioQ through a scries of inclined
gratings, Proc. !.£.£. 12 (4) (1973), 407.
W.E Groves. Transmission of electromagnetic waves through pairs of parallel
wire grids. Jour. Дда. /*ух M (1953), М3.
5. TedtmQOea for handling cUiptically polarized waves with special reference to
antennas. Proc. f.R.E. 39 (1951), 533-336.
H. G. Booker. Introduction, p. 333;
V. H. Rumsey. Transmission between effipticalhy polarized antennae, p. 533.
G. A. Deschamps. Geometrical representation of the polarization of a plane
electromagnetic wave, p. 540.
M. L. Kates. Elliptically polarized waves and antennal, p. 544.
J. I. Bohnert, Measurements of ^^ica^y polarized waves, p. 549.
M. G. Morgan and W. R. Ev*ncJnr.Synthesis and analysis of elliptic polariza-
tion loci in terms of spacexpNMfrattMeamnsoidal components, p. 552.
R. M. A. Azzam and N. M. BtehaflL Polarization transfer function of an optical
system as a bilinear transformation, few. Oft. Soc. Amer. «2 (7) (1972), p. 222.
L. J. Kaplan. Bihnear transformation of poterization, Jw. tfpr. Soc. Amer. 62
(10) (1962), p. 1239.
H. M. Barlow and A. L. Culten. “Microware Measurements”, Constable, 1950,
Appendix П, p. 376.
6. N. Marcdvitz. "Waveguide Handbook” M.l.T. Series, Vol 10, McGrew Hill,
1951.
7. J. K. Skwirzynski and J. C. Tbackray. Tnuumission of electromagnetic waves
through w|re gratings, Moroni Rate* 22 (LS>59J, p. 77.
2. P. W. Harman. Microware airtaan derived from the Cassegrain telescope»
Тгтя. /.Jt£ AP9 (1961k p. 146.
9. L. K. de Size and 3. F. Ramsey. Reflecting systems. In “Microwave Scanning
Antennas”. (Ж. С. Hansen, Ed.) VoL I, Academic Press, London and New York,
1964, p. 128.
10. P. F. Mariner and C. A. Cochrane. High frequency radio aerials, British Patent
no. 716939 August 19$3.
P. F. Mariner. Microwave Aerials with full hemispherical scanning, L’Gnde
Eiectriqo,Supplement August 1958» No. 376. Proceedings oTthe International
Confess on Ultra high frequency circuits and antennas; Paris, 21-26 October,
1957, Vol.!!, p. 767.
11. H. Halberstram and R. E. Ingram. “Collected Pipers of W. R. Hamilton",
VoL 3, “Algebra”, Cambridge University Press, 1967.
12. A. S. Mergthay. Matriz operator description of the propagation of potarind
GghL/eor-Qpr. 61(10)(1971kp. 1363.
C Whitney. PanH-algebmic operatoa in polarization optics, Jonr. Opt. Soe.
344 '
Amer. ft (9) (1971), p, 1207.
G. Eichmann. Complex polarizatkm variable description of polarizing instru-
ments, Jour. Opt. Sac. Amer, ft (11) (1971)i p. 1585.
13. R. M. A. Azzam and N. M. Bishara. Ellipsometric measurement of the polariza-
tion transfer function of an optical system, Jour. Opt. Soc. Amer. 62 (3) (1972),
p. 336.
M. Ghczzo. Thickness calculations for a transparent film from ellipsometric
measurements, Jour. Opt. Soc. Anter. 58 (3) (1968), p. 368.
14. L. Silbcrstein. “The Theory of Relativity”, MacMillan, 1924.
15. V. H. Rumsey. “Frequency Independent Antennas", Academic Press, New York
and London, 1966.
P. D- Crout, The determination of antenna patterns of .t-апл antennas by means
of bicompiea functions, Trans. I.E.E.E. AP (1970), p. 686.
16. L. Lewin, A decoupled formulation of the vector wave equation in orthogonal
curvilinear coordinates, Trans. I.E.E.E. МГТ-28 (5) (1972), p. 339.
17. J. Ehlers, W. Rindler and I. Robinson. Quaternions bivectors and the Lorentz
group. In “Perspectives in Geometry and Relativity”. (B. Hoffmann, Ed.).
Indiana University Press, 1966, p. 134.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
ПРОХОЖДЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН
С. ImberL Calculation and experimental proof of the transverse shift induced by
total internal reflection of t circularly polarized light beam, Physical Review 0
3rd scries 5 (4) (1972), p. 787.
V. A. Libia. Polarization analyzer. Rad. Eng. and Electron Phys. 6 (4), 1961, p. 289.
К. M. Mitzner. Change in polarization on reflection from a tilted plane, Radio
Science. 1 (ww series) (1) (1966), p. 27.
L. E. Rabntn. Tte caiculation of reflector antenna polarized radiation. Trans. I.R.E.
Vol APS No. I Jan. I960, p. 43. 1
W. SwindeH Handedness of polarization after total reflection of linearly polarized
light. Jour. Opt. Soc. Amer.Gl (2) (1972), p. 294.
P. A. Watson and & L Ghohrial. Сгод polarizing effects of a water film on a para-
bolic reflector at microwave frequencies, Tram. LE.E.E. AP26 (1972), p. 668.
МАТРИЦЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ И СФЕРА ПУАНКАРЕ
Е. Collett. Mueller Stokes formulation of Fresnel’s equations, ,4mer. Jour. Physics,
(39), (1971), p. 517.
