Введение в теорию разностных систем - Самарский А.А.

Author: Самарский А.А.
Tags: математическая физика вычислительная математика издательство наука главная редакция физико математической литературы
Year: 1971
Similar
Теория разностных схем
Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления
Введение в теорию устойчивости движения
Введение в теорию ароматов
Text
                    A. A. Самарский
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1971.
В книге излагаются современные методы разностного решения задач
математической физики и относящиеся сюда вопросы теории разностных схем.
Книга включает следующие разделы: однородные разностные схемы для
решения одномерных уравнений параболического и гиперболического типов,
разностные схемы для уравнений эллиптического типа, теория устойчивости
разностных схем, экономичные методы решения многомерных задач
математической физики, итерационные методы решения разностных уравнений.
В книге содержится значительное количество примеров, иллюстрирующих
основные положения теории и способствующих более глубокому ее усвоению.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов, специализирующихся в области
вычислительной математики, а также на научных сотрудников и инженеров,
связанных с численным решением задач математической физики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	7
Основные обозначения, принятые в книге	11
Глава Г Предварительные сведения	13
§ 1. Основные понятия	13
1. Сетки и сеточные функции (13). 2. Разностная аппроксимация
простейших дифференциальных операторов (17). 3. Погрешность
аппроксимации на сетке (25). 4. Постановка разностной задачи (29).
5. О сходимости и точности схем (31). 6. Метод аппроксимации
краевых и начальных условий (34). 7. Примеры устойчивых и
неустойчивых разностных схем (38). 8. О понятии корректности
разностной задачи (40). 9. Решение разностных уравнений методом
прогонки (42).
§ 2. Некоторые сведения о математическом аппарате теории разностных 45
схем
1. Некоторые разностные формулы (45). 2. Отыскание собственных
функций и собственных значений на примере простейшей
разностной задачи (48). 3. Разностные аналоги теорем вложения (53).
4. Метод энергетических неравенств (56). 5. Принцип максимума
(60).
§ 3. Некоторые сведения из функционального анализа	62
1. Линейные операторы (62). 2. Линейные ограниченные операторы в
вещественном гильбертовом пространстве (64). 3. Линейные
операторы в пространстве конечного числа измерений (68).
Глава II. Разностные схемы для уравнений с постоянными	70
коэффициентами
§ 1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами	70
1. Исходная задача (70). 2. Семейство шеститочечных схем (71). 3.
Погрешность аппроксимации (73). 4. Устойчивость по начальным
данным (76). 5. Устойчивость по правой части (80). 6. Сходимость и
точность (82). 7. Метод энергетических неравенств (83). 8. Краевые
условия третьего рода (87). 9. Трехслойные схемы для уравнения
теплопроводности (89).
§ 2. Разностные схемы для уравнения колебаний струны	92
1. Постановка разностной задачи и вычисление погрешности
аппроксимации (92). 2. Исследование устойчивости (95). 3. Метод
энергетических неравенств (101).
Глава III. Однородные разностные схемы	103
§ 1. Однородные схемы для стационарного уравнения с переменными 103
коэффициентами
1. Введение (103). 2. Исходная задача (105). 3. Трехточечные схемы
(106). 4. Пример схемы, расходящейся в случае разрывных
коэффициентов (108). 5. Интегро-интерполяционный метод (метод
баланса) построения однород-
ных разностных схем (111). 6. Однородные консервативные схемы (114).
7,	Исходный класс консервативных ахем. Шаблонные функционалы
(116). 8. Разностная функция Грина (119). 9. Априорные оценки
(122). 10. Погрешность аппроксимации в классе непрерывных
коэффициентов (125). 11. Погрешность аппроксимации в классе
разрывных коэффициентов (127). 12. О сходимости и точности (130).
13. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках (130).
14. Точная схема. Схема любого порядка точности (140). 15.
Монотонные схемы для уравнения общего вида (145). 16. Третья
краевая задача (148). 17. Коэффициентная устойчивость разностных
схем (149). 18. Однородные схемы для уравнения в цилиндрической
и сферической системах координат (152). 19. Задача с условиями
периодичности (163). 20. Разностная задача Штурма — Лиувилля.
Постановка задачи и основные свойства (168). 21. Разностная задача
Штурма — Лиувилля. Оценка скорости сходимости (178).
§ 2.	Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с 185
переменными коэффициентами
1.	Однородные разностные схемы (185). 2. Погрешность
аппроксимации (189). 3. Погрешность аппроксимации в классе
разрывных коэффициентов (190). 4. Устойчивость и априорные
оценки (192). 5. Сходимость и точность (197). 6. Однородные схемы
на неравномерных сетках (201). 7. Монотонные схемы для
параболических уравнений общего вида (206). 8. Цилиндрически- и
сферически-симметричные задачи теплопроводности (207). 9. Третья
краевая задача (211). 10. Периодическая задача (212). 11.
Квазилинейные уравнения (214).
§ 3.	Однородные разностные схемы для уравнений гиперболического типа 219
1. Однородные разностные схемы (219). 2. Погрешность
аппроксимации (221). 3. Устойчивость и сходимость (222).
Глава IV. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа	226
§ 1.	Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона	226
1.	Разностная аппроксимация оператора Лапласа (227). 2. Разностная
задача Дирихле в прямоугольнике (230). 3. Разностная задача
Дирихле в области сложной формы (2?2). 4. Запись разностного
уравнения в канонической форме (237). 5. Принцип максимума
(239). 6. Оценка решения неоднородного уравнения (242). 7. Оценка
решения разностной задачи Дирихле (244). 8. Равномерная
сходимость и порядок точности разностной задачи Дирихле (247). 9.
Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона
(249).
§ 2.	Некоторые оценки для разностных операторов, аппроксимирующих 252
дифференциальные операторы эллиптического типа
1.	Разностный оператор Лапласа в прямоугольной области (252). 2.
Оператор Лапласа в области, составленной из прямоугольников
(258). 3. Операторы с переменными коэффициентами (259). 4.
Оператор со смешанной производной (260). 5. Схема повышенного
порядка точности для эллиптического уравнения со смешанными
производными (263).
Глава V. Общие формулировки. Операторно-разностные схемы	268
§ 1. Разностные схемы как операторные уравнения в абстрактных	268
пространствах
1. Разностные схемы как операторные уравнения (268). 2.
Устойчивость разностной схемы (275). 3. Сходимость и
аппроксимация (276). 4. Некоторые априорные оценки (279). 5.
Коэффициентная устойчивость уравнений первого рода (289).
§ 2. Операторно-разностные схемы	292
1. Введение (292). 2. Операторно-разностные схемы (293). 3.
Каноническая форма двухслойных схем (294). 4. Канонические
формы трехслойных схем (295). 5, Понятие, устойчивости (295). 6.
Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в линейных
нормированных пространствах (297),
Глава VI. Теория устойчивости разностных схем	301
§ 1. Классы устойчивых двухслойных схем	301
1. Постановка задачи (301). 2. Исходное семейство схем (302). 3.
Энергетическое тождество (303). 4. Устойчивость по начальным
данным в НА (303). 5. Устойчивость по начальным данным в Нв
(305). 6. Необходимые и достаточные условия устойчивости по
начальным данным (306). 7. Метод разделения переменных (309). 8.
Некоторые вспомогательные неравенства (311). 9. Устойчивость по
правой части (312). 10. Устойчивость схемы с весами (314). И.
Априорные оценки в случае переменного оператора Л (320)г. 12.
Пример (322).
§ 2. Классы устойчивых трехслойных схем	324
1. Постановка задачи (324). 2. Основное энергетическое тождество
(326). 3. Устойчивость по начальным данным (327). 4. Устойчивость
по правой части (329). 5. Схемы с переменными операторами (333).
6. Схема с весами (335). 7. Примеры (337). 8. Другие априорные
оценки (338). 9. О регуляризации разностных схем (345). 10. О
работах по устойчивости разностных схем (348).
Задачи к главе VI	351
Глава VII. Экономичные разностные схемы для многомерных задач	356
математической физики
§ 1.	Метод переменных направлений (продольно-поперечная схема) для 356
уравнения теплопроводности
1.	Об экономичных схемах (356). 2. Схема переменных направлений
(продольно-поперечная схема) (359). 3. Устойчивость (361). 4.
Сходимость и точность (364). 5. Схема, для уравнения с
переменными коэффициентами (364).
§ 2.	Экономичные факторизованные схемы	367
1.	Схемы с факторизованным оператором (367). 2. Краевые условия
(369). 3. Построение экономичных факторизованных схем (370). 4.
Схемы расщепления как факторизованные схемы (374). 5.
Трехслойные факторизованные схемы (376). 6. Схема повышенного
порядка точности для уравнения параболического типа с
эллиптическим оператором, содержащим смешанные производные
(381). 7. Экономичные схемы для систем уравнений параболического
и гиперболического типов (387).
§ 3.	Метод суммарной аппроксимации	394
1.	Составные схемы. Суммарная аппроксимация (394). 2. Методы
построения аддитивных схем (397). 3 Аппроксимация
«многомерной» задачи Коши системой «одномерных» задач Коши
(400). 4. Методы оценки сходимости аддитивной схемы (407). 5.
Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности в
произвольной области (413). 6. Погрешность аппроксимации
локально-одномерной схемы (417). 7. Устойчивость локально-
одномерной схемы (418). 8. Равномерная сходимость локально-
одномерной схемы (423). 9. Локально-одномерная схема для
уравнений с переменными коэффициентами (425). 10. Продольно-
поперечная схема как аддитивная схема (427). 11. Локально-
одномерные схемы для многомерного гиперболического уравнения
второго порядка (429). 12. Аддитивные схемы для систем уравнений
(438).
Задачи к главе VII	443
Г лава VIII. Итерационные методы решения разностных эллиптических 449
уравнений
§ 1.	Двухслойные итерационные схемы для разностной задачи Дирихле 449
1. Итерационные схемы (449). 2. Схема простой итерации (явная
схема) (454). 3. Неявный метод переменных направлений
(продольно-поперечная схема) (457). 4. Выбор итерационных
параметров (461). 5. Итерационная схема для разностной задачи
Дирихле повышенного порядка точности (466). 6. Метод
переменных направлений для трехмерной задачи Дирихле (470).
§ 2.	Теория итерационных двухслойных схем общего вида	475
1.	Итерационная схема с чебышевским набором параметров (475). 2.
Основная теорема для стационарных схем (490). 3. Вычисление
нормы оператора перехода двухслойной схемы с весами (491). 4.
Неявный метод переменных направлений для случая
неперестановочных операторов (492). 5. Факторизованные
итерационные схемы (497). 6. Факторизованный оператор В с
перестановочными операторами R\ hR2 (501),
§ 3.	Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных	503
уравнений
1.	Метод переменных направлений в случае несамосопряженных
операторов (503). 2. Случай несамосопряженного оператора
перехода (505). 3. Оценка ||5| | при увеличении объема информации
(506). 4. Неявный метод наискорейшего спуска и метод
минимальных поправок (509). 5. Двухступенчатый метод (513).
§ 4.	Трехслойные итерационные схемы	517
1.	Постановка задачи (518). 2. Выбор итерационных параметров
(519). 3. Явная схема (521). 4. Оценка скорости сходимости явной
схемы (522). 5. Априорные оценки для неявной схемы в
энергетических пространствах 7Л, иНв (525). 6. Факторизованные
схемы (526). 7. Двухступенчатый метод (527).
Дополнение. Некоторые варианты метода прогонки	529
§ 1.	Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно 529
меняющимися коэффициентами
§ 2.	Матричная прогонка	532
§ 3.	Циклическая прогонка	535
Литература	538
Предметный указатель	551
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аппроксимация оператора 278
—	разностная 18
—	суммарная 397
Интегро-интерполяционный метод
111
Исходное семейство разностных схем
303, 320
Итерационная схема 449
-----двухслойная 452
-----продольно-поперечная 457
-----Ричардсона 479
-----стационарная 490
-----трехслойная 517
-----факторизованная 497, 526
Итерационный метод
двухступенчатый 513, 527
-----двухшаговый 451
-----для квазилинейных уравнений
216
-----одношаговый 451
Каноническая форма двухслойной
разностной схемы 294
-----трехслойной разностной схемы
295
Корректность разностной задачи 41,
275, 296
Коши — Буняковского неравенство
48
-------обобщенное 66
Краевая задача первая 226, 230, 235
-----с условиями периодичности
163, 212
-----третья 34, 35, 87, 148, 211, 239,
287
Липшица условие 195, 320
Метод баланса 111
— выделения стационарных
неоднородностей 199
— итерационный одношаговый,
двухшаговый 451
---минимальных поправок 503
— наискорейшего спуска 509
Метод переменных направлений 359
-------итерационный 457, 492
— приближенной факторизации 370
—	прогонки 42
-----матричной 532
-----потоковой 529
-----циклической 535
—	простой итерации 454
—	разделения переменных 76, 309
—	расщепления 374
—	расщепляющегося оператора 370
—	суммарной аппроксимации 397
—	установления 450
—	энергетических неравенств 56, 83,
101
Норма негативная 26, 66
—	оператора 63
—	сеточная 16
Окрестность узла сетки 239
Оператор Лапласа разностный 227,
252
—	линейный 63
—	обратный 63
—	перехода 295
—	положительный 64
—	постоянный 302
-----разрешающий 298
—	сопряженный 65
—	треугольный 347
— факторизованный 367
Операторы энергетически
эквивалентные 263
Оценка априорная 42
Параметры итерационные 452, 461,
-----«по Жордану» 462
-----циклические 463
Погрешность аппроксимации 19, 277
-----на решении дифференциальной
задачи 29
-----оператора 25
Принцип максимума 60, 239
— суперпозиции 98, 336
Пространство сеточных функций 16
— энергетическое 66
Разностная производная 18, 19
— схема 29, 275
-----аддитивная 395
-----двухслойная 72
-----Дюфорта — Франкела 89, 337
-----консервативная 110, 111
-----локально-одномерная 407, 413
-----монотонная 146, 206
-----наилучшая 119, 131
-----неявная 31, 73
-----однородная 103, 105, 106, 201,
219
-----Писмена — Рекфорда 360
-----повышенного порядка точности
71, 249
-----предиктор-корректор 217
-----Ричардсона 89
-----Саульева 323
-----с весами 71, 220
-----с расщепляющимся оператором
368
-----сквозного счета 218
-----составная 395
-----точная 140
-----трехслойная 37
-----усеченная 144
-----факторизованная 368
-----шеститочечная симметричная
73, 188
-----экономичная 358
-----явная 31, 72, 188
Регуляризатор 345
Регуляризация разностных схем 345
Сетка 14
—	квадратная 231
—	неравномерная 15, 24
Сетка прямоугольная 231
—	равномерная 14
—	связная 234, 239
Скорость сходимости 33, 277
Слой 72
Стефана задача 218
Схема разностная см. Разностная
схема
Сходимость итераций 455
— разностной схемы 33, 277
Теорема вложения разностная 53, 257
Точность разностной схемы 277
Узел сетки 14, 230, 232
-----внутренний 15, 230, 232, 233
-----граничный 15, 230, 232
-----нерегулярный 233
-----приграничный 233
Устойчивость абсолютная 79
—	абстрактной задачи Коши 293
—	безусловная 79
—	двухслойной разностной схемы
296, 305, 309
—	коэффициентная 149, 289
—	по начальным данным 76, 298
—	разностной схемы 33, 41, 275
—	трехслойной разностной схемы
325
—	условная 79
Формула Грина разностная 47, 255
—	разностного дифференцирования
45
—	суммирования по частям 46
Функционал шаблонный 105, 116
Функция Грина разностная 119, 120
— сеточная 14
Шаблон 18
—	нерегулярный 24
—	пятиточечный нерегулярный 228
—	регулярный 227
Шаг сетки 14
ПРЕДИСЛОВИЕ
Значительное число задач физики и техники приводит к ли-
нейным и нелинейным дифференциальным уравнениям в част-
ных производных (уравнениям математической физики). Уни-
версальным и чрезвычайно эффективным методом решения за-
дач математической физики является метод конечных разностей
или метод сеток. Он позволяет сводить приближенное решение
уравнений в частных производных к решению систем алгебраи-
ческих уравнений.
Настоящая книга представляет собой введение в теорию
разностных схем. В ней дается по-возможности элементарное и
систематическое изложение основных принципиальных вопросов
теории, иллюстрируемых на простейших задачах математической
физики для уравнений параболического, гиперболического и эл-
липтического типов. При этом рассматриваются прежде всего те
схемы, которые представляют практический интерес, т. е. при-
годны для решения конкретных задач на ЭВМ. Это — однород-
ные разностные схемы, устойчивые на любых допустимых сет-
ках и пригодные для решения классов задач при помощи одних
и тех же вычислительных алгоритмов.
Поскольку мы рассматриваем лишь простейшие схемы для
уравнений второго порядка, то при решении разностных уравне-
ний используется лишь алгоритм одномерной прогонки (для си-
стем алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей).
Для теории разностных схем типично предположение о том,
что решение исходной задачи для дифференциального уравнения
существует и имеет нужное по ходу изложения число производ-
ных, обеспечивающее максимальный порядок аппроксимации.
Мы не останавливаемся на перечне условий, обеспечивающих
требуемую гладкость решения, отсылая читателя к книгам по
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
общей теории дифференциальных уравнений. Предполагается,
что читатель знаком с основами университетского курса теории
уравнений в частных производных и элементами функциональ-
ного анализа. Перечень некоторых сведений из функционального
анализа в форме, удобной для дальнейшего использования, дан
в главе I.
Понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости пояс-
няются в главах I, II на примерах разностных схем для стацио-
нарных и нестационарных задач теплопроводности (диффузии).
В главе III излагается теория однородных разностных схем
для стационарных и нестационарных одномерных задач тепло-
проводности с разрывными коэффициентами, а также для одно-
мерного уравнения колебаний.
При помощи разностной функции Грина, принципа максиму-
ма и энергетического метода проводится исследование порядка
точности однородных схем в различных классах коэффициентов
дифференциального уравнения.
В главе IV изучается разностная задача Дирихле для урав-
нения Пуассона в произвольной области, а также разностные
аппроксимации для эллиптических операторов с переменными
коэффициентами.
В главах V, VI дается изложение теории разностных схем на
языке функционального анализа. Характерной чертой излагае-
мой теории разностных схем является то, что она позволяет не
только дать обоснование имеющихся разностных схем (доказать
их устойчивость, сходимость, получить оценку порядка точности
и т. д.), но и позволяет сформулировать общие принципы по-
строения разностных схем заданного качества для решения раз-
личных классов задач математической физики.
Разностные схемы трактуются как операторные или опера-
торно-разностные уравнения с линейными операторами, завися-
щими от параметра h (аналога шага сетки) и заданными на
абстрактном линейном нормированном пространстве любого
числа измерений.
Ключевым понятием теории разностных схем является устой-
чивость. Поэтому основное внимание в главе VI уделяется изу-
чению устойчивости двухслойных и трехслойных разностных
схем в гильбертовом пространстве. Найдены эффективные до-
ПРЕДИСЛОВИЕ
9 
статочные условия и получены априорные оценки, выражающие
устойчивость двухслойных и трехслойных схем.
Сформулированы и проиллюстрированы на ряде примеров
правила проверки устойчивости конкретных разностных схем.
Достаточные условия устойчивости позволяют формулиро-
вать общий принцип регуляризации схем для получения разно-
стных схем заданного качества.
В главе VII суммированы результаты многочисленных иссле-
дований, посвященных экономичным методам решения много-
мерных задач математической физики. Экономичные схемы для
нестационарных задач делятся на две группы:
I) факторизованные схемы, обладающие аппроксимацией
в обычном смысле,
2) аддитивные схемы, которые представляют собой систему
простых промежуточных схем, осуществляющую переход со слоя /
на слой / + 1, и аппроксимируют исходное дифференциальное
уравнение в суммарном смысле.
Для каждого типа схем указаны методы исследования ап-
проксимации и устойчивости.
В главе VIII дано изложение итерационных методов решения
уравнений Au = [, где А — линейный (не обязательно самосо-
пряженный) оператор в гильбертовом пространстве.
Теория итерационных методов трактуется как раздел общей
теории устойчивости операторно-разностных схем (двухслойных
и трехслойных). Основное внимание уделяется получению эффек-
тивных оценок скорости сходимости итераций и выбору опти-
мальных параметров. В § 1 гл. VIII дано изложение методов пе-
ременных направлений для решения разностной задачи Дирих-
ле и указаны оптимальные наборы итерационных параметров.
Мы ограничились, в основном, изложением теории разност-
ных схем для линейных уравнений. В этом случае теоретическое
исследование можно провести с достаточной полнотой. В тексте
приведены некоторые схемы для квазилинейных уравнений па-
раболического типа.
В конце книги дан список литературы, не претендующий на
полноту, но позволяющий читателю получить более полное пред-
ставление об объектах и методах исследований, проводившихся
большим числом авторов.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу книги положены лекции, читавшиеся автором
в 1960—1970 гг. в Московском государственном университете
им. М. В. Ломоносова для студентов физического и механико-
математического факультетов. При написании текста исполь-
зовался также конспект лекций в Летней школе по численным
методам в г. Киеве (1966). Эти лекции были изданы на рота-
принте в 1969 г. (А. А. Самарский, Лекции по теории раз-
ностных схем, издание Вычислительного центра АН СССР,
Москва, 1969 г.).
Считаю приятны.м долгом выразить благодарность моему учи-
телю Андрею Николаевичу Тихонову, многолетняя совместная
работа с которым способствовала определению содержания и
характера изложения теории разностных схем. С признатель-
ностью отмечаю помощь, которую оказали при оформлении кон-
спекта лекций в Летней школе В. Б. Андреев, А. В. Гулин,
Л. М. Дегтярев, Т. С. Иванова, И. Н. Молчанов, Ю. П. Попов,
В. Г. Приказчиков, А. П. Фаворский, И. В. Фрязинов. Глубокую
благодарность выражаю А. В. Гулину и И. В. Фрязинову за боль-
шую помощь, оказанную ими при подготовке к печати этой
книги,
А. Самарский
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕ
s>h = {.г. = ih, h>0, /=1, 2,..., jV — 1, hN = /J — равномерная сетка на
интервале (0, /),
й>Л={х; = гА, Л>0, i = 0, \,...,N, hN = /} — равномерная сетка на
отрезке [0, /],
h — шаг сетки coft,
х = х . — узел сетки а>Л,
y = yi = y (х - функция, заданная на coft,
ух = (р(-+1 — у— правая разностная производная в точке х
у- — ^у.~ y^^/h — левая разностная производная в точке .г;,
= (у;+1 — 2р; +	— вторая разностная производная в точке х^
<= (0, /), i = 1, 2,,.., N — 1} — неравномерная сетка на интервале
(°,
йй={х;е[0, /], i = 0, 1, ..N, xQ — 0, xN = i) — неравномерная сетка
на отрезке [0, /],
ht = xt — х.~{ — шаг сетки й>Л,
Bz = 0,5(Ai + Ai+1),
Ух = (j/l+1 -	Ух = (4/f -
y^^i+x-y^v
__4 yi+\~vi _ у1~у1-Л
\ Ai+1	hi )'
Скалярные произведения и нормы на сетке:
jv-i	г________
(.у, «о= 2 yivih’ iizzii = У(.У’ у)>
1-1
______
(у, и] = 2 Урх1’ 11 = }Г{-У’ у1 •
1 = 1
||р|| = max | у(х ) |,
2V-1 i
= 1ih 24-
i=l A-l
/Л1-1 / i	\2\у2
11фИ(-2)= 2 h 2 4J '
\f-l U-l	/ /
12
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕ
. <от = {tj — /т, т>0, / = 0, 1,	—временная сетка,
т — шаг сетки <от,
у = У1 = У У]) — функция, заданная на <от,
S = yi+l = y(ij+i\ у = у}~х = y(tj-x),
yt = (6 ~y)lt, y^ly-Fl/t, Уо = У) - y)/(2r),
У ft = (&-2y + y)/t2,
x = x{ =	x^ a\ ..., x^pP^ — узел р-мерной прямоугольной
сетки (Ой,
Д ®) = Д Z
Ла /дсга»
ha — шаг сетки юЛ по направлению а,
• • •> ха°^ — ^а> • • •’ хр1р^')<
y~y(xt\ р(±'а) = р(л.^±1а)),
и — (г/+1“) — «)/л
Уха 'У У/1,1<Л'
Ух =(y-y^~'a'))iha>
ла
Ухх -=0/+'а)-2у+г/ '“^)/Aq,
Лаха
S2 —множество функций, заданных на некоторой сетке <оЛ и обращаю-
щихся в нуль на ее границе,
Н — гильбертово пространство,
{у, v)— скалярное произведение элементов y,v^H, ||р|| = К(р, у),
ЬЬ (Д) — область определения оператора А,
Si (Д) — множество значений оператора Д,
£ — единичный оператор,
Д: Н -> Н — оператор А с Ф(А) = Н и 5?(Д)е£,
Д* — оператор, сопряженный оператору Д,
Д-1 — оператор, обратный оператору Д,
S — оператор перехода,
Т — разрешающий оператор,
Д> 0 —положительный оператор,
Д 0 — неотрицательный оператор,
А ЪЕ, б > 0 — положительно определенный оператор,
II у IIА = К (Ду, у), у^Н,
1Мл-1 = ]/(Д-1ф, ф), фЕ/Д
Глава 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Настоящая глава носит вводный характер. В §§ 1, 2 на простейших при-
мерах поясняются основные понятия теории разностных схем: аппроксимация,
устойчивость, сходимость и дается представление о некоторых методах ис-
следования устойчивости и сходимости, таких как метод разделения пере-
менных, принцип максимума, метод энергетических неравенств. В § 3 изло-
жены необходимые для дальнейшего вспомогательные сведения из функцио-
нального анализа.
§ 1. Основные понятия
1. Сетки и сеточные функции. Для того, чтобы написать раз-
ностную схему, приближенно описывающую данное дифферен-
циальное уравнение, нужно совершить следующие два шага.
1. Необходимо заменить область непрерывного изменения
аргумента областью дискретного его изменения.
2. Необходимо заменить дифференциальный оператор неко-
торым разностным оператором, а также сформулировать раз-
ностный аналог для краевых условий и для начальных данных.
После осуществления такой процедуры мы приходим к алге-
браической системе уравнений. Таким образом, задача о числен-
ном решении исходного (линейного) дифференциального уравне-
ния сводится к вопросу о нахождении решения полученной ал-
гебраической системы.
Остановимся на этих вопросах несколько подробнее.
При численном решении той или иной математической задачи
мы, очевидно, не можем воспроизвести разностное решение для
всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой об-
ласти евклидова пространства.
Естественно поэтому выбрать в этой области некоторое конеч-
ное множество точек и приближенное решение искать только
14
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[1
в этих точках. Такое множество точек называется сеткой. От-
дельные точки называют узлами сетки.
Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной
функцией. Таким образом, мы заменили область непрерывного
изменения аргумента сеткой, т. е. областью дискретного измене-
ния аргумента; иными словами, мы осуществили аппроксимацию
пространства решений дифференциального уравнения простран-
ством сеточных функций.
Свойства разностного решения и, в частности, его близость
к точному решению зависят от выбора сетки.
Рассмотрим несколько примеров сеток.
Пример 1. Равномерная сетка на отрезке.
Разобьем единичный отрезок [0, 1] на N равных частей. Рас-
стояние между соседними узлами Хг—	= h = 1/N назовем
шагом сетки. Точки деления
о—о  о . о о_________Xi = Иг — узлы сетки. Множество
хо=Оя, хг...	. xN=1 X всех узлов = {Xi = ih, i =
= 1, 2, ..., N—1} и составляет
Рис- 1-	сетку (рис. 1), в данном случае
введенную на отрезке.
В это множество можно включить граничные точки х0 = О,
xN = 1. Обозначим а/; = {х; = ih, i = О, 1, ..., N — 1, N}.
На отрезке [0, 1] вместо функции непрерывного аргумента
у(х) будем рассматривать функцию дискретного аргумента
yit(xi). Значения этой функции вычисляются в узлах сетки Х{,
а сама функция зависит от
шага сетки h как от параметра.
Пример 2. Равномер-
ная сетка на плоскости.
Рассмотрим множество функ-
ций двух аргументов и(х, t).
В качестве области определе-
ния выберем прямоугольник

Разобьем отрезки [0, 1] оси
х и [О, Г] оси t соответственно
на Nt и N? частей; пусть h = l/?Vi, т = T/Nz. Через точки деле-
ния проведем прямые, параллельные соответствующим осям.
В результате пересечения этих прямых получим узлы (xt-, t}), ко-
торые и образуют сетку (рис. 2)
®лт = {СЧ> G)e4
Эта сетка имеет шаги h и т соответственно по направлениям х
и t. Соседними узлами сетки называются узлы, лежащие на од-
1]
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
15
ной и той же прямой (горизонтальной или вертикальной), рас-
стояние между которыми равно шагу сетки (h или т).
ПримерЗ. Неравномерная сетка на отрезке.
Рассмотрим отрезок	Вводя произвольные точки
О < Х[ < х2 < ... < Хдг-i < 1, разобьем его на N частей. Множе-
ство узлов {х,, i = 0, ..., N, ха = 0, хк = 1} образует неравномер-
ную сетку й/г [0, 1]. Расстояние между соседними узлами — шаг
сетки, — равно ht = xt — х^\ и зависит уже от номера i узла,
т. е. является сеточной функцией. Шаги сетки удовлетворяют
условию нормировки
N
2^=1.
Пример 4. Сетка в двумерной области. Пусть на
плоскости х = (х(,х2) дана область G сложной формы с грани-
цей Г. Проведем прямые x^ = i.{ht, z, = 0, ±1, ±2, ..., /г, > 0;
х^> = г9/г г2 = 0, ±1, ±2, ..., h,>0. Тогда на плоскости
(хьх2) получим сетку (решетку) с узлами (й^ь й, й =
= 0, ±1, ±2, ... Эта ре-
шетка равномерна по ка-
ждому из направлений
Ох\ и Ох2. Нас интере-
суют только те узлы, ко-
торые принадлежат обла-
сти G = G + Г, включая
границу Г. Те узлы
(й^ь й^г), которые попа-
ли внутрь G, назовем вну-
тренними, а их совокуп-
ность обозначим «л
(рис. 3). Рассмотрим точ-
ки пересечения прямых
= iihi и = t2/i2,
й, й = 0, ±1, ±2, ... с
границей Г; эти точки на-
зовем граничными узлами, а множество всех граничных узлов
обозначим уЛ. На рис. 3 знаком X обозначены граничные узлы, а
значком .° —внутренние узлы. Из рис. 3 видно, что имеются гра-
ничные узлы, которые отстоят от ближайших к ним внутренних
узлов на расстоянии, меньшем h\ или /г2- Таким образом, хотя
сетка на плоскости и равномерна по xt и х2, но сетка =
= <i>h + yh Для области G неравномерна вблизи границы. Более
подробно эта сетка_будет рассмотрена в гл. IV.
Итак, область G изменения аргумента х мы заменяем сет-
кой й„, т. е. конечным множеством точек xit принадлежащих G.
16
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[1 
Вместо функций м(х) непрерывного аргумента x<=G будем рас-
сматривать сеточные функции у(хг), т. е. функции точки х4, яв-
ляющейся узлом сетки йд = {хг}. Сеточную функцию г/(хг) мож-
но представить в виде вектора. Если перенумеровать все узлы
в некотором порядке хь х2, •••, xN, то значения сеточной функ-
ции в этих узлах можно рассматривать как компоненты вектора
(У1 \
У1 I
Ух '
Если область G, в которой построена сетка, конечна, то раз-
мерность N вектора У конечна. В случае неограниченной области
G сетка состоит из бесконечного числа узлов и размерность век-
тора У также бесконечна.
Обычно рассматриваются множества сеток {®/г}, зависящих
от шага./г как от параметра. Поэтому и сеточные функции рл(х)
зависят от параметра h (или от числа узлов N в случае равно-
мерной сетки). Если сетка ш неравномерна, то под h следует
понимать вектор h — ih^hz, ..., hN) с компонентами hlt ...
. . . , hN. Это же замечание относится и к случаю, когда область
G многомерна, х = (хь ..., хр); тогда h — (ftb /i2, •••, если
сетка равномерна по каждому из аргументов хь х2, ..., хр.
Функции и(х) непрерывного аргумента те G являются эле-
ментами некоторого функционального пространства Но- Множе-
ство сеточных функций г//,(х) образует пространство Hh. Таким
образом, используя метод конечных разностей, мы заменяем про-
странство Нй пространством Hh сеточных функций г/п(х).
Рассматривая множество сеток {со/г}, получаем множество
{Htl} пространств сеточных функций, зависящих от параметра ft.
На линейном пространстве Hh вводится норма || • IU, являющая-
ся сеточным аналогом нормы || • По в исходном пространстве Wo-
Укажем простейшие типы норм в IL, для случая сеток =
— {xt — ih} на отрезке О^х-С 1 (индекс ft у yh опускаем).
1)	Сеточный аналог нормы в С:
|| у ||с = max | у (х) | или ||р||с = max | yt |.
2)	Сеточные аналоги нормы в Ь2-
(Х-\	v/2	/ X \>/2
IIУ11 = ^2 У-ft у	или || р]| = ^2	•
В дальнейшем будем, как правило, пользоваться нормами,
индуцированными скалярными произведениями на Hh (сеточны-
ми аналогами норм в L2> И7! и др.).
2]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
17
Пусть м(х) — решение исходной непрерывной задачи, и е Но,
yh— решение приближенной (разностной) задачи, ijh^Hh- Ос-
новной интерес для теории .приближенных методов представляет
оценка близости уь к и. Однако yh и и являются векторами из
разных пространств. Имеются две возможности:
1. Сеточная функция уь, заданная в узлах a>/t(G) доопреде-
ляется (например, при помощи линейной интерполяции) во всех
остальных точках х области G. В результате получаем функцию
y(x,h) непрерывного аргумента х е G. Разность у (х, /г) —«(х)
принадлежит Но. Близость уь к и характеризуется числом
|| у (х, h) — и (х) Но, где II • ||о — норма на Но.
2. Пространство Но отображается на пространство Hh- Каж-
дой функции и(х) е Но ставится в соответствие сеточная функ-
ция Uh(x), хещ/,, так что Uh = ^hU е Hi., где — линейный
оператор из Но в Hh. Это соответствие можно осуществить раз-
личными способами (выбирая разные операторы ^Л). Если
и(х)—непрерывная функция, то полагаем Uh(x) — u(x), где
х е (оЛ. Иногда определяют Uh(Xi) в узле Х{ е (щ как интеграль-
ное среднее значение и(х) по некоторой окрестности (например,
диаметра О (Л)) данного узла х{ е (щ. В дальнейшем всюду бу-
дем предполагать, что и(х) непрерывная функция и Uh(x{) =
= u(Xi) для всех Xi е <оЛ.
Имея сеточную функцию uh, образуем разность yh— и^, яв-
ляющуюся вектором пространства Hh. Близость уь к и характе-
ризуется числом \\уь — WftlK, где — норма на Hh. При этом
естественно требовать, чтобы норма ||«|1л аппроксимировала нор-
му || • Но в следующем смысле:
lim|| uh ||Л = || и ||э
й->0
для любого вектора и из Но- Это условие будем называть усло-
вием согласования норм в Hh и Но-
Мы всюду используем второй путь, исследуем погрешность
разностных методов в пространстве сеточных функций. В боль-
шинстве случаев эти пространства являются конечномерными.
Как будет показано в дальнейшем, оказывается возможным
провести изложение основных вопросов теории разностных схем,
трактуя Hh как абстрактные линейные пространства любой раз-
мерности.
После того, как мы познакомились на простейших примерах
со способами построения сеток и тем самым пространств Hh
сеточных функций, перейдем к вопросу о разностной аппрокси-
мации дифференциальных операторов.
2. Разностная аппроксимация простейших дифференциаль-
ных операторов. Пусть дан дифференциальный оператор L,
действующий на функцию v = v(x). Заменяя входящие в Lu
18	ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	12
производные разностными отношениями, мы получим вместо Lv
разностное выражение LhVh, являющееся линейной комбинацией
значений сеточной функции Vh на некотором множестве узлов
сетки, называемом шаблоном-.
Lhvh(x) = 2 Ац(х> ЮМ&)
t-l/iixi
ИЛИ
(LhVhk= 2 АЛХ1, xi)v!l(xj),
Xj<SllI (xz)
где A/,(x, g)—коэффициенты, h— шаг сетки, Ш(х)— шаблон
в точке х. Такая приближенная замена Lv на Lpvh называется
аппроксимацией дифференциального оператора разностным опе-
ратором (или разностной аппроксимацией оператора L).
Изучение разностных аппроксимаций оператора L обычно
проводят локально, т. е. в любой фиксированной точке х про-
странства. Если и(х) непрерывная функция, то Vh(x) = v(x).
Прежде чем приступить к разностной аппроксимации операто-
ра L, необходимо выбрать шаблон, т. е. указать множество сосед-
них с узлом х узлов, в которых значения сеточной функции v(x)
могут быть использованы для аппроксимации оператора L.
В этом пункте рассматриваются примеры разностной ап-
проксимации для простейших дифференциальных операторов.
гт	1	, dv
Пример 1. Lv —	.
Фиксируем некоторую точку х оси Ох и возьмем точки х-—h
и х + h, где h > 0. Для аппроксимации Lv можно воспользо-
ваться любым из следующих выражений
° (1)
(2)
Выражение (1) есть правая разностная производная (ее мы
будем обозначать vx), а (2) — левая разностная производная
(обозначение vx). Разностные вы-
z-h х x+h х ражения Ltv и Ltv определены на
двух точках (имеют двухточечные
Рис. 4.	шаблоны х, x + h и х — h, х соот-
ветственно, см. рис. 4).
Кроме того, в качестве разностной аппроксимации производ-
ной можно взять линейную комбинацию выражений (1)
и (2)
Цо)ст^стох + (1 - ст) v-x,
(3)
21
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
19
где о — любое вещественное число. В частности, при о = 0, 5
получаем так называемую центральную (двухстороннюю) раз-
ностную производную
1 ,	,	, v (х + h) — v (х — h)
+	=	(4)
Таким образом, оказывается, что можно написать бесчислен-
ное множество разностных выражений, аппроксимирующих
Lv = v'. Возникает вопрос: какую ошибку мы допускаем, ис-
пользуя ту или иную разностную аппроксимацию, и как ведет
себя разность ф(х) = LhV(x) —Lv(x) в точке х при h -+ 0. Ве-
личина ф(х) = Lhv(x)—Lv(x) называется погрешностью раз-
ностной аппроксимации Lv в точке х. Разложим v(x) по форму-
ле Тейлора
и (х ± 1г) = v (х) ± hv' (х) + -у- и" (х) + О (Л3)
(предполагая при этом, что функция v(x) —достаточно гладкая
в некоторой окрестности (х — ho, х + h0) точки х и h < /г0, /т0 —
фиксированное число). Подставляя это разложение в (1), (2) и
(4), получим
Ох = V (-±	(-} = V (х) + 4 V" (х) + О (h2),
их = v{x> -vh-^~hl = V' (х) - 4 v" (х) + О (h2),
v. =	= V' (х) + О (h2).
(5)
Отсюда видно, что
ф = vx — v'(x) = О (h), ф = щ — v'(x) — 0(h), ф = Оо — v'(x) = O(h2).
Пусть V — класс достаточно гладких функций v е V, задан-
ных в окрестности Ш(х, h0) точки х, содержащей при h < ho
шаблон Ill^x,h) разностного оператора Lh- Будем говорить, что
Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком
m > Q в точке х, если
ф (х) = Lhv (х) — Lv (х) = О (hm).
Таким образом, левая и правая разностные производные ап-
проксимируют Lv = v' с первым порядком, а центральная разно-
стная производная — со вторым порядком.
П	о т „ d2V
Пример 2. Lv = v =-^.
Чтобы написать разностную аппроксимацию второй произ-
водной, надо использовать три точки (х — h, х, х + h), т. е. взять
20
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(2
трехточечный шаблон. В этом случае
I „ _ f (x + ft)-2v(x) +v(x-ft)
L-hU	^2	•
Замечая, что правая разностная производная в точке х сов-
падает с левой разностной производной в точке х + /г, т. е.
ож(х) = v^x + ft), перепишем (6) в виде
vv (х) — v f (х)	1
Lhv =-----h—:— = У	~ (х)] = Охх (х).	(7)
Пользуясь разложением функции v(x) по формуле Тейлора, не-
трудно показать, что порядок аппроксимации в этом случае ра-
вен двум, т. е.
Vxx - v" (х) = О (ft2),
так как
Ухх= v" + y^ + O(ft4).	(8)
Пример 3. Lv = о(4).
Выберем пятиточечный шаблон, состоящий из точек
(х — 2й, х—ft, х, x + ft, x + 2ft)
и определим
LhV = Vxxxx-
Нетрудно проверить, что Lh аппроксимирует L со вторым
порядком, причем
Vxxxx - У<4) = 4" и<6) + 0
Разложение погрешности аппроксимации ф = L^v — Lv по
степеням ft можно использовать для повышения порядка аппрок-
симации. В самом деле, имеем
Vxx -V"=^V^ + О (ft4) = 41 Vxxxx + О (ft4)
Отсюда следует, что оператор
. Г _ А2
LhV — Vxx |2 Vxxxxг
определенный на шаблоне (х — 2ft, х — ft, х, х + ft, х + 2ft) аппро-
ксимирует Lv = v” с четвертым порядком.
В принципе такой процесс повышения порядка аппроксима-
ции можно продолжить дальше и получить любой порядок ап-
проксимации в классе достаточно гладких функций ое V. При
этом шаблон, т. е. число используемых узлов, возрастает. Од-
нако указанный прием повышения порядка разностной аппро-
ксимации не всегда можно рекомендовать для практического
2)
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
21
применения, так как качество получающихся при этом операто-
ров ухудшается (в смысле монотонности, условий существования
обратного оператора, устойчивости и т. д.).
__	. , dv d2v	,	,,
Пример 4.	=	и = и(х, t).
Пусть (x,t)—фиксированная точка плоскости (х,/), h > О
и т > 0 — два числа (шаги). Чтобы написать разностную ап.
проксимацию Lhx для оператора L, мы должны прежде всего
определить шаблон.
(x-h,t*r)	(z+h,trt)
(x,t)	(x*h,t)	(x,t)
a)
(x-h, Ur) (x,t+r) (x+fy ur)
{x-h,t)	(x,t)	(x+h,t)
6)
Рис. 5.
Остановимся сначала на аппроксимациях простейшего типа.
Пусть шаблон состоит из четырех точек (рис. 5, а).
Определим LhX так:
L^v =
у (х, / + т) — t> (х, /) v (х + h, t) — 2v (х, t) + v (х — h, t)
h2
(9)
т
Для упрощения записи разностных выражений весьма важ-
ным является вопрос о введении рациональной символики.
Условимся о следующих обозначениях:
V = V (х, I), V = V (х, t + т), V = V (х, t — т).
В этих обозначениях, например, разностная производная по t
может быть записана следующим образом:
_ У(Х, /+т)- У(х, /) V-V
vt-	т	-~Т~‘	(10)
Учитывая (7) и (10), запишем (9) в виде
L^xv^vt-v.x.	(9')
22
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[2
При построении L{°x мы взяли значение vxx в момент t (на
нижнем слое).
Используя шаблон, изображенный на рис. 5, б, можно взять
vxx в момент t + т (на верхнем слое), что дает
= vt-v.x.	(11)
Взяв линейную комбинацию (9Z) и (11), получим однопара-
метрическое семейство разностных операторов
А^ = И/-(аЙ.х + (1 -a)v.x),	(12)
определенных при ст =А О и ст 1 на шеститочечном шаблоне
указанном на рис. 5, в.	’
Для оценки порядка разностной аппроксимации восполь-
зуемся формулами
.. _ (Мх, 0 , т ^(х,0 ,	,_2Ч dv (х, t + т/2) ,
v‘ " dt ф 2 dt2 +U ‘ “ dt +
о (О,
d2v (x, /)
— dx2
h2 d4v (x, t)
12 dx4
+ О (Л4) =
_ d2v (x, t + t/2) _ jr d3v (x, t + t/2) .	,^2	^2.
dx2	2 dx2 dt ~	”
л d2v (x, t + t/2) । т d3ti (x, / + t/2) , „ ,, 2	2,
vxx —	я,.2 -Г 2 dx2 dt + {П + 1 ).
dx2
Подставляя эти выражения в формулы для LhxV, Lh\v, L(°xV,
получим
1)	v = dV% ° ~ d2Vd(x2	+0(h4^ = Lv(x,t) + 0 (Л2 + x),
ip(0) = Lhlv — Lv (x, t)— О (Л2 + x),
2)	L^xV = d°-(xd;	^T) + о (A2 + X) =
= Lv(x, t + x) + 0 (h? + x),
t. e.
ф(1) = L{hxV - Lv (x, / + x) = 0 U2 + x),
04 7 (0.5)T, _	(x, t+x/2) d2v(x, t+T/2) ,Cl<h2,r-2x_
3)	Lhx 0 - gi	dx2 -t-щ/г+х,)-
= Ои(х, / + x/2) + O(A2 + x2),
ф(0’5) = L{hx}v - Lv (x, t + x/2) = 0 (/i2 + x2).
Таким образом, оператор L^x аппроксимирует L co вторым
порядком no h при любом <т, с первым порядком по х при
<т = 0, а=1 и со вторым порядком по х при и —0,5.
2]
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
23
с г d2o d2v
Пример 5. Lv=-^--^-.
В этом случае для записи разностного оператора LhX надо
использовать значения сеточной функции в три момента време-
ни t — т, t, t + т. Минимальным является пятиточечный шаблон
Рис. 6.
Одна из возможных аппроксимаций (на шаблоне 6, в), ис-
пользующая значение vxx на среднем слое t, имеет вид
Lhxv = vlt - vxx,	(13)
где
Vu (х, t) = (и (х, t + т) — 2v {х, t) + v (х, t — т) )/т2.
Аналогично можно написать оператор
LhvV^Vtt — vxx (на шаблоне 6, а).	(14)
На девятиточечном шаблоне (рис. 6, г) можно написать
двухпараметрическое семейство разностных операторов
lhz °!)и = vtt ~ (°Лх + 0 “ - стг) Vxx + №»)	О5)
При о( = о2 = О отсюда следует (13), и при аг = 0, щ = 1 сле-
,о	d2v(x, t) , „ , 9,	d2v (х, t) ,
дует (14). Замечая, что цц = —~ + 0(т2),	=+
+ О (/г2), видим, что оператор (13) имеет аппроксимацию
О(/гг + тг). Этот же порядок аппроксимации имеет и оператор
(15) при о( = ог = ст, где а — любое число.
24
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(2
Отметим, что параметры и оу, так же, как и параметр а
в предыдущем примере, управляют не только порядком аппрок-
симации, но, как будет показано ниже, и таким важным свой-
ством, как устойчивость соответствующей разностной схемы.
Пример 6. Lv — v". Нерегулярный шаблон (не-
равномерная сетка).
Пусть > 0 и h+ > 0 — два числа. Возьмем трехточечный
шаблон (х— h_, х, х + h+). Если h- 4= h+, то шаблон будем на-
зывать нерегулярным (сетка, построенная из таких шаблонов,
неравномерна). Введем обозначения
=	й = о,5(/г_ + Л+)
и определим Lhv по формуле
1 Г о(х + й )-о(х) v (х)-v (х-А_)1 vx-v-
LkV = _ l_---------------------_--------j = ___ . (16)
Если /г_ = h+ = h, то Lhv совпадает с выражением (7) (см. при-
мер 2). Вычислим локальную погрешность аппроксимации
(в точке х):
ф (х) = Lhv (х) — Lv (х).
Учитывая разложение достаточно гладкой функции ц(х)
в окрестности узла х:
h2	h3
v (х + h+) = v (х) + h+v' (х) + v" (х) + v" (х) 4- О (/г4+),
/ fl2- Г! h?- nr	/ 4 \
v (х — /г_)= v(x) — h-v (х) + — v (х)--g- v (х) + О(й_),
получаем
vx = v (х) +	v” (х) + ~ v" (х) + О (/г3+),
vx = v (х) -	v" (х) +	v'" (х) + О (/г3-),
Lhv =	= v" (х) +	V" (х) + О (А?)
(пользуемся тем, что /г± < 2fi).
Выражение для ф(х) примет вид
ф = Lhv - Lv =	v'" + О (А2) = О (й).	(17)
Таким образом, оператор (16) на нерегулярном шаблоне
(й+ =# h-) имеет первый локальный порядок аппроксимации.
3)
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
25
3. Погрешность аппроксимации на сетке. До сих пор мы рас-
сматривали локальную разностную аппроксимацию (аппрокси-
мацию в точке). Именно в этом смысле и шла речь о порядке
аппроксимации в предыдущем пункте. Обычно требуется оценка
порядка разностной аппроксимации на всей сетке.
Пусть соЛ — сетка в некоторой области G евклидова про-
странства {х = (Xi, ..., хр)}, Hh— линейное пространство сеточ-
ных функций, заданных на гол, Но— пространство гладких функ-
ций п(х), II -;!о — норма на Но, || • ||Л — норма на Hh. Предпола-
гается, что 1) существует оператор такой, что ^hu =
= uh^Hh для любого и^Н0, 2) нормы Ц-Ц;, и ||-Но согласова-
ны, т. е.
Ит || 0>hu ||Л = || п||),
I h 1-Ю
где |/г| — норма вектора h.
Рассмотрим некоторый оператор L, заданный в Но, и опера-
тор Lh, преобразующий сеточную функцию vh в сеточную функ-
цию LhVh, заданную на сол (т. е. действующий из Hh в /Д).
Назовем погрешностью аппроксимации оператора L разност-
ным оператором Lh сеточную функцию
^h = ^hVh~{Lv)h,
где vh = S^hv, (Lv)h = 0>h(Lv), v — любая функция (вектор,
элемент) из Но.
Если || ф/, Ил—> 0 при | h | —> 0, то говорят, что разностный опе-
ратор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L.
Будем говорить, что разностный оператор Lh аппроксимирует
дифференциальный оператор L с порядком m > 0, если
IIФл 11Л = IIU - (Lv)h [[h = O(\h Г),	(18)
или || Lhvh — (Lv)h AJ | h p, где M— положительная постоян-
ная, не зависящая от | h |.
Замечания. 1. Если h = (hi, ..., hp)—вектор с компо-
нентами h2, ..., hp, то под | h | можно понимать длину
| А | = (/г? 4- ... + Ат,) 2. Может оказаться, что аппроксимация по
ha, а = 1, 2, . . . , р различна по порядку. Тогда вместо (18) бу-
дем иметь
р
Н/Л - (Мл Нл < М 2 АТа, где та>0.
а«1
Выбирая среди ..., mp наименьшее число и обозначая его
через ш, получим оценку (18).
2. Если сетка неравномерна, т. е. h = (hi, ..., hN), гр#
N — число узлов, то, например, | h | = max ht или |А| есть
1 < i < N
среднее квадратичное значение.
26
ГЛ, I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[3
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Разностная аппроксимация на не-
равномерной сетке. Рассмотрим оператор Lv = ^^-
в пространстве Но = CW функций, заданных на отрезке
0	Выберем на отрезке 0 <1 х 1 произвольную неравно-
мерную сетку
(Ьн = {х(. z = 0, 1, ..., /V, ха = 0, x,v = 1}.
Оператору Lv, согласно примеру 6 предыдущего пункта, поста-
вим в соответствие разностный оператор
1 Г v.,, — и. и, — V,' , 1
(Lhv)i = jr г-------------J > vi = v<xL), fiz = 0,5(/?< + Ai+I),
определенный в узле на нерегулярном трехточечном шаблоне
(хг_1, xit Xi+i).
Вводя обозначения
н _ v‘ П-i и -,, , _ П+1 И . _ П+1
vx,i~ h. > vx, i-vx, i+i-	, vx,t-
оператор LhV можно записать в виде
(Lhv)i = vxx, i = vxx.
В n. 2 была найдена локальная погрешность аппроксимации
фг = (^У)1-(^)г = ^±у^и^ + 0^’ /=1’ 2’ •••>
Отсюда видно, что оператор Lhv имеет в сеточной норме С пер-
вый порядок аппроксимации
II “ф Пс = max I Ф; I = О (h), h= max Лг.
KK1V-I	1STX.V
В сеточной норме L2 также получаем первый порядок:
и и=(2 m?)/2=ow-
\ i = I /
Однако в норме
1Ж1(_2) =
ДГ-1	/ I	\2Т/2
2 2
_j=l	\ft=l	/
(19)
ф имеет второй порядок, так что
IIФ Н,_О) = о (h2), где Л = max Лг.
Докажем это утверждение. Перепишем ф в виде
/г2 - И2-
3J
$ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
27
Принимая во внимание, что о'" =	+ О (Лг+1), находим
г 2 "г / 2 ///
= *"...-6Д.-----+ Ф,- = Ф/ + Ф,.
где ф* = О (Л2) в любой норме. Главный член ф; в разложении
ф; = ф(. + ipj имеет «дивергентный вид». Поэтому
= 1 ЙЛ = 2 (Л1+Л+< - *И')/б =
Отсюда видно, что
| S; | < Л1Л2,
и, следовательно,
□ fN~l \1/2
Н11(_2)= 2И = о(л2).
Так как
Н11(_2)<Н11(_2) + П‘11(_2) и 1Ж1(_2) = (Ж),
то || ф ||(_2) Mh1, т. е. погрешность аппроксимации в норме
|| • ||(_2) имеет второй порядок.
Отметим, что норма || • ||(_2) согласована с нормой || и ||0 =
Разобранный пример показывает, что исследование локаль-
ной аппроксимации может оказаться недостаточным для сужде-
ния о порядке разностной аппроксимации и тем самым для су-
ждения о качестве разностного оператора.
Выбор подходящей нормы для оценки погрешности аппро-
ксимации связан со структурой оператора и в каждом конкрет-
ном случае должен быть предметом изучения. Связь между опе-
ратором и нормой для оценки погрешности аппроксимации в об-
щем виде установлена в гл. V. Ее конкретизация для данного
случая естественно приводит к норме || • ||(_2).
Аналогичная ситуация встречается и при изучении разност-
ных аппроксимаций для оператора Lu = (ku')', где k(x)—ку-
сочно-непрерывная функция (см. гл. III).
Если ищется решение и(х, t) нестационарного уравнения
(например, уравнения теплопроводности), то перченная t
(время) выделяется. Функция и(х, t) как функция аргумента х
является элементом пространства Но. Пусть сод — сетка в обла-
сти G пространства {х = (хь .... хр)}, шт— сетка на отрезке
28
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[3
Сеточная функция у (х, t) = yhx (х, t) определена на
сетке
= <0/2 X = {(х, /), X £= G)/2, t <ох}.
Как функция аргумента хе ы* она является вектором про-
странства Hh с нормой ||-Ил. Для оценки у(х, t) на сетке со/гТ
обычно используется норма
||у||Лх = шах||у(/)||л,	(20)
ien>t
пли одна из норм
2 T\\y(t)\\h,	=	т||z/(OHXT/s- (2i)
Пусть LftTt>ftT — разностная аппроксимация оператора Lu,
и = u(x, /). Оператор LhX определен на сеточных функциях
Vhx(x, 0> заданных на сетке солт.
Пусть v(x, t) как функция х принадлежит Но. Тогда
Vh(x, 0= ^hv(x, 0 принадлежит Hh для любого t е [О, /0]. Если
ц(х, t) непрерывна по t, то можно положить Vhx(x, t) = Vh(x, t)
для всех /еыт. Таким образом, vhx(x, t) задана на сетке a>hx
и можно определить погрешность аппроксимации
фЛх (х, /) = Lhxvhx (х, f) - (Lv)hx (х, 0, (*, 0 е “лт-
Будем говорить, что Lhx аппроксимирует L с порядком m > О
по хи с порядком п> 0 по t, если в классе достаточно гладких
функций ц(х, t) выполняется оценка
||фЛт(х, /)||Лх = О(|/г|'п + тп) или ||фЛх ||Лх <М (| h Г + тп),
где Л1 — положительная постоянная, не зависящая от |/г| и т.
Пример 2. Lv =	0<х<1, O<t^to,
Lhxv = vt- vxx.
Оператор Lhx пишется во всех внутренних узлах сетки
(оЛх = {(х(, /у), Xi = ih, = jx, 0<i<N, 0</<j0, !о = 1о/т;}.
Если ц(х, t) имеет две производных по t и четыре производ-
ных по х(»еСг), непрерывных в прямоугольнике
•	(О х 1, 0	^/0),
то в каждом внутреннем узле сетки cohT, согласно п. 2, имеем
(х, t) = Lhxvhx - (Lv)hx = О (h1 + т).
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
29
ч
Отсюда следует, что аппроксимирует L со вторым порядком
по х и с первым порядком по t в любой из норм (20) и (21),
где ||-ф ||. = max |-ф | либо || ip ||Л = 2 ф'рг) и т. д. Таким обра-
x<^®h	\i = l	/
зом, в этом случае из локальной аппроксимации следует аппрок-
симация на сетке.
До сих пор мы рассматривали погрешность разностной
аппроксимации на функциях v, принадлежащих некоторому
классу V. В частности, в наших примерах в качестве V выби-
рался класс достаточно гладких функций.
Пусть теперь и является решением некоторого дифференци-
ального уравнения: и = и\ например,
Lu = и" = — f.
В качестве разностной аппроксимации оператора, стоящего
слева, Lv = v" выберем LhV = Vxx- Выше было показано, что на
равномерной сетке
Lhv = v" +	ц(4) + ~ ц(6) (х + Bh), - 1 < 0 < 1.
Подставим сюда с = и, и" = —f, иЮ =—f" и предположим,
что f" — 0, а следовательно, и = 0 для k > 2. Тогда Lhu =
= и" = Lu, т. е. погрешность аппроксимации в классе решений
уравнения Lu = —Д где f — линейная функция, тождественно
равна нулю, ф = 0. В этом случае говорят, что аппроксимация
точная. Если же f" =# 0, то разностный оператор можно подпра-
вить, вводя оператор
Lhv=Lhv +^f",
и для этого оператора имеем ф = Lhu — Lu = O(/i4).
Таким образом, рассмотрение погрешности разностной ап-
проксимации на решении дифференциального уравнения может
использоваться для повышения порядка аппроксимации.
4. Постановка разностной задачи. До сих пор мы занимались
приближенной заменой дифференциальных операторов разност-
ными. Однако задачи математической физики помимо диффе-
ренциального уравнения включают и дополнительные условия —
краевые и начальные, которые обеспечивают выделение един-
ственного решения из всей совокупности возможных решений.
Поэтому при формулировке разностной задачи, помимо ап-
проксимации дифференциального уравнения, необходимо эффек-
тивно описывать в разностном виде эти дополнительные усло-
вия. Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих
основное дифференциальное уравнение и дополнительные усло-
вия -(краевые и начальные), называют разностной схемой,..
30
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[4
Z/x = <P, 1
У о = un I
Сначала проиллюстрируем сказанное на примерах.
Пример 1. Задача Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения.
и' = f (х), х > 0, и (0) = ид.	(22)
Выберем простейшую равномерную сетку
— {xi — ih, i = 1, 2, . . .}
и поставим в соответствие задаче (22) разностную задачу:
или £i±!—^£_ = фг,	i = 0, 1, уа = и0.
h
При этом правую часть ф; можно задавать различными спосо-
бами, например,
<P/ = f(-V/), Фг = 0,5 (^(xz) +/(xJ+I)),
ЛИШЬ бы ВЫПОЛНЯЛОСЬ условие фг— fi = 0(h).
Для нахождения решения получаем рекуррентную формулу
Vi+i = Vi + hffi, г = 0, 1, 2, где у0=и0.
Пример 2. Краевая задача.
u"(x)= — f(x), 0<х<1, zz(O) = pb u(l) = p2.	(23)
Выберем опять равномерную сетку
afl = {xi = ih,	i = 0, 1, ..., N, hN = 1}.
Разностную задачу запишем в виде:
= - <Р-
Уа= Hi,
Ух = Н2
или
Уг + 1-2^ + г/г_1
Л2
— ф(,	1 = 1, 2, .. ., N — 1.
(23ft)
В результате получим систему алгебраических уравнений
с трехдиагональной матрицей. Такую систему можно решать,
например, методом прогонки (см. п. 9).
Примерз. Первая краевая задача для урав-
нения теплопроводности.
. ди д2и
Lli ~ ~дГ~ Их2
«(0, 0 = ^(0,
и(х, 0) = и0(х).
= f(x, t),	0<х< 1,
«(1, /) = ц2(0,
(24)
Выбрав равномерную сетку
(ohx = {(Xi = ih, tj = jx), i = 0, 1, Nh j = 0, 1,	N2]
5)
§ I. ОСНОВНЫЕ понятия
31
п простейший четырехточечный шаблон (см. п. 2, пример 4), по-
лучим разностную задачу
yt = У XX + Ф>
или в индексной форме:
у\+'-у\	у{х~^у{ + у{+х .
т	&	1 * * * У 1
Уй = Из /)> У.у, = Н2 (7)>
У[ = ио (*;)•
1
N^~ 1, 0</<W2- 1,
(24ft)
Правую часть ср можно задавать различными способами
фМ(*о Л), ф' = /(хр //+1/2), и т. д.
Разностная задача (24д) является примером использования так
называемой явной схемы: значения решения на верхнем времен-
ном слое yj+[ определяется через значение на предыдущем слое
по явным формулам
У1+' = У1+ i>(yiXx+ <¥'")
Рассмотрим неявную схему
У1=Ухх + Ч>’ у(х, О) = ио(х), у (О, 0 = ^(0, #(1,/) = ц2(/)>
t S= (От, X S= (O/j.
Для определения значений у = yi+l на (/+ 1)-м слое получаем
систему алгебраических уравнений
у’+*/т — у<+1 = F’, F1 = у!/х + ф'
с трехдиагональной матрицей. Эту систему можно решать ме-
тодом прогонки (см. п. 9).
До сих пор мы рассматривали краевые условия первого рода,
которые на разностной сетке аппроксимировались точно. В слу-
чае краевых условий третьего рода вопрос об их аппроксимации
требует специального исследования. На этом вопросе мы оста-
новимся позже.
5. О сходимости и точности схем. При решении некоторой
задачи приближенным методом в конечном счете надо иметь
предварительное суждение о том, с какой точностью можно при-
близить при помощи этого метода точное решение задачи.
Поэтому следует рассмотреть вопрос о сходимости и точно-
сти разностных схем.
Пусть в области G с границей Г требуется найти решение ли-
нейного дифференциального уравнения
Lu = f(x), x^G,	(25)
32	гл. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	(5
удовлетворяющее дополнительным (краевым или начальным)
условиям
/и = р(х), хе Г,	(26)
где f(x) и ц(х) заданные функции (входные данные задачи),
I — некоторый линейный дифференциальный оператор. Предпо-
ложим, что решение задачи (25) — (26) существует и един-
ственно.
Область G + Г непрерывного изменения аргумента (точки)
заменяется дискретным множеством точек (узлов) х; — сеткой.
Пусть h — векторный параметр, характеризующий плотность
расположения узлов, юа — множество внутренних узлов сетки,
уь — множество граничных узлов. Задаче (25) — (26) поставим
в соответствие разностную задачу
^л//л=Фл, xeW/1; lflyh = u при хеу/>, (27)
где фл(х) и —известные сеточные функции. Здесь Lh и
/>1 — операторы, действующие на сеточные функции, заданные
для х е йл = о)Л + ул. Решение ук задачи (27) есть сеточная
функция, определяемая в узлах сетки й/(. Меняя h, т. е. выби-
рая различные сетки й /Л, мы получаем множество решений {///,},
зависящих от параметра h. Таким образом, следует рассматри-
вать семейство схем (27), соответствующих различным значе-
ниям параметра II.
Основной целью всякого приближенного метода является по-
лучение решения исходной (непрерывной) задачи с заданной
точностью е > 0 за конечное число действий. Чтобы выяснить
принципиальную возможность приближения решения и задачи
(25)—(26) решением yh задачи (27) с любой заданной точно-
стью е>0 в зависимости от выбора шага /г(е), мы должны
сравнить yh и и(х).
Это сравнение будем проводить в пространстве Hh сеточных
функций. Пусть uh— значение и(х) на сетке юл, так что iih е Hh.
Рассмотрим погрешность разностной схемы (27):
2-Л у h Uft.
Напишем условие для zh. Подставив уь = zh '+' uh в (27), по-
лучим для zh задачу того же типа, что и (27);
= х е <оЛ; = хеуЛ, (28)
где
Фл Фл	У 1г 7./г
Правые части и va задачи (28) называются погрешностью
аппроксимации уравнения (25) разностным уравнением (27) и
соответственно погрешностью аппроксимации условия (26) раз-
ностным условием lhyh = 7.h на решении задачи (25) — (26),
8)	§ 1. ОСНОВНЫЕ Понятия	33
Обычно говорят короче: ф/, — погрешность аппроксимации для
схемы Lhyh = <$h на решении и(х) уравнения (25), V/, — погреш-
ность аппроксимации для условия lhyh = на решении задачи
(25)-(26).
Для оценки погрешности схемы Zh и погрешности аппрокси-
мации фл, т’й введем на множестве сеточных функций нормы
II ’ И(’л)’ II ‘ И(2л) И II ‘ И(3л) соответственно-
Будем говорить, что решение разностной задачи (27) схо-
дится к решению задачи (25) —(26) (схема (27) сходится), если
II zh = || yh - uh -> 0 при |/i|—>0,
или II zh ||(1 j = p (| h |), .где p (| h |) -> 0 при | h |-> 0.
Разностная схема (27) сходится co скоростью O(|/i|n) или
имеет п-й порядок точности (имеет точность О (| h\п)), если при
достаточно малом |/г| ^.h0 выполняется неравенство
l|zftll(lft)=||^-wft И(,л) h г,
где М > 0 — постоянная, не зависящая от | h |, п > 0.
Говорят, что разностная схема (27) обладает п-м порядком
аппроксимации, если
II Фл 11(2а) = 0(1 h Г), II vh ||(зА) = О (| h Г).
Обозначая fh и (Г«)д значения /(х) и Lu(x) на сетке од и
учитывая, что (/ — Lu)h = 0, запишем фЛ в виде
% = (фЛ ~ Lhuh) ~ (fh~(Lu)h) = (фд~ fh) + ((Lu)h ~ Lhuh) = Фд" + Ф'Л
Таким образом, погрешность аппроксимации схемы фд скла-
дывается из погрешности аппроксимации ф^п = <рЛ — fh правой
части и погрешности аппроксимации ф(л2) = (Lu)h — Lhuh диффе-
ренциального оператора.
Так как фд есть погрешность аппроксимации в классе реше-
ний дифференциального уравнения, то условие IIфл 1^2/г) = О (| /г |")
может быть выполнено, если ф^’ и ф(Л2) не имеют по отдель-
ности н-го порядка. Иллюстрирующий это утверждение пример
был рассмотрен в п. 3.
Возникает вопрос: как зависит порядок точности схемы от
порядка аппроксимации на решении? Погрешность zh = yh — uh
есть решение задачи (28) с правой частью фд (и vft). Поэтому
вопрос о связи порядка точности с порядком аппроксимации
сводится к вопросу о характере зависимости решения разност-
ной задачи от правой части. Если zh непрерывно (и притом рав-
номерно по /г) зависит от фЛ и vh (схема устойчива), то порядок
точности совпадает с порядком аппроксимации.
34
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(6
Определение устойчивости разностной схемы будет дано
в п. 8. Остановимся сначала на связанном с постановкой раз-
ностных задач вопросе об аппроксимации краевых и начальных
условий на решении исходной задачи.
6.	Метод аппроксимации краевых и начальных условий. Из
предыдущего пункта следует, что точность схемы зависит от по-
рядка аппроксимации на решении исходной задачи не только
уравнения, но и дополнительных условий (краевых или началь-
ных) .
В этом пункте мы рассмотрим ряд примеров повышения по-
рядка аппроксимации краевых и начальных условий без увели-
чения числа узлов сетки, участвующих в аппроксимации.
Пример 1. Третья краевая задача для обыкно-
венного дифференциального уравнения вто-
рого порядка:
— qu = — f (х), q = const, 0<х<1, |
и rm	}	(29)
-^-==п«(0)-ц1, «(1) = р2-	]
Выбрав равномерную сетку = {х, = ih, 0<J-<rV}, запишем
разностное уравнение в виде
УхХ -qy= - <Р>	(3°)
где ф; = f(Xj), если f(x) — непрерывная функция.
Краевое условие при х = 1 удовлетворяется точно
!/(1) = !/№Н2-	(31)
Первую производную и' (0) заменим правой разностной произ-
водной yXt о = (</1 — Уо)!^ и краевое условие при х = 0 напишем
в виде
Ух, о = <Ч/о-Н или ZA# = |xb	(32)
причем оператор lh определен на двухточечном шаблоне (0, h).
Подставляя сюда у = z + и, где и — решение задачи (29), по-
лучим для погрешности z условие
zx,o = azo-v1,
где vi — погрешность аппроксимации для краевого условия на
решении, равная
V! = И1 + их, 0 - аи0.
Разлагая «(х) в окрестности узла х = 0 по формуле Тейлора:
= ий + hu'o + и" + О (h3),
61
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
35
находим
их. о = «о + °>5Л< + О (h2),	(33)
Vi — [Hi + и' (0) — аи (0)] + 0,5/ш" (0) + О (h.2) = 0,5hu" (0) + О (/г2),
так как pi + и'(0) —crw(O) = 0. Отсюда видно, что vj = 0(h).
Подправим условие (32) так, чтобы порядок аппроксимации со-
ставлял O(/i2). Используем для этого тот факт, что и(х) есть
решение исходной задачи (29). Выразим из дифференциального
уравнения и"(0):
(0) =	(0) — / (0).	(34)
Подставляя (34) в (33), получим
их, о - 0,5/i (qu (0) - f (0)) = и' (0) + О (h2),	(35)
т. е. выражение в левой части (35) аппроксимирует производ-
ную и'(х) в точке х — 0 на решении уравнения и" — qu — —f
со вторым порядком.
Отсюда и из (32) следует, что краевое условие
Ух,о~ Wo- Йь а = ц + 0,5/г7, ц, = pi+ 0,5/г/(0)	(36)
имеет второй порядок аппроксимации на решении задачи (29).
Отметим, что нам удалось повысить порядок аппроксимации,
не увеличивая числа узлов сетки, которые использовались для
аппроксимации краевого условия.
Пример 2. Третья краевая задача для уравне-
ния теплопроводности:
=	+	0<х<1’ 0</</0, . и(х, О) = ио(х),
, ,п ,,	(37)
/)-Ц1(/), м(1, /) = И2(0.
На сетке (OhT, описанной в п. 1, напишем явную схему
У^Ухх + У’ У<х, 0) = u0(x), у(\, t) = n2(t),	(38)
где <р = = f (хР
Эта схема имеет аппроксимацию О (h2 + х). Построим раз-
ностную аппроксимацию того же порядка для краевого условия
при х = 0. Для этого рассмотрим
ди (0, t) , h д2и (0, t) .
Ux<0 “ die г "2 Jx2 г
O(h2).
Пользуясь уравнением теплопроводности при х = 0, найдем
д2и (0, t) ди (0, t)
—дх2	=—dt'^’ Отсюда следует, что
«X (0, /) - 4	- f (°’ о) = о (h2),
36
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
18
т. е. выражение, стоящее слева, аппроксимирует производную
при х = 0с точностью О (/г2).
„	ди I	„	„ и (0, /+т) — и (0, /)
Заменяя-J-I разностной производной ut, 0=—1
с>‘ 'х-о	т
получим разностное краевое условие при х = 0:
г/х,о = О>5/Ч/ьо + Pi, Й1 = Hi + 0,5ftf (0, 0-	(39)
Оно имеет аппроксимацию О (/г2 + г2) на решении задачи (37).
В случае неявной схемы
= У хх + <Р
вместо (39) следует взять условие
iJx, о = о + ауо - Й1, Й1 = и + О,57г/ (0, t).	(40)
Пример 3. Гиперболическое уравнение вто-
рого порядка:
^ = ^- + /(х, /),	0<х<1, 0</</0,
и (0, t) = u^f), и (I, t) = u2(t),
и (x, 0) = и0 (x), д“ = й0 (x).
(41)
Очевидно, что при аппроксимации задачи (41) особое внимание
следует обратить на запись в разностном виде начального усло-
„ ди
вия для производной .
Пусть дана равномерная по х и t сетка с шагами /гит
(см. п. 1).
Если мы воспользуемся простейшей аппроксимацией
«Дх, 0) = й0(х),
то погрешность аппроксимации будет величиной О(т). Предста-
вим щ (х, 0) в виде
,	_ и (х, х)-и (х, 0) _ ди (х, 0) т_ д2и (х, 0)	2
ut\x>	т	dt + 2 dt2 <
Обратимся теперь к исходному дифференциальному уравнению
и найдем
d2»(x, 0)=^(х,0)+/(х> o) = jLUo(x) + /(x! 0),
Lu0 =
d2ua
dx2 ’
d2u (x, 0) d2u0 (x)	„
так как —^x2	= —. Отсюда следует, что
щ (х, 0) - 0,5т (Ли0 + f (х, 0)) = ди (Л’ °* + О (т2).
61
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
37
Поэтому разностное начальное условие
yt (х, 0) = й0 (х), где й0(х) = й0(х) + O,5t(Luo + /(x, 0)),
,.,.	ди (х, 0)	_ , ,
аппроксимирует на решении задачи (41) условие——- = w0(x)
со вторым порядком по т.
Условие и(х, 0) = «оОО и краевые условия в данном случае
аппроксимируются точно. В качестве разностной аппроксима-
ции уравнения можно взять, например, одну из схем, рассмо-
тренных в п. 2.
Из предыдущего изложения следует, что при повышении
порядка аппроксимации краевых и начальных условий мы суще-
ственно использовали существование и непрерывность произ-
водных, входящих в уравнение, на границе области (при х = 0
или t = 0), а также существование и ограниченность третьих
производных решения.
Пример 4. Трехслойная разностная схема для
уравнения теплопроводности. Рассмотрим первую
краевую задачу
=	+	0<х<1, 0</</0, '
dt дх2 ' ' ’ ”	’	и’
и(х, 0) = Ыэ(х),
и (0, t) = щ (/), и(\, t) = u2(t).
(42)
Для решения уравнения теплопроводности (42) часто приме-
няются так называемые трехслойные схемы, использующие зна-
чения сеточной функции г/-'-1(х), yj(x), yi+i (х) на трех времен-
ных СЛОЯХ Aj.-1, tj, tj+l.
Например, трехслойная симметричная схема на равномерной
сетке (Щг с шагами /гит выглядит следующим образом:
J+1 _ „/-1
—— = Л (оу<+] + (1 - 2<т) у1 + оу!~1) + ц>1,
(43)
y°i Uo(Xl)’ Уо Ух W2’
ди
мирует
Й- + О(П
где 1\.у = у- , о — вещественный параметр, ф-1' = f(x,-, tj).
Так как центральная разностная производная по t аппрокси-
со вторым порядком по т, а Лгг =
то схема (43) аппроксимирует уравнение (42) с О(/г2 + т2). Не-
трудно, однако, заметить, что задача (43) недоопределена. Для
применения трехслойной схемы требуется задать еще одно на-
чальное условие, например, задать у(х, t) на первом слое. Есте-
ственно потребовать, чтобы введение этого условия сохраняло
аппроксимацию О (т2.+. /г2).
88
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Р
Можно указать два способа задания у(х, т). Первый способ
состоит в том, что мы делаем первый шаг по двухслойной схеме
= 1 л (у' +/) + <₽«,
обеспечивающей определение у(х, т) с точностью O(x2 + /t2).
Второй способ состоит в том, что мы ищем значение у(х, т)
в виде
у (х, т) = н0 (*) + тр (х)
и подбираем р так, чтобы погрешность у(х, г) —и(х, т) не пре-
восходила О(т2 + /г2). Подставим в формулу
и (х, г) - н0 (х) = Т 4т |/=о + 4	+ 0
значение •—	, исходя из дифференциального уравнения
|/=о
~дГ L = ^и° + f 0)’	= ~~dx^~'
Тогда получим
ц. = Lu0 + f(x, 0),
и, следовательно,
у (х, т) = и0 (х) + т (и" (х) + f (х, 0)).
7. Примеры устойчивых и неустойчивых разностных схем.
Использование разностных схем позволяет свести решение за-
дачи для дифференциального уравнения к решению системы ли-
нейных алгебраических уравнений. При этОхМ правые части урав-
нений, краевые и начальные данные, которые мы будем в даль-
нейшем называть одним общим термином — входные данные —
задаются с определенной погрешностью. В процессе самого чис-
ленного решения системы также неизбежны ошибки, связанные
с округлением. Естественно потребовать от разностной схемы,
чтобы малые ошибки, допущенные во входных данных, не нара-
стали в процессе вычислений и не приводили к искажению ре-
шения.
Схемы, которые в процессе счета усиливают начальные по-
грешности, именуются неустойчивыми и не могут быть исполь-
зованы на практике.
Прежде чем дать определение устойчивости разностной
схемы по входным данным, к понятию которого мы интуитивно
подошли, приведем несколько примеров.
Пример 1.
и' = — аи, х > 0, и (0) = ц0, а > 0.	(44)
Точным решением задачи (44), как нетрудно видеть, яв-
ляется функция «(х) = uQe~ax. Задачу (44) на равномерной
71
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
30
сетке wh = (хг = ih, i = 0, 1, . . .} аппроксимирует разностная за-
дача
(hi-yi-\)lh + ау^ — 0, у0 = и0,	7=1,2,...	(45)
Задачу (45) можно переписать в виде
У1 = зу1-Х, s = 1/(1 + а/г),	7 = 1, 2, . . ., т/0 = тг0.
Отсюда следует
т/(- = slya.
Рассмотрим фиксированную точку х и выберем такую после-
довательность шагов h, чтобы х все время оставалось узловой
точкой, х = ioh. Тогда при измельчении сетки, h—>0, номер io,
соответствующий выбранной нами точке х, неограниченно воз-
растает.
Вычислим значение у в этой точке
yit = si°y0 = е<'“ln sy<r
В силу разложения
In s = — In (1 + ah) = — /га(1 + О (/г)),
имеем
7/ia = г/ие-Лаг»<1+0	— уйе~а*(\ + О (/г)).
Из последнего равенства видно, что решение разностной задачи
(45) непрерывно зависит от начальных данных. В таких слу-
чаях будем говорить, что разностная схема устойчива по на-
чальным Данным.
Пример 2. Неустойчивая схема. Для задачи (44)
рассмотрим схему
о Vl Vh1^ +(1 -^)-l+\ Vi +ат/г = 0, 7/о=ио,	= «о, (46)
7=1, 2, . . .,
где а > 1 — числовой параметр. Так как схема трехточечная
(разностное уравнение имеет второй порядок), то помимо у0,
следует задать yh При любом о схема (46) имеет, по крайней
мере, первый порядок аппроксимации. Если положить =
= (1 — ah)u0, то 77О — u(h) = O(h2). Частные решения разност-
ного уравнения (46) ищем в виде уг = s’. Подставляя Уг = s’
в (46), получим для s квадратное уравнение
(о — 1) s2 — (2сг — 1 + ah) s + ст = 0,
которое имеет два различных корня
2<т — 1 + ah ±	1 + 2 (2<т — 1) ah + a2/?2
Л1 а —	"	~ .-- -  .
40
ГЛ. 1, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
18
Общее решение уравнения (46) имеет вид
yt = Xsf + Bs‘.
Полагая i = 0 и i = 1 и учитывая, что у0 — и0, у} = w0, найдем
постоянные А и В:
д__	~ s2uQ	__ Siiiy — йр
$1 — $2	’	-Sj — S2
Предположим, что aft С 1. Тогда получим
Si	+ aft + О (ft2)),
s2 = 1 — aft + О (ft2).
Как и в рассмотренном выше примере, зафиксируем точку х
и выберем последовательность сеток oift таких, чтобы х = ioh.
Нетрудно видеть, что
s(“=	е°*(1 + О (ft)), s'«= е~а* (1 + 0 (^)),
т. е.
У1й = А (-^т)	(1 + О (ft)) + Ве~а* (1 + О (h)).
Так как о> (о— 1), то при ft —> О первое слагаемое неограни-
ченно возрастает. Не спасает положение и выбор Wo = wo(l—aft),
при котором А — (а — 1)0(ft2), поскольку функция hne*lh—» оо
при любом конечном показателе п > 0. Можно, наконец, вы-
брать й0 так, что А = 0. Для этого достаточно положить и0 =
= u0-s2. Однако в процессе вычислений из-за ошибок округле-
ния, решение sj неизбежно появляется, что приводит к неустой-
чивости указанного типа. При фиксированном ft эта схема при-
водит к нарастанию решения с ростом х{ = ih. Сгущение сетки
(уменьшение ft) приводит к нарастанию ошибок. Малое изме-
нение начальных данных приводит при ft —> О к неограничен-
ному возрастанию решения задачи в любой фиксированной
точке х.
Разобранные примеры позволяют сделать вывод, что понятие
устойчивости по входным данным совпадает с понятием непре-
рывной зависимости решения разностной задачи от входных
данных при ft -♦ 0.
8. О понятии корректности разностной задачи. Примени-
тельно к задачам математической физики принято говорить (см.,
например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6]), что задача по-
ставлена корректно, если выполнены два условия:
1) задача однозначно разрешима при любых входных дан-
ных из некоторого класса,
2) решение задачи непрерывно зависит от входных данных.
81
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
41
Аналогично определяют понятие корректности разностной за-
дачи. Пусть yh — решение, а фл — входные данные некоторой
разностной задачи. Они зависят от параметра h (шага сетки).
Меняя h, мы получим последовательности решений {у>} и вход-
ных данных {фЛ}. Таким образом, мы рассматриваем не одну
разностную задачу, а семейство задач, зависящее от пара-
метра fi. Понятие корректности вводится для семейства разност-
ных задач (схем) при |/г| -»0.
Будем говорить, что разностная задача (схема) корректна,
если при всех достаточно малых |/г|^/г0:
1) решение ун разностной задачи существует и единственно
для всех входных данных фЛ из некоторого допустимого семей-
ства,
2) решение yh непрерывно зависит от фА, причем эта зависи-
мость равномерна относительно h.
Более точно, второе условие означает, что существует такая
постоянная М > 0, не зависящая от h, что при достаточно ма-
лом | h |	1г0 выполняется неравенство
II Ун Ун М II Фл Фл "(2й)’	(47)
где уь — решение задачи с входными данными фЛ, а II • 11рЛ) и
11’11рл)— нормы на множестве сеточных функций, заданных на
сетке «л.
Свойство непрерывной зависимости решения разностной за-
дачи от входных данных, выраженное неравенством (47), назы-
вается устойчивостью схемы по входным данным или просто
устойчивостью.
Пусть дана непрерывная задача (см. (25) — (26))
Lu = f(x) при хе G, 1и = у(х) при х = Г, (48)
и пусть на сетке йЛ=й/1 + уА ее аппроксимирует разностная
задача
^нУн = ^н при	= Нл при х s (49)
Задача для погрешности zh = yh — uh, где «л— значение
(проекция) решения и задачи (48) на сетке сод, имеет вид
БЛгЛ = фЛ при xeioj,	при x~yh, (50)
где фА, Vh — погрешности аппроксимации уравнения и дополни-
тельного условия. Вместо (50) напишем формально
LhZh = Фл-
Если оператор th линеен и разностная схема корректна, то,
в силу (47), будем иметь
||za||(i^<MHaII(2^ или ||гЛ11(|/г)<М (||фЛ 11(24) + II Н(зА))- <51)
42
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(9
Отсюда видно, что если схема устойчива и аппроксимирует ис-
ходную задачу, то она сходится (обычно говорят «из аппрокси-
мации и устойчивости следует сходимость»), причем порядок точ-
ности (скорость сходимости) схемы определяется ее порядком
аппроксимации (см. А. Ф. Филиппов [1]).
Из сказанного выше следует, что изучение сходимости и по-
рядка точности схемы сводится к изучению погрешности ап-
проксимации и устойчивости, т. е. к получению оценок вида (51),
называемых априорными оценками.
Отметим, что решение zh и правая часть разностной за-
дачи оцениваются, вообще говоря, в разных нормах (являются
элементами разных пространств).
Ранее уже приводились примеры норм, в которых оцени-
ваются решение и погрешность аппроксимации на сетке гол. К со-
жалению, мы не можем сейчас же получить оценки устойчивости
вида (51) для конкретных разностных задач. Для этого нам по-
надобится вспомогательный математический аппарат, а именно:
формулы суммирования, разностные формулы Грина, простей-
шие сеточные аналоги теорем вложения. Такие минимальные
средства позволят получить оценки решения разностных анало-
гов краевых задач для обыкновенного дифференциального урав-
нения второго порядка. На этом примере мы познакомимся
с типичными ситуациями, которые возникают для значительно
более сложных задач при изучении устойчивости, аппроксима-
ции и точности разностных схем.
9. Решение разностных уравнений методом прогонки. Одним
из наиболее употребительных способов решения разностных
уравнений, возникающих при аппроксимации краевых задач для
уравнений математической физики, является в настоящее время
метод прогонки.
Рассмотрим трехточечное разностное уравнение
AtPi-i - CiPi + Вгум = - Fiy z=l, 2.......А-l (52)
с краевыми условиями
Уо = *\У\ +^1, //A'=X2l/.V-|+^2-	(53)
Здесь А/, В,, С,, Z|, vi, Хг, V2 — заданные числа.
Будем искать решение уравнения (52) в том же виде, в ко-
тором заданы краевые условия (53), т. е. в виде
lb — az+i*/z+i + Pz+i> z = 0, 1, ..., N— 1,	(54)
где <Хг+1 и ₽г+1 — неизвестные пока коэффициенты.
Подставляя (54) и
Di-\ ~ aial+\Di+\ + ai₽i+l + ₽/
91
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
43
в уравнение (52), получим
(ai+i (ai^i ~ С/) +	+ ((агАг — С\)Р/+1 + Р/Д + Д) = 0.
Отсюда видно, что уравнение (52) будет выполнено, если по-
требовать
a<+i («И/ ~ с<) + = 0, (а/Д - С/) pi+1 + Р/Д + F, = 0.
Тем самым, мы получаем рекуррентные соотношения для оп-
ределения прогоночных коэффициентов a/+i и Р/+ь
В.	Л.₽. + Л
=	=	^=1. 2, .... Л’-1.
Величины а/ и Pi находим из (54) и краевого условия (53) при
i = 0:
ai=Xi. Pi=vi.
Значение yN, необходимое для начала счета по формулам
(54), получаем из (54) и краевого условия (53) при i = N— 1:
Уы = (v2 + «2P;v)/( 1 “ Wn)-
Итак, мы можем получить точное решение краевой задачи
(52) — (53) при помощи следующего алгоритма:
В.	A.Q. + F,	]
=	г-=1, 2,..., У-1, |
ai = x„ Pi = v„
Vi = а/+|У/+1 + P/+1, Z = 0, 1, .... N— 1,
Vn = (v2 + x2Px)/(l ~ x2«w)-
(55)
Этот способ решения разностных уравнений вида (52) и но-
сит название метода прогонки. Так как значения yt находятся
здесь последовательно, начиная от правой границы, то фор-
мулы (55) называют иногда формулами правой прогонки. Ана-
логично выводятся формулы левой прогонки:
£ - Ai
.	' Ci~ti+iBi ’
In = x2> ' n.v = v2,
Vi+i =11+^1 + П/+1>
z/0 = (vi + x1r]l)/(l - Х/li).
Иногда оказывается удобным комбинировать правую и ле-
вую прогонки (так называемая «встречная прогонка», см., на-
пример, А. А. Самарский [3]).
В,ть , . + F-
,= ’'2.........................
1 = 0, 1, 2.........N— 1,
44
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[9
Прогоночные формулы (55) называются устойчивыми, если
коэффициенты а< не превосходят по модулю единицы. В этом
случае ошибки округления, возникающие в процессе счета по
рекуррентной формуле (54), не будут возрастать.
Условия
Л;>0, Bz>0, С{ А( + В[,	0 ха < 1, а=1, 2 (56)
обеспечивают устойчивость прогоночных формул (55).
Действительно, оц = xi < 1 и если 0 а, < 1, то
п ,	Bi
<a'+1	(Сг-^-^) + В/ + (1-а,)Л(<1-
Заметим, что ограничения на х можно ослабить. Например,
прогоночные формулы (55) остаются устойчивыми, ести вместо
(56) потребовать выполнения условий
А{ > 0, Bi > 0, Ci А( + Bi, Ci =£= Ai + Bj,
О xa 1, а -- 1, 2
или условий
Ai > О, Д>0, Ci^Ai + Bi, 0^ха^1, а=1, 2,
Х[ + %2	2.
Пример 1. Краевые условия первого рода:
и" (х) = — f (х), 0<х<1, «(0) = ^!, м(1) = ц2.	(57)
На отрезке 0 <1 х -С 1 построим произвольную неравномерную
сетку с шагами ht = х{ — х^, i = 1, 2, ..., У и заменим (57)
следующей разностной задачей
Ум.	г= 1. 2, У-1,	yN = li2. (58)
Чтобы решить эту систему уравнений методом прогонки, пе-
репишем (58) в виде
— Уi--II — -г- (“Г 1 Г J УI Ч  У1+1 = — fit 1	N — 1 ,
yi 1 fi( \hi	/гг + 1 / ' Dihi+i + 1	\ \
Z/o = Hi. Z/x = H2. hi = Q,5 (hl + hi+1).
Сравнивая это уравнение с уравнениями (52), (53), находим,
что для (58)
A =	Ci = Ai + Bi, Fi = fh
V1 = H1, V2 = p.2> Х! = Х2 = 0.
Так как условия устойчивости (56) при этом выполнены, то
задачу (58) можно решать методом прогонки.
II
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
45
Пример 2. Третья краевая задача:
u"=~f(x),	0<х<1,	1
и'(0) = сги (0) — щ, ы(1) = р,2, ст > 0. /	^9)
Введем равномерную сетку <йл = {х, = ih, i = 0, 1, ..., N} и
построим для (59) разностную схему второго порядка аппро-
ксимации (см. пример 1, п. 6):
yir = - f{, i= 1, 2, .У - 1,	]
(60)
Ух,о — °Уо~ й|> Й1 = + 0.5ЛИ0), yN = Н2- >
Записывая систему (60) в виде (52), (53), получим, что для
нее
А = Д=1//г2, C^Ai + Bi,
X. = 1 J , V| = ~i Г^Г' • > *2 = 0, V2 = H2-
1	1 + ho ’	1	1 + ho ’	2	’ -s r-2
Отсюда видно, что при а > 0 условия устойчивости прогонки
(56) выполнены.
Метод прогонки для решения разностных краевых задач был
предложен в начале пятидесятых годов несколькими авторами.
Это; И. М. Гельфанд и О. В. Локуциевский (см. С. К. Годунов
и В. С. Рябенький [1]), В. С. Владимиров (см. Г. И. Марчук [1]),
А. С. Кронрод (см. А. Д. Галанин [1]). Ссылки на зарубежных
авторов имеются в книге Р. Д. Рихтмайера [1] и И. Бабушки,
Э. Витасека, М. Прагера [1]. В настоящее время имеется значи-
тельное число работ, посвященных методу прогонки. Некоторые
варианты метода прогонки приведены в дополнении к данной
книге.
§ 2. Некоторые сведения о математическом
аппарате теории разностных схем
1. Некоторые разностные формулы. В дальнейшем для пре-
образования различных разностных выражений нам потре-
буются формулы разностного дифференцирования произведе-
ния, формулы суммирования по частям и разностные формулы
Грина. В этом пункте мы получим эти формулы, проводя анало-
гию с соответствующими формулами дифференциального исчис-
ления.
1) Формулы разностного дифференцирования
произведения. Как известно, в дифференциальном исчис-
лении имеет место следующая формула дифференцирования
произведения функций и(х), v(x):
(uv)' — u'v + uv'.
46
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(1
Выше, в § 1, п. 2 для сеточных функций были введены два
типа разностных производных — левые и правые. Соответ-
ственно этому имеется и две формулы разностного дифферен-
цирования произведения:
(«цД = UXV + ц<+1)их = tlxv<+1) + uvx,	(1)
(uv). = uxv +	+ uvx.	(2)
Здесь введены обозначения
Обратим внимание на то, что в этих формулах происходит
сдвиг индекса. Докажем, например, первое из этих равенств.
Записывая равенство (1) в индексной форме
— u.v. u,,,v.,, — u.v.,,	U.V..,—U.V.
t + l t + 1	i i  f +1 г + 1 i t +1 I. i г + 1 i i
h	h	‘ h ’
непосредственно убеждаемся в его справедливости.
2) Формулы суммирования по частям. В инте-
гральном исчислении справедлива формула интегрирования по
частям
। 1
J uv' dx = uv |J — J u'v dx.
о	0
Для сеточных функций, как и в предыдущем случае, имеют ме-
сто формулы двух типов
(«,	ц],	<3)
(«. U-) = uNvN_{ - uovo - [их, Ц).	(4)
Здесь использованы следующие обозначения
А-1	N	ЛГ-1
(«, и)= 2 u^h, (и, v] = 2 u^ih, [и, v) = 2 u^h. (5)
i —1	i-1	i-0
Докажем, например, (3). На основании формулы (1) имеем:
Д'-l	JV-I	JV-I
2 («»*)/ h = 2 («»)», i h - 2 (мхц(+1))г h =
i-l	i = I	I = I
N
= (uv)N - (uv)i - 2 (Wx«)i h =
i=2
= (uv)N — uxvx — 2 ux, iVt.h + (uxv){ h — uiVi. (6)
1 = 1
Очевидно далее, что
d(uxv)i = uivL — wovi.
II
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
47
Подставляя последнее выражение в (6) и учитывая (5), полу-
чим (3).
В дальнейшем мы будем часто использовать неравномерную
сетку, которую, как уже говорилось в § 1, п. 1, в отличие от рав-
номерной будем обозначать через &ь. На этой сетке формулы
скалярного произведения и разностные формулы суммирования
по частям выглядят несколько иначе
' JV-I	JV-I	N
(и, и). = 2 UiVfii, (и, у)= 2 UiVihi+[, (и, и]= 2
i=l	i—l	i—1
(«> Vxl = UNVN - UQV1 - (U> «x]>	(7)
где й; = 0,5(/г; + /г(+1).
Здесь введено также обозначение для разностной производ-
ной на неравномерной сетке
Vx, i ==(V/ + 1 -
и для скалярного произведения на неравномерной сетке (,)*.
Для доказательства формулы (7) заметим, что
Л/4-1
V* = Vx,
Х
Подставляя это выражение в скалярное произведение
ЛГ-1
(«, иД = (и, vx), где (и, w)= 2 «<ауД+|,
f=i
и повторяя доказательство тождества (3), приходим к (7).
3)	Первая формула Грина. Равенство
I	।
J и (kv'Y dx = — J ku'v' dx + kuv' |q
о	0
обычно называют первой формулой Грина.
Для сеточных функций аналог формулы Грина можно полу-
чить, пользуясь формулами суммирования по частям. Подстав-
ляя в (3)
и ~ z, v = ау ,
получаем первую разностную формулу Грина-.
(г- НА) = - Их’ zx] + агУх к - а1Ух, ого- (8)
Если z0 = zN = 0, то подстановки обращаются в нуль и пер-
вая формула Грина имеет вид
(z, Ay) = - (ayv zx], Ау = (ау^.	(8')
48
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
12
В частности, при z ~ у получаем
(Ау, у) = - (а, (у.)2], у,. = yN = 0.	(8")
Аналогичный результат справедлив и в случае неравномерной
сетки:
(2> МД = - Их’ 2х] + aZlJx L -	020>
(г, (ау.)^ = - (аух, г.] при z0 = zN = 0.
4)	Вторая формула Грина, В интегральном исчисле-
нии вторая формула Грина имеет вид
1 1
J и (kv'Y dx — v (ku'}' dx = k (uv' — vu') |q.
о	0
Подставив в (3) «. = у, v — az*, получим
(^’ (й2х)х) = “ Их’ 2x] + aVZx IА “ «1Уогх, о- 	(9)
Вычитая теперь (9) из (8), приходим к разностному аналогу
второй формулы Грина
(2- (О - (#’ Их)х) = йаИх - гхУ) н ~ а1 [Ухг ~ гХУ)0- <10)
Точно так же для неравномерной сетки имеем:
(2> МД “	= (гУх - yzx)N - ai (у*? - zxy)Q- (11)
Если у и z обращаются в нуль при х = 0 и х = 1, то подста-
новки равны нулю и
(Аг/, z) = (у, Az), Ay = (ау.)х,	(10')
(Ду, Z). = (у, Az)., Ау = (аУх)х-	(11')
Эти формулы показывают, что оператор А является самосопря-
женным,
5)	Неравенство Коши — Буняковского, Нам по-
надобится в дальнейшем известное неравенство Коши — Буня-
ковского (см,, например, Л. В. Канторович и Г. П. Акилов [1])
|(«, y)|<||«||||y||,	(12)
где (,) — скалярное произведение в некотором линейном про-
странстве и || и || = Y(u, и). В частности, по (,) можно понимать
одно из введенных выше скалярных произведений.
2. Отыскание собственных функций и собственных значений
на примере простейшей разностной задачи. Метод разделения
переменных, известный в математической физике, используется
и для исследования разностных задач. Применение этого метода
21
§2. математический аппарат теории разностных схем
49
позволяет расчленить исходную задачу, зависящую от несколь-
ких независимых переменных, на более простые задачи, завися-
щие от меньшего числа переменных. При этом, как правило, по
отдельным координатным направлениям возникают задачи на
собственные значения. Такая же ситуация имеет место и в раз-
ностном случае.
В этом пункте мы рассмотрим задачу на отыскание соб-
ственных значений для простейшего разностного оператора.
Сведения, полученные здесь, потребуются нам в дальнейшем,
так как использование метода разделения переменных приво-
дит к задачам именно такого типа.
В последующих главах будут приведены примеры использо-
вания этого метода для анализа устойчивости и сходимости
конкретных разностных схем.
Предварительно напомним основные факты (см., например,
А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6]), связанные с простейшей
задачей на отыскание собственных функций и собственных зна-
чений для дифференциального уравнения
и" (х) + Хи (х) = 0,	0<х</, и (0) = и (/) = 0.	(13)
Нетривиальные решения этой задачи — собственные функции
и отвечающие им собственные значения /./< выражаются следую-
щим образом: _____
1-	ик (*) = у sin ~ , Kk = Fn2//2, k = 1, 2, ...
2.	Собственные функции uh образуют ортонормированную
систему
i
| wft(x)wm(x)dx = 6^„
о
где
10, k #= т,
6fem = l 1, k = m.
3.	Для производной от собственной функции имеет место ра-
венство
u'k (х) = /I? cos = VTk uk (х),
откуда следует, что система йь(х) также ортонормирована, т. е.
I
J С^) (^) $kny
0
50
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(2
4.	Если f(x) дважды дифференцируема и удовлетворяет од-
нородным краевым условиям, т. е. f(0) = f(/) = 0, то она пред-
ставима в виде равномерно сходящегося ряда
f (*) = 2 fkuk (х),
k=i
где
i
fk= / f (х) ик (х) dx,
6
причем
I	со
Ш2= J f2{x)dx = ^k.
О	6=1
Поставим в соответствие дифференциальной задаче (13) раз-
ностную задачу
^ + ^ = 0> % = #л/= °>	У^°	' <14)
об отыскании нетривиальных решений — собственных функций
задачи (14) и соответствующих собственных значений. Перей-
дем в (14) к индексной форме
z/i+1-2(l-/i4/2)z/i + z/i-I = 0, Z=l, 2, ..., Л/-1.	(15)
Решение задачи (14) будем искать в виде
z/(x) = sinax,
где а подлежит определению. Тогда
yf+l + Ui-\ = s'n a (х + /г) + sin a (х — /г) = 2 sin ax cos a/г.
Подставляя полученное выражение в (15), получим
2 sin ax cos ah = 2 (1 — /г2л/2) sin ах.
Так как мы ищем нетривиальные решения, т. е. sin ax 0, то
из последнего равенства следует:
1 — /г2л/2 = cosa/г,
и далее
Л. = дгД! — cos a/г) = sin2 .
Значение параметра а выберем так, чтобы функция г/(х) =
= sin ах удовлетворяла граничным условиям задачи (14)
г/(О) = г/(/) = О.
Заметим, что при х — 0 граничное условие выполняется автома-
тически при любых а. При х = / имеем:
sin а/ = О,
2]
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
51
откуда
а = ak = ka/l, k = 1, 2, . . ., N — 1.
Итак, мы получили собственные функции и собственные значе-
ния задачи (14), Перечислим их свойства.
1.	ум (х) = sin , Zj, =sin , k= 1, 2, ..N— 1. (16)
2.	Собственные значения перенумерованы в порядке воз-
растания и для всей совокупности {/./,} справедливы следующие
оценки:
°<^1 = 4г sin2 < ^2 < <Ajv-i =
4 . Q nh (N — 1)	4	9 лй . 4
~ 7? sin 2i Fcos IF < "йг '
(17)
Из (17), в частности, следует, что все собственные значения за-
дачи (14) положительны.
3.	Собственные функции задачи (14) //<’'), у"‘>, отвечающие
различным собственным значениям, ортогональны в смысле ска-
лярного произведения, определяемого соотношением (5):
(//<и, //("»))== 0,	k=£=m.	(18)
Для доказательства этого факта воспользуемся второй раз-
ностной формулой Грина, записанной для однородных краевых
условий (10х),
0 = (z/£>, z/<->) - (z/<4 z/g») = (Zm - Л J (у™, у^).
Так как по предположению у<М и у^т>— собственные функции,
соответствующие различным собственным значениям, т. е.
кь 7= Xm, то из последнего равенства следует ортогональность
z/(ft) и z/(m);
{y{k\ У(ту) = 0.
4.	Норма собственной функции z/(ft)(x) есть
ЮТ = Vl/2.
Норма понимается в смысле скалярного произведения (5), оп-
ределенного выше,
II УII2 = (У, //)= 2 y]h.
z=i
Проведем несложные преобразования
М-1	М-1
II ytk'' II2 == ’S (У{к} A) )2 h = S h sin2
М-1
2V — I
2£лх. \	lv 2knx,
<19>
2
52
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
12
Для того, чтобы просуммировать в (19) ряд из косинусов, по-
строим вспомогательную функцию, разностная производная от
которой равна cos (2Алх;//).
Используя очевидное равенство
( 	, л\\	1 I • о( , h\ . al h\\	2 а . р/г
(SinP(X + у) j _ =у (Sinp (X -ТуJ—Slnf/X - у/ == у cospx Sin~- ,
имеем
cos Px = [ 2 sin (р/г/2) sin P (x -Г y)] _.
Теперь сумму ряда косинусов определить несложно:
N-1	,	Л/-1 г ,	,	, . , ,
ул 2rjix.	п уч Г / 2ял / п\ \]
7, h cos —~	/. Asin —7— х,- 4~ т =
I 2 sin (/гл/г/2)	|_	\ I \ 1 1 2/ / J-
i=1	1 = 1
h Г • t 2far /, /г \ \	. knh 1	,
= 7Т-ГЖ7 Sin —7— П — 75-	— sin —7- = — h.
2 sin (Ал/г/2) L \ I \	2)) I J
Учитывая полученные результаты, находим из (19) требуемое
соотношение || y{k) || = V1/2. Таким образом, набор сеточных
функций
(Х) = /2/7	(х),	А=1, 2, .... У-1	(20)
образует ортогональную и нормированную в смысле скалярного
произведения (,) систему: (ц(/,>, ц<т>) = dfem.
5. Первые разностные производные от собственных функций,
имеющие вид
(/*> (х)). = /ад cos to(x-7°’5Zi) ,	(21)
ортогональны в смысле скалярного произведения (,], определен-
ного формулой (5) и, кроме того,
11<Н2=ч.
В том, что разностные производные от собственных функций
имеют вид (21), можно убедиться, проводя простые вычисления:
= Ж (sin _ sin ^7^ =
= |	1 sin COS	cos	.
Далее вычислим произведение
(ц<4 ц(-)] = - (ц£> ц(-)) = V/*), ЦИ)) = Kk\m,
31
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
53
где 6km = 0 при k т и 6kk = 1- Здесь мы воспользовались раз-
ностной формулой Грина, а также тем обстоятельством, что
функция является решением уравнения (14), т. е.ц^ = —
Итак, свойство 5 доказано.
6. Пусть на сетке йл задана функция f(x), причем f0 — fN = 0.
Тогда, очевидно, она представима в виде суммы по собственным
функциям задачи (14)
f(x) =
k=\
где коэффициенты определяются соотношенияхМи
Ь =	р(Ч0).
При этом оказывается справедливым равенство
\\f\^Zf2k.	(22)
k = I
Докажем (22). В самом деле.
Il f II2 = 2* Af2 (х;) = (Г, 1) = f 2 fk^, 2*	=
i = l	U-l	/г=1	/
= ( s'	s'	S f2k,
\k, m=I	/ k, m — l	£ — 1
так как (p(W, p,m)) = 6km.
В дальнейшем изложении мы будем часто пользоваться не-
равенством
Ь2
I ab I	еа2 +(е>0— любое число),
которое будем называть иногда е-неравенством. Из него, в част-
ности, следует:
| («, v) KIlMllll v ||<е||« IP + S-II v II2.	(23)
3. Разностные аналоги теорем вложения. В дальнейшем при
оценке различных свойств разностных схем, таких как устойчи-
вость, сходимость и т. д., нам понадобятся неравенства, которые
соответствуют простейшим теоремам вложения С. Л. Соболева
(см. С. Л. Соболев [2]).
Докажем три леммы.
Лемма 1. Для всякой сеточной функции у(х), заданной на
сетке
H>h = {Xi = ih, OtS^is^N, хо = О, xN = 1}
54
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
13
и обращающейся в нуль при х = 0 и х = 1, справедливо нера-
венство
i»iic<4iiu	<м>
где
|| у ||с = max | у (х) |,	|| у _]| = (y.t у^.
хега/г
Доказательство. Функция у(х) на сетке а!г может быть
представлена в тождественном виде
У2 (х) = (1 - х) у2 (х) + ху- (х).	(25)
С другой стороны, поскольку z/(0) = z/(l) = 0, можно записать:
У2 (х) = ( 1j У-х (х') h) ,
\x'=h	I
ИЛИ
№(х) = | 2 y^(x')hj .
\x'=x+h	/
Подставляя эти равенства в (25), находим
z/2(x) = (l— х) f 2 /гу-(х')] + х( 2 hy-(x')] .
\x'=h	/	\х/=х+^	/
Оценим суммы в правой части, используя неравенство (23),
z/2(x)<(l - х) 2 h 2 г/|(х')Л + х 2 Л 2 у\ (х') h =
х'=Л x’=h	x'^x+h x'=x + h
= х(1-x)JS^.(x')ft = x(l - х) || ух]12
(здесь у2=(ух)2)- Максимум выражения х(1—х) на отрезке
[О, 1] достигается при х = 0,5 и равен 1/4. Поэтому
z/2(x)<4||z/J,
и, следовательно,
II У 11с у || Z/J1-
Замечание 1. Лемма 1 остается справедливой на произ-
вольной неравномерной сетке
Замечание 2. В дальнейшем нам потребуется также не-
равенство типа (24) для отрезка произвольной длины I. Такое
31
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ аппарат теории разностных схем
55
неравенство нетрудно получить из (24) с помощью замены пере-
менных х' = 1х. Тогда х' будет меняться на отрезке (0, /) и
Ух’ = h' = hl-
Подставим у_ = у-,-1 и h = Л'Д в (24). В результате получим
II < “Ы? ’Л' ='	«Л-
Следовательно, на отрезке длины I справедливо неравенство
lf/(x)l<||f/llc<^||f/,?]|.	(26)
Замечание 3. Неравенства (24) и (26) получены для
функций, обращающихся в нуль на обоих концах интервала.
Если функция z/(x) обращается в нуль лишь на одной границе,
то справедливо неравенство
||<<]/Т|Щ.	(27)
Для произвольных функций неравенства (24), (26), (27), вообще
говоря, неверны. Однако можно показать, что в этом случае
имеют место неравенства следующего вида
||<<2('Ы|!+Л)-1
Лемма 2. Для всякой функции у(х), заданной на произ-
вольной сетке = {%г, *о = 0,	= 1} и обращающейся в нуль
при х = 0 и х = I, справедливо неравенство
У0 = У» = в-	(29)
В самом деле, легко проверить, что
Подставляя это неравенство в (26), получим (29).
В случае равномерной сетки оценка (29) может быть улуч-
шена.
Лемма 3. Для всякой функции y(x)t заданной на равно-
мерной сетке
<£>/l={xi = th, 1 = 0, 1, ..., N, хо = О, xN = l}
и обращающейся в нуль при х = 0 и х — I, справедливы оценки
<зо>
56	ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	(4
Разложим z/(x) по собственным функциям задачи (14):
У W = 5 Qn(k’ (х), ck = (у (х), ц(*> (х)), || у = 5 с\.
4=1	4=1
В силу первой формулы Грина (8)
(-м */)=lk-]|2’ где м>=ухх, 1ШМ1’к-)2]- <31>
Так как Лц</г) = — то
- Az/ = 5 ckKknw (х).
4=1
Подставим это выражение в (31) и учтем ортонормированность
Ц<Й) '	ЛГ-1
Их]|2=	//)= 2 44
Отсюда получаем
м*/|12<1Ы12<кЫ12>
где
Оценим Л1 снизу. Обозначив а = лЛ/(2/), получим
, л2 / sin а\2
Так как h ^0,5/, то а меняется на интервале (0, л/4]. Нетрудно
проверить, что минимум функции (sina)/a при ае (0, л/4] до-
стигается в точке a = л/4, т. е. Л1(/г) имеет минимум при h =
= 0,5 /. Отсюда следует, что М 8//2. Учитывая также, что
Z.v < 4//г2, получаем (30).
4. Метод энергетических неравенств. Одним из общих и весь-
ма эффективных способов получения априорных оценок является
метод энергетических неравенств. Мы приведем примеры исполь-
зования этого метода для получения априорных оценок приме-
нительно к разностным задачам и покажем, как на основании
полученных результатов можно определить, например, скорость
сходимости разностной схемы.
Все рассмотрения в этом пункте будут проводиться для за-
дачи
и"(х) + /(х) = 0, 0<х<1, и(0) = и(1) = 0.	(32)
Пример 1. Пусть на отрезке [0, 1] введена равномерная
сетка йЛ. Рассмотрим следующую разностную аппроксимацию
задачи (32):
^+^(Л) = 0’	//0 = z/^ = 0.	(33)
41
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
57
Умножим уравнение (33) на hy и просуммируем полученное
равенство по узлам сетки <оЛ:
2'CMzz/iA+ =	(34)
i«1	/ = 1
Перепишем (34) в терминах скалярных произведений
(Ухх, y) + (f, У) = 0-	(35)
Преобразуя первое слагаемое в (35) с помощью разностной
формулы Грина (8"), находим
- (Ух> УJ + (?’ У)= 0 или 1Ы12 = ^’^-	(36)
Скалярное произведение (f, у) оценим при помощи неравен-
ства Коши — Буняковского (12)
1(Л */)КИЛ1Ы1.
Воспользуемся леммой 3: || у ||	|| у-]|/У8. Отсюда и из (36)
находим:
Применяя затем лемму 1, получаем априорную оценку для ре-
шения задачи (33)
Й11с<ИЛ|/(4 /2).	(37)
Это неравенство используем для оценки скорости сходимости
схемы (33). Напишем сначала уравнение для погрешности
схемы (33): z = у — и, где и — решение задачи (32), у — реше-
ние разностной задачи (33).
Подставляя у = z + и в (33), получим для z задачу
2^. + ф (х) = 0, хеил, zo = zw = 0.	(38)
Здесь ф (х) = ихх + / (х) — погрешность аппроксимации схемы
(33), которая, как известно, при достаточной гладкости ы(х)
есть величина порядка О (Л2). Отметим, что для функции z(x)
мы получили задачу того же типа, что и для функции z/(x). По-
этому для z(x) справедлива оценка (37):
II z Ис < IIФ II/(4 У 2).	(39)
Но ф = О (/г2) и, следовательно,
II г ||с = IIУ - и ||с < Mh\
где М — положительная постоянная, не зависящая от шага h.
58
ГЛ. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(4
На основании данных выше определений (см. § 1) из (39)
следует, что решение разностной задачи (33) равномерно схо-
дится к решению дифференциальной задачи (32) со скоростью
О (/г2).
Мы получили оценку скорости сходимости для очень простой
задачи. Аналогичный результат для этой задачи можно было
бы получить и с помощью ряда других методов, быть может
даже более простых. Однако ценность приведенного здесь ме-
тода энергетических неравенств состоит в том, что он без суще-
ственных изменений переносится на многомерный случай, на
случай переменных коэффициентов, на разностные схемы для
параболических и гиперболических уравнений и т. д.
Покажем, например, что этот метод без всяких затруднений
дает нужный результат для случая неравномерной сетки.
Пример 2. Пусть на отрезке [0, 1] задана неравномерная
сетка Задачу (32) на такой сетке можно аппроксимировать
следующим образом:
+	Уо = У^=~-О	(40)
(относительно обозначений см. § 1, п. 3, пример 1).
Для задачи (40) можно получить априорную оценку того же
типа, что и оценка (37) для задачи (33). Но в этом случае
такая оценка дает не совсем верное представление о скорости
сходимости схемы (40). Было показано (§ 1, п. 3), что погреш-
ность аппроксимации
Ф — U-xX + f
схемы (40) есть величина O(fi,) и
|| ф ||< Af/iniax.
(41)
Оценка (41) указывает на понижение порядка скорости сходи-
мости схемы (40) на неравномерной сетке по сравнению со
схемой (33) на равномерной сетке. Однако выше говорилось,
что если погрешность аппроксимации оценивать не в сеточной
норме Ь2, а в некоторой специально построенной норме || • ||(_2},
то погрешность аппроксимации на неравномерной сетке будет
иметь также порядок О (/г2). Именно, надо взять норму
(I Ф И(-2) =
JV-1	ZJV—1	\2Т/2
= О(/г2).
_i=»l	\/гв1	/ _
Из сказанного ясно, что теперь при выводе априорной оценки
для задачи (40) нужно оценивать правую часть в норме II * ||(—2>.
Получим эту априорную оценку. Умножим уравнение (40) на
yihi и просуммируем по узлам сетки <вл. В терминах скалярных
произведений полученное выражение можно записать в виде
+	=	(42)
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
59
Первое слагаемое в (42) преобразуем по разностной формуле
Грина (8)
г/J = (А z/ф.	(13)
Введем в рассмотрение функцию ц (х), определенную следую-
*щим образом:
, = А, i=l, 2, .... TV—1, t]v = 0.	(44)
Решая задачу (44), получим
~П (•*/) = 2 fk^k-
k = i
(45)
Скалярное произведение в правой части равенства (43) пре-
образуется на основании формулы суммирования по частям (7):
(А У)* == (Че, У), = - (П,	(46)
В силу неравенства Коши — Буняковского имеем
|(А У\\ = |(п, ^)|<Нп11||^]|.
(47)
Подставим
на Ш\:
эту оценку в (43) и сократим обе части неравенства
Ы\ <11 Ш1 =
'zV-1 AV-l \2Т/2
= ИЦ_2).
На основании леммы 1, || у ||с	|| г/_]| / 2 и, следовательно,
1Ы1С<|Ш(_2).
(48)
Тем самым желаемая оценка установлена.
Рассмотрим теперь, как обычно, погрешность решения z =
— у — и, где у— решение задачи (40), а и — решение исходной
дифференциальной задачи-(32). Подставляя у = z + и в (40),
получим для z задачу
zxx + Ф = °’ х е &н> zo = zn = °-	(49)
Применяя к задаче (49) оценку (48), заключаем
||з||с <0,5||ф||(_2).
Но мы уже видели раньше (см. § 1, п. 3), что
II ф Ц,™ МЛ2, где Л = max Лг,
1 ’ 1</^
и, следовательно, схема (40) на произвольной неравномерной
сетке &h сходится со скоростью О (Л2).
60
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(5
5. Принцип максимума. Для оценки решений некоторых раз-
ностных задач оказывается возможным использовать принцип
максимума. Мы докажем сейчас принцип максимума для опе-
ратора
Ay = (Az/)i = /4^i_1-Ctyt + B(yi+l,	i= 1, 2, ..., М-1, (50>
где
At>Q, Bi>Q, C^Ai + B,.	(51)
Более общие формулировки принципа максимума содержатся
в гл. IV.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (51). Тогда, если
(Ay)i^-O, ((А//)г4^0) для всех i, то функция yf, отличная от
константы, не может принимать наибольшего положительного
(наименьшего отрицательного) значения в точках i = 1,2, ...
..., N— 1.
Доказательство. Предположим, что в некоторой внут-
ренней точке достигается положительный максимум. Тогда, так
как yi Ф const, найдется точка i = i0, в которой
у, = шах у, = А1> 0,
а в одной из соседних точек, например, в точке i = i0— 1, вы-
полняется строгое неравенство yt Af0.
Запишем теперь оператор (50) в виде
(Af/)< = йг (yi+i - У() - At (yt - yi-i) - (Ct -A/- Bt) yt.
В точке i = io из условий (51) следует неравенство
(Af/)6 = M^o+i -	- Уи-i) ~ (C\ - Bi, ~
<-Ai0(i/i0-^0-i)<0,
что противоречит требованию (Az/)Zo > 0. Вторая часть теоремы
доказывается аналогично.
Следствие 1. Если (Ay) j 0, i = 1, 2, .. ., N — 1,
уа 0, у 0, то функция у г неотрицательна, у ,А> 0, / = 1, 2, ...
..., N—1. Если (Ау)г^-О, Уо^О, yN^C0, то yt^-Q при i —
= 1, 2, ..., N— 1.
Следствие 2. Если выполнены условия (51), го един-
ственным решением задачи
(Ay)i=—Fi, i = 1, 2, ..., N — 1, f/0 = Hb Ун = 1*2	(52)
c Fi = 0,	= ц-2 = 0, является тождественный нуль, и, следова-
тельно, задача (52) однозначно разрешима при любых Fit щ, ц2-
5]	§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 61
Теорема 2. Пусть — решение задачи (52), a yi — реше-
ние задачи, которая получится при замене в (52) функций Fi,
Ц1, р.2 соответственно HaFlt р.!, рг. Тогда, если
1ЛКЛ. 1=1,2...........Л'—1, |ра|<ра, а =1,2,
го справедлива оценка
\У1\<Уо i = 0, 1, •••, N.
Доказательство. Так как F, > 0, то, согласно след-
ствию 1 из теоремы 1, > 0. Функции ц, = yt — yi и v{ = yi + yi
удовлетворяют уравнению (52) с правыми частями Fi— F{ и
Fi + Fi и граничными условиями ра — ра и ра + ра, соответ-
ственно. Применив следствие 1 из теоремы 1, получим, что
zz, > 0 и 0, т. е. | y-i | <1 yi.
Следствие. Для решения задачи (52) с Е, = 0 справед-
лива оценка
|| у ||с < max{| Р| |, | р21}.
Для доказательства рассмотрим вспомогательную задачу
(Лу); = 0,	i=l,2......1, у0 = Ун = 11,
где р = max{|pi|, |р2|}.
Согласно теореме 2, имеем
II У Нс Ис >
а из теоремы 1 следует, что
II У Нс < Н-
Теорема 3. Пусть в задаче (52)
Ft = Dfli, i = 1, 2, .. ., N — \ , P| = p2 = 0,
где Di —Ci — B{ — Л,О0 и выполнены условия (51). Тогда
справедлива оценка
II У Нс = max | yi К|| (pile-	(53)
0 С i
Доказательство. Если Di = 0 при г = 1, 2, ... , N — 1
и pi = рг = 0, то Fi == 0, решением задачи (52) является тожде-
ственный нуль и оценка (53) очевидна.
Предположим теперь, что Di =# 0 хотя бы в одной внутрен-
ней точке. Построим функцию У, > 0, являющуюся решением
задачи
Bi (Yi+i -	- At (Yi - Y^) - DiYi = — Z>(-1 <pz |, Уо = YN = 0. (54)
Согласно теореме 2, llyllc^ II У|1с, так что нам остается оце-
нить решение задачи (54).
62
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(1
Пусть в точке i = io достигается максимум функции У;. Тогда
В. (Уг+,-Уг)<0, А. (Уг -У. ,)>0
и из (54) получаем
D. У. < D. I ср,. I < D. || ср L.
to 10	* fol ’to I * го ’ V
Если Z)l0>0, то отсюда следует оценка
II У Нс < II Ф Нс,	(55)
что нам и требовалось. Если же Di, = 0, то из (54) получим
Вц(У,-о+1-Уг.) = 41-0(У1-0-У/0-1).
Так как Уг0>У/0-1 и Уг-0 > У(-о+1, то отсюда следует равенство
Уц-п = У,о = У,-о-1,
т. е. то же самое максимальное значение достигается и в сосед-
них с io точках. Взяв i — it = io + 1 (или и = io — 1), повторяем
предыдущее рассуждение и получаем неравенство
А, II ф 11с,
откуда снова следует либо (55), либо равенство
Уг1+1 = У<, = Ун-1-
Так как Di 0, то при некотором i = ia получим Dia>0 и не-
равенство (55).
Теорема доказана.
§ 3. Некоторые сведения
из функционального анализа
Понятия и методы функционального анализа находят естественное при-
менение в теории разностных схем. Дадим здесь краткий перечень исполь-
зуемых нами элементарных сведений из теории линейных операторов. Для
детального изучения основ функционального анализа можно рекомендовать,
например, книги Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова [1], Л. А. Люстерника
и В. И. Соболева [1], Б. 3. Вулиха [1].
1. Линейные операторы. Пусть X и У — линейные нормиро-
ванные пространства, 3> — некоторое подпространство X. Если
каждому вектору х е 3) по определенному правилу сопоставлен
вектор у = Ах У, то говорят, что на 3) (или в X) задан опе-
ратор А со значениями в У. Множество 3> называется областью
определения оператора А и обозначается 3>(А). Множество всех
векторов вида у — Ах, когда х<=‘3>(А), называется областью
значений оператора А и обозначается Я (А). Иногда вместо Ах
будем также писать А(х),
1
§ 3. некоторые сведения из ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
63
Два оператора А и В называются равными, если области их
определения совпадают и для всех хе 3) (Л) = 3) (В) выполне-
но условие
Ах = Вх.
Оператор А называется линейным, если он
1) аддитивен, т. е. для всех хь
А + х2) = Axt + Ах2,
2) однороден, т. е. для всех хе^5(Л) и любых чисел А
А (Ах) = АЛх.
Линейный оператор А называется ограниченным, если суще-
ствует такая постоянная М > 0, что
|| Ах ||2 < М || х Ih	(1)
для любых хе 3) (Л) (здесь ||  Hi— норма в X, || • ||2— норма
в К). Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию
(1), называется нормой оператора А и обозначается ||Л||А,^,У
или просто || Л ||.
Из определения нормы следует, что
|| Л ||= sup || Лх||2 или || Л || = sup-^ji^-.	(2)
Отметим, что в конечномерном пространстве любой линейный
оператор ограничен.
Всевозможные линейные ограниченные операторы, дейст-
вующие из X в Y, образуют линейное нормированное простран-
ство, так как норма ||Л|| оператора Л удовлетворяет всем аксио-
мам нормы: 1) ||Л||>0; если ||Л|| = 0, то ||Лх||2 = О для всех
х и Л = 0, 2) ИМИ = |А|||Л||, 3) ||Л + В||<||Л|| + ||В||.
Будем обозначать через (X—>Х) множество линейных огра-
ниченных операторов, область определения которых совпадает
с А', а значения принадлежат X. На множестве (X —>Х) можно
ввести произведение АВ операторов Л и В, (АВ)х = А(Вх). Оче-
видно, что АВ — линейный ограниченный оператор: ||ЛВ||<1
||Л ||||В||. Если (АВ)х = (ВА)х для всех х е X, то Л и В на-
зываются перестановочными или коммутативными; в этом слу-
чае пишут АВ = ВА.
В связи с решением уравнений вида Ах = у вводится поня-
тие обратного оператора Л-1. Пусть Л — оператор из X на Y,
т. е. 3(A) = X, 5?(Л) = Y. Если каждому y^Y соответствует
только один хеХ, для которого Ах = у, то этим соответствием
определяется оператор Л-1, называемый обратным для Л и имею-
щий область определения Y и область значений X. Для любых
64
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
|2
х^Х и y^Y имеем, из определения обратного оператора, тож-
дества Л-1(Лх) = х, А(А~1у) = у. Нетрудно показать, что если
А линеен, то и Л-1 (если он существует) также линеен.
Лемма 1. Для того, чтобы аддитивный оператор А
с 0(A) —X и &(A)=Y имел обратный, необходимо и доста-
точно, что Ах = 0 только при х = 0.
Теорема 1. Пусть А — линейный оператор из X на Y. Для
того, чтобы обратный оператор А"1 существовал и был ограни-
ченным (как оператор из Y на X), необходимо и достаточно,
чтобы существовала такая постоянная 6 > 0, что для всех х <= X
|| Лхlb(|| • ||! - норма в X, || • ||2-норма в Г).	(3)
При этом справедлива оценка ||Л-1||^ 1/6.
2. Линейные ограниченные операторы в вещественном гиль-
бертовом пространстве. Пусть Н—вещественное гильбертово
пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой
|| х || = '0(х, х). Будем рассматривать ограниченные линейные
операторы, заданные на Н (0 (А) = Н). Введем ряд определе-
ний. Оператор А будем называть:
1)	неотрицательным, если
(Ах, х)>0 для всех х^Н,	(4)
2)	положительным, если
(Ах, х)>0 для всех х-=Н, кроме х = 0,	(5)
3)	полуограниченным снизу, если
(Ах, х) > — с,|| х||2 для любых хе Я,	(6)
где с* — положительное число,
4)	положительно определенным, если
(Ах, х) > 61| х II2 для любых хе Я,	(7)
где 6 > 0 — число.
Пусть А — произвольный неотрицательный оператор, х е Я.
Число (Ах, х) назовем энергией оператора А. Будем сравнивать
операторы А и В по энергии. Если ((Л—В)х, х) >0 для всехх,
то будем писать А^В. Неравенства (4) — (7), в частности,
можно заменить операторными неравенствами
Л>0,	т.	е.
Л >0,	т,	е.
Л > — ctE, т.	е.
Л>6Е,	т.	е.
(Ах, х) 0,
(Ах, х) >0,
(Ах, х)>- cj|x||2,
(Ах, х) 61| х II2,
(8)
где Е — единичный оператор (Ех = х).
2]	§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 65
Нетрудно убедиться в том, что введенное на множестве ли-
нейных операторов (Н -> Н) отношение неравенства обладает
следующими свойствами:
1)	изЛ>ВиС>О следует А + С В + D,
2)	изЛ>0и?1>0 следует КА > О,
3)	из Л > В и В> С следует Л > С,
4)	если А > 0 и А~* существует, то А~1 > 0.
Если А — линейный оператор, заданный на Н, то опера-
тор А*, также заданный на Н, для которого при всех х, у е Н
выполнено равенство
(Ах, у) (х, А*у),
называется сопряженным к оператору А.
Если А—линейный ограниченный оператор, то сопряженный
оператор определен однозначно и является линейным ограничен-
ным оператором с нормой ||Л*|| = ||Л||.
Линейный ограниченный оператор Л называется самосопря-
женным оператором, если А* = А, т. е.
(Ах, у) = (х, Ау) для любых х, у^Н.
Если Л—любой линейный оператор, то А*А и ЛЛ* — само-
сопряженные неотрицательные операторы:
(А*Ах, у) = (Ах, Ау) = (х, А’Ау),
(Л’Ах, х) = || Ах ||2 > 0, (Л Л‘.г, х) = || А*х |р > 0.
Отметим, что (Л*)* = А, (Л*)-1 = (Л-1) .
В комплексном гильбертовом пространстве И из требова-
ния неотрицательности оператора Л следует его самосопряжен-
ность:
если (Ах, а)|>0 для всех х^Н, то Л = Л*.
Для вещественного пространства Н это утверждение неверно.
Поскольку мы рассматриваем только вещественное гильбертово
пространство, то будем пользоваться операторными неравен-
ствами и для несамосопряженных операторов.
Теорема 2. Произведение АВ двух перестановочных неот-
рицательных самосопряженных операторов А и В есть также
неотрицательный самосопряженный оператор.
Оператор В называется квадратным корнем из оператора А,
если В2 = А.
Теорема 3. Существует единственный неотрицательный са-
мосопряженный квадратный корень В из любого неотрицатель-
ного самосопряженного оператора А, перестановочный со вся-
ким оператором, перестановочным с А.
Квадратный корень из оператора Л будем обозначать че-
рез А'/з.
3 А. А. Самарский
бб
гл. I. Предварительные сведения
12
Пусть А — положительный и самосопряженный линейный
оператор. Вводя на линейной системе Н скалярное произведе-
ние (х, у)А = (Ах, у) и норму II х ||л = ]/(х, х)А, получим гиль-
бертово пространство НА, которое обычно называют энергети-
ческим пространством НА. Нетрудно показать, что скалярное
произведение (х, у)А = (Ах, у) удовлетворяет аксиомам ска-
лярного произведения: 1) (х, у)А— (у, х)А, 2) (х + у, г)А =
= (х,г)А + (у,г)А, 3) (%х, у'} а = К(х, у)А, 4) (х, х)л>0 при
х=#0 и (х, х)А = 0 только при х = 0.
Аксиомы 2) и 3) выполняются в силу линейности, 4) — в си-
лу положительности оператора А. Требование (х, у)А = (у, х)А
или (Ах, у) = (х, Ау) = (Ау, х) означает самосопряженность
оператора А и тоже выполнено. Из аксиом скалярного произве-
дения следует неравенство Коши — Буняковского | (х, у)л| <
<||х||л||г/||л и неравенство треугольника ||х + у\\А <||х||А +
+ llf/llл. Тем самым доказана
Лемма 2. Для любого положительного самосопряженного
оператора в вещественном гильбертовом пространстве справед-
ливо обобщенное неравенство Коши — Буняковского
(Ах, у)2^(Ах, х)(Ау, у).	(9)
Замечание. Это неравенство имеет место и в том случае,
когда А — неотрицательный оператор.
Если А — самосопряженный положительный оператор и А~1
существует, то можно ввести «негативную» норму
II ф ил-1 = U-1<p, <р)1/г-
Покажем, что
II II	I (<Р> х) I
11 тяг
Действительно, из неравенства (9) имеем
|(ср, х)| = |(А 'ср, Ах) | <|| ср х ||л.
Следовательно,
sup
хфО
I (ф| X) I
||Х||Л
<sup
хфО
С другой стороны, если х = А-1ср, то
I («Р. х) I _	(ф, А 1<р)
IIх Ил (АД-’ф, А~\?)'1г
что и доказывает наше утверждение.
Для нас в дальнейшем важную роль будут играть достаточ-
ные условия существования ограниченного обратного операто-
ра А-1, определенного во всем пространстве Н, 3)(А~Х) = Н.
2]	§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 67
Заметим, что лемма 1 и теорема 1 гарантируют существова-
ние обратного оператора, определенного лишь на Л(А) — мно-
жестве значений оператора А, которое может не совпадать с Н.
Если известно, что множество значений оператора А совпа-
дает со всем пространством Н, 5? (Л) = И, то выполнение усло-
вий леммы 1 или теоремы 1 обеспечивает существование опера-
тора Л-1 с ®(Л-1) = И. В частности, положительный оператор Л
с 5?(Л) = Н имеет обратный Л-1 с ®(Л-1) = Н, так как из усло-
вия (Ах, х) > 0 для всех х =/= О следует, что Ах^О при х=#0 и
потому применима лемма 1.
Теорема 4(см. Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь [1]). Пусть
А — линейный ограниченный оператор, действующий в гильбер-
товом пространстве И, 0(А)= Н. Для того, чтобы оператор А
имел обратный Л-1 с областью определения 0(А~1)=Н, необ-
ходимо и достаточно существование постоянной д > О такой, что
при всех х <= Н выполняются неравенства
II Лх||>6||х||, || Л*х||>6||х||.	(10)
При этом справедлива оценка ||Л-1||	1/6.
Следствие. Пусть А — положительно определенный линей-
ный ограниченный оператор с областью определения 0(A) = Н.
Тогда существует ограниченный обратный оператор Л-1
с ^(Л-i) = И.
В самом деле, из Л > 8Е, 6 > 0 следует
|| Ах |||[х||>(Лх, х)>6||х||2,
|| А*х || || х || >| (А*х, х) | = | (х, Ах)\ = (Ах, х) ^5= 51[ х Ц2,
т. е. ||Лх|| > б||х||, ||Л*х|| > б||х[| и выполнены условия теоре-
мы 4. Для нормы обратного оператора имеем оценку ЦЛ-1!!	1/6.
Замечание. В конечномерном гильбертовом пространстве
для существования обратного оператора Л-1 достаточно требо-
вать положительности оператора Л, так как из условия Л > 0
следует существование постоянной д>0 такой, что (Ах, х)1>
> 6|fx||2 для всех х. Действительно, (Ах, х) = (Аох, х), где Ло =
= (Л + Л*)/2— самосопряженный оператор. Поэтому (Ах, х)
>-6||х||2, где 8 — наименьшее собственное значение оператора Ло.
Число 6 не может равняться нулю в силу положительности опе-
ратора Л.
Напомним, что норма оператора Л определяется так:
|| Л ||= sup || Лх||.
11*11 = 1
Если Л — самосопряженный оператор, то имеет место формула
|| Л ||= sup | (Ах, х)| = sup	(П)
11*11-1	11*11^0 Их И
3'
68
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
13
Лемма 3. Если 5 = 5* — линейный ограниченный оператор,
п> 0 —целое число, то
II5" || = || 51|".	(12)
Доказательство. Пусть ц = 2. Тогда
||52||= sup (54 х)= sup ||5х||2 = ||5||2,
||Х|| = 1	||х|| = 1
т. е. || 521| = || 51|2.
Пусть формула (12) верна для n = k— 1 и n — k. Покажем,
что она верна для n = k+\, k>\. В самом деле,
||52А|| = sup (52/,'х, х) = sup (5А+1х, 5А-1х)^
||х|| = 1	||х|| = 1
< sup || 5*+1х IIII 5*"]х IKH 5*+1 IIII 5*-1 II,
11x11 = 1
т. е. || 5*+’ ЦП 5А-11|>|| 52*|| = Ц S*||2 = || 5 ||2Й. Так как || 5*~] || =
= || 5 I41, то отсюда следует || 5*+1 ||J>|[ 5 ||A+1. С другой стороны,
II 5А+11|^|| 5 ||А+1. Таким образОхМ II 5*+I || = II 5 ||*+1. Так как фор-
мула (12) верна при п = 1 и /г = 2, то она верна для любого п.
Лемма 4. Если А — самосопряженный положительный и
ограниченный оператор, то справедлива оценка
||Лу||2<||Л||(Лу, у).	(13)
Так как Д* = Д>0, то существует оператор Д1/2. Полагая
v — А‘/2у, получим
{Ay, Ay) = (Av, ц)<|| А |||| v II2 = || Л||(Ау, у).
3. Линейные операторы в пространстве конечного числа из-
мерений. Рассмотрим n-мерное линейное пространство Rn со
скалярным произведением (,) и нормой ||х|| = У(х, х)-
По определению конечномерного пространства любой вектор
х Rn можно единственным образом представить в виде линей-
ной комбинации х — c^i + ... + cn|n линейно независимых век-
торов gi, ..., In, образующих базис пространства Rn. Числа сй
называются координатами вектора х. В качестве базиса всегда
можно выбрать ортогональную и нормированную систему век-
торов gi, ..., In, т. е. такую, что
( 0, i=^=k,
=	= ( J, i==k
Отсюда следует, что сй = (х, £й).
Пусть А — линейный оператор, заданный на Rn. Каждому
оператору А в базисе 4 ..., соответствует матрица ЭД =
= (aih) размером п X п, где а{ь — i-я компонента вектора
3]
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
69
Обратно, всякая матрица 51 = («гл), i, k = 1, .... п опреде-
ляет линейный оператор.
Матрица самосопряженного оператора в любом ортонорми-
рованном базисе есть симметричная матрица.
Остановимся на свойствах собственных значений и векторов
линейного самосопряженного оператора А. Собственным значе-
нием оператора А называется такое число А, что существует
вектор | #= 0, обладающий свойством At, = Ag. Этот вектор на-
зывается собственным вектором, принадлежащим (соответствую'
щим) данному собственному значению А.
1.	Самосопряженный оператор А в Rn имеет» взаимно орто-
гональных собственных векторов gI( ..., %п. Будем считать, что
все нормированы к единице. Тогда (|й £&) = 6ift. Соответ-
ствующие собственные значения расположим в порядке возра-
стания их абсолютных величин: | Ai |-М Аг| ... М Azl |.
2.	Если линейный оператор А, заданный на Rn, имеет п
взаимно ортогональных собственных векторов, то А — самосо-
пряженный оператор, А = А*.
3.	Если Л* = .4>0, то все собственные значения операто-
ра А неотрицательны.
4.	Произвольный вектор хе Rn можно разложить по соб-
ственным векторам оператора А = А*:
п	п
х=^ск1к, ck = (x,lk), причем II х IP =2 4.
k=l	й-1
5.	Пусть А* = Л>-0 (Л самосопряжен и неотрицателен). То-
гда А11|х||2<(Лх, х)< А„||х||2 и
AJI *11^11 Ах ||^ А„ || х || для всех хе Я,
где Ai^>0, А„ >0 — наименьшее и наибольшее собственные зна-
чения оператора А.
Норма самосопряженного неотрицательного оператора в Rn
равна его наибольшему собственному значению, ||Л|| = Ап.
6.	Если самосопряженные операторы А и В перестановочны,
т. е. АВ = ВА, то они имеют общую систему собственных функ-
ций (доказательство см., например, И. М. Гельфанд [1]).
7.	Пусть А и В перестановочные (АВ = ВА), самосопряжен-
ные операторы. Тогда оператор АВ имеет ту же систему соб-
ственных функций, что и операторы Л и В, и собственные зна-
чения
Адв = Ад’Ав’, k=\, 2, .... п,
где Ад\ Ав’ и Адв — собственные значения номера k операто-
ров Л, В и АВ = В А соответственно. Имеют место также ра-
венства Ад+в =	+ Ад *•
Глава II
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В этой главе изучаются разностные схемы для простейших нестационар-
ных уравнений: одномерного уравнения теплопроводности и уравнения коле-
баний струны. Построены двухслойные и трехслойиые схемы с погрешностью
аппроксимации О(т + Л2), О(т2 + Л2) и О(т2 + Л4) для первой, второй и
третьей краевых задач. Излагаются два способа исследования устойчивости
разностных схем: метод разделения переменных и метод энергетических не-
равенств.
§ 1.	Уравнение теплопроводности
с постоянными коэффициентами
Для выяснения методов построения разностных схем в слу-
чае нестационарных задач, а также методов их исследования
рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности с постоян-
ными коэффициентами.
1.	Исходная задача. Процесс распространения тепла на пря-
мой описывается уравнением теплопроводности (см., например,
А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6])
ди	д I < ди\	т
СО -тг = k -3— + I,
к dt	дх \ дх	”
(1)
где u = u(x, t) — температура, с — теплоемкость единицы массы,
р — плотность, k — коэффициент теплопроводности, J—плот-
ность тепловых источников, т. е. количество тепла, выделяюще-
гося в единицу времени на единице длины. Коэффициенты тепло-
проводности и теплоемкости могут зависеть не только от х, t, но
и от температуры и (в этом случае уравнение называется ква-
2]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
71
зилинейным). Если k и ср постоянны, то уравнение (1) записы-
вают в виде
ди
~dt
2 <^и , f
О? -А~Г + / >
л k
а2 = —
ср
(2)
где а2 — коэффициент температуропроводности.
Без ограничения общности можно считать а = 1 и записывать
уравнение (2) в виде
ди _ д2и f
dt ~ дх2
В самом деле, вводя х' = х/а и вновь обозначая У через х,
получим (3). Если ищется решение уравнения (2) на отрезке
О^.х^-1, то обычно пользуются безразмерными переменными
х' = x/l, t' = a2t/l2.
В этих переменных уравнение (2) записывается в виде (3),
причем 0-^х'<С1, a f = Pfla2.
Мы будем рассматривать первую краевую задачу для урав-
нения (3) в прямоугольнике
Д=(0<х<1,
Требуется найти непрерывное в D решение и = и(х, t) задачи
/(х, /), 0<х<1, 0<t^T,
dt дх2 х
и (х, 0) = «о (*)>	0 х 1,
и (0, t) = щ (/),	и(1, /) = и? (/), OiC/sCT.
(D
2.	Семейство шеститочечных схем. Введем сетки
^h = {Xi = ifl, г = 0, !>•••> N}, ®х = {//=/т, / = 0, 1, ..., /о)
и сетку в D:
X o\ = {(ih, jx), i = 0, 1, ..., 2V, / = 0, 1, ..., j0}
с шагами h=\fN и x=T/jo- Обозначим через yt значение
в узле (Xi, tj) сеточной функции у, определенной на ©лт. Заме-
du	„	„ д2и
няя производную — первой разностной производной, а —
второй разностной производной ихх и вводя произвольный веще-
ственный параметр о, рассмотрим однопараметрическое семей-
ство разностных схем
^ЦгА = Л(а^Ж + (1-а)^ + (р!, 0<i<N, 0</</0.	(4)
Схему (4) будем называть иногда схемой с весами.
72	гл. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	|2
Краевые и начальные условия аппроксимируем точно
Уц ~ Ul> У Я ~ и2’	(5)
*/? = */(а > °) = zzoN-	(6)
Здесь qp? — сеточная функция, аппроксимирующая правую часть
f уравнения (3), например,
Vi ~ f (л’и Ь+о.5)’ ^/+о,5 = + 0,5т,
а
АУ1 = у*х. i = {уi-х - 2yi +
Разностную задачу, определяемую условиями (4) —(6), будем
называть задачей (II).
Разностная схема (4) написана на шеститочечном шаблоне,
состоящем из узлов
(*i + l’^+l)’ (Xi’ +	(Xi±l’^j)’ (Xi> t/)
(см. рис. 5,в) с центром в точке (хг, Уравнение (4) пи-
шется в узлах (хг, tj+i), i = 1, 2, ..., N — 1, / + 1 = 1, 2, ..., /о,
называемых внутренними узлами. Множество всех внутренних
узлов сетки будем обозначать
®лг = {(мА/)> 1	1^/Х/о}-
Краевые и начальные условия (5) и (6) пишутся в гранит-
ных узлах сетки
Множество узлов сетки йдт, лежащих на прямой t = t,, обыч-
но называют слоем. Схема (4) содержит значения искомой функ-
ции у на двух слоях и поэтому называется двухслойной схемой.
От выбора параметра о, как мы убедимся в дальнейшем, за-
висят точность и устойчивость схемы (4).
Рассмотрим схемы, соответствующие частным значениям о.
При о = 0 получаем четырехточечную схему (рис. 5, а)
или
Z/I+I = (l -2у)у' + у(у^! +у1+1) + т(р/, у = т//г2,	(7)
определенную на шаблоне (х,,/}+1), (xi,t/), (x(±i,tj). Значение
у}+1 в каждой точке слоя t = (нового слоя) выражается по
явной формуле (7) через значения у[ на слое t = t} (на старом
слое). Так как при / = 0 задано начальное значение У°1 = и0{х^,
то формула (7) позволяет последовательно определить значения
у на любом слое. Схема (7) называется явной.
3J
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
73
Если и =# 0, то схема (4) называется неявной двухслойной
схемой. При о ¥= О для определения yl+l на новом слое полу-
чаем систему алгебраических уравнений
аД^-ь'-!///+> = — Fl, F't—-^yl + (l -о)Лу!. + (р/,	(8)
i= 1, .... Д-1
с краевыми условиями
T//+I=U7+1, yf+i = U’2 + \
Решение этой системы находится методом прогонки (см. гл. I,
§ 1, п. 9). Укажем еще две схемы.
При о = 1 имеем схему с опережением или чисто неявную
схему
^^Дг/ри + ф/.	(9)
При о — 0,5 получаем шеститочечную симметричную схему
£е^.=1л(уж+^ + ф/	(Ю)
(называемую иногда схемой Кранка — Никольсона).
Перейдем к выяснению вопросов о погрешности аппроксима-
ции и точности схемы с весами (4).
3.	Погрешность аппроксимации. Чтобы ответить на вопрос
о точности схемы (4) — (6), нужно сравнить решение y = yl за-
дачи (4) —(6) с решением « = н(х,/) задачи (I). Так как
u(x,t)—непрерывное решение задачи (I), то положим ul =
= u(xit и рассмотрим разность
4 = У{ “ u!i-
Для оценки сеточной функции zl на слое выберем некоторую
норму 11-11, например, одну из следующих норм:
/ЛГ-1 XV»
1И1 = 1И1с= max |zj, ||z|| = 2	.
\i = I	/
Перейдем к безиндексным обозначениям, полагая (см. гл. I,
§ 1, п. 2)
У{~У> У^' = 0, У( = (у-у)/х-
Перепишем задачу (4) — (6) в виде
z/, = A(oy + (l -п)у) + Ф, (х,/)<=иЛт,
у(0, t) = щ(1), z/(l, /) = и2(/), /Ей,,
у(х, 0) = ы0(х), хей4.
(Н)
74
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
13
Найдем условия, определяющие z = у — и. Подставляя у = z + и
в (II) и считая -и заданной функцией, получим для z задачу
	z, = Л (о2 + (1 — о) z) + ф, (х, ^)еиЛх, z(0, /) = z(l, /) = 0, t е их,	(III) z(x, 0) = 0, хе йА,
где	ф = Л (ой + (1 — о) и) — щ + qp	(11)
— погрешность аппроксимации схемы (II) на решении и = и (х, t)
уравнения (I).
Напомним определение порядка аппроксимации (см. гл. I,
§ 1, п. 3). Схема (II) аппроксимирует уравнение (I) с порядком
(т, п) или имеет аппроксимацию O(/im + r") на решении и =
= и(х, t) уравнения (I), если ||ф(х, t) 11(2) = О(hm + т") или
Нф 11(2) ^M(/im + т") для всех /ешт, где М — положительная
постоянная, не зависящая от /i и т, а норма 11-11(2) — некоторая
норма на сетке
Перейдем к оценке порядка аппроксимации схемы (II), пред-
полагая, что и — u(x,t) имеет нужное по ходу изложения число
производных по х и t. Будем пользоваться обозначениями:
ди . ди -	, j ч
zz	“ дх j и и {Xi, t/+0,5)»
Разложим u = u(x, I) по формуле Тейлора в окрестности точки
(х<, t = tj+0i5). Пользуясь формулами
й — 0,5 (и + и) + 0,5 (й — и) = 0,5 (й + и) + 0,5тио
и — 0,5 (й + и) — 0,5тиь
ой + (1 — о).и = 0,5 (й + и) + (о — 0,5) хщ,
перепишем ф в виде
ф = 0,5А (й + и) + (о — 0,5) хАщ — ut + q>.
Подставляя сюда выражения
Au = и" +	и(4) + О (h4) = Lu + ~L2u + Q (h4), Lu^~,
1 4k	1 4k	OX
—-	<^2  
й = й + 0,5тй + -g- й + О (т3),
u = й — 0,5тй + — й + О (т3),
0,5 (й + «) = й + ^-й + О (т3), щ = й + О (т2),
получим
ф = (Тй — й + ф) + (о — 0,5) тТй + -Тд- £2й + О (т2 + Л4).	(12)
3)	§ 1. СХЕМЫ для уравнения теплопроводности	75
Отсюда видно, что ф = (а — 0,5) xLU + О (h2 + т2) при (p = f =
*= f (х, tj+o,5), так как й = Lu + f. Учитывая, что LU = L2u + Lf =
= u(4) + f" и L2u = LU — Lf, из (12) получаем
ф = (Ф - f) + [(a - 0,5) т + -g-] LU - -yj Lf+ 0 (ft4 + t2). (13)
Приравняем нулю выражение в квадратных скобках и найдем
При этом значении о = о, и ср, равном
ф=7+4^>
схема (II) имеет аппроксимацию O(ft4 + x2), т. е. ф = О (ft4 + г2).
Порядок аппроксимации схемы не нарушится, если мы заме-
ним f" выражением f.x = Af, т. е. положим <р = f + (ft2Af)/12
или
ч>!=4	+«;'•)	(|5>
Эта формула удобней для вычислений.
Пусть Cn(D) — класс функций, имеющих m производных
по х и п производных по t, непрерывных в D. Из формул (13)
и (14) ясно, что схема (II) имеет аппроксимацию 1) O(h2 + т2)
при о = 0,5, ср = / или Ф = / + O(h2+ г2), если иеСз, 2) O(ft2 + r)
при любом о =# 0,5, ф = / + О (h2 + т), например, ф = f или ф = f,
если ueC'i, 3) О(/г4 + т2) при а = о* и ф, заданной формулой
(15), если и е Сз-
Схему (II) с 0 = 0, и ф = / +-^А/ называют обычно схемой
повышенного порядка точности.
Выбор правой части ф должен быть подчинен требованию со-
блюдения порядка аппроксимации при данном о. Так, при
о = 0,5 можно полагать ф равным ф = 0,5(^ + /), ф = / и т. д.
Из (13) видно, что погрешность O(h2 + x2) может дости-
гаться и при о =# 0,5, если положить
о = 0,5 + ft2a/r,
где a — любая постоянная, не зависящая от h и т. В этом слу-
чае о зависит от h и т. Произвол в выборе а ограничен условием
устойчивости схемы (достаточно взять а>—'А, см. п. 4),
76
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
14
4. Устойчивость по начальным данным. Исследуем устойчи-
вость схемы (II) методом разделения переменных (при однород-
ных граничных условиях). Пользуясь тождествами
у — у + ху{, оу + (1 - о) у = y + <yxyt,
перепишем схему (II) с однородными краевыми условиями
в виде
yt - oxAyt = Л у + ф, СМ) е= со,,	|
г/(О, t) = г/(1, t) = 0, t е сот, у (х, 0) = и0(х), .г<=ыЛ. J '
Схема (16) устойчива, если для решения задачи (16) верна
оценка
IIУ (0 ll(i) II но ll(i) + max ф (/') ||(2), t е сот, (17)
где Alt, М2 — положительные постоянные, не зависящие от h и х,
11-11(1). II • 11(2) —некоторые нормы на слое (на сетке иЛ).
Пусть ф = 0. Тогда оценка
IIУ (0 ll(i) II uoll(i), / е ыт,	(18)
выражает устойчивость схемы (16) по начальным данным. Если
у (х, 0) = 0, то неравенство
II у (011(1) <^2q max ф (/') ||(2)	(19)
означает устойчивость схемы (16) по правой части.
Оценка (17) для решения задачи (16) выражает устойчи-
вость схемы (16) по начальным данным и по правой части.
Решение задачи (16) представим в виде суммы у — у+у,
где у — решение однородного уравнения
yt - oxAyt = Ay, z/(0, t) = y(l, 0 = 0, y(x, 0) = u0(x),	(16a)
а у — решение неоднородного уравнения с начальным условием
£(х,0) = 0:
yt - oxAyt = Ay + ф, z/(0, 0 = у (1, 0 = 0, у(х, 0) — 0.	(166)
Для исследования устойчивости схемы (16) по начальным
данным надо найти оценку для решения задачи (16а). Для этого
воспользуемся методом разделения переменных и получим
оценку (18) в сеточной норме Z.2(coft):
_____	ЛГ-1
II у 11(1) =11У II, где \\y\\=V{y, У), (у, V) = ^yivih.
,1 = 1
Будем искать решение уравнения (16а) в виде произведения
функций, одна из которых Т = Т(tj) зависит только от t = 0>
а вторая X = X(Xi)— только от х = Xi, полагая y(x,t)==
= Х(х)Т(/). Подставим это выражение в (16а) и учтем, что
Ay = TAX, yt = XTt.
4)
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
77
Тогда получим
Т-Т _ХХ
т(стГ + (1-ст)Г) X
T = T(tl+l), T = T(tj),
где Z—параметр разделения. Отсюда находим
г, ™	1 — (1 — ст) тЛ
T = qT, где q =	.
Для X получаем разностную задачу на отыскание собственных
значений (разностную задачу Штурма — Лиувилля):
XX (х) + XX (х) = 0, Q<x = ih<l, Х(0) = Х(1) = 0,
рассмотренную в гл. I, § 2, п. 2. Там было показано, что эта за-
дача имеет нетривиальные решения — собственные функции
Х<*>(х) = /2sinn£x, &= 1, 2, ..., 2V—1,
соответствующие собственным значениям
^Asin*^, k=i> 2’ •••> N~l> 0<^< ... <XN-l,
Zi № sin 2 *	^N—1	^2 cos 2 •
Собственные функции	образуют ортонормированную
систему
f 1, k\ = k<>,
Имеет место равенство Парсеваля
(20)
ft-i
где fk — коэффициенты разложения любой сеточной функции / (х),
заданной на йл и равной нулю при х = 0, х= 1:
Z(X)=	fk = (f,X^).
k-l
Таким образом, задача (16а) имеет нетривиальные решения
У(к) = TkX^ 0, где Тк определяется из уравнения
Tk = qkTk> ^T^ = qkT^...=q^Tl (21)
1 - (1 - ст) rZfe
"k 1 + сттЛй ’
/р0
I k~ произвольная постоянная.
78	ГЛ. 11. УРАВНЁНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	(4
Решение уравнения (16а) вида y(k) = ТкХ(к) называют гар-
моникой номера k. Оно является решением задачи (16а) с на-
чальным условием и0 (х) = Т°кХ<М (х). Выясним, при каких усло-
виях устойчива каждая из гармоник у(к) при k = 1, 2, ..., N — 1.
Из формул
<=»вп+,"«л<иц.	<22>
видно, что при |<7ь|> 1 + е, где е = const > 0 не зависит от h
и т, имеем
I! у& 1II=Ы \\у(к} \\> (1 +е) I!	II >(1 + е)/+1 (I y°k} II -*00
при т—>0, т. е. задача неустойчива. Если	1, то || y!{k) || не воз-
растает с ростом /(т—>0) при фиксированном t = /т:
кЙ'КЫ»11<--- <М»1
и гармоника устойчива.
Если все |<7й|<1 и, следовательно, jt/Ц<|| 1/°й)||, то будем
говорить, что схема «устойчива на каждой гармонике».
Выясним теперь, при каких значениях о выполняется усло-
вие |</ь|<С1 или —l^^s^l, обеспечивающее устойчивость
схемы на каждой гармонике. Из формулы гу* = 1 —tW(1 + отА^)
видно, что qh < 1, если 1 + отАь > 0, т. е. с >—1/(тЛ,д). Требо-
вание qk^_— 1 или
, _ 2 + (2<т- l)xAfc .
qk+ —>0
выполнено при 2 + (2о—1)тАь>0 или
1 1
°	2	•
Условие 1 + отА* > 0 при этом автоматически выполняется.
Так как
, -л -	/ 4	1	1	Л2
то	Av-l < 4т
и, следовательно, условие |^|^1 будет выполнено для всех
k = 1, 2, ..,, N — 1 при
1 h2
а>~2 ~77==суо-	(23)
Таким образом, все гармоники у^ = ТкХМ устойчивы при
одном и том же условии о Оо-
Покажем, что из устойчивости схемы (16а) на каждой гар-
монике (из спектральной устойчивости) следует ее устойчивость
в сеточной норме Lz по начальным данным у (х, 0) = «о (х), где
41
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
79
и0(х)— любая сеточная функция, заданная при 0<х<1 и рав-
ная нулю при х = 0, х = 1.
Общее решение задачи (16а) ищем в виде суммы частных
решений вида (22), полагая
У = 2	= 2 TkX^, так что IIМ = 2* т1
ы	ft-i
Подставляя сюда	и учитывая (20), находим
у = S' qkTkx^,
k-i
IIУ IP = 2 г^Стах?2 2 Ц = max q\\\ у |p.
k—\	k &=I	k
Если tr>o0, to maxl^l^l и || z/1| < l| г/1| или
k
Ill'llCII^IK... <11 у0II = 11 «oil.
Таким образом, для решения задачи (16а) верна оценка
II У1 IK II «о II (/=1,2,...) при о>о0,	(24)
т. е. схема (16) устойчива в сеточной норме по начальным
данным при со-
Разностная схема называется условно устойчивой, если она
устойчива лишь при наличии связи между т и h и безусловно
устойчивой — в противоположном случае. Схема, устойчивая при
любых т и h, называется абсолютно устойчивой (имеются схемы,
устойчивые при достаточно малых /гит, /г</г0, т<Ст«; эти схе-
мы не являются абсолютно устойчивыми, хотя могут быть и
безусловно устойчивыми).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1.	Явная схема (о = 0). Условие (23) дает 0>
>0,5 —/г2/(4т), т. е.
т//г2^0,5.	(25)
Явная схема устойчива лишь при условии (25), связывающем
шаги /гит (условно устойчива).
2.	Неявная схема при о >0,5 устойчива при любых /г
и т, так как ст > 0,5 > ег0. Таким образом, схема с опережением
(о = 1) и симметричная схема (о = 0,5) устойчивы при любых
Лит (абсолютно устойчивы).
3.	Схема повышенного порядка аппроксима-
ции (о = о*, о* = 0,5 — Л2/ (12т)) абсолютно устойчива. В са-
мом деле,
Л2 Л2 _ Л2 п
°* сто 12т + 4т бт >0
при любых h и т,
80
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
15
4.	Неявные схемы с 0 о < 0,5 при о, не зависящем от
у = т//г2, условно устойчивы при у<Д/(2— 4<т).
5.	Схема (16) с о = 0,5 +/г2а/т, имеющая аппроксимацию
О(т2 + Л2), устойчива при любых /гит, если а > —1/4.
Таким образом, параметр а управляет не только порядком
аппроксимации, но и устойчивостью схемы (16).
При исследовании устойчивости мы фактически имели дело
только с двумя временными слоями tj, tj+l и шагом т = tj+i — tj.
Все рассуждения сохраняют силу, если сетка сот неравномерна,
т. е. шаг Tj+i = tj+l — tj зависит от номера слоя. В этом случае
параметр а можно считать зависящим от номера j + 1 слоя,
о = Тогда вместо (23) получим условие о^о^+1=0,5 —
—/г2/(4т; + |). Для схемы О (/г4 + т2+1),в частности, следует положить
о'+1 = 0,5 —/г2Д12т/+1). Условие о а’0+1 достаточно для устой-
чивости схемы с весами при неравномерной сетке сот.
5.	Устойчивость по правой части. Покажем, что условие (23)
.	1	/г2
ст ст0. ао - у - 17
достаточно для устойчивости схемы (16) и по правой части при
о>-0. Для этого рассмотрим задачу (166). Ее решение ищем
в виде
АГ-! ~	Л'-1
У= 2 Tkx{k\ так что II р II2 = s	(26)
ы	fe=i
Правую часть ср разложим по {AW}:
N-l	N-1
<Р= 2	так что || <Р II2 = s	(27)
а=1	fe-i
Подставляя (26) и (27) в (166) и учитывая, что AAW = —/.^Х1^,
найдем
S (Tki(\ + ^k) + XkTk-^}X^ = 0.
fe=i
Отсюда, в силу ортогональности системы собственных функций
следует, что выражение в фигурных скобках равно нулю, т. е.
. _ „ т , Т<Р& п _ 1-(!-<?)
k-qkik + 1 + ат^ > 4k- i + aTxft
(28)
Подставим (28) в (26):
# = 2	= 2 ^г*х(к}+т S ~^~х^.
A-i	ft=i	fc=i 1+атЛд
5J
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
81
Пользуясь неравенством треугольника (||и + о>||	||и|| + ||щ||),
находим
/ N—1	\'Л	/N-1	у/2
Ш<тах|^| Jnj +таХгп-; 	,
\ fc-l /	й	\ fc-1 /
ИЛИ
|| у II < max | qk 1|| у || + max р II ф II- (29)
Пусть одновременно выполняются условия
orJ = 4”'fe’ а^°-	(30)
Тогда \qk |<1, l+o-r\fe>l и
||^1К1|г/11 + т||ф|[ или || yi'+l || <|| у<' || + т|| ф'" ||.
Суммируя по /' = 0, 1, 2,	/, приходим к оценке
I
И/+11К S тЦф/'Н,	(31)
/'-О
так как ||у°|| =0 для решения задачи (166).
Оценка (31) получена при условии (30). Откажемся теперь
от требования о>0и вместо (30) потребуем
а >о'8,	о-8 = у - -уу-Л2,	0<е<1,	(32)
где 8 = const > 0 не зависит от h, т. Тогда
\qk I < 1,	1 + o-rZfe = 1 + (а - <те) тА,й + osTZfe > 1 + аетЛА =
(1-е)Л2Л	(1-е) А2 4
----------л---------------> 1------------л- ’	— Е,
4-----------------------------------4 п2 ’
т. е. 1 + атЛ/г>е для всех k = 1, 2, .... N — 1. Поэтому из (29)
следует оценка ||р||<|| г/|| + т||ф||/е и
/
Ь/+'К7 2т||ф''||. .	(33)
Г-о
Если о = о*, то условие о* < 0 означает, что т < /г2/6. В этом
случае можно выбрать 8 = 2/3, так как (1—е)/4 = 1/12 при
8 = 2/3. Объединяя оценки (24) и (31), (33), видим, что верно
следующее утверждение.
82
ГЛ, II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
(6
Если выполнены условия
1 А2
а>0,
то схема (16) устойчива по начальным данным и по правой ча-
сти, так что для решения задачи (16) справедлива оценка
1|г//+111<||«о11+ ЗтИфП.	(34)
/'-о
Если о < 0, то для устойчивости схемы (16) по правой части
достаточно, чтобы выполнялось условие
1	(1-е) Л2
2 4т СТе’
0<8<1,
где eg(0, 1)—произвольная постоянная, не зависящая от h
и т. При этом для решения задачи (16) имеет место оценка
I
l|z//+1IKII«oll + |	(35)
/'=о
Для схемы О (/г4 + т2) постоянная 8 = 2/3, а о* < 0 при т</г2/6.
6. Сходимость и точность. Сходимость схемы (II) следует
из ее устойчивости и аппроксимации. Погрешность 2 = у — и
является решением задачи (III). Пользуясь априорной оценкой
(31), получаем
7
llz'+'IK 2 т||1|/|| при о>о0,	(36)
Г-о
Отсюда видно, что верна теорема:
Если схема (II) устойчива по правой части и аппроксими-
рует задачу (I), то она сходится, причем порядок ее точности
совпадает с порядком аппроксимации.
Подставляя в (36) оценки из п. 3 для погрешности аппро-
ксимации, получаем, что
О(/г2 + т2)
О (Л4 + т2)
О (h2 + т),
II У1 ~ «' II =
о = 0,5, и е С4,
о = о,,	ц<=С|,
07^0,5, o=?^at) и е С|.
До сих пор всюду шла речь об устойчивости и сходимости
в среднем, т. е. в сеточной норме L2(®h). Между тем, для прак-
тики важно иметь равномерную, т. е. в норме ||г/’ — щ\\с =
=1пах \у} — и^ I, оценку для погрешности решения.
Для получения равномерной оценки решения разностной за-
дачи (16) можно воспользоваться одним из трех методов:
Z)	JI, СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
83
1) принципом максимума, 2) энергетическим методом, который
позволяет установить (при помощи теорем вложения) устойчи-
вость в С по правой части, 3) представлением решения в «инте-
гральной» форме через сеточную функцию мгновенного точеч-
ного источника (функцию Грина).
Принцип максимума позволяет доказать равномерную устой-
чивость при дополнительном условии
0<а<1.
2т
Отсюда видно, что схема с опережением (о=1) равномерно
устойчива при любых т и h.
Методом функции Грина С. И. Сердюковой [2], [3] доказана
равномерная устойчивость но начальным данным симметричной
схемы (о = 0,5) и схемы повышенного порядка точности (о =
= v2 - W(12t)).
7. Метод энергетических неравенств. Используем описанный
в гл. I метод энергетических неравенств для исследования устой-
чивости схемы с весами (II).
Проиллюстрируем этот метод сначала на примере дифферен-
циального уравнения. Рассмотрим задачу (I) с однородными
краевыми условиями:
-^- = -^4 + /(х, /),	0<х<1,	0</<Г,
dt dx2 1 ' ’	’
и (0, f) = и (1, /) = 0, и (х, 0) = «0 (х).
(37)
Введем скалярное произведение и норму
1
(и, v) = J и (х) v (х) dx,	|| и || = У (и, и),
о
где ы(х) и и(х)—функции, заданные при 0 х 1 и равные
нулю при х = 0, х = 1. Умножим уравнение на и проинте-
грируем по х от 0 до 1:
И И \ dt ’ dx2 J V> dt )•
Интегрируя второе слагаемое по частям и учитывая равенство
4т-4^ I =0, находим
dt dx |0	’
|| du II2 1 d || du II2 (p du \
|| dt || + 2 dt || dx II — V ’ dt ) ’
Для оценки правой части воспользуемся неравенством Коши —
Буняковского и е-неравенством:
lab |<еа2 + j-b2
81	ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	|7
при 8 = 1:

Используя эту оценку, получим
4|>1Г<->(*. OIF.
откуда, после интегрирования по /, следует
г i
du (/)
dx
du (0) II _J_
dx II /2
Lo
- max ||f(OI|.
o< /<г
Учитывая затем, что ||м||с = max |u(x)|
, получим
du (0)
dx
max ||f(OH-
o< t<T
Получим теперь аналогичную оценку для разностной задачи
(16). Введем, как обычно, скалярные произведения и нормы
М-1
(У, v) = 2 yiVth,
II У II = /(*/, У),
N
(у, v] = 2 ytVih,
llz/]l = V(z/> у].
!) = -j(y + y) + i yt,
(38)
Пользуясь тождествами
у = ^-(у + у)- ^-yt,
a^ + (l -о)г/ = (о-0,5)т^ + 0,5(у + г/),
перепишем (166) в виде
yt - fa - 0.5) xAyt - 0,5A (y + y) = <p, |
У(х, 0) = 0,	y(0, o = y(i, 0 = 0. J
Умножим уравнение (38) на 2xyth = 2(у— y)h и просуммируем
полученное равенство по внутренним узлам х = ih сетки год:
2x\\yt\?-2(fj-Q^)x2{Ayt, yt)- (A(# + у), у-г/) = 2т(<р, yt). (39)
Пользуясь разностной формулой Грина (см. гл. I, § 2)
(Au, w) = (Vxx, w) = - (Vx, U>d, v0 = w0 = Q, vN = wN = 0,
7)	§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ	85
при v = yt, w = yt и v — у + у, w = у — у соответственно, учиты-
вая затем, что z/o = ^v = O> будем иметь
('Ч> ^)=-|Ы12’
(А (у + у), у - у) = - (ух + yv $-х - Ух]=- (II < - II ^]|2)-
Подставив эти выражения в (39), получим энергетическое то-
ждество
2т (||yt||2 + (а - 0,5) т|| ^,]|2) +1| у,]|2 = ||у.]|2 + 2т (<p, yt). (40)
Оно справедливо при любых о. Предположим, что ст^сто. Рас-
смотрим выражение
/ = 11 V II2 + (ст- 0,5)тII и<]|2, где v = yt,	(41)
и покажем, что /	0 при о сто- Нам понадобится оценка
(см. гл. I, § 2, п. 3)
11М12<-^1М2.	(42)
Итак, пусть ст2> сто- Тогда
7 = 11 п 1Р + (<т- <т0) -г || Цх]|2 + (<т0- 0,5) т || цх-]|2>|| v II2 - -у || ЦдЦ2 > 0
в силу (42). Отсюда и из (40) следует энергетическое неравен-
ство
1Ю2<Ьх]|2 + 2т(т> yt) при <т>а0.
Если <р = 0, у — решение задачи (16а), то ||«4+1]|	. • С||^]|»
т. е. схема (16) при ст оо устойчива по начальным данным
в норме ||г/||(1) = || г/^Ц, являющейся сеточным аналогом нор-
мы Гг-
Однако нас интересует устойчивость по правой части. Пусть
1	(1—е)А2 n .	.	z,
а><тЕ, ae=2---i—, 0<е<1.	(43)
Покажем, что
7^е||п||2 при о^оЕ.	(44)
В самом деле,
I = II V II2 + (о - оЕ) т || Vje]I2 + (оЕ - 0,5) Т II Vх]|2 >
>11 VII2 - (-1~4е)/г2 II М2 >11 v IP - (1 - е)II v IP = еII v ||2.
Подставляя (44) в (40), получим энергетическое неравенство
2те I < +1| 0.]|2 < || у J)2 + 2т (<р, yt),	о > аЕ. (45)
86 ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	(7
Воспользуемся теперь неравенством Коши — Буняковского и
е-неравенством:
2т (ср, r/tX 2т || ф |||| yt || < 2те || yt II2 + ~|| ф ||2.	(46)
После подстановки (46) в (45) будем иметь

Просуммируем по /' = 0, 1../	и учтем, что у0 — 0:
I
j'—0
Согласно лемме 1, гл. I, § 2 имеем ||г/||с <0,5||г/^]|; поэтому
Применим эту оценку к задаче (III):
|| zi+1 ||с < М2 шах ||ф''II, М2 = --^Х. , а>аЕ. (48)
о < г < /	2 V 2е
Отсюда следует равномерная сходимость схемы (II):
А1(/г2 + т) при о >0,5, иеС’,
II г/' - «' Нс <
Af (/г2 + т2) при о = 0,5, иеСз,
М (h4 + т2) при а = а4,
Для явной схемы (о = 0) из (43) не следует равномерная схо-
димость при условии т /г2/2. Однако, для нее можно непосред-
ственно получить оценку
II У1 Нс < II yQ Нс + i ТII ф/' Не, Т < /г2/2.	(49)
/'=0
В самом деле, запишем явную схему в виде
yi = (1 - 2у)yt + у (z/z_! + yi+l) + тфг, у = т//г2.
Если у <0,5, то
| yt |<(1 — 2у)| yi l + y(l Z/i+i l + l J/z-i 1) + т|ф/|<
< (1 - 2у) || г/ ||c + у (IIУ Нс + II у Нс) + т || ф Не = IIУ Нс + т || Ф Нс.
или
/
IIУ1+1 Нс<Н«/II * * УНс + т||ф/||с<||г/°Нс + 2 тЦф^йс.
Г-о
8]	$ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ	87
Таким образом, явная схема равномерно устойчива по началь-
ным данным и правой части, если у = т//г2 гС 0,5. Отсюда и сле-
дует ее равномерная сходимость со скоростью О(т + й2).
8.	Краевые условия третьего рода. Краевые условия первого
рода, которые мы рассматривали до сих пор, удовлетворяются
на сетке точно.
В гл. I было показано, как аппроксимировать третье краевое
условие для схемы с опережением (о = 1) и явной схемы (о =
= 0), чтобы обеспечить порядок аппроксимации О(т + /г2).
Здесь мы рассмотрим схему с весами (II) с произвольным о.
Пусть при х = 0 задано краевое условие третьего рода
-^A = 0i«(O, О-Р.(О, Р1= const >0.	(50)
Разностное краевое условие будем писать на четырехточечном
шаблоне, состоящем из узлов (0, /j+i), (h, t,+i), (0, t,), (h, tj).
Покажем, что разностное условие
О (Ух - М)о + (1 - а) (Ух - Мо = 0,5/1^, 0 - Й!, й, = Й, + O,5hfo,
(51)
где /о = f (0, tj+i/2), й1 = Pi(^+‘/2)> аппроксимирует условие (50)
на решении и = и (х, /) уравнения (3), удовлетворяющем усло-
вию (50), причем с тем же порядком, с которым при данном
значении о схема (II) аппроксимирует уравнение (3).
Подставим у = z + и в (51):
a (?х - 0^)0 + (1 - а) (zx - Piz)o = 0,5/гг6 0 - vb (52)
где
V] = о (йх - Р1 й)0 + (1 - а) (их - р,и)0 - 0,5/гщ. 0 + Й1
— погрешность аппроксимации условия (50) разностным усло-
вием (51).
Разлагая и в окрестности узла (0,Zz + 0,5т) по формуле
Тейлора и обозначая и0 значения функции v в этом узле, по-
лучаем
^1 = (“о “ ₽i“o + Й1) +
+ (о — 0,5) т(й' — Р(й) — 0,5/ш + 0,5/ш" + O(/i2 + т2).
Подставим сюда й' = Р]й0 — й, и й" = й0 — f0 из уравнения:
V, = (о — 0,5) т (й' — р,йо) + О (т2 + /г2).
Отсюда видно, что
vl = O(h2 + x) при 0^0,5, v1 = О (h? + т2) при о = 0,5. (53)
88
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
18
Нетрудно проверить, что краевое условие при х=1
--^^- = 02«(1, О “МО, 02 = const>O, (54)
аппроксимируется с тем же порядком разностным условием
-[<’^ + М)ЛП-а)(^ + Ш=0>Ч«"112’	(55)
где
Й2 = Й2 + О.бЛ/дг, Ц2 — Н2 (^Z+’/z),	In = f(J, tf + 'h)-
Выбирая
дг —	№ h.
Hi = Hi + Hi + у /о + у фо,
- . h? — Л2 г, , h	7 , А2 т„
Н2 = Н2 + -]2 Н2~ у/лг + уфу,	Ф = / + у /
и заменяя, соответственно, 0,5A//z, 0, О,5Аг/6 v в (51), (55) на
0,5/гр, у, 0, 0,5/гр2г/6 N, где pk = 1 + А0&/3, £=1,2, получим раз-
ностные граничные условия, имеющие при о = щ = 0,5 — А2/(12т)
аппроксимацию О (h4 + т2).
Вводя обозначения
У 0,5А ’ У 05h ’
запишем разностные краевые условия (51) и (55) в том же
виде, что и схему (II):
^ = Л~(о^+ (1-о)г/) + ф“ при х = 0,
,	,	(56)
г/, = Л (о$ + (1 — о)г/) + ф при х=1,
где ф“ = 2ц]/А, ф+ = 2ц2/А.
При 01 = р2 = 0 получаем разностную аппроксимацию крае-
вых условий второго рода. Порядок аппроксимации остается
тем же самым, что и для третьей краевой задачи.
Приведем условие (51) к счетному (т. е. удобному для вы-
числений) виду. Разрешая (51) относительно у0 = у1^1, получим
£о = ЩУ\ + v1; Xi = y-» Ai =а(1 +01А) + у- ,
1 ( Л2	1 I (57)
Vi = Д?{(1 ~^У^ +L‘2?~(1 ~CT)0 +01А)]г/о+/ф1}-
Условие (55) приводится к виду
Pn~ ^20N-\ + v2, Х2=д^> А2 = о (1 + 02/l) + 2^,	}
11/	ГА2	1	} I (58)
v2 =-дд0	-Ц'гт’-О -0)0 + 02^)]Уы + ^Нг}• ]
91
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
89
Отсюда видно, что 0 <	1 при 0а 0, о > 0, а = 1, 2. Для
определения у на новом слое получаем разностное уравнение
(8) с краевыми условиями (57) и (58). Эта задача при о¥=0
решается методом прогонки (см. гл. I, § 1, п. 9).
Устойчивость схемы (II) с краевыми условиями третьего
рода устанавливается либо методом разделения переменных,
либо методом энергетических неравенств.
9. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности. Од-
ной из первых схем, применявшихся для численного решения
ди	д'и	,
уравнения теплопроводности ~ai~ ~~дД~> была явная трех-
слойная схема Ричардсона
1-------= Аг/ или г/о = Аг/,	(59)
где
У°{ = -^Г> У = У,+\ У = У!~\ У = У!’ АУ = УхХ-
Эта схема, как нетрудно убедиться, имеет второй порядок ап-
проксимации по т и /г,4> = Au — «□ = О (т2 +/г2). Однако она яв-
ляется абсолютно неустойчивой (т. е. неустойчивой при любом
законе стремления h и т к нулю).
Перепишем уравнение (59) в виде
у1 + >-У1~'	У1-1-2у[ + у{+1
—21—=-----------0-------•	<6°)
Если в правой части уравнения (60) заменить 2г/( суммой
y(+l + y(-1, то получим трехслойную схему «ромб» (схему Дю-
форта и Франкела [1]):
У1 У1 У1 — 1 Vi У{ + У i + i	/с 1 \
—_—=-------------------------,	(6 1)
которая остается явной относительно у( + 1 и является абсолютно
(при любых /гит) устойчивой. Схема «ромб» может быть запи-
сана в виде
y°t + -^-ylt = АУ>	(62)
где
В самом деле, преобразуем правую часть уравнения (61):
yi-\-Gi-6i + yi+\.	У1-1~2У1 + У1+1	—	+	т2
А2 ~ л2	Л2 “ У** Л2
90
ГЛ. И. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
[9
Подставляя это выражение в (61), получаем (62). Таким обра-
зом, схема «ромб» получается из схемы Ричардсона добавле-
2
нием к левой части (61) члена уи, обеспечивающего устой-
чивость. Доказательство устойчивости схемы (62) следует из
общей теории гл. VI, поэтому мы его здесь не касаемся. Погреш-
ность аппроксимации схемы (62) есть
ф = Au — — -р- ии = и" — й — и + О (т2 + А2) =
= — й + О (т2 + А2).
Отсюда видно, что схема «ромб» обладает условной аппрокси-
мацией
ф = О (т2 + h2 + т2/А2) = О (А2) при т = О (А2).
- Если взять т = аА(1 + 0(A)), где а = const, то, очевидно, что
схема (62) аппроксимирует уравнение вида
ди . 2 д2и д2и
~дГ^а ~di2' ~дх2'
Обычно для уравнения (3) используются неявные трехслой-
ные схемы с весами:
а)	симметричные схемы
2/о = Л(<Т# + (1 - 2<т) г/+ ст#) + <р,	(63)
б)	несимметричные схемы
У{ + ахУц =	+ Ф-	(64)
Уравнения (63) и (64) содержат три слоя (/j-i, tj, Поэтому
они пишутся при ^>т(/>1). Значение у (х, 0) = uq (х) изве-
стно, значение у(х, т) надо задавать дополнительно, например,
можно положить
yt(x, О) = м0(х) или у(х, х) = у(х, О) + хйо(х),
где uQ (х) = и" (х) + f (х,0) выбирается из условия (см. гл. I, § 1,
п. 6)
w (х, т) — и (х, 0) = О (т2).
Иногда для определения у(х, т) используют двухслойные
схемы.
Так как
ай + (1 — 2ст) и + ой = и + ox2u[t == и + О (т2),
S]
$ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
91
то симметричная схема (63) при любом ст имеет второй порядок
аппроксимации по т и h. Напишем выражение погрешности ап-
проксимации для схемы (64):
ф — Ай + <р — (ut + CTT«f/) = Ьй + ф — (й — 0,5тй + сттй) + О (т2 + А2) =
= (Ьй + f — й) + (ф — f) — (ст — 0,5) тй + О (т2 + А2).	(65)
Отсюда видно, что и для схемы (64)
ф = О(А2 + т2) при ст — 0,5, ф = /,
ф = О(А2+т) при ст 0,5, ф = Г.
Выписывая в (65) члены О (А2) и учитывая уравнение й =
= и" + f, нетрудно убедиться в том, что схема (64) имеет ап-
проксимацию О (А4 + т2) при
ст = 0,5 + А2/(12т) и ф = Г+-^(Г + /).
Для определения у из (63) и (64) получаем трехточечные
уравнения
- Су, + Byi+l = - Fi	(66)
с правой частью —Fit зависящей от у, у, ф, и с обычными крае-
выми условиями при i = 0, i = V. Эта задача решается методом
прогонки. В процессе счета надо хранить в оперативной памяти
ЭВМ значения у и у для двух предыдущих слоев. В случае
двухслойных схем достаточно запоминать лишь один предыду-
щий слой.
Устойчивость трехслойных схем доказывается в гл. VI. При-
ведем лишь достаточные условия устойчивости:
ст>’/4 для симметричной схемы (63),
ст^О для схемы (64).
Так же, как и в случае двухслойных схем, можно построить
разностные краевые условия повышенного порядка аппроксима-
ции для граничных условий третьего рода (50), (54). Для сим-
метричной схемы (4) краевые условия порядка аппроксимации
О(т2 + А2) имеют вид
г/о = Л+(сту + (1 — 2ст) г/+ сту) + ф+,	г = 0,
У° = Л~(ст// + (1 -2о)у + оу) + ф~,	1 — N,
где
А+у=^-~^., л-д- -
У 0,5h Л У 0,5/г ’
ф+_/(0,+	/)+л£.
92
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И
Выпишем, далее, разностные краевые условия третьего рода
для несимметричной схемы (64):
Р1(^ + <гЧ/г/) = л+£/ + ф+, i = 0, ]
)	(67)
Рг^ + ^^А # + ф > i = W. J
Эти краевые условия имеют аппроксимацию O(r + h2) при лю-
бом о, если положить
р,=р2 = 1. Ф+=Ш / + т) + ^ + т) , ф-^(М + т)+!^±1>.
и,он
Если при этом о = 0,5, то краевые условия (67) имеют аппро-
ксимацию О(т2 + 1г2). Наконец, если положить
1 , h2	. , ЛР1	. ЛВ2
"2	12т ’ Pl ~ 1 + з ’ P2— 1+ з >
г	Vi	Vo
ф = ф+Ц5Л’ ф =(₽ + W
ф = f (х, / + т) + -уд if" (X, t + т) + f (X, t + т) ),
V1 = (/ + т) +	(Й! (/ + т) + f' (0, t + т)),
V, = р2 (/ + т) +	(|12 (t + т) - f' ( 1, t + т) ),
то получим схему (64), имеющую аппроксимацию О(т2 + й4)-.
§ 2. Разностные схемы для уравнения колебаний струны
1. Постановка разностной задачи и вычисление погрешности
аппроксимации. Рассмотрим уравнение колебаний однородной
струны (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6]):
5=a2S + ';iM), 0<х1</, />0.
dt] дх]
Вводя безразмерные переменные х = Xi/Z, t = atjl, перепишем
это уравнение в виде
= S +	(1)
В начальный момент заданы условия
«(х, О) = ио(х), ^^ = й0(х),	(2)
и
§ 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
93
(начальное отклонение и0(х) и начальная скорость мо(х)).
Концы струны движутся по заданным законам
u(0,	«(!> 0 = ^(0-	(3)
Введем в области Z) = (0^x^l, О^/^Т) прямоуголь-
ную сетку бит (по аналогии с § 1, п. 2). Так как уравнение (1)
содержит вторую производную по t, то число слоев не может
быть меньше трех. Пользуемся, как и выше, обозначениями
/ л /+1 v /-I	у — у	у —$	.
У~У . У = У , У = У , Уt=	, У{ =	> Аг/ = у
*	I	*	I	ЛЛ
yt~Vt _ б -2ц + У „ yt + Vt _б-У
&tt~ Т т2 ’ V°t~ 2	~ 2т •
Заменим производные, входящие в уравнение (1), по формулам
д2и	д2и л	с
-377- ~ UT(, -5-7 ~ JX.U ~ U-, /~ф.
dt2 IV дх2	х*' 1 т
Рассмотрим семейство схем с весами
г/г/ = л(о// + (1-2а)т/ + ш/) + ф, ф = /(х, /Д
(4)
00 = 1*1(0, 0№1*2(О, У (%, О) = г/0(х), yt(x, О) = йо(х),
где й0(х) определим ниже.
Краевые условия и первое начальное условие и(х, О) = «о(х)
на сетке юЛх удовлетворяются точно. Выберем й0(х) так, чтобы
погрешность аппроксимации й (х) — ди °^- = й (х) — й0(х) была
величиной О (т2). Из формулы
77/(х, 0) = /i(x, 0) + 0,5т77 (х, 0) + О(т2) =
= й0 (х) + 0,5т (и" (х, 0) + f (х, 0)) + О (т2) =
_ = йб (х) + 0,5т Д" (х) + f (х, 0)) + О (т2)
видно, что й(х) —иДх, 0) = О(т2), если положить
«о (х) = й0 (х) + 0,5т (и" (х) + f (х, 0)). ’	(5)
Таким образом, разностная задача (4) —(5) поставлена. Для
определения y=:y'+i получаем из (4) краевую задачу
оУ(г/^] +	+2<ту2)7/'+1 = -Fit 0<i<N, у^у^ yN = [i2,
у = x/h, Fl = (2z/( — z/Д1) + т2 (1 — 2(т) A.yi + от2Л?/7_1 + т2ф,
которая решается методом прогонки, Прогонка устойчива при
ст>0 (см. гл. I, § 1, п.9).
Вычислим погрешность аппроксимации схемы(4)приф = /:(х,//).
Пусть у — решение задачи (4), (5), и = и (х, /) — решение задачи
94 гл. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	Ц
(1) —(3). Подставляя y = z + u в (4), получим
zlt — Л (oz + (1 — 2<т) z + <тг) + ф, 1
го = гЛ/ = 0, z(x, 0) = О, zt(x, 0)=v(x), J
где
ф — Л (ой + (1 — 2<т) и + ой) + qp — ип
— погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении и =
~u(x,t), у = йо(х) — Ut(x, 0)—погрешность аппроксимации
для второго начального условия yi — йо(х). Из предыдущего
ясно, что v = О(т2).
Учитывая, что й — и + xut, й=и — хи^, имеем
ой + (1 — 2<т) й + ой = и + ox2uit,
т. е.
ф = Ли + ох2Ли{1 + ф — uJt = Lu + ox2Lu + f — й + О (т2 + /г2),	(7)
ф = О(т2 + h2) при любом значении постоянной о (о не зависит
от т и /г).
Выписывая в (7) члены О (h2), получим
Ф = (ф — f) + ох2Ьй +	+ О (А4 + т2) —
= (ф — Л + (от2 +	) L2u + ox2Lf + О (/г4 + т2).
Отсюда видно, что при
о = - -j^r+ б, Ф = f - ат2Л/	(8)
схема (4) имеет повышенный порядок аппроксимации, ф =
= O(hl + т2). Здесь о — постоянная, не зависящая от т и h, ко-
торая должна выбираться так, чтобы схема была устойчивой
(достаточно потребовать 0, см. п. 2).
Краевые условия третьего рода
^Л=р1М(0,о-ц1(О, -^^- = 02«(1, Л-н2(Л
аппроксимируются следующими разностными уравнениями
Pi#ft = A+(<^ + (l -2<т)у+ <ту) + ф+,	г = 0,
р2г/г< = Л“(^ + (1-2<т)г/ + <ту) + ф",	i = N,
где
л+ Ух~^У л- Ух + №
Л ^ = -0^-’ Л ------------0&Г>
-L . V]	_	. V2
* =<f + w ‘f =(P + w
2]	§ 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ-УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ СТРУНЫ 95
При этом погрешность аппроксимации краевых условий есть ве-
личина О(т2 + А2), если
<p = f(x, t), pi = p2=l, v1 = p1(0, v2 = p2(/).
Если же <т = —12^2- + <т, <т = const, и
Р1 = 1+-^-, р2=1+-ф., ф = Нх, t)~X2of"(x, t),
Vi = Pi(/) + 4№i(0+>(0> t)), v2 = p2(/)+^(p2(/)-f'(l, 0),
то погрешность аппроксимации есть величина О(т2 + А4).
2. Исследование устойчивости. Перейдем к изучению устой-
чивости схемы (4) по начальным данным (при однородных
краевых условиях и нулевой правой части уравнения). Для это-
го рассмотрим задачу
z/f/ = A(<jy + (l -2a)y + oy) = Ayw,
(4а)
й = й = 0. У(х> O) = uo(x), yt(x, О) = йо(х).
Ее решение будем искать методом разделения переменных. Для
этого, по аналогии с § 1, п. 4, ищем частные решения вида
y(x,t) = X(x)T(t) 0. После подстановки у =,ХТ в уравнение
(4а) получим
Отсюда и из краевых условий Уо = ух = 0 получаем для X (х)
задачу на собственные значения
ЛХ + ЛХ = 0, Х(0) = Х(1) = 0, Х(х)^0.
Она имеет решения
Aft=4-sin2-^-, X(k} (х)= УТ sin nkx.
Из (9)для7\(/) получим разностное уравнение второго порядка
(Tk)lt + XkT^ = 0,
или
(1 + от%) fk - 2 (1 + (о - 0,5) rZft) Tk + (1 + <п%) Тк = 0,
которое перепишем в виде
0,5т2Л..
Tk — 2(1—ak')Tk + Tk = 0, ak = [ + ax2^.	(10)
Решения этого уравнения ищем в виде	Для
q из (10) найдем квадратное уравнение q2 — 2 (1 — a) q+1 = 0
(индекс k временно опускаем). Его корни равны qu2 = 1 — а ±
± /а2 —2а. Если 0<а<2, то корни </112= 1 — а ± / )/а(2 —а)
96
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
[2
комплексные и |?1,21== 1- Введем новую переменную qpA, полагая
cos = 1 - ak, sin <pft = \/ak{2-ak).
Тогда получим q\® = et4>k, q{^ = e~t4>k. Общее решение уравнения
(10) имеет вид
т к (*/) = сk (СУ + Dk (#’)' = Akcos /Ч + Bk sin /<Pfe.
где Ak и Bk — произвольные постоянные.
Решение задачи (4а) ищем в виде суммы частных решений
У1 = 2 (cos + Bk sin /<pft) Xw (x).	(11)
t=i
Пусть uok и uQk — коэффициенты разложений uQ(x) и й0(х):
«о(х) = 2 uofeX(fe)(x), й0(х) = uakX{k\x). (12)
1	k=1
Потребуем, чтобы сумма (11) удовлетворяла начальным усло-
виям г/° = н0, y°t = (у1 — у°)/х = й0 (х). Тогда для определения Ak
и Bk получим условия:
л	А c°s<Pfe-l , о sin<pfe
Лк — и0к> Лк	Г Bk - — Uak.
Отсюда находим
1	— COS ф.	т
Дь =	Вь = —:---------Uok Н—:----^ofe*	(13)
R и«’	« Sin Ф^ ил Sin Ф^ ил	v 7
Подставив Ak и B/t в (11), после очевидных преобразований
имеем
N- 1 ,
< V / CQS (/- 0,5) cpfc -г sin 7<pfe _ \ {ky
У ~	( cos 0 5ф иок A- sjn _ иок]Х (’)	(14)
Получим сначала оценку || у! \\ для схемы (4а) при <т = 0, т. е.
для схемы
Уи = АУ, Уа = Ун = Ъ> У(х, О) = и0(х), г/Дх, О) = й0(х). (15)
При ст = 0 имеем
ak = 0,5т% = щ, cos q>fc = 1 - щ, sin <pfe = /щ (2 - щ).
Потребуем, чтобы шаги
сетки <оАх удовлетворяли соотношению
— 1
Л2 1 + е ’
(16)
где е> 0 —любое число. Тогда
А=1’2”-” <17>
2)
§ 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 97
и, следовательно,
cos 0,5<рА = У1 - щ/2 > ]/"•	(18)
Далее,
sin ср. 2 sin 0,5ср.	_ 2sin 0,5ср. Г е
—Ife =--------LAA cos 0,5фА >--------1/ —— ,
и, так как
2	sin °>5<Pfe = /2(1 - cos <рА) = /2Й? = у у-
Т	Т	Т	'	’
то справедлива оценка
(19)
Из (14) следует неравенство
М-1
cos (/ - 0,5) cpfc (fc)
cos 0,5cpfe U°kA
uQkX{k}
sin cpfe
подставляя в которое оценки (18) и (19)), имеем
Заметим теперь, что выражение
есть не что иное, как «негативная» норма (норма в Дл-1)
II Йо Ил-1 = М Йо, Йо)\
где Ау = - Аг/ = - yix
Действительно,
А-‘й0= S uOkA~lX{k}^ ^X[k>,
k^i	s=i k
и, следовательно,
(л-М-SV.
A-l *
98
ГЛ. 11. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
[2
Итак, если выполнено условие (16), то для схемы (15) справед-
лива оценка	______
1|г//1К'}/'-4±(11«о11 + Но11л-0-	(2°)
Эта же оценка имеет место и для схемы (4а), если потребо-
вать, чтобы параметр а удовлетворял условию
где е > 0 — любое число.
Чтобы убедиться в этом, достаточно в приведенном выше до-
казательстве заменить всюду цд на
0,5т2Л.
= 1 + ат2Л^ •
Для исследования устойчивости схемы (4) по правой части
применим принцип суперпозиции. Рассмотрим задачу
9г,=л?'"'+ф.	1	(4б)
г/о = «/л/ = О, У(х, 0) = 0, yt(x, 0) = 0. )
Ее решение будем искать в виде
/
у’ = 2 xY1'1,	(22)
/'»»0
где Y1'1 как функция / при фиксированном /' удовлетворяет
однородному уравнению
у// = Л(оГ/+1’/' + (1 - 2ст) ''+ оГ-1’г), 0^/'<Л (23)
краевым условиям
Yo= Y!n Г = 0,	(24)
начальным условиям
,,	,,	у г+1, /' _у/'. /' > y/'+i,/'	,,
Y1 ’ =0, Г/1' = ------------= —-— = Ф',	(25)
где Ф1 выбирается так, чтобы удовлетворялось неоднородное
уравнение (46).
Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция Ф’. Из
определения Y1'1 следует, что
^ = Ty/+1,/+S^/'’
г-о
А^ = атЛГ/+ь/+ 2 тЛ(у^У’.
/'-О
21
§ 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 99
Подставим эти выражения в (23) и найдем
У/+1’/-<тт2ЛУ/+1’/ = тф/,	(26)
откуда получаем уравнение для Ф = Ф1 = У/+1, '/т
Ф - <тт2ЛФ = ф, Фо = Фд, = 0.	(27)
Перейдем теперь к получению оценки решения yi задачи
(46) через правую часть ф. Пусть выполнено условие устойчи-
вости (21). Тогда для решения задачи (23) справедлива оценка
(20), которая в данном случае имеет вид
Поэтому из (22), используя неравенство треугольника, получаем
Оценку для || У'41'' ||л-1 получим из уравнения (27). Разложим
Ф и ф по собственным функциям {№}
Ф = S’ ®kX(k\ Ф' = S ФД(Ч.	(28)
k~ 1	k «= 1
Подставляя (28) в (27), найдем Фд = ф&/(1 + <тт2Лд), так что
при о 0 имеем
М-1	М-1	2	Д'-1 9
Д-1 k Д-1 '	k) k Д-1 k
т. е.
Таким образом, если и выполнено условие (21), то
для схемы (46) справедлива оценка
Для задачи (4) (с уо = ун — 0) при тех же условиях выполняет-
ся оценка
4*
100
ГЛ. П. УРАВНЕНИЯ с ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
(2
Интересно заметить, что при специальном выборе г/1 = у (г)
удается доказать устойчивость в L2 схемы (15) при условии
т^й. Приведенное ниже доказательство сообщил автору
В. Б. Андреев.
Рассмотрим разностную схему
-У'„. /-1. 2..................... (29)
у'1 = «О' У? _“»+0>5ч4,.	(30)
Согласно п. 1, задача (29)—(30) аппроксимирует уравнение
(1) — (2) с погрешностью О(т2 + й2).
Выразим решение yi через у<} = w0 и йо. Поступая как и ра-
нее, найдем
М-1
/=У (w0* cos/ф* + -^sin/qpdX**’,	(31)
k=l '	k
где «os — коэффициенты Фурье й0 (x.), а величины иол, Фь имеют
тот же смысл, что и прежде.
Возводя (31) в квадрат и используя оценку
\	-2
cos /ФЛ (woft sin /ф6) < т2 cos2 /Фй + w2ft sin2 /<pfe,
имеем
AZ-1 2
и/if < I«. if+* 2 тЗч
k-l
<^2	|
Оценим снизу выражение-^7ф-= л (1-т2д, /4) • Пусть у = т/й<1.
Тогда
Л* (1 - Л,/4) - A. sirf	(1 - v2 sin’^-j >
>4sW^(l-sin’^)-4-sirf^cos>^->
-.4 . 9 nh <, nh sin2 nh
^Ksln — cos “ =
В гл. I было показано, что sin2 -^-L 8, если й.^0,5.
й2 2
Поэтому, обозначив h{ = 2й, имеем
sin2 л/г 4	. 9 nh,	___1
--5 = -§• Sin2 L >8,	Й <—.
A2 h\ 2	4
Итак, если t^/г и й^74, то для решения задачи (29) —(30)
цмеем оценку
3]
§ 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Ю1
3.	Метод энергетических неравенств. Исследование устойчи-
вости разностных схем для уравнения колебаний можно прове-
сти и с помощью метода энергетических неравенств (см. § 1,
п. 7). Ограничимся здесь изучением устойчивости по начальным
данным.
Будем рассматривать задачу
^ = Л(ау + (1 — 2и)у + иу),	J
Уо = У^ = О, у(х, О) = ио(х), yt(x, О) = йо(х). /
Замечая, что
су + (1 - 2а) у + су = у + ax2yw
перепишем уравнение (32) в виде
(£ - ат2Л) yit = Ay,	(33)
где Е — единичный оператор.
Умножим (33) скалярно на у» = (yt + У^^:
((E-(rfA)ylt, у°} = (Ау, у^.	(34)
Воспользовавшись очевидными тождествами
(ylt> И) = 0’5(!1Ш’
- (Лу{(, у^ = (уха, у_°] = 0,5 (Ц^Д,
преобразуем левую часть равенства (34) следующим образом:
((£ - ат2Л) yJt, у^ = 0,5 (|| у{||2 + ат21| ^]|2)f	(35)
Покажем, далее, что для любых функций y = y(x,tn), об-
ращающихся в нуль при х = 0их=1, справедливо тождество
s:)4(K+W,£-(K.n- (ЭД
Действительно, из первой формулы Грина (см. гл. I, §2, п. 1)
следует, что
-(Лг/, y^ = (v, vo],
где v = уц, и так как
ТР получаем (36),
102
ГЛ. И. УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
13
Подставляя (35) и (36) в (34), получим следующее энерге-
тическое тождество:
(м + (’ - т) IF+т I+М’),=0.	(37)
или
S!+x = %',
где
= I si г + (« - 4) | s'„ г + 7IIй + й“ т-	(38)
Найдем значения а, при которых величина неотрица-
тельна для любых yi и yi-t. Для этого заметим (см. гл. I, § 2,
п. 3), что
1Ы2<4|Ы2
и поэтому
\\Уг II2+(ст - т)т2 IIMl2 > (4 + (°' - т) 4II ^]12-
Следовательно, правая часть (38) будет неотрицательна, если
потребовать
V~F	(39)
При этом выражение (^),/» можно считать нормой (или, точ-
нее, полунормой):
-1 s’ ( -1si f + (« - 4) ’’ I s', J! + 41 s', + s'r r	(«»
Заметим, что такие «комбинированные» нормы, зависящие от
значений у на нескольких слоях, характерны для многослойных
(и, в частности, трехслойных) схем.
Тождество (37) означает устойчивость по начальным дан-
ным в норме (40):
U/+1II. = 11^11, / = 0, 1,...
Итак, условие (39) достаточно для устойчивости схемы (32)
по начальным данным в норме (40).
В частности, схема (32) с а = 0 устойчива по начальным
данным при условии
т<Л.	(41)
Это условие устойчивости, называемое иногда условием Ку-
ранта, было получено впервые в работе Р. Куранта, К- Фрид-
рихса и Г. Леви [1].
Глава III
ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Основное содержание главы — теория однородных разностных схем для
одномерных уравнений с переменными коэффициентами:
Lu + f(x) = 0, Lu = ~-^k(x)-~j-q(x)u,
-—- = Lu + f(x, 0, Lu = -^-lk(x, t)-^-\-q(x, t) и,
O'-	их \	их j
d2u	.
-^~Lu+f(x, t).
Главное внимание уделяется способам написания однородных разност-
ных схем и исследования их аппроксимации и сходимости в случае разрывных
k, q, f, а также в случае неравномерных сеток.
§ 1. Однородные схемы для стационарного уравнения
с переменными коэффициентами
1.	Введение. В связи с широким применением вычислитель-
ных машин становится ясным, что нецелесообразно использо-
вать разностные схемы и составлять программы, предназначен-
ные лишь для решения отдельных задач частного вида. Необхо-
димо иметь разностные схемы, пригодные для решения классов
задач, определяемых заданием типа дифференциального урав-
нения, класса краевых и начальных условий, а также функцио-
нального пространства, которому принадлежат коэффициенты
дифференциального уравнения. Такие универсальные разност-
ные схемы должны, естественно, удовлетворять требованиям
сходимости и устойчивости на любой последовательности сеток
и для любой исходной задачи из рассматриваемого класса за-
дач. Требование единообразия вычислительного алгоритма для
решения класса задач приводит к понятию однородных разност-
ных схем. Под однородной разностной схемой понимается
104
ГЛ. Ill, ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
П
разностная схема, вид которой не зависит ни от выбора конкрет-
ной задачи из данного класса, ни от выбора разностной сетки.
Во всех узлах сетки для любой задачи из данного класса раз-
ностные уравнения имеют один и тот же вид. Коэффициенты
однородной разностной схемы определяются как функционалы
коэффициентов дифференциального уравнения.
Большой интерес, например, представляет отыскание одно-
родных схем «сквозного» или «непрерывного» счета, пригодных
для решения уравнения теплопроводности (диффузии) с раз-
рывным коэффициентом теплопроводности (диффузии) по од-
ним и тем же формулам (программам) без явного выделения
точек или линий разрыва коэффициентов. Это значит, что схема
в окрестности разрывов не меняется и вычисления во всех узлах
ведутся по одним и тем же формулам, независимо от того, раз-
рывен или непрерывен коэффициент теплопроводности.
Использование однородных схем сквозного счета особенно
важно в тех случаях, когда коэффициент теплопроводности вы-
числяется в результате приближенного решения других уравне-
ний, что, например, имеет место при решении уравнений газоди-
намики в теплопроводном газе, когда коэффициент теплопро-
водности зависит от плотности и терпит разрывы на ударных
волнах.
Для теории разностных схем необходимо задать исходное се-
мейство схем. Общий способ задания семейства однородных раз-
ностных схем был указан в работе А. Н. Тихонова и А. А. Са-
марского [1]. Коэффициенты однородной разностной схемы вы-
ражаются через коэффициенты исходного дифференциального
уравнения при помощи некоторых так называемых шаблонных
функционалов, произвол в выборе которых ограничен требова-
ниями аппроксимации, разрешимости, устойчивости и др. Се-
мейство однородных разностных схем задано, если указано се-
мейство допустимых шаблонных функционалов схемы.
Поясним это в возможно более простой ситуации. Будем
рассматривать разностные операторы над функциями одного
переменного хг- = th, I = 0, ±1, ... Разностный оператор вначале
определяется на целочисленном шаблоне, т. е. на множестве
Wo = {— ти — ггц + 1, ..., — 1, 0, 1, ..., /и2}>
где ггц, т2— целые числа, после чего совершается переход к ре-
альной сетке
сол = {xz = гй, « = 0, ±1, ...}
с шагом h. Пусть k(s) — вектор-функция, заданная на отрезке
—mt s т2 (на коэффициентном шаблоне). Пусть далее
А У [k (s)], — mj т2, Bh [k (s)]
2]
§ I. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
105
некоторые шаблонные функционалы, зависящие, вообще говоря,
от параметра h и определенные для вектор-функций fc(s),
s е [—т\, т2]. Линейная (относительно сеточной функции yh)
однородная разностная схема определяется так:(Л(й1/й)/= 0, где
т->
(Lh}yh)i= 2 Am[k(xt +sh)]yh(xi +Bh[k(xt +sh)].
т =—т.х
Опуская индекс i, это выражение можно записать в виде
ь'н'у1 = 2 Am[k(x + sh.)] yh(x + mh) + Bh[k (x + sh)].
m-—mx
Целью теории однородных разностных схем является отыскание
(в исходном семействе) схем, пригодных для решения возможно
более широкого класса задач, а также выделение наилучших
схем (например, по порядку точности, по объему вычислений
и др.).
В этом параграфе мы дадим изложение основных вопросов
теории однородных разностных схем для одномерной стацио-
нарной задачи теплопроводности с переменными коэффициента-
ми k(x), q(x). Полученные здесь результаты будут использо-
ваны при изучении в §§ 2, 3 однородных разностных схем для
нестационарного уравнения теплопроводности
^u + f(x> 0
и уравнения колебаний
=	^u+f(x> ъ
2.	Исходная задача. Рассмотрим первую краевую задачу для
стационарного уравнения теплопроводности или диффузии
-j—(k (х)-^тЦ — q(x) и = — /(х), 0<х<1,
dx \ ' ' dx ) v	\	»	(Р
«(0) = «1, «(1) = «2> ^(х)^С!>0, <?(х)^0.
Эта задача имеет решение, если й(х), q{x), f(x)—кусоч-
но-непрерывные функции (принадлежат классу Q<0)) *)• Если
k(x) имеет разрыв первого рода в точке х = g, так что
*) Мы пользуемся обозначениями: С<п)[а, Ь] — класс функций, имеющих п
непрерывных на отрезке а х b производных, 6] — класс функций,
кусочно-непрерывных на [а, 6] вместе с производными до га-го порядка вклю-
чительно, Q(0)[a, b] — класс кусочно-непрерывных иа [а, 6] функций.
106	ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	• I3
[й] = й(£ + 0)— k(l — 0)¥=0, то при х = 1 ставятся условия со-
пряжения:
[«] = 0, [ku'] = 0 при х = g
(температура и и поток (—ku') непрерывны).
При х = 0 и х = 1 могут быть заданы краевые условия
feu' = PjU — pj при х = 0, — feu' = p2u —р2 при х = 1.
Если, например, Pi > 0, то это условие третьего рода, при £1 =
= 0 — условие второго рода. Возможны различные комбинации
условий первого, второго и третьего рода (например, при х =
= 0 — условие третьего рода, при х= 1 — условие первого рода
и т. д.).
Мы проведем основное изложение для первой краевой за-
дачи.
3.	Трехточечные схемы. На отрезке [0,1] введем равномерную
сетку
= {xi = ihy i = 0, 1, ..., N}
с шагом h = 1/N; обозначим
coft = {xt = ih, z = l, 2, ..., N— 1},
yt = y(Xi) —сеточная функция, заданная на wZl.
При написании схемы, аппроксимирующей уравнение (1),
возьмем трехточечный шаблон (xZ-i, Xi, xz+i). Любое трехточеч-
ное разностное уравнение на этом шаблоне можно записать
в виде
~CiVi + biyi+l = - h2(ft, i= 1, 2, .... N — 1,
где аг-, Ci, bi и <j)j зависят от шага h, или в виде
у	~ ai -—и-'} ~	+ Ф/ = 0>	(2)
где di — (d — bi — ai)/h2. Коэффициенты ait bit di и правая
часть <pz пока не определены.
Пусть на шаблоне —1	1 (т. е. rrii = т2 = 1) опреде-
лены функционалы
Ah[k(s)], B/l[k(s)], D^yts)], Fh[f(s)]
для любых функций й (s), q(s), J(s) из QW, зависящие, вообще
говоря, от параметра h. Если коэффициенты разностной схемы
(2) при любых й(х), <?(х), f(x)<=Q(0) во всех узлах Xi произ-
вольной сетки вычисляются по одним и тем же формулам
a-i = Ah [k (х{ + s/г)], bt = Bh[k(Xi +sh)], 1
z/z = JD/t[<7(xz + s/z)], <Pi = Fh[Hxi + sh)], J (3)
то схема (2) называется однородной.
3]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
107
Отсюда видно, что, если, например, задан функционал
Ллрг(з)]> то для вычисления надо положить формально
E(s) = k(xt + sh) и т. д.
Если схема (2) однородна, то индекс i можно опустить и (2)
записать в виде
^(byx-ayx)-dy = - <р, у (0) =	у(1) = «2,	(4)
где
а = а (х), Ь =Ь (х), у = у (х), х = lh е
Ух = {У (х + h) - у (х) )/й, у- = (у (х) - у (х - h) )/h.
Семейство однородных схем задано, если задано семейство ша-
блонных функционалов Ah, Bh, Dh, Fh. Требования аппроксима-
ции и разрешимости задачи (4) накладывают ограничения на
произвол в их выборе.
Вычислим локальную погрешность аппроксимации схемы (4):
ф (и) - [J- (bvx — av-} — dv + ф] — [(kv'Y — qv + f],
где и — произвольная достаточно гладкая функция, k, q, f также
имеют нужное по ходу изложения число производных. Разлагая
v в точке х по формуле Тейлора, найдем
vx = v' + 0,5йи" + -^- V'" + О (h3),
v. = v' - 0,5/ги" +	v'" + О (h3),
ф (о) = (4 - °) - k') v' +	“ k) v" +
+ b~^ hv'" + (d - q) V + (ф - f) + О (h1 2).
Требование ф(и) = О(й2) будет выполнено, если
b^-=k'(x) + O(h2), ^- = k(x) + O(h2),
п	z	,•	(5)
d(x) = q (x) + О (h2), Ф (x) = f (x) + О (h2).
Для разрешимости задачи (4) достаточно (см. гл. I, § 2, п. 9),
чтобы
а>0, 6>0, t/^О для всех хеыл.	(6)
Приведем два примера разностных схем второго порядка ап-
проксимации для задачи (1):
Ч. yM~yi _ А yi~yi-\ _ п „ _ _ f
АП+'А h ^l-4i h )	‘i’
1 I ki + i + kt yi+i~yl _ ki + ki-l У i ~ yi-i \   f	zo\
h\ 2 h	2 h ) qiyi~ ’v V '
108
ГЛ. 111. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[4
где i — 1, 2, ..N— 1, Уо — щ, Ух = Щ, ki ±у2 = k (х{ ± 0,5/г),
ki±i = k{xt± h).
Нетрудно видеть, что для каждой из этих схем выполнены
условия (5), если k, q, f — достаточно гладкие функции.
В дальнейшем для упрощения изложения, будем предпола-
гать, что шаблонные функционалы не зависят от параметра h и
D[f (s)] = F[/(S)], так что
а(х) = А (х + s/г)], b (х) = В [k (х + sh)], 1
d (X) = F [q (х + s/г)], ф (х) = F [f (х + s/г)], J
где sg [— 1, 1].
Будем рассматривать семейство схем, для которых выпол-
нены условия (5), (6), (9). Нас интересуют схемы, сходящиеся
в случае разрывных k(x), q(x), f(x). Ниже приводится пример,
показывающий, что не всякая однородная схема вида (4), удов-
летворяющая условиям аппроксимации (5) (в случае гладких
коэффициентов) и условиям разрешимости (6), сходится в клас-
се разрывных k(x).
4. Пример схемы, расходящейся в случае разрывных коэф-
фициентов. Рассмотрим задачу (1) при q == 0, f == 0:
(ku')' = 0, 0<х<1, ы(0)=1, и(1) = 0.	(10)
Представим (kti’)' в виде kit" + k'u'. Естественно, на первый
взгляд, для получения аппроксимации второго порядка прове-
сти замену
k • . г k, ,	U . । • и I >
и" ~ Uxx, k'~k„ =	, и'~и°х= - ~2h‘~ '
Тогда получим схему
, У^-^ + у^	yj+t-y^t _ п
Ki h2 "I- 2h 2h ’ }	(11)
0<z<yV, y0=l, Ух = ®-
Преобразуя (11) к виду (4), найдем
ai==kt--ki^ki--'-, bi = ki + -k^~^~!- , ^ = Ф( = 0, (12)
т. е. схема (11) принадлежит семейству (4).
Условия (5) и (6) выполнены, так как на участках гладкости
at = kt — 0,5Л6' + О (h2), b{ — k{ + ®,5hk'. + О (h2),
0,5 (at + 6Z) = kt, b. — at = 0,5 [kl+l - k^) = hk't + O (JF),
так что ai > 0, bi > 0 при достаточно малом h.
*1
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
109
Покажем, что схема (11) расходится даже в классе
кусочно-постоянных коэффициентов
k(x) =
ki,
k2,
0<x<g,
5<х<1,
(13)
где g— иррациональное число, g = хп + Qh, хп = nh, 0 < 0 < 1.
Точное решение задачи (10), (13), удовлетворяющее усло-
виям сопряжения, имеет вид
1-аох, 0<x<g, а0 = (х + (1 — х) g)~'
Ро(1-х),	Ро = хао, x = kt/k2.
(14)
Найдем решение разностной задачи (11), (13). Так как ai =
— bi = при 0 < i < п, ai = bi = k2 при n + 1 < i < N, to
уравнение (11) принимает вид — 2у{ + z/,+i = 0 при i =# п и
i 4= п + 1. Отсюда находим
( 1 — ах,, 0 <х ^х„,
yi==y(xi) = \ а/i \	1	(13)
и\ ч (р(1—х(.), хп+1<х<1.	'
Коэффициенты аир определим из уравнений при i = п, I =
= п + 1:
MPU -^n+i) (1	ах„)] + апа/г = 0, )
&„+1Рй + а„+1[Р(1-х„+1)-(1-ах„)] = 0. J 1
Из (12) и (13) находим ап = (561 — k2)/4, an+t = (&i + 3&2)/4,
bn = (3&i + k2) /4, bn+i = (5^2—&i)/4. Решая уравнения (16) от-
носительно a, p и учитывая, что хп = В — Qh, xn+I = g + (1 —Q)h,
определим p = pa,
1	_ 3 + X J J — 5X~ 1	(17\
a“ ц + (1-рЦ + й(Л-е-(1-0)ц) ’ И 5-х л,л Зх+1 • u '
Предельный переход при й->0 дает
lim a = a0, Пт р — р0,
Л-»0	й-»0
где
«о = (и + (1 — и)£) '> Ро = ga0.	(18)
Функции (15) доопределим на всем отрезке О^х^ 1 (при по-
мощи линейной интерполяции), получим функцию y(x,h), хе
е[0,1], совпадающую с yi в узлах х< = lh. Найдем предел
но
ГЛ. Hi. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
И
у (х, h) при й->0:
( 1 — аох,	,
f1W-linj№, *) = (Ь(1-ж). Е<х<1.	(19)
Сравним предельную функцию и(х) с точным решением и(х),
определяемым формулой (14). Из (14), (18) и (19) видно, что
й(х) = и(х) при ао = ао, 0о = ₽о, а это возможно лишь при
х — 1 или kt = k2.
Итак, решение (15) разностной задачи (11), (14) при Л->-0
стремится к функции й(х), которая в случае kt 4= k2 отлична от
точного решения ц(х) задачи (10). Следовательно, схема (И)
расходится.
Нетрудно установить физический смысл функции й(х).
Функция й(х) есть решение задачи (10), удовлетворяющее при
х = g условиям [й] = 0, [ku'J = — (ц— x)k2 = q, где q есть мощ-
ность сосредоточенного источника (стока) тепла в точке х = g.
Величина q меняется в широких пределах в зависимости от х
(в частности, q^±ca при х->5±0). Таким образом, физиче-
ская причина расходимости схемы (11) в том, что она нарушает
баланс (закон сохранения) тепла, приводя к появлению допол-
нительного источника (при q < 0) или стока (при q > 0) тепла
в точке х =
Схемы, нарушающие законы сохранения, называют некон-
сервативными или дисбалансными.
Рассмотренный пример показывает, что при написании раз-
ностных схем следует добиваться, чтобы эти схемы выражали
на сетке соответствующий закон сохранения. Такие схемы мы
будем называть консервативными.
В следующем пункте дается общий метод получения консер-
вативных схем, сходящихся в классе разрывных коэффициентов.
Прежде, чем переходить к его изложению, сделаем два за-
мечания, связанные с рассмотренным выше примером.
Критерий экспериментальной проверки сходимости схемы
путем сгущения сетки, применяемый часто на практике в тех
случаях, когда нет теоретических оценок качества схемы, может
иногда привести к ошибочному выводу о сходимости схемы на
том основании, что при сгущении сетки обнаруживается стрем-
ление решения разностной задачи к некоторой предельной функ-
ции й(х). Приведенный выше пример показывает, что функция
й(х), вообще говоря, может сколь угодно сильно отличаться от
решения и(х) исходной задачи. Поэтому методом сгущения
сетки надо пользоваться с известной осторожностью. Во всяком
случае, он не может подменить теоретического исследования
хотя бы на модельных примерах.
Можно рекомендовать для проверки сходимости и порядка
точности метод пробных функций. Выбирается некоторая функ-
5j	§ I. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ	1Ц
ция U(x) (она может быть выбрана произвольно, но так, чтобы
выполнялись условия сопряжения в точке разрыва коэффициен-
та k(x)). Подставляя ее в уравнение (1), найдем правую часть
f = (kU'Y — qU и краевые значения pi = U(0), ц2=^(1)- По-
лученная задача (1) решается по схеме (4) и разностное реше-
ние у(х) сравнивается с известной функцией U(x) на различных
сетках.
Второе замечание состоит в том, что, так как не всякая схе-
ма (4), сходящаяся в случае гладких коэффициентов, сходится
в случае разрывных коэффициентов, то необходимо выделить
семейство схем, сходящихся в классе разрывных коэффициен-
тов, и в дальнейшем иметь дело только с такими схемами.
5. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) по-
строения однородных разнистныхсхем*). Различные физические
процессы (теплопроводности или диффузии, колебаний, газоди-
намики и т. д.) характеризуются некоторыми интегральными
законами сохранения (тепла, массы, количества движения,
энергии и т. д.). При выводе дифференциальных уравнений ма-
тематической физики обычно исходят из некоторого интеграль-
ного соотношения (уравнения баланса), выражающего закон
сохранения для малого объема. Дифференциальное уравнение
получается из уравнения баланса при стягивании объема к
нулю в предположении существования непрерывных производ-
ных, входящих в уравнение.
Метод конечных разностей физически означает переход от
непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели. При та-
ком переходе естественно требовать, чтобы основные свойства
физического процесса сохранялись. Такими свойствами, прежде
всего, являются законы сохранения. Разностные схемы, выра-
жающие на сетке законы сохранения, называют консерватив-
ными (или дивергентными). Законы сохранения для всей сеточ-
ной области («интегральные законы сохранения») для кон-
сервативных схем должны быть алгебраическим следствием
разностных уравнений.
Для получения консервативных разностных схем естествен-
но исходить из уравнений баланса, записанных для элементар-
ных объемов (ячеек) сеточной области. Входящие в эти урав-
нения баланса интегралы и производные следует заменить
приближенными разностными выражениями. В результате полу-
чаем однородную разностную схему. Такой метод получения
консервативных однородных разностных схем будем называть
интегро-интерполяционным методом (методом баланса).
Проиллюстрируем этот интегро-интерполяционный метод
на примере уравнения (1), описывающего стационарное распре-
* См. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [1].
112
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
15
деление температуры в однородном стержне 0<4х<4 1. Напишем
уравнение баланса тепла на отрезке х<_у2 "4 х xi+i/a:
Xi+'/,	Xi + '/2
Wi~i/2—Wi+i/,+ J f(x)dx = J q(x)и(x)dx, W=—ku', (20)
где W (x)—поток тепла, q(x)u(x)—мощность стоков тепла
(при q < 0 — источников), пропорциональных температуре,
f(x)— плотность распределения внешних источников (стоков)
тепла.
Сток тепла происходит за счет теплообмена с внешней сре-
дой, происходящего на боковой поверхности стержня. Величи-
на 1Гг_1/2 дает количество тепла, втекающее через сечение
х = хг-_1/а на отрезок хг_у24x4xi+v2, lTi+i/2 — количество вы-
текающего через сечение х = Хг+у2 тепла; третье слагаемое в ле-
вой части (20) дает количество тепла, выделяющегося на отрез-
ке [х2_1/2, Xi+yJ за счет распределенных с плотностью f(x)
источников тепла, интеграл в правой части (20) есть количество
тепла, отдаваемое внешней среде за счет теплообмена на боко-
вой поверхности.
Чтобы получить из (20) разностное уравнение, заменим W и
интеграл, содержащий и, линейными комбинациями значений и
в узлах сетки. Для этого воспользуемся интерполяциями
в окрестности узла х,. Возьмем простейшую интерполяцию
U = Const = Ui При X{-i/2 =4х ^X/+i/2,
Д+'/2	*/+/.
J q(x) и(х) dx h d^, dt = -^ J q(x)dx,
X.	X. ..
t-’/j	i—’A
(21)
где di есть среднее значение q(x) на отрезке х,--у2 <4 х <4 х<+у2
длины h. Проинтегрируем равенство и'— —W/k на отрезке
Xf-i <4х4^х;:
xi-l
Предполагая, что W(x) = ^,-_i/2 = const при x^-i 4^х <4xj,
имеем:
xi
ui-i - щ ~ W\_./2 j
5J
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
ИЗ
Отсюда находим приближенное значение W{-</2 потока
~	и. — и.,
Wi-</2 = - ai ....h - = - сцих, i,
(22)
Отметим, что J
есть тепловое сопротивление отрезка
(22) в (20) и обозначая через yt иско-
FI одставляя (21) и
мую функцию, получим консервативную разностную схему
1
h
У,+1~У1	„ У1-У1-Х
h z h
(23)
где
0,5
d{ = J q (xt + sh) ds,
-0,5
0,5
фг = J f(xt + sh)ds.
-0,5
(24)
Разностное уравнение (23) написано в фиксированном узле
х — х^ Считая узел х, произвольным, получаем уравнение (23)
во всех внутренних узлах сетки. Так как коэффициенты аг-, di,
Ф, во всех узлах x,, i = 1, 2, ..., N — 1 определяются по одним и
тем же формулам (24), то схема (23) — (24) является однород-
ной консервативной схемой. Поэтому в (23) и (24) индекс i
можно опустить и вместо (23) писать
(ay.')x-dy = -ф-
В общем случае в формуле для потока коэффициент а, яв-
ляется некоторым функционалом значений k(x) на отрезке
[Х<-1, Х{].
Отметим, что закон сохранения во всей сеточной области юл
(«интегральный» закон сохранения) для любой (с любыми а,
d, ф) консервативной схемы вида (23) есть алгебраическое след-
ствие уравнения (23).
В самом деле, обозначая через	= —а, (г/,— yi-t)lh
разностное выражение потока тепла при х = х^—1/2, запишем
равенство (23) в виде	— W<+% + h<pt = h dlyi. Суммируя
114
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(6
по i= 1,2, ..., N—1, получим разностный закон сохранения
тепла во всей сеточной области
_	__ ЛГ-1 N-1
Г-/г-Гм-'/2+2
Он является разностной аппроксимацией интегрального закона
сохранения для уравнения (1).
Интегро-интерполяционный метод был использован для ре-
шения ряда задач (см., например, Г. И. Марчук [1], Б. Л. Рожде-
ственский и Н. Н. Яненко [1]).
6. Однородные консервативные схемы. Рассмотрим теперь се-
мейство однородных консервативных схем
(аУх)х~аУ = ~	Z/(O) = M1> //(1) = »2-	(25)
Коэффициенты а(х), d(x), ср(х) однородной схемы (25) вы-
числяются при помощи шаблонных функционалов А[Л;($)],
р [&($)] по формулам
а (х) = А [/г (х + s/г)], d (х) = F [<? (х + $й)],
<f(x) = F[f(x + sh)], a(x)^Cj>0, </(х)^0,
(26)
причем область определения Apc(s)] есть [—1, 0] (k(s) е
eQ(°)[—1,0]), область определения F[/(s)] есть Q<°)[—1/2, 1/2].
Иными словами, A [/c(s)] (F[f(s)]l определен для всех ку-
сочно-непрерывных функций k(s) заданных на отрезке
—l-Cs^CO (—0,5<s<0,5).
При вычислении а(х) согласно (26) мы полагаем fc(s) =
= k(x + sh). Это соответствует переходу от шаблона—l<Ls^
^С0, на котором задана функция k(s), к шаблону х-—h^,x'
^Сх, на котором требуется задать k(x'), чтобы вычислить а(х).
Сравним консервативную схему (25) со схемой общего вида
(4). Очевидно, что (4) может быть записана в виде (25) только
при условии
= аг+1
или 5[/c(s)] = A[/c(s + 1)] для любых k(s) е Q(°) [— 1, 1].
Отсюда следует, что для консервативной схемы функционал
Л[Л(х)] не зависит от значений k(s) при 0<$<1, а В[Л:($)] —
от значений k(s) при—1 s < 0.
Отметим, что консервативность схемы (4) является необхо-
димым условием ее устойчивости относительно возмущения ко-
эффициентов при k(x) е Q<°> (коэффициентная устойчивость,
см. А. Н. Тихонов и А, А. Самарский [1]).
6]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
115
Требование консервативности («дивергентности») схемы (4)
эквивалентно также требованию самосопряженности разност-
ного оператора. Действительно, рассмотрим оператор
(Лу)г =	- ciyi + biyi+v,
определенный на пространстве Qh сеточных функций у = {г/,},
заданных на йд и равных нулю на границе, уй = yN = 0. Введем
W-1
в Qh скалярное произведение (у, о) =2 yd^h. Так как для
«=1
любых функций у, v справедливо тождество
N-l	N-I
2 (а.у.-! - c{yl + biyM)vi = 2 (ai+lvi+i-civl-bi-ivi_i)yl,
i «1	i = I
то условие (Ar/, v) = (y, Av) будет выполнено при любых
w, i-'E Qi, тогда и только тогда, когда bi = ai+i, i = 1, ..., N— 1.
Условия (5) локальной аппроксимации второго порядка в
случае консервативной схемы (bi = аг-+1) принимают вид
a(x + h^-a(X) =k, (x) + 0(h2)t £l£±^+£(£)=^W + 0(/z2)j
d(x) = q (x) + О (/г2), <p (x) = f (x) + О (h2).
(27)
Если эти условия выполнены, то
а (х) = k (х) — 0,5hk' (х) + О (/г2),
т. е.
а (х) = k (х — 0,5/г) + О (/г2).
В п. 5 при помощи интегро-интерполяционного метода была
получена однородная консервативная схема (25) с коэффи-
циентами a, d, ф специального вида (24), а именно с шаблонны-
ми функционалами
(О	Х-1	0,5
Jw ’ 7?[7(s)]= J J(s)ds. (24')
-1	'	-0,5
Коэффициенты a, d, ф при этом вычисляются путем интегри-
рования функций k(x), q(x) и f(x) (см. (24)).
Для практических целей удобно иметь возможно более про-
стые формулы для нахождения a, d, ф, использующие значе-
ния k, q, f в отдельных точках. Обычно используют шаблон из
116
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	[7
одной илй двух точек, полагая, например,
at = ft(-i/2 = ft (xi — 0,5ft) (4[ft(s)] = ft ( — 0,5)),
(/W)]=7(0))>
или
a, = 0,5(ft, + ft,_,) (4 [ft (s)] = 0,5 (ft (-1) + ft (0))),
a = 2^'-- Ь f ft (SH =	\
a‘ ki + kt-t	k i) + k (0)) 
Если ft, q, f разрывны, то в формулах (28) следует брать полу-
сумму предельных значений слева и справа
at = 0,5 (ft (х,-./2 - 0) + ft (xi-i/2 + 0)),
di = 0,5 (q (x{ + 0) + q (x, - 0)), <p, = 0,5 (f (xt - 0) + f (xt + 0)).
Отметим, что формулы (28) и ряд других формул для а, а,
<р могут быть получены путем замены интегралов (24) их при-
ближенными выражениями
(28)
1 Г dx
h J k (x)
___1
ki-'h
dx
k(x)
vd "т-д-
7. Исходный класс консервативных схем. Шаблонные функ-
ционалы. Пусть функционал _A[ft(s)] задан на множестве ку-
сочно-непрерывных функций ft(s)eQW[—1, 0], a F[/(s)] на
множестве функций f(s)eQ<°)[—1/2, 1/2]. Предположим, что
1) Все шаблонные функционалы нормированы к единице:
A[l]=l, Е[1]=1.
2) F[/(s)]—_лицейный неотрицательный функционал, т. е.
а) F [с1/1 + сг/г] = C\F Ifi] + ciP [/2]
для любых чисел сл, с2 и функций ft(s), f2(s) из Q(°>.
3) Функционал А [Ж(s)]:
а) однородный функционал первой степени (нелинейный,
вообще говоря):
А [eft] = с A [ft], с = const > 0,
б) неубывающий функционал, т. е.
А [ft2 («)] > А [£] («)] при ft2(s)>ft!(s),
в) имеет дифференциал третьего порядка, т. е. для любых
T(s)_^ Q(0> [ - '/2, 72],_Ф («)	Q<®( - 72( >/2)
A [f (s) + 6ф («)] = А[[ (s)] + 64, [f (s), ф_(5)] +
+ 6242 [/(<s), ф (s)] + 6М3 [f (s), Ф (s)] + 63 * * б)p (6, f(s), ф(«)).
7)
§ I. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
117
где | р (6, f (s), Ф (s)) | ^ ро (6), при | ф | М, | f | М, М = const >
> 0, ро(б)-*О при 6—*0. При этом функционал Аг [f, ф] линеен
по ф, функционал A2[f, ф] квадратичен по ф и т. д., так что
Л, [К сф] = сА} [К ф], Л2[7, сф] = cM2[J, ф]
и т. д., где с = const.
Основное изложение теории однородных разностных схем
проведем в предположении, что Д[/(з)] имеет второй диффе-
ренциал.
Если Д[й(з)]— линейный функционал, то он удовлетворяет
тем же требованиям 2а), 26), что и функционал F. В общем слу-
чае из За) и Зв) следует равенство
АО] = Ж], л2[7, 7] = д3[А П = о,
откуда получаем At [1, 1] = А [1] = 1.
Условия второго порядка аппроксимации (27) накладывают
дополнительные ограничения на шаблонные функционалы.
Рассмотрим, например,
d (х) = F [q (х + s/г)] = F [q (х) + shq' (х) + О (й2)].
В силу условий 1) и 2а) имеем
d (х) = q (х) + hq' (х) F [s] + О (й2).
Условие d = q + O(h2) выполнено, если
F[s] = 0, F[l]=l.
Из условий 1), 26), За), 36) следует, что
с/^0, а^С]>0.
В самом деле, а(х) = А[й(х + зй)] ^[ct] = сь
Покажем теперь, что условия (27) дляа(х) выполнены, если
й(х) е С<3) и
Л[1]= 1, A[s]= -0,5, Л2[1 + s] = Л2[в].
Здесь приняты обозначения
Xi [a(s)] = Л, [1, a(s)], A>[a(s)] = А2 [1, a(s)].
Рассмотрим a (х) = A [k (х + sh) ] = A [k (х) (1 + йх (s)) ], где
, . _ k(x + sh)- k(x) _ k'(x) , s2h k"(x) , ^/t,2.
hk(x) S k(x) + 2 k(x)
В силу свойства Зв) функционала А имеем:
а (х) = k (х) А [ 1 + йх (s)] =
= k (х) А [ 1 ] + hk (х) А, [х (s)J + й2й (х) А2 [х (s)] + О (й3).
118	гл. П1. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	|7
Подставляя сюда выражение для x(s) и учитывая, чтоА1[а(з)]
линеен, a A2[a(s)]—квадратичен, находим
k (х) At [х (s)] = k' (х) A, [s] + Q,bhk" (х) A, [s2] + О (h2),
k (х) А2 [х (s)] =	А2 [s] + О (Л),
так что
а (х) = k (х) А [1] + hk' (х) А{ [з] 4-
+ h2 А, [S2] + WW д2 [s] W 0
Чтобы получить формулу для a(x + h), надо в выражении
для x(s) заменить k(x + sh) на k[x + (1 + s)h). В результате
приходим к формуле
а (х + h) = k (х) А [ 1 ] + hk' (х) At [ 1 + s] +
+ h2 А, [(1 + s)2] + А2 [ 1 + S]) + О (h*).
Подставляя эти выражения для а(х) и а(х + /г) в (27), по-
лучим
A[l]=l, AJsH-0,5, А>[1]=1, A2[l+s] = A2[s].
Условие Ai [(1 + s)2] = Ai [s2] автоматически выполнено.
Если A [Z>(s)] имеет второй дифференциал и А [1] = 1, At[s] =
= —0,5, то а(х) = k(x— 0,5/г) + О (/t2) для А(х)еС'2'. Чтобы
убедиться в этом, надо представить а(х) в виде
а (х) = k (х - 0,5/г) (А [ 1 ] + Л ЛI [х (s)] + О (h2)),
где
«и - м-,+и};-од>°’5>> - (s+°'5)	+° w-
Подставим выражение для x(s) в предыдущую формулу:
а (х) = k (х - 0,5/г) А [1] + hk' (х - 0,5/г) A, [s + 0,5] + О (h2) =
= k (х - 0,5/г) + О (h2),
если А [1] = 1, Ai [s + 0,5] = 0.
В дальнейшем будем рассматривать исходное семейство
однородных консервативных схем (25), (26), шаблонные функ-
ционалы которых А [/с (s) ] и ^[/(s)] удовлетворяют условиям
1) — 3) и условиям
F[l]=l, E[s] = 0, A[l]= 1, A,[s]= -0,5.
Такие схемы, как будет показано ниже, имеют второй поря-
док аппроксимации в специальных «негативных» или «интег-
ральных» нормах.
Исходному семейству принадлежат также схемы, для кото-
рых, . кроме указанных выше условий, выполнено условие
8]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
119
Л2[1 + s] = Д2[з]. Выше было показано, что в этом случае
выполнены условия (27) второго локального порядка аппро-
ксимации: ЦтрПс = O(h2), если k е С<3)[0, 1], q, feC'40, 1],
ue С<4)[0, 1].
Рассмотрим теперь схему (25) с шаблонным функционалом
и покажем, что Л[в] = —0,5. В самом деле,
о
А> [a (s)] = А [ 1 + ta (s)] |/=0 = J a (s) ds,
Л,[1]= 1, ли =-0,5.
Следовательно, схема (23), (24) принадлежит исходному
семейству. В дальнейшем схему (23), (24) будем называть наи-
лучшей схемой.
8. Разностная функция Грина. Основной вопрос теории —
оценка порядка точности однородной схемы (25), (26) в клас-
сах непрерывных и разрывных функций k(x), q(x) и f(x). Пусть
у — решение задачи (25), (26), и — решение задачи (1). Для
погрешности z — у — и получаем задачу
Az = (azx)x — dz — — ф(х), 0<х = 1й<1, |
z(0) = z(l) = 0, а>С!>0, с/>0,	J (29)
где
ф = (аих)х — du + <f>	(30)
— погрешность аппроксимации уравнения (1) разностной схе-
мой (25), (26) на решении и = и(х) задачи (1).
Для оценки порядка точности схемы (25), (26) нам понадо-
бится априорная оценка решения задачи (29).
Решение задачи (1) с однородными краевыми условиями
«(0) =«(1) =0, как известно, может быть представлено в ин-
тегральной форме
и(х)= / G(x, £)f®d£.
о
Функция источника или функция Грина G(x, £) определяется
условиями
£(ад«-)-,ЙСМ = 0,
0(0, Е)-О(1, у-о, [О]-0,	лрих-Е
120
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[8
и обладает свойствами
G (х, g) > 0, G (х, g) = G (g, х), х, g 6= [0, 1].
Чтобы получить явное выражение для решения разностной
задачи (29) и использовать его затем для вывода априорных
оценок, введем разностную функцию Грина G(x, £), х = xt = ih,
£ = gj = ih.
Пусть, как обычно,
м-i	N
(У, v) = 2 У^Ф, (у, f] = 2
i=i	i=i
Будем искать решение задачи (29) в виде
z(x) = (G(x,g), ф(|)).	(31)
Потребуем, чтобы это выражение удовлетворяло уравнению
Az(x) = (AxG(x, g), ф (£)) = - ф (х).
Отсюда видно, что уравнение удовлетворяется только при
A^G(x, g)= — 6	, где б(х, !•) —символ Кронекера:
б(х, х) = 1, б (х, g) = 0 при х#=£.
Таким образом, формула (31) дает решение задачи (29),
если G(x, £) как функция х при фиксированном удовле-
творяет условиям
ЛжО(х, g) = (a(x)G,(x, g))x-d(x)G(x, g)=--^-,
(ox)
х, £ g= G(0, £) = G (1, £) = 0, ah.
Покажем, что разностная функция Грина G(x, g) существует
и найдем для нее явное представление.
Пусть а(х) = а(х, h) и Р(х) = р(х, h) — два линейно неза-
висимых решения однородного уравнения Ху = 0. Для опреде-
ленности будем считать, что аир суть решения задач Коши:
Ла = (аа-)х — da = 0, х е а (0) = 0, a.a- j = 1,
Ap = (ap.)x-dp = O, хе®,, р(1) = 0, -аДл = 1.	(33)
Нам понадобятся следующие свойства а(х) и р(х):
1)	а(х)—монотонно возрастающая, р(х)—монотонно убы-
вающая положительные функции:
а(х)>0 при 0<х^1, р(х)>0 при 0^х<1,
а(х)^а(1), р(х)=^р(О) при xs[0, 1],
2)	а(1) = Р(0),
3)	А (х) = а (а^р — ар.) = const = а (1) > 0, 0 < х 1.
8]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
121
Докажем эти свойства.
1)	Из уравнения Ла = 0 и условия a{ax,i = 1 следует
i-i
atUx i = 1 + 2 dkakh, cq = h)a{ > 0.
fe=i
Если ak > 0, £=1,2, i—1, to a{ax,t>® и at > a/-i > 0.
Аналогично убеждаемся, что P*, j < 0, 0 < p* < Pi—i-
2)	Рассмотрим вторую формулу Грина:
(а, Лр) = (р, Ла) + aN (ар- - ра.Д - а{ (арх - раД.
Отсюда, в силу условий (33), сразу следует а(1) = Р(0).
3)	Применим вторую формулу Грина в области 0^х,=
= i£ С xia = х:
0 = 2 («Ар - рЛа)г h = ait(ар - - Ра.).° - а, (арх - раД =
= - Д К) + ₽ (°) а1“х, 1 = - д К) + ₽0-
Так как х,0 = х — произвольный узел сетки ш, то Д(х) =
= Р(0) =а(1).
Будем искать разностную функцию Грина в виде
( А(Ё)а(х), 0^х<£,
°<^>={XW,		<м>
Краевые условия при х = 0, х = 1 выполнены. При х =# £
функция (34) удовлетворяет уравнению Лхб(х, £) = 0. Чтобы
найти А(£) и В(£) используем условие однозначности G(x, £)
при х = | и уравнение AxG(x, g) = —1//г при х = g.
Полагая в (34) х = найдем
AG)a(£) = B(m).	(35)
Подставим выражение (34) в уравнение (29) при х = g и ф =
= —1/£:
Лх G U = IР Ф а	(£) ~ А G)] ~
-d(g)B(g)P(g)=-|.	(36)
Из уравнения Лр = 0 при х = £ выразим
a (g + h) рх (g) = a (g) р- (£) + h d (g) р Й),
из (35) определим В (£) = А (£) а (£)/р (£) и подставим эти выра-
жения в (36):
h РШ h
122
ГЛ. 1П. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
19
Отсюда, из свойств 3) и формулы (35) находим
Л ____________________ Р (В)	°* (В)
В результате для G (х, £) получаем формулу
G(x, g) =
g(х)р(В)
а(1)
«(В)Р(х)
«(1)

