А.Н. (олубев. В-A Мартынов
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ВЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ:
L/4c m
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ивановский государственный энергетический университет
имени В.И. Ленина»
А.Н. ГОЛУБЕВ, В.А. МАРТЫНОВ
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ:
-	Теория
-	Задачи с решениями
-	Задание к расчетно-графической работе
Учебное пособие
Иваново 2008
УДК 621.3
Г 60
Голубев А.Н., Мартынов В.А. Переходные процессы в
линейных электрических цепях: теория, задачи с решениями; задание
к расчетно-графической работе: Учеб. пособие /ГОУВПО
«Ивановский государственный энергетический университет имени
В.ИЛенина». - Иваново, 2008.-196 с. ISBN 978-5-89482-510-6
В учебном пособии рассмотрены основные методы расчета
переходных процессов в линейных электрических цепях. Кроме того,
оно включает в себя варианты задания к расчетно-графической работе
(РГР) по указанному разделу курса ТОЭ и методические указания по
ее выполнению. Содержание пособия, последовательность изложения
материала в нем, а также объем задания к РГР в целом соответствуют
программе курса ТОЭ для электротехнических специальностей вузов.
Предназначено для студентов электротехнических и
электроэнергетических специальностей.
Табл. 12. Ил. 101. Библиогр.: 8 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет
имени В.И.Ленина»
Научный редактор
кандидат технических наук М.С. САЙКИН
Рецензенты:
А.Ф. СОРОКИН (ИГЭУ);
М.Г. МАРКОВ (ИГЭУ)
ISBN 978-5-89482-510-6	© А.Н. ГОЛУБЕВ, В.А.МАРТЫНОВ, 2008
| БИБЛИОТЕК
! Ивановского rocvцарстве . 
1 «тк-гегвчсХого унвверси т«

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие предназначено для самостоятельного
изучения основных методов расчета переходных процессов в
линейных электрических цепях. Оно включает в себя варианты
задания к расчетно-графической работе (РГР) по указанному разделу
курса ТОЭ и методические указания по ее выполнению. Содержание
пособия, последовательность изложения материала в нем, а также
объем задания к РГР в целом соответствуют программе курса ТОЭ для
электротехнических специальностей вузов.
Цель, которая стояла перед авторами при написании данного
пособия, заключалась в систематизации основных методов расчета
переходных процессов в линейных электрических цепях:
классического, операторного, метода переменных состояния - с
акцентом на алгоритмы их применения и привитие практических
навыков их использования. Необходимый теоретический материал
и июжен сжато с использованием его табличного представления, что
придает пособию элементы справочной литературы. Рассмотрение
каждого метода расчета сопровождается формулированием основных
налов его реализации и разбором широкого круга разноплановых
(адач. При подборе задач были использованы известные учебники,
сборники, а также методические разработки кафедры теоретических
основ электротехники и электротехнологий (ТОЭЭ) ИГЭУ [1 -ь 8], ряд
задач предложен авторами.
При изучении учебного материала, изложенного в пособии,
предполагается, что студент имеет необходимую математическую
подготовку в области дифференциального и интегрального
исчислений, линейной алгебры, комплексных чисел и
। ригонометрических функций, а также знаком с основными понятиями
I законами электричества и магнетизма.
Знания и навыки, полученные при прочтении данного учебного
пособия, а также при выполнении РГР, являются базой для освоения
i.iKiix дисциплин, как теория автоматического управления, переходные
процессы в электрических системах, электропривод, промышленная
шскгроника и др.
11особие включает в себя пять разделов и приложение. Первый
раздел посвящен основным топологическим понятиям схемы
шсктрической цепи и топологическим матрицам, использование
которых позволяет формализовать составление уравнений, в первую
очередь, при использовании метода переменных состояния. Следует
о । мстить, что данный материал обычно излагается в начале изучения
-3-
курса ТОЭ (при рассмотрении методов анализа статических режимов
электрических цепей). Поэтому, если обучаемый чувствует себя в этих
вопросах достаточно уверенно, данный раздел при чтении пособия
может быть пропущен. Во втором и третьем разделах учебного
пособия рассматриваются соответственно классический и
операторный методы расчета переходных процессов. В процессе
решения приведенных в них типовых задач акцентируется внимание
обучаемого на основных понятиях в теории переходных процессов в
линейных электрических цепях и физических явлениях в них.
Четвертый раздел пособия посвящен методу переменных состояния.
При этом упор в изложении делается на методику составления
уравнений состояния и их решение на ЭВМ. Пятый раздел учебного
пособия включает в себя задание к РГР, а также методические
указания по ее выполнению. Приложение содержит материалы по
численному решению уравнений состояния в среде Mathcad.
Авторы выражают глубокую благодарность инженеру
Н.Н. Дыдыкиной за активную и добросовестную работу при
подготовке рукописи к печати.
Пожелания и критические замечания по содержанию пособия
просим направлять по адресу: 153003, Иваново, Рабфаковская, 34,
Ивановский государственный энергетический университет, кафедра
ТОЭЭ.
-4-
1.	ТОПОЛОГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ
И ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
1.1.	Топологические понятия схемы электрической цепи
Любая электрическая схема подчиняется трем основным законам:
первому и второму законам Кирхгофа и уравнениям вольт-амперной
характеристики для каждого из элементов схемы. При этом законы
Кирхгофа являются линейными алгебраическими уравнениями для
напряжений и токов и не зависят от характеристик элементов схемы.
Топология схем рассматривает такие свойства сложных схем,
которые связаны только с соединением ветвей. Она является одним из
направлений математики, называемым теорией графов. Для большого
класса сложных схем можно использовать модели в виде взаимного
соединения элементов с двумя выводами и с определенными
характеристиками. В дальнейшем будем рассматривать линейные
схемы, элементами которых являются источники ЭДС с известными
напряжениями иЕ, источники тока с известными токами i,, резисторы
R, конденсаторы С и катушки индуктивности L, имеющие в общем
случае взаимоиндуктивную связь М между собой. Такие схемы будем
называются АССМ-схемами. При этом будем считать, что каждый
элемент является отдельной ветвью.
Полное описание схемной модели должно содержать следующую
информацию:
•	способ соединения ветвей;
•	условно-положительные направления токов и напряжений
ветвей;
•	характеристики ветвей.
Для описания способа соединения ветвей и условно-
положительных направлений токов и напряжений используется
изображение направленного графа схемы Gd в соответствии со
следующим правилом: каждый элемент с двумя выводами заменяется
на линейный сегмент, называемый ветвью и имеющий стрелку в том
направлении, в котором принимается положительное направление тока
через эту ветвь. Эта стрелка служит также для обозначения
направления напряжения на этой ветви. В соответствии с этим
правилом в ветвях, содержащих источники ЭДС, условно-
положительные направления напряжений и токов ветвей
противоположны направлениям ЭДС. В качестве примера на рис. 1.1,а
приведена схема электрической цепи, а на рис. 1.1,6 - направленный
граф Ga, соответствующий этой схеме.
-5 -
1
1
Если нас не интересует вопрос об условно-положительных токах
и напряжениях ветвей, то все стрелки в графе Gd могут быть
исключены. Результирующий упрощенный граф называется
ненаправленным графом или неориентированным графом схемы.
Дадим следующие определения.
Связный граф. Граф называется связным, если между любой
парой узлов его имеется ветвь или совокупность ветвей.
Контур. Под контуром понимают любой замкнутый путь,
проходящий по нескольким ветвям. Подграф Gs графа G,/ называется
контуром, если выполняются следующие условия:
•	граф Gs связан;
•	любой узел графа Gs имеет две ветви графа, сходящиеся в нем.
Например, на рис. 1.1,6 ветви abf образуют контур; ветви abcde не
образуют контур, т.к. не выполняется второе условие.
Дерево. Деревом называют любую совокупность ветвей графа,
соединяющих все узлы без образования контуров. Подграф Gs
связного графа Gd называется деревом при выполнении следующих
условий:
•	граф Gs связан;
•	G, содержит все узлы графа Gj;
•	Gs не имеет контуров.
Например, на рис. 1,6 ветви abe образуют дерево, ветви cd не
образуют дерево, т.к. не выполняется второе условие; ветви abdf не
образуют дерево, т.к. не выполняется третье условие.
В дальнейшем дерево будем обозначать через Т. Ветви,
принадлежащие дереву Г, называются ветвями дерева. Ветви, не
принадлежащие дереву Т, называются связями. Все связи,
соответствующие данному дереву Г, образуют подграф S, называемый
дополнением дерева.
Для связного 1рафа Gd с d узлами любое дерево Т имеет d-l
ветвей. При этом, если d-l ветвей графа Gd могут быть выбраны таким
-6-
образом, что они не образуют контуров, эти d-l ветвей составляют
дерево графа.
Сечения. Набор ветвей связного графа Gd называется сечением,
если выполняются условия:
•	устранение набора ветвей (но не их окончаний) приводит к
графу, который не является связным;
•	после устранения набора ветвей восстановление любой ветви
из этого набора вновь приводит к получению связного графа.
Например, на рис. 1.1,6 ветви faed образуют сечение, также
образуют сечение ветви ced. Однако ветви ceb не образуют сечение
потому, что не выполняется первое условие; ветви aebf не образуют
сечение потому, что не выполняется второе условие (восстановление
ветви f не приводит к получению связного графа). Заметим, что
количество ветвей в сечении не фиксировано, как это имеет место для
дерева.
Понятия контура, сечения и дерева вводятся здесь потому, что
они важны при анализе сложных схем. Контуры являются подграфами,
к которым применяется второй закон Кирхгофа. Сечения являются
подграфами, к которым применяется первый закон Кирхгофа. Понятие
дерева используется для формирования независимых уравнений по
гаконам Кирхгофа.
Хотя направленный граф полностью описывается соединениями и
условно-положительными направлениями ветвей сложной схемы, эта
форма выражения неудобна при использовании ЭВМ. Для записи в
цифровом виде наиболее удобно представление в виде матриц.
Рассмотрим три фундаментальные матрицы, соответствующие
направленному графу.
1.2.	Матрица инциденций (соединений)
Содержащаяся в направленном графе информация может быть
полностью представлена матрицей, называемой матрицей
инциденций. Для направленного графа Gd с d узлами и b ветвями
полной матрицей инциденций является d*b матрица:
[4]-W.