C, D. Graves. Radar polarization power scattering matrix. Proc. I.R.E. 44 (1956), p 248.
T. Hagfors. A study of the depolarization of lunar radar echoes, Radio Sei.1. (5)
(1967), p. 445.
G. H- KnitteL The polarization sphere as a graphical aid is determining the polariza-
tion of an antenna by amplitude measurement bnlv, Trans. I.E.E.E. APIS (21(1967),
p. 217. J
J. R.,Priebe. Operational form of the Mueller Matrices, Jour. Opt. Soc. Anter. 59 (2)
(1969KP.176.
G. N. ttsmsi hinrlrin and S. Ramaseshan, Magneto optical rotation application of
the Potocart sphere, Jots'. Opt. Soc. Amer. 52 (1) (1952), p. 49.
A. N. Svov. The electrodynamic theory, of the close-set plane grid composed of
paraBeL oonducton Rad. Eng. and Electron Phys. <(4)( 1961) p. 1.
J.E.VOS arid B. S. Blaise. A new way of representing the effect of optically anisotropic
elements by rotation of a sphere, Optica Acta 17 (3) (1970), p. 197.
345
К. C. Westfold. New analysis of the polarization of radiatlmand the Faraday effect
in terms of complex vectors, Jour. Opt. Soc. Amer. 49 (7) (1959), p. 717.
ИЗМЕРЕНИЯ
A. G Ludwig, The definition of cross polarization, Trans. I.E.E.E AP21 (1973), p. lift
also
G. H. Knittel, Comment on above Trans. LE.EE. APZl (1973) 917.
E. B. Joy and 0. T. Paris. A practical method for dcterminingtbe complex polarization
ratio of arbitrary antenna, T’rons/Z E E. APtI (4) ((973) 432.
A- C Newell end D. .McKowns. LJeteriBfflMiop^bc^polarization and power gain•
of antenna* by a generalized 3-antbtuia BieasuttHnejtt method. Electronics Letters
7(3) (1971) 68. Л; < j
РЕШЕТЧАТЫЕ РЕФЛЕКТОРЫ
M- G. А«1гев*ОТ^ 8ев1®ЙЙт&сда р»га^ cylinders with arbitrary c,-oss-
aection, Тгли./JLE.E АРЙ\1964) р. 746.
W. Franz. The (гагйамаЙв^ЬСШлпс waves through wire grids, Z. Agnew Phys. 1
m-MML'-; Vs
D. S. Lerner. A wave potarmtum converter for circular polarization, Trans. I.E.E.E.
. AP13(1965).p.S, Л
E A. and X;F.reflection and transmission by gratings
or resi*rivewire*iAete;,A^iV%w; 23 (1952), p. 605.
G. G.SififnWfchnpeeence.of an infinite parallel wire grid at oblique
angles of нкМеПсА, Jew. J.E.E. 93 (3A)(1946), p. 1523.
V. Twernky. Ob W scattering 4ЙГ waves by an infinite grating, Trans. I.R.E. AP4
(1956), P 330. Abd A|lf$962X p. 737,
L. A. Vai^tdiL ilft^^wUKMclet^MMgnetic waves at a grating consisting of
partUd coDductiag <4ript, ZA TekA /hr. 2S (1955), p. 847.
Yu. P- VinictaakctfVlf. A. Lemansky, Diffraction of a plane
wave by a double grating of ttun circular cylinders, Radio Eng. and Electron Phy'.
15 (12) (1970), p. 2196.
W. WasyUawskyj, On the trmrimiai^poefficient of an infinite grating of per .'.city
conducting circular cyfinders, 7hi*t. I.E.E.E. AP19 (197 i), p 704.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 6
1. E Wolf (Ed.) “Progress in Optics" North Holland, Vol 1 1960 and annually
thereafter.
2. M. Herzberger. “Modem Geometrical duties*, Wiley litterscience, 1956;
"Strahlenontik", Springer-Veriag, 193L <
3. O. N. Stavroudis. "The Optfa of Rays, Wiwtfronts and Caustics”, Academic
Press, London and New York, 197Д Chapter XV, p. 281.
4. S. HelgasotL MO«fFere<itinJ Geometry and ^Symmetric Spaces", Academic Press,
London and New York, 196Л p. 340,
5. M. Mizushima. "Theoretical Physics", John Wiley, New York, 1972. Chapter II.
(l517.
6. R.1L Luneburg “Mathematical Theory of Optics”, University of California
Presk, 1964, p. 178. .
7. V. P. Zaborov. The method of isometric transformation of radio lenses and iso-
metric transformation of constant thickness tenses, Radlotek (Etekt.4(4L (1959L
576 and 584.
346
8. H. Bateman^P^ransformations of coordinates which can be used to transform
one physical problem into another. Proc. Land. Math- Soc. (2) 8 (1910), 469;
The conformal transformations of a space of four dimensions and their applica-
tions to geometrical optics, Proc. Land. Math, Soc. (2) 7 (1908k 70.
9. J Jeans. “Electricity and Magnetism**, Cambridge University Press, 5th Edition,
1933, p. 279.
10. H. Bateman. The transformation of the electrodynamical equations, Proc.
London Math. Soc. (2) S (1^09) 223.
11. H. Bateman. “The Mathematical Analysts of Electrical and Optical Wave-
inotfon", Dover Paperback NO?S14, 1955. p. 31.