(37)
Отсюда видно, что G(x, £) неотрицательна: G(x, £)>0 при
О < х < 1, 0<g< 1, симметрична: G(x, g)=G(g, х) для любых
х, соЛ, и удовлетворяет уравнению
A6G = -(6(x, ШИ.
по аргументу при фиксированном х*=сол.
9.	Априорные оценки. Пользуясь формулой (31), найдем
оценку решения задачи (29) через правую часть — ф. Для
этого нам понадобятся равномерные оценки G(x, g) и ее раз-
ностных производных Gx(x, g),	(х, g).
Сначала рассмотрим принцип максимума и его следствия
для задачи (29).
В гл. I доказан принцип максимума для разностного урав-
нения
Aiyi-l-Clyi + Biyi+l = - Fit .1 = 1, 2, ..., N — 1, 1
f/o = Pb Ун = У-2,	J
где
^>0, B{>0, Cl-A(-Bi^D^O.	(39)
Нам потребуются следующие теоремы (см. гл. I, § 2, п. 5).
Теорема 1. Если Ft^Q, щ > 0, ц2 > 0 и выполнены усло-
вия (39), то решение задачи (38) неотрицательно,
у^О, i = 0, 1.....N-1, N.
Теорема 2. Пусть
1*1 = 1*2 “0, Fi^DiVi,	(40)
и выполнены условия (39). Тогда имеет место оценка
||z/||c = max|z/i К1|<р||с.	(41)
i
Записывая уравнение (29) в виде (38), где
Ai = -/^-t	= "д2~> Ct = At + Bt + dit Fi = ^i, |*i = |*2 = 0,
9]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
123
получаем, что если di 0, то для задачи (29) справедливы тео-
ремы 1 и 2.
Лемма 1. Для функции Грина G(x, £) задачи (29) спра-
ведливы равномерные оценки
G (х, £) 1/С] для всех х, g е соА,	(42)
|СДх, £)|<2/Cl, |G5(x, £)1<2/с,, x,gecoA.	(43)
Доказательство. 1. Пусть d(x) = 0, тогда а(х) и 0 (х)
находятся в явном виде
i	N
Так как ct (х) sgC а (1), 0(х) sgC а (1), то из (37) сразу получаем
N
°	А 1	о	о	1
Go^a(l) = S —> |G0J<max(max|ajE|, max|₽J)<~,
i=i 1	1	1
т. е.
Go (х, £)	1/С1, | Gox (х, £) |	1/с,, | Go? (х, £)|< 1/с,.
2. Пусть d(x)^0, d(x)^0. Полагая G0=G + v, где Go—
функция Грина для случая d = 0, получим
Axv = (а (х) vx (х, £) Д - d (х) о (х, £) = - d (х) Go (х, g),
о(0, g) = о(1, £) = 0.
В силу теоремы 1 имеем о (х, £) = G0(x, g) — G (х, g)^ О,
т. е. G(x, £)< G0(x, £)< 1/сь
Возьмем теперь разностную производную по £ от обеих
частей уравнения (44). Тогда для w (х, £) = og (х, £) получим
уравнение
Axw = - F (х, £), F (х, g) = d (х) <р (х, g), 1
ф(х, £) = G0?(x, £), te»(O, g) = te»(l, g) = 0. J	'
Пользуясь теоремой 2 для задачи (45), получим
I to (х, g) К max | ф (х, g) I = max | Go? (х, g) |	1/с,.
Отсюда в силу формулы
Gi (х, g) = Goi (х, g) - w (х, g)
следует
| Gt (x, g) |< | G^ (x, I) | + ] w (x, I) | < 2/Cl.
Лемма 1. доказана. .
124
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[9
Лемма 2. Для решения задачи (29) с правой частью
верна оценка
1И1с<^-(1, ISI], где (1, |S|] = j£|S,.|/z.	(46)
t = l
Доказательство. Воспользуемся формулой (31), фор-
мулой суммирования по частям (гл. I, § 2, п. 1) и оценкой (43):
z(x) = (G(x, £), №) = (G(x, & SUg))=-(GH-v, £), S&],
|z(x)|<(|G5(x, £)|, I S(^)|]^y-(1, | S |],
Теорема 3. Для решения задачи (29) справедлива оценка
где
II z ||с <^-HII(_lV
JV-1
НФ!!(_,) = 2 h
либо
11Ф11(_0
Если ф(х) имеет вид
i
2 h^k
fe=l
JV-1 JV-1
2 h 2 h^k
i=l k—i
(47)
(48)
(49)
Ф = Пх + Ф*>
то для решения задачи (29) выполняется неравенство
I|z||c<-^((1, Inll + WW	(50)
Доказательство. 1. Представим ф(х) в виде ф(х) = 5х
или Si+1 —	= /гф(-. Функция S (х) определена с точностью
до аддитивной постоянной. В силу леммы 2 имеем ||z|lc<
<2(1, |S|]/Cl.
Рассмотрим два случая.
i
a)	= 0, Sj+1 = 2 ^Фа>
/г=1
(i,isi]	= 2isi|/z=21|sf+1|/i = 21/i 2йф*
f=i	i=i &=1
т. е.
М-1 I
1Мс<т-11Ф11(-1)> и ф ii(-i)=Sh
101
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
125
м-1
б)	S;V = 0, S, = - 2 h^k,
k~i
N-1	N-1
(1, |5|]=2й|5г|=2й
»-l	i = l
м-i
2 h^k
k=i
т. e.
M-l M-l
II z lie 77 11Ф ll(-1)> IIФ ll(-i) = S h 2 ЛФ*
z=i fe=i
2. Если ф = 'цл + Ф*, т0 функцию z представим в виде суммы
z = Z(i) + z(2), где Z(i) —решение задачи (29) с правой частью
— тр = — г,*, а z(2) —решение задачи (29) с правой частью
— тр = — ip*. В силу (46) и (47) имеем
1|г(1)Ис<-£-(1, 1п11> II Z(2) lie ^-7-HФ*I^D.
Отсюда и следует оценка (50).
Замечания. 1. Если ф = 'Цх, т0
IIФ Il(-1) = II ПлН(-1)<(1> In-ni l]^(l, I n I] + I П11
2. Из формулы (31) и леммы 1 следуют оценки
Hz||c<-J-(1, |ф|], Цг||с^4-||ф||, ||г||с<4-||ф||с,
С]	С]	С.|
где ||ф||=]/(Ф> Ф) • Нетрудно убедиться в том, что
НФ11(_1)^(1, 1Ф1Х11Ф1К11ФНС.
10. Погрешность аппроксимации в классе непрерывных коэф-
фициентов. Рассмотрим погрешность аппроксимации для схемы
(25), (26):
ф = (аи^}х — du + <р.	(51)
В п. 6 были получены условия (27) второго порядка локаль-
ной аппроксимации для консервативной схемы (25). Эти усло-
вия выполнены, если AfxjeC1'3'1, q, f <= шаблонный функ-
ционал Л[Л(х)] имеет третий дифференциал и и-меют место ра-
венства
Л[1] = 1, Л1[х]=-0,5, Л2[$] = Л2[1 +4
Из априорной оценки теоремы 3 видно, что порядок точности
консервативной схемы определяется порядком не локальной,
а суммарной (интегральной) аппроксимации ₽ некоторой СЛ₽-
циадьвой норме ||ф||^,
126
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
1Ю
Ниже будет показано, что для суммарной аппроксимации
О (h?) достаточно, чтобы вместо (27) выполнялись требования
а (х) = k (х — 0,5/г) + О (/г2),
d (х) = q (х) + О (h2), <f(x) = f (х) + О (h2).
(52)
Покажем сначала, что погрешность аппроксимации ф =
= (аих)х — du + y можно представить в виде
ф = Лх + Ф*> Л =	“ ku'>
I 0,5	\
ф‘(х) = 1 J q(x + sh) и (х + sh) ds — d(x) u(x) 1 +
'—0,5	/
(53)
(0,5	x
ф(х) - J f (x + sh)ds\,
-0,5	/
где ku' = k(x — 0,5h) u' (x — 0,5/i).
Воспользуемся уравнением баланса (20), которое запишем
в виде
x-|-0,5ft	X4-O,6ft
(ku')x — j q (xx) и (xx) dx' + -r J / (Xх) dx' = 0.	(54)
x—0,5ft	Х—0.5Л
Полагая Xх = x + sh, получим отсюда:
0,5	0,5
0 = (ku')x — q (x + sh) ti (x + sh) ds + \ f (x + sh) ds.
-0,5	—0,5
Вычитая это тождество из формулы (51), получаем (53).
Предположим теперь, что k (х), q(x), f(x)^C<2> и выпол-
нены условия (52). Покажем, что х](х) — О (h2), ф* (х) — О (h2)
для всех x = rts(0, 1), и, следовательно, ||ф||(_1) = O{h2).
Учитывая, что и (х) е С<3) и и (х) = й + 0,5/гйх + h2u" + О (h3),
h h2
и(х — h) = й - -g- й' + -g- й" + О (h3), находим
их = й' + О (h2), л W = (а — k) й' + О (/г2) = О (/г2),
0,5
так как а = k + О (/г2). Замечая затем, что J v (х + sh) ds —
-0,5
= v (х) + О (h2) для v (х) е С<2), получаем
Ф’ = q U) м (х) - d (х) и (х) + (ф (х) - f (х)) + О (h2) = О (h2)
в силу (52).
ill
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
127
11. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэф-
фициентов. Вычислим погрешность аппроксимации (51) схемы
(25), (26) в случае, когда коэффициенты уравнения (1) разрыв-
ны. Без ограничения общности можно считать, что k(x), q(x) и
f(x) имеют разрывы только в одной точке х = g е (0, 1), Реше-
ние и = и(х) уравнения (1) при х = £ удовлетворяет условиям
непрерывности и, ku'i
^лев = ^прав> {ku )лев = (lilt )прав = ПрИ X =	(55)
где олев = f (£ - 0), 0прав = V (£ + 0).
Будем предполагать, что k(x), q(x), f(x) eQ|2) и, следова-
тельно, и(х) е
Рассмотрим наилучшую схему (23), (24). Для нее формула
(53) принимает вид
О О	ООО
Ф = Лх + Ф*> Л — аих ~ ktl',
0,5
ф* = J q(x + sh) [и (х + sh) — и (х)] ds,
-0,5
где
0,5
Ф/= / f(xt + sh) ds.
-0,5
Нетрудно видеть, что
о Х‘
О а. Г k(x)U
h J	k(x) dx-
xi-l
В самом деле
хг	Xt	Xi
1 f k(x)u'{x)-wi_,l	1 r	Wi_v Г
-a J -------—dx=~a J	J
Xf-l	xi-l
(57)
(58)
dx
k (x)
Ui~Ui_l Wt_4 1	°	T)f
— h ------ ----= — (flfUx, i ~
ai ai	ai
Отсюда и из формулы (51) следует, что погрешность аппро-
ксимации ф любой из схем (25), (26) можно записать в форме:
ф = Лх + Ф‘> Л = Л + (« ~ «) “х, Ф* = ф’ — (d — d) и + <р — <р. (59)
128	гл. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	(11
Учитывая ограниченность и и их, получаем
(1, InIKd. Inl] + M(l> |а-а|],
II € Н(_о <11Ф* ll(_t) + II ф - ф11(_0 + м (1, | d - d I).
Предположим, что точка разрыва х = £ функций k(x), q(x)
и f(x) находится на отрезке [хп, + сетки йй, так что
Z = xn + Qh, xn = n(h, t)h, 9 = 9(й, g), 0<9<l.
При и функции k(x), q(x) и f(x) являются доста-
точно гладкими. Поэтому для любой схемы (25), (26)
цг = О(/г2) при
ф- = О(/г2) при
ф^ = О(/г2) при
i п + 1,
i #= п, если 9 <0,5,
i#=«+l, если 9	0,5.
(61)
Рассмотрим наилучшую схему (23), (24). Для оценки г]п+1
воспользуемся формулой (58). Так как поток ku' непрерывен,
то ku'= Wn+42 + О (h) и из (58) следует, что т|„+1 = О (h).
В силу непрерывности и кусочной дифференцируемости
функции и(х) имеем и(х + sh) — и(х) = 0(h) и ф* = О(/г) при
9 <0,5, ф*+1 = О(/г) при 9 >0,5.
Отсюда и из (56), (61) следует, что (1, | т]1] = 11ln+i 1^ +
+ О (/г2) = О (/г2), || ф’ ||(_t) С (1, | ф’ |) = h | ф; | + О (/г2) = О (/г2) при
0<0,5, 11ф’||(_1)</г|ф*+11 + О(/г2) = О(/г2) при 9>0,5 и
IIФ!!(_!) <(1, I nlH-l П! |4-П'Ф’11(_1)= о (Л2),	(62)
т. е. наилучшая схема (23), (24) в классе разрывных коэффициен-
тов Hx)eQl2', q(x), f(x)^Qe) имеет второй порядок аппро-
ксимации в негативной норме l|•||(_1)•
Для произвольной схемы (25), (26) погрешность аппрокси-
мации оценивается по формулам (60). Нетрудно заметить, что
(1, 16Z — а [ ] = А | izn+1 — ап+1 ] 4- О (Д2) = О (Д), (1, |d-d|) =
= hl dn — dn[+О (h2) = О (h) при 9<0,5, (1, | d-d|) =
= Л| dn+l - dn+i |+ O(h2) = O(h) при 9 >0,5,
о	О
так как в общем случае an+i — а„+1 = О (1), dn+i — dn+i = О (1).
11]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
129
В результате приходим к оценке
IIФ ll(-i) ^(1> lnl] + hi 1 + Н*11(-1) + 11ф - Ф Vi, +
+ Л1 ((1, | а — а |] + (1, \d-d\]) = O (h),	(63)
т. е. любая исходная схема в классе разрывных коэффициентов
имеет первый порядок аппроксимации в норме || •
Остановимся более подробно на вопросе о локальной струк-
туре погрешности аппроксимации ф. Очевидно, что в узлах
х — хп и х = %п+1 функция ф(х) имеет вид
Ф„ = ^+О(1), Ф„+1 = -^ + О(!), Пп+1 = О(1), (64)
т. е. в узлах, соседних с точкой разрыва х = £ схема (25) не
аппроксимирует уравнение (1), так как ф„ = О(1//г), ф„+1 —
= О(1//г).
Из формулы (64) видно, что главные слагаемые в выраже-
ниях фп и фп+1 равны по абсолютной величине и противополож-
ны по знаку, так что
фп + фп-н = 0(1), /г (ф„ + ф„+1) = О (/г),
Т. е. погрешность аппроксимации в окрестности разрыва коэф-
фициента k(x) имеет дипольный характер. Именно поэтому, не-
смотря на отсутствие локальной аппроксимации, консерватив-
ная схема (25), (26) имеет первый суммарный порядок аппро-
ксимации:
IIФ 11(_1) = О (/г) при k, q,	т^Л.
Можно указать схемы, отличные от (23), (24) и имеющие вто-
рой порядок аппроксимации в случае разрывных коэффициен-
тов. При этом предполагается, что известно положение разрыва
на сетке: § — хп + 0/г. Заменяя интегралы (в 57) их приближен-
ными значениями, например, полагая
хп+1
1 __ 1 Г dx_________G <	1 — 9 __ 1
°	— h J k(x) ~	k(xn+l) an+t	'
an+i xn
и аналогично для <p„ и dn, получаем схему с коэффициентами
a, d, <р, которая будет иметь точность 0(/i2) для k, q, f е Q®,
так как ап-ц — «n+i = 0(h) и
(1, | а - а | ]= О (/г2), (1, | d-d |) = 0 (/г2), (1, | <р - J |) = О (h2). (66)
130	ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	(12
Если разрыв находится в узле Xi сетки <ол, то условия (66)
выполняются для
ai = ki-</2, ai = 0,5(/2(xz_I + 0) + fe(xi-0)),	)
Ф, = 0,5 (f (х(- - 0) + f (xt + 0)), di = 0,5 (q (xt - 0) + q (xt + 0)). J
ЕСЛИ £ = Xi-i/2, то можно взять
и‘ = Шл d^i-
При этом будем иметь ||ф||(-1) = О (/г2) для k, q, fi=Q<2\
12. О сходимости и точности. Пусть у — решение задачи (25),
(26), и — решение задачи (1), z = у — и — погрешность схемы
(25), (26). Погрешность z является решением задачи (29), где
ф = ф(х) определяется формулой (30).
Из априорной оценки (47) для решения задачи (29) следует,
что если схема (25), (26) аппроксимирует задачу (1) в норме
Нф11(-1), то она сходится в норме С, причем порядок точности
совпадает с порядком аппроксимации.
Таким образом, верна
Теорема 4. Если выполнены условия k(x), q(х), f(х) е С<2>,
то любая исходная схема (25), (26) равномерно сходится со
скоростью O(h2) (имеет второй порядок точности), т. е.
\\у — и\\с = О (h2).	(69)
Любая исходная схема в классе разрывных функций k(x),
q(x), f(x) е Q(2) имеет, no крайней мере, первый порядок точ-
ности:
\\y-u\\c = O(h).	(70)
Наилучшая схема (23), (24) в классе функций
fe(x)eQ,a, q(x), f (х)<= Q(l)
имеет второй порядок точности, ]]z/—«||с = О(№), на любой по-
следовательности сеток (Uh.
В работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [1] показано,
что аппроксимация в классе гладких коэффициентов необходи-
ма и достаточна для сходимости однородной схемы (25), (26).
13. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках.
Для решения дифференциальных уравнений на практике часто
используются разностные схемы на неравномерных сетках.
В гл. I, § 1 для простейшего уравнения и" = —f была рассмот-
рена схема на неравномерной сетке
<вЛ = {хг, « = 0, 1, ..., N, хо = О, Хуу = 1, hi = Xi — x^J
и проведено изучение погрешности аппроксимации для этой
схемы.
131
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
131
Чтобы получить однородную консервативную схему на не-
равномерной сетке &h, напишем на интервале (Xj-i/г, Xi+i/г) > где
Xi-i/2 = Xi — xi+i/2 = х; + 0,5/i;+i, уравнение баланса
Xi + '/2	Xi + '/2
— Wi+>/3 — J q (x) и (x) dx = — J f(x)dx,W=—ku'. (71)
Xi-42	Xi-'/2
По аналогии с п. 5 проведем замену
Xi + '/2	Xi + '/2
J qudx~ hidiui, dt = -^~ J q(x)dx, Аг = 0,5 (/гг + fti+1),
Xi~'l2	Xt~'l2
После этого, так же как и в п. 5, получаем разностную схему
(72)
Эту схему будем называть, как и в случае равномерной сетки,
наилучшей схемой.
Коэффициенты а{, dit срг очевидно можно записать в виде
z 0	x -1	
° — 1 f ds 1 0,1 ~~ \ J k (xi + shi) 1	’ \-i	J 0	0,5	
dt - J q (x{ + sh{) ds +	J q(xt +sh^ds, -0,5	0 0	0,5	(73)
<₽i - sj J* f(xl + shl)ds+	J* f (x{ + shi+i)ds. -0,5	‘	0	
Ух, i =
У{+1~У1
ht
Введем обозначения (см. гл. I, § 1):
Ух, i =
hi
Ух, i =
Uj+l &i
hi+i
5*
132
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
ИЗ
Рассмотрим трехточечную схему
(ayxh - dy = -<р, х = xt (= 6л,
z/(0) = «!, у(Д) = и2, a^Ci>0, d^Q.
(74)
Если заданы k(x), q(x), f(x) из Q(0)[0, 1] и известны точки их
разрывов, то всегда можно выбрать неравномерную сетку так,
чтобы точки разрыва коэффициентов k, q, f были бы ее узлами.
Такую сетку, зависящую от конкретных функций k, q, f, будем
обозначать	Простейшие выражения для щ, di, ф2 на
&h(K), как следует из (73), имеют вид
,	,	+ hi+i<it hif7 + hi+ift
ai — ki-'h, d{ 2Й(.	, ф, 2Й;	,	(75)
где ff = f(Xi±O) и т. д. Впрочем, можно пользоваться и дру-
гими формулами, например:
ai = — (ki-i + kt), at =	,
2	«Г-1+^i
Mi->/2 + ai+i4i+'/,	hdt-'i2 +hi+di+'h
Ui "	2Й,-	> ф; ”	2Йг
В случае непрерывных коэффициентов из (75) следует
a.i~ kt—y2, di = qi,
Если разрывы совпадают с потоковыми точками (х = х,-^)
сетки &h, то коэффициенты сц, di, ф$ выберем следующим об-
разом:
d‘	Р5')
либо возьмем
_ 2fe^-|/2fei~-i/2	. hi+\q7+qt +
hi+}f7+'l2 + hdt-'/2
фг “  2fi;
Перейдем к изучению погрешности аппроксимации схемы
(74) на неравномерной сетке ш(Л). Напишем уравнение для
ошибки z = у — и:
(azx)i- c?z = —ф(х), х^х^&ь, 1
z =0	(76)
20	J
где (х) = (aUg)£ — du + ф (х) — погрешность аппроксимации.
13]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
133
Пользуясь уравнением баланса (71) по аналогии с п. 11
представим погрешность аппроксимации ip в виде
4’i = Пе. i + Ф*> Л* =
xi+'/2
= у / q(x)(u(x)-ui)dx + ^i-^i)-(di-di)ui.
Xi~'/2
(77)
Для наилучшей схемы (72), в частности, имеем
Xi + '/2
* ° *	1 f
ф( = 'I’i = у J q(x)(u(x)-u{)dx,
‘ Xi-'/2
o Xl
о Д Г W — Wt_u
n, = n, = -77-	—ц. dx w = ku'.
11	hi J k (x)
Xt-l
Для простоты изложения рассмотрим сейчас погрешность
аппроксимации ф для наилучшей схемы (72).
Предположим, что k, q, f имеют разрыв первого рода в узле
Xi е &Н, а при Хг-1 < х < Xit Xi < X < Xi+1 являются гладкими
функциями. Выражение для ф* перепишем в виде
о
ф;=у J q(xi + shi)(u(xi + shi)-u(xi))ds +
-0,5
0,5
+ / q(Xi + shi+1^ (и + shi+l^ ~и )ds'
о
Учитывая, что для любой функции [i(.r)eQffl, имеющей
разрыв первого рода в точке х = х{, верны формулы
ц(х, + sh{) = цГ + sh{ (ц')Г + О (hi), — 0,5<s<0, цГ =ц (х{ — 0),
р.(xf + shi+i)=р.Г +s/ii+1 (н')г+ + О (h2i+!), 0<s<0,5, ц<^ = ц (х, + 0),
(Н')/+= (н')Г+1 + ° (Лг+1)>
находим
i (л!о и. (узд
Для т]г будем иметь
i ~ (bu')f_4t = o(tii),
так как at = kt-^ 4- О (tit).
134
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[13
Погрешность аппроксимации ф для схемы (74), (75) опре-
деляется по формулам (77). Воспользуемся формулами для
° °
<р, и di'.
Отсюда и из (75), (77) находим
(ф/ - ф;) -	Ui=^- (h2 (q')~\, t ~ 4 0*2 (f ) )Л < + О (Ai) •
Преобразуем выражение
Щ (fi (q') К i = Ui (q'u) i ~ h-l+i GT+i i =
= (h2(q'u)~)x . + O(hl+i)-
Учитывая затем формулу для ф*, получим
=4 (h2 ((qu)' - f') i + О (й?).
Таким образом, погрешность аппроксимации для схемы
(74), (75) на специальной последовательности сеток &h (Д’) имеет
вид
Ф = Ш + Ф“, ф“ = О(й2),
Н = (aux)i - (ku')i_,/2 + -у [(qu)' - f']z- = О (hl).
Можно показать, что погрешность аппроксимации наилуч-
шей схемы (72) на произвольной неравномерной сетке при лю-
бом положении точки разрыва коэффициентов
Xn+I, Хп, Xn+l £= &h
представима в виде (79), где
Hi = О (hl) + di, n+i О (hn+l), фГ = О (hl).	(80)
Введем обозначения
М-1	N
(у, V). = 2 yiVfii, (у, и] = 3 yiVihi,
N-l
НИ-., - 2
i+l 2
k-1
N-l N-l
ИЛИ II ф 1Ц.) = 2 hi Mfe
13]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
135
Из (79), (80) следует, что для погрешности аппроксимации
схемы (74), (75) на специальной последовательности сеток
&h (К) и наилучшей схемы (72) на произвольной неравномерной
сетке при любом положении точки разрыва справедлива оценка
h = (l, h2]'12,	(81)
где М = const > 0 не зависит от сетки. Действительно:
НФ11(_1.)<(1, lHl] + lt4l+
2Л
4=1
<Л1/г2.
Лемма 3. Для решения задачи (76) с правой частью —ф =
= —цх — ip* на произвольной неравномерной сетке справедлива
априорная оценка
1И|С <^-(||ф*||(_1.) + (1, I И I).	(82)
Для доказательства леммы 3 по аналогии с п. 8 вводится
разностная функция Грина G(x, g) для задачи (76) как решение
уравнения
AxG = (a(x)Gx(x, l))x-d(x)G(x, £) = --^А х,
с однородными краевыми условиями
G(0, |)= G(l, g) = 0,
После этого устанавливаются оценки
| G(x, ^)|<1/С1, | G5 (х, £) |<2/С1, | Gx(x, ^)|<2/С1
и доказывается аналог теоремы 3 — лемма 3. Так как при этом
никаких новых принципиальных вопросов не возникает, то нет
необходимости воспроизводить рассуждения, приводящие к оцен-
ке (82). Из (81) и (82) следует
Теорема 5. Наилучшая схема (72) имеет второй порядок
точности в классе разрывных коэффициентов
£(x)e=Q(2’[0, 1], 7(х), f(x)e=Q(>, 1]
на произвольной последовательности неравномерных сеток.
Схема (74), (75) имеет второй порядок точности-.
а) в классе гладких коэффициентов
k(x), q(x), f(x)e=C(2’[0, 1]
на произвольной последовательности неравномерных сеток,
б) в классе разрывных коэффициентов
k{x), q(x), /(x)eQ(2)[0, 1]
136
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
113
на специальных последовательностях неравномерных сеток
Укажем также, что и схема (74), (75') имеет второй порядок
точности в классе разрывных коэффициентов на специальной по-
следовательности сеток, когда точки разрыва коэффициентов
совпадают с потоковыми точками x,-_i/2.
Единственной характеристикой точности является средне-
квадратичный шаг h = |/(1, Л2\
До сих пор рассматривались конкретные схемы (72), (74),
(75). Рассмотрим теперь семейство схем (74), коэффициенты
которых a, d, q> вычисляются при помощи тех же шаблонных
функционалов
Л[^(5)], Й (s)	Q<0) [—1, 0],
E[7(s)], f(s)eQ(0)[-72, ’/2],
что и в случае равномерной сетки (см. п. 7).
Формула для остается неизменной
at = A {k (xt + sh^], — l<s<0.	(83)
Формулы для di и ф! существенно усложняются в случае
разрывных коэффициентов.
Введем сначала обозначения для ступенчатых функций:
f 1, s < 0,	( 0, s<0,	f 1, s = 0,
= ( 0, s>0, Ло+ = 11, s>0,	= 1 0, s=#0,
так, что (s) + ц+ (s) + л0 (s) = 1.
Предположим, что
a)	F [л0 (5)] = 0, т. е. F [f (s)] не зависит от значения в точке
s = 0, а зависит только от предельных значений f(s) справа и
слева в этой точке, например,
F (7(5)] = 0,5 (7 (0 + 0)+ 7(0-0)),
б)	F(s)] = F[т]^(«)] = 0,5, так что F[l] = l.
Действительно,
Р П] = F Но- + По+ + лс] = F К] + Р ho+] = L
Из условия F[s] = 0 следует, что E,[si]^] = — E,[si]J‘]=a> так
как F [sjtJ = F [0] = 0.
Коэффициент ф будем вычислять по формуле
Ф = ЛГ (5)1,
где
=	+ shi)	+ shi+i) +
+ f (х{) л0 (s), —0,5 <5 <0,5.
13]
§ I. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
137
В силу линейности F и условия F [ла (s)] = О имеем
4>,“Ч> (О- £ F [f (x, + sft,) ч,- (s)]+	F (f (х, +sh,^	(s)], (84)
где hi — 0,5	+ hi+i). Аналогично определяется коэффициент d;:
= 17 f [? (xi+ А) По' <5)] + F Р (*<+sAi+i) По+ («)] • (85)
Если сетка равномерна, т. е. ht = hi+x = h, то формулы (84), (85)
дают
Ф/ = F [f (х,- + sh)], dt = F[q (х,- + s/г)]-
Будем рассматривать семейство схем (74) с коэффициентами
(83) — (85), предполагая, что выполнены условия п. 7 и а), б).
Проверим для схемы (73) условие б):
0,5
F[f(s)]= J J(s)ds,
-0,5
0,5	0,5
Е[т]^]= J ds = 0,5, F [ц+] = j ds = 0,5,
-0,5	о
0,5
a = F [st]+ (s)] = J s ds = ’/a-
b
(86)
Для схемы (75) имеем
F[7(s)] = o,5 (Г(0-0)+7(0 + 0)),
F [v] = 0,5 (V (0 — 0) + T]o- (0 + 0)) = о,5ц- (0-0) = 0,5,
F [Tb+] = °>5> a = F [ST1O+ («)] = 0.
При вычислении погрешности аппроксимации на сетке шл(/С)
будем исходить из представления (77). Запишем
где
фГ = F [f (Xi + sht) цо- ($)] = F [(/7 + shif'r + О (/$) т)о" («)] =
= f7F h(T (s)] + hif'C F [st]7 (s)] + О (hi) = 0,5/7 - ahif'r + О (hj).
Аналогично
<pt = F [f (Xi + shi+i) цо+ (s)] = 0,5fz+ + ahi+if'i+ + О (h2t+l).
Учитывая, что
f'i+=f'^ + O(hi+l), h2i+lf'i+ - h2if'i~ =
= h2i^f'r+{ - h2ifi~ + О (h3i+i) = (h2f'{hi + O (h3i+l),
138
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
ИЗ
получаем
Ф, = +h^ft + а	+ 0	q(2) ,	(87)
Точно так же находим
d‘ = hiqi + а i + ° М Q^Q{2}-	(88)
В частности, для схемы (73) а = 1/8.
Для погрешности аппроксимации ф’, определяемой по фор-
муле (77), имеем
ф; = ТК * + Ф/ . Ф/ = О (hi),	(89)
Л* = h] [(а - */8) (f - q'u)i + ±	•	(90)
При вычислении ф* было использовано равенство
««UV )д t = {h2(q'u) \ i - hzi+iq'i+iujt,
Для наилучшей схемы из (86), (90) следует, что
. h‘ ( п-
П, = -g- (<7« ),• •
Таким образом, погрешность аппроксимации для любой схемы
из рассматриваемого семейства схем (74), (83) — (85) можно пред-
ставить в виде
Ф> = Ид i + ф”, ф’’ = О (А2),	(91)
И/ = Д + п’ = О (h2),	(92)
где Л/ определяется по формуле (77), г]* — по формуле (90). Из
(91), (92) следует, что
IIФ 11(_1Ъ< МН2, Л2 = (1, Л2].	(93)
Для погрешности z = у — и верна оценка (82). Из (82), (93)
следует
Теорема 6. Любая схема из исходного семейства схем (74),
(83) — (85) на любой последовательности неравномерных сеток
в классе гладких функций
k(x), q(x), f(x)eC(2)[0, 1], «(/)eC(3)[0, 1]
и на специальной последовательности неравномерных сеток
&h(K) для любых функций
k(x), q(x), f (х) е Q(2) [0, 1]
I3J
§ I. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
139
оценкой для
имеет второй порядок, точности:
||z/-u||c<W,	(94)
где Б = (1, h2]'!1 — среднеквадратичный шаг, М = const > 0, не
зависящая от сетки.
Отметим, что любая однородная схема из исходного семей-
ства в классе разрывных функций k(x), q(x),	1] на
произвольной последовательности сеток имеет первый поря-
док точности.
Замечание. Для доказательства сходимости схем на не-
равномерных сетках <ол(Л) можно воспользоваться априорной
(95)
задачи
'С 2<Ц "	П(-2*) ’
где
М-1
либо
II Ф П(-2*) —
' i \2\’4
2 Ms
Л-1	/ /
/N-l /N-1	\2\уа
|(—2*)= (2 л, (2 ^&ф& ) )
может быть получена энергетическим
методом.
Эта оценка
Умножим уравнение (76) скалярно на —г:
— ((az*)*, г), + (d, г2). = (ф, z)t.
В силу первой формулы Грина имеем отсюда
(д, г2] + (с?, z2\ = (ф, г)..
(96)
f-i
Положим ф = Sx, где = 2 ййфй, = 0, либо = 2 йАфА,
k^i	£“1
Sj = 0. Тогда
(г, ф). - (S£, z). = - (гх, S] <|| zx]| || S || < в || гД|2 + ^|| S |р.
Подставим эту оценку в (96), учтем, что а^с^О, и выберем
е = 0,5 С] из условия минимума l/(cie— е2):
Пользуясь теперь леммой 1 гл. I, § 2: 1|z||с -С 0,5||zx]|, полу-
чаем (95).
140
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[14
14. Точная схема. Схема любого порядка точности. Для урав-
нения (1) можно построить однородную консервативную трех-
точечную схему, являющуюся точной, так что решение разност-
ной задачи совпадает в узлах любой сетки озь с точным реше-
нием и = и(х) задачи (1):
yt = и (xf) для k, q, fe= Q(0).
Для удобства дальнейшего изложения перепишем (1) в виде
~ q^и = ~0<х<1,
и(0) = и1, и(1) — и2, р(х) = /г~'(х), 0<p(x)< l/cit <?(х)^0.
Отметим, прежде всего, что наилучшая схема (23), (24) при
q = f === 0 является точной. В самом деле, решение задачи (97)
при q = f = 0:
х	/ 1
и(х) = Щ + с J р (t) dt, с = (н2— щ) I J р (t)dt I .	(98)
О	\о	/
Отсюда видно, что
xi
ux,i=^ p(t)dt—-£~, ар1х.1 = с,
/ *i	\~l
° I i Г I
гдеаг = |у p(t)dt I и, следовательно, функция (98) удовле-
\ х1-г	/
творяет уравнению
(аих)х = 0.
Обратимся к уравнению (97). Пусть сод —равномерная сетка.
Основная идея получения точной схемы состоит в том, что ре-
шение и = и(х) уравнения (97) в любой внутренней точке (и,
в частности, при х = х,) интервала (Xj~i, xi+1) выражается через
значения Ui-i, ui+i и правую часть f(x).
В самом деле, и(х) можно представить в виде
n(x) = Xzti((x) + Bzti£(x) + и‘(х), x._1<x<xz+1,	(99)
где Az и Bt — числа, и((х) и и* (х) — линейно независимые ре-
шения однородного уравнения L(₽,<,)n = 0 (шаблонные функции),
а и|(х) — частное решение неоднородного уравнения (97) при
однородных условиях:
L(p’ "’из = f (х), xi_l<x<xf+I, из (xi+I) = из(х,_[) = (). (100)
141-	§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ	141
Определим шаблонные функции о\(х), и'(х) как решения
задач Коши:
L(₽,<?)u$ = 0, x/_1<x<xi+1, o'(xi-i) = 0, у (щ/(x(-i)= 1,
(101)
L(p' q}V2 = 0, xl^l<x<xi+1, U2U( + i) = 0, — 1 ' (02У (x,+i)==-1.
p \ i+i)
(Ю2)
Полагая в (99) x = x/_I и х = хг+1, найдем
u(x,,,)	и(х.
At= f ,+1\ Bt = /	.	(103)
“1(^+1)	fi(^-i)
Шаблонные функции обладают следующими свойствами:
1)	и{(х)>0 и монотонно возрастает при xj_1<x<xi+i,
v‘2(x)>0 и монотонно убывает при х(._1 <х<х
2)	имеет место равенство
u'(x<+i) = d2(x/-i)’	(104)
3)	справедливо соотношение
«!(х; + 1) = и‘(х;) + и'(хг) +
xl	xi + t
+ u2(xi) J D1 Q(x)dx + uj(xz) J vl2q(x)dx, (105)
xt-i	xi
4)	и, наконец,
u2(x/) = ^+,(x1 + i)-	(106)
Докажем эти свойства.
1)	Свойство 1) непосредственно следует из (101) и (102).
2)	Учитывая (101) и (102), имеем (при А = Л(₽,’)):
хг+1
0= J (y\Lvl2— vl2Lvtydx =
xi-i
= (Diy« -	~ иИхг+1) + иИхг-1)-
3)	Напишем формулу Грина на отрезке [х^], х(]:
xt
О = / (и^«2 “ «2Ldi) dx = (и^ у И' “ v2 Hj I 1 =
xi-i	x‘~l
= у (°2)' (Xi) (*1) - у « (Xi) (*,) +	(Xl-1)>
142
ГЛ. 111. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
IU
и подставим сюда
xi
7~(dD'(xi)= 1 + / q{x)v\{x)dx,
1	xi-i
xi+i
77	(*,) = ~ 1 - / q (*) (x) dx.
xl
4)	Учитывая, что u*+I(x) удовлетворяет условиям
1	1
£(₽%; + '= о, Xi<X<Xi + 2, v' + ’(Xf) = 0,----- =1,
Р ах х=х{
получаем
xi+t
0= J (u(+IZ.u£ — vi,Lvtydx =
xi
= [U?+17« - u2y (u?+1)'] |/+l = - uf+l (*1+1) + V2 (O-
Функцию v‘3(x) можно представить в виде
•*£ + 1
u'W= f G(x,1-)f(l)<%,	хе[х,.„ xt.+1],	(107)
xi-i
где G(x, £) —функция Грина задачи (100) (см. (37)), равная
G(x, |) =	i,	.	>	xi-i	x> чГч,	(108> Vj(x)v2(g) 1.	. ,	x<£<xf+1. V1 (xi+l)
Подставим выражение для G в (107) и положим x = xi:
xi	xi+,
*i-i	xi
(Ю9)
Используя (103), (105) и (109), из (99) получим:
141
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
143
где
xi	xi+t
л‘ - , Й ®> *+J
xi	xl+l
= I + I v№)f®dl-.
hvl(Xi) x.J_t	hv2(x{) XJ{
Введем теперь в точке х = х, местную систему координат, по-
лагая x = x{ + sh, s = (х — xs)/h. Тогда отрезок [х;_ь х;+1] пре-
образуется в отрезок (шаблон) — l^s^l, точке s = 0 будет
соответствовать узел х = х{. Положим v\(x) = vil (xt + sty = hal(s, h),
vl2 (x) = v2 (х{ + sh} = hfr (s, h), — 1<s<1, v((xJ = Aa. и, в силу
(106), v‘2(x.} = hai+l. Шаблонные функции ax'(s, h) и P‘(s, h),
очевидно, удовлетворяют условиям:
La = -4-	— №q (s) a = 0, — 1<s<1,
ds \ p (s) ds j ' v ’
a( — 1, Л) = 0, a'(—1, A) = p(-1),
(H2)
L0 = O, - 1 <s< 1, 0(1, Л) = 0, P'(l, A)=-p(l),
где p (s) = p (x{ + sh), q(s) = q(x{ + sh), и зависят только от зна-
чений q(s), p(s) (р(х), q(x)) на отрезке — 1	(на отрезке
х^, х <хг+1). Опуская в (НО) индекс i, получаем для у(х)==
= и(х), хе<вА, однородную консервативную схему
Р-г/-) -dy=-q>, x<E=ah, у(0) = и1, г/(1) = м2, (113)
\ U X/ X
где
a(x) = a(Q, h) = Л[р(х + sh), q(x + sh)],
о	i
rfW = T(T) Ia(s* h)q(x + sh)ds+ j"P(s, h)q(x + sh)ds,
-1	0
0	1
<₽(*) = 77^) j a(s> h)f(x + sh)ds+ f P(s> h)f(x + sh)ds.
^1	0
(114)
Коэффициенты d(x), <p(x) вычисляются по одной и той же
формуле
ф(х) = /7[р(х-|-5А), q(x + sh); f(x + sh)],
d (х) — F [р (х + sh), q(x + sh); q(x + sh)].
Т44
ГЛ. 111. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[14
Шаблонные функционалы заданы в классе кусочно-непре-
рывных функций: Л [/)(«), g(s)] задан_ для р (s), q(s)<^ Q(o)[ —1,0],
F[p(s), q(s); f(s)]-Д.ЛЯ p(s), q(s), f ($) e Q(0)[- 1, 1].
Из (113), (114) видно, что точная схема не принадлежит
семейству схем (25), (26), у которых шаблонные функционалы
Л[р(г)] и +[/(«)] зависят только от одной функции.
В случае уравнения (97) с постоянными коэффициентами
р (х) = ро = const и q (х) = qQ — const шаблонные функции a (s, h),
p(s, fi) находятся в явном виде
а(5Й) = А<2Ц!+ДД, p(Si Л)=.ь <-<-)»>'
Для коэффициентов а(х) и d(x) получаем постоянные зна-
чения
, , sh (х/г)	,, ч 2<7о ,, х/г
=	d(x) = 4-th-T-.
Из (112) видно, что a(s,h) и |3(s, h) являются аналитиче-
скими функциями параметра h2 и поэтому разлагаются в ряды
a(s, /0=3 ak(s)h2k, ₽($, /0=3MsM2ft>	(И5)
fe=0	A=0
где ak (s) и (s) определяются по рекуррентным формулам
s	/ t
^k(s)= jp(t) 1+1 J (X*-! (Л) (Л) cZA,
dt, k>0,
«о («) = J P (/) dt,
i+ J ₽А-1(л)^(л)а
s L
dt, k>Q,
MO = J p(t)dt.
s
Если в (115) взять конечное число членов:
т	т
a(m) ($, й)= 2 а4 («) h2k, p(m> (s, h) = 3 (s) h2k
fee0	fe«0
и вычислить по формулам (114) коэффициенты а<т),	<р(т),
заменяя в этих формулах аир полиномами а<т) и р<т>, то мы
получим схему (называемую усеченной схемой ранга т), кото-
рая имеет точность O(h2m+2) в классе кусочно-непрерывных
функций k(x), q(x), f(x)e Q<°)[0, 1].
15]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
145
При т = 0 получаем схему нулевого ранга. Она имеет точ-
ность 0(/i2) для k, q, f е Q<°> и отличается от наилучшей схемы
(23), (24) выражениями для d и <р:
о
а(0) = -|- = f р (х + sh) ds,
a -i
rf(0) = d + (hd,)x, <p(0) = <p + (/нр,)ж,
Os	Os
d* = J k(x + sh) J q(x + th)dt, <p, = J T(x+7h) J f(x+th)dt.
-1	-0,5	-1	-0,5
Усеченные схемы замечательны тем, что они позволяют по-
лучить любой порядок точности для произвольных кусочно-не-
прерывных функций.
Точная схема и усеченные схемы могут быть получены (теми
же методами) на произвольной неравномерной сетке <а/, (см.
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [4]) *).
Практическое использование усеченных схем в случае пере-
менных коэффициентов уравнения (1) требует вычисления мно-
гократных интегралов на каждом интервале сетки. Заменяя эти
интегралы конечными суммами, можно получить весьма про-
стые схемы O(/i4) и O(/i6), коэффициенты которых выражаются
через значения k, q и f в отдельных точках на каждом отрезке
[х;_ь xi+I], Эти схемы сохраняют свой порядок точности и в слу-
чае разрывных k, q, f на сетках &н(К), когда точки разрыва яв-
ляются узлами сетки &н(К).
Точную и усеченную схемы можно использовать в качестве
эталонных схем для исследования точности схем (25), (26). Это
позволяет снизить требования гладкости k, q, f, которые,исполь-
зовались при оценке порядка точности схем (25), (26).
В работе А. Н. Тихонова, А. А. Самарского [5] получены
точные и усеченные разностные краевые условия третьего рода.
15.	Монотонные схемы для уравнения общего вида. Рассмот-
рим краевую задачу
Lu = (ku')' + r(x)u' — q(x) и = — f (x), 0 < x < 1,
h(0)=«1, m(1) = «2, (x) Cj > 0, | r (x) |	c2, q^O.
(H6)
Напишем для нее разностную схему второго порядка аппрокси-
мации, для которой справедлив принцип максимума при любом
'*) Отметим, что в [4], несмотря на вкравшиеся опечатки — в уравне-
ниях (3), (28), (35) коэффициент а надо заменить на 1/а —все теоремы
верны.
146
ГЛ. 111. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[15
шаге Н. Это значит (см. гл. I, § 2), что схема может быть запи-
сана в виде
Alyi-X-Clyi+Biyl^^-Fi, i = l, 2, ...» jV-1,	(117)
где
Аг>0, В;>0, Ct — At — Bt = D^O.
Такие схемы называют монотонными. Это название объясняется
тем, что решение задачи (117) при Df = О, F, = О, А{ > 0, Bt > О
является монотонной функцией на всем отрезке 0<х<1, т. е.
либо	либо у^ Уг+\ для всех 1 = 0, I, ..., М—1, N.
Оператор Lu = (ku'Y—qu заменим, как обычно, однородной
трехточечной схемой
АУ = (аУх)х ~ аУ
второго порядка аппроксимации.
Естественная замена первой производной и' (х) центральной
разностной производной иа дает схему второго порядка аппро-
ксимации. Эта схема монотонна лишь при достаточно малых
шагах сетки. Формулы прогонки применимы при достаточно
малом h, когда /г|г(х) | < 2k(x). Если воспользоваться односто-
ронними разностными производными (правой их при г > 0 и ле-
вой их при г < 0) для аппроксимации и', то получим монотонную
схему, для которой справедлив принцип максимума при любых
fi. Однако она имеет первый порядок аппроксимации.
Построим монотонную схему второго порядка точности, со-
держащую односторонние производные, учитывающие знак г(х).
Покажем, что для этого достаточно написать монотонную схему
с односторонними первыми разностными производными для
уравнения с возмущенными коэффициентами
Lu= — f, Lu = %(ku'Y + ru' — qu,	(118)
где x = 1/(1 + /?),/? = 0,5/z |r \fk — «разностное число Рейнольдса».
Представим г(х) в виде суммы
г = г+ + г~, г+ = 0,5 (г +1 г |) > 0, г~ = 0,5 (г — | г | )< 0,
и аппроксимируем ги' выражением
~ btai+\ux. i + b;a.u- .,
где bf = FJr* (х( + s/i)], r±=r±/fe, a F — шаблонный функцио-
нал, используемый для вычисления коэффициентов d и <р.
В результате мы получаем однородную схему
Ау = % (ау-)х + b +а(+г>ух + b ~ау-х -dy= - <р,
J/o = Mi> Уя — ЧА a(+v> = а(х + h), a^CiX),
х=1/(1 + 7?), R = 0,5\r\h/k.
(Н9)
151
§ I. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
147
Покажем, что схема (119) монотонна. Для этого запишем ее
в виде
AtVi-i - C{yi + В{у1+1 = <рг, у0 - иь yN = «2>	(120)
где
At = -g- fa - kb?), Bi = ^±L(Kl + hbt),
Ci — Aj + Bi + d{.
Отсюда видно, что Л,>0, Вг>0 и /Д^О, так как />Г^0,
bt>0, dt^0.
Уравнения (120) разрешимы методом прогонки при любых/г и г.
Погрешность аппроксимации схемы (119)
ф = х(ан-)х + &+а<+1)мх+ b~au~ — du + q> — (Lu + f)
представим в виде суммы ф — г|)(1) + ф(2),
ф(1) = [(агг-)х — du + <р] — [(ku')' — qu + /],
ф(2) = [(% - 1)(ам-)х + b +а,+\ + Ь~аи-] _ Ги.
Для ф(1) имеем оценку
ф(1) = О (h2) при k е= С(3), q, f е= С(2).
Учитывая, что
b+ = r+ + O(h2), b~ = г~ + О(/г2)„
ЙГ± = Г±, г+ +г~ =г, г+— г"=|г|,
аих = ku' — 0,5/г (ku')' + О (h2),
ai+i}ux = ku + 0,5/г (ku)' + О (/г2),
(аих)х = (ku'Y + О (h2),
получаем
b+a(+r>ux + b~aux = ru + 0,5/г (ku)' -ly- + О (/г2),
^,2) = - туу (ku)' + R. (ku)' + О (h2) =
= -у^-(М' + О(А2) = О(/г2),
так как R = 0,5/г |r |//г = О (h).
Таким образом, монотонная схема (119) имеет второй по-
рядок аппроксимации
ф = О(/г2).	(121)
148
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
116
Если С[ > 0, то для решения задачи (119) при у0 = yN = О
принцип максимума дает оценку
II У Ос <7- II ф|1с>
с\
из которой, в силу (121), следует равномерная сходимость схе-
мы (119) со скоростью О (Л2).
Монотонной схемой (119) целесообразно пользоваться в тех
случаях, когда г(х) является быстроменяющейся функцией х и
в отдельных точках возможно нарушение условия R. < 1 (что не
сказывается существенно на точности схемы).
Не представляет труда написать монотонную схему на не-
равномерных сетках. Методом, изложенным в предыдущем пунк-
те, можно построить точную схему и схемы любого порядка
точности. Они будут монотонными схемами вида (119).
16.	Третья краевая задача. Построим однородную разност-
ную схему для краевой задачи третьего рода:
Lu = (ku'Y — q(x)u = — f (x), 0 < x < 1, k (x) Cj > 0,
q^O, fe(O)u'(O) = 01u(O) — pb — k (1) u' (1) = 02u(l) ~ H2>
(122)
0i>O, 02>O, 01 + 02>O.
Уравнение (122) аппроксимируем обычным образом
Лг/=-<р(х), ^y = (ay.')x-dy, а^С’Х), d>0, (123)
где a, d, ср удовлетворяют условиям аппроксимации (5).
Рассмотрим сначала простейшую аппроксимацию краевого
условия при х = 0: ахух, i = 0ii/o— Pi и вычислим погрешность
аппроксимации, подставив в это условие у = z + и:
aizx, 1 = 0izo ~ vi> vi = а\их, 1 “ 0iuo "I" Мт>
Учитывая, что
а\ = + 0,5Л А' + О и- j = и'о + 0,5/iu" + О (А2),
получаем
v, = (kou'o —	+ pQ + 0,5/i (ku')'o + О (h2) = 0,5/г (ku'Y0 + О (h2).
Подставим сюда из уравнения (122) (ku')o= qouo — f0:
v1 = 0,5/г (qouo - f0) + О (/г2).
Отсюда видно, что краевое условие
а1Ух, = Мо ~ Йр 01 = 0! + О,5/г?о, gj = р, - О,5/г/о	(124)
имеет второй порядок аппроксимации на решении гг(х) задачи
(122). Аналогично получается разностное краевое условие вто-
рого порядка аппроксимации при х= 1:
_ ахУх, N= ^N~ 02> 02 = 02 + 0>5/г?Х> 02 = ^2 +	О25)
17J	§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ	149
Таким образом, исходной задаче (122) ставится в соответствие
разностная краевая задача третьего рода (123)—(125), имею-
щая второй порядок аппроксимации на решении исходной за-
дачи.
17.	Коэффициентная устойчивость разностных схем. При ре-
шении задачи для дифференциального уравнения может ока-
заться, что коэффициенты уравнения заданы не точно, а прибли-
женно (находятся при помощи некоторого вычислительного
алгоритма, в результате физических измерений и т. п.). Коэффи-
циенты однородной разностной схемы являются функционалами
от коэффициентов дифференциального уравнения. Погрешность
в определении коэффициентов схемы может быть вызвана не-
сколькими причинами: погрешностью в вычислении шаблонных
функционалов, погрешностью в задании коэффициентов диффе-
ренциального уравнения, ошибками округления.
Будем называть схему коэффициентно-устойчивой (ко-устой-
чивой), если при малом возмущении коэффициентов схемы ре-
шение краевой задачи меняется также мало,
Пусть задана схема с коэффициентами a, d, ср:
Ку = (ау^х-dy — - ф, 0<x = ih< 1, z/(0) = и,, z/(l) = и2. (126)
Рассмотрим эту же схему с возмущенными коэффициентами а,
S, ф (для упрощения считаем граничные значения «1 и «2 невоз-
мущенными) :
Ay = (ау-)х — dy = — q, 0<х = /й<1, y(0) = u[, y(l) = u2. (127)
Будем предполагать, что выполнены условия
а(х)^С!>0, й(х)^с1>0, й?(х)^0, d(x)^0, c1 = const>0,
(128)
Ci не зависит от сетки.
Оценим разность z = у — у через величины возмущения ко-
эффициентов. Подставляя у = г + у в (127) и учитывая (126),
получаем
Az = (azx) — dz = — z„ = zv = 0,	(129)
где
Чг = ф-ф+ (А - Л) у = ф - ф + ((а - а) у.)х - (d - d) у. (130)
Решение задачи (129) представим в виде
z(x)=(G(x, g), W(g)),	(131)
где G (х, g) — функция Грина разностного оператора Л (см. п. 8):
0<3(х,5)<^,	(132)
150	ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	[17
Подставим в (131) выражение для Т из (130) и преобразуем
каждое слагаемое в отдельности. Полагая <р — <р = Sx, SN = 0,
•St = - 2 h (фй - <pfe), получаем
(G(x, a ф —<p) = (G, S5)=-(Gb S].
Отсюда и из (132) следует оценка
1 (G, ф-ф)|<А(1; |5|) = А||ф_фц(_1)(	(133)
где, как и раньше,
М-1	М-1
IIИ !!(_,)= 2 h 2 Apfe .
1 ' i=l	k — i
Пусть O(x, £) —функция Грина для задачи (126). Тогда
^(x)=(G(x, а ф(^)),	iiyiic<J-n<pii(1).
*/x = (Gx(*> £)> ФФ).	1Ы1С<7ГИФ11(1)-
Здесь || ф ||(1) = (1, 1Ф |). Введем также обозначение
1|л-а]|(1) =(1,1 а —а |].
Из двух последних неравенств и (132) получаем
|(G(x, £), ((a-a)^)5)| = |(G5, (а - a) | < -|-|| ф || }|| а - й]|(1).
ci
(134)
Полагая, наконец, d — d = Sx, SN = 0, преобразуем выражение
(G, (d-d)y) = (Gy, SJ=-((Gy\, S]~-(Gyt + y&-h)Gv S],
Отсюда и из предыдущих оценок имеем
I (G, (d- d)y) 1< 4ИФ 11(1)И <*-<Ц-1Г	(135)
ci
Из оценок (133)—(135) следует
Теорема 7. Пусть у(х) и у (х) — решения задач (126),
(127) и выполнено условие (128). Тогда имеет место оценка
IIУ “ У Ис < {IIФ - Ф И(- о +	IIФ ll(i) (IId ~ a И(-D + Иа ~ ко)} ’
(136)
выражающая коэффициентную устойчивость задачи (126).
171
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
151
Оценку (136) можно заменить более грубой
9(9	1
U - У 11с < — {II Ф - Ф 11(1) + т; II ф 11(1) (II d - d ||(1) + II a - й]|(1))} .
(137)
Если
II a - й]|(1> = р (/г), || <р - ф ||(_0 = р (/г), || d - d||HI) = р (7г),
где р(/()—> 0 при h—>0, то схемы (126) и (127) ко-эквивалентны
и при р(/г)=О(/гт) имеют m-й порядок ко-эквивалентности.
Если схемы (126) и (127) ко-эквивалентны и схема (126) схо-
дится, то и схема (127) сходится. Это следует из неравенства
\\у~ и ||с <11У -у 11с + 11 У- «Нс-* 0 при 7г—*0.
Свойство ко-эквивалентности однородных схем (126) позволяет
оценивать порядок точности данной конкретной схемы путем
сравнения, согласно (136) или (137), ее коэффициентов a, d, ф
с коэффициентами a, S, ф некоторой эталонной схемы, порядок
точности которой известен.
Особенно удобно использовать в качестве эталонных схем
усеченные схемы 2т-го ранга и в частности схему нулевого
ранга, имеющую второй порядок точности в классе кусочно-
непрерывных коэффициентов: k, q, f е Q<°>[0, 1] (см. п. 14). Эта
схема записывается в виде уравнения (126) с коэффициентами
(о	, -1
J 7 ('/+s/г) ) ’ Ф=Ф + Л(Ф*)х> d = d + h(d’)x,
-1	/
0,5	0,5
d = J q (x + sh) ds, qp = J f (x + sh) ds,
-0,5	-0,5
0	s	0	s
-7= /йгЬо M+""W Ф-- fnrh)
-1	-0,5	-1	-1
Подставляя эти выражения в (136), получаем
9 Г о	9	о	°	1
|| у - у ||с < II ф - ф |^_0 + -±-11 ф ||0)(|| d - d ||(_1) +1| а - а]|(1))} +
+ тг{(1> 1ф*|) + К1 + ^|1ф11(1)((1-ю+kd}. <138)
Коэффициенты d* и ф’, как нетрудно заметить, являются ве-
личинами О (h):
d = О (h) при ?еС(1)[0, 1], ф* = 0(h) при feC(1)[0, 1].
152
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
П8
Если же k, q, f — кусочно-непрерывны и кусочно-дифференци-
руемы и точка £ разрыва коэффициентов находится вне отрезка
[1 — h, 1], то
(1, | rf* |) = 0(A), (1, |<р-|) = О(й), ф^ = О(й),
й;=о(й).
Если 1 — h < £ < 1, то незначительные изменения в предыдущих
рассуждениях приводят к оценке (138), где | d*N |, | <р*, | следует
заменить на | d\ |, |ф‘|, а норму llpll(-i) выражением
ин11(_1)= s'a •
* * i=i k=i
Тогда | Ф;| = о (А), р;| = О (А).
Таким образом, неравенство (138) принимает вид
II у - у ||с	{|| Ф - Ф ||(_0 + ±|| Ф ||(1) (|| d - d II,.,) + II а - а]|(1>)} +
+ Mh2, М = const.
Отсюда следует, что наилучшая схема (23), (24) имеет вто-
рой порядок точности в классе коэффициентов k, q, f е Q<*>[0, 1].
18.	Однородные схемы для уравнения в цилиндрической и
сферической системах координат. Рассмотрим уравнение более
общего вида, чем (1):
0<х<1, n>0, I
л	ал \	ил /	ч Ц39)
0< k (х)	с2, <7(х)4>0.	J
К такому уравнению приводятся стационарные задачи диф-
фузии с осевой симметрией (л = 1) ис центральной симметрией
(« = 2).
При х = 0 ставится условие ограниченности |и(0) | < оо (см.
Добавление II в книге А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [6]),
которое эквивалентно условию
lim xnk (х)	= 0.	(140)
%->о	ах
При х = 1 ставится обычное краевое условие, например,
u(l) = |i2.	(141)
Пусть и, (х) и «г(х) —линейно независимые решения уравне-
ния (139) при п>1и «1(х) ограничено при хе [0,1]. Тогда
справедливы свойства:
1)	Если <7 (0) и f(0) конечны, то
ui (0) =7^= 0,	(0) = 0.
181
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
153
2)	Если q(x), f(x)eCl2l[0, 1], Ш)еСга'[0, 1], то производ-
ные и(, и", и®, u(J> ограничены при O^x^l.
3)	Второе, линейно независимое с U[(x) решение и2(х) урав-
нения (139) имеет при х = 0 логарифмическую особенность.
Условия (140) и (141) выделяют единственное решение урав-
нения (139). В силу свойства 1) условие (140) можно заменить
требованием
и'(0) = 0.	(142)
Разностную схему для уравнения (139) напишем так, чтобы
при п = 0 она формально переходила в схему (25);
= Лу = ~ (хпа (х) ух (х))х - d (х) у = - <р (х),	(143)
0 < х = ih < 1,
где х = х — 0,5/г или х,- = (г — 0,5) h и
а(х) = А [й (х + s/г)], — l^s^O,
d(x) = -~F [(х + sh)n q(x + sh)], q> (x) = F [(x + sh)n f (x+sh)],
(144)
Д[й(§)] и F[f(s)]— шаблонные функционалы, рассмотренные
в п. 7.
Краевое условие при х = 1 имеет вид
{/(1) = Н2-	(145)
Покажем, что разностное краевое условие
а (Л) Ух (0) = (q (0) у (0) - f (0))	(146)
аппроксимирует условие (140) с порядком /г2 на решении урав-
нения (139), удовлетворяющем условию (140). В самом деле,
погрешность аппроксимации условия (146), очевидно, равна
v = а (/г) их (0) - (q (0) и (0) - f (0)).
Подставляя сюда a(h) = k(0) + 0,5hk'(0) + О (/г2),
ux (0) = и' (0) + 0,5/iu" (0) + О (h2),
получаем
v = (ku')0 + 0,5/г (ku'Y0 ~ (q (0) и (0) - f (0)) + О (h2). (147)
Из уравнения (139) имеем:
(ku')'= qu ~ f ~.
154
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
118
Так как ku'->0 при х->0, то -у- — —0>(ku')'Q и
(*«')о = (<7« “ Ло ~ «(ku')'o = (qu - f)0.
Отсюда и из формулы (147) следует, что
v = О (h2).
Разностное краевое условие (146) будем записывать в виде
а,уг о	„	. h [ h/4, /1=1,
ЯоУо= ~ fo> h = 2(« + 1) = ( /i/б, n = 2.	(148)
(149)
(150)
и = и (x)
Напишем условие для разности z = у — и, где у —решение
задачи (143) —(146), « — решение задачи (139) —(141). Под-
ставляя y = z + u в (143) —(146), получаем
Az = (axnZx)x — dz = — ф (х), 0 < х = ih < 1,
n	v	h
2i(l) = 0,	qoZQ= — -p-, h = 2(n + 1) ’
где
Ф (*) = 7?r (axnUx}x - du + <p (x)
погрешность аппроксимации схемы в классе решений
исходной задачи.
Напишем уравнение баланса для (139):
xi+'l,
0 = Л(«М-«’М1)-4г q(x)u(x)xndx +
hx-	hx, J
Xi~'/2
Xi + 'h
+ ~~ J f(x)xndx, W[ — xfkfx^u' (x;). (151)
X‘ xi-'y
Вычитая это тождество из (150), будем иметь:
Ф =-рг Пх + Ф*,	(152)
т) (х) = хп (аи. — k (х) и' (х)),	(153)
х1 + '!г	\
q(x)u(x)xndx I.
*	hx, J	I
‘ xl-4,	/
(154)
I8J	§ t. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ	155
По условию, при п = 0 схема (143) принадлежит исходному
семейству схем из п. 7, удовлетворяющих условиям второго
порядка аппроксимации:
Л[1]=1, Л1 [s] = — 0,5, так что at = ki-ih + О (ft2), fteC(2),
Ж = 0, так что F[f(xz + sft)] = fz + O(ft2), fe=C(2).
Найдем разложения <р и d по степеням ft. Подставляя вы-
ражение
f {Х( + sh) = f (xz) + hsf' (xz) + 0,5h2s2f", — 0,5 s 0,5,
где f" значение производной f"(х) в некоторой средней точке
интервала (xz — 0,5ft, xz + 0,5ft), в формулу для <р(х), получаем
Ф (х) = F [(х + sh)n f(x + sh)] =	f (x) +
+	V (x) + ^F [(x + sft)" s2f"].	(155)
Вычислим коэффициенты при f(x) и f'(x). При n = 1 имеем
yF[x + sft] = l, у F [sx+ s2ft] = ^-F[s2].
При n = 2 имеем
F [(x + sh)2] = 1 + F [s2],
4-F [* <x + sh)2] = ^F [s2] + F [s3].
Так как Ftf ($)] — неотрицательный функционал, т. е. FIH^O
при f^0, то
1	If f" II	(х I 0 5rAn
р F [s2 (x + sh)n f"] < F [s2 (x + 0,5ft)"] = || f" ||c —— F [s2],
| F [s2 (x + sh) f"] < (1 +	IIГ ||c F [s2] < f || f" ||c F [s2],
F [s2 (x + sh)2 f"] < (1 + 4 + II f" lie F [s2] < 41| f" ||c F [s2].
Отсюда и из (155) следует, что для <р(х) справедливы фор-
<p(x) = f(x) + 4-F[s2]/'U)4-O(ft2), п=1,	(156)
<p(x)=(i 4-45-7?и)ш+
+ v(2fLm4Hs3])n*)4-O(62), « =	(157)
156
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[18
Для наилучшей схемы
0,5
/[/(*)]= J f(s)ds, F[s2] = -~,
-0,5
F И = О,
и, следовательно
Х+0.5Л
+ ^-Г(х) + О(/12), п=1, 2.	(158)
Аналогичные формулы получаются для d(x) и d(x).
Напишем теперь выражение для ф":
ф* =<р-(1 +	+ [rf-
--g-a-^f + O^2). (159)
Из формулы (159) видно, что при A[s2] = '/12
Ф‘ = ^(?«-Л' + 0(/12),	(160)
т. е. хф* (х) = О (/г2) для п~1, 2.
Простейшие формулы для <р(х) и d(x), очевидно, имеют вид
ф(х) = /(х), d(x) = «7(x) при п=1,	(161)
<р(х) = (1+-j^-)f(x), d(x) = (l +^г)?(х) при и = 2. (162)
В этом случае A[s2] = '/12.
В дальнейшем будем предполагать, что <р(х) и с/(х) в нашей
схеме определяются либо по этим формулам, либо по формулам
(156) и (157) при условии, что А[.$2] = 1/12. Тогда погрешность
аппроксимации в классе q, f е С<2> равна
ф- = Фг - Ф/ ~ (dt ~ dt) ut + ф” = О (h2/x) при n=l,2,
так как
Фг-ф( = О(й2/хг) + О(й2),	= О (й2/х) + О (й2),
xi+'i,
ф” =	[ q (х) хп {и (х) - и.(х()) dx = qu' + О (h2).
181
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
157
В результате для ф получаем формулу
Ф = -рт(х"п)х + Ф’. ^i = (aux)i~(ku'\-W (163)
причем
q = O(/i2), хф* (х) = О (/г2) при k, q, f е С(2).	(164)
Перейдем теперь к выводу априорной оценки для решения
задачи (149) с правой частью (163).
Нам понадобится разностная функция Грина G(x, £), кото-
рую определим как решение задачи (ср. с п. 8)
AxG(x,	0<х<1, 0<£<1,
ia,x«Gx(0, ^) = 7ox«G(0,	0 С 1,
G(l,£) = 0, X! =0,5/г, /Г = 0,5/г/(и+ 1).
Функция Грина G(x, £) выражается формулой
( а(х)Р(Н
,	<х(1)	’
G(X’^) I а(НРН) >£
(	а(1)	’
где а(х) и 0(х) —решения задач Коши:
Аа = 0, 0<х<1, а1ах,0 = h*q0a0, а0=1,
Ар = 0, 0<х<1, (ахХ)„=-1, ₽„ = ₽(1) = 0.
Отсюда видно, что а(х) монотонно возрастает, а р(х) моно-
тонно убывает.
Изучение свойств функции G(x,g) проводится по аналогии
с п. 9: сначала устанавливаются оценки для функции G0(x, £) (и
Gq| (х, £)), соответствующей случаю <7(х) = 0, а затем приме-
няется аналог леммы 1, в силу которого
0 < G (х, £)< Go(х,	| G? (х, £) |<2 max| Go?(х, £) |.
X, 5
Если <?(х) = 0, то а(х) и 0(х) находятся в явном виде
а(х)=1, ₽(х) =	? =	(165)
t=x+h
Отсюда следует, что
°«(х’Мт	о, x>s. (166)
Покажем, что справедливы следующие оценки
4G(x4)<Afj, Г1^(х,^)КЛ12, (O(x,g), 1)<М3, (167)
158
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[18
где ЛГ], ЛГ2, Л43 — положительные постоянные, зависящие только
ОТ Ср
Из сказанного выше следует, что достаточно установить эти
оценки для функции G0(x, £). Рассмотрим сначала функцию
₽W= 2 а (z)	2 уг-
t=x+h	t=x+h
Пользуясь известным неравенством
b	ь
^f(x)< J f(x)dx, а > 1,
х=а	а-1
где f(x) — положительная убывающая функция, а и b — целые
числа, суммирование ведется по целым х, получаем
1 h |	1
С] (хг+0,5/г)п	Cj/z"-1
6 (х;) < — (2 + 1п —‘ ,, )
r v 17 С]	х. + 0,5/г /
Р (*г) < х. + 0>5/г
при п = 1, х,- >0,
при п = 2, Х;^0,
(168)
так как l/(xz + 0,5/г)	2/й при Х;^0. Если х(>0, то 0(хг)<
<— In — при /г=1, Р(х;) < 1/(С]Х;) при /г = 2 (х;	/г).
ci xi
Рассмотрим теперь выражение
( £0 (У, х <
х>1
Так как р(х) монотонно убывающая функция, то р(х)^р(£)
при х^1 и, в силу (168), получим
£Go(£)*aP(£)<Mi, Л4,=6/С1, п=1, 2.
Далее, из определения р(х) следует, что
1М^1 = |“ cT'F’
т. е.
r|₽ste)| < 1/Ср
Из формулы для Got(х, £) находим |rt| Gog| <|rt|₽g(£)| < 1/ср
т. е. Af2 = 2/Cj.
18]	§ I. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ	159
Оценим скалярное произведение (G(x, £), 1) следующим
образом:
х	1—h
(G(x,£), 1)<(GO(M), 1)=2/г₽(х) + 2 /г₽£) =
i=h	z=x+k
1-h
= %P(x)+ 2 AP(&).
% = x + h
Подставляя сюда оценки для 0(х), пользуясь неравенством
(168), получаем
(G(x, £), l)<4/cf при п=\.	(169)
В самом деле,
1 —ft
(G0(x, Ё), 1) — (2х + xln—Д'кг'} + ~~ Уг (2 + In t , LJ h.
п \	х +0,5/г/ Ci \ 1 g +0,5/г/
Z=x+h
Функция t In у принимает при t — е~' наибольшее значение,
равное е~', а сумма оценивается так
1-й	М-1	N~l
V ТТТГчГ = Ih TLn < < I Ь —77Гч^а<
g 4- 0,5/г	/ + 0,5 J а + 0,5
5=Х£ + й	/-1+1	i
N
<h [ In — da = ha In — I = 1 — (x + 0,5/г) In—, en	< 1,
J Cl	Cl Ь ,q c	X 4"
Z + 0,5	’
так как 0 < (x + 0,5/г) In—en ^1. В результате получаем
X -f- U>Oft
(G0(x, l), 1)<^{(2х + Д+ 2(1-х)+1} = -Мз+Л<А
Решение задачи (149) при помощи функции Грина G(x, £)
выражается формулой
z (х) = (G (х, ^), £4 (□) + G (х, 0) x«v.	(170)
В этом можно убедиться непосредственно путем подстановки
выражения (170) в уравнение (149).
Подставим в (170) выражение (163) для ф и воспользуемся
формулой суммирования по частям:
г (х) = - (G? (х, £) f, f] £)] + (G (x, £), |V (£)) + G (x, 0) x"v.
Учитывая (165)—(167), получим:
Hzllc<Af2(l> I П ll + l v 1/cj + A43|l V(^)llc при n=l,
1И1с<М2(1,1 fj 1] + | v l/cj + AfillVte)llc при п = 2.
160
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
П8
Выберем наибольшую из постоянных MIt М2 и М3 и обозна-
чим ее Мо. Тогда обе оценки можно объединить:
1М1С<МО((1, lnll + ll^*(l)llC + |v|).	(171)
Так как ц (£) = О (/г2),	(|) = О (/г2), v = О (/г2) при k, q, /еС(2),
то схема (143) —(146) сходится со скоростью О (/г2) при п= I, 2.
Пусть теперь k(x), q(x) и f(x)—разрывные функции. Выбе-
рем неравномерную сетку так, чтобы точки разрыва функ-
ций k(x), q(x) и f(x) были узловыми точками сетки. Разност-
ная схема для задачи (139) — (141) будет иметь вид
dy = - <р(х), x = xh i = I, 2, .. N — 1, ]
й\ух, о
/../(2(л + Т)Г~^0
Коэффициент
формуле
hi Л nhi
=----- 1------
— — /о, Un — M-г-	|
cti = А [й (хг + s/ij], а фг и dt определяются по
24х2 Дг~° +
hi + \ (, . nhi + \ . n(n-l)h2i+.
2fi; \ 4хг	24х? Jli+0’ V
где fi±0 = f(xi + 0).
При п = 0 отсюда следует известная формула (см. п. 13)
Изложенным выше методом можно получить априорную
оценку для z — y— и через погрешность аппроксимации -ф =
= —л (хпп)* +'Ф*; из этой оценки следует, чтосхема (172) — (173)
имеет второй порядок точности на сетке &h(К) в классе разрыв-
ных коэффициентов k(x), q(x), f(x)^Q№.
Рассмотрим схему второго типа — «схему на потоковой сет-
ке». Разобьем отрезок [0, 1] на N частей, введя узлы (потоковые
точки):
х0 = 0, Х[ — 0,5Л, х2 = 1,57г, ..., хг = (i — 0,5) h, ...
..., xn-! = (N- 1,5)/г, ^ = (Л'-0,5)й = 1.
i
Пусть уг — y{xi) — значения искомой сеточной функции
в этих узлах.
18)
$ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
161
Для получения разностной схемы воспользуемся уравнением
баланса для (139). Рассматривая уравнение баланса для ин-
тервала Х,_] = Xi-Чг X Xi+Ч, = Х{, 1>1, ПОЛуЧЭеМ
^-(хлау-)х-с/у + ф(х) = 0, х = х{, l<i<N, (174)
где
xt = th, а(х) = A \k (х + s/г)], d (х) = -р- F [q (х + s/г)],
Ф (X) = -jn F [? (х + sA)], q (х) = xnq (х), ~f (х) = xnf (х).
(175)
Из уравнения баланса для интервала 0 Cjx CZx, = h
h
w' w*~ + —5Г [ (f (x) — q (x) и (x)) x" dx = 0, w (x) = xnk (x) u' (x)
xxh hi, J
и условия ог0 = 0 следует разностное уравнение при х = Х] = 0,5/г
о,	(176)
x\h
где а2, dit ср] определяются по формулам (175'.
При х = 1 ставится обычное условие
yN = lh-	(177)
В результате получаем разностное уравнение (174) с крае-
выми условиями (176) и (177).
Пусть у = у (х) — решение этой задачи. Для погрешности
z — у — и получим следующую задачу:
(xnazx)x — dz + Ф (х) = 0, х = (г — 0,5) h,
1 = 2, 3,	1, zN = 0,
- -L
x,h
(178)
где ф — погрешность аппроксимации, равная
Фг = Ф(xt)“(х^мЛ, t+Фг, г' = 2, 3,..., АГ-1,
xn
Ф1 =-^r-a2Ux,i -diUi +фр
X] fl
162
ГЛ, Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
118
Отсюда и из уравнения баланса для интервала Xj-j^x ^xt
следует, что
xi
x\i==afix,i-kiu'i’ 1 = 2,3,..., N, т), = 0, «(x.) = u._,/2,
xi
°	° - if
Ф/ = Фг - 4Pi - {di - dt) ui + ~^ J W (“ W “ й dx>
1 X:_,
где
° 1
Ф‘=Л
xnf (x) dx.
Полагая <рг = Д-,
/ h2 \
dt = 1	ПРИ
\	j
di = Qi при n=l и ф. = /'1+-^гЪ
\	12x7 I
n = 2, получаем для фг следующую фор-
мулу:
ф=^г(хгеп)х + Ф*)	(179)
где
г) = О (Л2), хф* (х) = О (Л2) при k, q, f е С<2).
Вводя разностную функцию Грина при помощи условий
jr(xnaGx(x, &)x-dG(x,	х> 0,5/г,
х'/а9	6 (х, t)
44 Gx (х„ D-d.G (х1(	G (xN, I) = 0,
Axj	x\h
получим для z — у — и следующее выражение:
г(х) = ((?(х, 1НЙШ)),
где	лг_]
(У (t), v (D) = 2 У &_./2) V (£г-,/2) h, I ,_)/2 = (г - 0,5)А.
Подставляя сюда выражение для ф, находим:
(х) = - (G5(х, |)Г, т) (I)] + (G (х, t)!"-1, |ф*(t)).
В силу ограниченности | G&n | и (G (х, |)|"-1, 1) получаем
llzllc <мо((1, | Т] 11 + 111ф*(1)11с).
19]
§ 1, СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
163
Отсюда и из оценок (179) следует, что схема (174) —(177)
имеет второй порядок точности, если k(x), q(x),
19. Задача с условиями периодичности. Рассмотрим сначала
простейшую задачу: найти на отрезке 0<Д<11 решение урав-
нения
и"(х) — qou = — f (х),	= const > О, 0<х<1,	(180)
удовлетворяющее условию периодичности с периодом 1:
и(х + 1) = и(х) для любого х е (0, 1).	(181)
При этом предполагается, что f(x) периодическая функция
f(x + 1) = f(x).
Условие (181) в любой точке х е (0, 1) эквивалентно двум
условиям сопряжения в одной точке х = 0:
м(0 + 0) = «(1 -0), u'(0 + 0) = u'(l-0).	(182)
Задача (180), (181) имеет единственное решение. Для ее ре-
шения, в силу принципа максимума, верна оценка
Пусть <?о = 0. Тогда получим задачу
u"=-f(x), u(0 + 0) = u(l — 0), м'(0 + 0) = ц'(1 -0), (183)
которая разрешима при условии
1
$f(x)dx=0	(184)
о
и имеет единственное решение и = и(х) при условии, что
1
J и(х) dx = 0.	(185)
о
В самом деле, общее решение уравнения и" = —f(x) имеет
вид и(х) = Сгх + С2 — j I J f (a) da j dt = С}х + C2 — j (x — t) f (t) dt,
0 \o	'	0
где Ci и C2 — произвольные постоянные.
Условия (182) дают •
i	i
^f(t)dt = O, Ci = ^tf(t)dt,
о	о
т. е. условиями (182) функция и(х) определяется с точностью
до постоянной С2. Требуя, чтобы выполнялось условие (185),
получаем С2 = 0, т. е. выделяем единственное решение задачи.
6*
164
ГЛ, III, ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
П9
Напишем разностную схему, аппроксимирующую задачу
(180), (182). Возьмем на отрезке О-^x^Cl равномерную с ша-
гом h = \/N сетку
=	=	— 0, 1, .... N}
и аппроксимируем уравнение (180) и условия сопряжения (182).
Первое из условий (182) выполнено, если
Уо-yN-	(186)
В узлах х{ = ih, i=l, 2, .... N—1 напишем трехточечное
уравнение
Ухх ~ УоУ = “ Ф(Д x = ih, /= 1, 2, ...» АГ-1.	(187)
Рассмотрим теперь разностные производные
их, N = и' (1 - 0) - 0,5/ги" (1 - 0) + О (/г2),
их, о = и' (0 + 0) + 0,5/ги" (0 + 0) + О (/г2).
Подставляя сюда и" = дйи — 1 из (180), получаем
их, N + Q,bh (qou (1) - f (1 - 0)) = и' (1 - 0) + О (h2),
их, о - 0,5/г (<7о« (0) - f (0 + 0)) = и' (0 + 0) + О (h2).
Отсюда видно, что уравнение
Ух, 0 - O,5hqoyo + 0,5/if (0 + 0) = у* N + O,5hqoyN - 0,5hf (1 - 0) (188)
аппроксимирует второе условие сопряжения ы'(0 + 0) =и'(1 — 0)
с точностью до величины O(h2).
Полагая затем
1/w+i = Ук
перепишем условие (188) в виде
Ухх.м-УоУ^ “Флг> Ф# = 0,5(?(1-0) + /(0 + 0)).
Таким образом, задаче (180), (182) мы ставим в соответ-
ствие следующую разностную схему:
Ухх~~УоУ= ~ ф(Д x — ih,	(189)
с условиями периодичности
Уо = Ух, У1^Уя+1-	(190)
Пусть теперь дано уравнение с переменными коэффициен-
тами
(ku'Y — qu = — f (х), 0<х<1,	(191)
причем k(x), q(x) и f(x) являются периодическими функциями
fe(x+l) = fe(x), q(x + l) = q(x), f(x+l)-f(x).	(192)
19)
$ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
165
Будем предполагать, что
fe(x)^c,>0, 9(х)^С]>0.	(193)
Требуется найти решение уравнения (191), удовлетворяющее
условию периодичности
и(х+ 1) = и(х).
Это условие эквивалентно требованию
и(0 + 0) = и(1-0), ku' |х=0+0 = ku' |х=1_0.	(194)
Из принципа максимума следует, что задача (192) — (194)
имеет единственное решение. Напишем сначала схему для
0 < х = th < 1:
(ау^)х — dy — — <р(х), x — ih, / = 1, 2, ..., /V — 1,
полагая
Уп = Уы-
Коэффициенты a, d, ф выбираются из условий второго порядка
аппроксимации (см. п. 7).
Учитывая равенства
(aux)t =	+ 0,5/г (f - <?u)£ _0 + О (h2),
ai+lux, i = (ku')i+0 - 0,5/г (f - qu)i+0 + О (/г2),
можно аппроксимировать условие ku' |^=0+0 = ku' 1х=1_0 со вторым
порядком следующим соотношением:
Wx, о “ 0,5/г (q (0) у0 - f (0 + 0)) =
= aNy^N + 0,5h(q(l-Q)yN-f(l-Q)').
Требуя, чтобы выполнялись условия
Уы + l = Уъ aN + \ — ai>
перепишем это соотношение в виде
(аг/^)х - </г/= “ <Р(Х>’ * = *№=1>
где
d = dw = 0,507(0 + 0) +<?(1 -0)), <р =	= 0,5 (f(0 + 0) + f(l — 0)).
В результате получаем следующую периодическую разност-
ную схему:
(ay.')x-dy= -ф(х), x = ih, г = 1, 2, .... /V, |
а>С!>0, </><?]> 0,	I
с условиями
Уй = Уы> У\=Уы+и a\ = aN+\'	(196)
166
ГЛ. 111. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[19
Для определения уь Z == I, 2; .... У получаем следующую
систему уравнений
aiyi_l - (at + at+l + б/£Л2) у{ + al+lyi+l = - ф£Л2, i = 1, 2......У
с условием периодичности
Уо= Ух, Ух+\ = У\-
Решение этой системы может быть найдено методом цикли-
ческой прогонки (см. Дополнение, § 3).
Так как а>С]>0,	то для задачи (195), (196)
справедлив принцип максимума, в силу которого
II у\\с < у-1! ф 11с-
С1
Это неравенство позволяет получить для погрешности z = y — и
оценку
II г ||с = О (Л),
так как ф£ = О (Л2) при i = 1, 2, ..., N— 1,	= 0(h). По-
этому нужна более тонкая оценка, которую можно получить
либо при помощи функции Грина, либо методом энергетических
неравенств.
Введем скалярное произведение и норму
м	_____
(у, у] = "S 1/iVih, I) Z/]| = У (у, у\.
t=«1
Оператор Ау = — (ay~)x + dy в классе функций Н, задан-
ных при Xi = ih, i = 1, 2, ..., N—1 и удовлетворяющих усло-
вию yN+\ = у\, является положительно определенным:
{Ау, у} = - Уау-y, у] + (rf, z/2] = (a, (z/-)2] + (d, у2].	(197)
Умножим уравнение (195) скалярно на у.
(а, у2,] + {d, у2] = (<р, у].	(198)
Отсюда и из условий а > 0, d > 0 следует единственность
решения задачи (195), (196). В самом деле, пусть существуют
два решения z/(I) и у^. Для их разности у = z/(I)— z/(2) получаем
однородное уравнение (195) с ф = 0 и тождество
0 = (а> ^1-
Так как а > 0 и d > 0, отсюда следует, что
У^ 0, у = 0.
Преобразуем выражение (ф, у}. Для этого введем функцию
г](х), подагая
N
Т)£ = S Афй, 1 = 1, 2, ..., N, Tjjv+j « qj,
k^i
iei
§ i, СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
16?
так что
= г = 1, 2, ..N.
Тогда сумма (<р, у] преобразуется к виду
(ф, У]~(У, Пх]= ~(п- У,]-
Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, получаем
(ф> у] < II nil II Ух]\ < 81| х/_]|2 + ± II Л]|2.
Подставим эту оценку в тождество (198):
(a, yl] + (d,y2]^-~(a, г/2] + А.||л]|2
или, при е < С],
(а, У2} + , ' / ' (<*, У2] < т.?, 1 , г II nil2-
\ ’ ух\ 1 — е/с, '	3 1	4е(1 -e/cj ul
Положим е — 0,5С]. Тогда коэффициент в правой части при-
нимает наименьшее значение:
(щу2] + 2^,у2]<-^||<.	(199)
Нам понадобится следующая
Лемма 4. Для любой сеточной функции v (х), заданной на
сетке ah = {xi = th, i— 1, 2, ..N}, справедливо неравенство
ll< <80II Ох]|2 + (1 + 1/ео)|| о]|2,	(200)
где е0 > 0 — любое число.
Доказательство. Так как
v2 = v2^ + h(v\ t, (о2)., . = (о,.+	(,
то имеет место равенство
v2(x) = o2U)+ i (v2(t))th =
t=l+h
±=v2(£)+ 2 hv(t)vt(t)+ 3 hv(t)vt(t).
t=l+h	t-l
Отсюда, на основании неравенства Коши — Буняковского,
находим
v2W<v2a) + 2||v]|||vf]|.
Просуммируем это неравенство по % — h, 2h, .... 1:
V2 (X) < II dl2 + 2II Ц]| II Of]l < ВоII Vdl2 + (1 + 1/8о) II v]l2.
168
ГЛ, Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ схемы
120
Лемма доказана.
Учитывая, что and ограничены снизу постоянной С] > 0,
из (199) получим
IM2 + 2W<4hll2.	(201)
С1
Положим в лемме 4 постоянную ео = 1. Тогда из (200) и
(201) найдем
<Ш12+21Ы12<4|М2.
С1
Тем самым доказано, что для решения задачи (195), (196)
справедлива априорная оценка
/ N	/ N	\2\’/»
и«/]|с<7Г11ф11(-2). 11фН(-2)=	. (202)
1	'/—I \k-t	' '
Для погрешности г = у — и, где и — решение исходной за-
дачи (191) — (194), у — решение задачи (195), (196), получаем
условия
{azx)x — dz — — ib, x — ih, г = 1, 2, ..., Af, 1
'	(203)
z0~zN, Zl~~zN + \>	J
где ф = (aux)x — du + q> — погрешность аппроксимации, которую
можно представить в виде
Ф == Лх + Ф*> Л == аих ~ ku',
Г) = О {№), ф’ = О {№) при k, q, f е С<2>.
Для г, согласно (202), справедлива оценка
l|z]|c = U- «]1с =С (II лЛ+ 11Ф* 11(-2))-
Так как г] = О (Л2) и гр* = О (7г2), то тем самым доказано,
что схема (195), (196) имеет второй порядок точности в классе
k,q,f «= С<2>.
20. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Постановка за-
дачи и основные свойства. Задача Штурма — Лиувилля или за-
дача на собственные значения состоит в следующем: требуется
найти такие значения параметра X {собственные значения), при
которых существуют нетривиальные решения {собственные функ-
ции) однородного уравнения
<?(*)« +Аг(х)ы = 0, 0<х<1,
и(0) = и(1) = 0.
(204)
20]
$ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
169
Здесь k(x), q(x), r(x)^Q<°) — кусочно-непрерывные функции,
удовлетворяющие условиям
0 < С[ < k (х)< с2, Ъ<сх^г (х) < с3, 0 < q (х) < с4, (205)
где с2, сз, Ct — постоянные.
Если k(x) имеет разрыв первого рода в точке x = g (0 <
< g < 1), то в этой точке должны выполняться условия сопря-
жения
[u] = zz(g + 0) — u(g — 0) = 0, [£и'] = 0 при x = g. (206)
Задача (204) — (206), как известно (см. Р. Курант и Д. Гиль-
берт [1]), эквивалентна следующей вариационной задаче: на
классе кусочно-гладких функций <p(x)eQ<1>, удовлетворяющих
условиям
1
И[<р] = | <р2(х)г (x)dx = 1, <р (0) = <р( 1) = 0,	(207)
о
найти минимум функционала
1 1
D [<р] = | k (х) (ф' (х) )2 dx + | q (х) ф2 (х) dx.	(208)
о	о
Этот минимум определяет наименьшее собственное значение
Л] = min D [ф] = D [U[]
и достигается на первой собственной функции щ (принцип ми-
нимума) .
Остальные собственные значения Xn, п > 1 находятся как
минимум функционала (208) на классе кусочно-гладких функ-
ций сравнения ф(х) eQ*11, удовлетворяющих дополнительным
условиям
//[ф]=1, //[ф, um]= [ tp(x)um'(x)r(x)dx = O,
о	(209)
ф(0) =ф(1) = 0,	т—1, 2, п— 1,
где ит(х)—собственная функция номера т. Этот минимум оп-
ределяет n-е собственное значение
Х„ = т1пД[ф] = Д[и„],
где ип — п-я собственная функция.
Укажем некоторые известные свойства собственных функций
и собственных значений (см. Р. Курант и Д. Гильберт [1]).
1.	Задача Штурма — Лиувилля (204) — (206) для кусочно-не-
ррерывных функций k, q, г имеет счетное множество соб-
ртренных значений 0 <<Ц < ,,, <	которым
170
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[20
соответствуют собственные функции мДх), «2(х), .... ип(х), ...
При этом каждому собственному значению соответствует только
одна собственная функция.
2.	Собственные функции {ып(х)} образуют ортонормирован-
ную (с весом г(х)) систему.
3.	Собственные значения Ап->оо при п->оо, точнее
с5п2 < А„ < с6п2, с5 > 0,	(210)
где с5 и Сб зависят только от ct, с2, с3, с4 и не зависят от п.
4.	Для собственных функций и их производных справедливы
оценки	__
|ы„(х)|<с7, |<(х)| Wn^c&n,	(211)
где с7 и с8 — положительные постоянные, не зависящие от п.
Для случая k, q, г <= С<2> доказательство оценок (211) дано
в книге Р. Куранта и Д. Гильберта [1].
Покажем, что оценки (211) имеют место и в случае кусочно-
непрерывцых и кусочно-дифференцируемых коэффициентов, точ-
нее, при k, г е Q<«, q е Q<°).
Без ограничения общности можно считать, что k, q, г имеют
разрывы первого рода в одной точке х = £, 0 < < 1. В этой
точке выполняются условия сопряжения (206).
Сделаем замену аргумента, положив
X
t — j* г (х) dx.
о
Тогда уравнение (204) при А = Ап примет вид
°<«'- ,,,,,
й(0) = й(/) = 0,
1
где k (t) = k (х) г (х), q (/) = (q (х) )/(г (х)), й (/) = «(*), 1= J r(x)dx.
о
Умножим уравнение (212) на й'(0 и проинтегрируем от 0
до t. Учитывая, что
{kit')' й' =	[(£й')2]', йй' = 0,5 (й2)',
и пользуясь условиями сопряжения, получаем после интегриро'
вания по частям
И (0) (й' (0) )2 + Ай2 (0) = k (/) (й' (/) )2 + Ай2 (/) -
-2
/ q^a^dt,- р(й')2т dt,.
Q
20 J
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
171
Проинтегрируем еще раз по t от 0 до I и учтем, что
i
J U2(t)dt = 1,
о
i
J k (/) («' (/) )2 dt К-
о
В результате получим
° 1
Таким образом, справедлива оценка
k (0) (и' (0) )2 + А,й2 (0) < cI0A,„ + с9 Vкп, С|0 = 2 + с10.
Отсюда и из предыдущих оценок следует:
k (о (й' (0 )2 + Х„й2 (0 < k (0) («' (0) )2 + х„й2 (0) +
+ с9 VXi + с10^п ^9 V^n +
так что
й2п (/)< с9 +	< с2, | йп (0 | = | «„ (х) | < с7,
Т Ml
I “n(0 I =~r(x) I U'n I Сн | и'п (х) I =Сс' ]/А,п>
что и требовалось доказать.
В процессе доказательства мы использовали_ кусочную не-
прерывность и кусочную дифференцируемость k(t) = k(x)r (х)
по t, что имеет место, если k(x), r(x) е Q(1)[0, 1].
Перейдем к постановке разностной задачи на собственные
значения. Введем на отрезке [0, 1] равномерную сетку
ah = {Xi = ih, 1 = 0, 1, .... N, hN = 1}
и аппроксимируем задачу (204), (205) при помощи однородной
разностной схемы
Лг/+ А?рг/= 0, 0<х = /Л<1, у(0) = у(1) = 0,	(213)
где Ny = (ay-)x—d(x)y.
Будем предполагать, что Л — однородный разностный опера-
тор второго порядка аппроксимации (см. п. 7), а коэффициент
172
ГЛ. 111. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(20
р(х) определяется по той же формуле, что и d(x). Отсюда сле-
дует, что справедливы неравенства
0<С!<а<с2> 0<с1<р(х)<с31 0<d(x)<c4.	(214)
Таким образом, разностная задача Штурма — Лиувилля со-
стоит в следующем: требуется найти такие значения параметра
Xй (собственные значения), которым соответствуют нетривиаль-
ные решения уравнения (213), а также найти эти нетривиаль-
ные решения (собственные функции).
Условия сопряжения, аналогичные условиям (206), в окрест-
ности разрыва коэффициента k(x) отсутствуют, так как мы рас-
сматриваем однородные схемы, не предусматривающие явного
выделения точек разрыва коэффициентов (схемы сквозного
счета).
Умножая (213) скалярно на у и учитывая формулу Грина
(см. гл. I, § 2, п. 1), находим
где
Dn Ы = («> W] +	У2)> Ы = (Р, У2)>	(216)
а у — решение задачи (213).
Пользуясь формулой Грина, нетрудно убедиться также
в том, что разностная краевая задача (213) эквивалентна сле-
дующей вариационной задаче: найти минимум функционала
Одфр] в классе сеточных функций, заданных на ш и удовлетво-
ряющих условиям
^[<p]=l, Фо = Фм = О.	(217)
При этом число
[ф] = Dn [yj
есть наименьшее собственное значение, a yi(x)—соответствую-
щая собственная функция задачи (213) (принцип минимума).
Собственное значение номера п > 1 находится как мини-
мум функционала £)л{ф] в классе функций сравнения, удовлет-
воряющих условиям
Я„[ф]=1, HN [ф, ут] = (рф, ут) = 0, 1
т=1, 2.....п— 1, Фо = Фл( = О. )
Здесь ут — собственная функция номера т. При этом
тт^[ф]=0„[ф4
Разностная задача Штурма — Лиувилля (213) является чи-
сто алгебраической задачей. Поэтому не представляет труда до-
казательство следующих утверждений.
201
$ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
173
1.	Существует N — 1 собственных значений
О < X? < ^2 < •••
которым соответствуют собственные функции
yi(x), у2(х), ...,yN-i(x).
Каждому собственному значению соответствует только одна
собственная функция.
2.	Собственные функции {уп(х)} образуют ортонормирован-
ную (с весом р) систему:
HN[yn, z/m] = 0, т=£п, HN[yn]=l.
3.	Справедливы оценки
Муг^Ж^М'эп, п= 1, 2, ..., N — 1,	(219)
где Mi и М'2 — положительные постоянные, не зависящие от h и п.
4. Если k, q, r^. Q(o), то имеют место оценки
II Уп llc < М, Уп, || (z/„)jE] Ic < М2п\	(220)
где
1№ = max |z/(x)|, |Ш| = max \у |,
Mi и М2— постоянные, не зависящие от h и п.
Докажем оценки (219) и (220).
Заметим, прежде всего, что для случая
d = 0, а= 1,	1
собственные значения выписываются в явном виде:
Функция fft) монотонно убывает при ^е[0,л/2]. Поэтому
справедлива оценка
4/л2 < f ft) < 1 при 0<£<1
и, следовательно,
4п2<1*<л2п2.
Далее, имеет место очевидное неравенство
ci , ^1 (Ь ф|]	(о, д>1] + (d, ф2)	с2(1,ф|] с4
с2 ' c2(l,<f2) Яд^ф]	(р, ф2)	(1, ф2) "Г с2 ’
из которого следует
<»2	^2	С> 1	С* 1
174
ГЛ. HI. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(20
Подставляя сюда полученную выше оценку для прихо-
дим к неравенству (219).
Перейдем к доказательству оценки (220).
Пусть у = уп — собственная функция, АЛ = X» — собственное
значение задачи (213), х и х'— любые две точки сетки ш- Рас-
смотрим два очевидных тождества
У2 (х) ~ У2 (х') — 2 (y2(s))Ji= 2 [y(s)+y(s-h)]ys(s)h, (221)
s—x' + h	s=x' + h
s~x—h
{a(x)yx(x)'f-(a(x')yx(x')')2 = 2 h [(a (s) ys (s))2js =
s=x'
= 2j, (a (s) y-s (s))s [a (s) y.(s) + a (s + h) ys (s)] h =
= 21, (rf(s)-XAp(s))[a(s)z/s-(s) + a(s + h)ys(s)]y(s)h. (222)
Из условия нормировки (p, у2) = 1 следует, что существует
хотя бы одна точка х', в которой р(х')у2(х')^ 1 и, следователь-
но, у2(х')< 1/С[. Применяя для преобразования правой части
(221) неравенство Коши — Буняковского и учитывая свойства
(215) и (219), получим
У2 (х) < ±	(р, у2^ (a, (t^ ^\1сх + 2	< М2п.
Далее, из условия (а, (у*)2] ХЛ следует, что существует та-
кая точка х', в которой а (х7) у2, (х7) ХЛ и, следовательно,
(а (х7) у. (х7))2 c2Kh. Пользуясь затем неравенством Коши —
Буняковского для преобразования правой части тождества
(222) и учитывая (214), (215) и (219), будем иметь
у2 (х) <-4 ХЛ + 2 1/4(ХЛ)‘/2 +	(ХЛ)''! < MW.
ci	V ci ci	ci
Тем самым, в силу произвольности х, доказаны неравенства
(220).
Условие нормировки (р, у2) = 1 определяет собственную
функцию с точностью до знака. Для однозначного определения
собственной функции надо ввести дополнительное условие вы-
бора знака. Для этого можно, например, потребовать, чтобы
Ух, о > 0. Аналогичный выбор знака может быть проведен и
для собственных функций м(х) исходной задачи (204). В даль-
нейшем изложении нормировка собственных функций наряду
с условиями Яд'[г/]=1 и HN[u]=\ будет включать и выбор
знака указанным выше способом.
20]
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
175
Сходимость при А/->оо (/г-э-О) собственных значений и соб-
ственных функций разностной задачи (213) к собственным зна-
чениям и функциям исходной задачи (204) была доказана Ку-
рантом [1] для простейшей схемы: а(х) = k(x — h), d(x) = q(x),
p(x) = r(x) в классе гладких коэффициентов. .
Пользуясь методом Куранта, докажем сходимость схемы
(213) в классе кусочно-дифференцируемых коэффициентов.
Рассмотрим сначала случай первого собственного значения
(п = 1).
Пусть ф(х)—любая непрерывная и кусочно-дифференцируе-
мая функция, удовлетворяющая условиям ср(О) =д>(1) =0. Не-
трудно заметить, что
lim Dw[q)] = D[cp], lim IIN [ср] = H [ср].
ДГ->оо	Д'->оо
Отсюда следует, что £\v[cp]	Л40 при любых N, где Мо > 0 —
положительная постоянная, не зависящая от N.
Пусть y = y(x,h)—сеточная функция, реализующая мини-
мум функционала DN [ср]:
при условии нормировки Яд4у]= 1. Рассмотрим последователь-
ность сеточных функций {y(x,h)} на некоторой последователь-
ности сеток {сол}.
Лемма 5. Последовательность функций {y(x,h)} равносте-
пенно непрерывна и равномерно ограничена.
Доказательство, а) Если х' и х" — точки сетки, то
у (х", h)-y (х', h) = 5 hys (s, /г).
s^x'
Пользуясь неравенством Коши — Буняковского и ограничен-
ностью Djv[y], получим отсюда
| у (х", h)-у (%', h) | < /(1,(^)2] V\x"-x'\^-^rV\x''-x' I, (223)
т. е. {y(x,h)} равностепенно непрерывна.
б) Из условия нормировки (р, у2) = 1 следует, что по край-
ней мере в одной точке х = х' имеет место неравенство
р(х')у2(х', h) 1, т. е. | у(х', h.) | 1 / У ct. Отсюда и из (223)
следует равномерная ограниченность последовательности
{у(х, h)}:
I У(х", h) | <| у (х', h)\ + \y (х", h)-y« ft) |< ' +^..
У С] V ci
По теореме Арцела, примененной к последовательности се-
точных функций, существует некоторая подпоследовательность
176
ГЛ. HI. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[20
{у(х, hk)}, равномерно сходящаяся к некоторой функции й(х),
непрерывной на отрезке [0, 1]:
lim || у (х, hk) - й (х) ||с = 0.	(224)
Будем предполагать, что соответствующая числовая после-
довательность (xhfe] = {X(h.k)}, ограниченная в силу (219), схо-
дится к некоторому пределу X:
lim k(hk) = X.
^->0
В противном случае мы выбрали бы из нее сходящуюся под-
последовательность и ограничились бы рассмотрением только
этой подпоследовательности.
Лемма 6. Если для некоторой последовательности {K(hk)}
lim Х(/гй) = Х,	(225)
то Xi, где Xi— наименьшее собственное значение задачи
(204).
Доказательство. Пусть м*(х) — некоторая кусочно-
гладкая функция, для которой м*(0) = м*(1) = 0 и
- * D [и ]	.	।	л
~ Н[и*] ^^1 + е> 8 > °>
и пусть
DNb [“‘1
Nk=\lhk.
nNk lu J
В силу принципа минимума Xi (/гй)<^Х*(/гй), причем Х*(Лй)->Х*
при hk -> 0. Переходя к пределу при hk -> 0, получим
X X X] 4" е.
Отсюда, в силу произвольности е, следует, что X Xi.
Наша ближайшая цель — показать, что предельная функция
й(х) удовлетворяет уравнению (204) при Х = Х.
Задача (213) эквивалентна разностному аналогу интеграль-
ного уравнения
z/(x) = Xft(G(x, g), р(|)//Ш	(226)
где G(x, g)—функция Грина для оператора Л (см. п. 8).
В самом деле, в п. 8 было показано, что решение задачи
^У = (ау^х~^У= - <р(х), 0<х = //г<1, z/(O) = z/(l) = O
дается формулой
r/(x) = (G(x, |), <р(£)).
20]
$ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
177
В нашем случае следует формально положить <р = Арг/, что
сразу дает (226).
Если воспользоваться функцией Грина Go(x,£) оператора
&У = (аУх)х, y0 = yN = 0,	(227)
то задачу (213) можно свести к уравнению
y(x) = (GoA(x,a	(228)
В п. 9 было выписано явное выражение для Go. Из него
видно, что Go(x, %) при /г->0 сходится к функции Грина G0(x, £)
задачи
(ku')'= — f(x), 0<х<1, и(0) = и(1) = 0,	(229)
так, что
lim|Go(x, £)- Go (х, g)| = 0.	(230)
л-»о
Совершим в (228) предельный переход при ft->0 и учтем
соотношения (224), (225) и (230):
u(x)=J G^x.^^r^-q^u^dZ.	(231)
о
Отсюда, по определению функции Go(x, g), следует, что ре-
шение й(х) интегрального уравнения (231) удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению (204) при А = Х. Итак, X — соб-
ственное значение задачи (204). Так как, согласно лемме 5, А
Xi, где Xi — наименьшее собственное значение, то X = Ai и,
следовательно, и(х) = Ui{x)—первая собственная функция за-
дачи (204).
Таким образом, мы доказали, что последовательность
{y(x,h)} равномерно сходится к щ(х), а Aj = Aj(/i) схо-
дится к Xi при h-+0:
lim || у{ (х, h) — щ (х) ||с = 0, lim А? = Ai. (232)
л-»о	л-»о
Приведенные выше рассуждения относились к наименьшему
собственному значению Л?.
В случае других собственных значений АЙ при п > 1 все рас-
суждения сохраняют силу, если учесть, что АЙ и А„ опреде-
ляются как минимумы функционалов (DN [q>])/(HN [ф]) и, соот-
ветственно, (D [<р] )/(Я[<р]) при дополнительных условиях орто-
гональности HN [ф, г/т] = 0 и Н [ф, Um] = 0, 1 m < п.
Следует отметить, что мы исследуем собственные значения
и собственные функции номеров п «о, где п, п0 не зависят от Л,
178
ГЛ, III, ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[21
При изучении задачи Штурма — Лиувилля для простейшего опе-
ратора Лу = у-х в гл. I, § 2, мы нашли собственные значения
А,п = -д2-81П	2~> п=\, 2, .... N— 1.
Их число равно числу N— 1 внутренних узлов сетки.
Сравнивая А„ с решением задачи для дифференциального
уравнения (и" + ки = 0, и(0) = «(1) = 0) ,Х„ = л2п2, п = 1, 2, ...
° л	‘
видим, что последние собственные значения кп не имеют ника-
кого отношения к точным собственным значениям А„ тех же но-
меров. Так, например,
° ft 4	2 nh °	9 /А7	1ч2	л2(1—/г)2
Ау-1 — ^2 COS g , Ay~i — л (N 1) —	>
У1 4
^L = — (l + 2/i + О т «0,4,
т. е. Xy-i отличается от точного значения	примерно
в 2,5 раза.
Всюду мы предполагаем, что номер п собственного значения
фиксирован и не зависит от h. При отыскании собственных зна-
чений номера п фактически требуется, чтобы
Поэтому для определения собственных значений высокого по-
рядка требуется очень мелкая сетка. Для 10 целесообразно
использовать схемы высокого порядка точности.
21. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Оценка скоро-
сти сходимости. Пусть А\ у(х)—решение разностной задачи
(213), а А, и(х) — соответствующее решение исходной за-
дачи (204). Выясним вопрос об асимптотическом (при /г->0)
порядке погрешностей z = y— и и Д/.	— Ав равномерной
метрике.
Для погрешности z = y — и получаем разностную краевую
задачу
Az + Aftpz = —	0<x = i/i<l, z(0) = z(l) = 0, I
Az = (azx)x — dz,	J (233)
где
¥ = Ли + Ури	(234)
— погрешность аппроксимации для схемы (213) на решении
уравнения (204);
21)
§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
179
Преобразуем выражение для Т. Для этого проинтегрируем
уравнение (204) по х в пределах от Хг—*/3 до Хг+</2:
Xi +1/,
W{ +'/а h Wi~'/г ~~h J (?W- ^r(x))u(x)dx = 0,
xl ~'h
, du(x.)
wi==k^dTL-
Вычитая это тождество из (234), получим
Д = ф + (Xй - X) ри,	(235)
где
Ф = Пл + Ф‘,	(236)
(0,5	\
du(x) — J q (х + sh) и (х + sh) ds I -J-
-0,5	'
/	0,5	\
+ X j ри — J г (х + sh) и(х + sh) ds I, (237)
'	-0,5	>
т] = au* — k(x — 0,5/г) и' (x — 0,5/г).	(238)
В частности, для схемы (213) с коэффициентами (57) имеем
Д = ф + (Xй — X) ри,
Ф = Пх + Ф’>
0,5
ф* = J q (х + sh) (и (х + sh) — и (х)) ds +
-0,5
0,5
+ Х J г (х + sh) (и (х) — и (х + sh)) ds.
-0,5
(239)
Для выяснения точности схемы (213) надо оценить решение
задачи (233).
Параметр Xft является собственным значением. Поэтому не-
однородное уравнение (233) разрешимо только в том случае,
когда собственная функция у задачи (213) ортогональна к пра-
вой части уравнения (233), или, точнее, должно быть выполнено
тождество
(V, У) = (ф, У) + (Xй - X) (ри, у) = 0.	(240)
Пусть и(х) и у(х)—нормированные собственные функции:
Д1и]=1, ДхЫ=1.
Igo	ГЛ. HI. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХВМЫ	|21
Выше было доказано, что ||у— «Ис-*О при /i->0. Поэтому
при достаточно малом h можно утверждать, что (ри, у) 0.
Собственному значению ХЛ соответствует только одна собствен-
ная функция, определяемая с точностью до произвольного мно-
жителя Со. Выберем множитель Со таким образом, чтобы функ-
ция у = СоУ был ортогональна разности z — у — и:
(РУ,*) = О.	(241)
Отсюда получаем
(р, иу) = (ру, y — z) = (ру, у) - (ру, z) = (ру, у) = Со (р, у2) = Со.
В предыдущем пункте было показано, что у(х) ->н(х) при
Поэтому Со->1 при й->0. Будем считать, что Со > 0.
Далее,
(р, и2) = (р, (z - у)2) = (р, z2) - 2 (р, zy) + (р, у2) =
= (Р. У2) + (Р, г2) = С2 - (р, ги),
так, что
1 -Со= - (р, zu) — (HN[u] — H[u]).	(242)
Условие (240) используем для определения ДХ:
ДХ = - X = - (ф, у)/(ри, у)=- (ф, y)/Cl (243)
Преобразуем теперь правую часть этого тождества, учитывая,
что ф = т)х + ф*:
(Ф> У) = - (п> yj + (Ф’> у)-
Отсюда и из оценок (220) для уау* следует
Лемма 7. Пусть k,q,r — кусочно-дифференцируемые функ-
ции, Хп и \п~ собственные значения задач (204) и (213), соот-
ветственно. Тогда справедлива оценка
|хА-Х„|<Л1п’/,((1, | т) |] + (1, | ф* |)),	(244)
где М = const > 0 не зависит от h и п.
Перейдем к оценке z. Так как у = Соу, то у удовлетворяет
уравнению (213) и //jv [у] = Со, а для z = y — и получаем за-
дачу (233).
Сведем задачу (233) к дискретному аналогу интегрального
уравнения
гW = Xh(G (х, I), р ft)z ) + (G (х, Т ft)),	(245)
где G(x, £) = Gh(x, £)—разностная функция Грина оператора
Ау = (аух)х — dy с краевыми условиями у(0) = у(1) = 0.
Собственная функция у задачи (213) удовлетворяет уравне-
нию
y(x) = XA(G(x,£), pft)£ft)).	(246)
21]	§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ	181
Пусть Xh = Xn— собственное значение номера п, а у =
= Уп (х)— нормированная собственная функция, (р, ^)=1.
Чтобы получить вместо (245) и (246) уравнения с симметрич-
ным ядром, сделаем замену
п(х) = /р(х) z(x), ф(х) = /р(х) у,	(247)
К (х, I) = /р(х)р(£) G (х, I).	(248)
Тогда уравнения (245) и (246) примут вид
vn (х) = & (К (х, I), v (£)) + f (х),
Их) = (К(хЛ), Ф(|)), W = W//p, J
ф„(*) = Ч(№ £). фЛ))-	(25°)
Условие ортогональности f(x) к функции ф„(х) выполняется
в силу условия (240):
(Ф„(х), /(х)) = (ф„(х), (К(х, I), Й))НП), (К& X), Ф„(х))) =
= С? ft), ф« ft)) =	Уп)=<*> Уп) = 0.
Условие (241) запишется в виде
(фп, vn) = 0.	(251)
Будем искать решение v(x) = vn(x) уравнения (249) в виде
ц(х) = /(х)+	2 <Wa(x)	(252)
k— 1, k ф п
при дополнительном условии (251).
Подставим это выражение в уравнение (249):
V (X) = f (х) + Ц s' Ck (К (X, £), фй (£)) + (К (X, £), f (I)).
Разлагая f(x) по собственным функциям {фй}:
f(x)= '2 4Фа(Д dk = (f, Фй), (253)
Л*1, Лфл
получим
(^(хл), fft))= 2 -^фам
А-1, Афп
И
л A a h
=	ФД
182
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
121
так что
М-1
V (х) = f (х) + 2
йф п
Оценим выражение, стоящее
у1 (Й Фа) Фа (х)
ь	^А “
6 = 1,	R	п
под знаком
М-1
Фа (х).
(254)
^(А Фа)

суммы:
мит„ 2j i^-^г
fe"l, бфп
Пусть е>0 — любое число, не зависящее от h. Выберем но-
мер «о такой, что Am > (1 + е) Тогда
У Vk ^-l+eyK^^M'yi ^
|^-лА| е 4 е
k—По I R n >	k = nQ R	k—no
где M = const >0 не зависит от й. Так как	для
при /г —> 0, то сумма по k от 1 до па — 1 при достаточно
h hQ ограничена постоянной, не зависящей от h.
Таким образом, справедлива оценка
II V ||с < М (п) II f ||с.
Преобразуем выражение для f(x):
f(x) = (K(x,^(1-))=y^(G(x, I), Т(Щ =
= (ХА-X)	(G (х, I), р (I) и (^)) + /р~(1ЙG (х, I), rfc (I)+ф* (I)) =
= AXft/FW(G(x, Ю, Р(£)«(£))+ /pWttGdx, I), W] +
+ (G(x,£), О))}.
Отсюда, учитывая ограниченность G(x, ^) и G$(x, £) (см. п. 9):
| G(x, I) |< 1/с„ |G5(x,£)|<2/C1,
малом
(255)
получаем оценку
Шс<М1((1. Inll + O- !Ф,1)) + ШЛ|А^1-
Подставим эту оценку в (255), вернемся к функции z = v/Ур
и учтем
(219):
Шс <Л4(п)((1, Ы] + (1, 1Ф* I))-
Нас
через г:
интересует разность z = у — и, которая выражается
2	1 Cq 2	1 Со
2 = Т7сГ~ c0(i + c0) “>
21]
§ I. СХЕМЫ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ
183
где Со — постоянная, введенная ранее. Отсюда следует:
II 2 Пс + l 1 ~ Со | c'iflc) <M(l|2||c + |l-Cg|)
'-О	и0 \1 » ^0/
при достаточно малом h, так как Со—>1 при /г —> О, а вели-
чина || и ||с ограничена. Из формулы (242) видно, что
11 - q | = (р, г2)',г (р, и2)* +1 hn [«] - н [«] ।
и, следовательно,
1И1с<М1И1с+ Al| HN [u] - Н[и] |.
Подставляя сюда оценку для || z ||с, убеждаемся в том, что верна
Теорема 8. Для погрешности схемы (213) при к = кп и
при достаточно малом h^.h0 имеют место оценки
llz„||c = h„-u„||c<A41(n)((l, |т)1] + (1, Ю) +
+ M2\HN [ип]-Н[ип]\, (256)
|ДХ„| = |^-А„|<А4з((1, |т)1] + (1, I € I)),	(257)
где п не зависит от h, МДп) > О, М2 > О, М3 > 0 — постоянные,
не зависящие от h.
Перейдем теперь к оценке порядка точности разностной за-
дачи Штурма — Лиувилля (213). Для этого нужно оценить ве-
личины (1, | т) I ] + (1 > | Ф* |) и HN [«] — Н [ы].
Если k(x), q(x) и г(х)—достаточно гладкие функции, точ-
нее, k, q, геС(2!, то так же, как и в п. 10, можно показать, что
(1, |т)|] = O(/i2), (1, |ф*|) = О (А2) для любой исходной схемы.
Далее, имеем
1
HN [и] — Н [«] = (р, и2) — J г (х) и2 (х) dx =
о
У-1 '	0,5	\
= X h \ рщ2 — | г (xi -I- sh) и2 (х{ + sh) ds I —
i = l \	-0,5	/
0,5Л	1	N-l
— j ru2dx— J ru2 dx — Цд^ + О (/г2),
0	1-0,5ft	1 = 1
где
0,5
\ = Ргм/ ~ J* r (х« + s/i) “2 (xi + s^) ^s-	(258)
-0.5
Интегралы от 0 до 0,5 и от 1 —0,5/г до 1 есть величины O(h3),
так как и2 *= О (h2) в силу краевых условий,
184
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(21
Учитывая, что
r (xt + sft) и2 (х. + sty = (ri + sftr') (и2 + sh (м2)') + О (ft2) =
0,5
= r.u] + sh (rity'i + 0 (ft2), J s ds = 0,
-0,5
получаем Дг=О(й2) и, следовательно, Н N[u] — Н[и] = О (h2)
при г е С<2).
Таким образом, любая исходная схема (213) имеет второй
порядок точности
II Уп-ип 11с = о (й2), |^-Х„| = О(й2)
в классе достаточно гладких коэффициентов k, q, г е С<2>.
Рассмотрим теперь класс разрывных коэффициентов
А(х), <?(х), r(x)e= Q®
и покажем, что любая схема (213) имеет в этом классе первый
порядок точности, а наилучшая схема (213), (57) имеет второй
порядок точности при А(х) е Q<2\ <?(х), r(x) eQ!4
Доказательство этого утверждения проведем, предполагая
для простоты, что k, q, г имеют только один разрыв первого
рода в точке g = хп + Ой, 0	6	1, хп = nh, 0 < п < N— 1.
По аналогии с п. 11 находим
(1, Ini] = 0(A), (1, |ф‘1) = 0(й).
Из формулы (258) видно, что Дг = О (й2) при i =/= п и Z =/= n +1,
а Д„ = О(1), Д„+1 = О(й2) при 0 <0,5; Д„==О(й2), Д„+1 = О(1)
при 6 >0,5, так что
N-1
HN [м] - Н [«] = S tyh + о (А2) = О (А).
/=1
Отсюда в силу априорных оценок (256), (257) следует, что для
любой схемы (213) || уп — ип ||с = О (й), |	| = О (Л) при
A, q, г <= Q<2).
Для схемы (213) с коэффициентами (57)
(1, Ы] + (1, 1Ф*1) = 0(й2),
0.5
Дг = J г (xt + sty (и2 (xi + sty — и2 (xt) )ds + O (ft2) при i =/= n, n + 1,
-0,5
0.5	0,5
Д„ = $ (г($-0) +0(h)) O(h)ds +j’(r(^ + 0) + O(ft))O(ft)ds =
-0,5	e
= О (ft), Дп+1 = О (ft2) при 0 < 0,5,
Д„ = О(й2), Дп+1 = О(й) при 0 >0,5,
Д^[м]-Я[М] = О(й2), reQ"1,
и	§ 2. СХЁМЫ ДЛЯ ПАЁАЁОЛЙЧЁСКОГО УЁАЁНЕНЙЯ	185
Отсюда, в силу априорных оценок (256), (257), заключаем,
что для наилучшей схемы
II уп-ип ||с= О (й2), | Хп —Хп | = О (й2), если k (x)eQ<2), q(x), r(x)e=Q(1).
Все результаты, полученные для однородных схем, соответ-
ствующих краевой задаче, сохраняют силу и для разностной за-
дачи на собственные значения (213).
Так, любая исходная схема на неравномерной сетке
Ay + Aftpz/ = O, 0<х<1, y0 = yN = V,
АУ = (аУх\ ~ dy'
коэффициенты которой a, d, р определяются по формулам (83)
и (85), имеет второй порядок точности в классе разрывных ко-
эффициентов й, <?, reQ<2> на специальных последовательностях
неравномерных сеток (таких, что точки разрыва функций
k, q, г являются узлами сетки).
По аналогии с п. 14 можно написать точную схему и усечен-
ные схемы любого порядка точности. Такие схемы были иссле-
дованы В. Г. Приказчиковым [2].
§ 2. Однородные разностные схемы для уравнения
теплопроводности с переменными коэффициентами
1. Однородные разностные схемы. В этом параграфе рассмат-
риваются однородные разностные схемы для уравнения тепло-
проводности с переменным коэффициентом теплопроводности
k(x,t), а также для квазилинейного уравнения с й = й(х, t, и).
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения тепло-
проводности: ищется непрерывное в прямоугольнике DT =
= (0	1, t Т) решение уравнения
^ = Lu + f(x,t), Lu = -^[k(x,t) -g-),	(1)
удовлетворяющее начальному условию
и (х, 0) = и0 (х),	0 х 1	(2)
и краевым условиям
ы(0,/) = «i(0, и(1, t) = u2(t),	(3)
Коэффициент й(х, /) ограничен снизу и сверху
0 < Ci й (х, t) с2, (х, t) е DT,	(4)
1§6	III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЁМЫ	[1
где Ci, с2—постоянные, и удовлетворяет условию Липшица по t,
которое мы запишем в виде
I k(x' ^~к(-х’	| < c3k (х, t,),	(5)
I	I
где t\, t2 e [0, T], ti < Z2, c3 > 0 — постоянная.
Предполагается, что задача (1) — (3) имеет единственное ре-
шение, обладающее нужными по ходу изложения производными.
Построим в Dt сетку. Пусть
йл = {х; = i/г, i = 0, 1, ..., N, h= 1 /N}
равномерная сетка с шагом h на отрезке 0 х 1,
“т = К/ = /т> j = 0, 1, ..., No, t> = T/N0}
сетка с шагом т на отрезке 0 t Т,
“лт = “л X йт = {(х;, tj), xt е йл, tj^ <ох}
сетка в Dt,
юЛх = йл X йт = {(х£, tj), Xi = ih, 0<i<N, tj=jr, 0</<Af0}*
Для получения однородных консервативных разностных схем
воспользуемся интегро-интерполяционным методом. Рассмотрим
уравнение (1) при t = t = 1,+уг и напишем для него уравнение
баланса на отрезке х£_угхх1+у2:
xi+'h	х1+чг
J	dx = w (xi+,/a, t) — w (Xi-,/,, t) + j* f(x, t)dx, (6)
Xi-Vi	xi-1/!
где
W [Xi-,j2, t) = (k (X, t) dUg^-} )
Аппроксимируем входящие в (6) слагаемые
*i+’/2	xi+4,
f —dx ~ hut, i, I* f (х, t) dx ~ h(f>i,
Xi~42	X‘-'/2
tn (Xi-i/a, I) at (айх, i + (1 — ст) и.ц,,), й = ul+l, и = и1,
где о — параметр, at выражается через значения функции k{x, t)
при Xj-i <х<х£ (ср. § 1, п. 5).
Подставим эти выражения в (6), заменим и на у, знак ап-
проксимации—знаком равенства. В результате получим еле-
и
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
187
дующую однородную консервативную разностную схему (обо-
значим г/ = г//, # = г//+1, yt = (0 - у)/г):
yt = A(t)(a() + (l-a)y') + 4, Q<x = ih<\, 0<,tl = jx<T,
у(х, O) = uo(x), x<=ah,
y(Q, t) = ux{t), y(l, f) = u2(f), ts=ax,	( ’
^)y = (a(x,t)y.)x.
Начальное условие и краевые условия первого рода выпал-
няются на сетке точно.
Коэффициент а и правая часть <р вычисляются при помощи
введенных в § 1, п. 3 шаблонных функционалов
Л[£(«)], - l<s<0 и /47(5)], -0,5<s<0,5
по следующим формулам
а (х, ?) = A [/г (х + sh, ?)], <р (х, t) = F [/ (х + sh, ?)].
Шаблонные функционалы заданы на классах кусочно-непрерыв-
ных функций £(s)eQ<°)[—1,0], 7(s)eQ<°>[—‘/2, ‘/г]. Так как
A [A: (s)] — неубывающий однородный функционал первой степени
и А [1] = 1, то из условий (4) и (5) следует
0<_сх^.а^.с2,	(8)
I at\ < с3а.	(9)
Семейство однородных схем (7) определяется заданием A, F и
параметра ст, от которого зависят устойчивость и точность (по t)
схемы (7).
Если k = 1, то а = 1 и схема (7) переходит в схему с весами
для уравнения с постоянным коэффициентом теплопроводности,
исследованную в гл. II.
Интегро-интерполяционный метод позволяет получить и ряд
других схем. Так, например, пользуясь уравнением баланса
в прямоугольнике
(х(-_./г<х<хг+./2, tj < t < tl+x),
легко получить схему
г// = стЛ(//+1)г//+1 +(1 - ст) Л (/,-) г//+ ф/.
Для вычисления ф могут быть использованы и другие формулы,
например, - .
Дн xi+'/2
/ j* f (х, 0 dx dt.
Ч xi-'h
188
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(1
Мы ограничимся здесь изучением только схем (7). При прак-
тическом применении схем (7) для вычисления а и <р можно
рекомендовать простейшие формулы из § 1:
,	2ЙСХ.-0, l)k(x, . +0, ?)
ai = k(Х/-,/2’?)’ а‘ ~ ч^-°>0 + Ч^-1 + 0-?) ’	(10)
Фг = 0,5 (f (xz — 0, ?) + f (xz + 0, ?)).
Приведем схему (7) к «счетному виду», т. е. к виду, удоб-
ному для вычислений. Для этого разрешим уравнение (7) отно-
сительно у = yi+l:
axAy — y=—F, F = у + т(1 — ст) Ау + тф.
Запишем это уравнение в развернутом виде
Л&-1 —	~ Рь {’=1> 2, ... , N— 1,
Aj = axajh2, С{ = А[ + Xz+1 + 1,
Л = (1 -Д(1-а)(й/ + й/+1))^+	НИ)
+ (1 - а)(az«/z_j + ai+lyi+i) + ф,т.
Для определения = у(+1 на новом слое получаем разност-
ное уравнение второго порядка (11) (или трехточечное разност-
ное уравнение) с краевыми условиями
Уй = U\ (^/ + 1)> yN = U2^1 + \}-	(12)
Для вычисления правой части уравнения (11) можно пользо-
ваться рекуррентной формулой
F / = у! —Ft~l + тф{.
Объем вычислений при этом уменьшается.
Решение задачи (11), (12) может быть найдено методом
прогонки при ст > 0, так как условия устойчивости прогонки
.4;>0,	+
выполнены.
При ст = 0 получаем явную схему
yt = A(t)y + <p или yl+i =у! + x(A(l)y< + <р),
при ст= 1—схему с опережением или чисто неявную схему
^ = Л(7)# + ф.
При ст = 0,5 получаем симметричную схему
z/z = O,5A(7)(0 + ^) + (p.
2)
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
189
2.	Погрешность аппроксимации. Вычислим погрешность ап-
проксимации для схемы (7). Пусть u(x,t)—решение задачи
(1) — (3), yl — решение соответствующей разностной задачи (7),
zt = У{ ~ ui ~ погрешность схемы (7). Подставляя у{ = и{ + г{
(или у = и + z) в (7) и считая и(х, t) заданной функцией, по-
лучим для z следующую задачу:
х/ = Л(ст^ + (1-ст)х) + ф, Л.г = (а2х)х, (х, /)еаЛ1,)
х(х, 0) = 0, хешй, z(0, t) = z(l, t) = 0, t е йх, J
(13)
где
ф = Л(?) (стй + (1 — ст) и) + ф — ut	(14)
— погрешность аппроксимации для схемы в классе решений
и = и{х, t) задачи (1)—(3).
При оценке порядка аппроксимации будем предполагать, что
и(х, t), k(x,t) и f(x,t) имеют нужное по ходу изложения число
производных. По аналогии с § 1 преобразуем формулу для по-
грешности аппроксимации. В силу уравнения баланса (6) мож-
но написать
Ф/ = [(а(стйх + (1 -ст) и*) )х + ф-«/Ь~
Ж1 + Ч,
, ,	,	°	1	Г ди (х, I) .
- (w (Xi-4t, t) )х, t + ф, - J J —— dx ,
xi-4,
где ©(xz-Va, ?)==(&-|^-) I
ф(=4" J и*,	(15)
х1—'!г
Отсюда следуют формулы (см. § 1, п. 10):
Ф = Пх + 'Ф’,	(16)
т)г = a (xz, t) (стй.г + (1 - ст) ux)i - k (xz_i/a, t) —(17)
/	xi+'l,	\
^ = (4>z-4>z) + (| j*	•	(18)
\ Xi~'l2	1
Преобразуем т^. Так как стй+(1 —ст) ц = (ст—0,5)тц<+0,5 (й + п), то
/Йг + Иф\ / ди V“f	„
4i = ai{—о—) — U-a7J + (ст - 0,5)та;««. i.
'	- аХ ‘ Х-Х1-.Ц.
190
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
13
Учитывая, что по определению исходного семейства схем
(см. § 1, п. 7)
ai = ki-i/t + О (h2), ^i=f(.xi,t)+O(h2), (Pi = fi +O(h2),
получаем
r|i = О (тт® + A2), ф* = О (т2 + /г2),	(19)
| 1, ст=/=0,5,
т° = I 2, а = 0,5,
если существуют непрерывные в Dt производные k", k, f", f,
й, и'", й" при ст =£0,5, а при ст = 0,5, кроме того, — производ-
ные и', и (точками обозначены производные по t, штрихами —
производные по х).
Если стационарная схема Ау + ср = 0 имеет второй порядок
локальной (в норме С) аппроксимации, т. е. а удовлетворяет
условиям
°i+1A “L = (^). + О (h2),	=ki + O (h2),
то Лх, i = О (тт® + /г2) и ф = О (тт® + /г2) при условии, что о не
зависит от т и h.
Для оценки порядка погрешности аппроксимации в форме
(16) будем пользоваться нормами
М-1	М-1
Нф11(_1)=2Л S h^k
' ' i=i s=i+i
II Ф Н(-2) =
3.	Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффи-
циентов. Пусть k(x, t) и f(x, t) имеют разрывы первого рода
на прямой х = g, параллельной оси t. Пусть t = хп + Qh, xn = tih,
п>1. На линии разрыва выполняются обычные ус-
ловия сопряжения
[м] = 0,	= 0 при х = 1, /(=(0, Г].
L V" J
Для погрешности аппроксимации ф и в этом случае верны
формулы (16) —(18). Оценки (19) имеют место во всех узлах,
3]
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
191
кроме х = хп и х = Xn+i. Если коэффициенты k(x,t), f(x,t) при
каждом фиксированном t принадлежат классу Q(i2{0, 1] и
и (х, t) е (DT), то
г); = О (h2 + т”0) при I п + 1, та = | 2’
ст =/=0,5,
ст = 0,5,
Пп+1 = 0(1),
ф* == О (h2 + г2) для г =/= п
при 0 < 0,5 или для
/ =/= n + 1 при 0 > 0,5.
(20)
Для наилучшей схемы, как это следует из § 1, п. 11,
T)Z = О (h2 + гт°), 1¥=п+1, Лп+i = О {h + тто),
0,5
Г ди (xi + sh, ?)
J dx
ds — Щ, t =
O(h2 + r2), i¥=n, i=£n+l,
O(h + r2), i = n, 0<O,5,
O(h + x2), i = n+l, 0>O,5.
Для произвольной схемы имеем
ih = П, + (^ ~ К) и^,
ф;=ф;+ф<-
Введем новую функцию fj, полагая
Tjx Z=°, i^n, n+i, пх.п=ф;,
Пх.п-м^п + р 'Й1=°-
Отсюда находим
fjz = O, i<n, rjn+1=/M|\,	1
Пг = /г№+1+ ^) ПРИ «>«+!• J
(21)
(22)
В результате получаем для ф формулу
Ф = Цх + Ф“» Ц = п + п,	1 ,23)
^*’ = 1]}*, t‘y=n, /г +1, ф**==0 при i = n, п+1, / '
где т] определяется формулой (17), п — формулами (22), ф*—
формулой (18).
Представление погрешности аппроксимации в таком виде бу-
дет использовано в п. 5 при исследовании сходимости схемы (7)
в классе разрывных коэффициентов.
192
ГЛ. 111. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Н
Если при фиксированном t = t выполнены условия второго
локального порядка аппроксимации схемы Л.у + <р = 0:
^±JrfL==(^-) +0^2)’	+
и	\ ил /1	л
4>i = fi + 0(fi2)
при & е С<3)[0, 1], f е С<2> [0, 1], то погрешность аппроксимацииф
схемы (7) можно представить в виде
ф = ^ + ф,
где v определяется условиями
Vj — 0, vx,i = 0 при i=/=n, n+1,
^х,п = фп, Vx>n+1 =фп+1,
ф£ = 0 при i = п, п + 1,
фг = ф£ при t=/=n, п+1.
Отсюда находим
v£ = 0, Z<n, v„+1=H„,
Vi = h (фп + Фп+l) при t>n+l.
Выбор того или иного представления ф зависит от требова-
ний гладкости (в областях х < g и х > g) решения u = u(x,t)
и функций k(x,t) и f(x,t).
4.	Устойчивость и априорные оценки. Исследуем устойчи-
вость схемы (7) по начальным данным и по правой части. Рас-
смотрим задачу
^ = A(?)(oi? + (l-о)^) + Ф, Ху = (ау^х,
у(х, О) = уо(х), x<=vh, у(0, t) = y(l, t) = 0,
0< Ci а с2.
(24)
В гл. VI, § 1 проведено детальное исследование вопроса об
устойчивости операторно-разностных двухслойных схем с весами
^ + Л(ар + (1-а)^) = ф(0, t^(ax, у(О) = уо, (25)
где A=A(t) линейный оператор, заданный на вещественном
гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением
( , ). При этом относительно оператора А используется инфор-
мация общего характера (требуется знание лишь таких свойств
оператора А, как самосопряженность и положительность).
Результаты общей теории устойчивости схемы (25) приме-
ним к нашей конкретной схеме (24).
В качестве пространства Я выберем пространство й сеточ-
ных функций, заданных на сетке ©h и обращающихся в нуль
4]	§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ	193
на границе (при i = 0, £ = Л). Оператор Ау = — Лу приу<=£2.
Введем в Q скалярное произведение и норму
(У, v) = 5 ViVih, ||у|| = /(у, у).
Оператор А = —Л самосопряжен и положительно определен
в Q. Это следует из формул Грина (см. гл. I, § 2):
(у, Ли) = (Лу, и) при у, ogQ,
(У, -Лу) = (а, (У^)2] > || у^р^вс! || у ||2.
Вычислим норму ||Л|| оператора Л. Так как Л самосопряжен, то
(см. гл. I, § 3)
|| Л ||= sup | (Ау, у)|.
II У 11 = 1
Подставляя сюда
(У, ~ Лу) = (а, (у,)2] < с21| у,]|2 <	1| у II2,
находим || Л || = || Л || ^ 4с2//г2.
В гл. VI, § 1 показано, что условие
а "2 ~ т || Д || = а°	(26)
является достаточным для устойчивости схемы (25).
В вашем случае условие (26) имеет вид
1 Л2
а>а0, Оо = -- —,	(26)
так как ||Л||	4c2/h2.
При этом условии для задачи (25) имеет место априорная
оценка (см. гл. VI, § 1, теорема 10)
IIУ/+1 II < II Уо II + о max j (I (л-'ф)'' | +1 (Л~‘<p)f |}.	(27)
где М = const > 0 зависит только от Т, а оператор А = A(t)
удовлетворяет лишь условию положительной определенности
A (t)	6Е, 6 = const > 0, Е — единичный оператор.
Если, кроме того, Л(/) —самосопряженный оператор и
__ 1	1-е
о ое> Ое 2 т II А II ’
где е > 0 — любое число, не зависящее от т и h, то для задачи
(25) справедливы оценка (см. гл. VI, § 1, теорема 10)
IIУ1+] KIW+ -£отах ,||ф/'||л-.	(28)
где || ф ||л-1 = /(Л~‘ф, ф).
7 А. А. Самарский
194
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Входящие в (27) и (28) нормы ||<р||л-1, ||Д 'ф|1, ||U 'ф)г||
можно заменить более простыми нормами.
Рассмотрим оператор Ау = — ухх при у ей. Из формулы
Грина {Ау, у) = (а, yQ следует:
{Ау, у)^сх{\, у\] = сх{Ау, у).
Так как А и А самосопряженные и положительно опреде-
ленные операторы, то из операторного неравенства A^ctA
следует ^Д-'^Д-1 или ^(Д^ф, ф)^(Д-1ф, ф).
°-i	0
Функция w = A ф есть решение задачи Дда = ф или
Aw = Wxx = — ф (х, t), wa = WN = 0.
Полагая ф = цх, получаем
{Wx + p)x = 0, Wx = C{ — p, Cl = const,
i	N
Wi^CiXi- ^iUkh, C] = S^-
A=1	Л=1
Оценим теперь выражение Пф!^,:
(Д~‘ф, ф) = (Дда, да)= — (wxx, да) = (1, w2x],
[| <pllbl = || ®J| < | С1 | +11 р]|<2|| р]|.
Априорная оценка (28) принимает вид
II У!+1 II <II Уо II + 1/^~ max ||ц'']1 при ф = цх, (29)
если выполнено условие а^а£.
Обратимся теперь к выражению || Д-1ф|| + ||(А-1ф)<|| = II ш II +
+ ||jwt||, где и = Д-|ф есть решение задачи Да> = ф или
Aw = {awx)x = — ф (х, ?), w0 = wN = 0.
Полагая Ф = цх, находим
Функция z = wt определяется из условий
(аг*)х = ~ Й =	+ Zo = z№°
по формуле для wit если в ней заменить р, на р,.
4}
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
195
Из явных выражений для w и wi легко получить оценки
n
где ct и с3 — постоянные из (8) и (9).
Подставляя || да|| и ||и>Н1 в (27), получаем для решения
задачи (24) при <р = следующую априорную оценку:
Ну/+'||<!1Уо11+Af ^max ((1, | ц'' 1] + (1, |	| ]),	(31)
если выполнено условие (26').
Чтобы получить оценку решения задачи (25) в энергети-
ческой норме || у ||л = У(Ау, у), потребуем выполнение условий:
А(/) самосопряженный положительно определенный оператор,
A (t) удовлетворяет условию Липшица по /:
|((А(/)-А(/-т))г/, г/)Ктс3(Л(^-т)г/, у) для всех yf=H..
(32)
Это неравенство для нашего оператора A(t) = — A(t) выпол-
няется, если потребовать, чтобы
| а (х, t) — а(х, t — т) | тс3а (х, t — т) или | аг | с3а,
где c3 = const>0 не зависит от т и h. В самом деле,
| ^A(t)-A(t-r))y, z/) | = | ((А — A) z/, у)\ =
= | ((« ~ «) Ух> Ух] | = т | (ЪУх’ Ух] | < тсз (“Ух’ Ух] = тсз (АУ’ У)-
В силу теорем 12, 13 из гл. VI, § 1 для схемы (25) имеют
место следующие априорные оценки:	*
1) Если выполнены условия (32) и	то
II У/+' 11а(;у) <^111 %11л(0) + ^20 max Д || <р'' ||л-. (<//) + ]|<рГИл-1 (<f)]- (33>
2) Если выполнены условия (32) и ст|>сте, то
П^+111Л^<^ЬО11 A(0)+v^- max Нфг1|. (34)
Здесь Afb М2 — положительные постоянные, не зависящие
от т и h.
В нашем случае Ау = — Ау = — (аух}х, Ау=~ухх, так что
(Ау, у) > Cj (Ау, у), (А~1у, у)<-^-(А~'у, у).	(35)
196
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(4
Учитывая (33) —(35), оценки для (Лш, ш), ш = Д~'ф и нера-
венство
II«It < 0.619j|.
получим для решения задачи (24) в случае г/о = О следующие
оценки:
II У1+' lie < М2 Q шах . (|| И/'Ц +1| ц/']|)	(33')
при СТ> СТ0 и ф =
U/+1 НсС-^г- max ||ф/'||	(34')
1	(1-е) Л2
при ст>сте, где стЕ^у- 4тсг 
Отсюда видно, что схема (24) при ст 0,5 абсолютно устой-
чива. Явная схема (ст = 0), как это видно из (26'), устойчива
при
т 0,5h2/c2 = т0,
т. е. условно устойчива. Величина максимального допустимого
шага то зависит от максимума с2 коэффициента теплопроводно-
сти так, что то->-О при с2—>-оо. Поэтому пользоваться явными
схемами для уравнения (1) с большим коэффициентом тепло-
проводности k(x,t) нецелесообразно.
Из оценок (33) и (34) устойчивость в С по начальным дан-
ным не следует. Соответствующие оценки в норме С можно
получить при помощи принципа максимума. Для этого запишем
уравнение (24) в виде
— ахАу + у — F, F = z/ + (1 — ст) тЛу + тф
или
Л#1-1 —	+ Л+1#1+1 = —	0 < Z < Л/’, #о = i/jv = 0,
•	= тстаД2, Ct = А{ + Ai+1 + Dt, Dt = X.
В гл. I, § 2, п. 5 для уравнения (36) с правой частью FiDi
при условии Аг >0, Di > 0 доказан принцип максимума и по-
лучена априорная оценка
II ЛсСИНс.	(37)
В нашем случае Di = 1, Fi = FiDi и
Fi = (1 ~ (1 ^---(«i + Яж)) У.+	(a^i-i + «i+ii/i+i) +тфг.
(38)
Пусть выполнены условия
0<о<1, 2(1 — о)тс2^Л2.
(36)
б]
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
197
Тогда Ai > 0 и все коэффициенты при yit у^, yi+i в (38) неот-
рицательны, поэтому ||F||C	||z/||c + т||ф||с и из (37) получаем
U''+’ lIcCIIrt + TlItp'lc. /' = 0, 1, ...,/.
Суммируя по j' от 0 до /, имеем
11*//+,11с<Ш1с + 2 т||(р/'||с.	(39)
/'-О
Эта же оценка справедлива и для явной схемы (ст = 0, Л, = 0).
Таким образом, доказана
Теорема 1. Если выполнено условие
л2
2(1—<т)с2 ’	(40)
то для задачи (24) справедлив принцип максимума и имеет
место априорная оценка (39) в равномерной метрике ||#||с =
= max \yt\.
О < / < A'
Из (40) видно, что при ст = 1 оценка (39) верна при любых
т и й, т. е. схема с опережением абсолютно устойчива в С. Для
явной схемы, ст = 0, оценка (39) верна при условии (35).
Рассмотренные в этом пункте априорные оценки мы приме-
ним для исследования скорости сходимости разностной схемы
(7)-(9).
5. Сходимость и точность. Чтобы выяснить скорость сходи-
мости или порядок точности схемы (7) — (9) как в классе непре-
рывных так и разрывных коэффициентов, нужно оценить реше-
ние задачи (13), учитывая при этом структуру погрешности
аппроксимации (16) — (23).
Рассмотрим сначала случай непрерывных и достаточно глад-
ких коэффициентов k и f.
Пусть схема имеет второй порядок локальной аппроксима-
ции, т. е. ф = О (й2 + т'"®).
Оценка (34') принимает вид
1|2/+1 Ис <77^ max Ill'll ПРИ	(17т!)Л2 •
Отсюда следует равномерная сходимость схемы (7) — (9) со
скоростью О (й2 + г"1’), если выполнены условия, при которых
/о \	f 1, ст =/=0,5,
II ф II = О (h + г ®), та =	-
V Z, и — и,о.
Займемся теперь исследованием вопроса о сходимости схем
(7) в классе разрывных коэффициентов. Представим z в виде
198
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
|5
суммы z = v + w, где v и w — решения задач
vt =	и(х, 0) = О, vo = vN = O, ц = Т| + т|,	(41)
wt = Лш<а) + ф**, w (х, 0) = 0, ша = wN = 0.	(42)
Наиболее слабые требования к правой части предъявляет
априорная оценка (29), которая для задач (42) и (41) при
ст8 имеет вид
II IK max ||ф“'1_2),	(43)
IK+'IKc^ max (1, |ц/'|],	(44)
где |i = г] + г), ф** определяются формулами (17), (18), (22)
и (23).
При этом v и w оцениваются в сеточной норме
Из (20) следует, что
(1, | т) I] = О (/г2) +1 т]п+1 \h = O(h), так как т]ге+1 = О(1).
Для ц получаем оценку
(1, I П 1К/г21 Фа 1 + /г(Фа + Фа+1) = 0(h).
Априорная оценка (44) дает
|| v/+1|| = О (Л-у т”1®).
Из априорной оценки (43) следует
|| w'+i |1 = О (h2 + г2), так как ф‘* = О (h2 + г2).
Объединяя оценки для ||и|| и ||ш||, получаем
||г/+11| = О (h + хт°).
Для наилучшей схемы имеем
т]г = О (/г2 + т"0), /=/=«+1, T)a+i = O(h + т"°)>
фа = 0(1), Фа+1 = О(1), Фа + Фа+i = О (/г + г"1®),
так что
(1, |Й|] = О(/12 + тт°), ф*‘= О (/г2 + г2).
Отсюда и из (43), (44) заключаем, что наилучшая схе-
ма имеет точность О (хт° + /г2) в классе разрывных функций
k, f е Q<2>[0, 1].
Будем предполагать, что k(x,t), f(x,t) и функция и(х, t)
в областях непрерывности k и f являются столь гладкими, что
выполнены условия
ту = О (/г2 + тт<1), i ф п + 1, ф* = О (/г2 + т2), i =#= n, п + 1.	(45)
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
199
Из предыдущего следует, что верна
Теорема 2. Пусть k(x,t) и f(х, t) имеют конечное число
разрывов первого рода на прямых, параллельных оси координат
Ot, и выполнены условия (45) и (9). Тогда любая схема (7) с
—	1	(1 — е) Л2 А
а ае, ае = тт — т~ — , е > О
е’ е 2 4тс2
имеет в сеточной норме А2(®л) точность О (/i + Tm<J), а наилуч-
шая схема с коэффициентами а, <р имеет точность О (h2 + Tma),
где tna=\ при а =/=0,5, ша = 2 при ст = 0,5. В классе гладких
функций k и f любая схема (7) имеет в сеточной норме С точ-
ность О (h2 -f- Tm<J).
Чтобы получить оценку точности в норме сеточного про-
странства С (равномерную оценку), следует воспользоваться ап-
риорными оценками (33') для v и (34') для w, Для v и w эти
оценки принимают вид
llu'+'llc^Af^max +||н/']|)> Н = П +	(46)
I w'+' |1С < М max Й**'II-	(47)
о < /' < /
Так как т)л+!_= О (1), то || л]! <1 Ui+i I Vh + О (h2) = О (У h) и
||v/+i ||C=O(]A +тто). Далее имеем || ц]| <й’/г|1|)„ | + /г | ipn+ipn+11 <
^M(h + тт°) и, следовательно,
1|г'+Ч1с=О(//Г + т'Ч	(48)
Для наилучшей схемы получаем оценку
||/+Чс = О(й’/2 + т'Ч	(48')
Потеря половины порядка по /г(]//г вместо /г), очевидно,
связана с методом исследования.
Пользуясь принципом максимума, можно доказать равно-
мерную сходимость со скоростью 0{xm<3 + h) при условии г
h2
2 (1 — ст) Сг
Мы рассмотрим схему с опережением (ст = 1). Для ее по-
грешности z = у — и имеем задачу
zt = Az + ty, + f*, ц = п + п>1
2(х, 0) = 0, 2(0, 0 = 2(1, 0 = 0- J	(49)
Решение этой задачи оцениваем методом выделения «стацио-
нарных неоднородностей», полагая
2 = V + W,
200	ГЛ. Hl. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	|5
где w — решение стационарной задачи:
Ай + цл = 0, ш0 = wN = 0,	(50)
a v определяется условиями
= Av +-ф, ф = ф"‘ — Wt, I
V (х, 0) = — w (х, 0), и0 = vN = 0. J
Для w и wt, согласно п. 4, справедливы оценки
I|W||C<M(1, lull, ||Мс<М{(1, Ы] + (1> W]}.	(52)
Для сеточной функции V, в силу теоремы 1, при любых т и h,
имеет место неравенство
/
II vf+1 Ис < || w (х, 0) ||с + 2 т || ф'' ||с <
Г-о
<11 W (х, 0||с+ 2 T||ayf|| + 2 тЦф**7'^.	(53)
f=o 11 |С г=о
Отсюда и из предыдущих неравенств следует:
||ц/+1||с<МоП1ах [(1, ||Д'|] + (1, | р./' | ] ] + 2 т || ф**Г ||с-	(54)
Так как (1,| ц |] + (1, I |] = й(| р„ |4-| Pn+i 1+1	1+1 Htn+i 1) +
4- О (й2 + т), ф" = О (т2 + й2), то
(1, Ы] + (1, I Ц/ |] + 11ф” Не = О(т + Л)
для любой схемы (7) и
(1, 1нП + (1. 1н/1] + НФ”11с = О(т + Л2)
для наилучшей схемы.
Тем самым доказано, что в классе разрывных функций k и f
любая схема (7) при а = 1 равномерно сходится со скоростью
О(т + й), а наилучшая схема (7) с ст = 1 равномерно сходится
со скоростью О (т + й2).
Для дифференциального уравнения
cU о4г=^(*(*»	0«+/(*> 0> <?>о, оо
схема с весами имеет вид
Р (х, t) yt = (а (х, I) (о# + (1 -а) у)^х -d (х, I) (<з$ 4- (1 - о) у) + Ф (х, t),
61
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
201
где коэффициенты р и d вычисляются по тем же формулам,
что и qp:
Р/ = F [с (х{ + sh, ?)], di = F [q (x( + sh, ?)].
0,5	z 0	x-1
Если F[7(s)]= J f(s)ds, z4[£(s)] = l	> то мы полу-
-0,5	'-1	'
чаем наилучшую схему с коэффициентами a, d, р, <р, где
/ о	\ ~1 ’	°’5
М I Mx+kf) ’ <*= \ f(Xi + sh,'t)ds
\-1	1	-0,5
и т. д. Эта схема сходится при <т^><те в сеточной норме /.2(04)
со скоростью О (h + тт°)в классе разрывных функций k, q, f, с,
имеющих конечное число неподвижных разрывов. В случае о = I
наилучшая схема сходится со скоростью O(x + h2) равномерно
(в С) при любых т, h в классе разрывных коэффициентов. От-
метим, что при выводе априорных оценок требуется дифферен-
цируемость k и q по t.
6. Однородные схемы на неравномерных сетках. На прак-
тике часто применяются неравномерные по х и t сетки. Неравно-
мерность сетки по t для двухслойной схемы не вносит никаких
изменений в написанные выше формулы и оценки. Следует лишь
иметь в виду, что шаг т = т;- зависит от номера слоя j. Порядок
аппроксимации по времени при этом не меняется. Случай, когда
сетка неравномерна по х, требует специального исследования,
которое проводится по аналогии с § 1.
Пусть <0д = {xit i = 0, 1, ..., А\ Хо — 0, xN — 1} — сетка на
отрезке 0 х 1 с шагами hi = xt — x,_i, i = 1, 2, ..., N. Опе-
ратор L, согласно § 1, аппроксимируется разностным оператором
Лу = (аУ^_, а = а(х,1),
где а вычисляется по формуле (см. § 1, п. 13)
a(xit t) = A[k(Xi + sh, ?)],
правая часть, например, по формулам (общую формулу для <р
см. в § 1, п. 13):
^+*/а	_
°	1 Г п	hill +hl+lfi
Ф/ = Ф« = д- J f (*. 0 dx, фг =-----’
А“=/(хг-0Л),	+
202
ГЛ. 111. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[6
Приведем простейшие формулы для а,:
(х. \ ~~ *
1 с‘ dx \	2k^ki-_l
h{ J k(x) ’ a‘~ k- + k+ '
xi-i J
at = 0,5 (kt + fe+-i), at = 0,5 (kt~i/2 + ki-1/2)
и др.
Рассмотрим схему с весами
^ = А(?)(а^ + (1 -сг)г/) + ср, x<=&h, G^t = jx<T,
У(х, О) = уо(х), .теа>л, г/(0, 1) = щ(1), i/(l, I) = и2 (?), 
A(t)у = (а(х, t)у.}.,	0<с1^а^с2.
(55)
Приведем схему к счетному виду. Известно значение уз на
слое t = tj, требуется определить уз+1 на новом слое t — tj+i из
условий
Aiyi-i-Ciyi + Btyi+l = -Fh /=1, 2, ..., Л'— I,
Уо — »1G/ + 1)> У.М — »2 (^/ + 1),
Л ТО1Т г> . ра1 + 1т
1 hfit ’	hi+l Йг ’
= Aj + Bj + 1,
Л = [1 -
(1-Р)т /а. ,
Йг [hi + hi+J]yi +
(1-а)т / a.y.^	al + iy. + i \
V~V~+ hi+l / + 'Pi-
Эта задача решается методом прогонки.
Пусть у[ — решение этой задачи, и(х, t)—решение исходной
задачи (1) — (3), = —«{— погрешность схемы (55). Под-
ставляя в (55) у = z + и, получаем для z задачу
zt — Л (?) (uS + (1 — о) z) + ф (х, t), х е йй, 0^? = /т<Г, 1
z(x, 0) = 0, хеб;,, z(0, ?) = z(l, ?) = 0,	j
где
ф (х, t) = А (?) (ай + (1 — о) и) + <р — щ	(57)
погрешность аппроксимации задачи (1) — (3) схемой (55).
Воспользуемся уравнением баланса (6) на отрезке
х^-уг	где xi-yt = xi - Q,5ht, xi+yf = x{ + Q,5ht+
6)
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
203
Разделим обе части тождества (6) на А, = 0,5 (/if + hi+i) и вы-
чтем полученное тождество из (57). Тогда получим
Ф = + Ч»*»	(58)
/	+ и- \	/ ди \<=f
=	—2—/.“Г’д7/_	+(а-0,5)та>«х<. i, (59)
1	'	x~xi—,/2
xi+'/2	xi+'/2
Фг = Ф/ - Ф/ + 1? / -“^’--dx-Uf,,, Ф;=^г / f(x,t)dx.
Предположим, что в точке х = х2 функции k и f имеют раз-
рывы первого рода, а в интервалах (х{-ь х{) и (х{, х/+1) диф-
ференцируемы достаточное число раз. При х — xt выполняются
условия сопряжения
[и] = 0,	= 0 при х = х2.
Согласно § 1, п. 13 имеем
Ф.- ,'1'1 +2i‘t,,‘	,+ оИ,	(61)
xi+'/2
г /	+°w>' <б2>
н t v	\ /I	\	\ их /1 /& i
xi-'/2
где ft =f^xi — Q, Г), /7 = /(х.+ 0, <). Мы учли, что непре-
рывна на линии разрыва k(x, t), параллельной оси Ot.
Подставляя (61) и (62) в (58) — (60), получим
ф = + ф", ц = т] + л’,
*
п(-
Ги\-, р2^ 1
8 А дх Ii \ dt дх J ’
(63)
(64)
т]г дается формулой (59),
, **
Фг =Фг~
hjf7 + hi+itt