где	если ветвь j принадлежит узлу i и стрелка направлена от узла
z, ау=-1, если ветвь j принадлежит узлу i и стрелка направлена к узлу i;
<г,; -О, если ветвь j не принадлежит узлу I. Например, для
направленного графа, приведенного на рис. 1.1,6,
-7-
Узлы G
1
Ш=з
4
1
-1
О
О
b
О
1
О
-1
1
о
-1
о
d
О
о
1
-1
е
О
1
-1
О
-1
о
о
1
Прилежащие ветви
acf
abe
cde
bdf
Так как каждая ветвь соединяется с двумя различными узлами, то
каждый столбец матрицы [Ла ] имеет только два ненулевых элемента 1
и а остальные элементы равны нулю. Можно исключить любую
строку в матрице без потери информации, потому что эта
исключенная строка может быть всегда восстановлена, если
применить правило, что каждый столбец [X,] должен быть дополнен
до нулевой суммы.
Матрица, полученная из матрицы путем исключения одной
строки, называется редуцированной матрицей инциденций или
просто матрицей инциденций и обозначается [л] .
Обозначим через [г] матрицу-столбец (вектор) токов всех ветвей
схемы. При этом столбцы матрицы и строки [/] должны
принадлежать ветви такого же порядка, т.е. k-й столбец и к-я
строка [z] должны соответствовать одной и той же ветви Ga- Тогда
первый закон Кирхгофа может быть компактно записан в виде одного
матричного уравнения применительно ко всем узлам:
[Л]И=[о]-	(11)
Например, для графа на рис. 1,6 уравнение (1.1) запишется в виде
1
2
3
4
а
1
-1
О
О
ь
о
I
о
-1
с
1
О
-1
о
d
О
О
1
-1
е
О
1
-1
О
-1
о
о
1
‘ь
i.
О
О
О
О
d
I
в скалярной форме, мы получим четыре
Записав уравнения
уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1-4.
Набор уравнений (1.1) не является линейно независимым, т.к.
любое уравнение в (1.1) содержится в остальных d-l уравнениях.
-8-
11оскольку при анализе схем используются только независимые
уравнения, то максимальный набор независимых уравнений по
первому закону Кирхгофа будет выражен как
ИН=[о].
(1-2)
1.3.	Матрица контуров
Для того чтобы компактно выразить уравнения по второму закону
Кирхгофа в виде единственного матричного уравнения, введем другую
матрицу, называемую матрицей контуров (матрицей схемы),
соответствующей направленному графу.
Допустим, что в графе схемы имеется nh контуров. Зададимся
положительным направлением обхода (ориентацией) каждого контура.
11оложительное направление обхода, или ориентация контура,
обозначается на схеме стрелкой. Такие контуры называются
ориентированными. Например, на рис. 1.2 показан граф схемы и
ориентированные контуры, обозначенные римскими цифрами.
Для направленного
графа Grf с Ъ ветвями и пь
ориентированными
контурами матрица
контуров будет
матрицей:
ш-м.
где } = 1, если ветвь j
Рис. 1.2
входит в контур i и их
направление одинаково;
если ветвь j входит в контур i и их направление
противоположно;	= 0, если ветвь j не входит в контур i.
Например, на рис. 1.2 имеется шесть ориентированных контуров,
и матрица контуров этого графа имеет вид
-9-
Конгпур	abed е	Вете» е контурах
I	'-I -1 1	0 О’	abc
11	00-1-10	cd
	0 0 0 1 1	de
	-1 -10-10	abd
V	-1-10 0 1	abe
VI	0 0 -10 1	се
Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма		
мгновенных напряжений в каждом контуре любой схемы всегда равна
нулю. Выразим напряжения всех ветвей через матрицу-столбец
(вектор) [и] таким образом, чтобы строки [и] имели тот же порядок,
что и столбцы матрицы [д, |. Тогда второй закон Кирхгофа
применительно ко всем контурам может быть компактно записан в
виде
[Д.][«]=[о]-	(1-3)
Будучи записанным в скалярной форме, уравнение (1.3) дает
набор из и* уравнений. Значение пь может быть очень большим даже
для схем незначительных размеров. Однако при анализе схем
используются только независимые уравнения. Любая субматрица от
ГД,], состоящая из максимального числа независимых строк матрицы,
называется основной матрицей контуров и обозначается [д,].
Можно доказать [5], что для связного графа Gd с dузлами и b ветвями
матрица [Д,] имеет Ь-d+l строк. Таким образом, Ь-d+l независимых
уравнений по второму закону Кирхгофа могут быть компактно
записаны в виде
Ы“] = М-	(1.4)
Для связных планарных схем матрица [д] может быть легко
построена, если выбрать Ь-d+l контуров в виде ячеек сетки или
«окон» [5] (например, контуры I, II и III на рис. 1.2). Дтя непланарных
сложных схем этот метод неприменим. Систематический метод
построения [Д,] предусматривает использование дерева Т. Каждая
связь к дереву Т образует главный контур для этой связи
относительно выбранного дерева. При этом в главный контур входит
только одна ветвь связи, а остальные ветви являются ветвями дерева.
Ориентация каждого главного контура выбирается таким образом,
- 10-
чтобы соответствовать направлению связи. Для связного графа Gd с d
узлами и h ветвями имеются Ь-d+l связей и, следовательно, b-d+1
главных контуров. Субматрица от [Во], построенная с
использованием этих Ь-d+l главных контуров, называется матрицей
। данных контуров и обозначается как [в] .
Например, для графа на рис. 1.2 при выборе дерева Т, состоящего
и . ветвей ad, матрица главных контуров будет иметь вид
a d b с е
1 1

1
О
-° 1
1 о о
О 1 о
О О 1
Поскольку в каждый главный контур входит только одна ветвь
связи, любая матрица [в] может быть разделена следующим образом:
[*Ь[[Вг]	П-5)
• де столбцы матрицы [В7] соответствуют ветвям дерева, а столбцы
единичной матрицы [1] порядка Ь-d+l соответствуют связям. Из
присутствия [1] в (1.5) следует, что строки [в] линейно независимы.
Необходимо отметить, что любая матрица главных контуров [в]
всегда является матрицей базовых контуров [^В4]. Но обратное
неверно. Например, на рис. 1.2 матрица базовых контуров может быть
построена путем использования контуров I-III. Однако в графе,
главными контурами которого являются контуры I-III, дерева нет. Но
хотя матрица ^Bft] является более общим случаем, использование
матрицы [в] имеет преимущество, заключающееся в простоте ее
формирования при анализе сложных непланарных схем. Поэтому при
анализе сложных схем максимальное количество независимых
уравнений по второму закону Кирхгофа может быть выражено одним
матричным уравнением
[В]М = [О].	(1.6)
1.4.	Матрица сечений
Первый закон Кирхгофа обычно формулируется следующим
образом, алгебраическая сумма мгновенных токов, входящих
(исходящих) в любой узел сложной схемы, всегда равна нулю.
- 11 -
Более общая форма этого закона гласит, что алгебраическая сумма
мгновенных токов через сечение всегда равно нулю. Эта форма
закона является более общей, потому что сечение может охватывать
все ветви, сходящиеся в узле, а может и не охватывать. Например,
применив обобщенный первый закон Кирхгофа к графу на рис. 1.1,б,
можно записать:
ia+ic-if =°;
4+4+4~'у = ° ит-д-
При этом второе уравнение не является результатом применения
первого закона Кирхгофа к какому-либо одному узлу.
Чтобы выразить уравнения обобщенного первого закона
Кирхгофа в виде единственного матричного уравнения, введем
матрицу, называемую матрицей сечений.
Вначале рассмотрим ненаправленный граф. Допустим, что в этом
графе будут пс сечений. Можно считать, что ветви любого сечения
являются «мостами», соединяющими два «острова», разделенных
граничной чертой (см. рис 1.3,а). Для направленного графа нас будет
интересовать «перемещение» от одного «острова» к другому. Если
направление перемещения выбрано, оно показывается опорной
стрелкой сечения (см. рис. 1.3,6). Сечение в этом случае называется
Для направленного графа Gd с b ветвями и пс ориентированными
сечениями матрица сечений будет п, *Ь матрицей :
- 12-
। де rf- = 1, если ветвь j находится в сечении i и их ориентации
совпадают; d- = — 1, если ветвь j находится в сечении i и их
ориентации противоположны; dy=Q, если ветвь j не находится в
сечении i.
Например, в графе, изображенном на рис. 1.4, имеются шесть
сечений, и матрица сечений имеет вид
Сечение й Ь С d С Hemau е сечении
1	*1 1	0 1 О'	ab d
2	00-11 0	cd
И-’	110 0 1 0 0 1	0-1	abe се
5	0 0 0 1-1	de
6	-1 -1-10 0	abc
Сечены 3 j > Сечение 4
Сечение 5
Рис. 1.4
Если строки вектора токов [/] и столбцы матрицы [£>я]
относятся к одним и тем же ветвям, то обобщенный первый закон
Кирхгофа, примененный ко всем сечениям, может быть выражен
следующим образом:
1А>Но]-	(1-7)
Это матричное уравнение представляет собой набор уравнений,
которые не являются линейно независимыми. Любая субматрица,
которая состоит из максимального числа независимых строк матрицы
называется базовой матрицей сечений и обозначается
Как показано в [5], для связного графа Gd с d узлами любая базовая
- 13 -
матрица сечений [Db ] имеет d-1 строк. Таким образом, максимальное
число независимых уравнений по обобщенному первому закону
Кирхгофа может быть компактно записано следующим образом;
[А]['] = [0].	(1.8)
Систематический подход к построению базовой матрицы сечений
предполагает использование дерева Т. Каждая ветвь дерева Т вместе с
некоторыми связями образует сечение, называемое главным
сечением для этой ветви дерева. При этом в главное сечение входит
только одна ветвь дерева. Опорное направление сечения выбирается
согласно направлению ветви дерева. Для связного графа с d узлами
имеется d-1 ветвей дерева и, следовательно, d-1 главных сечений для
каждого выбранного дерева. Субматрица от[т>о], составленная для d-1
главных сечений, называется матрицей главных сечений и
обозначается [о].
