А. А. САМАРСКИЙ
ТЕОРИЯ
РАЗНОСТНЫХ
СХЕМ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по специальности ((Прикладная математика^
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1989

ББК 22.193
С17
УДК 519,63@,75.8)
Самарский А. А. Теория разностных схем.—3-е изд., испр.—М.:
«Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— 616 с— I8ВN 5-02-014576-9.
Содержит систематическое изложение основных вопросов теории
разностных схем, возникающих при решении задач для уравнений
математической физики. Главное внимание уделяется изложению
принципиальных вопросов теории, иллюстрируемых па простых задачах
математической физики для уравнений второго порядка, имеющих в основном
параболический или эллиптический тип.
3-е издание, исправленное.
Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная
математика» и «Физика», а также для научных работников — математиков,
физиков и механиков.
Т&бл. 6. Ил. 19. Бпблиогр. 17 назв.
Учебное издание
САМАРСКИЙ Александр Андреевич
ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Заведующий редакцией А. С. Косое. Редактор И. М. Бокова
Художественный редактор Г. Я. Кольченко. Технический редактор Я. Ш, Аксельрод
Корректоры Е. В. Сидоркина, В. П. Сорокина
ИБ №41218
Подписано к печати с диапозитивов 24.10.89. Формат 60X90/16. Бумага ТИП 2
Гарнитура обыкновенная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 38,5. Усл. кр.-отт. 38,5
Уч.-изд.л. 38,99. Тираж 6750 экз. Заказ № 32, . Цена 1 р. 60 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная рсдаытия физико-математической литературы
,, 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука».
630077 Новосибирск, 77, ул. Станиславского, 25.
г 1602110000-148 „г 94 а 4000 (© Издательство «Наука».
^ пе^/по* ал КЬ ^1-Ь-1УоУ ^ Главная редакция
\)ЭО[\)А)-о\9 фиаико-математической
ш А литературы, 1989
18ВК 5-02-014576-9

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 5
Предисловие к первому изданию 6
Введение \ . . 9
Глава I. Предварительные сведения 18
§ 1. Типичные задачи математической физики 18
§ 2. Разностные уравнения 29
Глава И. Основные понятия теории разностных схем .... 60
§ 1. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных
операторов 60
§ 2. Устойчивость разностной схемы 88
§ 3. Некоторые сведения о математическом аппарате теории
разностных схем 97
§ 4. Разностные схемы как операторные уравнения. Общие
формулировки 113
Глава III. Однородные разностные схемы 136
§ 1. Однородные схемы для уравнения второго порядка с
переменными коэффициентами 136
§ 2* Консервативные схемы 141
§ 3. Сходимость и точность однородных консервативных схем 150
§ 4. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках 157
§ 5. Другие., задачи 165
§ 6. Разностная функция Грина 181
§ 7. Схемы повышенного порядка точности 187
§ 8. Методы построения разностных схем 193
§ 9. Коэффициентная устойчивость 205
Глава IV. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа 211
§ 1. Разпостная задача Дирихле для уравнения Пуассона . . . 211
§ 2. Принцип максимума 226
§ 3. Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле . . 232
§ 4. Некоторые свойства разностных эллиптических операторов 236
§ 5. Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона 250
Глава V. Разностные схемы для нестационарных уравнений с
постоянными коэффициентами 257
§ 1. Одномерное уравнение теплопроводности с постоянными
коэффициентами . . .• 257
§ 2. Асимптотическая устойчивость 279
§ 3. Схемы для уравнения теплопроводности с несколькими
пространственными переменными 289
§ 4. Нестационарное уравнение Шредингера . . . % . . . 296
§ 5. Уравнение переноса 300
§ 6. Разностные схемы для уравнения колебаний струны . . 307
Глава VI. Теория устойчивости разностных схем . . 320
§ 1. Операторно-разностные схемы 320
§ 2. Классы устойчивых двухслойных схем 331
§ 3. Клас сы устойчивых трехслойных схем 353
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VII. Однородные схемы для нестационарных уравнений
математической физики с переменными коэффициентами . . 378
§ 1. Однородные разностные схемы для уравнения
теплопроводности с переменными коэффициентами 378
§ 2. Однородные разностные схемы для уравнений
гиперболического тина 407
Глава VIII. Разностные методы решения нелинейных уравнений
математической физики 413
§ 1. Разпостпые методы решепия квазилинейного уравнения
теплопроводности 413
§ 2. Консервативные разностные схемы нестационарной газовой
динамики 427
Глава IX. Экономичные разностные схемы для многомерных задач
математической физики 442
§ 1. Метод переменных направлений (продольно-поперечная
схема) для уравнения теплопроводности 442
§ 2. Экономичные факт физованыые схемы 458
§ 3. Метод суммарной аппроксимации 477
Глава X. Методы решения сеточных уравнений 515
§ 1. Прямые методы 515
§ 2. Двухслойные итерационные схемы 523
§ 3. Попеременно-треугольный метод 540
§ 4. Итерационные методы переменных направлений .... 567
§ 5. Другие итерационные методы 580
Дополнение 592
§ 1. Некоторые сведения из функционального анализа . . . 592
§ 2. Некоторые варианты метода прогонки 597
§ 3. Задачи 601
Библиографическою комментарии .' 609
Литература 612
Основные обозначения, принятые в кпиге 613
Предметный указатель 615

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
За время, прошедшее после выхода первого издания этой
книги, в теории разностных методов получен ряд важных
результатов, относящихся: 1) к разработке методов построения
разностных схем для линейных и нелинейных многомерных задач
математической физики (вариационно-разностные методы, метод
опорных операторов и др.); 2) к изучению точности разностных
схем на негладких (обобщенных) решениях; 3) к разработке
новых методов, численного решения разностных эллиптических
уравнений и др.
Однако, поскольку сначала предполагалось стереотипное
переиздание книги непосредственно с матриц, то автор вынужден был
ограничиться лишь внесением минимального числа исправлений
для устранения опечаток и неточностей.
Для обеспечения учебного процесса но специальностям
«Прикладная математика» и «Вычислительная математика»
необходимы учебные пособия разного типа и уровня. В последние 5 лет
«втором вместе с сотрудниками подготовлен ряд книг. Вопросы,
связанные с решением систем линейных алгебраических
уравнений вообще и разностных уравнений в особенности, детально
рассматриваются в книге А. А. Самарского и Е. С. Николаева
«Методы решения сеточных уравнений»' (М.: Наука, 1978), где
изложены прямые методы и дана общая теория итерационных
методов решения систем линейных уравнений, а также различные
специальные методы для разностных уравнений.
В книге А. А. Самарского и Ю. П. Попова «Разностное
методы решения задач газовой динамики» (второе переработанное
издание, М.: Наука, 1980) излагаются методы построения и
исследования разностных схем для одномерных и двумерных задач
газовой динамики и магнитной гидродинамики, а также методы
решения нелинеййых уравнений для неявных схем. Она идейно
опирается на книгу «Теория разностных схем» и иллюстрирует
особенности численного решения нелинейных задач
математической физики.
Находится в печати книга А. А. Самарского «Введение в чис-*
ленцые методы»; она написана на основе лекций автора,
читавшихся в течение ряда лет для студентов 2-го курса факультета
вычислительнфй математики и кибернетики Московского
государственного университета им. М. В. Ломоносова.
5 мая 1982 г. Москва
А. А. Самарский

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Быстрое развитие численных методов решения задач
математической физики вызывает необходимость изложепия теории раз-
постных (или.сеточных) методов на современном уровне в форме,
доступной для широкого круга читателей. Данная книга,
являющаяся учебным пособием, содержит изложение основ теории
разностных схем и применения этой теории для изучения
численных алгоритмов решения на ЭВМ типичных задач
математической физики. В ней дается по возможности элементарное и
систематическое изложение основных принципиальных вопросов
теории, иллюстрируемых на простейших задачах для
обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений
параболического, эллиптического и гиперболического типов.
Рассматриваются прежде всего те схемы (или их простейшие модели),
которые представляют практический интерес, т. е. пригодны для
решения конкретных задач на ЭВМ.
Основное внимание уделяется написапию разностной схемы
и теоретическому (априорному) исследованию ее свойств
(погрешности аппроксимации, устойчивости, сходимости и точности), а
также вычислительным алгоритмам для решения разностных
уравнений, получающихся при сеточпой аппроксимации.
Формулируются конструктивные принципы (такие, как требования
однородности и консервативности, суммарной аппроксимации и др.),
которые теоретически обоснованы для линейных и проверены па
практике для нелинейных задач. Эффективность общей теории
разностных схем, в особенности теории устойчивости (гл. VI),
проиллюстрирована на большом числе примеров, причем даже
для простейших уравнений с постоянными коэффициентами
общая теория дает неулучшаемые результаты. Поскольку мы
рассматриваем лишь схемы для дифференциальных уравнений
второго порядка, то при решении получающихся разностных уравнении
(как в одномерном, так и многомерном случаях) используется
лишь алгоритм одномерной прогонки (для систем алгебраических
уравнений с трехдиагональной матрицей).
Следует отметить, что для теории разностных схем типично
предположение о том, что решение исходной задачи для
дифференциального уравнения существует и имеет нужное по ходу
изложения число производных, обеспечивающих максимальный
порядок аппроксимации. Мы не останавливаемся на перечпе
Условий, обеспечивающих требуемую гладкость решепия.
Предполагается, что читатель знаком с основами
университетского курса теории уравнений в частных производных (на-

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
7
пример, по книге А. Н. Тихонова и А. А. Самарского «Уравнения
математической физики»), точнее, с постановками типичных
надач, а также с элементами функционального анализа (перечень
некоторых сведений дан в Добавлении к книге).
Кор"отко о содержаний книги. Глава I является вводной.
В § 1 гл. I даны сведения справочного характера о типичных
аадачах математической физики, а в § 2 изучаются разностные
уравнения, в основном второго порядка, и даны алгоритмы
прогонки. Основные понятия теории разностных схем,
иллюстрируемые большим числом примеров, излагаются в гл. П. Глава III
посвящена теории однородных консервативных разностных схем
для краевых задач в случае обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. Здесь демонстрируются различные
методы исследования и построения разностных схем. Разностная
задача Дирихле для уравнения Пуассона, а также для
эллиптических уравнений общего вида изучается в гл. IV. В главе V
рассматриваются разностные 'схемы для уравнений
теплопроводности, колебаний струны, уравнения Шредингера и уравнений
переноса; здесь изучаются только уравнения с постоянными
коэффициентами. В главе VI излагается общая теория устойчивости
двухслойных и трехслойных операторио-разностных схем.
Применение этой теории к однородным разностным схемам для
параболических и гиперболических уравнений 2-го порядка
с переменными коэффициентами дапо в гл. VII. Глава VIII
посвящена нелинейным задачам теплопроводности и газовой
динамики.
Экономичные методы решения многомерных уравнений
математической физики изложены в гл. IX, а в гл. X даны методы
решения сеточных уравнений, получающихся, в' частности, при
аппроксимации эллиптических уравнений. По ходу изложения
обращается внимание читателя на вопросы, касающиеся
практического использования алгоритмов.
При написании данной книги использовалась монография
автора «Введение в теорию разностных схем». Переход от
монографии к учебному пособию потребовал существенной
переработки. В частности, за последние пять лет. появился ряд новых
численных методов и теоретических работ, приведших к
переоценке некоторых популярных методов. Так, например,
полностью переработан материал главы X.
В последние годы появилось много работ, посвященных
методу конечных элементов (МКЭ) — одному из видов вариационно-
разностных методов. Его изложение громоздко, и' в книге дан
пример вывода разностной схемы с помощью МКЭ для
одномерной задачи (§ 8 гл. III), причем схема совпадает с той, что
получена интегро-интерполяционным методом. Подчеркнем, что
МКЭ — это только один из методов получения разностных схем,
возможно, нестандартного типа.

8
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Характер книги как учебного пособия вынудил отказаться от
обзора работ по отдельным разделам теории разностных схем и
ограничиться краткими библиографическими сведениями в конце
книги. Отметим также, что в книге «Введение в теорию
разностных схем» дана подробная библиография вплоть до 197Г года.
На основе материала книги можно построить лекционные
курвы по теории разностных схем, рассчитанные на один, два или три
ееместра. Отбор соответствующего материала не представляет
труда. В частности, материал § 2 гл. II, частично гл. III, VIII
1§ 1, п. 1) и гл. X (общая теория итерационных методов,
модельный пример — трехточечная схема для уравнения и' (х) = —/(#),
0<#<1, и@) =*=иA) = 0) составил большую часть содержания
лекций по численным методам, прочитанных автором в весеннем
семестре 1976 года для студентов 2-го курса факультета
вычислительной математики и кибернетики Московского государственного
университета.
Данную книгу следует рассматривать как первую в цикле,
к которому относятся также книги:
Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость
разностных схем.— М., 1973.
Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы
газовой динамики.— М., 1975.
Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы
решения эллиптических уравнений.— М., 1976.
По материалам, вошедшим в эту книгу, автор в 1960—1976 гг.
читал в Московском государственном университете им. М. В.
Ломоносова лекции для студентов физического,
механико-математического факультетов и факультета вычислительной математики и
кибернетики.
Считаю своим приятным долгом выразить благодарность
моему учителю Андрею Николаевичу Тихонову, многолетняя
совместная работа с которым способствовала определению
содержания и характера изложения теории разностных схем.
При подготовке книги автор учел замечания В. Б. Андреева,
А. В. Гулина, И. В. Фрязинова и др. Особенно большую помощь
оказали автору А. В. Захаров при подготовке рукописи^ печати
н Е. С. Николаев — при работе над гл. X. Всем им я выражаю
глубокую благодарность. Я благодарен также В. М. Марченко за
домощь при оформлении рукописи, Р. А. Волковой и Д. А. Голь-
диной за проведение методических расчётов.
Москва, октябрь 1976 г.
А. А. Самарский

ВВЕДЕНИЕ
Бурное развитие численных методов и становление новой
науки— вычислительной математики —в последние два-три
десятилетия связано с необходимостью решения крупных научно-
технических проблем и появлением быстродействующих
электронно-вычислительных машин (ЭВМ или компьютеров). Достаточна
указать такие проблемы, как 1) овладение ядерной энергиейу
создание ядерных реакторов, 2) проектирование летательных
аппаратов (самолетов и ракет), 3) динамика космических полетов,
4) изучение физики плазмы в связи с проблемой управляемого
термоядерного синтеза и др.
Решение этих задач было бы невозможно без применения,
численных методов. Успехи в области вычислительной
математики и ее приложений способствовали повышению интереса к
математике вообще и привели к созданию новых ее разделов.
В настоящее время можно говорить, что появился новый
способ теоретического исследования сложных процессов,
допускающих математическое описание или математическое
моделирование,— вычислительный эксперимент, т. е. исследование реальных
процессов средствами вычислительной математики.
В чем заключается вычислительный эксперимент (ВЭ)? (См.:
Самарский А. А. Математическое моделирование и
вычислительный эксперимент.— Вестпик АН СССР, 1979, № 5, с. 38—49.)
Пусть требуется изучить некоторый физический процесс.
Будем исследовать его методом ВЭ.
Первый этап — математическая формулировка задачи или
выбор математической модели. Этому предшествует выбор
физического приближения, т. е. того, какие факторы надо учесть, а
какими можно пренебречь. Это — привилегия физиков.
Что такое математическая модель? Указываются группа
искомых физических величин и группа заданных величин: между
ними есть связь, т. е. уравнения (алгебраические или
дифференциальные), написание которых вместе со всей необходимой
информацией (о коэффициентах уравнений, о начальных и краевых
условиях) и есть выбор математической модели.
Изучением математических моделей физики занимается
математическая физика. Уравнениями математической физики, в
основном, являются дифференциальные уравнения с частными
производными, а также интегральные и интегро-дифференциальные
уравнения. Эти уравпения обычно выражают законы
сохранения основных физических величин (энергии, количества
движения, массы и др.) и, как правило, являются нелинейными.

10
ВВЕДЕНИЕ
После того как написана система уравнений, описывающих
процесс, надо исследовать полученную математическую модель
методами общей теории дифференциальных и интегральных
уравнений. Надо установить* правильно ли поставлена задача,
хватает ли данных, не противоречат ли они друг другу, найти
условия, при которых задача разрешима и имеет единственное
^решение, выяснить, нельзя ли на'писать решение задачи в явном
виде, можно ли построить частные решения. Частные решения
важны для получения первичной информации о характере
физического процесса, а также как тесты для проверки качества
численных методов.
Второй этап — построение приближенного (численного)
метода решения задачи, написание вычислительного алгоритма.
Третий этап — программирование для ЭВМ вычислительного -
алгоритма.
Четвертый этап — проведение расчетов на ЭВМ.
Пятый э^ап — анализ полученных численных результатов и
уточнение математической модели.
Может оказаться, что математическая модель слишком груба—
результат вычислений не согласуется с физическим
экспериментом, или что модель слишком сложна, и решение с достаточной
точностью можно получить при более простых моделях. Тогда
следует начинать работу с первого этапа и снова пройти все
этапы и т. д.
Здесь показаны этапы вычислительного эксперимента при
теоретическом исследовании физических задач. Речь идет о
новом методе теоретического исследования с использованием
сложных математических моделей.
На первом этапе используются классические методы
математической физики. Следует отметить, что многие задачи приводят
к таким математическим моделям физики, разработка теории
которых находится в начальной стадии. На практике приходится
численпо решать такие нелинейные задачи математической
физики, для которых еще не доказаны даже теоремы существования
и единственности.
Здесь мы остановимся лишь на втором этапе вычислительного
эксперимента. Под вычислительным алгоритмом обычно понимают
последовательность операций (логических и арифметических),
при помощи которых находится решение задачи. Требуется,
чтобы вычислительный алгоритм давал решение задачи с любой
степенью точности 8 > 0 за конечное число действий (?(г). Это
общее требование. Но уже оно вызывает много вопросов
математического характера. Что значит: «с любой точностью»? Должна
быть показана принципиальная возможность получить решение
с любой точностью,, однако возможен случай, когда @(е) при
некотором 8 конечно, но настолька велико, что нереально на
практике получить решение с такой точностью е. Для любой

ВВЕДЕНИЕ
11
задачи можно построить бесчисленное множество
вычислительных алгоритмов, которые обладают, например, одинаковыми
асимптотическими свойствами, так что для них (Ке) имеет один
и тот же порядок по е при е -** 0. Изучать надо не все такие
методы, а лишь те из них, которые пригодны для работы на ЭВМ.
Естественно выбирать такие методы, которые для решения задачи
с заданной точностью требуют минимального машинного
времени. Время решения задачи должно быть разумным, измеряться
минутами или, если речь идет о единичных расчетах,
несколькими часами. Расчет должен стоить возможно дешевле. Время
решения задачи зависит от алгоритма, от вычислительной
машины и качества программы. Последнее учесть при априорных
оценках качества 'алгоритма очень трудно. Число логических
действий тоже трудно оценить независимо от машины. Поэтому
сравнение вычислительных алгоритмов при теоретическом
исследовании проводят обычно по числу арифметических операций
(?0(е). Поиск экономичного алгоритма, для которого число
операций минимально, осуществляется в классе допустимых
алгоритмов (например, имеющих одну и ту же асимптотику для (?0(е)
при е-*0). В этом и состоит основная задача теории численных
методов.
При теоретических исследованиях алгоритмов обычно сначала
предполагается, что вычислительный процесс является
идеальным, т. е. вычисления ведутся с бесконечным числом. знаков.
Однако на ЭВМ вычисления ведутся с конечной скоростью и
с конечным числом знаков, допустимы не все числа, есть
машинный нуль и машинная бесконечность. Если в процессе
вычислений получается машинная бесконечность, то происходит
аварийный останов (авост). Вычислительный процесс может оказаться
неустойчивым, т. е. ошибки округления могут неограниченно
нарастать, что делает алгоритм непригодным для практических
расчетов (примеры таких неустойчивых алгоритмов приводятся
в гл. II данной книги). Реальный (т. е. пригодный для ЭВМ)
вычислительный алгоритм должен быть устойчивым и не
допускать в процессе вычислений слишком больших промежуточных
значений (приводящих к авосту). Из сказанного ясно, что
идеальный вычислительный алгоритм может быть оптимальным по
числу (?0(е) и совершенно непригодным для вычислений на ЭВМ.
Поэтому надо искать оптимальные реальные вычислительные
алгоритмы.
"Вычислительный эксперимент — это не разовый счет по
стандартным формулам, а прежде всего расчет серии вариантов для
различных математических моделей. Пусть, например, надо найти
оптимальные условия некоторого химического процесса, т. е.
найти условия, при которых быстрее всего идет реакция.
Решение, задачи зависит от ряда параметров (например, от
температуры, давления, от состава реагирующей смесп и др.). Чтобы

12
ВВЕДЕНИЕ
найти оптимальный режим работы, надо провести расчеты для
различных значений этих параметров, т. е. решить ряд
вариантов. Конечно, возможны ситуации, когда алгоритм нужен для
одиночных расчетов.
Постановка задачи об оптимальном алгоритме зависит от
характера его использования (в одновариантном или многовариант-
ном режиме).
Мы не останавливаемся здесь на вопросах, связанных с
программированием, организацией и проведением вычислений па
ЭВМ. Отметим лишь, что деятельность по программированию
должна быть тесно связана с разработкой численных
алгоритмов. Задачи математической физики сложны и алгоритмы для
их решения — громоздки. Их надо делить на блоки, «модули».
Далее, процессы разной физической природы часто описываются
одними и теми же уравнениями (например, процессы диффузии,
теплопроводности и намагничивания). Разные физические задачи
могут иметь одну и ту же математическую модель, хотя у
каждой задачи есть своя физическая специфика. О другой стороны,
математическая модель в процессе проведения вычислительного
эксперимента может существенно меняться несколько раз, и это
требует изменения алгоритма (точнее, отдельных его частей) и,
следовательно, программы. Отсюда возникает необходимость
создания комплекса программ (пакета программ), построенного на
модульном принципе и позволяющего оперативно проводить
вычислительный эксперимент и решать классы задач разной
физической природы. Это—актуальное направление в
программировании и решении больших задач математической физики,
оказывающее воздействие на работу по созданию численных методов.
Для численного решения задач математической физики
обычно применяется метод конечных разностей или метод сеток. Он
позволяет свести решение дифференциальных уравнений в част
ных производных к решению систем алгебраических уравнений.
Данная книга посвящена теории разностных методов (схем)
для решения типичных задач математической физики. •
В теории численных методов есть два главных вопроса:
1) построение дискретных (разностных) аппроксимаций для
уравнений математической физики и исследование априорных
характеристик качества этих аппроксимаций, что сводится
прежде всего к изучению погрешности аппроксимации, устойчивости
и связанной с ними точности полученной разностной схемы;
2) решение разностных уравнений прямыми или
итерационными методами, выбираемыми из осображений экономичности
вычислительного алгоритма.
Характерная черта численных методов — их множественность.
Каждому уравнению можно сопоставить бесчисленное множество
разностных аппроксимаций, имеющих одни и те же
асимптотические (т. е. по порядку относительно шага сетки к) характе-

ВВЕДЕНИЕ
13
ристики (один и тот же порядок точности, одинаковый по
порядку объем вычислений и т. д.). В этом состоит основная
причина появления большого числа разных схем для основных
уравнений математической физики.
Естественно стремление найти наилучший метод, который
позволял бы получить искомое решение с заданной точностью
аа минимальное машинное время. Поиск таких численных
методов на некотором множестве допустимых методов и есть
основная цель теории. Для поиска наилучшего (оптимального) метода
(выбор которого зависит от класса решаемых задач) применяется
постепенное сужение множества допустимых методов путем
последовательного включения требований аппроксимации,
устойчивости, экономичности и др. Важную роль играет общее
требование: разностная схема (дискретная модель) должна как.мождо
лучше моделировать (приближать) свойства исходного
дифференциального уравнения.
Для практики необходимо формулировать общие принципы,
эвристические приемы и правила для получения разностных
схей заданного качества. Такими принципами прежде всего
являются принципы однородности (единообразия) и
консервативности разностйой схемы. Консервативность означает, что раз-
постная схема выражает некоторый закон сохранения (уравнение
баланса) на сетке. Консервативность однородных схем является
необходимым условием сходимости в классе разрывных
коэффициентов для стационарных и нестационарных задач
математической физики.
Для линейных уравнений свойство консервативности
разностной схемы обычно эквивалентно требованию самосопряженности
разностного оператора (см. гл. III и IV). Для нелинейных
уравнений, например уравнений газовой динамики, эффективным
конструктивным принципом является принциц полной
консервативности разностной схемы (см. § 2 гл. VIII).
Основные понятия теории разностных схем — погрешность
аппроксимации, устойчивость, сходимость и точность разностной
схемы — вводятся в гл. II данной книги. Эти понятия
иллюстрируются на примерах схем для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Уже здесь намечается переход к общим
формулировкам, не использующим информации о конкретном виде
разностного оператора.
Основной вопрос теории — о точности схемы — сводится к
изучению погрешности аппроксимации и устойчивости схемы.
Изучение устойчивости схемы сводится к получению априорных
оценок решения разностной задачи через входные данные
задачи, что является большой самостоятельной проблемой,
требующей специального рассмотрения.
С другой стороны, и вопрос о погрешности аппроксимации
пе является тривиальным. Уже простейший пример схемы на

14
ВВЕДЕНИЕ
неравномерной сетке для уравнения второго порядка
показывает, что погрешность аппроксимации желательно оценивать не
в норме С, а в более слабой норме специального вида (в
негативной норме). Отсада возникает необходимость получения
априорных оценок для решения разностной задачи через правую
часть в слабой норме. Такого^вида оценки получены в гл. III
и использованы для доказательства сходимости однородных
разностных схем в классе разрывных коэффициентов.
С необходимостью пересмотра понятия погрешности
аппроксимации и, тем самым, понятия схемы мы сталкиваемся в гл. IX
в связи с построением экономичных схем для многомерных задач
математической физики. Введенное в § 3 гл. IX понятие
суммарной (по I) аппроксимации носит конструктивный характер
и позволяет легко написать экономичные схемы для
различных задач.
В книге есть примеры, показывающие различные подходы
к понятию устойчивости разностных схем. Так, в гл. V,
посвященной разностным схемам для нестационарных уравнений с
постоянными коэффициентами, изучается асимптотическая
устойчивость разностных схем для уравнения теплопроводности —
свойство, присущее дифференциальному уравнению.
Теоретические вопросы возникают в гл. II—V в связи с
изучением конкретных разностных схем для уравнений
эллиптического, параболического и гиперболического типов. В гл. III,
в связи с изучением однородных разностных схем для
обыкновенного дифференциального уравнения, ставится типичная задача
теории разностных схем: задано исходное семейство разностных
схем (в данном случае семейство задано, если заданы
шаблонные функционалы), требуется найти в этом семействе схемы
нужного качества. Эта задача решается в гл. III с
использованием конкретного вида схемы, и ее решение приводит нас к
консервативным однородным схемам.
В гл. VI излагается общая теория разностных схем. • Для
построения общей теории разностных схем естественно
освободиться от предположений о структуре разностных операторов,
об их явном представлении. Это приводит к определению
разностных схем как операторных уравнений (аналогу сеточных
аппроксимаций для эллиптических и интегральных уравнений)
и операторно-разностных уравнений (разностных по аргументу I
с операторными коэффициентами), которые являются аналогами
разностных схем для нестационарных (эволюционных) уравнений
математической физики (например, параболического и
гиперболического типа). Операторы схем являются линейными
операторами, заданными в некотором абстрактном линейном
нормированном пространстве //*, зависящем от векторного параметра Н
(аналога шага сетки по х~(хи х2, ..., хр)) с нормой |й! >0.
Итак, рассматриваются два типа схем:

ВВВДЕНИЕ
15
Операторная схема имеет вид последовательности (по
параметру к) операторных уравнений первого рода
лу-и
гдеу!=ЛЛ: Нн-+Нн (оператор Ан зависит от к и действует из
Ял в ЯА), у = /л е Нн — заданный вектор, у = ун^ НК — искомый
вектор.
Операторно-разностная двухслойная схема записывается в
следующем каноническом виде:
В у т у +Ау> = ч>, /-0,1, ..., задан 1/°еЯЛ,
где т —- шаг сетки по *: ^ = /т, /==0» 1, • • •', -4, В: Нн-+Нн и
зависят от /&, т и, вообще говоря, от I}, ^ = у^ хA,) 6Й~
искомая, а ср* = фЛ, т(^) еЯА~ заданная функции дискретного
аргумента ^ —/т со значениями в ЯЛ (индексы А, т ниже опускаем).
Многослойные схемы (т. е. схемы содержащие значения уШ
для нескольких моментов 1*=1ь ^+1, *,-+2, ...) могут быть
сведены к двухслойным схемам, у которых А и В являются
операторными матрицами.
Центральным разделом теории разностных схем является
теория устойчивости. Исследованию устойчивости' разностных схем
посвящено огромное количество работ, значительная часть
которых основана на применении спектральных методов и содержит
трудно сопоставимые и малоэффективные # результаты, как
правило, использующие предположения о структуре разностных
операторов. В случае схем с несамосопряженными операторами
спектральная теория дает необходимые условия устойчивости,
в то время как основной интерес представляют достаточные
условия и априорные оценки. Между тем энергетический подход,
использующий введенные выше определения схемы, позволяет
дать исчерпывающее исследование устойчивости схемы с
операторами в гильбертовом пространстве ЯЛ.
Очевидно, что устойчивость есть внутреннее свойство схемы,
не зависящее от аппроксимации и связи схемы с каким-либо
дифференциальным уравнением; поэтому условие устойчивости
должно формулироваться в виде некоторой связи между
операторами А и В.
Задача ставится так. Задано исходное семейство схем при
помощи условий на А и Я: А = А*>0 или (Ау, у) = (у, Ау), {Ау,
у) >0 для любых у, уеЯ, где (,) — скалярное произведение в Я,
Я>0, ВФВ* (В не является самосопряженным). Требуется
выделить из этого семейства множество устойчивых по начальным
данным схем
В у3^~у1 + Ау} = 0, / = 0.1г....,у«еЯ,

10
ВВЕДЕНИЕ
для которых выполнено неравенство
1У11л^«1/011л, где \\у\\А = У(Ау, у)
(устойчивость здесь означает выполнение этой оценки).
Необходимое и достаточное условие устойчивости
двухслойных схем имеет вид операторного неравенства
В>0,5тА
или
(Ву% у) > 0,5тС4у, у) для любых уеЯ.
Это условие удобно для проверки в случае разностных схем
для уравнений математической физики. Оно выделяет из
исходного семейства схем множество устойчивых схем, в котором и
следует искать схемы нужного качества по точности, объему
вычислений и т. д. Следствием теории устойчивости является
общий метод регуляризации в классе устойчивых схем (путем
изменения операторов А и В), для получения схем заданного
качества. Важную роль играет каноническая форма записи схем.
В аналогичной форме записываются итерационные схемы для
операторных уравнений Аи = /. Это позволяет применять
результаты общей теории устойчивости операторно-разностных схем
к изучению итерационных методов (гл. X).
В гл. VI получено большое число априорных оценок,
выражающих устойчивость двухслойных и трехслойных схем по
начальным данным и по правой части. Эти оценки широко
используются в гл. VII, .IX и X.
Отметим, что в теории разностных схем фактически
используются элементарные понятия функционального анализа и
линейной алгебры, такие как норма оператора, сопряженный
оператор, операторное неравенство и т. п. Для удобства читателя
эти сведения даны в конце книги, в виде дополнения.
В книге приводится много примеров практического
использования для конкретных схем общей теории устойчивости,
изложенной в гл. VI.
Основная часть книги посвящена разностным методам
решения линейных уравнений математической физики. В гл. VIII
рассматриваются нелинейные задачи теплопроводности и газовой
динамики. Гл. IX посвящена экономичным методам решения
многомерных задач математической физики. Экономичные схемы
для нестационарных задач делятся на две группы:
1) факторизованные схемы, обладающие аппроксимацией в
обычном смысле;
2) аддитивные схемы, которые представляют собой цепочку
обычных схем, осуществляющих переход от слоя / на слой /+1,
и аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение* в
суммарном смысле.

ВВЕДЕНИЕ
17
Для каждого типа схем указаны методы исследования
аппроксимации и устойчивости. Устойчивость факторизованных схем
исследована на основе общей теории устойчивости, а для
аддитивных схем развит свой метод исследования устойчивости,
использующий свойство суммарной аппроксимации. В частности,
оценки в равномерной метрике в случае аддитивной (локально-
одйомерной) схемы для уравнения теплопроводности удается
получить при помощи принципа максимума, общая формулировка
которого дана в гл. IV.
Для большинства экономичных методов решения
многомерных задач типично использование на каждом этапе вычислений
алгортимов решения одномерных задач.
Методы решения разностных уравнений, получающихся при
аппроксимации дифференциальных уравнений эллиптического
типа, изучаются в последней, десятой, главе. Сначала излагаются
прямые методы (декомпозиции и разделения переменных),
пригодные для решения разностной задачи Дирихле в случае
уравнения Пуассона в прямоугольнике. Они являются более
экономичными, чем метод переменных направлений с оптимальным
набором итерационных параметров.
Общая теория итерационных методов излагается для
уравнения первого рода Аи = /, где А — линейный оператор в
гильбертовом пространстве. Теория итерационных методов трактуется
как раздел общей теории устойчивости операторно-разностных
схем. Найден оптимальный набор параметров и получены оценки
скорости сходимости для двухслойной итерационной схемы.
Большое внимапие уделяется попеременно-треугольному методу
с оптимальным набором чебышевских параметров. Этот
универсальный метод является весьма эффективным для решения
эллиптических уравнений с переменными коэффициентами в
произвольной области. Соответствующие алгоритмы приведены
в § 3 гл. X.

Глава!
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
В этой главе содержатся некоторые предварительные сведения,
используемые в дальнейшем. В § 1 рассматриваются типичные стационарные и
нестационарные задачи математической физики. В § 2 проводится изучение
.простейших представителей сеточных уравнений — рааностных уравнений
второго порядка, которые являются важным элементом рассматриваемых
в книге (вычислительных алгоритмов для одномерных и многомерных аадач
математической физики.
§ 1. Типичные задачи математической физики
1. Стационарные задачи. Основная цель книги — изучение
численных методов решения уравнений математической физики.
Чтобы подчеркнуть связь с обычным университетским курсом
уравнений математической физики, выпишем типичные
уравнения математической физики и постановки краевых задач для
них. Не имея возможности останавливаться подробно на
физических задачах, приводящих к тем или иным уравнениям, а
также на теории краевых задач математической физики,
ограничимся ссылками на книги по уравнениям математической
физики *).
Основное изложение мы проводим для линейных уравнений
второго порядка.
Различают два типа процессов — нестационарные
(меняющиеся во времени) и стационарные (но меняющиеся во времени).
Нестационарные процессы описываются прежде всего
уравнениями параболического и гиперболического типов, а
стационарные процессы — уравнениями эллиптического типов.
Начнем со стационарных задач.
Простейшим представителем уравнения эллиптического типа
является уравнение Лапласа
р . 2
ди=У—т^О, и = !*(*), * = (х1у:г2, ...,хр) A)
<51 дха
(р = 1, 2, ..., р0, р — число измерений). Неоднородное
уравнение
Ди « -/(*) B)
называют уравнением Пуассона.
*) См. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения
математической физики.— М.: Наука, 1972.

§ 1. ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 19
К уравнениям Лапласа и Пуассона приводят задачи о
стационарном распределении тепла, задачи диффузии,
электростатики и др.
Стационарное распределение температуры и = и{хи х21 х3)
в однородной среде описывается уравнением Пуассона
где Р = Р(х) — плотность тепловых источников (источник),
а к = сопз1 > 0 — коэффициент теплопроводности.
Если среда неоднородна, то коэффициент теплопроводности к
зависит от точки х, к = /с(х), и вместо уравнения Пуассона
получаем уравнение
В анизотропной среде температура и = и(х) удовлетворяет
уравнению
*—2:&-^(«*-5г)--'и- <*
Это уравнение является эллиптическим при условии
положительности квадратичной формы (во всех точках х =* (хи х2, ..., хр))
V
2 *ар (#) &*|р > О,
а, 0=1
где |1? |2, ..., ?р — координаты произвольного вектора \ такого,
что \\\'^ 0. Если
V V
2 ^«0 (*) БсьБэ > *г2 €а, СХ = СОП81 > 0,
а,р=-1 а=1
то уравнение D) называют сильно эллиптическим.
Если имеются источники (или стоки) тепла,
пропорциональные температуре, то стационарное уравнение теплопроводности
принимает вид
(Иу (А #гай и) — д(я)и = — Р{х) E)
(при <7(#) > 0 имеется сток, а при ^(x) < 0 — источник тепла).
При высоких температурах коэффициент теплопроводности
зависит от температуры: к = к(и, х), и мы получаем
квазилинейное уравнение теплопроводности, например,
(Иу (к{и, х) &гас1м) = —Р(х, и),
если мощность источников тепла также зависит от температуры
(что имеет место, например, в случае тепловыделения за счет
2*

20
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
химической реакции). В общем случае коэффициент
теплопроводности к и источник Р зависят не только от температуры,
но и от градиента температуры:
к = к{х, и, егай и) = к (х, и, -^-, ..., -^~-),
Р = Р(х, и, 8гаа и) = Р (х, и, -^-, ..., -^-).
Для определения и = и(х) получается нелинейное уравнение.
Если процесс теплопроводности сопровождается
конвективным нереносом тепла, что имеет место в движущейся среде, то
уравнение теплопроводности имеет вид
<Ну (к дгай и) + V §гаA и — ди =
-1[-4г(*^-)+--^]-«»—'«• <6>
где V = (у^ у2, ..., ур) — вектор скорости среды.
Распределение электростатического поля описывают
уравнения Максвелла
го1 Е = 0, <Цу В = 4яр> П = еЕ,
где Е — вектор напряженности электрического ноля, В — вектор
индукции, е >0 — диэлектрическая постоянная (которая молсет
зависеть от х и даже от ноля Е при очень сильпых полях\
р — плотность объемных зарядов. Из условия го* Е — 0 следует,
что существует потенциал и такой, чю
Е = — #га<1 и.
Отсюда и из уравнения (Ну В = 4яр следует
(Ну (е &гас! и) = — -4яр.
В однородной среде А и = —4яр/е.
Если в проводящей среде имеется стационарный ток с
плотностью | = з(^) и нет объемных источников тока, то 1Ну] = 0.
Так как го1 Е = 0 и Е = — #га<1 и, поскольку в силу закона
Ома з = аЕ, то для потенциала и = и(х) получаем уравнение
(Ну (а &га<1 и) = 0,
где а — коэффициент электропроводности; если среда однородна,
о = сопз1 > 0, то Ди = 0.
2. Постановка краевых задач. Остановимся на формулировке
краезых задач на примере уравнения Пуассона.
Пусть С — конечная область /ьмерного пространства х =
= (#1, аг2, ..., хр) с границей Г.
Обычно ставятся следующие краевые задачи.

§ 1. ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 21
Требуется найти непрерывное в замкнутой области С + Г
решение уравнения
Ди = -/(ж), х&Сг,
удовлетворяющее на Г одному из граничных условий:
а) и = \11(х) при а;еГ (первая краевая задача); G)
б) —- -= \12(х) ПРИ х^ Г (вторая краевая задача); (8)
в> ^г + а(и-113(х)) = 0т1Щ х^Г (9)
(третья краевая задача),
где и-Дя), |и2(#), Н*(#), сг = о(х) > О — заданные функции я,
ди/дп — производная по внешней пормали к Г.
В случае уравнения C) вместо ди/дп в б) или в) надо
подставить к диУдп.
Мы не останавливаемся на формулировке условий,
обеспечивающих единственность и существование решения краевых задач.
В дальнейшем всюду в книге предполагается^ что
рассматриваемые задачи математической физики имеют все производные,
нужные по ходу изложепия.
Физический смысл условий а)—в): а) — задана граничная
температура, б) — на границе Г задан тепловой поток, в) — на
границе происходит теплообмен по закону Ньютона с внешней
средой, имеющей температуру ц3(#).
Вторая краевая задача (задача Неймана) разрешима при
выполнении условия
\112(х)с1о+\1(х)<1х--.0,
г о
где йо — элемент поверхности, их = йх^1хг... йхр —- элемент
объема. Это условие означает, что через границу Г вытекает
столько же тепла, сколько егб выделяется в объеме С.
Уравнение C) эквивалентно интегральному тождеству
(уравнению баланса тепла)
\ к -|гАт+ \ГАх "°'
• Г' С'
где О' — произвольная подобласть (с границей Г') области С.
Если, например, в случае двух измерений взять С = {ах < ху <
< Ьг, а^< х2 < Ь2}1 то уравнение баланса примет вид
х1^=Ь1 /Ьх \ \х2=Ь2 Ь2 Ьх
|*1=а1 \«1 2 /к^а2 'а2 а1
Краевые задачи можно свести к задачам о минимуме (в классе
достаточно гладких функций) функционала, который, например,

22
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
для задачи
Ьи = (Ц\(кёгь&и) — ди === —/Ы, х е= С, и\г = 0,
имеет вид
I [и] = -яг 2 ) * (~#ё~~) ^ +3 ?и2йх —,) /и ^1 ^х = Лххйх^ ... йхр.
а=10 а О О
В одномерном случае (р = 1) эллиптические уравнения
является обьшновенными дифференциальными уравнениями, О есть
интервал 0 < х < /, Г состоит из двух точек х = 0 и х = /, так
что С? = С + Г = {0 ^ х < /}. Дифференциальное уравнение E)
имеет вид
При х = 0 и х = / ставятся краевые условия:
а) и@)==^, и(/) = |^2;
б) к -^- = ^ при х ^ 0, — /с-^- - |ы2 при я = /;
в) к -^ — с^и — — [хх при ж^О,
— к ~2 а2и ^ — Н'г ПРИ я= *•
Кроме того, возможны любые комбинации краевых условий
а)—в) при х = 0, х = /.
3. Уравнения параболического типа. Типичным
представителем уравнений параболического типа является уравнение
теплопроводности, описывающее нестационарный процесс
теплопроводности. В изотропной среде это уравнение имеет вид
с-^-^Ьи + П*,*), ^С, *>0, A0)
где
V
Ьи = <Ну (к ^гай и) = 2 "^Г" (к ^ ^ ~57~)'
а=1 а ч а '
(И)
к = й(д:, *) > 0 — коэффициент теплопроводности, с = с (а?, *) > 0 —
теплоемкость единицы объема.
При * = 0 задается начальное условие и(х, 0) = и0(х), х^И,
а на границе Г —одно из краевых условий G)—(9). В
дальнейшем основное изложение проводится для первой краевой задачи:
и = 1х{х, I) при* геГ, I> 0.
В случае однородной изотропной среды, когда к(ху I) = к =
в сопзЪ, с(#, I) = с = соне*, уравнение теплопроводности записы-

§ 1, ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 23
нают так:
4г = ааДи+ /(*,*), а2 =4-' /в-Т' <12)
где а2 — коэффициент температуропроводности. Меняя масштаб
для И жа, а=1, 2, .,., /?, всегда можно добиться, чтобы
коэффициент при Аи был равен единице. Так, например, в
одномерном случае
о1 ох
введем новые переменные х = х/1у I = а21/Р и для функции и =
«= и(х, I) получаем уравнение
-*=,-§- + /(,, О, 0<г<1
(здесь /(^,0-^/ //,-^Ш.
Таким образом, без ограничения общности вместо
уравнения A2) можно писать
-^- «ь Аи + / (*, 0» * е с»
и(аг, 0) == и0Ы, а: е= С\ и|г = |х(яг, *)у жеГ, * ^ 0.
В случае неоднородной и анизотропной среды в уравнении
A0) меняется лишь оператор Ь:
V
а,0=1 а х Р '
A3)
причем матрица (&а&) удовлетворяет при любом я и I условию
эллиптичности.
Если коэффициенты с и к зависят от температуры и, то
уравнение теплопроводности A0). в изотропной среде имеет вид
с <и, м -|г « 2 *«г- (* ("- *•1) "ёЧ +' (х* '•и)- A4)
о=1 а ч а у
Весьма часто встречаются задачи, для которых с и к
зависят только от температуры, с = с{и) > 0, к = &(и) > 0. В этом
случае можно ввести новую переменную
и
и = ] к (и') Ди' + сопз!

24 ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
и преобразовать уравнение A4) к виду
В частности, при к = к0ип, с = с0ит имеем
<р(")—= До + /0М), ф(р)= /(,/(„))♦
т—п
т-п
Возможна и другая замена:
V = I с (и) аи, к (и) -=—; = —гг" "т-
.; ч ' ' ч ' дх„ с (и) дха
с (и) дха '
так что
Такие способы замены широко применяются в вычислительной
практике.
Уравнению -гг- =(Ну (к дгай гг)+/ соответствует интегральное
уравнение баланса тепла в области С'сСс границей Г':
\ иЛг = й А -^- йа + ] Л I /их,
с?' *х *х г' *х с?'
где и и *2 > ^1 ~ произвольные числа. Здесь т = — к ди/дп —
поток тепла по нормали к поверхности Г'. В одномерном случав
имеем
ь Ч х==ь 'г ь
\ [и (#, *2) "~ и (х> к)] ^я= I к -^ (И + \ (И\ / их.
4. Уравнения гиперболического типа. Мы будем
рассматривать уравнения второго порядка^ а также системы уравнений
первого порядка. Уравнение второго порядка имеет вид
р-§- = Ди + /(*,0. *е=С, *>0, р>0, A5)
01
где Ьи — один из эллиптических операторов (И), A3), с
коэффициентами, зависящими от х и *, или Ьи = Аи. Для
однородной среды имеем
р-Й-= Л Ли+ /(*,*), р>0, Л>0,
(для уравнения колебаний мембраны р — плотность, а к —

§ 1. ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 25
натяжение мембраны) или, после замены переменных,
41-=а»+/(*,*)•
На границе Г задаются краевые условия одного из
указанных выше типов G)—(9), например,
и = 1х(х, *), ^г, г>о,
а при I = 0 — два начальных условия
и{х, 0) = и0{х), ди/дЬ{х, 0) = и0(х), х^С.
В одномерном случае простейшим уравнением
гиперболического типа является уравнение колебаний струны:
2 2
д и о д и
(где а — скорость распространения колебаний), которое после
замены независимых переменных может быть записано в виде
Л Л + /(*,*), 0<*<1, *>0,
д*2 дх2
и@,0 = М0, и A,0 = 1*1@. *><>, A6)
ди
и(х,0) = и0(х), -^г- (х, 0) = щ (а:), 0<а:<1
Этому уравнению соответствует интегральпое соотношение
(уравнение баланса)
Г' 8'
где Г' — любая замкнутая кривая, ограничивающая область 8'
на плоскости (а;, *). Если существуют непрерывные вторые
производные дги/д12 и д2и/дх2, то отсюда следует дифференциальное
уравнение A6). Для этого следует в качестве 8' выбрать
прямоугольник со сторонами длины Д* и Да;, параллельными осям
01 и Ох соответственно, разделить уравнение баланса на Д#Д$
и перейти к пределу при Д* -*- 0 и Да: -*- 0.
Однородное уравнение
д2и д2и
д12 дх2
эквивалентно системе уравнений первого порядка
ди ди ду ди
д% "" дх ' дг ~~ дх '

, ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
'которой соответствуют уравнения баланса
Г (и их •1 V <//) - 0, (' {V их -| и йЬ) « 0.
Примером системы уравнений гиперболического типа может
|.'|ужит|| еистома уравнений Ламэ динамической теории упру-
I ОСТИ
—2- - ц Аи + (X + ц) ега<1 Й1У и + !,
где Я =■ сопз1 > 0, \х = сопб! > 0, и — вектор смещения. В
двумерном случае система уравнений Ламэ принимает вид
д1* Ч ' Г1 дх^дх<^ * Г дг2 ' \ I Г/ ^2
где щ*=*ик(хч *), Ца^Иг^, ^-—компоненты вектора смещения
и = (и,, ц2), а I = (А, /,).
5. Разрывные коэффициенты, сосредоточенные источники.
а) Разрывные коэффициенты. Входящие в
дифференциальные уравнения коэффициенты А и с могут иметь
разрывы первого рода.
Так, разрыв коэффициента теплопроводности имеет место в
случае, когда область С является неоднородной и состоит из
нескольких частей с разными свойствами. Разрыв коэффициента
к = к(х) в уравнениях A0) или A5) означает, что решение
и*=и{х) имеет слабый разрыв, т. е. функция и=и(х)
непрерывна, а ее первые производные по хи х2, ..., хр имеют разрывы
первого рода.
Поясним это на примере одномерного (по х) уравнения
теплопроводности
■^—^■(*(*. 0-&) + /(*.«).' °<*<1.
Пусть при х = | функция Их, *) имеет разрыв первого
рода, т. е.
Ш-*F + 0, О-«6-0, *)*0.
Тогда при х = ^ должны выполняться условия непрерывности
температуры и(х, *) и теплового потока к -^— (условия
сопряжения
[и] = 0, [й4г] = °> *=6, 1>0.
Так как [к] Ф 0, то отсюда следует, что производная -у- разрыв-

§ 1. ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
27
пн, I-^- Ф О при х = |. Условие к ~~ = 0 непрерывности
теплового потока может. быть получено из уравнения баланса на
отрезке (• — е^я<| + е, е >0:
3 -|г(^0Л = *-5Г I + ] П*Л**- A7>
Переходя в A7) к пределу при е ->- 0 и учитывая
ограниченность ди]Ы и /, получим [ки'] = 0 при х — >|.
В многомерном случае к может иметь разрыв на некоторой
поверхности Г7 с: С. Тогда на ней должны быть выполнены усло-
н ия сопряжения
[и] = 0, \к -^Л = 0 при х е= Г,
где п' .-— нормаль к Г'.
Для стационарных задач (при ди/дЬ = 0) условия
сопряжения сохраняют свой вид.
б) Сосредоточенный источник тепла. Решение
уравнения теплопроводности имеет слабый разрыв и в том
случае, когда в некоторой точке х = | помещен (сосредоточен)
источник тепла мощности (?, т. е. выделяется в единицу времени
в единице объема количество тепла, равное (). Тогда при х = §
тепловой поток разрывен и величина его скачка равна (?:
[и] = 0, [* ^-] = - 0 при х = |. A8)
Чтобы убедиться в этом, распределим источник () на отрезке
| — е<а?<| + е с плотностью /Да:, г), где Д удовлетворяет
условию нормировки:
) /е (#, 1)йх-=<} ПРИ ЛЮбом 8 > 0.
Можно, например, положить /е = ()/Bе) цри #е[| —е, | + е] и
/е == 0 вне этого отрезка. Напишем соответствующее уравнение
и проинтегрируем его по х от || — е до | + е:
и-С-
.1
Переходя к пределу при е-*О и определяя решение исходной
задачи как предел функции ие(х, I) при ё-* 0, получим A8).

28 ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Если источник тепла (? сосредоточен на границе х«0, тс
в этой точке ставится известное краевое условие второго рода.
В многомерном случае, когда источник распределен на
внутренней поверхности Г" с: С с плотностью д, ставятся условия
N = 0, [*^] = _, прижеГ^
в) Сосредоточенная теплоемкость. Пусть в точке
х = | помещена сосредоточенная теплоемкость величины С.
Тогда в этой точке должны выполняться условия сопряжения
[и] = 0, С-Щ- = [к Ц-] при х = 6. A9)
Если теплоемкость С сосредоточена на границе х = О1, то при
х = 0 ставится краевое условие
С-^-к^щщх-О. <20>
Вывод A9) и B0) проводится по аналогии с выводом A8).
Предоставляем читателю написать краевое условие при х = 0
в предположении, что в этой точке сосредоточена теплоемкость
С и выделяется (в единицу времени) количество тепла, равное ().
г) Сосредоточенная сила. Рассмотрим процесс
колебаний неоднородной струны, описываемый уравнением
д и д A ди \ ,«-> ,ч
где р — плотность струны, к — натяжение. Предположим, что в
точке х — | приложена сила, равная Р0. Рассуждения,
аналогичные тем, которые привели к A8), показывают, что в точке
# = | должны быть выполнены условия сопряжения
[и] = 0, • [& -|~| = — Р0 при х = 6.
д) Сосредоточенная масса. Пусть в точке х~\
неоднородной струны помещен груз массы М. Тогда здесь ставятся
условия сопряжения
(ср. с A9)). При хФ\ пишется уравнение B1). Если масса М
находится на конце х = 0, то при х = 0 стаЪится краевое условие
„, д, и , ди л
М—г- = к -%— при х = 0.
Во всех рассмотренных выше случаях производная ди/дх
имеет при х = | разрыв первого рода (решение и = и{х, I) имеет
слабый разрыв).

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
29
§ 2. Разностные уравнения
1. Предварительные замечания. Решение дифференциальных
уравнений приближенными методами приводит к системам
линейных алгебраических уравнений
4и = 1,
где А = (а{]) — квадратная матрица порядка N. и = (и{, щ,
..., иу) — искомый вектор, I = (/1? /2, ..., /*) — заданный вектор.
Существует два типа методов решения систем линейных
алгебраических уравнений:
а) прямые или «точные» методы;
б) итерационные методы или методы последовательных
приближений. Общие методы решения систем линейных
алгебраических уравнений (в основном, итерационные методы) будут
рассмотрены в гл. X.
Начнем с изучения простейших систем линейных
алгебраических уравнений — с разностных уравнений, для которых
матрица имеет специальный вид (например, является трехдиаго-
палыюй). Нужно отметить, что на практике приходится
встречаться с системами разностных уравнений очень высокого
порядка.
Разностные уравнения появляются, в частности, при
аппроксимации дифференциальных уравнений математической физики.
При этом приходится искать функции двух или трех
переменных, заданных на сетке, т. е на дискретном множестве точек,
число которых достигает десятков и даже сотен тысяч. Для
определения сеточных функций получаются системы линейных
алгебраических уравнений (разностных уравнений), для
которых характерны два обстоятельства:
1) матрица А имеет специальный вид (имеет много нулевых
элементов);
2) число уравнений очень велико A04—105).
В этом параграфе мы проведем изучение разностных
уравнений второго порядка независимо от дифференциальных
уравнений, т. е. от происхождения самих разностных уравнений.
В частности, будет рассмотрен прямой метод решения краевых
задач для разностных уравнений второго порядка.
2. Примеры разностных уравнений. Читателю уже
приходилось встречаться с разностными уравнениями, не подозревая,
быть может, о том, что они разностные. Это, например,
формулы ак+1 = ак + й или аА+1 — 2ак + ак^ = 0 для членов
арифметической прогрессии и ак+1 = ^ак — для членов геометрической
прогрессии, где ак = а(к), причем аргумент к = 1, 2, 3, ...
принимает целочисленные значения.
Итак, рассмотрим функцию целочисленного аргумента */(*),
1 = 0, ±1, ±2, ... Образуем в точке I разности:
правую: Д#» = у(ь + 1) — у(*), левую: Vу< = у(^)-уA—1).

30 ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Обычно обозначают у^жу(^). Тогда Ду< = у{+1 — у{, ^у< = у< —
— у<-1. Эти выражения можно рассматривать как формальные
аналоги первой производной. Рассмотрим вторую разность
Агу{ = А(Ау{) = А(у1+1 - уд =
Заметим, что Д*/<-1 =* уу<. В самом деле, выражения слева и
справа равны ^ —у<-ь Применение оператора левой разности
эквивалентно применению оператора правой разности в точке,
смещенной на единицу влево, так что
ДV^ = Д2у<-, = у{+{ - 2у{ + г/,-!.
Аналогично А2 определяется
АтУг = А(Ат~*у{).
При каждом применении А захватывается еще одна точка
вправо, следовательно, применяя оператор А т раз, получим, что
Дт#< содержит значения уи у{+1, ..., у{+т в точках г, 2+1, ...
..., 1 + т.
Можно написать уравнение, содержащее разности различного
порядка:
а0Ату{ + а1Ату{ +...+ ат-1Ау{ + ад = Л,
где <Хо, а1т ..., ат — коэффициенты. Подставляя сюда выражение
для разностей Акуи А = 1, 2, ..., т, получим
ад+т + а1у{+т-1 + ... + ат-1У<+1 + ату1 = и
Если коэффициенты а0Ф0, атФ0, то это уравнение называется
разностным уравнением т-го порядка относительно у< — искомой
функции целочисленного аргумента.. Оно содержит значения у^
у*+1, ..., у{+т. Это разностное уравнение есть формальный аналог
дифференциального уравнения т-го порядка:
а°^^ + а1"^^+--'+ат-1^ + а^ а°Ф
Подобно тому, как коэффициенты дифференциального уравнения
могут быть функциями от #, коэффициенты разностного
уравнения могут зависеть от I: ат =» осш(г).
Откуда появляются разностные уравнения?
Существуют некоторые математические и технические задачи,
которые непосредственно приводят к таким уравнениям, по
главный их источник — разностные методы решения
дифференциальных уравнений математической физики.
Рассмотрим простейший пример обыкновенного
дифференциального уравнения.

9 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 31
Пусть надо решить уравнение -^- = / (х). Можно
приближенно заменить йи/йх таким образом:
/ йи \ и^ + к) — ц(^)
^ Ах )х=х1 ~ Ъ '
гдо А > 0 — расстояние между точками х{ и х\ + А. Если
обозначить х{ + А => а:<+1, м(#,) = и<, ии<+1) = м,+1, то
/ Ли ч Д^ ^ ^-и-^
При А'-*0 это разностное выражение стремится к йиЛх.
Отметим, что замена неоднозначна. Можно было бы взять левую
ра:шость
(, их )х^х1 ~ Н к
или полусумму правой и левой — центральную разность:
{ ах )Х=Х{ ~ гн "' 2Н '
Нсюду здесь знак ~ означает соответствие или аппроксима-
цию. 1оворят, что выражение—^—= ^ аппроксимирует
производную йи/йх.
Итак, рассмотрим уравнение —— = /*, где ^ = / (дч). В
соответствии с определением это есть разностное уравнение
первого порядка. Его можно записать в виде
Ау< в"А/< или у{+1 = у{ + АД.
Очевидно, что решение такого уравнения не вызывает
затруднений.
Заметим, что при замене дифференциального уравнения
первого порядка можно получить разностное уравнение второго
порядка. Например, таким образом:
и(х1+1) == и (х-) + Ы' (х{) + 0,5А2 и' (х$ + ~ и'" + О (А4),
и (Яг-О = и (Хг) - Ы {хг) + 0,5А V (*<) - -^г- ц" + О (А4).
Складывая эти два выражения, получим

32 гл- *• ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Отбросив 0(й2), получим приближенное выражение для и":
\ Ах /яс=х{
2..
л+1 - 2щ + и{_г Д и._г ДУМ<
Л2 Л2 А2
Л2
Из разложения Мг+1 = щ + Лиг Н—2~ и* + ^(^3) выразим
Л *« Л
заменив иг на вторую разностную производную.
Заменим в формуле A) щ на /*, отбросим слагаемое 0(А2) и
умножим полученное уравнение на 2А. Тогда вместо
дифференциального уравнения первого порядка йи1йх = ] получим
разностное уравнение второго порядка:
Рассмотрим теперь свойства решений разностных уравнений.
3. Разностные уравнения и неравенства первого порядка.'
Рассмотрим разностное уравнение первого порядка:
ЪАу{ + ау1 = /,. B)
Оно формально соответствует дифференциальному, уравнению
первого порядка:
Уравнение B) можно записать так: .
Ъ{уц.1-у0 + ау{ = и или Ьу<+1 = с^ + Л, с = Ъ-а.
В общем случае Ь = Ъи а = аи с = с,, т. е. это известные
функции аргумента г. Пусть кФО, тогда
•Очевидно, что д{ = с*/Ьи <р* = /</Ь4, Ьг Ф 0. Отсюда видно, что
решение определено однозначно, если задано значение
функции у при каком-либо г. Пусть при г = 0 задано у0. Тогда можно
определить уи у*, ... и т. д. Пусть д< = д = сопз1. Если <р< = 0,
-то значения у{ составляют просто геометрическую прогрессию.
Если ф< Ф 0, то
У<+1 в ЧУ1 + ф» = ?(?»*-! + ф^) + ф< = ^У»-! + ф< + 9ф1-1-
Продолжая этот процесс, придем к формуле
•я+1 = дшу0 + фг + дф1~1 + ... + д*"^! + д!ф0 в
= д<+,яв + 2 ?{-Ч*- C)

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
33
Нетрудно также выписать решение уравнения у<+1 = ^^у^ + ср»,
Ь = 0, 1, 2, ..., если д{ Ф сопз1.
Иногда приходится иметь дело с неравенствами первого
порядка:
У^^ЧУЛи * = 0, 1,2, ... D)
(задано у0, а д, /< известны). Как решать это неравенство? Мы
можем решить уравнение
г>г+1 = ?*;< + Л,  = у0. E)
Покажем, что у* ^ ии Вычтем равенство E) из неравенства D):
Отсюда у<+1 < р<+1 для любого д, а и{ выражается явным образом
через д, у0, Л по формуле, аналогичной C).
4. Разностные уравнения второго порядка. Задача Коши.
Краевые задачи. Рассмотрим теперь разностное уравнение
второго порядка. Удобна следующая форма записи разностного
уравнения второго порядка:
А{ух-{ - С{у{ + В{у{+(Х = -Р{
*=1, 2, ...,А{Ф0,В<Ф0. }
Преобразуем это уравнение. Введем Ду< = у1+4 — уи Тогда
уравнение F) примет вид
ВЛу{ - АгАуг-1 - (С, - Я, - Л,)у« = -Р>. G)
Заметим, что
&У< - V?/* = ДУ< - Ду*-1 ^А2^-! = Уг'+* - 21/г- + 1/^!,
Ду<-1 = -А21/г-1 + Ауг.
С учетом этих формул уравнение G) можно преобразовать
к виду
А,Д VI + 0В« - Л)Ду< - (С, - А{ - 5,)у, = -^, Л, # 0.
Можно записать исходное уравнение F) по-другому, так что А2
будет при коэффициенте В{:
#<Д2У<-1 + (В{ - АМу^ - (С, - А, - В<)у{ = -Л.
Таким образом, уравнение F) — аналог дифференциального
уравнения второго порядка.
Для его решения нужно задать два дополнительных условия,
которыми могут служить значения функции у и разности
первого порядка Ау. Если оба условия (значения функции у{ и
первой разности Ау{) задать в одной точке, то получим задачу Ко-
ши, если же дополнительные условия заданы в разных (не
соседних) точках, то полученная задача называется краевой.
Пусть решается задача Коши и заданы при г = 0 значения
у9 и Ауо = У1 — Уо, или, что то же, заданы у0 и у1т Зная у0 и уи
3 А. А. Самарский

34
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ СВВДЕНИЯ
можно определить последовательно значения у{ при 1 = 2, 3, ...:
У1+1 = ^ ' Вхф\).
Если заданы у0 и г/1, то задача разрешима и притом
единственным образом.
Но для уравнений второго порядка в математической физике
наиболее типичны краевые задачи, когда дополнительные
значения заданы при разных г, например, при 1 = 0 задано у0 и
при ъ = N задано у*, т. е. требуется найти решение у<, 0<^<N,
уравнения F), если
Уо —11|, Ун = Иг, . (8)
где |х19 |12 —- заданные числа.
Множество точек (узлов) I = 0, 1, 2, ,.., N называется сеткой.
В граничных узлах сетки 1 = 0 и г = N могут быть заданы не
только значения функции, но и значения первой разности или
линейной комбинации функции и первой разности.
Общее условие можно записать в виде
1/о = И1У1 + Цо Ун = Х2У*-1 + М*. (80
Подставляя 1/1 = г/о + Ау0 в первое из условий (80, получим
кАУо - A - Уч)Уо = —|1ь (8")
Случай х4 = 0 означает, что в граничном узле 1 = 0 задано
значение функции уо (так называемое граничное условие первого
рода). Если х4 = 1, то задано значение Ау0 (граничное условие
второго рода). В случае X! Ф 0, Кц Ф 1 в точке 1 = 0 задана
линейная комбинация функции и первой разности {граничное условие
третьего рода).
Основной интерес представляют разностные краевые задачи.
Большое достижение вычислительной математики состоит в том,
что для огромного количества задач математической физики
вычисления строятся таким способом, что на каждом шаге
приходится решать такие трехточечные уравнения, как F) с условиями
(80.
Эта задача является классической, к ней сводятся мцогие
сложные задачи теории вычислительных методов. Матрица
такой системы уравнений является трехдиагональной. Она имеет
Г1
Г1
0
0
0
-Х1
-^1
0
0
0
0
*1 •
0 .
0
0 .
.. 0
.. 0
.. А,
.. 0
.. 0
0 0.
0 0 .
-<ч В, .
0 0 ,
0 0 .
.. 0
.. 0
.. 0
• 4*-1
. 0
0
0
0
~~ ^N-1
-*•
0
0
0
%-1
1

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 35
Ее порядок равен N+1, если заданы краевые условия
второго или третьего рода. Для системы уравнений F), (8) имеем
матрицу Ш— 1)-го порядка. У этой матрицы от нуля отличны
только коэффициенты, стоящие на 3-х диагоналях — главной и
двух соседних.
Для систем линейных уравнений с матрицами такого типа
ость эффективный метод решения — метод исключения Гаусса,
который приводит к формулам прогонки, излагаемым ниже.
5. Метод прогонки. Рассмотрим задачу-
Аф-г - Сф + В#<+1 = - Ри I - 1, 2, ..., ЛГ - 1,
Уо = Х4У1 + |1Ь Ун = КгУя-1 + [*2,
причем А{Ф0, В|^0 для всех г = 1, 2, ..., #—1.
Надо указать простой способ решения этой системы. Идея
заключается в сведении разностного уравнения второго порядка
к трем разностным уравнениям первого порядка, вообще говоря,
нелинейным. Предположим, что имеет место рекуррентное
соотношение
с неопределенными коэффициентами сц и [$<. Выражение у^% =
— <ад< + Р* подставим в (9):
DЛ - С,)?, + А& + Д#«+1 = - Рг.
Воспользуемся соотношением A0):
[(А{оц - С{)а{+1 + В{]у{+1 + А#{ + Dл - С,)р,+1 - - Л.
Это уравнение выполнено для любых уг, если
(м - с«)о|+1+в1 = о, л«р,+ил - с<)р<+1+л - о.
Отсюда получаем рекуррентную формулу для"а<+1:
«Ж -= Т7=^РГ' « = 1.2 ЛГ—1, (И)
(предполагаем, что знаменатель в A1) отличен от нуля; условия,
при которых это выполнено, выясним ниже) и рекуррентную
формулу для вычисления р<+1:
р*+1= Ас^1х% '=1«2--лг-1- A2)
Мы исходили из соотношения A0).
Если коэффициенты а< и $< известны и известно значение {/*,
то, двигаясь справа налево (от Ь + 1 к г), мы определим
последовательно все у и Уравнения для а«, р<— нелинейные, они свя-
вывают значения этих функций в двух соседних точках. Для
а<, р< задача решается слева направо, для у* — в прогивополож-
3*

36 ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ном направлении. Для каждой из функций а, Р, у надо решать
задачу Коши. Чтобы найти начальные значения для этих
функций, используем граничные условия. Так как формула A0)
справедлива при 1 = 0, 1, ..., #—1, то при 1 = 0 имеем
Уо^а^ + рг,
с другой стороны, г/о = УчУ\ + Щ. Поэтому
а4 —х4, A3)
Таким образом, для функций а< и {$, получим задачи Коши:
для а — (И), A3), для р — A2), A4) (формулы прямой прогонки).
После того, как функции а* и ?< найдены для всех I ■■ 1, 2, ...
..., N. необходимо найти граничное значение ук. Оно
определяется из решения системы уравнений
УN = К2У*-1 + М*, УN~^ = а*у* + р*,
откуда, если 1 — а*х2 Ф 0 (см. п. 6),
1*2 + *2Р* н~
У * = 1—гс * '' V15)
Таким образом, для определения у< получаем задачу Копи г
A0), A5) (формулы обратной прогонки).
Изложенный здесь метод называется методом прогонки
(правой прогонки). Соберем все формулы правой прогонки и запишем
их в порядке использования:
<-*) В*
«14-1= г -гс л > * = 1»2» •••> # —1, а1 = хи
(-0 Л,В4 + Р,
Рн-1- /1«л » <-1.2|...|ЛГ-1, р1 = ^
1 — а^Х2
У\ = «1+1^+1 + Рн-1, * = # — 1, N — 2, ..., 1,0.
Стрелки наверху указывают направление счета: (-*-) —от I к
1 + 1, (-*-) — от 1+ 1 к I.
6, Устойчивость метода прогонки. В предыдущем пункте
формулы прогонки были выведены формально. Мы делили на
выражения С{ — <&гА{ и 1 — а*х2, не зная, когда это можно делать.
Укажем достаточные условия', при которых формулы A0) и A5)
имеют смысл:
|С,|>и,| + |В,|, *=1, 2, ..., ЛГ-1,
|х«|<1, а=1, 2, |х,1 + |х,|<2. A6)

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 37
Покажем, что при этих условиях 1а*! < 1 для 1 — 1, 2, ..., N.
Предположим, что |а«1 < 1, и покажем, что |а<+1|^1; так
как \а{\ = |х4| ^ 1, то отсюда и будет следовать, что |<х,1 ^ 1 для
всех & = 1, 2, ..., ТУ.
Рассмотрим разность |С< —а*А<| — \В{\ > |С<| —|о<1-|Л<| —1#<|>
>Ш •(!- |а«|)>0. Поскольку Я<^0, то \С{-а(А{\ >0, т. е.
Отсюда видно, что 1 ос-<+ ±I < 1, если |а»| < 1; все |а,1 < 1 при
1а41 = 1х4| < 1. Оценим снизу знаменатель в формуле A5):
11 - анхх\ > 1 - |а«1 • 1х,| > 1 - 1х21 > О,
так как |х21 < 1 или |а*| < 1, т. е. И — а*х2| >0.
Таким образом, знаменатели в формулах A1), A2) и A5)
отличны от нуля при условиях A6). Заметим, что если |С|0|>
> \^0\ + |^*оI хотя ^ы в °Дн°й точке 1 = и, то \сц\ < 1 для
всех 1>г0 и в том числе для ^ = N: |а*| < 1. В этом случае
условие 1х!1 + 1х2|<2 является лишним, так как |1 — а#ха1 ^
> 1 — 1а*1 • |х21 > 0 при х2 = 1 и х4 = 1.
Таким образом, при выполнении условий A6) задача (9)
пмеет единственное решение, определяемое по формулам A0)—
A5). Вычисления по этим формулам ведутся на ЭВМ
приближенно, с конечным числом значащих цифр. В результате ошибок
округления фактически находится не функция I/* — решение ва-
дачи (9), а ш — решение той же задачи с возмущенными коэф-
. «*»» #^< »»0 «X» «*Ч# «X» «V/ «^»
фициентами А{, В{, Си х4, х2 и правыми частями Р^ |хАу |12.
Возникает естественный вопрос: не происходит ли в ходе
вычислений возрастание ошибки округления, что может привести как к
потере точности, так и к невозможности продолжать вычисления
пз-за роста получаемых величин.
Примером может служить определение у< по формуле у*+1 =
<= ду, при д > 1. Отсюда видно, что уп =* Япу0, и для любого у0
можно указать такое л0, при котором уп0 будет машинной
бесконечностью, т. е. при определении уПо произойдет а в о с т
(аварийный останов) ЭВМ. В этом случае, в силу ошибок
округления, определяется не у<, а у% из уравнения
У<+1 = ЧУ< + Л.
где г) — ошибка округления. Отсюда следует, что для
погрешности бу, = у{ — у* имеем уравнение
Из формулы 6у1 = ^^^\ + 1 т] видно, что ошибка бу< при
д > 1 экспоненциально нарастает с ростом и

38 ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Вернемся к методу прогонки и покажем, что, в силу условия
|<х<1 ^ 1, ошибка 8уг+1=уг+1 — у{+1 в определении у1+1 не
нарастает при определении у и В самом деле, из уравнений
следует
бу, = а{+16у{+и |6у,| ^ 1а,+11 • 1«»,+||,
т. е. \8уг\ < 1бу<+11, так как |а1+11 ^ 1.
Если учесть, что в ходе вычислений возмущаются и
коэффициенты а<+1, 0м-1, то можно показать, что ошибка в определении
решения у,- пашей задачи (9> пропорциональна квадрату числа
узлов
шах | Ьуг | « е0№,
Где е0 — ошибка округления. Отсюда видно, что существует связь
между точностью е определения решения задачи, числом N
уравнений и числом значащих цифр ЭВМ, так как &0№ «е. (Здесь
и выше « означает приближенное равенство по порядку величин
с точностью до множителя М0 = сопз1;, не зависящего от е.)
7. Метод левой прогонки и метод встречных прогонок*
Аналогично формулам A0)—A5) получаются формулы левой
прогонки:
у{+1 = Ъг+ы + т]г+1, I = 0; 1, ..., N — 1; A7)
11= € *; в , * = ЛГ—1.ЛГ —2 2,1, A8)
ТИ= Т-1 + Рв ' *-^-1>-2,...,2,1, A9)
ЛЛ = (V»
В самом деле, предполагая, что имеет место соотношение
у{+1 = ^<+1У<+'Пи-1, исключим из (9) последовательно у,+1, у< =
= 1,-у,.! + т]<:
-^ = Ады + (В,6<+1 - С,)у« + Я<ть+1 =
= [Л, - (С, - #&+1)ЫУг-1 + #<Л<-и - (С, - Д,6*ц)т|<.
Уравнение (9) удовлетворяется при
А, - (С, - Я&+1)|, = 0, - Л = Л«т|«+| - Кч - В«6,+1)ч«.
Отсюда получаем формулы A8) и A9). Значение у0 находим из

6«= л^-е* я * * = #—1,#-2 *0, ^-х»
§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 39
условия у0 = кф + |&д и формулы I/! = 61р1 + т]0. Из неравенств
1^-5,^1^1^1-15,1.1^1,
11 —^^Л ^1 — 1^11-Ы1!
нидно, что условия A6) гарантируют применимость формул де-
иой прогонки и их вычислительную устойчивость, так как
|(<1 < 1 для всех г = 1, 2, ..., N.
Комбинируя левую и правую прогонки, получаем метод
встречных прогонок. Пусть 1 = *о, 0 < г0 < #,—некоторый внутренний
узел. Тогда в области 0 < г < и +1 вычисляются по формулам
A0)—A5) прогоночные коэффициенты о<, р<:
в\
°Ч+1 = 'г —г* а ' 1* ^ 1» 2, ..., г0, аг = хь
а в области г0^1^Л^ по формулам A7)—B0) находятся & и Т)<:
А
**** + *« * = ЛГ—1.ЛГ —2 *01 л* = щ.
При 1 = и сшиваем решения в форме A0.) и A7). Из формул
находим
Эта формула имеет смысл, так как 1 — а^-цт^+х > 0, поскольку
хотя бы одна из величин |оы0-н| или |тн0+1| меньше единицы в
силу условий A6). Зная у<0| можно по формуле A0) найти все
у^ при <<<0, а по формуле A7) — значения у< при ъ>ц.
Метод встречных прогонок может оказаться полезным, если,
например, требуется найти у< лишь в одном узле г — ц.
8. Принцип максимума. Для оценки решения краевой задачи
(9) через заданные правые части Р^ рд и |х2 (через «входные
данные»), можно воспользоваться так называемым принципом
максимума. Он имеет место для уравнений более частного вида,
когда А{ > 0, В{ > 0, С{ > 0.
Для упрощения изложения сначала рассмотрим первую
краевую задачу (при х4 = 0, х2 = 0):
&1уД = А{у{^ - С,у{ + В{ун+{ = -ри
I = 1, 2, ..., N - 1, у0 = ци у„1= ^а. B1)

40 гл- *• ПРВДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Теорема 1 (принцип максимума). Пусть выполнены
условия
А{>0, В{>0, Ог = С<-А{-В<>0 B2)
для всех 4 = 1, 2, ..., ТУ — 1. Тогда из условий
2?Ы>0 (ЗЧ^О)
для всех г = 1, 2, ..., ТУ — 1 (во внутренних узлах), где у* —
функция, отличная от постоянной, следует, что у< не может
принимать наибольшего положительного (наименьшего
отрицательного) значения во внутренних узлах, т. е. при 1 = 1, 2, ..., ТУ — 1.
Доказательство. Пусть дано 3?[у{] > 0, 1 = 1,2, ...
..., ТУ—1. Предположим, что в некотором внутреннем узле
1=1*, 0 < 1+ < ТУ, функция у< достигает наибольшего
положительного значения
уи = шах у{ = М0 > 0.
Так как у<#сопз1;, то найдется такая точка 10 И0 может
совпадать с **), в которой Уг0 = у^ = М0 > 0, а в одной из соседних
точек, например в точке г = гй — 1, выполняется строгое
неравенство у{0-1 <М0. Запишем теперь выражение 5?1уА в виде
&[у{] = В<(у{+1 - уд - А{(у{ - у^) - (С{ - А< - В{)уи
В точке 1=*и в силу условий B2) выполняется неравенство
- #0 ^о < - ВЧ (У*о ~ ^о+0 - Л*о К - Ио-0 < °>
так как
Это противоречит условию теоремы: ЗЧу*] >0 для всех 4=1,
2, ..., ТУ—1 и в том числе для 1 = *0. Первое утверждение
теоремы доказано.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично (достаточно
заменить у< на — у< и воспользоваться доказанным выше
утверждением).
Следствие 1. Если выполнены условия B2) и
&Ш<0, г = 1,2, ..., ТУ-1, у0>0, у„>0,
то функция у1 неотрицательна, у{ ^ 0, 4 = 0, 1, 2, ♦.., ТУ. Если
же &[у{] >0, у0 < 0, у* < 0, то у<^0 при 1 = 1, 2, ..., ТУ — 1.
В самом деле, пусть 3?\у^ ^ 0 и у{ < 0 хотя бы в одной точке
I =: /^ 0<гт<.Й; тогда у< должна достигать наименьшего
отрицательного значения во внутренней точке г = г0, 0 < &0 < #, что в
силу теоремы 1 невозможно.

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
41
Следствие 2. Если выполнены условия B2), то
единственным решением задачи
&Ш=0, *-1, 2, ..., ЛГ-1, ув-0, у* = 0 B3)
является 1/< = 0, и, таким образом, задача B1) однозначно
разрешима при любых Рг, |Л1, р,2.
В самом деле, предполагая, что решение задачи B3) у, Ф 0
хотя бы в одной точке г=*#,мы сразу придем к противоречию
с принципом максимума: если у% >0, то ух достигает
наибольшего положительного значения в некоторой точке и, 0<10<]У,
что невозможно в силу теоремы 1; случай ^ <0 также
невозможен.
Теорема 2 (теорема сравнения). Пусть выполнены условия
B2) и у{ есть решение задачи B1), а у % — решение задачи
3?[уг] = -Ри I = 1, 2, ..., N - 1, у * = \хи у* = \12,
причем
\ЕА^Рь 1 = 1, 2, ..., Л[_-1, Ы^ц 1|Л2! <
Тогда справедлива оценка \ух\ ^ у г.
Доказательство. В силу следствия 1 имеем у<Х),
0 ^ ^< N. так как 3?[ух] = -Р{ ^ 0, */<> > 0,. г/*> 0. Функции
ЩВ=У< — У< и^V^ = у^+у^ удовлетворяют уравнению B1) с
правыми частями /^ — /\ ^ 0 и Р{ + Р{"^0 и граничными значениями
и0 «= ^ - ^ > 0, им = |х2 — и* > 0 и у0 «=» [х4 + |лА > 0, VN = \^г +
+ ца ^ 0 соответственно. Применяя теперь следствие 1, получаем
щ > 0, I;, > 0 или -у< ^ у{ ^ у,, т. е. Iу А ^ #*.
Функцию у{ будем называть мажорантой для решения
задачи B1). Если удастся построить мажоранту у{, то тем самым
удастся получить оценку для решения задачи B1) 11у11с ^ Иу11с.
Следствие 3. Для решения задачи
&[у{]=0, 0<^<N, г/о = |Ы1, у* = \х2
справедлива оценка \\у \с = тах | У% I ^ тах (| [1г |, | р,21).
^ Рассмотрим вспомогательную задачу 9?[ух] = 0, 0<1<УУ,
{/о = У* = Щ где |х1=тах(||х1|, |ц21). В силу теоремы сравнения
\\у\\с ^ Ну11с, а из теоремы 1 следует, что \\у\\с < [х, так как у< > 0
может достигать наибольшего положительного значения только
на границе при г = 0 или * = #.
Теорема 3. Пусть выполнены условия
Ыг|>0, |Д,|>0, В<=\С<\-Ш-\ВЛ>0, B4)
* —1, 2 ЛГ-1.
ГогЗа для решения задачи
&Ш=-Рь 1-1, 2, ..., #-1, у,-0, у* = 0 B5)

42 гл- I- ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
справедлива оценка
Ис<[Х|с. B6)
Для доказательства теоремы запишем уравнение B1) в виде
Ст = А€ум+ В<у<+1 + Р{. B7)
Пусть \уЛ достигает наибольшего значения!^|>0 при 1 = 10,
О< и<N1 так что]У^\^\у\\ при любом & = О, 1, 2, ..., N. Тогда
из уравнения B7) при И=10 следует
Отсюда находим
(\с*0\-\\\-\вч\)\у<о\ = АЫ<\р*о\
и, следовательно,
|у,0| = тахЫ<-у^<
1М
что и требовалось ^доказать.
Рассмотрим задачу B5) с коэффициентами,
удовлетворяющими условиям B2):
А{>0, #<>0, 0<-С,-Л«-#,>.О при 0<*<ЛГ.
Если условие ^^>0 не выполнено, то для оценки решения у<
о
этой задачи можно представить его в виде суммы у{ = #< + ц<,
о
где у% удовлетворяет уравнению
Л(Уй.д-»«)-^«(»«-У|-1)--^«. 0<^<N^ {/°о = ^«0. B8)
Тогда для щ получаем задачу
&1щ1 - В,и<+1 - С,щ + А{щ^ = -Д^ B9)
Во — в^—О, 0<*<#,
решение которой удовлетворяет неравенству
||иЦс= тах |щ|<Цу|с. C0)
Это следует из леммы.
Лемма. Для решения задачи B5) с коэффициентами,
удовлетворяющими условиям B2), и правой частью ^««Акр*, * = 1,
2, ..., N — 1, справедлива оценка
Ву11с<ИфИс. C1)

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 43
Доказательство. Если Д = 0 при всех 1=1, 2, ...
..., ТУ—1, то в силу следствия 2 из теоремы 1 г/г —0, н оценка
C1) очевидна.
Предположим теперь, что Д > 0 хотя бы в одной точке.
Построим функцию У< ^ 0, являющуюся решением задали
ДВД=-Д|Ф,|, уо = у„ = о. C2)
Согласно теореме 2 \\у\\с ^ ИУИс, так что нам остается оценить
решение задачи C2). Пусть в точке 1 = г0 достигается максимум
функции У{. Тогда
5«о РЧ+1 - У*.) < 0. Л* (Ч - У V») > °«
и из C2) получаем
А0У1о<А0|Фг0|<Д0«Ф|с.
Если Д0>0,то отсюда следует искомая оценка
Шс*3 11фИс. C3)
Если же Д = 0, то из C2) получим
5<о 04+1-54) = ^.(Ч-^о-О-
Так как Уг0^У^_! и У$0^У|0+1, то отсюда следует равенство
т. е. то же самое максимальное значение достигается и в
соседних с 10 точках.
Взяв г = 1*1 = ц + 1 (или и = и — 1), повторяем предыдущее
рассущдение и получаем неравенство
откуда снова следует либо неравенство C3), либо равенство
Уг±+1 = ^-1 = У^. Так как А^О, то при некотором 1 = га
получим А^>0И неравенство C3),
Теорема 4. Для решения у{ задачи B5) с коэффициентами
B2) справедлива оценка
ЬЬ<2\°уЬ, C4)
о
где у — решение задачи B8).
Доказательство. Разность и« = у< —У«, как показано вы-
о
ше, является решением задачи B9) с правой частью ЛвДу<.
о
Пользуясь оценкой C0), которая следует из леммы при Ф< = 1/<,
о о
и учитывая неравенство Мс = Ц + и\\с < Иу11с + Ыс, получаем
оценку C4),

44
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Эта теорема позволяет свести оценку решения общей задачи
о
B5) к оценке решения у{ более простого уравнения B8); функ-
ция у< может быть найдена, в явном виде.
9. Принцип максимума для краевой задачи третьего рода.
Принцип максимума и все его следствия справедливы для общей
краевой задачи F), (8'), которую можно формально записать
в виде
3^1/,]=-^, * —0, 1, 2 ДО, B1')
где
&[уо\ = -2/о + Х12/1, Ро = Ць &[у*] = ~Ук + >С21/*-1, Ря = Цг,
так что С0 = 1, Ло^О, В0 = х4, С* = 1, Л* = и2, 5^ = 0.
Теорема 1 (принцип максимума). Пусть выполнены
условия
А{>0, #<>0, С,>Л, + Д,, * = 1, 2, ..., ЛГ— 1, B2')
0<Х!^1, 0^и2^1, 0<х1 + х2<2.
ГогЗа из условий
2?1уЛ>0 B>Ш<0)\ * = 0, 1, 2, ...,ДО,
где у{ Ф сопз!;, следует, что ух не может принимать
наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения ни в
одном узле I = 0, 1, 2, ..., ДО, т. е. у{ < 0 (у< ^ 0).
Доказательство теоремы 1 аналогично доказательству
теоремы 1 п. 8; следует лишь дополнительно рассмотреть два случая:
а) г'о = 0, т. е. шах {/< = у0 = М0 > 0 и у{< М0, тогда
&1уо1 = — У0 + К1У1 = — A — Уч)уо — Уч(уо — уд <0 при 0<И!^1;
б) 10 = ДО, т. е. шах #< = ^ = Д/0 > 0, а ук-1<М0, тогда
г
3?[Ух\ = -*/* + Хг2/*-1 = -A - Х2)удг - Кг(Уя ~ У^-4) < 0,
если 0 ^ х2 ^ 1.
В обоих случаях мы приходим к противоречию с условием
3?[уА > 0 для всех I = 0, 1, 2, ..., N. Отсюда следует, что
У1 ^ 0, так как если бы у< > 0 хотя бы в одной точке Ь = г*, то
функция у{«имела бы в какой-либо точке 1*=10 (например, г0 = ц)
наибольшее положительное значение, что невозможно.
Следствие 2а. Если выполнены условия B2'), то задача
3?[у{1 «= 0, 1 = 0, 1, ..., ДО, имеет только тривиальное решение.
Не представляет труда переформулировать остальные
утверждения предыдущего пункта; на этом мы не будем
останавливаться.
10. Оценка решения разностной краевой задачи при помощи
формул прогонки. Разностное уравнение B1) имеет трехдиаго-
нальную матрицу (ДО — 1)-го порядка в случае первой краевой

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 45
иидачи
Г~"^1 ^ о ... о о О -1
\ А2 ~С* В1 ■■• ° ° °
1_ О О О ... О Ак_г -Сы_г1
Эта матрица симметрична при
В< = А{+1. C5)
Разностные уравнения с симметричной матрицей встречаются
при численном решении краевых задач для самосопряженного
дифференциального уравнения второго порядка. Ниже (см. п. 15)
будет показано, что равенство В< = А{+1 необходимо и достаточно
для самосопряженности оператора 9?[уА.
Заметим, что любое разностное уравнение
#<2/*+1 - С<1/<'"+ А{у{-1 = -Ри у0 = (X!, у* = [Х2,
<36)
Л,^0, В*Ф0, * = 1, 2, ..., ЛГ— 1.
можно привести к самосопряженному виду
Ау1 = а1+1A/1+1 - у,) - а<(р« - у^) - й{у{ = -ф<,
1 = 1, 2, ..., ЛГ— 1.
В самом деле, умножим уравнение C6) на функцию г)<^0 и
потребуем, чтобы А^ —аи В{у\{ = а{+1. Отсюда следует, что
4<+1т)<+1=5<т|< = а*+1, т. е.
Л*+1 = -г— 7И = ^111 "г г
где т>! — произвольная постоянная. В результате получим
уравнение Ау{ = — <р* с правой частью ф< = г)^ и а< = <4<т1<,
А = (С< — 4< — 5,)т)< = с< — а, - а,+1, с< = С^т)*.
Пользуясь формулами прогонки, можно получить оценку \\у\\с
для задачи
Лу< = а{уг^ — с{у{ + а{+1у{+1 = — ф<,
* = 1,2, ..., ЛГ-1, 1/0 = 0,^ = 0. C7)
Справедлива оценка

46
ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
если выполнены условия
к1>0, \с{\>Ш + \аш\. C9)
Чтобы получить C8), рассмотрим формулы правой прогонки:
Ш = ам-1#г+1+ Рг+Ь I = 0, 1, . . ., # — 1, I/* = О,
«н-1= /*+* , * = 1,2 ЛГ—1, а1 = 0, D0)
Рн« - !'-«.!? ■ *-1,2,...1ЛГ-1, & = <>.
Так как 1а<+11 ^ 1 при условиях C9), то из D0) следует
откуда для г < N получаем
М< 2 1Ы> 0» = О, -0<*<ЛГ-1. D1)
Вводя обозначение ^ = а$<, находим
ТН-1 = ац.1(т1 + Ф«).
1?1+1|<1т|| + 1ф"||<1т1|+211фИ= 2|ф*1
и, следовательно,
1М<Тгг2|(Р*1' * = 2,3,...,ЛГ, рх = 0.
I *1 Л=1
Отсюда и из D1) получаем C8).
Так как для решения задачи
Ау{ = 0, г = 1, 2, ..., N - 1, у0 = Ни У* = №
при а<>0, с*>а* + а*+1 верна оценка (см. следствие 3 в п. 8)
Иу11с<тах(|^|, \\х2\), D2)
то для решения задачи
Л#< = -<р„ ъ = 1, 2, ..., N - 1, 1/в = |хь ум = |12 D3)
выполняется неравенство
|1/1с<тах(|ц1|,|^|) + 2-77Ц|-(РЛ1-
В самом деле, представим решение задачи D3) в виде суммы
0<вУ« + ю«» где 1>< —решение задачи C7). Учитывая затем C8),
D2) и неравенство \у{\ < \уЛ + 1^1, получаем искомую оценку.

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
47
И. Разностные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами. В случае, когда коэффициенты разностного
уравнения
ЗПуА = А€у{-% - С^ + В<у<+1 - 0 D4)
не зависят от ъ, так что А{ = а, С* = с, В* =^ Ь для всех $=1,2,...,
то решение уравнения
Ьу<+1-су{ + ау{-1 = 0, ЪФО, аФО, D5)
может быть найдено в явном виде.
Пусть у[г) и #|2> — два решения разностного уравнения D4).
Они линейно независимы, если равенство
С*уР + С*Р = 0% 1 = 0,1,2,...,
возможно только при С1=*С2 = 0. Это эквивалентно требованию,
чтобы определитель системы
СяР + С^-О,, С1У&» + О$т = 0, т=1,2,...,
был отличен от нуля:
А -И" V™
для всех I, т. В частности, условие
\Ф0
Ф0
ДМ+1 =
аналогично условию
1
»?> у? 1
и (я) и
и' (ж) и
'(ж)
к0
линейной независимости решений и{х) и и(х)
дифференциального уравнения второго порядка.
Исключая с помощью уравнения D4) у\+и у\+г, находим
Дм+1 = ' ШЫ" - **& у?') = - % (уЫ2г - уЫЧ,
т. е. Ам+1 = — |р Дм-1- Отсюда видно, что из условия Д{Ь ^+1 ф 0
для какого-либо г = 11 следует, что А,, <+1 */" 0 для всех
допустимых и
Пользуясь уравнением 2?[уА=0, можно показать, что Д«,<+т
при любом т > 1 выражается через Д<, <+1 и, следовательно, из
условия Д«. <+1 ** 0 следует Д*. <+т ** 0.

48 ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Если у\г) и гД2)— линейно независимые решения уравнения
D4), то общее решение # этого уравнения, очевидно, имеет вид
У г = С#\1) + С2у[2),
где С4 и Сг -— произвольные постоянные. Они могут быть найдены
из начальных или краевых условий, так как А^^тФО для
любых г и т.
Общее решение неоднородною уравнения З?\у1±= — Р\ можно
представить в виде
Уг^С^ + С^ + уи
где у{ —- частное решение уравнения 3?1у{] = —Ри
Произвольные постоянные С% и С2 можно определить,
например, из условий при ъ = 0, ъ ■= 1:
Уо = С1У™ + С^\ У1 = С#? + С^\
если у0 и 1/1 известны (задача Коши). Это возможно, так как
у\г) и у;2) — линейно независимы и Д0.1 ^ 0. В случав краевой
задачи 1/0=1*1» Ун — М* постоянные С\ и С2 определяются
однозначно, так как Д0, * Ф 0.
Если коэффициенты уравнения D4) постоянны (Л, = а, С<=с,
#* = Ь), то частные решения можно найти в явном виде. Будем
искать частное решение уравнения D5) в виде ук = <Д где ^ Ф
Ф0 — неизвестное пока число. После подстановки этого
выражения в D5) получим для д квадратное уравнение
Ьд2-сд + а = 0. D6)
~ с+ Ус2 — 4аЬ 0
Оно имеет два корня дЬ2 = — ^—:—. В зависимости от
величины дискриминанта В = с2 — АаЬ возможны три случая:
1) И = с2 — АаЬ > 0. Квадратное уравнение имеет различные
и действительные корни
__с + Ур с-Ур
которым соответствуют различные частные решения у(к)=9и
*Л2) = дг- Так как
А
М+1
ф1 4+1
(л-дОвш^о.
то 1/л1} и 1/а2) — линейно независимы. Общее решение уравнения
D5) имеет вид
У к = С&г + С2д2,
где Сх и Сг — произвольные постоянные.

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 49
2) В = с2 — 4аЬ = 0. В этом случае дч = д2 = с/BЬ) = д0 —
корни совпадают, а в качестве линейно независимых частных ре-
' A) А B) т А
шений можно взять У к = 9о> Уа = #<7о-
Покажем, что [Д — &д0 в самом деле является решением
уравнения D5):
Шг - *УР + Л = №(* + 1) <?о - <*?о + а (* - 1I Й =
= в^1* (Ь«! - *?о + а) + до (бд2 - а) = дЦ (бд5.- а) = О,
так как Ьд© — а = Ъ (с/B6)J — а = /)/4Ь = 0. Вычисляя
определитель
Ла,А+1 =
-«Г** о,
убеждаемся в линейной независимости д0 и Ад0. Поэтому общее
решепие уравнения C2) в этом случае имеет вид
Ук = (Сг + кС2)дЪ д0 = с/BЬ).
3) о = сг — АаЬ<0. Квадратное уравнение D6) имеет
комплексно сопряженные корни
«1 = 26 = Р(С08(Р + 18Ш(Р) = Ре »
д2 = ^—*- = р (соз ф — г 31п ф) = ре ф,
где р = У±, ф = агс!д У^1, * = /31.
Частными решениями являются функции
д* = рАе*ф = рЛ (С08 ^фч + ; ЗШ (/сф)),
д* = рЛ<Г'*ф = р* (СОЗ (&ф) — I 31П (йф))
или функции
у&1} = рк соз (Аф), ^2)= рЛ8ш(А:ф).
Они линейно независимы, так как зш (Ахр) и соз (/сф) линейно
независимы (Дк. к+1 ** 0);
Общее решение имеет вид
У к = (С! соз(/сф) + С2 зш (Аф))р\
Пример 1. Найти общее решение уравнения
ук+1-2рук+ук-1 = 0.
4 Л. А. Самарский

50 ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Надо рассмотреть случаи:
а) р < 1. Тогда можно положить р =.соз а, а Ф 0, так что
ук+1 - 2 соз аук + ук-1 = 0.
Полагая ук = д\ получим квадратное уравнение
д2 — 2созад + 1 = 0.
Его дискриминант
/? = соз2 а — 1 = — 31П2 а < 0,
а корни равны дх,2 = е±%а, д^2 = е±гка. Частные решения:
уф = соз (&а), у!2) = зш (ка).
б) р > 1, так что р = сЬ а. Полагая #* = д\ получим для д
квадратное уравнение
д2-2сЬа;д + 1 = 0, Я = сЬ2а-1>0.
Корни: д1>2 =сЪ а ±зЬ а = е , д1э2 = е±ка. Частными решениями
являются функции
УР = сЪ(ка), ^2) = зЬ(й:а).
в) р = 1. В этом случае д2 — 2д + 1 = 0, д1в 2 = 1, и частные
решения
у? = 1, ДО = к,
так что общее решение есть линейная функция
Ук^С. + Сгк.
Пример 2. Вычислить интеграл
я
Д(Ф)=ГС08^-С08^^ А = 0,1,2, ...
АЧУ; ^ соз ф —соз ф у' * * *
о
Заметим прежде всего, что
ль
/в(ф) = 0. А(ф) = !*♦ = *•
Покажем, что 1к есть решение задачи Коши для разностного
уравнения второго порядка
/А+1 - 2 соз фД +/*-! = (), й = 1, 2, ..., /0 = 0, /й = я
при произвольном фиксированном ф.

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
51
Рассмотрим выражение
[соз ((А + 1)ф) - соз ((А + 1)ф)] + [соз ((А - 1)ф) - соз ((А- 1)ф)] =
= 2 соз (Аф) соз ф — 2 соз (Аф) соз ф =
= 2 (соз (А-ф) — соз (Аф)) соз ф + 2 (соз ф — соз ф) соз (А-ф).
Отсюда следует, что
я
г •г о г I о Г (СОЗ ф — СОЗ ф) СОЗ А:^Ь , .
/>+1 + /ь-1 = 2со8(р/й + 2]* с^-со8ф ^ =
9 о
я
= 2 соз ф /Л + 2 | соз (А\|>) йф = 2 соз ф/Л, А > 1,
о
т. е. /А+1 — 21к соз ф + Д-1 = 0.
Как следует из примера 1 (случай а))
7*(ф) = Сх соз (Аф) + Сг 31П (Аф).
Начальные условия при А — О, А = 1 дают С4 = 0;
Сг СОЗ ф + С2 81П ф = Я, Са = —
я
81Пф
и, следовательно,
'*<Ф) = я^, /с = 0,1,2,...
12. Формулы «разностного дифференцирования» произведения
и суммирования по частям. Выведем формулу, являющуюся
сеточным аналогом формулы дифференцирования произведения двух
функций:
±(и(х)и(*)) = и(х)^ + и(х)^.
Пусть у\ и *;< — произвольные сеточные функции аргумента
1 = 0, ±1, ±2, ... Тогда справедливы следующие формулы
«разностного дифференцирования» произведения:
Мум) = у(Ду, + г{+1\ку{ = у<+1Ду( + V^^уи
D7)
У(УМ) = у^у, + V^Vу^ = у^у, + У^у,,
где Ду< 1= у<+1 — у{ — правая разность, а ^у< = у< — у<-1 — левая
разность, так что ^у<+1 = Ауи
Эти формулы проверяются непосредственно:
у*Д1>< + V^^.^Ау^^= у<A><+1 -1><) + у<+1(у<+1 - у<) =
4*

52 ГЛ. I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
При проверке формул для V(у<^^<) достаточно учесть, что
у(у<^)8=А(у<-1^-1).
Важную роль в теорий разностных уравнений играют
сеточные аналоги формул интегрирования по частям
ь I ь
| и'и йх= ир\ — ] и^йх.
I *
Рассмотрим функции Ц1**уA)ч V^=*V(^)% заданные на сетке
И = 0, 1, 2, ..., Ю. Введем суммы
(У', *>) = 2 у^г, (у, V] = 2 Уг^»
N-1
[у» *>) = 2 ум
1=о
ь
— аналоги интеграла] № их = (цг уH;Покажем, что справедлива
а
формула суммирования по частям
(I/, Д1>)=-A;, V?/] + ул^лг ~ {/0^1. D8)
В самом деле, подставим взятое из D7) выражение
в сумму
N-1 N-1 N-1
(у% Ду) = 2 М^ = 2 А(Ю1>д ~ 2 *ч+1^н-х =
1=1 1=1 1=1
N
= УNVN — У1^1 — 2 Щ'УУг'х
1'«2
где 1/ = 1+1. Учитывая затем, что у4 — у0 + (у4 — Уо) = Уо + у*/и
получаем
(ух Ду) = укиц — у^ — 2 ЩЧУ1 = — (о, ДУ] + У^я — ^о-
1=1
Если у\ обращается в нуль в граничных узлах сетки 1=0
и * = ЛГ: ^0 = 0, ^ = 0, или уо^О, у* = 0, то подстановка
обращается в нуль и формула суммирования по частям принимает
вид
(у, Д|>)--(*, VI,]. D9)
Полученные тождества используются для преобразования
разностных выражений. Кроме того, они часто применяются,
например, при вычислении различного рода конечных сумм и рядов;

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 53
Пример 1. Вычислить сумму 5л = 2 *2 .
Положим у г = I, Ау< = 2*, так что
Выберем у0 = 1 —2*+1 так, чтобы 1>*+1 = 0. Тогда формула
суммирования по частям дает
N • N N+1
2 <2* = 2 У№1 = — 2 ^Уг + УN+1VN+1 — УоУ1 =
1-1 1-1 1-1
Л+1
в_ 2 B* - 2*+1)= - 2B*+1- 1)+ 2^1(ЛГ+1)=(ЛГ—1J^+1+2.
**1
Л-1
П р и м е р 2.5^ = 2 *я*« В этом случае у\ = I, А^ = а\ у» =
5* = —^[^(ЛГ (а-1)-а) +а].
(а — 1)
13. Разностные формулы Грина. Формулы
ь ь ь
] шГЛх = — ] и'Лх + ш/ , ] (иу" — и'у) Лг = (ну' —и'*;)
а а ' а '
называют первой и второй формулами Грина (для простейшего
оператора /л* — и"). Обычно первая формула записывается в
более общем виде:
ь ь ь
] иЬийх = —- ] ки'^йх — | диийх +к№'\ , E0)
а а а
где /> =» (Ау')' — дЫе;.
Меняя в этой формуле местами и(х)) и г(х) и вычитая
полученное равенство из E0), получим вторую формулу Грина (в
более общем виде)
ь
] (иЬг — иЬи) йх~к (ш/— и'у) . E1)
а
«•
Если и и V равны нулю на концах интервала х = а и х = Ь, то
все подстановки обращаются в нуль и формулы E0) и E1)
принимают вид
(ц, Ш0 = - {ки\ V')* - (ди, уH, (», /л>H = (*>, ^и)о, E2)
ь
где (и, 1>)о = ] ии их.

54 гл- 1- ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
В частности, имеем
(в, ^иH = -(й, (и'JH-(з, и2H.
Формула (и, ^уH = (у, ЬиH означает, что оператор Ь
самосопряжен.
Перейдем к выводу разностных аналогов формул Грина E0),
E1) и E2). Полагая у,= Ди<_1 = Vцг., получим из D8) тождество
(у, ДV^г) = -(Vи, ?у]+укЧи„-у<Ри1. E3)
Если положить теперь у^^а^и^ то вместо E3) получим
(у, Д(й^и)) = —(й^и, V*/] + укак Чик — у,,^7Иь E4)
Вводя затем разностный оператор
Ли* = Д (а* ^,) — йцг{ = а1+1(и1+1 — а<) — а{(и{ — ггг-1) — й{щ E5)
и пользуясь E4), получаем первую формулу Грина
(у, Аи) = -(аУи, Чу]-(ф1, у) + (ауЧи)к-у*(аЧи)ь E6)
аналогичную формуле E0). Поменяем в E6) местами щ и у<:
(и, Ау) = — (а Vу, Уи] — (йу, к) + (аи Уу)к — ц0(а УуL
и вычтем это равенство из равенства E6). В результате
получим вторую разностную формулу Грина
{у, Аи) - (и,- Лу> = а(у ?и — и Чу)к - а^у9 Vи1 - щ Уу^. E7)
В частном случае а«=1, й< = 0, т. е. при Лу< — Д V*/, = Д2^.^
разностная формула Грина E7) упрощается:
(у, Д ?и) = (и, Д Чу) + (уУи — иУу)к — (уАи — иАуH =
= (и, Д Чу) + иИук-1 - уяик-1 + щу1 - у0Щ.
Если у0 = 0, у* = 0, то первая формула Грина принимает вид
(у, Аи) — -(й^и, Уу) - (йц, у) E8)
и, в частности, при и\=у
(У, Л») = -(аУу, Уу]_(й, у2). E9)
Вторая формула Грина имеет вид
(Лу, в)—(у, Л»), F0)
если у, и удовлетворяют однородным граничным условиям
Уо = У* = 0, 1г#.= Цх = 0.
14. Пространства сеточных функций. Разностные операторы.
Рассмотрим множество функций у< = у@, заданных на сетке
о)=:{1 = 0, 1, 2, ..., Ю, т. е. для значений 1 = 0, 1, ..., N. Вве-

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 55
дем на этом множестве скалярное произведение (у, и) = 2 У№
и норму \у\= У(У,у)- Полученное линейное пространство
сеточных функций обозначим &*•+!. Это евклидово пространство со
скалярным произведением (у, у) и нормой НуII = У(у, у).
Напомним некоторые сведения из линейной алгебры*). Пусть
А — некоторый оператор, заданный в евклидовом пространстве Н.
Это значит, что каждому вектору уеЯ ставится в соответствие
некоторый вектор Ау^Н. Это коротко записывается так А:
Н-+Н. Областью определения оператора А является все
пространство Я, а область значений Н(А) принадлежит Н.
Оператор А линеен, если
А{у + у)=Ау + Ау для любых у, у еЯ,
А(Су) = САу для любого У^Н,
где С — произвольное число, _иными словами, А{Сху + С2у) =
■- С^Ау + СгАу для любых у, у^Н, где С\ и С2 — произвольные
числа. Оператор Л* называется сопряженным к оператору Л, если
.(Ли, V) = (и, Л*у) для» любых и, уеЯ.
Если Л* = Л, то Л называется самосопряженным оператором.
Оператор Л положителен, если
(Ли, и) >О для любого иеЯ, и ^ 0.
Мы будем рассматривать линейные разностные операторы,
заданные в пространстве Я*+1 = Н сеточных функций. Простейший
разностный оператор
задан для любых сеточных функций уе^+1 (область
определения 2НА+) оператора Л+ — пространство й*+1) и ставит им в
соответствие функции у = Л+у, определенные при 1 = 0, 1, 2, ...
.., ЛГ—1 (область значений ЖЛ+) оператора Л+—
подпространство состоящее из сеточных функций *;<, заданных при 0^
^1<Л") Г Оператор
вадан для #|^й*+1 и имеет областью значений подпространство
ОД, состоящее из сеточных функций, заданных при & = 1, 2, ...
..., N. Таким образом, оба оператора Л+, Л": Й*+1—*й*.
Разностный оператор второго порядка
о
Ау{ = Л ?у{ = у<+1 - 2у< + у<_1
задан на 0^+1 и имеет областью значений пространство 0*-1,
состоящее из сеточных функций у^ заданных при *=1, 2, ...
*) См. также Дополнение, § 1.

56 гл- *• ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
..., ТУ—1. Таким образом, А: $2*+1-*-&*-1. Аналогичным
свойством обладает разностный оператор
Ау{ = А{а1Чу{) — й{уи
Мы будем в дальнейшем пользоваться пространством
сеточных функций, заданных при I = 0, 1, 2, ..., N и равных ну^ю
при * = 0, 1 = #: у о •= 0, уя = 0. Обозначим это пространство че-
о о ,
рез О = $N+1»
о
Указанный выше оператор Ау, = Д^у< преобразует любую
функцию из пространства Й*+1 в функцию из пространства ^#-^
функций, заданных при *•» 1, 2, ..., ]У~ 1. Рассмотрим оператор
^* о о о** о
Л, который совпадает с оператором Л в й*+1, так что Л^ = Лу
о
при у е= (й„+и т. е.
Ау^= Уг+\ -2у{ + у{~1 при 1<1<Л^-1,
Л1/1 = уг - 2уи Лр*-4 = - 2ук-1 + ук_2.
Отсюда видно, что оператор Л отображает пространство й*-1 на
себя, т. е.
о"
Ау е ^N-^, если у <= ЙУ_1#
В дальнейшем мы будем рассматривать операторы
Ау = -Ау, А:П—+Н, где # = 0*-,.
о
В {2*+1 скалярное произведение определяется формулой
(У,») = 2 УЛ.
Вторая формула Грпна F0)
о
{Ау, V) = (у, АV) ДЛЯ ЛЮбых I/, Уб0^1
выражает самосопряженность оператора Лу<= А (а, ^) — й<у,, т. е.
Л*-Л.
15. Условие самосопряженности разностного оператора
второго порядка. Рассмотрим разностный оператор второго порядка
(трехточечный оператор)
Ау* = Вф^-См + Аы-и * = 1, 2, ..., ЛГ-1, F1)
о
где у е= $}„+!, * е. у0 = 0, I/* = 0.
Покажем, что необходимым и достаточным условием
самосопряженности разностного оператора F1) является равенство
Я,-Ли.,, 1-1,2, ..., #-2. F2)

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 57
Представим Ау{ в виде суммы Ау = А{у + А2у, где
Л^, = А<+х(у{+1 - у{) - А <(у{ - у^) - Д^ = А{А^у{) - Я,у,,
2), = С, - Л, - А<+и А2у{ = СВ< - Л^+1)у<+1.
о
Оператор Л1 в силу F0) самосопряжен в пространстве &2*+1:
о
(Л41/, V) = (у, Л41;) для любых I/, V е йу+1.
Поэтому можно написать
(Лу, у) — (у, Лк) = (Л21/, у) — (у, Л2у) =
= 2 (#1 ~ ^г+1) (У1+1^г — Уг^г+1). F3)
г=1
Отсюда видно, что если
о
(Л1/, V) = (I/, Лу) ДЛЯ ЛЮбыХ У, V^ Й*+1, F4)
т. е. оператор Л самосопряжен, то
2 (В г — Л*+1) (Уг+М — ^г+О = 0. F5)
В СИЛУ ПРОИЗВОЛЬНОСТИ у И V МОЖНО ВЗЯТЬ У<= 8м0+1, Уг = 6г,гв*
где и — любой фиксированный узел и = 1, 2, *.., N — 2, а 6*, * = 0
при 1Ф й, 6,< = 1. Тогда получим Уг-н&4 — УгЩ+г^ &маи
условие F5) дает В^ = А^+1у т. е. условие F2) необходимо для
самосопряженности оператора Л. Достаточность этого условия
очевидна, так как из F3) следует F4) при Вг = Аг+1.
В п. 10 было показано, что оператор F1) с коэффициентами
Л^О, В{Ф0 всегда может быть преобразован к
самосопряженному виду
Лу< = а{+1(у{+1 - уд - а{(уг - у{^) - Аф*= А(а{ Чу{) - й#{ F6)
1-1 В
умножением на число ч\% = г\г Ц -т-^-.
При решении краевых задач для уравнения
методом конечных разностей, как будет показано в гл. III, мы
приходим к разностному уравнению Ау{ = — (р<, где
У{ = у(х{), ф, = ф(^), хх = \Ъ,, & = 1/#,
а оператор Л имеет вид
АУг = -2 [^+1 (^+1 — Уд — <Ь (^ — ^-1>] — &У1 =
Л
= лД(аМ,)-«*0,. F7)

58 гл- I- ПРВДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Этот оператор можно получить из F6) после формальной замены
ъ на й{/к2. Здесь к — шаг сетки на отрезке 0 ^ х < 1, состоящей
из узлов х^гк, * = 0, 1, ..., N, делящих отрезок 0<х<1 на
N равных частей.
Скалярное произведение в пространстве 0*+1 вводится по
формуле
N-1
0/,*;)= 2 Уг^хк. F8)
*—1
Все выводы, полученные ранее для оператора F6), сохраняют
силу и для оператора F7), если учесть F8) и всюду заменить
а, на а*/кг.
Таким образом, оператор F7) самосопряжен в
пространстве Йл+1.
После того как установлена самосопряженность разностного
о
оператора Л в пространстве сеточных функций 0*+1 = Я,
можно пользоваться общей теорией для линейных самосопряженных
операторов в конечномерном евклидовом пространстве Я.
16. Задача на собственцые ^значения для самосопряженного
оператора в конечномерном пространстве. Напомним некоторые
сведения из линейной алгебры.
Пусть даны конечномерное евклидово пространство Я
размерности N со скалярным произведением (,) и нормой НуП — У(у, у)
и линейный оператор А: Н-+Н, действующий из Я в Я.
Предположим, что оператор А самосопряжен и положителен: А = А* >
> 0, т. е.
(Ау, V) =* (у, Аи) для любых у, V е Я,
(Ау, у)>0 для любого у ^ Я.
Рассмотрим задачу о собственных значениях оператора А:
требуется найти такие значения параметра X (собственные
значения), при которых однородное уравнение -4| = А,| имеет
нетривиальные решения (собственные векторы) | Ф 0.
Из линейной алгебры известно, что это уравнение имеет N
собственных значений А,!, Л2, ..., X», которым соответствует N
линейно независимых векторов |1э |2, -. •, I*.
Все собственные значения оператора Л = Л*>0
положительны: Хк > 0 для всех к =* 1, 2, ..., N.
В самом деле, из уравнения АЪь^КЪъ "Ы'^О, следует, что
(Аи, Ьь)в **(!*» |а). Так как по условию 4>0,_то (Л|к, Ы>0и
Собственные векторы |* и |то, соответствующие разным
собственным значениям А* и ХтФХк, ортогональны: (|к, |т)в0 при

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 59
Для доказательства рассмотрим уравнения
А $х = ал§ь, А \т = 'кт\т.
Скалярно умножим первое из них на \т> а второе па %л и вычтем
из полученного первого равенства второе равенство:
Так как оператор 4 самосопряжен, то
иь, б«)в (ь. 4Е«> = и и ы, (Яи-ЛтКь, &«) = о,
откуда при %кФХт п следует (|к> &п) = 0.
Если собственному значению Хк соответствует не один
собственный вектор, а несколько линейно независимых векторов
^9^1 •• -Лкг (г —кратность собственного значения Хк), то
можно на их основе построить^ (методом Шмидта) г ортогональных
и нормированных векторов Баг |*а,..., |&г:
/- - ч A, а = р,
Перенумеруем, как это принято делать, собственные значения
•в порядке возрастания их величины
0<Х4 <*,<...«**<...«Я* F9)
и поставим каждому из них в соответствие собственный вектор
Бь 1г, ..., &»• ..., \к. Знак равенства в F9) означает кратность
собственного значения, которое повторяется в F9) столько раз,
какова его кратность. В результате получается система ортонор-
мированных собственных векторов, так что
F*1 Ъгп) = бА, т, /с, ш = 1, 2, ..., N.
Рассмотрим теперь произвольный вектор /еД и разложим
его по собственным векторам:
N
/= 2«^ а, = G,Ы. G°)
Чтобы найти а*, умножаем G0) скалярно на %ь»:
N N
(/, Ък') = 2 ак (Ък, Ък') = 2 ак&к,к' = «Л'-
Покажем, что имеет место равенство || /1|2 = 2 а1* В самом
деле,
|/Г = (/,/)=( 2 «*Ь, 2 а^ = 2 <№ &, Ь0 =
= 2 а>кР>к'Ък,к' = 2 ак*
В дальнейшем мы познакомимся с задачей на собственные
значения для разностного оператора.

Г л а в а II
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
В этой главе на простейших примерах поясняются основные понятия
теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость, ж
дается представление о некоторых методах исследования устойчивости и
сходимости, таких как метод разделения переменных, метод энергетических
перавенств. В § 4 дается трактовка разностных уравнений как
операторных уравнений в абстрактном пространстве.
§ 1. Разностная аппроксимация
простейших дифференциальных операторов
1. Сетки и сеточные функции. Для того чтобы написать
разностную схему, приближенно описывающую данное
дифференциальное уравнение, нужно совершить следующие два шага.
1. Необходимо заменить область непрерывного изменения
аргумента областью дискретного его изменения.
2. Необходимо заменить дифференциальный оператор
некоторым разностным оператором, а также сформулировать
разностный аналог для краевых условий и для начальных данных.
После осуществления такой процедуры мы приходим к
алгебраической системе уравнений. Таким образом, задача о
численном решении исходного (линейного) дифференциального
уравнения сводится к вопросу о нахождении решения полученной
алгебраической системы.
Остановимся на этих вопросах несколько подробнее.
При численном решении той или иной математической задачи
мы, очевидно, не можем воспроизвести разностное решение для
всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой
области евклидова пространства*
Естественно поэтому выбрать в этой области некоторое
конечное множество точек и приближенное решение искать только
в этих точках. Такое множество точек называется сеткой.
Отдельные точки называют узлами сетки.
Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной
функцией. Таким образом, мы заменили область непрерывного
изменения аргумента сеткой, т. е. областью дискретного
изменения аргумента; иными словами, мы осуществили аппроксимацию
пространства решений дифференциального уравнения
пространством сеточных функций.
Свойства разностного решения и, в частности, его близость
к точному решению зависят от выбора сеткп.

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВД
Рассмотрим несколько примеров сеток.
Пример 1. Равномерная сетка на отрезке. Разобьем
единичный отрезок [0, 1] на N равных частей. Расстояние между
соседними узлами х, —хг-1 =:/г = 1АУ назовем шагом сетки. Точки
деления х{ = Иг — узлы сетки. Множество всех узлов сол =» {#< =»
= *й, г = 1, 2, ..., N—1) и
составляет сетку (рис. 1), в данном случае
введенную на отрезке. ^
В это множество можно включить х^о"^ хг... 4-^ЗГ/ ^
граничные __ точки х0 = 0, х^ = 1.
Обозначим со/1 = {д;г = ^, 1 = 0, 1, ... Рис. 1.
..., #-1, М.
На отрезке [0, 1] вместо функции непрерывного аргумента
у(х) будем рассматривать функцию дискретного аргумента ун(хО.
Значения этой функции вычисляются в узлах сетки #<, а сама
функция зависит от шага сетки Н как от параметра.
Пример 2. Равномерная сетка на плоскости. Рассмотрим
множество функций двух аргументов и(х, г). В качестве области
определения выберем прямоуголь- ^ .
ник т
Разобьем отрезки [0, 1] оси х
и [О, Т] оси I соответственно на Ъ*УГ
N1 и #2 частей; пусть Н = 1/Ми
т = 2У#2. Через точки деления ;
проведем прямые, параллельные
соответствующим осям. В
результате пересечения этих прямых
ёш,
Рис. 2.
получим узлы (х{> ^), которые и образуют сетку (рис. 2)
со^ = {(*,, ^)е=^>}.
Эта сетка имеет шаги Них соответственно по направлениям х
и I. Соседними узлами сетки называются узлы, лежащие на
одной и той же прямой (горизонтальной или вертикальной),
расстояние между которыми равно шагу сетки (к или т).
Пример 3. Неравномерная сетка на отрезке. Рассмотрим
отрезок 0 ^ х ^ 1. Вводя произвольные точки 0 < х{ < х2 <*...
... < л*-! < 1, разобьем его на N частей. Множество узлов {#<,
1 = 0, ..., N, х0 = 0, я* =1) образует неравномерную сетку
юл[0, 1]. Расстояние между соседними узлами — шаг сетки — равно
Н{ = х{ — х<-! и зависит уже от номера г узла, т. е. является
сеточной функцией. Шаги сетки удовлетворяют условию нормировки
N
1=1

52 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Пример 4. Сетка в двумерной области. Пусть на плоскости
х = (#!, х2) дана область О сложной формы с границей Г.
Проведем прямые х[г' = ^Лц *1 = 0, ± 1, ± 2, ..., Н± > 0; х2 2' = г2кг1 г2=
, кг>0. Тогда на плоскости (хи х2) получим сет-
с узлами (цки ЪЬг), и, ^2=^0, ±1, ±2, ... Эта
решетка равномерна по каждому
= 0, ±1, ±2,
ку (решетку)
&г к
{
л
Г
\
-**—*■
К
4-
-Ф*—
ь=й
из направлений Ох{ и Охг. Нас
интересуют только те узлы,
которые принадлежат области
и = С + Г, включая границу Г.
Те узлы (ики г2к2), которые
попали внутрь С, назовем
внутренними, а их совокупность
обозначим сод (рис. 3). Рассмотрим
точки пересечения прямых
Л) _| I . ЛЬ) _
Вию. 3.
$1 х1'±; =1^ И
1и *2 = 0, ±1, ±2,
цей Г; эти точки
ничными узлами,
#2
..., с грани-
назовем г/ш-
а множество
всех граничных узлов обозначим ^Л. На рис. 3 знаком X
обозначены граничные узлы, а значком ° — внутренние узлы. Из рис. 3
видно, что имеются граничные узлы, которые отстоят от
ближайших к ним внутренних узлов на расстоянии, меньшем &4 или й2.
Таким образом, хотя сетка на плоскости и равномерна по х± и х2,
но сетка соа = ©л + ^л для области О неравномерна вблизи
границы. Более подробно эта сетка будет рассмотрена в гл. IV.
_ Итак, область О изменения аргумента х мы заменяем сеткой
соЛ, т. е. конечным множеством точек хи принадлежащих П.
Вместо функций и(х) непрерывного аргумента х^ё будем
рассматривать сеточные функции у(#<), т. е. функции точки &,
являющейся узлом сетки со* = {х{}. Сеточную функцию у(х{) можно
представить в виде вектора. Если перенумеровать все узлы в
некотором порядке хи %2, ..., Хх, то значения сеточной функции в
этих узлах можно рассматривать как компоненты вектора
У =B/1, ..., Уь ..., Ы-
Если область С, в которой построена сетка, конечна, то
размерность N вектора У конечна. В случае неограниченной области
С сетка состоит из бесконечного числа узлов и размерность
вектора У также бесконечна.
Обычно рассматриваются * множества сеток {соЛ}, зависящих
от шага к как от параметра. Поэтому и сеточные функции ун(х)
зависят от параметра к (или от числа узлов N в случае
равномерной сетки). Если сетка ©Л неравномерна, то под к следует
понимать вектор к == (ки к2, ..., кя) с компонентами А4, ..., кК.

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 63
Это же замечание относится и к случаю, когда область О
многомерна, х — (хи ..-., хр)\ тогда к*=*(ки к2, ..., кр), если сетка ©л
равномерна по каждому из аргументов хи х2, ..., хр.
Функции и(х) непрерывного аргумента х <= С являются
элементами некоторого функционального пространства Я0.
Множество сеточных функций ун(х) образует пространство Нн. Таким
образом, используя метод конечных разностей, мы заменяем
пространство #0 пространством НК сеточных функций ун(х).
Рассматривая множество сеток {©*), получаем множество {Нн)
пространств сеточных функций, зависящих от параметра к. В
линейном пространстве Нн вводится норма \\\, являющаяся
сеточным аналогом нормы Н-Н0 в исходном пространстве Я0. __
Укажем простейшие типы норм в НК для случая деток юл =
= {х{ = ък] на отрезке 0 ^ х < 1 (индекс к у ун опускаем).
1) Сеточный аналог нормы в С:
У1с = тах\у(х)\ или Цг/Цс= тах |^|.
2) Сеточные аналоги нормы в Ь2:
/N-1 \1/2 • / N \1/2
11г/1=B^) или 11/|| = B/*) •
В дальнейшем будем, как правило, пользоваться нормами,
индуцированными скалярными произведениями на Нн (сеточными
аналогами норм в Ь2, УУ\ и др. См. стр. 11—12).
Пусть и(х) — решение исходной непрерывной задачи, и<=Н<>,
Ун — решение приближенной (разностной) задачи, ун^Нн.
Основной интерес для теории приближенных методов представляет
оценка близости уК к и. Однако ун и и являются векторами из
разных пространств. Имеются две возможности:
1. Сеточная функция ун, заданная в узлах соЛ(С),
доопределяется (например, при помощи линейной интерполяции) во всех
остальных точках х области О. В результате получаем функцию
у(х, к) непрерывного аргумента х^С. Разность у(х, к) — и(х)
принадлежит Н0. Близость уК к и характеризуется числом
\\у(#, /г) — гг(д:I1о, где II-Но —норма на Н0.
2. Пространство Н0 отображается на пространство Нн, Каждой
функции 'и(х) е Н0 ставится $ соответствие сеточная функция
иЛЫ, яесол, так что ин = Ф^и е Ял, где ^л —линейный
оператор из Н0 в Нк. Это соответствие можно осуществить различными
способами (выбирая разные операторы 9*н). Если и{х) —
непрерывная функция, то полагаем ин(х) = и(х), где х&сон. Иногда
определяют ин(х{) в узле #<есоЛ как интегральное среднее
значение и(х) по некоторой окрестности (например, диаметра ОШ)
данного узла Х{ е юЛ. В дальнейшем всюду, будем предполагать,
что и(х) — непрерывная функция и иА(#*) = и(х{) для всех х% е ©л.

64 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Имея сеточную функцию цЛ, образуем разность ук~ик,
являющуюся вектором пространства ЯЛ. Близость ун к и
характеризуется числом Цн — инК, где II-И*—-норма на ЯЛ. При этом
естественно требовать, чтобы норма \\\ аппроксимировала
норму 1Ы10 в следующем смысле:
Пт1ин1н = 1и1
Л-+0
для лщбого вектора и из Я0. Это условие будем называть
условием согласования норм в Нн и Я0.
Мы всюду используем второй путь, исследуем погрешность
разностных методов в пространстве сеточных функций. В
большинстве случаев эти пространства являются конечномерными.
Как будет показано в дальнейшем, оказывается возможным
йровести изложение основных вопросов теории разностных схем,
трактуя Нн как абстрактные линейные пространства любой
размерности..
После того как мы познакомились на простейших примерах
со способами построения сеток и тем самым пространств Нн
сеточных функций, перейдем к вопросу о разностной
аппроксимации дифференциальных операторов.
2. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных
операторов. Пусть дан линейный дифференциальный оператор Ь,
действующий на функцию и — и(х). Заменяя входящие в Ьу
производные разностными отношениями, мы получим вместо 1л
разностное выражение ЬнУн, являющееся линейной комбинацией
значений сеточной функции ин на некотором множестве узлов
сетки, называемом шаблоном:
ЬъРН{х)= 2 Ан(хЛ)"н(Ъ)
&€=ДГ(х)
или
где Ан(х, ^ — коэффициенты, А-—шаг сетки, Ш(х) — шаблоп
в точке х. Такая приближенная замена Ьи на ЬкОн называется
аппроксимацией дифференциального оператора разностным
оператором (или разностной аппроксимацией оператора Ы.
Изучение разностных аппроксимаций оператора Ь вначале
обычно проводят локально, т. е. в любой фиксированной точке х
пространства. Если V(х) — непрерывная функция, то 1>л(#) = рЫ.
Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора Ь,
необходимо выбрать шаблон, т. е. указать множество соседних
с узлом х узлов, в которых значения сеточной функции и(х)
могут быть использованы для аппроксимации оператора Ь.
В этом пункте рассматриваются примеры разностной
аппроксимации для простейших дифференциальных операторов.

§ I. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ §5
Пример 1. 2л; = йи/йх.
Фиксируем некоторую точку х оси Ох и возьмем точки х — Л
и х + к, где й>0. Для аппроксимации /д; можно
воспользоваться любым из следующих выражений:
ьи= »(«+»>-»(*> „„„ A)
^17 1 р(«)-^»-*) -^. B)
Выражение A) есть.правая разностная производная (ее мы
будем обозначать Vx), а B) — левая разностная производная
(обозначение V-). Разностные выражения Ь^и и ЩV определены па
двух точках (имеют двухточечные шаблоны х, х + к ж х — ку х
соответственно).
Кроме того, в качестве разностной аппроксимации
производной ЪIйх можно взять линейную комбинацию выражений A)
и B)
Ь^-ГОм+а-а)^ C)
где а— любое вещественное число. В частности, при 0 = 0,5
получаем так называемую центральную (двустороннюю)
разностную производную
*°т(*+^)°-'(*+*^('~*)- <4>
Таким образом, оказывается, что можно написать
бесчисленное множество разностных выражений, аппроксимирующих
Ьо = и'. Возникает вопрос: какую ошибку мы допускаем,
используя ту или иную разностную аппроксимацию, и как ведет себя
разность я|>(ж) = Ьъу(х) — Ьи(х) в точке х при й-*0. Величина
1|>(ж) = Ьпо(х) — Ьу(х) называется погрешностью разностной
аппроксимации Ьи в точке х. Разложим V(x) по формуле Тейлора
и(х±к) = ь(х) ±ки'(х) + \ и" (х) + О (А3)
(предполагая при этом, что функция V{х) —достаточно гладкая
в некоторой окрестности (х — А0, х + к0) точки х и к<к0,
Аффиксированное число). Подставляя это разложение в A), B) и
D), получим
Ъ - '{Х) '1{Х~Н) - »' (х)-^'(х) + 0(Н\ E)
5 А. А. Самарский

66 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Отсюда видно, что
"ф = »х — V' (X) = О (Н), 1|) = 1>;-1/(;г) = 0(Й),
ц = 1>о — и'(х) = 0(№).
X
Пусть V — класс достаточно гладких функций V^V,
заданных в окрестности Ш(#, к0) точки ж, содержащей при к<к&
шаблон Ш(х, к) разностного оператора Ьн. Будем говорить, что
Ьн аппроксимирует дифференциальный оператор Ь с порядком
т>0 в точке х, если
, ф(я) = Ько(х) - Ьи(х) = 0(кт).
Такдм образом, левая и правая разностные производные
аппроксимируют ^V = V' с первым порядком, а центральная*"
разностная производная — со вторым порядком.
,2
Пример 2. Ьо = Vй = —\.
Чтобы написать разностную аппроксимацию второй
производной, надо использовать три точки (х — к, х, х + к), т. е. взять
трехточечный шаблон. В этом случае
^ и= у(х + Н)—2у (х) + у{х — КУ -р.
Н
Замечая, что правая разностная производная в точке х
совпадает с леЬой разностной производной в точке х + к, т. е.
их (х) = у5с (х "Ь ^)» перепишем F) в виде
V- (X) — V- (Х) ,
1» = ЗГ^вт[^* + *>-|*<*>]-Ъ<*>- <7>
Пользуясь разложением функции и(х) по формуле Тейлора,
нетрудно показать, что порядок аппроксимации в этом случае
равен двум, т. е, 1^ — V* (х) = О (Л2), так как
^х=»"+Г2^ + 0{к*). (8)
Пример 3. Ьу = уD).
Выберем пятиточечный шаблон, состоящий из точек
(х — 2к, х — к, х, х + к, х + 2А),
и определим ЬьР = и-х~х. Пользуясь формулой F) для у**,
напишем выражение для ^^
= -А1»(* + Щ ~ М* + к) + 61;(я) — 4у(я — к) + и (х — 2к)[.

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 67
Нетрудно проверить, что Ьк аппроксимирует Ь со вторым
порядком V^^---Vи)==:!^V('*) + 0(к*).В самом деле, пользуясь
разложением по формуле Тейлора
■„(х + окк) = и(х)+%^!!^- + 0(к*), о = ±1,
5=1 * ах
при 4 = 1, 2 и учитывая, что сумма г(х + кк) + и(х — кк)
содержит только четные степени, получаем написанную выше
формулу ДЛЯ "хххх-
Разложение погрешности аппроксимации ф —1гйр — Ьи по
степеням к можно использовать для повышения порядка
аппроксимации. В самом деле, имеем
Ъ - V - § ^ + О (/>«) - § ^ + О <*«).
Отсюда следует, что оператор
определенный на шаблоне (х — 2к, х — к, х, х + к, х + 2к),
аппроксимирует Ьи=*и" с четвертым порядком.
В принципе такой процесс повышения порядка
аппроксимации можно продолжить дальше и получить любой порядок
аппроксимации в классе достаточно гладких функций убУ. При
этом шаблон, т, е. число используемых узлов, возрастает. Однако
указанный прием повышения порядка разностной аппроксимация
не всегда можно рекомендовать для практического применения,
так как качество получающихся при этом операторов ухудшается
(в смысле объема вычислительной работы, условий
существования обратного оператора, устойчивости и т. д.).
Нам в дальнейшем понадобится
Лемма. Справедливы формулы
^,'(» + *)-^) + '>(''--*),1Л(Р, 6-» + Ю, |в|<1, (9)
если V&С{2)[x — к, х + к]9
Ъв^(*>+П"D>©. 6 = * + 0А |91|<1, (Ю)
если Vе= С(к)[х — к, х + к].
Здесь Сш[а, Ы —класс функций, имеющих непрерывную Амю
производную на отрезке а < х <* 6.
5*

68 ГЛ- И- ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора с
остаточным членом в интегральной форме *)
V(x) = V (а) + (х-а) V' (о) + ... + (-^~ Vм + Вт+1 (х), (И)
где
X
л;+1(*)-я-<[<*-|)г1'<г+1)(|)« =
а*
1
= {*-°)Т+11 A - «)гу<г+1) (а + »(х- а)) *. A2)
О
Применяя теорему о среднем для интеграла, представим
Вг+^х) в виде
где | — среднее значение х на отрезке [а, #],
1
1 = а + в(х-а), 0<в<1, |A - 5)гй$ =-1-^
о
Заменяя в формуле A1) х на х + к, а на х, получим при г=1и
г = 3 соответственно
1
V {х + к) = V (х) + Ня/ (х) + к21 A - 5) V" (х + $к) <Ь, A3)
о
V (х + к) = и{х) + ки' (х) +
1
+ у »"<*) + 7Г »'" & + ТI (* - 8KуD) <* + Л) аз. A4)
о
Заменяя здесь к на —А и затем 5 на —5, получим формулы
о
и(х — к) = и(х) — ки'(х) + к2 | A + $) у" (я + $й) <&, A5)
-1
V (X — к) = V (х) — /и/ (#) +
О
+ $ * (*> - т»'" <*) + т I <4 + 8>3г;D> <*+вА> *• <16>
-1
Сложим формулы A3) и A5), перенесем 2и(х) в левую часть
*) Си. Никольский С. М. Курс математического анализа.— М.:
Наука, 1975. Т. 1.

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 69
равенства н разделим на А2:
-1
где
1 + 5 при — 1 <$ < О,
Г1 + 5 при —1<$<0
ЙГ2(^) = (д _ ^ прй о<5<1
Так как #г($) ^ 0, то можно воспользоваться теоремой о среднем,
что дает
1
"** =^<* + ш) 1 е*($)<1* = *"(*+ 6А)-/(©, - 1<е<1,
-1
где | — средняя точка на отрезке 1х — к, ж + А]. Аналогично
получается и вторая формула A0).
Сложим A4) и A6), перенесем 2и(х) в левую часть и рааде-
лим на А2:
1
^ = * (*) + у ^ ё< E) УD> <* + *Й) Л,
-1
где
1A + *)8 при —1<|<0, г- !
Л<*)-1A_.)* при 0<«<1, ДЛМ*—Г
Так как #4(«)>0, а рD)Ы непрерывна, то, применяя теорему
о среднем, получим
Ъ»^(*) + й»D)(* + Ю), |в|<1,
что и требовалось.
Замечания. 1. Очевидно, что аналогично можно получить
и формулу
A7)
если уЫ е С(в) [х — А, # + к].
2.. Аналогично можно показать, что
1Ч«взр^(* + 2*)-4»(* + А) + в»(*)--
- 4у (х-к) + *{х- 2к)\ » 1;D)$), D8)
где |в * + в А, I в I < 2 — средняя точка на отрезке [х — 2А, х + 2А],

70 гл. и. основные понятия теории разностных схем
а ^^С{ь)[х — 2к, х + 2Н]. Для этого достаточно получить формулу
V" - :
хххх
2
-2
где
*(*)'
8A + */2K при -2<*<-1,
8A + $/2K-4A + $K при -1<$<0,
8A-*/2K-4A-$K при 0<*<1,
8A-5/2K
при
1<5<2.
ду д2у
Цример 4. 2л; = — ^ V=V(x^^).
Пусть (х, ^ — фиксированная точка плоскости (х, *), Н>0
и т>0 — два числа (шаги). Чтобы написать разностную
аппроксимацию Ьнх для оператора Ь, мы должны прежде всего
определить шаблон.
(х,М)
р-й.&т) Ш+т) (х+Ь,иг)
о)
4
B-Ь1+*) Ш+т) (я+& иг)
(х-Ы)
(хЛ)
6)
Рис. 4.
(х+ЬЛ)
Остановимся сначала на аппроксимациях простейшего типа.
Пусть шаблон состоит из четырех точек (рис. 4, а). Определим
Ькх так:
гСр)" __ у\*> * + 1) — у(х,1) ' у(х + Н,г) — 2у (х, 1) + у(х — к, <) ,,дч
т к2 - *
Для упрощения записи разностных выражений весьма
важным является вопрос о введении рациональной символики.
Условимся о следующих обозначениях:
V = V(x, *), V = и(х, I + т), V = V(x, I — т).
В этих обозначениях, например, разностная производная по I

§ 1, АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 71
может быть записана следующим образом:
у (х,1 + т) — у (х, I) у—у /9т
Учитывая G) и B0), запишем A9) в виде
1$Ь = Ъ-уъ> A9')
При построении Ь{нх мы взяли значение у^в момент I (на
нпжй'ем слое). Используя шаблон, изображенный на рис, 4, б,
можно взять 1^с в момент 1 + х (на верхнем слое), что дает
.1>№ = щ-%х. . B1)
Взяв линейную комбинацию A9') и B1), получим однопарамет-
рическое семейство разностных операторов
4?» = Щ - (отг+ A - а) V-xx), B2)
определенных при о^О ио^1 на шеститочечном шаблоне,
указанном на рис. 4, в.
Для оценки порядка разностной аппроксимации
воспользуемся формулами
р,-»^ + :*«^ + 0(^- »<».« +т/2) +0(т>)<
_д2у(х,1) , ь?д*у(х,г) , л/щ
в *2» (х, г + т/2) _ х *3, (.,, + т/2) ^,
- _ а2»(*,* + т/2) ■ т *»„(«,* +т/2) 0(!о о.
Подставляя эти выражения в формулы для Х^** V, 4т *>> 4тУ> п<>-
лучим:
1) 4^=^^-%^ + О(^ + х) = ^(х,0+О(ЛЧт),
т. е. У°> = 4«> у - ^ (х, 0 = О (/г2 + т);
2) Л&>р = »» *»' + т> - * <«- « + *> + О (У + г) -
= Ху (*, I + т) = О (А8 + т),
т. е. г|зA) = О — ^(х,1 + т) = 0(А2 + т);
3) Цм»„- ^^- *»(М + т/2) + 0(Л, + т8) =
=1» (х, * + т/2) + О (А2 + т1),
т. е. ч,@-5) = Ь$% - XV (*, г + т/2) = О (А2 + т2).

72 гл- "• основные понятия теории разностных схем
Таким образом, оператор /$? аппроксимирует Ь со вторым
порядком по к при любом а, с первым порядком по т при а = О,
а = 1 и со вторым порядком по т при а = 0,5.
д2и
А
Пример 5.1/У=—о о*
* * а*2 а*2
В этом случае для записи разностного оператора Ьнх надо
использовать значения сеточной функции в три момента
времени * — т, *, * + т. Минимальным является пятиточечный шаблон
(рис. 5, а, б, в).
Ш<г)
(М)
а)
Ы)
ШУ
ТЯ,9
(х-/г,г-т) (&-т) (хщы)
б]
0 |
\ь*м
) С
№■*
Рис. 5.
Одна из возможных аппроксимаций (на шаблоне 5, в),
использующая значение р-ж на среднем слое *, имеет вид
Ьн# = ^ - 1^, B3)
где 1^| (ж, I) = (у (#, * + т) — 2и (х, 1) + у(ху1 — т))/т2.
Аналогично можно написать оператор (на шаблоне 5, а)
^кxV = V1^ — V^с. B4)
На девятиточечном шаблоне (рис. 5, г) можно написать двух-
параметрическое семейство разностных операторов
1&%а%^ = VII - (а^ + A - аг - а2)и^ + а^-х). B5)
При ^ = 02 — 0 отсюда следует B3), и при о^^О, 0! —1
следует B4). Замечая, что V;! = ^1> +0(т*), V-,- 2!^+ ОДО.
видим, что оператор B3) имеет аппроксимацию 01Аг + т3). Этот
же цорядок аппроксимации имеет и оператор B5) при ах = аг = а,
где а — любое число.

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 73
Отметим, что параметры о1 и о^ так же как и параметр с
и предыдущем примере, управляют не только порядком
аппроксимации, но, как будет показано в гл. V, § 1, и таким важным
свойством, как устойчивость соответствующей разностной схемы.
Пример 6. Ьи*=и"> Нерегулярный шаблон {неравномерная
сетка). Пусть А- > 0 и А+ > 0 — два числа. Возьмем трехточечный
шаблон (х-й-, х, х + к+). Если к-ФН+, то шаблон будем на--
аывать нерегулярным (сетка, построенная из таких шаблонов,
неравномерна). Введем обозначения
V (х) — V (х — Л_) *(*+*+) — и(х)
У; = ^ Ч *>*= — ^ , Й = 0,5(Л_+А+)
и определим Ьно по формуле
! Г V {х + А+) - V
^ = т[ —
— у (я) у (ж) — у (л — Л_)
*>«. — *>::
-*-=—*• B6)
Если А_ = А+ =* А, то //Лу совпадает с выражением G) (см.
пример 2). Вычислим локальную погрешность аппроксимации
(в точке х):
ф(я) — Ьно{х) — ^(х).
Учитывая разложение достаточно гладкой функции уЫ в
окрестности узла х:
V(а; + Н+) = V(x) + к+V,(x) + ^^(x)+^V'Цx) + 0(кX),
Ла к3
г(х - А_) = V(x) -А_у'(х)+-^г"{х) --^ъ'"(х) + 0(А1),
получаем
V» = V (х) + -^ * (Ж) + Ъ „"(я) + О (к%),
^ = и'(х)-^и'(х) + ^и'"(х) + 0(н1),
(пользуемся тем, что к± < 2к). Выражение для г|>Ы примет вид
К — К
г|) = 2^ - 2^ = ■■+ 3 ~ V'" + О (Й2) = О (П). B7)
Таким образом, оператор B6) на нерегулярном шаблоне (А+ Ф
Ф к~) имеет первый локальный порядок аппроксимации.
3. Погрешность аппроксимации на сетке. До бих пор мы
рассматривали локальную разностную аппроксимацию (аппрокси-

74 гл. п. основные понятия теории разностных схем
мацию в точке). Именно в этом смысле и шла речь о порядке
аппроксимации в предыдущем пункте. Обычно требуется оценка
порядка разностной аппроксимации на всей сетке.
Пусть <о* — сетка в некоторой области С евклидова
пространства {х «(хи ..., яр)}, Я* — линейное пространство сеточных
функций, заданных на ю», Я0 —- пространство гладких функций
»(*),"Я •0в —норма на Я0, И А — норма на ЯА. Предполагается, что
1) существует оператор &к такой, что &>ки = ин&Нн для любого
и&Н0у 2) нормы И-На и В*110 согласованы, т. е.
|Л|->0
где \к\ —норма вектора к.
Рассмотрим некоторый оператор Ь, заданный в Я0, и
оператор I*, преобразующий сеточную функцию гн в сеточную
функцию ЬнУк, заданную на о)Л (т. е. действующий из ЯЛ в ЯЛ).
Назовем погрешностью аппроксимации оператора Ь
разностным оператором Ьн сеточную функцию
^Л = 1Л1;Л—(^у)л,
где Vн = &ър, A/у)л = &н(Ьг), V — любая функция (вектор, элемент)
из Я0.
Если !1фЛ~* при 1А|-*0, то говорят, что разностный
оператор Ьн аппроксимирует дифференциальный оператор Ь.
Будем говорить, что разностный оператор Ьн аппроксимирует
дифференциальный оператор Ь с порядком т > О, если
ПфА - Щ»к - (/*>А - 0A Ыт), B8)
или \\Ьнин— (&р)А< М\к\т, где М —- положительная постоянная,
не зависящая от \Н\.
Замечания. 1. Приведем примеры оператора
проектирования 9*к в пространство сеточных функций:
1) если V — непрерывная функция, то можно положить
ин = &но(х) = V^x)^ х & (Он;
Х+Н 1
2) уЛ = &нц = ± | V^^)й^ = у I *>(* + *;0<2$,
*-Л -1
если уЫ — интегрируемая функция и т. д.
2. Если к = (&!, ..., кр) — вектор с компонентами ки А2, ...
..., кр, то под \к\ можно понимать длину |к| = \к\+ ... + АрI2.
Может оказаться, что аппроксимация по Л«, а=1, 2, ..., р, рая
лична по порядку. Тогда вместо B8) будем иметь
1Ьй-(ЦК^Ка, гдета>0.
ои»1

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 75
Выбирая среди ти ,.., тр наименьшее число и обозначая его
через тп, получим оценку B8).
3. Если сетка со* неравномерна, т. е. к — (к^ ..., к„), где
N — число узлов, то, например, \к\ =■ тах /г< или !й| есть сред-
нее квадратичное значение.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Разностная аппроксимация на неравномерной
■Л
сетке. Рассмотрим оператор Ьи=—§ в пространстве Я0 = СD)[0, ^^
их
функций, заданных на отрезке 0 < х < 1. Выберем на отрезке
О < х < 1 произвольную неравномерную сетку
юл = {хи 1 = 0, 1, ..., N. х0 = 0, хх = 1>.
Оператору 2>, согласно примеру 6 предыдущего пункта,
поставим в соответствие разностный оператор
{Ьа>Ъ = 1' Г?1±р^ _ ~-1}, V, = V (*,),. % = 0,5 (А, + кг+1\
Н [ яг+1 пг \
определенный в узле х{ па нерегулярном трехточечном шаблоне
(я*-,, Х{, #<+1). Вводя обозначения
4-1 „ „ "г+1 иг „ "г+1
оператор Ь}1и можно записать в виде (Ьки)\ = и^{ = у-^.
В п. 2 была найдена локальная погрешность аппроксимации
я|* = («-(^)| = ^^^ * = 1,2,...,#-1.
Отсюда видно, что оператор ЬкР имеет в сеточной норме С
первый порядок аппроксимации
|| \|з \с = тах | ^ | = О (/г), к = тах кг.
В сеточной норме Ь2 также получаем первый порядок:
= B*1*?] =о(к).
Однако в норме
1Фк-1) =
[Л-1 /г \2-||/,
ф имеет второй порядок, так что
НфВ(-1) — 0(й2), где А= тах й,.

76 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Докажем это утверждение. Перепишем Ф в виде
6&,
*--*^:+о(«).
Принимая во внимание, что VI = 1^+1 + С/(Л(+1), находим
т
6Ь,
** = й{ + Чя = 1чЧ- 1ч,
где *|л = О (А2) в любой норме. Главный член ^ в разложении
О ф
№ ~ Ф* + № имеет «дивергентный вид». Поэтому
* о *
Отсюда видно, что |&| <Д/Аа, и следовательно,
Так как
то Н1|I1(-1) <Мкг, т. е. погрешность аппроксимации в норме Н-^-п
имеет второй порядок. Отметим, что норма 11'||(—|) согласована с
1ормой1и10^И^[|ц(|)(й| ,
так что 111гЛ11(-1) -*■ Ыо при
Л-*0.
Разобранный пример показывает, что исследование
локальной аппроксимации может оказаться недостаточным для
суждения о порядке разностной аппроксимации на сетке и тем самым
для суждения о качестве разностного оператора.
Выбор подходящей нормы для оценки погрешности
аппроксимации связан со структурой оператора, и в каждом конкретном
случае должен быть предметом изучения. Связь между
оператором и нормой для оценки погрешности аппроксимации в общем
виде установлена ниже, в § 4. Бе конкретизация для
рассмотренного примера естественно приводит к «негативной» норме И • И<—±>.
Аналогичная ситуация встречается и при изучении разностных
аппроксимаций для оператора 2л* «*(&»')', где к(х) — кусочно-
непрерывная функция (см. гл. III).
Если ищется решение и(х, *) нестационарного уравнения
(например, уравнения теплопроводности), то переменная ^ (время)
выделяется. Функция и(х, *) как функция аргумента х является
элементом пространства Я0. Пусть ©Л — сетка в области О
пространства {х » (хь ..., яр)}, ют — сетка на отрезке 0 < I *С и.

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 77
Сеточная функция у (х, *) = уы(х, *) определена на сетке
Юлт — ©а X Шт = ((я, *), # е (»>а, * е= ©ХК
Как функция аргумента х е ©л она является вектором
пространства Нн с нормой II-На. Для оценки у(х, I) на сетке юл* обычно
используется норма
|уЬ, = тд4|р@|». C°)
или одна из норм
Ый- 2 т|у@|А, !у|а, = [2 тИ*)Ш,л. C1)
Пусть Ь^кх — разностная аппроксимация оператора Ьи, и =
«*и(:е, *). Оператор Ььх определен на сеточных функциях уНх(х,Ь),
заданных на сетке соЛт. Пусть у{х, 2) как функция х
принадлежит #0. Тогда Vк(x, *)=^Л1Дя, *) принадлежит ЯА для любого
*е[0, *«1. Если и(х, I) непрерывна по *, то можно положить
Vнx(x, *) -*ук(х, <) для всех * е ©т. Таким образом, иНх(х, *)
задана на сетке ©лт и можно определить погрешность .аппроксимации
Будем говорить, что 1*т аппроксимирует Ъ с порядком т>0
по х и с порядком п>0 по *, если в классе достаточно гладких
функций 1;B, I) выполняется оценка
Цнх(х, *I1*-»0(|А|ж + т«) или ЦкХх<М(Шт + тп),
где М — положительная постоянная, не зависящая от 1Л| и т.
ди А
Пример 2. 1м—тг 5, 0<х<1, 0<*^*0, Ьк-^ — Щ^
XX
Оператор Ьн% пишется во всех внутренних узлах сетки
^ соат « Ихи *Л х{ = гА, ^ =* /т, 0 < г < ЛГ, 0 < / < /0, /о — *о/т>.
Если рОг, I) имеет две производные по I и четыре производные
до х (у е С%), непрерывные в прямоугольнике
@^я<1, 6<*<*о),
то в каждом внутреннем узле сетки соат согласно п. 2 имеем
1ь,<*, «> - ^^ ~ (^)лт - 0№ + т).
Отсюда следует, что Ьнх аппроксимирует Ь со вторым порядком
по х и с первым порядком по * в любой из норм C0) и C1),
/N-1 у/,
где Ц>Ц& = тах|ф| либо |-ф||ь= 2 Ц&) и т. д. Таким
Обращал V <«1 /
8ом, в этом случае из локальной аппроксимации следует
аппроксимация на сетке.