Определяя срг по формуле (84) из § 1, п. 13 мы получим
для фг разложение (87), § 1, п. 13:
hifi + hi+ift .	(t,2! df\\ . „ zt2\
Фг =-----oh-1----(65)
xai	\ \dx/t/x, i
204
ГЛ. til. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(6
где а — постоянная, зависящая от выбора шаблонного функ-
ционала F[f(s)]. Возьмем простейшую формулу для фг:
hifi +ht+\ft
------
(66)
Тогда для ф” получим оценку
С = - и\ + 0 (й?) = о (й1+(67)
,	д3и д3и
если вне разрыва и(х, t) имеет производные
Перейдем к выяснению точности схемы. Для этого нам пона-
добятся априорные оценки (27), (28), (33), (34) решения за-
дачи (56).
Рассмотрим пространство Q = Н сеточных функций, задан-
ных на сетке foh и равных нулю на границе (при к = 0, х — 1).
Введем в И скалярные произведения
М-1	М-1	м
(У, и), = 2	(у, и) = 2 ytViht, (у, и] = 2 yiViht
1=1	i=i	;=i
и норму
\\У 11= V(y, У)-
Рассмотрим оператор Ау =—Ау при у^Н. Из тождества
(Ау, и) = (- Ау, и). = (ау., и.] = (у, Av)	(68)
следует, что А — самосопряженный оператор.
Первая фомула Грина и замечание к лемме 1 из гл. I, § 2,
п. 3 дают
(Лл, ^) = (- (ay-)*, у)* —(а,	(1, ^]>2с,1Ы|2, (69)
т. е. А — положительно определенный оператор. Так как |а(| 4^
^с3а, то А = A(t) удовлетворяет условию Липшица по if (32)
с постоянной с3. Для нормы ||Д|| оператора А имеем оценку
MIK4C2/^in, hmin= min ht.	(70)
В самом деле || ЛII = sup , (Ау, у) = (а, у2-] < с2(1, у2] <
С IIУII2, т. е. || А || С 4c2//zmin.
Для разностной задачи (56) с правой частью (63) справед-
лива оценка
l|z/+1llc<pMo max , (1м/']1 + И|)+ отах ||ф**г ||) (71)
6)	§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ	205
при условии
Положим z = v + w, где v — удовлетворяет (56) с правой
частью гр = Цх, a w— решение задачи (56) с гр = гр**' Для оцен-
ки v воспользуемся (33) или (33'), для оценки w — неравен-
ством (34'). Отсюда и из неравенства ||r||c 1М1с + Ци’Ис полу-
чаем оценку (71).
Предположим, что коэффициенты k(x,t) и	гладкие
и выполнены условия, при которых
р. = О (h2. + тт°), р, ; = О (h2 + тт°), гр” = О (h2 + т2).	(73)
Тогда схема (55) на любой последовательности неравномер-
ных сеток равномерно сходится со скоростью О (тта + /го), ho—
— max hi, при <т>сте. Это следует из (71) и (73).
1 t Д’
Рассмотрим вопрос о сходимости схемы (55) в классе раз-
рывных коэффициентов.
В дальнейшем будем предполагать, что
I.	Функции k(x,t) и f(x,t) могут иметь конечное число раз-
рывов первого рода на прямых, параллельных оси координат Ot.
II.	Сетка выбрана так, что все линии разрыва функ-
ций k(x,t) и f (х, /) проходят через узлы этой сетки.
III.	В областях между линиями разрыва функции k(x,t),
f(x,t) и u(x,t) достаточное число раз дифференцируемы, так
что во всех узлах сетки 6ДЛ) имеют место формулы (63) — (65)
и справедливы оценки
= О (/г2 + тт°), рг ; = О (/г2 + тт°),	(74)
f 1, <т #= 0,5,
та^[2< а = од	(75)
Теорема 3. Пусть выполнены условия I—III. Тогда при
сте схема (55), (56) в классе разрывных коэффициентов k, f
на специальных последовательностях сеток о>л(Л) равномерно
сходится со скоростью О (тт° + /го), где ho = max /г,-.
кг
Для доказательства теоремы достаточно использовать (71)
и (75)-
Замечание 1. Сходимость со скоростью О(т'”° + /го)
в сеточной норме	имеет место при более слабом усло-
вии III:
Нг = О(^+т'”°), г|>’’=О(й2 + т2).
(76)
206	гл. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	(7
Это следует из априорной оценки (29):
1к''+1||<Т7= гпах (||/]| + (1, lif*' |]) при о>ое. (77)
V е 0< < 1
Замечание 2. Для схемы с опережением (<т= 1) равно-
мерную сходимость со скоростью О (т + hl) можно доказать, по
аналогии с и. 5, при помощи принципа максимума и метода ста-
ционарных неоднородностей. Верны оценки (39) и (30'), из ко-
торых, в силу (75), следует, что || z ||с = О (т + Ло).
7. Монотонные схемы для параболических уравнений общего
вида. Рассмотрим для параболического уравнения общего вида
следующую задачу в DT = (0х 1, 0 4С/^Г):
c(x, t)~ = Lu + f{x, t),
u(0, t) = щ (f), и(1, t') = u>(t), u(x, O) = no(x),
Lu = (k (x> + r ~ q (x’ u’
U A \	A j	(J A
0 < С] "C k (x, i) "C c2, c(x, t)^cx>0, 7^0.
В § 1, n. 15 были получены монотонные схемы второго по-
рядка точности для стационарного уравнения Lu + f = 0, разре-
шимые при любых Л и г(х).
Чтобы получить для (78) монотонную схему, для которой
справедлив принцип максимума при любых Лит, рассмотрим
уравнение с возмущенным оператором £:
, ,, ди	7 , с 7 д I, ди \ , ди
с(х,	Lu + f, Lu = h-4- Л-т— +r-z----qu,
v ’ ’ dt	”	дх \ дх ) дх	I (79)
x = (l +ЯГ1, R = 0,5Л I г 1/Л.
Оператор L при фиксированном t = t = ti+q2 аппроксимируем
разностным оператором (см. § 1, п. 15)
Ау = к (ау^х + Ь+а(+ цух + Л ~ау. - dy,
где
а = А [Л (х + sh, ?)], d = F [q (x + sh, ?)], b± = F [r* (x + sh, ?)],
г±=г±/Л, r+ = 0,5(r + |r |)>0, r-=0,5(r-|r|)<0.
Здесь А и F те же шаблонные функционалы, что и в § 1; они
обеспечивают второй порядок аппроксимации.
Для уравнения (79) пишется чисто неявная (четырехточеч-
ная) однородная схема
р(х, ?)^ = Л(?)у + ф,
у (х, 0) = «о (Д У (0, t) = «, (0, У (1, t) = w2 (О-
(80)
8]
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
207
Коэффициенты р, ср вычисляются по тем же формулам, что и
d, b±. Погрешность аппроксимации этой схемы, в силу построе-
ния оператора А (см. § 1, п. 15), есть ф = О(т + й2).
Так же, как и в предыдущем пункте, можно показать, что
для задачи (80) с и\ = и2 = 0 при любых h и т справедлива
оценка
/
II У’+' lie < II У° 11с + у * II Фг 1!с>
/'=0
где p, = minp(.r, t). При этом существенно используется моно-
тонкость оператора А(/). Из этой оценки следует равномерная
сходимость схемы (80) со скоростью О(т + й2).
8. Цилиндрически- и сферически-симметричные задачи тепло-
проводности. При изучении процессов теплопроводности или
диффузии в телах, имеющих форму цилиндра, естественно поль-
зоваться цилиндрической системой координат (г, ф, г). Если тем-
пература не зависит от ф и z, то мы приходим к уравнению
(обозначим х = г):
0.	(81)
В случае сферической симметрии уравнение теплопроводно-
сти имеет вид
~ = -^ -jr(k(x,	+ f(x, t).	(81')
dt х2 dx \ ' ’ ' dx /	' v	v '
В § 1, п. 18 были изучены однородные схемы для стационар-
ных уравнений в сферической и цилиндрической системах коор-
динат.
Рассмотрим уравнение более общего, чем (81) и (81х) вида
= (xnk(x, t) + f(x, 0,	0<х<1, />0, |
dt хп dx \ к dx 1	' к	’ ’I (§2)
и (х, 0) = щ (у), k (у, 0 С( >0. J
При п. = 1 получаем уравнение (81), при п = 2 — уравнение
(81х). При х = 0 ставится естественное условие ограниченности
решения, которое дает
lim xnk ~ = 0,	(82х)
х->0 °х
а при х=1 — обычное условие (первого или третьего рода),
например,
ц(1,/) = р2Ц).	(82")
208
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[8
Разностную схему с весами для уравнения (82) можно, по
аналогии с п. 1, получить интегро-интерполяционным методом.
Оператор
lu = _L
хп дх \ дх )
при этом аппроксимируется разностным оператором
Л $)У = ~±п (хпа(х, i)yx)x, х — х — 0,5/г, ? = ? + 0,5т,
а(х, t) = A[k(x + sh, ?)]
или
Задаче (82) — (82") ставим в соответствие схему с весами
yt = Л (?) у<а) + ф, 0 < х — ih < 1, t = jx > 0,
у(х, 0) = щ(х), у(1, t) = y2(t),
yW = <jy + (\ - а)у.
(83)
Формула для правой части ф дается ниже (см. (85)). Условие
(82') аппроксимируется разностным условием
а<*о=У(^ПТ^о-^ fo = f(O, ?)•	(84)
Погрешность аппроксимации условия (82') условием (84)
v = а,гг£>0 - 2(Д-]у (ut 0-f0) = O (h2 + т'Ч
J1, о У= 0,5,
m<T=l2, а = 0,5.
В самом деле, по аналогии с § 1, п. 18, убеждаемся, что
«о = 0, (ku')'o =	(й0 - /о)
(точка обозначает дифференцирование по ?, штрих — дифферен-
цирование по х).
Учитывая затем, что
ai — + 0,5hk'o + О (/г2),
“х, о = «о + О>5/г«о' + О (h2),
— (о — 0,5) xuxt + 0,5 (й* + их) = их(0, t) + О (| о — 0,5 | т),
8]
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
209
получаем
v = atux (0, t) - ~2 ^h+—} («о ~fo) +О (rm°) =
= (ku')0 + 0,5/г (ku')'o - -^ПГ («о ~fo) + 0 (h2 + тт°) =
= 0,5/г ([ku')'o - 4тт) + 0 W + г"‘аЬ
v = О (/г2 + тш°).
Для решения системы разностных уравнений (83), (84) мож-
но применить обычный метод прогонки.
Напишем условия для погрешности z = у — и:
zt = А (?) z<a) +ф, z(x, 0) = 0, г(1, ?) = 0,
п Z^ =-----—---Z — V
1 х.О 2 (п + 1) л 0	’
где ф = А (?)	+ <р - ut, v = а1И£>0 - ууурд- (ut 0 - f).
Пользуясь уравнением баланса на промежутке (x,_i/2, х?-+>/2)
для уравнения (82) при фиксированном t = t (ср. п. 1), преоб-
разуем ф к виду
Ф = -рг + ф’, Л = аи& - (ku')x=.,
(Х+0.5Л	v /	х +0,5ft	\
x—0,5h	'	\	х—0,5/i	'
Правую часть ср будем определять по формуле
Ф = (1 +	?)>	«=1-2,	(85)
( h2 \
т. е. ф = / при и=1, ср = 11 + Т2^ f при п = 2.
Из формулы (159), § 1 следует
ф* = ф + ф“, ф“ = О (/г2 + т2),
т _ п^2 ( д2ц д! )
— 12х \ дх dt дх ) '
Таким образом, для ф получаем представление
Ф = рт Unn)x + Ф + Ф”.	(86)
где
1] = О (/г2 + тт<г), ф = о(/г2/х), ф =о(/г2 + т2),
210
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(8
Рассмотрим схему с опережением (<т = 1) и покажем, что
при п=1, 2 она равномерно сходится со скоростью О(т + /г2),
если выполнены условия (86).
Представим г в виДе z — v + w, где w = w(x, tj) решение
стационарной задачи
Ада = -^ (xnawx)x =
«1®X,O=~V, WN = 0.
Этими условиями w (х, tj) определяется для всех tj>Q. До-
определим w (х, t) при / = 0, полагая w(x, 0) = w(x, т) или
wt(x, 0) = 0.
Для v(x, t) получаем условия
У, = At) + ip, -ф = ф’* — Wt, <Jv = 0,
a{Vx, o=~v, v = wt,0, v (x, 0) = — w (x, 0).
-В § 1, n. 18 для w получена оценка
||ш||с<Л10((1, ln|]+||^||c + |v-n,|).	(87)
Напишем уравнение для wt:
~Хп (Х ClWtx)x = ~Zn (х ц) "фр
Л	Л	Л L
т) = П/ + a-twx,
aiwtx,o= - v, v-Д = (v — nOf
Нам понадобится оценка | awx |, так как
(1, I П 1]<(1, | Д | ] + с3 (1, | aw* | ].
Из уравнения для w находим
- д + -рг (д - v) - — hxWk
1	t k=l
I Д I + I Д - v I + 2" II lie,
так что
(1, | awx | ] < | Д — v | 4- 2" || л?ф ||c 4- (1, | т) |J.
Для оценки wt воспользуемся неравенством (87):
1д1] + сз(1’ 1йдахГ1+11х^11с + |(г’-д)г|)-
Предположим, что k(x, t), f(x, t), u(x, t) имеют столько
производных, сколько требуется для выполнения условий
| v | + |vf| = О (т2 + /г2), I ц| + |nf| = О (ттч + /г2),
x|4>| + x|4>f| = O(/i2),
9,	§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ	211
Тогда будем иметь
|| гМс<М(/г2 + т'Ч
Для оценки v воспользуемся принципом максимума. Запи-
шем уравнение (82) в виде
vi/x — Avi = Fi, Fi = vi/x + ^i, Z = 1, 2.../У-1,
VN = 0, •$. = wt< t + !]>**,
й0/т - 2 (п + 1) atvx, 0/h = Fo, Fa = v0/x + -ф0,
= ®/,o-
В силу теоремы 3 из гл. I, § 2 имеем
II f/+111с <*llF Ис <11 v’ ||c + т|| ay. He+ * IIT** II,
|| t)'+1 Нс < || w (x, 0) ||c + 2 г (|| w[ ||c + || <*'' llc),
/' = 0
где || v He = шах | vt |.
0 < I < N
Подставляя сюда оценки для || w ||с, || wt ||с, Ill’ll, находим
|| у/+‘ Не = О (Л2 + т).
Тем самым доказано, что схема (83) — (85) при а = 1 равно-
мерно сходится со скоростью О (т + Л2):
II Z1 Не = 11 у/-и/Нс<М(т + /12).
9.	Третья краевая задача. Рассмотрим краевую задачу
^- = Lu + f(x, t), Lu = ^-(k(x, ?)-g-j,	0<х<1,
k (0, ?)	= p, (?) и (0, f) - p, (?), P, > 0,
-k(i, ?)^^- = p2(0«(i, O-MO, p2>o.
В § 1, n. 16 было получено разностное условие третьего рода для
стационарного уравнения Lu + f — 0. Формально переход от ста-
ционарного к нестационарному уравнению можно рассматри-
вать как замену f на f —. Применяя этот прием при выводе
разностных условий, аппроксимирующих краевые условия тре-
тьего рода, приходим к следующей разностной краевой задаче:
yt = Л (?) (ay + (1 — <т) у) + <р,	0<х, = i/i<l, tj = jx>0,
ai (г) (а^х. 1 + (! ~ Ух. i) = ₽i (ff^o + (! ~ ff) Уо) + Hi (0 + №гУк о>
-аЛ,(0(^.Л/ + (1-<т)^Л/) =
= ₽2 (D №n + (1 ~ сг) Уя) + Й2 (0 + N.
212
ГЛ. HI. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
НО
Здесь
Hi = Hi (0 — 0,5/г/ (0, /),
ц2 = Иг (/) —0,5/г/(1, ?), ? = // + (),5т.
Приведенная выше схема имеет точность О(т2 + /г2) при о = 0,5,
О (т + /г2) при ст > 0,5.
Запишем эту разностную схему в виде, пригодном для при-
менения метода прогонки:
~ Л Уо = *\У\ + v,, yN = ^yN-\ + v2,
где
__________«, (?)________	_________aN (?)_______
Z| ~ a, (?) + Л₽( (?) + Л2/(2стт) ’ *2~ aN (?) + ЛР2 (?) + Л2/(2стт) ’
_ (1 - g) (M?) Ух, 1 ~ Pi (?) Уй) + °>5/гУо/т - Й!
V| ~ о («! (?)/Л +^! (?)+ /i/(2ot) )	’
(1 - ст) (- ад, (?) уя N~^2 (?) yN) + 0,WiyNlx - g2
V2~	a(a,v (?)/Л +P2 (?)+Л/(2ат))	’
F = ((l -<r) A(?)?/+ г//т + ф(/))<т-1.
Прогонка устойчива, если <т > 0, так как 0<Х] < 1, 0<z2< 1.
10.	Периодическая задача. Рассмотрим задачу о распро-
странении тепла в однородном тонком круговом кольце
0 < ф < 2л радиуса rQ:
77 = 4-^-’ 0<<Р<2л, /'>0, м(<р, О) = »О(Ф).
dt Гц (Эф
Для однозначного определения и (ср, У) должно выполняться
условие периодичности
гг(ф+2л, /') = гг(ф, t') для любого ф е [0, 2л],
которое можно заменить условиями сопряжения в точке ф = 0:
w(0 + 0, /') = w(2л - 0, /'), 44	=4-1
7	’	<?Ф 1<р = 0+0	дф 1Ф„2Л-О
Заменой переменных
х = ф/(2л), / = а2/'/(2лг^,
преобразуем отрезок 0^ф^2л в отрезок 0^х^1, а уравне-
ние — к виду
0<х<1, (>0, и(х, 0)-и0(х),
»(0 + 0.()-й(1-0,(),
Ю]
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
213
Введем сетку
®л = {х; = ih, / = 0, 1, А, /г = 1/Л'}
и напишем простейшую неявную схему
У^Ьх’ 0<x = z7i<l, ? = /т>0, у (х, 0) = tiQ (х).
Первое из условий сопряжения «(0 + 0, ?) = «(!—0, t) дает
Уо = Ух-
Второе условие аппроксимируется, по аналогии с § 1, п. 19,
уравнением 0 = уХх 0. При этом точки х = 0 и х = 1 считаем
совпадающими и ставим условие
Ух+\ = У\-
Таким образом, разностную схему пишем во всех узлах
i — 1, 2, ..., N сетки <вЛ, учитывая условие периодичности
Улт+1 — У\ при написании схемы в узле i = N.
Аналогично ставится разностная задача и для уравнения с
переменными периодическими коэффициентами
-fr- = [k (х, t) ~\ + f(x, t), 0 < х< 1, t > 0,
dt дх \	' дх / 1 х	’
и (х, 0) = Uq (х),	0 х +Z 1
и периодическими краевыми условиями (условиями сопряже-
ния)
«(0 + 0, /) = «(!-о, f), k~\	= й-^|
’ v	дх 1х=о+о дх |х=1_0
Все функции k(x,t), f (х, /), «0(х) периодичны с периодом 1,
так что и0(х + 1) = «о(х), f(x + 1, ?) =	*)< k(x + 1, t) = k(x, t).
Коэффициенты /?(0 + 0, t) и k( \ —0, t) могут быть различны:
fe(0 + 0, ?)+=/?(!—ОД). При этом производные ~ разрывны:
dzz(O + O, t)	ди (1 — 0, t) р,	п
— дх-----— дх---------’ Если отождествить концы х = 0 и
х = 1, то условия периодичности можно трактовать как условия
сопряжения в точке разрыва коэффициента k(x,t). После этого
становится понятным, что схему надо писать во всех узлах i =
= 1,2, ..., N с учетом условия г/дг+1 = у^. В результате получим
однородную схему с весами:
yt = Л (?) yw + <р(х, I), x = ih, i= 1, 2, ..., N,	? = (/ + 0,5)т,
y(x, O) = «oW, Ум+1 = У\, Уо^Ум,
где Ay — (а (х, ?) у^х и коэффициенты а и <р находятся по обыч-
ным формулам, например,
ai==ki-41’ Ф^О.б^-о + М-
214	гл. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
П1
Написанные условия однозначно определяют решение. Эта
схема имеет аппроксимацию О(т2 + | <т — 0,51т + /г2).
Полученная относительно у задача вида
Л#/-! - Biyt + AMyi+x = — Ft, i = 1, 2......N,
Ух+1=У1> Уо = У.\’> Ai = arai/h'2, С{ = А1 + А1+^ + 1
решается методом циклической прогонки (см. Дополнение, § 3).
Для исследования вопроса об устойчивости и точности сле-
дует рассмотреть пространство Н сеточных функций у(х,), за"
данных при 1=1,2.......N, N + 1 и удовлетворяющих условию
периодичности yN+l = yt, yN = у0.
N
В Н вводится скалярное произведение (о, w')='^viwih и
_____ /=1
норма || v || = У (ц, у).
Пусть Ау = —Ау при у^Н. Для А справедливы формулы
Грина и А = Л*>б.
Так как Л > 0, то для получения априорной оценки надо
воспользоваться замечанием к теореме 11, гл. VI, § 1. Вводя
оператор А' — А + еВ, где е > 0— произвольное число, не зави-
сящее от h и т, получаем
(Д')’ = Д'>еВ.
Так как А' липшиц-непрерывен по t (в силу условия | kt |
^csk), то для решения периодической задачи верна оценка
II У’+1 Ид' (1у) < II ц0 Ид' (0) + Л42 о max . II II,
если
_ 1	1-е
2	Т || А' || ’
где ||Л'|| <14//г2 + е, = const > 0, М2 = const > 0 не зависят
от h и т.
При этом же условии <т > <те имеет место неравенство
|| у’+11| < Мj || и01| + М2 max || ср''||.
При ст = 1 для нашей разностной задачи справедлив прин-
цип максимума при любых ти Л, из которого следует равномер-
ная устойчивость по начальным данным и по правой части, а
также равномерная сходимость со скоростью О(т + /г2).
11. Квазилинейные уравнения. При изучении высокотемпера-
турных процессов необходимо учитывать зависимость коэффи-
циентов теплоемкости и теплопроводности от температуры.
11]
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
215
Рассмотрим уравнение
Ф, t, u)~ = -^-(k(x, t, u)~^+f(x, t, и),
c(x, t, w)>0, k(x, t, u)>0.
(88)
В неоднородной среде k, c, f могут быть разрывными функ-
циями хин (для разных веществ зависимость k, с, f от и может
быть различной). Уравнение (88) при k = k(u), с = с(и), f = f(u)
может быть приведено с помощью замены искомой функции:
и
v = J k (I) к виду:
О
dqp(v)  d2v
dt дх2 1 ' 7
(89)
Для решения квазилинейных уравнений метод конечных раз-
ностей практически является единственным методом, позволяю-
щим эффективно найти решение. Для квазилинейных уравнений
использование явных схем нецелесообразно, если k(u), с (и) яв-
ляются быстроменяющимися (например, степенными) функция-
ми температуры. Условие устойчивости
т 1 min с (и)
Л2 '''' 2 max k (и)
требует мелкого шага по времени, определяемого часто значе-
ниями функций k, с в небольшом числе узлов. Поэтому приме-
няются безусловно устойчивые неявные схемы.
Рассмотрим сначала уравнение (89) с f (v) = 0. Для его ре-
шения используют нелинейную (относительно (Д*-1) разностную
схему
ф(у,+‘)-ф(у/)	/+1
т	У XX •
Чтобы отыскать решение этого разностного уравнения, можно
использовать итерационный метод
(s)	(з)	(s+1)	(S)	(3+1)
Ф(у'+‘)- <p'(y'+I)(y/+I - yl+l) - ф(у') = туИ1,
(S+1)
где у'+1 — значение (s + 1)-й итерации функции у№. В каче-
стве начальной итерации выбирают значение функции у на пре-
(3+1)
дыдущем временном слое. Значения ^+‘ находятся методом
прогонки.
216
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Ш
Рассмотрим теперь два типа чисто неявных схем (схем
с опережением, <т= 1) для простейшего квазилинейного урав-
нения теплопроводности
=	+	0<х<1, 0</<Г,
dt дх \ ' ’ дх )	1 '	|	(90)
ll(x, О) = Ио(х), u(0, t) = lll(t), Z/(l, t) = U2(t),
где k(u)>Q.
Схема а):
у, —у. 1 Г	V-j-i-V,	у.~ у. .1
- у [az+i (У).(у) 1	] + f (У1).	(91)
Схема б):
= Т	~ ai ^~Т^\ + f <92)
*	' * L	* *	* *	1
где
/ V. + V. . \
ai (t>) = k ( 8 2? -j, У1 = у1+!, yi = y[.
Сравним эти схемы. Погрешность аппроксимации этих схем
О(т + /г2). Обе они абсолютно устойчивы. Схема а) линейна
относительно значения функции yi+x на слое Zj+1, и значения
функции yt+l находятся по значению функции yt на слое tj, на-
пример, методом прогонки. Поскольку схема а) абсолютно
устойчива, шаг т выбирается только из соображений точности.
Схема б) нелинейна относительно функции у-’+‘ и для нахожде-
ния ее решения используется метод итераций. Итерационный
процесс строится следующим образом:
(s+l)	(s+1) (s+l)	(s+l) (s + l)
у —У If (s)	— U. (s) у. — U. , I . (S)
~~--=т[а1+М Mh ‘ -ady) ‘ h l~l\ + f(yi). (93)
(s + l)
Относительно у разностная схема оказывается линейной.
В качестве начальной итерации берется функция у предыдущего
(0)
шага по времени: у= у. Итерационный процесс для большин-
ства встречающихся на практике коэффициентов k и f сходится.
Практически оказывается достаточным сделать две-три итера-
ции. Даже в том случае, если итерации не сходятся, для повы-
шения точности схемы оказывается полезным сделать две ите-
рации. При счете по итерационной схеме (92), (93) задают либо
число итераций, либо точность сходимости итераций е и требуют
рыполнения условия
(s+l) (s)
maxlz/i-z/j |^е,
II)
§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
217
Недостаток схемы (92), (93) в том, что счет интераций тре-
бует удвоения числа занимаемых в машине ячеек памяти по
(s+l)
сравнению со схемой а), так как для вычисления у нужно
(s )
«помнить» у и у.
Для нахождения значения функции у-’+1 по функции yi при
счете по схеме (92), (93) нужно сделать несколько итераций,
а при счете по схеме а) значение yi+l находится сразу.
Поскольку обе схемы абсолютно устойчивы и имеют одина-
ковый порядок аппроксимации, то казалось бы, что и в этом
отношении схема а) имеет преимущество перед итерационной
схемой б). Однако это не так.
Практика показала, что для получения одинаковой точности
счета по схемам а) и б), схема б) позволяет использовать на-
столько более крупный шаг по времени, что несмотря на необ-
ходимость итераций, это приводит к уменьшению объема вычис-
лительной работы.
Можно использовать схемы, имеющие второй порядок ап-
проксимации по пространству и времени:
yt = 4 [(«(9) Ух)х + (а (у) ух)х] + f(-^) •
Однако такие схемы имеют недостаток, они — немонотонны,
что приводит часто к появлению «ряби». Для получения хоро-
ших, результатов в этом
случае нужно выбирать до- У
статочно мелкий шаг по
времени.	У
В случае уравнений (88) у
со слабой квазилинейностью,
при k = k(x, t) ,f = f (и), с —
— c(x,t) иногда исполь-
зуются так называемые схемы
точность О(т2 + й2). Приведем
— k = 1, f = f (и) (рис. 7):
“У-	.. Г”““^+7
, ,, , , $
Хс-1 XL
Рис. 7.
предиктор-корректор, дающие
пример такой схемы при с =
^ = УХХ + Ш, y = y(ti+^
^Г-=^(УхХ+ Ух^ + Ш-
(94)
Мы не будем останавливаться здесь на теоретическом иссле-
довании указанных выше схем (91) — (94) (см., например,
А. А. Самарский [3], Дуглас и Джонс [1]).
Пример 1. Температурные волны. Встречаются
задачи, в которых k(u) — 0 при и = 0, k(u) > 0 при и > 0, напри-
мер, k(u)=xua. В этом случае может существовать фронт
218
171 III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
111
О	он
, на котором производные терпят разрывы,
а поток —k (и)	непрерывен. Распространение фронта будет
происходить с конечной скоростью (так называемые тем-
пературные волны). Задача при k(u) = xua, f = Q имеет авто-
модельное решение. Для расчета температурных волн А. А. Са-
марским и И. М. Соболем [I] применялась схема б), которая яв-
ляется схемой «сквозного счета» и не предусматривает выделе-
ния точек слабого разрыва. В качестве начальных и граничных
условий задавалось точное автомодельное решение. Всюду, кро-
ме нескольких ближайших к фронту узлов, отклонение сосчи-
танного решения от точного оказывалось малым (не превосхо-
дило 0,002 при N = 50, т = 2-10"4, х = 0,5, а = 2, £ = 5, число
итераций не превосходило 3, t <0,2). Локально-одномерным
методом (см. гл. VII) проводились расчеты многомерных тем-
пературных волн. Изучение сходимости разностных схем для
расчета температурных волн проводилось В. Ф. Баклановской [11-
Пример 2. Задача о фазовом переходе (задача
Стефана). Пусть имеется две фазы с коэффициентами тепло-
проводности и теплоемкости ki (и), k2(u) и Ci(w), с2(и). В ка-
ждой фазе температура удовлетворяет уравнению
(95)
На границе раздела фаз температура постоянна и равна тем-
пературе фазового перехода, и(х, t) = u*. Скорость движения
границы фазового перехода | удовлетворяет уравнению
, ди I	, ди I	, d;
дх ^=5+0	“ дх 1х=,£_0	dt
если в первой фазе и < и*, во второй фазе и > и*.
Вводя 6-функцию, уравнение (95) (с учетом условий на гра-
нице фазового перехода) запишем в виде
( ct(u), и<и\ ( М«), u<w’,
С U [ C2(tl), и>и*, М I k2(ll), и>и*.
Для решения задачи Стефана применяется метод сглажива-
ния: 6-функция заменяется 6-образной функцией 6 (и — w*,A),
отличной от нуля лишь на интервале (и* — А, и* + А) и удовле-
творяющей условию нормировки
и* + А
j 6 (w — и*, A)du= 1.
U*-A
I)
§ 3. СХЕМЫ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
219
Сглаживая на интервале (и* — А, н* + Д) функции kt (и), k2(u),
eJu), с2(н), получаем квазилинейное уравнение
~	, ди д I г i \ ди \
С^~дГ~~дх ~дх ) ’
для решения которого можно использовать описанные выше
схемы. Разностные методы решения задачи Стефана рассматри-
вались, например, в работах А. А. Самарского, Б. Д. Моисеенко
[1] и Б. М. Будака, Е. Н. Соловьевой, А. Б. Успенского [1].
§ 3. Однородные разностные схемы для уравнений
гиперболического типа
1. Однородные разностные схемы. В прямоугольнике
дг = [о<х< 1] х [о</< л
будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения вто-
рого порядка гиперболического типа
~ = Lu + f(x, t), Lu=-^[k(x,	(x,t)<=DT>	(1)
и(x, 0) = u0(x), du d*’ — = »o(x), w(0,/) = «!(/), u(l, t) = t/2(0> (2)
0 < cI k (x, t) c2,	(3)
где DT = (0 < x < 1) X (0 < t < Л-
Как обычно предполагаем, что эта задача имеет единствен-
ное решение, непрерывное в замкнутой области Dt и обладаю-
щее требуемыми по ходу изложения производными.
Допускается, что коэффициент k(x, t) (и f(x, t)) может иметь
разрывы первого рода на конечном числе прямых, параллельных
оси координат Ot (неподвижные разрывы). Проведем изложе-
ние для случая одной линии разрыва х = g, на которой выпол-
.	1-	-	ди\
няется условие сопряжения (непрерывность функции и	:
[w] = w(g + 0,	0 = 0,	= 0 при x = g. (4)
Пусть ан = {м, i = 0, 1, ..., N, х0 = 0, xN = 1} — произвольная
неравномерная сетка на отрезке 0<Д<Л,	= (0 = /т, / =
= 0, 1, ..., /о} — равномерная сетка на отрезке 0 t Т, <bhx =
= &нХ —сетка в прямоугольнике DT. Построение однород-
ной схемы для задачи (1)—(3) начнем с аппроксимации Lu + f
разностным оператором Au + <р = (а (х, t) их\ + <р при фиксиро-
ванном t <= сот.
Заменяя -44-1	Lw + f ~ А (0)	Яг) + ф, где
07	\t^t.
и(аь а2) =	-J- (1 —	— ог2) и Ог2й)
A(tj)u = (a(x, tj)ux)v и = и1, й = и1~1, й = и1+1,
220
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[1
получаем однородную трехслойную схему с весами
Уп==А(^У(а',а,) + ^-	(5)
Коэффициент а берем на среднем слое t = t,.
Т2	1
Подставляя в (5) у = у + ху° + -%- ylt, у = У - ту» + 0,5т2уй,
где у о = {у~ у)/(2т), уи = (у-2у + у)/^-, получим = у +
+	— <т2)тг/о + 0,5 (с^ +	т:2у1(, после чего запишем схему (5)
в виде:
(е -	°2 т2Л^ у1( - (<?! - о2) tAz/o = Ау + ф,	(6)
где Е — единичный оператор. При <т|=о2 = о получаем симмет-
ричную схему
(Е - от2Л) ytt = Ау + ф (х, /), 0 < t = /т,	(7)
изучением которой и ограничимся.
Краевые условия и первое начальное условие удовлетво-
ряются точно:
i/(0, /) = «1(0, У (1, 0 = «г(0, У{х, O) = wo(x). (8)
п	ди (х, 0)	_ , .
Второе начальное условие —— = «0(х) можно аппрокси-
мировать двумя способами. Один из способов указан в гл. II:
yt(x, О) = йо(х), где йо(х) = «о(х) + О,5т(Е«о + Л/==о-	(9)
Он имеет второй порядок аппроксимации по т.
Второй способ состоит в гом, что для определения у(т) пи-
шется разностное уравнение
(Е - от2Л (0)) yt (х, 0) = й0 (х) + 0,5т (Лц0 + f (х, 0)).	(9')
В результате задаче (1) — (3) ставим в соответствие одно-
родную разностную схему, определяемую условиями (7) — (9)
(или (7), (8), (9')).
Эта схема является трехслойной. Для вычисления значения
У = yi+' на новом слое надо знать значения у1 и z/’-1 на двух
предыдущих слоях. На каждом новом слое t = tj+i решается
(методом прогонки) краевая задача относительно у — yi+[:
(Е — от2Л) у = Е, 0 < х = ZA < 1, Уо = й\, Ух = ^2>	]
Е (/) = 2z/ — у — т2Л ((2о — 1) у — ау) + т2ф, /^т,	} (10)
Е (0) = щ + т2 (0,5 — а) А (0) uQ + тй0 (х) + 0,5т2/ (х, 0). J
2]
§ 3. СХЕМЫ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
221
2. Погрешность аппроксимации. Пусть и(х, t) —решение за-
дачи (1) —(3),	у(х., tf) = yi — решение разностной задачи
(7) — (9). Напишем, как обычно, уравнение для погрешности
=	где и> = и(хг tj).
Подставляя у = г + и в (7) — (9), получаем
(Е — от2А) z,t = Аг + ф (х, /), 0 < х < 1, />0,
z(x, 0) = 0, z(0, 0 = г(1, 0 = 0,
zt(x, 0) = v(x),
где
ф (х, 0 = А (0 « —	+ от2Л(гг;,
v (х) = 0,5т (Ьий + 0/=0 + й0 (х) — щ (х, 0),
— погрешности аппроксимации (на решении задачг
уравнения (1) и второго начального условия соответственно.
Если k(x, 0 и f(x, 0 имеют конечное число неподвижных раз-
рывов, то сетку &h = &h(K) выбираем так, чтобы линии разры-
ва проходили через узлы этой сетки (ср. § 1 и § 2, п. 6).
По аналогии с § 1 и § 2 преобразуем выражение для ф к виду
ф = ^ + €>	(13)
где
I ди \	hj t df д’'и \
= aiux. i~\k~dx Д_|/2 + GT aiUUx, i + IF dZ _ dt2 дх ){ ’
ф’= О (т2 + Й2).	(15)
(Н)
(12)
(1)-
Для этого возьмем уравнение (1) в момент t = tj и проинте-
грируем его по х в пределах от x,_i/s до x1+i/2:
xi + 'l2
J f (x, tj) dx —
xl-'l2
xi + 'h
f d2u (x, ti)
~ J ~dt2 Ldx = 0. (16)
Xi~'l2
Разделим это тождество на йг и вычтем его из правой части
формулы (12) для ф;:
= («Л, I + I ~ (Ь	г “
Xi + 'l2
1 Ctc-,	d2u(x,tj)\
utt, i "1" J \f{xt tj)	j dx. (17)
222
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[3
Коэффициенты at и срх определяются при фиксированном t = tt
по формулам § 1, п. 13.
Пусть Xi — точка разрыва k и f. Возьмем простейшие фор-
мулы для аг и ср;:
т,-*1'1	 ^-Цч±о).	(18)
Воспользуемся формулой (87) § 1, п. 13 при а — ]/8.
Учитывая, что непрерывна в точке разрыва k(x, t), на-
ходим
xi + 4i
_L Г (Нх	hif- + hi+lft
Hi J V ’	dt2 )ax 2hi
\ di2 Ji 8 \ ‘\dx di2 дх Ц / * t \ i)
Подставляя это выражение в формулу (17), получим
(13) —(15). Из (14) видно, что
= О (h* + т2), П/, i = О {h] + т2).	(19)
3. Устойчивость и сходимость. Чтобы не завышать требова-
ний гладкости коэффициентов и решения при оценке порядка
точности схемы (7) — (9), используем различные априорные
оценки для операторно-разностной трехслойной схемы
Dzu + Az = ф (/), t = jx > 0, 1
z(0) = 0, zz(0) = v.	J	(20)
Здесь D, A — линейные операторы, заданные на гильберто-
вом пространстве Н (см. гл. VI), z{t) и ф(/) абстрактные функ-
ции t е сот со значениями в Н, у — элемент Н. В нашем случае
Н = Q — множество сеточных функций, заданных на и обра-
щающихся в нуль на границе, при х = 0 и х = 1. Скалярные
произведения имеют вид
N-i	N-\	N
(z, v), = и ZiVihi, (z, v) = u ZiVi/it, (z, t>] = ZiVihi.
i=l	i=1	i=1
Будем использовать следующие нормы:
|| z ||с = max | z (x) |, || z || = V(z, z)t, || z ||л = /(Az, z).
В нашем случае операторы А и D, как показывает сравне-
ние (7) и (20), равны
Л = - А, £) = Е- стт2А = Е + ат2Л.
3]
§ 3. СХЕМЫ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
223
Оператор А — самосопряженный и положительно определен-
ный, А~> 2с{Е, для его нормы верна оценка (см. § 2, п. 6)
II лН<4с2//г^п> Amin= min hr
1 <I
Схема (20) устойчива при условии (см. гл. VI, § 2)
£>>-Ц-^т2.4 или (Dy,	т?(Ау, у),
где е > 0 — произвольное число, не зависящее от h.
Это условие или
D -тМ = £ + (о -	> (yjy + (g~-LT£)
будет выполнено при
1 + е
<*>ае = -4~
й2 
min
4т2с2
В гл. VI, § 2 будут получены следующие оценки для за-
дачи (20):
11г/+11Ц)<Л1/П| г/(0) ||о (Т)
/	\
+ 2^HsIId-i(/a) I» (21)
fc-1	J
II г'+11Ц><
(II2, (0) ||„„, + (II ||л-. (W +(,J. (22)
Эти оценки имеют место для схемы с весами (20), если
о ое и | at | с3а.
В § 2, п. 4 для равномерной сетки были получены оценки,
которые в случае неравномерной сетки принимают вид
1И1д> /ci || Zx]| >/ci || z ||с,
Н11д-1=Ь^1л-><7=1^Ь	при 4> = пг
(23)
Так как D самосопряженный оператор и
D = Е + от2Д = Е + (о — ое) т2Д + <tetM
> Е + 0,5тМ - 4=4 Д > е£,
11 II
то
D~^-E и Н11р-1<-^П1|.
е	У е
} (24)
м
/Г
(22')
224	гл. HI. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	(3
Представим решение z задачи (11) —(13) в виде z = v + w,
где v и w удовлетворяют условиям
vlt = Ац<а) + т^, « (*, 0) = ut (х, 0) = 0, v0 = vN = 0,
Wit = Aw(a> + ф‘, w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = v (x), w0 = wN = O.
Из (21) —(23) следуют оценки для v и w:
II f/+1 liemax (IhHI + ht’]|)>	(21')
II v (x) ||D + У т|| ф**А ||
a=i
где || v ||^ = ((£ + от2А) v, v). = || v IP + от2 (a, v|].
Теорема 1. Пусть k(x, t) и f(x, t) имеют разрывы первого
рода на конечном числе прямых х = gs, s = 1, 2, ..., s0, парал-
лельных оси координат Ot, а в областях
As = (Bs<x<^+1,	s = 0, 1...s0,	g0 = 0, ^, = 1
коэффициенты k(x, t), f(x, t) и решение u(x, t) являются столь
гладкими функциями, что выполнены условия (19) и (15).
Тогда, если выполнено условие (22), то схема (7) — (9) на спе-
циальных последовательностях неравномерных сеток &ь(К) рав-
номерно сходится со скоростью О (т2 + А2), так что для реше-
ния задачи (11) имеет место оценка
II z< ||с = II у’ — и1 ||с < М (т2 + А2), где Ао = max Аг. (25)
1 < I < N
Для доказательства теоремы достаточно воспользоваться
априорными оценками (21') и (22') для v и w и учесть соотно-
шения (15) и (19).
Замечание 1. Теорема 1 сохраняет силу, если вместо (7)
взять схему
(£ - ат2А) y{t = Ау + <р,	(26)
где Ау = уи—постоянный оператор (регуляризатор, см. гл. VI,
§ 2). В этом случае А = —Л, R — — аЛ, D = Е 4- i2R. Доста-
точное условие устойчивости (21) будет выполнено, если
<т = (1+е)с2/4.	(27)
При оценке погрешности аппроксимации для этой схемы изме-
нится лишь формула (14) для tj; вместо от?аицх надо написать
ах2ицх, где о есть (27).
31
§ 3. СХЕМЫ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
225
В гл. VI, § 2 для схемы (20) при D = Е + <гЛ4 получена
априорная оценка
l|2/+4l<^Mz/(0)ll6 + ^ max [||U’4)ftll + ||U''<||]> (28>
Vе и уе о 1	11
где D = А~1 + от2Е. Она верна при условиях:
1)	Д(/) = Д’(0>0,
2)	о > ое, ое = —--т2 у ду- и о >0,
3)	A(Z) удовлетворяет условию Липшица по t с постоянной
сз > О,
4)	т<1/(2с3).
Априорная оценка (28) может быть использована при выяс-
нении порядка точности схемы (7)—(9) на произвольной по-
следовательности сеток, когда точки разрыва k и f, вообще го-
воря, не совпадают с узлами сетки сод. Выражение А~ 'ф = w
есть, очевидно, решение задачи
Aw = ф или (а (х, t) Wx)x = — ф (х, t), w0 = wN = 0,
a = wt.
В § 2 получены оценки для w и wt в случае ф = рх:
ИМС<М(1, lnl]> НМс<М{(1> I nU + (i, I nJ]},	(29)
где М — положительные постоянные, зависящие только от ci,
с2 и с3.
Оценки (28) и (29) используются для доказательства того
факта, что схема с весами (7) —(9) сходится в классе разрыв-
ных функций k и f при о> ае в сеточной норме L2(coft) с той
же скоростью по h, что и соответствующие стационарные задачи
Лш = — ф, Av = — фр
Порядок точности по т есть О(т2).
В А. А. Самарский
Глава IV
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
В § 1 настоящей главы изучается разностная задача Дирихле для урав-
нения Пуассона. Излагаются способы аппроксимации оператора Лапласа и
постановка разностных граничных условий на регулярных н нерегулярных
сетках. Установлен принцип максимума и на его основе доказана равномерная
сходимость со скоростью О (Л2) построенных разностных схем в случае произ-
вольной области.
В § 2 получены некоторые оценки для разностных операторов, аппрокси-
мирующих оператор Лапласа и эллиптический оператор со смешанными про-
изводными.
Изучению разностных аппроксимаций для эллиптических уравнений, и
особенно для уравнения Лапласа, посвящена обширная литература. Укажем
лишь некоторые литературные источники: В. Б. Андреев [1], [2], [5], [7],
В. В. Бадагадзе [1], И. С. Бахвалов [1]—[3], И. С. Березин и И. П. Жидков [2],
В. Вазов и Д. Форсайт [1], Р. Варга [1], Е. А. Волков [1]—[3], Л. В. Канторо-
вич и В. И. Крылов [1], Коллатц [2], В. И. Лебедев [2], [3], Л. А. Люстер-
ник [1], Г. И. Марчук [1], Ш. Е. Микеладзе [1], С. Г. Михлин и X. Л. Смолиц-
кнй [1], А. А. Самарский и И. В. Фрязинов [2], В. К. Саульев [1].
§ 1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона
Перейдем к изучению разностных схем для решения задачи
Дирихле
р
Ди =	f (х), х е G, zz |г = р. (х),	(1)
а=1 дхч
где х = (хь хр), G есть ^-мерная конечная область с гра-
ницей Г.
1]
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 227
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. Начнем
с построения разностного аналога оператора Лапласа
д^и
+ Z.2u, Lau — —, ot = 1, 2,
дха
(2)
на плоскости х = (хь х2).
$2 и
В точке х = (хь х2) каждый из операторов Ь{и =—г или
дх\
Ь2и = -^—^ аппроксимируем трехточечным оператором А! или Л2:
L\V ~А^ =
— (v (x! + hit x2) — 2v (xb x2) + v (x! — hi, x2)),
h i
(3)
L2v ~ A2v = vX2X2 = -4- (v (xb x2 + h2) - 2v (xb x2) + v (xb x9 - h2)),
h.
(4)
где ~ знак аппроксимации, hi > 0, h2 > 0 — заданные числа
(шаги по'осям Xi и х2).
Оператор Ai определен на регулярном трехточечном шаблоне
(х,-^, х2), (xb х2), (х, + h^ х2), оператор Л2 — на регулярном трехто- чечном шаблоне (xb х2 — h2), (хь х2), (хь х2 + А2).	j Используя (3) и (4), заменим опера- тор Лапласа (2) разностным опера- тором Лц = Ai v + Л2ц = vX1Xl + vX!X„ (5)		
	h, 0  4 Рис. 8. Регул «кр	Л,	Z 1 ярный шаблон ест».
который определен на пятиточечном шаблоне «крест», состоя-
щем из узлов
(Х| ± hi, х2), (хь х2), (хь х2 ± й2).
Этот регулярный шаблон изображен на рис. 8. Здесь 0 — точка
(хь х2), 1 —точка (xi + hi, х2) и т. д.
Из (3) — (5) и рис. 8 следует, что
Ар0 = 7Г («1 - 2ц0 + «з) + т? («2 ~ 2и0 + «4)-	(6)
"1	"2
В частности, при hi = h2 = h (на квадратном шаблоне) имеем
Л«о = тг («1 + v2 + v3 + v4 - 4v0).	(7)
8*
228 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ ' (I
Вычислим погрешность аппроксимации оператора Лапласа (2)
разностным оператором (5). Так как (см. гл. I, § 1) при а = 1,2
.	d~V А» д4и _ /.44	9	/44
АаУ = —J- + — ТТ + О (Аа) = LaV + —— LaV + О (ha),	(8)
дХц 12 дха	12
ТО
h2	h2
Av - Av = L\v + ^tiv + О (hl + hi).
Отсюда следует, что
Av — Av = О (| h |2), | h |2 = A2 + A2,
если v(x) —любая функция, имеющая не менее четырех огра-
ниченных (хотя бы в прямоугольнике ха — Аа х'а ха + Аа,
а = 1, 2, при ha -С ha) производных по ха, а = 1, 2. Таким
образом, разностный оператор (5) аппроксимирует оператор Ла-
пласа (2) со вторым порядком на регулярном шаблоне «крест».
Аналогично строится разностная аппроксимация р-мерного
(р > 2) оператора Лапласа
р
Lu = ^ Lau, Lau =	.	(9)
а=1	а
Заменяя La трехточечным разностным оператором Ла, получаем
р
At> = 3Aat>, Лаг’ = ^ , ,	(10)
а«1	u u
так что
Aav = v*axa =	(У+'а) - 2» +	(11)
"а
где = v (х(±1с1)). Здесь х(+,“) (или х^-^) — точка, в кото-
рую переходит точка х = (хь ..., хр) при сдвиге по направле-
нию ха направо (или налево) на от-
х х хг+* у резок длины Аа (рис. 9).
ha h& ха Шаблон для оператора (10) со-
„	„	стоит, очевидно, из 2р + 1 точек
Рис. 9.	Л, \	„
х, х'_ а>, a= 1....р (из 7 точек
при р = 3), а погрешность аппроксимации имеет второй по-
рядок.
Рассмотрим теперь разностную аппроксимацию оператора
Лапласа на нерегулярном шаблоне «крест». В случае двух из-
мерений (р = 2) этот шаблон состоит из пяти точек
(Xj-Aj-, х2), (Xj + Ац., х2), (хь х2), (хь х2 —А2_), (хь х2 + А2+),
1]	§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 229
где й1±>0, /i2±>0, причем ha+=£ha-, по крайней мере, для
одного а (рис. 10).
Каждый из операторов Li и L2 аппроксимируем по трем точ-
кам
(х, — /г;_, х2), (xi+hl+, х2), (хх, х2) (точки 3, 1, 0)
(xb x2 — h2J), (xb x2 + h2+), (xit х2) (точки 4, 2, 0),
соответственно. Для этого воспользуемся выражениями (см.
гл. I, § 1):
Lxv ~Л*п =
1 Г о (х, + /г1+, хг) — а (х,, хг) _ у (Х], хг) — у (х, —/г,-, хг)
fi] L	hi+	ht-
hi-
L2v ~A*2v =
(12)
Sg L	^2+
Ag—
где йа = 0,5(ha_ + ha+), a=l, 2.
Разностный оператор Лапласа на нерегулярном шаблоне
будет иметь вид
А’и = Л> + Л2’и = И-Л1 + и.л. (13)
Если, например, hi_—hl+ —
= hp то Л’р —	и т. д.
Чтобы не выписывать аргументов
(это слишком громоздко при
р>2), введем обозначения
x<+1i) = (x1 + /г1+, х2),
х<-1,) =.(*! — hx_, х2),
Х(±‘2> = (ХЬ Х2 ± h2±),
v(+ia) = v (x( + I“)),
Рис. 10. Нерегулярный шаблон
«крест».
V = V (x), v( = V M ’°1),
, О	Рис. 11.
a — 1, 2.
На рис. 11 показано расположение точек х и х1±!“1. Выра-
жение для Л* можно записать в виде
йа = 0,5 (/га_ + ha+), а =1,2.

4А
/
230 гл. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
12
В гл. I, § 1 было получено выражение для — v". Исполь-
зуя его, сразу напишем
AaV-Lav=^(ha+-ha-)~ + O(.ti2aY	(15)
3	дха
Таким образом, на нерегулярном шаблоне разностный опе-
ратор А*, определяемый по формуле (13), аппроксимирует опе-
ратор Лапласа с первым порядком.
2.	Разностная задача Дирихле в прямоугольнике. Пусть
Go === (0 -Д -Д 1\, 0 х2 /2)
— прямоугольник со сторонами 1\ и /2 (рис. 12), Г — его гра-
ница. Рассмотрим в Go = Go + Г задачу Дирихле для уравнения
Пуассона:
\и = — f (х), х = (хь х2) е б0, и |г = ц (х).	(16)
Построим в Go сетку йд с шагами hi = IJNi и h2 = l2)N2, где
Ni > 0 и N2 > 0 — целые числа. Для этого построим два семей-
ства прямых
х</1} = z, = 0, 1, ..., zVj, x^2) = i2h2, i2 — 0, 1....N2.
Точки пересечения этих прямых х == (zj/ij, z2ft2) с координатами
й/li и i2h2 назовем узлами. Если х = (z'i/ii, z2n2) лежит внутри
прямоугольника (т. е. О < n < Nlt
0<z2<A2), то такой узел назо-
вем внутренним. Пусть ыд — мно-
жество всех внутренних узлов.
Общее число внутренних узлов
равно (Ai — 1)(Аг—1).
Узлы, лежащие на границе
прямоугольника (при Ц = 0, Ni
или i2 = О, N2), кроме четырех
узлов (0,0), (0,/2), (/i,0), (/i,/2),
назовем граничными (они обозна-
чены на рис. 12 крестиками).
Они образуют множество ул =
= {(iihi, i2h2)}. Совокупность всех
внутренних и граничных узлов на-
зовем сеткой = соь + уь в прямоугольнике Go- В каждом вну-
треннем узле х е соь может быть построен пятиточечный регу-
лярный шаблон «крест», все узлы которого x^±Iq\ а=1, 2
принадлежат йд (т. е. либо о)д, либо ул). Поэтому во всех вну-
тренних узлах можно заменить оператор Лапласа Дм разност-
ным оператором
Au = Ux^t + U-xgXf
2J
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 231
Правую часть — f(x) уравнения (16) можно аппроксимировать
сеточной функцией — ф(х) так, чтобы ф(х)—f(x) = O(|/i|2),
)(x)sO4 Считая f(x) непрерывной функцией, полагаем
ф(х) = f(x).
В результате задаче (16) ставим в соответствие разностную
задачу Дирихле: найти сеточную функцию у(х), определенную
на ®д, удовлетворяющую во внутренних узлах (на юд) уравне-
нию
АУ = ~ fМ, Ау = у_1Х| + уХгХ2, хе ah	(17)
и принимающую на границе уд заданные значения
г/(х) = н(х),	(18)
Отметим, что сетка ац(Со) при hi =# называется прямоуголь-
ной, а при hi = h2 = h — квадратной сеткой.
Напишем подробное выражение для Ау на квадратной
сетке:
Ау =	(у[+['} + г/'-"11’ + г/(+’2> + z/<~ 1г> - Ау).
Пусть <р = 0. Разрешим уравнение Ау = 0 относительно у.
y = i (У(~А + У(+1'} + У{~'2) + У{+'2>)-
Значение у в центре шаблона есть среднее арифметическое зна-
чений у в остальных четырех узлах шаблона. Эта формула
является разностным аналогом формулы среднего значения для
гармонической функции.
Из (17), (18) видно, что значения р(х) в вершинах прямо-
угольника не используются. Это и определило выбор уд. В слу-
чае третьей краевой задачи и схемы О (| h |4) (см. п. 9) гра-
ница уд состоит из всех узлов, лежащих на границе прямоуголь-
ника, включая его вершины.
Методы численного решения системы (А^ — 1) (N2— 1) ал-
гебраических уравнений (17) будут рассмотрены отдельно (см.
гл. VIII).
Для оценки точности разностной схемы (17), (18), образуем
разность z = у — и, где у — решение задачи (17), (18), и— ре-
шение задачи (16). Подставляя у = z + и в (16), получим для
z задачу
Az = — ф на (йа, з = 0 на yft,	(19)
где ф = Au + f — погрешность аппроксимации уравнения (16)
схемой (17).
Так как Lu + f = 0, то
ф = Au + f — Lu + Lu = Au — Lu,
т. e. ф = Au — Lu.
232 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
и
Из (8) следует, что
ft? diu
!b = —------J-
Т 12 дх]
ft2 д*и
12 дх]
при «еС|41,
(20)
ны
где черта сверху означает, что берутся значения в некоторых
средних точках на интервалах (xj— й1( х2), (Xi + hb х2) и
(хь х2— /г2), (хь х2 + h2) соответственно. Обозначая
Mi = max
G, а
получаем
Ж<Л14^-.	(21)
Доказательство сходимости схемы (17) сводится к оценке ре-
шения задачи (19) через погрешность аппроксимации. Такая
оценка будет получена в дальнейшем при помощи принципа
максимума для произвольной области и любого числа изме-
рений.
3.	Разностная задача Дирихле в области сложной формы.
Если область G, в которой ищется решение задачи Дирихле (1),
имеет криволинейную границу, то сетка ©ДС), вообще говоря,
неравномерна вблизи границы. Ниже дается описание такой
сетки и классификация ее узлов.
Рассмотрим произвольную конечную область G с границей Г
в пространстве р измерений; х = (хь х2..хр) — тючка с ко-
ординатами X], х2, ..., хр. Построим сетку в области G = G + Г.
Для простоты изложение проведем для двумерной области
(р = 2). Конструктивно будем использовать следующее пред-
положение о форме области G: пересечение области G с любой
прямой, проведенной через внутреннюю точку х е G парал-
лельно оси координат Оха (а = 1, 2), состоит из конечного числа
интервалов.
Пусть начало координат лежит внутри области G. Построим
два семейства эквидистантных прямых
х'/') = г'Д, ix = Q, ±1, ±2, x^ = i2h2, z2 = 0, ±1, ±2, ...,
где h\ > 0 и h2 > 0 — фиксированные числа. Плоскость (хь х2)
разобьется этими прямыми на прямоугольники со сторонами h\
и h2. Вершины этих прямоугольников с координатами X] = i\h\,
Хг = 12^2 назовем узлами, а множество всех узлов — решеткой
на плоскости (хь х2). Узлы х, =	i2h2), лежащие внутри
области G, назовем внутренними-, множество всех внутренних
узлов обозначим соь = {х, е G}. Точки пересечения прямых
=	«= 1, 2, с границей Г области G суть граничные по
направлению ха узлы. Множество всех граничных по направле-
3]
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 233
нию ха узлов обозначим уь,а. Пусть ук = yh, 1 + yh,z — множе-
ство всех граничных узлов, т. е. узлов, граничных хотя бы по
одному направлению ха. Множество всех внутренних и гранич-
ных узлов называется сеткой s>h = w/i + ук в области G (рис. 13).
Проведем детальную классификацию внутренних узлов.
Возьмем какой-либо внутренний узел x s оц и проведем через
него прямую, параллельную оси Оха. Её пересечением с обла-
стью О будет интервал (или несколько интервалов), концы ко-
торого являются граничными по направлению Оха узлами. Рас-
смотрим узлы на этом интервале. Ближайший к концу интер-
вала узел назовем приграничным па направлению Оха (по ха)
узлом. Если его расстояние от границы yh, а есть h*a^=ha, то
такой узел является нерегулярным по ха. Пусть ®*h а— множе-
ство всех приграничных по ха узлов, а <й“ а — множество тех
приграничных узлов, которые являются нерегулярными по на-
правлению ха. Очевидно, что to" а s а. Обозначим через <о^
множество всех приграничных узлов (т. е. приграничных хотя
бы по одному направлению), а через'(о** совокупность всех не-
регулярных узлов (т. е. нерегулярных хотя бы по одному на-
правлению xt или х2). Пусть (йл — дополнение <й* до ал, т. е.
G)ft = и* + (йл. Узлы, принадлежащие <йл, будем называть строго
внутренними узлами. Введем также обозначение сйл, а для
строго внутренних по ха узлов (т. е. для узла лева, 0 сосед-
ние по направлению узлы являются внутренними).
234 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ [3
На рис. 13 значками о отмечены узлы сол, да—нерегулярные
только по узлы (а = 1,2), дь 2 — нерегулярные как по хь так
и по х2 узлы, □ — приграничные узлы, регулярные как по хь так
и по х2.
Будем предполагать, что сетка ш является связной, т. е. лю-
бые два внутренних узла можно соединить ломаной, звенья
которой параллельны координатным осям, а вершинами яв-
ляются узлы сетки. Тогда по крайней мере один из четырех
узлов x(±Ia), а = 1, 2 пятиточечного шаблона
(х(±1!>, х, х(±1г>)
(регулярного или нерегулярного) является внутренним.
Требование связности сетки накладывает ограничения как
на выбор /ii и h2, так и на форму области и на ее расположение
относительно сетки ил при заданных /it и h2.
Примеры несвязной и связной сеточных областей показаны
на рис. 14, а) и 14,6), соответственно. Если имеется область
Рис. 14. а) Несвязная сетка, б) Связная сетка.
с узкой перемычкой, то требование связности области может
быть выполнено при достаточно, малом шаге ha (или при сгу-
щении сетки в этой части области). На рис. 14,6) показан тот
случай, когда связность сетки достигается не путем ее сгуще-
ния, а при соответствующем выборе шага hi.
Мы провели детальное описание сетки для области на пло-
скости. Все проведенные выше построения легко переносятся на
случай р-мерной области. Сетка образуется в результате пере-
сечения гиперплоскостей (плоскостей при р = 3, прямых при
Р = 2)
4‘“) = /Л’ *а = 0> ±1...... а	= 1> 2, ..., р,
где йа > 0. Указанная выше классификация узлов остается без
изменений.
3]
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 235
Аппроксимируем в каждом внутреннем узле х е ил диффе-
„	, д2и
ренциальныи оператор L„u = —5- трехточечным разностным
оператором Аа.
Если узел х е — регулярен по ха, то разностный опера-
тор Аа записывается на регулярном шаблоне (х(—’а), х, x(+la)):
АаУ = Ух
a
у( + 1а)_2у +'а)
hl
(22)
Если же узел № °’7 а, т- е- нерегулярен по ха, то Ла записы-
вается на нерегулярном шаблоне:
- у^-L.---) при х(~>a) Y (23а)
Й« k ha	ha )
где Лы — расстояние между узлами х и x^“'ah Aa = 0,5 (ha + ha),
или
I /,,(+1a)_„	,,	.
A,ay=—\^—-T—-----------------) при x<+ a)e a, (236)
ha \ ha	ha j
где Ла—расстояние между узлами x и x(+1a); ha = 0,5(ha + /ia).
Возможен случай, когда х^^^еу*, a и x(+'a^ e уЛ, a; тогда
A'ay = -^
У — У'
*
(23b)
где ha+ =# ha — расстояние между x и x(±la\ ha = 0,5 (ha+ + /ia-).
На рис. 15 указаны типичные ситуации, соответствующие
случаЯхМ (23а)—(23в).
Аппроксимируя Lau = -^- разностным оператором по одной
<Эха
из формул (22) — (23в), получим вместо (1) разностное урав-
р
нение Ли + <р(х) =0 для всех х е сод, где Л = 2 Аа- На сеточ-
а=1
ной границе будем задавать точное значение у | = p(-v).
В результате приходим к следующей разностной задаче Ди-
рихле-. найти сеточную функцию у(х), определенную для хе
е <вЛ = он, + yh, удовлетворяющую во внутренних узлах урав-
нению
Ау + <р (х) = 0 в регулярных узлах,	(24)
Л*^ + ф(х) = 0 в нерегулярных узлах	(25)
23б ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
[3
и принимающую в граничных узлах заданные значения
У = Ц (х), х е ул-	(26)
отличаются от (24)—(26) уравнением
Укажем другие постановки разностной задачи Дирихле. Они
I для у в нерегулярных
б)
8)
А2У = Ух1Хг> Л =Л1+Л2-
Л-	-.^Уз.
Й1 \ A* hi
^2У = Ух1Х1’ л’-л’+л2.
,	1 2 / У1 ~ Уо _ Уо ~Уз
Л-1У = fjj h
Л*2у
1 / Уг ~ Уо
1*2 \ h-2
А* = Л* + Д’.
Л1-
Уо ~ У1
h2
1) Простой снос. Разностное уравнение (24) пишется
только в регулярных узлах х s coft, а на задается значение,
равное значению «|г= р(х) в ближайшей точке, например,
у(х) = {1(л/-'а)) при хе«>л*а.	(27)
Это соответствует условиям
Уха = 0 ПРИ хе<ол’а И # = Н ПРИ х(”1а)еУл,а-
2) Линейная интерполяция по двум точкам.
В регулярных узлах пишется по-прежнему схема (24). В не-
регулярном узле	значение у определяется путем ли-
нейной интерполяции по точкам е уЛ, а и е ®л. Это
означает, что в узлах геи’'о пишется уравнение Л*(/ = 0,
4J
§ I, РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 237
а в граничных узлах х е задается условие у = ц. (Здесь а
одно из значений а = 1, 2, .... р.)
3) Интерполяция по 2р (по четырем в случае
р = 2) узлам. В нерегулярном узле xeaj’ пишется факти-
чески однородное уравнение
А*г/ = О
(на нерегулярном шаблоне).
Условие Л* у = — ф при х е ь>)г*, как будет следовать из по-
лученных ниже оценок погрешности схемы, является наиболее
точным.
По аналогии с п. 2 напишем условия для погрешности схемы;
здесь у(х) —решение разностной задачи (-24) — (26), и = и(х) —
решение исходной задачи (1). После подстановки у = z + и в
(24)—(26) получим
A.z = — ф в регулярных узлах,
A*z= —ф’ в нерегулярных узлах,
z = 0 на уЛ,
(28)
где ф — погрешность аппроксимации, равная (при ф(х) = /(х))
ф = Ли + ф = Au — Lu в регулярных узлах,
ф’ = Л*и — Lu в нерегулярных узлах.
Пусть иеС‘'’'(6), где СО) — класс функций и(х), имеющих
четыре непрерывных в G производных по Xi, ..., хр. Тогда, в со-
ответствии с (21), в регулярных узлах имеем:
|ф|<Л14!А|2/12, |А|2 = Л2 + Л2 + ... + /г2.	(30)
(29)
р
Представим ф* на ©” в виде суммы: ф”’ = 2 с €=л>-^«-
а= 1
Учитывая (15), будем иметь
К1«тК+-й;-1 + тт*; "р"	<3')
4. Запись разностного уравнения в канонической форме.
Рассмотрим (2р + 1)-точечную схему Л.у = —f в регулярном
узле:
S 77 G/(+‘a) - 2г/ + г/(_'а)) = - Л
а=1 а
Перепишем это уравнение в виде
р	р
S 4 у w=S w ^(+Ia)+^(“la))+f w- <32>
238 ГЛ, IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ [4
Остановимся на случае двух измерений. Из рис. 8 видно, что
в регулярном узле
2 (—+ тй Уз — (.Уг + Уз) + “у (У2 + У^ + /о-
\п\ h^j h\	h2
Пусть узел хеш**! нерегулярен. В случае, соответствующем
рис. 15, а), имеем
л»..	1 f У1~У» Уо~ Уз \ __ 1 / У1 t Уз 2fi| _ \
t I .	, *	, “Т- , *	. . * У о >
Dj у Л|	h{ у Dj	/zj /zj/zj j
А2Уо = -^(у2- 2Уо + У^-
h-2
Из уравнения
Л*у = Л*у + Л2у = — f
находим
(“77—+ ~2 ]Уй~	У\ + “Г"Г ^з + ~7 '^2 + Ум + /О-
h2j nihl й,/?! h2
В случае, соответствующем рис, 15,в), будем иметь
/	2	.	2 \	_	1	,1	.1	,1	, .
( . » , * z, t,” 1	~ * Ь* ~Г ft z.*	^3“T ft U* ^2~r ft z. У* + <0,
У h{_hj ।	J ^1^14-	__ “2^2	^2^2
где
fij = 0,5 (Zij_ + ^i+)>	=	(^2 + ^г)‘
Пусть &h(G) — сетка в р-мерной области и хеа"а нерегуляр-
ный узел. Тогда
Л»___ 1	у-у(
W к \	z,*	г,*	/
' "а+	^а-	'
Подставляя это выражение в уравнение Л*у = —f и формально
считая, что х нерегулярен по всем ха, получим
2 ^7«w - 2	у( ’ ”’)+f	(34)
Цв I ч Ч"г	Ct— 1 '	’Ч*	'•* ч	/
Если х регулярен по некоторому направлению xft, то в этой
формуле следует положить h*k_ = hk+ =Hk = hk. Если же х— ре-
гулярный по всем ха узел, то полагаем ha-= h*a+= ца = ha для
всех а = 1, 2......р, что дает формулу (32). Сравнивая (32) и
5]
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 239
(34), видим, что эти уравнения можно записать в канонической
форме
А(х)у(х) = 2 В (х, I) у (£) + F (х), х е= сол, '	(35)
5 е= Ш' (х)
где Ш'(х) — множество 2р узлов (2р + 1 )-точечного шаблона
«крест» с центром в точке х, исключая сам узел х, т. е. £ =# х;
множество Ш' (х) будем называть окрестностью узла х. А (х) и
В(х, g) — заданные коэффициенты уравнения. Из (32) и (34)
видно, что
Л(х)>0, В(х, g)>0,	2 В (х, g) = А (х) для всех х е а>л. (36)
К уравнению (35) следует присоединить граничное условие
У1у =Н(х).	(37)
1 п
Разностная задача Дирихле является частным случаем бо-
лее общей задачи: найти сеточную функцию у(х), определенную
на (bh = tith + Хь и удовлетворяющую на со л уравнению
А (х) у (х) = 2 В (х, £) у (g) + F (х), х е=
у(х) = ц(х), xeyft,
(38)
где
Л(х)>0, В(х, g)>0, Р(х) = Л(х)- 2 В(х,£)>0 (39)
1^Ш'(х)
для всех х е сил.
Замечание. Третья разностная краевая задача для урав-
нения Пуассона приводится также к виду (38), причем уравне-
ние (38) выполнено для всех х е <вА и имеют место условия
(39); кроме того, требуется, чтобы D б > 0 на уд.
Для доказательства существования и единственности реше-
ния задачи (38), (39) достаточно убедиться в том, что однород-
ное уравнение
£{у] = Л(х)у(х)-	2 В(х, g)y(g) = O, хе ah,
5 е Ш' (х)
у(х)==0, xe=yft
(40)
имеет только тривиальное решение !/(х) = 0, хеол. Этот факт,
как будет показано ниже, следует из принципа максимума, ко-
торый имеет место для схем (38), (39).
5. Принцип максимума. Рассмотрим сейчас задачу (38),
(39) независимо от разностных схем, аппроксимирующих урав-
нение Пуассона. Бу^ем везде предполагать, что сетка сол связна.
В общем случае это означает, что для любых заданных точек
240 гл. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
15
т е ад, и х е «л существует система окрестностей {ZZZz(x)}, х е ид,
такая, что можно осуществить переход от х к х, используя узлы
этих окрестностей (т. е. найдутся точки х, <= ыц, такие, что
Jeffl'Ui), Х\^Ш'(х2)......хп <= Ш'(х)). В случае рассмо-
тренных ранее разностных схем, аппроксимирующих уравнение
Пуассона, это определение связности совпадает с данным выше
определением.
Теорема 1 (принцип максимума). Пусть у(х)—
некоторая сеточная функция, заданная на ыь и не равная по-
стоянной (у(х) Ф const на ил). Тогда, если
(З’М^О), то у(х) не может принимать наибольшего положи-
тельного (наименьшего отрицательного) значения во внутрен-
них узлах х е ил.
Доказательство. Обозначим Z [г/] = F (х). Пусть
F(х) ^0 для всех xgw;,. Предположим, что у(х) принимает
наибольшее положительное значение в некотором внутреннем
узле. Так как у(х) const и сетка ил связна, то существует та-
кая точка xGijm, в которой г/(х) = max у(х) = М0>0, а в со-
_	х е йл
седнем узле х^Ш'(х) имеет место неравенство у(х)<М0.
Уравнение (38) в узле х перепишем в виде
Гд(х)- 2 в(х,ф(*) + 2
Так как
В(х, l)(y(x)~ y(l)) = F(x).
(41)
2 В (х, I) (у (х) - у (I)) > В (х, х) (у (х.) -у(х))>0,
5 е иг (х)
то из (41) следует D (х) у(х) + В (х, х) (у (х) — y(x))^.F (х).
Учитывая, что
D(x)^0, В(х, х)>0, у(х)>у(х),
получаем 0<F(x), что противоречит условию F(x) 0.
Первая часть теоремы доказана. Второе утверждение теоре-
мы доказывается аналогично.
Теорема 2. Пусть функция у(х), определенная на йЛ, не-
отрицательна на границе уЛ (у(%) ^0, хеул) и выполнено
условие
2? [г/] 0 на
Тогда у(х) неотрицательна для всех хейл-
г/(х)^0 на йл.
Если же у(х) 0 на уп, Z [у]	0 на ил, то
у(х)^0 на йд.
(42)
(43)
S]
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 241
Доказательство. Пусть 3? [t/J = F (х) О на ил, у (х)
0 на ул. Предположим, что у(х) <0 хотя бы в одном внут-
реннем узле х0 е Oh- Тогда у(х) должна принимать наименьшее
отрицательное значение внутри сод, что невозможно в силу прин-
ципа максимума, так как у(х) const на ощ (у(хо) <0, y\yh^
>0).
Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.
Следствие. Однородное уравнение (40) имеет только три-
виальное решение: у(х) = 0, х <= йд.
Нетрудно заметить, что t/(x) =0 есть решение задачи (40).
Пусть существует решение задачи (40) t/(x)	0. Если t/(x) ¥= 0
хотя бы в одной точке, то, в силу теоремы 2, должны выпол-
няться одновременно неравенства (42) и (43), что возможно
только при у (г) = 0.
Из следствия и вытекает существование и единственность
решения задачи (38), (39).
Теорема 3 (теорема сравнения). Пусть у(х)—ре-
шение задачи (38), (39), а у(х)—решение задачи, которая по-
лучится при_замене в (38), (39) функций F(x), ц(х) соответ-
ственно на Р(х), ц (х). Тогда, если выполнены условия
I F (х) | < F (х), х <= сол, | ц (х) К ц (х), х t= ул,
то имеет место неравенство
\у(х)\^у(х) на ah.
(44)
Доказательство. В силу теоремы 2 справедливо нера-
венство у (х)	0 на ид. Функции и = у + у, v = у — у удовлет-
воряют уравнению (38) с правыми частями Fu = F + F, Fv =
граничными значениями и| = (у + у) L , »| =
Так как по условию Fu^0, и |v 0 и
v > 0
~~ F F И I I.U ..... .1 1.x I. V. X. U > VI.II/.	\ I *7/1,1
’Л	V
= (у — у) L . Так как по условию Fu^0, и| ^0 и F,
v |	0, то, в силу теоремы 2, имеем и 0 или у	—у,
или у <у. Отсюда
У на йл.
Следствие. Для
справедлива оценка
следует, что —у < у
т. е.
решения однородного уравнения
(40)
где
1у>
(45)
Ну11й = max |у(х)|, ||t/|L= max |у(х)|.
Неравенство (45) следует из теоремы 3, если положить у(х) =
= | у(х) | на ул и F = F s 0 на ид.
242 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
[6
6. Оценка решения неоднородного уравнения. Решение за-
дачи (38) можно представить в виде суммы у = у + у, где у —
решение уравнения (38) при F = 0, принимающее на границе уд
заданные значения
У 1Ул = Н W,
а у(х) решение неоднородного уравнения (38), обращающееся
в нуль на границе ул-
Р1ул = °.
Для у, в силу принципа максимума, следует оценка
11Ла<Ы1г
Оценка у представляет значительно большие трудности. Если
известно частное решение У задачи (38), (39) с правой частью
F ||Е||Ю, мажорирующей F(x), то, пользуясь теоремой 3, по-
лучим искомую оценку
II у IL < IIУIL
Построение мажорантной функции У (х) в явном виде удается
лишь в некоторых специальных случаях. В п. 7 будет построена
мажорантная функция У(х) (мажоранта Гершгорина) для раз-
ностной задачи Дирихле. Однако для правильной' оценки по-
рядка точности разностной задачи Дирихле этого недостаточно,
так как нужно отдельно оценить вклад погрешности аппрокси-
мации в приграничных узлах в погрешность решения разностной
задачи.
Теорема 4. Если D (х) >0 всюду на оы, то для решения
уравнения (38) с ц (х) =0 верна оценка
•а<1ж1	(46)
Доказательство. В силу теоремы сравнения ||р||и
sg II У||<о, где У—решение задачи (38), (39) с правой частью
F = |F|, У | =0. Пусть У(х) принимает наибольшее значение
в точке Хо е ил. Так как У (х0) > 0, то
А(х0)У(х0)= 2 В(4УП|) + ИМ1<
5 е Ш' Uo)
<(А(х0)-£»(х0))У(х0) + |Д(х0) |,
т. е. D (х0) У (х0)	| F (х0) | и, следовательно,
lhv II <7 У (х ) <"	II F ||
II (х0)^ р(х0) ^=||d(x)IU'
6]
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 243
Замечание. Если D(x) равномерно ограничен снизу кон-
стантой 6 > О, D (х)	6 > 0, то
№<у11Лш-	.	(47)
В самом деле, ||E/D||(0	||Е||м/6 и из (46) следует (47).
Рассмотрим теперь уравнение (38) при однородном гранич-
о
пом условии у
vr°-
Напомним, что через ил мы обозначаем
множество узлов хе ил, для которых Ш' (х) принадлежит сол,
а через и* — множество тех узлов хесол, для которых хотя бы
один из узлов £, входящих в Ш'(х), является граничным, t е уд.
В приграничных узлах х е ^некоторые узлы |е/Я'(х) оказы-
ваются граничными и поэтому соответствующие слагаемые
В(х, £)//(£) обращаются в нуль. Это означает, что фактически
для приграничных узлов х е и' суммирование ведется по мно-
жеству ПТ (х) = Ш!(х] П Юк и что
£>(х) = А(х)- 2 В(х, |)>0, хеог. (48)
5 е Ш' (х)
Заметим, что если х е то
Ш' (х) = ИГ (х) Г) сой = Ш' (х),
D (х) = D (х) = .4 (х) -	2 В (х, |).	(49)
5 <= ш' (х)
Теорема 5. Пусть выполнены условия
D (х) = 0, х<= D (х) > 0, хе и^,	(50)
F (х) = 0, хе иЛ.	(51)
Тогда для решения задачи
А(х)г/(х)=	2 В(хЛ)г/(Ю + Е(х), 1
5 е Ш’ (х)	J	(52)
А(х)>0, В(х, £)>0, хеиЛ	J
с однородным граничным условием у |
имеет место оценка
(53)
= 0

где
II f lla. max | /(х) |.
w *
ХЕ
244 ГЛ, IV, РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Доказательство. Возьмем мажорантную функцию
У(х)— решение уравнения (52) с правой частью F(x) =0 при
x<=®ft, F(x) = |F(x)| при г <= (Од и У | = 0. В силу теоремы 2
•	о
У(х) >0 на ©л. Так как связная область, то У (г) const
не может принимать наибольшего значения на ah, где F = 0.
Пусть х* s со* — узел, в котором У (х) имеет максимум. По усло-
вию Д(х*)>0; поэтому, повторяя рассуждения, проведенные
при доказательстве теоремы 4, получаем (53).
Правую часть F (х) всегда можно представить в виде суммы
F = F + F*, где
р _ | х	F* = Х	(54)
[ 0, x(=&h,	F, хеш’.
Оценка решения задачи (52) при F = F в случае D(x) =0
на сод может быть получена методом межорантной функ-
ции У(х).
7. Оценка решения разностной задачи Дирихле. Пользуясь
результатами п. 6, дадим равномерную оценку решения разно-
стной задачи Дирихле (24) — (26). С этой целью представим ре-
шение этой задачи в виде
У = У + У,	(55)
где у— решение задачи (24) — (26) с однородным граничным
условием у | = 0, а у— решение однородных разностных
уравнений (24), (25) при ф s= 0 с неоднородным граничным ус-
ловием у\ =р(х). Так как, согласно п. 4, условия теорем 1—3
выполнены, то для у сразу получим оценку
(56)
Правую часть ф(х) представим в виде суммы
Ф = ф + <p*,	(57)
где ф* = 0 в регулярных узлах. В соответствии с этим положим
у = v + w,	(58)
где w — решение задачи
Ада = — ф> w | = о,	(59)
а» — решение задачи
Ау = - ф’, v ) = 0.	(60)
'П
л
§ i. Разностная задача дйрихлё для уравнения пуассона 245
Здесь
| А в регулярных узлах,
I А* в нерегулярных узлах.
(61)
Каждую из функций w (х) и v(x) оценим отдельно. Для
оценки w(x) используем теорему сравнения. Предполагая, что
начало координат лежит внутри области G, возьмем мажорант-
ную функцию
У(х) = Ш2-г2), г2=2%2,	(62)
а=1
где К = const > О, R— радиус р-мерного шара (окружности
при р = 2) с центром в начале координат, целиком содержаще-
го область G.
Учитывая, что Аах| = 0 при а=^Р,
А х2 =
(*а + haf - 2х2 + (ха - ha)2 _
Д’г2 = 2
аЛа
получаем АУ = —2рК, A*Y — —2рК. Очевидно, что R^DG> где
Dg — диаметр области G. Выберем теперь постоянную
К = -£||ф||м	(63)
^Р
так, чтобы уравнение для У имело вид
АУ = - || ср ||ш = - F на ид.	(64)
Из (62) видно, что У| О, так как г2 R2. Сравнение
о
(64) с (59) показывает, что ] ф F, 0 = w | У • Поэтому,
в силу теоремы 3, будем иметь
11На<ЦУ11а.
Учитывая, наконец, что
У ^KR2 =-£-11 ф ||и,	(65)
^Р
получим
Il w цш <£я2 и ф цш.	(66)
Перейдем к оценке функции ц(х), используя ограниченность
снизу сеточной функции D{x}.
Покажем, что
Д(х)>1/д* в приграничных узлах xeoj а, (67)
где
5а = 0>5Ла+Ла- либ° 5а = Ма	(68)
246 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
I?
в нерегулярных узлах, д* = в регулярных приграничных
узлах.
В самом деле, пусть	нерегулярный лишь по ха
узел, так что <= yft; а, <= юй. Из уравнения
р
ЛаУ + 2	= - Ф,
3=1
З^а
где
Л\.	1 !у{ + Ха]~У	У-У(~'а}\
лаУ = —	'
Еа \ йа+	/га /
(так .как на границе £/(+1“) = 0), следует
р
V	1	, V 2
1 / У + У-Ух
\^а+	ha
о
А(х) = -±-
^а^а +
“	3=1 13
З^а
Х) = -гЛ-
®сЛа+
Р
2
Р¥=а
Если окажется, что х(+1“) и х( являются граничными узла-
ми, то
2
^а+^а—
может оказаться приграничным
но и по другим направлениям.
Z)(r) =
В общем случае узел х е к>‘ (/
не только по направлению ха,
Тогда в сумме (52) будут отсутствовать и другие слагаемые.
Поэтому справедлива оценка (67). Например, при р = 2,
нерегулярен по Xi и х2 в соответствии с рис. 15, в), то
п/ \	2	,1	1,1
Z)(.v)	* * *" й ,* А* + А* >
ht+h]_ ^2^2+	^2
т. е. D (х) > 1/6а, а = 1, 2.
Обратимся теперь к задаче для функции v(x).
Представим ф* в виде суммы
р
Ф* = 2 Фц> Фа = 0 в регулярных по ха узлах,
если х
(69)
Р
и положим v = Tj va, где va — решение задачи
а=1
Аца = 0 в регулярных по ха узлах,
A*v = — ф^ в нерегулярных по ха узлах, vа1 = 0.
%
(70)
8J
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 247
В силу теоремы 5
(71)
где
|| f || * = max | f (x) |
“a	*
a
(фактически берется максимум по и** а, так как ф* =0 в регу-
лярных приграничных узлах).
Из (71) следует, что
(72)
a= 1	a
Объединим оценки (56), (66) и (72) и сформулируем полу-
ченный результат в виде теоремы.
Теорема 6. Для решения разностной задачи Дирихле
(24) — (26) с правой частью ф, представленной в виде ф = ф + ф*,
р
Ф* = У ф‘, ф* = 0 в регулярных по ха узлах, на произвольной
а=1
связной сетке верна равномерная оценка
№<11р11у + -^11ф11а +	(73)
а=1
где 6а определено формулой (68).
8. Равномерная сходимость и порядок точности разностной
задачи Дирихле. Применим теорему 6 для оценки решения за-
дачи (28). Следуя п. 7, представим погрешность аппроксимации
ф схемы (24) — (26) в виде
р	р
ф = ф+ф*, ф=2фа, Ф’ = 2ф*>
а=1	а=1
где ф* =0 в регулярных узлах (по ха), фа = 0 в нерегулярных
узлах (по ха).
Из оценок п. 3 следует, что для и е С(4)
I фа I Mifta/12 для всех	(74)
в нерегулярных узлах а, где
Ms = max
Q,
1 а^р
dsU
dxsa
s = 3, 4.
248 гл. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
18
Из (74) находим
НИ«>< 2На11а<Л44|/г1712, |/г|2 = 2Ла. (76)
а=1	а-1
Для решения задачи (28), в силу теоремы 6, имеем оценку
2	р
1М1а<^11Йа+2ЬагЙа‘-	(77)
а=1	а
Перейдем к оценке 16*ф* ||a*. В силу (75), (68) имеем
либо
где h* одно из чисел /г* или h* .
и	иф	а —
Учитывая, что
oMX (ha - h^,dhJEa(ha -
заключаем
р	р
<78>
“	а=1	«	а-1
Подставляя оценки (76) и (78) в (77), убеждаемся в том,
что верна
Теорема 7. Если решение задачи (1) и(х) <= C^(G), то
разностная схема (24) — (26) равномерно сходится со скоростью
О(|h|2) (имеет второй порядок точности). При этом верна
оценка
\\у-и\\»<^& + ^&,	(79)
где у — решение задачи (24) — (26), h = max ha.
а
Сделаем в заключение следующее
Замечание. Рассмотренный выше способ аппроксимации
задачи Дирихле (схема (24)—(26)) является довольно распро-
страненным. Однако построенный таким образом разностный
оператор в некоторых случаях теряет ряд важных свойств, при-
сущих исходному дифференциальному оператору: самосопряжен^
ность и отрицательную определенность.
Представляет интерес построить такую аппроксимацию за-
дачи Дирихле для уравнения Пуассона, для которой соответ-
9]	§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 249
ствующий разностный оператор был бы самосопряженным и от-
рицательно определенным.
Оказывается, что для этого достаточно изменить запись раз-
ностного уравнения в нерегулярных узлах. Именно, оператор Л*
будем определять теперь так:
р
л* = 2 л;,
Можно показать, что при этом оператор
_ ( Л в регулярных узлах,
I Л* в нерегулярных узлах,
является самосопряженным и отрицательно определенным (на
множестве функций, обращающихся в нуль на уЛ) в смысле
скалярного произведения
(У, »)= 2 y(x)v(x)hth2 ... hp.
Так же как и в теореме 7, доказывается, что соответствую-
щая разностная схема имеет второй порядок точности.
9. Схема повышенного порядка точности для уравнения
Пуассона. Исходя из схемы «крест», можно построить схему
с погрешностью аппроксимации на решении О (| h |4) (или
О (Л6) в случае квадратной (кубической) сетки). Для повыше-
ния порядка аппроксимации используется тот факт, что и = и(х)
есть решение уравнения Пуассона
\и= — f(x).	(80)
Проведем рассуждения для двумерного случая (р = 2), когда
д^и
ku = L}u + L2u, Lau = —
^ха
Рассмотрим разностный оператор
Ли ™ (Л| -]- Л2) и, Л^и = UxgXa*
250 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
[9
Пусть и = и(х) имеет нужное по ходу изложения число произ-
водных. Тогда
h2 h2
\u-Lu = ~L\u + -^Llu + O{\ht\	(81)
Из уравнения LiU + L2u = —f(x) находим
Liu= L\f LiL2u, =	Z.2/ Z.iZ.2zz,
так что
ft? hl	h? + hl
Xu = Lu-^Lif-~ LJ--------~~ LjL2u + O(lh |4).	(82)
1 1 & 1
Подставим сюда Lu= — f и заменим LiL2u разностным опе-
ратором
A]A2ZZ — UxtxiXsX2 ~ LlL2u — „ „ .
dx,dx2
Этот оператор определен на девятиточечном шаблоне, изобра-
женном на рис. 16.
Рис. [6.
Напишем выражение для A]A2h:
' и (хь х2 — ft2) — 2ц (Х[, х2) + и (xt, х2 + h2)'
.Aj-AgW — А.|
л|
= —{и (%] — й], х2 — h2) — 2и (%], х2 — h2) + и (%] + /гь х2 — h2) +
*1*2
+ 4u(xlt х2) — 2и (xj — hb х2) + u(Xi — hi, x2 + h2')~
— 2u(xi, x2 + h2) — 2u(xi +	x2) + u{xl + hi, x2 + h2)}.
Погрешность аппроксимации
A]A2u — LiL2u = О (IA |2).
34U (x., X„)
В самом деле, A2u = L2u-\----------где х2е(х2 — h2, х2 + й2) —
12 дх2
некоторая средняя точка. Поэтому
, ,	.	*9 . /34и (х Х,)\
A]A2u = A] (L2u) + — А] I —4 I •
9]	§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 251
Отсюда видно, что
A| (Z<2^)= О (/zi),
Л] ( д и (*!:—г) \ = L\L2u (х1; х2), х1 е (х1 — hx, х1 + h{).
\	^х2	/
Таким образом, AiA2zz = LiL2u + О (| h |2), что и требовалось до-
казать.
Заменяя в (82) LiL2u на AiA2zz, получим
Au = — ср----12 ”2’ А[А2и + О (| h |4), ф = f + -jg- L[f + L2f. (83)
Из предыдущего следует, что уравнение
.,	. h2 + h2
У = - ф, Аг/ = Ау + —— Л1Л2г/,
(84)
Ф — f + "jj Lj + L2f
имеет четвертый порядок аппроксимации на решении и = и(х)
уравнения Пуассона (80). В самом деле, формула (83) дает
А'и + ф = (А'и + ф) — (Lu + /) = О (| h |4), L = 7.] + Т2.
Оператор А' определен на девятиточечном шаблоне (рис. 16)
«ящик», состоящем из узлов (xi + т^, x2 + m2h2), т.\, т2 =
= —1,0,1. Запишем схему (84) в виде
+ 7(4--А-')(7/(+1!) +У(-1!)) +
о \ п2 Л1 /
+ —f-4- + Д-^(г/(+1*’ +‘2)+ г/(+1ь -1г) +	+1г)) + ф, (85)
12 \ h\ h2)
где г/<±1>> = y(xY ± h{, х2), г/(+1'- ~‘2) = у (xi + hb x2-h2) и т. д.
На квадратной сетке (/zi = h2 = h) это уравнение принимает вид
4(yt + у2 +Уз + у*) + у$ +у6 +Ут + Уз , 3
z/О =--------------20---------------+ То п ф
(см. рис. 16).
Рассмотрим теперь разностную задачу Дирихле для схемы
О(|/г|4) в прямоугольнике G= (0 ха 1а, а =1,2):
h2 h2
А'у=-^, х^юь, у\Уп = ц(х); ^ = f + -^-Alf + -^A2f, (86)
где А'у дается формулой (84).
252 ГЛ, IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
Н
Каждый из узлов сетки является регулярным, так как девя-
титочечный шаблон (рис. 16) принадлежит G. Граница ук сетки
содержит все узлы на Г, в том числе и вершины прямоуголь-
ника. Для z = у— и получаем задачу
A'z= —Ф,	г = 0 на ул,	(87)
где ф = А'и + ср = О(|/г|4) при хеш, если	Проверим
условия принципа максимума. Сравнивая (41) с (85), видим,
что
В(х, |)>0 при	(88)
V5 Л2
Для оценки решения задачи (87) строим мажорантную функцию
У(х) = А[/2-х2 + /22-х22].
Учитывая, что АУ = — 4К, Л1Л2У = 0, || У || К(/? + /1), выби-
рая 4/С = || ф ||ю и пользуясь теоремой 3, получаем для решения
задачи (87) оценку
II Z ||в<^—НПа при условии _/5.
“	4	К5 h2
Отсюда следует, что схема (86) имеет четвертый порядок точно-
сти, если iisC'6', (eC(i! и выполнено условие (88).
На квадратной сетке (Zzi = h2 = h) это условие автоматиче-
ски выполнено. Выбирая соответствующим образом ф, можно,
добиться того, что на квадратной сетке схема (86) будет иметь
шестой порядок точности.
§ 2. Некоторые оценки для разностных операторов,
аппроксимирующих дифференциальные операторы
эллиптического типа
Этот параграф посвящен получению некоторых неравенств для разност-
ных операторов, аппроксимирующих дифференциальные операторы эллипти-
ческого типа. Эти неравенства в дальнейшем будут использованы при получе-
нии априорных оценок для разностных задач, которые в свою очередь
послужат основой для доказательства устойчивости и сходимости разност-
ных схем.
1. Разностный оператор Лапласа в прямоугольной области.
Пусть на плоскости (хь х2) задана прямоугольная область
Go = {x = (xb х2), 0<xa<Za, a=l, 2}
с границей Г (рис. 17) и оператор Лапласа
л д2и , дги
dxj дх2
11
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
253
Введем в области Со разностную сетку таким образом, чтобы
прямые, образующие границу Г, принадлежали классу прямых,
образующих сетку:
= {х — (х 1, Х2) Cq, Xj “ lxhx, X2 ~~ ^2^2» ^ct= 0, 1, • • •, Л/га, ® К 2}.
Сетка йл равномерна по каждому направлению ха. По на-
правлению Xi шаг равен hx, по направлению х2—равен h2.
Рассмотрим простейшую аппроксимацию оператора Лап
ласа. Пусть
А« = у} „ + yfr. (1)
J	'J Х2Х2
Справедлива
Лемма 1. Для всякой
функции v(x), заданной на сет-
ке ®h и обращающейся в нуль
на границе ул:
4,-0.
имеют место неравенства
М v|F<(A и) < До II IF. (2)
Здесь 0 < 6о < До—постоянные, значения которых опреде-
лим позже, оператор 4 = —А и, как обычно, приняты обозначе-
ния
JV,-1 Л12-1
(и, ai)= 2 Vyi2wty2hxh2, II v II2 = (о, v).
Прежде чем переходить к доказательству леммы, рассмот-
рим следующую задачу на собственные значения:
Ли + Ли = 0, хеаЛ, v(x) = 0, хеуЛ.	(3)
Решение задачи (3) будем искать методом разделения перемен-
ных. Пусть
и(х1; х2) = ц(х1)т)(х2).
Подставляя выражение v(x) в (3), найдем:
И (*0	+ П (*2)	0Q П N = °-
Так как мы ищем нетривиальные решения задачи (3), то можно
разделить обе части этого уравнения на p(xi)r)(х2). В резуль-
тате получим
+±i!*T + Jl = o,
К) ц
254 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
11
ИЛИ
п
И
-л=- л(2>,
причем /.(21 не зависит ни от xit ни от х2- Тем самым для ц полу-
чаем задачу:
Чг-Л +	= °’ Х2 = h2’ •   > l2 ~ h2> По = Пдг, = 0-	(4)
Это есть именно та задача на собственные значения, кото-
рую мы уже рассматривали в гл. I, § 2. Решением этой задачи
является
и
<’ = -^sin2^\	62=1, 2, .... JV2-1.	(5)
Аналогичную задачу получаем для ц(х():
+ ^(1)Н = О, X, = hv ...,	- /г,; ц0 = ИлГ1 = 0,	(6)
где Л(1) = Л—Л(2), и ее решением является
, •, Г 2 . kxnxx
MX1) = ]/ 7Tsiri~V’
C = 4sin2A^, 6, = 1, 2,	Л^-1.	(7)
п J	211
Теперь можно найти функцию о(х), являющуюся решением
задачи (3)
Vklk2 (х) = -7=sin-i—^sin-^-.	(8)
V Н*2	ч	*2
Мы обозначили
Я(1)=Л-Л(2),
поэтому
X — ^klkl =	+ /-fa
или
i«-=4Usi"!^+isW^r)’	<9>
где
fej = 1, 2, ..А] — 1, k2 = 1, 2, ..N2- 1.
Собственные функции Vk,k2 ортонормированы в смысле опреде-
ленного выше скалярного произведения ( , ), так как они орто-
нормированы на каждом отрезке по направлениям Xt и х2. Сле-
довательно, по системе функций {ofafa(x)} можно разлагать лю-
и
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
255
бые функции, заданные на и обращающиеся в нуль на гра-
нице ул.
Приступим теперь к доказательству леммы 1. Для одномер-
ных сеток были введены формулы суммирования по частям и
формулы Грина. Они полностью переносятся на двумерный
случай. Первая формула Грина для двумерной сетки в прямо-
угольнике принимает вид
Nt N2-l
(Vx1Xl, W)=-(VA, 12)^ = - 2! 5	(10)
h-1 i2 = l	'
Преобразуем с помощью первой разностной формулы Грина
скалярное произведение (Av, v). Получим
(Ло, о)=-(Ло, о)=-2(%*а, ») =
2	2
так как по определению (сг^, У%а]а = || Оха]|^. Разложим теперь
функцию о(х) по системе функций {о/г,/г2(х)}:
о(х)= 2! cft,fe2o№(x)
kt&2
и, взяв от нее левую разность по получим
Vx, (х) = 2! Cklkl Vvkikt (х),	(12)
kt, ki
где	____
, ч Г 2	. ч (%] — 0,5ht)
Vktk, (*) = У -ц П (*2) cos--------
и функции Vktki ортонормированы в смысле скалярного произ-
ведения (, ]. На основании этого из (12) находим
1	лч-i
II	= S S ЩА,-	(13)
fel=l Й2=1
Аналогичное выражение нормы получаем для Vx2(x):
Nt-l N2-l
<13')
kt = l ki=l
После подстановки выражений норм для и в формулу
(11) получаем
(Ло, о)
256 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
[1
Нам осталось оценить сумму, стоящую в правой части. Для этой
цели из-под знака суммы вынесем максимальное и минималь-
ное собственные значения
min 1| v ||2 < 2! 4,fa4fe < max II v II2.
k„ fa	fa, fa	fa, ki
Значения наименьшего и наибольшего собственных чисел из-
вестны:
		1=4 \	/г?	.	9	\ sin2	• 1	
			+	2^2 |
				/г22	/
AjV,-l	, №-1	= 4Г<	+	, nh2 \ C0S 2/г | /
Таким образом, получение неравенств
(2) закончено, причем
бо = ^1, I, Ао =	№-!•	(14)
Эти постоянные точны в том смысле, что в соотношении (2) ле-
вое неравенство переходит в равенство при v = vlt i(x), где
vlt Дх) есть собственная функция задачи (3), отвечающая пер-
вому собственному значению. Аналогично правое неравенство
в (2) переходит в равенство при v — Одт,-!, n,-i (х)- Из неравенств
(14) видно, что формулы для 60 и Ао не очень удобны, поэтому
мы оценим Xi, 1 снизу, а Лдг,-!, jv,-i сверху. Мы не очень сильно
загрубим оценку для максимального собственного значения
Лдг.-i v2-i, если в его выражении заменим cos на 1, так как
2‘а
cos = 1 + О (| h |2). Поэтому будем писать
(15)
\ Л| h2 J
Для наименьшего собственного числа ранее (см. гл. I, § 2)
была доказана следующая оценка снизу:
4 .
—Г sin'
А2
• о Tihn
in2——
а = 1, 2.
Будем считать поэтому
что
(16)
Из равенства (16) видно, что 6о есть абсолютная постоянная,
не зависящая от сетки ®h. Величина Ао от сетки <ah зависит и
стремится к бесконечности, когда шаги сетки стремятся к нулю,
1]	§ 2. некоторые оценки для РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ 257
Лемма 2. Для всякой функции и(х), заданной на сетке ан
и обращающейся в нуль на границе ун, имеет место разностный
аналог теоремы вложения:
р
М1с<у==1|Аи||,	(17)
еде || v ||с = max | v (х) |, /0 = шах{/1> 12}>
Доказательство. Разложим функцию v (х) по системе
собственных функций {u*,fe(x)}:
V (х) = 3 Cktk2 Ofefe (х).
kt. kl
Отсюда получаем
Ди (х) = 3 Ck^k.k^k.k, (х),
k\t k2
и, следовательно,
II Av (х) ||2 = 3 сЦлЦ.
fe, k-2
Оценим теперь функцию о(х) следующим образом:
I и (х) К ( S I см2 I ) max | vftlte (х) |.
\ki, ki	/ kh fe
Из (8) получаем
I v*,fa Wl<2/ \АЦ12,
так что
I v (x) |2 5-^	| Chtk2 | ) SjJ j f	| fefe) —
Xfe,. к, )	\Л, ki	/ \&„ fe /
= T^-iMy|pS^L
ki, Й2
Для завершения доказательства нам осталось получить
оценку
(18)
It’ll ki
Обращаясь к формуле (9) и учитывая, что sinx^2x/n при
0^х^л/2, имеем
4 (-£- + -j-1 > -д' (^i + fe).
\ Ц ‘2 / ‘О
Следовательно,
Ni — 1 Ni— 1	4 АЧ — 1 Ni-l	а о» о»
At=«l	йа=»1	fe —1
258 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(2
Воспользовавшись, далее, оценкой
оо оо	/ °°	\ / 2Я
j йф =4
о >
A,=l fa-1
получаем (18).
2. Оператор Лапласа в области, составленной из прямо-
угольников. Рассмотрим теперь
ного числа прямоугольников со
2/н
область, состоящую из конеч-
сторонами, параллельными ко-
ординатным осям, как по-
казано на рис. 18. Пред-
положим, что стороны
прямоугольников, соста-
вляющих область G, со-
измеримы. Тогда можно
построить сетку (с ша-
гами ht и А2) так, что
граница сеточной обла-
сти лежит на границе об-
ласти G. Дополним об-
ласть G до прямоуголь-
ника, который обозначим
через G, как это показа-
G разностную сетку и
G будем обозначать бл.