Например, если в графе на рис. 1.4 в качестве дерева выбрать
ветви асе, матрица главных сечений будет иметь вид
и=	а с е b d '1 0 0 1 Г 0 10 0-1 0 0 10 -1
Исходя из метода, которым получена матрица главных сечений,
очевидно, что любая матрица [£>] может быть расчленена следующим
образом:
где столбцы единичной матрицы [1] соответствуют ветвям дерева, а
столбцы - связям.
Из присутствия единичной матрицы в уравнении (1.9) следует,
что строки [о] линейно независимы.
Любая матрица главных сечений [£>] всегда является матрицей
базовых сечений Но обратное утверждение неверно. Например,
на рис. 1.4 можно показать матрицу базовых сечений, использующую
сечения 1-3, однако в графе нет дерева, главными сечениями которого
являются сечения 1-3. Хотя матрица | и включает [£>], однако
матрица [о] легче формируется. Поэтому при записи уравнений по
- 14-
обобщенному первому закону Кирхгофа обычно используется матрица
| />]. Максимальное количество независимых этих уравнений
компактно выражается в виде
(1.10)
1.5.	Основные соотношения между токами и напряжениями ветвей
Законы Кирхгофа накладывают определенные условия на токи и
напряжения в схеме. Вследствие этого лишь часть токов и напряжений
в схеме независимы, а остальные токи и напряжения ветвей могут
(>ы п. выражены через независимые величины. Рассмотрим основные
сош ношения между токами и напряжениями ветвей.
Для связной схемы с d узлами и b ветвями выберем дерево Т и
расчленим рассмотренные выше матрицы следующим образом:
И = [И] [Л]]; И = |>] [1J]; [n] = [[lj [£>,]];
(1.11)

i де индекс Т означает дерево, а индекс 5 - связь; р — d — 1, а
р = b — d + 1. Предполагается, что строки векторов [и] и [г] и столбцы
| -l], [в] и [£>] расположены в том же порядке, что и ветви. При этом
вначале всегда нумеруются ветви дерева, а потом ветви связей.
Отметим, что напряжения связей могут быть выражены как
j..ейные комбинации напряжений ветвей дерева. Используем
уравнение (1.6) :
Следовательно,
[1J]
ы
к].
=к][мт]+к]=о.
[Ms ] ~	] [мт- ] •
(1-12)
Подобным образом токи ветвей дерева могут быть выражены как
ивпейные комбинации токов связей. Используем уравнение (1.10):
ии-[ы и]
}^]=М*[Д1Ы-о
- 15 -
Следовательно,
K1=-M1	(1-13)
Матрицы [Вг] и [Р5 | связаны простым соотношением [5]:
™И [Zq = -[Z>S]'-	(1-14)
В соответствии с (1.14) может быть сформирована только
матрица [о] или [в]. Любая из этих матриц может быть получена
простым транспонированием другой матрицы.
С помощью уравнения (1.14) можно выразить все токи ветвей
через значения токов связей:
Рт] _	]['.?]
_ [М
. [1J J
Ы = [*Г Ps] -(1-15)
Таким же образом можно выразить все напряжения ветвей в
значениях напряжений ветвей дерева:
[»]=[Ь }Ч .hl 1Н УКЧо ы-
(1-16)
Уравнение (1-15) является частным случаем более общего
контурного преобразования, описываемого следующим выражением:
И=№1>	(1-17)
где [А] - матрица основных контуров, [д] - соответствующее
семейство д независимых токов. При этом некоторые элементы | не
могут быть идентифицированы как токи ветвей. Однако все элементы
могут быть интерпретированы как фиктивные расчетные токи,
называемые контурными токами.
Аналогично уравнение (1.16) является частным случаем более
общего преобразования, называемого преобразованием сечений,
которое выражается формулой
М=Ы%]>	(118>
где	- некоторая базовая матрица сечений,	-
соответствующее семейство р независимых напряжений, которые
могут быть интерпретированы как напряжения сечений.
- 16-
Другое очень важное преобразование, называемое
|||>г<й>р:| юванием узлов, дает возможность использовать матрицу'
.....лепций [Л]. Рассмотрим связную схему с d узлами. Поскольку
ш>|< нцпалы узлов схемы определяются с точностью до постоянной
псипчнпы, выберем узел d в качестве опорного, потенциал которого
р пч и пулю Потенциалы всех остальных d-l узлов сведем в матрицу-
• ки|(ц-ц (вектор)
L%-i J
Пусть [л] является матрицей инцидеиций, d-l строк которой
11н>11к-1с1'вуют узлам 1, 2, ...,d-l. Отметим, что опорный узел d не
 iIkiiii.i'icii в [л]. Тогда напряжения всех ветвей схемы [и] могут быть
। i.ip 1.кепы через потенциалы узлов [<р] выражением [5]
М=И'Ы-	(1-19)
111 рассмотренных выше топологических матриц [Л], [5] и [О]
и niiioiiec просто формируется упрощенная матрица инцидеиций [Л].
I лк показано в [5], если матрицы [Л], [Д] и [Z>] расчленить в
< Ou ! ВС Ю гвии с (1.11), то
W'—[лГ'[4,1—(о.1; [оНлГ'И;
[1,]]	(1-20)
Выражения (1.20) позволяют получить матрицы [В] и [О] ИЗ
м.нрнцы [Л]. Если вначале найти матрицу [Лг] а затем умножить
| (, | 1 на [л], то результатом будет матрица [о] После этого в
। .югнсгствии с (1.14) и (1.20) легко получить матрицу [в].
БИБЛ И О ГЕКА
Ивановского государственчоге
- 17-
2.	КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
2.1.	Общие сведения
Классический метод расчета переходных процессов заключается
в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений,
описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в
динамических режимах. В основе метода лежит представление
искомого решения в виде суммы частного решения (соответствует
исследуемой переменной в установившемся послекоммутационном
режиме) исходного неоднородного дифференциального уравнения и
общего решения (непосредственно определяет переходный процесс)
однородного, что делает данный метод физически прозрачным.
В общем случае при использовании классического метода расчета
составляются уравнения электромагнитного баланса цепи по законам
Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных
между собой на отдельных элементах цепи соотношениями,
приведенными в табл. 2.1.
Таблица 2.1. Связь мгновенных значений напряжений н токов на элементах
Для цепи, содержащей линейные резистор R, катушку
индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с
напряжением u(t) на основании второго закона Кирхгофа имеет место
уравнение
ил+и£+ис =м(/),
которое с учетом соотношений,
приведенных в табл.2.1, может быть
трансформировано в линейное
R L С
Рис.2.1
-18-
ц|<|>||н-реициальное уравнение второго порядка относительно ис :
, „ d2ur , dur i \
dt2 dt	c V '
В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в
н< ни < п независимыми накопителями энергии, имеет вид
d"x d"~lx	dKx dx	, .
и.----+ a„ ,-----+••• + «,--+ •• + «.— + OaX = fit),	(2.1)
dt" " ' dt”-'	dtK ' dt °	V
। и \ искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и
in) / (/) известное возмущающее воздействие (напряжение и
(и in) иж источника электрической энергии); ак - к-й постоянный
ко >||и|>ициснт, определяемый параметрами цепи.
Порядок уравнения (2.1) равен числу независимых накопителей
ни pi пи в цепи, под которыми понимают катушки индуктивности и
•иидепсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем
1 уммирования индуктивностей и соответственно емкостей элементов,
. иг ншспия между которыми являются последовательными или
и цкпшельными.
В общем случае порядок дифференциального уравнения,
uiiici.iiiaiomero переходный процесс, определяется соотношением
п - nL + пс - к, - кс,	(2.2)
। к- и, и п(. — соответственно число катушек индуктивности и
конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; kl -
•ин но углов (рис.2.2,а), в которых сходятся только ветви, содержащие
у.пушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа
иж через любую катушку индуктивности в этом случае определяется
UW.IMH через остальные катушки); кс - число контуров (рис.2.2,б),
Рис. 2.2.
-19-
ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со
вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в
этом случае однозначно определяется напряжениями на других).
Следует отметить, что наличие в цепи индуктивных связей не
влияет на порядок дифференциального уравнения.
Как известно из математики, общее решение уравнения (2.1)
представляет собой сумму частного решения исходного
неоднородного уравнения и общего решения однородного,
получаемого из исходного уравнения путем приравнивания его левой
части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается
каких-либо ограничений на выбор частного решения, применительно к
электротехнике в качестве последнего удобно принять решение,
соответствующее искомой переменной х в установившемся
послекоммутационном режиме. В связи с тем, что в отличие от
динамики в установившемся режиме переменная х однозначно
определяется напряжениями и (или) токами источников, т.е. функцией
f(t), данная составляющая общего решения называется
принужденной (такой ее «принуждают» быть источники энергии).
Для цепей с заданными постоянными или периодическими
напряжениями (токами) источников принужденная составляющая
определяется путем расчета стационарного режима работы схемы
после коммутации известными методами анализа линейных
электрических цепей.
Вторая составляющая общего решения уравнения (2.1) — решение
данного уравнения с нулевой правой частью-соответствует режиму,
когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь
непосредственно не воздействуют (поведение данной составляющей, в
первую очередь, определяется параметрами пассивных элементов
цепи). Влияние источников проявляется здесь апосредованно через
энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и
конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а
соответствующая ему составляющая общего решения - свободной
составляющей.
На основании вышеизложенного общее решение уравнения (2.1)
применительно к задачам электротехники имеет вид
х=хпр+хс^	(2-3)
где хпр и хсв - соответственно принужденная и свободная
составляющие общего решения.
Соотношение (2.3) показывает, что при использовании
классического метода расчета послекоммутационный процесс
-20-
11 ii < м.и|111и.1С1ся как наложение друг на друга двух режимов —
i| ищдои иного. наступающего как бы сразу после коммутации, и
iiniin nioio, имеющего место только в течение переходного процесса.
II. itiMimiMo подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения
। пр ни । ши только для линейных систем, метод решения, основанный
hi vb-HHiiioM разложении искомой переменной х, справедлив только
। in iiiiiirlnii.ix цепей.
