Задачи и управления по курсу "Численные методы" - Арушанян И.О., Корнев А.А., Чижонков Е.В.

5.5. Некорректные системы линейных уравнений и задачи на собственные значения
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Author: Арушанян И.О. Корнев А.А. Чижонков Е.В.
Tags: математика вычислительная математика
Year: 2006
Similar
Численные методы в примерах и задачах
Численные методы решения обратных задач математической физики
Численные методы решения задач электрофизики
Численные методы
Text
                    МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В.ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
Задачи и упражнения по курсу
"Численные методы"
И.О. Арушанян, А.А. Корнев, Е.В. Чижонков
Москва 2006 год

И.О. Арушанян, А.А. Корнев, Б.В. Чижонков
Задачи и упражнения по курсу "Численные методы"
Учебное пособие содержит основные факты теории,
примеры решения задач и упражнения для
самостоятельной работы. Пособие охватывает материал всех
классических разделов вычислительной математики и соответствует
курсу лекций по численным методам для студентов меха-
нико — математического факультета МГУ им. М.В.
Ломоносова.
Для студентов и аспирантов, изучающих и
применяющих методы вычислительной математики, а также для
преподавателей, читающих лекции и проводящих семинарские
занятия.
Рецензент — профессор Г.М. Кобельков
©Механико-математический факультет МГУ, 2006 г.
©И.О. Арушанян, А.А. Корнев, Е.В. Чижонков, 2006 г.

1 Погрешность решения задачи 7
1.1 Вычислительная погрешность 7
2 Разностные уравнения 11
2.1 Однородные разностные уравнения 11
2.2 Неоднородные разностные уравнения 14
2.3 Фундаментальное решение 16
2.4 Задачи на собственные значения 17
3 Приближение функций и производных 18
3.1 Полиномиальная интерполяция 18
3.2 Многочлены Чебышева 21
3.3 Численное дифференцирование 23
3.4 Наилучшее равномерное приближение 25
4 Численное интегрирование 28
4.1 Интерполяционные квадратуры 28
4.2 Метод неопределенных коэффициентов 33
4.3 Квадратурные формулы Гаусса 35
4.4 Функции с особенностями 38
5 Матричные вычисления 41
5.1 Векторные и матричные нормы 41
5.2 Элементы теории возмущений 43
5.3 Линейные итерационные методы 48
5.4 Неявные методы 53
5.5 Некорректные системы линейных уравнений и
задачи на собственные значения 56
6 Решение нелинейных уравнений 61
6.1 Метод простой итерации 62
6.2 Метод Ньютона 65
7 Обыкновенные дифференциальные уравнения 68
7.1 Основные определения 68
7.2 Задача Коши 73
7.3 Краевая задача 77
7.4 Методы построения разностных схем 78
3

8 Уравнения с частными производными 86
8.1 Гиперболические уравнения 86
8.2 Эллиптические уравнения 89
8.3 Параболические уравнения 91
9 Ответы, указания и решения 95
4

Предисловие
Математика как наука возникла в связи с необходимостью
решения практических задач: измерений на местности, навигации
и т.д. Вследствие этого математика всегда была численной
математикой, ее целью являлось получение решения в виде числа.
Крупнейшие ученые прошлого сочетали в своих трудах как
построение математического описания явления природы
(математической модели), так и его исследование. Анализ
усложненных моделей требовал создания новых, как правило, численных
или асимптотических методов решения задач. Названия
некоторых из таких методов — методы Ньютона, Эйлера, Гаусса,
Чебышева — свидетельствуют о том, что их разработкой
занимались крупнейшие ученые своего времени.
Последние полвека характерны бурным развитием
вычислительной техники и теории численных методов. В результате
происходит быстрое изменение взглядов на весь комплекс
вопросов, связанных с применением компьютеров, в частности, на
требования к численным методам. Поэтому нельзя предложить
пособия по численным методам, содержащего рецепты
решения всех реально встречающихся проблем. При выборе способа
решения конкретной задачи всякое пособие играет роль лишь
общего руководства, отталкиваясь от которого исследователь
анализирует свои проблемы.
Настоящее пособие написано на основе опыта преподавания
курса "Численные методы" на механико - математическом
факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Каждый раздел
начинается с изложения базовых определений и теоретических
результатов; далее рассматриваются типовые задачи, как правило,
снабженные подробными решениями; а в завершение раздела
приводятся упражнения для самостоятельных занятий.
В процессе написания использовалась литература, список
которой полностью приведен в конце книги. Поскольку
многие задачи встречаются в различных изданиях, установить
авторство практически невозможно. Поэтому для единообразия
ссылки на литературу по задачам в тексте отсутствуют.
Первый вариант пособия увидел в свет в 1998 году. С тех пор
его объем и структура претерпели значительные изменения. Ав-
5

торы выражают искреннюю признательность своим коллегам:
О.Б. Арушаняну, Ю.В. Быченкову, Ю.В. Василевскому, И.С.
Григорьеву, М.А. Ольшанскому, А.В. Попову за
предоставленные задачи и плодотворные обсуждения рукописи.
Пособие охватывает традиционный материал по разностным
уравнениям, приближению функций, численному
интегрированию и дифференцированию, задачам алгебры и решению
нелинейных уравнений, приближенным методам решения
дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными
производными, а также по влиянию вычислительной
погрешности в различных алгоритмах.
Отбор материала для пособия определялся тем, что взгляды
авторов на предмет были в значительной мере сформированы
их учителем — академиком РАН Н.С. Бахваловым.
Авторы надеются, что предлагаемое пособие окажется
полезным для студентов и аспирантов, изучающих и
применяющих численные алгоритмы, преподавателей, проводящих
занятия, а также для инженеров и исследователей, использующих
в своей деятельности методы вычислительной математики.
Авторы
б

1. Погрешность решения задачи
Если а — точное значение некоторой величины, а а* —
известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью
приближенного значения а* называют обычно некоторую величину
Д(а*), про которую известно, что
|а*-а|< Д(а*).
Относительной погрешностью приближенного значения
называют некоторую величину £(а*), про которую известно, что
1а* ~"а1 ^ г/ *\
|-^-|<5(а).
Относительную погрешность часто выражают в процентах.
В разделе на модельных упражнениях показывается
принципиальное отличие между математически точными
вычислениями и вычислениями с произвольно высокой, но конечной
точностью. Приводятся примеры катастрофического
накопления вычислительной погрешности в стандартных алгоритмах,
рассматриваются методы возможного улучшения исследуемых
алгоритмов.
1.1. Вычислительная погрешность
Наиболее распространенная форма представления
действительных чисел в компьютерах — это числа с плавающей точкой.
Множество F чисел с плавающей точкой характеризуется
четырьмя параметрами: основанием системы счисления р>
разрядностью t и интервалом показателей [L, U]. Каждое число я,
принадлежащее F, представимо в виде
\р р2 рЧ
где целые числа р, a, d\,..., dt удовлетворяют неравенствам
0<*<р-1, г = 1,...,£; L<a<U.
v

Часто di называют разрядами, t — длиной мантиссы, а —
порядком числа. Мантиссой (дробной частью) х называется число в
скобках. Множество F называется нормализованным, если для
каждого i^O справедливо d\ ф 0.
Удобно определить, что округление с точностью е — это
некоторое отображение // действительных чисел R в
множество F чисел с плавающей точкой, удовлетворяющее
следующим аксиомам:
для произвольного у € R, такого, что результат
отображения fl(y) € F имеет место равенство
//(у) = у(1 + ч), М<е;
обозначим результат арифметической операции * с числами
а, 6 € F через fl(a * 6). Если fl(a * 6) Ф 0, тогда
Я(а*6) = (о*6)(1 + т?)> М<е.
Приведенное соотношение позволяет изучать влияние ошибок
округления в различных алгоритмах.
Если результат округления не принадлежит F, то его
обычно называют переполнением и обозначают как " оо".
Будем считать, что е есть точная верхняя грань для \г}\. При
традиционном способе округления чисел имеем е = ^р1"*, при
округлении отбрасыванием разрядов е = р1"*. Величину е часто
называют машинной точностью.
1.1. Построить нормализованное множество F с параметрами
р = 2, * = 3, L=-l, £7 = 2.
1.2. Сколько элементов содержит нормализованное множество
F с параметрами p,t,L,U?
1.3. Каков будет результат операций при использовании
модельной системы из 1.1 ?
1)х = /1(Щ), 2)х = Л (|), 3)х = //(4), 4)* = Л (i + f),
5)х = /Z (| + |), 6)х = Я (3 + |), 7)х = //(&-§), 8)х =
1.4. Верно ли, что всегда // ( —-— 1 € [а, Ь] ?
1.5. Пусть отыскивается наименьший корень уравнения
у2 - Шу +1=0.
8

Вычисления производятся в десятичной системе счисления,
причем в мантиссе числа после округления удерживается 4
разряда. Какая из формул у = 70 — \/4899 или у = ,
F ^ * J у 70 + v/4899
дает более точный результат?
1.6. Пусть приближенное значение производной
функции f(x) определяется при Л < 1 по формуле f'(x) «
f(x + h)-f(x-h) „ ч .
~ —■— , а сами значения /(х) вычисляются с аб-
солютной погрешностью А. Какую погрешность можно
ожидать при вычислении производной, если |/^(ж)| ^ Mfci & =
ОД,...?
1.7. Найти абсолютную погрешность вычисления суммы S =
п
53 £j > гДе все xi ~~ числ& одного знака.
10е 1
1.8. Пусть вычисляется сумма S\qs = £ "^ • По какому
алгоритму Sq = 0, «5n = Sn-i H—т, п = 1,...,106, или
Дюо=0, Яп-1 = Д„ 4- -sr, n = 106,...,l, S10« = flo,cne-
дует считать, чтобы суммарная вычислительная погрешность
была меньше?
1.9. Можно ли непосредственными вычислениями проверить,
оо l
что ряд 53 т расходится?
1.10. Предложить способ вычисления суммы, состоящей из
слагаемых одного знака, минимизирующий влияние
вычислительной погрешности.
1.11. Предложить способ вычисления знакопеременной
суммы, минимизирующий влияние вычислительной погрешности.
1.12. Пусть значение многочлена Р(х) = ао 4- а\х 4-... 4- апхп
вычисляется в точке х = 1 по схеме Горнера:
Рп{х) = а0 + х(аг 4- х(...(ап-1 + апх)...)).
Какую погрешность можно ожидать в результате, если
коэффициенты заданы с погрешностью г/?
1.13. Оценить погрешность вычисления скалярного произве-
9

дения двух векторов S = £) xjVj> если их компоненты заданы
с погрешностью г).
1.14. Пусть вычисляется величина S = а\Х\ + ... -f апхп, где
коэффициенты а* заданы с погрешностью т). Оценить
погрешность вычисления S при условии, что х\ + ... + х\ = 1.
1
1.15. Для элементов последовательности i?n = J xllex~1dx
О
справедливо точное рекуррентное соотношение Еп — 1 -
п£?п_1, £?i = 1/е. Можно ли им пользоваться для
приближенного вычисления интегралов, считая, что ошибка округления
допускается только при вычислении Е\?
1.16. Можно ли пользоваться для приближенного вычисле-
1
ния интегралов Еп = J xnex~ldx точным рекуррентным соот-
о
ношением £n-i = (1 - Еп)/п (в обратную сторону), считая, что
ошибка округления допускается только при вычислении
стартового значения En? Как выбирать это значение?
1.17. Пусть вычисления ведутся по формуле
Уп+1 = 2уп - Уп-i + h?fn , п = 1,2,... ,
Уо> У\ заданы точно, |/п| < М, Л<з: 1. Какую вычислительную
погрешность можно ожидать при вычислении ум? Улучшится
ли ситуация, если вычисления вести по формулам п* —- =
, Уп - Уп-1 __ ?
/п > Г — -2-п •
10

2. Разностные уравнения
Пусть неизвестная функция у и заданная функция / являются
функциями одного целочисленного аргумента. Тогда линейное
уравнение
а0у{к) + агу{к + 1) + ... + апу{к + п) = /(к), А = 0,1,2, ... ,
где а» (г = 0,1,... ,п) — постоянные коэффициенты и ао Ф О,
а„ ^ 0, называется лгдоейнылс разностным уравнением n-го
порядка с пястолннъши коа/н^ифденталш. Если в этом уравнении
положить у (к + г) = 2/^+» и /(fc) = Д, то оно примет вид
яоУ* + о>1Ук+1 + • • • + anyifc+n = Д > А: = 0,1,2, ... .
Для однозначного определения решения этого уравнения
требуется задать п условий, например,
У% = 6i, г = 0,1, ... ,п- 1.
Имеется глубокая аналогия между рассмотренным разностным
уравнением и обыкновенным дифференциальным уравнением'с
постоянными коэффициентами
а>оу(х) + агу'(х) + • • • + апу{п)(х) = /(х),
как в постановках задач, так и в методах их решения.
2.1. Однородные разностные уравнения
Если в разностном уравнении правая часть Д равна нулю, то
уравнение называется однородным. Напомним, как ищется
общее решение однородного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами. Положим у(х) = ехр(Аж). После
подстановки этого выражения в дифференциальное уравнение
и сокращения на ехр(Аяг) получим характеристическое
уравнение
п
р(А) = ]Га,А'=0.
Если Ai,..., Аг — различные корни этого уравнения кратности
сгх, ... , аг соответственно, то общее решение можно записать в
11

виде
V(x) = cneXlX + ci2xeAlX + . •. + ciaixai"1eAlX + • • • +
+crlex'x + cr2xeKx + • • • + СгегУ'"1^ f
где c»j — произвольные постоянные.
Аналогично ищется решение разностного уравнения.
Положим у к = /А После подстановки этого выражения в
разностное уравнение и сокращения на /ifc получим характеристическое
уравнение
п
Пусть /ii,..., /ir — его различные корни, а о\,..., от — их
кратности. Тогда общее решение однородного разностного
уравнения представляется в виде
Ук = сц/if + c12ktf + • • • + ci^fc*1" Vi + • • • +
+Сг1Д* + C^ty* + • • • + Crar**r~ Vr >
где c»j — произвольные постоянные. Таким образом, каждому
корню \х кратности а соответствует набор частных решений
вида
2.1. Найти общее решение уравнения
Ьук+i -сук + ayfc-i = 0.
2.2. Найти действительную форму записи общего решения
уравнения
Ук+i ~Ук+2ук-1 =0.
2.3. Верно ли, что любое решение разностного уравнения
2/fc+i - Ьук + 6t/fc_i = 0
удовлетворяет уравнению
МЬ+1 - $Ук + 27у*-! - 23yik-2 - 24yfc-3 + 36yfc-4 = 0 .
2.4. Пусть v?fc и Zk — два частных решения уравнения
ail/fc+i +a0j/fc 4-a-i2/fc~i =0, aba_i /0.
Доказать, что определитель матрицы
А ( 4>к ¥>fc+i \
12

либо равен нулю, либо отличен от нуля для всех к
одновременно.
2.5. Найти решение разностной задачи
Ук+4+2ук+з+ЗУк+2+2ук+1+Ук = О, уо = У\ = Уз = 0, у2 = -1.
2.6. Показать, что для чисел Фибоначчи
Л+1=Л + Л-ь /о=0, /i = 1
справедливо
ЛЛ+а " Л2+1 = (-1)*+1. к = 0,1,2, ... .
2.7. Вычислить определитель порядка к:
( Ь с 0 ... 0 0 \
Ak = det
а
0
Ь с 0 .
а 6 с О
О
V0
О
О
о
о
о
а
О
6
а
с
2.8. Используя разностное уравнение, выписать формулу для
вычисления интеграла
cos(kx) — cos(A:a)
cosx — cos a
n
dx,
где a — параметр.
2.9. Найти действительную форму записи общего решения
уравнения
26$/*_1 + lOyjfc + ук+\ = 0.
2.10. Найти решение разностной задачи
У*+2 + Зук+i + %Ук = 0, 2/0 = 2,2/1 = 1.
2.11. Решить уравнение
Ук+г-2рУк+Ук-1=0> к = 1,2,...,, р>0.
2.12. Показать, что если — 1 < А < 1, то любое решение
разностного уравнения
у*+1 -2Ayfc + ук-г = 0
ограничено при к —► оо. Если же А — любое комплексное число,
не принадлежащее интервалу действительной оси -1 < А < 1,
13

то среди решений этого разностного уравнения есть
неограниченные при к —* оо.
2.13. Найти решение краевой задачи
2/*+1 - Ук + Ук-х = 0, 1 < к < N - 1,
2/0 = 1. 2/n = 0.
2.2, Неоднородные разностные уравнения
Пусть t/2 ~ общее решение однородного, ayj- частное
решение неоднородного уравнения. Тогда общее решение
линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами
можно представить в виде их суммы
У к = У к + Ук •
Как и в случае дифференциальных уравнений, частное
решение для правой части специального вида может быть найдено
методом неопределенных коэффициентов. Пусть
Л = <*к (Рт(к) cospk + Qn{k) sin/»),
где Рт(к)> Qn(k) — многочлены степени тип соответственно.
Тогда частное решение ищется в виде
yl = к9of" (Ri{k) cosPk + Ti{k) sin/8*), (1)
где s — 0, если ае±1& не являются корнями
характеристического уравнения, и s равно кратности этого корня в противном
случае; I = max(m, п) — степень Многочленов R(k) и Т(к).
Чтобы найти коэффициенты этих многочленов, надо
подставить выражение (1) в неоднородное уравнение и приравнять
коэффициенты при подобных членах. Напомним этот алгоритм
в простейшем непрерывном случае:
У"-У = е\
у°(х) = С, ех + С2 е~х, у\х) = ех (Ах + В),
у"-у = 2Л ех = ех => А = i => у{х) = (d + | х) ех+С2 е'х.
2.14. Найти частное решение уравнения
2ук - Ук+i = 1+2к-к2.
14

2.15. Найти частное решение уравнения
2ук-ук+г = к2к .
2.16. Найти частное решение уравнения
2ук -?/fc+i =sinfc.
2.17. Найти решение разностной задачи
lte+i - &!/* = а*, Уо = 1 (а,6^0),
2.18. Найти частное решение уравнения
1 3
-2/fc-i - -£Ук + Ук+\
-©■
2.19. Найти общее решение уравнения
Ш-1 - -Ук + Vk+i = cosk.
2.20. Найти решение разностной задачи с переменными
коэффициентами
Ук+1-кук=2кк\, к>0.
2.21. Найти решение нелинейной разностной задачи
Ук
Ук+1 = ТТ7к' У0 = ь
2.22. Найти решение нелинейного уравнения
1
Ук+1 = ^—~ *
2-ук
2.23. Найти решение разностной задачи
2/fc+i - yk-i = fe2_1, 1/1=0, 2/2=0.
2.24. Найти решение нелинейной разностной задачи
Л 1
t/jfe+i=2 , j/o = 2.
2/fc
2.25. Найти решение нелинейного уравнения
Vfc+i-V* = l. Ь>0.
2.26. Найти решение нелинейного уравнения
2/£+1=2у*.
2.27. Найти решение нелинейной разностной задачи
УкУк+2 = 2/fc+i2/M-3 , 2/0 = 1,2/1= е~1/2, у2 = е"2 .
15

2.28. Найти решение нелинейной разностной задачи
аук + Ь
Ук+1 = Г"} , 1/0 = 1»
cyk + d
при условии (а — d)2 -f 4be > 0.
2.29. Найти решение нелинейной разностной задачи
аук + Ь
3/*+i = „„, , , » 2/о = 1,
ct/fc-fa
при условии (а - d)2 + 46с = 0.
2.3. Фундаментальное решение
Фундаментальным решением G* называется решение
разностного уравнения
аоУк + aij/jt+i + • • • + an2/fc+n = fk
с правой частью специального вида Л = <$£, гДе
xn _ f °» при fc ^ n>
11, при к = n.
2.30. Построить ограниченное фундаментальное решение
уравнения
аУк + Ьук+1 =<$.
2.31. Пусть |а/6| Ф 1, |Д| < F, а Gk — ограниченное
фундаментальное решение уравнения
аук + Ьук+i = Л-
Показать, что частным решением этого уравнения является
сходящийся ряд
оо
Ук = Yl Gb-*f* '
п=—оо
2.32. Найти ограниченное фундаментальное решение
уравнения 2/fc_i - 2 ук + ук+г = Si.
2.33. Построить фундаментальное решение уравнения
Ук-i -Ук + Ук+1 =<$♦
2.34. Построить ограниченное фундаментальное решение
5 со
уравнения yk-i~ -ук + У*+1 = <^ •
16

2.35. Доказать, что решение разностной задачи
Ук-l - 2 ук + yk+i = Д, t/0 = a, VN =P
удовлетворяет неравенству
max \ук\ < тах(|а|, Щ) + ^ш^ |Д | • — .
2.4. Задачи на собственные значения
2.36. Найти все решения задачи на собственные значения
Ук+\ - 2/fc-i
= -Ayfc, y0 = yN=0, Л=1/ЛГ.
ния задачи на собственные значе
= -Aite, 2/о = 2/лг = 0, h = l/N.
2h
2.37. Найти все решения задачи на собственные значения
2/fc+l -2yfc + yjfc-i
/г2
2.38. Найти все решения задачи на собственные значения
2/fc+i —2yk + 2/fc-i х , 1 1 ^ ; ^ лг 1
—г ^2 = -*Ук, h=zJj> 1<*<ЛГ-1,
2 2
^2(2/1 -2/0) = -А2/0, --^{уы -Уы-\) = -At/w.
2.39. Найти все решения задачи на собственные значения
t/fc+i — 2yfe 4- 2/fe-i , 1
д2 = ~A2/Jfc, Л==#» l^fc<N-l,
2/0 = 0, 2/w = 2/w-i •
2.40. Найти все решения задачи на собственные значения
2/fc+i -Ук-i . , 1 1 ^ 1. <г лт 1
гт = -Ayfc, /г=д/:' 1^fc^Ar~1'
2/0 = 2/ь Уы = 2/n-i •
17

3. Приближение функций и
производных
Задачи приближения функции условно можно разделить на два
множества. Задачи первого множества сводятся к
приближенному восстановлению достаточно гладкой функции по ее
заданным значениям в некоторых фиксированных точках. В задачах
второго множества речь идет о так называемом наилучшем (в
некоторой метрике) приближении — замене сложной с точки
зрения вычислений функции ее более простым аналогом.
Типичным при такОхМ подходе является поиск приближения в
виде линейной комбинации "удобных" функций, например,
ортогональных алгебраических или тригонометрических
многочленов. Многообразие математических постановок определяет
многообразие применяемых методов, каждый из которых
может оказаться оптимальным в своем классе. В разделе
приводятся наиболее известные подходы в теории приближений для
функций одного переменного.
3.1. Полиномиальная интерполяция
Пусть а = xi < Х2 < ... < хп = 6 - набор различных точек
(узлов) на отрезке [а, 6], в которых заданы значения функции /(х)
так, что /i = /(xj), г = 1,..., п. Требуется построить многочлен,
принимающий в точках х» значения /», и оценить погрешность
приближения достаточно гладкой функции этим многочленом
на всем отрезке [а, 6].
Приведем в явном виде вспомогательные многочлены Ф*(х)
степени п - 1, удовлетворяющие условиям ФДхг) = 1, $%{xj) =
п
гт — пг •
О при j ф г: Фг(х) = JJ[ — . Далее с их помощью запишем
формулу для искомого многочлена, называемого многочленом
18

Лагранжа Ln(x) = Y^ fa ФДх). Так как существует единствен-
ный многочлен степени п — 1, принимающий в п различных
точках заданные значения, то указанный многочлен Ln(x) есть
решение поставленной задачи.
Пусть п-я производная функции /(х) непрерывна на
отрезке [а, Ь]. Тогда для любой точки х € [а, Ь) существует точка
£ G [а, 6] такая, что справедливо равенство
f(x) - Ln(x) = j— u;n(x), где wn(x) = ][J(x - x,).
Следствием этого представления является оценка погрешности
в равномерной норме
Ц/(х)-М*)|1 < ||/(П|,(ж)|1 |К(*)||, где ||/(х)||= sup |/(х)|.
п
Величина An = max > l$i(x)| называется константой Лебе-
га интерполяционного процесса. Скорость ее роста в
зависимости от величины п существенно влияет как на сходимость Ln(x)
к /(х), так и на оценку вычислительной погрешности
интерполяции. Для равномерных сеток Ап растет экспоненциально. Это
приводит к тому, что построенный на равномерной сетке
интерполяционный полином Ln(x) при большом числе узлов может
сильно отличаться от приближаемой функции. Так, например,
для функции Рунге /(х) = —-=—- на отрезке [-1,1] известно,
25х^ 4- 1
что max \Ln(x) — /(х)| —* оо при п —* со. Для чебышевских
х€[-1Д]
узлов соответствующий интерполяционный полином сходится к
указанной функции, это остается верным и для произвольной
непрерывно дифференцируемой функции.
Теорема Фабера. Для любой заданной таблицы узлов
интерполяции (xq,...,xJJ) на отрезке [0,1], существует
непрерывная на этом отрезке функция /(х) такая, что
погрешность ||Ln(x) — /(х)|| в равномерной норме не стремится к
нулю при п —> оо.
3.1. Построить многочлен Лагранжа при п = 3 для следующих
19

случаев:
1) Х\ — — 1, #2 = 0, Хз = 1,
/i = 3, /а = 2, /5 =5;
2) xi = 1, яг = 2, хз = 4,
/i = 3, h = 4, /5 =6.
3.2. Построение многочлена Лагранжа Ьп(х) эквивалентно
задаче нахождения коэффициентов с* из системы уравнений
п-1
J2 cix) — fj ПРИ 3 = 1> • • • >п- Показать, что эта система при
<=о
больших п может быть близка к вырожденной.
п
3.3. Найти У^х^Фг(х) при р = 0, ...,п.
*=1
3.4. Пусть на отрезке [а, Ь] заданы равноотстоящие узлы:
Xi = а-\ -(i — 1), г = 1,... ,п. Вычислить ||о;п(х)|| при п =
п — 1
2,3,4.
3.5. Функция /(х) приближается на [а, 6] по п равноотстоящим
узлам х» = а4- —^(г — 1), г = 1,..., п. Найти наибольшее целое
р в оценке погрешности ||/(х) - £п(х)|| < 10~р в равномерной
норме для следующих случаев:
1) [0,0.1], /(x) = sin2x, n = 2; 2) [-1,0], /(х) = ех, п = 3.
3.6. Число In 15.2 вычислено следующим образом. Найдены
точные значения In 15 и In 16 и построена линейная
интерполяция между этими числами. Показать, что если х и у —
соответственно точное и интерполированное значения In 15.2, то
справедлива оценка 0 < х — у < 4 • 10~4 .
3.7. Функция /(х) = -j5 приближается на [-4, -1] мно-
j\ х
гочленом Лагранжа по узлам х» = -4,-3,-2,-1. При каких
значениях А оценка погрешности в равномерной норме не
превосходит 10~5?
3.8. Доказать, что если узлы интерполяции расположены
симметрично относительно некоторой точки с, а значения
интерполируемой функции в симметричных узлах равны, то
интерполяционный многочлен Лагранжа — функция, четная
относительно точки с.
20

3.9. Построить многочлен Рз{х) = ^о + &ix + а2х2 + азх3,
удовлетворяющий условиям: Рз(-1) = 0, Рз{1) = 1, <Рз(2) =
2, а3 = 1.
3.10. Функция sinx приближается на отрезке [0,7г/4]
интерполяционным многочленом по значениям в точках 0,7г/8,7г/4.
Оценить погрешность интерполяции на этом отрезке.
3.1 IT Определить степень многочлена Лагранжа на
равномерной сетке, обеспечивающую точность приближения функции ех
на отрезке [0, 1] не хуже 10~3.
3.12. Показать, что если Xi,..., х2п — вещественные, то функ-
2 71 /р Tl
ция Т(х) = fj sin —-— является тригонометрическим поли-
k=i 2
п
номом вида ао/2 -f ]Г)(а& cos fcx -f 6^ sin/ex) с вещественными
k=i
коэффициентами а^б*.
3.13. Доказать, что интерполяционный тригонометрический
полином Т(х), удовлетворяющий условиям T(xj) = yj> j =
0,1,...,2п, где 0 < хо < Xi < ... < Х2П < 27т, может быть
записан в виде
2п 2п _
Т{х) = ]ГУкЫх). гДе **(х) = П sin —2^/sin ' 2
fc=0 -=o
3.14. Построить тригонометрический интерполяционный
полином второй степени Т2(х) = ao + ai cos x + &i sin x -f а2 cos 2x 4-
&2sin2x, удовлетворяющий условиям:
Г2(0) = 0, Г2(тг/4) = 1, Т2(тг/2) = 1, Т2(Зтг/4) = 1, Г2(тг) = 1.
3.2. Многочлены Чебышева
Имеется несколько способов определения последовательности
многочленов Чебышева первого рода. Рассмотрим некоторые
из них.
а) Рекуррентное соотношение:
Т0(х) = 1, 7i(x) = х, Тп+1(х) = 2хГп(х) - Tn_i(x).
б) Тригонометрическая форма. При любом rj имеем
cos ((n + 1)г)) = 2cosr?cos(nr7) — cos ((n — 1)77).
21

Полагая г/ = arccosx, получаем
Тп(х) = cos(n arccosx) => |^п(^)| < 1 при \х\ < 1.
в) Разностное уравнение. Рекуррентное соотношение
является разностным уравнением по переменной п. Ему
соответствует характеристическое уравнение /i2 — 2x/i-f 1=0.
Следовательно, /ii,2 = х ± у/х2 - 1, Тп(х) = Ci/j," + С2Ц2 • Из начальных
условий получаем С\ = Сч = —. Это дает
Тп(х) = i f (x + \/х2-1)П + (х - \/*2-1)П) .
Отметим, что все многочлены Т*2П(х) — четные, a T2n+i(x) —
нечетные. При этом коэффициент при старшем члене равен
2п-1
3.15. Доказать следующие свойства многочленов Чебышева:
1)Тгп(х) = 2Т*(х)-1;
2)Imn= fTni*}TmWdx=\ °/2, п = т>0,
i vx "x I ir, n = m = 0;
3)/тпЫ^=Ц^Тп+1(х)-^Гп_1(х))-^, n>2;
-1
4)(1 - x2) T%(x) - xT^(x) + n2 T„(x) = 0, n > 0.
3.16. Найти все нули многочленов Чебышева Тп(х).
3.17. Найти все экстремумы многочлена Чебышева Тп(х) на
отрезке [—1,1].
3.18. Доказать, что приведенный многочлен Чебышева
Тп(х) = 21*~пТп(х) является наименее уклоняющимся от
нуля среди всех многочленов со старшим коэффициентом 1 на
отрезке [—1,1], т.е.
max |Р„(х)| > max |Т„(х)| = 21"" .
3.19. Найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля среди
всех многочленов со старшим коэффициентом 1 на отрезке [а, 6].
22

3.20. Пусть ujn(x) = П (х - Xi). Показать, что при любом вы-
боре узлов Xi имеет место неравенство ||cjn(x)|| > (6 — а)п 21~2п.
Сравнить полученный результат с имеющимся для
равномерного распределения узлов.
3.21. Пусть к < п, 0 < а < 6. В классе многочленов Рп(х)
степени п, удовлетворяющих условию Р„ (0) = с ф 0, найти
наименее уклоняющийся от нуля на [а, 6].
3.22. Среди всех многочленов Рп(х) = хп +... степени п > 2,
удовлетворяющих условиям Рп(-1) = Рп(1) = 0, найти
наименее уклоняющийся от нуля на [—1,1].
3.23. Пусть Рп(х) — многочлен степени п и max |Рп(х)| =
х€[ —1,1]
М. Доказать, что для всех х, удовлетворяющих условию \х\ >
1, выполняется неравенство |РП(^)| < Л/ |Тп(х)|, где Тп(х) —
многочлен Чебышева степени п.
3.24. Вычислить значение производной многочлена Чебышева
п-й степени в точке: 1)х = 1; 2)х = — 1.
3.25. Функция f(x) = sin2x приближается многочленом Ла-
гранжа на [0,2] по п чебышевским узлам: х* = 1 4- cos ^~тг,
г = 1,..., п. Найти наибольшее целое р в оценке погрешности в
равномерной норме вида еп = 110~р, если п = 6.
3.26. Среди всех многочленов вида a$xz + 2x2 + o.\x+ao найти
наименее уклоняющийся от нуля на [3,5].
3.27. Среди всех многочленов вида агх2+x-f ао найти наименее
уклоняющийся от нуля на [—1,1].
3.3. Численное дифференцирование
Пусть известны значения функции /(х) в точках xi,X2,... ,х„
и требуется приближенно определить производную f^{x) для
некоторого 0 < к < п - 1. Построим интерполяционный
многочлен Ln(x) и положим /^(х) « Ln '(х); при этом для
погрешности справедливо представление
/«(*) - 4«(х) = ± (k_^n+jyJ{n+j)^Mk-j)H.
23

Для системы равноотстоящих узлов (x*+i - хг = К г =
1,п - 1) часто используется другой подход, основанный на
получении приближений для старших производных через
младшие, аналогично последовательному дифференцированию в
теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Базовыми
являются следующие выражения: df(x) = 'х+ I" , #/(х) =
/(«}-/(«-*), a/(x) = */(«>+*/(»>. Это простейшие аналоги
первой производной функции /(я), называемые разностями
вперед, назад и центральной соответственно. При этом для
получения оценок погрешностей удобно использовать разложения
Тейлора.
Для получения формул численного дифференцирования на
практике также используется метод неопределенных
коэффициентов. Он заключается в следующем: искомая формула запи-
п
сывается в виде /^(хо) = 2J Cif&i) + R{f), и коэффициенты
d определяются из системы линейных уравнений R(f) = 0,
причем последовательно полагают /(х) равным 1, х, х2,..., xn_1.
Будем далее использовать обозначение f(x) £ С^г\ если
функция f(x) имеет на интересующем нас отрезке все
непрерывные производные до порядка г включительно.
3.28. Показать, что в точке х = х, (один из узлов
интерполяции) справедлива оценка погрешности
max|/(n)(x)| n
\f{xi) - L'n(xi)\ < -5—п П I*» - *il •
3.29. Доказать равенства:
1) если / е С<2\ то 5/(х) - f(x) = ^ /"(£), х < £ < х + /г;
2) если / € С<3>, то 5/(х) - /'(*) = ^ /'"(О, х-Л<£<х + /г.
о
3.30. Получить явные формулы для разностных
аналогов старших производных: /"(х) « ddf(x), ff"(x) «
dBdf{x), fW{x)*d2d2f{x).
3.31. Найти величину Й^ = A\(h) в равенствах: 1) если / €
С<4>, то Э0/(х) - /"(х) = K2 /W(0, x-/i<£<x + /i;
24