78 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
До сих пор мы рассматривали логрешность разностной
аппроксимации на функциях у, принадлежащих некоторому классу
V. В частности, в наших призерах в качестве V выбирался класс
достаточно гладких функций.
Пусть теперь V является решением некоторого
дифференциального уравнения: V = и; например,
дв-.»"«_/.
В качестве разностной аппроксимации оператора Ьу=* V
"выберем ЬъР = V-x. Выше было показано, что на равномерной сетке
^ = ^ + ^ии)+^^в)(х + Щ9 ■- 1<Э<1.
Подставим сюда у = и, и" = — /, иD) = — /" и предположим, что
/"=0, а следовательно, и /(Л)«0 для /е>2. Тогда Ьни = и" =
=* Ьщ т. е. погрешность аппроксимации в классе решений
уравнения Ьи = — /, где / — линейная функция, тождественно равна
нулю, -ф = 0. В этом случае говорят, что аппроксимация точная.
Если же /" Ф 0, то разностный оператор можно подправить,
вводя оператор
~ к2
и для этого оператора имеем ф =» Ьни — Ьи = 0(кк).
Таким образом, рассмотрение погрешности разностной
аппроксимации на решении дифференциального уравнения может
использоваться для повышения порядка апцроксимации.
4. Постановка разностной задачи. До сих пор мы занимались
приближенной заменой дифференциальных операторов
разностными. Однако задачи математической физики помимо
дифференциального уравнения включают и дополнительные условия —
краевые и начальные, которые обеспечивают выделение
единственного решения из всей совокупности возможных решений.
Поэтому при формулировке разностной задачи, помимо
аппроксимации дифференциального уравнения, необходимо
эффективно описывать в разностном виде эти дополнительные
условия. Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих
основное дифференциальное уравнение и дополнительные
условия (краевые и начальные), называют разностной схемой.
Сначала проиллюстрируем сказанное на примерах.
Пример 1. Задача Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения:
и' = /(ж), х > 0, и@) = но. C2)
Выберем простейшую равномерную сетку ©л = {хг = 1Й, г= 1,
2, .-..} и поставим в соответствие задаче C2) разностную задачу:
_ или —*±- = фъ I = 0, 1, ...; у0 = щ.
У о — ио'

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 79
\
При этом правую часть ф,- можно задавать различными
способами, например,
Ф< = /(*<), Ф< = 0,5(/(я<) + /(я<+1)),
лишь бы выполнялось условие ф< — /< = 0(А).
Для нахождения решения получаем рекуррентную формулу
У*1 = У< + %, ъ = 0, 1, 2, ..., где уо = Щ.
Приме.р 2. Задача Коши для системы дифференциальных
уравнений первого порядка:
*± + Аи = 0, 1>0, и@) = и0,
где А — квадратная матрица пХп, А = (а{к), и = (ии и2, ..., ил) —
вектор размерности п.
Введем сетку сох = 1^ = /т, / = 0, 1, 2, ...} с шагом т и
напишем разностную схему Эйлера
у ~у +^ = 0> / = 0,1,2,..., ^ = Ы,1/|,...,^).
Разностная задача поставлена, если при / = 0 задано
начальное условие для вектора у1: г/° = гг0. Значение уж вычисляется
последовательно по явной формуле
у>+* = у>-%Ау\
Пример 3. Краевая задача:
и" (х) - - /Ы, 0 < х < 1, и@) = \ки иA) = ц2. C3)
Выберем опять равномерную сетку
сйГл = {XI = гк, I =» 0, 1, ..., #, ЛЛГ = 1>.
Разностную задачу запишем в виде
У-хх = — ф> ИЛИ 2- ^ = — фг,
/оо \
I = 1, 2, ... , N — 1, у0 = ^^1,УN = V2^
В результате получим систему алгебраических уравнений с трех-
диагональной матрицей. Такую систему можно решать, например,
методом прогонки (см. гл. I, § 2).
Пример 4. Первая краевая задача для уравнения
теплопроводности:
Ьы = 47-^ =/(*>')> 0<*<1/ 0<*<*0,
и(М) = М')> и(М) = М0, и(х,0)=±и0(х). C4)
Выбрав равномерную сетку
<*нх = ((*< = *"й, ^ = /т), г = 0, 1, ..., Л^, / = 0, 1, ..., #2}

30 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
и простейший четырехточечный шаблон (см. п. 2, пример 4),
получим р&зностную задачу
У1 = Уж + ф>
или в индексной форме:
2/о = И'! (*;)> У^г = Ш (*;)> У* = "о («О- C4л)
Правую часть ф можно задавать различными способами
ф! = / (*Ъ ^), ф* = / (*Ь ^+1/2), И Т. Д.
Разностная задача C4Л) является примером использования так
называемой явной схемы: значения решения на верхнем
временном слое у'+1 определяются через значения на предыдущем слое
по явным формулам
Рассмотрим неявную схему
У1=!&х + Ч>, У (*, 0) = и0 (х), у (О, I) = [ц @>
у A, I) = [х2 (*), * €= шт, я €= соЛ.
Для определения значений у=*у*+х на (; + 1)-м слое получаем
систему алгебраических уравнений
или
у$\ - B + Ь2/т) 1/1+1 + */Щ = - № 0 < * < ЛГ,
Уо+1 = Их (*ж)» 0& = Ц2 (*ж)
с трехдиагональной матрицей.
Эту систему ш>жно решать методом прогонки (см. гл. I, § 2).
До сих пор мы рассматривали краевые условия первого рода,
которые на разностной сетке аппроксимировались точно. В
случае краевых условий третьего рода вопрос об их аппроксимации
требует специального исследования. На нем мы остановимся позже.
5. О сходимости и точности схем. При решении некоторой
задачи приближенным методом в конечном счете надо иметь
предварительное суждение о том, с какой точностью можно
приблизить при помощи этого метода точное решение задачи.
Поэтому следует рассмотреть вопрос о сходимости и
точности разностных схем.

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ %\
Пусть в области С с границей Г требуется найти решение
линейного дифференциального уравнения
^ц = /Ы, я€=С, C5)
удовлетворяющее дополнительным (краевым или начальным)
условиям
1и.= \1(х), я€=Г, C6)
где /(х) и \ь(х) — заданные функции (входные данные задачи),
/ — некоторый линейный дифференциальный оператор.
Предположим, что решение задачи C5)—C6) существует и единственно.
Область С+Т непрерывного изменения аргумента (точки)
заменяется дискретным множеством точек (узлов) а^ —сеткой.
Пусть Л —векторный параметр, характеризующий плотность
расположения узлов, (оЛ — множество внутренних узлов сетки,
7л —множество граничных узлов. Задаче C5)—C6) поставим
в соответствие разностную задачу
ЬкУп=*Чъ я€=соЛ; /ЛуЛ = Хл при я^Тл» C7>
где флЫ и %ь(х) — известные сеточные функции. Здесь Ьн и 1н —
операторы, действующие на сеточные функции, заданные для
жбоЛ = (,)Л + ^ Решение ун задачи C7) есть сеточная функция,
определяемая в узлах сетки о)Л. Меняя А, т. е. выбирая
различные сетки (Ол, мы получаем множество решений {уЛ, зависящих
от параметра А. Таким образом, следует рассматривать
семейство разностных задач C7), соответствующих различным
значениям параметра А. Это семейство разностных задач C7) будем
называть разностной схемой.
Основной целью всякого приближенного метода является
получение решения исходной (непрерывной) задачи с заданной
точностью е > 0 за конечное число действий. Чтобы выяснить
принципиальную возможность приближения решения и задачи
C5)—C6) решением ун задачи C7) с любой заданной точностью
О 0 в зависимости от выбора шага, А(е), мы должны сравнить
ун и и(х).
Это сравнение будем проводить в пространстве ЯЛ сеточных
функций. Пусть ил — значение и{х) на сетке 0Л, так что Юл ^ Ял.
Рассмотрим погрешность разностной схемы C7):
2н=*Ук-ин.
Напишем условие для 2Л. Подставив ук = 2н + ин в C7),
получим для ъь. задачу того же типа, что и C7):
^л2Л = фл, я€=сол, *л2Л=^л, х&Чъ C8)
где ^н и хь — невязки, равные *фл = срл — Ьлмл, V* = х*"~ ^ил.
Правые части фл и \ъ задачи C8) называются погрешностью
аппроксимации уравнения C5) разностным уравнением C7) и
6 А. А. Самарский

82 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
соответственно погрешностью аппроксимации условия C6)
разностным условием /лУл = Хл на решении задачи C5)—C6). Обычно
говорят короче: г^ — погрешность аппроксимации для уравнения
ЬнУн = <Рн на решении и(х) уравнения C5), гЛ — погрешность
аппроксимации для условия /лУа = Хл на решении задачи C5)—C6).
Для оценки погрешности схемы Ъь. и погрешности
аппроксимации г|?А, V* введем на множестве сеточных функций нормы
II * !(!*)> II • \ч) и II' 1C/1) соответственно. '
Будем говорить, что решение разностной задачи C7) сходится
к решению задачи C5)—C6) (схема C7) сходится), если
II *ь 11A/0 = II 2/л — ин 11A,0 -* 0 при | к \ ->- О,
или||2Л|Aл) = ||р(|А|)||, где р(|А|)->0 при |/ь|-*0.
Разностная схема C7) сходится со скоростью 0(|А|П) или
имеет п-й порядок точности (имеет точность 0\к\п)), если при
достаточно малом \Н\ <й0 выполняется неравенство
II *Л 1A/0 = I У* - Ъ 1AЛ) < М I Н Г>
где М> 0 — постоянная, не зависящая от |й|, /г> 0.
Говорят, что разностная схема C7) обладает п-м порядком
аппроксимации, если
ИЦ.Л) = 0(|Л.Г). ^»1(,А) = о(|Л|п):
Обозначая /Л и (Ьи)н значения /Ы и Ьи(х) на сетке юЛ и
учитывая, что (/ — Ьи)н = 0, запишем г|эЛ в виде
^л = (фл— Ьнин) — (/л —ХЩъ) = (фл ~ /л) + ({Щн — ^лил) =
Таким образом, погрешность аппроксимации схемы фл
складывается из погрешности аппроксимации г$ = фл — /управой части
и погрешности аппроксимации грд} = (Ьи)н — Ьнин
дифференциального оператора.
Так как фЛ есть погрешность аппроксимации в классе
решений дифференциального уравнения, то условие Ц^лЦ^) = О (| к \п)
может быть выполнено, если г^ и г|42) не имеют по отдельности
п-го порядка. Иллюстрирующий это утверждение пример был
рассмотрен в п. 3.
Возникает вопрос: как. зависит порядок точности схемы от
порядка аппроксимации на .решении? Погрешность 2н = ун — ип
есть решение задачи C8) с правой частью фь (и V*). Поэтому
вопрос о связи порядка точности с порядком аппроксимации
сводится к вопросу о характере зависимости решения разностной
задачи от правой части. Если Ъь. непрерывно (и'притом
равномерно по к) зависит от фЛ и V* (схема устойчива), то порядок
точности совпадает с порядком аппроксимации.

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ §3
Точное определение устойчивости разностной схемы будет да-
*го в следующем параграфе.
Остановимся сначала на вопросе о повышении порядка
аппроксимации разностной схемы на решении дифференциального
уравнения.
6. Повышение порядка аппроксимации разностной схемы.
В п. 3 было замечено, что погрешность аппроксимации
дифференциального оператора на решении дифференциального уравнения
может быть повышена без увеличения шаблона. Рассмотрим этот
прием на примере двух разностных схем.
Пусть дана разностная схема
Ух = ф, У о = Но
для задачи C2) (гг' = /(х), гг@) = гг0). Найдем невязку на
решении и = и(х) уравнения и' = /(х):
•ф = и* - ф.
Разложим
и(х + к) = и(х)-\-ки'+±-ив+^ит + 0(к*)
и учтем, что и' = /, и" = /', ..., тогда получим
у = и' + ±иГ+-%-и'И -Ф + 0(А3) =
= /(*)-Ф (*) +4//(*) + тги'"' +°(А8>-
Выбирая ф = /Ы + 0,5&/' или ф( = (/ + 0,5й/«)<, получаем схему
второго порядка аппроксимации на решении и = ц(ж):
1|) = 0(кг).
Учитывая затем, что и'" = /' = 1-хх + О (к*), /' = /« — 0,5*/^ +
+ 0(кг), найдем
* = / + ■!/*-Ту/« + 0(Ь»)--Ф,
т. е. схема ух = ф с правой частью
Ф^ + у/*--^/^
имеет третий порядок аппроксимации г|) = 0(й8) б:
и = и(х).
Рассмотрим теперь для краевой задачи
и"-ди = -/Ы, 0<ж<1;*и@) >/A)=0, д=сопз1;,
6*

84 гл. п. основные понятия теории разностных схем
трехточечную разностную схему
у-^ — йу=; — ф(я)> х=1к, I = 1, 2, .. .,ЛГ — 1, уо = УN = 0.
Покажем, что можно повысить ее порядок аппроксимации на
решении и = и(х) без увеличения шаблона, если выбрать
соответствующие й и ф.
Пусть и = и(х) —- решение исходной задачи. Рассмотрим
невязку г|> = и-ж — с?и + ф. Подставим сюда
и-х=и" + ^и^ + 0(Н*)
и учтем уравнение и" =»дв — /(ж):
ф = (д-й)и + (ср-/) + -^иD)+0(А*).
Отсюда видно, что ф = 0(й2) при й = д, ф = /. Подставляя иD) =
== д"и — /" = д (ди — }) — 1хХ + 0 (й2) в формулу для -ф, будем
иметь
^.[ф_/-.^(/ь + ,/)]_[<1_(д+Л!)]ц + 0(^.
Таким образом, если положить
то получаем схему повышенного порядка аппроксимации
Ч>-0(Л4)
на решении и(#) исходного уравнения.
Остановимся теперь на связанном с постановкой разностных
задач вопросе об ацпроксимации краевых и начальных условий
на решении исходной задачи.
7. Аппроксимация краевых и начальных условий» Из п. 5
следует, что точность схемы зависит от порядка аппроксимации на
решении исходной задачи не только уравнения, но и
дополнительных условий (краевых и начальных).
В этом пункте мы рассмотрим ряд примеров повышения
порядка аппроксимации краевых и начальных условий без
увеличения шаблона.
Пример 1. Третья краевая задача для обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка:
&\
—г — ди .=? — /(х), д = соп&1;, 0<аг<1,
их

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 85
Выбрав равномерную сетку (ол — (хг — гА, 0<$<ДО}, запишем
разностное уравнение в виде
У'** - ЯУ = - Ф> D0)
где ср« =» /(ж<), если /Ы — непрерывная функция.
Краевое условие при ж = 1 удовлетворяется точно:
уШ^Уя^р*. D1)
Первую производную ю'@) заменим правой разностной
производной уя% о ■« (ух — у0)/А и краевое условие при я — 0 напишем
в виде
У*, о — оу0 - ц* или Ьу —р*, D2)
причем оператор 2а определен на двухточечном шаблоне @, Л).
Подставляя сюда у**2 + щ где и —решение задачи B9),
получим для погрешности % условие
%х% о = 02о — VI,
где V! — погрешность аппроксимации для краевого условия на
решении, равная V! = |г4 + и», о — аа0.
Разлагая и(х) в окрестности уала х = 0 по формуле Тейлора
их = и0 + кщ>+^ио +0(к*),
находим
гь,о = и'0 + 0,5щ + 0(к2Ъ D3)
V, - [ц4 + ц'(о) - ои@)] + 0,5Ли" @) + ОШ) - 0,5А»" @) + ОС*1),
так как |11 + »'@)-~оа@)"«0. Отсюда видно, что V^=я»0(Л).
Подправим условие D2) так, чтобы порядок аппроксимации
составлял 0(кг). Используем для этого тот факт, что и(х) есть решение
исходной задачи C9). Выразим из дифференциального
уравнения »"Ч0):
»"@)-д»@)-/@). D4)
Подставляя D4) в D3), получим
и,, о - 0,5Мдв@) - /@)) - »'@) + 0(й8), D5)
т. е. выражение в левой части D5) аппроксимирует
производную ю'Ы в точке ж»0 на решении уравнения в"— д»« — /
со вторым порядком.
Отсюда и из D2) следует, что краевое условие
Уж.о^Уо-'ри о — о + 0,5Ад, ^ = ^ + 0,5^/@) D6)
имеет второй порядок аппроксимации на решении задачи C9).

36 ГЛ. Й ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Отметим, что нам удалось повысить порядок аппроксимации,
не увеличивая числа узлов сетки (шаблона), которые исдользо-
вались для -аппроксимации краевого условия.
Пример 2. Третья краевая задача для уравнения
теплопроводности:
~ = ^-\-!{х,1), 0<*<1, 0<*<г0; и(х, 0) = Мо(х>,
На сетке а)Лт, описанной в п. 1, напишем явную схему
У* = Ухх + Ф» У (*» °) = ио (*)» У (!> О = ^2 (О* . D8)
где ф = ф^= /(лг^ ^). Эта схема имеет аппроксимацию 0(Нг + т).
Построим разностную аппроксимацию того же порядка для крае^
вого условия при х = 0. Для этого рассмотрим.
__ ди @, 0 , Л Л* @,<) , ^/1>2Ч
Пользуясь уравнением теплопроводности при д; = 0, найдем
д2и @, 0 ди @, 0 , /П ,ч ~
—д\9 = —~—- — /@, г). Отсюда следует, что
т. е. выражение, стоящее слева, аппроксимирует производную
ди/дх при ж = 0с точностью 0(к2).
о ди I „ „ и@, Н-т>—и/0, *)
Заменяя —^ разностной производной и*,о=— г >
получим разностное краевое условие при х"= 0:
г/х,о=гО|5Аг/<>0 + 01/о-Ц1, Ц1 = и* + 0,5А/@, *). D9)
Оно имеет аппроксимацию 0(А2 + т2) на решении задачи D7).
В случае неявной схемы у% = у-^-4* ф вместо D9) следует взять
условие
2/х, о = 0,5%,, о + оуо —111, Ц1 = 1^1 + 0,5Л/@, I). E0)
Пример 3. Гиперболическое уравнение второго порядка:
IX = ТТ+ /<*•*). 0<х<1, 0<*<*0,
«/I с/а?
и @,0 = «1@, и (!■*) = МО, и(х,0) = ио(х>, -*1^-°1 =ц0(*).
E1)

§ 1. АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 87
Очевидно, что при аппроксимации задачи E1) особое
внимание следует обратить на запись в разностном виде начального
условия для производной ди/д1.
Пусть дана равномерная по х и I сетка о)лг с шагами кит
(см. п. 1). Если мы воспользуемся простейшей аппроксимацией
иДя, 0) = и0Ы,
то погрешность аппроксимации будет величиной 0(т).
Представим М$, 0) в виде
.' т ц (а:, т) — и (ж, 0) ди (х, 0) т д2и (а?, 0) п 2
и* № и> = т = —Я н Т —^? г^(т).
Обратимся теперь к исходному дифференциальному уравнению
и найдем
%^=^^+/(^0) = ^0(,) + /(х,0), Ьщ = ^
01 ах ах
д2и(х,0) Л (*) Л
так как ^—^ = ^— •, Отсюда следует, что
дх ёх
Щ (*, 0) - 0,5т (Ьщ + / (х, 0)) = ^^ + О (т2).
Поэтому разностное начальное условие уг(х, 0) — й0(х), где
й0{х) = и0(а;) + 0,5т(&Во + /(ж, 0)), аппроксимирует на решении
задачи D1) условие ди{х, 0)/д* = и0Ы со вторым порядком по т.
Условие и(х, 0) = щ(х) и краевые условия в данном случае
аппроксимируются точно. В качестве разностной аппроксцмации
уравнения можно взять, например, одну из схем,
рассмотренных в п. 2.
Из предыдущего изложения следует, что при повышении
порядка аппроксимации краевых и начальных условий мы
использовали существование и непрерывность производных,
входящих в уравнение, на границе области (прд ж = 0 или * = 0),
а также существование и ограниченность третьих производных
решения.
Пример 4. Трехслойная разностная схема для уравнения
теплопроводности. Рассмотрим первую краевую задачу
^ = -§- + /(*,*), 0<*<1, 0<*<*0,
и(х,0) = и0(х), и@, *) = !*!(*), .и(М) = М*). ( )
Для решения уравнения теплопроводности E2) часто
применяются так называемые трёхслойные схемы, использующие
значения сеточной функции г/^Чх), у*(х), у*+1\х) на трех
временных слоях ^-1э ^, ^+1.

38 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РА31ЮСТНЫХ СХЕМ
Например, трехслойная симметричная с*ема на равномерной
сетке о)Лх с шагами Лит выглядит следующим образом:
уЖ2;У? = Л (о,/+> + A - 2в)у> + оу^) + щ?,
уг = и0 (х4), у}0 = и[, г/лг = «г,
E3)
где Ау = у-х, а — вещественный параметр, ср' = /(я<, *,).
Так как центральная разностная производная по I
аппроксимирует — со вторым порядком по т, а Ли = —\ + О (Л2)«
то схема E3) аппроксимирует уравнение E2) с 0(Н2 + х2).
Нетрудно, однако, заметить, что задача E3) недоопределена. Для
применения трехслойной схемы требуется задать еще одно
начальное условие, например, задать у(х, I) на первом слое.
Естественно потребовать, чтобы введение этого условия сохраняло
аппроксимацию 0(т2 + А2).
Можно указать два.способа задания у(х, т). Первый способ
состоит в том, что мы делаем первый шаг по двухслойной схеме
л^^л^ + л + ф'.
обеспечивающей определение у(ху х) с точностью 0(т* + А2).
Второй способ состоит в том, что мы ищем значение у(#, т) в
виде у(х, т) = и0(х) + х\х(х) и подбираем \1 так, чтобы погрешность
у(х, т) — и(х, х) не превосходила 0(т2 + к2). Подставим в формулу
и{х,%) — и0(х) = т-±
ди
+ 0(т8)
значение -^- _ , всходя из дифференциального уравнения
ди I ... , .,_ п% г й\
Тогда получим ц, = 1/И0 +/(я, 0), и, следовательно,
У (*> *) = Щ (*) + * (щ (*) + I (я, 0)),
§ 2. Устойчивость разностной схемы
1. Примеры устойчивых и неустойчивых разностных схем.
Использование разностных схем позволяет свести решение
задачи для дифференциального уравнения к решению системы
линейных алгебраических уравнений. При этом правые части
уравнений, краевые и начальные дацные, которые мы будем в
дальнейшем называть одним общим термином — входные данные,—

§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ 89
задаются с определенной погрешностью. В процессе самого
численного решения системы также неизбежны ошибки, связанные
с округлением. Естественно потребовать от разностной схемы,
чтобы малые ошибки, допущенные во входных данных, не
нарастали в процессе вычислений и не приводили к искажению
решения.
Схемы, которые в процессе счета усиливают, начальные
погрешности, именуются неустойчивыми и не могут быть
использованы на практике.
Прежде чем дать определение устойчивости разностной-схемы
по входным данным, к понятию которого мы интуитивно
подошли, приведем несколько примеров.
Пример 1. Устойчивая схема. Пусть
и' = — аю, #>0, ю@) = »<>, а>0. A)
Точным решением задачи A), как нетрудно видеть, является
функция и(х) = ще***. Это решение не нарастает с ростом х:
\и(х)\<\и0\ при а>0 и, следовательно, и(х) непрерывно
зависит от щ*
Задачу A) на равномерной сетке соЛ = {ж< = ^, 1 = 0, 1, ...)
аппроксимирует разностная задача
(у<-у<-1)/к + ау{ = 0, г/о^ио, 1=з1, 2, ... B)
Задачу B) можно переписать в виде
2/, = 8у^и 8 = 1/A + ак), 1 = 1, 2, ..., у0 = и0.
Отсюда следует у^ = $*уо.
Рассмотрим фиксированную точку х и выберем такую
последовательность шагов Л, чтобы х все время оставалось узловой
точкой, х,=*иИ. Тогда при измельчении сетки, й-*0, номер г0,
соответствующий выбранной нами точке #, неограниченно
возрастает. Вычислим значение у в этой точке:
— \
у (*) = у\0 = 5 V
Так как Ы<1 при а>0 и любых к, ?о\у(х)\^.\$\°\у0\ <
< I г/@) | при любом к.
Из последнего неравенства видно, что решение разностной
задачи B) непрерывно зависит от начальных данных. В таких
случаях будем говорить, что разностная схема устойчива по
начальным данным.
Пример.2. Неустойчивая схема. Для задачи A) рассмотрим
схему
О У'~ **-*"+ A - О) У<+1 ~ * + *Уг = 0, *,0 = 1/0, У1 = Щ, C)
«.-1,2
где о > 1 — числовой параметр. Так как схема трехточечная (раз-

90 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
ностное уравнение имеет второй порядок), то помимо у0 следует
задать ух. При любом о схема C) имеет, по крайней мере,
первый порядок аппроксимации. Если положить и0 — A — ай)м0,
то «о — и(к) = 0(й2). Частные решения разностного уравнения
C) ищем в виде у<=э5\ Подставляя у{ = 8* в C), получим для 5
квадратное уравнение
(о - 1)«2 - Bо - 1 •+ аН)в + о = 0, * D)
которое имеет два различных корня*
__ 2а -- 1 4-аЬ + У\ + 2 Bа — 1) а/г + аУ
*1-1""' 2(а-1) * '
Общее' решение уравнения C) имеет вид
У1 = л** + д«*. E)
Полагая 1 = 0и 1=1 и учитывая, что у0 = Мо, У\ = й0, найдем
постоянные А и В:
и — 8 и
А = -* *-* В =
Так как о > о — 1 > 0, та $1$2 > 1. Покажем, что $2 < 1 при
любых <хЛ. В самом деле, разность
2 (а — 1) - Bа - 1 + оЛ"— /1 + 2 Bа - 1) ай + а*Л8) =
= /A + оАJ + 4(а —1)оЛ — A + сЛ) > 0
при о > 1. Очевидно также, что 5! > 1 нри любом значении а/г,
так как $!$2 > 1.
Из формулы У г = -4^1 + В$2 ВИДНО, ЧТО У{-*~°° При I -* ооэ
если Л =^0. Можно выбрать значение 1/1 = и0 так, что Л = 0. Для
этого достаточно положить й0 = и0$2. Однако в процессе
вычислений из-за ошибок округления решение $1 неизбежно появляется,
что приводит к неустойчивости указанного типа. При
фиксированном к эта схема приводит к нарастанию решения с ростом
х{=*гк. Сгущение сетки (уменьшение к) приводит к
нарастанию ошибок в фиксированной точке х = цку так как и — х/к
растет с уменьшением к. Малое изменение начальных данных
приводит при к ->■ 0 к неограниченному возрастанию решения
задачи в любой фиксированной точке х. •
Ниже приводятся результаты расчетов для задачи C) при
у0 =» 1, г/! = 52, где $2 — меньший корень квадратного уравнения
D). При этих начальных данных точное решение уравнения
C) имеет вид у% = В$\,так как А = 0. Однако из-за ошибок
округления в формуле E) решения возникает первое слагаемое/
которое растет с ростом I и приводит к переполнению
арифметического устройства ЭВМ.

§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ 91
Были проведены расчеты следующих вариантов па ЭВМ
БЭСМ-6:
1) а = 1,1; ай = 0,01; * —11,11; *2 = 0,99;
2) о—1Д; ай = 0,1; ^ = 12,09; *2 = 0,91;
3) о = 2; аН = 0,01; *4 = 2,02; з2 = 0,99;
4) о = 2; а/* = 0,1; $4 = 2,17; $2 = 0,92.
В таблице 1 приведены значения #< в некоторых узлах сетки
о)* для всех четырех вариантов. В последней строке таблицы
указаны номера узлов сетки, в которых наступил аварийный останов
ЭВМ (авост).
Таблица 1
Вариант 1)
г
6
7
11
12
13
14
15
16
20
25
32
Уг
0,952
0,942
0,900
0,832
0,174
-7,05
-«-8,72-101
—9,77-Ю2
-1,49-Ю7
-2,52-1012
со
Вариант 2)
1
7
8
10
11
12
13
14
15
20
25
30
Уг
0,567
0,516
0,420
0,306
-0,641
-1,17-101
-1,45.10я
-1,76-Ю3
-4,54-108
—1,17-101*
со
Вариант 3)
»
32
33
37
38
39
40
50
60
80
90
100
Уг
0,724
0,703
0,260
-0,196
—1,11
1-2,95
-4,10-103
-4,64-10*.
-5,92-1012
-6,69-1015
со
Вариант 4)
г
28
29
32
33
34
40
50
60
80
90
92
Уг
8,97-10-2
7,87-10-2
3,78.10"»
-7,41.10-»
-0,237
-3,17-101
—7,84-Ю4
-1,94-10е
-1,19.101»
-2,94.1018
оо
2. Задача Кошп для системы уравнений первого порядка.
Условие устойчивости схемы Эйлера. Рассмотрим задачу Коши
для системы дифференциальных уравнений первого порядка
-^ + Ли = 0, *>0, и@) = ио, F)
где и = (и*1), ц<2>, ..., и<п>) — искомый вектор, и0 = (и^\ и™, ...
• • •• щI ) — заданный вектор размерности л, А = Ыц) —
симметричная положительно определенная матрица пХп.
Пусть Нп — линейное пространство векторов со скалярным про^
п
изведением (и, у) = 2 и(*М*> и нормой || и|| = У{п, и). Матри-
це А соответствует линейный самосопряженный оператор А:
#п->#п, Л=4*>0.
Обозначим {кк, %к) множество собственных значений и орто-
нормированных собственных векторов оператора А:
АЪк = ХкЪъ * —1, 2, ..., п,

92 , ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
так что
Решение задачи F) будем искать в виде
Подставляя это выражение в уравнение F), получим
2(тг + хл)*.-о.
Отсюда следует
~5Г+Мл = 0. А = 1,2,...,м,
а» @ = «* @) «-**',
так что
*@-2«*@)«"Ч. G)
Потребуем выполнения начального условия
„@) = и0=2ай@IЛ,
так что
Из G) видно, что
Ь=1 в=1
ЦифЦО^Ы. (8)
Таким образом, решение задачи Копщ убывает с ростом и
ИаШ11<11и011 при *>0. (9)
Рассмотрим теперь схему Эйлера для задачи Коши:
*»г-Ъ +Ау, = 0, / = 0,1 Уо = и0, A0)

§.2. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
93
где У; = у(^), ^«/т. Решение этой задачи ищем в виде суммы
Л=1
п
так что Уо = и0 = 2 акЪк, ак = (и0, |к). ^
Выражение A1) удовлетворяет уравнению A0), если
п
к=1
«я-1
т. е. —^ Ь Хк = 0, откуда находим дЛ = 1 — тХ*.
Из формулы
к=1
п
видно, что || у; |2 < тах | $ |а 2 4 = тах | ^ |21 у01|2 < | у01|2, если
к к=1 к
тах |<7ь1 < 1, п Ну^П2 > Иу0И2, если тт 1д*1 > 1- Неравенство
11у,й<11у011 A2)
является аналогом (9) и выражает устойчивость решения
задачи A0).
Условие тах I д*| < 1 выполнено, если — К дк «= 1 — хКк < 1»
к
т. е. хА*<2 для любых & = 1, 2, ..., п. Для этого достаточно
потребовать, чтобы
т<2/Д, A3)
где Д «г щах ЛЛ — Яп.
Если тД > 2, то, полагая у0 = с%п, мы получим, что ак «■» 0
для А = 1, 2, ..., /г — 1, ап = с и
У; = с&1п = 9пУо, 1я1Н9пр|Уо|>|у01» •
так как |дп1 в тЯп — 1 -* тД — 1 > 1. Если, например, тД = 2 + р,
р>0, то 1дЛ1 = 1 + ри \фг\ = A+ /?)'-* °° при /-*«>. В этом
случае схема A0) неустойчива.
Можно задать начальное условие так:
У0 = С?!.
Тогда
У; = 91Уо, Ы = М^УоЙ>
где д4 = 1 - тАц.

94 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Можзт оказаться, что т>2/Д, но хХ{<2 и 1д41<1. В этом
случае
Иул11 < 1?жН"уоП < "УоИ- A4)
Однако в силу ошибок округления, у0 задается с некоторой
погрешностью е, которую можно разложить в сумму
п
е = 2 в&ы Ч = (с> 1л)-
Каково бы ни было еп, можно указать такое /0, что| еп| | ?п|^°>
>Л/оо, где Ми — машинная бесконечность, т. е. при /^/о
наступает авост, так как |дп| > 1.
Поэтому схема A0) неустойчива по отношению к ошибкам
округления при любых начальных данных, если только тА>2.
Если добиваться, чтобы решение у^ задачи. A0)
удовлетворяло оценке, аналогичной неравенству (8), то надо дополнительно
потребовать, чтобы
о
1 — т^1 > тХп — 1, т. е. т < ^ , ^ .
При этом условии
|| у,-1 < шах | дк |; || у01| < A - хкгУ || у01|< е'^ Ы
к
так как |д1|>|д*|, А>1, 1 — %\1<е~1*х. я
В качестве примера рассмотрим систему двух уравнений
+ аи + Ьи = 0, —г—\- Ъи -{- аи = 0
с матрицей А = (ь д), где а = У2(Д + 6), Ь =/2(А — б), а
собственные числа и собственные векторы равны
X, = б, Ь2 = А, I, =A/У~2, - 1/ VI), !2 =A/У% 1/ VI).
Схема A0) имеет вид
A5)
*3+\ *} + Ьу3 + аг} = ®, / = 0, 1, 2, ...
Положим
. у, = 1/У2, 20 = -1/У2, A6)
т. е. вектор (у0, 20) = & — первому соС<ственному вектору.
Рассмотрим результаты расчетов для задачи A5), A6) при
следующих значениях параметров:
1N = 1, Д=2, т = 3/А;
2) 6 = 10, А = 400, х = 6/Д.

§ 2. устойчивость разностной схемы 95
В обоих случаях И — тб| < 1, поэтому для решения задачи A5),
A6) справедлива оценка A4). Однако для обоих вариантов т>
>2/Д, поэтому из-за ошибок округления вычислительный
процесс неустойчив, т. е. при достаточно больших ; решение
начинает расти, что приводит к аварийному останову ЭВМ.
Результаты расчетов на ЭВМ БЭСМ-6 приведены в таблице 2,
где даны значения функций у^ и ^ для некоторых /. При
расчете варианта 1) авост наступил на 105-м шаге по времени, а
при расчете варианта 2) — на 46-м шаге.
Таблицд 2
3
8
У
10
17
18
19
20
25
26
27*)
28
30
50
68
69
70
105
Вариант
11.
уз
—5,52-10
2,76-10-з
-1,38-10
1,08- 10"Б
—5,46-10
2,82-10-е
—1,60-10-6
8,1810-е
—1,63-10-5
3,26-10
—6,51-Ю
—2,60-10"*
—2,73-Ю2
-7,16-107
1,43-108
-2,86- 10е
оо
1)
2
3
5,52-Ю
-2,76-10
1,38-10
— 1,08-10-*
5,33-10-6
—2,57-Ю-б
1,09-10
8,10-10
—1,62-10-*
8
9
10
13
14
15
16
17
18
19
20
21*)
92
38
39
40
46
Вариант 2)
3
0,227
0,193
0.164
0.101
8,49-10
7,5610-2
4,69-10
0Л27
—0,326
1,89
—9,23
4,63-Ю1
—2,32-Ю2
-3.53-1013
1,77-1014
-8,83-10"
оо
з
0,227
-0,193
—0,164
—0,101
-8,61-Ю-2
—6,96.10-2
—7,65.10-2
2Д6.10-2
-0,415
1,81
-9,30
*) Начиная с этого номера ^ имеем г.=у..
Отметим, что для варианта 1) точность задания первого
собственного вектора %{ играет важную роль. Когда были заданы
Уов1, 2о = -1, A7)
то переполнение арифметического устройства произошло на
197-м шаге по времени (сначала у} и ^ уменьшились до
величин порядка 10~19 при / « 65—70, после чего начали нарастать).
В отличие от этого при расчете варианта 2) начальные
данные A7) не изменили существенно результатов. Авост наступил
при ; = 47.
Если для 8 — 1, А = 2 задать т = 2,1/Д, при котором
условие т<2/Д нарушено слабо (превышение т — 5%), то авост
наступает на 760—790 шагах по времени.

96 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Разобранные примеры позволяют сделать вывод, что понятие
устойчивости по входным данным совпадает с понятием
непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных
данных.
3. О понятии корректности разностной задачи,
Применительно к задачам математической физики принято говорить, что
задача поставлена корректно, если выполнены два условия:
1) задача однозначно разрешима при любых входных данных
из некоторого класса;
2) решение задачи непрерывно зависит от входных данных.
Аналогично определяют понятие корректности разностной
задачи. Пусть ун — решение, а фЛ-—входные данные некоторой
разностной задачи. Они зависят от параметра к (шага сетки).
Меняя А, мы получим последовательности решений 1ун) и
входных данных {фЛ}. Таким образом, мы рассматриваем не одну
разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра
А. Понятие корректности вводится для семейства разностных
задач (схем) при |А| -* 0.
Будем говорить, что разностная задача (схема) корректна,
если при всех достаточно малых \к\ <к0:
1) решение ун разностной задачи существует и единственно
для всех входных данных фЛ из некоторого допустимого
семейства;
2) решение ун непрерывно зависит от фЛ, причем эта
зависимость равномерна относительно к.
Более точно, второе условие означает, что существует такая
постоянная Л/>0, не зависящая от А, что при достаточно
малом \к\ <А0 выполняется неравенство
II Ун ~ Ун КAЛ) < М || фЛ — фл 11BЛI A8)
где ун — решение задачи с входными данными фл, а ||'||AЛ) и
1 4D) ~~ ПРРМЫ на множестве сеточных функций, заданных на
сетке сон.
Свойство непрерывной зависимости решения разностной
задачи от входных данных, выраженное неравенством A8),
называется устойчивостью схемы по входным данным или просто
устойчивостью (см. § 4, п. 2).
4. Устойчивость, аппроксимация и. сходимость. Пусть дана
непрерывная задача
Ьи={(х) при #е=С, Ы — \л(х) при #€= Г, A9)
и пусть на сетке о)л=сол+'(л ее аппроксимирует разностная задача
^л»л = Фл при #еа)Л, кун^^н при же^, B0)
Задача для погрешности 2н = ун — иЛ, где ин •— значение
(проекция) решения и задачи A9) на сетке ©Л, имеет вид
Ьнгн = Ун при гею*, /ЛгЛ = уЛ при #еТл, B1)

§ 3. СВВДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ 97
где \|)л, V* — погрешности аппроксимации уравнения и
дополнительного условия. Вместо B1) напишем формально
Если оператор Ьн линеен и разностная схема корректна, то, в
силу A8), будем иметь
\*ккн)<ЩЪн)(гн) или ЫAЛ)<А/(|Ы(*М + К1и)). B2)
Отсюда видно, что если схема устойчива и аппроксимирует
исходную задачу, то она сходится (обычно говорят «из
аппроксимации и устойчивости следует сходимость»), причем порядок
точности (скорость сходимости) схемы определяется ее порядком
аппроксимации.
Из сказанного выше следует, что изучение сходимости и
порядка точности схемы сводится к изучению погрешности
аппроксимации и устойчивости, т. е. к получению оценок вида B2),
называемых априорными оценками.
Отметим, что решение ък и правая часть г|?Л разностной
задачи оцениваются, вообще говоря, в разных нормах (являются
элементами разных пространств).
Ранее уже приводились примеры норм, в которых
оцениваются решение и погрешность аппроксимации на сетке соЛ. К
сожалению, мы не можем сейчас же получить оценки устойчивости
вида B2) для конкретных разностных задач. Для этого нам
понадобится вспомогательный математический аппарат, а именно:
формулы суммирования, разностные, формулы Грина,
простейшие сеточные аналоги теорем вложения. Такие минимальные
средства позволят получить оценки решения разностных
аналогов краевых задач для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. На этом примере мы познакомимся с
типичными ситуациями, которые возникают для значительно
более сложных задач при изучении устойчивости, аппроксимации
и точности разностных схем.
§ 3. Некоторые сведения о математическом аппарате
теории разностных схем
1. Некоторые разностные формулы. В дальнейшем для
преобразования различных разностных выражений нам потребуются
формулы разностного дифференцирования произведения,
формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина. В
этом пункте мы получим эти формулы, проводя аналогию с
соответствующими формулами дифференциального исчисления
(аналогичные формулы были получены в § 2 гл. I при изучении
разностных операторов второго порядка, однако там использовались
другие обозначения; установление связи между формулами п. 12
§ 2 гл. I и формулами данного пункта не представляет труда).
7 А. А. Самарский

98 ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
1) Формулы разностного дифференцирования произведения.
Как известно, в дифференциальном исчислении имеет место
следующая формула дифференцирования произведения функций
(иу)' *=и'и + ир*.
Выше, в § 1, п. 2, для сеточных функций были введены два
типа разностных производных — левые и правые. Скютветственно
этому имеются и две формулы разностного дифференцирования
произведения:
(ии)х = и^р + и<+%Л = их&+и + иих, A)
(ии)х = и-у + и<~%- = и-\*~Ъ + ий-. B)
Здесь введены обозначения
Обратим внимание па то, что в этих формулах происходит
сдвиг индекса. Докажем, например, первое из этих равенств.
Записырая равенство A) в индексной форме
«4+1*4+1- иР\ _ «4+1^+1-и^т , цЛ+1-вЛ
непосредственно убеждаемся в его справедливости.
2) Формулы суммирования по частям. Рассмотрим формулу
интегрирования по частям
1 1
] ио'йх = ии\1~- ] и'и их.
о о
Для сеточных функций, как и в предыдущем случае, имеют
место аналогичные формулы двух типов:
(и, их) = и^„ - и^ — (и-, и], C)
(и, их) = и^л-1 — и0У0 — [их, у). D)
Здесь использованы следующие обозначения:
N-1 N • *' ЛГ-1
(и, у) = 2 ир{К, (и, V) = 2 ЗД^, [и, *>) = 2 ЩЩЬ- E)
1=1 1=1 !-•
Докажем, например, C). На основании формулы A) имеем
2 №хI Л = 2 М*,^ ~ 2 (их*+1Ъ к =
1=1 1=1 1—1
N N
« (ш;)„ - (ш>)х — 2 (^)| * = М* - "Л - 22 и;,М + (и;у)Л
^ ^ F)

| 3. СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ 99
Очевидно далее, что ^(м-у^ = щрг — и0их. Подставляя последнее
выражение в F) и учитывая E), получим C).
В дальнейшем мы будем часто использовать неравномерную,
сетку, которую, как уже говорилось в § 1, п. 1, в отличие от
равномерной будем обозначать через он. На этой сетке формулы
скалярного произведения и разностные формулы суммирования
по частям выглядят несколько иначе:
Л-1 N-1 N
*=1 1=1 {-1
(м» "?)♦= и*"* ~ иоу1 - (»> %\ G)
где А< = 0,5(А< +А<+1). Здесь введено также обозначение для
разностной производной на неравномерной сетке
и для скалярного произведения на неравномерной сетке (,)*♦
Для доказательства формулы G) заметим, что
Н. »*' ь* А4+1 •
Подставляя это выражение в скалярное произведение
(и> у7)ш = ("» у*)' где (м» ">) = 2 и^Л+и
п повторяя доказательство тождества C), приходим к G).
3) Первая формула Грина. Равенство
1 1
| и (ки')' их = — | Аи'у'Аг + кии' \\
о о
обычно называют первой формулой Грина.
Для сеточных функций аналог формулы Грина можно
получить, пользуясь формулами суммирования по частям.
Подставляя в C)
и = *, и = аух,
получаем первую разностную формулу Грина:
{*> (аУх)х) = - («%. *х] + «*г !* - ад«.л. (8)
Если 20 = 2^ = 0, то подстановки обращаются в нуль и первая
формула Грина имеет вид
(*,Лу) = -(а1ь,%], АУ = (аУх)х- (8')
7*

100 гл- п- основные понятия теории разностных схем
В частности, при ъ = у получаем
(Лу, у) = - (а, (у;)«], у0 = ^ = 0. (8*)
Аналогичный результат справедлив и в случае неравномерной
сетки:
(г> (а^х)?)* =* — (ад***] при 2о = ** = о.
4) Вторая формула Грина. В интегральном исчислении
вторая формула Грина имеет вид
1 1
^ и (Ы)' их - | V (Ы)' ах ^- А (ш/ —рц') |}.
о о
Подставив в C) и— у, г;=я2-, получим
(»■ (**г)«) = - (<*У* %] + ^2х (ту - а1Уо**,*- (9)
Вычитая теперь (9) из (8), приходим к разностному аналогу
второй формулы Грина:
(*' («%),) - (». («*х)х) = а" B</; -ЗД* - аг (ухг - *,у)в. A0)
Точно так же для неравномерной сетки имеем
(*» (*»;)?)«, - (У» («*)?)• = а" (*Ух - ^х)л - д1 (Ух* - *хУ)о- («)
Если у и г обращаются в нуль при # = 0 и # = 1, то
подстановки равны нулю и
(Лу, 2) = (//, Да), Ау - (а*/-)я, A0')
(Ду, 2)* = (у, А*)*, Ау = (ш/-)~. (И')
Эти формулы показывают, что оператор Д является
самосопряженным. ^
5) Неравенство Коши — Буняковскоео и г-неравенство. Нам
понадобится в дальнейшем известное неравенство Кощи — Буня-
ковского
|(а, у)|< Н1х1!-ИЫ1,
где (,) — скалярное произведение в некотором линейном
пространстве и Ы1 = )Чи, и). В частности, под (,) можно понимать
одно из введенных выше скалярных произведений.
В дальнейшем изложении мы будем часто пользоваться
неравенством
Ь2
| аЪ | <[ га2 + -т- (е > 0 — любое число),

§ 3. СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ
101
которое будем называть иногда г-неравенством. Из него, в
частности, следует
|(и,1>)|<ИН|<е||и|Р+^ИР. A2)
2, Отыскание собственных функций и собственных значений
на примере простейшей разностной задачи. Метод разделения
переменных, известный в математической физике, используется
и для исследования разностных задач. Применение этого метода
позволяет расчленить исходную задачу, зависящую от
нескольких независимых переменных, на более простые задачи,
зависящие от меньшего числа переменных. При этом, как правило, по
отдельным координатным направлениям возникают задачи на
собственные значения. Такая же ситуация имеет место и в
разностном случае.
В этом пункте мы рассмотрим задачу на отыскание
собственных значений для простейшего разностного оператора.
Сведения, полученные здесь, потребуются нам в дальнейшем,
так как использование метода разделения переменных приводит
к задачам именно такого типа.
В последующих главах будут приведены примеры
использования этого метода для анализа устойчивости и сходимости
конкретных разностных схем.
Предварительно напомним основные факты, связанные с
простейшей задачей на отыскание собственных функций и
собственных значений для дифференциального уравнения
и" (х) + Шх) =0, 0 < х < /, и@) = иШ = 0. A3)
Нетривиальные решения этой задачи — собственные функции ик
и отвечающие им собственные значения Хк — выражаются
следующим образом:
1. ик (х) = ]/-р зш -~1, Хк - кЫЧ1\ к - 1, 2, ...
2. Собственные функции ик образуют ортонормированную
систему
1
] ик(х)ит(г)Aх-=Ькт,
о
ГО, кфт,
где 6^ = ^ к = т
3. Если /Ы дважды дифференцируема и удовлетворяет
однородным краевым условиям, т. е. /@) = /Ш=0, то она предста-
вима в виде равномерно сходящегося ряда
/(*)=2/*М*),
А=1

102 гл- п- основные понятия теории разностных схем
где /а = 3 / (х) ик (*) Лхь причем
о
Поставим в соответствие дифференциальной задаче A3)
разностную задачу
Ух* + ^ = °* *='*. 0<*<М, к=1Шх у@) = у@-0,
у(*)#0 A4)
об отысканий нетривиальных решений — собственных функций
задачи A4) и соответствующих собственных значений. Перейдем
в A4) к индексной форме
у{+1-2A-кг№)у{ + у^ = 0, 1 = 1, 2, ..., ЛГ-1. A5)
Решение задачи A4) будем искать в виде
у{х) = 8ш ах,
где а подлежит определению. Тогда
У<+1 + У<-1в зш а{х + к) + 8Ш а(х — к) = 2 81П ая соз аА.
Подставляя полученное выражение в A5), получим
2 8ш ах соз аА — 2( 1 — А*Я/2) 81П ох.
Так как мы ищем нетривиальные решения, т. е. зтая^О, то
из последнего равенства следует
1 - &2Х/2 — соз ай,
и далее
% = А A - соз ак) = 4 8*и2 иг-
Значевие параметра а выберем так, чтобы функция уЫ = зт ах
удовлетворяла граничным условиям задачи A4)
Заметим, что- при ж *= 0 граничное условие выполняется
автоматически при любых а. При х = I имеем
81П а/ = 0,
откуда а — о*«= Ая//, А —1, 2, ..., ЛГ—1.
Итак, мы получили собственные функции и собственные
значения задачи A4). Перечислим их свойства.
1.у<*>(*) = зш-^, ял = -^зта^ 4 = 1,2,...^-1.
A6)

§ 3. СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ ЮЗ
2. Собственные значения Л* перенумерованы в порядке
возрастания, и для всей совокупности {А*} справедливы следующие
оценки:
0<Хг *= -^ 8т2^-<Х2< ... <Х*_1 =
Из A7), в частности, следует, что все собственные значения
задачи A4) положительны.
3. Собственные функции задачи A4) у{к\ у{т\ отвечающие
различным собственным значениям, ортогональны в смысле
скалярного произведения, определяемого соотношением E):
(у<*\ у<">)-0, кФт. A8)
Для доказательства этого факта воспользуемся второй
разностной формулой Грина, записанной для однородных краевых
условий {10'):
0 = 0&\ у{т)) - (у{к\ у%?) = (Кп - К) &(А), Л
Так как по предположению у{к) й у{т) — собственные функции,
соответствующие различным собственным значениям, т. е. Хк^Хт,
то из последнего равенства следует ортогональность у{к) и у(м):
(„<»>, уС«>).-0. _
4. Норма собственной функции у{кЧх) есть Ну^Н — У//2.
Норма понимается в смысле скалярного произведения E),
определенного выше,
Проведем несложные преобразования
I^р=2VА>^)),л=^^пг^=2xD-со8!=г1)•
- A9)
Обозначая дЛ = ехри—— \л учитывая, что д1 = ехр( <-чу^-а?А
д^ = 1* получаем
2 Лсоз-^х, = Не 2 Нк = ВеА-^Ц^- = ВеА-^ = - А.
Подставим это значение в A9):
!_!_
2 2 "" 2
„»Р>»и^=я+»>»_«

404 гл- п- основные понятия теории разностных схем
что и требовалось доказать. Итак набор сеточных функций
рЮ(х)-12/1у<кЧх), *-1, 2, ..., АГ-1, B0)
образует ортогональную и нормированную в смысле скалярного
произведения (,) систему: (A(*\ 11{т)) = 6Лт.
5. Пусть на сетке он задана функция /Ы, причем /0 = /лг = 0.
Тогда, очевидно, она представима в виде суммы по собственным
функциям задачи A4):
/(^"З/^Ч*), B1)
где коэффициенты определяются соотношениями /^(/(я),
\к{к)(х)). При этом оказывается справедливым равенство
Шг = *2/1 B2)
Докажем B2). В самом деле,
мт=*2 */■(*!) = (/г. 1) = Г2/Йц<*\ "яи^
1-1 \А=1 А=1 I
= ( 2* пи^ут\ 1\ = 2* /*/«A*№), и(т)) =  /I
так как (ц(*\ |х(т)) = бЛт.
3. Задачи на собственные значения с краевыми условиями
второго рода и третьего рода. Рассмотрим вторую краевую задачу
на собственные значения
и"+Хи = 0, 0<х<1, и'@) = и'Ш = 0, и(х)Ф0. B3)
Замечая, что и*,, - и'@) + 0,5/ш" @) + 0{Н2) = -0,5йЫ0) + СКЬ2),
и*, о + 0,5/&Хи@) = 0(й2), аппроксимируем краевые условия с
погрешностью 0(кг). В результате получим вторую краевую
задачу на собственные значения:
У~ + Ьу(х) = 0, * = Л, * = 1, 2, ..., ЛГ — 1, А = г/ЛГ,
B4)
У*|0 + 0,5/йу0 = 0, - у-„ + 0,5кХу„ = 0. ч
Требуется найти такие значения параметра А,, при которых
эти однородные уравнения имеют нетривиальные решения у(х)&
ч*0. В отличие от первой краевой задачи здесь параметр X
входит не только в уравнение, но и в граничные условия. Вводя
обозначения
Ау =
-^ их при х = 0,
при х = Иг, 0 < I < ЛГ, B5)
— ^ при * = /,

§ 3. СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ ДО5
запишем задачу B4) в операторном виде
Ау = Ху, B6)
где оператор А определен в пространстве Н = О функций у(х)9
заданных на сетке а>Л = {х( = Иг, I = 0, 1, ..., Ю.
Введем в этом пространстве Н скалярное произведение.
ЛГ-1
[у, »] = 2 У&гк + 0,5й (у0и0 + у„и„)
1=1
и покажем, что оператор А самосопряжен и неотрицателен:
[Ау, V].=*[у, Аь)\
[Ау, у]>0 для любого у^Н.
В самом деле,
[Ау, V] = (- у-^ I;) + 0,5А (- А ^..о + 4" *>а#*,*)-
Пользуясь второй формулой Грина A0), получим
[Ау, V] = (у, - 1;-х) + (иух — »уя)в — (иу- — У^ +
+ (— »0ух,0 + ^У;,лг) = (»■ ~ 1**) + (— Уо^.о + */*^л) = (У, Аи\,
т. е. Л = А*. Первая формула Грина (8) (при г = у) дает
[Ау, у] = (уг — У~хх) + (— Уо^.о + У^х.лг) =
= (%' ^*] — {УУх)к + (УУх)о + (— УоУх,о + УкУх,к) = (Ух> Ух] > 0-
Для задачи B6) можно пользоваться общей теорией (см. До*
полнение, § 1).
Найдем собственные значения кк и собственные функции ц*(я>
задачи B4). Будем искать решение задачи B4) в виде
у = \х(х) = А соз ах, А Ф 0.
Подстановка ц,Ы в уравнение B4) дает
X = —о- 31П2 -Т-.
к2 ' 2
Потребуем выполнения крае1вых условий при х = 0 и я = Г,
к2
Условие при х = 0: соз аУь — 1 + ^ К = 0 автоматически
выполнено. Условие при а; = ? дает
A - 0,5А2Я) соз а1 - соз а(/ — А) = 0
или
соз аЛ соз а/ — соз а/ соз ай + зт а/ • зт ак .= зт а/ • зт а/& = 0,

^06 гл- П- ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
откуда следует а/^яй, &в0, 1, 2, •.., N. Тем самым найдены
собственные значения
*о = 0, Х»-2-йп«тг, *-1,2в...,ЛГ, B7)
и ортонородированные собственные функции {р*(х)}9 для которых
где
А = 1121;..1ЛГ-1. B8)
Нормировочный множитель Ак находится из условия
причем сумма
/ пкх пкх \ V ь а пкхш
I С08 —р-2 С08 -у—I — ^ А С082 —р2-
вычисляется по аналогии с предыдущим пунктом.
Ортогональность собственных функций {|д*} следует из общей теории, так
как А ■=* Л* > 0, и все собственные значения простые.
Любую сеточную функцию /Ы, заданную на сол, можно
разложить по {A»Ы):
/<*)-2/*М*>* /* = [/,!**]. 4 = 0,1,...,^
причем [АЛ^ 2/Л.
Рассмотрим теперь третью краевую задачу на собственные
значения:
и" +Ы(х)~0, 0<х<1,
»Ч0)-0*11@), о*>0, B9)
-и'Ш — о2»@, о, > 0, и(х) Ф 0.
Нетрудно заметить, что разностная схема второго порядка
аппроксимации имеет вид
(У«.о - °хУо) + Ъ$к%уь » 0, C0)
- (У2,н + а&*) + °>5НЬУ* = 0Х у(х)ф0.

§ 3. СВЕДЕНИЯ-'О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ Ю7
В самом деле,
ы*,0 — ЪхЩ + 0,5/Ли0 =
= щ + 0,5кщ + О (к2) - ахщ + 0,5Ш0= О (А2).
Вводя оператор
Ау =
Ай&х — оа) при х = 0,
0,5А
\ — Уж при х = 1к, 0<*<#, C1)
-ок(^ + ^) ПРИ х==/>
перепишем задачу C0) в виде
А\1 = к\х. C2)
Оператор C1) задан в том же пространстве Я, что и
оператор B5). Он является самосопряженным и полояоттельно
определенным А = А* > 0, причем
И#, у] = (у-, У-] + огу1 + а^,
т. е. А > 0, если хотя бы один из коэффициентов о{ или а2
отличен от нуля или О! + о2 > 0, а о, ^ 0, о2 > 0. В этом случае
[Лу, у] = 0 только при у(х) =5 0.
В отличие от двух предыдущих задач для а не удается найти
явное выражение; а определяется из уравнения
(8гп2 ак — к2о{о2) 1ц <*1в Мсь + а2) зт ай, C3)
а собственные значения выражаются по формуле
Хк = ^зш2-^-, * = 0, 1, 2, :.., ЛГ, C4)
где а* — &-й корень уравнения C3).
Собственные функции (с точностью до постоянной)
\хк (х) = соз ак (I - х) + ^^ 81П аА (* — л:). C5)
4, Разностные аналоги теорем вложения. В дальнейшем при
оценке различных свойств разностных схем, таких как
устойчивость, сходимость и т. д., нам понадобятся неравенства, которые
соответствуют простейшим теоремам вложения С. Я. Соболева.
Докажем три леммы.
Лемма 1. Для всякой сеточной функции у(х), заданной на
сетке
юл = (я, = *А, 0 < I < N.. х0 = 0, я* = 1)
и обращающейся в нуль при х = 0 и х =■ 1, справедливо

408 гл и- основные понятия теории разностных схем
неравенство
Мс<4-|*й]1« C6)
еде \у[с= тах | у (х) |, | у;] | = (у;, у;] */..
Доказательство. Функция уЫ на сетке о* может быть
представлена в тождественной виде
уЧх) - A - *)у2Ы.+ *угЫ. C7)
С другой стороны, поскольку у@) = уA) — 0, можно записать
*•<*> = (ДМ*')*)',
или
»*<*> = ( 2 .у;^)*).
Подставляя эти равенства в C7), находим
Оценим суммы в правой части, используя неравенство Коши —
Буняковюкого:
у*{х)^A-х) %к 2,у1(х')к + х ЬЁ »К«0А-
*>==Л х'=Л *'=х+Л х'=х+Л
(здесь у|= (у;J). Максимум выражения хA—.х) на отрезке
[0, 1] достигается при х = 0,5 и равен 1/4. Поэтому
у*(*)<4-№
и, следовательно, V
Замечание 1. Лемма 1 остается справедливой на
произвольной неравномерной сетке сол.
Замечание 2. В дальнейшем нам потребуется также
неравенство типа C6) для отрезка произвольной длины /. Такое
неравенство нетрудно получить из C6) с помощью замены
переменных х' -■ 1х. Тогда х' будет меняться на отрезке @, 0 и

§ 3. СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ Ю9
Подставим у-х = у~ и к = к'/1 в B4). В результате получздм
Следовательно, на отрезке длины / справедливо неравенство
1</(^I<»г/!с<^1^]|. C8)
Замечание 3. Неравенства C6) и C8) получены для
функций, обращающихся в нуль на обоих концах интервала.
Бели функция у(х) обращается в нуль лишь на одной границе,
то справедливо неравенство
1у\с<УЦу$\. C9)
Для произвольных функций неравенства C6), C8), C9), вообще
говоря, неверны. Однако можно показать, что в этом случае
имеют место неравенства следуюпщго вида:
1Ыс<2(/|2,-]р + <4), |у&<2A|у-]|« + ^).
Лемма 2. Для всякой функции у(х), заданной на
произвольной сетке со/, = {х„ х0 = 0, хк = I) и обращающейся в нуль при
х=0и! = /, справедливо неравенство
Ы12<х1№ у» у*-0- <40>
В самом деле, легко проверить, что || у ||2 ^ /1| у ||с- Подставляя
это неравенство в C6), получим D0). В случае равномерной
сетки оценка D0) может быть улучшена.
Лемма 3. Для всякой функции у(х), заданной на
равномерной сетке
он => {х> = Иг, I = 0, 1, ..., N. х0 = 0, х* — I)
и обращающейся в нуль при х = 0 и х = 1, справедливы оценки
Разложим у(х) по собственным функциям задачи A4):
У (*) = 2 ^М(А) (*). ск = (у {х), ц<») (х)), | у Р = 2 <*,
В силу первой формулы Грина {8)
(- Ау, у) -1 у:\ \\ где Ау = ^, Ц,;] |2 - A, (у;)*]. D2)

НО ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Так как Лц(*} = — Хк\1{к\ то
Подставим это выражение в D2) и учтем рртонормированност
{\1{к)):
Отсюда получаем
Оценим %1 снизу. Обозначив а = тск/B1), подучим
\ я* ( З1п а У
Так как &<0,52, то а меняется на интервале @, я/4]. Нетрудно
проверить, что минимум функции (зт а)/а щга а ё @, я/4]
достигается в точке а = я/4, т. е. К^Н) имеет минимум при к = 0,5/.
Отсюда следует, что А|>8/2*. Учитывая также, что Л#-1
получаем D1).
5. Метод энергетических неравенств. Одним из общих и весьма
эффективных способов получения априорных оценок является
метод энергетических неравенств. Мы приведем примеры
использования этого метода для получения априорных оценок
применительно к разностным задачам и покажем, как на основании
э.тих оценок можно определить, например, скорость сходимости
разностной схемы.
Все рассуждения в этом пункте будут проводиться для
простейшей (модельной) задачи
и"Ы + /Ы=0, 0<я<1, ю@) = юA)~0. D3)
Пример 1. Пусть на отрезке [0, 1] введена равномерная
сетка соЛ. Рассмотрим следующую разностную аппроксимацию
задачи D3):
гЪх + /(*) = 0' *е@л> Уо = У* = 0. D4)
Умножим уравнение D4) на Ну и просуммируем полученное
равенство по узлам сетки соЛ:
*2 №&* + *2/^ = 0, D5)

0 3. СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ Щ
Перепишем D5) в терминах скалярных произведений
(у^у) + A,у) = 0. D6)
Преобразуя первое слагаемое в D6) с помощью разностной
формулы Грина (8й), находим
- (У* Ух] + (/, у) = 0 или I У;]|* = (/, у). D7)
Скалярное произведение (/, у) оценим при помощи
неравенства Коши — Буняковского A2)
К/,»)К1/1М. ■
Воспользуемся леммой 3:Цу|^||у;] 1/1^8. Отсюда и из D7)
находим |У;]| ^1/||/1^8. Применяя затем лемму 1, получаем
априорную оценку для решения задачи D4)
\\у\\с < 11/"/DУ2). D8)
Это неравенство используем для оцеики скорости сходимости
схемы D4). Напишем сначала уравнение для погрешности
схемы D4): г = у — щ где и — решение задачи D3), у — решение
разностной задачи D4).
Подставляя у = 2 +и в D4), получим для ъ задачу
*Ь + Ч>(*) = 0, *<=соЛ, 20 = 2* = 0. D9)
Здесь ф (х) = и^ + / (х) — погрешность аппроксимации схемы D4)
которая, как известно, при достаточной гладкости и(х) есть
величина порядка 0(кг): Отметим, что для функции г(х) мы
получили задачу того же типа, что и для функции у(х). Поэтому для
%(х) справедлива оценка D8):
Ыа < ЦШШ E0)
Но ф = 0(кг) и, следовательно,
Ыа = 1у-иЯо<Мк\
где М — положительная постоянная, не зависящая от шага к.
На основании данных выше определений (см. § 1) из E0)
следует, что решение разностной задачи D4) равномерно
сходится к решению дифференциальной задачи D3) со скоростью 0(к1).
Мы получили оценку скорости сходимости для очень простой
задачи. Аналогичный результат для этой задачи можно было бы
получить и с помощью ряда других методов, быть может даже
более простых. Однако ценность приведенного здесь метода
энергетических неравенств состоит в том, что он без существенных
изменений переносится на многомерный случай, на случай
переменных * коэффициентов, на разностные схемы для
параболических и гиперболических уравнений и т. д.

\\2 гл- п- основные понятия теории разностных схем
Покажем, например, что этот метод без всяких затруднений
дает нужный результат для случая неравномерной сетки.
Пример 2. Пусть на отрезке [0, 1] задана неравномерная
сетка сон. Задачу D3) на такой сетке можно аппроксимировать
следующим образом:
»й?+ /(*) = °» *е®*» Уо = Уя=0 E1)
(относительно обозначений см. § 1, п. 3, пример 1).
Для задачи E1) можно получить априорную оценку того же
типа, что и оценка D8) для задачи D4). Но в этом случае такая
оценка дает не совсем верное представление о скорости
сходимости схемы E1). Было показано (§ 1, п. 3), что локальная
погрешность аппроксимации
схемы E1) есть величина 0(Н{) и
Ц\\с<Мкт(а. E2)
Оценка E2) указывает на понижение порядка скорости
сходимости схемы E1) на неравномерной сетке со* по сравнению со
схемой D4) на равномерной сетке. Однако выше говорилось, что
если погрешность аппроксимации оценивать не в сеточной норме
С или Ь2, а в некоторой специально построенной «негативной»
норме ИИ(-1), то погрешность аппроксимации на неравномерной
сетке будет иметь также порядок 0(к2). Именно, надо взять
норму
Г#-1 /Л-1 \ 2 Л1/2
|«1с-1>= 2*1 2М* =о№.
Из сказанного ясно, что теперь при выводе априорной оценки
для задачи E1) нужно оценивать правую часть в норме Н -Н(—й).
Получим эту априорную оценку. Умножим уравнение E1) на
Угк{ и просуммируем по узлам сетки сол. В терминах скалярных
произведений полученное выражение можно записать в виде
&%»*)•+ (/.У)» = 0. E3)
Первое слагаемое в E3) преобразуем по разностной формуле
Грина (8)
(^;] = (/,*/)*• E4)
Введем в рассмотрение функцию т)Ы, определенную следующим
образом:
42,1 = Л. *=1,2, ...,ЛГ-1, г)"=0. E5)
N-1
Решая задачу E5), получим — ц(хг) = 2 /***•
А=г

§ 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЦЗ
Скалярное произведение в правой части равенства E4)
преобразуется на основании формулы суммирования по частям G):
У*У)* = (Ч*У)т = -(ъи-х]-
В аилу неравенства Коши — Буняковского имеем
1(/,»)»|-|(л,^)|<1л1-|»г]|- '
Подставим эту оценку в E4) и сократим обе части неравенства
на |*;]|:
["N-1 /N-1 \2~|1/2
На основании леммы 1 ||у|с^||#Л/2 и, следовательно,
1г/11с<4-«/|(-1). E6)
Тем самым желаемая оценка установлена.
Рассмотрим теперь, как обычно, погрешность решения г =
= у — и, где у — решение задачи E1), а и — решение исходной
дифференциальной задачи D3). Подставляя у = ъ + и в E1),
получим для ъ задачу
ъх х + * = °> х *= ®^ 2о = ^ = 0. E7)
Применяя к задаче E7) оценку E6), заключаем 112Нс<0,5Ия|:11(-п.
Но мы уже видели раньше (см.* § 1, п. 3), что ||^ ||(_1) ^ Мк2,
где к = шах /г*, следовательно, схема E1) на произвольной не-
равномерной сетке сол сходится в С со скоростью О (к2).
§ 4. Разностные схемы как операторные уравнения.
Общие формулировки
Ранее были рассмотрены разностные схемы для простейших
дифференциальных уравнений, введены для них основные понятия теории
разностных схем и продемонстрированы некоторые приемы исследования
устойчивости и сходимости схем.
В этом параграфе проводится систематическая трактовка разностных
уравнений как операторных уравнений в абстрактном пространстве и
даются соответствующие оцределения ашпрокюимапии, устойчивости и
сходимости. Этот подход применим для случая стационарных задач
математической физики.
1. Разностные схемы как операторные уравнения. После
замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями
на некоторой сетке сол мы получаем систему линейных алгебраи-
о А. А. Самарский

114 гл- п- основные понятця теории разностных схем
ческих уравнений, которую можно записать в матричной форме
ЯУ = Ф, A)
где Я-г-квадратная матрица, У = (у{, уг, ..., Ун) — искомый век-
то]), Ф — (ф4, фа, ..., ф*) — известная правая часть, включающая
и правые части краевых условий.
Каждой матрице Я можно поставить в соответствие
некоторый линейный оператор Л, отображающий пространство А* в А*.
Тогда уравнение A) примет вид
4у=Ф, B)
где у — искомый, а ф — иэв&стный векторы пространства А*.
Оператор А отображает в себя пространство сеточных функций,
заданных на юл и удовлетворяющих однородным граничным
условиям.
Поясним это на примерах.
Пример 1. Первая краевая задача. Пусть на отрезке [0, 11
введена равномерная сетка
ю> = {х, = *й, * = 0, 1, ..., #, Н = 1/Ю.
Ищется решение первой краевой задачи
АУ вУ^Г -~"/(*)» 0<я=*й<1, Уь = ицуп=и%, C)
или
Л A11-1 - 2У1 + у{+1) ==—/«," * = 1, 2 ЛГ -Ч,
п
Уо = ии Уп^Щ. C0
Вводя вектор У = (уи Уг, ..., Уя-д, перепишем уравнение C)
в виде A), где
/2-10 0 ... 0 0>
/ _1 2-1 0 ... 0 0
« = -У .0-1 2 -1 ... 0 0
\° ° ° 0 ... — 1 2,
— матрица размера Ш— 1) X Ш — 1). Вектор правой части Ф =
в(ф1, ..., ф*-1) учитывает правые части краевых условий C):
с». и
Ф« = и% * — 2Д . ../ЛГ — 2, фх = Д + ^ ф^в1 = /^-1 + у$%
так что <р< отличается от /< только в приграничных узлах г = 1
и*=-#-1.
<^/
Матрица 0 определяет оператор А =■ —Л, который
преобразует сеточную функцию у(#<), т. е. вектор Ш — 1)-мерного
пространства в вектор того же пространства (в сеточную функцию

§ 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ц5
(—Ау){). Оператор Л совпадает с оператором Л на сеточных
функциях, обращающихся в нуль на границе (при / = 0и г = №, так
что (Ау){ = (Л#)< при 1 = 2, 3, ..., N — 2,
(ЛЛ = ^±А (%)„., = У"-*-2у"-\ D)
Пусть йл — множество сеточных функций, заданных во
внутренних узлах сетки (оЛ; это множество линейно. Вводя на О*
скалярное произведение (у, у) = 2 УМ*1 и норму \у[= У^(у,у),
получим линейное нормированное пространство Йл.
Определенный выше оператор А линеен и отображает 0Л на Он (его
область определения и область значений совпадают со всем
пространством Он).
о
Пусть Он — пространство сеточных фупкций, заданных во всех
узлах сетки о)Л и обращающихся в нуль в граничных узлах
сетки, т. е. при х ^ ^л- Тогда оператор А можно рассматривать как
о
оператор, отображающий ЙЛ на ЙЛ.
Очевидно, что Л=ЛЛ, у = ун, <р = фл зависят от шага к сетки;
поэтому мы рассматриваем не одно уравнение B), а семейство
уравнений, зависящих от параметра к. Семейство таких
уравнений и есть операторная схема (см. л. 2).
При изучении операторных уравнений B) необходимо знать
основные свойства оператора А, такие как самосопряженность,
положительная определенность, нижняя грань оператора и его
норма и др. Построенный в примере 1 оператор А в дальнейшем
будет часто встречаться. Поэтому укажем его основные свойства.
Оператор А самосопряжен, т. е.
Ыу, V)*=(у^ АV) для любых у, 1;еЙЛ.
В самом деле, (Ау, V) = (— Ау, и). Пользуясь второй формулой
Грина (§ 3) и учитывая, что Л совпадает с Л на множестве
сеточных^ функций, обращающихся в нуль на границе сетки,
получаем (Ау, V) = (у, Лу), т. е. А =А*.
Оператор А положительно определен, т. е.
(Ау,у)>8\\у\\\
Это следует из леммы 3 (§ 3, п. 4).
Норма оператора А равна
М1-^еов'$<^. E)
В самом деле, норма самосопряженного положительного
оператора в конечномерном пространстве Он равна его наибольшему
8*

Цб ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
собственному значению, ИЛИ =>,*-!. Так как в данном случае,
согласно § 4, п. 2, Хл_1 = -^соа2-^, то имеет место формула E).
При этом справедливо неравенство
Рассмотрим оператор
Ау = — (Щ$х + йу, 0<с1<а<с2, 0<й<с3. F)
Он самосопряжен в силу второй формулы Грина. Первая
формула Грина дает
D».»)= («.»;]+(<*»,»). G)
где У* = (^J* Отсюда следует, что
(Ау^У^Сг^У^ф^^Зс^уГ, (8)
т. е. А положительно определен. Его норма, как видно из формул
G) и E), оценивается так:
, И!<4<уА2 + с3.
Замечание. Здесь всюду оператор А=АН зависит от
шага к сетки как от параметра. Если сетка
©Л = Ь;,<=[0, 1], 1 = 0, 1, 2, ..., ТУ, я0 = 0, а*~1>
неравномерна, то ее шаг А< = ;г< — х^{ в свою очередь является
сеточной функцией или вектором к = {ки кг, ..., А*)
размерности N с компонентами ки А2, ..., А*. Оператор А имеет вид
«^
А = —Л, где
А1Л
1 (Уц-1 - У\ У\-Ух-г\ 7/ % 1 ,. , - V
В этом случав мы по-прежнему будем писать А = АА, имея
в виду, что Л есть вектор размерности N1 т. е. элемент
пространства ! Он» состоящего из функций, заданных па сетке ©л" =
= {х\&@,1], * = 1,2, ...,ЛГ,** = 1}.
Пример 2. Третья краевая задача. Пусть дана та же сетка
сол, что и в примере 1. Рассмотрим разностную краевую задачу
третьего рода
Лу = Уж = -Н*)> 0<х = гк<\,
(9)
Ух.о = сг^о — I*!, — у-х л, ~ а21/^ — |л2.

§ 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ц7
Пусть йл — множество функций, заданных на сетке
юл = (х{ = *Л, I = 0, 1, ..., Ю.
Определим оператор Л так:
(Л^ =
0^н(Ух,о — о&о) = Л у, 1 = 0,
Л» = %,.« = !. 2, ...,ЛГ-1,
Полагая А = —Л, перепишем задачу (9) в виде
Ау = у, A0)
где
Ф1 = \и 1 = 1,2, ..'.,N-1,
1<Р^' * = "■
Линейный оператор А отображает $2* на О*. Введем скаляр-
N-1
ное произведение [у, V] = 2 У№хЬ + 0*5й (у0и0 -+- у^н) и норму
I [у]\ = У\У> У\- Оператор А самосопряжен, т. е. [у, Аи] = О, Ау],
N-1
где [у, Аи] = — (у, Аи) — 0,5А (у0А~и + у*Л+1>), (у,IV) = 2 У^А.
Пользуясь формулой Грина .(§ 3) и подставляя выражения для
А~и и Л+1>, получим
— (у, АV) = (— Лг/, V) — (уж,0У0 — ^.лг^) + (Уо"х,о — У^^),
— 0,5й (УсЛ7 + ^А+у) = — у0 К,о — ^Л) + У* (^,лг + «V* ).
Таж как ух.о = <*1Уо + 0,5АЛ~у, »;#лг= — ОД* — 0,5АЛ+у, то
[у, Аи] = —(Л#, у) - 0,5Ш0А"у + У*Л+у) = [Лу, и],
что и требовалось доказать.
Покажем, что если о^ с^>0, ог> с1>0, то оператор А
положительно определен:
[^.Й^^ЧМР. A1)
Для этого воспользуемся тем же приемом, что и при
доказательстве леммы 1 (из § 3. Именно, представив функцию уЧх) в виде
\ т'=К * I Ж'=Д х \ж'=гЛ ж /

ЦФ ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
и воспользовавшись е-неравенством, получим
у« (*) < A + г).у1 + A + 1/е) ( 2 у- (*') к
Так как, согласно неравенству Коши — Буняковского,
(Д»ь(«0аI<*(Д4(*')а)<*A.й.
то из предыдущего неравенства получаем
»•(*)<(! +.е)й + A + 1/е)хA, уЦ
Аналогично доказывается неравенство
у*(х) < A + е) у*„ + A + 1/е)A - *) A, уЦ
Из последних двух неравенств следует, что
у* (*,) < 0,5 A + е) (у* + уг„) + 0,5 A + 1/е) A, уЦ
\[у]\* < 0,5 A + е) (у* + у%) + 0,5 A + 1/е) A, уЦ
Отсюда и из тождества
[^Л У) = A, »;] + оа1 + о&% A2)
положив г = си получаем A1). #
Для нормы оператора А справедлива оценка
М|<-гA + О»5^)» где с2 = тах(рг, а2). A3)
Л
В самом деле, так как (У;лJ< р (у? + У1-г), то A, у^] <^|[у]|а,
где \[у)\2 = 2 У?Л + 0»5^ (#о + У%)- Учитывая затем, что
[Ау, у] <\Ш\[у]\\
оа1 + о*у% = | @,5/их^ + 0,5*0*3,) <^-8 \[у)\\
иё формулы A2) получим искомую оценку A3).
Пример 3. Несамосопряженные операторы. Пусть
й»-{х;-*Л, * = 0, 1, ..., /V, й = 1/М
— сетка на отрезке 0<ж<1. Рассмотрим разностные операторы
Л~у = у-, А+у=—ух, A4)
О —
отображающие множество ЙЛ сеточных функций, заданных на юЛ
■

| 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ц9
и равных, нулю при * = О, ^^='N, на ЙА, так что
, ч _ \уА, * = 1.
Л У){~т-У^хIк, * = 2,3, ...*ЛГ-1,
Из этих формул видно, что Л"" и Л+ можно рассматривать как
операторы из &к на Ол.
Пусть (у, V) = 2 ДОЧ^ — скалярное произведение на ЙЛ и ЙЛ.
Покажем, что операторы Л" и Л+ сопряжены друг другу:
(Л~у, 1>) = (у, Л+у) для любых у, V&^к. A5)
В силу формулы суммирования по частям — (у, Vx) = (у3, и^
если у «I; ь» 0 при 1 = 0, $ =* #. Отсюда и следует сопряженность
Л-иЛ+.
Нетрудно заметить, чтЧ> Л у + Л+у = — (уя — у-) = — АЛу,
гдвЛу =в У^в*т*е' Л" + Л+ = —АЛ. Поэтому операторы Л~ и Л+
положительно определенные:
(Л~у, у) = (Л+у, у) = у (- А*>' Л = ТЫ\2>4/* 1»Р-
Последнее неравенство справедливо в силу леммы 3 из § 3, п. 4,
В гл. X рассматриваются операторы из й* на ЙЛ вида
Они сопряжены друг другу (/^у, у) — (у, Да1;) и
№л у) = (ДЛ У) = 015|у-]|2>41ур.
N-1
Иэ формулы | Дху р= 71 2 ^Л^75 '^^ следует, что
1Л|К2/Аа9 ОД^ДО. A7)
Так как Д| — Я§ * то
N-1 N
саду, у)=I д«*р=Л 2 у1><п2у1а - Ыу&
Т. в.
|Д«уГ< ^(Лу, у)х Н=,Е1 + Я,. A8)
Разностный «ператор
ДзУ =^^2 = Т^1 - Д*)У ПР" Уе^Л*

120 гл- п- основные понятия теории разностных схем
очевидно, является кососимметрическим, так как
#з = у (Я* — К1) =-- -^ (Н2 — /?!) = — Д3
и, следовательно, Ш*у, у) = 0. Его норма
Нетрудно уточнить оценку для нормы Ш8И:
1 Х| 4Л 1=1 ^Л г=1
!/А2,
т. е. Ш.11 ^ 1/А2.
Несамосопряженные разностные операторы появляются,
например, при аппроксимации эллиптических операторов второго
порядка, содержащих первые производные. Так, оператор
Ьи = и"(х) + Ъи'(х), а:е[0, 11, Ь = сопз1;,
аппроксимируем разностными операторами А{у = у-х + Ъух при
Ь > 0 или Л2у = у^ + Ъу- при Ь < 0, где 1/еЙл,
Пусть Лу — оператор из йл на йл, совпадающий с Ау при
о ^ ^,
уейл, Операторы ^1 = — Л1э Л2 = — Л2, действующие из йл на
^л, положительно определены при любом А. В самом деле,
ИхУ, у) = (.- у-хх, у) - Ь (ух, у) = A + 0.5А6)|у-]р,
(^У, У) = A - 0,5/гЬ)| у-]р= A + 0.5Л | Ь |) | у-]|*. A9)
Отсюда находим .
(Аау, у)>8A + 0,ШЬ\)\\у\\2, а = 1, 2.
1Гак как А1 — 4 + ЬЛ+, 4а = 4 + 1ЫЛ", где 4 = -Л, Ау == ^
и | Л* | ^ 2/А, || А || <1 4//г2, то, в силу неравенства треугольника
для норм, получаем
И1КМ| + Ь|Л+|<ДA + 0,5АЬ), Ь>0,
л B0)
ККИ| + |Ь||Л-|<ЛA+0,5Л|6|), Ь<0.
Заметим, что если оператор Ьи-и" + Ьи' аппроксимировать
выражением Ау = у-х +Ьу- при Ь > 0, то вместо 1 + 0,5ЛЬ в A9)
получим 1 — 0,5АЬ и оператор (—Л) будет положительно
определенным только при к < 2/Ъ.
Если аппроксимировать и'(х) центральной разностной
производной ио при любом знаке Ь, то получим оператор Аву = —'А$у.
А3у ^У-^-Л-Ъуо. Этот оператор А3у = — у-х—ЪЪН3у имеет второй

$ 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 121
порядок аппроксимации и для него
(Л«/> У) = (- У-& У) - ЩЯ#, у) = |у-]\\
\Ля\<\Л\ + Н\Ь\.\Ня\<^A+к\ЬЬ.
Мы ограничились здесь простейшими примерами. В
следующих главах аналогичными методами будут изучаться
разностные операторы, аппроксимирующие эллиптические операторы
(в частности, оператор Лапласа) в прямоугольных областях. Если
исходный дифференциальный оператор самосопряжен и
положительно определен, то и разностный оператор надо строить так,
чтобы он обладал указанными свойствами в сеточном
пространстве. Этого можно добиться, используя, например, метод баланса
(интегро-интерполяционный метод, см. гл. III) или
вариационный метод для построения разностных схем.
Из предыдущих примеров видно, что разностные уравнения
можно трактовать как операторные уравнения с операторами в
линейном армированном конечномерном пространстве. Для этих
операторов характерно то, что они отображают все пространство
в себя.
Перейдем к изложению теории разностных схем как
операторных уравнений.
2. Устойчивость разностной схемы. Пусть даны два линейных
нормированных пространства З&к и 9&к , зависящих от
параметра А, являющегося вектором некоторого нормированного
пространства, |й| > 0 — норма вектора А. Рассмотрим линейный
оператор Ак с областью определения 3){АН) = ЗВ^ и множеством
значений 31 (Ан) Е ^л2).
Рассмотрим уравнение
Анун = Фл, ун е= 3№\ Фл е= Я?\ B1)
где фЛ —- заданный вектор. Меняя параметр А, мы получим
множество решений {ун} уравнения B1). Операторное уравнение B1),
зависящее от параметра А, будем называть разностной схемой.
Пусть ||-||AЛ) и Н(!Л)— нормы в ^> и #?}. Будем говорить,
что схема B1) корректна (задача B1) корректно поставлена),
если при всех достаточно малых |А| < А0
1) решение ун уравнения B1) существует и единственно при
любых фл е $№ (схема B1) однозначно разрешима),
2) решение ун уравнения B1) непрерывно зависит от фЛ,
причем эта зависимость равномерна по А (схема B1) устойчива),
иными словами, существует такая положительная постоянная Д/,
не зависящая от А, фЛ, что для решения уравнения B1) имеет
место оценка (при любых фле Лд2))-
\Ук 11A,0 < МШ\*н). B2)

122
ГЛ. II. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Разрешимость схемы B1) означает, что существует обратный
оператор А^1, т. е.
Ук = Лнгщ. B3)
Устойчивость схемы означает, что обратный оператор Анг из Ян
в Л)г равномерно по к ограничен:
ЦЛд^Ц^М, гДе М>0 не зависит от к. B4)
Из B3) и B4) следует оценка B2):
1 Ун AAЛ) < Мл1 11 фЛ |(,Л) < М || фЛ 1 (ч).
Иными словами, устойчивость схемы B1) означает, что
решение уравнения B1) непрерывно зависит от правой части, причем
эта зависимость равномерна по параметру к. Отсюда следует,
что малому изменению правой части соответствует малое
изменение решения. Если схема разрешима и устойчива, то она
корректна. Заметим, что единственность решения задачи B1) есть
следствие ее разрешимости и устойчивости, и поэтому требование
единственности в условии 1) можно опустить. В самом деле,
предположим, что существуют два решения у и унфун
уравнения B1). Их разность Ч^ун — уп в силу линейности оператора
Ан удовлетворяет однородному уравнению АН2Н = Ан (уъ — ун)=
ев Аъун — Аъу = фЛ — фЛ = 0. Так как схема B1) устойчива, то
выполнено неравенство B2), в силу которого \*к\(щ=\Ук — Ун\AН) <
< Л/|0ЦBЛ) = 0. Отсюда следует, что ун = Ул.
Для доказательства устойчивости схемы B1) требуется
получись априорную оценку вида B2). Вывод некоторых
априорных оценок для операторного уравнения B1) будет дан в п. 4.
. Разностная схема <4ЛуЛ = фЛ называется некорректно
поставленной {некорректной), если не выполнено хотя бы одно из
условий 1), 2) на стр. 121.
Предположим, что решение у к задачи * B1) существует при
любых флеЗвн\ так что ун= А^щ. Так как Д&1*и#&2)—
конечномерные пространства, то оператор А^1, действующий из &к
в &ъ , ограничен и его норма равна
где Мн — положительная постоянная, зависящая от параметра к.
Если схема устойчива, то существует постоянная М>0, не
зависящая от к такая, что Мн<М при, всех |Л|<Лв.
Неустойчивость схемы B1) (и, следовательно, ее некорректность) означает,
что ДГЛ-><» при |Л| ->0, т. е. указанной выше постоянной М не
существует. Для некорректной схемы может выполняться лишь

§ 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 123
оценка вида
. ЫAЛ)<Мл|я>42А). B5)
Здесь можно говорить лишь о слабой устойчивости в смысле
выполнения условия B2). Фактически это эначит, что существует
область изменения |А|, например, 0<к+ ^\Н\ <й0, в которой
выполнена оценка B2), где М зависит от к*.
Определение корректности и некорректности схемы тесно
связано с выбором норм |-|AЛ), |ИBЛ). Может оказаться, что при
одном выборе норм выполняется оценка B5), а при другом —
оценка B2).
Заметим, что для схемы
ау = — Ухх= я> при у е °ч
как было показано в § 3, имеет место оценка B2) с нормами
ЫЫ ^ 1Ы1с = тах 1Ы*г)|, м = 19
ГЛГ-1 /Л-1 \21'/«
1фл1BЛ)= 2'М2% •
3. Сходимость и аппроксимация. Пусть <%{1) и 38B) — линейные
нормированные пространства с нормами 1М1A) и 1Ы1B).
Предположим, что:
1) существуют линейные операторы &№ из &Ы в 9$Р и
^л2) из 91Щ в 96$ (операторы проектирования), так что
&№и = ин е ЯР, если и с= Я{1\ ^2)/ = /Л е Я?\ если /<=ЯB);
2) выполнены условия согласования норм
Ш\0>Щ1к)=1ии Ит1^2)/1Bл) = 1/1B). B6)
Пусть ун — вектор из Я^\ Нас будет интересовать сходимость
1ун) при |й|-*0 к некоторому фиксированному элементу и
из ЯA>.
Будем говорить, что:
1) (ул), где ун ^Лл\ сходится к элементу цеД^ если
"?о ^УН ~ ^П "Aд) = °; B7)
2) {ун) сходится к ие#<1> со скоростью 0(|А|П), п>0 (или
аппроксимирует и с точностью 0Aйг)),' если при всех
достаточно малых \Н\ <й0 имеет место оценка
|0а-и*|(»Л)<М|*Г, Ш=^Ч B8)
где М > 0 — постоянная, не зависящая от А.

124 гл- п- основные понятия теории разностных схем
Замечания.. 1. Из условия сходимости B7) следует, что
ит|ЫAл) = |МA)- B9)
В самом деле, в силу неравенства треугольника можно
написать
Ы ВAл) = Куа - *"») + "л |AЛ) < I Ун — ин ЦAл) + | ин (Ц) <
<№* - млЦ) + И^Ч^л)*
так как ин = & л1 )и. Переходя к пределу при |й|-*-0 и
учитывая B7) и B6), получаем Нт 1ул(A0^|и ||A>; аналогичным рас-
|Л|-*о
смотрением получаем ЦиЦц)^ Нт \ун\Aк\- Отсюда следует B9).
|Л|-*0
2. Последовательность {ун) может сходиться только к одному
элементу и^&^К Пусть существуют два предельных элемента
и, ие#A), иФи, к каждому из которых сходится {у*}, так что
Нт || ун — ин1AН) = Нт \\ун — ин\\ан) = 0.
/Л|->0 |Л|-*0
Покажем, что и = и. Для этого рассмотрим разность цЛ — и* в
= («л — ^л) + (ул — ин) и воспользуемся неравенством треугольника
\ин—ин 1AЛ) < || г/л — иЛ |Aл) + 1ун-ин 1AНу
Переходя к пределу при \к\ ->0 и учитывая сходимость ун к и
и и, а также условие согласования норм B6), получаем Ни —
— и11A) = 0, т. е. и = и.
Пусть ун — решение задачи B1). Будем грворить, что:
1) схема B1) сходится, если существует элемент це^A>
такой, что выполнено B7);
2) схема имеет точность 0(|/г|п), если существует такой
элемент ие-$A>7 что при \к\ <к0 выполнено B8).
Введем понятие погрешности аппроксимации на элементе це
<=38{г). Для этого напишем уравнение для разности 2Л = уЛ — и*.
Подставляя ун = %н + ин в B1), получим
АнЧ = ^Лг ^Л = ФЛ — АЪиЬ ^Л <= М**- C0)
Правую часть г|*==я|;Л(и), зависящую от выбора элемента и
из $A), назовем погрешностью аппроксимации на элементе це
е,#A> Зля сяелеы B1). Очевидно, что фЛ(н) есть невязка,
возникающая при замене в уравнении B1) ун элементом ин = &>ни*

§ К. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ^25
Будем говорить, что:
1) схема B1) обладает аппроксимацией на элементе цеЛ{1),
если
Пт || г|)Л (и)|/2л) = Нт || фЛ — Анин ||B/1) = 0; C1)
|Л|-0 V ' 1АИ0 1 '
2) схема B1) имеет п-й порядок аппроксимации на элементе
ие^A), если при всех достаточно малых \Н\ ^ Н0
Я 4>л (и) !(*„) < М I Н |п или || г|;Л (н) ||(!л) - О (| Н |п), C2)
где М — положительная постоянная, не зависящая от /г, п > 0.
Установим теперь- связь между устойчивостью,
аппроксимацией на элементе и^$1A) и сходимостью к этому элементу для
схемы B1). Если схема B1) корректна, то и задача C0) для 2Л
также корректна. Поэтому для ее решения верна оценка
I **!('*)< ЯП **1(«й)- C3)
Отсюда следует
Теорема 1. Если схема B1) корректна и обладает
аппроксимацией на некотором элементе иб^1', то она сходится,
точнее, решение ун задачи B1) при \М -* 0 сходится к этому
элементу и^ЗВ(*\ причем порядок точности схемы B1) совпадает с
порядком аппроксимации (т. е. из аппроксимации и корректности
(устойчивости) схемы следует ее сходимость).
До сих пор мы говорили о сходимости схемы и погрешности
аппроксимации на некотором фиксированном элементе и из $A).
Однако если и принадлежит области определения некоторого
линейного оператора «5#, действующего из ,#A) в &{г\ то «я^и = /г
/е,#B). Поэтому можно считать, что и есть решение уравнения
.*и = /, и€=Я<«>, /€=<»<*>, C4)
и, следовательно, говорить об аппроксимации этого уравнения
разностной схемой. Мы не вводили уравнение C4) лишь потому,
что нигде в определениях не используются никакие
предположения относительно оператора $4>. Всюду мы имели дело лишь
с элементом «еЛA),
Однако если и есть решение некоторого уравнения C4), то
можно говорить, как это обычно делается, об аппроксимации
уравнения C4) схемой B1) на решении уравнения C4), о
сходимости к решению уравнения C4) и т. д.
Поскольку имеется понятие аппроксимации элемента / из 38{г>
множеством {фл} из {&к'), то можно говорить об
аппроксимации / элементами фЛ, оператора зФ оператором Ан:
1) фл аппроксимирует / с порядком п, если
\щ-^%к) = 0{\Н\п); F5)

126 гл- п- основные понятия теории разностных схем
2) оператор Ак аппроксимирует оператор зФ с порядком л,
если для любого и е #A> справедлива оценка
\Акин - ?№ Ыи%н) = | Ан (Р^и) - 9>нг) Ыи) {ч) = О (| к |п).
C6)
Очевидно, что если выполнены условия C5) и C6), то схема
B1) имеет п-в. порядок аппроксимации на решении и
уравнения C4). В самом деле, так как 3>к (/ — $&и) = 0, то
♦а (и) = фЛ - Анин = (щ - &>№) - (Ан (Р^и) - &№ (&и)),
|^Л (и)В(ал) ^| Фл — ^(Л2>/|BЛ) +1-4/. (^к1^) ^- ^к2) (л^)ВBЛ)^лг|лГл
если выполнены условия C5) и C6). Очевидно, что обратное
утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. из C2) не следуют
условия C5) и C6).
Еще раз подчеркнем, что для оценки порядка точности схемы
надо оценить ее порядок аппроксимации лишь на решении
исходной задачи.
До сих пор мы предполагали, что оператор Ан линеен
(схема B1) линейная). Если Ан — нелинейный оператор (схема B1)
нелинейная), то в предыдущих ' рассуждениях надо изменить
лишь определение устойчивости схемы. Пусть дана нелинейная
схема
Анук = щ, <рЛ€=Я(л2>; B1*)
Ун — ее решение, а ун — решение с правой частью фл ^ &н •
Схема B1*) называется устойчивой, если существуют такие
положительные постоянные к0 > О и М > О, не зависящие от
параметра к и выбора фл, фл, что выполняется неравенство
\1/Н -УлЦAЛ) <^!фА - Ф*|Aл)
при | к | < к0 для любых фЛ, фЛ е Д&2). B2*)
(Для линейной схемы отсюда при фл == 0, ун = 0 следует B2).)
Все определения аппроксимации - и сходимости, данные выше,
сохраняют силу. Верна и теорема 1, однако ее доказательство
имеет несколько другую редакцию. Вместо C0) надо написать
Акин =» фл, фл = фл — я^л, ^л = фл — Анин,
где фл — погрешность аппроксимации (невязка) на элементе и е
^#A). Обозначим решение уравнения B1*) через ун, ун — ик и
воспользуемся условием устойчивости B2*). Тогда получим
оценку C3):
II 2л 11AЛ) = II Ун — иЛ 1к1Л) < М || г|)Л ||BЛ) = Л/ Р фЛ — Анин 1т.
Тем самым теорема 1 доказана и для нелинейной схемы.

§ 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 127
4. Некоторые априорные оценки. Рассмотрим ряд простейших
априорных оценок решения уравнения B1), вид которых
зависит от информации об операторе схемы. Эти оценки типичны
для разностных эллиптических задач.
Для упрощения записи будем в тех случаях, когда это не
вьшовет недоразумений, опускать индекс к. Итак, пусть дано
уравнение
Ау - Ф, C7)
где А — линейный ограниченный оператор, заданный на
вещественном гильбертовом пространстве Я, ф.— известный, у —
искомый элементы из //.
Будем предполагать, что задача C7) разрешима при любых
правых частях (реД (т. е. что существует оператор Л с
областью определения 3)(А~1) = Я). Все постоянные,
встречающиеся ниже, предполагаются не зависящими от Ь.
Пусть (,) —скалярное произведение, 1Ы1 = У(#, х) — норма
в Я. Запись А = Л* > 0 будет означать, что А — самосопряженный
и положительный оператор. Введем обозначения
й<р|и-1 = ]/С4-Ч,ф), №= угШ7),а = а*>о.
Априорная оценка зависит от характера информации об А.
Пусть Я — конечномерное пространство*
1) Рассмотрим сначала простейший случай, когда А —
несамосопряженный положительно определенный оператор:
А > б#, 6 > 0 или (АуК у) > 6\\у\\г для любого уеЯ, C8)
где Е — единичный оператор. Тогда обратный оператор А'1
ограничен по норме постоянной 1/6:
М-1! < Ш. C9)
В самом деле,
Ъ^(Ау,у)-Ыу\*={А-*х,х)-Ь\А-Ч\г<,\А-1х\.\х\-
т. е.|Л_1аг|^1||а;1 или 1Л-Ч<1. Так как у = А~1у, \\у\\ ^
< Ы~'\\ • ИфН, то для решения уравнения C7) верна оценка
1М<уВф1 при Л>6Д,6>0. D0)
2) Имеет место точная оценка
№Ш = ВфВЛ-1 при А = А*>0.
В самом деле, умножим C7) скалярно на у ■» А~1у:
(Ау> у) = (ф, у) - (фг А~\) или |у&-|ф&-1*

128 гл- п- основные понятия теории разностных схем
3) Если А > О, то
Ма0<Ыа;1>Ао=Ц^. D1)
В самом деле, умножим C7) скалярно на у:
(Ау, у) = (Ф, у); D2)
А = А0 + Аи где А0 = 0,5D + Л*) — симметрическая часть, А{ =
е=0,5Ы — Л*) —- кососимметрическая часть оператора А. Тогда
(Ау, у)=*(А0у, у), так как (Ад, у)=0. Поскольку 40>0, то
А^1 существует (Н — конечномерное пространство *)), поэтому,
пользуясь обобщенным неравенством Коши — Буняковского,
можно написать (ф, у) = (Л^ф» -^о^) ^ И Ф И. -1III/ Яа0. Подставляя это
неравенство в D2), получаем (А0у,у) = 1у1\ <Л*/|Ц 1ф1 -и от-
0 0 А0
куда и следует искомая оценка D1).
4) Если А>6Е, «>0,.то
\у1л0<^Ы D3)
Воспользуемся оценкой D1) и неравенством |ф! _1 *^—7= [ ф Ц,
которое получается, если учесть, что
а^ье И Цф^-1 = и0-Чф)<1^-11-|фй2<-з-11ф12.
5) Предположим, что А — несамосопряженный оператор, удов-
о о о
летворяющий неравенству А>уАу у>0, А*=>А>0. Тогда для
решения уравнения C7) верна оценка
о
Ив тождества (Ау, у) = (ф, у) находим у(Ау, у)<(Лу, у) =
= (ф> У) ^ Ы ° -1Ы • • Отсюда и получаем D4).
А А
6) Для решения уравнения C7) справедлива оценка
1^|<||Ф|, • D5)
если выполнены условия
А*=А>уА, Л°=Л*>0, АА—АА, .у>0.
*) Если Я — бесконечномерное пространство, то вместо А > 0 надо
потребовать, чтобы А > б/?, б > 0.

§ 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 129
Достаточно показать, что Ыу\\ > *[Ыу\\, и воспользоваться урав-
о
нением C7), в силу кбторого Ыу\\ = НфП. Из условий А>^А
и АА-АА следует ЫуР = (Ау, Ау) = ША'<'у), (А*у))>
>Ч(А{А,ку), (Ач'у)) = чШу, у)-^и*у), (АЧ'у))>чЧМА1ку),
О О О
(Аъу)) = чЧАу\\г, т. е. Ыу\\>у\\Ау\\. При этом мы воспользова-
о о
лись перестановочностью А, АЧг и А, А4*.
5. Негативные нормы. В априорных оценках D1) и D2)
содержатся негативные нормы Нф11А—!. Остановимся на вопросе
о вычислении негативных норм для некоторых простейших
операторов. Заметим прежде всего, что
I ф |А-1 < 77= 1Ф1 о _г если А^уА, D6)
о о
где Л=Л*>0 и А =А*>0. Это следует из эквивалентности
операторных неравенств
А>чАяА-1>чА-1. D7)
Докажем сначала эквивалентность неравенств
где (?, Ь:Н -> Н и Ь существует. В самом деле,
(Ь*()Ьу, у) = ЩЬу, Ьу) = ((IV, г), где у = /л/, у = Ь~1и.
Пусть выполнено А> уА или () = А — "\А ^ 0. Полагая Ь =
— Л*— Л-*, получаем С-уЕХ), где С = А'ЪАА'Ъ = С* > 0.
Так как существует оператор С'1г = (С",/2)* > 0, то С — *[Е>0
эквивалентно С'НС - чЕ)с~ъ = Е ~ 1С~1 в Е-чАч*А-1А4'>0.
о ,. о
Полагая здесь Ь =>Ь* =А-Ч'У получаем Л — уЛ X), т. е.
неравенства D7) эквивалентны, что и требовалось доказать.
Пример 4. Рассмотрим первую краевую задачу
АУ = (а^)* = —Ф(ж0| ^г = гй, I = 1, 2, ..., N — 1, /гЛГ = 1,
Уо:=УN = Оу аг>сх>0, 1 = 1, 2, ..., ДГ,
на сетке о* = (я< = гА, I = 0, 1, 2, ..., ^, й = 1/М. Пусть, как
о
()бычно, Нн = Ол —- пространство сеточных функций, заданных на
©л и равных нулю при * =» 0, * = ЛГ; скалярное произведение в //
N-1
(У> *>) = 2* ^гА.
г=1
9 А. А. Самарский

130 гл- п- основные понятия теории разностных схем
Введем оператор А у, полагая Ау = — Ау, где. Ау = Ау при
уеЦ, так что
(Ау){ = - (ау-)хЛ, I = 1, 2, ..., N - 1, (Л*/H = (Лг,)* = 0 D9)
и вектор ф = @, <рь ф2, ..., ф*-1, 0). Запишем задачу в виде
операторного уравнения
Ау = Ф. C7)
Из формул Грина (у, (ау-)х)=-(а, (г/-J], (у, (а^)х)=(у,(я^)*),
о
где * у, У^й1 видно, что А — самосопряженный и положительно
определенный оператор
А>ЬЕ, 6 = 8с,
((Ау, у) = (а, (у-)*] >с, A, (%)»] > 8сх 11/1|2, см. гл. II;, § 3).
Отсюда следует, что А существует и Ы)* =Л~1 >0, точнее,
,41Я<^<^. E0)
Покажем, что негативную, норму НфН^—1 для оператора D9)
можно представить в виде
N / N \2/#
ыи = 2±я- 2±5| 2а E1)
*=1 * \г=1 г / 4=1 *
{—1
5| = 2йФл, 1 = 2,3, ..., 7^,^ = 0, E2)
Л=1
и для этой нормы справедлива оценка
|г-1
И.-<75
2*ч4 ' E3)
Л=1
Для доказательства представим правую часть уравнения D8)
в виде ф< => «$*,<, г = 1, 2, ..., #— 1» где 1$< задано условиями E2).
Из уравнения (ау-)х + Ф = [ау- + 8)х = 0 находим а#-д + 51 =
с —^
= С = СОП8*, I = 1, 2, . . ., N. Отсюда 1/г~ */г-1 = * Й. СуММИруЯ
аг
по I = 1, 2, ..., # и учитывая, что #о = */* == 0, получим
С другой, стороны, ||ф||^1 = (А V ц>) = (у, 4>) = (у, 8Х) =

§ 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 131
N
= — E, у-] = — Д| }1У-хЛ8^ Подставим сюда г/-д= {с — 8{Iа{:
г=1
К-—«2"''+2т.«
1=1
г=1
21/^2.'/2!•
г=1 г \г=1 г //г=1 *
что и требовалось получить.
Оценка E3) очевидна:
N-1
1+1
1=1
1г=1
2 ^ФА
Л=1
Пример 5. Рассмотрим теперь третью краевую задачу (9).
Введем так же, как и в примере 2 п. 1, пространство Нп = ЙЛ
размерности N +1, состоящее из функций, заданных на сетке
<0л = (#г = гН, г = 0, 1, ..., Ы, АЛ^ = 1), со скалярным
произведением
N-1
[у, ^ = 2 УР& + 0,57* (у0и0 + рлЫ-
г=1
Перепишем задачу (9) в форме операторного уравнения
Ау = Ф, C7)
где у и ф — векторы размерности #+ 1:
У = {#0» Уъ • • •> #N-1, *М, Ф = ((Щ Н<1, А, . - -. /^-1' О^Л ^2|'
а оператор -4 определяется формулами
D/)» =
1
0^ (#*,о — о^в). * = 0,
У хх,г*
1<1<^-1,
E4)
Негативная норма для оператора E4) выражается формулами
Цф||^_1=[Л-1ф,ф]=.
ЛГ '' / N \ 2
вЛ5? + ^5г+1-12Л^ + ^»+1)|A+^ + ^). E5)
1—1
^1=0,5АФо, 54=0,5Лфв+ 2 Аф*. * = 2,3, ..., ЛГ,
E6)
5^+1 = 0,5А (ф0 + флг) + 2 Нщг
А=1
9*

132 гл- п- основные понятия теории разностных схем
и для нее справедлива оценка.
II -||2
0,5/*Фо + 2<РЛ +~[1, ф]2. E7)
*=1 Л 2
Для получения этих формул введем точки х-^ = —А, Хх+ь =
= 1 ■+ к и положим у(х-{) = у~{ = 0, у(хя+{) = у*+1 = 0, после
чего перепишем краевое условие в (9) при / = 0в виде
_ \_1 0/ 0\ 0 17 = ф^ где ^ = ^ ^ = 0>5фо#
Л
Аналогично запишем краевое условие в (9) при ( = N1
— + ч + 75—— ^-^ = Флг, где а^-м = Аа2, ф^О^ф*.
Таким образом, задача (9) эквивалентна первой краевой задаче
~ (Я^)*,г = фг, I = 0, 1, . . ., ТУ, у_! = у *+1 = 0, E8)
где Ф< = Ф<, 1 = 1, 2, ..., N - 1, ф0 = 0,5ф0, ф* = 0,5ф*, <ц = 1,
Ь = 1, 2, ..., #, а0 = Й01, а^+1 = /ю2.
Если у — решение задачи (9), то
N-1
[А^, ф] = [у, ф] = 0,5& (*/0ф0 + удгфдг) + 2 УгФгЪ =
N-1 ^ ^ Л * ^ N
= 2 г^Фгй + А (у0ф0 + г/лфл) = 2 Ъ>У№ = 2 (^_1ф)| ЧЧЙ.
г=1 - г=0 1=0
Пользуясь теперь для задачи E8) формулами E1), E2) и
оценкой E3), получаем E5) и E7).
Следствие. Если о2^с{>О, то для оператора E4) имеет
место оценка
IФ11-1 <1 2 НЧ* + °>5АФо
6. Операторные уравнения дивергентного вида. Рассмотрим
теперь операторы специального вида (дивергентные или
консервативные)
А = Т*8Т, F0)
где Г, 5, Г* —- линейные ограниченные операторы. Операторы
такого типа часто встречаются в этой книге при аппроксимации
дифференциальных операторов вида Ьи — сИу(йвгас1и).
Пусть Н — линейное пространство со скалярным произведе-
жжем (у, V) и нормой Ну II — У (у, у), Н{ — линейное пространетво
со скалярным произведением (у, ц\ и нормой \\у\\ =Т(у, у\. Опе-
I
+ 7-[1,<р]2.
E9)

§ 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КХК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 133
ратор Т действует из Я в Н1, оператор 5 действует из Н1 в Я4|
оператор Т* действует из Н1 в Я. Тогда оператор А действует
из Я в Я: А-.Н-+Н.
Операторы Т и Т* сопряжены в следующем смысле:
(-Ту, и\ = (у, Г*у) для всех у е= Я, у €= Яь
Приведем примеры построения факторизованных операторов
F0) для простейших разностных схем.
Пример 6. Первая краевая задача
(ОД;)Я= — Ф1 0<*=1й<1, а>С!>0, у0 = 0, у„ = 0. F1)
В данном случае Я = ЙЛ — пространство сеточных функций,
заданных во внутренних узлах сетки о>л = {х1 = 1*А, 1 = 0, 1, 2, ...
...-, N. Ш «■ 1>, т. е. при 0 < I < N. а Нг = й^ — пространство
функций, заданных на множестве узлов ©л ={х|= (А, г = 1,2, ...
..., N^N = 1). Оператор А: Н-+Н равен Ау = — Лу, где Лу
имеет вид
(АуL = (в»;)яА' = 2,Зэ ...,ЛГ-2,
1*47/1 — ~~ 72 » \1*У)N-1 ~~ ^2 ;
Скалярные произведения в Я и ЯА определим так:
(*Л у) = 2 */г^А При у,УеЯ, (г/, У] = Ц г/гУгА При ^, ^ € #х.
г=1 1=1
Операторы Ту, Г*у, 5у зададим формулами
(Т ч Уг—Уг-1
при 1 = 2,3, ...,^~1ДГуI = ^,(Гу)^=~^-, так что у =
= Гу е= Я1? если г/ е=Я,
при I = 1, 2, ..., N — 1, так что Г*у е Я, если у е Я4;
Eу)< = а<у{,
* = 1, 2, ..., #, т. е. 8V<=Н^, если »еЯ,, (Яу, у] ^ПуЦ2.
Отсюда видно, что
(8Ту)г = ау-жЛ% I = 2,3, ..., N - 1, (ДТ^ = а^/А,
ОВД^ = - а„у„_г/к,
{Т*8Ту){ = - {ау-)хЛ% I = 1, 2, ..., ЛГ при у9 = у„ = 0.

134 гл- п- основные понятия теории разностных схем
Таким образом, мы убедились, что оператор задачи F1)
может быть факторизован в виде F0), так что вместо C7) можно
написать
Т*5Ту = Ф. F2)
Сопряженность операторов Г и Г* следует из формулы
суммирования по частям:
(У, »х) = — (^ //;], так что (г/, Т*ц) = — (у, Ту].
Пример 7. Третья краевая задача:
(*Уг)* = — Ч>' 0<я=*А<1, а>^>0г
«1^д = ^хУо — На, - МЪ,* = а$я - ^2» F3)
(Тх > сх > 0, а2 > сх > 0.
В данном случае оператор Л имеет вид (см., пример 2 п. 1).:
№ = {- (*у-)х, * = 1,2, ..., N - 1, F4)
Чтобы представить оператор F4) в виде F0), удобно ввести
дополнительную сетку
(Од = |;Г0, #1/2, . . ., ЛГг-1/2, • • • » ^-1/2' ^Ь ^-1/2 ^ (* — 0,5) /&,
и рассматривать пространство функций #ь определенных на ©л»;
со скалярным произведением
N
(У, ^] = 2 %г-1/2^г-1/2 + Упи„+У0"о> Ы\-У(У* УУ
г—1.
_ Как и ранее, Я — пространство функций, определенных на
Юл = (#< = г&, 1 = 0, 1, ..., #, /г=1/#}, со скалярным
произведением
Л-1
(*Л *>) = .2 г/г^+0,5/г(^0У0+у^г;^), ||у||="^A/, у).
Определим операторы Г: Я -> Н1 и Г*: Н1-+ Н следующим
образом:
(ТуH=у0, (Ту)%_112 = ^~/4-1, * = 1, 2, ..., ЛГ, (Гу)„ = - у№
_ /г ~ "о /тч^л _ '" "^-1/г
*,*.-». »-.-».
^ рл - о,5Л • ^ У,№ - о,5А * ■

§ 4. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ^35
Нетрудно видеть, что А ~= Г*5Т, где оператор 5: Н1 -> Я4
определен формулами
(8уH = 0100, (Яу )<-•/, = «<»<-%, К * < #, №у)„ « о2у^.
Очевидно, что 5 — самосопряженный в Н1 оператор и
Eу, у] > с^у] |а, с1 = т1п (а{, сь о2).
Покажем теперь, что операторы Г и Г* являются взаимно
сопряженными в следующем смысле:
Действительно,
(Г*У, I/) = — 2 (^1+1/2 — Щ-1/2)У1 ~ У0 (*>1/2 — *><>) —
—УN(VN - ^-1/2) = 2 ^-1/2 (У1 -У^г) + У0"о — У*/>п в (*>х Ту].
Напишем некоторые априорные оценки для уравнения Ау =*
« Г*ДТр = ф. Пусть 5 > с,Е, с! > 0, тогда
(Ли, у). - (Г*,$Ту, у) - (8Ту, Ту] >с,\\Ту]\\
т.в.А> -уЛв, где Л0 = Т*Т, ^с,. ■
Оператор *40 самосопряжен,
<А.у, ж) - (Г*Гу, «) = (у, Г*Г«) - (у, 4.*).
Поэтому имеет место оценка D4), которая, если существуют
Г и (Г*), принимает вид
Л^К-^-КП-ЧЦ. F5)
В самом деле,
1ф1^_х = (т-цт*)-\, Ф) = !(г*)-1ф]|а.
О
Оценка F5) упрощается в том случае, когда правая часть ф
уравнения C7) имеет специальный вид, ф =» Т*к\ и А = Т*8Т.
Умножая C7) скалярно на у, получим
(Т*ЗТу, у) - (Г*г), у) - (Ту, Ч1.
Отсюда и из неравенств
(Г*ЯГу, у) > с,Щ] I2, (Гу, ч] < Щ] |11т|] I
следует оценка Ц Гу]| ^ — [ т|]|.
Мы ограничились простейшими примерами, показывающими,
как надо использовать для конкретных задач априорные оценки,
полученные для операторного уравнения Ау => ф.

Глава III
ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Основное содержание главы — теория однородных разностных схем для
уравнений с переменными коэффициентами
Главное внимание уделяется способам написания однородных
разностных схем и исследования их аппроксимации л сходимости в случае
разрывных к, д, /, а также в случав неравномерных сеток.
§ 1. Однородные схемы для уравнения второго порядка
с переменными коэффициентами
1. Введение. В связи с широким применением
вычислительных машин становится ясным, что нецелесообразно использовать
разностные схемы и составлять программы, предназначенные
лишь для решения отдельных задач частного вида. Необходимо
иметь разностные схемы, пригодные для решения классов задач,
определяемых заданием типа дифференциального уравнения,
класса краевых и начальных условий, а также функционального
пространства, которому принадлежат коэффициенты
дифференциального уравнения. Такие универсальные разностные схемы
должны, естественно, удовлетворять требованиям сходимости и
устойчивости на любой последовательности сеток и для любой
исходной задачи из рассматриваемого класса задач. Требование
единообразия вычислительного алгоритма для решения класса
задач приводит к понятию однородных разностных схем. Под
однородной разностной схемой понимается разностная схема, вид
которой не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного
класса, ни от выбора разностной сетки. Во всех узлах сетки
для любой задачи из данного класса разностные уравнения
имеют один и тот же вид. Коэффициенты однородной разностной
схемы определяются как функционалы коэффициентов
дифференциального уравнения.
Большой интерес, например, представляет отыскание
однородных схем «сквозного» или «непрерывного» счета, пригодных
для решения уравнения теплопроводности (диффузии) с
разрывным коэффициентом теплопроводности (диффузии) по одним и
тем же формулам (программам) без явного выделения точек
или линий разрыва коэффициентов. Это значит, что схема в
окрестности разрывов не меняется и вычисления во всех узлах

§ 1. УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |37
ведутся по одним и тем же формулам, независимо от того,
разрывен или непрерывен коэффициент теплопроводности.
Использование однородных схем сквозного счета особенно
важно в тех случаях, когда коэффициент теплопроводности
вычисляется в результате приближенного решения других
уравнений, что, например, имеет место при решении уравнений
газодинамики в теплопроводном газе, когда коэффициент
теплопроводности зависит от плотности и терпит разрывы на ударных
волнах.
Для теории разностных схем необходимо задать исходное
семейство схем. Коэффициенты однородной разностной схемы
зыражаются через коэффициенты исходного дифференциального
уравнения при помощи некоторых так называемых шаблонных
функционалов, произвол в выборе которых ограничен
требованиями аппроксимации, разрешимости, устойчивости и др.
Семейство однородных разностных схем задано, если указано
семейство допустимых шаблонных функционалов схемы.
Поясним это в возможно более простой ситуации. Будем
рассматривать разностные операторы над функциями одного
переменного х< = &7&, 1 = 0, ±1, ... Разностной оператор вначале
определяется на целочисленном шаблоне, т. е. на множестве
ЗИо = (—Л11э — ш1 + 1, ..., —1, 0, 1, ..., т2),
где т^1, т2 — целые числа, после чего совершается переход к
реальной сетке
сол = {XI = гй, г = 0, ±1, ...}
с шагом А. Пусть Л(з) — вектор-функция, заданная на отрезке
—^^«^тг (на коэффициентном шаблоне). Пусть далее
А) [к E)], - тх </< т2, ВПк (*)]
— некоторые шаблонные функционалы, зависящие, вообще
говоря, от параметра Ь, и определенные для вектор-функций ЕЫ,
5 е [—771!, 7712]. Линейная (относительно сеточной функции у )
однородная разностная схема определяется так: {Ь(п)ун\ = 0,где
ТПл
A#У L =2 Ант [к (ж, + $к)] у" (г, + тк) + Я* [к (х{ + зк)].
Опуская индекс Ь, это выражение можно записать в виде
4*У= 2 А!Ь[к(х + 8к))уЬ(х + тк)+&[к(х + 811I
Целью теории однородных разностных схем является отыскание
(в исходном семействе) схем, пригодных для решения возможно
более широкого класса задач, а также выделение наилучших
схем (по порядку точности, по объему вычислений и др.).

138 гл- ш- однородные разностныв схемы
В этой главе мы дадим изложение основных вопросов теории
однородных разностных схем для одномерной стационарной
задачи теплопроводности с переменными коэффициентами.
Полученные здесь результаты будут использованы в дальнейшем при
изучении однородных разностных схем для . нестационарного
уравнения теплопроводности:
и уравнения Колебаний
?Г = йК*(*' *> 5") — 9(х*')и -+■'/(*» ')•
2. Исходная задача. Рассмотрим первую краевую задачу для
стационарного уравнения теплопроводности или диффузии
■с(*Ю-&)-«Ю»--/М. °<*<1« A)
и@)=иъ мA)=и2, к(х)'^с1>01 д(х)^0.
Эта задача имеет решение, если к(х), дЫ, /(а:) —
кусочно-непрерывные функции (принадлежат классу #@)) *). Если Их)
имеет разрыв первого рода в точке х = |, так что Ш = &(| + 0) —•
— к(% — 0) Ф 0, то при х = ^ ставятся условия сопряжения
[и] = 0, [ки'] = 0 при а: — | -,
(температура и и поток (—ки') непрерывны).
При х =» 0 и а: = 1 могут быть заданы краевые условия
ки' = р!И — щ при х = 0, —/см' = <р2и — р* при х = 1.
Если, например, 01 > 0, то это условие третьего рода, при р* =
= 0 —условие второго рода. Возможны различные комбинации
условий первого, второго и третьего рода (например, при х =
= 0 —условие третьего роДа, при х = 1 — условие первого рода
и т. д.).
Мы проведем основное изложение для первой краевой задачи.
3. Трехточечные схемы. На отрезке [0, 1] введем
равномерную сетку
сол = {Х{ = гН, 1 = 0, 1, ..., Ю
*) Мы пользуемся обозначениями: С<п>[а, Ь] — класс функций, имею*
щих п непрерывных на отрезке а ^ х ^ Ь производных, @(п)[я, Ъ] —класс
функций, кусочно-непрерывных да [а, Ь] вместе с производными до д-го
порядка включительно, @@)[а, Ъ] —класс кусочшьнепрерывных на [а, Ь]
функций.

§ 1. УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 139
с шагом к => 1/М; обозначим
сол = {х{ = гк, I = 1, 2, ..., N - 1},
{/< = уМ — сеточная функция, заданная на сол.
При написании схемы, аппроксимирующей уравнение A),
возьмем трехточечный шаблон (х<-1, хи х{+1). Любое
трехточечное разностное уравнение на этом шаблоне можно записать
в виде
а{у{-{ - с{у{ + Ъ#<+1 = -Ааср,, * = 1, 2, ..., N - 1,
где а*, си Ъ{ и ф» зависят от шага А, или в виде
1 (* Уг+1 - У г „ Уг-Уг-1\ , ,, гп П ,9ч
где А = (с,- — Ъг — а{)/к2. Коэффициенты аи й„ <2,- и правая часть ф<
пока не определены.
Пусть па шаблоне —1^5^1 (т. е. ?п1 = т2 = 1) определены
функционалы
Л*Ш*I, ВЧШ)], #Чд(*М, **[/(*)]
для любых функций ЕЫ, дЫ, /E) из ()@), зависящие, вообще
говоря, от параметра к. Если коэффициенты разностной схемы
B). при любых /с(х), д(х), /Ы е ()(в> во всех узлах х{
произвольной сетки со* вычисляются по одним и тем же формулам
а,-4*[*(*«+ **)], Ь, = ВЧ*(*«+ *АI,
C)
А = Я*[д(х,+ **)], ф, = ,Рл[/(х< + $й)],
то схема B)" называется однородной. Отсюда видно, что если,
например, задан функционал Ан[к($)], то для вычисления а{
надо положить формально Ш) = к(х{ + $к) и т. д.
Если схема B) однородна, то индекс I можно опустить и B)
записать в виде
-Ь-{ьУх — ау-) — йу = — ф,у @) = иг,уA) = м2, D)
где
а=а(х), Ъ=Ъ(х), у = у(х), аг=1Йесол,
Ух = {У (* + А) — У(*))/А, у- = (у (я) — г/ (л: — й))//г.
Семейство однородных схем задано, если задано семейство
шаблонных функционалов Ан, Вн, ГР, Рн. Требования
аппроксимации и разрешимости задачи D) накладывают ограничения на
произвол в их выборе.
4. Условия второго порядка аппроксимации. Вычислим
локальную погрешность аппроксимации схемы D):
^A;)-[±(Ь1;я-а1^)-Л+ф]--[(А1/У-}!; + /],

|40 ГЛ- Ш- ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
где V — произвольная достаточно гладкая функция, А, д, / также
имеют нужное по ходу изложения число производных. Разлагая
V в точке х по формуле Тейлора, найдем
VЯ = V' + 0,5/и/ + ^ V'" •+ О (к% V- = У'-О^Ь" + -^ V'" +0{к\
Требование $М = 0{Нг) будет выполнено, если
±^ = *'(*) +О (*■), ±+±вЛ(аг) + 0(А^ E)
<Ц*) = д(*) + 0(П <р(*)-/(*) + 0(Ь2).
Для разрешимости задачи D) достаточно (см. гл. I, § 2, п. 8),
чтобы
а >0, Ь > 0, <1 > 0 для всех а:е= ©л. F)
Приведем два примера разностных схем второго порядка
аппроксимации для задачи A):
-у ^г+1/2 ^ М-1/2 ^ ^ ~ ЦгЦг = — /г» V'}
х I—2 л 2 те—)-м* = - л« <8>
где 1 = 1, 2, ..., ЛГ-1, у0 = Щ, #* = И2, А<±.«А = А(х< ± 0,5 А),
&<±1 = Й;и<±А).
Нетрудно видеть, что для каждой из этих схем выполнены
условия E), если ку д, / —- достаточно гладкие функции.
В дальнейшем для упрощения изложения будем предполагать,
что шаблонные функционалы не зависят от параметра к и
/>[/(*)] = Л/Ы1, так что
а(х) - ЖМя + $АI, Их) = Д[А(х + $А)],
(9)
Л(х) - Л д(* + **)], срЫ = Л/(* + *Д)],
где «е [—1, 1].
Будем рассматривать семейство схем, для которых выполнены
условия E), F), (9). Нас интересуют схемы, сходящиеся в
случае разрывных к(х), дЫ, /Ы. В следующем параграфе
приводится пример, показывающий, что не всякая однородная схема

= 0, B)
§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ 141
вида Ш, удовлетворяющая условиям аппроксимации E) (в
случае гладких коэффициентов) и условиям разрешимости F),
сходится в классе разрывных Их).
§ 2. Консервативные схемы
1. Пример схемы, расходящейся в случае разрывных
коэффициентов. Рассмотрим задачу A) из § 1 при дэ0, /^0:
(йи')' = 0, 0<я<1, и@) = 1, иA) = 0. A)
Представим (ки'У в виде ки"+к'и'. Естественно, на первый
взгляд, для получения аппроксимации второго порядка провести
замену
и ~ и-, к ~ко = нт , и ~и<> = ^т •
Тогда получим схему
Л< 3? + 2Л 2Ь
0<*<#, ту0 = 1, ^ = 0.
Преобразуя B) к виду D) из § 1, найдем
йг = кг ^ , Ъг=к\ -\ ^ , б^ = фг = 0, C)
т. е. схема B) принадлежит семейству D) из § 1.
Условия E) и F) из § 1 выполнены, так как на участках
гладкости функции Их) имеем:
ах = Ач — 0,5АЛч + О (Л2), Ъ{ = кх + 0,5ккг + О (к\
0,5 (сц + Ъг) = ки Ъ{ — ах = 0,5 (кш — Л^) = кк{ + О (А3),
так что а< > 0, Ь< > 0 при достаточно малом А.
Покажем, что схема B) расходится даже в классе кусочно-
постоянных коэффициентов
[*1|0<ж<Е1
&<*<1, . ()
где | — иррациональное число, | = хп + 8 А, #п = /гА, 0 < 6 < 1.
Точное решение задачи A), D), удовлетворяющее условиям
сопряжения, имеет вид
|1~а0л:,0<д:<^а0=:(н + A~>сM)-1,
и (Х) \р0 A - х), I < х < 1, р0 = ха0, к = V*,. E)
Найдем решение разностной задачи B), D). Так как а{ =
= Ь, = А^ при 0 < ъ < щ а, = 6, = &2 при п+ 1<^<N^ то урав-
*<■»-&

142 гл- пг- однородные разностные схемы
нение B) принимает вид у^ — 2*/< + у{+1 = 0 при ЬФп и ъФп +
+1. Отсюда находим
У< = уЫ = {Н1-Х1), *я+1<*<1. <6>
Коэффициенты аир определим из уравнений при г = п, I = п + 1:
Ьп[рA — #п+1) — A — а#„)] + апа1г = О,
G)
Ьп+1рЛ + Яп+Дри - хп+1) - A - ахп)] = 0.
Из C) и D) находим ап = E/^ — &2)/4, ап+1 = (&1 + 3&2)/4, &п =
= C*! + /с2)/4, &п+1 = E&2 — &1)/4. Решая уравнения G)
относительно а, Р и учитывая, что л:п = $ — ОА, #п+1 = % + A —в)А,
определим р = ц,а,
„ 1 .._ 3 + х^ Л 5к--1 /оч
. ~" р, + A — |х) & -Ь Л (Л. — в—A — в) (л) * **■" 5-^*" Л~ Зи + Г^°'
Предельный переход при к -+• 0 дает
Нт а = а0, Пт р = р0,
л-»о л-»о
где
5в = (|* + A-|*N)-1, Рв = м5в. (9)
Функции F) доопределим на всем отрезке 0 < х < 1 {при •
помощи линейной интерполяции), получим функцию у(х, А), же
е [0, 1.1, совпадающую с у{ в узлах #* = &й. Найдем предел
у(#, А) при А -»■ 0:
A —а0я, 0<я<&,
и(л)вЙ^*)в1АA-х),б<*<1- A0)
Сравним предельную функцию йЫ с точным решением ю(я),
определяемым формулой^ E). Из E), (9) и A0) видно, что
и(х) =»и(х) при а0 = а0, Ро = Ро, а это возможно лишь при и = 1
или к1 = к2.
Итак, решение (б) разностной задачи B), E) при к -*- 0
стремится к функции йЫ, которая в случае Л1 **■ А2 отлична от
точного решения и(х) задачи A), Следовательно, схема B)
расходится. -
Нетрудно установить физический смысл функции иЫ.
Функция и(х) есть решение задачи A), удовлетворяющее при х*=\
условиям [й]=0, [ки'] =—а0(ц — и)Й2 = д, где д есть мощность
сосредоточенного источника (стока) тепла в точке х*=%.
Величина, д меняется в широких пределах в зависимости от к (в ча-

§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ
143
стности, д -*• =Ь°° при к -»• 5 ± 0). Таким образом, физическая
причина расходимости схемы B) в том, что она нарушает баланс
(закон сохранения) тепла, приводя к появлению
дополнительного источника (при д < 0) или стока (при д > 0) тепла в
точке х = |.
Схемы, нарушающие законы сохранения, называют
неконсервативными или дисбалансными.
Рассмотренный пример показывает, что при написании
разностных схем следует добиваться, чтобы эти схемы выражали
на сетке соответствующий закон сохранения. Такие схемы мы
будем называть консервативными. В следующем пункте дается
общий метод получения консервативных схем, сходящихся в
классе разрывных коэффициентов. Прежде чем переходить к его
изложению, сделаем два замечания, связанных с рассмотренным
выше примером.
Метод экспериментальной проверки сходимости схемы путем
сгущения сетки, применяемый часто на практике в тех случаях,
когда нет теоретических оценок качества схемы, может иногда
привести к ошибочному выводу о сходимости схемы на том
основании, что при. сгущении сетки обнаруживается стремление
решения разностной задачи к некоторой предельной функции
й(х). Приведенный выше пример показывает, что функция нЫ,
вообще говоря, может сколь угодно сильно отличаться от
решения и(х) исходной задачи. Поэтому методом сгущения сетки надо
пользоваться с известной осторожностью. Во всяком случае,
он ъе может подменить теоретического исследования хотя бы на
модельных примерах.
Можно рекомендовать для проверки сходимости и порядка
точности метод пробных функций: Выбирается некоторая
функция 1Кх) (она может быть выбрана произвольно, но так, чтобы
выполнялись условия сопряжения в точке разрыва
коэффициентов). Подставляя ее в уравнение A) из § 1, найдем правую часть
/== (АС/'O— дС/ и краевые значения ^«Ш, \х2 = 1/A).
Полученная задача решается по схеме D) из § 1, и разностное
решение сравнивается с известной функцией 1/(х) на различных
сетках.
Второе замечание состоит в том, что, так как не всякая схема,
сходящаяся в случае гладких коэффициентов, сходится в случае
разрывных коэффициентов, то необходимо выделить семейство
схем, сходящихся в классе разрывных коэффициентов, и в
дальнейшем иметь дело только с такими схемами.
2. Интегро-интерполяционный метод построения однородных
разностных схем. Различные физические процессы
(теплопроводности или диффузии, колебаний, газодинамики и т. д.)
характеризуются некоторыми интегральными законами сохраненця
(тепла, массы, количества движения, энергии и т. д.). При
выводе дифференциальных уравнений математической физики

144
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
обычно исходят из некоторого интегрального соотношения
(уравнения баланса), выражающего закон сохранения для малого
объема. Дифференциальное уравнение получается из уравнения
баланса при стягивании объема к нулю в предположении
существования непрерывных производных, входящих в уравнение.
Метод конечных разностей физически означает переход от
непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели. При
таком переходе естественно требовать, чтобы основные свойства
физического процесса сохранялись. Такими свойствами, прежде
всего, являются законы сохранения. Разностные схемы,
выражающие на сетке законы сохранения, называют консервативными
(или дивергентными). Законы сохранения для всей сеточной
области («интегральные законы сохранения») для консервативных
схем должны быть алгебраическим следствием разностных
уравнений.
Для получения консервативных разностных схем естественно
исходить из уравнений баланса, записанных для элементарных
объемов (ячеек) сеточной области. Входящие в эти уравнения
баланса интегралы и производные следует заменить
приближенными разностными выражениями. В результате получаем
однородную разностную схему. Такой метод получения
консервативных однородных разностных схем будем называть интегро-ин-
терполяционным методом (методом баланса).
Проиллюстрируем этот интегро-интерполяционный метод на
примере уравнения A) из § 1, описывающего стационарное
распределение температуры в однородном стержне 0 < х <, 1.
Напишем уравнение баланса тепла на отрезке а^д^я^ #1+71:
«1+1/2 «1+1/2
ц^-1/2 — Щ+1/г + ) 1 (х) их = ] д(х)и (х) их, ю = — ки'% A1)
"*-1/2 *!-1/2
где ю(х) — поток тепла, д(х)и(х) — мощность стоков тепла (при
д < 0 — источников), пропорциональных температуре, /(#) —
плотность распределения внешних источников (стоков) тепла.
Сток тепла происходит за счет теплообмена с внешней
средой, происходящего на боковой поверхности стержня. Величина
Ш|_1А дает количество тепла, втекающее через сечение х = оь-чг
на отрезок ж*_* < а; < #<+1/„ ю<+% — количество вытекающего через
сечение х^х^ь тепла; третье слагаемое в левой части A1) дает
количество тепла, выделяющегося на отрезке [#(-.у1г #<+«/,] за счет
распределенных с плотностью /Ы источников тепла, интеграл
в правой части A1) есть количество тепла, отдаваемое внешней
среде за счет теплообмена на боковой поверхности.
Чтобы получить из A1) разностное уравнение, заменим IV
и интеграл, содержащий и, линейными комбинациями значе%
ний и в узлах сетки. Для этого воспользуемся интерполяциями

§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ 145
в окрестности узла а:*. Возьмем простейшую интерполяцию
и = сопзЬ = щ при ^_!/2 ^ х ^ ач+1/2»
«1+1/2 *1+1/2
) 9 (*) и (*) ^ ^ й^иь ^г = д- ] Я (х) их, A2)
«1-1/2 *г-1/2
где й есть среднее значение д(х) на отрезке «*-%<*■<:**+•*
длины й. Проинтегрируем равенство и' = —г^/А: на отрезке
х{~1 < а: < ж,:
Г и>(я) л
*1-1
Предполагая, что иЧг) »«?<_% в сопаЪ при а;<_1^а:^а;<, имеем
Ы*_! — Ы{ « Щ-1/Ъ
«1-1
Отсюда находим приближенное значение ©<_% потока
,-1
Мл — И*
~1
»{_!
«Ч-1Л - - «ч-^-5— = - <чиг,4. аН т ] га ' <13>
-AЬ«)
«Ч
Отметим, что I ^1- есть тепловое сопротивление отрезка
*{-1
[ж|-!, а:<].
Подставляя A2) и A3) в A1) и обозначая через у* искомую
функцию, получим консервативную разностную схему
где
1'Г *м-9а „ У|-У^-1 1 . т т*
0,5 0,5
<2< = с2« = ) д(^1 + $й) Л, ф{=ф{ = ] / (ач + $Ь) <&.
—0,5 -0,5
Разностное уравнение A4) написано в фиксированном узле
х = хи Считая увел х{ произвольным, получаем уравнение A4)
во всех внутренних узлах сетки. Так как коэффициенты а<, А,
10 а. а. Самарский

146 гл- ш- однородные разностные схемы
Ф< во всех узлах я», * = 1, 2, ..., N — 1, определяются по одним
и тем же формулам A5), то схема A4)-—A5) является
однородной консервативной схемой. Поэтому в A4), и A5) индекс г
можно опустить и вместо A4) писать
В общем случае в формуле для потока коэффициент а< является
некоторым функционалом значений Их) на отрезке [ж<-1э х^.
Отметим, что закон сохранения во всей сеточной области оь
(«интегральный» закон .сохранения) для любой (с любыми а,
<2, ф) консервативной схемы вида A4) есть алгебраическое
следствие уравнения A4).
В самом деле, обозначая через и>1-.1/2 = —я<(#< —#<-1)/&
разностное выражение потока тепла при х = #*-1/2, запишем
равенство A4) в виде й;г-1/2 — гйг+1/г + к% = Ы#<. Суммируя по г = 1,
2, !.., N — 1, получим разностный закон сохранения тепла во
всей сеточной области
_ _ Л-1 N-1
^1/2 — ^N-1/2 + 2 АФг = 2 ЬйгУг-
г=1 {=1
Он является разностной аппроксимацией интегрального закона
сохранения для уравнения A) из § 1.
3. Однородные консервативные схемы. В предыдущем пункте
мы получили консервативную схему A4) интегро-интерполяци-
онным методом. В общем случае можно считать, что
коэффициенты а, й, ф схемы A4) являются функционалами
коэффициентов к(х), ^(x) и /(#) дифференциального уравнения
а(*)-Л[Ь(* + *Л)], Й0с)-Л?(* + *ЛМ, ф(«)-Л/(* + «Л),1. A6)
Область определения шаблонного функционала А[Щ$)] есть
#@)[-1, 1](Ш)е@<°Ч—1, Ш, область определения Л/Ы] есть
Ф@)[—*/2, 721. Иными словами, А[И(з)] (Р[7($)]) определен для
всех кусочно-непрерывных функций БЫ (/Ы), заданных на
отрезке — К$<1 (—0,5 < Ж 0,5). При вычислении а(х) согласно
A6) мы полагаем Ш) = Их + зк). Это соответствует переходу
от шаблона -КК1, на котором задана функция ЙЫ, к шаб-'
лону х — к^х' <х + к, на котором надо задать к(х'), чтобы
вычислить а{х).
Итак, рассмотрим однородную консервативную схему
(аУх)х ~ аУ = ~" Ф (*)• х е (ол, A7)
.У @) = и1> У (!) = и2, л > сг> 0, й>0,
коэффициенты которой определяются согласно A6). Сравнение
консервативной схемы A7) или A4) с трехточечной схемой
общего вида D) из § 1 показывает, что A7) соответствует случаю

§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ 147
Требование консервативности («дивергентности») схемы D)
из § 1 эквивалентно также требованию самосопряженности
разностного оператора. Действительно, рассмотрим оператор второго
порядка
(Ау){ = а{у{^ - с{у{ + Ъ{у{+и
о
определенный на пространстве ЙЛ сеточных функций у = {г/»),
заданных на сэл и равных нулю на границе, г/0 ^ #* = 0. Введем
в ЙЛ скалярное произведение (у, V) = 2 УРг^. Так как для любых
г=1
о
функции у, уейА справедливо тождество
Л-1 N-1
2 («#г-1 — *№ + Ьг^г-м) Щ = 2 (&г-1^-1 ~ ^ + Яг+1^+1) У и
то условие (Лу, и) = (у, Аи) будет выполнено при любых у, ре
о
ейЛ тогда и только тогда, когда 6» = «<+!, & — 1, 2, ..., ТУ— 1
(см. § 2 гл. I).
Условие Ь< = а<+1 для схемы D) из § 1 означает, что
В[к(х + зк)] = АШх +($+ 1)Л)],
или
для любых ЕЫ е()<0>[—1э Ц. Это, очевидно, возможно только
в том случае, когда функционал АПИз)] не зависит от значений
Жз) при 0^$<1, а ВШз)! — от значений функции Ш) при
— 1 < 5 ^ 0, так что
а(х)=А[к(х + зЮ] при -1<*<0.
Условия E) из § 1 локальной аппроксимации второго порядка
для консервативной схемы A7) принимают вид
A8)
<1(х) = д(х) + 0(к*), Ф(*) = /(*) + 0(П
Отсюда следует, нто
а(х) - Мя) - 0,5М'Ы + 0(Л2) или
аЫ==М*-О,5й) + 0(й2).
В п. 2 при помощи интегро-интерполяционного метода была
получена однородная консервативная схема A6) с
коэффициентами а, <7, ф специального вида A5), а именно с шаблонными
10*

148 гл- ш- однородные разностные схемы
функционалами
/ 0§ \-1 0,5
Д[1(8)] = М'^- , Р[7(з)]= } /(«)Л. A5')
^-1 **'' -0,6
Коэффициенты а, й, ср при этом вычисляются путем
интегрирования функций Их), дЫ и /Ы (см. A5)).
Для практических целей удобно иметь возможно более
простые формулы для нахождения а, й, <р, использующие значения
А, д, / в отдельных точках. Обычно используют шаблон из одной
или двух точек, полагая, например,
а{ = *,_!,, - к(х{ - 0,5й) иОсШ = Е(-0,5)),
4 = ?*, ф«-Л (Я/Ы1=/@)),
или
01 = 0,5 (*!+*!-!) (^ [*(*)] = 0,5(/с(-1) + А@))),
2*А-1 / 1 _ 1 / 1 1 \\ A9>
1 к1 + кг-г \А [к (.)] 2 ^@) ^ИС-!)^
Для всех этих схем условия A8), очевидно, выполнены.
Если коэффициент к(х) разрывен в полуцелых точках сетки
# = х<_1/2, а ^(x) и /Ы — в точках ;& = ;&<, то в формулах A9)
следует брать полусуммы предельных значений слева и справа:
а, = 0,5(^(^-4/2 - 0) + Мя,-1/2 + 0)),
й{ = 0,5(9(я< + 0) + д{х{- 0)), <р< = 0,5(/(я,- 0) + /(«, + 0)).
Отметим, что формулы A9) и ряд других формул для а, й,
Ф могут быть получены путем эамены интегралов A5) их
приближенными выражениями
«ч *ч
_1_ Г <** _1 _1_ Г <& Л^М , 1 \
Н ^ *(«) ~ *,_,,• Л ] Д(х) 2 I А€ "+" *{_х ) И Т* Д*
4. Исходное семейство консервативных схем. Семейство
однородных консервативных схем A7) задано, если указан класс
шаблонных функционалов ЖШ)], Л./Ы.1.
Мы будем предполагать, что РЩ$)\ — линейный
неотрицательный функционал, так что:
1) Р[сг]х (в) + с2/2 (,)] = С1Р[]г (з)] + с2Р [% (8I - 1/2<*<1/2,:
где С1 и Сг — произвольные постоянные;
2) Л/($)]>0при/Ы>0.
Хотя, как показывает пример схемы A5'), А1КЫГ является,
вообще говоря, нелинейным функционалом, мы для упрощения
изложения будем предполагать, что А [БЫ] —линейный
неотрицательный функционал, и наряду со схемами A6)—A7) рас-

§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ 149
сматривать схемы, у которых коэффициент а(х) находится по
формуле (ср. с A5'))
тЪ)=А[ц^щ\- <16'>
Условия второго порядка аппроксимации A8) накладывают
ограничения на шаблонные функционалы А[к($)] и Л/(*)].
Рассмотрим сначала
ф(х) - Л/(ж + зкI = Л/Ы + вй/'Ы + 0№)\ -
= /(ж) Л1] + Щ'ШЫ + 0(Аа).
Отсюда и из A8), в силу произвольности /Ы, следует
ЛИ - 1, • РШ - 0. B0)
Аналогично находим
а («) = А \к (х) + $кк' (х) + ^к"{х) + 0 (А3)] =
= к(х)А [1] + М' (ж) А[з] + ^- к" (х) А [в2] + О (А8)
а (ж + А) =
= Л (х) А [1] + АА' (х) А [1 + 8] + *!. Л* (») 4 [A + ,)»] + О (А8),
а(х+Н) — а (*)
к ~
= (АЦ + 8}-А 1в]) # (х) + -^(А [A + вJ] - А [«*]) А* (ж) + О (А«),
*-(« + ») + «(«) =л[1]й(ж)+ ^.(А[1+.з]+А[$])к'(х) + 0(к*).
Сравнение с A8) дает
А[1] = 1, А [$) = -0,5, B1)
так как
А[\ + з]+А[8) = А[1) + 2А[8] = 0,
А[A + вJ] - Л [«»] = Л [A + *J-в2] = А[1 + 28] -
= Л[1] + 2Л[«] = 0.
Для схем A7), A5') при проверке A8) следует учесть, что
а(х + к)±а(х)^а(х)а(х + к)[7^т±ц^т),
а(* + Л) + ТГху] = ТЩ + ° (**)•
аЫа(ж + А) = А'Ы + 0(А2).

150 ГЛ- Ш- ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕ1МЫ
В этом случае А1к(з)] также удовлетворяет условиям B1): В
частности, для функционалов
0,5 О
-0,5 -1
условия B0) и B1) выполнены:
0,5 0,5
^[1] = |Ж?=1, Р[8]= | 5Й5=0,
-0,5 -0,5
о о>
А[1]= | Ж? = 1, А[8]= | 5^=—0,5.
-1 -1
В дальнейшем мы будем всюду рассматривать исходное
семейство однородных консервативных схем A6)—A7) и A6'),
A7) с линейными и неотрицательными шаблонными
функционалами А1Л(з)] и И/Ы], удовлетворяющими условиям второго
порядка аппроксимации B0) и B1).
Схему A7), A5) в дальнейшем будем нызывать наилучшей
схемой.
§ 3. Сходимость и точность однородных консервативных схем
1. Погрешность аппроксимации в классе гладких
коэффициентов. Основной вопрос теории — оценка порядка точности
однородной схемы A6)—A7) из § 2 в классе непрерывных и
разрывных функций Их), ^{x) и /Ы. Пусть и{х) — точное решение
задачи
(к(х)и'(х)У - д{х)и(х) - -/(я), 0 < х < 1,
и{0) = ии иA)=и2, Их)>с1>0, ^{x)>0, Ш
а у*=у(х) — решение разностной задачи
(аУх)х — <1Хх)у= -ф(я), .* = *&, 1 = 1,2,...,^—1,
Ур=ии Уя=Щ, а(х)^сг>0, й(я)>0;
из исходного семейства консервативных схем, определенного
выше (см. § 2, п. 4).
Рассмотрим погрешность, т. е. сеточную функцию я(#) =
=*у{х) — и(х), где х&1он. Подставляя в B) у(х) = г{х) + и(х) и
предполагая, что и(х) — заданная функция, получим для
погрешности задачу
Л* = (а*х)*""йъ = —*(*)» х= л» 1 = 1, 2, ...ЯЛГ—1,
2@) = 2A) = 0, а>сх>0, й>01
где невязка
$(х) = Аи + у (х) = (<ш-)х — с?^,+ Ф D)

§ з. сходимость и точность консервативных схем 151
есть погрешность аппроксимации уравнения A) разностной
схемой B) на решении и = и(х) задачи A).
В п. 4 § 1 были получены условия второго порядка
локальной аппроксимации для консервативной схемы B) с линейными
неотрицательными шаблонными функционалами А1И$I, Р\.}(зI:
ЛШ-1, ЛЫ=-0,5, Ли = 1, ^Ы=0 E)
(для схемы из исходного семейства).*
Для оценки порядка точности схемы B) нам понадобится
оценка погрешности ъ = у — и как решения задачи C) через
правую часть -ф. Начнем с исследования погрешности аппроксимации
*Ы. Если Их) €3 СC> и ?(*), /Ы е СB), то
1|) (х) = Ли + ф — (Ьи + /) =
= [(аи-Х - (ки')'] - (й - д) и + (Ф - /) = О (к\
т. е. схема B) имеет второй порядок локальной аппроксимации,
так что ИфИс ^ Мкг, где ЛГ = соп81>0 не зависит от А.
В дальнейшем будет показано, что
N-1
И>!*=2 к
1=1
г
2ц
Л=1
< Мк\
если Их), дЫ, /ЫеСB), т. е. й(#) имеет две, а не три
непрерывные производные.
2. Погрешность аппроксимации в классе разрывных
коэффициентов. Покажем сначала, что погрешность аппроксимации D)
всегда можно представить в виде
Ч> = !Ьс + ^\ F)
тц = (аи-){ - (ки')^/ш1 G)
'Ф* = I Ф<— ] / (Щ + 8Ъ) Й5 I — I Л\щ, — ] д (ач + $й) и(Я| + $Н) из I.
\ -0.5 / \ 0,5 У
(8)
Для этого воспользуемся уравнением баланса, которое
получается после интегрирования уравнения A) по х от #<-1/2
до я<+1/а:
+ 4 ] /(*)<** = ().

152 гл* ш- однородные разностные схемы
Вводя новую переменную 5 = {х — а;<)/А, перепишем уравнение
баланса в виде
0,5 0,5
((&и'){-_«/,)х — ] 9 0*4 + $к) и (^Ч + 8к)A8+ ] / (лч + $А) Й5 = 0.
-0,5 -•,§
После вычитания этого уравнения из D) получаем формулы
F)-(8).
Если Их), дЫ, /ЫеСB), то
г\г = 0(к% Чч=0(А2). (9)
В самом деле,
' к2 "
/ Я» /у
ц^х = щ-г/ш — 0,5Лщ-1/, + -3- иг_1/, + О (А3),
Лг = (а4 - А|-./,) 1Н-Чш + О (А2) = О (А2),
так как
а, = А [к (х{ + зк)] = А[к 0г1_1/, + E + 0,5) к)] = -
= А [*«_.,. + А*^«/. (^ + 0,5) + О (А2)] =
= *|-«/. + АЙ^/.Л [5 + 0,5] + О (А2) = *«_»,. + О (к2).
0,5
Замечая затем, что ] V (х{ + зк) й$ = VI-)-О (к2) для 1>Ы е=СB),
-0,5
получаем 1|>* = ^цц — й^) + (фг — /0 + 0 (А2) = О (А2).
Перейдем теперь к случаю разрывных коэффициентов Их),
д(х), /0г). Без ограничения общности можно считать, что А,
д и / имеют разрывы первого рода только в одной точке х =
= |е @, 1), так что
! = Яп + 9А, 0<е = 8Ш<1, 0</1<ЛГ.
Решение и = и(х) уравнения A) при х = % удовлетворяет
условиям непрерывности функции и(х) и потока Их)и'{х):
Ы = и(Ъ + 0) - и(| - 0) - 0, [ки'\ - 0 при а: - \.
Будем предполагать, что Их), д{х), /Ы е (?<*> и,
следовательно, Л)е^,
Рассмотрим сначала выражение т|*. Очевидно, что
1* = (аих)\~~ (Л"')*-1/! — О (А2) для всех г Ф п + 1.
Оценим Т1п+1 = вп+1^-я+1—(*^,)п+*/1- Воспользуемся разложениями

§ 3. СХОДИМОСТЬ И ТОЧНОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СХЕМ 153
в окрестности точки х = !•:
ип+1 = и (I) + A - 9) Ли' A + 0)+ <Ц^! к V E + 0) + О (к*),:
ип = и(Ь)- дки' (& - 0) + -у- АV (%-0) + О (к*)<
(ки')п+Чя = (&и')х=&+о + @,5 - 0) к (ки')'х=1+0 + О (к2) при 9 < 0,5
(ки')п+Чж = (&и')*=*-о + @,5 - 9) к (Ли')*=*-о + О (к2) при 0 > 0,5
и найдем выражение для т}„+1:
Т1п+1 = Яп-И ((! ~ 6) ^п + 9ил) — и>0 + О (к)%
где ш§ =» №ю')п = (йю')л, »л = V{^ - 0), 1>п = 1>A + 0).
Иэ условия сопряжения [АиЧ = 0 следует, что
в*; + а- в)и;=(-^ + т^5)^.
Чп+1 = [оп+1 (^ + ^р) — Л И>0 + О (к).
Рассмотрим наилучшую схему A5) из § 2. Для нее
_Л Г йш С йв
ип+1 -1 * '^х ' 5
6 16
=1ет>+{^)=1(гл+<8-®й(-Н;+°<*,>)*+
обо
1
6
о
так что т1я+1 в г\п+% = ОШ. Для всех других схем г\п+1 =*ОШ.
При оценке *ф* надо различать два случая:
1) Пусть 9 < 0,5. Тогда а|ч* = О (к2) при гф /г, а г|>п = О A),
о о
и лишь для наилучшей схемы (ср* ==■ ф«, А == Л)
"а
^Ч = . } 9 (х1 + 5^) (и (^ +5^) — и») Й5 = 0(к) при 1=га,;
так как и(хп + зк) = и(|) + ОШ при любых 5 е [—0,5, 0,5].
2) Если 9 > 0,5, то ♦? = О (к2) при 1ф п + \% а фп-ы= О A)
и &;+!=* О (А).