2 2. Начальные условия. Законы коммутации
И । ОО1ИС ТСТВИИ с определением свободной составляющей хсе в ее
in inn «< пии имеют место постоянные интегрирования Лк, число
। iinpi.ix p.iuiKi порядку дифференциального уравнения. Постоянные
ни h i |1ир<>н.111Ш1 находятся из начальных условий, которые принято
и 'inn. (см табл. 2.2) на независимые и зависимые. Независимые
н in । и |1ы< условия определяются на основании двух законов
коммуiлини (см. табл. 2.3). Доказать законы коммутации можно от
I и ины ? ; к inn ифнкацня начальных условий
ПйЧЙ ll.fll.H- услонин	Параметры	Способ определения
III «ниц* 11М1.1Г	Начальные значения потокосцепления (тока) катушки индуктивности и напряжения (заряда) конденсатора	Определяются на основании законов коммутации (см.табл. 2.3)
	Начальные значения остальных переменных цепи, а также производных от переменных по времени (в том числе независимых)	Определяются по независимым начальным условиям с использованием уравнений, записанных по законам Кирхгофа для момента коммутации (t=O)
|||»||||ппо1о если допустить обратное, то получаются бесконечно
iiniii пин- значения напряжения на катушке индуктивности
и, dyt/dt со и тока в ветви с конденсатором ic = dq/dt = оо, что
ii|iinii чип к нарушению законов Кирхгофа.
Формулировка законов коммутации в соответствии с их
и ни икс пнем в табл. 2.3 является наиболее общей. Однако на практике,
in исключением особых случаев (некорректные коммутации),
опус iiiMo использование указанных законов в другой формулировке,
и именно:
iK pni.iii uncoil коммутации - в ветви с катушкой индуктивности ток
в момент коммутации сохраняет свое
докоммутационное значение и в даль-
-21 -
Таблица 2.3. Законы коммутации
Название закона	Формулировка закона
Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)	Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура (потокосцепление контура), в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел в последний миг до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: (У (0 +) — у/ (0 —) .
Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)	Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: q (0 +) — q (О —) .
нейшем начинает изменяться именно с
этой величины:
|£(0+) = 2£(0-);
второй такой коммутации — напряжение на конденсаторе в момент
коммутации сохраняет свое докоммута-
ционное значение и е дальнейшем начи-
нает изменяться именно с этой вели-
чины: ис (0 +) = ис (0 -).
Законы коммутации в соответствии с формулировкой, данной в
табл. 2.3, применяются для анализа так называемых некорректных
коммутаций (название произошло от пренебрежения малыми
параметрами элементов цепи - активными проводимостями,
сопротивлениями и межвитковыми емкостями реальных
конденсаторов и катушек индуктивности корректный учет которых
обусловливает невозможность скачкообразного изменения
напряжений и токов соответственно для емкостных и индуктивных
элементов, однако может привести к существенному усложнению
задачи). К ним относятся два случая:
—	в электрической цепи имеют место «емкостные контуры», т.е.
контуры, включающие в себя только конденсаторы и источники
ЭДС (см.рис. 2.3,а);
—	в электрической цепи имеют место «индуктивные сечения», т.е.
сечения, все ветви которых включают в себя катушки индуктивности
и источники тока (см.рис. 2.3,6).
Действительно, при переводе в схеме на рис. 2.3,а ключа из
положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации
как невозможность скачкообразного изменения напряжения на
конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа
-22-
(«, (о) / цС2 (О)). Аналогично при размыкании ключа в схеме на
l'ii I Г> трактование первого закона коммутации как невозможность
• । i ihiHibp.BMoro изменения тока через катушку индуктивности
|||>|||||>дп1 к невыполнению первого закона Кирхгофа (0)* г2 (О)).
Л'|>| < \смы на рис.2.3,а, исходя из сохранения величины заряда в
MiiMciti коммутации, можно записать:
( , и(., (О -) + С2ис2 (0 -) - C,U0 + 0 - (С, + С2) мС|(2) (0 +).
В i ною очередь, для схемы иа рис. 2.3,6 в соответствии с законом
!• |, пиния потокосцепления в момент коммутации справедливо
• >«>1 ношение
/,/,((> ) + Mi2 (0-) + L2i2 (0 -) + Mi, (0-) = (L, + L2 + 2Л/)тК2) (0 +),
... .ДО) ^0/(/г,+Л2Л3/(^ + ЯЛ)); i2(0_) = i,(0.)J?J/(«2+/J3).
(аписимые начальные условия определяются на основе известных
«и .'и пни независимых путем составления уравнений по законам
I ирмофа для момента коммутации (/ = 0). Таким образом, при
 n/h i)c ic'iuu начальных условий сначала рассчитываются независимые
и пинь гатем зависимые начальные условия Необходимое число
и ri.iiii.iibix условий равно числу постоянных интегрирования, т.е.
|ц.||ццку дифференциального уравнения (2.1). Поскольку уравнение
пни (2.1) рационально записывать для переменной, начальное
ш гк-пие которой относится к независимым начальным условиям,
. । i.pi.i расчета начальных условий обычно сводится к расчету
И1.11Г1111Й этой переменной и ее производных до (п-1) порядка
hi |Ц|>чигельно при t = 0.
in дача 2.1
В цепи на рис.2.4 Uo = 120 В; R, = R2 = R3 = 20 Ом ; L = 0,1 Гн ;
К» мкФ.
-23 -
Рис. 2.4
Определить все токи и
производные di-Jdt и duc/dt в
момент коммутации, если до
коммутации конденсатор был заряжен
до напряжения ис = -50 В.
Решение
1.	В соответствии с законами коммутации
«с(0) = -50В.
2.	На основании второго закона Кирхгофа для момента
коммутации имеет место соотношение
A, (»2 (0) + i, (0)) + i3 (0) R3 + ис (0) = Uo,
откуда
. . Uo - A.z, (О)-иг (О)
L (0) = —--Ш = 2,75 А
’ Rt+R2
и i, (0) = i2 (0) + i3 (0) = 5,75 А .
Необходимо обратить внимание, что при расчете начальных
значений токов уравнения по второму закону Кирхгофа следует
записывать для контуров, не содержащих ветви с индуктивными
элементами, поскольку в противном случае в эти уравнения войдут
дополнительные неизвестные начальные условия, определяемые
производными от токов в этих ветвях (напряжение на катушке
индуктивности uL = Ldijdt).
3.	Для найденных значений (0) и i2 (0) из уравнения
Riil(0)+R2i1(0)+L^
= 1/
О
определим
di2
dt
о	i
4.	Значение производной от напряжения на конденсаторе в
момент коммутации (см. табл. 2.1)
-24-
duc_ =U£) = 2 7540’ B/c.
dt 0 C
(плача 2.2
H цепи на рис.2.5 Uo = 120 В;
л; .’() Ом;	Т?2 = = 200 Ом '>
Л\ 100 Ом ;	Ьг = Z, = 0,1 Гн ;.
<	’() мкФ .
< (црсделить величину всех токов и
uh первых производных в момент
1Ч1ммуг.1ции, если до коммутации
ичипспсатор был не заряжен.
Решение
Rt
Рис. 2.5
I В соответствии с законами коммутации
^»)='.(°)4^Ъг=0’5Л;

пс(0) = 05.
определения А (0) и i3(0) запишем уравнения по
1Л1ЧЧЫМ Кирхгофа
^1(0)/2(0)-£3(0)-/4(0)-0;
(°) + Лз'з (°) + «с (°) = и0 ’
|и шли которые, находим
i, (0) = —-V V 7 ->-V- = 0,833 А.
Ri + R3
^(0) = 1,833 А.
I /Via нахождения производной (сИг/Л) на основании
|<1<||ц)|<1 икона Кирхгофа запишем:
7?,/1(0) + /?2i-2(0) + Z2^- = L/o,
OlkVJl.l
^-^(°Ь^(О)_166;6Л/С
d< о	4
-25-
Тогда, в силу идентичности второй и четвертой вегвей,
di„
dt
dt
= -166,6 A/c.
о
4. Для определения производных (dijdt/ и (di2/dt)0
продифференцируем уравнения
Ц ^4 — 0,
TJjjj + R3i3 + ис — Uo
и запишем полученные соотношения для t = 0:
di, ~dt	_dh		Л’з		di„ о dt	= 0; 0	(2.4)
	О	dt	0	dt			
R,	Л,	+ R,		dij	dur + ——	= 0;	(2-5)
	dt	0		dt	о di	0	
где (duc/di)0 = i3 (0)/С3 = 41650 В/с.
Решив уравнения (2.4) и (2.5) относительно искомых величин,
найдем
(di, /dt)o = -625 A/c; (di3 /dt\ = -292 A/c.
Задача 2.3
Пренебрегая сопротивлением проводов и генератора, определить
токи iA (О), iB (0), ic (0) и iN,N (0) в цепи на рис.2.6, если в момент
коммутации напряжение фазы А достигает своего положительного
максимума.	U лв = UBC = UCA - 500 В; R, = R2 = R3 = 100 Ом.
Конденсатор до коммутации был не заряжен.
-26-
Решение
I В соответствии с законами коммутации
/До)=о;
МСЗ (0) ~ ® •
Условию положительного максимума напряжения
", ми (<(>/ +у/), где Um = з/2£Л,Д/з = 408 В , в момент
► пмму i.niiiii (/ = 0) соответствует начальная фаза у/= 90°.
мя(0) k'„sinw
1Л (О) =	= —2---— = 4,08 А .
Л|	Ri
<’ учетом того, что Uc = [7лехр(у12О°),
, ,0) -Цс(°)-«СЗ(°) ^«П(У+120°)	_
'' ' ' R,	R3
I (а основании первого закона Кирхгофа
W (0) = iA (0) + iB (0) + ic (0) = 2,04 А .
= -2,04 А.
I а да чя 2.4
К цепи на рис.2.7 <7о = 10В;
।	10 мкФ ; (’ = С2 = 20 мкФ.
Определить напряжения на
► >>и нтн .порах в момент замыкания
> >•« если до коммутации они были
III lilpllikllll.l.