2) если / € С<5>, то dddf{x) - /'"(*) = К3 /<5)(0,
х - 2/i< £ < я + 2Л;
3) если / е С(б\ то а2<92/(*) - /(4>(х) = КА /<б)(£),
а; - 2/i< £ < х + 2/i.
3.32. Считая, что значения функции в формулах численного
дифференцирования (для аналогов второй и четвертой
производных из 3.31) заданы с абсолютной погрешностью £, получить
оценки полной погрешности этих формул как суммы
погрешности метода и неустранимой погрешности. Найти оптимальный
шаг Ло, при котором минимизируется величина оценки полной
погрешности.
3.33. Методом неопределенных коэффициентов построить
формулы численного дифференцирования наиболее высокого
порядка точности по Л:
1)/'(0)«[а/(-2А) + 6/(0)+с/(Л)1/Л;
2) /"(0) и [в/(-Л) + bf{h) +cf(2h) + d/(3/i)]//i2.
3.34. Доказать, что
Щ0) - /'(0) = -J- J (h - \x\)2f'"(x)dx.
3.35. Получить формулу численного дифференцирования
наиболее высокого порядка точности по h следующего вида:
/'(0) « /i_1[a/(0) + 6/(-ft) + с/(2Л)], и найти ft, при котором
достигается минимум оценки погрешности, если max|/^fc^(x)| <
х
Ak, а абсолютная вычислительная погрешность функции не
превосходит е, т.е. max \f(x) — /*(х)| < е.
X
3.4. Многочлен наилучшего равномерного
приближения
Пусть R — пространство ограниченных вещественных
функций, определенных на отрезке [а, 6] вещественной оси с нормой
||/(ж)|| = sup |/(х)|. Для элемента / € R отыскивается наи-
х€[а,Ь]
25

■n
лучшее приближение вида Qn{x) = 2ZaJ x° • Многочлен Q°(x)
j=o
называется многочленом наилучшего равномерного
приближения ДЛЯ функции /(ж), если для любого многочлена Qn(x)
степени п справедливо неравенство ||/ — Q^\\ < \\f — Qn\\. Такой
многочлен существует всегда, а его единственность имеет место
при дополнительном предположении о непрерывности f{x).
Теорема Чебышева. Чтобы многочлен Qn(x) был
многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной
функции f{x), необходимо и достаточно существования на
[а, 6] по крайней мере п + 2 точек хо < ... < xn+i таких, что
/(*«)-Q»(s<) = «(-l)1/-<?»ll,
где г = О,..., п +1 и а = 1 (или а = —1) одновременно для всех
г.
Точки то,... ,£n+i, удовлетворяющие условию теоремы,
называются точками чебышевского альтернанса.
3.36. Построить многочлен наилучшего равномерного
приближения степени п = 50 для f(x) — sinlOOx на отрезке [0,7г].
3.37. Пусть f(x) — выпуклая непрерывная функция на [а, 6] и
Q?(x) — ее многочлен наилучшего равномерного приближения
первой степени. Доказать, что концы отрезка а и b входят в
альтернанс.
3.38. Построить многочлен наилучшего равномерного
приближения степени п = 1 для f(x) = х3 на отрезке [1,2].
3.39. Построить многочлен наилучшего равномерного
приближения степени п = 1 для f(x) = |х| на отрезке [—1,5].
3.40. Построить многочлен наилучшего равномерного
приближения Qn(x) степени п для P„+i(x) = ап+\хп+1Н на отрезке
[а,Ь].
3.41. Пусть /(п+1Цх) не меняет знак на [а, Ь] и Qn{x) —
многочлен наилучшего равномерного приближения степени п
для f{x). Оценить величины С\ и С% в неравенстве С\ <
||/(x)-Q„(x)||<C2.
3.42. Пусть f(x) — непрерывная нечетная функция на
отрезке [—1,1]. Показать, что многочлен наилучшего равномерного
26

приближения произвольной степени п — также нечетная
функция.
3.43. Получить оценку вида Сп < || sinx - Qn(x)|| < 2C„ для
многочлена наилучшего равномерного приближения степени п
на[-|,|].
3.44. Построить пример функции /(х) и ее многочлена
наилучшего равномерного приближения (?п(я), не
удовлетворяющих теоремам Чебышева и единственности.
3.45. Построить многочлен наилучшего равномерного
приближения степени п для функции /(х) на отрезке [а, 6]:
1)п = 1, Дх)=х3, [-1,1]; 2) п = 3, Дх) = ех3, [-1,1];
3) 71 = 3, Дх) = 3sin2 10х + |х2 - 7х + 10|, [3,4].
3.46. Рассматривается задача
наилучшего равномерного приближения функции ех
на [—1,1]. Показать, что 10"*6 < ||ехр(х)-
—Рб(х)11с[-1,1] ^ Ю~5, где Qq{x) — многочлен
наилучшего равномерного приближения шестой степени.
3.47. Показать, что построение многочлена наилучшего
приближения для функции /(х) в пространстве £г(0,1) приводит к
системе уравнений с матрицей Гильберта: Л^ = l/(z+j —1), 1 <
i,j < п.
3.48. Функция /(х) = приближается на [—1,1] много-
х -р у
членом первой степени следующими способами:
1) наилучшее равномерное приближение;
2) отрезок ряда Тейлора в точке х = 0;
3) интерполяция с оптимальными узлами х\^ = i2-1/2.
Построить эти многочлены и вычислить нормы
погрешностей в С[-1,1].
27

4. Численное интегрирование
Рассмотрим интеграл вида
ь
I(f) = jp(x)f{x)dx,
а
где [а, 6] — конечный или бесконечный промежуток числовой
оси и f(x) — произвольная функция из некоторого класса F.
Если не оговаривается противное, то будем считать, что все f(x)
непрерывны на отрезке [а, 6]. Заданная функция р(х)
называется весовой. Будем предполагать, что на [а, 6] она измерима,
тождественно не равна нулю и ее произведение на любую f(x)eF
суммируемо.
Для приближенного вычисления интеграла /(/) строятся
линейные квадратурные формулы (квадратуры) следующего
вида:
£»(Л = £>/(*«).
г=1
Постоянные с* называются коэффициентами (весами)
квадратуры, а Х{ — ее узлами.
Для каждой функции f(x) € F погрешность квадратурной
формулы Sn(f) определяется как Rn(f) = /(/) - Sn(f). При
этом оценкой погрешности на классе F называют величину
fln(F) = sup|iJn(/)|.
/6F
На практике часто используются оценки сверху для Дп(/),
которые будем обозначать через Дп.
4.1. Интерполяционные квадратуры
Имеется большая группа квадратурных формул, построенных
на основе замены f(x) алгебраическим интерполяционным
многочленом. Пусть на конечном промежутке [а, 6] по заданному
28

набору различных узлов {х{}^г функция /(х) приближается
интерполяционным многочленом Лагранжа Ln(x) степени п — 1
г=1 i=i X* XJ
Положим
6
Sn{f) = J p(x)Ln{x)dx.
a
Отсюда получаем явные формулы для набора коэффициентов
(сг}Г=1 и оценку погрешности Rn:
ь ъ
* = I **> П ^г <**• R» = ^^г^ / W»)l I «-*.<*)!d* -
a jVi a
где
n
||/<n>(x)|| = тюс |/<«>(*)| , u;n(x) = Г|(х - *,).
В оценках, приводимых ниже, также используется равномерная
норма.
Квадратурные формулы интерполяционного типа,
построенные в случае весовой функции р(х) = 1 для системы
равноотстоящих узлов Xj; = а + jjjEf, j = 0,1,..., п — 1, называются
формулами Нъютона-Котеса.
4.1. Получить формулы Ньютона-Котеса и соответствующие
оценки погрешностей при числе узлов п = 1,2,3.
4.2. Рассмотрим формулы прямоугольников и трапеций.
Какая из них имеет лучшую точность?
4.3. Пусть весовая функция р(х) четна, узлы Х{ расположены
симметрично относительно нуля, т.е. £n+i-t = — яь i = 1,..., п.
Доказать, что в интерполяционной квадратурной формуле для
a
вычисления интеграла /(/) = / р(х) f(x)dx коэффициенты,
—а
соответствующие симметричным узлам, равны, т.е. Cn+i-i = с*,
г = 1,...,п.
29

4.4. Доказать, что для погрешности квадратурной формулы
трапеций справедливо представление
ъ ь
Я2(Я = ff(x)dx-b-^ (/(а) + /(6)) = \ J{a-0(b-t)f''{i)dZ.
Составные квадратурные формулы. Рассмотрим
задами на построение составных квадратурных формул и вывод
оценок их погрешностей. Пусть h = (6 — a)/N и Хк = а + ЛЛ,
А: = 0,1,...,ЛЛ Введем следующие обозначения: I^(f) =
p(x)f{x)dx, Sik){f) = Sn(f) для отрезка [xfc,xfc+i], fc =
/
О,... ,N-1.
ЛГ-1
Поскольку исходный интеграл /(/) равен /(/) = Y^ I^kHf) *
fc=o
соответствующая составная квадратурная формула принимает
вид S„(f) = 2J S^(f), а для ее погрешности справедливо
неравенство |Я^(/)| < /J r^(/) • Например, в случае со-
ставной формулы прямоугольников
а для погрешности на отрезке [a;/fc,Xfc+i] имеем неравенство
R\k)(f)\ < 11/"(х)|| (Х*+12р)3 = ||/"(х)|| £ = ||/"(x)|| ^£ .
Следовательно, для всего отрезка [а, 6] оценка погрешности
получается
*Г = ИЛ*>11^.
4.5. Для вычисления / f(x) dx применяется составная форму-
о
ла трапеций. Оценить минимальное число разбиений N, обеспе-
30

чивающее точность 0.5 • 10 3 на следующих классах функций:
1
1)||Л*)||<1; 2) у |/"(*)| dx < L
о
4.6. Для составной квадратурной формулы трапеций
bf h- l\ 1 N~l \
R?V) = J №** - -j^ ( -/(*o) + - /(*"> + £ /(**))
получить оценки погрешностей следующего вида (h N = b — а):
2 6 2 / Ь > !/2
1)< = j/|/"(x)|dx; 2)R» = tf-^ U\f"(x)\2dx
4.7. Найти оценку погрешности вычисления интеграла
1
/f(x)dx при f(x) = т: по составной квадратурной
1 + х^
формуле S(/) = [/(0)4-4/(0.1) 4-2/(0.2)4-4/(0.3) 4 ... 4
4/(0.9) + /(1.0)] /30.
4.8. Оценить число разбиений отрезка N для вычисления ин-
1
теграла / sin(x2)dx по составной квадратурной формуле тра-
о
пеций, обеспечивающее точность 10~4.
Правило Рунге. Пусть на отрезке длины h для вычисления
интеграла /(/) используется некоторая квадратурная формула
Sh(f), имеющая алгебраический порядок точности т-1. После
разложения f(x) в ряд Тейлора в середине отрезка (точке с)
получим:
/(/) - Sk{f) = a/(m)(c)/im+ х + О (/im+2) .
Обозначим через Sh/zif) составную формулу, полученную
применением формулы Sh{f) для двух половинок отрезка длины
ft. Тогда с тем же а находим:
1(f) - Sh/2(f) = a/^(c)^~- + О (hm+2) .
Следовательно, с точностью до членов О (/im+2) справедливо
31

следующее правило Рунге:
ь
4.9. Пусть интеграл /(/) = / f(x)dx, где f(x) — гладкая
а
функция, вычисляется по составной формуле трапеций S£(f)
b — a
с постоянным шагом h = ■ .
N
1) Показать, что суммарная погрешность удовлетворяет
соотношению
R$ = ai/i2 + a2h4 + a3h6 + ... .
2) Показать, что
R?(f) = Hf) - s?(f) = -Y5 у /"(*)<** + ад, ад = "(л2)-
a
3) Пусть |/^(s)l < ^з на отрезке [a,6]. Показать, что
|Z(/)|<c3M3(&-a)/i3.
4) Пусть |/^(я)| < Мл на отрезке [а,6]. Показать, что
\Z(f)\<c4M4(b-a)h4.
4.10. Используя значения Sh и 5^/2 квадратуры с главным
членом погрешности C7im, построить квадратурную формулу
более высокого порядка.
4.11. Показать, что при применении правила Рунге к формуле
трапеций получается формула Симпсона. Насколько при этом
увеличится порядок главного члена погрешности?
4.12. Показать, что операция построения формулы
является экстраполяционной, т.е. при Sh ф Sh/2 величина S^h/2
всегда лежит вне отрезка с концами Sh и Sh/2-
4.13. Пусть для вычисления интеграла I от некоторой
функции используется квадратурная формула Sh, фактический
порядок точности р которой неизвестен для данной функции.
Предложить способ численной оценки значения порядка р.
32

4.2. Метод неопределенных коэффициентов
а
заданном наборе различных узлов можно найти
коэффициенты Сг из условия точности квадратурной формулы Sn(f) =
п
2_] Сг fixi) для произвольного многочлена наиболее высокой
1=1
степени, т.е. из равенств 1{хк) — Sn(xk), fc = 0,1,. ..,(п - 1).
Полученная таким образом система линейных уравнений
относительно Сг имеет единственное решение.
Если квадратура точна для многочлена степени т (в таком
случае говорят, что она имеет алгебраический порядок
точности, равный ш), то справедливо равенство Rn(f) = Rn(f — Рт)-
Взяв в качестве Рт(х) интерполяционный многочлен для /(х),
построенный по нулям многочлена Чебышева, можно получить
оценку
Из условия точности квадратурной формулы на функциях
заданного вида можно выписать уравнения (в общем случае
нелинейные) не только для определения коэффициентов, но и
узлов квадратуры.
Квадратурными формулами Чебышева называются
квадратуры с одинаковыми коэффициентами, т.е.
Sn(f) = сГ/(4 с=- p(x)dx.
Их построение заключается в нахождении узлов х* из условия
точности для многочлена максимально высокой степени.
Квадратуры Чебышева (их удается построить при п — 1,2,3,4,7,10)
обычно применяются, если значения f(xi) известны с
независимыми случайными погрешностями. В этом случае выбор
равных коэффициентов обеспечивает минимальную дисперсию
вычисленного результата.
33

4.14. Получить формулу Симпсона методом неопределенных
коэффициентов.
4.15. Для формул трапеций и Симпсона найти оценки
погрешности, следующие из метода неопределенных коэффициентов.
4.16. Для приближенного вычисления интегралов вида
1
/(/) = f sin(W07rx) f(x)dx
о
построить методом неопределенных коэффициентов
квадратурную формулу с заданными узлами S(f) = с\ /(0) + С2 /(1),
точную для многочленов наиболее высокой степени.
4.17. Для вычисления интегралов /(/)
2 о 1
1) f(x + l)f(x)dx; 2) / x2f{x)dx; 3) / x2f(x)dx
о -l -i
построить формулы вида S(f) = с\ f(x) + С2 /(^г) с одним
фиксированным узлом х = 0, точные для многочленов максимально
высокой степени.
4.18. Рассмотрим многочлен
Рп(х) = (х-хг) ..: (х-хп) = xn+aixn-l+a2xn~l + ... + an-
n
Доказать, что величины Bj = 5Z arj[, j = 1,... п удовлетворяют
равенствам:
В\ = -аХ)
a\Bi + B2 = -2a2,
a2Bi -f а>хВ2 + £3 = -З03,
an«iBi + an_2#2 + ... + aiBn_i + Bn = -nan.
4.19. Построить квадратурные формулы Чебышева на отрезке
[-1,1] с весом р(х) = 1 для п = 2,3,4.
4.20. Показать, что квадратурная формула
34

точна для алгебраических многочленов степени 2п — 1.
4.21. Пусть Т — треугольник на плоскости, А, В, С —
середины его сторон. Показать, что квадратурная формула
/(/) = JJ f(x) dx « | mes (T) (/(Л) + /(Я) + /(C))
т
где х = (хь^г), dx = dx\dx2} точна для всех полиномов второй
степени вида
2 1
CLQ + ai^i + (22^2 + flll^i 4- а\2Х\Х2 + &22%2 •
i
4.22. Для вычисления интеграла /(/) = / f(x)dx построить
о
квадратурную формулу Чебышева с тремя узлами.
4.23. Для вычисления интеграла /(/) = / cos(x) f(x)dx no-
о
строить квадратурную формулу вида Ci/(0) + C2f{x2)} точную
для многочленов максимально высокой степени.
4.3. Квадратурные формулы Гаусса
Рассмотрим следующую оптимизационную задачу. При
заданном числе узлов п построить квадратурную формулу
Sn(/) = £>/(*<) (2)
для вычисления интегралов вида
б
/(/) = fp(x)f{x)dx,
а
точную для многочленов максимально высокой степени.
Весовая функция р(х) здесь предполагается почти всюду
положительной.
В этой постановке имеется 2п свободных параметров
(узлы Xi и коэффициенты с* неизвестны), поэтому можно
попытаться построить квадратуру, точную для многочленов
степени 2п - 1. Можно убедиться в том, что не существует квад-
35

ратуры с п узлами, точной для всех многочленов степени 2п.
Действительно, возьмем Р2П(х) = (х - х\)2 • • • (х - х„)2. Тогда
О = 5п(Р2п) ф 1(Р2п) > 0.
Важную роль при построении формул Гаусса играют
ортогональные многочлены на отрезке [а, 6] с весом р(х) > 0 почти
всюду. Они могут быть получены, например, в результате
стандартной процедуры ортогонализации, примененной к системе
{1, х,..., хк,...}, при скалярном произведении
б
(/iS) = I p{x)f{x)g(x)dx.
Пусть на отрезке [а, Ь] имеется система ортогональных
многочленов с весом р(х)
{l,il>i(x)yip2{x), ... ,</>*(х),... }.
Тогда многочлен А-й степени фк {х) ортогонален произвольному
многочлену Рп{х) при п — 0,..., к — 1. Действительно, много-
п
член Рп(х) представим в виде Рп{х) = ]£ Cjipj{x), и при к ф п
имеют место равенства
б
/
р{х)фк{х)фп(х) dx = 0.
В практических расчетах наиболее употребительны следующие
ортогональные многочлены:
Лежандра ([-1,1], р{х) = 1),
Чебышева первого рода ( [—1,1], р(х) = ),
V VI - х2 J
Лагерра ([0,оо), р(х) = е"х),
Эрмита ( (—оо,оо), р(х) — е~х J.
При построении квадратурных формул Гаусса ключевым
является утверждение:
Пусть .xi,..., хп -- нули ортогонального многочлена фп(х)
степени п и (2) - квадратура, точная для многочленов
степени п— 1. Тогда квадратура (2) будет точна для многочленов
степени 2га — 1.
Поэтому сам процесс построения может быть разбит на два
последовательных этапа:
36

— нахождение нулей ортогонального многочлена,
— нахождение весов методом неопределенных коэффициентов.
Приведем оценку погрешности формул Гаусса
Я„ = ||/^(х)||/Р(х)|^йх,
а
которая для случая [—1,1], р(х) = 1 имеет вид
4.24. Методом ортогонализации построить многочлены Лс-
жандра со старшим коэффициентом 1, ортогональные на
отрезке [-1,1] с весом р(х) = 1.
4.25. Доказать, что ортогональный многочлен степени п имеет
ровно п различных корней на отрезке [а, 6].
4.26. Для ортогональных многочленов вида фп{х) = хп + ...
показать справедливость рекуррентного соотношения
фп(х) = (х + Ьп)фп-г{х) - спфп-2{х)
с коэффициентом Сп > 0.
4.27. Доказать, что ортогональные многочлены на
симметричном относительно нуля отрезке с четным весом р(х) обладают
свойством фп{-х) = (-1)пфп(х).
4.28. Пусть задан отрезок [а, 6]. Доказать, что при Ь > а >
0 все коэффициенты ортогонального многочлена отличны от
нуля.
4.29. Построить квадратуру Гаусса с одним узлом для
вычисления интеграла:
1
1) /(/) = [xf(x)dx, 2) 1(f) = Je*f(x)dx.
о о
4.30. Построить квадратуру Гаусса с двумя узлами для
вычисления интеграла:
1 */2
l)I(f) = Jx2f(x)dx, 2)J(/)= J cosxf(x)dx.
-1 -я/2
37

4.31. Построить квадратуру Гаусса с тремя узлами для вы-
1
числения интеграла /(/) = / /(х) dx.
-i
4.32. Доказать, что все коэффициенты квадратуры Гаусса
положительны.
4.33. Пусть весовая функция р(х) четна относительно
середины отрезка интегрирования — точки (a-f 6)/2. Доказать, что
ь
узлы квадратуры Гаусса для вычисления /(/) = / p{x)f(x) dx
а
расположены симметрично относительно (a -I- Ь)/2, а
соответствующие симметричным узлам коэффициенты квадратуры
равны.
4.34. На интервале (—оо,оо) найти ортогональный многочлен
вида фз(х) = х3 -f ... при заданной весовой функции р(х) =
ехр(-х2).
4.35. На отрезке [—1,1] найти ортогональный многочлен вида
Фз(х) = х3 +... при заданной весовой функции р(х) = .
Vl —х2
4.4. Функции с особенностями
Быстро осциллирующие функции. Пусть требуется вычис-
6
лить
интеграл / exp{iux}f(x)dx, гдеа»(6~а) » 1, f(x) — глад-
а
кая функция. Функции Re(exp{icjx}/(x)), Im(exp{icjx}/(x))
имеют на рассматриваемом отрезке примерно и(Ь - а)/тс нулей.
Поскольку многочлен степени п имеет не более п нулей на этом
отрезке, такие функции могут быть хорошо приближены
многочленами степени п лишь при п » и(Ь — а)/тг. Поэтому для
непосредственного вычисления интегралов от таких функций
потребуется применение квадратур, точных для многочленов
очень высокой степени.
Более выгодным может оказаться использование exp{iu>x} в
качестве весовой функции. Зададимся узлами интерполирова-
38

ния
b + a b — a
xj = —о—*" о j' ^ = ' *''п'
построим многочлен Лагранжа £п(я) и рассмотрим
квадратурную формулу
ъ
3ZU) = [ exp{iux}Ln(x)dx =
а
»нка погрешности
(3)
где
-1 \к&
При этом оценка погрешности
по-
не зависит от со.
4.36. Для приближенного вычисления интегралов от быстро
1
осциллирующих функций вида /(/) = / cos (104тгх) f(x) dx
о
строить методом неопределенных коэффициентов
квадратурную формулу с заданными узлами S(f) = ci /(0) -f Сг /(1),
точную для многочленов наиболее высокой степени.
4.37. Построить формулу вида (3) для п = 2, d\ = — 1, с/2 = 1.
4.38. Построить формулу вида (3) для п = 3, d\ = — 1, tf2 =
0, ds = 1 (формула. Филона).
4.39. Построить формулу вида (3) для п = 5, d\ = -1, d2 =
-0.5, dz = 0, d4 = 0.5, d5 = 1.
4.40. Показать, что при малых и) полученные в 4.37 формулы
могут иметь большую вычислительную погрешность.
Вычисление интегралов от функций с
особенностями. Существенную часть реально встречающихся
подынтегральных функций составляют функции с особенностями,
причем особенность может содержаться либо в функции, либо в ее
39

производных. Если нерегулярность функции не вызвана
колебательным характером ее поведения, то для вычисления больших
серий интегралов такого типа применяется ряд специальных
приемов: выделение особенности в весовую функцию, разбиение
интеграла на части, аддитивное представление
подынтегральной функции, замена переменных и т.д.
1
4.41. Пусть вычисляется интеграл /(/) = / f(x)dx, при-
о
чем f(x) может быть представлена в виде f(x) = д(х)ха, где
а € (0,1), д(х) — гладкая функция, д(0) ф 0. Построить квад-
м
ратурную формулу вида /(/) « Y^ Dqf(qh) с оценкой погреш-
ности const • max |#"(х)| • М"2.
xe[o,i]
1
/I
- ^dx по составной квад-
1 + х1
о
ратурной формуле с постоянным шагом Л, чтобы погрешность
имела порядок О (Л2)?
4.43. Пусть f(x) — достаточно гладкая функция.
Предложить квадратурную формулу для вычисления интеграла
1
/
f(x)x~a sin(ujx)dx, где а > 1, ш » 1, /(0) Ф 0.
о
4.44. Построить квадратурную формулу для вычисления с
оо
—^rdrr, если для некоторого
1 + хг
1
фиксированного к > 1 справедливо !/^(х)| < Л*.
40

5. Матричные вычисления
Существенная часть задач вычислительной математики может
быть сформулирована в терминах матричного анализа.
Формальный математический аппарат необходим при исследовании
вопросов корректности, устойчивости и сходимости различных
методов. Алгоритмы решения систем линейных алгебраических
уравнений составляют важную часть методов решения
уравнений в частных производных.
В разделе рассматриваются вопросы теории устойчивости
для матричных задач, приводятся наиболее известные прямые
и итерационные алгоритмы решения систем линейных
алгебраических уравнений, подробно разбираются различные способы
их построения.
5.1. Векторные и матричные нормы
Нормой вектора х = (х\,.... хп)Т называется функционал,
обозначаемый ||х|| и удовлетворяющий следующим условиям:
||х||>0,х^0, ||0|| = 0,
||ах|| = |а|||х||,
||х + у||<||х|| + |1у11-
Наиболее употребительны следующие нормы:
1Ь 71
llxIU= m« \xil ||x||i = £Ы, ||x||2 = J^t2 = \/(x,x),
~г-П г=1 \ i=l
Нормы || • ||i и || • 11xx называются эквивалентными, если для
всех х € Rn справедливы неравенства с одними и теми же
положительными ПОСТОЯННЫМИ С\ И С2'.
cillxlln^llxlb^llxlln.
Нормой матрицы А называется функционал, обозначаемый
41

||л4|| и удовлетворяющий следующим условиям:
||Л||>0,Л^0, ||0|| = 0,
||аЛ|| = Н|И|,
Р + В||<||Л|| + ||Я||,
\\ас\\<\\а\\\\с\\.
Пусть задана некоторая векторная норма || • ||v. Тогда
матричную норму можно определить как операторную:
\\A\\V= sup ^^= sup \\Ax\\v.
ПхЦ^О W\v ||x||., = l
В этом случае матричная норма называется подчиненной
соответствующей векторной норме || • \\v.
5.1. Является ли выражение min(|xi|+2|x2|.2|xi|-f|x2|) нормой
вектора х в R2 ?
5.2. Является ли выражение max
t€[0,l]
нормой вектора
хвКп?
5.3. Найти константы эквивалентности, связывающие нормы
||х||оо, ||x||i, ||x|J2, а также векторы, на которых они
достигаются.
5.4. Доказать: 1) если С — симметричная положительно
определенная матрица, то величину \/(Сх, x) можно принять за
норму вектора х; 2) найти константы эквивалентности,
связывающие эту норму с нормой ||х||2.
5.5. Найти матричные нормы, подчиненные векторным нор-
мам||.|иЦ-||1и||-||2-
5.6. Доказать, что модуль любого собственного значения
матрицы не больше любой ее нормы.
5.7. Пусть А — вещественная (п х т)-матрица, х —
вещественный m-вектор и у — вещественный n-вектор. Доказать
следующие три свойства спектральной нормы ||А||2-
||Л||2 = sup |утЛх|, \\АТ\\2 = \\А\\2, \\ATA\U = \ШТ\\2 = \\А\\\.
1|х||я-1
||У||2 = 1
5.8. Пусть А — вещественная прямоугольная матрица.
Показать, что умножение ее справа или слева на ортогональную
42

матрицу Q соответствующих размеров не меняет ее
спектральную норму.
5.9. Используя выражения для матричных норм из 5.5,
показать справедливость неравенства \\AW2 < ||j4||i||j4||oo'
5.10. Рассмотрим функцию от элементов матрицы
rj(A) = тах|а^|.
Показать, что 77(A) не является нормой в пространстве матриц
(хотя и является нормой вектора с компонентами а^ в RnXn).
5.11. Доказать, что выражение М(А) = пг)(А) (см. 5.10)
является матричной нормой.
5.12. Доказать, что для векторов х = (xj,X2) и Л > 0
выражение ||х||л = max ( |xi|, J является нормой. Найти
матричную норму, подчиненную этой векторной норме.
5.13. Доказать, что выражение N(A) = ( ]£ аЬ) является
матричной нормой. Найти константы эквивалентности,
связывающие N{A) и нормы || • ||i, || • ||2 || • Ц00.
5.14. Пусть числа d* > 0, к = 1, п. Доказать, что max (ck|xfc|)
к
есть норма вектора х. Найти норму матрицы, подчиненную
этой векторной норме.
5.2. Элементы теории возмущений
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Лх = Ь
с квадратной невырожденной матрицей А.
При ее решении в результате вычислений с конечной
разрядностью вместо х получается приближенное решение х, которое
можно рассматривать как точное решение возмущенной
системы
(Л + £Л)х = Ь,
где матрица возмущений 5А мала в каком-либо смысле.
43

Другой источник ошибок в х определяется возмущениями
5А и 6Ъ в элементах матрицы Лив компонентах вектора
правой части b (например, вследствие ошибок округлений,
возникающих в процессе ввода вещественных чисел в память
компьютера).
Для оценки того, насколько приближенное решение х
отличается от точного решения х, используются нормы векторов и
подчиненные нормы матриц.
Пусть в системе Ах = Ъ возмущается только вектор Ь, т.е.
вместо исходной системы решается возмущенная система Ах =
b = b -f 6Ъ, и пусть х — точное решение возмущенной системы.
Тогда для относительной ошибки в х верна оценка
'|х-х|| _,..||Ь-Ь||_
^ИШИ"1!!
р " 11Ь||
.1*11 - ||Ь||
Величина ||Л|| \\А г\\ называется числом обусловленности
матрицы А и часто обозначается cond(A). Для вырожденных
матриц cond(A) = оо. Конкретное значение cond(^) зависит от
выбора матричной нормы, однако в силу их эквивалентности
при практических оценках этим различием можно пренебречь.
Из приведенного выше неравенства следует, что даже если
вектор невязки г = b — Ах мал, относительные возмущения
в решении могут быть большими, если cond(i4) велико (такие
матрицы называют плохо обусловленными).
5.15. Доказать неравенство
Пх-х
_Г < СМ) -1Щ- - condM) -1НГ .
5.16. Показать, что cond(y4) > 1 для любой матрицы А и
cond2(Q) = 1 для ортогональной матрицы Q.
5.17. Можно ли утверждать, что если определитель матрицы
мал, то матрица плохо обусловлена?
5.18. Пусть дана матрица порядка п и \а\ ф 1:
/1 а 0 ... О 0 \
О 1 а ... О О
А= '
0
0
0
0
0 .
0
. 1
0
а
1
44

Вычислить condoo(i4) и оценить возмущение в компоненте х\
решения системы Ах = Ь, если компонента 6„ вектора b
возмущена на е.
5.19. Пусть А = Лт > О, \(А) € [тпуМ] и А ф /3/, где I
— единичная матрица. Доказать, что cond2(>l -f al) монотонно
убывает по а при а > 0.
5.20.
5.21.
5.22.
Доказать неравенство
.1 < condi(i4) <
п ~ cond2(A) ""
п.
Оценить cond2(>l) (n x п)-матрицы
/2-10
А =
-1 2 -1
0-12
0 0 0
\ 0 0 0
0 ..
0 ..
-1 ..
0 ..
0 ..
Оценить cond2(i4) (n x п)-матр
/410
--5
14 1
0 14
0 0 0
\ 0 0 0
0 .
0 .
1
0 .
0 .
. 0
0
0
2
. -1
ицы
.. 0
.. 0
.. 0
4
.. 1
0 \
о
0
-1
2 /
0 N
0
0
1
4 )
5.23. Матрица Уилкинсона при е = 0
А =
\
20
0
0
0
£
20
19
0
0
0
0
20
18
0
0
0 .
0 .
20 .
0 .
0 .
. 0
. 0
. 0
2
. 0
0
0
0
20
1
/
имеет наименьшее по модулю собственное значение, равное 1.
Как оно изменится при € = 20"19 • 20! » 5 • 10"7?
5.24. Показать, что определитель Dn матрицы Коши с эле-
45

ментами fcy = 1/(ог 4- Ь3) равен
Dn= П (о* - а,)(6, - 6j) I Г] (а,+ 6,0
5.25. Пусть задана матрица Гильберта п-ro порядка Нп с
элементами Л^ = 1/(г -f j — 1), 1 < г, j < п. Показать, что
элементами матрицы Я"1 являются целые числа, которые можно
вычислить по формуле
„ =/ ni+i (i + n-l)!(j+n-l)!
" l ' [(<-l)!]2[0"-l)l]2(n-OKn-j)!(i + j-l)-
5.26. Оценить число обусловленности condoo(#n) матрицы
Гильберта с элементами h%j = 1/(г 4- j — 1). 1 < г, j; < п.
5.27. Оценить снизу число обусловленности cond2 А матрицы:
10 10 30
А= | 0.1 0.5 0.1
0.03 0.01 0.01
Точные методы. К точным методам решения системы
Ах = b линейных алгебраических уравнений относятся
алгоритмы, которые, при отсутствии ошибок округления,
позволяют точно вычислить искомый вектор х. Если число ненулевых
элементов матрицы имеет порядок п2, то большинство такого
рода алгоритмов позволяет найти решение за 0(п3)
арифметических действий. Данная оценка, а также необходимость
хранения всех элементов матрицы в памяти машины,
накладывают существенное ограничение на область применимости точных
методов. Однако, для решения задач не очень большой
размерности (п « 104), по-видимому, разумно применение точных
алгоритмов. Отметим, что при численном решении задач
математической физики часто требуется обращать матрицы блочно-
диагонального вида. В этом случае удается построить точные
методы с меньшим по порядку числом арифметических
действий. К таким алгоритмам относятся метод прогонки,
стрельбы, Фурье (базисных функций).
Наиболее известным из точных методов, применяемых для
задач с матрицами общего вида, является метод исключения
Гаусса. В предположении, что коэффициентах! Ф 0, уравнения
46