В
flz
hi
Рис. 18.
О

18. Построим в области
ее в G. Сетку в области
но на рис.
продолжим
Пусть v — сеточная функция, заданная на ап, такая, что
v L =0. Определим функцию
( V (х), X ё= ©л,
с(х)= л	ч
(	0 , х е ©л \ шл.
Тогда из определения функции v следует, что
где
IIV IP = (и, и), (и, у)= 2 v{x)y{x)h}h2,
II б 111 = 2 v2{x)hih2,
h x^G>h
2	2
2 I Мл
а=Г а«аЛ a- JII all
Учитывая эти равенства, убеждаемся, что для функции v(x),
определенной на сетке ©л в области G, справедливо утверждение
3,	§ 2. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ 259
леммы 1. При этом
бо = 8(1’+^)’ Л° = 4('л[+'<)’
где li и 12 — длины сторон прямоугольника О.
3. Операторы с переменными коэффициентами. Перейдем
к получению оценок для разностных операторов с переменными
коэффициентами. Везде в п.п. 3 и 4 предполагается, что область
G — прямоугольник
{х = (Хр х2), 0 ха la, ct = 1, 2}.
Пусть
2
=	0<с1 <fea(x)<c2.	(19)
а=1
В гл. III было показано, что оператор
LaU = ~дх^
можно аппроксимировать с точностью О(/г«) выражением
Ла^ = (ЯаМ^а) ,
ха
где
(О	X -I
J	2- <20>
Но из-за сложности вычисления интеграла такую аппроксима-
цию использовать не всегда целесообразно. В качестве аа(х)
обычно можно брать те выражения, которые получаются из
(20), если заменить там интеграл той или иной квадратурной
формулой. Часто используют выражения
аа(х) = ka(xa-0,5ha, хр), а, 0=1, 2,	(21)
aa(x) = 0,5[ka(x) + ka(xa - ha, Хр)], а, ₽ = 1, 2, а ф 0. (22)
Из соотношений (20) — (22) и условий (19) следует, что
0<С] <аа(х)<с2.	(23)
Оператору (19) поставим в соответствие разностный оператор
2
АУ= 3(аа^а)^.	(24)
Аппроксимации такого вида являются естественным обобще-
нием на многомерный случай однородных разностных схем, вве-
денных в гл. III для одномерных уравнений.
9*
260 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
14
Лемма 3. Для всякой функции v(x), заданной на сетке a>h
и обращающейся в нуль на границе ун, справедливы неравенства
6(А II v < (Л v, оХД0с211о1Р»	(25)
где 6о и До даются выражениями (15), (16); щ и сг— постоян-
ные из условий (19) и А = —А.
Доказательство. Так как на границе сеточной области
и(х) равна нулю, то из формулы Грива для оператора Аао =
= (aaVx ) следует, что
' а/ха
((fl“%)x0’ °) = “ («“’ VUa-
Поэтому
2
(Ло, 1>) = 5 (aavx , v-x ]
Используя условие (19), отсюда находим
2	2
С> 2 II %£ < (Л°> f) < *2 2 || Ma-
2
Оценивая теперь 21| ^ха£ с помощью формул (13) и (13'),
получаем (25).
4. Оператор со смешанной производной. Рассмотрим эллип-
тический оператор со смешанной производной
2
а, 0=1	1
Предположим, что выполнено условие эллиптичности
2	2	2
3	(27)
a=l а, (3=1	(Х=1
где Ci > 0, С2 > 0 — постоянные, а g= (gi, &)—любой вектор.
Для аппроксимации оператора [kaa~^ воспользуемся
выражением
AaJ/ = (aaa^a)*a’ Oaa = О-5 [kaa W + kaa (Xa ~ fta> *₽)]’ (28)
Тогда
&о.аУ = 0»5 R&aa (x) У a ) + (^aa °^Ух. a) ]'
ц \	ОЬ/Лф V
4]
$ 2. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
261
Заметим теперь, что knn(x—hn, хл} = k<~la\
л *	1л 1л \ 1л U* Р/ 1л1л *
(С'0)^аХ = £ (>аа М У*а ~ к{аа'а)У*а) =
\	<Л ' Л Q	\Л> *	<л	<лz
= i ^аа « УХа ~ (kaa (X) Ух$~^ = (kaay \ .
а
Таким образом,
ЛааУ = 0>5Г(^а^а) + (MxJ 1-	(29)
L	ха	хаJ
Оператор со смешанной производной
можно аппроксимировать по четырем точкам, как показано на
рис. 19,а), выражением
Л12г/ = (^12УХ!)-1
или по таким четырем точкам, как показано на рис. 19,6), вы-
ражением
Нетрудно показать, что операторы аппроксимируют
и	Г.			
-	—
а)	б)
Рис. 19.
оператор Т12 с погрешностью 0(hf + h2), а оператор
~ 2” (^12^ + Л12*/) = у [(^12//jc2)X| + (^12Ухг)Х1]
с погрешностью О (| /г|2).
Сравнивая выражения (29) и (30), видим, что оператор •
-Л// = Л// = А	) +(МА 1	<39.
a, p=i L р ха “ ’ р xaJ
аппроксимирует выражение (26) с погрешностью O(|/i|2).
262 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ |4
Лемма 4. Для всякой сеточной функции и (х), заданной
на ah и обращающейся в нуль на границе ул, справедливы нера-
венства
tO^AoMoll2,	(32)
где оператор А определен формулой (31), постоянные щ и Съ —
формулой (27), а бо и До — формулами (15) и (16).
Доказательство. Представим оператор А в виде суммы
А = 0,5(Л+ + Л"),
где
2	2
Очевидно, что (32) достаточно доказать, например, для А~. Ис-
пользуя вновь формулу Грина, получим
2	2
Обозначим
W, Wi
(и, ге>] = 2 2 с» (Мн	iihfihxhb.
/,-! Ь = 1
Тогда, внося в (33) знак суммы под знак скалярного произве-
дения, получим
/ 2
(Л~о, ») = ( S , v .
\а, 0=1 р 0 ха]
Используя условие эллиптичности (27), получим отсюда
2	/2	1	2
с. 2II %£ < Ц?=1kafiV^ с С2 а?. II °^12-	(34)
Далее, повторяя доказательство леммы 1, получим (32).
Замечание 1.В силу (11) и (33) неравенства (34) можно
записать в виде
•С](Ло, о)<^(Ло, о)«^с2(Ло, о),	(35)
где Ау=> — Ку = - 21 У а х для у(х), заданных на ®л н рав-
а=1 а а
ЦЫх нулю на границе (у | = 0), илн в виде операторных не-
равенств (см. гл. I, § 3):
р|Л^Л^с?4,
8]	$ а. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ 263
Операторы А и А, удовлетворяющие неравенствам (35), будем
называть энергетически эквивалентными с постоянными Ci и cz
операторами (употребляются и другие термины — эквивалент-
ные по спектру (Е. Г. Дьяконов [7]), сходные (С. Г. Михлин,
X. Л. Смолицкий [1]) и др.).
Замечание 2. Пусть дан оператор
р
Lu(x)= 2 Lapu, ^арц=а7^(^ар(х)-5тг)
а, 0-1
и выполнено условие эллиптичности
р	р	р
Cl 3 S	с2 S Ед'
a-i а, р-1 р р а=1
В р-мерном параллелепипеде
G = {0^xa<Ja, a=l, 2, р}
вводится сетка
®л = ®л + Ул = {*i = (»Л, ..., iaha.iphp) <= G},
где сой =	G}, и строится разностный оператор
р
л" Лч!" ~ °’5 [(*«%),.+(‘«s)J-
р
Он аппроксимирует L с погрешностью О (| h |2), | h |2 = 5 А®.
а=1
Вводя скалярное произведение
{У, f)= S y(x)v(x)h{ ... hp
x^ah
и рассматривая множество сеточных функций, заданных на юл
и равных нулю на границе ул, по аналогии со случаем р = 2 убе-
ждаемся, что оператор
Ау = - Ау, у | =0
’Л
является положительно определенным и для него выполнены
о	о о
неравенства (35), где Ay — — Ay, Ау='^1у.г, у | = 0.
а=1 а а *Л
5. Схема повышенного порядка точности для эллиптического
уравнения со смешанными производными. В прямоугольнике
G ® (0<хв</в, а = 1,2) рассмотрим задачу Дирихле для
2(54 гл. iv. Разностные схемы для эллиптических уравнений [5
уравнения
г	д2и	,	п	д2и	,	д2и
Lu = —-	+	2а12 -——	+	—у = - f (xb х2),	(36)
yXj	иX2	дх)
и|г = н(*1,	х2),	(37)
где Г — граница области G.
Если | а121<1, то выполнено, условие эллиптичности опера-
тора L:
12^1^2 + У со (£1	£г1>
где с0 = 1 — |а12|.
Будем предполагать, что Oi2 = const. Нетрудно заметить, что
уравнение общего вида
д2и о_	д2и. , - дги F7- - \
а\\+ 2^12	+ a22~TZ2' ~~ I (Х1> Х2)>
дх{	дх2 дх2
tjifi аа$ — постоянные, йи>0, а[[а22>а22, преобразуется к виду
(36) путем замены переменных
~ V х\> х2 = У^д22 х2,
так что | Д121 = | а12 \l Vа
11^22 I •
Предположим, что в прямоугольнике G можно ввести квад-
ратную сетку
“л = К = 0'А «а = °. !.•••. Na, hNa*=la}
с шагом h.
Построим разностную схему четвертого порядка точности
для задачи (36), (37).
Зададим разностные операторы
лам=,«уа, « = 1, 2,	(38)
ЛГ2п = 0,5 (ще1Хг + Пх.хД = 0,5 (и^, + и*,*,).	(39)
Нетрудно непосредственно убедиться в том, что имеют
место формулы
Л12п = Luu —j- L\iU + -g- L\i (Li + Лг) и + 0 (h4),
Л-iiu = L\2U Ч—j- Z,i2u 4—g- Ln (Li + L%) и + 0 (h^),
й2	(40).
ЛцП = Lau 4—jg-Z-aM + 0 {h ),
/ x , d2u ,	d2u
U^UiXi, X2), LaU-—^, Ll2u = ———.
............................ ax^	,	. . dXi dx2 J
(41)
(43)
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ. ОПЕРАТОРОВ 265
, Рассмотрим разностный оператор
Ау = (А[ + 2а12Л12 4- Л2) у,
где
Л12 = Л^ при Я12<0,
Л12 = Ли при а12>0.
Найдем погрешность аппроксимации оператором Л опера-
тора L на решении уравнения Lu=—f. Пользуясь форму-
лами (40), будем иметь
Aw = Lu 4—j-g- (д 4- A2 4- 4wi2Ai2 (Z,i.+ 7.2)•+ 6 | czi21 Ац) w 4- О (ji ). (42)
Из уравнения (36) определим L{u = — f — L2u — 2a12A12w,
L2u = — f — Lyi — 2a12A12w, Lyi + L2u = — f — 2a12AI2u и преобра-
зуем выражение в скобках
(Ai + А2) и + 4czi2A 12 (Li + L2) w + 61 czi21 Ai2W =
= L{(— f — L2u — 2ay2Ll2u) + L2( — f — Lai — 2al2Ll2u) +
+ 4a12AI2 (Д + L2) u 4- 6 | aI21 L^u =
= — Lj — L2f — 2L\L>u 4- 2a12AI2 (L\ 4- L2) и 4- 61 czj21 L\2u —
= - Lf - 2(1 + 2a\2-3\aVi\)LiL£u,
так как Li2u = LiLzU.
Отсюда и из (42) следует, что схема
Л'у = - <р, <р = /4-	Л/, х-s мй,
У lv = Н,
где у —граница сетки йй и
A'z/ = Ау 4- A]A2y, 6 = 14- 2а(2 — 3 | aI21,	(44)
имеет четвертый порядок аппроксимации на решении w = w(x)
задачи (36), (37). При этом вид оператора Л зависит, согласно
(41), от знака коэффициента а12.
Для погрешности z — у — и получаем условия
A'z = — ф, ф = Л'и 4- <р = О (/г4), 1
г 1,-0.	J <46>
Введем скалярное произведение и норму в пространстве се-
точных функций, заданных на и обращающихся в нуль в гра-
ничных узлах хе у:
А,-1 Аг-1	_____
(«/. z)= Д	z).
266 ГЛ, IV. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
(а
Пользуясь формулой суммирования по частям (см. гл. I, § 2,
п. 1), найдем
(A^Z, z) = - (Zi„ ZiJ, (Ai+2Z, z) = - (Zi„ zX1).
Поэтому справедливы оценки
|(ЛГ2г, z)|<||zx, ||||z*||< j(||zx, IP + ||zdP)<4(- Az, z),
l(Af2z, z)l<||zx1||||zx-2||<4dlzxlIP + ||Zx1|p)<4(-Az, z),
где Az - (A] + A2) z = zAx, + zX1X1.
Введем операторы
Д' = — Л', Д = — Л, Д = — Л, А, = — Л,, Д2« — Л2
и найдем постоянные эквивалентности А, А' и А.
Учитывая оценки для (A^z, z), имеем
(Az, z) — (Az, z) — 2al2(Al2z, z)^(l — | aI2 |)(Az, z),
(Az, z)<(l +1 aI21)(Az, z).
Воспользуемся, далее, оценкой
(AtA2z, z)<-^-(Az, z),	(46)
которая следует из соотношений
(гад.х» z) = j J h2 (zt^^h, i2h)f^
1,-1 1,-0
\i,-l i,= l	1,-1 ij-1	J
Учитывая (46), получим
(A'z, z) = ^Az — -^~ A{A2z, zjXAz, z) — -Ц-ЦДг, z)^
> (1 -1 aI21 -(Az, z),
; (A'z, z) < (Az, z) + 41 &z, z) < (1 +1 a121 +	&z>
Докажем теперь, что
q = l-|a12|-41>0-
5]	$ 2. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ 267
В самом деле, если |а12|<0,5, то Ь^О и
1 + 2а?„ - 31 а„ I	2 ,
Сг = 1-\а12\-------123	12 - =-g(l-а22)>0.
Если | а121> 0,5, то &<0 и
1 + 2<zL — 31 а,„ I	2
q = l-|a12l +------% 1 2 ~~з(2 + а?2 —3|а12|)>0
при | а121< 1.
Тем самым доказано, что
с{А^А' ^с2А,	(47)
где d = 1 -1 а121 -1 & |/3 > 0, с2 = 1 +1 а12| +| b |/3 > 0.
Покажем, что для погрешности г = у — и имеет место
оценка
||г"л<7ГЙг"п бл = 86г+1)'
где || г ||о = || г ||2 +1| z II2 ,
л	Л(	л 2
А, A,-l	Nt-l N,
l|z||2 = 2 2 A2fe,(M, i2h))2, || z II2, = 2 2A2(zx,(i!A, tm.
'	<,—i i,-i	2 i,-i i,-i
В самом деле, запишем схему (45) в операторной форме
A'z = ф
и умножим обе части этого уравнения скалярно на г:
d (Az, z) < (<4'z, z) = (ф, г).
Так как (Az, z) > 601| z II2 (см. п. 1), то
1(Ф, Z) | <11 фIIII г II<-^=|| ф|||| г II»,
К о0	л
и, следовательно,
что и требовалось доказать.
Из полученной априорной оценки и условия || ф || = О (/г4)
следует сходимость схемы (43) со скоростью О(й4) в норме
пространства II(в сеточной норме Уф)*
Глава V
ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ.
ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Ранее были рассмотрены разностные схемы для простейших дифферен-
циальных уравнений, введены для них основные понятия теории разностных
схем и продемонстрированы некоторые приемы исследования устойчивости и
сходимости схем. При этом обнаружилась возможность формулировать общие
определения и .методы на языке функционального анализа, отвлекаясь от кон-
кретного вида разностных схем.
В этой главе проводится систематическая трактовка разностных уравне-
ний как операторных уравнений в абстрактном пространстве и даются соот-
ветствующие определения аппроксимации, устойчивости и еходимости.
§ 1. Разностные схемы как операторные уравнения
в абстрактных пространствах
1. Разностные схемы как операторные уравнения. После за-
мены дифференциальных уравнений разностными уравнениями
на некоторой сетке и/, мы получаем систему линейных алгебраи-
ческих уравнений, которую можно записать в матричной форме
ЭДУ = Ф,	(1)
где $ — квадратная матрица, У = (z/b у%, ..., Ук) — искомый
вектор, Ф= (фь фг. ..., фл')—известная правая часть, вклю-
чающая и правые части краевых условий.
Каждой матрице ЭД можно поставить в соответствие некото-
рый линейный оператор А, отображающий пространство RN в
7?jv* Тогда уравнение (1) примет вид
Ау = ф,	(2)
где у — искомый, а ф — известный векторы пространства /?v-
Оператор А отображает в себя пространство сеточных функций,
1]
§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
269
заданных на юл и удовлетворяющих однородным граничным
условиям.
Пример 1. Первая краевая задача. Пусть на от-
резке [0, 1] введена равномерная сетка
6a = {xz = /A, / = 0, 1, ..., /V, h=l/N}.
Ищется решение первой краевой задачи
= уXX = “ f W’ 0 < х = ih < 1 > Уо = «ь «2-	(3)
перепишем уравнение (3)
Вводя вектор У = (ylt у?, ..., z/jv-i)>
в виде (1), где
	2 -1		0 -1	0 .. 0 ..	0 0 0 0
	-1	2			
h2	0	-1	2	-1 ..	0 0
О 0	0	0 ... —1 2
— матрица размера (N—1)X((V—1)- Вектор правой части
ф = (фь • • • > фм-i) учитывает правые части краевых условий (3):
Ф; — fi> i — %, •••, N — 2, Ф1 —	Фм-i — fw—i +у>
так что ф, отличается от только в приграничных узлах
i = 1 и i = N — 1.
Матрица 21 определяет оператор А — —Л, который преобра-
зует сеточную функцию у(хг), т. е. вектор (Лг—1)-мерного про-
странства в вектор того же пространства (в сеточную функцию
(—Лг/),). Оператор Л совпадает с оператором Л на сеточных
функциях, обращающихся в нуль на границе (при i =0 и 1—N),
так что (Лу) ; = (Лу) j при i = 2, 3.N— 2,
(Л»), -	(Л|/)»-, °	.	(4)
Пусть йл— множество сеточных функций, заданных во внут-
ренних узлах сетки сол; это множество линейно. Вводя на йл
скалярное произведение^, и) = S y^h и норму ||^|| = У(у, у),
z-i
получим линейное нормированное пространство йд.
Определенный выше оператор А линеен и отображает Й/, на
й/j (его область определения и область значений совпадают
со всем пространством йд).
Оператор А самосопряжен, т. е.
(Ay, v) = (у, Ди) для любых у, о е ЙА.
_>70 гл. V, ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [t
В самом деле, (Ay, v) = (—Ay, v). Пользуясь второй форму-
лой Грина (гл. I, § 2) и учитывая, что А совпадает с Л на мно-
жестве сеточных функций, обращающихся в нуль на границе
сетки, получаем (Ay, v) = (у, Av), т. е. А = А*.
Оператор А положительно определен, т. е.
(Ау, г/)>8||г/|р.
Это следует из леммы 3 (гл, I, § 2, п. 3),
Норма оператора А равна
|| A|| = ^cos24<^.	(5)
В самом деле, норма самосопряженного положительного опе-
ратора в конечномерном пространстве Qh равна его наиболь-
шему собственному значению, ||А|| = Kn-i- Так как в данном слу-
чае, согласно гл. I, § 2, п. 2, Ajy—х cos2-y-, то имеет место
формула (5). При этом справедливо неравенство
(Ау, у) CMIIIIf/ If.
Рассмотрим оператор
Ау = - (аух)х + dy, 0<cI<a<c2,	(6)
Он самосопряжен в силу второй формулы Грина. Первая фор-
мула Грина дает
{Ау, у) = (а, г/2] + (dy, у),	(7)
где </? = Q/x)2- Отсюда следует, что
(Ау, у)>с}(\, t/?] = cI||^]|2>8C!||//|p,	(8)
т. е. А положительно определен. Его норма, как видно из фор-
мул (7) и (5), оценивается так:
М11<4с2/Л2 + с3.
Пример 2. Третья краевая задача. Пусть дана
та же сетка ®Л, что и в примере 1. Рассмотрим разностную крае-
вую задачу третьего рода
^У = Ухх= ~ Кх)> 0<х = г7г<1,
(9)
Ух, О~°1Уо Ир Ух^~ачУы ^2-
Пусть йл— множество функций, заданных на сетке
= {х4 =/й, / = 0, 1.N}.
1)
§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
271
Определим оператор Л так:
=
-щ-(«/х,о-а1г/0) = Л у, г = 0,
^У = Уы t = l. 2.........N-l,
0,5/г n + а2^лг) = Л У, i = N.
Полагая А = —Л, перепишем задачу (9) в виде
где
Ау = <Р,
(Ю)
<Рг =
1
0,5/г М'1’
А.
1
0,5/г **2’
1 = 0,
г= 1, 2, .... N — 1,
i = N.
Линейный оператор А отображает йл на йл. Введем скаляр-
ное произведение
N-1
[у, у] = 2 y^ih + 0,5/г (yovo + yNvN)
и норму |[г/]| = V[y, у].
Оператор А самосопряжен, т. е. [у, Av] — [и, Ау], где
ЛГ-1
[у, Av] = - (у, Ли) - 0,5/г (г/0Л~р + yNA+v), (у, w) = 2 У^,Н.
Пользуясь формулой Грина (гл. I, § 2) и подставляя выра-
жения для A~v и Л+р, получим
- (У, Ло) = (- Ay, v) - (ух оро - ух NvN) + (yovx 0 - г/уР- „),
- 0,5/г (y0A~v + yNN+v) = - у0 (ох> 0 - <т,р0) + yN (у^ N + <j2vn).
Так как
Ух. о = а!Уо + 0,5/гЛ ~д/, yiN=- a2yN - 0,5hA+y,
то
[г/, Av]=-(Ay, v)-O,5h(voA~y + vNA+y) = [Ay, р],
что и требовалось доказать.
Покажем, что если О! > ci > 0, ог Ci > 0, то оператор А
положительно определен:
М/л	(11)
. * Т *1
272 ГЛ. V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [1
Для этого воспользуемся тем же приемом, что и при доказатель-
стве леммы 1 из гл. I, § 2. Именно, представив функцию у2(х)
в виде
У2(х) = (у0 + S y^x')h] = у2 + 2у0 2 Ух (х') h + ( 2 Ух(х')/г\
\ x'—h	/	x'=h	xx'^h	/
и воспользовавшись е-неравенством, получим
/ х	\2
у2 UX (1 + е) у2 + (1 + 1/е) 2 Ух (х') h ) .
\x'~h	/
Так как, согласно неравенству Коши — Буняковского,
Уя(х')/г] ^х( 2 z/2(x')/i)<x(l, г/2],
\x'=h	/	\x'~h	/
то из предыдущего неравенства получаем
</2UX(l + еХ + (1 + 1/е)х(1, г/2].
Аналогично доказывается неравенство
z/2UX(l+eX + d + 1/е)(1 -*)(!> til-
Из последних двух неравенств следует, что
у2 (xz) < 0,5 (1 + е) (г/2 + у;) + 0,5 (1 + 1/е) (1, у\],
h]|X0,5(l + е)(^ + ^)+ 0,5(1 + 1/е)(1, у%.
Отсюда и из тождества
[Ау, у] = (1, у\] + <^У14- ff2Kv>	(12)
положив е = С|, получаем (11).
Для нормы оператора А справедлива оценка
МН<-^-(1 + 0,5с2/г), где с2 = тахХ <т2).	(13)
В самом деле, так как (Ke, Z)X	то
JV-1
где l[</]|2 = 2 y]h + 0,5/г (г/2 + г/2,).
Учитывая затем, что [Ау, у] s^]| А || |[г/]]2, и
ff!^o +	= 4 (О.5Ла!«/о + 0>5Л(Т2^) <
из формулы (12) получим искомую оценку (13).
1]
$ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
273
Пример 3. Несамосопряженные операторы.
Пусть
®л = {xi = ih, i = 0, 1, ..., N, h*= 1/,V)
сетка на отрезке	Рассмотрим разностные операторы
A”z/ = z/x-, л+У=-^.	(14)
отображающие множество Йл сеточных функций, заданных на
®л и равных нулю при I «= 0, i = N, на йл, так что
( yjh, z= 1,
i = 2, 3..............ДГ-1,
J-iy^-yd/h, /=1,2........N -2,
7 I yN-\lh,
(A y).
Из этих формул видно, что Л- и Л+ можно рассматривать
как операторы из йл на йл-
М-1
Пусть (у, V) = 2 L/i^ih — скалярное произведение на йл
i = 1
и йл- Покажем, что операторы Л- и Л+ сопряжены друг другу:
(A~z/, v) = (y, Л+и) для любых у, иеЙА- (15)
В силу формулы суммирования по частям — [у, v^^(yv и);
если у = v — 0 при / — 0, i — N. Отсюда и следует сопряжен-
ность Л~ и Л+.
Нетрудно заметить, что Л~у + Л.+у = — (ух — у*)= — ИЛу, где
^У = УХХ, т. е. Л~ + Л+=—ЛА. Поэтому операторы Л~ и Л+
положительно определенные:
(Л~£Л у} = (Л+У> у) = ^{~^У, !/) = -у1кх]|2^4Л1|^112-
Последнее неравенство справедливо в силу леммы 3 из гл. I,
§ 2, п. 3.
Обычно рассматриваются операторы из ЙА на Qh вида
Я2У=Т(~У*)'	<16)
Они сопряжены друг другу
(/?1У, и)~(У> Яг”)
и
(R,y, y) = (R2y, //) = 0,5hJ2>4UF.
274 ГЛ. V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ, ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [1
Из формулы
М-1
следует, что
Il/?i 11	2/Л2, || R2 Ц < 2/h2.	(17)
Так как R} = R2, то
(R, R,y, у)=I R,y f - у 2 Й. <ft < i 2 Л. fi “ VI v J-
i=l	(=1
t. e.
IIIF	У), R = Ri + R2.	(18)
Несамосопряженные разностные операторы появляются, на-
пример, при аппроксимации эллиптических операторов второго
порядка, содержащих первые производные. Так, оператор
Lu = u" (х) + Ьи'(х), хе [О, 1], b — const
аппроксимируем разностными операторами А^ — уХх + Ьух при
&>0 или А2</ = у.х4- Ьух при &<0, где г/ейл.
Пусть Аг/— оператор из йл на Йл, совпадающий с Аг/ при
г/е£2л. Операторы А, = — Л], Л2= —Л2, действующие из Йл
на Йл, положительно определены при любом h. В самом деле,
(А.г/, «/) = (-уХх, у)-Ь(ух, </) = (! + 0,5/г&)||г/-]|2, J
(А2у, ^) = (1-0,5A6)j|^]|2 = (l 4-0.5AI гИ)|[^]|2. J ( 9)
Отсюда находим
(А1У, у) >8(1 4- 0,5/г |& |)|| у ]р, г=1, 2.
Так как At = А 4- &Л+, А2 = А 4-1 b |Л~, где А — — Л, Лг/ = г/-х
и II А± || 2//г, || А || 4/h2, то, в силу неравенства треугольника
для норм, получаем
|| А, ||<|| АЦ4-&||Л+|1<4(1 4-0,5/гб), Ь > О, |
.	„	4	(20)
II Л2||<|| A H4-I Ь ||Л- ||<^(1 4- 0,5Л| b |), &<0. ]
Заметим, что если оператор Lu = и" 4- Ьи' аппроксимировать
выражением Аг/ = у-х 4- bух при b > 0, то вместо 1 4- 0,5/гб
в (19) получим 1 — 0,5/гб и оператор (—Л) будет положительно
определенным только при h < 2/b.
Мы ограничились здесь простейшими примерами.
2)
$ 1. РАЗНОСТНЫЕ схемы как операторные уравнения
275
В гл. IV аналогичными методами изучались разностные опе-
раторы, аппроксимирующие эллиптические операторы (в частно-
сти, оператор Лапласа) в прямоугольных областях.
Если исходный дифференциальный оператор самосопряжен
и положительно определен, то и разностный оператор надо
строить так, чтобы он обладал указанными свойствами в сеточ-
ном пространстве. Этого можно добиться, используя, например,
метод баланса (интегро-интерполяционный метод, см. гл. III)
или вариационный метод для построения разностных схем (см.,
например, Ю. А. Гусман, А. А. Оганесян [1]).
Из предыдущих примеров видно, что разностные уравнения
можно трактовать как операторные уравнения с операторами
в линейном нормированном конечномерном пространстве. Для
этих операторов характерно то, что они отображают все про-
странство в себя.
Перейдем к изложению теории разностных схем как опера-
торных уравнений.
2. Устойчивость разностной схемы. Пусть даны два линейных
нормированных пространства и М2), зависящих от пара-
метра h, являющегося вектором некоторого нормированного про-
странства, \h\ > 0 — норма вектора h. Рассмотрим линейный опе-
ратор Ah с областью определенияЯ)(Ah) = и множеством зна-
чений $!(Ан) s <’• Пусть || • ||(1л) и || • |1(2а)—нормы В t$h и <$h.
Рассмотрим уравнение
4^ = ФА.	(21)
где фн — заданный вектор.
Меняя параметр h, мы получим множество решений {z/A} урав-
нения (21). Операторное уравнение (21), зависящее от парамет-
ра А, будем называть разностной схемой.
Будем говорить, что схема (21) корректна (задача (21) кор-
ректно поставлена), если при всех достаточно малых |Л|<Сha
1) решение уи уравнения (21) существует и единственно при
любых фЛе^(Л2) (схема (21) однозначно разрешима),
2) решение z/л уравнения (21) непрерывно зависит от фл, при-
чем эта зависимость равномерна по h (схема (21) устойчива),
иными словами, существует такая положительная постоянная М,
не зависящая от h, фд, что для решения уравнения (21) имеет
место оценка (при любых фЛе^2)):
111/л11(1а)<А1||фл||(2л).	(22)
Разрешимость схемы (21) означает, что существует обрат-
ный оператор ЛА т. е.
^=44-	(23)
276 ГЛ. V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [3
Устойчивость схемы означает, что обратный оператор Лд1
из М2> в равномерно по h ограничен:
ЦЛл’Ц^М, где А! > 0 не зависит от h. (24)
Из (23) и (24) следует оценка (22):
II lJh ||( 1 д) Мл II |] ||(2л) М|| q)ft .
В случае, когда <$и =	— Ни ~ гильбертово пространство
и Ah — ограниченный оператор с областью определения
3)(Ah)= Ни, для корректности схемы достаточно требовать, что-
бы оператор Дд был положительно определен:
(Дйх, xJ^SIIxll2 для всех хезЯд,	(25)
где ||х||2 = (х, х) и 6>0 — постоянная, не зависящая от h.
В самом деле, из теоремы 4 гл. I, § 3 следует существование
оператора Ай', определенного на всем пространстве Ни и огра-
ниченного:
hr’Rl/S.	(26)
Поэтому для решения уравнения (21) верна априорная
оценка
II Уh 11(A) "У II Фл 11(A)-
Заметим, что самосопряженность оператора Ah в случае ве-
щественного пространства Hh не предполагается.
Если Ни — комплексное гильбертово пространство, то само-
сопряженность Ah является следствием его положительности.
Для доказательства устойчивости схемы (21) требуется по-
лучить априорную оценку вида (22). Вывод некоторых априор-
ных оценок для операторного уравнения (21) будет дан в п. 4.
3. Сходимость и аппроксимация. Пусть $(|) и ^?<2) —линей-
ные нормированные пространства с нормами Н-Ц^ и 11-11(2). Пред-
положим, что
1) существуют линейные операторы из ^?(1) в <%и} и
из в 9$, так что
= ии^ ^{и’ если и ® ^(1),
^7 = ^6=^ если
2) выполнены условия согласования норм
lim ЙЛПи||(1А)=||«||(1), lim 11^711(2.,)= II Л|(2).	(27)
|А[->0	п>	|А|->0	'
3]	§ 1, РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 277
Пусть yh — вектор из Нас будет интересовать сходи-
мость {уД при |/г|—*0 к некоторому фиксированному элементу
и из
Будем говорить, что
1) [уЛ], где ун^^й\ сходится к элементу ие$’>, если
К-П'Ч(14)-о.	(28)
2) {z/h} сходится к иеДО') со скоростью О(|й|п), п>0 (или
аппроксимирует и с точностью О(|А|п)), если при всех доста-
точно малых | h | -С h0 имеет место оценка
(29)
где М > 0 — постоянная, не зависящая от h.
Пусть yh — решение задачи (21). Будем говорить, что
1) схема (21) сходится, если существует элемент «е $(’),
такой, что выполнено (28),
2) схема имеет точность O(]/z|”), если выполнено (29).
Введем понятие погрешности аппроксимации на элементе
иеМ Для этого напишем уравнение для разности Zh =
= yh — Uh. Подставляя yh = Zh + uh в (21), получим
Ahzk^h’ ^ = 4h-Ahuh’	<3°)
Правую часть i|>h“i|>h(H), зависящую от выбора элемента и
из назовем погрешностью аппроксимации на элементе
ИЕ$'> для схемы (21). Очевидно, что ф/г есть невязка, возни-
кающая при замене в уравнении (21) ун элементом uh=^}u.
Будем говорить, что
1) схема (21) обладает аппроксимацией на элементе не$'),
если
lira || фл (н) ||(2 ) = 11m || <рл - ЛЛ«А ||(2ft) = 0,	(31)
|Л|->0	V |Л|->0	' м
2) схема (21) имеет п-й порядок аппроксимации на элементе
и<=$№\ если при всех достаточно малых |h | ho
II Фл (и) ]|(2д) < М | h Г или || фЛ (и) ||(2а) = О (| h Г),	(32)
где М — Положительная постоянная, не зависящая от h, п > 0.
Установим теперь связь между устойчивостью, аппроксима-
цией на элементе иеДО и сходимостью к этому элементу для
схемы (21).
Если схема (21) корректна, то и задача (30) для Zh также
корректна. Поэтому для ее решения верна оценка
1|гЛ||(1й)<Л4||фЛ||Сл).	(33)
Отсюда следует
S78 ГЛ. V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЁРАТОРНО-РАЗНОсТИЫЁ СХЕМЫ [3
Теорема 1. Если схема (21) корректна и обладает ап-
проксимацией на некотором элементе и е 3№\ то она сходится,
точнее, решение yh задачи (21) при |/г|->0 сходится к этому
элементу ие^(Г|, причем порядок точности схемы (21) совпа-
дает с порядком аппроксимации.
До сих пор мы говорили о сходимости схемы и погрешности
аппроксимации на некотором фиксированном элементе и из^К1).
Однако, если и принадлежит области определения некоторого
линейного оператора si, действующего из в то siu = f,
/е^2>, Поэтому можно считать, что и есть решение уравнения
siu = f,	fe=$2)	(34)
и, следовательно, говорить об аппроксимации этого уравнения
разностной схемой. Мы не вводили уравнение (34) лишь потому,
что нигде в определениях не используются никакие предполо-
жения относительно оператора si. Всюду мы имели дело лишь
с элементом и е
Однако, если и есть решение некоторого уравнения (34), то
можно говорить, как это обычно делается, об аппроксимации
уравнения (34) схемой (21) на решении уравнения (34), о схо-
димости к решению уравнения (34) и т. д.
Поскольку имеется понятие аппроксимации элемента f из
множеством [<рл] из [$(2)j, то можно говорить об аппрокси-
мации f элементами фь, оператора si оператором А^.
1) <рл аппроксимирует f с порядком п, если
К-П27||(2Л) = О(|АП.	(35)
2) оператор Ah аппроксимирует оператор si с порядком п,
если для любого	справедлива оценка
I ЛЛ -p'i’tw №) - ST	- О (I h f). .(36)
Очевидно, что если выполнены условия (35) и (36), то схема
(21) имеет п-й порядок аппроксимации на решении и урав-
нения (34).
В самом деле, так как (f — siu) = 0, то
(«) = <РЛ - Ahuh = (фл -	- (Ah №>и) - (siu))
и
к <«) 1(„) < । Ь,+1№)_	<м> U) < м 1 *г •
если выполнены условия (35) и (36).
Еще раз подчеркнем, что для оценки порядка точности схемы
надо оценить ее порядок аппроксимации лишь на решении
исходной задачи,
4]	§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 279.
4. Некоторые априорные оценки. Рассмотрим ряд простей-
ших априорных оценок решения уравнения (21), вид которых
зависит от информации об операторе схемы. Эти оценки типич-
ны для разностных эллиптических задач.
Для упрощения записи будем в тех случаях, когда это не
вызовет недоразумений, опускать индекс h. Итак, пусть дано
уравнение
Л«/ = Ф,	(37)
где А—линейный ограниченный оператор, заданный на веще-
ственном гильбертовом пространстве Н, <р — известный, у — ис-
комый элементы из Н.
Будем предполагать, что задача (37) разрешима при любых
правых частях фб// (т. е., что существует оператор Л~1 с об-
ластью определения ф И-1) = И).
Все постоянные, встречающиеся ниже, предполагаются не за-
висящими от h.	______
Пусть (,)—скалярное произведение, ||х||= V(x, х) — нор-
ма в Н. Запись А = А* > 0 будет означать, что А — самосопря-
женный и положительный оператор. Введем обозначения
11<р11л-1 = /(д-’<р, <р), № =	л = л*>о.
Лемма 1. Пусть оператор А имеет ограниченный обрат-
ный оператор А~' с областью определения Ф(А~}) = Н. Тогда,
если А* = А > 0, то верны оценки (для любых у и <р из Н);
1(ф,	(38)
1(ф, l/)l<e||«/|Q +^-||ф||^-1, е>0.	(39)
Доказательство. Так как Л-1 = (Л-1)* > О, А~'А = Е,
где Е — единичный оператор, то (ф, у) = (Л-1Л</, <р). Применяя
затем обобщенное неравенство Коши — Буняковского, получим
(Л"'(Ау), ф)2<(Л"’(Ау), Ау}(А~\, ф)=||г/11д||фНд-1.
Неравенство (39) следует из (38) и е-неравенства.
Приведем ряд априорных оценок для решения уравне-
ния (37).
1)	Имеют место точные оценки
ШлЧ1фНл-> при Л = Л‘>Й£, д>0,	(40)
II Лг/|| = ||ф||.	(41)
Действительно, из уравнения (37) имеем
{Ау, у) = (ф, </) = (ф, Л-'ф),
так как у = Л~’ф. Формула (41) очевидна.
280 ГЛ. V, ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ (4
2)	Если А =« А* 6Е, то
1Ы1а<1Ы|М.	(42)
Это следует из (40), так как Л > 6Е дает ||Л-1|| < 1/6 и
|| ф 11^-1 =(л~'ф, ф) <|| Л-'ф||||ф||<|| Л-|||||ф||2<у||ф||2.
3)	Пусть в уравнении (37) Л > уЛ0, у > 0, где Ло — самосо-
пряженный положительный оператор, имеющий обратный опе-
ратор Л^1. Тогда
\\у\\ <4||ф|1 -1.	(43)
я0 у я0
Умножая (37) скалярно на у, получим энергетическое тождество
(Ау, у) = (ф, у).	(44)
Так как
(Ау, у)>у(Аоу, у) = у || у ||2,о
и, согласно лемме 1,
I (ф, У( КНфП.-iIIУ\\. ,
яо я0
то из (44) получаем у || г/1|2 <||г/|| ||ф|| -ь т. е. у||^|| CII<Pll,-i.
л0	л0 '0	-40	л0
4)	Пусть в уравнении (37) Л = Л*>0, Л^уЛ0, Y > 0, А>= Ло> 0,
Л и Ло перестановочны. Тогда справедлива оценка
II Лог/||<|| ф||/у.	(45)
Достаточно показать, что ||Лг/||>у||Лог/|| и воспользоваться (41).
Из условия Л > уЛ0 получаем
II Ау ||2 = (А2у, у) = (АА'’’у, А’'у) > у А',гу\
Учитывая перестановочность операторов Ло и Л, имеем отсюда
|| Ау ||2 > у (AAQy, у) = у (AA'fy, А'^у) > У №-
что и требовалось.
5)	Пусть А уЛо, где
Аа = Ла >0, а = 1, 2, .... р, {Аа} попарно перестановочны. То-
гда для решения уравнения (37) справедлива оценка
SM^IF^HIP/Y2.	(46)
------ -  - .
4,
§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ'
281
Для простоты ограничимся случаем р = 2:
II (А, + А2) у II2 = || А,у |р +1| А2у |р + 2 (А{у, А2у) > || А{у |f +|| А2у ]р.
Отсюда и из (45) следует (46).
Пример 1. Схема повышенного порядка точ-
ности в прямоугольнике
G = (0^xI^/1, 0^х2^/2).
Пусть
^2), 0 < ia < Na, ha = la/Na, a = 1, 2}
— сетка в G. Схема О(]Л|4) для задачи Дирихле имеет вид
ft? + hl
А у = (Аг + Л2) у + —— Л1Л2у= - ср,	i2h2) f= G,
<47>
Ф = f + "[у A.J, у |у^ = О,
где ул — граница сетки <ол, Аау=*у. х , а = 1, 2 (см. гл. IV, § 1).
Пусть Пл — пространство сеточных функций, заданных во
д
внутренних узлах х е <оЛ сетки, СА— пространство сеточных
функций, заданных на и равных нулю на уА. Введем на С2Й
скалярное произведение и норму
(t/, 'v)= 2 2	i2h2)v(ilhl, i2h2) = 2 y(x) v (x) hfa,
«1=1 ij=l	x~ah
Ilf/11 = V(yTy),
где i/eQh. Определим аналогично примеру 1 п. 1 операторы
Ai и А2'
«4^ = - Xty, А2у = - А2у, где Aay = Aay при у e= QA,
Ла действует из в QA. Задача (47) сводится к уравнению
Ay ~ Mi + А2 — (xj + х2) AtА2) у = ф, у е С2Л = Н, ф е С2Й = Н, (48)
где Х! = Л|/12, х2 = Л2/^- Операторы At и А., самосопряженные,
(Аау, v) = (y,Aav), a =1,2, положительно определенные,
Аа^-^Е, и перестановочные. Поэтому AlA2 — (AiA2)">0. Учи-
тывая, что
А^А2 =г^|| А] || А2, AjА2 = А2А| ^|| А2 || А|,
где || Aa II < 4/Аа, а=1, 2, получаем
(xj + х2) AjА2 хрЦ А]. || А2.+ х2|| А2 ]| А[ < -у (А[ + А2).
282 М. V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОИЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЁ СХЕМЫ [4
Отсюда следует, что
у Ао < А Ао, где Ло = /$! + Л2.
Операторы Ао и А перестановочны, Ао = Ао>О, Л = Л*>0.
Поэтому для уравнения (48) справедливы оценки (45) и (46):
11А0г/|(г = ||А1г/|р + 2(А1А2г/, г/)+||Л2г/|р<4||ф|р,	(49)
где
IIM = а = 1-2>
(А А#, ^)=||^х,х2]|112’
М?2= S S
’	»|=1	»2=1
Пользуясь теоремой вложения (гл. IV, § 2), получаем
IIZ/llc<Af|lq)||.'	(50)
Из этой оценки следует равномерная сходимость со скоростью
О(|/г|4) схемы (47) к решению задачи Дирихле для уравнения
Пуассона.
Аналогично убеждаемся в справедливости оценки (50) для
схемы О (|Л|4) в параллелепипеде. В этом случае
А = А1 + А2 + А3 — (%] + х2) А] А2 — (%! + %3) А].4з — (х2 + z3) А2Аз,
имеют место оценки g- Ао А Ао, где Ао = Aj + А2 + А3, так
что у= 1/3. Оценка (50) получена В. Б. Андреевым [2].
Покажем как вычисляются негативные нормы вида
II ф Нл-1 = (А-1ф, ф)"'2 для некоторых разностных операторов.
При вычислении таких норм будем использовать тождество
Цф||9л-=(г/, ф).	(51)
где у есть решение операторного уравнения (37).
Рассмотрим первую краевую задачу
xi = ih’ Z=1>2’
Уо = У.ч = ^
N — 1, hN = 1,
(52)
Введем пространство функций HN-i, определенных на сетке
©л = {Xi = ih, i — 0, 1, ..., N} и равных нулю при i = 0, i = N.
Как обычно,
N-\
(у, а) = 2 yiVth.
4]	§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 283
Задачу (52) можно записать в виде операторного уравнения
(37), где у = {О, ух.JfN-1,0}, оператор A: HN^-^HN-x опре-
делен тождествами
(Ay)t = - (ау.)х 4=1,2.......W - 1; (Ау)0 = (Ay)N = 0, (53)
и правая часть tp есть вектор
Ф = {0, Ф1, ф2..Фм-ь 0}.
Ранее было показано, что если Ci>0, то оператор (53) —
самосопряженный и положительно определенный, так что опе-
ратор А~1 существует.
Лемма 2. Норму || ф||л-1 для оператора (53) можно пред-
ставить в виде
где
5г=2Лфь 4 = 2, 3, ..., N; Sx = O.	(55)
Л = 1
В частности, для оператора (53) с ai = 1 имеем
N	/ N	\2
|1ф11л-> = 1Ж- 2Ж •	(56)
4-1	\4 = 1	/
Доказательство. Представим правую часть уравнения
(52) в виде ф* = SXii, i = 1, 2, ..., W— 1, где S, задано соотно-
шениями (55). Из уравнения
(fl^ + S)x,4 = ()>	/=1>2....^-1
получим тогда, что
аг4/г г + S, = С = const, ’ 4 = 1, 2.АЛ (57)
Для нахождения постоянной С поделим (57) на а, и просумми-
руем по i от 1 до М:
т. е.
Далее, согласно (51), имеем
N-1	N
II ф 11д-*=(#> *5*) — S yt (s<+1 — £г) = - S hy^ ts(.
284 ГЛ. V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [4
Учитывая уравнение (57), получаем отсюда
Нф11л-< = -	= 2^	=
i-1	1	i-1	*	i-1	1
N	/ N \2 I N
i-1 1	\i-l 1	/ I i-1 1
что и требовалось.
Заметим, что тождество (54) справедливо и в случае, когда
функция S определена следующим образом:
М-1
Sf=-2/»h, t = 1, 2, ..., Af — 1, SN = 0.
k = i
Следствие. Если а^с^Х), то для оператора (53) имеет
место оценка
1Мл-.<7иЦф1и	(58)
где
N-1	/М-1	\2
11ф11(2_2) = 2 h 2 Лф*),
1	' i-l \k-l !
Либо
II Ф 1^_2) = 2 h ^2 Лфл) •
Рассмотрим теперь третью краевую задачу (9). Введем так-
же, как и в примере 2 п. 1, пространство HN+i, состоящее из
функций, заданных на сетке
йл = {Xi = ih, t = 0, 1, ..., N, hN=l},
co скалярным произведением
N-l
[у, V]= S yiVih + O,5h(yovo + yNvN).
i = l
Задачу (9) запишем в виде (37), где
У = {Уо> Уо •••> Уи-и Уи}> Ф = { о,5Л ./м-ь
“	< = 0,
/=1,2,...^-!,
вЗй	N/*"°W)’	i*=N,	
0,5/t 112 j ’
(59)
(АУ){ =
41
§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 285
Лемма 3. Норму || ф||л-1 для оператора (59) можно пред-
ставить в виде
/ N	\2
1»б- -	»]=S AS‘+i s»+' —‘‘"i+!/<>,+iZg,— (®»>
i=l
где
i-i
Si=0,5hq>0, S; = О,5/гФо + S hq>k, i = 2,3,...,N,
k=i
N-l
$N + l 0,5/г (<p0 + Флг) + 2 /гФ*.
1
Доказательство. Введем точки x~i = —/г, xN+i = 1 + h
и положим y(x-i) = у^.1 = 0, y(xN+i) = yN+i = 0. Тогда левое гра-
ничное условие в (9) можно записать в виде
~^о)-ао (^o-^-i)	*
h2	Ч50’
где а0 = /гО1, ф0 = О,5фо.
Точно так же правое граничное условие в (9) принимает вид
aN + \ (Vn + 1 ~ Уы)~ (yN~ ^M-l)	-
---------------- фу,
где azv+i = ho2, ф.у = 0,5ф1у.
Таким образом, задача (9) эквивалентна первой краевой за-
даче
~И0х,г = ^> г’ = 0> 1.......N’ У~1~Уи+1 = °>	<61)
где ф« = ф{, i = 1, 2, ..N — 1; фо = О,5фо, Фл, = 0,5Фл,, at = l,
i=l, 2......Л/j ao = h0i, aN+i=^ha2.
Заметим теперь, что если у{ — решение задачи (9), то
М-1
[Л-1ф, ф] = [у, ф} = 0,5Л (г/офо + yNyN) + g y^h =
М-1	м	м
= 2 угфг/г + h (z/офо + Z/мФм) = S - 3 (л~'ф), fah.
z=i	г-=о	г=о
Поэтому применяя к (61) лемму 2, получаем (60).
Следствие. Если oI^c1>0, cr2s^Ci>0, то для опера-
тора (59) справедлива оценка
N /i-l	\2	/М-1	\?
ИфС-1< Лфй + О,5Афо1 + ~-l Лф* + 0,5/г (фо + Фм)) •
286 ГЛ. V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ, операторно-разностные СХЕМЫ |4
Пример 2. Пусть Ау = - (ау^х + dy, yQ = yN = 0, где
a^CjX), tZ^O. Тогда А = А"^8с\Е и
(Ау, у) = (a,	+ (d, у2) > с, J ^]|2 = С! (Л^, у),
АоУ = - Уы
т. е. у = сР Поэтому, в силу (43), для задачи
/=1’2.......ЛГ-1>	4'о = //м = О (62)
верна оценка
1М<^мл-ь
или, учитывая следствие из леммы 2,
Применяя теорему вложения (см. лемму 1, гл. I, § 2), имеем
оценку
1К=	|^|<^-11ф11(_2).
1 I 1	1
Эта оценка была получена в гл. I, § 2 методом энергетических
неравенств.
Оценкой (43) можно пользоваться, если А — разностная ап-
проксимация оператора
р	р	р
— Lu=—	2 ^а₽?а?₽ > Y 2	«|г=0,
а, Р-1	р а, р=1	а=1
область G— параллелепипед, Г — граница G, сетка 6л равно-
мерна по каждому ха. В этом случае, согласно гл. IV, § 1,
р
АУ=~ а?!	+
Лог/-2^ •
а-»1 а а
Рассмотрим теперь операторы специального вида (дивер-
гентные или консервативные)
А = Г ST,	(63)
где Т, S, Т* — линейные операторы: Т действует из Н в про-
странство_Н\ со скалярным произведением (,] и нормой
|| р}|= У(уг ц], S действует из Н\ в Нь а Г* — из. в Н,
4)	§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 287
Операторы Т и Т* сопряжены в следующем сМыслё
(Ту, п] = (^, Tv) для всех у^Н, у е//,.
Пусть S > С\Е, tfi > 0, тогда
(Ау, y) = (TSTy, y) = (STy, Ту^с^Ту]?,
т. е. Л>уА), где А0 = ГТ, у = сР
Оператор Ло самосопряжен,
(Аоу, z) = (ГТу, z) = (у, T'Tz) = (у, Ар).
Поэтому имеет место оценка (43), которая, если существуют
7'-1 и. (Г*)-1, принимает вид
II	(64)
В самом деле,
1Ы1л, = 0и Иф112 , = (т“1 (Г)“'ф, ф)=|1(ГГ'ф]|2-
яо
Оценка (64) упрощается в том случае, когда правая часть <р
уравнения (37) имеет специальный вид, ф = Т*ц и А = T*ST.
Умножая (37) скалярно на у, получим
(T'STy, у)~(Т\ у) —(Ту, 4
Отсюда и из неравенств
(T'STy, у) > с, || Ту]\2, (Ту, < || Ту]\ !| nil
следует оценка
II ЭДК-^-ИпЦ.
Отметим, что в этом случае не требуется существования опера-
тора (Г*)-1.
Приведем пример построения разложения (63).
Пример 3. Третья краевая задача:
(а^)х=-ф>	=	a~^c{>Q,
-aNy-x,N^^yN-^
(65)
ffi Ci > 0, cr2 c, > 0.
В
n. 1):
данном случае оператор А имеет вид (см. пример 2
(Ау\ =
“okte г = о.
^=1.2..........JV-1,
0,5ft (aAf^X. N а2^)> * “ N*
(66)
288 ГЛ, V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ, ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [4
Чтобы представить оператор (66) в виде (63), удобно ввести
дополнительную сетку
®л={хо> Х1/2> •••> "Ч —1/2.*М-1/2>	М’ ^-1/2 = (1’-°>5)/г>
И рассматривать пространство функций Hlt определенных на
со скалярным произведением
N	______
(у, V\ = ^hyi_l/2vi_l/2 + yNvN + yovo, IIу 11!= V(y, у)г
Как и ранее, Н — пространство функций, определенных на
юА = {xt = th, i = 0, 1, ..., N, h = \[N} co скалярным произве-
дением
м-i	______
(у, v) = 2 y^h + 0,5/г (z/oUq + yNvN), || у || = V(y, y).
i = l
Определим операторы T:	и 7”:	следующим об-
разом:
т=^0.	i=i, 2,..., n, (Ty)N--yN,
__ _ V'/a	= — VN VХ-'/г
V V>°~	0,5ft ’ 'Т V’V	0,5ft	’
(Ги). = -	~	, /=1,2, ..., N - 1; yeH, v^H{.
Нетрудно видеть, что A = FST, где оператор S:	опре-
делен формулами
(М =	(Sz/)z_1/2 = afz/._,/2, К i < N, (Sy)N = a2yN.
Очевидно, что S — самосопряженный в оператор и
(Sy, у)х > с, || у Ilf, с, = min (а.,	<т2).
Покажем теперь, что операторы Г и Г являются взаимно
сопряженными в следующем смысле:
(Fv, y) = (u, Ty)t, ysH, v^H{.
Действительно,
N-\
(rv, y) = - 2 (P/+1/, - ^г_1/2) yt - y0 (v./a - Vo) - yN (yN - vy_1/2) = ,
N
= S vz_1/2	- ^-i) + УЛ - yNvN = (V, Ty\.
Аналогично строится разложение (63) и в случае краевых
условий первого рода (уд = уN = 0). Единственное отличие со-
51	§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 289
стоит в том, что Н определяется как пространство функций,
заданных на йЛ и обращающихся в нуль при t = О, i = N, со
М-1
скалярным произведением (у, v) = 2 ytvih.
i=i
р
Оператор вида А = 2 ^*а^а^а> очевидно, соответствует раз-
а=1
Р / к
постному оператору Ау = — 2 \ а^ха)х ' Для него также не-
а=1	а
трудно получить оценки, аналогичные (64).
Мы ограничились простейшими примерами, показывающими,
как надо использовать для конкретных задач априорные оцен-
ки, полученные для операторного уравнения Ау = <р.
5. Коэффициентная устойчивость уравнений первого рода.
Пусть А — линейный оператор, действующий из гильбертова
пространства Н в Н. Рассмотрим операторное уравнение пер-
во! о рода:
Au = f, fG=H.	(67)
Задача (67) называется корректно поставленной, если суще-
ствует единственное решение уравнения (67) для любых f^H
и это решение непрерывно зависит от правой части f, так что
II й- ц||(1)<ЛЦ7- Л1(Я,	(68)
где й — решение уравнения (67) с возмущенной правой ча-
стью f:
Ай = f,	(69)
II • ll(i) и 11-11(2)—некоторые нормы на множестве Н.
При постановке задачи (67) задается не только правая
часть, но и оператор А. Если, например, А — дифференциальный
или разностный оператор, то должны быть заданы коэффициен-
ты уравнения.
Естественно требовать, чтобы решение задачи (67) непре-
рывно зависело не только от возмущения правой части, но и от
возмущения оператора А задачи (например, от коэффициентов
разностного оператора). Это требование, возникшее при изуче-
нии разностных схем, было названо в работе А. Н. Тихонова
и А. А. Самарского [1] свойством коэффициентной устойчивости
или ко-устойчивости.
Устойчивость решения уравнения (67) относительно возму-
щения правой части f и возмущения оператора А будем назы-
вать сильной устойчивостью.
Вопрос ставится так: даны две задачи
290 ГЛ. V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [5
где А и А— линейные операторы, область определения которых
совпадает с Н, f и f — произвольные векторы из Н. Требуется
найти оценку для величины возмущения решения
z = « — и	(71)
через величины возмущений f и А.
Предположим, что операторы Л-1 и А~1 существуют. Будем
считать, кроме того, что А и А — самосопряженные положитель-
ные операторы. Подставим и = A~'f и и = A~'f в (71):
z = Л"7~- А~‘ f = А~‘ (f- f) + (Л’1 - Л~!) f. (72)
Применим А'12 к обеим частям равенства (72):
A'l2z = A~',2(f-f) + A',2(A~' -A~')f.	(73)
Вектор z будем оценивать в норме || z ||^ = V(Az, z) прост-
ранства Н%, a f и J — f — в негативной норме ||/||д-1 = ^(Л'1/, f)
энергетического пространства H%-i.
Преобразуем выражение
Л'/2 (Л-1 - Л-1) f = (Е - А'12А~'А',г) (Л_,/7)
и оценим его по норме
||л,/2(л~' - Л~,)^11<к-Л1/2Л_,Л’/,|||Л",/7||.	(74)
В качестве меры возмущения оператора Л возьмем относи-
тельное изменение энергии (Ах,х) оператора Л, т. е. будем
предполагать, что
| ((Л — А)х, х) |^а(Лх, х)	(75)
для всех х е Н.
Отсюда следуют неравенства
(1 -а)Л<Л <(1+а)Л,	(76)
(1—а)Л-1 <Л_1<(1+а)Л~'.	(77)
Покажем, что из (76) следует (77).
Рассмотрим разность J = (1 + а)(Ах,х)— (Ах,х) и положим
А'/2х = у.
J = (1 + а) || у ||2 - (Л-1/2ЛЛ-'/2г/, у) = (1 + а) \\у |р - (Dy, у),
где D = А~'1гАА~'1г. Положим D'l2y = z-.
J = (1 + а) (D~'z, z) -1| z ||2 = (1 + а) (Л’/!Л-1 Л'/2г, z) -1| z ||2 =
= (1+а)(Л-1ц, 1>) — (Л-11>, t>), v = A',2z.
5]	§ I. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 291
Так как то (1 + а) Л'1	Л-1. Тем самым доказано,
что из неравенства Л^(1 + а)Л следует неравенство Л-1
^(1 + а) Л-1 для любых Л = Л* > 0, А = А* > 0. Неравенства
(77) эквивалентны неравенствам
(1 -а)Е<С<(1 + а)Е, С = А',2А~1А'1г.
В самом деле,
х)-(Л-’х, х) = (1+а)кИ2-(л'/2Л-'Л1/‘1/, у) =
= (1+а)||г/|р-(Сг/, г/)>0.
Итак, из (74) следует
-аЕ<Е-С<аЕ, С = Л'/гЛ-1Л1/з.
По определению нормы самосопряженного оператора
|| Е - С || = || Е - А'12А~'А'/г || < а.
Подставляя эту оценку в (74), получаем из (72):
II г||я <||f-f|l3-. + a|| f ll^-i,
или
1|й-«11л <И7-Пг-1+а||/Ня-1.
Пусть известен некоторый оператор Л0 = Лд>0, имеющий
более простую структуру, чем А, и удовлетворяющий условию
A^CjAq, CjX)..
Тогда, если оператор Ло1 существует, то
Л"Ч—Ло’1, II/||я-> < ’ llfll
Ci	V ci Ао
Таким образом доказана следующая теорема сравнения:
Теорема 2. Пусть и — решение уравнения (67), й — реше-
ние уравнения (70), Л, А, Ло— самосопряженные положитель-
ные операторы, имеющие обратные. Тогда, если выполнены усло-
вие (75) и неравенство А С1Л0, Ci > 0, то справедливы оценки
II Й -м||я <117-/11я-1 + а||/||я-.,	(78)
IIй - и U <7"II?“ f Ил-1 + -ГИf "а-1-	(79)
’ С1	ло С1 л0
Первое слагаемое в правой части (78) есть величина возму-
щения правой части f, второе слагаемое содержит коэффициент
a — величину относительного возмущения оператора.
10*
292 ГЛ. V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [1
Пример. Пусть Н — множество сеточных функций, задан-
ных на «ж = {Xi = th,	и обращающихся в нуль при
i — 0, i = N. Рассмотрим разностные операторы
Ау = - (ау$х + dy, a^ct>0, d^O,
Ау= — (ay-^x + dy, a^cx>Q, <7 > 0,
Айу= -yxx.
Вводя обычным образом скалярное произведение и используя
разностные формулы Грина, получим неравенства
А С[ Aq, А CjAq.
Согласно лемме 2, имеем
/АГ-1	/А-1	\2\‘/2
ШЛ-1<НЦ_2)= 2 h 2 hfk] , f^H.
до v v-i \fc=*	/ /
Таким образом, оценка (79) принимает вид
или, в силу неравенства ||z||c < 0,5 || z.]|,
\\2\\С=\\У-У llc < 2^ II f~ f IU + ^11 f ll(_2).
Выясним, что означает условие (75). Его можно записать
в виде
(1 - а) ( (а, г/|] + (d, у2)) < (а, г/|] + (d, у2} <
<(1 +<х)((а, yl] + (d, у2)),
откуда следует, что (75) будет выполнено, если потребовать
\а — а\^.аа, \ d — d \ ^ad.
§ 2.	Операторно-разностные схемы
1.	Введение. В § 1 краевые задачи для дифференциальных
уравнений Lu = —f(x) мы трактовали как операторные уравне-
ния &и — f, где — линейный оператор, заданный в банаховом
пространстве
При изучении нестационарных процессов, описываемых урав-
нениями в частных производных параболического и гиперболи-
ческого типов
^- = Ш + Их, 0, -^ = Lu + f(x, 0, 0</</6
2]
§ 2. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
293
переменная t (время) играет особую роль и поэтому должна
быть выделена. Здесь L — дифференциальный оператор, дей-
ствующий на и(х, t) как функцию х = (хь х2, ..., хр) —точки
р-мерной области G. Функция и(х, I) при каждом фиксирован-
ном t является элементом банахова пространства Поэтому
вместо и(х, t) мы получаем абстрактную функцию u(t) пере-
менного t,	со значениями в т. е. м(/)е^ для всех
t е [0, /о]. Оператор L, действующий на и(х, I) как функцию х,
заменяется оператором з/, заданным в Оператор вообще
говоря, действует из некоторого пространства .$1 в некоторое
пространство (область его определения	$i является
всюду плотной в а область его значений $?(з$) ^$2). Мы
будем считать здесь, что = ^2 = В результате приходим
к абстрактной задаче Коши
+ sd-u = f (О, О «С t «С to> «(0) = «0,
где «о — заданный элемент из
Эти рассуждения носят лишь эвристический характер и
имеют целью провести аналогию между методами общей теории
дифференциальных уравнений и общей теории разностных схем,
которая излагается в этой главе и в главе VI.
Задача Коши называется устойчивой по начальным данным
и по правой части, если
|| и (0 || < М, || и01| + М2 J
о
где Mi = const > 0, М2 = const > 0.
В силу принципа суперпозиции (л/— линейный оператор)
устойчивость задачи Коши по правой части следует из равно-
мерной устойчивости по начальным' данным
|| и (0 II < Ml II и (t') II,	/>Г>0,
где u(t) — решение однородного уравнения.
2.	Операторно-разностные схемы. По аналогии с § 1 рассмот-
рим линейную систему А, зависящую от параметра h, являю-
щегося вектором некоторого нормированного пространства с нор-
мой \1г\. На линейной системе можно ввести ряд норм
II • На, II • Н(1Л), II • Н(2Л), • • • При этом мы Получим линейные нор-
мированные пространства &н,	• • • Условимся в даль-
нейшем для упрощения изложения говорить о нормах
II ‘ 11('й)’ II ‘ И(2й)> ••• в пространстве ^й, считая II• Пл основной
нормой в $h.
На отрезке	введем равномерную с шагом т сетку
= V/ =	/ = °> 1 > • • • > /о» т = Ш)> ©х = Vi = /Ъ 0 < / < /0}.
294 гл. V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [3
Будем рассматривать абстрактные функции гмт(0>флг(0 и т. д.
дискретного аргумента t = jx^ax со значениями в &h, так что
yhx(t)^$h для всех / =	Пусть Ahx(t), Bhx(t), Chx(t)
и т. д. — линейные операторы, зависящие от параметров h, т и
действующие из в &h при каждом t<=ax. В тех случаях,
когда это не вызовет недоразумений, индексы Лит будем опу-
скать и писать
Уп = У (пх) = у (tn) — у, A (t), В (О, С (t).
Семейство разностных уравнений (г— 1)-го порядка
г—1
В0 (^ti) У n + l	Cs (t п) +	+ fny fl г 1, г, г + 1,
S—1
зависящих от параметров Л и т, с операторными коэффициен-
тами Во, С,, ..., Сг_, (которые являются линейными операто-
рами, заданными на и зависят от h и т) будем называть
r-слойной операторно-разностной схемой или просто г-слойной
схемой. Если существует оператор Во"', то решение t/n+i этой за-
дачи может быть выражено через начальные векторы уо, yi, ...
..., уг-2 и правую часть f. Мы предполагаем, как всегда, что
векторы уо, yi, ..., уг-2 заданы.
Мы будем рассматривать только двухслойные и трехслойные
схемы
Вог/п+1 + В1у„ = тф„, n = 0, 1, ..., задан у0,	(1)
ВоУп+1 + В!уп + В^-^хуп, п=1, 2.......заданы у0 и у^ (2)
3.	Каноническая форма двухслойных схем. Любую двухслой-
ную схему (1) можно записать в виде
В (U Уп+ A (/„) Уп = <рп, п = О, 1, задан г/ое$й. (3)
В самом деле, сравнивая (1) с (3), видим, что В = Во, А =
= (В0 + В1)/т. Будем пользоваться обозначениями
У = Уп У (^«)> У У п+1 У (fn+i) У ^п "Б т),
'	у ~ у У ~ у
У = Уп-у У^^^Ч y-t = ^T-
Тогда уравнение (3) можно записать так:
Byt + Ау = <р(/), t = tn = nxe= сот, г/(О) = г/ое^й. (4)
Будем называть уравнения (3) или (4) канонической формой
двухслойных схем.
Уравнение (4) аналогично дифференциальному уравнению
at	* '
41
§ 2. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
295
Пример 1. Для уравнения теплопроводности
^=Lu + f, Lu = ~{k(x, t)-^\
dt	дх \ ' ’ ’ дх )
в гл. Ill была рассмотрена двухслойная схема с весами
у, = Л (оу + (1 — о) у) + (р, Ли = (а (х, t) v-)x, f =/„ + 0,5т.
Используя тождество
„ _L ~ У	,
У = У + Т = У + т>Уь
перепишем ее в виде
yt - axAyt - Ay = <p.
Сравнивая это уравнение с (4), видим, что
В=Е + ахА, А——А.
Так записывается в каноническом виде двухслойная схема све-
сами.
Разрешим уравнение (4) относительно у = yn+i- Если суще-
ствует оператор В*1, то можно написать
у = Syd-тер, S = E — тВ-|Л, ф = В~'ф.	(5)
Оператор S называется оператором перехода (со слоя на слой).
4.	Канонические формы трехслойных схем. Трехслойную
схему (2) будем записывать в канонической форме
В -Уп+1^У"~- + Д(Уп+1 -2г/п + г/п-|) + Луп = ф. (6)
Сравнивая (6) с (2), видим, что такая запись всегда возможна,
если положить
В = Во — В2, В = -^(В, + В2), Л = ^(В0 + В,+В2).	(7)
Введем обозначения
о —	— yt~yi = о-2у +у
Mt 2т ’ Уп т	т2
и наряду с (6) будем под канонической формой трехслойной
схемы понимать уравнение
Ву° + x2Ry-tt + Ay = <p(t), 0</ = пт«=а>т, у(О) = уо, у(т) = уг (8)
Пример 1. Рассмотрим трехслойную схему с весами
y° + A(oti) + (l - о, - <т2) у + щу/) = Ф-	(9)
296 ГЛ- V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ, операторно-разностные СХЕМЫ [5
Приведем ее к каноническому виду. Используем формулы
л _ „ , У-У , 9-2у +у _	, т2
У У+ 2 "г 2	У'^У(' 2 Ун*
' У ~~ У , у + У ,	, т2 ,,
У = У -	+ -—f—~ = y + vy°t + ^- У»,
+ (1 - о, - о2) у + о2у = у + (о, - о,) ту? + g1^—- т2у}г
Подставляя это выражение в (9), запишем схему с весами в ка-
нонической форме (8), где
В = Е + т(О] — <т2) А /? = 0,5 (о, + о2) А. (Ю)
Переходя от (6) или (8) к (2), получим
(В + 2т/?) Уп+i = 2т (2R - А)уп + (В - 2т/?) y„-i + 2тф„. (11)
Отсюда видно, что задача (8) разрешима, если существует опе-
ратор (В + 2т/?)-1. При этом г/n+i выражается через уп и yn-i
на двух предыдущих слоях. Поэтому требуется задание двух на-
чальных векторов уо и i/j (или у0 = у(0) и у г, = у<(0)).
5.	Понятие устойчивости. Введем понятие устойчивости для
двухслойных схем. Под двухслойной схемой мы понимаем мно-
жество операторно-разностных уравнений (4), зависящих от па-
раметров h и т. Операторы А и 5 считаем заданными на всем
пространстве 9&h-
Будем рассматривать поэтому множество решений {tjhr(t)}
задачи Коши (4), зависящих от входных данных {фйт(0)> {f/ол}-
Схема (4) называется корректной (корректно поставленной),
если при всех достаточно малых т-Сто и |/г| <^/г0
1) решение задачи (4) существует и единственно при любых
начальных данных yWl<=$h и правых частях (p/1T(Z)E^/i для
всех t е ют,
2) существуют такие положительные постоянные и М2, не
зависящие от /г, г и выбора yoh, фЛт, что при любых у^н^^н,
йт для решения задачи (4) справедлива оценка
II Ул-r (/+ т)||(1й)<Л111| уон 11^0^ + 412 Qmax JI Фл-v (Г) ||(2д), (12)
где || • ||(!л), || • ll^o-j и || • ||(2ft) - некоторые нормы в прост-
ранстве $й.
Неравенство (12) выражает свойство непрерывной зависи-
мости, равномерной по h и т, решения задачи Коши (4) от вход-
ных данных. Это свойство и называется устойчивостью.
Будем называть разностную схему абсолютно устойчивой,
если она устойчива при любых т и /г (а не только при доста-
точно малых).
6]	§ 2. ОПЕРАТОРНО РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	297
Аналогично вводится понятие устойчивости для трехслойной
схемы. Однако при этом следует рассматривать пару векторов
yj+i = {yj,yJ'+1} с нормой вида
|l"+'IL)=lly' + !/'t,l2(,;) + |i/'t,-i/'ll^').	(13)
где || • ||/,*\, || • ||/,**\— некоторые нормы в Нормы вида
(13) возникают при изучении устойчивости трехслойных схем
методом энергетических неравенств (см. гл. II, § 2).
Таким образом, трехслойная схема (8) называется устойчи-
вой, если при любых начальных данных уо, У\ и любых правых
частях <р(/) для ее решения справедлива оценка
II + т) ||(,Л) < М, || УЛт(т) ll^oj + max || <рАт(Г) ||(2ft), (14)
где Mt и М2— положительные постоянные, не зависящие от h, т
и от выбора г/о, yi, ср(/).
Основная задача, которая стоит перед нами, заключается в
следующем. Предположим, что уравнение (4) однозначно раз-
решимо относительно уп+\ при любых уп и <р(/).
Какими свойствами должны обладать операторы А и В, что-
бы схема была устойчивой в смысле данного выше определения?
Иными словами, надо найти достаточные условия устойчивости
схемы (4) и получить априорные оценки вида (12). При этом
достаточные условия должны быть удобны для практической
проверки в случае конкретных разностных схем, соответствую-
щих уравнениям математической физики.
Устойчивость разностных схем будем исследовать вне связи
с аппроксимацией и сходимостью.
6. Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в
линейных нормированных пространствах. Исследуем теперь в
общих чертах вопрос о достаточных условиях устойчивости двух-
слойных схем в линейных нормированных пространствах. Более
детально это исследование будет проведено в гл. VI для случая,
когда = Hh-—вещественное гильбертово пространство.
Всюду предполагается, что задача Коши (4) разрешима,
т. е. существует обратный оператор В-1. Поэтому схему (4)
можно записать в виде
Уп + 1 = 8пУп + ^п’ fn = Bnl%> П =	....У0^$!г>	(15)
где
Sn = E-xB~xAn	(16)
— оператор перехода. Оператор Sn зависит от tn = «т, h, т.
298 ГЛ. V. ОЕЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [6
Пользуясь рекуррентной формулой (15), найдем
п
Уп+\ = Г„+1, йУй + 2 тГп-н, j+if/,
где
Tn+l, j ~ SnSn^ • • • Sj + lS/,
Еп+1, 0 ~ EnSn-t • • • 5]5о> 7„ + 1, n+I — E.
п-1 •
Оператор Tn+i, j называют разрешающим оператором.
Неравенство треугольника дает
II Уп+i11(1) <11 Тп+1, о |||| у01|(1) + 1 х|| Т„+1, ж ПН ||(1),
(17)
(18)
где ll-ll(i) — любая норма в
Из (18) видно, что имеет место следующая
Теорема 1. Для устойчивости схемы (15) достаточно, что-
бы выполнялось условие
II Тп, j || < М, при любых 0</<«<«о-	(19)
При этом для решения задачи (3) верна априорная оценка
Цг/n+i lid) <^1 !|г/о!1(!) + 2 т||В/“1ф/||(1)) для всех 0^.п<па. (20)
Заметим, что из (20)следует (12) при М2 = МД0.
Теорема 2. Для устойчивости схемы (3) достаточно, чтобы
для нормы ее оператора перехода S, выполнялась оценка
|| S; ||< 1 + сот для всех j = 0, 1, ... ,па — 1,	(21)
где Со 0 — постоянная, не зависящая от г и h. При условии
(21) верна априорная оценка (20) с М1=^ес^.
Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том,
что из (21) следует (19):
II Tn,i\\ = \\Sn_xSn^... S/+1S;||<
<11 S„_, Illi S„_2 II... II S/+1 Illi S, II <(1 + cot)"~' <
< (1 + c0T)rt < (1 + Cqt)"0 < ec°"“T = е"А = Af t.
Часто высказывается утверждение: «из устойчивости по на-
чальным данным следует устойчивость по правой части». В ка-
ком смысле следует понимать это утверждение?
Будем говорить, что схема (4) равномерно устойчива по на-
чальным данным, если устойчива задача Коши
Уп+1 = Епуп, n = j, j+ 1, ..., задан yh j = 0, 1, .... п (22)
61
§ 2 ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
299
при любом /, т. е.
|| уп ||(1) < М{ II У] ||(1) при всех 0 < j < п < п0,	(23)
где М\ > 0 — постоянная, не зависящая от т и h.
Если выполнено условие равномерной устойчивости, то для
разрешающего оператора Тп, j справедлива оценка (19). Следо-
вательно, в силу теоремы 1, для решения задачи (4) выполнена
оценка (20).
Таким образом, имеет место
Теорема 3. Если схема (4) равномерно устойчива по на-
чальным данным, то она устойчива и по правой части при усло-
вии согласования норм
||ф||(2) = ||В_1ф11(1)-	(24)
При этом верна априорная оценка (20).
Заметим, что условие (21) достаточно для равномерной
устойчивости по начальным данным.
Рассмотрим двухслойную схему с постоянным оператором
перехода
Уп+\ = Syn + xfn, fn = B~'<pn, п = 0, 1, ..., задан у0.	(25)
Теорема 4. Пусть двухслойная схема (4) с постоянным
оператором перехода S устойчива по начальным данным с неко-
торой постоянной М\ >0. Тогда она устойчива и по правой ча-
сти, причем ||ф||(2) = 11В_|фН(1), и верна оценка (20) с той же по-
стоянной М^
Доказательство. Согласно теореме 1, достаточно пока-
зать, что ||Tn, j|| < Mi для любых 0-С /-С/г-=€/г0- Так какS—по-
стоянный оператор, то
Tni/ = S„_,S„_2...	n = n-j^0.
Из устойчивости схемы (4) по начальным данным следует,
что при любых z/o s Н
II Ун ll(1) < Mt || уо ||(1),
т. е.
О sn-4ll(<> < ЛМЫ(1)-
и, следовательно,
II
Сделаем выводы, необходимые для дальнейшего.
1.	Если оператор перехода постоянен, то исследование устой-
чивости по начальным данным сводится к оценкам нормы опе-
ратора перехода.
300 ГЛ- V. ОБЩИЕ ФОРМУЛИРОВКИ. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ [6
2.	Условие согласования норм для правой части и решения
II Ф 11(2) =11В“1фЦ(1)
является весьма жестким. Если ||В-1|| щ, где щ > 0— по-
стоянная, не зависящая от h и т, то |[q>||(2> ^111ф11(!) и вместо (20)
получим оценку
||у^ + т)||(1)<М1||у(0)||(1)+ М3 Дт||Ф(П11(1), М3=М,С1. (26)
В гл. VI будут получены априорные оценки, для которых
условие (24) согласования норм || • ||<i) и || • ||(2) не требуется.
3.	Схема (4) устойчива, если 1 + сот для всех j = 0.
1, ..., п0—1. При практическом использовании этого достаточ-
ного критерия устойчивости надо указать, какими свойствами
должны обладать операторы А и В для того, чтобы обеспечить
выполнение условия (21). Такие условия найдены в гл. VI. Они
имеют вид линейных операторных неравенств для операторов А
и В, заданных на гильбертовом пространстве Hh = &к-
Понятия аппроксимации, сходимости и точности для опера-
торно-разностных схем вводятся по аналогии с § 1. Чтобы не
загромождать изложение повторением формулировок, ограни-
чимся лишь следующим замечанием. Нормы || •	|| • ||^2 у фи-
гурирующие в § 1, надо заменить нормами
1	V,)= ««-.SV/ <z“') !'<  «>.
Глава VI
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
В гл. VI изучается устойчивость по начальным данным и по правой ча-
сти двухслойных и трехслойных разностных схем с операторами, действую-
щими в гильбертовом пространстве. Методом энергетических неравенств полу-
чены эффективные достаточные условия устойчивости и построены соответ-
ствующие априорные оценки. Установлена также необходимость некоторых
условий устойчивости.
§ 1. Классы устойчивых двухслойных схем
1. Постановка задачи. При изучении устойчивости двухслой-
ных схем будем пользоваться их канонической формой
Byt + Ay = q>(i), t^nx<=<i>x, г/(О) = г/о.	(1)
Пусть= Hh — вещественное пространство, (,) — скалярное
произведение, ||х|| = ]/(х, х) — норма в Hh. Операторы схемы
(1) А и В в общем случае зависят от h, х и t. Условимся зави-
симость от t явно не указывать.
Наша ближайшая задача — найти достаточные условия
устойчивости схемы (1) и получить априорные оценки решения
задачи (1), выражающие устойчивость схемы по правой части
и начальным данным.
Решение задачи (1) можно представить в виде суммы у =
= у + у, где у — решение однородного уравнения с начальным
условием у(0) = г/(0) = у0:
Byt + Ay = G, г/(0) = у0,	(1а)
а у — решение неоднородного уравнения с нулевым начальным
условием:
Byt + Ау = <р (/), t е сот, у (0) = 0.	(16)
302
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
[2
Оценка решения задачи (1а)
||г/(/ + т)|^^Л11П(0)||(1)	(2)
означает, что схема (1) устойчива по начальным данным,
а оценка решения задачи (16)
II #(* + т) ll(I) < М2 max || <р (/') ||(2)	(3)
выражает устойчивость схемы (1) по правой части.
Мы будем также пользоваться и другим определением устой-
чивости схемы по правой части
IIУ (t + т) ||(I) < М2 о шах* (|| <р (/') ||(2) + II <Pf (/') Иг*)),	(4)
где qt(t') = (q(t') — q(t' — x))lx. Из (2) и (3) или (4), в силу не-
равенства треугольника || г/И^^И г/И(1) + 11 г/11(1), следует априор-
ная оценка
II y{t + т) ||(1) < Mi || у01^ + М2 max || <р (/') ||(2)	(5)
или
IIУ (t + т) I^J Ml II Уо ||(I) + М2 max ( (|| <р (/') ||(2) +1| <pf(/') ||(2.(). (6)
В качестве нормы Н-Н^ будем пользоваться энергетическими
нормами
1Ы1л = VTAyTy) при А = Д’>0,	(7)
Шв=/Ж7) при В = В’>0.	(8)
Будем говорить, что схема (1) устойчива в НА (или Нв),
если выполнено (5) с II• ||(d = ||• На (или 11-11(1)= II-Ив).
2. Исходное семейство схем. Исследование устойчивости бу-
дем проводить в некотором исходном семействе разностных
схем.
Операторы А и В считаем ограниченными линейными опе-
раторами, заданными на всем пространстве Hh, 35(A) =
= 35(B) = Hh. Всюду будем предполагать, что разностная за-
зача (1) разрешима при любых входных данных уо и <р(/), т. е.
что существует ограниченный оператор В~1 с областью опреде-
ления 35 (В~1) = Hh.
Для упрощения выкладок детальное изложение проведем
в предположении, что
1) операторы А и В не зависят от t (постоянные операторы),
2) оператор В — положительный, В > 0,
3)	А — самосопряженный и положительный оператор, А =
= А* > 0.
41
§ 1. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ
303
Условия 1)—3) и требование разрешимости выделяют из
множества всех возможных схем (1) семейство допустимых схем
(исходное семейство).
Условие 1) может быть ослаблено, т. е. будем иногда рас-
сматривать операторы А и В, зависящие от /, A = A(t),
B = B(t).
3.	Энергетическое тождество. Исследование устойчивости
схемы (1) проведем методом энергетических неравенств. Умно-
жим уравнение (1) скалярно на 2ту( = у—у:
2т (Byt, yt) + 2т (Ay, yt) = 2т (ф, yt).	(9)
Пользуясь формулой
// = -Ц£--Ц£ = у(У + //)-у Уо	(Ю)
перепишем (9) в виде
2т((В - 0,5тА)yt, yt) + (A(y + y), у-у) = 2т(ф, yt). (11)
Лемма 1. Пусть А — самосопряженный оператор. Тогда
(А(у + у),у-у) = (Ау, у) - (Ау, у).	(12)
В самом деле
(Д ($ + у), у-у) = (Ад, у) + (Ау, у) - (Ау, у) - (Ау, у) =
= (Ад, д) - (Ау, у),
так как (Ау, д) = (у, Ау) = (Ау, у) в силу самосопряженности А.
Подставляя (12) в (11), получим энергетическое тождество
для схемы (1):
2т( (В - 0,5тА) yt, yt) + (Ад, д) = (Ау, у) + 2т (ф, yt). (13)
4.	Устойчивость по начальным данным в Нл
Теорема 1. Если для некоторой схемы (1) из исходного
семейства выполнено условие
В>0,5тД,	(14)
то эта схема устойчива в НА по начальным данным с постоян-
ной Mi = 1, так что для решения задачи (1а) имеет место
оценка
НПО На Z/olU, t=nr, п = 1, 2, ...
' Доказательство. При ф = 0 тождество (13) (для (1а))
принимает вид
2т ((В - 0,5тД) yt, yt) + (Ag, g) = (Ay, у).
В силу (14) первое слагаемое в левой части этого тождества
неотрицательно. Отбрасывая указанное слагаемое, получим
304
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
[4
неравенство
Ц На <11У На	(15)
или
II Уп+i Па < II Уп Па < • • • <И Уо Па,
где || у ||л = V(Ay, у).
Условие (14) выделяет из исходного семейства класс устой-
чивых в НА схем.
Покажем, что условие (14) и необходимо для устойчивости
схемы (1) в НА по начальным данным. Для этого нам понадо-
бится следующая лемма.
Лемма 2. Пусть С>0— оператор в Н, имеющий ограни-
ченный обратный. Тогда эквивалентны следующие условия:
ЦД-тС||<1,	(16)
С~‘>0,5т£.	(17)
В самом деле, пусть выполнено (16), т. е. || (Е — тС) х Ц2 <
< II X ||2 или
|| х IF - 2т (Сх, х) + т2II Сх IP <|| X IP.
Тогда т|| Сх |р <2 (Сх, х). Полагая Сх = у, х = С~1у, получим
(С~'у, у} > 0,5т||1/ IP
или С-1 > 0,5г£. Обратный ход рассуждений очевиден.
Теорема 2. Пусть схема (1) принадлежит исходному се-
мейству схем и, кроме того, оператор А — положительно опреде-
ленный. Тогда условие (14) необходимо для устойчивости схемы
(1) по начальным данным в На с постоянной Mi = 1.
Доказательство. Сведем сначала схему (1а) к явной
схеме
х„+1 = Sxn, п = 0, 1, 2, ...,	(18)
где S = E — xC, С = А'/2В~1А'1г, хп = А'1гуп.
Перепишем (1а) в виде yn+i = Уп — тВ~1Ауп- Так как А —
самосопряженный положительно определенный оператор, то су-
ществуют операторы А-1, АЛ2, А~'1> (см. теоремы 3 и 4 из гл. I,
§ 3), которые также являются самосопряженными положитель-
ными операторами. Поэтому уравнение (1а) эквивалентно урав-
нению
A1/2i/„+i = А>,2уп - т (A,/sB-‘A,/s) А',2уп>
которое совпадает с (18).
Устойчивость схемы (18) в Н эквивалентна устойчивости
в На схемы (1а), так как ||xn|| = ЦА’^г/пП = llf/пПд.
5J
§ 1. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ
305
Пусть схема (1а) устойчива в НА с All = 1, т. е. выполнено
(15). Тогда для схемы (18) выполнено неравенство ||хп||	||хо11
и, в частности, при п = 1 имеем
IIX, 11 = 11 Sx0||<||x0||, т. е. II S||< 1.
Применяя лемму 2, получим неравенство (17) с
С = А',2В~'А'1г. Покажем теперь, что неравенство (17), где
С = A'l2B~lA'12 эквивалентно неравенству (14). Так как С~1 =
= А~',2ВА~'!1, то
(С-1х, х) = (А-,/2ВА_1/2х, х) = (В (А“1/2х), /Г'/2х) =
= (Вг/, у), || х||2 = || A'l2y\^ = (Ау, у),
где у = А~'!1х, х = А1/2г/.
Это и завершает доказательство теоремы.
Объединяя теоремы 1 и 2, видим, что верна
Теорема 3. Пусть схема (1), где А — положительно опре-
деленный оператор, принадлежит исходному семейству схем.
Тогда условие (14) необходимо и достаточно для ее устойчи-
вости по начальным данным в НА с постоянной Mi = 1.
Напомним, что оператор В является, вообще говоря, несамо-
сопряженным.
5.	Устойчивость по начальным данным в Нв. Напишем вто-
рое энергетическое тождество для схемы (1а), предполагая, что
и В — самосопряженный оператор, В = В* > 0. Умножим ска-
лярно (1а) на 2ху;
2x(Byt, $) + 2х(Ау, $) = 0.	(19)
Учитывая формулы
9=^(9 + y) + %yt, y = ^(O + y)-^-yt
и пользуясь леммой 1, найдем
2т (Byt, у) = (В(у — у), у + у)+ х2 (Byt, уА = || у ||* -1| у |£ + т2|| у( |£,
2т (Ау, у) = -J (А (у + у - хуА, у + у + хуА = -J || у + у ||д - ^-|| yt ||* .
После подстановки этих выражений в (19) получим
IIУ 111 + т2 (|| yt 111 - 0,5т || yt |Q + 0,5т || у + у |Ц = || у 111-	(20)
Теорема 4. Пусть в схеме (1) операторы А и В не зависят
от t, А* = А > 0, В* = В > 0. Тогда условие (14) достаточно для
устойчивости схемы (1) по начальным данным в Нв с Mi = 1.
303
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
[6
В самом деле, пусть В 0,5тД. Тогда
II yt 111 - 0,5т || yt Hl = ((В - 0,5тА) yt, у() > О
и (20) дает ||г/||в < llf/Нв, т. е. !!//(/) ||в< lif/(0) ||в.
6.	Необходимые и достаточные условия устойчивости по на-
чальным данным. При изучении вопроса о необходимых и до-
статочных условиях устойчивости двухслойной схемы эффектив-
ным оказался метод сведения неявной схемы к явной схеме
с последующей оценкой нормы оператора перехода явной схемы.
Простейший пример применения этого метода с постоянной
Mi = 1 был рассмотрен в п. 4.
Нам теперь понадобится несколько отличное от прежнего
определение устойчивости двухслойной схемы по начальным
данным. Везде в этом пункте будем предполагать, что опера-
торы А~1 и В-1 существуют, ограничены и Ф И-1) = 2>(В-!) = Н
(о достаточных условиях существования обратного оператора см.
в гл. I, § 3, п. 2).
Пусть D = Ь* > 0 — постоянный оператор. Будем говорить,
что схема (1) р-усюйчива в HD по начальным данным, если для
решения задачи (1а) при любых у0 е Н выполнено неравенство
II Уп Но р” II Уо IId>
где р = ес«т, Со — постоянная, не зависящая от h, т и от выбора
у0. Если схема (1а) p-устойчива в Яр, то она устойчива в HD:
II Уп По Л11II У о По
с постоянной М1 = еСв‘’> при со^О, Mi = 1 при со<СО.
Двухслойную неявную схему (1) с постоянными операторами
А и В можно при помощи простых преобразований свести к яв-
ной схеме, которую запишем в форме
х„+1 = Sxn + тф„, п = 0, 1.х(О) = х0, S = E — xC, (21)
где S— оператор перехода (со слоя на слой).
Возможны три варианта преобразования:
1)	Если А = А* > 0, В > 0, то полагаем
хп = А'1гуп, С = С, = A'l2B-{A\ ф„ = А,/2В-1Ф„.	(22)
2)	Если В = В* > 0, А > 0, то
xn = B'kyn, C = C2 = B~'l2AB-'l2t ф„ = В-,/2ф„-	(23)
3)	Если А и В перестановочны, то
хя = уп, ^n = B~'<f>n, C = Ct при А = А*>0, В>0,
хп = уп, Фп = Я-1<Рл, С = С2 при Л>0, В = В’>0.
6J
§ I. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ
307
В самом деле, запишем схему (1) в виде
f/n+i = f/п ~	+ тВ-1<р„.	(24)
Если А = А* > 0, то существует корень A'f2 = (/Г/г)’ > 0 из
оператора А. Действуя на уравнение (24) оператором А'1г и по-
лагая A'l2yn = хп, уп = А~'1гхп, получаем схему (21) с условиями
(22). Аналогично, в случае В = В* > 0 действуем на (24) опера-
тором В'Ь и вводим обозначения (23).
Если операторы А и В перестановочны, то
В~1А = Л,/гВ-1Л1/г = С1 при А = А*>0,
В~,А = В~'/гАВ~’/г = С2 при В = В’>0.
Таким образом, мы убедились, что в ряде случаев неявная
схема (1) сводится к явной схеме. Из (22) видно, что ||хп|| =
= НУп11а, а из (23) следует ||хп|| = ||г/п||в. Поэтому исследование
устойчивости в НА или Нв неявной схемы сводится к исследова-
нию устойчивости явной схемы в Н. При изучении устойчивости
по начальным данным рассматриваем задачу:
xn+1 = Sxn, п = 0, 1, ..., S = E — тС.	(25)
Отсюда непосредственно следует
x„ = S"x0> || х„ |К || S" НЦхоЦ.
Это неравенство соответствует оценке
ikiId и z/oIId,
где хп = D'hyn, D — один из операторов А, В или Е.
Вопрос ставится так: какими свойствами должен обладать
оператор С, чтобы выполнялось условие
II S" || < р" при любых п = 1, 2, ...
(условие p-устойчивости схемы (1а))?
Рассмотрим здесь случай самосопряженного оператора С.
Случай С #= С* при р = 1 был рассмотрен в п. 4.
Будем пользоваться следующим определением нормы опера-
тора S = S*:
|| S || = sup | (Sx, х) | = sup | ((Е — тС) х, х) |, С = С”.	(26)
||х|| = 1	11x11=1
В силу леммы 3 из гл. I, § 3 || Sn || = || S ||п и из условия
||5п|Крп следует ||S|Kp- Определение (26) дает:
-1| S||E<tC- Е <|| S||E
и, следовательно, —рЕ<тС —Е<рЕ (так как || S || < р), или
-^-Е^СК-^-Е.	(27)
Т	Т "
308
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
[6
Лемма 3. Если С = С*, х > 0, то условия (27) и
ИЖ₽	(28)
эквивалентны.
Мы убедились в том, что из (28) следует (27). Обратный ход
рассуждений очевиден.
Обратимся к неявной схеме (1а).
Лемма 4. Если А = А*, В = В* > 0, т > 0, р > 0, то усло-
вия (27) и
В < А < В	(29)
равносильны при С = С2 = В~'МВА Если же, кроме того, А —
положительно определенный оператор, то (27) и (29) равно-
сильны при С — С\ = AlI2B~}Al12.
Доказательство. Первое утверждение леммы следует
из тождеств
(С2х, х) = (B~'l2AB~'l2x, х) = (Ау, у),
(Ex, х) = || х ||2 = (в'/2у, В'1гу) = (Ву, у),
где у = B~'hx. Для доказательства второго утверждения заме-
тим, что если С — самосопряженный неотрицательный оператор
и С-1 существует, то неравенства О аЕ и В > аС-1 эквива-
лентны. Действительно, обозначив С'^х = у, запишем неравен-
ство (Сх, х) >-а||х||2 в виде
|| r/||2^a||G-‘M2 =а (С~'у, у\
т. е. В^аС-1.
Таким образом, если С-1 существует, то условия (27) эквива-
лентны следующим:
Положив здесь C = C[ — A'l2B 'Л1/2, имеем
1=^- (BA~'l2x, А~',2х) < || х II2 <	(ВА~'/гх, А~'1гх).
Обозначив А~112х = у, получим отсюда
^~~(Ву, у)<ААу, у)^^-(Ву, у),
что и требовалось.
Теорема 5. Пусть А и В — постоянные операторы и
А = А\ B = B">Q,
7]	§ 1. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ	309
Тогда условия
в р = е^
т	т ’ н
необходимы и достаточны для p-устойчивости в Нв схемы (1а):
II Уп 11в < Р" II Уо Ив,
а если, кроме того, А — положительно определенный оператор,
то и для p-устойчивости в НА:
II Уп 11л р” II Уо 11л-
Для доказательства теоремы достаточно свести схему (1а)
к явной схеме (25) (случай С = С2 или С = Ci) и затем вос-
пользоваться леммами 3 и 4.
Отметим, что необходимые и достаточные условия устойчи-
вости в данном случае совпадают. Энергетический метод не по-
зволяет получить такой результат. Более того, энергетическим
методом удается доказать устойчивость (25) или (1а) при р> 1
только при достаточно малом т-^то(со).
7.	Метод разделения переменных. Пусть Н — конечномерное
(скажем, ./V-мерное) пространство. Если А и В — постоянные и
самосопряженные операторы,
А = А’>0, В = В*>0,	(30)
то исследование устойчивости может быть проведено методом
разделения переменных по аналогии с гл. II, § 1.
Пусть Хй — собственные значения, ц/г— собственные функции
следующей задачи (см., например, Ф. Р. Гантмахер [1]):
A\ik = KkB\ik, k= 1, 2, ..N,	(31)
причем (В|.ц, цт) = 6ftm.
Решение задачи (la) будем искать в виде суммы
N
У (t) = s ck (/) life.
*=i
Подставляя это выражение в (1а) и учитывая (31), получаем
с. (/ + т) — с. (/)
+ XfeCfe (/) = о, Ck (t + т) = (1 - М ck (t).
N
Замечая, что || yt ||л = 2 с2 (Z)Afe, будем иметь
fe = l
/V	W
IIУ {t + т) ||2Л = 2 c\(t + т) < max (1 - /..т)2 2 с2 (/)\,
k — 1	fe	fe— 1
или
IIУ (t + т) ||л < max I 1 - тлл III у (/) ||л.
k
310
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
(7
Требование устойчивости с постоянной Мх = 1 будет выполнено,
если max | 1 —	1 или
к
0<Л*<2/т, £= 1, 2.......N.	(32)
Условия (32) эквивалентны энергетическому неравенству
0<Л^2В/т или
{By, у) 0,5т (Ау, у) для всех у е Н.
В самом деле,
N	N
By - Q,5xAy (t) (Bnk - 0,5rApfc) = 2 ck (f) (1 - 0,5тХА) By.k,
Й=1	Й=1
(By, у) - 0,5т (Ау, у) = 2 с[ (0(1- 0,5тЛ*) > 0.
й = 1
Отсюда и следует эквивалентность неравенства В 0,5тЛ усло-
виям (32).
Таким образом, мы показали, что при условиях (30) нера-
венство
В>0,5тЛ	(33)
достаточно для устойчивости в НА схемы (1а):
II 7/(0 На <и(0)Нл.
Следует подчеркнуть, что требование самосопряженности
оператора В является здесь обязательным, в то время как для
применения энергетического метода достаточно лишь положи-
тельности оператора В.
Аналогично доказывается устойчивость схемы (1а) в Нв,
если выполнены условия (30), (33).
Нетрудно показать, что условия
_Lzp	в
т	т
обеспечивают p-устойчивость схемы (1а):
II y(tn) ||р <рп|| у(0) ||р, D = A или D = B.
Для этого достаточно потребовать
— р < f.kx - К р.
Прежде чем применять метод разделения переменных, мож-
но свести схему (1а) к явной схеме xn+i = Sxn, S = E — хС,
С = Ci или С = С2. Тогда получим обычную задачу на собствен-
ные значения
C©A = %A©ft, А= 1, 2, .... N; (©ft, ©m) = Sftm.
8]
§ 1. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ двухслойных схем
311
8.	Некоторые вспомогательные неравенства. Пусть g, = g(tj)
и fj = f {tj}—сеточные функции, заданные при tj = /т, / =
= 0, 1, ..., «о-
Лемма 5. Пусть gj^O, j = 1, 2, ... и fj^-O, j = 0, 1, ...
неотрицательные функции. Если fj — неубывающая функция
(fj+i fj), то из неравенства
i
gj+i<c0'Zxgk + fj, j=l, 2, ....	c0 = const > 0 (34)
следует оценка
gj+i^lfj.	(35)
Доказательство. Пусть <p;-, j = 1, 2......— решение си-
стемы уравнений
/
Ф/+1 = с02тф* +	/>i, <pi = f0.	(36)
fe=l
Нетрудно заметить, что g/^Ф/ для всех />0. В самом
деле,
gl <Ф1, gi < C^tgi + fj < С0Тф] + fi = ф2 И Т. Д.
Из (34) и (36) видно, что из неравенств gk^<fk при k^j сле-
дует gj+i ^Ф/+р Заменим в (36) j на j — 1 и вычтем из (36)
полученное уравнение. Тогда для <р; получим разностное урав-
нение
Ф/+1 = 7Ф/ + Ф/, Ф/ = fi ~ fj-i > 0, q = 1 + сот < е^, с0>0.
Отсюда находим
Ф/+1 = 72Ф/-1 + 7Ф/-1 + Ф/ = 7УФ1 + <7/-1Ф1 + • • • +7Ф/-1 + Фу-
Так как 1 и ф/>0, a <pi=f0, то Ф/-н < </(ф1 + Ф1 + ... +Ф/) =
= qi(.4>i + fj-fo) = q}fi и> следовательно, ql+l < <p/+I ^qJfj <
^e^ifj.
Лемма доказана.
Замечание. Лемма 5 верна, если вместо (34) дано не-
равенство-
g/+iC(l+c0T)g/ + T(p/, j>0, gi=f0, T<p/ = f/-f/_I>0, (37)
i
так что fj = У r<pft.
fe = 0
Лемма 6. Если gj^O, f/^0, j 0, то из (34) следует
gl+i^fi + coec<‘iJ,Iitfk.	(38)
Й-0
312	ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ	[S
Положим gj+l = fj + vi+l. Тогда из (34) получим и/+1 <
<с0 2 xvk +fj,	xfk — неубывающая функция. Для
й = !	й=0
оценки Vj пользуемся леммой 5.
Леммы 5 и 6 будут использованы при доказательстве устой-
чивости схемы (1) по правой части.
9.	Устойчивость по правой части. В гл. V, § 2 была доказана
теорема о том, что из устойчивости по начальным данным в нор-
ме || • ||(ц следует устойчивость по правой части, взятой в норме
Нф11(2) = 115*’<р||(1). Отсюда следует
Теорема 6. Если выполнено условие (14), то схема (1) из
исходного семейства схем устойчива по правой части и для ре-
шения задачи (1) справедлива априорная оценка
11у(/ + т)||л <||//(0)цл + 2 t||b-’<p(/')L
г=о
Если, кроме того, оператор В самосопряжен, то
Ш + т)||в <111/(0) цв + 2 т||ф(ОНв-ь
«'=0
Покажем, что, кроме того, имеют место априорные оценки (3),
(4), где
11ф11(2) = 11ф11Л-1 и || ф ||(2) = || ф ||.
Воспользуемся энергетическим тождеством (13) для схемы
(16).
Лемма 7. Если А — постоянный, самосопряженный и поло-
жительно определенный оператор, то для любых ср(/), //(/) из
Н имеет место оценка:
(ф,	<(Ф> ff)t + е(Лу, у)+-& (Л“'фг> фг), (39)
где е > 0 — число.
Представим (ф, yt) в виде
(ф, ^) = (фЛ)г-(фР у}
и воспользуемся леммой 1 из гл. V, § 1 для оценки второго
слагаемого. Тогда получим (39).
Подставим (39) в (13):
2т ((В -у Л)yt, yt) + (AQ, 0)<
<(Лг/, у) + 2т(ф, у\ + 2те||г/||2 + -£-|К11л-1
9]
§ I. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ
313
Пусть выполнено условие В 0,5тЛ. Тогда
(Ау, < (Ау, у) + 2т (ф, у\ + 2те (Ау, у) + (Л~'фр ф?),
или
ОЧ+г у!+^(АУ!, г//) + 2т(ф/, у!+х\ +
+ 2r^Ayj, ^) + ^(Л-'фгФ?> .).
Просуммируем это неравенство по /=1, 2.......п:
II Уп+1 Пд <11 У\ Пд + 2 (ф»> f/n+1) - 2 (Фо, Z/1) +
п	п
+ 2« 1>1ЫРЛ+ ^£т|ф,.	(40,
/=1	/=1
При t — О член 2т (ф, yt) в (13) преобразуется иначе. Так как
у (0) = 0, то
2т (ф, yt) = 2 (ф0, z/])
и энергетическое тождество (13) дает
II .Vi ||д < 2 (ф0, yt),	(41)
так, что || ух ||л <2 ||фоИл-1.
Складывая (40) и (41), получаем
II Уп+1 Ид < 2е тII у, 11^ + 2 (ф„, Z/«+i) + -2^ S т || Ф?| /Ц^.
/=1 /=1
При помощи леммы 1 из гл. V, § 1, оценим
2(фп, «/п+1Хео||г/п+1|^4--^-||ф„||2_„	е0>0
и положим ео = 0,5. Тогда
II Уп+i1& < 4е 2 тII у, ||2 + 4 II ф„ ||2	12 Т || фг> (42)
Теперь нам нужна лемма 5 из п. 8. Применяя ее к (42) и
выбирая е (например, е = 1), получаем
II Уп+111л < М2о <max^(II Ф (*') 11л-> + II Фг(^) ||л->)>
где М2 зависит только от to. Для оценки решения задачи (1)
надо учесть (15).
Тем самым доказана
Теорема 7. Если выполнено условие (14) и А — положи-
тельно определенный оператор, то схема (1) из исходного
314
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
(10
семейства схем устойчива по правой части и для решения задачи
(1) при t>0 верна априорная оценка
Ы + т) ||л <|| уй ||л + max ,(|| <р(Г) Ил_, +1<рг (/')||д_,),
Пу(т)11л<||//(0)||л+2||(р(0)||л_1.
(43)
При каких условиях имеет место устойчивость в норме
IIФ 11(2) = НфН? Ответ на этот вопрос дает
Теорема 8. Пусть выполнено условие
В^еЕ + 0,5тД,	(44)
где е — любое положительное число и схема (1) принадлежит
исходному семейству схем. Тогда для задачи (1) верна априор-
ная оценка
IIУ (t + т) ||л < || уп Ид +1/-^- max ||ф(Г)Н-	(45)
Доказательство. Обратимся к тождеству (13). Нера-
венство Коши — Буняковского и е-неравенство дают:
2т (ф, yt) < 2т || ф |||| yt |К 2те || yt II2 +	|| ф ||2.
Подставим эту оценку в (13) и спользуем условие (44):
W<W + £UIF или 11у/+11Рл<11(//1Гл + -^11Ф/1Р.
Суммируя затем по j = 0, 1, ..., пи учитывая, что z/(0) = 0, по-
лучаем
IIУ (t + т) ||^ <	% т П ф (f) If2, t = пт.
г-о
Отсюда и из (15) следует (45).
Теорема 8 доказана.
Замечание. Теоремы 7 и 8 сохраняют силу и в случае
переменного оператора B = B(t), а теорема 4 справедлива для
переменного оператора A=A(f). Это видно из доказательств
указанных теорем.
10.	Устойчивость схемы с весами. Покажем, как надо поль-
зоваться доказанными выше теоремами на примере схемы с ве-
сами:
//< + Д(<г^ + (1 — <т)г/) = Ф, z/(0) = у0.	(46)
В гл. V, § 2, п. 3 схема (46) была приведена к каноническому
виду
(£ + атЛ)//< + Л1/ = Ф, у(О) = уо.	(47)
10)
§ 1. КЛАССЫ устойчивых двухслойных схем
315
Сравнивая (46) с (1), видим, что
В=Е + <ттД.
Пусть существует оператор Д-1. Действуя Д-1 на (47), полу-
чим вторую каноническую форму для схемы с весами:
Bz/Z + Дг/= ср, У(О) = Уо> В = Д~'+ст£, А = Е,' <р = Д~'<р. (48)
Записью в виде (47) будем пользоваться в случае само-
сопряженного оператора А, (48) — в случае несамосопряженного
положительно определенного оператора A = A(t).
Пусть А = А* > 0. Покажем, что В 0,5тД, если
<т><т0,	=	(49)
В самом деле, так как 0 < (Дх, х)<СНД||||х||2 или 0 < Д^||Д||£.
то
В — 0,5тД = £ + (с — 0,5) тД -пДт А + (<т — 0,5) тД =
И л и
=	— °>5) т) Д = т(с-<т0) А >0.
Таким образом, при схема (46) устойчива в НА по
начальным данным. В частности, для явной схемы (при <т = 0)
из условия следует т 4^ 2/||Д ||, т. е. явная схема устойчива
в НА при т 2/ЦДII- В силу теоремы 2 это условие не только
достаточно, но и необходимо для устойчивости с постоянной
Mi = 1, если А — положительно определенный оператор.
Пример 1. Рассмотрим схему с весами для одномерного
уравнения теплопроводности
ди г , д2и п .	.,
dt — Lu, Lu - дх2 , 0<х<1
с краевыми условиями первого рода. В этом случае Ау = —Ау,
Ау = у_х. Оператор Д = Д* > 0 (см. гл. V, § 1, п. 1), его норма
||Д||< 4/Л2. Условие (49) принимает вид
.	1	Л2
С Со, Со - 2	Чт
и совпадает с условием, полученным в гл. II методом разделе-
ния переменных. Явная схема (<т = 0) устойчива при т<С0,5Л2.
Если
Lu = ^(й(х)"1г)>0<й^с2’ АУ = (а (х)	0<а<с2,
то
_ 1 У2
° ° 2	4с2т
и <го<СО при т"С0,5/12/с2.
316
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
[10
Теорема 9. Пусть А = А* — постоянный положительно оп-
ределенный оператор. Тогда для схемы (46) при условии (49)
верна априорная оценка (43). Если А = А* > 0 и
1	1 — ₽
= у - тщ > 0<е<1,	(50)
где е — постоянная, не зависящая от h и т, то для схемы (46)
верна оценка (45).
Первое утверждение следует из теоремы 7 для схемы (47),
так как В>0,5тД при о0, второе утверждение — из теоре-
мы 8, так как неравенство (44) выполняется при а > о6. В са-
мом деле,
В — еЕ — 0,5тД = (1 — е) Е + (о — 0,5) кА
>((1 -е)Д|Д|| + (а-0,5)т)Д = т(а-ае)Д>0.
Теорема 10. Пусть А (/) = A* (t) — положительно определен-
ный оператор и выполнено условие (49). Тогда для схемы (46)
верна оценка
IIУ (t + т)||<|| у01| + М2max Д |(Д"’ф) 1t=| +1(Д"'ф)г |/=t,|]• (51)
Если же выполнено условие (50), то
I *	\'1г
11^ + т)||<||у0|| + -7=- 2 т||ф(ПИ*-1(/) •	(51а)
Доказательство, а) Возьмем схему с весами в форме
(48) и напишем для нее априорную оценку (43), учитывая при
этом, что Д = Е — постоянный оператор:
II	У!+1 ll3 <II Уо Ня + M2q max _ р| Ц^., +1|ф'' (|~_ Д
Подставляя сюда ф = Д~’ф, Д = Д-1 = Е, получаем (51).
б) Получим неравенство (51а). По аналогии с (13) напи-
шем для (48) энергетическое тождество (учитывая, что Д = Е)
2т((Д-1+ (о — 0,5)тЕ)^> У/)+ ||у||2 = |Ы12 + 2т(Д~'ф, уД (52)
Обобщенное неравенство Коши — Буняковского и е-неравенство
дают:
2т (Д-'ф, yt) < 2т || ф ||	|| yt ||	< 2те || yt |Р _, + IIФ ||* . (53)
А	А	А	А
Из условия (50) следует, что
В-0,5тД>еД-1.	(54)
10]
§ 1. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ
317
В самом деле,
В — 0,5т Л = А~! + (а — 0,5) хЕ — еА~’ + (1 — е) А"1 +(а — 0,5) хЕ
еЕ +  ц А Е + (а — 0,5) хЕ = еА~1 + (а — ае) хЕ еА~1
при а > ав. При этом мы учли оценку
л-1 •>_J— Р
Л ^11АII
(она следует из неравенства ||Лх||2||Л|| (Ах, х) (см. гл. I, § 3),
если положить Ах = у, х = А~1у).
Если учесть (54), то из (52) получим
2те||^ ||2_1 +1| у ||2 <|| у + 2т (Л-1ф, г/Д
Подставляя сюда (53), будем иметь
1ШР<1ЫН 2гИ1Р4_.
или II z//+1 IP <11 У) IP + II ф/ ||2_J. Суммирование по / = 0, 1.п
приводит к оценке (51) с t = nx.
Рассмотрим теперь случай, когда Л = Л (/)—положительно
определенный несамосопряженный оператор.
Покажем, что для схемы (48)
В|>0,5тЛ при а 2>0,5,
В>0,5тЛ при сг>а0, =	(55)
если выполнено условие
|| Ах |р < А (Ах, х), где А = const >0.	(56)
Заметим, что для самосопряженного оператора А
А = || Л ||.
Итак, пусть а ^>0,5. Тогда
В - 0,5тЛ = А"1 + (а - 0,5) хЕ > Л > 0.
Для доказательства неравенства (55) потребуется
Лемма 8. Пусть А — положительно определенный опера-
тор, для которого выполнено (56). Тогда
А~'^-^Е и А^АЕ.
Доказательство. 1) Положим Ах = у. Тогда (56) дает
\\у\\^\(А^у,у), т. е. Л’>4£-
318	гл, VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ разностных СХЕМ	[10
2) Из неравенств (Ах, х)^. ||Дх||||х|| и (56) следует, что
(Ах, х)< /Д(Дх, х)|| х||, (Дх, х)< А|| хЦ2, т. е. Д<ДЕ.
Лемма 9. Пусть А — положительно определенный оператор
и выполнено (56). Тогда
||(Е + атД)-1(Е-(1 -о)тД)||< 1 при о>о0, до = 4~4р (57>
||(£' + атД)_1Ц^ 1 при о^О,	(58)
||(Е + отД)-1 ||<у при а>ов = 4~-^- > 0<е<1. (59)
Доказательство. 1) Так как В > 0,5тД при о д0, то,
применяя к схеме (48) теорему 1, получим, что для решения
задачи (48) при любых уп<^ И и ср = 0 справедлива оценка
lll/n+Ill<IIO	(60)
Заметим теперь, что схему (48) при ср = 0 можно записать
в виде
yn+l = Syn, S = Е — тВ~'А — (Е + отД)-1 (Е — (1 — о) тД).
Отсюда и из (60) получаем оценку (57).
2) Для оценки IIВ-1 II, где В = Е + отД, достаточно получить
неравенство вида В> 6Е, б > 0. Тогда
б||х|р<(Вх, х)<||Вх||||х||, || Вх||>б|| х||,
и, следовательно, ЦВ-Ч1-С 1/6. Если о>0, то В> Е и ||Д-Ч|-< 1.
Если сг«> ое, то
В > Е + <тетД = Е + 0,5тД - Д.
Так как, согласно лемме 8, Д^СДЕ, то
В Е + 0,5тД — (1 — е) Е еЕ + 0,5тД > еЕ,
и, следовательно, ЦВ-Ч1 1/е. Отметим, что оценка (58) верна
для любого несамосопряженного оператора Д > 0.
Лемма доказана.
Из (60) и леммы 9 следует
Теорема И. Пусть A=A(t) — положительно определен-
ный оператор и выполнено условие (56). Тогда для схемы (46)
при а^ое верна априорная оценка
t
11^ + т) ||<|| //(0)11 + 4 S Т11 ф(*')11.	(61)
г=0
10]
§ 1. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ
319
Если одновременно выполнены два условия
<г > 0, а > о0, о,, = у ~	>
то оценка (61) выполняется при е = 1.
Для доказательства запишем схему (46) в виде
Уп+i = Syn + xB~l(pn,
где S — (Е + атЛ)-1 (Е— (1 — а)тЛ), В = Е + отА.
Используя неравенство треугольника и оценки (57)—(59),
получаем
Н*/п+1 II <11 Уп 11 +7 И ни-
откуда и следует (61).
Замечание. Мы всюду предполагали, что оператор А по-
ложительно определен или, по меньшей мере, положителен. Од-
нако можно получить некоторые априорные оценки для схемы
(1) при условии, что А — полуограниченный оператор:
А^ — с„Е, с, = const >0.
Введем оператор
А' — А + с*Е, с" = const > ct.
Он положительно определен:
А'^бЕ, 6 = с* —с. >0.
Перепишем схему (1) в виде
Byt + А' у = ср + с" у = Ф, у (0) = z/0.
Пусть выполнены условия теоремы 8, так что
В ^еЕ + 0,5тЛ'.
Тогда верна априорная оценка
п
1Ц/П+1 11’^ <11//о 11^ +i 2 т||Ф„НР,
п'=0
где Ф = с*у + ф и
II ФII2 < 2 (с*)21| у II2 + 21| ф II2 <	1| у ||2Л, + 21| ф |р.
Подставляя это неравенство в предыдущую оценку, получим
п,	п
|1 Уп + \	2 ТII Уп' |РЛ, + j 2 т II ф„< II2 + II уо |РЛ,
п'=0
320
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
(П
ИЛИ
п
- V , f (с*)2
gn + l < Со 2j tgn' + fn, Cq =	,
fn>0,
gn>Q-
n'~ 0
Так как fn монотонно неубывающая функция, то в силу, лем-
мы 5 имеем £га+1 ^ec°<nfn или
u„+1 ia,<ec°4z/oll> + ti ТИ
п'“0
Со = (с*)2/(еб), 6 = с* - с, > 0.
Постоянную с* выберем так, чтобы постоянная со была ми-
нимальна. Из условия минимума функции fix) = х2/(х— с*) сле-
дует, что х = 2с*; при этом = min f(x) = 4с* и с0 = 4с*/е.
Тем самым доказана устойчивость схемы (1) в случае
—с*Е. При этом важно отметить, что 1) достаточное условие
устойчивости имеет вид В еЕ + 0,5т А', 2) схема устойчива при
любых т.
Рассмотрим, например, схему с весами. Тогда В = Е + атА' и
условие В еЕ + 0,5тА' выполнено при
11Л'1КМ11+г.
11. Априорные оценки в случае переменного оператора А.
До сих пор мы предполагали при изучении устойчивости в НА,
что оператор А постоянный, т. е. не зависит от t. Если 4(0 =
= А*(/) >0 зависит от t, то будем требовать, чтобы выполня-
лось следующее условие липшиц-непрерывности A (t) по I:
| ((А (/) — A (t — т)) х, х) | тс3 (A (t — т) х, х),	(62)
для всех х е Н, 0 < / < Пот, где сз — положительная постоянная,
не зависящая от h и т.
Исходное семейство схем определим требованиями
A (t) = A* (t) > 0 для всех t е йт,
А(/) липшиц-непрерывен по t,
B(t)>0 для всех t е йт.
(63)
Как и ранее, предполагаем существование оператора В-1(0,
что означает разрешимость задачи (1) при любых входных дан-
ных уо и <р(/).
Это семейство, очевидно, содержит исходное семейство, вве-
денное в п. 2.
lil '	§ 1. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ	321
Исследования, проведенные методом энергетических нера-
венств, показывают, что условия
В (/) 0,5тД (/) для всех t е cot,	(64)
В (t) е£ + 0,5тД (/) для всех t е сох, 0 < е 1, (65)
оказываются достаточными для устойчивости схемы (1) с пере-
менными операторами A(t), B(t). При этом сами нормы
II • 11л> II • II оказываются зависящими от Л
II у На = II у На (/) = /И (О У, у}, II Ф нл_, (<) = /(Д-‘(0ф,ф).
Поэтому надо говорить об устойчивости в Нащ (вместо НА)
и Нв(Г).
Исходным для исследования является энергетическое тож-
дество (13), где Д = Д(/). Чтобы получить рекуррентное нера-
венство, преобразуем выражение
(Ау, у) = (Д (/) у (/), У (0) = (Д (< - т) у (О, у(0) +
+ ((Д(/)-Д(/-т))у(/), у(/))
и оценим второе слагаемое в правой части при помощи (62):
(A (t) у (/), у (t)) < (1 + тс3) (Д (/ - т) у (t), у (I)).
Подставив эту оценку в (13), получим энергетическое нера-
2т ((В (I) - 0,5тД (0) yt, yt) + S (/ + т) < (1 + тс3) S (/) + 2т (<р (/), у&
(66)
где
аГ(^ + т) = (Д(0у(/ + т), у (I + т)) = || у (t + т) (<).
Если выполнено условие (64), то из (66) при <р = 0 следует:
S (t + т)< (1 + тс3) & (/)<	(т) при />т.	(67)
Энергетическое тождество при t = 0 записывается в виде
2т ((В (0) - 0,5тД (0)) yt, yt) + S (т) = || у (0) ||* (0) + 2т (<р (0), yt (0)).
Отсюда при условии (64) и <р = 0 получим
#(т)<1|У(0)11*(0).	(68)
В результате (67) и (68) дают для задачи (1) при <р — 0:
II у (t + Т) ||л (/) < М, || у (0) ||л (0), М! =
Проведенные выше рассуждения показывают по-существу
единственное принципиальное отличие случая переменных опе-
раторов от случая постоянных операторов.
322
ГЛ. VI, ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
(12
Суммируем результаты в виде двух теорем — аналогов тео-
рем 7 и 8.
Теорема 12. Пусть выполнены условия (63), (64) и А —
положительно определенный оператор. Тогда для решения за-
дачи (1) верна оценка
1|г/(^ + т)||Л(О^М1||г/(0)||Л(0) +
+ М2 max Л|фО1 j +|<pf(/')|| V (69)
где М\ > 0 и М2 > 0 зависят только от с3 и /0-
Теорема 13. Пусть выполнены условия (63) и (65). Тогда
для схемы (1) верна априорная оценка
IIУ (t + т) ||л (() < М, (|| у (0) ||л (0) + 4- Q max J| <p (f) ||), (70)
где M । = е°-5СзЧ
Сравнивая (69) и (70) с (43) и (45), видим, что оценки (43)
и (45) для случая постоянного А получаются из (69) и (70) пои
Mi = 1.
Если вместо (64) ставится условие
В (1 — с4т) А илий	 А,
—2 '	4 ’	1 + с4Т
где с4 = const > 0 не зависит от т и й, то оценки (69) и (70) со-
храняют силу при достаточно малом т<Ст0(с4) (т0 < 1/(2с4)),
а постоянные ЛД и М2 зависят только от с3, с4 и /о- На доказа-
тельстве этого факта останавливаться не будем.
12. Пример. Для того, чтобы пользоваться изложенной выше
общей теорией устойчивости для конкретных разностных схем,
необходимо:
1) привести двухслойную схему к каноническому виду (1),
т. е. выделить операторы А и В; 2) ввести пространство сеточ-
ных функций Hh и исследовать свойства А и В (положитель-
ность, самосопряженность и др.) как операторов, заданных
на Hh-, 3) проверить принадлежность схемы к исходному семей-
ству схем, а также проверить выполнение достаточных условий
устойчивости (64) или (65); 4) если эти условия выполнены, то
данная схема устойчива и для нее справедливы априорные
оценки, например, (69) и (70).
Первый шаг состоит в приведении схемы к каноническому
виду. Заметим, что полученные выше достаточные условия от-
крывают возможность написания устойчивых разностных схем
сразу в каноническом виде.
В качестве упражнений на приведение схем к каноническому
виду можно рекомендовать различные схемы (например, для
12]
§ 1. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ
323
уравнения теплопроводности), которые имеются в книгах
В. К. Саульева [1] и В. Вазова, Д. Форсайта [1].
Рассмотрим здесь лишь один пример для уравнения тепло-
проводности
^L = ^Li 0<х<1, />0, и(х, О) = «о(лг), «(О, 0 = «(1, 0 = 0.
В книге В. К. Саульева [1] предложена асимметричная схема,
заданная на сетке
ййт = йЛХйт, H>h = {xi = ih, 0	©т = {^ = /х, 0</<j0}.
Она записана в виде
У1,1+1 = ДТУ Hi-ь Ж + 0 -°) У1-ъ I + *Л+ь /-(2~®-а)уг> /)> (71)
где w — h2/x, а а-—параметр.
1)	Приведем схему к каноническому виду. Обозначая
Vi.i = Уг, У» Ж — Уъ перепишем (71) сначала в виде
(со + а)уг = а^_! +(1 — а) уг_] + уг+1 — (2 — со — а) уг. (72)
Учитывая затем, что
= - hyx i + у{, ум = hyx t + yt, hyx. t - hy-t . = h2y,x t,
= yt-\ + z-i = yt - hy-x, i + i - hxyxt, >•
подставляя эти выражения в (72) и опуская индекс i, будем
иметь
соху, = h2y-x - ahxy^t.	(73)
После деления (73) на h2, получаем
yi + jhxt = yxx-	(74)
2)	Пусть Hh — пространство сеточных функций (примеры 1
и 2, гл. V, § 1, п. 1), заданных на сой = {хг = ih, 0 < i < N} со
м-i
скалярным произведением (у, v)= 2 Ур (h. Операторы схемы Ау =
1 = 1
= — УХх И Я1У = -^У.Е, согласно ГЛ. V, § 1, п. 1, являются поло-
жительно определенными операторами, причем (Riy, у) —
= 0,5(Ду,у). Оператор А самосопряжен, ||4||^4//i2.
3)	Операторы А и 7?i постоянны. Схему (74) удобно запи-
сать в виде
(Д + axRi) yt + Ay = 0,	(75)
так что В = Е +. axRi,
11*
324
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
[1
Условие В >0,5тД выполнено при а> 1 — 2/(т||Д||). Дей-
ствительно, для любого х е /7
((В — 0,5т Д) х, х) = ((В + ат7?1 — 0,5тД) х, х) =
= ((В + 0,5т (а — 1) Д) х, х),
т. е.
В — 0,5тД В + 0,5т (а — 1) Д (тэт + 0.5т (а — 1Й Д 0.
\ II II	/
4)	Так как ||Д[|< 4/Л2, то схема (71) устойчива в НА (в се-
точной норме U4) при
(76)
Наряду со схемой (71) В. К. Саульев [1] предложил другую
асимметричную схему, которая после приведения ее к канони-
ческой форме запишется так:
(В + атТ?2) yt + Ау = 0, где R2y = - у ух.
Так как (Riy, у) = (R^y, у), то эта схема устойчива при том
же условии (76). Из (76) видно, что асимметричные схемы без-
условно устойчивы при aj>l.
§ 2. Классы устойчивых трехслойных схем
1.	Постановка задачи. В этом параграфе будут получены
достаточные условия устойчивости и априорные оценки для
трехслойных схем. Мы пользуемся канонической формой трех-
слойной схемы
By° + x2Rylt+ Ay = <f>(t), у(О) = уо, у(т) = ур
(1)
0 < t = fix < t0, п = 1, 2, ..., п0 — 1, t0 = пох.
Здесь у0 и у\ — произвольные заданные векторы из Н,
<р(7) — заданная произвольная абстрактная функция t е сот со
значениями в И; Д, В и 7? — линейные операторы на Н. Зависи-
мость y(t) = yhx(t), <р(7) = флт(7), Д(0 = Длт(0. В> Уо и У1
от h и х явно не указываем. Напомним обозначения
У = у(*п)='Уп, 0 = У (tn + т:) = Уп+i, У = У^п-^ = Уп-ъ
yt = (Q~ У)/*> yf = (y- У° = (д- у)/(2х),
У it = (д-2у + У)/т:2’
1]
§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ
325
По аналогии с § 1 решение задачи (1) можно представить
в виде суммы у = у + у, где у — решение однородного урав-
нения
Ву° + r2Rylt + Ay = 0, O<t = nx<to, у(О) = уо, z/(t) = z/p (1а)
а у — решение неоднородного уравнения с однородными на-
чальными данными
В у ° + x2Rylt + Ау = <р (/), 0<t = nx<tQ, у (0) = у (т) = 0. (16)
Перепишем (1) в виде
(В + 2т/?) уп+1 = Ф„, Ф,г = 2 (2/? - А) хуп + (В - 2т/?) уп_х + 2тф„ (2)
(А, Ви/?, вообще говоря, переменные, т. е. зависят от tn)-
Отсюда видно, что задача (1) разрешима, если существует опе-
ратор (В + 2т/?)-1. В дальнейшем будем всюду считать, что это
условие выполнено. Более того, будем предполагать, что
оператор В + 2т/? положительно определен. (3)
При изучении устойчивости трехслойной схемы будем поль-
зоваться функционалом (составной нормой) вида
II Yn+i IP = || Уп + Уп+Х II*,, + II Уп+1 - уп И*,.,	(4)
где || • ||(11) и || • ||(1!) — некоторые нормы на линейной системе Н,
Под Уп+1 понимается упорядоченная пара векторов уп и
Уп+\> Уп + 1 = {Уп, Уп + lit ТаК ЧТО У„+1 + Уп + 1 = {//п + Уп, Уп+\ + У п+1},
если Уп+1 = {yn,yn+i}, аУп+i = {ауп, ауп+1}, а —число.
Нетрудно видеть, что функционал (4) удовлетворяет всем
аксиомам нормы, а именно:
ЦаУ„+11| = | a HI Yn+l ||,
||Уп+111>0 для любых уп(=Н, уп+1е=Н, и ||Кга+111 = 0
только при уп = уп+1 = 0; || У„+1 + У„+11| < || Yn+l || +1| У„+11|.
Определим теперь понятие устойчивости для (1).
Трехслойная схема (1) называется устойчивой, если суще-
ствует норма (4) и при всех достаточно малых т^То и |/i|<C/i0
можно указать такие положительные постоянные Mt и М2, не
зависящие от х, h и выбора у0, у\, <р (£), что при любых у0, у\,
<р(/) и всех t = х, 2т, ..., (По—1)т Для решения задачи (1)
справедлива оценка
П (/ + т) IL, < Afj || Y (т) IL + М2 max || <р (Г) || 2),	(5)
или оценка
П(/ + т)||(1)</И1||У(т)||(1.) + М2 max (||ф (/') ||(2) + || Фг(HL). (6)
0<Г' •
326
ГЛ, VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
[2
где || • 11(2) — некоторая норма на линейной системе Н,\\ Y (t + т)!^
и || Y (т) ||(10) определяются по формуле вида (4), так что
II У (/ + т) ||q, = || у (t + т) + у (t) И’,, +1| у (t + т) - у (0 ||(2lj)(	(7)
II У (т) if,., = II У\ + z/o H^o-j + II У\ - Уо	(8)
|| • II • 11^ - некоторые нормы на Н.
Если А и R— постоянные операторы, то IIУЦ(1) и ||У||д«)
обычно совпадают.
В общем случае ||У(/ + т) Иц, и ||<р(/) ||(2) зависят от t — пт, так
что надо писать ||У (/+ т) Ир, t) вместо IIУ (Z -Ь т) ||0) и ||<р (/) 11(2, о
вместо ||qp (011(2)-
Как будет показано ниже, нормы || • ||(11) и || • ||( являются
энергетическими нормами, построенными на операторах А и R.
Поэтому будем предполагать, что операторы А и R являются
(если Н—гильбертово пространство)
самосопряженными А = A*, R = R*,	(9)
положительными А > 0, R > 0.	(10)
2.	Основное энергетическое тождество. Перейдем к выводу
энергетического тождества для трехслойной схемы (1), спра-
ведливого для переменных операторов A=A(t), В = B(f),
R = R(t) и используемого при получении априорных оценок, вы-
ражающих устойчивость схемы по начальным данным и по
правой части.
Учитывая, что
У = j + у) - ^-(у - 2у + у) = ^-(.у + у) - yJt,
перепишем (1) в виде
Ву° + т2(/? - ^А)Уп + ^ A(y + y) = q>, у(0) = у0, у(х) = у{,	(11)
где А = A (tn) = Ап, В = B(tn) = Вп, R = R (tn) = Rn-
Умножим (11) скалярно на 2tz/, = т(tjt + у^ = # — у:
2т (Ву°, у^ + т2 ((fl - у Д) (yf - yf), yt + yf) +4 U (д + y), Q-y} =
= 2т(<р, z/»). (12)
Пусть А и R — самосопряженные операторы. Тогда
/?-0,5Л = (/?-0,5Л)\
3]	§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ	32?
В силу леммы 1 из § 1 имеем
((/?	У( + Уг) =
= ((/? ~ТА)у/’ ^)~((^	&i)> <13)
(Д (у + у), у - у) = (Ау, у) - (Ау, #).	(14)
Прибавим и вычтем (Ау, у) справа в (14):
(А($ + у), у — у) = \(Ау, у) + (Ау, у]\-\(Ау, у) + (Ау, у)]. (15)
Лемма 1. Пусть А = А* самосопряженный оператор.
Тогда
(Av, v) + (Az, z) = y(4(v + z), v + z) + y(4(v-z), v-z), (16)
для любых векторов v и z из H.
Доказательство. Так как А = А*, то (Av, z) = (v, Az) =
= (Az, v) и
(A (v + z), v + z) + (A (v — z), v — z) = [(Av, v) + 2 (Av, z) + (Az, z)] +
+ [(Да, v) — 2(Av, z) + (Az, г)] = 2[(Да, v) + (Az, z)J,
что и требовалось доказать.
Полагая в (16) v = у, г —у, преобразуем (15):
(Л (# + #). О ~ У) = 0.5 [(Д (у + у), у + у) + (А(у-у), у — у)]—
-0,5[(Л (у + у), У + у) + (А(у — у), у-у}]. (17)
Подставим теперь (17) и (13) в (12) и учтем, что
(Д(^-у), у-у) = т2(Д^, yt,), yi = (y~y)/x = yt,
(А(у-$), y-y) = x2(^Ayl, y{).
Тогда получим основное энергетическое тождество для трех-
слойной схемы (1):
2т (Вуо, у°) + [1 (А (у + у), у + у) + т2 ((/? -1Д) yt, =
= [4-(Л(*/+*/)> + +	--4Л)^’ ^)] + 2т((₽> ^)- (18)
При его выводе мы использовали лишь предположение (9)
о самосопряженности А и R.
3.	Устойчивость по начальным данным. Напомним опреде-
ление устойчивости по начальным данным и по правой части.
Схема (1) устойчива по начальным данным, если для за-
дачи (1а) справедлива априорная оценка
|| У (t + т) ||(1) < Л4, || У (т) ||(10).	(19)
328
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
(3
Схема (1) устойчива по правой части, если для задачи (16)
имеет место оценка
IIГ (t + т) ||(1) < М2 Q max || <р (Г) ||(2)	(20)
или оценка
II У (t + т) ||(1)< М2 *тах, (II <р (/') ||(2) +1| ф; (/') |Ц.	(21)
Пользуясь неравенством треугольника, из (19) и (20) или
(21) получаем оценку (5) или (6).
Основное изложение проведем, предполагая, что
А и ^ — постоянные операторы.	(22)
Рассмотрим задачу (1а). Для нее тождество (18) примет
вид
2т (By,,	+ || Y (/ + x)|f = || Y «, / = пт, (23)
где
|| У (t + т) If = (Д (у (t + т) + у (t)), у (t + т) + у (/)) +
+ т2((т?-|д)^, у^,	(24)
|| У (/) II2 = | (А (у (t) + у (t - т)), y(t) + y(t-x)) +
+ т2 ((я ~ д) Ур yt) • (25)
Из (24) видно, что || У (/ + т) ||2 > 0 при любых у(/)=#0,
У(* + т) -+0, если А и 7? — Д/4 положительны, А > 0, R > А/4.
Теорема 1. Пусть А = А* > 0, R = R* > 0 постоянные
операторы. Тогда условия
В = В (/)	0 для всех t е	(26)
(27)
достаточны для устойчивости схемы (1) по начальным данным.
При выполнении условий (26) и (27) для задачи (1а) имеет
место оценка
II У а + т)||<||У (т)||,	(28)
где ||У|| определяется согласно (24).
Действительно, при В > 0 из (23) следует
IIУ (t + r)|f<|| У (01Р, ||У(/ + т)||<||У(/)||< ... <|| У (т)||.
Замечания. 1) Если Д^-0, 7?>Д/4, то ||У||.^0, т. е.
ЛУЦ — полунорма. Оценка (28) выполняется и в этом случае.
4]
§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ
329
2) Если условия теоремы выполнены при любых т и h, то схе-
ма (1а) абсолютно устойчива.
4. Устойчивость по правой части. Рассмотрим теперь зада-
чу (16). Будем предполагать, что выполнены условия (10)
и (27). Так как А и R постоянные операторы, то тождество (18)
для (16) имеет вид
 2т (By., у.} + || Y (t + т) ||2 = || Y (/) |р + 2т (<р, у,}	(29)
При выводе априорных оценок вида (20) или (21) основную
роль играет оценка функционала 2т(ср, у.).
Заметим, прежде всего, что имеет место очевидное неравен-
ство
2т (<р, у°) те., [| у. ||2 + -^- || ф |р,	(30)
где ео = const > 0 не зависит от т и h.
Лемма 2. Пусть А = А* — положительно определенный
оператор и R* = 7? > А/4. Тогда 
I (ф, 0 + у) 1 = 1 (ф(0, y(t + T) + y(t)) К
< 2е, II Y (/ + т) II2 + -^-11 ф (/) 11^, (31)
где Bi > 0 — любое число.
Применим лемму 1 из гл. V, § 1
| (ф (/), у (t + т) + у (/)) |	|| ф (0 ||л- 11| у (t + т) + у (I) ||л <
+ т) + y(t) II* + 2^11 ф
Воспользуемся неравенством
IIУ (t + т) |р > (Д (у (t + т) + у (t)), у (t + т) + у (t)) =
= 4||^ + т> + ^||л ПРИ /?>4‘4’
т. е.
|| у (t + т) + у (t) |РЛ < 4II Y (t + т) II2,	(32)
где ||У(/ + т) ||2 дается формулой (24). Отсюда получаем (31).
Лемма 3. Если А = А’ положительно определенный опера-
тор и R* — R/S? А/4, то
£т(ф>^<т(ф> ^ + ^)г + еот||У(О1Р + -^-||фг||*_1,	е0>0.	(33)
330	гл. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ	[4
Воспользуемся тождествами
2ту° = т(у + у\,
2т (ф, */°) = т(ф, (# + у)г) = т(ф, у + г/)г-т(фг> у + у).
(34)
Согласно лемме 1 из гл. V, § 1 имеем
т| (фр У + у)| <т(|Фг||л_,II у + у 11л < II у + у Ил +	1|ФгII*-,.
Учитывая затем (32), получим
*/ + £)!< vii у win-^||фХ-и	(35)
После подстановки (35) в (34) приходим к (33).
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме
того, А — положительно определенный оператор. Тогда схема
(1) устойчива по правой части и для нее при t > х верна оценка
Il Y (t + г) || < || У (т) || + М2 max Д || Ф (Л) ||л-, +1| (Г) ||л_(36)
где М2 = const > 0 зависит только от tQ.
Доказательство. Рассмотрим задачу (16). Подставим
оценку (33) в (29) и учтем, что В^ О:
II У (/ + т) II2 < (1 + еот) IIУ (/) IP + г (ф, у + у\+|| ||*
Суммируем это неравенство по t = /т, j = 2, 3, .... п. Так как
г/(0) = у(х) = 0, то
|| У (/ + г) ||2 <|| У (2т) ||2 + е0 т || У (/') Ц2 +
Г=2Т
+ 7Г 2 т II Фг	111-г + (Ф	У « + т) + У W~ (Ф У (2*) )> <37)
t'=2%
а при t = r тождество (29) дает
II Y (2т) ||2 < 2т (ф (т), у« (т)) = (ф (т), у (2т)),
так как у (0) = у (т) = 0.
Сложим это неравенство с (37):
||У(* + т)||2<е0 т||У (/') II2 + (Ф (0> y(t + Y) + y(t)) +
Г=2Т
4J
§ 2, КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ
331
Лемма 2 при е1 = !/4 дает
||У(/ + т)|р<2е0 j] тП(Г)112 + Ф(/),	(38)
/'=2Т
t
Ф(0 = 4||ф(/)Ил- + { Цт||ФЛИС-Р
Z'=2T
Для решения неравенства (38) применим лемму 5 из § 1, вы-
берем Eq и учтем, что ф = ф — тфг, ||ф(т) II < ||ф (2т) || + тЦф, (2т) ||.
В результате получим для решения задачи (16) априорную
оценку
||К(/ + т)1КМ2ттахД||ф(Г)||л-1 + |фг(И|л->)-	(39)
Из (39) и (28) следует (36).
Теорема 3. Пусть А = А* О, R = R* 0 — постоянные
неотрицательные операторы, а В = В (/)—переменный несамо-
сопряженный положительно определенный оператор
В^еЕ, е = const > 0,	(40)
где е не зависит от h и т, и выполнено условие
R>^A.	(41)
Тогда для решения задачи (16) справедлива
оценка
Н//(/ + t)IK2tL
t	-i’/2
2 т11фО2 .
f' = г
априорная
(42)
Рассмотрим тождество (29). Из (40) и (30) при е0 = е следует
те	+ Il Y (t + т) If2 < || Y (t) IP + 7IIФ (/) IP.
Суммируя no t = x, 2т, ..., пт, получаем (так как ||У(т)|| = 0)
i	t
е 2 Th(f)f + 11У а + х) IP <1 2 т|| ф(И IP, (43)
i'- t	t'= т
ИЛИ
2тр?(/')^<-^^т||ф(О|р,	(44)
i'- т	Г- t
так как || Y (t 4- т) IP > 0.
332
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
И
Лемма 4. Если у (0) = у (т) = 0, то
IIУ (0 IP + || у (t + т) IP < 4/ Д т I z/о (/') |р.	(45)
t
В самом деле у (t + т) 4- у (/) = 2 2 тг/о (tr),
t' = x t
||//(/ + т) + г/(/)|Р<4/Дт||1/о||2.	(46)
Далее, обозначив wn — уп — yn-i, получим
шп+1 = 2ту° п - wn, ffi»j=0,
откуда следует неравенство
1К'+111<2тИ. J+IK4 n' = 1- 2> •••>п-
Суммируя его по п от 1 до п + 1, получаем
II wn+i IK 2 s ТII I/O , IL
tt'==l II t, n II
ИЛИ
II у (t + т) - у (/) || <2	тIУI (/') ||,
II У (t + т) - у (t) |p < 4t 2 т|| г/; (Г) |P.	(47)
i'=T II i II
Воспользуемся очевидным тождеством
||I/(/ + t) + i/(/)IP + ||i/(/ + t)-i/(/)|P = 2(||i/(/) IP +1| у (/ + т) IP).
Отсюда и из (46), (47) следует (45).
Подставляя в (44) оценку (45), получаем (42).
Теорема 4. Пусть А = А* > 0, R = R* > 0 — постоянные
операторы. Тогда при условиях В^еЕ, R^> 4/4, е = const > 0,
для решения задачи (1) верна априорная оценка
|| Y (t + т)|КН Т(т)|| + -4=-
V 28
t
’S Т Пф (Г) IP
t' = т
(48)
Достаточно оценить лишь решение задачи (16), так как гео-
рема 1 при е.Е сохраняет силу. Положим в (30) во = 2е.
Тогда из (29) следует
IIУ (/ + т)|р си У (01Р + ^11ф(01Р.
51
§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ
333
Остается просуммировать это неравенство по переменному
t = т, 2т, ..., пт, учесть при этом, что || Y (т) || = 0, и затем вос-
пользоваться теоремой 1.
5. Схемы с переменными операторами. Если Ли/? зависят
от t, то вводится дополнительное требование липшиц-непрерыв-
ности А и R по t:
| ((Л (/) — A (t — т)) х, х) | sgC тс3(Л (/ — т) х, х)	(49)
при	всех	хе И и t = 2т, ..., (и0—1)т, где с3 = const > 0	не
зависит от /г и т, и аналогичное условие для /?. В этом случае
составная	норма ||У(/ + т) || = || Y (t + т) ||(<) зависит от	t:
II-	+ т) |f0 = 4 (Л (0 (у (t + Т) + у (/) ), у (/ + т) + у (0) +
+ ^((7? (0-4 л (0)&(0> &(0), (50)
П {t)\^t_x) = \(A(t-x)(y(t) + y(t-x)), y(t) + y(t-x)) +
+т2((/?а-т)-4л(/-т))уг(о, удо). (51)
Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках
в правой части тождества (18). Замечая, что
(А (у + у), у + у) — (А(у +у), у + у) + т(Л?(у + у), у + у),
((fl - 4 Л) у?) = (-4 Л) yt' yt} + т ((Я ~ 4 Л\yv yt) ’
Л = Л(/-т), Л? = (Л-Л)/т,
и вводя обозначения
7 = 7(/ + т) = Па+т<), J = J(t) =||Г(ОН(/_Т),	(52)
перепишем тождество (18) в следующем виде
2т (Ву°, у^ + I = I + 2т (<р, у») + xF,	(53)
е=4(л^+я у+у')+х<2^~4 A)tyi' у!)-	(54)
Если /? — Л/4 и Л удовлетворяют условию (49), то
I F К (л (^ + у'}’ У + У) + Х2с3 (- 4 л) у{, yf) = c3J,
и из тождества (53) при /?> Л/4 следует неравенство
2т (Ву° у^ -у 7 < (1 + тс3) J 4- 2т (ф, у^.
(55)
334
Гл. V1. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
(5
В общем случае, когда условию (49) удовлетворяет каждый
из операторов R(t) и А (/) в отдельности, имеем
I т Шу + #)> У + У) + [(ЯуР +	У?)]<
(56)
1 ~f~ €
при R"^ ——А, где в = const > 0 не зависит от Л и г, так как
J>^T ПРИ R “4^ А-
Тождество (53) дает
2т (Вг/о, у») + / (/ + т)< (1 + -(? + е) Сз- т) J (/) + 2т (Ф, у»), (57)
После того, как написано энергетическое неравенство (57),
вывод априорных оценок проходит так же, как и для постоян-
ных Ли/?. Так, например, при В>0 из (57) для задачи (1а)
следует оценка
|| Y (/ + т) ||(/) < /И, || Y (т) ||(х), если /?>1±^-Л,	(58)
где Л11 зависит только от е, Сз и /0-
Формулируем основные результаты в виде одной теоремы.
Теорема 5. Пусть А (/) = А* (/)	б£, 6 > 0, /?(/) = /?*(/)>
>0 — переменные операторы, липшиц-непрерывные по t, и
R (/)	14 - A (t) для всех 0 < / = пт < /0,	(59)
где е = const > 0 не зависит от т и h. Тогда для схемы (1)
имеют место оценки
Па + т)|1(/)<Л41||У(т)||(г) +
+ М> ^maxД||ф(Г)||л-((И + ||фг(£)||л_1(Г)] (60)
при	0</ = nr<t0,
II Y (/ + т) |Ь < М1 || Y (т) ||(х) + max || ф (/') ||	(61)
при	где ё — const > 0 не зависит от т, h.
Во избежание ненужных повторений, доказательство теоремы
опускаем.
Замечание. Некоторые требования теоремы 5 могут быть
ослаблены. Так, устойчивость по начальным данным имеет ме-
сто при условии Л*(/) = Л(/)>0 (вместо Л* (/) = Л (/)>б£,
б>0). Для выполнения оценки (61) также достаточно потре-
6]
§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ
335
бовать положительности оператора А. Условие В^-0 можно за-
менить условием
£>-с4т2Л,	(62)
где Ci = const > 0 не зависит от т и h. Если выполнено (62),
то оценка (60) имеет место при т^то, то = 1/(4с4).
6.	Схема с весами. Весьма часто встречаются на практике
схемы с весами
У° + Ау(а" = ф(/), т</ = ит</0, у(О) = уо, //(т) = У1, (63)
где у<аь °1'> = а, у + (1 — Ст] — <т2) у + <т2у;	<?2— вещественные чис-
ла, от выбора которых зависит устойчивость и точность
схемы.
В гл. V, § 2 схема (63) была приведена к каноническому
виду (1) и были найдены операторы
В = Е + т (<Tj - <т2) A, R=°l У?-- А.	(64)
Пусть существует оператор А~1. Действуя на (1) с операто-
рами (64) оператором А~1, получим
Ву° + ^Rylt + Ау = ф, т</ = пт</0, у(О) = уо, у(т) = ур (65)
где
В = Л-1+(<Т1-<т2)т£, R = -^±2iE, Л = £, ф = Л"’ф.
Отсюда видно, что А и R самосопряженные постоянные опера-
торы.
Применим к (65) теоремы 1 и 2. Справедливы операторные
неравенства
£-^Л=(^Ц^-|)£>0 при <Т] + <т2>0,5,	(66)
В = А~' + (<Т] — <т2)т£ ^0 при <Т]	<т2 и любом Л(/)>0. (67)
Теорема 6. Если А(/) — переменный положительно опре-
деленный оператор и выполнены условия
<Т]^<т2, <rt + <т2>0,5,	(68)
то схема (63) устойчива и для нее верна оценка
П(/ + т) 1КП(т)||+/2(а1 + а2) 2т||ф(£)||,	(69)
где
|| Y (t + т) II2 = д-11 У U + г) + y{t) iP + y^i + a2-4')ll*/(* + T)-*/(/)ll2.
(70)
336
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
16
Доказательство. 1) Устойчивость по начальным дан-
ным. Так как условия R > Л/4, В^О теоремы 1 выполнены, то
для решения задачи (65) при <р = 0 имеем
II Y (I + т)II<IIY (f)II, t'<t,
и, в частности,
II У (/4-т)|К||У (т)||,	(71)
где ||У(/ 4- т) || определяется по формуле (70), являющейся част-
ным случаем формулы (24) при А —Е, R = 0,5(щ + <т2)Е.
2) Устойчивость по правой части. Рассмотрим задачу (63)
при z/(0)= z/(r) = O. Будем искать ее решение в виде
Уп + 1 ~ 2 ''•gn + ь s> Уо ~ 0,	(72)
S = 1
где gn+\,s как функция п при фиксированном $= 1, 2, ..., п
удовлетворяет уравнению (63) с <р = 0 при п > s + 1 и началь-
ным данным
gs+i> s 4” Ags+i, s ~ 2<ps, gs, s = 0.	(73)
Подставляя (72) в (63) и учитывая (73), убеждаемся в том,
что (72) есть решение задачи (63). Для gn,s, в силу устойчиво-
сти по начальным данным (71), имеем
II Gn+1,s||<|| Gs+1>s|| при фиксированном 5=1,2,..., (74)
где ||Grt+1(S|| выражается через gn,s и g„+liS по формуле (70).
Из (73) находим gi+11s = 2 (Е 4- 2<т1тЛ)~1 <ps и, так как Е 4- го/гЛ Е
при Ot>0, то ||(£4-2<т1тЛ)~‘||< 1 и ||gs+1,s||<21|<ps||.
По условию gSjS = 0. Поэтому
II Gs+1, JP = 4II gs+I, s IP+ 4 (о, 4- a2 - 4) II gs+i,s IP =
= 4 (<T! 4- <T2) ||gs+I„ IP < 2 (a! 4- a2) ll<Ps IP,
t. e.	__________
II G„+1)S||<|| G,+1>s||</2(a14-a2) ||<ps||.	(75)
Подставляя (75) в правую часть неравенства
II Yn+l IK 2Til Gn+11S||,
получаем для решения задачи (63) с #(0) = #(т) = 0 оценку
IIY (/ 4- т) || < /2(а,4-а2) 2 т|| <р (Г) ||.	(76)
Г-t
Отсюда и из (71) следует (69).
л
§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ
337
Теорема 7. Если А (/) = А* (/) — положительно определен-
ный оператор и выполнены условия (68), то для решения за-
дачи (63) выполняется неравенство
II у а + т)|кн y (т)н+-pL
- t
2 т||ф(ПНд-
Л'= т
(П >
(77)
где ||У(/ + т) || дается формулой (70).
Для доказательства теоремы надо подставить оценки
2т (ф, ^») = 2т(Д 'ф, г/»)<2т||г/о||	||Ф ||л-1 <
2т(^?> У^т^у,, г/о) =2тр?|2л_,
в тождество (18) для схемы (65).
Применяя теорему 2 к схеме (65) с постоянным положи-
тельно определенным оператором А, нетрудно получить при
условиях (68) оценку
П(/ + т)||<П(т)||+/И2 max (|| Д-'ф(Г)|| + | Д’’фг (П||). (78)
Отметим еще, что оценка (60) имеет место для схемы (63),
если А (/) = А* (/) > 6Е, 6 > 0, Д (/) липшиц-непрерывен по t и
1
1 "* &
а оценка вида (61) справедлива при о,^о2 —	, 0<е^1.
7. Примеры. Рассмотрим несколько схем частного вида.
1.	Явная схема (R = 0)
Ву° + Ау = <$	(79)
неустойчива при В > 0, А* = А > 0.
2.	Схема (1) с оператором R = иЕ и В = Е
У° + хт2^ + А у = ф	(80)
устойчива при х£ > Д/4, т. е. при
х>|||Д||.	(81)
Частным случаем схемы (80) является схема Дюфорта и
Франкела (схема «ромб») для уравнения теплопроводности
Jr=‘S’’ 0<х<1> z>°> ы<х> О) = мо(х)«
и(0, 9 = и(1, о = о.
338
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
[8
Она получается из явной неустойчивой схемы (вида (79))
У* 4- А у = 0, Ay = - уЯх = -
y(x+h, i) — 2у (х, f) + у (x-h, t)
Л2
в результате замены у(х, t)~y[ полусуммой 0,5(z/(+1 4-	=
= 0,5	4- у J, что дает
</,+!-(^4-^.) 4-
2т	h2
(82)
Приведем (82) к каноническому виду. Так как у + у = 2у +
4- r2z/fP то правая часть в (82) равна у.х — -^гУи, следовательно,
У‘ + ^Уц + АУ = ^ АУ=-Ухх’ Il4|| = -^cos2^<^-.
Сравнивая это уравнение с (80), видим, что х= 1/й2 >|[Д]|/4,
т. е. схема Дюфорта и Франкела устойчива при любых т и й.
Нетрудно сразу написать аналог этой схемы для случая, когда
L — любой эллиптический оператор. При этом надо лишь вы-
брать х из условия (81).
3.	Несимметричная трехслойная схема
3	1	, л „	З.у - 4u 4- й , . .
2-//=--2«/о4-Дг/ = Ф или -~2Т -	- + Ау = <р
применяется для решения уравнения теплопроводности. Поль-
зуясь формулами
У1 = у^+-^Уи> у^у^-^у^ у = у + чу°{ +
приведем ее к каноническому виду
(£ 4- т4) у» 4- т2 (4 + у Л) У и + АУ = Ч>’
т. е. В = £4-т4, R = £/г 4- 0,54. Отсюда видно, что условия
R > 4/4, В > £ выполняются при любом 4 > 0. Если 4 = 4*>0,
то схема устойчива в норме
И (/ 4- Т) 1^ = 4- (|| у (/ 4- Т) ||* 4- II у (/) ||2Л) 4- тII yt II*.
8. Другие априорные оценки. Наряду со схемой (1) часто
встречаются трехслойные схемы, записанные в виде
(£ 4- т2/?) ytt 4- Ву° 4- Ау = ф, z/(O) = yo, У^) = У^ (83)
Эта схема формально получается из (1) заменой R на
R — R 4- £/г2. Имея в виду эту замену, нетрудно заключить, что
схема (83) устойчива при R >4/4, и написать соответствующие
оценки.
8)
§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЁХСЛОЙНЫХ СХЕМ
339
Составные нормы ||У|| естественно появляются при написа-
нии уравнения энергетического баланса. Они весьма сложны по
структуре. Желательно иметь априорные оценки для решения
задач (1) и (83) в обычных энергетических нормах НА и HR.
Перейдем к выводу таких оценок.
Любую трехслойную схему будем записывать в форме
+ Ву° + Ау=-<р(0, 0< t е= сог> у (0) = г/о, yt (0) = у0, (84)
где D —	Л=Л(/) и B —	— линейные операторы.
В частности, D = г2/? для схемы (1), D = £ + т2/? для схемы (83).
Наряду с (84) будем рассматривать задачи
4-4-Л у = 0, У(О) = УО, yt(O) = yo,	(84а)
Dyit 4- By. 4- Ay = qp (0, У (0) = yt (0). = 0.	(84б)
Будем предполагать, что
Л(0 = Л*(0>0,	D(0 = D*(0>0,	В(0>0,	(85)
A (t) и D(t)— липшиц-непрерывны по t с постоянной с3. (86)
Из теоремы 5 следует, что схема (84) при условиях (85),
(86) и условии
Г)>-Ц^-т2Л	(87)
(где е>0 — любое число, не зависящее от т и h) устойчива по
начальным данным и для решения задачи (84а) имеет место
оценка
1|Г„+1||(„)<М1||У1||(1),	(88)
где	(с3, е, t0)>Q не зависит от т, h, п и
II К„+1 Н(п) = Уп + У**' На (tn) + (((D	~ 4 А М У*> п, Уь п), (89)
II Л 11£) = т" «л (т) 4- ( (d (т) - Л (т)) yt (0), yt (0)) . (90)
Постоянная = 1, если операторы А и D не зависят от t.
Для перехода от (88) к оценкам в НА и HD нам понадо-
бятся двусторонние оценки функционала ||Уп+1112.
Лемма 5. Пусть выполнены условия (85) и (87). Тогда
II Yn+1 ||(п) < || уп ||л уп) 4-1| yt (tn) |b (tn},	(91)
Hn+ill(n)>]/’тугИ^-н ll4(/„),	(92)
II Ik") > j С"	Ha (/„) + II У* Пц <93)
340	ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ	(8
Доказательство. Обозначим
/ = ||1Р + У1РЛ + ((П -^А)уи yt).
Докажем неравенство (91).
'=тМ + 2(л!/, Р) + 11Р1РЛ)-4^11Ь-2(Лр,!/) + ||р|рл) +
+ (DVt, yt) = (Ay, у) + II yt ||b-
Подставим сюда р = у + тг/<:
/ = IIУ 112д + Т (Ay, yt) + II у. |g, < II у ||* + тII у ||л II yt ||л + II yt lib-
Используем условие (87): || yt ||4 < J— || yt ||д, так что
т у 1 + е
7 < ||< + уХ=- || у ||л || yt ||D + || yt |g, < (|| у ||л +1| у( ||д)2.
Отсюда следует первое неравенство леммы.
Заметим далее, что 7 = (Ai), у) + ||yt\^D. Подставим сюда
У = Р ~ тг/<:
J = (AQ, у)-т: (Ay, yt) +1| yt |g,.
Пользуясь снова обобщенным неравенством Коши — Буняков-
ского (Др, г/,ХИр||л||yt\\A и учитывая (87), получаем
/ > II Р 1ГЛ - XII у ||л II yt ||л + II yt Ig, > IIРII* - уХ=|| р ||л II yt ||д + II yt 11b.
Применим неравенство: аб ба2 + 62/(4б). Тогда
7>(l-6)||p||b + (l -TTT^-)udlb.	(94)
Полагая второй коэффициент равным нулю, найдем
б = 1/(1 +е) и 7|> '1+ е 'I ®т0Рая °Ненка леммы доказана.
Чтобы получить третью оценку, потребуем равенства коэф-
фициентов при ||р ||b и || yt |g, в (94); это дает
g _	1	। _ g _ 1^1 + е— 1 ____е_____
К1 + е ’	V1 + е 1 + в + V1 + е
Так как 1 +е< 1 +е при любом е>0, то 1 — б>	и
1 > 2(ПТ> С116 +»л»ь)> яППГ(«i"я + IIу<
Лемма полностью доказана.
8|	$ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ	341
Подставляя (91) — (93) в (88), получаем оценки для зада-
чи (84а):	_____
ll^n+1	V+ U(0)||D(T)),	(95)
ii	Ил (tn}+п yt VJ iid (>„) <2A11 -/-Чт- (И У* Пл (г>+и yt (°) Но (п)-
(96)
Для доказательства устойчивости схемы (84) по правой ча-
сти воспользуемся принципом суперпозиции и будем искать ре-
шение задачи (846) в виде суммы
yn=^T:gn,s, га =1,2........г/о = 0,	(97)
S=1
где gn, s, как функция п при любом фиксированном s = 1, 2
удовлетворяет уравнению (84а) и начальным условиям
(0,5тВ (/s) + D (ts))	= ф5> gss = о.
Предположим, что оператор £)~' существует. Для этого до-
статочно потребовать, чтобы D > ЬЕ, б > 0 (см. теорему 4 из
гл. I, § 3).
Так как В^О, a D = D"^bE, то для решения уравнения
(0,5тВ + D) w = ф будем иметь оценку || w ||D ^|| ф|| i, так что
II (£/)s, s Hd(<s) Ts Ид-1 (tsy
В силу (95) получаем
ип+1,Л(м	II (gt)s, s ||D ((s) < Mt / А±ЧфЛ-. {ts}
Пользуясь затем (97) и неравенством треугольника, получим
для решения задачи (846) оценку
-----------------------------------п
II Уп+1 11а(t„) < М, у 2 Т|| <ps ||D_, .	(98)
1
Суммируем все результаты в виде следующей теоремы.
Теорема 8. Пусть выполнены условия (85) — (87) и, кро-
ме того, D — положительно определенный оператор. Тогда схема
(84) устойчива по начальным данным и по правой части, а для
решения задачи (84) имеет место априорная оценка
И Уп + \ Ил(/П)
(п	\
IIУ (0) Пдп + II yt (0) lip lt> + S т II Ф511_, t J . (99)
«1	U X Sf J
S«=d	/
342
ГЛ, Vt. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Г8
Следствие. Пусть D = E + r2R>E, D '<£. Тогда
II <Ps Ид-1 ^11 фИ и для (846) верна оценка
s««l
(100)
Более тонкие оценки, аналогичные оценкам для уравнения
колебаний струны (гл. II), можно получить для более узкого
класса схем
^?< + Лу = ф, 0<f = nr<f0, г/(0) = г/о, yt(O) = y0.	(101)
Предположим, что
А и D — постоянные операторы,
А и D — самосопряженные положительно определен-
ные операторы.
(102)
Тогда при условии (87) для (101) верна оценка (99) с Mj = 1.
Полагая x = D'l2y, С = D~'l2AD~'12, преобразуем (101) к виду
хп + Сх = ф, х(0) = хй, xt(0)=xQ.	(ЮЗ)
Применяя к (103) оператор С-1, получим схему
С~ххи + х = С-’ф, x(0) = x0, xt (0) = х0.	(104)
Сравнивая ее со схемой (84), устанавливаем соответствие
C~'~D, Е~А, С"ф~ф.
Условие (87) принимает вид
+ или е^А±^х2С
—	4	4
Воспользуемся теперь оценкой (99). Так как С — постоян-
ный оператор, то Mi = 1:
ll^n+dK]/ -^(uwil + llxjo)^-!+^т|1с-1ф||с). (105)
'	s-l	'
Учитывая, что x = D'l2y, q = D~'l2q,
|| xt (0) |^-i = (C-*xz (0), xt (0)) = (D'l2A-'D',2D'l2yt (0), D'’2yt (0)) =
= 11 ^(0)^-,,
Цс-'ф!^ = (€-*$, ф) = 0'/м-Ъ'/2д-'аф>	ф)=Н Ф11д-ь
8]
§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ
343
запишем (105) в исходных переменных
II Уп+\ 11о < ]/-ЦА(|1//(0)11п + 11^(0)||л-1 + 2т||<р5||л-1]. (106)
'	S=1	'
Тем самым доказана
Теорема 9. Если выполнены условия (87) и (102), го для
схемы (101) имеет место априорная оценка (106). В частности,
для схемы (101) с D = Е и у0 = у0 = Q имеем
s=l
(ср. с оценками гл. II, § 2, п. 2).
Рассмотрим в качестве примера схему с весами
ylt + А + (1 — 2а) у + <ту) = <р, А* = А^6Е,	6>0.
Подставляя сюда op + (1 — 2а) у + ау = у + ах2уи, получим
(Е + ат2 Л) yit + Ау = ф,	(107)
т. е. D = E + ax2A. Условие устойчивости D 1 8 т2Л или
£^((1+е)/4 —<т)т2Я выполнено при
1+е	1
4 т2 ||Л|| •
Для явной схемы (о = 0) отсюда следует
К(1+е) ||Л|| '
Явная схема (,уц = Ухх) для уравнения колебаний струны, со-
гласно этому условию, устойчива при x/h^ +е) (ср. гл.
П, § 2).
Рассмотрим вопрос об устойчивости схемы (107) с перемен-
ным оператором Л(/). Будем считать по-прежнему, что А (/) —
самосопряженный положительно определенный оператор, так
что (t) существует.
Применим к обеим частям уравнения (107) оператор Л-1.
Тогда получим схему
Ьу„ + Ау = &,	1
~	~	(107*)
£) = Л '-|-ат£? А = Е, ф = Л ’ф. J
344
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
(8
Чтобы воспользоваться теоремой 5, надо установить лип-
шиц-непрерывность D(t) по /. Будем предполагать, что опера-
тор A (t) липшиц-непрерывен по t:
(1 -с3т)Л<Л<(1+с3т) Л, Л = Л(0, A = A(t — x).
В силу самосопряженности и положительной определенности
оператора А, получаем отсюда
(1 - с3т) Л-1 < Л"1 < (1 + с3т) Л-1.
Предполагая, что выполнено условие т< 1/(2с3), получаем
(1 - 2с3т) Л"1 < —1— А~} < А~' < —— Л"1 < (1 + 2с3т) Л-1.
1 Т* С-зТ	1 — С3Т
Следовательно
|((Л~' — Л-1)х, х)| ^2с3т(Л-1х, %)•
Учитывая затем неравенство
Л-1 = D — ах2Е D при ст О,
заключаем, что D удовлетворяет условию Липшица по t с по-
стоянной 2с3:
| ((D — D)x, х) К2c3x(Dx, х) для всех хе.Н,
если выполнены условия
ст^О, 1 — 2с3т>0.
В силу теоремы 5, если
D > -Чп-т2 А
то для схемы (107*) выполняется оценка
II Гп+11|(„) < А/, || ||(1) + Англах Дц +1(|__(у
Пользуясь (91) и (92) и учитывая, что А = Е, получаем
II Уп+х И < Ali (II УоII + II yt (0) ll5(t)) +
+ /-^Af2max [||(Л-1ф)4| + |(Л_1(р)*|]»	(108)
г е о <k<nl	‘
где Л11 > 0 и Л1г>0 — постоянные, не зависящие от т и h.
Априорная оценка (108) имеет место при условиях:
1)	Л (/) —самосопряженный, положительно определенный
оператор,
2)	A(t) липшиц-непрерывен по t с постоянной с?.
91
§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫ* ТРЁХСЛОЙНЫХ СХЕМ
345
3)	т<1/(2с3),
4)	4 Т2 ||Л|| и <т>0.
9. О регуляризации разностных схем. Теорию устойчивости
разностных схем, изложенную в этой главе, можно использо-
вать для формулировки общего принципа (принципа регуляри-
зации, А. А. Самарский [20]) для получения схем заданного
качества, т. е. устойчивых, обладающих аппроксимацией и удов-
летворяющих дополнительному требованию экономичности (ми-
нимума арифметических действий, достаточных для решения на
ЭВМ получающихся разностных уравнений).
Требование экономичности применительно к нестационарным
задачам математической физики обычно означает, что число
арифметических действий, затрачиваемых для решения разност-
ных уравнений при переходе со слоя на слой, пропорционально
числу узлов сетки ыл (подробнее об экономичных схемах см.
гл. VII).
При записи двухслойных и трехслойных схем в канонической
форме
(Е + т/?) yt + Ау = <р, у(О) = у0, B = E + xR, (109)
Ву° + T?Ryu + Ау = ф, г/(О) = у0,	г/(т) = у1, (НО)
было обнаружено, что ответственным за устойчивость является
оператор R (регуляризатор). Достаточные условия устойчиво-
сти имеют простой вид
R <т0А, <т0 = у — т'ЦЛЦ для двухслойных схем,
1	1 I е
R>-^A или R^——А для трехслойных схем.
(Н1)
Устойчивость или неустойчивость схемы (из исходного се-
мейства) зависит только от выбора оператора R.
С точки зрения теории устойчивости произвол в выборе опе-
ратора R ограничен лишь двумя требованиями:
1) схема должна принадлежать исходному семейству, т. е.
B = E + xR>0 для (109),	= для (НО),
2) должны быть выполнены условия (111).
Для получения устойчивой схемы заданного качества необхо-
димо добиться, чтобы она имела аппроксимацию заданного по-
рядка и была экономичной, т. е. для решения уравнений
(E + xR)y = F (для (109)) или (B + 2xR)y = F (для (H0)J
требовалось бы минимальное, в некотором смысле, число дей-
ствий.
346
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
(9
Заметим, прежде всего, что если схема (109) или (НО)
с некоторым оператором R устойчива, то и схема с оператором
R^-R также устойчива.
Обычно при построении разностных схем поступают так: пи-
шется сначала схема, обладающая аппроксимацией нужного
порядка и экономичная, после чего исследуется ее устойчивость.
Основная идея регуляризации разностных схем заключается
в следующем: схемы заданного качества надо искать в классе
устойчивых схем, отправляясь от некоторой исходной схемы и
заменяя ее, путем изменения оператора R, другой схемой нуж-
ного качества, принадлежащей классу устойчивых схем.
Многие приемы построения схем частного вида можно трак-
товать как простейшие приемы регуляризации.
Запись схем в канонической форме удобна не только для
проверки устойчивости, но и для оценки порядка аппроксима-
ции. При R в (109) стоит множитель т, а в (НО)—множитель
т2. Поэтому, если при изменении R в случае двухслойной схемы
остается выполненным условие ||7?и<|| = 0(1) (и — решение
исходного дифференциального уравнения), то погрешность
аппроксимации при изменении R меняется на величину О(т).
В случае трехслойных схем условие ||7?ия||= 0(1) гарантирует,
что при регуляризации будут получаться схемы, погрешность
аппроксимации которых отличается на величину О(т2). По-
этому трехслойными схемами удобно пользоваться для получе-
ния устойчивых схем второго порядка аппроксимации по т.
Основным является вопрос о выборе регуляризатора R. Так
как условия устойчивости имеют вид операторных неравенств,
то в качестве R естественно выбирать операторы возможно бо-
лее простой структуры, энергетически эквивалентные оператору
А. Пусть, например, А и До — энергетически эквивалентные
операторы с постоянными yi и у2 (см, гл. IV, § 2, п. 4), так что
y^o<X<Y2A), Yi>0, y2>o.
Полагая затем R — оДо, получим устойчивые схемы при
<T^><ToY2 (или <т>0,5у2) в случае (109), ст> у2 в случае (ПО).
Простейшим видом R является оператор
Р = <т£ (До = £).
Условия устойчивости выполнены, если <т> <То11Д|| для (109),
<т>-^ II ДII для (НО).
Пример 1. Рассмотренная в § 2, п. 7 явная трехслойная
схема Дюфорта и Франкела для уравнения теплопроводности
принадлежит семейству схем
г/о + <зх2уи + Ау = О, <у >-^-‘|| Д ||, Д = Д*>0.	(Н2)
91
$ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ
347
(113)
В самом деле, Ау=-Ку, Лу = у-х, || А || = cos2 -у- <	,
a —-j-2 , т. е. условие ст>у||А|| выполнено. Эта схема обла-
дает условной аппроксимацией О (Л2) при т = О(Л2).
Нетрудно написать явную устойчивую схему для уравнения
теплопроводности с переменными коэффициентами
4т- = -4- [k (х, I) , 0 < С] С k (х, t) «С с2; t > 0, 0 < х < 1,
и (О, t) = и (1, /) = 0, и (х, 0) = и0(х).
В этом случае ст = c2jh\ Ау= — Ку, Ку = (ауА^.
Для многомерного уравнения теплопроводности
~дГ =='2i~dx^	^~д^}’	% = (%!...xp)<=G,
а=1
и |г = 0, и (х, 0) = и0 (х),
G — параллелепипед (0^ха<Да, а= 1, 2,	р), 0<Ci<<
^ka^c2, следует положить
р	р
, Ау= —
где ha — шаг сетки ш = {х = (хь xp)eG) по ха.
Пусть Ao = Ai + А2, где At и Л2 = Л — сопряженные или
«треугольные» (с треугольной матрицей) операторы, так что
(Аоу, у) = 2(Aty, у) = 2(А2у, у). Полагая R = стА, или R = оА2,
получим схему (109), устойчивую при ст>2у2сто-
Пример 2. Асимметричная схема В. К. Саульева [1] для
ди дги
уравнения теплопроводности ~ц~=-дРГ принадлежит семейству
«треугольных» схем. Она имеет вид:
+	= АУ = Ухх-	(115)