Решение
I как показывает анализ цепи на рис. 2.7, после замыкания
► uio'iii и пси образуется «емкостный контуф», включающий в себя
। он нт .поры <’,,С2 и С3 и источник напряжения. В этой связи для
uiipi i> нс пни напряжений на емкостных элементах следует
и и । и иш in. нгорой закон коммутации в формулировке, указывающей
in hi возможность скачкообразного изменения алгебраической суммы
 ipnion конденсаторов, присоединенных к общему узлу. В
iiioiiii 1 iiiiiii с дим для принятых на рис. 2.7 направлений векторов
-27-
напряжений на конденсаторах для узлов 1 и 2 можно соответственно
записать:
С|Нс1 (0_ ) — С2ис2 (0_ ) = С,нс| (0+ ) — С2иС2 (О,);
^2UC2 (0-) ~ ^3ИСЗ (0- ) = ^2UC2 (®+ ) — ^3UC3	)
ИЛИ, ПОСКОЛЬКУ НС1 (о_) = Uf~, (0_ ) = исз (0 ) = 0,
С,ис1 (О)—С2иС2 (О) = 0,
^2liC2 (®)“^-3ЫСЗ (®) =
где «о (0) = ис, (0+).
2. В соответствии со вторым законом Кирхгофа
UCl (®) + UC2 (О) + исз (о) = ^Л> •
3. Решив уравнения (2.6) <(2.8) относительно
величин, получим
(2-6)
(2-7)
(2-8)
искомых
ис2 (О) — _ Мс1 (®) — 25 В;
«сз(0) = ^-«с2(0) = 25В.
*-з
В цепи на рис. 2.8
J = 1A;	1^=0,1Гн;
L2 = 0,2 Гн; L3 = £„ = 0,4 Гн.
Определить токи в
ветвях с катушками
индуктивности в момент
коммутации.
Решение
1. При размыкании
ключа в цепи (см. рис. 2.8)
образуется «индуктивное сечение», включающее в себя катушки
индуктивности £,, L2, L}, L4 и источник тока J, в связи с чем для
решения задачи следует использовать первый закон коммутации в
-28-
| рмV'iit|>oitk<-, определяющей непрерывность изменения
......... . контура. В соответствии с этим для выбранных
и- I.IIIH in.UI.I4 направлений токов запишем:
/?,(0 )-£2«2(0_) = A^(0+)-I2Z2(0+);
/.,;,(0. )-Z,3f3(0j = Z2l- (0+)-Л3/3(0+);
'-,4 (О ) -£„4 (0.) = L3i3 (0+)- Lj4 (0+ )
•• "I	принимая	во	внимание,	что
’,,(<>) 4, (о-)=U°-)=o.
M(0_)-I2i2(0_) = 0;	(2.9)
£2i2(0_)-£34(0_) = 0;	(2.10)
L3i3(0_)-L4f4(0.) = 0,	(2.11)
1 »• < (") (о,).
Н<> первому закону Кирхгофа для сечений (на рис 2.8
м IUUII.I п\ик тром) запишем:
4 (0)+4 (0)+4 (0)+4 (о) - j = о.	(2.12)
* Решив систему уравнений (2.9) -ь (2.12) относительно
lb I HMI 14 игллчин, получим
'<0)=-тЛт"0’5?,;
^2 Аз L4
4(0) = — 4 (°) = 0,25 A;
^2
4(0) = 4(0) = 7-4(0)=0,125 Л.
L3
1 1 < пособы составления характеристического уравнения
\и|1.1К1сристическое уравнение записывается для цепи после
• чип nuiifuii. Оно может быть получено следующими способами:
• и* ши родственно на основе дифференциального уравнения вида
( ’ I) для записи которого следует в общем случае составить
Hi к-му дифференциальных уравнений состояния цепи по законам
I ирмофа с последующим исключением из них всех переменных,
। рчмс одной (любой, поскольку линейная цепь, за исключением
in iioiopi.ix частных случаев, охвачена единым переходным
процессом), относительно которой и записывается уравнение (2.1);
-29-
	путем использования выражения для входного сопротивления
цепи на синусоидальном токе;
	на основе выражения главного определителя.
Рассмотрим применение указанных способов составления
характеристического уравнения применительно к цепи на рис. 2.9.
В соответствии с первым
способом записываем исходную
систему уравнений по законам
Кирхгофа:
it=i2+z3;	(2-13)
и - Rxix + R2i2;	(2-14)
(2.15)
Исключая из системы уравнений (2.13)^(2.15) ток i, и учитывая,
что i} ~ Cduc/dt, получаем:
и = 7?. i, + С—— [+ R^i,;
V dt )
-R.L + LC~c~ + R3C—c-+uc=0.
22 dt2 3 dt
(2-16)
(2-17)
Находя из (2.16) выражение для i2 и подставляя его в (2.17),
после соответствующей группировки слагаемых приходим к
дифференциальному уравнению второго порядка, записанному
относительно напряжения на конденсаторе ис:
Отсюда искомое харак теристическое уравнение имеет вид
LC (R, +R2)p2+C(RlR2+RiR3+R2R})p+(Ri+R2) = Q. (2.18)
Способ составления характеристического уравнения на основе
выражения для входного сопротивления цепи заключается в
следующем:
	записывается комплексное входное сопротивление Z (jcd) цепи на
синусоидальном токе;
	ja> заменяется на оператор р;
•	полученное выражение Z(p) приравнивается к нулю.
Уравнение
-30-
Z(j®) = R,
z(p) = o
ini i.ii i с характеристическим.
I h-оЬходимо отметить, что входное сопротивление может быть
nun .ши относительно места разрыва любой ветви схемы; при этом
и. шиш in двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом
и. niui:iш инюго генератора.
Данный способ составления характеристического уравнения
....... отсутствие в цепи индуктивно связанных ветвей. При
и и »и'1 пи гаковых необходимо осуществить их предварительное
Р । ни । шлипс или использовать другой способ получения уравнения.
Дни цепи на рис. 2.9 выражение входного сопротивления цепи
|ц<>> iiii-ni.no зажимов источника имеет вид
R, I jioL + Ry + —-— I
Ч JaC)
/?2 "f" j&*L “i----
jcoC
l.iMriiiiB /Тунаp, получим
P.j | pL + TtL “i-“ I
Z(p) =	------^2 = 0.
^3	----
pC
11ри||.111ияв выражение Z(p) к нулю, приходим к уравнению
/?, | R2 + Ry + pL + -!-]+ R2 J pL + R3 +-^
\	cp j	V	pc
R-, + Ry + pL 4---
‘	3 f	pC
tiiiin|iiit после несложных преобразований приводится к виду (2.18).
Vi.i Миная выше возможность записи выражения Z(jro)
in ин ni.iio места разрыва любой ветви позволяет в целом ряде
• п'iii'ii упростить процедуру получения характеристического
г пип ни» рассматриваемым способом. Так для цепи на рис. 2.9
и и . uoiip.i ню определять Z(yft>) относительно места разрыва ветви с
пушкой индуктивности и конденсатором. Тогда, учитывая, что при
iM> in .и. питого двухполюсника пассивным резисторы R{ и /?2
। н । инн hi я соединенными параллельно (внутреннее сопротивление
-31 -
идеального источника напряжения равно нулю, и он заменяется
проводом), получаем:
Z ( ja>) = ——+ R, + jcoL 4—-—
’ Rt+R2 3 J jcoC
или
Z(p) = -—^—+R} 4 pL 4-—-—.
R,+R2	3 pC
Отсюда сразу получаем характеристическое уравнение
£С(Л, + Я2) р2 + С(Л1/?2 + RtR3 + R2R3)p + (Л, + Л2 ) = 0,
совпадающее с (2.18).
При составлении характеристического уравнения с помощью
выражения главного определителя число алгебраических уравнений,
на основе которых он записывается, равно числу неизвестных
свободных составляющих токов. Алгебраизация исходной системы
интегродифференциальных уравнений, составленных, например, на
основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов,
осуществляется заменой символов дифференцирования и
интегрирования соответственно на умножение и деление на оператор
р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания
записанного определителя к нулю. Поскольку выражение для главного
определителя не зависит от правых частей системы неоднородных
уравнений, его составление можно производить на базе системы
уравнений, записанных для полных токов.
Для цепи на рис. 2.9 алгебраизованная система уравнений на
основе метода контурных токов имеет вид
'11 (^1 + ^2 ) ~	~ Ui
—Zj ।	4" '*22 I ^2 ^3 ^Р -I “ 0.
I	CPj
Отсюда выражение для главного определителя этой системы
(Л+^)
R2 +R}+Lp + ~-
Ср
— R[R2 4" R}R3 4" ^2^3 4" (^i 4“ ) ^JP +
4- R2
Cp
Приравняв А к нулю, получим результат, аналогичный (2.18).
-32-
Нискольку, как было показано выше, линейная цепь охвачена
IUIII.IM переходным процессом, корни характеристического уравнения
чи нной и общими для всех свободных составляющих напряжений и
<• >|<11 нс шей схемы, параметры которых входят в характеристическое
। < писи не Однако корни не всегда определяются формально только
....к <| ней цепи после коммутации.
В качестве примера рассмотрим
>н к' на рис. 2.10, для которой
крипелнпныуравнения
„ ^с!иг
и.. + R.C—— = и ;
1 dt
L^+R2i2=u.
dt
И соответствии с ними о-------------------------1------1
>н pi MHiin.iii процесс в ветви с	Рис. 2.10
► < -и к hi лором определяется характеристическим уравнением
fljCp + l^O,	(2.19)
। и и» uni i катушкой индуктивности — уравнением
Lp + R2=0.	(2.20)
\ и.циничный результат можно получить на основании
пир ।.i.i пни входного сопротивления цепи
*1	+ >Л)
7?! + --г R2 "1“ jcoL
joC
l 'll 1ОД.1
| ^i +~« |(^2
Z(p)=<------,	(2.21)
“i +—+Л + pi
pC
и । iiiioii.neju.no, приравняв (2.21) к нулю, приходим к
<1 .и. и ри< шческим уравнениям (2.19) и (2.20).
I и им образом, в данной цепи при замыкании ключа имеют место
in.i in i.iiuii имых переходных процесса, каждый из которых
.iipi к ни ия своим характеристическим уравнением первого порядка,
чч in in. и содержит два накопителя энергии.