154 гл- ш- однородные разностные схемы
Таким образом,
Ш = 0(Н^ гфп + 1, т)п+1 = 0A), ?1п+1 = 0(й)г
Ч>Г = 0(Ь2) при гфщ ^ = 0A),
$п = О (к), если 6 < 0,5, (Ю)
^* = О (А2) при гфп + 1, 1^+1 = 0A),
ф*+1 == О (к), если 0 > 0,5.
Отсюда следует, что в узлах х = хп и х = хп+1 функция *фЫ
имеет вид
ф„ = ^1+0A), ф„+1 = - ^±1 + 0A), т!п+1 = 0A),A1)
т. е. в узлах, соседних с точкой разрыва я = |, схема B) не
аппроксимирует уравнение A), так как фп = ^("Т")"^ °°*
фп+1 = о(-^-]-* оо при А->0. Из формул (И) видно, что
'главные слагаемые в выражениях -фп и г|?п+1 равны по абсолютной
величине и противоположны по знаку, так что
т. е. погрешность аппроксимации в окрестности разрыва
коэффициентов к(х) имеет дипольный характер. Именно поэтому,
несмотря на отсутствие локальной аппроксимации,
консервативная схема A), как будет показано ниже, имеет первый порядок
аппроксимации в норме
Ш» = (МчИ + (М|Ч] = 0(*>.
где И = 2 Нь> г = 2, 3, ..., Л^, м-1 = 0.
3* Априорные оценки для погрешности. Перейдем к оценке
погрешности г^у — и, которая является решением задачи C):
Аг = (аг-)л — йг = — «ф (х), 0<я=1Й<1, ъ @) = г A) = О,
где г|>Ы — погрешность аппроксимации, выражение для которой
было представлено в форме F):
Покажем, что для решения задачи C) с правой частью F)
справедлива оценка
№Ну-с<-^(A,Ы] + A,1М1Х A2)
гдещ=2И*. г = 2,3, ...,ЛГ, ца = 0.
л—1

§ 3. СХОДИМОСТЬ И ТОЧНОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СХЕМ 155
Достаточно оценить решение задачи
Ли = (аи~)х - йи = - х\х, . и @) = V A) = 0. A3)
Рассмотрим сначала задачу '
(аюх)х = - Л*. »@) = ю A) = 0.
Отсюда сразу следует аи>х + г\ = сопз! =с0. Выразим отсюда
и?к = ш*-! - Ат|д/а* + Ас0/ал, к = 1„ 2, ..., N.
Суммирование до к от 1 до I дает
1 Ал * •
Полагая * = # и учитывая, что Шо = ш* = 0, находим
и, следовательно,
или
Так
\щ\
как
<(
А<
1-
щ =
«34*.
-^.).
т =
,.(,
<\> =
*=1
%»
^
^
1 У*1!*
то отсюда следует
у*Ы
^ А..
N ч 1
* 1,
;2-
V
п..
Т-A.|Ч|]
Чтобы оценить у<, рассмотрим разность |< = и{ — и;*; для нее
имеем задачу
(«8г).-* = *** 5@) = 5A) = о,
где а>с{>0, й>0. Применяя лемму из п. 8 § 2 гл. I, находим
11|НС < 1Ы1С и, следовательно,
1»Ь<|ю|с+йв^2|ю|о<^-A1|!||1.
Таким образом,
Ис<-|A,Ы]. A4)

156 гл- ш- однородные разностные схемы
Функцию ф* можно представить в виде
фГ = \1Х, A5)
1-1
где |Х{ = 2 Афл, 1 = 2,3, ..., N1 \хх =0. Поэтому можно напи-
сать ф = (г) + ц)ж и воспользоваться оценкой A4):
1Ф<-г<Чп + Н]<-|-(A,1п1] + <1.||»ГО.
°1 С1
4. О сходимости и точности. Воспользуемся теперь
результатами, полученными в двух предыдущих пунктах, для оценки
скорости сходимости схемы B).
Теорема 1. Любая, схема B) (с коэффициентами A6) из § 2)
в классе гладких коэффициентов
Их), дЫ,/ЫеСB,[0, 1]
имеет второй порядок точности:
\\у-и\\с<Мк\
где Л/=гсоп81>0 не зависит от к, а в классе разрывных
коэффициентов
Их), дЫ, /(*N 0<1>[оэ 11
— первый порядок точности:
\\у - и11с < МН;
наилучшая схема сохраняет второй порядок точности и в классе
разрывных коэффициентов.
Эта теорема следует из представления погрешности
аппроксимации в форме F)—(8) и из априорной оценки A2). Учитывая
нолученные в п. 2 оценки для т]< и \|н, можно написать
A,|т,|] = А|т,л+1| + 0(А2), щ-Оф^приКп, A6)
И* = А (-фп + фп+х) + 0(Л*) при * > и + 1
и, следовательно,
(ММ] = М*» + ^+1|A-*«) + 0(П A7)
Из соотношений A6), A7) и A2) следуют все утверждения
теоремы, так как
< + <+! = 0A),
° * °*
'Фп + Фп+1 =0 (й) ПРИ любом 0 е [0, 1],
71*11 = 0A), т|п+1 = 0(А).

§ 4. СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ
157
В случае гладких коэффициентов, очевидно, г\1=0(к2),
ф* = 0(й2) для всех * = 1, 2, ..., #—1 и для любой схемы;
поэтому A, 1л1] + A,1(гП=0(й2).
Замечание. Можно показать, что аппроксимация в классе
гладких коэффициентов необходима и достаточна для сходимости
однородной схемы B).
§ 4. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках
1. Схемы на неравномерных сетках. Для решения
дифференциальных уравнений на практике часто используются
разностные схемы на неравномерных сетках. В гл. II, § 1 для
простейшего уравнения и" =—/ была рассмотрена схема на
неравномерной сетке
сол = {*!, г = 0, 1, ..., ЛГ, х0 = 0, хц = 1, к{ = х{ — х^г)
и проведено изучение погрешности аппроксимации для этой
схемы.
Чтобы получить однородную консервативную схему на
неравномерной сетке сэЛ, напишем на интервале (#<-4/2, ^+1/2), где
#«-1/2 в.#* — #*+1/2 = Х{ + 0,5А,+1, уравнение баланса
10<_1/, — ^ч-1/» ~~ ] ? (#).и (#) &: = — ] ] (х)йх, и? =—ки'.
Н-Чш **-*/.
A)
По аналогии с § 2, п. 2 проведем замену
«+»/■ *1+Чш
\ %ийх~%1й{т, йг= -г- 1 ?(#)Ас, Л4 = 0,5(Л« + Л|+1)Э
■4-1/, * *!-*/«
!*,_.,.-114-.,. = -II, А—=-^х,г'^ = 1л7^ Щ| •
После этого, так же как и в § 2, п. 2, получаем разностную
схему
«4-1 / Ч-Ч, *!-•/•
B)

158 гл- ш- однородные разноотныв схемы
Эту схему будем называть, как и в случае равномерной сетки,
о о о
наилучшей схемой. Коэффициенты а*, й*, ф,-, очевидно, можно
записать в виде
о \-*
0 —I Г **
о
^ = А | д{Х{ + 8]г.)а8+ь±±-|д(^ + ^Н1)й5, C)
1 -0,5 * О
О 0,5
Ф« = -|Г I /(*« + **<)* +ИГ1- |/(^ + ^+1)^-
1 -0,5 О
Введем обозначения (см. гл. II, § 1):
Рассмотрим трехточечную схему
(а^)~ ~~ № = "" Ф» * = *Ч е сол,
»@) = И1, »A) = и,. а>с1>0, й>0. D)
Если: заданы Мя), д(а:), /Ы из (?@)[0, 4] и известны точки их
разрывов, то всегда можно выбрать неравномерную сетку так,
чтобы точки разрыва коэффициентов А, д, / были бы ее узлами.
Такую сетку, зависящую от конкретных функций й, д, /, будем
обозначать (Он(К). Простейшие выражения для а{, йи ф< на юл(Ю,
как следует из C), имеют вид
а, = **../„ 4 = ^ ' Ч*=- 23ц ' E)
где/г=/(^±0) и т. д. Впрочем, можно пользоваться и
другими формулами, например,
Лг-1 "Г Лг
, __ Мг-У, + 4+1^+'/. __ У{-'/, + ЧцА+«/,
В случае непрерывных коэффициентов из E) следует а<в&<-|/2,
&== <7«> ф«,— /<• Если точки^ разрыва совпадают с потоковыми
точками (я = аг<-1/2) сетки юл, то а*, 4, ф< выберем следующим

в 4. СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ 459
образом:
а* = ъ +и—» <*« = 0ь Ф* — /*» E )
либо возьмем
__ я$-ЧшК-Чш й _ ЧиФ-у. + М^у. .т _^чУй-у, + У(Ь/,
•*~^-у, + *Г-у/ ^ ' _"^ '
2. Погрешность аппроксимации. Перейдем к изучению
погрешности аппроксимации схемы D) на неравномерной сетке
се>л(Ю. Напишем уравнение для ошибки гяу-и:
(Л*х)~ ~" й% = "" ♦ (*)• Х ^ ®*»
20 = ^ = 0, а>с1>0|>- й>0, ''
гдеф (#) = (яи;)~ — йи + ф (я) — погрешность аппроксимации.
Пользуясь уравнением баланса A), представим погрешность
аппроксимации <ф< в виде
где
**+»/■
♦Г = (Ф1—ФО —*И1+-х- 3 !(*)»(*)&*• G)
Предположим, что Л?, д, / имеют разрыв первого рода в узле
х{, а при Х{~1 <х<х{, Х{<х<х{+1 являются гладкими
функциями. Пользуясь разложениями / (х\ + $/ч) = 1\-9 + *А|/|-в + ^ (^?)
при «<0и/(^ + $/ч) = /{+о + $йг+1/й-о + О(й?+1) при 5>О,
о
а также формулой C) для ф„ будем иметь
По аналогии с этим можно написать
<аЧ-У.
Отсюда видно, что для схемы с коэффициентами E)
♦* = (Ч + л)-. + *1*. (8)
Х,1

160
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
где
*Г-0(*?),
-<= ^яи-пи =0{п% (9)
Л* = <ЦУ>-Л — (&и')г-7, = О (А?)*
так как сц = й*-»/,» и-к { = и[_.1/, + О {Ъ%).
3. О порядке точности на неравномерных сетках. Введем
скалярные произведения
(У, *>)* = 2 У\Щ%, (У, V] = 2 уы?ц.
Справедливо утверждение:
Для задачи F) с правой частью (8) имеет место оценка
|*|с<-Г-1A,1п1 + Гл1'] + A.|М». (Ю)
{-1
где № = 2 М>*> И* = °» *=2, 3, ..., #.
Вывод этой оценки почти полностью совпадает с выводбм
неравенства A2) иэ § 3. При выводе оценки A0) необходимо
только всюду заменить а{/к на а{/Н{.
Из A0) и (9) следует, что схема D)—E) имеет на
последовательности неравномерных сеток (Он(К) второй порядок точности:
Ыс = \\у-и\\с<МК\
где й = УA, кг1 — средний квадратичный шаг сетки, если &, д,
Если разрывен только коэффициент к{х)<=(?{2\ а д, /еСB) —
непрерывны, то любая консервативная схема D) второго порядка
аппроксимации имеет на последовательности неравномерных се-
ток (дн(К) второй порядок точности.
Это следует из того, чтот|* = а\и-х { — (ки')^*/, = О (й*) для
любой из указанных схем, а-ф* = О (й?).
Остался невыясненным вопрос о точности схемы D) второго
порядка аппроксимации на произвольной неравномерной сетке,
т. е. при любом положении точки х = | разрыва коэффициентов
*п<!<я„.м, Ъ=хп + Щ 0<9<1.
Так как формула

$ 4. СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ 161
где ф| определяется согласно G), верна всегда, то исследование
точности в этом случав проводится полностью по аналогии со
случаем равномерной сетки (см. § 3). Если для простоты
предположить, что д и / непрерывны, д, /еСB), то
Г\г = О (й?) ДЛЯ 1ф П + 1, Т1п+1 = О A),
и лишь для наилучшей схемы C) 1)п+1 — 0(кп+1), а
№ ==Ях,1 + г№ » Л*— в * ^ =и\п1Г
для въех 1 = 1,2,..., ЛГ — 1.
Пользуясь затем оценкой A0), получаем, что наилучшая
схема C)—D) сохраняет второй порядок точности в классе
разрывных коэффициентов на произвольной последовательности
неравномерных сеток, а произвольная схема D) имеет в этом
случае первый порядок точности. Очевидно, что в классе
непрерывных коэффициентов А, д, /еС(а)[0, 1] любая схема D)
сохраняет второй порядок на произвольной последовательности
неравномерных сеток.
Для доказательства последнего утверждения молено воспользоваться
оценкой из гл. II, § 4 для операторного уравнения Аг = ф:
Ч
Иа=П*ПЛ-1<~1|*||о_1'
1ДО А > сгА, А = А* > 0, А = А* > 0. В нашем случае
Ау = — (ау-^ + ау, Л°у = -у->ч при у<=&,
о
где *й = # — пространство сеточных функций, заданных на ©* и равных
нулю при 2 = 0, N. Негативная форма №1|0 была найдена в гл. II, $ 4:
1*1 о <И]1 + 11л]| + В^]| = 0(л2),
А
где Л2 —среднее квадратичное значение К .
4. Повышение точности на последовательности сеток. Метод
Рунге. Пусть дано некоторое линейное уравнение математической
физики
/л*-/(ж), х&С, . A1)
с дополнительными условиями на границе Г, которые мы для
упрощения технической стороны изложения не выписываем. Пусть
юл — сетка в области С с шагом А, и задаче A1) ставится в
соответствие разностная схема
ЬнУн^ун, я€=сол. A2)
. 11 А. А. Самарский

162
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Если схема устойчива, так что \\ун^ан) < ЛЭДфДал)» где Л/=»
= соп81>0 не зависит от к (см. гл. И, § 2), то иа
аппроксимации следует сходимость
|ул~^1AЛ)<Д/.||^1BЛ), A3)
где г|)Л «■ фл — ЬьЦ>н •= (фь — /л) — (&лИл — (^ю)л) — погрешность
аппроксимации (невязка) на решении и = и(х) задачи A1). Из A3)
видно, что порядок точности схемы не ниже порядка аппрокси-
. мации, так что из ||^л|BЛ) = 0(кп) следует \\ун — "л 11<хЛ) = 0(кп).
Чтобы повысить точность приближенного решения, очевидно,
надо уменьшить шаг сетки Н или увеличить и, т. е. повысить
порядок аппроксимации схемы. Простейший пример повышения
порядка аппроксимации на решении рассмотрен в гл. I, § 2, п. 2.
Однако для большинства задач построение схем повышенного
порядка точности представляет технические трудности, особенно
в случае уравнений с переменными коэффициентами; кроме того,
при переходе к таким схемам может происходить существенное
увеличение объема вычислений. Исключение представляют схемы
для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами
и уравнения Лапласа, которые будут рассмотрены в гл. V, .гл. IV.
Повышение точности путем уменьшения шага сетки к
лимитируется требованием экономичности, т. е. минимума машинного
времени для получения решения. Если же решение исходной
задачи и (так же, как и /) является гладкой функцией я, то
повышение порядка точности сеточного решения может быть
достигнуто путем проведения расчетов для одной и той же задачи A2)
на последовательности сеток со^ , ..., солп.
Будем предполагать, что и'=*и{х) имеет столько производных,
сколько их требуется по ходу изложения. Рассмотрим сначала
простейший случай. Предположим, что справедливо
асимптотическое разложение
Ун(х) = иЦх)]+аг(х)кк1 + 0(кк*1 к2>к,>0, • A4)
где аДя) — функция, не зависящая от к. Требуется найти
сеточную функцию ун(х\ для которой
уп(х) = ин(х) + Шк*). A5)
Для этого рассмотрим две сетки со/^исол.с шагами^ и к2,
имеющие общие узлы, множество которых обозначим со*. В узлах х^
^ (Он образуем сеточную функцию
Ул (я) = сгунг (х) + С2ун2 (х), х<= ©л, A6)
где си с2 — неизвестные пока числа, и воспользуемся
разложениями A4) для укх и Ун%, после подстановки которых в A6) получим
№ (*) = (<а + «*) ин (х) + (ф^ + с&) *г (*) + О (А*>). /

§ 4. СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ 163
Отсюда следует, что уь. — ин== О (/Г2), если
С! + с2 = 1, с^+ *,** = О,
т. е.
Сг = 1-С1, с, = -Н^/^-кЪ): A7)
В частности, можно взять к{ = к, к2 = 0,5А; тогда сод = сод, сх =
= _ 1/B*1-1).
Таким образом, для повышения точности сеточного решения
на некотором множестве узлов ©Л надо решить задачу A2)
дважды: один раз на сетке <оЛ , второй раз — на сетке сол2, (со^ и (Он2
выбраны так, что их пересечением является оЛ)> и составить
линейную комбинацию A6) с коэффициентами A7).
Так, например, если мы имеем схему второго порядка
точности, для которой
Уь(х) = ин(х) + а,кг + 0(й4), т. е. А4 = 2, кг = 4,
то решая разностную задачу с шагами к^ = А, кг = 0,5й, найдем
1/л и ^о,§л, с4 = — 1/3, с2 = 4/3, после чего образуем функцию
~ 4 1
Эта функция определена на сетке ю* и приближает точное
решение и(х) с точностью 0(кк):
Ун = и* + 0(№) при х е= о)Л.
Если существует разложение
Ул = иЛ + а1(^)ЛЛ1 + аа(х)АЛ2+0(ААз)> *,>*,>*!><),
где <х4(я) и а2(х) не зависят от А, и мы хотим получить решение
с точностью О (йЛ»), то следует провести три расчета разностной
задачи с шагами й4, к2> й8. Пустьул1(^), Ул2(#), Унъ (х) —
соответствующие решения разностной задачи. Образуем их линейную
комбинацию
Ун (*) = с^ (я) + с2уЛ> (х) + с3ун3 (х), х (= ©Л
в узлах сетки юЛ, являющейся пересечением трех сеток а^» ю/^, ©д,
если А4 = А, Нг = 0,5А, А, = 0,25й, то ©Л = 0*. Требуя ун = од +
+0 (й**), получаем для определения си с2% с$ уравнения
*1 + с2 + с9 = 1, сгк\* + с^ + с3к^ = 0, С1кЪ + с2кк2*+ с3к** =0.
Определитель этой системы, очевидно, отличен от нуля.
11*

164 гл- га- однородные разностные схемы
В общем случае разложение погрешности ун — и* по степеням
к имеет вид
п-1
Ун = ин + 2 а8 (я) А* + «п (я, А) А71, A8)
в=1
где а,(я), 5 = 1, 2, ..., п— 1, не зависят от А, а ап(#, Л)
ограничено по модулю постоянной М = сопзЪ > 0, которая не зависит
от А. Как получить априори разложение вида A8)?
Непосредственно мы можем найти в предположении достаточной гладкости
иЫ, /(#) и коэффициентов уравнения A1) для погрешности
аппроксимации фл(#) следующее выражение
п-1
4>л (*) = 2 р, (х) к> + рл (*, к) к*, A9)
где р.Ы, 1<«<п—1, не зависят от к, а |рп(я, АI<ЛЛ Л/ =
*=соп81>0 не зависит от к. Отсюда следует, что для любой
достаточно гладкой функции аа(х) также можпо написать
П-1
Ьнаш (х) = Ьа$ (х) + 2 уя (х) кв + уп ^ к) Нпл B0)
Будем искать разность ун — ин в виде A8). Применим к
тождеству A8) оператор Ьк\
П-1
Ьн (Ун — ин)= 2 Ьпя* {х) к9 + Ьап (х, к) кп.
«=1
Учитывая затем, что Ьн(ук — ин) = фл, а также формулу B0) для
Ьн&„ получаем
Ьн (Ун - ин) = 2 ( Ьал + 2 уткА к' + О (А»),
в=1 \ ж=1 /
т. е.
** = я2 (ь*> + 2 7тАтп Vе + ° (*">• B1>
Сравнивая формулы A9) и B1), убеждаемся в справедливости
разложения A8), если функции а9(х) являются решениями
уравнений
Ьа* = %{х) — 2 Ут(х) при 5 = 1,2, ..., п — 1.
Заметим, что разложение A9) может содержать не все степени А*;
тогда соответствующий коэффициент (*в в 0.
Использование адаптивных I сеток открывает новые
возможности повышения порядка точности без увеличения числа узлов.
Имея предварительную информацию о поведении решения исход-

§ 5. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
165
ной задачи, можно выбирать сетку таким образом, чтобы
обеспечить достаточную точность с использованием минимума узлов и
тем самым минимума действий. Так, например, в области
сильного изменения коэффициентов и правой части уравнения
естественно сгустить сетку. В частности, вблизи точки (линии) разрыва
коэффициентов — границы двух сред — сетка сгущается так, что
наименьший шаг делается возле границы и затем по мере
удаления от границы шаг сетки увеличивается, например, по закону
геометрической прогрессии. Если информация о поведении
решения отсутствует, то можно провести предварительный расчет на
•грубой сетке, после чего выбирается новая сетка так, чтобы в
областях сильного изменения решения шаг сетки был помельче,
и разностная задача решается на этой сетке. На практике
неравномерные сетки применяются весьма часто.^Мы уже убедились
в п. 3, что при выборе специальных сеток ©л(Ю, таких, что все
точки разрыва коэффициентов Их) уравнения
(к(х)и')' -дЫю = -/Ы
являются узловыми точками сетки а)*(Ю, любая однородная
разностная схема (<*Ух)^ — йу^ — Ф второго порядка аппроксимации
(в классе гладких коэффициентов) будет иметь в классе
разрывных коэффициентов Их) второй порядок точности.
Следует признать, что вопрос о точности разностных схем в
зависимости от изменения реальных (т. е. т$х, которые допустимы
для практических машинных расчетов) сеток для уравнений с
переменными коэффициентами нуждается в исследовании для
каждой конкретной задачи.
§ 5. Другие задачи
1. Третья краевая задача. Построим однородную разностную
схему для краевой задачи третьего рода:
Ьи = (ки'У - ^{x)и - - /(я), 0 < х < 1, Их) >с1>0,
д>0, МО)и'(О) - МО) - №, -Ш)в'A)-М1)-|*1, A)
р4>о, р2>о, р1-+р.>о.
Уравнение A) аппроксимируем обычным образом:
Лу = -ф(я), &У=(аУ1)х-*У, а>^>0, й>0, B)
где а, й, ф удовлетворяют условиям аппроксимации A8) из § 2.
Рассмотрим сначала простейшую аппроксимацию краевого
условия при х = 0: агухЛ= №о — И. и вычислим погрешность
аппроксимации, подставив в это условие у =■ г + и:
а^г = РА — ^ ^ = а1изд — Мо + И< 1.

466 гл- ш- ОДНОРОДНЫЕ РАЗНООТНЫБ СХЕМЫ
Учитывая, что
а1 = к0 + 0у5кк'9 + О(к% и-д==м; + 0,5^; + О(Л2),
получаем
VI = (к0и0 - М# + ^) + 0,5/* (ки')'0 + 0(к2) = 0,5й (ки')'0 + О (А2).
Подставим сюда из уравнения A)(Аз/H = 9оио "~ /о:
V! = 0,5Мд0»о - /о) + 0(А2).
Отсюда видно, что краевое условие
ад^ = ЬУв — 1*ь Р1 = Рх + 0»5йд0, 1^1 = ^1 + 0,5А/в C)
имеет второй порядок аппроксимации на решении и(х) задачи A).
Аналогично получается разностное краевое условие второго
порядка аппроксимации при х = 1:
— аМ'Кш„ = РгУл — ]а2, р2 = ра + 0,5йдл, ]12 = ца + 0,5Л/*. D)
Таким образом, исходной задаче A) ставится в соответствие
разностная краевая задача третьего рода B) — D), имеющая второй
порядок аппроксимации на решении исходной задачи.
2. Задача с условиями периодичности. Рассмотрим сначала
простейшую задачу: найти на отрезке 0 < х < 1 решение уравнения
и " (х) — д0и = — /Ы, д0 = сопз^ > 0, 0 < х < 1, E)
удовлетворяющее условию периодичности с периодом 1:
и(х + 1) = и(х) для любого х е @, 1). ' F)
При этом предполагается, что /Ы — периодическая функция
/(* + 1)-/(*).
Условие F) в любой точке х е @, 1) эквивалентно двум
условиям сопряжения в одной точке х = 0:
и@ + 0) - »A -О), ц'@ + 0) = и'A - 0). G)
Задача E) — F) имеет единственное решение. Для ее решения,
в силу принципа максимума, верна оценка ||и||с^ —-—•
°
Пусть д0 = 0. Тогда получим задачу
и" = -/(*), ц@+0) = иA-0), и'@ + 0) = и'A-0),
1
которая разрешима при условии ] / (х) их = 0 и имеет
единственное решение и = и(х) при условии, что
1
|и(я)<й = 0. (8)

§ 5. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 167
В самом деле, общее решение уравнения и" = — /0г) имеет вид
и(х) = Сгх + Съ- |[|/(а)йа)л = С1х+С1-|(х-0/(«)Л|
где С1 и С» — произвольные постоянные.
Условия G) дают
1 1"
о о
т. е. условиями G) функция иЫ определяется с точностью до
постоянной Сг. Требуя, чтобы выполнялось условие (8), получаем
С2 = 0, т. е. выделяем единственное решение задачи.
Напишем разностную схему, аппроксимирующую задачу E),
G). Возьмем на отрезке 0 < х < 1 равномерную с шагом к = ^/N
сетку
<оЛ = {хг = Л, I = 0, 1, ..., М
и аппроксимируем уравнение E) и условия сопряжения G).
Первое из условий G) выполнено, если у0 = ук.
*В узлах д;< = &А, * = 1, 2, ..., ^ — 1, напишем трехточечное
уравнение
У^ — ?оУ= — Ф(*)> * = &. 4 = 1,2, ...,ЛГ — 1.
Рассмотрим теперь разностные производные
%9м = ^ A - 0) ~ 0,5Ли' A - 0) + О (А2),
Их,о = в' @ + 0) + 0,5Ли* @ + 0) + 0 (А2).
Подставляя сюда и" = д0ю — / из E), получаем
";,* + °>5А (?<>" A) ~ / A - 0)) = и' A - 0) + О (А2),
и*,о ~ 0,5А (д0и @) - / @ + 0)) = и' @ + 0) + О (й2).
Отсюда видно, что уравнение
У*.о- 0,ЪНдоУо + 0,5А/ @ + 0) = у^+ 0,5кд0у„- 0,5Ь/ A - 0) (9)
аппроксимирует второе условие сопряжения и'@ + 0) ^ю'и — 0)
с точностью до величины 0(к2). Полагая затем у*+1 = у^
перепишем условие (9) в виде
УЬ.*-№" = -**' Ф^ = 0,5(/A-0) + /@ + 0)).
Таким образом, задаче E), G) мы ставим в соответствие
следующую разностную схему:
У^-:9оУ=-Ч>(х)х х=1кх 1 = 1,2,...,^ A0)

168
ГЛ. Ш. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
с условиями периодичности
Пусть теперь дано уравнение с переменными коэффициентами
(ки'У - ди = - /Ы, 0 < х < 1, A2)
причем Их), д(х) и /Ы являются периодическими функциями:
Их + 1) = Их), д(* +1) - д(*), /(ж + 1) - /(ж), A3)
непрерывными при х = 0 (я = 1), так что &A — 0) = &@ +■ 0) =*
■■ &@) и т. д. Будем предполагать, что
Л(ж) > с, > 0, д(х) > с, > 0. A4)
Требуется найти решение уравнения A2), удовлетворяющее
условию периодичности и(х+ 1) = в(#). Это условие эквивалентно тре^
бованию
и@ + 0) = иA-0), Ли'ио+о = &и'1х-1-о. A5)
Из принципа максимума следует, что задача A2) —. A5) имеет
единственное решение. Напишем сначала схему для 0 < х =*
= *Л<1:
(ЧЪ)« —4^—Ф(*). *=&» 1 = 1,2, ...,ЛГ —1,
полагая у0 = У*. Коэффициенты а, й, ф выбираются из условий
второго порядка аппроксимации (см. § 2, п. 4).
Учитывая равенства
(«*:), = (*^-о + 0,5А (/ - ди)*_0 + О (А2),
Я|+1И*,{ = (ки'I+0 — 0,5й (/ — ди){+0 + О (Л2),
можно аппроксимировать условие А1г/|г-о+о= ^»,1«-1-о со вторым
порядком следующим соотношением:
"гУх.о - 0,5А (д @) у0 - / @ + 0)) =
= «!<* +0,5* (дA- 0)^-/A -О)).
Требуя, чтобы выполнялись условия у*.и = у4, ая+1 = я^,
перепишем это соотношение в виде
(аУх)х — аУ = — Ч>(*)» х = ** = !»
где
Л - ^ = 0,5(д.@ + 0) + дA - 0)), Ф = <р* - 0,5(/@ + 0) + /A - 0)).
В результате получаем следующую периодическую разностную
схему:
(аУх)х~аУ = — Ф(*)» х = Л» * = 1, 2, ..., Л\

§ 5. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
169
с условиями
Уо = у*, У1 = У*+1, ^4 = а*+1. A7)
Для определения уи * = 1, 2, ..., #, получаем следующую
систему уравнений:
ъу{-1 - (а< + а,+1 + 4А2)у< + 0,+!^! = -^«Л1, (— 1, 2, ..., ЛГ,
-» •
с условиями периодичности у0 «■ ук, у^+1 ■■ Уь Решение этой си-^
стемы может быть найдено методом циклической прогонки .(см.
Дополнение, § 2). ч
Так как а > с{ > 0, й > с} > 0, то для задачи* A6) — A7)
справедлив принцип максимума, в силу которого
1
Это неравенство позволяет получить для погрешности % « у — и
оценку
Шс-0№,
так как ф< = 0(Нг) при * = 1, 2, ..., #. Таким образом, схема
A6) — A7) имеет второй порядок точности в С в случав
коэффициентов Их) €= СC), дЫ, /Ы е СB).
3. Монотонные схемы для уравнения общего вида. Рассмотрим
краевую задачу
Ьи = (ки'У + Нх)и' - дЫю = - /Ы, 0 < ж < 1,
A8)
ю@) = »!, иA) — а2, Их) >с1>0, \г(х)\ < с2, д > 0.
Напишем для нее разностную схему второго порядка
аппроксимации, для которой справедлив принцип максимума при любом
шаге к. Это значит (см гл. I, § 2), что схема может быть записайа
в виде
А{у^ - С<у< + Вф+1 = -Д<-1,2 , N -1, A9)
где А{> О, Я,> О, С«-Л«-В«—Л>0.
Такие схемы называют монотонными.
Оператор Ьи=(ки')' — ди заменим, как обычно, однородной
трехточечной схемой Ау = (яу-)ж — йу второго порядка
аппроксимации.
Естественная замена первой производной и'(х) центральной
разностной производной и о дает схему второго порядка
аппроксимации. Эта схема монотонна лишь при достаточно малых
шагах сетки. Формулы прогонки применимы при достаточно малом
Н, когда Н\г(х)\ <2Их). Если воспользоваться односторонними
разностными производными (правой их при г > 0 и левой и~ при
г < 0) для аппроксимации и', то подучим монотонную схему, для

G0 ГЛ- Ш- ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
которой справедлив принцип максимума при любых К Однако
она имеет первый порядок аппроксимации.
Построим монотонную схему второго порядка точности,
содержащую односторонние производные, учитывающие знак г(х).
Покажем,* что для этого достаточно написать монотонную схему с
односторонними первыми разностными производивши для
уравнения с возмущенными коэффициентами
Ей — - /, Ей = н(ки'У + га' - дю, B0)
тде и = 1/A +Я), Д = 0,5А|г 1/& —разностное число РейнольдсА.
Представим г(х) в виде суммы
г«г+ + г-, г+ = 0,5(г+|г|)>0, г- = 0,5(г-|г|)<0,
и аппроксимируем ги выражением
где Ь? = Р [г* (х{ + $к)], г± = г±/к> а Р — шаблонный
функционал, используемый для вычисления коэффициентов й и <р.
Можно, например, положить Ъ+ = г+/к, тЬг = г~/Л. В результате мы
получаем однородную схему
Лу=** (а^)в +ъ+а{+1)Ущ + ь~аУъ — аУ = — Ф»
Уо = и>и У* = Щ\ а1+» = а(х + Н), а>^>0, B1)
и = 1/A+Я), Д = 0,5|г|Л/Л.
Покажем, что схема B1) монотонна. Для этого запишем ее в виде
А{у{-{ - С{у{ +■ #,1/,+1 — <Р<» Уо в »1, У* в »*, B2)
где
4 е"Л" (*-*«■), "В|в^«.(х«+*&»+), С« = -4«+ Л|+"*
л л
Отсюда видно, что -4* > 0, Д* > 0 и Д ^ 0, так как ЬТ ^ 0, Ъ* ^ 0,
Уравнения B2) разрешимы методом прогонки при любых к и г.
Погрешность аппроксимации схемы B1)
6 аи^ — 6и + ф — (Ьи •+• /)
представим в виде суммы ф = \рA) Ч-ф'*',
ф<» = [{аи$К - йи + <р] - [(ки'У - ?и + /],
*» = [(х -1) (<ш;)я + Ь+в^+14, + Ъ-аи-} - ги'.
Для 1|>(|) имеем оценку
^ю- 0№ при йеС(,), д, /еСA>.

§ 5. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 171
Учитывая, что х
Ь+ = 7+ + 0(к% Ь~ = г- + 0(к\
кг± = г±, г+ + т— = г, г+ — г- = | г|,
а«- = ки' — 0,5/г (ки'У + О (А2),
а<+«и* = ки' + 0,5А (Аи'/Ч- 0(Аг),
получаем
Ъ+а,(+»их +Ъ~аи- = те' + 0Э5А (Ь')' ~тг" + О (А2),
так как В — 0,5й1Н/& —С.0(М.
Таким образом, монотонная схема B1) имеет второй порядок
аппроксимации:
4>-0(Лж). B3)
Если д>С!>0, то для решения задачи B1) при у0 = 1/* = 0
принцип максимума дает оценку || у ||с^ \\ Ф ||с» из которой, в си-
лу B3), следует равномерная сходимость схемы B1) со
скоростью СКА2).
Монотонной схемой B1) целесообразно пользоваться в тех
случаях, когда г(х) является быстроменяющейся функцией х
и в отдельных точках возможно нарушение условия Н< 1 (что
не сказывается существенно на точности схемы).
Можно написать монотонную схему и на неравномерной сетке.
Укажем еще один способ получения монотонной' схемы для
уравнения A8). Умножим уравнение A8) на функцию цЫ
и потребуем, чтобы
|г(ЬТ + г[ш' = (А[ш')'.
Это равенство возможно, если г|л = йц/, так что
\1 (х) = \10 ехр И г (*) <и\, 7 = г/к.
Уравнение
{\лки'У — щи = —ц/

172 гл- ш- однородные разносггныв
аппроксимируем консервативной монотонней схемой
О^х)* ~" I* *У= ~ ИФ. ? = \> (* — °»5А)» B4)
где, например а< = &<-%, й< = д«, ф, = /<.
Если отношение г = г/к велико, то ц,Ы может быть очень
большим числом. Сократим обе части разностного уравнения
-тг№+1Н+1/, (#+1 — 2/0 — я^-1/, (^ — Л-1)] — 1ед#1= — ЩЛ B4')
на |А{ = |а0 ехр I \ г(*)Л . В результате получим
неконсервативную, но монотонную схему
X (**йМ "" а#*,0 ~~~ ?** = — /*» * = 1,2, ..., ЛГ — 1, B5)
где
(*!+»/.' \ / ** ^ ' \
| г (О Л I, <ц = <цегр I — | г (*) Л I. B5')
Нетрудно убедиться прямой проверкой, что эта схема имеет
второй порядок аппроксимации, так как
1 = А; + Г| + 0(Л2), -Ц-^. = А| + 0(^).
Заменяя интегралы в B5') с точностью до 0(А2) выражениями
-сгCг{+ П+1) и -7г-Cг| + П-О соответственно, получим
монотонную схему с коэффициентами
Ь{ = <ц+1 ехр |^|- (Зп + г1+1)| и а* = а4 ехр [ — -^- (з7| + г^)],
имеющую второй порядок аппроксимации.
4. Разностные схемы для стационарного уравнения в
цилиндрической системе координат. Стационарное уравнение
диффузии или теплопроводности
ёМЛ ггас! к) — ди == — /(г, ф, г)
в цилиндрической системе координат (г, ф, г) в случае, когда
решение и = и(г) не зависит ни от я, ни от ф (имеет место
осевая симметрия), принимает вид
-Г-^(гА(г)г)-9(г)"=-/(г), 0<г<Д, B6)
д(г) > 0, 0 < с, < А(г) < с2.

\ § 5. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 173
. При г = 0 ставите^я условие ограниченности |а@I,<»>
которое эквивалентно условию*)
Пт гк (г) ^- = 0. B7)
г-*0
При г =Д ставится обычное краевое условие, например,
ц(й) = |г2. B8)
Пусть щ(г) и иг(г) — линейно независимые решения
уравнения B6), причем и4(г) ограничено при ге[0, Д.1. Тогда
справедливы свойства:
1) Если д@) и /@) конечны, то и4@) Ф 0, и[@) = 0.
9 2)^ Если д(г), /(г)бС^[0,Л1, Иг) €=С<3)[0,Д1, то производные
Мъ иъ ^13)» ^14) ограничены при 0<г<Л.
3) Второе, линейно независимое с и4(г) решение щ(г)
уравнения B6) имеет при г = 0 логарифмическую особенность.
Условия B7) и B8) выделяют единственное решение
уравнения B6). В^силу свойства 1) условие B7) можно заменить
требованием
ю'@)=0. B9)
Введем равномерную сетку а>л = {г<=1А, 1 = 0, 1, ...,N^N=3
= Н) на отрезке 0 < г < Е.
Разностную схему для уравнения B6) напишем, по аналогии
с п. 2 § 2, при помощи метода баланса
где
г, = ьк, I - 1, 2,, .., # - 1, к - Д/ЛГ,
г<±«/.в г« ± 0,5Л, м? «-• гк(х)Ли/йг.
Аппроксимируя поток т выражением м><-«/. ~ П-^аДи* —
— щ-Лк и заменяя интегралы в уравнении баланса C0)
выражениями й{щък и ф<г<& соответственно, получаем разностное
уравнение
&У\ = ~(г*-1/.«ЧГ?,| )г,{ — *И = — ф«. * = 1,2, ..., # — 1, C1)
где У-{= ^ » Уг,{ = —2—^ * коэффициенты а{, <?< и
*) См. дополнение II в книге: Тихо лов А. Н., Самарский А. А.
Уравнения математической физики.— М.: Наука, 1972.

174 гл-ш- однородные разностные схемы
<р< выбираются так, чтобы /
а, = й,-.,, + 0(А2), й, = & + 0{кг)/ч< = /, + 0(Л»). C2)
В простейшем случав
(ц = Л^.%г 4в ?<» Ф<в /«• C3)
Аппроксимируем краевое условие при г = 0. Его можно
записать как условие равенства нулю потока при г = 0: ш@) = 0.
Покажем, что разностное краевое условие
^г@)=4-^(°)^@)-^0)) <34>
имеет погрешность аппроксимации 0{Н2) на решении уравнения
B6), удовлетворяющем краевому условию B7).
В самом деле, невязка для C4) равна
V = агиг @) -А (?(°)и(°) -/(°»- (З5)
Подставии сюда
в1 = А0 + 0,5Л^ + О (А2), иг @) = и' @) + 0,5/ш» @) + О (А2),
получаем
V- (ЛиОв + 0.5А (ки')'0 - ±- (^ _ /0) + 0 (Л*>. C6)
Из уравнения B6) имеем (ки')' = ои — / —. Так как и' -*■
->- 0 при г -*- 0, то >(ки'H при г-^Ои
(А»'); = (рт - /H - (ки')'0 = -у (№ -Д. C7)
Подставляя C7) в формулу C6) и учитывая B9), получаем V =
= 0(Л2).
Разностное краевое условие C4) будем записывать в виде
д1Уг,о п. _ , . _ Л
^ !/оуо — /о» Л* ~ ~ •
Таким образом, задаче B6) — B8) поставим в соответствие
разностную схему
Лу.= — ((г — 0,5/г) ау-г\ — йу = — ф, 0 < г = УК 1,
—^ ЯоУо=— /<И Ь*= — К УN=\1>2^ C8)

8 5. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 175
Для определения у< получаем разностную краевую задачу
Ат-г - С&1 + А^%Уш = -Ри * - 1,2, ..., ЛГ -1, C9)
Л
с краевыми условиями
Уо — х,у4 + |х1э у^ = М-2, D0)
где х1 = а1Да1 + 4-9о)» ^1 = 4"/* /(а1 + 4~?°)-
Эта задача решается методом прогонки (см. § 2 гл. I),
условия устойчивости которой выполнены, так как <4<>0, С<>,4< +
+ Л<+1, 0<х4<1, х2 = 0.
Перейдем к оценке точности схемы C8). Подставляя в C8)
у = г + и, где и-— решение задачи B6)—B8), а у—решение
задачи C8), получим для погрешности ъ = у — и задачу
Л2 = -^-((г — 0,5Л) аг-)"г — йг = — г|>, 0<г = *А<1
я^г.о/А* — д020 = — V, я# = 0,
где Ф и V — погрешности аппроксимации уравнения
и краевого условия
л
ЧН = — (г*-7.я^)м — *"< + Ф* D2)
V = ацгт^къ — д0гг0 + /0. D3)
Пользуясь уравнением баланса C0), преобразуем, как
обычно, ф к виду
♦» = — ЛтЛ + *Г, !Н = ^_1/§ {<ци-л — (&иV V.) ,
.г«+«/. / Т1+Чш \
Положим г = ъ + $к и получим разложение интегралов,
входящих в формулу для ф{, по степеням Н:
П+Чг 0,5
-^ ^ Цг)гйг=-±- | /(г, + Л)(г4 + Л>А-
Ч_1/, -0,5
0,5 0,5
-0,5 -0,6

\рхк
176 гл- ш- ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ ОХЕМЫ
и, аналогично,
ГЧУ«
1С к '
так что
т. е. Нп|>*11с - 0(й2}.
Очевидно, что функция т^ = <щ. {— (ки')\^/ш = О (к2), т. е.
1КвГ1-*/Я. 41 = О ДО. D5)
Сравнивая формулы C5) и D3), находим, чтч^ = к^у. Отсюда
следует, что V = 0Ш, так как выше мы показали, что V = 0(кг).
Перейдем к оценке погрешности г = у — и. Нам понадобится
Лемма. Пусть г —решение вадачи D1), а V —решение той
же вадачи при 4^0, 2 = 1, 2, ..., #— 1, д0 = 0. Тогда млеевг
■игсго неравенство
|ж|0» тах|ч|<2|р|о. D6)
0<КЯ
Для доказательства достаточно воспользоваться леммой из
п. 8 § 2 гл. I, записав уравнения для гиг-ув форме D1).
Функция V^ находится в явном виде из условий
- = —ЧНэ 1 = 1,2, —,ЛГ— 1, Ш| = Ь^1Э Ь^о^-д/,,
+1"" ^
Аг«
м» А2
ЗД = 0э ^ | = — V, т. е. и?! = ^-V,
где ф< определяется формулой D2) при й< ■■ 0.
Суммируя уравнения шА+ч — шк — Аг^ по й — 1, 2, ..., /,
получим
* 2
1^+1 = 10! — ^кгкук, ц>д = ~ А-у. D7)
Подставим в D7) ш^+1 = Ьж(уя-1 — ^)/А:
V* = V
— + -5Г- 2 Лг*Ч>*. D8>
Просуммируем D8) по / = *, 1+1, ..., N — 1 и учтем, что р* = 0:
* - - ■* 2-т^ + 2 т^-'2*»•**• <49>

8 б. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 177
1 *
Подставляя в D9) ф* = —т|г>л + ^л» находим
^+1 [ИИ | а;+1 • а;+1гя-1/>
"<-^(|4+и + 1п11) + т-|^*1аг
так как тц+х = П+»/.г1^+1/«» ^ А = г^ < г^у,. Далее имеем
^+1
V
8 г;+1/,а;+1
* Гц с* 4с, * ■
8 гЧсг
В результате .приходим к следующему неравенству:
Ис<^+;г2ЧМ + М) + гИ*1* E0>
1 Х 1=0 *
Подставляя в E0) оценки
V - О(А), |'{,| - 0(й2), ЩПС = 0(Л«),
убеждаемся в том, что 1Ы1С = 0(й2), и, следовательно,
Ыс^гнуНс^мл2,
т. е. схема C8) ш*еег второй порядок точности в С.
Рассмотрим схему второго типа— «схему на потоковой сетке»-
Разобьем отрезок [0, В] на N частей, введя узлы (потоковые
точки)
го = 0, г4 =» 0,5А, га = 1,5А, ..., г< = (* — 0,5)А, ...,
г*-4 - Ш - 1,5)Л, г* - (ЛГ - 0,5)А = Д.
Пусть у< = у(г<) — значения искомой сеточной функции в этих
узлах.
Для получения разностной схемы воспользуемся уравнением
баланса для B6). Рассматривая уравнение баланса (аналог C0))
для интервала г*-4 — г<_«/, < г < г<+«/, = г<, получаем
=Г (п-1а|-!^)м - йт + ф (п) = 0, I = 2,3, ..., N - 1, E1)
где г* = г/&, г<=A —0,5)*А, а, й, ф выбираются по аналогии с
C2)—C3), так что в простейшем случае
а< = А(г<), ф< = /(г<), й< = д(г<). E2)
*^ А. А. Самарский

478 гл* ш- однородные разностные схемы
Лз уравнения баланса для интервала 0 < г < г4 в к
н
Х^ + ±иНг)-д{г)и(г))г<1г=0, и>(г)=гк(г)и'(г)г
Г, Л Г,Л*/,
1 1 9
м условия а?о = 0 следует разностное уравнение при г=*Г1 = 0,5й:
паф, !/(?!&) — Лф + ф! = 0, E3)
где аи йи <р1 определяется по формулам E2).
При г = Я ставится обычное условие
у*в |х.. . E4)
3 результате получаем разностное уравнение E1) с краевыми
условиями E3) и E4).
Пусть у — у(г) — решение этой задачи. Для погрешности
л = у — и получим следующую задачу:
•=- (П-10^1^; ,)г , ~ Й{2{ + ф (Г|) = 0,:
Г|=(* — 0,5)А, «= 2,3, .. .,ЛГ— 1,
** = 0,
гЛ^дДг^) — ^ + ^ = 0, E5)
аде ф — погрешность аппроксимации, равная
- " 1 — -
^1 = Ф (Г{) = ^ (г^а^И- |)М — <*1«Ч + Фй,
^ = 2,3, ...,ЛГ—1, -
^ ~ ^ а^г !— йхих + ф1э причем И| « и (п) = и<-1/2.
Отсюда и из уравнения баланса для интервала г<-1^г<г<
♦следует, что
♦|=8^(г1-1Л|)г+**1
% = «*-&?* ~ Ь-хЩ-ь * = 2,3, ..., ЛГ, Т11 = Оу
Ф* = ф| — ф1 — (* — й)иг+4- ] гд(г;(и(г) —и(гс))(*г,
Г'*Ч-1
1 Г ,. ^ , •, 1
тде ф| =
Г< 4-1 * гг-1

§ 5. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ 179,
Вычисления дают
♦?=А \И = 0(к*).
Для решения задачи E5) с правой частью
справедлива оценка того же типа, что и для задачи D1). И&
этой оценки следует
11211с = 11у-а11с = 0(й2),
т. е. схема E1), E3), E4) имеет второй порядок точности,
если Их), дЫ,/и)еСB)Ю, 1].
5. Разностные схемы для уравнения в- сферической системе
координат. Если решение уравнения сИу (к §гай и) — дю =»
■=—/(г, 6, ф) в сферической системе координат обладает
центральной симметрией, т. е. не зависит от 6 и <р, то для функции^
и = и(г) мы получаем уравнение
7*1{^г)%)-?(г).и=-Пг), 0<г<Е, (Щ
О < сг < к (г) < с2, д (г) > 0.
При г = 0 ставится условие
эквивалентное условию ограниченности и(г) при г=0, а при
г = /?, например, условие
и(Л) = ц2. E8)
Ограниченное решение задачи E6)—E8) обладает теми же.
свойствами, что и в случае осевой симметрии (т. е. в случав,
задачи B6)—B8)).
На отрезке 0 < г < В введем равномерную сетку ©л — {г< = Иг,
1 = 0, 1, ..., #, &# = Д}. Схему напишем по аналогии с C1Х
в виде
Л#*= ^ (г?-1/2а#м)г 1 — <*&1 = ~" Фь * = 1,2, ..., ЛГ — 1. E9),
При г = 0 напишем разностное краевое условие
адг. #/Л* - д0уо = - /о, А* = Л/6, F0Х.
а при I = N положим
Ун — и-2. F1)>
12*

130 гл* ш* однородные разностныв схемы
Эти уравнения записываются в виде C9) и решаются методом
прогонки. Отличив от цилиндрического случая появляется при
выборе ф и Л. Чтобы найти формулы для <р и й, рассмотрим
невязку
1|Ч = Ли» + ф{ = — [г^цаць?^ I — а{Щ + ф|. F2)
Напишем на отрезке п-ч% ^ г < г^% уравнение баланса
я вычтем его из равенства F2):
% = тям + %*> Я! = г?-7.ч«. ^ = ад*г-4 — (Ли')*-»/..
где
. гЧ-0.» / р1+0,5 \
♦?= 44-^5 | /Л&--(*щ-^з | виЛЬ-1. F3)
Г*г1-0.» V Г*г«-0,* /
Проводя замену переменной интегрирования г = г< + $к, найдем
гИ-0,6 0,5 0.5
^ [ /Ли-= -^5 | /(г4+*Л)(г«+ **)■* = |/(г* + Л)Л +
Г* Г{10>5 Г* -0,5 -0.5
0,5 0,5
+ Г I «/(»Ч + Л)Л + ^ ]* /(г, + Л)А&=/« + 0(Л«) +
-0,5 Г* -0.5
Аналогичное выражение напишем для второго интеграла,
заменив / на ди. Отсюда и из формулы F3) видно, что
1>? = ^(ди-/); + 0(П |п|>*|с = 0(Л«),
•если ф< и й, определить по формулам
яли по формулам, отличающимся от этих на величину 0(кг).

§ 6. РАЗНОСТНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА 181
По аналогии с предыдущим цунктом убеждаемся в том, что
невязка в краевом условии равна
V = а^г, о/к* — ?0»о + /о = О(к). F5)
Для погрешности ъ = у — и имеем задачу
Ля = — г|), г е= 0Л, а&т% 0/к* — д020 = — V, 2* — 0. F6)
Оценка решения этой задачи проводится по аналогии с
предыдущим пунктом; здесь будем иметь Ъь = гД.1/аа|. В результате
убеждаемся в том, что схема E9)—F1) сходится равномерно со
скоростью 0(к2У:
Ь\\3=\\у-и\\с = 0(к2).
§ 6. Разностная функция Грина
1. Разностная функция Грина. Для оценки решения краевой
задачи для разностного уравнения второго порядка можно
использовать представление этого решения через функцию Грина.
Поясним существо дела на примере краевой задачи для
дифференциального уравнения
Ьи = ъ{Ъ(х)?§ — Ь(х)и = —/(*)> 0<*<1,
и@) = 0, иA) = 0, к(х)^с1>01 д(*)>0. A)
Решение этой задачи, как известно, может быть представлено
в интегральной форме
1
и(х) = $в(х,Ъ)НЪ)<%, B)
о
где С(#, |) — функция источника или функция Грина. Функция
<2) удовлетворяет уравнению A) и краевым условиям ц@)в=0,
иA) = 0, если функция Грина С (я, |) как функция х при
фиксированном аргументе | удовлетворяет условиям
ЬхС(х,I) = ^(к(х)«°^Щ - 9(хH(х,1) = 0,
хФЪ, 0<*<1, С @,1) = 0A,1) = 0, C)
[С] = СA+0Л)-О(г-0Л) = 0, [й^) = -1приа; = 5.
Из этого определения следует неотрицательность и симметрия
функции Грина:
си, |)>о, ви,б)-бE1«).
Выражение для функции С(#, |) может быть получено в явном

^32 гл- ш- ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
при я<;|,
«A) /4Ч
виде:
где а(х) и 0Ы — решения следующих задач Коши:
Ьсс = 0, 0<я<1, а@) = 0, МО)а'(О) = 1,
E)
Ьр = 0, 0<я<1, рA)—0, Ш)[ГA)--1.
Функции а(#) и р.(я) линейно независимы, так как
определитель Вронского Д(#)=И=0, причем аЫ >0 при #>0, $(х)>0
при 0 < х < 1.
Перейдем теперь к разностному уравнению второго порядка.
В § 2 гл. I было показано, что любое разностное уравнение
второго порядка А{у{-1 — С{у{ + В{у{+1 = — Р{ может быть
преобразовано к дивергентному виду
о*+1(г/<+1 - уд - а,(у, - у<-1) - д,{у1 = - <р*.
Заменяя здесь <р< на А2ср<, й{ на А2й<, перепишем его в более
удобный для сравнения с дифференциальным уравнением форме
* —1,2 ЛГ —1,
или в безындексной форме
АУ = (аУх)х - *У = — Ф (*)» * = * V
а(х)>с1>0, .й(х)>0, * = 1,2, ...,#-1. • '
Пусть при 1 = 0 (#* = 0) и * = # (#=1) заданы краевые
условия первого рода
»|-0,»я-0. G)
Введем, как обычно, (у, V) = 2 */^&» (#> *>] = 2 У^гА.
Будем искать решение задачи F) в виде
ЯГ-1
У1 = 2 вкЧ>кк = (С*, <рЛ). (8)
Л=1
Потребуем, чтобы это выражение удовлетворяло уравнению
Ау{ = —<р,. Из равенства Лу* = 2 Л<*)б^<рлА видно, что уравне-
Л=1
ние F) удовлетворяется только при Л(*,Сг,А = — 6«/й, где -6* —

8 в. РАЗНОСТНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА 133
Символ Кронекера:
|1, 1 = к,
б" = @, 1фк.
Условия у о = уК = 0, очевидно,' выполнены при (?<* « 6?** « 0.
Таким образом, формула (8) дает решение задачи F)—G),
если О* = С(хь хк) как функция I при фиксировавшим к = 1; 2,...
..., # — 1 удовлетворяет условиям
А<4)Сл =(<и (б«);,|)«,|-*^л=- ««/*. *, * = 1,2, ..., ЛГ -1,
Покажем, что так определенная функция Грина существует,
и найдем для нее явное представление по аналогии с D). Введем
сначала функции а<, р< как решения задач Коши
Лсц = 0,1 = 1,2, ..., N — 1, а0 ,= 0, агах$0 = ах д ° = 1,
6 -в <10>
Л& = 0,1 = 1,2, ..., N - 1, р* =0, а^ртд/^ ^ =-1.
Покажем, что а<, ($< обладают следующими свойствами:
1) а<—монотонно возрастающая, р< —монотонно убывающая
положительные функции:
а<>0 при *=*1, 2, ..., ЛГ, <р,>0 при *=»0, 1, ..., #-1.
В самом деле, из условий A0) следует
а\<ъ- , = 1+2 Ъака>ъ <*>! = к/аг>0.
Если а* > 0 при к = 1, 2, ..., I — 1, то а^ {>0 и аг>о^х>0.
Аналогично убеждаемся, что Р~^ < 0,0 < р* < р*_1#
2) а* = р0 или аA) = р@). Рассмотрим вторую формулу Грина
(а, ЛР) = (Р, Ла) + а* (ар^ - ра-)„ - ах (арж - ражH.
Отсюда, в силу условий A0), сразу следует, что а* = р0.
3) Определитель Л{ = а\ (а-|Р< — а^ 4) = сопз* = ад > 0 при
0<*<#. Применим вторую формулу Грина в области 0^#*=;
= ъН ^ х\ = х:
V*
0=2 (аЛР - РЛа>^ = % (ак - Раг)*в -
- *1 («Р« - Ра*)о = - А (*<0) + Р @) а^ - - А (*<,) + ро.
Так как я*0=#—произвольный узел сетки ©Л, то ДЫ = сопз!; =
-р@)-аA).

134 гл- ш* однородные разностные схемы
Покажем теперь, что функция Грина может быть
представлена в виде
-^ ПРИ 1</с,
I аN
в*яц A1)
-^ ПРИ 1>й.
Отсюда видно, что С0*в &** = 0.
Надо убедиться в том, что функция, определяемая
формулами A1), есть решение уравнения Л(<)Сгл=» — 6Л/А. Если 1*Фк\ то
Л^СУл^О, так как Ла^О, Лр< = 0. Рассмотрим Л(<N?Л при 1==й:
(Л(|)б|*){=* =
= —г; [«а+1 (а*Рм-1 — <**Рл) — <*л (алрл—а*-^)] — йлб^. A2)
Из условия Д*+1 — й*+1(аЛ+|^ — ак^к^)/к = а* найдем
ак+1<хк$к+1 = ак+{ак+1$к — ках и подставим это выражение в
правую часть формулы A2). В результате получим
(Любя)» = ^(оа;)я л -1 - -±-* ак = ^Лал -1 = - 1
что и требовалось.
Из формулы A1) видно, что (гЛ>0 при *, й^О, N1 (?<* = &«
и, кроме того, 6* как функция к при любом фиксированном
г = 1, 2, ..., N — 1 удовлетворяет условиям
Л(к)СЛ = — б<*/й, С,0 = С<* = 0.
Аналогично строится функция Грина в случае краевых
условий у0 = К4У1 И^ = НаУлг-1.
Рассмотрим частный случай й(х) в 0. Тогда функции а =
о о
= аЫ, 0 — (Кя) находятся в явном виде из уравнений A0):
сц = 2й/а„ Р|= 2 Л/я*, A3>
«=1 в=г+1
и функция Грина задачи
(аУ$х = — ф. " * ^ юЛ, 1/0 = 0, у^=0 A4)
имеет вид
&** =
,=1 * *=*+! 7 «=1 *
* ь * */» , A5>
Для наилучшей схемы A5), A7) из § 2 0{к совпадает на сол с
функцией Грина для дифференциального уравнения.

§ в. РАЗНОСТНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА 135
2. Априорные оценки. Явное представление (8) решения
задачи (в)—G) при помощи функции Грина можно использовать
для получения априорных оценок решения через правую часть.
Из (8) видно, что
1Ы<(еЛ,|<рЛ|)= 2с*|<рЛ|л, A6)
и равномерная оценка у< будет получена, если оценить тахСг<*.
*•*
Представим <р< в виде.
1-1
ф = Л*> % — 2 Лфв, гц = 0, 1= 2,3,.. ., N. A7)
«=1
и подставим в формулу (8). Пользуясь формулой суммирования
по частям, получим
у(х) = (С(х, |), щ) = -@1(х, I), <пф], х, |е=©А. A8)
Здесь надо оценить |&|(#, 6)|.
Лемма. Для функции Грина С{х, ^) задачи F)—G)
справедливы равномерные оценки
С(хЖИс19 A9)
- |б-(х,Б)| <2/с19 \01(х9Щ<2/ег B0)
для всех х, | ^ ©д.
Доказательство. 1. В § 2 гл. I была получена для
решения задачи F)—G) оценка
|»|о< 2 г-21Агф»1<г221*ч.|. " B1)
Подставляя в B1) вместо Ц1 функцию С{к1 а вместо ф, функцию
6§к/ку получим
С* °г & сг с1
где
г
8{к = 2 6«а» 8{к = 0 при I < &, 5<л = 1 при * ^ к.
«=1
2. Предположим сначала, что й(х) я0 и функция Грина
О = 6?0(я, ^) определяется согласно A5), В этом случае
(°
»«-(«.©-
Ч(«)М6> ...
при ж<?,
оA)
при а; > 5-
<*F)М*>
аA)

186
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
ТО
Так как
«Ь-зН? ^^7' "®<«Ю и Р«)<аA),
1ей(«.е|<^ B2)
Аналогично находим |^в|(ж»6)|.^^"-
Пусть г>(х, |)«Сг^(х9 ^) — С(х, |). Из уравнений для С0иб
следует
Л^Ог, &) - -Л*)б.(«, ^), *«), Б) - *A, 5> - О-
Возьмем левую разностную производную по | от обеих -частей
этого уравнения. Тогда для и>(х, |) = 1>| получим
Лхш (х, I) = (а (х)и>х (х, %))х — й (х) ю (х, I) = — а (х) &о1 (я, |),
ш@,6) = 0, шA,|) = 0.
В силу леммы из гл. I, § 2 имеем
тах|»(х,|)|<тах|С,(*,*)|< I. B3)
Учитывая оценки B2) и B3), из неравенства
|в|(*,1)|<|вв|(х,5)| + |ю(**01
получаем искомую оценку B0).
Теорема. Для решения задачи F)—G) имеют место оценки
({N-1 |\ N-1 \И-1
I 1=1 I/ 1 {=1 | «=г
(I * 1\ ^"Х I *
I •=! I/ 1 {=1 |в=1
B4)
B5)
Если фЫ имеет вид Ф = т)«+Ф*> то &ля решения задачи F)—G)
выполняется оценка
№1с<г{(Ш1] + A,Ы1},
B6)
<-1
30* Щ = 2 *фА, * = 2, 3, . . . , ЛГ, (Хх = 0.
Доказательство.-Положим ф = г\х и воспользуемся
формулой A8). В силу леммы получим
И<*I<(|<4<*.»|. |Т1E)|]<^A,|Т1E)|].
B7)

§ 7. СХЕМЫ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ 187
Функция г)(х) определяется из условия т)х = ф с точностью до
. произвольной постоянной. Решение разностного уравнения
ть+1 ~ Л*= ^Ф<
можно представить в одной из форм:
N-1 N-1
ц{ = цл -— 2 йф« = — 2 ^Ф«» если положить Т1# = О,
г I
Т^+1 = Т)! + 2 ^Ф* == 2 ^ф*> еслИ ПОЛОЖИТЬ % = 0.
Подставляя затем эти выражения для Г1< в правую часть
неравенства B7), получаем оценки B4) -и B5).
Для доказательства неравенства B6) достаточно положить
Ф* = М«, так что ф = (т] + ц)*, и воспользоваться предыдущими
рассуждениями.
3 аих е ч а н и е. Из формулы A6) следует оценка
|у1с<^A.1фО<^1фК^|Ф1с.
где 11фН = У(ф, ф). Нетрудно убедиться в том, что [2^фл|^
<A,|ф|)<|фК1ф|1с |й=1 ™
Пользуясь оценкой
1в5(*.8)|о<|[.
можно получить априорную оценку в С для раэиостной
производной решения краевой задачи F)—G). В самом деле,
|»г| = |(бг(*.В. ф©)К^(*.|ф|).
так что |уг|с< —A, |ф|).
§ 7. Схемы повышенного порядка точности
1. Точная схема. Для уравнения A) из § 1 можно построить
однородную консервативную трехточечную схему, являющуюся
точной, так что решение разностной задачи у< совпадает в
узлах любой оетаи оал с точным решением и = и(х) задачи A)
из § 1:
у, = и(*|) для &, ?, /е^<°)[0, 1].
Для удобства дальнейшего изложения перепишем задачу A)
из § 1 в виде
^Л»-а(рЬЕ)-в(*)»--/(*). °<'<и A)
и @) = «!, и A) = и2, р (х) = АГ1 (х), 0<р(х)< Иси д (х) > 0.

188 гл- ш- однородные разностные схемы
Отметим прежде всего, что наилучшая схема A4)—A5) из
§ 2 при д = / = 0 является точной. В самом деле, решение
задачи A) при д = /^0
м(*)= м1 + с|р(*)Л1 <? = (и« —и,)! |р(*)л) . B)
Отсюда видно, что
с С с
и; 1 = у 1 Р @ й* =* ~, «ги- . = с,
«1-1 "*
где а{ = I -^ \ рA)<И1 и, следовательно, функция B) удовлет-
\ *г-1 в /
воряет уравнению (яи^]х = 0.
Обратимся к уравнению (I). Пусть ©л — равномерная сетка.
Основная идея получения тодаой схемы состоит в том, что
решение и = и(х) уравнения второго порядка A) в любой
внутренней точке (и, в частности, при х = хд интервала (х<-4, х<+1)
выражается через значения ю<-4, ю<+1 и правую часть /(я).
В самом деле, и(х) можно представить в виде
и (х) = Ар{ (х) + Вр\ (х) + и\ (х), **_! < х < х{+и C)
где А^ и В{ — числа, *4 (х) и р2 (х) — линейно независимые
решения однородного уравнения 1/р'9)и = 0 (шаблонные функции),
а 14 (х)—частное решение неоднородного уравнения A) при
однородных условиях:
1}*>%1 = /(я), х^г <х<*т, VI(х{+г) = *4(х^г) = 0. D)
Определим шаблонные функции 1>1 (я), *4 (*) как решения
задач Коши:
ЬМА = 0, хЬ1 < х < *ц.ь\4 (««-О = 0, ^^ (*{)' (ач-1) - 1, E)
F)
1}*>%\ = 0,х^г <х< х{+ъ 14(*и-1) = 0,^—)A4)'(«ч-О = -1.
Полагая в C) х = х<-4 и я = #<+1, найдем
^-^.д,-^». G)

§ 7. СХЕМЫ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ 139
Шаблонные функции обладают следующими свойствами (ср.
со стр. 183):
1) р1 (х) > 0 и монотонно возрастает при х^г <х<Х{+и
у2 (#) > 0 и монотонно убывает при д?<_1 < # < #<+1;
2) имеет место равенство
V^1(x^+1) = V^2(x^-1); (8)
3) справедливо соотношение
ч ч+г
V^(x^+1) = V^1(x^) + V^2(x^) + V^(x^) ] 1;1д(а:)Лг+у{(^) | *4д(*)<&;
(9>
4) и, наконец,
Йокажем эти свойства.
Свойство 1) непосредственно следует из E) и F).
2) Учитывая E) и F), имеем (при Ь=*Ь{р>ч))
Щ+1
о=* \ {р[^\ — ^2^1) ах =
= И| D)' - .4 } «)') ^ - - ^ <*и> + «4 <*<->>-
3) Напишем формулу Грина на отрезке [х{-.и #<]:
ч
*1-1
"г "г
и подставим сюда
*1
^М)'(*0в*+ ] д (*) *>1 (*)<**>
*{_!
**+1
4 С
4) Учитывая, что 1>1+1 (х) удовлетворяет условиям
^.«4+1^0, ^ <*<«!+,, 1>1+1(*г) = 0, 1
(Ц+1
р Bа?
\х=Х1 *

190 ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
получаем
*г+1
0=| (и^Ьи* - у\^г) их =
н
= [*4+1} Ш - А1 (,1+1)'] С+1 = - *4+1 («ы + «4 «О
Функцию. 1>8 (ж) можно представить в виде
VI (х) = ] С (х, I) / (?) '&, 2: е [Х1-1, «Ц.1],
(И)
*{-1
где С(х, %) — функция Грина задачи D) Сем. A1) из'§ 6), равная
<?(*,!) =
(*Н1)
; *«-1<6<*.
, я<$<а:1+1.
A2)
I »1(»*н)
Подставим выражение A2) в A1) и положим х = х(:
[XI «4+1 1
Используя G), (9) и A3), из C) получим
A3)
A4)
где
«1 «1+1
A5)
Введем теперь в точке х = ж< местную систему координат,
полагая х = х< + $й, $ = (я — #<)/А. Тогда отрезок [я*-!, х,+1]
преобразуется в отрезок (шаблон) — 1<*<а1, точке 5 = 0 будет
соответствовать узел х — Хи Положим V\{x)=V^(x^+ зк)=ка1(8,кI:
V^{x) г= 1>ъ{х\ + зк) = АргE, к), — 1 < 5< 1, у2(ач) = ка% и, в силу
<10), V^г (#0 =±ка4+г. Шаблонные функции а'(з, к) и (**'($, к),

§ 7. СХЕМЫ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ , ДО|
очевидно, удовлетворяют условиям
а (- 1, А) = 0, о! (-1, к) = р (-1), A6>
Гр^О, -1<*<1,рA,Л) = 0, Р'A,А)=-рA), .
где р(8) =р(х4 + 8Ю, дЫ = д(х{+8к), и зависят только от
значений дЫ, рЫ (рЫ, д(х)) на отрезке -1<К1 (на отрезке
ж<_1^:г<:г<+1). Опуская в A4) индекс г, получаем для у(х) —
= и(х), х е ©А, однородную консервативную схему
(т^)я~^ = "~(Р' ЖЕИА' УФ)=Щ> УA) = ^2, A7>
где
а (х) = а (О, А) = А [р (х + 8к), д (х +^ 8к)],
• 1
*{х)=^ 1а (8»А) 9 {х+$н) а$+^Ат) Iр (8«н) д {х+$}1) *•A8>
-1 О
О - 1
-1 О
Коэффициенты йЫ, <р(я) вычисляются по одной и той же
формуле:
<рЫ — Р[р(х + 8к), д(х + 8к); /(я + $й)],
<1(х)=Р[р(х + 8к), д(х + 8к); д(х + 8к)].
Шаблонные функционалы заданы в классе
кусочно-непрерывных функций: А[р(8), д(8)] задан для р($), д($)^#@)[—1, 01 г
Р[р(8\ д(8); /(*)] - для р(8), дЫ, /(«)е^[-1, 1].
Из A7), A8) видно, .что точная схема не принадлежит
семейству схем A6)—A7) из § 2, у которых шаблонные
функционалы А[р(8)] и Р[?(8)\ зависят только от одной функции.
В случае уравнения A) с постоянными коэффициентами
р{х) = р0 = сопз1 и д(х) = д0 «=» сопз1 Шаблонные функции а($, к)т
р($, А) находятся в явном виде:
, ,ч ей(иA + *)Л) а/ ,ч- зЬ (хХ-1 — »)Л) _ .,/"
сф, А) = р0 ^ ;, Р($, А) = р0 ^ ;, х = У>0?о*
Для коэффициентов а(я) и Л(х) получаем ^постоянные
значения

492 ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХКМЫ
2. Схемы любого порядка точности. Исходя из выражения для
^коэффициентов точной схемы, нетрудно построить схему любого
порядка точности.
Из A6) видно, что а($, к) и р($, к) являются аналитическими
функциями параметра кг и поэтому разлагаются в ряды
а (*, к) = 2 ак (в) к2\ р E, к) = 2 Ра 00 к2\ A9)
тде аАЫ и рЛЫ определяются по рекуррентным формулам
М*)= | Р@( I а^1(Х)д(Х)л)л, &>0, о0(в) = } р(«)Л,
Р*(«) = 1р(о[1р*-1(Х)д(Х)л1л1 *>о, р0(*) =$?(*)Л.
Если в A9) взять конечное число членов
т т
а(т) (*, Ц = 2 ак {в) й2*, Р(т) (», к) = 2 Р* (*) **
Ь=0 Ь=0
и вычислить по формулам A8) коэффициенты а(т), й(т), ф(т),
заменяя в этих формулах аи р полиномами а(т) и (*(т), то мы
получим схему (называемую усеченной схемой ранга тI
которая имеет точность 0(к2т+2) ъ классе кусочно-непрерывных
функций АЫ, ^/Ыбрт [о, 1].
При т = 0 получаем схему нулевого ранга. Она имеет
точность 0(кг) для А:, д, /е@@> и отличается от наилучшей схемы
A4)—A5) из § 2 выражениями для й и ф:
*<•>
.<*«» = й+ (&<*«,)*. Ф@) = Ф + (Аф*)*,
о < о в
-1 -0,5 -1 -0,6
Усеченные схемы замечательны тем, что они позволяют
получить любой порядок точности для произвольных
кусочно-непрерывных функций Их), ц{х) и ./(я).
Точная схема и усеченные схемы могут быть получены (теми
же методами) на произвольной неравномерной сетке юл.
Практическое использование усеченных схем в случае
переменных коэффициентов уравнения A) требует вычисления
многократных интегралов на каждом интервале сетки. Заменяя эти

§ 8. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 103
интегралы конечными суммами, можно получить весьма
простые схемы 0(Нк) и 0(Ав), коэффициенты которых выражаются
через значения к, д и / в отдельных точках на каждом отрезке
[яг-1, ж*+1]. Эти схемы сохраняют свой порядок точности и в
случае разрывных А, #, / на сетках - &>*(&), когда точки разрыва
являются узлами сетки а)Л(Ю.
Точную и усеченную схемы можно использовать в качестве
эталонных схем для исследования точности схем A6)—A7) из
§ 2. Это позволяет снизить требования гладкости к, д, /, которые
использовались при оценке порядка точности схем A6)—A7)
ш § 2.
§ 8. Методы построения разностных схем
1. Общие замечания. Из предыдущего ясно, что разностные
схемы должны отражать в пространстве сеточных функций
основные свойства дифференциальных уравнений такие, как
самосопряженность, знакоопределенность оператора, выполнение
определенных априорных оценок (например, соблюдение принципа
максимума) и др. Кроме того (и прежде всего), схема должна
удовлетворять требованиям разрешимости и устойчивости,
аппроксимации и, следовательно, точности определенного порядка,
и, наконец, вычислительный алгоритм должен быть
экономичным. Экономичность зависит не только от схемы, но и от выбора
способа решения разностных уравнений и от выбора сетки,
которая, вообще говоря, должна быть неравномерной и учитывать
поведение решения.
Получение схем заданного качества является важнейшей
задачей теории.
С некоторыми способами построения разностных
аппроксимаций для дифференциальных уравнений мы уже познакомились.
Простейший и, так сказать, «естественный» способ состоит
в выборе шаблона и задании на этом шаблоне разностного
уравнения с неопределенными коэффициентами, которые могут
зависеть от узла сетки и от шага сетки. Требования разрешимости
и аппроксимации приводят к ограничениям на произвол в
выборе коэффициентов, однако эти ограничения слабы, и мы
получаем бесчисленное множество (например, многопараметрическое
семейство) схем. Далее можно требовать однородности,
консервативности • схем и последовательно сужать класс допустимых
схем.
По существу этот путь продемонстрирован в § 1—3. В
настоящее время получил распространение ряд методов получения
разностных схем заданного качества:
1) интегро-интерполяционный метод (см. § 2, п. 2);
2) вариационно-разностные методы (методы Ритца и
Бубнова — Галеркина) и метод конечных элементов;
13 а. а. Самарский

194 гл* га- однородные разностные схемы
3) метод сумматорного тождества;
4) метод аппроксимации вариационного функционала.
2. Интегро-ннтерполяционный метод (ИИМ). В § 2 мы уже
рассматривали ИИМ, однако иллюстрировали его воэможности
недостаточно полно. Здесь мы остановимся на других вариантах
его применения.
Пусть дана задача
(/шТ-дЫи = -/(*), 0<*<1, A)
Ли/— со* = —11|, х=* О, — ки' — аги = —ц,2, я = 1, B)
О < с4 < Мя) < с2, о4^0, о2^0, ?(я)^0.
Введем равномерную сетку на отрезке 0 < х < 1: .
юЛ = {^ = 1Й, 1 = 0, 1,2, ..., #, Л#=0.
Проинтегрируем уравнение A) на отрезке я*<#<а:<+1:
щ+1 — Щ = ] (ди — /) йя = Ф|+ь и? = &м'. C)
Поток —и? здесь, в отличие от § 2, берется в том же узле я<,
что и искомая функция. Поэтому вместо и;<+./а мы возьмем
аппроксимацию (и>{+1 + мО/2, полагая
0,5 (щ+1 + щ) ж Л1+1У->4+1, D).
где а<+1 — некоторый функционал от Их) на отрезке я<<#<#,+1
такой, что а{=>к(х{-0>ь) + О(к2).
После исключения м?< из C) и D) найдем
Вычитая отсюда
И?г « Дг^. + у Фг
и учитывая C), получаем
(Ч)м * тт11 = а I («»- » л. E)
Для аппроксимации интеграла, стоящего справа, можно
использовать разные квадратурные формулы, например,
Х1+1

§ 8. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 495
ИЛИ
*г+1
5 ]* (№-/)&«х((?м--^-1 + 2(дм-/)| + (№-/)|+1) =
2Л
Н-1
н2
= (Я" ~ /)г + -4 (^ — /);х,г (формула трапеций).
В результате получим две схемы точности 0(к2):
(ау-)х-ду = -1, F)
Для аппроксимации краевого условия, например при # = 0,
возьмем C) при I = 0:
н
и>1 ~ и\> = .»(9^ ~ /)Лх*
о
и подставим сюда
л
о
Л
так что ахих^ — (охщ — ц,х) « у \ (ди — /) йа\ После замены
о
л
} (9й — /)<&« (ди — /HА
о
получим для у{ краевое условие с погрешностью аппроксимации
0(Нг) прия = 0:
а1Ух,о = оДо ~ \1и о4 = а4 + 0,5&д0, ^ в И*! + 0,5й/0. (8)
Аналогично запишется разностное краевое условие третьего
рода B) при х = 1.
До сих пор мы рассматривали варианты ИИМ, основанные
на использовании уравнения баланса (метод баланса). Перейдем
теперь ко второму способу построения однородных разностных
схем при помощи ИИМ, основанному на двухкратном
интегрировании уравнения A).
Проинтегрируем уравнение A) от x^ до х:
я
и>(х) — щ=] (ди — /)Ах. (9)
13*

196 ГД. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Затем интегрируем это тождество по х от ,#, до %( и от х«-а
ДО ХХ\
*г+1 *г+1 / х \
] ю (х) их — щк = ] их I ] (ди — /) «В 1, A0)
] IV (х) их — и^й &= ] их М (ди —* /) Л I. (И)
«1-1 * *г-1 \*г /
Меняя порядок интегрирования, преобразуем
хг+1 /ас х хг+1
| ЛрП(ди-/)*)== \ (*«+1-*)(ди-/)Л,
"* / х \ «I
| Лг М (ди — /) Л1 = — | (* — х^х) (ди — /) Л.
«4-1 1*4 / х*-1
На каждом из отрезков Гд?«-1, #<] и [#,, #,+1] функцию и(я)
линейно интерполируем:
и (х) « щ + (х —- XI) их%\ при 2{^2^2{+ь
и (х) жщ + (х — хд и- { при х _х ^ # <! х^
после чего вычисляем интегралы
^ юйх=: ^ ки'д,хжих%\ ] к(х)йху ^ г» их ж и-{ ] ^(^Аг,
«г *г
— ] дм (* — ^г-х) Л ;
«г
— щ ] ?@(* —«4-1)Л + и5>4 | д@Ф —О^-^-ОЛ.
«1-1
] (^+1 — I) ди ЗХ'
■4+1
« ^ 1 9 @ (^+1 — *) & + и*Л } 9. @ (^+1 — *)(* — *0*•
Х| х*
Подставляя эти выражения в тождества A0) и A1), вычитая из
«г *г Ч .*г-1 *г-1
«1-1
«I
»«-1 *г-1
«1+1
«1
«1+1 «1+1

§ 8. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 197
первого тождества второе, приходим к разностной схеме
а1==т I *(*)*-х \ д@(*1-*)('-^1)л, A2)
*г-1 *г-1
| (*-*с_1)д(*)Л+ | (ач+1-*)д(«)Л
Правая часть <р< выражается по той же формуле, что и B<,
с заменой ^(^) на /(*).
Формулы для в{ и с?< можно записать в виде
о о
а{ = ] А; (ач + $й) <& + к2 ] 5 A + $) 0. (х1 + *к) Л,
11 A3)
О 1
^* = ] A + 5) 9 0е* +5^) <& + ] (* "~ 5) 9 (*Ч + 5^) ^5«
-1 •
Если Лид — постоянные, то
А2
а{ = А: — т.д, й4 = д. A3')
В дальнейшем мы убедимся в том, что схема A2) совпадает
со схемой, получаемой вариационно-разностными методами
(методом конечных элементов).
ИИМ удобен для получения разностных схем для задач с
сосредоточенными факторами. Пусть, например, в точке х=*%
сосредоточен источник тепла мощности <?, так что решение
задачи A)—B) удовлетворяет условию
Мв0' [Лё] = -^ Щи ^1 A4)
Пусть Б = *п + ей, 0<6<1, т. е. хш<1<хп+и п>0.
Напишем уравнение баланса C) на отрезке #п<Жяп+1:
^п+1 — и>п+ №]== \ (ди — Пйх,
или
м;п+1 - шп — Ф»+1 + <?. A5)
На всех других отрезках [х{, #<+1], гФщ выполняется
тождество C). В результате вместо A2) мы получим схему

198 ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
где
фг = /г, IФ Щ 1фп + \,
-фп = /п + 2^, фп+1 = /п+1 + ^ A6)
т. е. источник «размазан» на два интервала.
Если же писать тождество для отрезка [#<_1/2, #«+1/2], то мы
получим схему
{аУ'х)х — аУ = ~ Ф» Ф*+* = /*+ь Фп = /п + х A7)
при 0 < в < 0,5,
фп+1 = /п+1 "Г ^", фя = /п
при 0,5 < 6 < 1.
Следует отметить, что интегро-интерполяционный метод
является весьма гибким и общим способом получения разностных
схем для стациоцарных и нестационарных задач с одной или
несколькими пространственными переменными.
3. Вариационно-разностные методы (методы Ритца и Галер-
кина). Для получения разностных схем можно использовать
вариационные методы Ритца и Бубнова — Галеркина.
Пусть А — самосопряженный и положительно определенный
линейный оператор в гильбертовом пространстве Я со скалярным
произведением (,), а / — заданный элемент из Я. Задача о
минимуме функционала
/Ы = и», ц)-2(ц, /) A8)
эквивалентна задаче о решении уравнения
4и = /. A9)
Элемент и0е#, удовлетворяющий уравнению Аи0 = 1 и
реализующий тш/М =Лы0], единствен.
Вводится последовательность конечномерных пространств Уп
с базисом [ц>1 }, г = 1, 2, ..., /г. Метод Ритца заключается в том,
что ищется элемент ип е уп$ минимизирующий функционал
Пи] в Уп. ■ '
Приближенное решение ип представим в виде
и»=2юЧИ B0)
с неизвестными коэффициентами Уи у г, ..., Уп. Подставляя это
выражение в формулу для Ли], находим
1[ип) = 2 СДАЮ ~ 2 2 Рт, B1)

§ 8. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 199
где
оси=иф,, <р,), р< = (/, <р<). B2)
Так как А = Л* — самосопряженный оператор, то а« = о^. 1[ип]
есть функция п коэффициентов уи у2, ..., уп. Приравнивая нулю
производные д1[ип]/ду{ и учитывая, что а^ = а*, получаем для
определения у< п уравнений
п
2°Ч#;-р^ = 0, 1 = 1,2, ..'.,п. B3)
;=1
Чтобы получить разностную схему методом Ритца для задачи
(Аа')'-ди = -/Ы, 0<х<1, и@) = 0, иA) = 0, B4)
рассмотрим функцию
ГО, «< —1, «>1,
Ч(»)= 1 + «, -1<8<0,
и-«, 0<5<1,
и в качестве базисных функций фДх) возьмем функции
Ф* (*) = Л (-Г"*) = т1*(х>'
B5)
B6)
где я< = 1Й, 1 = 1, 2, ..., ТУ— 1,— узел сетки <ол = {я, = гН,
1 = 0, 1,2, .:.,#, ЙЛГ=1).
Из предыдущего ясно, что
т)|(я) = 0 Прц х<х1_1 и х>х1+1, .
тн(:г) =
*1-1
Г1+Г
т)г(*) = л
и, следовательно,
при ж^ < х < ач,
при #$ < # < аг{+1
B50
их
0, а:<а:^1, х>х%+1,
1
< X < Я{+1.
I — х> ж*
B7)
Подставляя в B2) -4и = -— ^\^1х] ~^~ ^ находим
1 1
^вД*а?Э*) + ОТ«»и)**, & = |/(*)т<*)**. B8)
О О
Из свойств функции 1\Ах) и ее производной следует, что
матрица (<%) трехдиагональная, так как отличны от нуля лишь эле*
менты с / = I — 1, у = * и / « 1+1.

200 гл- ш- однородные разностные схемы
Вводя обозначения
а\ = —Ъ,сц, (-1, й2й< = йсс<, < + Ма*, <-1 + а«, <+:
будем иметь
Ь = ±
*г-1 «1-1
В результате систему уравнений
о*. с-1#<-1 + а<, <у< + а<, ^+^у^+^ --($< = 0
запишем в виде
сцу<-1 -(сц + а,+1 + й*й)у< + а<+1у<+1 + й2ф, =
или
где
Фг
[хг *г+1
т. е. ф< вычисляется по той же формуле, что и й*.
Таким образом, методом Ритца построена трехтс
C0)—C2), совпадающая со схемой A2), получеь
мощи ИИМ,
В отличие от метода Ритца метод БубвГова — Г*
меним и для несамосопряженных и незнакоопреде,
В этом случае коэффициенты. у^ приближенного
ищутся из условий ортогональности невязки Аи,
базисным функциям т)*Ы:
иця-/, т]*)=0, *-1, 2, ..., п.
Рассмотрим несамосопряженную краевую задачу
(ки,'У + г(х)и,'-д(х)и = -}{х), 0<я<1, и@) = ю(
к(х)>0, дЫ>0.
Введем сетку ю* = (х{ = Иг, 2 = 0, 1, ..., N1 М
размерность п пространства Уп равна N—1. Выб
стве базиса функции
Ч1М = ч(Ц^). * —1,2 ЛГ—1
где т)Ы определена согласно B5).

§ 8. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 201
Условие C3) принимает вид
2ад--рг = 0, * = 1,2, ...,ЛГ-1, C5)
3=1
где
- 1
к^1^^ ~г (^7^*(*) + Я1*)Ъ(*) ЛИ*)]**.
0 C6)
1
Р»={/(*)тП (*)<**, *,/-= 1,2 ЛГ —1.
О
Коэффициенты од в силу определения B5), B50 функции т],Ы
отличны от нуля только при ; = ъ — 1, г, I + 1.
Бели воспользоваться обозначениями C0) для а* и й*, C2)
для ф< и положить
*1
ЬГ=^г ] г (а:) (а: — х^1)йа:= ^ г(^ + **)D + $)<&,
«1-1 -1
«4+1 1
ь*"=^ ] г(дг)(хт — ж)йх = ^ г(х1 + зк)A — $)<18,
х{ о
то систему уравнений C5) можно записать в следующем виде:
1 ^1 (^1 — ^—1)
^ [Я{+1 (Уй-1 — У г) — «{ (У1 — У1-1>] Ч А +
+ Ы(У<+1~У<)-%< = -ф1, 1 = 1,2,. ..,-ЛГ —1. C8)
В результате мы получаем разностную схему
(аУ;)х + Ъ~Ух + Ь+#* ^ ЛУ = — Ф (*). О < * = » < 1,
Уо = °> Ун = °>
коэффициенты которой определяются из C0), C1) и C7).
При гЫвО эта схема совпадает со схемой C1)—C2),
полученной методом Ритца. В случае постоянных коэффициентов
Их), г(х), д(х) имеем
1.2
а% = А; — — д, еЦ = й = д, Ь4~ = # = -^ и Ь~у- + Ь+Уя = гуо
При указанном выше выборе координатных функций фДж) —
/х— хЛ
= Ч1—^—I методы Ритца и Бубнова — Галеркина совпадают с
методом конечных элементов.

202 гл- ш- однородные разностные схемы
4. Метод аппроксимации квадратичного функционала. Краевая
задача
Дв = (*и')'-ви)и--/(*), 0<ж<1, и@)=0, иA)=0,
эквивалентна задаче об отыскании минимизирующего элемента
функционала (см. п. 3)
1 1
I [и] = | [к {и'J + дв2] их — 2 [ /и их. D0)
о о
Уравнение 1и = — /(я) является уравнением Эйлера для этого
функционала Ли]^
Введем сетку юл = {ж< = $Л, 1 = 0, 1, ...,_#, /г#=1} и на ней
аппроксимируем Ни], записав его предварительно в виде
/[и] = 2 к (иГрйх+% \ (ди* — 2?иLх.
После этого аппроксимируем интегралы
**-1
']* (д1г2-2/1г)йа:«А((дм2_2/1гI + (д1г2-2/^-1Х
где а< — функционал, зависящий от к(х) на отрезке х<-1<^<^|,
например дч= -^ 1 А: (х) их, ^ = ^-1/, и др.
хг-1
Таким образом, вместо Пи] мы получаем функционал
1н1у] = ^а1(у:{ук+^(д^^2!т)к/ D1)
где у — произвольная сеточная функция, обращающаяся в нуль
при 1 = 0, 1 = №. уо = у* = 0. 1н1у] есть функция N—1
переменных уи уг, ..., У*-1.
Приравнивая нулю первые производные
^ = 2си+гухЛ(- 1) + 2а«у-4 + 2де<* —2М,
получаем разностные уравнения
(<Ч/*)Я -ЯУ = -!(*)> * = &• D2)

♦ § 8. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 203
Рассмотрим задачу A)—B), A4) о сосредоточенном
источнике тепла. В этом случае в формуле D0) /(#) надо
заменить /Ы + 8(х — |)(>, где 8(х — |) — дельта-функция Дирака
F (х—I) = 0 при х Ф 6, 6 (х — I) = оо при х =.$, | 6(^—5) Жг=1
*-*
при любом е >0). В результате получим
1
/ [и] = | (* (и7J + Я»2 - 2/и) & - 2<?и E). D3)
о
Если Ъ = хп + йк, 0<6<1, то »(|) заменим ип при 0<О,5
и мп+1 при в > 0,5. Напишем
Д Ш = 2 а, (У- {J^ + 2 (*0? - 2ф#{) А, D4)
г=1 * *• ' $=1
где
Ф« = Л + хв*.п при е<0'5>
фг = /г + ^ 6г,п+1 ПрИ 9 > 0,5
(бЛ — символ Кронекера). Приравнивая нулю д1ь/ду{, получим
схему (аУх)х ~~ &У == — Ф с правой частью, определяемой
формулами D5). _
В случае неравномерной сетки Юл = {:г<, * = 0, 1, ..., N1 аг0 = 0,
хя = 1) вместо D4) будем иметь
Л [у] = 2 * (у. О1 *« + 2 (*»? - 2ф«и) ш.
г=1 х •» ' г=1
В частности, всегда можно выбрать сетку так, что % — хп будет
узлом сетки и
фп = /п + г"» Ф< = Л» ' ^ Л-
Приравнивая нулю производные д1н[у]/ду{, получаем схему
(аУх)хЛ — *Усв — Фь * = 0,2, ..., ЛГ — 1. D6)
5. Метод сумматорных тождеств (метод аппроксимации
интегрального тождества). Для решения задачи
1и = (А;и')'-ди = -/Ы, 0<я<1,
D7)
ки = а4и — щ, # = 0, —Аи' = а2и — (Л2, ж = 1,

204
ГЛ. III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
справедливо интегральное тождество
1
/ [и, V) = | (ки'и' + диг; — /у) их + ахи @) у @) +
о
+ а2и A) и A) - ^ @) - до A) = 0, D8)
где V >-» уЫ — произвольная функция, непрерывная при 0 < х < 1
п имеющая интегрируемую в /^0, 1] производную. Оно служит
для определения обобщенного решения задачи D7).
_ Для построения разностной схемы на равномерной сетке
со* = {ж, = *А, 1 = 0, 1, ..., N. /г#=1} аппроксимируем
интегральное тождество D8) сумматорным тождеством для сеточных
функций, например,
+ огу0и0 + о^у^ — ^1^0 — ^2*>л = 0, D9)
где у< — произвольная сеточная функция. Здесь а< — любой из
коэффициентов вида а{=*А1к(х{ + $к)], -КК0,
обеспечивающий второй порядок аппроксимации: а< = й<-1/а + 0(Л1).
Нетрудно заметить, что
о1 = о1 + 0,5Лд0, о2 =* оа + 0,5Лд*,
И* = Ц1 + 0,5й/0, ц» =* м* + 0,5Л/*,
если воспользоваться формулой трапеций для вычисления интег-
ралов ] (ди — /) йя, так как
*г-1
| (д^ - /) А* = 0,5Л (да - /)р + 0,5Л (да - /L
о
и т. д. Полагая, например, 14 = 6^, 0 < г0 < ЛГ, и учитывая, что
»1Л = 0 при Кг0 и I > г9 + 1, 1^в1 = 1/й, ^| +1 = — 1/й,
получаем При 2 *= 10
или (ОД-)Я — <*у = — /.
Если У| = 6^0, то 1^§4=в (—1/Л)б|д и тождество D9) дает
(— 11к) аху^л + о1у0 — \1Х = 0 или а^д = а^о — \1и и аналогично

§ 9. КОЭФФИЦИЕНТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 205
при V^ = б<, N получаем
— (*%)* = <ад* — (А2.
Таким образом, мы приходим к разностной краевой задаче
ОцУхл = огу0 — щ, — апу- ^ = а2у^ — р,2.
§ 9. Коэффициентная устойчивость
1. Коэффициентная устойчивость разностных схем. При
решении задачи для дифференциального уравнения может оказаться,
что коэффициенты уравнения заданы не точно, а приближенно
(находятся при помощи некоторого вычислительного алгоритма,
в результате физических измерений и т. п.). Коэффициенты
однородной разностной схемы являются функционалами от
коэффициентов дифференциального уравнения. Погрешность в
определении коэффициентов схемы может быть вызвана несколькими
причинами: погрешностью в вычислении шаблонных
функционалов, погрешностью в задании коэффициентов дифференциального
уравнения, ошибками округления.
Будем называть схему коэффициентно-устойчивой Ыо-устой-
чивой), если при малом возмущении коэффициентов схемы
решение краевой задачи меняется также мало.
Пусть задана схема с коэффициентами а, й, <р:
Лу=(ау-)я-^ = -ф, 0<я=*/г<1, у@) = 0, уA) = 0.
A)
Рассмотрим эту же схему с возмущенными коэффициентами а,
йу ф (для упрощения считаем граничные значения у@) и уA)
невозмущенными):
йу = («ё*-^в—?• 0<* = Л<1, гГ@) = 0, уA) = 0.
B)
Будем предполагать, что выполнены условия
а(х) >с1>0, а(х) >с1>0, й(х) >0, 3(х) >0, с4 = сопз!> 0, C)
С| не зависит от сетки.
Оценим разность г —у— у через величины возмущения
коэффициентов. Подставляя у = 2 + у в B) и учитывая A), получаем
Хя = (ав-)х — Ъг = — V, 2„ = ^ = 0, D)
где
V = У~ <Р + (Л- А)у = у -<р + ((а-а)у-)х-&-$У- &)

206 ГЛ- Ш- ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Из D) видно, что V можно записать в виде
Чг = ^+Лх, F)
где
|1 = (а —а)у-, G)
а т| определяется из условий г)х = ф — ф — (^ — й)у, т|! = 0, так что
41= 2 М(ф*-ф0-"Bа-4ь)ул], * = 2,3,...,#, Ч1 = 0. (8>
Л=1
Воспользуемся оценкой, полученной в § 3, п. 3 для D)—G).
Тогда.из F), G) и (8) находим для решения задачи D)—G)
|*|с<-|-1A,|(а-а)»;|]+A||Ч|]}.
Нам потребуются оценки для у и у-:
|у|с<-^A,|ф|), |^|с<-|-A.|ф|)-
Они получены в § 6, п. 2.
Учитывая теперь неравенства
A,|11|]<A,И|] + A,|й-й|Iу||с<
«1,|л|] + 7-<1,|2-1*|)A,|ф|),
1
о *-» «
где *Н = 2и & (фл — Фл). Л1 = 0, I = 2, 3, ..., ЛГ, а также
A,|E:-а)%|]<^-A,|ф|Х1,|а-а|],
убеждаемся в том, что верна оценка
|у-у|с<^-{A,Гл1Л"^A,1ф1)(A,|2-й|) + A,|а-с|])},
(9)
где у{ — решение задачи A), у* —решение задачи B), если при
этом выполнены условия C).
Вместо (9) можно написать более грубую оценку
В^-1/1с<-^{A,|ф-Ф«) + ^-A,|ф|)(A,|а-а|] +
+ A,|2-<*|))}. A0)
Если
A, 1л1]-р(«, A, 1^-а|]-р(А), A, |<Г-<Ш=рШ,

§ 9. КОЭФФИЦИЕНТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
207
где р(А)-*0 при Л-*-0, то схемы A) и B) ко-эквивалептны и
при р(Л) = 0(кт) имеют т-й порядок ко-эквивалентности. Если
схемы A) и B) ко-эквивалентны и схема A) сходится, то и
схема B) сходится. Это следует из неравенства
\\д-и\\с<\\у-у\\с + Ц-и\\с-+0 при Н-+40.
Свойство ко-эквивалентности однородных схем A) позволяет
оценивать порядок точности данной конкретной схемы путем
сравнения, согласно (9^ или A0), ее коэффициентов а, й, <р с
коэффициентами а, <Г, ф некоторой эталонной схемы, порядок
точности которой известен (см. § 7, п. 2).
2. Коэффициентная устойчивость операторных уравнений
первого рода. Дадим общую формулировку введенного в п. 1
понятия коэффициентной устойчивости разностной схемы. Для
этого рассмотрим операторное уравнение первого рода
Л»-/, /е#, (И)
где А — линейный оператор, действующий из гильбертова
пространства Я в Я, А:Н-*-п, /ей — заданный вектор, и^Н —
искомый вектор.
Задача A1) называется корректно поставленной, если
существует единственное решение уравнения A1) для любых /еЯ
л это решение непрерывно зависит от правой части /, так что
■в-вОсо <*•■/'-А*. A2)
где и — решение уравнения A1) с возмущенной правой частью [:
Аи = ?. A3)
11-11A) и Н*ПB) —некоторые нормы на множестве Я.
При постановке задачи A1) задается не только правая часть,
но и оператор А. Если, например, А — дифференциальный или
разностный оператор, то должны быть заданы коэффициенты
уравнения.
Естественно требовать, чтобы решение задачи A1)
непрерывно зависело не только от возмущения правой части, но и от
возмущения оператора А задачи (например, от коэффициентов
разностного оператора). Это свойство операторных уравнений также,
как и в случае разностных схем (см. п. 1), мы будем называть
свойством коэффициентной устойчивости или ко-устойчивости
операторного уравнения.
Устойчивость решения уравнения A1) относительно
возмущения правой части / и возмущения оператора А будем называть
сильной устойчивостью. Вопрос ставится так: даны две задачи
Аи = и Яй=Г, A4)
где А и Л — линейные операторы, область определения которых
совпадает с Я, / и /--произвольные векторы из Я. Требуется

208 г^* ш* однородные разностные схемы
найти оценку для величины возмущения решения
я = й —» A5)
через величины возмущений / и А.
Предположим, что о.ператоры А'1 и А'1 существуют. Будем
считать, кроме того, что А и А — самосопряженные
положительные операторы. Подставим ю = Л~1/ и й — А? в A5):-
х-х-у-А-ч-х-чг-р + м-'-л-1)?. (ш
Применим Xй к обеим частям равенства A6):
АЧ - А-ЧГ - /) + АЧА-* - Л-1)/.
Вектор г будем оценивать в норме \\Цх= У(Аг, ъ) пространства
#2» а/и/ — /— в негативной норме || /1^-1 = у С^.1/» /)
энергетического пространства Н х-и
Преобразуем выражение
АЧА-* - 4-1)/ - (Я - ^Л-1^*)^-*/)
и оценим его по норме
ПАНА-' - 4-1)/И < № - АХ,*А~*АЧ «-*/И. A7)
В качестве меры возмущения оператора А возьмем
относительное изменение анергии (Ах, х) оператора А, г. е. будем
предполагать, что
ШХ-А)х, х)\<а{Ах9 х\ а>0, A8)
для всех х^Н. Отсюда следуют неравенства
A-а)А<А<A + а)А, A9)
A - а);*-1 < Л < A + а)А~1. B0)
Покажем, .что из A9) следует B0). Рассмотрим разность
/ — A + <х)(Ах, х) — (Ах, х) и положим Аъх = у:
] - A + аH# - и-^ХА-Ьу, у) = A + а)!»!1 - Фу, у)У
где й = А~иАА-%. Положим &1%у = ъ\
1 - A + а)@-Ч г) - 1Ы12 - A + «)С1*Л;-МЧ *>- "я"*-
- A -ьахл:-1*, г) - ы-ч л,*>- л**.
Так как />0, то а + а)А~1^А~\ Т©* еамым доказано, что
из неравенства А < A + а)Л следует неравенство А~* < A + &),А~%
для любых Л = Л*>0, Я = Я*>&. Неравенства B0)
эквивалентны неравенствам
A-а)Е^С*Щ + а)Е, С-Х*А-*Х*.-

§ 9. КОЭФФИЦИЕНТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
209-
В самом деле,
И + а)(Я-*х, х) - (А-% *) = A + а%В2 - (Ах''А-1А'иу, у) =
= A + а%Нг-(Су, у)>0.
Итак, из A8) следует -аЕ^Е-С^схЕ, С — Я*А-*Я*.
По определению нормы самосопряженного оператора
Ш -СЯ--НЕ- ХкА-ЧЧ < а.
Подставляя эту оценку в A7), получаем из A6):
2ЛИ
Пусть известен некоторый оператор А0 = А^ > 0, имеющий
более простую структуру, чем А% и удовлетворяющий условию
Ж > С|40, с4 > 0. Тогда, если оператор А^1 существует, то
2^<±^\ |/Ь-*<-^|/|^.
Таким образом, доказана следующая теорема сравнения:
Теорема. Пусть и — решение уравнения A1), и—решение
уравнения A4), А, Л, А0 — самосопряженные положительные
операторы^ имеющие обратные. Тогдаг если выполнены условие
A8) и неравенство И^с^А^ с4>0, то справедливы оценки
1«-1%<|7-/|3_1+а||/|2-и B1)
1«-1ф0<4-1/-а-1+т-1/1-1- <22>
Первое слагаемое в правой части B1) есть величина
возмущения правой части /, второе слагаемое содержит коэффициент
а — величину относительного возмущения оператора.
Пример. (Ср. с^[. 1.) Пусть Я —множество сеточных
функций» заданных на <&*»(&*«&, 0<*<#} к обращающихся в
нуль при I =» 0, I = N. Рассмотрим разностные операторы
Ау = — (аух)х + <1у, а^сг>0, й > 0,
АоУ = -У~хх-
Вводя обычным образом скалярное произведение и используя
разностные формулы Грина, получим неравенства Я>с4Ао,
14 а. а. Самарский

2Ю гл- га- ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
А ^ с4Л0. Согласно гл. 2, § 4, п. 5 имеем
/ЯГ-1 /ДГ-1 \2\1/2
|/|^1<|/к-1>-E*(,а*л)). /ея.
Таким образом, оценка B2) принимает вид
«ли, в силу неравенства |ъ\с ^ 0,51 ?-|, . у
М|с = 1у-1Г|с<^-|?'-/|(-1) + -^-|/|(-1).
* 1 1
Выясним, что означает условие Х18). Его можно записать
в виде
A - а) ((а, у!] + (<*, у2)) < (а, у!] +C', у8) <
<A +а) ((а, у!]+((*,»»)),
откуда следует, что D8) будет выполнено, если потребовать
\а — а\ <аа, \й — д,\ ^ай.

Глава IV
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
В этой главе изучаются разностные аппроксимации эллиптических
уравнений второго порядка. В параграфах 1—3 детально исследована
разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона. Изложены способы
аппроксимации оператора Лапласа и постановки разностных краевых
условий в случае области произвольной формы. Для сеточных уравнений
общего вида установлены принцип максимума (§2) и все его следствия; эти
результаты использованы для доказательства равномерной сходимости со
скоростью 0(|Л|2) построенной в § 1 разностной схемы в случае
произвольной области. В § 4 исследованы свойства разностного оператора Лапласа,
построены разностные операторы, соответствующие эллиптическим
операторам общего вида с переменными коэффициентами. § 5 посвящен
изучению схемы повышенного порядка точности для уравнения Пуассона в
прямоугольнике.
§ 1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона
Перейдем к изучению разностных схем для решения задачи
Дирихле: найти непрерывную в С + Г функцию и(х),
удовлетворяющую уравнению Пуассона
<х=1 аха
и краевому условию
в1гвй(*).
где х = (хи х2, ..., Хр), С есть ^-мерная конечная область с
границей Г.
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. Начнем с
построения разностного аналога оператора Лапласа
д2и
Ди = Ьхи + Ь2и, Ьаи = тт, а = 1, 2, B)
дха
на плоскости х = (хи х2).
В точке х = {хи х2) каждый из операторов Ьги = —^. иад
д2и
Ь2и = дх2 аппроксимируем трехточечным оператором Л^
14*

212 ГЛ. IV. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Ь
или Л2:
Ь& ~ Ар = у-л = ^г(у (*х + К *2) ~ 2у (хи х2) + V (хг — Л1э *2)),
C)
1,2у ~ Л2у = V- = — (у (*!, *2 + й2) — 2и (хг, х2) + V {хъ х2 — й2)),
«2*2 Ц
D)
где ~ знак аппроксимации, А4 > О, й2 > 0 — значение числа
(шаги по осям XI и хг).
Оператор Л! определен на регулярном трехточечном шаблоне
2 (х1 — Ни хг), (хи х2), (^ + Л1э а;2),
оператор Л2 — на регулярном
трехточечном шаблоне
-^ • 0г1э х2 - А2), (а:1у а:2), (хи х2+к2).
Используя C) и D), заменим оператор
Лапласа B) разностным оператором
4 Лу = Л,у + Л2у = V- т + у- , E)
Ряс. б. Регулярный шаб- *1*1 ха*2
дон «крест». о ^
который определен на пятиточечном
шаблоне «крест», состоящем из узлов (аг1±А1, а:2), (хи а:2), (жи а:2±
± й2). Этот регулярный шаблон изображен на рис. 6. Здесь 0 —
точка (хи х2), 1 — точка (а^ + Ки хг) и т. д.
Из C)-—E) и рис. 6 следует, что
Луо = -А" К ~ 2у0 + у3) + А {р% — 2и0 + у4). F)
Л1 Л2
В частности, при А4 = А2 = к (на квадратном шаблоне) имеем
ЛУ0 = Т2" (У1 + У2 + Уз + *>4 — 4уо)« G)
л
Вычислим погрешность аппроксимации оператора. Лапласа B)
разностным оператором E). Так как (см. гл. II, § 1) при а= 1,2
ОС О*
Л2 Л2
то Лу —• Д&= ■—- /^у + -^ 1&; + О {Н\ + А2). Отсюда следует, что
Лу-Ду^ОаМ2), |А|* = *! + *•,
«ели г(х) — любая функция, имеющая не менее четырех ограни-

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 213
ченных (хотя бы в_ прямоугольнике ха — ка ^ ха ^ ха + Аа, а =
= 1,2, при йа^Аа) производных по ха, а =■ 1, 2. Таким обра-
зом, разностный оператор E) аппроксимирует оператор Лапласа
B) со вторым порядком на регулярном шаблоне «крест».
Аналогично строится разностная аппроксимация р-мерного
(р > 2) оператора Лапласа
Ьи = У ^«И» ^«И = —^-. (9)
Заменяя Ьа трехточечным разностным оператором А», получаем
р
Аи = 2 Лау, Лау = у- , A0)
а=1 ***<*
так что
*<*** Л;
а
(±1а) / (±1а)\ а (+1а)/г (-1а)\
где 1> №/ = 1;^г ^. Здесь хк ;[или г ^ — точка, в
которую переходит точка х = (хи ..., хр) при сдвиге по
направлению ха направо (или налево) на отрездк длины На (рис. 7).
Шаблон для оператора A0) состоит,
очевидно, из 2р + 1 точек х, дг '»
ая1, ..., р (из 7 точек при р = 3),
а погрешность аппроксимации имеет
второй порядок.
2. Аппроксимация оператора
Лапласа на нерегулярном шаблоне «крест».
Рассмотрим теперь разностную
аппроксимацию оператора Лапласа на нере- |~
гулярном шаблоне «крест». В случае
двух измерений (р ■« 2) этот шаблон
состоит из пяти точек
(х1 ~ Й!-, #2), (Хг + Й1+, Х2), (Хг, Х2),
(хъ х2 — й2_), (хи х2 + й2+),
где А1±>0, й*±>0, причем Ав+«у*й«-, по крайней мере, для
одного а (рис. 8).
Каждый из операторов Ьх и Ь% аппроксимируем по трем
точкам
(х1 — А^, хг)% (х1 + к1+9 #2), (хи х2) (точки 3, 1, 0),
(#ь хг — Аа-), (хи хг + кг+), (хи хг) (точки 4, 2, 0)
соответственно. Для этого воспользуемся выражениями (см.
з№ х ^ у
&а Ь* X*
Рис. 7.
2<
} V 7
V
4*
Рис. 8. Нвр
лов
еаулягрный шаб-
«крест».

214 гл. гу. схемы для уравнений эллиптического типа
гл. II, § 1):
Ь^р ~ Ах V =
+
//,у~Л«у =
1 [•»(*,, *г +
Уь) ~ » К' «а) " (ху хг) - * (ху х2 ~ V)
г2+'
]'
A2)
где К = 0,5(йа_ + ка+), а = 1, 2.
Разностный оператор Лапласа на нерегулярном шаблоне
будет иметь вид
*~в А*»=А1»+А,1;=1^-51+1^-51.
47*
X
Рис. 9.
A3)
Если, например, &1- = &1+ = Аь то Лх у = Л^ = *^ Ж1 и т. д»
Чтобы не выписывать аргументов (это слишком громоздко при
р > 2), введем обозначения
*(+11)= («1 + *1+, *2), ^(1) = (Х1-Й1_, *2), *(±1в) = (а?Ь ^2±Й2±)>
^+1->в«,(^+1«>), »-*<*), ^1а) = ,(^1а)), а = 1,2.
На рис. 9 показано расположение точек х и х< а>.
Выражение для Ла можно записать в виде
А* *
Лау = у- ^ = -=-
*«+
A4)
Йа = 0,5 (йа_ + Аа+), а = 1, 2.
В гл. II, § 1, п. 2 (формула B7)) было получено выражение для
их2 ~~ у"* Используя его, сразу напишем
Л«* - Ьаи = 1 (Аа+ - Ла-)^ + О (*» ). A5)
Таким образом, на нерегулярном шаблоне разностный оператор
Л*, определяемый по формуле A3), аппроксимирует оператор
Лапласа с первым порядком.
Аппроксимация вида A2) используется на неравн<}мерной
сетке, а также в приграничных узлах .в случае произвольной
области (см. п. 4). Нам понадобится второй способ аппроксимации

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 215
оператора Лапласа на нерегулярном шаблоне (рис. 8). Вместо
формулы A4) будем пользоваться для Л* выражением
Л«у = ^- I —^ ^— , ка = тах (Аа-, А«+),
A6)
так что Лау =-т— у- -^ . В этом случае оператор Ла имеет нуле-
вой порядок локальной аппроксимации
-фа = А%ц — Ьаи = О A).
В самом деле, учитывая A5), получим
= ± ^+2^*а" V + О (Йя) = О A).
Поясним ситуацию, в какой может быть использована
аппроксимация A6), на следующем примере.
Пример. Первая краевая задача:
»"=-/(*), 0<я<1, 8@)-0, иA)=0.
Выберем сетку
<Ол = {я<, х1=*ки х{+1*=х{ + к, 1 — 1, 2, ..., ЛГ-1, #*+1 «= я* + йа>,
неравномерную только вблизи границы, Л4<Л, &!<&, А4 + А2 +
+ (ЛГ — 1)Л = 1. В регулярных узлах хи К * < ЛГ,
"* ~ "г*,1 = ^ г-
Далее имеем
А* 1 Г Ц2 — Ц1 Ц1 "" Ц0 1
и*~Л*и„ = т|^ ^ 5 ^
В результате получим разностную схему
»Ь = -/(*)■ «с =*! + (* —1)А, 1<*<#,
Л*^1 = — / (*!>> Л*#* = — / (хн), у0 = улг+1 = 0.
Для г = у — и получаем
Аг = -фЫ, 0<*<1, 2в = ^+1 = 0, A8)
где Ах = 2^, при х1 < х{ < хИ% Л^ = Л*^, А&н = Л*2*, ф< = 0( А1)
при 1 = 2, 3, ..., ЛГ-1, ф< = 0A), 1 = 1, N.
A7)

216 ГЛ. IV СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Несмотря на то, что схема не имеет аппроксимации в
приграничных узлах 1 = 1, ^ = N^ эта схема A7) имеет второй
порядок точности в С? 1Ы1с = 0(й2). Чтобы получить эту оценку,
перепишем уравнения A8) при х = хи х* в виде
= 0,
где го — кк^х, ?^+1 = ААг^. Таким образом, задача A8)
эквивалентна задаче
Ъхх = "" + И» *1 < *1 < ЗД, Л% = 0, Л*2л=0,
20 = кк^, г^+1 = Л/г2г|?лг.
Воспользуемся теперь полученной в § 2 гл. I априорной оценкой
N %
Ис<шах(|20|, |ад+11) + 2* 2*1**1-
г=1 Л=1
Отсюда следует
Ы1С — \\у - а»с < ММфЛ + М2|гМ Ч-гйах |ф<| < Мк\
1<г<#
т. е. схема A7) имеет второй порядок точности.
3. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике. Пусть <70 —
= @ < XI ^ 1и 0 < хг < ^) — прямоугольник со сторонами и и 1г
(рис. 10), Г — его граница.
Рассмотрим в Со = <?о + Г задачу Дирихле
для уравнения Пуассона:
х2
)
)
^
0
,
__)
/?,
(_^
^>)
^ ^
с-л
^)
.
(ч^ь^г)[
^ )
I* \
<• ч
4
:
# я)
Ав = — /Ы, а: = (д?|, #2) е О0
(Г)
Построим в G0 сетку сол с шагами
Ы = //Л^ и А2 — ^/#2, где 1?,>0и
^ Л^2 > 0 — целые числа. Для этого по-
Рис. Ю. строим два семейства прямых
4<1) = ЧК Ч = 0, 1, ..., ЛГ1Э д:Г2) = «Л, *2 = 0* 1, ..., 7У2.
Точки пересечения этих прямых х = (ики г2Аа) с координатами
^Й! и цк% назовем узлами. Если х = (гА, &2йг) лежит внутри
прямоугольника (т. е. 0 < и < Л^±, 0 < 1г < #2), то такой узел
назовем внутренним. Пусть о)Л — множество всех внутренних
узлов. Общее число внутренних узлов равно (Л^ — 1)(#2 — 1).
Узлы, лежащие на границе прямоугольника (при и = 0, Л^
иди 12 = 0, #2), кроме четырех узлов @, 0), @, 1г), Пи 0)\ Aи 1г)\
назовем граничными (они обозначены на рис. 10 крестиками).
Они образуют множество 7* = {{цки 12к2)). Совокупность всех
внутренних и граничных узлов назовем сеткой соЛ = юЛ + ^Л

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 217
в прямоугольнике 2?0. В каждом внутреннем узле х е ©л может
быть построен пятиточечный регулярный шаблон «крест», все
узлы которого х(±1(Х\ а = 1, 2, принадлежат о* (т. е. либо соЛ,
либо *ул). Поэтому во всех внутренних узлах можно заменить
оператор Лапласа Аи разностным оператором
Ли = и- _ + и- _ .
ж1*1 *2Х2
Правую часть —/Ы уравнения A0 можно аппроксимировать
сеточной функцией — <р(#) так, чтобы ф(#) •—/(#) = 0(|й|2),
/Ы е С{2). Считая /Ы непрерывной функцией, полагаем
<рЫ = /Ы.
В результате задаче (I7) ставим в соответствие разностную
задачу Дирихле: найти сеточную функцию у(х), определенную
на о)л, удовлетворяющую во внутренних узлах (на соЛ) уравнению
Ау = - / (х), Ау = г/-л + ^ *с== соЛ, A9)
и принимающую на границе ч* заданные значения
у(х) = цЫ, х<=Чн. B0)
Отметим, что сетка о)Л(E^) при А4 =^ к2 называется
прямоугольной, а при /&! = А2 =г к — квадратной сеткой.
Напишем подробное выражение для Л# на квадратной сетке
А 1 Г (+11) . (-1!) . (+12) , (~Х2) / \
Пусть <р = 0. Разрешим уравнение Ау = 0 относительно у:
1 ( (-х1) , (+11) , (-1*) , (+Ч)\
Значение у в центре шаблона есть среднее арифметическое
значений у в остальных четырех узлах шаблона. Эта формула
является разностным аналогом формулы среднего значения для
гармонической функции.
Из A9), B0) видно, что значения \х(х) в вершинах
прямоугольника не используются. Это и определило выбор ^н* В случае
третьей краевой задачи и схемы 0(|А|4) (см. § 5) граница 1*
состоит из„ всех узлов, лежащих на границе прямоугольника,
включая его вершины.
Методы числейного решения системы (ЛГ4 — 1) Ш% — 1)
алгебраических уравнений A9) будут рассмотрены отдельно (см. гл. X).
Для оценки точности разностной схемы A9)—B0) образуем
разность ъ = у — щ где у—-решение задачи A9)—B0), а —решение
задачи (Г). Подставляя у = х + и в A0, получим для ъ задачу
Ля — — -ф на ©Л, ъ = 0 на ^, B1)

218
ГЛ. IV. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
где ф = Ли + / — погрешность аппроксимации уравнения (Iх)
схемой A9). Так как Ьи + { = 0, то
г|) = Аи + / — Ьи + Ьи = Аи — Ьи,
т. е. г|) = Аи — Ьи. Из (8) следует, что
*1 <?4и , Я д*и
D)
1 "™ ух2
где черта сверху означает, что берутся значения аргументов в
некоторых средних точках на интервалах (х1 — ки х2), (х1 + к^ х2)
и (#1, х2 — кх), (а?!, х2 + к2) соответственно.
Обозначая М4 = шах
а
I 1Л12
, получаем ^К^-^'
Доказательство сходимости схемы A9) сводится к оценке
решения задачи B1) через погрешность аппроксимации. Такая
оценка будет получена в дальнейшем при помощи принципа
максимума для произвольной области и любого числа измерений.
В прямоугольнике может быть введена и неравномерная сетка
Щ={ъ = DН\*Р)), *а=0,1,...,ЛГа, *<а0) = 0, 4Га)=/а, «=1,2}
с шагами к\ ' = х\х' — х{х ', к\ ' = хьл'—Х2~ '. В этом
случае используем разностный оператор A3) и вместо A9)—B0)
получаем задачу
Ау = -1 (х), Ау = у-^ + 1/-2-2, х<=2н,у\Ук = ц (х). B2)
Эта схема имеет первый локальный порядок аппроксимации
* = (Ли + / (*)), = (и-^ + иг^ + / (*)). =
=42 (^1)-^)-Й- + 0<1*1,) = 4<1*1>. 1*Р-«+«!.
Однако 1|){ можно по аналогии с гл\ III, § 4 представить в виде
а=1 *' аха
Отсюда видно, что схема B2) имеет второй суммарный порядок
аппроксимации (в негативной форме).
4. Разностная задача Дирихле в области сложной формы.
Если область (?, в которой ищется решение^ задачи Дирихле A),
имеет криволинейную границу, то сетка о>л(<7), вообще говоря,
неравномерна вблизи границы. Ниже дается описание такой сетки
и классификация ее узлов.

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 219
Рассмотрим произвольную конечную область С с границей Г
в пространстве р измерений; х = (х{, аъ, ..., хР) — точка с
координатами хи х2, ..., хР. Построим сетку в области & = С + Г.
Для простоты изложение проведем для двумерной области
(р = 2). Конструктивно будем использовать следующее
предположение о форме области О: пересечение области С с любой
прямой, проведенной через внутреннюю точку х^О параллельно
оси координат 0:са(а —1, 2), состоит из конечного числа
интервалов.
Пусть начало координат лежит внутри области С. Построим
два семейства эквидистантных прямых
х{
.(*1)
= 1гки *! = 0, ±1, ± 2, ..., х2ч)=12к2, *2=0, ± 1, ± 2,
-к-Л
:\
N
где &1 > О и кг > 0 — фиксированные числа. Плоскость (а:4, хг)
разобьется этими прямыми на прямоугольники со сторонами
к{ и к2. Вершины этих прямоугольников с координатами х{ = Цги
хг = г2^2 назовем углами^ а множество всех узлов — решеткой
на плоскости (хи х2). Узлы Х{ — (ики 12к2), лежащие внутри
области 6?, назовем внутренними; множество всех внутренних
узлов обозначим со* = {хг ё С). Точки пересечения прямых
#а = *'айа, а = 1, 2, с границей Г области С суть граничные по
направлению ха узлы. Множество всех граничных по
направлению Ха УЗЛОВ Обозначим ^а.
ПуСТЬ Т* = >, 1 + Ть, 2 — МНО-,
жество всех граничных уз- '
лов, т. е. узлов, граничных
хотя бы по одному
направлению ха. Множество всех
внутренних и граничных узлов
называется сеткой о)Л = сол +
+ ^л в области С (рис. 11).
Проведем детальную
классификацию внутренних
узлов. Возьмем какой-либо
внутренний узел х^ю*. и
проведем через него прямую,
параллельную оси Оха. Ее
пересечением с областью С
будет интервал (или несколько интервалов), концы которого
являются граничными по направлению Оха узлами. Рассмотрим
узлы на этом интервале. Ближайший к концу интервала узел
назовем приграничным по направлению Оха (по Ха) узлом. Если
его расстояние от границы у*, а есть ка фка, то такой узел
является нерегулярным по ха, Пусть сйд#а — множество всех
приграничных по ха узлов, а ю**а — множество тех приграничных узлов.
*^Г*
И
Вне. 11.

220 гл-1У- схемы для уравнения эллиптического типа
которые являются нерегулярными по направлению ха.
Очевидно, что оо/^» ^ ол>а. Обозначим через Юл множество всех
приграничных узлов (т. е. приграничных хотя бы по одному па-
правлению), а через сод совокупность всех нерегулярных узлов
(т. е. нерегулярных хотя бы по одному направлению х^ или х2).
° * * °
Пусть (Он — дополнение од до од, т. е. ол = сод + сол. Узлы, при-
о
надлежащие ю*, будем называть строго внутренними узлами. Вве-
о
дем также обозначение (Он,а для строго внутренних по ха узлов
о
(т. е. для узла х е сом, соседние по направлению Оха узлы
являются внутрепними).
о
На рис. 11 значками ° отмечены узлы оЛ, Да — нерегулярные
только по ха узлы (а = 1, 2), Д1§ 2 — нерегулярные как по хи так
и по хг узлы, О — приграничные узлы, регулярные как по х19
так и по х2. __
Будем предполагать, что сетка (Он является связной, т. е.
любые два внутренних узла можно соединить ломаной, звенья
которой параллельны координатным осям, а верпганами являются
внутренние узлы сетки. Тогда, по крайней мере, один из четырех
узлов #(±1а), а = 1, 2, пятиточечного шаблона^11*, х, х^1^)
(регулярного или нерегулярного) является внутренним.
Требование связности сетки накладывает ограничения как на выбор Л,
и й2, так и на форму области и на ее расположение относительно
сетки (Он при заданных /^ и А2.
а) ' 8)
Вис. 12. а) Несвязная сетка, б) Овяаная сетка.
Примеры несвязной и связной сеточных областей показаны
на рис. 12, а и б соответственно. Если имеется область с узкой
перемычкой, то требование связности области может быть
выполнено при достаточно малом шаге ка (или при сгущении сетки
в этой части области). На рис. 12, б показан тот случай, когда
связность сетки достигается не путем ее сгущения, а при
соответствующем выборе шага А4.

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 221
Мы провели детальное описание сетки для области на пло
скости. Все проведенные выше построения легко переносятся на
случай р-мерной области. Сетка образуется в результате
пересечения гиперплоскостей (плоскостей при ^ = 3, прямых при
р = 2)
я4а) = гака, 1а = 0, ± 1, ..., а = 1, 2, ..., р,
где ка>0. Указанная выше классификация узлов остается без
изменений.
Нашей целью является написание разностной схемы для ре~
шейия задачи Дирихле Ъ области и = О + Г: найти непрерывное
в замкнутой области Сг — О + Г решение уравнения
а2 а2
удовлетворяющее граничному условию и\т = \1(х).
Аппроксимируем в каждом внутреннем узле х^а>н дифферент
т &и
циальныи оператор Ьаи = —;- трехточечным разностным
оператором Л«.
Если узел х е ©Л — регулярен по ж«, то разностный оператор
Л« записывается на регулярном шаблоне (х{ 1в\*,*(+1в))A1):
Аау = 1&аха = Д2
Если же узел х е сод, а, т. е. нерегулярен по жа, то Л«
записывается на нерегулярном шаблоне
ЛЬ = I (И%=Ж - Л=ф*1 пр. ,<->«>, те.„, B3.)
I* (-1а)
где Ла—расстояние между узлами х и #ч ' или
I.* (+1а)
где Ла —расстояние между узлами а: и яг '.
Возможен случай, когда аг а) е 7м и дг а' е ?л, а; тогда
^-^К1^-*^Ьр-»(±""-7..«. B3.)
где Ла± =5= ла — расстояние между я и я4 '.

222
ГЛ. IV. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
На рис. 13 указаны типичные ситуации, соответствующие
случаям B3а)—B3в) при р = 2.
д2и
Аппроксимируя Ьаи — —^ разностным, оператором по одной
СЬ:
яз формул A1), B3), получим вместо A) разностное уравнение
Л*=»Лх + А2»
•
«^"-^■(-^-^Г")- Л*-!^. А—А1+А,.
1 /«г^о "о ~ Уз \ « 1 /П-Уо У о ~ У 4 \ .„ .V .*
Лу + фЫ=0 для всех я^юл, где Л = 2 Ла- На сеточной гра-
а=1
нице ^л будем задавать точное значение у\Ун = ц(д:).
В результате приходим к следующей разностной задаче
Дирихле: найти сеточную функцию у(х), определенную для
х е сэЛ = соЛ + ^л, удовлетворяющую во внутренних узлах
уравнению
Л# + фЫ =0 в регулярных узлах, B4)
А*у + фЫ = 0 в нерегулярных узлах B5)
я принимающую в граничных узлах х*
у = у,Ы, а; е ^Л.
^ заданные значения
B6)
По аналогии сшЗ напишем условия "для погрешности схемы;
здесь у{х) — решение разностной задачи B4)-—B6), и = и(х) —
решение исходной задачи A). После подстановки у ==2+, и в
Ш)—B6) получим
А% = —ф в регулярных узлах,
Л*2 = — Ф* в нерегулярных узлах,
2 = 0 на \ъ,
B7)

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 225
где ф — погрешность аппроксимации, равная (при ф(#) = ]{х)У
ф = Ли + ф = Ли — Ьи в регулярных узлах,
B8>
ф* =*Л*и — Ьи в нерегулярных узлах.
Пусть и^С{к){И)9 где СD) —-класс функций юЫ, имеющих
четыре непрерывные в & производные по хи ..., х9. Тогда, как
показано в п. 3, в регулярных узлах имеем
Ж<М4|/г|2/12, \к\2 = к1 + Ы+ .*.+%. B9>
Представим погрешность аппроксимации в нерегулярных узлах
в виде суммы
р
ф* = 2 ^а, фа = Лай — Ьаи. C0>
0=1
Как было показано в п. 2,
^ = К*й*а~ Цг*°<*«>= °®> ** = °A). C1>
т. е. в нерегулярных узлах схема не аппроксимирует уравнения
Ди + /Ы=0.
Таким образом, в р-мерном случае задаче A) ставится в
соответствие разностная схема
р
Ау = 2 ЛоУ = — / (#) в регулярных узлах,
а=1
Р
Л*у = 2 Ло'у = — /(*) в нерегулярных узлах,
где Аау = у- х , Ла" определяется по формуле
Замечание. Весьма распространенным является способ
аппроксимации задачи Дирихле, основанный на использовании
в приграничных узлах разностной аппроксимации оператора
Лапласа на нерегулярном шаблоне, когда в узлах яею* вместо
A6) используются формулы A4). Однако построенный таким
образом разностный оператор в некоторых случаях теряет ряд
важных свойств, присущих исходному дифференциальному
уравнению: самосопряженность и знакоопределенность. Отсутствие
этих свойств затрудняет применение эффективных итерационных
методов решения сеточных уравнений.

224 гл-1У- схемы для уравнений эллиптического типа
5. Запись разностного уравнения в канонической форме.
Рассмотрим Bр + 1)-точечную схему Ау = —/ в регулярном узле
Перепишем это уравнение в виде
'1-А-^)-2^(+1в) + У(",в)) + /^. C2)
а=1 ла а=1 па
Остановимся на случае двух измерений. На рис. 6 видно,
что в регулярцом узле
21^ + 1?}У0 = 1Т ^1 + Уз) + -А-(У2 + Уа) + /о-
н\ чг Ч ~ Ч
Пусть узел гбш/,,! нерегулярен. В случае, соответствующем
рис. 13, а, имеем
где %г = 0,5 (&! + А*),
Л2
Из уравнения А*у = Л*у + Л2г/ = — / находим
В случае, соответствующей рис. 13, в, будем иметь
где »! = 0,5 (Л*_ + Л*+), *, = 0,5 (А, + А?).
Пусть ©*( О— сетка в р-мерной области и л <=
соЛа—приграничный нерегулярный узел. Тогда
*-±(^-^)-
1 _.Г+1«Л . 1 ..Г-ьЛ 2*<
-у(+1а)+т^-у('м- „:»°. у- (зз)
а а+ а а а а а+
Подставляя это выражение в уравнение Л*у = — / и формально

§ 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 225
считая, что узел х нерегулярен по всем ха, получим
ос=1 а а а+ а=1 \ а а+ а а- /
*« = 0,5 (*;;+ + *•-). C4)
Если х регулярен по некоторому направлению #р, то в этой фор-*
муле следует положить йр- = /&«+ = %$ = Лр. Если же
ж-регулярный по всем ха узел, то полагаем йа_ = йа+ = %а = Аа для
всех а —1, 2, ..., р, что дает формулу C2). Сравнивая C2) п
C4), видим, что эти уравнения можно записать в канонической
форме
А(х)у(х) = 2 В(х,1)у®+Р{х), *ео)Л, C5)
Ь<=Ш'(х)
где Ш'(х) — множество 2р узлов Bр+ 1)-точечного шаблона
«крест» с центром в точке я, исключая сам узел #, т. е. \Фх;
множество Ш'(х) будем называть окрестностью узла х. А(х) и
В(х, |) — заданные коэффициенты уравнения. Из C2) и C4)
видно, что
А (х) > 0, В (х, I) > 0, 2 В (х, Ъ) = А D Для всех х е сол. C6)
Б=ДГ'(ж)
К уравнению C5) следует присоединить граничное условие
У\Чк = \>>Н- C7)
Разностная задача Дирихле является частным случаем более
общей задачи: найти сеточную функцию у(я), определенную на
(Он = (ол + ^л и удовлетворяющую на юл уравнению
^ (*)»(*)= 2 В^^^ + ^М^ешл, C8)
&<=Ш'(х)
у(я) = |ф),хе7Л|
где
• А(х)>0,В{х,Ь)>0,П(х) = А(х)- 2 Д(*,'6)>0 C9)
Б<=ДГ'(ж)
для всех х ^ сэл.
Замечание. Третья разностная краевая задача для
уравнения Пуассона приводится также к виду C8), причем
уравнение C8) выполнено для всех х^<он и имеют место условия C9);
кроме того, требуется, чтобы Б > б > 0 на Чн>
Для доказательства существования и единственности решения
задачи C8), C9) достаточно убедиться в том, что однородное
15 а а. Самарский

226 гл- 1у- схемы для уравнений эллиптического типа
уравнение
&1У] = А(*)У(*)- 2 В(хЛ)у(Ъ) = 0, яесод,
&<=Ш'(ж)
у(*) = 0, хе=уНу D0)
имеет только тривиальное решение у(х) = 0, х ^ ю*. Этот факт,
как будет показано ниже, следует из принципа максимума,
который имеет место для схем. C8)—-C9).
§ 2. Принцип максимума
1. Каноническая форма сеточного уравнения общего вида. Для
оценок в С решений разностных эллиптических и параболических
уравнений применяется принцип максимума. Он справедлив для
сеточных уравнений общего вида, которые мы и рассмотрим в
этом параграфе.
Пусть о — конечное множество узлов (сетка) в некоторой
ограниченной области гс-мерного евклидова пространства, Р&©_-
точка сетки <о. Рассмотрим уравнение
А(Р)у(Р)= 2 В(Р,(?)у(B) + Р(РIРе:(о, A)
0<=Ш'(Р)
"для функции у(Р)у заданной на сетке со. Здесь А(Р) и В(Р, (?)
(коэффициенты уравнения), Р(Р) (правая часть уравнения) —
заданные сеточные функции, Ш'(Р) с: © — множество узлов
сетки со, не содержащее узла Р,—окрестность узла Р. Шаблон
сеточного уравнения A) в узле Р, очевидно, состоит из самого узла
Р и его окрестности Ш'{Р).
Подобные уравнения могут возникнуть и при сеточной
аппроксимации интегральных уравнений. В дальнейшем всюду
подразумевается, что коэффициенты А(Р) и В(Р, (?) удовлетворяют
условиям
Л(Р)>0, 5(Р, <?)>0 для любых Ре© И <?е=Ш'(Р), B)
• #(Р) = 4(Р)- 2 Я(Р,<?)>0.
Точка Р называется граничным узлом сетки ю, если в этой
точке задано значение функции у(Р), т. е.
у(Р) = ц(Р) при РеТ, C)
где 7 — Множество граничных узлов.
Сравнивая C) с A), видим, что па границе *у следует
формально положить А(Р) —-1, 5(Р, (?) « 0, Р(Р) = \1(Р).
Узлы, в которых выполняется уравнение A) при условиях B),
назовем внутренними узлами сетки, ю — множество внутренних
узлов, а о = о + 7 — множество всех узлов сетки.

§ 2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА 227
Первая краевая задача, определяемая условиями A)—C),
занимает особое место в теории уравнений A). В случае краевых
условий второго или третьего рода, например,^ для уравнений
эллиптического типа, граничных узлов пет, т. е. со = со.
Б^дем предполагать, что сетка со связная, т, е. для любых
заданных точек Ре© и Р^ со существует такая
последовательность^ окрестностей (Ш'(Р)}, что можно совершить переход от
Р к Р, используя лишь узлы этих окрестностей, иными словами,
найдутся такие узлы Ри Р2, ..., Рт сетки со, что
Р1 се Ш'(Р), Р2 е ЯПР*), ..., Рт е Ш'<Рт^), Р е Ш'(Рт),
причем
ЖР<, Р,+4) =И= О, I = 1, 2, ..., т - 1, ВСР, Р4) * О,
В(Рт,Р)*0. Ш
В случае разностной схемы для задачи Дирихле B4)—B6) из
§ 1 определение связности D) совпадает с определением, данным
в § 1, п. 4. =
Из этого определения ясно, что точка Р может быть
граничной и, следовательно, связность означает, что каждая точка
границы принадлежит окрестности Ш'(Р), по крайней мере, одного
внутреннего узла.
Вводя обозначение '
2?у(Р) = А(Р)у(Р)- 2* В{Р9®у{0), E)
можно записать уравнение A) так:
&у(Р)=ПР). F)
Нам понадобится и другая форма записи 3?у(Р):
2?у{Р) = В(Р)у(Р)+ 2 В{Р,0){у(Р)-у«П). G)
ЯеШ'(Р)
В предыдущем параграфе разностная задача Дирихле была
приведена к виду A), C). Рассмотрим в качестве примера для
уравнения теплопроводности
ТГ = $■+/(*.'). 0<*<1, *>0,;
и (х, 0) = щ (х)% и @,«) = \хг (*), и A,«) = \х2 (*)
так называемую схему с весами. Эта схема на сетке (оЛт = {(#< =
= й, ^ = /т), 1 = 0, 1, ..., N. Ш = 1, / = 0, 1, ...} имеет вид
3+1 3 • .
У« ~У* = Л @1/Г1 + A - а) у{) + <р|,
• (8)
15»

228 гл- 1У- СХЕМЫ'ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Запишем эти разностные уравнения в канонической форме A).
В этом случае Р есть узел сетки о)Лт: Р = Р(хи ^+1), Ш'(Р)
СОСТОИТ ИЗ УЗЛОВ (?1 = (х{, *,), (?2 = (#1-1, ^+1), #з = (Яг+1» й+Л
<?4=и<_1, *Д ^5 = (^+1, ^), граница *у состоит из узлов (хи 0)
и @, *;), A, *Д * = 0, 1, ..., ./V, / = 0, 1, ... Фиксируем некоторый
момент 1 = 1,+1 и перепишем (8) в виде
_ а Л2+1 4- 1,*+1\ Л- I * 4- 2((Т-1> \ „3 I A-°г) Л,3 4-,/? ^ 4-ет>
— ТГ\^-1 +Уг + 1; + I— Н 72 ]УН 72 ^г-1 + ^Н1;+фг-
Отсюда видно, что коэффициенты В(Р, (?)>0 только при г^
к2
^2A — о) и 0^ст^1. Кроме того, получаем 1>(Р)=0.
2. Принцип максимума. Теорема 1 (принцип максимума).
Пусть у (Р) Ф сопз!;—- сеточная функция, определенная на связной
сетке со, и пусть выполнены условия B), D). Тогда из условия
3?у(Р)<0 C?у(Р)>0) на со следует, что у(Р) не может
принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицатель-
ного) значения во внутренних узлах Р е со.
Доказательство. Пусть дано 3?у(Р)<0 во всех
внутренних узлах Р е о). Предположим, что у(Р) принимает
наибольшее положительное значение во внутреннем узле Р ^ <о, так что
у(Р) = та_х у(Р) = М0 > 0.
(О
Теорема будет доказана, если мы покажем, что существует
внутренняя точка Р, в которой 3?у(Р)>0, что противоречит
условию &у(РХ0. Так как у(Р)>у((?) для всех Bе=Ш'(Р), то
2>у(Р) = П(Р)у(Р)+ 2 В(Р^)(уСР)-уШ>
<2=Ш'(Р)
>В(Р)у(Р)>0,
так как 0СР) > 0 и г/СР) > 0.
Из сказанного выше ясно, что надо рассмотреть лишь случай
3?у(Р)==0. Это возможно, как показывает ^формула G), лишь
при Б(Р) = 0, у(<?) = у(Р) для всех <? е= Ш'(Р).
Возьмем теперь узел РА е Ш' (Р), в котором #СР4) = у(Р) = Л/0,
и повторим рассуждения. Так как у(Р) Ф сопз! на <о и сетка
связная^о существует такая последовательность узлов Ри Р2, ...
..., Рт, Р, для которых выполнены условия D), что
у(Рт) = у(Р)=М0, а у(РХМ0, Р^Ш'(Рт).
Тогда
&у (Рт) > В (Рт) у (Рт) + В (Рт, Р) (у (Рт) - у (Р)) >
>В(Рт>Р)(у(Р)-у(Р))>01

§ 2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА 229
т. е. Р = Рт и первое утверждение теоремы доказано. Второе
утверждение сводится к первому, если заменить у{Р) на —у{Р).
Следствие 1. Пусть выполнены условия B), D) и сеточная
функция у(Р), заданная на со+ 7» неотрицательна на границе
(у(Р) >О при Реу) и 3?у(Р) >О на <о. Тогда у(Р)
неотрицательна на со + *у, т. е. у(Р) > 0 для всех Р^ы + у. Если же у(Р) < О
на -у, 3?у(Р) ^ 0 на ю, го #(Р) < 0 на ю + -у.
Доказательство. Пусть 3?у(Р) > О на ю, у(Р) >0 на *у-
Предположим, что #(Р0) < 0 хотя бы в одном внутреннем узле
Р0 е ю. Тогда у(Р) должна принимать наименьшее отрицательное
значение внутри ю, что невозможно в силу теоремы 1; так как
у(Р) Ф соп81 на <о(у(Р0) < О, #|Т > 0).
Второе утверждение доказывается аналогично.
Следствие 2. Однородное уравнение A) с однородным
краевым условием
&у{Р) = О на о, у(Р) = 0 «а «у (9)
1шеег только тривиальное решение у(Р) = 0.
Нетрудно заметить, что у(Р) = 0 есть решение задачи (9).
Пусть существует решение задачи (9) у(Р) Ф 0. Если у(Р) Ф О
хотя бы в одной точке, то, в силу следствия 1, должны
одновременно выполняться неравенства у(Р) > О и у(Р) < 0, что
возможно только при у(Р) = 0.
Тем самым доказано
Следствие 3. Существует и притом единственное решение
задачи A) —- D).
3. Теорема сравнения. Мажоранта. Теорема 2. Пусть
у(Р) — решение задачи* A)—-D), а У(Р) — решение задачи
&У(Р) =7г(Р), Р € о), У(Р) = |Г(Р) при Р е Т. A0)
Тогда из условий
\Р(Р)\<Р(Р), Ре», ||х(Р)|<ц(Р), Рет; (И)
следует неравенство
\у(Р)\ ^ У(Р) при Р е © 4- т. A2)
Доказательство. В силу следствия 1 справедливо
неравенство У(Р) > 0 на о + 7. Функции и(Р) = У(Р) + у(Р)_и у(Р) =
= У(Р) — у(Р) удовлетворяют уравнениям 3?и = Ри = Р+ Р>0,
3?р_== Р* = Р — Р >0 и граничным условиям и!т=* (У + ^) |т =
= |л + |х^0 и 1;|т==(У~у)|т = ^~>>0.
Так как условия следствия 1 выполнены, то иХ) или у>
> —У, у ^ 0 или I/ < У. Отсюда следует, что — У < I/ < У или
|у(Р)|^У(Р) на со + ъ
Функция У(Р) называется мажорантой для решения задачи
A)— C). Если она найдена, то мы сразу получаем оценку для

230 гл- гу- схвмы для уравнений эллиптического типа
Следствие. Для решения задачи
&у=0 па со, у(Р) = \х(Р) на у A3)
справедлива оценка
тах МР)Г=|УЬ<1|*1<У <14>
где |ц|с,= тах|ц(Р)|.
Т Ре?
В самом деле, определим мажоранту У(Р) условиями 3?У = 0
на со, У = |||х||с7 на у. Функция У(Р) > 0 на ю + ^ и принимает
наибольшее значение в некотором узле сетки. Этот узел не
может быть внутренним, если У(Р) Ф сопз! и, следовательно,
|| У \ъ = тах У (Р) = тах У (Р) = |1 ^ ||с . Если У(Р) = сопз*, то
Ресо+7 Ре?
У (Р) = |||л||су- В обоих случаях || У ||5 = Ц^Цсу Отсюда и из
неравенства Ыс<Иу1ЬслеДУет A4)-
4. Оценка решения неоднородного уравнения. Решение задачи
A) — C) представим в виде суммы
У=У + »,
где у (Р) —- решение однородного уравнения
2?у = 0 на со, у = рХР) на ?, A5)
а» = у(Р) — решение неоднородного уравнения
&и(Р) = >(р) на ©, »(Р) = 0 на ?. A6)
Для у(Р) уже получена оценка A4).
Перейдем к оценке функции 1>(Р).
Теорема 3. Если В(Р) > 0 всюду на <о, го для решения
задачи A6) верна оценка
1^<|т
A7)
Доказательство. Рассмотрим мажоранту У(Р):
2>У=1ЛР)|, У|т = 0, У(Р)>0приРео) + т.
Пусть У(Р) принимает наибольшее значение в узле Р0 ^ со. Так
как У(Р0) = ИУИс, то из уравнения
Д(^о)ЛЛ.) + 2 Я(Ро,0(Г(Ро) -Г((?)) = |^(Р0)|
<*=Ш'(Р0)
следует ^(Р0Mг(П)<1^(ПI^(^о)<-14|^-<|^-|с.: что и
требовалось доказать.

§ 2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА 231
Замечание. Оценка A7) справедлива для решения задачи
A6) и в том случае, когда вместо B) выполнены условия
\А(Р)\фО, \В{Р,ф\фО, 0(Р) = \А(Р)\- 2 \В(Р,0)\>0.
()^Ш'(Р)
В самом деле, пусть \и(Р)\ >0 принимает наибольшее
значение в узле Р0. Тогда
И(Р0)|ИР0)| =
2 В(Р9,0)и{® + Р{РД
Оеш'(Р0)
< 2 \В(Р0ф\^(РЛ\ + \Р{РМ,
C=Ш'(Р0)
откуда заключаем
о(Ро)\»{Р0)\<\Р(РЛ 1у1с = 1^^.I<1^-<141с
о
Может оказаться, что /)(Р) = 0 на подмножестве © сетки ©
о о
и р(Р) > 0 на дополнении о до о, © + со* = о. Тогда имеет место
Теорема 4. Пусть выполнены условия
В(Р) = 0 при Р е= ©, #(Р) > 0 при Р е= ©*,
о
где о — связная сетка. Тогда для решения задачи A6) с правой
частью
Р(Р) = 0 при Р е= ю, ЛР) # 0 л/ш Р е= ©*
верна оценка
*.- <18)
где |/|с,= тах|/(Р)|.
Рео*
Доказательство. Пусть У(Р) — мажорантная функция,
&У=\Р(Р)\ на ©, У1Т = 0, У^О. Функция У(Р) должна
принимать наибольшее значение на конечном множестве © + 1 в
некотором узле. Этот узел не может быть ни граничным, так как
о о
У|т = 0, ни узлом сетки © в силу связности © и принципа
максимума. Следовательно, шах У{Р) = шах У(Р) = У{Р0), где Р0 —
Ре© Р€<о*
узел на ©*.
По условию /)(Р0) > 0. Поэтому, повторяя рассуждения,
проведенные при доказательстве теоремы 3, получим A8).
Справедлив аналог замечания к теореме 3.