исходной системы заменяются на следующие
у ( dijXj lanXj ) =bi an, г = 2,... ,n,
т.е. первое уравнение делится на ац, а затем, умноженное на
соответствующий коэффициент aii, вычитается из последующих
уравнений. В полученной системе А^х = 6^ неизвестное х\
оказывается исключенным из всех уравнений, кроме первого.
Далее, при условии, что коэффициент а^ матрицы А^
отличен от нуля, исключаем хг из всех уравнений кроме первого
и второго, и т.д. В итоге получим систему Л^п_1^х = b^n~^
с верхней треугольной матрицей. Данная последовательность
вычислений называется прямым ходом метода Гаусса. Из
последнего уравнения приведенной системы определяем
компоненту решения хп. Далее подставляем хп в (п - 1)-е уравнение,
находим xn_i и т.д. Соответствующая последовательность
вычислений называется обратным ходом Гаусса. Если на fc-м шаге
(к—1)
прямого хода коэффициент акк ; равен нулю, тогда к-я строка
уравнения переставляется с произвольной 1-й строкой, I > к с
ненулевым коэффициентом а\к~~ ' при х*. Такая строка всегда
найдется, если det(^) ф 0.
Если на к-м шаге прямого хода диагональный элемент аккГ '
отличен от нуля, но имеет малое абсолютное значение, то
коэффициенты очередной матрицы А^ будут вычислены с
большой абсолютной погрешностью. Это может существенно
исказить найденный ответ. Поэтому при практической реализации
метода Гаусса рекомендуется на каждом шаге прямого хода
переставлять на fc-e место строку с максимальным по модулю
элементом а\к~ среди всех / > А:. Такая модификация носит
название метода Гаусса с частичным выбором главного элемента.
Данный алгоритм позволяет гарантированно найти
приближенное решение х с малой нормой невязки ||Ь — Ах\\ но, возможно,
с большой ошибкой ||х - х||.
5.28. Показать, что реализация прямого и обратного хода
метода Гаусса требует ~ 2/Зп3 и ~ п2 арифметических действий
соответственно.
47

5.29. Пусть система Ах = b с матрицей
*-о о
решается методом LR-разложения:
А = LR, Ly = b, Ях = у.
Вычислить condoo(L) и cond^i?), если £Я-разложение
строится по методу Гаусса
а) без выбора ведущего элемента;
б) с выбором ведущего элемента.
5.3. Линейные итерационные методы
Рассмотрим класс итерационных методов решения систем
линейных алгебраических уравнений, основанный на сжимающем
свойстве оператора перехода. Различные постановки задачи
минимизации нормы оператора перехода приводят к различным
алгоритмам расчета.
Метод простой итерации. Преобразуем систему
линейных алгебраических уравнений
Ах = Ь (4)
с невырожденной матрицей А к виду
х = Вх + с. (5)
Если решение системы (5) находится как предел
последовательности
xfc+i =Bxk + Ci (б)
то такой процесс называется методом простой итерации. При
этом В называется оператором перехода. Справедливы
следующие теоремы о сходимости метода.
Если ||В|| < 1, то система уравнений (5) имеет
единственное решение и итерационный процесс (6) сходится к решению
со скоростью геометрической прогрессии.
Пусть система (5) имеет единственное решение.
Итерационный процесс (6) сходится к решению системы (5) при
любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все
собственные значения матрицы В по модулю меньше 1.
48

xfc+l _ xfc
Асимптотической скоростью сходимости Яоо(В)
итерационного метода называют величину Яоо(£) = - In р(В), где р(В)
— спектральный радиус (максимальное по модулю собственное
значение) оператора перехода В.
Рассмотрим общий способ перехода от системы (4) к системе
(5). Всякая система
х = х-£>(Лх-Ь) (7)
имеет вид (5) и при det(D) ф О равносильна системе (4). В то
же время всякая система (5), равносильная (4), записывается в
виде (7) с матрицей D = (I - В) Л"1.
Оптимальный линейный одношаговый метод. Для
систем со знакоопределенными матрицами метод (6) обычно
строится в виде
+ Ахк = Ь, т.е. В = / - г А, с = тЪ. (8)
Здесь г — итерационный параметр.
Так как точное решение х удовлетворяет уравнению (8), то
имеет место следующий закон изменения вектора ошибки ък =
х- хк:
e*+i = (/ _ г А) «*, ||zfc+11| < || J - тА\\ \\z% к = 1,2,...
Итерационный параметр г ищется из условия минимума
оператора перехода: min ||/ — тА\\. Данная минимизационная задача
решается явно при А = Ат > 0. В этом случае в качестве
нормы || • || удобно взять евклидову норму. Тогда подчиненная ей
матричная норма имеет вид
||Л|| = sup !!jM = Jmax\\(ATA)\ = maxА(Л),
x#o INI v
а соответствующая оптимизационная задача сводится к
следующей
minf max |1 - т\(А)\) = q.
г \А(Д) /
При условии А = Ат, Х(А) е [тп, М], 0 < т < М < со, где тп, М
- точные границы спектра, оптимальное значение г = т+м,
а соответствующее q = 77Тт < 1. При этом имеет место
геометрическая скорость убывания ошибки:
||х-х*||<д*||х-х°||.
49

Оптимальный линейный TV-шаговый метод. Будем
считать, что допускается изменение параметра г в зависимости
от номера итерации. В этом случае за N шагов имеем
следующий закон изменения вектора ошибки zk+N = х — xk+N и его
евклидовой нормы
z*+" = n(/-r^)zfc, ii*fc+^ii<iin(J-^)iiirtfc = l.2.---
Будем искать набор итерационных параметров т^, j = 1,..., N из
условия минимума нормы оператора перехода. Если А = Ат >
О, тогда
N N
min|| f|(/ -т5А)\\ = min(max| Г|(1 " т,А(Л))|).
i=i J j=i
При условии А = Ат, Х(А) € [т, М], 0 < га < М < оо, где га, М
- точные границы спектра, оптимальные значения
параметров равны обратным величинам корней многочлена Чебышева
степени N на отрезке [m,M]; tJ1 = M±m + M^m cos^j^1^
В этом случае в евклидовой норме имеет место следующая
оценка погрешности за N шагов:
||х-х"|| < ^А^Цх-х0!! <2^||х-х°||,
где<ь = 7&ы*-
Отметим, что при численной реализации ЛГ-шагового
процесса для устойчивости требуется специальным образом
перемешивать значения параметров Tj.
Недостатком метода является требование информации о
границах спектра матрицы А.
5.30. Пусть элементы матрицы В имеют вид bkj = \ • 3"~'fc~J'l.
Доказать, что система х = Вх + с имеет единственное
решение и метод простой итерации сходится при любом начальном
приближении.
5.31. Найти все а, /3, при которых метод простой итерации
50

xfc+1 = Bxk + c, где
/ ос 0 0 \
В=[ 0 а 0 ),
\0 0 a J
сходится с произвольного начального приближения.
5.32. Привести пример задачи х = Вх+с такой, что у матрицы
В есть собственное значение А вне единичного круга, но метод
(6) сходится при некотором начальном приближении.
5.33. Пусть матрица В в методе (6) имеет вид
В=( n i) 0<а,/3<1.
Показать, что величина ошибки zfc = xk — х в норме || • || оо на-
чинает монотонно убывать лишь с некоторого номера итерации
N. Оценить N при а = /3«1.
5.34. Пусть все собственные значения матрицы А вещественны
и положительны: Х(А) > 0. Доказать сходимость метода
^L + 4xfc = b
т
при г = ЦЛЦ""1 с любой матричной нормой.
5.35. Доказать, что все собственные значения п х п-матрицы
А принадлежат области G(A), представляющей собой
объединение кругов
Gi(A) = {z:\z- ац\ < ДДА) = ]Г |оу|}, i = 1, ... ,п.
5.36. Доказать, что все собственные значения п х п—матрицы
А принадлежат области G(A)f)G{AT).
5.37. Доказать, что у матрицы
/ 2 0.4 0.4 \
0.3 4 0.4
\ 0.1 0.1 5 /
все собственные значения вещественны и найти интервалы,
которым они принадлежат.
5.38. Привести пример, демонстрирующий ложность
утверждения: все собственные значения п х п—матрицы А
принадлежат объединению кругов
\z -ац\ < min{i^(A),Я*(АТ)}, г = 1, ... ,п.
51

5.39. Пусть А — матрица простой структуры, т.е. подобна
диагональной (А = QDQ~l> где столбцы q» матрицы Q есть
собственные векторы матрицы А, а элементы диагональной
матрицы D есть соответствующие собственные значения, т.е. da = AJ,
и все Х(А) Е [m, М], т > 0. Доказать, что метод
- ±-+Лх*'=Ь
г
2
сходится при 0 < г < — •
М
5.40. Пусть матрица системы Ах = Ъ имеет вид
/ 2 0.3 0.5 \
А = 0.1 3 0.4 .
\ 0.1 0.1 4.8 /
Доказать, что метод простой итерации xfc+1 = {I — тА)хк + rb
сходится начиная с любого начального приближения при 0 <
т < 2/5.
5.41. Пусть матрица системы является симметричной и
положительно определенной (это означает, что А(Л) е [m,M], га >
0). Для циклического итерационного метода длины N вида
,-Ar+l vfc
-—=JL + Ax* = b
с параметрами tj , rg,..., туу, tj,... требуется найти их
оптимальные последовательности, т.е. минимизирующие норму
ошибки за весь цикл.
5.42. Пусть А и е — собственное значение и соответствующий
собственный вектор невырожденной.матрицы простой
структуры j4, хо — начальное приближение в методе простой итерации
для решения системы Ах = Ь. Найти такой параметр метода
простой итерации, чтобы в разложении по собственным
векторам ошибки метода на первой итерации коэффициент при
векторе е был равен нулю.
5.43. Пусть для невырожденной матрицы простой структуры
А порядка п известны все собственные значения А. Построить
итерационный метод с переменными параметрами т*, который
не более чем за п шагов приводил бы к точному решению
системы Ах = Ь.
5.44. Пусть у задачи Ах = b с матрицей простой структуры
52

имеется одно отрицательное собственное значение
Аг <Е [-2 - е, -2 + е], е = 0.01,
а остальные — положительны: А* € [1,3], г = 2,... ,п.
Предложить итерационный метод для решения такой системы.
5.45. Для решения системы х = Вх 4- с рассмотрим алгоритм
с некоторым начальным приближением х°:
ук+г = Вхк + с, хк+х = ахк 4(1- а)ук+1.
Пусть А(В) € [77i, M], m > 1. Найти оптимальное значение
итерационного параметра а.
5.46. Найти область значений вещественного параметра г, при
которых итерационный метод хЛ+1 = (/ — тА)хк 4- тЪ решения
системы А х = b сходится с произвольного начального
приближения, если 0 < S < Re{A(A)} < 1, |1т{А(Л)}| < I.
5.4. Неявные методы
Скорость сходимости рассмотренных итерационных процессов
зависела от отношения тп/М границ спектра матрицы А =
Ат > 0, то есть от обусловленности конкретной задачи. Для
"улучшения" исходной задачи можно перейти к некоторой
эквивалентной системе В~гАх = В~ХЪ при условии
невырожденности В:
- — + В-гАхк = В~1Ъ. (9)
Метод спектрально-эквивалентных операторов.
Перепишем итерационный процесс (9) в следующем виде:
В- — + Ахк = Ъ (10)
который также называют обобщенным методом простой
итерации или методом с предобусловливателем В.
Неявный двухслойный итерационный процесс (10) требует
на каждом шаге решения задач вида By = f и совпадает с
рассмотренными выше методами при В = /. Известно, что
процесс (10) сходится при В > %А. Если же В = ВТ > 0 и
w>\B < А < М\В, то при г = т *м сходится со
скоростью геометрической прогрессии с показателем q = ffi+™|.
53

Неявные методы типа минимальных невязок и
наискорейшего градиентного спуска строятся аналогично и имеют скорость
сходимости не хуже неявного оптимального линейного метода.
При удачном выборе оператора В можно принципиально
улучшить скорость сходимости соответствующих итерационных
процессов, однако необходимо учитывать трудоемкость
нахождения у = B~lf. Например, при В = А, т = 1 метод (10)
сойдется за одну итерацию, но потребует решения исходной
задачи Ах = Ь.
Методы релаксации. Рассмотрим неявные методы с
диагональной либо треугольной матрицей В. Представим матрицу
системы А х = b в виде А = L + D + Я, где D —
диагональная матрица, L и R — соответственно левая нижняя и правая
верхняя треугольные матрицы с нулевыми диагоналями (строго
нижняя и строго верхняя треугольные матрицы). Будем
предполагать, что все диагональные элементы ац отличны от нуля,
и, следовательно, любая матрица вида D + u> L с произвольным
параметром и обратима.
Методы релаксации описываются формулой (10) при r/t = г
с матрицей В = D + u>L. Здесь итерационный параметр и;
называется параметром релаксации. Методы Якоби (и = 0,т = 1),
Гаусса-Зейделя (и> = г = 1) и верхней релаксации (в
англоязычной литературе - SOR) (lj = т) удобно представить,
соответственно, в виде:
£>(х*+1 - х*) + Ах* = Ь,
(Z) + L)(xfc+1-xfc) + Ax;c = b,
{D + uL)- — + Axk = b.
и
В случае А = АТ > 0 (R = LT), используется также
симметричный метод релаксации (в англоязычной литературе -
SSOR):
х*+1/2 *
(D + uL)- — + Axk = b,
(D + ujR)- + Axk+1'2 = b.
54

5.47. Для решения системы Ах = b с матрицей
/ а (5 О
А=[ 0 а 0
\ О Р а
применяются методы Якоби и Гаусса-Зейделя. Для каждого
алгоритма найти все значения параметров а, /?, обеспечивающие
сходимость с произвольного начального приближения.
5.48. Пусть невырожденная матрица А обладает свойством
диагонального преобладания, т.е. для всех г справедливо
^2\atj\ <q\au\, q<l.
Доказать, что для ошибки в методе Гаусса-Зейделя имеет место
неравенство
Hx-xioo^Hx-xloo-
5.49. Исследовать сходимость метода Гаусса-Зейделя для
матриц с элементами:
( 2, k = j,
1) afej=3-lfe-''l, 2) akj = { -1, |*-j| = l,
[ 0, |*-j|>l.
5.50. Показать, что выполнение неравенства 0 < г < 2
является необходимым для сходимости метода релаксации.
5.51. Пусть матрица А простой структуры имеет
собственные значения Х(А) € [та^М)) тп > 0. Доказать, что при любом
положительном значении итерационного параметра г сходится
метод следующего вида:
X"
1 — V* /y*+1 4- Y*\
Определить оптимальное значение Topt.
5.52. При каких а € [0,1] для матрицы из упражнения 5.51
метод
— + A (ax*+1 + (1 - a)xk) = b
сходится при любом г > 0?
5.53. Система Ах = b с матрицей А = ( J решается
методом Гаусса-Зейделя. Доказать, что:
55

если \а\ > 1, то для некоторого начального приближения
итерационный процесс расходится;
если \а\ < 1, то итерации сходятся при любом начальном
приближении.
5.54. Доказать, что обобщенный метод простой итерации
В- —+Axfc = b, A = AT>0, det(B)^0, т>0,
т
сходится при условии В--А > 0 ((Бх,х) > -(Лх,х) Vx ф 0J.
5.55. Для системы уравнений
4uij - щ+ij - Щ-ij - Uij+i - Uij-i = h?fij,
i,j = l,2,...,n- 1; nh = 1;
V>0,i = Щ,0 — V>n,i — Щ,п = 0, i = 0, 1, ..., П
написать расчетные формулы и найти асимптотическую
скорость сходимости следующих итерационных методов:
1) метода Якоби;
2) метода Гаусса-Зейделя;
3) метода верхней релаксации с оптимальным параметром
релаксации;
4) метода симметричной верхней релаксации с оптимальным
параметром релаксации.
5.56. Пусть матрицы А*, г = 1,2, простой структуры
имеют собственные значения \{Ai) € [т, М], т > 0 и А\А2 =
A2A\, A = A\ -f Л2. Доказать, что при любом положительном
значении параметра г сходится итерационный метод решения
системы уравнений Ах = Ь следующего вида:
rfc+l/2_vfc
+ Агхк^2 + А2хк = Ь,
г
х*+1 _ х*+1/2
+ Л1х*+1/2 + А2х*+1=Ь.
г
Определить оптимальное значение ropt.
5.5. Некорректные системы линейных
уравнений и задачи на собственные значения
Пусть требуется решить систему линейных уравнений Ах = Ь,
с матрицей А размерности га на гс, где тп > п, гапк(Л) = п. Для
56

переопределенных задач такого рода Гаусс предложил
следующую постановку: решением задачи Ах = b в смысле
наименьших квадратов называется вектор х, минимизирующий
евклидову норму вектора невязки infx||b — ЛхЦг = ||Ь — ЛхЦг-
Изложим некоторые методы решения данной минимизационной
задачи, называемой задачей наименьших квадратов (ЗНК).
Метод нормального уравнения (Гаусса). Рассмотрим
следующую, называемую нормальной, систему уравнений
АТАх = АТЪ с квадратной матрицей АтА размерности п на
п. Отсюда найдем вектор х.
5.57. Показать, что нормальное уравнение имеет единственное
решение.
5.58. Показать, что вектор х является решением задачи
наименьших квадратов inf* ||b — Ах\\2 тогда и только тогда, когда
х есть решение системы АтАх — АТЪ.
Метод нормального уравнения прост в реализации, однако в
приближенной арифметике численно неустойчив в случае почти
вырожденных задач большой размерности. Найденное
численно решение может сильно отличаться от точного. Более
устойчивым к вычислительной погрешности является метод,
основанный на QA-разложении матрицы А.
5.59. Пусть известно представление А = QR. Показать, что
решение х задачи наименьших квадратов является решением
системы Дх = QTb.
Формально метод более трудоемкий, но построив однажды
фЯ-разложение мы сможем быстро решать задачи с
различными правыми частями.
Вырожденные задачи. Задача наименьших квадратов
называется вырожденной, если гапк(Л) < п. При численном
решении вырожденных и почти вырожденных систем
требуется изменить постановку задачи и, соответственно, применять
несколько иные методы.
5.60. Пусть гапк(Л) = г, A G Mmxn, m > п и г < п.
Показать, что множество векторов х, минимизирующих ||Ь — Ах||2,
образует (п — г)-мерное линейное подпространство.
5.61. Пусть в точной арифметике ранг матрицы А равен г < п.
Пусть ее первые г столбцов линейно независимы. Показать, что
57

ее можно привести к виду
*-«*-о(?" „Й15).
detail ^ О, Q е Мтхт\ Лп € Мгхг, Й12 € Mrx<n-r\
и для задачи наименьших квадратов с матрицей А имеется
семейство решений х = (Rii(Qjb - i?i2*2);x2) • Здесь
х = (xi;x2)r, xi в Яг, x2 € Rn~r
Q = (qi; • • •; qr; Qr+i; •..; qn) = (Qi; Q2).
Чтобы добиться похожей ситуации для произвольной
матрицы Л применятся метод фЯ-разложения с выбором
главного столбца. В среднем QR - разложение с выбором главного
столбца работает хорошо. Решение плохо обусловленных и
вырожденных задач гарантированно наилучшим образом
строится методом сингулярного (SVD) разложения.
Степенной метод вычисления максимального по модулю
собственного значения матрицы А имеет вид:
х*1 = Лх*, Afc+1 = [\ '*>, xfc^ 0; к = 0,1,2,....
При практической реализации разумно на каждом шаге
нормировать текущий вектор: х :
к ._
X'
к
5.62. Пусть А — матрица простой структуры (собственные
векторы ei, ег,..., еп матрицы образуют базис в Сп). Пусть
далее |Ai| > |Аг| > 1 A31 > ••• > |АП| иЬ~ линейная оболочка
в2»вз»—1©п« Доказать, что для степенного метода при условии
х° £ L справедлива оценка \к = Ai -f 0(|A2/Ai|fc). Если же
матрица А является симметричной, тогда для степенного метода
справедлива оценка Afc = Ai -f 0(|A2/Ai|2fc).
5.63. Пусть п х п матрица А имеет п различных
собственных значений. Предположим, что х° принадлежит линейной
оболочке некоторых собственных векторов е^, ei2,..., е*,, но не
принадлежит никакой их линейной подоболочке. К какому
собственному значению матрицы сходятся итерации степенного
метода в точной арифметике и с какой скоростью?
Для вычисления наименьшего по модулю собственного зна-
58

чения можно применять метод обратной итерации,
соответствующий степенному методу для матрицы А~х\
х* := х*/||х*В, ^+1 = х*. А* = ffi^l).
При этом на каждом шаге алгоритма требуется решать систему
Axk+i = хк
Степенной метод и метод обратной итерации можно также
применять к матрице А — с/, что позволяет влиять на
сходимость. Например, если с высокой точностью известно
приближение Л к некоторому собственному числу А, то метод обратной
итерации с параметром с = Л обычно сходится за несколько
итераций. Скорость сходимости существенно замедляется при
вычислении одного из группы близких собственных значений.
5.64. Пусть собственные числа симметричной матрицы А
удовлетворяют соотношениям Ai < А2 < ... < Ап. Выяснить, к
какому собственному числу Аа сходится итерационный процесс
в зависимости от параметра с. Найти скорость сходимости.
5.65. В условии задачи 5.64 выбрать постоянную с так, чтобы
итерационный процесс с наилучшей скоростью сходился к Ai
(А„).
5.66. Пусть собственные числа симметричной матрицы А
удовлетворяют соотношениям Ai < А2 < ... < Ап. Выяснить, к
какому собственному числу Ха сходится метод обратной итерации
со сдвигом
(Л-с/)х^=х*, Х" = С+-0^Г)
в зависимости от параметра с. Найти скорость сходимости.
Отметим, что скорость сходимости данного метода можно
существенно повысить, если менять значение сдвига от шага к
шагу.
<ЗЯ-алгоритм. Пусть задана п х n-матрица А. Положим
Aq = А и вычислим Ао = QoRq, где Qo — ортогональная (в
комплексном случае — унитарная) матрица, До — верхняя
треугольная матрица. Далее определим А\ = RqQo, т.е.
перемножим полученные в результате разложения матрицы в обратном
59

порядке. Повторим процедуру для Л*, А = 1,2,....
Итак, на каждом шаге вычисляется (Эй-разложение
матрицы Ак = QkRk и находится Ak+i = RkQk- Отметим, что
все полученные матрицы Ак подобны Ао- Результатом является
"почти верхняя треугольная" предельная матрица Аос, для
которой несложно вычисляются собственные значения. При
практическом применении метода сначала проводится
масштабирование (уравновешивание) матрицы, сближающее ее норму со
спектральным радиусом, и приведение к верхней форме Хес-
сенберга Я(Л^ = 0 при г > j 4- 1), которая инвариантна
относительно Qii-итераций. Само же разложение используется со
сдвигами, т.е. применяется к матрицам вида Ак = #* - Ск L
5.67. Пусть В — S~XAS. Показать, что матрицы Аи В имеют
одни и те же собственные значения. Вектор ед является
собственным вектором А тогда и только тогда, когда ев = S'1eJ\
является собственным вектором оператора В.
5.68. Показать, что собственные значения матриц А и Ак из
<2Я-алгоритма при А = 1,2,... совпадают.
фЯ-алгоритм со сдвигом. Положим Ло = А, выберем
сдвиг Со вблизи некоторого собственного значения А&(Л) и
вычислим разложение Aq - cqI = Qo#o- Найдем матрицу А\ =
RoQo + со/. Повторим процедуру для матриц Ак, А = 1,2, —
Если Ск окажется равным некоторому собственному числу,
то у матрицы Rk на диагонали стоит нуль, можно найти
соответствующий собственный вектор, и задачу для А{+\
сформулировать как задачу на единицу меньшей размерности.
5.69. Показать, что собственные значения матриц А и Ак из
фЯ-алгоритма со сдвигом при А = 1,2,... совпадают.
60

6. Решение нелинейных уравнений
Итерационные методы вычисления изолированного
(отделенного от других) корня z уравнения /(х) = 0, как правило, требуют
указания какой-либо области Д содержащей этот
единственный корень, и алгоритма нахождения очередного приближения
хп+\ по уже имеющимся хп, ...,хЛ_*.
Широко используемые способы отделения корней —
графический и табличный — базируются на свойствах гладкости
функции; в случае, когда /(х) является алгебраическим
полиномом степени п, имеются аналитические подходы.
Если /(х) — непрерывна, то вещественный корень z
принадлежит любому отрезку, на концах которого функция имеет
значения разных знаков. Деля отрезок пополам, получаем
универсальный метод вычисления корня (метод бисекции). Этот
подход не требует знания хорошего начального приближения.
Если оно имеется, то для гладких функций используются более
эффективные методы.
Пусть отыскивается единственный на отрезке [а, 6] корень z
уравнения /(х) = 0 в предположении непрерывности функции
/(х). Если в его окрестности функция представляется в виде
/(х) = (х - z)pg(x), где р — натуральное, а ^(х) —
ограниченная функция такая, что g(z) ф О, то р называют кратностью
корня. Если р = 1, то корень называют простым. При
нечетном р функция /(х) меняет знак на [а, 6], т.е. /(а)/(6) < 0, a
при четном р — нет.
Итерационный, метод решения порождает
последовательность приближений {хп}, которая сходится к корню: lim |xn —
П—+00
z\ = 0. Величину еп = |xn — z\ называют абсолютной ошибкой
на n-й итерации. Итерационный метод имеет порядок т (или
скорость сходимости га), если т есть наибольшее
положительное число, для которого существует такая конечная постоянная
q > О, что
lim sup n+ < а < оо.
п—оо eJJ*
61

Постоянную q называют константой асимптотической
ошибки, она обычно оценивается через производные функции f(x)
в точке х = z. При т = 1 (q Е (0,1)) сходимость называется
линейной (иногда говорят, что в этом случае метод сходится со
скоростью геометрической прогрессии со знаменателем <?), при
1 < m < 2 — сверхлинейной, при rri = 2 — квадратичной и т.д.
Из сходимости с порядком т > 1 следует оценка en+i < qnen,
n
</n —► 0 при п -* со. При этом en+i — е0 fj^t. Иногда скорость
сходимости может замедляться при приближении к искомому
решению, что соответствует qn —> 1, но еп —► 0 при п —► оо.
Таким свойством обладают методы с полиномиальной скоростью
сходимости еп < е0(1 +апе%)~1/р. Данная оценка верна,
например, если en+i < (1 — ае£)еп с некоторыми р>1и0<а< е~р.
Для методов с полиномиальной скоростью сходимости число
итераций п, необходимое для достижения ошибки порядка е
имеет асимптотику п « е~р, что существенно ограничивает их
применение для расчетов с высокой точностью.
Особое внимание в теории решения нелинейных уравнений
уделяется методам со сверхлинейной скоростью сходимости.
При практических расчетах традиционно применяются методы
с квадратичной сходимостью, так как итерационные процессы
более высокого порядка (т > 2) обычно требуют
дополнительных вычислительных затрат.
6.1. Метод простой итерации и смежные
вопросы
Исходное уравнение f(x) = 0 часто заменяют эквивалентным
ему уравнением
х = 4>{х).
Эту замену можно сделать, положив, например,
<р(х) =х + ^(х)/(4
где ф(х) — произвольная непрерывная знакопостоянная
функция.
Метод простой итерации. Выберем некоторое начальное
приближение xq € [а, Ь] к корню z} a дальнейшие приближения
62

будем вычислять по формулам
xn+i = <р(хп), п = 0,1,2, ... .
Последовательность х„ стремится экспоненциально к л,
например, если отображение у = (р(х) является сжимающим , т.е.
при некотором 0 < q < 1 выполнено условие p(ip(x\)y(p(x2)) <
qp(x\,X2), либо слабо сжимающим (полиномиально), т.е. при
некоторых а > 0,р > 1 выполнено условие р((р(х\),(р(х2)) <
(l+tt^Cxbga))1^' Здесь Р^1'*2) ~~ расстояние между точками
Х\ И Х2-
Отметим, что гарантировать сходимость метода можно
либо при условии, что соответствующие оценки выполняются для
всех точек х\^ € R; либо для точек xit2 € [a, 6], но
дополнительно имеем <р(х) € [а, 6], Vx € [а,6]. Из второго условия следует,
что все приближения хп принадлежат отрезку [а, 6].
Метод секущих. Пусть xn_i ихп — два последовательных
приближения к корню. Заменим кривую у = f(x) прямой,
проходящей через точки (xn_i,/(xn_i)) и (хп,/(хп)). В качестве
следующего приближения к корню возьмем точку пересечения
этой прямой с осью абсцисс. Расчетная формула принимает вид
f(xn) -/(xn_i)
Метод хорд. Пусть f(a)f(b) < 0. Идея метода (его еще
называют методом ложного положения) состоит в замене
кривой у = /(х) хордами, проходящими через концы отрезков, в
которых /(х) имеет противоположные знаки. Метод хорд
требует, чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень, был
неподвижен. В качестве неподвижного конца х0 выбирают тот
конец отрезка, для которого знак f(x) совпадает со знаком
второй производной f"{x). Расчетная формула имеет вид
_ {хп - хр)
Xn+1~Xn f(xn)-f(x0)f{Xn)-
6.1. Пусть уравнение /(х) = х-<р(х) = 0 имеет корень г, и для
его вычисления применяется метод простой итерации xn+i =
</?(хп). Пусть функция ср(х) имеет непрерывную производную в
открытой окрестности z и |<р'(2)| < q < 1. Доказать, что метод
сходится к z с любого начального приближения хо из некоторой
окрестности корня.
63

6.2. Пусть уравнение /(х) = 0 имеет корень на отрезке [а, 6],
причем /(х) дифференцируема, a f'(x) знакопостоянна на этом
отрезке. Построить равносильное уравнение вида х = </?(я)> Для
которого на [а, 6] выполнено условие |<^'(х)| < q < 1.
6.3. Построить итерационный процесс вычисления всех корней
уравнения f(x) = я3 4- Зх2 — 1 = 0 методом простой итерации.
6.4. Определить область начальных приближений хо, для ко-
4 + 1
торых итерационный процесс хп+\ = -^-— сходится.
6.5. Оценить скорость сходимости метода хорд.
6.6. Пусть z — простой корень уравнения f(x) = 0. Оценить
скорость сходимости метода секущих.
6.7. Пусть xn+i = Vxn + 2. Доказать, что lim xn = 2 для
любого хо > —2.
6.8. Доказать, что итерационный процесс x„+i = cosxn
сходится для любого начального приближения хо € R1.
6.9. Исследовать сходимость метода простой итерации xn+i =
х\ — 2хп + 2 в зависимости от выбора начального приближения
хо-
6.10. Уравнение х -f lnx = 0, имеющее корень z » 0.6,
предлагается решать одним из методов простой итерации:
l)xn+i = - Inxn ; 2)xn+i = е"Жи ;
хп+е~х» Зхп + 5е-х"
3)х„+1 = - ; 4)хп+1 = - .
Исследовать эти методы и сделать выводы о целесообразности
использования каждого из них.
64

6.2. Метод Ньютона.
В случае одного уравнения формула метода Ньютона имеет вид
п+1~Хп~7&ГУ
Метод состоит в замене дуги кривой у = f(x) на касательную
к ней в процессе каждой итерации. Это видно из уравнения
касательной, проведенной в точке (хп>/(хп)):
У ~ /(^n) = f'(xn)(x - хп)у
из которого формула итерационного процесса следует, если
положить у = О и х = £п+1.
Метод Ньютона соответствует методу простой итерации
-^- - 4- f(xn) = 0 с оптимальным, в некотором смысле,
параметром тп. Действительно, пусть z — изолированный
простой (т.е. f'{z) Ф 0) корень. Пусть z и все хп принадлежат [а, 6].
Тогда
z - x„+i = z - хп + т„/(х„) - rnf(z) = (1 - Tnf'(Zn))(z - xn),
следовательно, при т„ = l//'(fn) метод сходится за одну
итерацию. Точка fn неизвестна, поэтому на текущем шаге выбираем
Тп(хп) = l/Z'C^n); при этом верна оценка
\z - xn+i| < max |1 - r„(xn)/'(OI I* - a?n|.
f€[a,6]
Рассмотрим случай системы т нелинейных уравнений
F(x)=0,
где х = (х1,..., xm)T, F = (/i,..., /m)T. Будем предполагать
отображение F : Rm —► Rm непрерывно дифференцируемым в
некоторой окрестности решения z, так что
В предположении обратимости этого оператора метод Ньютона
можно записать в виде
x„+i = Хп - {¥'(хп)Гг F(xn).
Обозначим £2а = {х : ||х — zj| < а}, где || • || — евклидова норма
в Rm. Пусть при некоторых a,ai,02 : 0 < а, 0 < ai,a2 < оо,
выполнены условия:
1) ||(F'(x))-Vil < OiHyll при хбПв и Vy;
65