Ц.1ч ч.н к> встречающихся на практике мостовых схем, т.е. цепей,
......... ip.ii|> на рис. 2.11, при условии, что в ветви 1 содержится
-33 -
только идеальный источник, составление характеристическогс
уравнения наиболее целесообразно осуществлять на основе выражение
для входного сопротивления, записываемого относительно места
разрыва ветви 2.
Так для цепи на рис. 2.12 выражение Z(p) относительж
зажимов разомкнутого ключа (идеальный источник ЭДС заменяете;
проводом, вследствие чего элементы Л, и £ и соответственно R2 и R3
оказываются соединенными параллельно) имеет вид
z(P)=_^L.+JL+_A/L.
v 7 Lp+Rx Ср R2 + R3
Приравняв Z (р) к нулю, приходим к соотношению
LpRxCp^R2 + R-} + {Lp+ R^{R2 +	+ (£p + R^ ')CpR2R3 ~ 0,
откуда искомое характеристическое уравнение запишется как
LC (RtR2 + RjR3 + R2R3^ р“ + (L(R2 +/?3) + RtR-,R3C) р +
+/?,(A2+^) = 0.
Если в схеме на рис. 2.12 источник ЭДС заменить на источни!
тока, то для Z(p) относительно зажимов ключа (ветвь с идеальныл
источником тока размыкается) можно записать
z(_b I |(а1 + ^)(£Р+а3)
Ср Rt+ R2 + Lp + R3
Отсюда характеристическое уравнение
/?1 + R2 + Lp + R3 + Ср (R1 + R2) (Lp + R3) = 0
или
LC(R, +R2)p2 +(L + C(R1 + R2)R3)p + (Ri +R2+R,)--=Q. (2.23
-34-
11ри наличии в схеме индуктивно связанных ветвей наиболее
С in попал ьно в общем случае
н i.iклятв характеристическое
\ р.ншспие на основе
mi цмжспия	главного
 »прс целителя.	В качестве
примера	запишем
ip.ik герпетическое уравнение
। и i хсмыс двумя индуктивно
Х1ЧЫНПЫМИ катушками на
pin ? 13. Для решения задачи
•••и ।loin.дуемся	методом
!• шурпых	токов
применительно к мгновенным
ui.ririiiiHM	свободных
• ц I.пеняющих токов. После
। и । пран 1ации исходная
in и м.1 уравнений имеет вид
Рис. 2.13
( ^1 + ^2 ) Zj leg	“ ^lZ22ce	“* Ьзсе ~
~ ^1 *1 Ice + (^1	^2 + РЧ ) Z22ce	Р^'ЗУсв ~ Ф
“ Ice	+ P^h-lce (^3 + ^4 + Р^2 ) Z33ce =
I Л.1ВПЫЙ определитель для этой системы
Ц+Я3)	-R3
\	~R}	(/?| + /?2 + pL^ рМ =
-R3	рМ	4- R4 + pL2 j
I /?] 4- R3 4- P^l ^4 + P^2 ) pR\Ry^ + pR^R^Af
/?; (/?, + R2 + Р1Л )- p2M2 (7?, + R3) - R2 (R3 +Rt+pL2).
11|>и|>авнивая его к нулю, получаем искомое характеристическое
,/< . l<y){l.lL1-M2)p2+(Ll(RlR3+RlR4+R3RA) + L2(RlR2+
/ /с, । /?, А\)+2RlR}M)+(R,R2R3 + RiR2R4 + R2R3R4 + R&R4) = 0.
\ p шиение (2.24) имеет второй порядок, это соответствует числу
inn, «Мих накопителей (катушек индуктивности Z7 и Ь2) в схеме на
<< 'Н и иллюстрирует указанное выше положение, что наличие
-35-
индуктивных связей не влияет на порядок характеристическогс
уравнения.
2.4. Корни характеристического уравнения и характер
переходного процесса. Постоянная времени
Выражение свободной составляющей хсв общего решения >
дифференциального уравнения (2.1) определяется видом корне*
характеристического уравнения (см. табл. 2.4).
Таблица 2.4 Выражения свободной составляющей общего решения___
Вид корней характеристического уравнения	Выражение свободной составляющей
Корни Д, р2,..., рп вещественные и различные	К=1
Корни P\yp2i-”7 Рп вещественные; при этом Д =Рг = - = Рт = Р(™<”) Пары комплексно-сопряженных корней р,„+1	X 4^' К=|	№ГК + 1 Для каждой к-й пары (4 C°S CDKt + 4+1 Sin at) = = Вке~SJ sin (о*/ + <рк)
Необходимо твердо усвоить, что, поскольку в линейной цепи <
течением времени свободная составляющая при наличии резистивньи
элементов затухает, вещественные части корне!
характеристического уравнения отрицательные.
При вещественных корнях свободная составляющая монотонна
(по экспоненциальной зависимости) затухает, т.е. имеет места
апериодический переходный процесс. Наличие хотя бы одной парь
комплексно-сопряженных корней обусловливает появлени<
затухающих синусоидальных колебаний (колебательный
переходный процесс).
Следует отметить, что поскольку физически колебательны*
процесс связан с периодическим обменом энергии между магнитные
полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора
комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей
содержащих оба типа накопителей.
-36-
l.i.u qxiiy затухания колебаний принято характеризовать
in, ни iiik м значения мгновенной величины	к значению
(< । / ) >той величины через период Т,
Хсв (0 _ SrT
|,.'||<|ц|г называется декрементом колебания или натуральным
। । i| ифмом этого отношения
и । и ш и мым логарифмическим декрементом колебания, где
/	л/"’. •
I hi i-нухание определить относительной разностью амплитуд
l",H1	\,™i и второго хстп2 колебаний в соответствии с
I linlllClIHCM
0 — Xcami Хсвт2
Ха»И
• •  hi и <1, и .фифмического декремента колебаний имеем
Д = 111(1-©)'.
Hi nii'iitiia, обратная по абсолютной величине коэффициенту
ни vs.iiuhi
(2.25)
Т - — =-----—
‘ 8. Re(pJ
ii,i и т.н-11 и постоянной времени для к-й свободной составляющей. Она
Р uni । пи н-рндлу времени, в течение которого свободная составляющая
• iiivx.ni, уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным
III I I Hill м
II
и in .и hi переходных процессов в
linin', первого порядка (цепях с
 Шим и пмнштелем энергии). В этом
। и ес геометрическую
ин и piipi i .iHiiio иллюстрирует
piii 'll и соответствии с которым
С пип о। резку временной оси,
। । .немому касательной к кривой
ши пи.шее применение постоянная времени г получила при
-37-
хсв(/) в любой ее точке и перпендикуляром, пнуш... hi itoh точки
на ось времени.
Кроме определения в соответс!кин । ниш.......и hiu-m ( *.25),
постоянная времени т для цепей iiepnoiu н«ч>ч inn м.... । быть
рассчитана на основании теоремы об .ikihuhum нц ii<>iihh нике.
Действительно, как отмечалось выше лнисйплч in in omhi'u u.i слнным
переходным процессом. Поэтому для ценен । i>iihim и h i»нпслем
энергии (катушкой индуктивное!п нин кин и » нприм) нетвь,
содержащую этот накопитель, выдслякн hi ш ни и ш i пипу к» и часть
схемы, содержащую помимо источников ни । ин......... |» ни пшные
элементы, рассматривают как .ж hhihi.hi ............... ник А
(эквивалентный генератор) (см. рис 2 15,  )	< «гмиИ смешения,
показанной на рис. 2.15,6.
2
•о-
/•«. I \
Совершенно очевидно, что нос hhiiiiiш п| чиш  » । пеней с
индуктивным элементом определяется кик
а с емкостным как
тс =('(!<„. । А')
где Rex — входное сопротивлент .« ।hiiih  > нц чишпоеника,
трансформированного в пассивный. пи ние ни ihik> к ii.mim.im 1-2
подключения ветви, содержащей ....  hi.	hi । uni
Задача 2.6
В цепи на рис.2.12	=/С,	I и !/»,<' 1п„кФ.
Определить характер переходною прнно । ।
Решение
В соответствии с (2.22) выражение ик примни.ни । ш н. мннрого
определяет характер переходного нроцем .1 нмы । nn.i
- <Х
D = (l(R, + Д)+ДЯ2ДС')2-4£С(ДД +RlR3 +R2Ri')Rl (Л2 +R,) .(2.28)
После подстановки в (2.28) численных значений входящих в него
параметров получим
D = 7,128-Ю10 >0.
Таким образом, при заданных параметрах переходный процесс в
цепи на рис.2.12 носит апериодический характер.
Задача 2.7
Определить, при каких значениях емкости С переходный процесс
в цепи на рис. 2.12 при замене в ней источника ЭДС на источник тока
будет иметь колебательный характер, если L = 1 I н. Численные
значения параметров резистивных элементов взять из предыдущей
задачи.
Решение
1. В соответствии с (2.23) выражение дискриминанта имеет вид
£> = (£ + С(Д+К2)Д)2-4£С(Д+К2)(Д + R2+R3)
или, после подстановки численных значений известных параметров,
£> = 3,24-1014 С2-1,8108С + 1.
Корни уравнения D = 0: С(=5,5-10"7; С, = 5,162-10'9 . Тогда
последнее выражение можно переписать в виде
£> = 3,24-1014 (С-5,5-10~7)(С-5,612-10^).
2. Для колебательного характера переходного процесса
необходимо, чтобы D < 0. Очевидно, что это условие будет
выполняться при
5,612-10 9Ф<С <5,5-10’7Ф.
Задача 2.8
Определить, в какой из цепей на рис. 2.16 переходный
процесс будет протекать с большей интенсивностью, если
Rt = Д, = 5 кОм , R2 = R3 ~10 кОм , L-1 Гн, С - 10 мкФ .
Решение
1.	Интенсивность переходного процесса определяется
величиной постоянной времени.
Для цепи на рис. 2.16,а в соответствии с формулой (2.27)
выражение постоянной времени имеет вид
тс = CR^,
-39-
где	+Я3) + ЗД/(Л2 ' ^) - входное сопротивление
пассивного двухполюсника (идеальный источник ЭДС заменяется
проводом) по отношению к зажимам 12 веши с конденсатором.