232 гл- 1У- схемы для уравнений эллиптического типа
§ 3. Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле
1. Оценка решения разностной задачи Дирихле.
Воспользуемся априорными оценками, полученными в § 2 для сеточного
уравнения общего вида, чтобы равномерно оценить решение
разностной задачи Дирихле B4) — B6) из § 1:
Ау = — ф в регулярных узлах,
А* у = — ф в нерегулярных узлах, A)
у = [хЫ на границе,
где
р
Лу = 2 Аау, Лау = у-
а=1
А*у = 2 Аау,
а=1
(+1а) ("М
' —У У ~УК '
Н
а~
Вводя оператор Л, совпадающий с Л* в приграничных узлах
и с Л в остальных внутренних узлах, получим
Лу = — ф, х €= сод, у |?л-= И (*). B)
Запишем A) в виде (см. п. 5 § 1)
А(х)у(х)= 2 ДМрО + ^Ч*), *€=©, »|тл = !*(*). C)
где 4 (*)><), #(*,Б)>0, Я(*) = 4(:г)- 2 Я(*,Б)>0.
Е€Ш'(х)
Представим решение задачи A) в виде суммы
»=?» + &
где у и у — решения задач
Лу = О, х е сол, у = [х при а: е ^л, D)
Лу = — ф, я^сол, # = 0 при х^Чп. E)
Для решения задачи D) в п. 3 § 2 получена оценка
Ы1с<1Ы<у F)
Представим теперь правую часть ф в виде
о
ф = ф +ф*,
о о
где ф = ф, ф* = 0 в строго внутренних узлах, х^а>н (см. § 1, п. 4),
о #
Ф = 0, ф* = ф в приграничных узлах хеюл. В соответствии с этим

§ 3. УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 233
положим
у = V + Ю,
где V и ш —- решения задач .
— о
Аи = — ф при жео)Л, V \Ук = 0, G)
Аш = — ф* при х е сод, и; |7/1 = 0. (8)
Каждую из функций уЫ и и>Ы оценим отдельно. Для
оценки г(х) достроим мажорантную функцию У{х). Предполагая, что
начало координат лежит внутри области С, возьмем
мажорантную фупкцию в виде
Г(х)=К(В*-г>), г2 =2 х1
а=1
где К>0 — постоянная, которая будет выбрана позже, а Д-
радиус ^-мерного шара (круга при р = 2) с центром в начале
координат, целиком содержащего область С
Учитывая, что Ла#| = 0 при а^р и
Ла4 = [(Ха + К)\~ 2x1 + (ха - К?]1Н1 - 2,
06 а А« [ ла+ Ла1 ]
= 26а, 9а = (Аа+ + Ла>)/2Аа,
получим
Р о
ЛУ = 2 ЛаУ = — 2рК при л: е сод, Л*У = — 2рвК-пря х е сод,
Р
где 6 = — 2л 0а, причем 6а = 1, если узел яесод является регуляр-
Р а=1
ным по направлению ха.
Таким образом, У есть решение задачи
лг = - 1>), г |Уй = я (Да - г2) |% > о,
— О. „5
где Р(х) = 2рК при а: е он, р(#) = 2р9Я при х е сод.
о #
Сравнение с задачей G), где Р = ф, т. е. .Р = 0 при <ге%, а
1>17А=0, показывает, что ^Ы > \Р(х)\ = |ф(яI, если положить
К = 2— | ф ||с, при этом выполнены условия теоремы сравнения 2 из
§ 2; так как Р(х) > \Р(х)\ = 0 при х е ©* следовательно, \ЫС <
< IIУ Не-

234 гл- г7- схемы для уравнений эллиптического типа
Из выражения для У видно, что ИШс^-Кй1, поэтому для рвг
шения задачи G) справедлива оценка
Ис<-|-!ф1с = ^ф|о, (9)
где |ф|. = тах|ф(я)|.
С о
жеод
Перейдем теперь к оценке функции ш(#). Покажем сначала,
что для задачи (8)
1 *
О (х) ^ Тл гДе ^ = шах /га, х е а)Л, A0)
Н а
о
и (х) = 0 при х е сод. A1)
Утверждение A1) очевидно.
Рассмотрим теперь приграничный узел а;е©ди уравнение (8)
в этом узле
А(х)и>(х)= 2 В(хл$и>®+Р{х)%
*еш'(*) A2)
Р(х) = у*(х)ги>[,н = 0.
Если один из узлов | = |0, например 5о = я(+1<х\ является
граничным, то ы>(|0) — 0 и окрестность Ш'(х) не будет содержать
точки ^й. Тогда для И(х) получим значение
0(х) = А(х)- 2 Я(*,6) =
[Деш'<*) ^
так как для уравнения Лапласа А (х) = 2 # (я, &)• Таким
Ъ<=Ш'(х)
образом,
• В(х) = В(х,Ж+1*))>оя
Если узел х является приграничным не только по ха, но и
по другим направлениям, то в сумме A2) будут отсутствовать и
другие слагаемые при | = &, |2, ..., |*. В этом случае
В(х) = В(х, |0) + В(х, 1,) + .. .+В(х, Ън) > 0.
Пусть узел же ©л—приграничный и нерегулярный только по
направлению ха и |0 = #(+1а) е -ул, х^1а) е ©л. Из уравнения
р
Л«ы> + 2 Лрш = — ф* (я),
0?а

§ 3. УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 235
где
1 (ыР*°>-
АоШ-г-1— — 1=-^ Ь-Ч ^—
ВИДНО, ЧТО
3=^а
Р
а а+ "
Если а: —- регулярный приграничный только по ха узел, то
1 1
# (#) = — ^ -^-. Если же он приграничен и по другим
направлена н
ниям, то /?0г) может только увеличиться. Поэтому оценка A0)
верна всегда.
Воспользуемся тецерь для задачи (8) теоремой 4 из § 2:
Мс<|Ис.<^|<р*||с. A3)
Учитывая оценки F), (9) и A3) и неравенство ||*/||с^Ы1с +
+ \\и\\с "Ь 1ш1с' убеждаемся в том, что верна
Теорема 1. Для решения разностной задачи Дирихле A)
справедлива оценка
1Ыс<!МСу + -^-1ф|1а +Л2|ФЙс*, A4)
где
||/|-с= шах |/(*)|,|/|г = тах|/(*)|,
||/||с* = тах |/(*)|, ||/||с = тах |/(д:)|.
Эта теорема' выражает устойчивость разностной задачи
Дирихле A) по краевым данным и по правой части.
2. Равномерная сходимость и порядок точности разностной
схевш. Для изучения вопроса о сходимости и точности схемы B)
рассмотрим задачу для погрешности

236 ГЛ* 1У- СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
где у — решение задачи A), а ю = и(х) — решение задачи A) из
§ 1. Подставляя у = 2 + и в A) или B), найдем
Аг — — фСя), жео), г|т = 0, A5)
где фЫ = Ли + фЫ — невязка.
Как мы видели в § 1,
фЫ = 0(|Л|2) = 0(й2) в регулярных узлах,
$(х) = 0A) в нерегулярных узлах,
точнее,
|г|)|^—^2—^р-т^-А2 в регулярных узлах,
|1|)|^рЛГ2 в нерегулярных узлах,
где
Мк= шах
<Э*и ' ~
дх*
ос
, А: = 2, 3, 4, . .., | А |2 = 2' *«> 'г == тах ^а#
а=1 1<а<р
Воспользуемся теперь теоремой 1 из п. 1. Оценка A4)
принимает вид
Подставляя сюда написанные выше оценки для |ф1, получаем
|*1с = |0-и|с< (-д-АГ4 + РМ2)К\ A6)
Тем самым доказана
Теорема 2. -Бели решение и(х)^Ск(@) (имеет непрерывные
в G = С + Г производные до четвертого порядка включительно),
то разностная схема равномерно сходится со скоростью 0(Н2)
{имеет второй порядок точности), так что верна оценка A6).
§ 4. Некоторые свойства
разностных эллиптических операторов
В этом параграфе мы исследуем свойства разностных операторов, ап-
дрокоишцрующих оператор Лапласа в прямоугольнике, а также получим
некоторые оценки для разностных алпроксимаций эллиптических
операторов второго порядка с переменными коэффициентами л смешанными
производными.
1. Задачи на собственные значения для разностного оператора
Лапласа в прямоугольнике. Пусть G0 = @ ^ ха < 1а, а = 1, 2} —
прямоугольник, ©л = {х = (г^, ь^г), *а = О, 1, 2, ..., #а, Л^Д» =
= 1а] — сетка в G0, 1* — множество граничных узлов сетки.
Сетка ©л равномерна по каждому направлению ха с шагом ка.

\ § 4. СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 237
\
Задача на собственные значения для оператора Лапласа в
прямоугольнике Со с краевыми условиями первого рода
№ + № = 0, жеС0, V\т=x0, и(х)&0,
имеет бесконечное множество собственных значений
Я* = Цц = л2 ( ^ + ^ ), к* = 1,2, ..., а = 1, 2,
которым соответствует ортонормированная система собственных
функций
/4 пк пк
-ур- 81П -у±- Хг 81П -у^ Хъ
так что
где (и, у) = ] йа^ ] <1х2и(х11 х2) V (хг, х^. Решение этой задачи на-
о о
ходится методом разделения переменных (см. [14]).
Для разностного оператора Лапласа Лу=у- „ +у- _ с краевы-
ми условиями первого рода задача на собственные значения
ставится аналогично.
Требуется найти значения параметра А, (собственные
значения), которым соответствуют нетривиальные решения однородного
уравнения с однородными краевыми условиями
Лу + Ал; = 0, х е <оЛ, V \Ук = О, V (х) ф 0. A)
Следует отметить, что ^л (и, следовательно, а>Л) не содержит
узлов @, 0), @, #2), Шг, 0), Ши Й2), являющихся вершинами
прямоугольника.
Решение задачи A) будем искать методом разделения
переменных в виде произведения
V(x^, хг) = \1(х1)г\(х2) (х{ = ики х2 = нЮ-
После подстановки этого выражения в уравнение
Ли + XV = ^ + ^ + Ки = 0,
находим
ИС^ (*») 1 (*«) + И («Ол^с, («г) + *|* (*1> Л (*г) = 0. B)
Так как мы ищем нетривиальные решения задачи A), то можно
разделить обе части уравнения B), на ц(ж1)т!(а;2) Ф 0. В
результате получим Ъ1Х1/Р + Ч-ХгХг/Ч + Ь = 0 или
^/1» —П5Л/Л-Х--ХЧ C)

238 гл-1У- схемы для уравнений эллиптического типа /
причем А,A) = сопз1 не зависит ни от хи ни от х2. Тем самым для
\х(х1) получаем задачу па собственные значения на сетке (Оь =
== {хг = г^!, гг = 0,1, ..., Л^; /г^ = 1г}:
Л1гг + ЬA)И=^1Х1 + №\ь = 0, хг = 1гк19
1г = 1, 2, ..., Л^ — 1, \10 = 0, ^ =
О
(условия \10 = ^ =0 следуют из того, что |л@)т1(#2) = 0,
11(^I1(^2) = 0 и г](#2)^0). Решение этой задачи имеет вид (см.
§ 3 гл. И)
причем {[^(#1)} — ортонормированпая система собственных функ-
ЦИЙ: (И»1»М =**!*'' ГДе (^'1;I= Д^УСАМ*!*!)*!'
Из C) получаем аналогичную задачу для ^(«г):
^«а + ЬB)т1 («О = °» хг = ЧК 4= 1. 2, ..., ЛГ2 -1, По = °! %2 = 0,.
где А,<2> =Я —ЯA). Ее решение имеет вид
^ = А81п^
2
к2 = 1, 2, .. ., УУ2 1,
причем (\, тЫ = ^*'» где (У^J= 2 У№д»№*Ж Тем
\ .2/2 2 2 г2=1
самым найдены решения задачи A).
Собственные значения:
Ь>к = ^к±к2 = ^кг + &к2 «
D)
ИЛИ
/Сх = 1, 2, ..., ^>1 — 1, /с2 = 1, 2, •.., ^2 — 1.
Собственные функции:
/ ч / ч / ч / ч /" 4 . Пкг*1 . *КХ2
Vк(x) = Vк1к2 (ХЪ Х2) = \1к1 (Х^ \1к2 (Х2) = 1/ -ту-ЗШ —р-81П—^-2-,
У 4*2 *1 *2
E)
/?х — 1, 2, ..., Ах — 1, л2 = 1,2,..., УУ2 — 1.
Общее число собственных функций равно (ЛГ4 — 1)(Л^*— 1) ■вЛГ.

§ 4. СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
239
Они образуют ортонормированную систему
F)
в смысле скалярного произведения
(Уг *>) = 2 2 у (нК нК)" (* А» чЮ КК = 2 у (*)»(х) КК
G)
Следовательно, по системе функций {ул1а2(ж1,ж2))можно разлагать
любую функцию /(«I, х2), заданную на сетке ^ и
обращающуюся в нуль на границе сетки ^Л:
N
/ (х) = 2 едъ (я), ск = (/, уа).
ди
В случае второй краевой задачи, когда— = 0, следует
сначала написать на ул краевое условие второго порядка
аппроксимации. Нетрудно непосредственной проверкой убедиться в том,
что разностная задача второго порядка аппроксимации на
собственные значения с краевыми условиями второго рода ставится
так:
Лу + ^у = 0, х е (ад, Лу = Лх17 + Лг1;,
Лау =
у*аха' а ^ Х(х ^ а — а>
2
— г-у7 » *а = *а, а = 1,2.
(8)
В самом деле, предполагая, что ю(#) есть решение уравнения
Аи + Хи = 0 с условием ди/дп\т — 0> найдем погрешность
аппроксимации краевого условия
VI = (их1т+ 0,5кгА2и + 0,5/г^и) ^
=о
= E^+°'5^ %+°-5^ §+°^ы
х,=о
+о(л;) =
Аналогично находим Ух" = (— «^ + 0,5й1Л2м + 0,5^») 1*!=^ —
= 0(н1)ит. д. *

240 гл-1у- схемы для уравнений эллиптического типа
Метод разделения переменных сводит задачу (8) к двум
одномерным задачам для ц(х{) = цA1Л1) и ц(хг) = х\ЦгНг) на
собственные значения:
У%»г + ^ = °' (И*! + °. 5*Л) к=о = 0,
(-Ц^ + О^^^-О;
П=« + ^ = °« К + 0.5**%) к=о = 0,
(-^ + 0,5АА%) !„..!,-О,
для каждой из которых решение было найдено в гл. II, § 3.
Таким образом, можно сразу написать собственные значения
и ортонормированные собственные функции
^ = Ц», = Х^>+Х?1>, • (9)'
Ук (*) = 1\ка («1, «О = I**! (*к) Ли а (*«),
*в = 0,1,2, ...,^в, а = 1,2,
где
*<» = Л<» = 0, Х^> *зт»^2, 1<А-а<^«; а = 1, 2; A1)
Ив (*») = к .Т' ^ (^ = V тС08 *"I—'
^1(^)=1/т-С08П^1' ^ = 1,2,...,^-!; A2)
<2 '. '
Лл2(*2) = К"Г" С08 """А *« = 1; 2, .... ЛГа —1,
причем
[^Л'^;] = \Д4' A3)
где

[У, V] = О/, ^ + -V8- [»@,0)»@,0) +
+ У@,11М0,11)+у(/1,0I>(/1,0) + »(/!,/,)»(«!,/2)] +
"■-1
+ 0,5»! 2 [у @, 12/г2) р @, 1гй2) + у (Л^, 12А2) р (ЛГхАи 12к2)] й, +
+ 0,5й2 2 [у (^ 0) V («Л, 0) + У («А, #А) у («Л, ОДИ *ц A4)
«1=2
а (у, V) определяется согласно G).

§ 4. СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 241
2. Свойства разностных операторов. Введем пространство
Свет —
точных функций Йл, заданных на ©л = сол + 1[л и равных нулю
на Та, и пространство ЙЛ функций, заданных на о)Л; введем в ЙЛ
скалярное произведение
(У> ») = 2 У (*) V (х) кхН2. A5)
жеод
Исследуем свойства разностного оператора Лапласа
Аи = Лх1; + Л2у, Ла1> = Ц-^, а = 1А 24
о до
действующего из Йл в йл <= йл.
1. Оператор Л самосопряжен:
о
(Ау, V) = {у1 Лу) для любых у, 1>^йл. A6)
Для доказательства учтем, что
Л2-1 N^-1 ^а-1 ^-1
(Агугц)= 2 А2 2 М^Л^кч = 2^2 ^(уЛ^к, =
так как оператор Л4 самосопряжен на сетке
©л} = {^1 = г А, гг = 0, 1, ..., Л^; ЛГ^ = 1Х),
и, кроме того, можно менять порядок суммирования по 1*1 и и.
Аналогично убеждаемся в том, что
(Л21/, V) = (у1 А2V).
Отсюда и следует A6).
2, Оператор —Л положительно определен:
(-Ау, у)>Щ\\\ A7)
где б = —81па-^ + —81п22^> —+—= б0. Это следует из
того,, что
Ят1п»1/112<(-Лу, у),
а 6 = А,т1П (см. Дополнение, § 1).
3. Для оператора Л справедливы оценки
6\\уР<(-Ау, у)<А\\у\\\ A8)
где б указано выше, а
16 Л. Л. Самарский.

. 242 гл- г^ схемы для уравнений эллиптического типа
Отсюда, а также из оценки снизу для б следует, что
б0Н#^(-Лу, уХДоИуИ2. A9)
Из сказанного выше ясно, что удобнее вместо Л'
пользоваться оператором А = — Л, который можно трактовать как оператор
о
из Ял = ЙЛ на Йлс Ял или из ЯЛ = ЙЛ на ЯЛ, если определить
его так:
~ /V, О
Ау = -Ау, у^&н, где Ау = Ау при у^&н.
Таким образом, мы установили, что в Йл
а=а*,6Е<а^ае,
где Е — единичный оператор.
о _
Любую функцию /^Ол (заданную на а>л и равную нулю на
Тл или заданную только на соЛ) можно разложить по
собственным функциям оператор А:
N
Нх) = 2 ск»к> ск = (/, ик),
так что 2 4 = ||/||2, где ук — собственные векторы оператора -4:
Аук = Х&* N={N1- 1)(ЛГ2 - 1).
В случае второй краевой задачи на собственные значения (8)'
пространство Ял = Йл состоит из всех функций, заданных* на ©л;
скалярное произведение (,) в ЯЛ вводится согласно A4),
оператор А определяется так:
А =А1 + А2,
где
Аау = — Аау = — у^Ха При 0 < Ха = ^а < к,
Аау = ~А-у = -2уХа/ка при #а = 0,
4# = — Л2у = 2у-а/На при ха = Л^аАа = /а, рь = 1, 2.
Тогда задачу (8) можно записать в операторной форме Ау =>
= %у. Этот оператор является самосопряженным
и-неотрицательным:
о^л^дя, л = л*,
где Д = Ятах = 4 (йГ2 + А^2).
Заметим, что операторы А± ж А2 являются перестановочными
самосопряженными как для первой, так и для второй краевой
задач, поэтому они, в силу общей теории (см. Дополнение, § 1),
имеют общую систему собственных функций, совпадающую с си-

§ А. СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
243
стемой собственных функций для А =А1 + А2, при этом
собственные значения оператора А являются суммой собственных
значений А1 и А2:
3. Оператор Лапласа в области, составленной из
прямоугольников. Рассмотрим теперь область, состоящую из конечного
числа прямоугольников со
сторонами, параллельными
координатным осям, как
показано на рис. 14.
Предположим, что стороны
прямоугольников, составляющих
область С, соизмеримы.
Тогда можно построить сетку (г.
шагами й4 и Н2) так, ч'ю
граница сеточной области
лежит на границе
области С Дополним область
С до прямоугольника, который обозначим через #, как это
показано на рис. 14. Построим в области С разностную сетку ©а и
продолжим ее в С Сетку в области О будем обозначать ол.
Пусть V — сеточная функция, заданная на юл, такая, что
V \Ун = 0. Определим функцию
»*
о
>
Т т т
-~Г-Н—1—
__^ х__1__.
1 1 1
—■!—+—}—
1 1 1
Л/
6
Ь
1 X)
Рис. 14.
У(*И о,
яе=(оЛ\а)Л.
Тогда из определения функции у следует, что
1»1к=И<оЛ = И,
"(ОД
где,
И2 = 0м>), ♦(*>,*/)= 2 V{x)^{x)н1нъ |№ = 2 ?2(*)М2;
2
МЛ
*<=0>Л
21^-2^1
о=1
Учитывая эти равенства, убеждаемся, что для функции у(х),
определенной на сетке (оЛ в области С, справедлива оценка A9).
При этом
60 = 8(*Г2 + /2-а), Д„ = 4(А1-2 + А2-!!),
где и и 12 — длины сторон прямоугольника О.
4. Теорема вложения. Зная свойства эллиптических
операторов, можно получить различные априорные оценки в
энергетических нормах для уравнения Ау = у. Из энергетических оценок
16*

244 гл-1У- сХЕМЫ Для уравнений эллиптического типа
может следовать равномерная оценка, т. е. оценка в норме
|| г/ ||с = тах \у(х)\.
Х€=0)Л
Справедлива следующая сеточная
о
Теорема вложения. Для любой функции у(х)^{дп,
заданной на сетке <оЛ = {х{ = (цЛ1э *2й2), гЛ = О, 1, ..., #в, На = /а/Лга,
а=1, 2} и обращающейся в нуль на границе (при #<х = 0, 1а;
а = 1, 2), имеет место оценка
\1у\\0<ММуК B0)
I2
где Ау^-у-^-у^, М0 = ^ф=^ /0=шах(/1, 12).
Доказательство. Пусть 1^*(х) и Л,/^ — собственные
функции и собственные значения оператора Л, найденные вп. 1,
ка = 1, 2, ..., #а — 1, а = 1, 2. Разложим функцию у(х) по
системе ортонормированных функций {^л1а2(^)}-
А1'*2
Отсюда получаем
^у = 2 ^лЧ^Л' 1И2= 2 ^л* И»Р= 2 ^Дй2.
Оценим модуль функции у(х):
IУ(*)!<( 2 |^л|)тах||7Л1Йа(я:)|.
\Л1»А2 /А1*А2
Из формулы E) находим | г;*^ (#)|< 2/"[Л^. Пользуясь
неравенством Коши — Буняковского, получаем
Ч^Ак-^г^АуГ^--B,)
Теперь остается лишь оценить сумму
8 = 2 я*1*2 =^ +2 2 л*л-
АгЛа А^ А2=1
*,+*2>*
Обратимся к формуле D) для Х^к и учтем; что функция (зтф/ф)

§ 4. СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 245
монотонно убывает при 0^ф^я/2, и поэтому 8ш<р->2ф/л:
где фа = я;йаА:а/B/а), а=1, 2. Воспользуемся этой оценкой и
напишем
2 2»*"л<т*2 2Ю+*»--*'.
кх=*1 к%=1 к=1 Ла=1
А1+Л2>2 *1+Л2>2
а сумму / мажорируем интегралом
>Я/2
1 О
О О ЛО
Учитывая затем, что %1%1 ^ б0 = ~т Н—Г ^"Тг"* получаем
*1 *2 *0 *
5 ^-^ + тш = 64 Iя + т) ^1е •
B2)
Подстановка B2) в B1) приводит к неравенству B0).
5. Уравнения с переменными коэффициентами. Рассмотрим
задачу Дирихле для эллиптического уравнения в области С +
+ Г = 2г*
Ьи — - /(х), х^Оу и — цЫ, я е Г. B3)
Пусть С = {0 ^ а:а < /а, а = 1, 2> — прямоугольник, а
2
1ш = 2 ь*и> ь*и = 5Г (к* (*) Й") •
а=1 а \ а'
&а(#) — достаточно гладкие функции, 0 < С! ^ к^х) <, с2, а — 1,
2, где с* > 0 и с, > 0 — постоянные. Обозначим со* = ©л + *{н
сетку с шагами кь и А2, введенную в п. 1.
Оператор Ьа аппроксимируем разностным ойератором
Ааи = (ааи-а]Ха ~ Д«и = ^ (*а (а) ^),
где аа(х) выбирается так, чтобы
Ааи — Ьаи = 0 (йа), 0 < сх < аа (х) < са, B4)
т. е. Аа имеет второй порядок аппроксимации, например, аа =
= «а \ ИЛИ
«Л*!» я2) = К(хх — 0,5Л1у #2), ^(#4, хг) = Аа{а:1, я2 — 0,5й2).

246 гл- 1У- схемы для уравнений эллиптического типа
2
Оператору Ьи ставим в соответствие оператор Аи = 2 Лам, а зй-
даче B3) — разностную задачу Дирихле
Л# = — ф, # е= сол, у = ]х (я), х е= ул,
АУ = (Ах + Л2) у, Лау = (*аУ-а)Ха, B5)
имеющую погрешность аппроксимации (невязку) ф = Ли + ф =
-0(|й|2).
Аппроксимация такого вида является естественным
обобщением на многомерный случай однородных консервативных схем,
введенных в гл. III для одномерного уравнения. Схему можно
получить интегро-интерполяционным методом.
Нас будут интересовать свойства оператора Л в пространст-
о
ве сеточных функций ЙЛ со скалярным произведением A5).
о
Обозначим А у = — Ау для любых у<^&.
2
Лемма. Оператор Ау = — Ау = — 2 ЛаУ, у^Н, само-
а=1
сопряжен и положительно определен и для пего верны оценки
сМи, уХШ, и)^с2Ш, и), B6)
еда2 ^ и», !>х с2д1М12 B7)
2
для любого уеЯ, гдеАу == — Ау = — 2 У* ж ^ <*> 8 >0, А >0 —
а=1 а а
постоянные, определяемые согласно A8) и A9).
В самом деле, так как V \Ун = 0, то из первой формулы Грина
для оператора Ла1; = (аа^ )*а следует, что
(Аа»^)--(а«Ч?в11^]в,
где
(и?, 2]1= 2 2 и>(*1Аъ 12Ю*(кК кЮ^Кя
(ш, 2]2 = 2 2 ю{чЪ>ь Н^2)^(Нки ^г)й1й2-
2
ПОЭТОМУ Dу, V) = 2 (ассу5а^ха]а-
С другой стороны, имеем (Аи, V) = 2 (*>- » *>* 1~» Используя
условие B4), приходим к B6).

§ 4. СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 247
Теперь остается подставить в B6) двустороннюю оценку
6Ы2 ^ Ш, V) ^ Д1Ы2 из п. 2 и получить B7). Здесь
2
О - ^ 51П 2 , А _ ^ С05 .
а=1 "а • а а=1 ла а
Неравенства B6) и B7) в дальнейшем будем записывать
в операторной форме
сЛ < А ^ с2А, B8)
сМ^А^с^Е, B9)
где Е — единичный оператор.
Самосопряженность оператора А=А^ + Аг доказывается по
аналогии с п. 2. Сначала устанавливаем, что
Аа = Аа > 0, Аау = — Аау = — (аа^а)ха при # <= Й*.
Достаточно рассмотреть, например, при а = 1 сумму по строке
(при фиксированном ц = 1, 2, ..., #2— 1)
ЛГ^-1 ]^-1
Д (^1^)^*1 = - Д («^^-«Л*1
"г*
= -2 ^(^АЛ = 2 МЛ^Л-
Умножая это тождество на Н2 и суммируя по н = 1, 2, . ..,#2 — 1,
получаем С441/, г>) = (у, Л4р) и аналогично (А2у, V) = (у, Аго),
отсюда следует (Ау, V) = ((А^ + А1)у, V) = (у, Лу), т. е. Л* = Л.
6. Уравнения со смешанными производными. Рассмотрим
задачу B3). с эллиптическим оператором Ь, содержащим
смешанные производные
2
1ги= 2 ^сфИ, ^и = оГ[ка^^\. C0)
а~1 а\ **Э'
Предполагается, что выполнены условия эллиптичности
2 2 2
С12&< 2 *«э(*)Ьх&э<*2Й, *еС, C1)
а=1 а,р=1 а=1
где с4 > 0, с2 > 0 — постоянные, а ^ = (|4, |2) — любой вектор.
Полагая здесь сначала |4 = 1, &2 = 0, а затем |4 = 0, §2 = 1,
убеждаемся в том, что
0 < с4 < каа < с2, а = 1, 2.

248 гл- гу- схемы для уравнений эллиптического типа
Оператор Ь^и аппроксимируем разностным оператором
Аа*и = \ ({ка^)Ха + (АаР^р)-а), . C2)
определенным при а Ф р па 7-точечном шаблоне
(«1, #2), (х1±Ни х2), (хи х2± й2), (^1 — ^1, #2 + й2),
(#1 + ки хг — й2)
(рис. 15). Представим Л«р в виде суммы
Лаэ = 0,5 (Л~$ + Л&), Л«р^ = (Аар^р)Яа. Л&И = (ЛарИхр)^.
Покажем, что ли имеют первый, а Л12 — второй порядок
аппроксимации
Л?аи = Ь12и + О (Нг + А,), Л12и = Ь12и + 0 (| А |2). C3)
Рассмотрим . оператор Л—и = (&12м* )* • Подставляя сюда
т-(хпх2)
*г
-*о
Рйс. 15.
разложения
м. = *» Л2^ , ^Л/ -ч
при у = А1аи- , получаем
*2
X 2
Аналогично находим
1 2
Отсюда и следуют оценки C3).
При ($ = а = 1 и р = а = 2 имеем
Лии = 0,5 ((кии^)в1 + (ЛцИ^) = К"^).,'
Айв = 0,5 ((й22и-2)ж> + (*,^«,)г1) = (вяЦц)»,.

§ 4. СВОЙСТВА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 249
где
ап = 0,5 [кп (хг — кг, х2) + кп (хг, х2)],
0,5 [к22 \хи х2 'Ч) I #22 (#1» ^г)]-
*22
Отсюда видно, что А^и — ЬоаМ = О (йа), а = 1, 2. Таким
образом, разностный оператор
2
Ау = 2 Лаэу
а, 0=1
аппроксимирует дифференциальный оператор C0) со вторым
порядком
Ли-^и = 0(|Л|2).
Наряду с C2) можно рассматривать также оператор
2
Ау = 2 ^арУ, &*У = Т" [(АаР^Р)*а + (*»йОлЛ<
а, р=1 р а х
имеющий аппроксимацию 0Aй12).
Исследуем свойства оператора Ау = — Ау для любого у^
о
ейА = Я. Оператор
2
^"г/=- 2 (йарУхр)-,
а, Э=1 х р/ а
2
являемся самосопряженным: Л=Л* при к12=*кги и для него
верны оценки B8), B9).
Рассмотрим отдельно А" и А\. Для любых у, уеЯ формула
суммирования по частям дает
и+у, ») = - Дх ((^-р)Яа, р) = в |х (**^, ^] а, C4)
2 2
(Л-у, V) = - ^ ((Аа|йЦ»)^, ») —Дх [А«РУ«Р, *«.)«. C5)
Меняя у и у, а затем аир местами, получим
(А\ у) = ^ (АаР%, Ух-а]а = ^ (*М5„. *«.],.
Отсюда и из C4) видно, что (А+)*=А+ только при Аг12 = Аг21.
Аналогично убеждаемся, что при этом (Л~)*=Л~ и, следователь-

250 гл-1у- схемы для уравнении эллиптического типа
но, А*=А. Необходимо только учесть, что у*х = (У при х2 = 0,
у- = 0 при х2 = /2, а ух = 0 при хх = 0, у- = 0 при х1 — Ь.
Рассмотрим теперь выражение (А+у, у). Его можно записать
в виде
2
И+У.0)= 2 (*оГ»*"в.^) +
+ 21(*и(^I)|1-^1лЛ+ ^(М^Л*,-*.*!*»-
В первом слагаемом сумму по а, р внесем под знак скалярного
произведения и учтем C1):
сг Д ((У«-0J, 1) < (а|= х *.«№%. ад.) < * Д ((и*)-, 1).
Таким же способом можно преобразовать выражение для
о
(А~у, у). Вспоминая Теперь, ЧТО С^ ^ лаа ^
— 2 (Уха> Ужа]а» получаем с^А ^Л<с2Л, т. е. неравенства B8).
а=1 Ч ■■ / о
Используя оценку &Е < А < Д2?, можно получить отсюда
неравенство B9).
§ 5. Схема повышенного порядка точности
для уравнения Пуассона
В этом параграфе рассмотрим схему повышенного порядка
точности для задачи Дирихле A) из § 1 в прямоугольнике.
1. Постановка разностной задачи Дирихле повышенного
порядка. Исходя из схемы «крест», можно построить схему с
погрешностью аппроксимации на решении 0(\к\к) (или 0(Ю в
случае квадратной (кубической) сетки). Для повышения порядка
аппроксимации используется тот факт, что и = и(х) есть решение
уравнения Пуассона
Ди = -/(*). A)
Проведем рассуждения для двумерного случая (р = 2), когда
2
Ди, = Ьхи + Ь2и, -^ссИ = ——.
Рассмотрим разностный оператор
. Ли = (Лх + Л2) и, Ааи = и-^.
Пусть и = и(х) имеет нужное по ходу изложения число произ-

§ 5. СХЕМА ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ 254
водных. Тогда
Из уравнения Ь& + Ьги = — /Ы находим -
Ь\и = — Ьх] — ЬхЬги, Ь\и = — Ь2] — ЬхЬ2и,
B)
так что
Л?
Ли^Ьи — ттт-ЬЛ — тт Ш
12
12
ъ\ + ъ\
12
ЬхЬ2и + 0(\к\*).
C)
Подставим сюда Ьи = — { и заменим 1^2» разностным
оператором
д*и
АлА2и = и- - ~ Хг./^и ■_
"I""*
Этот оператор определен на девятиточечном шаблоне,
изображенном на рис. 16.
л
8
Рис. 16.
АхА2и
Напишем выражение для А{А2и:
и (х1$ х2 - Н2) - 2ц (хг, х2) + и (х1$ х2 + Н2)
•*[■
]-
= ПпМ*-!""Аь ** — ^2) — 2и(*ь х2—к2) + и(хх + кг, х2 — Н2) +
+ 4и (я1э #2) — 2и (^ — й1э х2) + и (хг — йц #2 + к2) —
: — 2и (хх, х2 + й2) — 2и(х1 + къ х2) + и (хх + кг, х2 + к2)}.
Для оценки погрешности аппроксимации Л1Л2И — Ь^гЪ
воспользуемся разложениями (см. лемму на стр. 67).
Аи = и-. = "(х + Н)-2»[х) + Нх-Н) = ^а % = х + 0к, |е|<1,
хх К
D)
если у(х) имеет непрерывную вторую производную на отрезке
[# —Л, х+ к];
Аи^и^. = и№(х) + ^2ии)A*I I* = х + е*Л, |в*|<11 E)
если р(я) имеет непрерывную четвертую производную по х на
отрезке [х — к,х + к].

252 гл- 1У- схемы для уравнений эллиптического типа
При фиксированном х4 имеем
к2 я4
Л2и = Ь2и'(х19 х2) + ^|^(я,, 52), 6, = х + б-А, 1621< 1.
Рассмотрим теперь выражепие
к2 л4
Л^и (хъ х2) = Л^и.^, я2) + || Л1 ^ («1. Ее)-
Для первого слагаемого воспользуемся формулой »E), где
V = ^2Щ Х — ХС
к2 я4
Л^и (хи х2) = ЬхЬ2и (хг, х2) + ^ ^ (|*, .г2),
?Г = ^ + еХ |еП<1.
Для второго слагаемого применим формулу D)
^^(^и-^ИкИ, 1х = х1 + еА, |в!|<1.
В результате получаем
С^Л; - ДА) и = О (А?) + О (А*) = О (| А |2).
Подставляя в C) вместо 1чЬ2и выражение ЛДгИ:
^1Ь2м = А1А1и + 0(|Л|8)|
и учитывая, что Ьи = — /(я), получим
Г.2
F)
= -(/ + й^ + й^)-^й^Л»Л«и+-°(|Л14>-
Отсюда следует, что уравнение
^2 I ^2 д2 д 2
Л'*/ = - Ф, Лг1/ = Ау + -^-? Л^г/, <р = / + ^^/ + ^1^/,
G)
имеет четвертый порядок аппроксимации на решении и = и(х)
уравнения Пуассона A). В самом деле, формула F) дает
Л,гг + <р = (Л,и + ф)-агг + /) = 0(|А|4), Ь^Ь, + Ь2.
Оператор Л' определен на девятиточечном шаблоне (рис. 16)
«ящик», состоящем из узлов (хх + ш^г^ х1-\-тг1г1)% ти

§ 5. СХЕМА ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ 253
тяг — — 1, 0, 1. Запишем схему G) в виде
Кч+ч)-тD-ч)(^+^)+
+М^^(у(+12)+Гг))+М4+й^1,+12)+
+ у{+11--Ц)+у(-11'-Ч) + У(~Н'+Ч)) + % (8)
где у(±Ч) = у(хг± к,, х2), з/+11,-1г> = у (^ + Й!, *2 - /*,) и т. д.
На квадратной сетке (А, = й2 = А) это уравнение принимает вид
г/о- 20 + юйф
(см. рис. 16).
Для вычислений удобно в формуле для <р заменить 1ц/ на
Л4/ и 1»2/ на Л2/, изменив при этом <р на 0A7г|4), что не нарушит
порядка аппроксимации ■ф = Л'ц + ф = 0(|Л|4), так что
2. Оценка решения разностной краевой задачи. Рассмотрим
теперь разностную задачу Дирихле для схемы 0A А|4) в
прямоугольнике и = @ < ха < 1а, а = 1, 2):
Л2 Л2
Л'у=—<р, *е=а)Л, г/|7п = !*(*)> Ф =/ +йА1/+йА2/э (9)
где А'у дается формулой G). Каждый из узлов сетки является
регулярным, так как девятиточечный шаблон (рис. 16)
принадлежит П. Граница ч* сетки содержит все узлы на Г, в том числе
и вершины прямоугольника. Для 2 = у — и получаем задачу
Л/2 = — ф, хе=(Он, 2 = 0 на ^л, A0)
где •ф = Л/1г + ф = 0(|й|4) при 1еоА> если иеС(в). Проверим
условия принципа максимума. Сравнивая. (8) с A) из § 2,
видим, что
В(х,1)>0 при :р!<^</5. (")
Для оценки решения задачи A0) строим мажорантную функцию
У(х) = КA21-х21 + Ц-х1).
Учитывая, что ЛГ = - АК, Л,Л2Г = 0, || У | < К (% + #), выбирая
АК — 11ф11с и пользуясь теоремой 3, получаем для решения

254 гл- 1У- схемы для уравнений эллиптического типа
задачи A0) оценку
Мс< ■2-4"-^Ж!с при условии —-<^< /5-
Отсюда следует, что схема (9) имеет четвертый порядок точно-
сти, если »еС(8), /<=СD) и выполнено условие A1).
На квадратной сетке (К = Н2 = Ю это условие автоматически
выполнено. Выбирая соответствующим образом <р, можно
добиться того, что на квадратной сетке схема (9) будет иметь
шестой порядок точности. Можно доказать сходимость схемы (9)
с четвертым порядком в С без условия A1). Для этого надо
получить априорную оценку для НЛяИ2 и затем воспользоваться
теоремой вложения (см. § 4, п. 4).
Пусть ЙЛ — пространство сеточных функций, заданных во
внутренних узлах х^сон сетки (Он^Ш&и г2й2), 0<га<#а,
о
йсДсс = 1ЛЛт а = 1, 2), ЙЛ — пространство сеточных функций,
заданных на (оЛ и равных нулю на Чн. Введем на ЙЛ скалярное
произведение
0ЛУ)= 2 2 У(кЬц г2й2) *> (МЧ> ЩМг^
*есол
Определим операторы А{ и А2 так:
Ад^-Ам, А2у = -А2у, где АаУ = А*у при у<^&н.
Л« действует из йл в Йл и совпадает с Л« в йл. Поэтому А1 и
Л2 —линейные операторы, заданные на #Л = ЙЛ (их можно так-
о о
же рассматривать как операторы, действующие из Йл в йлс:йл);
область определения и множество значений этих операторов
совпадает с ЙЛ.= #Л.
Задачу A0) можно переписать в виде операторного уравнения
4,Я = 412 + 422-(к1+К2ЬМ22=='ф, У, Фе#Л, A2)
где нх = й?/12, х2=/&2/12. Операторы 44 и Аг — самосопряженные:
(Аау, V) = (у, Ааь), а = 1, 2, у, уе#л,
положительно определенные:
*(А^)>4а)Ыг, 4а1 = ^3т2|2>^ а = 1,2,.
Ла а *а
и перестановочные: ^Лг = А2А^ Отсюда следует
л1л2 = и1л2)*>о.

§ 5. СХЕМА ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ 255
Учитывая, что
Аа<\А*\Е, ||Ла|| = ^С08а^<1 Х«|Лв|<1/3,
получаем
А.А^ЦА.ЦА^ А^^А^^ЦА^А,,
(хх -}" х2) АХА% =
= МА + МА < «11 Ах И3 + «2IIК \ Ах < -| (Аг + А2).
Отсюда следует, что
| А<4' = Л, + Аг - (хх +х1L141< Л, Л = Ла + А2,
Операторы Л и Л'— перестановочные и самосопряженные,
3
поэтому для уравнения А 'г = ф справедлива оценка || 4я || ^ -^ (г|э ||.
В силу теоремы вложения (см. § 4, п. 4)
1И1с< *°_ Лг< !-— Цг|)Д,
1 2А<2 */'Л,т
т. е. для решения задачи A2) при любых Н{ и Н2 верна оценка
||л||с = ||у _и||с^Л/!1фН,
3/о
где Л/ = ,—, /0 = тах (/1? /2). Отсюда следует равномерная
4 1г 'Л
сходимость схемы (9) со скоростью 0A й|4) при любых А/йг.
3. Многомерный случай. Метод построения схемы четвертого
порядка точности, указанный в п. 1, применим и в случае
нескольких переменных. Он позволяет для задачи A) из § 1 в
р-мерном параллелепипеде 2?о = {0 < ха ^ /а, а = 1, 2, ♦.., р) на
сетке Юл = {*< = (&А, ..., грАр), йх^О, 1, 2, ..., #а, каМа = 1а)
получить следующую разностную схему четвертого порядка
аппроксимации:
Л'у=; — ф(х), яе=а>л, г/ = (х(#), яеул, A3)
XI Л2 ^1р

256
ГЛ. IV. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Р
Ау = 2 ЛаУ, Ла1/ = у-
а=1 *«*а A4)
Ф = / + 2?|Ла/
а=1
Вводя по аналогии с предыдущим пунктом пространство
#Л = ЙЛ и операторы Ла, убеждаемся в том, что оператор
А' = 4 — 2 *<* 2 4*Л3> Ха = й» ^ = 2 4*' <15)
а=1 3=1 а=1
самосопряжен и, для него справедливы оценки
1^Л<Л/<Л| р>1.
В самом деле,
а=1 $фа а=1 Э^а а=1
При р>4 разностный оператор A5) теряет свойство
знакоопределенности (эллиптичности). Можно, не нарушая порядка
аппроксимации, выбрать другой оператор Л7, который сохраняет
свойство эллиптичности при любом р:
или
Л^=?Й(^+йЛ^Аа^
^/ = 2Д (Е-7С^)Аау. A6)
068181 ЕЙ*
Очевидно, что с точностью до членов 0(|А|4) он совпадает с
написанным выше оператором A5).
2
С другой стороны, так как Е — ирЛр>-^ Е, то
а=1
B\%
и,
*>2М4Г-вГ*
, следовательно, (у) -4 < -4' < 4.
Наличие этих операторных неравенств позволяет получить
нужные априорные оценки, и убедиться в сходимости схемы со
скоростью 0A й|4). Заметим, что при р = 2 оператор A6)
совпадает с оператором A5).

Г л а в а V
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В этой главе изучаются разностные схемы для простейших
нестационарных уравнений: уравнения теплопроводности с одной или несколькими
пространственными переменными, одномерного уравнения переноса,
уравнения колебаний струны. Построены двухслойные и трехслойные схемы
для первой, второй и третьей краевой задач. Исследование устойчивости
проводится разными способами: методом разделения переменных, методом
энергетических неравенств, о. помощью принципа максимума. Рассмотрен
вопрос об асимптотической устойчивости разностных схем для уравнения
теплопроводности.
§ 1. Одномерное уравнение теплопроводности
с постоянными коэффициентами
Для выяснения методов построения разностных схем в
случав нестационарных задач, а также методов их исследования
рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности с
постоянными коэффициентами.
1. Исходная задача. Процесс распространения тепла на
прямой описывается уравнением теплопроводности
ч>Й-в(*е)+'. <•>
где »==и(а;, I) — температура, с — теплоемкость единицы массы,
р — плотность, к — коэффициент теплопроводности, / — плотность
тепловых источников, т. е. количество тепла, выделяющегося в
единицу времени на единице длины. Коэффициенты
теплопроводности и теплоемкости могут зависеть не только от а:, *, но и от
температуры и (в этом случае уравнение называется
квазилинейным). Если к и ср постоянны, то уравнение A)
записывают в виде
Ъ-*ъ+1*-&-Ъ <2>
где а2 — коэффициент температуропроводности.
Без ограничения общности можно считать а = 1 и записывать
уравнение B) в виде
ди д2и
й = 3? + /' C)
17 а. А. Самарский

258 гл* у* <^ЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЯ
В самом деле, вводя х' = х/а и вновь обозначая х' через #,
получим C). Если ищется решение уравнения B) на отрезке
(Х#<2, то обычно пользуются безразмерными переменными
х'=*х/1, 1' = аЧ/Г.
В этих переменных уравнение B) записывается в виде C),
причем 0<я'<1, а/-*2//*2.
Мы будем рассматривать первую краевую задачу для
уравнения C) в прямоугольнике
15=@<а:<1, 0^*<Л.
Требуется найти непрерывное. в Б решение и = и(х, *) задачи
(I)
и(х, 0) = и0(х), 0<:г<1,
и@, 0 = ^@» иA,0 = 14@, 0<*<Г. *
2. Семейство шеститочечных схем. Введем ветки
юл = {х{ = гк, г = 0, 1, ..., Ю, (Охв ^ = /т, / = 0, 1, ..., /0)
и сетку в Л:
(оЛт = о)л X (ох = ШН, /т), I = 0, 1, ..., #, / = 0, 1, ..., /0}
с шагами К =» 1/N и т = 7У;0. Обозначим через у? значение в
узле (аг«, ^) сеточной функции у, определенной на <оЛт. Заменяя
производную ди!д% первой разностной производной, а д2и/дх2—
второй разностной производной и-х = Ли и вводя произвольный!
вещественный параметр о, рассмотрим однопараметрическое
семейство разностных схем
. уИ^А = А(а!/1+1 + (\-а)у{) + ч,1 0<*<ЛГ,о</</0. D)
Схему D) будем называть иногда схемой с весами.
Краевые и начальные условия аппроксимируем точно:
Уо = . Уя = *4, E)
У°г = у(хи0) = и0(х{). F)
Здесь ф! — сеточная функция, аппроксимирующая правую часть
/ уравнения C), например,
ф! = / (*|, ^+о.в)» ^+о,б=^+0,5т,
Разностную задачу, определяемую условиями D)—F), будем
называть задачей (II).

§ 1. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 259
Разностая схема D) написана па шеститочечном шаблоне,
состоящем из узлов
(см. рис. 4, в) с центром в точке (х{, 1,+.^- Уравнение D)
пишется в узлах (я,, ^+1), 1=1, 2, ..., ЛГ—1, / + 1 = 1, 2, ..., /0,
называемых внутренними узлами. Множество всех внутренних
узлов сетки а)Лт будем обозначать
ОНх = {(*,, *;), 1<*<#-1, 1</</о>.
Краевые и начальные условия E) и F) пишутся в
граничных узлах сетки солт. Множество узлов сетки соЛт, лежащих на
прямой I = ^, обычно называют слоем. Схема D) содержит
значения искомой функции у на двух слоях и поэтому называется
двухслойной схемой.
От выбора параметра о, как мы убедимся в дальнейшем,
зависят точность и устойчивость схемы D). Рассмотрим схемы,
соответствующие частным значениям о. При а = 0 получаем
четырехточечную схему (рис. 4, а)
у\*1-у\ а 5 ; *
-^—ь = л^ + ф1,
или
Ж+1 = $-2у)и{ + уA&.1 + у1+1)+тч{, ? = т/Л\ G)
определенную на шаблоне (#<, ^+4), л{хи ^), (х{±и %). Значение
у\+1 в каждой точке слоя I = ^+4 (нового слоя) выражается по
явной формуле G) через значения у\ па слое 1 = 1} (на старом
слое). Так как при г = 0 задано начальное значение */? = щ(Х{),
то формула G) позволяет последовательно определить значения
у на любом слое. Схема G) называется явной.
Если. оФО, то схема D) называется неявной двухслойной
схемой. При о Ф 0 для определения ^+1 на новом слое получаем
систему алгебраических уравнений
оАу[+1 -11/?+1 = -г Р1 Р\ = 11/{ +.A - о) Л</{ + Ф1, (8)
* = 1, .... ЛГ 1,
с краевыми условиями у'0+1 = и{+1, у^1 = Иа+1.
Решение этой системы находится методом прогонки (см. гл. I,
§ 2, п. 5). Укажем еще две схемы.
При о = 1 имеем схему с опережением или чисто неявную
схему
<^1 = л,{+Чф1 . (9)
17»

260
ГЛ. V. СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
При о = 0,5 получаем шеститочечную симметричную схему
^^=4лЫ+1 + г,{) + ф! (Ю)
(называемую иногда схемой Кранка — Николъсона).
Перейдем к выяснению вопросов о погрешности
аппроксимации и точности схемы с весами D).
3. Погрешность аппроксимации. Чтобы ответить на вопрос
о точности схемы D) — F), нужно сравнить решение у — у\
задачи D)—F) с решением ю = и(х, I) задачи (I). Так как и(х, *) —
непрерывное решепие задачи (I), то положим и\ = и (х^ *,-) и
рассмотрим разность ^1 = I/? — и\.
Для оценки сеточной функции А на слое выберем некоторую
норму II II, например, одну из следующих норм:
Н = Ис= шах |*|, М=(*2 *?*)'".
Перейдем к безындексным обозначениям, полагая
у\ = *Л У?1 = *Л */* = (У — »)/т.
Перепишем задачу D)—F) в виде
уг = Л (оу + A—а)г/)+ф, (я, О^^Лт,
у @, I) = щ (*), у A, I) =и2 (*), *е=а)т, (И)
у (х, 0) = щ (х), 1бйЛ,Лу = г/-х.
Найдем условия, определяющие г —у —и. Подставляя у = 2 + к
в (II) и считая и заданной функцией, получим для ъ задачу
ц = Л (а? + A — а) г)+ г|>, (я, I) е= юЛт,
2@,0 = 2A,0 = 0, *е=сот, (III)
я(#, 0)= 0, хе сод,
где
•ф = Л(аю + A — а)и) — щ + ф A1)
— погрешность аппроксимации (невязка) схемы (И) на решении
и «■ и(#, 0 уравнения (I).
Напомним определение порядка аппроксимации (см. гл. II,
§ 1, п. 3). Схема (II) аппроксимирует-уравнение (I) с порядком
(т, п) или имеет аппроксимацию 0{Нт + тп) на решении и = и(х, I)
уравнения (I), если или НфИA> < М(Нт + тп)
для всех I ^ о)т, где М — положительная постоянная, не
зависящая от Ъ и т, а И •!!(») — некоторая норма на сетке со*.
Перейдем к оценке порядка аппроксимации схемы (II),
предполагая, что и = и(х, *) имеет нужное по ходу изложения число

§ 1. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 261
производных по х и I. Будем пользоваться обозначениями:
и = ди/д1, и' = ди/дх, и = и(х«, ^+0,5), --*;+о,5 = Ь + т/2.
Разложим и = и(х, *) по формуле Тейлора в окрестности точки
(#<, Гв ^+0,5). Пользуясь формулами
и = 0,5(и + ц) + 0,5(и - и) = 0,5(и + и) + 0,5ти„
и = 0,5(и + и) — 0,5ти*,
ои + A — а)и = 0,5(и + и) + (о - 0,5)ти,,
перепишем -ф в виде
-ф = 0,5Л(и + и) + (о — 0,5)тЛи, — щ + ср.
Подставляя сюда выражения
Ли = и" + ~ "D) + О (А4) = /ж + ~ 1Лг+0(А4), Ьи =
_2 ГГ
и = и + 0,5ш + ~и + О(т3),
И = и - 0,5ти + \ и + О (т3),
0,5 (и + и) = и + 1г и +0 (т3), и,=и + О (т2),
получим
/т7, м _1_ «л _1_ /гг п *;\ гТи ^
12
г|) = {Ьи - и + <р) + (а - 0,5) тЬи + ^Ь2и + 0 (т2 + Л4). A2)
Отсюда видно, что чр = (а — 0,5)хЬи + 0(А2 + т2) * при ср = / -■
= /(#, ^+0,5), так как й=Ьи + {. Учитывая, что Ьй = Ь2и + Ь{ =
= иD) + /" и Ь2и = Ьи-^ Ц, из A2) получаем
' г|) = (Ф~7) + [(а-0,5)т + й]^-Й^ + °^4 + т2)- <13>
Приравняем нулю выражение в квадратных скобках и найдем
к2 -
При этом значении о = о* и <р, равном <р = / + -^Ц,. схема (II)
имеет аппроксимацию 0(Л4 + т2), т. е. -ф = 0(Нк + т2).
Порядок аппроксимации схемы не нарушится, если мы заменим /"

262 ГЛ- у- СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
выражением /-я = Л/, т. е. положим <р ==/+ (А2Л/)/12 или
ф!=4/гач4 (/&''+/&'-)• <15>
Эта формула удобнее для вычислений.
Пусть Сп (#) — класс функций, имеющих т производных по
х и п производных по 1, непрерывных в Х>. Из формул A3) и
A4) ясно, что схема Ш) имеет аппроксимацию 1) 0(Л2 + т2) при
а = 0,5, ф = / или <р=/ + 0(А2 + т2), если и<=С\, 2) 0(к2 + т)
при любом а=^0,5, ф = /г + 0(Л2 + т), например, <р = / или Ф = /,
если и е С\, 3) 0(А4 + т2) при о = а* и ф, заданной формулой
A5), если ме Сд.
Л2 -
Схему (II) с а = а* и ф = / + ^ Л/ называет обычно схемой
повышенного порядка точности. Выбор правой части ф должен
быть подчинен требованию соблюдения порядка аппроксимации
при данном о. Так, при о = 0,5 можно полагать ф равным ф =
= 0,5(/+/), Ф = Гит.-д.
Из A3) видно, что погрешность 0(Н2 + хг) может достигаться
и при 0^0,5, если положить а = 0,5 + й2о/т, где а —любая
постоянная, не зависящая от Л и т. В этом случае о зависит от
Лит. Произвол в выборе а ограничен условием устойчивости
схемы (достаточно взять а> —1/4, см. п. 4).
4. Устойчивость по начальным данным. Исследуем
устойчивость схемы (II) методом разделения переменных (при
однородных граничных условиях). Пользуясь тождествами
У = У + %Уг, оу + A - о)у = у + охуи
перепишем схему (И) с однородными краевыми условиями в виде
уг — охАуг = Ау + ф, (я, I) е= о)Лт, A6)
У@, 0 = ^A, *) = 0, *е=а)т, у(х, 0) = и0(х), хе=юл.
Схема A6) устойчива, если для решения задачи A6) верни оценка
IIУ @11A) < Мг \\и0 Ь) + М2 шах || Ф. (*') ||B), I е= (от, A7)
где Ми М2 — положительные постоянные, не зависящие от А и т,
1Ы1A), II • IIB) — некоторые нормы на слое (на сетке ооЛ).
Пусть ф = 0. Тогда оценка
\\уи)\\A)^ММо\\Aь *е<»т, A8)
выражает устойчивость схемы A6) по начальным данным. Если
у(х, 0) = 0, то неравенство
\\у(*Па)<М2 тах||Ф@1Ь) . A9)
о<*'<*

§ 1. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 263
означает устойчивость схемы A6) по правой части. Оценка A7)
для решения задачи A6) выражает устойчивость схемы A6) по
начальным данным и по правой части.
Решение задачи A6) представим в виде суммы у — у + 3, где
у— решение однородного уравнения
у г - атЛу, = Лу, у@, *) = у 01, *) = 0, у{х, 0) =» и0Ы, A6а)
а У — решение неоднородного уравнения с начальным условием
д(х, 0)=0:
у г - отЛу, = Лу + ср, у@, *) - уA, *) = 0, у(я, 0) = 0. A66)
Для исследования устойчивости схемы A6) по начальным
данным надо найти оценку для решения задачи A6а). Для этого
воспользуемся методом разделения леременных и получим оценку
A8) в сеточной норме Ь2((йн):
N-1
1МA) = \у1 где 1 у || = /(у, у), (у, V) =* 2 У&&-
Будем искать решение уравнения A6а) в виде произведения
функций, одна из которых Г = 74^) зависит только от *=»^,
а вторай X = Х(х{) — только от х = #<, полагая у(#, *) = Х(х)ТЦ).
Подставим это выражение в A6а) и учтем, что
Лу = ГЛХ, Уг^ХТг.
Тогда получим
г-Г ЛХ
= ** -Я, Т=ТA}+1), Т=Т&)%
т(аГ + A-а)Г) *
где Я — параметр разделения. Отсюда находим
^т т 1 — A ~ О) Тк
1=9Т, где д = /^ .
Для X получаем разностную задачу на отыскание собствец-
ных значений (разностную задачу Штурма —Лиувилля):
АХ(х)+ЬХ(х) = 0, 0<а = 1Л<1, Х@)=ХA) = 0, ХЫ#0,
рассмотренную в гл. II, $ 3, п. 2. Там было показано, что эта
задача имеет нетривиальные решения — собственные функции
• Х™(х) = У2$тпкх, & = 1, 2, ..., #-1,
соответствующие собственным значениям
ЬА = А2зт2^, * = 1, 2 ЛГ—1Э 0<^<...<^-1,

264 ГЛ- У- СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИИ
Собственные функции {Х{к)} образуют ортонормированную систему
[х^к1\ Х^2Л = б* а0. Имеет место равенство Парсеваля
1/Р = *2& B0)
где Д — коэффициенты разложения любой сеточной функции /О),
заданной на юл и равной нулю при х = 0, х = 1:
/(*)= ЗЧ^* (*)./* = (/, Х<й)).
Таким образом, задача A6а) имеет нетривиальные решения
У {к)в ТкХ(к) Ф 0, где Тк определяется из уравнения
!»» - <Л или П+1 - дкТ{ = ... = д{+1Т1 дк - '"Д'^Ч
B1)
2*— произвольная постоянная.
Решение уравнения A6а) вида у(к) = ТкХ{к) называют
гармоникой номера к. Оно является решением задачи A6а) с
начальным условием и0 (х) = Т1Х^к) (х). Выясним, при каких условиях
устойчива каждая из гармоник у(к) при к = 1, 2, ..., N — 1. Из
формул
У&1 = Х№)П+1 = дАХ<М, $? = д^й) B2)
видно, что при 1д*1>1 + е, где е = сопз1;>0 не зависит от к
и т, имеем
при т-*0, т.* е. задача неустойчива. Если |д*1<1, то \\у(к)\\ не
возрастает с ростом / (т-^0) при фиксированном *=*/т:
и гармоника устойчива. Если все 1д*1<1 и, следовательно,
1у(АI^1#?а)|, то будем говорить, что схема «устойчива на
каждой гармонике».
Выясним теперь, при каких значениях а выполняется
условие |д*1 < 1 или —К дк< 1, обеспечивающее устойчивость схемы
на каждой гармонике. Из формулы д* = 1 —тЯь/A + атА*) видно,
что ?*<1, если 1 + охХк>0, т. е. о>— 1/(тХк). Требование дк>
>—1 или
2+Bа-1)тЧ п

§ 1. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 265
1 1
выцолнено при 2 + Bо — 1)тА* > 0 или а^ у г-. Условие
1 + атА* > 0 при этом автоматически выполняется. Так как
и, следовательно, условие |дл|^1 будет выполнено для всех
&*=1, 2, ..., N-1 при
°>Т-^ = «0. B3)
Таким образом, все гармоники у{к) = ТкХ{Х) устойчивы при
одном и том же условии о > о0.
Покажем, что из устойчивости схемы A6а) на каждой
гармонике (из спектральной устойчивости) следует ее устойчивость
в.сеточной норме Ь2 по начальным данным у(х, 0)=ц0Ы, где
и0(х) — любая сеточная функция, заданная при 0 ^ х < 1 и
равная нулю при л = 0, л = 1. Общее решение задачи A6а) ищем
в виде суммы частных решений вида B2), полагая
у = 2* у»> =  Ть*(к\ так ,то 1 уТ - *2 П.
Л=1 Л=1 к=1
Подставляя сюда Тк = дкТк и учитывая B0), находим
У = 21 ЯьПХ™, 1 у |« = *2 <АП < шах дХ Я* Я = тах д21 у ||2.
Л=1 Л=1 к А=1 Л
Еслц а>а0, то тах|дЛ|^1 и 11у11 ^ \\у\\ или II 1/;Ч111 ^ 11^11 ^ ...
...<Нув11 = 11в.И.
Таким образом, для решения задачи A6а) верна оценка
ИуЧКМ, 7 = 1,2,..., при о>о0, B4)
т. е. схема A6) устойчива в сеточной норме Ь2((йн) по начальным
данным при а ><т0.
Разностная схема называется условно устойчивой, если она
устойчива лишь при наличии связи между т и к и безусловно
устойчивой — в противоположном случае. Схема, устойчивая при
любых т и Л, называется абсолютно устойчивой (имеются схемы,
устойчивые при достаточно малых Л их, й<й0, т< т0; эти
схемы не являются абсолютно устойчивыми, хотя могут быть и
безусловно устойчивыми).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Явная схема (о = 0). Условие B3) дает 0^0,5 — &2/Dт),
т е
т/А* < 0,5. B5)

266 гл- у' СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Явная схема устойчива лишь при условии B5), связывающем
шаги к и т (условно устойчива).
т 2. Неявная схема при о>0,5 устойчива при любых к и т,
так как о>0,5>о0. Таким образом, схема с опережением (о» 1)
и симметричная схема (о =» 0,5) устойчивы при любых к ж %
(абсолютно устойчивы).
3. Схема повышенного порядка аппроксимации (о = о+х о+ =
= 0±5 — А*/A2т)) абсолютно устойчива. В самом деле,
а»-ав = -ж + СвК>0
при любых Лит.
4. Неявные схемы с 0 < а < 0,5 при а, не зависящем от ^ =
=■» т/Л1, условно устойчивы при ^ < 1/B — 4а).
5. Схема A6) с а = 0,5 + й2а/т| имеющая аппроксимацию
0(т1 + Л*), устойчива при любых Лит, если а>—1/4.
. Таким образом, параметр о управляет не только порядком
аппроксимации, но и устойчивостью схемы A6).
При исследовании устойчивости мы фактически имели дело
только с двумя временными слоями ^, ^+1 и шагом т=а^+1 —^.
Все рассуждения сохраняют силу, если сетка а>* неравномерна,
т. е. шаг Тя-1 = ^+1 — ^ зависит от номера слоя. В этом случае
параметр о можно считать зависящим от номера / +1 слоя, о =
=*о*+1. Тогда вместо B3) получим условие о^ао+1 = 0,5 —
—Л*/D^+1). Для схемыО(Л4+т|+1),в частности, следует положить
ой+1= 0Д5 — Ла/A2т^+1). Условие о ^ Оо+1 достаточно для
устойчивости схемы с весами при неравномерной сетке со*.
5. Устойчивость по правой части. Покажем, что условие B3)
1 Л2
<т>сг0, а0 = у — ^
достаточно для устойчивости схемы A6) и по правой части при
о>0. Для этого рассмотрим задачу A66). Ее решение ищем
в виде _
У = 21 ПХ*\ так что | у II2 = ^ П. B6)
Правую часть ф* разложим по {X***}:
Ф = 21 Ф*Х(*\ так что || ф||2 = 2 Ф*. B7)
Подставляя B6) и B7) в A66) и учитывая, что АХ{Н) = -А*Х(*\
найдем
2* {^ A + «X*) + КкТк - щ} Х(А) = 0.
Л=1

§ 1. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 267
Отсюда, в силу ортогональности системы собственных функций,
следует, что выражение' в фигурных скобках равно нулю, т. е.
^ = ^Тк + ТТ^Ц ь= 1+о°кХкк- B8)
Подставим B8) в B6):
Пользуясь неравенством треугольника (!1у + иЛ < Ы\ + 1Ы1),
находим
/N-1 \«/. /N-1 у Л
или
|у1<п«хЫ|у| + ™х<1+Т |<р|. B9)
Пусть одновременно выполняются условия
о>о0,оа = ±-^ а>0. C0)
Тогда | дк | < 1, 1+<*Яй> 1 и || Я| < || У || + т|| <р || или || „У*1| ^ \у*\ +
+т|<р''||. Суммируя по /' = 0, 1, 2, ..., /', приходим к оценке
1^|< 2 т|ф*'|, C1)
так как \\у°\\ = 0 для решения задачи A66).
Оценка C1) получена при условии C0). Откажемся теперь
от требования а>0.и вместо C0) потребуем
<т>ае, *е=4--4гА2' °<е<1» C2)
где е = сопз1 > 0 не зависит от й, т. Тогда
?А|<1, 1 + ох\к = 1 + (о — ое) тХк 4- оетХк > 1 + аеткк =
= 1 + 0,5*, - Ц"~ '»»' *» > 1 - A ~ '>* Х"-» > 1 -
_ A-е)Ь2 _4_ _
т. е. 1 + атХ*>е для всех й = 1, 2, ..., ЛГ—1. Поэтому из B9)
следует оценка 11^0 ^ ПуВ + тИфП/е и
з
У+Ч<-Т%г№'1 (з:$)

268 ГЛ- у- СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИИ
Если о = о#, то условие а* < 0 означает, что т<Л,/6. В этом
случае можно выбрать е = 2/3, так как A — е)/4 = 1/12 при
6 «2/3. Объединяя оценки B4) и C1), C3), видим, что верно
следующее утверждение.
1 Л2
Если выполнены условия о^ ~2~~~т~ = ао« 0^0, то схема
A6) устойчива по начальным данным и по правой части, так
что для решения задачи A6) справедлива оценка
»ужКК»+ 2т|1чП
Если а<0, то для устойчивости схемы A6) по правой части
достаточно, чтобы выполнялось условие
а>-Т-{±^--^ 0<е<1<
где ее@, 1) — произвольная постоянная, не зависящая от к и т.
При этом для решения задачи A6) имеет место оценка
;'—о
Для схемы О (Л4 + т2) постоянная е = 2/3, а а* < 0 при т < Л76.
6. Сходимость и точность в 1/2(о)Л). Сходимость схемы (II)
следует из ее устойчивости и аппроксимации. Погрешность 2 =
=*у — и является решением задачи (III). Пользуясь априорной
оценкой C1), получаем
|*ЖК2*1*И РРи а>а0, а>0. C4)
Отсюда видно, что верна теорема:
Если схема (II) устойчива по правой части и аппроксимирует
задачу (I), то она сходится, причем порядок ее точности
совпадает с порядком аппроксимации.
Подставляя в C4) оценки из п. 3 для погрешности
аппроксимации, получаем, что
@(й2 + т2), а = 0,5, ие=С1
1^-^||= 0(А4 + т2), о = о*, иеСЪ C5)
10(й2 + т), а =5^0,5, офо*, и&С\.
До сих пор всюду шла речь об устойчивости и сходимости в
среднем, т. е. в сеточной норме Ь%(сон). Между тем для практики
важно иметь равномерную, т. е. в норме Ну* — и'11с = шах |у — и'1,
оценку для погрешности решения. *€й>Л

§ 1. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 269
7. Устойчивость и сходимость в С. Для получения
равномерной оценки. решения разностной задачи A6) можно
воспользоваться одним из трех методов: 1) принципом максимума, 2)
энергетическим методом, который позволяет установить (при помощи
теорем вложения) устойчивость в С по правой части, 3)
представлением решения в «интегральной» форме через сеточную
функцию мгновенного точечного источника (функцию Грина).
Чтобы воспользоваться принципом максимума, в частности
теоремой 3 из гл. I, § 2, запишем задачу (II) с однородными
граничными условиями (схему A6)) в виде
очку — у= — у — A— а)тЛ#-т<р = -Л
ИЛИ
0^-1 - Bач( + *)»< + от^и =» -Л, * =■ 1, 2, ..., N - 1,
Л - A - о)ту<-1 + A - 2A - о)ч)у{ + A - а)^<+1 + тФ<, C7)
Т = т/А2, 1 = 1, 2, ..., ЛГ—1.
Указанная теорема утверждает, что для решения разностного
уравнения
4,у<-, - С{у{ + Д«у,+1 = -Р{, I = 1, 2, ..., N - 1,
Уо = 0, у* = 0, |4<|*=0, |В,|*»0,
справедлива оценка
если только /)< = |СЛ — |Л<| — [В{\ >0. Для задачи C6) эти
условия (\А{\ Ф0, \В{\ Ф0, А>0) выполнены при о>0, причем Д =
в 1, так что для решения уравнения C7) верна оценка
\\у\\с < Шс, если о > 0
(при о = 0, у г = ,Р<). Замечая, что
Шс^Мс + тИфИс при 1-2A-а)^0, 1-а>0,
получаем для схемы C6) неравенство
\\у»%^\\у% + х\\<р% C8)
при условии
*<Т(Г^Г C9)
Суммируя C8) по /' = 0, 1, 2, ..., /, приходим к оценке решения
задачи A6):
11^1|1с<1к°1с+ 2 т|ф*'|с. D0)

270 гл- у« СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИИ
Тем самым доказано, что схема A6) устойчива по начальным
данным и по правой части при условии C9).
Применяя априорную оценку D0) к задаче (III), получаем
;'—о
Отсюда следует, что схема (II) равномерно сходится с той же
скоростью, что и в сеточной норме Ьг((дн) (см. C5)), если только
выполнено условие C9). Условие устойчивости C9) в С для
явной схемы (а = 0) т ^ А72 совпадает с условием устойчивости
B5) в 1»2(юл), полученным ранее для случая о < 0,5. Схема с
опережением (а«=1) абсолютно устойчива в С. Симметричная схема
(о = 0,5) устойчива в С при т < А2.
8. Метод энергетических неравенств. Используем описанный
в гл. II метод энергетических неравенств для исследования
устойчивости схемы с весами (II).
Проиллюстрируем этот метод сначала на примере
дифференциального уравнения. Рассмотрим задачу (I) с однородными
краевыми условиями
5 = ■& + /<*.*>• °<*<1> 0<*<Г, D1)
и@, *) = иA, 0 = 0, и(хг 0) = щ(х).
Введем скалярное произведение и норму
1
(и, V) = ] и\х) и (х) Лх, || и || = У {и, и),
о
где и(х) и V(x) — функции, заданные при 0 < х < 1 и равные
нулю при х = 0, х = 1. Умножим уравнение на ди/д1 и
проинтегрируем по г от 0. до 1:
||0и||2 / дм д2и \ _ D ди\
Интегрируя второе слагаемое по частям и учитывая равенство
ди ди |1 Л
7Г^|о==0' нах0ДИМ
ди
61 ||
+ 2 Ы I дх II - (/' д% \
Для оценки правой части воспользуемся неравенством Коши —
Буняковского и е-неравенством IаЬ\ <еа2+ 1/D8N* при ев1:

§ 1. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 271
Используя эту оценку, получим
откуда, после интегрирования цо *, следует
№<№\+тг[1,тг*Т
<
<1Щ+уг^^'(щ.
Учитывая затем, что ) и (с = пшх I и (х) | ^ 0,51 -^ I, получим
1-»1.<т|тР|+тУт«51'И^
Получим теперь аналогичную оценку для разностной задачи
A6). Введем, как обычно, скалярные произведения и нормы:
(у, *;) = 2 умК 1И = У(у, у),
1=1
#
(у, »)= ЯурА 1у]\ = Уг{у,у].
1=1
Пользуясь тождествами
ау + A — а) у = (а — 0,5) -л/, + 0,5 (у + у),
перепишем A66) в виде
у, — (о — 0,5)хАу( — 0,5Л(у + у) = <р,
у{х, 0) = 0, у@, *) - уA, *) - 0.
D2)
Умножим уравнение D2) на 2ту<й ■» 2(у — у)к и просуммируем
полученное равенство по внутренним узлам х = Иъ сетки он:
2т11у,И2 - 2(о - 0,5)тг(Лу,, у,) - (Л(у + у), у - у) = 2т(Ф, у,). D3)
Пользуясь разностной формулой Грина (см. стр. 100)
(ЛУ, IV) = A%х, IV) = — {у^, IV-], 1>0 = Щ = 0, 1>№ = 1% = 0,
при 1>=у<, ш=у« и У^у + у, ю=у — у соответственно, учитывая

272 гл- V* СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
затем, что Уо — уы^ 0, будем иметь
(А(» + у),у-|Г)--Й + ^г-*5Л--(Й11-|1йЮ-
Подставив эти выражения в D3), получим энергетическое
тождество
2т(|у,Г + (в- 0,5)ф,-]|') +1%]|* = |»5]р + 2т(ф, у,). D4)
Оно справедливо при любых о. Предположим, что а>а0.
Рассмотрим выражение
/ = И2 + (°--0,5)т||1;-]|з, Где „ = Уи
и покажем, что 7 5» 0 при о > о0. Нам понадобится оценка (см.
гл. II, § 3)
!№<~1гИг. D5)
Итак, пусть о ^ Со = 0,5 — Л7Dт). Тогда
^ —1^Г + (а —а^т|1^]|« + (а# —О^т!!^]^^!»^—^|»-]|«>0
в силу D5). Отсюда и из D4) следует энергетическое неравенство
\У-к]\2<\У;]\2 + 2*(Ч>,Уг) при а>а0.
Если <р = 0, у— решение задачи A6а), то |у|+1]|< ... ^|у;]|»
т. е. схема A6) при о>с0 устойчива по начальным данным
о
в норме |] у ||A) = |^-]|» являющейся сеточным аналогом нормы ТР|.
Однако нас интересует устойчивость по правой части. Пусть
о>ое, в> = ±-«-^Г 0<в<1. D6)
Покажем, что
1>гЫ\г при о>о,. D7)
В самом деле,
Подставляя D7) в D4), получим энергетическое неравенство
Воспользуемся теперь неравенством Коши — Буняковского и

§ 1. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 273
е-неравенством
2т (ф, у г) < 2т || ф1Ы<2ге|у(р+^|Ф ||2. D9)
После подстановки D9) в D8) будем иметь
Просуммируем по ;' = 0, 1, ..., / и учтем, что у0 = 0:
Согласно лемме 1, гл. II, § 3 имеем ||#|1с^0,5||у-]|, поэтому
№1Ь<гЫ\Х^Г]'Ш' °
>о,.
Применим эту оценку к задаче (III):
|^+1||с<Л/2тах1^'||, М2 = 10=, а^ае.
Отсюда следует равномерная сходимость схемы (II):
(М(к2 + 1:) при ог>0,5, и<=С\,
11^ — ^|с<Ыг(А2 + т2) при а = 0,5, и<=С1
Ш(й4 + т2) при в = в*, и&С\.
Для явной схемы @ = 0) из D6) не следует равномерная
сходимость при условии т ^ к212. Однако для нее можно
воспользоваться полученной ранее, в п. 7, априорной оценкой
5-1 2
з'=о
3
так что || *'+1 ||с <^ 2 т|^'||с.Отсюда и следует равномерная схо-
димость явной схемы со скоростью 0(% + к2).
9. Краевые условия третьего рода. Краевые условия первого
рода, которые мы рассматривали до сих пор, удовлетворяются
на сетке точно.
В гл. II было показано, как аппроксимировать третье краевое
условие для схемы с опережением (а = 1) и явной схемы (о = 0),
чтобы обеспечить порядок аппроксимации 0(т + кг). Здесь мы
рассмотрим схему с весами (II) с произвольным о. Пусть при
18 А. А. Самарский

274 гл* у* СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЯ
х = 0 задано краевое условие третьего рода
-^|^- = &и (О, I) - ^ (*), Рх = сопз* > 0. E0)
Разностное краевое условие будем писать на четырехточечном
шаблоне, состоящем из узлов @, ^+1), (А, ^+1), @, ^), (&, *,)..
Покажем, что разностное условие
<*(?*- ?1»)о + A ~ о) (у, - р4уH = 0,5Ау,, о ~ 1x1, [П — р« + 0,5Л/0,
E1)
где /о = /@, ^+7,), [г4 = иЛ+'/Л аппроксимирует условие E0)
на решении и = и(я, # уравнения C), удовлетворяющем условию
E0), причем с тем же порядком, с которым при данном значении
о схема (И) аппроксимирует уравнение C).
Подставим у = г + и в E1):
оих- р^),, + A - а) (я* — р42H = 0,5^,о - VI, E2)
где V! = о(и« — 01и)о + A — ст) Ых — (*1и)<> — 0,5/ш«, 0 + И* —
погрешность аппроксимации условия E0) разностным условием E1) на
решении и.
Разлагая и в окрестности узла @, ** + 0,5т) по формуле
Тейлора и обозначая через г>0 значения функции V в этом узле,
получаем Ы' = ди/дх, й = ди/д1)\
^1 = {щ — РЯ + й)о +
+ (а - 0,5) т (и' - р^ - 0,5/ш0 + 0,5/^ + 0(к2 + т2).
Подставим сюда и0 = Рхи0 — ^ и и0 = и0 — /0 из уравнения
^ = (а - 0,5) т (ы0' - рхи0) + О (т2 + А2).
Отсюда видно, что
у1^0{к2 + х) при а ^0,5, ч1 = 0{к2 + т2) при а = 0,5. E3)
Нетрудно проверить, что краевое условие при х = 1
--^-^ = 0*» <1, *) —И.<0. Р2 = сопз*>0, E4)
аппроксимируется с тем же порядком разностным условием
- [о & + $*У)„ + A ~ о) (у-х + РгУ)*] = 0,5%,,* - ?и E5)

§ 1. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 275
где и* = Ца + 0,5/*/*, \х2 = М^+'/Л /* — /A, Ь+уж). Выбирая
~ " Л2 п*
?1 = 1*1 + Чг »*1 + "в" (?0 — Рх/о) + "у Р1<Ро<
- - , Л2 т Л2 /7' , о 7 > , Л2
М<2 = ^2 + -12 ^2 ~ -д- V N + РаШ + -у РгФ**
ф=7+-Йг
и заменяя соответственно 0,5%*, 0, 0,5/гу,* в E1), E5) на
0,5/ф!^ о, 0,5Ар2г/«. л-, где рл = 1 + /фА/3, А: = 1, 2, получим
разностные граничные условия, имеющие при а=а*=0,5— &2/A2т)
аппроксимацию 0(А4 + т2).
Вводя обозначения
запишем разностные краевые условия E1) и E5) в том же виде,
что и схему (II):
У1=А~(оу+ {1 — о)у) + ц>~ при х = 0,
E6)
У1=А+{оу+ A —о)у) + ф+ при ж = 1,
где ф- = 2Щ/А, ф+ = 2|Л2/Л. При ^ = {*2 = 0 получаем разностную
аппроксимацию краевых условий второго рода. Порядок
аппроксимации остается тем же самым, что и для третьей краевой
задачи.
Приведем условие E1) к счетному (т. е. удобному для
вычислений) виду. Разрешая E1) относительно у0 = у^1л получим
^ ^ а к2
У 0 = *1У1 + V!, *! = -д-, Дх = 0A + р!Й) + ^р
Условие E5) приводится к виду
УЛГ = «2»»-1 + У2, Х1 = Х' Д2 = <ХA + М)+-27»
2
*• = Т" {<* ~ а) *»-» + ["Й ~ A ~ а) A + РЛ] Уя + *&}•
E7)
E8)
Отсюда видно, что 0<ха<1 при ра^0, о>0, «==1, 2. Для
определения у на новом слое получаем разностное уравнение (8)
с краевыми условиями E7) и E8). Эта задача решается методом
прогонки (см. гл. I, § 2, п. 5).
1**

276
ГЛ. V. СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Устойчивость схемы (II) с краевыми условиями третьего рода
устанавливается либо методом разделения переменных, либо
методом энергетических неравенств, либо на основе принципа
максимума.
10. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.
Одной из первых схем, применявшихся для численного решения
уравнения теплопроводности ди/д1 = дги/дх2, была явная
трехслойная схема Ричардсона
у у = Лу' или уо = Ау, E9)
2т ~"» "™ Ц
где уо = у~у , у = у*+\ у = у*-1, у = уК &У = у^. Эта схема,
как нетрудно убедиться, имеет второй порядок аппроксимации
по т и Л, г|) = Ли — щ = О (т2 + А2). Однако она является
абсолютно неустойчивой (т. е. неустойчивой при любом законе
стремления к и т к нулю).
Перепишем уравнение E9) в виде
Если в правой части уравнения F0) заменить 2у\ суммой у\+г +
Л-У С \то получим трехслойную схему «ромб» (схему Дюфорта
и Франкела):
У\ — У\ У{—1~^ — У* т^У{+1
2т
F1)
которая остается явной относительно у1+1 и является абсолютно
(при любых А и т) устойчивой. Схема «ромб» может быть
записана в виде
У?+^-^ = Лу, F2)
где уи = (у1+1-2у{ + у{-1)/т\
В самом деле, преобразуем правую часть уравнения F1):
У4-1 — ?| — У| + У'й-1 У{-1 — 2У{ + У{-ц У{ —2^+у^ _ __т2
Подставляя это выражение в F1), получаем F2). Таким
образом, схема «ромб» получается из схемы Ричардсона
добавлена
нием к левой части F1) члена-уу^ обеспечивающего
устойчивость. Доказательство устойчивости схемы F2) следует из общей
теории гл. VI, поэтому мы его здесь не касаемся. Погрешность

§ 1. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 277
аппроксимации схемы F2) есть
2 2
♦ = Ли -и. —рг«1« = «*' -и ~ р-м + 0(т2 + А2) =
Отсюда видно, то схема «ромб» обладает условной
аппроксимацией
ф = 0(т2 + к2 + т2М2) - 0(Л2) при т = 0(А2).
Если взять т = аМ1 + 0(АЮ, где а = сопз1, то очевидно, что
схема F2) аппроксимирует уравнение вида -— + а2 —\- = —\-.
Обычно для уравнения C) используются неявные
трехслойные схемы с весами:
а) симметричные схемы
у? = А(ау + A - 2а)у + ау) + Ф; F3)
б) несимметричные схемы
Уг + (*Щг = Лу + ф. F4) -<
Уравнения F3) и F4) содержат три слоя (^-4, <Л ^+4).
Поэтому они пишутся при ^^т, />1. Значение у(х, 0) — и0(я)
известно, значение у(х, т) надо задавать дополнительно; например,
можно положить
уг{х, 0) = мои) или у{х, т) = у(х, 0) + тм0и),
где щ (х) = и0 (х) + / (#, 0) выбирается из условия (см. гл. II, § 1)
у(х, т) — и(х9 т) = СКт2).
Иногда для определения у{х, т) используют двухслойные схемы.
Так как аи + A — 2а) и + аи = и + ах2и-и = и + 0 (т2), то
симметричная схема F3) при любом о имеет второй порядок
аппроксимации по т и А. Напишем выражение погрешности
аппроксимации для схемы F4):
ф = Ли + ф — (щ+ати^)=Ьи+<р—[и— 0,5ти + ати)+0(т2+Н2)=
= (^+/-и)+(ф-?)т-(а-0,5)ти + О(т2 + А2). F5)
Отсюда видно, что и для схемы F4)
\|> = 0(й2+т2) при о = 0,5 Ф = /Г
г|) = 0(А2 + т) при а ^0,5 ф = /.

278 гл- У- СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ .
Выписывая в F5) члены 0(Нг) и учитывая уравнение й = и" +
+ /, нетрудно убедиться в том, что схема F4) имеет
аппроксимацию 0(А4 + т2) при
а = 0,5 + /*2/A2т) и ф = ? + -^(? + /).
Для определения у из F3) и F4) получаем трехточечиые
уравнения
Ау^ - С& + Ву{+1 = -Р{ F6)
с правой частью —1*{, зависящей от у, у, ср, и с обычными
краевыми условиями при 1 = 0, ^=*N. Эта задача решается методом
прогонки. В процессе счета надо хранить в оперативной памяти
ЭВМ значения у и у для двух предыдущих слоев. В случае
двухслойных схем достаточно запоминать лишь один
предыдущий слой.
Устойчивость трехслойных схем доказывается в гл. VI.
Приведем лишь достаточные условия устойчивости:
а>74 для симметричной схемы F3),
о > — 0,5 для схемы F4).
Так же, как ив случае двухслойных схем, можно построить
разностные краевые условия повышенного порядка аппроксимации
для граничных условий третьего рода E0), E4). Для
симметричной схемы F3) краевые условия порядка аппроксимации 0(т2 +
+ А2) имеют вид
у\= А-(оу + A - 2о)у + оу) + <р-, г — 0,
{/?= Л+(оу + A - 2о)у + оу) + Ф+, I - ЛГ,
где
Выпишем, далее, разностные краевые условия третьего рода
для несимметричной схемы F4):
р1 (ЬЧ + ощЛ = Лгу + Ф"» » = 0,
- F7)
Р» (уг + охуь) = А+у + ф+, г = N.
Эти краевые условия имеют аппроксимацию 0(т + Л*) при

§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 279
любом а, если положить
Р1=р4 = 1,ф- = /@,< + т)+*^1^,Ф+==/A,* + т)+^±^.-
Если при этом 0 е 0,5, то краевые условия F7) имеют
аппроксимацию 0(т2 + А2). Наконец, если положить
а=4+ж' р^+Нп *=*+-$->
V,»
Ф =/(*,* + х)+ -§-(/'(«, * + т) + /(*|« + т))|
VI- |*1<* + Т) + 4" <М* +*) + /'(О,* +Т) — Рх-/@, *+Т)),
V« = |Ц(* + т) + 4-(^Ч(* + т)-//A,* + т)-МA.' + <^))I
то получим схему F4), имеющую точность 0(т2 + й4)
(погрешность аппроксимации в узлах а; = 0, я = 1 есть 01 т "^ 1)
§ 2. Асимптотическая устойчивость
1. р-устойчивость. При изучении схем для уравнения
теплопроводности мы убедились, что простейшим способом
ослабления условия устойчивости (ограничения сверху на шаг по
времени т) является переход к неявным схемам.
1 Л2
Все неявные схемы свесом верхнего слоя о^а0, о0= -« 5Г»
устойчивы. В частности,, схемы с о = 0,5 и а=1 абсолютно
устойчивы.
В конечном счете нас интересует точность, с которой мы
находим приближенное решение дифференциального уравнения.
Понятно стремление добиться заданной точности с затратой как
можно меньшего числа машинных операций (арифметических и
логических), т. е. затратой как можно меньшего машинного
времени. Минимизация числа операций может быть достигнута за
счет усовершенствования разностных схем. Естественно
добиваться улучшения качества схем, требуя, чтобы разностная
схема как можно лучше моделировала в пространстве сеточных
функций основные свойства дифференциального уравнения.
Одним из таких типичных свойств является асимптотическое
(при *-*«>) поведение решения дифференциального уравнения.

280 гл- у* СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Поясним это на примере уравнения теплопроводности
и{х,0) = щ{х), 0<*<1, и@,0 = иA, 0 = 0, *>0. A)
Решение этой задачи находится методом разделения
переменных и имеет вид
и {х, 0=2 ске~Хк1Хк (*), Хк (х) = У2 зш пкхх
А=1
где
X
Хк = к2л2, ск = (и0, Хк) = ] щ (х) Хк (х) ах,
о
так как \\Хк\\ = 1. В силу возрастания ЯА с ростом к имеем
т. е. для решения задачи A) верна оценка
|| и @ (< е~*** || и @) || при любых I > 0. B)
С ростом I гармоники щк) = ске~кк*Хк (х) при к > 1 затухают
быстрее, чем первая гармоника, так что при достаточно больших
значениях I имеем -
и(х,г)^с1е~~^Х1(хI сгф0. C)
Эта стадия процесса называется регулярным режимом. Будем
требовать, чтобы решение разностной схемы для задачи A)
также обладало аналогичными свойствами B) и C). В этом случае
схему будем называть асимптотически устойчивой.
Обратимся к схеме с весами:
у% = А (ру + A — а) у), х <= сол, г = /т > 0,
Уо = У* = °э У(х,0) = щ(х), 16% D)
АУ = Уж*
Решение этой задачи было в § 1, п. 4 найдено методом
разделения переменных:
л-1
у{ = У (*Ь *;) = 2 Ск^кХк(хг\
А«1

§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 281
где
1_A-а)т^ ,л_ 4 . 2пНк
Як = ь » ** = —2~ 8Ш -"о"*»
* 1+ат^ А2 2
N-1
*А (*г) = /2 81П яЛ^, Сл = (и0, Хл), (у, У) = 2 у^Л.
г=1
В силу ортонормированности {ХкУ имеем
А=1 А=1
11^11<р%°11, E)
где р = тах |дЛ|.
1<А<#-1
Будем говорить, что схема D) р-устойчива по начальным
данным, если выполнена оценка E). Оценка вида C) возможна
для решения задачи D), если р < 1.
2. Асимптотическая устойчивость. Найдем условия, при кото-»
рых решение у5 разностной задачи D) выходит на регулярный
режим (при больших ^=/т):
У\ = У {?х, и) « С^[Х1 (Х-). F)
Очевидно, что это возможно лишь в том случае, когда
преобладает'первая гармоника, т. е. тах|дЛ| достигается при й = 1, так
что к
тах дк = р =
1<А<ЛГ-1
1 - A - а) хА*
1 + атА* г ( )
Чтобы найти условия, при которых справедлива формула G),
рассмотрим функцию
где Цх = т^1, ц = тЯд^Цх, и потребуем, чтобы /(|х) > О при |х ^»
> |г1#' Сначала преобразуем выражение для /(^):
/(ц) = ШШ^/К, К - A + ощJA + оцJ > 0, .
Л(|а) - A - A - о)|1|)A + <т^) - A - A - о)^)A + ац*) -
' =* Ц - Ц1 > О,
Д(|1) - A - A - 0)^X1 + о\1) + A - A - о)|1)A + о^) =
= 2 + Bо - 1)(ц + ^ц) — 2A — о)о^1.
Отсюда видно, что
/2(|1) = 2 + |А + \1{ > О при о = 1,
/1(^)=-2-(|1 + |4|)>2-т(Д + в)>0 при о = 0,
если т<т0, где т0 = ^ , д, 8 = А,Ь Д = Хлг-1-

282 ГЛ- У' СХЕМЬ! ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для симметричной схемы (о = 0,5)
/2(ц,) = 2 - 0,5и^1 > 2 - 0,5^-!^! = 2 - 0,5т2Д6 > 0,
2
если т ^ т0, т0 = .— Таким образом, имеем
р = 1 , 6 при о = 1и любых т > 0,
2
>;
р = 1 —тб при о = 0 ит^т0=-гг
1 — 0,5тб п г ^ 2
Р= 1 + 0,5т6 приа=0,5ит<т0 = 7=.
В этом случае верна оценка 11^11 <р%°11, причем р*-*-0 при ^ =
= /т -*• °°.
Представим р в виде р = е~Ц1+Тф, тф = цг — 1п—, где р^
*=*.<г6. Пусть о = 0,5; тогда
_ 1 + 0,5щ /V? И-? "\ /Ч268 т46б \
^=^~1п1^;== -(8+8+ ••^=-*&+ж+-4
Отсюда следует, что
Р; = ехр(-8^-(^ + ^+.ф)<е-Ч
Регулярный режим для симметричной схемы (о = 0,5) имеет
вид
у(хиг})^с1е-6Ч+^Х1(х{),
где р = -(-^1 + ^+...) = 0(т2), 6 = ^.
Для чисто неявной схемы
р 1 + тб*^ ' р
тб2 т268
где Р = —о з Ь • • • = О СО- В этом случае р* плохо
аппроксимирует в" *3 по сравнению со схемой о == 0,5.
2 * т /"б"
Приведем пример. - Пусть т = т0 =• -^= и тб = 2 у —.
Предполагая, что 5/Д = 0,01, вычислим
Р |а=о.Б = Ро,5 = -?х = 0.8182, р |0=1 = Р1 = -^- = 0,8333
и сравним эти значения с е~тв = е-°>2 = 0,8187,
р0,в = е~«A - 0,0006), р4 = е-тЧ1 + 0,018).

§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
283
Отсюда следует, что при б^ = 1 (/' = 5)
Ро.б« е~б*>-0,997, р{ « <Гб'М,09.
т. е. при 6*| = 1 величина ро,5 отличается от е~ *> на 0,3%, а
р^-на9%.
Из приведенного примера видно, что хотя схема с о = 1
абсолютно устойчива и может быть использована при любых т,
однако она недостаточно точна при больших т в стадии регулярного
режима. Чтобы поддерживать точность (относительную — здесь
только такая мера точности имеет смысл), надо с ростом I,
уменьшать шаг т = т,-, что не позволяет в полной мере
использовать основное достоинство схемы с а = 1 — устойчивость при
любых т>0.
Симметричная схема (а = 0,5), будучи абсолютно устойчивой
в обычном смысле Ь/\\ < Иу°И, является условно асимптотически
устойчивой при т<т0. Что касается явной схемы (а=0), то ус-
ловие асимптотической устойчивости т ^-^-3777- практически сов-
падает с условием т ^ "Т" обычной устойчивости, если -^ мало.
Для уравнения теплопроводности
а Ь . « ПК А 4 2 яЛ * . А 4
8 = -^2-81П2—, Д= _С082-2"-, О + Д ="^2-«
к2 2
и условие устойчивости т ^ -у- означает, что т ^ § \ д •
2 к2 к
В случае симметричной схемы т0 = -у= = -^—^ « —4 и
условие т < й/я не является обременительным. В этом случае
характерное отношение у = т/к2 < 1/(яй0, так что у < 10/я при к =
- 1/10, ? < 100/я при к = 1/100.
Первое собственное значение Ях = б разностной задачи равпо
где | = яй/2, так что
X? = 0,97а* при /г.= 1/10,
X? = 0,9997*,! при к = 1/100, где Я,х = я2.
Что произойдет, если для. симметричной схемы (о = 0,5)
использовать шаг т>т0, например, т = тт0, т>1? Тогда тах|дЛ|
достигается при к = N — 1: *
, ,__ 0,5тА-1 _ 1 —2/тА
р~|д^-1|- 0?5ТА + 1 - 1 + 2/тА #

284 ГЛ- У* СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Подставляя сюда
1 = 1 = 1 /~~Т = б 2 = бт0 = тб _^ т?
тД тт0А ~~ 2т У А 4т "]/5д ^т 4/л2 '
— л
получим р = е-^+^Ъ, где б = -^г Р = О (т2).
Таким образом, при т > 1 симметричная схема (о = 0,5) дает
неправильную асимптотику
где
ЛГ*-|B<) = 81П я(# — 1)я« = 81П я(# — 1Iк =
= 8ш яA - НП = (- II-1 8ш пх1 = (- 1I-%и),
так что
—^«.
У (^ *;) « ЗД-1* ^2 ' (- 1IХ1 (*«) (^ (^) = 81П ЛХ{)%
т. е. решение полностью искажается.
Отсюда ясно, что асимптотическая устойчивость схемы тесно
связана с ее точностью. Нарушение асимптотической
устойчивости приводит к потере точности схемы при больших временах.
С другой стороны, хотя схема с опережением (о = 1) и
асимптотически устойчива при любых т, однако ее точность падает
с ростом ^, поскольку эта схема имеет первый порядок по *,
и сохранение заданной точности возможно при уменьшении т
фактически до того же значения, при котором применима явная
схема. Следовательно, схему с опережением нецелесообразно
применять при решении задачи A) на больших временных
интервалах 0^*<Г.
3. Схема второго порядка точности, безусловно устойчивая
в асимптотическом смысле. Рассмотрим схему для уравнения
теплопроводности, обладающую безусловной асимптотической
устойчивостью и имеющую второй порядок точности. Эта схема
имеет вид
»*+*/• _ „5 „3+1 __ ,.3+4»
(Е - 0,5охА)у т у = A - 0,5а) Лу*. -8 ^ =0,5аЛ^+1,
(8)
где Ау = у^, Е — единичный оператор, у*+ъ — промежуточное
значение, а = 2 — 112.
При 1 = 0 и ^ = N заданы нулевые граничные условия
^''•-^-О, й'-^-0.. (9)

§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 285
Исключим из (8) у5+Чж. Для этого запишем уравнения в виде
(Е - -^-Л) у**'* = (Я + т A- а) Л)у*. [Е - -^ Л) ^ = у*'/..
Отсюда сразу следует, что
[Е - -^ЛJ у*+* = E + т A - а) Л) $. A0)
Подставим сюда тождество у'+1 = ^ + т — — или у = у +
+ т#*, запишем схему A0) в виде
(я--^л)^ = (л-4-л2)«,. A1)
Найдем погрешность аппроксимации схемы A1) на решении
и = и(х, I) уравнения A):
2 2 2
ур = Аи ^— А2и — щ + охАщ ^— А2щ. A2)
После подстановки в A2) выражений
и =^Г*- -2-«, = и-±-^+0(х% Ли = Ли +^2и+0(Л<),
Л2и = Л(Ли) = л(Лн + ^^и(|,0)=л(-|г + ^--§-«.«)) =
= Лаи + 0(й2).
г 5 и ди — I
где Ьи = -^2- = -^-, и = и\1=1}+1,ш, получим
ф = дй _ ^ _ т (-^- _ а + О.б) ЬЧ + 0(к2 + т2).
Отсюда видно, что
ф = 0(т2 + ^) при о = 2-У2,
а2
так как при этом значении о имеем—^ о + 0,5 = 0.
Будем искать решение уравнения A0) с однородными
граничными условиями у0 = у у = 0 методом разделения
переменных, полагая
уз = 2 П*л (*), *л (*) = /2 8Ш яЬ\
Подставляя это выражение в A0), получим уравнение для

286 гл- у« СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
определения Т\:
A + 0,5ат^J П+1 = A _ A - а)т^) Т{%
1 1/1
:т. е. П+1 = дкТ'к, где дк =
1 - A - а) т^
Повторяя рассуждения, проведенные выше для схемы с
весами, приходим к неравенству
где р = тах|дя|. Покажем, что шах |дя| достигается при & = 1;
тогда * к
1 - A - а) тА}
где ^ = —г- 81П2 -^-. Введем функцию
к *
(«+т "Г
и покажем, что
|/(ц) I — /(ц*) < 0 при |г > [г!, если ц4 < 1.
Необходимо рассмотреть случай, когда A —а)|А>1, так как
в противном случае сразу получим, что |/(ц,)| ^/(ц) </(^),
ц, > |х1# Преобразуем разность:
= 4-{2 + Bа-1)ц1 + 4-И?-(A-2а) + 2аA-а){»1 +
+ -^- A — <^) ^ ) ^ + -?"A"" A _ аI11)»**}■
где ^ = A + ^-^A + ^-^.
Учитывая, что о — 2 — У 2, а2 == 4о — 2 и ц4 < 1, получим
оценку снизу:
/Ы-1/0*)|>
>4-{2-BаA-а) + -х-A-а)-Bа-1))ц + ^-^} =
= ^-{2 - F,5 - 10,5а) ц + C,5а - 2) ц*>-

§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 287
Квадратный трехчлен в фигурных скобках равен 0,050ц*—
— 0,349ц+ 2 и имеет отрицательный дискриминант й = 0,3492 —
— 0,402 <0. Отсюда следует, что7DX1)— 1/(цI >0, т. е.
= 1 - A — о) и>1 = 1-,A-,а)тб
при ограничении-|Х1 = тб< 1, которое выполнено, если заменить
его условием тЛ4 = тя2 < 1.
Нетрудно получить следующее разложение:
1 - 1*1 1*1 ,
Ш Р — —^ — 476" — 7Т77 + ••"
р •' Р 24,6 271,7 ^ * *'
и, следовательно,
Тем самым доказано, что для схемы (8) справедлива априорная
оценка
№<*-*>№
при условий тб < 1.
4. Асимптотическая устойчивость трехслойной схемы.
Трехслойная схема
4^-4-^ + Л*> = 0' А = А*> А>*Е> б>0, A3)
безусловно асимптотически устойчива при т < 1/B6). Запишем
ее в виде уо + %у# + Ау = 0. Она имеет второй
порядок-аппроксимации в случае уравнения теплопроводности с постоянными
коэффициентами (й=Ьи) A):
~ х2
• •• * х2 '*
= м + ти — Ьм — хЬи ^- 1/м + О (т2 + Л2) =
= (и - Ли) + х(и - /ж) + О(*2 + Л2) = ОС*2 + А1),
так как й = Ью, и = Ш.
Применяя метод разделения переменных
у1 = Тк(Ъ)Хк,
где Хк — собственная функция оператора А:
АХк = 7кХкг 4 = 1,2,. ...ЛГ,

288 ГЛ* У* СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИИ
получаем
4 Н+1 - 2Т{ + \ ГГ1 + ХнкхТ{+1 = О,
или
C + 2тЬ2) П+1 - 4П + И'1 - 0.
Его решение ищем в виде 2^ «=?&. Для ^к получаем квадратное
уравнение
C + 2|г)д*-4?+1=0, \а = %К
Индекс А мы пока опускаем.
Дискриминант квадратного уравнения равен И = 1 — 2|г. Пусть
#<0. Тогда корни дA,а) уравнения — комплексно сопряженные
гда кор
= 1д12 =
идA)дB) = |д|2 = 1/C + 2р1), т.е.
I „A,2) I 1 ^ 1 I „(М) I
Пусть И > 0. Тогда
Покажем, что |?^)|<|?ц | при к^кг. Рассмотрим функцию
/ у • 2 4- VI — 2ц ^* ^*
ф0*) = з + 2|1 ' ГД6 ^^^^
Вычислим ее производную:
±-ЛФ_ = 1 _ 2 0
Ф <?|1 B + УГ=Г2ДУ1^1^ 3 + 2ц ^ •
Следовательно, тах <р(ц,) достигается при ц, = |11 = тЛ,1:
2+ У1 — 2ц,
тах ф (ц) = Ф (^) = ^г^-—Ц если 1 - 2цх > 0.
Может оказаться, что Эк — 1 — 2ц* < 0 для некоторого & > 1;
тогда
I лA,2) |2 _ 1
Так как 3 , 2 <Ф* A*1I то тах|д(л1,2)| всегда достигается при
&■» 1; он равен
2+ У1~2ц1
Р888 3 + 2^ ПРИ 1Ь<0*5.

§ 3. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 289
В решении
Л=1
при больших ] останется первая гармоника у1» а^Хх.
Рассмотрим р = е р. Представляя р в виде
2 **1
1-
3 1+ /1-2^
2 х
1+3" 1*1
вычислим
Разлагая
так что
по
1 -1 з
степеням \ли получаем ш — = ^1 + ■§■ Иа + • •
р3 = е 3 8 ;.
Таким образом, трехслойная схема A3) имеет правильную
асимптотику при ^» с точностью 0(т2 + А2) при единственном
ограничении тб < 1/2, которое не является обременительным.
Сравнивая с двухслойной схемой D), видим, что трехслойная
схема имеет формальное преимущество перед симметричной
двухслойной схемой (о = 0,5), которая условно асимптотически
устойчива: кроме тб < 1, для нее требуется т < т0 в 1/УбД, т0 =* т0(й).
Однако на практике это ограничение является слабым. Поэтому
говорить о практическом преимуществе трехслойной схемы не
имеет смысла. Лучше пользоваться двухслойной схемой.
§ 3. Схемы для уравнения теплопроводности
с несколькими пространственными переменными
1. Явная разностная схема. Рассмотренные в § 1 схемы могут
быть обобщены на случай уравнения теплопроводности с
несколькими пространственными переменными.
Пусть и — С + Г — р-мерная область с границей Г, х = (хи
х2, ..., хр). В цилиндре @г = С X [0 ^ I < Т) требуется найти
непрерывную функцию и(х, *), х<^&, удовлетворяющую
уравнению
4гвА^ + /(*.0.?еС,.*>01 A)
19 А. А. Самарский

290 ГЛ- у- СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
и дополнительным условиям
ц(я, 0) = ивЫ, хбй, и(х, г) = \ь(х, *), хе Г, I> 0,
где Аи = 2 —— — оператор Лапласа.
а=1 а _
Введем в (г сетку (ол = {#< ^ G) и обозначим через *ул
множество узлов со/», принадлежащих Г, через ©л — множество
внутренних узлов х{ ^ 6У, так что со* = (о& + *(н. Построение разностной
схемы надо начинать с аппроксимации эллиптического оператора
Аи. Во внутренних узлах Аи~Аи при х^<дн (см. § 1 гл. IV).
Заменяя в A) оператор Лапласа разностным оператором Л,
получим систему дифференциально-разностных уравнений
-^Лг; + (рОМ),*еа)л, B)
где 1>(#, *) при любом * ^ 0 определена на сетке со*. Порядок
системы B) равен N — числу внутренних узлов сетки ю*, у(х, *) —
функция, аппроксимирующая /(я, 0 на со*.
Введем теперь сетку по переменному *:
(Ох = {$ = /т, / = 0, 1, 2, ..., /в, /от = Т)
с шагом т. Чтобы перейти к разностной схеме для функции
у{х, *), заданной на сетке
солт = со* X сот = {(я*, *,), а: е ©Л, I е о)т},
надо заменить систему дифференциальных уравнений B) какой-
либо разностной по I схемой. Выбирая, например, схему Эйлера,
получим явную схему
1-^ Лу' + ^,/= 0,1,2,...,
у9 = у(х10) = и0(х), ^|?А = ^, 7 = 0,1,2, ... -
Значение V4 на новом слое определяется по формуле
уН1 = ^ + т(Л^ + ф'), / — 0, 1,...
Для упрощения изложения будем предполагать, что # —
параллелепипед @ < ха < 1а, а = 1, 2, ..., />),' (оА = {аг| = «ДАА, ...
..., /?&*), 1а = 0, 1, ..., #а, Аа = /а/^а) — сетка, равномерная по
каждому из направлений ха. В качестве Л возьмем Bр+1
^точечный оператор второго порядка аппроксимации:
^ = 2^ Лву= у- = -^ -р! в D)
а=1 " " па

§ 3. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 291
где у — значение функции' у(х, I) в фиксированном узле
*=(*!*!« • • * «Л). у{±Ла) = у (*(±Ч 0. *(±1<х) = (нК..., /«-Лм.
(*а ± 1) ^а, ^*а+1^а+1» • • •»*рйр) — узел, соседний с # (д^+1<х) — справа
от х, а:("~1а)— слева от х).
Учитывая, что
Лц = Дц + 2-§-ии + 0(|А|*),
^аи=~, |Л|2 = А? + А1+...+^,
находим невязку
если ср'-/(ж, ^)+0(|Л|ж + т).
Схема C) условно устойчива в С по начальным данным,
по правой части и по граничным данным. В этом можно
убедиться с помощью принципа максимума для разностной
задачи C). Запишем ее в каноническом виде:
^ = A-22 ъ)у}+1 -5-0^(*<+«-)) + 1Г*С^-))) 4-тф».
\ а=1 Ла/ а=1 "а
E)
Сравнивая с общим разностным уравнением
А(Р)У(Р)= 2 В(Р,<})У@) + Р(Р) F)
из § 2 гл. IV, видим, что в нашем случае
Р = (х,1,+1), <} = (х,г}),(а{+1*\1}),(а{-1*),*}), а = 1,2... .., р,
А(Р) = 1, Д(Р^) = 1_22~.-^-
Граница к сетки о для уравнения E) состоит из узлов (х, 0),
х е оЛ и (я, *,-,), а: е ^Л, *,, < *,+1.
Нетрудно убедиться в том, чтож
0{Р) = А{Р) - 2 2?(Р,<?) = 0, Я(Р, «>0
<?еяг'(Р)
при
1-22-т>°- G)
<х=1 Ла
1»*

292 гл- у- СХЕМы для нестационарных уравнений
Решение задачи представим в виде суммы у = у + */, где у —
рещение однородного уравнения
У г = Лу, у \УН = и., у (я, 0) = щ (х)%
а у — решение неоднородного уравнения
»« = Лу + ф, # |7л = 0, # (я, 0) = 0.
Для у получаем уравнение F) с Р = 0.
В силу принципа максимума (следствия теоремы 2 в п. 3
§ 2 гл. IV) имеем
IУ {х, Ь) \с < тах /шах тах | \х (х, Ц,) |, | и0 (х) [Л
если выполпено условие G). Отсюда следует неравенство
|| у* \с < тах 1 ^' 1с +1 и0 |Сс (8)
где Ц и»Цс„ = шах | |.1(х, ^)|, выражающее устойчивость явной схе-
мы C) по граничным и начальным данным при условии
Для оценки у, по аналогии с одномерным случаем (см. § 1,
и. 7), запишем разностное уравнение в виде у*+1=Р'. Здесь
*'- (* -2 1 ^) у + 2 -й- ^~(+1в)+~*(о))+^
\ а=1 Ла/ №1 Ла /
и \\Р'1\С < 11»"с + т11ф11с при т < То.
Отсюда видно, что
1^'+111с = 1Я'11с<Г^1с + т|ф^|с
нри т<т0. Суммируя по //==0, 1, ..., /, получаем неравенство
|Р+11с< 2 тЦфПс при т<т0, A0)
у=о
выражающее устойчивость явной схемы по правой части. Из (8)
и A0) следует оценка
^
|^+11с<К1с+ т*х вИ;''1к+ 2*1ф'''1с (")
при условии т ^ т9.

§ 3. СХЕМ1Д ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 293
Если обозначить А = ттйа, то условие устойчивости (9)
принимает вид
т. е. с ростом числа измерений р допустимый для явной схемы
шаг т уменьшается.
2. Явная трехслойная схема. Простейшей явной трехслойной
схемой является схема Ричардсона — аналог схемы E9) из § 1:
7
* у-— - Лу' + ф>. A2)
Однако она абсолютно неустойчива. Заменяя в правой части у\
полусуммой 0,5 (уГ1 + у{+1) = 0,5 (уГ1 - 2у\ + у{+1) +у{ =
= 0,5т*Й + у\, где
получим р-мерный аналог трехслойной схемы Дюфорта — Фран-
кела. Учитывая, что '
после указанной замены получим в правой части уравнения A2)
выражение
Таким образом, мы приходим к явной схеме
У1 + — Уи==АУ + Ч>> A3)
р
где Д = 42тг-
Если Л4 = Кг = ...=»Лр = к (кубическая сетка), то Л — 4р/Л\
и можно вместо A3) написать
0Г + ^уй = Лу + ф. A3')
Отсюда для определения у = у'+| получаем формулу
A + 2?)]/ = A - 2-{)у + Ачу + 2тЛу + 2т<р,
где у = у\*у = у*-\ 7врт/А2.

294 ГЛ. V. СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Схема A3) устойчива при любых гик; это следует из общей
теории устойчивости гл. VI. Однако эта схема обладает условной
Аппроксимацией, так как невязка удовлетворяет соотношениям
\|) = Аи + ф — ио —^^иь = О (к2)
при т= 0(А2), если ф = /, &4 = к2 = ... = кр = к.
3. Схемы с весами. При дискретизации по I уравнений B)
естественно получается схема с весами
уМ~ у3 = А (оу** + A - а) у*) + &%
или
*/*== А(ау + A—о)у)щ+ ф, хе=соЛ, * = /т>0,
A4)
У \ун = Р> У (*» °) = ио (*)» х е (д^
Выберем ф = /==/(х, ^+«/,). Будем по-прежнему считать, что
<7 — параллелепипед, а Л определяется согласно D). Для оценки
порядка аппроксимации схемы представим ои+A — о) а в виде
аи + A — а) и = 2 " + (а "~ 0, 5) то* и вычислим невязку
г|) = Л(ац+ A — о)и) + у — щ = Л и ^ и + (а — 0,5) хАщ + ф —
-к| = Ьц + (а-0,5)т^ + /- и + (ф -7) + #(т2 + |А|2) =
= (а - 0,5) т/ж + О (т2 + | А |2),
где Ьи = Аи, и = и (х, ^+1/2), ф = /,, и = #ц/д*. Таким образом,
1|)^=0(т2+|й|2) при о = 0,5, ф = 0(т+1Ш при о ^0,5.
Принцип максимума для схемы с весами применим при
условии т < То,
х' = щЬг[$ъ) '0<а<1'
из которого видно, что при 0 = 1 ограничений на т нет. Если
выполнено это условие, то для решения задачи справедлива
априорная оценка A1). Для доказательства оценки A1)
необходимо' привести A4) к виду F>. Тогда
а=1 Ла

§ 3. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 295
Условие т < То следует из требования неотрицательности коэф*
фициентов В{Р, ()). Нетрудно заметить, что 1КР)=0.
Вместо A4) можно рассматривать схемы с различными по
направлениям ха весами оа:
1Л= 2 Ла(аа1/ + A — о*)у).
а=1
В этом случае т ^ т0, т0 = -у I ^ —-у-^- I *
\а=1 Ла /
4. Схема повышенного порядка точности. Для стационарной
задачи
Дю = — /Ы, и\т «■ |х(я)
в параллелепипеде была построена в гл. IV схема, обладающая
точностью 0(\Ъ,\к). В двумерном случае (р = 2) она имеет вид
А'у = - ф,
г2 I г2 ь2 г 2
где Л'у = Л^ + А&+ * 12 2 ЛхЛ^, ф = / + -^ Л^ + -^ А^.
Покажем, что схема
2 _о' . -2
У1 = 2 Ла (а«^+ D — а«) 2/) + \2 2 Л1^2» + ф|
а=1
^/ 1ул = Р1» У (^? 0) = ^о (л:)»
«-4 12 I" A5)
где
A6)
имеет погрешность аппроксимации
ф-0(т»+"|Ы*).
Запишем невязку ф в виде
а=1
Подставляя сюда
Х^ц = 1гам — ЬгЬ2и — 2^а/, а = 1,2,

296 ГЛ- у- СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
получаем
если выбрать о* согласно A6). Чтобы доказать сходимость
схемы со скоростью 0(т2+|&14), надо получить априорную оценку
для эадачи с однородными начальными и граничными
условиями. Такая оценка приведена в гл. VI. Схема A5) устойчива при
любых т и ка.
Второй, не менее важный, вопрос — как решать систему
разностных уравнений
2 ^ ^
2 тааЛар — у = —/\
а=1
Для этого можно использовать метод матричной прогонки.
Однако он требует большого числа действий 0(ЛР), где N — число уз-
лоз сетки (Он. Поэтому использование схемы A5)
нецелесообразно. Как будет показано в гл. IX, она может быть заменена
схемой того же порядка аппроксимации 0(т2+|й|4), но требующей
для определения у последовательности применения скалярной
щюгонки ддя трехточечного уравнения п затраты 0(Ю
арифметических действий. Такая сехма называется экономичной. При
ее написании используется приведенная здесь схема.
§ 4. Нестационарное уравнение Шредингера
1. Двухслойная схема с весами. Рассмотрим разностные
схемы для уравнения Шредингера
о
>_ = _ 0<*<1, *>0, A)
и (х, 0) = и0 (х), и @, *)'= и A, /) = 0, I = У^Л.
Применяя метод разделения переменных (по аналогии с уравне-%
пнем теплопроводности), найдем решение этой задачи в виде
ряда
*Ф,0= 2 ске*к'Хк(х),
где
1
с к = (и0, Хн) = ) и0 (х) Хк (х) их, Кк = А2л2, Хк (х) = У 2 зш пкх.

§ 4. НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
297
На сетке а)Лт = оолXоот, оол = {х,= 5А, 5 = 0, 1, ..., N. А# = 1),
о)т={^ = /т, / = 0, 1, 2, ...} построим разностную схему с весами
гу{=А(оу + A-о)у), у(х, 0) = и0(х), Уо=~Ук = Оу B)
где Ау = 1/-ж, а = а0 + 1ах — комплексное число-
Найдем невязку:
ф =.Л(ои + A — а)и) — ш* = Л ц ^ + т(а — 0,5)Ли* — и# =
= Аи + (о- 0,5) тЛц - ш + 0(т2) =
12
(Ьи _ *ц) +" * ^2" + (а _ 0,5) хЬи + О (т2 + А4) =
= Й ' + (а - °'5)т) Ь* + 9(* + А*),
2
где и = и (х, Ц + 0,5т), и = -тт-, Ьи = —^-. Отсюда видно, что
01 ох
ф = О (т2 + А2) при а = 0,5,
г|> = 0(т2 + ^) нри а = 4" Йг = (Т*'
•ф = (Э(т + А2) .при а=5^=0,5, ст^а*.
Таким образом, при
2 12т » "°~ 2 » ~~ 12т
мы получаем схему повышенного порядка точности.
Найдем у(х, О методом разделения переменных, полагая
*/'(**)=* 2 с°кХк(х8),
где Хк(х$) — собственные функции оператора Л:
*ЛХ* + ЯА = 0, * —1, 2 ЛГ—1, ХК@)=ХкA)=0,
4 ._2 яАЛ
Л2
полагаемое выражение для решения в разностное уравнение,
находим
4+1 = дА4, * = 1,2,...,ЛГ-1,
1-A-о)хкк -A-о0)хкк+ 1A + 0^)
где дк- 1 + ахХк ~ оД + ЦЦ-о^)
равные Хк (х) = кЗатл&з, Яй = —з-ет2—у-. Подставляя пред-

298 ГЛ. V. СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИИ
Для у'*1 получаем
Вычисления дают
1 Чк A + <тгтЯЛJ + фЧ A + агх\ку + <%*% '
Отсюда видно, что 1дЛ1 ^ 1, и следовательно, схема устойчива:
11у*1<ОуЧ^...<О0в11 при а0>0,5.
Если ов<0,5, то 1д*1>1, и схема неустойчива. В частности,
явная схема (о = 0) неустойчива при любых т/Л2 = соп81. В
отличие от схем для уравнения теплопроводности среди схем
с т/&,==сопз1; нет условно устойчивых: все схемы с о0^0,5
устойчивы, а все схемы с а0 < 0,5 неустойчивы.
Так как для схемы 0(кк + т2) имеем а = -^ ^—, т. е. а0 =
= 0,5, то она безусловно устойчива.
Если допустить устойчивость И^И ^ М\\у°\\ с постоянной М > 1,
то это эквивалентно требованию
тах|дА|<1 + с0т<ес<>\ с0>0.
А
Такую оценку для 1д*1 можно получить и при а0<0,5, если
положить т = 0(&4), или
В самом деле, пусть а0 < 0,5. Тогда
A + ^тЯ*)8 + а^т Х^ A + агтХл )* + <ф Ц
если т< —'■—г—тт- = т.—%
сУ
С X 4 С
ЛГ < § =ггт-<^ при а= ~ V.
> A + ^тАJ + а2т2Д2 ° Р 2 тд«
Явная схема (о=0) устойчива:
ЬЧ<ее°1Цу°1
с с Л4
если т ^ тг == 16 I где с0 > 0 — произвольное число. Условие

§\ НЕСТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 299
с \ -
т^-ттг-й4 очедь Жесткое и неестественное, поскольку
безразмерным является отношение т/&2, а не т/&\ Поэтому явной схемой
пользоваться для уравнения Шредингера не рекомендуется.
2. Трехслойные схемы. Рассмотрим трехслойную схему с
весами
1уо = Л (ау + A — 2а) у + ау),
' - C>
Уо = У* = °» #° И = ио (*). У1 = "о (*),
где у = г/т, г/ = у3, у = у3, а = а0 — вещественное число.
При любых с схема имеет второй порядок аппроксимации
♦ -ОЙЧЛ .
Будем искать частное решение для нее в виде
Ук{х8) = ск&Хк{х8).
Подставляя это выражение в уравнение C) и учитывая, что
АХк = — ХкХк, получаем для ^ (индекс к у дЛ и-А* опускаем)
(г + 2^^а)^2 - 2\лBа - ^)^ + 2\ла -ъ = 0, р, =±=тА,.
Найдем Дискриминант этого квадратного уравнения:
-^- = |хЧ2о- IJ- 1 -4р2а2«= A - 4а)|хж—1.
Отсюда видно, что
Д<0 при 0>4--^'
Корни квадратного уравнения:
0A.1) - Bа-1)^±^/1 + 4цУ-Bа-1)У , __
Таким образом, частные решения уъ не нарастают с ростом /г
Ы+11<1Ш,
если а>-т т"П» д = —• Полагая д^'2) = е±Щк, будем искать-
общее решение нашей задачи в виде
N-1
0* = 2 К соз/фА + РЛ зт7фЛ) Хк (х),
где ак и рЛ находятся дз начальных условий
2/0==Ио, 2/4 = к0

300 гл- у- СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
/
ИЛИ /
■ «.-К,ад,- е.-(<»■■хк) + Ъ^В.)^-.
Мы не будем останавливаться на последующих рассуждениях
приводящих к оценке вида
т<м(т+$уП) при а>4---й?-
Такого рода рассуждения проводятся в § 6 при изучении устой
чивости схем для уравнения колебаний струны.
§ 5. Уравнение переноса
1. Явные схемы для задачи Копш. Уравнение первого
порядка
ди . ди л
пазывают уравнением переноса. Такое уравнение получается,
например, для плотности р = р(х, I) несжимаемой жидкости,
движущейся вдоль оси Ох со скоростью V:
Уравнение переноса является модельным и позволяет
«отрабатывать» схемы для более сложных уравнений акустики,
кинетических интегро-дифференциальных уравнений переноса
нейтронов, нелинейных уравнений газовой динамики и др. Поэтому
изложение в этом параграфе представляет прежде всего
методический интерес.
Рассмотрим сначала задачу Коши
|г + а!^ = 0, -°°<х<"оо, *>0, и(х,0) = и0(х), A)
предполагая, что а = сопз! ^ 0. Решением задачи A) является
«бегущая волна»
и(х, I) ь= и0(х — а1)
(если щ{\) — дифференцируемая функция), где а — скорость
волны.
На плоскости (х, I) введем сетку
ООлт = 0)Л X 0)т,
©а = {х{ = Иг, Ь = 0*, ± 1, ± 2, ,..},
(от = {^ = 7-т,/=0, 1, 2, ...,}

9 5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
301
с шагами к (по х) \ х (по I). Для задачи Коши естественно
использовать явные схеЦы. Начнем со следующей схамы:
рли
У\ — У\ , ^ Уг+1 ~ Ух п в „ /^ч
У* + ауи = 0.
B)
Шаблон этой схемы состоит из точек (рис. 17, а) (х^ ^), (#<+1, **),
*Й%*/Л
9(Ъ>*Ы) 9(*1>*&)
(*1>Ъ) (хм.*?) (*Н>Ъ) &,$) (Ъ-/>Ь)' &>*/) (хм$)
а) б) §) .
(*1-1>Ъ+г)
——п
(*1>*/)
(хн>Ь+д
(х1 > %+/)
о
(*Ч-1>Ъ)
№ьЬ)
г)
9)
Рврс. 17.
Схема B), очевидно, имеет первый порядок аппроксимации
по т и А, так как для невязки имеем:
ф - щ + аи,» (й + аи') + 0,5т» + 0,5аАи" + 0(т2 + А2) = 0(х+ А).
Покажем, что при а>0 эта схема абсолютно неустойчива. Для
этого достаточно убедиться в неустойчивости какого-либо, частне -
го решения. Перепишем уравнение B) в виде
Л
р^-гАп+а+Ы, ? = ■?
C)

302 гл- у- схемы для нестационарных урл
Будем искать частное решение этого ур^Явнения в виде
гармоники
Ук = д^ф (здесь г = У^Л), ф Ф 0. D)
Подставляя D) в C>, получим
д = __ ^е,ф -Ь^ + 1 = 1Ч-A — соз ф)*у — 1у зш ф
и вычислим .
|д12 = A + A - со8<рOJ + 7231п2ф = 1 + 4^7 + 1) зш2 (<р/2).
Отсюда видно, что 1д1 > 1 при любом фиксированном ч
(ограниченном снизу при т—*0), если только 51п(ф/2)^0 (случай
31П (ф/2) = 0 соответствует у* = 1 = сопз1). Тогда
|ул1 = Ы'-^°° при 7-^°°.
Замечание. Если предположить, что ч = ат/к = 0(к), т. е.
т = 0(А2), то 1д1 < 1 + с0т, где с0>0 не зависит ни от т, ни от А,
и гармоника остается ограниченной:
|^|<еСвТ;' = еСо^<есог=М при 0<^<Г,
или, иначе,
|^|<м|г/2| при -5-.<С1
Н
(в нашем примере | уь | = 1), где сх = сопз^> 0 не зависит от Лит.
Рассмотрим еще одну явную схему с шаблоном (#<, ^),
(х{, ^+1), (ж«_1э ^) (см. рис. 17,6):
^^+а^Ц^^_ = о, а>о, E)
или У1 + а#- = 0. Эта схема тоже имеет первый порядок
аппроксимации:
-ф = щ + аы^ = О (т + К).
Из уравнения
видно, что при ч < 1
11^+1Нс < A - тIу*10 + ТН^11С = И^11с,
т. е. схема устойчива в С:
\\у'+%<\\у% при 0<?<1. F)
Аналогично можно убедиться, что при а < 0 схема E)
неустойчива (по аналогии со схемой B) при а>0), а схема B) устой-

V?
где
X
У о .
Х,1
+
=
а 2Л
У1+1 - У1-1
2А
=0,
§ 5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА 303
чива при 1^1 = 1Лг/й^ 1,- так что для нее выполнено
неравенство \\у>+% ^ П^НС,>\= 0, 1, 2, ... .
2. Явные схемы шшее высокого порядка аппроксимации. Рас-
смотрим теперь явную\схему с погрешностью 0{х + кг):
пли у% + ау0 = 0, где
Эта схема задана на четырехточечном шаблоне (рис.17, в),
состоящем из узлов (хи *;+1), (я,, *,)г (я.-!, *,), 0г<+1, 0. Схема G),
очевидно, неустойчива при любых фиксированных ^ = ах/к и
любом знаке коэффициента #. В самом деле, возьмем гармонику D),
подставим ее в уравнение G) и получим уравнение для ^:
Ч — 1 + 7 2 = 0' *=К—4» 7=х* д = 1~^78ШФ»
откуда следует
|д|* = 1 + ^8ш2ф> 1,
так что \ин\ = |}|'->оо при у—*•<».
Чтобы получить на том же шаблоне устойчивую схему,
заменим по аналогии с п. 10 § 1 значение у к полусуммой 0Л5 Суа+х+
+ 0*-1):
——: х + а 2Л = °- <8)
Отсюда находим
у?1 = 0,5A + 7)^-1 + 0,5A- *)й1 + ь
1»|+11с<1»,1с<-..<1^1с
при 171^1 и любом знаке а. В самом деле, при а<0 имеем
1 + т = 1-|т|>0, 1-т-1+1т1>0.
Чтобы оценить невязку для схемы (8), перепишем ее в виде
0,5А2 . п
учитывая при этом; что 0,5 (уЛ+1 + ук-г) = 0,5 (уЛ+х +ук-1—2ук)+
+ Ук = Ул+0,5А2у^.А. Невязка на решении иОг, *) равна
« =.щ + ю- - -^ и-х = 0,5™ - 0,5 -^ и'+О^Ч т*).

304 ГЛ- У- СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Подставим сюда найденное из уравнения й = (ги"\ получим
Отсюда заключаем, что схема (8) обладает условной
аппроксимацией; она аппроксимирует уравнение только при к2/т—*0,
если к —-*0 и т—*0. Если выбрать т = 0(А), то я|) = 0(т+А). При
т = к/\а\ получаем второй порядок аппроксимации, $ — 0(к2).
Рассмотрим теперь четырехточечную схему, имеющую второй
порядок точности:
У* + ауо_0,5та21^ = 0. (9)
Шаблон (рис. 17, в) здесь тот же, что и у схемы G). Вычислим
невязку:
Ф = Щ + <ш° — 0,5та2ы^ =
= и + 0,5ш + О (т2) + аи' + О (к2) - 0,5а2то" + О (хк2) =
= (и + аи') + 0,5т (и - а V) + 0(т2 + к2) = О (т2 + А2),
так как й + аи' = 0, й = —аи7 = а2»77, так что
Исследуем устойчивость схемы (9) спектральным методом,
записав ее предварительно в виде
у(+1 = A-72)^ + 0,57<7- 1I^+1 +0,5т (т+ 1)»1-1.
Подставив сюда у{ = д'е**, получим для д выражение
д = 1 —12A — соз<р) — 1^8ш«ф, \д\2 = 1 —72A —12)A — созфJ.
Отсюда видно, что 1^1 <1 является необходимым условием
устойчивости, а 1^1 > 1 — достаточным условием неустойчивости,
если 1^1 фиксировано, 1^1 =соп81 при изменении т и к.
3. Краевая задача. Рассмотрим теперь краевую задачу, когда
при х = 0 задано граничное значение \*,A) и решение ищется
при х > 0, I > 0:
-~- + а-^=0, *>0, 0<я<оо, а = сопз1>0,
и(х, 0) = и0(х), х>0, ц@, *) = ц(*), *>0, * '
причем и0@) = ц@). Если и0(#) и р,(*) — дифференцируемые
функции, то задача имеет решением функцию
\и0 (х — а1) при * ^ аг/а,
при 1*^x1 а.
Выберем сетку оэл = {#< = $А, г = 0, 1, 2, ...} с шагом к и
сетку ©т=!{й = /т, / = 0, 1, ...} с шагом т. Напишем на шаблоне
4 ' №(* —я/а)

8 5..УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА 305
(рис. 17, г) неявную схему
т +* и = °* («)
т. е* у4 + од- = 0. Перепишем ее в виде
Отсюда видно, что счет можно начинать с точки к = 1, 7 = 0.
Тогда
Ух - ^1У1 + 7Т! ^? = ^1 НДО + 7Т1 "о (*!>•
Зная {/1, можно вычислить все значения у[ до некоторого / = /е,
затем, положив &•= 2, найти у{ при 0 < / < /в и т. д.
Рассмотрим семейство схем, заданных на четырехточечном
шаблоне (рис. 17, д):
У1+Щ-х + A-<з)Ух = 0> *ес,)л> *есот,
у (л, 0) = и0(х), у @, Ц) = 0, ав1.
Схема A1) принадлежит этому семейству и соответствует о=1.
Вычислим невязку для этой схемы:
я|> = и* + аи- + A — а) и-.
Подставляя сюда
щ = и + О (т2), и- = и' — 0,5Ли" + О (Л2),
у = Ъ + 0,5ту + О (т2), у = у — 0,5ту + О (т2),
где V = V |^.+о,бт, у = и-, получаем
ф = 0,5тBо - 1)Й' - 0,5Ли" + 0(т* + й2) =
= 0,5Bот + А-т)и, + О(т2 + й2).
Отсюда видно, что схема с весами имеет второй порядок
аппроксимации, \|э = 0(т2 + й2), если ог= т = ао» а Щ?13 о^Оо —
первый порядок, $ = 0(х + к).
Покажем теперь, что схема A2) устойчива по начальным
данным при
На отрезке 0^я^/ вводим сетку соа = {:г< = 1&, 1 = 0, 1, ..., #,
20 А. А. Самарский

/ *
306 ГЛ- У- СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
/
А# = #. Скалярное произведение и норму определяем так:
N
Учитывая, что у = 0,5(у + и) + 0,5(у — у), у = 0,5A;+1;)-
— 0,5(у —у), и полагая » = у-, перепишем схему в виде
VI + (* - 0,5)хуй + 0,5@; + %) = 0, у@, *)«0.
Умножим это уравнение на 2x1/-^ = 2 (у- — у-) и учтем, что
2№ = 2VV-x = (У2)- + Н (^J = (й); + Л (у-,J (здесь у = Уг).
Тогда получим
т От»; + 2 ((а - 0,5) т + 0,5*) (у5)« + &)• - (у-L = 0.
• Умножая на А и суммируя по всем узлам сетки х = Иг,
I = 1, 2, ..., /V, получаем .
тЫ* + 2((а - 0,5) т + 0,5А)||%|* +||^р = |^р, A3)
так как
2 Ык«* = 2 М - (кЙ-Л = (Ы* - (у«й,
*=1 Ч—1
а у#, о = VI@, О «=■ 0, так как' у@, *) « 0.
Из тоявдества A3) видно, что
№1\<№\<у.<№\
если (а —0,5)т + 0,5А>0, т. е. о>о0. Схема устойчива в
энергетической норме 0^О<х> =
В гл. VI для двухслойной схемы общего вида
Вуг + Ау = 0 A4)
с операторами Л, В: Н—+Н, где Н — евклидово пространстве,
А =Л*>0, В>0, будет получено необходимое и достаточное
условие устойчивости в виде
В>±А; A5)
при этом Н^+111А < \\УЧЛ, где ЦК — НАу, у).
Введем для задачи A2) пространство Н сеточных функций,
заданных на ш* и равных нулю при I = 0, и оператор 1\у = у-.
Так как уУкя = 0,5 (у*)- + 0.5А (у-)*, то
D/, у) = 0,5у2„ + 0,5А I у- р > 0.

\
§ 6. ЬсВМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ СТРУНЫ 307
Запишем схему A2) в виде
(Е + тА)уг+2у = 0. A6)
Так как Я>0, то существует Я >0. Применяя А к A6),
получаем
(А-* + отЕ)у< + у = 0. A7)
Сравнивая A7) с A4), видим, что В = А~1 + отЕ, А=Е, и
условие A5) означает, что
((Я + охЕ)х, х) - 0,5т(я, х) = (А~% х) + (о- 0,5)т(я, х) > 0,
Подставим сюда А~{х = у:
(Ау, 1/) + (а-0,5)т11^И2^0.
В нашем случае
D,») = 0,5^ + 0,5А]Лур
и условие устойчивости A5) примет вид
0,5^ + @,5/г + (о - 0,5) т) || Ау ||2 > 0. * A8)
Условие A8) выполнено при о^о0; при этом справедлива
априорная оценка 11^11 < IIу°И. Аналогично можно построить схему
с весами для системы
ди ди ди ди
'дТ^'дх' "дТ ^ ~дх%
эквивалентной уравнению колебаний струны
д2и _ д2и
д%2 ~~ дх2'
и найти условия устойчивости полученной схемы.
§ 6. Разностные схемы для уравнения колебаний струны
1. Постановка разностной задачи и вычисление погрешности
аппроксимации. Рассмотрим уравнение колебаний однородной
струны
-$- = а2-^ + /(*1,*1), 0<хг<1, *!>().
Вводя безразмерные переменные х = х1Л, % = а^//, перепишем это
уравнение в виде
•5т =ТТ + /(*.*), ^<х<1, 0<*<Г. A)
ОХ ОХ
20*

308 ГЛ- у- СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВЦЕНИЙ
В начальный момент заданы условия
«(*,0) = и0(*), -^^- = й0(*) B)
(пачалыюе отклонение и0(х) и начальная скорость й0(#)). Концы
струны движутся по заданным законам
и@, 0 = Ц1(^), вA, 1)' = \ци). C)
Введем в области Л = @^а;^1, 0=^*<Г) прямоугольную
сетку о)Лт (по аналогии с § \, п. 2). Так как уравнение A)
содержит вторую производную по ^^ то число слоев не может быть
меньше трех. Пользуемся, как и выше, обозначениями
У = у\ У = УЖ, У = ^~\ У1^^-у ^=-^-» Лу = Уххз
УЬ~ т ~ т2 > У? — 2 ~ 2т '
Заменим производные, входящие в уравнение A), по формулам
д2и д2и А .
дГ " дх2
Рассмотрим семейство схем с весами
уь = А(ау + A - Щу + а#) + <р, ф - /(*, *,-),
#о = М-1 (*)> #* = И-2 (*)> # (** 0) = ^о (*)> У г (х> °) = ^о (*)>
где и0(;г) определим ниже.
Краевые условия и первое начальное условие и(х, 0) = и%{х)
на сетке соат удовлетворяются точно. Выберем й0(х) так, чтобы
погрешность аппроксимации й(х) — ди{х, 0)/д1 = й(х) — йв(я)'
была величиной 0(т2). Из формулы
щ(х, о) - «и, о)+о,5т«и, о) + счт2) -
- ИоЫ + 0,5т(»,/ (я, 0) + /(ж, 0)) + 0(т2) =
=и0(д:) + 0,5т(«; (ж) + /(я, 0)) + ОСт2)
видно, что й(я) — иДя, 0) =* 0(т2), если положить
"о (*) = "о (*) + 0,5т (ио (х) + / (х, 0)). E)
Таким образом, разностная задача D)—E) поставлена. Для
определения у = у'+1 получаем из D) краевую задачу
от2 ЫЁ + 0Й) - A + 2аТ2) ^'+1= -Рь 0< *<ЛГ, у0=^> ^=щ,
у = т/А, Л = Ы - уГ1) + т2 A - 2а) А^ Ч-ахМ^ + т*Ф,
которая решает.ся методом прогонки. Прогонка устойчива при
о > 0 (см. гл. I, § 2, п. 6).

§ 6. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ СТРУНЫ 309
Вычислим погрешность аппроксимации схемы D) при ср =
= /(а:, ^). Пусть у — решение задачи D), E), и=и(х, г)
—решение задачи A)—C). Подставляя у = 2 + и в D), получим
г-п = Л @2 + A — 2а) г + <ы) +-ф,
20 = ^ = 0,2(Х,0) = 0, 2,(*>0)=^(*), F)
где ^|> — Л (аи + A — 2а) и + сги) + ф*- и^—погрешность
аппроксимации для схемы D) на решении ю'= ю(а:, *), V=2аЫ—юДа:, 0) —
погрешность аппроксимации для второго начального условия
Уг = йв(я). Из предыдущего ясно, что V — 0(т*).
Учитывая, что и = и + *и*, и = и -—тщ, имеем
шГ-Ь A — 2а) и + ой]= и + «гЛ^,,
т. е.
я|> = Аи+ах2Аиь + <р — и-и -=: Ьи + от*Ьи + / — и + 0(т2 + к7),
G)
ур = 0(^ + кг) при любом значении постоянной о (а не зависит
от т и ЛХ _ _
Пусть а«=а — Л7A2т*), где а — постоянная, которая не
зависит от к и т и выбирается, так, чтобы схема D) была
устойчивой {достаточно потребовать а > 1/DA —«)), так как схема
устойчива при а> 1/DA — е))*— 1/D^), ч=*т/к, е >0). Тогда при
Ф = / + -дГ (8)
схема D) имеет повышенный порядок аппроксимации, ф =
= 0{кк + т*).
Краевые условия третьего рода
-*^ = М @, г) - ^ @, - 2±&± = раи A, о - и, @
аппроксимируются следующими разностными уравнениями:
Р#м = Л~ (РУ + A — 2<т) у + оу) + ф~, * = 0,
Р1у-Н = Л+ («ту + A-2<г) у + ау) + Ф+, * = ЛГ,
где
А - "« — Нх» А +
0,5* • л У~ 0,5* *
V, V.
При этом погрешность аппроксимации краевых условий есть

ЗЮ ГЛ. V. СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
величина 0(т2 + А2), если
ф = /(X, *),.р! = р2 = 1, VI = ЩШ, У2 = (Л2(^).
Если же
а = — -^-2" + <т, а = сопз1, рх = 1 + —3—, р2 = 1 + -дт-.
V!@ = |ч@ + 4" [Чг + г 1°* *> - М@, *)).
то получим схему точности 0(А4 + т2). Эта схема
аппроксимирует исходное уравнение в узлах х = 0, х »= 1 с погрешностью
т ], краевые условия — с погрешностью 0(т2 + й4).
2. Исследование устойчивости. Перейдем к изучению
устойчивости. схемы D) по начальным данным (при однородных
краевых условиях и нулевой правой части уравнения). Для этого
рассмотрим задачу
у-п = А(оу + A - 2а)у + ау) = Л»<">5 {ы
Уо = Ук = 0, у(х, 0) = и0(х), уг(х, 0> = й0(х).
Ее решение будем искать методом разделения переменных. Для
этого, по аналогии с § 1, п. 4, ищем частнйе решения вида
у(х, г) =Х{х)ТШ ^0. После подстановки у = ХТ в уравнение
Dа) получим
АХ Т~и -Л. (9)
X ~~ т^
Отсюда и из краевых условий у0 = ум = 0 получаем для Х(х)
задачу на собственные значения
ЛХ + ЯХ = 0, хесол, Х@) = ХA) = 0, Х(х}Ф0.
Она" имеет решения
%к = А- 31П2 -^, А™ (X) = /2 81П ЯЛ*.
Из (9) для ТкШ получим разностное уравнение второго порядка
(ткуи + кктка) = о,
или уравнение
A + втгК)Т„ - 2A + (с- О.б)^)^ + A + ох^ЮТь^Ъ,

§ 6. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 311
которое перепишем в виде
?*-2A-^)^ + ^ = 0, ак= ***\ . A0)
1 + от лл
Решение этого уравнения ищем в виде Тк = Тк (*,) = ^^. Для
^ из A0) найдем квадратное уравнение д2 —2A — а)д +1 — 0
(индекс к временно опускаем). Его корни равны 01,2 = 1 — а=Ь
± Уа2 — 2а. Если 0 < а < 2, то корни д1|2 = 1 — а ± *УаB — а) —
комплексные и 19&.а11а= 1- Введем новую переменную <рЛ, полагая
соз ф* = 1 — ак, 81П фЛ1= УакB — а*).
Тогда получим д^ = е^к, д^к) = е"***. Общее решение
уравнения A0) имеет вид
?к (Ь) = СЛ^У + Ок №)' = Ак соз /ф* + 5А зш /Ф*г
где Ак я Вк — произвольные постоянные.
Решение. задачи Dа) ищем в виде суммы частных решений:
У* = 2 (Лк соз /ФЛ + Вк зш /ФА) Х(*> (ж). (И)
Пусть и0к и к0* — коэффициенты разложений щ(х) и й0(#):
Щ (х) = ^ Ц**™ (*), "о (*) = 2* Щ&Щ*). A2)
Потребуем, чтобы сумма A1) удовлетворяла начальным
условиям г/° = и0, уЧ = (у1 — У0)/** = щ(х). Тогда для определения Ак
и Вк получим условия:
СОЗ фЛ __ 1 ЗШ фЛ «х,
Ак = ы0л, ^л ~ Н Вк —-— = иок
Отсюда находим
1 — соз фь * *[• <<»
Ак = иок, Вк = —ш^—щк + -ш^-иок. A3)
Подставив Акш Вк в A1), после очевидных преобразований имеем
у1/ соз(/-0,5)фй тзш/фд ~ \
У,=г2Д со80,5ф, »* + зшф, "о*)*№>(*)- - A4)
Получим сначала оценку 11^0 для схемы Dа) при о = 0,.т. е.
для схемы
уи = Ауу у 0 = уЪ = 0, у (х, 0) = щ (х), у\ (я, 0) = щ (х). A5)
При а = 0 имеем
ак = 0,5т2Я* = [г^ соз ф* = 1 - ц*, 8Шфк== Уц*B- и*).

312
ГЛ. V. СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Потребуем, чтобы шаги сетки ©лт удовлетворяли соотношению
где е > 0 — любое число. Тогда
^<-ГТГ* * = 1,2,...,ЛГ-1,
и следовательно,
сое 0,5фй = /1 - и*/2 > ]/ч
+ е
(К
A-
A8
Далее,
ЗШфь
- соз 0,5Ф*> - у ттт%
и так как
2зт0,5фл 1/~2A—-соз фл) |Лцл /^
= = = укк1
то справедлива оценка
Из A4) следует неравенство
A9
|^1<Г2СО8(^0,5)Фл
соз 0,5фь
«о*Х(к)
№-1
+|2^?Н;
подставляя в него оценки A8) и A9), имеем
|«»к|^(к1+(|^)")
Заметим теперь, что выражение
есть не что иное, как «негативная» норма (норма в На-*)'
где Ау = — Ау = — у^ в пространстве функций у, заданных на
сетке <ол и равных нулю при #*=0, #=1. Действительно,
Й=1
к=1 я"

§ в. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 313
и следовательно,
N-1 /~ ч2
(А ^о, и0) = 2
Л=1
Итак, если выполнено условие A6), то для схемы A5) справед-
. лива оценка
|^К|/_1±±(|Цо1 + |^|л_1). B0)
Эта же оценка имеет место и для схемы Dа), если
потребовать, чтобы параметр о.удовдетворял условию
^-Ч^—ДГ* B1)
где е > 0— любое число. Чтобы убедиться в этом, достаточно в
приведенном выше доказательстве заменить всюду \хк на
0,5АЧ
Для исследования устойчивости схемы D) по правой части
применим принцип суперпозиции. Рассмотрим задачу
^ = Л*/«» + <р, Уо = У* = 0, у(х,0) = 0, и(*,0) = 0. D6)
Ее решение будем искать в виде
у' = 2 хГ>-'', B2)
где У3*3 как функция / при фиксированном /' удовлетворяет
однородному уравнению
У%' = Л{оУ^У + A - 2а) У*.*' + аГ^')г 0 </' < /, B3)
краевым условиям
Г^'.= У^' = 0, \ B4)
начальным условиям
,•/ и и» уУ+и' _уУУ у)'+1,У
у>'.>' = 0, У1>3 = -^ ^ = ^Ц = Ф*', B5)
где Ф' выбирается так, чтобы удовлетворялось неоднородное
уравнение D6).
Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция Ф*. Из
определения У**у следует, что
у1 = ± у**.' + 2 хУ\!\ ЛуЮ = <ттЛГ+1-'' + 2 тЛ(У^")@).

314 ГЛ. V. СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Подставим эти выражения в D6) и найдем
^'•'-атЧУ^-'-тф', B6)
откуда получаем уравнение для Ф; = Ф*^*Ум*3/х:
Ф-от2ЛФ = ф, Фв = Ф* = 0. B7)
Перейдем теперь к получению оценки решения у* задачи D6)
через правую часть <р. Пусть выполнено условие устойчивости
B1). Тогда для решения задачи B3) справедлива оценка B0),
которая в данном случае имеет вид
1^'к У^ЧгГ-а-* Щ/ЗЕ|у*'+"|л-1.
Поэтому из B2), используя неравенство треугольника, получаем
Оценку для \У3+1,; ||Л-1 получим из уравнения B7). Разложим
Ф и ф по собственным функциям {Х(к)}:
ф - 21 ад», ф = 2* ф^А). B8)
Подставляя B8) в B7), найдем Ф*« ф»/A + <гЛ*), так что при
о > О имеем
т.е. [У^'Пл-х^^фПд-!.
Таким образом, если о > О и выполнено условие B1), то для
схемы D6) справедлива оценка
1М<У1ТЕ2'Ч1фПлч.
;'=о
Для задачи D) с однородными граничными условиями у% = уя =
= 0 справедлива оценка
1*|< У1^- (|И1 + Ы1-1 + Д т!фПл-Л
если о >0 и выполнено условие B1). Интересно заметить, что
при специальном выборе у1 = у(т) удается доказать устойчивость
в 1^2 Схемы A5) при условии т< к.

§ 6. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 315
Рассмотрим разностную схему
»& = *4' /=^2,..., B9)
У° = и0, у] = щ + О,**»*,. C°)
Согласно п. 1 задача B9) —C0) аппроксимирует уравнение A),
B> с погрешностью 0(т* + кг).
Выразим решение у* через у0 = щ и н0. Поступая как и ранее,
найдем
^ = 2 р* соз /ФА + -^-. зш /ер*] ^А)А C1)
где йок — коэффициенты Фурье йоЫ, а величины мол, ф* имеют
тот же смысл, что и прежде. Возводя C1) в квадрат и
используя оценку
2 ( ."°* соз/ф* (и0*31П/фЛ)<т2 ,Ц°2^ соз2/фь + молз!п2/фЛ,
\ 81ПФл / зш Фа
имеем
й^|12<К1Р+т22-^-.
й5 81П фА
т2 1
Оценим снизу выражение—т-§—~~т~7 5ГТГГ- Пусть "(—
зш фй кк ^1 - х Хк/4)
= т/Л < 1. Тогда •
М1-т%/4) =
= -^- зш2 -г"С08 ~у~ > -р"зш —С08 ~У"= —?—•
В гл. II было показано, что—=- зш2 —тг-^8, если А4<0,5. По-
этому, обозначив А4 = 2А, имеем
81П2яЛ 4 . о «ЛА !
Итак, если т<А и й<У4, то для решения задачи B9), C0)
имеем оценку
3. Метод энергетических неравенств. Исследование
устойчивости разностных схем для уравнения колебаний можно провести

316 ГЛ. V. СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
и с помощью метода энергетических неравенств (см. § 1, п. 8).
Ограничимся здесь изучением устойчивости по начальным
данным.
Будем рассматривать задачу
у - = Л (ау + A - 2а) у + ау),
Л - C2)
Уо = УN = 0, у (х, 0) = и0 (х), уг (х, 0) = щ (х).
Замечая, что ау + A — 2а) у + ау = у + ат2^, перепишем
уравнение C2) в виде
(Е-ат*А)уь=±Ау, C3)
где Е —единичный оператор. Умножим C3) скалярно на у* =
= 0"+^)/2:
((Е - от*Л)уТ(, ус) = (Лу, у*). C4)
Воспользовавшись очевидными тождествами
(Уа,У?) = 0,5(8^A% ~(Ауи,у.) = (^,у-о] = 0,5 (|у5]|')„
преобразуем левую часть равенства C4) следующим образом:
((Е-от*А)уТ(,уо) =0,5A^ |* + от2|уй]|*)г C5)
Покажем, далее, что для любых функций У = у(х, *Л),
обращающихся в нуль при х = 0 и а: = 1, справедливо тождество
-(лу,^) = 4-(|^ + ^]П*-т-A^]|а)г Об)
Действительно, из первой формулы Грина (см. гл. II, § 3, п. 1)
следует, что
где V = у-, и так как
у.у?==^-(A;+^I_^_((УгП)
то получаем C6).
Подставляя C5) и C6) в C4), получим следующее
энергетическое тождество:
A^ + (а-4»й]|8 +-г^ + У;]|а)< = 01 C7)
или &3+1 = &*, где
*%=Ы 1а + (" ~ 4") ^14] I8 + хК + Й-1!!2- C8)

§ в. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 317
Найдем значения о, при которых величина <§Г' неотрицательна
для любых у5 и у}"\ Для этого заметим (см. гл. П., § 3, п. 4),
что
и поэтому
4
1'яИ^тр-кГ
Следовательно, правая часть C8) будет неотрицательна, если
потребовать
При этом выражение (& 3У,г = \уЦ* можно считать нормой (или,
точнее, полунормой):
аг'НИМНГ+^тИЖИ' +хЬ-х+4_11Г. D0)
Заметим, что такие «комбинированные» нормы, зависящие от
значений у на нескольких слоях, характерны для многослойных
(и, в частности, трехслойных) схем.
Тождество C7) означает! устойчивость по начальным данным
в норме D0) \у*+*и = №\*> 7 = 0,1, • • •
Итак, условие C9) достаточно для устойчивости схемы C2)
по начальным данным в норме D0). В частности, схема C2)
с с = 0 устойчива по начальным данным при условии
т<Ь. D1)
Это условие устойчивости чабто называется условием Куранта
(и было получено впервые в работе Р. Куранта, К. Фридрихса
и Г. Леви в 1928 г.).
Для уравнения в размерных переменных
ЛЛ^-^А^ (-42)
дГ. дх'
оно принимает вид т ^ А/а, где а — скорость звука.
4. О нахождении негладких решений разностным методом.
Многие задачи математической физики, описывающие ударные
процессы в газах, жидкостях и твердых телах, приводят к
проблеме нахождения негладких решений уравнений
гиперболического типа второго порядка, простейшим представителем которых
является уравнение колебаний струны D2). Поскольку такие,
решения не имеют производных второго порядка, входящих в
уравнение, то слова «решение удовлетворяет уравнению»
следует понимать в обобщенном смысле. Одно из возможных опре-

318 ГЛ, V. СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
делений обобщенных решений основывается на том факте, что
дифференциальное уравнение является следствием интегрального
закона сохранения, если существуют непрерывные производные,
входящие в уравнение D2). В этом случае обобщенное решение
определяется как функция и(х, *), имеющая в области б =
=*> @ ^ х ^ /, 0 < I < Т) ограниченные кусочно-непрерывные
производные ди/дх, ди1Ы и удовлетворяющая интегральному
соотношению
С
где С — произвольная замкнутая кривая, лежащая в области О,
Если первые производные разрывны, то на характеристиках
я±а* = сопз1 должны выполняться условия на скачке
[|г]=±а[-Й-]> гДе Ш = /(&+-0>-/(&-0) при $ = х±а1.
Для отыскания обобщенного решения задачи
о и о о и г\ ^ ^ 1 л^л
—5- = с2-—г, 0<х<1, 1>0,
д1 - дх
и(х,0) = щ(х), -%--(х,0) = и1{х), и@,*) = 0, и (/, *) = 0 D3)
будем пользоваться схемой с весами
уь = А(ау + A - 2а) у + о у), Ау = а*ухя D4)
с соответствующими дополнительными условиями. При изучении
сходимости схемы с весами мы предполагали существование и
достаточную гладкость решения задачи D3). Это возможно при
выполнении определенных условий гладкости начальных данных.
Сходится ли та же схема при условии, что и = и(х, й) есть
обобщенное решение? Оказывается, что сеточное решение
задачи _D4) _ сходится к обобщенному решению со скоростью
ОМт + Ук). На доказательстве этого утверждения мы
останавливаться не будем.
При отыскании обобщенных решений задачи D3) появляются
осцилляции сеточного решения и его «производных» («рябь»),
сильно снижающие точность схем. Кроме того, происходит
размазывание линий разрыва производных на несколько
интервалов сетки, что затрудняет определение истинной скорости
распространения разрывов (это — результат введения фиктивного
трения (диссипации) при разностной аппроксимации).
Рябь вызвана тем, что разностные гармоники обладают
дисперсией, т. е. скорости гармоник зависят от их номера, в то
время как для дифференциального уравнения все гармоники

§ 6. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 319
обладают одинаковой скоростью, равной а. Чтобы улучшить
схему, надо уменьшить дисперсию. Среди схем с весами D4)
наименьшей дисперсией обладает схема с весом
-Она имеет четвертый порядок аппроксимации ф = 0(тА + й4) на
достаточно гладких решениях и = и(#, *). На негладких
обобщенных решениях погрешность аппроксимации схемы D4) с весом
о = в* так же плоха, как и для схем с весом о Ф а*. Однако,
благодаря меньшей дисперсии схема с весом о = о+ является
более точной и лучше передает особенности обобщенных решений.
Условие устойчивости схемы D4)
выполнено для схемы с весом о = о *, если ч < 1 или т ^ А/а,
т. е. при том же условии, что и в случае явной схемы. При
этом
Заметим, что попытки уменьшить «рябь» путем введения
вязкости приводят к искажению профиля решения, к потере
точности.