12. J. Ehlers, W. Kindler and I Robinson. Quaternions, bi-vectors and the Lorentz
Group. In “Perspectives in Geometry and Relativity** (B. Hoffmann, Ed.)
Indiana University Press, 1966, p. 134.
13. L Silberstein. “The Theory of Relativity;* Macmillan, 1924, Chapter VIII, p. 205.
14. F. S. Klotz. Twisters and the conformal group, J. Math. Phys. 15 (12). 119741
15. E Cumttaghgm. The principle of relativity in electrodynamics and an extension
thereof Proc. Land. Math. Soc. (2) 8 (19091 77.
16. 1. Pierpont Optics fat hyperbolic space, Trans. Amer. Math. Soc. 30 (1928), 33.
17. J. L Synge, “Geometrical Mechanics and de Broglie Waves", Cambridge Uni-
verrity Press, (1954k p. 19.
18. F. G- Friedlander. “The Wave Equation on a Curved Space Time”, Cambridge
Monographs » Mathematical Physics, 1975.
19. R. Hermann. “Differential Geometry arid the Calculus of Variations", Academic
Press, London and New York, 1968, p. 390.
20. M. Herzberger. An optical model of phyrics, Jour. Opt. Soc Amer. 4Ф (7k (1950k
424.
21. H. Poeveriein. The Summerfcld-Runge law and geometrical optics in four
dimensions. In “EleamsutgMic Theory and Antennas", (E C. Jordan, Ed.),
Pergamon Press, 1963, pi 261.
22. J. EKeUer. A geometrical theory of diffraction, Jour. Opt. Soc. Amer. 52 (1962k 116.
23. E Cambi Projective fonnulatioo of the problems of geometrical optics, Jourppt.
. 15
24. P. Duval "Qtiaternions, Holographies and Rotations”, Oxford University
Press. 1964,
23. НЖ fetchdahLSympfectic formalism in the aberration theory of systems withdrit
symmetries, Oprik, 37 (5Ц1973k 571; also four. Opr. Soc. Amer. *2(1 Ik (1972k 1314.
26. M.SqChS. A new tbeoiy of elementary matter, /яг. Jour. Theor. Phy. 4(6), (1971k
433xnd453.
27. H. P. Hudson. “Cremona Transformations”, Cambridge University Press, 1927
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
H. Bateman. A complete bst of tbepubhshcd work it to be found in the commemorative
arifois by&T. Bell in Quart. j. AppL Maths4 (2)(1946X105.
Bi-LBcmsindX S MiUnna Analytic vector harmonic expansions on SU(2Jand
#J. Moth. Phys !*(!)(19751 IL
. E F. ВбЙЙйг. The dasrical electromagnetic equations expressed as four dimensional
qualities/. Fnmkfhfast. 2*4 (1975k 213.
A SvrMy flfthe use of non-Euehdean geometry in electrical engineering, J. Fraaidht
Geomt*&fo-*Ba]ytK theory of transition in electrical engineering. Proc. I.R.E. 4?
(195П;ТШ
L. G.Bossy. Le trace des rayons dans un milieu anisotrope. non permanent et lexer-
347
neat absorbent dam te cadre d*une thoorie Hamiltonieaoe a quatre dimensions.
Alta Frequents, 1969, U.fLS. Symposium issue Street 1968, Vol 38, p. 20.
H. IL Han*. The equation of dectrodynamioi and the aal influence vi the earth's
. motion mi optical and sfoctrical phenomena, Proe. Load. Mark Soc. (218 (1909),
S Hong and X F. Goodrich. Appfieation of conformal mapping to scattering and
diffraction proNesea.fo “Electromagnetic Ware Theory* (1 Brown, Ed ). Vol 11.
Pergamon Press, 1967,
H. Jeger. TnmsfortBatiat GeooWtiy”, AHen and Unwin, 1966.
D. & Jones. frpqocifoy refraction and diffraction tn general media, Phil Trans.
Roy. Soc. A255 (19631 363.
R. Keskinen. СотрЖ pofootiah in classical mechanics and geometrical optics,
Лжет. J, Phys. 4t((972k.418-
P. W. Ketchum. Ani^ticfonctiota of hypercomptex variables, Trans. Amer. Math.
Soc. 3® (19281641. Лл
J. Kronsbtin. Ktograttic^^duaternions, spinors and the Pauli spin matrices. Amer.
Jow.Phys.ie^TjT^.
E P. Lane. Hypergcodesic mapping of a surface on a plane, Trans. Amer. Math. Soc.
32 (19301 558.
D. H, Mayer. Vector and tensor fields on conformal space, Z Math. Phis. 16 (4)
(1975), 884. Й ; -
Y. Miyazaki Prtiftiigation properties of optical signa! waves in perturbed dielectric
waveguide by conformal mapping technique; Topical meeting on integrated optics*
paper M.2.2, Las Vegas, February, 1971
T. C Mo, С H Papas and С. E Baum. General scaling method for electromagnetic
fields with application to a matching problem, Z Math. Phys. 14 (4), (1973).
P. S. Modeuov and А. Д Parkhomenko. “Geometric Transformations”, Academic
Press, London «nd New York, 1965.
M. Neviere and № CadiHrac. Sur une nouvelle formulation de probleme de diffraction
d’une trade plane pnr un reseau infiniment conducteur-cas general, Optics Cammuni-
cations, 3(61,(1971}379; Ibid, 4(1) (1971), 13; Ibid, 2 (5) (1970), 235 with R. Petit
Trw*j f.£.£Z. АП1 (0 (19731 37.