2) ||F(ui)-F(u2bF'(u2)(ui-U2)t| < a2||ui-u2||2 при ubu2 € Пв.
Обозначим также с = aia2, b — min (а,с'1).
Теорема (о сходимости метода Ньютона). При условиях
1), 2) и Хо € Пь tiraepat^tiommu процесс Ньютона сходится с
оценкой погрешности
\\xn-z\\<c'l(c\\xo-z\\)2\
т. е. квадратично.
Условия теоремы гарантируют, что корень z простой. В
случае кратных корней метод Ньютона сходится линейно, скорость
сходимости замедляется при повышении кратности.
6.11. Построить итерационный процесс Ньютона для
вычисления {/а, а > О, где р — вещественное число.
6.12. Пусть уравнение f{x) имеет на отрезке [а, Ь] простой
корень, причем f(x) — трижды дифференцируемая функция.
Показать, что при этих условиях метод Ньютона имеет
квадратичную скорость сходимости.
6.13. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, 6]
корень z кратности р, причем f(x) — дважды дифференцируемая
функция. Показать, что при этих условиях метод Ньютона
сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем
(Р-1)/р.
6.14. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, 6]
корень z кратности р, причем f(x) — дважды дифференцируемая
функция. Построить модификацию метода Ньютона, имеющую
квадратичную скорость сходимости.
6.15. Построить метод Ньютона для вычисления числа -
а
так, чтобы расчетные формулы не содержали операций
деления. Определить область сходимости метода при а > 0.
6.16. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [а, 6]
корень z неизвестной кратности р > 1, причем f(x) — трижды
дифференцируемая функция. Построить модификацию метода
Ньютона с квадратичной скоростью сходимости и предложить
способ численной оценки величины кратности корня.
6.17. Пусть для решения уравнения х3—х = 0 применяется
метод Ньютона. При каком начальном приближении он сходится
66

и к какому корню?
6.18. Рассматривается метод Ньютона вычисления у/а при 1 <
а < 4, xq полагается равным значению многочлена наилучшего
17
равномерного приближения для /а на [1,4]: хо = Q\{o) = — 4-
-. Доказать справедливость оценки |х4 - >/а\ < 0.5 • 1СГ25.
6.19. Определить порядок сходимости модифицированного ме-
тода Ньютона хп+х = хп - п .
f (zo)
6.20. Указать начальное приближение и оценить число
итераций в методе Ньютона, требующихся для достижения точности
10~3 для системы уравнений:
f *3~У2 =1,
\ ху3 - у =4.
6.21. Проверить, что z = (1,1,1)т — одно из решений системы
уравнений F(x) = 0, где F : R3 —* R3 имеет вид
Г Х\х% -f Х2Х3 — а?! — 1
F(x) = x2 + х\ + х3 - 3
[ Х2Х3 — 1
Будет ли метод Ньютона сходится к z при достаточно близких
начальных приближениях?
6.22. Для решения нелинейной краевой задачи
у11 = /(х, у) при х € (0, X),
у(0) = а, у(Х) = Ь,
рассматривается система нелинейных алгебраических
уравнений с параметром h = X/N:
Ук+i - %Ук + Ук-i £( \ l 1 о лг л
дз = f(Xf^ У*)' Л = 1,2,..., ЛГ - 1,
Уо = а, Улг = & •
Здесь у^ — приближения к значениям y(kh). Выписать
расчетные формулы метода Ньютона для решения приведенной
системы. Указать способ их реализации для /(х,у) = sin(y)cos(x).
67

7. Дифференциальные уравнения
На первых этапах практического решения обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнений в частных
производных применялись методы, в которых приближенное решение
строилось в виде некоторой аналитической формулы. В
настоящее время наибольшее распространение получили сеточные,
вариационно- и проекционно-разностные методы, позволяющие
получать либо приближенные значения решения на некотором
множестве точек, либо приближенное разложение решения по
некоторой системе базисных функций.
В данной главе излагаются базовые понятия общей
теории численного решения дифференциальных уравнений.
Рассматриваются различные способы перехода от
дифференциальных задач к разностным. Особое внимание уделено
исследованию методов решения и оценкам погрешности.
Рассматриваются уравнения первого и второго порядка, задачи с начальными
условиями и краевые задачи.
7.1. Основные определения
Постановки задач. Пусть в области D с границей Г задана
дифференциальная задача
Lu = f в D (11)
с граничным условием
/ и = (р на Г. (12)
Здесь Lnl — дифференциальные операторы; / и <р — заданные,
а и — искомый элементы некоторых линейных нормированных
пространств F, Ф и С/ соответственно.
Если одной из переменных является время t, то наиболее
часто рассматривают области вида
D(«1x) = cf(x)x[«0fT]l
где t — время и х = (х\,... ,хп) — совокупность
пространственных координат. Это означает, что решение ищется в простран-
68

ственной области d(x) на отрезке времени [£о,Т]. В этом случае
условия, заданные при t = to, называют начальными, а
условия, заданные на границе Г(х) области d(x)> — граничными, или
краевыми.
Задачу, у которой заданы только начальные условия,
называют задачей Коти. Задачу с начальными и граничными
условиями называют смешанной краевой задачей.
Для решения сформулированных задач наиболее часто
используется разностный метод.
Разностный метод. Для применения разностного метода
определяют некоторую сетку — конечное множество точек
(узлов) Dh = Dh\JTh, принадлежащее области D = D\JT. Как
правило, Гд С Г. Будем рассматривать только сетки, узлами
которых являются все точки пересечения заданных наборов
параллельных прямых (плоскостей), причем по каждой
переменной выбирается свой постоянный шаг. Сеточный параметр h
является, в общем случае, вектором, компоненты которого состоят
из шагов сетки по каждой переменной. Для изучения свойств
разностных схем вводится понятие величины шага сетки, в
качестве которого принимается какая-либо сеточная норма
вектора /i, например,
Ц/iHoo = max Ы или \\h\\2 = ( ]Г h\
1<г<п \ *—■*
где п — число переменных в дифференциальной задаче. Чтобы
избежать новых и ненужных для существа дела обозначений,
в приводимых ниже оценках под h понимается величина шага
сетки.
Если X С Y и функция v определена на множестве Y, то
ее следом на множестве X называют функцию, определенную
на X и совпадающую там с v. Если функция v определена на
некотором множестве К, содержащем Уд, то ее след на Yh
будем обозначать (v)h. Часто пространства Fn, <&h и Uh
определяют как пространства следов функций из F, Ф и U на D^ Г\ и
«D/t соответственно. При этом используются согласованные
нормы пространств, т.е. для достаточно гладких функций v € Y
г/л
69

выполняется соотношение
lim||(t;)h|k = ||«||y.
Л—>U
Все производные, входящие в уравнение и краевые условия,
заменяются разностными аппроксимациями. При записи этих
аппроксимаций в некотором внутреннем узле сетки берется
одно и то же количество соседних узлов, образующих строго
определенную конфигурацию, называемую шаблоном. В результате
дифференциальные операторы L и / заменяются разностными
Lh и h •
Для нахождения приближенного решения задачи (11), (12)
определим разностную схему — семейство разностных задач,
зависящих от параметра Л:
Lhuh = fh в Dh, (13)
lhuh = yh на ГЛ. (14)
Решение разностной схемы и^ называемое разностным,
принимается в качестве приближенного решения дифференциальной
задачи.
Аппроксимация. Говорят, что разностная схема (13), (14)
аппроксимирует с порядком аппроксимации р = min (рьрг)
дифференциальную задачу (11), (12), если при любых гладких
функциях и,/,<р существуют такие постоянные ho, Сь pi, сч
и р2) что для всех h < ho выполняются неравенства
\\Lk{u)h - (Lu)h\\Fh + IK/)* - fh\\Fh < cih»,
\\Шн ~ {Ш\Фк + \\(<p)h ~ Ы\Фк < ЪН»,
где ci, pi, C2 и pi не зависят от h.
Выражения, стоящие под знаком норм, называют
погрешностями аппроксимации.
Оператор L/t из (13) локально аппроксимирует в точке xi
дифференциальный оператор L из (11), если для достаточно
гладкой функции и G U существуют такие положительные
постоянные Ло, сир, не зависящие от Л, что при всех h < ho
справедливо неравенство
\(Lh(u)h-(Lu)h)\x=Xi\<ch".
Число р при этом называется порядком аппроксимации.
Аналогично определяется порядок локальной аппроксимации
оператора lh-
70

Также используется понятие аппроксимации на решении,
позволяющее строить схемы более высокого порядка точности
на фиксированном шаблоне. Говорят, что разностная схема (13),
(14) аппроксимирует на решении и с порядком аппроксимации
р = тт(р\,р2) дифференциальную задачу (11), (12), если
существуют такие постоянные /io, ci, pu £2 и рг, что дня всех h < ho
выполняются неравенства
\\Lh(u)h - fh\\Fh < cihp\ \\lh(u)h - <рк\\фк < c2h?\
где Ci, piy Ci и pi не зависят от Л, и выполнено условие
нормировки lim || Д || Fh = [|/||f.
ft—*U
Порядки аппроксимаций обычно оценивают при помощи
разложения в ряды Тейлора. Порядок аппроксимации
разностной схемы может быть разный по разным переменным. Если
погрешность аппроксимации стремится к нулю при любом законе
стремления шагов по различным переменным к нулю, то такая
аппроксимация называется безусловной. Если же погрешность
аппроксимации стремится к нулю при одних законах убывания
шагов и не стремится к нулю при других, то аппроксимацию
называют условной.
Устойчивость. Разностная схема (13), (14) устойчива, если
решение системы разностных уравнений существует, единственно
и непрерывно зависит от входных данных Д, у>Л, причем эта
зависимость равномерна относительно величины шага сетки.
Это означает, что для каждого е > 0 найдутся /io и 6(e), не
зависящие от Л, такие, что
,0)
р(1)
fh ~~ fh
(2)
Fft
<6и
Аг)
^
и{2)
uh
<6.
uh
< е, если h < /to,
Для линейных схем определение устойчивости принимает
вид
М)
-и
(2)
Uh
<сг
fW f(2)
Jh "~ Jh
Fh
+ C2
^>-#
Фп
где с\ и С2 — постоянные, не зависящие от h.
Устойчивость называется безусловной, если эти неравенства
выполняются при произвольном соотношении шагов по
различным переменным. Если же для выполнения неравенств
шаги должны удовлетворять дополнительным соотношениям, то
устойчивость называется условной.
71

Непрерывную зависимость по Д (равномерную
относительно К) называют устойчивостью по правой части> а
непрерывную зависимость по <ри называют устойчивостью по граничным
условиям. Если рассматривается смешанная краевая задача,
то устойчивость по граничному условию при t = £о называют
устойчивостью по начальным данным.
Сходимость. Решение щ разностной схемы (13), (14) сходится
к решению и дифференциальной задачи (11), (12), если
существуют такие постоянные /&о, с и р, что для всех h < /i0
выполнено неравенство
\\(u)h-uh\\Uh<chp,
где с и р не зависят от Л. Число р называют порядком
сходимости разностной схемы, при этом говорят, что разностное
решение ин имеет порядок точности р.
Теорема Филиппова (о связи аппроксимации,
устойчивости и сходимости). Пусть выполнены следующие условия:
1) операторы L, I и Lh, lH — линейные,
2) решение и дифференциальной задачи (11), (12) существу-
ет и единственно,
3) разностная схема (13), (14) аппроксимирует
дифференциальную задачу (11), (12) с порядком р,
4) разностная схема (13), (14) устойчива.
Тогда решение разностной схемы Uh сходится к решению и
дифференциальной задачи с порядком не ниже р.
Поскольку для многомерных задач порядок аппроксимации
по разным переменным может быть неодинаковым, порядок
сходимости по разным переменным также может быть
различным. Если аппроксимация и (или) устойчивость разностной
схемы условные, то сходимость имеет место только при тех
соотношениях между шагами сетки по разным переменным, при
которых выполнены условия аппроксимации и (или) устойчивости.
В классе задач с решениями конечной гладкости требование
устойчивости является необходимым условием сходимости.
72

7.2. Задача Коши
В случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения
2/' = /(*>У), (15)
У(х0) = 2Лъ (16)
общие термины разностного метода можно конкретизировать.
Пусть, для простоты, рассматривается равномерная сетка Xk =
хо + АЛ, к > 0. Тогда разностной схемой для задачи (15), (16)
называется система разностных уравнений
^а-яы^Ь^/ы (к = 1,2,...) (17)
с известными начальными условиями уо = 2/(яо)> Уъ--»Уп-ь
где a-», &-t не зависят от ft, ao ^ 0 и Д_* = f(xk-uyk-i)-
Разностная задача (17) аппроксимирует дифференциальную
на отрезке [хо, xq + X] с порядком р, если для функции
погрешности
- п п
t=0 t=0
выполняется оценка \\rk\\k < chp и \\fh - (/)л||л —> 0 при h —> 0.
В общем случае, это — нелинейная система, поэтому
аппроксимация левой и правой частей уравнения (15) может
рассматриваться отдельно. При оценке порядка аппроксимации
разностной схемы следует также учитывать тот порядок, с
которым начальные условия аппроксимируют значения точного
решения задачи (15), (16) в соответствующих узлах сетки. Там,
где рассматривается только уравнение (15) без начального
условия (16), под разностной схемой понимается система (17) и ее
начальные условия во внимание не принимаются.
Рассмотрим характеристическое уравнение для левой части
разностной схемы (для уравнения у' = 0):
Схема называется а-устойчивой, если выполнено условие: все
корни характеристического уравнения принадлежат
единичному кругу и на границе круга нет кратных корней.
73

Данное условие является необходимым. Можно показать,
что для любой разностной схемы, не удовлетворяющей
условию а-устойчивости существует дифференциальное уравнение
с бесконечно дифференцируемой правой частью, для которого
даже при отсутствии округлений и погрешностей в начальных
данных, решение его разностного аналога не стремится к
непрерывному решению при измельчении шага.
Если в задаче не приводится конкретный вид правой части,
то имеется в виду устойчивость только в этом смысле.
7.1. Показать, что необходимым и достаточным условием
аппроксимации уравнения (15) разностными уравнениями (17)
является выполнение равенств
п п п
]£а_г = 0, -]Гга_г = 1, ^6_г = 1.
»=0 г=0 г=0
7-2. Проверить, аппроксимируют ли разностные схемы
уравнение (15):
а)
Тй(Уь -Jte-з) = Л-1>
б)
в)
3/Г
g^(Ук - tyk-2 + 2у*_3) = 2^к'г + ^~2)'
— (Зук - 41/fc-i + ук-2) = Л ■
7.3. Для задачи и' + и — х + 1, w(0) = 0 с точным решением
и = х рассматривается схема
Каков порядок аппроксимации данной схемы? Можно ли его
улучшить?
7.4. Для задачи
v! + а(х)и = f(x)1 u(0) = с
рассматривается схема
-^^—£ + (aia(xfc)+a2a(xfc+i)) (/?iyfc-f/?22/M-i) = 7i/(**) +1b/(a*+i)»
У о = с.
74

Как выбрать &к,0к и 7*> чтобы получить второй порядок
аппроксимации на решении?
7.5. Для уравнения (15) построить разностную схему с
наивысшим порядком аппроксимации
2» = o-ifk + CLofk-i + a-ifk-2-
7.6. Исследовать устойчивость разностной схемы
7.7. При каких а, 6 и с схема
^ {Ук + аук-х - аук-з ~ Ук-4) = bfk-i + сД_2 + &Л-з
для уравнения у1 = / имеет максимальный порядок
аппроксимации на решении? Выполнено ли условие а-устойчивости?
Напомним, что для линейных задач решение разностной
схемы сходится к дифференциальному решению с порядком не
ниже порядка аппроксимации, если схема устойчива.
7.8. Для задачи у1 = у> уо = 1 рассмотрим схему
Ук+i -Ук 1 i. ^ л
£ = 2/ь 2/о = 1, /с>0.
В разложении ошибки у(хк) — j//t = c\h + С2Л2 + • • • найти
постоянную С\ ДЛЯ £fc = 1.
7.9. Для задачи у' = у, уо = 1 рассмотрим схему
2/fe-M - 2/fc 2/fc+i + 2/fc ! r^n
h = 2 * Vo = 1, Л>0.
В разложении ошибки у(х*) — yfc = ci/i 4- С2/12 -f • • • найти
постоянную С\ ДЛЯ Хк — 1.
7.10. Для задачи 2/' = 2Л Уо = 1 рассмотрим схему
2/fc+i - 2/fc-i _ - _ ^h
гг = 2/fc, 2/o = l» 2/1 = е .
В разложении ошибки у(х&) - у к = ci/i 4- С2/12 + • • • найти
постоянную С\ ДЛЯ Хк = 1.
7.11. Для задачи у' = у, уо = 1 рассмотрим схему
. 2/fc+i - 2/fc-i Q Уь+i - 2/fc
4 2Л 3 —=Vk-
В разложении ошибки у(хк) - 2/fc = cih + c2^2 + - • • найти
постоянные C\ И С2 ДЛЯ Xfc = 1.
75

7.12. Для задачи и* + Ъи = sin 2х, и(0) =* 2, построить
двухточечную разностную схему второго порядка сходимости.
7.13. Найти главный член погрешности аппроксимации и
исследовать устойчивость разностной схемы:
Ук - Ук-2 _ fk + 4Д-1 •+ Д-2
2Л 6
Уравнения второго порядка
Рассмотрим следующую задачу
y" = /(s>2/>y')> УЫ) = а, у'(х0) = Ь. (18)
Введением новой неизвестной функции v(x) = у'(х) она может
быть сведена к системе уравнений первого порядка:
v1 = f(x,y%v)y v(x0) = 6,
у' = v, у(хо) = а,
а для ее решения применены методы, рассмотренные выше.
Однако методы, приспособленные к решению специального
класса задач, часто более эффективны. Далее будем обсуждать
задачи с правыми частями, не зависящими от у':
В этом случае (по аналогии с задачей Коши для уравнения
первого порядка) разностной схемой на равномерной сетке х* =
xq+ khy k>Q называется система разностных уравнений
1 w п
Р Y^a-iVk-i = J^b-t/*-»» * = 1.2 (19)
t=0 t=0
с известными начальными условиями уо = у(хо), yi,...,!fo-i,
где a-i, Ь-i не зависят от Л, о0 ф О и Д_» = /(я*-*, 2/*-*).
Схема для уравнения второго порядка называется а-
устойчивой, если выполнено условие: все корни
характеристического уравнения принадлежат единичному кругу и на
границе круга нет кратных корней, за исключением двухкратного
корня,равного единице.
7.14. Получить необходимые и достаточные условия
аппроксимации уравнения (18) разностными уравнениями (19).
7.15. Определить порядок аппроксимации разностной схемы
76

(Нумерова):
У/fc+i - tyk + Ук-\ Л+i + ЮЛ + Д-i
Л2 12
7.3. Краевая задача
Рассмотрим первую краевую задачу для обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка
~(к(х)и')' +р(х)и = f{x), 0<x < 1,
u(0) = u(l)=0.
Предполагается, что коэффициенты уравнения удовлетворяют
условиям
О < к0 < к(х) <ки 0 < р(х) < рх.
Отметим, что на любом из концов отрезка краевое условие
может быть задано в виде линейной комбинации функции и
производной
au + bvf = с.
В этом случае следует обратить внимание на способ его
аппроксимации. Если это не оговаривается специально, то в
приводимых ниже задачах сетка выбирается равномерной: х« = i Л,
г = 0,...,ЛГ,#Л = 1.
7.16. Определить локальный порядок аппроксимации для
операторов:
Lu = (&(a;)u')', LhUi = - Щ^т/г)--^—i - Afoi-1/2) * h %~l j
в точке Xi = i Л, считая коэффициент к(х) достаточно гладким.
7.17. При каких а, /? и 7 разностная схема
1 < г < ЛГ - 1, у0 = yN = 0, Nh = 1
аппроксимирует на решении задачу
-u"+ u = /(*), и(0) = и(1) = 0
с четвертым порядком?
7.18. Используя значения функции и в двух точках хо = 0 и
xi = h, построить аппроксимацию второго порядка граничного
77

условия аи(0) + 6г/(0) = с для уравнения
- и" + р(х) и = f(x).
7.19. Исследовать устойчивость разностной схемы
-yi+1~2^ + Vi~1 =fi,l<i<N-l,y0 = yN=0,Nh = l
и показать, что при h —* 0 число обусловленности
матрицы алгебраической системы для нахождения уг имеет порядок
0(1/Л2).
7.20. Получить на основе принципа максимума при / 6
С^[0,1] оценку скорости сходимости
h2
max \ulxi) - уА < — max|/"(x)|
o<i<N* к %) ыг* - 96 [од] ]J v ;|
решения разностной задачи
д5 = Л» I < г < N - I, уо = Vn = 0, Nh = I
к решению дифференциальной задачи
-u" = /, u(0) = u(l) = 0.
7.21. Исследовать устойчивость разностной схемы
_И+|-2ц + Ц-1 _ (2 + cos{2nXi))yi = /ь
1 < х < N - 1, у0 = 2/tv = 0, Nh = 1.
7.4. Методы построения разностных схем
Метод неопределенных коэффициентов. Пусть имеется
некоторый шаблон (например, три расположенных подряд узла
сетки Xi-iyXi}Xi+i) и требуется найти разностный оператор L^,
локально аппроксимирующий дифференциальный оператор L
на функции и в узле Xi. Для нахождения неопределенных
коэффициентов а,Ь,с с помощью формулы Тейлора вначале
находятся коэффициенты при и(х),и'{х),ип{х),... в выражении
{Lh{u)h-{Lu)h)\x^ =
= (си(хг-1) + Ьи(х{) + аи{х{+1) - (Lu)h)\x=Xt .
Затем последовательно обнуляя коэффициенты при
отсутствующих в L производных и приравнивая к заданным при
ненулевых, приходим к системе линейных алгебраических уравнений,
78

решая которую находим а, Ь, с. Порядок аппроксимации
определяется после подстановки найденных значений а, 6, с в первый
ненулевой коэффициент при производных в точке Xj.
Пусть для задачи
Lu = u" = f(x), 0 < х < 1, u(0) = u(l) = О
на равномерной сетке
Dh = {xi = ih, г = 0,..., ЛГ, АГЛ = 1}
требуется построить схему методом неопределенных
коэффициентов на трехточечном шаблоне.
Сначала построим Lh вида
auj+i +bv,i + сщ~\
I*«i = £5 ,
и определим его порядок аппроксимации.
Выпишем разложения по формуле Тейлора для достаточно
гладкой функции и(х) в точке х = Х{:
Подставим полученные выражения в формулу для Ь^Щ и
сгруппируем множители при одинаковых степенях h:
h4
, 2 13
(a + 6 + с)щ + /i(a - с)и- + — (а + с)и" + -^(а - с)и\3)
+ ^(а + с)и[4) + £(а- с)и<5> + ^(ач™(£+) + с«<в)«-))
По определению локальной аппроксимации
Ьнщ = u'l + 0(/ip), р>0,
откуда имеем систему уравнений
а + Ь + с = 0,
а — с = О,
§(а + с) = 1.
После ее решения получим
Ьнщ = jp = щ + — u> + 0(/i4),
т.е. Lh локально аппроксимирует оператор второй производной
в точке х = Хг со вторым порядком.
Окончательно выпишем разностный аналог поставленной
задачи
-^ Г5 = Л * ° < г < NI wo = wysr = 0.
79

Интегро — интерполяционный метод. Рассмотрим его на
примере задачи
Lu = -u" + р(х)и = f(x), 0<х< 1, 0<р(х) <рг,
и'(0) = qiu(O) + 0i, w(l) = О
на равномерной сетке
Dh = {xi = гЛ, i = 0,...,JV, JV/i = 1}.
Введем обозначение и(х) = и'(х) и перепишем исходное
уравнение в виде
а/(х) = р(х) и(х) - f(x).
Проинтегрируем это уравнение от £»-1/2 Д° #t+i/2:
^(a?t+i/2)-w(«i-i/2)= / bO^M*)-/(*))<&
и заменим интеграл в правой части, например, по квадратурной
формуле прямоугольников:
&
J ф)dx*{b-a)tp (^y-J
После деления обеих частей уравнения на h получим:
^(Яг+1/2) - tj(Xi-l/2) .
г = ?%Щ - fi.
Далее заменим выражение ш(Х{+\/2) на (гц+1 — щ)/к> т.к. из
формулы Тейлора следует, что они совпадают с точностью
до слагаемых второго порядка малости по h (и аналогично
для w(xi-\/2))- Теперь дискретный аналог исходного уравнения
примет вид
z £2 +PiWi = /i, 0<г<ЛГ.
Для аппроксимации краевого условия третьего рода
проинтегрируем исходное уравнение от 0 до Л/2:
Л/2
г/(А/2) -u'(0) = f \р(х) и{х) - /(ж)] <te.
о
Далее опять воспользуемся формулой прямоугольников и
заменим и'(0) на aiu(O) + /3i и и'(Л/2) на (wi — Uo)/h. В результате
80

получим:
^р = q,uo + 01 + \ (p(A/4)u(A/4) - /(Л/4)] •
В левой части порядок аппроксимации выражения (ui — uo)/h
для u'{h/2) равен двум, поэтому мы ничего не испортим, если
в правой части заменим значения функций в точке х = h/4 на
их значения в точке х = 0:
Щ -ио , „ , Л г г 1
^ = ОЦЩ +/3Х + - [р0и0 - /о] .
Окончательный вид разностной схемы:
~ "^ J? + W < = Л . 0 < г < ЛГ,
ui — г*о _ -^
—-—saiuo + pj, илт = 0,
где новые коэффициенты принимают значения
Q?i = ai + ^Ро , А = /?i - g Л •
Метод Ритца. Если оператор L — самосопряженный и
положительно определенный, то равносильны две задачи:
а) нахождение решения задачи Lu = / в гильбертовом
пространстве U со скалярным произведением (•,-) ;
б) нахождение и 6 [/, минимизирующего функционал
J(u) = {Lu,u)-2(uJ) .
Для нахождения и строится последовательность {Uh}
конечномерных подпространств пространства U с известным базисом
{<£?}. В каждом Uh находится элемент и/и минимизирующий
J (и). Для этого достаточно найти коэффициенты а*
разложения uk no {<fi}:
Nh
Uh=J2aiVi
г=1
из системы линейных алгебраических уравнений Аа = 6, где
a0 = (Lfp?,^), 6< = (/,¥>?), i,j = TM,
Nh — размерность С/^. Если последовательность {t//J полна в
U у то
lim иь = и.
В качестве базисных функций $ в простейшем случае
используются кусочно - линейные. Для произвольной сетки хо <
81

Х\ <
< хп они имеют вид:
( Х\ — X
<Ро(х) = < хх - х0
I о
viw =
¥>?(*) = 4
О
а; - xn-i
Xn Xn_l
( X — Xi-i
Х{ Хх—1
О
при хо < х < xi ,
при xi < х < хп;
при хо < х < xn-i,
при хп-1 < х < х„ ;
При Xi_i < X < Xi ,
При Xi < X < Xi+i ,
при остальных х
для г = 1,... ,п — 1.
Если меры носителей базисных функций много меньше
меры области, в которой решается задача, то метод Ритца часто
называют методом конечных элементов.
Пусть, как и ранее, сетка будет равномерной. Применим
метод Ритца для задачи
Lu = -(fc(x)u')'-fp(x)u = /(x), 0 <х < 1,
ti(0) = u(l) = 0,
с коэффициентами
к{х) = 1 + х, р(х) = 1.
Выражение для ац имеет вид:
о L
Так как
*<*>-£-*+**w
dx .
ПрИ X«_i < X < Xi ,
= ^ - £ при хг < х < xi+i ,
О ПрИХ^ [Xi-uXi+i].
то непосредственные вычисления дают
при j = г,
ву = 4 lU + ^l+f
_l[1+xi±^±£ij+| np„j=i + 1)
О
в остальных случаях
82

Для компонент вектора правой части получим
1 Xi+l Xi+1
Ы = (/,Vi) = j f tfdx = J f rfdx « f(xi) J rfdx = hfi.
0 Xi-i Xi-i
Окончательный результат можно записать в виде:
Д2 + в =Л. 0<КЛГЭ
а0 = ам = 0,
где коэффициенты определяются по формулам:
Xj_l + Xi Xi+i +Xi
С,; = 1 + , a» = 1 + , bi = a» + Ci .
7.22. Справедливы ли равенства:
и(х + h) — 2и(х) + и(х — h)
1) hm — -~^ =
u(g + 2fe)-m(g) ^,_ч , ii(g) + ti(s - 2fe)
2 -*u[x) +
= hm * To ;
/i-*0 /l2
ЛЧ .. ti(x + /i) — u(x - h)
2) hm —^ ■—— =
' л-о 2h
u(x + 2h) + u{x) u(x) + ц(х - 2h)
= lim 2 si 2 ■
/i-o 2/i
если u(x) e C(4) ?
В задачах данного раздела следует обращать внимание на
области определения искомого решения разностного уравнения
и правой части. В некоторых случаях более высокий порядок
аппроксимации схемы может быть достигнут при выборе
смещенных сеткок ih и ih + Л/2, г = 0,1, —
7.23. Рассмотрим дифференциальную задачу
j^+a(x)u(x) = /(*), х <Е [0,1], и(0) = 0, а{х)> /(*) € С4[0,1]
Пусть функция щ определена в узлах Х{ = гЛ, г = 0,... , п, а
функция /i — в узлах х^+1/2 = (г + 1/2)Л, г = 0,..., тг - 1.
1) Найти порядок аппроксимации и порядок аппроксимации
на решении для разностной схемы
^ +a< 2 =^» ЗД = 0, i = 0,...,n-l,
83

где at = a((i + 1/2)Л), ft = /((i + 1/2)Л), Л = 1/n.
2) Изменится ли точность аппроксимации, если функции щ
и /г определены в одних и тех же узлах Xj = гЛ, г = 0,..., п?
7.24. Для дифференциальной задачи
^U *, Ч /ЛЧ
—+ си = /(х), с = const, гцО)=а,
интегро — интерполяционным методом на трехточечном
шаблоне с постоянным шагом построить схему четвертого порядка
аппроксимации.
7.25. Дана дифференциальная задача
-j-j + cu=/(x), а: €[0,1],
u(0) = u(l) = 0, с = const.
При каких с для решения этой задачи применим метод Ритца?
7.26. Для дифференциальной задачи
/n\ /i\ n ^ \ /3/2, 0<х<1/4,
«(0) = «(1) = 0, а(*) = |2' 1/4<x<i;
построить разностную схему методом Ритца, взяв кусочно -
линейные функции в качестве базисных, считая, что точка х = 1/4
является узлом равномерной сетки.
7.27. В задаче
-(к(х)и')'+р{х)и = Дх), и(0) = и'(1) = 0.
методом Ритца (конечных элементов) построить
аппроксимацию правого краевого условия, используя кусочно - линейные
базисные функции на равномерной сетке.
7.28. Показать, что для краевой задачи
Lu= -(fc(x)u')' + р{х)и = /(х), 0 < х < 1,
u(0)=0, и'(1)+аи(1)=0.
функционал в методе Ритца будет иметь вид
1
J(U)= f{k(x)[u'(x)]2+p{x) v?(x) - 2f(x)u(x)}dx
+afc(l)u2(l) - 2/?A(l)u(l).
84

7.29. Построить аппроксимацию второго порядка по двум
точкам правого краевого условия uf—3u = 1, заданного при х = 1,
для уравнения и" = cos х 4-1.
Операторы с особенностями
7.30. Построить интегро - интерполяционным методом
разностную схему для задачи
_1 d / АЛ =/(г),о<г<Я, Нтг^=0,и(Д) = 0,
rdr\dr) v ' r-o dr v '
насетке 1)^ = jr* = И+-] A, 0<i<N, Nh = r\ .
7.31. Построить интегро - интерполяционным методом
разностную схему для задачи
-;|('|)-/M.<'srsJ..ftirf-o.^ji).e.
на сетке Dh = {г{ = г А, 0 < г < TV, N h = R} .
7.32. Построить аппроксимацию уравнения
£)-№>
при г = 0, считая решение четной функцией (и(г) = и(—г)).
7.33. Построить интегро - интерполяционным методом схему
для задачи
-^£H'M^<*,lLm/!-0,„(«)-0,
на сетке Dh = In = (i+-) h, 0<i<N, N A = R> .
7.34. Построить интегро - интерполяционным методом схему
для задачи
1 d (*du\ _ 2 da _
на сетке £>Л = {г» = г А, 0 < i < ЛГ, N h = R) .
7.35. Построить аппроксимацию уравнения
г2 л- v л-у л ;
при г = 0, считая решение четной функцией (и(г) = и(-г)).
85

8. Уравнения с частными
производными
Для обыкновенных дифференциальных уравнений на данный
момент имеются удовлетворительная общая теория и
алгоритмы, позволяющие в большинстве случаев эффективно численно
находить решение задачи. Для уравнений в частных
производных теорию численных методов приходится строить в
зависимости от типа уравнения. При этом строгое обоснование
сходимости и оценки погрешности чаще всего удается получить
только для типовых задач. Алгоритмы для сложных
нелинейных уравнений обычно строятся путем обобщения и
комбинирования хорошо изученных методов. В этом случае исследование
проводится для различных линеаризованных уравнений и при
помощи численных экспериментов для задач с известными
точно решениями.
В данной главе излагаются численные методы решения
некоторых задач математической физики. Особое внимание
уделяется обоснованию корректности рассмотренных
алгоритмов.
8.1. Гиперболические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в
частных производных гиперболического типа традиционно
проводится в открытой полуплоскости
D = {{xyt) : об > х > -оо, t > 0}
на примере уравнения для оператора переноса
ди , j4 ди ., .
Lu = — + а(х, t) — = f(x, t)
с начальным условием
и(х,0) —ио(х) при t = 0.
Если это не оговаривается специально, то в приводимых
ниже задачах сетка выбирается равномерной по обеим перемен-
86

ным
xm=mh, m = О,±1, ...; tn=nri n = 0,1, ...,
а для сеточной функции и в точке (xm,tn) используется
обозначение и7^.
Шаблоном будем называть взаимное расположение узлов
сетки, значения сеточных функций в которых используются
для локальной аппроксимации оператора L.
8.1. Определить порядок аппроксимации разностной схемы
г h
для уравнения щ + аих = О, а = const > 0.
При каком соотношении т и h решение дифференциального
уравнения в узлах сетки будет совпадать с решением
разностной схемы?
8.2. Определить порядок аппроксимации разностной схемы
и:
п+1 __ цтп+1 + ит-1
г +ат 2/i ~°
для уравнения ut -f а иж = 0.
8.3. Для однородного уравнения щ + аих = 0 построить
схемы первого и второго порядков аппроксимации на решении
(если это возможно) на шаблоне из точек (хтЛп)> (^m,tn+i),
(жт+ь£п) при условии г = rh (r = const).
8.4. Пусть для задачи щ - их = /, и(х, 0) = <р(х) используется
схема
ит ~ цтп цтп+1 цт-1 _ гп ,,0 _ ,Л/„,А\
2^ 2Л ,'т ' т *ЧтЛ) •
Как определить значения г^, чтобы не ухудшить порядок
аппроксимации?
8.5. Для уравнения щ -+- их = 0 рассматривается семейство
схем с параметром в:
; +0 - + (1-0) =0.
При каких значениях 9 схема имеет порядок аппроксимации на
решении 0(т2 + /i2)?
87