При заданных численных значениях параметров
тс = 6,7-10 7 с.
2.	Для цепи на рис. 2.16,6 в соответствии с формулой (2.26) для
постоянной времени запишем;
1
где = j?2fi4/(j?2+/?4) - входное сопротивление пассивного
двухполюсника (ветвь с идеальным источником гока разрывается) по
отношению к зажимам 1-2 ветви с катушкой индуктивности.
При заданных численных значениях параметров
rL = 7,5-10‘5с.
3.	Поскольку гд < тс, переходный процесс в цепи на рис. 2.16,6
будет протекать интенсивнее.
Следует отметить, что на практике длительность tn переходного
процесса определяется соотношением
«„=(3-4)|Re(pra’n)|,	(2.28)
где pmin — корень характеристического уравнения с минимальной
вещественной частью.
Для цепей с одним накопителем .inepi ин (2.2К) грансформируется
в выражение
'„=(3-4)г-
-40 -
2.5.	Общая методика расчета переходных процессов
классическим методом
В общем случае методика расчета переходных процессов
классическим методом включает в себя следующие этапы:
1.	Запись выражения для искомой переменной в виде (2.3).
2.	Нахождение принужденной составляющей хпр общего
решения на основании расчета установившегося режима
послекоммутационной цепи.
3.	Составление характеристического уравнения и определение
его корней (для цепей, описываемых дифференциальным уравнением
первого порядка, вместо корней можно находить постоянную времени
г). Запись выражения свободной составляющей хсв в форме,
определяемой типом найденных корней, или, при использовании
понятия постоянной времени, в соответствии с формулой
хсе = Ае^.	(2.29)
4.	Подстановка полученных выражений принужденной хпр и
свободной составляющих в соотношение (2.3).
5.	Определение начальных условий (для t=0) и на их основе -
постоянных интегрирования.
2.6.	Примеры расчета переходных процессов классическим
методом
2.6.1.	Цепи с одним накопителем энергии при источниках
постоянных напряжений и токов
Задача 2.9
В цепи на рис. 2.17 £ = 100В,
= R2 = 50 Ом, £ = 0,1 Гн .
Найти ток z(r) в цепи и напряжение
«£(?) на катушке индуктивности после
замыкания ключа.
Решение
1.	Решение задачи начнем с
расчета тока, для которого можно
записать
=	(2-30)
Вис. 2.17
-41 -
2.	Принужденная составляющая тока (в установившемся
режиме при нулевой частоте ЭДС источника сопротивление катушки
индуктивности равно нулю)

3.	В соответствии с (2.29) выражение свободной составляющей
искомого тока
где с учетом (2.26)
Таким образом,
г. = Ле”500' А .
4.	Подставив полученные выражения inp и ice в (2.30), запишем
i(t) = 2 + Ae-500‘А .	(2.31)
5.	В соответствии с (2.31) при t-0
г(0) = 2+Л.
Искомый ток протекает через индуктивный элемент и,
следовательно, подчиняется первому закону коммутации:
Таким образом,
Я = »(0)-2 = 1-2 = -1Л,
и окончательно для искомого тока имеем
i(t) = 2-е м А.
6.	По найденному значению тока напряжение на катушке
йндуктивности определяется как
uL (/) =	= 0,1~(2—e-soo,) = 5Ое“500' В .	(2.32)
-42-
Соответствующие полученным зависимостям кривые *(z) и
uL (/) приведены на рис. 2.18.
Задача 2.10
В цепи на рис. 2.16,a R^—R^-IOOm,
А'2 = R3 = 30 Ом ,
С = й,\мкФ, Е = ЗООВ.
Определить ток ic (t) в ветви с емкостным элементом, если до
коммутации конденсатор был не заряжен.
Решение
1.	Поскольку начальное значение искомого тока не относится к
независимым, с учетом выражения
<.=с^
с dt
целесообразно получить искомое выражение ic (z) на основе
предварительно найденной зависимости для напряжения ис (z) на
конденсаторе, т.к. его начальное значение непосредственно подпадает
под второй закон коммутации и, следовательно, находится достаточно
просто.
Приняв такой подход к решению задачи, запишем
ис (О = uaF+ucce-	(2-33)
2.	Поскольку в установившемся послекоммутационном режиме
при нулевой частоте источника питания сопротивление конденсатора
бесконечно большое, то
и,- =  - °— R3---°— R< = 60 В.
с,,р Rt+R3 3 R2+R,
3.	Выражение свободной составляющей
«о» = Ae~'lTc »
-43-
где в соответствии с решением задачи 2.8
4.	Подставив найденные значения иСпр и иСсв в (2.33),
запишем:
ис (/) = 60+ Яс"’’17'10’' В.
5.	Поскольку в соответствии с условиями задачи конденсатор
до замыкания ключа был не заряжен, на основании второго закона
коммутации ис (О) = 0, откуда
А = ис (0)~ 60 = -60 В .
Таким образом,
нс.(г) = 60[1-е’4|7-,°!')в
и искомое выражение тока
ic(t) = C^ = 2,5e-4’,7'°s' А.
CV/ dt
Задача 2.11
Найти законы изменения токов
/,(/), г7 (/) и	в цепи на
рис. 2.19 после коммутации, если
В, = 1<2 = 20 Ом,	Л = 0,1 Гн,
J = 100 А .
Решение
1.	Поскольку	после
размыкания ключа источник тока J
оказывается	включенным
последовательно с резистором
1,0 = 7 =100Л.
2.	Для тока в ветви с индуктивным элементом запишем:
=	(2.34)
3.	Учитывая, что в установившемся режиме при нулевой
частоте источника сопротивление катушки inviyKiiiiiiiocTii равно нулю,
запишем
= J = 100 А .
-44 -
4.	Свободная составляющая тока в ветви с индуктивным
элементом
?3и = ^е"/г£ >
где с учетом (2.26)
т. = —= 5-10’3 с .
Л.
Следовательно,
 А -200, л
13с„ ~Ае А •
5.	Подставив найденные выражения i3np и i3ce в (2.34),
получим
i3 (г) = 100+ Ле’200' Л.
6.	Для определения постоянной интегрирования Л запишем
z3 (0) = 100+Л ,
где в соответствии с первым законом коммутации (источник тока до
коммутации был зашунтирован ключом) i3 (0) = 0.
Следовательно,
Л = i3 (0)-100 = —100 Л
и, таким образом,
г3 (0) = 100(1-e’2eOf) А.
7.	Ток в ветви с резистором R2 находится исходя из первого
закона Кирхгофа:
?2 (?) = it (?) - i2 (?) = 100е~200' А .
Задача 2.12
В цепи на рис. 2.20 Е = 120 В,
Л = 12 Л, й, =R2 = R} = 20 Ом,
L = 0,2 Гн.
Определить токи ?, (?) и г, (?)
после размыкания ключа.
Решение
1.	Запишем для тока в ветви	Рис. 2.20
с индуктивным элементом:
ii0 = U+i'i<»-	(2.35)
-45-
2.	В установившемся послекоммутационном режиме
, R3 Е
1\п„ - J-----+-------= 9 А .
р R,+R3 r2+r3
3.	Выражение свободной составляющей тока г, (г) имеет вид
iice = Ае-'4 ,
где
Таким образом,
lice=Ae-™‘ А.
4.	Подставив рассчитанные выражения ilnp и ilce в (2.35),
получим
г,(/) = 9 + Ае^200‘ А.
5.	Для нахождения постоянной интегрирования А запишем
«, (0) = 9+А,
где в соответствии с первым
законом коммутации для тока
i] (0) справедлива расчетная
схема на рис. 2.21, из которой
вытекает:
Е
~— = 6А-
. R}+JA Rj+R2
R,+R2
/Cj /с3
Rj +7?3
Следовательно,
= i, (о)-9 = 6-9 =-3 Л
и
= 9-Зе 200' а.
6.	Ток i2 (г) находится на основании первого закона Кирхгофа:
г2 (/) = /-/,(/) = 3 + 3е 200' .1 .
-46-
Задача 2.13
В цепи па рис. 2.22
(70=ЗООЯ,	R1=\50Om,
Д =0,2 Гн, М = 0,4Гн
Определить ток г, (г) в
первичной цепи трансформатора и
напряжение и2 (/) на зажимах
М
Рис. 2.22
вторичной обмотки при замыкании ключа.
Решение
1.	В силу отсутствия тока в разомкнутой вторичной обмотке
она не оказывает влияния на переходный процесс в первичной цепи,
для тока в которой имеем
»1(0=w+^-	(2.36)
2.	Принужденная составляющая этого тока
3.	Свободная составляющая искомого тока
А,
где г, = LjR' = 0,00133 с.
Таким образом,
/_„,= Ле'750'Л.
4.	Подставив выражения iinp и i,ce в (2.36), запишем
;,(/) = 2+Ле 750' А.
5.	Поскольку искомый ток подпадает под первый закон
коммутации, то
г1(0) = 2 + Л = 0,
откуда Л = -2 Л и
г1(г) = 2-2е750' А.
6.	По найденному выражению тока ?)(/) напряжение на
вторичных зажимах определяется как
к2 (/) = Л/—= 6ООе~750' Б.
dt
-47-
Задача 2.14
К цепи на рис. 2.23,а прикладывается напряжение «(f), закон
изменения во времени которого иллюстрирует рис. 2.23,6. Определить
ис (г), если	600 Ом, С-100 пФ.

г/(r) R2

а
Рис. 2.23
200
100
j Г
б
Решение
1. Разобьем решение на два временных интервала: 1 — 0 < t < 1,;
Для первого интервала запишем:
2. Принужденная составляющая искомого
определяется выражением
ис = - R1 и = ———100 = 50 В.
'	/?,+&,	600 + 600
Выражение его свободной составляющей
UCa, ~ ^',Тс В ,
(2.37)
напряжения
где
3.
_А^С = 3-10'8с.
/?,+я2
Следовательно,
4.
5.
«См=^-адо’'я.