Г л а в а VI
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
В этой главе изучается устойчивость по начальным данным и по
правой части двухслойных и трехслойных разностных схем, трактуемых как
олераторно-разностные схемы с операторами, действующими в
гильбертовом пространстве. Получены необходимые и достаточные условия
устойчивости и при помощи метода энергетических неравенств построены
соответствующие априорные оценки. Развит метод регуляризации для получения
схем заданного качества (по точности, экономичности) в классе
устойчивых схем. Рассмотрено большое число конкретных схем для уравнений
параболического и гиперболического типов.
§ 1. Операторно-разностные схемы
1. Введение. В § 4 гл. II краевые задачи для
дифференциальных уравнений Ьи = —/(а;) мы трактовали как операторные
уравнения Ли = /, где Л—линейный оператор, заданный в
банаховом пространстве &.
При изучении нестационарных процессов, описываемых
уравнениями в частных производных параболического и
гиперболического типов
о
Щ = Ьи + П*Л 1р = Ьи+П*,*)> 0<*<*0,
переменная I (время) играет особую роль п поэтому должна
быть выделена. Здесь Ь — дифференциальный оператор,
действующий на и(х, *) как функцию х = (хи х2% ..., хр) — точки р-мер-
ной области С. Функция и(х, *) при каждом фиксированном I
является элементом банахова пространства ^. Поэтому вместо
и(х, *) мы прлучаем абстрактную функцию иA) переменного *,
0^*<*<>, со значениями в &, т. е. иA)е=<8 для всех *е[0, 10].
Оператор Ь, действующий на и(ху *) как функцию х,
заменяется оператором зФ, заданным в ^. Оператор зФ, вообще говоря,
действует из некоторого пространства ^4 в некоторое
пространство Яг (область его определения 2)(з&)с1&{ является всюду
плотной в 31 и а область его значений За^)^382). Мы будем
считать здесь, что $1 = .#2 = <^. В результате приходим к
абстрактной задаче Коши
~+^ = /@, 0<*<*0, и@) = и0,
где щ — заданный элемент из &{зФ).

§ 1. 0ПЕРАТ0РН0-РАЗН0СТНЫЕ СХЕМЫ 321
Эти рассуждения носят лишь эвристический характер и
имеют целью провести аналогию между методами общей теории
дифференциальных уравнений и общей теории разностных схем,
которая излагается в этой главе.
Задача Коши называется устойчивой по начальным данным
и по правой части, если
*
о
где М1 = совзЬ > О, М2 = сопзЪ > 0.
В силу принципа суперпозиции («5^ — линейный оператор)
устойчивость задачи Коши по правой части следует из
равномерной устойчивости по начальным данным
где иA) — решение однородного уравнения.
2. Операторно-разностные схемы. Рассмотрим линейную
систему Як, зависящую от параметра А, являющегося вектором
некоторого нормированного пространства с нормой 1А1. На
линейной системе Як можно ввести ряд норм: Ц• ||л, |*1AЛ)> Исал)»- ••
При этом мы получим линейные нормированные пространства Як,
Ян\ Я%\ ... Условимся в дальнейшем для упрощения
изложения говорить 6 нормах Ии^Нсгь)*. • • в пространстве Як,
считая II-II* основной нормой в Як-
На отрезке 0 ^ I ^ 10 введем равномерную с шагом т сетку
йтя{И№ / = 0, 1, ..., /о, т = ^/;0}, о)г=»{^=7Т, 0</</в>.
Будем рассматривать абстрактные функции укхШ, флтШ и т. д.
дискретного аргумента * = /т *= 0)^» со значениями в Як, так что
УкхШ^Як для всех *«7теют. Пусть АНхШ, ВкхШ, СкхШ и т. д.—
линейные операторы, зависящие от параметров А, т и
действующие из Як в Як при каждом ^^(Оx. В тех случаях,
когда это не вызовет недоразумений, индексы А и т будем
опускать и писать
Уп=*уЫт)=*уAп) = у, А(г),ВШ,СШ.
Семейство разностных уравнений (г— 1)-го порядка
г-1
во (*п) Уп+1 = 2 Сл (*п) Уп+г-* + /п, п = г — 2, г — 1, г, ...,
зависящих от параметров А и т, с операторными
коэффициентами В0, Си ..., С,-! (которые являются линейными
операторами, заданными на Як и зависят от А и т) будем называть
г-слойной операторно-разностной схемой или просто г-слойной
схемой. Рели существует оператор В^хй то решение уп+1 этой
21 а. а. Самарский

322 гл- У1- теория устойчивости разностных схем
задачи может быть выражено через начальные векторы у0, у и • • •
..., Ут-г и правую часть /. Мы предполагаем, как всегда, что
векторы у0, У и • • •, *Л--2 заданы.
Мы -будем рассматривать только двухслойные и трехслойные
схемы
ВоУп+1 + В{уп = тфп, п =г 0, 1, ..., задан у0, A)
В0Уп+1 + В{уп + В2уп-1 = тфп, тг==1, 2, ..., заданы у0 и 1/1в B)
3. Каноническая форма двухслойных схем. Любую
двухслойную схему A) можно записать в виде
В(*п)Уп+\~Уп + АAп)уп = Фп, /г = 0,1,..., задан у0<=Ян. C)
В самом деле, сравнивая A) с C), видим, что В=*В0, А =
= (В0 + В^/х. Будем пользоваться обозначениями
У = Уп = У (*п). У = #п+1 = !/ (*п+1) = */ (*п + т),
у = уп-ъ Уг = ^_±, у- = _±т
Тогда уравнение C) можно записать так:
Ву1 + Ау = ч>Ш, * = *п = 71те=а)т, 1/@) = у0 е #л. D)
Будем называть уравнения C) или D) канонической формой
двухслойных схем.
Уравнение D) аналогично дифференциальному уравнению
Пример 1. Для уравнения теплопроводности
5-*.+/.' *--^(*иЭ'
в гл. V была рассмотрена двухслойная схема с весами
у, = Л(ау + A— о)у) + ф, Лу = (а(хI;-)зе.
Используя тождество* у = у + т -—г^ = У + т#*, перепишем ее в
виде
у, - отЛу* — Лу =? ф.,
Сравнивая это уравнение с D), видим, что
В = Е + охА, 4 = -Л.
Так записывается в каноническом виде двухслойная схема с
весами.

§ 1. 0ПЕРАТ0РН0-РАЗН0СТНЫЕ СХЕМЫ
323
Разрешим уравнение D) относительно у = уп+1. Если
существует оператор В~\ то можно написать
У = 8у + тф, 5 = Е - хВ-'А, ф = Д-'ф. E)
Оператор 5 называется оператором перехода (со слоя на слой).
Наряду с канонической формой D) иногда будем пользоваться
следующей формой записи двухслойной схемы:
Ву=*Су + тф или Вуп+1 = Суп + тфп,
где С = Е — т-4, 2? — единичный оператор.
Если В = 2?, то схема C) называется явной двухслойной
схемой
- V АУп = Фп.
В этом случае значение уп+1 на верхнем слое вычисляется по
формуле Уп+1 = Уп — т:Ауп + туп. Если ВФЕ^ то C) называется
неявной двухслойной схемой.
4. Канонические формы трехслойных схем. Трехслойную
схему B) будем записывать в канонической форме
в Уп+1-Уп-1 + д (уп+1 __ 2^ + у^ + Ауп = фв F)
Сравнивая F) с B), видим, что такая запись всегда возможна,
если положить
# = В0-Я2, Д=± А(#0 + #2), А = \{В^В1+В^. G)
Введем обозначения
_ У "~Г _. _ уг~~уг __ у — 2у + ^
и наряду с F) будем под канонической формой трехслойной
схемы понимать уравнение
Ву^+^Щи+Ау^Ч>(г),0<1^пх^(дХ1у@)^у0,у(х)^у1.(8)
Пример 2. Рассмотрим трехслойную схему с весами
у. +А {агу + A — ог — а2) у + о2 у )=ф. (9)
Приведем ее к каноническому виду. Используем формулы
Л . У — У , У — *У ~Г у , , %
У=У + У-^-+У- 2 1-У + *У\+\У«г
,7 — и У ~ ^ _1_ У ~~ 2У + V — ,, <г„ _1- ^ „
У =У — И 2 = У-ТУ? + 2"У7««
РхУ+A —<У1-<Уг)у+ОгУ =У + (<У1—<У2)ту. + 2 ^Т2^-
21»

324 гл- у1- теория устойчивости разностных схем
Подставляя это выражение в (9), запишем схему с весами в
Канонической форме (8), где
^ # = Я + т(а1-02М, Д = 0,5(^ + 02L. A0)
Переходя от F) или (8) к B), получим для определения
значения уп+1 на верхнем слое г = гп+1 уравнение
(В + 2хВ)уп+1 = 2тBД -А)уп + (В- 2тВ)уп-1 + 2т<рп.
Отсюда видно, что задача (8) разрешима, если существует
оператор {В + 2хВ)-\ При этом уп+1 выражается через уп и уп-1
на двух предыдущих слоях. Поэтому требуется задание двух
начальных векторов у0 и у^ (или уо = у@) и уо^уДО)).
Если В0=*В + 2тД = Е — единичный оператор, то
трехслойная схема (8) называется явной;-для нее имеем
уп+, = 2тBВ-А)уп + {В- 2тД) уп-1 + 2тфп.
Если же В + 2тД Ф*Е, то схема (8) называется неявной.
Наряду с канонической формой (8) иногда удобно
трехслойную схему написать в виде B) или
Ву . +(Е + т2Д) уь + Ау = Ф. A1)
Это уравнение получается при формальной замене в (8) Я
оператором ~2 Е + Д.
т
5. Понятие устойчивости. Введем понятие устойчивости для
двухслойных схем. Под двухслойной схемой мы понимаем
множество операторно-разностных уравнений D), зависящих от
параметров А и т. Операторы А и В считаем заданными на всем
пространстве ЗВН.
Будем рассматривать поэтому множество решений {улт(*)}
задачи Коши D), зависящих от входных данных (флт(Ш, (уол).
. Схема D) называется корректной (корректно поставленной),
если при достаточно малых т ^ т0 и IН\ < Н0:
1) решение задачи D) существует и единственно при любых
начальных данных у0н ^ &н и правых частях флт(*) е &н Для
всех I ^ сот;
2) существуют такие положительные постоянные М1 и Л/2, не
зависящие от й, т и выбора у0л, флт, что при любых у0к^&ь,
флт(^) е &к, 1^(йх для решения задачи D) справедлива оценка
\ЫИ + т)|(,л) < Л^Ы, оч + М* шах |флт@1AЛ). A2)
где ]|-ЦAЛO Н/ о\ и 1*1B/!) — некоторые нормы в пространстве &ь.
Неравенство A2) выражает свойство непрерывной
зависимости, равномерной по Н и т, решения задачи Доши D) от
входных данных. Это свойство и называется устойчивостью. Будем

§ 1. 0ПЕРАТ0РН0-РАЗН0СТНЫЕ СХЕМЫ 325
называть разностную схему абсолютно устойчивой, если она
устойчива при любых т и к (а не только при достаточно малых).
Обычно пользуются понятиями устойчивости по начальным
данным и устойчивости по правой части. Схема D) называется
устойчивой по начальным данным, если для решения однородного
уравнения
Вуг + Ау = 0, г = /гт>0, у{0)=у0 Dа)
выполняется оценка
II Уш (* + т)|AЛ) < Мх | уоН 1^у A2а)
Схема D) устойчива по правой части, если для решения
уравнения D) с однородным начальным условием г/@) = 0:
Вуг + Ау = ч>, у@)=0, D6)
выполняется неравенство
I Укх (* + тI(,й) < Мг тах || Фйх (*'IBЛ). A26)
Решение задачи D) у = у{1) + у{2\ где уA) — решение задачи
Dа), а у{2) — решение задачи D6). В силу неравенства
треугольника
I №т (* + тIAЛ) < 1 $> («+ тIAл) +1 Уй> (* + т)|(и)
и из A2а) и A26) следует A2).
Аналогично вводится понятие устойчивости для трехслойной
схемы. Однако при этом следует рассматривать пару векторов
Уп+1 = (уп, Уп+1) с нормой вида
I Уп+1 Цгн) = \Уп + Уп+1 Т^ + 1 Уп+1 - Уп\^**у A3)
гДе1'|(г *у Iе!/ **\— некоторые нормы в &н. Нормы вида A3)
возникают при изучении устойчивости трехслойных схем методом
энергетических неравенств (см. гл. V, § 6).
Таким . образом, трехслойная схема (8) называется
устойчивой, .если при любых начальных данных у0, у1 и любых правых
частях <р(*) для ее решения справедлива оценка
1 Унх (« + т)||Aл) < Мг«Укх С^о) + М2 пшх^ ЦфЛт A%ч), A4)
где М{ и М2 — положительные постоянные, не зависящие от А, т
и от выбора у0, Уи ф(*)-
Основная задача, которая стоит перед нами, заключается в
следующем. Предположим, что уравнение D) однозначно
разрешимо относительно уп+{ при любых уп и ери).
Какими свойствами должны обладать операторы А и В, чтобы
схема была устойчивой в смысле данного выше определения?
Иными словами, надо найти достаточные условия устойчивости

326
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ. УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
схемы D) и получить априорные оценки вида. A2). При этом
достаточные условия должны быть удобны для практической
проверки в случае конкретных разностных схем,
соответствующих уравнениям математической физики.
Устойчивость разностных схем будем исследовать вне связи
С аппроксимацией и сходимостью.
6. Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в
линейных нормированных пространствах. Исследуем теперь в
общих чертах вопрос о достаточных условиях устойчивости
двухслойных схем в линейных нормированных пространствах. Более
детально это исследование будет проведено в § 2 для случая,
когда ЗВн = Нь — вещественное гильбертово пространство.
Всюду предполагается, что задача Коши D) разрешима, т. е.
существует обратный оператор В~1. Поэтому схему D) можно
записать в виде
1/п-н = 8пуп + т/п, /п = Вп\п, п = 0,1, • • •, #0 е #Л, A5)
где
8п = Е-тВпгАп A6)
-г оператор перехода. Оператор 5П зависит от 1п = пх, А, т, однако
зависимость от й, т мы не указываем явно ни для .Уп, ни для
Вп, Ап, уп, фп, #0.
Пользуясь рекуррентной формулой A5), найдем.
п
Уп+1 = Тп+1,0У0'+ 2 т7#п+115+1^» A7)
где
* п+1, з = *>пОп-1 . . . 0/+10;,
Тп+1> о = ОпОп-1 . . . О10о, Тп+1, и+1.== <&•
Оператор Тп+{>} называют оператором перехода со слоя ; на
слой п+ 1, а оператор Тп+1> 0 —-разрешающим оператором.
Неравенство треугольника дает
I Уп+1 Ь) < || Тп+1<0\1| у61|A) + 2 т 17'П+1,Я.1| 1 /,• |A), A8)
где II НA) — любая норма в 38н-
Из A8) видно, что имеет место следующая
Теорема 1. Для устойчивости схемы A5) достаточно, чтобы
выполнялось условие
II Гп,,11 ^М1 при любых 0<)<п^п0. A9)
При этом для решения задачи C) верна априорная оценка
ЙУл-ьхИс!)^^^! И1Уо11A) + ^Е ^Й^Г^Нсх)) ^^л всел: 0<и<тг0. B0)

§ 1. ОПЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 327
Заметим, что из B0) следует A2) при М2 = М110 и |<^||B)==
Теорема 2. Для устойчивости схемы C) достаточно, чтобы
для нормы ее оператора перехода ф выполнялась оценка
Щ\ < 1 + с0т для всех / — 0, 1, ..., п0 - 1, B1)
где с0^0 — постоянная, не зависящая от % и к. При условии B1)
верна априорная оценка B0> с Мг = е00'
Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что
из B1) следует A9):
<!$п_111$п_2!... |*я.1|№|<A + с0т)п-> <
< A + с0т)п < A + с0т)П° < е™ = е* = Мг.
Часто высказывается утверждение: «из устойчивости по
начальным данным следует устойчивость по правой части». В
каком смысле следует понимать это утверждение?
Будем говорить, что схема D) равномерно устойчива по на-
чальным данным, если устойчива задача Коши
0п+1=*$пу„, лв;\ ; + 1, ..., задан од, ; = 0, 1, ..., п, B2)
при любом ] — 0, 1, ..., щ — 1, т. е.
11»»11A) ^ Л/д11у^1€1, при всех 0 ^ / < п ^ п0, B3)
где Л/4 > 0 — постоянная, не зависящая от т и Л.
Если выполнено условие равномерной устойчивости, то для
разрешающего оператора Тп^ справедлива оценка A9).
Следовательно, в силу теоремы 1 для решения задачи D) выполнена
оценка B0).
Таким образом, имеет место
Теорема 3. Если схема D) равномерно устойчива по
начальным данным, то она устойчива и по правой части при
условии согласования норм
11фПB) = ИД-Чр!^,. * B4)
При этом верна априорная оценка B0).
Заметим, что условие B1) достаточно для равномерной
устойчивости по начальным данным. Рассмотрим двухслойную схему
с постоянными (не зависящими от'Ъ~пт) операторами А и В:
уп+1 = 8уп + т/п, /„ = Я-'фп, п = 0, 1, ..., B5)
8 = Е — тВ^А, задан у0.
Если схема с постоянным оператором перехода $ устойчива
по начальным данным, то она равномерно устойчива по
начальным данным, так как
Тп,5 = ТпЧ,0 = 8п->. B6).

328
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Теорема 4. Устойчивость по начальным данным схемы B5)
с постоянными операторами необходима и достаточна для
устойчивости по правой части при условии согласования норм B4).
При этом верна априорная оценка B0).
Достаточность. Устойчивость по начальным данным
означает ограниченность разрешающего оператора
ПГп.оИ^ДГь B7)
В силу сделанного выше замечания отсюда следует, что
выполнено и условие A9), после чего остается воспользоваться
теоремой 1.
Необходимость. Пусть схема B5) устойчива по правой
части, т. е. для задачи D6) выполнено
I Уп+11A) < Мг 2 т || В~\} ||A), /г = 0,1, 2,. . . B8)
Эта оценка имеет место при любой правой части /; = В<р;. Из
формулы A7) имеем
п
Уп+1 = 2 т^п-и.ж/г B9)
Нужно показать, что выполнено B7). Выбирая т/; = 6,0/, из
B9) найдем уп+1 = Гп+1,4/= Гп, 0/ и Иу»+кНС|) ^ ИГ,, 0" • 11/ИA>. С
другой стороны, B8) дает Н^П+1НA) ^ Л^Н/Н^,. Сравнивая эти
неравенства, получаем B7), откуда и следует устойчивость по
начальным данным.
Сделаем выводы, необходимые для дальнейшего.
1. Если оператор перехода постоянен, то исследование
устойчивости по начальным данным сводится к оценкам нормы
оператора перехода.
2. Условие согласования норм для правой части и решения
||ф||B) = ия-у A)
является весьма жестким. Если 112?~МКсь где С1>0
—постоянная, не зависящая от Н и т, то 11ф11B) ^с^крН^, и вместо B0)
получим оценку
Ь(* +чIA)<М1\\у{0)\\{1) + М2 2 т||Ф@|1A), М%=Мхсх. C0)
В § 2 будут получены априорные оценки, для которых
условие B4) согласования норм 1М1A) и П-НB) не требуется.
3. Схема D) устойчива, если 115^1 ^ 1 + с0т для всех / = 0,
1, ..., п0 — 1. При практическом использовании этого"
достаточного критерия устойчивости надо указать, какими свойствами
должны обладать операторы А и В для того, чтобы обеспечить
выполнение условия B1). Такие условия найдены в § 2. Они

§.1. ОГГЕРАТОРНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 329
имеют вид линейных операторных неравенств для операторов А
и В, заданных на гильбертовом пространстве Нн = Як.
7. Аппроксимация и сходимость. Понятия аппроксимации,
сходимости и точности для операторно-разностных схем вводятся
по аналогии с соответствующими понятиями для операторных
схем Анун = <рЛ, введенных ранее* в гл. II, § 4. При этом
возникают лишь некоторые редакционные изменения. Так,
например, наряду с нормами ИAЛ)»ИBЛ) ПВД° ввести и нормы
\\унх (*п)|AЛт) = тах || уНх (^%гн)%
II Флт (^IBЛт) = тах | фЛх (гп'IBЛ).
Итак, пусть $к — некоторое линейное пространство, на котором
введены нормы ||#||AЛ) и || \гку Полученные нормированные
пространства обозначим З&ъ и Ян соответственно. Будем
предполагать, что
Унх(гп)еЯ{н\ Флт(^п)е^(Л2)
для всех и = гат, а операторы схемы D) действуют пз Яь в Яь:
Пусть Я^ и Я^ ~ нормированные пространства с нормами
Иро) и НB0)» м(*)~- абстрактная функция *^[0, Я со
значениями в Я{^\ /(*) —абстрактная функция *е[0, Я со
значениями в Я0 • Введем далее линейные операторы
проектирующие Я@а) на Я^: иЛ == &Ч?и е #к\ если и е ЯЪ1\
/л = ^а7 ^ Ян , если / е Я™. Будем предполагать, что
выполнены условия согласования порм:
11т ||я|Г 1(«,;НИ>(в>11<«.), *Дв 4>(а) е <>, а = 1, 2.
Пусть унх($ — решение задачи D) и иШ — непрерывная
функция *, так что иШ\{=г. = и(^) = и*. Рассмотрим погрешность
2к% = Ун% — ин- Будем говорить, что схема D) сходится на
абстрактной функции иШ е Я{0 • , если
Нт тах | у{х — ^ ||AЛ) = 0.
|Л|-*о,т-*о о<К$0
Схема D) сходится со скоростью 0(|й|т + т*), или имеет тон*
ность <9(|й|т + т*) на функции иA)&Я§\ если
тах | у{т - и{ \\{1н) < М(\ Н'\т + гЛ),
где Д/ = сопз1;>0 не зависит от к и т.

330 гл У1- теория устойчивости разностных схем
Априорной характеристикой схемы является погрешность
аппроксимации. Погрешностью аппроксимации на функции и{1)
для схемы D) будем называть невязку
ы2+1 — и{ ...
♦Ц= Внх -^—- + АНхи'н - ф^т, Ц3Нх = г[> (*,, А,т).
Схема имеет аппроксимацию на функции иШ, если
шах |г[);,|Bл)-^0 при | А |-* 0, т->0. C1)
Схема D) имеет- аппроксимацию 0(|А|т + т*) «а функции
и^еЛ^, если
тах||^||Bл)<М(|АГ + тл),
о<;<;0
где Л/ = сопз* > 0 не зависит от Ъ, и х.
Для погрешности 2; = #; — м& получаем задачу
1+1 ^
Д' ~* •+ ^ = V, / = 0,1, 2 г» = у0 - и*. C2)
Беля схема D) устойчива, то дли решения задачи C2)
справедлива оценка
I «* 1A*) < Мх | у0 - «л 1Aй) + Мг тах 1V' 1(гй).
0<;'<;
Отсюда следует утверждение:
Схема D) сходится на функции и@» бСЛМ она устойчива,
имеет аппроксимацию на иA) и начальное значение уо
аппроксимирует элемент и@):
1уоЛт — ил|AЛ)->0 при |А|-*0, т-^0.
Схема D) имеет точность 0(|А|т + т*) «а иЦ), если она
устойчива, имеет аппроксимацию 0(|А|т + т*) на иA) и ||г/0—
-«Ир») - оA* Г+ ^).
В частности, ии) может быть решением некоторого
дифференциального уравнения. В этом, случае говорят, что разностная
схема аппроксимирует дифференциальное уравнение, если
выполнено C1), и т. д.
Отметим,^ что приведенное в гл. II, § 2 утверждение «если
схема устойчива и имеет аппроксимацию, то она сходцтея»
следует понимать так: имеется, аппроксимация как разностного
уравнения, так и начального значения (если положить у0 =
= &Р»@), то \\уоНх — ^л@)ЦAЛ)=0).

\§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 331
§ X Классы устойчивых двухслойных схем
1. Постановка задачи. При изучении устойчивости
двухслойных схем будем пользоваться их канонической формой
Ву{+Ау = ф), * = гстео)т, у@) = у0. A)
Пусть 9$к = Нн — конечномерное вещественное пространство,
(,) —скалярное произведение, 1Ы1 = У(#, х) — норма в Нн.
Операторы схемы A) А и В в общем случае зависят от А, т и I.
Условимся зависимость от I явно не указывать.
Наша ближайшая задача —найти достаточные условия
устойчивости схемы A) и получить априорные оценки решения
задачи A), выражающие устойчивость схемы по правой части и
начальным данным. Решение задачи A) можно представить в виде
суммы у=*у + у, где у — решение однородного уравнения с
начальным условием у@) = 1/@) = у0:
Ву< + Ау = 0, ^Шг, 1/@) = у0, Aа)
а У — решение неоднородного уравнения с нулевым начальным
условием
Вуг + Ау = ф), ^Шт> 1/@) =0. A6)
Оценка решения задачи Aа)
и1/и+т)||A)< вд(оI1A) B)
означает, что схема A) устойчива по начальным данным, а
оценка решения задачи A6)
\\у(г + тI1A) < М2 шах 11ф(П11B) C)
выражает устойчивость схемы A) по правой части.
Мы будем также пользоваться и другим определением
устойчивости схемы по правой части
\У(* + тI!A) <М2 т^ (||Ф (*')([B) + №A%т)х D)
где Ф^@ = (ф@~" ф(*' —-т))/т. Из B) и C) или D), в силу
неравенства треугольника || у Цц> ^ 1 у\х) + |/ |A), следует априорная
оценка
IУ (' + т)||A) < Мг || у01|A) + М2 тах || Ф (г')||B) E)
или
Ы* + тIA)<МхЫA) + Л/аота^(|ф(^г) + |Ф-@1B,,). F)
В качестве нормы И-ИA) будем пользоваться энергетическими
нормами
\\у \\л - У и у, у) при А = А * > 0, G)
\\уК = У(Ву, у) при В'- В* > 0, (8)
а также основной нормой Пу11 = У (у, у).

332 гл- У1- теория устойчивости разностных схрм
/
Будем говорить, что схема A) устойчива # НА (или Яв),
если выполнено E) с 1М1A) =■ II-/1А (или Н-11A) = 11-Нв).
2. Исходное семейство схем. Исследование устойчивости
будем проводить в некотором исходном семействе разностных схем.
Операторы А и В считаем ограниченными линейными
операторами, заданными на всем пространстве Нн, ЗЭ(А)=3){В) =
= ЯЛ. Всюду будем предполагать, что разностная задача A)
разрешима при любых входных данных у0 л <рB), т. е. что
существует ограниченный оператор В~* с областью определения 3)(В~Х) =
= #л.
Для упрощения выкладок детальное изложение проведем в
предположении, что:
1) операторы А и В не зависят от I (постоянные операторы);
2) оператор В — положительный, Б>0;
3) А — самосопряженный и положительный оператор, А =■
= 4*>0.
Условия 1)—3) и требование разрешимости выделяют из
множества всех возможных схем A) семейство допустимых схем
{исходное семейство). Условие 1) может быть ослаблено, т. е.
будем иногда рассматривать операторы А и В, зависящие от *, А =
~АA\В~ВШ.
Схема с весами для уравнения теплопроводности,
рассмотренная в примере 1 § 1, п. 3, имеет операторы А => — Л, В = Е +
+ <пА. Так как А<\Ш\Е, Е>А/\Ш, то В> Ш\\А\\ + ох)А >0,
если о> — 1/(т11ЛН). Оператор А =4*>0 не зависит от I. Таким
образом, условия 1)—3)» выполнены и указанная схема
принадлежит исходному семейству схем при а> — АУDс2т), где с2 =
«=тахяЫ.
*€ЕЮЛ
3. Энергетическое тождество. Исследование устойчивости
схемы A) проведем методом энергетических неравенств. Умножим
уравнение A) скалярно на 2туг = 2(у — у):
2т(Яу,, у<) + 2т(Ау, ^)=2т(ср, уг). (9)
Пользуясь формулой
у^ц±_ц±^^+у)_^уи A0)
перепишем (9) в виде
2т((В-0,5тА)уи уг) + и(у + у), у- у) - 2т(ср, у,). (И)
Лемма 1. Пусть А — самосопряженный оператор. Тогда
Шу + у), у-у) = иу, у)-{Ау, у). A2)
В самом деле,
(А(у + у), у-у) = (Ау, у) + (Ау, у) - (Ау, у) - (Ау, у) =
= (Ау, у) - (Ау, у),

. $1 КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 333
так как (Ау, у) ** (у, Ау) =» (Ау, у) в силу самосопряженности А.
Подставляя A2) \ A1), получим энергетическое тождество для
схемы A): \
2т(E - 0,5тАУуь у%) + (Ау, у) - (Ау, у) + 2т(<р, у,). A3)
4. Устойчивость по начальным данным в Нл. Для
исследования устойчивости схемы A) по начальным данным будем
оценивать решение задачи Aа).
Теорема 1. Условие
В>\А A4)
необходимо и достаточно для устойчивости в НА по начальным
данным с постоянной Л/4 = 1 схемы A) из исходного семейства,
т. е. для выполнения оценки
ЦшК<Ыа, л-1, 2, ..., A5)
где Уп — решение задачи Aа).
Достаточность. Пусть выполнено условие A4). Из
энергетического тождества для задачи Aа) (ф = 0)
2т((Д-О,5тЛH„ у<) + (Ау, у)=°(Ау, у) A6)
следует неравенство (Ау, уХ(Ау, у) или | у ||а<|| у ||а, откуда
получаем Н0»+1Иа < \\уя^л < ... ^ 'Мл.
Необходимость. Предположим, что схема Aа) устойчива
и выполнено неравенство A5). Докажем, что отсюда следует
операторное неравенство A4), т. е.
(Ви, V)>0,оx(АV, у) для любого уеЯ. A7)
Будем исходить из тождества A6) на первом слое (п=»0):
2т((В-0,5x4H,@), уЛ0)) + (Ауи у0-{Ау„ у,).
В силу A5) это тождество может быть выполнено только при
2т((#-0,5т4Ы0), 0,@))-СА»в, 0в)-и04, 04)>О,
((В-0,5x4H,@), 0@)) >0.
Так как у0 е Н —• произвольный элемент, то и элемент у = 0,(О)=з
^—В^Ауо^Н произволен. В самом деле, задавая любой
элемент ?; = 0,(О)еЯ, находим у0 = —А~1Вг&Н, так как А
существует. Таким образом, неравенство выполнено при любых V=^
= у,@)бЯ, т. е. имеет место операторное неравенство A4), что
и требовалось доказать.
Замечание 1. Условие A4) достаточно для устойчивости
A5) схемы A), если В=*ВШ >0 — несамосопряженный
переменный оператор.

334 гл- У1- ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ ОХЕМ
Замечание 2. «Естественность» условия /14) можно
пояснить на простейшем примере. Рассмотрим разностную схему
Ъ ^^—- + ауп = О, п = 0, 1, .1, у0 = щу
где а, Ъ -— положительные числа, соответствующую
дифференциальному уравнению
Ь -д + аи = 0, * > 0, и @) = и0.
Из разностного уравнения находим
Уп+г = (* — т?)Уп, |Уп+11 < 11 - ^ |.|Уп|.
Требование устойчивости
1Уя-и1 ^ Ы,
очевидно, будет выполнено, если И — та/Ь\ < 1 или —1^1 —
— ха/Ь <, 1, т. е. при Ъ ^ 0,5та. Аналогия с операторным
неравенством В > 0,5тЛ очевидна.
Пример. Проиллюстрируем эффективность условия
устойчивости A4) на примере схемы с весами
у< + А(оу + A-о)у) = 0.
Запишем ее в каноническом виде (см. § 1)
(Е + отА)у< + Ау=0, В = Е + отА. A8>
Если А=А*>0 и не зависит от I, а о > — 1/(тИАИ), то схема
с весами принадлежит исходному семейству (см. п. 2).
Необходимое и достаточное условие устойчивости (.14) имеет вид
Д-0,5тЛ =Я+(ст-0,5)тЛ ^0.
Учитывая, что А ^ Ы\\Е и~Е>АЛА\\, получаем
В- 0,5тЛ > A/НЛИ + (а - 0,5)т)Л.
Отсюда видно, что условие A4) эквивалентно неравенству
1 1
<г>сг0, где ао = -2 — 7р|'
Это условие необходимо и достаточно для устойчивости схемы
с весами.
В случае модельной схемы теплопроводности
уг = А(ау + A — а) у), Ау = у^ 0<я = й<1, кЫ = 1,
у@,*п) = 0, 0A,*») = 0, У(*,0) = Щ(*), ж=»е[0,1],
соответствующей первой краевой задаче для уравнения тепло-

§\2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 335
проводности
ди д\
д*-др 0<^<1' *>0' иФ^) = иA,г) = 0х *>0,
и (я, 0) = и0 (х),
мы получаем (см. гл. V, § 1)
4= — Л, Ау = Ау при уЕЙЛ = ЯЛ,
и л и 4 о яА _ 4 1 Л2
И1-?«*т<р. ао=2-—таг-
4тсоз ~2~
- - Л2
Условие ог^а0, о0 = ^->а0 было получено в гл. V методом
разделения переменных.
Предположим теперь, что А > 0 не является
самосопряженным. Тогда схема A8) не принадлежит исходному семейству.
Однако ее можно заменить эквивалентной схемой из исходного
семейства. Так как А > 0, то существует обратный оператор
А~1>0. Применяя А к уравнению A8), получим
Ву< + Ау = 0, где & = А~1 + отЕ, А = Е.
Оператор А = Е =*А*>0 и не зависит от *, В > 0 при о > 0.
Условие устойчивости A4) в /Ту = Я имеет вид Л —0,5т-ЗГ =
= 4~1 + (о — 0,5) т2?>0 и будет выполнено при о>0,5.
Условие <т > 0,5 достаточно для выполнения оценки
\\уп\\ ^ 111/011 при о > 0,5, Л -* А*, Л > 0.
5. Устойчцвость по начальным данным в Нв. Напишем
второе энергетическое тождество для схемы Aа), предполагая, что
и В — самосопряженный оператор, В = В* > 0. Умножим ска-
лярно Aа) на 2ху:
2т(#у„ у) + 2%(Ау, у) - 0. (.19)
Учитывая формулы
У =  (У + у) + уУи У^^^ +у)—\у1
и пользуясь леммой 1, найдем
2х(ВУи у) = (В(у -у),у+у)+ т*(ВУиу{) = \у Ц -\у|| + т2Ы1,
2т(^,у)=|и(у+у-т^),у+у + ту()=|-1гГ+г/|А-^МА-
После подстановки этих выражений в A9) ползшим
1»|Ь + ^(Ы&-0,5т|йй) + 0,5т|у+уЬ = |у6. B0)

336 гл- У1« ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВЮСТИ РАЗНОСТНЫХ С&ЕМ
Теорема 2. Пусть в схеме A) операторы/А и В не зави^
сят от *, Л* = Л>0, Б* = Б>0. Тогда условие A4) достаточно
для устойчивости схемы A> по начальным данным в II в с Мх = 1.
В самом деле, пусть В > 0,5тА. Тогда /
IIУ г |1в - 0,5т || у г & = {(В - 0,Ш)/и Уг) > 0
и B0) дает И»ИВ^ И»Ив, т. е. \\уИ)\\в < 1\у@Пв.
Замечание. Если А и В — перестановочные операторы, то
условие A4) необходимо и достаточно для устойчивости схемы
Aа) в Н»:
\\упК ^ ИуоИ»,
где 2? = 2?* > 0 — любой оператор, перестановочный с А и В,
например, Б = 2?, # = А2 или #=2?2 при 5 = 5*, так что И#ЛН =^
^ НуА ИЛуя1 <Му.1\, Шуп" ^ Шу0И и т. д.
6. Оценки нормы оператора перехода. Для исследования
устойчивости может быть применен метод, основанный на
оценке нормы оператора перехода со слоя на слой. Этот метод по
существу тоже является энергетическим.
Разностную схему Aа) запишем в виде
у в$и, 5 = Е-тВ~*А, B1)
где 5 — оператор перехода. Пусть В = /)* > 0 — произвольный
постоянный оператор, заданный в Н. Тогда имеет место
очевидное неравенство
\Гу\\в = \\8уК<\\8К\\у\\,>, B2)
где Ц^ЦЬ определяется как наименьшая постоянная М в
неравенстве Ш8у, 8у) ^ МЮу, у).
Из B2) видно, что схема B1) устойчива в Нв, т. е. \\упК ^
< Иуо"в» если норма оператора перехода не превосходит едипицы:
11511© ^ 1. Это условие эквивалентно требованию
неотрицательности функционала (Л/= 1):
1» = Шу, у).-Ш8у,8у)>0.
Рассмотрим случай И=А и покажем, что И5ИА<1 при
В>0,5тА. Подставляя в функционал /А выражение для 5,
получаем
1А[у\ - иу, у) - 1А8у, 8у) =
= (Ауч у) -ШЕ- %В-*А)у, (Е - тВ~*А)у) -
= 2т<Ау, В-'Ау) - %ЧАВ-1Ау, В'хАу)г
или, после замены х = В~1Ау или у = А~1Вх9
^А [у] - У а [х] = 2т [(Ар, х) - \ (Ах, *)]. B3)

\2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 337
Отсюда видно, Нто условия || 5 ||А <; 1 и В^-^А эквивалентны,
т. е. верна теореме 1.
Поскольку А =*<= А* > 0, то существует квадратный корень
Аъ = С4,/а)* > 0. Тозда можно преобразовать выражение для
1Лу\ следующим образом:
Ыу] = (А'% Ач*у) - (Аъ8у, А*8у) -
= \\А'"у\\2 - \\А1»8у\\г = \\Ач*у\\г - II(Я - тСМ V1,
где С =* АЧ*В-1АЪ. Проведя замену и = А1/'у, получаем
/АШ = 1Ы12--11(Е-тСЫ12,
отсюда следует, что условие
«Я - тСН < 1 B4)
эквивалентно В > 0,5тА. Здесь не предполагалось, что В —
самосопряженный оператор.
Рассмотрим случай, когда
# = Я*>0, А=А*>0.
Тогда можно показать, что условия
/*[у] >0 и В>0,5тА B5>
эквивалентны. Так как В = 5*>0, то существует 2?7' = E'А)*>
> 0. Этим же свойством обладает оператор
Последовательно проводя замены В~ЧгАу = а:, С7,л: = и, С =
— ЯМг'Д'*, 5-'7;и = у, получаем
/в [у] = 2т (Лу, у) - т2 (Ау, ВГгАу) =
= 2т (В1/2я, Л^Я172*) - т2 (*, х) = 2т (С*, я) - т2 (я, я) =
= 2т (и, и) - т2 {С~хи, и) = 2т (и, и) ^- т2 (Д-172^-1'2^ и) =
= 2т[(В1;|1;)— |-(Л1;,1;)].
Таким образом, 1в[у\ преобразован к тому же виду B3), что
и/лЫ:
*в\я\ = *\(Въ»)-ъ(А^А*
где
V - В-ъСъВ-ъАу, у = А-*ВЪС-}'>ВЪ.
Из этой формулы следует эквивалентность условий B5), т. е.
справедливость теоремы 2.
Метод оценки нормы оператора перехода тем самым позволяет
доказать, что условие A4) необходимо и достаточно для устой-
22 а. а. Самарский

338 гл- У1- теория устойчивости разностных схем
чивости схемы A) по начальным данным в Ну (при В Ф В*) и
Нв (при В = В*>0) с постоянной М1 = 1. /
7. Метод разделения переменных. Если оба оператора А и В
являются самосопряженными,
А=А*>0, Я = В*>0, B6)
то устойчивость схемы Aа) в НА и Нв при
В>\А A4)
можно доказать с помощью «меуода разделения переменных» по
аналогии с гл. V.
Пусть N — размерность конечномерного пространства Я, Я* —
собственные значения и |* — ортонормированные собственные
функции следующей задачи (см. гл. I, § 2 и Дополнение, § 1):
Аи = №Ъъ *-1,2,...,ЛГ, B7)
причем (В%к, 1т)=6кт F^ = 1, 6Лт = 0 при кФт). Все
собственные значения Хк задачи B7) положительны, так как Л >0.
Решение задачи Aа) будем искать в виде
2/@=2 <*ЮЬ- B8)
Учитывая, что Ау = 2 ск А%к = 2 ккСкВ^ь, после подстановки
выражения B8) в Aа), получим
|{""+Г"("+^('))д|. = о.
Отсюда в силу ортогональности {\К) следует
скA+х)—скA)
* 7-А-+**^.(*) = 0| с* (* + т) = A-тД*) <*(*),
У (* + *) = 2 *(* + тIк = 2 A —А*)*(*)Ьк.
Оценим норму |у (* +т)||а = Dу (* + т), I/ (*.+ т)). Замечая, что
1»(«)И- B ск(г)хкв1к1 2 *(*>ь) = 2 ***<*),
находим
М* + т)Ь=2А*<*(* + т)< шах A-тХлJ2А*с2(*),
т е
Ву(* + тI1А < тах 11 - тА*1М*I1а.

§\2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 339
Отсюда видно, ч^о
\ Щ*+ т)Пл < Ы*)*л < Ц№л, B9)
если
|1-т7*|.<1 при всех к = 1, 2, ..., N.
Это условие означает, что — 1 ^ 1 — тХк < 1, или
0<ХА^2/т, * = 1, 2, ..., .V. C0)
Покажем эквивалентность неравенств A4) и C0).
Рассмотрим выражение
N N
Ву - 0,5тЛг/ = 2 ск @ (В%к - 0,5т^Л) = 2 ск @ A - 0,5т**) Я?*
и вычислим функционал
(Ву, у) - 0,5т (Лу,*/) = 2 4 № A - 0,5тХА).
Отсюда и следует эквивалентность A4) и C0).
Таким образом, мы показали, что при -условиях B6)
неравенство A4) достаточно для устойчивости схемы Aа) в
пространстве #А, т. е. справедливо B9). Следует подчеркнуть, что
требовайце самосопряженности оператора В является здесь
обязательным, в то время как для применения энергетического
метода достаточно лишь положительности оператора В.
Аналогично доказывается устойчивость схемы Aа) в 7/в, если
выполнено условие C0).
8. Условие р-устойчивости. Введем более общее определение
устойчивости по начальным данным.
Пусть Б = Л* > 0 — постоянный оператор. Будем говорить,
что схема A) р-устойчива по начальным данным, если для
решения задачи Aа) при любых у0<=Н выполнено неравенство
Иуп«*<р%о11*, C1)
где р = е ° , с0 —постоянная, не зависящая от А, т и от выбора у0*
Если схема Aа) р-устойчива в Яс, то она устойчива в Н0:
с постоянной М1 = е при с0 > 0 и М1 = 1 при с0 < 0.
Двухслойную схему Aа) с постоянными операторами А и В
можно свести к явной схеме
гп+1-
-? + Схп = 0 или хп+1 = (Е — %С) хп% C2)
если провести замену:
1) хп=*В''*уп при В = В* > 0 и обозначить С = С± = В~иАВ-ъ;
2) хп=Аыуп при А=А*>0 и обозначить С = Сг = АъВ-1А1/\
22*

340 гл- у1- теория устойчивости разностных схем
Из определений 1) и 2) следует, что
\\хп\\ = \\упК при С = С„ хп = Ву>уп,
И^пЧ = ЦЛл При С = Сг, Хп = АЧгуп.
Условие р-устойчивости неявной схемы Aа) в Нв при Х> = Б
н В = Л эквивалентно условию р-устойчивости явной схемы C2)
в //: Няп11 ^ рп11х0И, п = 1, 2, ...
Лемма 2. Пусть дана схема C2) с постоянным оператором
С. Условие р-устойчивости этой схемы эквивалентно условию
ограниченности нормы оператора перехода
1151-ИД-тС11<р.
В самом деле, при п = 1 имеем хх = 8х0 и 11**11 < Ш11#о11.
Сравнивая это неравенство с C1) рри л = 1, убеждаемся в
справедливости леммы 2.
Лемма 3. Если А = А* > 0, В = 5* > 0, го неравенства
ъВ^А^чЯ и ^Е^С^^Е C3)
эквивалентны при С = В~,гАВ-1г и С = АЪВ~1АЧ\
Доказательство. Пусть С = В~иАВ~1г и ]- любое
число. Рассмотрим разность
{Сх, х)-^(х, х) = (В-'иАВ-1% х)-ч(х, х) = (Ау, у)-<((Ву, у)
при у = В~их. Отсюда видно, что знаки операторов С — уЕ и
А — уВ совпадают. Отметим, что при этом не требуется
положительности оператора А.
Пусть теперь С = АЪВ"АЧ\ Докажем, сначала, что
неравенства ОуЕ (С ^ ^Е) и Е > ^С-1 (Е < уС~1) эквивалентны. Вводя
замепу у = Съх, получаем
(Сх, х)-ч(х, х) = (Скх, Съх)-^х1 *) = (*/, У)~Т(С~42/, У\
откуда и следует, что операторы С — ^Е и Ё — уС*1 имеют
одинаковые знаки: Подставим теперь С~1 = А,1ВАк и обозначим
(Сх, х) - ^я, я) = (у, у) - ч(А~ъВА-ъу, у) = Ш, V) - ц(Ви, у),
т. е. операторы С — *(Е и А — уВ имеют одинаковые знаки.
Полагая ^ = ^ и 7 = ^2, убеждаемся в эквивдлентности
неравенств C3).
Лемма 4. Если оператор С = С* > 0, т > 0, го условия
11511 = 11Д-тС11^р, C4)
—е#<с<^±р# C5)
эквивалентны.

§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 341
В самом деле, так как оператор 5 = Е — тС = 5*
самосопряжен, то
Ш- зир \(8х, х)\ - зир |((Я-тС)я, х)\,
11*11=1 ММ
так что -ШЕ ^8^ \\8\\Е пли -рЕ <8^рЕи -рЕ < Е - хС ^ рЕ,
откуда и следует
Таким образом, из условия C4) следует C5). Обратный ход
рассуждений очевиден.
Теорема 3. Пусть А и В — постоянные операторы и А =
= Л*, 2? = Я* >0. Тогда условия
Ц^#<Л<1±-Р# C6)
Необходимы и достаточны для р-устойчивости в Нв схемы Aа)
ЦпК < рпЫв,
а если, кроме того, А — положительный оператор, то и для
р-устойчивости в НА
1^пИа<РЙИУо11а.
Для доказательства теоремы сводим неявную схему Aа)
к явной схеме C2) с оператором С = В"ъАВ'и (илиС =
= АЪВ~1А1/* при А > 0) и затем пользуемся леммами 3, 2 и 4.
• Замечание. Доказательство теоремы 3 не удается
получить на основе энергетического тождества B0). Однако можно
использовать метод, изложенный в п. 6. Рассмотрим, например,
случай П = В. Условия C6) эквивалентны условию \\Е —
—*хВ-*А\1в^р или неотрицательности функционала
]щ1у\ = р2(Ву, у) - (В(Е - тВ~1А)у, (В - тВ-*А)у).
Предположим теперь, что Н — конечномерное пространство
N
размерности N. Подставляя у = 2 <ъ5л, где |* — собственный
элемент задачи B7), в выражение для /в[р], получаем
/бЫ = 2^(Р2-A-тХлJ)>0 при Ц^<^<1±2
что эквивалентно C6).
9. Устойчивость по правой части. В § 1 была доказана
теорема о том, что из устойчивости по начальным данным в норме
11-11A) следует устойчивость по правой части, взятой в норме
НфН(а) = Ш-'фИ^). Отсюда следует
Теорема 4. Если выполнено условие A4), то схема A) из
исходного семейства схем устойчива по правой части и для

342 гл- у1- теория устойчивюсти разностных схем
решения задачи A) справедлива априорная оценка
II уп+г и < I у о и + 2 т 1 в-\к |Ц.
Если, кроме того, оператор Ё самосопряжен, то
п
|| 2/п+1 Ив < || У0 (в + 2т |1 фь |1в-1.
Покажем, что, кроме того, имеют место априорные оценки C),
D), ГДе || ф ||B) = || ф ||А_1 И || ф AB) = || ф ||.
Теорема 5. Если выполнено условие В"^ -^ А,то схема A)
из исходного семейства устойчива по правой части, и для
решения задачи A) верна априорная оценка
п
1 Уп+1 к < IIУ0 к + I Фо ||д-1 + II Фп|А-1+ 2 Т| ф?, „Ь. C7)
Доказательство. Представим решение задачи A) в
виде суммы
Уп = Vп+^Vп, C8)
где и?п —решение уравнения («стационарной» задачи)
А юп = фп_!, п = 1, 2, ..., ю* = щ. C9)
Тогда, подставив C8) и C9) в уравнение A), получим
следующую задачу для уп:
Ви( + Аи = ф, и0 = у0 — ю0, D0)
где фп = — (В — %А)ю;,п, ф0 = 0. Для оценки V воспользуемся
теоремой 4:
|| ип+1 |Ц.< | V, |Ц + 2 т |В-1ф* |Ц. D1)
Оценим слагаемое Ц/ГЛрлЦд = [-41/а^5—1фЛ| в неравенстве D1).
Для этого заметим, что
Щ = А-\ и ||Л1'25-1ф1 = 1E-тС)Л-1/2ф7|,
где С ==АЪВ~1АЪ. Из условия устойчивости A4) в п. 6
получена оценка B4)
откуда следует, что
М^я<И-^И1Фг1и-ь '
где Цф^Щ-1 = Т/М^ф?! Ф*)- Следовательно, для решения
задачи D0) выполняется оценка
|»||+11л<К1а + 2 Т1Ф?»а|х-1'

§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 343
откуда, учитывая неравенство
получаем
- п
|Уп-ы1А<|Уо11л + «Фо1л-1 + 21Т||фг,л|А^1.
Наконец, используя неравенство треугольника, из C8) получаем
оценку C7). Теорема 5 доказана.
Теорема 6. Если выполнены условия «*
Д>Ц^тЛ, В = В*у D2)
то для схемы A) из исходного семейства справедлива априорная
щенка
п
|Уп+1|й<1УХ + ^2 тГф*6-1. D3)
где е > 0.— постоянная, не зависящая от к и т.
Доказательство. Будем исходить из энергетического
тождества A3). Оценим его правую часть 2т(ф, у*), пользуясь
обобщенным неравенством Коши — Буняковского и е-неравен-
ством:
2т(Ф, у%)<2тМ|г-1Ид<^Ив + 2гИв-1-
Подставляя эту оценку в A3), получим
2т ((A -ъДВ-1А)уи Уг) + {Ау, у) < (Ау, у) + ^ ^.
Если выполнено условие D2), то можно выбрать е4 так, чтобы
1/A — 84) = 1 + е, т. е. 'е4 — е/A + е). Тогда
A_в1)В-^Л = A-в1)(В-Ц^тЛ)>0,
Суммирование по к = 0, 1, 2, ..., п и дает оценку D3).
При каких условиях имеет место устойчивость в норме ИфПсг) =
= Нф11? Ответ на этот вопрос дает
Теорема 7. Пусть выполнено условие
В>еЕ + 0,5%А, D4)
где 8 — любое положительное число и схема A) принадлежит
исходному семейству схем. Тогда для задачи A) верна априорная
оценка
п
|У.+1|д < ЦУоАа + ^ 2 тЦфЛ2. D5)
Л=0

344 г^- у1- те°рия устойчивости разностных схем
Доказательство. Обратимся к тождеству A3).
Неравенство Коши — Буняковского и е-неравенство дают
2т (ф, уд < 2т || Ф11| у* || < 2те | уг ||2 + ^ | Ф ||г.
Подставим эту оценку в A3) и используем условие D4)
!у&<ЙУ||л + ^||<Р|Р или «У;+1||2а<|Ы&+^|ф;Г-
Суммируя затем по / = 0, 1, ..., /г, получаем D5). Теорема 7
доказана.
Замечание 1. Теорема 7 сохраняет силу и в случае
переменного оператора В = /?(*), а теорема 2 справедлива для
переменного оператора А=АШ. Это видно из доказательств
указанных теорем.
Замечание 2. Если Л = Л*, В = В*~>0 и выполнены
условия C6), то схема A) р-устойчива по начальным данным в НВу
т. е. решение задачи Aа) удовлетворяет неравенству
Отсюда, в силу теоремы 3 из § 1, следует оценка для решения
задачи A)
п
II Уп+1 {щ < Рп+1 Р У о и + 2 тр-* 1 фй 1в-г.
л=о
При этом не требуется положительности оператора А. Пусть,
например, А ^ -— с*Е, с* > 0. Тогда условие
4>^?Я, или Л + ^-15>0,
может быть выполнено только при р = есот > 1, т. е. при с0^0.
Предположим, что В > е2?, е > 0, тогда
и, следовательно, А^-^-±В, если взять с0^^. В качестве 5
можно, например, выбрать оператор
В=Е + тВ, Д = 0,54', Л,=Л+с*5>0.
Тогда 8 = 1, с0 = с#, р = ес*т.
10. Устойчивость схемы с весами. Покажем, как надо
пользоваться доказанными выше теоремами на примере схемы с
весами:
у, + 4(оу+A-а)у)=ф, у@) = у0. D6)

§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 345
В § 1, п. 3 схема D6) была приведена к каноническому виду
{Е + ахА)У1+Ау = у, у@) = у0. . D7)
Сравнивая D6) с A), видим, что В~Е + атА.
Пусть существует оператор А'1. Действуя А~1 на D7),
получим вторую каноническую форму для схемы с весами:
Вуг + Яу-у, #@) = уо, В = А~1 + отЕ, А = Е, ф = 4-1Ф. D8)
Записью в виде D7) будем пользоваться в случае
самосопряженного оператора 4, D8) — в случае несамосопряженного
положительно определенного оператора А = АН).
Рассмотрим сначала случай, когда А — постоянный,
самосопряженный положительный оператор 4 = 4*>0. В п. 4 было
показано, что в этом случае необходимое и достаточное условие
устойчивости по начальным ш данным схемы с весалщ D7) имеет
вид
о>а0, ао»!-^.
При этом условии для задачи D7) верна оценка A5). В
частности, для явной схемы (при о = 0) из условия о>о0 следует
т< 2/114 !1, т. е. явная схема устойчива в НА при т< 2/11411.
Схема с о>0,5 безусловно (т. е. при любых т) устойчива. В п. 4
был рассмотрен модельный пример с Ау == — Ау = — у-х при
о
у^&н = Нн. В этом случае НЛП < 4/А2, и явная схема устойчива
при т < 0,5А2.
Для уравнения теплопроводносуи с переменным
коэффициентом к(х) имеем
^и = й(*Фй)' ° <*<*•» А0в(а(*H;)я. 0<а<с2,
и о0 < 0,5 — А2/Dс2т), а явная схема устойчива при т^0,5А2/с2.
Теорема 8. Пусть А — самосопряженный положительный
оператор, не зависит от 1 = пт; 4=4*>0. Тогда для схемы
с весами D7) имеют место оценка C7) при о > а0, оценка D3)
1+е 1
при а^—^ %ШУ8>^ и °Ченка D5) при а>ае1 а8 = 0,5 —
— A —8)/(т11ЛИ), 0 < е < 1, где г — постоянная, не зависящая
от А, т.
Для доказательства достаточно проверить выполнение
условий теорем 5, 6, 7, пользуясь неравенством В — 0,5x4 =
= Е + (а - 0,5)т4 > A/И4И + (а - 0,5)тL.
* Предположим теперь, что А—А Ш >0 и А* ФА, т. е. 4 =
= 4@ — положительный переменный несамосопряженный
оператор.
Теорема 9. Пусть А = АШ > 0 — положительный
несамосопряженный оператор. Если выполнено условие о &* 0,5, то для

346 гл- уг теория устойчивости разностных схем
схемы D6) верна оценка
п
ЬГп-ы! < Ы +» (Л-'фЭо I +Р-1Ф)п | + 2 т | (^_1Ф)ГЛ I- D9)
Доказательство. Рассмотрим схему D8) с правой
частью у=А~*у. Для нее при а>0,5 выполнены условия
теоремы 5 и можно воспользоваться неравенством C7), учитывая, что
Ма =М'1Уз-1 = Вфг4 ^ иЛ~1ф^г4- В РезУльтате получим D9).
Замечание. Если А*Ш = АШ >0 — самосопряженный
оператор, то оценка D9) справедлива при о > а0.
Теорема 10. Пусть АЦ) =А*Ш >0 и а>аг. Тогда имеет
место оценка
цуп+1|г< ы+к 2т Ыъх ■ E°)
Доказательство. Энергетическое тождество A3) для D8)
принимает вид
2т(и-4 + (о - о,5)т#)^, у,) + \\у\\2 - и#+гти-'ф", уг). E1)
Из условия -а > ае следует, что
2-|Л>еЛ-1. E2)
В самом деле,
В - \ А = Л-1 + (о — 0,5) т# = еЛ-1 + A - е) А~* + (сг-0,5) тД >
> еЛ-1 + *рр Я + (а - 0,5) хЕ = е^-* + (а -ае) т# > еЛ-1
при а^ае. При этом мы учли, что А"х^щЕ. Подставляя E2)
в.E1), получаем
2те |Иа-1 + Ш2 < \Ы2 + 2т (Л-1Ф, у,)- E3)
Обобщенное неравенство Коши — Буняковского и . е-неравенство
дают
Подставляя E4) в E3), будем иметь
Щг <Ш + Те Ма-1 или 1Ь+1|Р< Ы + б| Ч^1,
Суммирование по & = 0, 1, 2, ... приводит к оценке E0).
Лемма 5. Пусть А — положительный оператор, для
которого выполнено неравенство
\\АхПг < ди*э я), где Д = сопз* >0. E5)

§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 347
Тогда
А-г^±Е и 4<ДЯ. E6)
В самом деле, полагая х = А~1у, получим из E5) неравенство
(у, у)*ъА(А-1у, у), т. е. ЖД4-1 или А~1>Е/Ь. Пользуясь
неравенствами (Ах, ,хJ^\\Ах\\2\\х\\2^МАх, х)\\х\\\ находим
(Ах, х) ^ Д1Ы12, т. е. А < АЕ. Из леммы 5 следует, что
Е = А-1 + отЕХ1/Ь + от)Е, В-0,5тА>0 при о>о0,
где А = Е, о0 = 0,5 — 1/тД.
Лемма 6. Пусть А — положительно определенный оператор
и выполнено E5). Тогда
1 (Е + отАГ1 (Е - A - а)хА)\<1 при *> ав, а0 = |- ±% E7)
|| (Е + от А)-11| < 1 при а > 0, E8)
И^ + отЛ)!^ п№ а>ае = |--^-, 0<е<1. E9)
Доказательство. 1) Так как Б>0,5тА при о>о0, то,
применяя к схеме D8) теорему 1, получим, что для решения
вадачи D8) при любых уп^Н и ф'= 0 справедлива оценка
11уп+1» < ОуД F0)
Заметим теперь, что схему D7) при <р = 0 можно записать
в виде
Уп+1 = 5уп, 8-№ + отА)-1(Е-и-с)тА).
Отсюда и из F0) получаем оценку E7).
2) Для оценки \\В'Ч, где В=Е + охА, достаточно получить
неравенство вида В > 62?, 6 > 0. Тогда
бЫг < (Вх, х) < \\Вх\\Ы, \\Вх\\ > ЬЫ%
и следовательно, Ш!! ^ 1/6. Если о^0, то В>Е к Ш-Ч1 < 1.
ЕСЛИ СГ^Ое, ТО
В^Е + ЪгхА = Е + 0,5тЛ — -^=-5 Л.
Так как, согласно E6), А < Д2?, то
В > Е + 0,5тЛ - A - г)Е > гЕ + 0,5тЛ > е#,
и, следовательно, \\В~1\\ < 1/е. Отметим, что оценка E8) верна
для любого несамосопряженного, оператора А > 0. Лемма
доказана.
Из F0) и леммы 6 следует
Теорема 11. Пусть А — АA) — положительный оператор и
выполнено условие E5). Тогда для схемы D6) при а**оЛ верна

348 гл у1 ТЕОрия устойчивости разностных схем
априорная оценка
1»(* + т)К1»@)| + 12т1ф(ОЬ (в!)
г=о
Если одновременно выполнены два условия
- - 1 1
то оценка F1) выполняется при е = 1.
Для доказательства запишем схему D6) в виде
Уп+1 = 8уп + тВ-1ц)п,
где 8 = (Е + отА)-*(Е— A — о)тЛ), В = Е + отА. Используя
неравенство треугольника и оценки E7)—E9), получаем
откуда и следует F1).
11. Априорные оценки в случае переменного оператора А.
До сих пор мы предполагали при изучении устойчивости в ЯА,
что оператор А постоянный, т. е. не зависит от I. Если АШ =
= Л*Ц)>0 зависит от I, то будем требовать, чтобы выполнялось
следующее условие липшиц-непрерывности АО) по Р.
КЫШ-Жг-т))*, *)|<тс,Ш-т)*, *), F2)
для всех жбЯ, 0< Ь< я0т, где с3 — положительная постоянная,
не зависящая от К и т.
Исходное семейство схем определим требованиями
АШ=А*Ш>0 для всех ^е©т,
АШ липшиц-непрерывен по I, F3)
ВШ > 0 для всех I е о)г.
Как и ранее, предполагаем существование оператора #"'B), что
означает разрешимость задачи A) при любых входных данных
Уо и фШ. Это семейство, очевидно, содержит исходное семейство,
введенное в п. 2.
Исследования, проведенные методом энергетических
неравенств, показывают, что условия
ВШ > 0,5тАШ "для всех I е ©„ F4)
ВШ >гЕ + 0,5тАШ для всех ^йг, 0< е < 1, F5)
оказываются достаточными для устойчивости схемы A) с
переменными операторами АШ, ВШ. При этом сами нормы II На,
II '"А-1 оказываются зависящими от Р.
ЦК = И»11лA, = КАШу, уХ, ИфИл-ко - У(А-1Шъ ф).

§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 349
Поэтому надо говорить об устойчивости в НА{1) (вместо Нл)
И НВщ.
Исходный для исследования является энергетическое тождество A3),
где А =яАA). Чтобы получить рекуррентное неравенство, преобразуем
выражение
(Лу, у) = (АЦ)у(г), у@)-
= (Л(*-т)у(о, у@) + им*) -^(<-т))ум, У(о)
и оценим второе слагаемое в правой части при помощи F2):
(Л(*)у@, У@) < A+т*»)М(*-т)у@. ИО).
Подставив эту оценку в A3), получим энергетическое неравенство
2т((Я@ -0,5тЛ@)Уь Ы +*(* + *) ^ A + тс3).<Г(*) +2т(Ф@, У*), F6)
где
# (<+ т) = (А @ у (< +т), у (* + т)) = ||у (* + *)&<«•
Бели выполнено условие F4), то ив F6) при ф = 0 следует
#(* + т)<A+тс3)#@<'Сз^М при *>т. F7)
Энергетическое тождество при * = 0 записывается в виде
2т ((В @) - 0,5тЛ @)) у4,У|) + ^Г (т) = 1 у @) Ц* @) + 2т (ф @>, уг @)).
Отсюда при условии F4) пф = 0 получим
*(т)<|у@)&@). F8)
В результате F7) и F8) дают для задачи A) при ф = 0:
IIУ («+ *Iасо < ^1IIУ (°I1а(о)' л/1 ='°'5Сз'°.
Проведенные выше рассуждения показывают по существу единственное
принципиальное отличие случая переменных операторов от постоянны*.
Суммируем результаты в виде аналогов теорем 5 и 7.
Теорема 12. Пусть операторы А=АA), В = Ви) зависят
от I и выполнены условия F3), F4). Тогда для схемы A) имеем
I Уп+1 ||лп < Мг 11| У о \\л0 + || Ф0 1-г + II Фл ||-1 + 2 т 1 {А-\);л (Д
F9)
где Л/1 = в°'|с»Ч Л = ^(*п).
Если с3==0, то Л не зависит от * и F9) переходит в C7),
если учесть, что | ^-1Фг|А = Цф^Цл-
Теорема 13. Пусть операторы А = АН) и В = ВШ
зависят от I и выполнены условия F3) и F5). Тогда для схемы A)
выполняется оценка
| Уплг &„ < М\ 11 у0&, + ± 2 * IФ* I2}. Мг = е°>5Сз<0. G0)

350 гл- VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Отсюда видно, что оценки C7) и D5) для случая постоянного
А получаются при ЛГ, = 1 или с3 = 0.
12. Пример. Для того чтобы пользоваться изложенной выше
общей теорией устойчивости для конкретных разностных схем,
необходимо:
1) привести двухслойную схему к каноническому виду A),
т. е. выделить операторы А и В;
2) ввести пространство сеточных функций #Л.п исследовать
свойства А и В (положительность, самосопряженность и др.) как
операторов, заданных на ЯЛ;
3) проверить принадлежность схемы к исходному семейству
-схем, а также проверить выполнение достаточных условий,
устойчивости F4) или F5);
4) если эти условия выполнены, то данная.схема устойчива
и для нее справедливы априорные оценки, например, F9) и G0).
Первый шаг состоит в приведении схемы к каноническому
виду. Заметим, что полученные выше достаточные условия
открывают возможность написания устойчивых разностных схем
-сразу в каноническом виде.
Рассмотрим здесь лишь один пример для уравнения
теплопроводности
«"И"' 0<*<1, *>0, и(*,0) = М*), и@,*) = и(М) = 0.
Рассмотрим асимметричную схему, которая задана на сетке
юЛт = <оЛ X сот, о)Л = {х{ = &А, 0<1<М, о>т = (^ = /т, 0</<-/о}>
и записана в виде
^•>+1 = 7ГЫ (°ч'*-1»>+1 + ^ "" а) »*-!.* + 0Н-М ~ B — со — а) уи),
G1)
где со = АУт, а а — параметр.
1) Приведем схему к каноническому виду. Обозначая у^ ,• = {/,,
^<.;+1=3Уь перепишем G1) сначала в виде
(со + а)у{ = ауг-1 + A — а)у{^ + у,+1 — B — со — а)у0 G2)
Учитывая затем, что
Уг-1 = ~ ЪУЪЛ + УЧ, У1+1 = %х,г + У и Ъ>УхЛ — Ъу^Л = к\х^
%-Х = у{-г + ТУи-г = У г ~ Ъ,ухЛ + Т#М — Иху-^.,
лодставляя эти выражения в G2) и опуская индекс I, будем
жметъ
туг = Ъ?у^ — акхухГ G3)

§ 2. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ СХЕМ 351
После деления G3) на А2, получаем
Уг + ^Ц-УЪ^Кя- G4)
о
2) Пусть Нн — пространство сеточных функций ^л (примеры
1 и 2 гл. И, § 4, п. 1), заданных на юЛ = {х{ = г\ 0<г<Ю со
скалярным произведением (у, о) = 2 УФгЪ- Операторы схемы
Ау = — У ж и ^гУ = -^ #й, согласно гл. II, § 4, п. 1, являются
положительно определенными операторами, причем Сй^, у) =
= 0,5С4у, у). Оператор А самосопряжен, 11411 <4//&2.
3) Операторы А и Н{ постоянны. Схему G4) удобно
записать в виде
(Я + атД^+Лу^О, G5)
так что В = Е + ах/?!.
Условие В>0,5т4 выполнено при а> 1 —2/(т!Ш).
Действительно, для любого жеЯ
((В- 0,5тЛ)х, х) = ((Е + ахВ1 - 0,5тА)х, х) =
= ((Е + 0,5т(а - Ш)ж, х)г
т. е. В — 0,5тЛ ># + 0,5т(а - 1L> (-щ + 0,5т(а— 1)) 4>0.
4) Так как 1Ь4И<4/й2, то схема- G1) устойчива в НА (в
сеточной норме И^) при
«>1-ЗГ- G6>
Наряду со схемой G1) можно написать другую
асимметричную схему, которая после приведения ее к канонической форме
запишется так:
(Е + ахВг)уг +Ау.= 0, где В$ = — -^ ух-
Так как Сй4у, у) = Сй2у, #), то эта схема устойчива при том
же условии G6). Из G6) видно, что асимметричные схемы
безусловно устойчивы при а > 1.
13. Случай кососимметрического оператора А. Основные
результаты теории устойчивости для двухслойных схем
Вуг+Ау=<р
были получены в предположении, что А=А*>0 —
положительный самосопряженный оператор, а В>0 может быть
несамосопряженным. Исключение составляет схема с весами, для
которой В имеет специальный вид В = Е + ахА и А*ФА.
Предположим, что А — несамосопряженный оператор, причем
А=А0 + Аи где 40 = 0,5(Л+4*), Ах = 0,5Ы -А*), А*=А0г

352 гл- У1- теория устойчивости разностных схем
Лг=>—Аи т. е. А1 — кососимметрический оператор, Ы^, V)***
= -(*/, А&) и (А,у, у) = -(г/, Лху) = 0.
Мы ограничимся здесь случаем, когда А = А1 —
кососимметрический оператор. Рассмотрим схему с весами
Уг + Ау™=0,
где -4* = —А, (Ау, у) = 0, у{а) =ау+ A — о)у. Запишем ее в виде
Вуг + А у = 0, В = Е + ахА.
Так как Л и В — несамосопряженные операторы, то
результатами общей теории, полученными выше, мы не можем
воспользоваться.
Заметим прежде всего, что
(Ву, у) = (у + охАу, у) = (у, у) + ох(Ау, у) = \\у\\\
т. е. существует обратный оператор В'1. Полагая ут=В~1х,
получим Ш-У12 = (В-1*, х) < Ш-'яНЫ!, т. е. 11В~1х\\ < Ы и
112?-* II < 1. Перепишем схему в виде
Ву = Ву- хАу, у = у- тВ-'Ау
и вычислим
(Ву, у) = (Ву, у)-х(Ау, у)-х(Ву, В-1Ау) + тЧАу, В-*Ау).
Представим В в виде
В^Е + схА = (Е - атЛ) + 2охА = Я* + 2охА
и преобразуем
(Ву, В~*Ау) = (В*у, В-'Ау) + 2ох(Ау, В^Ау) =
= (у, Ау) + 2ох(Ау, В-'Ау) = 2ах(Ау, В~'Ау).
В результате получаем
\\у\\* = \\у\\* - Bа - 1)хЧВ-*Ау, Ау).
Отсюда следует
НуИ^ПуИ, если о>0,5,
\\у\\2 < \\у\\2 + A - 2а)т211ЛН2Нг/112 ^ A + с0х)\\у\\\
или
||уКр||у||, р = е°^\ с0 = A-2о)с2,
если о < 0,5 и хЫ\\г < с2.
Таким образом, получена оценка нормы оператора перехода:
151 <1 при о 3*0,5,
Н5Н <р -при о<0,5 и тМНг<с2.

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 353
Отсюда следует оценка решения неоднородного уравнения
Ву1 + Ау=*у>:
8уп+1»<р!1уп1 + т[фп8<рп+11уо11 + 2трп-а1фл1.
Пусть теперь Н — комплексное пространство и В —
несамосопряженный оператор. Тогда. необходимое и достаточное
условие устойчивости по начальным данным в НА схемы
Вуг+Ау = 0
имеет вид
В0 = ВеВ^0,5тЛ, если 4=4*>0,
где В0 = 0г5 (В + В*) = В0. В частности, схема
гуг + Ау = 0, 4 = Л*>0
является неустойчивой в НА, так как В=*1Е и Ве2? = 0. Однако
Л' = — г А есть кососимметрический оператор (А')* — —А\ и в
силу доказанного ранее эта схема условно устойчива в Н:
о
В случае уравнения Шредингера Ау = — у^х, уейл[0, 1], имеем
114И < 4/й2, условие на % приобретает вид
и является неестественным для параболического уравнения.
Однако схема с весами
1уг+Аум—0, А = 4*>0,
будет устойчива как в НА, так и в Я при о > 0,5. В этом
случае В0 =» Не В = от-4 ^ 0,5т4 1г И#П11Л < Ну0Нл. Если же ввести
кососимметрический оператор А' = — 1АУ то при о>0,5 мы по-
лучпм оценку Нуп11 < 11ув".
§ 3. Классы устойчивых трехслойных схем
1. Постановка задачи. В этом параграфе будут получены
достаточные условия устойчивости и априорные оценки для
трехслойных схем. Мы пользуемся канонической формой
трехслойной схемы
Вуо + т*Вуи + Ау = ц> (*),# у @) = у0, у (т) = уи
0<* = тгт<*0, л = 1д2...,п0 —1< *0 = /г0т. A)
Здесь у о и Ух — произвольные заданные векторы из
конечному рного вещественного пространства Я, <рШ — заданная
произвольная абстрактная функция 1^®х со значениями в Н; А, В
32 а. а. Самарский

354 гл- У1- теория устойчивости разностных схвм
и В — линейные операторы на И. Зависимость. уA) = уЛт(*),
<рШ =» флтШ, АН) — АнхШ3 В, В, у0 и ух от к и т явно не
указываем. Напомним обозначения:
У = УЮ = Уп, У = У(*п + Т) — ?п+1, У — У (*« - Т) — Уп-1,
У< = 6 — У)/т, Уч = (у — у)/г, У ? = (у — у)/Bт),
У« = (у — 2у + у)/т2.
По аналогии с § 2 решение задачи A) можно представить
в виде суммы у = у + у, где у —решение однородного уравнения
Вуо + т*Пуй+Ау = 0, 0<* = ит<*0, г/@) = у0, у(т) = у1г Aа)
ау- решение неоднородного уравнения с однородными
начальными данными
Вуо + %Щ-и+Ау^ч{1), 0<* = /1т<*0, у@) = у(т) = 0. A6)
Перепишем A) в виде
(Я + 2тД)г/п+1 = Фп, Ф. = 2BЯ-Л)ту11Ч-(В-2тЛ)уп-1 + 2тфя B)
(А, В ъ В, вообще говоря, переменные, т. е. зависят от *п).
Отсюда видно, что задача A) разрешима, если существует
оператор (В + 2тВ)~1. В дальнейшем будем всюду считать, что это
условие выполнено. Более того, будем предполагать, что
оператор В + 2тВ положительно определен. C)
При изучении устойчивости трехслойной схемы будем
пользоваться функционалом (составной нормой) вида
|Гп+1Г = 4||уп + у»+1^1) + |у„+1-у„|||12),. - D)
гДе ! • 1A1) и I# 1A2) — некоторые нормы на линейной системе Н.
Чтобы понять структуру этой нормы, целесообразно ввести
пространство Н2 = Н ® Н — прямую сумму двух экземпляров
пространства Н. Пространство Я2 определяется как множество
векторов вида
У - {УA), 7<2)> е Я2, Г(а ей, <х = 1, 2,
в котором сложение векторов и умножение вектора- на число
проводятся покоординатно:
У + У= {УA) + УA), УB) + У(г)}, аУ = {аУш, аУ<2)}.
Норму в Н2 естественно определять так:
В нашем случае вектор
Уп+1 = (гй"и-1 + У")» У"+1 — Уп] е Я2

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 355
имеет координаты Уп1\ = -% (уп+1 + Уп) и # Уп+\ = Уп+х— Уп-
Нетрудно видеть, что функционал D) удовлетворяет всем
аксиомам нормы, а именно: ИаУ^Н = 1а|ИУп+А ИУп-цИ^О для
любых уп^Н, уп+1е=Н и ИУя+1Н=*0 только при */п = Уп+1 = 0;
11Рп+1+Гп+111^!!Уп+1Н + 11Уп+111. ■
Определим теперь понятие устойчивости для A).
Трехслойная схема A) называется устойчивой, если существует норма
D), и при всех достаточно малых т<т0 и \Н\ <й0 можно
указать такие положительные постоянные М{ и М2, не зависящие
от т, к и выбора у0, #1, <рС*), что при любых у0, уи <рШ и всех
г = т, 2т, ..., (и0 — 1)т для решения задачи (II справедлива
оценка
\У(* + т) 1A)<Мг\У(т)|A0) + М2 тах |ф(О||BЬ E)
или оценка
ЪГ^ + т^^М^ГЩ^+М, тах (Вф@1»> + |Ф?(ОЬ„). F)
где И НB) — некоторая норма в пространстве Я, || У (* + т) Цц) и
!|У (т)|(хо) определяются по формуле вида D), так что
И!" (^ + х) 0(\> = 40^^ + ^ + ^(^«(Х!) + «У (^ + яг) — у @1|^12). G)
I? (т) !1<хо> = \ | Ух + Уо И^о) +1| Ух - У о И^о), (8)
I! * II/ оу 1 • 1/ о\ —некоторые нормы на Н.
Если А и Д — постоянные операторы, то ЦЗ^Цц) и | У
Добычно совпадают. В общем случае ИУЧ* +т)ИA) и 11ф(^)НB) зависят
от * = лт, так что надо писать ИУ(*+ т)НA, () вместо ИУ(^ + т)НA)
и 11<р(ОИB, о вместо 11фиI1B).
Как будет показано ниже, нормы | • Цр^ и | • Изъявляются
энергетическими нормами, построенными на операторах А и Д.
Поэтому будем предполагать, что операторы А и Н являются (если
Н — гильбертово пространство)
самосопряженными: А = -4*, Д = Д*, (9)
положительными: 4 > 0, Д > 0. A0)
2. Основное энергетическое тождество. Перейдем к выводу
энергетического тождества для трехслойной схемы A),
справедливого для переменных операторов А=АШ, Д = Д(*), П = ЕШ
и используемого при получении априорных оценок, выражающих
устойчивость схемы по начальным данным и по правой части.

356 гл- V1- теория устойчивости разностных схем
Учитывая, что
У = ^(у+'у)--^6-2у + у) = ~(у + у)--^-у-и1
перепишем A) в виде
Вуо + х*(в-±А)у1( + ±А$+у) = % у@) = уо, у(т) = у1г
A1)
где А=АЮ=Ап, В = вип)=*Вп,П = В@=Вп. Умножим
•A1) скалярно на 2т#о = т{у% + у«) = у — у:
2т (Ву о, у о) + т2 ((Л - |- л) (Уг - Уч), Уг + У,) +
+ ?(А<М + У), У-У) = 2т(<р, у*у A2)
Пусть А и В — самосопряженные операторы. Тогда
Д-0,5Л = (Я-0,5Л)*.
В силу леммы 1 из § 2 имеем
-((*-И*'*)-((*-т*)*4 A3)
(А(у + у), у -у) = (Лу, у) - (Ау, у). A4)
Прибавим и вычтем (Ау, у) справа в A4):
(А(у + у), у -у) - [(Ау, у) + (Ау, у)] - [(Ау, у) + (Ау, у)]. A5)
Лемма 1. Пусть А—А* — самосопряженный оператор. Тогда
(Лу, V) + (Лг, г) =-| (А (V + г), V + г) +1 (Л (у - г), г; - г) A6)
для любых векторов V и г из И.
Доказательство. Так как А = А*, то (Лу, г) = (у, Лг) =
— (Лг, у) и
(Л(у + г), 1>'+г) + (Л(у-2), у-2) = [(Лу, у) + 2(Лу, г)+
+ (Лг, 2)]+[(Лу, 1>)-2(Лу, г) + (Лг, г)]=2[(Лу, I?) + (Лг, а)],
что и требовалось доказать.
Полагая в A6) V — у, г = у, преобразуем A5):
(А(у + у), у-у) = 0,5\(А(у + у), у + у) + Шу-у), у-у)]-
-ОЯШу + у), у + у) + (А(у-у), у-~у)]. A7)

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 357
Подставим теперь A7) и A3) в A2) и учтем, что
(А & — у),у — у) = х2 {Ауи уг), у- = (у — у)/х = ~уи
(А(у —у), у — у) = т2{Ау-, у$.
Тогда получим основное энергетическое тождество для
трехслойной схемы A):
2т{Вуо, уо) + ]±(А(у + у), у + у) + т2((Д -±А)уи у,)] =
= [т(А(У + У)> У + У) + ^((Я-^А)уЬУ-?)] + Ь(<Р,У?У A8)
При его выводе мы использовали лишь предположение (9) о
самосопряженности А и В.
3. Устойчивость по начальным данным. Напомним
определение устойчивости по начальным данным и по правой части.
Схема A) устойчива по начальным данным, если для задачи Aа)
справедлива априорная оценка
|1г(*' + т)|A)<Л/1|У(т)|A,). A9)
Схема A) устойчива по правой части, если для задачи A6)
имеет место оценка
\\Уа + тП{1)<М2 шах 11<р(П11B) B0)
или оценка
!У(* + т)|A,<А/2тах<(||ф@1Ь) + |Фг@1B)). B1)
Пользуясь неравенством треугольника, из A9) и B0) или
B1) получаем оценку E) или F).
Основное изложение проведем, предполагая, что А и Д—•
постоянные самосопряженные положительные операторы, В —
несамосопряженный неотрицательный оператор:
Л=Л*>0, В = В*>0,В>0. B2)
Этп условия определяют исходное семейство схем.
Рассмотрим задачу Aа): Для нее тождество A8) примет вид
2т{Вуо, уо) + «У(* + тI2 = \У A)\\ 1 = птх B3)
где
|У(« + т)|» =
= т(Л(у(г + ^ + уA)),уA + -с)+у(*)) + х2((Н-±А)у1,уг)}
<24>
!Г(*)Г =
= ^(Л(у(г)+у{{-х)),уA)+у({-х)) + х2((Н-^)уг-1У-^
B5)

358 гл- у1- теория устойчивости разностных схвм
Мы будем пользоваться также индексными обозначениями,
полагая у а+т) — Уг»+1 и
[ Уп+112 = ^ (Л (уп+1 + Уп) , Уп+1 + Уп) + Т2 ((Д — -% Л) уг,П1 у^ =
= 4-11 Уп+1 + уп 1л 4-1 Уп+1 — уп 1Й_1 д •
4
Из B4) видно, что 11Уи + т)Н2>0 при любых уA)Ф0,
уA + т) ^ О, если А и В — А/А положительны, А > О, Л > 4/4.
Теорема 1. Пусть А = А*>0, В = В*>0—постоянные
операторы. Тогда условия
В = В @ > 0 Зля всея * <= сот, B6)
Л>1Л B7)
достаточны для устойчивости схемы A) по начальным данным.
При выполнении условий B6) и B7) для задачи Aа) шеегг
деесго оценка
11У(* + т)Н<ЩтI1, B8>
где ПУН определяется согласно B4).
Действительно, при /? >0 из B3) следует
||уи+т)Н2<ну(*)|12, 11У(*+т)и < пуши <... < иуыл.
Замечание 1. Теорема 1 верна, если выполнены условия
^ 4 ' ^
Однако при этом НУИ является полунормой.
Замечание 2. Трехслойную схему Aа) можно свести к
двухслойной схеме
#У,+«5*У = 0, Уо^Я*, B9)
где 7=^6^ У, = (Уп+1 — Уп)/т, ^ и ЗВ — операторы, дейст-
вунигие в #\ Для этого достаточно определить вектор
Уп = Ьг &п + #п-1), Уп — Уп-Л
и операторы ^ и 31 как операторные матрицы с элементами,
являющимися операторами на Н:
ГА 0 V /в + 0,5тА
В + 0,5тА т (л - \ А)
Если Л=Л*, Л «Л*, то оператор з&: Нг-+Нг является
.самосопряженным, ,$# = «5#*, а оператор # несамосопряжен. В этом

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 359
случае
\Уи= ЫУ, Г) - {Луй\ УA)) + ((В -±А) У<« У<*>).
Кроме того, «5#>0, если Л > 0 и В>-^А.
Нетрудно убедиться в том, что условие устойчивости
двухслойной схемы B9) вЯ^
Я>1& C0)
эквивалентно требованиям
Я = В (*) > 0 для всех Iе= <от, B6)
При этом имеет место оценка
I ^11+1 и < 1^ и* B?)
ГДе |Гп+1||^=—||^+1 + ^|й + ||Уп+1 —Уп|д__1А.
Условие B6) не только достаточно, но и необходимо для
выполнения оценки B8).
4. Устойчивость по правой части. Рассмотрим теперь задачу
A6). Будем предполагать, что выполнены условия (9), A0) и B7)»
Так как А и Я — постоянные операторы, то тождество A8) для
A6) имеет вид
2т(^о^о) + ||У(^ + т)||2 = ||У@Г + 2т(ф,уо). C1)
При выводе априорных оценок вида B0) или B1) основную
роль играет оценка функционала 2т (<р, у о). Заметим прежде
всего,, что имеет место очевидное неравенство
2т(ф,уо)<те0[уо|р + -^-||фГ,' -. C2)
где г0 = сопзЬ > 0 не зависит от т и А.
Теорема 2. Пусть А =Л* >0, В = В*>0 — постоянные
операторы. Тогда при условиях В > гЕ, В > Л/4, е = сопз! > 0,
для решения задачи A) верна априорная оценка
|У(« + т)К|У(тI+^г[Дт|фA/)П '• C3)
Достаточно оценить лишь решение задачи A6), так как
теорема 1 при В > гЕ сохраняет силу. Положим в C2) е0 = 2е.
Тогда из C1) следует
|У(< + т)Г<|Г(*)Г + -^-|ф<<)Г. C4)

360 га' у1« теория устойчивости разностных схем
Остается просуммировать это неравенство по переменному 1 =
= т, 2т, ..., пт, учесть при этом, что НУ(т)И =0, и затем
воспользоваться теоремой 1.
Без доказательства приведем следующую теорему.
.Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда
схема A) устойчива по правой части и для нее при 1>% верна
оценка
|У(* + тЖ|У(т)|+М, шах (М01а-1 + 1Ф|<01л-1), <35>
где Мг = сопз1 > 0 зависит только от *0.
Теорема 4. Пусть А=А*>0, Н = В* >0 — постоянные
неотрицательные операторы, а В = ВШ — переменный
несамосопряженный положительно определенный оператор
В>еЕ, !е = сопз1>0, , C6)
где г не зависит от Ъ и т, и выполнено условие
П^±-А. C7)
Тогда для решения задаче A6) справедлива априорная оценка
м*+т)к-^[2*1ф(ор] '. 08)
Рассмотрим тождество C1). Из C6) и C2) при е0|==е следует
те1у?Г + «^(^ + ^I12<11^@Г + ^||Ф(«112. C9)
Суммируя по * = т, 2т, ..., пт, получаем (так как 1!У(т)И = 0)
г *
или
так как 1У(* + тIР>0.
Чтобы из D1) получить оценку C8), докажем следующую
лемму.
Лемма 2. Если у@) = у(т) = 0, то
' Ьт + \у^ + т)Г^Аг^т\уоЩ. D2)
В самой деле,
И' + т) + у@ = 22ту.ю, ИИ* + т) + у@112<^2т|уо№
D3)

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 361
Далее, обозначив м>л = уп — Уп-1, получим
и>п+1 =2ту? — и?П1 1^ = 0,
откуда следует неравенство
|и^'+1|<2т|»о ,1 + 1^»'!» л/ = 112^...1я.
Суммируя его по п' от 1 до л, получаем
или
'М' + т)-у@|<2Дт|у.(О|,
*' * D4)
|у(* + т)-у(*)»2<4*2т||^(ОР.
Воспользуемся очевидным тождеством
№ + т) + у(*)!12 + 1у(* + т) - уШг = 2(Ву(ОИ» + \\уA + т)Н2). D5)
Из неравенств D3), D4) и тождества D5) следует D2). Подстав-
лйя в D1) оценку D2), получаем C8).
Теорема 5. Если выполнены условия Л = 4* >0, Л = Д*>
>0, В = В* > 0, операторы А и Я — постоянные и В >-%-АЛ то
для схемы A) верна оценка
п
|г»+1Г<|Г1Г + х2'Нч*&-1- <46>
Самосопряженность оператора В используется при оценке
входящего в тождество C1) члена
2т(ф,у.)<2т|уорФ||в_1<те|уо|Ц--1-11ф1*_1. D7)
Полагая е = 2 и подставляя эту оценку в C1), получим нера*
венство
откуда и следует искомая оценка. Заметим, что оператор В
может зависеть от I: В = ВШ. В этом случае надо писать 1 Фа|в—к
где ДГ1-*-^*). *
5. Схемы с переменными операторами. Если А и В зависят
от *, то вводится дополнительное требование липшиц-непрерыв-
ности А и В по и
\((АA)-Аа-т))х, х)\ЫгсМ(*-*)*, *), D9)

362 . гл- V1- теория устойчивости разностных схем
при всех же Я и * = 2т, ..., (л0 —1)т, где с3 — сопз1 >0. не
зависит от А и т, и аналогичное условие для Н. В этом случае
составная норма !1Ги + т)Н = ИГ(*+ т)И«) зависит от *:
\?(* + х)®1) = ±-{А.A){уA + х)+уA)),у{1+х)+у(г)) +
+ х*({ЯA)-±АA))угЮ,у,Ц))х E0)
||Г (*)&-<) = -ъ(А{Ь-х){у{1) + уA-т)), уA) + у({-х)) +
+ хЩЯЦ-х)--^АA-х))у-гЮ,щA)). E1)
Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках л правой
части тождества A8). Замечая, что
(^ (у + У). У + У) = B (у + у), у + у) + т (Л. (у + у), у + "у),
2 = 4(*-т), Л5 = и-Л)/т,
в вводя обозначения
/=/(< +т) + Ц Г (г + т)^, / = /@+|| Г (<)&_,). E2)
перепишем тождество A8) в следующем виде:
2т(Ву0.Ро) + /=/ + 2т(ф,у.)+тЛ E3)
р - -|- (^(у + »>•у+*)+%г {{л ~ тА)? уг» ";)• <к)
Если Л — Л/4 я ^ удовлетворяют условию D9), то
I р к -г- & <* + у>. у + у)+*Ч (О* - т *) V у«) =У'
и из тождества E3) при Л ^ Л/4 следует неравенство
2т (Яу о, у.) + 7 < A + хс8) /,+ 2т Гф,Уо). E5)
В общем случае, коща условию D9) удовлетворяет каждый из
операторов Л@ и А (*) в отдельности, имеем
I * I <4-<:г с+»>•»+^)+л^г,, У()+4- (^г ут)]< сз (*+4) /
E6)
_ 1 + е ,
приЯ^—^—л, где е = .сопз1>0 не зависят от А и т, так как

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 363
Тождество E3) дает
2т(Ду.,у.) + /(* + т)<^+ —— т]/@ + 2тГф,у?). E7)
После того, как нашгсаио энергетическое нерадаенство E7), вывод
априорных оценок проходит так же, как и для постоянных Л и Л. Так,
например, при В^Ь из E7) для задачи Aа) следует оценка
IIУ (« + т) \г) <МХ\У (т) \ху если П > -Ц^-Л, E8)
где М\ зависит только от е, с3 и /0.
Формулируем основные результаты в виде одной теоремы.
Теорема 6. Пусть А = Л(*)«Л*(«) >0, /? = /?(*)=*
= Л* @ > 0 — переменные операторы, липшиц-непрерывные по
*, и
К@> 1"|е -4(I) для всех 0<I = пт <*0, E9)
где е~соп81>0 ке зависит от х и к. Тогда для схемы A)
имеют место оценки
[У (I + *) 1@ < Мг | У (т) ||(т) + М%шив[ || Ф @1 А-1«о+! чЩа-Чп]
F0)
/г/?гг 2?@ > 0, 0 < I = пх < *0,
Ш* + т)Н(<) <-АГ1ИУ(тI1(х) + Мг шах ПФ(С,)П F1)
при ВШ^Е, где 7 = сопз1>0,. Л/,>0, М2>0 не зависят от
т, А.
Во избежание ненужных повторений доказательство теоремы
опускаем.
Замечание. Некоторые требования теоремы 6 могут быть
ослаблены. Например, условие В ^ О можно заменить условием
В ^ —с4т2Л, F2)
где с а = сопвЪ > 0 не зависит .от т и Н. Если выполнено F2), то оценка
F0) имеет место при т < т0, т0 = 1/Dс4).
6. Схема с весами. Весьма часто встречаются на практике
схемы с весами
у о + Ау(°^) = Ф (*), т < * = пх < *0, у @) = 1/0, у (т) = уь F3)
где у@1*°2) = о^ + A — ог — а2) г/ + а21/; а,, а2 -— вещественные
числа, от выбора которых зависит устойчивость и точность
схемы. В § 1 схема F3) была приведена к каноническому виду A)
и были найдены операторы
В = Е + х(а1^о2уА1 Я= ^"^ А. F4)

364 гл- у1- теория устойчивости разностных схем
Пусть существует оператор А'1. Действуя на A) с
операторами F4) оператором Л*, получим
Вуо+т2Пуи + Ау = ^1х<:1^пх<г01у{0)=-у0, у(х) = у1г F5)
где 5 = Л~1 + ((т1 — а2)хЕ% Д = ^^^ Е, А=Е% у = А~\.
Отсюда видно, что 1и Л-самосопряженные постоянные
операторы.
Применим к F5) теорему 1. Справедливы операторные
неравенства
Л—^-З^*1**2 -4-)^>0приа1 + ет2>0Д F6)
В=*А-1 + {о1-о2)тЕ>0 при о1>Ог и любом Л(*)>0. F7)
Теорема 7. Если АШ —• переменный положительный
оператор и выполнены условия
о1>в2, 0! + о2> 0,5, F8)
то схема F3) устойчива, и для нее верна оценка
|Г(* + т)К1Г(т)|+ У2(а1 + а2) 2 т|ф@|, F9)
где
Iг(*+т)р = 4-^('+т>+ »<*)!' +х(а» + а»--г) х
х1у(г + т)-у(<Iа. G0)
Доказательство. 1) Устойчивость по начальным данным.
Так как условия #>ЛУ4, В>0 теоремы 1 выполнены, то для
решения задачи F5) при <р = 0 имеем
11У(*+тI1<Щ*')Н, *'<*,
и, в частности,
1У(* + т)Н<0У(т)в, G1)
где* 11Г(* + т)П определяется по формуле G0), являющейся
частным случаем формулы B4) при А = Е, Я = 0,5(о! + о2)Е.
2) Устойчивость по правой части. Рассмотрим задачу F3)
при у@) = у(х) = 0. Будем искать ее решение в виде
п
Утн-1 = 2т#п+1,в, ^0 = °» G2)
хде ^п+1,* как функция п при фиксцрованном 5=1, 2, ..., п
удовлетворяет уравнению F3) с ф = 0 при п>8+ I и начальным
данным
#.+1,«+ 2а1тЛ^.+1,, = 2ф„ #,,. = 0. G3)
Подставляя G2) в F3) и учитывая G3У, убеждаемся в том,
что G2) есть решение задачи F3). Для #п, «, в силу устойчивости

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 365
по начальным данным G1), имеем
ЧСп+1>в!! < 1К7.+1,«И при фиксированном 5 = 1, 2, ..., G4)
где НСл+1, «И выражается через #п, а и #п+1,в по формуле G0). Из
G3) нахЬдим #в+1 в = 2(Я + 2о1тЛ)-1фв, и так как Е + 2о1хА>Е
приа^О, то И(Е + 2олА)-Ч<1 и И*.+1,.И < 2Пфв1.
По условию #8> в = 0. Поэтому
т. е.
НС»+1. .0 < НС.+,, .В < У2(о4 + а2I!фвП. . G5)
Подставляя G5) в правую часть неравенства
1Гп+1|1<2т|сп+м||,
получаем для .решения задачи F3) с 1/@) = у{%) = 0 оценку
Пг(* + т)К /2E7+35 2 т|Ф(ОЬ G6)
Отсюда и из G1) следует F9).
Теорема 8. Если АШ = А*Ш >0 — положительный
оператор и выполнены условия F8), то для решения задачи F3)
выполняется неравенство
«У(^+т)||<!1Г(тI + ^[Дт||ф@|!1-1(/,)] ', G7)
где НУ(*+т)И дается формулой G0).
Для доказательства теоремы надо подставить оценки
2т(ф, у о )= 2тD-у Уо) <2т|у с |А^!| Ф||л-1 <
в гонхдество A8) для схемы F5).
Применяя теорему 3 к схеме F5) с постоянным
положительным оператором А, нетрудно получить при условиях F8) оценку
йУ(г + т)!|<||Г(т)| + Л/2 юах((|Л-Ч@1^М-Ч@11). G8)
Отметим еще, что оценка F0) имеет место для схемы F3), если
1 1
.4Ш = А*Ш > 0, АШ липшдц^непрерывен по I я с^^сХа ^

366 гл« у1- теория устойчивости разностных схем
а оценка вида F1) справедлива при сгх^а2 ,,^. д
0<е<1.
7. Примеры. Рассмотрим несколько схем частного вида.
1) Схема A) с оператором Н = кЕ ъВ = Е
Уо+>п2у-и + Ау = <Р G9)
устойчива при кЕ > Л/4, т. е. при
х>4-МИ. (80)
Частным случаем схвамы G9) является схема Дюфорта и
Франкела (схема «ромб») для уравнения теплопроводности .
~^Г = 17~' 0<*<1, *>°> и{х\0) = и,(х)%
^@, *) —»A, *) = 0.
Она получается из явной неустойчивой схемы
Уо+Ау = 0, Ау = —у-х= ^
у(х + к,*) — 2у (х, I) + у (х — к, г)
л2
в результате замены у (х, I) == у\ полусуммой 025 (у*+1 + у\ х) =
= 0,5 (Рг + &)> что дает
У^г-Уг Ущ"(Уг+ Уг) + У|-1 /$т
^ = )? * ' (М>
Приведем (81) к каноническому виду. Так каку + ^ = 2у +
т2
+ ТУ«» то правая часть в (81) равна у-х ттУи* следовательно,
У^+^Уи+Ау^О, Ау=-у-х, ||Л-| = ^со^^<^.
Сравнивая это уравнение с G9), видим,' что х = 1/А2> ИЛ Я/4,
т. е. схема Дюфорта и Франкела устойчива при любых т и /г.
Нетрудно сразу написать аналог этой схемы для случая, когда
Ь — любой эллиптический, оператор. При этом надо лишь
выбрать х из условия (80).
2) Несимметричная трехслойная «хема
3 1 . а^ Ъу — 4у + у , л*
-2Уг — -2-У1 + Ау = Ч или —у-—2т + Ау д ф
применяется для решения уравнения теплопроводности.
Пользуясь формулами

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 367
приведем ее к каноническому виду
(Е + хА)уо+т*(^+±А}уи+Ау = <р,
т. е. 2? = 2? + тЛ, Я — 2?/т + 0,5Л. Отсюда видно, что условия
Л^-Ц^-Л, 0<е<1, В^Е
выполняются при любом А>0. Если Л=Л*>0, то схема
устойчива в норме
|Г(* + *)Га> = 4-(М' + т>&+М'>&) + т1иЬ-
8. Трехслойные схемы с несамосопряженными операторами.
Трехслойная явная схема с самосопряженным оператором А:
уо+Ау = 0, А = А*>0%
является абсолютно неустойчивой; необходимое условие
устойчивости Л^-уЛ в атом случае не выполнено, так как Л = 0.
Эта схема неустойчива ни в какой норме II-Ял. Она является
обобщением известной схемы Ричардсона для уравнения тепло -
проводности
Очевидно, что и неявная схем&Ву.о + Ау = Ос любым оператором
В = В*>0 является также -абсолютно неустойчивой.
Рассмотрим теперь схему с косооимматрическим оператором Л:
уо+Ау = 0, Л=~Л*. (82)
Покажем, чго эта схема устойчива при тНЛП < 1 и для нее
справедливо энергетическое тождество
где <Гя+1 - Нуп+1Уа + 2т(уп+„ Ауп) + \\у^\2 > 0.
Запишем разностное уравнение в виде
у + тАу=*у-гАу
и вычислим квадраты норм левой и правой частей:
\\у\\2 + 2т(у, А у) + х>1Ау\\2 - Ц\\2 - 2х(Ау, у) + т2Ыу\\\
Прибавим к обеим частям \\у\\г и учтем, что А — кососимметриче -
ский оператор, т. е. (Ау, у) ~—(у>~ Ау). В результате получим
Покажем, что #\ц.4 > 0. В самом деле,
**» > "Уп+|И2 - 2т\\уп+№АупЪ + \\упР > Цп\\* - хЧАуп\\* > 0.

368 гл< VI. теория устойчивости разностных схем
если т!Ш<1. Здесь И — действительное пространство. В случае
кемплексного пространства Н
#п+1 - Иуп-мИ* + 2т Ве (Уп+и Ауп) + \\уп\\\
Все рассуждения и результаты сохраняют силу.
Пример. Рассмотрим уравнение Щредингера
о
1_5Г=1?—ди* 3 = СОП8*>°« 0<ж<1,
и (О,*) = ц (!,*) = 0, ц(х,0) = ио(а;).
На отрезке 0 =* х < 1 вводим, как обычно, сетку
<ол = {*« = *й, I —0, 1, ...,ЛГ;&У-1>.
О
Пусть Н ==0* — пространство комплексных функций,
заданных на сетке <оА и обращающихся в нуль при х = 0 и х — 1.
Обозначим
где г;* — комплексно сопряженная к р* функция. Перепишем
исходное уравнение в виде
после чего в пространстве Н введем оператор
АУ = '»«"~" *?"•
Оператор Л является кососимметрическим: (Ау, »)■■— (у, Лу),
так как
Л-1 _ N-1
Dудр)= 2 ('Уь*)***+ 2 (~%)*^й =
= — 2 УЪ^жкI1— 2 Ук(—1ф>)кЪ=—(У%М.
Оценим норму оператора А:
Явная схема (82) для уравнения Шредингера имеет вид
Она устойчива при т\\А§ < 1, т. е. при
(-^- + д)т<1,илит<т^-.

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 369
В качестве второго примера можно рассмотреть схему
У%+У°х ==0
ди . ди л
для уравнения переноса —г—г "-^~ = Ч* которая устойчива при
т/А^1.
Отметим, что явная трехслойная схема
уь+Ау = 0
с кососимметрическим оператором Л = — А* является абсолютно
неустойчивой, а схема с самосопряженным оператором Л=4*>
> 0, как известно, условно устойчива при
(для Ау = — у-х получаем т < к).'
9. Другие априорные оценки. Наряду со схемой A) часто
встречаются трехслойные схемы, записанные в виде-
(Е + т*Д)уи + Вуо+Ау=ъ у@) = у0, у(х) = уг. (83)
Эта схема формально получается из A) зшеной Й на /? = Д +
+ Е/тг. Имея в виду эту замену, нетрудно заключить, что схе<ма
(83) устойчива при й > Л/4, и написать соответствующие оценки.
Составные нормы ИП1 естественно появляются при написании
уравнения энергетического баланса. Они весьма сложны по
структуре. Желательно иметь априорные оценки для решения
задач A) и (83) в обычных енергетических нормах НА и Нп.
Перейдем к выводу таких оценок.
Любую трехслойную схему будем записывать в форме
Оуи+Вуо+Ау = (р @, 0<*е=сот, у@) = уог у,@) = #0,
(84)
где I) = /)(*), А=АШ и В = ВШ — линейные операторы. В
частности, В = х2й для схемы A), В = 2?+ х2й для схемы (83).
Наряду с (84) будем рассматривать задачи
ОЦЪ + Ву%+Ау = 0% У@) = у0, и(Р) = Ин (84а)
Вуп + Вуо+Ау=г-<рA), у@) = у<@) = 0. (846)
Будем предполагать, что
л(*)=4*ш>о, ди)=#*и)>о, вш>о, (85)
АО) и Б{1) липшпц-непрерывны по I с постоянной сз. (86)
Из теоремы 6 следует, что схема (84) при услдвиях (85), (86)
24 а. А. Самарский

370 га' V1- теория устойчивости разностных схем
и условии
#>-^-тМ (87)
(где е >0 — любое число, не зависящее от т и к) устойчива по
начальным данным и для решения задачи (84а) имеет место
оценка
11УЯ+Л»>^ЛМГЛ1>, (88)
где АГ| = Л/Дсз, е, *0) > 0 не зависит от т, А, д и
ЪУп+г^^^Ьп + Уп+х&ы + ((/>(*«)- -7- М*п))у^Уи^ш
(89)
№1$1)=^1У0 + У1&(Х) + ([ОЮ-4-А^ (90)
Постоянная Д/4 — 1, если операторы А и И не зависят от *.
Для перехода от (88) к оценкам в ЯА и Я0 нам понадобятся
двусторонние оценки функционала ИУп+1. *
Лемма 3. Пусть выполнены условия (85) и (87). Тогда
I Уп+г 1п) < 1 уп Щ(<л) +1У г (*«) Ьнм г (91)
1Гп+Л(п)> |/"-Тфг|у||+1|А(|||), (92)
ЪУп+гкп^^У-^^Уп^ (93)
Доказательство. Обозначим
Докажем неравенство (91).
+ {Щи Уг) = {Ау,Ъ + \ Угй>.
Подставим сюда у =» у + ту<:
2
Используем условие (87): )у*|а^ —ч> |уП1д>1 так что
т|/1 + 8
/<1уШ+ уА2+.^ ЬМуЛв+ШЪ<(Ыл + 1у№'
Отсюда следует первое неравенство леммы.

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 371
Заметим далее, что / = (Ау, у) +1| Уг Цх>. Подставим сюда
У = у — туг.
* = (АУ, У) — * (А!)> Уг) + IIУх Бь
Пользуясь обобщенным неравенством Коши — Буняковского
(Ау, уг) < Иу!!л11у|1!л и учитывая (87), получаем
*>\Ж—*\Шп\а + \у&>\у&- у12+8 |Иа|у«|в+МЬ.
Применим неравенство аЪ <ба2 + 67D6). Тогда
/>A-6)|уЬ+A- бA+е) I1^ИЬ> 04)
Полагая второй коэффициент равным нулю, найдем б = 1/A + е)
и ^^ 14-8 Ц У 11а- Вторая оценка леммы доказана.
Чтобы получить третью оценку, потребуем равенства
коэффициентов при \уи и \\Угй> в (94); это дает
е== 1 ^ 6=г УГ+в — 1 = е
Так как VI + е < 1 + е при любом е > 0, то 1 — б > о A4-е) и
'>-щт^(Ш+ыъ)> 4Aе+е) №а+\ЫвУ.
Лемма полностью доказана.
Подставляя (91)—(93) в (88), получаем, оценки для задачи (84а)
|1У»+1|Ц(М < Л/! У±}г-{\Уо1аю + [У1{0)Ы, (95)
IУп+1 |Ц(*П) + IIVI (*») ||0(<„) < 2Мг "|/-Ц^-( |Уо |л(х> +|К (Ш|ххт)),.(96)
Для доказательства устойчивости схемы (84) по правой части
воспользуемся принципом суперпозиции и будем искать решение задачи (846) в
виде суммы
п
Уп = 2^п,5' » = 1.2, .... У0 = 0, 5=1,2,..., (97)
где #и,в, как функция п при любом фиксированном 5 удовлетворяет
уравнению (84а) и начальным условиям
@,5тВ (* ,) + 0 ((,)). '«-М"*'.» = ф4, ^ = о.
Поскольку В > 0 и Я —конечномерное (пространство, то Ь > 6Е и
оператор I) существует (б > 0). Так как В ^ 0, а # = И* ^ 65, то для
решения уравнения @,5т# + В) ш = ф будем иметь оценку || и> ||д < Ц ф |) х,
так что |(^)мЬ(«в)<1ф*11>-1A1)-
24*

372 гл- у1- теория устойчивости разностных схвм
В силу (95) получаем
Пользуясь затем (97) и неравенством треугольника, получим для решения
аадачи (846) оценку
Суммируем все результаты в виде следующей теоремы.
Теорема 9. Пусть выполнены условия (85)—(87). Тогда
схема (84) устойчива по начальным данным и по правой части,
а для решения задачи (84) имеет место априорная оценка
|Уп+1|А(*п)<
<Мг /^^(|*<0)Ц^ (99)
Следствие. Пусть П = Е + т2Н>Е, П~г<Е. Тогда
ЦфгИя-х^Цфа!» для (846) верна оценка
\У»ы\ацп)<Мг^Ц^-% т|Ф,|. A00)
Более топкие оценки, аналогичные оценкам для уравнения
колебаний струны (гл. V), можно получить для более узкого
класса схем
Вуи + Ау=*1р, 0<* = тгт<*0, г/@) = г/0, уА0)=у9. A01)
Предположим, что
А и /) —постоянные операторы, аю\
А и Б — самосопряженные положительные операторы.
Тогда при условии (87) для A01) верна оценка (99) с Д^ — 1
Полагая х*=В/2у, С «= О'1'А#~1/а, преобразуем A01) к виду
хь + Сх = ъ х@) = хО1 *,@) = *в. A03)
Применяя к A03) оператор С**1, получим схему
Сгхь + х^С~% х@)^х0г хг@) = х.. A04)
Сравнивая ее со схемой (84), устанавливаем соответствие
С-'~Д Е ~ А, С-!ф-ф.
Условие (87) принимает вид
С^Л+^^Е или Е^±±2-т*С.

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 373
Воспользуемся теперь оценкой (99). Так как С — постоянный
оператор, то Мх « 1:
|^»1<уГ:^(|«@)|+|^@)|с-1+2т|(Г1ф1г\ A05)
Учитывая, что х = В'ку, ф = .0~'лф,
| х, @) !*_! = {С~гх\ @), х, @)) = (О^А-^^'у, @), Л*''Л @)) =
Не-1* = (с-1?, Ф>и>,/^-1д'/'Д-'/'ф)/г,/'ФЬ (**», ф)=1фГл-1,
запишем A05> в исходных переменных:
№п+1|0</^-(в^0)!Ь + И^'<0)8а-1 + 2т1Ф'»д-Д A06>
Тем самым доказана
Теорема 10. Если выполнены условия (87) и A02), «то Зля
еяелы A01) имеет место априорная оценка A06).. В частности,
для схемы' A01) с Б = Е и г/о = */о = 0 имеем
1у»+1|</^2тЫ1л-1-
5=1
(Ср. с оценками гл. V, § 6, п. 2.)
Рассмотрим в качестве примера схему с весами .
уи+А(о^ + A-2о)у + (Гу) = (р, А* = А^ЬЕ, 8>0-
Подставляя сюда огу + A — 2а) у + ау = у + атч/-г получим
(Е + ат2А) уь + Ау = <р, (Ю7)
т. е. Ю = Е + ох2А. Условие устойчивости О^ -~- т2А или Е^
14-е 1
> (A 4- е)/4 — о)т2Л выполнено при а^ —~ 2 • Для яв~
ной схемы (а = 0) отсюда следует
2
т<
УA + в)МЛ
Явная схема (у-и = 1/-х) для уравнения колебаний струны,
согласно этому условию, устойчива при т/й< 1/УA + е)
(ср. гл. V, § 6).
10. О регуляризации разностных схем. Теорию устойчивости
разностных схем, изложенную в этой главе, можно использовать
для формулировки общего принщша (принципа регуляризации)

374
ГЛ. VI. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
получения схем заданного качества, т. е. устойчивых,
обладающих аппроксимацией и удовлетворяющих дополнительному
требованию экономичности (минимума арифметических действий,
достаточных для - решения на ЭВМ получающихся разностных
уравнений).
Требование экономичности применительно к нестационарным
задачам математической физики обычно означает, что число
арифметических действий, затрачиваемых для решения
разностных уравнений при переходе со слоя на слой, пропорционально
числу узлов сетки о)Л (подробнее об экономичных схемах см.
гл. IX).
При записи двухслойных и трехслойных схем в канонической
форме
(Е + чЯ)у1+Ау = ъ уф) = 1/0, В = Е + тВ, A08)
Вуо+г2Вуъ'+Ау = <р, иФ) = Уо, У(*) = У» (Ю9>
было обнаружено, что ответственным за устойчивость является
оператор В (регуляризатор). Достаточные условия устойчивости
имеют простой вид:
1 1
В ^ а0А, о0 = -х |г-т7| Для двVxслойныx схем4
1 1+ <110>
В > -^- А или В ^ —~- А для трехслойных схем.
Устойчивость или неустойчивость схемы (из исходного
семейства) зависит только от выбора оператора В. С точки зрения
теории устойчивости произвол в выборе оператора В ограничен
лишь дбумя требованиями:
1) схема должна принадлежать исходному семейству, т. е.
В=Е + хВ>0 для A08), В = В*>0 для A09);
2) должны быть выполнены условия A10).
Для получения устойчивой схемы заданного качества
необходимо добиться, чтобы она имела аппроксимацию заданного
порядка и была экономичной, т. е. для решения уравнений
(Е + тВ)у=Р (для A08)) или (В + 2хВ)у = Р (для A09))
требовалось бы минимальное, в некотором смысле, число действий.
Заметим прежде всего, что если схема A08) или A09) с
некоторым оператором В устойчива, то и схема с оператором Я^В
также устойчива. Обычно при построении разностных схем
поступают так: пишется сначала схема, обладающая
аппроксимацией нужного порядка и экономичная, после чего исследуется
ее устойчивость.
Основная идея регуляризации разностных схем заключается
в следующем: схемы заданного качества надо искать в классе.

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ СХЕМ 375
устойчивых схем, отправляясь от некоторой исходной схемы и
заменяя ее, путем изменения оператора Я, другой схемой
нужного качества, принадлежащей классу устойчивых схем.
Многие приемы построения схем частного вида можно
трактовать как простейшие приемы регуляризации. Запись схем в
канонической форме удобна не только для проверки
устойчивости, но и для оценки порядка аппроксимации. При Я в A08)
стоит множитель т, а в A09)—множитель т2. Поэтому, если при
изменении Я в случае двухслойной схемы остается выполненным
условие Ши«11 = 0A) (и— решение исходного
дифференциального уравнения), то погрешность аппроксимации при изменении Я
меняется на величину О(т). В случае трехслойных схем условие
I ^ии || ^ ^ (*) гарантирует, что при регуляризации будут
получаться схемы, погрешность аппроксимации которых отличается
на величину 0(т2). Поэтому трехслойными схемами удобно ползь-
зоваться для получения устойчивых схем второго йорядка
аппроксимации по т.
Основным является вопрос о выборе регуляризатора Я. Так
как условия устойчивости имеют вид операторных неравенств,
то в качестве Я естественно выбирать операторы возможно более
простой структуры, энергетически эквивалентные оператору А\
Пусть, например, А и А0 — энергетически эквивалентные
операторы с постоянными "^ и ч2, так что
ЪАо<А<чжАо, ^>0, у2>0. A11)
Полагая затем Я = о40, получим устойчивые схемы: при о^ОоТг
(или о ^* 0,5^2) в случав A08), при о > ^2/4 — в случае A09).
Простейшим видом Я является оператор Я~оЕ (А0 = Е).
Условия устойчивости выполнены, если о^а0Ы\\ для .A08>,
а>-^!|Л|| для A09).
Пример 1. Рассмотренная в § 3, тт. 7 явная трехслойная
схема Дюфорта п Франкела для уравнения теплопроводности
принадлежит семейству схем
Уо+<п*у-и + Ау = 0, ог>4-И!, Л = Л*>0. A12)
В самом деле, Ау = — Ау, Ау = у- , [| А || = -^ соз2 Дг < тт,
к * к '
1 1
а==8Т§"» т- е- условие а > -^-1| А |} выполнено. Эта схема обладает
условной аппроксимацией 0{к2) при т = 0(й2).
Нетрудно написать явную устойчивую схему для уравнения
х теплопроводности с переменными коэффициентами
д^^^.{к{х,1)^у 0<с1<*(х,*)<А; *>0, 0<*<1,
(ИЗ)
и@, 0 = иA, 0 = 0, и(х,0) = щ{х).

376 гл* у1- теория устойчивости разностных схем
В этом случае в A12) надо положить с = с2/к21 Ау = — Ау1 Ау =*
Для многомерного уравнения теплопроводности
■"Я"* а?1^аГа(^°^)' х = (хь---*хр)е0* (Ц4)
м1г = 0г и (я, 0) = и0 (ж),
С — параллелепипед @<ха</а, а = 1, 2, ..., р), 0<С1<ка<с*
следует положить
а=1 ла а=1 \ /
где Ла — шаг сетки ©Л = (ж = («1, ..., хр) е 5} по яа.
Пусть А о = ЛI + А 2, где Л! и Ла = Л * — сопряженные или
«треугольные» (с треугольной матрицей) операторы, так что
(А0у, у) = 2(А1у, у) = 2С42у, у). Полагая Д = а4! или Я = а42,
получим схему A08), устойчивую при о>2^2о0 (^ — постоянная
в неравенстве A11)).
Пример .2. Асимметричная схема для уравнения теплопро-
ди д2и
водности -^- = —5" принадлежит семейству «треугольных» схем.
Она имеет вид
У< + Х^==Л^ АУ = Ухх- A15)
Здесь Ау = — Аух Ву = ^ у-, А0 == А% 71=72 = 1. Схема A15)
,2
устойчива при а ^ 1 — _ и условно аппроксимирует уравнение
2т
теплопроводности с О(Н) при т = 0(А2).
Для уравнения (ИЗ) следует положитьу2 = с2% Ау = — (ауг)х
Лу = -^- у- и взять а ^ с2 [ 1 — ^7) • В случае задачи A14) имеем
р р
а=1 а а=1 а
Важно отметить, что при построении схемы Дюфорта и Фран-
кела в качестве исходной бралась явная неустойчивая схема
у о = Ау% которая имеет аппроксимацию 0(т2 + А2), и проводилось

§ 3. КЛАССЫ УСТОЙЧИВЫХ ТР13ХСЛ0ЙНЫХ СХЕМ 377
(см. п. 7) преобразование, которое соответствует введению регу-
ляризатора простейшего типа 1В = —^Е, а = —§■ в A12)).
В дальнейшем, после введения в практику формул прогонки,
стали широко рассматривать двухслойные неявные схемы (схемы
с весами), для которых Л = оЛ. Очевидно, что эти схемы
являются частным случаем схем с В = о40.
Укажем еще один способ выбора Л. Пусть А0 = Ах + А&
А2 = Аг > 0. Выберем В так, чтобы двухслойная схема имела
факторизованный оператор
В^(Ё + схА1)(Е + ахА%)»Е + х(аА9 + ^хА1Аг\
тдк что
Л^оЛо+оЧЛ^а.
Так как (Л4Л2й, у)~(Агу, А2у) = Ыгу\\г > 0, то эта схема
устойчива, если о > ч&о-
Схемы с факторизованным оператором
В = {Е + (оВг)(Е + ©Д2), В2 = В1
применяются в качестве итерационных схем для решения
уравнений Ау = ф (см. гл. X).

Глава VII
ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ
УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В этой главе изучаются однородные разностные схемы для уравнения
теплопроводности и уравнения «второго порядка гиперболического типа с
переменными коэффициентами: на неравномерных сетках, с краевыми
условиями третьего рода и др. При изучении устойчивости используются
результаты общей теории устойчивости, изложенной в гл. VI, а при
построении однородных схем —методы гл. III. Основное внимание уделяется
одномерным (т. е. с одной пространственной переменной) задачам.
§ 1. Однородные разностные схемы для уравнения
теплопроводности с переменными коэффициентами
1. Исходная задача. Рассмотрим первую краевую задачу для
уравнения теплопроводности: ищется непрерывное в
прямоугольнике 1>г = @^д;<1, 0<2 < Г) решение уравнения
*=. = Ли +/<*,*), Ьи:=^(к(х,1)д-%), (!)
удовлетворяющее начальному условию
и(а\ 0) = и0Ы, 0 < х ^ 1, .B)
и краевым условиям
и@, 1) = иМ), иA, I) = иМ, 0<*^Г. C)
Коэффициент Их, I) ограничен снизу и сверху:
0<с^к(х, *Хс2, (я, *)€=#Г, .D)
где с[, с2 — постоянные.
Предполагается, что задача A)—C) имеет единственное
решение, обладающее нужными по ходу изложения производными.
2. Однородные разностные схемы с весами. От разностной,
схемы для нестационарного процесса естественно требовать,
чтобы она была пригодна и для расчета стационарного процесса,
т. е. при --5Г ^ О МЫ Должны получать схему для уравнения
1»ц + / = 0, принадлежащую семейству однородных
консервативных схем из гл. III.
Однородную консервативную разностную схему для
уравнения теплопроводности можно получить при помощи интегро-

§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 379
интерполяционного метода. Для упрощения изложения
предположим, что коэффициент теплопроводности к = к(х) не зависит
от I, Случай к = к(х, I) рассмотрим отдельно в- п. 8; переход к
нему принципиальных трудностей не вызывает.
Построим в #7 сетку. Пусть:
ш* = (я, = гк, .1 = 0, 1, ..., ЛГ, к = 1/Ю
— равномерная сетка с шагом к на отрезке 0 < х ^ 1;
о)т = О, = /т, / =>0, 1, ..'., ЛГ0, т = ТШь)
— сетка с шагом т на отрезке 0 < I < Т\
СОлт = <*>/> Х(|)т = {(Хг, *,-), Хг^Ыь, ^0)т}
— сетка в Вт;
©/„«с)лХ(йт = {и-, О, х{ = гк, 0<1<#, ^ = /т, 0</^#0}.
Рассмотрим уравнение
и напишем для него уравнение баланса в прямоугольнике
*1+0,Б 0+1
| [и (х, *ж) — к (#, ^)] Аг = ) [и; (х1+х/г, I) — и; (Хг-V» 01 *.+
хг-0,б О
+ '^ й1 | /СМИ*, ">(*, 0 = *^. E)
Аппроксимируем входящие в уравнение баланса интегралы и
производные:
**+0,5
3 и (х, г) их ~ ки (х^ *), Щ-ч% ~ а%их V
*г-0.5 .
0+1
7 5 "> (л^-у,, 0 Л ~ аи^1/, + A — <*) и>\-* /„
0+1 х*+0,5
О хг-0,5
где ~ — знак аппроксимации, а —числовой параметр, а{
выражается через значения к(х) при я^^я^д:* (см. гл. III, § 2)
с помощью введенных в гл. III шаблонных функционалов

380 Гл- уп- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
АШ$)), —1 ^ « ^ 0, так что
а(х>) = а{ = А[Шг + $/*)], или — = А Г——_1.
Здесь А[%($)] -—линейный неубывающий функционал,
удовлетворяющий условиям А[И = 1, А[$] « — 0,5, !
Отсюда следует, что оператор Аи = (яи^)ж аппроксимирует
Ь и = ^- (к -^ } со вторым порядком:
Ли - 1>и = 0(&2), если Ш)еСC).
При этом 0 < сг < а(х) ^ с2.
После подстановки полученных выражений в E) и замены и
на у получаем разностную схему для сеточной функции у(х<, **):
"-Цр = ЛЫ+1 + A -о)У0 + ф!, F)
1 = 1,2,....ЛГ-1» />04
где Ау ==(ш/;)я.*
Для вычисления ф? и сц можно использовать простейшие фор- /
мулы
а* = *<-,/„ «г = 0,5 (А:^ + Ъ)% Ф{ = /|+1/', <р1 = 0,5 (/{+ /|+1).
Присоединяя к уравнению F) дополнительные условия
У? = щ(ъ), у[ = \1г{Ь), улт = М*;)> получаем следующую
разностную краевую задачу:
1/«=Л(оу + {1-о)у) + ф, яе=<ол, г=г/т>0,
1/(я, 0) = и0(^)« х е (ол,
1/@, *) - \цШ, уA, *) - |л2(*), * е= ю,, G)
Л^ = (а^)«» 0<с1<а<с2,
где, как обычно, обозначено
У = У\ = У («I. *;), У = #1+1 = У (*«, ^+1).
Приведем эту схему к счетному виду, т. е. к виду, удобному
для вычислений. Для явной схемы, т. е. при о==0, сразу
получаем формулу
»!+1 = у1 + т(лИ + Ф0==
- (* - Х-Щр&) у\ + ± Ы-х + «н*Ы + тФ|,
по которой находится решение на новом слое.

§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 381
В случае неявной схемы при о^О для определения у —у'*1
получаем уравнение
охАу — у = —Р, Р =» у + тA - о)Ау + тер.
Запишем это уравнение в развернутом виде:
А&1-1 - С (у г + Л-ы^+1 = ~ ри * = 1, 2,,.. м # — 1, (8)
Л| = ОТаг!к2, С г = ^г + -^г+1 + 1»
^ = A -■у A - й) («I + *«+!))?« + -р (* -°) (^1-1 +
+ Лг+1Уг+1) + *ЧЧ*
При г= 0 и ^ — N для у» имеем краевые условия
Полученная краевая задача для разностного уравнения второго
порядка G) может быть решена методом прогонки. Условия
устойчивости прогонки А€Ф0, \С{\ > \А{\ + \АШ\ выполнены
при о > 0.
Для вычисления правой части Р\ = Р\ уравнения (8) * можно
пользоваться рекуррентной формулой
При этом объем вычислений уменьшается.
Приведем две часто встречающиеся неявные схемы:
а) симметричная схема (а = 0,5)
•^
у г = 0,5Л(у + у) + ф;
б) схема с опережением, или чисто неявная схема (а = 1)
3. Устойчивость и сходимость. Для изучения устойчивости
схемы с весами G) воспользуемся общей теорией устойчивости
двухслойных схем. Рассмотрим схему с однородными краевыми
условиями
•^
уг = А{оу + A — о)у) + ф, х е= о>Л, I >0, у{х, 0) = и0'Ы,
(9)
у = 0 при х = 0, х = 1.
о
Введем, как обычно, пространство сеточных функций $1,
заданных на сетке ©л и равных нулю на границе при х = 0, х = 1.

382 гл- уп- однородные схемы длд нестационарных уравнений
о
В пространстве Н = О со скалярным произведением
N-1
и нормой Ц # || = 1^(у, у) определим линейный оператор
Ау = - Лу = - (ау-)х при уеЯ.
Тогда вместо (9) можно написать
у г + А(оу+ A - о)у) — <р, * = /т > 0, у(О) — и0. (Ю)
Оператор Л, как было показано в § 4 гл. II, является
самосопряженным и положительно определенным:
• Л*=Л>0, 6Ж4^Д#, 6>0, ^_
где 6 = шш Хк (А), А == | А || = тах Я* (А), ЛЛD) — &-е
собственное значение оператора.
Из формулы Грина
(Ау,у)=-((еу&,у) = (а,(у$*\
следует, что
о о
с^ ^А ^сгА,
о
где Ау = —. у-^ при у е Я, если учесть, что
О
Наименьшее и наибольшее собственные значения оператора Л
известны
р. 4 . «яЛ ^ 4 ^2 яЛ
8 = -^ 81П2 », Д = -^ СОЗ2-^,
о о
а для б и Д имеем оценки б > сД Д < с2Д.
В силу теоремы 1 из § 2 гл. VI схема A0) устойчива в Нл
по начальным данным
11^11 А ^ \\у°\\А, ■ если ф5^0,
при
Если же
а>ае, ае=-|--^?. 0<е<1,
то, согласно теореме 8 § 2 гл. VI, для решения задачи A0)
верна оценка
|»,+1и<|*,ц+^(Дт1ч>,т)' (")

§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 383
Для явной схемы (о = 0) имеем
' ^+1 = (* - 7(в| + аш)) у*+ 7 ^-г + ашУ^ + Тф*' A2)
Если выполнено условие!—гт^^О» то коэффициент при у%
н
в A2) неотрицателен и
»УЖ!с<1Ис + |ф'11с. '
Суммируя по / = 0, 1, 2, ..., получаем неравенство
1»т1с<11/0»с+2 т|фПс,'- A3)
выражающее устойчивость схемы A0) в С при условии
т<|. A4)
Это условие достаточно. Необходимым и достаточным условием
устойчивости явной схемы по начальным данным в НА является
неравенство
т<-§-, гдеД<^. A5)
В случае сильно меняющегося коэффициента к(х) оценка
А^Ас^к2 может оказаться очень завышенной. Тогда условие A4)
будет слишком жестким.
Применим принцип максимума к схеме с весами (9) при
любом о. Запишем схему (9) в каноническом виде
(.1 + ^ (о, + «+,)) У?1 = $ М~1 + а{+1^ + **•'
A6)
Теорема З.из § 2 гл. IV для уравнения A6) дает
так как граничные условия нулевые: у@) =*у{1) = 0, см. (9)»
Коэффициент при у\ неотрицателен, если
В этом случае \\Р% < Ц% + тИф'Ис и
I ^+11с<1^1с + т1ф^'!с<1у°1с+ 2 т|ф*'|с A8)

384 ГЛ- УП- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Таким образом, схема с весами (9) устойчива в С при
условии A7). Для чисто неявной схемы (а = 1) оценка A8) верна
при любом т.
• Чтобы выяснить вопрос о точности схемы, ладо оценить
погрешность аппроксимации схемы, т. е. невязку
ф = Л(ои + A — о)и) + ф — ии
на решении и исходной задачи A)-~C). Подставляя сюда
где и = и , и = -^х получаем
1|? = Л ^4^ + (от — 0,5) %Ащ + ф — щ =
= (Ли + / - и) + (Ли - Щ + (ф - 7) + (о - 0,5) тЛи + О (т2).
Так как Ьи + {— и = 0 и
Ли = /лг + СКА2), ф=/ + 0(т2 + Л2), A9)
то
4 - (а - 0,5)т^и + 0(х2 + к2). B0)
Отсюда видно, что порядок аппроксимации схемы при данном о
совпадает с порядком аппроксимации в случае постоянного
коэффициента к{х) ■■ 1 (см. гл. V, § 1):
ф^СК^ + т2) при о = 0,5, ф = 0(А2 + т) при о «5* 0,5.
Для погрешности 2* = у* —и', где у* —решение задачи G),
а и = и(х, *) —решение исходной задачи A)—C), получаем
уравнение
2* = Л(ог + A — оЬ) + «ф, я€=(ол, г=/т>о,
«(ж, 0)-0, *@, *)-*A, *)-0.
В силу A1) имеем
|*,+1и<Т^1Дт|*,т; ' B1)
Учитывая затем, что (см. § 3 гл. И)

§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 385
и используя оценку сх| ъ||2в ^ \ гЙ, приходим к неравенству
А
'•"•кгтв-й-1*"'")* <22)
Отсюда и из B0) следует равномерная сходимость схемы G)
со скоростью О (к2 + х °), где
Г2 при а == 0,5,
т°~ [1 при а^=0,5,
если выполнены условия, при которых схема имеет порядок
аппроксимации ф = О (к2 + х а) и о>ол при 0 < е < 1.
Аналогичный результат был получен в гл. V для уравнения с постоянным
коэффициентом к{х).
4. Уравнение с разрывным коэффициентом теплопроводности.
Исследуем сходимость однородной схемы с весами G) в
предположении, что коэффициент Их) имеет разрыв первого рода на
прямой я = ^ в плоскости (я, *). На линии разрыва
выполняются обычныз условия сопряжения (температура и(х, I) и
тепловой поток (—Аю') непрерывны)
[и] = 0, [к%] = 0 при х = В, *>0. B3)
Будем предполагать, что &Ы, /(л, I) и решение и(л, *) вне
линии разрыва являются достаточно гладкими. Оценим
погрешность аппроксимации (невязку)
ф = Л(ои + A — о)и) + ф — иг = Ли@) + ф — щ, и{а) = а» + A — о)и.
Пусть ^ — хп + 6й, д;а = юА, 0 ^ 9 < 1, и > 1. Так как
оператор, Л — трехточечный, то
ф{ = О (к2 + хт°) для всех гфп, (фп + 1. B4)
Поэтому нам остается вычислить ф< при ъ = л, * = га + 1.
Рассмотрим
Ая|)я = и>{п+г — ^а) + Афп — Ъщ.п, Щ = №;#|. B5)
Так как
(аи^I = (ки')^Чш + 0(к^
при к е СB)[ж«-1, 4"€ С(а)[ж|-1, х{], то
юя = (Ац')»-!/. + О {к2) = (Аи')л - (9 + 0,5) А (йи')л + О (к2), B6)
где !;л =» у(| — О, *).
25 А. А. Самарский

386 ГЛ- УП- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аналогично находим
Ип+1 = и#$2 — и^п+1 + Афп+1 — кщ%п+и B7)
й*+2 = (^х)л+2 = (*"% + A,5 - 0) к (ки')'и + О (к% B8)
ГДе Vа = V(% + 0, *).
Далее, пользуясь разложениями
ип = и (I) - вки'л + О,502/*аИл + О (Л8),
ип+1 = и (I) + A - в) Аи^ + 0,5 A - вJк*ип + О (й3),
находим
юя+1 = «п+1^,я+1 = а*+* (9цл + A — в) *%) + О (к).
В силу условия сопряжения [ки'] == 0 имеем
лл лп
так что
шя+1'= Оп+1 (^- + 1^1) ш E, 1) + 0 (к). B9)
Подставим B6), B8), B9) в B5), B7). В результате получим
*** = $° + О (к), <?п = [оп+1 ^ +1^2) - 1] у, & *),
Л (^п + ^п+1) = % - шяа) + /г (фя + Фп+х) — к (и*,п+1 + м,§я) =
= A,5 - 6) к ((ки')'иУа) + @,5 + 0) к ((ки')'лУа) + к (Фя + Фя+1) -
-к(щ9п + Щ,п+1) + 0(к*).
Подставим сюда из уравнения A) предельные значения
(ки')'л = (и — /)*=$, (/си')п = (и — /)«-*
(так как Ш = [/] = 0 при а; = 1). Тогда, учитывая, что
Фя = /я + О (А2 + т2), ш(<г) = 1ф? + (а - 0,5) тш„
получим
. = 2А (и - /)<*>Е + к (ф„ + Фп+1 - Щ.п - Щ,я+1) + 0(к*) =
= О ((а — 0,5) тА + %Ч + А2).
Таким образом, для любой схемы G)
Ца = 0A), C0)
*<*» + *•+!> = <<т - 0,5)О(тА) + 0(т2Ь + Нг). C1)

§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕГОЮПРОВОДНОСТИ 387
Если
«<*> = «<*> = Цг^] , C2)
то, по аналогии с гл. III, § 3, п. 2, убеждаемся, что
#« = 0(А), к$я - ОШ.
Очевидно, что верны и оценки
л*г§т = 0A), C3)
Н (%п + %п+г) = (° - °>5) ° (^) + ° (Л+ **). C4)
Из полученных оценок следует, что ^ удобно представить в
виде
1|) = 1|) + <ф*, ^ = ^ (б^п + бг,п+1),
г|)* = 0(к2 + тт<>), г|)Г = 0при ъфп, гфп + 1, C5)
где б,, п — символ Кронекера.
Вводя сеточную функцию
г-1 0
т]{ = 2 Щк, % = 0, г = 2, 3,..., И,
получаем для ф следующее представление:
о
ф ==» г\х + ф*, т. е. -ф = т)х. C6)
Оценим т]<:
Г\1 *= О ПРИ I < П + 1, Т]п+1 =• Щп,
г\{ ==» й(фп + фп+1) при I > я + 1.
Перейдем к оценке порядка точности схемы G). Погрешность
г ==» у — и представим в виде
г = V + 2*,
где у и 2* — решение следующих задач:
17# = А (<пГ+ A — а) у) + <ф, 1>0 = у# = О, у (лг, 0) = 0,
*? = А (аз* + A - а) 2*) + ф*, г? = 2^ = 0, 2* (х, 0) = 0.
Для оценки у и 2* воспользуемся результатами общей теории
устойчивости, а именно, теоремами 9, 11 из § 2 гл. VI:
|1^+Ц<|Л-1^| + |л-1^1+ 2 тМ^Й'Гпрн сг>сгв, C8)
1**5+1||< 2 т|^'| при о^о0, сг>0. C9)
25*

388 гл- уп- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
о о
Так как Л~!г|> = 2 — решение уравнения А% =» ф — г\х, то
(см. гл. III, § 3, п. 3). Учитывая затем C7), находим
A, |ЛП= 2 Л1Л11 = А2|г|)п| + А|^я + г|)п+1|A~^п+1).
»==п+1
Теперь подставим оценки C0), C1) в неравенство D0) и оценки
C3), C4) в аналогичное неравенство для |Л~\|^|, после чего
воспользуемся оценками C5), C8), C9) и неравенством 11*1 ^
< 112*11 + Ы.
Тем самым доказана сходимость однородной схемы G) в
классе разрывных коэффициентов:
Пусть к(х) имеет разрыв первого рода при х =» | и
выполнены условия B3), B4), C0), C1). Тогда при с>о0, о>0 схема
G) сходится в сеточной норме Ь2 со скоростью 0[к + ч *у
а наилучшая схема с коэффициентом C2) — со скоростью О уь2 +
+ т а); тпа ==» 2 при о = 0,5, тп9 «=1.1, если о Ф 0,5.
Чтобы получить оценку точности в норме сеточного
пространства С (равномерную оценку), следует воспользоваться
априорными оценками (см. теорему 8 из § 2 гл. VI):
|^+1|и<1^01А-1+1^^+2^1^'1А-1 при а>а0, D1)
1^+11А<^= [%\1?*\\ '" °РИ <»<>« D2>
где | г Ца = (Аг, г) = (а, (^J1 а также неравенствами (см. гл. II, §- 3)
Далее, согласно гл. II, § 4, имеем
(N у/,
Учитывая C7), получаем
1 г\)\2 = АЛп+1 + A ~ *п+х) Лп+2 = А (АгЫ2+A-*п+1) (А (ЧЬ»+ 4>п+х))а,
откуда следует, что
|г)]| = о[У'К + ^П) для любой схемы G),
Цт)]|=0[А§/* +тт<т)для наилучшей схемы с коэффициентом C2)* .

§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 389
Таким образом, схема G) равномерно сходится со скоростью
оЫн +хт°) при тех же условиях B3), B4), C0) и C1):
У\р = \у!-и% = 0{Ук+хП°\
Эта оценка для схемы с опережением (о = 1) может быть
улучшена, если воспользоваться принципом максимума. В этом
случае используется тот же метод выделения «стационарных»
неоднородностей, который применялся в гл. VI при выводе
оценки C8). Полагаем
7? =» V5 + IV*,
где IV5 есть решение уравнения
Ли? = ф = т)х, D3)
так что|Нс<7-A, 1лП> КЬ^гС1' КЦ(см- D0))' а р опре'
деляется условиями
г?, + № = ф, я^ — ф* - юи »(ж, 0) =* -и?(я, 0). D4)
Принцип максимума для уравнения D4) дает
Подставляя сюда оценки для 1и;110, 11ш*11с, Нф*Нс, получаем И5*ПС —
= 0(т + к) и, следовательно, Шс = 0(т+ А). Для схемы с
коэффициентом C2) получим Ы\с — 0(&2 + т), т. е. она сохраняет
порядок точности в классе разрывных коэффициентов по
аналогии со стационарным случаем.
5. Однородные схемы на неравномерных сетках. На практике
часто применяются неравномерные по х и I сетки.
Неравномерность сетки по I для двухслойной схемы не вносит никаких
изменений в написанные выше формулы и оценки. Следует лишь
иметь в виду, что шаг т — т* зависит от /. Порядок
аппроксимации по времени при этом не меняется, однако выражение
0(тт) может означать либо О (т™), либо О ((шах Т|)т), впрочем,
1<К*0
это всегда видно по ходу изложения. Случай, когда сетка
неравномерна по ж, требует специального исследования, которое
проводится по аналогии с § 4 гл. III.
Пусть ©л ==» {х{, 1 = 0, 1, ..., N. х0 = 0, X* = 1} —
произвольная сетка на отрезке 0 ^ х < 1 с шагами к{ = х{~— х{-и I = 1,
2, ..., N. Оператор Ьи= т- [к—\ в соответствии с § 4 гл. III

390 гл- уп- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЯ
аппроксимируем разностным оператором
где а{ определяется по тем же формулам, что и на равномерной
сетке, например,
аг = А [к (х{ + зЫ)Ъ или 1 = А [к{Х{ + $н.^ D5)
причем — 1 < з < 0 (см. п. 2).
Для правой части будем использовать простую формулу
ф = ф'г = / (*1. ^+0,5) = / 0*4, *), D6)
если /(#, *) — непрерывная функция х. Если же /(#, I) может
иметь разрывы первого рода в узловых точках, то полагаем
^^-о + ^хА-н^ D7)
где /<±0 = /(^±0, *), или
фг=Ф* = ^ \ /С*,"*}**. D8)
*г-0,5
Рассмотрим схему с весами
^=Л(ау=ЬA-аI/) + ф, я^юл, 0<« —;т<Г, D9)
у(я, 0) = у0(х), # е= юА, ^@, *) =» щA), 1/A, *} = и2Ш,
Лу = (а(дгI/-)-, 0<с1<а<с2.
Приведем эту схему к счетному виду. Известно значение у* на
сдое % = 1}, требуется определить у;+1 на новом слое I = ^+1 из
условий
^-1 ~ С&1 + #г?г+1 = — Ри г = 1, 2, ..., N — 1,
У о = ^1 (^+1)» У N = и2 (^+1I
Эта задача решается методом прогонки.
После того, как указан вычислительный алгоритм, перейдем
к оценке точности схемы D9) и покажем, что она сходится
равномерно со скоростью О [к2 + т а) в случае гладких функций х
Их), /(я, *).

§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 391
Пусть у{ — решение этой задачи, и(х, I) — решение исходной
задачи A)—C), 4 = у\ — и{ — погрешность схемы D9).
Подставляя в D9) у =» г+и, получаем для ъ задачу
2, = Д@2 + A--аJ;) + 'ф, ге^А, 0<*^ут<7\
~ """ E0)
*(*, 0) — 0, х е ©л, 2@, *) — *A, 0 — 0, 0 « * — /т < Г,
где
$(х, 0 =*Л(ои + A — а)и) + ср — и, E1)
— погрешность аппроксимации задачи A)—C) схемой D9).
Воспользуемся уравнением баланса на отрезке а^-о.5 < х < #с+о,5,
где л:<-о,5 = #< — 0,5А{, аг<+0,5 = #< + 0,5й<+1:
«1+0,5 **+0,5
| !?(*, *)<& = ш^но.,, *)-и>(^-о,б* *) + ] 1{х%1)йх E2)
**-0,Б *1-0,5
(здесь ы?(#, 7) = А(#)^(;г, 7}), и преобразуем выражение для
невязки *ф. Для этого разделим обе части тождества E2) на й« =
= 0,5(/г,- + к{+1) и вычтем его из E1). Тогда получим
где г? = 1>(#*-0,5, ?), а
Ж*+0,Б
Ж1-0,Б
Воспользуемся разложением вида (см. § 4 гл. III)
и преобразуем \|з, записав его в виде ^
г|) = т1- + г|)*, E3)
4 = а^'» - (ЬО&# + у' (^ - /)Я2 E4)
(здесь и' = <Ри/д1 дх, /' = д{/дх и т. д.). Тогда
44=0 (*? + *•).
Представление E3) для невязки 1|> можно получить я из
уравнения баланса E2), если заметить, что
(ЬиГЬ+иг = (киГи + 0,5кш {ки')\ + { А?+1 (ки')'г + О (/>?+,),
(Аи'){-1/» = (&А - 0,5А« (Ли'I + -| М №)\ + О (М)

392ГЛ- УП- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
и, следовательно,
(Ы)[ = Цки')<-1/2]г1 - ^ {к\+х {Ы)\ - к\ (ки')\) + 0{Щ.
Остается теперь только учесть, что
так как р< -■ 1;,_1/а + 0(й<), р, — 17<+1/а + 0(й<+!), (АаТ — и — /,
(Ла')" — й' — /', и записать ф в виде
ф = Ли(а) + <р - и, - ((Ам7 + / - и) ,«?.
Из формулы E4) видно, что
Я = 0,5ар; + м;)-Ь7^ + т(а-0,5)а^ + О(А2) = о(А2 + тта).
Перейдем к выяснению точности схемы D9). Для этого нам
понадобятся априорные оценки решения задачи E0), учитываю-
щие специальную структуру E3) правой части ф. Рассмотрим,
о
как обычно, пространство й = Я сеточных функций, заданных
на (Он и равных нулю при х = 0, х = 1, и введем скалярные
произведения
N-1 N-1 IV.
(У, *0* = 2 У«*Ч*|, (У,") = 2 ДО>Л, (у, У] - 2 Й*Л.
**»1 {=1 1—1
Определим оператор Л: Н -+ Н:
Ау = — Лу = — (ау-)~ для любого у^Н.
Очевидно (см. гл. И, § 4), что А — самосопряженный
положительный оператор
так как (Ау, ц) = (ау^, V-] = (у, Аи). Далее, имеем
(Ау, у) = (ау-, у;]> сг (у^, у;],
Представим решение задачи E0) в виде
где I; — решение той же вадачи с правой частью я|р = т)~, а ш —
решение задачи E0) с правой частью ч|> в 'ф*.
Схема E0) устойчива при
где ко =* шш й<.

§ 1. СХЕМЫ ВДШ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 393
Для V используем априорную оценку D1), а для да — оценку
D2) и учтем, что |Т2||а-1 <-=1 ЛИ» гДе 1ч11= У(*1?|а1» а также
0^11 < IIЫ1 + Ни?11. В результате получим оценку
<ф|+М|фьф^(|ф^?)'л <*>
при о > с, о. = 0,5 - A - е)/(тШ).
Предположим теперь, что АЫ, /(я, *), а0(я), и4(*), ЫаС*) —
гладкие функции, и выполнены условия, при которых
Я = 0(\к\* + хт°)г Ъ = 0{\к\* + тто),Г = 0(\к\* + т*). E6)
Тогда схема D9) на любой последовательности неравномерных
сеток {юл} равномерно сходится со скоростью О [х а + \ к |а],
где |й| ■■ шах А*, если о > о,. Это* следует из E5) и E6).
Остановимся кратко на вопросе о сходимости схемы D9)
в классе разрывных коэффициентов, проводя аналогию со
стационарным случаем § 4 гл. III. Будем предполагать, что:
а) функции к(х) и /(#, *) могут иметь конечное число
разрывов первого рода на прямых, параллельных оси
координат 01\
б) сетка (йк = (йн(К) выбрана так, что все линии разрыва
функций к{х) и /(#, *) проходят через узлы этой сетки;
в) в областях между линиями разрыва функции Их), /(#, I)
и и(х, I) достаточное число раз дифференцируемы, так что во
всех узлах сетки а>*(Я) имеют место формулы E3), E4) и
справедливы оценки E6). .
Заметим, что ср< определяется по формуле D7). Если
выполнены условия а)—в), то схема D9) сходится равномерно со
скоростью О у* а + | к |2] на специальных последовательностях
сеток содСЮ.
Замечание 1. Сходимость с той же скоростью в сеточной
норме Ьг имеет место при более слабом условии в):
П = 0(А* + тта), 4>* = 0(|й|2 + т2). E7)
Это следует из априорной оценки D2)
при а^ае.
'^'^(^'^-■У

394 ГЛ- УП- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
. Замечание 2. Для схемы с опережением (а = 1)
равномерную сходимость со скоростью 0(|А|2 + т) можно доказать при
помощи принципа максимума (ср. п. 4).
6. Сосредоточенный источник тепла. Рассмотрим
нестационарную .задачу теплопроводности при наличии в точке х = ^
сосредоточенного источника тепла. В этой точке решение задачи
A)—C) удовлетворяет условиям сопряжения (см. § 1 гл. I):
[«3 = 0, [*!?] = - 0 при х = 5, E8)
где (} = (?№ — мощность источника.
Условие разрыва теплового потока \к ^ = — () означает,
что разрывны первые производные ^, т. е. решение и = и(х, *)
имеет на прямой х = | слабый разрыв. Коэффициент Их) и
функцию /(#, I) здесь считаем непрерывными и гладкими.
Чтобы написать однородную разностную схему, учитывающую
источник @ при #=»|, воспользуемся интегро-интерполяционным
методом. Предположим, что сетка юл равномерна и
\=>хп + Ш, 0<0<0,5.
Тогда во всех узлах х\Ф хп ЦФп) разностное уравнение имеет
обычный вид F). Напишем уравнение баланса для интервала
хп-1/г .< х < Хп+1/2 при фиксированном I = I =» ^+о,5. Учитывая,
что
Г {ки')' Aх = Г (ки'У их + \ {ки')' йх=ки'\ ' +
*п10,5 *п-о.в Ь Хл+0'6
+ [ки'] = Шп+1/2 — Шп-г/2 — (?, и? = ки\
будем иметь
*П+1/2
^ (*, 7) АХ = И? (*я+1/2, *) — V) (*п-1/2, *) — <> (*) + Лфп- E9)
*П-1/2
Совершая отсюда обычный переход к разностному уравнению,
получаем
^ = Л]/а) + ф + пг при х=хп,
где Лу = (а^)я.
Таким образом, схема для задачи A)—C), E8) имеет вид
л F0)
У о = И'!» У* = Щ, У {*! 0) = и0 (*)>
где 6*, п — символ Кронекера.
I

\ § 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 395
Для погрешности г ==» у — и получаем уравнение с правой
частью
ф = Ли(а) + Ф + ±0 B) 6*,п - щ F1)
и краевыми условиями
2о = 0, 2* = 0, *(*, 0) = 0. F2)
Пользуясь уравнением баланса E9), преобразуем выражение для
невязки к виду
+ = Ч* + +*. г\ = аи&-ки' F3)
(здесь, как и выше, Р| = 1>(я«-о.в, *)),
(«4+0,5 \
*г-0,5 /
Для определенности будем считать, что 6 < 0,5, т. е. хп < | ^
< д?„+1/а. Тогда
Г\г = 0[к2 + Х а) ДЛЯ ВСеХ 1фП-\-1,
-ф* == О (к2 + т2) для всех г Ф п.
По аналогии со случаем разрывных коэффициентов (см. п. 4)
находим
«Ъп+1 = 9"л + A - в) ии + 0.5Л [A - вJИп - 62/л] + 0 (к2).
Так как ап+1 - к(\) + @,5 - в)Л*'С6) + 0(к2), то
вл+1"&.л+1 = вШл + (* "" в) Шп +^0 (А)'
Учитывая затем, что
и>п — и?л = — <?, (Ь')п+1/2 = и>п + й @,5 — 6) (ки')п + О (А2),
находим
т)п+1 = е<? + 0Ш=0A). F5)
Нетрудно заметить также, что
Ц*п = 0(к). F6)
Последующая оценка погрешности % проводится так же, как
и в п. 4; при этом и скорость сходимости получается той же,
что и в п. 4. Однако в данном случае выбор коэффициента
о
а =» а не улучшает порядка точности. Из формулы т|п+1 = 6(? +
+ О(к) видно, что г)я+1 «=• О(к) и, следовательно, 1 ъ \ =0 [к2 + *;«
если 6 = 0, т. е. источник находится в узле сетки.
Поэтому следует выбирать неравномерную сетку сол(#) так,
чтобы источник попал в узел; тогда схема F0) сходится равно-

396 ГЛ. VII. ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВЕ
мерно со скоростью О (|Л|2+тт<т). Однако если вычислять
коэффициенты а{ по формулам усеченной схемы второго порядка
точности (см. гл. III, § 7, п. 2), то получим разностную схему
точности 0(|А|2+т а) при любом значении 0е[О, 1], т. е. при
любом положении источника.
7. Сосредоточенная теплоемкость. Рассмотрим краевую задачу
для уравнения теплопроводности с нестандартным краевым
условием, когда на одной ив границ, например при х = 0, помещена
сосредоточенная теплоемкость величины С0. Тогда при х = 0
ставится краевое условие вида
СоТ1=кТх> ж = 0' С0 = сопз*>0 F7)
(см. п. 5 § 1 гл. I), и мы получаем эадачу
%=Ьи + Н*,*), 0<х<1, *>0, &-Д(*Ё).
ди ди <68)
Со Тг = к& ПРИ Х = °» в(*. *) = °' "<*» °) = "<>(*)•
Чтобы построить однородную схему для этой задачи, надо
аппроксимировать краевое условие при х — 0.
Для этого испольвуем интегро-интерполяционный метод.
Напишем уравнение баланса для прямоугольника 0 ^ х < «у, =
— 0,5й, I, < I < *,+,:
7'
3 [и (х, *и-1) — и (хш {})] ах =
о
= ] [»(*./„*) — ш@,*I<Й-|- ] ) Цх,1)йхйг%
где IV (хл I) = к-^. Подставим сюда
и учтем, что
ди
1
С0 % (О, I) А1 = С0 (и (О, *,+1) - и (О, *,)) = С0хщ, 0.
*)
После замены интегралов по х простейшими выражениями
0,5Ли0 и 0,5й/», а интегралов по I — выражениями тш(»/| и т/о*\
приходим к следующему разностному краевому условию:
Суи о = ойгЙ*. + 0,5к$\ С = С0 + 0,5й. F9)

\ § 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 397
Задаче F8) мы ставим в. соответствие следующую разностную
схему: \
у * = АуЫ + Ф, 0 < х = гк < 1Х I = /т > О,
Суи о - ^З^о + ЪхЬк№\ 1>Ъгуп = ц2, у(*, 0) = и0(х).
Из условия при х = 0 выразим у0:
Уо = и1У1 + V* кг = ^Д^Ь' G1)
V! = к [0,5йт/0а) + аг A - а) туж,0 + Су]/(Ск + ^ат).
Отсюда видно, что 0 < кх < 1 при а>0. При 1 = М имеем
условие первого рода
у* в р*. G2)
Для определения у\ = у{ получаем разностное уравнение
второго порядка с краевыми условиями G1) и G2); эта задача
решается методом прогонки.
Разностное уравнение и краевое условие при х = 0 имеют
одинаковый порядок аппроксимации О {хт° + к2). Достаточно
оценить невязку
** = Сщ% 0 - о^о ~ 0,5й/0а).
После подстановки сюда выражений
«А. о = (™;)г = №)Чш + ° № = <*«Ов + о,» (*»0; + о (Л2),
(&и')о = С>о, (Ш)'о =Щ — /0,
получаем
♦V = С (щ% о - 4а)) + О (А2) = О (й2 + тт<0,
что и требовалось.
Для погрешности г = у — и получаем задачу
2* = Лу(а) + г|>, +.=* Ли(а) + ф _ щ, 0 < * < 1,
Сц.о = ^4% + +*, ** = 0, х{х, 0) = 0.
Отсюда видно, что пространство Я есть пространство сеточных
функций, заданных на ©л и равных нулю при I =» N. Введем
скалярное произведение в Н:
[У, ") = ^у&гк + 0,5ку0р0
и определим операторы
(^)|«-(Л0),приО<*<ЛГ, (АуH=-^%
(ОуI = У1 при о<»<лг, (/)г,H = ^су0.