J. H. Richter. Application <jf conformal mapping to earth-flattening procedures in
radio propagation problems, Ratio Science 1 (new series) (12) (1966), 1435.
ЛИТЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЮ 1
1. С. P. Enz. Fault Lectures oo Physics Vol .2, “Optics arid the Theory of Electrons",
M.I.T. Press, 1972, p. 4.
2. M. Born and E Wolf. “Principles of Optics’’, Pergamou Frets, 1959,p. 36.
3. L Sifoerstein. "Simplified Method of Tracing Rays Through Any Optical System
Of Lenses Prisms or Mirrors”, Longmans Green A Co4 London, 1918.
4. O. N. SUvroudis. “The Optics of Rays, Wavefronts and Caustics’’, Academic
Press, New York and London, 1972, Chapter 2.
5. R. E Collin and F. J. Zucker. “Antenna theory”, Part 11, McGraw Hill Inter
University Electronics Series, Vol. 7,1969, p. 5 and p. 31.
6. F. D, Bennett. Refraction operators and ray tracing through cones of constant
refractive index, Jtw. Opt. Sec. Ятег. 47 (1) (1957} p. 85.
7. H. Wagner. Zur mathematischen behandiung von Spiegelungea Optik. g (10)
(1951), p. 456. ’
8. 3. S. Beggs. Minor imgge kinematics. Jour. Opt. Soc. Amer. 56 (4) (I960), p. 388.
9, G. C. Southworth. Fthfoiplcs and Applications of Waveguide Transmission,
Van Noatrand, 1966, p. 475-
348 -
JO. J. В. Keller. Parallel reflection of light by plane mirrors, Quart. J. App. Maths. 11
(1953), ₽ 216.
L. B. Tuckerman. Multiple reflections by plane mirrors. Quart. J. App. Maths. 5
(2) (1947k p. 133.
J. L. Synge. Reflection in a corner formed by three plane mirrors. Quart. J. App.
Maths. 4 (2) (1946k p. 116.
H. S. M. Coxeter. The product of three reflections. Quart. J. App. Maths. 5 (2)
11947). p. 217.
A. J. Montgomery. Analysis of two-tilt compensating interferometers. Jaur. Opt.
Soc. Anter. 57 (9) (1967). p. 1121.
J. C. Polasek. Matrix analysis of gimballed mirror and prism systems. Jaur. Opt.
Soc. Amer. 57 (10} (1967), :p. Ц93.
11. H. F. Baker. "Principles of Geometry", Vol. I. Cambridge University Press, 1929.
12. E Cambi. Ref. 23, Chapter 6.
13. R. J. Belk K- R- Armstrong, C. S. Nichols and R. W. Bradley. Generalized laws
of refraction and reflection. Jour, Opt. Soc. Amer. 59 (2) (1969), p. 187.
14. See Ref. 43, Chapter 1.
ШГГ ЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЮ 2
1. F. Zeraike. Mysrca 1 (19341. 687.
Z N. С1Юко. Characteristic curves tn image space, The McGill Symposium on
Microwave Optics, ASTIA No. AD 211499,1959, pi 67.
3. M. Abramowitz and 1. A Stegun (Eds). "Handbook of Mathematical Tables",
Dover, 1965, p. 779, equation (22.5.42).
4. A Erdelvt (Edi. “Tables of Integral Transforms ', Vol II. McGraw Hill, 1954,
p.47.
5. D. R. Myrick. A generalization of the radta] polynomials of F. Zerhike (and
references therein), S.f.A.M. Jour. App. Maths. 14 (2)(1966), p. 476.
6. G. N. Watson. "The Theory of Bessel Functions", Cambridge University Press,
1941.
7. T. M. MacRobert. Expression of an E-function as a finite series of E-functions.
Maik. R«. 22 (7A) (1961), 967. and Math. Ann. 149 (!966t, 414.
8. G. DBernard and A Ishimaru. "Tables of Anger and Lommel-Weber Functions",
AFCBkjRcoati No. 53 Univ, of Washington Press 1962 P. Brauer and E Braher.
Ober iibvolktindiger Anger-Weberschc Funktionen. Z. Aanew. Math. Meek.
21(3)1941.
9. J. A. Stratton. “Electromagnetic Theory", McGraw Hill, 1941.
16. A Kyrala. Applications of vectors, matrices, tensors and quaternions, W. B.
Saunders Co . 1967, Chapters 8 and 9.
II. H. Halbentam and R. E (ngram. "The Mathematical Papers of Sir William
Rowan Hamilton", vol ill "Algebra" Cambridge University Press, 1967.
12. Ret (71 of Chapter 1
13. E T. Whittaker’ and G. N. Watson. “Modem Analysis” Cambridge University
Press. (958, p' 229.
14, D. K. Cheng. Modified Luneburg tens for defocussed source Trans. l.R.E. AP8 (1)
(I960). 110.
W. IL Wing and R. V. Neidigh. A rapid Abel inversion. Amer. Jour, qf Phys 39
(197Ц 760,
349-
Jour. Opt. Soc. Amer. 62 (10k (1972), 1149.
J. A. and P. H. Berning, Thin film calculations. Jour. Opt. Soc. Amer. 56 (I960), 813.
-D. Conti. Third International Colloquium on Electromagnetic Windows", Paris,
September 1975.