8.6. Для уравнения щ + их = О построить схему с порядком
аппроксимации 0(r2 + h4) на шаблоне из десяти точек : (xm±2> £fc),
{Xm±l>tk)> {Xrrntk), к = 71,71 + 1.
Спектральный признак устойчивости
Разностные схемы для однородного уравнения переноса с
постоянным коэффициентом а можно записать как
М
Рассмотрим их частные решения вида
< = [А(у,))пе'^.
Спектральный признак устойчивости (СПУ) разностной схемы
формулируется следующим образом:
если при заданном законе стремления г и Л к нулю
существует постоянная 0 < с < оо, такая, что для
всех ср справедливо неравенство
|А(у>)|<е",
то спектральный признак выполнен, и схема может
быть применена для численного решения
соответствующей задачи Коши для уравнения Lu — f.
Можно показать, что если СПУ не выполняется, то для
решения задачи не существует априорной оценки вида ||un|| < М||/||
с константой М, не зависящей от параметров сетки, в норме || • ||,
не зависящей от временного слоя.
Приводимые ниже упражнения формулируются одинаково:
с помощью спектрального признака исследовать устойчивость
разностных схем для случая постоянного коэффициента а в
операторе L.
8.7. Исследовать устойчивость схемы:
—S liin + a — ?^- = 0.
г h
8.8. Исследовать устойчивость схемы:
88

8.9. Исследовать устойчивость схемы:
; +° 2/i 2r /i2 "а
8.10. Исследовать устойчивость схемы:
—;— + а—Th 2 J? "°-
8.11. Исследовать устойчивость схемы:
„п+1 _ ltn un+l _ ип+\
]fm 1^+QU™ Цп-1 =Q
г Л
8.12. Исследовать устойчивость схемы:
,,n+l _ 1tn un+K — Un+\
ит ит , д цт+1 цт-1 _ q
Г 2/l
8.13. Исследовать устойчивость схемы:
п+1 _ Цт+1+Цт-1
2Л
+ дЦт+1-;Цт-1 =Q
8.14. Исследовать устойчивость схемы:
u™ ~ t&Y, - un+1
+ fl-m+l »m-l =Q>
г 2Л
8.15. При каких 0 € [0,1] устойчива схема:
<+1 - < | g <»+! - < i (1 9) < - <-i = p.
8.16. Для уравнения ut + ux = О рассматривается семейство
схем с параметром 9:
un+l _ ип un+l __ п+1 п _ ип
if™ Z2L + 0 -22 т"1 -f- (1 - б) -^ ^^1 - 0 .
г h h
При каких значениях в схема безусловно устойчива?
8.2. Эллиптические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в
частных производных эллиптического типа в простейшем
случае проводится в области прямоугольной формы
D = {(ж, у) : X > х > О, У > у > 0}
89

на примере уравнения с переменными коэффициентами
Lu s & (ai^t0 + щ (а*х^%) = /<*'»)
с однородными краевыми условиями первого рода
и(0,у)=и(ЛГ,у) = 0 при У>2/>0,
u(x,0) = u(x,Y) = 0 при ЛГ>х>0.
Наиболее употребительным при этом является случай
уравнения Пуассона:
Л д2и д2и „ ,
Отметим, что в общем случае на любой стороне
прямоугольника краевое условие может быть задано в виде линейной
комбинации функции и производной первого порядка. Тогда
необходимо обратить внимание на способ его аппроксимации.
Особенность постановки эллиптических задач — наличие
только краевых условий. Поэтому исследование аппроксимации
производится как для гиперболических и параболических
уравнений, а исследование устойчивости аналогично случаю
разностных схем для линейных краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Введем обозначение AQu(xi,x2) (а = 1,2) для разностного
аналога оператора второй производной Lau = -r-j по
переменной ха, например,
и{х\ + fti,x2) -2u(xbx2) + u(xi -fti,x2)
AiU{Xi,X2) = 72 •
8.17. Оценить погрешность аппроксимации оператора
Лапласа Д оператором Дл = Ai + А2 (стандартная аппроксимация на
шаблоне "крест").
8.18. Построить аппроксимацию оператора Лапласа и оценить
ее погрешность на шаблоне "косой крест" при h\ = ft2 = ft:
&hu = Tj[ao,ou(xi,X2) + ai,iu(xi 4- ft,x2 + ft) -f a^-ii^xi + ft, x2
-f a-\%\u(x\ — ft, X2 + ft) + a^\^\u{x\ - ft,x2 - ft)],
где ajtj не зависят от ft.
8.19. Построить аппроксимацию оператора Лапласа и оценить
ее погрешность на треугольной решетке (область разбита на
непересекающиеся правильные треугольники со стороной ft).
90

8.20. Используя значения функции и в центре Ло ив
вершинах Ak правильного n-угольника со стороной h, получить
аппроксимацию оператора Лапласа ДЧв центре
многоугольника. Оценить ее порядок для различных п.
8.21. Написать разностную схему во внутренних узлах сетки
для уравнения Д и = f с аппроксимацией О (h4).
8.22. Для уравнения Ли = / построить аппроксимацию на
решении с порядком О (ft2) граничного условия а и = О
на прямой xi = 0, используя минимальное количество узлов
вдоль оси xi.
8.3. Параболические уравнения
Построение и исследование разностных схем для уравнений в
частных производных параболического типа традиционно
проводится в открытой полуполосе
D = {(x,t) : 1 >х>0, t >0}
на примере простейшего уравнения теплопроводности
ди д2и _, ^ч
LUEE¥~^ = /(M)
с начальным
и(х, 0) = ио(х) при t = 0
и краевыми условиями
u(0,*) = u(l,*) = Q при V£>0.
Предполагается, что начальная функция щ(х) удовлетворяет
краевым условиям.
Отметим, что в общем случае на любом из концов отрезка
краевое условие может быть задано в виде линейной
комбинации функции и производной первого порядка. Тогда необходимо
обратить внимание на способ его аппроксимации.
Характерная особенность параболической задачи —
смешанный тип данных: краевые условия по х и начальные по t.
Поэтому исследование аппроксимации такое же как и в
гиперболических уравнениях, а исследование устойчивости проводится
специальным образом.
91

8.23. При каком соотношении т и h схема
Т /l2
имеет порядок аппроксимации на решении О (г2 + /г4)?
8.24. При каких 0 разностная схема
um urn _ q um-\ *um tltm-fl . q m um-l zum ^ um+l
т ft2 h2
имеет порядок аппроксимации на решении О (т2 + Л4)?
8.25. Определить порядок аппроксимации на решении схемы:
1 <\\-<+1 . *<?*-< , 1 <+-!-<_! =
12 г 6 т 12 г
1 /u^t11~2u^1-f<V1 чй-1-2< + <+Л
2 ^ /г2 Л2 J '
8.26. Для уравнения теплопроводности построить схему
наивысшего порядка аппроксимации на шаблоне из точек:
(Xm-Ut"-1), (:гте+ь*п+1)э (Xm,tk)% * = П-1,П,П+1.
Анализ устойчивости схем в равномерной метрике
Определим норму сеточной функции и^ на n-м временном слое
следующим образом:
||u"||= maxJtC|.
0<тп<М
Будем называть схему для простейшего уравнения
теплопроводности устойчивой в равномерной метрике, если имеет место
неравенство
||un||<||«°||+c max. 11П1,
0<n<N
где с не зависит от шагов сетки г и Л, но может линейно зависеть
от величины t.
Если это особо не оговаривается, то сетка считается
равномерной по обеим переменным
xm=mh, m = 0,l,...,M, M/i=l; tn = пт, n = 0,1, ...,
для сеточной функции и в точке (irm. tn) используется
обозначение u£j и краевые условия берутся однородными: txg = и1^ = 0.
92

При исследовании устойчивости схем с краевыми условиями
первого рода важную роль играют сеточные функции
у^ = sin(7rmhq), m = О, ...,М, q = 1,.. . ,М - 1,
являющиеся решениями задачи на собственные значения
^2 = ~Л2/т, 2/0 = УМ = 0, /l = 1/М.
С их помощью легко строятся частные решения однородного
уравнения вида
<г = ИдУт =Vq вифг 771/l <?), 771 = 0, . . . , М, (7 = 1,...,М~1,
удовлетворяющие однородным краевым условиям.
8.27. Исследовать аппроксимацию и устойчивость явной
схемы:
8.28. Исследовать аппроксимацию и устойчивость полностью
неявной схемы:
„п+1 _ -,п цп+\ - 2?/n+1 4- 7in+1
Т Л* +/т •
8.29. Первая краевая задача для однородного уравнения теп-
ди д2и н „
лопроводности — = —£ аппроксимируется явной двухслойной
схемой
Г /l2
и^ = u0(m/i), г# = unM = 0 Vn > 0.
Определить порядок сходимости решения разностной схемы к
решению дифференциальной задачи при различных р = т?-
8.30. Доказать, что явная схема
т /i2
u^ = u0(mh), и% = ипм = 0 Vn > О
т/fe2 - 1/2
неустойчива, если lim — — = оо.
г,л—о г
8.31. Исследовать устойчивость схемы по начальным данным:
- — -J , U0 — UM — U, П — U, 1,... .
93

Анализ устойчивости схем в интегральной метрике
1/2
I и назовем однород-
(М-1
m=l
ную разностную схему устойчивой по начальным данным в
метрике Z,2,/i на отрезке [0,Т],Т = Nr, если если
справедливо неравенство max ||ип||х,2Л < c||u°||l2,i> , где с не зависит от
шагов сетки г и Л.
8.32. При каких 8 € [0,1] схема
г /i2 +U } h?
будет устойчивой ?
., ди д2и
8.33. Уравнение теплопроводности — = тг-^
аппроксимируется схемой Дюфорта-Франкела (схема "ромб")
и^1 ~и"-1
m m
^m+l-^m"1-^1^^-!
2т /l2
Выяснить условия ее устойчивости и показать, что если h —►
т
О, т —> О так, что - = с Ф 0) то эта схема аппроксимирует
п
ди о д2и д2и
гиперболическое уравнение — + с "тгт = тго •
at at2 ox2
8.34. Исследовать устойчивость по начальным данным схемы:
— — ^2 ' Ы0 — UM — U, П — U, 1, . . . .
8.35. Исследовать устойчивость по начальным данным схемы:
2т Л2
. «о ="м=0, п = 0,1,....
94

9. Ответы, указания и решения
1.1. Решение. Каждый элемент х € F имеет вид
х = ± (т + 7 + f) '2°' а е {_1'0'*'2}' di € {0'1}
и d\ Ф 0 для х ф 0.
Зафиксируем различные значения мантисс т* для
ненулевых элементов множества:
2' 2 + 8~8' 2.+ 4~~4' 2 + 4 + 8 ~ 8'
fl 5 3 71 „
или тгц 6 <-,-,-,-?. Далее, умножая rrii на 2а с а £
{-1,0,1,2} и добавляя знаки ±, получим все ненулевые
элементы множества F: ±|, ±ф, ±§, ±^, ±±, ±|, ±|, ±|, ±1,
±|, ±|, ±|, ±2, ±|, ±3, ±|. После добавления к ним числа
нуль имеем искомую модель системы действительных чисел с
плавающей точкой.
1.2. Ответ: 2(р- 1)рь~1{и - L + 1) + 1.
1.3. Ответ:
1)5, 2)0, 3)"оо" (*>j) ,
4
4 ' £ ' 2 4
4) f, 5)^шиЛ, 6)"оо\ 7)0, 8)0.
1.4. Ответ: нет (см. 1.3).
1.5. Решение. Рассмотрим вычисления с использованием
первой формулы. Так как \/4899 = 69,992..., то после
округления получаем >/4899 « 69,99 , у\ % 70 - 69,99 = 0,01.
Вторая формула представляет собой результат "избавления от
иррациональности в числителе" первой. Последовательно
производя вычисления, получаем
70 + 69,99 = 139,99 « 140,0, 1/140 = 0,00714285....
Наконец, после последнего округления имеем т/2 = 0,007143.
95

Если произвести вычисления с большим количеством разрядов,
можно проверить, что в у\ и уъ все подчеркнутые цифры
результата верные; однако во втором случае точность результата
существенно выше. В первом случае пришлось вычитать
близкие числа, что привело к эффекту пропадания значащих цифр,
часто существенно искажающему конечный результат
вычислений. Потеря точности также может происходить в
результате деления на малое (умножение на большое) число. Еще одна
опасность — выход за диапазон допустимых значений в
промежуточных вычислениях, например, после умножения исходного
уравнения на достаточно большое число.
1.6. Решение. В данном случае имеется два источника
погрешности: погрешность метода и вычислительная
погрешность. Первая связана с неточностью формулы в правой части
при отсутствии ошибок округления. Разложим f(x ± h) в ряд
Тейлора в точке х:
f(x ±h) = /(х) ± h /'(») + у f"(х) ± у /'" (*±).
Подставляя полученные разложения в правую часть, получим
f{x + h) - fjx - h)
= /'(x) +
h2
/'"(x+)+ /'"(*-)
2/i ' v ' ' 6
Ограничиваясь главным членом в разложении по степеням h,
имеем оценку для погрешности метода:
fjx + h)- f{x - h)
2h
-/'(*)
6
С другой стороны, в силу наличия ошибок округлений в
вычислениях участвуют не точные значения /(х±Л), а их
приближения /* (х ± h) с заданной абсолютной погрешностью. Поэтому
полная погрешность выглядит так
\fix + h)-f*ix-h)
Err =
2Л
-/'(х)
Добавим в числитель дроби ±/(х + h) и ±/(х - Л) и после
перегруппировки слагаемых получим
\fjx + h)-fjx + h) rjx-h)-fjx-h)\
2h 2ft
| fjx + h) - f(x - h)
Err <
2h
-/'(*)
Оценка вычислительной погрешности для каждого из двух пер-
96

вых слагаемых имеет вид А/(2 Л), а погрешность метода в
предположении ограниченности третьей производной получена вы-
Д Л2
ше. Окончательно имеем Err < — 4- — М3 .
п о
Зависимость такого рода при малых h хорошо
наблюдается при численных экспериментах: при уменьшении h сначала
погрешность квадратично убывает, а затем начинает линейно
расти; начиная с некоторого h ошибка может стать больше, чем
сама производная ff{x). Здесь эффект пропадания значащих
цифр (см. 1.5) усиливается за счет деления на малую величину.
1.7. Решение. Используя аксиому
fl(a + b) = (a + b)(l + n), Ы<\р'-1.
имеем
fl (S) = (... ((X! + х2)(1 + гц) + аг3)(1 + »») + ... + х„)(1 + Vn) =
п-1 п—1 п—1
= (х1+х2)[1(1^Г7>7>1)+хзП(1+^ч1)+...+хп Л (14-ty+i).
i=l J=2 .?=n-l
Перепишем полученное выражение в виде fl{S) =
п
]£ Xj (1 4- .Ej) , где для Ej справедливо:
№1 = |П7-/-1(1 + 4!»+i)| - IL±|-:::iP1-* + О (pW1-*») ,
при 2 < г < n.
Найденное представление означает, что суммирование чисел на
компьютере в режиме с плавающей точкой эквивалентно
точному суммированию с относительным возмущением Ej в
слагаемом Xj. При этом относительные возмущения неодинаковы:
они максимальны в первых слагаемых и минимальны в
последних. Абсолютная погрешность Д вычисления суммы равна
п
Д = У2 \хз\ №j\ - Обратим внимание, что оценки Ej не зависят
от Xj, поэтому в общем случае погрешность Д будет
наименьшей, если числа суммировать в порядке возрастания их
абсолютных значений, начиная с наименьшего.
1.8. Ответ: следует воспользоваться вторым способом (см.
решение 1.7).
97

1.10. Решение. Рассмотрим оценки величин Е3 из 1.7:
1^1 = [щ-/-^!+%+i)| = IL±^lipl~t+° (p2(1_t))'2 ^ ^ < n.
Из них следует, что \Е\/Еп\ « п, т.е. первое слагаемое
вносит возмущение примерно в п раз большее, чем последнее. Это
неравноправие слагаемых объясняется тем, что в образовании
погрешностей каждое слагаемое участвует столько раз, сколько
суммируются зависящие от него частичные суммы.
Влияние всех слагаемых можно уравнять с помощью
следующего приема. Пусть для простоты количество слагаемых
равно п = 2к. На первом этапе разобьем слагаемые Xj на пары и
сложим каждую из пар. При этом в каждое слагаемое будет
внесено относительное возмущение одного порядка. Далее будем
складывать уже полученные суммы. Для этого повторим
процесс разбиения и попарного суммирования до тех пор, пока
получающиеся суммы не превратятся в одно число (степень
двойки 2к нужна только здесь). Абсолютная погрешность по - преж-
п
нему будет иметь вид А = ^J \%j I \Ej; |, но теперь для всех Ej бу-
дет справедлива оценка \ЁА = 2 p1~t + 0 (p2^~ln , 1 <
j < п. Таким образом, меняя только порядок суммирования
можно уменьшить оценку погрешности примерно в n/log2n раз.
Значения Ej отличаются от Ej в силу другого порядка
суммирования.
1.12. Указание. Воспользоваться решением 1.7 с учетом
незнакоопределенности а» и с точностью до слагаемых О (т]2)
\Рп(1) - P-(l)\ < nV(\ao\ + Ы + ... + \ап\).
1.13. Ответ: с точностью до слагаемых О (г/2)
|5 - 5*| < пт, ||х|Ы|у||2, где ||z||2 = £ г].
1.14. Ответ: с точностью до слагаемых О (т?2)
|5-51<п7ЛН|2,где||а||Н1;4
1.15. Решение. Пусть в результате округления значения
98

Е\ получено значение Е\у тогда его использование приведет к
величинам Еп = 1—пЕ^г. Для погрешности 5п = Еп — Е„
имеем соотношение 5п = —п £п-ъ откуда следует 8п = (-1)Л+1п! 6\.
Полученная формула гарантирует факториальный рост
погрешности и ее знакопеременность. Учитывая, что точные зна-
1
чения удовлетворяют неравенству 0 < Еп < f xndx = l/(n-f 1),
о
получим, что, начиная с некоторого п погрешность будет
существенно больше искомого результата. Алгоритмы такого рода
называются неустойчивыми.
1.16. Ответ: да (см. решение 1.15), En « 0.
1.17. Решение. Формулы в условии являются численными
алгоритмами для решения задачи Коши для уравнения у11 =
f(x). Рассмотрим модельную задачу у" = М ,2/(0) = у'(0) = 0,
имеющую точное решение у(х) = х2М/2. Введем сетку с шагом
h : хп = п h и будем искать приближенное решение по формуле
Уп+1 =2у„ -2М-1 +/i2M, n = 1,2,... , 2/o=0,T/i =/i2M/2.
При отсутствии ошибок округлений получим уп = (n/i)2Af/2,
т.е. проекцию точного решения на сетку.
Реальные вычисления приведут к соотношениям
2/o=0>2/?=/i2M/2 + <*i,
Уп+i = *Уп - Уп-i + h2M + Sn+l, и = 1,2,... ,
Отсюда для погрешности гп = у*+1 — yn+i получим
Гп+i = 2гп - rn-i + <5n+i» п = 1,2,... , го = 0, г\ = 8\.
Предположим для простоты вычислений, что все 6п постоянны
и равны tf, тогда для погрешности справедлива формула гп =
6(п2 4- п)/2. Сопоставление точного решения т/п и погрешности
приводит к относительной погрешности порядка 6h~2/M.
Требование малости этой величины накладывает ограничение на
шаг интегрирования h снизу, так как обычно 6 « рх~1.
Аналогичные рассуждения для второго способа расчетов
приводят к относительной погрешности порядка 51г~1/М, что
приводит к более слабым ограничениям на h при одном и том
же 6, Другими словами, использование формул
Zn+l - Zn _ yn - yn-i _
h ~/n' h -Zn"
как правило, приводит к меньшей вычислительной
погрешности.
99

2.1. Решение. Найдем корни характеристического уравнения
,2
Ь/2* — с/х 4- а = О => /ii,2 = —^т— > D = <? — 4ab.
26
а) D > О, /ii ф Ц2 — вещественные:
Ук = Ci/xf + С2/Х2 ;
б) D < О, /XI,2 = pe±,v?, — комплексно сопряженные. Здесь
P=VJ» ^=S
arctg ■
c/b > О,
тг — arctg — с/Ь < О,
I ' .-а
При этом ук = Р*(С\ cosktp + C2 sin fcy>). Это форма записи
действительного решения, для комплексного можно использовать
предыдущий вид.
в) D = 0, /21 = /Х2 = М *~ кратные:
В предыдущих формулах Ci, C2 — произвольные постоянные.
2.2. Ответ: ук = (\/2)fc(Ci sin kip 4- С2 cos fc<p), <p = arctg \/7.
2.3. Ответ: Да, так как характеристический многочлен
второго уравнения делится на характеристический многочлен первого без
остатка.
2.4. Указание.
Ik = -^/fc-i, h = det Ak .
Отметим, что соответствующее утверждение можно обобщить на
случай разностных уравнений более высокого порядка. Равенство
нулю определителя означает линейную зависимость соответствующих
частных решений.
2.5. Указание. Характеристическое уравнение имеет вид (/х2 +
/1 + I)2 =0. Отсюда получим
2(А;-1) . 2тгА:
Ук = -7Г*т~'
2.6. Указание. Решение разностного уравнения имеет вид
1
Л =
л/5
(1*лу _(-*)•
100

2.7. Решение. Разлагая определитель Д* по первой строке,
получим следующую разностную задачу:
Дк = 6Afc-i - acAfc-2 , Ai = Ь, Д2 = b2 - ас.
Без ограничения общности можно положить До = 1, что
существенно упростит последующие выкладки.
Найдем корни характеристического уравнения
b±Vb2-4ac
Д1,2 = 2 •
Рассмотрим два случая:
а) Пусть D я= у/Ь2 - 4ас ^ 0. Тогда
Из начальных условий До = 1, Д1 = Ь получим линейную систему
Сх + С2 = 1, у (6 - £>) + ^ (6 + D) = 6.
Решение линейной системы дает
Ответ для случая ненулевого дискриминанта:
(б+ у/Ь* - 4aC)fe+1 - [b - УЬ* - 4ac)"+i
Д* ~ 2fe+ Wb* - 4ас
б) Пусть D = Vb2 - 4ос = 0. Тогда
■*-Л6)'+«(|)*.
Из начальных условий получим линейную систему
Решение линейной системы дает
d = С2 = 1.
101

Ответ для случая нулевого дискриминанта:
Д*-(£)*(! + *).
Отметим, что данное решение также может быть получено из вида
Afc для D ф 0 предельным переходом при Аас —► б2.
2.8. Указание. Можно показать, что
h-i + /*+1 = 2h cos a , /о = 0, /i = 1,
sin к сх
откуда следует /*(а) = —: .
sm а
2.9. Ответ: ук = (\/2б) (Ci sin ккр + Сг cos fcy?), у? = 7Г +
arctg - .
2.10. Ответ: ук = (-l)fc(5 - 3 • 2fc) .
2.11. Ответ: При р < 1 положим р = cos а (а ^ 0), тогда
У к = Ci cos ка + Сг sin fca.
При р > 1 положим р = cosh a, тогда у* = С\ cosh fca + C2 sinh fca.
При р = 1 имеем ук = Ci -*- Сг£.
2.12. Решение. Если z — корень характеристического
уравнения z2 — 2Xz + 1 = 0, то 1/z — другой корень. Ограниченность
решений разностного уравнения равносильна следующему условию:
корни характеристического уравнения различны и лежат на
единичной окружности. Поэтому (см. 2.11) решение ограничено, если
только 21,2 = cos a ± ism a, a Ф 0, п. В этом случае Л = cos a.
2.13. Ответ: Если N не кратно 3, то
Ук = sin ^— / sm — .
В противном случае решения не существует.
2.14. Решение. Корень характеристического уравнения равен
^ = 2 => ук = Ьк2 + ск + d,
26А;2 + 2cA; + 2d - [b(ifc + l)2 + c(k + 1) + d] = 1 + 2k - fc2 V jfe.
Множители при линейно-независимых функциях порождают
уравнения:
при к2 : 26-6=-1 => 6 = —1,
при к1 : 2с - (26 + с) = 2 =» с = 0,
при fc° = 1 : 2d - (6 + с + d) = 1 => d = 0.
Следовательно, у\ = —/с2.
102

2.15. Решение.
^ = 2 =* у\ = 2kk(bk + c),
2к+1 (Ьк2 + ск) - 2*+1 (Ъ(к + I)2 + с(к + 1)) = к2к У к.
Множители при линейно-независимых функциях порождают
уравнения:
npn2fcfc2 : 26-26 = 0,
при 2* А:1 : 2с - (46 + 2с) = 1 =» 6 = -1/4,
при 2к к0 : -(26 + 2с) = 0 => с = 1/4.
Следовательно, у£ = 2к~2{к - А;2).
2.16. Решение.
/х = 2 => у* = с sin fc + d cos A:,
2(c sin к -f d cos A:) — (c sin(fc + 1) + d cos(A; -+■ 1)) = sin к V A;.
Поскольку sin(A: + 1) = sin A; cosl + cos A: sin 1 и cos(A; + 1) =
cos A: cos 1—sin A: sin 1, то множители при линейно-независимых
функциях порождают уравнения:
при sin А; : (2 — cosl) с + d sin 1 = 1,
при cos к : (2 — cos 1) d — с sin 1 = 0.
Следовательно,
2 — cos 1 , sin 1
c= -, d =
5 — 4 cos 1 * 5 — 4 cos 1
i 2 — cos 1 . , sin 1 ,
Уь = к—л T sin k + с a Г cos k ■
5 - 4 cos 1 5 - 4 cos 1
2.17. Ответ: \л = b и возможны два случая:
,/ а-6-1 ,fc l jt
6 ^ о =* yfc = — bk + а* ,
a — о a — о
b = a => i/fc = ofe~1(a-l- A:).
2.18. Ответ: ук = 4 A: 2"fc .
2.19. Ответ: 2/fc = Ci 2fc + C2 2~k + C°sfc
2cosl -5/2 '
2.20. Решение. При к = 0 из уравнения получим у\ = 1.
Перепишем исходное уравнение в следующем виде:
lfc+i =(2fc(fc-1)! + ifc)*.
103

Замена у к = Zk (к — 1)! дает разностную задачу для Zk'.
zk+i-zk = 2k) zi = l =* *fc = 2*-l.
Следовательно, ук = (к - 1)! (2fc — 1).
2.21. Решение. Исходное уравнение эквивалентно следующему
1
yfc+1 = ХТ7'
После замены у к — — можно получить Zk = к + 1, откуда следует
Zk
1
ответ у к = 7ГТ7-
2.22. Решение. Преобразуем уравнение к виду:
2//t+i(l-2/fc) = l-yfc+i, => 1 = 1——•
1-J/fc+i 1-1/fc
Замена j//t = 1 дает разностную задачу для Zk : 2fc+i — z/t = 1.
Отсюда
_ уо + А?(1 -уо)
Vfc" l + *(l-wO *
2.23. Решение. Преобразуем уравнение к виду
2/fc+i - Ук-\ = -г (тГТТ ~" ГИт)" 0тсюд«а находим частное
решение у£ = ~о2Г- Окончательный ответ у к = - (3 — (—l)fc) — тт-
2.24. Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду
У к - 1
1/fc+i - 1 =
2/fc
и, сделав замену у к = 1 Н , получим Zk+i = Zk + 1, откуда уь =
Zk
fc + 2
Jb+Г
2.25. Ответ: ук = у/к + С, С > 0.
2.26. Решение. Прологарифмируем обе части уравнения и
сделаем замену 2* = log у к • При этом получится уравнение
2zk+i -zk = log2.
Общее решение этого уравнения
Zk = Ci (i) + log2,
104

это дает: ук = 2С(1/2)\
2.27. Ответ: ук = е~к /2, см. решение 2.26.
2.28. Решение. Положим Ук = — так, что
Vk
Mfc+i _ auk 4 bvk
Рассмотрим систему
iifc+i = atxfc + bvk ,
Vfc+i =CtXfc +dVfc,
из которой следует уравнение второго порядка
Vfc+2 = (a 4- rf)vjk+i - (ad - 6c)vfc .
Его характеристическое уравнение имеет вид:
/i2 — i±(a 4- d) 4- ad — be = 0,
а корни, соответственно,
Mi
a + d^ l{a + d)2~ 77
По условию дискриминант больше нуля, поэтому вещественные
корни различны ц,\ ф /22- Поэтому можно записать: Vk = Afik 4- В fik.
При этом из второго уравнения системы получим:
Uh = «t+,-dvfc = 1 [Лм?(/Х1 _ d) + в^ _ d)] .
Теперь подставим полученные выражения в ук и разделим числитель
и знаменатель, например, на А/х*:
ик
Ук = —
Vk
/xi-rf-f K[ £± \ fa-d)
-'+*(£)
с 1 +
Чй
Здесь через /f обозначена неизвестная пока постоянная (К = В /А).
Определим ее из начального условия уо = 1:
1 = /** * d + К(№ ~ rf)
с(1 4- X)
105

Отсюда следует
IH - (с -f d)
К = -
112 - (С + в) '
2.30. Решение. Обозначим искомое фундаментальное решение
через Gk- Для определения Gk имеем три группы уравнений:
aGk + ЬСк+1 = 0 при fc<-l,
aGo + bGi =1 при fc = О,
aGfc +&Gfc+i =0 при fc>l.
Для к < 0 возьмем Gfc = 0. Тогда все уравнения первой группы
выполнены, из второго уравнения следует, что G\ = 1/6, а общее
решение третьей группы уравнений имеет вид Gk = С /Д где /х = —а/6.
После определения константы С из (7i получаем частное решение
неоднородного уравнения
!0 при к < 0,
После прибавления к нему общего решения однородного уравнения
получаем выражение для фундаментального решения:
Gfc =
а(-т) при k<0,
Условие ограниченности выражается в виде зависимости постоянной
А от величины |а/6|:
( А = 0 при |а/6| < 1,
УЛ при |а/6| = 1,
А = - при |а/6| > 1.
а
2.31. Решение. Рассмотрим случай \а/Ь\ > 1. Из 2.30 следует,
что
, fc-n
h /I(-f) п np«fc^
Gfc-
при к>п + 1.
106

Поскольку каждый член ряда может быть оценен сверху членом
сходящейся геометрической прогрессии
i (-!)'""'■
< la!
ь\п-~к
а\
то ряд сходится. Кроме того, ряд является частным решением
заданного уравнения:
оо оо
/ ^ (aGfc_n+6Gfc+i_n)/n = 2^ 8kfn~fk.
n= —oo n=—oo
Для этого решения верна оценка
I 1| г- F V46
,n-fc
n=fc
|a| - |b| '
т.е. полученное частное решение является ограниченным.
Случай \а/Ь\ < 1 рассматривается аналогичным образом.
2.32. Решение. Для определения Gk имеем три группы урав-
Gk-i - 2Gk + Gk+i = О при к < -1,
G-i - 2G0 4- Gi = 1 при А; = О,
G*-i - 2Gfc + Gk+i = 0 при fc > 1.
Общие решения первой и третьей групп имеют одинаковый вид,
отличающийся только постоянными
Г С" + C£*fc при к< 0,
{С? + С$к при А: >0
Поскольку Go входит во все три группы уравнений, из полученных
соотношений имеем
Go = СГ = Ct = Л.
Теперь воспользуемся уравнением при к = 0 для установления связи
между С^ и С}'-
(Л-С^) -2А + (A + Cj) = 1.
107

Отсюда
Сз = Ву С/2 = 1 4" В.
Следовательно, окончательное выражение для фундаментального
решения имеет вид:
Gk
_(А+Вк
'* = \л + (Б +
при к < О,
1)А: при к > 0.
Ограниченное решение не существует, поскольку В не может
одновременно быть равным 0 и — 1.
2.33. Ответ: Gk = <
Л cos *£ +
Б + ^(1-2Л)
2.34. Ответ: G*
V
■{
Л cos ^ + В sin**
sin— при fc>o,
при /с<0.
Л2~Л при 'к > 0, , 2
где Л = --.
Л 2* при А:<0, 3
2.35. Указание. Функция Грина (фундаментальное решение,
удовлетворяющее однородным краевым условиям) имеет вид
Gl = i
jj(k-N) при k>j,
I Л^ ~ N^ при к - ^
i = 1 лг — 1, fc = o,...,w.
2.36. Решение. Перепишем разностное уравнение следующим
образом:
у*+1 + 2h\yk - y*-i = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид
/х2 + 2h\ ц, - 1 = 0.
Его корни: ц\ = —/iA + \/1 4- /i2A2 и ххг = —^А - v^l + h2A2.
Можно показать (самостоятельно!), что при /xi = /хг существует только
тривиальное решение ук = 0, поэтому общее решение разностного
уравнения имеет вид
У к = C1i/ijf + C2/i2.
Константы С\ и Сг определяются из системы
Ci + С2 = 0,
108