Здесь Ау= — Ку, Ry = -?-y.., А0 = А, Yi = y2=l. Схема (115)
устойчива при
и условно аппроксимирует уравнение с 0(h) при т = О (Л2).
Для уравнения (113) следует положить у2 = с2,Ау= — (ay*),,
г, ст	(. й2 \
КУ-КУ* и езять о>с2 1- 2^1.
348
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
И о
В случае задачи (114) имеем
р	р
или Ry=s~a^iiy^ Y2 = C2’
аЧ	а==1
р
<Т>С2 (1	Д = С2^^Т-
а=1 а
Важно отметить, что при построении схемы Дюфорта и
Франкела [1] в качестве исходной бралась явная неустойчивая
схема
У° = Аг/,
которая имеет аппроксимацию О(т2 + /г2). Чтобы получить
устойчивую схему, в выражении для Ау значение у[ заменя-
лось полусуммой 0,5 (г//+1 + г/!-1), что приводило к явной схеме
(112) с ст = 1//г2. Это преобразование, таким образом, соответ-
ствует введению регуляризатора простейшего типа.
В дальнейшем, после введения в практику формул прогонки,
стали широко рассматривать двухслойные неявные схемы (схе-
мы с весами), для которых R = стА. Очевидно, что эти схемы
являются частным случаем схем с R = стАо.
Укажем еще один способ выбора R. Пусть Ао = А{ + А2>
А2 = А’>0. Выберем R так, чтобы двухслойная схема имела
факторизованный оператор
В = (Е + cttAJ (Е + сттА2) = Е + т (стА0 + стЧА] А2),
так что
R — ст Ад + ст2т А| А2.
Так как (AtA2y, у) = (А2у, А2у) = ||А2г/||2 > 0, то эта схема устой-
чива, если ст > у2ст0.
Перемежающиеся схемы В. К. Саульева [1] фактически экви-
валентны схеме с факторизованным оператором В указанного
вида.
Схемы с факторизованным оператором
В = (Е + aRt) (Е + <в/?2), Rt = Ri
применяются в качестве итерационных схем для решения урав-
нений Ay = ф (см. гл. VIII).
10. О работах по устойчивости разностных схем. Остановимся кратко на
работах, в которых рассматриваются принципиальные вопросы теории устой-
чивости разностных схем н получены достаточно общие результаты. Отметим,
что данный обзор никоим образом не претендует на полноту. Многочисленные
литературные ссылки читатель может найти в книгах В. К. Саульева [1],
101
§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ
349
С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1], Рихтмайера и Мортона [1], В. Вазова
н Дж. Форсайта [1], Н. Н. Яненко [6], [7], Б. Л. Рождественского н Н. Н. Янен-
ко [1].
Понятие устойчивости разностной схемы, по-видимому, впервые встре-
чается в статье Неймана и Рихтмайера [1] в 1950 г., где устойчивость опре-
деляется как ограниченность всех гармоник решения разностной задачи. Бо-
лее подробно этот спектральный критерий изложен в обзоре О’Брайена, Хай-
мана и Каплана [1].
Независимо от этих работ в 1952 г. была опубликована статья В. С. Ря-
бенького [1] (см. также В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов [1]), где даны ма-
тематически строгие определения устойчивости для разностных схем, аппрок-
симирующих задачу Коши для системы уравнений с частными производными.
Устойчивость определялась, по аналогии с понятием корректности для систе-
мы дифференциальных уравнений, как непрерывная зависимость в сеточной
норме С или 7-2 решения разностной задачи от начальных данных, причем эта
зависимость должна быть равномерной относительно шагов сетки. Было по-
казано, что из устойчивости и аппроксимации следует сходимость разностной
схемы.
Различные определения и способы исследования устойчивости были пред-
ложены в работах Н. Н. Меймана [1], Л. А. Люстериика [1], Коллатца [2],
Джона [1], Дюфорта и Франкела [1] и др.
Существенный шаг был сделан в 1955 году А. Ф. Филипповым [1], кото-
рый ввел общее понятие устойчивости разностной схемы как непрерывной
зависимости (в разных нормах), равномерной относительно шагов сетки, ре-
шения разностной задачи от начальных и граничных данных и от правой ча-
сти. Это определение включает в себя определения, предложенные ранее, и
относится к схеме общего вида, не связанной с каким-либо конкретным урав-
нением. А. Ф. Филиппов вводит определение аппроксимации и показывает, что
из устойчивости и аппроксимации следует сходимость схемы.
Работы В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова получила развитие в их
книге (см. В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов [1]), где рассмотрены и неко-
торые способы исследования устойчивости, например, метод разделения пере-
менных, который иллюстрируется иа ряде конкретных примеров.
Другой подход к теории разностных схем дан в работе Лакса и Рихт-
майера [1] (см. также Р. Д. Рихтмайер [1]), которые рассматривали в бана-
ховом пространстве абстрактную задачу Коши
= O^t /о. и(О) = «о,
где u(t)eH для всех t е [0, /0],	— постоянный линейный оператор со всюду
плотной областью определения S) (&) ^Н. Задаче Коши ставится в соответ-
ствие двухслойная схема
Уп+\=$хуп, Уо^ио; П~0, 1.........
где yn=y(tn) ^Н, tn = пт, Sx ~~ ограниченный линейный оператор, завися-
щий от параметра т, с областью определения, совпадающей со всем простран-
ством Н. Функция уп рассматривается как элемент того же пространства Н,
которому принадлежит решение й(7) исходной задачи. (Предполагается, что
шаги h по другим переменным являются функциями шага X по времени, h =
=й(т).)
Устойчивость схемы определяется как равномерная ограниченность степе-
ней оператора перехода S т:
и» 1,2......пт<1а,
350	ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ	110
где М = const > 0 не зависит от п и т. Отсюда сразу следует оценка
IWKM 1Ш1,
выражающая устойчивость по начальным данным в Н.
В работе Лакса и Рихтмайера [1] было показано, что если исходная за-
дача корректна и схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость необхо-
дима и достаточна для сходимости схемы.
В книге Р. Д. Рихтмайера [1] для периодической задачи Коши получены
некоторые необходимые и некоторые достаточные условия устойчивости. Эти
условия сформулированы в виде ограничений на спектр преобразования Фурье
(называемого также символом или матрицей перехода) оператора перехода S.
Работа Лакса и Рихтмайера [1] положила начало ряду исследований по
спектральной теории устойчивости. Так, Крейс [2] получил необходимые и до-
статочные условия устойчивости (ограниченности спектра степеней матриц
перехода) для широкого класса разностных схем. Эти же вопросы рассматри-
вали Буханан [1], Мортон и Шехтер [1], которые упростили некоторые доказа-
тельства Крейса [2]. Результаты работ Крейса [2], Буханан [1J, Мортона и
Шехтера [1] изложены в книге Рихтмайера и Мортона [1].
Ряд необходимых признаков устойчивости несамосопряженных краевых
задач получен с помощью изучения спектра семейства разностных операторов
в работах С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1]—[3] и В. С. Рябенького [2], [3].
Устойчивость разностных схем для гиперболических систем первого по-
рядка изучалась в работах О. А. Ладыженской [1], С. К. Годунова [1], [2],
Лакса [1], Лакса и Вендрофа [1]—[3], Лакса и Ниренберга [1], Крейса [5],
Стренга [1], Келлера и Томэ [1], Томэ [1], Л. С. Франка [1].
Исследование устойчивости разностных схем в норме С было проведено
в работах С. И. Сердюковой [1]—[3], И. В. Коновальцева [1], [2], М. В. Фе-
дорюка [1], Томэ [4], Видланда [2].
Наряду со спектральными методами исследования устойчивости разви-
вался, применительно к конкретным схемам, энергетический метод, позволив-
ший освободиться от детального изучения спектральных свойств операторов
разностных схем. Начало этому направлению фактически положила работа
Р. Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви [1].
Априорные оценки разностных схем простейшего вида, в связи с изуче-
нием вопроса о разрешимости смешанных задач для различных уравнений и
систем уравнений в частных производных, были получены энергетическим ме-
тодом О. А. Ладыженской [2], В. И. Лебедевым [1] (см. также обзорную
статью А. М. Ильина, А. С. Калашникова и О. А. Олейник [1]).
Усовершенствование аппарата энергетических оценок и применение его
для широких классов разностных схем (для параболических и гиперболиче-
ских уравнений) было дано в работах Лиза [1]—[4] и А. А. Самарского [1],
[2]. Примерно в это же время ряд априорных оценок для разностных краевых
задач был получен Крейсом [4], Л. И. Камыниным [1], Дугласом [3].
Позже энергетический метод нашел широкое применение при исследова-
нии разностных схем для многомерных задач математической физики. Укажем
в связи с этим работы В. Б. Андреева [1]—[6], И. Г. Белухиной [1], [2],
Е. Г. Дьяконова [3]—[5], [8], А. Н. Коновалова [4], А. А. Самарского [4]—
[12], [16], [21], И. В. Фрязинова [2]—[6].
Двухслойные и трехслойные разностные схемы для эволюционной задачи
Коши изучались с помощью метода энергетических неравенств в работе Равь-
ярта [1].
Ряд новых результатов в теории устойчивости разностных схем получен
в работах Видланда [1], Вендрова [1], Миллера и Стренга [1], Томэ [3], [5],
Л. С. Франка [3].
Изложение теории устойчивости разностных схем, данное в главах V—
VI, основано на работах А. А. Самарского [20], [21], [23], [24]. Развитию этого
направления посвящены работы А. В. Гулина [1], А. В. Гулина и А. А. Са-
марского [1], А. А- Самарского [28], А. А, Самарского и А. В, Гулина [1].
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Vi
351
Задачи к главе VI
Для иллюстрации общей теории устойчивости мы приведем ряд простей-
ших разностных схем для уравнений
=	0<Х<1; U (х, 0) = Uq (х),	(1)
ди	д2и	д2и
Т— = -—т + ~—2’	а=1, 2; и (х1( х2, 0) = ий (х1( х2)	(2)
dt	dxj	дх£
С нулевыми граничными условиями.
Предварительно напомним правила, которыми следует руководствоваться
при исследовании конкретных разностных схем.
1)	Вводится пространство Hi, сеточных функций, заданных на сетке <ж
и удовлетворяющих однородным граничным условиям (в случае первой крае-
вой задачи — обращающихся в нуль на границе ул сетки), определяется ска-
лярное произведение (,).
2)	Разностная схема приводится к каноническому виду. Двухслойная схе-
ма имеет канонический вид
„/+1 _ и!
Ву-х-у +Ау’ = <?’.	(3)
Трехслойная схема имеет канонический вид
„ у*+'— ц-~’‘ 2D yi+l — 2yi +
В -----^-2----1- x2R -2----£---2---+ Ay! <p<	(4)
2Т	T
При этом определяются операторы В, R и А схемы.
Каноническая форма записи схем удобна не только для проверки устой-
чивости, но и для оценки порядка аппроксимации.
3)	После того, как операторы схемы найдены, исследуются их свойства
как линейных операторов в пространстве Н,, (положительность, самосопря-
женность и т. д.).
4)	Проверяется выполнение достаточных условий устойчивости для дан-
ной схемы. Эти условия имеют вид:
а)	для двухслойных схем:
В > 0, А = А* > 0, В > 0,5тА	(5)
(устойчивость В На), либо
В = В’>0, Д = Д*>0, В.>0,5тА	(6)
(устойчивость в Нв и На).
б)	для трехслойных схем:
В>0,	= А = А*>0,	(7)
Я>4Л>	W
или В 8 А, где е > 0 — любое число.
5) Если достаточные условия устойчивости для данной схемы выполнены,
то она устойчива и для нее можно пользоваться априорными оценками, по-
лученными в гл. VI.
Сделаем некоторые замечания. Следует обратить внимание на возмож-
ность использования другой формы записи двухслойных схем:
Ву'+1 =Су' + хА!, где С = В — тА, А = (В-С)/т	(9)
352
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
и трехслойных схем:
Boyi+}+ Biy!+ B2yi~^2x^i.	(10)
Сравнивая (4) и (10), находим
Во = В + 2т/?, В{ = 2т (А — 2/?), В2 = 2т/?-В,	(11)
/?=^(В0 + В2), Д = -^(В0 + В1 + В2), В=у(В0-В2).	(12)
Достаточные условия устойчивости (5) эквивалентны условиям
(В-С)-(В-С)’>0, В + С>0.	(13)
Для трехслойной схемы (4) или (10) условия (7), (8) эквивалентны усло-
виям:
в0 + в2 = (в0+в2), В] = вр во-в2>о, 1
В2 — Bi + Bq > 0, В2 4~ В, 4- Bq > 0. J
В ряде случаев удобно пользоваться записью схем (3) и (4) в виде (9)
и (10), после чего проверять достаточные условия устойчивости (13) и (14)
соответственно.
Напомним достаточные условия (вытекающие из условий (5) или (8))
устойчивости схем с весами.
Пусть дана двухслойная схема с весами
———— + А + (1 -а) у1} = ф/,	(15)
где А > 0 — несамосопряжениый оператор. Тогда схема устойчива при а^0,5.
Если, кроме того, дано, что
||Ал:||2<Д(Дх, х),	(16)
то схема устойчива в Н при
1 1
а 2 тД ‘
(17)
Наконец, если А = А* > 0 и А — постоянный оператор, то Д = ||А|| и
схема (15) устойчива в Н и НА при
1 1
Я^2 т||А|Г
(18)
Для трехслойной схемы с весами:
—-----------4-Д(а|г//+1 +(l -at — а2) У1 + a2y!~1) = q>!,	(19)
где Л>0 — иесамосопряжеииый оператор, || Ах ||2 Д(Дх, х), достаточное
условие устойчивости имеет вид
1	1	1 + е
о, >a2-^y, <J1+O2>-^ или Oj+Oz^—2~, е>0.	(20)
Обратимся теперь к схемам для уравнений (1) и (2). На отрезке 0^х^1
вводится равномерная сетка
= , = 0> 1........
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
353
с шагом h — 1/V. Пусть Нк — пространство сеточных функций, определенных
на со л и равных нулю на границе (при х = 0, х = 1),
лг-1	_______
(г/, v) - 2 II у И “ (У' у)
i=»l
— скалярное произведение и норма в Нь.
В случае задачи (2) в квадрате вводим сетку
йл = {х. = (г-jft, (2Й); iv i2 - 0, 1.........N, /г = 1/V},
и пространство Hh функций, заданных на со ь и равных нулю при ч = О,
Ч = N, la = 0, is = N со скалярным произведением
JV-I
(?/,«)= 2	Ш = У(У, У)-
«I, с’г=1
В следующих задачах требуется привести к каноническому виду и ука-
зать условия устойчивости разностных схем.
,	1 У1 + 1 Vi+\ ° У( Vi 1 4t-\ Vi~\
 12 т +6 т + 12 т
Ответ. yt — <xxXyt — Ху, или
(Е + атЛ) yt + Ау - О,
где а--—Ху-уХх, Ау=-Ху.
Схема устойчива в Н при любых h и т и имеет погрешность аппроксима-
ции О(/14 + т2).
Указание. Следует преобразовать левую часть уравнения, для чего
воспользоваться соотношениями
о. + 10ц + v =(у , -2», + v, ) + 12», — h2Xv. + 12»,,
1т1	I 11' 1т1	III/	I	I	1
Ц/+1 = V1 + Т»/.
2. (1+0) 71 т Л -0 rl-Jl---= Xyt+\
Ответ. (Е - тЛ) уо + Г(0,5 + 0) хЕ - л] ylt = Ху.
f L	1 J
u	1 тд _	4 . , nh
Схема устойчива при 9>—— —о =sin2.
Указание. Сравнение с (4) дает
В = Е + хА, R = у А +-Ц^- Е.
Отсюда следует:
при 0> — V2 —тб/4, так как Л>бЕ.
12 А< А, Самарский
354
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
3. 2yt/l+l = (V — 0,5) (г/{±}	+	+ И4-1)’ V = т/А2-
Ответ. (£ — атЛ) yt = ку, а = 1 — 1/(2у).
Схема устойчива при у ^0,5 и имеет погрешность аппроксимации
4-^+1=г^К3¥"°’5)^>+^+0+(5-Му^(3¥+о’5)(^1+^+1)]’
у = т/Л2.
Ответ. Та же схема, что и в задаче 1.
s-	у'У ° (о + а + р М+1 k + МЛ'+1 + (’-«) И+i. к +
+ ('-₽) И, ft+i “И -и-а- ₽)И. s+H~i, к + У!1, ft-i]>
ш = й2/т.
Ответ. yt - -1 (ауХ1< + РуХг<) = Ау, где Ау = у^ + yiM Условие устой-
чивости а 4-0^2 — 0,5Л2/т. Если а = О(1), 0=0(1), -^-->0 при т->0, й->0,
то схема аппроксимирует уравнение (2) с погрешностью О (т 4-Л2 4-т/Л).
в- H+1 = (4-3y)H + 4 (3v-y)(^-i+H+i)“
- у (y -1) (у!-1, “ 2уГ'+V = т/Л2.
Ответ. Вуо 4- T2Ry(t 4- Ау = 0,
B-e-4(w*')’A 'г-27е + т(ёТ~')'4'
Схема устойчива при у =С 1/3.
7.	Юу^’-з^.^у^О + ^И+И'1)- -^ = л2/4.
Ответ. уо + уг, = Л.у. Схема устойчива.
t 3
8-	И+’ - 4о N"' + 32^ + 3 (уЯ + ^1)1’
Ответ. Схема приводится к виду (4) с
т = Л2/16.
В = Е — тА, R — Е 4- 0,5Л, Ау = — уХх
и устойчива.
9-	у^к -4(Hi!. 4+И+!, J = 4И ft-i+И. ft+i)> т=°>5л2
Ответ. Схема имеет канонический вид (3), где Л= —(Ai4-A2),
В = Е — тЛр Лау = у^ х , а= 1, 2, устойчива и аппроксимирует уравнение (2)
с погрешностью О (т 4- Л2) = О (Л2).
1 l,5yftj-2yfi+, +0,5^;’	5 1,5^+’-2^ 4-0,5^-’
10.	+ б	т	+
I	— 2y!j 4-0,5у{1{ д .7+1
+ _ _ .1XUi .
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
355
Ответ. Схема имеет вид (4), где
/	/7 \	I / 1	/12 х
В = £+(,-12?)тЛ’ ЧМУ’12?)Л’ Л^=-^.
абсолютно устойчива, погрешность аппроксимации иа решении уравнения (1)
равна О (т2 + /г4).
Указание. Воспользоваться соотношением
^vl+1 -2v! +±- v’"1 =тОо/+т2о/р
2	2	t
11.	Рассмотрим задачу для системы уравнений параболического типа
du(ii \? д Г ди(/}\	. , „
—чт— = 7, -4— ku —-— , (=1,2.........п,
dt 44 дх \ 1 дх Г
/=1
и“’(0,/)=0, uw( 1,0 = 0, uw(x, 0) = 4е (%).
Известно, что
п	п	N
<=1 i, /=i	(=1
Пусть
= {ацУ{х}х> аи(хУ 0 = Мх1-1/2> О’
п
Ау^ = - 2
1=° I
Показать, что схема
уУ + x2Ry^ + Д(/и' = 0
а) устойчива при любых h и т,
б) имеет точность О(й2+т2).
12*
Глава VII
ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Одним из важных достижений в вычислительной математике является раз-
работка экономичных разностных методов для решения многомерных (с не-
сколькими пространственными переменными Xi, х2.....хр) уравнений в ча-
стных производных. В настоящее время имеется большое число экономичных
схем для многомерных уравнений параболического, гиперболического и глип-
тического типов.
Экономичным методам посвящены работы В. Б. Андреева [1]—[6], Бей-
кера и Олифанта [1], К. А. Багрнновского и С. К. Годунова [1], Вашпресса [3],
Гана [1], Е. Г. Дьяконова [1]—[8], Дугласа [1], [4], Дугласа и Гана [2],
А. Н. Коновалова [2]—[5], Г. И. Марчука и Н. Н. Яненко [1], Писмена и Рэк-
форда [1], А. А. Самарского [4]—[16], [19], В. К. Саульева [1], И. В. Фрязи-
нова [2]—[6], Хаббарда [1], [2], Н. Н. Яненко [1]—[7] и др.
Мы суммируем результаты этих работ, проводя изложение с единой точки
зрения и опираясь на общую теорию устойчивости, изложенную в гл. VI.
Основное внимание будет уделено принципиальным вопросам теории эконо-
мичных разностных схем.
§ 1. Метод переменных направлений
(продольно-поперечная схема)
для уравнения теплопроводности
1. Об экономичных схемах. Выясним на простейших приме-
экономичных разностных схем,
теплопроводности:
pax предпосылки к написанию
Рассмотрим р-мерное уравнение
р
^- = Lu, Lu = ^Lau,
и |г = 0, и (х, 0) = u0 (х), t <= (0, /0J.
и
§ I. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
357
Пусть G = GOp — р-мерный куб, (0 4^ха-< 1, а = 1, 2, ..., р),
®а={(й^ь iphpi^G} — кубическая сетка с шагом h по
всем х„, а= 1, .... р, — сетка с шагом т = to/na на отрезке
</0.
„	Т д2Ч
Оператор Lau = —=" аппроксимируем разностным операто-
ра
р
ром ^аУ = Ухх’ так что А=2Ла- Напишем двухслойную
схему с весами
yt = Л(а^ + (1 -а)у), x^ak, 0 </ =/гт</0, 1
у L =0, у (х, 0) = и0 (х).	I
h	>
Схема (2), как было показано в гл, VI, § 1, устойчива по на-
чальным данным при
\ 1 h'2
°2 4рх °0'
Полагая о = 0, получим явную схему
Уг = ^У или у = у + х\у,	(3)
устойчивую при условии T^0,5/l2/p.
Если (1) — уравнение с переменными коэффициентами, т. е.
= 3x7 (^“	с2>
то
р
^аУ ~ (а«^х„)ха’ Л = 2 Ла, 0 < йа С2
X UZ	(Х=» ]
и явная схема (3) устойчива при т 0,5/г2/(рс2).
Отсюда видно, что допустимый шаг т для явной схемы надо
уменьшать с ростом числа измерений и ростом максимума коэф-
фициента теплопроводности. Последнее требование является осо-
бенно жестким в случае задач с сильно меняющимися коэффи-
циентами. По этой причине использование явных схем для реше-
ния не только многомерных, но и одномерных (р = 1) задач, ча-
сто оказывается нецелесообразным. С другой стороны, явная
схема обладает тем достоинством, что решение у = yn+i на новом
слое tn+i = tn + т находится по явной формуле (3) и при этом
в каждом узле сетки затрачивается конечное число действий,
так что общее число арифметических операций при переходе со
слоя на слой пропорционально числу узлов сетки ш (есть вели-
чина O(1//ip)),
358	ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	[I
Рассмотрим теперь чисто неявную схему с о = 1. Она устой-
чива при любых т и h. Для определения у получаем задачу
# - тА/) = у, у | = 0, у (х, 0) = Uq (х).
Л
Для решения этой системы \/h? уравнений, например, методом
исключения Гаусса требуется затратить O(l//i3p-2) действий
(если учесть при этом специальный вид матрицы Е — тЛ).
Итак, явная схема требует небольшого числа действий, но ее
устойчивость имеет место при достаточно малом т; неявная схема
безусловно устойчива, но она требует большого числа арифмети-
ческих действий.
Возникает вопрос: можно ли построить схему, сочетающую
лучшие качества явной и неявной схем, т. е.
1)	безусловно устойчивую (как неявная схема), 2) требую-
щую для перехода со слоя на слой затраты (как и для явной
схемы) числа арифметических действий Q, пропорционального
числу узлов сетки ш, так что Q = 0(\/№).
Такие схемы принято называть экономичными.
Приведем один пример для системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, показывающий, что существует неявная
схема, требующая меньшего числа действий (более экономич-
ная), чем явная схема.
Пример (А. А. Самарский [9]). Рассмотрим систему диф-
ференциальных уравнений
-^- + Au = 0, t>0, и(О) = ио,
где и = («<>>(/), .... u<m)(/)) — вектор, А = (ац)—матрица. Пред-
полагаем, что А симметрична и положительно определена. Яв-
ная схема yn+i = уп—хАуп при переходе со слоя на слой тре-
бует 2т2 + 2т арифметических действий.
Пусть А~ = [ai]) ~ нижняя, А+ = (a^) — верхняя треуголь-
ные матрицы, причем а~ = а+ = 0,5а/г Обе эти матрицы (опе-
раторы) положительно определены в смысле скалярного произ-
ведения (,) в Rm, так как А~ = (Л+)* и (Ах, х) = (А+х, х) +
+ ((А+)*х, х) = 2(А+х, х) = 2(А~х, х). Рассмотрим схему
Угп+'т~Угп + А~у2п+1 + А+у2п = 0,	(4)
Угп+г~^+1 + A~y2n+i + Л^2п+2 = О, « = 0,1,...	(5)
Для определения угп+i и г/гп+2 надо обратить треугольные мат-
рицы (Е 4- тА~) и (Е 4- тА+).
2|	§ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ	359
Нетрудно показать, что написанная схема абсолютно (при
любых т > 0) устойчива. Исключим из (4) и (5) у2п+ь Вычи-
тая (5) из (4), найдем
2f/2n + l = У2п + У2п+2 +	(У2п+2 ~ У2п)-
После подстановки этого выражения в (5), получим схему
ВУгп+*~Угп+Ау2п=0, А = А~ + А+,	6)
оператор которой
В = (£ + тЛ~)(£ + тЛ+)
есть произведение двух сопряженных друг другу «треугольных»
операторов (В — факторизованный оператор), так как Л+=
= (Л-)*.
Очевидно, что В — самосопряженный оператор. Остается
проверить выполнение достаточного условия устойчивости:
В - 0,5 (2тЛ) = Е + тЛ + т2Л~Л + - тЛ > Е,
так как Л~Л+> 0 ((А~А+х, х) = ||Л+х||2 > 0). Схема (6) абсо-
лютно устойчива. Она имеет, очевидно, второй порядок точ-
ности.
Пусть Лт— треугольные матрицы, отличающиеся от Л*
только тем, что элементы на главной диагонали заменены ну-
лями. Будем запоминать при решении уравнения (4) вектор
A~y2n+i, а при решении уравнения (5)—вектор А+у2п+2- Тогда
для схемы (4), (5) число действий, затраченное при переходе
от слоя t2n к слою t2n+2 равно Qi = 2m2 + 12m, в то время, как
для явной схемы оно равно Qo = 4m2 + 4m, т. е. Qi Qo при
m > 4.
2. Схема переменных направлений (продольно-поперечная
схема). Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности
^- = Lu + f(x,t),	f«=(0, /0],
u|r = p(x, t), u (x, 0) = u0 (x),
d^u
Lu = Au = (/.] + L2)u, Lau = —Y> a = 1,2.
Область G02 = Go = {0<xa<la, a = 1, 2} — прямоугольник co
сторонами /[ и l2, Г — граница Go = Go + Г.
В ' Go построим равномерную по ха сетку <bh с шагами
hi=l\IN\, h2 = lilN2. Пусть ул — граница сеточной области юА,
содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его
вершин, <bh = <оА + ул. Оператор La заменим разностным опера-
тором Ла:
АаУ = Уха^ л = л, + л2.
ЗбО
ГЛ. VI1, ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(2
Напомним, что в случае одномерного уравнения теплопровод-
ности неявная схема на каждом слое приводит к разностной
краевой задаче вида
~ С1У1 + Biyi+\-----Fh г—1, N— 1,

У№Р2> Л>0, Вг>0,
(8)
А + Bh
которая решается стандартным методом прогонки с затратой
числа O(\/h) = O(N) действий, пропорционального числу N уз-
лов сетки <bh = {Xi = ih, О N}.
Обратимся к нашей двумерной задаче в прямоугольнике.
Сетку <bh можно представит, как совокупность узлов, распо-
ложенных на строках z2 = 0, 1, ..., N2, или как совокупность
узлов, расположенных на столбцах й = О, 1, ..., N\. Всего
имеется N\ + 1 столбцов и N2 + 1 строк. Число узлов в каждой
строке равно jVi Ч- 1, а в каждом столбце имеется N2 + 1 узлов.
Если на каждой строке (или столбце) решать задачу ви-
да (8) методом прогонки при фиксированном i2 (или й), то для
отыскания решения на всех строках (или столбцах), т. е. во
всех узлах сетки, понадобится число O(N[N2) арифметических
действий, пропорциональное числу узлов двумерной сетки.
Основная идея большинства экономичных методов и состоит
в сведении перехода со слоя на слой к последовательному ре-
шению одномерных задач вида (8) вдоль строк и вдоль
столбцов.
Весьма четко эту алгоритмическую идею выражает неявная
схема переменных направлений (продольно-поперечная схема),
предложенная Писменом и Рекфордом [1] и Дугласом [1] в
1955 году. Наряду с основными значениями искомой сеточной
функции у(х, t), т. е. с у = уп и у = yn+1, вводится промежуточ-
ное значение у = ул+1/2, которое можно формально рассматри-
вать как значение у при t = tn+m = tn + т/2. Переход от слоя п
к слою п + 1 совершается в два этапа с шагами 0,5т:
,,ге+1/2 _ п
~0~5т	= Л1Г+1/2 + Л2^ + ф",	(9)
-----------= л1ул+^2 + Л2ул+1 + Фп-
Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах х = х,
сетки шл и для всех t = tn > 0. Первая схема неявна по на-
правлению Xi и явна по х2, вторая схема явна по Х; и неявна
по х2. К уравнениям (9), (10) надо добавить начальные условия
у(х, 0) = и0(х), хейЛ	(11)
3]
§ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ	361
и разностные краевые условия, например, в виде
уп+\ =цп+1 при г2 = 0 и i2 = N2,	(12)
^+1/2 = ц При /] = о и il = Nl,	(13)
где
Й=у (рга+1 + Р")-^Л2(р"+1-р").	.(14)
Смысл краевого условия (12) ясен, а условие (13), опреде-
ляющее граничное значение у, будет пояснено ниже. Отметим,
что это условие было указано в более поздних работах (см.,
например, С. А. Кряквина [1]).
Таким образом, разностная краевая задача (9)—(14), со-
ответствующая задаче (7), поставлена.
Остановимся на методе решения этой задачи. Перепишем
(9) и (10) в виде
4 У ~ Л1У = F, F = 4 у + Л2у + ср, |
2	-	-	2	<15>
\P~^iy = F, F = — y + h-xy + ^. |
Условимся о следующих обозначениях:
xi = О'А> *2^2)» F = Ft lt, y = yw
при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то мы
его не пишем. Тогда (15) можно записать в виде (8), т. е.:
р-Ул-i-26^' + '7^!1 + ‘^2 ~Ftl,
1]	= 1, 2, ..., /V] — 1, у = ц при I] = 0, Nh ,
—т di 1 — 21 —т — । у, 4—у f , । — F{,
h22 12-1	\h22	т) 1г h22 ll+t 11	(17)
i2=l, 2.......N2—	1, у = ц при z2 = 0, N2. .
Пусть задано у = уп. Тогда вычисляем F, затем методом про-
гонки вдоль строк 1'2= 1, 2, ..., Лй—1 решаем задачу (16) и
определим у во всех узлах сетки сщ, после чего вычисляем F
и решаем задачу (17) вдоль столбцов й = 1,2, ..., Лй— 1, опре-
деляя у = yn+1. При переходе от слоя п + 1 к слою п + 2 про-
цедура счета повторяется, т. е. происходит все время чередова-
ние направлений.
3. Устойчивость. Для исследования устойчивости схемы
(9) — (14) проведем исключение промежуточного значения у.
Вычитая из (9) уравнение (10), находим
= У + У - 0,5тЛ2 (у - у),	(18)
362
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
13
Подставим (18) в (9):
- 1Л20-у) = ^ Л, (Hj)-1a,A2($-!/) + A2H(P. (19)
Учитывая, что у = у + xyt, преобразуем (19) к каноническому
виду
(£ — 0,5тЛ]) (£ — 0,5тЛ2) yt = Лг/ + <р.	(20)
Из предыдущих рассуждений ясно, что формула (18) дол-
жна выполняться и при Х\ = 0, Х\ = 1\ (иначе значение г,
не определено при и = 1 и i\ — N\ — 1). Так как у — у, у = ц
при Xi = 0, х\ = /], то из (18) следует
1
У = -2 (н + н)--4-Л2Р1 = Й при Х]= 0, %! = /],
что совпадает с краевым условием (13), (14). Тем самым дока-
зано, что решение задачи (9) — (14) удовлетворяет уравнению
(20) при дополнительных условиях
г/к=Н> Н=А> У(х’ О) = Ио(х).	(21)
Л	Л
С другой стороны, решение задачи (20), (21) является так-
же решением задачи (9) — (14). В самом деле, введем у по фор-
муле (18), найдем из (18)
(£ — 0,5тЛ2) у = 2у — (£ + 0,5тЛ2) у
и подставим это выражение в (20); после несложных преобра-
зований получим уравнение (9). Из него и из (18) следует
(10). Тем самым доказана эквивалентность задач (9)—(14) и
(20), (21). Она имеет место при согласованном задании гранич-
ных значений у по формулам (13), (14), Исследование схемы
(9) — (14) можно заменить исследованием схемы (20), (21)
«в целых шагах».
Применим общую теорию устойчивости двухслойных схем.
Краевые условия предполагаются однородными, т, е. рассмат-
ривается задача
(£ — O.StAj) (£ — 0,5тЛ2) yt = Л у + <р, t 0, 1
у (х, 0) = «о W, У lvA = 0. J
Введем пространство Н сеточных функций, заданных на
и обращающихся в нуль на ул, со скалярным произведением
IV,-1 Аг-1
(у, V) = 2 У W V (х) Мг = 2 2 У (Mi> W v (Mi, Уъ) hih2
x^<s>h	it-l z2-l
и нормой || у || = V{y, у). Будем обозначать А = — Л =
= — (Л1 +Л2). Оператор А самосопряжен и положителен в Н.
31
§ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
363
Норма в энергетическом пространстве НА имеет вид
Ni N,-\	Nt-l N,
11^11д= 2 2 (У^ (г'Д> ^г^г))2	+ 2 2	^2))2Aj/i2
liel f?—i	»1“1 И"1
или
«у 111 -1 у.. If„+1 у„ «’»•	(23)
Рассматривая у = y(t) как абстрактную функцию /Еа, со
значениями в И, запишем схему (22) в виде
Byt + Ау = <р (t), 0 t = пт < i0, у(О) = ио, (24)
где
В = (Д + 0,5тД1)(£ + 0,5тД2), Да=-Ла, Д = Д1 + Д2.
Операторы А\ и Д2— самосопряженные, положительные и
перестановочные (в силу того, что исходная область — прямо-
угольник). Поэтому и Д]Д2>0. Из (24) видно, что
В>Е + 0,5хА,	(25)
т. е. схема (24) устойчива в НА.
Действительно
В - 0,5тД = (е + у А + -у- ДИг) - у А = Е + ~ А, А2 > Е.
Из условия (25) следует, что для схемы (24) верна теорема 8
из гл. VI, § 1 при е = 1, в силу которой решение задачи (22)
удовлетворяет неравенству
/ t	х ч,
1Ы' + т)||л<1Ы0)||л + -^ 2ТИ(П|Н •	(26)
Нетрудно получить априорную оценку
IIУ V + т) || < || у (0) || + ( 3 т || Ф (/') ||’л-/2.	(27)
\t'-o	/
В самом деле, применим к обеим частям уравнения (24)
оператор Д-1 > 0:
Byt + Ay = q, А = Е, ф = Д-1ф, B = A~'+jE + ^-A~'A1A2. (28)
Так как Д], Д2, Д-1 > 0 — перестановочные и самосопряженные
операторы, то Д-1Д|Д2>0 и Б > Д-1 + 0,5хЕ. Поэтому, в силу
теоремы 10 из гл. VI, § 1 верна оценка (27).
Таким образом, справедлива
364
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[4
Теорема 1. Схема (22) устойчива по начальным данным
и по правой части. Для решения задачи (22) верны априорные
оценки (26), (27).
4. Сходимость и точность. Изучение сходимости и точности
схемы (9) — (14), в силу ее эквивалентности схеме (20), (21),
будем проводить для задачи (20), (21). Пусть и = u(x,t)— ре-
шение задачи (7), у = y(xit tn)— решение задачи (9) — (14) и
(20), (21). Подставляя у = z + и в (20), получим для погреш-
ности схемы (20), (21) задачу
Bzt = Az + ф, хе шл,
г = 0, z(x, 0) = 0,
0 t = пх < t0,
(29)
где
В = (£-0,5тА1)(£-0,5тА2)
и -ф — погрешность аппроксимации на решении, равная
ф = <р + Ли — But = 0,5Л (u + и) — и( — т2Л1Л2«( + <р.	(30)
Отсюда видно, что
ф = О (| h |2 + т2), | h |2 = h2 + /12,
если u = u(x,t) имеет ограниченные в QT = Go X [0, А] произ-
водные
д3и	d5u	___,,	d4u	д'"'и
—Л1,	—5——	<Л!,	—г	С Л1,	—J-	(31)
dt3	дх2 дх~2 dt	дх3	дх'\
В самом деле, 0,5 (и + и) = й + О(т2), где й = и(х, tn + 0,5т),
Л1Л2Ы/ ограничено, ut = й + О(т2),
ф = Lu - й + j + О (т2 + | h |2) = О (т2 +1 h |2).
Так как для задачи (29) справедлива оценка (26) при z(0) =
= Zo = 0, то имеет место
Теорема 2. Если выполнены условия (31), то схема (20),
(21) сходится в сеточной норме (23) со скоростью О(т2 + |А|2).
5. Схема для уравнения с переменными коэффициентами.
Напишем схему переменных направлений для уравнения тепло-
проводности с переменными коэффициентами
^ = Lu + f, (x,t)^Qr, u|r = p(x, t), и(х, 0) = uQ(x), (32)
L« = L1u + L2«, Lau = -^ (ka(x,	ka(x,t)>0.
Все уравнения (9) — (14) записываются без изменения, меняется
лишь формула для Ла:
Ла^ = Ла(?)^ = (аа(х> ?)г/ха)Ха> а==1>2> ? =/„ + 0,5т,
5)
§ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
365
л.	°’5а>
где аа, например, определяется по формуле аа = ka или
«а = °-5(йа + ^~1а))> а=1, 2, что обеспечивает второй порядок
аппроксимации для Ла:
ЛГЩ L,all = О (йа)>
Все рассуждения, показывающие эквивалентность схем
(9) — (14) и (20), (21), и в данном случае сохраняют силу.
Схема (20) имеет на решении и — u(x,t) аппроксимацию
О ([ h |2 + т2), если, кроме условий (31), выполнены очевидные
требования гладкости ka(x, t) по xlt х2, t. Отличие от случая
постоянных коэффициентов обнаруживается при изучении устой-
чивости схемы (20). Операторы —Ль —Лг положительные и са-
мосопряженные, но не перестановочные. Поэтому положитель-
ность Л[Лг ниоткуда не следует. Вместо В^Е + 0,5тД удается
доказать, что
В>е£ + 0,5т(1 -схт)А, 0<е<1,	(33)
dka d2ka
где Ci зависит от максимума производных -v-2-,	,
С/Хц иХ[ ОХ2
а= 1, 2. Для решения задачи (20), (21) с однородными крае-
выми условиями при достаточно малом t<^t0(ci), где т0 <
< l/(4ci), справедлива оценка
Ш + т)цлw (0)||л(0) + м2 2 ТIIф(С)II2
(34)
о
где
II0 (t + т) ||л (<) = (а, (х, ?), (УХ[ (t + т))2], + (а2 (х, I), (у.* (t + т))2]2> (35)
(У, V], = 2 S	(у, и]2 = 2 2	(36)
X t e= 1 £г=1	ti=l $2=1
Оценки такого типа можно найти, например, в работе Е. Г. Дья-
конова [4]. Из (34), очевидно, следует сходимость схемы со ско-
ростью О (т2 + | h|2). Заметим, что требование достаточной ма-
лости шага по времени t<<to(ci), при котором верна оценка
(34), является весьма жестким, так как в случае сильно меняю-
щихся по Xi и х2 коэффициентов ka(x,t) величина то может
оказаться столь малой, что условие т-^то не выполняется при
практически допустимых значениях т, обеспечивающих требуе-
мую точность решения задачи. Оказывается, однако, что тре-
бование малости т связано с методом исследования устойчиво-
сти. Ниже будет показано, что схема (9), (10) в случае не
зависящих от t коэффициентов ka — ka(x) абсолютно устойчива
(при любых т > 0 и ha > 0) в другой норме. Если ka(x,t) за-
висят от t, то этим свойством абсолютной устойчивости обладает
366
ГЛ. V11. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
15
несколько измененная схема
= Л> У + Л2 У + ф’
6-п	<37)
•^57 = Л1 (?) у + л2 (t + т) д + <р,
при однородных краевых условиях
#1ул = 0, У lvA = °- У(х> O) = «oW-
Рассмотрим операторно-разностный аналог задачи (37):
= - Aty-A2y + (fi, O^t = nx<to, |
l-«	-	i <38>
= - A{у - A2y + <p2, у (0) = y0, j
где Л1 = Л1(«), A2 = A2(t + x), Ai и Л2— линейные операторы,
заданные на Н. Пусть (,) и || у || = \А(у, у) — скалярное произ-
ведение и норма в Н. Будем предполагать, что Л] и Л2 неотри-
цательные (несамосопряженные, вообще говоря) операторы.
Лемма 1. Если Л 0 — линейный оператор в Н, то
||(£'-(1 -ст)тЛ)г/|К||(Е + сттЛ)у|| при <т>0,5.	(39)
Действительно,
|| (£ + атЛ) у ||2 -1| (Е - (1 - а) тЛ)г/|р =
= 2х(Ау, у) + 2 (сг — 0,5) т2|| Ay II2 >0 при сг 0,5,
откуда и следует (39).
Перепишем (38) в виде
(Е + 0,5тЛ]) у — {Е — 0,5тЛ2) у + 0,5тФ1,
(Е + 0,5тЛ2) tj = (Е — 0,5тЛ]) у + 0,5тф2.
Воспользуемся неравенством треугольника и леммой 1:
|| (Е + 0,5тЛ,) у || < || (Е + 0,5тЛ2) у || + 0,5т|| Ф11|,
|| (Е + 0,5тЛ2) & || < || (Е + 0,5тЛ]) у || + 0,5т || <р21|.
Отсюда находим
IIУ (i + т) ||(2г /+т) < || у (/)1|(2, t) + 0,5т (|| ф, (/) || +1| <р2 (01|),
где
||//(01|(2Л) = ||(£ + 0,5тЛ2(0)//(0Н>||//(/)|| при Л2>0. (40)
Суммирование по t = 0, 1, (л—1)т=/п — т дает
IIУ Ю ll(2> t> <IIУ (0) Н12> 0) + 0,5 Дт (IIФ1 (Г) II + II ф2 (Г) II).	(41)
и
§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ
367
Нетрудно убедиться в том, что априорная оценка (41) со-
храняет силу, если норму || • ||(2) заменить нормой || • ||(2.), где
И 01^ = 11 УII2 + ^\\А2у II2.	(42)
Тем самым доказана
Теорема 3. Схема (37) абсолютно устойчива (при любых
т > 0, h\ > 0, h2 > 0) и для нее верна оценка (41) с cpi = <р2 = <р,
в которой норма || • ||(2) дается формулой (40) и А2 = —Л2.
Однако априорная оценка (41) сама по себе не позволяет
доказать сходимость схемы (37) со скоростью О(т2 + |/г|2).
Этот вопрос будет рассмотрен в§3. Отметим, что оценка (41)
верна и в том случае, когда G есть ступенчатая область (со
сторонами, параллельными осям координат).
§ 2.	Экономичные факторизованные схемы
1.	Схемы с факторизованным оператором. Рассмотрим двух-
слойную разностную схему
Byt + Ay = <p, 0<И = 7т</0, 7 = 0, 1.. i/(O) = z/o- (1)
Пусть известно значение у = у1 на /-м слое, требуется найти
yi+l. Для него получаем уравнение
Byl+i = Fl, F! = (B — тЛ) у> + тер/, / = 0, 1,...,	(2)
где Fi известная правая часть. Пусть для вычисления Fi затра-
чивается число O(N) действий, пропорциональное числу Af узлов
сетки ык (это имеет место для всех разностных схем с шабло-
ном, не зависящим от сетки ш^). Из (2) видно, что устойчивая
схема (1) экономична, если для решения уравнения (2) затра-
чивается число действий O(N).
Пусть Ва, а = 1, 2, ..., р — «экономичные» операторы, т. е.
такие операторы, что длй вычисления решения уравнения
Bav=F	(3)
требуется О(М) действий. Тогда схема (1) с факторизованным
оператором В вида
В = ВХВ2...ВР	(4)
будет также экономичной, так как для решения уравнения (2)
с оператором (4) потребуется O(N) действий. В самом деле,
решение уравнения
В{В2... Bpyi+X = F1	(5)
может быть найдено в результате последовательного решения р
уравнений вида (3), точнее
=	а = 2, 3...р, (6)
368
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
11
так что yi+'=y(p). Здесь у^ = у!+У?...^ = ^4-^ ...,у(р_})=
= yi+ip-mp _ промежуточные значения.
Из предыдущего следует, что устойчивая схема (1) с фак-
торизованным оператором В, являющимся произведением конеч-
ного числа «экономичных» операторов Bf, Вр, является эко-
номичной. Схемы с факторизованным оператором В будем на-
зывать факторизованными схемами.
В § 1 было показано, что неявная экономичная схема пере-
менных направлений( продольно-поперечная схема) эквивалент-
на факторизованной схеме с оператором
5 = 5^2, Ва = Е- 0,5тЛа, Лау = у-л, а=1, 2.	(7)
Рассматривались (см. В. К. Саульев [1]) также факторизо-
ванные схемы с
Ух	У X
B = BlB2, Ba = E + xRa,	(8)
а-1	а-1
где R\ и /?2 — «треугольные» операторы (соответствующие им
матрицы являются треугольными, так называемая, «явная схема
переменных направлений»). Для решения уравнения (3) в этом
случае получаются формулы явного («бегущего») счета. Заме-
тим, что R[ и R2 не являются самосопряженными, а сопряжены
друг другу.
Часто используются «одномерные» разностные операторы Ва
вида Ва = Е — <ттЛа, где Ла — разностная аппроксимация диф-
ференциального оператора La, содержащего производные только
т	г д2и
по одному аргументу ха. Так, например, если Lau =—т, то
дха
^аУ = Ухха	есть трехточечный оператор и уравнение (3) ре-
шается методом прогонки.
Отметим, что для факторизованных схем (с одномерными
в некотором специальном смысле операторами Ва) используется
также название «схемы с расщепляющимся оператором» (см.
Е. Г. Дьяконов [3]).
Одну и ту же факторизованную схему можно свести к после-
довательности простых схем несколькими способами. Укажем
еще один способ. Из (1) найдем
Z//+1 = yi -|- xw!t
где wj есть решение уравнения
ВХВ2... Bpw = ф/, Ф' = - Ayl.	(9)
2]
§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ
369
Для определения wi можно воспользоваться системой р урав-
нений
В1о>(1)=Ф/, Baw(a} = w(a-i}, <х = 2, 3, .... р, (10)
полагая затем
te>/ = te>(p).	(11)
Интересно отметить, что первые экономичные схемы (см.
Писмен, Рэкфорд [I], Дуглас [1], Дуглас, Рэкфорд [1]) составля-
лись так, чтобы можно было легко исключить промежуточные
значения; это приводило к факторизованной схеме «в целых
шагах», связывающей значения yj и zp+l.
2.	Краевые условия. Требования устойчивости и аппрокси-
мации предъявляются к факторизованной схеме (1). Уравнения
(6) или (10), (11) можно трактовать как вычислительный алго-
ритм для факторизованной схемы (1). Такая эквивалентность,
как было отмечено в работе Е. Г. Дьяконова [3], имеет место
лишь при согласованном задании краевых условий.
Поясним это на примере. Пусть требуется решить первую
краевую задачу для уравнения теплопроводности в прямоуголь-
нике Go = (0 < %] < Ц, 0 < х2 /2) с границей Г:
—- ==(L1 + L2')u + f(x, t), «|г = ц(х, t), и(х, 0) = иа(х), (12)
дха
Пусть = {(ij/Z], 12/г2)} — прямоугольная сетка в Go с шагами
Л, и k„
Напишем факторизованную схему (1)
BxB2yt = Лу + <р, у!\ч = р,1, уа = и0(х),	(13)
где = Е— отЛа, Л = Л] + Л2, ун— граница сетки Для ре-
шения задачи (13) при переходе со слоя на слой воспользуемся
алгоритмом (6):
Е7 = (В1В2+тЛ)г// + т<р/, 1
вгу‘--ую.	/	(|4>
с краевыми условиями z//+1 ЬА = ц/+1.
Так как оператор BiB2 определен на йд (включая границу
Xi = 0 и X] = /]), то уравнение В2у^ = у^ должно удовлетво-
ряться не только при 0 < Х\ < /j, но и на границе при xi = 0, 1\.
Поскольку yl+l lv = ц/+1 известно, то отсюда следует, что
Ущ — (Е — сгтЛ2) р/+1 = [Д+1 — сгтЛ2|Д+' при = 0, /].	(15)
370
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[3
Если z/(i) при xi = 0, /] определяется по этой формуле, то за-
дачи (13) и (14), (15) эквивалентны, в чем легко убедиться
исключением у^ из (14). Для второго алгоритма
В1ПУ(1) = Ф/, Ф1 = Л.у1 + <р/, B2W(2) = ®(i)> yi+i = У*' + тгзУ(2) (16)
краевые условия задаются так
„ж — ц/
йУ(1) = (Е — сгтЛ2)-^-с- при а, = 0, /1(
и/+1 —и/	Т	07)
0У(2)=——при х2 = 0, /2
(т. е. tei(i) = 0, аУ(2) = 0 на ул, если ц не зависит от t).
Отметим, что при записи схемы (1) в матричной (оператор-
ной) форме краевые условия можно считать однородными, из-
меняя соответствующим образом правую часть ф в приграничных
узлах. Для факторизованной схемы получим также однородные
краевые условия (z/(i> = yi = 0, а>(1) = ш(2) = 0 при хе у*), однако
для сохранения порядка аппроксимации в правую часть факто-
ризованной схемы в приграничных узлах при i\ = 1 и i\ = N\ — 1
надо внести поправки —a2T2Ai”2A2pz.
3.	Построение экономичных факторизованных схем. В лите-
ратуре описан ряд способов получения экономичных фактори-
зованных схем.
1) Метод расщепляющегося оператора (см.
Е. Г. Дьяконов [3]).
Строится факторизованный оператор В = Bi ... Вр, напри-
мер, Ва = Е — отЛа, где Ла одномерные операторы, и рассмат-
ривается факторизованная схема
Ву<+1 = Cyl + тфЛ	(18)
Оператор С выбирается так, чтобы схема (18) была устой-
чивой и обладала аппроксимацией.
2) Метод приближенной факторизации (см.
Н. Н. Яненко [6], Г. И. Марчук и Н. Н. Яненко [1]).
Пусть дана схема с весами
р	р
Byi+l=Cyl, где В = Е-от5Ла, С = Е + (1 - а) т 5 Аа. (19)
а=1	а»1
Заменяя В и С факторизованными операторами
В = Bt ... Вр, С = Ci ... Ср, Ва = Е — атЛа,
Са = Е + (1 — а)тЛа,
перейдем от схемы (19) к факторизованной схеме
Byi^^Cyi.	(2Q)
3J
§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ
371
Эта схема аппроксимирует исходное дифференциальное урав-
нение, если схема (19) обладала этим свойством (порядок ап-
проксимации при переходе от (19) к (20) может измениться).
Оба предыдущих подхода характеризуются тем, что сначала
пишется схема сложной структуры, а затем устанавливается ее
устойчивость.
Наличие теорем гл. VI об устойчивости двухслойных схем
позволяет формулировать общий метод построения устойчивых
экономичных факторизованных схем (метод регуляризации,
А. А. Самарский [8], [16], [20], [26], [27]).
Пусть дана схема (1) с оператором
В = Е + xR.
Достаточное условие устойчивости для нее имеет вид
В>0,5тА.	(21)
Пусть схема (1) устойчива (т. е. выполнено условие (21)) и В —
некоторый оператор, такой, что
В.
Тогда и схема (1) с оператором В устойчива.
Пусть R есть сумма конечного числа «экономичных» опера
торов
/? = /?,+ ... + Rp.
Факторизуем оператор В = Е + x(Ri + ... + RP), т. е. заменим
его факторизованным оператором
В = В, ... Вр, Ва = Е + xRa
и перейдем от исходной схемы (1) к факторизованной схеме
fi1 ... Bpyt + Ay = ф	(22)
(при этом может оказаться необходимым для сохранения ап-
проксимации заменить ф на ф вблизи границы сеточной обла-
сти).
Если схема (1) устойчива и Ri, . .. , Rp являются самосопря-
женными (Ra = неотрицательными (Ra >0) и попарно
перестановочными (RaR& = R&Ra.’ а, ₽ = 1, 2, ..., р) операто-
рами, то факторизованная схема (22) также устойчива.
Для простоты положим р = 2. Тогда В = ДВг = Е + xR +
+ x2RiRi = В + x2RiR2, т. е. Д > В > 0,5тА, так как R\R2 0 (это
следует из сделанных выше предположений относительно Да).
Таким образом, Я>0,5тА, т. е. факторизованная схема (22)
устойчива.
Операторы Ra следует выбирать так, чтобы выполнялось и
условие аппроксимации.
372
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[3
Пример 1. Пусть требуется решить задачу (12) для урав-
нения теплопроводности с переменными коэффициентами так,
что
Аам = -^^а(х,/)^-), 0<С1<£а<с2.	(23)
Соответствующий разностный оператор Аа имеет вид
\у = (ааУ^Ха’ 0<с,<аа^с2.
Обозначим A°w = w- _ .
“ хаа
В пространстве Ил (см. гл. V, § 1) сеточных функций, задан-
ных на <од, имеем
Аа < с2Аа, где Аа = - Аа, А°а = - А°.	(24)
В качестве Ra возьмем операторы
Ra = ос2А°а,	(25)
так что Ray = - ос2ух , где у е Qh.
Условие устойчивости (21) будет выполнено, если взять
а>0,5 (и даже а>0,5—1 /(т||А||)). Таким образом, Ва =
= Е + xRa — трехточечные разностные операторы с постоянны-
ми коэффициентами. Факторизованная схема имеет, по крайней
мере, первый порядок точности по т.
Пример 2. Пусть требуется решить первую краевую за-
дачу для параболического уравнения со смешанными производ-
ными в параллелепипеде Со = (0 ха 1а, а = 1,2, ..., р):
~хт~ = Lu + f(х, t), и|г = ц(х, t), и(х, 0) = и0(х),
р
a=l a, 3=1 и	1 a=l
В качестве Ra снова выбираем операторы (25). Эти операторы
в Пл являются самосопряженными, положительными (при а>0)
и попарно-перестановочными (так как область Со—параллеле-
пипед). Полученная схема устойчива при условии a >0,5. Так
как Ва = Е + xRa, a = 1, 2, ...,р — трехточечные разностные
операторы с постоянными коэффициентами, то .алгоритм опре-
деления yi+l при заданном yi тот же, что и в предыдущем при-
мере.
3]
§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ
373
Пример 3. Схема повышенного порядка точ-
ности для двумерного уравнения теплопровод-
ности. Рассмотрим задачу (12). Нетрудно убедиться в том,
что схема
(Е-oixAl-<j2xA2)yt = A'y + <p, //|уЛ = р, у(х, 0) = «0(х),
+ h2
где А' = Л, + Л2 +	А{А2, Аау = у.^,
1 й2	й2	й2
CT« = T-W’ а=1-2> Ф = Ф/ = //+'/а +	+-^L2fi+'k
или
й2	й2
<р' = //+/, + _L + -11Л2//+Ч	(27)
имеет в классе решений уравнения (12) погрешность аппрокси-
мации О (т2 +1 h |4), | h |2 = А2 + А2.
Факторизованная схема, очевидно, имеет вид
(Е — с{хА{)(Е — а2тЛ2) yt = А'у + <р.	(28)
Покажем, что она абсолютно устойчива по начальным данным
и по правой части и, следовательно, экономична.
При изучении устойчивости предполагаем, что у|уЛ = 0. Вво-
дя как обычно операторы Аа = —Аа, а= 1, 2, перепишем (28)
в виде
Byt + А'у = <р, г/(О) = //о,	(29)
где
А' = Л] + А2— (х( + х2) Л[ А2, ха = А2/12, Л1 + Л2 = Л,
аа = 0,5 — ха/т, В = (Е + с^тЛ]) (Е + а2хА2) =
= Е + 0,5тЛ — X] Л] — х2Л2 + (0,5т — xj (0,5т — х2) А1 Л2.
Так как область Ga — прямоугольник, то Л] и Л2 перестано-
вочны. Кроме того, Аа = Аа>0. Проверим условие В^0,5хА'.
Сначала заметим, что || Ла||<4/Аа и ха|| Аа II < Учитывая не-
равенство Аа || Аа || Е, получим
В 0,5тЛ = Е Х| Л । — х2Л2 -J- 0,5т (Х| -1- х2) Л। А2 -т
+ (0,5т — X]) (0,5т — х2) Л]Л2 = Е — х^ — х2Л2 +
+ (-^- + х1х2) Л1Л2>£-х1 II Л] ||£ —х2|| Л2II £ >-^ £,
т. е.
£>0,5тЛ' + 4-£.	(30)
О
Тем самым доказана устойчивость (29) в На'-
374
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
14
В частности, в силу теоремы 8 из гл. VI, § 1 имеет место
априорная оценка
/ /	\У»
II У!+' Нл, <11 Уо 11л< + у 4 2 т|| <pl' IP .	(31)
\/'-о	'
Для погрешности zi = yj— {и — решение задачи (12)) верна
оценка
/ /	\7.
11<+Ч1л<4 ЦтЦфЯР) .	(32)
\/'=о
где ф-'— погрешность аппроксимации на решении для фактори-
зованной схемы (28). При переходе от (31) к (32) мы восполь-
зовались тем, что г° = 0 и
о
Af == А — (И] + Х2) -^1-^2 >	— X) |) Д] || Л2 — Х21| А^ || Aj > -3* А,
так что
|| z ||л, > /2/3" IIz ||л.
Из (32) следует, что схема (28) сходится в НА со скоростью
О(т2 + |/гр).
4. Схемы расщепления как факторизованные схемы. Рас-
смотрим схему с весами для однородного уравнения теплопро-
водности
^ = А(а0 + (1 ~о)у), A = A,+ ... +Ар, \у = ух^. (33)
Н. Н. Яненко [1] предложил аппроксимировать ее системой
р одномерных схем с весами
y(g~1)- = Aa(gy(a) + (l ~o)y(a_l}), а=1,
т	(д'*)
Ут = У!, У(Р) = У1+{,
где Ум — yi+aip< (/(Ш У(2),  , У(р-1)~ промежуточные значения.
Систему уравнений (34) можно записать в виде
ВаУ(а) ~ ^аУ(а-\)>	-	(35)
где Ва = Е — сгтЛя, Са = Е + (1 — а)тАа, a = 1,2, ..., р. Пола-
гая a = 1, решаем уравнение В{ут = C\yj и находим ут. Пола-
гая затем a = 2, 3, ..., определим y<2), ..., г/(р-!> и, наконец,
У(р) = У}+i-
Для выяснения вопроса об устойчивости и аппроксимации
был предложен переход от (35) к схеме «в целых шагах», свя-
41
§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ
375
зывающей у> и Исключая ут, у^, .... из (35), полу-
чим факторизованную схему
В, ... Вру1+1 = СХ ... Сру’.	(36)
Она не совпадает с исходной схемой (33). Заметим, что исклю-
чение г/(1), ..., У(р-Г) возможно только при попарной перестано-
вочности операторов Ль ..., Ар. В самом деле, пусть р = 2 и
В1Ум ~	^2У'+1 = С2Уо).	(37)
Действуя на первое уравнение оператором С2, а на второе — опе-
ратором В|, получим
B\B2yi+x = (В]С2 — С2ВХ) г/;,) + С2Сху1.	(38)
Отсюда видно, что член с у^ равен нулю, если ВХС2 = С2ВЬ
т. е. AiA2 = Л2Л1. Тогда получим
BxB2yi+'=CxC2yi.	(39)
Однако эквивалентность (35) и (36) имеет место не всегда. Это
связано с тем, что для надо для эквивалентности ставить
граничное условие специального типа.
Поясним это на примере. Рассмотрим задачу (12) с f = 0.
Напомним, что область <70 = (0 ха la, а = 1, 2)—прямо-
угольник. Схемы (35) и (36) эквивалентны, если уравнение
В2у!+Х = C2yw или (Е — атА2) yi+x =(Е + (1 -а)тЛ2) у’+'й (40)
выполняется не только при 0 <	< 1\, но и на границе, при
хх = 0, Х| = /|. Определить yl+'la |уЛ из (40) можно только при
достаточно малом т. Кроме того, существует вторая трудность:
как определить правые части в уравнениях
514'(1) = С1у/ + т(р{, B2yi+' = C2yw + x^,	(41)
чтобы эти уравнения были эквивалентны уравнению
BxB2yi+x = СхС2у1 + х<р!, у^у1 при хеуА, (42)
которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение.
Исключая из (41) у^, получим
BxB2yi+x = CxC2yi + х (С2<р( + Вх^).	(43)
Требование у1 = С2<р( + Вх<р^ будет выполнено, если <р( = 0, а <р/
удовлетворяет уравнению В]ф2 = (Е — атЛ])<р2 = <р. При Х] = 0,
Xi = /j вместо (40) должно выполняться условие В2у1+Х = С2у{Х} +
+ xq>!2, а при х2 = 0, х2 =/2 — условие Вхух) = Сху’ + т<р(. Полагая
ут = у,+х при Х] = 0, хх—1х, получаем краевые условия для
<р'= — Л2|Д+1 при Xj = O, x( = /r
376
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[6
В результате мы получаем эквивалентную (42) систему одно-
мерных схем:
В\У(\) = С\У^ В2У1+1 = С2У(1) + Х^2’
г/(1) = ц'+1 при *1 = 0,
В, ср1, = ф' при 0<х1</1, 0<х2</2,
Ф^= —Л4Р+1 при х, = 0, Xj == Zt,
У1+1 lvA = P/+l-
Её можно записать также в виде
,,/+'/2 _,
(Е — arAj)——-—— = Л^у1 при 0 < X] <0^х2^/2,
уУ + '/г = ц/+1 ПрИ Х]=0, ХХ=1Х,
и! + ] _ ц/' + ’/г
(Е-сгтЛ2)2---------=Л2г//+'/2 + ф/ при 0<х1</1, 0<х2</2,
^/+i = p/+i ПрИ х2 = 0, x2 = Z2,
(Е — cttAJ ср/ = ф/, хе соА,
Ф^= —Л2р/+1 при х^О, x[=Z1.
(45)
Обращаясь к факторизованной схеме (39) и приводя ее
к каноническому виду, замечаем, что при о — 0,5 она совпадает
с факторизованной схемой для продольно-поперечной схемы,
рассмотренной в § 1, и потому имеет точность О (т2 + |h|2).
Если Ва и Са вычислять по формулам Ва — Е— оагЛа, Са —
1 Уа
= Е + (1 — ста)тЛа, то при ffa = у ~ 72т" > а, = 1,2 получаем
схему О (т2 +1 h |4) при условии, что ф определяется по форму-
ле (27).
Подводя итоги, следует отметить, что факторизованные схе-
мы применимы лишь для областей специального типа, точнее,
для прямоугольников и для параллелепипедов. Исключение
представляет лишь случай В = В}В2, Ва = Е + xRa, где Ri и
R2— треугольные операторы. Однако, при этом понижается по-
рядок аппроксимации (которая имеет место лишь при условии
т = O(Zi2)).
5. Трехслойные факторизованные схемы. Рассмотрим эконо-
мичные трехслойные схемы. Пусть дана схема
Ву° + x2Rylt + Ау = ф, O<Z = /t<Zo, Z/(O) = Z/o> У^) = У\- (46)
Разрешая ее относительно zE+1, находим
(В + 2т7?) yl+l = 2т (2R - А) у’ + (В - 2т7?) у'-1 + 2т<р',
5]
§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ
377
Отсюда видно, что для экономичности трехслойной схемы надо,
чтобы оператор В + 2xR на верхнем слое был факторизован.
Рассмотрим в качестве исходной схемы схему с весами
z/= + X(ffi^ + (l-ffi-ff2)Z/ + o2^) = 4P, У(О) = Уо, У(у} — У\- (47)
Запишем ее в каноническом виде (см. гл. VI, § 2):
(Е + т (af — <у2) Л) У° + 0,5 (<?! + а2) т2Лг/0 + Ау = <р (48)
и найдем оператор В + 2xR = Е + 2в\хА. Пусть А = At + А2.
Заменим В + 2т/? факторизованным оператором
В + 2xR = (Е + 2alxAJj (Е + 2о}х Л2) = Е + 2о}х А + 4ст(т~ A j Д2.
Поскольку имеется одно условие для двух операторов В и R, то
можно построить ряд факторизованных схем.
Перепишем (48) в виде
(В + 2т/?) yt + (В - 2т/?) уг + 2 А у = 2<р.
Заменим В + 2т/? факторизованным оператором В + 2т/? и при-
ведем полученную схему к каноническому виду, учитывая при
этом, что
//( = //;+0>5^fz. Ут = У° -
В результате получим
Е + т(сГ] — сг2) А +2а^х2А1А2)уо + т2 А + о2тД,Д^ уц +
+ Дг/ = <р, у(О) = уо, у(т) = уь (49)
так что
B = B + 2a2x2AlA2, R = R + a2xAtA2
(ср. с (48)).
Для определения у’+! при заданных yi и yi~{ можно восполь-
зоваться следующим алгоритмом
BiW({} = Fl, Fi - (2xR - B)yit- 2Ayi + 2<p?,
B2w(2) = w(I), yl+i = y1 + xw(2),
Bl—E + 2axxA}, B2 = E + 2<yIxA2.
Вопрос о краевых условиях для w(i) решается так же, как и в
случае двухслойной факторизованной схемы.
Для исследования устойчивости факторизованной схемы (49)
надо воспользоваться общими теоремами из гл. VI, § 2. Доста-
точными условиями устойчивости являются условия
0!>СГ2> о! + сг2 > 0,5; Ла = Д’>0, Л1Л2 = Л2Л1.
378
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[8
Если oi > аг, oi + аг > 0,5, Аа = X* > 0, то исходная схема ус-
тойчива, так как
42? > Л.
В силу перестановочности Ах и А2, АхА2>0, т. е. Б > В, R>R.
Отсюда и из устойчивости исходной схемы следует устойчивость
факторизованной схемы (49).
М.ы рассмотрели частный случай, когда R = оЛ, о =
= 0,5(oi + 02). Укажем общий метод построения трехслойных
экономичных факторизованных схем, основанный на принципе
регуляризации разностных схем (см. гл. VI, § 2, п. 9). Рассмо-
трим некоторую исходную разностную схему
У° + x2Rylt + Ау = ф, 0</ = /т</0, у(О) = ио, у(т) = й0 (50)
(значение у(т) = йо при I = т выбирается так, чтобы обеспечить
второй по т порядок аппроксимации). Оператор R выбирается
так, чтобы схема (50) была устойчивой.
Запишем исходную схему в виде
(E + 2xR)yt = - F, F = (2xR-E)yl-2Ay + 2<$.	(51)
Пусть R есть сумма экономичных операторов, R = Rx + R2+'...
р
. .. +RP. Заменим в (51) Е + 2xR = Е + 2т У, Ra факторизован-
а=1
ным оператором
р
Е + 2xR = П (Е + 2тЕа) = Е + 2т/? + 4t2Qp, R = R + 2xQp,
а=1
где Qp = RXR2 при р = 2, Qp = RXR2 +RXR3 +R2R3 + 2xRxR2R3
при p = 3 и т. д., и вместо (51) рассмотрим факторизованную
схему
Вх ... Bpyt = - F, Ва — Е + 2xRa.	(52)
Приведем (52) к каноническому виду
Ву° + x2Ryft + Ау = у,	(53)
где В = Е + 2x2Qp, R = R + xQp.
Пусть фо(«)—погрешность аппроксимации (в классе реше-
ний и = и(х, t) непрерывной задачи) для исходной схемы (50),
ф1(и)—для факторизованной схемы (53). Нетрудно заметить,
что
Ф! («) = Фо (и) + Ф‘> Ф’ = ^x2Qput.
Если || Qput 11(2») = О (1), где || • ||(2.) — некоторая сеточная
норма (фигурирующая в теоремах об устойчивости), то
5|	§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ	379
IIф* 11(2.) = О (т2) и при переходе от исходной схемы к экономич-
ной факторизованной схеме (52) погрешность аппроксимации
меняется на величину О(т2). Таким образом, указанный процесс
позволяет получать экономичные факторизованные схемы с со-
хранением второго порядка точности по т (за счет, вообще го-
воря, некоторого повышения требования гладкости решения и).
Чтобы исследовать устойчивость (50) и (53), нужно рассмат-
ривать операторы и А как линейные операторы из Н = Qh
в Н (это значит, например, для (26), что краевые условия на
Ул однородны).
Пусть выполнены условия
Л = Л*>0, Ra = Ra>0, а=1, 2, ..., р. (54)
Тогда исходная схема (50) устойчива при
/?>-Ц^Л, е>0.	(55)
В случае переменного Л = Л(/) требуется, кроме того, что-
бы Л (?) был липшиц-непрерывен по t. Оператор R мы будем
выбирать постоянным.
Если операторы Ra попарно перестановочны, то из устойчи-
вости исходной схемы следует устойчивость факторизованной
схемы (53), так как Qp > 0, В — Е + 2t2Qp > Е, R—R + xQp>R,
т. е. 7? > 1 6 Л.
Выбор регуляризатора R как для двухслойных, так и для
трехслойных схем проводится по одному и тому же принципу.
Важно отметить, что одним и тем же регуляризатором R можно
пользоваться для различных операторов Л.
Рассмотрим задачу (12) с операторами (23) (пример 1).
В этом случае
КаУ = - ^2А°ау, А°ау = у-аХа, 4а>1 + е, е>0,
2
Ау = (ааух \ Ау— — Ау.
а=1 '	а./х&
Оператор Л=Л(7) липшиц-непрерывен, если | (fea)11c2ka.
При решении системы разностных уравнений (52) можно вос-
пользоваться алгоритмом
= — F, x<=®h,	— при х, = 0, lit
B2W(2) = ww, x<=(ah, w& = iit при x2 = 0, l2,
yl+l = yl+xw(2),
где
Ba = E + 2xRa = E — 2тоС;Аа.
380
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
15
Для задачи (26) оператор L аппроксимируем разностным
оператором (см. гл. IV, § 2):
Л (0 У = 0>5 2 Г(х, t) у(х, t) у \ 1,
а,0=«1|_\	р/ха \ к	0/xaJ
Ау = - Л(0г/.
Операторы Ra— те же, что и для предыдущей задачи,
/? = S/?a, Ray = - ос^у, Л<>ау = у
а=1	а а
Липшиц-непрерывность оператора А в И = й/, обеспечивается
требованиями
1(М1<сз>	1 Ц(х,0и₽<с22&
a=I a, 0=1 н	н а=1
ГДе С2> С] > 0, С3 > 0.
Аналогично проводится построение факторизованной схемы
для исходной схемы вида
(Е + т2Д) уц + Ау = ф, R = 2 /?а-
а=1
Рассмотрим конкретный пример.
Для уравнения гиперболического типа в прямоугольнике
G = (0<xa</a, a= 1, 2):
-g- = (L1 + L2)« + f(x), La« = ^, xt=G,
dt	d*a
ы|г = ц, и (x, 0) = uQ (x), 4^-| =й0(х), x<=G,
выберем исходную схему с весами
= Л (or//+ (1 - 2ог) у + огу) + ф, t = /т, /=1, 2.
Л = Л1 + Л2, A.ay = y_^x^t 4<т	1 + е,
у |Y = и, у(х, О) = «о(х), yt(x, О) = йо(х) = йо + О,5г(Еио + 1(х, 0)).
Записываем эту схему в каноническом виде
(£ - <тт2Л) yft = Лу + ф	(56)
и переходим от нее к экономичной факторизованной схеме, на-
пример,
(Е - <тт2Л J (£ - огт2А2) yft = Ху + ф.	(57)
6]
§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ
381
Если исходную схему записать иначе
(Е - <тт2Л) yt — F, F = (E — ат2 Л) у{ + х (Ау + <р),
то после факторизации получим экономичную факторизованную
схему
(Е — от^Л,) (Е — <тт2Л2) yt = F
или
^Е — <тт2Л 4- —j— -\Л2) ytt + <t2t3AiA2z/o = Ay + ф. (58)
Обе полученные факторизованные схемы (57) и (58) имеют
второй порядок точности по х при любом о и устойчивы при
4о > 1 + е.
Нетрудно построить экономичные факторизованные схемы
для случая, когда La определяется формулой (23).
В этом случае в качестве исходной выбираем схему
(Е + т2/?) уа = Ау + ф,
где	2
Az/ = 2 (ааух \ , Ry = - оАу, Ау = у + у .
а=1^ а	11	2*2
Параметр <т выберем так, чтобы выполнялось условие устой-
чивости (Ry, у)^ -|-(— Ау, у) при любом у ей, где Q — мно-
жество функций, заданных на ©я и равных нулю на границе сет-
ки ул. Для этого, очевидно, достаточно положить <т = с2/4.
Заменяя оператор Е + т2 (R^ + R2) факторизованным опера-
тором (Е + x2R^(E + т2/?2), где Ray = — аух х , а = 1, 2, получаем
экономичную схему
(Е + т2/?,) (Е + т2/?2) ув = Ау + ф,
У lv = И, У (х, 0) = и0 (х), yt (х, 0) = й0 (х),
где й0 = й0 + 0,5т (Lu + /) |/=0.
Эта схема абсолютно устойчива и имеет второй порядок точ-
ности по т и |Л|.
6. Схема повышенного порядка точности для уравнения па-
раболического типа с эллиптическим оператором, содержащим
смешанные производные. Пусть G — {0<^ха<^/а, а = 1, 2} —
прямоугольник с границей Г. Рассмотрим в цилиндре
СХ[0-С/^Е] первую краевую задачу для параболического
уравнения
~ = Lu + f(x,t), xs=G, 0<t^T,
и (х, t) = ц (х, t), х е Г, 0 t Т,
(59)
и (х, 0) = гг0 (х), г е G,
382
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[6
где
Lu = L\U + 2aI2LI2w + L2u,
, д2ц	1 о i	дги
LaU^—y, a =1,2, Ll2u = -
dxa	dx} dx2
Условие параболичности имеет вид
I а12 К 1.
Напишем для задачи (59) экономичную факторизованную
схему, имеющую точность О(т~ + /г4), где т— шаг сетки
®т = {^ = /т> / = °> *• •• •}
и /г — шаг квадратной сетки
®л = {х4 = (*Л/2й), za = 0, 1..Na, hNa = la, a=l, 2}.
Пусть у— граница сетки йл, = ощ + у.
В гл. IV, § 2, п. 5 для стационарной задачи
Lu=~f(x), x^G, ы|г = р(х)
была построена схема, имеющая точность О(/г4). Эта схема
имеет вид
А'У=~Ч(х), x<=ah, z/|v = p(x),
где
Л'г/ = Лг/+ КхК2у, Ку = Кху + 2aI2AI2z/ + Л2г/,
Aal/ = ^axa> a=1- 2> й = 1 + 2a*2 — 3 | a121,
_[ ^У = ^[уХхХ+ух^ при а12<0,
A^ = 0>5(^ + ^J ПРИ ai2>°>
<p = f + ^Af.
(60)
(61)
Было показано, что оператор А' = —Л' энергетически эквива-
лентен оператору А = —(Ai + Аг):
Ci (Ау, у) < (А'у, у) < с2 (Ау, у), г/ е Q, с2>сх>Ъ. (62)
Для получения схемы повышенного порядка точности,
аппроксимирующей нестационарную задачу (59), применим
следующий формальный прием. Заменим в уравнении (60)
6]	§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ	383
функцию ф(х) выражением
Ф = / + ^-л/ = / + ^-л/ + О(П
где f = f — -|у- и « — решение уравнения (59).
В результате получим
Подставим сюда Lu =	— f:
dt 1 12 dt dt ' 12 dt2 12 dt
и заменим производные no t разностными отношениями:
> = «? + О(т2), ^ = ии + О^).
Отбрасывая слагаемые О(т2 + й4), получим
ф = ф —	+ ^2 иц) »	= f + ~f2 (Af +
Произведем, наконец, замену и на y=yi и подставим функ-
цию фв правую часть уравнения (60). Тогда получим трехслой-
ную схему
У°. + ту У и = Л'У + Т > ]
Л2	(63)
ф-/+4(л,+;.). j
Из построения следует, что погрешность аппроксимации равна
ф = А'и + ф - и= - -^ult = O (т2 + /г4).	(64)
Схема (63), как следует из общей теории устойчивости трех-
слойных схем (см. гл. VI, § 2) устойчива при условии
Л2
Т ----7==^ .
2/бс2
Напишем безусловно устойчивую схему с тем же порядком
аппроксимации. Для этого выберем регуляризатор
Ry = (Ri + R2) У = * Ay, * = -Цр- с2, е > 0,
где Ray = — хАау, у^ Q и с2 — постоянная из (62). Отсюда и
1 *f“ 8
из (62) видно, что R^А'.
384
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Отправляясь от (63), напишем схему
У ° + (12 Е + т2^) ytt = ^'У + Ф-	(65)
Безусловная устойчивость этой схемы следует из того, что
для нее при любых т и h выполнено достаточное условие устой-
чивости
+	А'у= — А'у, z/eQ.
В самом деле,
У2 Е р _ ..!. + g д' ;>...L р j_ р Е2 д -> У2 р>о
12t2£ + /< 4 Л 12т2 £ + К 4 Л > 12т2 £'>и'
Погрешность аппроксимации схемы (65)
ф = [Л'« + ф— (и° +	— t?Ru„.	(66)
L	\ t 1а гг/ j	Г£
Из (64) следует, что ф = О(т2 + /г4).
Перейдем теперь к построению факторизованной схемы. Пе-
репишем исходную схему (65) в виде:
[(1 +^-)£ + 2тф, + [(1 -^-)£-2т/?]^=2(Л'у + ф) (67)
и заменим оператор при yt
(1+^)Е+2тД = 4(Е + аг(Д, + Лг)), « = 1+Д(6т,
факторизованным оператором
4 (Е + arRt) (Е + gt7?2) = | (Е + arR) + 2<ггЗД2.
Тогда вместо (67) получим
(Е + (j-tRi) (Е + ит/?2) yt = F,	|
г- /А, , ,  <т /. А2 \	}	(68)
F = о (А'у + ф) - -у 1 -	)	z/f + <тт/?yr	j
Это уравнение выполняется во всех внутренних узлах хеид
и всех / = /т>0. К нему надо присоединить граничное условие
У 1у = Р" (^»
и начальные условия
у(х, О) = «о(х), хейц,
yt(x, О) = «о(х),
«о (х) = Lu. (х) + f (х, 0) +1 (l2«o (X) + Lf (x, 0) +	.
6)
§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФЛКТОРИЗОВАННЫЁ СХЕМЫ
385
Первое начальное условие является естественным, второе ус-
ловие строится по правилу, указанному в гл. I, § 1, п. 6.
Задача (68) может быть решена при помощи следующего
алгоритма переменных направлений
(Е + axRl)w(l) = F, x^ah,
ау(1) = (Е + <ттТ?2) щ, Х!=0,	=
(Е + axR2) ау(2) = ау(1), х <= ah,
ЙУ(2) = И/, %? = 0, *2 = /г,
y = y + xw{2).
Функции W(1) И W(2) находятся по формулам прогонки вдоль строк
и столбцов соответственно.
Запишем задачу (68) в каноническом виде
^E + ox2RlR2)y. + ^E + x2R + ~RlR2)ylt = A'y+(f) I
1	х 1	7	г (Ь9)
z/|Y = pi(x, t), у(х, O) = Uo(x), z/Дх, 0) = йэ(х). j
Пусть у = yi — решение задачи (69), а и — и (х, t) — решение
исходной задачи (59), zi — yi — ui — погрешность схемы. Под-
ставляя у = z + и в (69), получаем для z следующую задачу:
Bz° + DzJt + A'z = W,
(70)
z(x, 0) = 0, zt (x, 0) = v (x), z |Y = 0,
где
A'z= — Az, B = E + ox‘1RlR2, ]
П _ p I —2 n I от3 p p „ — _________2____(	(71)
D l2b+xR+ 2 RxRz, or 1 + A2/(6x) - J
Очевидно, что В, D и А' можно рассматривать как линейные
операторы, определенные в пространстве Н = й сеточных функ-
ций, заданных на сетке и обращающихся в нуль на ее гра-
нице. Правая часть Y уравнения (70) есть погрешность аппрок-
симации уравнения (1) факторизованной схемой (69):
W = ^-ox2RlR2ui,	(72)
где ф— погрешность аппроксимации схемы (65).
Из (66) и (72) следует, что
Т = О (й4 + т2)	(73)
в классе функций и(х, t), имеющих непрерывные в QT =
= G X [0 t 7] производные по Xi, Хг до шестого порядка,
по t до третьего порядка включительно, а также смешанные
13 А. А. Самарский
386
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[8
производные
д5и
dx^dx^dt
Из выражения для yt(x, 0) следует, что
в этом же классе функций
v = Lu0 + f (х, 0) +
+ 0,5т (l2u0 (х) + Lf (х, 0) + -д/(а70)) - Щ (х, 0) = О (т2). (74)
Регуляризатор 7? выбран так, что
R>-~A', е > 0.
Самосопряженные операторы Ri и R2 положительны и пере-
становочны, поэтому их произведение RiR2 есть самосопряжен-
ный положительный оператор, RtR2 > 0. Отсюда следуют нера-
венства
т2 । Л2 с . от3 n п т2
D>-^-A +Е + ~2~ R\R2>А ,
В — Е + <jt2/?i/?2 > Е,
доказывающие устойчивость схемы (70). В силу теоремы 4 из
гл. VI, § 2 для задачи (70) справедлива оценка
\\Z(t + т)||<|| 2(т)|| + pU
' t	ТА
2 t||T(/')|F
-t'= х
(75)
где
II2 (/ + т) IF = j (A' (z + z), z + z)+[[D-~ A') zt, ztj
Так как z (0) = 0, то оценку (75) можно переписать в виде
II2 V + т) || < (Dzt (0), zt (0) )'/2 + 1/4 max || Т (Г) ||.	(76)
Г 2 т<Г<Т
Оценим величину (ОгДО), zJ0)) = (£>v, v). Подставляя выра-
жение (71) для оператора D, получим
(Dv, v) = -^2 II v II2 + т2 (Rv, v) + -^-(RiR2v, v) =
Л2	т2с	е2т4
= 7211 v |р-/ ((Л1 + л2) v> + Тб(т2+Р7б) (A‘A2Vi v) =
= 72II v IF +	(II vX) IF +1| vx2 IF) + j6 (Д\2/б)~11 '’ад II2- (77)
Слагаемое /i2||v|F является величиной О(т2 + /г4)2, если ограни-
д^и п „
чена производная  Действительно,
h || v ||=О (hi?) = О (т • т/i) = О (т2 + x2h2) = О (т2+т4 + /г4) = О(т2 + /г4).
7]	§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ	387
Покажем, что и остальные слагаемые в (77) есть вели-
чины О (т2 +/г4)2, если существуют ограниченные в цилиндре QT
производные
д3и д3и _ . „	д4«
dt3 ’ дха dt2 ’ а ’	’	<9X1 дх2 dt2
Подставляя в формулу
v = (Lu0 (х) + f (х, 0)) + 0,5т (а2«0 (х) + Lf (х, 0) +	0)) - щ =
= -“^-0) + 0,5т -д'и^ - щ (х, 0)
разложение
, п.	ди (х, 0) , п г д2и (х, 0т)	„ . п . .
Ut (X, 0) = + 0,5т---------, 0 < 6 < 1,
получаем
v (х) = 0,5т	-----—-) = О (т).
Отсюда следует
Т2( II Vx, IP + 11 Vx, II2) = О (т4),
II v.,xJI2 = о (т5) = О (т4),
что и требовалось.
Итак, (ОхДО), zt (0) )'/г = О (т2 + /г4). Отсюда, а также из (73)
и (76) следует, что
|| Z (t + т) || < М (т2 + /г4).	(78)
Чтобы получить оценку z в НА’, воспользуемся леммой 5 из
гл. VI, § 2. Так как R = 1 с2А 1 е А', то
l|Z(Z + T)||>]/	||г(/ + т)||^>-|/ II z (t + т) ||л.
Учитывая оценку (78), убеждаемся в том, что схема (69)
сходится со скоростью О(т2 + /г4) в норме пространства
т. е. в сеточной норме W2:
||г(/ + т) ||» = О (т2 + /г4).
7. Экономичные схемы для систем уравнений параболиче-
ского и гиперболического типов. Пусть
G = {0<ха</а, а=1, 2, .... р}
13*
388
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
V
—^-мерный параллелепипед,
QT = G X [0 </<?’]> Qr = G X (0</<Г].
Пусть k = (&аз) = (&£[Г),	5, т = 1, 2, . . . , п — клеточная
матрица р X р с клетками п X п, удовлетворяющая условию
симметрии
ks$ (х, t) = kfa (х, t) для всех (х, t) <= QT (79)
и условию положительной определенности
пр	пр	пр
q 2 2 (С)2 <22	(*, о с2 2 2 (Га)2, (80)
з=1 а=1	з, т = 1 а, (3 = 1	з = 1 а=1
где Ci и с2 положительные постоянные, £а = (^, . .., g®,
произвольный вещественный вектор. Положительная определен-
ность матрицы k является условием сильной эллиптичности опе-
ратора
р
= S =1,^аР(х’	(81)
а, 0=1	р
где и = (м1, ..., и*, . . ., ип) — вектор размерности п, т. е. усло-
вием выполнения неравенства
С1(— Л<0)«, и)^( — Lu, и),	(82)
где
п
(и,	~ S J us(x)vs(x)dx, dx = dx{ ... dxpi
s = l G
p
r (0)	*	4? d2u	,
L и = ixu = У,—5-, « — произвольная достаточно гладкая функ-
. дха
а=1	“
ция, равная нулю на границе Г.
Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти непрерыв-
ное в QT решение системы уравнений параболического типа
Lu + f(x, t), (x,t)^QT,	(83)
u = p(x, t) при теГ, /е[0, Г],
и(х, 0) = и0 (х),	° - = ы0(х), хеб.
Пусть йл={хг = (г1/г1, ..., iphp)} — сетка в 5, a ^Na,
ha = laINa, а=1,2, ..., р и йх = {/у = /т, / = 0, 1, ...} —сетка на
отрезке
7]	§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ	389
Оператор LaR аппроксимируем разностным оператором
(см. гл. IV)
= 0,5	+ (^а₽«хр). j	(85)
и обозначим
Л«= 2 Л U.	^86)
а, 0=1 р
При р = а получаем
ЛааИ =	) > аа = °’5 (kaa + kaa '“О'
\ «/ха
Введем пространство Q — множество сеточных вектор-функ-
ций, заданных на и равных нулю на границе у*. Скалярное
произведение в Q определяется так:
(У, v)='Z(ys, vs), (ys, vs) = 2 ys(x)vs(x)hl ...hp.
s = l	хеиЛ
В силу (79) оператор Л является самосопряженным операто-
ром, так что (Лг/, и) = (г/, Ли).
Из (80) следуют неравенства
Ci (- Л(0)г/, у) < (- Лг/, у) < с2 (- Л<0)у, у), г/ е= Й, (87)
где
Р	Р п
Л<°>г/=2^, (-Л(0)г/, г/) = 2 3(1, т2|
а=1 аха	а=1 s=lV ' а/ I
В качестве регуляризатора выберем оператор
/? = 3/?о, Ray=~oyix, а=1, 2,	(88)
а=1	а а
где <т— числовой параметр, который будет выбран из сообра-
жений устойчивости.
Напишем сначала двухслойную экономичную схему. Исход-
ная схема имеет вид
(Е + xR) yt = My + ф,
где ф = f + О (| h |2 + т2).
р
Заменяя £ + т/? = £ + т2^а факторизованным оператором
а=1
П (Е I- xRa) = E + xR, R = R + xQp,
а=1
Qp= 3	+ • • •»
а<Р
390
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[7
получаем экономичную факторизованную схему
р	1
П(£ + т^а)У; = Лу + ф, Х«=®Л, t(=tox, |
у(х, /) = р(х, t), x(=ylt, /ейт, [	(89)
у (х, 0) = и0 (х), хейл.	J
Для отыскания вектор-функции yiJ^ = y можно, например,
воспользоваться таким алгоритмом:
(Е + xRl)ww = Л?/ + ф,
а>(1) = П (Е + т/?в)^ при Х|=0, Zb
(Е + т/?а) w!a) = w(а_0,	а = 2, 3, .. ., р,
ьУ(а)= П (Е + т/?-)^ при ха = 0, /а, а = 2, 3, .. . , р- 1.
₽=а+1
Схема (89) абсолютно устойчива при <т^0,5с2 и сходится
со скоростью О (т +1 h |2).
Второй порядок точности по т имеет трехслойная схема
у. + x2Ryft = Лу + Ф.	(90)
Перепишем ее в виде
(Е + 2т/?) yt = F, где F = 2 (Ау + ф) - (Е - 2т/?) yf,
р
и заменим оператор Е + 2xR ~ Е + 2т 5 Ra факторизованным
а=1
оператором
П (Е + 2т/?а) = Е + 2т/? + 4t2Qp.
а=1
Тогда получим факторизованную экономичную схему
П(£ + 2т/?а)^ = Л	(91)
а = 1
Запишем ее в каноническом виде
(Е + 2t2Qp) у= + т2 (/? + tQp) уи = Ау + Ф,	(92)
у = ц при xeyft, /ей,,	1
у(х, О) = ио(х), yt(x, О) = йо(х) при хей4, /
где й0(х) = Ltio + f (х, 0).
71
§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ
391
Для определения у = у!+'‘ из (92) воспользуемся алгоритмом
(Е + rR,)wsw = Fs, s = 1, 2, n,
p
wsw = П (E + xRp) при Xj = 0, l[t
P —2
(E + tRu) w’a) = s = 1, 2, ..., n, a = 2, 3..........p,
p
Wfa)= П (E + rRp)^ xa = o, la, a = 2,3...........p-1.
P=a+1
Компоненты &y(sa) находятся независимо.
Исходная схема (90) устойчива, если положить
a = c2(l + e)/4, е = const >0.
Операторы Ra попарно перестановочны и положительны, по-
этому Qp > 0 и регуляризатор R схемы (92), равный
R = R + rQp > R. Отсюда следует, что схема (92) в Й абсо-
лютно устойчива.
Пусть у — решение задачи (92), (93), и — решение исходной
задачи (83), (84). Подставляя в (92), (93) у = г + и, получим
для погрешности г условия
(Е + 2t2Q J Zo + т2 (R + xQp) zlt = Az + ф,
z = 0 при x <= yA,	z(x, 0) = 0 при ыл,
zt(x, 0) = v(x) при x e ©ft,
где
ф = Au + ф — Ho — T?Rult — 2x2Qput = ф0 — 2x2Qput,
(94)
(95)
фо — погрешность аппроксимации исходной схемы (90), v =
= но — ut = О(т).
Так как В — Е + 2t2Qp > Е, то для схемы (94) верны теоре-
мы 5 и 8 из гл. VI, § 2. Погрешность аппроксимации v второго
начального условия оценивается в норме IIvIId, где
|| v Ц2, = (Dv, v) = т2 (Rv, v) + т3 (Qpv, v) = О (т4),
II v ||D = О (т2), так как v = О (т).
Из (95) видно, что ф = О(т2 + |/г|2). Требования гладкости,
при которых ф = О(т2 + |/г|2) и ||v||D = О(т2), возрастают с ро-
стом числа измерений р. Эти требования можно ослабить, ис-
пользуя, например, при выводе априорных оценок для уравне-
р
ния (94) с правой частью ф = x2Qpv = т2 S Ts-2Qj,s)v, v — ut,
392
ГЛ. V1I. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

следующие неравенства:
2т (ф, г») = 2т3 (Qpv, =
р
= 2t3(Q®u, г») +2т3 2ts’2(Q>, zo)^
p	p
< T Jz°f + T51|Q®t> ||2 + 2 V (Q’^o, z?) + 2 Ts+2(Q(>, f) <
^x^Bzo, Zo) + t5||Q®o(|2+ 2 ts+2(Q^*o, o).
Два последних слагаемых в этом неравенстве есть величины
О(т5); они дают вклад в оценку погрешности г.
Таким образом, схема (92), (93) сходится в W<> со скоро-
стью О(т2 + |Л|2).
Перейдем теперь к системе уравнений гиперболического ти-
па. Требуется найти непрерывное в цилиндре QT решение си-
стемы уравнений
~ = Lu + f(x, t), (x,t)^QT, L — J La&, (96)
и, ₽=1
удовлетворяющее дополнительным условиям
« = ц(х, t) при х е Г, /е[0, Г],
,	, , ди (х, 0)	- , .	_ т; (97)
и (х, 0) = и0(х), ——- = и0(х) при .veG.
р
Оператор L= 2 Lan определяется формулой (81).
a. p=i р
Система уравнений теории упругости
р
= pAw + (Л + ц) grad div u + f, =	(98)
а=1 дХа
где X = const > 0 и ц = const > 0— коэффициенты Ламэ,
и — (и', ..., up) — вектор-функция размерности р, очевидно, яв-
ляется частным случаем системы (96) при п = р и
ka$ — stn + (^ +11)	63m >
. J !> Z = b
6;/ 10,
Условие (79) выполняется автоматически. Условие (80) так-
же выполнено при
ci = Н> Ci = L + 2|i.
П	§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ	393
Покажем, что = ц:
пр	р	р
2, SSS-i. 2(й)! + (* + й 2,«-
s, т = 1 а, р==1	а, 5=1	7	а, s = I
о	/ р \2	р
= н 2 (С)2 + U + н) (2	> н 2 (С)2-
а, 5=1	\а=1 / а. 5=1	'
Нетрудно показать также, что с2 = А, 4-.2ц:
р	р
н S (с)2+(*+н) s
а, 5=1	а, 5=1
р	р	р
= н X ($2 + ^ + н)1Ж)2<^ + 2н) X (iff-
а, s=l	а= I	а, s=l
В качестве регуляризатора R выберем тот же оператор
что и ранее:
R=^iRa’ Ray=~°yVa'
Исходная схема
У и + x2Ryit = At/ 4- ф	(99)
устойчива, если
<т = Сг , в = const > 0.
р
Заменяя Е 4- x2R = Е 4- т2 2 Ra факторизованным операто-
а = 1
р
ром D = П (Е 4- x?Ra), получим экономичную
а = 1
схему
П (£Ч-т27?а)уй = Лу 4-ф при №(йа,
y=|i при хеуА,
у(х, 0) = и0(х), yt(x, 0) = й0(х) при
где
Wo W = «о + 0>5т (Luq 4- f (х, 0)).
факторизованную
t е= со
(ЮО)
X Йд,
394
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[1
Можно показать, что эта схема абсолютно устойчива и
имеет второй порядок аппроксимации, ip = О (т2 +1 h |2) и v = О (т2).
Отсюда следует ее сходимость со скоростью О (т2 +1 h |2).
Отыскание вектор-функции у/+1 сводится к последователь-
ному от а к а + 1 решению методом прогонки трехточечных
уравнений вида (Е + т27?а) w = Fa.
Воспользуемся, например, следующим алгоритмом
(Е + т2^) ®(|) = F, F = П (Е + тЧ) у{ + т (Ау + Ф),
(Е + r2Ra) w(a) = йУ(а-1), а = 2, ..., р, y1+l = у> + тда(р).
Для функций w(a), а— 1, ..., р— 1 ставятся при ха = 0, 1а
следующие краевые условия:
ау(1) = (Е + т2Е2) ... (Е + т2/?р)	=0, Zb
®(а)= П (Е + т2/?в) щ при ха = 0, 1а.
З-а+1	р
Так как операторы Da = Е + x2Ra имеют диагональную ма-
трицу коэффициентов с диагональными клетками, то компо-
ненты вектора w^, а=1, 2, ..., р определяются независимо.
§ 3. Метод суммарной аппроксимации
1. Составные схемы. Суммарная аппроксимация. Экономич-
ные методы, рассмотренные в § 1 и § 2, характеризуются тем,
что исходное многомерное дифференциальное уравнение аппрок-
симируется факторизованной разностной схемой. Решение раз-
ностной задачи для факторизованной схемы сводится к последо-
вательному решению разностных задач более простой струк-
туры. Так, в случае двух переменных применяются экономичные
схемы вида
В|у/+1/2 = С1у/ + тф/,
В2у/+‘=С2у/+‘/2 + тф/,
где В\ и В2— экономичные операторы (обычно это — одномер-
ные операторы). Для продольно-поперечной схемы
B^E-OfrAt, В2 = Е — 0,5тЛ2,
С1=Е + 0,5тЛ2, С2 = Е + 0,5тЛ„
(1)
1]
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
395
для схемы расщепления
Ва = £-<ттАа, Са = £ + (1-<т)тАа, а=1, 2.
Принципиальным является требование эквивалентности за-
дачи (1) факторизованной схеме
В\В2у!+х = Су! + тсрА	(2)
Эта эквивалентность имеет место не всегда, а лишь при согласо-
ванном задании правых частей и краевых значений для у>+'!1.
Кроме того, иногда требуется попарная перестановочность Ва,
Са (см. § 2). Устойчивость факторизованной схемы имеет место,
если Bi и В2 перестановочны. Это выполняется только для об-
ластей специального типа.
Схемы, рассматриваемые в § 1 и § 2, применялись только
для прямоугольных областей.
Между тем, очевидно, что схема расщепления и продольно-
поперечная схема могут быть формально написаны для непря-
моугольных областей сложной формы. Однако при этом возни-
кают трудности с определением аппроксимации, заданием крае-
вых условий и доказательством устойчивости. Чтобы преодолеть
эти трудности (они, впрочем, как мы видели в § 2, имеются
даже в случае прямоугольной области), оказалось необходимым
провести пересмотр понятия разностной схемы и, прежде всего,
отказаться от сведения системы уравнений (1) к факторизован-
ной схеме (2) и от требования их эквивалентности. Это привело
к новому понятию разностной схемы, к понятию аддитивной
схемы (см. А. А. Самарский [4], [5], [7], [12], [19]).
Систему двух разностных уравнений (1), осуществляющих
переход со слоя j к слою j + 1, будем называть составной схе-
мой. Для составной схемы следует прежде всего дать определе-
ние аппроксимации, выяснить, в каком смысле она аппроксими-
рует исходное дифференциальное уравнение.
Пусть и — решение многомерного дифференциального урав-
нения. Вычислим погрешность аппроксимации ф[ и фг на реше-
нии и для каждой из схем (1) соответственно. Назовем погреш-
ностью аппроксимации составной схемы (1) сумму ф = ф1 + фг.
Требование аппроксимации для составной схемы (1) означает,
что ||ф||—*0 при h—>0, т-*0, где || • || — некоторая норма. При
этом может оказаться, что ф] = 0(1), фг = 0(1).
Составные схемы, погрешность аппроксимации для которых
понимается как сумма погрешностей аппроксимации для про-
межуточных схем, будем называть аддитивными схемами.
Дадим общее определение аддитивной схемы (А. А. Самар-
ский [19], И. В. Фрязинов [4]).
В гл. V было введено понятие п-слойной разностной схемы
как разностного (по переменному t) уравнения (п—1)-го
396
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
11
порядка с операторными коэффициентами:
п-1
2cp(O)t/(O+I-₽T) = f(O),	(п-1)т<о</о,
3 = 0
где Cg —линейные операторы, заданные на линейном нормиро-
ванном пространстве Ни- Для определения решения надо задать
п— 1 начальных векторов у(0) — уй, у(х) —у\, .... у((п— 2)т) =
= Уп— 2-
Назовем п-слойной составной схемой с периодом m (поряд-
ка т) систему разностных уравнений с операторными коэффи-
циентами
m	п — 2
2 Сал (ij)y (ti + fix)= 2 у (tf — fix) + fa(tj), (*)
3=i	1	3=0
где a=l, 2, .. ., m, (n—1)т tj < to, с заданными началь-
ными значениями y(kx), k = 0, . 1, .n— 2 (число слоев опре-
деляется числом начальных условий), причем tj принимает зна-
чения, равные
tj = (п — 1) т + kmx, А = 0, 1, 2, ...
Чтобы найти y(tj + пгт) = по известным |3 = А, 1, ...
..., п— 2, где tj = (пг + п—1)т, надо решить систему уравне-
ний с операторной матрицей С = (Сар) размером m X tn.
При m = 1 составная схема (*) переходит в написанную
выше обычную n-слойную схему. При п = 2 получаем двухслой-
ную составную схему с периодом пг:
2 Ca&(tj)y(tj + рт) = DaQy(tj) + fa(tj),	y(Q) = ya.
3=1
Если для составной схемы (») погрешность аппроксимации ф
определяется как сумма погрешностей аппроксимации отдель-
ных уравнений, тр =	+ ... + фт, то составная схема (») на-
зывается аддитивной схемой.
Двухслойная аддитивная схема может быть записана в ка-
ноническом виде:
В-	У------+ 2ЛаЗ^+3/т = (₽а’	а=1, 2,..., т, (3)
3=0
где В, Лар — некоторые линейные операторы.
Экономичные аддитивные схемы характеризуются тем, что
для них операторная матрица перехода S = (Sap) является тре-
угольной, так что систему уравнений (3) можно записать в виде:
a—1
yi+alm — Sa$yl+Mm + тф/, а=1, 2, ..., пг. (4)
3=0
21
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИЙ
397
Схема (1) соответствует частному случаю, когда т = 2 и S =
= (Sag) —диагональная матрица.
Пусть — погрешность аппроксимации на решении и исход-
ного уравнения для одного уравнения (3) номера а. Погреш-
ность аппроксимации для аддитивной схемы (3) определяется
как сумма
ф =	+ ... + ф,п.	(5)
Нетрудно убедиться в том, что все экономичные методы, запи-
санные в виде (3) и трактуемые как аддитивные схемы, обла-
дают суммарной аппроксимацией.
Мы рассмотрим лишь простейшие примеры аддитивных схем
вида
Bayi+a/p = Саг//+(а_1)/р + Тф', а = 1, 2, . . ., р. (6)
2. Методы построения аддитивных схем. Пусть дано много-
мерное уравнение
= Lu + f(x, t),	u(x, 0) = u0(x),	(7)
где L — линейный дифференциальный оператор, действующий
на и(х, t) как функцию х = (хь . . . , хр)—точки р-мерной обла-
сти G с границей Г, на которой заданы некоторые граничные
условия.
Для построения экономичных методов основную роль играет
возможность представления оператора L в виде суммы опера-
торов более простой структуры,
L = i La.	(8)
а=1
Естественно возникают вопросы:
1) Как построить экономичную аддитивную схему для урав-
нения (7)?
2) Как оценить порядок точности этой схемы?
Попытаемся ответить сначала на первый вопрос (А. А. Са-
марский [16]).
Укажем общий подход, позволяющий получать схемы, обла-
дающие суммарной аппроксимацией.
Уравнение (7) или
^u = -~-Lu-f(x, 0 = 0
перепишем в виде
р
И“1
398
ГЛ. V11. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(2
где fa(x, t), <х=1, 2, р, — произвольные функции (из того же
класса гладкости, что и f(x, t)), удовлетворяющие условию
р
а=1
Введем на отрезке 0 «С t «С t0 сетку
®1 = {^ = Л, / = 0, 1,	/0}
с шагом т. Каждый полуинтервал (//, //+1] разобьем на р частей,
введя точки
tf+a/p = tj + ах/р, <х=1, 2, .... р— 1.
Обозначим Аа полуинтервал f/+(ct_i)/p < t ^tj+a!p и будем последо-
вательно, начиная с <х=1, решать уравнения
^a^(a) = 0, xsG, /еА0,	а=1, 2, ...,р,	(9)
полагая
t'd) (х, О) = но(х), о(1)(х, г‘/) = о(р)(х, г1;),	/ = 1, 2, ...,
^(а) (X, Z/+(a-i)/p) = 0(а-|) (X, ^/ + (а-1)/р), а = 2, 3, ..., р,
/ = 0, 1, ...
Каждое из уравнений (9) номера а заменим разностной
мой
^аУ(а) О, <Х = 1, 2, .. ., р
(10)
схе-
(11)
(аппроксимируя и Lau соответствующими разностными вы-
ражениями). В простейшем случае (11) есть двухслойная схе-
ма, связывающая значения у^ = yi~a,p и t/(a—1> = yi+^-^ip.
Схема (11) аппроксимирует уравнение (9) номера а в обыч-
ном смысле, так что, например,
4,«-IW+'w-(««<’"	<12)
стремится к нулю (в некоторой норме) при стремлении к нулю
шагов т и ha сетки со^т- Здесь иь — «проекция» и на сетку; для
упрощения записи индекс h в дальнейшем опускаем.
Система разностных уравнений (11) является аддитивной
схемой для задачи (7). В самом деле, пусть — погрешность
аппроксимации на решении уравнения &и = 0 для одной схемы
(11) номера а. Величина определяется как невязка
% = па«/+«/₽.
Представляя фа в виде суммы
2]
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
399
и учитывая, что (&>au)t+a,p = (^аи)1+'1г + О (т), получим
Фа = Фа + Фа’ ГДв фа = (^аи)1+'1г,
а ||ф*||->0 при т-*0 и |Л|-*0, где || • || — некоторая норма в
пространстве сеточных функций, заданных на сод. Отсюда сле-
дует, что
р 0	р
2фа = 0’ Ф=2ф„ И 11Ф11—>о При т->0, |Л|->0,	(13)
а=1	а=1
т. е. аддитивная схема (11) обладает суммарной аппроксима-
цией, если каждая из схем (11) номера а аппроксимирует в
обычном смысле соответствующее уравнение (9).
Этот факт объясняется тем, что система дифференциальных
уравнений (9) аппроксимирует многомерное уравнение (7), (8)
или = 0 в суммарном (интегральном) смысле.
В самом деле, погрешность аппроксимации для уравнения
^*аЦ(а) = 0 номера а на решении и = и(х, t) уравнения = 0
есть невязка фа(0= где t е Да.
Так как ^ан = (^ац)/+'/2 + О (т) при /е [/,, //+1], то фа = фа +
где фа = р5аы)/+'/2, ф*=О(т). Отсюда следует, что
2 Фа = 0, ф = 2 Фа = 2 Фа = О (т),
а=|	а=|	а=1
т. е. аддитивная система дифференциальных уравнений (9) ап-
проксимирует уравнение = 0 с первым порядком по т.
Суммарная погрешность аппроксимации для системы диффе-
ренциальных уравнений (9), (10) может быть определена также
следующим образом:
р */+“/₽
Ф=^-7 J ФаЛ-
а=1	</+(а-1)/р
Нетрудно заметить, что при таком определении ф в приве-
денных выше рассуждениях изменится лишь последняя фор-
мула:
р	z/+a/p
Ф = 2'Т	/ ф’^ = О(т).
а=1	</+(а-1)/р
Из устойчивости системы (9) и суммарной аппроксимации
следует сходимость решения задачи (9), (10) к и(х, I).
400
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[3
Важно подчеркнуть, что суммарная аппроксимация для (9)
и (11) на достаточно гладких решениях задачи (7), (8) гаран-
тируется выполнением двух условий:
1) оператор L есть сумма L = Li + ... + Lp,
2) правая часть f есть сумма f = ft + ... + fp.
Эти условия, очевидно, можно ослабить, потребовав, чтобы
Lu- 2 Lau = O(i:), f - 2 Ах = О(т).
а=1	а=1
Условие (8) используется при построении экономичных мето-
дов всеми авторами.
Вопрос о близости решений задач (9), (10) и (7), (8) изу-
чался Н. Н. Яненко [5]. Рассматривалась задача Коши в полу-
пространстве |х| < оо, t > 0 для системы уравнений
du(-*'t Z) = L(x, t, D)u + f(x, t),
где u(x,t), f(x,t) — векторные функции векторного аргумента,
L(x,t,D) — линейный дифференциальный оператор, коэффи-
циенты которого зависят от х, t.
Предполагалось, что оператор L представим в виде (8). За-
дача Коши заменялась составной задачей Коши (9), (10) в пред-
положении, что = ftp. Используя свойство суммарной аппрок-
симации (вытекающее из условия (8)), которое интерпретиро-
валось как некоторое свойство слабой аппроксимации коэффи-
циентов дифференциального уравнения, Н. Н. Яненко [5] дока-
зал, что
II v (х, f) — u(x, 1)|| = О(т)
(при условии достаточной гладкости и(х, t)).
Мы показали здесь один из простых способов получения ад-
дитивных схем. Его удобство в том, что сначала многомерная
задача заменяется цепочкой более простых задач для диффе-
ренциальных уравнений; при этом легко выясняется характер
краевых условий для ц(а), вид правой части fa и т. д. Если La
содержит лишь производные по переменному ха, то такой опе-
ратор La называют одномерным, а соответствующие уравнения
^av(a) = 0 — одномерными уравнениями. В этом случае говорят,
что решение многомерной задачи (7) сводится к решению по-
следовательности одномерных задач (9).
Прежде чем переходить к изучению сходимости и точности
аддитивных схем, остановимся на вопросе о близости решений
задач (7) и (9).
3.	Аппроксимация «многомерной» задачи Коши системой
«одномерных» задач Коши. Обратимся к задаче (7). Пусть
на Г заданы однородные граничные условия. Будем рассматри-
31
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ аппроксимации
401
вать функцию и(х, t) как функцию х в качестве элемента неко-
торого линейного нормированного пространства Но. Тогда L бу-
дет линейным оператором в этом пространстве, a u = u(t)—
абстрактной функцией t со значениями в H0(u(t)<^ Но для всех
/<=[0, /0])- Вместо частной производной в (7) можно писать
обыкновенную производную по t.
В результате мы приходим к абстрактной задаче Коши:
•^- + .<tf« = f(0,	и(О) = иое/7о, (14)
где зФ— линейный оператор в банаховом пространстве Но. Об-
ласть определения 2)(з^)сзН0 оператора з& является всюду
плотной в Но и состоит из функций, удовлетворяющих однород-
ным граничным условиям на Г. Область значений Д(^/) опе-
ратора з/ принадлежит Но.
Пусть представлен в виде суммы
р
(15)
а-1
линейных операторов з£а, пересечение областей определения ко-
торых есть Ф (з#-).
В этом случае решение задачи Коши (14) можно свести
к последовательному решению задач Коши того же типа, но
с операторами з£а вместо з&.
Остановимся на двух способах такого сведения.
Пусть на отрезке	введена сетка
= {</ =/т,	/ = 0, 1,	/о)
с шагом т. По аналогии с п. 2, представим f в виде суммы
О
f = S fa и перепишем (14) в виде
а=1
р
а=1
На отрезке Zj+I] введем промежуточные значения t(ay =
= tj+a!P, а = 1, 2, ..., р— и рассмотрим систему задач Коши
~ Ь^/аО(а) = fa, Я=1, 2, р,	^.tj+a/p (16)
с начальными условиями
У(1)(О) = «о> У(1)(0) = и(р)(^/)>	/=1, 2,	1
У(а) (^/+(а-0,'р) = Ща-1) (£/+(a-0/p), J = 0, 1, CL = 2, 3, . . ., р, |
(17)
402
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
13
полагая v(tj) = vp(tj). Будем называть решением этой задачи
при t = tj+{ функцию ц(/,+1)= yp(Zi+i).
Эта конструкция (совпадающая с конструкцией из п. 2)
была использована (см. А. А. Самарский [4]—[16], [19]) при по-
строении экономичных аддитивных схем для многих многомер-
ных задач математической физики и, в частности, для парабо-
лического уравнения (см. п. 5). Исследование связи задач (14)
и (16), (17) показало, что решение задачи (16), (17) v(tj) =
= сходится при т—>0 к решению задачи (14), причем
v(tj) = u(tj) + О(т), точнее ||гл(/,-)—u(tj) || <1Л4т, где М =
= const > 0 не зависит от т, II • II — норма в Но (см. Н. Н. Янен-
ко [5], Н. Н. Яненко, Г. В. Демидов [1]).
Если оператор = зависит от t (является перемен-
ным), то более точным оказывается второй способ аппрокси-
мации задачи (14) системой задач Коши (А. А. Самарский [15]).
На всем промежутке tj-^-t -^.tj+\ последовательно решаются
р задач Коши
dvm
F (t) y(1) (Z) = fi (t), tj^.t^tj+l,
dvln.
(18)
^ + ^p(t)v(p}(t) = fp(t), tj^t^tl+l,
с начальными данными
У(1)(О) = «о> У(1)(0) = у(Р>^Д /=1>2..........
и(а)(^) = у(а-1)^/+1)> а = 2, 3, ..., р, / = 0, 1, 2, ...
Решением задачи (18) при t — tj+\ является, по определению,
элемент
у(^+1) = у(р) (^/+i)>	/ = 0, 1, 2, . .
При t = 0 полагаем
ц(1)(О) = «(О) = «о.	(20)
Пусть известно v(tj). Из первого уравнения при ц(1)(/Д =
— v(tj) определяем (tj+\), которое затем используем в каче-
стве начального значения при t = tj для гДг)(О» решаем второе
уравнение (при а = 2) и т. д. После решения всех р задач най-
дем У(р) (/j+i) = v (f;+i)  Это и есть решение системы уравнений
(18) —(20) при t = /ж.
Если не зависят от I и f = 0, то обе задачи (16), (17) и
(18)—(20) эквивалентны.
} (19)
3)
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
40.3
Покажем, что задача (18), (19) аппроксимирует задачу (14)
в суммарном смысле. Пусть u(t)— решение задачи Коши (14),
Ц(а) (0, а=1, 2, ..., р — решение задачи (18), (19). Рассмотрим
их разность
Z(a) (0 = «(«)('“)- «(^/+1) при а = 2, 3, .... р, t (= [//( //+1],
2'(1)(0 = П(1)	при t(=\th
Подставляя у(а) (/) = z(n) (t) + ui+', u!+t = a = 2, ..., p
и y(1) (Z) = z, (t) + и (t) в (18), (19), получаем
^^^^ra(/K>(a)(/) = ip„(0,	l<a<p,
Z(D ttl) = zw 1 = l> 2...zj (0) = 0,
Z(a) (t/) = 2(a_n(Z/+1),	/ = 0, 1. a	= 2, 3, ..., p,
z(h+i) = z(P) (^+i)>
гДе
^(0=-^й(0«/+,+Ш a = 2, 3, ..., p,
ip! (t) = -	(t) Il + fl (t), t «= [/;, //+1].
Отсюда видно, что
(0 +	+%W = f(0--S--^i(0«W-S<WM/+l.
a=2
Учитывая, что 1Р+1 = u(t) + О (т) для любого а = 2, р,
t е [Zj, tj+J, получаем
= £ + ^a>	= 0
£ = fa(0-^a(0«(0-6a,.^-,
где 6a, i — символ Кронекера. Таким образом,
2£ = 2fO(0-2^a(0«(0--g- = °
a=! a=l	a=l
и, следовательно,
= 2	= О (т),
a=l
т. e. система дифференциальных уравнений (18), (19) аппрок-
симирует задачу Коши (14) в суммарном смысле с первым
404
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(3
порядком ^при этом требуется существование и ограниченность
d^n \
(в некоторой норме)	\ 
Представляет интерес сравнение решения v(tj) задачи
(18) — (20) с решением «(0) исходной задачи.
Приведем без доказательства некоторые результаты.
А. Пусть f = 0 и все fa = 0.
Если постоянные операторы з^а попарно перестановочны,
а, ₽= К 2, . . ., р, то при любых т имеет место
равенство
v (tj) = u(tj) для всех j = 0, 1, . . ., /о,	(21)
где v — решение задачи (18) —(20), а и —решение задачи (14).
Если же s£a = зависят от t, то (21) имеет место при
перестановочности операторов	и (t"), а#=р, взятых
в разные моменты времени, t' =И= t", так что
< (П (П =	(t") Л(1 (t'), а, ₽ = 1, 2, . . ., р,
для любых t', t" е [0, 0L
Приведем несколько примеров.
Пример 1. Рассмотрим задачу Коши
-^- + аи(/) = 0, /^0, и(О) = «о,
где а >0 —число. Очевидно, что u(t) = uoe~at.
Представим а в виде суммы а = а{+а<, и напишем задачу
18)-(20)
+	(0 = 0, у(1)(0) = п0,	0</<Г,
dv,^
~^- + a2v(2) (0 = 0, У(2)(0) = У(|)П	0<W,
где К >0 —любое число. Решая эти уравнения, находим
у(1) (0 = иое~а>1, V(2){t) =	= uoe~ait~ait*. Отсюда видно,
что
У2 (?) = u(f).
Пример 2 (В. Я. Гольдин, Г. В. Данилова,
Н. Н. К а лит кин [1]). Рассмотрим задачу Коши для уравне-
ния переноса
^- + L}u + L2u = 0, Lau = -^~, а=1, 2,
(Ji	ил-ц
— оо < ха < оо, t 0, и (х, 0) = р (х).
3J
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ аппроксимации
405
Решение этой задачи есть бегущая волна
и (х, t) = р, (%! — t, х2 — t),
если ц(х) дважды дифференцируемая функция.
Так как операторы L{ и L2 перестановочны, то
и(х, t’) = v.2}(x, Г),
0< / < / ,
где 0(2) (х, f) —решение системы уравнений
dv,,^ dv,,t
o(l)(.v, 0) = ц(х),
0(2) (X, 0) = о(1)(х, Г).
I1/ I	___ Л
dt “Н дх!
dv(2)	, dvM _n
dt ''	dx2	U’
В самом деле, решение первого из этих уравнений имеет вид
О(1)(Х, /) = р(Х( -t, х2).
Из второго уравнения находим
О(2) (х, I) = |Л (X) — f, Х2 — /),
т. е. 0(2)(х, f) = и(х, Г).
Пример 3. Рассмотрим задачу Коши для уравнения тепло-
проводности
— = L,u + L2u, L„u = ~, <z=l, 2,
dt 1	2	“ дх2а
— oo<xa<oo,	и (x, 0) = «0 (x).
Ее решение дается формулой
4-оо 4-оо
u (х, t) = J J G (X|, x2; £(, |2> O«o(g1( £2)	d.1,2,
— 00 —00
где G(x1; x2;	g2, C — функция источника, равная
G (X|, x2; ||,	^)=^i(xi, li, t) G2(x2, |2, /),
е-(ха-^аУ^
Ga(xa, U t) =	
Напишем систему уравнений, соответствующую (18) —(20). Не-
трудно заметить, что
t)= / GJxl Ip t) «o(£i> x2)d|!,	(22)
— 00
У(2)(х, t) = J G2 (x2, |2, t) o(I)(xI, |2, t) d|2.	(23)
— 00
406
ГЛ. VH. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Й
Подставляя и(1)(х, К) из (22) в (23), получим
^2 =
= и (х, t")
при любом f >0.
Б. Пусть операторы ^7а(/) и ^р(/) неперестановочны. Тогда
справедлива оценка
|| v (7,) - и (/,) || = О (т),	/ = 1, 2, ...	(24)
при дополнительном условии «гладкости»
|| siasi^u || «С М, а, Р=1, 2, ..., р.
Возникает вопрос, нельзя ли повысить точность по т без су-
щественного усложнения составной задачи Коши?
Составную задачу Коши (18) схематически запишем сле-
дующим образом
—* s4-2~* ••• —
Рассмотрим симметризованную составную задачу Коши,
представляющую собой цепочку 2р задач Коши
0,5^!->0,5^2->0,5^р->0,5^р->0,5^р_| —> ... ->0,5^,
что соответствует представлению оператора в виде суммы
32 ,	,	1 0,5^„ при l^a^p,
Si = У ^а> где М, = , . .	о
а"	I 0,5^2р-а + 1 ПРИ Р<а.<2р.
Эта задача имеет второй порядок точности по т:
|| v! - и! || = О (т2)
при некотором дополнительном требовании гладкости началь-
ного вектора иа вида || siaSipu0 || $2 М, а, Р=1, 2, .... р и усло-
виях гладкости ^а(0 по t.
Идея симметризации была развита И. В. Фрязиновым [4]—
[6], который построил и исследовал ряд аддитивных схем повы-
шенного порядка точности для уравнений параболического типа
в ступенчатых областях, составленных из р-мерных параллеле-
пипедов. При этом оказалось, что для выполнения требования
суммарной аппроксимации О(т2) требуется вводить поправки
к естественным краевым значениям.
Итак, решение задачи (14) сводится к решению последова-
тельности более простых задач (18) — (20). Для их решения
41
$ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
407
можно использовать как аналитические, так и приближенные
методы, в частности, метод конечных разностей.
В случае, когда попарно перестановочны, точность при-
ближенного метода решения задачи (14) целиком зависит от
того, с какой точностью мы решаем каждую из промежуточных
задач (18) номера а. Следует подчеркнуть, что проведенное выше
изложение справедливо для случая однородных краевых усло-
вий. Если краевые условия неоднородны, то точность составной
задачи Коши (18) — (20) существенно зависит от способа зада-
ния краевых условий для У(а). Это же замечание относится и к
разностным аналогам задачи (18)—(20).
Разностная аппроксимация каждой из задач (18), например,
простейшей двухслойной схемой с весами приводит к аддитив-
ной разностной схеме. Она является экономичной, если эконо-
мична каждая из промежуточных схем номера а. Таким спосо-
бом можно, в частности, получить схему, формально совпадаю-
щую при fa = 0 со схемой расщепления Н. Н. Яненко [1] (схема
(34) из § 2), но трактуемую как аддитивная схема. При этом
не возникает никаких трудностей ни с постановкой краевых
условий для yi+aip, ни с заданием правых частей
Фа = ф/ + а/р.
Если ^ — одномерные дифференциальные операторы, то
соответствующую аддитивную схему мы называем локально-од-
номерной схемой. Локально-одномерная схема для уравнения
теплопроводности исследуется ниже.
4. Методы оценки сходимости аддитивной схемы. Напомним
второй вопрос, который был поставлен в п. 2.
Как доказать сходимость аддитивной схемы?
Мы неоднократно убеждались в том, что из аппроксимации
и устойчивости схемы следует ее сходимость.
Для аддитивных схем устойчивость по правой части должна
быть такой, чтобы из условия суммарной аппроксимации
р
5 Фа
0 следовало стремление к нулю решения разностной
задачи (с нулевым начальным условием). Такие априорные
оценки, ориентированные на использование свойства суммарной
аппроксимации, имеют место для аддитивных схем в случае си-
стем параболических и гиперболических уравнений.
Рассмотрим аддитивную схему общего вида в гильбертовом
пространстве Hht
zi+a/P _ zi+(a-t)lp	]
В ---------f--------+ 2	’	(25)
а= 1, 2.......р, j = 0, 1, .. z° = 0.	|
408
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[4
Теорема 1. Если В = В' — положительно определенный
постоянный оператор и матрица-оператор А = (.4ар)	0 неотри-
цательна, т. е. для любых векторов £а, е Н
2 (^«,^>0.
а, 3=1	р р
(26)
то для решения задачи (25) справедлива априорная оценка
II г’ ||я< max V etf
/I
2 Фа I +p	II фа II I )• (27)
а=1	|| i	а-I B J
D
Доказательство. Перепишем уравнение (25) в виде
Вгуа+2 Даргр = фа, а=1, 2.....р,
za = z!+a'P, Zta = (za -za-x)lx, zp = z>+', z0 = z<.
Умножим обе части уравнения (25) скалярно на za и просум-
мируем по а. Учитывая, что
(Bzfa, za) = 0,5 (Bza, za\a + 0,5т (Bz?a, zf(i),
получаем энергетическое тождество
р	р / р	\
(Вг/+1,	+ 2(Вгга, г?а) + 2т 2^2 Аа^, zaJ =
= 2т 2 (Фа> za) + (В?, ?). (28)
а=1
D
Преобразуем сумму J = 2т 2 (фа, za).
а-1
вим za в виде
Для этого предста-
а
za = Z1 + 2 XZi .
3-1 Р
Тогда
/ П	\	Р /	а	\
/ = 2т 2 Фа, + 2т2 2 Фа, 2 Zi 1
\а=1	/	а-i \	р-1 Р/
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
409
Воспользуемся обобщенным неравенством Коши — Буняковского
и е-неравенством
(р
а= 1
Р	Р а
а=1	а-1 3 = 1
р
Положим е = р:
еот|| z11|2 4-
с0
+ ех2р
D
а=!
Р	Р
+t2SihiIb+А22на£->.
0=1	ц=!
Подставим эту оценку в правую часть тождества (28) и уч-
тем (26):
S Фа
2
|| ?+1|Гв<(1+ел)||?||2
а=1
В
где зра ='Ф/+а/Р- В силу замечания к лемме 5 из § 1 гл. VI
имеем
Из условия минимума первого слагаемого выбираем е0=1/^.
В результате получаем оценку
+ А У
fc=O а«=1
ИЛИ
IP [I	р
У^а +pV"^j max У||фа||в-1-
410
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[4
Отсюда видно, что из суммарной аппроксимации в HB-i сле-
дует сходимость в Нв, т. е. из условий
2W = ИФИв-> ^0, НЛВ- = 0(1), т->0, |й|-»0,
а=1	||в-1
следует, что || z1 ||в -> 0 для всех / = 1, 2, ...
Отметим, что оценка (27) получена при весьма слабых огра-
ничениях: оператор В положительно определен и самосопряжен,
матрица-оператор А = (Лар)—неотрицательна.
Если схема (25) рассматривается в банаховом пространстве
Нп, то применяется другой метод построения априорных оценок.
Пусть схема (25) устойчива, так что
р
|| z11|(1) < М max 2 II Фак ,	(29)
ш 0<*</a=l
где || • ||(i) и || • ||(2) — некоторые нормы на Hh.
Предположим, что фа можно представить в виде суммы
Фа = Фа + Фа, так чт0 2 Фа = 0.	(30)
а=1
Положим zl+a!p = f]i+a,p + vi+a/p, где г\’+а/р определяется из
условий
Отсюда следует:
Вц/+а/р = Вц/ + т 2 ф,(, Вц, + 1 = Вт)1 = ... = Вц° = О,
P=i
т. е. г/ — 0, z1 = V1 для всех / = 1, 2, . . .,
а	р
П1+а1р = ^В-^ = -т 2 В~Щ, а=1, 2......................р-1.
Р=1	Р=а+1
Для vi+a/p, очевидно, получим уравнение (25) с правой частью
фа = фа + т 2 Ла0 2 В~‘ф|3'
и начальным условием ц° = 0. Из (29) следует
l|z/||(1) = ||u/|l))<M max SHall(2).
17	0</'</a=i
Условие суммарной аппроксимации означает, что 1) з|)а можно
представить в виде (30), 2) ||фа||(2)->0 при т->0, | h |-♦ 0. Второе
4]
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
411
требование будет выполнено, если|]4>aj|(2) —* 0 и j	= О (1)
при т—*0, |й| —♦ 0.	1
Проиллюстрируем второй метод исследования сходимости
аддитивной схемы (мы будем им пользоваться в п.п. 7, 8) на
простом примере.
Пример 1. Пусть дана задача Коши
+ (а{ + а2) и = f (0, 0 < t < t0, u(O) = uo, (31)
где«1>0, «2 >0 —числа.
Напишем простейшую аддитивную
задаче (31). Для этого заменим (31)
схему, соответствующую
системой уравнений
+ П1О(1) =fi(0>	+	0(1) (//) = О (//),
+ a2V(2) = /2 (С, //</<// + „ 0(2) (tj) = 0(1) (// + 1),
f 1 + /2 — f •
Аддитивная схема имеет вид
+ Мп’ = ('/ + /,)• ^1) = У1’
+м+1=h в+.Д уЬ = ytf1 • .
Подставляя сюда y!(Vj = у1, у[2}= у[+[ = y!+'/l, получим
-——-У- + a^yt+'h = f, (//+,/2),
,./+1__,,i+У2
-------J-----+ а2у!+' = f2(ti+'k), y° = Uo-
Найдем погрешность аппроксимации для каждой из схем.
Представим yl+sli = ul+s/2 + z!+sl2, s = 0, 1, 2, тогда для z,+s/2
получим условия