' К. C. Park. The extreme values of reflectivity and the conditions for zero reflection
from thin dielectric films oh metal, Applied Optics. 3 (7k (1964); 877.
c;, A. E Philippe, Reflection and transmission of radio waves at a dielectric slab with
ц,_ variabte permiitiviiy; Traits. LEjE.EAP21(2k (1973k 234.
J. &' Seeley, Multilayer filters, Jottr. Opt. Soc. Amer.54 (1964k 342, also 52 (1962k 431.
' t. Tamtrhnd H. L Bertoni, Lateral displacement of optical beams at multi-layered
Яand periodic structures, Jour.Opt. Soc. Amer. 61 (10k (1971k 1397.
A Thelen. Multilayer filters With wide transmittance bands, Jour. Opt. Soc. Amer. 63.
f?:' (IX (1973k 65; Design of multilayer interference filters, in “Physics of Thin Films",
Vol 5, Academic Press, London find New York, 1972
if A. Tonkin and R. Graham, Dielectric radome designs for two frequency operation.
; First iniernattoeal symposium on electromagnetic windows. Paris, September
1967.
L. Young, Muitilftyiff reflection coatings on a metal mirror. Applied Optics. 2 14),
(1963k 445, аЙЙк*Prediction of absorption loss in multilayer interference filters.
Jour. Opt. Soc.Atner. 52 (7k 11962k 753.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ
S. Adachi. it C. ttudduck and С. H. Waller. A general analysis of non-planar two
dimensional LUneburglenses, Trans. I.E.E.E. 9 (1961k 353.
G. D. M. Peeler and D. H. Archer. A two dimensional microwave Luneburg lens,
Trans. LR.£. AH (1953k 12
R. G Rudduck and С, H. Walter. A general analysis of geodesic Luneburg lenses,
Trans. I.E.E.E..A PIO(1962k444
С. H. Walter. Surface wave Luneburg lens, Trans. f.R.E. APS (I960), 508.
ГЕОДЕЗИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛУЧЕЙ
-tike указанные ниже статьи опубликованы в журнале the Transactions of the
American Mathematical Society,)
H. F. Sleeker. On the determination of surfaces capable of conformal representation
upon a plane in such a manner that geodesic lines are represented by algebraic curves,
2 (1901). p, 152.
’H. F, Stecker. Concerning the existence of surfaces capable of conformal representa-
tion upon the plane in such a manner that geodesic tines are represented by a
prescribed system of curves, 3 (1902k 12
E Kasner. Isothermal systems of geodesics. 5 (1904k 56.
E Kasner, The generalized Beltrami problem concerning geodesic representation.
4 (1903). 149 Ж
E Kasner. Natural families of trajectories: Conservative fields of force. IQ (19Р9Й 201.
' E Kasner. The problem of partial geodesic representation, 7 (1906k 200
.E Kasner. The irajcclorta of dynamics, 7 (1906k 401
•L P. Fisenhart. Surfaces with isothermal representation dt their lines of curvature
and their transformations.? (19011k 149 and II (1910k 474 i
G. W. HartwelL Ptahe fields of force whose tnijectorics arc invariant under a pro
jective group. 10(1909). 220
JE Kasner. Surfaces geodesics may be represented by parabolas, 6 (1905k 141.
:350 '
Список дополнительной советской литературы к га, 1
Зелкяи Е. Г., Петрова Р. А, Линзовые антенны. М.: Сов. радио, 1974.
Микаэлян А. Л. Об одном способе решения обратной задачи геометрической?
оптики. —ДАН СССР. 1952, т. 36, № 5.
Пономарев И. Г. Графический метод построения профилей а-лланатических
антенн. — Радиотехника и электроника. 1961, т. 6, вып. 2.
Заборов В. П. Изометрическое преобразование линз постоянной толщины.—
Радиотехника и электроника. 1959, т. 4, вып. 4.
Абрамов Й. Б., Заборов В. П. Металловоздушные линзы с осевой симметрией
я тороидальным изгибом на выходе. — Радиотехника и электроника. 1959,.
т. 4, вып. II-
Беиеисоа Л. С. Фазовая скорость воли в анизотропном искусственном метал-
лоднэлектрике при произвольном направлении распространения, — Радио-
техника и электроника. 1959, т. 4, вып. 11.
Добровольский И. Ф., Смирнов В. П. Расчет потерь в гиперболических лин-
зах, облучаемых диполем Герца. — Радиотехника. 1959, № 12.
Фельд Я. Бененсон Л. С. Расчет фазовых скоростей волн в искусственном7
металлодиэлектрике. — Радиотехника и электроника. 1959, т. 4, вып. 3.
Крупп Д. М. Расчет профиля апланатических линзовых антенн. — Радиотех-
ника п электроника. 1962, т. 7. вып. 6.
Айзенберг Г. 3., Ямпольский В. Г., Терешин О. Н. Антенны УКВ. М.: Связь,
1977.
Бахрах Л. Дч Вавилова И. В. Сферические двухзеркальные антенны; — Радио-
техника и электроника. I9t? 1. т. 6, вы и. 7. ,
Есенина Н- А» п др. Исследование характеристик излучения остронаправлен-
ных зеркальных антенн с отражателем сферического , профиля. — Радио-
техника и электроника. 1961, т. 6, вып. 12.
Ямпольский ! В. Г. Влияние диэлектрического слоя на отражательные свойства
иесплошного- рефлектора. — Радиотехника, L957, № 2.