398 гл- уп- однородные схемы для нестационарных уравнений
Тогда задачу G3) можно записать в виде
Бъг + Аъ™ = г|), I =- ;т ^ 0, г@) = 0, / G4)
так что В =» I) + <лгЛ. /
Оператор I), очевидно, самосопряжен и положительна
определен:
П^с*Еу где с* = тш A,2С//г).
Оператор Л также самосопряжен и положительно определен
(см. гл. II, § 4):
4=Л*>0.
Операторы А и О перестановочны: АБ =ОА.
Условие устойчивости схемы G4) В—0,5тЛ = В + (о—0,5)т-4Х)
выполнено, если а ^ 0,5 — -щ = а0.
Доказательство сходимости схемы можно получить, если для
задачи G4) использовать априорные оценки из гл. VI, § 2.
Тогда получим, что схема G0) равномерно сходится со скоростью
0(тт° + к2).
8. Случай, когда коэффициент теплопроводности к зависит от
*, к=к(х, I). До сих пор мы, для упрощения изложения,
предполагали, что коэффициент теплопроводности к зависит только
от х.
Рассмотрим теперь случай, когда к ='Их, *), т. е. общее
уравнение A)
Ъ = Тх{к{х, *)Э + /(*. 0, <><<*<*(*, *)<'2,
с теми же краевыми и начальными условиями B), C). Вместо
F) напишем разностную схему
^ = Л(?)у(а) + Ф, G5)
где Л (*) V = (а (#, I) ьь)х, * = *;+о,б» а коэффициент а(#, I) при
каждом фиксированном значении I определяется так же, как и в
п. 2 или в п. 4. Погрешность аппроксимации этой схемы
я|> = О (тт<т + А2), если Их, ^*) €= СC) [0, 1] при каждом
фиксированном I = **.
о
В пространстве сеточных функций О — Н вводится оператор
Ау — -ЛШу, уей,
который является переменным оператором (зависящим от *)•
Поэтому для применимости общей теории устойчивости
необходимо потребовать, чтобы АШ удовлетворял по I условию
Липшица
кии)-ли-т))у, у)\ <тс8ии-т)у, у),

\ § 1, СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 399
которое выполнено, если коэффициент Их, *) липшиц-непреры-
вен по и \
\ \Их, *) — Их, * —тI ^хсМх, 1-х).
Все результаты пп. 2—4 сохраняют силу для схемы G5).
Рассмотрим теперь более общий случай, когда теплоемкость
с = с(х, *), т. е. уравнение
где с{х, I) > с4 > 0, 0 < сх < Их, I) < с2. Соответствующая
однородная разностная схема имеет вид
р(*, Т)уг «Л(?I/(о) + ф(я, ?), G6)
причем р и ф вычисляются при помощи одного и того же
шаблонного функционала, например, р(х{, I) =>с(х{, I) или р(а?ь *) =
= у (с (х\ — О, I) + с (х\ + О, 7)), если с(х, I) разрывна в узле х?=х{.
Схема G6) устойчива при условии
О>°оA), <Ь = 4-да И = |Л"'
и, следовательно, безусловно устойчива при а > 0,5.
Замечание. Мы до сих пор всюду,считали, что сетка по
I равномерна. Однако все оценки сохраняют силу и для
двухслойных схем на неравномерной сетке, когда шаг хз = 1$ — *,-4
является функцией /. Очевидно, что сетку по I легче менять в
процессе счета, чем сетку ©Л, уменьшая, например, шаг x^ в
области сильного изменения по I правой части /(#г I), краевых
значений \1{Ш, \12Ш и коэффициента к —Их, *). Если же
известно поведение решения задачи на грубой сетке, то шаг х$
надо уменьшить в интервале, где решение быстро меняется по и
Сетку (Он можно менять в процессе счета (с изменением ^), по
мере надобности. При изменении (измельчении, например) сетки
<оЛ при Ъ — 1Л функция у\ должна вычисляться в новых узлах
сетки (Он.
Для повышения, например, точности по т можно использовать
вычисления на нескольких сетках соТ1, соТ2 по аналогии с тем, как
это делалось в гл. III, § 4.
Предположим, что для равномерной сетки (Он% справедливо
представление
у{ = и\ + афтх + &,хП1 + О {кп%+хп%), ™2>»Ч>0, п2>пх>0, G7)
где а,-, и р., не зависят от А и т.
Пусть унхг(х{, ^^) и уь%2(Х{, ^—решения разностной
задачи с разными шагами т4 = т и т2 = 0,5т. Образуем линейную

400 ГЛ' УП> ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
комбинацию /
Унх(х, 0 = с1ун%1 (а, г) + с2уНх2(х, Ц9 I = ;т, / = 0,1,...,
подставим сюда вместо ун%1 и ун%2 выражение G7) й потребуем,
чтобы коэффициент при т*1 обратился в нуль, то найдем
значения
с,= 1-с11С1=-1/Bп1-1),
при которых
у=и+0(Ат2 + тП2).
Аналогично, проведя расчеты для двух сеток ©л и ©<,,«* при
фиксированном т, получим сеточное решение у, имеющее
точность 0(Ат*+тПа):
Все эти рассуждения проводятся в предположении
достаточной гладкости решения и = иЫ, I) и всех данных исходной
задачи, при которых существует асимптотическое разложение
Упх = и + акт* + ртП1 + О (Л**2 + тП2).
9. Третья краевая задача. Рассмотрим краевую задачу
!=/*» + /<*,*). Ьи = ±(к(х, ОЙ), 0<х<1,
к(о, г)длШ1 = ь@и(о, *> _ ^(<)|. р1>0,
- к A, 1)Щ^- = ра @ и A, *) - щ (<), р2 > 0.
В гл. III, § 5, п. 1 было получено разностное условие третьего
рода для стационарного уравнения Ьи + ]=*0. Формально
переход от стационарного к нестационарному уравнению можно
рассматривать как замену / на / — ди/ди Применяя этот прием при
выводе разностных условий, аппроксимирующих краевые
условия третьего рода, приходим к следующей разностной краевой
задаче:
у,= Л(*)(<# + A-а)у) + ф, 0<ач«=гй<1, *,«=/т>0,
М*)(°Я.1 + <* -*) Тх. г) = РгФ&Уо + A - °)Уо) + МО +
+ 0,5Ау,, о, —я*(*)№.*+ A-<т) П. *) = Р2 (')(<Й*+ A - су)уЪ) +
+ 1Ч(«) + 0,5Ау«.я.
Здесь
М^1 = Ц1(?) —0,5Л/@, ?), ]12 = |Ш2(?) — 0,5Л/A, ?), ? = ^ + 0,5т.

\
\ § 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 401
\
Приведенная выше схема имеет точность 0(т* + к2) при а = 0,5,
0(т + кг) при о > 0,5.
Запишем эту разностную схему в виде, пригодном для
применения метода прогонки:
где
Л("*J — ^ = — Л Уо = *1У1 + *1, У* = ЪУП-1 + ^2,
х МО х «*(<)
1 а1(*)+Ар1G)+Л2/Bогг)' 2 в^ГО + А^ГО + А'ДгатI
_ A - а) (ах (Г) у; % - ^ («1 у<) + 0,5ку0/х- ^
** о^СО/л+МО+лдгот)) . '
A - а) (- аК (Г) у; ^ - р, G) уу) + 0,5%у/т - Й2
*2 о(о№(Г)/А + Р2Г<) + А/Bат))
Р = (A - а) Л (*) у + У/т + Ф (*)) а.
Прогонка устойчива, если а > 0, так как 0 < XI < 1, 0 < х2 < 1.
10. Монотонные схемы для параболических уравнений общего
вида. Рассмотрим для параболического уравнения. общего вида
следующую задачу в Пт = @ < ж**? 1, 0 *$ * «? Т):
с (х,1)% = Ьи + /(*,*),
и @, I) = щ (*), и A, *) = и2 (<), и (ж, 0) = щ (х),
И»-^(*<«. <)|) + г(*, *)Й-д<*. 0", G8)
0<с1<А;(ж, *)<с2) с(ж, *)>С!>0, д>0.
6 гл. III, § 5,. п. 3 были получены монотонные схемы второго
порядка точности для стационарного уравнения Ьи + / => 0,
разрешимые при любых к и г(х).
Чтобы получить для G8) монотонную схему, для которой
справедлив принцип максимума при любых Лит, рассмотрим
уравнение с возмущенным оператором Е:
с(х,1)%^1и + 1, 1и = к±(к??) + г%с-ди,
х = A + Л)-1, В = 0,5А |г|/А.
Оператор Г при фиксированном 1=1*=1»хк аппроксимируем
разностным оператором (см. гл: III, § 5, п. 3)
Лу = к (ау1)х + Ъ+а<+1)у* + Ь~ оу; — 0у„
где _
а = А[к{х+8к,~1I 4 = Р[д(х + зк,1I Ь* = Р[7±(х + зк, <)],
г* - г*/*, г+ = 0,5 (г + |г|) > 0, г" = 0,5 (г - |г|) < 0.
26 а. А. Самарский

402 ГЛ* УП- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Здесь А и Р — те же шаблонные функционалы, что и выше,
в § 2 гл. III. Они обеспечивают второй порядок аппроксимации.
Для уравнения G9) пишется чисто неявная
(четырехточечная) однородная схема
р(я, Т)у1=Ш)у + у>, (80)
у(х, 0) =*и0Ы, 2/@, *) — иМ), »A, *) — и2Ш.
Коэффициенты р, ф вычисляются по тем же формулам, что и #т
Ь±. Погрешность аппроксимации этой схемы, в силу построения
оператора Л (см. гл. III, § 5, п. 3), есть ф — 0(т + Л2).
Применим для оценки решения задачи (80) с однородными
краевыми условиями уо=* уя=*0 принцип максимума (см.
гл. IV, § 2). Для этого уравнение (80) запишем в канонической
форме
(р|/т + а1 + р4 + 1*ду!=* адо-1 + р#1+1 + Ри
Рг = Р#*'т + фг, а{ = (Ц {щ — ЬЪТ)/Ь?, р- = ат (щ + кЪ?)/к2.
Для него выполнены условия теоремы 3 из § 2 гл. IV, в силу
которой
1у|с=ттах |»||<|у|с. Д-р|/т + *.
Подставляя сюда выражения для Р{ и Д-, получим
откуда следует априорная оценка
Отсюда получаем, что схема (80) равномерно сходится со
скоростью 0(т+ А2).
11. Цилиндрически- и сферически-симметричные задачи
теплопроводности. При изучении процессов теплопроводности или
диффузии в телах, имеющих форму цилиндра, естественно
пользоваться цилиндрической системой координат (г, ср, %). Если
температура не зависит от <р и г, то мы приходим к уравнению
(обозначим х =* г)
Ж~т4:(*М'%) + П*,Ь (81)
В случае сферической симметрии уравнение
теплопроводности имеет вид
% = Щк(*>')*Щ + <М (810

§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 403
В гл. III, § 5, пп. 4—5 были изучены однородные схемы для
стационарных уравнений в сферической и цилиндрической
системах координат.
При х — 1 будем ставить обычное условие (первого или
третьего рода), например,
14A, *) = М*>, (§2>
а при х =* 0 естественное условие ограниченности решения
1шкх^- = 0 для (81), Иткх2^- = 0 для (81').
Рассмотрим сначала задачу теплопроводности в случав
цилиндрической симметрии
^-=■/* + /<*, О, Ьи = ?ъ{*Н*,Ъ%У (83>
*>0, 0< дг<1;
и (х, 0) = и0 (а:), 0 <; х <11;
хк ди/дх \^0 = 0, и A, г) = ц,2 @, * >.0.
Введем равномерную сетку на отрезке 0 < х ^ 1:
у <дн = {#< = гй, г =» 0, 1, 2, ..., N1 Ш = 11,
и сетку ют = (^ =*;т, ; = 0, 1, 2, ...} на отрезке 0 ^ I ^ Г.
Оператор Ь, следуя п. 4 § 5 гл. III, аппроксимируем
разностным оператором
Л (*) Щ = — (*|-1/.ад*;§|)х§| ~ Ьщ
где а<=* а(#{, I) и уравнению (83) поставим в соответствие схему
с весами
У г =* ЛA)у{о) + ф, ф = /(Ж, ?).
Чтобы получить разностное краевое условие при х = 0,
воспользуемся условием C4) из § 5 гл. III для стационарного
уравнения и заменим в нем уг на]/ха), /@) на(/ — •Щ-\ , затем -^-
на ии а и на у. В результате получаем краевое условие
а1 \!г) Ухл — -уУ/.о "" "/о »
которое можно также записать в виде
.^о = та1(^ + <Ро> Фо = /(о0>.
Вместо/оо) можно взять /@, *).
26*

404 ГЛ* УП- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Присоединяя сюда условия при х = 1 и I = 0, получаем
разностную краевую задачу
Уг - АA)у<а) + <р, 0 ^ х = (к < 1, I = ]х> 0,
У* =" №, #(#, 0) = щ(х), я ^ ©а,
где
Л^)у = та1©уж при я = 0,
Л (*) у= — (ха (х, I) у_) при 0 < х = $А < 1,1с == х* — 0,5Л.
' х \ х'х
Если о^О, то разностное уравнение для у< решается методом
прогонки.
Для погрешности ъ = у — и получаем задачу
%% — Л(Ш(а) + г|>, 0 ^ х = Иг < 1, г,- > 0, 20 = 6, г(х, 0) = 0,
где
ф = ЛШю@)+<р-и«.
По аналогии с п. 4 § 5 гл. III невязку ф представим в виде
где
п «0 (А2 + тт<т), ф* = 0 (Л2/*), г|>** = 0 (Л2 + т2).
Далее, для оценки г применяется метод стационарных неодно*
родностей и соответствующие априорные оценки. В случае схемы
с опережением (о =• 1) можно воспользоваться принципом
максимума и доказать, что схема сходится равномерно со скоростью
0(А2 + т).
Остановимся теперь на задаче теплопроводности в случае
сферической симметрии. Используя результаты п. 5 § 5 гл, III,
можно сразу написать схему для задачи (810—(82):
Уг = АA)у{а) + ч> при 0<я=*А<1, ^>0,
Ум = А> />0, у(хи0) = и0(х{), я*(=а>А,
где
А®й = р-(^а(«|Д)у;$4)я>1 при *>0,
ф| = /(«!•*) при ф« = /Dа) при ^0<*<ЛГ.
Для решения полученных разностных уравнений можно
применять обычный метод прогонки. Исследование невязки и оценка
точности схемы проводятся так же, как и в случае цилиндриче-

§ 1. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 405
ской симметрии. По аналогии_с § 5 гл. III пишутся разностные
схемы на «потоковых» сетках со*.
12. Периодическая задача. Рассмотрим задачу о
распространении тепла в однородном тонком круговом кольце 0 < ф < 2л
радиуса г0:
ди а2 д2и
, 0<<р<2я, *'>(), м(ф,0) = ио(ф).
Для однозначного определения ю(ф, I') должно выполняться
условие периодичности
а(ф + 2я, *') = и(ф, *') для любого ф е [0, 2л],
которое можно заменить условиями сопряжения в точке ф = 0:
н@ + 0,*') = иBя-0,О, 4=-| ,_ =■=■!
Л ' ' ' х ' Оф |ф«0+0 #ф |ф=2Я-0
Заменой переменных
я = ф/Bя), I = аЧ'/Bяг1)
преобразуем отрезок 0 ^ ф ^ 2л в отрезок 0 ^ х ^ 1, а
уравнение — к виду
Ъ—Фг* 0<*<1. *>0, и(*,0) = ио(х),
»@+0,0-»A-0,0, ^@+0.0 = ^A-0.0.
Введем сетку
юЛ = {*« = й, 1 = 0, 1, ..., ЛГ, к = 1/Ю
и напишем простейшую неявную схему
Уг = Уж> 0<ж = 1А < 1, * = /т> 0, у (х, 0) = и0 (х).
Первое из условий сопряжения и@ + 0, I) =» иA — 0, Й дает
У*~Ук.
Второе условие аппроксимируется, по аналогии с гл. III, § 5, п. 2,
уравнением у^0 = У^о* При этом точки х = 0 и ж =» 1 считаем
совпадающими и ставим условие
Таким образом, разностную схему пишем во всех узлах
1-»1, 2, ..., N сетки ©Л, учитывая условие периодичности
У*+1= У1 ПРИ написании схемы в узле г = N.

406 ГЛ- УП- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аналогично ставится разностная задача п для уравнения с
переменными периодическими коэффициентами
% = Мк<**>Ъг) + 1<*Ь 0<*<1, *>0,
и(х, 0) = и0(х), 0^ж^1
и периодическими краевыми условиями (условиями сопряжения)
и@ + 0,*) = иA-0,*), кЫ = *-?Ч
4 7 ч " дх |х=о+0 дх |х=1-0
Все функции Их, *), /(х, I), и0(х) периодичны с периодом 1,
так что и0(х + 1) = щ(х), /(х+1, г) = /(х, *), к(х+1, Я—Их, I).
Коэффициенты &@ + 0, I) и /сA — 0, I) могут быть различны:
/с@ + 0, *)^М1 —0, 0. При этом производные ди/дх разрывны:
5и@ + 0, 1)/дхФди{1 — 0, 1)/дх. Если отождествить концы х = 0
и х = 1, то условия периодичности можно трактовать как условия
сопряжения в точке разрыва коэффициента Их, {). После этого
становится понятным, что схему надо писать во всех узлах &=*
в1, 2, ..., №с учетом условия у*+4 = у4. В результате получим
однородную схему с весами:
У* = Л(*)у(а) + фОм), х=&, * = 1,2, ...,Д, * = (/ + 0,5)тг
у (х, 0) = м0 (я), у*+1 = у1э у0 = уц,
ще Ау= (а(х,Т) у^)х и коэффициенты а и ср находятся по
обычным формулам, например,
Я< = &{-'/„ ф1 = 0,5(/<-0 + /ц.о).
Написанные условия однозначно определяют решение. Эта схема
имеет аппроксимацию' 0((о — 0,5)т + т2 + к2).
Для определения у = у*+1 получаем задачу вида
^#1-1 — С$Х + А{+1у{+1 = — Ри I = 1, 2, . . ., ЛГ,
#N+1 = Л, Уо = У#» -4г = аТОг/А2, С| = ^г + ^г+1 + 1»
которая решается методом циклической прогонки (см.
Дополнение, § 2).
Для исследования вопроса об устойчивости и точности
рассмотрим пространство Н сеточных функций у(х{), заданных при
1=1, 2, *.., #, N+1 и удовлетворяющих условию
периодичности уя+1 = уи У* = *Л>. В Н вводится скалярное произведение
N
(у, ь>) = 2 пхщк и норма Ы =■ У (у, V).
Пусть Ау = —Ау при у&Н. Для -4 справедливы формулы
Грина и А =-4*>0. Далее следует воспользоваться результатами

§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 407
общей теории устойчивости из гл. VI, в силу которой построенная
здесь схема безусловно устойчива при о ^ 0,5.
При а=1 для нашей разностной задачи справелив принцип
максимума при любых т и А, из которого следует равномерная
устойчивость по начальным данным и по правой части, а также
равномерная сходимость со скоростью 0(т + й2).
§ 2. Однородные разностные схемы
для уравнений гиперболического типа
1. Исходная задача. В прямоугольнике
Ют = [0 < х < 1] X [0 < I < Т]
будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения
второго порядка гиперболического типа
-^ = 2ж + /(М), Ьи = ^х[к(х,1)^ (М)еОг, A)
и (х, 0) = щ (я), -^ (х, 0) = и0 (*), B)
и @, *) = **! (О, "(М) = Щ (*), C)
О < сг ^ к (я, I) ^ с2,
где Вт = @< х< 1) X @ < I ^ Я.
Как обычно, предполагаем, что эта задача имеет
единственное решение, непрерывное в замкнутой области Вт и
обладающее требуемыми по ходу изложения производными. Допускается,
что коэффициент Ых, I) (и правая часть /(#, *)) может иметь
разрывы первого рода на конечном числе прямых, параллельных
оси координат 01 (неподвижные разрывы). На каждой линии
разрыва х = |в, $ = 1, 2, ..., $0, выполнены условия
сопряжения (непрерывность функций и и к ди/дх при х =» |„ 5 = 1,
[и] - и(\9 + 0, *) - »F. - 0, *) - 0, [к ди/дх] - 0. D)
2. Однородные разностные схемы. Перейдем к построению
однородной разностной схемы с весами для задачи A)—C).
Пусть о>л = {х»,. * = 0, 1, ..., #, х0 = 0, #* =_1} — произвольная
неравномерная сетка на отрезке 0<#^1, о)т = {^ = /т, 7_=0,
1, 2, .„, /0} — равномерная сетка на отрезке О^^Г, ©лт =
= ©лХсот — сетка в прямоугольнике Вт. Построение однородной
схемы для задачи A)—C) начнем с аппроксимации Ьи + {
разностным оператором Ли + ср = (а (х, I) и^ + ф при
фиксированном ^ е сот.

408 ГЛ* УП- ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Заменяя д2и1д& |*=^ ~ и-и, Ьи + / ~ Л (*>) и^1'*2' + ср, где
у> ' = оги + A — ах — а2) и + о2и,
Л (*$) и = (а (я, ^) ^) ^, и = и§, и = и*~"\ и = и5+\
получаем однородную трехслойную схему с весами
У-„ = ЛШ(<,1,02) + Ф. E)
Коэффициент а бережна среднем слое 1 = 1}.
Подставляя в.E) у = у + хуо +0,5т2^, у = у — ху • + 0$хгу-ш
где у о = (у — у)/Bт), уй = (у — 2у + у)/т2, получим у^°2) =
= У + (а1 ~ аг) ъу°х + 0»5 (ах + а2) т2у^, после чего запишем
схему E) в виде
(Е - 0,5 (ад + а2) т2Л) уь - (^ - оД тАу • = Лу + <р, F)
где 2? — единичный оператор. При О! = о2 == о получаем
симметричную схему
(#-ат2Л)уь=Л1/ + ф(*,0, 0<* = /т, G)
изучением которой и ограничимся.
Краевые условия и первое начальное условие
удовлетворяются точно:
у@, г) — и,Ш, уA, О — в2(*), у(я, 0) = щ(х). (8)
Второе начальное условие дю/д*|«_0 = й0(#) можно
аппроксимировать двумя способами. Один из способов указан в гл. II:
у г (х, 0) = й0 (х), где и о (х) = йо Ы + 0,5т(Ьи0 + /) ««0. (9)
Он имеет второй порядок аппроксимации по т.
Второй способ состоит в том, что для определения у(т)
пишется разностное уравнение
(#-от2Л@)Ы:г, 0)>=йоЫ + 0,5т(Лио + /(*, 0)). (9')
В результате задаче A)—C) ставим в соответствие одрород-
ную разностную схему, определяемую условиями G)—(9) {или
G), (8), (9')).
Эта схема является трехслойной. Для вычисления значения
у=#ж на новом слое надо знать значения у5 и у*~1 на двух
предыдущих слоях. На каждом новом слое 1*=Ъ+1 решается

§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ'ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 409
(методом прогонки) краевая задача относительно у = уж:
{Е-<п2А)у = Р, Ь<х = гк<1, у0 = щ, ^ = «2, A0)
Ш) - 2у - у - т*Л(Bо - 1)у - су) + т^, * > т,
/7@) п. ц0 + т*@,5 - а)А@)щ + ти0(*) + 0,5т7(я, 0).
3. Погрешность аппроксимации. Пусть и(х, *) — решение
задачи A)—C), у (ач, *,) = у1— решение разностной задачи G)—(9).
Напишем, как обычно, уравнение для погрешности г\ = у\ — цц
где 14 = и(лч,*,).
Подставляя у = 2 +и в G)—(9), получаем
(#-ат2Л)^ = Л2 + ф(х,*), 0<х<1, *>0, A1)
*(*,0) = 0, 2@,0 = ^A,0 = 0, х* (*,0) = г(я),
ф (я, 0 = Л @ и — и^ + ат2Ли^ A2)
V (*) = 0,5т (Ь1г0 + /)^0 + Щ (х) — щ (х, 0),
— погрешности аппроксимации (на решении задачи A)—C))
уравнения A) и второго начального условия B) соответственно.
Если Их, ;) и /(я, *) имеют конечное число неподвижных
разрывов, то сетку о)л = соЛ(Ю выбираем так, чтобы линии
разрыва проходили через узлы этой сетки (ср. § 4 гл. ТП и п. 5
| 1 настоящей главы).
По аналогии с § 1 преобразуем выражение для ф к виду
* = !!? + *•. A3>
где
* - ч, - (*#),../.+ол-16.+# [й- ш},-.,: A4)
г|,* = 0(т2 + А2). A5)
Для этого возьмем уравнение-A) в момент * = ^ и
проинтегрируем его по # в пределах от я<-.Л до я<+у,:
(к—\ —(к—) +
*!+«/. аЧ+|/, «
С С д и (х. IЛ
+ \ /(*,«**- ] ^ »Д*=0. A6)
Разделим это тождество на Й« и вычтем его из правой части

4 Ю гл. VII. однородные схемы для нестационарных уравнений
формулы A2) для \|><:
-«Ъ.« + *-^ 1 (/(^^-■^^)^ A7)
Коэффициенты а< и ф< определяются при фиксированном * = ^
по формулам § 4 гл. III.
Пусть Х\ — точка разрыва к и /. Возьмем простейшие формулы
для а* и ф*:
(ц = /Сг-1/„ ф| = 2% , A8)
где /? = /(«,±0)..
Учитывая, что дги/д1г непрерывна на линии х=*\ разрыва
функций &(х, I) и /(х, *), по аналогии с § 4 гл. III получаем
*гТ('*»-ЭД*-
--(М+т(«(«-^),..;,к1+"(«)-
Подставляя это выражение в формулу A7), найдем A3)—A5).
Из A4) видно, что
тн = 0(й? + т2), Чм = 0(А?.+ т"). A9)
4. Устойчивость и сходимость. Чтобы не завышать
требований гладкости коэффициентов и решения при оценке порядка
точности схемы G)—(9), используем различные априорные оценки
для операторно-разностной трехслойной схемы
Лй+Л* = ♦(<), * = /т>0,
2@) = 0, г^@) = V.
Здесь Д Л — линейные операторы, заданные на гильбертовом
пространстве Я (см. гл. VI), я(*) и ф(*) — абстрактные функции
I е сот со значениями в Я, V — элемент Я. В нашем случав Я «■
о ^
= й — множество сеточных функций, заданных на ©л и
обращающихся в нуль на границе, при х = 0 и х = 1. Скалярные
произведения имеют вид
B, и)т = 2 *&&, (*, *>) = 2 *М*1. (*, и] = 2 *^Л-
г=1 1=1 *=1
" *\-Чг
Лг/гГ+Лг+1/?

§ 2. СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 411
Будем использовать следующие нормы:
|*|с = тах|г(*)|, |1| = уТ^, [хЪ^УЩЪ.
осб=й>л
В нашем случае операторы Ли/), как показывает сравнение
G) и B0), равны
Л = -Л, И = Е - от2А = Е + ох2А.
Оператор А — самосопряженный и положительно определенный
А > &СьЕ, для его нормы верна оценка (см. гл. II, § 4)
||Л||< 4с2/Йт1П, АтШ = ПИП К
1<^<N
Схема B0) устойчива при условии (см. гл. VI, § 3)
В>1+1х2Ау или фу,у)>^г_1хг{Ауху)г
где е > 0 — произвольное число, не зависящее от й. Это условие
или
1 л. е Л* 1п
будет вьгаолнено при о* ^ сге = —т —у—.
В гл. VI, § 3 были получены следующие оценки для
задачи B0):
\^%Ч)<М}/'Ш^г1@ЦЩх) + ^4^Чо-ЧгЛ "B1)
< М ]Л±^ A г, @) Ью + шах (|V |А-1(<я) +1 ф? 1А-1(Ч))). B2)
Эти оценки имеют место для схемы с весами B0), если а> о,
и 1а,| <с3а.
В § 4 гл. II для равномерной сетки были получены оценки,
которые в случае неравномерной сетки принимают вид
|*|л>/*|%]|>1^Н1*
ИЙл-1 = Иг|А-1<у^1л)|, B3)
1ЫА-1<у^Ы при г|5 = Л5-
Так как Б — самосопряженный оператор и
В = Е + о%*А = Е + (о-ое)т*А + оуЛ4 >
тоД-^Я, Ыд-х^Ш.
> Я + 0,5тМ - у=у 4 > гЕ,

412 гл- VII. ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Представим решение г задачи A1)—A3) в виде я«=1; + и;,
где V и ьр удовлетворяют условиям
гт. = Аим + г\~, »(*, 0) = гг(х, 0) = О, г0 = р* = 0,:
" B4)
и^ = Ли?(а) + г|>*, и>(х, 0) = 0, и>,(*, 0)^(х), ш0=ш^=0.
Из B1)—B3) следуют оценки для V и ш:
|,»Ч,<Дгяшх Aч*]1+К]П. BЮ
Уво<*<^ В * л/
1^11в<^(иDо+2^1*в*|) <22'>
где |у(?> = ((Е + оА1К V)» = | V |2 + ат2 (а, V?].
Теорема. Пусть к(х, #) и /(агэ *) имеют разрывы первого
рода на конечном числе прямых х = |в, 5 = 1, 2, ..., $0,
параллельных оси координат 01, а в областях
Д. *= &<*<?■+1. 0<*<*0), 5=0, 1,..'.,50, |0=0, 5^+1 = 1,
коэффициенты Ых, I), /Ог, *) и решение и(х, *) являются столь
гладкими функциями, что выполнены условия A9) и A5). Тогда,
если выполнено условие B2), го схема G)—(9) ка специальных
последовательностях неравномерных сеток ооЛ(Ю равномерно
сходится со скоростью 0(т2 + й2), гак что для решения задачи A1)
имеет место оценка
\ г5\с = У~ и5 \с < М (т2 + А2,), гЗе А0 = шах А«. B5)
Для доказательства теоремы достаточно воспользоваться
априорными оценками B10 и B2') для V и ш и учесть
соотношения A5) и <19). .
Замечание. Теорема сохраняет силу, если вместо G) взять
схему
(#-ат2л)г,ь = Лг, + Ф, B6)
о
где Лу= г/^—постоянный оператор (регуляризатор, см. гл. VI,
о
§ 3). В этом случае А = —Л, Н ■* —сЛ, В = Е + т*.Н. Достаточное
условце устойчивости B1) будет выполнено, если
с = A + е)с2/4 B7)
При оценкв погрешности аппроксимации для этой схемы
изменится лишь формула A4) для г\; вместо отаяи^- надо написать
<л*и;& где с есть B7).

Г лав а VIII
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В этой главе рассматриваются разностные схемы для квазилинейного
уравнения теплопроводности и для уравнений газовой динамики. Большое
внимание уделяется итерационным методам решения нелинейных
разностных уравнений. Доказана сходимость метода Ньютона для неявных схем
газодинамики.
§ 1. Разностные методы решения
квазилинейного уравнения теплопроводности
1. Стационарная задача. Начнем с простейшей задачи,
которую можно трактовать как стационарную задачу
теплопроводности с нелинейными источниками:
и" = -/(»), 0<ж<1, »@) = 0, юA)=0. A)
Введем на отрезке 0 < х < 1 равномерную сетку ©л = {я« = (к9
ъ — 0,1, ..., ДО, Ш = 1} и напишем разностную схему
»;*= — /(»)* * = *. « = 1.2, ...,ЛГ — 1, у0 = ^ = 0. B)
Для погрешности ъ = у — и получаем задачу
*«+/'(»)*=-♦. Х=1Н> 1<*<#-1, 20 = зд = 0, C)
где у = и + 02, 0 ^ 8 < 1, г|) = и-х + / (и) — невязка.
Очевидно, что схема B) имеет второй порядок аппроксимации
ф = 0(й2).
Если /'(у) < 0, то для решения задачи C), согласно гл. III, § 6,
п. 2, справедлива оценка
1Ы1с<11ф11с, D)
из которой следует, что схема B) равномерно сходится со
скоростью 0(й2):
1Ы1с = ||у-и|1с = 0(Л2).
Решение задачи B) органичено, и для него верна оценка
|уПс< 1/@I =с0, E)

414 гл< УШ- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
«сли_/'(у)<0. В самом деле, /(у)-/@) + (/(у)-/@))-/@) +
+ /'(*/)у> где у ?= 8у, 0 < в < 1, так что
^+/'&Ь=--/@), Уо = УN = 0.
Отсюда в силу D) следует E).
Для решения нелинейного разностного уравнения B)
применим метод Ньютона
А+1 А к+1 к к
ухх + Г(у)(у-у) = -Ну),
А+1
тде й —номер итерации, & = 0, 1, 2, ... Для определения у
имеем трехточечное линейное разностное уравнение
А+1 к к+1 к к к к+1 к+1
у^+Г (у) у =~(Ну)-Г (у) у), Уо=уя= о, F)
которое решается методом прогонки; прогонка устойчива при
Оценим скорость сходимости итераций. Введем погрешность
Л+1 к+1
V = У —У,
к к
тде у — точное решение задачи B). Подставляя у = у + *>*
Л+1 А+1 А+1
у =у+ V в уравнение F), получаем для V задачу
Л+1 к к+1 к к+1 к+1
«Ъ.+ Г<0» =-Л *>о=^=0, G)
р = №-М) + <1г-у)Г&). '
Учитывая затем разложение
ш=ш+п5)(у-у)+о,5гб)E-1,)а*
к Ъ &
тде у = у + 6 (у — у), 0 < 9 < 1, — среднее значение, найдем
Таким образом, требуется оценить решение задачи
А+1 А А+1 & к к+1 к+1
Ъ + *' (У) " =°>5Г (У) »*. уо = ^ = 0. (9)
Если /(у) — вогнутая функция, т. е. /"(у)>,0, то, в силу
принципа максимума/
А+1 А+1 ■ А+1
(8)

§ 1. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 415
т. е. итерации приближаются к точному решению задачи B)
снизу.
Для решения задачи (9) верна оценка
А4-1 л к к
\»ъ=ъ\г<ум°& (Ю)
или
А+1 к
если НГA/I1с = 16д.
В самом деле, в силу принципа максимума (ср. гл. IV, § 2)
задача (9) при /'(у) <0 имеет мажоранту
7(х) = КхA-х),\7(х)Ъ<±К,
к
где К = ^ЦГ^ЫуЦс. так что
к4-1 л к к
М-1 к 0 д.|-1
Замечая, что \д V |с<|?у||с< • • • <1?^1с > получаем
1%<^Мс+\
т. е. итерации сходятся по квадратичному закону, если началь-
о
ное приближение у выбрано так, что
о - о
9)р|с<1, т.е. д\\у — у|с<1.
Если //(у)>— си с1>01 то вместо A0) можно получить другую
оценку в сеточной норме Ь2:
М<^^М = ^Ы^ (И).
где 6 = ^8т2§, д1 = 0,5||Г(у)||с
Возможны и другие итерационные методы решения задачи B)-
Рассмотрим, например, метод
к4-1 к к I
г/;«=е^-A-е)Ш,
где параметр 6 выбирается по формуле
в = гЬ» ^ = 21' с* = тах\Г(у%

416 ГЛ. VIII. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
При этом итерации сходятся со скоростью геометрической
прогрессии со знаменателем д2 = 9, так чтоц V |^9г|р||^9*+11г;1-
Так как 8 < 1, то итерации сходятся при любом выборе на-
о
чального приближения у.
2. Квазилинейное уравнение теплопроводности. В предыдущих
главах мы рассматривали лишь линейное уравнение
теплопроводности. Между тем, для высокотемпературных процессов,
протекающих, например, в плазме, коэффициент теплопроводности
является нелинейной функцией температуры (и плотности), а в
ряде задач, кроме того, функцией градиента температуры. Далее,
источники тепла (правые части в уравнении теплопроводности)
могут зависеть от температуры, если, например, тепло выделяется
в результате химической реакции. От температуры может
зависеть и теплоемкость среды.
Таким образом, мы приходим к нелинейному уравнению
теплопроводности
*^ = _|| +/(*,,,„), A2)
где тепловой поток
»=*(*,*, и, 2)
— нелинейная функция температуры и и производной. Если
тепловой поток линейцо зависит от производной ди/дх и выполнен
закон Фурье
ю= — к(х,1,и)рх%
то мы получаем квазилинейное уравнение теплопроводности
с {х% *, и) > 0, к (х, *, и) > 0.
В этом случае теплоемкость с, коэффициент теплопроводности к
и правая часть / (плотность тепловых источников) зависят от
температуры и(х, *). В неоднородной среде /с, с, / могут быть
разрывными функцииями х и I (для разных веществ зависимость
А, с, / от температуры и может быть различной).
Типичным является случай, когда функции к = Ми), с = с(и),
/ = /(и) зависят только от температуры и:
«<»>Й-я(*<в>ё)+/<а>- <14>

в 1. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 417
I*
Вводя новую переменную у = \ & E) д&% приведем уравнение
о
A4) к виду
где ф(у) = |с(Б)<#.
о
о
Если положить у=]с(Б)й|, то вместо A4) получим урав-
о
ду д ( . .ду\ . у, \
нение
так что ] х (и) дм = ] к (и) Ли.
о е
Весьма часто с(и) и &(ю) являются степенными функциями
температуры:
с(ю) » с0ав, & «■ &0ю*.
и
Вводя в этом случае V = ] с (Б) й^ = с0 ^г"! и учитывая, что
о
** с0аа5д? с0 ** со\ со ) **%
преобразуем уравнение A4) к виду
р-а
2? -1 и у°дА + 7 ад а - Ё=« к - Ы*±1$*1
Т*-~Тх\Кои дх) + 1 ™ а""ЙТ* °~ с0[^Г) •
3. Некоторые аналитические решения квазилинейного
уравнения теплопроводности. Нелинейность коэффициента
теплопроводности приводит к новым физическим эффектам, главный из
которых—конечная скорость распространения тепла. Убедимся в
этом, найдя простейшие частные решения уравнения
Ж = зИх°и<,-ё)' х«>0' а>0* х>0- <15>
Пусть при х « О задана температура
и-и,*" A6)
и требуется найти решение уравнения A5) в области «>0, *>0,
27 А. А. Самарский

418 гл- VIII. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
предполагая, что начальная температура равна нулю:
»(*, 0)-0. A7)
Будем искать решение задачи в виде бегущей волны
и(х, О = V\Б1 — #), И = сопз1,
где 27(|) — неизвестная функция.. Подставляя это выражение в
уравнение A5) и учитывая, что
ЛЛ— п*Е. ди — аи
дх "" и й\ ' дх ~"~ аь'
получаем для С7(|) обыкновенное дифференциальное уравнение
ЯСГ = (х0С7оСП'.
Отсюда находим
х0[7*С7' = ЯС7 + соп81;.
Полагая сопз1 = 0, будем иметь ^
и (с/а)'
х0#а#' = 0*7 или °^аУ = 1.
Интегрируя еще раз, получаем
Так как {7 = 0 при I = а: = 0 (| = 0), то с0 =* 0,
Отсюда следует, что при х = 0
„(о,г).(^у>.
Сравнивая с A6), находим
1 Я2а а
Таким образом, задача A5)—A7) имеет решение в виде бегущей
волны
и(*,0 = и//оA--^-I/<Т =
= -^(Ы-хI/а при 0 <*</)*, A8)
и (х1 I) = 0 при х ^ /)г,
если выполнено условие п = 1/о; при этом скорость волны

§ 1. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 419
определяется параметрами и0, о и и0:
и является конечной. Решение вида A8) называется
температурной волной.
Найдем тепловой поток
ка+1
*о-^Ьш V* - *> = *о"о7(<тД) и (я, I).
Отсюда видно, что на фронте температурной волны х = 01
температура и тепловой поток равны нулю при о>0, а производная
ди и« 1
6х ав\/о (т _ а.I-1/а
обращается в бесконечность при о > 1, конечна при о = 1 и равна
нулю при 0 < с < 1. Поэтому при а > 1 можно говорить лишь об
обобщенном решении уравнения теплопроводности A5).
Причина конечной скорости Б фронта — нелинейная
зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Из
формулы для Ь видно, что для линейной теплопроводности, когда
о = 0, формально получаем /) = «>, т. е. скорость распространения
тепла бесконечна.
Возможен случай, когда температурный фронт неподвижен,
т. е. В =■ 0. Такое решение существует при специальном
граничном режиме вида
"@,0-"о „ '. ™>0, A9)
(го"~)
где и — произвольная постоянная, если предположить, что
начальное условие задано при * = — °°:
и(х, -оо) «0. B0)
Будем искать решение уравнения A5) методом разделения
переменных, полагая
и{х, *) = и(х)Т-Ш.
После подстановки этого выражения в A5) и разделения
переменных получим
1 й / ,
а йу \ 1 6Т
их) т<з+1 аг »
где А — параметр разделения. Отсюда находим
Е-КЭ-^Н B1)
•—- = иа+\ B2)
27*

420 гл- ТОН. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Будем искать решение уравнения B1) в виде
Vе = а(х1 — #)р,
где аир — неизвестные пока числа, х{ — произвольное число.
Подставим Vе в уравнение B1):
Хоа1+Т 1(|- + Р - 1) (^ - *)р/°+р-2 - Ьсс1Ат (^ - *)*/а = 0.
Отсюда находим
0 = 2, а =
Хо2
2х0B + а)'
Проинтегрируем теперь уравнение для Т:
Ш = [аЯ(с0-*)]-1/а,
где Со — постоянная интегрирования. В результате мы приходим
к функции
и(x,*) = V(x)Т «) = (%) [4^1 ■
Сравнивая с граничным режимом A9), находим
/ х2а у/о / х2а у/о
ш = \1о, *0 = *0, "о=(~г] =[2*0!о + 2))
и, следовательно,
*? = 2и0(а+2)ы?/сг.
Таким образом, уравнение A5) с граничным режимом A9)
имеет решение
/ 1 — х1хл \2/а
и (я, *) = щ 1—т==г I при 0 < х < х19 B3)
и (я, I) = 0 при #> х19
где ж4 — ширина области прогрева.
Фронт температурной волны неподвижен, та^с как х1 = сопз1
не зависит от I и зависит только от параметров задачи х0, а, и0<
На фронте тепловой поток и температура обращаются в нуль
при любом а > 0, а производная ди/дх = «> при а > 2 (на фронте
бегущей волны ди/дх = °° при а > 1).
Решение B3) типа «стоячей волны» существует при 1<и,
что связано с типом граничного режима A9) (который
называется режимом с обострением).
Для уравнения с тепловым источником, зависящим от
температуры по степенному закону
ди д ( о ди\ , б /0/\
■дТ=И{*ои Л) + Я*и> B4)

§ I. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 421
существуют решения как типа бегущей волны (при A<а + 1),
так и типа стоячей волны (при р = о+ 1).
Численное решение таких задач по схемам сквозного счета
представляет значительные трудности из-за нелинейности и
обращения в бесконечность производной на фронте температурной
волны. Найденные в этом пункте точные решения являются
хорошими тестами для проверки точности разностных схем.
4. Разностная схема. Метод Ньютона. Перейдем к написанию
разностных схем для квазилинейных уравнений
теплопроводности.
Использование явных схем нецелесообразно, если Ии), с(ц),
/(ц) являются быстроменяющимися (например, степенными)
функциями температуры. Условие устойчивости, явной схемы
т ^ 1 т1пс(ц)
?^ 2 тахА(и)
требует мелкого шага по времени, определяемого часто
значениями функций Л, с в небольшом числе узлов. Поэтому
применяются безусловно устойчивые неявные схемы.
Рассмотрим сначала уравнение
-^ =•§-,. 0<*<1, B5)
с краевыми условиями
ц(я, Ч)) ■=» ц0Ы, ю@, *) = ц,4(*), иA, *) = ц2(*)«
Для его решения используем нелинейную относительно {^+1
разностную схему
ф(уж)~ф(И =у^ з = *4=Л, 0<*<ЛГ, ЙЛГ=1. B«)
Предположим, что <р'(у)>с1>0, \у"(у)\^с2. Тогда нетрудво
убедиться в устойчивости этой схемы и сходимости в С со
скоростью 0(т + Аа). Однако доказательство этих фактов весьма
громоздко, и мы не будем его приводить.
Для определения решения у*+1 на новом слое мы имеем
нелинейное уравнение
Используем для его решения итерационный метод Ньютона
к к (к+1 к\ Л+1 .
*Ф О/) + Ф1 (у) [У - У) -1^ = Ф (Л B7)
Для определения отсюда у при граничных условиях
А+1 А+1
У 0 = 1*1 («Л-О, УN = Ц2 (*|Ч1> B8)

422 (ГЛ' ут МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
можно пользоваться прогонкой, которая устойчива при
Ф'<Ь>0.
Это видно из самого уравнения, если переписать его в виде
1 = 1, 2, ...,ЛГ —1Г
л л к к
где ^ = ф(у)~ ф(у) — ч>'(у)у, у = У*.
Оценим скорость сходимости итераций. Для этого введем
разность
к+1 к+1 ^
щ = ^ — г/ь
^ч ... к ~ Л Ь-Ы ^ к +1
ГДе^ = У г . ПоДСТаВЛЯЯ В B7) Уг = Уг+ Щ, у г = ^ + 1>\ , ПО-
лучим
А к+1 к+1 к к к ^
ф' (У) " — Т Г-х - ф(у) — ф(«/) + ф' (I/) V + 1У~ХХ =
А к к
= ф (у) — ф 0/) + ф' (.у) (у — й •
Учитывая затем, что
Ф 6) = Ф (У) + Ф' 4) (У - й + 0,5Ф" (у) (у - у)\
и, следовательно,
Ф (У) - Ф 4) + Ф' (I) Л - у) = Ф* <*/) ^/2,
где у = у + 6^, 0 < 6 ^ 1, приходим к следующему уравнению:
к к+1 к+1 к к
<р'(у) V -г»^ = Ч>"(У)»2/2 = Р, *=&, 0<?<ЛГ, B9)
с однородными краевыми условиями '
Л-И. Ч й+1
г>о = 0, зд = 0. C0)
Пользуясь принципом максимума, получаем оценку
Л+1 к . к к
\Ис < 0,51Ф" (й/ф' (у) И ?|с < ?| И1с, C1)
к
где ? = 0,511ф^(у)/ф/(»I1с<0,511фяг(уI1с/с1<0,5с«/с1=*?о, так как
ф'^^Х), |ф"(у)|<са.
Отсюда следует,; что для сходимости итераций по
квадратичному закону достаточно, чтобы начальное приближение удрвлет-

§ 1. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 423
воряло условию
У-у\\с<2е1/с2. C2)
о .
Если, например, взять у = у = у , то это условие означает, что
т11^11с<2с1/с2
и всегда выполняется при достаточно малом т.
При практическом использовании метода Ньютона итерации
сходятся с любой заданной точностью е в том случае, когда
ф(у) = *Л а<1, ч>'(у)=-ауа~\
Ф"(у) = -аA-а)уа-2.
Если у > О, т. е. может обращаться в нуль, то с2 = °° и
предыдущие оценки неприменимы. .
Заметим, что из условия <р"(у)<0, в силу принципа
максимума, следует, что решение краевой задачи B9), C0)
неположительно:
т. е. приближение к корню происходит снизу. Поэтому, если
о ^ 1 ^
начальное приближение у<у% то первая итерация у<у. При
этом может оказаться, что у < 0, и счет становится практически
невозможным.
5. Различные неявные схемы для квазилинейного уравнения
теплопроводности. Рассмотрим теперь два типа чисто неявных
схем (схем с опережением, о= 1) для простейшего
квазилинейного уравнения теплопроводности
% = Мк(и)ъ)+*Ы. 0<*<1,. 0<«<2\
C3)
и (х, 0) = и0 (х), и @, I) = щ (I), и A, I) = щ (I),
где к(и) > 0.
Схема а): • »„..
. —^— = а I я»+1 (У) —I (ч(У) —1 + / (уд- (Щ
Схема'б):
Ц^-т[^®Щ^-«0>!ф±]+1вЬ C5)

424
ГЛ. VIII. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
где У1 = уР1, У1 = у{, а\ (у) = а (у{-ь 1>{), например,
<ц(р) = 0,5[*(|;1_1) + *Ы], C6)
аф) = Ч^Ч^Ч C7)
я лл _ 2* ("!-!)* ("О т
От способа вычисления а<Ы сильно зависит точность расчета
температурной волны (см. п. 6). Проведенные численные
эксперименты для случая, когда к = к0иа есть степенная функция
температуры, показывают, что формулой C8) для а{(и) не следует
пользоваться, а формула C6) лучше, чем C7) (по точности).
Сравним схемы C4) и C5). Погрешность аппроксимации этих
схем 0(х + к2). Обе они абсолютно устойчивы. Схема а) линейна
относительно значения функции у*+1 на слое 1$+и и значения
функции у'+1 находятся по значению функции у5 на слое ^,
например, методом прогонки. Поскольку схема а) абсолютно
устойчива, шаг т выбирается только из соображений точности.
Схема б) нелинейна относительно функции г/;+1 и для нахождения
ее решения используется метод итераций. Итерационный процесс
строится следующим образом:
(«+1) Г # (в+1) . (в+1) (в+1) (в+1) И
У Я — VI 1 У\ Уг+1 - У\ /Ч У г ~ Уг-1 , 4 /Ч
—т = 7Гр+1^ ~~л аМ-^-1 ~\ + /(У0-
C9)
Относительно у разностная схема оказывается линейной.
В качестве начальной итерации берется функция у предыдуще-
го шага по времени: у = у . Итерационный процесс для
большинства встречающихся на практике коэффициентов /си/
сходится. Практически оказывается достаточным сделать две-три
итерации. Даже в том случае, если итерации не сходятся, для
повышения точности схемы оказывается полезным сделать две
итерации. При счете по итерационной схеме C5), C9) задают
либо число итераций, либо точность сходимости итераций е и
требуют выполнения условия
(•+1) («)
шах |»| —^|<е.
г
Недостаток схемы C5), C9) в том, что счет итераций
требует удвоения числа занимаемых в машине ячеек памяти по
(Н-1)
сравнению со схемой а), так как для вычисления у нужно
(«)
«помнить» у и у.

§ 1. КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 425
Для нахождения значения функции у**1 по функции у* пр!Г
счете по схеме C5), C9) нужно сделать несколько итераций,
а при счете по схеме а) значение ^+1 находится сразу.
Поскольку обе схемы абсолютно устойчивы и имеют
одинаковый порядок аппроксимации, то, казалось бы, и в этом
отношении схема а) имеет преимущество перед итерационной,
схемой б). Однако это не так.
Практика показала, что для получения одинаковой точности
счета по схемам а) и б) схема б) позволяет использовать
настолько более крупный шаг по времени, что, несмотря на необ*
ходимость итераций, это приводит к уменьшению объема
вычислительной работы.
Можно использовать схемы, имеющие второй порядок
аппроксимации по пространству и времени:
И.- Т [(« ® Й. + (а М Ф,] + > (Ч^)-
Однако такие схемы имеют недостаток, они — немонотонны, что
приводит, часто к появлению «ряби». Для получения хороших
результатов в этом случав нужно выбирать достаточно мелкий
шаг по времени.
В случае уравнений A3) со слабой квазилинейностыо при
к = к(х, *), /=*/(и), с = с(х, I) иногда используются так
называемые схемы предиктор-корректор, дающие точность 0(хг + кг).
Приведем пример такой схемы при с = & = 1, / = /(и) (рис. 18):
^5Г = У;, + Ш. У = у(*»чЬ ^т-
= Т &. + »*.) + /М-
D0)
Мы не будем останавливаться на теоретическом исследовании
указанных, выше схем. Во-первых, это приводит -к весьма
громоздким вычислениям и,
во-вторых, получаемые оценки весьма ущ
грубы (что, вообще говоря, типич- __
но для нелинейных задач) и У
дают не вполне правильное пред- у -
ставление об условиях
применимости рассмотренных
разностных схем. В связи с этим за-
3*1-1 XI
Х1+1
-й
4+1
~*Н
Рис. 18.
метим, что для нелинейных задач первостепенное значение для
проверки качества численных методов имеют тесты, т. е.
численные решения частных задач — типичных представителей класса
решаемых задач, для которых известны аналитические решения.
Заметим также, что для решения задачи C5), помимо метода
C9), можно применять метод Ньютона.

426 гл- У111- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
6. Расчет температурных волн. Рассмотрим теперь случай,
когда к(и) есть степенная функция температуры:
ди д / я ди \ //4Ч
1Г=МК'и^)' D1)
Как мы видели в п. 3, распространение тепла при этом
происходит с конечной скоростью, причем ди/дх обращается в
бесконечность на фронте при <т> 1.
Для расчета температурных волн можно применять схему б),
которая является схемой «сквозного счета» и не предусматривает
выделения фронта волны. Проведенные расчеты задачи A5)—
A7), имеющей точное решение A8), показывают, что всюду,
кроме нескольких ближайших к фронту узлов, отклонение
сосчитанного решения от точного оказывалось малым (не
превосходило 0,002 при числе узлов N = 50, и0 = 0,5, о = 2, Б = 5,
число итераций не превышало 3, *<0,2). При движении
температурной волны (слева направо) по нулевому фону температуры
происходит последовательное «включение» интервалов сетки.
В зависимости от способа вычисления коэффициента а&у)
включение новых интервалов происходит по-разному. Для
использования формулы C8) необходимо ставить перед фронтом
отличную от нуля «фоновую» температуру, и тем не менее включение
новых интервалов задерживается, что приводит не только к
занижению скорости волны, но и к сильному искажению решения
в окрестности фронта. Формула C7) непригодна при очень
больших значениях показателя о (при о>20). Наиболее точной
является формула C6), для которой не требуется ставить фоновую
температуру.
На рис. 19 приведены результаты численного расчета
температурной волны A8) по схеме C5) с коэффициентом C6).
Аналитическое решение изображено сплошной кривой,
результаты численного расчета отмечены крестиками.
7. Задача о фазовом переходе (задача Стефана). Пусть
имеются две фазы с коэффициентами теплопроводности и
теплоемкости Ми), к2Ы) и с4(и), с2(и). В каждой фазе температура
удовлетворяет уравнению
с«(«L7 = ^(М*>-ё)' «=1.2. D2)
На границе раздела фаз температура постоянна и равна
температуре фазового перехода, и(х, *) = и*. Скорость движения
границы фазового перехода % удовлетворяет уравнению
и ди \ __ ъ. ЛЦ I а ^б
*1 дх и*+о *2 дх |х=5-0 ~" <*' '
если в первой фазе и < и*, во второй фазе и > и*.

§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 427
Вводя б-функцию, уравнение D2) (с учетом условий на
границе фазового перехода) запишем в виде
(с(и)+\Ь(и-и*))%=^(к(и)%),
1*1 (и), и<и*, _ 1кг (и), и < и*,
С{и) = к(и)> и>и\ к{ц)~\кМ. ">**•
Для решения задачи (Стефана применяется метод сглаживания:
б-функция заменяется б-об-
разной функцией б(и — а*,
Д), отличной от нуля лишь
на интервале (и* — Л, и* +
+ Д) и удовлетворяющей
условию нормировки
и*+Д
| б (и — и*, Д)йы = 1.
и*-Д
Сглаживая на интервале
(и* — Д, и* + Д) функции
&|(и), &2(и), сДи), с%(и),
получаем квазилинейное
уравнение
~/ V ^«*
^М >
Ш X
для решения которого можно
использовать описанные выше схемы. Существуют и другие
численные методы решения задачи Стефана.
§ 2. Консервативные разностные схемы
нестационарной газовой динамики
1. Уравнения одномерной нестационарной газовой динамики
в цеременных Лагранжа. Многие процессы механики и физики
приводят к уравнениям газовой динамики. Это — задачи
аэродинамики летательных аппаратов, теории реактивных двигателей,
астрофизики, задачи, связанные с проблемой управляемого
термоядерного синтеза и многие другие.
Уравнения газовой динамики нелинейны, и для их решения
универсальным методом является разностный метод.
Хотя задачи газовой динамики решаются давно и
повсеместно, однако до сих пор нет строгих математических
результатов о сходимости какой:либо схемы даже в простейшей
ситуации. Качества схем проверяются на линейных моделях в акусти-

428 ГЛ' У1П- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ческом приближении, на тестах, т. е. путем решения частных
задач, решение которых может быть выписано в явном виде.
Решения уравнений газовой динамики, как правило,
разрывны — это либо слабые разрывы (например, «волна
разрежения»), либо сильные разрывы (ударные волны). Поэтому
принцип сгущения сеток для проверки точности численного метода,
имея в виду пример из гл. III, § 2, п. 1, следует применять
с большой осторожностью.
Мы будем в этом параграфе рассматривать разностные методы
численного решения простейших задач газодинамики.
Рассмотрим задачу об одномерном неустановившемся (нестационарном)
плоском течении газа. Пусть V —• скорость, р — плотность, Т —
температура, р — давление, е — внутренняя энергия (единицы
массы) газа.
Напишем уравнения движения газа (уравнения
газодинамики), выражающие законы сохранения импульса, массы и
энергии. Их можно записать в переменных Эйлера (#, I) и в
переменных Лагранжа ($, *), где х — координата частицы, 5 —
начальная координата частицы или же величина
к
*= |р(&,0)<&
о
т. е. величина массы, находящейся в объеме 0 < ^ ^ х. Система
уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа ($, I)
имеет вид
-1 == — -2. (закон сохранения импульса), A)
#-* <2)
— = -^ (закон сохранения массы), C)
-^ (е +#-^-) = — "^ (Ру) —5Р (8акон сохранения энергии), D)
р=р(р, Г), 1в = е(р, Т) (уравнения состояния), E)
где V) ~ поток тепла.
Из второго и третьего уравнений следует
*(*)-*• <«>
При этом уравнение B) можно исключить из системы, так как
оно может быть проинтегрировано отдельно.
Чтобы замкнуть систему этих уравнений, надо написать
выражение для теплового потока
ш=-х(р,Т)р|1, G)

§2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 429
где и = и(р, Т) — коэффициент теплопроводности. Обычно и есть
степенная функция Т и р.
Функция р(р, Г), е(р, Т) и и(р, Г) должны быть заданы.
Для идеального газа уравнения состояния имеют вид р=*ЯрТ,
еяе(Г), например, е = с1,Г, где В и с„ — постоянные, Л/св«
в Ч( — 1, ^ — постоянная, так что
в-/>/((Т-1)р). (8)
Отметим два предельных случая.
а) Адиабатическое течение, когда и> = 0, т. е.
теплопроводностью можно пренебречь, положив х = 0.
Перепишем уравнения газодинамики A), F), D) для
адиабатического течения идеального газа:
61 ~~ д$» ы \ р; "" д$ • *у'
Добавим сюда уравнение (8):
Таким образом, имеем 4 уравнения для четырех неизвестных
V, р, р, е.
Мы будем пользоваться вместо плотности р удельным
объемом г) = 1/р. Тогда будем иметь
рЛ = G-1)е. A3)
Уравнение A0) для полной энергии можно заменить одним
яз уравнений
тг—»*• <»*>
т—»* <15>
В самом деле, учитывая первое уравнение (9) и A2), получим
л д ( . 1>2 \ , д ■, ч дв . ( дг . др \ , др
__ дв , 0р __ дв , дт)
"■"аГ + ^аГ"" дГ"рГ#
б) Изотермическое течение газа, когда температура газа
У = сопз1 и уравнение энергии отсутствует. Условие Г = сопз1;
-соответствует случаю к -*■ °°. Система уравнений газодинамики

430 ГЛ- УШ- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
для изотермического течения идеального газа принимает вид
дг
~ &тг(у). '-*» <№>
где с = сопзЪ > 0 — скорость звука, или
ТГ~ 77* 17 - 1Г' • рт1~~с ". 11''
В дальнейшем мы проведем основное изложение для
уравнений газодинамики идеального газа в адиабатическом случае (9).,
A0) и (И),
К уравнениям (9), A0-) следует присоединить начальные
условия для всех искомых функций, т. е. задать
V(x9 0), р(ог, 0), р(х, 0) A8)
и краевые условия, например, вида .
р@, *)=р0(О при 5 = 0, рШ,1)=рМ) при 8 = М A9)
или
у@, I) = у0@ при 5 = 0, р(АГ, Й = рМ) при « = !/. A9')
Перейдем теперь к построению разностных схем для
уравнений газодинамики (9), A0) в области 0^5^Л/,Л>0.
2. Уравнения с псевдовязкостью. К разностным схемам
газовой динамики предъявляются прежде всего требования
однородности и консервативности. Однородность схемы означает, что-
разностные уравнения записываются одинаково во всех узлах
сетки независимо от того, является ли решение разрывным или
гладким, так что вычисления всегда и всюду ведутся по одним
и тем же формулам. Однородные схемы или схемы сквозного
счета в газодинамике содержат дополнительные члены с
псевдовязкостью, которые вводятся для .того, чтобы «размазывать»
фронт ударной волны на несколько интервалов сетки.
Формально псевдовязкость <о вводится как дополнительное
слагаемое к давлению р, так что в уравнения (9), A0) вместо р
входит сумма
# = /> + <»,
где «вязкое» давление (о = сэ(р, и8, к) зависит от р, и8 и от шага
сетки А. Обычно рассматривается два типа вязкости:
а) линейная вязкость
—#МН*|)-. . т_
• б) квадратичная вязкость, или вязкость Неймана
—***т№-1т1). <2))
5Де V*) — коэффициент вязкости.

§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 431
Отсюда видно, что функция со = 0 при -^>0 и отлична от
нуля при ди/д$ < О, т. е. в зоне ударной волны.
Таким образом, псевдовязкость действует лишь в зоне
ударной волны.
г» * V ди V (др\*
В дальнейшем будем писать со = — "«"ТйГ или ® = "тГ \17/ '
предполагая, что коэффициент вязкости зависит от знака ди/д$,
так что V = 0 при ди/д$ > 0.
3. Консервативные однородные схемы. Введение
псевдовязкости делает возможным построение однородных разностных схем
или схем сквозного, счета, пригодных для расчета
газодинамических движений при наличии ударных волн. Так как
уравнения газодинамики выражают законы сохранения импульса,
массы и энергии, то естественно требовать, чтобы и разностные
уравнения выражали соответствующие аналоги законов сохранения
на сетке, т. е. разностные схемы были консервативными.
Для получения консервативных схем будем исходить из
уравнений газодинамики, записанных в интегральной форме (т. е.
воспользуемся интегро-интерполяционным методом (ИИМ)):
ф(иа$-р(Н)=0, B2)
<|>(т1& + 1>Л)-0, B3)
((в + 0,5у2)<& - ри й1) =0, B4)
$
где интегрирование проводится по любой замкнутой кривой в
плоскости E, I).
Выберем сетку
о* =•{*«-Л, * = 0, 1, ..., ЛГ, А# = ДП,
(Ох = (Ь = /т, / = 0, 1, 2, ..., /о, /0т = *о>,
(Олх = @Л X (От.
Для удобства изложения сохраним обозначения у, т), р, е
при переходе к разностным уравнениям. Будем относить
функцию V к целым точкам 5 = *< сетки шл, а рг т|, е —- к полуцелым
точкам 5 = ${+о,5.
Напишем уравнение B2) для прямоугольника $<-% < 5 < $<+!/„
- ч+ч* Ч+г
| (^+1_^)Л+ [ (Рн../1-й-«/.)*=0,
Ч-Чг Ч
а уравнения B3) и B4> —- для прямоугольника *< < $ < *<+1,

432 ГЛ* У1П- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
I [(в + 0,5^ж-(в + 0>^]Л + ) [(рт)Н1 - О*)*] А = 0.
Заменим входящие в эти тождества интегралы выражениями
4+1 *;+1 Ь*+1
^ *> «3
где г а) = аа/ + A — оа) /;, аа — произвольный параметр,
Рив0,5(р*-.А+ ;?<+,/,), а= 1, 2, 3, 4, и далевч
ну/. н+1
В результате получим разностную схему
$^± + (?<+.,,-Г<_у,)(«1) в о, B5)
ч&.-чЬ.»/. ("щ-»*)^ B6)
±[(^А+.Й^)~_(.^+**!*)']-
?ЙШ -р1?'»Г'' B7)
Это — консервативная схема при любых значениях параметров
0ь Ог, Оз* а4. В частности, при а{ = 0, о2 = 1, о3 = 1, о4 = 1
получаем систему разностных уравнений, которая может быть
решена по явным' формулам: сначала находим г^+\ затем тн+»/,«
а из уравнения энергии и уравнения состояния рх\ = (^ — 1)е
определяем по формулам прогонки /><+!/, для всех 1 = 0, 1, 2, ...
..., # — 1, если при $«=0 и * = ЛГ — 1 заданы краевые условия,;
например, полученные из формул A9)..
Оказалось, что консервативные разностные схемы,
аппроксимирующие уравнения полной энергии, могут плохо
аппроксимировать уравнение для внутренней энергии A4):
дв дV

§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 433
Этот дефект весьма опасен, так как может приводить к
неправильному счету температуры. Возникающий дисбаланс
внутренней энергии не может быть уничтожен сгущением сетки по
пространственной переменной 5. Наличие в схеме энергетических
дисбалансов можно трактовать лак наличие некоторых
источников энергии чисто разностной природы, связанных с
«рассогласованием» отдельных разностных уравнений схемы. Дисбалансы
зависят от характера решения: на гладких функциях они малы,
однако на решениях, сильно меняющихся во времени и
пространстве, дисбалансные члены велики и могут быть сравнимы по
величине с полной энергией системы.
4. Полностью консервативные схемы. Потребуем теперь, что*
бы для разностной схемы выполнялись не только законы
сохранения массы, импульса и полной энергии, но и детальный баланс
энергии — кинетической и внутренней.
Схемы, обладающие этими свойствами, назовем полностью
консервативными схемами. Требование полной консервативности
фактически эквивалентно требованию, чтобы консервативная
схема аппроксимировала также и уравнения A4) и A5):
дг ___ ди дв __ дг\
М "" ~~ Р дш » Ы ~~ ~~ р ~дГ*
Для удобства записи обозначим
П = Р1+Чш' Ш = Л**1/,» ^ = в|+1/§1
Р = Рь *>= Л и т. д.,
-% (Р*+У. ~ /Ч-V.) = Ъг ' г+\ = у«1
после чего будем опускать черту сверху над р, х\ и е в тех
случаях, когда это не вызовет недоразумений. Тогда уравнения
B5) и B6) примут вид
Ъ = -р?1\ щ-ЛЧ B8)
Вместо B7) рассмотрим схему, аппроксимирующую
уравнение для внутренней энергии A4), а именно,
е< = _р(Ч1Ч B9)
В результате мы получили 4-параметрическое семейство схем
B8), B9). Будем в этом семействе искать полностью
консервативную схему. Для этого надо потребовать, чтобы схема B8),
B9) аппроксимировала уравнения A5) и A0).
Нам понадобится очевидная формула
/("-Г> + т(р-а)/,, C0>
28 а. а. Самарский

434 ГЛ' У1П МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
где а. и Р ■— любые числа, /(а) — а/ + A — а)/. Из уравнений
дует
(а2) (<т4) (<х2) , ч , , ч
т\1 = VI" и ^ *' = р; ' — т (а4 — а2) у^ ±= т)* + т(а4 — а2)у„ еле
^=-/4,,+ 8^, C1)
где бх^ = — т (а4 — а2) р* у«*— величина дисбаланса. Отсюда
видно, что C1) соответствует «энтррпийному» уравнению A5)
только при 04 = о2.
Потребуем теперь, чтобы схема B8), B9) была
консервативной. Умножая уравнение иг = — р^ г' на ^°»Б> = 0,5 (и + *>),
получим
±A?)( = -^*:»р™ш C2)
после чего сложим это уравнение с уравнением B9):
(е + 0,5^ = - р('3У/4) - *;@'5)р<4 C3)
Преобразуем правую часть C3) при помощи формулы C0):
= {р{01) + т (а, - <*) Л) №» + т (а4 _ 0,5) *«} + ,^>р^> =
= Ш^ш))ё+ьв, C4>
где
Р(-1) = Рг-1 = Рг-1/,»
^2# = т (а3 - ах) 1/в°'б)р< + т (а4 - 0,5) р^и* +
+ т2 (а3 — ах) (а4 — 0,5) рршг.
В результате уравнение C3) преобразуется к виду
(е + 0,5^ = - Ц%{м*)ш -\Е. C5) •
Здесь ЬгЗЕ означает дисбаланс полной энергии. Требуя, дтобы
б22? = 0 при любых р и и, находим 0ав01, 04 = 0,5 и,
следовательно,
02 = 0,5.
Таким образом, мы получили однопараметрическое семейство
полностью консервативных схем
V* = ~ Р^\ Щ = »?.» „ = - Р<Ч<в'»>. C6)

§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 435
Третье уравнение, очевидно, можно заменить одним из уран-
нений
е, ■- - р(в1Ч; C7)
(е + О.о,*),: _ (р\%^), C8)
Отметим, что вместо последнего уравнения можно написать одно
из уравнений
(е + 0,5,?+1)), - - (/ЧЛ*>)„ C9)
(е + (^ + .B+1))/4), = - (р?1^), D0)
Чтобы получить C9), надо в предыдущих рассуждениях
уравнение C2) взять в Ц+ 1)-м узле:
0,5 Ы+1), = - и№рй> или 0,5 №+1)), = - «р™. D1)
Из C8) и C9) непосредственно следует D0).
Из сравнения D0) и B7) видно, что найденное нами
семейство полностью консервативных схем содержится в семействе
B5)—B7) консервативных схем с четырьмя параметрами,
построенном при помощи ИИМ.
Очевидно, что схема C6) при любом с*! имеет
аппроксимацию 0(т4+А2), а при о4 => 0,5 — аппроксимацию 0(т2 + А2), т. е.
только^ ч>дна схема C6) имеет второй порядок аппроксимации
по т:
^ = -р?'в),Ч« = ^м), е(=-р@-%(Г)- D2)
Учет псевдовязкости не представляет труда: достаточно всюду
в C6) заменить давление р выражением # = /* + со:
щ = - е{У, % = »(.0,5), е« = - в{а1)^Г\ е = Р + «>. D3)
В случае идеального газа и линейной вязкости будем иметь
рх\ = (у — 1) е, со = — ^- V,. D4)
К этим уравнениям надо присоединить краевые условия при
г = 0 и г = N. Если, например, задано давление рЪ и р#, то
уравнение движения для V \ надо писать и при Ь = 0, г = #:
"О*1-^ (Р1/2-Ро\@*) ^г-< ГРN-РN-Ч^^а1)
Отсюда находятся ^+1 и у^: Остальные величины т|, е, р
определяются только во внутренних полуцелых точках %, $•/«»•••
. . ., $х-у«-
28*

436 ГЛ- УП1> МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Примером неконсервативной схемы может служить схема
«крест», весьма распространенная в свое время. Она пишется на
«шахматной» сетке. Величины е, р, ц относятся к нецелым узлам
(*«+%» ^+'Д ауиа;-к целым узлам ($<, *,•).
Схема «крест» имеет вид
т " к х " Л
**+•/« _ Л+1Л ,р+1 __ «;+1
- р*+'/, —ь
Если воспользоваться обозначениями р1+ч1 = р! = Р> Л?+*/! =
= т^-1 = т) и т. д., то можно записать эти уравнения короче:
у* = — р-а, х\1 = ув, ё, = — р V,. D5)
Величины на новом слое здесь находятся по явйым формулам.
Умножая »1 = — р-ш на у@,5) и повторяя проведенные выше
рассуждения, получаем
(е + 0,5*;*),= - & V0*6*). - &ЕГ
где 6/?= тр|Рвв,5)+ 0,5тру,*+0,5т2р,1;«, т. е. схема 445)
неконсервативна.
5. Решение разностных уравнений методом Ньютона. Цля
определения значений у'4, #*+1, г\*+1 на новом слое мы
получаем при 01Ф О систему нелинейных уравнений. Для их
решения воспользуемся методом Ньютона. Запишем сначала
уравнения D3), D4> в виде
^ + о1х^1 = V — A — ог)хеь х\ — 0,5тув = т] + 0,5ту„
е + огх9(л - т)) + A - о^еч = * + A - *,) #*Ь
9 Л — е (у — 1) + уу, = 0.
Пользуясь методом Ньютона, получим
Л+1 Л+1 к Л+1 Л+1 к
А V + (ТхтД ?; = /ь А л — 0,5тД у = /2« D6)
Л+1 Л, . Л+1 (к \ Л+1
Ае +г(<Т1)Дт1 + ахи — л)Д 5Г =/з> D7)
Л+1 Л Л+1 Л Л+1 Л^-1 Л
-Ае + а#Дт) + аг]А е + <гуД у, = /4, D8)
л = и^ 1} ^у»•»,
где а = 1/G-1),/1 = /8 = 0 приЛ>0,
/1= р - I — A -_ а^т*; - а,т|;,
/« = 4— Ч + 0,5тA>.+ »,)*

| 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 437
* к А, Ч/А \ Л/ ч *
/.--е + в-^Чч-'чЛ *™= ** + (!-*!) *,
к к А А к А+1 А+1 к А+1 А+1 к
/4 = е — а#т) — оу!^, А у = у— у, А т] = т] — цит, д.
А+1 А+1 к+1
Исключая отсюда А е , А т], А у, получим для определения
А+1 А+1
у = А % трехточечное разностное уравнение
\Рх \Ч — л) + ял) У — «V IV* + *?) 0,5т +<п?] у-%% = /?
А А А А А \
(здесь Р выражается через /х, /$, /з и /4], которое решается
А+1 А+1 А+1 А+1 А+1
методом прогонки. Зная А # = у , находим А 1\ А т] , Ае,
А+1 А+1 А А+1 А+1 А
а затем # = А # + #> у=Ду+1>ит. д.
6. Сходимость итерационного метода. Перейдем к изучению
сходимости описанного выше метода Ньютона. Будем оценивать
разности
А+1 А+1 Л А+1 А+1 ^ А+1 А+1 Л
в ? = # — 8, в Я = Я — Я» 6 р » р — р,
Л Л *\
;гДе ?> Л» *> — точные решения уравнений D3). Напишем
уравнение для этих разностей. В силу линейности уравнений D6)
*сразу получим однородные уравнения
А+1 А+1 А+1 А+1
б V = — ОуХб в* б П = 0»5тб р„ к = 0,1, 2, ... D9)
В уравнения D7) и D8) подставим
А+1 А+1 А А+1 А+1 А А+1 А+1 А
Ае =бе — бе, А ц = б т| — 8я,« А и = б и — 6иЁ
А+1 А+1 А
Преобразуем сначала D7) 2
*+* */„ ч *+1 ^ * \ А+1 А
бе +*(<Т1Nт| Н- огх (,п — Л} б йГ =/^3,
А А, , А А (к \ *
*ш = ^Ьц + Ь + оАч-ЮЪ- '
-[в! + (в-в) + (а1в| + ^вй)(вч+Ч-ч)]=8
(А \ ГА А А А
т] - я] в* - ^(п — п) «^ - [(в— е) + *(а1)(л — л)]= ^«П**»
так как е — е + ц^) (х\ — х\) =0 согласно D3). Таким образом,
к+1 к. .к+1 (к \ к+1 к к
в е + ^6 П + О! [г\ - п) б 8 = о^вчв* E0)

438 ГЛ* УШ* МЕТ°ДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Уравнение D8) преобразуем к виду
Л+1 к Л+1 к Л+1 Л+1 к к
— б г + "Ф Л + «лб 8 -г «*6 1'« — «бг|в^г - E1)
В самом деле, из D8) следует
/ Л+1 Л\ к ( к+1 к\ к ( Л+1 к\
О = — (в е -бе) + вг1вт| -в?|) + лп1в/р - б#)+
/Л+1 Л\ /Л ^ ЛЛ Л \
+ а\ \6 у,— б1?3) — \бе + е — а§х\ — ахил) =
[Л+1 Л Л+1 Л Л+1 Л+1 Л
— бе + а$Ь г) + ачб # -Г <^6 Ув] — Р^
где
л лл лл л ^ л л л
Рь — а^Ьх\ + ат)б# + добр* + е — аг\$ — аVVл.
^ к к к
Подставляя сюда е = а^г\ + ахиа, находим Р4 — абтN#.
Л+1
Исключим из E0) и E1) б е :
( к к(а \\ Л+1 ( к \ А+1 Л+1 к Н
\<*8 + ё{1)) 6 т) +\(а + о1I\—о11\N е + ^б V, = (а + ах) б^.
E2)
Л+1 Л+1 Л+1 Л+1
После подстановки сюда б ия = — о&Ьц-^ 6 т] = 0,5тб и$
получаем
л
Л+1 Л+1 Л (а + <УЛ6г\
6 * - сслб еь = дкЬв, Як = * ? , E3)
(« + а2) л — ахЛ
где ал=а1т[ау+0,5т(а^ + я@1))|/[(й + ог1)г1---а1г1]>0. При этом
л
предполагается, что (а+ъ^ц — С|Т| >0, т. е.
Л <т
Л > д + а .Л Для всех к = 0,1, 2г ... E4)
Если при 1 = 0 и ^ = N задано давление, то краевые условия
Л+1
для б #} очевидно, являются однородными
Л+1 Л+1
б & = 0, 8** = 0. E5)
Л+1
Записывая уравнение E3) относительно 6 # ($|) в каноническом
виде
л(Р)у(Р)= 2 в(в,о)у№+р(Р),
«€Ш'(Р)

§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 439
убеждаемся в том, что
А(Р) >0, В(Р, (?) >0, В(Р)-А(Р) - 2 ЖР, (?) - 1,
делг'(Р)
т. е. условия применимости принципа максимума (см. § 2 гл. IV)
выполнены и для уравнения E3) с однородными краевыми
условиями E5) справедлива оценка
1вТ1с<|?А||бг1с E6)
Отсюда видно, что итерации сходятся, если
1&1^0<1 для всех & = 0, 1, 2, ..., E7)
или
I *
Л -Ьг\
Это эквивалентно неравенствам
ЛтГ^^-^Т1' Ч>М. E8)
которые накладывают ограничения на шаг по времени в
зависимости от скорости изменения удельного объема г\ (или плот-
о
ности р = 1/т)). Полагая к = О и выбирая Л = т], получим
•-^1ч — т)|<?A-Ь),или
A - дA - Ь))г\ < ч < A + «A - Ь>>Н E9)
Если рассматривается изотермическое течение идеального
газа A7), то схема D3) упрощается (исчезает уравнение энергии,
так как Г = соп81): Итерационный процесс строится аналогично
адиабатическому случаю, сходимость его доказывается так же.
Для изотермического случая *)( = 1, а = °°, Ь = О, так что вместо
E8) будем иметь
1 + 9 1 — 9 • Л
Если выполнены условия E7), то
1Л+1И О О П Л+1
8 е \\с<Як+1№\с, 8 -*0 при й-*оо,
т. е. итерации сходятся со скоростью геометрической прогрессии.
Численные расчеты, проведенные для ударной волны при
4 = 5/3 (а =1,5), показывают, что итерации по методу Ньютона
сходятся даже при настолько крупном шаге т^ что за один шаг т
ударная волна проходит два-три интервала сетки юл. Такой шаг,
конечно, недопустим из-за соображений точности. Таким обра-

440
ГЛ. \Ш. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
зом, ограничения на шаг т связаны с требованиями точности,,
а не сходимости итераций.
7. Уравнения газодинамики с теплопроводностью. Рассмотрим
теперь задачу о течении газа при наличии теплопроводности.
Система дифференциальных уравнений для идеального газа
в переменных Лагранжа E, г), согласно A)—G), имеет вид
ду д# дх\ __ ду дг __ ду ___ дт
~% дГ> ТГ ~~ 1Г' д% ~~ ё да да '
IV = —х(р, Т) -^ тепловой поток, 8 = р + со.
Нетрудно написать полностью консервативную схему для этой:
системы уравнений:
ч = -«Г\ л* = »(-°;5),
в»=-*<«I4м)-и4Э),
и>= — кТ-, # = р + <о, <о=й)(г),Ув^),
р = ЛГ/т,, е = сг7\
где Л = к, = х@,5(т|<-о.в + Л<+о,5), 0,5(Г«-0,в + Г*+о.в)). Здесь а>0,
Р > 0 —- произвольные числа.
Нелинейные разностные уравнения на новом слое и здесь
можно решать методом Ньютона, однако в этом случае
приходится применять алгоритм матричной прогонки для системы двух
трехточечных уравнений (см. § 1 гл. X).
Для упрощения алгоритма применяется метод раздельных или
последовательных прогонок. Разностные уравнения F0)
разбиваются на две группы:
Группа I («динамическая»)
«* = -«5в\ Ч* = йм\ * = />+*>,
Группа II («тепловая»)
е, = - е(«)у(в°'6) - ы&\ ш=-ЛГ-,
е = е(гь Т), к = х@,5(р + Р<-1)), 0,5 (Г + Ги,)).
Для каждой из групп в отдельности применяется
итерационный метод Ньютона. При этом уравнения первой группы"
решаются при заданной температуре (по аналогии с
изотермическим случаем); вторая группа уравнений решается при заданных
г\ и и; фактически при этом решается уравнение
теплопроводности с заданными источниками газодинамического происхождения.»

§ 2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 441
Итерации для первой и второй групп находятся методом про-
сопки. Пусть найдены у, т) — А-я итерация, для которой
выполнено условие окончания итераций, например, условие вида
1ЛV\с = I и — V \с < е01V\с (е0 > 0 — заданная точность). Зная
р, г], находим итерационным методом Ньютона из уравнений
т
второй группы т-ю итерацию Г. .
ш
Выбщрая Т в качестве исходной температуры, повторяем
указанные выше итерационные циклы. Полученный таким образом
процесс внешних итераций продолжается до выполнения
условий сходимости.
Возможны и другие способы организации этого
итерационного процесса, например, можно положить к ■■ 1, га — 1 для всех
итераций или изменить порядок групп. Метод раздельных
прогонок целесообразен, если требуется уменьшить объем
информации, хранимой в оперативной памяти.

Глава IX
ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Одним ив важных достижений в вычислительной математике
является разработка экономичных разноспных методов для решения
многомерных (с несколькими пространственными переменными хи х2, ..., хр) урав*
нений в частных производных. В настоящее время имеется большое число
экономичных схем для многомерных уравнении параболического,
гиперболического и эллиптического типов.
В этой главе излагается теория экономичных методов, опирающаяся
на общую теорию устойчивости. Выделены два класса экономичных схем:
схемы| с факториэованным оператором на верхнем слое и аддитивные схемы,
обладающие суммарной аппроксимацией.
§ 1. Метод переменных направлений
(продольно-поперечная схема) для уравнения теплопроводности
1. Об экономичных схемах. Одной из основных проблем
теории численных методов является поиск экономичных
вычислительных алгоритмов, требующих минимального машиннрго
времени для получения приближенного решения с любой заданной
точностью е > 0. Время счета задачи зависит не только от
качества алгоритма, но и от качества программы п типа
вычислительной машины. Поскольку последние .две характеристики
трудно учесть, то основным показателем обычно считают число
арифметических действий (?(е) для получения решения задачи
с заданной точностью е > 0;
Особенно большую остроту приобретает вопрос об
экономичности алгоритмов при численном решении многомерных задач
математической физики
Выясним на простейших примерах предпосылки к написанию
экономичных разностных схем. Рассмотрим ^-мерное уравнение
теплопроводности:
ди т т V1 г т 0 и
— Ьи, Ьи — ^ Ьаи, Ьаи —
A)
.ге=С, *€Е@,у, и|г = 0, и (л:, 0) = м0
_ Пусть & = С0р ~ /ьмерный куб, @<ага<1, а =4, 2, ..., р)у
а>л = {A*1 А, ..., 1рк) е С) — кубическая сетка с шагом к по всем

§ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 443
ха, а = 1, ..., р, (От -— сетка с шагом т = и/щ на отрезке
Оператор Ьаи = —— аппроксимируем разностным оператором
дт*а
р
Лаг/-- у- г , так что Л = 2 Ла. Напишем двухслойную схему
с весами
уг =Л (о^ + A — а)у), яе= сол, 0</ = лт<*0*
»к = 0, И*. <>) = ««•<*)■ B)
Схема B), как было показано в гл. V, § 3, устойчива по
начальным данным при
2 4рт °*
Полагая а = 0, получим явную схему
у, = \у или у = у + тЛу, C)
устойчивую при условии т ^ 0,5к2/р.
Бели A)—уравнение с переменными коэффициентами, т. е.
^а?/ ~" ~дГ~ (*а (х> *) ~дГ~ )' 0 < Аа < с2,
го
р
Лау = (аау- )ж , Л = 2 Ла, 0<аа<с2,
\ *а'*а а=:1
л явная схема C) устойчива при т<0,5кг/(рс2).
Отсюда видно, что допустимый шаг т для явной схемы надо
уменьшать с ростом числа измерений и ростом максимума
коэффициента теплопроводности. Последнее требование является
особенно жестким в случае задач с сильно меняющимися
коэффициентами. По этой причине использование явных схем для
решения не только многомерных, но и одномерных (р = 1) задач,
часто оказывается нецелесообразным. С другой стороны, явная
**\
схема обладает тем достоинством, что решение у = уп+1 на новом
слое *я+1~*п + т находится по явной формуле C) и при этом
в каждом узле сетки сол затрачивается конечное число действий,
так что общее число арифметических операций при переходе со
слоя на слой пропорционально числу узлов сетки соЛ (есть
величина 0A/Лр)).
Рассмотрим теперь чисто неявную схему с о = 1, Она
устойчива при любых т и Л. Для определения уп+1 получаем задачу
уп+1._ тЛу»+1 =/\ ^+1|7л = 0, У(*,0) = и0(х).

ГЛ. IX. ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
т. е. — ф, совпадает с погрешностью аицроксималии E3) факторизошан-
ной схемы E1). Замечая, что
*1 ♦•
убеждаемся в том. что каждое из уравнений D8) имеет ашироксимафю
0AМ4 + т2).
§ 2. Экономичные факторизованные схемы
1. Схемы с факторизованным оператором. Рассмотрим
двухслойную разностную схему
Ву1+Ау = <р, 0<* = /т<*о, 7 = 0, 1, ..., у@)=у0. A)
Пусть известно значение у — у5 на /-м слое, требуется найти у5+1.
Для него получаем уравнение
Вум = Р, Р = (В - %А)у> + т^, / - 0, 1, ..., B)
где Р* — известная правая часть. Пусть для вычисления Р*
затрачивается число ОШ) действий, пропорциональное числу N узлов
сетки (ол (это имеет место для всех разностных схем с шаблоном,
не зависящим от сетки со*). Из B) видно, что устойчивая схема
A) экономична, если для решения уравнения B) затрачивается
число действий ОШ).
Пусть Дх, а = 1, 2, *.., р,— «экономичные» операторы, т. е.-
такие операторы, что для вычисления решения уравнения
Ваь = Р C)
требуется ОШ) действий. Тогда схема A) с факторизованным
оператором В вида
В^В1Вг...Вр D)
будет также экономичной, так как для решения уравнения B) с
оператором D) потребуется ОШ) действий. В самом деле,
решение уравнения
В1Вг...В,ум=Р> E)
может быть найдено в результате последовательного решения р
уравнений вида C), точнее
#1У<п = Я, Вау{а) => у(а-п, а = 2, 3, ..., р, F)
так что У+| - у(р). Здесь уA) = ^+|/р, ..., у{а) = у'+а/р, ..., у(,-,) =
=*= у3*^-1*'* — промежуточные значения.
Из предыдущего следует, что устойчивая схема A) с
факторизованным оператором В, являющимся произведением конечного
числа «экономичных» операторов Ви ..., В9у является
экономичной. Схемы с факторизованным оператором В будем называть
факторизованными схемами.

§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФЛКТОРИЗОВЛННЫЕ СХЕМЫ 459
В § 1 было показано, что неявная экономичная схема
переменных направлений (продольно-поперечная схема) эквивалентна
факторизованной схеме с оператором
В = Вфг, Ва = Е- 0,5тЛа, Лау = Ух х , а = 1,2. G)
Можно рассмотреть также факторизованные схемы с
В = В.В,, Ва = Е + т/?«, В1У = 2-^, В2у = - 2 "X5-. ($
а=1 а а=1 а
где /?! и В2 — «треугольные» операторы (соответствующие им
матрицы являются треугольными, так называемая «явная схема
переменных направлений»). Для решения уравнения C) в это*
случае получаются формулы явного («бегущего») счета. Заметим,
что /?1 и В2 не являются самосопряженными, а сопряжены друг
другу.
Часто используются «одномерные» разностные операторы В*
вида Ва = Е — атЛ«, где Ла — разностная аппроксимация
дифференциального оператора Ьа, содержащего производные только пв
одному аргументу ха. Так, например, если Ьаи = —$-, то АаУ =
а
= Ух х есть трехточечный оператор, и уравнение C) решается
методом прогонки.'
Одну и ту же факторизованную схему можно свести к
последовательности простых схем несколькими способами. Укажем одна
способ. Из A) найдем
уш = у*+тш\
где IV5 есть решение уравнения
ВА ... Ври> = Ф', Ф^ = <р* - 4у'. (9)
Для определения и? можно воспользоваться системой р уравнений
В%шA) = Ф', Ваш{а) = и?(а-1), а = 2, 3, ..., /?, A0)
полагая затем
1^ = ш(Р). A1)
Интересно отметить, что первые экономичные схемы
составлялись так, чтобы можно было легко исключить прмежуточные
значения; это приводило к факторизованной схеме «в целых шагах»,
связывающей значения у* и у3+1.
2. Краевые условия. Требования устойчивости и
аппроксимации предъявляются к факторизованной схеме A). Уравнения F)
или A0), (И) можно трактовать как вычислительный алгоритм
для факторизованной схемы A). Такая эквивалентность имеет
место лишь при согласованном задании краевых условий.
Поясним это на примере. Пусть требуется решить первую
краевую задачу для уравнения теплопроводности в прямоугольнике

444 гл- к- экономичные схемы для многомерных задач
Для решения этой системы 1/Ар уравнений, например, методом
исключения Гаусса требуется затратить 0A/А3р) действий
(если учесть при этом специальный вид матрицы Е — тА).
Итак, явная схема требует небольшого числа действий, но ее
устойчивость имеет место при достаточно малом т; неявная схема
безусловно устойчива, но она требует большого числа
арифметических действий.
Возникает вопрос: можно ли построить схему, сочетающую
лучшие качества явной и неявной схем, т. е.
1) безусловно устойчивую (как неявная схема); 2)
требующую для перехода со слоя на слой затраты (как и для явной
схемы) числа арифметических действий (), пропорционального
числу узлов сетки о)Л, так что () = 0A/кр).
Тогда на узел сетки приходится число действий, не
зависящее от количества узлов. Такие схемы принято называть
экономичными.
Приведем один пример для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, .показывающий, что существует неявная
схема, требующая меньшего числа действий (более экономичная),
чем явная схема.
Пример. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
-*1+4и = 0, *>0, и@) = «о,
где и = (и(|)Ш, ..., и{т)Ш) — вектор, А = (а<;) -— матрица.
Предполагаем, что А симметрична и положительно определена.
Явная схема уп+1 = 2/п — хАуп при переходе со слоя на слой
требует 2т.2 + 2т арифметических действий.
Пусть А" = (а^)— нижняя, А*= (а^) — верхняя треугольные
матрицы, причем аи = а?г = 0,5ац. Обе эти матрицы .(операторы)
положительно определены в смысле скалярного произведения (,)
в Ят, так как А' = (Л+)* и (Ах, х) — (А+х, х) + ЦА+)*х, х) =
= 2(Л+#, х) = 2(А~х, х). Рассмотрим схему
У2П+1Т~У2Я +Л-у2п+1 + Л+у2п = 0, D)
У»п+а-У2п+1 +Л-у2п+1 + Л+уап+а = 0, п = 0,1,... E)
Для определения Ут+1 и у2п+2 надо обратить треугольные
матрицы ие+хА-) и (Е + хА+).
Нетрудно показать, что написанная схема абсолютно' (при
любых т>0) устойчива. Исключим из D) и E) уш+1- Вычитая
E) из D), найдем -
2у2»+1 = Угп + Угп+г + %А+(у2п+2 - у2п).

§ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
445
После подстановки этого выражения в E), получим схему
В У*"-7У'П + Аугп = 0, А = А~ + А+% F)
оператор которой В = (Е + тА~)(Е + тА+) есть произведение
двух сопряженных друг другу «треугольных» операторов (В—
факторизованный оператор), так как А+ = (Л~)*.
Очевидно, что В — самосопряженный оператор. Остается
проверить выполнение достаточного условия устойчивости:
В - 0,5BтЛ) - Е + хА + х2А~А+ - тЛ > Е,
так как А'А+ > О ((Л-Л+ж, х) — Ы+х\\г > 0). Схема F)
абсолютно устойчива. Она имеет, очевидно, второй порядок точности.
Пусть А* — треугольные матрицы, отличающиеся от А*
только тем, что элементы на главной диагонали, заменены нулями.
Будем запоминать при решении уравнения D) вектор А~у2п+и
а при решении уравнения E) — вектор А+у2п+г. Тогда для
схемы D), E) число действий, затраченное при переходе от слоя
ип к слою *2п+2, равно (?! = 2та + 12т, в то время как для явной
схемы оно равно #в в 4т1 + 4т, т. е. ^^ < #0 при т > 4.
2. Схема переменных направлений (продольно-поперечная
схема). Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности
. -5^ = 2*+ /(*,*), *€=С02, *в@,у,
и |г=|* (*.*), и(ж,0) = мо(л), G)
1и = Ди = (Ь± + Ь2) и, 1>аи = —|-, а = 1А 2.
Область <70* — ?ов {0 ^ ха < Ъ, о, = 1, 2} — прямоугольник са
сторонами и и /а, Г — граница 2г0 в #0 + Г. _
В ?в построим равномерную по ха сетку юл с шагами А1«
— Ъ/Яь Аа=»{а/#2. Пусть ^л —граница сеточной области он,
содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его
вершин, (Он — о)л + т(л. Оператор А» заменим разностным
оператором Л«:
Напомним, что в случае одномерного уравнения
теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной
краевой задаче вида
А#ы - С{у{ + В{у<+1 = -Л, I = 1, ..., N - 1, (
Уо = Ць Улг = !Л2, 4<>0, #*>0, С4>А, + Ви
которая решается стандартным методом прогонки с затратой

446 гл- к* экономичные схемы для многомерных задач
числа 0{1/Н) = 0{Ю действий, пропорционального числу N
узлов сетки ®н = {х{ = ък, 0 < г < Ю.
Обратимся к нашей двумерной задаче в прямоугольнике.
Сетку (ол можно представить как совокупность узлов,
расположенных на строках г2 = 0, 1, ..., #2 или как совокупность
узлов, расположенных на столбцах и = О, 1, ..., Л^. Всего
имеется М + 1 столбцов и N2 +1 строк. Число узлов в каждой
строке равно #1 +1, а в каждом столбце имеется #2 + 1 узлов.
Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (8)
методом прогонки при фиксированном г2 (или г4), то для
отыскания решения на всех строках (или столбцах), т. е. во всех
узлах сетки, понадобится число 0(Л^#2) арифметических
действий, пропорциональное числу узлов двумерной сетки. Основная
идея большинства экономичных методов и состоит в сведении
перехода со слоя на слой к последовательному решению
одномерных задач вида (8) вдоль строк и вдоль столбцов.
Весьма четко эту алгоритмическую идею выражает неявная
схема переменных направлений (продольно-поперечная схема).
Эту схему часто называют схемой Писмена — Ржфорда (по
имени авторов, впервые предложивших ее). Наряду с основными
значениями искомой сеточной функции 1/(ж, *), т. е. с у = уп и
У = Уп+\ вводится промежуточное значение у = уп+ч\ которое
можно формально рассматривать как значение у .при ^ = ^п+«/, =
= К + т/2. Переход от слоя п к слою п +1 совершается в два
ятапа с шагами 0,5т:
У о,5т - А^+,/1 + Л^П + Ф"' (9>
-2 -^ = \{Уп^и + а2Уп+1 + фП. (Ю)
Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах х = ж» сет-
1си ©л и для всех * = *п>0. Первая схема неявна по
направлению XI и явна по #2, вторая схема явна по х1 и неявна по х2.
К уравнениям (9), A0) надо добавить начальные условия ,
у(х, 0) = и0Ы, жбо"А, (Ц)
и разностные краевые условия, например, в виде
уч-«в|А»+« при 12 = 0 и *2 = Л^ A2)
^«-♦-•/а — — при ^1 = 0 и ^ = ЛГ1т A3)
где
^=4^п+1+^п)-хЛ^п+1-^п>- A4>
Смысл краевого условия A2) ясен, а условие A3),
определяющее граничное значение у, будет пояснено ниже. Таким об-

§ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 447
разом, разностная краевая задача (9)—A4), соответствующая
задаче G), поставлена. Остановимся на методе решения этой
задачи. Перепишем (9) и A0) в виде
~-у — Агу = Р, ^ = -^У + Л2у + <р,
2 ~ ~ - - 2 - - , <15>
— у —Л2у = /Т, ^= — 1/ + Л!уН-ф-
Условимся о следующих обозначениях:
XI == (ггки г2к2), Р = Р^, у = у*^,
при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то
мы его не пишем. Тогда A5) можно записать в виде (8), т. е.
—ун-г - 2 (-^г+ —) У\+ -^-У<1+1 = ~ *Н*
1 Ч х _ . ' A6>
*х = 1, 2, ..., ЛГХ — 1, у = [а при *! = 0, ЛГЬ
1 ~ 0/ 1 , 1 \- , 1 - т?
2 ^ * 2 " A7>
12 = 1, 2, ..., ЛГ2 — 1, у = р, при *2 = 0, 7У2.
Пусть задано у = уп. Тогда вычисляем Т^, затем методом
прогонки вдоль строк 12 = 1, 2, ..., #2 — 1 решаем задачу A6) и
определим у во всех, узлах сетки со*, после чего вычисляем Р
и решаем задачу A7) вдоль столбцов и = 1, 2, ..., ЛГ4 — 1,
определяя у =#п+1. При переходе от слоя й+1 к слою п + 2
процедура счета повторяется, т. е. происходит все время
чередование, направлений.
Так как прогонка (см. гл. I, § 2) требует на один узел числа
действий, не зависящего от шага сетки, то описанный алгоритм
будет экономичным, если мы докажем абсолютную устойчивость
схемы (9)—A4).
Перейдем к изучению устойчивости и сходимости этой схемы.
3. Устойчивость. Для исследования устойчивости схемы (9)—
A4) проведем исключение промежуточного значения у. Вычитая
из (9) уравнение A0), находим
2у = У + У - 0,5тЛ2(у - у), я €= о)л. A8)
Подставим A8) в (9):
—1 2"Л2 (у-у) = -ГА1 (у + у)-~ь АхЛа(у - у)+Аа+<р.
A9)
Учитывая, что у = у + ту», преобразуем A9) к каноническому

448 гл ^^ экономичные схемы для многомерных задач
виду
(Е - 0,5тА|)(Я - 0,5хАг)у< = Ау + <р. B0)
Из предыдущих рассуждений ясно, что формула A8) должна
выполняться и при Х\ = 0, хх =» и (иначе значение (А{у)и не опре-
делейо при и = 1 и 11=М1 — 1). Так как у = р, у = \х при х1 = 0,
^1 = ^1, то из A8) следует
^ = -у-([А + М')---Х"Л2^ = ? ПРИ *1 = 0, *1 = *1,
что, совпадает с краевым условием A3), A4). Тем самым
доказано, что решение задачи (9)—A4) удовлетворяет уравнению B0)
при дополнительных условиях
У \ун = Р» » 1та = Я »(*» °) = ио (*)• B1)
С другой стороны, решение задачи B0), B1) является также
решением задачи (9)-—A4). В самом деле, введем у по формуле
A8), найдем из A8)
(Е - 0,5тЛ2)у = 2у-(Е.+ 0,5тЛ2)у
и. подставим это выражение в B0); после несложных
преобразований получим уравнение (9). Из него и из A8) следует A0). Тем
самым доказана эквивалентность задач (9)-—A4) и B0), B1).
Она имеет место при согласованном задании граничных значений
у по формулам A3), A4). Исследование схемы (9)—A4) можно
заменить исследованием схемы B0), B1) «в целых шагах».
Применим общую теорию устойчивости двухслойных схем.
Краевые условия предполагаются однородными, т. е.
рассматривается задача
(#-0,5тЛ0(#-0,5тЛ2)у, = Л1/ + ф, *>0,
у(*,0) = и0(х), Итл = 0- (
Введем пространство Н сеточных функций, заданных на сол и
обращающихся в нуль на •)(*» со скалярным произведением
^-1^2-1
{у, V) = 2 у (* ) ъ (х)н^ = 2 2 у (кК, »Л) V (нК *А) КК
и нормой \\у\\ = У(у, у). Будем обозначать Л=» — Л = — СЛ.1 + Л2).
Оператор Л самосопряжен и положителен в Н. Норма в
энергетическом пространстве НА имеет вид
Л, N«-1 N,-1 Л2
Ыа= 2 2 (»ь Л*!, «Л)I *!*•+ 2 2 {У1 (нКчЮук^

§ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 449
ИЛИ
1'Ь = М + 1'«Д- B3)
Рассматривая у = уШ как абстрактную функцию % е со* со
значениями в Я, запишем схему B2) в виде
Вуг + 4у — срШ, 0 < г = их < *0, у@) = »о, B4)
где В = (Я + О.бт^МЯ + 0,5т42), Ла = - А., А=А,+ А2.
Операторы А1 и А2—самосопряженные, положительные и
перестановочные (в силу того, что исходная область —
прямоугольник). В том, что А±А2 = АгАи ипиА1Л2у=А2А1у=у- - во всех
^ *1*1*2*2
внутренних узлах сетки, можно убедиться непосредственно.
Поэтому и А±А2 > 0. Из B4) видно, что
В>Е+0,5тА, B5)
т. е. схема B4) устойчива в НА. Действительно,
в-о&а = (е + ±а + ^а1а1)-±а = е + -^-а1а%>е.
Из условия B5) следует, что для схемы B4) верна теорема 7 из
гл. VI, § 2 при е = 1, в силу которой решение задачи B2)
удовлетворяет неравенству
1|у(« + тIл<ГИ0)ВлН-^(Дт||(рЮП '• B6)
Нетрудно получить априорную оценку
. I у (<+т)| КII у @) || + -^=- (Д * I ф (О Гл-1] '• B7)
В самом деле, применим к обеим частям уравнения B4)
оператор 4~*>0:
ВУ1+Ау=<р, А = Е, Ф=Л"V В = А'1 + ±- Е + ±- А^А.А,. B8)
Так как Аи А2\ А'1 > 0 — перестановочные и самосопряженные
операторы, то а~ л^а2 > 0 и В >А~* + 0,5т2?. Поэтому, в силу
теоремы 10 из гл. VI, § 2, верна оценка B7).
Таким образом, справедлива
Теорема 1. Схема B2) устойчива по начальным данным и
по правой части. Для решения задачи B2) верны априорные
оценки B6), B7).
4. Сходимость и точность. Изучение сходимости и точности
схемы (9)—A4>, в силу ее эквивалентности схеме B0), B1),
будем проводить для задачи B0), B1). Пусть ю = ц(#, I) — ре-
20. а. а. Самарский

450 гл к- экономичные схвмы для многомерных задач
шение задачи G), у = у{х^ 1п) — решение задачи (9) — A4) и
B0), B1). Подставляя у = г+ и в B0), получим для погрешности
схемы B0), B1) задачу
Въ1 = Аг + ^ же(оа, 0<* = пт<*0,
*|7л = 0, г(х;0) = 0, BУ)
где В=(Е— 0,5тА^(Е— 0,5хА2) и ф — погрешность
аппроксимации на решении, равная
\|) = <р +'Аи — Виг = 0,5Л(ц +- и) — щ — т^Л*»* + ф. C0)
Отсюда видно, что
ф = О (| ЛI2 + т2), |А|2 = А?+А1,
если и = и(х, I) имеет ограниченные в фг = &, X [0; *0]
производные
<М. C1)
дг3
<м,
дьи
дх\дх\д1
<А/,
дх\
<м,
д*и 1
**2
В .самом деле, 0,5(а + и) = й + 0(т2), где и = и(х, 1п + 0,5т),
ЛДгИ* ограничено, иг = й + 0(т2),
г|? = /л1-й + / + 0(т2+ 1А12) = 0(т2+ |А|2).
Так как для задачи B9) справедлива оценка B6) при г@) =
= 29 = 0, то имеет место
Теорема 2. Если выполнены условия C1), то схема B0),
B1) сходится в сеточной норме B3) со скоростью 0(т2+|/г|2).
5. Схема для уравнения с переменными коэффициентами.
Напишем схему цеременных направлений для уравнений
теплопроводности с переменными коэффициентами
-^- = Ьи+ /, (я, Ое^г, и\г = \1 (я, *), и.(*. 0) ^ и0(я),
Ьи = Ь±и + Ь2и, Ьаи = ^- [ка (*, О ^-), ка (х% I) > 0.
В этом случае при любом I оператор Ьа аппроксимируется
оператором
Аау = Аа @ у = (аа (х, 0*^1^. а = 1, 2,
V 7 (-°»ба)
где Оа, например, определяется по формуле аа = ка или аа =
= 0,5(*а + *Га)), а = 1,2, что обеспечивает второй порядок
аппроксимации ДЛЯ Ла!
Лаи — Ьа^ = О (ка).

§ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 451
Вместо схемы (9), A0) напишем следующую схему:
1^ = а1A)у + а2^п)уп + ч>\
^П+1-у- = Л, СО у + А2 (*п+1) уп+1 + Фп, C3)
C4)
0,5т
с краевыми условиями
уп+1 = м»п+1 при н = 0 и 12 = #2,
У = \1 При I*! = 0 И 1*1 = Л^1,-
- пп+1 + ЦП Т2
где ^ = —«г^ 4~ (^2И)*,л- Здесь обозначено
\л«1Ч*.п — (Л2 (Гп) \Х Aп)^ — - .
Это значение \х соответствует выражению
У= 2 ~1(Л^.П' C5)
которое получается из C3) после исключения Л,у.
Если в C3) вместо Л2(*Л) и Л2(^+1) взять Л2Ш в один и тот
же момент времени *, либо если ка и, следовательно, Л« не зави-
* сят от 2, то схема C3), C4) эквивалентна факторизованной
схеме B0), B1>, где Аау = (аа (х) У-а)хат Схема B0) имеет на
решении и(х, *) аппроксимацию 0(|й|2 + т2), если кроме условий C1)
выполнены очевидные требования гладкости ка(х) по хи х2.
Отличие от случая постоянных коэффициентов обнаруживается при
изучении устойчивости схемы B0). Операторы А^ — — Л4 и А2 =
= — Л2 положительные и самосопряженные, но не
перестановочные:
ЛхЛ* = (аг {а2у^)х^%1 ф А2Агу = (о, (а,^)^)*,,
где «ь = а>а(х, *). Поэтому положительность ЛДг ниоткуда не
следует. В этом случае удается доказать устойчивость лишь при
достаточно малом т^ХоОм), где с, зависит от максимума
производных ка по хи х2. Требование т ^ То(с4) является весьма жестким
и связано с методом исследования устойчивости. Ниже будет
показано, что схема C3) абсолютно устойчива в другой норме.
Напишем сначала уравнение для погрешности. Положим
г- = уп _ и», *«+* = уп+1 _ и«+^ 1==у^ц1
где ип = и{х, *п), цп+1 = и(х, ^+1), а н определяется в
соответствии с C5) по формуле
^=—12 -Т^)'.- C6)
29*

452 • гл- Х1- экономичные схемы для многомерных задач
При таком выборе и мы получим для г однородные граничные
условия.
Подставляя в уравнения C3) уп = 2я + ип, у = г +■ к, уп+1 =
= 2п+| + цп+1, получим следующую задачу:
-^35- = Лх (*п+.,,) 5 + Л2 (*„) гп + *»,
^^ =Л1(^/1J + Л2(^п+1)^+1 + *2П,
C7)
*к = 0, *(*,0) = 0, C8)
где г]?! и 1)J — погрешности аппроксимации, равные
$ = Лх(*„+./,) " + Л2(*п)ыл + срл — ц~5* ,
ф? = Лх (*п+«/,) и +л2 (*п+1> ип+1 + Фл — — ~~ "
0,5т '
Заметим прежде всего, чтоф? = \$. В этом можно убедиться,
если подставить выражение C6) в формулу
Ь — ^г = Л2 (*п+1) ц ^ — Л2 (*п) и 0>5т ^— = 0.
В формулу для фЦ1 подставим выражение C6):
Ч>? = А, (*„+•/.) ( иП\иП+1 _ ^ (Л2и),,п) + Л2 (*„) «п +
+ -у (Л2и),,„.
Учитывая затем, что
ип+ип+1
и(х, <„+./,) + О (т2),
, „« «п+1-
ип
1 ф. т
иП+1 _ иП ди
X д%
*=*
Л2 (*»+.,.) и = Л2 (*») ип + -±- (Л2и),,„ + О (т2),
Л,ц + Л2и = ^и + Л,и + 0 (| А |2),
Фп = /(*,*„+«,,)+ 0(та + |й|2),
получаем
фГ = (А1И + А2и)|<=(п+1/>-. цП+1т~"П + <РЯ+0(т°) = ^(т2 + IЛI2)-
Тем самым доказано, что схема C3), C4) имеет второй порядок
аппроксимации
Ч>? = 1# = 0(та + |Л|*).
Перейдем теперь к выводу априорной оценки для решения задачи.

$ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 453
Рассмотрим операторно-разностный аналог задачи C7), C8):
^^ + Лг Aп+Чг) * + А* Сп-к) ^П+1 = 1*. {Щ
л = 0,1,2,..., *@) = 0,
где АМ) и Л2Ш—-линейные операторы, заданные в
гильбертовом пространстве Я, Аи А2: Н-+Н. Пусть Аг и Аг —
неотрицательные (вообще говоря, несамосопряженные) операторы:
А1>01А2>0.
Вводя безындексные обозначения
2 = 2я, 2 = 2П+1, Л2=42и„+1), Л2*=Л2(*Л), А1=АМп+иг\
запишем схему в виде
(Е + 0,5тЛ4)к -= (Е - 0,5тЛ2J + 0,5хф„
№ + 0,5х/2)Г= (Я - 0,5тЛ,J + 0,5x^2.
Неравенство треугольника дает
НЕ + ОЯхМгЯ < НЕ - 0,5х42Ы + 0,5x0^1, D0)
НЕ + 0,5тА2Ы < И(# - 0,5хЛ,)г1 + 0,5х11ф2И. D1)
Нам понадобится
Лемма 1. Если А > 0 — линейный оператор в Н, то
НЕ - A - о)тА)у\\ < НЕ + стА)у\\ при о > 0,5. D2)
В самом деле,
'НЕ + охА)у\\г - И(# - A - а)тЛ)у11* -
= 2х(Ау, у) + 2(о - 0,5)х21Ь4у112> 0 при а > 0,5, 4 >0,
откуда и следует утверждение леммы.
Применяя последовательно неравенства D0) и D1) и
учитывая оценку D2) при о = 0,5, исключим г:
|(Д + 0,5т22)*|<1(Д- 0,5x^J1 + ^A^1 + 11^1).
Учитывая неравенство D2), получаем
| (Я + 0,5т22I1 < | E + 0.5ТЛ,) 21 + \ 0 ЪII + II Фа О
или

454 гл- к- экономичные схемы для многомерных задач
Суммируя по к = О, 1, 2, ..., п и учитывая, что 2° = 0,
получаем
|гп+1 |<» = 1(# + 0-5тЛ2 (<п+1)) 2"+11 < 0,5 2 т A ч4 II +141), D3)
где
. || г 6, = || (Я + 0, 5тЛ2) * р = | * Г + т (Л2*, в) + 41Л'* 12' <44>
Оценка D3) сохраняет силу, если 11211A, заменить нормой 1Ы1 или
11гЬ) = A21Р + х1Л22112) '» поскольку
Н2<И<1>И|М^)<И<1)-
Тем самым доказана
Теорема 3. Схема C3), C4) абсолютно устойчива (при
любых ки й2, т) и сходится со скоростью 0(|й|2 + т2) в норме II-11A),
определяемой формулой D4), если выполнены условия,
обеспечивающие второй порядок аппроксимации на решении и = и(х, *)
задачи C2).
Второй порядок точности продольно-поперечной схемы C3),
C4) установлен при -специальном способе задания краевых
условий для промежуточного значения у =у:
— цп 4- цп+1 т2
у = ц при 1\ = 0, ЛГ1э \1 = р ^2Г 4~(Л2ц)*,п.
Можно доказать, что схема сохранит точность 0(|Л|2 + т2),
если положить
у = 2_±± при 4 = 0,^, • D5)
т. е. отбросить в выражении для \1 второе слагаемое 0(хг). Мы не
пмеем возможности останавливаться на доказательстве этого
утверждения. Здесь фактически -устанавливается устойчивость
схемы по граничным условиям. Схема C3) с краевым условием D5)
может быть использована и для ступенчатых областей <5 (со
сторонами, параллельными осям координат).
В случае произвольной области удается доказать, что схема
C3), D5) имеет точность 0(|й|2 + т7УА).
Схема Писмена — Рэкфорда (9), A0) не может быть
формально обобщена на трехмерный случай, так как при этом
получается неустойчивая схема.
6. Схема повышенного порядка точности. Для задачи G) можно
написать схему переменных направлений повышенного порядка

§ 1. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 45Б
точности. Покажем, что таким свойством обладает схема
уР+'/т,-уП - о1/цГ4' + A - ог2) Л^ + а1ф",
уЯ+1-/Л+'Л = A - ^) Л^Г'' + о2Л2;Л» + A - „О/, D6)
ге о)Л, /г = 0,1, 2, ...,
У (X, 0) = Щ (х), 16й|„
у»+1 = ^п+1 при ^ = 0> ^ = ^ D?)
уп+г/' = и при ч = 0, ч = ЛГи
где
|Г = <т1И"+1 + A - ах) цп - тЛ2 @1а2цп+1 - A - ах) A - аг) рл\
1 *« п / ^ *? "\
'^ТЦ-1/ §
Для того чтобы убедиться в устойчивости схемы и в ее
аппроксимации 0(|Л|4 + та)| сведем уравнения D6) к факторизованном
схеме по аналогии с тем, как это делалось ранее в п. 3. Для
исключения уЛ+1/2 перепишем разностные уравнения D6) в виде
Я1Уп+1/2 = С2уп + О.ТФ», С,уп+1/2 = Вгу«" - A - о^тф", D8)
ГДе Ва=Е- ОаТЛа, Са = Я + A - Оа)тЛа, СС = 1, 2.
Умножая первое из уравнений D8) на A — о4), второе— наои
складывая их и учитывая, что A — о{)В{ + оЛ = 2?, находим
промежуточное значение
уп+1/2 = С1в2уп+1 + A __ 01)сау«. D9)
Подставим это выражение для уп+1/г в первое уравнение системы
D8)
а&Вщу**1 = (Сг - A - о.)ДА)»ш + а4тфп.
Отсюда, после очевидных преобразований, следует
ЯА уЛ+1т~уП = (А4 + Л2 + A - аг - о,) тЛД,) уп + Фп. E0)
ъ\ + Ъ\
Так как A — о4 — о2) т = —^—* то можно переписать схему в
следующем виде:
ВгВ2 Vм ~у* = А'уп + Фп, * € соЛ, E1)
у (я, 0) = щ(х) при хеол, уп = [1п при а:€= ул« E2)
л2 + л2
где Л'у = (Лх + Л2) у + х12 2 Л^^. Нетрудно убедиться к

456 гл- к- ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
том, что
4>=Л'цп + Фп-ДА цП+1т~цП =0(т2 + 1^14), E3)
т. о. схема E1), E2) имеет аппроксимацию 0(%г + |й|4).
При этом надо учесть, что
и + Ф =
Ьи + ^Ыи + ^Ыи + ^-Ь^и
«=<«
+ <рп + 0(|А|«) =
+ Фп + 0(|АИ)
(так как /^и = — Ь^и + Ах-^г— Ах/, а = 1,2],
ДА" т =
(Л2 Л2 \
И* ~ \ (ЛХ + Л2) И* + ■—- Л^ + 1& А2и* )
+ 0(т2+|Л|4) =
__ ( ди . т д2и т г ди _. н\ г ди , ^ 0И \
**=*,
+
+ 0(г« + |А|4)-
Для изучения устойчивости схемы рассмотрим однородные
краевые условия и введем то же пространство сеточных функций
о °
И — 0Л и те же операторы Аау = —• у- при у ^ ^Л, что и в п. 3.
В результате получим операторно-разностную схему
Ву< + А 'у = фШ, 0 < I = ит, у@) - но,
E4)
где
В = (Е + о1хА,)(Е + о2тЛ2), А' = Л, + А2 - (х4 + х2Ы1Л2,
Ка = Ла/12, аа = 0,5 —• ха/т, а = 1, 2.
Операторы 44 и А2 — самосопряженные, положительные'и
перестановочные:
А{ = Ах>0, Ла = Л2>0, Л^ = Л2ЛХ.
Поэтому И^)* = ^Иг > 0.
Проверим выполнение условия устойчивости В ^0,5тЛ' в #А>.
Сначала заметим, что |^а||<4/йа и *а\Аа\<1/3. Учитывая

§ I. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 457
неравенство Аа < Ыа^Е, получим
В — 0,5т4' = Е — кгАг — кгА2 + 0,5т (хх + *2) ^М, +
+ @,5т — щ) {0,5т — х2) ^Иг = Е — х^ — х2Л2 +
т. е. #>0,5т4' +Е/3.
Тем самым доказана устойчивость схемы в На'- В частности,
в силу теоремы 7 из гл. VI, § 2 для схемы E4) имеет место
априорная оценка"
1</+1|и<<1г/0|Ц<+ УтBх№т)''- E5)
Для оценки точности схемы E3) рассмотрим погрешность
2п+1 = ^п+1 __ цП+1. для нее ПОЛуЧаем задачу
Вг1+А'г = ^ 2@) = 0.
Теперь можно воспользоваться оценкой E5):
1«Ж|а<3/2(&т|Ф'ТУ/'. E6)
\;'=о /
При переходе от E5) к E6) мы воспользовались тем, что 2° «*
= У° — и0 = 0, и оператор А' удовлетворяет неравенству
Л'>-§-4или|2&,>-§-|*&-
В самом деле,
А' = А — (х1 + х2)Л1Л2>Л~х1||>11|^2-~х2|Л21Л1>-^Л.
Из E6) следует, что схема E1), E2) и эквивалентная ей схема
D6), D7) сходятся в НА со скоростью 0(т2+ |А|4).
Замечание. По аналогии с предыдущим пунктом можно оценить
погрешность аппроксимации для каждого дз разностных уравнений D8)
если положить промежуточное (фиктивное) значение й, в соответствии с
формулой D9), равным
« = 015аВ»+1 + A-(Т1)С2ия.
Подставляя это значение в формулу для фь находим
♦, ип+1 — ип
-± = А'иП-В±—; +ФП=1>П,

Д60 ГЛ. IX. ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
С?# = @ ^ XI < 1и 0 ^ хг < 12) с границей Г:
ди
% = (Ьг + Ь2)и + ;(х, *), и|г = Ц(*, I), и(*, 0) = щ(х), A2)
где Ьа,иг~ д2и/дх1,1 а = 1, 2.
Пусть о* = {(Мч, 1*2^2)} — прямоугольная сетка в С% с шагами
*! и Н21 &аУ = У- _• Напишем факторизованную схему A):
ВгВлг = Ау + Ф, Итл = V*, У0 = "о И, A3)
где Ва = Е — отЛа, Л = Л4 + Л2, 7* — граница сетки ©л. Для
решения задачи A3) при переходе со слоя на слой воспользуемся
алгоритмом F):
Я1УA) - Р\ Р - E^ + тЛУ + V, #2у'+' - уA). A4)
о краевыми условиями У,+1|уд = И*;+1-
Так как оператор В^Вг определен на ©а (включая границу
х, — 0 и х1 «= ^), то уравнение #2ут в у<|> должно
удовлетворяться не только при 0[ < х± < /4, но и на границе при х± = 0, 1и
Поскольку У'+1|уЛ = И-;+1 известно, то отсюда следует, что
уA, = (Я - отЛ2у+1 = ^+1 - атЛ2^+1 при х, - 0, *4. A5)
Если 1/A) при д?! = 0, /4 определяется по этой формуле, то
задачи A3) и A4), A5) эквивалентны, в чем легко убедиться
исключением 1/A) из A4). Для второго алгоритма
Я,и><1> = Ф', Ф' - Ау> + ср', В2и>{2) = шA), у'+1 = у* + тшB), A6)
краевые условия задаются так:
ц*+1 — и*
и><1> = (# - атЛ2) ** при ^ = 0, 1И
щ2) = при *а = а, 12
A7)
<*-. е. и?A) = 0, шB) = 0 на т(л, если ^ не зависит от *).
Отметим, что при записи схемы A) в матричной (операторной)
форме краевые условия можно считать однородными, изменяя
соответствующим образом правую часть <р в приграничных узлах.
Для факторизованной схемы получим также однородные краевые
условия (уA) =? у* = 0, м?A) = и>B) -■ 0 при х ^ Тл)» однако для
сохранения порядка аппроксимации в правую часть
факторизованной схемы в приграничных узлах при и = 1 ъ ^^ = N^ — ^ надо
внести поправки — а2т2АГЛ2М*.
3. Построение экономичных факторизованных схем. Пользуясь
изложенным в гл. VI, § 3 методом регуляризации, сформулируем
общий метод построения устойчивых экономичных схем.

§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИ30ВАННЫВ СХЕМЫ 4б1
Рассмотрим устойчивую исходную схему
В *—^-^ + Ау* = <р« A8)
с оператором
Я = Е + тЯ. A9)
Так как схема устойчива, то В > 0,5тЛ.
Предположим, что В есть сумма конечного числа экономичных
операторов Яа, а= 1, 2, ..., р:
д = Л1 + ...+др. B0)
Факторизуем оператор В = Е + т(/?1 + ... + ЯД т. е. заменим его
факторизованным оператором
Я-Я,„.Я„Яв = Я + тЯ«, B1)
и перейдем от исходной схемы A) к факторизованной схеме
#1...#рУ*+4у = ф B2)
(при этом может оказаться необходимым дл# сохранения
аппроксимации заменить <р на <р вблизи границы сеточной области).
Если исходная схема A8) устойчива и Ви Я2, ..., Вр
являются самосопряженными (Ва = Я^), неотрицательными (Ва ^ 0) и
попарно перестановочными (ВаВ^ = В&Ва, а, (* = 1, 2, ..., р)
операторами, то факторизованная схемд, B2) также устойчива.
В силу указанных свойств операторов Яа любое их
произведение ВаВь ЯоЯ*Ят и т. д. является самосопряженным и
неотрицательным линейным оператором. Поэтому
В = Я,Я2 - Е + тС!?! + Я2) + т^А - В + хгВДг >В при р = 2,
В^В,Вг...ВР = Е + т(Я4 + Я2 +... + Яр) + т*<?р = Я + т2<?р ^ Я,
где <?; = ?р>0.
Таким образом, Я > Я ^ 0,5x^4, т. е. факторизованная схема
B2) устойчива. Операторы Ва следует выбирать так, чтобы
выполнялось и условие аппроксимации.
Пример 1. Пусть требуется решить первую краевую задачу
для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами
^■«Гъи + ^и+ /(*,*), хеС^>0,
и|г = \х (х, *)> и (я, 0) = ы0 (я),
Vе Я" (*•<*' ^Й' °<с1<*«<с«. « = 1.2, B3)
С = {0<*а</а, а = 1,2).

462 гл- к- экономичные схемы для многомерных задач
Построим двухслойную факторизованную схему
(Е + тП{)(Е + гЮуг + Л г/ = <р,
х е о)Л) I = пт, л = О, 1, ..., B4)
у(х, 0) = Щ(х), Х^ (Он,
где ©л = {х{ = (иКи 12й2), ъа = 0, 1, ..., #а, йаЛ^а = *а, а = 1, 2) —
сетка в прямоугольнике и с границей *ул.
Оператор Д» аппроксимируем разностным оператором
- \У = {аа (*« *)^а)*а' ° < с1 < а« (ж, *) < с2-, а = 1, 2,
второго порядка аппроксимации и положим
о
.. »_ • - Л = — (Л! + Л2), Яа = — ас2Ла, а = 1, .2,
где Лау = г^аха-
При изучении устойчивости схемы предполагаем, что краевые
о
условия однородные и Я = ЙЛ — пространство сеточных функций,
заданных на сол и равных нулю на границе ^л. Скалярное
произведение в пространстве Я определяется так же, как для задачи B2)
в § 1. Тогда А ж Яа как операторы^ заданные в Я, обладают
такими свойствами:
А = Л* > 0, Ла < с2Ла, Аау = — Лс# для любого у е 0Л,
„ * B5)
Яа = ас2Ла, Яа = Яа> 0, а = 1, 2, ЯХЯ2 = В2В1.
Условие устойчивости Я «= СЕ + тЯ^Я + тЯ2) > 0,5тЛ будет
выполнено, если а > 0,5 (или даже о > 0,5 — 1/(т11ЛИ)). Очевидно,
что Ва = Е + тЯа — трехточечные разностные операторы с
постоянными коэффициентами. Они являются экономцчными, так как
уравнения
Ваю = (Е + %Ва)ш = Ра,а= 1, 2,
могут быть решены методом прогонки (вдоль строк при а = 1
и вдоль столбцов при а = 2).
Факторизованная схема имеет, по крайней мере; первый
порядок точности по т. Аналогично строится экономичная
факторизованная схема для р-мерного случая, когда
!?=2^ы+>' <23'>
а=1

§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ 463
а Ьа определяется согласно B3). В этом случае
В=Н(Е + хВа).
а=1
Операторы На выбираются так же, как и при р = 2.
Пример 2. Пусть требуется решить первую краевую задачу
для параболического уравнения со смешанными производными в
параллелепипеде <50 = @ < ха < /а, а = 1, 2, ..., р):
■^ =Ьи +/(я, 0, и\г = И< (*, 0, и (я, 0) = и0 (х),
дг
V
а, р=1 а ч Р'
о<сх2й< 2 /Саэ(х'*> ^ < с«2й
B6)
_р_
Ьа-
а=1 а, 0=1 а=1
В качестве /?« снова выбираем операторы B5). Эти операторы в
о
Й* являются самосопряженными, положительными (при о > 0) и
попарно перестановочными (так как область 5# —
параллелепипед). Полученная схема устойчива при условии а > 0,5. Так как
Ва = ЕЛ- тДа, а = 1, 2, ..., р,— трехточечные разностные
операторы с постоянными коэффициентами, то алгоритм определения
у**1 при заданном у* тот же, что и в предыдущем примере.
Пример 3. Схема повышенного порядка точности для
уравнения теплопроводности A2).
В § 1, п. 6 было показано, что факторизованная схема
(Е — о^тЛ!) (Е — <т2тЛ2) уг = К'у + ф,
а?€=о)Л, 0<* = ит, B7)
где
»к = И (*>1 * = ЛТ, У (*. 0) = "О (*), X I
А/ = А1 + А1 + ^?Л1А1,
Лоу = уЯаЖа, аа = 0,5 - Л»/12, а = 1, 2,
/Й а! \п+1/2 <28>
Ф= (/ + 15^/ + ^)
имеет точность 0(т? + |Л|4).
Она эквивалентна схеме переменных направлений D6), D7)
"из § 1. Напишем две другие схемы переменных направлений,
эквивалентные B7)
1) (Е + о1тЛ1)у — ((Е- а1гА1)(Е - о»тЛ«) + хМ)у + тф,
(Е - ашхА2)у = у.

464 гл- 1Х- экономичные схемы для многомерных задач
Каждое из уравнений есть двухслойная схема. Запишем эти
схемы в каноническом виде
= Агу+ A — <Х2)Л2у + (хх + х2 + ™&г) ЛхЛаУ + ф, B9)
(Е - сх2тЛ2) 2=2. = а2А^, х„ = Л*/12, а = 1, 2.
Краевые условия для этих схем:
Уп = Цп при 12 — О, ЛГ2,
у = (Е - огтАг)\1п+1 при 1, = 0, N^. C0)
2) (Я-^тЛх) -^ = Л'У + %(В- с2тЛ*) 1=*- = <т2Л (у - *,)
C1)
с краевыми условиями для у:
у = цп +\(^-та2Л2) ц ~ц при гг = 0,ЛГ1в C2)
Каждая из полученных трех задач D6), D7) из § 1, B9),
C0) и C1), C2) решается поочередным_применением метода
прогонки вдоль строк и столбцов сетки шл (т. е. методом
переменных направлений).
Подводя итоги, следует отметить, что факторизованные схемы
применимы лишь для областей специального типа, точнее, для
прямоугольников и для параллелепипедов. Исключение
представляет лишь случай В = В^В^ Ва = Е+ тЛа, где Д4 и В2 —
треугольные операторы. Однако при этом понижается порядок
аппроксимации (которая имеет место лишь при условии т = 0(А2)).
4. Трехслойные факторизованные схемы. Рассмотрим
экономичные трехслойные схемы. Пусть дана схема
Вуо +т2Яу-и + Ау=<р, 0<* = 7т<*0, у@) = у0, у(х) = у1.
Разрешая ее относительно у*+{, находим
(В + 2тВ)у»1 - 2тBД - А у + (В - гтДу-1 + 2т<р'.
Отсюда видно, что для экономичности трехслойной схемы надо^
чтобы оператор В + 2тД на верхнем слое был факторизован.
Рассмотрим в качестве исходной схемы схему с весами:
Уо +^(а1у+A-<У1~ог2I/ + (Г^) = ф, I/@) = у0, у(х) = у1. C3)
Запишем ее в каноническом виде (см. гл. VI, § 3)
(Е + т (аг -о2)А)уо+ 0,5 (аг + а2) %*Ауь + Ау = <р C4)

§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ 465
и найдем оператор В + 2хВ = Е + 2о1хА. Пусть А=А1 + А2.
Заменим В + 2хВ факторизованным оператором
В + 2хЯ = (Е + 20&А1) № + 2а,хА2) = Д + 2огхА + 4о?т241Л2.
Поскольку имеется одно условие для двух операторов В и Я, то
можно построить ряд .факторизованных схем.
Перепишем C4) в виде
(В + 2хВ) уг + (В- 2хЯ) щ + 2Ау = 2Ф.
Заменим В + 2хВ факторизованным оператором В + 2хЯ и при-'
ведем полученную схему к каноническому виду, учитывая прц
этом, что
У г = У о + 0,5хуи, у-% = у в — 0,5т1/?г
В результате получим
(Е + х (а, - <т2) А + гоЬгМ^,) »о + т2 (■^^1 ^ + <тМ И2) У-„ +
+ Ау = ф, г/ @)=1/0, I/ (т) = уь C5}
так что
2 = В + 2о\х*А1А2, 7( = В + о1хАгА2
(ср. с C4)).
Для определения у*+1 при заданных у* и у5'1 можно восполы.
зоваться следующим алгоритмом:
Вгщг) = Р\ Р} = BтА- 5) ^ - 2Ау5 + 2<р\
В2щ2) = щ1Ь у3+1 == у; + та?(Я),
В1 = Е + 2а1тЛ1, Д2 = Е + 2агхА2.
Вопрос о краевых условиях для ю{^ решается так же, как и ч
случае двухслойной факторизованной схемы.'
Для исследования устойчивости факторизованной схемы C5)
падо воспользоваться общими теоремами из гл. VI, § 3. Достаточ-г
иыми условиями устойчивости являются условия
<71><т2, ах + а2> 0,5, Да = 4а>0, АхАг = А%АХ.
Если аг !> а2, ах + а2 > 0,5, Аа = Аа > 0, то исходная схем^
устойчива, так как В^*Е, 4Й> А. В силу перестановочности -4,
и А2, А1А2>0, т. е. В>5, Я > Л. Отсюда и из устойчивости
исходной схемы следует устойчивость факторизованной схемы C5).
Мы рассмотрели частный случай, когда Я = о4, а = 0,5(о4 +
+ о2). Укажем общий метод построения трехслойных экономичных
факторизованных схем, основанный на принципе регуляризации
разностных схем (см. гл. VI, § 3, п. 10). Рассмотрим некоторую
3 0 А. А. Самарский

466 Гл- к- ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
исходную разностную схему
Уо+УПуъ + Ау^у, 0<* = /т<*в, у@) = и,,у(т)=~и. C6)
(значение у(х) = й0 при I = т выбирается так, чтобы обеспечить
второй по т порядок аппроксимации). Оператор Д выбирается
так, чтобы схема C6) была устойчивой.
Запишем исходную схему в виде
(Е + 2тВ)у< = -Р, Р = B%В-Е)у;-2Ау + 2<р. C7)
Пусть Д есть сумма экономичных операторов, Д = Д4 + Да + ...
р
... + Д„. Заменим в C7) Е + 2тД = Е + 2т 2 #<х факторизо-
а=1
ванным оператором
^ р
Е + 2тД = П (Е + 2тДа) = Е + 2тД + 4т2<?„, Л ±= Д + 2т^р,
где <), — Д4Д2 при р = 2, <?„ = Д4Д2 + ДА + ДА + 2хВ1ВгВ$ при
у = 3ит. д,, и вместо C7) рассмотрим факторизованную схему
В1... Д,*/« — ^В.-г + 2тД«. C8).
Приведем C8) к каноническому виду
Ву. +х*Вуь + Ау = <р, C9)
где В = Е + 2т2(?р, Д = Д + т<?,. -.'
Пусть я|?в(м) — погрешность аппроксимации (в классе решений
и = и(х, I) непрерывной задачи) для исходной схемы C6),
фДц) — для факхоризованной схемы C9). Нетрудно заметить, что
♦|(о) — фь(и) + ф*, ** — 2*4?»»*.
Если |#рИ*В<2*) == 0A)» гДе Й'Ь*) — некоторая сеточная
норма (фигурирующая в теоремах об устойчивости), то|\[)*||(а*)=0(т2)
д при переходе от исходной схемы к экономичной факторизован-
нои схеме C8) погрешность аппроксимации меняется на
величину 0(т2). Таким образом, указанный процесс позволяет получать
экономичные факторизованные схемы с сохранением второго
порядка точности по т (за счет, вообще говоря, некоторого
повышения требования гладкости решения и).
Чтобы исследовать устойчивость C6) и C9), нужно рассматри-
о
вать операторы Д и А как линейные операторы из Я = Йя в Я
(это значит, например, для схемы, аппроксимирующей B6), что
.краевые условия на ^ однородны).
Пусть выполнены условия
А = А*>0§ Да = Д«>0, а =1,2,..., р.

§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ 467
Тогда исходная схема C6) устойчива при
д^1+^, е>0. . D0)
В случае переменного А = АШ требуется, кроме того, чтобы
АШ был липшиц-непрерывен по I. Оператор В мы будем
выбирать постоянным.
Если операторы Ва попарно перестановочны, то из
устойчивости исходной схемы следует устойчивость факторизованной схемы
C9), так как #р>0, В = Е+2х2(?р>Е, В=Д + т(?р>В, т. е.
Выбор регуляризатора В как для двухслойных, так и для
трехслойных схем проводится по одному и тому же принципу. Важно
отметить, что одним и тем о/се регуляризатором В можно
пользоваться для различных операторов А.
Прим ер. 4. Рассмотрим задачу B3) для уравнения
теплопроводности с переменными коэффициентами. Операторы А, Л± ий2
определяются так же, как и в примере 1 для двухслойной
экономичной схемы B4).
Исходной является схема C6)
у.+х*Вуи + Ау=<р, В = Вг + В2,
имеющая второй порядок аппроксимации, я|> = 0(т2 + |А|2). Она
устойчива, если а^A + е)/4. Факторизованная схема имеет вид
C9), где
В - Е + 2хгВ1В2, В - В + тДЛ.
В силу перестановочности В{ и В2 факторизованная схема C9)
абсолютно устойчива при а > A + е)/4, е > 0.
Заметим, ^то оператор А=АA) липшиц-непрерывен, если
I (аа)г I ^ с3Оа, с3 = сопзЬ > 0, а = 1, 2.
Схема C9), очевидно, экономична, так как каждый из
операторов Ва = Е-г 2хВа экономичен.
При решении системы разностных уравнений
ВД^ = -/\ Ва = Е + 2т;Ва,у\Ун = 11
можно воспользоваться алгоритмом
#1И>A) = - Р, х е= ©л, шA) = В2\1г при XI = 0, 1и
В2шB) =• и?A)| х е= ©„, и?(Х) = р{ при х2 = 0, /2,
Ум = ^ + т^B).
Обращаем внимание на постановку краевых условий для и?{1) при
прогонке по строкам и для и?B) при прогонке по столбцам. Если
\х не зависит от I, [х = \х(х), то м>A) и юB) удовлетворяют
однородным граничным условиям.
30*

468 ГЛ- 1Х' ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
Пример 5. Рассмотрим задачу B6). Оператор Ь в этом
случае аппроксимируется разностным оператором
Ау = 0,5^[(Ч (*, ') Ух^ + (Ч <*•«) %Ьа]'
а коэффициенты Агар удовлетворяют условиям
е% 2 &«< 2 *.э(МNа1»<<?» 2 & Для всех геС01 <>0,
а=1 а, 0=1 а=1
где сг ^ С! > 0 — постоянные. Липшиц-непрерывность оператора
о
ЛШу™—А(*)у в Я = Олобеспечивается требованием К&огМ^Са,
с3 — постоянная.
р
Регуляризатор Я= 2 ^а, где /?а выбирается так же, как
<Х=1
и в предыдущем примере:
о о
ПаУ = — <УС2ЛаУ, АаУ = У^^.
Факторизованная схема C9) в этом случае устойчива при
условии D0) или а^*A + е)/4, е>0, и имеет второй порядок
точности по всем переменным.
Аналогично проводится построение факторизованной схемы
для исходной схемы вида
(Е + т*Д) у-и + Ау = ф, Д = 2 Л«, D1)
где 7?а — попарно перестановочные, самЬсопряженпые и
положительные операторы. Эта схема соответствует уравнению
гиперболического типа д2и/д12 = Ьи + /. Переход от схемы D1) к
факторизованной схеме можно осуществить несколькими способами,
факторизуя оператор при у % у^г или уг. Мы рассмотрим один из
этих способов. Заменяя оператор Е + х2В факторизованным
оператором
Е + т*Я = Н(Е + %*Вь)г Й = Д + т2<?р, &, = <?;>0,
получим схему
(Е + х*В)у;г + Ау = <р,
которая устойчива, если устойчива исходная схема (так как Я =
= #*>Д), и отличается от исходной схемы по аппроксимации на
величину 0(та).
Пример 6. Рассмотрим уравнение гиперболического типа в
прямоугольнике &9 — @ < ха < I», а = 1, 2), на границе Г которого

§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ 469
заданы краевые условия первого рода:
^ = (Г! + Ь2) и + / (*, *), Ьаи = ^ а = ^ 22
*е=С0, *е=@,Л, D2)
и| г = !*(*.*)* *>0, и(х,0) = щ(х),
^(*,0)==ыо(х), а:еС0.
Выберем исходную схему с весами на равномерной
прямоугольной сетке ©а = {х{ = (ики ^Л2), 1а = 0, 1, ..., ДО», ЛаЛ^» в й»,
а=1, 2):
щ% = Л (ау + A- 2а)# + <#) + <р(*,*),
' = /*• / = 1,2,..., *е=(»Л1
у!та = !*(*•'). ' = /*, />А D3)
# (х, 0) = щ (я), уг (х, 0) = и0 (х), х е= а>Ас
где ^ (х) = цв (я) + 0,5т (Ьи0 + / (ж, 0)), Л = Аг + Л2, Аау = у-ЯаХа.
Предположим, что 4о > 1 + е, е >0, т. е. исходная схема D3)
устойчива. Запишем схему D3) в каноническом виде
(Е-от2А)уи = Ау + <р
и перейдем от нее к экономичной факторизованной схеме
(Е - ат2Лх) (Е - от2Л2) уь = Ау + <р. D4)
Перепишем схему D3) в виде
(Я -<тт2Л) *,, = Р, Р = (Е- ат2Л) У|- + х(Ау + <р)
и факторизуем оператор /? — от*Л при у<:
(Е-схгА1)(Е-атгА2)уг^Р
или
аЧ3Л1 А^ о + E •— ат2Л + 0,5а2т4Л1Л2) уь = Ау + Ф. D5)
Обе факторизованные схемы D4) и D5) имеют второй
порядок аппроксимации по т при любом о и устойчивы при 4о > 1 +
о
+ е, так как операторы Ва = —А» (в пространстве Я = ЙЛ
функций, заданных на <оь и равных нулю на границе Ч* сетки)
перестановочные, самосопряженные и положительные.
При определении у = у*+1 из полученных разностных
уравнений следует помнить о граничных условиях для промежуточного

470 ГЛ- ЕЬ- ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
значения. Уравнение В1В2у^г = Ау можно решать так:
В^м = Ау + Ф, Щ1) \ук = В2\1;г, Хг = 0, 1и
В2щ2) = щ1Ь щ2) \Ун = \кЬ, х2 = О, 12Х
у*1=2у5-у>-1 + х2щ2).
Для вычисления у;+1 надо помнить три последовательности
величин у'-1, у1 и и;B). Если переписать схему в виде
ВфЯх = Ф, Ф = т (А» + ф) + 5x5^,
то для определения у3** надо помнить только две
последовательности у5 и шB). Однако при этом увеличивается объем
вычислений из-за усложнения правой части.
Решение уравнения D5) приводилось выше.
Нетрудно построить экономичные факторизованные схемы для
задачи D2), когда Ьа определяются формулами
Ьаи = ТГа (ка (*' *) 1г\ 0 < сх < Ла < с2.
В этом случае в качестве исходной выбираем схему
(Е + т*В)уь = Ау + <р,
где Ау = Д (ввУ^. ЯУ=- «Ау, Ау = ^ + у^.
Параметр а выберем так, чтобы выполнялось условие устойчивости
Шу, у)>A + е)(-Ау, */)/4, г > 0,
о о
при любом I/ е # = й, где й — множество функций, заданных на
сол и равных нулю на границе сетки т*. Для этого, очевидно,
достаточно положить а = A + Е)бг/4.
Заменяя оператор Е + т2(Л4 + В2) факторизованным
оператором (Е+х^ВЛЕ + т2Д2), где Вау = —ог^- , а = 1, 2, получаем
*а*а
экономичную схему
E + т^) (Е + т2Д2) у7, = Ау + Ф,
У 1т = Р> У (*. °) = Щ (*)> У* (*> °) = "о (*).
где й0 = й0 + 0,5т(Ьи + /) | ,„„. Эта схема абсолютно устойчива и
имеет второй порядок точности по т и \Н\.
5. Экономичные схемы для систем уравнений параболического
и гиперболического типов. Пусть
#={0^*а</а, СС=1, 2, ..., р)
— /ьмерный параллелепипед,
^Г-5Х[0<КП,(?Т = СХ@<КГ].

§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ 471
Пусть А=(А:ар)= (Аг^э), 5, то=1, 2, ..., /г,—клеточная
матрица р X р с клетками /г X /г, удовлетворяющая условию симметрии
А$ (*, *)' = Щ& (х, г) для всех (х, I) е= <>Г D6)
и условию положительной определенности
*!2 $(&)•< 2 2 *3(*.06УЙ<с,2 2(йI, D7)
*=1 ос=1 «,т=1 а, 0=1 «=1 а=1
где С1 и с2 — положительные постоянные, &а=Eа, • -'-»&•-•» 5а)—
произвольный вещественный вектор. Положительная
определенность матрицы к является условием сильной эллиптичности
оператора
р
<х,р=1 «\ Э/
где и = (а1, ..., и% ..., ип) — вектор размерности п9 т. е.
условием выполнения неравенства
сД-Т^и, и) < (-/л1, и)г D9)
где (и,у) = ^ 3 ^* (х) V* (х) Ах, их = Лхг ... с1хр, 1/0)и = Ли =
«=ю
—г, и — произвольная достаточно гладкая вектор-функ-
0=1*4
ция, равная нулю на границе Г.
Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти непрерывное
в (?т решение системы уравнений параболического типа
!? = Ьи + 1(М), (*,*)е0т.
и = ц (х, I) при 1ЕГ, Iе= [О, Г], E0)
и(#, 0) = ив(я), х^С.
Пусть ©Л = {х< — ЦкНи .. .,_*РАР)} — сетка в (У, 0 < 1« < #а,
Ло = 1*/Ма, а-1, 2, ..., р, и ш, =*{^ — ;т, / = О, 1, ...}-— сетка
на отрезке 0 < I < Т. Оператор Ьа» аппроксимируем разностным
оператором (см. гл. IV)
Лари - 0,5 [(**«4* + (**«4*| E1)
и обозначим
Ли= 2 Л^и. E2)
а, 0=1
При р = а получаем
Л^и = (««и;в)Жс. «а = 0,5 (каа + к^а**).