g/^! —	/4.1	/ О
---------+ a2z/+I=< z°
о,
412
ГЛ. V11. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[4
где фа— погрешность аппроксимации (на решении и) уравне-
нием номера а исходного уравнения (31):
ti+'li и'+'1г-и'	/+'/,	°. i , ,»/
Ф1 = Л---------------й1«/+/2 = ф( + ф1/,
/	ui+i-ul+'12	/+1	?/	, •/
Фг = Л--------—--------а2и + = ф2 + ф2 ,
Ф1 = о (т), ф2 = о (т).
Здесь
1/ 1с л с du'	\! + '/2
M’l = (А - 0,5	- atuj ,
? / П с du	V+1/2
ф2 = (А — 0,5— а2и)
Отсюда видно, что
Ф1 + Фг = 0, Ф1 + Ф2 = Ф* + Фг = о (т).
Положим z!'+sl2 — ^+s>'2 + vi+sl2, s = 0, 1, 2, где
так что т/ = 0 для всех / = 0, 1, 2, ..., а
1)/+1/2 = тф[ = — тф2.
Для v получаем условия
-—— + аху,+'1г = ф), Ф1 = Ф/ + ai'nH >
——----------Н a2v,+1 = ф2, Фг = фг\ У° = 0.
Так как at 0, а2^0, то
I и1+'1г I = j-.д I v! + тф( | < | v! | + т | ф( |,
I ”7“ U j I
I °'+' I “ Т+Т71»’*	। < ।»'+''' । + ’ । । •
'	1 -f- U2 *
+	+'г(|ф1| + |ф2|)<Т Д(|фГ 1 + |ф2 I).
Замечая, чтог^ц', |ф£| = О(т), получаем |з/|=0(т), т. е.
аддитивная схема (32) имеет первый порядок точности при
любых А и А = /~А-
Подчеркнем, что при изучении сходимости аддитивных схем
мы предполагаем (как и всюду в теории разностных схем)
51
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
413
единственность, существование и достаточную гладкость реше-
ния исходной многомерной задачи.
Пусть, например, и — решение задачи Коши (14), у = уь —
решение аддитивной схемы, уи^Н-п, где Hh — пространство се-
точных функций. Следуя § 1 гл. I и § 1 гл. V, мы должны оце-
нить разность z'h — у[ — u'h, где uh = ^hu, — линейный опера-
тор из Но в Hh(u<=H0, uh^Hh), точнее, величину Цу' — и<н
'Ой)’
где || • H(i j — некоторая норма на Hh. Эта оценка производится
непосредственно: пишется задача для zh, вычисляются погрешно-
О	*
сти аппроксимации фа = фа + 'фа и используется один из указан-
ных в этом пункте методов оценки zh.
Возможен другой способ оценки zh. Пусть v е Но — решение
составной задачи Коши (18) (или (16)), yft = ^у е Н^. В силу
неравенства треугольника
= \\td — ui\\ ^||щ — у(||	+ ||yi —will
Оценка близости yh и uh сводится к оценке близости yh и уЛ, v
и и. При оценке 1|уЛ —иЛ|1, . требуется информация о гладко-
сти и, при оценке || yh — vh |L , о гладкости v. Таким обра-
I h'
зом, при этом способе оценки порядка точности аддитивной
схемы надо сначала установить (либо предположить) гладкость
нужного порядка функции V. Это требует дополнительного ис-
следования дифференциальных свойств решения составной за-
дачи Коши и является, вообще говоря, трудной задачей.
В случае А из п. 3, когда попарно перестановочны,
у’ = и’ и поэтому
1Ч|(,л)-|«-Ч|м.
т. е. сходимость аддитивной схемы следует из устойчивости и
аппроксимации для каждой из промежуточных схем.
В п. 3 было показано, что составная задача Коши также обла-
дает свойством суммарной аппроксимации. Поэтому при оценке
|| у — и ||(U работают те же методы, что и при оценке || yh — uh >
5. Локально-одномерная схема для уравнения теплопровод-
ности в произвольной области. Пользуясь методом суммарной
аппроксимации, нетрудно построить экономичные аддитивные
схемы для параболических уравнений в области сложной фор-
мы. Мы проведем детальное исследование локально-одномерной
схемы для уравнения теплопроводности в р-мерной области
G = G + r сложной формы. Пусть х = (хь х2, ..., хр) — точка
р-мерного евклидова пространства Rp.
414
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[5
Рассмотрим в цилиндре Qta = G X [О t /0] следующую
задачу для уравнения теплопроводности
-^ = Lu + f(x, /), L=^La, (х, /)eQZo,
а=1
ы|г = у,(х, /), и(х, О) = ыо(х).
(33)
Здесь Г — граница области G, L — эллиптический оператор вто-
рого порядка. Для упрощения изложения считаем, что L = Д —
д2и
оператор Лапласа, т. е. Lau = —7, а =1,2, ..., р. Предполо-
<?ха
жим, что задача (33) имеет единственное достаточно гладкое
решение.
Относительно области G конструктивно используются два
предположения: 1) пересечение области G любой прямой Са,
параллельной оси координат Оха, может состоять лишь из ко-
нечного числа интервалов, 2) возможно построение в области G
связной сетки &h, описанной в гл. IV, § 1, с шагами ha,
а = 1, 2, ..., р. Напомним обозначения:
и* а— множество приграничных по направлению Оха узлов;
уА, а — множество граничных по направлению Оха (по ха)
узлов;
р
иА= (J а- множество всех приграничных узлов;
а=1
у/г — множество всех граничных узлов;
®л, а - дополнение < а до а, а = а + а;
ил — дополнение иА до ил, ил =	+ иА;
и** а — множество приграничных узлов, нерегулярных по ха.
Для разностной аппроксимации оператора в узле х вы-
бираем трехточечный шаблон, состоящийиз точекл/-1а)’ х,
Разностный оператор Ла ~ La имеет вид:
а)	В регулярных узлах
Лаг/ = Ух Ха = G/(+'a) - 2z/ +	•
lla
б)	В нерегулярных узлах
Л^ = ^А =
1 (У( + '^ - у _ У-/ lg) \
Ba \ ha	ha /
1 /у( + ‘а) - у _ у-у^ lg) '
йа \ Л*	Ла
xi ‘a)eYft,a,
а(
5]
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИЙ
415
где Ла = О,5(Ла + Ла), ha — расстояние от нерегулярного узла х
до граничного узла или Если хеюА*аИ х^-1а^еуА,а,
х<+1«)е= уЛ,а, то
ЛаУ - УхаХа
1 / у(+‘а) - у _ у-у' 1ц)
Йа V Ла+	Ла-
где Ла+— расстояние между х и л/+1“), ha — расстояние между х
И л/~1а\ Ла± Ла.
В регулярных узлах Ла имеет второй порядок аппроксима-
ции Лаы — Lau = О (ha), в нерегулярных узлах — первый порядок:
ЛдЦ -Ла^ б) (Ла)*
Перейдем к написанию локально-одномерной схемы. При-
ведем сначала наводящие соображения, в основном повторяю-
щие рассуждения п. 3. На отрезке	введем сетку
®г = {0 = /т, / = 0, 1, . . ., /о)
с шагом т = /0//0. Пусть /„ — произвольные функции, такие, что
2 fa = f-
а=|
В слое (tj, tj+i) вместо (33) будем решать последовательно
уравнения
= LaV(a} + fa(x, /), а= 1, 2, ..., р, .re G,	(34)
с начальными условиями
Ц((х, О) = ио(х), Ц(1) (х, tj) = vw(x, tj), j=\,2,...,
V(a)(x, tj) = V(a~l)(x, tj+l), j = 0, 1.a = 2, 3, p,
полагая
v(x, t!+l) = v(p} (x, tj+l).
Краевые условия для v(a), очевидно, достаточно задавать не
на всей границе Г, а на ее части Га, состоящей из точек пере-
сечения Г со всевозможными прямыми Са, параллельными Оха
и проходящими через любую внутреннюю точку .геб (см.
гл. IV, § 1). Узлы x^yhi а лежат на Га.
Если, например, G = {0 ха << 1а} — параллелепипед, то Га
состоит из граней ха = 0 и ха = 1а. Пусть Да— пересечение Са
с G. По предположению 1) относительно области G множе-
ство Да состоит из конечного числа отрезков, параллельных Оха,
с концами на Га.
416
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[S
Заменим каждое из одномерных уравнений теплопроводно-
сти (34) двухслойной чисто неявной схемой
——-----= Д п/+1-и(р/+1 ХСЕй
Т	^аУ(а)	’ x'=wh>	. (35)
<Х= 1, 2, . . р, j = 0, 1......./0—	1,
с начальными данными
C =	^1) = г/;Р)>/=!> 2> •••>	1
^) = САр а = 2, 3, .... р, / = 0, 1, 2,... /
Граничное значение у'а| | и правую часть ф£+1 можно
выражать через у. и fa, взятые в произвольные моменты Га
и f* на отрезке [tj, //+1]:
^Vka = ^(*’ Q’ ^+I=HX>Q
Из пп. 7 и 8 следует, что схемы, получающиеся при раз-
личных t*a и /*’, имеют один и тог же порядок точности. Для
определенности полагаем
(Pa+1 = ^(x’ Z/+i/2)’	(36')
Значение y[+l и будем называть решением разностной за-
дачи при / = //+| и обозначать yi+l = у(+’. Учитывая начальные
условия (36), перепишем (35) в виде
=Лау^ + ^, а=1, 2, ..., р,
у&' = у',+'> У^ = у-
Введем безындексные обозначения у = y[+l, <ра = ф£+!. Тогда
локально-одномерная схема может быть записана в виде
^-^(а-И =Дау(а) + (ра)	=	(37)
У(а)=Ц, л:еул, а, у(х, О) = ыо(х), У(О)=у', а=1..р. (38)
Для каждого уравнения номера а мы получаем одномерную
первую краевую задачу. Решаются эти задачи последовательно
в порядке возрастания а. Для решения каждой из задач
У(а)/т — АаУ(а) = У{а-ц!х + фа, У(а) I vA> а = Ц
вдоль отрезков, параллельных Оха с концами на yft, а, приме-
няется алгоритм прогонки. Алгоритм решения задачи (37), (38)
похож на все остальные экономичные методы — последователь-
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
417
в)
но меняются направления прогонки (а= 1, 2,	р). Чтобы
найти значения у на шаге /j+i по данным на шаге tj, надо по-
этапно решить р одномерных задач по всем координатным на-
правлениям.
6. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы.
Пусть и — и(х, /)—решение задачи (33) с Lau = —- и у(а) —
дха
решение разностной задачи (37), (38). Характеристикой точно-
сти локально-одномерной схемы является разность yi— u.i — zi.
Промежуточные значения (/'+', <х=1,2, .... р— 1 будем
сравнивать с и (х, ta), где ta — любое значение на отрезке
[^, ^+1]. В выборе ta есть большой произвол. Для определенно-
сти будем полагать
4')1 = <l-"/+l’ а = 1, .... р,
так, что = z< = у> — и1, zf+l = y>+1 — ul+l. Подставим ym —
= z(a) + й в (37), (38):
— T—-- - = AaZ(a) + Фа, X (= ЮЛ, 0 < t = /Т < t0,	(39)
Z(a) I v = 0, z (x, 0) = 0, a = 1, 2.p.
Л, a
Здесь фа — погрешность, с которой аппроксимирует уравнение
(37) номера а многомерное уравнение (33) на его решении и:
фа = Лай + <ра—- и ба,,, а =1,2, ..., р, u = u’+lt и = и',
1 1, а = 1,
d«-i =( о, а^=1.
Вводя обозначения
° i । г я ди
Фа Lall + la Оа, [
(так что ф, = Lxu + fx—, фа = Lau + fa, a = 2,3, ..., p^, пере-
пишем фа в виде
Фа = Фа + Фа.	(40)
Нетрудно заметить, что
р о
£фа = 0,	(41)
а—1
(42)
418	ГЛ. VII. экономичные разностные схемы	р
р
если 2 fa = f• Оценим величину 4>a:
a=l
Фа = фа - Фа = (АаЙ + <Ра) - (LaU + fa) ~ ( (й - и)/т - ба, , .
Из п. 5 следует, что
фа = О (йа + т) в регулярном узле,
Фа = О (ha + т) в нерегулярном узле.
Так как сра = О (1), то каждое из уравнений номера а не
аппроксимирует многомерное уравнение (33). Однако, в силу
(40) — (42), аддитивная схема (37), (38) аппроксимирует урав-
нение в суммарном смысле, так как
Ф = 2 Фа = 2 Фа = о ( | h I2 + Т)
а=х(	а=!
в регулярных узлах, ф = О(|й| + т) — в нерегулярных узлах.
Таким образом, локально-одномерная схема (37), (38) обла-
дает свойством суммарной аппроксимации уравнения (33).
Наша задача — показать, что из суммарной аппроксимации
следует равномерная сходимость локально-одномерной схемы со
скоростью О(|й|2 + т).
Необходимо сначала доказать принцип максимума для ло-
кально-одномерной схемы и получить априорные оценки в рав-
номерной метрике для решения задачи (37), (38), выражающие
устойчивость локально-одномерной схемы по начальным дан-
ным, по правой части и по граничным данным.
7. Устойчивость локально-одномерной схемы. В гл. IV § 1,
п. 5 был доказан принцип максимума для уравнения, которое
мы запишем в виде
Л(Р)У(Р)= 2 В(Р, Q)y(Q) + F(P), Pe=Q, QeQ, (43)
Qeffl' (P)
где P, Q — узлы связной сетки Q = Q + S, y{Q) задана на Q,
уравнение пишется в Q, А(Р), B(P,Q) и F(P)—заданные чис-
ловые функции точек Р, Q; S — граница сетки, Ш'(Р)—окрест-
ность узла Р.
В главе IV рассматривался случай, когда Р =	где
и/t — сетка в области G р-мерного пространства. Установленный
там принцип максимума и вытекающие из него следствия со-
храняют, очевидно, силу для уравнения (43).
Будем предполагать, что
A(P)>0, В(Р, Q)>0.	(44)
Л	§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
419
Обозначим
Р(Р) = Д(Р)- 2 В(Р, Q).
QsW'(P)
Принцип максимума для (43) имеет место при
£)(Р)>0, РеЙ.	(45)
В этом случае для решения однородного уравнения L[y(P)] = О,
где
L[y(P)] = A(P)y(P) — 2 В(Р, Q)y(Q), Рей,
Q <= Ш' (Р)
справедлива оценка
тах| у(Р) |<тах| y(Q) |.	(46)
Ре!>	QeS
Если выполнено условие
D (Р) > 0 для РеЙ,	(47)
то для решения уравнения (43) с однородным условием у|8.= 0
имеет место оценка
тах| у(Р) |<max|-	(48)
peQ-	Рей 1 U '> 1
Если хотя бы один узел Q^UI'(P) является граничным,
QeS, то узел Рей назовем приграничным. Обозначим Q*
множество приграничных узлов, a Q — дополнение Q* до Q, так
что Q + Q* = Q. Предположим, что
D(P)^0 при Рей, D (Р) >	> О ПРИ Р^&*>
F(P) = 0 при Рей.
Тогда для решения уравнения (43) верна оценка
max | у (Р) К max I F I < max | d (Р) F (Р) |.
pe-jj	Ре!!' I	I psQ»
(49)
(50)
Применим неравенства (46) и (50) для оценки решения на-
шей задачи (37), (38). Для этого запишем разностное уравне-
ние (37) в канонической форме (43).
Для удобства изложения введем сетку
йт = {0, tj+a/p =(j + а/p) т, / = 0, 1, ..., /о — 1, а = 1, 2, ..., р},
содержащую не только узлы ^ = /т сетки йх, но и фиктивные
узлы tj+aip, а=1, 2, р— 1. Отнесем формально к мо-
менту ^+а/р> полагая yi+l =yi+a/Pl = Пусть ®; = {f/+a/p},
14'
420
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
— множество внутренних узлов сетки ®A(G). Обозначим через
Р(х, Г), где x^®h, t е узел (р+1)-мерной сетки
Q = сол X = [Р (х, t), х е мл, t е }
в цилиндре Q/o,
Sa = {Р (x, 11+а/р), х е ул> a, а = 1, 2, ..., р],
50 = {Р (х, 0), х е йл},
s = so + st+ ... + Sp
— граница области Q, так что Q = Q + S. Пусть
~a {Р (Х’ tj+a/p)’ X^ati,a
множество узлов, для которых х е а есть приграничный
° ’ ₽
по ха узел сетки <bh, Qa — дополнение Q* до Q, Q* = (J Q* ,
а=^1
Q —дополнение Q* до Q, Q = Q + Q*.
Обозначим Ра = Р(х, ti+alp), p(t±1a) = p(x(±,a), f/+a/p) и запи-
шем уравнение (37) в виде
Л(Р.)у (₽„) = 7У(Р„_,) + в(Ра, Pfo>)у(р(+ч>)+
+ В(Р„, P'-’«>)»(P<-'«>) + »(PJ, P.eS,
У (Ра) = И (Рр), Ра е 5а; у (Р) = u0 (х), Р е= So.
(51)
Окрестность Ш' (Ра) узла Ра состоит из трех точек Ро_(, Р^+1“^ и
р1-1<11. Если х — регулярный узел сетки ®Л, то
-4Ю = 7+^г. в(Л, р'+'“’) = в(р„.
Т Па	па
(52)
Если х — нерегулярный узел, то
л(Р’)-т+*^Г’ 8(р-
(53)
где ha+ — расстояние между узлами и х, йа = 0,5 (/za++ ha-).
Из (52), (53) и (51) видно, что (при у |$ =й= 0)
7)(Ра) = 0 при РаеО, Л>0, В>0.	(54)
Пусть plYft = 0 или р(Ра) = 0 при P„gS,. Если Ра^й*,
а Р^+1“) е 50 — граничный узел, P^-l“^ е Qa — внутренний узел.
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
421
И
то у(р(+1“)) = 0 и (51) принимает вид
Л(ра)^(ра)=1^(ра_1)+в(ра) p(-1“))i/(pL’,“))+<p(pa), ра^а-
Отсюда и из (53) следует, что (при у |s У= 0)
1)(Ра) = 0, Рае=Йа; 1)(Ра) = з4г’ р<^&-
х,а,га+
Если оба узла P^+l“\ P^-l“^ е Sa являются граничными, то
А (Ра) У (Ра) = -^ У (Ра-1) + <Р (Ра), Pa^tia
о
и D (Ра) =	— при Ра е= Q*, у |So у= 0. Если х — регулярный
приграничный узел, то ha+ = ha- — ha = ha. Таким образом,
если у(Р) обращается в нуль на границе
Z/(Pa) = 0, Pa^Sa, ТО D (Ра) > 1/(6 (Ра)) При Ра 6= й’, (55)
где 6 (Ра) = 6а — одно из чисел
ЛдЛа±, 0,5/1а+^а—, Ла, 0,5Аа.	(56)
Решение уравнения (51) представим в виде суммы
у = у + у,
где у — решение однородного уравнения (51) при <р(Р) = 0 и
у(Ра) = ц(Рр), Рае5а, y(P) = u0(P), Ре$й, а у —решение не-
однородного уравнения (51) при условии y(P) = 0, PgS. Так
как условия (44) и (45) выполнены, то
тах|у(Р)|<тах|у(Р)|.
рей	р <е S
Для дальнейшего нам понадобятся обозначения
||у||с= тах|у(х)|, ||у||о = шах | у (х) |,
*еил	С
||у||с, = тах| у(х)\, Hgllc =тах||1(х)|.
x^h ?
Имея в виду, что г/(Ра) = И(Рр) при Рае Sa, у(Р) = «о(Р) при
PeS0,
тах|у(Р)| = тах(||«0||с, max II цЧсJ < II «о lie + тах ||рЛ'||с ,
получаем
II 11с <11 «о Ис + тах || р. (х, Г) ||с , /=1, 2./0.
422
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Г
Рассматривая вместо й(/0) = <ол X й' сетку
Q (/) = {Р (х, t'), х ibh, О t' = (/' + а/p) т /т},
будем иметь
II lie < II «о Ис + max IIИ (*> f) Нс .	(57)
Перейдем теперь к оценке у. Представим сначала <р в виде
Ф (Ра) = Ф (Ра) + Ф* (Ра), где
ф(ЛЛ =
Ф^а),
О,
Ра е Qa, ф. =	0.
PaG=Qa,	ф(Ра),
Ра Qo.
Ра 6= йа-
В соответствии с этим положим
y(P) = v(P) + w(P),
где v (Р) — решение уравнения (51) с правой частью ф*(Р) и
и (Р) Is = 0, a w (Р) — решение той же задачи с правой частью
о
<р (Р). Принимая во внимание (55) и (50), сразу получаем оценку
для и (Р):
шах| u (Р) |< тах| 6(Р)ф(Р) |
р = а	ре а*
или
I|u/||c< max ||баФа+а/₽|1с*’	(58)
Ка<Р, 0</'</-!	u
где 6а —одно из чисел (56).
Для оценки w (х, t/+a/p) запишем разностную схему (37)
®(а)Л = Ла®(а) + Ра W, Fa = ®(a-l)/t + Фа>
®(а) 1ул = 0, W (X, 0) = 0,
где да(а) = ® (х, //+а/р), йу(а-1) = да(х, tj+(a-DiP), в канонической
форме (43) с Р = хе
В строго внутреннем узле хеал имеем
т. е. 7)(х)=1/т. В приграничных узлах, очевидно, £)(х)>1/т.
Поэтому, в силу (48), верна оценка
II да(О) lie < | -тг |с < т II Fa lie < II	Нс + тII Фа Нс =
- = II Нс + Til Фа 11^
Ч
81
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
423
или
II W>+a/p ||с <11 wl+(a-WP ||с + т|| ф/+«/Р ||
После суммирования по а и j получаем
Н^11с< 2 2 т||ф/'+^||о.	(59)
1	а=1	с
Пользуясь неравенством треугольника
IIУ Нс = IIУ + v + w Ис < IIУ Ис + II v Нс + II ® 11с
и оценками (57) — (59), убеждаемся в том, что верна
Теорема 2. Локально-одномерная схема (37), (38) равно-
мерно (в метрике С) устойчива по начальным и граничным
данным и по правой части, так что для решения задачи (37),
(38) при любых х и h справедлива оценка
р
и у'Нс <н «о Нс + 2*2 11фг+а/₽н° +
/'=1 a=l	С
+ max || И (х, Г) ||с + max || W'+“^ ||с„
0<Г<Л	v 1<а<р
о</'</
где 6а — одно из чисел (56).
8.	Равномерная сходимость локально-одномерной схемы.
Докажем следующую теорему.
Теорема 3. Пусть задача (33) имеет единственное непре-
рывное в Qta решение и = и (х, t) и существуют непрерывные
в Qi, производные
д2и	д'1 и	д3и d2f . о <-
dt2 ’ dx? dxg ’ dt дх2 ’ дх2 ’
Тогда схема (37), (38) равномерно сходится со скоростью
О (h2 + т) (имеет первый порядок точности по х и второй по-
рядок точности по /г), так что
\\ у1 — и1 \\с М (h2 + х),	/=1,2,...,
где h= max ha, М = const > 0 не зависит от х и ha.
1<а< р
Доказательство. Представим решение z<a> — У(ау ~ и
задачи (39) в виде суммы z(a) = u(a) + ij(a), где г)(а) определяется
условиями
^(а) —11(а-1)	°	п
-----Ч---“Фа,	11(a) = 0 При хеуЛ,а»
П(х, 0) = 0.
424
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
18
Отсюда находим т]/+1 = Л(р) = + т СФ1 + ... + %) = nz = 0 для
всех / = О, 1,..., так как т]0 = 0. Для = г|'+(Х/р получаем
л/+а/Р = т 2 ф = - т 2 %•
|3=1 р	(3=а+1 р
(60)
Для v(a) получаем задачу
?<а> J.!.g.z22. = Лац(а) + фа, лг«=<ол, а=1, 2, ..., р,
f(a)L =°. v(*, 0) = 0,
л> а
где Фа = < + Лат](а).
Воспользуемся теперь теоремой 2 для оценки решения за-
дачи (60). Так как t> = 0 при / = 0 и при хеуЛ, то
/-1 р
|| V ||с < max || 6аф/,+а/р ||с» + 2 т SII &'+а1р Ik •
1<а<р,	/'=1 а=1	С
Рассмотрим Лат](а). В строго внутренних узлах (№®л>а)
р
ЛаП(а) = ~ Т 2 Л = О (t),
3=а+1
если существуют непрерывные производные
В приграничных узлах x^a*ha имеем (для
считаем, что е уЛ( а, а лг(+'“) е oh,a):
д и	а
„ р --9, а #= р.
Зхц дх£
определенности
л „	1 I Ч(°) ~	11W I
fia \ ha ha-/‘
В п. 7 было показано, что в таком узле 6а = йа/га_ и, следо-
вательно,
I 6аЛаДа) | = | Ма_ЛаДа) | < | <’а) | + 2 | Да) | >
Т. е. II 6а^аЛ(а) Ис* (^)>
II	Ma !lc. < II«lie. +1| Van(q) ||с. с М	+ 4
Учитывая затем, что
Н.1а<1«1^ + 1Мм|г«Ж+4
9J	§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ	425
и z! = v!, получаем || г1 ||с = || у! — и! ||с -С М (И2 + т), h = max ha,
Ка
что и требовалось доказать. Из устойчивости по краевым дан-
ным и по правой части следует произвол в выборе t*a и t** (см.
стр. 416).
Таким образом, мы провели исчерпывающее исследование
локально-одномерной схемы.
Замечание. Схема (37), (38) была исследована в работе
автора [7]. В приграничных узлах а’ а значение #(а) можно
определять при помощи интерполяции по направлению ха (ср.
А. А. Самарский [4]), что соответствует требованию
Ла^(а) = 0 ПРИ *е<а’ #(а) = 0 ПРИ е Yft, а’
Принцип максимума верен и в этом случае; имеет место тео-
рема 2.
При оценке скорости сходимости локально-одномерной схе-
мы функцию т)(а) определяем так же, как и выше, полагая
2(а) = Л(а) + v(a} во всех внутренних узлах х е <&h, где
а	р
V ?	V Г
П(а) = Т 2j % = ~ Т 2j Ф«,
₽=1 р	₽=а+1 р
?	(t , г ди „ V+1
% ~ V ₽ + ы gt )
Тогда для и(а) получаем задачу
~ ^а.и (а) + Ф(а)> х G <£>Л, а,
0 = Ма) + Фа’
где
Фа = Фа "Мац Х G ®Л, а>
Фа = “ ЛаЫ' + 1 - ЛаП(О), X £= <о'А а.
Дальнейшие рассуждения практически совпадают с рассужде-
ниями, проведенными выше. В результате убеждаемся, что и
в этом случае верна теорема 3, т. е. локально-одномерная схема
равномерно сходится со скоростью О(т + /г2), где h = тах/га.
а
9. Локально-одномерная схема для уравнений с перемен-
ными коэффициентами. Укажем, как применяется локально-од-
номерная схема для уравнений с переменными коэффициентами.
При этом достаточно указать лишь изменения в формулах для
операторов La и Аа, считая, что рассматривается задача (33).
Локально-одномерная схема всегда записывается в виде
(37), (38),
426
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[9
1)Линейноеуравнениепараболическоготипа.
Пусть в задаче (33)
=	0<с,<6а<с2-
В задаче (37), (38) меняется лишь формула для Ла:
Ла#(а) = (аа (Х> 1)У* V > 0 < С1 аа ^5 С2>	= h + 4i
х
Коэффициент аа выбирается так, чтобы Ла имел второй поря-
док аппроксимации на регулярном шаблоне,
AaW — LaU — О (Ла)’
например, можно взять
ца = 0,5(/га (х, t) + /га(х(-Ц ?)).
Теоремы 2 и 3 сохраняют силу.
2) Квазилинейное уравнение параболическо-
го типа. Пусть в задаче (33)
t,	Q<ct^.ka, -~-^cQ>0.
дха \ °' ’ ’ ' дха ) ’	1	“ >	5м и
Возможны два способа аппроксимации оператора La:
a)	U) = («а (*-	0-5 (г/(а) +	) у ) , I =
u (X
Для определения z/(cc) получается нелинейное уравнение, ко-
торое решается тем или иным итерационным методом; каждая
итерация находится при помощи прогонки.
б)	Aa//ta) = (aa(x, t, 0,5 (у[а_ь + у^})ух} .
Для z/(a) получаем линейные уравнения, решаемые методом
прогонки. Что касается устойчивости и сходимости, то при до-
полнительных предположениях относительно ограниченности
52fea 52fea d2ka
производных	2' имеет место равномерная
сходимость со скоростью О(т + /г2).
Локально-одномерные схемы можно применять и в случае
третьей краевой задачи. Если, например, область G есть прямо-
угольник со сторонами 1\ и /г (или ступенчатая область), то
уравнения (37) пишутся не только во внутренних узлах сетки,
но и на соответствующих границах. Так, например, если на
стороне Xi = 0 прямоугольника (0<xa</a, a = 1,2) задано
краевое условие = a(~>w + v(}_), то при a= 1 уравнение (37)
§ з. Метод суммарной аппроксимации
427
к»
пишется и при х, = 0, причем в узле Xj = 0 полагаем
0,5/г,	’	0,5/г, ’
Этот алгоритм предложен И. В. Фрязиновым [2], который пока-
зал, что полученная локально-одномерная схема сходится равно-
мерно со скоростью О(т+ |/г|2).
10. Продольно-поперечная схема как аддитивная схема. Ме-
тод суммарной аппроксимации позволяет формулировать крае-
вые условия для схемы переменных направлений в случае сту-
пенчатой области, эти условия обеспечивают точность О(т2 + |/i|2).
Итак, пусть G составлена из прямоугольников со сторонами,
параллельными осям координат. Если отрезки, из которых со-
ставлена граница Г области G, параллельные оси Оха, а = 1, 2,
соизмеримы, то можно ввести равномерную по ха сетку с ша-
гами ha. Будем считать, что сетка йл(ё) равномерна по х,
и х2. Рассмотрим задачу (32) из § 1. Схему переменных на-
правлений, следуя § 1, возьмем в виде
У1 = Л< (^/ + ‘/г) У' + '/2 + Л2	+ ф',
-У' + 0^5т/+/2 = Al у1+'/2 + Лг	yi+l + ф/>
i//+IL =Р/+‘, г//+НА =Й/+'/2> У(х, О) = до(х),
'Л, 2	Л, 1
(61)
где ц — выражение, определяемое по формуле
p/+v2 = 0,5 (р/ + р/+>) - j [(W+1 - (WL
Таким образом, и в этом случае вводится поправка в краевое
условие при хеуЛ1. Здесь Л, {ti+^y>^ = (а, (х, t,+</г) У^'%,
Л2(ф/ = (а2(*’ 'Жк- ф' = £/+1/2-
Пусть и = и(х, f) — решение исходной задачи (32) из § 1,
У1, У1+'1г — решение задачи (61). Полагая z^yi — u1, г'+',г =
= ^/+у2 _ 0,5 («/ +«/+*), получим для z задачу
0,5т Л, (^+Чг)г1+ 11 +	+ Фр
= Л1 (W2'** + A2(Z/+I)2/+1 +
z/+IlVft>2 = 0, z/+’/« |Ул j = z(x, 0) = 0,
(62)
428	гл. VII, ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ	[10
где яр] и яр2 — погрешности аппроксимации для промежуточных
схем:
= Л. + Л2 ?/) + <₽'>
v/+,/2 = -^((W+‘-(W)-
Так как Лам = Lau + О (А2), то гр( = гр[ + гр*7, яр( = яр/ + гр*', где
яр? = О (/г2 + т2),
ф[ = - у [(^2Ы)	— (^2иУ] =	2 (^2U)i ’ 'Фг = ~2 (^2и\ ’
Отсюда видно, что яр! + яр2 = 0 и
Ф1 + Фг = ° (т2 + I h |2),
т. е. схема обладает суммарной аппроксимацией второго по-
рядка по г.
Положим z! = v!, zl+l = v'+l, zl+'!1 =	+ т|/+1/2, где tf+’/s =
/
= — (L2uyt при	0 < х2 < /2. Тогда для v получим
задачу (62) с однородными граничными и начальными значе-
ниями V11	= 0, и'+‘'2 |	=0, v(x, 0) = 0 и правыми частями
’h, 2	'h., 1
iff = яр? + Al (//+Vj) t|/+1/2, яН = яр? + А! (f/+./s) T)/+'/2.
Так как определена и при Xi = 0, xt = h, то[[ Ai (//+/,) i]/+1/г ||=
= О (т2 +/г2), если существует непрерывная в Qt.. производная
fa3#*	= Для и/+1 воспользуемся полу-
ченной в § 1 априорной оценкой (41) и учтем, что z/+1 = u/+I:
Ь'*'-,л!(г,+1)2П<2 414Г1ШЛ)-
/'=0
Отсюда и следует сходимость со скоростью О (т2 +1 Л)2), в част-
ности, в сеточной норме Л2, т. е. ||z/+l || ^ Af (т2 +1 h |2) (так как
II Z — тА2£ II >|| Z ||). Если ka = const =1, то при этом достаточно,
гГ	А	&3и
чтобы существовали непрерывные в Qtl производные -д^-,
dfu д5и
дх^ ’ Зх2 дх2 dt
Ill
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИЙ
429
11. Локально-одномерные схемы для многомерного гипербо-
лического уравнения второго порядка. Метод суммарной аппрок-
симации позволяет получить абсолютно устойчивые сходящиеся
локально-одномерные схемы для уравнений гиперболического
типа (см. А. А. Самарский [10], [12]).
Рассмотрим уравнение
~ = 2 LaU + f (х, /), Lau = -Д- (ka (Х, t)
ka(x, Cj > 0, С] = const,
где х = (Xi, ..., хр)— точка р-мерного пространства с коорди-
натами Xi, .. хр. Пусть G — произвольная р-мерная область
с границей Г, G = G + Г,
Qr= G X [0<t< Г], Qr= G X (0</<Л-
Требуется найти непрерывное в цилиндре QT решение урав-
нения (63), удовлетворяющее краевому условию
u = n(x,t) при хеГ,	(64)
и начальным условиям
и (х, 0) = ий (х), д--~ °) = й0 (х) при xg G. (65)
Как обычно, предполагается, что эта задача имеет един-
ственное решение и — и(х, t), обладающее всеми требуемыми по
ходу изложения производными.
Относительно G остаются в силе те же конструктивные пред-
положения, что и в случае параболического уравнения (см. п. 5).
На отрезке	построим _ равномерную сетку
<от = {tj = Й, / = 0, 1, ...} с шагом т. В G выбирается такая же
сетка «л, что и в п. 5.
Если G — р-мерный параллелепипед, то для численного ре-
шения задачи (63) — (65) можно построить экономичную факто-
ризованную схему, имеющую точность О (т2 + | h |2). Такая схе-
ма была исследована в § 2.
При построении локально-одномерной схемы поступаем по
аналогии с п. 5: аппроксимируем с шагом т/р последовательно
операторы
^ = у^-(ЙТ/ + Й), а=1, 2, .... р, (66)
где fa удовлетворяют условию
р
а=1
430
ГЛ. vil. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(И
Для аппроксимации производной с шагом т/р
зуются выражения
. “(а)-2“(а-1) + й(а) £ /	+(«-')/2
fafa	Т2	~ 4 \ dt2 /	’
а = 1, 2 при р = 2,
где Ц(а) = ll!+"J2, й(а) = U/-1 + a/2, U(0) = Й =	W(2) = U1,
_ и(а)~и(а-1)~и(а-2) + й(а) £
Ulala	т2	~ 9 dt2 ’
а = 1, 2, 3 при р = 3,
исполь-
(67)
(68)
где W(-l) = й(2) = и(/-1) + Ч Щ-2) = й(1) = и<~\
Для аппроксимации Lau + fa на пространственной сетке ®л
воспользуемся однородным разностным оператором второго по-
рядка аппроксимации Лау 4- q?a.
Коэффициент оператора Ла и правая часть <ра берутся в мо-
мент
t'a = ^(ij+a/p + Ч+а/р) = #/+а/Р-0,5 = Ь + (а/Р ~ °-5) Т>
так что ла = ла (/;), фа = фа (X, Q
Напишем теперь локально-одномерные схемы для гипербо-
лических уравнений:
У^а = °РЛа Ч) + Ч) + 2°р<Ра> а = 1 > • • • > Р> Р = 2> 3> (69)
где
_( ’/4 при р = 2,
°р I ’/3 при р = 3,
a f дается формулой (67) при р = 2 и формулой (68) при
р = 3. При р = 2 получаем трехслойную аддитивную схему, при
р = 3 — четырехслойную схему. В этом отличие от параболиче-
ских уравнений, для которых вид локально-одномерных схем не
зависит от числа измерений р.
Уравнение (69) можно записать в виде
(£-o/Aa)(p(a) + ^(a)) =
+ 2^2г2сРа ПРИ Р = 2,
^а-ц+^а-э + ^Ч ПРИ Р=3-
(70)
Определение р(а) сводится к решению трехточечного урав-
нения (£—арт2Ла)р(а) = Fa вдоль отрезков, параллельных оси Оха,
Ill
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ аппроксимации
431
что можно сделать методом прогонки, пользуясь краевым усло-
вием
0(о)=ф(*’ h+ajp) при хеу».	(71)
Первое из начальных условий и(х, О) = мо(х) аппроксими-
руется точно:
г/(х, O) = wo(x).	(72)
Для вычисления промежуточных значений y'k = y(x, т/2)
при р — 2 и у',г = у(х, т/3), r/2/s = r/(x, 2т/3) при р = 3 применим
следующие уравнения:
(Е - 4Л1)^ = ^
F\ = и0 + й0 + — A]U0 + т2 ^/1—— (Au + f)^ &
если р — 2;
(Е -	Л1) У1* =	(£ - 4 Л2)	+ и0) = 2г/'/з + F2,
Е{ = иа + у й0 + t2AjU0 + т2 (у fi—y(Au + /)^
^ = ^2(т/2-|(л« + <0>
(74)
если р = 3.
Остановимся более подробно на локально-одномерной схеме
для случая двух измерений (р — 2):
у(х, О) — ио(х), (е — -у-у'/г = Fi при / = 0,5т,	(75)
/-1.2,...	<76>
Краевые условия имеют вид
у!+'У = р. (х, //+,А) при х е у^,
r//+‘ = p(x, //+1) при хеу2.
(77)
Функция у1+'Ь находится из уравнения
^/+7» _
^Л^+-/1==ф/,
432
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[П
где ф| —известная правая часть, с краевыми условиями (77),
a yi+' — из уравнения
///+1-4Л2^+1=Ф^+'/2-
где Ф2+‘Л известна, с краевыми условиями (77). Каждое из урав-
нений решается методом одномерной прогонки.
Рассмотрим погрешность Z(a) = Z/ + a/2 = y/+a/2 — U (х, tj+a/i)
схемы (75) —(77), где и —решение задачи (63) —(65), у —решение
задачи (75) —(77). Подставляя у(а; = z(a) 4- и'+а/2 в уравнение (76),
получим
(е — Л- лЛ -2^- = "Ф1	при t = 0,5т,
\	4	/ т
z(x, 0) = 0, хей., z,n, = z!+ai2 = 0 при хеу“, а=1, 2,
|р	((Л)	А	* fl'	1	1
(78)
где
Фа = Т Ла («а + «а) ~\?а + °>5(₽а	(79)
— погрешность аппроксимации для одного уравнения (66) но-
мера а = 1, 2.
Погрешность аппроксимации для локально-одномерной схемы
(75) — (77) определяется как сумма
Ф = Ф1 + Фг-	(80)
Покажем, что схема (76) аппроксимирует задачу (63) — (65)
в суммарном смысле, = О(т + |h|2).
В самом деле, учитывая, что
0,5Aa (l/а + Ua) = (LaU-У	-р О (/la) При X€=(O/;ia,
0,5Aa (tla + Ua) — (LaU)!	4- О (На) При X S <i>h, at
“(Л = -И-У-)	%-й+|-',в + о^).
получаем
Фа = Фа + Фа’
где
фа = 0,5(лац-0,5-у- + /а)	, а=1, 2,
Фа = 0 (Йа + т2) при X (= (Ой> а,
Ф« = 0(/га + т2) при хесо;о.
UJ	§ 3. МЕТОД суммарной аппроксимации	433
Отсюда следует:
ф( + ф^+1/2 = 0,5 {L}u — 0,5и + f^ + 0,5 (L2u — 0,5й + f^'+'!1 =
= 0,5 ((Д । + Д) и — u + + f2)' + 0,5тф2^.
Первое слагаемое, в силу уравнения (63), равно нулю:
(Z>! + Л2)и ~ й + f = 0, f = fi + f2.
Поэтому
ф( + ф2 = 0.	(81)
т. е. схема (75) —(77) обладает суммарной аппроксимацией.
Рассмотрим теперь сумму
Фг + 2ipi + ф2 = 0,5 [(L2u — й + f^+ + (Ь2и — й + /2У 2] +
+ (Lxu — й + fi)' = ((Д + L2) и — й + f j + f2)' +
+ (ф/+'/г - 2ф/ + ф/-'/*) = т2(ф>)^’,
т. е.
Фг + 2ф] + ф2 = т2 (ф2)ад = О (т2).	(82)
Дальнейшие рассуждения, для упрощения изложения, прове-
дем в предположении, что область G — прямоугольник,
G = (0 < ха < la, а = 1, 2)
и сетка <вь равномерна по каждому направлению:
®л ={*г = (г’Л, Ш. «а = 0, 1, .... Na, hu = l„JNu}.
В пространстве Q сеточных функций, заданных на сетке ю/г
и равных нулю на ее границе yft, введем скалярные произве-
дения
Mi-1 Л-1	л л-1
(У, »)= 2 2 y^th^, (у, v]I = 2 2 г/г^^/г^г,
4’1 = 1 42=1	4’1 = 1 <2=1
М,-1 м,
(У, f]2= X X yiVihih2.
i । — 1 /2e 1
Покажем, что схема (75) — (77) абсолютно устойчива и схо-
дится, по крайней мере, со скоростью О(т 4-1 h |2).
Решение задачи (78) представим в виде z = g + v, где g —
решение задачи (78) с правой частью фа = фа, a v — решение
задачи (78) с правой частью Фа = Фц.
434
ГЛ. VI1. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[П
Найдем априорную оценку для учитывающую свойство
суммарной аппроксимации (81).
Умножим уравнение (78) для скалярно на|а — |а = т (ga)f.
Учтем, что
£1 — ^1 ~ (В1 — В2) (В2 — ^1) “ т (ВЕ1 + ВЕг)>
(M.+U
Предположим далее, что а(х, /') удовлетворяет условию
Липшица по t, т. е. аа (1 + с3т) аа. Тогда можно написать
В результате получаем энергетические неравенства
1ММЁг,Г+4(“г 8,]1<т(| +M(«1. S,],+*(♦,. S,+S„).
|Sr,F“IF + 4"	+с3т)(й,, iij, + т(Ф2.	+!,,)
Складывая эти неравенства, найдем
/<(1 + с3т)7 + тД, g?i + ifs) + T(|2, gfl + gEj), (83)
где
ММ2 + т(а1’ Ш1+т(«2- Й,]2-	(84)
Используем теперь свойство (81) и преобразуем слагаемые
оо° /+/,
содержащие и г|>2 = № :
А = т (i> Bfl + ВЕг) + т (ф2, g?i +	= т	(Ц) + т (ф'+1/2, (g2)f).
Подставляя сюда
=- fc =й+1/г - тф2Е1» К=ft+v’ - WT’
получим
л=л4ле,е)+т2(ф2Е1, (Ц)= .
= т2(й2> ВЕг)? — т2 ('Фгр вг,) + т2 (ф2Е1> Bi)j — т2 (Ф2Е1Р £))•
11 j	§ з. метод Суммарной аппроксимаций	435
Применим неравенство Коши — Буняковского, е-неравенство
и учтем, что
IIQЙ1-
Тогда получим следующую оценку:
SJ + A,,, г,)],+ет(1й,|!+Р.. &,],) +
~4е (l И' + "sFT II 4f||2) ’
где е>0 — произвольное число.
Подставим оценку для А в энергетическое неравенство:
+(е + с3)т)У/, + т2(<+Ч |';+‘)f +
+’’«,• 6Г),+4(йс’41!+4нй’'П-
Суммирование по /'=1, 2, ..., / дает
//+1 <(е + с3) 2	+4 S (ll<f+‘/2 F + WilШ'/2 II2)т +
+ т(^+Ч g/+i)_T(^+'/», |{+‘А) - т^2. ^) + T(fe,> ^А) + Л-
Напишем отдельно тождества для первого слоя, учитывая
что g (х, 0) — 0:
им*- <4(44 &(х> 4=
=_4 (ai(*’ 4* 4x> 41+14 (*’ 41	т))»
1Мх’412+4Нх’ 4- %(х>41=4 4)-
Складывая эти тождества, найдем
=II (А'>т) F+т (а2 (х> "2)»	(х> т)]2 +
Ч'Т(ai (х, 0)>	(х’"2 )]i =4’ ^2) + ('Ф1> 4 =
=	~ £ J — т('1’2А1> £1) = т (фг’’	“ т (^г!» ^/2)'
436
ГЛ. VH. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[U
Подставим теперь выражение для Ц в формулу для Jj+l
и учтем неравенство
т №+1/г> ц+0~т№гТ,/г> ^+,/г) <
<|(НП2 + (4 О+1/2]) +
+тН+'/2||3 + Над2 II2)-
Тогда получим
/
7/+1 <2 (е + с3) 2 т7;, + Fг /=1,2,...,	(85)
//=1
где
2	/	/	,2	\
?/-^Шл15+^й;,г4гЬ+
/'=1
т2 / °	/?	°	\
+^\11^+'/2||2+8^1Над/2117-
Для решения неравенства (85) применим лемму 6 из гл. VI,
§ 1, согласно которой из (85) следует оценка
/
Jl+1 < Fi + 2е- <е+^ *) (е + с3) 2	.	(86)
/'=1
Если существует вторая производная по t функции
ф2 = 0,5 (Ь2и — 0,5й + /2), то F/ — О (т2).
Таким образом, для % справедлива априорная оценка (86).
Обратимся теперь к задаче для функции v. Вместо (83)
получим неравенство
к < (1 + с3т) к+т (ф;, (vj?) + т (ф; (v2)f),	(87)
где
к-К1!+т(“.. “У.	»U-	<88>
Для выражения
В=т(ф;, (»1)?) + т(ф;, (u2)f) =
=т[(ф;, yj + (ф;, и2)]г - т (ф;?, uj - т (ф;р и2)
И]	5 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ	’ 437
имеет место оценка
в<т[(ф;, uj) + (it;, »2)]г+т((«г г1.]1 + (й2> W+
-2 / Л.	Л	X
\8сГ I'+ 8сГ11^2г1|‘ )’
где е > 0 — любое число. Подставим эту оценку в неравенство (87):
К/Ч1<(1 +(с3 + е)т)/<г + т(^'> vf+‘/’)f +
+•»•». »<*),+4(4im+sr№r'T)- (89>
На первом слое имеем тождества
II vi II2+4 («1 (*> °)> (*> 4)1=(t;> * (*, 4)) -
1К<Х> т)||2 + 4Ых’т)’ v2> T)l=lh.(x’i)f+ (90)
+ (i|4 v(x, т)),
^ = /<(T) = (it;) v-/o + (^ ^)-
Просуммируем (89) по /'=1,2, ..., / и учтем (90):
Я/+1<(Сз + е) 2]т/Сг + (^', v(+-/2) + (ц,;/+>. v/+1) +
I /	/ л	л	\
+tS’Ui<.''ii!+sti’i’W •
/'-1
Учитывая затем неравенство
w. »,)+<+;.	+т^ц?ни1г+^н;п.
применяя лемму 6 из гл. VI, § 1 и полагая е = 1/(27), получаем
^+x«m?x/h;qi!+w?'+''-F+ii«'i!+ha'*'4i!), т
где М — положительная постоянная, зависящая только от Ci,
с3 и Т.
Объединяя оценки (86) и (91) для £ и v, приходим к сле-
дующей оценке для z = у — и:
4Г,/2]|1 + ||4+']|2<
< м\^ (Й'+,/2 II + II	II +1| <1/21|) +
+ М таХ' { £ (|j (it;)/+<“-j| + [I (О'+<“-1)/2||)}. (92)
где М = const > 0 — зависит только от Ci, Сз и Т.
438
ГЛ. vlI. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
[12
Из этой оценки следует, что локально-одномерная схема
(75) — (77) сходится со скоростью О (т + |/г|2), если решение
u = u(x,t) имеет непрерывные в QT производные по ха до чет-
diu
вертого порядка включительно и производные —т удовлетво-
ри
ряют условию Липшица по t\ правая часть f должна быть
дважды дифференцируемой по t.
12. Аддитивные схемы для систем уравнений. Рассмотрим
задачу (83), (84) § 2 для системы уравнений параболического
типа. Прежде чем переходить к написанию аддитивной схемы
для решения задачи (83), (84) § 2 представим оператор L
в виде суммы двух треугольных операторов, L = L~ + L+.
Для этого представим матрицы kaa в виде суммы kaa =
= kaa + kaa, ГД6 kaa = feT"), kaa = (km™) - Треугольные матрицы
с элементами
kaa^ = kaa, k^ = О ПРИ m<S, k^T = kaa -
kaa”1 = 0 При m>S, kaaS = kaa S = 0,5&aa.
Матрицы kaa И kaa СОПрЯЖбНЫ друг Другу, ТЭК как kaam — ktaS-
Отсюда следует, что
kaa — kaa + Laa, kaa = qx [kaa —j •
Введем операторы
a—1	a
La U = Laall + AagU = 2 LafiU,
3=1	p=i
La$ll = La$ll При P<a,
p	p
La U = LaaU + 2 La^U = 2 Lafill,
3=a+l	3=a
Z.(tpu = Z.a3« при p>a,
и представим L в виде
p
L = L~+L+, L~U=^LaU,
a= 1
P
L+U =2 La u.
a=l
Решение системы уравнений (83) § 2 или
р
2 [27# - и+=°-
a=l
(93)
(94)
где S(/a+/a) = f> сведем к последовательному решению
а-1
12]
§ 3. МЕТОД суммарной аппроксимации
439
системы 2р уравнений
-хт — LaV+fa, f/+(a-i)/(2p) < t < Z/+a/(2p)’
P dv	(95)
2^	= La V + fn ’ */+l-a/(2p) < < ^/+l-(a-l)/(2p)>
a = 1, 2, ..p.
Аппроксимируем La операторами Aj вида
Aa = 2 Aap, Aj = 2 Лф,
P=1	6=a
л5“-».5[(*а%),а+(?«%) J-
Очевидно, что Л„ аппроксимирует La со вторым порядком.
Коэффициенты бар будем брать в один и тот же для всех a
и Р момент t = ti+t/ или в какой-либо другой момент	t!+J
Напишем теперь аддитивную схему
g/+a/^-^+(a71)/(2P) = 2 Ла-ру/+Р'(2Р) + (<pa-)/+a/(2P),
₽-1
^f.P)-^+(a'-1>/(2P) =	Ла+ру/+Р-/(2Р) + (<Ра7+а1/(2₽).
р=а
а= 1, 2, .... р,
(96)
где cq = 2р + 1 — а, Р! = 2р + 1 — р и а! меняется от р + 1 до 2р,
при этом а меняется от р до 1.
При хе задаются обычные краевые условия:
yi+ai(2p) _ ц/+а/(2р) При X е у", а = 1, 2, ..., р, j
yl+a^p) _ р/+а,/(2р) При х е у“>, «]=/?+!,	2р. J (97)
Начальное условие удовлетворяется точно:
у (х, 0) = Uq (х).	(98)
Для определения у1+а/(2р} = У(а} и y/+a,/(2p) = y(ai) получаем си-
стемы уравнений
(Е тЛаа) у(а) = Fa > (.Е	Т^-аа) У[а1) = Еа,,
a—1
Fa = т 2 Ларг/(Р) + Тфа + У(а-1)>
&=1
Р
Eat = t 2	+ тФа + У^-1)'
р-а-Н
<40
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(12
Так как kaa — диагональная матрица р X р с клетками,
являющимися нижними треугольными матрицами, то из системы
уравнений
(Д тАаа) z/(a) = ра
последовательно от з к s + 1 методом прогонки находятся ком-
поненты z/®a), s= 1, 2, . . ., п, вектора у{а}. Двигаясь от а к a + 1
и от з к s+l, мы при помощи формул прогонки для трехто-
чечного уравнения последовательно определим векторы г/(а), а =
= 1,2, . .., р. Аналогично от а+1 к а и от s+l к з из си-
стемы
(Д - тАаа) г/(И1) = Fа,
определяются векторы y^p+i), ..., у^р). Последний вектор г/(2Р)
и есть решение z//+1 = г/(2р> на слое t = ^+1.
Так как система дифференциальных уравнений (95) аппро-
ксимирует уравнение (83) § 2 в суммарном смысле, а каждое из
уравнений (96) номера а аппроксимирует уравнение (95) того
же номера в обычном смысле, то аддитивная схема (96) —(98)
аппроксимирует исходную задачу с порядком т + |/г|2:
р
ф = 2 (фа + фа ) = О (т + | h | ) .
а=1
Рассмотрим пространство Q сеточных вектор-функций, за-
данных на сетке ®л и равных нулю на границе ул сетки. Вве-
дем в Й = Н скалярное произведение:
п
(У, V) = 2 (/, ц-5), (/, ц-5) = S ys(x) vs (х)^ ... hp.
s=l
Рассмотрим операторы
р	р
А~ = 2 Аа, А+ = 2 ЛГ,
а=1	а=1
“	_	Р
Аа У — — 2 А-а$У, Аа У —	2 АдфУ, у €= Q.
(5 = 1	(3=а
Покажем, что операторы А~ и А+ сопряжены:
(А~у, ц)=0/, А+ц) для любых у, osQ,
если матрица k = (kSo$) симметрична, т. е, выполнено уело-
вие kap = kpa.
121
§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
441
В самом деле, так как k$a то
(А-у, v) = 0,5 2 1	%) + (ka^, Vxa)] =
р р
- °-5.?«I	Ч)+(W 4)1=
р р
М+(ЧЧ’ %)]-
р р
=0-5.?, ч)+(Чч ч)1=(9' -4+о)’
что и требовалось доказать.
Отсюда следует, что
(А~у, у) = (А+у, у) = 0,5 (Ау, у) > 0,5^ (Ау, у),
л V
где Ау = — 2i Ух х > так чт0
а=1 аха
Р	Р
CW-S(1,
а-1	а=1 а
Таким образом А и А+ положительно определенные опе-
раторы: А~^дЕ, А+^дЕ, 6 = 4<?i2^a2.
а = |
Чтобы доказать устойчивость схемы (96)—(98), воспользуемся
теоремой 1 из п. 4, согласно которой для задачи
а	Р
г?а = p?i Л“Рг<3) +	’ 2?а, в?а Л“32(3.> +	’
2<а) = °> г(а.) = 0 при хе у“, Z(х, 0) = 0
имеет место априорная оценка
р
+ м,\/т max 2(||(ч1«-)''м'“| + |(Ч>Я,Ч'Н"-'’"1)-
Отсюда следует, что аддитивная схема (96)—(98) сходится
со скоростью О(/т +| h |2) в сеточной норме La.
442
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
(12
Перейдем теперь к задаче (96), (97) § 2 для системы урав-
нений гиперболического типа (см. А. А. Самарский [12]):
р	р
+	+^+)«+/а]=°> Sfa = A (99)
а=1	а=1
Решение этой системы сведем к последовательному от а к
а+1 решению (с шагом т/р) более простых уравнений
~^- = LaU + L^u + fa, а=1,2, .... р. (100)
Аппроксимируя каждое из этих уравнений в обычном смысле,
получим аддитивную схему
а	р
yfata = S	+ фа>
Р ““ 0 = 1	0=а
а= 1, 2, .... р, (х, /)есой X ых,
У (а) = Н (Х> Q’ Ха = 0, 1а, а = 1, 2....Р,
У {к, О) = Ио(х),
(101)
где Фа = ^(5 *а)> ^ = ^+(а/Р-о,5)г: коэффициенты ka^ берутся
в момент t' у, , определяется одной из формул (67) или (68),
ста
<Тр = 0,5 при р = 2, ор=1,5 при р = 3.
Второе начальное условие аппроксимируем, полагая
//р = н0(х) + ^ u0(x) + -~(Lu0 + f(x, 0)), а = 1, 2, .... р- 1,
р	*р
Полученная аддитивная схема, очевидно, обладает суммар-
ной аппроксимацией
р
Ф=2Фа = С)(т; + |Л I2)-
а=1
Для определения вектора //+' = у(Р) получаем систему урав-
нений
(£-apT2A-)y(a) = Fa,
где Fa выражается через векторы у(р), р < а. Эта система ре-
шается последовательно от а к a + 1 и от $ к$ + 1 при помощи
обычных формул прогонки.
Меняя ролями А7 и Ац, получим вторую схему
а	р
ylaia ЛаР^(0) +	+ Фа •	(192)
Р	₽-1	₽-а
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VII
443
В этом случае счет идет от а + 1 к а и ors ks + 1. Чередова-
ние схем (101) и (102) дает третью схему.
Пользуясь энергетическим методом, по аналогии с преды-
дущим пунктом, можно получить априорную оценку для по-
грешности z = у— и, использующую свойство суммарной аппро-
ксимации. Из этой оценки следует сходимость аддитивной схемы.
Задачи к главе VII
Здесь будут рассмотрены экономичные методы для решения уравнения
теплопроводности
р
ди_ _ yi дги
dt ~ дх„ ’
а=| а
и (х, 0) = «о (х), р = 2, 3,
в цилиндре G X [0^ f /о], где G — прямоугольник
(0^ха^/а, а= 1, 2)
прн р = 2 илн параллелепипед
(0 Ха /а, Ct — 1, 2, 3)
при р = 3. На границе Г области G задано краевое условие первого рода
и|г = р.(х), х=(х1г..„ хр).
В G вводится сетка й>к, равномерная по каждому направлению ха
(а = 1, ..., р) с шагом ha; пусть ул,а— множество граничных узлов прн
ха =0, ха = 1а . Как обычно обозначаем Лар = ух х .
Пусть Нк — пространство сеточных функций, определенных на йЛ н рав-
ных нулю на границе ул сетки,
(У, ») = У, У М v (х) hi ... hp.
хешй
где суммирование проводится по внутренним узлам xsG сетки. На отрезке
0 t to введена равномерная сетка с шагом г.
Будем рассматривать здесь только те экономичные схемы, которые экви-
валентны факторизованной схеме.
Требование эквивалентности, как мы отмечали, означает, что для проме-
жуточных значений у>+а1? краевые условия на уЛ,а должны быть заданы
специальным образом.
Следует иметь в виду, что прн изучении устойчивости мы предполагаем,
что у I =0. Только прн этом условии можно рассматривать у(х) как эле-
VA
мент пространства Мп-
Если дан какой-либо экономичный метод, то надо: а) исключить промежу-
точные значения н написать факторизованную схему, б) сформулировать крае-
вые условия для yi+al?, прн которых имеет место эквивалентность этой схемы
соответствующей факторизованной схеме, в) оценить порядок аппроксимации,
г) исследовать устойчивость факторизованной схемы (пользуясь общей тео-
рией).
В каждой задаче требуется выполнить все четыре пункта,
144
ГЛ. VI1. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
При изучении устойчивости факторизованной схемы
Byt + Ay = q,
где В = В\ ...Вр, Ba=E + rRa, рекомендуется использовать следующий
р
критерий. Если схема с В = Е + т 2 Ra устойчива и операторы Ra положи-
а = 1
тельные, самосопряженные и попарно перестановочные, то факторизованная
схема с В = Bi ... Вр также устойчива.
I.	= Л1// 2 + Лгг//- ~------г-----=Лг (у ~ у }'
(Схема Дугласа — Рекфорда [1].)
Ответ, а) (Е — tAj) (Е — тЛ2) yt = Ау, Л = Л|4-Л2. б) у^Уг = yJ+i —
— тЛ2(р/+1 —рО при Х| = О, /ь у1+' = р/+1 при х2 = 0, /2. в) Схема имеет
аппроксимацию О (| h |2 + т). г) Схема устойчива.
Указание. Приведем схему к виду
„/+1/2 — ui
(Е — tAJ —-----—= Ау!, Л = Л! + Л2,
(Е - тЛ2) ^/+‘~ У> = у/+/^~..у/..
Отсюда сразу исключаем у’+Уг — у! и получаем факторизованную схему.
Краевое условие для у*+У1 следует из второго уравнения.
2.	-	-—— = а1А1у/+'/!‘ + (1 - Qi) Ajy1 + А2у{
^^-a2A2(y^-yf).
Ответ, а) (£ — с^тЛ^ (£ — а2тЛ2) = Ау,
б)	г//+'/2 = ц/+1-та2Л2 (р/+1~ рО при *1=0,
в)	Схема имеет аппроксимацию
О (т2 + | h |2) + О (| о, — 0,5 | т) + О (I а2 — 0,5 | т),
т. е. О (| h |2 + т2) при О| = а2 = 0,5.
г)	Схема устойчива при
аю2>0 и	а-1,2.
Схема абсолютно устойчива при аа 0,5.
Указание, г) Пусть у L =0. Тогда Аа = — Ла, А = A, + А2, At и А2 —
¥л
положительно определенные, самосопряженные и перестановочные опера-
торы, так что А!А2>0. В данном случае
В = (Е + OitAO (Е + а2тА2) = Е + OitAi + <т2тА2 + а^^А^,
В — 0,5тА = Е + (О[ — 0,5) тА, + (а2 — 0,5) тА2 + atotT2AtA2 >
> Е + (Oj — 0,5) tAi + (аг — 0,5) тА2,
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VII
445
так как (TjOs^O. Учитывая затем, что Е~^ Аа/II ДаII и требуя
ОДЕ + (<та — ОД) тАц ( 21| А ij" 4" (ffa — 0’5) xj Да 0,
получаем <та > 0,5 - -^L-.
3.	-—-—— =(TjAjy/+'/2 + (l -стО Aiy1 + (А2 + А3) у1,
ui+2 *ls — tii+'h , ,,г,
----= (Т2Д2 (y!+ z« - у<),
ifi+i__i 'u-t
-------------= or3A3(y/+1 - y')
(при (Tj = <т2 = o3 = 0,5 — схема Дугласа [4]).
з
Ответ. a) (E —(TjTAJ (E — (Т2тД2) (E — (Т3тА3) y; = Ay, A= У, A
a=i
6)	yi+'ls = i>J + т (E — (Т2тД2) (E — (T3tA3) pj при x,=0, lt, y’+'^ = |V+I —
— t2(T3A3pJ при x2 = 0, Z2. в) Схема имеет аппроксимацию O(| h |2 + т2) при
(Tj = (Т2 = (Т3 = 0,5, О (| h |2 + т) при <та =7^ 0,5, а = 1, 2, 3. г) Схема устой-
чива при (Та>0,5, а=1, 2, 3.
Указание, а) Обозначим
wa = (y!+a/3~ y!)/t-
Тогда уравнения запишутся в виде
(Е — OjtAj) wi = Ay7, (Е —(т2тД2) w2= a)j, (Е — а3тА3) a>3 = w2.
Последовательно исключая отсюда w2 и Wt и заменяя w3 — (y^+l — у^)/т,
получим искомую факторизованную схему.
4.	—	=(TjAjy/+1/2 + (1 - (Т2) Л2у7,
у7+1 - у!+',г
т
1
Показать, что при (Та = -----
= (Т2Д2у/+1 + (1 -ff,) Ajy/+'/2.
йа
—, а=1, 2, эта схема имеет аппроксимацию
Ответ, а) (Е-(Т1тА1)(Е-(Г2тЛ2)у<=Лу + (1-(Т1-о2)тЛ1Л2у, б) y/+‘/s =
= (Tj|x/ + 1 — (Tj(T2tA2|x/+1 + (1 — (Tj) (Д + (1 — (Tj) (1 — (Т2) tAjJ^ при Xj=O, Z,.
Если (T1 = (T2 = 0,5, to y/+‘/2 = 0,5 (ц/+ |x/ + i) —— A2[Xj при x, = 0, Z,. в) Схема
1 Aa
при (Tj = (T2 = 0,5 имеет точность О (| h |2 + т2), а при (Та = -— точность
1 ^а
О(|А[4 * + т2). г) Схема устойчива прн (Та 0,5 н аа = ~2--jgV»
Указание, а) Перепишем уравнения в виде
(Е - ot.tAj) y/+1/s - (£ + (1 - ог2) тД2) yf,
(Е + (1 - «г,) тЛ,) y/+'/» - (E - а2тД2) y/+1.
446
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Умножая второе уравнение на <Т|. первое — на (1 — <Ti) и складывая их,
получим
^/+'/2 = Ol(E- а2тА2) yi+i + (1 _ Ст1) (£ + (1 _ а2) тд2) yi.
Подставим это выражение в первое уравнение и после очевидных преобразо-
ваний получим
(Е- OjrAj) (£ —o2tA2) yl+l = (£ + (1 - ai) rAt) (£ + (1 - а2) тЛ2) yi
(при этом перестановочность Л] и Л2 не используется), б) Краевое условие
при X] = 0, Xi = /] следует из полученной выше формулы для yi+'i2. в) По-
1 Ла
грешность аппроксимации схемы при оа = --исследована И. В. Фря-
зиновым [6].
Замечание. И. В. Фрязинов [6] показал, что эта схема имеет точность
О (| h |4 + т2) в случае, когда область G — ступенчатая, т. е. составлена из
прямоугольников со сторонами, параллельными координатным осям, причем
не только для первой краевой задачи, но и для третьей краевой задачи.
5,	у/+^~у/ = 4 [Л1///+'/з + (Л2 + Аз) У{1
V	О
1----------= 4- [Al yl+ '> + x2yl+lt + Л3У/+ Л].
т	о
у/+1 У/+/. = 1
Т	о
Ответ. Схема не является безусловно устойчивой (см. Н. Н. Яиеико [6]).
Факторизованная схема имеет вид
(гЧЛ,)(£-тЛ1)(г-тЛ-И1-
= ^5 + "з (Ai + Л2)]	+ -g- (Aj + Л3)j ^5 + -у (Л2 + Л3) J yi.
6.	(Е —otAJ у1+>1‘ = (Е + (1 - о) тЛ]) (£ + (1 - а) тЛ2) у1,
(Е-атАц) у1+, = у1+\
Ответ, а) (£ - crrAJ (£ — атЛ2) yt = Ау — (2<т — 1) tA(A2i/. б) у1+'1г =
= (Е — атЛ2) p/+i при X! = 0, xt =в) О (| h|2 + т2) при а = 0,5. г) Схема
1	h\h22
устойчива при ----------
2 4т (Л2 + й2)
Указание, г) Пусть у |v^ = 0, Аа = — Ла, А = А, + Аг. Запишем схему
в виде
Ву^=Су\
где
В = (E + arAi) (Е + атА2), С = (Е — (1 — a) tAJ (Е— (1 — а) тЛ2),
И воспользуемся достаточными условиями устойчивости
В-С>0, В + С^О.
Задачи К гЛавё vii
44?
Эти условий выполнены, если
А + (2а — 1) Ti4iA2>0t
2£ + (2а -1) тА + (а2 + (1 - а)2) t2 А, А2 > 0.
Так как А1А2>0 и
г >	'	.4
^шнтаг 
то
0.5 (В + С) >г + (,-0,5) ,л > (,X,{U|
+ (о-0,5) т А>0,
если
о>°,5- т(ц|( + цл2Ц) ’
ИЛИ
1 А2А2
а>-------z4--
2	4т(А? + А22)
При этом неравенство В — С > 0 выполняется автоматически. Действительно,
учитывая, что
( 1 , 1 \ „
Л>Ч1А,|| + ||А2ц)Л1Л2’
получаем
В — С = А + (2а — 1) тА1 А2 ( ц + ууу + (2СТ — 0	AiА2.
Далее,
(2° " ° т+ТО + ’ТО > “ 11а,|| + |а2ц + ТлТ + шг> °’
что и требовалось.
7.	(г--у-л1Ь/+1/2=4г//_Тг//~1’
\ О /	о о
(£-уАг) yl+l=yl+'l‘.
(Ьхема Бейкера— Олифанта [1].)
Ответ, а) (г - тЛ +	Л(Л2) + т2 (у Е ~ -?> л + у ун “
= Лг/-Л = Л! +Л2. б) у,+ '1г= ц/+'--^-Л2|?+1 при *1 = 0, /».
О	о
в) О (1 Л |2 + т). г) Схема устойчива при любых ha и т.
S.
(£-4л,)£!±£Д.9М,
448
ГЛ. VII. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Ответ, а) (я - i- - у- Л2) уи = Ху - у- Х^у.
б)	yl+'li = -^--t_E---у Л2(|?+ц/+1) при Х1=0, li.
д^и
в)	Аппроксимирует уравнение 	= (L[ + L2) и с погрешностью
О( |Л|2 + т2).
г)	Схема абсолютно устойчива.
Указание. При приведении к каноническому виду учесть, что
y,+l +yf~' =2y, + T2yllt.
Глава VIII
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
При помощи метода конечных разностей задача Дирихле для уравнения
Пуассона Ди = —f(x) в гл. IV была сведена к системе линейных алгебраиче-
ских уравнений. Порядок системы равен числу внутренних узлов сетки, т. е.
О(А_Р), где h — шаг сетки, р — число измерений, и возрастает с уменьшением
шага. Применение прямых методов линейной алгебры (например, метода иск-
лючения Гаусса) для решения этой системы нецелесообразно, так как при
этом требуется большое число арифметических действий.
Для решения разностных эллиптических уравнений обычно применяются
итерационные методы (или методы последовательных приближений).
В § 1 этой главы мы рассматриваем современные экономичные итерацион-
ные схемы, применяемые для решения разностной задачи Дирихле в прямо-
угольнике.
В §§ 2—4 дано изложение итерационных методов как части общей тео-
рии устойчивости разностных схем (см. гл. VI). Новым вопросом, возникаю-
щим здесь, является выбор итерационных параметров. В §§ 2, 3 рассматри-
ваются одношаговые итерационные методы для уравнения Au = f, где А — ли-
нейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н,
В § 4 изучается сходимость некоторых двухшаговых (трехслойных) итера-
ционных схем.
§ 1.	Двухслойные итерационные схемы
для разностной задачи Дирихле
1.	Итерационные схемы. Все итерационные схемы можно
трактовать как методы установления для соответствующего не-
стационарного уравнения. Поясним это на примере уравнения
Пуассона. Решение уравнения теплопроводности со стационар-
ными (т. е. не зависящими от времени) граничными данными и
правой частью
= \и + f(х), xsG, />0, н|г = р(х), и(х, 0) = uQ(х), (1)
450
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[1
при t—>оо стремится к решению стационарной задачи
Д«= —f(x), xeG, й|г = р.(х),	(2)
т.	е. к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что решение одно-
родного уравнения теплопроводности с однородным граничным
условием
-^- = Дц, и|г = 0, v (х, 0) = va = иа (х) — й (х),	(3)
где v(x, t) = и(х, t)—й(х)—отклонение от стационарного реше-
ния, стремится к нулю при I —> оо и любой функции Уо(х).
В самом деле, пусть и {wh(x)}— системы собственных
значений и ортонормированных собственных функций задачи
Аш + А,ш = 0, xeG, ш|г = 0,
так что (Wh, wm) = 6km, где 6km— символ Кронекера, а
(w, v) = J w(x)v (x) dx, || w || = ^(w, w).
a
Тогда решение задачи (3) имеет вид (см. А. Н. Тихонов и
А. А. Самарский [6], гл. VI):
и (х, 0=2 ckwk (х) e~Kkt, ck = (и0, wk).
В силу условия (wk, wm) = 6km имеем
оо	оо
II V (0II2 = 2 с\е-^ < е~^ 2 с} = е-^ || п01|2,
так как 0 < Я,,	Я,2	... С • • • Отсюда следует, что
||и(О11<е-^||ио||.
Требование l|v(/)|| = [|«(х,/)—й(х)||	е||«о—«II, где 0 <е < 1 —
любое число, будет, очевидно, выполнено при
Поэтому, решая уравнение теплопроводности со стационарными
граничными данными и правой частью и любыми начальными
данными, мы при достаточно большом значении 1>1*(е) полу-
чим приближенное решение стационарной задачи с любой за-
данной точностью е > 0. Такой метод получения стационарного
решения называют методом установления. Аналогичным свой-
ством затухания начальных данных обладают многие устойчи-
вые разностные аналоги уравнения теплопроводности. Более
1]
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
451
того, можно утверждать, что итерационные методы решения раз-
ностных эллиптических уравнений являются методами установ-
ления.
Остановимся сначала на общей характеристике понятия ите-
рационной схемы. Пусть требуется решить разностное уравне-
ние (линейную алгебраическую систему)
Au = f.	(4)
Будем рассматривать А как линейный оператор, заданный на
некотором линейном нормированном пространстве И, f^H —
заданный произвольный вектор из Н.
Метод итераций позволяет, отправляясь от некоторого на-
чального приближения уо е И, последовательно определять при-
ближенные решения уравнения (4) yf, уо, ..., ук, Уь+t, ...,
где k — номер итерации. Значение уь+\ выражается через из-
вестные предыдущие итерации ук, z/s-i, . •. Если при вычисле-
нии уъ+\ используется только предыдущая итерация yh, то гово-
рят, что итерационный метод (схема) является одношаговым.
Если же для нахождения y^+f используются две предыдущие
итерации ук и уь-t, то говорят, что метод итераций является
двухшаговым. Любая одношаговая итерационная схема, в со-
ответствии с определением, может быть записана в виде
^kUk+i = Ckyk +	(5)
где Bh, Ck — линейные операторы на Н, зависящие от номера
итерации, ta+f •—некоторые числовые параметры.
Обычно к итерационным схемам предъявляется естественное
требование: решение и е Н уравнения (4) при произвольном
f^H должно удовлетворять уравнению (5), т. е.
= Cku +
Так как м не зависит от k, то это уравнение и уравнение (4)
будут выполнены, если потребовать
— Cft = rk+lA.
Выражая Ch через А и перепишем (5) в канонической форме
Вк^~Ук +Аук=^,	£ = 0,1,2,...	(6)
Tfe+i
Чтобы определить отсюда последовательно у{, у2, ..., Ун, ...,
надо задать начальное приближение уо. Итак, получаем задачу
Вк	—— + Ayk = f, £ = 0,1.......уо задано. (7)
Итерационная схема (6) при любых Bk и тщл точно аппрокси-
мирует уравнение (4) на его решении и. Это значит, что
452	ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ	[I
разность zh = yh — и, где и — точное решение уравнения (4),
Ук — решение задачи (7), удовлетворяет однородному уравнению
----- + Лг6 = 0, /г = 0, 1, .... zQ = y0-u.	(8)
Tfe+i
Говорят, что итерационный процесс (схема) (7) сходится,
если
II Уа — «II = II Zfe II—> О при fe—>оо,
где || • || •—некоторая норма.
Сравнивая (6) с двухслойной схемой, рассмотренной в гл.У,
мы видим, что одношаговая итерационная схема по форме сов-
падает с двухслойной схемой для нестационарных уравнений
вида
4г + ^« = f-
at	1
Поэтому вместо слов «одношаговая итерационная схема» мож-
но говорить «двухслойная итерационная схема».
Таким образом, любой итерационный процесс вида (6) сво-
дится к решению нестационарной задачи.
Различие между итерационными схемами и схемами для
нестационарных задач заключается в следующем:
1) при любых Вк и та+1 решение и исходной задачи (4) удов-
летворяет уравнению (6),
2) выбор параметров ta+i и операторов Вк следует подчи-
нить лишь требованиям сходимости итераций и минимума ариф-
метических действий (экономичности), необходимых для нахо-
ждения приближенного решения с заданной точностью (в случае
нестационарных задач выбор шага подчинен прежде всего тре-
бованию аппроксимации).
Параметр ta+i можно рассматривать как шаг (переменный
fe+i
в общем случае) по фиктивному времени ffe+1 = S т5-
1
Обычно задается некоторая точность е > О, с которой надо
найти приближенное решение задачи (4). Если ||м|| «= 1, то тре-
буется, чтобы выполнялось условие
II г/fe- «II<8 при fe>n(e).	(9)
Здесь п(е) — минимальное число итераций, гарантирующих за-
данную точность е. (Условие ||«||= 1 может быть выполнено по-
сле перенормировки и и f путем введения масштабного множи-
теля. Пусть, например, И — гильбертово пространство, Л=Л*>0,
тогда ||«Нд = II / Нд->• Если || f ||д-1 = А10, то, полагая и = Мой,
f = До/, получим для й уравнение Ай, — f с Цй||д = 1.)
11
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
453
Так как точное решение и неизвестно, то условие (9) не-
удобно для практической проверки. Его можно заменить одним
из условий
11Уб+1 -i/fell<e,	(10)
IMyft-f||<e (II A (yk-«)||<е),	(11)
где (Ayk — f)—невязка в уравнении (4) при подстановке уь
вместо и. Если при некотором k выполнено одно из условий (10)
или (11), то считается, что требуемая точность достигнута, и
вычисление последующих приближений прекращается. В (9) —
(И) могут фигурировать, вообще говоря, разные е.
В общем случае в качестве меры сходимости итераций при-
нимается отношение ||yfe— u||/||y0— «II и т. д., так что например,
требования (9) и (11) заменяются требованием
II Уб — «||< е|| у0 — «II или || Ayk — f ||<е|| Ау0 — f 11-
Уравнению (4) можно поставить в соответствие большое
число итерационных схем (6) с любыми Bh и хь- Как следует
выбирать Bh и Тб?
Качество итерационной схемы характеризуется, прежде все-
го, числом Q(e) действий, которые надо произвести, чтобы по-
лучить решение задачи (4) с заданной точностью е > 0 при лю-
бом выборе начального приближения у0. Оператор Bk и пара-
метры Xh надо выбирать так, чтобы число действий Q было
минимальным (в некотором смысле).
п (е)
Общий объем вычислений Q(e) равен Q(e) =2 <7б> где qk—
число действий для вычисления итерации номера k, или Q(e) =
= gn(e), где q— среднее число действий для одной итерации.
Если q удовлетворяет требованию экономичности (например,
q = O(N), где N—число узлов сетки в случае разностного
эллиптического уравнения), то задача о минимуме Q(e) сво-
дится к задаче о минимуме числа итераций п(е).
Запишем (6) в виде
^kl/k+i = Bkyk + xfe+1 (f — Ayk).	(12)
Отсюда видно, что qh зависит только от вида Bh. Укажем ти-
пичные формы экономичных операторов:
1)	Bh = Е — единичный оператор (явная схема (6)),
2)	Bh — треугольный оператор (с треугольной матрицей),
3)	Bk — факторизованный оператор вида Вь—Вь1... Вь\
где В^, а®1, 2.......р — экономичные операторы.
Вообще Bk следует выбирать так, чтобы соответствующая
схема для уравнения лараболияескргр тилд яддяддс> рирдр-
мичлой.
454
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
12
Мы остановимся подробно на итерационных схемах для раз-
ностной задачи Дирихле.
2. Схема простой итерации (швная схема). Рассмотрим за-
дачу Дирихле в прямоугольнике Go — {0^ха^1а, а = 1, 2}:
Дм= — f(x), x = (xb x2)^G, м|г = ц.(х).	(13)
Соответствующая разностная задача Дирихле имеет вид
Ли = - f (х), х е ®Л, v |Yft = р (х),
Л = Л[ + Л2> Лау = Ухаха> а=1> 2,
где
= {xt —	4М> га = О, 1, ..., Ма> а = 1, 2}
— сетка с шагами /гг и Л2, ул — граница сетки. Задача (14) по-
дробно исследована в гл. IV, § 1.
Простейшей двухслойной итерационной схемой является яв-
ная схема (метод Якоби) с постоянным параметром:
~+1_ =At/ft + f(x),	yk\ =ц(х), Уо = Уо(х), (15)
*	’ п
fe = 0, 1, ...
Так как yk+i определяется по явной формуле ул+1 = yh +
+ x(A.yk + f) и <7л=О(М), то число итераций зависит только
от параметра т, который выбирается из условия минимума чис-
ла итераций (такая задача решается точно). Чтобы иайти т,
рассмотрим устойчивость по начальным данным однородного
уравнения с однородными граничными условиями и произволь-
ными начальными данными
-—- = A.zk, x<=<i>h, k = 0, 1, ...»
2ДЛ=0, z0 = z0(x) = y0(x)-u(x).
(16)
Пусть Н — пространство сеточных функций, заданных на йл
и обращающихся в нуль на границе ул, (,) — скалярное произ-
ведение:
A,-l N,-\
(v, w) = 2 2 ^(A^i> *2^2) w (qftp i2h2) h{h2,
ii=[ fj=[
A =—Л — линейный оператор, заданный иа Н.
В гл. IV, § 2 было показано, что А является линейным само-
сопряженным оператором, А = А*, и
6Ц z Ц2 < (Az, z) < Д|| z Л2,	(17)
21
§ I. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
455
где
е л ( 1	• о Tlhl ।	1 «О ЛАо
6 = 4 -т sin2—L +“irsin2—-
\ h\	21 \	h2 2l2
n. A (	9 ЛА1 I 1 о ЛАо
A= 4 —7 cos2—H—7 cos2—-
\ Al	2/l h2	2l2
(18)
Здесь 6 — наименьшее, A — наибольшее собственные значения
оператора А, так что	A, k= 1, 2, ..., (Л/\ — 1) X (N2— 1),
kfe — собственное значение номера k оператора А. Оценка (17)
является точной.
Задача (16) эквивалентна операторному уравнению
——----~A~Azk = 0, k = О, 1...... z0 — любой вектор из Н. (19)
Решая (19) относительно Zk+I, получим
zk+l = Szk, 3 = Е —тА,	(20)
где 3 — оператор перехода. Из (20) находим
zk ~ Tkz0, Tk — Sk,
(21)
где Th— разрешающий оператор. Оценим ||zft||.
hM<HJ|||20II = ||SlH|z0ll,	(22)
так как ||SA|| = ||3||ft, поскольку 3 = 3* (см. гл. I, § 3). Итерации
сходятся, если ||S|| < 1. Требование ||zft|| <e||zoll будет, как вид-
но из (22), выполнено, если ||S||ft < е, т. е.
, 1п (1/е)
In (1/IISII)
Величина 1п(1/||3||) обычно называется скоростью сходимо-
сти итераций.
Чем меньше ||3||, тем меньше п(е) (тем больше скорость
сходимости). ||S|| зависит от т. Выберем т из условия минимума
||S||. Так как 3 = 3*, то ||3|| равна модулю наибольшего соб-
ственного значения ца = ца(3) оператора 3:
||3|| = max|pfe|.	' (24)
k
Из определения S (20) следует, что pft=l —тХа, где Ха=Ха(А)—
собственное значение оператора А. В результате мы приходим
к следующей задаче минимакса: найти то значение параметра т,
при котором достигается
min max| 1 — тКк |, где 0<6^Za^A.	(25)
X > О к
456
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
12
Функция /(Л) = |1— тЛ |, очевидно, достигает максимума
либо при Л = 6, либо при Л = А:
max | 1 — тХ| = тах{| 1 — тб|, | 1 — тА |}.	(26)
6<Х< д
Лемма 1. Если 0 < 6 4^ Л +/ А, т > 0, то
mln max I 1 - тЛ | =	= Ро ПРИ т = то = -аТд-- (27)
Доказательство. Рассмотрим функции ф[(т) = |1—тб|
и ф2(г) = 11—тА1. Они изображены на рис. 20, ф1(т) убывает
при 0 < т < 1/6 и возрастает
при т> 1/6; фг(т) убывает при
0 < т < 1/А и возрастает при
т > 1/А. Так как А > 6, то кри-
вые ф[(т) и фг(т) пересекаются
в точке т = то е (1/А, 1/6), при-
чем ф[ (т0) = 1 — Тоб, фг(то) =
= тоА—1. Приравнивая эти
выражения: 1 — тоб = ТоА—1,
находим
т0 = 2/(6 +А),
Ро = 1 - тоб = т0А - 1 =
= (А — б)/(А + б).
Из рисунка 20 видно, что в точке то достигается минимум
функции ф(т)=тах{|1—тб|, |1—тА|}. Тем самым найдено
оптимальное значение т = то, при котором р(т) = IIS (т) II имеет
минимум, так что
|| zk II < Ро II 2оII ПРИ Т = т0 = 2/(А + б).	(28)
Подставляя сюда вместо б и А их значения (18), находим
В случае квадратной сетки, т. е. при hf =	= h, имеем
то = Л2/4. Схема (15) принимает вид
^+1=7(^_,'’+^_,!)+^+,',+^+,г,)+4^ ^+i iYa=pw- <29>
Подсчитаем число итераций, достаточное для достижения
точности е. Для простоты предположим, что Ц = /2 = 1, тогда
б = sin2 » А =-р-cos2. Формула (27) дает
_ 1 - tg»(nA/2)	In (l/е)
Ро“ l + tg’(«ft/2) ’	in(l/Po) • '
(30)
31
§ I. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
457
при
яв-
Оценим асимптотический порядок для числа итераций
Л — 0:
р0 ~ 1 — 2 tg2 (л/г/2) «а 1 — 0,5n2/i2, In (1/ро) ==» 0,5л2Л2,
\	л2/г2	’
т. е. число итераций пропорционально числу узлов сетки и
ляется величиной О (/г-2 In (1/е)). Так как q = О (N) = О (/г-2),
то общее число действий Q = О (/г-41п (1/е)).
Погрешность в определении решения задачи Дирихле (13)
есть сумма погрешности О(№) самой разностной схемы (14) и
погрешности е итерационной схемы. Естественно требовать, что-
бы эти погрешности были величинами одного порядка, т. е.
е = О (/г2). Тогда In (1/е) = О (in /г-1) и Q = О 1п /г-1)-
В настоящее время имеются методы, которые обеспечивают
точность е:
а)	для прямоугольника с числом итераций п(е) =
= О (in h~' In (1/е))(пропорционально логарифму числа узлов сет-
ки (о^) и общим числом действий Q = О (h~2 In h~' In (1/е)) (про-
дольно-поперечная схема или неявный метод переменных на-
правлений),
б)	для областей более сложной формы и уравнений с пере-
менными коэффициентами
п (е) = О (/Г11п (1/е)), Q = О (/Г3 In (1/е)).
Сравнение с такими методами показывает, что метод простой
итерации является слишком трудоемким (неэкономичным).
В основе построения схем а) и б) лежит следующий прин-
цип: итерационная схема, трактуемая как разностная схема для
уравнения теплопроводности (1), должна быть экономичной.
Тогда задача теории сводится к выбору итерационных парамет-
ров из условия минимума числа итераций (минимума нормы
разрешающего оператора Тп).
3. Неявный метод переменных направлений (продольно-по-
перечная схема). Рассмотрим задачу (14). В качестве итера-
ционной схемы возьмем продольно-поперечную схему с перемен-
ным шагом по времени для уравнения теплопроводности (1):
~—(ij-^- = A1z//+^ + A2z// + f(x), хе=(ол, 2//+v’Iy =н(х), (31)
T/+i	л
,./+1 _fll + */г
-----(2Г--= \у,+'1г + Л2(//+' + f (х), хе=<ол, Z//+IL =и(х), (32)
T/+i	-л
где / = 0, 1, ..., уо = и0(х) и yi+'12— промежуточное значение
(подитерация), а «0(х)— произвольное начальное приближение,
458
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
13
т/+1>0~числа. Эта схема с = т(Д1 = 0,5т = const
была рассмотрена для уравнения теплопроводности в гл. VII,
§ 1. Так как в данном случае граничное значение и|г = ц(х)
не зависит от/, то для вычисления y!+'!t\^h поправка не вво-
дится, и yi+'i* |	(х). В гл. VII был описан алгоритм реше-
ния методом прогонки системы алгебраических уравнений (31),
(32). Он сводится к последовательному решению по строкам
уравнений вида
у!+'!г — Х^+{МУ,+',г = F!
и по столбцам уравнений вида
у'+,-тй,Л,у'+' -FM.
Таким образом, вычислительный алгоритм тот же, что и в слу-
чае уравнения теплопроводности.
Для вычисления одной итерации требуется <? = О(А) =
= О(1/Л2) арифметических действий. Ускорение сходимости ите-
раций, по сравнению с явной схемой, достигается за счет соот-
ветствующего выбора параметров и {т(2)}. Каждое из урав-
нений (31) и (32) аппроксимирует задачу (14) точно. Поэтому
для погрешности zJ'+1''2 = yi+Ч2 — и, г->+1 = yj+l — и получим од-
нородную задачу
-	=\zl+'l’ + X2zl, zi+'^\ =0,
г/+._гт	<33)
----------= Л1г/+1/»+ Л2г/+1, г'+Чу =0, z0 = u0-u.
xi+i	А
Рассмотрим сеточное пространство Н, введенное в предыду-
щем пункте, и обозначим A^z = —A|Z, Л2г =—Л2г, где z — лю-
бой вектор из Н. Операторы At и А2 обладают, как показано
в гл. IV, § 2, следующими свойствами:
1)	At и Л2 самосопряженные операторы,
2)	At и А2 положительно определенные и ограниченные опе-
раторы: ЬаЕ ^Аа^С \аЕ или
zJCMzIl2 длявсех Z^=H,	(34)
где
6« = 4 sin2	= 4 c°s2 V*- > a=l. 2,	(35)
na Zla	na
3)	операторы Л1 и A2 перестановочны.
Последнее свойство выполняется только для прямоуголь-
ника.
3]
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
459
Перепишем задачу (33) в виде
(Е + г«Л)2ж_(£_тйД)2|«,.
Задан произвольный вектор г° из И.
Исключая, как было показано в гл. VII, zi+u2, получим фак-
торизованную схему
+	+	-(Е-тй,Л,)(Е-г1'>/г)2<. (37)
В силу перестановочности At и Аг отсюда следует:
zl+' = Sl+lz!,	(38)
где S/ — оператор перехода, равный S/ = S</1)S/2),
= +	8^(Е + х?АгГ1(Е-^А2). (39)
Применяя формулу (38), найдем
гп = Тпг°,	(40)
где Тп — разрешающий оператор, равный
Га = П5/.	(41)
/=|
Оператор Тп представляет собой произведение перестановочных
самосопряженных операторов и, следовательно, является само-
сопряженным оператором.
Из самосопряженности Тп следует, что
||Tn|| = max|Xft(Tn)|,	(42)
k
где Ха(Т'п) — собственные значения оператора Тп. Найдем вы-
ражение для Ха(Гп). Для этого нам понадобится тот факт, что
перестановочные самосопряженные операторы Л и В имеют об-
щую систему собственных функций, а также легко проверяемые
свойства:
1) если А = А*, В — В*, АВ = ВА, то
Х(ЛВ) = Х(Л)Х(В), Х(Л + В) = Л(Л) + Л(В),
2) Х(В ) = Т(ВГ»
где Л (Л) и X (В) — собственные числа, соответствующие одному
и тому же собственному вектору.
(36)
460
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
13
Пусть — собственное значение номера ka = 1, 2, ..., Na — 1
оператора Аа. Тогда будем иметь (номера ka опускаем)
Л (S' ) ~ 1 +	’	* (S/ ) - ! + т(2)?1(2) >
и, следовательно,
причем
1-т<,”х<2'
MS/)---------------------1----
1 + t'/W 1 + т<2>Х<2’ ’
11 1 + t'W* ' 1 + т<2>Х<2’ ’
(43)
(44)
51	А), б2 Аг,
где 6j, 62 и А], А2 определяются по формулам (35).
Из (40) получим оценку
(45)
Норма оператора Тп, согласно (42) и (44), равна
ТГ 1-т(М? 1-t<M
М тх 
(46)
Так же, как и в п. 2, мы приходим к следующей задаче ми-
нимакса: найти такой набор параметров {ту*}, {т^2*}, чтобы нор-
ма оператора Тп была минимальна при заданном п.
Заменим в (46) и непрерывными аргументами
АЯ е [6Ь Ai], А<2* е [62, А2]. При этом правая часть в (46), во-
обще говоря, увеличится и знак равенства в (46) следует заме-
нить знаком -С. В результате мы приходим к следующей задаче
минимакса: найти такие положительные числа т<’>, ...,
т}2*, ..., т®, п = п(в) (0 < е < 1 —любое заданное число), при
которых достигается
min max
mm mp а_],
Z<2> е [в2. д2]
1 _ Т(2)Х(')	1 - Х<1>Х<2>
1+тУ’Я*  1+т<2*Л(2>
(47)
Точное решение этой задачи найдено Жорданом (см. Ваш-
пресс [3]). Мы изложим основные этапы его рассуждений (без
обоснования заключительного этапа). Кроме того, мы дадим
приближенное решение задачи минимакса; это решение может
ИН №
i + W '
/	*2
<1
§ !. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
461
быть использовано и в других случаях (например, для схем
О (/г2) и О (/г4) при р = 2, 3).
4. Выбор итерационных параметров. Две системы парамет-
ров и }т<2*} выбираются в (31), (32) потому, что собствен-
ные значения операторов Aj = —Л| и А2 = —Л2 расположены
на разных отрезках. Если 61 = 62 = 6 и А, = А2 = А, то выби-
рается одна система параметров {тД, т. е. ту) = т<2) = т/.
Если же б, =/= 62 и Ai =/= А2, то с помощью дробно-линейного
преобразования переменных АД* и АД* задачу (47) можно свести
к задаче минимакса для случая, когда спектры операторов Л,
и А2 лежат на отрезке [-q, 1], где ц > 0. Тогда вместо двух пара-
метров т*1* и т(?* можно взять один параметр.
Итак, рассмотрим функцию
f = fW", т<2>, АД*, А/2*) =
1-Т*2)Д'*	1-т(0Д2)
1 + т(1*А,(|> ’ 1 + т(2’Д2> ’
где Д'* s [6i, Ai], АД* 9 [62, А2].
Вместо АД* и АД* введем новые переменные а и |3, меняю-
щиеся на отрезке [тр 1], где iq > 0. Для этого положим
^(1> =_£L=lP_	X(2> = JLLP	(48)
q - га	q + rP ’	v ’
где р, р, г — постоянные, подлежащие определению. Требуя,
чтобы а = Р = ц при АД* 6], АД* = 62 и а = р = 1 при АД* = Ац
АД* = Д2, получим четыре уравнения для р, д, г, ц:
61 (7 ~ Т) = П ~ Р, 62 (р + V) = П + Р. 1
Ai(g —г)=1—р, А2(р + г)= 1+р. .)
(49)
Прежде, чем решать эти уравнения, преобразуем функцию f:
где
1 - аа(2)	1 - риД*
1 + ааД*	1 + р J2* ’
П<а, р1,
Д'*-г
ю(|)=-т г
q — Т(1*р
Ю(2) =
т<2* + г
q + Т(2*р
(50)
(51)
Вернемся к системе уравнений (49). Выразим q и г через р-
2А] A2r = At — А2 + (At + Д2) р, q = г + (1 — р)/А,-	(52)
Подставив (52) в (49), получим два уравнения:
[6j (А, + А2) (1 - п) + 2А2 (А, - 6,)] р =
=-61(1-п)(А1-А2) + 2А2(А111-61),
[62 (Aj + А2) (1 + г]) — 2 А2 (А1 + 62)] р =
= — 62 (1 + п) (А! — А2) + 2А2 (А^ — 62). J
462	ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ	(4
Введем вместо ц новую постоянную £ = (1 — т))/(1 + Л), так что
т) = (1— £)/(! +£). Тогда уравнения (53) преобразуются к виду
[(Aj — 6j) А2 + ^А1 (6j + А2)] р = (Aj — 6J А2 — (Аг + б() А^,	1	-
[(А2 — 62) Ai + £А2 (62 + А[)] р = — (А2 — б2) А( + (А| + б2) A2g.	j
Перемножая эти равенства, исключим р и найдем
® У (А,+д2)(А2 + д,) ’ 11	1+1	•
Зная определим р из (54) и q, г из (52):
_ х— g _ (А, — б,) А2 __ Ai — А2 + (Ai + А2) р _	1 — р
1	x + g’ К (А2 + д,)Д, ’ Л	2А,А2	’ 9	Aj •
(56)
Нетрудно убедиться в том, что х>£ и р > 0. Таким образом,
f преобразована к виду (50). Так как юО) и <о<2> входят в (50)
симметрично, а а и р меняются на одном и том же отрезке, то
полагаем
со(1) = щ(2) = Ш) а = р.
Тогда вместо (47) получаем задачу о нахождении минимакса
"| /1 — со а V
р = min max I I -г-:—— .	(57)
1) Выбор параметров «по Жордану». Решение за-
дачи (57) найдено Жорданом и приводится в статье Вашпрес-
са [3]. Оно довольно громоздко и мы не будем его излагать.
Приведем здесь лишь формулы для вычисления оптимальных
параметров и т(?’. Пусть задана точность е итерационного
процесса и пусть известны границы операторов Ль Л2:
баЕ < Аа < каЕ, Аа > ба > 0,
или баК(Ла)^Аа, а = 1, 2. Зная ба и Аа, по формуле (55)
находим т] = (1 — £)/(! -Т £) и по формуле (56)—коэффициен-
ты р, q, г. После этого вычисляем число итераций п(е), обеспе-
чивающих заданную точность е, по приближенной формуле
п (в) ~ In (4/е) In (4/tj).	(58)
Вводя обозначения
е = 4'т12(1 + Т1»2)’ а=^Г> j~l, 2, .... п,
§ I. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
463
получим ДЛЯ вычисления (0; формулу
(1 + 2б)(1+еа)
1	20ст/2 (i+е1~ст + 0'+ст) ’
j = 1, 2...........п.
Теперь остается определить, согласно (51), искомые параметры
Т(.)= Я^ + Г т(2) =
/	1 +<0;Р ’ I 1
(59)
При этих значениях параметров для задачи (31), (32) справед-
лива оценка
II ?п\\ <е|| z°||.
После этого можно приступать к решению задачи (31), (32).
Рассмотрим частный случай: 6] = 62 = 6 и А] = Аг = А. Фор-
мула (55) дает:
£ = (А — 6)/(А + 6), п = 6/А.
При этом х = £, р = г = 0, q = 1/А и преобразование (48) при-
мет вид Х(,) = аА, Z(2) = рА и а>(б = АтФ, со(2) = Ат(2). Условие
m(') = m(2) дает тФ = т<2) = т.
2) Циклический набор параметров. Другой, бо-
лее грубый, способ выбора параметров {coj для разностной за-
зачи Дирихле в квадрате на квадратной сетке был предложен
в 1955 году Писменом и Рэкфордом [1] (см. также А. А. Самар-
ский, В. Б. Андреев [1]). Преобразование, проведенное в начале
этого пункта, сводит задачу для прямоугольника с ht =# h2 к за-
даче для квадрата с квадратной сеткой. Поэтому, достаточно
рассмотреть задачу о минимаксе функции (заменим в (57) со;
на Tj)
1 — ТуЯ \2
1 + ТуЯ ) ’
0<т]^а^ 1.
(60)
Набор параметров {тД представляет собою k0 циклов пара-
метров т,, т2, .... т„о, так что тПо+й = тй, т2„а+й = т,. где
k = 1, 2, ..., По-
Параметры тр т2, ..., т^ выберем так, чтобы
/4<р<1,	(61)
где р не зависит от т].
Лемма 2. Пусть даны функция
: (-0 - (I +

и два числа /п>0иЛ4>0, /п<1<Л4. Тогда
шах
т<х <м
/м—{(Ш-
(62)
464
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
(4
Найдем Г(х)==4(х—1)(1+х)~3. Так как f(x)<0 при х<1,
)'(х)>0 при х> 1, то /(х) принимает наибольшее значение либо
при х = т, либо при х = М.
Из леммы 2 следует, что, если условие
т С/ т/a С/ М
(63)
выполнено хотя бы для одного j = 1,2, ..., п при любых <ze[iq, 1],
то
max	(64)
»е|Г|, 1)
Последовательность {тД выберем так, чтобы для каждого
аерп, 1] нашлось хотя бы одно значение Tj, j = 1, ..., п0, та-
кое, что выполняется (63) и, следовательно, (64).
Построим последовательность интервалов (£j, £j+i), покры-
вающих отрезок [т], 1], полагая
= "П’ £/<£/+1’ / —6,'1, ..., п0, где В„о^1> а £„о+1 > 1
(числа g2, ..., £по+1 и п0 подлежат определению). Тогда лю-
бое значение а е [г], 1] будет принадлежать некоторому отрезку
Ку-ь £Д Т. е.
g/-i<a<gz,
и, следовательно,
П£/-1
Потребуем, чтобы выполнялись условия
ПВ/-1 = tn<\, т7£у = Л1>1, g0 = n,	(65)
где т и М — положительные числа, не зависящие от тр Отсюда
находим
g/ = —=	=	(66)
т	q	qJ	М
Требования	£„о+1>1 будут выполнены, если
т) qn>, т}><7”°+1
Отсюда следует, что
111(1/4) _ 1	In (1/т))
111 (1/<?)	0 1п (!/<?) ’
(67)
Из (65) определим последовательность {тД. Так как r/+Ig7 = т
т& = М, то
•xI+l — qxj, /= 1, 2, .. ., n0-1, q = m!M, г^т/ц. (68)
Таким образом, т,, т2, ..., тПо образуют убывающую геометри-
ческую прогрессию. Из (67) видно, что число параметров {тД
4)
§ I. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
465
равно га0> ~ 1- В частности, для задачи Дирихле в ква-
драте на квадратной сетке с шагом h имеем т) = 6/А = tg2 (n/i/2)«
л2Л2/4 и, следовательно, м0= О (1п(1/А)). После п0 итераций
с параметрами т]( т2, ..., тЯо в силу (64) справедлива оценка
1|г'’»|Кр||г°||,	(69)
где
f / 1 — от \2 /1—А4\2]
р = шах < -г-;— ,	,, ?,
г I \ 1 + m / ’ \ 1 + Al / J ’
(70)
т и М — любые числа, удовлетворяющие условию 0 < т < 1 < М.
Проведем теперь k0 циклов с набором параметров
т2, ..., тПо, определенных выше, полагая
j = Т/>	, 2, . . .,	— 1, 1 j ге0-
В силу (69) имеем || zkn° || р|| z(%_|)"»|l> k=l, 2,..., k0.
Отсюда следует, что
(71)
Условие
|| г*0"» || < е || z° ||	(72)
будет выполнено при р^ е. Отсюда находим
Таким образом для решения задачи (31), (32) после ko цик-
лов с набором параметров тр т2, ..., т (по ним из формул
(59) находятся и т(2)), где п0 и k0 определяются согласно
(67) и (73), для общего числа итераций верна оценка
п (е) = noko « х0 In (1/n) In (1/е),	(74)
где х0 = (1п(1/р)1п(1/д))-’— постоянная, зависящая от парамет-
ров т и М. Так как q < 1, р< 1, то хо убывает с убыванием q
и р. Поэтому при фиксированном q число х0 минимально, если
минимально р. Минимум р, очевидно, достигается при
(1 — т)/(1 + т) = (М — 1)/(М + 1). Отсюда находим М = l/т и
1
х0 =
4 In
1 + т , 1
------- 1П-----
1 — т т
Минимум %о(т) находится численно: т«0,4 и х0» 0,32.
Сравнение (74) с (58) показывает, что циклический набор
параметров не является оптимальным. Однако асимптотические
466
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
(5
порядки формул (74) и (58) совпадают (с точностью до множи-
теля): п = О (In (1 lh) In (1 /в)).
5. Итерационная схема для разностной задачи Дирихле по-
вышенного порядка точности*). Для задачи (13) рассмотрим
схему повышенного порядка точности на прямоугольной сетке
с шагами hi и h2.
(h^ | h? \
Aj + Л2 + —- AjAJ v - — cp(x),
х<=сол, v |Vft=g(x), (75)
где Aav = Vxaxa, a= 1, 2. Эта схема была получена в гл. IV, § 1.
Здесь
а2	а2
<p = f+l±A1f + 1|A2f.
Схема (75) имеет точность О (| h |4), | h |2 = /г? + /г>>> а на квадрат-
ной сетке [h\ = /гг = h) при соответствующем выборе <р — точ-
ность О (/г6).
Рассмотрим соответствующее операторное уравнение (неод-
нородные краевые значения учитываем изменением правой ча-
сти в приграничных узлах):
A'v = <f, А’ = Ai + А2 — (х, +х2) AtA2, Х]>0, х2>0, (76)
где Ai и А2 — линейные операторы, заданные на Н. Предполо-
жим, что
1)	Ai и А2 самосопряженные операторы и
6аЕ < Аа < АаЕ, 6а>0, а=1, 2.	(77)
2)	At и А2 перестановочны, А1А2 = А2А1.
3)	ха<1/Аа, так что существуют положительные операторы
(E-xaAa)-1.
Лемма 3. Если выполнены условия 1) и 3), то операторы
Aa = (£-xaAa)-' Аа, a= 1, 2	(78)
имеют границы 6а и Аа, т. е.
6аЕ<Аа<АаЕ,
где 6а и Аа определяются формулами
•) См. А. А. Самарский [22].
5)
$ I. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
467
Представим Аа в виде Аа = (Аа 1 — наЕ) '. Из условия (77),
в силу самосопряженности Аа, Ай1 и Лй1 — иаЕ>0 следует,
что
(1 /Дц — Ха) Е	Лй’ — ХаЕ	(1 /6а — Ха) Е.
Так как ха< 1/Аа, то 6аЕ Аа = (Дй' — хаЕ) ^АаЕ.
Лемма доказана.
Лемма 4. Если выполнены условия 1) — 3),.то уравнение (76)
эквивалентно уравнению
(Л, + Л2)ц = ф, ф = (Е — x^,)“'(Е — х2Л2)-1 ф, (80)
где А\ и А2 определяются согласно (78) и являются самосо-
пряженными положительными операторами с границами 61( А,
и 62, А2.
В самом деле, перепишем (76) в виде
Л] (Е — х2Л2) v 4- (Е — Xj/lj) A2v = <p.	(81)
Применяя к (81) оператор (Е — xHi)-1(E— хгЛг)-1 и учи-
тывая перестановочность всех операторов, получим (80). Обрат-
ный ход рассуждений очевиден.
Итак, решение уравнения (76) сведено к решению уравне-
ния (80) с самосопряженными перестановочными операторами
Л, и Az, границы которых определяются по формулам (79).
Для уравнения (80) можно воспользоваться продольно-по-
перечной схемой. Однако, имея в виду переход от Аа к Аа, бу-
дем исходить из факторизованной схемы
(Е+’йЛ,)(Е+’М)»ж =
- (£ - ’Я А) (Е - ’ЯЛ) Hl+(’Я>+’Я.)*- <82)
Применим к обеим частям этого уравнения оператор
(Е — щА^Е — х2Л2)
и учтем, что все операторы перестановочны и
(Е - х, Л,) (Е + ту;,Л,) = Е — х, Л, +(Е - х, Л,) Л, =
= Е + (ту),-х1)Л„
(Е - х,Л,) (Е - т(Д,А,) = Е — (т(/>, + х_) Л,.
В результате получим схему
(Е + (т<Д, - «,) /!,)(£ + (т« , -и,) А,) ун, -
- (Е - (tft, + «,) Л,)(£ - (т<», + «2) А,) у, + (tg, + ,«,) ф. (83)
468
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[5
Записывая эту схему в каноническом виде
= (р, (84)
т/+1 + т/+1
убеждаемся в том, что она точно аппроксимирует уравнение (76)
на решении v. Итерационная схема (83) эквивалентна продоль-
но-поперечной схеме
(5 + (т*1;, - xj Л,) у1+>/2 = (Е-	+ х2) Л2) ys + (r^j - х,) <р, (85)
(£ + (т<2>, -х2) А2)у.+1 = (£ -(т'Д, + х,) Hj)yj+t/2 + (т<2>, + х,)Ф. (86)
Эквивалентность (83) и (85), (86) доказывается по анало-
гии с гл. VII, § 1. Из (85) и (86) находим (умножая ($5) на
т(Д1+Х1, (86) на —	— Xj) и складывая результаты):
(’Я i+’Я О »/♦/,=(’Я ।+*0 (Е - W11+*М)»)+
+ Ml. - «,)(Е+(’Я,-«г)	<87>
Подставляя (87) в (85), получим (83). Обратный ход рассу-
ждений очевиден.
Для погрешности г}-+1 = yj+i — v, очевидно, получим одно-
родное (с ф = 0) уравнение (83), которое эквивалентно одно-
родному (с ф=0) уравнению (82). Поэтому разрешающий опе-
ратор схемы (83) равен разрешающему оператору схемы (82),
который был рассмотрен выше (в п. 3 и п. 4). Тем самым за-
дача о выборе итерационных параметров для схемы (85), (86)
или (83) свелась к уже решенной задаче о выборе итерацион-
ных параметров для схемы (82). Нужно лишь всюду в форму-
лах п.п. 4 и 5 заменить 6а, Аа величинами 6а, Аа.
Общие рассуждения для операторного уравнения (76) за-
кончены. Обратимся теперь к схеме повышенного порядка точ-
ности.
Сначала опишем вычислительный алгоритм. Подставляя
в (85), (86) вместо Аа оператор —Аа, получаем
£	Xj)Aj) i//+1/2	(£ + (т/+1 + х2) А2)	+ (т(Д1 х^ф,
(£ —	— х2) A2)i//+1 = (Д + ^^^ + х^	Т-х^ф.
(88)
Как ставить граничные условия?
1) Если правые части ф учитывают в приграничных узлах
неоднородные краевые условия, то положим
У1+1 = У1+,1г = 0 при хеУ/1.
2) Если же мы хотим поставить граничные условия на ул, не
меняя ф в приграничных узлах, то следует учесть, что уравнение
51
§ I. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
469
(87)	должно выполняться не только при 0 < Xi < но и на
границе при х( = О, Х| = Ц. Полагая в (87) «/,• = yj+\ = ц, полу-
чаем
«//+>/ Й = ц + (х1+ х2)Л2ц, х1 = 0, /р .
(89)
У1+1	= x^yh.
Следует иметь в виду, что ха =	12, а — 1, 2.
Порядок счета: 1) вычисляются 6а и Да по формулам (79),
2) зная 6а, Аа и пользуясь результатами п. 4, находим пара-
метры и (т)2’}, соответствующие схеме (88), 3) после этого
методом прогонки по строкам и столбцам решаем систему урав-
нений (88) с краевыми условиями (89).
В п. 4 была получена приближенная формула для числа
итераций п(е), обеспечивающих точность е > 0. Для задачи
(88), (89) она имеет вид
й (е) In (4/rj) In (4/е),	(90)
где
- = ±zi ё = рА.-д.ХАу — а2) ¥/г'
1 + £ V (A, + d2) (А2 + di) /
Пользуясь этой формулой, нетрудно сравнить число итера-
ций для схемы второго порядка точности (п(е)) и для схемы
повышенного порядка точности (й(е)). Из (90) видно, что
п (е) ~ In (4/-ц)
п (е) 1п (4/т)) ’
где т] определяется по тем же формулам, что и г), если заме-
нить в них £ на £ и Ъа на 6а, Аа на Да. Приведем результаты
сравнения для случая квадрата со стороной Ц = /2 = 1 и квад-
ратной сетки с hi = hi = h. При этом т] = 6/¥ т] = 6/А, 61 = 62 = 6.
Д1 = д2 = д,
1,10 при й = 0,100,
й/п =
1,05 при h = 0,025,
1,04 при h = 0,010.
Объем вычислений на каждую итерацию для обеих схем
практически одинаков, а различие в числе итераций незначи-
тельно. Так как схема повышенного порядка точности позволяет
пользоваться более грубой сеткой для достижения заданной
точности, то ее применение особенно выгодно в тех случаях,
470	ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ	(6
когда решение и = и(х) задачи (13) обладает достаточной глад-
костью.
6. Метод переменных направлений для трехмерной задачи
Дирихле*). Рассмотрим в параллелепипеде
G = (0 ха 1а> и = 1 > 2, 3)
задачу Дирихле для уравнения Пуассона
з
bu = ^Lau = - f(x), Lau = ^,
а=1	оха	(.91)
u|r = p,(x), х = (хь Х2, Х3},
где Г —граница параллелепипеда G.
Введем в G сетку
®а = {(М1> Мг. Мз), 1о = 0, 1.....Na, ha = la]Na, а=1, 2, 3}
и исходной задаче поставим в соответствие разностную задачу
А'г/ = - <р (х), х «= йй) у |v = р (х),	(92)
где у — граница сетки, <вй — множество внутренних узлов и
3	3
А'у = Ay - А h2a J] АаЛрг/, Л = Ла, АаУ = у^,	(93)
а=1	а=1
Ф (х) = f (х)+4 (A?AJ + hlA2f + h23A3f\	(94)
Если 0 = 0, то это схема второго порядка точности; при 0=1 —
схема четвертого порядка точности.
Доказательство равномерной сходимости решения задачи (92)
к решению задачи (91) можно найти в работе В. Б. Андреева [2].
В качестве итерационной схемы возьмем факторизованную
двухслойную схему с двумя параметрами а и т/
В/ У/+‘ — = А'у1 + ц)(х), xeah, у |v = р,	(95)
где у0 = у0 (х) — любая функция и
В/= (Е — ат/Л^Е — ат/Л2)(Е — от/Л3),	а>0.	(96)
Укажем алгоритм для решения уравнения (95) с операто-
ром (96). Последовательно решаются следующие три задачи.
1)	Вдоль прямых, параллельных оси Ох\ (при фиксирован-
ных i2, г‘з) решается уравнение
(Е - ax/AJ г/» = Fh F, = Bjyj + Xj {А'у{ + ф)
°) См. А., А. Самарский, В. Б. Андреев £1].
61
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
471
с краевыми условиями
г/(1) = (£ — ОТ/Л2) (£ — ot/A3) ц, Х]=0,
2)	Вдоль прямых, параллельных оси Ох2 (при фиксирован-
ных ii, 1з) решается уравнение
(£ -aT,A2) f/<2> = #<»
с краевым условием
уМ = (Е — от/Л3)р, при х2 = 0, h-
3)	Вдоль прямых, параллельных оси Ох3 (при фиксирован-
ных q, i2) решается уравнение
(£ -ат jA3)f//+' = f/<2>
с краевым условием
г//+1 = р при х3 = 0, 13.
Можно воспользоваться и другим алгоритмом:
1)	(£ — ат/Л]) w(,) = A.'yt + <р,
&у(1> = 0, х1 = 0, /ь
2)	(£ — ат/Л2) оу<2) = йу(1>,
w(2) = 0 при х2 = 0, /2,
3)	(£ — атуЛ3) to<3) = ш(2),
<зу(3) = 0 при х3 = 0, /3, у/+1 = у! + XjW^.
При этом требуется помнить два вектора yj, wis\ s= 1,2,3.
Для погрешности Zj = yt—y получаем однородное уравне-
ние
gj^l±L-JL;=X'zj, хе йй, z, |v = 0, гй = уа-у. (97)
Операторы Ль Л2 и Л3 попарно перестановочны и имеют
общую систему собственных функций
и собственные значения
4 = 4sin2^, ^а = 1, 2.............Аа-1,
ла
так что Лаг>й + KkaVk = 0, Vk |v = 0. Напишем выражения для
472
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[в
собственных значений оператора Л':
з	з
^к & (Л ) = ^к	ha	=	^а'
а=1	₽=£а	а=1
Выразим из (97) z/+I через zf.
zl+i = S}zh zQ = y0-y,
где S,. = Е + ТуВТ'Л'— оператор перехода. Отсюда следует, что
?П ' I П S j j Zg — TnZg,
\/= 1 /
II z„ IK II T„||||z0||,
где || Tn || = ft S7
II 7=1
Tn — разрешающий оператор.
Так как все операторы, написанные выше, являются само-
сопряженными и попарно перестановочными, то
|| S„ || = max| (S„) | = max | pfe, „ |,
к	к
где
Pa, n = Xfe (Sn) =1 Tfi f Xfe 12 ha	j J |^ (1 + OT„A,Aa)
\	a=l ₽=£a	/ a=l
Пользуясь выражениями для Лао, получим hfak^k^ < 4%Ap,
3	3
12 fla Zj < У Zj = У
a=l fi=£a	a=l
На основании теоремы о среднем- арифметическом и среднем
геометрическом (Г. Г. Харди, Д. Е. Литтльвуд, Г. Полна [1])
имеем
П(1+<тт„Ь)	(1 + ornKklp) Р-
a=l v	а/
Найдем оценки снизу и сверху для pfe, п'
Ра, п < I - (1 ~ 26/3) тЛ (1 + (ТТпЛ^/З)"3,	(98)
Ра, п > 1 - тп%а (1 + атЛ)”' •	(99)
Отсюда видно, что — 1 < Ра, п<1> т- е- I Ра, п I < 1 при a >0,5-
61
§ 1. РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
473
Действительно,
Рй, п + 1 > 2 —	(1 + <тт„Лй) 1 =
= (2 + (2<т—1)т„Лй)(1+<TT„A,fc) '>0.
Неравенство рА, га<1 очевидно.
Теперь нетрудно показать, что при
сг^сг0, 0 = 0 или 0=1, <т0= 13/18, О’! = 0,5	(100)
справедлива оценка
I Pfe, п I < Р (а),
где
0<Р(‘»-1-|(1-т)<ТТ^' “ =	<101>
Неравенство р&, < р (а) следует из (98). У читывая (99), получим
-, ,	„ За 1 /.	20 \ За
Pu+PW>2~ а(1+3а)	3j "(Г+а> ‘
Рассмотрим функцию
аг ___о-_ it 1_____(1 __ 26 \
6	2<Т	1 + 1 + За	V	3 /	(1 4-а)3
и потребуем, чтобы она была неотрицательна. Это имеет место
при условии (100). В самом деле,
аг —	_ 1 _1_	*______а	— 2гт — 1 4-	1 + 2а + а3	_
^1	1 + 1 + за	(14а)3	/<Т	1 + (1 + За) (1 + а)3	U
при <т^0,5 = (т1.
Оценка для £F0 более грубая:
^0-2(Т- + j + за — (1+а)з >2<Т- 1 - (1+а)з >
>2сг—1—4/93^0 при <т> 13/18 = <т0-
Тем самым доказано, что | pft,„|<р(а).
Лемма 5. Пусть даны два числа tn и М, причем 0<пг<
< 0,5 < М. Тогда наибольшее значение функции р (а) на отрезке
[пг, М] равно
р*= max р(а) = тах{р (пг), р(Л4)}.
/п<а<М
В самом деле, из выражения
видно, что при а = 0,5 функция р(а) имеет минимум, а макси-
мум ее достигается либо на левом, либо на правом конце от-
резка [т, М].
474
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
16
Наша задача состоит в минимизации нормы разрешающего
оператора. Для этого используем циклический набор парамет-
ров (см. п. 4):
Тр Т2, . . . , Тга„, Trao+j = Tj, T2ra„+j = Tj И Т. Д., k = 1, . . . , П().
Параметры т1( т2, ..., тгао выбираем так, чтобы
II "•
II г„вц= П
II/-1
^р*< 1,
где р* не зависит от границ операторов Ац Л2, Аз.
Из леммы 5 следует, что, если условие
3m ^ctt/A.j <J3M или tn^ajk^M, a.jk = ffT/A.j/3
выполнено хотя бы для одного j = jo при любых Zj е [6о, До], где
6о и Ао — наименьшее и наибольшее собственные значения опе-
ратора Л, то ||Т„, ||^р\ так как для всех остальных j =£ /0 бу-
дет, по крайней мере, выполнено неравенство ||S/||< 1, а
II S/JI^P*.
Отрезок [60, Ао] покроем последовательностью интервалов
(£</-!)> ?(/))> J = i> 2, полагая £(0) = 60, £(Ло_1)<До> 1(Л„)^\.
Любое собственное значение Xj принадлежит некоторому от-
резку g(/)], так что
?(/-!) <A<J ^£(/)
И	г^сгтДр. Для определения £(/) потребуем,
чтобы выполнялись условия
Зт = <ттД/_1), ЗЛ4 = <ттД/).
Отсюда следует
?(/)= Я	Я \о) = ^оЯ !> q = rnlM,
xl+i = qxh Т] = 3m/(crS0).
Число итераций в одном цикле м0 определяется из условий
(см. п. 4):
In (Ар/йр)	In (Ар/йр) . .
1п(1/<?)	1п(1/<7) l-ь
При таком наборе параметров т(, т2, ..., тл„
II ^||<р*< 1,
где р* зависит только от т, М, а.
11	§ 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 475
Проводя feo циклов итераций с набором параметров Т], т2, . . .
..., т„„получаем
Требование (p*)fe|,<e будет выполнено, если
< In (1/е)
1п(1/р’) •
Для общего числа итераций получаем оценку
n(e) = nQkQ x0(ln е) In (60/А0)> х0 = (In ^1п р‘)~'.
Постоянные т, М, <т следует выбрать из условия минимума коэф-
фициента х0. Нетрудно показать, что для минимизации х0 пара-
метры Мит надо выбрать из условия
m(l + m)~3 = M(l + M)-3,
т. е.
М = 0,5(]/(3 + т)2 + 4/т — (3 + т)),
а величину <т взять возможно меньшей, т. е. о = 0,5 при 0 = 1
и о = 13/18 при 0 = 0. Минимум хо как функции т находится
численно. При 0=1 и <т = 0,5 минимум хо достигается при
т 0,135 и равен хо ~ 2,272. Если 0 = 0 и о = 13/18, то
т ~ 0,153 и хо ~ 0,820. Так как 1п(Ао/6о) = О (In (1/|/г |)), то чис-
ло итераций и(е)~ О (In (1/|А|) In (1/е)).
§ 2. Теория итерационных двухслойных схем общего вида
1. Итерационная схема с чебышевским набором парамет-
ров*). Пусть дано операторное уравнение
Au = f,	(1)
где Л — линейный оператор, заданный в гильбертовом простран-
стве Н, f и и — заданный и искомый векторы из Н.
Для приближенного решения уравнения (1) применяется
двухслойная итерационная схема
В yk+i-yk +Ayk^ft =	1, ...	(2)
Ъ+i
с произвольным начальным вектором у0 е Н. Предполагается,
что операторы А и В удовлетворяют требованиям
Л = Л*>0, В = В’>₽Е,	₽>0,	(3)
У1В<Л<у2В> Y2>Yi>0,	(4)
*) В написании этого пункта принимал участие Е. С. Николаев.
476
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
(1
где Yi и уг — постоянные энергетической эквивалентности опе-
раторов А и В.
Из (3) и (4) следует положительная определенность опера-
тора А.
Всюду в этом параграфе будем считать, что оператор В не
зависит от номера итерации k.
Изучение сходимости итераций по схеме (2) сводится
к оценке при k—► оо решения Zh = Ук — « однородного уравнения
В ——------ + Azk = Q, k = Q, 1, 2, ..z0 = у0— и. (5)
Ч-н
Неявная схема (2) эквивалентна явной схеме (см. гл. VI)
xk+i = Sk+Jxk, Sk+l = E-xk+lC, k = 0, 1, ..., xoe H, (6)
где С — один из операторов
C = Ci = Л,/2В-1Л'/2 при xk = A'J1zk	(7)
или
С = С2 = В~'/зАВ~'/2 при xk = B'/2zk.	(8)
Из (6) находим
хп = 0>п(С)хо, где 0>п(С) = П((£- xkC), (9)
II хп || < 11^(С)||||х0||,	(10)
где разрешающий оператор ^п(С) есть операторный полином
степени п.
В силу условий (3) и (4) оператор С — самосопряженный,
с границами yi и у2:
С = С*,	(11)
Поэтому норма операторного полинома ^П(С) оценивается
по формуле (см. Л. В. Канторович и Г. П. Акилов [1]):
\Wn (С) lie max \0>n(t)\.	(12)
ie [у„ у2]
Параметры Ть t2, .... тп находятся из условия минимума
||5’П(С)|| или min max |^„(01 и, как будет показано ниже,
fcfy,. yj
выражаются через нули полиномов первого рода П. Л. Чебы-
шева Тп(х).
Нам понадобятся некоторые свойства полиномов П. Л. Че-
бышева (см. В. Л. Гончаров [1])
Т№(х) = cos(иarccosх), —l^x^l, и = 0, 1, 2,
Т№) = \, Т^х)=х,
11	§ 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 477
Для вычисления полиномов высоких степеней можно исполь-
зовать рекуррентное соотношение
Г„+1(х) = 2хГ„(х)-Т„_1 (х).
Справедлива формула
27’га(х) = (х+]/^Л f + (x-	(13)
которая доопределяет Гп(х) при |х|> 1.
Корнями полинома Тп(х), очевидно, являются числа
= cosл, 6=1, 2............п.	(14)
Рассмотрим теперь полином ФпЦ), заданный на промежутке
Yi -С t у2 и нормированный так, что ^„(0) = 1.
Такими свойствами обладает, например, полином
^n(0 = n(l-W), ^(Yi> у2]-	(15)
fe=i
Ставится задача — среди таких полиномов найти полином,
наименее отклоняющийся от нуля на отрезке [уь у2] (т. е. имею-
щий наименьший тах|У„ (/) |, t е [уь у2]) и нормированный
к 1 при t = 0. Линейная замена
/ = 0,5((у2-у1)х + у2 + у1)
позволяет свести эту задачу к построению полинома, наименее
отклоняющегося от нуля в промежутке —1 4x41 и принимаю-
щего значение 1 в точке х0 = —(у2 + у1)/(уг— Yi) =—Vpo, где
ро = (1 —£)/(! + £). £ = Y1/Y2-
Решением последней задачи (см. В. Л. Гончаров [1]) яв-
ляется полином
М<1.
где Тп(х)— полином П. Л. Чебышева первого рода. Максимум
отклонения Тп(х) от нуля равен
Подставляя сюда выражение (13) для Тп(х0), получаем
-JТАi1 Т~п W 1 = 1М1/Ро)| =
(1/Ро +	+ (1/Ро - /1/р^-1)“ '
478
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
И
Введем обозначения
6- о -1211	о _ 1 ~ УХ	ZJR4
6 —	> Ро — t > Pl —	1/т-	(1о)
?2	1 + §	1 + V |
и преобразуем
1 , Гi _ j = 1±1 _l 2*Т = 1+/F =
Ро V Ро 1-£	l~£	1-/| Р1 ’
1	/’1	Г 1-/F
----1/ ~~ 1 =7Tvr = р1‘
Ро	1 Ро I + У 5
В результате получим
,~ ,	2р?
шах |Г„(х)[ = -.	„п =qn.
-1<х<1	1+Р1
Потребуем, чтобы полиномы (15) и Тп совпадали:
fe=l	Ы
(17)
Полином Тп(х) обращается в нуль при х = Хк, где опреде-
ляется по формуле (14). Из (17) следует
2	1 _ ,	То	2
(V2-Vi)Tfe Ро	. ’+ РоЧ Yi+Y2
Тем самым доказана
Теорема 1. Пусть дан полином
«) = П(1-гЛ
k=i
где t е [yi, у2], yi > 0 и xi, т2, ..., тп — произвольные параметры.
Тогда min max |^п(01 достигается при следующих значе-
{rft} <e[v,. v2]
ниях параметров:
Xk = TT^' ^=С05^-л, k=l, 2, .... п. (18)
При таком выборе справедлива оценка
2р?
max \^n{t)\ = qn, qn=	(19)
^[ypv2]	1 + Pi
п
Таким образом задача об отыскании min max Ц (1 — xkt)
{^} /e[vr v2] k=l
(задача о минимаксе) полностью решена.
1]	§ 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 479
Вернемся к схеме (2). Из теоремы 1 следует, что для нормы
разрешающего оператора ^П(С), определяемого формулой (9),
имеет место неравенство
если параметры {тд} выбраны согласно (18).
При этом справедлива оценка решения задачи (6)
II хп || < <7п|| х0||,
которой соответствует следующая априорная оценка для реше-
ния задачи (5):
II IID < qn IIz0 ||0, где D = А или D ~ В.
Отсюда видно, что через п итераций начальная погрешность
II^oIId уменьшится в l/qn раз. Требование qn < е будет выпол-
нено, если число итераций п^-п(е), где
га(е)= М2/£).
При g —>0 получаем следующую оценку для числа итераций
п(е), при котором qn < е:
п(е) = о(1-№А
V I 2’НГ I
Так, например, если рассматривается разностная аппрокси-
мация задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате
х2 1 на квадратной сетке, h\ = h2 — h (см. гл. IV, § 2),
то
.	, 2 лА	, sth nh ,	„ {2 In (2/е) \
g = tg2—, n=tg^-—, п(е) = О(—
Схему (2) с указанной в (18) последовательностью парамет-
ров та, k = 1, 2, ..., п, часто называют схемой Ричардсона.
При исследовании сходимости итераций вместо неявной схе-
мы (2) достаточно рассматривать явную схему
-*+1~**- +Cxfe = <p,	£ = 0,1.....n-1,	(20)
T*+i
xQ— произвольный вектор,
или
xk+i = Sk+ixk + та+1Ф> >Sfe+i ~ E ~ ta+iC,	(20')
которая соответствует уравнению Си = <р.
При изучении сходимости этой схемы с параметрами (18)
мы предполагали, что вычислительный процесс является идеаль-
ным, т. е. вычисления ведутся с бесконечным числом знаков.
480
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[1
Однако на самом деле вычисления ведутся с конечным числом
знаков и на каждом этапе вычислений появляются ошибки
округления, которые приводят к неустойчивости при достаточно
больших п — п(е, pi) итерационной схемы с параметрами (18).
Неустойчивость схемы (2) с параметрами (18) можно про-
иллюстрировать на следующем простом примере, сосчитанном
на машине БЭСМ-4 (расчеты проведены Д. А. Гольдиной).
Пример. Требуется решить систему разностных уравнений
v (Xf-0 — 2v (х£) + v (х(+1) = 0, x£ = i/z,	I,
t>(0)=I, t>(I) = 0, h=\/N.
r,	„	4	. n nh a	4	9 nh
В этом случае Cy=-y-x, у, = “дг sin2 — > 8, Y2 = jrc°s — >
£ = tg2-^y-. Возьмем 20 уравнений (N = 20) и положим е = IO’4.
Теоретическая оценка показывает, что для получения решения
задачи с точностью е достаточно взять п^-п(е), где п(е) =
= (In (2/е) )/(1п р“')	63. Параметры тцТг, ..., тп выбираем по
формуле (18) при п = 64.
Результаты вычислений на БЭСМ-4 даны в таблице 1. В пер-
вой строке указан номер итерации k, во второй строке — вели-
чина
^к = \\Ук~Ук-\ llc= тах |г/й(М)-^-1(М)1-
Итерационный процесс расходится, и при k — 64 наступает
аварийный останов машины.
Таблица 1
k	53	54		55		56		57	58
	0,12	1,5		27		6,3 • 102		1,9- 104	7,2 • 105
k	59		60		61		62		63
	3,7- 107		2,6- 109		2,5-10“		3,3- 1013		5 • 1015
Если брать параметры та в обратном порядке, т. е. поло-
жить в формуле ( 18) Kk = — cos —— л, k = I, 2, .. ., п, то не-
устойчивость итерационной схемы выражена более сильно и ава-
рийный останов наступает при k = 12 (см. таблицу 2).
11	§ 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 481
Таблица 2
k	1	2		3		4	5	6
дй	39,6	2,6- 103		1,6- 105		8,2- 106	3,7- 108	1,2 • IO10
k	7		8		9		10	11
	3,3-Ю11		7- IO12		1,2- Ю14		1,7- 1015	1,9- 1016
Ошибки округления можно трактовать как возмущение пра-
вой части уравнения Cv = ср на каждом шаге. Итерационная
схема (2) с параметрами (18) неустойчива по правой части.
Причиной неустойчивости является тот факт, что норма опера-
тора Sh = Е — xkC — оператора перехода от (k—1)-й итерации
к /г-й итерации, при отрицательных может быть больше еди-
ницы, так как
II Sk ||° P?(--+!W при Zft<0
11 « "	1 ~ Ро I Aft I Г й
И
||Sft||>l, если p0(l + 2|Zd)> 1.
В то же время
А‘>0'
Установим эти формулы. Так как Sk = Sk, то ||Sft|| =
= sup | (Skx, x) |. Учитывая, что у1£^С^у2£, найдем
11x11 = 1
(TftYi - 1) Е < xkC - Е < (тйу2 - 1) Е.
Подставим сюда xk = т0/( 1 + р0Л&) и .учтем, что -t0Yi = 1 — ро,
т0у2 = 1 + Ро- Тогда получим xkyx -* 1 = - р0 (1 + Xk)/( 1 + р04),
Xk\2 - 1 = Ро (1 - 4)/( 1 + РоМ- Отсюда видно, что || Sk || = тАу2 - 1
при Лй<0, II 5^ || = 1 — TftYi при Zfe>0. Если Zft<0 и k~^k0,
где k0 — наименьшее число, для которого Z&0<0, и выполняется
условие ро (1 + 2 |	|) > 1, то || Sft+11| > || Sft || > 1. Поэтому
п
ПII 5/ II >11 Sfe, |Г~*’> 1 и погрешность округления, появившаяся
/иАв
при определении r/fto, будет увеличиваться с ростом k от k0
до п. Пусть £ = Yi/Y2< 1> так что р0 = 1 - 2g + О (g2) и Xk, =
2kt - 1	.n
л<0>
,|S n Ро('+1Ч1)_ '+14,1/, 2?/j ,	' П, 0^1
'-Pol4,l	2Ч1+тччш+ст
Vs 16 А. А. Самарский
482
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[1
Предположим, что | Л.&, | > 0,5, а £<0,01. Тогда ||Sfti|| =
= 3 (1 — 6g) + О (g2) > 3 • 0,9 = 2,7 и ni|S/||>2,7'I"\
/-fei
Теорема 1 фактически выражает устойчивость схемы (2) по
начальным данным. В случае реального вычислительного про-
цесса, как показывают приведенные выше примеры, необходимо
исследовать устойчивость итерационной схемы по правой части,
а также устойчивость по начальным данным при переходе от
х0 к xh для любого k — 1,2, ..., п. Как было показано в гл. V,
§ 2, устойчивость по правой части есть следствие равномерной
устойчивости по начальным данным, т. е. устойчивости при пере-
ходе от любого Xj к любому Xk, где k > j > 0.
Требование равномерной устойчивости по начальным данным
гарантирует вычислительную устойчивость итерационной схемы.
Поясним это утверждение. В результате ошибок округления на-
ходится не решение задачи (20'), а решение хь задачи хь+1 =
=	+ Та-нФа + £i, А1>0. Чтобы оценить величину погреш-
ности вычислений xh— Xk, надо найти оценку решения задачи
zk + l — Sk + lZk + П-нФ* + Zq — Xo — -Vq	(21)
через z0, gft. Из (21) следует (см. гл. V, § 2)
k	k
zk = ?k, 0z0 + 2 XjTkt + 2 Tk,
j=l	i-1
k	k
II zk II <11 Tk, 0 Illi za II + 2 х,- II Tk, i Illi ф II + 2 II Tk, / IIII g II, (22)
/=!	/-1
k
Tk,j= П Si, Tktk = E, II ф II = max II ф/II,
i-i+i .	o^/<n
где
||? || = ГПахЦ £/ ||.
0</<n
k
Достаточно убедиться в том, что величины || Tkl 01|, 2 nil W,
k
2И*(/|| ограничены для всех k^n. Заметим, что уравнение
/-1
Со = <р устойчиво по правой части с константой 1/ух; ||v||<
<ll<Pll/Yi- Предполагая, что s= 0, получим
U„H <11 Г„,0||||г0|1 + (?„||ф||,
11	5 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 483
где
Qn ~ 2*/ II Лг, / ll=Tl II ^2-  • S„ ||+т2|| S3... S„ ||+ . . . + т„_1|| S„ 11+ Т„.
Потребуем, чтобы Qn<l/y1, т. е.
II II < qn II z0 II + II if II/vi>
и покажем, что это требование позволяет упорядочить множе-
ство параметров {т/г} таким образом, что полученный итерацион-
ный процесс будет устойчив по отношению к ошибкам округле-
ния. Опишем сначала «устойчивый набор» параметров {т^}, а за-
тем покажем, что для него Qn < 1/уь
Параметры т* будем определять по формуле
rk = -т—-—, Z>=1, 2.......п,
1+ронй’
где Цй выбирается из множества нулей полинома Чебышева:
р.ь г Ш+ = ( cos 2f ~ *- л, i=l, 2, ..., п\.
I 2п	)
Рассмотрим сначала случай, когда п есть степень числа 2:
п = 2р, р>0.
Основной принцип построения «устойчивой» последователь-
ности параметров pi, р2, •.., рп в случае, когда п кратно 4,
п = 4т, т = 1, 2, состоит в выделении групп по 4 пара-
метра (—cos р, cos р, —sin р, sin р). Этой четверке параметров
соответствует произведение (блок)
S4 (Р) = S (— р) S (р) S (— тр S (ц), p = cosp, T] = sinP,
где
S(p) = E-T(p)C, т(р) = т0/(1+рор).
Будем определять p4/+s, s= I, 2, 3, 4 по формулам
Ц4/ + 1 = — COS р/ + 1, Р4/+2 = cosp/ + 1,
Щ/+з=-sinp/+1, p4/+4 = sinp/+1,
где / = 0, 1, 2, ..., п/4—1. Последовательность {pft} задана,
если указаны п/4 параметра рр Р2, .. ., рп/4.
При построении устойчивой последовательности {рл} будем
исходить из минимального
Pi = л/(2п)
'/»16'
484
ГЛ. V11I. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
11
и рассмотрим последовательно множества из 4 = 22, 8 = 23,
16 = 24, ..., 2s и т. д. параметров {цл}- Эти множества строятся
по рекуррентным формулам
М4 (pi) = {— cos pi, cos₽b — sinpb sinpj,
M8(P.) = M4(p1)UM4(n/4-p1),
Af16(p1) = M8(p1)UM8(n/8-p1),
M2k (₽,) = M2k-, (₽,) U M2k-, (я/24"1 - ₽,),	k = 3, 4, . .., р - 1.
Множество	очевидно, содержит все множества мень-
шего индекса. Полагая п = 2Р, получаем
М2Р (₽,) =	, р, = я/(2п) = л/2р+1.
Из формул ДЛЯ	видно, что
p2i-1 + ₽2г = л/4,	1=1, 2, .... п/8.
Поэтому для задания последовательности	достаточ-
но указать лишь параметры р7- нечетного номера / = 2/— 1, все-
го п/8 чисел.
Формулируем правило для вычисления Ргл+ь При определе-
нии p2fe + l для
2г-1<£<2г
следует найти p2i+1 по формуле
Р2(-+1 = л/2‘+2-р,,
после чего воспользоваться формулами для p2s+i при
предварительно увеличив в этих формулах все индексы на одно
и то же число, равное 2i-1 (сдвиг индексов вправо на 2i-1).
Таким образом, надо находить лишь |% при k = 2’ + 1 и
пользоваться указанным только что правилом при переходе
от i к i + 1.
Проиллюстрируем это правило. Итак, задано р4. Полагая
i = l, I = 2, найдем
Р3 = Р2.+1 = л/23 - Р, = я/8 - р„ р5 = р2Ч1 = л/24 - р, = п/16 - рг
Чтобы найти р7 = р2,+3, возьмем формулу для рз и увеличим
входящие в нее индексы 3 и 1 на 22 = 4:
Р7 = п/8 - р5.
tj § 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 485
Далее, положим i = 3 и определим
Р9 = Р2-+1=л/25-Р1=л/32-Р1-
Применяя затем правило сдвига на 23 = 8, Сразу напишем
₽П = л/8 ~ Рэ, Р13 = Л/16-₽9, Р15 — Л/8 — Р13
и т. д. Если, например, п = 64, то остается лишь найти четные
p2i = л/4 — P2i—1-
Если п= 128 = 27, то нужно вычислить еще 8 параметров
p2i+1 нечетных номеров.
Имеем
Ри = Р2<+1 =	- Pi = л/64 - Р> •
Правило сдвига индексов вправо на 24= 16 дает:
Pig = л/8 — р17, р2] = л/16 — р17, Р23 = л/8 — Р21, Р25 = л/32 — р17,
Рг7 = л/8 — Р25, Р29 = л/16 — Р25, Рз1 = л/8 — Р29-
Перейдем теперь к доказательству устойчивости схемы (2)
с последовательностью M2p(pj параметров [pftj.
Множеству М2а(Р) соответствует произведение операторов
S2k (р) = S2ft_! (Р) S2ft_! (л/2*-1 - Р), k = 2, 3, ..., р,
S4 (р) = S2 (р) S2 (л/2 — р),
где S2 (Р) = S (— cos Р) S (cos р).
Нам понадобится норма произведения S2k (Р), fe=l, 2, ...
Так как S2k (Р) есть полином /^(С, р) степени 2* относительно
самосопряженного оператора С = С*, то вычисление нормы
р2НР) = ||s2ft(P)||
сводится к нахождению максимума полинома F9k (s, Р), [ур у2].
Найдем выражение для р2ь (Р). Начнем с k = l. Вводя обо-
значения р,= cos р, а(р)= 1Д1 + рор), Ь(р) = 1-р2р2 = 1/(а(-р)а(р)),
получаем
^г(«> Р) = (1-т(-p)s)(l -т(р)«) =
= а (и) а (- р) (1 + pop. - Tqs) (1 - pop, - т0«) =
= (0 “ v)2 “ РоЮДЬ W) = ^2(zi> Р).
где
А (*1> Р) = а2 (Р) (ZI - и2)> а2 (Р) = Рй/(ь (и) )• Z1 = 0 - v)2/p2-
16 А. А. Самарский
486	ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ	[1
Так как 0^| 1 — ros |^| 1 — тоу] | = | 1 — т0у21 = Ро, т0 t\ е [0, 1].
Аналогично находим F2(s, л/2 —р)=А(/р л/2—p)=p2(/j —(т))),
T) = sinp, т. е. А (А. л/2 - р) = а2 (л/2 - р) (/, - rf).
Рассмотрим теперь f2k(tk> Р) при k = 2, 3,
А (А, ₽) = A (А, ₽) А (А, л/4 - Р) = о2 (Р) о2 (л/2 - р) (А - ц2) (/, - П2) =
= а2 (Р) а2 (п/2 - Р) (/2 - + ц2т]2) = - а4 (р) (t2 - sin2 2р),
где
t2 = 4/, (1 - А)е [0, 1], о4 (р) = а2 (Р) о2 (л/2 - р)/4.
Продолжая рассуждения, найдем
А(А- Р) = А< ₽) = А(А> ₽)А(А> */4-p) = -ajp^-sinMp),
А = «2(1-/2)е[0, 1], о8(р) = о4(р)о4 (л/4 — р)/4,
А4А’ ₽) = А*-(А-р ₽)А*-1 (А-P л/2а-1 —р) =
= -a2k (Р) (^-sin^-’p),
где
a2ft(P) = ^_I(p)o2ft_1(n/2ft~1-p)/4, A = 4A-i(l-A-i)el°> 1].
Покажем, что верна формула
a2k (₽) —	k О ’ где Чт ~	, 2т •
1 - <l2k cos 2 р	1 + Р]
При fe=l имеем а2(р) = р^(1 — р§р,2). Подставим сюда р0 =
-2p./('+p?)i
,	4р?	4р?	2?9
02 (Р) = 7-------^9- =----4~~~2----= ------------•
(1 + pj — 4р2р	1 + pi — 2р2 cos 20	1 — q2 cos20
Пусть формула для a2k верна при k = k'. Покажем, что
она верна и для k = k'+\. Обозначая m = 2k, получим
_____________4рГ*_______________________________4pfnl		2д.2т
(1 + pf"1)2- 4pjm cos2 m0 1 + p*m — 2pjm (2 cos2 m0 - 1)____________1 -<72nicos 2лф ’
что и требовалось доказать.
IJ § 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 487
Учитывая затем, что
Г а2 при
max 11 — а21 = { ,	,
ie[0, 1]	I 1 - а2 при
а2 >0,5,
а2 < 0,5,
находим искомую норму
Р2И₽)<а2И₽) max | tk - sin2 2*-^| = a2k(р)хА(₽),
tk е 1°- Ч
где
( cos22ft-1p при 2*-1р^л/4,
1 sin22ft~‘P при 2*-1р>л/4.
Перейдем к оценке Q„, предполагая, что п = 2Р. Нам пона-
добится величина а2НР), определяемая по формулам
o2(P) = a2(P)sin2p, а2(р) = р2/(1-р2р2), p2 = cosp,
о4 (₽) = Ъ (₽) (л/2 - Р), о8 (р) = о4 (Р) о4 (л/4 - р), ...
..., a2ft(p) = a2ft_1(p)a2ft_i (л/2А-‘-р),	£ = 2,3,...
Отсюда и из формулы для а2ь(Р) видно, что
MP) = М₽)sin22ft-1p< 1,	£=1, 2, ..., р.
Сравнивая формулы для р2ИР) и о2ИР)> видим, что р2ь(Р)
= о2ИР), если 2й~1р>л/4.
Рассмотрим сначала выражение
Л2(Р,) = т.1| S21| + т2 = T»P°<1.+ ^.. + —lL_ =
1-р0Ц2	1 +р0Ц2
= Т0 ( 1 + ро)/&2 = ( 1 - о2 (РО )/Y!,
так как т0 = (1 — p0)/Yi-
Аналог-ично найдем
А2(л/2-р1) = ^-(1 -аг^/З-рО).
Учитывая, что 2t-1Pj^n/4 при и
получим
/ л л\ /л л \
p2*^-₽l) = a2ft(-^-₽l)-
16*
488
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[1
Поэтому для ЛДР]), Л4(Р1), ...» Л2^(Р1), ... последовательно
получим
Л4 (PiX Л2 (РО || S3S41| + тз || S41| + т4 < Л2 (ро р^-р^
+	— Pi) (1 ~ а2(Р1)) СТ2 (у — Pl) — а2 (у — Pl) ) ~
Л8 (РО < л4 (Р,) II S5S6S7S8II + т5 II S6S7S8II +
+ т6|| S7S8||+ т7|| S8II + т8 < Л4 (Pj)р4 (л/4 - Pj) +
+ Л4 (л/4 - РО < (1 - <г4 (РО) а4 (л/4 - p,)/Yl +
+ (1-а4(л/4-р1))/у1=(1-а8(Р1))/у1
и, наконец,
Л2А (Р,) < Л2ь-1 (PJ p2ft_ 1	Pl) Т Л24-1 Pl) 'С “	•
Полагая k — р, получаем
Qn - 2iT/ II1II < —-------------
/-1
Полагая теперь в (21) zo = O, 4й^0> получим ||z„||s^
п
2 II тп, /|||| С ||. Применяя развитые выше методы, можно по-
/-1
казать, что
п
“	1 - Pi УI ъ
Таким образом, для решения задачи (21) верна оценка
II II < qn II z01| + -i-1| 41| + y^-Ц C ||, e (PJ.
Приведем некоторые результаты расчета по явной схеме
с параметрами xk = т0/(1 + РоНД где {ц*} — «устойчивый» набор.
Рассматривается тот же пример:
v (хг_[) — 2v (хг) + v (хг+1) = 0, хг = 17г, i=l, 2, ..., N—\,
h = l/N, о(0)=1, о(1) = 0.
Число уравнений Af = 20, е=10-4, п = 64 = 26. В этом случае
р, = л/128, р3 = 15р,, р5 = 7рь р7 = 9рь
Рэ = 3Pl> Рц=13Р1( Р13 = 5Р1, Р15=НР1,
₽2i = 64pl-p2i_b 1=1.2, .... 8.
1|	$ 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 489
Таблица 3
k	1	4		5	6		8	9		10		16		17	18			24
Aft	39,6	4,7		7,4	3,2		1,1	6,7		3,2		0,2		3,1	1,5			0,1
k	25	26	32		33		34	48			49			50			56	
Aft	0,8	0,1	0,04		0,3		0,14	1,5- 10~3			1,3. IO-2			6,7 • 10~3			2,2- 10~*	
k	57		58			59			60				61			62		
\k	1,5 • 10~3		7,2 • 10~4			6,5- 10~4			2,1 • 10-4				1,1 • io-4			8,7 • 10~5		
Из этой таблицы виден немонотонный характер сходимости
итераций. При переходе от итерации номера k = 4/ к итерации
номера k + 1 = 4/ + 1 погрешность Ад = ||yft— г/л-dlc возрастает,
а затем, при переходе к k = 4/ + 2, 4/ + 3, 4/ + 4 величина Дд
падает.
До сих пор мы рассматривали случай, когда п есть степень 2,
п — 2р. Однако можно указать устойчивые последовательности
параметров {цд} и в случае, когда п — ]2р, где / — нечетное
число. При этом выбор параметров проводится из условия
Qn < 1/уь
Укажем без доказательства устойчивые наборы для
j = 3, 5, 7, 9, 11:
= М2т (0,) U Мт (30,), т = 2р, & =
Ж5т = M2m(₽i) U М2т (Зр,) U Мт (50,),
= М2т (₽,) U М2т (5Р,) U М2т (30,) U Мт (70,).
= М2т (0,) U М2т (70,) U М2т (50,) U М2т (30,) U Мт (90,),
Зйнл» = м2т(0,) и м2т(90,) и м2т(70,) и АМ30,) и АМ50,) (J Мт(110,)
При больших п>п(е) пользоваться только набором
где п — 2р > п, 0, = л/(2й), не всегда удобно, так как это может
приводить к значительному увеличению объема работы. Пусть,
например, оценка дает, что 140 < п(е)<^ 141. Тогда п, = 27 — 128
мало, а п2 = 28 = 256 велико. Найдем ближайшее к п число
вида j2h > п. При / = 9 и k = 4 имеем /2ft = 144 > п. Набор
2^9-2*(0i)> где 0, = л/288, устойчив и обеспечивает сходимость
итераций с заданной точностью.
490
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[2
При выборе различных комбинаций параметров следует про-
верять устойчивость получающихся схем путем оценки Qn ука-
занным выше методом*).
2. Основная теорема для стационарных схем. Схемы с по-
стоянными Вит
В y^yk +Ayk~f} k — Q, 1, .... уое=Н (23)
обычно называют стационарными. Для — у^—и получаем од-
нородное уравнение (5 )с тЛ+1 = т и операторами А, В, для ко-
торых выполнены условия (3), (4). Оно эквивалентно явной
схеме
xk + i — Sxk, S — E — xC, /г = 0, 1,..., х0 е Н (24)
с оператором С — А',г В~1 А'1г, xk = A‘'2yk, или С = В~'1гАВ~'1г,
хк = B'l2yk.
В этом случае Тп = Sn, где В — постоянный самосопряжен-
ный (так как С = С*) оператор и, следовательно,
II Тп || = || sn II = 11 Sir
Задача об отыскании inf ||7'„|| сводится к задаче об отыска-
нии нижней грани нормы оператора перехода S. Эта задача хо-
рошо известна и для конечномерного случая решена в § 1 (лем-
ма 1). В произвольном гильбертовом пространстве имеет место
аналогичная
Теорема 2. Пусть S = Е — хС и выполнены условия
С = С\ YiE<C<y2E, у,>0.
Тогда ||S||<1 при 0<т<2/у2, a inf || S|| достигается прих = х0'.
inf || Е - тС || = ||Е - т0С|| = р0,
т
где
0	У1+У2 ’ р0 14-1 ’ & ъ’
Доказательство. Так как S самосопряженный оператор,
то
|| S || = sup | (Sx, х) |,
11x11=1
*) Вопрос о вычислительной устойчивости схемы (20) исследован также
в работе В. И. Лебедева и С. А. Финогенова [1], где предложен устойчивый
набор М р (Pi) параметров {ць} и дано его обоснование методами, отличными
от изложенных выше. (Добавлено при корректуре.)
3]	§ 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 491
где
(Sx, х) = || х II2 — т (Сх, х) = 1 — т (Сх, х).
Учитывая, что уцЕ С у2Е, получаем:
1 ~ ТУ2 (Sx, X) 1 — TYi
и, следовательно,
II 51| = шах (| 1 - тYi I, I 1 - ty2 I )•
Функция f(t) = max(| 1 — TYi |, |1 — ту2|), как было пока-
зано в § 1, достигает минимума при т = т0 = 2/(yi + у2) и равна
f('to) = Po, т- е-
inf || S || = || S (т0) || = р0,
т
что и требовалось доказать.
Следствие. Для схемы (23) при оптимальном значении
параметра т = то верны оценки
bn ~ “L Polito - u||o> D = A или D = B-
Замечание 1. Теорема 2 следует
дожить п = 1. При этом т = То и
2pi	1-£
Замечание 2. Теорема 2 следует из необходимого и до-
статочного условия p-устойчивости схемы (24) (см. гл. VI, § 1):
из теоремы 1, если по-
Yi
У2
и условия ограниченности С,
У\Е < С < у2Е.
п	1 — 0	1 + Р
В самом деле, из равенств —= уь —“=у2 сразу по-
лучаем т = То и р = ро-
Для выбора оптимального итерационного параметра т = то
и вычисления min|| S|| = p0 достаточно знать постоянные у1; у2
%
эквивалентности операторов А и В (т. е. границы оператора С).
Поэтому отыскание yi и у2 при заданных А и В является основ-
ной задачей теории. В следующих двух пунктах приведены при-
меры нахождения inf ||S|| — нижней грани нормы оператора пе-
рехода для операторов специального вида.
3. Вычисление нормы оператора перехода Двухслойной
схемы с весами. Рассмотрим оператор
S = (Е + ®Л)_| (Е - ®Д), А = X* > О,
(25)
492
ГЛ. VIII, итерационные методы
(4
где co = const > 0. Это оператор перехода схемы (Е + ®Л)гл+1 =
= (Е— a>A)Zk. Требуется найти оптимальное значение со — ®0
из условия inf ||S||. Представим S в виде
S = Е - 2® А (Е + ®Л)~‘ = Е - тС,
где т = 2®, С = (Л-1 + ®Е)-1.
Найдем границы Yi и у2 оператора С или границы 1/у2 и I/yi
оператора С-1. Будем предполагать, что
Л = Л*, 6Е<Л<ДЕ, б>0.	(26)
Так как Д-1Е-С Л-16-1Е, то
(Д-1 + ®)Е<С-1 = Л"' + ®Е<(б"‘ + ®)Е,
так что
у1Е^С^у2Е, Y1 = d/(l+®6), у2 = Д/(1 + ®Д).	(27)
Воспользуемся теперь формулой т0 = 2/(Y1 + у2) или
2®o(Y. + Y2) = 2, (0o(nA_+rA-sj=iI ®02дД=1,
т. е. ®0=1/р/бД, т0 = 2/УбД. Подставляя это значение ©в (27),
находим
б	А У т]	б
у =	f у2==	'	, Т] = —,
1 +У 1)	1 + У 1)	А
t = Yi _	6 -1/^0- '-Е - 1
=	— л ~ Р° ~ , I S — I I лГ~ 
Уа ДУ т)	1 +£	14- у т]
Таким образом
Ы||5|| = Ы|(Е + ®Л)-’(^-«>Л)|| = 4^^, ® = ®о=-1=-. (28)
ш	ш	I + У ц	У 6Д
Тот же результат можно получить, если записать схему
2a+i = с оператором перехода (25) в канонической форме
В —+ Azk = °, В = Е + ®Л.
Отсюда и из (26) сразу находим
(Д-1 + о) Л < В < (б-1 + ®) Л,
т. е. yi = 6/(1+'®б), у2 = Д/(1+!®Д). Дальнейшие рассужде-
ния, приводящие к (28), остаются без изменения.
4. Неявный метод переменных направлений для случая не-
перестановочных операторов. Перейдем ко второму, более слож-
ному примеру применения теоремы 2. Пусть
Л = А[ + Л2,
4J § 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 493
где Ai и Аг — самосопряженные и неперестановочные операторы
с границами di, Ai и 62, Аг:
Аа — Аа, даЕ^Аа^ЛаЕ, ви1, 2.	(29)
Для решения уравнения (1) в этом случае применяют двух-
параметрическую схему переменных направлений
(Е + (OlAi) Ук+Чг ~ (Е ~ CO1X2) Ук + ®lf, k = 0, 1, .... 1
(Е+ а>2А2)Ук+1=(Е-а2А1)ук+чг + а>2!, Уо^Н. J
Для погрешности zh = Ук — и получим однородные уравне-
ния
(Е + ®1Л1)г*+1/2 = (£ — ®1Л2)Zk, 6 = 0, 1, ...
(Е + ®гЛг) Zfe+i = (Е — ®гА1) г^+'/2, Zo Н.
(30)
Обозначая vk = (Е + e>2A2)zk, после исключения Zk+ч,
уравнение
vk+i = ^vk> S = SiS2, k = 0, 1, ..., t>oД
с оператором перехода
S = S j S2,
Si = (£ + ®1А|)~* (Е — (о2А,), •
S2 = (£ + (о2А2)~‘ (Е - ®!А2).
Введем обозначения
61 = б[ + Со, Ai = Ai + Со, 6а = 62 — Со, Аг = Аг — Со,
Со = 02 ^2 — Aj)/(6, + 62 + А[ + А2).
Теорема 3. Пусть выполнены условия (29), где
получим
(31)
(32)
(33)
Ai>0, А2>0, 61 >0, 62>0.	(34)
Тогда для оператора перехода (32) при значениях параметров
(Од	<О0	1	1	/ОС\
®1 = —;----> ®г = ------, СОо” лГ~~,	(35)
1+<о0Со ’-®осо	V6'2^2
верна оценка
_ _ 1 - У <
1 + V
IISIKp,
1 - У Пг	,
Па
1+ V пг
А, а=1, 2, (36)
494
ГЛ. VIII. итерационные методы
[4
т. е. для итерационной схемы (30) имеет место оценка
|| (Д + ®2Л2) zn || < р" || (Е + ®2Л2) г0 II-
Доказательство. Нетрудно видеть, что из условий (34)
следует положительность величин Аа, 6а, а=1, 2. Произведем
преобразование
Ai = Ai + с0Е, Л2 = Л2 — с0Е,	(37)
так что Ai + А2 = А' + А2 = А, &'аЕ Аа^к'аЕ.
Постоянная с0 выбирается из условия
Si Ai = 62 А2.
В результате преобразования (37) оператор (32) принимает вид
S = S = SiS2, Si = (Д + ©1Д1) (Д—(Ог^Д
S2 ~ (Е + ©2Л2) (д — ©1^2),
где
= °>1 /(1 - ®ico)> ®2 = ®2/(! + ®2со)-	(38)
Для определения и со' и оценки ||S|| представим схему
t/fe+i = в виде последовательности двух схем
Ой+1 = SiOft+y2, Vk+t/2 = S2Vk,
каждую из которых запишем в каноническом виде
s;	+ в о, b'i = д + ©X
(0) + <о2
В2 —"7^—7----Ь A2Vk — О, В2 = Д + ©2^2-
®1 +®2
Параметр т = ®[ + ®2 Для обеих схем один и тот же. Учитывая,
что (1/Аа + ©а) Аа в'а ^(1/6„ 4- ©а) А'а, а =1,2, получаем не-
равенства
Yi, аВа Аа Y2, аВи,
где
4]	§ 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 495
Пользуясь формулой т (Yi + Уз) = 2, по аналогии с предыдущим
пунктом, находим
, , 1 1
®1 ®2	д/-7—z	лГ~г—7
г 61Д1	у б2Д2
i, en^ll e'lllle'll^	1 ~
(39)
1 +	1 + Учг
Ца = ба/Да, 0=1, 2.
Из (38) и (39) следуют формулы (35) для итерационных пара-
метров col и (02-
Теорема доказана.
Замечание. Теорема 3 остается справедливой, если вме-
сто 61 > 0 потребовать
б] + > 0, 6| [1 + &2 (1/Д) 3" 1/Д2)] + 62 0.
При этом возможен случай,_когда «ц <0, со2 > 0.
Пример. В квадрате G = (0^хь х2^1) рассмотрим за-
дачу Дирихле для эллиптического уравнения
L{u + L2u = — f(x), х = (х1( х2) е G,
LaU —	\ , a = 1, 2,
a дха \	' дха ) ’	’ ’
и |г = Ц (х), 0 < С\ k (х)	С2,
где Г — граница квадрата.
Пусть
®й = {xi = О’Д М) G, ia = 0, 1, . . ., N, a = 1, 2, h = 1/N}
— квадратная сетка с шагом ft, А = Ai + Д2,
Аац = (aaVx ) , аа = 0,5 (ft + ft(_|“)), а =1,2.
ха
Сформулируем разностную задачу Дирихле:
Ац = —f(x), хе=(ол, ц|?л = ц(х),
где ун — граница сетки.
Для решения этой задачи применим метод переменных на-
правлений (29'), где формально положим Аа — —Аа.
Пусть Q = H — множество сеточных функций, заданных на
a>h и равных нулю на границе уй.
Рассмотрим оператор
Av = — Ац при sgQ,
А = Аг + А2, Atv = — А.]Ц, A2v = — Л2ц при »sQ.
.496
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[4
Для погрешности Zk = Ук — V, где k — номер итерации, полу-
чаем задачу (30).
Операторы At и А2 неперестановочны и имеют границы
«ее	8СI  л Tt/l
61=63 = 6 = ^ sin2 —,
A1 = A2 = A = -^-cos2-y-)
так что
с 1 । л лЛ
Поэтому справедлива оценка (36), где
Скорость сходимости итераций равна
1п(1/р) = 4 /п + О(П), n = -Jtg24 = 0(-J-^),
число итераций при т] —* 0 есть
п (е) = о	= О (1/^-	.
Cj 2лЛ /
Обратимся снова к схеме (29'). Исключим из уравнений (30)
величину Zfe+y2:
(Е + Mi) (JE + Мг) zk+l = (Е- Mi) (Е - Мг) zk.
Запишем эту схему в каноническом виде
В Zk+1x + Azk = 0, х = + ®2,
А — At 4“ Х2, В == (Е соjА[) (Е 4- со2Х2).
(40)
Если At и А2 неперестановочны, то В не является самосо-
пряженным оператором и поэтому к (40) нельзя применить
теорему 2.
Лемма 1. Оператор (32) можно представить в виде
S — E — xC, х = (о14-®2, C = (£4-®iAi) 1 А (Е 4- со2Х2) (41)
причем С — положительно определенный оператор, удовлетво-
ряющий условиям
С>1^£-Е,	(42)
(т||Сх|р<(14-р)(Сх, х)),
(43)
5j § 2, теория итерационных двухслойных схем общего вида 497
где р дается формулой (36), т = «ц + <в2, coi и со2 определяются
согласно (35).
Доказательство. Первое утверждение леммы доказы-
вается непосредственным вычислением. Докажем второе утвер-
ждение. Согласно теореме 3, ||Sx||2 р21И12 для любого х е Н,
т. е.
||(£ — тС)х(j2 = ||хII2 — 2т(Сх, х) + т2||СхЦ2<р2||x|f. (44)
Отсюда получаем
0> т2|| Сх II2 - 2т (Сх, х) + (1 -р2)||х2||>
>т2||Сх|р — 2т|| Сх Uli х || + (1 - р2)|) x|f.
Решая неравенство
£2-2£ + (1-р2)<0, £ = т||Сх||/||х||,
получаем 1 — р^С |	1 + р, или
^llxlKIICxIK-^-Hxll.
Отсюда и из (44) следуют неравенства (42), (43).
Замечание. Если At и А2 перестановочны, то В =
= (Е + СО1Л1) (£ + со2Л2)—самосопряженный оператор и из
оценки ||S||<p следует
т	т
где р и т = со 1 + <и2 даются теоремой 2.
Таким образом, нам в этом случае известны постоянные эк-
вивалентности операторов А и В:
Yi = (1 -р)/т, V2 = (l + р)/т.
5. Факторизованные итерационные схемы. Оператор В в
итерационной схеме 'естественно выбирать в некотором допу-
стимом семействе операторов так, чтобы 1) отношение g = Y1/V2
было максимальным (ро — минимальным), 2) В был экономич-
ным оператором (число действий Q(e) минимально в некотором
смысле, например, по порядку относительно | при £->0). При
построении В обычно исходят из некоторого оператора R =
= /?* > О (регуляризатора, ср. гл. VII, § 2), энергетически экви-
валентного А и В\
ctR < А < c2R, c2^Cj> 0,	(45)
Т1В<Ж?2Я> V2>Vi>0.	(46)
Тогда справедливы неравенства
ytB^A^Y2B	(47J
498
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
(5
С ПОСТОЯННЫМИ
Yi = C1Y1, Y2 = c2Y2-	(48)
Зная yi и у2, можно пользоваться теоремой 2.
Оператор R выбирается обычно как регуляризатор для не-
стационарной задачи (задачи Коши) с тем же оператором А.
Примеры выбора R демонстрировались в предыдущей главе.
Свойством экономичности обладает факторизованный опера-
тор В = BiB2, где Bi и В2— экономичные операторы.
Предположим, что самосопряженный оператор R можно
представить в виде суммы
R = R1 + R2.
Рассмотрим два случая:
1) Ri и R2 неперестановочны, но сопряжены друг другу (тре-
угольные операторы) :
Ri = R\,
так что
(RiX, х) = (R2x, х) = 0,5 (Rx, х).
2) Ri и R2 самосопряженные и перестановочные операторы
(RiR2 = R2R1) •
Каждый случай исследуем отдельно. Рассмотрим сначала
факторизованный оператор с треугольными операторами Pi
и R2:
В = (Е + ®Е,) (Е + юР2), где R2 = R*h	(49)
со > 0 — параметр. Очевидно, что В = В*.
Так как постоянные щ и с2 обычно определяются при выборе
регуляризатора R, то основной задачей является определение
постоянных эквивалентности В и R, т. е. Yi и Y2-
Будем предполагать, что оператор R, удовлетворяющий ус-
ловиям (45), выбран и
R = Pi + R2, R2 = Ri,
Д	(50)
R^dE, б > 0, || R2x II2 < -j (Rx, x) для всех x e H.
Нетрудно заметить, что Д> ||Р||.
Лемма 2. При любых и > 0 и любых R > 0 справедливо
операторное неравенство
B^2aR.	(51)
В самом деле (Вх, х) = ((Е + ®Р1)(Е + ®Р2) х, х) =|| (Е + ®р2) х II2=
=II (Е - ®Я2) х |г + 4® (R2x, х)=|| (Е - ®Р2) х II2+2® (Rx, х)>2® (Rx, х)
9,ла любого х^Н.
5]	§ 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 499
Оценка (51) принадлежит Е. С. Николаеву.
Лемма 3. Пусть справедливы условия (50). Тогда выпол-
няется операторное неравенство
+ со + (о2Д/4)я.	(52)
Действительно, (Вх, х)=((В + ®7?1)(В + ®7?2)х, х)=|| х |р + ю(7?х, х) +
+ со2 (RiR2x, х) =|| х Ц2+ш (7?х, х) + ®21|/?2х|Р<(б-1 + © + ®2 Д/4)(7?х, х).
Из (51) и (52) следует, что выполнены неравенства (46) с
°	б	°	1
Y1 = 1 + шб + и2Дб/4 ’ Y2 =	*	(53)
Параметр <и выберем из условия максимума отношения
f (m\ = Yi № - 2сйб
у2(®)	1 + юб + 0)2 Дд/4 '
Вычислим производную
frr X п« 1 — со2б Д/4
' > ~ 20 (1 + иб + со2 Дб/4)2 •
Отсюда видно, что максимум f(®) достигается при
® = ®0 = 2/|/бД, нли ®0 = 2 |/т]/б, т] = б/Д, (54)
так как f" (®0) < 0.
Найдем значение f(®) при ® = ®0:
у2 1 + м Y2 с2 1 + V Г]
Подставляя ®0 = 2/ |/бД в (53), определим
°	б	° б	бС1	бс2 /ее,
Y1~ 2(1+0) ’ Y2“ 40 ’ Y1“ 2(1+0) ’ Y2~4O‘ (55)
Пусть c1 = c2=l, T- e- A = R. Тогда
Для числа итераций при г] —> 0 получаем следующую оценку
«(е) = 0(тЧ7='1п(1/е)
Таким образом, доказана
Теорема 4. Если выполнены условия (50), то итерацион-
ная схема (2) с А = R и факторизованным оператором
500
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
15
В = (Е +’wo/?i) (Е + (00Л2). ®о = 2/|/бА « т = то сходится в НА,
и Нв, так что
II Уп - «Но < Pn II Уо ~ « U D = A или D = B,
где р вычисляется по формуле (56). Для числа итераций п(е)
при и -* 0 имеет место оценка п (в) = О (—l-~r In (1 /е)).
\4У п /
Пример. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лап-
ласа в единичном квадрате. Оператор А равен
А = R = — Л, Ау = y^Xi + уХгХг, hl = h2 = h.
На сетке иЛ = {(«1/г, i2h), ц, z2 = 0, 1, .... N] введем скалярное
произведение и норму
(У, ») = 2 2 yt^Vi^h2, IIУ 11= V(y, у}
iiel 12=1
и определим операторы