из которой получаем, что Сг — -Ci и Ci(/xf - $) = 0, т.е.
нетривиальное решение разностной задачи существует тогда и только тогда,
когда /i^ = \$. Следовательно,
^exp(i^), „-0,1,...,ЛГ-1.
Так как /xi/z2 = -1, то /if = - ехр h-T7~ I, откуда
(.тгп\ / .тгп\
1—J, M2 = 1exp^-i—J.
Поскольку
Mi+^2 = -2/iA = i^exp^i—J + exp^-i — J J =:2icos—,
имеем
A'"> = -icos^, n = 0,l,...,JV-l.
Соответствующие решения исходной задачи имеют вид
уГ = Сг (А - А) = Ci* (ехр (i^p) - ехр (-i^)) =
= Ci l 2i sm —rr = С l + sm —rr-
N N
n = 0,l,2...7V-l.
При n = 0 имеем 2/[0) s 0, поэтому (Л(°\у£0)) следует отбросить.
Отметим, что количество нетривиальных решений равно N — 1, что
совпадает с размерностью задачи.
2.37. Решение. Характеристическое уравнение разностной
задачи имеет вид
/x2-(2-/i2A)/i+l = 0.
Если корни характеристического уравнения вещественны, то
разностная задача имеет только тривиальное решение. Действительно,
пусть /л Ф № — вещественные корни. Тогда общее решение имеет
вид
J/* = Ci/4 + C2/4,
а для определения С\ и С2 из краевых условий имеем систему
( Ci+C2 = 0,
\ Ci/x? + С2»г = 0,
из которой следует C\Hi — Ci/^ = 0- Так как /xi Ф /22, то С\ = С2 =
0, т.е. общее решение является нулевым. Аналогично
рассматривается случай равных вещественных корней.
109

Поэтому надо рассмотреть случай комплексно сопряженных
корней /ц,2 = costp ± \ sirup. Тогда общее решение разностной задачи
представляется в виде yk = C\ cos ktp+ Ci sin kip. Из краевых
условий получим С\ = 0 и sin Ntp = 0. Отсюда
Р=~~, m = 0,l,2,...,N-l.
Так как q\ + цт. = 2 — /i2A, то cosy? = 1 — /i2A/2. Следовательно,
\(m) 2 Л 7ГШ\ 4 . 2Я™> п 1 о кг i
А< > = _^l-cos— J = ^s.n 277, т = 0,1,2,...,ЛГ-1.
Все собственные числа различны. Из представления общего решения
разностной задачи следует, что собственные функции имеют вид
j/im)=C2sin^p, m = 0,l,2,...,JV-l.
При тп = 0 имеем ук = 0, поэтому ()S°\yk ) следует отбросить.
Замечание. Полезно провести аналогию с дифференциальной
задачей:
2/" =-Л у, у(0) = у(1) = 0,
У(т)(х) = Csin(Trmx), Л(тп) = (тгтп)2, тп = 1,... .
2.38. Решение. Введем обозначение р — 1 - Л /i2/2 и перепишем
исходную задачу в виде:
Ук+i -2рук + Ук~\ =0, 1 < fc < N- 1,
2/1 -руо = 0, 2/л/-1 -P2/N = 0.
Корни характеристического уравнения
/г2 -2р/х + 1 = 0
имеют вид
/ii,2 = р± \/р2 ~ * •
Сразу отметим полезные соотношения:
! /Xl + /Х2
/iiM2 = l, р = 2 •
Рассмотрим сначала случай различных (не обязательно
вещественных) корней : /xi ^ /22- Общее решение разностного уравнения
будет иметь вид:
У к = Ci/i? + C2/i2.
110

Воспользуемся им для записи левого краевого условия (при к = 0):
Cifn + C2fi2-p(Ci + С2) = 0.
Учитывая, что р — полусумма корней характеристического
уравнения, отсюда получаем
Ci = С2 (# 0).
Это дает возможность переписать оставшееся краевое условие d
удобной форме:
Используем здесь равенство ^i/хг = 1:
или
дГ-,(1-м?)+м2Л'-1(1-^)=0-
Отсюда получаем
В силу предположения о неравенстве корней имеем }i\ /ръ = 1> чт0
дает ^i = 1, или
7Г771 . . . 7Г ГП « _ -_
Д1.2 = cos —— ± isin -r-7- , m=l,2, ...,/V-l.
TV TV
Отсюда получаем, что р = cos -rj- и формулу для собственных
значений:
\(т) 4 . 2 ЛТП at л
Л1 ^ = —sin — , m= 1,2,...,TV-1.
Приведем также формулу для собственных функций:
V* = С [exp (i-^-J + exp {-i-^- J j = С cos -^- .
Осталось рассмотреть случай кратных корней: р\ = Ц2 = р. Это
влечет за собой только две возможности р = ±1, так как /^//2 = 1- При
этом соответствующие собственные значения равны Л = 2 (1 — p)/h2.
Их удобно добавить в полученную ранее общую формулу, расширив
границы индекса т от нуля до 7V, т.е.
Л<°>=0 (р=1), А<»> = ± (р=-1).
111

Аналогично поступим и с соответствующими собственными
функциями.
Ответ:
\(т) 4 . 2 К™ л , кг
Х( ' = —sin' —, m = 0,l,...,N,
(m) ^ nmk . AT
yk ' =C cos —— , k = 0,1,.. ., ЛГ.
2.39. Ответ:
\<m> - — sin2 7r(2m - *> m - 1 ЛГ - 1
(m) ^ . тг(2тп — l)fc i A 1 \t
yk = С sin Ч2ЛГ _ ^ , Л = 0,1,..., N.
3.1. Ответ: 1) L3(x) = 2х2 + х 4- 2; 2) L3(x) = х + 2.
3.2. Указание. Определитель данной системы уравнений есть
определитель Вандермонда, следовательно задача вычисления
коэффициентов искомого многочлена имеет единственное решение. Пусть
узлы интерполяции принадлежат отрезку [0,1], на нем функции
хп~2, х"""1 при больших п почти неразличимы. Поэтому столбцы
[х"~2,... ,х£~~2]г и [х"~\ ... ,Хп"г\Т матрицы получатся близкими.
3.3. Ответ: хр при р = 0, ... ,п — I, и хп — шп(х) при р = п.
3.4. Решение. Пусть п = 3. В явной формуле
о>з(х) = (х - а) (х - ^j-J (я ~ Ь)
сделаем стандартную замену переменных
о + б.б-о ^ г 1 11
я = -2—+ -у-2/> где у €[-1,1].
В результате получим и>з(у) = ( —^— ) (у3 — у) • Точки экстремума
кубического многочлена у3 — у на [—1,1] равны соответственно yi,2 =
±—=. Следовательно,
V3
1Мх)|| = |о;з(У1,2)| = ^^.
Рассуждая аналогично для п = 2 и п = 4, получаем
1М*)И = ^Ц^. 1М*)И = ^
112

3.5. Ответ: 1) р = 3; 2) р = 2.
3.6. Указание. Использовать выпуклость функции lnx и пред*
ставление погрешности (но не оценку погрешности !).
3.7. Решение. Поскольку /1 }{х) = —— — и ||ам(ж
для оценки погрешности имеем £4 <
(Л2 - х)5
1
(Л2-х)5
1
И2 + 1)3
= 1,

Следовательно, |Л| > 3.
3.8. Решение. Покажем сначала справедливость следующего
представления: Фг(х) = -. п, \ .—т . Действительно, поскольку
(X — Xi)OJn\Xt)
п п
шп(х) = YJ ТТ (гг — a:j), и при х = х», fc ^ г каждое из произведений
под знаком суммирования обращается в нуль, о;«(х») = П^>=1 (я*—#i)«
Без ограничения общности можно считать с = 0, т.е. х% =
= — rcn+i-i, г = 1,... ,п. Рассмотрим теперь пару слагаемых из
общей формулы многочлена Лагранжа, соответствующих равным
значениям функции Д и /n+i-fc для некоторого к. После вынесения
одинакового числового множителя за скобку получим
Шп(х)
Шп(х)
{X - Xk)Vn(Xk)
Un(x)
= /i
(х — Xn+i -fc)b>n(zn+i-fc)
+
(X - Xk)w'n(Xk) (X + Хк)Шп(-Хк)
Для четного п функция шп(х) — четная, а ее производная ш'п(х)у
соответственно, — нечетная. Поэтому выражение в квадратных
скобим (х) 2xk „ ,
ках принимает вид . —=• —т-т—г, являясь, очевидно, четной функ-
х2 -х\ ш'п{хк)
цией.
Аналогично для нечетного п функция и>п(х) — нечетная, а ее
производная ш,п(х)) соответственно, — четная, и выражение в квад-
и)п(х) 2х
ратных скобках принимает вид —
х2 -х\ и'п(хк)
, что также является
четной функцией. Отметим, что в данном случае х = 0 является
узлом интерполяции с номером fc=(n+l)/2, иу этого слагаемого
нет пары. Но само слагаемое — четно, и это замечание завершает
доказательство.
Отметим, что доказательство также может быть получено
методом от противного из единственности многочлена Лагранжа для
113

заданного набора узлов и значений, т.к. отражение относительно
середины отрезка не меняет начальных условий.
3.15. Решение. 1) Следствием тригонометрического тождества
cos ((n + 771)77) + cos ((n — 771)77) = 2cos(n77) cos(m77)
является полиномиальное —
2Tn(x)Tm(x) = T«+m(*) +Tn-m(aO, n > m > 0,
из которого при п = m следует искомое.
2) Положим х = cos 77, тогда dx — — sin r]dq и
C0S(71T?) COs(77l77)d77 = ^(<£-m + 6°n+m) .
ЛЧ _ TL — sin(narccosx)
3) Поскольку — = t —-, полагая х = cos 7?, имеем
1 ( 1 ^/ , v 1^/ , Л sin((n+1)77) -sin((n- 1)77)
2 IrT+T7^1^" 7ПТп-Лх)) = 2iin^ =
_ 2cos(n77)sin77
~ о0;и<г> = TnVX) »
z sin 77
теперь искомое равенство справедливо с точностью до постоянной,
которую легко определить, так как Тп(—1) = (—1)п.
4) Непосредственно дифференцированием вычисляется Т£{х)\
напомним, что (arccosx)' = —(1 — х2)~1/2.
« - Л л тг (2ттг — 1) л .
3.16. Ответ: Хщ = cos——- -, где тп = 1,...,п (все нули
2п
лежат внутри отрезка [—1,1], их ровно п).
3.17. Ответ: xm = cos , 771 = 0,..., п (на [—1,1] имеется п + 1
71
экстремум и Тп(хт) = (—1)т).
3.18. Решение. Пусть ||Рп(а;)|| < 21~п. Тогда в точках
экстремума многочлена Чебышева знак разности Тп{х) — Рп{х) определяется
знаком Тп(х)
Sign (Tn(Xm) - Pn(xm)) = Sign ({-l)m2^n - Pn(xm)) = (-1)" .
При этом указанная разность является отличным от нуля
многочленом степени п— 1, но имеет п нулей, поскольку п+1 раз меняет знак
в точках экстремума. Полученное противоречие и дает искомый
результат.
114

3.19. Решение. Сделаем линейную замену переменных х' =
а + Ъ Ъ-а
—у- Н 2~"^ для отображения отрезка [-1,1] в заданный
отрезок [ауЬ]. Многочлен Тп(х) при этом преобразуется в многочлен
со старшим коэффициентом (2/(6 — а))п. После
Ч2^)
перенормировки и использования схемы доказательства из 3.18
имеем
Т[:М(х) = (Ь- а^'^Тп (2Х~(* + а)) ■
3.20. Указание. Использовать решение 3.19.
3.21. Ответ:
Т (**-{а + Ь)\
Р-(Х) = с (tH)" V b~a J
3.22. Ответ:
«(*>-*-"(«-£)">.(.«»£).
3.23. Указание. Предположив противное, т.е. допустив
существование такого £, |<| > 1, что |РП(0| > М |T,i(£)|, получить проти-
воречие, доказав, что у полинома Qn(x) = -£^ Тп(х) - Рп(х) как
минимум п+1 нуль.
3.24. Ответ: 1)Г;(1) = п2; 2)7^-1) = (-1)п+1п2 .
3.25. Ответ: р = 2.
<» ол л d/ \ /.7з(я-4) х3 , . 2 63i , 61
3.2в. Ответ: Р(х) = 4 ^-2 = _ + 2*2 - _ + _ .
3.27. Ответ: аг = -ао при любом |оо| < 1/2.
3.28. Указание. Использовать явное представление
погрешности для производной многочлена Лагранжа.
3.29. Указание. Использовать разложение в ряд Тейлора.
3.30. Ответ:
ddf(x) = /(s + fr)-2/(x) + /(s-/i) ^
дда„ , Я* + 2/г) - 2/(х + /i) + 2/(х - к) - /(х - 2/i)
115

2 2 f(x + 2ft) - 4 fjx + ft) + 6 fjx) - 4/(s - ft) + fjx - 2ft)
a a fix) = ^5 .
3.31. Ответ: 1) K2 = ^ ; 2) K3 = %- ; 3) KA = %■.
12 4 О
3.32. Решение. Решение выполнить по аналогии со следующим
примером для разности вперед.
Полная погрешность для разности вперед df(x) имеет вид
Ri(h,e) =
Г(* + Ь)-Г(*)_Г{Х)
где /*(х + h) и /*(х) — приближенные значения функции /(х) в
соответствующих точках. Добавим в числитель дроби ±/(х + /г) и
±/(х) и после перегруппировки слагаемых получим
f(x + h)-f(x + h) fix)-fix)
h ft +
(/('+^-/(a)-rw)
Оценка неустранимой погрешности для каждого из двух первых
слагаемых имеет вид e//i, а погрешность метода в предположении
ограниченности второй производной |/"(0| ^ Л^2 равна /1М2/2. Окон-
чательно получим Ki(/i,e) < — Н — . Для нахождения значения
/го, при котором минимизируется полная погрешность, необходимо
полученное выражение в правой части продифференцировать по h
и приравнять к нулю. После решения полученного уравнения имеем
/1° = 2 V Ж И Rl^ho'£>> = 2 ^*2*> Л° = 2 (м4 / даЯ Я2(/г,£:);
/l0==2(5) дляЛ4(/г^)'
3.33. Ответ: 1) а = -±, Ъ = -I, с = |;
2)а=Л,Ь=-2, с = 2, d=-±.
3.34. Указание. Разбить интеграл на два и интегрировать по
частям.
3.35. Ответ:
1 и 2 1 и (2е\
а=2'Ь=-3'С=6; ^^Км)
3.36. Ответ: Q5o(x) = 0.
3.37. Решение. Напомним, что выпуклая функция удовлетво-
. /xi + х2\ . f{xi) + /(х2) ^ /с г
ряет неравенству / ( — 1 < ——'——-—'. Обозначим через (ft)
116

множество точек альтернанса, д(х) = f(x) — Q?(x), в = inf{& :
*
/(£») -" Qi(£0 = M"}. Отметим, что в силу непрерывности /(х) имеем
д(в) = М. Доказательство проведем от противного. Пусть,
например, а ^ {&}, т.е. в ф а. Тогда в силу выпуклости f(x) (добавление к
ней линейной функции Q?(x) этого свойства не меняет) справедлива
цепочка неравенств для достаточно малого е
Полученное противоречие означает, что а 6 {£»}. Аналогично
доказывается принадлежность множеству точек альтернанса другого
конца отрезка.
3.38. Решение. Введем обозначение L = ||/(х) - Qi(x)|| и,
воспользовавшись выпуклостью /(я), выпишем соотношения из
теоремы Чебышева:
/(а) - (оо + ai о) = a L >
f(d) - (ао + а\ d) = -aL,
f(b) - (ао + ai 6) = a L .
Кроме того, поскольку d — внутренняя точка альтернанса и f(x) —
дифференцируема, отсюда получаем недостающее уравнение:
(f(x) -(ao + aax))'
= 0.
x=d
7 [7
з\/з'
Qi(x) = 7x-3-
2 5
3.39. Ответ: Qi(x) = -х + -.
3 о
3.40. Указание. По определению многочлена наилучшего
равномерного приближения, разность Рп+г(х) и <2п(я) представляет
собой наименее уклоняющийся на отрезке [а, 6] многочлен степени
(п -f1) со старшим коэффициентом ап+ь Следовательно, Рп+\(х) —
Q*n{x) = fln+iTn+^x), где Tn+i(x) - приведенный многочлен
Чебышева. Отсюда имеем Q°(x) = Pn+i(z) — an+iTn+i(2c).
Отметим, что точки альтернанса определяются экстремумами многочлена
Tn+i(x).
3.41. Решение. По определению многочлена наилучшего
равномерного приближения, величина L = ||/(я) — фп(я)|| не может
превосходить оценки погрешности приближения /(х)
интерполяционным многочленом по узлам, являющимся нулями многочлена Че-
бышева, т.е. L < max |/(п+1)(а:)| 2 . С другой стороны,
[о,ь] ' ' 2^n+1(n И-1)!
117

разность f(x) — Qn(x) вследствие теоремы Чебышева обращается в
нуль в (п + 1)-ой точке, которые можно рассматривать как узлы
интерполяции J/1,... ,2/п+ь Поэтому верно представление погрешности
следующего вида:
(п + 1)!
где a>n+i(x) = (я? - 1/1) ■ • • (я? - 2/n+i) и f = f(x) E [о,Ь]. Пусть точка
хо такова, что |w„+i(xo)| = ||u;„+i(x)||. Тогда
L > |/(х0) - Qn(x0)\ = |/<"+1>(£Ы)| Ь^Г .
Поскольку ||w„+i(a;)|| > (6- a)n+1/22n+\ окончательно имеем
Ь>
Таким образом, если /*п+1*(х) сохраняет знак и меняется не
очень сильно, то разница между погрешностями приближения
функции f(x) многочленом наилучшего равномерного приближения и
интерполяционным многочленом по нулям многочленов Чебышева
несущественна.
3.42. Решение. Пусть Qn{x) — многочлен наилучшего
равномерного приближения /(х) на [—1,1]. Тогда |/(х) — Qn(x)| < L =
II f(x) ~~ Qn(x)\\- После замены х на — х и умножения выражения под
знаком модуля на -1 получим | - f(-x) - (-Qn(~x))\ < L, или
|/(я) - (-Qn(-x))\ < L. Следовательно, -Qn(—x) также является
многочленом наилучшего равномерного приближения /(х) на [-1,1].
По теореме единственности имеем Qn(x) = — Qn(—я), чт0 и
требовалось показать.
Аналогично рассматривается случай четной /(х).
3.43. Ответ: || sinх - Q2n-i(x)\\ = || sinx - Q2n{x)||;
°2п^ = °2п = (|) (2п+1)Г
3.44. Ответ: f(x) = signx на [—1,1], Qi(x) = ax, a 6 [0,2].
3
3.45. Ответ: 1) Qi(x) = -х;
2) Q3(x) = (е - 1)х2 + | _ 1(е - 1) 1п(е - 1);
3)Q3(x) = -x2 + 7x-% .
118

3.47. Решение. Наилучшее приближение ищется в виде
^cljx^"1 с неизвестными коэффициентами а,, которые определя-
j=i
ются из условия минимума функционала
1
/
/(х)-^а^-1
i=i
dx.
После дифференцирования по о» и приравнивания к нулю получим
уравнения
/
/(х)-^а^-1
i=i
х* dx = 0, £ = 1,2, ...,п, или
1
ЕГ^Т = ffi*)**'1*** г=1,2,...,п.
J=1 о
4.1. Решение. При вычислении интегралов удобно использо-
,,ч Ь + a b — а , _
вать замену переменной х = x(t) = — 1 — t. В частности, это
дает
ь 1
J\ub{z)\dx= (^)"+1 j№(t)\dt,
а -1
n
где u>n(0 = П(* ~~ ^*)> а ^* являются образами узлов ж» на отрезке
[-1,1]-
п = 1 — формула прямоугольников
а(Л = (*-«)/(£±±), я.-||Л«)||^Ц^;
п = 2 — формула трапеций
52(/) = ^ (На) + /(b)), Я2 = ||/"(*)|| <Ц^!;
п = 3 — формула парабол (Симпсона)
5з(/) = Ц« (/(а) + 4/(нг) + /(»)) . «з = ||/<3>(*)|| *Ь§£ •
4.2. Решение. Поскольку сравнение точности можно проводить
только для функций из одного класса, необходимо получить для
формулы прямоугольников несколько другую оценку погрешности.
119

Для этого воспользуемся в качестве приближения к функции f(x)
отрезком ряда Тейлора в точке (о + Ь)/2:
Тогда для квадратурной формулы Si(/), полученной с помощью
интегрирования двух первых слагаемых, справедливо равенство
a«-/K£7i)+''(sTi)(-Ti)]*-*w-
при этом оценка погрешности принимает вид
б
л.МШ/Ь-фуъ.уьщйт*.
Следовательно, на классе функций с непрерывной второй
производной формула прямоугольников имеет оценку погрешности в два раза
меньше, чем формула трапеций.
В общем случае оценка погрешности для формул Ньютона-
Котеса имеет вид:
*"" (n+l)f
f(n)
я» =
(x)
I
a
о
/ <*>n(x
xu)n(x)dx
при нечетных п,
при четных п.
Отсюда может быть получена известная оценка погрешности для
формулы Симпсона: Я3 = [|/(4)(^)Ц 2880 '
4.3. Указание. В формуле для коэффициента квадратуры
СПА
1
г—аГрМ П ^
dt
сделать замену узлов на симметричные £n+i-t = — U, tj = — tn+i-j,
формально поменять индекс в произведении и использовать свойство
1 1
определенного интеграла / g(t)dt = / g(—t)dt.
120

4.4. Указание. Проинтегрировать правую часть равенства по
частям два раза или использовать формулу Тейлора с остаточным
членом в интегральной форме.
4.5. Ответ: 1) N = 13; 2) N = 16 (для второго случая полезно
воспользоваться решением 4.4).
4.6. Указание. Воспользоваться решением 4.4. Для второго
случая дополнительно ввести функцию
/ ч Г (хк — х)(Хк+1 — X) Ha [xjfc,Xfc+i],
4>к\х)
-{
О вне [x/fc,XA:+i].
Тогда имеют место соотношения
Е1 */W - оо**-! - or (о * =
fc=0 о a fc=0
к последнему из которых следует применить неравенство Коши-
Буняковского.
4.7. Указание. Покажем, что ||/(n)(x)ll = п'« Для этого введем
функцию у = arctgx. Тогда у' = f(x). Используя обратную функцию
х = tgy, получим
у = cos2 у, у" = -2у' cos у sin у,
Эти выражения можно преобразовать к виду
у'= cosysin(y + f ) ,
у" = cos2 у sin 2 (у + f),
y*n) = (n- l)!cosnysinn(y + §) .
Отсюда следует ||/(п)(*)И = ||у(п+1)(х)|| = п!. От-
ВеТ: II/(4)(X)II288^ = 75500-
4.8. Ответ: N > 41 > |\/п ' Ю2] +1, в = max(2,4sinl -
2cosl) < 2.29.
4.9. Указание. Пусть [x*,x»+i] — один из подотрезков длины Л,
на которые разбит отрезок [а, 6], и пусть х = (х, 4- Xj+i)/2.
Используя тейлоровское разложение подынтегральной функции в точке х,
121

получить следующие представления:
»+i
/
f(x)dx = hf(x) + g /"(*) + i^o/(4)№) + • ■ • .
k3 1,5
/
/(,) «fa = fl*)+f(*+>) h _ *_ /»(*) _ ^_/(4)(f, ....
4.10. Ответ: Sh,h/2 = Sh/2 + Sh£ _ f* ■
4.11. Указание. В обозначениях упражнения 4.10 имеем Sh/2 +
~ (Sh/2 - Sk) при Sk = —г— (Да) + /(*>))• Порядок главного члена
погрешности увеличится на 2.
4.12. Решение. Действительно, если 5^/2 > Sh, to Sh,h/2 >
Sh/2 > Sh- ЕСЛИ Sfc/2 < Shy TO S/ith/2 < Sh/2 < Sh-
4.13. Решение. Можно предложить следующий способ (процесс
Эйткена), являющийся обобщением правила Рунге. Пусть / —
точное значение интеграла. Выберем три равномерные сетки с шагами
Л, /г/2 и /i/4. Если учитывать только главный член погрешности, то
получаем систему трех уравнений:
/ = Sh + c/ip, / = Sh/2 + 4 с/Л /«^/4 + ^сЛ',
в которой значения /,с и р не известны. Из первого и второго
уравнений имеем: c/ip (l — —) = Sh/2 — Sh- Из второго и
третьего уравнений получим —- chp (1 — —J = Sh/A - Sh/2- Из
последних двух равенств получаем уравнение для определения р: 2Р =
Sh/2 — Sh „
—— — . Выражение для главного члена погрешности имеет вид
•4/4 - bh/2
2Sh/2 — Sh — Sh/4
4.14. Указание. Сначала построить формулу на
[—1,1], а затем отобразить на [а, 6]. Ответ: Sz(f) =
Ц-(м + 4/(44)+лч).
4.15. Ответ: Для формулы трапеций га = 1 и |Л2(/)| ^
(ь-д)3
8 -И'"»'
122

Для формулы Симпсона т = 3 и |Яз(/)| < £L||/<4>||
4.16. Ответ: с\ = —с2 = .
4.17. Ответ:
чад-Ц/(Р) + */$);»)ад-£/м+£/(-1)..
з)«(Л-|/(0)
4.18. Решение. Представим производную Рп{х) в виде
*(.)-P.(.);|bPn(*) = ££?£,
где
-^El = x»-i + (ai + xfc)xn-2 + (a2 + aixfc + xl)xn~* 4- ...
... 4 (an-i + an-2Xk + " • • 4- aixJJ*" -I- x£~ ).
Положим ao = 1 • Тогда соотношение для производной можно
записать как
п-1
Y^(n - к)акхп-к'1 = nxn~l + (гкц 4 Вг) хп~2+
fc=0
4(7ia2+aiBi+B2) xn~3+ ... + (na„-i4- a„-2Bi + ... +ai£n-24-£n-i) •
Из равенства коэффициентов при одинаковых степенях х и
следуют соотношения для oi,... ,an-i- Последнее (для оп) получается из
сложения равенств
п
Рп{хк) = y^Oja;^"3, fc = 1,2, ... ,п,
an-i#] 4- an-2£2 4- ... 4- ai£n-i 4 Bn = —ann.
4.19. Указание. Имеем следующие соотношения для f(x) = х\
3 = 1,2,...,п:
/(xj) = b(xj) или ^, ;— = ±у^ = -в,.,
7 ' 7+1 П ^-^ * 71
где В; определены в 4.18. Решение этих систем дает:
Р2(х) = х2-|, Р3(х) = *3-|х, P4(x)=x4-fx2+i.
123

4.20. Решение. Представим произвольный многочлен P2n-i(.x)
степени 2п - 1 в виде суммы многочленов Чебышева Ргп-1 =
2п-\
£ ашТт(х)> для которых Тт(х) = cos(marccos:r), и будем осуще-
т=0
ствлять проверку утверждения.
1
При m = О имеем /(То) = / , dx = 7г, Sn(7o) = 7г. При
J y/\-x2
-1
т > 0 выполняется свойство ортогональности /(Tm7b) = 0. Для
квадратурной формулы проведем преобразования
О (гг \ * V^ / \ * V^ (2J ~ 1)7Г
5п(Тт = — > cos(Tnarccosxj) = — > cos га-—-—— =
п *—* п*-* 2п
j=l-n ч '
Далее используем формулу суммы членов геометрической прогрес-
а^ = —i -—£, g = exp [ J , и окончательно для
а — 1 \ п /
7П = 1,. ♦., 2п — 1 получим
/т(2п+1)ттЛ _ /тп(1 -2п)тгЛ
тг еХР V 2n J еХР V 2п )
2п /тптггЧ
ехр (—J -*
4.21. Указание. Линейным невырожденным преобразованием,
якобиан которого постоянен и не равен нулю, произвольный
треугольник переводится в равнобедренный прямоугольный, далее
проверка утверждения становится простой.
4.22. Ответ:
о/ ч з 3 * 5 1 1 1,1
Рф) = х --х +5*-_f*ia=5f*a, = .±_f
1
с=з;
4.23. Ответ:
«п-тт + ЪЗ'^У- t
4.24. Ответ: ^ = 1, ф\ = х, фг = х2 - -, фз = а:3 ""
3
— 3*
5
124

4.25. Решение. Если фп{я) имеет на [а, Ь] только г < п нулей
нечетной кратности, то многочлен
С?п+г(х) = фп(х) Y\(x - xi)
не меняет знака на этом отрезке, что противоречит свойству
ортогональности всем многочленам низшей степени.
п
4.26. Решение. Представим многочлен хфп-\ в виде £) <*кфк>
где коэффициенты olj определяются из условий ортогональности
(хфп-1,Фэ) = ajtyj^j) .
При j < п — 2 имеем
(хфп-\,Фз) = (фп-ихф^) = (V>n-i,Q;+i(z)) =0»
т.е. все ctj = 0 при j < п — 2 (здесь Qj+i(x) = хф^ — многочлен
степени j + 1 )• Таким образом,
хфп-1 = апфп + Qn-lV'n-l + (*п-2фп-2 ,
при этом ап = 1 в силу равенства коэффициентов при старшей
степени х. Отсюда следует, что
фп(х) = (х - an_i)^n_i - ап-2фп-2, Ьп = -Qn-i.
ПОСКОЛЬКУ (x^n-l,^n-2) = (V'n-bV'n-l), TO
(V'n-bV'n-i) >0
Сп — «п-2 — YZ Г > U.
(Фп-2>Фп-2)
4.27. Указание, Vo(x) = \, ф\(х) = х. Продолжить решение по
индукции с использованием рекуррентного соотношения.
4.28. Решение. Все корни Хк многочлена фп(х) положительны,
а его коэффициенты выражаются через величины Bj = £3£=1 хк
(см. 4.18). Доказательство также может быть построено по теореме
Виета.
4.29. Ответ: 1) ±/ (|), 2) (е - 1) / (j^i).
'МЛУ'Щ-
4.30. Ответ: 1) - | / | ^/- )+/
125

(^)-(-vv-)
:л>-
[ени к =
( п У
Рк(х) = I Y[ (х~х0 ) • Для интеграла от этого многочлена формула
4.31. Ответ: Ц-^fj+§/«» +§/
4.32. Решение. Рассмотрим многочлен степени к = 2п — 2 вида
2
Гаусса дает точный результат:
г _п_ п
/ p(x)Pk(x)dx = ^2cjPk(xj) = y^CjPfc(rrj)4-CfePfc(a;A:).
n
Поскольку справедливо /_]cjPfc(£j) = 0, то имеет место равенство
3 = 1
fp{x)Pk{x)dx
Ск = а р.ы >0-
4.33. Ответ: Симметрия узлов квадратуры следует из решения
4.27, а равенство коэффициентов есть следствие симметрии узлов,
см. 4.3.
4.34. Ответ: фз(х) = х3 — -х.
4.35. Ответ: фз{х) = х3 - -х .
4.36. Ответ: с\ = сг = 0.
4.37. Ответ: р-ш(Ь- а)/2,
1
rw \ fl~Z p гил sinp , pcosp-sinp.
l(p) = / "2 exPt!Pf>^ = р + ^5 !»
-1
1
г> / \ fl + t p *i^ sinP pcosp-sinp.
^(р) = / -^exp{ipf}^ = —- - ^ -ь
Р2
4.40. Указание. При малых и величина р мала. Функции cosp и
sin p вычисляются с погрешностями 0{2~1) и 0(р2~е) соответственно,
где t — длина мантиссы. Вследствие этого коэффициенты D\(jp) и
£Ь(р) из 4.37 приобретают погрешность 0(2~*)/р.
126

4.41. Указание. Выделить ха в качестве весовой, а д(х) на
каждом отрезке разбиения заменить многочленом Лагранжа первой
степени.
4.42. Указание. Представить подинтегральную функцию в ви-
х2 In а
2 ,
де f(x) = G(x) -f g(x), где G[x) = lnx, g(x) = -g14.gf, вычислить
1
Г G(x)dx в явном виде,
о
4.43. Указание. Разбить отрезок интегрирования на [0,6:] и [е, 1)
с е « 1/ш. На первом отрезке sin(u;x) не является осциллирующей,
поэтому в качестве весовой можно взять х~ау а на втором отрезке
использовать неравномерные узлы.
5.1. Указание. Нет, поскольку неравенство треугольника не
выполнено, например, для векторов (1,0)т и (0,1)т.
5.2. Ответ: Да.
п
5.3. Решение. Из неравенств max |ж»| < ]П Iх*I ^ n max Iх*I
1<1<п is.1 1<»<п
следует
||х||оо<||х||, <п||х||оо.
/ п \2
Так как ]Cxi ^ ( S I35*! ) i т0 НХН2 — Нх11ь Из неравенства Коши-
Буняковского имеем
/ « \ V2 / п v 1/2 х п ч 1/2
Е^Е1 5>0 =п1/2 Е*0
Следовательно, n 1/2||x||i < ЦхЦг < ||x||i . Из неравенств max x\ <
l<t<n
п
У* х2 < n max ж2 следует
7Г1 "" Kt<n
||x|U<||x||2<n1/2||x||0
5.4. Решение. 1) Для доказательства, что соответствующее
выражение определяет норму достаточно проверить неравенство
треугольника. 2) Найдем константы эквивалентности. Пусть ei,... ,еп
— ортонормированная система собственных векторов матрицы С
(т.е. (e,,ej) = &Д a Ai,..., Ап — соответствующие собственные зна-
127

чения. Любой вектор х представим в виде х = £^ сге<. Поэтому
(Сх,х) = I ^А*с»ег,]Рс,е< J = У^А*с?.
\t=i t=i / t=i
Отсюда для произвольного вектора х получаем
min Л» (х, х) < (Сх, х) < max \i (х,х), (х,х) = ^ с?.
i г *—~*
Поскольку все А» (С) > 0, полученное неравенство означает
эквивалентность евклидовой норме ||х||2 с постоянными
Ъ\ — /min At, C2 = ./тахАг.
5.5. Решение. Получим оценку сверху для величины ||Лх|[
||Лх||оо = max
/ , Q>ij2j
< max ( J2\ач\ maxI^jI ) ^
i \J j J
<»wcf 2la«l) IMIe
Покажем, что эта оценка достигается. Пусть максимум по г имеет
место при г = /; тогда возьмем х = (sign (on),sign (0(2), •., sign (a/n))-
Имеем ||х||оо = 1 и точные равенства во всей цепочке выше. Таким
образом, |И||оо = шах I y~^la«il I • Аналогично показывается, что
\i=*
\\А\\г=твх1^Ыу
По определению матричной нормы, подчиненной евклидовой
векторной норме, имеем
..... |ИхЦ2 /(Лх,Лх) /(Л?\4х,х)
||л"2 = sup lixTu = sup V <**\ = sup V г* «i •
х*0 \т\2 х^О V Vх* xj х^О V (Х>Х)
Отметим, что (ЛТА)Т = АТ(АТ)Т = ЛГД, т.е. матрица В = АТА
— симметричная, и (ЛгЛх,х) = (Лх, Лх) > 0; следовательно, все
А(В) > 0. Рассуждая далее, как и в упражнении 5.4, получим
128