472 гл- п- экономичные схемы для многомерны:
о
Введем пространство Йл — множество сеточных вектс
заданных на а>л и равных нулю на границе Чн. Скаля
о
ведение в Йл определяется так:
(У, V) = 2 (/, V*), (У\ Vе) = 2 У* (*) V (X) К .
В силу D6) оператор Л является самосопряженнь
ром, так что (Лу, у) = (у, Лу). Из D7) следуют равеш
с|(- Л@)у, у) < (-Лу, у) < с2(- Л@)у, у), У"е
В качестве регуляризатора выберем оператор
Д = ДДа, Дау =-ау^, а = 1,2, ...,,
где о —числовой параметр, который будет выбран из
ний устойчивости.
Напишем сначала двухслойную экономичную схем}
схема имеет вид (Е + тД)у/ = Лу + <р, где <р = V + 0A А
V
меняя 2? + т-й = 2? + <*2 Ва факторизованным
О—1
Ц(Е + тВа) = Е + т;В,В=В + т(?р,<2Р= 2 Ва1
а=1 а<0
получаем экономичную факторизованную схему
П (Е + т#<*) У* = Лу + ф, * ^ ®л, * <^ «>т
у (а:, 0 = Ц (*, *)> я*=7л, * ^ <»т,
у(х,0) = ио(я), жбйл,
Для отыскания вектор-функции у*+1 — у можно, нав
пользоваться таким алгоритмом:
(^ + тД1)^A) = Лу + ф,
*<1> = П (Е + ЧЩ № ПРИ Х1 = 0. *1>
(Е + тВа) УГ(а) = ^(а-1), « = 2, 3, . . . , р,
V
^(а)= П (# + т/?р)ц* при ха = 0, /а, а = 2, 3,

§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ 473
Схема E5) абсолютно устойчива при о < 0,5с2 и сходится со
скоростью 0(т+ |А|2).
Второй порядок точности по т имеет трехслойная схема
Уо+т2Дуь = Лу+<р. E6)
Перепишем ее в виде
(Е + 2тД)у, - Г, где Г = 2(Лу - ф) - (Е - 2тД)у«,
V
и заменцм оператор Е + 2тД = Е + 2т 2 ^а факторизованным
<Х=1
оператором
П (Е + 2тДа) = Е + 2тД + 4т2(?р.
Тогда получим факторизовайную экономичную схему
Й(Я + 2тД«)у, = Л ^E7)
а=1
Запишем ее в каноническом виде
(Е + 2т20р) у о + т2 (Я + т&,) у7, = Лу + Ф, E8)
у = ц при же^ * е о)т,
у(х, 0) = и0Ы, уДх, 0) =и0(х) при х е ©Л|
где ив(х) = Ьщ + 1{х, 0).
Для определения у = уж из E8) воспользуемся алгоритмом
(Е + хП^Фю^Р*, 5 = 1,2, ...,й,
р
*%) = П (# + *ДР) И? ПРИ *1 = 0» *1>
0=2
(Е + тДа)ш(а) = Ш(а_1)э 5 = 1,2, ...,/г, а = 2431...1р1
н><а)= П (Д + тД*)и? *а = 0, /а, а = 2,3, ...,р-1,
^+1 = уЧ
1ПЯГ(р).
Компоненты и>(а) находятся независимо. Исходная схема E6)
устойчива, если положить
о = с2A + е)/4, е = сопз1 > 0.

474 гл- 1Х- экономичные схемы для многомерных задач
Операторы На попарно перестановочны и положительны,
поэтому #Р>0, а также Л>Д, где Л = В + т@,\— регудярмзатор
о
схемы E8). Отсюда следует, что схема E8) в ^л абсолютно
устойчива.
Пусть у — решение задачи E8), и — решение исходной задачи
E0). Подставляя в E8) у = 2 + и, получим для погрешности ъ
условия
(Е + 2т2?р) 2с + т2 (Я + т<?„) хь = Ах + Ч>,
2=0 при х е ^л, г е ©т, г(х, 0) = 0 при х ^ со*, ~~ E9)
2|(д:, 0) = у(х) при же юл,
где
Ч> = Ли + ф — и• ~ т2Ди?, — 2т2(?ри, = %— 2х*()р\хи F0)
^ — погрешность аппроксимации исходной схемы E6), у = и —
-и, =0(т).
Так как 5 = Е + 2т2(?Р >/?, то для схемы E9) верны теоремы
6 и 9 из гл. VI, § 3. Погрешность аппроксимации V второго
начального условия оценивается в норме Пг11©, где
| V Й> = <°*> *> = Т2 (ДГ' *> + Т3 (&*■ *> = ° И-
|К|л = 0(т2), так как у= 0(т).
Из F0) видно, что ф = 0(т2 + |&|2). Требования гладкости, при
которых ф = 0(т2 + |Л|2) и Мх) = 0(т2), возрастают с ростом
числа измерений р. Эти требования можно ослабить, используя,
например, при выводе априорных оценок для уравнения E9) с пра-
• р
вой частью Ф = т2#рУ = т22^ 2^^р)у1 V = и*, следующие неравен-
ства:
2т (*, ж.) = 2т3 ($,▼, г.) = 2т8 ($?Ч ж.)+2т3|, т^ф'Ч «.)<
^(ВгигА + ^М + Ъ^^У,*)-
Два последних слагаемых в этом неравенстве есть величины
0(т5); они дают вклад в оценку погрешности 2. Таким образом,
о -
схема E8) сходится в сеточном пространстве ТР2 со скоростью
0(т2+|й|2). .
Перейдем теперь к системе уравнений гиперболического типа.
Требуется найти непрерывное в цилиндре @г решение системы

§ 2. ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ 475
уравнений
=Ьи + 1(х,*)9 (*,*)е0г, ^=2 Ь*Ь - F1)
удовлетворяющее дополнительным условиям
и = A (я, *) при х е= Г, * е= [О, Г],
и(*, 0) = и0(х), ^2> = ц0(х) при хеС. F2)
V
Оператор Ь = 2 Ахр определяется формулой D8). Система
<х,р=1
уравнений теории упругости
2 Р 2
-^ = (хДи + (А, + (г) 8гай <Ну и + I, До = 2 Г1»
где X = сопз! > 0 и \1 =» сопз! > 0 — коэффициенты Ламэ, и =
= (ю\ ..., »р) — вектор-функция размерности р, очевидно,
является частным случаем системы F1) при п=*р и
*3 = РЪ&гп + (Ь + ц) [вба8бРт + A - 9) 6«тв*],
|1» * = 7\
I1' ' = *•
в — произвольная постоянная. Условие D6) выполняется
автоматически. Условие D7) также выполнено при с1 = \х, с2 = А, + 2|ш:
•г= 2 2 «ЗЙ65 = |» 2 &J +
«,т=10,3=1 <х,«=1
+ (я + ц)[е 2 6Й1 + A-в) 2 6Й?1
I а,«=1 а,*=1 ^
Полагая здесь 8 = 1, найдем Сь = |и, так как
/= 2 (М«.5э) = ц2|^|2+(^ + Ц)BеаУ>р12иа|2.
а, 0=1 <х=1 \а=1 / а=1
Полагая затем 6 = 0, найдем с2 = Х + 2\л, так как
а=1 а,«=1
а=1 1_а,«=1 а,в=1 ^
а=1 а=1 \«=1 ) а=1

476 гл- п- экономичные схемы для многомерных задач
Таким образом, с4 = ц, с2 = X + 2\х. В качестве регулярязатора В
р
выберем тот же. оператор, что и ранее: Я = 2 -^а» КаУ =
а=1
ха*а
Исходная схема у^ + т2/?у^е = Лу + <р устойчива, если
г2A + е)
а = ——т , е = сопз! > 0.
V
Заменяя Е + %2К = Е + х2 2 ^а факторизованным оператором
а=1
, получим экономичную факторизованную схему .
а=1
V
П (Е + т2/?а) у- = Лу + ф при жесоа, г <= ©т,
у = (А при х <= 7л, * е 0Л,
у (*, 0) = и0 (я), у, (х, 0) = и о (х) при х <= од,
где и#Ы = и0 + 0,5т(/ди + Кх, 0)).
Можно показать, что эта схема абсолютно устойчива и имеет
второй порядок аппроксимации, 1|) = 0(т2+|А|2) и V=я0(та).
Отсюда следует ее сходимость со скоростью 0(т2+|А|2).
Отыскание вектор-функции у*+1 сводится к последовательному
от а к а +1 решению методом прогонки трехточечных уравнений
впда (Е + тгНа)чг = Ра для каждой из компонент вектора ^г.
Воспользуемся, например, следующим алгоритмом:
(Е + т'Д,) *A) = Р, Р = П (Е + т2Д«) у-, + г (Лу + <р),
сс=1
(Е + т2Да) *(в) = таг-», а = 2, .. •, р, уЖ в у>' + ТЩр>
Для вектор-функций ^(а), а = 1, 2, ..., р — 1, ставятся при ха в
= 0, 1а следующие краевые условия:
*A, =(Е + т2Я2) ... (Е + т2Лр) ц,, «х = 0Л,
*(а> = П № + Т2Др) Ц„ *а = 0, /а.
Так как операторы Д» = Е + т*Ва имеют диагональную
матрицу коэффициентов с диагональными клетками, то компоненты
вектора ^(сс), а = 1, 2, ..., р, определяются независимо.

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
477
§ 3. Метод суммарной аппроксимации
1. Постановка задачи. Рассмотренная в § 1
продольно-поперечная схема (метод переменных направлений) не допускает
непосредственного обобщения на случай трех и большего числа
измерений и для параболических уравнений общего вида. Что касается
экономичных факторизованных схем из § 2, то они применимы в
предположении, что область С изменения аргумента х = (хи х2,.-*
..., хр) есть параллелепипед.
Необходимо указать общий метод получения экономичных схем,
пригодных для уравнений с переменными и даже разрывными
коэффициентами, для квазилинейных нестационарных уравнений в
случае произвольной области любого числа измерений. Таким
методом является метод суммарной аппроксимации, которому и
посвящен данный параграф.
Основное изложение мы проведем для уравпения
теплопроводности:
■^ = 1ги + / (х, *). х= (*!, х2, . ..,хр)«=С, *>0,
" A)
р
в произвольной /ьмерной области С с границей Г, если заданы
и1г = И,и, I), 1>0, и(х, 0) = и0Ы, х^и. B)
Квазилинейное уравнение теплопроводности соответствует случаю
ка = &а(#, и и) и / =" /(х, *, и).
Конечно, термин «произвольная область» нельзя понимать
буквально. Граница Г области должна быть, достаточно гладкой,
чтобы обеспечить существование гладкого решения и = и(х, I)
исходной задачи A)—B). При оценке погрешности
аппроксимации и точности разностных схем мы всегда предполагаем, что
решение исходной задачи для дифференциального уравнения
существует и имеет нужные по ходу изложения производные.
Все экономичные методы имеют одну общую
алгоритмическую идею: процесс отыскания приближенного решения
многомерной задачи разбивается на несколько этапов, на каждом из
которых решается простая задача. Так, например, для уравнений
второго порядка параболического или гиперболического типа такой
простой, «первичной», алгебраической задачей является
трехточечная разностная задача (разностное уравнение второго порядка),
которая решается методом прогонки. Эта трехточечная
разностная задача, как правило, может быть трактована как разностная
аппроксимация одномерного (по ха) дифференциального
уравнения. Таким образом, экономичный алгоритм решения сложных
задач есть цепочка простых алгоритмов. Отсюда становятся
понятными применяемые различными авторами термины для эко-

478 гл- ге- экономичные схемы для многомерных задач
номичных методов решения многомерных задач — метод
переменных направлений (на каждом этапе решается одномерная задача
по фиксированному направлению ха)У метод дробных шагов
(любой сложный вычислительный процесс ведется поэтапно с
использованием промежуточных (дробных) значений), метод
расщепления (сведение более сложной к более простым задачам,
«расщепление» сложной задачи на простые) и др. Все эти термины,
отражая одну из сторон экономичных методов, имеют право на
существование.
Однако -мы в основу классификации разностных методов
положим здесь не способ получения, не способ решения разностных
уравнений, а понятие самой разностной схемы.
2. Суммарная аппроксимация. Фундаментальным свойством
разностной схемы является свойство аппроксимации на решении
исходного дифференциального уравнения. Отказ от классического
понятия аппроксимации и замена его более слабым
условием'суммарной аппроксимации существенно расширяет класс решаемых
задач и приводит к аддитивным схемам. Эти новые схемы (общее
определение которых будет дано в п. 10) имеют две основные
черты:
1) переход со слоя ; на слой ; + 1 осуществляется при
помощи последовательности обычных (двухслойных, трехслойных и
т. д.) схем;
2) погрешность аппроксимации аддитивной схемы
определяется как сумма невязок для всех промежуточных схем (аддитивная
схема обладает суммарной аппроксимацией).
При этом каждая из промежуточных схем цепочки может не
аппроксимировать исходную задачу, аппроксимация достигается
за счет суммирования всех невязок.
Мы уже встречались в гл. II с необходимостью расширения
понятия аппроксимации — разностная схема не имеет на сетке
юн локальной аппроксимации (в норме С) требуемого порядка,
однако имеет такой порядок аппроксимации в негативной норме,
т. е. в некотором суммарном смысле.
Аналогично может оказаться, что схема на сетке <ох по
аргументу I не имеет локальной аппроксимации и аппроксимация
достигается при суммировании невязки по нескольким временным
слоям. Проиллюстрируем понятие суммарной аппроксимации на
простых примерах.
Пример 1. Пусть дана задача Коши
4± + аи = 09 *>0, и@) = ио.
Рассмотрим разностную схему
.^ + ад> = о, ^Ц^ + ^.о. C)
/ = 0, 1, 2, .. .* у9 = Щ% аг + а% = а.

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АЛПРОКдИМАЦИИ 479
Она представляет собой цепочку из двух явных схем. Вычислим
невязкд ^ и фа для каждого из уравнений. Полагая у} = т? + и\
ун-т^^+т-щ и = 0,5(и' + и/+1), получим
^•+1/2 _^ . . 2;+1_2ж/2 . ,
- \- ахг' = — $, - \- а2г3+ = — я|)?,
где ург = ^ К а^', г|J == —^ [- а2 ^ • Подставим
сюда
иш = иж/1 + о,5ти'+1/2 + т2/8#+1/2 + <9(т8),
и' = к^1/2 - 0,5тй'+1/2 + т2/8й>+1/2 + 0(т3>,
и>+ = «(^ + 0,5т), и = &*/Л, и - (Ри/(И2;
Ъ = (у * + «1^)^1/2 - у *1^+1Л + О (т2),
^2 = (у " + «2^),+1 2 + О (Т2).
Отсюда видно, что -ф,=»0A), 1р2 == 0A), грг + фг = 0(т), т. е.
ни одна из промежуточных схем не обладает аппроксимацией, а
их совокупность имеет суммарную аппроксимацию 0(х).
Пример 2. Рассмотрим уравнение теплопроводности
тогда
ди А
Обозначим Ьи = д2и/дх2. Введем сетку сэЛ = {#< =* *й, к = 0, 1,...
..., ТУ, А7У=1} и оператор Ли = и- ~ Ьи. Будем пользоваться на
нечетных слоях явной схемой, а на четных слоях — неявной
схемой:
У т у = 2 A - а) V, -* г-^— = 2оЛу2}+\ /=0,1,2,...,
D)
где б ^ 0 — произвольный параметр. Вычислим невязки
ц2>+1 _ „2; . „2>+2 __ „2;+1 .
*!=--—_^-2A-а)Л^, ф2 = - ^ 2аЛы2;+2.
Подставив сюда
в« - и*+4 - тй«яч + 0,5т2й2>+1 + 0(т8),
Ли = Ьи + 0(к2), Ьи = й,

480 гл- ге- экономичные схемы для многомерных задач
получаем
*1 = ^1 + V? • ^2 = ^2 + 'Фг*, 'Фа = О(т2 + й2), а = 1, 2,
^ =(Bа — 1)и+ A,5 - 2а) та)**4,
^ = (_ Bа — 1)и+ @,5 - 2а) ти)*'+\
Отсюда видно, что ф! = 0A), ^2 = 0A) при а ■* 0,5, однако
ф = ^1 + фг = 0((а — 0,5)т + к2 + т2) при любом а.
Нетрудно заметить, что можно исключить у25+\ сложив
уравнения D). Тогда мы получим схему с весами с шагом 2т:
2т
' -'# = А(ау^ + A--а)/0, / = 0.1,
Для удобства записи лучше ввести промежуточное значение у,+1/а
и уменьшить шаг т вдвое:
Й-1/2 _ 3 5+1 Ж/2 .
-К —Л- = A - а) V, -^ Л = аЛ*Л .
Переход от слоя ; к слою у +1 происходит в два этапа: сначала
по явной, а затем по неявной схеме.
Конечно, приведенный пример не очень интересен Сам по
себе, так как здесь исключение промежуточного значения у легко
достигается и приводит к хорошо известной схеме с весами,
которая аппроксимирует дифференциальное уравнение в обычном
смысле. Он носит лишь иллюстративный характер. В общем
случае, исключение промежуточных значений и сведение- к схеме,
содержащей значения у лишь на целых шагах, не всегда
возможно и нецелесообразно при теоретических исследованиях.
3. Сведение многомерной задачи к цепочке одномерных задач..
Пусть дано многомерное уравнение
^ = Ьи + / (х, *), О < I < *0, и (х, 0) = щ (х), х = (хи х2, ..., хр),
E)
где Ь — линейный дифференциальный оператор, действующий на
и(х, I) как функцию х, х = (хи хг, ..., хр) — точка р-мернои
области С с границей. Г, на которой заданы некоторые граничные
условия. Для построения экономичных методов основную роль
играет возможность представления оператора Ь в виде суммы
операторов более простой структуры:
Ь = Ьь + Ьг+. л. + Ьр.
Так, например, если Ьи = Ли, Ьаи = д2и/дхг, то Ьл есть
оператор второй производной по аргументу ха (одномерный оператор).

| 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 481
Поставим задаче E) в соответствие цепочку «одномерных»
уравнений (первую цепочку). Уравнение E) или
перепишем в виде
V
где /а(#, *), а =г 1, 2, ..., р,— произвольные функции
(обладающие той же гладкостью, что и /(#, *)), удовлетворяющие условию
нормировки
/! + /■+... + /•-/.
На отрезке 0<Ж*0 введем равномерную сетку а>* = (^ =/т,
/ = 0, 1, ..., /0> с шагом т. Каждый интервал разобьем на
р-частей, введя точки ^+а/р■■ Ц + ат/р, а = 1, 2, ..., р —1, и обозначая
Аа — полуинтервал ^+са-1)/р < * < *я-а/р. Будем последовательно
(начиная са=1, 2, ...) решать уравнения
Э**ут = 0, д: е С, ^бДа, а = 1, 2, ..., р, F)
полагая при этом
1>A^Х, 0)=И0Ш, 1><<х)(#, ^+(а-1)/р) = ^(а-1)(х, *Я.<а-1)/р), G)
а-1, 2, ..., р
(для простоты будем считать, что на Г задано однородное краевое
условие первого рода). Решением этой задачи назовем значения
р(х, и) — 1><р)(х, *Д / •- 0, 1, 2, * .., /о.
Каждое из уравнений ЗР^у^ = 0 или
1%1 = ^а1;(в) + /в4 а = 1,2,...,р, F')
заменим разностной схемой (аппроксимируя ди!д1 и 1/а
соответствующими разностными выражениями на сетке о)Л с шагами ки
Ьц ..., Ар):
Иау{а) = 0, а — 1, 2, ..., р. (8)
В простейшем случае это двухслойная схема, связывающая
значения
Например, это может быть схема с весами:
^-Г"' = А. (о^'+ A - аа) ^«-Ч*) + „»«*,
где Оо — произвольный параметр, а Л» ~ Ьа
31 а. а. Самарский

482 гл- Х1- экономичные схемы для многомерных задач
Схема (8) аппроксимирует уравнение ^а^(а> = 0 в обычном
смысле, так что
^« - Пва'+а/р - <&аиУ+** (9)
стремится к нулю (в некоторой норме) при т-*-0ика -*-0.
Система разностных уравнений (8) является аддитивной
схемой. В самом деле, пусть фа *= Па»На/р — невязки для одной
схемы (8) номера а.
Представляя фа в виде суммы
гЬх=(^а^+а/р + ^а A0)
и учитывая, что (Л»)Нв/Рв (Ла)ж/1 + 0От), получим
а 1^а|-* при т-*- 0, |А| -*• 0, II-II — некоторая норма в
пространстве сеточных функций, заданных на ©д. Отсюда видно, что
2йа = 0, И-ФВ = 2 4><х ->0 ПРИТ->0, \к\-+0,
а=1 | а=1 V
т. е. схема (8) обладает суммарной аппроксимацией, если каждая
из схем (8) номера а аппроксимирует в обычном смысле
соответствующее уравнение F).
Вопрос о близости решения разностной задачи сводится
фактически к вопросу о близости решения исходной задачи E) и
решения цепочки задач F)—G), так как
Наряду с F)—G) можно рассматривать также цепочку
уравнений (вторую цепочку) -
-# = Ь^(а) + /а,^С,1|<К *Ж* A1)
при дополнительных условиях сопряжения
1>(а)(я, Ъ) — V(а-^)(x, *м\ а — 2, 3, ..., р, A2)
V^^)(x, ^^)^=V(x, *Д / =± 1, 2, ..., V^^)(x, 0) = щ(х).
Решением этой задачи является функция 1>(я, Й «г^рДя, *).
В отличие от F)—G) здесь каждое из уравнений номера а
решается на всем интервале 13 < I < ^+1. Для некоторых частных
случаев решения задач F)—G) и A1)—A2) совпадают
(например, если /а = 0и!оне зависят от *).
Обе цепочки F)—G) и A1)—A2) обладают свойством
суммарной аппроксимации на решении и = и(х, I) задачи E). Проверим
это для задачи F)—G). Рассмотрим невязку
1|>а = ^аИ(#, &

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 483
для уравнения F) номера а. Так как ^аи = (&*а.иУ+1/2 + 0(т), то
М'сс = $а + фа, где -фа = (^аи)'+1/2, г|?а = О (т), и, следовательно,
р р р
а=1 а=1 а=1
т. е. система F)—G) аппроксимирует уравнение E) в
суммарном смысле.
Таким образом, суммарная аппроксимация аддитивной схемы
48) достигается за счет того, что цепочка дифференциальных
уравнений F) —G) аппроксимирует уравнения, E) в суммарном
смысле, а каждая из схем (8) номера а аппроксимирует
соответствующее уравнение F) в обычном смысле.
Отметим, что суммарная аппроксимация для F) и A1)
гарантируется выполнением двух условий:
1) оператор Ь есть сумма Ь — Гц + Ьг +... + Ьр\
2) правая часть / есть сумма / = /4 + /2 + ... + /р.
Эти условия можно ослабить, положив
1^Ьаи = 0(т), /-2/а = 0(т).
а=1 а=1
Если Ьа. содержит производные лишь по переменному яа, то такой
оператор Ьа называют одномерным, уравнения ^а^а = 0 — одно-
мерными уравнениями, а соответствующую аддитивную схему
(8) — локально-одномерной схемой (ЛОС).
В п. 5 мы рассмотрим локально-одномерную схему для
уравнения теплопроводности.
4. Примеры сведения многомерной задачи к цепочке
одномерных. Имеется класс задач, для которых решение задачи F) или
A1) совпадает на сетке о* с точным решением многомерной
задачи E).
Пример 1. Рассмотрим задачу Коши
±+.аиA)г0, *>0, .и@)-и,,
где а > 0 — число. Очевидно, что юШ = и0е~а*.
Представим а в виде суммы а = а1 + а2 и напишем задачу
-гр-+.ал1)(*) = 0, »A)@) = и„ 0 <*<**,
-$*■ + ^B) (*) = 0, Ум @) = *A) (**), 0 < *.< **, .
где I* > 0 — любое число. Решая эти уравнения, находим у{Х)Ш =
= и0е , УB) (*) = 1;A) (I*) е = и0е . Отсюда видно, что
31*

484 . гл к- экономичные схемы для многомерных задач
Пример 2. Рассмотрим задачу Копш для уравнения
переноса _!
аГ + ^1«* + && = 0. ^и =-57-, а = 1, 2,
— оо<дга<оо, *^0, и (я, 0) = ц,(;г).
Решение этой задачи есть бегущая волна
иОг, I) = ц^ — *, яа — *),
если ц(я) — дважды дифференцируемая функция.
Так как операторы Ь{ и Ь2 перестановочны, то
и(я, ^*)^=*V^г)(x, **),
где ГB)(ж, **) — решение системы уравнении
д1 ' д*2
В самом деле, решение первого из этих уравнений имеет вид
»A){Х, I) =» [1(Х1 — *, Хг)/
Из второго уравнения находим
*>B)(я, I) =* ц(х4 — **, яа — *),
т. е. иB)(х, **) = »(*•, **).
Пример 3. Рассмотрим задачу Коши для уравнения
теплопроводности
-~-=(Ьг + 12+Ь3)и, Ь*и=-р;у а=112,3,
A3)
— оо<#а<оо, *>0, и(х, 0) = щ(х).
Ее решение дается формулой (см. [5])«
и {х, 1) = и (хг, х2, хВу г) =
= I I I 6 (*ь *2» *з5 (ь Бг, Бз» *) »о &. Ба> Бз) #1 <#2 #з, A4)
•—00 —00 —*О0
где 0(хи я2, ау, |4, |2, |3, *) — функция источника, равная
0(хи хг, я,; |4, 1а, 1з, ^) = С0(а;1, 14, ЯС0(х2, 12, *)&<>(*«, 1з, *),
С0(яа, 1а, г) = ехр (-(*„ - 1аO44)/BУя*), а - 1, 2, 3.
Здесь 6гоив, 1а, <) — функция теплового источника для задачи Ко-
ши в случае одномерного уравнения теплопроводности ^ **
~ЬаУ(а), ,*>0Л Г(а) (^ 0) задано.

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
485
Напишем цепочку одномерных уравнений теплопроводности:
О < I < **, гA) (*, 0) = и0 (я), 1;B) (я, 0) = гA) (х, **)г
Щз)(x,0) = V^2)(x,^*).
Отсюда находим
УA) (*, 0 = I °0 (Х1> &1» 0 ^A) ($1» *2. *3» 0) *!•
—00
оо
V^г) (х, 1)= | в0 (х2, %г, *) уB) (хх, |2, 'аг8, 0) й|2,
— 00
00
У(8) (*1 0 = | <?„ (Х8, |з» *) Щй) («1, *2. &3, 0) <&»•
—00
Подставляя сюда гA)(|1, х2, х*, 0) — и0A4, х2, хг)% 1;B)(а:,, |2, я3, 0) —
^^с!)^!» !г, л,, **), ^(я!, ха, |з, 0) = 1;B)(х1, яа, |з, **), получаем
для РC)(я, **) формулу A4) при * = **, т. е.
р<з)(я, **) = »(я, **) при любом ** > 0.
Это свойство следует из представления функции 0(х, |, I) ■■•
= 6г(я4, я2, ау, |ь |2, |з9 *) в виде произведения одномерных
функций источника С0(яа, |а, *). Для краевой задачи в параллелепипеде
{О^Яа^/а, а=1, 2, 3), когда помимо A3) заданы однородные
краевые условия первого рода ю = 0 при Яа^О, /а; а== 1, 2, 3,
указанное представление для функции источника сохраняет силу.
Поэтому тояедество A4) справедливо и в этом случае.
Очевидно, что для всех трех примеров совпадение V(р)(x, 2) с
ю(я, *) имеет место и во всех узлах сетки <от.
Примеры 2 и 3 показывают, как можно разложить процесс,
протекающий в пространстве, на последовательность процессов
по координатным направлениям (одномерных процессов). Так,
трехмерная задача о распространении тепла в пространстве (или
в параллелепипеде с нулевой температурой на его поверхности)
может быть смоделирована таким образом. Пусть при 1=*и
задано начальное распределение температуры. Установим при 1 — и
теплонепроницаемые перегородки по направлениям х2, х3, т. е.
будем пропускать тепло лишь по направлению х{. В момент I =
=*о + А* поменяем ролями направления х{ и #2, а в момент * =
= *о + 2А* будем пропускать тепло лишь по направлению х9.
В результате получим при I = *0 + ЗД* то же распределение
температуры, что и в случае трехмерной теплопроводности (т. ^.
одновременно по всем направлениям хи х2 и х9) в момент * = *0 + Д*.
Таким образом, сведение трехмерного процесса к последователь-

486 гл- т- экономичные схемы для многомерных задач -
ности одномерных процессов приводит к увеличению
продолжительности реального физического процесса в 3 раза.
Если среда неоднородна, например, оператор Ьа в F') имеет
вид
то точного совпадения V^р)(x, **) с и{х, **) нет, однако у{П(х, **) —
-и(х, **) = <эи*).
5. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности
в произвольной области. Пользуясь методом суммарной
аппроксимации, нетрудно построить экономичные аддитивные схемы для
параболических уравнений в области сложной формы. Мы
проведем детальное исследование локально-одномерной схемы для
уравнения теплопроводности в /7-мерной области 3*=*С + Г сложной"
формы. Пусть х = {хи х2у ..., хР) — точка р-мерного евклидова
пространства Нр.
Рассмотрим в цилиндре <?*0= & X [0 ^ I ^ *<>] следующую
задачу для уравнения теплопроводности:
-^ = /ж+/(;м), д = 2д., <*,<)еао1
а=1 - A5)
и\г= \*>(х, г), * ^ О, и(х, 0) = и0(х), # е С.
Здееь Г — граница области С, Ь — эллиптический оператор
второго порядка. Для^ упрощения изложения считаем, что 1г = Д —
оператор Лапласа, т. е.Ь^и = д2и1дх\, а=1, 2, .._., р. Предположим,
что задача A5) имеет единственное достаточно гладкое решение.
Относительно области B конструктивно используются два
предположения: 1) пересечение области С любой прямой Са,
параллельной оси координат Оха, может состоять лишь из' конечного
числа ^интервалов, 2) возможно построение в области 5 связной
сетки сол, описанной в гл. IV, § 1, с шагами Аа, а = 1, 2, ..., р.
Мы проведем изложение, предполагая, что пересечение4 прямой Са
и области С состоит из одного интервала Да.
Итак, множество (Ол внутренних узлов сетки состоит из точек
х — (х4, х2, ..., хр) е О цересечения гиперплоскостей ха в *айа,
и в 0, ± 1, ± 2, ..., а =» 1, 2, ..., р, а множество 1* граничных
узлов — из точек пересечения прямых Сау а = 1, 2, ..., р,
проходящих через все внутренние узлы х ^ ооЛ, с границей Г.
По аналогии с § 1 гл. IV вводятся 'Ка — множество граничных
по направлению ха узлов, ^Л —множество всех граничных узлов
хеГ, сод.а— множество приграничных по направлению ха узлов,
©л — множество всех приграничных узлов, ©д.а — множество
нерегулярных по направлению ха узлов, ©л —множество всех
нерегулярных узлов, со* — множество всех регулярных узлов.

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 487
Для разностной аппроксимации оператора Ьа в узле х
выбираем трехточечный шаблон, состоящий из точек х^~1а\ х1 х^1а\
Разностный оператор А* ~ Ьа имеет вид:
а) В регулярных узлах
А°*>=^«*«=■? (*(+1в) ~2у + *у(_1а))- A6)
"а
б) В нерегулярных узлах
A /У+1а)-У
X = 1 Ч
Г* » * ^ТЛ,а,
л«у = *;„-; = , _. ,_,../ A7)
11 (м(+Лл)-у
I*» I л«
*=^). ^еь
где Лв — расстояние от нерегулярного узла а; до граничного узла
а;(+1«) или аг^-1"). Может оказаться, что оба соседних с Лей*>в
узла х(-1в) и ж(+1в) являются граничными, ^±1в)е7А,в, в этом
случае
Ло# = -г-
1 /У"а)-У у-у^а)\
Ц""-кг-^г-} A8)
где Аа± — расстояние между х и ^±1аЧйа±^йа). Это
выражение для АаУ является общим; если х — регулярный узел, то ка± =
= /&а_ = йа, и мы приходим к формуле A6).
В регулярных узлах Ах имеет второй порядок аппроксимации,
Лай — Ьаи = О (йа), в нерегулярных узлах Ла» — Ьа,и = 0A).
Перейдем теперь к написанию локально-одномерной схемы
(ЛОС). Приведем сначала наводящие^соображения согласно п. 3.
На отрезке 0<*<*0 введем сетку <отв{^=г/т, / = 0, 1, ,.., /0}
с шагом т = 20//о. Пусть /« — произвольные функции такие, что
р
2 /а = /. Формально заменим многомерное уравнение цепочкой
одномерных уравнений теплопроводности
1 ^(а)
-$—ЯГ = 1(хР^ + ** ПрИ *)Н*-1)/р < * < **+а/р, A9)
а = 1, 2, .. .~,р, х^С;
с условиями
РA)(#, 0)=М0(#), *>(а)(#, ^+(а-1)/р) = ^(а-1')(#> ^+(а-1)/р), /алч
« = 1, 2, 3, V •., Л 1>(а) = И^» ') Щ>И * е А»
где *>+«/* =(; + а/р)т. .

488 гл-1Х- экономичные схемы для многомерных задач
Краевые условия для 1;(а), очевидно, достаточно задавать не
на всей границе Г, а на ее части Га, Состоящей из точек
пересечения Г со всевозможными прямыми Са, параллельными Оха и
проходящими через любую внутреннюю точку х^О (см. гл. IV, § 1).
Узлы хе^а лежат на Га.
Если, например, 5 = {0 < ха < /<Л — параллелепипед, то Га
состоит из граней жа = 0и^ = /а.
Аппроксимируя каждое уравнение телопроводности номера а
на полуинтервале ^+(а-1)/Р < 2 < ^+а/Р двухслойной схемой с
весами, получим цепочку р одномерных схем, которую и назовем Л ОС:
у*а/Р_?Жа-1УР = Ла(^+а/Р + A _ ^ уШл.1)/Р) + ^
а = 1, 2, ...,р, ж^сол,
где Оа — произвольное число. В дальнейшем мы ограничимся
изучением лишь чисто неявных, Л ОС (оа = 1):
•* | = Ла»,+а/,, + (р^а/р, а = 1,.2,...,ргхеол.
B1)
К этому уравнению следует присоединить краевое условие
ун«/Р = [гна/р при хеТл>а, / = 0, 1, ..., /о,
а=1, 2, ..., р, B2)
и начальное условие
у(х, 0) = щ(х). B3)
Из последующего будет видно, что правую часть <ра а р и гра*
ничное значение У*+а/р|тда можно выражать через /а(х, *) и
уОг, *), взятые в произвольные моменты времени 1а и *а ца
отрезке [*,, *ж], так что ф4+а/р= /<*(*, Й), ц'+а/р = \х(х, С). Это
не отразится на порядке точности. Для определенности будем
полагать
Ф^а/р = Ы*,**0.5), (А5+а/р = ^(^^+а/р), 06-1,2,...,*.
Пусть известно у5. Чтобы найти из B1)—B2) значение у,+1
на новом слое, мы должны решить р уравнений B1) с краевым
условием B2), последовательно полагая а == 1, 2, ..., р. Для
определения ^+а/р получаем краевую задачу вида
^*У& - ^+а/р + А^гУ&Р = - Р?«/р при х €= оЛ, B4)
^Ч-а/р = ^+а/р при х е ^ а = 1, 2, .... Л
где указаны только те нижние индексы, которые меняются.
Разностное уравнение пишется вдоль отрезка Да, лежащего на прямой
Св; концы этого отрезка принадлежат границе Чн,а.' Разностное

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ . 489
уравнение B4) решается методом прогонки вдоль всех отрезков
Да при фиксированном а. При этом затрачивается число
арифметических операций, пропорциональное числу узлов сетки соЛ. По*
лагая последовательно а—1, 2, ♦ .., р и меняя направления
прогонок, определим у**17*, у*|"а/р, ..., гг+а/р, ..., У**1» затратив при
этом 0A) операций на узел сетки. Таким образом, ЛОС B1)—
B3) является экономичной.
6. Погрешность аппроксимации ЛОС. Перейдем к изучению по*
грешности аппроксимации (невязки) ЛОС и убедимся в том, что
каждое в отдельности уравнение B1) номера а не аппроксимирует
уравнение A5), но сумма погрешностей аппроксимации ф = г|>1 +
+ ф2 +... + фр стремится к нулю при т -*• 0 и Iк\ -*• 0.
Пусть и = ю(я, *) — решение задачи A5) с Ьаи = дги/дх^ »
у5+а/р, а=1; 2, ..., р,—решение задачи B1)—B3).
Характеристикой точцости ЛОС является разность ^+1 — в'+1 = 2й.
Промежуточные значения у>+а/р будем сравнивать с и,+а/р=*
= ю(я, ^+а/Р), полагая зя"а/р = ^+а/р - ю'+а/р. Подставляя $г*+а/*=*
= ^+а/р + ^+а/р в уравнение B1), получим для погрешности 2й*1
задачу
-^ = Лаг'+а/р + ^а/р, B5)
/ = 0, 1, ...,701 а=1, 2, ...,р,
25+а/Р = 0 при ^ е ^ ^ 0) = ^
где
ц;+а/р _ и5+(а-1)/р
^+а/р - Л0и*"* + <р**"> - *—'-»—, Bб)
Вводя обозначение (верхние индексы при фа опускаем)
*-(А* + /.-7тг) <27>
р р
и замечая, что 2 ^а = 0, если 2 /а = /, представим \|>а= фа+а/р
в виде
где
Ч* = {Л*** - А**1'2) + Ы+а* - Д+1/2) -
Иэ определения Л« и <ра следует, что
•фа = 0(Аа + т) в регулярных узлах,
^а — О A) в нерегулярных узлах.

490 гл- к- экономичные схемы для многомерных задач
Таким образом,\|)= 2 ^а= 2^а = 0(т + |М2)в регулярных уз-
лах, т. е. ЛОС обладает суммарной аппроксимацией 0(т+Шг)
в регулярных узлах сетки ©л. В нерегулярных узлах л|> = 0A).
7. Устойчивость ЛОС. Наша задача —показать, что из
суммарной аппроксимации следует равномерная сходимость ЛОС со
скоростью 0(т+1&12). Необходимо сначала доказать принцип
максимума для ЛОС и получить априорные оценки в сеточной
норме С для решения задачи B1)—B3), выражающие
устойчивость ЛОС по начальным данным, по правой части/ и по
граничным данным.
В § 2 гл. IV был доказан принцип максимума и получены
априорные оценки для решения сеточного уравнения общего вида
" А(Р)У(Р)= 2 В(Р,<?)у«?) + Р{Р) приР(=52,
дгдг'(Р) B8)
у(Р) = 11(Р) при.РеЯ,
где Р, () — узлы связной сетки й + 5, Ш'(Р) — окрестность
узла Р, не содержащая самого узла Р. Коэффициенты А(Р) и
В(Р, (?) удовлетворяют условиям
ЖР)>0, ЖР, <?)>0,
Я<Р) = Л(Р)- 2 В(Р,<?)^0. B9)
ОНЛГ'(Р)
Применим теоремы § 2 гл. IV к нашей задаче B1)—B3)
и убедимся в том," что верна
Теорема 1. Локально-одномерная схема B1)—B3)
равномерно (в метрике С) устойчива по начальным и граничным
данным и по правой части, так что для решения задачи B1)—B3)
при любых т и Н справедлива оценка
ЬЧс<Ыс+ тах ||1 (*,*')|сТ +
0<1'<ЗХ ' у
+ тах й21Ф(*, I')|с. + 2 т 2 ||<Д'+в/рЦ., C0)
0<1'<]т • »'«=о а=1 • ь
где
Г = 1у+а/Р* ф(^0 = Ф^'+а/Р,
к= тах На, |у||с = тах|у|, Ц у 1с\, = та* I УоЬ |1фЦс« = тах |ф|,
ка<р *ешл зсетд *еш*
ГфЬ =тах |ф|.
С О
Для доказательства представим решение задачи в виде суммы

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 491
где у — решение однородных уравнений B1) с краевыми и
начальными условиями B2)—B3), а уи м? — решения
неоднородных уравнений B1) с однородными краевыми и начальными
условиями:
,,5+а'Р _ „5+(а-1)/Р о •, „.
-Н \ = Ааи»"'Р + <р2-а/'>, *е=соЛ,
а = 1,2,.... р, V (х, 0) = 0, Ы+а* = 0 при х е= уЛ>0, C1)
= Лв1е,+а/* + Фа , я е= <ол, а = 1., 2, ...,р;
ш(ж, 0) = 0, 1Р»+«/|» = 0 при а: е= 7л.а- C2)
Здесь <ра и фа определяются условиями
(фа при х <= (оЛ, . _ |0 при х е юЛ,
10 при х е (Ол, 1фа при х е (Од,
так что
фа + фа = фа при X <= @Л,
т. е. фа отлична от нуля только в приграничных узлах.
Для удобства изложения введем сетку
«Ч = {0, ^+а/Р =(/ + а/р)т, / = 0,1, 2, .. .,/0 — 1, а =1, 2,...,р>ч
содержащую не только узлы ^==/т сетки ©т, но и фиктивные
узлы .^+а/р, а = 1, 2, ..., р — 1; пусть сох — множество узлов сетки
сох, для которых I > 0.
Обозначим через /Чат, *'), где а: е (Од, *' е сэт, — узел (р + 1)-
мерной сетки О = ©л х_сот, через 5 — границу й, состоящую из
УЗЛОВ Р(х,. 0) При X е <оЛ и УЗЛОВ Р(#, ^+о/р) ПРИ *;+а/р ^ С0Т И
ж е ^Л а для всех а = 1, 2, ..., р, / = 0, 1, ..., /0; пусть й« есть
множество узлов Р(х, ^+а/Р), где х е со*|а— приграничный по
направлению #а узел сетки (оЛ.
Рассмотрим задачи для у и IV. Зипишем уравнение для у
в канонической форме B8), используя выражение A8) для А»,
пригодцое как для регулярных, так и для нерегулярных узлов:
[±+Щ;+Ш"'
-^Ы%1р + 1^Яр1р + ±уЫа-»>>, (зз)
а+ а - а~~ а
где у&? = Н*Ша)' '**/*)•

492 гл- к- экономичные схемы для многомерных задач
Отсюда видно, что условия B9) выполнены и /ХР) — 0. Из
теоремы 2 § 2 гл. IV следует, что для решения уравнения C3)
верна оценка
- " ' тах |р(Р)|<тах|у(Р)|.
РеО+5 РеЗ
Учитывая, что
тах \у(Р)\ = тах\у(х,г'Iс,, где |у(х)у = тах[у(х)|й
™|* IУ (р) I = тах (тах, № (*х О Ьу 1 ио1с)ш
где В ц (х) |с = тах | р, (лг) |, получаем
хеуь
Шс<Ыс+ тах ||A(*л01<у " C4)
0<*'<;0Т
Обратимся теперь к задаче C2) для и?. Перепишем C2) в
каноническом виде B8):
ш»+«/р = 0 при ж е 7л,о. и>(хх 0) = 0,
т. е. ю = 0 на границе 5 сетки ^:
н?(Р) =* 0 при Р е 5.
Правая часть <р* отлична от нуля лишь в узлах 6г, $'), где
хеш*. В этих узлах, в силу однородного краевого условияш=»
в0, имеем
1 1
й (Р) ^ шш —5; = —2-, где к = тах Ла,
а Л«±Ла А
а
Применяя затем теорему 4 из ,§ 2 гл. IV, получаем
тах|у(Р)|< тах |-21^1^<тах А2||<р*||с* C5)
а+8 *'е©Т' "" <'еот
Чтобы оценить функцию р, предположим, что Р = х — точка
р-мерной сетки оЛ, и запишем уравнение C1) в каноническом

б 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 493
виде B8):
рЛ-о/р = о при х е ^ в, »(«, 0) = 0, гдв
В этом случае ЖР) = 1/т и теорема 3 из § 2 гл. IV дает
|Ы+«/р1с<1-^^ [ = т1П+а/^с<И+<«-1>/*||с + т |&+а/р |с.
C6)
Суммируем C6) сначала по а = 1, 2, ..., р:
• И+1|1с<1^1с + т21ф4+а/р|
а затем по / = 0, 1, 2, ..., /0 — 1:
а=1
!^1с<Е1т21ф4+а/р1с C7)
;'а=о 06=1
В силу произвольности /о из C4), C5) и C7) следует оценка
C0) для решения задачи B1)—B3).
8. Равномерная сходимость ЛОС. Докажем следующую
теорему.
Теорема 2. Пусть задача A5) имеет единственное
непрерывное в (?{0 решение и = и(х, *) и существуют непрерывные в
ф0 производные
Тогда схема B1)—B3) равномерно сходится со скоростью 0(Н* +
+ т) (имеет первый порядок точности по т и второй порядокточ-
ности по к), так что
\\у'-и%<М№ + т), / = 1,2,,..,
где к = тах ка, М = сопзЪ > 0 не зависит от т и, ка*
1«Х<р
Доказательство. Введем сначала обозначение 2(а) =»
- г'+а/р и представим решение з(а) = у(а) — ю'+а/* задачи B5)
в виде суммы я(а) = ю(а) + т|(а), где г)(а) определяется условиями
(а) ^ «х-в ^ ^ при ж е Шл ^ ^ ^ а = 1х 2, .. м рг
4<*,0)«а. C8)

494 гл- к- экономичные схемы для многомерных задач
Отсюда находим г\ш = г)(р) = ц5 + тЦн + ф2 +... + ф„) = г\> = О
для 7 = 0, 1, ..., /о, так как т)° = 0. Для т)(а) имеем г\(а) =
о о а о о
= т(ф1 + ф2+...+ фа) = — т(фа+1 +...+ фД Функция V^а)
определяется условиями
((Х) т(а> = ЛаГ(а) + фа, * €= @Л, а = 1, 2, . . . гр,
I пч п C9)
*>«*) = — Ч(а) при а: е 7л,а, V (хх 0) = 0*
где фа = фа+ ЛаТ1(а).
Воспользуемся теперь теоремой 1 из п. 7 для оценки
решения задачи C9). Так как р = 0 при * = 0, то
\*Ъ< шах (А21ф^+а/Р!с» + 1г1^+а/р»с?) +
о<5'+а/р<з
Ь1 Р _,
+ 2т217+а/р№- D°)
Если существуют непрерывные в замкнутой области G*
производные дхи1дх\дх\, а=^=Р, то Лаг)(а)= — тЛа(фа+1+ ••• +Фр) =
= 0(т) во всех узлах я^с&л, так как Т1(а) определяется из
уравнения C8) всюду в ©л + уЛ,«. С другой стороны, имеем фа =
= 0(ка + т) в регулярных узлах сетки (Од, ф^ =^0 A) в
нерегулярных узлах. Поэтому Л21ф|с*=0(А2 + т), 1ф1ос=0(А2+т)
и оценка D0) дает
Ц^1!с = !М!1С ^ ДГ(А2 + т),
так как г\$ = 0 для всех / = 0, 1,..., /0.
Отметим, что из устойчивости по краевым условиям и по
правой части следует, что 1а и ^ можно выбирать произвольно
на интервале (*,-, ^+1) (см. п* 5), не нарушая при этом порядка
точности.
9. ЛОС для уравнений с переменными коэффициентами.
Укажем, как применяется локально-одномерная схема для
уравнений с переменными коэффициентами. При этом достаточно
указать лишь изменения в формулах для операторов Ьа и Аа,
считая, что рассматривается задача A5). Локально-одномерная
схема всегда записывается в виде B1)—B3).
1) Линейное уравнение параболического типа. Пусть в
задаче A5)
^аЦ= 7" (*«(*'*)7")' °<**<*»<«*
В задаче B1)—B3) меняется лишь формула для Л«:

8 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 495
Коэффициент аа выбирается так, чтобы Л« имел второй
порядок аппроксимации на регулярном шаблоне,
Лаи — Ьаи = О (Аа)*
например, можно взять
Я<-0,5<х) = (Х^ 9 # ^ Хаи Ха _ 0,5На, *а+1, ... г хр)-
Теоремы 1 и 2 сохраняют силу.
2) Квазилинейное уравнение параболического типа. Пусть
в задаче A5)
Возможны два способа аппроксимации оператора Ьа:
а) ЛаУ(а) = (аа(*Д0,5^ * = *;+«/,.
Для определения у(а) получается нелинейное уравнение,
которое решается тем или иным итерационным методом; каждая
итерация находится при помощи прогонки.
б) , А^(«, = (вв(*Л.0,5(у(в.1, + »^))^)^.
Для */<«) получаем линейные уравнения, решаемые методом
прогонки. Что касается устойчивости и сходимости, то при
дополнительных предположениях относительно ограниченности
производных д2ка/ди2, д2ка/дхади, д*ка/дх% имеет место равномерная
сходимость со скоростью 0(х + №).
Локально-одномерные схемы можно применять и в случае
третьей краевой задачи. Если, например, область С есть
прямоугольник со сторонами /4 и 12 (или ступенчатая область), то
уравнения B1) пишутся не только во. внутренних узлах сетки,
но и на соответствующих границах. Так, например, если на
стороне XI = 0 прямоугольника @ ^ ха < /а, а == 1, 2) задано
краевое условие дЫдх1 = ах и. + VI , то при а=1 уравнение
B1) пишется и при х1 = 0, причем в узле х1 = 0 полагаем
л*<» о^ ' ^-"о^Ер
Полученная локально-одномерная схема сходится равномерно
со скоростью 0(х+ \Н\г).
10. Аддитивные схемы. Общие формулировки. Перейдем
теперь к общим формулировкам понятий аддитивной схемы и
суммарной аппроксимации. В гл. VI было введено понятие
л-слойной разностной схемы как разностного (по переменному I)

496 ГЛ. IX. ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
уравнения (и—1)-го порядка с операторными коэффициентами;
Д С* Ю) У («я* - Рт) = Ш, (п - 1) х < Ц < *0<
где С*-—линейные операторы, заданные на линейном
нормированном пространстве ЯЛ. Для определения решения надо гадать
п — 1 начальных векторов у@) = у0, у(х) — уц ..., у((и —2)т)«
Назовем п-слойной составной схемой с периодом тп (порядка
тп) систему разностных уравнений с операторными
коэффициентами
ш п—2
2 С«Э (*;) У A} + N = 2 ДхЭ («Л У № - М + /« №). D1)
0=1 Э*=0
где а "ч 1, 2, ..., т, (л — 1)т < ^ < *0, с заданными начальными
значениями у{кх), Л = 0^ 1, ..., п — 2 (число слоев определяется
числом начальных Условий), причем Ц принимает значения,
равные
%ъ = (л — 1)т + йтт, й = 0, 1, 2, .. •
Чтобы найти 1/(^+тт) = Ул.т по известным &-э, Рв0, 1» •••
..., п — 2, где (д ■» (тп + л — 1)т,' надо решить систему уравнений
с операторной матрицей С = (СаР) размером тпХтп.
При тп = 1 составная схема D1) переходит в написанную
выше обычную п-слойную схему. При п = 2 получаем двухслой*
ную составную схему с периодом тп:
т
2 Са»в)У(Ь + Рт) = Оа*Ш + /«&)* 1<а<п»,?@) = Уо-
D2)
Бели для составной схемы D1) погрешность аппроксимаций ф
определяется как сумма погрешностей аппроксимации фа
отдельных уравнений, ф-■ ф4+%.. • + фь, то составная схема D1)
называется аддитивной схемой*
Заменяя т на т/тя, перепишем D2) в более удобной для
дальнейшего изложения форме:
ДСв»Й)у(*| + Рг/т)«1)в.»Й) + /аЙ), а = 1,2,...,т. D2')
Двухслойную аддитивную схему всегда можно записать в
следующем каноническом виде:
В-* \ + 2^«^+Э/т = Ф«. а = 1,2,....т, D3)

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 497
где В, Аа» — некоторые линейные операторы. Нетрудно
убедиться в том, что все экономичные методы, записываемые в этом
виде, обладают суммарной аппроксимацией
Пусть иШ е Н0 — абстрактная функция *е[0, *03 со
значениями в некотором нормированном пространстве #0, иь — &*ни^
еЯЛ-проекция и на #Л,
Л-а/т ,.5+(а-1)/т ,2.
— невязка для уравнения D3) номера а, ц'+а/т = ц(Ъ + та/т).
Рассмотрим сумму
т
Аддитивная схема D2) обладает суммарной аппроксимацией
на функции иШ&Н0, если
шах Ми{) I . -* 0 при т -> О, А -* О,
где Н*НBЛ)—некоторая норма в Нн. По аналогии с § 2 будем
говорить, что аддитивная схема D2) экономична, если матрица-
оператор С = (Сар) экономична, т. е. для решения системы
операторных уравнений
2Са^+^ = Ф^ D4)
с заданным вектором Ф3а требуется минимальное в некотором
смысле число действий, например пропорциональное
размерности N пространства Нн (числу узлов сетки а>л).
Если {Gвр) ■■ С~ — нижняя треугольная матрица, а операторы
Саа обратимы, то решение системы уравнений D2') сводится
к последовательному решению уравнений
а-1
С<шу'+*>т = Ахо^ - 2 Са*У*+*'т + Д, а= 2,3, ..., т.
Такая треугольная аддитивная схема экономична, если
экономичны диагональные операторы Саа, а = 1, 2, ,.., т. Все
применяемые на практике экономичные схемы для многомерных
задач математической физики являются треугольными
(нижними, а иногда и верхними) аддитивными схемами, причем у
матрицы (Сар), отличны от нуля, как правило, элементы на одной
или двух диагоналях, соседних с главной диагональю. Так,
32 а. А. Самарский

498 гл- пс- экономичные схемы для многомерных задач
например, схема может иметь вид
СааУ»а/т + Саа-гУМа-1)/т = Ахо*/' + /а, СЬ = 12 2, . . .,771.
В частности, если Дсо = 0 для всех а — 1, 2, ..., т, то мы
приходим к схеме"
СааУ»а/т + Саа-1^+<а-1)/т = &
специальным случаем которой является схема с весами
-* \ + Аа (оау>+°'™ + A - аа) УЖ«-1>/*) = <?'а.
Такие локально-одномерные схемы были уже рассмотрены
выше. Для теории основными являются два вопроса:
1) Как оценить, устойчивость и точность аддитивной схемы?
2) Как построить экономичную аддитивную схему для
многомерного уравнения математической физики?
Ответ на второй вопрос был дан в пп. 3 и 4 для задачи E),
где были указаны эвристические приемы получения аддитивной
схемы. В п. 12 мы снова вернемся к нему. Сейчас же
остановимся на первом вопросе.
11. Методы оценки сходимости аддитивной схемы. Мы ранее
неоднократно убещдались в том, что из аппроксимации и
устойчивости разностной схемы следует ее сходимость. Для
аддитивных схем устойчивость по правой части должна быть такой,
чтобы из условия суммарной аппроксимации | 2 фа И ->■ 0 следовало
стремление к нулю решения разностной задачи (с нулевым
начальным условием). Такие априорные оценки, ориентировацные
на использование свойства суммарной аппроксимации, имеют
место для аддитивных схем в случае систем параболических
и гиперболических уравнений.
Рассмотрим аддитивную схему общего вида в гильбертовом
пространстве Йн:
-5+а/р_ 2;+(а-1)/р ^, # ,
В± гг + 24*е*+р/р = Ч>«>
а = 1,2,...,р,/ = 0,1,...,^ = 0. -D5)
Теорема 3. Если В— В* — положительно определенный
постоянный оператор и матрица-оператор А = (Аац)>0
неотрицательна, т. е. для любых векторов |а, ^6Я
. 2 (Ла^а,Ы>0, ^D6)

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 499
то для решения задачи D5) спраеедлиеа априорная оценка
|^||в<тах(/^|2^|| ч+рУ«1& «Ые-*}. D7)
На доказательстве этой теоремы мы останавливаться не
будем. Оно приведено в книге А. А. Самарский. Введение в
теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.
Отсюда видно, что из суммарной аппроксимации в #в—1
следует сходимость в Я*, т. е. из условий
следует, что И^11в -* 0 для всех / = 1, 2, ... Отметим, что оценка
D7) получена при весьма слабых ограничениях: оператор В
положительно определен и самосопряжен, матрица-оператор \А =
•= (Лар) неотрицательна. Если схема D5) рассматривается в
банаховом пространстве ЯЛ, то применяется другой метод
построения априорных оценок.
Пусть схема D5) устойчива, так что
|4к1)<Мтах :214ц,,, D9)
0<к<з о=1
где И-НA) и II -11B) — некоторые нормы на Нн. Предположим, что
фа можно представить в виде суммы
° • ^ °
Фа = фа + фа, так ЧТО 2 Фа = 0. E0)
а=1
Положим г'+а/р — г\'+а/р + &+а/р, где г\г+а/р определяется из
условий
В- ^ ■ = фа, «6=1,2^.., а п° = 0.
Отсюда следует
а о
Вт,;+«/р = Вг# + % 2* ф^, Вг\*+* = Вт? = ... = Вг\° = 0,
т. е; V = 0, г5 = г? для всех / = 1, 2, ...,
а р
т^+а/р = т 2 Д""хф^ = - * 2 5_1ф5р, а = 1121...1р-1.
Р«=1 Р=а+1
Для 1^+а/1>, очевидно, получим уравнение D5) с правой частью
?а = Ф? + Т 2 ^«0 2- Д-1^.
32*

500 гл- 1х< экономичные схемы для многомерных задач
и начальным условием и0 — 0. Из D9) следует
р
I ** Ь) = I *»' Ь) < М* тах 2 II *а 1B).
0<;'<;а=1
Условие суммарной аппроксимации означает, что 1) ф« можно
представить в виде E0), 2) |фа(B)-*0 при т-*0, |А|-*0.
Второе требование будет выполнено, если (\|>а 1B) ->• 0 и (Ааф^ |=
=*0A) прит-*0, |Л|-*0.
Второй метод исследования сходимости аддитивной схемы
был применен в п. 8 при исследовании сходимости в С
локально-одномерной схемы для уравнения теплопроводности..
Подчеркнем, что при изучении сходимости аддитивных схем мы
предполагаем (как и всюду в теории разностных схем) единственность,
существование и достаточную гладкость решения исходной
многомерной задачи.
Пусть, например, и —решение задачи E), у =■ ун — решение
аддитивной схемы, ун е #л, где Нн — пространство сеточных
функций. Следуя § 1 гл. VI, мы должны оценить разность
2л = Ул — йн% где юл = ^лц, ^л — линейный оператор из Н0 в
Нн (ц€=//0, вЛеЯД точнее, величину \у1 — и&|Aд), где ИAд) ~"
некоторая норма на Нн. Эта оценка производится
непосредственно: пишется задача для 2Л, вычисляются погрешности аппрокси-
° *
мации я|?а = 'Фа + Фа и используется один из указанных в этом
пункте методов оценки хн.
12. Аппроксимация «многомерной» абстрактной задачи Коши
цепочкой «одномерных» задач Коши. Остановимся еще раз на
вопросе о сведении многомерной "задачи к цепочке одномерных
задач. Обратимся к задаче E). Пусть на Г заданы однородные
граничные условия. Будем рассматривать функцию и(х, I) как
функцию х в качестве элемента некоторого линейного
нормированного пространства Я0. Тогда Ь будет линейным оператором
в этом пространстве, а и = иШ — абстрактной функцией I со
значениями в Н0 (»ШеЯ0 для всех *е[0, 10]). Вместо частной
производной в E) можно писать обыкновенную производную
по *.
В результате мы приходим к абстрактной задаче Коши:
ТГ+*и = 1®% 0<*<*0, и@) = иое#0,. E1)
где «5# —линейный оператор в банаховом пространстве Н0.
Область определения &)(&>)<= Н0 оператора з!> является всюду
плотной в #0 и состоит из функций, удовлетворяющих
однородным граничным условиям на Г. Область значений ДСя1)
оператора Ж принадлежит Н0.

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 501
Пусть & представлен в виде суммы
^ = 2 ^а E2)
а—1
линейных операторов «5#а, пересечение областей определения
которых есть. *2>(,5#). В этом случае решение задачи Крши E1)
можно свести к последовательному решению задач Копш того
же типа, но с операторами «$/« вместо зФ. Остановимся на двух
способах такого сведения.
Пусть на отрезке 0 < I < 20 введена сетка о* = (^ -■ /т, / =
р
« 0, 1, ..., /о) с шагом т. Представим / в виде суммы / = 2 /а-
а—1
Первый способ (см. п. 3). Рассматривается
последовательность зацепленных («цепочка») уравнений
— ^ + ^а^(а) = /а, а = 1, 2, .. ., р, ^+<а-1)/р < * < Ъ+а/рг E3)
с начальными условиями
1;A)@) = ц0, УA)(^) — V^р)^^^), / = 1, 2, ...,
E4)
У(а)(^+(а-1)/р) = Р(а-1)(^+(а-1)/р), / = 0, 1, . . ., <Х = 2, 3, . . ., р.
Будем называть решением этой задачи при г = ^+1 функцию
V(^}+^) :=V^р)(^}+^). В общем случае вр(^) — м(*,I1 = 0(т) для всех
/=1,2,...
Второй способ аппроксимации задачи Коши. На всем
промежутке ?5<(<(;+! последовательно решаются р задач Коши
——+ лм«) »A) го = и (о, <>•<*< *ж«
л
-^+.5*«(*)"(«) (*) = /«(')> *1<*<*Л*, E5)
-^Р- +^р (*) *><р) Ю = /р (*К ^ < ' < «1+1.
с начальными данными
1>A)@) .= в0, »С1)(Ь) = 1;(Р)(^), 7 = 1, 2, ...,
V^а)(^^) — 17(а-1)(^+1), а = 2, 3, ..., р, / = 0, 1, 2, .. •
Решением задачи E5) при 1 = ^+1 является, по определению,
элемент
яИн-Л = 1>(Р)(*ж), 7 — 0, 1, 2, ...
При I = 0 полагаем
1>A)@)«=»@) = и0. E7)
E6)

502 гл- я*- экономичные схемы для многомерных задач
Пусть известно V(^^). Из первого уравнения при 1>A)(^) — 1К*р
определяем Р(о(^+|), которое затем используем в качестве
начального значения при * = *, для 1>B)Ш, решаем второе
уравнение (при ос = 2) и т. д. После решения всех р задач найдем
р<р)(^+1) — *;(^+1). Это и есть решение системы уравнений »E5)—
E7) при * = *я-1.
Если зФа не зависят от I и /=0, то обе задачи E3)—E4)
и E5)—E7) эквивалентны. Покажем, что задача E5)—E6)
аппроксимирует задачу E1) в суммарном смысле. Пусть и(Л) —
решение задачи Коши E1), р(а)A), а==1, 2, ..., р,— решение
задачи E5)—E6). Рассмотрим их разность
2(а)и) = итШ - в(^+4) при а*= 2, 3, ..., р, I е [*,, *ж],
г^^^(^)шяV^^)^^) — и^^) при *€=[^, *л.|1.
Подставляя 1>(а>и) = 2(а)(*) + иж, и;+1 = и(*я-1), а = 2, ..., р,
и уA)(^) = 21(^) + ц(^) в E5), E6), получаем
~ *Ш (*;) = *<р) (*;), / = 1,2,..., 22 @) = 0,
Ча) (*}) = 2(ат1) (*;+1), / = 0,1а..., а = 22 3, .. .а рг
2(*;+1) = *<р)№+1)«
где
4>а(*) = - .*<*(*) И*1 + М*), а = 2,3, .. ., р,
Отсюда видно, что
р
* = Ъ(9+... +*р(')=/(')-^— ■*!(*)*(*)- 2 ^а(*)м»+1.
Учитывая, что IIя*1 = в(*) + О(т) для любого а = 2, ..., р,
* е [*ь **ц1» получаем
*а = Фа + фа, Фа - 0 (т), фа = /а (*) — .5*а (*) И @ — бад -др»
где 6а, 1 — символ Кронекера. Таким образом,
2 ф«= 2 /«(*) - 2 *«(*)»(*> --зг -а
и, следовательно,
о—1

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 503
т, е. система дифференциальных уравнений E5)—E6)
аппроксимирует задачу Коши E1) в суммарном смысле с первым
порядком (при этом требуется существование и ограниченность
(в некоторой норме) з4> Ш&и/йР).
4 Представляет интерес сравнение решения р(^) задачи E5)—
E7) с решением и(^) исходной задачи. Приведем без
доказательства некоторые результаты.
а) Пусть / = 0 и все /а = 0. Если постоянные операторы •$*«
попарно перестановочны, з4>и$1>ъ = $1>ъ$Фа, <х, Рв1, 2, ..., р, то
при любых т имеет место равенство
у(^) = и(Ъ) для всех ; = 0, 1, ..., /0, E8)
где V — решение задачи E5)—E7), а « — решение задачи E1).
Если же ^а = ^а@ зависят от *, то E8) имеет место при
перестановочности операторов <яМ*') и .5#э(*"), а=И=р, взятых
в разные моменты времени, I' Ф1'\ так что
&М')&М") = &М" №аЮ, сь, р — 1э 2 р,
для любых 1\ I" е [0, *01.
В п. 4 были рассмотрены примеры, для которых имеет место
равенство E8). Для каждого из них выполнено условие
перестановочности бФаЗФъ = Зй-ъ^Фа.
б) Пусть операторы «яМО и «я1р@ не перестановочны. Тогда
справедлива оценка
1ад-а(*,I1 = 0(т>, ; = 1, 2, ..., " E9)
при дополнительном условии «гладкости»
Ыа&ъи\\ < Л/, а, р = 1, 2, ..., р. .
Возникает вопрос, нельзя ли повысить точность по т без
существенного усложнения составной задачи Кощи? Составную
задачу Коши E5) схематически запишем так:
&1 —* э4>г —*•... —*• &р.
Рассмотрим симметрированную составную задачу Коши,
представляющую собой цепочку 2р задач Коши
0,5.5*1 —•■ 0,5^2 —► .,. —► 0,5^Р —•■ 0,5^Р —►
—* 0,5^-4—>...—> 0,5^4,
>то соответствует представлению оператора &> в виде суммы
^ , , | 0,5^а при 1<а<р,
« ' ' I °>
.5* = 21 ^а, ГДе ^а = | 0
5^2р-а+1 при р<а<2р.
Эта задача имеет второй порядок точности по т: Н^ — в'Н =0(т2)
при некотором дополнительном требовании гладкости
начального вектора и0 вида || Жа^щ}^. Мх а, р = 1, 2, ..., р, и
условиях гладкости «5#а(*) по I.

504 гл- к-. экономичные схемы для многомерных задач
Итак, решение задачи E1) сводится к решению
последовательности более простых задач E5)—E7). Для их решения
можно использовать как аналитические, так и приближенные
методы, в частности, метод конечных разностей. Если «$#а попарно
перестановочны, то точность приближенного метода решения
задачи E1) целиком зависит от того, с какой точностью мы
решаем каждую из промежуточных задач E5) номера а.
Приведенное выше изложение справедливо для случая однородных
краевых условий. Если краевые условия неоднородны, то точность
составной задачи Коши E5)—E7) существенно зависит от
способа задания краевых условий для гт. Это же замечание
относится и к разностным аналогам задачи E5)—E7).
Разнрстная аппроксимация каждой из задач E5), например,
простейшей двухслойной схемой с весами приводит к
аддитивной разностной схеме. Она является экономичной, если экрно-
мична каждая из промежуточных схем номера а.
Замечание. В конце п. 11 был указал обычный прием оценки
погрешности гн = ун — ин аддитивной схемы. Укажем другой способ оценки
гн. Пусть V — решение «локально-одномерной» задачи E3) — E4) или
E5) — E7). Из неравенства треугольника ||2Л|| = \\ун — ик\\ < \\ун — Vн\\ +
+ пул — ил|| видно, что оценку погрешности т можно свести к оценке
близости ун и ин, рн и ин. При оценке Цин — ик\\ потребуется информация о
гладкости и, при оцеике Пул —^лII—о гладкости и. Такой способ
исследования аддитивной схемы, очевидно, более сложен, чем тот, который
используется здесь, поскольку требуется дополнительное изучение свойств
решения V составной задачи Коши E3) — E4) или E5) — E7).
13. Методы переменных направлений как аддитивные схемы.
Рассмотрим метод переменных направлений
(продольно-поперечную схему) из § 1
*"'-'* = 0,5 (Л**1'- + ЛУ) + 0*»»,
У,+1-/+Ч' = 0,5 (Л*»1'- + Л*»1) + 0,5Ф'. F0>
Нетрудно заметить, что эта система уравнений эквивалентна ЛОС
следующего вида:
2$=*- = ому + оМ »'*"■;»*"• - ".ад4"'.
^^1 = 0,5Л^". мШ^1 = о,5лУ«+о,*. <М>
Введенные здесь промежуточные значения 1^+1/4, у5+т легко
исключаются. Непосредственная проверка позволяет убедиться в
том, что схема F1) обладает суммарной аппроксимацией
Ф = ф1 + ф2 + 1>з + ф4==0(т2+|Л12).

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 505
Рассмотрим в качестве второго примера схему переменных
направлений, часто называемую схемой Дугласа — Рэкфорда
^Ь^- = Л1У^ + Л^ *т - **Чш = Л, (^ - Л F2)
Вычисляя невязки Ы *=и\ и = ю,+|)
Ф1 = ЛХ—^ \-А2и; 2^—, -ф2 = Л2^и — и) ^«
видим, что ф1 = 0A),^ф2=0A), а ф = 4ф1 + ф2 = 0AЛ|, + т), т. е.
схема F2) обладает суммарной аппроксимацией 0(т+1Л12).
Если исключить промежуточное значение у*+1/а, то мы получим
факторизованную схему, содержащую у* и у'+1 и
аппроксимирующую уравнение теплопроводности с 0(х+\к\2) в обычном
смысле, однако факторизованная схема устойчива лишь при
условии перестановочности Л4 и Л2, а для аддитивной схемы
такого рграничения нет.
. 14. ДОС для многомерного гиперболического уравнения
второго порядка. Метод суммарной аппроксимации позволяет
получить абсолютно устойчивые сходящиеся локально-одномерные
схемы для уравнений гиперболического типа. Рассмотрим
уравнение
-^-=2^ои+/(М), А* = и"-(*«(*, 0 ЯГ). F3)
Оь а*~1 06 * 06 *
ка(х, 1)^с{>0, сг = сопзС,
где х = (хи ..., хР) — точка р-мерного пространства с
координатами хи ..., хР. Пусть О — произвольная р-мерная область с
границей Г, # = # + Г,
ег = #х[0<*<п, <?т = сх(о<кт].
Требуется найти непрерывное в цилиндре фг решение уравнения
<63), удовлетворяющее краевому условию
и = \х(х, *) при хеГ, 0<*<Г, F4)
и начальным условиям
и (х% 0) = щ (х), Щ^ = щ (х) при * е= б. F5)
Как обычно, предполагается, что эта задача имеет
единственное решение и = и(х, *), обладающее всеми требуемыми по ходу
изложения производными. Относительно С остаются в силе те
же конструктивные предположения, что и в случае параболиче-

506 гл- к- ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
ского уравнения (см. п. 5). На отрезке 0<*<Г построим
равномерную сетку ©т^^^/т, ;' —0, 1, ...) с шагом т. В &
выбирается такая же сетка юл, что и в п. 5. —: ^
Бели С — р-мерный параллелепипед, то для численного
решения задачи F3)—F5) можно построить экономичную фактори-
зованную схему, имеющую точность 0(т2 + \к\г). Такая схема
была исследована в § 2. При построении локально-одномерной
схемы поступаем- по аналогии с п. 5: аппроксимируем с шагом
т/р последовательно операторы
5г,аМ = 1'"&""(^аЦ + /а), а = 1'2»-.--*Р. F6>
р
где /а удовлетворяют условию 2 /а = /•
а=1
Для аппроксимации производной ^и1д%г с шагом т/р
используются выражения
У1) + »(а) 1 ( д2и\5
а = 1,2 при р == 2,
F7)
где
' _ ц(а)-ц(а-1)-ц(а-2) + Ц(а) 2 Л
а = 1,2,3 при р = 3,
F8)
где »(-!) — кB) =* и{'~1)+г/\ к(-2) = иA) = в'-2/8..
Для аппроксимации Ьаи + {а на пространственной сетке он
воспользуемся однородным разностйым оператором второго
порядка аппроксимации ЛаУ + фа. Коэффициент оператора Лх и
правая часть <рв берутся в момент
и. = 0,5 (^+а/р + ^-1+а/р) = ^+а/р-.о,б = Ь + (а/Р — °15)т*
так ЧТО Да *= Ла (*а), фа = фа (*» *а)*
Напишем теперь локально-одномерные схемы для
гиперболических уравнений:
^а7а = аРЛа(У(а) + У(а))+2арФаг « = 1, .. .> Р>Р = 2, 32 F9)
где
*/4 при р = 2,
°р I */3 при р = 3,
а у^ дается формулой F7) при р = 2 и формулой F8) при
р = 3. Цри р = 2 получаем трехслойную аддитивную схему, при

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 507
р = 3 — четырехслойную схему. В этом отличие от
параболических уравнений, для которых вид локально-одномерных схем не
зависит от числа измерений р.
Уравнение F9) можно записать в виде
( ^ . Г 2у{а-1) + 2(У2т2фа при р = 2,
(Е — 0ГрТ2Ла) \У(а) + У (а)) = \ , , о 2 о
Р а/ к*к*} ук )/ \ у(а_г) + у(^_2) + 20Г3Т2фа При р = 3.
G0)
Определение у(а) сводится к решению трехточечного уравнения
(Е — ОрТ2Аа)уа = Ра вдоль отрезков, параллельных оси Оха% что
можно сделать методом прогонки, пользуясь краевым условием
У(а) = (А (*, Ь+Ыр) ПРИ X €= ул. G1)
Первое из начальных условий и(х, 0) = и0(х)
аппроксимируется точно:
у(х, 0) = и0(х). G2)
Для вычисления промежуточных значений уч'=у(х, т/2) при
р = 2 и у1/* = у(х, т/3), у*/л = у(х, 2т/3) при р = 3 применим
следующие уравнения:
2 G3)
^1 = Щ + -Ь щ + \ А1Щ + т2(/х - 4 (Ли + /))<=о,
если р = 2;
(я-'4лх)у'7» = /^ (е-^а,)(у'7' + н0) = г»'» + Л,
Л = "о + х "о + ^ЛхНо + г2 (-д- Л — -р- (Ли + /))^, G4)
если р => 3.
Остановимся более подробно на локально-одномерной схеме
для случая двух измерений (р = 2):
У (*, 0) = «0 (*), (Е -, ^ Лх) У*7* = Л ПРИ * = °'5*« G5)
.^,_у + уь., = ^ ^ ^ + ^ + ^ ^
^-2у^.+И ^ 1 Лг(ут + у0+ 1 ф|> / = 1J>„, G6)
т*

508 гл- и- экономичные схемы для многомерных задач
Краевые условия имеют вид
у3+,/« = ц (х, «л..,,) при х е ?!*
2/,+1 = ц (х, 1}+1) при х «= V*.
Функция у,+,/« находится из уравнения
4
^+,л-4л^+,/' = ф1,
где Ф| — известная правая часть, ъ краевыми условиями G7),
а ^+1 — из уравнения
где Ф2+,/* известна, с краевыми условиями G7), Каждое из
уравнений решается методом одномерной прогонки.
Рассмотрим погрешность я(в)в з*+<?/2 = у***1 — и(ж, Ъ+а/г)
схемы G5)—G7), где « — решение задачи F3)—F5), у —решение
задачи G5)—G7). Подставляя у(а) = 2(а) + аЯа/2 в уравнение G6),
получим
^а7а = 4-ЛаB(а)+^(а)) + фа при *>Т,
(^-4л1)-^ = ^1 при * = 0,5т, G8)
%(д^О) = 0, хе©л, 2(а) = 25+а/а =0 при хе7л,а = 1*2^
где
^а = X Ла (Ма + ^ — .Ц«#а + °'5фа ^
— погрешность аппроксимации для одного уравнения F6)
номера а = 1, 2. Погрешность аппроксимации для
локально-одномерной схемы G5)—G7) определяется как сумма
ф-^ + фа. (80)
Покажем, что схема G6) аппроксимирует задачу F3)—F5)
в суммарном смысле, 1|> = 0(т+ |А|2). В самом деле, учитывая,
что
0,5Л« (иа + их) = (ЬаиIНа'т + О Ш при х в ©м<
0,5Л« (иа + ^) = (^аи)Жа-1)/2 + О (*«) при а: сг <««
%*-}($Р**+в«.*.-*,м>'+о«.

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 509
О ф
получаем <фа = Уа + 'Фа, где
о / й2и \Жа-1)/2
4>а = 0,5 1ьаи - 0,5 ^ + /а ] ■, а = 1, 2,
<ф* = О (йа + *2) при я ^ соЛ|аг фа = О (ка + т2) при я (= о)^а.
Отсюда следует
Й+ &+1/в = 0,5 (^и - 0,511 + ПУ + 0,5 (Ь2и -0,5ц + П)*Чш -
« 0,5 (ах + ^ и - и + /х + /2)' + 0,5т^.
Первое слагаемое, в силу уравнения F3), равно нулю:
(Ь1 + 1,)и-а + /-0,/-/« + /,. ,
Поэтому
Й + в = 0, (81)
т. е. схема G5)—G7) обладает суммарной, аппроксимацией.
Рассмотрим теперь сумму
>••
^ + 2^ + ^= '
=, 0,5 [{Ьги -и + иУ+Ч' + (V - » + /.У"т/"]+(Л»«—2-Ь/^ -
= {(Ь, + ^ и - ы + /х + /,У + №+,/' - 2Й + ^_,/')= «а (Иу,И
т. е. ^ _
Ъ + аъ + Ъ-^ЙЛд-ОСО- . (82)
Из априорных оценок, на выводе которых мы не
останавливаемся, следует, что ЛОС »G5)—G7) сходится в сеточной норме
У^2 со скоростью 0(т+1&|2), если решение и = ю(#, I) имеет
непрерывные в <$т производные по ха до четвертого порядка
включительно и производные д*и/дяи удовлетворяют условию
Липшица по *; правая часть / должна быть дважды
дифференцируемой по I.
, 15. Аддитивные схемы для. систем уравнений. Рассмотрим
задачу E0) § 2 для системы уравнений параболического типа.
Прежде чем переходить к написанию аддитивной схемы для
решения задачи E0) § 2, представим оператор Ь в виде суммы двух
треугольных операторов, Ь = 1г + Ь+,
Для этого представим матрицы Ааа в виде суммы &аа=й:~а +
+ &асы ГДе каа = {каа), ^аа = (Лаа) — треугольные Матрицы С
элементами
А«Г = *& *#" = 0 при т < *, АЙ" = *™г
А^Г = 0 при т > в, А^ = А&* = О^Ай.

510 гл. IX. экономичные схемы для многомерных задач
Матрицы каа и каа сопряжены друг другу, так как . каа* —
= А<х<зГ*. Отсюда следует, что
т -Г-Л./+ г* - —(ь* —1
•^сих — ^аа ~Г ^аа» ^аа — 0# у^аа д# ]•
Введем операторы
а-1 а
Ьа и = /^ааИ + 2 Ах0И = 2 ^арМ, Ь^и = АхрИ прЙ Р < 0С,;
* 3=1 3=1
р р
Х^и = /^ц + 2 Ахри = 2 ^ары, /^и = А*ри при р > а
3=а+1 3=а
и представим 1г в виде
Ь = Ь~ + Ь+, Ь'и=^ЬаЩ Ь+и=%Ыи. (83)
а=1 а=*1
Решение системы уравнений E0) § 2 или
2 [^ 5- - ^«и+^ц) - ('• +!«)]=°» &>
р
где 2 Aа + 1а) = I» сведем к последовательному решению си-
стемы 2р уравнений
1 ду — —
ЩГ~дГ = ^аУ "^ *а' ^+(а-1)/Bр) ^ ' ^ ^+а/BрЪ
1 ву + + <85>
2^" "^7" = -^а V + 1а г ^+1-а/Bр) < ' < *;+1-<а-1)/Bр)«
а = 1, 2, ..., р.
Аппроксимируем Ьа операторами Л^ вида
а р
Л« = 2 Ла"р, Ла" = 2 Ла~0,
&=1 Р=а
Ла>а = 0,5 Г(*ари;э)^ + (Лар^хр)- 1.
Очевидно, что аппроксимирует Ьа со вторым порядком.
Коэффициенты &ар будем брать в один и тот же для всех а и [}
момент ^ят^^ьч^ или в какой-либо другой момент 1*&[Ьь ^+1].

§ 3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 511
Напишем теперь аддитивную схему
5+аг/Bр) 5Ца1-1)/Bр) Р , (86)
2 ~7 = 2 лгРУ,+М2р)+ш+а1/ш,
а —1, 2, ..., р,
где а4 = 2р + 1 — а, "р| = 2р + 1 — р и а4 меняется от р + 1 до 2р,
при этом а меняется от р до 1.
При х е 7л задаются обычные краевые условия: -
У*«/<*» = ^«/«р) при ж<= Т2, а = 1,2,...,р,.
И-е^/Ор) з+а^сар) о, . (87)
У =1» Ч"РИ *еун ,а1 = Р + 1, ...,2р.
Начальное условие удовлетворяется точно:
у(*,0) = и0(а:). (88)
Для определения у1+а,{*р) = У(в) и у3+а^пгр) = у получаем си_
стемы уравнений
(Е - тЛ«а) У(а) = Ра, (Е - тЛ?«) у(в1) =.Р+^
а-1
Р« = X 2 ЛаВу(Р) + Тфа +У(а-1),
'"» = * й 21 Л«ЭУ(Р!) + *ф2 + У(а1-1).
Э=а+1
Так как каа — диагональная матрица рХр с клетками,
являющимися нижними треугольными матрицами, то из системы
уравнений - *
(# —тЛ^)у(а) = р-
последовательно от «к«+1 методом прогонки находятся
компоненты у*»), $ = 1,2, ...,л,вектора у(а). Двигаясь отака+1
и от $ к $ +1, мы при помощи формул прогонки для
трехточечного уравнения последовательно определим векторы у(а), а=*
= 1, 2, •.., р. Аналогично при переходе ота+1 каиот « + 1
к 5 из системы
(Д-тЛ^У^-Г^
определяются векторы у(Р+1), ..., у(М(). Последний вектор у,*,, и
есть решение у1+4 = уBР) на слое * — «*,.
Так как система дифференциальных уравнений (85)
аппроксимирует уравнение E0) § 2 в суммарном смысле, а каждое из

512 гл. се. экономичные схемы для многомерных задач
уравнений (86) номера а аппроксимирует уравнение (85) того
же номера в обычном смысле, то аддитивная схема (86)—(88)
аппроксимирует исходную задачу с порядком т+ \к\г:
а=1
о
Рассмотрим пространство ^ сеточных вектор-функций,
заданных на сетке соЛ и равных нулю на границе к* сетки. Введем
о
вЙ = Я скалярное произведение
(у, у) = 2 (/, Л ОЛ V*) = 2 у' (*) V' (х) лл ... а,.
Рассмотрим операторы
_ р р
А = 2^ Аам А = ]^ Аа%
а Р °
Аху = — 2 Лару4 4*у = - 2 лгРу, у <=о.
Покажем, что операторы А" и Л+ сопряжены:
D-у, т) «(у, 4+у) для любых у, у^й,
если матрица А: = (Л?2р) симметрична, т. е. выполнено условие
&ар = &р<х« В самом деле, так как Ща = к&$% то
D-у, V) = 0,5 ^ Д [(*«*У;р, У^) + (ЛаЗУ«р, У^)] =
- °'5Д Д [(*=**• ^+(^у*э' **>]-
=°15 Д Д 1(^оУ^'%)+(^вУ*«'т^]'
= 015|1р2 [(^уге,у^) + (^уХA,уХ(Х)] = (у14+ у),
что и требовалось доказать. Отсюда следует, что
D-у, у) = (А+у, у) - О.бЫу, у) > 0,5с4и°у, у),
где Ау = — 2» У^. так что
иУ,у) = 2A,УУа>824»У|Р.

в 3, МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
513
Таким образом, А" и А+ — положительно определенные опера-
р
торы: А" > 8Д, А* ^*ЬЕ,Ь = Асх 2 С
Чтобы доказать устойчивость схемы (86)—(88) с
однородными граничными условиями, воспользуемся теоремой 3 из п. 11,
согласно которой для задачи
а р
2; =* 2 ЛаР2(Р) + ЧЪг 2г = 2 Л^2(Р ч + Ч>2,
*а 0=1 а1 р=а ч '
2(а) =» 0, 2(а1) = 0 при ^6^, 2 (#, 0) = 0Х
2<а) — 2(а-1) 2(«1) "" 2(а1-1)
где зь- = ' -, щ = ' -, имеет место апри-
орная оценка
[^кЛ/, тах I Б ((^у+«Л.Р) + (ч^)^+1-(«-1)/(ад)| +
0<;'<Л1а~1 II
о<У<з а=1
Отсюда следуе^г, что аддитивная схема (86)—(88) сходится со
скоростью 0(Ут+ 1й|2) в сеточпой норме Ьг.
Перейдем теперь к задаче F1)—F2) § 2 для системы
уравнений; гиперболического типа
2[4$-+(^+^)и+1«1=°.' 2»«=«- (89)
Решение этой системы сведем к последовательному от а к а+,1
решению (с шагом т/р) более простых уравнений
4тг = -Ьаи + Д2и + 1а, а = 1,2, ...,р. (90)
Р 01
Аппроксимируя каждое из этих уравнений в обычном смысле,
получим аддитивную схему
а р
— У*а<а ^ 2 Л"рУ(Р) + 2 Л«ЭУ(Р) + Ф«»
* Р 0=1 р=а >91ч
а = 1, 2, ...,р, (^^ешлХсйх,
У (а) = Ц (*, *а), *а = 0, /а, а = 1, 2, ..., /?,
у(я, 0)=и0Ы,
ГДе фа = 1а (*, *а)» *а = *;+(а/р-о.б)т; Коэффициенты &ар берутСЯ
в момент *<ъ>У^а определяется одной из формул F7) или F8),
оР = 0,5 при р = 2, оР = 1,5 при р «= 3.
3 3 А. А. Самарский

514 гл. IX. экономичные схемы для многомерных задач
Второе начальное условие аппроксимируем, полагая
Ув/Р = и0(х) + -^-и0(х) + ^(^и0+1(^0))^= 1,2,-...Р-1.
Полученная аддитивная схема, очевидно, обладает суммарной
аппроксимацией
Ч>= 2 *а-=0(т + |й|а).
0=1
Для определения вектора уЖивУ<р) получаем систему
уравнений
(Е — СГрТ2Л^) у(а) = Ра*
где Ра выражается через векторы у(рь (К а. Эта система
решается последовательно от а к агМ и от $ к 5+1 при помощи
обычных формул прогонки. Меняя ролями Ла и Ла~4 получим
вторую схему
а - р
V уЫа в 2 А«&№ + 2 Л"ЭУ<е> + Фа- (92)
Р 0=1 0—а
В этом случае счет идет от а,+Л косиотзкз+1.
Чередование схем (91) и (92) дает третью схему.
Пользуясь энергетическим методом, по аналогии с
предыдущим пунктом, можно получить априорную оценку для
погрешности 2 = у — в, использующую свойство суммарной
аппроксимации. Из этой оценки следует сходимость аддитивной схемы.

Глава X
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
При помощи метода конечных разностей краевые задачи для
уравнения Пуассона Ди,= —/ и эллиптических уравнений общего вида в гл. IV
были сведены к системе линейных алгебраических уравнений. Порядок
системы равен числу внутренних узлов сетки и возрастает с уменьшением
шага сетки.
В этой главе рассматриваются экономичные прямые и итерационные
методы решения разностных эллиптических уравнений.
В § 1 излагаются прямые экономичные методы, пригодные для
решения краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Это — метод
декомпозиции и метод быстрого преобразования Фурье (метод (разделения
переменных).
В следующих параграфах излагается общая теория итерационных
методов для решения операторного уравнения первого рода Аи = /, где Л —
самосопряженный положительный оператор о конечномерном евклидовом
пространстве, и дается ее применение к эллиптическим сеточным
уравнениям.
Эта теория является частью общей теории устойчивости разностных
схем. Новым вопросам, возникающим здесь, является выбор итерационных
параметров и оператора В. В § 2 указан оптимальный набор чебыгпевских
параметров, при котором имеет место вычислительная устойчивость
двухслойной итерационной схемы. В § 3 рассматривается универсальный по-
переменно-троугольный метод и его модификации для решения
эллиптических уравнений с переменными коэффициентами в случае области
произвольной формы.
В следующих параграфах изучаются методы переменных направлений
и итерационные методы вариационного типа (метод скорейшего спуска,
метод минимальных невязок и др.).
§ 1. Прямые методы
1. Прямые и итерационные методы. В результате разностной
аппроксимации краевых задач для эллиптических уравнений мы
получили в гл. IV системы линейных алгебраических уравнений
(разностных или сеточных уравнений). Матрица А этой системы
имеет большой порядок, равный числу N узлов сетки. Например,
для сетки с шагом к по каждому из переменных хи х2, ...
.. „ хр (А| = кг « ,.. » кр = к) число узлов N = О (—\ где р —•
число измерений. В случае двух и трех измерений число уравне-
33»

516 ГЛ. X. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
ний может быть большим, /V « 10*—10е (например, при й = 1/100).
Кроме того, матрица системы имеет много нулевых элементов,
специфическую (ленточную) структуру и, наконец, является
плохо обусловленной матрицей, т. е. отношение наибольшего
собственного значения матрицы к ее наименьшему собственному
значению очень велико (~ 103—104) и является величиной
0(к-2).
Эти особенности эллиптических сеточных уравнений требуют
разработки специальных экономичных алгоритмов для их
численного решения. Прямые экономичные методы применяются, как
правило, для решения узкого, хотя и очень важного, класса
сеточных уравнений. Кроме того, прямые методы используются в
итерационных методах для обращения оператора на верхнем
слое, который выбирается соответствующим образом.
В настоящее время существуют два экономичных прямых
метода для решения разностных краевых задач в случае
уравнения Пуассона в декартовой, полярной, цилиндрической и
сферической системах координат. Один из них — метод декомпозиции
или метод нечетно-четного исключения с факторизацией
является модификацией метода исключения Гаусса. Другой метод —
метод разделения переменных основан на использовании алгорит
ма быстрого преобразования Фурье. Для обоих методов справед^
лнва следующая оценка числа арифметических операций (?,
требуемых для нахождения решения в случае двумерной задачи,
—(? = ОШ21о%гЮ, где ТУ —число узлов но одному
направлению.
В этом параграфе, кроме двух вышеуказапных методов,
рассмотрен еще один прямой метод — метод матричной прогонки.
Он пригоден для решения разностных эллиптических уравнений
в областях сложной формы. Однако матричная прогонка требует
(? = 0(№) арифметических действий и большую память для
хранения промежуточных величин. В то же время при решении
серии задач с различными правыми частями и граничными
значениями методом прогонки можно за счет хранения прогоночных
матриц уменьшить число действий до ОШ3) для второго и
последующих вариантов.
Итерационные методы последовательных приближений
применимы для более общих задач в случае произвольной области,
уравнения общего вида с переменными коэффициентами. Эти
методы рассмотрены в следующих параграфах.
Перейдем теперь к непосредственному изложению прямых
методов. Всюду в этом параграфе будем рассматривать задачу
Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике П = @ < ха <
^ /а, а = 1, 2} с границей Г:
Аи = ^+ТТ =-/(*)< х=(х1,х2)е=в1 и\г=[1(х). A)

§ 1. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ 517
Введем в П прямоугольную сетку с шагами Ь1 и Нг:
о>л = {^2 = (нК 4^2) ^ &* *а=0г 1, ..., ЛГа, каНа=1а, а=1д 2].
Пусть 7л ~ [хг^2 ^ Г) — граница сетки. Разностная задача
Дирихле, соответствующая задаче A), имеет вид
Лу = — /(*), хе=с)Л, у|7л==р>(*)г
Л = Лх + Л2, Аау = у-аХа, а = 1, 2, у^2 = I/ A^, 22й2). B)
Задача B) подробно исследована в гл. IV.
2. Метод декомпозиции. Сведем задачу B) к системе
векторных^ уравнений
-УЬ1 + СУ;-У;+1 = Р;, /~ 1, 2, . Л.ЛГ,-1,
*0 = Г0» ^2 = Г#2,
где У^ и Г^ — векторы компонентами которых являются значения
решения уц^у^Иг^ ]к2) и правой части /« — /(Ль ]к2) на ;-м
столбце сетки соЛ, а С — разностный оператор, который мы
определим ниже. Действительно, если изменить правую часть в
уравнениях B) в приграничных узлах, то можно считать, что
у а = 0 в граничных узлах при г = 0, г = N1.
Перепишем уравнения B) в следующем виде:
— Уг,;_! + [2у — Н\ух1Х^.. - уи+г = &1фу,
1<*<АГ1-1, 1</<#,-1, D)
где
Фг; = /г; При 1<1<ЛГ1-1, 1</<ЛГ, —1,
1 1
ф1; = !гз + ТГ Иол фл^-ы = /^-1,; + т? И^5-
Л1 Л1
Введем векторы У^ и Р;:
^ = (У1;, 1/2;, . . м У^-1,,) , 7 = 0, 1, . . . , ЛГ2,
(л2 л* \
&2/1; + ТГ Мчи, ^г/г;» • • •» ^2/^-2,;, ^г/^-1,; + Тг" И'^1; I»
E)
/=1,2 ЛГ, —1,
Р; = (|Н5| Иг;, • • •, ^-1,;) при / = 0, Л^.
34 а а. Самарский

• 518 гл- Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Разностный оператор С определим следующим образом:
(СУ^ = B^~^-1Х1).., 0<<<ЛГ1э у0; = ^ = °',
Отсюда и из D) следует, что задача B) эквивалентна системе
векторных уравнений C).
Перейдем к описанию метода декомпозиции, предполагая, что
N2 = 2". Его идея состоит в последовательном исключении из
уравнений векторов У^ сначала с нечетными номерами; затем с
номерами, кратными 2, 4, 8 и т. д. Запишем для
/ = 2, 4, 6, ..., ЛГ2-2, где #2 = 2П,
следующие три уравнения:
— У/-2 + СУ;-! У, = Г,'-!,
— У5.1 + СУ, — У^! = Г,-,
Применяя ко второму уравнению оператор Си складывая все
трд уравнения, получим «укороченную» систему:
-УЬ2 + СA%-У^г = Р^, 7 = 2,4,6, ....ЛГ.-2, F)
У0 = Р0» У№2 = Р№2,
«
которая содержит неизвестные только с четными номерами. Здесь
введены обозначения
СA) = [С@)]2-2Д, Р51) = Р5?1 + С(в)^) + Р$?ь
где- С@) = С, Р$0) = Г,.
Если найдены из F) У^ с четными номерами, то неизвестные
с нечетными номерами можно определить из уравнений .
с(о)у. = р|о) + Ут+Л._11 / = 1,3.5 ЛГ, —1.
Действуя так же, как и при исключении из C) йекторов с
нечетными номерами, исключим из системы F) неизвестные с
номерами /, кратными 2, но не кратными'4 и т. д. В результате
получаем систему уравнений для последовательного нахождения
всех неизвестных путем решения уравнений
с(*-1)у. = р(*-1) + у ._гй_х + у .+гй_ц
/ = 2*, 3 • 2*-1, 5 • 2й-1, ..., Лг2 - 2*-1, G)
к— п, п — 1,.. .,2,1,

§ 1. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ 519
где С(А) и Р$А) определяются по реккурентным формулам
СЫ = [с(А-1)]2 _ 2^ А = 1, 2, ...,лг —1, С@) = С,
Рс*> = р^ц + с^-^рГ^ + г*;^, (8)
/ = 2\ 2-2\ 3-2*, ...,#2-2\ &=1, 24..мл-1.
Алгоритм декомпозиции существенно использует
факторизацию операторов С{к):
С(к) = П(С-^Е), к-гсоя-йр^, (9)
что позволяет свести обращение оператора С(Л) к
последовательному обращению методом прогонки трехточечных разностных
операторов. В самом деле, пусть требуется решить уравнение
Если учесть представление С{к) в виде (9), то определение V
сводится к последовательному решению уравнений
(С-^Я^-ф, (С-[цЕ)и«\=>и«-1\ 1=>2, 3, ..., 2\
причем искомое решение V=V^2 К Каждое из написанных выше
уравнений есть трехточечное разностное уравнение
х1х1
^>@) = г/°(/1) = 0,
которое решается методом прогонки.
Для вычисления Г; используется следующий алгоритм.
Вводятся векторы р$*} и ц^к\ через которые Р$Л> выражается по'
формуле
Р^ = С(А)р^ + д^. A0)
Чтобы получить алгоритм для вычисления р>А) и ^\к\ подставим
<10) в (8):
С(*$>+& - С™ [р^Ц + Р2#-! + ЧГ>] +
после чего положим
^-гр^+ ,*$_,+ ,53>.х A2)
и перепишем (И) в виде (учитывая, что С(к) = [С(*-1)]2 — 2Е)
(с*-»)- (Р<*> - Рг«) = с»-» (Р;зц+рйй-1+ЧГ1}).
34*

520
ГЛ. X. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
После сокращения на С<*~1) получаем
С Ь) = РЬ2а-1 + Р;-+2л-1 + Ч) 1 Р; — Р) + &3 д
а ц]к) определяется согласно A2). Подстановка A0) в G) дает
а™ № - рМ = яГ1}+тми + Ужм.
Таким образом, введение ц]) и.р$ вместо позволяет
найти решение задачи B), используя только обращение операторов
С(А_1) и сужение векторов при вычислении правых частей
уравнения.
Вычисления проводятся в следующей последовательности.
1) Задаются начальные значения р}0), 4$:
чУ = Ъ, Р$0) = 0, / — 1,2 ЛГ, —1.
2) Для всех к — 1, 2, ..., л — 1 решаются уравнения
с«*-»аГ" = ^-» + рК1х + р^
и вычисляются векторы р$Л) и д$ по формулам
р<» = р^> + 8Г« Ч?> = 2р?> + ч^-г + чй#.
для всех ] = 2*, 2" • 2*, 3 • 2\ ..., Ы* - 2\
3) Решаются уравнения
и вычисляется искомое решение
У^р^ + В^».
для всех /-2*-1, 3-2Л~\ 5-2*-1 #2-2*-\ А = п, п-1, ...
..., 1.
Метод декомпозиции требует (?=* ОШ^ 21о%2 N2)
арифметических действий и полуторной памяти, т. е. используемая
машинная память в 1,5 раза больше числа неизвестных. Впрочем,
небольшое изменение алгоритма, приводящее к незначительному
увеличению времени решения, позволяет избавиться от
увеличения памяти.
3. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение
задачи B) с однородными граничными условиями
Лу=-Ф, у|УА = 0, A3)
где ф отличается от правой части / задачи B) лишь в
приграничных узлах на величину — |Л при и = 1, ц = #1 — 1 и на-у 11
при гг = 1, к = #2 *- 1.

§ 1. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ 521
Пусть м*(/А2) и Л* — собственная функция и собственное
значение номера к задачи
Л2[х* + \к\*>к = 0, А2^аг2^/2-/г2, |дл@) = \хкA2) = 0. A4)
Согласно п. 2 § 3 гл. II имеем
\1к (]к
^) = |/-^8Ш-^, Я* = —8т2_*, Л = 1,2 ЛГ, —1.
Решение задачи A3) ищем в виде суммы
■N2.-1 . .
УИ = 2 ск{гНгI1к{}Н2),
*=1 A5)
I = 1, 2, ..., ^ - 1, / = 1, 2 #2 - 1,
где коэффициент Фурье ск зависит от х^ = 1Н%.
После подстановки выражения A5) в уравнение A3) получим
*2-1
Лу = Агу + А2у= 2 [н0\)^к(^х) + скAН1)А211к0Ъг)] =
*2-1
' =- 2 Ф*(»1I**а^). аб)
где ук(Иг1) —- коэффициент Фурье функции <р(х):
^2-1
Фа(^)= 2 чУЬц^РкО'КЖ
Учитывая A4), а также ортогональность функций |1Л, получим из
A6) для определения ск задачу
Л^-АлС^-фь, &!<«!< 2!-А|9 ск@) — с^) — 0, A7)'
где* —1, 2, ..., #2-1.
Отсюда видно, что слAА4) как функция XI = ^1 для каждого
к находится методом прогонки. Всего надо Л^2 — 1 раз
использовать алгоритм прогонки. Зная ск(гкц), по формуле A5) находим
решение задачи A3).
Вычисление коэффициентов Фурье <р* и нахождение решения
Уч может быть выполнено по одним и тем же формулам. Здесь
общим является вычисление сумм вида
*>; = 2 5*8111-^-, / = 1,2, ...,ЛГ —1.
А=1
Для этого используется специальный алгоритм быстрого
преобразования Фурье (на его описании мы не имеем возможности
останавливаться), который позволяет вычислять все указанные

522 гл- Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
суммы за д « 2N^о^2N арифметических операций Ш = 2п) вместо
О(Л^) при обычном способе суммирования и тем самым найти
решение разностной задачи Дирихле B) в прямоугольнике за
ОШ^21о%гМ2) арифметических операций.
Метод декомпозиции можно применять в комбинации с
методом разделения переменных. В частности, метод разделения
переменных можно применить для решения, укороченной системы
F) (получающейся после исключения неизвестных с
нечетными /). Тогда задача B) может быть решена за (?« 2#!#21о&2 #2
арифметических действий, что в два раза меньше, чем требуется
при решении задачи B) методом разделения переменных.
4. Метод матричной прогонки. Система уравнений C) является
частным случаем задачи
-Л,У,-,+G,У,-В,Уж-РЛ / = 1, 2, У.., N-1,
СоУо — #0^1 = Ро» —А лУлг-1 + С^Чи = Р#,
где \] и Р$ — векторы размености М^ С, — квадратная матрица
размерности М}ХМ), А ] — прямоугольная матрица размерности ЛГ^Х^-ь
а #> — прямоугольная матрица размерности Л^Х^+ь Решение задачи
ищется (по аналогии с п. 5 § 2 гл. I) в виде
У, = «к|Ул-1 + Рж, / = #- 1, Л- 2, ..., 1, 0.
где а,] — прямоугольная матрица размерности А/,_1 У.М^ а р,-— вектор
размерности М]~1. Из A8) и A9) по аналогии со случаем обычной прогонки
получаем рекуррентные формулы для определения а;-, &:
а1+1 =
«1 =
Р^+1 =
01 =
*н-
V
= (Су
-^
= (СГ
= с~1
= (Сц
= аш
-ллГ^,
В0, / = 1,2,
-Лр,)-1?,
Р0, / = 1,2,
...,Лг-1,
4 А&),
;'..,лг-1,лг,
-лгРы)~Х(А1#я+.*н) =
^V^+1 + Р^+1^
/ = ЛГ—1.ЛГ
.
0Л+1>
-2,.
Метод матричной прогонки устойчив по отношению к случайной
ошибке, т. е. ||а;|| ^ 1, / = 1, 2, ..., #, если выполнены условия
КЧ1<4' \С*1АА<1' \ст1л}\+\ст%\<^ 1.<г/<^-1.
причем хотя бы для одного из этих условий должно выполняться строгое
неравенство. Для интересующего нас чаютного случая C) имеем А$ =
= В5 = Е, С5 = С для 'К / < ЛГ— 1, а В0 = А * = 0, С0 = С„ = Е.
Формулы матричной прогонки упрощаются:
«,+!« (С-а5)~\ . а!=0, / = 1, 2, ..., ЛГ2 — 1,
й+1 = аж(Р; + М, ?1 = Го, / = 1, 2, ...,7У2_,1,
У; = аЖУ;+1 + Р;+1> У**=Р*1' / = ЛГ2-1,...,2,1.
Векторы У; и $з имеют размерность #1 — 1, а^ и С — квадратные
матрицы размерности (Лг1 — 1) X (^1 — *)* а достаточное условие
устойчивости только одно, имеет вид IIС-1 II ^ 0,5; оно выполнено, так как С ^ 2Е.

§ 2. ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ 523
Подсчитаем число действий для определения решения задачи B)
методом матричной прогонки. Так как все матрицы с^ являются полными
(хотя С — трехдиагональная матрица), то для вычисления а;-+1 по заданному
а} требуется О (^) арифметических операций, а для вычисления всех
с*я /" = 1, 2, ..., #2, надо О (^1^2) операций. Далее, для определения (^+1
по заданному р; падо О (Л^) операций, а для определения всех векторов
р;. надо О (Я^2) операций.
Столько же действий надо для вычисления всех Ул-. Общий объем
работы () = О (^1^2) опеРаЦий. Если решается серия задач, то с^ не надо
пересчитывать, и при решении второго и следующих вариантов требуется
0(Я^2) операций.
§ 2. Двухслойные итерационные схемы
1. Двухслойные итерационные схемы. Постановка задачи.
Пусть требуется решить уравнение первого рода
Ли = /, A)
где А: Я -* Я — линейный оператор в конечномерном
(размерности Ю вещественном пространстве Я со скалярным
произведением (,) и нормой II у II = У (у, у). Будем предполагать, что
А = А*>0, /еЯ- любой вектор.
Остановимся сначала на общей характеристике
итерационного метода (схемы). Итерационный метод позволяет, отправляясь
от некоторого начального приближения у0<^Н, последовательно
находить приближенные решения уравнения A): уи У г, ..., у к,
ук+1, .. ., называемые итерациями; здесь к — номер итерации.
Значение ук+1 выражается через известные предыдущие
итерации ук, ук-и ... Если при вычислении г/л+1 используется только
предыдущая итерация ук, то говорят, что итерационный метод
(схема) является одношаговым, а если используются две преды-
! дущие итерации, то метод итераций называют двухшаговым.
Мы убедимся в том, что эти методы, по аналогии с гл. VI,
естественно называть двухслойным и соответственно
трехслойным. Ниже будет показано, что одношаговый итерационный
метод по форме совпадает с двухслойной схемой, рассмотренной
в гл. VI.
Любой линейный одношаговый итерационный метод для на-
• хождения приближенного решения уравнения A) может быть
записан в виде
^ Вкук„ = СкУк + Рк, к = 0, 1, 2, ..., B)
где Вкъ Ск — линейные операторы из Я в Я, зависящие, вообще
говоря, от номера итерации А, Ек е Я — заданная функция А,
ук — Л-я итерация, причем существует Я/Г1.

524 ГЛ- Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Естественно требовать, чтобы не зависящее от к точное
решение и уравнения A) тождественно удовлетворяло уравнению B):
(Вк-Ск)и = Рк.
Это возможно только при условии (Вк — Ск)А~*1=>Рк.
Отсюда следует, что 1) существует обратный оператор
(Вк — СА)~1, 2) / =5= А(Вк — Ск)~1Рк. Всегда можно положить
ъ11(Вк-Ск) = А, Рк = {тк+и Л = 0,1,2, ...,
где т*+1 > 0 — числовой параметр. В результате получим
каноническую форму двухслойной итерационной схемы
Вк Ук^~Ук +АУк = 1, * = 0,1.2,... C)
При & = 0 задается произвольное начальное приближение
(нулевая итерация) у0 ^ Н. Так как существует обратный
оператор Вкг, то из C) следует
Уктг = Ук— тл-цЯ^" (Аук — /), D)
или
Ук+г = Ук — Ък+\Вк гк = ук — тл+1и?л>
где гк = АуК — / — невязка,щ = Вкхгк —- поправка.
Если итерация ук известна,, то ул+1 находится из уравнения
D). Зная у0, последовательно определим уи у21 ... Очевидно,
что итерационный метод имеет смысл, если он сходится, т. е.
\\ук — и\\ -+ О при к -*• оо. E)
Обычно задают некоторую погрешность е > 0 (относительную
погрешность \\ук — и\\/\\у0 — и\\), с которой надо найти
приближенное решение задачи A). Вычисления прекращают, если
выполнено условие
11у*-и1Ке11уо--ю11. (в)
Это условие неудобно для практической проверки, так как и —
неизвестный вектор, и может быть заменено требованием
04Л-/1КеП4ув-/И G)
для невязки гк = А ук — / = А ук — А ю, которая может ^быть
вычислена непосредственно.
В общем случае вместо F) пишут неравенство
И^-и11л^е11#0--ы11л, (8)
где П = 2)* > 0 — некоторый оператор. Полагая, например, Т) = Аг,
получим из (8) неравенство G).

§ 2. ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ 525
Напишем уравнение для погрешности гк = ук — и. Так как
Аи = /, то
Вк **+1~** +Л*»=0, А = 0,1,2 задано 20бЯ. (9)
Если Вк = В не зависит от &, то поправка иъ = В~*гк также
удовлетворяет однородному уравнению
В^^ + Аъ-О.
В самом деле, из D) следует
Уь+1 ~ Ун — - тл+1В-!гА — - та-цЮ*.
Действуя па обе части этого равенства оператором А и
учитывая, что
Аук+1 - Аук = иуА+1 - /) - (Аук - /) = гл+1 - гл,
гл+1 - гл = В(Вгк+1 - Д-!гй) = Жи\+1 - и;»),
получаем однородное уравнение для юк.
Из (9) видно, что
2ь+1 = 8ь+12к, 8к+х = Е — Хь+\Вк А,
где 5*+1 — оператор перехода со слоя к на слой к+1. Исключая
*а, з*-1, ..., 24, имеем при к = п — 1
2П = 7П20, 7„ = З'пй'л-! . . . й'гО'!, .
где Тп — разрешающий оператор схемы (9). Отсюда находим
1*А — \\Тп*оК <\\Тп\\вЬ0\\о, или М* ^ дп\\*.К9 д„ — II7А.
Условие окончания итераций выполнено, если дп < е. Таким
образом, для выяснения вопроса о сходимости итераций надо
оценить норму разрешающего оператора Тк.
Схема C) имеет точную аппроксимацию на решении и
уравнения Ли = / при любых операторах {Вк} и любых параметрах
{тА+1}. Однако величина дп зависит от {Вк} и {т*+1}. Поэтому Вк
и Та-н следует выбирать так, чтобы минимизировать норму
"У*"» ■* Яп разрешающего оператора 7„ схемы C). Кроме того,
при выборе Вк естественно стремиться к минимуму
арифметических действий, нужных для определения г/л+1 при заданном ук
из уравнения
Вкук+1 — Рк9 Рк = Вкук - хк+Мук - /).
В этом и состоит основная задача теории итерационных методов.
Из предыдущего ясно, что любой итерационный процесс C)
можно формально трактовать как двухслойную схему для реше-

526 ГЛ- Х- ИВТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
ния нестационарной задачи В -^- -\- Аи = {, причем параметр
тл+1 можно рассматривать как шаг по фиктивному времени
к+1
Различие между итерационными схемами и схемами для
нестационарных задач состоит в следующем:
а) итерационная схема C) точно аппроксимирует уравнение
A), так как решение и уравнения A) при любых Вк и тл+4
удовлетворяет уравнению C);
б) выбор параметра тл+1 и операторов Вк следует подчинить
лишь требованиям сходимости итераций и минимума
арифметических действий (экономичности) для получения решения
исходной задачи с заданной точностью (в случае нестационарных задач
выбор шага подчинен прежде всего требованию аппроксимации).
Пусть (?(е) — общее число арифметических действий, которые
надо выполнить, чтобы получить при помощи метода C) решение
уравнения A) с заданной точностью 8 > 0 при любом выборе
начального приближения. Схему (тг е. {т*} и {Вк}) надо выбирать
так, чтобы (Не) было минимальным. Если п = п(е) —
минимальное число итераций, при котором достигается точность г, то
п(е) _
@ (е) = 2 (?л = (?пИ| где (?к — число действий для нахождения
&-й итерации. Задача о минимуме (Не) сводится к задаче о
минимуме числа итераций тг'(е) и числа (?*,* которое зависит от Вк.
Если Вк = Е — единичный оператор, то C) называется явной
итерационной схемой *'•
Уь+г-Ун +Аук==^ А = 0,1,2, ..., для любого у0&Н. A0)
Если же ВкФЕ, то схема C) — неявная.
2. Стационарные схемы. Основная теорема о сходимости
итераций. Часто используются итерационные схемы
ДУшт"УЧ% = /, А = 0,1,..., C')
с постоянным оператором В и постоянным параметром т,
называемые стационарными методами итераций. К ним, в частности,
относятся известные методы Зейделя и верхней
релаксации (см. § 3). В этом случае уравнение (9) для погрешности
%к — У к — и имеет вид
-* *;
В »+\ » +Ач^0, * = 0,1, ..., *й = у0-и. (9')
Такое же уравнение верно и для поправки и?к = В~*(Аук — /).
Оператор В является, вообще говоря, несамосопряженным и
имеет обратный В.

§ 2. ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ 527
Теорема 1. Если А — самосопряженный положительный
оператор (А=А*>0), то условие
1 т
2?>-2*гЛ, или (Вх, х)>-^(Ах, х) для всех х^Н A1)
достаточно для того, чтобы метод итераций C') сходился в НА
со скоростью геометрической прогрессии:
К+^л < рЬкК * = 0, 1, ..., р<1, A2)
гдер=A — 2тб#б/ШИ2I/2 — знаменатель прогрессии, 6 = пипА,АС4),
к
6* = ппп Кк(В0 — тЛ/2), В0 = (В + В*)/2 — симметричная часть
к
оператора В.
Доказательство. Выражая гк+1 из C'): 2Л+1 = 52Й, 5 =
= Е-тВ~1А9 пайдем И2А+1П а= (Агк+и 2А+1) = (Л5гА, Я^) = (А(Е -
-хВ-1АНк,(Е-хВ-{АЮ^\кк\\А-г[(АВ-1А2^ 2к) + (В-1Агк, Агк)] +
+т2(АВ~*А2к, В~{Аг;к): Учитывая, что А = А*, и подставляя сюда
А%к = — Вик, Уд = —В-^Аъъ, где ^л = — («л+1 — %*), получим
' || *;+! Па = || М|а - 2т (E - тЛ/2) ик, ик). ' A3)
Из положительности (в силу A1)) оператора Р = В — хА/2>0
следует его положительная определенность в конечномерном
пространстве Н (см. Дополнение, § 1, п. 3):
В-тЛ/2>8*Я, 8*>0, A1')
где б * — наименьшее собственное значение оператора Р0 = В0 —
— тА/2, так что
2т ((В - хА/2) 17А, I*) > 2x6* 1 ^||2. A3')
С другой стороны, имеем |&л11а = (^2а ,2к) =(Вгк,АВик)^.
^ НЛ-^Ш^Н2 ^ ИЛ-'ИШИад* - Ш2ад2/6 и, следовательно,
ик\^(ЩВ\*)Ы&. .
Подставляя A3') и A4) в A3), получим оценку '|2Л+1|^ =
Н1$2а||а<Р21Ы1а, где р2=1-2т66*/Ш12<1, откуда следует
A2) и неравенство \кп\\А < р^Ма, показывающее сходимость
итераций, так как рп-* 0 при л-* <». Для поправки и?п = В-1(Ауп—/)
получается та же оценка.
Замечание. Условие A10 при заданном В определяет те
значения т, при которых итерации сходятся. Так, для явной
схемы (В = Е) (условие (И') выполнено, если всё собственные
значения Хк(Е-т;А/2) = 1-1;Хк(А)/2>0, т. е. 1-тШ/2>0,
итерации сходятся при любом т< 2/НАII. Отметим также, что
полученная выше оценка, для р, вообще говоря, груба для оценки
числа итераций п(е, Ю и дает лишь правильный порддок для п
при N ->- оо.

528 ГЛ- Х< МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
3. Явная схема с оптимальным чебышевским набором
параметров. Рассмотрим явную схему A0) с параметрами т4, «т2, ..*
..., тп, которые выберем так, чтобы число итераций п = п{г)
было минимальным. При этом предполагается, что А —
самосопряженный положительный оператор и известны границы его
спектра, т. е. наименьшее (^ > 0) и наибольшее (^2) собственные
значения:
А=А*>0, чЖА^ЬЕ, 71 > 0. A5)
Последнее условие означает, что
^11Ы1а ^ (Ах, х) < т211я112 для любого х е- Я.
Если параметр т = сопз1 не зависит от к (т4 = т2=!... = т» = т),
то A0) называют схемой простой итерации:
Ук+1=*Уь-т;(Аук-1). . A6)
Для невязки гк = Аук — {, как было показано в п. 1,
выполняется однородное уравнение
Г*+1~Г* +Лгй = 0, « = 0,1,2 г0 = ^г/еЯ, A7)
или гк+л = 8к+1гк, 8к+1 = Е — тк+1А. Отсюда выразим гп через г0:
Гп = Тпг0, Тп = 8182...8п, A8)
где Тп — разрешающий оператор, являющийся полиномом п-й
степени относительно оператора А:
Тп = 9>М) - (Е - х,А)(Е - х2А).. ХЕ - хпА), A9)
так что гп = ^п(Л)г0. Для гп получаем оценку
11гп11 < 11^П(ЛI111г0Н = дп11г011. ' B0)
Наша задача состоит в оценке И^П(Л)И через щ и Чь в
отыскании таких. параметров т4, т2, ..., тп, при которых достигается
минимум величины дп = №ЛА)\\. Операторный полином
^п D) = П (Е - ттЛ) = 2 скА\ с0 = 1, 9>п @) = 1,
является самосопряженным оператором, так как любая степень
оператора А есть самосопряженный оператор: Аш = (Лт)*.
Пусть {Я„ |Л — собственные значения и ортономированные
собственные функции оператора А:
46.-А.Б., $ = 1, 2, ..., #, 0<Х1<Х,<...^Х^
где # — размерность Я, причем Я4 = ттЯ. = 1и А* = шах \, = ч2.
Учитывая, что 4*У= ЯИ*^, = Х^3, т. е. X, есть собственное

§ 2. ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХИМЫ . 529
значение оператора Ак, получаем
&п (Л) I. - 2 скА% = ( 2 сй1\ Ь = ^п (Ь.) 5-,
илия(^пи»=^паи)).
Таким образом, собственные значения операторного полинома
&ЛА) равны полиному &пШ от собственных значений Я = Х(Л)
оператора А. Так как (&п(А))* =&>п(А), то
|| ^П(Л)|< шах |*»(*)|. B1)
у1<х<у2
Наша задача — отыскание тш |^п(<4)|— сводитск к задаче
т1»т2 ТП
о минимаксе полинома &п(х). Проведем замену переменных,
полагая
*-0#(т1-Т|>' + Т1+Л|]- B2)-
При этом отрезок [^и ^2] отображается на отрезок [— 1, 1] и,
следовательно, &*п(х) = #,п(*), *е[—1, 11, причем #\»@) = 1.
Надо найти полином, наименее уклоняющийся от нуля на
отрезке [—1, 1], для которого шах |^п@| минимален, при до-
полнительном условии нормировки РпИо) == 1, где ^соответствует
х = 0. Из B2) при х = 0 находим
'о--^1- B3)
~ Т.A)
Таким полиномом является полином Чебышева 3*п (I) = -> „ ч ,
1 п (го)
где
Гп(^) — сов Ы агссоз *) при Ы < 1. B4)
При \1\> 1 полином Гп(*) определяется по формуле
тпш=о,5Ц*+у1^Т)п4-и- гТ^ТН ш > 1. B5)
Так как шах I Тп (*) I = 1, то
тт ,тах |^п(а;)| = тт тах |^я(*)| = 1/| М*оI = Яп. B6)
Чтобы найти Т1, т2, • • •> *п, потребуем совпадения нулей
полинома 9*пA) с нулями полинома Чебышева, которые известны:
*А = соз-^-я, к =1,2,..., д. B7)
Полином &*п(х) = A — тьг)A — хгх)... A — хпх) имеет нули при
я* = 1/тк> /с = 1, 2, ..., п.

530 гл- х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ -
Учитывая связь B2) между х и I, получаем 2=[(^1 + <у2) +
+(Ъ - чМъ, откуда следует хк = 2/(^2 + ?1 + (ь - т^)**),
к = 1, 2, ..., п. В дальнейшем будем пользоваться обозначениями
§-—, Ро-ттГ' р1" 1+У1 • То~1ГТъ~- (Л9
Параметр т* запишем в виде
*»= 1 + р| > *=1,2,..в1л. B9)
Итак, параметры т4, т2, ..., тп определены. Найдем
выражение для ?» = 1/1Г»(*оI, *о = — 1/ро. Так как к01 > 1, то
используем для Тп(и) формулу B5):
1ЫУ1=|
а+/т-'Г+(^-/^)'}
Преобразуем выражения в скобках
1+К*-Р2
^^--^--^/да-
1 + 6 + 2У1 = 1 + У1 ^ 1
1-1 1-Уб Р1
Ро V Р20 _*-6 - 1 + У1~р1'
и, следовательно,
'*—$?■ . <30)
Таким образом, для схемы A4) с оптимальным набором
параметров т4, т2, ..., тп, определяемых по формуле B9), имеем
где дп определяется по формуле C0).
1 + РГ
достаточно, чтобы р* ^ е/2 или
Определим п = п(г) так, чтобы дп = л | *2П <|е. Для этого
»>*$&• <32>

$ 2. ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ 531
Из разложения функции
где 0 < х < х, видно, что 1п —л—— > 2х, 1п = 1п — ,
> 2 к |, и, следовательно, неравенство C2) выполнено при
п^п0(г), „0(е) = -1|Ц- = 4-(/-^-1114- C3)
Эта оценка для числа итераций более удобна, чем C2).
4. Схема простой итерации. Формально полагая, в B9) гс = 1,
мы получаем метод простой итерации:
^Р^- + Аук = 1 C4)
с параметром
*-тчтг т
так как 1Х = соз -у = 0, тх = т0. При этом
«^тхЬг^Ро- C5)
1 + Рх
Для невязки гА = Лул — / имеем уравнение Ук+1 = 8ук, «$ =
= Е — х0А. Так как Т{=*8, то из B0) и C5) следует оценка для
нормы оператора перехода |$| = р0= ^ ■ е^ • Вычисляя л ите-
* раций по методу простой итерации, мы найдем
Условие р?<.е выполнено, если п^ 1пA/в\ '• чт0» в свою
очередь, имеет место при
п>п0(е), п0(е)= 1п^/е) . C6)
5. Модельная задача. Сравнение методов. Для сравнения
различных итерационных методов используем разностную задачу
Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате {0 < х1 < 1,
0 ^ хг ^ 1} с и = к = 1, предполагая, что сетка ©а квадратная,
т. е. &! — А2 = Л. Это — специальный случай задачи B) из § 1.
Сеточные уравнения имеют вид
Ау = А1у + А2у== — {(х), #е=сол, у\ун = 0, C7)
у(+1д)-2у + У(~1а)
7*а*а Л2
ГДв АаУ = У-^= У-«'-^Г ', а=1^2>

532 гл- х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Систему уравнений C7) можно записать в операторном виде
о
у!у~/, где Ау = — Лу в дространстве # = 0 сеточных функций,
заданных на шл и обращающихся в нуль на границе ч* сетки.
В Н вводится скалярное произведение (^»г)= 2л У[х)и(х)Ь
и норма \\у\\ = У (у, у).
Оператор А подробно изучен в гл. IV. Он является
самосопряженным, положительным и имеет собственные значения
К = 1, 2, ..., N — 1,. а = 1, 2, так что
Ух = Ш1п ЯЙ1а2 = -^- 31П2 -^-, 7а = пш* \ьг = -^- соз2 -~-. C8)
Задачу C7) мы в дальнейшем будем называть модельной и
использовать в качестве эталона при сравнении методов.
Сравним по числу итераций метод простой итерации C4), C4') и
метод с чебышевским набором параметров A4), B9). .
Для задачи C7) схема простой итерации записывается так
(здесь, как и всюду в дальнейшем, лри рассмотрении
итерационных процессов для конкретных разностных уравнений, номер
итерации к будем писать сверху над функцией у):
А4-1 а / к \
у = */ + т01л*/+/], C9)
2 Н2
где т0 = — , = -х-. Подставляя в C9) значение т0, получаем
формулу
к к к к
У*хЧ = 4 г ~Т" "Л» '40'
по которой находится (к+ 1)-я итерация.
Для явной схемы A4) с чебышевским набором параметров
вычисления ведутся по формуле
Ь+1 к
У у2 = Угг12 +
ТЛ+1 (к к к к к \
т Л2 1
ГД° Тл+1== 1 + РА = ^~' ^Ро^'
По количеству действий для нахождения у оба метода
отливаются мало. Поэтому их сравнивать надо по числу итераций;

§ 2. ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ 533
пользуясь формулами C8), найдем 5 — -тг~= *82"чг~ & ~/—
при к < 1. Задавая затем точность, например, е = 2е~10 » 10~4,
3 2
получаем п0 (е) « ■—~- для схемы с чебышевским набором пара-
2
метров (ЧНП),л0(е)«-~2-для схемы простой итерации (СПИ).
•Составим таблицу для числа итераций:
к СПИ ЧНП
1/10
1/50
1/100
200
5 000
20 000
32
160
320
Отсюда видно, что метод простой итерации требует значительно
больше итераций, чем метод с ЧНП.
Следует иметь в виду, что оценки для числа итераций
получены для любого начального приближения (любого элемента у0
из пространства Я), т. е. худшей сходимости быть не может;
число итераций может лишь уменьшиться, если хорошо выбрать
начальное приближение.
6. О вычислительной устойчивости итерационных методов.
Описанный выше итерационный метод в ЧНП известен давно
(иногда его называют также методом Ричардсона), однако до
недавнего времени он почти не использовался в практике
вычислений.на ЭВМ при решении сеточных уравнений. Дело в том,
что этот метод изучался нами для идеального вычислительного
процесса (с бесконечным числом знаков), в то время как на
ЭВМ вычисления ведутся с конечным числом знаков, в связи
с чем имеются числа, являющиеся машинной бесконечностью
Л/» и машинным нулем. Если в процессе вычислений
появляется число М > Л/оо, то происходит останов машины (авост).
С точки зрения идеального вычислительного процесса нули*А
и параметры тА можно упорядочить любым из п\ способов.
Любые две последовательрости параметров {хк) будут
эквивалентны, так как для них верна одна и та же априорная оценка,
и точность е достигается за одно и то же число итераций. При
вычислениях на ЭВМ различные последовательности {тА}
неэквивалентны. Бели использовать в методе с ЧНП параметры **,
например, в порядке роста:
2к — 1
*к= со8~2^ л> А= 1,2, ...,и, D1),
или в обратном порядке, полагая
1к = — соз-т^- я, А = 1, 2, ...,и, D2)
то при достаточно малых | возможен авост вследствие
нарастания промежуточных значений ук при к < п. Это связано с немо-
35 А. А. Самарский

534 ГЛ- Х* МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
нотонным характером приближения ук к и из-за того, что
норма оператора перехода 8к = Е — ткА от (& — 1)-й к к-й итерации
при отрицательных % может быть больше единицы.
Поясним ситуацию на простом примере.
Пример. Требуется решить систему уравнений
V(x^-^) — 2и(х{) + V(x^+^) = 0, х{ = Ыг1 1^г^#—1, *
1;@) = 1, уA)=0, /г=1/#,
аппроксимирующих задачу и" = 0, 0 < х < 1, гг@) = 1, нA) = 0;
точное решение и(х) = 1 — х, г(х{) = 1 — х{.
В этом случае
Возьмем 19 уравнений Ш = 20) и положим е = 10.
Теоретическая оценка C3) дает л0(е)=63,2, так что п = 64, и параметры
т4, т2, ..., т» при п = 64 выбираем по формулам B9) и D1).
Результаты вычислений даны в таблице 3. В первой строке указан
Таблица 3
к
А*
к
Л*
53
| 0,12
54
1,5
59
3,7-107
55
27
60
2,6-10»
56
6,3-10*
61 .
2,5-1011 .
57
1,9-10*
.62
3,3-10»
58
7,2.10*
63
5-Ю15
номер итерации А, во второй строке — величина
Дл = 11Ул — Ук-х\с= тах \ук(х{) — ук-г{хх)\.
Итерационный процесс расходится, и при к = 64 наступает
аварийный останов машины.
Если брать параметры тА в обратном порядке, т. е.
определять 1к ддя B9) по формулам D2), то неустойчивость
итерационной схемы выражена более сильно и авост наступает при к =12
(см. таблицу 4).
Ошибки округления можно трактовать как возмущение
правой части уравнения A) на каждом шаге. Итерационная схема
A4) с параметрами B9), D1) или D2) неустойчива по правой
части. Причина неустойчивости в том, что норма оператора 5* =
= Е — %кА —- оператора перехода от (Л—1)-й итерации к
&-йитерации— при отрицательных 1к может быть больше единицы, так

§ 2. ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ 535
Таблица 4
к
д*
к
V
1
39,6
2
2,6-103
7
3,3.10й
3
1,6-10*
8
7-Ю12
4
8,2.10е
9
М-Ю1*
5
3,7-10*
10
1,7-10»
6
1,2.10™
11
1,9-1016
как
•1^1 = Р^^ при <><(),
|5к|>1, если р0A + 2|*А|)>1.
В то же время
1^*1= Р|'^/*)<1 при ^>0.
Установим эти формулы. Так как 5*=Я*, то] 5*| = зир \{8кххх) |.
Учитывая, что *цЕ ^ А < у2Е, найдем (т^| — 1)Ж хкА — Е ^
х
^(тА1[2 ~ 1ХЕ. Подставим сюда т* = 1 , ° и учтем, что т0^1 в
=1 — ро, ТоТB = 1 + ро. Тогда получим
Отсюда видно, что 115*11 «= тА^2 — 1 при 1к < 0, Н|$АП — 1 — т*^ при
*А > 0. Если *л < 0 и к>к0, где А0 — наименьшее число, для
которого 1к0 < 0, и выполняется условие р0 A + 2 | ^01) > 1, то
п .
|5*+11>|5а1>1. Поэтому П|^|>|Л01П °>1, и погреш-
ность округления, Появившаяся при определении уи0 будет
увеличиваться с ростом к от к0 до п.
Пусть I = А < 1, так что р0 = 1 - 2| + 0(^2), Ц =
. 2А 1
= соа -т!— я <0; тогда
35*

536 ГЛ- Х МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Предположим, что 1/^1 > 0,5, ^ < 0,01. Тоща
|5*1|='3A-6Б) + 0(Б8)>3.0,9 = 2,7, Д |^|> 2,7П~\ '
Формулы C0) п C1) фактически выражают устойчивость
схемы A4) с набором параметров B9) по начальным данным.
В случае реального вычислительного процесса, как показывают
приведенные выше примеры, необходимо исследовать
устойчивость итерационной схемы по правой части, а также
устойчивость по начальным данным при переходе от уь к ук для любого
к = 1, 2, ..., п. Как было показано в гл. VI, § 1, устойчивость
по правой части есть следствие равномерной устойчивости по
начальным данным, т. е. устойчивости при переходе от любого У)
к любому ук, где к > ; > 0.
7. Упорядочение итерационных параметров. Возникает
теоретическая проблема — упорядочить множество итерационных
параметров {хк} так, чтобы для.чебышевской схемы A4) с
соответствующей последовательностью параметров т4, т2, ..., т«
влияние ошибок округления было минимальным и в процессе
вычислений не возникало больших промежуточных значений,
зависящих от п.
Приведем решение этой задачи и укажем способ
упорядочения множества Мп параметров {т*}, при котором схема A4)
устойчива (т. е. пайдем «устойчивый набор»). Множество
2Яп = {-созрь рг = ~9п@, * = 1,2, ..., и}-
упорядочено, если построена последовательность целых нечетных
чисел
еп = {8пA), е„B), ..., еяи)>, 1^епш^2/1-1
при I = 1, 2, ..., п.
Параметры {хк} вычисляются по формуле
^ = Г+7^ <Ь=-сов[^М*)], *=1,2, ..., /г. D3)
Таким образом, достаточно упорядочить множество п нечетных
чисел 9П.
Алгоритм построения множества вп основан на поэтапных
переходах от множеств 8т к чмножествам 92т и от 82т к 82т+1.
При этом используются следующие формулы. Переход от 9Ш к
92т» возможен по одной из двух групп формул:
е2тB*--1)=ети), 92тB*) = 4т--92тBг-1), * = 1, 2, ..., т, D4)
или
92тB* -1) = 9тШ, 92тB« = 4т + 2 - 92тB* - 1), D5)
*=1, 2, ..., т.

§ 2. ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ 537
Переход от 02т к 02т+1 сводится к добавлению члена
62т+1Bтя + 1) = 2т + 1, так что
вгт+М) =*62ти), 1 = 1, 2, ..., 2т, ^
82т+1Bт + 1) = 2т + 1.
Если п есть степень 2: п = 2Р, р>0 —целое число, то для
определения 6П последовательно применяются формулы D4) при
т = 1, 2, ..., 2Р~1 и учитывается, что 04 = A).
Например, если п = 16 = 24, то строятся последовательно
множества
62 = A, 3), 64 = A, 7, 3, 5>, В8 = A„ 15, 7, 9, 3, 13, 5, 10,
01в-{1, 31, 15, 17, 7, 25, 9, 23, 3, 29, 13, 19, 5, 27, 11, 21}.
При переходе от 0т к 82т, согласно D4), после каждого члена
втШ ставится член 82|»B1) = 4т —8тШ.
Рассмотрим общий случай, когда п> 0 — любое целое число.
Представим его в виде
п=2*1 + 2Й2+...+2Ч
где *>0 — целое число, к{>0 — целые числа, &«>й«+1+1,
1 = 1, 2, ..., *—1, кг > 0. Образуем последовательность целых
нечетных чисел
и; = 2 2**"Ч /«1,2,...,*, пх=1, D7)
1=1
и положим щ+1 = 2/1+1, что формально соответствует значению
А:<+1 =» — 1. Из D7) видно, что
Возможны два случая:
1) г; = &; — /с;-|-1 ^ 2, так что гг^1 = 2Г> л; + 1;
2) г$ = #,- — А^+1 < 2, т. е. г$ = 1, /г,-+1 = 2^ + 1.
Алгоритм построения упорядоченного множества 0Я основан
на правилах перехода от 6Ц к вп^г- Пусть множество 6П^
известно. Найдем г*
1) Если ^>2, то по формулам D4) строим цепочку множеств
82п;-^822п.-> ...-*■ 8 г,- .> что соответствует значениям то = щ%
2щ, ..., 2Ч'гщ. Так как /г^+х = 2 ;п,-+ 1, то 8П;+1 находится,
согласно D6), при 2т = 2г'щ. ч
2) Если г, = 1, т. е. ^= (^+1 —1)/2, то, пользуясь D5),
определяем 82|^ и затем по формулам D6) находим 0^+1 = 02п;-и-
После этого переходим от 9п^1 к 6п,-+2 и т. д.

538 ГЛ- Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Вычисления начинаются с / = 1, при котором щ«=» 1 и
0п$ ^ 01 = И). Если й/==0, то п = пг — нечетное число, и
вычисления заканчиваются при / = I — 1 после применения формулы
D6). Если кг > 0, то п — четное число: • п = 2 %, гг*+1 = 2/г + 1.
Так как /с1+1 =*— 1, то г* > 2 и при переходе от 0Я< к 0Я
применяются формулы D4) для значений
т = щ, 2гг$, ..., 2 /г* = -=• д.
Отметим, что формулы D5) всегда используются только один
раз, после чего применяется формула D6), в то время как D4)
применяется 3 раз. Алгоритм описан полностью.
Пример 1. и=90, п = 2е + 24 + 23 + 2, т. е. А4 = 6, /с2 = 4,
Л3 = 3, /с4 = 1; л4 — 1, л2 = 5, л3 = И, га4=45; г4=2, г2=1, г3=2.
Теперь можно указать' цепочку последовательно вычисляемых
множеств, которая приводит к8п = 690:
01 "*" 02 "*" 04 "*" 05 ■"*" 010 "*" 011 "*" 022 "*" 044 "*" 045~*»в»
Здесь 02т (гп = 5) обозначает то множество, которое, в отличие
от остальных 02т, вычисляется по формулам D5). Переход от
каждого члена этой цепочки к последующему осуществляется,
как было, описано выше, по формулам D4), D5) или D6).
Пример 2. . гг = 25, /г = 24 + 23 + 2°; ^==4, &2 = 3, &з = 0;
П = 1, г2 = 3; П1 = 1, пг = 3, п* = 25.
Достаточно указать цепочку множеств
01 "*" вг "*" 03 "*" 0в "*" 012 "*" 024 "*" 025^
Таким образом, пользуясь указанным выше алгоритмом, мы
получаем упорядоченное множество п нулей полинома Чебышева
Тп{$ и соответствующим образом перенумерованный
(«устойчивый») набор параметров т4, т2, ..., тп, определяемых по
формуле D3). Условимся в дальнейшем полученное множество
обозначать
2Я; = {-со8(^е;@), * = 1,2, ...,«}.
Схема A4) с параметрами
т* = тл = Т° », аХ = —соз(Дв1(АI /с = 1,2, ..., щ
1 + р0ал \*п 1
обладает свойством вычислительной устойчивости. Можно
считать, что учет ошибок округления эквивалентен возмущению
входных данных, т. е. начального приближения, правой части

§ 2. ДВУХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ 539
и оператора А итерационной схемы A4). Тогда реальное
(вычисленное) решение ук задачи A4) можно рассматривать как
точное решение следующей задачи:
*** *>*
ук+1 -Уь + 2ук= 7А+1 + г^-йи-ь А = 0,1,2, ...,и,
ТМ-1 ТЛ+1
1
где слагаемое соА+1 учитывает погрешность, вносимую в у*.
ТЛ+1
Если пренебречь возмущением оператора Л, то
промежуточные решения ут ограничены по норме
. где ст = 1, если т Ф 2Р; ст = 0, если т — 2Р; и для погрешности
гп^ уп —и после л итераций верна оценка
{уп — и\^дп\уо — и\ + —^т&х\У1 — 1\ + -1д тах|и>||.
а 1<г<п о |/§1<|<п
На выводе этих оценок, выражающих вычислительную
устойчивость итерационного метода с чебышевским набором {т*}, мы
останавливаться не будем. В дальнейшем мы всегда будем
пользоваться только набором параметров {т*}, поэтому значок * у %ь
часто будем опускать и писать просто т*.
Приведем результаты расчета примера из п. 5 по явной
схеме A4) с упорядоченным набором параметров 1т&]« В. этом
Таб лица 5
к
д*
к
\
к
д*
1
39,6
25
0,8
4
4,7
26
0,1
57
1,5-10-* |
5
7,4
32
0,04
6
3,2
33'
0,3
58
7,2.10"*
8
1,1
34
0,14
9
6,7
10
3,2
48
1,5.10"»
59
6,5.10"*
16
0,2
49
.1,3-10
60
2,1.10"*
17
3,1
18
1,5
50
6,7.10-3
61
1,1.10"*
24
0,1.
56
2,2.10"*
62
8,7-10"»
*

540 ГЛ* Х* МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
случае ищется решение системы уравнении
у(д;<_1) — 2и{х{) + у(#,+1) = 0, х{ = Иг, г = 1, 2,. ..., Лт — 1, .
А = Шг у@) = 1, 17A) —'О.
Число уравнений ТУ — 1 = 19, е = 10", п = 64 =» 2е.
Строится-цепочка 0! -*- в2 -* 64 -* 68 -* б1в -*- Ваг -*■ Эв4 с использованием формул
D4).
Результаты вычислений с начальным приближением у0@) =
= 1, Уо(х{) = 0, ь>0, даны в таблице 5.
Из этой таблицы виден немонотонный характер сходимости
итераций. При переходе от итерации номера к = 4/ к итерации
номера к + 1 = 4/ + 1 погрешность А* = Цк — Уд-^с возрастает,
а затем, при переходе к к = 4/ + 2, 4/ + 3, 4/ + 4, величина Д*
падает.
§ 3. Попеременно-треугольный метод
1. Метод Зейделя. Неявные схемы, как было показано в гл. VI,
более устойчивы по сравнению с явными. Простейшей неявной
итерационной схемой является метод Зейделя. Рассмотрим
систему линейных алгебраических уравнеций
или
N
2 ацщ = 1и I = 1, 2, ..., N.
Предполагая, что, диагональные элементы матрицы А = (а«)
отличны от нуля, а,цФ0, напишем следующий итерационный
метод (метод Зейделя):
I &+1 ^ к
2 ац у{ + 2 <ЩУ1 = !и ацф0, B)
;=1 ;'=и+1
к
где ^—итерация номера к. Определение (&+1)-и итерации
начинаем с 1= 1:
Л+1 ^ А
«и Ух + 2 (ЪЯН = /и яи^0.
*=2
Отсюда найдем ух. Для г — 2 пмеем
Л+1 *+1 * Л~
«21 У\ + «22 У2 + 2л «2#; = /г» «22=И= 0.
А+1 Л+1
Так как значение */х уже известно и а22 ^ 0, то находим уг
и т. д.

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 541
Представим матрицу А в виде суммы
Л-Л- + Л+ + Д C)
где А" = (я1})» а7) = ац при / < *> «5 = 0 при / ^ I, — нижняя
треугольная матрица с нулями на главной диагонали, 4 =(<н0,
яЙ = ву« /> ^ я$ = 0 при / < *\— верхняя треугольная матрица
с нулями на главной диагонали, Х) = (а<АД бу553! при 7 = г,
6ц — 0 при / # 2,— диагональная матрица.
•Пользуясь этими обозначениями, запишем метод Зейделя
в виде
А+1 к
(Л~ + В) у + 4+у = /, у = (у1? у2, ..., уя). D)
Приведем эту двухслойную схему, к каноническому виду
(А+1 А \ к
у -у) + (А- + 0 + А+)у = !,
ИЛИ
(А+1 к \ к
у -у)+Ау = 1. E)
Сравнив ее с канонической формой
*+1_* к о
В ~ - + Ау = /, /с = 0,1, ...,п — 1, задано любое уеЯ, F)
ТА+1
находим В=А~ + Д т**8*!. Схема неявная, матрица 2?—
треугольная и, следовательно, несимметричная (оператор ВФВ* —
несамосопряженный).
Для модельной задачи (см. § 2, C7H
Лу = — ф, х <= сол, у \Ун = О
метод Зейделя имеет вид
А+1 А+1 А+1 А А
УАг-1 + У*2-1 - 4 у + ^+1 + У12+1 = ~ Й2ф,,
так что
А+1 А+1 А А
Вычисления начинаются с узла ц = 1, г2 = 1. Так как узлы
А+1
(О, 1) и A, 0) Лежат на границе, то значения У{х-1 и
А+1 А+1
Уц-х известны и вся правая часть в G) известна. Значение у
найдено в узле ^«1, *2=*1. Полагая затем и = 2, 3, ... при ^ =» 1,

542 ГЛ- Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
А+1
находим у на цпжней строке, после чего переходим к строкам
и — 2, 3, ... В результате у определяется во всех узлах сетки.
В силу основной теоремы 2 из § 1, п. 2 метод Зейделя
сходится, если А — самосопряженный (матрица А = (а^)
симметрична) положительный оператор. В самом деле, воспользуемся
для схемы Зейделя достаточным условием (И) сходимости
итераций схемы Cх) с несамосопряженным оператором 5, которое
запишем в виде
В0-±А>0. (8)
Учитывая, что для схемы Зейделя В = А~ + Д т = 1, находим
До = у КЛ~ + °) + ( Л" + Л )*1 = т(Л~ + Л+ + 2°)> - так как
А+ = (А~)*, И* =р > 0 в силу А =А* > 0; получаем
т. е. метод Зейделя сходится со скоростью геометрической
прогрессии.
2. Метод верхней релаксации. Чтобы ускорить итерационный
процесс, видоизменяют метод Зейделя, вводя в E)
итерационный параметр со так, что
/ л \ М-1 к к
(л-+^я)(у-у)+4/ = А (9)
Этот метод называют методом релаксации. Метод Зейделя
соответствует значению о = 1. Если параметр о > 1, то
итерационный процесс (9) называют методом верхней релаксации.
Сравнивая (9) с F), видим, что
В = А- + ±И, т*=1,
ИЛИ
В = (оА~ + ДтА = о.
Оператор В — несамосопряженный. Алгоритм вычисления у
также сводится к обращению нижней треугольной матрицы.
.Если метод Зейделя применим всегда для А =Л*>0, то для
сходимости метода релаксации нужно дополнительно
потребовать, чтобы 0 < о < 2.
Покажем это. Найдем сначала В0 и воспользуемся (8). В
данное случае В = соА~ + Д т = ю и В0 = 1/2((оэЛ~ + Б) +
+ ((оА+ ■+ 2») = 72(о)Л + B -.о)/)). Отсюда видно, что В0 > О
при 0 < со < 2, а условие (8) выполнено при со < 2:
50~|Л = 5<)~^Л=^=^-)/)>0 при со<2.

§ 9. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 543
Скорость сходимости зависит от параметра о. Существуют
теоретические оценки для о и скорости сходимости, однако их
применение требует? знания границ спектра О'ЧА" + А+),
который не всегда легко найти. Поэтому на практике параметр о
подбирают так, чтобы минимизировать число итераций. Это
особенно удобно, если решается класс однотипных задач.
Для модельной задачи можно показать, что метод верхней
релаксации оказывается весьма эффективным и сравним по
числу итераций с явным чебышевскиад методом, так что
, п> п0 (е), п0 (г) = О (± 1п 1).
3. Неявные итерационные схемы. В § 2 мы исследовали
сходимость явных итерационных сх,ем.
Ук+1~~Ук + Аук = /, задано любое у0 <= Я, A0)
где итерация ук^ непосредственно вычислялась по формуле
- Ук+1=3Ук-Чк+Мук-{).
Методы Зейделя и верхней релаксации являются примерами
неявных схем F), для которых ВФЕ. При использовании
неявного метода для определений новой итерации ук+{ надо решить
уравнение
Вук+1 = Рк, Рк = Вук - хк+1(АУк - /) (И)
с известной правой частью Рк. В случае метода Зейделя В =
= А -+/) — треугольная матрица, для метода верхней релакса-
ции В = А -] Б — тоже треугольная матрица. Поэтому
определение ук+1 требует минимального числа действий, а для
модельной задачи —число действий, затрачиваемых для
определения ук+и пропорционально числу узлов сетки.
В § 2 были сформулированы требования, которыми надо
руководствоваться при выборе оператора В:
1) минимум числа итераций;
2) экономичность оператора В; для разностных
эллиптических уравнений второго порядка это значит, что решение
уравнения Вук+1 = Рк при заданной правой части Рк должно быть
найдено с затратой числа действий, пропорционального числу
узлов сетки.
Основной результат § 2 — оптимальный выбор параметров
{хк} — может быть перенесен на неявные схемы с В ФЕ\
дУ»+1-У» +Аук = 1, & = 0,192 п —1,
ТА+1
задацо любое у0 е Я. F)

544 гл* х- методы решения сеточных уравнений
Будем предполагать, что
Я = Я*>0, Л=Л*>0, ^ЖЛ^Я, Т1>0. A2)
Эти условия определяют исходное семейство итерационных
методов F). Так как для методов Зейделя и верхней релаксации
ВФВ* — несамосопряженный оператор, то они. не принадлежат
исходному семейству F), A2).
Для поправки шк = В'1 (А ул —/) имеем однородное уравнение
(см. § 2)
В^-Ч+Аиь^О, * = 0,1,2,...,и-1,
и>о = В (Ау0-/)еЯ задано. A3)
Эта схема эквивалентна явной схеме
*»+1 —*» + Схк--=0, & = 0, 1, 2, ...,« — 1,. х0.е=# задано, A4)
где хл - Я'''и;л, С - В-'"АВ-\
В самом деле, так как В — самосопряженный
положительный оператор, 5 = В* > О, то существует оператор 2?'/а — корень
из оператора В, причем (Б,/')*=2?,/а>0. Действуя на уравнение
A3) оператором В'4* и заменяя юк = В-Чгхк, получаем A4).
Обратный ход рассуждений очевиден.
Лемма 1. Пусть даны операторы
4=Л*>0, Я = Д*>0, С~В-*АВ-\
Тогда операторные неравенства
^В<А<^гВ, Т1>0, ^<G<Т>Е A5)
эквивалентны.
Доказательство. Рассмотрим функционал
7 = ((А - чВ)у% у) - (Ау, у) - тгСВу, у) -
- ив'Чв^у), в-чв'Ьу]) - тсв*У| я*У) =
- (Сх, х) - «у(я, *) - ((С - ^)дг, х\
где х = Д'Ау. Так как у (и, следовательно, х) — произвольный
вектор из Я, то из равецства
/ - (и - тД>», у) = {(С - т#)х, х) A6)
следует, что операторы А — уВ и С—^Е имеют одинаковые
знаки. Пусть, например, А — 41ВХ). Полагая в A6) ^ = *у4,
получаем /= ((С — ^Е)х, х)>0, т. е. О^Е и т. д. Лемма доказана.
Итог этих рассуждений таков: применение неявной схемы F)
для решения уравнения Ли = / эквивалентно решению уравнения

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД
545
Су = <р по явной схеме:
хк+1\
- + Схк = ф, /с = 0, 1, 2, ..., гс, задано любое х0 е Я,
A7)
если С = В~1,гАВ'ч\ ф = Б~У7, Поэтому мы можем перенести на
случай неявной схемы все результаты, полученные в § 2 для
неявной схемы. Справедлива
Теорема 2. Пусть выполнены условия A2). Тогда
существует оптимальный набор параметров {гк), определяемых по
формулам B7)—B9) из § 2, для решения задачи F); причем
справедлива оценка
ИЛ»я-/Ив-1 <д.И^в-/11в-*, A8)
где
Теорема 2 была доказана в § 2 для явной схемы с В = Е.
Сведем F) к явной схеме A7). Поскольку для этой схемы
справедливы, в силу леммы 1, операторные неравенства ^ЖС^
^ Ч2Е, то из оценки C1) § 2 следует
\\Схп - фН < дж11С*в - фЧ. B0)
Вспомним, что ф = В",/7, В-ч*хп = уПу С = В"ЪАВ'Ч\ и проведем
преобразование
\\Схп — ф||2 = (Схп — ф, Схп — ф) =
= (В-1<> (ЛИ-1''* - /), В-1'* (АР-*''* - /)) = *
= (В-1 (Ауп -1),Ауп-1) = \ Ауп - / й_х.
Подставляя Ыуп — /Ив—1 B0) вместо \\Схп — фИ, получаем
неравенство A8). Теорема доказана.
При вычислении параметров (тм} следует воспользоваться
построенным в § 2 упорядоченным множеством 5ГОп нулей
полинома Чебышева тг-го порядка. Нумерация параметров
т4, ..., тп не зависит от вида уравнения Лц=/ и от оператора
В схемы из исходного семейства и является универсальной.
4. Попеременно-треугольный метод. Перейдем теперь к
вопросу о выборе оператора В. Если оператор В есть произведение
конечного числа экономичных операторов, то он также
экономичен. Так, например, экономичным является оператор 5 = 2?12?2,
равный произведению «треугольных», т. е. имеющих
треугольные матрицы, операторов В1 и В2.
Рассмотрим оператор Д = Д* > 0 и представим его в виде
суммы треугольных операторов В± и В2:
Вг + П%=В, Д = Д*>0, #Г = #2. B1)

546 гл- х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Оператору Л соответствует матрица 52 = (гу); она симметрична,
т. е. Гц = гц. Соответствующие операторам Н1 и В2 матрицы 5&
и 522, очевидно, равны
ф _Гг-ч г-_(г« ПРИ'<*«
-*1-1р«;« ,га-\о при/>1, . . лг
1гу цри ; > I,
Отсюда и из условрят^ = г# видно, что Ял = #2-
Оператор В схемы F) представим в виде произведения
треугольных операторов
В = {Е + (йВ1ПЕ + <оВ2), B2)
где сэ > 0 — параметр. Покажем, что В — самосопряжейный
и положительный оператор: #=2?*>0, т\ е. схема F) с
оператором B2) принадлежит исходному семейсхру схем A2). .
В самом деле, операторы
-В^Е + аВи В2 = Е + <йВ2
являются сопряженными и положительными:
Я* = (Е + (оВг)* = Е + оЛ2 = В2, Вг>Еу В2>Е при со>О,
так как Л4 > О, В2 > 0:
(Лу, у) = (Л4у, у) + (В2у, у) -'2(В1У, у) - 2(Д2у, у) > 0. .
Поэтому (Ву, V) = (ВгВ2у, и) = (у, #^В*1;) = (у, ВгВ^ т. е.
В = В*\ далее, имеем
(Ву, у) - (ВАу, у) = (Я2у, ВД = 1ВД12 > 0.'
Из уравнения
(Е + <оВг) (Е + <оД2) Ук+*~Ук +Аук = и ^ = 0,1, 2г..., п%
задано любое у0 е Я, B3)
видно, что для определения ук+1 надо решать уравнение
(Е + ©АНЯ.+ <оД2I/л+1 = *\,
где Рк = Вул - хк+1(Аук - /).
Это сводится к последовательному решению двух уравнений
(Д + оад-Яь № + оД2)ул+1=у B4)
с нижней и верхней треугольными матрицами. Отсюда и следует
название метода B3} с оператором B2):
попеременно-треугольный метод (ПТМ).~ ~

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 547
Что можно ожидать от этого метода? Чтобы воспользоваться
теоремой 1, надо получить параметры ^ и ^2.
Лемма 2. Пусть заданы оператор В = В1-\- В2, В2 = Вг и
оператор В, определенный по формуле B2), и выполнены
условия
В = В*, В^ЬЕ, 6>0, . B5)
ВД^Ад, д>о. B6)
Тогда справедлива оценка
71Я<Д<72#, B7)
еде
О А о А
^аи! .дд' Ъ=^- B8)
1 + ©6 + -4- ю 6Д
Отношение | = ^— имеет наибольшее значение при
У2 (©)
Убд
при этом _
с 2/т1 . б ° б б .олч
&=7Ттлг' ч = т» ^-2(Г+у^' 72 = 1уГ C0)
B9)
Доказательство. Неравенства B5) п B6) означают,что
4
(Яу9 у) > б (у, у), (ВхВ2у, у) = (В2у, В*1У) = 1 В2у ||2 < Д <Л^ »)•
Отсюда нетрудно показать, что б < Л, ц ^ 1.
Запишем оператор B2) в виде
В = Е + о)^ + В2) + а)ВД2 = Е + а>Я + ю2/?^. C1)
Учитывая, что В>ЬЕ или 2?^-^-/?, получаем для В оценку
сверху:
VI
т. е. К^у^В. Преобразуем теперь формулу C1):
В = Е - со(Д, + Д2) + ©ад, + 2@G?» + Д2) -
- № - юД.)(Я - <аД2) + 2иД.