Ерухимович Ю. Ач Зимин С. Н.. Метрик ян А. А. Двухзеркальная антенна для-
раднорелейной связи, —В кн.: Антенны. М.: Связь, 1970, вып. 7. ч
Бахрах Л, Д. Мйогоэеркальные антенны. Современные проблемы антеино-вол- J
яоводпой техники. М.: Наука, 1967, *
Ккнбер Б. Е. Об одном методе последовательных приближений в теории зер-
кал специальной формы. — Радиотехника. 1958, № 5.
Ккнбер Б.Е. 9 двухзеркальных антеннах. — Радиотехника и электроника.
1962, т. 7, вып. 6.
Книбер Б. Е. О боковом излучении зеркальных антенн. — Радиотехника и
элв«тро1ика. 1961, т. б. вып. 4.
ТартакокхжА Л. Б. К теории зеркала двойной кривизны. — Радиотехника я
электроижа. 1959, т. 4, вып. 11.
ТартамвсЫГ Л. Б. Боковое излучение идеального параболоида с круглым
рчгкрыялм — Радиотехника в электроника, 1959, т. 4, вып. 6.
фрмМг А. П. Направленные свойства зеркальных антенн. — Радиотехника.
П Влияние формы диаграммы направленности облучателя на.
..поле зеркальных антенн.—Труды НИИР. 1971, № 4.
’ КтЙНЙГа Л. *тгг"— система с отражающим зеркалом. — Радиотехника.
-
« Расчет фазовых ошибок, возникающих при сканировании лу-
антеннах. — В кн.: Антенны. Мл Связь, 1971, вып. 12.
К. И. Некоторые вопросы проектирования боль-
> пииегь»мчп.мм» - радиотелескопов. — Известия вузов. Радиофизика. 1964,
•Т./Т.^. '
Захарьев/Л. Н„ Комоялев Р. А„ Лемансквй Л, А. Об оптимальном распреде-
ления поля в раскрыве сканирующей антенны. — В кн.г Антенны. М-:
Сая», 19&Р, выл. б.
351
Список дополнительной советской литературы к гл. 2
Бреховскмх Л. М. Волны в словстых сферах. М.: Изд-во АН СССР. 1957.
Зелкни Е. Петром Р. А. Линзовые антелий. М-: Сое. радио, 1974.
Каплун В. А. Обтекатьлн антени СВЧ. М-: Сов. -радао, 1974.
<Жук М. Сч Мммко* Ю. Б. Проектирование аятенно-фидериых устройств,
йбд- Энергия, 1966..
ТартаковеКи* Б. А. К Теория распространения плоских волн через однородные
V- 7- СЛОЙ.-ДАН СССР. 1950, т. 71.
' Тюомм А- Нч Мухнм Г. В. Определеиие переменного электрического поля в
ь;, ’ слоистой среде.>— Известия АН СССР, серия географическая и геофизиче-
ская,1950,т. 14
Рвэемберг Г. В. Оптика тонкослоистых покрытий М.: Физматгнз, 1958.
Список дополнительной советское литературы к гл. 3
'1 Ванштейн Л. А. Электромагнитныеволны. М.: Сов. радио, 1957.
Ванштейи Л. A. Теория дифракции и методы факторизации. М.: Сов. радио,
Ванштейи Л. А. Открытые резонаторы я открытые волноводы. М.: Сов. ра-
дио, 1966.
Семенов А. А. Теория электромагнитных волн. М.: Изд-во МГУ, 1968.
Кацеленбаум Б. З.ВысокочасТотная электродинамика. М.: Наука, 1%Б.
Гринберг Г. А. Иафйшные вопросы математической теории электрических и
магнитных явлений. И.: Изд-во АН СССР, 1948.
Боровиков В. А., Кянбер Б. Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Связь,
1978.
Уфимцев П. Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов.
радио, 1962.
Фок В. А. Проблема дифракции и распространения электромапиптиых волн,
М.: Сов. радм, 1970.
Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы прикладной электроди-
намики. М.: Сои. радио, 1970.
Захаров Л. Н„ Лемамсинй А. А. Рассеяние волн «черными телами». М.: Сов.
радио, 1977.
Ерухммоввч -Ю. А., Кобркц*; ;Г, А. Излучение неспифазной круглой аперту-
ры.—Труды НИИР 49®, № 4.
Ерухммопмч Ю. А., Пименов 40, £’ Приближенное вычисление цилиндрических
функций от двух деЙстмтед1Йай;:’в(»еыетиых.—Жур»ал вычислительной
математике и математической фИЙКМ.1Э69, ТАЗ.
Аксенов В. И. Применение приближения Кирхгофа к задаче о рассеяния
электромагнитных волн ид периодически фвровных поверхностях с конеч^
ной проводимостью. — Радиотехника и аМШрцияк*. 1961, т. 4, вып. 3.
'Кнмбер Б, К. О дифракции электромагшгмиах WS на вогнутой поверхности
сферы. — Раднотехимка и электроника. 1961, т. 6, вып.; 10.
Миихмвч К М,» Давндчевскмй Ю. И. О расчете антеии с плоским раосры-
вом. — Радиотехвикая электроника. 1961, т.6, аыя. 9.
Пономарев Н, Г. Диаграмма направленности антенн с качанием луча. —Ра-
диотехняка и электроника. 1962, т, 7, выл, 6. <
Шередько Е. Ю. Влияние периодической нерэвяоиерностя фазы доля в раскры-
ве антенны на ее направленные свойства. — Радиотехника. 1959, № 2.