Пусть Н = Q — пространство сеточных функций, заданных на
йл и равных нулю на границе Операторы /?1 и R2 сопряжены
в Н друг другу, так как (у*а, о) = — (у, а= 1, 2, и R\ + R2=A.
Следовательно, (R\y, у) = (R%y, у) = 0,5(Ry, у). Вычислим по-
стоянные 6 и А, входящие в условия (50). Так как R = —Л, то
нижняя грань 6 есть наименьшее собственное значение,'б =
= 8h~2 sin2 (л/г/2). Далее,
так как
2	2
(Ry, y)=2(i,^]a=2[i, у2Л
а=1 \ aJ« а=1 I а/
(см. гл. IV). Таким образом, А = 8/h2. Зная б и А, находим
®о= • 7=^ =------------— > VЛ = ~\f 4" = s’n (лЛ/2),
° Кед 4 sin2 (лЛ/2) r 1 У Д v / />
т. е. мы получаем ту же асимптотическую оценку для числа ите-
ращий, что и в случае неявного метода переменных направле-
ний (п. 4).
6]	§ 2. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ ОБЩЕГО ВИДА 501
Определение новых итераций из уравнения В\В2у = F сво-
дится к последовательному решению «одномерных» уравнений
вида Bav = (fa, Ва = Е + etoRa- Заметим, что использование
«треугольных» операторов Ri и R2 позволяет получать явные
формулы (формулы бегущего счета) для определения V. В са-
мом деле, уравнение
(£' + й0/?1)о = ф1, 7?^ = -^- + -^-
112
имеет вид
/'1+4+4Ь=^-и("11)+^-и(_12' + Фь
\ A? h22) h\	h\	1
откуда находим
®0/гГ2о<_1') + ®0/г2"2°,_1!) + (Р1	/с_,
О =---:-------35-----.	(57)
1 +0^! +и0/г2 2
Выбираем левый нижний угол области и берем пограничный
узел, такой, что х(-1|) и х<-1г) лежат на границе сетки уд и, сле-
довательно, ц<-1') и 0(-ь) известны. По формуле (57) опреде-
ляем v и дальше движемся либо по строкам, либо по столбцам.
Аналогично убеждаемся, что из уравнения
(£ + и0Т?2) v = ф2
значение у = у(х) выражается через д(+1>) и у(+1!>. Поэтому
счет надо начинать с правого верхнего угла.
6. Факторизованный оператор В с перестановочными опера-
торами Ri и R2. Пусть R = Ri -I- R2, где Ri и R2 удовлетворяют
тем же требованиям, что и операторы Ai и А2 в п. 4. Перечис-
лим эти требования (см. теорему 3):
Ra — Ra, бц/? Ra AaR, d — 1, 2, |	(58)
Aj>0, A2>0, 6,>0, 62>0. J	(
Кроме того, мы предполагаем, что операторы Ri и R2 пере-
становочны:
RiR2~R2Ri-	(59)
Рассмотрим схему (23) с факторизованным оператором
В = (Е + WjRj) (Е + ©2^2),	(60)
где ал и иг—вещественные параметры. Предполагается, что А
и R связаны неравенствами
(61)
502	гл. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ	[S
Наша задача — определить постоянные yj и у2:
y2>Yi>0.	(62)
Для этого надо использовать результаты п. 4, где рассматри-
валась задача
(Е +	+ а>2/?2)	+ Rzk = 0, k = 0, 1, ...» z0e/7(63)
(схема (40) c Aa = Ra). Оператор перехода для этой схемы
представим в виде (32) (с заменой Аа на Ra). Так как Ri и Rz
самосопряжены и перестановочны, то В — самосопряженный
оператор.
Используем теорему 3 для вычисления постоянных yj н у2
эквивалентности операторов В и R. Учитывая перестановочность
операторов R\ и /?2, схему (63) можно записать в виде
zk+i ~ SiSzZk, k = 0, 1, S = S[S2,
Sl — (E + И]/?])-1 (Е — a2Rt), S2 = (Е + <a2R2)~1 (Е — w,/?2).
Из (58), в силу теоремы 3, следует оценка ||S||-<p при о)Ь со2,
ио, выбранных согласно (35), эквивалентная неравенству
yiB^R^y2B,
где Yi =(1 — ^)/т, у2 = (1 + р)/т, т = и1 + ®2, р определяется по
формуле (36). Так как константы yi и у2 вычислены, то к Схеме
(63) можно применить теорему 2. Тем самым доказана
Теорема 5. Пусть выполнены условия (58), (59), (45).
Тогда итерационная схема (23) с факторизованным оператором
(60) при оптимальных значениях wi и ®2, определяемых по фор-
мулам (35), сходится со скоростью 1п(1/р0), так что
кп-«Ио<роко-и|ц> D = A или D=B>
где
Ро = 4т?Ь ^“уГ’ Yi=CiYi, Y2 = C2Y2>
° = _LzJL ’ - » + Р
Y‘=<o1+<o2’	<о1+о)2’
р дается формулой (36), а параметр т = то = ®i'+'w2 опреде-
ляется, в соответствии с теоремой 2, по формуле т = 2/ (у! + у2).
Замечание. Так же, как и в теореме 3, вместо условия
61 > 0 можно потребовать
б; + б2> U ^2 (1/^1 + 1/Д2)] + б2 0.
1)
$ 3. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
503
Пример 1. Рассмотрим тот случай, когда регуляризатор R
совпадает с оператором А = А\ + Аг, так что С] = сг = 1, а опе-
раторы Ai и Аг имеют совпадающие границы:
61 — 62 = 6, А, = Д2 — А-
Тогда
и скорость сходимости итерации (ср. с п. 5)
1п(1/р0) = 4 /г]+ О(г]).
Пример 2. Рассмотрим случай, когда Т? = Л=Л1 + Д2,
т. е. Ci = C2=l, а одно из чисел 6а равно нулю, например,
61 = 0, 62 = б > 0, А] = Аг = А («смешанная» задача). Тогда
б ,г	1+Чл 26 (1 +п) .г_________2d
С°~ 2 + ц ’ fil ~С°’ °2	2 + ц °’	— -И (2 + ц) ’	Г](2 + Ч) ’
Вычисления дают
,	6] т) ,	п(1+ч)
Л1 ~	” 2 (т) 4-1) ’ Т12'~	2	’
l-/i)2
Ро — Р —	, г—. •	г--. •
1 + КП] 1 + V 42
Скорость СХОДИМОСТИ
1п(1/р0) = 2 /2г] + О (Т)).
Сравнение с примером 1 показывает, что число итераций
в случае смешанной задачи примерно в 1,5 раза больше.
§ 3. Итерационные двухслойные схемы
для несамосопряженных уравнений*)
1. Метод переменных направлений в случае несамосопря-
женных операторов. Пусть дано уравнение
(^1 + A) u~f>
где А[ и Аг несамосопряженные операторы,
Аа^ЪаЕ, ба>0, а= 1, 2,
1	(I1
II АаХ |р < Аа (Аах, х) или Аа ;>-т— Е, Аа> 0.	'
♦) См. А. А. Самарский [24]—[28].
504
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
И
Для решения уравнения рассмотрим схему переменных направ-
лений (29') из § 2, п. 4 с параметрами wi = со2 =
Для погрешности zh+i, точнее, для — (Е + озЛ2)zft+1 по-
лучим уравнение (31) из § 2 с оператором (32) из § 2. При пе-
реходе от (30) из § 2 к (31), (32) из § 2 не требуется ни пере-
становочности Ai и А2, ни их самосопряженности (предполагает-
ся лишь разрешимость задачи, т. е. существование операторов
(Е + W1/41)~', (Е + о)2/4г)-1).
Рассмотрим оператор перехода S = S[S2,
S, = (Е + о)^)-1 (Е — <0т4j), S2 = (Е + иЛ2)- 1 (Е — иД2).
Лемма 1. Пусть Аа — несамосопряженный оператор и вы-
полнены условия (1). Тогда при любом со > 0 справедлива
оценка
где ха = , л  .	(2)
11 “11	1 + %а	“	1 + И26ада
Док азательство. Вычислим ||(Е + соЛа) z||2 —||(Е — соЛа) z||2 =
= 4о)(Лаг, z),
|| (Е + соЛа) г |р = || г ||2 + 2со (Даг, г) + со21| Aaz |р.
Используя условия (1), имеем
II (Е + 0)Да) Z |р < (ба 1 + 2о) + Дай2) (AaZ, z),
|| (£ - 0) А а) г IP = II (£ + и А а) z |р - 4со (Aaz, z) < И + <^a) г |р.
1 Т ЛД
Обозначая (Е + co/4a)z = v, получим
. II Saa|P<4^4 о IP,
1	-t- xa
что и дает оценку (2).
Таким образом
II	5|р<|| S, IP|| S2lP<-r~T^r-
1 Т л] 1 "г Л2
Нетрудно заметить, что функция ха = ха(и) достигает макси-
мума при о)=1/]/баДа.
Итак, имеет место оценка
Il z и < o'* II zn II о = (1 т-Кр? . -L~X~*i» \11 л =Al
l|Z„||(2)<p ||Z0||(2), Р	да ’
если б1Д1 = б2Д2 и и = l/j/djA] = 1/|/б2Д2, где ||г||(2) = ||г-|-соЛ2г||.
Пусть 61 = б2 = 6, Д1 = Д2 = Д. Тогда р — 1	, т] = б/Д.
_ 1 + V П
Скорость сходимости итераций 1п(1/р) ==2 |/т]+О(т]), как пока-
зывает сравнение с п. п. 3, 4 § 2, в 2 раза меньше, чем в случае
2|	§ 3. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ	505
самосопряженных Ai и Аг. Однако есть основания предполагать,
что этот вывод — результат грубой оценки для ||S|| при Аа=£
Аа. Фактически скорость сходимости выше.
Тот случай, когда Ai и Аг— сопряженные операторы,
Л2 = Ль был нами уже рассмотрен в п. 5 § 2. При этом оказа-
лось, что скорость сходимости итераций In (1/р) = 4 ц + О(т]).
2.	Случай несамосопряженного оператора перехода. Рас-
смотрим теперь уравнение
Au = f,	(3)
где А — положительно определенный несамосопряженный
(A =h А*) линейный оператор, заданный на вещественном гиль-
бертовом пространстве Н.
Для решения уравнения (3) будем пользоваться двухслой-
ной итерационной схемой (2) из § 2 с самосопряженным поло-
жительно определенным оператором В. Выше было показано,
что неявная схема (2) из § 2 эквивалентна явной схеме
—~ + Cxk — <p, k = Q, 1, 2, ..., х0 = В'Ьуо е Н
при xh = B'tyh, С = В-'^АВ-ч*, ф = B~'^f. Эта схема, очевидно,
соответствует уравнению Си = <р, где v = B'lm, <р =
Для оценки скорости сходимости итераций рассмотрим одно-
родное уравнение с произвольным х0 е Н:
xk+l = Sxk, k = Ci, 1.. S = E — xC.	(4)
Из предыдущего ясно, что достаточно ограничиться изучением
явной схемы, получить для нее оценку ||S|| и выбрать т из усло-
вия минимума ||S||.
Рассмотрим сначала случай, когда заданы нижние грани
операторов С и С-1:
С^у{Е или (Сх, х) > у! || х Ip, Yi>0,	(5)
C"‘>-J-E или ||Сх|р<у2(Сх, х), у2>0,	(6)
Y2
хе Я —любой элемент.
Предполагая, что 2 —ту2>0, получаем
|| Sx|p = ||x —тСх|р = |[х|р —2т(Сх, х) + т21| Сх |р <
< || х |р — 2т (Сх, х) + т2у2 (Сх, х) = || х |р - т (2 — ту2) (Сх, х) <
<[1 - т(2 — ту2) у1]||х|р = (1 - 2ту[ + т2У1У2)||х|р.
Выбирая т из условия минимума трехчлена, т = 1/у2, находим
l|Sx|p<(l-y1/v2)||x|p.
506
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ. МЕТОДЫ
13
Таким образом, если для несамосопряженного оператора С
выполнены условия (5), (6), то справедлива оценка
IISIK/1- g, £ = Yi/y2 при т = 1/у2.	(7)
Улучшить эту оценку путем выбора т не удается.
3.	Оценка ||S|| при увеличении объема информации. Объем
информации относительно оператора С (А и В) может быть
увеличен заданием трех чисел yi, у2, Уз вместо двух yi, у2. При
этом оценка для ||S|| улучшается и переходит в оценку для ||S||
при С = С*. Приближенное решение этой задачи было получено
Ганом [2].
Здесь дается точное решение задачи о минимуме ||S|| (см.
А. А. Самарский [25]).
Представим С в виде суммы двух операторов, симметричного
Со и кососимметричного Сц
С = Со + С„ Со = 0,5 (С + С*), С, = 0,5 (С-С’),	(8)
где С* — сопряженный к С оператор, так что (Сх, у) = (х, С*у).
Обратимся к уравнению (4):
xk+l = (Е — хС0 - tCJ xk = (ОС - тС0) xk + ((1 - 0) Е - tCJ xk, (9)
где 0 < 0 < 1 — произвольное число.
Предположим, что С удовлетворяет условиям
YiC<C0<y2C, НСПКТз,	(Ю)
где у2 > yi > 0 и уз^>0 — заданные числа.
Перейдем к оценке решения уравнения (4):
|| xk+11| < 01Е -1 Со||| хА || +1| (1 - 0) Е - тС, || || xk ||.	(11)
Наша задача — выбрать параметры т и 0 так, чтобы норма
||S|| = ||С — т(С0 + С])|| была минимальной. Так как Со само-
сопряженный оператор с границами yj и у2, то, согласно тео-
реме 2 из § 2,
"Р" £-’»•	<12>
т = то0, То = 2/(у] + у2).	(13)
Рассмотрим второе слагаемое в правой части неравенства (11):
||(1-е)х-тС,х|Р = (1-6)2||х|р-2т(1 -0)(С,х, х) 4- т21| С,х |р =
= (1 - е)2 и х |р + т21| с ,х II2 < ((1 - е)2 + т2е2у2) || х if,
так как (CjX, х) = 0.
31
§ 3. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
507
Итак, мы имеем
I|XA+I || <||S Illi II,	(14)
l|S||<f(0), f(0) = 0po + V"(l — 0)2 + 02a2, a2 = T2yg. (15)
Найдем теперь минимум функции f(0). Вычислим производную
г, .	_	1 — 0 — а26	_	_ a — а2	_ 1 — 9
Г ( ) ~ РО “ /(1_0)2 + а’202- “ Р°	/а2 + а2 ’ “ “ 0
Условие f' (0) = 0 дает
Ро V"a2 + а2 — а — а2.
Отсюда получаем квадратное уравнение для а:
(1 - р2) а2 - 2а2а + а2 (а2 - pg) = 0
и решаем его:
а + Ро V1 - Ро + °2
х2 _ (l-Po)x2
— X2 1 — X2
(второй корень непригоден, так как он может быть отрицатель-
ным при некоторых значениях параметров а и р0). Введем обо-
значение к = Уз/У^Уг + Уз, так что
, X2	„2	9 2	4Y1Y2
Уз~ 1 — х2 YiY2> а ToY3- (Y1+Y2)2 * i
а2 _ 1 - pg
х2 ~ 1 _Х2 •
Преобразуем подкоренное выражение 1 — pg + a2 = 1 — pg +
x2(l-pg)	1 — Ро	«2
+ —. -„2 =ТТГ^2- = -^2-> Откуда получим
1 Л	1 Л>	Л
_ а2(х + р0) _ х(х + р0)	. 1+хро
“	x(l-pg)	1-х2	’	1-х2	’
0	:	1	1-х2
1	+ a	1 +хр0	’
1	1	2 । ф_^2
Найдем теперь f (0) =т^-~ Ро +	/а2 + а2 = Р° +°g) р° . Учи-
тывая, что pg + a — а2 = (1 + а) — (1 -pg + а2) = 1 + а= ‘,^2°-
1 - Ро Ро + х
_ -1_-2	> получаем
II 5||<
х 4~ ро
1 + хро
1 ™*
п₽и т=тогг^г
508
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Р
Таким образом доказана
Теорема 1. Пусть С = C0+Ci,C0 = 0,5(С+С”), Ci =0,5(С —С*)
и выполнены условия (10):
Y1£<C0<Y2£', Y2>Yi>0, IIC1IKY3, Y3>0.
Тогда при т = т, где
т = т0(1-х2)/(1+хр0), x = Y3//Y1Y2 + Yl,
Tq = 2/(Yi + Y2X Ро ~ (1 ~ £)/G + £)> ? = Y1/Y2>
для нормы оператора перехода схемы (4) верна оценка
|| S|| = ||E-тС ||<р, р = [(р0 + х)/(1 + хр0)]<1.	(17)
Замечание. Пусть С задан в комплексном гильбертовом
пространстве Н, С = Сй + 1СХ, Со = 0,5 (С + €’), Cj =-^(С — С*),
^.Сй^.у2Е, || С, ||	Y3- Тогда теорема 1 сохраняет силу.
Теорема 2. Пусть Л = Л0 + Л1, В = В"^$Е, р > 0,
у^В^А^у^В, (В~ХА\У, А^^ЦВу, у),	(18)
где Ао = 0,5 (Л + А"), А\ = 0,5 (Л — Л*), у2 > Yi > 0, Уз^О — задан-
ные числа. Тогда при т = т для неявной схемы (2) из § 2 верны
оценки
II уп ~ П||в < рп|| Уо - и Нв, ||г/п+1 - г/п11в<рп11г/1 -г/оНв-
Для практического использования этой теоремы полезна
Лемма 2. Пусть R — R*> 0, В = В’>р£, Р> 0, А = Ло + Л1(
Ло = Ло> 0; Л, В, R заданы на Н, у^В R у2В, ctR Ло ^c2R,
(Ц~'А1У, Aiy)^.cl(Ry, у) для всех у^Н.
Тогда выполнены условия (18) с постоянными
Yi=ciYi> Y2 = C2Y2, Y3 = C3Y2 (с2 > <?! > 0, с3 > 0).
Найденные здесь априорные оценки позволяют получить
оценку числа итераций, достаточного для нахождения по схеме
(2) из § 2 приближенного решения задачи Au = f с заданной
точностью е>0. При практическом применении теории надо вы-
брать оператор В и вычислить эти постоянные. В качестве В
можно взять один из изученных ранее факторизованных опе-
раторов
В = (Е + ш/?1)(Е + Ю/?2),	=
В = (Е + aiRi)(E + сй2/?2), R2R1 = R1R2, 7?а = /?«>0.
§ 3. НЁСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
509
<1
4. Неявный метод наискорейшего спуска и метод минималь-
ных поправок. Двухслойную итерационную схему
+Л^ = /, 6 = 0,1,...	(19)
T*+i
можно трактовать как метод поправок
Z/*+i = Ук-Ч+1^к,	(20)
где wk = B~lrk — поправка, rh = Ayh— f — невязка для 6-ой ите-
рации. Порядок счета: вычисляется невязка Гк = Ау^ — ] по из-
вестной 6-ой итерации yh, затем из уравнения
Bwk=rk	(21)
находится поправка wh, подставляя которую в (20), определяем
(6 + 1)-ю итерацию yh+i. При этом возникает вопрос о выборе
Tft+i. Ранее мы имели дело с двумя формулами
Tfe = -г--Т°—,	/ cos -f ~ , l^z^nk 1<6<п
1 + PoHfe	I 2n ’	J '
(см. § 2, п. 1), или
Tfe = To = 2/(Yi + y2),
где po = (у2 — Yi)/(Y2 + Yi)> Yi и Y2 — постоянные эквивалентно-
сти операторов А и В:
У]В<Л<у2В.
В случае несамосопряженного оператора А мы получили
два типа оценок для скорости сходимости итераций и два типа
формул для т в зависимости от объема информации (даны уь
Y2 или yi. Y2. Уз)-
Может оказаться, что постоянные уь Y2 (и уз) во всех ранее
рассмотренных случаях либо априори неизвестны, либо вычис-
ляются слишком грубо. Тогда целесообразно пользоваться для
вычисления параметров ть+i формулой метода скорейшего спу-
ска для неявной схемы
гк+1 = (^к, rk)/(Awk, wk)	(22)
или формулой метода минимальных поправок
т*+1 = (Awn, Wk)l(B~lAwk, Awk)	(23)
(при В = Е — метод минимальных невязок; М. А. Красносель-
ский, С. Г. Крейн [1]).
Дадим вывод формулы (23). Пусть А — несамосопряженный
положительно определенный оператор, В — самосопряженный
положительно определенный оператор на гильбертовом про-
странстве Н. Исходное уравнение (3) заменим эквивалентным
уравнением
Cv = <p, где С = В~'1гАВ~\ v = B'l,u, q = B~'!,f.
510
ГЛ, VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
14
Это уравнение будем решать методом минимальных невязок
по формуле
Vt+i = vk - rk = Cv-	(24)
где
т - &AL	/0^
Tft+1 ll^fell2 '
Переход от (24) к (21) осуществляется при помощи подстановок
vk = B\k, ~rk = Cvk - <p =	(AB~’4 -f) = ZT'A (Ayk -f)=B~\k,
где rh = Ayk — f- Действуя затем на (24) оператором В-1'2, по-
лучим (20). Подставив в (25)
(Crk, гк)~(В~'1гАВ~1г11, B~\k) = {Awk, wk),
\\Cfk\^ = {B~'l2AB~lrk, B-'l2AB-xrk) = {B~lAwk, Awk),
получаем формулу (23). Более просто формулу (23) можно по-
лучить из условия ортогональности Awh и где
= wk - xk+}B~lAwk,
или из условия минимума || wk+I ф
II wk+i ||д = (Bwk, Wk) - 2rk+i (Awk, Wk) + 4+I (B~'Awk, Awk).
Дифференцируя это выражение по ts+i, находим (23) из
условия равенства нулю производной.
Сходимость метода наискорейшего спуска (см. Л. В. Канто-
рович [1]) и метода минимальных невязок (см. М. А. Красно-
сельский, С. Г. Крейн [1]) доказана для случая В = Е, yiE <
^.А^.у2Е, где А — самосопряженный оператор.
При выводе формулы для ть+1 в методе минимальных по-
правок нигде не используется предположение о самосопряжен-
ности оператора А.
Докажем сходимость метода минимальных поправок, пред-
полагая, что А — несамосопряженный оператор. Напишем урав-
нение для невязок, полагая А = С, В = Е, т. е.
rk+i =гк-хк+1Сгк.
Нам понадобится следующая основная
Лемма 3. Пусть С — несамосопряженный оператор с гра-
ницами у2 > 0 и yi > 0:
у^С^Ё,	(26)
и пусть существуют числа т* > 0 и р* е (0,1), удовлетворяющие
условию
Yj\<1 -p^Y2\	(27)
4]
§ 3. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
511
и такие, что справедлива оценка
||£-т,С||<р,< 1.	(28)
Тогда имеет место неравенство
(Сх, х)2 > (1 — р2) || Сх ||21| х ||2 для всех хе Н. (29)
Доказательство. По условию
|| (£ - т.С) х ||2 = || х II2 - 2т. (Сх, х) + т21| Сх II2 < р21| х ||2
для всех хе Я.
Отсюда находим
2
|| Сх |р — (Сх, х) —
1-р2	.2 _ (Сх, х)2 / 2II х II2
т2	Tjlxll2 k(Cx, х)
i-p! IIх II4 А
т. (Сх, х)2 /
или
(30)
1 — р2	II X ||2
<р(а) = 2а--^а2, а =
По условию у-’^а^у'1. Вычислим
(	1-р2	\
<р'(а) = 2 11----->
2(1 - р )
Ф"(а) = - -4-^
Пусть максимум достигается
<р' (а) = 0 при а = а0,
внутри
отрезка [у^1, у~’], т. е.
а0 =
1-р2 ’
так что
/	1-р2	’
ф(а0)=а0 2-------- ао
\	t	4
1 - р2 аэ’
г*
Подставляя это значение
цсх|р< z.(CV,)2„2-
в (30), получаем
или (Сх, х)2
что и требовалось доказать.
Нетрудно убедиться, что и при afl = yfI или а0 = у^’ лемма
сохраняет силу.
512
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Теорема 3. Пусть С — несамосопряженный оператор,
С: Н->Н, и выполнены условия
урЕ < С < у2Е, Y2 > Yi > 0>
НС, ||<Y3,
С^ОЯС-С’), Y3>0-
Тогда метод минимальных невязок
Ук+1~ Ук~ xk+irk> rk = Cyk-f, хк+1==(Сгк,гк)/\\Сгк[?
сходится со скоростью In (1/р), где
Уз
5- Р° + *	0_V12lVi_ v	_
i+zpo’ р0 y2 + v, ’	]/у,у2 + у32 ’
так что справедлива оценка
\\Cyk-f\\<pk\\Cy()-f\\.
Доказательство. Будем исходить из уравнения для
невязки rk+{ =rk — xk+1Crk. Вычислим квадрат нормы rk+1:
h+i II2=IMi2 - ад (c^> rk) + II ад =
— || <• IP (Crfe>rfe)2_/1 (Cffe>ffe)2 \|,f ,p
" над V адиадГ ftir'
Условия (27) и (28) (см. теорему 1) выполнены при т, = т =
= т0/(1 + хр0), р, = р. Поэтому верна оценка (29), пользуясь ко-
торой получаем
IRft+1 |Р<(1 - (1 - p2))||rft IP = p2||r* Ip.
Если оператор С самосопряжен, то х = 0, р = р0 и мы по-
лучаем оценку
Такая оценка была получена М. А. Красносельским и С. Г. Крей-
ном [1].
Покажем, как, опираясь на лемму 3, оценить сходимость
метода наискорейшего спуска. Все делается сначала для явных
схем
Ук+i =Ук~ Ч+fk, rk = Сук - f,
С = С’>0>	Yi>0.
Введем обозначение гк = С~'!ггк. Тогда для гк получим уравне-
ние
?t+l =Гк-Хк+1Сгк.
5]
§ 3. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
513
Формула для гй+1 примет вид
г
ft+I II c?k |р •
После этого повторяются рассуждения, приводящие к дока-
зательству теоремы 3. В результате получаем оценку
h+.i^poNi2-
II rk IP = (C"’rft, r J = (C-’C(yk - «), C (yk - «)) = II ук - и |pc.
Таким образом для метода наискорейшего спуска верна та же
оценка
k-«|c<Poko-«k
что и для явной схемы с постоянным Т = то-
Следствия. 1. Для неявного метода минимальных попра-
вок (20), (23) верна оценка
\\ Ayk —f \\B-t^pk\\ Ау0 —f А^А\ В=В*.
2. Для неявной схемы скорейшего спуска имеем
А~А'- в-в’-
5. Двухступенчатый метод. Рассмотрим уравнение
Uk+l — Uk~ xk + \wk-
Для поправки wk получаем уравнение
Bwk = rk, rk = Ayk-f.	(31)
Оператор В задается либо конструктивно, в явном виде (на-
пример, В есть факторизованный оператор
В = (Е + со/?1) (Е + С0/?2), /?2 = /?Ь
или
В = (Е + С0.1/?1) (Е + &2R2), Ra = /?а>0, R1R2 = R2R1),
либо строится в результате некоторого вычислительного процес-
са. Это имеет место для одного из вариантов метода поправок —
двухступенчатого метода или метода составных итераций. Он
состоит в следующем. Пусть оператор R = R* > 0 эквивалентен
оператору Л > 0 с постоянными Ci и С2-
CiR^A^c2R	(32)
и выполнена одна из групп условий (18), (5), (6) при АфА*
или условия (32) при А = А*.
Для вычисления поправок wh уравнение
=	/* = Ayk — f . .	(33)
514
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
(5
решается либо прямым (дающим точное решение) методом (то-
гда В = R), либо при помощи некоторого итерационного метода
(метода внутренних итераций) с начальным условием
ю<°> = 0.
Итак, пусть дан некоторый метод внутренних итераций.
Пусть Тт— разрешающий оператор этого метода, так что
щДт)—w = Тт(0 — w) или ш(т> = (Е—Tm)w, где	—'итера-
ция номера т, w — точное решение уравнения (33).
Если выполнены условия
II Тт || q < 1, Тт~Тт,
то в силу самосопряженности Тт будем иметь:
-qE^Tm <qE, (1 - q) Е С Е - Т,п<(1 + q) Е,
Подставляя w = (Е — Тт)~' ю(т) в (33) и полагая wh = w(m>,
получаем
Bwk = rk или wk = B~'!rk,
где
B = R(E — Tm)~1.
Если Тт и R перестановочны (TmR = RTm), то легко нахо-
дятся постоянные Yj и у2 эквивалентности В и R = (Е — Тт)В.
В самом деле,
(1 — q)(Bx, x)^.(Rx, х) = ((Е — Тт) В'1гх, В'1гх) ^(1 + q)(Bx, х),
т. е. Yi = 1 - q, у2 = 1 + q.
Требование перестановочности Тт и R является весьма силь-
ным. От него можно освободиться, если условие окончания ите-
раций взять в форме
|| ш(т) _ w ||д q < 1 или (£> (ш(т) _ ш(т) _ до) q\
Предположим, что для отыскания применяется неявная
двухслойная схема
+ 0_
Dt-----------|-RwW = гк, w(0) = 0, i = 0, 1, т— 1,
<4 + 1
где I — номер итерации, 01, 02, ..., 0т— последовательность па-
раметров, оператор Di = Di положительно определен.
Чтобы свести эту схему к явной схеме перестановочность
Di и R не нужна. Достаточно положить
l^R^w^, 4>i = RillD;'rk, C^R'^D^R'1*
5]
§ 3. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
515
и мы получим схему
+	= Фг или £г+1 ~ *^г+1£г + 6г+1Фг> 1 ~ 0> L • • • > т~ 1>
где £о = О> 5г+! =£-бг+А-
Применим к (33) оператор R!‘Di *:
С& = <Pi> I = R'1’®’
где w — точное решение уравнения (33). Для разности гг = £г — g
имеем
т
^г+i *^г+1гг> Тт£о> Т т П ^г
г-1
или
R'h (цуМ — иг) = TmR'>2 (0 — ну) = — TmR^w.
Отсюда находим
R'l2w = {E-Tm}~' R'1^.
После подстановки этого выражения в (33) получим
Bwk = rk, B-r'^E-T^R'11,
т
где Тт = П — самосопряженный оператор.
Условие окончания итераций || w^m} — w ||я	q < 1 выполнено,
если
• ПЛ <7-
Покажем, что yiB^.R^.y<2B, где У( = I — g и у2=1+? имеют
значения, найденные ранее. Для этого рассмотрим
(Вх, х) = [R'h (Е - Тт)~' R^x, х) = ((£ - fm)“1 R'^x, r'^x),
так как (R'12)* = R'1*. Отсюда и из оценок для (Е — Тт)~1 следует
-у-^- (Rx, х) < (Вх, х) < jly (Rx, х)
или (1 — q)B^.R <(1 +q)B.
Для внешних итераций
Ук+l = Ук~ ^k+lwk
параметр т*+1 можно выбирать одним из следующих способов.
516	ГЛ. Vllt. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ	(5
I. Если А = А* — самосопряженный оператор, то
1) используется чебышевская последовательность парамет-
ров тн = т0/(1 + рор-й), где {jx/J — «устойчивый» набор, указан-
ный в § 2, п. 1. При этом
Yi = Ci(l-<7), у2 = с2(1 + <7);
2) Т&4-1 То.
II. Если А 4= А* — несамосопряженный оператор и выпол-
нены условия леммы 2, то полагаем
тА+1 —
где т определяется по формулам (16) с yi=(l — <?)ci, у2 =
= (1 + q)c2, уз = (1 + q)c3.
III. Если постоянные Ci, с2, с3 (см. лемму 2) эквивалентно-
сти операторов Ли/? неизвестны или оцениваются слишком
Грубо, TO Tft+i можно вычислять
I) либо по формуле для неявного метода наискорейшего
спуска
Tft+i =	если Л = Л*,
+ (Awk’ wk)
2) либо по формуле метода минимальных поправок
(u>., AwA
4+1 ~ (B-'AWk, Awk)
как в случае самосопряженного А — А*, так и в случае несамо-
сопряженного А =#Л* оператора.
Из последней формулы видно, что двухступенчатый метод
Минимальных поправок требует последовательного решения при
помощи одного и того же метода итераций Тт двух уравнений
Rw = rk, w(0> = 0, wk — w-m\
Rv = Awk, v(0> = 0, vk = B~iAwk = v(n”.
Зная wk и B~iAwk = vk — v(m\ определим по формуле (23)
параметр тл+ь
В силу теоремы 1 имеет место оценка
II Уп~ мПв<р”11 Уо~ «Ив, Р = iP+xo„ »
I -Г «Ро
где ро и х даны формулой (16), a yi = cjl —q), уг = с2(1 + q),
уз = Сз (1 + q). Если А = А*, то х — 0 и р = ро-
Внутренние итерации для более простого уравнения Rw = гк
должны проводиться возможно более экономичным методом.
В частности, если R есть сумма конечного числа попарно
перестановочных самосопряженных положительных операторов,
R = Ri + ... + RPt то для решения уравнения (33) можно при-
5|	5 4. ТрехсЛойныё итерационные схемы	517
менять метод переменных направлений с циклическим набором
параметров (см. § 1), или же с набором параметров по Жор-
дану, если р = 2.
Если R— оператор разностной задачи Дирихле в р-мерном
параллелепипеде, то условие ||7"m|| q < 1 будет выполнено
после'	.
т = О |1п-т-1п —)
\ A q )
итераций, где h — шаг сетки.
Если R = Ri + R2, где Ri и R2 самосопряженные, но непере-
становочные операторы (например, Ry=-y. ,	а=1, 2,
а	хаха
в ступенчатой области), то внутренние итерации можно прово-
дить по продольно-поперечной схеме (см. § 1). Далее, в случае
R = Ri + R2, R2 = R*> т. е. когда Ri и R2 — «треугольные» опе-
раторы, используем неявную схему с факторизованным опера-
тором Dj — D = (Е + (0R1) (Е + coR2). При этом берется упорядо-
ченная чебышевская последовательность параметров 0,.
Возможен, наконец, случай, когда границы оператора либо
неизвестны, либо плохо определяются. Тогда внутренние ите-
рации для нахождения поправки можно проводить по схеме
минимальных невязок или по схеме наискорейшего спуска.
Применение двухступенчатого метода или метода поправок
приводит к увеличению числа последовательностей, которые
необходимо хранить в быстрой оперативной памяти вычисли-
тельной машины.
Однако, в ряде случаев этот метод является весьма эконо-
мичным.
Двухступенчатый метод для решения дифференциальных
уравнений рассматривался Л. В. Канторовичем [2], Б. А. Само-
кишем [1] и др., а для разностных эллиптических уравнений —
Е. Г. Дьяконовым [2], [7], Ганом [1], [2], С. Г. Михлиным [1]. При
этом в качестве регуляризатора R выбирался разностный опера-
тор Лапласа, а внутренним итерационным процессом для реше-
ния уравнения Rw = rfl являлся метод переменных направлений
с циклическим набором итерационных параметров.
Комбинация вариационного метода с методом переменных
направлений рассматривалась Г. И. Марчуком [2], С. К- Году-
новым и Г. П. Прокоповым [1].
§ 4. Трехслойные итерационные схемы
В этом параграфе мы рассмотрим трехслойные итерацион-
ные схемы для уравнения
Au = f,	(1)
где.. А — линейный положительно определенный оператор,
518
ГЛ. VIII. итерационные методы
11
действующий в гильбертовом пространстве Н. В литературе
такие схемы известны как двухшаговые, трехчленные или как
итерационные схемы (методы) второго порядка (см., например,
Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева [1]).
1. Постановка задачи. Трехслойная итерационная схема для
уравнения (1) связывает три итерации ук-\, Уъ, Ук+i, так что
уь+\ определяется через ук-\ и ук. Любая трехслойная итера-
ционная схема для (1) с постоянными операторами и парамет-
рами может быть записана в виде (ср. гл. V, § 2):
в -к+л~~к~л + R (ук+1 - 2yk + yft_,) + Ayk = f, 6=1, 2, ...
Мы ограничимся изучением стандартных схем с регуляри-
затором
В = хВ, х>0,	(2)
предполагая, что R и В — линейные операторы, заданные на Н, и
В = В’>р£, р>0, Л = Л* > О,	(3)
у,В<Л<у2В, у, >0	(4)
(ЛиВ энергетически эквивалентны с постоянными у, и у2).
Стандартная итерационная трехслойная схема имеет вид:
В (--+12ТУ-1 + x(yft+, -2yk + yk-l)) + Ayk = f, 6=1,2,... (5)
Заданы произвольные у0 и у{.
Наряду с (5) будем рассматривать задачи
В (У*+1ГЛ~‘ +х(^' ~ 2yft + yft-i)) + XyA = 0,	6=1,2,...,	(5а)
у0, У\ ~ произвольные векторы,
+	+	+	=	*=1-2,...,	(5б,
Уо = У\ = 0.
Пусть yk — решение задачи (5), « — решение уравнения (1).
Для погрешности zk = yk — u получаем задачу
Pfe+i-2fe-i
\ 2т
-|-х(zft+I — 2zfe + zk_\)I + Xzft = o, k=\, 2, ...,
(6)
Zo = Уо ~ «, Zi = yx - u.
Перейдем к оценке решения задачи (6). Для этого нам пона-
добится обобщение составной нормы, введенной в гл. VI, § 2.
2)
§ 4. ТРЕХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
519
Пусть Kft+1 = (yk, yk+l) — упорядоченная пара элементов про-
странства Н, D{ и D2 — линейные операторы из Н в Н, =
= £>*>0, £>2 = £>2>0. Обозначим
II к + l ll’p) — Д’ (^1 (Ук + 1 + РУк)> Ук + l + РУк) +
+ ^(D2(yk+l-pyk), Ук+1-рУк), (7)
где р > 0 — произвольное число. Отсюда видно, что || Kft+1||(р) > 0
и является нормой при О(>0, £>2>0. Если же D,^Q, D2^Q,
то II Eft+1||(p)- полунорма.
В дальнейшем будем пользоваться обозначениями
^2'	<8>
'ri=V==>	х,=^^ = —,	р =22111,	(9)
/ V1Y2	4	2т0	1 + Yl
(	1-Р? \
=	1+Т7^л	•	<10)
\	1 “Г Р| /
Нашей целью	является	получение для решения	задачи (6)
априорной оценки вида
||Z„+1||(p)<p||ZJ|(p)<Pn||ZI||(p), Z„+1=(2„, z„+1),	(Н)
из которой при р< 1 следует сходимость итераций по схеме (5).
Оператор В и параметры т, х должны быть выбраны из усло-
вия минимума р. Сначала из этого условия выбираем тих при
фиксированном В.
2. Выбор итерационных параметров.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (3), (4). Тогда для
решения задачи (6) при
т = ть « = «1
имеет место априорная оценка
где || Z„+1 ||(Р1) определяется по формуле (7) при р = рь Dx =
= А — у1В, D2 = у2В — A, a Ti м xi даются формулами (9).
Доказательство. Положим в (6) zh = phvk, где р > 0 —
произвольное число. Для vk после очевидных преобразований
получаем задачу
В	+ R(vfe+1 -2vk + vk^) + Avk - 0,	....
\ 1 o)
6=1,2...... Vi = pz1( vQ = za,
520
ГЛ. V11I. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
&
с операторами
B=^(»+va)-v в
Т ( 1 - V2)	’	Т (1 - V2)	’
В (1 + v2) — 4xtv D	1—р
В = 2--г-2—5----В, v =	.
1 — V2	1 + р
Согласно гл. VI, § 2 схема (13) устойчива в полунорме || Vn+l ||(]),
где Vn+1 — упорядоченная пара элементов, Vn+l = (v„, on+I), если
выполнены условия
Л = Д‘>0, B = B*>0, R = R*>0, R^A/4.	(14)
Приравнивая В нулю, находим
1 + V2
х = —г-—•	(15)
4rv	' '
После подстановки этого выражения в формулы для A, R,
получим
в=±^-в, а = а--в, Л = 4(— в-Д
4tv	т ’	4	4 \ vr )
Требования Д^О, R~^ А[4 будут выполнены, если
-В< Д< — В.
X	VT
1 — v2
Сравнивая эти неравенства с (4), видим, что параметры v и т
можно найти из условий
Yi = y> Y2 = 77-	(16)
Отсюда получим
т--^-Р=Р1-^а.
' Y2	V Y1Y2	1 + F g
После подстановки этих выражений в (15) определим х = xi =
= (Yi+Y2)/4. Из предыдущего ясно, что минимум р (макси-
мум g) достигается лишь при условиях (16).
Для v мы получили задачу
R(vk+i-2vk + vlt_l) + Avk = 0, 6=1,2,...,	v0 = z0,
где R = -j (y2 - Yi) В > 0, A = A - y,B =	> 0.
Так как -^D2 — R — -j A = -j(yzB — Д)г>0, то имеет место
оценка (14). Подставляя в (14) vk = p^kzk, получим
И11[Р1)’	U7)
§ 4. трехслойные итерационные схемы
521
где норма ||Zft+1||^Pi) определена тождеством (7). Так как
Dt > О, О2 > 0> то || • ||(р ) — полунорма. Границы yi и уг на прак-
тике определяются неточно. Пусть у, и у2—вычисленные значе-
ния yi и у2, так что yi < у,, уг > У2- Тогда xi, ть pi выражаются
через Yj и у2 по (9), (10) и Д = А - ytB > j(y, - у,) В >0,
D2 = y2B-A >|(Y2-Y2)S>0, t. e. || Zft+1 ||(₽i)-норма.
Имея априорную оценку для однородного уравнения (6),
нетрудно оценить решение неоднородного уравнения (5а).
Мы рассматривали схему (5) с произвольными начальными
данными уо и у\. Значение г/, можно определять по произволь-
ному уо, пользуясь двухслойной итерационной схемой
B^ + Ay0 = f, где т0 = ^.	(18)
Теорема 1 при этом сохраняет силу.
3. Явная схема. Хорошо известна явная (В = Е — единич-
ный оператор) трехслойная схема с произвольным нулевым
приближением уа и первым приближением у\, определяемым по
двухслойной схеме (18) с оптимальным значением т = т0 (см.
Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева [1]).
Рассмотрим эту явную схему для уравнения
Cv = ср,	(19)
где С — самосопряженный оператор с границами у, и V2-
С = С*, у{Е С у2Е, у2 Yi > 0.	(20)
Явная схема имеет вид
'ХА±12тГ~~" + xi fa+i ~2х* + xk-t) + C*k = Ф, &=1, 2..(21)
+ Сх0 = ф, х0 — произвольный вектор из Н. (22)
То
Выразим X/i+i через хк и хй_,:
v _ 4т,х,	___1_г\	_ 2т,х, -1	,	2т,
ft+I 1 + 2т,х, \	2х, / k 2т,х, + 1 * 1	1 + 2т,х, <Р‘
Подставляя сюда выражения (9) для т, и хь получим
xk+\ ~(1 +a)Sxk-axk-i + (1 +а)т0Ф>	1 g
= Sx0 + тоф, х0 — произвольный вектор, J ' '
17 A, As Самарский
522
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[4
где 3 = Е — xqC — оператор перехода двухслойной схемы с х —
= то = 1/(2xi) = 2/ (yi + у2),
а = 2т1х1 ~ 1 = V1 + V2- 2/V1V2 _ (1 -УТ V £ = V1
2т,х, + 1 yi + Y2 + 2 V V1Y2 \1+У1/ ’ Y2 ’
т. е.
a = pf.	(24)
Схему (23) обычно получают так. Записывают сначала урав-
нение (19) в так называемом подготовленном виде, т. е. в виде
уравнения
v = 5v-f-Tcp, S = E — тС,
и выбирают т так, чтобы ||3|| была минимальна. Для этого, как
было показано в § 1, надо положить т = w
v = Sv 4- тоф, S = Е — х0С.	(25)
К этому уравнению и применяют явную схему (23).
В силу теоремы 1 для схемы (23) верна оценка (17) при
В = Е.
Рассмотрим теперь схему
xft+i=(1+a)5xft-«xft-i+(1+a)'ro(₽> a = Pp 1
I '4o)
x0 и X|- произвольные векторы из H. )
Она отличается от (23) только произволом в выборе Хь Ско-
рость сходимости схем (23) и (26) в составной норме|| • ||(р) одна
и та же:
1п-Ь = 1п4±Кк=О(2УГ)’ в->о.
Pi. 1-У&
4.	Оценка скорости сходимости явной схемы.
Теорема 2. Пусть выполнены условия (20). Тогда при
a = Р[ для задачи
xft+1 = (l +a)Sxft - ax*-!, k = 1, 2, ..., xt = Sx0, x0^H, (27)
где S = E — т0С, верна априорная оценка
^Nl- ^ = Pi(1 +-]—<28)
Доказательство. Последовательно применяя уравнение
(27), получим
•'•n+i = & п (5) х1 +	(S) х0, я = 1, 2, ...,	(29)
где fPniS) и 52n-i(S) — операторные полиномы степени п и п— 1
соответственно. Подставляя (29) в уравнение (27), получим,
4!
§ 4. ТРЕХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ
523
в силу произвольности Хо, что и Фп удовлетворяют рекур-
рентным соотношениям
^n+i(S) = (l+a)S^„(S)-a^„_1(S),	п = 2, 3. (30)
5?„+I(S)==(l+a)S5?„(S)-a5?„_I(S),	п=1, 2, ...	(31)
Из уравнений (27) и (29) при k = п = \ и k = п = 2 следует:
^’1(S) = (l+a)S, &0(S)=-a£,
(S) = (1 + a)2 S2 - aE, (S) = - a (1 + a) S.
Чтобы формула (30) была верна и для п = 1, определим ^o(S)
из соотношения
a^0 (S) = (1 + a) (S) -	(S),
т. е. ^o(S) = Е.
Таким образом для 0*п и 5?п выполняются одни и те же соот-
ношения (30) с начальными условиями
^0(S) = £,	5?j(S)=-aF,	1
^1(S) = (l+a)S, 5?I(S)=-a(l+a)S. J	(32)
Отсюда следует, что
^„(S)=-a^„(S)
и формула (29) принимает вид
xn+i ~ ?п (5) Х[ — a^n-i (S) х0.	(33)
Положим
= s-is.
Подставляем это выражение в (30):
P?+1Q„+I(S) = (1 +a)p"p0SQ„(S)- ap"-1Q„_I(S), a = p’.
Разделим обе части на p"+I и учтем, что
В результате получим для Qn рекуррентную формулу
Qn+l(S)=2SQn(S)-Qn-1(S)	(34)
с дополнительным условием
Q0(S) = E, Ql(S) = 2S,
где
-£<S= — S<£.
Ро
524
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
[«
Отсюда видно, что Q„(Z) есть полином П. Л. Чебышева
второго рода (см. В. Л. Гончаров [1]),
Qn(t)^Un(t), -1</<1,
где
U n(/)= sinUra+1)ar-£Sos/-)., f/0(/)=l, f/,(/) = 2/.
п' ' sin (arccos/)	u' ’	’	1 ' ’
Многочлены Un(f) удовлетворяют рекуррентным соотноше-
ниям
Tn(t)==un(t)-tun-M )	( }
где Тп (0 — полином П. Л. Чебышева первого рода.
Для многочленов Un (/) верна оценка
\Un(t)\<n+\, |/|<1.	(36)
Перепишем теперь формулу (33):
^+i-P^n^)xl-p^Un_iCS)x0.	(37)
Учитывая рекуррентные соотношения (35), получим
*.+ 1 “ РГ'	(т; *1 - М +Т„+1 (S) *,).	(38)
где Тп+1 (0 — полином П. Л. Чебышева первого рода. Исполь-
зуем тождество
— — Sx0 = (— — 1) — + — (х, — SxQ) =
Pl	°	\Р1	) Ро Ро 1 и'
=	+ — (*!-s*o).	(39)
1	+ Р| Ро Ро
Нам понадобятся следующие неравенства (см. (12) из § 2 и
(36)):
||[/„(5)||< шах|[/„(01<«+1 при 1,	(40)
1П<1
II	Г„ (S)H< тах| ГЛОК 1 при ||S||<1.	(41)
I	f К1
Подставляя (39) в (38) и учитывая (40), (41), будем иметь
|Xn+1 1| Р? + 1 ^|| Хо|| + 1+р2 ро UX10+ ро ||Х1 ~ ^Хо||У (42)
15	§ 4. ТРЕХСЛОИНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ	525
Если Xi = Sx0, ТО отсюда следует (28). Теорема 8 доказана.
Если Xi — любой вектор, то из (37) и (36) получаем
II	хп II <«РГ‘ IIХ1II +	!)Р1 ИМ- <43>
Решение уравнения xk+l = (1 +а) Sxk —	лго = х1 = О,
k
следуя гл. VI, § 3, ищется в виде xk = S Wk, где wk+i / =
j-i
= (1+a)S©fe, a©4-i, / при k>j, j=l, 2,..., ®/,z = 0,
®/+i./ = $/• Отсюда II xj<||$ 11/(1 — Pi)2 <|| ф ]|/g, где l=-yjy2,
Цф||= max || ф/||. Оценка
к/<а
UdKlim fe=l, 2,...	(44)
вместе с (43) выражает вычислительную устойчивость схемы (23).
Полагая ф = то(1 + а)ф = (1— pi)2yi, получаем для (23) при
х0 = X} = 0 оценку ||хй|| < НфП/уь
5. Априорные оценки для неявной схемы в энергетических
пространствах Н А и Н в. Рассмотрим теперь неявную схему (5)
с В ¥= Е и начальными условиями
у0 — произвольный вектор из Н, |
+	= Л I	(45)
То	)
Нетрудно убедиться в том, что неявная схема (5), (45) и явная
схема (23) эквивалентны при
хп = А'/!уп, C = Ct = А'/2В~'А'/г, tp^A'l3B~'f, (46)
или при
х„ = В,/!у„, С = С2 = В~',2АВ~',г, y = B~'l2f.	(47)
В самом деле, применяя к (5), (45) оператор А'/2В-1 и обозначая
хп = A'hyn, получим схему (23) с С = С[. Обратно, заменяя
в (23) С = и хп — A'hyn и действуя затем оператором ВА~'1г,
получаем неявную схему (5), (45).
Условия (20) равносильны условиям
А = А*>0, В = В”>0.	(48)
Из (46) и (47) видно, что
II || = |[ ||л =	Уп) при С = С„ x„ = A'^„,
Н*Л = 1Ш1в= V(Byn, уп) при С = С2, хп = В'Ьуп.
Неявную схему можно трактовать, как явную схему для урав-
нения
Cv =ф,
526	ГЛ. VI11. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ	(в
эквивалентного уравнению Au = f при
С = СЬ р = Л'/2и, ф = Л'/гВ~7
или при С = С2, v = В'1зи, q = B~'/2f.
Теорема 3. Пусть выполнены условия (48). Тогда для
неявной схемы (5), (45) при т — Т] и и = и, верна оценка
Цг/п-«11о<7п11 Уо-^Wd, D = A или D = B. (49)
Замечание. Можно показать, что при тех же условиях
(48) и дополнительном требовании перестановочности операто-
ров А и В, АВ — ВА, выполняется оценка
II	Лг/0 —/||.	(50)
6. Факторизованные схемы. Оператор В выбирается из тех
же соображений, что и в случае двухслойной схемы (см. §§ 2, 3).
Одними и теми же операторами можно пользоваться как для
двухслойных, так и для трехслойных схем. В частности, можно
взять факторизованный оператор
В = (Е + ®/?[) (Е + <вТ?2), Ri~}-R2 — R	(51)
с треугольными операторами R< и Ri = Ri. Операторы В и R
о о
эквивалентны с постоянными Yi и
yiB^R^KB, ^>0, Я = Я‘>0, В = В*>0,	(52)
А и R эквивалентны с постоянными с1г с2:
CtR^As^CzR, с2^С[>0,	(53)
так что условия (48) выполнены с постоянными
Yl==clYl> Y2 = OY2-
Постоянные у, и у2 были определены в § 2. Если выполнены
условия R^bE, || R2x Ц2 (Rx, x) для всех x e H, то постоян-
ные Yi и у2 для факторизованного оператора (51) при о> = а>0 =
= 2/j/dA равны
°	б	° __ б Yi _ 2	_ б
Yl= 2(1+ Кц) ’ Y2~ 4/ц ’ 1+Кц ’ "’“‘д’
§ 4. трехслойные итерационные схемы
527
Если R = A, тоС]=с2=1, Yi=Yi> Y2 = Y2>
Y2 l+Ул	\ 1 + V П /
_ V1 + /n -/2 Vц
Pi ~ .....2'	'
1 + Ух] + У~2 n
При т] —> 0 коэффициент pi имеет следующую асимптотику
Pl ~ 1 - 2 /Г ~ 1 - 2 /2 Уп.
а скорость сходимости итераций
ln(l/P1) = 0(2 /2 Уп).
Это значит, что число итераций пропорционально 1/jAp На-
помним, что для двухслойной схемы с оператором (51) и по-
стоянным т = то скорость сходимости итераций равна
1п(1/р0)=О(4 Vn)-
В случае разностной задачи Дирихле для уравнения Лап-
ласа в р-мерной ступенчатой области и кубической сетки с ша-
гом /г, имеем x] = O(h2), |/n = O (h) и, таким образом, число
итераций для трехслойной схемы с факторизованным оператором
(51) есть величина О (—1п (1/е)). Решение задачи Дирихле
\УЛ /
в р-мерной ступенчатой области для уравнения
div (k grad и) = — f, Q<cls^k^c2
итераций с общим объемом работы
требует СЦ-^=-1п
O(ft~(p+'A)ln(l/e)).
7. Двухступенчатый метод. Трехслойную итерационную схе-
му (5), (45) можно трактовать как метод поправок:
^+1 = (1+а)^-а^_1-(1 +а)тЛ, а = р9-, |
У\ = Уо - то®о.	>
где wk = B~‘rk — поправка, гк — Ayh — f — невязка.
Определяя w как решение уравнения
Rw = гк	(55)
каким-либо итерационным методом с нулевым начальным при-
ближением = 0, мы получим двухступенчатый трехслойный
528
ГЛ. VIII. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
(7
метод. Зададимся числом q, 0<д<1, и сделаем т итераций,
где т такое, что выполняется условие
|| ш(т) - w ||л<7< 1.
Тогда, как было показано в § 3, п. 5, для поправки Wk =
получаем уравнение
Bwk = rk, В = R'11 (Е — Тт)~' R'/2,
где Тт — разрешающий оператор схемы внутренних итераций,
так что
R'h (да(т) — w)~Tm(0 — R'^w) = — TmR'l2w.
Скорость сходимости двухступенчатого
следует из теоремы 3, где
„Л х *“р‘
<7 = Р? 1 d------т п » Pi =-------7= >
\	1 +Pi /	1+А
трехслойного метода
s	ci 1
ё	с2 1 + q ’
В работе Гана [1] двухступенчатый трехслойный метод при-
менялся для решения разностной задачи Дирихле для уравне-
ния
div (k grad и) = — f, Q<cls^k^c2
с переменными коэффициентами. Внутренние итерации для ре-
шения уравнения (1) проводились по методу переменных на-
правлений с оптимальным набором параметров. Для случая
малых С]/с2 было отмечено существенное ускорение итераций
по сравнению с двухступенчатой двухслойной схемой. В работе
Вашпреса [3] внешние итерации проводились по методу Лан-
цоша, а внутренние — по методу переменных направлений.
Дополнение
НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОГОНКИ
§ 1. Потоковый вариант метода прогонки
для разностных задач с сильно меняющимися
коэффициентами *)
Рассмотрим вариант метода прогонки, применяемый при решении задач
с сильно меняющимися коэффициентами. Примерами таких задач являются
задачи гидродинамики с теплопроводностью и магнитной гидродинамики, где
коэффициенты теплопроводности, электропроводности сильно зависят от тер-
модинамических параметров среды. В случае тепловых задач могут иметь
место адиабатические участки, где теплопроводность отсутствует, а также
изотермические участки, где теплопроводность бесконечно велика. В магнит-
ных задачах — соответственно, идеально проводящие и неэлектропроводпые
участки. Поясним существо метода на модельной задаче: найти функцию
u(x,t), удовлетворяющую уравнению
^L = J-{k(x,t)-^ + f(x,t), 0<х<1, 0</<Г, и (х, 0) = ц0 (х), (1)
и дополнительным условиям
— k А/Р +	при х = 0,
дх	г
6-^—	+ х<2>« = при х=1,
(2)
где х(а) > 0, Х(а) = 0, 1, х(а) + А(а)> 0, а = 1, 2. Коэффициент k(x, t) — сильно
меняющаяся функция
0<й<оо.	(3)
Когда коэффициент теплопроводности k(x,t) стремится к бесконечности, а
производная -----к нулю, величина потока w (х, t) = — k (х, t)
остается конечной. Поэтому при решении задачи (1), (2) в качестве искомой
функции, кроме «(х, t), введем также поток w(x, t).
Предположим наличие между искомой функцией и(х, t) и потоком w(x,t)
связи вида
аи +	= у.
(4)
*) См. Л. М. Дегтярев, А. П. Фаворский. [1], [2].
530
ДОПОЛНЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОГОНКИ
Так как коэффициенты а, р, у в (4) определены с точностью до множи-
теля, то на функции аир следует наложить дополнительное условие. Напри-
мер, можно потребовать
а + р=1.	(5)
Впрочем, в зависимости от типа краевой задачи, характера коэффициента
k(x, t) (0 < с< 'С k(x, t) < оо, О 'С k(x, t) с2 и т. п.) можно вместо (5) на
аир налагать другие условия. Например, иногда удобно считать а = 1 либо
Р=1 или полагать a-i-C(x)p= 1, С(х)—некоторая функция, С(х)>0.
Для решения задачи (1) — (3) введем сетку
{*>/«’ ....
с шагами hQft = x1/j( й, = xi+Vj - i = 1, 2, ..., V— 1, hNp = 1 - xN_f/t
В узлах будем вычислять сеточную функцию У/_у2> соответствующую
ИСКОМОЙ функции и(%;_|/2, /у).
Введем также сетку
{хо = 0, xi = xi_l+Hi_t/2, Z=l, 2, .... V, xv==l},
где Hi = 0,5 (hi + ht+l). В узлах с целыми индексами будем определять се-
точную функцию Wf (/ = 0, 1, ..., V) — аналог потока w (xi, tf) = —ku |х=>/
В узлах Х1-ч2< i = 1. 2..V уравнение (1) аппроксимируем схемой
„/+1 — „I	П?/ + 1 _ТО’/+1
т	И, ,,	+<₽i-‘/2’
12	(6)
Ц//+1 = _ ai+l +
1	1	hi ’
где и <Pj _у2 — сеточные функции, являющиеся аналогами коэффициентов
k(x, t) и f (х, f). Например, положим = /Д <р^_у2 = f (xz_iy2, tj}
Используя разложение «у2 = «о + йо«о/2+0 (йд) и полагая и>0 = — ku' |х=0,
краевое условие (2) при х = 0 аппроксимируем разностным выражением
Л (1) + x(14/2\ r/+i +	= v(1).	(7)
\ ао /	s
Аналогично аппроксимируется краевое условие (2) при х=1:
- (+ х<2»<>1/2 = V®.	(8)
\	aN /
Введем обозначения
*o = 2ao/fto’	г=1’ 2....N — bN =2o.NlhN, |	(9)
Ci-'h =	Ft-'h =	+ Ci-'l>yi~l/2
§ 1. ПОТОКОВЫЙ ВАРИАНТ МЕТОДА ПРОГОНКИ
531
Объединяя (6) — (8), учитывая (9), приходим к задаче
z = l, 2..........................................ЛГ- 1,
U(i) + х(1)/й0) Го + х(1)г/,/2 = v(i),
+ х(“)> о, х<а)>0, Л(а> = 0, 1, а=1, 2.
Предположим, что существует связь
^-/2«z-l +31-_1Г1._!=у;_1
(Ю)
(И)
(12)
и найдем рекуррентные формулы для вычисления прогоночных коэффициен-
тов со, Р(, у. и искомых функций Гг. Поскольку в данном случае
С,._,д = Й;_1(,2/г > 0, то оказывается удобным дополнительное условие нор-
мировки взять в виде
а^ + С^р,.-! = 1.	(13)
Пусть получено соотношение (12) при условии (13), связывающее функции
У{-у2’ и прогоночные коэффициенты a;_r fj , у._{ в точках x(_t
и xi-i/2- Исключая У;_|д и Wl_l из (12), (10) и требуя, чтобы соотноше-
ние (12) выполнялось в точке х;, */+i/2 (т. е. имело бы место равенство
У‘+'12а1 +	~ Ъ)’ ПРИХ°ДИМ к соотношениям
=“57+ v)’ Y; =‘дГ^/-1Г,’_,/2	(14)
где 1/д, — произвольный пока множитель. Потребуем, чтобы в точках X/,
xi+i/2 выполнялось соотношение (13), т. е. аг + Ci+i^{ = 1. Тогда находим,
\ = 1 + С/+,/2	+ 1/6,.), i = 1, 2, ..., N - 1.	(15)
Из условий aQ + PgC,-, = 1. Уугао + Ро^о = То и краевого условия
(X<i)+x(i)/&0)F0 + x<% = v<i'
имеем
ao = x(i)/Ao, Ро = (Л(1)+х(,)/йо)/Ло. Yo = v(1)/Ao,
где
А0 = х(1) + С1/2(Л(1)+х(1)/б0).	(16)
Для вычисления и можно пользоваться рекуррентными соотно-
шениями
=	+?<_,, z = /v. ЛГ-1.....1,1
Для определения значения WN из второго граничного условия (11) и пер-
вого рекуррентного соотношения (17) при i = N, получаем
- у(2) + х(2) (у„_! + Рл^_
^ + ^/bN + ^N_l
(18)
532
ДОПОЛНЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОГОНКИ
Отметим, что коэффициент а< при счете не используется. При выбранной
нормировке (13) (С;_и2>0) прогоночные формулы оказываются наиболее
простыми.
При больших коэффициентах а{ = k (xv tвычисление потока по фор-
муле
ri=- 6;(^+у2-^-</2)- bi = allhi
приводит к существенной потере точности. Это и послужило причиной введе-
ния потока wt в качестве дополнительной искомой функции и вычисления его
по рекуррентному соотношению (17).
В том случае, когда величина bi = at/hi оказывается малой, например,
О 'С Ь, < 1 вместо формул (14), (16) следует пользоваться формулами
Ро = (х(1) + А(1)6о)/Ао, Уо = v(1)6o/Ao,
Ао =	+ С1/2	+ х(1))
И
(> + Wl-t)’ Ъ = J	+ V/-.),
8'. = 6z + cz+1/2(6zp._i + 1).
Из структуры приведенных рекуррентных формул видно, что они устойчивы
по отношению к случайной ошибке.
§ 2. Матричная прогонка *)
Для решения систем разностных уравнений часто используют метод мат-
ричной прогонки, который поясняется ниже на частном примере.
Рассмотрим уравнение Шредингера, в случае когда потенциал V(х) об-
ладает следующими свойствами: V(x) непрерывен при 0 < х < 1, lim V(x)=oo
при А'-*0 и при х-> 1. Это соответствует краевой задаче
-/Й+ 7 (х) ф, 0<х<1, />0,	(1)
dt 2т дх2 '	' ’
ф (0, /) = ф (1, t) = 0, ф (х, 0) = ф0 (х),	(2)
где I — мнимая единица, й— постоянная Планка, т — масса частицы. Без
ограничения общности будем считать, что
7 (х) > 0.	(3)
Введем обозначения
а2 = Й/(2т), q (х) = V (х)/Й	(4)
и представим ф(х, t) в виде
ф (х, f) = и (х, t) + lv (х, /),	(5)
*) См., например, И. М. Гельфанд и О. В. Локуциевский, дополнение II
в книге С. К. Годунова и В. С. Рябенького [1], В. В. Русанов [1], Р. Д. Рихт-
майер [1].
§ 2. МАТРИЧНАЯ ПРОГОНКА
533
где и и v—действительная и мнимая части функции ф. Из (1), (2) для
определения и и v получаем задачу
ди 2 д2и , . п '
0<х<1>
-	= а2 -^2 - q (х) и, 0<t<T,
и (х, 0) = Re фо (%) — йа (х), v (х, 0) = Im ф0 (%) = v0 (х),
о(0, 0 = v (1, 0=0, и(0, /) = «(!, 0 = 0.
Введем сетки
&h = {xi — ‘h, i = 0, 1, N, h=i/N},
a>x = {(j = ix> i = °- 1. •••)
и аппроксимируем задачу (6), (7) системой разностных уравнений
ut = a2t>xx _ ? W й> °° =	(*)>
— vt = а2йХх — q (х) й, иа = йя (х),
йо“й№йо=й№°-
(6)
(8)
Запишем систему (8) в векторной форме
?<+1_2В.Г( + Г(_1 = -Л, /=1, 2..................Л7-	1, Yq~Yn=0. О)
где
-»	/ йД _>	/ уД2\
= 1й, /'	~ I	а2т \
\	а2т /
/| , qih2 h2 \
~	/	2а2	2а2т |
В'=	«	м		(10)
I	h2	qih2	j
\	2а2т	2а2	/
Задача (9) является частным случаем следующей задачи: найти векторы
У, (/ = 0, 1..AI), удовлетворяющие уравнению
AiYi+l - BtYi + с/,-! = “ К 1 AI - 1
(Н)
и краевым условиям
Vi-Vo=-Bo- -вЛ+сЛ-1=-4	<12>
где Ait Bt, Ct (i = 0, 1, .... ^)—квадратные матрицы. Предположим суще-
ствование матриц В^1, i = 0, 1, N.
Решение задачи (11), (12) будем искать в виде
Yi-^XiYi+Zi, i = N, N- 1, .... 1,	(13)
где Xi и Zi — неопределенные пока матрицы и векторы. Из формулы (13)
и уравнения (11) находятся (как и в случае обычной прогонки) рекуррентные
534
ДОПОЛНЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОГОНКИ
соотношения для вычисления матриц X, и векторов Zj. Из (13) и (12) нахо-
дятся начальные значения Хо, Zo, YN, позволяющие начать счет по рекуррент-
ным формулам. Выпишем рекуррентные соотношения:
^+1 = (В/-W’(CZ+^
z= 1, 2, N — 1,
MVW (СЛЧ)'
Yi-t = XiYt + Zi, i = N, N—l.1.
(14)
(15)
Вычисления по формулам (14), (15) можно вести до тех пор, пока матрицы
В, — CiXi остаются невырожденными, что и будем считать выполненным для
z = 0, 1, .... N. Задача (14), (15) разрешима и процесс решения устойчив
по отношению к случайной ошибке, т. е.
II Х{ || < 1 при 1 = 1,2.N,
когда выполнены условия
1К'ло11<1- KM<i. K4HIBr‘cJ<i (16>
при 1=1, 2, ..., N — 1.
Для решения системы (9), (10) формулы (14), (15), в которых
ло=с№°> во=ва = £> ^о = ^ = °>\ = Ci=E,
Bi = 2Bi. i= 1, 2, .... N — 1,
принимают вид
й(-_[ =	+ z\, i =1, 2, .... N,
vl_x = x]'ui + x^l + zl &n = vn,
где xtm,
мулам:
z? (n, m=l, 2, /«1, 2f .... Af) вычисляются по следующим фор-
$ 3. ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПРОГОНКА
535
Условие устойчивости (16) приводит к требованию 21|Z3”1= j< 1. Вы-
числив норму В^"1, приходим к условию
которое очевидно выполнено.
§ 3. Циклическая прогонка*)
Циклическая прогонка используется для нахождения периодического ре-
шения разностного уравнения (или системы разностных уравнений). Подоб-
ные задачи возникают при приближенном решении уравнений с частными
производными в цилиндрических и сферических координатах.
Рассмотрим систему уравнений
ai^-cl^+6i^ =
ал/;_1-с.г/г + 6;у.+1 =
а№А-1-с№А + М = -^-
f г=2, 3, ..., АГ-1,
(1)
Такая алгебраическая задача возникает при отыскании периодического,
yi+x = Уг, решения системы трехчленных уравнений а,г/г-1—и
= —ft при условии
al + N~ai’ bi + N = bi’ Ci+-N = Ci'
Относительно коэффициентов системы (1) будем предполагать, что
а{>0, bi>0, ci>ai + bi.	(2)
Систему (1) запишем в виде
а матрица AN имеет вид
— Ci	bi	0	0	...	О	0	а,
аг	— с2	Ьг	0	...	О	О	О
О	а3	- с3	Ь3	...	О	О	О
А., =........................................................
N 0	0 о 0 ... ~cN_2 bN_2 О
°	°	0	0 ... afj-i -суу-1 bN-l
bN 0	0 0 ... О aN -cN
Присутствие отличных от нуля членов в правом верхнем и левом иижием
углах матрицы (4')> не позволяет решать (3) (или (1)) обычным методом
прогонки.
*) См. А. А. Абрамов, В. Б. Андреев [1].
536
ДОПОЛНЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОГОНКИ
Для решения (3) применяется идея метода окаймления
В. Н. Фаддеева [1]). Запишем (3) в виде
(Д. К. Фаддеев,
AN-\yN~l+UN~iyN~ ^N-V
fN,	(6)
где
— с, bi	0 ...	О	О	О
а2	— с2	Ь2 ...	О	О	О
О 0	0 ... aN_2 cN_2 ь^-2
Решение уравнения (5) представим в виде
PN-1 °° PN-1 + y^N-V
где pN~i и <7Л,_] — решения задач
AN-lPN~i fjv-l’	UJV-r
(Ю)
Поскольку матрица Лд--1 является матрицей Якоби, то решения задач
(10) могут быть найдены методом обычной прогонки. Из (9) и (6) находим
/а + vN-i Ра-1
У n~ -*»	’
са — v А-i Ра-1
ух-i находим из (9).
Приведем получающиеся формулы решения задачи (1)—формулы цик-
лической прогонки:
а .........Ь‘-.	в	?
1+1 ci~aiai i+1 ci-aiai’ ,+1	с1~а1а1	(11)
i = 2, 3..V, a2 = 62/cb p2 = fi/ci, У2 = а1/сь
pi ai+iP( + i + ₽i + P P< a<+iPi+i + Yi+r
/=JV-2...... b	Pa-i=₽A’ Pa-i=“a+Va>
^A+l ~1~ ®А+1Р1
УГТ- a - V-----------’ У^ + УиЧг
'	1 aA + lPl "a + i
1= l, 2, .... N-\.
(12)
(13)
§ 3. ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПРОГОНКА
537
Метод циклической прогонки является устойчивым, так как решения за-
дач (10) ищутся методом прогонки, который устойчив при выполнении усло-
вий (2), а знаменатель 1 — aN+1^i—ух-п в выражении для yN ие обра-
щается в нуль.
Действительно, из (2), (11) видно, что
а(<1, у;>0, а2 + у2<1.
Предполагая а,- + у; < 1, получаем
a/ + i + V;
+ aiVj bi + ai-aiai
ci~aiai с1~а1а1
<1.
(14)
Учитывая (12) и (14), находим q^-i <1, q\ < 1. Из всего сказанного
следует, что 1 — a.v+i<7i — Yw+i >0-
ЛИТЕРАТУРА
Абрамов А. А.
1.	О влиянии ошибок округления при решении уравнения Лапласа, Вы-
числ. матем. и вычисл. техн., вып. 1 (1953), 37—40.
Абрамов А. А., Андреев В. Б.
1.	О применении метода прогонки к нахождению периодических решений
дифференциальных и разностных уравнений, ЖВМ и МФ 3, № 2 (1963),
377—381.
Алексидзе М. А.
1.	О численном решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона, ДАН
СССР 147, № 6 (1962), 1271 — 1273.
Андреев В. Б.
1.	Итерационные схемы переменных направлений для численного решения
третьей краевой задачи в р-мерном параллелепипеде, ЖВМ и МФ 5,
№ 4 (1965), 626—637.
2.	О равномерной сходимости некоторых разностных схем, ЖВМ и МФ 6,
№ 2 (1966), 238—250.
3.	Об одном методе численного решения третьей краевой задачи для
уравнения параболического типа в р-мерном параллелепипеде, Сб. «Вы-
числит. методы и программирование», вып. VI, изд-во МГУ (1967),
64—75.
4.	О разностных схемах с расщепляющимся оператором для общих р-мер-
ных параболических уравнений второго порядка со смешанными произ-
водными, ЖВМ и МФ 7, № 2 (1967), 312—321.
5.	О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью
краевые задачи для эллиптических уравнений, ЖВМ и МФ 8, № 6
(1968), 1218—1231.
6.	О сходимости разностных схем с расщепляющимся оператором, аппро-
ксимирующих третью краевую задачу для параболического уравнения,
ЖВМ и МФ 9, № 2 (1969), 337—349.
7.	О равномерной сходимости разностных схем для задачи Неймана,
ЖВМ и МФ 9, № 6 (1969), 1285—1298.
Анучина Н. Н.
1. Разностные схемы решения задачи Коши для гиперболических симмет-
ричных систем, ДАН СССР 154, № 2 (1964), 247—250.
Бабушка И., Витасек Э., Прагер М.
1. Численные процессы решения дифференциальных уравнений, «Мир»,
1969.
Багриновский К. А., Годунов С. К.
1. Разностные схемы для многомерных задач, ДАН СССР 115, № 3
(1957), 431—433.
Бадагадзе В. В.
1. О построении разностных схем для дифференциального уравнения
эллиптического типа второго порядка, ЖВМ и МФ 6, № 3 (1966),
512-520.
ЛИТЕРАТУРА
539
Б а к л а и о в с к а я В. Ф.
1.	Исследование метода сеток решения первой краевой задачи для урав-
нений типа нестационарной фильтрации, Сб. «Численные методы реше-
ния дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные
формулы», «Наука», 1964, Дополнение к ЖВМ н МФ 4, № 4 (1964),
228—243.
Бахвалов Н. С.
1.	К вопросу о числе арифметических действий при решении уравнения
Пуассона для квадрата методом конечных разностей, ДАН СССР 113,
№ 2 (1957), 252—254.
2.	О численном решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа, Вестн.
МГУ, сер. матем., мех., астрон., физ., химии, № 5 (1959), 171—195.
3.	О сходимости одного релаксационного метода при естественных огра-
ничениях на эллиптический оператор, ЖВМ и МФ 6, № 5 (1966), 861—
883.
Бейкер (Baker G. А.)
1. Ап implicit, numerical method for solving the n-dimensional heat equa-
tion, Quart, of Appl. Math. 17, N 4 (1960), 440—443.
Бейкер и Олифант (Baker G. A., Oliphant T. A.)
1. An implicit, numerical method for solving the two-dimensional heat
equation, Quart, of Appl. Math. 17, N 4 (1960), 361—373.
Белухина И. Г.
1. Разностные схемы для решения некоторых статических задач теории
упругости, ЖВМ и МФ 8, № 4 (1968), 808—823.
2. Разностные схемы для решения плоской динамической задачи теории
упругости со смешанными краевыми условиями, ЖВМ и МФ 9, № 2
(1969), 362—372.
Березин И. С. и Ж н д ков Н. П.
1. Методы вычислений, т. 1, Изд. 3-е, «Наука», 1966.
2. Методы вычислений, т. 2. Физматгиз, 1962.
Бояринцев Ю. Е.
1. О Сходимости разностных схем для уравнений с переменными коэффи-
циентами, Тр. МИАН СССР 74 (1966), 16—37.
О'Брайен, Хайман, Каплан (O’Brien G. G., Hyman М. A., Kap-
lan S.)
1. A study of the numerical solution of partial differential equations, J. of
Math, and Phys. 29, N 4 (1951), 223—251.
Брембл, Хаббард (Bramble J. H., Hubbard В. E.)
1. On the formulation of finite difference analogues of the Dirichlet pro-
blem for Poisson’s equation, Num. Math. 4, N 4 (1962), 313—327.
Б у д а к Б. M., Соловьева E. H., Успенский А. Б.
1. Разностный метод co сглаживанием коэффициентов для решения задач
Стефана, ЖВМ и МФ 5, № 5 (1965), 828—840.
Буханан (Buchanan М. L.)
1. A necessary and sufficient condition for stability of difference schemes
for initial value problems, J. Soc. Industr. Appl. Math. 11, N 4 (1963),
919—935.
В азов В., Форсайт Дж.
1. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных
производных, ИЛ, 1963.
Варга Р.
1. Численные методы решения многомерных миогогрупповых диффу-
зионных уравнений, Сб. «Теория ядерных реакторов», Госатомиздат,
1963.
Вашпресс (WachspressE. L.)
1.	The numerical solution of boundary value problems, Mathematical Me-
thods for Digital Computers, N. Y., 1960, 121—127.
540
ЛИТЕРАТУРА
2.	Optimum alternating-direction-implicit iteration parameters for a model
problem, J. Soc. Industr. Appl. Math. 10, N 2 (1962), 339—350.
3.	Extended application of alternating-direction-implicit iteration model
problem theory, J. Soc. Industr. Appl. Math. 11, N 3 (1963),
994—1016.
4,	Iterative solution of elliptic systems and applications to the neutron
diffusion equations of reactor physics, N. Y 1966.
Ba ui пресс, Хабетлер (Wachspress E. L., Habetler G. J.)
1. An alternating-direction-implicit iteration technique, J. Soc. Industr. Appl.
Math. 8, N 2 (1960), 403—424.
В e н д p о ф (W e n d г о f f B.)
1. Well-posed problems and stable difference operators, SIAM J. Numer.
Anal 5, N 1 (1968), 71—82.
В и д л а н д (W i d 1 u n d О. B.)
1. On the stability of parabolic difference schemes, Math, of Comput. 19,
№ 89 (1965), 1—13.
2. Stability of parabolic difference schemes in the maximum norm, Numer.
Math. 8, N 2 (1966), 186—202.
Владимиров В. С.
1. Уравнения математической физики, «Наука», 1967.
Волков Е. А.
1.	К вопросу о решении методом сеток внутренней задачи Дирихле для
уравнения Лапласа, «Вычисл. матем.», Об. 1 (1957), 34—61.
2.	Метод сеток для внешней задачи Дирихле, ЖВМ и МФ 6, № 3 (1966),
503—511.
3.	Эффективные оценки погрешности решений методом сеток краевых за-
дач для уравнения Лапласа и Пуассона на прямоугольнике и некото-
рых треугольниках, Тр. МИАН СССР 74 (1966), 55—85.
В у л и х Б. 3.
1.	Введение в функциональный анализ, «Наука», 1967.
Галанин А. Д.
1. Теория ядерных реакторов на тепловых нейтронах, Атомиздат, М.,
1957.
Ган (G u п п J. Е.)
1. The numerical solution of VaVu = f by a semi-explicit alternating di-
rection iterative technique, Numer. Math. 6, N 3 (1964), 181—184.
2. The solution of elliptic difference equations by semi-explicit iterative
techniques, J. Soc. Industr. Appl. Math. Ser. B., Numer. Anal. 1, N 2
(1965), 24—45.
Гантмахер Ф. P.
1. Теория матриц, «Наука», 1967.
Гельфанд И. M.
1. Лекции по линейной алгебре, «Наука», 1966.
ГельфондА. О.
1. Исчисление конечных разностей, «Наука», 1967.
Г е р ш г о р и н С. А.
1. О приближенном интегрировании дифференциальных уравнений Лапла-
са и Пуассона, Изв. Ленингр. политехи, ин-та, отд. техн., ест., матем.,
30 (1927), 75—95.
Годунов С. К.
1. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений
гндродннамнкн. Матем. сб. 47 (89), № 3 (1959), 271—306.
2. Разностные методы решения уравнений газовой динамики, изд-во ИГУ,
Новосибирск, 1962.
Годунов С. К-, Забродин А. В.
1. О разностных схемах второго порядка точности для многомерных за-
дач, ЖВМ и МФ 2, № 4 (1962), 706—708.
ЛИТЕРАТУРА
641
Годунов С. К., Прокопов Г. П.
1.	О решении разностного уравнения Лапласа, ЖВМ и МФ 9, № 2 (1969),
462—468.
Годунов С. К-, Рябенький В. С.
1.	Введение в теорию разностных схем, Физматгиз, 1962.
2.	Канонические виды систем линейных обыкновенных разностных урав-
нений с постоянными коэффициентами, ЖВМ и МФ 3, № 2 (1963),
211—222.
3.	Спектральные признаки устойчивости краевых задач для несамосопря- .
женных разностных уравнений, УМН 18, вып. 3 (111) (1963), 3—14.
Гольдин В. Я-, Данилова Г. В., К а л и т к и н Н. Н.
1. Численное интегрирование многомерного уравнения переноса, Сб. «Чис-
ленные методы решения задач матем. физики», «Наука», 1966, Допол-
нение к ЖВМ н МФ 4, № 6 (1966), 190—193.
Гончаров В. Л.
1. Теория интерполирования и приближения функций, Гостехнздат, 1954.
Гриншпан (Greenspan D.)
1. Lectures on the numerical solution of linear, singular and nonlinear
differential equations, New York, 1968.
Гулин A. B.
1. Необходимые и достаточные условия устойчивости трехслойных раз-
ностных схем, ЖВМ и МФ 8, № 4 (1968), 899—902.
Гулин А. В., Самарский А. А.
1. Об устойчивости разностных схем в комплексном гильбертовом про-
странстве, ДАН СССР 181, № 5 (1968), 1042—1045.
Гусман Ю. А., Оганесян Л. А.
1. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллип-,
тнческнх уравнений, ЖВМ и МФ 5, № 2 (1965), 351—357.
Дегтярев Л. М., Фаворский А. П.
1. Потоковый вариант метода прогонки, ЖВМ н МФ 8, № 3 (1968), 679—
684.
2. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно
меняющимися коэффициентами, ЖВМ и МФ 9, № 1 (1969), 211—218.
Демьянович Ю. К.
1. Метод сеток для некоторых задач математической физики, ДАН СССР
159, № 2 (1964), 250—253.
2. Устойчивость метода сеток для эллиптических задач, ДАН СССР 164,
№ 1 (1965), 20—23.
Джон (J о h п F.)
1.	On the integration of parabolic equations by difference methods. I, Li-
near and quasi-linear equations for the infinite interval, Comm. Pure.
Appl. Math. 5, N 2 (1952), 155—211.
Дуглас (D о u g 1 a s J.)
1.	On the numerical integration of uxx + uyy = ut by implicit methods,
J. Soc. Industr. Appl. Math. 3, N 1 (1955), 42—65.
2.	The solution of the diffusion equation by a high order correct difference
equation. J. Math, and Phys. 35, N 2 (1956), 145—151.
3.	The application of stability analysis in the numerical solution of quasi-
linear parabolic differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 89, N 2
И, 484—518.
ating direction methods for three space variables, Numerische Math.
4,	N 1 (1962), 41—63.
Дуглас, Ган (Do ugl a s J., G u n n J. E.)
1. Two high-order correct difference analogues for the equation of multi-
dimensional heat flow, Math, of Comput. 17, N 81 (1963), 71—80.
2. A general formulation of alternating direction methods, Part I, Parabolic
and hyperbolic problems, Numerische Math. 6, N 5 (1964), 428—453.
542
ЛИТЕРАТУРА
Дуглас, Джонс (Douglas J., Jones В. F.)
1.	On predictor-corrector methods for nonlinear parabolic differential equa-
tions, J. Soc. Industr. Appl. Math. 11, N 1 (1963), 195—204.
Дуглас, Пирси (Douglas J., Pearcy С. M.)
1.	On convergence of alternating direction procedures in the presence of
singular operators, Numerische Math. 5, N 2 (1963), 175—184.
Дуглас, Рэкфорд (Douglas J., Rachford H.)
1.	On the numerical solution of heat conduction problems in two and three
space variables, Trans. Amer. Math. Soc. 82, N 2 (1956), 421—439.
Д ю ф о p т, Ф p а н к e л (D u F о r t E. C., F r a n k e 1 S. P.)
1.	Stability conditions in the numerical treatment of parabolic differential
equations, Math. Tables and Other Aids Comput. 7, N 43 (1953), 135—
152.
Дьяконов E. Г.
1.	Метод переменных направлений решения систем конечноразностных
уравнений, ДАН СССР 138, № 2 (1961), 271—274.
2.	Об одном итерационном способе решения систем конечноразностпых
уравнений, ДАН СССР 138, № 3 (1961), 522—525.
3.	Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных
нестационарных задач, ЖВМ и МФ 2, № 4 (1Э62), 549—568.
4.	Разностные схемы с расщепляющимся оператором для общих парабо-
лических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами,
ЖВМ и МФ 4, № 2 (1964), 278—291.
5.	Разностные схемы второго порядка точности с расщепляющимся опе-
ратором для многомерных параболических уравнений с переменными
коэффициентами, Сб. «Вычпсл. методы и программирование», изд-во
МГУ, 3 (1965), 163—190.
6.	О некоторых итерационных методах решения систем разностных урав-
нений, возникающих при решении методом сеток уравнений в частных
производных эллиптического типа, Сб. «Вычисл. методы и программи-
рование», изд-во МГУ, 3 (1965), 191—222,
7.	О построении итерационных методов иа основе использования опе-
раторов, эквивалентных по спектру, ЖВМ и Мф 6, № 1 (1966),
12—34.
8.	Экономичные разностные методы, основанные на расщеплении разност-
ного оператора, для некоторых систем уравнений в частных производ-
ных, Сб. «Вычислительные методы н программирование», изд-во МГУ 6
(1967). 76—120.
Ильин А. М.
1. Устойчивость разностных схем задачи Коши для систем дифферен-
циальных уравнений в частных производных, ДАН СССР 164, № 3
(1965), 491—494.
Ильин А. М„ Калашников А. С., Олейник О. А.
1. Линейные уравнения второго порядка параболического типа, УМН 17,
вып. 3 (105) (1962), 3—146.
Камынин Л. И.
1. Об устойчивости разностных параболических уравнений, ДАН СССР
136, № 6 (1961), 1287—1290.
Канторович Л. В.
1. О методе наискорейшего спуска, ДАН СССР 56, № 3 (1947), 233—236.
2. Функциональный анализ и прикладная математика, УМН 3, вып. 6 (28)
(1948), 89—185.
Канторович Л. В., Акилов Г. П.
1. Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физматгиз,
1959.
Канторович Л. В., Крылов В. И
1. Приближенные методы высшего анализа, Физматгиз, 1962,
ЛИТЕРАТУРА
543
Като (Kato Т.)
1. Estimation of iterated matrices, with application to the von Neumann
condition. Numerische Math. 2, N 1 (1960), 22—29.
Келлер, Томэ (Keller H. B., Th о me e V.)
1. Unconditionally stable difference methods for mixed problems for quasi-
linear hyperbolic systems in two dimensions, Comm. Pure Appl. Math.
15, N 1 (1962), 63—73.
Коллатц (Col laiz L.)
1. Zur stabilitat des Differenzenverfahrens bei der Stabschwingungsglei-
chung, Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik 31, N 11 —
12 (1951), 392—393.
2. Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953.
Коновалов А. Н.
1.	Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного урав-
нения колебаний, ДАН СССР 147, № 1 (1962), 25—27.
2.	Применение метода расщепления к численному решению динамических
задач теории упругости, ЖВМ и МФ 4, № 4 (1964), 760—764.
3.	Об одной итерационной схеме решения статических задач теории упру-
гости, ЖВМ и МФ 4, № 5 (1964), 942—945.
4.	Разностные методы расчета плоских задач теории упругости. Тр. МИАН
СССР 74 (1966), 38—54.
5.	О численном решении смешанной задачи теории упругости, ЖВМ и МФ
9, № 2 (1969), 469—474.
К о н о в а л ь ц е в И. В.
1. Об устойчивости двухслойных разностных схем, ЖВМ и МФ 8, № 2
(1968), 322—333.
2. Устойчивость в С и Lp двухслойных разностных схем для параболи-
ческих уравнений с переменными коэффициентами, ЖВМ и МФ 8, № 4
(1968), 894—899.
Красносельский М. А., Вайи и к ко Г. М., Забрейко П. П., Ру-
т и ц к и й Я. Б., С т е ц е н к о В. Я.
1.	Приближенное решение операторных уравнений, «Наука», 1969.
Красносельский М. А., К р е й н С. Г.
1.	Итерационный процесс с минимальными невязками, Матем. сб., нов. се-
рия 31 (73), вып. 2 (1952), 315—334.
Крейн С. Г.
1.	Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве,
«Наука», 1967.
К р е й с (К г е i s s Н. О.)
1.	Uber die Losung des Cauchyproblems fur lineare partielle Differential-
gleichungen mit Hilfe von Differenzengleichungen, Acta Mathematica
101, N 3—4 (1959), 179—199.
2.	Uber die Stabilitatsdefinition fur Differenzengleichungen die partielle
Differentialgleichungen approximieren, BIT, 2 (1962), 153—181.
3.	Об аппроксимации линейных уравнений с частными производными раз-
ностными уравнениями, Математика, сб. переводов 7, №2 (1963), 57—66.
4.	Uber implizite Differenzmethoden fiir partielle Differentialgleichungen,
Numerische Math. 5, N 1 (1963), 24—47.
5.	On difference approximations of the dissipative type for hyperbolic diffe-
rential equations, Comm, Pure Appl. Math. 17, N 3 (1964), 335—353.
Кряквина C. A.
1. О точности схем переменных направлений для уравнения теплопровод-
ности, ЖВМ и МФ 6, Ks 3 (1966), 582—589.
Курант (CourantR.)
1. Uber Anwendung der Variationrechnung in der Theorie der Eigensch-
wingungen und fiber neue Klassen von Funktionalgleichungen, Acta
Mathem. 49, N 1 (1926), 1—68.
544
ЛИТЕРАТУРА
Курант Р., Гильберт Д.
1.	Методы математической физики, т. 1, Гостехиздат, 1953.
Курант Р., Фридрихе К., Леви Г.
1.	О разностных уравнениях математической физики, УМН, вып. 8 (1940),
125—160.
Ладыженская О. А.
1.	Решение задачи Коши для гиперболических систем методом конечных
разностей, Ученые записки ЛГУ, сер. матем., 23, № 133 (1952), 192—246.
2.	Смешанная задача для гиперболического уравнения, Гостехиздат, 1953.
3.	Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производ-
ными, УМН 12, вып. 5 (77) (1957), 123—148.
Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н.
1. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, «Наука»,
1964.
Ладыженская О. А., Сол он ников В. А., Уральцева Н. Н.
1. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, «Наука»,
1967.
Л а к с П. Д.
1. Об устойчивости конечно-разностных аппроксимаций решений гипербо-
лических уравнений с переменными коэффициентами, Математика, сб.
переводов 6, № 3 (1962), 67—88.
Лакс, В е н д р о ф (Lax Р. D., W е п d г о f f В.)
1. Systems of conservation laws, Comm. Pure Appl. Math. 13, N 2 (1960),
217—237.
2. On the stability of difference schemes, Comm. Pure Appl. Math. 15, N 4
(1962), 363—371.
3. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy,
Comm. Pure Appl. Math. 17, N 3 (1964), 381—398.
Лакс П. Д., Ниренберг Л.
1.	Об устойчивости разностных схем; точная форма неравенства Гордпи-
га, Математика, сб. переводов 11, № 6 (1967), 3—20.
Лакс, Рихтмайер (Lax Р. D., Richtmyer R. D.)
1.	Survey of the stability of linear finite difference equations, Comm. Pure
Appl. Math. 9, N 2 (1956), 267—293.
Лебедев В. И.
1.	О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных,
Изв. АН СССР, сер. матем. 22, № 5 (1958), 717—734.
2.	О задаче Дирихле и Неймана на треугольных и шестиугольных сетках,
ДАН СССР 138, № 1 (1961), 33—36.
3.	Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференци-
альных операторов и некоторых краевых задач математической физики,
ЖВМ и МФ 4, № 3 (1964), 449—465, и 4, № 4 (1964), 649—659.
Лебедев В. И., Финогенов С. А.
1.	О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском цикличе-
ском итерационном методе, ЖВМ и МФ 11, № 2 (1971), 425—438.
Лиз (Lees М.)
1.	A priori estimates for the solution of difference approximations to para-
bolic partial differential equations, Duke Math. J. 27, N 3 (1960), 297—311.
2.	Energy inequalities for the solution of differential equations, Trans.
Amer. Math. Soc. 94, N 1 (1960), 58—73.
3.	Alternating direction and semi-explicit difference methods for parabolic
partial differential equations, Num. Math. 3, N 5 (1961), 398—412.
4.	Alternating direction methods for hyperbolic differential equations,
J. Soc. Industr. Appl. Math. 10, N 4 (1962), 610—616.
Л го с т e p н и к Л. A.
1.	О разностных аппроксимациях оператора Лапласа, УМН 9, вып. 2 (60)
(1954), 3-66,
ЛИТЕРАТУРА
545
Л юстерн ик Л. А., С о б ол ев В. И.
1. Элементы функционального анализа, «Наука», 1965.
Марчук Г. И.
1. Численные методы расчета ядерных реакторов, Атомиздат, М.,
1958 (см. также изд. 2-е, М., 1961).
2. Численные методы в прогнозе погоды, Гидрометеорологическое изд-во,
Ленинград, 1967.
Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А.
1. К вопросу об оптимальных итерационных процессах, ДАН СССР 181,
№ 6 (1968), 1331—1334.
Марчук Г. И., Я н е и к о Н. Н.
1. Применение метода расщепления (дробных шагов) для решения задач
математической физики, Сб. «Некоторые вопросы вычисл. и прикладной
математики», Новосибирск, 1966, 5—22.
М е й м а и Н. Н.
1. К теории уравнений в частных производных. ДАН СССР 97, № 4
(1954), 593—596.
М и к е л а д з е Ш. Е.
1. О численном интегрировании уравнений эллиптического и параболиче-
ского типов, Изв. АН СССР, сер. матем. 5, № 1 (1941), 57—74.
2. Численное решение уравнения теплопроводности, Тр. Тбилисского ма-
тем. ин-та, 27 (1960), 367—410.
Миллер, С т р э н г (М i 11 е г J., S t г a n g G.)
1. Matrix theorems for partial differential and difference equations, Math.
Scandinavica 18, N 2 (1966), 113—133.
Михлин С. Г.
1. Численная реализация вариационных методов, «Наука», 1966.
2. Курс математической физики, «Наука», 1968.
Михлин С. Г., С м о л и ц к и й X. Л.
1. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных
уравнений, «Наука», 1965.
Мортон, Шехтер (Morton К- W., Schechter S.)
1. On the stability of finite difference matrices, J. Soc. Industr. Appl. Math.,
ser. B., Numer. Anal. 2, N 1 (1965), 119—128.
Нейман, Рихтмайер (Neumann J., Richtmyer R. D.)
1. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks, J. of
Appl. Physics 21, N 3 (1950), 232—243.
Ницше, Ницше (NitscheJ., Nitsche J. С. C.)
1. Error estimates for the numerical solution of elliptic differential equa-
tions, Arch. Rat. Meeh, and Anal. 5, N 4 (1960), 293—306.
2. Fehlerabschatzung fiir die numerische Berechnung von Integralen, die
Losungen elliptischer Differentialgleichungen enthalten, Arch. Rat. Meeh,
and Anal. 5, N 4 (1960), 307—314.
Олифант (О 1 i p h a n t T. A.)
1. An implicit, numerical method for solving two-dimensional time depen-
dent diffusion problems, Quart, of Appl. Math., 19, № 3 (1961),
221—229.
Петровский И. Г.
1. Лекции об уравнениях с частными производными. Физматгиз, 1961.
Писмеи, Рэкфорд (Peaceman D. W., Rachford Н. Н.)
1. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations,
J. Soc. Industr. Appl. Math. 3, N 1 (1955), 28—42.
Приказчиков В. Г.
1. Разностная задача на собственные значения для эллиптического опе-
ратора, ЖВМ и МФ 5, № 4 (1965), 648—657.
2. Однородные разностные схемы высокого порядка точности для задачи
Штурма — Лиувилля, ЖВМ и МФ 9, № 2 (1969), 315—336.
546
ЛИТЕРАТУРА
Р а в ь я р т (R a v i а г t Р. А.)
1. Sur [’approximation de certaines equation d’evolution lineaires et non
lineaires, J. de mathem. pures et appliq. 46, N 1 (1967), 11—107.
РнссФ., Секефальвн-НадьБ.
1. Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954.
Рнхтмайер Р. Д.
1. Разностные методы решения краевых задач, ИЛ, 1960.
Рихтмайер, Мортон (RichtmyerR. D., Morton К. W.)
1. Difference methods for initial-value problems, Second edition, New York,
London, Sydney, 1967.
Рождественский Б. Л., Яненко H. H.
1.	Системы квазилинейных уравнений п их приложения к газовой дина-
мике, «Наука», 1968.
Русанов В. В.
1.	Об устойчивости метода матричной прогонки, Вычислит, математика,
сб. 6 (1960), 74—83.
Рябенький В. С.
1.	О применении метода конечных разностей к решению задачи Коши,
ДАН СССР 86, № 6 (1952), 1071—1074.
2.	Структура спектров семейств несамосопряженных разностных операто-
ров (Материалы к Совм. сов.-амер, симпозиуму по уравнениям с части,
произв.), Новосибирск, 1963.
3.	Спектр семейства разностных операторов над функциями на сеточном
графе, ЖВМ и МФ 7, № 6 (1967), 1392—1398.
Рябенький В. С., Филиппов А. Ф.
1. Об устойчивости разностных уравнений, Гостехиздат, 1956.
Самарский А. А.
1.	Априорные оценки для решения разностного аналога дифференциаль-
ного уравнения параболического типа, ЖВМ й МФ 1, № 3 (1961),
441—460.
2.	Априорные оценки для разностных уравнений, ЖВМ н МФ 1, № 6
(1961), 972—1000.
3.	Однородные разностные схемы для нелинейных уравнений параболи-
ческого типа, ЖВМ н МФ 2, № 1 (1962), 25—56.
4.	Об одном экономичном разностном методе решения многомерного
параболического уравнения в произвольной области, ЖВМ и МФ 2,
№ 5 (1962), 787—811.
5.	О сходимости метода дробных шагов для уравнения теплопроводности,
ЖВМ и МФ 2, № 6 (1962), 1117—1121.
6.	Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравне-
ний параболического типа, ЖВМ и МФ 3, № 2 (1963), 266—298.
7.	Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках,
ЖВМ и МФ 3, № 3 (1963), 431—466.
8.	Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения
теплопроводности, ЖВМ и МФ 3, № 5 (1963), 812—840.
9.	Об одном экономичном алгоритме численного решения систем диффе-
ренциальных и алгебраических уравнений, ЖВМ н МФ 4, № 3 (1964),
580—585.
10.	Локально-одномерные разностные схемы для многомерных уравнений
гиперболического типа в произвольной области, ЖВМ н МФ 4, № 4
(1964), 638—648.
11.	Экономичные разностные схемы для уравнений параболического типа
со смешанными производными, ЖВМ н МФ 4, № 4 (1964), 753—
759.
12.	Экономичные разностные схемы для гиперболической системы уравне-
ний со смешанными производными и их применение для уравнений
теории упругости, ЖВМ и МФ 5, № 1 (1965), 34—43.
ЛИТЕРАТУРА
547
13.	О монотонных разностных схемах для эллиптических и параболических
уравнений в случае несамосопряженного эллиптического оператора
ЖВМ и МФ 5, № 3 (1965), 548—551.
14.	К теории разностных схем, ДАН СССР 165, № 5 (1965), 1007—1010.
15.	О принципе аддитивности для построения экономичных разностных
схем, ДАН СССР 165, № 6 (1965), 1253—1256.
16.	О разностных схемах для многомерных дифференциальных уравнений
математической физики, Aplikace Matematiky 10, № 2 (1965), 146—164.
17.	О точности метода сеток для задачи Дирихле в произвольной области,
Aplikace Matematiky 10, № 3 (1965), 293—296.
18.	Некоторые вопросы теории разностных схем, ЖВМ и МФ 6, № 4
(1966), 665—686.
19.	Аддитивные схемы. Доклад на Международном съезде математиков
в Москве (1966), Тезисы докладов, секция 14, вычисл. математика,
стр. 46—47.
20.	О регуляризации разностных схем, ЖВМ и МФ 7, № 1 (1967),
62—93.
21.	Классы устойчивых схем, ЖВМ и МФ 7, № 5 (1967), 1096—1133.
22.	О выборе итерационных параметров в методе переменных направлений
для разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности, ДАН
СССР 179, № 3 (1968), 548—551.
23.	Необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных раз-
ностных схем, ДАН СССР 181, № 4 (1968), 808—811.
24.	Двухслойные итерационные схемы, ДАН СССР 185, № 3 (1969), 524—
527.
25.	Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений,
ДАН СССР 186, № 1 (1969), 35—38.
26.	Лекции по теории разностных схем, Вычислительный центр АН СССР,
М., 1969.
27.	Некоторые вопросы общей теории разностных схем, Сб. «Дифферен-
циальные уравнения с частными производными», Труды симпозиума,
посвященного 60-летию академика Сергея Львовича Соболева, «Нау-
ка», 1970, 191—223.
28.	Об устойчивости трехслойных разностных схем, ДАН СССР 192, № 5
(1970), 998—1001.
Самарский А. А., Андреев В. Б.
1. Итерационные схемы переменных направлений для численного решения
задачи Дирихле, ЖВМ и МФ 4, № 6 (1964), 1025—1036.
Самарский А. А., Гулин А. В.
1. Об устойчивости разностных схем по правым частям, ДАН СССР 192,
№ 2 (1970), 285—288.
Самарский А. А., Моисеенко Б. Д.
1. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана,
ЖВМ и МФ 5, № 5 (1965), 816—827.
Самарский А. А., Соболь И. М.
1. Примеры численного расчета температурных воли, ЖВМ и МФ 3, № 4
(1963), 702—719.
Самарский А. А., Фрязииов И. В.
1. О сходимости однородных разностных схем для уравнения теплопро-
водности с разрывными коэффициентами. ЖВМ и МФ 1, № 5 (1961),
806—824.
2. О разностных схемах решения задачи Дирихле в произвольной области
для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами, ЖВМ
и МФ 11, № 2 (1971), 385—410.
С а мок иш Б. А.
1. Исследование быстроты сходимости метода наискорейшего спуска, УМН
12, вып. 1 (73) (1957), 238—240.
548
ЛИТЕРАТУРА
Саульев В. К.
1. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток, Физ-
матгнз, 1960.
Сеге Г.
1. Ортогональные многочлены, Физматгиз, 1962.
Сердюкова С. И.
1.	Исследование устойчивости в С явных разностных схем с постоянными
действительными коэффициентами, устойчивых в /а, ЖВМ и МФ 3, №2
(1963), 365—370.
2.	Равномерная устойчивость шестпточечной схемы повышенного порядка
точности для уравнения теплопроводности, ЖВМ и МФ 7, № 1 (1967),
214—218.
3.	Об устойчивости в равномерной метрике систем разностных уравнений,
ЖВМ и МФ 7, № 3 (1967), 497—509.
Соболев С. Л.
1. Уравнения математической физики, «Наука», 1966.
2. Некоторые применения функционального анализа в математической фи-
зике, Изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1962.
Стрэнг (Strang G.)
1. Accurate partial difference methods, I, Linear Cauchy problems, Arch.
Rational Meeh. Anal. 12, N 5 (1963), 392—402.
2. Implicit difference methods for initial-boundary value problems, J. Math.
Anal. Appl. 16, N 1 (1966), 188—198.
T и (T e e G. J.)
1.	A new technique for solving elliptic partial differential equations, J. Soc.
Ind. Appl. Math. 12, N 2 (1964), 311—347.
Тихонов A. H., Самарский A. A.
1.	Об однородных разностных схемах, ЖВМ и МФ 1, № 1 (1961), 5—63.
2.	Однородные разностные схемы высокого порядка точности на неравно-
мерных сетках, ЖВМ и МФ 1, № 3 (1961), 425—440.
3.	Разностная задача Штурма — Лиувилля, ЖВМ и МФ 1, № 5 (1961),
784—805.
4.	Однородные разностные схемы на неравномерных сетках, ЖВМ и МФ
2, № 5 (1962), 812—832.
5.	Об однородных разностных схемах высокого порядка точности на не-
равномерных сетках, ЖВМ и МФ 3, № 1 (1963), 99—108.
6.	Уравнения математической физики, «Наука», 1966.
Томэ (Т h о ш ё е V.)
1.	A. stable difference scheme for the mixed boundary problem for a hyper-
bolic first order system in two dimensions, J. Soc. Industr. Appl. Math.
10, N 2 (1962), 229—245.
2.	Elliptic difference operators and Dirichlet’s problem, Contr. to dif. equa-
tions, 3 (1964), 301—324.
3.	Parabolic difference operators, Math. Scand. 19, N 1 (1966), 77—107.
4.	On maximum norm stable difference operators, «Numerical solution of
partial differential equations», Proc. Internal. Symposium, 1965, New
York, 1966, 125—151.
5.	Generally unconditionally stable difference operators, SIAM J. Numer.
Anal. 4, N 1 (1967), 55—69.
Фаддеев Д. K-, Фаддеева В. H.
1. Вычислительные методы линейной алгебры, Физматгиз, 1963.
Федоренко Р. П.
1. О скорости сходимости одного итерационного процесса, ЖВМ и МФ
4, № 3 (1964), 559—564.
Федорюк М. В.
1. Об устойчивости в С задачи Коши для разностных уравнений и урав-
нений с частными производными, ЖВМ ц МФ 7, № 3 (1967), 510—540,
ЛИТЕРАТУРА
549
Ф и л и п п о в А. Ф.
1.	Об устойчивости разностных уравнений, ДАН СССР 100, № 6 (1955)
1045—1048.
Франк Л. С.
1.	Разностные схемы высокого порядка точности для систем дифферен-
циальных уравнений первого порядка, Вестник МГУ, сер. матем., мех
1966, вып. 2, 26—33.
2.	Разностные операторы в свертках, ДАН СССР 181, № 2 (1968), 286—289.
3.	О гиперболических разностных операторах, ДАН СССР 189, № 3 (1969),
486—488.
Франкел (FrankelS. Р.)
1.	Convergence rates of iterative treatments of partial differential equations,
Math. Tables and Other Aids Comput. 4, N 30 (1950), 65—75.
Ф p я з и н о в И. В.
1.	Об устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности
с переменными коэффициентами. ЖВМ и МФ 1, № 6 (1961)
1122—1127.
2.	О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой
задачи, ЖВМ и МФ 4, № 6 (1964), 1106—1112.
3.	О решении третьей краевой задачи для двумерного уравнения тепло-
проводности в произвольной области локально-одномерным методом,
ЖВМ и МФ 6, № 3 (1966), 487—502.
4.	Экономичные симметризоваиные схемы решения краевых задач для
многомерного уравнения параболического типа, ЖВМ и МФ 8, № 2
(1968), 436—443.
5.	Априорные оценки для одного семейства экономичных схем, ЖВМ и
МФ 9, № 3 (1969), 595—604.
6.	Экономичные схемы повышенного порядка точности для решения мно-
гомерного уравнения параболического типа, ЖВМ и МФ 9, № 6 (1969),
1316—1326.
Хаббард (Hubbard В. Е.)
1. Alternating direction schemes for the heat equation in a general domain,
J. Soc. Ind. Appl. Math., ser. B, Numer. Anal. 2, N 3 (1965), 448—463.
2. Some locally one-dimensional difference schemes for parabolic equations
in an arbitrary region, Math. Comput. 20, N 93 (1966), 53—59.
Харди Г. Г., Л и т т л ь в у д Д. Е., Полна Г.
1. Неравенства, ИЛ, 1918.
Шаманский В. Е.
1. О решении краевых задач итерационными методами, ЖВМ и МФ 7,
№ 3 (1967), 541—550.
2. О методе линеаризации для решения нелинейных краевых задач, Укр.,
матем. ж. 20, № 2 (1968), 218—227.
Я к у т Л. И.
1.	К вопросу обоснования сходимости разностных схем, ДАН СССР 151,
№ 1 (1963), 76—79.
Яненко Н. Н.
1.	Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопро-
водности, ДАН СССР 125, № 6 (1959), 1207—1210.
2.	Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов), ДАН СССР
134, № 5 (1960), 1034—1036.
3.	О неявных разностных методах счета многомерного уравнения тепло-
проводности, Изв. высш, учебн. заведений, сер. матем., № 4 (23) (1961),
148—157.
4.	О сходимости метода расщепления для уравнения теплопроводности
с переменными коэффициентами, ЖВМ и МФ 2, № 5 (1962), 933—937.
5.	О слабой аппроксимации систем дифференциальных уравнений, Сиб.
матем. ж. 5, Ns 6 (1964), 1431—1434.
550
ЛИТЕРАТУРА
6.	Метод дробных шагов решения многомерных задач математической
физики, «Наука», Сиб. отд., Новосибирск, 1967.
7.	Введение в разностные методы математической физики (лекции для
студентов НГУ), ч. I—II, Новосибирск, 1968.
Яненко Н. Н., Бояринцев Ю. Е.
1.	О сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности с
переменными коэффициентами, ДАН СССР 139, № 6 (1961), 1322—
1324.
Я н е н к о Н. Н., Д е м и д о в Г. В.
1.	Метод слабой аппроксимации как конструктивный метод построения
решения задачи Коши, Сб. «Некоторые вопросы прикл. и вычисл. ма-
тем.», Новосибирск, 1966, 60—83.
Яненко Н. Н., Сучков В. А., Погодин Ю. Я.
1.	О разностном решении уравнения теплопроводности в криволинейных
координатах, ДАН СССР 128, № 5 (1959), 903—905.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аппроксимация оператора 278
— разностная 18
— суммарная 397
Интегро-интерполяционный метод 111
Исходное семейство разностных схем
303, 320
Итерационная схема 449
— — двухслойная 452
----- продольно-поперечная 457
----- Ричардсона 479
----- стационарная 490
----- трехслойная 517
— — факторизованная 497, 526
Итерационный метод двухступенчатый
513, 527
-----двухшаговый 451
----- для квазилинейных уравнений
216
-----одношаговый 451
Каноническая форма двухслойной
разностной схемы 294
— — трехслойной разностной схемы
295
Корректность разностной задачи 41,
275, 296
Коши — Буняковского неравенство 48
--------обобщенное 66
Краевая задача первая 226, 230, 235
-----с условиями периодичности 163,
212
-----третья 34, 35, 87, 148, 211, 239,
287
Липшица условие 195, 320
Метод баланса 111
— выделения стационарных неодно-
родностей 199
— итерационный одношаговый, двух-
шаговый 451
— минимальных поправок 503
— наискорейшего спуска 509
Метод переменных направлений 359
-------итерационный 457, 492
— приближенной факторизации 370
— прогонки 42
--- матричной 532
--- потоковой 529
•-- циклической 535
—	простой итерации 454
—	разделения переменных 76, 309
—	расщепления 374
— расщепляющегося оператора 370
— суммарной аппроксимации 397
— установления 450
— энергетических неравенств 56, 83,
101
Норма негативная 26, 66
—	оператора 63
—	сеточная 16
Окрестность узла сетки 239
Оператор Лапласа разностный 227,
252
—	линейный 63
—	обратный 63
—	перехода 295
—	положительный 64
—	постоянный 302
—	разрешающий 298
—	сопряженный 65
—	треугольный 347
—	факторизованный 367
Операторы энергетически эквивалент-
ные 263
Оценка априорная 42
Параметры итерационные 452, 461,
519
---«по Жордану» 462
--- циклические 463
Погрешность аппроксимации 19, 277
— — на решении дифференциальной
задачи 29
--- оператора 25
552
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Принцип максимума 60, 239
—	суперпозиции 98, 336
Пространство сеточных функций 16
—	энергетическое 66
Разностная производная 18, 19
—	схема 29, 275
—	— аддитивная 395
—	— двухслойная 72
---Дюфорта — Франкела 89, 337
— — консервативная НО, 111
— — локально-одномерная 407, 413
— — монотонная 146, 206
— — наилучшая 119, 131
------- неявная 31, 73
----однородная 103, 105, 106, 201,
219
----Писмена — Рекфорда 360
----повышенного порядка точности
71, 249
---- предиктор-корректор 217
---- Ричардсона 89
— — Саульева 323
----с весами 71, 220
----с расщепляющимся оператором
368
---- сквозного счета 218
— — составная 395
---- точная 140
---- трехслойная 37
---- усеченная 144
---- факторизованная 368
----шеститочечная симметричная 73,
188
---- экономичная 358
----явная 31, 72, 188
Регуляризатор 345
Регуляризация разностных схем 345
Сетка 14
— квадратная 231
— неравномерная 15, 24
Сетка прямоугольная 231
— равномерная 14
— связная 234, 239
Скорость сходимости 33, 277
Слой 72
Стефана задача 218
Схема разностная см. Разностная схе-
ма
Сходимость итераций 455
— разностной схемы 33, 277
Теорема вложения разностная 53, 257
Точность разностной схемы 277
Узел сетки 14, 230, 232
----внутренний 15, 230, 232, 233
----граничный 15, 230, 232
----нерегулярный 233
----приграничный 233
Устойчивость абсолютная 79
— абстрактной задачи Коши 293
— безусловная 79
— двухслойной разностной схемы
296, 305, 309
— коэффициентная 149, 289
— по начальным данным 76, 298
— разностной схемы 33, 41, 275
— трехслойной разностной схемы 325
— условная 79
Формула Грина разностная 47, 255
— разностного дифференцирования 45
—	суммирования по частям 46
Функционал шаблонный 105, 116
Функция Грина разностная 119, 120
— сеточная 14
Шаблон 18
—	нерегулярный 24
— пятиточечный нерегулярный 228
— регулярный 227
Шаг сетки 14