(Бх,х) ч /r>N
sup —, г-1 = max At (В), а равенство достигается на соответству-
х*0 (Х,Х) г
ющем собственном векторе. Поэтому ||Л||2 = ./тахХ(ЛтЛ).
Следует отметить важный частный случай симметричной
матрицы: А = Ат. Тогда ||Л||2 = max |А(Л)|.
i
5.6. Решение. Зафиксируем произвольный собственый вектор
х матрицы А и построим матрицу X, столбцами которой
являются векторы х. Получим равенство XX = АХ. Отсюда следует:
|А| ||Х|| < || Л || ||Х||, что порождает искомый ответ.
5.7. Решение. Для доказательства первого свойства
спектральной нормы надо показать, что существуют такие векторы х и у
единичной длины, на которых максимум достигается. В силу
неравенства Коши-Буняковского и учитывая, что спектральная норма
подчинена евклидовой векторной норме, получим неравенство
|утЛх| = (у, Ах) < Цу||2 |Их||2 < ||у||3 ||х||, ЦАЦ, = |И||3.
Пусть вектор х такой, что ||Лх||2 = ||Л||2, т.е. на нем
достигается максимум в определении подчиненной нормы, и возьмем у =
Лх/||Лх||2. Тогда ||у||2 = 1 и
Следовательно., искомые векторы х и у построены и первое свойство
спектральной нормы доказано.
Из первого свойства спектральной нормы и из равенства
||ЛТ||2 = sup |утЛтх| = sup (у,Лтх) =
Цх1|2 = 1 11х||2 = 1
ИУ||2 = 1 НУ1Ь = 1
= sup (Лу,х) = sup |хгЛу| = ||Л||2
1|Х||3 = 1 НУ112 = 1
11У1Ь = 1 INIa«l
следует ее второе свойство. Заметим, что поскольку здесь мы
применяем первое свойство к матрице Лт, в обозначениях, принятых в
этом равенстве, вектор у имеет размерность т, а вектор х —
размерность п.
Покажем теперь справедливость третьего свойства спектральной
нормы. Из второго свойства следует неравенство
\\АТА\Ь<\\АТ\\2\\А\\2 = \\А\\1
129

Возьмем такой вектор х, что ||х||2 = 1 и ||Ах||2 = |И||2, и применим
первое свойство к матрице АТА, положив у = х. Тогда получим
неравенство
|ИТЛ||2 > |хт>1гЛх| = {Ах,Ах) = \\Ах\\1 = \\А\\1
Из этих двух неравенств следует ||АТА||2 = ||А|||. Аналогично
показывается, что ||ЛЛТ||2 = \\А\\2- Таким образом, третье свойство
спектральной нормы доказано.
5.8. Решение. Из третьего свойства спектральной нормы
следует
\\QA\\\ = \\(QA)TQA\\2 = \\ATQTQA\\2 = \\АТА\\2 = \\A\\l
Из второго свойства спектральной нормы и полученного равенства
следует
UQh = \\(AQ)T\\2 = \\QTAT\\a = |Ит||а = 1И||2.
В частности, из равенств
HQxHi = (Qx.Qx) = (Qx)TQx = xTQTQx = хтх = (x,x) = ||x||£
следует, что умножение вектора х на ортогональную матрицу
сохраняет его длину.
5.9. Решение. Поскольку модуль любого собственного значения
матрицы не больше любой ее нормы, из 5.6 имеем
|И||3 = max\(ATA) < \\ATA\U < 1И||1|ИТ||1 = IHIUIHHoo.
5.10. Решение. Для любой матричной нормы справедливо
неравенство ||j4£|| < ||Л|| ||Б||. Рассмотрим матрицы А = В с а^ = 1, для
которых имеют место соотношения 7](АВ) = га, т)(А) — tj(B) — 1,
противоречащие указанному выше неравенству.
5.11. Решение. Заметим, что требует проверки только
четвертое свойство матричной нормы: М(АВ) < М(А)М(В).
М(АВ) = птах
]С aibbkj
< птах £ \aikbkj\ <
< п £ ti(A)ti(B) = пп(Л)пп(Б) = М{А)М(В).
130

5.12. Решение. Заметим, что ||х||ь = ||у|| оо) где
y=sx, $»(11/л ;/h).
Поэтому
|U||h - sup M^ = sup l|SAx|l~ = sup И^-'ГИ" -
mh SS I|X|U x*S IISXIU £? НуНсо
= HSAS-1]^ =
(an+0.12 ai2h \
021 + <*22 — <»ll — O12 I
jr o22 - an J
- max Hon + aial + h |ai2|, I022 - ai2| + -r |a2i + 022 - an - 012! J .
5.13. Ответ: -ХгЩА) < \\A\\i < s/nN(A), -^= ЩА) <
y/n у/71
\\A\\2 < N(A), -^N(A) < \\A\\oo < VnN{A). Матричную норму
у/71
N(A) называют нормой Фробениуса (нормой Шура, евклидовой
матричной нормой) и обозначают \\A\\f.
5.14. Ответ: \\DAD~1 \\оо, где D = diag(di,... ,dn).
5.15. Решение. Из равенства А~1т = А~1Ъ — Л-1Лх = х — 5с
следует, что
Hx-xllSllA-Mlllrll. (20)
Из b = Дх следует, что ||Ь|| = ||>4х|| < ||>1|| ||х||, т.е.
Ilxll > М. (2D
Поделим неравенство (20) на неравенство (21). Тогда получим
^ < Ш М-1 й - -<4> й - —М> 1ЬЙР.
Отсюда видно, что если матрица А плохо обусловлена, то даже
очень маленькая невязка не может гарантировать малость
относительной ошибки в х. С другой стороны, может оказаться так, что
достаточно точное решение будет иметь большую невязку.
Действительно, рассмотрим пример
/ 1.000 1.001 \ _ / 2.001 \
~ V 1000 1.000 / ' "~ V 2.000 J '
131

Точное решение системы Лх = b есть х = (1,1)т. Однако вектор х =
(2,0)т, который никак нельзя назвать*близким к х, дает маленькую
невязку г= (10~3,0)т.
Возьмем теперь b = (1,0)т. Тогда вектор х = (-1000,1000)т
является точным решением системы. Вектор х = (-1001,1000)т
достаточно близок к х в смысле относительной погрешности, однако х
дает большую невязку г = (1,1)г, близкую по норме к правой части.
5.16. Решение. Так как / = АА"1, то
1 = ||/|| = ЦАА^Ц < \\А\\ WA-'W = condH).
Далее, так как умножение матрицы на ортогональную не меняет ее
спектральную норму, то
IIQIIa = IIQ/||a = l|/||a = l и ||Qr||2 = ||QT/||2 = ||/||2 = l.
Поэтому cond2(Q) = ||Q||3 \\Q-% = ||<?||3 ||QT||2 = 1.
5.17. Решение. Пусть дана диагональная матрица D — е/,
где £ > 0 — малое число и / — единичная матрица. Определитель
det(D) = еп весьма м&п, тогда как матрица D хорошо обусловлена,
поскольку
cond(£») = ||£>|| ||£»-:||2 = ell/Ik-1!!/"1!! « 1.
Рассмотрим теперь матрицу
/ 1 _i -1 ... _1 ^
A=i ° 2 -»•;;; "*
\ о о о ... 1 у
у которой определитель равен 1, и вычислим ее число
обусловленности.
Для этого возьмем произвольный вектор b ф 0 и, решая
систему Лх = b при помощи обратной подстановки, построим элементы
обратной матрицы А~1:
Хп = On)
Хп-\ = Ьп-1 + Ьпу
Хп-2 = &п-2 + Ьп-1 + 26п,
Хп-3 = Ьп-3 + Ьп-2 + 2Ьп-1 + 226п,
хг = 6i + 62 + 26з + • • ■ + 2n-36„-i + 2п~2Ьп.
132

Выпишем полученную обратную матрицу:
л-х =
/ 1
0
0
1
1
0
0
2
1
0
0
4
2
0
0
2п-3
2п-4
1
О
2n-2 v
2n-3 \
1
1
Следовательно, || А"1 Ц^ = 1 + 1+2 +22 + --- + 2П"2 = 2п~1. Так как
1ИИоо = п' т0 сопс!оо(Л) = n2n_1, т.е. матрица Л плохо обусловлена,
хотя det(i4) = 1.
Эти два примера показывают, что обусловленность матрицы
зависит не только от величины определителя.
5.18. Решение. Как и в упражнении 5.17, методом обратной
подстановки получим обратную матрицу:
А'1 =
1\
О
V о
—а а
1 -а
(-а)
(-а)"
1
О
п-2
(-а)""1 \
(-а)""2 *
—а
1
Тогда
1ИИ. = 1 + И.
саши(Д)=«а| + 1)(М;-'),
а - 1
п-» _ И" - 1
|о| - 1 '
Отсюда видно, что матрица А плохо обусловлена при \а\ > 1 и
хорошо обусловлена при \а\ < 1. Например, при п = 20 и а = 5 будем
иметь condoo(^) « Ю14.
Пусть компонента bn задана с ошибкой е. Тогда вычисленное
значение xi компоненты х\ имеет вид
xi = fri - аЪ2 + • • • + {-а)п-2Ьп-1 + (-а)п-г(Ьп + е) = хг + (-а)^^.
Следовательно, при \а\ > 1 возмущение в Ьп увеличивается в
компоненте xi в |а|п-1 раз, а при \а\ < 1 во столько же раз уменьшается.
_ л ^ i / л гч M + q л х М — т
5.19. Ответ: сопаг(Л + а!) = __ = 1 +
т + а
m + а
133

5.20. Решение. Воспользуемся неравенством для векторных
норм:
1|Х||2<||Х||, <>/п||х||2
и получим -т= 1И1Ь < IHHi < v^lHIb , откуда следует результат.
у/П
5.21. Указание. Воспользоваться явной формулой для соб-
(i) ■ л a (i) Ttjk
ственных векторов yw ,j = l,...,n матрицы А: у^' = sin ~.
Соответствующие собственные числа: 4(n4-l)2sin --—~rr,
2(п -f 1)
так что
л , л\ .2 7Г 4(п + 1)2
cond2(^) = ctg __«___.
5.22. Указание. Воспользоваться явной формулой для соб-
ii) • 1 л U) я j к
ственных векторов yKJ,yj = 1,...,п матрицы A: у£" = sin -.
01 —.«
Соответствующие собственные числа: А"» =
- + — cos 7 > так что
3 о П + 1
cond2(A) < 3.
5.23. Решение. Характеристическое уравнение для
возмущенной матрицы Уилкинсона имеет вид:
det(A - XI) = (20 - А)(19 - А) • • • (1 - А) - 2019 -с = 0.
Свободный член в этом уравнении равен 0 и, следовательно,
наименьшее собственное значение равно 0.
5.24. Решение. Вычтем первый столбец определителя
последовательно из второго, третьего, ..., n-го столбцов, а затем вынесем
за знак определителя Ь\ — 62 из второго столбца, Ь\ — &з из третьего
и т.д. Затем вынесем (ах + bi)~* из первой строки, (аг + bi)"1 из
второй строки и т.д. После этого вычтем первую строку
последовательно из второй, третьей, ..., n-ой строки, а затем вынесем за знак
определителя
(ai - а2)... (ai - ап)(аг + Ь2)~~1... (aj 4- bn)"1 .
В результате останется определитель матрицы Коши (га — 1)-го
порядка. Поэтому искомая формула получается по индукции.
134

5.25. Решение. Рассмотрим матрицу Коши Кп с элементами
faj = l/(at 4- bj), 1 < iyj < п. Ее определитель вычислен в
упражнении 5.24. Элементы матрицы K„l являются отношениями
алгебраических дополнений к определителю исходной матрицы. Миноры
матрицы Коши снова являются матрицами Коши. Поэтому можно
получить явные выражения для элементов К^1:
bij = Y[(aJ +bk)(ak + bi)
(а>+Ьг)Ц(а>-ак)11(Ь1-Ьк)
k*j
Ь*г
тах|а^| =
*.j 4v27i
Полагая а* = г, 6« = г — 1, получим частный случай матрицы Коши
— матрицу Гильберта и искомую формулу для элементов Я^"1.
5.26. Указание. Заметим, что величина г/. «чпо,—^-ттг при-
[(i-l)!]2(n-i)!
нимает максимальное значение при г = [тг/\/2], поэтому для
элементов dij матрицы Нп1 по формуле Стирлинга
п\ = х/2^ппе"V(n), \в(п)\ < -L
можно получить асимптотику
Отсюда следует
5.28. Указание. Число умножений прямого хода равно п2 +
... -Ь 1 « J*n x2dx = п3/3, столько же сложений.
5.29. Решение, а) Применим схему без выбора ведущего
элемента:
(е \\ _ (in 0 \ /щ пз^
VI 1/ " \bi «22/ V ° Г22/
Отсюда для определения элементов матриц L и R получаем систему
линейных алгебраических уравнений:
( In r\i =е,
111 Г12 = 1,
hi Гц = 1,
I hi Г12 + hlT22 = 1.
135

Для определенности положим /и = /22 = 1- Тогда
1 (Г
L-= | 1 ), Д-= ' е £-!
Отсюда
1+е
condoo(^) = (1 Н— ) , condoo(^) =
б) ЬЯ-разложение с выбором ведущего элемента:
(\ Л = (1 0\ (т г12\
\е \) \hi l) \ 0 г22//'
-=(-^)--'=(ГД-
Отсюда
condcx>(L) = (1 + е)2, condoo(H) = 2 (l + ^з~) -
5.30. Указание. ||B||i = ЦВЦ00 < 1.
5.31. Решение. det(B-AZ) = (a-\)(a-\-s/20)(a-\ + V2P) =
O,\a\<lf\a±y/20\< 1.
5.32. Решение.
В
-(;:)■■-<:>• ■-(:!)■
A(B)=i, |; xA=i=(l,-l)T; x°-x = <xA=i при t*0.
2' 2'
1
5.33. Ответ: JV «
1-сГ
136

5.34. Решение. Собственные значения оператора перехода В =
I -тА имеют вид Л(Б) = 1 - ЦЛЦ'1 \{А). Так как 0 < Х(А) < \\А\\,
0<Л(Б) < 1.
5.35. Решение. Пусть Л — произвольное собственное значение
матрицы А и х — соответствующий ему собственный вектор.
Обозначим через Xi максимальную по модулю компоненту вектора х. Если
таких компонент несколько, то Xi — любая из них. Из равенства
Ах = Лх следует (Л — au)xi = ^ mjXj. Отсюда имеем
|А-а„|<^|^||й1<У;|^| = Я,(А).
Это утверждение называется теоремой Гершгорина. Имеется
обобщение этого факта:
Если указанное объединение кругов G(A) распадается на
несколько связных частей, то каждая такая часть содержит столько
собственных значений, сколько кругов ее составляют.
5.36. Указание. Собственные значения матриц А и АТ
совпадают.
5.37. Ответ: 1.6 < Ai < 2.4, 3.5 < А2 < 4.5, 4.8 < А3 < 5.2.
5.38. Ответ: У матрицы
/О 0.1 \
\^ -40 5 у
оба собственных значения Ai = 1 и Аг = 4 не принадлежат системе
кругов: \z\ < 0.1, \г - 5| < 0.1.
5.39. Решение. Пусть zk — вектор ошибки на fc-й итерации.
Тогда
z*+i = (/-.Ti4)z* = (QQ~l -tQDQ-1) zfc.
Умножим полученное выражение слева на Q~l и сделаем замену
Q-1 zk = z*. Тогда
я*+1 = (/-т £>)**.
Здесь матрица В = I — tD имеет диагональный вид, а ее собственные
значения равны \(В) — \—т A(i4). Поэтому необходимым и
достаточным условием сходимости метода является выполнение неравенства
|1-тА(Л)|<1 УА(Л)<Е[т,М],
откуда и следует искомый результат.
5.40. Указание. Воспользоваться решениями 5.37 и 5.39.
137

5.41. Решение. Из общей теории оптимального линейного
JV-шагового метода (см. начало раздела) следует т^1 = м\— +
Мдт cos *^7^, * = *»• • •»^» Те- величины, обратные нулям
многочлена Чебышева степени N на отрезке [m, M].
5.42. Указание. Выписать оператор перехода для вектора
ошибки за один шаг и получить т = 1/Л.
5.43. Указание. Разложить ошибку х - хк по базису е* из
собственных векторов матрицы А. Выбор т* = А^1, к = 1,... ,п,
обеспечивает на каждом шаге обнуление коэффициента при векторе е&
в разложении ошибки (см. решение 5.42).
5.45. Решение. xfc+1 = (al + (1 - а)В)хк + (1 - а)с,
min ф(а) = min max |q -f (1 — а)Л|,
_ m + M
Q~ m + M-2'
5.46. Решение. По условию собственные значения Л оператора
перехода I — т А имеют вид
\(1-тА) = 1-TU-irv, 0<6<и<1, Н<1.
Из условия сходимости |Л|2 = (1-tu)2+t2v2 < 1 имеем неравенство:
г < 2и/(и2 + v2). Рассмотрим выражение
min
и2 + v2 и и2 + 1 <52 + 1 '
2<5
Отсюда следует ответ: 0 < т < -г—-.
о* -+- 1
5.47. Решение. Оператор перехода Б в методе Якоби имеет
вид Б = —D~* (L + Я). Рассмотрим задачу на собственные значения
В х = Л х. Имеем
-Zr^L + AJxsAx =* (1, + А£> + Я)х = 0 =*
det(L-h А£> + Я) = 0.
Непосредственные вычисления дают
2/?2) = 0.
0 \
0 =qA(q2a2-:
qA /
Следовательно,
Ai =0, A2>3-2— =» |-
138
1

Оператор перехода В в методе Зейделя имеет вид В = — (D +
L)""1 Л. Рассмотрим задачу на собственные значения £ х = Ах.
Имеем
-(D + L)-1 Rx = \x, (AL + А£> + Я)х = 0, det(AL + AD + Я) = 0.
Непосредственные вычисления дают
)=аА2(а2А-:
/ аХ 0 0
det /ЗА аА 0 ] = аА* (а* А - 2/?*) = 0.
\ 0 /?А аА
Следовательно,
Я2 I в I 1
а2 \а\ у/2
В данном случае области сходимости методов совпадают.
5.48. Решение. Обозначим вектор ошибки через zk. Для этого
вектора имеет место соотношение (уравнение ошибки) (D-f L) zfc+1 +
Rzk = 0. Пусть ||zfc+1||oo = |*f+1|- Выпишем 1-е уравнение
и разрешим его относительно г*+1 :
i-1 n
Отсюда получим ||zfc+1||oo = |«f+1| < a ||zfc+1||oo + j9||«*||oo, где
« = 5^13*1, ^= у* issil
Найденное соотношение можно переписать в виде
||»*+1||о.£Г^||«*й«.
По условию а + 0 < q < 1, следовательно,
139

откуда и следует искомая оценка.
5.49. Ответ: Сходится в обоих случаях.
5.50. Решение. Если формулу метода релаксации
(D + т L) х*+ * + [г Я + (т - 1) D] xfc = тЪ
умножить слева на матрицу D"1i то оператор перехода можно
записать в следующем виде:
В = (1 + т МУ1 ((1 - т) / + т N) ,
Здесь / — единичная, а Л/ = D"1 L и N = D~l R - строго нижняя
и верхняя треугольные матрицы соответственно. Рассмотрим его
характеристический многочлен d{\) = det(B — XI). По теореме Виета
п
имеет место равенство (—l)n d(0) = 1 I A»(#). Так как у треуголь-
ных матриц Ми IV на главной диагонали расположены нули, то
d(0) = det(B) = (1 — r)n . Отсюда для спектрального радиуса
оператора перехода получим оценку
р(Б) = тах|Аг(В)| >
ЦЫВ)
1/п
= |det(B)|1/n = |l-r|,
которая и приводит к искомому ответу.
5.51. Решение. Используя форму записи метода
(/ + 1л)х-=(/-!л)х* + гЬ
и общность системы собственных векторов матриц слева и справа,
выразим собственные значения оператора перехода В через
собственные значения исходной матрицы
ит - 1~тА(Л)/2
Ч">~ 1+тА(А)/2-
Теперь сходимость метода при т > 0 очевидна, а для определения
Topt рассмотрим следующую минимаксную задачу:
„;„ |1-ТА|
т>0 Лб(т/2,М/2] 1 + ТА
Функция /(Л) = (1 - тЛ)/(1 + тЛ) при Л > 0 и фиксированном
т > О является убывающей, поэтому максимальное значение
функция |/(А)| достигает на границе отрезка: при Л = т/2 и/или при
140

Л = М/2. Можно убедиться, что минимум по г имеет место при
равенстве
\f(rn\\_\f(M\\ . 1 - Topt т/2 _ 1 - Tppt М/2
IAtJMAtJI =* 1 + Topt m/2 ""14 roPt M/2 ^
5.52. Решение. Используя идею упражнения 5.51, запишем
условие сходимости метода
max
\е[т/2,М/2\
1-т(1-а)А
1+таА
<1 Vr>0.
Сделав замену £ = т А > О, получим неравенство
|l-*(l-a)| < 1 + ta.
Если выражение под модулем неотрицательно, то получаем верное,
в силу условия, неравенство — t < 0. Поэтому содержательным
является другой случай: t(1 — а) — 1 < 1-f ta. Из этого неравенства имеем
2
— - < 2а — 1, что в силу t > 0 приводит к ответу а > 1/2.
5.53. Решение. Спектральный радиус матрицы перехода в
методе Гаусса-Зейделя равен \а\. Если начальное приближение таково,
что начальная погрешность z° имеет ненулевую вторую координату
z%, то zk = — a2k~lZ2, zk = c?kz% и метод расходится при \а\ > К
5.54. Решение.
Из уравнения для ошибки
fc+i *
В- -+ylzfc = 0
г
следует
zfc+J = (/ - r^-M)zfc , Azfc+1 = (Л - rAB-1A)zk . (22)
Вычислим скалярное произведение, используя симметрию А)
(Azk+\zk+1) = (Az\zk)-2T([B-^A]B-1AzktB-1Azk>) . (23)
Из первого соотношения (22) имеем B~l Azk = —(zfc+1 — z*)/r, это
позволяет переписать (23) в виде
ll*fc+1|& - \\zk\\\ + l([B- ^](zfc+1 - zfc),zfc+1 - .*) = 0,
141

где\\и\\л=(Аи,и)1'2.
т т
Условие В — - А > О равносильно условию В — -Л > el с некото-
рым е > 0 в силу конечномерности векторного пространства (здесь
через / обозначена единичная матрица). Это дает
\\гк+1\\2л - l|zfc|ft + 2ет~1\\гк+1 - *% < О V* > 0.
Из этого неравенства следует монотонное убывание и
ограниченность последовательности {||zfc||^}, следовательно, сходимость ||z*||
к некоторой величине d°°. Переходя к пределу в данном
неравенстве получаем ||zfc+1 — zfc|J2 —* 0, поэтому lim ||zfc+1 — хк\\1 =
lim ||x*+1 — x^Hi = 0. Таким образом метод сходится к некоторо-
к—*оо
му х°°. Из вида итерационного процесса следует неравенство
||b-Axfc||2<i||B||2||x*+1-xfc||2)
переходя в котором к пределу убеждаемся, что х°° является
решением уравнения Ах = Ь, т.е. последовательность приближений {xfc}
сходится к х.
5.55. Ответ:
1) р(В) = costt/i, Roo(B) = \*2h2\
2) р(В) = cos2tt/i, Яоо(В) = tt2/i2;
5.56. Решение. Пусть zk = х - х*, zfc+1/2 = х - х*+1/2, где х
— решение системы Ах — Ь. Тогда
я*+х = (/ + тА2)-\1 - тАг)(1 + tAi)"1(/ - tA2)z* = Pzk.
Матрица перехода Р подобна S = (I — tAi)(/ + tAi)~1(I — тЛг)(/ +
тЛз)"1. Коммутирующие матрицы простой структуры А\ и Аг
имеют общую полную систему собственных векторов и представимы в
виде Ai = Q"1DiQ с диагональными матрицами D», у которых те
же спектры, что и у Ai : A(D») = А(А»). В таком случае для
спектрального радиуса матрицы S получаем следующую оценку:
p(S) = p((I - tDi)(I + tDi)-\I - тА0(/ + rD2rl) =
\\-T\j(Ai)l-T\i(A2)\ ^ (l-rt\2
= max- > ) л [ . ) л : < max -J .
» ll+rA<(Ai) 1+tA<(A2)I ~ m<t<M \l + TtJ
142

Оптимальное значение ropt = {тпМ) 1/2, при этом p(S) <
\у/М + у/гп)
5.57. Решение. Действительно, АТА = (АТА)Т, и
(АтАх.1'х) = (Ах, Лх) > 0 если только Ах ф 0. Но Ах ф 0 для
всякого х ф 0, так как rank(A) = п. Следовательно, матрица
АТА невырождена и нормальное уравнение имеет
единственное решение.
5.58. Решение. Из задачи 5.57 следует существование и
единственность такого вектфра х, что АТ(Ь — Ах) = 0.
Рассмотрим х = х + 6. Тогда ||Ь - Ах\\% = (Ь - А(х + 6), Ь - А(х + 6)) =
(Ь - Ах,Ъ - Ах) + {AS, AS) + 2(A<5,b - Ах) = ||b - Ax||i +
(АТА5,6) + 2(<J,AT(b — Ax)). Следовательно минимум
достигается при 5 = 0, т.е. на векторе х = х.
5.59. Решение. Из метода нормального уравнения следует,
что х = (АТА)-МТЬ. Поэтому х = (RTQTQR)-1RTQTb =
(RTR)"1RTQTb = R-lRrTRTQTh = R-lQTb. Таким образом
искомый вектор х является решением системы Лх = QTb.
5.60. Решение. Пусть вектор z Е кег(А) и dim(ker(A)) =
п — г. Тогда Az = 0, и если х минимизирует ||Ь — Ах||г, то х-Ь z
также минимизирует, так как ||Ь — А(х + z)||2 = ||Ь — Ах||2-
5.61. Решение. Искомое разложение А = QR, где Q е
Mmxn, a R имеет указанный в вид можно построить,
например, методом ортогонализации Грамма-Шмидта. Найдем
решение задачи наименьших квадратов. Построим по матрице Q
ортогональную U € Mmxm следующим образом. Дополним
вектора q* до базиса в пространстве Rm некоторой линейно
независимой системой р7 и проведем ортогонализацию столбцов
матрицы В = (Q;P) методом Грамма-Шмидта. Для полученной
матрицы U имеем V = (Q; Q) = (qi;...; qm). Матрица U
ортогональна, поэтому ортогональны вектора (qt,qj) = 0, г ф j, и
QTQ нулевая матрица. Отсюда следует цепочка равенств:
||Ь - Ax\\l = \\UT(b - QRxm = II ( §т ) (Ь - QRx)\\l =
.. QTh -Rx ||2 _ ., QTb -Rx ||2 _
11 QT(b-QRx) " ~" QTh " ~
||gf b - Л„Х1 - Ri2x2||i + HOi-blll + ||QTb||l.
143

Это дает искомый ответ.
5.64. Ответ: К такому Ав, что \Х3 - с\ = maxi |A» — с|.
Скорость сходимости равна 0(<?2п), где g = maxt^s JA» - с|/|А5 - с|.
Отсюда следует, что процесс сходится к Ai при с > (\\ + Ап)/2,
и к Ап при с < (Ai 4- Ап)/2.
5.65. Ответ: Как следует из задачи 5.64, оптимальное
значение с3 для s — 1,п является решением следующей
минимаксной задачи: minc max^a |А* - с|/|Аа — с\. Так как
рассматриваемая функция линейна по At, следовательно максимум модуля
достигается в граничных точках. Например, при s = 1 это
соответствует mincmax{|A2-c|/|A„-c|, |А„ —с|/|Ап-с|}. Можно
графически показать, что оптимальное значение с\ = (Аг + Ап)/2.
Аналогично Сп = (Ai -f An_i)/2. Отметим, что скорость
сходимости степенного метода при оптимальном сдвиге зависит от
Ai,...,An и не может быть сделана сколь угодно высокой за
счет параметра сдвига.
5.66. Ответ: К такому At, что \Xt — с\ = min* |A* - с\.
Скорость сходимости равна 0(g2n), где q = \Xt - cl/min^t |A» - с|.
Отсюда следует, что процесс в зависимости от значения с может
сходиться к любому А*. При этом q —> 0, если с —> А*.
5.67. Решение. Собственные числа В находятся из условия
det(B - XI) = det(5-1 AS - XS^S) =
det(S-x{A ~ XI)S) = det(S'l)det{A - AJ)det(S) = det(A - XI).
Собственные числа совпадают, так как равны
характеристические многочлены. Условие Ае = Ае равносильно S~1ASS~1e —
Ai5_1e, или В5-1е = А5-1е. То есть собственные вектора ед и
ев связанны соотношением ев = 5~1ед.
5.68. Решение. Поскольку
4b+i_= RkQk = Ql{QkRk)Qk = QlAkQk9
то из Q^1 = Q% следует, что -A/t+i и Ak ортогонально подобны
и имеют одинаковые собственные числа.
5.69. Решение. Так как
Ак+г = RkQk + с*/ = Ql(QkRk + cfc/)Qfc = Q^AfeQ*,
то матрицы А* и Ai+i ортогонально подобны.
6.1. Решение. Функция ip'(x) непрерывна и l^'WI < 1,
следовательно |у?'(х)1 < 1 в некоторой окрестности Qs = [z — 6, z + 6].
Возьмем произвольную точку хо € Qs- По теореме Лагранжа
имеем tp(xo) = ip(z) + <p'(£)(x — z)> где точка £ € Q*. Так как г = ^(я)»
144

то \ip(x) - z\ = \ip'(Q(xo — z)\'< \xo - z\y т.е. функция <р отображает
отрезок Qt в себя. Далее, так как
Хп+1 - z = ip(xn) - <p(z), n = 0,1,2, ... ,
то по теореме Лагранжа для каждого п существует такое £п, что
Z„+l - Z = (хп - Z) <р\£п).
Последовательно применяя указанную теорему, получаем
Хп+1 ~ Z = (Хп ~ Z) 4>'(£п) = (Хп-1 - Z) <р'(£п)<р'(£n-l) = • • • =
= (*0-*)^ttn)^««-l).../«0),
где^„,с!п-1,...,^о e Qs- Так как |y>'(&)| < q, г = 0,1,2, ... п, то
|*n+i-z| <\x0-z\qn+\
При q < 1 правая часть этого неравенства стремится к нулю, т.е.
последовательность {хп} сходится к корню z.
6.2. Решение. Для определенности будем считать, что /'(х) >
0. Пусть
0<тп</'(х) <М.
Заменим исходное уравнение равносильным:
х = <р(х) = х - А/(х), Л > 0.
Подберем параметр Л так, чтобы на [а, 6] выполнялось неравенство
0 < <р\х) = 1 - А/'(я) < q < 1.
При А = — получаем q = 1 — — < 1.
М М
6.3. Решение. Табличным способом отделения корней выделим
отрезки, на концах которых функция f(x) имеет разные знаки:
X
sign f{x)
-3
-
-2
+
-1
+
0
-
1
+
2
■+
3
+
Таким образом, корни исходного уравнения лежат на отрезках
[—3, —2], [—1, 0], [0, 1], для каждого из которых построим свой
итерационный процесс.
Так как на [—3, —2] имеем х2 ф 0, то исходное уравнение можно
разделить на я2. В результате получим равносильное уравнение
X = <р(х) = ^2 - 3.
145

Итерационный процесс для нахождения первого корня:
1 Q
Сходимость имеет место для всех начальных приближений хо из
этого отрезка, так как для х 6 [—3, —2] имеет место оценка
И*)1 = |-£| <£<!.*(*)€ [-3,-2].
Для двух других отрезков исходное уравнение представим в виде
х2 (х + 3) — 1=0, при этом х + 3 ф 0. Если то € [—1,0], то определим
итерационный процесс в виде xn+i = . ; если хо € [—1,0],
у/хп + 3
то в виде xn+i = . Можно показать, что в процессе ите-
\/Хп + 3
раций соответствующие отрезки отображаются в себя, поэтому (см.
6.1) сходимость соответствующих итерационных процессов следует
из оценки
1 |3
| 4>'(х) | =
< 1.
\2\/х + Ъ\
Отметим, что во всех случаях допустим также метод бисекции.
6.4. Решение. Заметим, что решается уравнение х3 — 20х + 1 =
0, имеющее три различных вещественных корня: z\ < Z2 < 23. В
зависимости от выбора начального приближения хо итерационный
процесс будет либо расходиться, либо сойдется к одному из корней
*, » = 1,2,3.
Перепишем формулу итерационного процесса в виде
_ х3 - 20хп + 1 __ (xn - zi)(xn - z2){xn - *з)
Хп+1 — Хп — —j , Хп+1 — Хп — —г .
Отсюда следует, что при хп < z\ имеем xn+i - хп < 0 и
последовательность хп монотонно убывает. Это означает расходимость
итерационного процесса при xq < z\, так как хп < xq < Zi} г = 1,2,3.
Аналогично показывается, что при z^ < Хо выполняется Zi < хп < я?п+ь
и метод расходится.
Точки хо = zi, хо = Z2 и хо = Z2 являются неподвижными, а
х3 -f 1
отображение xn+i = п — монотонно. Отсюда следует, что для
z\ < хо < 22 имеем z\ < хп < xn+i < z%. Таким образом,
последовательность хп монотонно возрастает и ограничена сверху,
следовательно итерационный процесс сходится к точке 22. Аналогично
146