Слжм дополнительной советской литературы к гл. 4
Зелкин Е. Г. Построение иэлучаюдаей системы по заданной форме диаграммы
направленности. М.: Госэнергайэдат, 1963.
Мжмкфвяч Б. М- Яковлев В. П. Теория синтеза антенн. Мл Сое. радио, 1969.
Бахрах Л. Д, КреяокфШЙ С Д, Синтез Излучающих систем. М.: Сов. радио,
1974. <„
Пнстелькорс А. А, Применение функций Матье для расчета распределенного
поля по заданной диаграмме направленности.— ДАН СССР. 1953, т. 49,
5.
Пнстелькорс А. А. Проблема синтеза антенн. — В кн.: 100 лет со дня рож-
дения А. С, Попова. М.: АН СССР, 196(1.
Тихопоа А. В, О решения некорректно поставленных задач я методе регуля-
рнзацяи. —ДАН СССР. 1961, т. 151, № 3.
ФельдЯ* Нч Бадрах Л. Д. Современное состояние теории синтеза антенн.—
Раднотадниад я элетроима. 1963, т. 8, вып. 2.
Чечкмм А.В. Метод функциональных пространств для решения обратной зада-
че теории аятени, — В кн.: Вычислительные методы и программированием
Иэд-воМГУ, 1969, № 13.
Челки* А- В- Метод овтиматаных диаграмм для решения задач синтеза ан-
тевв. ^РаднатеДника я электроника. 1971, т. 14, вып. 2.
Юрьев А, Я. Сйнтез антенн с миннмальаым уровнем бокового излучения.—
Рададаадвжа я электроника. 1970, т. 15, вып. 1.
КрупинадЖ & И. О синтезе непрерывной линейной антенны по методу стацио-
нарной фазы. — Радиотехника и электроника. 1967, т. И, вып. 11.
Хургин 4Ь И„ Яковлев В. П. Методы теории целых функций в радиофизике,
теории связи и оптики. М.: ГИФМЛ, 1962.
Рамм Н. Г. Оптимальное решение задачи синтеза линейной антенны.— ДАН-
СССР. 1968, т. 480.
Иванов В. К. О линейных некорректных задачах. — ДАН СССР. 1962, т. 145;
№ 2.
Троицкий В.И. Смешанные задачи синтеза антенн. — Вопросы радиоэлектро-
ники. Серия 12, 1968. вып. 2.
ПоповкВН Б. Ич Еяумеев В. И. Оптимизация п регуляризация Задачи синте-
за антеяйл.— Радиотехника и электроника. 1968, т. 13, вып. 5.
Поповка* В. И., Щербаков Г. И., Елумеев В. И. Оптимальный синтез антен-
ны при ограничении отклонений функции распределения от заданной.—
Радиотехника я электроинка. 1969, т. 14, вып. 8:
Список дополнительной советской литературы к гл. S
Калнтневсквй И. И. Волновая оптика. М.: Наука, 1971. /
Антенны эллнитаческой поляризации1 Под ред. Шпунтова А. И. М.: Изд-вс
иност. лят„ 1961.
Кобах В. О. Радиолокационные отражателя. М.: Сов. радио, 1975.
МоЙкСсЁ^ Ж Элеятродлнамическяе усредненные граничные условия для ме-
талтичеаджх сеток,—ЖТФ. 1Щ5, т. 25, № 1.
Ямлольсад^ Л Г. "Отражение плоской волны от проволочной сеткп при нор-
мальнейИолявЮацая. — Радиотехника. 1956, № 11.
ЯмтймьскяЙ В. Г. Дифракция плсхзеой электромагнитной волйы на систем-
металлических полосок. — Радиотехника и электроника. 1963, т. 8, вып
Розенберг Г. В. Оптика тонкослойных покрытий. И.-. Фнзматгиз. 1958
Брауде С. Я-, Коиарад Н. Н< Обобщенные кривые коэффициентов отражеи х:.
Френеля для горизонтальной п вертикальной поляризации. — Известит-
вузов. Радиотехника. 1959, т. 2, № 1.
35*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие к русскому изданию.................................... 5
Предисловие редактора английского издания......................... €
Предисловие автора.............................................. 7
ГЛАВА ПЕРВАЯ- Липами рефлекторы.......................... 12
1.1. Одиоповерхиостиые фокусирующие рефлекторы....................14
1.2. Двух поверхностные рефлекторы . 17
1.3. Одноповерхностные преломляющие линзы.........................23
1.4. ДвухповерхшхячШе линзы......................................29
1.5. Микроволновые линзы . ........................................3§
1.6. Рефлекторы с фйзоиой коррекцией...............................45
1.7. Рефлектора: .^лфараджльиым переносом образующей 59
1.8. Бицялширичеёвде линзы.........................................65
1.9. Лннз41 с пряйукятельиым преломлением..........................73
1.Ю. Решетчатые рефлекторы 76
1.11. Днфракционяо-фокуспруюшие системы апертур 81
1.12. Двудрефлектбрные сканирующие антенны ’ . 83
1.13. Антейяы е особой формой луча и амплитудное распределение в
апертуре . .......................... 88
1.14. Графоаналитический метод расчета двух поверхностных систем . 94
ГЛАВА ВТОРАЯ- Неоднородные среды
Часть I. НЕОДНОРОДНЫЕ МИКРОВОЛНОВЫЕ ЛИНЗЬ! .