548 гл> х- методы решения сеточных уравнений
Отсюда следует, что ,
(&у, у) = ((Е - шЛ^ (Е - о)Я2) у, у) +' 2*'{Ну, у) =
=((# - соВ2) у, (Е - <*В2)у) + 2о) (Ну, у) =
= 1 (Е - с)/?2) 1/1|2 + 2а) (Й1/, у) > 2со (Ду, у) = ± (Ну, у),
Уг
т. е. Шу, уХъМу, У)-
• VI 2ш6
Рассмотрим теперь отношение | (со) = з- = ё?6Л~ и
Т2 1 + ©б + -1^—
найдем его максимум. Вычислим производную:
4 _ 0д 1-У6А/4 '
, ^0 А Л •
* A + 0,6 + 4^)
О
. Отсюда видно, что максимум ^(ю) достигается при о = о>0 =
2 о —
= ,—г так как Ъ" (о) < 0 пРи о = о>0. Подставляя о0 = 2Ут]/б
в B8), получаем формулы C0).
Теорема 2. Пусть даны операторы Л=4*>0, Я=*Я*>0
и выполнены условия леммы 2, а также неравенства
с,П<,А^сгП, с1>0. C2)
Тогда для ПТМ B3) с чебыщевским набором параметров
где
71 = ^7!, 72 = с27г, Т1 = Т77ТЧ7=л» ?• =
2A+Уч)' Г2 4Ул'
справедлива оценка A8), и для выполнения неравенства .
КАуп-^^^гМу^/И^
достаточно п итераций, где
° ° V с1 ълг$П\
C4)
Доказательство. Чтобы воспользоваться предыдущей
теоремой, надо найти коэффициенты у4 и *\% в операторных
неравенствах ч^Я < Л < 12^.

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 549
Из B7) и C2) следует, что
о о
А>сД>с^В^^В, т. е. ^1 = ^71»
о о
Л < с2В < с2ъВ « Ъв, т. е. ь = с2у2.
Параметр обусловленности при о = о0 равен
Е - у1 - сг 8 - ег 2Ул
Vа *2б с2 1+у^-
Теперь применим теорему 2 и воспользуемся результатами § 2.
Условие </п < е, как было показано в § 2, выполнено при
п ^ 1п —/B У\). Подставляя сюда выражение для ^=^1/^2 и
учитывая, что Б<-~2 у ц, получаем достаточное условие C4). Оно
удобно для проверки. В частном случае
Л = Л = Л1 + Л11 В\ = Ви ^ = ^=1,
для числа итераций имеем оценку
^ / ч , ч 1пB/е)
2у2/г\
5. ПТМ для разностной задачи Дирихле. Проиллюстрируем
ПТМ на примере разностной задачи Дирихле для уравнения
Пуассона в прямоугольнике G = {0^а:а^ /а, а=1, 2):
^^Уйл + Ягл^ "-/(*)» *е(°л* у к = »*(*) C5)
на сетке
Юл «= {*< в («1*1, /2Й2), ?а = 0, 1,2, >*., 7Уа, ТУаЙа^/а, ОС = 1, 2} =
= Юл II ^л,
где ^л — граница сетки. В этом случае
Ау = — Ау% уеЯ = Й,
В = Л, Д^ с= у-^х + у-2^2, #2у = - Ух^Нг - Ух2/А2.
Вместо C5) получаем
где ф отличаотся ог / только в приграничных узлах.

550 ГЛ. X. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Вычислим коэффициенты 6 и А:
Т. в,
Л=^+-|- <37)
При этом мы учли, что {ахЬх + а2Ь2J < {а\ + а$) (Ь\ + Ь1) и
<%. */) =(^*х^ ^х]х"+- (^2- ^,]а^й^хй2 + ЦУ-^Г- г*> <*."К =
= 2 2 ^1^1,^2, аналогично определяется («, у]2.
Зная б и А, находим т], ^ ^ и 5 после чего оцениваем
число итераций.
Сравнение методов мы проводим для модельной задачи C5)
на квадратной сетко й4 в йа =» А в квадратной области 6?(/4 «
в /2 ■■ 1). В этом случае
я—««'т. 5-т^Г*21^в2я1,|тг
При малых -в- <С 1 имеем
л0 (е) я* ^ 1п | = Щ при е = 2<Г10 «1<Г\
Сравним ПТМ по числу итераций п0(г) со схемой простой
итерации (СПИ) и явной чебышевской схемой (ЧИП):
СПИ ЧНП ПТМ
Н = 1/10 200 32 9
Н в 1/50 5 000 160 21
Н = 1/100 20 000 20 29
Остановимся на описании алгоритма вычисления (&+1)-й
итерации из уравнения
А+1 Л+1 к
В у = (Е + со0Ях) (Е + ш0Я2) у = Р, C8)

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 5ГI
Ь+1 к к к к
где у = у = 0 на границе «у*» а V = у при а: е соЛ| у =» ц при
Решением задачи C8) является функция VI определенная на
сод + уд: V = у на ©л, р = ц на ул. Чтобы найти ум
последовательно решаем задачи
- к Л+1
(# + 0)^I/ = ^ (Е + с»0П2)у =у, *€=соА, C9)
где
У-У^-г
= ("^ + ^] ^ ~ ("и; "^ + ^»,«-1)'
D0)
П*У
- =и+^)^(^^ь1+^+1)*D1)
Здесь заданыу = у (*хЛ1э *2А2), у,1±1 = у ((гх ± 1) Нг, 1^% у1%±1 =
-У(«Л» (*2±1)А2).
Оператор 2?Н-.а>оД1 определен па трехточечном шаблоне (^А,,
*2А2), ((^1 — 1)^1, *2Аа), (*Л, О'а—1)А2), а оператор # + ю0/?а —
на трехточечном шаблоне и4А1э чН*), (и1 + 1)Л!| 22А2), (^А,,
A2 + 1)А2). Подставляя выражения для Д^ и В2у в C9), полу-
чаем для определения значений у и у в центре шаблона
(*1&1, *2А2) рекуррентные формулы
к
У= \+»1+\ ' Игл = 0, D2)
А+1 М-1
У- 1-Ьн1 + х2 > УЬь**0* . <43>
хх = а>0/Аь х2 = оH/А2.
Чтобы определить у на сетке соЛ, выбираем левый нижний
угол области и берем приграничный узел 1г = 1, /2 ™ 1 так, что
другие два узла ((*—Ш1§ 12Л2)_н B^, и2-1)А2) лежат на
границе и, следовательно, у^-1 и 1/12-1 известны. По формуле D2)
определяем значение у и дальше движемся либо по строкам,
либо по столбцам.

552 ГЛ- Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЯ
Счет по строкам ведется слева направо: фиксируем 1% = 1
и меняем и = 2, 3, ..., Л^ — 1, затем полагаем г2 = 2 и
последовательно берем и =» 1, 2, »♦., М — 1 и т. д. Счет по столбцам
А+1 А+1 А+1
ведется снизу вверх. Значение у выражается через Угх+1 и у,-2+ц
поэтому счет надо начинать с правого верхнего угла, полагая
гх = ЛГ2 — 1, г2 = -/У2 — 1. Тогда соседние узлы шаблона лежат на
А+1 А+1
границе и у^+ц ]/*2+1 известны. Дальнейший счет ведется либо
по строкам (справа палево), либо по столбцам (сверху вниз).
Все вычисления ведутся по рекуррентным формулам; счет,
очевидно, устойчив. Такой алгоритм счета обычно пазывают
алгоритмом бегущего счета.
А+1 А
Для вычисления у при заданном Р требуется 4 операции
сложения и 6 операций умножения (коэффициенты на ка и
1 А
1_1_х +к постоянны) на один узел сетки. Для определения Р
надо затратить 10 операций сложения и 10 операций умноже-
А+1 А
иия, итого требуется для вычислеппя у по задапному у 14
операций сложения и 16 операций умножения.
Можно уменьшить эти числа, если хранить не одну последо-
к
вательность у, а две последовательности. Для этого
воспользуемся алгоритмом
— — А+1 _ А+1
(Е + хо0Нх) и>=Фк1 т |?л = 0, (Е + <о0Д2) и> = и>г ю\ уп = 0, D4)
А+-1 к А+1
У = У + *к+1Щ
к к А+1
гдеФл=Лу + /, у 1^= И-Для определения у в этом случае
требуется 10 операций сложения и 10 операций умножения на один
узел, однако при переходе от Л-й к (Л + 1)-й итерации надо пом-
А А+1
нить не только у (М^, ^г)» по и ю (*Уги 1Уг2)«
6. Схема повышенного порядка точности в прямоугольнике.
В гл. IV, § 5 для задачи Дирихле
Ди = -/Ы, же С; ц = р,Ы, #е=Г, D5)
была получена схема четвертого порядка точности
Л'у^-фЫ, Я€=@Л; у = р(х), же|Л) D6)
где
ь2 I ъ2
А'у = Ау + \г 2 ЛхЛ^, Л = Л! + Л2, Аау = у^^ а = 1,2,
Нг А2

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 553
о
Пусть Н = Й — пространство сеточйых функций, заданных
на ©л и равных нулю на т*. Введем операторы Ау = — А'у,^у «
=■ — Ау для любого у^Н и вместо D6) получим 4у = <р, где
<р#<р только в приграничных узлах. Воспользуемся оценками
для А из гл. IV:
-^ Л ^ А ^ Я, т. е. с1 = -^, с2 = 1.
Оператор В представим в виде^уммы В1 ий2:
В^В^ + В» Вгу=^ + ^, Въу---^--^.
2 « о
Величины б, А, ©0 те же, что и а п. 5, VI = "§" ^ ?*= ?*' где
о о
■^ и ^2 даны в п. 4:
Т17*A+Уп)' Т*~4У*Г
Остается найти итерационные параметры {т* Ь используя ^
и 1B. Формулы D2) и D3) остаются в силе, меняется лишь Р:
^ = Аз8) + Ф, Ф^-Ч+г^^АЛгУг D7)
к
где/^(зв) — выражение, определяемое по формуле C8). Число
итераций, очевидно, равно
и>п0(е), п0{г)=У^п1(г)ш
где п0 (г) — число итераций в случае задачи Дирихле для
уравнения Пуассона C5). Таким образом, для схемы повышенного шь
рядка число итераций по ПТМ увеличивается в У 1,5» 1,22 раза
по сравнению со схемой второго порядка точности.
Для двумерного случая более экономичным является
итерационный метод переменных направлений (см. § 4, п. 2) или даже
прямой метод декомпозиции (см. § 1, п. 2).
Однако для многомерной задачи Дирихле 0(\Н\к) наиболее
экономичным является ПТМ. В этом случае оператор Л' строится так
(см. § 5 гл. IV):
А9у = 2 Л« Й (Е + хрЛр), хр = ^, АаУ = у-аХа. D8)
36 а. А. Самарский

554 гл- х- МЕТОДЫ РЕП1ЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Тогда справедливы операторные неравенства
(|)'Л<Л<Л1 D9)
где
Ау = — А'уг Пу = — Ау = — 2 ЛоУ, -»бЯ,
Р-1
/ 3 \ 2
где п0(е)—число итераций для решения уравнения Ду^Д оно
практически не зависит от числа измерений р.
7. Разностные схемы для эллиптических уравнений общего
вида. Чтобы применить ПТМ для решения операторного
уравнения первого рода, надо найти оператор Д, построить треугольные
операторы Е\ и Д2, вычислить постоянные эквивалентности с4 и с2,
а также 6 и Л. После этого можно пользоваться общей теорией из
п. 4, в частности, теоремой 2, найти п = п{г) и построить набор
параметров {т*}. В качестве оператора В в случае разностных
эллиптических операторов А можно выбирать, как мы видели в п. 5,
разностный оператор Лапласа.
Рассмотрим несколько примеров более сложных, разностных
эллиптических задач. Всюду будем предполагать, что область 2гв
«{0 < ха < /о, а — 1, 2, ♦. м р) — р-мерный параллелепипед (при
р = 2 — прямоугольник) с границей Г, на которой задано краевое
условие первого рода
Требуется найти решение задачи Дирихле
Ьи=> — /Ы, я^С, и1г==|1Ы, E0)
непрерывное в 2г. Здесь I* — эллиптический оператор второго
порядка.
В области и вводится сетка
<0л = {XI = (^1^1, 12к2, . . ., 1рЪ>р) <^ С?, 1а — 0, 1,2,.. ., #сс,
М^« =» /а, а = 1, 2, . . ., р)
с границей ^Л) так что ю* = юл У ^л. Как обычно, вводим простран-
о —
ство # = Й сеточных функций, заданных на юл и равных нулю
на *[н.'.Пусть
О/, V) = щ%у(x)V (х) Н^ ...кр
— скалярное произведение в Я.

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД
555
а) Уравнение эллиптического типа со смешанными
производными. В этом случае
р
Ьи = У Ь°*и> Ьа*и = 4т (к°* № 17" \ E1)
а, р=1 * ^ Р'
*1 2 & < 2 *аР <*) *«*» < С2 2 & E2)
а=*1 а, 0=1 а=1
где % = (§!, |2, ..., Ы — произвольный вектор, с4 > 0, с2 > О —
постоянные.
Построим на сол разностные операторы (см. гл. IV, § 4)
АУ = ХК>У' ^"^^+^4 <53)
и ставим задаче E0) в соответствие разностную задачу Дирихле
Лу = — ф(я), яесйл, у = р,(я), же^, E4)
о
Введем операторы Л и В в про1странстве # = й:
где Л — разностный Bр + 1)-точечный оператор Лапласа, и
вместо E4) запишем Ау = ф, где ф Ф ф только в приграничных узлах.
В гл. IV, § 4 было показано, что
^Л^Л^СаД, E5)
где си с2 — постоянные, вводящие в условие эллиптичности E2).
Чтобы применить ПТМ, надо построить Д4 и Д2. По аналогии
с п. 5 полагаем
о=1 а а=1 а
Теперь надо найти постоянные б и А. Так как б — наименьшее
собственное значение, то
а=*1 а а
Постоянная Д равна ^ — г так как
<х=1 &а
1ЗД2 =
86*
*=1 а | а=1 "а а=1 а=1 пос

556 гл- Х; МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Зная б, Д, С| и с2, вычисляем ©, л(е), {тл К после чего применяем
ПТМ. Число итераций
1^-
пропорционально
В случае кубической сетки (Й1 "■ кг =...я Лр — А) в р-мерном
кубе (/1«-Ь«...««1,«) имеем
• о ЯЛ „
и величина т) = 81п т"| а значит, и число итерации не зависят
от числа измерений.
*+1
Для определения у решаем уравнения
— — Л Л+1 Л+1
В1У = (Е + <йПду = Р, Вау = (Е + аЯДу=~у% E7)
к к / Л \ к ' / Л \
Р = Ву- тл+1 [Ау -у) = Ву + тл+1 [Аи + ср). E8)
Л+1 Л+1 Л
Решением задачи E7) является у = у при х ^ сол и у = и при
Л+1 Л+1
х е ^ так что V — # = г/ — у. Напишем выражения для Вх и Ва:
^ = У + соД1У= Г1 + со2 ^|У-со2 -Уф-г«\ E9)
\ а=1 Ла/ а=»1 Ла
2?^ = „ + @^ = 11 + 02 тт)»-»2 Та^- <60>
\ а=1 ла / а—1 ла
Вычисления начинаются с узла и — 1, Ь = 1, ..., гр в 1
параллелепипеда, для которого все соседние узлы х(~1а) е*ул являются
граничными, и значения у(~1(Х) = |х в них известны. Поэтому
определяем у в этом узле. После этого фиксируем г2 = 1, ..., 1р в 1 и
меняем ^ =» 2, ..., #4 — 1, затем полагаем г2 = 2, проводим
вычисления для 1г = 1, 2, ..., N1 — 1 и т. д. В результате находим
»--(-1^+')A+*Г
Л+1
во всех узлах х ^ ©л. Чтобы найти у на ©л, выбираем в
качестве исходного узел с номерами 1а = ^ — 1, а = 1, 2, ..., р, и

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 557
пользуемся формулой
б) Система эллиптических уравнений. Пусть и = (и1, и2, ...
...гит°) — вектор, к = (&$!)— клеточная матрица рХр с
клетками /До X то, так что &ар = (&ар) — матрица размерности т* X
Хт0. Рассмотрим задачу Дирихле для системы уравнений в
параллелепипеде О:
Ьи = — Д х*= 0% и6 = ц8, х е= Г, 5 = 1, 2, ...,т0,, F1)
где
а, р=1тп=1 а \ Р /
Условие эллиптичности имеет вид
р' т0 р т0 р т0
с, 2 2(&J< 2 2 а(^»<^2 2(Й)г, F3)
а=1 «=1 а, 0=1 «,тп=1. сс=1 «=1
где |а = (й,|а, ..., 5а°), а =1, 2, ..., р,—произвольные век-
торы, Сх > 0, с2 >0 — постоянные. Строим разностный оператор
V.-' 2 2 лу, . F4)
где
А*"-т[(«*^,.+(«а%Ц- . <в5)
и рассматриваем разностную задачу Дирихле
Лу* = -<рв,. *есол, у* = |х*, «6^, F6)
о
Вводим пространство Н = й сеточных функций со скалярным
произведением
то
(Ух V) = 2 (/, А {/, V') = 2 У' (X) V* (X) НгН2 ...Нр,
у8^Н, уаеЯ, 5 = 1,2,..., т0.
В пространстве Я рассматриваем оператор Лу* = — Лув и регуля-
ризатор Ду* = —Лу* = — 2 У- , где Л— Bр + 1)-точечный раз-
ностный оператор Лапласа.

558 ГЛ- х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пользуясь разностной формулой Грина и условием F3),
получаем операторные неравенства C2). Так как оператор В тот же,
что и для задачи E3), E4), то б, Д и, следовательно, со известны
и оператор В определен. Алгоритм определения (&+1)-й итера-
А+1
рии для каждой из компонент у* тот же, что и для примера а).
4
в) Система уравнений теории упругости. Рассмотрим систему
уравнений стационарной теории упругости (уравнений Ламэ)
/д1 = ^Ди + (А, + \х) §гай (Ну и = — 1Ы, F7)
где и = (и1, и2, ..., ир), ^ = (Л, /2, ..., /Р) — векторы, X > 0, [г >
> О — постоянные Ламэ. Напишем эту систему в виде
Л^ + Ь + йЪ-В^---*'' « = 1.2,...,,Р. F8)
Сравнивая с F2), видим, что
ЛЯ» = |*М«>» + (X + |1) бав63ш, F9)
где 6<, — символ Кронекера F# = 0, если г Ф /, б« = 1).
В гл. IX, § 2 было показано, что для системы уравнений
F8) постоянные с1 и с2, входящие в неравенства F3), равны
^1в|х, с2 = Х + 2[х.
Получаем следующую разностную задачу Дирихле для F8):
А'у8 - -Д х.е соЛ, у8 - р,«, же ^ 5 =- 1, 2, ..., Л G0)
где
АV = И 2 Лс#' + (X + ц) 2 Л^Д
ЛаУ = ^аха, Ар* = у (У^х$ + У^-$).
Остается определить оператор А у9 = — А'у* для любого у8^П
и регуляризатор ##8= — 2 Ла*Л т. е. /? — тот же оператор, что
и выше.
Пользуясь разностной формулой Грина, убеждаемся в том,
что имеют место неравенства схВ < А < с2В, где с{ = щ с2 = X + 2ц,.
Здесь дальнейшие рассуждения совпадают с теми, которые
проводились для предыдущих примеров.
Таким образом, применение ПТМ требует числа итераций,
пропорционального у ——- = 1/ 2 Н :
г г*
"о(е)=1/^^«о*(е), G1)

*" . § 3, ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 559
где п о (г) — число итераций для решения разностного уравнения
Лапласа.
8. ПТМ для решения сеточных, эллиптических уравнений в
произвольной области. При решении эллиптических уравнений
разностным методом в произвольной области даже при
использовании постоянного шага по каждому направлению в приграничной
зоне получается неравномерная сетка. Кроме того, на практике
часто используются неравномерные сетки.
Между тем оказывается, что границы спектра разностного
оператора на неравномерной сетке могут сильно меняться, и это
приводит к ухудшению сходимости рассмотренных выше
итерационных методов.
Поясним ситуацию на простом примере. Для уравнения и" =■
= — /Ы, 0<#<1, и@) = иA) =0, построим трехточечную
разностную схему
Лу = -/(*), я е0/1, #@) = 0,- 2/A) = 0. G2)
Возьмем сетку юл из двух внутренних узлов:
Сил = {х% = 0, Х{ = Ни Х2=*к1 + к, Хг = 1), "
так~что
так как ув = у3 = 0 (считаем, что Н\ < к и 2А + Ы = 1).
Найдем собственные значения' оператора Л: Ау + Ху = 0, или
Исключая отсюда у2, получим для р, = М2 квадратное уравнение
^2-A + 30{Г+2 + ^ = 0, * = й4/й, G3)
и найдем его корни
1+3* ± /A+302-4гB-Го / %,2)
И-A, 2) = 21 ' ЛA» 2) = "^Г"'
а также характерное отношение ЯA)=Ят1п = б к ХB) = Хт«т1А:
_б= 2^B+0
А [A + З*J - 2* B + *) + A + 30 V A + 302-4*B-НI'
Отсюда видно, что при * = 1, т. е. на равномерной сетке, г\ = 1/3,
а при малых I = кх/к < 1 имеем г\ « 21 = 2А4/А, т. е.
обусловленность системы уравнений G2) ухудшается при уменьшении Л4/А*
Число итераций для решения системы G2) по явной схеме о
ЧНП или по схеме простой итерации обратно пропорционально
Ут] или г) и потому будет неограниченно возрастать при кх -* 0-

560 гл- х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим теперь для того же оператора Л обобщенную
задачу на собственные значения:
Лу + М)у = 0,
где /) —диагональная матрица, Ву = с1(х)у, й(#)>0. В данном
случае ^=\ой Ь и мы полУч»ем для определения X задачу
Вместо G3) получаем квадратное уравнение
д,4г1\? - 1A + Яйг + 2^4] \х + 2 + г = 0.
Выбирая Л{ = 1/*, йг = 1, получим отсюда г\ = 1/B +*) и г\ « 0,5
при * < 1, т. е. г) остается конечным при А4 -*- 0. Поэтому вместо
явной схемы целесообразно пользоваться схемой
юУ^1Ун = д +/ ' G4)
Аналогичная ситуация имеет место и при использовании
ПТМ для эллиптических уравнений на неравномерных сетках или
в произвольной области. Поэтому оказалось необходимым
модифицировать попеременно-треугольный метод за счет введения в
состав В еще одного оператора 2) = 1>* > 0, который должен
выбираться из соображений минимума итераций и экономичности
каждой итерации.
Пусть В = /)* > 0 — произвольный оператор, а оператор А =
■= А* > 0 уравнения А и = / представлен в виде суммы двух
сопряженных друг другу операторов А1 и А2:
А = А* > 0, А = А± + Л2, А* = Л2. G5)
Образуем факторизованный оператор
В = (Д + со^Ш-ЧЯ + соЛ2), G6)
где'Чо >0 —итерационный параметр. Очевидно, что 5 —
самосопряженный и положительный оператор. Предположим, что вместо
B5), B6) выполнены условия
А > 6Д т. е. (Ах, х) > 6(Оя, х), б > 0, G7)
АхВ~1Аг < ^ Л, т. е. (Д-М,!, Л2я) < |. (Ля, ж), Л > 0, G8)
для всех х^Н.
Тогда справедлива теорема 2 и все формулы B7)—C0), в
которых оператор В следует заменить оператором А. Нет
необходимости их переписывать.

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 561
Как выбирать оператор И? В тех задачах, которые
рассматриваются ниже, достаточно предположить, что Я — диагональная
матрица,
Бу = й{х)у, Л(х)>0. G9)
Поэтому для модифицированного попеременно-треугольного
метода (МПТМ) возникает задача выбора й(х) так, чтобы отношение
т) = 6/А было максимальным.
Покажем эффективность МПТМ для задачд Дирихле в
произвольной области С с границей Г в случае эллиптического
уравнения с переменными коэффициентами:
Ьи = ±(*/<*) §-)+щ(*■ <*) Щ = -/(*), * = (Х|.*■)ёб,(80)
и(х) = \х(я), жеГ, ка{х)^с±>0, а= 1, 2.
Предположим, что граница Г достаточно гладкая. Кроме того, для
простоты изложения будем считать, что пересечение области О
прямой, проходящей через любую точку х&С параллельно оси
координат Оха, а = 1, 2, состоит из одного интервала.
Для того чтобы написать разностную схему для задачи (80),
построим сетку о>л (вообще говоря, неравномерную не только
вблизи границы Г). Проведем семейство прямых ха=х^аа\ га= 0Я
±1, ± 2,..., а = 1, 2.Тогда точки Х1=(х^х\ я^2)) образуют
основную решетку Н2 на плоскости (а?1, х2). Точку x^ решетки -йг»
принадлежащую С, назовем внутренним узлом сетки. Множество
всех внутренних узлов обозначим о)Л, т. е. о>л= (^еС П В*}.
Пересечением любой прямой, проведенной через точку Хг ^ <о*
параллельно оси 0#а, с областью С является интервал Да(#<).
Концы этого интервала назовем граничными узлами по направлению.
ха. Множество всех граничных узлов по ха обозначим через ^а.
Граница ^н сетки ©л есть сумма *{н = ^1 и Ъ> Тогда ©л = о>л [} ул.
Обозначим (оа(жр), р = 3 — а, а = 1, 2,-— множество узлов,
лежащих на интервале Аа; ю» (#р) — множество, состоящее из соа и
правого конца интервала Аа, <оа(#е) состоит из соа(#р) и концов
а г\* " (+1а) (-^а)
интервала Да. Обозначим х и хх • узлы, соседние с х^
е о)а(^р) справа и слева и принадлежащие (д)а(яр). Здесь х — внут-
т^ (+ха)_
реннии узел. Если я е уа, то этот узел может не совпадать
с узлом л: а решетки. ПустьНа(я)— шаги сетки соЛ,
определяемые как расстояния между узлами сетки х е о>Л и узлами
(±2а) - . *
Во всех внутренних узлах сетки соЛ определим также средние
шаги
К(ха)^.0,5{х^-х^\

562 ГЛ- Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Если решетка равномерна по каждому из направлений ха, т. е.
ж1*в) = *сЛ»,Л=0,±11±21...1
то все средние шаги Аа ■■ йа — постоянные, а йа в приграничной
воне отличны от ка:
еСЛИ Ъ%<К, ТО ДГ ^'е^Л, фа Ф «а = (*а+1)Ла.
Напишем разностную схему
Лу = —фЫ, а; е о)Л, у(#) = |л(а:)э я е »ул, (81)
где
„<*<■>=4х<±м), <*-°»(-<+м).
ч-4(»-,<Ч *-^-»).- у^к^-')-
Коэффициенты аа и <р(#) выбраны так, чтобы схема на
равномерной сетке имела второй локальный порядок аппроксимации. По
аналогии с § 3 гл. IV можно доказать равномерную сходимость
схемы (81) со скоростью 0A А|2).
Перейдем к описанию МПТМ для решения написанной
системы разностных уравнений (81). Прежде всего представим Л в
виде суммы Л = Аг + Л2,
причем У^ = ^-У, если х( 1<х) е= уЛ, Уха = ^-У при х( 1в) е ?л.
О
Введем на множестве й сеточных функций, равных нурю на
Хъ операторы А% и А1% полагая 4аУ = — Лау, а=*1, 2, для любых
»ей = Я. Тогда 4^^ + 4,^-Л.
о
В # = й вводится скалярное произведение
хе©Л
Операторы А1 и Аг сопряжены друг другу: (Ад, V) = (у, 421>).
В этом можно убедиться непосредственно с помощью формулы

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 563
суммирования по частям. Отсюда следует, что оператор А^АХ +
+ А2 самосопряжен.
Мы опускаем те выкладки, которые приводят к выбору <1(х)
из условия максимума отношения г\ = б/Д, и остановимся лишь
на описании окончательных результатов.
Для йЫ получается формула
л ли- V ( а« а.±1?<1-.^Р1 _'
аКх) — А\г к+ !/— -г2%„|ь+ к-\] /Фа + уа*
^АМа /Фа 2Ч*Й" Ла
фа (#р) = пшх г;Aа) (л:), 1|>а (яр) = тах У2а) (х)х
(84)
(87)
*а*=и'а. «а^^а (85)
Р=3 —а, а =1,2.
Функции 1^а) (л:) и г2а) (*) определяются как решения задач
лаЛа
(яа^) 3?а = - Р2а>, *а е ©а (*р)
Всего надо определить четыре функции и^\ VI2*, 41}» *42) • Это
можно сделать методом прогонки с затратой 0A) действий на
узел сетки. Зная ^!а) (х) и 1>2 (х), строим сеточные функции одного
переменного фа(#р), фа(яр), после чего определяем й(х) согласно
(84). При таком выборе <1(х) имеем.
6 = 1, Д=4шах( тах (/фа^ + ^ЫЛ. - (88)
а=1,2 \хре©р /
Теперь можно определить итерационные параметры ю» и {хк) и
воспользоваться итерационной схемой
к+1 к к
(О + (оАх) /Г1 (О + шЛ2) -*-=Х + Лу = ф1 А: =^0/1, 2,...
ТЛ+1
А + 1
Для определения у надо решить уравнение
(В + (оЛх) 2Г1 (О + соЛ2) Т = Р%
к ( к \ (к к к Л
Рк=:Ву + %к+1 ^ + у) Др = у на <оЛ, V = [I на улЛчто сводится
к последовательному решению уравнений
(Д + (оЛ1)у = Д ^^ = 0,
(О + (*А2)у =Ву = Л (х) у% у |уд = 0.

564 ГЛ- х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Напишем более подробные формулы:
1 Г^ ша -(-1а) * 1 л+1 1 Г^ ©а+ *+*(+1а) -1
|_а=1 а а ^ |_а=1 ла"а ^
(89)
(90)
Вычислительная процедура та же, что и в п. 5.
9. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной
области. Рассмотрим в качестве примера применения
изложенного выше алгоритма МПТМ задачу Дирихле для уравнения
Пуассона
Аи =
д\
д2и
дх\
дх\
= — /(я), жеб,, и=\1(х), хеГ.
(га+1) Gа)
Предположим, * что решетка квадратная, т. е. яа = % + А,
<а = 0, ±1, ±2, ;.., а —1, 2, он =» (я< = (*Д Ш&С, 1а = 0,
±1, =Ь2, ..., ав1, 2). При этом все Йа= Л, а й^ отличны от к
только в приграничных узлах сетки.
Воспользуемся схемой (81), в которой положим аа(х) е1 и
На ■» А, так что
Чтобы применить МПТМ, надо найти функции у^х) и иг(х) как
решения уравнения
^^^л3"8-Р(*)» ^е@аМ' *>1та = 0> Р = 3 — а, а = 1, 2,
с правыми частями
Р!(*) = 4т, Р,(*)=4Г
ЙА
*2
Рассмотрим интервал Аа и обозначим его концы ха = 1а (#р) и
*а = 1*а (#р), Аа и ка — нерегулярные шаги на левом и правом
концах интервала Аа. При этом
Ла^= |
1 1у™-у у-»™\ х-1+Н-
X 1 д д Н *а + «а < «а < ^а — «о.
-I» я;* ="» ^* — ^а •

§ 3. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД 565
Функции V^^)(x) и V2^) (х) находятся в явном виде; для фа(хр) и
фа(хр) получаем выражения
*М*р) = 4» Р = 3- а, а = 1, 2.
Отсюда, в силу (88), определяем А и оцениваем число итераций
">"•<* "•<'> = з-^тЦ- <9»
где 10 — диаметр области С
Таким образом, число итераций для произвольной области
зависит лишь от основного шага к сетки (ол и не зависит от шагов
в приграничных узлах.
Сравним (91) с формулой для итераций в случае модельной
задачи в квадрате со стороной /0:
0К/ 3,54 УкЦ0
Отсюда видно, что для произвольной области С число итераций
увеличивается в 3,54/3,4=1,04 раз, т. е. на 4% по сравнению
с квадратом, сторона которого совпадает с диаметром области С
Практически это означает I увеличецие числа итераций на 1—2
итерации при е = 10~4 и к = 1/100.
Можно сделать такрй вывод: число итераций с использованием
МПТМ в случае произвольной области близко к числу итераций
для той же задачи Дирихле в минимальном прямоугольнике,
содержащем область С. Численные расчеты подтверждают
теоретические оценки.
10. О решении разностных уравнений для задач с
переменными коэффициентами. В п. 8 мы рассматривали метод решения
разностных уравнений, аппроксимирующих эллиптическое
уравнение с переменными коэффициентами в случае, когда область С
имеет произвольную форму. В п. 9 мы оценили эффективность
модификации ПТМ при решении разностной задачи Дирихле для
уравнения Пуассона.
Весьма важным является также вопрос об уменьшении числа
итераций при решонии уравнений с переменными
коэффициентами. В п. 7 бвтп показано, что для ПТМ число итерации
пропорционально Ус2/с1, где /., — наименьшее, а 'с2 — наибольшее
значение коэффициентов. Опер^ру А (с переменными
коэффициентами) ставится в соответствие опер~г0р д (например, В = - Л, где
Л — разностный оператор Лапласа), та<к ^то
с4Д < А < с2Л,
\

566 гл- х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
и в дальнейшем именно В используется для построения факто-
ризованного оператора
В = (Е + иВг) (Е + <оД2), В, + В2 = В% Л* = В2.
Возможен, однако, случай, когда коэффициенты
дифференциального уравнения меняются очень сильно, но в малой области
(локально), так что границы спектра оператора А нашей задачи
меняются мало. Естественно ожидать, что при этом число итераций
изменится мало, но это не так из-за большой величины
отношения с2/сх.
Если область С — прямоугольник, то можно положить В = В
к+1
и использовать для определения у прямой метод. Тогда | =» с^с2
и число итераций не зависит от к:
»(е)*!У^Ш-Г.
В модифицированном ПТМ (см. п. 8) оператор В не вводится, и
постоянные ^ и с2 поэтому не фигурируют при выборе параметров
{хк). Оператор А представляется в виде суммы А = А^ + А2.
Рассмотрим для иллюстрации эффективности МПТМ в
качество примеру задачу (81) в единичном квадрате. Введем
квадратную сетку о)Л = {я< = (*!&, 12А), 1« = 0, 1, 2, ..., #, кN =1, а =
= 1, 2} и напишем уравнения
(а1Ухг)*1 + (а2#*2)*2 = — Ч^, * ^ о>л, у |ул = 0.
Коэффициенты аДя) и а2(х) определяются формулами
а,{х) = 1 + Я.[(*! - 0,5J + (х2 - 0,5J],
а2(х) =1 + #0[0,5 - (ач - 0,5J - (я2 - 0,5J1,
Кй — СОП51 > 0.
Правая часть <р(я) выбирается так, что у(х) = я1A — х^х2{\ — х2)
есть точное решение задачи. Обозначая
сг = шш аа (х) = 1д с2 = тах аа(х) = 1 + 0,5ЛГ#
ас,а=1,2 *,о=й,в
и выбирая в качестве Л4 и В2 операторы
можно воспользоваться п™ согласно п. 7, выбирая в качестве
В оператор {Е 4- ©Л$Е + а>В2).

8 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 567
Далее, согласно п. 8 положим А = Ах + А2, где
2 / \
Строим оператор О способом, описанным в п. 8, после чего
образуем оператор' В = B5 + (^А^О^ХВ + <оЛа).
Вычислительная процедура МПТМ описана в п. 8, и мы не
будем ее повторять.
Та блица 6
«,/С!
2
8
32
128
512 |
Л=1/32 !
, мптм
20
23
25
26
26
ПТМ
23
46
92
184
367
Л-1/64
МПТМ
28
" 33
37
39'
39
ПТМ
32
64
128
256
512
Л=»1/128
МПТМ
. 39
47
. 53
57
59
ПТМ
45
. 90
180
360
720
Были проведены численные эксперименты. Выше приводится
таблица для числа итераций цри е = 10~4, различных значениях
отношения с2/с1 и шага к для модифицированного попеременно-
треугольного метода (МПТМ) и обычного варианта этого метода
(ПТМ), изложенного в п. 7.
Эти расчеты показывают, что МПТМ эффективен не только для
произвольной области, но и в случае переменных коэффициентов.
§ 4. Итерационные методы переменных направлений
1. Метод переменных направлений для решения разностной
задачи Дирихле в прямоугольнике. Рассмотрим разностную
задачу Дирихле в прямоугольнике & -»@ < ха < 1а, а = 1, 2) для
уравнения Пуассона. Ее формулировка дана в § 1, п. 1:
Ли = Л^ + Л2и = — / (я), х е ©Лг и |?л = \х(х),
— * — A)
АаУ = У;аХа* а = 1А 2, ©л = ©л + ул = (ж* = (*Ли ЪЮ ^ с1-
Для решения задачи A) в качестве итерационной схемы можно
взять схему переменных направлений для уравнения теплоир*-

568 ГЛ- Х* МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
водности дв/д* = Дю + /(я). Она имеет вид
Т'+Х B)
для / ■- 0, 1, ... при произвольных начальных данных у9 — у(я, 0).
Здесь / — номер итерации, у*+Чл — промежуточная итерация (под-
итерация), Т|+1>0 и т}+1>0— итерационные параметры,
подлежащие выбору из условия минимума итераций.
Переход от /-й итерации к (/+ 1)-й итерации достигается
последовательным применением метода прогонки вдоль строк и вдоль
столбцов для трехточечных уравнений:
/"'-т&Л^1'-»^, ^ = у, + т&IА1у, + т5?1/ (вдоль строк),
* (вдоль столбцов).
Таким образом, для вычисления одной итерации требуется
0A/(&1Аа)) арифметических действий или 0A) действий на один
узел сетки <оЛ.
По аналогии с разностной схемой для нестационарного
уравнения теплопроводности будем называть итерационный процесс B)
методом переменных направлений (МПН). Для изучения
сходимости МПН B) напишем однородные уравнения для погрешности
%]+1 = ^+1 __ щ полагая при этом ^+'А => у*+ъ — и:
^ш"^ - V**'- + Ла^, х € <ой, «^/. |?д _ о,
-^=5^ - А^+4' + Л2г'+\ * @ «*, «н* |?д - О,
2о = у° — и.
Дальше целесообразно перейти к операторно-разностным схе-
о
мам, вводя, как обычно, пространство Я = й сеточных функций,
заданных на со* и равных нулю на границе сетки % и операторы
О 0
Ад*** — Л^, Агу — — Л2у для любых А, уей. В # = 52 вводится
скалярное произведение
(*/»*>) = 2 »Му(л;)Л1Л2= 2 2 У ('А. М*2) *> РЛ, М*г)
Маасе©* 1!=»! га=1
Введенные таким образом операторы, как было показано в гл. IV,

§ 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 569
§ 4, обладают следующими свойствами:
А^ = Аа% ЬаЕ < Аа < АаЕ, ба > 0, а = 1, 2%
8 -±яш^ д -Л-соз2-^ а-1 2 C)
а ~ А2 2/„ ' а<* "" ТГ С03 ГГ* а ~ а* *•
Операторы А% и 42 перестановочны,-4^ = 4*41. Это свойство
выполняется только для прямоугольника.
2. Общая формулировка МПН. Дадим общую формулировку
итерационного метода переменных направлений (МПН) для
операторного уравнения
Аи = и А^А, + А2, D)
где А: Н-*Н, Н —- конечномерное евклидово пространство со
скалярным произведением (#, V) и нормой \\у\\ =* У (у, у).
Будем предполагать, что
1) А = А1 + А2, А*г = Аи Л* = 42, ^)
2) 8а#^4а<Да#, 6а > 0, а — 1, 2Х F)
3) операторы А{ и Л2 перестановочны; Л1-42 = Л*41.
Итерационный МПН в общем случае записывается
аналогично B):
**ЧА~У* +А1У5+ч, + А2у5 = 1,
_Тт G)
*ж B)Уз'+1/ж + ^я->/, + Аы+1 = А
ТB)
Т3+1
задано 1/0 е #, 7 = 0, 1, 2, ...
Для погрешности ^+1 = ^+4 — » получаем однородные уравнения
2о = Уо — и е= Я, / = 0,1, 2Х...
Исключим отсюда г]+и1:
(Е + т&Л,) (Е + т$V,) *т = (Е- т&Д») E - тйи.) *,.
Так как А±и Аг перестановочны, то
5$» = (В + т^) (Д - ,$4), Я$» - (Я + т^Ч)^ - *$Ч).
Отсюда следует, что
п
2»=г,п20, г« = П^. (8>
37 л. А. Самарскмй

570 Гл- Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
где'Гп —разрешающий оператор, представляющий собой
произведение перестановочных самосопряженных операторов и поэтому
являющийся также самосопряженным, Тп = Тп.
Из (8) находим \\гп\\ < НГП111Ь011. Величина ИГЖП зависит от
параметров т^ й т$2), / = 1, 2, ..., п. Выбор этих параметров надо
проводить из условия минимума, числа итераций, т. е. минимума
ИГПИ. Точнее, задача состоит в отыскании таких параметров
%A\ ^\ • • •, Тп1} и Тх2),т42), ...,т(п\ где п =* л(е) задано, при
которых достигается шш ||ГП1 = дп.
3. Выбор оптимальных итерационных параметров (по Жорда-
ну). Спектры операторов А^ и Л2, согласно F), расположены на
разных отрезках ба ^ Х(Аа) < Да, б^бг и Д^Дг. Заменим А1
и А2 операторами Аг и А2, у которых границы спектров совпадают:
П#<.4а<#, а = 1,2, т)>0.
Для этого положим
А, = (дЕ - гА[)~1 (А[ - рЕ), А, = (дЕ + г^) (лЦ + рЕ), (9)
где г, р, д —числа, подлежащие выбору, и введем параметры
»»--^, т» = -^Г- A0)
При этом получим
8, = 8№\ ЗГ - (* + со^) (Е - *?%)<
8?> = (Е + и№1 (Е - а>$»4).
Найдем выражение для ИГПН через собственные значения
операторов Аг ъ А2. Обозначим
ашх = *% D), Р*2 = ^ D). ка = 1, 2, ..., ЛГ«,; а = 1,2,
собственные значения операторов Аг я А2.
Так как Аг и Л2 перестановочны, то они имеют общую
систему собственных функций, ту же, что и операторы Аи Л2,
А и Тп. Обозначим Кк(Тп) собственные значения оператора Тп.
Учитывая, что
ЯС?A)) = A - <оB)сс)/A + юA)а), Л(ЯB)) = A - <оA>§)/A + соB)р)
(индеюсы / и к пака опускаем), находим

§ 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 571
причем
0<п<ал1<1| 0<т|<рАа<1, А;а = 1, 2, ..., #а, « = 1,2.
Норма оператора Тп равна наибольшему собственному
значению тахХк(Тп). Заменим в (И) ал, и рл непрерывными ар-
н х
гументами аир. При этом максимум правой части в A1),
вообще говоря, увеличится, т. е.
|| ГпК шах
а, <=[ЛД]
" 1-^% 1-со^Р
Й 1 + Ц1}а 1 + 0)<2)р
A2)
Далее, поскольку а I* E меняются на одном отрезке [т|, 1]
и соA), соB) входят в формулу A2) симметрично, то можно
положить о)A) = юB) = ю и а=р. В результате приходим к
следующей задаче: требуется найти параметры ©1, ю2, ..., юп, при
которых достигается минимум \\ТпЫ{, ю2, .-ад о)п)И, точнее,
" / 1-о),а\2
Ш1П шах 11 . A3)
{©^ а<Е[тм] ^1 \ * + ш*а /
Решение этой задачи известно. Мы приведем лишь
окончательные формулы для вычисления оптимальных параметров т/ г
т). Остановимся сначала на определении постоянных р,~^, г, ц.
Они находятся из условий <х = р = т] при Л(Л1) = б1, Х(А2) = 62
и а = р = 1 при К(А%) == Дь К(А2) => А2 и выражаются формулами
Я ! + «• Г — |/ _ (Дх + 62) (Да + 6^ * <"'
Р~х+1*х-(Д,+ в1)Д1'Г- 2ДА '9-Г+ Дх
A5)
причем х > * и р > 0.,
Пусть задай* точность е > 0 итерационного процесса и
извести** границы ба, А* операторов Аа. По формулам A4) и A5)
находим т] и р, д, г. После этого можно определить число
итераций . п = тг(е), обеспечивающих заданную точность е > 0:
Иг/п-и11<е111/о-иН.
Справедлива приближенная формула
п(е)'»-^1п4-1п4г- <16>
Вводя обозначения
•-■ПГЯ,A+ТЯ")» а = -Т-^ /-1,2,....п.
37*

ГЛ. X. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
получим для определения о^ формулу
A + 29) A + 9^) . 12
Теперь остается определить, согласно A0), искомые параметры
A) _ *»} + ' B) __ 9**^Т
т> ~ 1+ю^Р» Т; ~~ 1 - о)^ •
После этого можно приступить к решению задачи G).
В частном случае при 61 = 62 = 6 и Д1 = Д2=:Д формулы A4)
и A5) дают х = |, Р = г=0, д = 1/Д, а 6 — A —т))/A + т|)| г) ■-
в6/Д. Преобразования (9)—A0) принимают вид Ах = Д4Ь
Л2 = Д< о)A) = ДтA), ©B) = ДтB>. Условие ©A) = ©B) дает
тA) = тB) = т.
Для модельной задачи C7) из § 2 имеем
♦„2 яЛ _ я2Л2 4 16 1 1,6
1 2 4 * л я2 Л2 Л2
Отсюда и из A6) видно, что/г(г)« 0,21п-^— 1п—. Так,
например, для е = 2е~10 « 10 получаем тг(е) « 6 при Л = 1/10, /г(е) »
« 9 при к = 1/50, п(г) » И при & = 1/100.
4. МПН для случая неперестановочных операторов.
Рассмотрим уравнение
Аи =» С44 + А%)и =» /,
где ^4 и Аа — неперестановочные операторы (А^ФА^А^,
удовлетворяющие условиям E) и F):
Ла = Ла>0, 6а#<4а<Да#, 6а>0, а = 1,2.
Для решения уравнения (А1 + А2)и = { в этом случае
применяют двухпараметрический итерационный МПН:
(Е + (й^Уь+гь = (Е - <*Л2)ук + ©,/,
(Я + ю242I/А+1 - (Е - юИ^Ин.* + ©2/, A7)
Уо е Я, Л — 0, 1, 2, ...,
где ©1 > 0 и ©2 > 0 — параметры, подлежащие выбору.
Для погрешности гк+1 — ук+{ — и, гк+Чш = уЛ+1А — ю получаем
однородные уравнения
(Е + 0)^4J»+,,. = (Я - ©1Л2Jк, ц8^
(Я + ©2^2)^+1 — (Е - ©2^1JД+.А,
задано. Обозначая я* = (Я + ©2^2J* и
исключая из A8) 2*+%, получим уравнение
*„.! — ЯА^а, * = 0, 1, ..., у,еЯ, A9)

§ 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 573
с оператором перехода 5 = 8±82,
8, =,(Е + ю^-ЧЯ - в>2А{), B0)
82 = (Е + и2А2)-1(Е - ацА2).
Отсюда видно, что Иуа+1И < 115^11 II 1;кИ; надо оценить 115^5,11'и
найти пип 15АИ.
©1, ©2
Нам понадобится следующая
Лемма. Пусть дан оператор А: Н-*- Н и выполнены условия
4=Л*>0, бЯ^Л^ДЙ, «>0. B1)
Тогда норма И5((о)П оператора 8Ы) = (Е + юЛ)~Ч/? — &А) при
о = ©0 = ~— имеет наименьшее значение, равное
•тт|5И1 = |5(AH)||=-1^-л где п = ±.
Для доказательства заметим, что *5(ю) есть оператор
перехода двухслойной схемы
(Д + юЛ) Ук^~Ук +АУк = 0, к = 0,1,...% у0<=Н,. B2)
с оператором В = Е + (оА, так что
Уа+1 = ЯЫУа, Иум-111 < РпуА
где р = р(ю) = 115(о)I1.
Чтобы найти ттр((о), воспользуемся 'теоремой 3 'из § 2
гл. VI о р-устойчивости схемы B2). В этой теореме
утверждается, что необходимые и достаточные условия для выполнения
оценки Нул+1Пв < рИг/лИх) имеют вид
при любом 0 < р < 1 и любом операторе /) = /)*> 0,
перестановочном с -4, например, В = Е или Ю=А (в теореме 3 Ъ—В
или 23= Л, у нас 2? = Е + (оЛ). Эти условия эквивалентны
операторным неравенствам
-^-Е<Л<-^-Е, где 5=4^" и Р=тй=4--
ю /^ ^ Б® * 1+Р 1 + 1
Сравнивая их с B1), видим, что
— <6, 4->Д или &ю<4-, так что Б2<ть B3)
Минимум р. соответствует максимуму |, который достигается,
если в B3) взять
&/со = б, 1/(Ы = А, | = У^ «

574 гл- х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
и, следовательно, о) = ^/6 = Ут]/6 = 1/УбД = ш0. При этом
пип р(о) = р(соо) = A - Ут[)/A + У^),
с»
что и требовалось доказать.
Этот же результат можно было бы получить. и другим
способом, если учесть, что
где Xв Х(А) — собственное значение оператора А.
Непосредственно убеждаемся в том, что
ттр(со) = т1п тах 1 \Т^ 1= тт тах( *-<** (оД-1 V
д<(й<*
= Р (®о) = 1 + у- ПРИ ® =
довернемся теперь к задаче A9). Воспользуемся
преобразованиями (9) и A0) для операторов А{, А2 и параметров ©! и а>2,
полагая
' л —I- л-к г»
д — ©1р ' д + оJ/э
Тогда оператор B0) преобразуется к виду
5 = ЗА, 31 = {Е + оА1)-1(Е-пА1)%
причем
П5<Л;<Е, «=1,2, т)>0г
где т) и параметры р, д, г определяются по формулам D4) и A5).
Учитывая затем неравенство
1131 < 115,11115,11
и, в силу леммы, пип !15,И = тт 1&11 = A — Ут))/A + Ут]) при
о» со
(о == о)# =» Ут)/б, убеждаемся з том, что Зля решения задачи A8)
дерна априорная оценка
^Е + ы^гпК^НЕ + ^А,)^ Р = A1^у^J» B4)
если а>1 щ со2 определяются по формулам
Й1 = 1+рсв * <0» = (<*«>о - г)/A - Р®о\ «• - К д/в. B5>
В частности, при б4 = Л» = в и А1«=Аа = Д имеем ц — в/А;

§ 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 575
Из B4) следует,, что условие окончания итераций рп<е
выполнено, если
Рассмотрим в качестве-примера модельную задачу из § 2. Для
нее вх = 62=8= 48т2(-^-)/й2, Дх = Д2 = А = 4соз2(^-)/а«
и VI = У&Щ-« 4-» ^57А-
Сравним МПН A7) с параметрами B5) с явным чебышевским
методом
Ук+1 ~ Ук
Хк+1
+ Аук = 1, & = 0,1,
исследованным в § 2. Там было показано, что число итераций
п>п<»>(е), ге<»)(е) = -|^-1 | = Т1/Т,
В данном случае ^ =» б4 + б2 = 26, ^2 = А1 + А2 = 2Д и ^—8/Д=т).
• Таким образом,*@)(е)« ЦШ-, п{1)(е)» ^^ , т. е. МПН
2ут] 4Ул
требует примерно в 2 раза меньше итераций, чем явный чебы-
шевский метод.
Однако для модельной задачи при переходе от А-й к (к + 1)-&
итерации на один узел сетки надо выполнить: 1) 5 сложений и
4 умножения в случав явного чебышевского метода, 2) 12'
сложений и 14 умножений в случае МПН (увеличение числа
операций связано с применением метода прогонки сначала по
строкам, а затем по столбцам). Отсюда следует, что явный чебышев-
ский метод более экономичен, чем МПН в случае
неперестановочных операторов. Оба метода для модельной задачи требуют
0/-1-1п— ] итераций.
5. Факторизованные итерационные схемы и МПН.
Рассмотренный выше метод переменных направлений эквдвалентен
двухслойной итерационной схеме
В УА+17Уй +Аук = 1 B6)
с факторизованным оператором (ФО)
В - (Е + а^НЕ + <д2А2) B7).
и итерационным параметром
т = о)! + (о2. B8)

576 ГЛ. X. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
В самом деле, перепишем A7) в виде
#1У*+.А = СгУк + 0I/, В2ук+1 = С^+у, + 0J/, B9)
где В1^=Е + (о{А1, В2 = Е + (й2А2, Сх = Е — (й2Аи С% = Е — <й^2.
Исключим подытерацию уА+у,. Для этого применим к первому
уравнению B9) оператор С1$ ко второму —- оператор Ви сложим
полученные уравнения и учтем, что В1С1 = С$и (о1С1 + ю251 =*
«= юД-Е — 0J^1) + аJ(# + (д{А{) = (©! + (о2)Е:
В,В2ук+, - С,С2ук + (оI + ©,)/. C0)
Заметий теперь, что В1В2 — С1С2 = (©1 + (л%){А1 + Аг)9 и запишем
C0) в каноническом виде B6). Обратный ход рассуждений
очевидец.
Если А1 и А2 неперестановочны, то оператор B7) не является
самосопряженным и схема B6) не принадлежит семейству
двухслойных итерационных схем из § 3, для которого развита
общая теория.
Рассмотрим случай, когда Ах и А2 — перестановочные
операторы, А{А2 = А2А{ и выполнены условия E), F). Тогда ФО B7)
самосопряжен и положителен: В = В* > 0. Из C0) видно, что
схема B6) имеет оператор перехода
о = о 1^2» "<* == Ва С а* оь = 1,2.
В п. 4 найдены параметры о^ и оJ, при которых достигается
минимум 115@))II, равный р:
• вой /1-Ул\* 1-5 * 2 Т/л
где т), ©1, оJ определяются согласно A4), A5) и B5). Зная
о о
р, 0I и оJ, нетрудно найти постоянные эквивалентности ^ и ^г
операторов В и А:
ЪВ<А<&, C1)
необходимые для использования оператора В в. общей теории.
Воспользуемся теоремой 3 из § 2 гл. VI о необходимых и
достаточных условиях р-устойчивости схемы B6):
т ^ ^ т
Подставляя сюда р и т = оL + оJ, находим
$1= *-Р = ?| « 1 + Р 2
C2)
Факторизованный оператор вида B7) можно построить на
базе некоторого оператора Я = В* > 0, который представим в

§ 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
577
виде суммы
Ва = В1>0, ааЯ<Да<АаЯ, а = 1,2.
Образуем факторизованный оператор
В = (Е + (оВ1)(Е + (оВг). C3)
о о о о
Тогда вместо C1) напишем ^Я *^ Д < ч^В, где ^ и .^г
вычисляются по формулам C2). .
Если оператор В есть регуляризатор для А: с{В^А^сгВ^
то постоянные эквивалентности А и В: ч±В < А < угВ, очевидно,
равны
о о
Построенный таким образом факторизованный оператор C3)
используем для метода с чебышевским набором параметров:
В Ук+1~"к + 4уй = /, *=1,2,...,п, ?0<=/.
Для числа итераций имеем
^ / ч / ч Ь B/е) . 2 Ул ^1 .
п>п#(е), ^(8) = -^^-, ^-^-Ц
где т) определяется, согласно B2), через параметры бь «6*, Д1
и Д2 операторов /?1 иЛ2.
Для попеременно-треугольного метода (ПТМ) с чебышевским
набором параметров в § 3 была получена такая же оценка п0(е),
однако там г) выражалось через <6а и Аа по другим формулам/
Если Д = —Л, Л — разностный оператор Лапласа и
рассматривается задача Дирихле на квадратной сетке в единичном
квадрате, то т| = б/Л = 1§2 -у- как для ПТМ, так и для факторгао-
ванной схемы МПН B6)—B8). Поэтому оба метода требуют
одинакового числа итераций, однако ПТМ в целом экономичнее; так,
для вычисления одной итерации в этом случае требуется меньше
арифметических действий. Впрочем, для такой модельной задачи
лучше всего положить В = йи определять ук+и решая
уравнение Вук+1=Рк, Рк^ВУк—Чк+ЛАУк — Л прямым методом
(декомпозиции или быстрого преобразования Фурье).
Таким образом, трудно указать ситуацию, в которой схема
B6)—B8) предпочтительнее, чем, например, ПТМ.
Замечание 1. Рассмотренный в пп. 2, 3 МПН с
переменными параметрами, очевидно, эквивалентен двухслойной
схеме B6) с параметром т =Тл =* тд^+т^ и. факторизованным

578 ГЛ- Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ >
оператором
Замечание 2. Если А есть сумма р>2 попарно
перестановочных операторов:
А= 2 4*^ = Ла>0, в«Д<Д,<ДаД, ба>0,
а=1
а = 1, 24.. .2 рг АаА$ = А$Аа% а, Р = 1, 2, ... 2 р%
то непосредственное применение МПН A7) невозможна, и в
качестве итерационного МПН можно рассматривать схему B6) с
факторизованным оператором
В этом случае точное решение задачи о минимаксе неизвестно,
а используется так называемый циклический набор параметров.
Для вычисления новой итерации ук+{ надо решить уравнение
й
(Е + тГЧ.) Ук+1 = Рк%
что сводится к последовательному решению уравнений
(Е + т^х) ^> = Л, (Я + т4а)А*) */<«> = ^(«-1), а = 2,:... > р,
причем ук+1 — #(р).
В случае разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона
в р-мерном единичном кубе Аау = — \ау% Аау = У-_» и вычис-
ленив ул+1 сводится к последовательным прогонкам по
направлениям хи я*, ..., хр, т. е. к алгоритму типа МПН. Если взять
циклический набор параметров, то этот МПН обеспечивает
точность е через п0(г) =0 (ы-^ 1п-^] итераций, где К — /*! = Н2 =...
.. .= А* — шаг сетки.
Для этой же задачи ПТМ с операторами
р р
требуется
/ ч ~ 1п B/е) ^ / 1 , 2 \
и0 (е) « х ' = О —т=- 1п — и
0К' 3,54 УЬ \УЬ •I
т. е. асимптотика для ПТМ хуже, чем для МПН. Однако уже для
р = 3 при к > 1/60, т. е. для сеток с числом узлов < 2,16 • 10%
число итераций для ПТМ меньше, чем для МПН с циклическим

§ 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 579
набором параметров, а по общему объему вычислительной
работы преимущество ПТМ весьма значительно (ПТМ
экономичнее МПН в 2—2,5 раза). В целом ПТМ экономичнее МПН на
любых допустимых сетках.
6. МПН для случая несамосопряженных операторов. Пусть
дано уравнение
Аи = {А1 + А2)и = {,
где А{ и А 2 — несамосопряженные положительно определенные
операторы, и выполнены условия
Аа^ЬаЕ, Аа1>-х-Е, ба>0, Да>0, а = 1,2. C4)
Второе условие, очевидно, эквивалентно неравенству
иау\\2^Аа(Аау, у). C5)
В самом деле, 0 < {А^х, х) —-г- (хх х) = (г/, Аау) — — {А(Ху1 Аау)х
если положить х = Аау.
Для решения уравнения- А и ==/ рассмотрим итерационный
МПН с параметром ю:
(Е + <оА0ук+гь = (Е - (оА2)ук + о/,
{Е + (оА2)ук+1 = (Е- (дА^уь+гь + ю/.
По аналогии с п. 4 для 1;А+1 = B? + (о42ЬА+1, где 2л+1 = уи.1 — а —
погрешность, получаем
ук^ = З&Гь 8а = (Е + в>Аа)-1{Е - оЛа), а = 1, 2,
И1;л+111 ^ 115,^1111^11 ^ ВДН&ШМ.
Покажем, что при выполнении условий C4) справедлива
оценка
■ »Д«Р2<-гпг-'где х°= .л.26"! л •» «-1*2- " <37>
В самом'деле, рассмотрим тождества
1(Я - «>АаЫ* Ш.ЦЕ + а>А*Ы2 -4а>и«ж, ж),
НЕ +■ в>Аа)х\\г - Ы2 + ю'НАахН2 + 2©ивл;, ж).
Отсюда я силу неравенств C4), C5) следует
| (Е + *А*) х р < A/б« + со'Дсс + 2©) (Лах, х)г
(Аахх х) > -^ 1 (Е + со4а) х Р4
1 —х„
| (Я - юЛа) х |,2 < ^-р^- [ (Е'+ о>4«) х В

580 ГЛ* Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
1-х
Полагая затем х — (Е + в>Аа)-1у, имеем Ц8ау |2 < х . ^ \уТ% ^о
и требовалось.
Пользуясь C7), получаем
Параметр о выбирается из условия минимума функции Р(&).
Функция Л(а>) = A — Х1)/A + кО достигает минимума (а х4 —
максимума) при со = 1/Уб1А1, а Р2((о) = A — и2)/A + и2) — при
© - 1/Уб2Д2.
Эти значения совпадают при б^ —б2Д2, и в этом случае
справедливо неравенство
1ЗДР<Р2, Р» = 1~^± '""^В, Ла=-^-; а = 112,
C8)
причем со = 1/Уб1Л1 — 1/Уб2Д2, а для погрешности гя = уп — и
верна оценка
ЦЕ + (*А2Jп\\ < р*И(Е + юЛ2Ь0И. C9)
Если б1Д1^б2Д1, то полагаем ю=*1/У6Д, где 6 — 111111(81, 62),
а Д = тах(Д1, Д2).
По сравнению со случаем самосопряженных операторов А%
и Аг (см. п. 4) число итерации увеличивается в 2 раза. Это вид-
л __ /11
но, например, при б1==б2 = б и Д!=*Д2 = Д из C8): р = . ■!/-
ку C9) для случая самосопряженных Л4 и Л2.
§ 5. Другие итерационные методы
1* Трехслойные итерационные схемы. До сих пор мы изучали
только двухслойные итерационные схемы для решения
операторных уравнений Лц = / с самосопряженным, оператором А в
предположении, что известны границы ^ и ^ спектра оператора А
в Н либо в #в, где В = 2?* > 0 — некоторый оператор
(стабилизатор). В этом параграфе мы рассмотрим и другие
итерационные методы. Начнем с трехслойных (двухшаговых) итерационных
схем.
Пусть требуется решить уравнение '
Лв = /, А: #-*#, A)
с самосопряженным и положительно определенным оператором,

§ 5. ДРУГИЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 581
границы спектра которого известны:
Л =4*, ч1Е<А<ъЕ, ?1>0. B>
Трехслойная итерационная схема связывает три итерации
Ук-и Ук и ук+и так что ук+1 определяется через ук-и ук. Явная
схема обычно записывается в виде
ук+1 = A + а)8ук - аук-ъ + A + а)т0/, к = 1, 2, ..., ^
У1 = 5уо + То/, любое уо^Н задано,
где 8 = Е — ХоА — оцератор перехода для двухслойной схемы
простой итерации с оптимальным параметром т0:
Тв=ТТ^Г' а=р?' р1 = ТТ# * = 1Г D>
Первую итерацию у! находим по двухслойной схеме простой
итерации.
Схему C) обычно получают следующим образом. Уравнение
A) записывают в так называемом подготовленном виде:
и = и-т4и + т/===Я(т)и + т/, 8(х)=Е-%А,.
и выбирают параметр т так, чтобы 11511 была минимальной. Для
этого, как мы знаем из § 2, надо положить т = т0:
и = 5Чт0)и + То/. E>
Это уравнение можно переписать иначе:
A+а)и = A+а)8и+A + аЫ,
и = A+а)Зи — <ш+{1 + а)х0{;
и уже к нему применить явную схему,' заменив A + а)8и на
A + а)8ук, а аи на ау*-1. Параметр а выбирается из требования
минимума итераций. Мы не имеем возможности останавливаться
на оценке скорости- сходимости схемы C) и выборе <х* Приведем
лишь окончательный результат.
Применяя к C) оператор Л, убеждаемся в том, что невязка
гк — Аук — { удовлетворяет однородным уравнениям
гк+1 = A + а)8гк - ссг*-,, к = 1, 2, ..., F>
Г1 = 8г0, где Гъ = Ау0 — {^Н любое.
Для этой задачи при а = р? справедлива оценка
1^Уп-/"<дп114уо-/11, G)
где
}"=РГ(,+"^Н' (8)

582 ГЛ- Х* МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для числа итераций, очевидно, верна оценка
1 + Р?
1п-1- + 1п|1 + 1 Р1 п
п>
которая выполнена нри
--*-
е \ 1 + | /
п>_± ^ 'Т9 г (д)
Сравнение (8) с выражением для д„ в случае чебышевской схе-
1+РГ
асимптотический порядок при § -*- 0 по числу итераций
мы ?п = ~^—х—5тГ показывает, что обе схемы имеют одинаковый
п = л(в) = 0(-у|-1п— ),
однако число итераций для трехслойной схемы несколько больше.
Трехслойная схема требует большей памяти (при
определении ук+1 надо помнить векторы ук и ук-4), сильнее зависит от
неточностей в задании постоянных ^ и ^2, чем двухслойная че-
бышевская схема. Поэтому на практике целесообразнее
пользоваться чебышевской схемой, а не трехслойной, если заданы
Ь и ТГ2.
Замечание. Переход от явной к неявной трехслойной
схеме сводится к замене в уравнении C) А на В'1 А и / на Я/, так
что
ук+1 - A + а)(Д - т0В-*А)ук - ар*-, + A + а)т«В-4/
или
#ук+1 - (Г + а)(В - тИ)*/* - аЯу*-! + A + а)т./, A0)
#2^ = Вуш - тИу, + г»/, к = 1, 2, ..., у0 е Я задано.
Уравнение A0) можно получить, если вместо E) написать
тождество
Ви = A + ссКЯи - т04и) - аЯи + A + а)т»/
и расставить в соответствующих местах номера итераций (см.
A0)). Формулы D) для т0 и а остаются в силе, однако ^ и ^2 —
границы оператора А не в Я, а в Нв:
чЖА^ЧгВ, ь>0, Я = Я*>0. (Ц)
При этом для решения задачи A0) вместо G) выполняется
оценка
\Ауп-1 |в-1 < дп I Ау0 — / |в_ь A2)
где дЛ по-прежнему определяется формулой (8). В качестве В
можно взять оператор G6) из § 3 для ПТМ.

§ 5. ДРУГИЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 583
2. Метод минимальных невязок. До сих нор мы всюду
предполагали, что постоянные ^4 и у2— границы оператора -4,
заранее известны. Может оказаться, что они либо априори неизвестны,
либо вычисляются очень грубо. Тогда целесообразно пользоваться
так называемыми итерационными методами вариационного типа,
Которые не используют в явном виде первичной информации о
параметрах ^1 и ч2- Это — методы скорейшего спуска, минимальных
невязок, сопряженных градиентов (трехслойная схема) и др.
Мы рассмотрим здесь лишь два метода: метод минимальных
невязок и метод скорейшего спуска. Это двухслойные схемы
Начнем, как обычно, с явной схемы:
Ук+г-Ук +Аук = и А: = 0Д1Л2, ...,> задано увеЯ, A3)
ИЛИ
Уьм — Ун ~ тЛ+1гЛ, гк = Аук - / — невязка. A3')
Различие между методами минимальных невязок
и-скорейшего спуска только в формуле для параметра тЛ+1. Для метода
минимальных невязок
Это получается из условия минимума нормы невязки ИгЛ+1П.
Напишем уравнение для невязки: ,
Г»+1~Г* +Агк = Ол к = 0,1,2,..., A5)
ТЛ+1
и вычислим
I гЛ+1 Г = | гк |р - 2тА+1 (Агк1 гк) + х1+1| Агк \ A6>
Правая часть в A6) есть полином второй степени Р%(%к+д от
параметра тЛ4Г1> Приравнивая нулю производную Р2 (тл+1), находим
т*+1 согласно A4). Вторая производная при этом значении тЛ+1
положительна и, следовательно, величина Пг*+1И минимальна.
Все эти рассуждения сохраняют силу и в том случае, когда
А — несамооопряженный оператор. Отсюда сразу следует и ал-
риорная оценка
|г*+1|<РоЫ, т- е' |^Уп —/|<РвМУв —/I* A7>
где р# = A —1)/A + 1), 1 — т^/'Кг, а ^1 и Ь ~ точные границы
оператора А = А* > 0.
В самом деле, так как при значении т*+1 A4) правая часть
в A6) минимальна при фиксированном гке=Н, то при любом дру-

584 ГЛ- Х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
гом значении и, в частности, при т = *о она должна возрастать:
^+12<|гЛР-2т0(ЛгА,гл) + т20|Ма2<1гА-т0Лглр<
<\Е-т,АПгА\
С другой стороны, из § 2, п. 3 известно, что
112? - х0А\\ = р# при т, = 2/(^ + 72).
Тем самым доказана оценка A7), из которой видно, что метод
минимальных невязок сходится с той же скоростью, что и метод
простой итерации (если для вычисления т0 при этом
используются точные значения ^ и ч2)-
Вычисления в методе минимальных невязок проводятся по
формулам
Уь+1в Ук - Гк+Муъ - /) = ук - Ть+Л A3')
я A4). Объем вычислений из-за формулы A4) для т*+1 здесь
больше, чем в случае простой итерации.
Нетрудно написать неявный метод минимальных невязок:
У*+1 — Ун - тл+1м>*, и?* = В'1(Аук - /), A8)
который обычно называют методом минимальных поправок.
В этом случае вместо уравнения Лю = / надо рассмотреть урав-
пение
Су-ср, у = В'Ч С-В-*АВ-\ ф-В-17,Д A9)
и применить к нему явный метод минимальных невязок:
хк+1 = Хк ~ тк+1(Схк — ф),
(с га> ~к) ~ л*.
(О*» Сгк)
Подставляя сюда хк = Вч,ук, С = В"*4В"* ф = В"'7'/ и преобразуя
гл = В-,Аи^~/)=5-Ч,
(Сгл, Сгк) = (В~Мн;л, В-Мю») = (В-Мм;*, Лн?л),
где м>л в В~1гк — поправка, получаем уравнение A8), в котором
надо положить
Вместо оценки A7), очевидно, получим
Му»-/|в-1<Р?Иу,-/|1г.1. B1)

§-5. ДРУГИЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 585
3. Метод скорейшего снуска. Для явного метода скорейшего
спуска
Ук+1 = Ун - Гк+МУк — /), к = 0, 1, 2, ..., задано любое у0^Н,
параметр т*+1 определяется по,формуле
Ты-1= /2'Гг\' гк = АуК-и * = 0,1,2, ... B2)
Эта формула может быть получена из условия минимума нормы
погрешности 2Л = уЛ —ю в.ЯА, т. е. из условия
тш |^+1|А, |в|А= /(^,2).
Для погрешности 2к = ук—ъ имеем уравнение 2Л+1 = 2Л —
— тЛ+1Л<&*. Вводя у* = 4''%, получим
*>а+1 = "к - тЛ+1Л1;Л. B3)
Вычислим квадрат нормы:
К+1Р = 1К Р - 2тЛ+1 К ^Л) + т2+! | М ||2. B4)
Условие шт [гъ-нР дает
{4+1}
т,+,-"Рчг <25)
Повторяя рассуждения, проведенные в п. 2, получаем оценку
Ы<Ро1»о1- B6>
Теперь остается перейти от VIII гк = А'4^. Учитывая, что Агк =
-4(»1-в)-4й-/-г, (Л** V,) = ШЛП2 - 11гЛН2, 14*/-
= (ЛгЛ, гЛ), щреобразуем B5) к виду B2). Из неравенства B6)
следует
1Уп-гф<РоП№о-и|Ц, B7)
так как 1 упР = (*>п, *>п) = (-4^, 2П) = || 2П||\.
Таким образом, метод скорейшего спуска сходится в НА р той
же скоростью, что и метод простой итерации. Заметим, что метод
минимальных невязок сходится в //а*» т. е. в более сильной норме.
Для неявного метода скорейшего спуска
В^±1—^ + ЛуЛ==/, й = 0,1,2, ..., задано любое у0€=#, B8)
ТМ-1
по аналогии с п. 2 получаем
«^-(Т^чУ Ъ-В-Ътъ гК = Аук-1. B9)
38 А. А. Самарский

586 гл- х- МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИИ
Оценка B1) в этой случае остается без изменения, если
выполнены условия ^В ^ А < ЧгВ, ^ > О, В = В* > 0.
4. Решение уравнений с несамосопряженными операторами.
Рассмотрим уравнение
Аи = {,А:Н-+Н,
где А — положительно определенный несамосопряженный линей-
цый оператор. Будем пользоваться сначала двухслойной схемой с
постоянным параметром («стационарным» итерационным методом)
У*+1 ~ Ук + Аук = {, к = 0,1, 2, ..., задано любое у0 <= Я. C0)
Для оценки скорости сходимости итераций рассмотрим
однородное уравнение
гк+1 = 32к, 8=~Е-хА, А = 0, 1, 2, ...,20еЯ,'
для погрешности ък = ук — и. Отсюда следует \\гк+]\\ ^ 11511 Нк\\.
Параметр т надо выбирать из условия тт И5(т)И.
т
Пусть заданы нижние границы для А и Л:
А > У1Е или (Ау, у) > Т1IIУ Г, Уг >'0,
4->±Яйлн \\Ау\*^у2(Ау,у), . 72>0. C1)
*2
Второе условие при 4= Л* эквивалентно условию А^^гЕ.
Предполагая, что 2 — т^2 ^ 0, получаем
\\8у\\* = \\у - тЛу112 = Ну112 - 2т(Ау, у) + х2Ыу\\г ^
^ \\У\\2 - 2тиу, у)+т^и^, у) = \\у\\* - тB - и2)иу, у) <
< \\у\\2 - тB - н2)^11у112 = A - 2Н1 + т2"Гф)М2,
1№^ 1-2^1 + ^^2. *
Выбирая т из условия минимума трехчлена, находим т = 1/^2,
Ш2 ^ A - ^/ь\ т. е.
II51 < У~\ при т = 1/Т2, $ = 71/72. C2)
Рассмотрим теперь случай, когда вместо двух параметров «уь
Чг задано три параметра ^4, ^2, Ч(з- Представим А в виде суммы
симметричного (самосопряженного) оператора А0 и кососимметри-
ческого оператора А с
А = А9 + А1, Л0 = 1(Л + Л*), Аг = ±(А-А*), C3)
так что ^ = Л0, Л* = — Аи {Агх, х) = — (#, 4^) = 0, т. е.

§ 5. ДРУГИЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ М7
(Лж, х) = (А0х, х). Предположим, что А удовлетворяет условиям
^Д^Ло^ЪЯ, И^Н ^Тз, C4)
где ^2 > ^1 > 0 и ^з^О — заданные числа.
Запишем уравнение 2Л+1— (Е — тА)%к для погрешности
2Л+1 = Ук+1 — ив виде
2л+1 = (Е - хА0 - тА^Хи = @5 - тА0)гк + [A - 0)Е -тЛ1]гЛ, C3.)
где 0 < 0 < 1 — произвольное число. Выберем т и 0 так, чтобы
норма \\8\\ = \\Е— х(А0 + А1)\\ была минимальной. В силу
неравенства треугольника
В 2й+11 < 81Е - -1А0112Л || +1A - 6) 2Л - тА1гк ||. C6)
Оператор А„ — самосопряженный и *{$ ^ -4о < Ъ^\ поэтому
^1Е-^Ло|=Ро°РИ 1 = Х« = Т^Ъ C?)
где р0 = тзг!» I = ~' так что т = то9- Рассмотрим второе
слагаемое в правой части C6):
«A - 6) у - хАху р = A - вJ \у ||2 - 2т A - 0) (А1У, у) + т21| Аху \ =
= A-еJ|г/||2 + т2||Лу||2<[A - вJ + т2?г]|2/||2 =
= [A-еJ + т2е27П||г/1]2-
Таким образом, при т = то0 справедливы неравенства
К+1К|5|Ы1_||5к/(в),
/ О) = еРо + /A-еJ + е2а2, «2 = т2т2.
•Найдем теперь минимум функции /@). Вычислим производную
1 — 6 — а28 _ __ а —а2
/A_9J + а2е2 " Р° /?+"?'
Условие /40) = 0 дает р0Уа2 + а2 = а — а2. Отсюда получаем
квадратное уравнение для а
A - р2) а2 - 2а2а + а2 (а2 - р2) = 0
и решаем его:
а = а-
1-Р?
(второй корень непригоден, так как он может быть
отрицательным при некоторых значениях параметров а и р0). Введем
38*

588 гл х МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
обозначение х = у3/ V ?1?а + ?з\ так что
1-х (Т1 + Т2J1 — х 1-х*
а2_1-р2
х2 1-х2'
Преобразуем подкоренное выражение
1-х2 1-х8 х
1_р! + *._,_р; + ^ег^_!^4_г»
откуда получим
,2
_ а (х + Р0) _ х(х + р0) _ 1 + хр0 _ _1_ _ 1-х8
хA-р2) 1-х2' 1 + а_1_х2' °~1 + «~1 + хр0-
НайдемтеперЬ /F) = ^р0 + ^ ^~+Г^=е^Г^=^-.Учи-
тывая, что
р! + <>-•*-(< +а)-,A-({ + <■')<-
х2 1-х2 1-х2 ™1-х2
получаем
й5|<^ + Р1 при т = т 1^5*.
Таким образом, для решения задачи C0), если оператор А
удовлетворяет условиям C4), справедлива оценка
где
Р = ГТ^> *= , Уз а. т = т = твA-хМ1 + Хй). C9)
1/1
Число итераций /г ^ 1п ■— /1п ■—.
Вместо явной с&емы можно рассмотреть и неявную схему
в'***~'к±Аук = и А-0,1,2, ..чйбЯ, D0)
с самосопряженным бператором В = В* > 0. В этом случае надо
перейти к явной схейё
*А+1 = хк - т(СхА - <р), *А = Я V, С = В-*АВ-\ ср -Д"*/,

ТЛ+1 „ А_ ||2 » Г* Л#* — /*
\
§ 5. ДРУГИЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 589
я условия C4) для С переформулировать, как условия для А и В:
угВ < А0 < Т2#, (Д-М^, ЛХ1/) < т; (Ву9 у), D1)
т. е. 1-41У1в-1<Т81»1в- Тогда вместо C9) получим
Цп — и\\в ^ рп11у0 — и11в.
Для решения уравнения 4и = / с неоамосопряженным
оператором Л можно воспользоваться методом минимальных невязок,
который сходится с той же скоростью, что и схема C0) при т=т.
Для явной схемы A3)
9к*~Ук + Аук = /, /с = 0,1,2, ..., Уо€=Я,
параметр т*-и вычисляется, согласно п. 2, по формуле A4) -
{Лгк> гк)
\\Ы2
которая получается из условия минимума ИгЛ+1112. При этом нигде
не используется самосопряженность А. При доказательстве
сходимости несколько изменяются рассуждения из_п. 2. В правую
часть тождества A6) вместо тЛ+1 подставляемся т:
Я гА+1 |р < I гк ||2 - 2т (Агк, гк) + тт|| Агк |2 =
= |гЛ-тЛгЛ||2<1е~-тЛ|Г||гЛ||2<р2[гЛ|Р,
т. е. НгЛ+111^р11гЛ11.
Тем самым доказано, что при выполнении условий C4) для
метода минимальных невязок, определяемого формулами A3) и
A4), справедлива оценка
\\Ауп-1\\^9п\\Ау0-1\\,
где уп — решение задачи A3), а р определяется по формуле C9).
Метод скорейшего спуска в данном случае неприменим, так как
он предполагает самосопряженность оператора А.
Для неявного метода минимальных поправок верна оценка
ИУ„-/|[в-1<РПИ.-/|в-1.
где В = В* > 0 и выполнены услрвия C4).
5. Гибридные методы. Для решения разностных
эллиптических уравнений могут применяться гибридные
(комбинированные) численные методы, сочетающие прямые и итерационные
методы, а также итерационные методы разного типа
(двухступенчатые методы). Рассмотрим итерационную схему
Вк Ук+1~Ук + Аук = /, задано у0 <= Я. D2)
4+1 ■

590 гл- Х МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Отсюда находим
»А+1 = »*-т,к+1м?к, D3)
где юк — поправка, являющаяся решением уравнения Вки?к =* гл,
гк = А ук — / — невязка.
Пусть В *= В* > 0 — регуляризатор и с4Д < А ^ с2В, с1 > 0.
Чтобы найти (&+1)-ю итерацию ук+1 согласно D3), надо
вычислить поправку шк.
Оператор Вк может быть задан в явном виде, например,
Вк = Д, D4)
Вк = (Е + <$%) (Е + 42)Д2), D5)
где /?1 и В2 — экономичные операторы, а оIх) и (Од —
итерационные параметры. С фа<кторизованным оператором вида D5) мы
встречались калк в случае попеременно-треугольного метода (ПТМ),
когда ^1 = В*, .ад1) = ф12) = о, так и в случае метода переменных
направлений (МПН), когда На = Ва> 0, а = 1, 2, ВгВ2 = Я^.
а) Вычисление поправки прямым методом. Пусть Вк = В, и
система алгебраических уравнений Вю = гк решается одним из
прямых методов (изложенных для эллиптических сеточных
уравнений в § 1, пп. 2, 3, например — методом декомпозиции). При
этом 1A = си у2 = с2. Выбирая чебышевские параметры т4, т2, ...
..., тп, получаем для числа итераций оценку
1 - '^1пА
С- 8
п> щ (е), дг0 (е) = — 1 / --51п -.
1
В случае разностных эллиптических задач из § 3, п. 7
щ{г) не зависит от шага сетки, а общее число действий
°{\/и^у
если область С — прямоугольник и Иц =
= к2 = к — шаг сетки.
б) Вычисление поправки итерационным методом. Для
решения уравнения Вшк = гк применяем некоторый (внутренний)
итерационный метод и полагаем ш(т) = шк, где т — номер
внутренней итерации.
Поскольку неявная двухслойная итерационная схема с
самосопряженными операторами может быть сведена к явной,
например, путем перехода от V) к Д7,ш, то можно написать
ВЧШ™ - IV) = ТтВНш^ - IV),
где т — точное решение уравнения Вт = гл, а
Гт-разрешающий оператор такой, что
Т*т = Тт, |Г„|<9<1 D6)
(зависимость д от т опушаем).

§ 5. ДРУГИЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ МЦ
Выбирая начальное приближение ш@) = 0, найдем ю ■-
=*Л~,2{Е — Тт)-1Лъю{т). После подстановки этого выражения и
Ни) = гк получим Вшк = гЛ, где
В - ВНЕ - Тт)-1ЙЧ\ юк = и?(т).
-Поправка найдена и ук+{ = ук — хЛ+1М>Л.
Чтобы применить общую теорию, надо убедиться в
самосопряженности В = В* п вычислить постоянные ^ и у2
энергетической эквивалентности В л А. Первое утверждение очевидно,
так как В* = В, Тт= Тт. В силу D6) имеем
A-д)Е<Е-Тт<A + д)Е,
A + я)~1Е ^(Е- Тт)'1 ^ A - д)-4Д,
(Вх, х) = (ВНЕ - Тя)-1#к'х, х) = ((Е - Тт)~% у),
где у = Въх. Отсюда сразу видно, что
A-д)Я^ЖA + д)Я, т. е. ь = 1 - д, ^2 = 1 + д
и, следовательно, ^ = с4A — д), ^2 = ^2A + 2).
Для чебышевской схемы с этим оператором
^о(^)=-о 1/ -^-п Лп—» так как Е = ~1-г-2.
0 у ' 2 у ^ A — д) 8' ъ с21 + д
В качестве внутреннего итерационного процесса можно взять
МПН из пп. 2, 3 § 4, если Д^^ + Дг, Д* = Да>0, а ВДа =
= В2В{. Величина д выбирается из условия минимума всей
вычислительной работы для решения уравнения Аи = }.
Если спектр В априори неизвестен, то целесообразно для
определения поправки использовать итерационные методы
вариационного типа. Можно применять и другие комбинации, на ко?
торых мы не имеем возможности останавливаться.
^

ДОПОЛНЕНИЕ
§ 1. Некоторые сведения из функционального анализа
При изложении теории разностных схем мы пользуемся простейшими
понятиями функционального анализа. Приведем здесь краткий перечень
используемых .нами сведений из теории лилейных операторов.
1. Линейные операторы. Пусть X и У — линейные нормированные
пространства, Ф — некоторое подпространство X. Если каждому вектору х е
ей) по определенному правилу сопоставлен вектор у = Ах&У, то
говорят, что на Ф (или в X) задан оператор. А со значениями в У. Множество
55 называется областью определения оператора А и обозначается Ф(А).
Множество всех векторов вида у = Ах, когда х&2>(А), называется об-.
ластъю значений оператора А и обозначается 31 (А). Иногда вместо Ах
будем также писать А(х).
Два оператора А л В называются равными, если области их
определения совпадают и для всех х^З)(А) = 2>(В) выполнено условие Ах = Вх.
Оператор А называется линейным, если он:
1) аддитивен, т. е. для всех х\, х2&3)(А) А(хг + х2) = Ахх+Ах^
2) однороден, т. е. для всех х^З>(А) и любых чисел % А(\х) = %Ах.
Линейный оператор А называется ограниченным, если существует
такая постоянная М > 0, что
0**01 < #0*01 (*>
для любых 16^D) (здесь ||»||1—норма в X, ||«Иг— норма в У).
Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию A), называется нормой
оператора А и обозначается ||Л||х-*г или просто ||Л||.
Из определения нормы следует, что
. ИЦ- вир М*П2, или|И|| = 8иР1^1к. B)
Отметим, что в конечномерном пространстве любой линейный оператор
ограничен. Всевозможные линейные ограниченные операторы, действующие
из X в У, образуют линейное нормированное пространство, так как норма
IIА|| оператора А удовлетворяет всем аксиомам нормы: 1) \\А\\ ^ 0, если
\\А\\ = 0, то 0Л*||2 = 0 для всех х и А == 0; 2) ||Ы|| = \&\\\А\\\ 3) ||Л +
+ Я||<||Л|| + ||В||.
Будем обозначать через (Х-+Х) множество линейных ограниченных
операторов, область определения которых совпадает с X, а значения
принадлежат X. На множестве (Х-+Х) можно ввести произведение АВ
операторов А и В, (АВ)х = А(Вх). Очевидно, что АВ — линейный ограниченный
оператор: \\АВ\\ < ||Л|| ||В||. Если (АВ)х = (ВА)х для всех х<=Х, то А и В
называются перестановочными или коммутативными; в этом случае пишут
АВ = ВА.
В связи с решением уравнений вида Ах = у вводится понятие
обратного оператора Л-1. Пусть Л—оператор из X на У, т. о. Ф(А) = X,
&(А) = У. Если каждому уеГ соответствует только один жбХ, .для
которого Ах = у, то этим соответствием определяется оператор А,
называемый обратным Для А и имеющий область определения У и область
значений X. Для любых х е X и у е У имеем, из определения обратного
оператора, тождества А (Ах) = х, А (А-1 у) = у. Нетрудно показать, что если
А линеен, то и Л (если он существует) также линеен.

§ 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 593
Лемма 1. Для того чтобы аддитивный оператор А с Ф(А) =Х и
Я(А) = У имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы Ах = 0 только
при х = 0.
Теорема 1. Пусть А — линейный оператор из X на У. Для того что-
бы обратный оператор Л существовал и был ограниченным (как
оператор из У на X), необходимо и достаточно, чтобы существовала такая
постоянная б > 0, что для всех х е X
\\АхУ> Ь\\х\\г C)
(НЬ ~ норма в X, ИЧЬ — норма в У). При этом справедлива оценка М~Ч «^
< 1/6.
2. Линейные ограниченные операторы в вещественном гильбертовом
пространстве. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство со
скалярным произведением (х, у) и нормой ||я|| ^ У(х, х). Будем рассматривать
ограниченные линейные операторы, заданные на Н (&(А) = Я). Введем
ряд определений. Оператор А будем называть:
1) неотрицательным, если
(Ах, х) > 0 для всех жеЯ; ^ D)
2) положительным, если
(Ах, х) > 0 для всех я е #, кроме х = 0; E)
3) полуограниченным снизу, если
(Л#, я) ^ — с* I) х ||2 для любых х е Я, F)
где е* — положительное число;
4) положительно определенным, если
(Ах, х) ^ б||а:||2 для любых жеЯ, ч G)
где б > 0 — число.
Пусть А — произвольный неотрицательный оператор, жеЯ. Число
(Ах, х) позовем, энергией оператора А. Будем сравнивать операторы А ж В
по энергии. Если ((А —В)х, х) > 0 для всех х, то будем писать А ^ В.
Неравенства D) —G), в частности, можно заменить операторными
неравенствами
Л>0, т. е. (Ах, я)>0,
А > 0, т. е. (Ах-, х) > 0,
Л>-с*Д, т.е. D*, *)>-<:* В* Ц2, (8)
Л>бЯ, т.е. (Ах,х)^> б Ц а: ||2,
где # — единичный оператор (## == #).
Нетрудно убедиться в том, что введенное на множестве линейных
операторов (Н-+Н) отношение неравенства обладает следующими свойствами:
1? из А ^В иС^В следует А + С > В + />;
2) изЛ>0иА,^0 следует Ы > 0;
3) изЛ>ВиВ>С следует А > С;
4) если Л > 0 и Л существует, то А > 0.
Если ^ — линейный оператор, заданный на Н, то оператор -4*,
также заданный на Н, для которого при всех х, у бЯ выполнено равенство
(Ах, у) = (х, А*у), называется сопряженным к оператору А. Если Л —
линейный ограниченный оператор, то сопряженный оператор определен
однозначно и является линейным ограниченным оператором с нормой
||Л*|| = ||Л||. Линейный ограниченный оператор А называется
самосопряженным оператором, если А*=А, т. е. (Ах, у) = (х, Ау) для любых х.
У€=Н.

594
ДОПОЛНЕНИЕ
Если А — любой линейный оператор, то А* А и А А* — самосопряженные
неотрицательные операторы:
(А*Ах, у) == (Ах, Ау) = (х, А*Ау), (А*Ах, х) = \\Ах\\* > О,
~ ^ (АА*х, х) «= \\А*х\\2 ^ 0.
Отметим, что (А*)* = А, (А*)~х = (А'1)*.
В комплексном гвшьбертошем пространстве Я из требования
неотрицательности оператора А следует его самосопряженность:
- если (Ах, х) ^ 0 для всех- хеЯ, то А = А*.
Для вещественного пространства' Я^это утверждение неверно. Поскольку,
мы рассматриваем только вещественное гильбертово (пространство, тю будем
пользоваться операторными неравенствами и для несамосопряженных
операторов.
Теорема 2. Произведение АВ двух перестановочных
неотрицательных самосопряженных операторов А и В есть также неотрицательный
самосопряженный оператор.
Оператор В называется квадратным корнем из оператора А, если
В2 = 4.
Теорема 3. Существует единственный неотрицательный
самосопряженный квадратный корень В из любого неотрицательного
самосопряженного оператора А, перестанов'очный со всяким оператором,
перестановочным с А.
Квадратный корень из оператора А будем обозначать через Л|/а.
Пусть А — положительный и самосопряженный линейный оператор.
Вводя на Линейной системе Н скалярное произведение (х, у)А = (Ах, у)-
и норму \\х\\а = У(я, *) а, получим гильбертово пространство НА, которое
обычно называют энергетическим пространством НА. Нетрудно показать,
что скалярное произведение (х, у) А = (Ах, у) удовлетворяет аксиомам
скалярного произведения:
1) (*, У) а =Му, *)а\
2) (х + у, г) А =•(*, 2)А+ (угт.)А\
3) (Ьх, у)А =Ь(х, у)А;
4) (х, х))А > 0 при хфО ж (х, х) а =^ 0 только при х = 0.
Аксиомы 2) и 3) выполняются в силу линейности, 4) — в силу
положительности оператора А. Требование (х, у)А = (у, х)А, или (Ах, у) = (х, Ау) =
= (Ау, х) означает самосопряженность оператора А и тоже
выполнено. Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши — Буня-
ковского \(х, у)А\ < ЫаЫа и неравенство треугольника 11ж + у||А^
^ 11*11 а + 1Ы1а. Тем самым доказана
Лемма 2. Для любого положительного самосопряженного оператора
в вещественном гильбертовом пространстве справедливо обобщенное
неравенство Коши— Буняковского
(Ах,у)*^(Ах,х)(Ау,у). (9)
Замечание. Это неравенство имеет место и в том случае, когда
А — неотрицательный оператор.
Если А — самосопряженный положительный оператор ц Л
существует, то. можно ввести «негативную» норму
||фЯА_1=и-1ф.фI/2- A0)
Покажем, что
■^ч-зд-тЗсг1- A0,)
Действительно, из неравенства (9) имеем
| (<р, х) | = | (А~% Ах) | < ||<р|| А_% |*| А.

§ 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 595
Следовательно,
Г(Ф,*)| ^ ЫА-г\\*\1А
8ДП|ЧГ- <й Мй ""«Л-!'
С другой стороны, если * = Л-'ф, то
1(ф»*I (ф, Л-*ф)
МА " (ЛЛ^ф^-М73 ,Ф1,А-
что и доказывает эквивалентность A0) и (Ю').
Для нас в дальнейшем важную роль будут играть достаточные условия
существования ограниченного обратного оператора Л~\ определенного во
всем пространстве Я, Ф(А~Х) = Я.
Заметим, что лемма 1 и теорема 1 гарантирует существование
обратного оператора, определенного лишь на 31 (А)—множестве значений опера:
тора А, второе может не совпадать с Я. Если известно, что множество
значений оператора А совладает со всем пространством Я, 31 (А) = Я, то
выполнение условий леммы 1 или теоремы 1 ооеспечивает существование
оператора А~1 с 3)(А~Х) = Я. В частности, положительный оператор А с
Я(А) = Я имеет обратный Л-1 с &)(А~Х) = Н, так как из условия
(Ах, х) > 0 для всех х Ф 0 следует, что Ах Ф 0 при х Ф 0 и потому
применима лемма 1.
Теорема 4. Пусть А — линейный ограниченный оператор, действую-
щий в гильбертовом пространстве Я, 3)(А) = Я. Для того чтобы оператор А
имел обратный Л с областью определения 3)(А~1) = Я, необходимо и
достаточно существование постоянной 6 > 0 такой, что при всех геЯ
выполняются неравенства
||'4х|| > 6||*||, М*«|| > 8||*||.
При этом справедлива оценка \\А~1\\ ^ 1/6.
Следствие. Пусть А — положительно определенный линейный
ограниченный оператор с областью определения 2)(А) = Я. Тогда существует
ограниченный обратный оператор А~1 с ®(А~1) = Я.
В самом деле, из А ^ §Е, 6 > 0 следует
\\Ах\\ ||*1 ^ (Ах, х) > 6||*||2,
||Л**|| ЦхЦ ^ |(Л**, х)| = К*, Л*)| = (Л*, х) > 6||*[|2,
т. е. ||Л*|| ^ б||д:||, ||Л**|| > б||*|| и выполнены условия теоремы 4. Для
нормы обратного оператора имеем оценку \\А~1\\ ^ 1/6.
Замечание. В конечномерном гильбертовом пространстве для
существования обратного оператора Л-1 достаточно требовать положительности
оператора А, так как из условия А > 0 следует существование постоянной
6 > 0 такой, что (Ах, х) ^ 6||я||2 для всех *. Действительно, (Ах, х) =
= (Аох, *), где А0 = (Л + Л*)/2— самосопряженный оператор. Поэтому
(Ах, х) ^ 6||*||2, где б — наименьшее собственное значение оператора Л0.
Число 6 не может равняться нулю в силу положительности оператора Л.
Для простоты изложение в книге проведено в предположении
конечномерности пространства Я.
Напомним, что норма оператора Л определяется так:||Л|| = ?ирцЛ*||.
Если Л — самосопряженный оператор, то имеет место формула
|| Л || = зир | (Ах, х) | = вир ' {А*Ч$ ' ■ A1)
N1=1 11*11*0 . II ^ И
Лемма 3. Если 5 = 5* — линейный ограниченный оператор, п > 0 —
целое числоу то
184 = 181*. A2)

596 дополнение
• Доказательство. Пусть п = 2. Тогда
|| 821| = зир | (Я2*, х) | = зир || 8х ||2 = || Я ||2,
N1=1 N1=1
т. е. ||52|| = ||5||2. Пусть формула A2) верна для п = к — 1 и п = к.
Покажем, что она верна для п = к + 1, А; > 1. В самом деле,
|5Л| = зир | (Л, *) | = зир | ($*+**, 8к'гх) | <
N=1 N1=1
< зир ^««Ц^-^К!^1!!^-1!.
т. е. |5*+«|| И**!! > \\82к\\ = в5*Ц2 = 1№*. Так как ||5*-«Ц = &&У*-«, то
отсюда следует ||5*+Ч1 > №+|. С другой стороны, ||$*+Ч1 < ||^И*+1. Таким
образом, ||Ял+1|| = 115||л+1. Так как формула A2) верна при п = 1 и п = 2,
то она верна для любого и.
Лемма 4. Если А— самосопряженный положительный и ограничен-
ный оператор, то справедлива оценка
\\Ау\\*^\\АЦАу, у). A3)
Так как А* = А > 0, то существует оператор АЧг. Полагая V = Аъу,
получим
(Ау, Ау) = (Лр, г) < ||Л|| |М|2 = \\АЦАу, у).
3. Линейные операторы в пространстве конечного числа измерений.
Рассмотрим и-мерное линейное пространство Яп со скалярным
произведением (,) и нормой ||:г|| = }'(х, х).
По определению конечномерного пространства любой вектор хеЛп
можно единственным образом представить в виде линейной комбинации
х = 0161 + •. • + сп%п линейно независимых векторов Бь • • •» Бп, образующих
базис пространства Нп. Числа ск. .называются координатами вектора х.
В качестве базиса всегда можно выбрать ортогональную и нормированную
систему векторов Бь • • •, Бп, т. е. такую, что (Б$, Б&)= 6^=1 * • _ ъ Отсю~
да следует, что с* = (я, БО-
Пусть А —линейный оператор, заданный ла Кп. Каждому оператору А
в базисе Бь • ••, Бп соответствует матрица & = (а<л) размером пХп, ще
а1Л— 1-я компонента вектора Л Б*. Обратно, всякая матрица &= (а<л), 1,Л=
=11, ..., л, определяет линейный оператор.
Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном
базисе есть симметричная матрица.
Остановимся на свойствах собственных значений и векторов
линейного самосопряженного оператора Л. Собственным значением оператора Л
называется такое число А,, что существует вектор Б Ф 0, обладающий
свойством Л Б = А,Б- Этот вектор называется собственным вектором,
принадлежащим (соответствующим) данному собственному значению X.
1. Самосопряженный оператор Л в Дп- имеет п взаимно ортогональных
собственных векторов Бь • • •» Бп. Будем считать, что все: Б а нормированы
к единице. Тоща (Б*, Ба)=^<а. Соответствующие собственные значения
расположим в порядке возрастания их абсолютных величин: | А, 11 ^|А,2| ^
< -.. <-|Л,»|.
<2. Если линейный оператор Л, заданный на Лп, имеет п взаимно
ортогональных собственных векторов, то Л — самосопряженный оператор,
А = А*.
3. Если Л * = Л ^ О, то вое собственные значения оператора Л
неотрицательны.

§ 2. НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА П1ЧШI1Ш1 »,||/
4. Произвольный вектор хеЛп можно разложить по соботнонимч ион
торам оператора А = А *:
п п
* = 2 с&ь> ск = (хЛк)> причем Ц х||2 = 2 «&
5. Пусть Л* = Л>0 (Л самосопряжен и неотрицателен). Тогда
ХЛ*!1 < (Ах,х) <А,п||*И2и
Я.111*11 ^ \\Ах\\ ^ К 11*11 для всех хеЯ,
где А.1 ^0, кп ^ 0 — наименьшее и наибольшее собственные значения
оператора А.
Норма самосопряженного неотрицательного оператора в Д„ равна его
наибольшему собственному значению, ||Л|| = Хп.
6. Если самосопряженные операторы А и В перестановочны, т. е. 4^ ==
=ВА, то они имеют общую систему собственных функций.
7. Пусть А и В — перестановочные (АВ = ВА), самосопряженные
операторы. Тогда оператор АВ имеет ту же систему собственных функций, что
'"&$>,*= 1,2, ...эп,где^>/4> и *<&-
и операторы Л и В и Я(^ = Х^*!
аомера к оп
равенства Х<*>.в = к%> + А#>
собственные значения номера к операторов А, В и. АВ = ВА
соответственно. Имеют место также равенства Я,^1п = >
§ 2. Некоторые варианты метода прогонки
1. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно
меняющимися коэффициентами. Рассмотрим вариант метода прогонки,
применяемый при решении задач с сильно меняющимися коэффициентами.
Примерами таких задач являются задачи гидродинамики с
теплопроводностью и магнитной гидродинамики, где коэффициенты теплопроводности,
электропроводности сильно зависят от термодошамических параметров
среды. В случае тепловых задач могут иметь место адиабатические участки, где
теплопроводность отсутствует, а также изотермические участки, где
теплопроводность бесконечно (велика. В магнитных задачах — соответственно,
идеально проводящие и неэлектропроводные участки. При решении
разностных уравнений второго порядка, получающихся при аппроксимации этих
задач, по обычным прогоночным формулам часто наблюдается значительная
потеря точности. Избавиться от этого недостатка удается путем перехода
к так называемому потоковому варианту метода прогонки. Формулы для
этого варианта прогонки можно получить в результате преобразования
формул обычной прогонки.
Итак, рассмотрим разностную краевую задачу
а<у<_1 — с,<у* + а<+1У|+1 = — /«, I = 1, 2, ..., # — 1, A)
00 = *1У1 + V,, ум = Х2У*-1 + Г2, B)
где
а = а<+1 + ал + й<, Л* > 0, 0 < а{ ^ оо,
1 > XI, х2 > 0, XI + х2 < 2.
Формулы обычной прогонки (см. гл. I, § 2, п. 5) для задачи A)—B) с
учетом C) принимают вид
Уг= %агыУг+1+ Рг+1> * = 0,1,2, .:.,ЛГ — 1,
*г+1
• Р|+1в-??г(в|Р4+л).
1 = 1,2, ..., Л^— 1.

598 дополнение
Введем новую неизвестную разностную фушщию (лоток) по формуле
и>< = а>х(Уг-\ — 1И) E)
и перепишем уравнение A) и краевые условия B) в виде
ш< — м>г+1 — Лцц = — /», г = 1, 2, ..., N — 1, F)
Я1A — и0у1 + м>1 = а^, а*A — к2)Уы— и2и>л = а*г2. G)
В первую из формул D) подставим значение у г из E): у< = у*+1+
+ 1/;,+1/аг+1. Тогда получим
а»+1A — аг+1)у<+1 + шг+1 = а<+1р*+1. (8)
Вводя обозначения а* = я,-A — а,-), Т* — а»Р*» перепишем (8) следующим
образом:
оауг + м>* = V*- (9)
После исключения у* из F) и (9) получаем
"* = а, + а. »г+1 + «. + <*. • A0>
Напишем рекуррентные формулы для-определения сб( и ■у,-:
Л • \ а{+1 Ы1 ~ «г) + <*»]
«г+1 = а»+1 I1 -* а1+1) = 7 Г\
аг+1 + аЛ1-а1} + Ь
или
«* + <**
Ь+1 = а«+1 Рг+1 = «1+1 (°{Р« + п) = «1+1 № + к) = A1)
_ в«-1 (*+'«) .
я»+1 + Л»A-«г)+<г{
Тг+/{
■^+1- Ц-(а; + ^+1 • , <12>
Иэ сравнения первого краевого условия G) с (9) при I — 1 находим
а, = а, A-х,), Т1 = «IV,. A3)
Формулы A1), A2) удобны для счета при <ц > 1.
При ац < 1 формулами A1) и A2) нужно пользоваться в виде
^+1=^т+ет^-' A1)
ТЖ- ат + (а1+Ч)- /12)
При выполнении условий C) из формул A1) и A1') следует, что а< > 0.
Тогда коэффициент а,/(а< + <*») в формуле A0) вселда меньше единицы,
что обеспечивает устойчивость при вычислении и;,-.

§ 2. НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОГОНКИ
599
Для определения у< можно воспользоваться следующими формулами:
Уг+1
Уг=аг+гУг+1+ Рг+1
при а\ ^> 1;
-(-е)-
У4 =
4+1
Уг+1 + -
Уг+1 + ■
у г + и
4+1
A4)
A5)
°г+1 + «г+аг "^ " <Ч+1 + «Г+<*г
ври а< < 1.
Ив A4), A5) видно, что прогонка устойчива. Для счета но формулам
A0), A4) и A5) нужно знать величины и>я и у м- Они определяются из
второго краевого условия G) и соотношения (9), взятого при г = И:
Д^2 + У^х2 УиамA-\>-*наи'*ш
у* в^^-и^ + х^ • юлг- а*A-и2)+хаал *
Отметим, что из C) следует, что знамеяатели этих двух выражений всегда
больше нуля.
Приведем окончательные формулы алгоритма потоковой прогонки:
1) Вычисляем а1 = а! A —Х1), VI = аМ.
2) Для 1'=!, 2, ..., N — 1 последовательно находим
«г + <*г
*+1~1+(«г+<*г)/*г+1-
аг+1(аг + <*»)
_ Уг+/г
^+1- ^ + (*^ + а^)/а^^.1^
Д<+1 (?! + /|)
3) Определяем
У* ~ 1 _ х2 + х2а^/а^ ^
а^2 + Улт*2
?"- а^A~х2) + х2а^ >
^Л7 = -
У* (* ~ *2) - а^2
"~ 1-*2 + *2а*/а* *
_ VN(^-*^)аN-аNV%аN
I Для * = ТУ — 1, # — 2, ..., О вычисляем
<*г / • агУг-агП
^ —а4 + ^ ^+1+ а4+й4 »
Уг+1
если а|+1>1,
если а1+1<1#
если а1+1 > 1,
оелн а*+1<1.
если а^ ^ 1,
если ам<. 1»
если а^^1,
если а^<1.
''"('-"^г)'*
г+1 ~ а
г+1
если аА г х 2^ 1,
*г+1
Уг+Д-
1Г«"««+1 + «.+^1Г|+1+ ««+*+«'* +*•' 6СЛа "< + <1в

600 дополнение
Замечание 1. Выше приведены формулы для определения не
только функции у и но и потока м><. При больших коэффициентах а{ вычисление
потока по формуле га = а<(у*_1— гц) приводит к существенной потере
точности. Это и послужило одной из причин введения потока ш< в качестве
дополнительной искомой функции и вычисления его по рекуррентному
соотношению A0).
Замечание 2. Устойчивость приведенных выше рекуррентных
формул очевидна.
2. Циклическая прогонка. Циклическая прогонка используется для
нахождения периодического решения разностного уравнения (или системы
разностных уравнений). Подобные задачи возникают дри приближенном
решении уравнений с частными производными в цилиндрических и
сферических координатах.
Рассмотрим систему уравнений
а>\ун — с\у\ + Ьху2 = —Л,
(ЦУг-г — С{у.г + ^1+1 = —/*, * = 2, 3, . . ., N — 1, A6)
а^Улг-1 — Смуц + Ъцух = —/лг.
Такая алгебраическая задача возникает при отыскании периодического,
у<+лг = уи решения системы трехчленных уравнений а<у*-1 — с*у< +
+ Ь<у*Ч1 = —-/* при условии
а{+п = (ц, Ь»+л = Ь<» с*+л = с*, ^^+N =/<•
Относительно коэффициентов системы A) будем предполагать, что
а{ > 0, Ь{, > 0, а > а{ + Ъл. A7)
Приведем получающиеся формулы решения задачи A6) — формулы
циклической прогонки:
Ьг П + аА агУг
аг+1 - с. — а{а{ ' РН1 ~ с{ — аЛ • Ъ+1 ~ с{ — а^ • <18'
^ = 2, 3, ..., #, а2 = &1/С1, р2 = и/си Ь = а,/сь
Рг = а.»+1^< + 1 + Р* + Ь 41 — а< + 1^<+1 + Тг + Ь A9)
1 = N — 2, ..., 1, рлт-1 = К» длт-1 = алт + Т^,
*"в 1-«*+А-Т*+1' У^^+У^ '= 1.2,....ЛГ-1.B0)
Метод циклической прогонки является устойчивым, так как решения
задач A9) ищутся методом протолки, который устойчив при выполнении
условий A7), а знаменатель 1 — а*+1д! — Чн+1 в выражении для у я не
обращается в нуль. Действительно, из A7), A8) видно, что а* < 1, ^ > 0,
<*2 -Ь V* < 1- Предполагая а* + у < 1, получаем
М"«Л' *Ч + аг-дг<*г .
«г+1 + Уг+1= с.-а-а.< с - а-а* <1' B1)
Учитывая A9) и B1), находим д*-1 < 1, д< < 1. Из всего сказанного
следует, что 1 — а*+1д1 — Т^+1 > 0-
3. Метод факторизации разностного уравнения. Формулы прогонки для
решения разностной краевой задачи
Ьун = Аьуь-х - Скук + ВкУк+1 = -П, к = 1, 2, ..., N - 1, B2)
могут быть получены путем факторизации разностного уравнения. Вводя
оператор сдвига Т так, что Ту* = у^+и представим левую ч^асть управления

§ 3. ЗАДАЧИ
001
B2) в виде произведения
(ЬкТ-Ак)(акТ-Е)ук-1 = СЬкТ-Ак)(акук - у*-,) -
==Ъкак+1ук+1— (Акак + Ьк)ук +Лкук^\,
где Е — единичный оператор, Еук = ук. Сравнивая это выражение с B2),
получим
а>к+1Ък = Вк, Акак + Ьк = Ск,
, После исключения отсюда Ьк = Ск — Акак найдем
«*+1 = С,-\«,' *-1,2,....ЛГ-1. B3)
Решение фа^кторизоваяного уравнения
(:&*Т — АкНплУк — Ул-1) = —Як
находится так: сначала из уравнения
(ЪкТ-Ак)$к = &АрЛ+1-ЛАрА==П,
или
Рй+1-Сй-Лй«й ' *-1.2,..., N-1, B4)
определяется функция Р*, затем находим ук по формуле акук — у*_1 =
= — р* или
ук = аА+1уЛ+1 + Рл+ь * = 0, 1, 2, ..., ЛГ —1. B5)
В результате получаем формулы обычной прогонки (см. гл. I, § 2, п. 5).
К формулам B3) — B5) следует добавить начальные условия
а1=*Г Р1 = *1* УN=Т=^. B6)
Если ввести операторы правой и левой разностей Ауа = ик+{ — ик,
VI;* = ик — 17Л_1, то факторизацию оператора
/л/Л = А кук-г —Скук + Вкук+1
можно осуществить, полагая
Ь = Ь{Ь21 где ^1==&лА + 'Ул, Ь2 = Ч + (ак — 1).
Равенство Ь\Ь2ук = Ьук будет выполнено, если положить
V* — '&*— ^а, а*+1&А=#А, ЛЛаА+^А/ал+1 = СЛ,
что снова приводит нас после исключения Уа и Ьк к тем же формулам
прогонки B3) — B6).
§ 3. Задачи
1. Задачи к главе VI. Для иллюстрации общей теории устойчивости мы
приведем ряд простейших разностных схем для уравнений
ди д и
5Г = ^2-' 0<*<Л0, 0<*<1; и(х,0) = и0(х), A)
ди д2и , Ь\
аГ^-^ + ^Г' 0<*а<1, а=1,2; ц (х±, *2, 0) = % (х±, *2) B)
*1 ~~2
с нулевыми граничными условиями,
39 А. А. Самарский

602 дополнение
Предварительно напомним правила, которыми следует руководствовать'*
ся при исследовании конкретных разностных схем.
А) Вводится пространство Нн сеточных функций, заданных на сетке
о* и удовлетворяющих однородным граничным условиям (в случае первой
краевой задачи— обращающихся в нуль на границе *(н сетки),
определяется скалярное произведение (,).
2) Разностная схема приводится к каноническому виду. Двухслойная
схема имеет канонический вид
В 1 Ч— + Ау* = ф>. C)
т
Трехслойная схема имеет канонический вид
В1 -М- + *2Я I Ш+1 + Ау> = Ф>. D)
2т т2
При этом определяются операторы В, В и А схемы.
Каноническая форма записи схем удобна не только для проверки
устойчивости, но и для оценки порядка аппроксимации.
3) После того, как операторы схемы найдены, исследуются их свойства
как линейных операторов в пространстве Нн (положительность,
самосопряженность и т. д.).
4) Проверяется выполнение достаточных условий устойчивости для
данной схемы. Эти условия имеют вид:
а) для двухслойных схем
Я > 0, Л = А * > 0, В^ 0,5тЛ E)
(устойчивость в На), либо
Я = Я*>0, Л=Л*>0, В^О&А F)
(устойчивость в Нв и Ял);
б) для трехслойных схем
В ^ 0, Я = В * > 0, А = А * > 0, G)
К>ТА ' "<8>
или В >—2Г~" ^» гДе б > 0 — любое число.
5) Если достаточные условия устойчивости для данной схемы
выполнены, то она устойчива и для нее можно пользоваться априорными
оценками, полученными в гл. VI.
Сделаем некоторые замечания. Следует обратить (внимание на
возможность использования другой формы записи двухслойных схем:
ЯуЖ = Су* + тф', где С ^ В — тЛ, А = (В — С)/т, (9)
и трехслойных схем:
ЯоуЖ + Вху) + В2у}-* = 2т<р'. A0)
Сравнивая D) и A0), находим
Во = Я + 2тЯ, Я1 = 2т(Л — 2Д), Я2 = 2тД-Я, A1)
* = ТГ(*о + *2)> ^ = ТГ (*о + *1 + *2)> 5^Т(^о-^). A2)
Достаточные условия устойчивости E) эквивалентны условиям
(В-С) = (В-С)*>0, Я + С^О. A3)

§ 3. ЗАДАЧИ 603
Для трехслойной схемы D) или A0) условия G), (8) эквивалентны
условиям
во + *2 = (*о+ **)*• Вг = В1' 5о-*2>°.
Вг-В1 + Во>0' В2+В1 + 50>0.
В ряде случаев удобно пользоваться записью схем C) и D) в виде (9) и
A0), после чего проверять достаточные условия устойчивости A3) д A4)
соответственно.
Напомним достаточные условия (вытекающие из условий E) или. (8))
устойчивости схем с весами. Пусть дана двухслойная схема с весами
;*4-1 ^ .
17 "Л- + А (оу'*1 + A - а) у>) = ф>, A5)
т
где А > 0 —- несамосопряженный оператор. Тогда схема устойчива при
о ^ 0,5. Если, кроме того, дано, что
№*||»<ДD*, *), A6)
то схема устойчива в // при
Наконец, если Л=4*>0иЛ — постоянный оператор, то А = ||Л|| и
схема A5) устойчива в Я л *НА при
Для трехслойной схемы с весами
уЖ~У'~1 + А (ау+1 + A - а1 - а2) у* + а/) = ц>\ A9)
где А > 0 — яесамосопряженный оператор, ||Лд:||2 ^г А (Л о:, х), достаточные
условия устойчивости имеют вид
1 1 14-е
а1>°2—'ТК'* °1 + (Т2>Т ПЛИ а1 + (Т2^"^2~' ' 8>0- B0)
Обратимся теперь к схемам для уравнений A) и B). На отрезке 0<
^ х ^ 1 вводится равномерная сетка
сол = {хл = Иг, I = 0, 1, ..., Щ
с шагом_Л = 1/ЛГ. Пусть Нн — пространство сеточных функций,
определенных на юл и равных нулю на границе (при х = 0, х = 1),
— скалярное произведение и норма ъ Нн.
В случае задачи B) в квадрате вводим сетку
©л = {** = (*А 12Ъ>)\ *1, «2 = 0, 1, ..., #, Л = 1/Я}
и пространство Ял функций, заданных на ©л и равных нулю при 11 =0,
<1 = #, 12 = 0, 12 = # со скалярным произведением
N-1
<*/,»)= 2 ^г2%,/> ОуТ=У(у.у).
39*

604 дополнение
В следующих задачах требуется привести к каноническому виду и
указать условия устойчивости разностных схем и погрешность аппракюимации:
12 т ~*~ 6 т +12 т
= ^[(^-2^ + уШ) + Ы-1~2,{ + ^0].
2Н
Ответ, уг — отЛу* = Лу, или (Я + отЛ)у* 4- 4у = О, ще о = -— —
Л2
— -—-, Ау = у- , Лу = — Лу. Схема устойчива в Я при любых к и т и
12т **
имеет погрешность аппроксимации 0(к4 + т2).
Указание. Следует преобразовать левую часть уравнения, для
чего воспользоваться соотношениями
*г+1 + 10"г + "г-1 = ("г+1 ~ 2"г + "г-0 + 12"г = ^"г + 12"г>
Г V 1
Ответ. (Я—тЛ)у<> + @,5 + 9) хЕ — у Л у- = Ау. Схема устойчива при
1 тб 4 . 2яА
0>-у-Т, 6 = ^зт -у.
Указание. Сравнение с D) дает В = Е -\- хА, Я = у Л -| ^— Я.
Отсюда следует
при 9 > —1/2 — тб/4, так как А > 6#.
3. 2?у{+1 = (V - 0,5) (у^ + у$\) + 0,5 (у?., + у|+1), ? = х/Ла.
Ответ. (Е — ах А) у г = Лу, 0 = 1 — 1/Bу) . Схема устойчива при ч ^
^ 0,5 и имеет погрешность аппроксимации О (к2 + т).
*• И+1 = 5те[C7-0,5)(!,|+11 + ^) +
+ E - 67) у< + CТ + 0,5)<у{_1 + у?+1) }, у = т/Л2.
Ответ. Та же схема, что и в задаче 1.
5- *&*=ш+1+р Ы&»+р^и-1+<4 - «) у!+*. *+
+ A - Р) У|. й+1 - D - <о - а - р) ,{# к + уЦ( й + у|А_г], О) = Л2/т.
Ответ.у,- у (ау^, + Ру.^) = Лу, где Лу = у-^ + у^.Условие
устойчивости а + Р > 2 — 0,5к*/%. Если а = 0A), р = 0A), т/А-»-0 при т-»-
-»0, А-»0, то схема аппроксимирует уравнение B) с- погрешностью
0(т+А2 + т/А).
- т (* - т) № -22,|_1+**)• *=т/л8-

§ 3. ЗАДАЧИ (|(M
О т в е т. Ву о + Л*у- + Ау = 0, где
В = Е-±(*-1\%А, д = ^-^ + -7-(г--1)Л» 4/^-у-.
2 \б7 /2т 4 \б7 / **
Схема устойчива при ^ ^ 1/3.
7. Ю^1 = 3(у|_1 + у{+1)+ 2 (у> + у?). * = л2/4-
Ответ, у о +-~Утл = Лу. Схема устойчива.
% 3 **
»• И+1= о [2И~*+32И +3 Ы=1 + *{+})!• *=л2/16-
1
Ответ. Схема приводится к виду D) с В = 2? — тЛ, Я = ^ Я + 0,5Л,
Лу = — у- и устойчива.
Ответ. Схема имеет канонический вид C), где Л =—(Л1+Л2),
В = Е — тЛ., Л„у = у- , а = 1,. 2, устойчива и аппроксимирует урав-
нение B) с погрешностью 0(х + Л2) = О (А2).
1 1,5у&-2у| + 0,5у& 5 1,5у{+1-2у| +(Ц.?*-1 ,
Ю-52 х +Т х +
1 ,1,5у|Ц-2у1_1 + 0,5уи А т
+ 12 т = Л^ '
Ответ. Схема имеет вид D), где
абсолютно устойчива, погрешность аппроксимации на решении уравнения
A) равна 0(х2 + Н4). .
Указание. Воспользоваться соотношением
1 „Я-1 _ 2** + ^ ^ = т»' + Л«-
11. Рассмотрим задачу для системы уравнений параболического типа
иA) @, 0 = 0, и™ A,0 = 0, и™ (х, 0) = ^> (х).
Известно, что
е12Й<21 *«*&«• 2 & с1>0-
г=1 г, т=1 г=1
Пусть
Л°у<*)=у1«), Лу«)=-аЛ°у<{), о>^,
хх 4
;=х

606
ДОПОЛНЕНИЕ
Показать, что схема уф +-т Пу11) + Ау^х) = 0: а) устойчива три лю-
г а
бых к и т; б) имеет точность 0(Д2 + т2).
2. Задачи к главе IX. Здесь будут рассмотрены примеры экономичных
методов для решения уравнения теплопроводности
р 2
— = > —, и(дг,0) = "оМ, Р = 2,3,
а=1 иха
в цилиндре и X [0 ^ I <, *о], где (? — прямоугольник @ ^ ха ^ /а, а = 1, 2)
при р = 2 или параллелепипед @ ^ ага ^ /а, а = 1, 2, 3) при р = 3. На
границе Г области С задано краевое условие первого* рода
и\т = \1(х), х = (*,, ..., хр).
В G вводится сетка шл, равномерная по каждому направлению ха (а =
= 1, ..., р) с шагом &а; пусть ун, а — множество граничных узлов
при ха = 0, а:а = 1а. Как обычно, обозначаем Лау = у-. Пусть #л —
__ а а"
пространство сеточных функций, определенных на шь и равных нулю на
границе Чн сетки,
(У>»)= 2 у(х)у(х)Нг ... Лр,
асе (од
где суммирование проводится по внутренним узлам геС сетки. На
отрезке 0 ^ г ^ и введена равномерная сетка с шагом т.
Будем рассматривать здесь только те экономичные схемы, которые
эквивалентны факторшованпой схеме, требование эквивалентности, как мы
отмечали, означает, что для промежуточных значений у*+<*/р краевые
условия на 7л, а должны быть заданы специальным образом. Следует иметь в
виду, что цри изучении устойчивости мы предполагаем, что у\ = 0. Толь-
ко при этом условии можно рассматривать у (х) как элемент
пространства Нн.
Если дан какой-либо экономичный метод, то надо: а) исключить
промежуточные значения и написать факторизоваяную схему, б)
сформулировать краевые условия для */*+«/?, при которых имеет место
эквивалентность этой схемы, соответствующей факторизованной схеме, в) оценить
порядок аппроксимации, г) исследовать устойчивость факторизованной схемы
(пользуясь общей теорией). В каждой задаче требуется выполнить все
четыре пункта.
При изучений устойчивости факторизованной схемы
Вуг+Ау = (р,
где В = #1... 2?р, Ва = Е + тДх, рекомендуется использовать следующий
Р
критерий. Если схема с В = Е + т ^ ^а устойчива и операторы Яа поло-
а=1
жительные, самосопряженные и попарно перестановочные, то факторизо-
ванная схема с В = В\ ... Вр также устойчива.
X Т
Дугласа — Рекфорда).
Ответ, а) (Е — %к\) (Е — хА2)уг = Лу, Л = Л1 + Л2.
б) ^ + % ;= ^+* — ТЛ2(»1, + 1—1*0 ПРИ 2, = 0, *!, #> + 1 = ^' + 1 При Я2=0, /2,
в) Схема имеет аппроксимацию 0(\к\2 + х).
Схема устойчива.

в 3. ЗАДАЧИ ,Ц|7
Указавле. Приведем схему к.виду
{Е-х\)у1+Ч'-у3 = \уК Л = Л1+Л2,
(«-,а>)У|+1-»'-1>",''~У
т
Отсюда ораву исключаем у*+Чг -— у* и получаем факторизовавшую схему.
Краевое условие для у*+1,г следует из второго уравнения.
2 у'+^-у' = ахлу+V. + A - а,) Л^Ч- Л^§
Ответ, а) (Е— о&А1)(Е — о2тЛ2)у* = Ау.
б) ^+'/« = ^+1 — то2Л2(^+1 — ч>) при *, = 0, и.
в) Схема имеет аппроксимацию 0(-г+ |й|2) 4-0(|о1 — 0,5|т) + 0(|о2—
—0,5|т), т. е. 0(|Л|а + *2) при о1 = а2 = 0,5.
1 1
г) Схема устойчива при оух^О и аа^У—2x0"!» а==1»2- Схема
абсолютно устойчива при оа ^ 0,5.
Указание, г) Пусть у^ — 0. Тоща Аа = — Л<*, -4 =41 + 42, ^ и
Л2 — положительно определенные, самосопряженные и перестановочные
операторы, так что А\А2 > 0. В данном случае
В = (Е + <5\%А\У(Е + а2хА2) = Е + о&Ах + о2т42 + 0\<з2т.2 АХА2,
В — 0,5тЛ = Я + @1 — 0,5)тЛ! + (о2 — 0,5)т^2 + 0|^МА >
> Я + (о, - 0,5)тЛ 1 + (о2 - 0,5)тЛ2,
так как О1О2^0. Учитывая затем, что Е ^ Аа/\\Аа\\9 и требуя
0,55 + (ов - 0,5) тЛа > |^±-| + (ав - 0,5) т) 4а> О,
получаем ста>0,5 — щА ,,.
3. у,+1/'т~ у? = ^Л^''» + A _ ^ду + (л.г + А>) у*,
-* г* = *Л(г/'+,/'-И.
^+1_^./.=аЛ(И+1_^
Т
(при 01 = 02= Оз = 0,5 —схема Дугласа).
з
. Ответ, а) (Е--- о^АД (Е- о^Л^ (Е- о3тЛ3) у% = Лу, Л = 2 Ла,
а=1
б) ^+1/« = ^ + т(^-о2тЛ2)(г;-ОзТЛ3)^ щш*1 = 0, ^, у'+в/' =
= р.'*1 — т2о3Л3ц| при х2 = 0, /2.
в) Схема имеет аппроксимацию 0(|Л2| +т2) при 0\ = о2 = Оз = 0,5,
0(|Ь2| +т) при Оа=^0,5, а = 1, 2, 2,-
г) Схема устойчива при о» ^ 0,5, а = 1, 2, 3.

§08 ДОПОЛНЕНИЕ
Указание, а) Обозначим ш« = у(*+«/3 — у*)/т. Тоща уравнения
запишутся в виде
(Е— 01тЛ1)ш1 =# Ау*, (Е— а2тЛ2)м?2 = м?ь (Я — о3тЛ3)шз = ю2.
Последовательно исключая отсюда и>2 и ю\ и заменяя м?з = (*/*+1 — у')/т»
получим искомую факторизоваиную схему.
4. У]+1/^-У} = о^+Ъ + A - <д ЛгзД
У*1-**'/' = а,А^» + A - 01)А1И+,/«.
1 А«
Показать, что при аа = -^ — т^Г э об =1,2, эта схема имеет
аппроксимацию #(|Л|4 + т2).,
О т в е т. а) (Я — О1ТЛ1) (Е — о2тЛ2) у* = Л у + A — о4 — о^тЛДгу,
б) у*+'/. = а^+1 - а1а2тЛ2^+1 + A - ах) ^ + A - а^ A -а^тЛ^
т2
при XI = 0, «,. Если 01 = о2 = 0,5, то у3+1/* = 0,5 (ц> + ц>+1) — — Л2Н|при
Ж1 = 0, *1.
в) Схема при а\ = о2 = 0,5 имеет точность 0(|/г|2 + т2), а при
аа = у —-^—точность 0(|/г|4 + т2).
1 **
г) Схема устойчива при оа ^ 0;5 и аа = -у — Т^Г-
Указание, а) Перепишем уравнения в виде
(Е- «лтЛОу'+'А = № + A - Ог)хАг)уI
(Е+A- о,)тЛ,)^+'/» = (Я - о2тЛ2)^+1.
Умножая второе уравнение на Оь первое —на A — оО и.складывая их,
полупим у*+,/а = О! (Е — о2тЛ2)у*+1 ^- ('1 — аО (Я + A — 02)тА2)уК Подставим
это выражение в первое уравнение и после очевидных преобразований
получим
(Е— о,тЛ,) (Я - о2тЛ2)у'+! = (Е+ A — о,)тЛ,) (Е + A — о2)тЛ2)у*
(при атом перестановочность Л, и Л2 не используется), б) Краевое
условие при х\ = 0, х\ = 1Х следует из полученной выше формулы для у*+ч*.
в) Погрешность аппроксимации схемы при оа = -у — -^^г исследовала
И. В. Фрязиновым (ЖВМ и МФ, т. 9, № 6 A969)).
Замечание. Эта схема имеет точность 0(|Л|4 + т2) в случае, когда
область О ступенчатая, т. е. составлена из прямоугольников со сторонами,
параллельными координатным осям, причем не толнко для первой краевой
задачи, но и для третьей краевой задачи.
5. ^^^^^^=|[л1^. + (л2+л3)!,^],
»}+11/+1/' = 4 [(А, + А2) у»»- + А/«].
Ответ: Схема не является безусловно устойчивой (см. [15]). Фак-
ториэованная схема имеет вид В\В2Вьу^х = С^С^ьу^ где Вл = Е — тЛо/3,
Са = Ва +Л/3, а=1, 2, 3, Л = Л2 + Л2 + Л3.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
К гл. I, § 1. Изложение следует книге [14]; понятие обобщенного
решения см. [2], [5].
К гл. I, § 2. Необходимые сведения из линейной алгебры можно найти
в книгах: Ильин В. А., П о з н я к Э. Г. Введение в линейную алгебру.—
М.: Наука, 4974; Воеводин В. В. Линейная алгебра.—М.: Наука, 4975.
§ 2, п. 5. Метод прогонки предложен в начале 50-х годов независимо
большим числом авторов, литературные ссылки см., например, в- [10] (гл. I,
§ 2, п. 9), [6], [7], а также в книге: Фаддеева В. Н., Фаддеев Д. К.
Вычислительные методы линейной алгебры.— М.: Физматгиз, 1963; где
показано, что метод прогонки является реализацией метода исключения Гауе-
са для трехдиагональной матрицы.
К гл. II, § 2. Понятие устойчивости разностной схемы в современном
виде впервые введено А. Ф. Филипповым (ДАН СССР, 1955, 100, № 6); см.
также [8], [40], [41].
К гл. II, § 3. Более подробные сведения о математическом аппарате
теории разностных схем можно найти в гл. V и VI книги [13]. В гл. II и IV
этой книги даны другие примеры разностных аппроксимаций простейших
дифференциальных операторов второго и четвертого порядка.
К гл. III. Подробное изложение теории однородных разностных схем
дано в работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (ЖВМ и МФ, 1961, 1, № 1),
в которой (см. также [13]) показана необходимость свойства
консервативности для сходимости однородной схемы в классе разрывных
коэффициентов. Соответствующая литература указана в [10]. Интегро-интерполяцион-
ный метод предложен А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским в начале 50-х
годов и развивался в их работах, обзор которых дан в статье в ЖВМ и МФ
1, № 1 A961) и в [10], а также в работах Г. И. Марчука (см., например,
книгу: Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов.—М.: Атомиз-
дат, 1964), И. В. Фрязинова и др.
К гл. III, § 8. Методы построения разностных схем ом. также в [43].
Там же приведены примеры получения с помощью метода конечных
элементов (вариационно-сеточного метода) разностных схем для уравнения
четвертого порядка.
К гл. IV §§ 1, 4. Аппроксимация уравнения Пуассона в полярной,
цилиндрической и сферической системах координат рассматривается в [13].
Там же можно найти аппроксимацию краевых задач второго и третьего
рода для уравнений с переменными коэффициентами на неравномерных
сетках, а также схемы повышенного порядка точности. В [13], гл. IV
построены разностные схемы для эллиптических уравнений, четвертого порядка с
краевыми условиями и условиями сопряжения различного вида, а в
качестве приложений рассматриваются задачи теории упругости (о
равновесии стержней и пластин).
К гл. IV, § 2. Изложение принципа максимума см. в [9], [10], [41],
а также в [13].
К гл. V, §§ I,4 2. Теория устойчивости двухслойных схем общего вида,
в том числе схем с весами, дана в гл. VI. Об асимптотической устойчивости
см. [11].
К гл. V, §§ 4,5. См. [41].
К гл. V, § 6, п. 3. Условие устойчивости т ^ к/а было впервые
получено в работе Р. Куранта, К. Фридрихса и Г. Леви (см. УМН, вып. 8 A940)).
5 6, п. 4. Этот пункт содержит результаты, полученные М. Н. Мосжаль-
ковым (ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 2; 1975, 15, № 4). Используемое понятно
обобщенного решения дано в [14].

610 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
К гл. VI. Более полная общая теория устойчивости разностных схем
дана в [11], где содержится большое число примеров, а также обзор работ
по теории устойчивости разностных схем. Изложение гл. VI основано на
работах А. А. Самарского и А. В. Гулина. Асимметричные схемы (§ 2)
были предложены В. К. Саульевым в 1960 г.
К гл. VII. Изложение основано на работах А. А. Самарского, перечень
которых дан в [10].
К гл. VIII, § 1, п. 5. См. А. А. Самарский (ЖВМ и МФ, 1962, 2, № 1).
§ 1, п. 6. Схемы сквозного счета для температурных волн см. в статье
А. А. Самарского и И. М. Соболя (ЖВМ и МФ, 1963, 3, № 4).
. Алгоритм § 1, п. 7 излагается по работе А. А. Самарского, Б. Д. Моисе-
енко (ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 5), см. также: Б. М. Будак, Е. Н. Соловьева,
А. Б. Успенский (ЖВМ и МФ, 1965, 5, № 5).
К гл. VIII, § 2. Изложение разностных методов решения одномерных
нестационарных задач газодинамики и магнитной гидродинамики можно
найти в [12]. Доказательство сходимости метода Ньютона для разностных
уравнений газодинамики, приведенное в книге, данр в статье Ю. П.
Попова и Е. А. Самарской (ЖВМ и МФ, 1977, 17, № 1).
К гл. IX, §§ 1, 2. Экономичным методам решения многомерных задач
посвящено большое число работ, ссылки на которые можно найти в [40],
^6], [15]. Первые экономичные схемы — схемы переменных направлений
ыли предложены Писменом и Рэкфордом, Дугласом A955) и В. К.
Саульевым A956). Н. Н. Яненко A959) впервые предложил аппроксимировать
многомерную разностную схему для уравнения теплопроводности системой
одномерных схем с весами, введя для этого алгоритма термины «метод
расщепления», «метод дробных шагов». Для выяснения вопроса об устойчивости
и сходимости был предложен переход от цепочки одномерных схем путем
исключения промежуточных значение у*+«/р к схеме «в целых шагах»,
связывающей .у* и у*+1; это — факторизованная схема, она устойчива при
попарной перестановочности одномерных разностных операторов (об этой
схеме ом. [15], [10]). В дальнейшем предлагались различные способы
получения экономичных факторизованных схем: 1) метод расщепляющегося
оператора (Е. Г. Дьяконов, 1962), 2) метод приближенной факторизации
(Г. И. Марчук и Н. Н. Яненко, 1966), 3) метод факторизации (оператора на
верхнем слое) (А. А. Самарский, 1963 —1966, см. § 2, гл. IX); он основан на
методе регуляризации разностных схем, изложенном в § 3 тл. VI. Отметим
также работу К. А. Багриновского и С. К. Годунова (ДАН, 1957, 115, № 3).
К гл. IX, § 3. Понятие суммарной аппроксимации, а также одномерные
модели
^+4%) = /«№ *е1*}>Ь+1Ъ «= 1.2....,р. B)
многомерной задачи
~М+(А1 + А2+...+Ар)и = 1, /=/1 + /2+...+/р, C)
впервые предложены А. А. Самарским A962, вторая модель в 1965 г.) и
использовались в дальнейшем многими авторами. Для первой модели
Н. Н. Яненко A964) оценил погрешность и (р)— и = 0(т),
воспользовавшись понятием суммарной аппроксимации (введя для нее./ термин «слабая
аппроксимация»). Изучению первой модели посвящена также работа
Д. Г. Гордезнани A965). Метод суммарной аппроксимации как способ
редукции многомерной задачи к цепочке задач A) или B) и последующей
их разностной аппроксимации широко применялся в задачах
гидродинамики, метеорологии, теории переноса излучения и др. рядом авторов и прежде
всего Г. И. Марчуком, Н. Н. Яненко и др.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ 611
Большое число работ по развитию и применению метода суммарной
аппроксимации выполнено И. Ф. Фрязиновым, который построил и
исследовал аддитивные схемы высокого порядка точности, схемы на графах и
аддитивные векторные схемы для параболических уравнений общего вида с
переменными коэффициентами в области произвольной формы с краевыми
условиями первых трех типов (ссылки см. в статье А. А. Самарского и
И. В. Фрязинова.— УМН, 31, № 6 A976)).
К гл. X. При изложении использованы работы А. А. Самарского и
Е. С. Николаева (см. [10], А. А. Самарский (ДАН СССР, 1969, 185, № 3;
1969, 186, № 1), Е. С. Николаев и А. А. Самарский (ЖВМ и МФ, 1972, 12,
№ 6)), а также работы Писмена, Дугласа и Гэкфорда (§ 4); к § 5 относятся
также работы М. А. Красносельского и С. Г. Крейна (метод минимальных
невязок, п. 2), Е. Г. Дьяконова и Гана (двухступенчатый метод, п. 5) и др.,
ссылки на которые см. в [10].
К гл. X, § 2. Способ упорядочения итерационных параметров дан по
работе Е. С. Николаева и А. А. Самарского (ЖВМ и МФ, 1972, 12, № 5),
несколько другой способ ' упорядочения предложен В. И. Лебедевым и
С. А. Финогеновым .([ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 1).
К гл. X, § 3. Попеременно-треугольный метод предложен А. А.
Самарским в 1964 г. (ЖВМ и МФ, 1964, 4, № 3) и усовершенствован в [10];
модифицированный вариант ПТМ предложен в статье А. Б. Кучерова и
Е. С. Николаева (ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 5).
К Дополнению, § 1. Более подробное изложение используемых нами
фактов из функционального анализа можно найти в [4], а также в книгах:
Люстерняк Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального
анализа.—М.: Наука, 1970; Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ.—
М.: Наука, 1967.
К § 2. Метод потоковой прогонки предложен Л. М. Дегтярёвым и
А. П. Фаворским (ЖВМ и МФ, 1968, 8, № 3; 1969, 9, № 1).
К § 3. Метод циклической прогонки принадлежит А. А. Абрамову и
В. Б. Андрееву (ЖВМ и МФ, 1963, 3, № 2); вывод формул см. также в [10].
Обзор работ советских авторов по теории разностных схем дан в статье
А. А. Самарского в кн.: История отечественной математики.— Киев: На-
укова думка, 1970, т. 4; литературные ссылки см. также в [10], [6], [16].

ЛИТЕРАТУРА
1. Ваз о в В., Форсайт Дж. Разностные методы решения
дифференциальных уравнений в частных производных.— М.: ИЛ, 1963.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.—М.: Наука,
1976, 1981.
3. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в
теорию).—М.: Наука, 1977.
4. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в
нормированных пространствах.— М.: Наука, 1977.
5. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.— М.:
Наука, 1973.
6. М арчу к Г. И. Методы вычислительной математики.—М.: Наука, 1980.
7. Рихтмайёр Р., Морт.он К. Разностные методы решения краевых
задач.— М.: Йир, 1972.
8. Рябенький В. С, Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных
уравнений.— М.: Гостехиздат, 1956.
9. Самарский А. А. Лекции по теории разностных схем.— М.: ВЦ АН
ССОР, 1969.
10. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем.—М.: Наука,
1974.
11. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.—
М.: Наука, 1973.
12. С ам а рс к и й А. А., П о п о в Ю. П. Разностные схемы газовой
динамики.— М.: Наука, 1973, 1980.
13. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для
эллиптических уравнений.— М.: Наука, 1976.
14. Т и х о н о в А. Н., С а м а р с к и й А. А. Уравнения математической
физики.— М.: Наука, 1972.
15. Я н е н к о Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач
математической физики.— Новосибирск: Наука, 1967.
16. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных
уравнений.—М.: Наука, 1978.
17. Самарский А. А., Карамзин Ю. Н. Разностные уравнения.—М.:
Знание, 1978.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕ
мы = {х{ = гк, к > О, 1 — 1, 2, ..., N — 1, кN = 1} — равномерная
сетка на интервале (О, I)
юл = {хх = 1'Л, к > 0, * = 0, 1, ..., #, Л# = *} — равномерная сетка на
отрезке; [О, I]
к — шаг сетки сод
х = хг — узел сетки ©л
У = у* = у (**•) — функция, заданная на сол
Ух = (у<+1 — Ух)/к — правая разностная производная в точке Х{
Ух — (У*"— У*-0/Л — левая разностная производная в точке я*
^ х* = (У<+1 — 2у1 + у{-1)/к2 — вторая разностная производная в
точке ж» ^
юЛ = {а^ е (О, I), 1 = 1, 2, ..., #—1} —неравномерная' сетка на
интервале (О, I)
EГЛ = {Х{ е [О, I], I = 0, 1, ..., N. х0 = О, ж* = 1} — неравномерная
сетка на отрезке [0, /] '
к1 = х* — Хх-1 — шаг сетки @л
^ = 0,5(Л, + Л.+1)
Ух = (Уг + 1 — У*)/Л< + Ь У* = (У< — У1-\Iк1
__ 1 / Уг+1^Уг _ Уг-Уг-1 \
у*3"" Ц у Ь1+1' кх ]
Скалярные произведения и нормы на сетке:
N-1 '
(У,") = 2 Уг»гН> |У|=У(У.У)
N
(У, *>] = 2 ?ЛЛ» В УI = У'(У. У]
|у[с = шах |у(^)|
(N-1 / * \2\1/2
о)т = {I) = /т, т > 0, / = 0, 1, ...} — временная сетка
*т — шаг сетки <о%
у = у} = у (^) — функция, заданная на со*
д = уж = у Л+1), Цш*у**шш у (*,-,)
У* = (У — У)К У; = (у - у)/т, у 0 = (у —^)/Bт)

614 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕ
УЛ = (у-2у+у)/т2
* = хх = \х[ * » • • •» *« » • • •» хр ) ~~ Узел ^-мерной прямоугольной
сетки (Ол
а "а'а
.(«а)_;
ка — шаг сетки со л по /направлению а
»-»(*,). »(±,-)-1гМ±,в?)
^ = (^(+10)-.)Аа
*аха
о
Й — ^множество функций, заданных на некоторой сетке 0л и
обращающихся в нуль на ее границе
Н — гильбертово пространство
(у. *>) — скалярное произведение элементов у,уб //, ||у|| = У(у, У)
&>(А) —область определения оператора А
Я(А) —множество значений оператора А
Е —. единичный оператор
А : Н-+ Н — оператор А сЗ>(А) = Н и #(Л) = Н
Л* — оператор, сопряженный оператору А
Л-1 —оператор, обратный оператору А
8 — оператор перехода со слоя на слой
Т — разрешающий оператор с
А > 0 — положительный оператор
А ^ 0 — неотрицательный оператор
А ^ 62?,' б > 0, — положительно определенный оператор
1у1а-У(^.у). у^#
|ф|.-1= /и-1Ф,ф). ф^^ -

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная устойчивость 265, 325
Абстрактная задача Копш 321, 499
Аддитивная схема 478, 496
Аппроксимация интегрального закона
сохранения 146
— разностная 64
— суммарная 478
Асимптотическая устойчивость 280
Безусловная устойчивость 265
Бубнова — Галеркина метод 200
Быстрое преобразование Фурье 521
Внутренний узел сетки 62, 219, 486
Входные данные 88
Гармоника 264
Граничное условие второго рода 34
первого рода 34
третьего рода 34
Граничный узел 62, 217, 484
Двухслойная итерационная схема 524
— схема 259, 323
с весами 297
Дивергентная разностная схема 144
дивергентный оператор 132
Дугласа — Рэкфорда схема 505
Дюфорта и Франкела схема 276, 375
Задача Копш для разностного
уравнения 33
— на собственные, значения 101
Зейделя метод 540
Интегро-интерполяционный метод 144,
194
Итерационные параметры по Жор дану
~ 570
Итерационный метод Ньютона 414, 421
переменных направлений 568
релаксации 542
решения систем линейных
алгебраических уравнений 29
Ричардсона 532
с.факторизованным оператором 575
Каноническая форма схемы
двухслойной 322
итерационной 524
^ трехслойной 323
Квадратная сетка 217
Консервативная схема 143, 431
Корректность разностной схемы 96, 121
Копти — Буняковского неравенство 100
Ко-эквивалентность разностных схем 207
Коэффипиентная устойчивость
операторного уравнения 207
схемы 205
Краевая задача для разностного
уравнения 33
Лагранжа переменные 428
Ламэ коэффициенты 475
— система уравнений 26 . .
Лапласа уравнение 18
Левая разностная производная 65
Линейный неотрицательный функционал
148
Локально-одномерная схема 483
Мажоранта 41,- 229
Максвелла уравнения 20
Метод баланса 144
— верхней релаксации 542
— встречных прогонок 39
— декомпозиции 517
— конечных элементов 197
— минимальных невязок 583
поправок 584
— модифицированный
попеременно-треугольный 561
— пробных функций 148
— прогонки 35
левой 38
матричной 522
циклической 169
— простой итерации 530
— разделения переменных 263, 338, 520
— скорейшего спуска 585
— энергетических неравенств 110
Монотонная схема. 169. 401
Наилучшая схема второго порядка 150
на неравномерной сетке 158
Невязка 81, 384
Негативная норма 76
Некорректная разностная схема 122
е-неравенство 101
Неравномерная сетка 61
Нерегулярный узел 220, 487
Нестационарное уравнение Шредингера
296
Неявная схема 259
Обобщенное решение 318
Однородная схема 136
консервативная 139, 431
Одношаговый итерационный метод 523

616 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Окрестность узла 2Й5
Ома закон 20
Оператор перехода 323
Операторная схема 115
Операторно-разнюстная схема 321
Оптимальный набор итерационных пара-
. метров 529
Писмена — Рэкфорда схема 446
Погрешность аппроксимации 65, 74, 330
на решении задачи 82
на сетке 73
оператора 126
разностной схемы 124
•Полностью консервативная схема 433
Попеременно-треугольный метод 545
Порядок аппроксимации схемы 82
— точности схемы 82
Потоковая сетка 177, 405
Правая разностная производная 65
Приграничный узел 220, 486
Принцип максимума 39, 228
— регуляризации разностных схем 373,
465
Продольно-поперечная схема 446, 504
Прямой метод решения системы
линейных разностных уравнений 29, 516
Прямоугольная сетка 217
Псевдовязкость 430
Пуассона уравнение 19
Равномерная сетка 61
— устойчивость по начальным данным
327
Разностная задача Дирихле 217
— производная 65
— схема 78, 121
, сходимость 123, 329
— формула Грина вторая 54, 100
первая 54, 99
Разностное уравнение 30
Разностный эллиптический оператор 245
Разрешающий оператор 326, 525
Регуляризатор 374
Регулярный режим 280
Режим с обострением 420
Ритца метод 198
Ричардсона схема 276
Рунге метод 161
Самосопряженный оператор 55
Сетка 34. 60, 219
— связная 220
Сеточная норма 63
— функция 60
Сильная устойчивость 207
Система уравнений гиперболического
типа 474, 513
параболического типа 471, 509
теории упругости 475
Скорость сходимости разностной схемы
123
Собственные векторы оператора 58
— значения оператора 58
Сопряженный оператор 55. 133
Сосредоточенная масса 28
— сила 28
— теплоемкость 28, 396
Сосредоточенный источник тепла 27, 394
Составная схема 496
Спектральная устойчивость 264
Стефана задача 426
Схема переменных направлений 445, 504
— повышенного порядка точности 250,
295, 455
— с весами 258, 294
— с опережением 259
— точная 187
Сходимость разностной • схемы 123, 329
Точность разностной схемы 124
Трехслойная схема 276, 299, 323
итерационная 580
Узел сетки 60, 219
Упорядоченный чебышевский набор
параметров 538
Уравнение колебаний 24
— переноса 300
— теплопроводности 22
Усеченная разностная схема 192
Условие согласования норм 327-
Условная устойчивость разностной
схемы 265
Устойчивость схемы нелинейной 126
разностной 96, 121
по начальным данным 262, 325
— по правой части 263, 325
Факторизованная схема 458
Формула Грина вторая 53, 100
первая. 53, 99
Функция Грина 181 >
разностная 184
Центральная разностная производная
Чебышевский иабор итерационных
параметров 529
Шаблон 64
Шаблонная функция 188
Шаблонный функционал 137
Шеститочечная симметричная схема 260
Эйлера переменные 428
— схема 92, 290
Экономичная схема 444
Явная схема 259
двухслойная 290
трехслойная 293 .