доказывается, что для z-i < xq < 23 имеем zi < xn+i < хп < гз, и
метод сходится к точке Z2-
6.5. Решение. Представим метод хорд как частный случай
метода простой итерации:
x = <P(x)=x-f{x{W{xo)(x-xo).
Вблизи корня z уравнения /(х) = 0 имеем
Xn+i - z = (х„ - г) </(*) + - (х„ - г)2 <?"(£). Z € [х„,г],
где
<fi'{z) = l + ^\(z-xo) =
f(Xo)
_ /(*) - f'(z)(z - xo) + f-^-{z - xo)2 + f'(z)(z - xo) _
__
Г-7Ы' v€[xo'z]-
Бели начальное приближение х\ взять в такой окрестности корня,
что |у?'(2) ^ Я < 1> то с учетом 6.1, метод хорд будет иметь линейную
скорость сходимости.
6.6. Решение. Преобразуем расчетную формулу метода
секущих
Д^п Хп — 1 »/ \
к виду
_ ((хп - z) - (жп-i - г))/(г + (хп - г))
Xn-J-1 -"~ Z — Хп — Z — , ч / v .
/(* + (in - Z)) - /(* + (Xn-1 - Z))
Разложим j[z + (xn - 2)) и /(г + (xn-i — *)) в ряды Тейлора в точке
z и подставим в последнюю формулу, учитывая, что f(z) = 0:
(х„ - z)f'(z) + 0.5(xn - z)2 f"(z) + ...
х„+, хп /'(г) + 0.5((х„-г) + (х„_1-г))/"(г) + ...
l + 0.5(xn -z)2Q± + .
= (*„ - z) I 1 - — ' (г)
1 + 0.5(хп - z)^ + O.SCx,,., - г)^ + ...
147

= i(xn - z) (хп-г -*)j$+ 0((*n - z)2).
Опустив члены более высокого порядка малости, для ошибки
получим уравнение
хп+1 -z = C (хп - z) (*„_, -z), С = \ ^ , f'{z) ф 0.
Предположим, что скорость сходимости определяется соотношением
яп+1 — z = Л (хп — «г)т, в котором значения Лига пока неизвестны.
Тогда Хп - z = A (xn-i - z)™, откуда xn-i - z = А"1/т (хп - г)1/т.
Подставим эти соотношения в уравнение для ошибки:
А(хп - z)m = С (хп - z) А~1/т (in - z)1/m.
Приравнивая степени и коэффициенты многочленов, получаем два
уравнения с двумя неизвестными
т=1 + -, 1 = СЛ"(1+1/т).
т
Из первого уравнения находим показатель скорости сходимости
метода секущих т = 0.5(1 + у/Е) « 1.618. При этом константа А в
1
разложении ошибки равна
6.7. Решение. Пусть р(х) = \/х Л- 2 и хо > —2. Так как ip(xo) >
0, то сходимость метода достаточно доказать для хо > 0. Рассмотрим
отрезок Q = [0,2 4- хо]. Несложно проверить, что хо € <?, и
</>(x„)€Q, |/(х)|<1, Vx,x„£Q.
Следовательно, итерации xn+i = <^(хп) сходятся к х = 2 —
единственной неподвижной точке отображения <£>(х).
6.8. Решение. При любом хо € R1 первая итерация попадает в
отрезок [—1,1], для которого выполнены условия сходимости метода
простой итерации xn+i = cosx„.
6.9. Решение. Уравнение х = х2 — 2х + 2 имеет два корня z\ = 1
и zi — 2. Пусть <р(х) = х2 — 2х + 2; при х € (1/2, 3/2) имеем <^(х) 6
(1/2,3/2), |v?'(x)l < l'i поэтому при хо € (1/2,3/2) итерации сходятся
к 21. Дальнейший анализ проводим аналогично решению задачи 6.4,
используя, в частности, эквивалентную запись итерационного метода
в виде Xn+i -хп = (хп - 2)(хп - 1).
ПГ(«)У
V2 /чг);
148

Ответ: итерации сходятся к z\ = 1 при хо € (0,2); если хо = 0 или
xq = 2, то итерации сходятся к Z2 = 2 Для остальных начальных
приближений итерации расходятся.
6.11. Решение. Значение {/а является корнем уравнения
/(х) = хр - а = 0.
Для этого уравнения метод Ньютона имеет вид
_ J(xn) Дп - Q _ Р" 1 Q
/Ч^п) рхп Р рхп
Для р = 2 получаем xn+i = -z [xn + —J.
6.12. Решение. Метод Ньютона имеет вид Xn+i — з^п ~~ «. / ч •
/ кхп)
Обозначим через z искомый корень. Тогда z будет и корнем урав-
f(x)
нения х = <р(х) = х — , ч. Следовательно, можно рассматривать
метод Ньютона как частный случай метода простой итерации, для
которого
fix) fix)
\р(х) = з и, следовательно, ф'(г) = 0.
Согласно 6.1, найдется такая окрестность корня Q&, что y>(Q*) С Q*.
Оценим скорость сходимости метода Ньютона, используя
разложение в ряд Тейлора в окрестности точки z:
Хп+1 - Z = V? (Х„) - V? (z) =
5(*»-*)V(0,€€[*n,*].
Следовательно, вблизи корня метод Ньютона имеет квадратичную
скорость сходимости.
6.13. Решение. Поступая так же, как и в случае простого корня,
получим Xn+i - z = (хп- z) tp'(z) + - (хп - *)2 ¥>"(£)> где £ 6 [хп, z].
/(х)/"(х)
Однако в случае р > 1 в выражении <р'(х) = ^р содержится
неопределенность "ноль на ноль", так как z является также корнем
уравнения f'(x) = 0. Оценим у?'(х).
Функция /(х) в окрестности корня z кратности р ведет себя как
а (х- z)p + о(|х — z|p), где а — константа. Тогда в малой окрестности
149

корня
L,//rx_ /(*)/"(*) - с(*-*)pgp(p-i) (*-*)"-' , ntn
^X)-~(FW~ -v («-«)*-» +0(1)>
„'W = EzI<i.
P
Отсюда видно, что чем выше кратность корня, тем медленнее
сходимость.
6.14. Решение. Требуемую модификацию будем искать в виде
/(Жп)
Хп+1 — хп — О- *777 \ »
J (хп)
и подберем параметр а так, чтобы имела место квадратичная
сходимость. Рассмотрим данную модификацию как специальный
случай метода простой итерации xn+i = <р (х), для которого выполнено
z = ip(z)y причем вблизи корня
?'(*) = 1 - а + а А*)Г(«) = 1 - а + а Е^± + о(1),
<^> (*) = £—-.
Р
Для обеспечения квадратичной сходимости параметр а надо
подобрать таким, чтобы <р' (z) = 0, что и выполняется при а = р.
6.15. Решение. Искомое число является корнем уравнения
ах
1=0. Для этого уравнения метод Ньютона имеет вид: xn+i = 2хп —
ахпу или хп+1 = хп(2 — ахп).
2
Если хо = 0 или хо = -, то сходимости к корню не будет, так как
а
все хп равны 0. Если хо < 0, то сходимости также не будет, поскольку
2
все хп останутся отрицательными. Если взять хо > -, то все хп < 0.
а
Из вида итерационного процесса следует, если хп £ (0,1/о], тогда
хп+1 € (0,1/а], если же хп € [1/а,2/о), тогда xn+i e [0,1/а). Пусть
хп 6 (0,1/а]. Тогда из равенства xn+i — хп = хп(1 - ахп) получаем,
что Xn+i > хп, а из условия хп+1 = хп(2 -ахп), что xn+i < 1/а. Так
как итерационный процесс имеет две неподвижные точки 0 и 1/а, то
итерации сходятся к 1/а.
Таким образом, сходимость к корню имеет место, если начальное
приближение берется из интервала (0,2/а).
150

f(x)
6.16. Решение. Для уравнения д(х) = \ = О корень z будет
/ \х)
простым. Тогда для уравнения д(х) = О метод Ньютона принимает
вид
-^ д(хп) __ f(xn)f'(xn)
Xn+1 — xn w ч — >ьп ~~ "" 75
и будет иметь квадратичный порядок сходимости.
В окрестности 2 функция f(x) « а (х — z)p. Тогда
3(х)"7Ч^)~аР(х-г)р-'=;(:Г-г)-
Для двух последовательных приближений х\ и хг имеем систему
приближенных уравнений
0(*i)« -(xi -г),
Р
р(х2) « - (х2 - г).
Р
Отсюда получим оценку для кратности р корня г:
Х2 — Х\
Р~ 9(x2)-g(xi)'
Такой способ оценивания р можно применять на каждой итерации.
6.17. Решение. Обозначим области сходимости метода Ньютона
2х3
Хп+1 = ф(Хп) = П
За£-1
к корням z = — 1,0, -+■ 1 через Х_, Хо, Х+ соответственно. Кроме того,
определим последовательности точек {х*} для п > О следующими
условиями:
для элементов которых справедливы неравенства
1 - + - 1
--т= = Х0 < Х{ < Х2 < . . . < jz < О <
1 + - + _ 1
< у— <^ . . . <ч Х2 <С Xj <ч Xq — —.
и существуют пределы
lim x^ = lim xj^ = —j=, lim xjfc = lim x^ = -=.
fc-»oo fc-»oo y5 fc—»oo fc—»oo ^5
151

Тогда
Х- = (-OO,X0)ulJ [{х2к-1>*2к)и{*2к-1>х2{к-1))]>
оо
Х+ = (xJ,<X)) U (J [(^(ik-D^i-l) U (*2fc»*2fc-l)] '
fc=l
Кроме того, если хо = х„, п > О, то метод не определен, а при
11
х0 = ± —р имеем xi = Т—7=» те* мет°Д "зацикливается".
v5 v5
Таким образом, области сходимости к корням z = ±1 являются
объединениями перемежающихся открытых интервалов,
разделенных точками зацикливания метода.
7.1. Решение. Пусть у(х) — произвольная гладкая функция.
Тогда условие аппроксимации для левой и правой частей
уравнения (15) означает справедливость соотношений в произвольном
узле Хк (к > 0)
1 П П
Нт £ ^а_^_^ = y'(xfc) , Hm ^6_i/(xfc-t,yfc_i) = /(x*,yfc) .
»=0 i=0
Согласно формуле Тейлора имеем
у(х - г/г) = у(х) - ihy'(x) + О (/г2) ,
/(х - г7г,у(х - ih)) = /(х,у(х)) + 0(/i).
Подстановка этих выражений в условия аппроксимации дает
lim
h-»0
~У^а-гу(хк) J - ^a-iiy(xk) + 0(h)
К *=0 / i=0
= у\хк),
lim
h—О
£b-<)/(*fc,y(^))+OW
= /(xfc,y(xfc)),
откуда (в силу произвольности функции у(х)) и следует
необходимость и достаточность указанных в условии задачи равенств.
7.2. Ответ: Да, нет, да. Указание: использовать условия,
сформулированные в задаче 7.1.
152

7.3. Ответ: Первый. Можно, если положить у\ = h. Тогда
порядок аппроксимации будет равен двум. Отметим, что в отличие от
дифференциальной разностная задача требует двух начальных
условий. Поэтому аппроксимация решения в точке х = h следует из
формальной аппроксимации дифференциального оператора L.
7.4. Ответ: Все коэффициенты равны 1/2.
7.5. Ответ: 1/6, 2/3, 1/6. Указание: использовать метод
неопределенных коэффициентов построения разностных схем, заменив / на
у1 и сдвинув для удобства вычислений индексы — j = к — I.
7.6. Ответ: Схема устойчива при 0 = 0 и 0 > 1/2.
7.7. Ответ: Без учета нормировки ||Д — (f)h\\h —► 0 при h -*
О можно прийти к неверному ответу: о = 28,6 = 12, с = 36, для
которого условие а-устойчивости не выполнено.
С учетом необходимых условий аппроксимации (см. 7.1)
выпишем систему для определения коэффициентов:
2а + 4 = 1, 2Ь + с=1, 8 + а = ЗЬ.
Характеристическое уравнение при этом имеет вид
(^-1)(м2-|М+1)=0,
т.е. условие а-устойчивости выполнено.
7.8. Решение. Решение разностной задачи имеет вид:
Ук = (1 + %k-i = (1 + к)кУо = (14- h)k ,
а точное решение дифференциальной задачи при х = х* равно
у(хк) = exp(xfc). Пусть Хк = kh = 1, тогда
у(хк) - ук = е - (1 + h)l/h = е - ехр [±1п(1 + /г)] =
e(l-exp[-£ + 0(/i2)]) = |/i + 0(/i2).
_ е
Ответ: С\ = - .
7.9. Ответ: С\ = 0.
7.10. Указание.
Ук = 2/о
М2 к /*i пк
Мг - Mi М2 - Mi
+ yi
1 fc 1 fc
"Ml + M2
М2 - Mi М2 ~ Mi
153

где /ii,2 - корни уравнения /х2 + 2/г/х —1=0:
/ii = -/Н-\Л + >*2 = 1-/г+у+0(/i4), M2 = - (1 + Л + !j\ +0(h4).
Ответ: с\ = 0.
7.11. Ответ: Эта схема неустойчива, нет сходимости.
7.12. Ответ: Например,
v>k+\-Uk , -Ufc+i-fUfc sin(2/i(fc + 1)) +sin(2/ifc)
h + 5 2 = 2 ' "° = 2-
7.13. Ответ: -^LyWfc).
7.14. Ответ:
n n n n
^a.i = 0, ^m_i = 0, ^TVa_i = 2, У^б-i = l.
г=0 i=0 i=0 i=0
/l4
7.15. Ответ: Главный член погрешности: - ТуТХУ (€) •
7.16. Ответ: р = 2.
7.17. Ответ: a = 7 = 1/12, (3 = 5/6.
7.18. Решение. Из формулы Тейлора имеем
h2
u(h) = u{0) + hu(0) + у и"(0) + 0(/г3) ,
откуда следует
ц,(0) = ц(/0-Ы0)_/>ц„(0) + о(/>2)
Из исходного уравнения имеем
-t*"(0) = /(0)-p(0)tio.
Следовательно
atl(0) + b ("<*> - "(0) + h {т _тт)^ = с + 0(fe2)
Искомая аппроксимация имеет вид
\а - - Ьро) и0 + 6 —^— = с - - 6/о .
154

7.19. Решение. Собственные значения разностной задачи
имеют вид
= — Лу», y0 = 2/N=0, h=l/N
\{m) = jp sin-5 -£-, m = 1, ... , N - 1.
Можно проверить, что
Л . -А(1) - — sin2— >4 Л -А^-1^ —
Выше было использовано неравенство
ein|0|>||/9| при |/3|<|.
Отсюда следует порядок обусловленности системы.
Исходная задача записывается в виде А у = /, или, в силу
невырожденности матрицы А: у = А"1/, Отсюда получаем неравенство
для евклидовой нормы векторов:
\\У\\2<\\А-%Ш2.
Подчиненная матричная норма имеет вид: ||Л||2 = \/Атах(ЛтЛ). В
нашем случае
и выполнение неравенства Лт»п(^4) > С с постоянной, не зависящей
от Л, по определению означает устойчивость схемы.
7.20. Решение. Введем обозначение
,/ ч _ 2/i+l ~2l/i +Уг-1
И*) &
и покажем, что если 1(у%) < 0 при г = 1,..., N — 1 и уо = ум = 0, то
yi > 0 при всех г.
Пусть d = min у» < 0 и q — такое наименьшее целое, что t/9 = d.
i
Тогда yq~\ > d, yg+i > d и
/(y<)=(y,+1-d) + (y,-1-d)>Q
Полученное противоречие доказывает, что у» > 0 при всех г.
155

Следующий шаг — доказательство неравенства
.max |у,|<-У, где У = max \l(yi)\.
0<i<N 8 0<t<N ' '
Введем для этого функцию
т=г^^У, i = 0,...,N,
удовлетворяющую условиям гщ > 0 и l(wi) = — У. Теперь для
функций Wi ± yi справедливо
l(wi ± у») = -У ± l(yi) < 0, wo ± Уо = wn ± yN = 0.
Поэтому использование доказанного выше свойства дает Wi±yi > О,
откуда и следует искомая оценка
Ы < Wi < max Wi < - У .
0<»<N 8
Последний этап — определение величины У в уравнении для
погрешности и(х«)—у%- Для этого запишем уравнение для погрешности,
используя формулу Тейлора
/(«(хо-»о = §«Н)«о = -§я«о-
Отсюда У = —г max |/"(x)L что и приводит к искомой оценке.
12 [o,i] ' '
7.21. Ответ: Схема устойчива, так как для разностного аналога
второй производной имеем следующие собственные значения:
л° л?вт 2/7 ■ m = 1-"7V-1'
поэтому для исходной задачи Amin > 4 — 3 = 1.
7.22. Ответ: 1) Нет, 2)да.
7.23. Ответ:
1) Порядки аппроксимации разностной схемы и аппроксимации
на решении равны 0(h2). Ответ не изменится, если т = (a(x»+i) +
o(x«))/2,/4 = (/(a:i+i) + /(x4))/2.
2) Порядок аппроксимации на решении — 0(/i2), порядок
аппроксимации — О (h).
7.25. Ответ: с > -тг2.
156

7.27. Решение. Запишем квадратичный функционал,
соответствующий исходной задаче,
1
J (и) = J (к(х) (и)2 + р(х)и2 - 2f{x)v\ dx,
о
а приближенное решение будем искать в виде:
N
uh = ]P otnpi(x), Nh=l.
Далее подставим ин в J и рассмотрим систему:
Ц&±=0, l<i<N.
OOii
Нас интересует последнее уравнение системы (при i = N):
CLOLN-l +boLN = С,
где
1
а= / {к{х)фц-цр'н +p(x)<pN-i<PN)dx,
0
1 1
Ь = / (fc(ar) (^лг)2 + p(s)v>nJ <&, с = / f(x)ipNdx.
о о
Напомним формулу для </?лг(ж):
f 0 при 0 < ж < хлг-1 = 1 — Л,
^' v ' | т При Xflf-\ <Х <Хц = 1\
Эта базисная функция отлична от нуля только на отрезке [1 — /1,1],
поэтому область интегрирования резко сужается, и потребуется
только часть функции (pN-i(x):
1-х
у?лг-1 (х) = —-— при 1 — h < х < 1.
а
В случае постоянных коэффициентов к(х) = к} р(х) = р величины
а, 6, с определяются так:
1
к , ph , к t ph f et xx - 1 -f hA
l-ft
157

Для сравнения приведем аппроксимацию второго порядка
методом конечных разностей:
а\ un-\ + 61 un = с\ ,
где
к , к ph h г
а1 = "Л' b=h + T' Cl=2/N-
7.28. Указание. Рассмотреть коэффициент при 2е в
неравенстве J(u) < J {и + £v)y справедливом при е любого знака и любом
veU.
7.29. Ответ: UN ~Ц"~1 + £(cos(l) + 1) - 3uN = 1.
7.30. Указание. Особенностью задачи являются условие
ограниченности решения в нуле и сдвинутая на /г/2 сетка. Во внутренних
узлах схема будет иметь обычный вид:
1 1 Г Ui+i - щ и% -Uj-i 1 . .
-7ЛЬ+1/2~~Й rl.1/3—ir-\=f(rt))l<t<N-l.
Построим уравнение при г = 0 (г = h/2). Умножим уравнение на г и
проинтегрируем его от е до h:
/[|('£)+'H*"°-
Переходя к пределу при е —► 0 и используя условие ограниченности,
получим:
h
г f(r)dr = 0.
о
Теперь аппроксимируем полученное выражение в точке
du\ f
dr\r=h J
г = /г/2:
ui-uo h
—Г" +2/о-°-
7.31. Решение. Во внутренних узлах схема будет иметь вид,
как в предыдущей задаче (разница в определении только Г{). Правое
краевое условие: uyv = 0, а левое будет иметь вид
158

h/2
если интеграл f r J(r)dr заменить на выражение /i2/8/(/i/4).
о
7.32. Решение. Представим исходный оператор в виде двух
слагаемых:
IA (г£\ d l d
г dr \ dr) dr2 r dr '
и учтем, что для гладкой четной функции и(г) ее производная в нуле
равна нулю. В этом случае из формулы Тейлора следует:
du
dr
dPu
r=e € dr2
+ 0(e2).
Подставляя это выражение во второе слагаемое и переходя к пределу
при е —► 0, получим
г dr dr2
Запишем теперь стандартную аппроксимацию для второй
производной:
ш — 2 ио + «-
-2-
h2
^-Л.
Учитывая четность и~\ = t*i, отсюда получим:
—^-+4/о-°'
8.1. Ответ: 0(т + h), r/h = а.
,+* + £
8.2. Ответ:
L,/ ^7 "Г 'Ьу) » / '*• — **•
о(,+Л>+£).
~ Л 1
8.3. Ответ: При а < О и г = — существует схема с порядком
N
аппроксимации 0(/i2).
8.4. Ответ: и\п = ip(mh) + т [<px(m/i) + /(ш/i, 0)].
8.5. Ответ: 0 = - - —.
2 2т
8.6. Указание. Разностная схема
г +2
2Л 2/i
= 0
имеет порядок аппроксимации О (г2 + h2). Ее главный член
погрешности можно исключить, применяя разложение в ряд Тейлора в
точке (Xm, tn+l)) и аппроксимируя производную по переменной х с
четвертым порядком на шаблоне из точек xm> xm±i, £m±2-
159

8.7. Решение. Данная схема имеет порядок аппроксимации
0(t+/i). Подставим в нее общий вид частного решения гС = Лп eim v.
В результате будем иметь
у а = 0.
Т П
После сокращения на \п ехгп<р получим
+а г =0»
г h
откуда следует
A(„) = l-2j: + ^e(-iV).
Пусть а > 0. Тогда при 0 < — < 1 имеем |А(у?)| < 1 —~ + — = 1,
т.е. схема устойчива при выполнении указанных выше условий. При
—- = у > 1 получим А(7г) = 1 — 27 < — 1, т.е. в этом случае схема
п
неустойчива.
Таким образом, разностная схема условно устойчива.
Отметим, что аналогичные рассуждения справедливы при а < 0
для схемы
л.71+1 „.Л „,** Л,П
Г /&
8.8. Решение. Данная схема имеет порядок аппроксимации
0{т + Л2). Как и в случае 8.7, получим
АЫ = 1 - g (е^-е-'о) = 1 -i^sin^,
откуда следует, что
max
l*Ml-Ki)|-iA+Tr-
Пусть т = Ah2. Тогда |л (|) I < е**Ч
Обратим внимание, что исследование устойчивости с помощью
спектрального признака фактически позволяет находить искомые
законы стремления г и h к нулю.
8.9. Ответ: \(<р) = ± (l - 2£) е1* + ± (l + у) е"1* = cosy> -
—i sin vp . Схема устойчива (|Л(</?)| < l) при выполнении условия
h
160

8.10. Ответ: А(у>) = 1 - i(ar/h) sin<^+ (a2r/h2)(cosy?- 1). Схема
устойчива при выполнении условия Щ— < 1.
(CLT CLT \ ~
1 + -7 /Ге ' 7 ' Введем
обозначения 6 = sup |Л(у>)| и ат/h = 7- Тогда
0<ifi<2ir
— при а > 0 или при у < —1 выполнено 6 < 1, т.е. схема
устойчива,
— при —1 < 7 < 0 выполнено S = тт -г > 1, т.е. схема неустой-
127 + !|
чива.
8.12. Ответ: \(ip) = ( 1 + — i sin<pj . Поскольку |A(v?)| < 1,
то схема устойчива при любых т и Л.
ат
8.13. Ответ: А(<р) = cosy? ——isiny?. Схема устойчива (|А(у>)| <
п
1) при выполнении условия Щ— < 1. (Сравнить с 8.9).
8.14. Ответ: Схема безусловно устойчива.
8.15. Ответ: При 0 < в < -.
8.16. Ответ: 9 > \ - £-.
- 2 2т
8.17. Ответ:
8.18. Решение. "Косой крест" — это обычный "крест" с шагом
y/2h в системе координат, полученной поворотом исходной на 7г/4.
h2 1
Ответ: Д* = Ai +Л2 + — Л1Л2, или ао.о = — 2 и akj = 7: в остальных
случаях. Погрешность аппроксимации — 0(h2).
8.19. Решение. Вторую производную функции и(х,у) в любом
требуемом направлении можно выразить тремя вторыми производ-
д2и д2и д2и
ными: дх>> ду^ дхду'
Введем новые координаты хп и уп (индекс п означает "новые"):
х = хп cos в — уп sin 0, у = хп sin в + уп cos ^.
Геометрически это обозначает, что начальная координатная система
поворачивается против часовой стрелки на угол в относительно
начальных осей. Поэтому вторая производная и(х, у) в направлении в
161

вычисляется так
дх2 " дхп \дх ' дхп + ду ' дхп) " дхп \C°SUdx +Sln°ty) =
= (Сс*0#+5т0#Л u = cos20^+sin2*ft + 2sin0cos0^L.
^ Эх ду ) дх2 ду2 дхду
Обозначим основные направления линий из узла сетки через а, 6, с.
Значения угла в для этих трех направлений будут соответственно
0,7г/3 и 27г/3. Теперь оператор Лапласа можно выразить через
частные производные второго порядка по данным направлениям. Имеем:
д2и д2и
да2 дх2'
д2и = 1 д2и 3 д2и у/3 д2и
дЪ2 4 дх2 Аду2 2 дхду'
&и = 1(Уи 3 д2и у/3 д2и
дс2 4 дх2 + 4 ду2 2 дхду'
Сложив эти равенства, получим
fPu &и сРч 3 (дЫ &и\
да2 + дЬ2 дс2 2 \дх2 ду2)'
Далее заменим вторые производные по направлениям a, b и с
обычными аппроксимациями второго порядка:
2ti0 + ui) + O(/i2),
2t/0 + u2) + O(/i2),
2uo + из) + 0(/i2),
где u» — значения в соседних с хо узлах решетки, отстоящих на
расстояние h (нумерация ведется против часовой стрелки). В результате
будем иметь искомую аппроксимацию оператора Лапласа
9
(S)o=^(M4
162

8.20. Ответ:
л h / л \ 16. 271"
Апи{Л0) = т? sin" -
h2 n
fc=i
8.21. Ответ:
Ux + Л2 + у AiA2) ,* = / + ^ (Л! + Аа) /.
8.22. Ответ:
-^-г—— - тг (/o.j - A2ik>,j) - auoj = О, Ut.j = u(ihijh2).
r 1
8.23. Ответ: при — = -.
пг о
1 h2
8.24. Ответ: при 0 = - — -г—.
2 12т
8.25. Ответ: 0(т2 + /*4).
8.27. Решение. Схема имеет порядок аппроксимации 0(r±h2).
Введем обозначение р = т/h2 и перепишем схему в удобном для
анализа виде
tC+1 = (1 - 2р) С + р(iC+i + *C_i) + т/£ .
Поскольку максимальные значения обеих частей равенства по m сов-
^ 1
падают, то при р < - имеем
К+1|| < (1-2р)||и»||+2р|К||+т||/п|| = К||+г||Г||<
< И^^И + тОт + ИГ-1!!)^.-.
< Ml + Е т||/*|| < ||u°|| + (n + 1) т max ||Щ .
*=о n
Следовательно, схема удовлетворяет условию устойчивости с с =
г 1
(п + 1)т = £ при условии — < -.
8.28 Решение. Схема имеет порядок аппроксимации
0(r + /i2). В данном случае удобная для анализа форма записи
имеет вид
C+1 + p (-ct1, + 2tC+1 - «ЯД) = «5. + ^/-+1 •
163

Теперь из всех значений it^+1, по модулю равных ||ип+1||, выберем
такое, у которого индекс тп принимает наименьшее значение. В этом
случае имеем
КЧ>К-Ч и кч>|гс^
Отсюда |2гС+1| > (\K?-i\ + |*С1н|)> и знак выражения 2и^1 -
ujjjt.1! — u^f+i совпадает со знаком и^*1, т.е.
1К+1ИЧ<+11
< К+1 +р(2«Г "<+Л -С++\)| = К + тЛ+1|-
Таким образом, при любых шагах сетки г и h справедливо ||-un+11| <
J|itn|| + т||/п+11|. Дальнейший вывод оценки устойчивости
выполняется по аналогии с решением 8.27.
8.29. Ответ: Сходимость имеет место только при выполнении
условия устойчивости: р < 1/2, при этом имеем порядок сходимости
0(т + /г2) для р ф 1/6 и 0(т2 + hA) для р = 1/6.
8.30. Решение. При выполнении этого условия среди
частных решений вида и^ = /х£ sin(nmhq) найдется номер q такой, что
!м«1т —* °°> при т —* о.
8.31. Указание. С помощью частных решений вида и1^ = /х£ у^
показать, что схема неустойчива для всех тиЛ.
8.32. Решение. Введем оператор
Aum лз •
Во избежание избыточных обозначений будем также понимать
под Л матрицу, которая ставит в соответствие вектору ип =
(0,ti?>...,ti5Jf_ll0)T вектор Аип = (0,Ли?,... ,Л^_1,0)т. Тогда
рассматриваемую схему можно записать в виде
un+l = Sun = 5n+1u° , где S = (/ - tSA)'\I + т(1 - <5)Л),
а / обозначает единичную матрицу.
Вспомним решение задачи на собственные значения
Avm = — wm, 1 < тп < М — 1, Mh = Z, vq = vm = 0.
Его можно записать в форме
(к) /2 . /птпк\ (к) 4 . 2 я"М* 1 ^, ^ ,, ,
164

Воспользовавшись фактом, что матрица (/ + 0A)±l имеет ту же
систему собственных векторов, что и Л, мы можем выразить
собственные значения матрицы 5 через величины и^к). Действительно, пусть
Sy = Л у. Возьмем в качестве у вектор г/*\ тогда для
соответствующего A(fc) получим явное выражение
Отсюда также следует, что матрица S является симметричной, так
как имеет представление S = QDQ"1i где столбцами ортогональной
матрицы Q являются векторы i/fc\ a D — диагональная матрица,
состоящая из соответствующих А***. Матричная норма
IH||=supigl,
х*0 11*11
подчиненная векторной евклидовой норме, равна \\А\\г =
у/^т&х(АтА). Причем для симметричной матрицы выражение
упрощается: \\А\\2 = тах|А(Л)|. Метрика Ьъ.ъ. отличается от
евклидовой только множителем /i, поэтому справедливо
№a,b=ma*|A(fc>(S)|.
Выясним теперь, когда ||5||ьа,н < 1 :
" 1 + т<М*> - '
для к = 1,2,... , М - 1. Так как т,и^ > О, 5 > 0, то знаменатель
всегда положителен, поэтому
- (1 + т8и{к)) < 1 - т(1 - 6)vw < 1 + т6и{к).
Заметим, что правое неравенство выполнено всегда, значит,
содержательным является левое. Перепишем его в виде
т(1 - 26)и{к) <2.
При 1/2 < 8 < 1 это неравенство выполнено при любом г, а при
О < 8 < 1/2 возникает ограничение
Г- (l-2(5)maxi/(fc> 2 -48'
165

Из полученной выше формулы ип = Snu° следует
НЛк,,. < l|Si|Zaij|«°|k2,h.
Поэтому для всего диапазона 6 6 [0,1] имеем устойчивость в метрике
Z/2,/i с постоянной с = 1. Ответ: для - < 6 < 1 схема устойчива при
1 /г2
любых г и Л, а для 0 < <5 < - при выполнении условия г < -
Отметим, что здесь в основу решения был положен следующий
принцип: все собственные значения оператора перехода должны по
модулю не превышать единицу. Это ограничение можно ослабить до
величины 1 + ~fT с постоянной 7> не зависящей отти/i (аналогично
спектральному признаку для гиперболических уравнений). В этом
случае постоянная с в определении устойчивости примет значение
8.33. Ответ: Схема устойчива для всех т и h и может быть
преобразована к виду
„,п+1 Л,л—1 ,-.2 Л,п+1 оЛ.п 1 *.п— * „я 9-»,n _i_ 4*п
Цщ - Цт Т_ Um — 2ит + Цт _ Цщ-Н - *цт +Цт-1
2т /г2 г2 /i2
166

Литература
1. Арушанян И.О., Чижонков Е.В. Материалы семинарских
занятий по курсу "Методы вычислений". Второе издание /под
ред. О.Б. Арушаняна — М.: Изд-во ЦПИ при механико -
математическом факультете МГУ, 1999. (Первое издание - 1998).
2. Бабенко К. И. Основы численного анализа. —- М.: Наука,
1986.
3. Бахвалов Н.С Численные методы. — М.: Наука, 1975.
4. Бахвалов Н.С, Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные
методы в задачах и упражнениях. Учеб. пособие. /Под ред. В.А.
Садовничего — М.: Высш.шк. 2000.
5. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные
методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
6. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.:
Наука, 1977.
7. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. — М.:
Мир, 2001.
8. Дробышевич В.И., Дымников В.П., Ривин Г.С Задачи по
вычислительной математике. — М.: Наука, 1980.
9. Корнев А.А., Чижонков Е.В. Упражнения по численным
методам, ч.1, ч. II /под ред. Н.С. Бахвалова — М.: Изд-во ЦПИ
при механико - математическом факультете МГУ, ч.1 - 2002,
ч.И - 2003.
10. Кунц К.С Численный анализ. - Киев: TEXHIKA, 1964.
11. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. —
М.: Наука, 1980.
12. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука,
1983.
13. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А.
Задачи и упражнения по численным методам. — М.: Эдиториал
УРСС, 2000.
14. Самарский А.А., Николаев Е.С Методы решения
сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.
15. Тыртышников Е.Е. Краткий курс численного анализа.
- М.: ВИНИТИ, 1994.
16. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир,
1989.
167

Арушанян Игорь Олегович
Корнев Андрей Алексеевич
Чижонков Евгений Владимирович
Задачи и упражнения по курсу "Численные методы"
М., Издательство Центра прикладных исследований при
механико-математическом факультете МГУ, 2006. - 167 с.
Оригинал макет изготовлен издательской группой
механико-математического факультета МГУ
Подписано в печать 15.06.2006 г.
Формат 60x90 1/16. Объем 10,5 п.л.
Заказ 11 Тираж 600 экз.
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете
МГУ, г. Москва, Воробьевы горы.
Лицензия на издательскую деятельность ИД 04059 от
20.02.2001 г.
Отпечатано на типографском оборудовании
механико-математического факультета