2.1. Лучевая оптика в неоднородной среде........................
2.2. Линейная горизонтально-слоистая среда .....................
2.3. Цилиндрические полярные координаты.........................
2.4. Сферические полярные координаты ................
2.5. Общая теория фокусврооит лучей в среде ро сферической симмет-
рией.. .. . . . . J.........................
2.6. Преобразование Лежандра .............
2.7. Искривление светового лучав непосредственной близости от Солнца
2.8. Системы координат с разделявшимися переменными
2.9. Сферические линзы из концеЯтрическях оболочек..............
2.10. Неоднородные линзы из параллельных пластин и геодезические
линзы ... . . . . ................
Часть П. МНОГОСЛОЙНЫЕ СТРУКТУРЫ. АНТЕННЫЕ
УКРЫТИЯ ...
2.11. Матричная форма для единичного слоя......................
2.12. Трехслойные антенные укрытия . ......................
2.13. Многослойные среды . .... . ................
2.14. Среды с плавным изменением показателя преломления .
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. Скалярная теория дифракции круглых раскры
вов .
3.1. Скалярные интегральные преобразования .
3.2. Преобразования нулевого порядка ..... .
3.3. Круговые полиномы . ......... . : .
3.4. Преобразование для различных функций возбурсдения раскрыва
3.5. фазовые Ошибки . . , . ...
3.6. Переход к раскрывам эллиптической формы ... .
3.7. Микроволновый аксикон .........
3.8. Типы волн в открытом резонаторе с конфокальными параболкчес
, кями зеркалами ......................................... ...
358 -f

100
101
102
105
109
121
128
128
132
141
145
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. Синтез диаграмм направленности антенн
в дальней зоне ..........................................
4.1. Симметричные диаграммы направленности. Метод Вебба—Каптейна
4.2. Разложение функций в ряд Маклорена............................
4.3. Разложение функции апертурного возбуждения в ряд Бесселя .
4.4. Дополнительные возможности метода Вебба—Каптейна . . .
4.5. Зонированная круговая апертура................................
46. Несимметричные диаграммы......................................
4.7 . Зонированные пластины Френеля...............................
ГЛАВА ПЯТАЯ- Поляризация . . ....................
5.1. Поляризационный эллипс . ....................
5.2. Параметры Стокса..............................................
5.3. Векторы Джонса................................................
5.4. Отраженные волны . .............................
5.5. Передача и Прием эллиптически' поляризованных волн . . . .
5.6. Сферы Пуанкаре ...............................................
5.7. Поляризация в антеннах СВЧ ...................................
5.8. Многоэлементные наклонные решетки.............................
5.9. Рефлекторы с поворотом поляризации............................
5.10. Нереализуемые поляризационные устройства.....................
5.11. Применение бивекторов и кватернионов для анализа поляризацион-
ных эффектов . ........................................
ГЛАВА ШЕСТАЯ. Прогресс в области оптики
6.1. Матрицы оптических преобразований.
• 6.2. Преобразование в двух измерениях....................... :
6.3. Преобразование Бейтмана для оптических систем.................
6.4. Функции гиперкомплексного переменного . ._
6.5. Геометрическая оптика в четырехмерном пространстве .. . .
6.6. Выводы................................. ......................
Приложение I .............
П1.1. Законы преломления н отражения
П1.2. Непрерывные неоднородные среда...............................
П1.3. Теорема Малюса я Дюпина......................................
П1.4. Уравнение эйконала ..........................................
П1.5. Операторы преломления и отражения.....................
Ш.б. фоквлЬиая линия рефлектора
П1.7. Отражение и преломление в средах с потерями . ,.
П1.8. Дифференциальное уравнение рефлектора
5 П1.&. Условие синусов Аббе и условие Гершеля........................
П1.10. Плотность потока, рассчитываемая при анализе рас н ростр а не ни я
| лучей средствами геометрической оптики .......................
Приложение 2..............................................
Ш. Круговые полиномы............................................
П2.2. Функции Бесселя и другие родственные им функции
П2-3.' ФунфЙвй Грина—собственные интегралы волнового урав!геиил
Ш.4. Кватернионы . . .............
П2.5. Лучевой интеграл в сферической среде..........................
{>- Список литературы ...........................
£ Предметный указатель................................................
Стр.
215
216
220
221
222
223
238
243
245
245
247
249
252
255
256
259
262
267
270
271
274
275
284
288
291
293
‘ 293
298
299
299
301
306
307
307
308
310
312
312
314
317
321
324
,328
354
Корнблит С.
СВЧ оптику. Оптические принципы
в приложении к конструированию
СВЧ антени.
Редактор Т. В, Жужова
Обложка художник! А. С. Широкова
Художественный редактор А, А, Данилин
Технический редактор К- Г- М а р коя
Корректор В, С- Евдокимова
ИБ М 680
Сдано а набор Я>.05.80 г. Поди, в нем, 1,09.60 г.
Формат бОхЭОЛ* Бумага тн», Ж 1 Гарнитура литературная
Пенять высокая Усл. пея. л. 22,5 Уч.-изд. л. 2435 Тираж 3500 экз.
Изд. М $3621 Зак. M ill Цена 2 р.
Издательство «Связь». Москва 101060, Чистопрудный бульвар/д. 2
Танрграфня издательства «Связь» Госкомиздата СССР
Москва IOIOOO, ул. Кором, д, 40
. ь