Подставив выражения иСа и иСпр в (2.37), запишем
0 = 50 +Ле'3’310’' В
Поскольку начальное значение напряжения на конденсаторе
непосредственно подпадает под второй закон коммутации, то
ис(0) = 50 +Л ~0,
-48-
откуда А ~ -50 В и, таким образом, для первого временного
интервала
izc(z) = 5о(1-е 3-31°7')л.	(2.38)
6. При t = tf происходит скачок входного напряжения, равный
по величине напряжению на первом временном отрезке. Поэтому для
реакции напряжения на конденсаторе на этот скачок справедливо
выражение (2.38), сдвинутое по времени на tx. Тогда с учетом
принципа суперпозиции для t > Z, имеем
ис (/) = 50(1 -е 3 3 '°7') + 50Г1 - /3-310'(‘-10’7) V1 оо- М05,бе 3310’' В.
Объединив оба решения, запишем
50 (1-е"3’310')
М'Н 1	1 ,
100-1405, бе"3’310
2.6.2.	Цепи с одним накопителем
синусоидальных напряжений и токов
0 < Z < 10"7 с;
V Z>10”7c.
энергии при источниках
Рис. 2.24
Задача 2.15
В цепи на рис. 2.24 7?, = 50 Ом;
R2 = 20 Ом; R3 = 80 Ом С—31,85 мкФ.
Найти напряжение ис. (z) на
конденсаторе после замыкания ключа,
если h(z) = lOOsinzyZ В и / = 50 77/.
Решение
1.	Ищем напряжение на конденсаторе в виде
мс(0 = мсПр+исы’	(2.39)
2.	Для определения принужденной составляющей напряжения
рассчитаем комплекс амплитуды этого напряжения в соответствии с
соотношением
U^-jXc'lc^	(2.40)
где
Хе =——- = 100 О.м;
с 2nfC
-49-
i	_	100
J Cnpm
Отсюда
и
3.	Свободную
имеем в виде
где
Я3-]ХС 80-/100
Uapm	В	(2.41)
испР ~ 78sin(ro/-390) В .
составляющую напряжения на конденсаторе
иссе = Ае ''Тс В ,
Таким образом,
В .	(2.42)
4.	Подставив (2.41) и (2.42) в (2.40), запишем
uc(t) = 78 sin (ля-39°) +Ле-392' В .	(2.43)
5.	Для определения постоянной интегрирования запишем (2.43)
для t = 0
«c(o) = 78sin(—39°)+Д.	(2.44)
В соответствии со вторым законом коммутации ис (0)
определяется в результате расчета цепи на рис. 2.24 до коммутации. На
основании теоремы об активном двухполюснике для тока в ветви с
конденсатором можно записать:
йт~
=	---= 0,208е'-° А .
Отсюда комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе до
коммутации
UCm=-jXcICn=2Q,Se ^° В,
и, следовательно,
ис (0) = 20,8 sin (-43° ) = -14,2 В.
-50-
Тогда, решив с учетом найденного значения ис (0) уравнение
(2.44) относительно постоянной интегрирования, получим
А = 34,9 В.
Таким образом, искомое выражение напряжения на конденсаторе
имеет вид
Mc(z) = 78sin(®r-39°) + 34,9e^92' В.
Задача 2.16
Цепь на рис. 2.25 включается на
синусоидально	изменяющееся
напряжение	a(7) = 100sin(3,14/+^) В.
Д = 20Om,R2 =30Om,Xl = 90 Ом.
Найти значение начальной фазы
у/ напряжения, при которой ток в
ветви с катушкой индуктивности
достигает своего возможного положительного максимума, и записать
выражение для этого тока.
Решение
1.	Для тока в ветви с индуктивным элементом запишем
4.(0 = 4ч,+'£И-	(2-45)
2.	Для определения принужденной составляющей тока
воспользуемся методом эквивалентного генератора:
/	— ^ХХт
Lnpm
где
д + д.
= 12 Ом;
D
L' = йт - -2  = 60е* В .
п rx+r2
Таким образом,
/ = 60е* =07еХ^-4°)
Lnpm 12 + 790	’
Л,
откуда
iLnp =0,7sin(3,14z + </-82,4°) А.
(2.46)
-51 -
Анализ (2.46) показывает, что при нулевом начальном условии
для тока iL максимальное по модулю значение постоянной
интегрирования (а следовательно, и свободной составляющей 4се)
будет иметь место при начальной фазе принужденной составляющей
тока <J9 = ±9O°. При этом примерно через полпериода значение тока
iL(t) достигает своего возможного максимума: при <р = 90° -
отрицательного, при - -90° - положительного.
Таким образом, в соответствии с условиями задачи и выражением
(2.46)
^ = -90° =^-82,4°,
откуда искомая начальная фаза напряжения = -7,6°.
При найденном значении у/
iLnp = 0,7 sin (з, 14/-90°) А .
3.	Постоянная времени цепи
L XL 90	_ .
т, =----= —— ----------= 2,4 с,
«>ПЮ 3,14-12
отсюда выражение свободной составляющей искомого тока
= Ае 4 = Ле”0’42' А.
4. Подставив найденные выражения iLrlp и iLce в (2.45),
запишем
4 (0 = °.7sin (3,14/ - 90° ) + Ле”0’42' А .
5. Определим постоянную интегрирования, для чего в
соответствии с первым законом коммутации запишем
4 (0) = 0,7sin(-90°) + А = 0.
Таким образом,
4 (/) = 0,7 sin (3,14/ - 90°) + 0,7е“°’42' А .	(2.47)
Анализ (2.46) показывает, что при -» со через полпериода
после коммутации значение тока iL достигнет своего теоретического
максимума: iLmm = 21т, где 1т — амплитуда принужденной
составляющей тока.
-52-
Следовательно, в линейной цепи максимальное значение iLma
переходного тока не может превышать удвоенной амплитуды
принужденного тока.
Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент
коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному
значению и постоянная времени тс цепи достаточно велика, то
примерно через половину периода напряжение на конденсаторе
достигнет своего максимального значения, которое не может
превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения.
Задача 2.17
Используя условия предыдущей задачи, определить, при каком
значении начальной фазы $/ напряжения в цепи на рис. 2.25 будет
отсутствовать переходный процесс.
Решение
1. Поскольку линейная цепь охвачена единым переходным
процессом, условие его отсутствия можно определить на основе
анализа любой переменной. В этой связи на практике в цепях с
катушкой индуктивности для этой цели рассматривают ток,
проходящий через индуктивный элемент, а в цепях с конденсатором -
напряжение на емкостном элементе, поскольку их начальные значения
определяются законами коммутации.
2. В соответствии с результатами решения предыдущей задачи
2г(г) = О,7Бт(з,14? + $/-82,4о^±Ие 4 .
Отсюда для определения постоянной интегрирования запишем
iL (0) = 0,7 sin (у/ - 82,4°) + А = 0.
Очевидно, что условием отсутствия переходного процесса
является равенство А -0.
Таким образом, в соответствии с соотношением
А = -0,7 sin ($/-82,4°)
искомое значение фазы
^ = 82,4° ±180%,
где л = 0; 1.
-53-
Задача 2.18
Рис. 2.26
В цепи на рис. 2.26 J = 4 А ,
e(/) = 100sin(3,14/+^) В, Ь = 0,1Гн,
Rt = R2 = 50 Ом .
Определить ток в ветви с
индуктивным элементом при
размыкании ключа.
Решение
1.	Для искомого тока запишем
4 (0 = hnP + 'гм 	(2.48)
2.	Принужденную составляющую определим, применив метод
наложения. От действия источника постоянного тока имеем
р
lLnp ~ JR^+rI~1А'
От действия гармонической ЭДС е имеем
4 =-— =------= 0,707e'J15” А,
Lpm R} + R2 + jX, 50 + 50 + jl ООО • 0,1
т.е.
i’Lnp = 0,707sin(1000/-15°) A,
и, следовательно,
+ 6„„ =2 + 0,707sin (1000/ -15°) A.
L/Пр l>Hp LMp	"	I	/
3.	Постоянная времени цепи
Таким образом,
I
= Ае * 4 5 = Ае4000' А.
4. Подставив найденные выражения iLnp и ilxe в (2.48),
запишем
1'Д/) = 2 + О,7О751п(1ООО/-15о)+Ле'1000' А .
5. Поскольку в исходном состоянии цепи ветвь с замкнутым
ключом шунтировала ветвь с индуктивным элементом, в соответствии
с первым законом коммутации
-54-
iL (0) = 2 + 0,707 sin (-15° ) + А = 0,
откуда А = -1,817 А .
Таким образом, выражение искомого тока
zt(z) = 2 + 0,707sin(1000?-15c)-l,817e‘
,-юоо, А _
Задача 2.19
В цепи на рис. 2.27
предохрани! ель П перегорел и
дуга в нем погасла при
прохождении тока in через нуль.
Рассчитать зависимость
«(/) , если R - R2 = 100 Ом,
L = 0,5 Гн, u = Um sin ,
U„ = 3000 В, f = 50 Гц.
Рис. 2.27
r2
Решение
1.	Неизвестная начальная фаза у/ напряжения определяется из
в момент перегорания
условия нулевого значения тока in
предохранителя.
Комплексная амплитуда этого тока
. =______йт	зооос*
в,в2
В| +
откуда
_=18 9ex^j А
100-100	„ , _	’
L---------+ _/2тг-50-0,5
100 + 100
i„ =18,2sin(fiX+^-72,3°p,
и, поскольку i„ (о) = 0,
^ = 72,3°.
2.	Поскольку принужденная составляющая искомого тока
равна нулю,
^) = 1С<,=Ае
где

—-— = ——— = 0,0025 с .
Л,+В2 100 + 100
-55 -
Таким образом,
Ц1)~Ае™ А.
3.	Для определения постоянной интегрирования запишем
выражение комплекса амплитуды тока в ветви с индуктивным
элементом до коммутации:
m Я2 + JXL 100+/2д-50 0,5
Отсюда в соответствии с первым законом коммутации
i (0) = А = 16,1 sin 14,8° = 4,1 А.
Таким образом, искомая зависимость имеет вид
/(/) = 4,1е-400' А.
2.	6.3. Цепи с индуктивным и емкостным элементами
Задача 2.20
Рассчитать зависимости ис (/) и
i(f) при размыкании ключа в цепи на
рис. 2.28, если Uo = 120 В, R = 120 Ом ,
£ = 0,01 Гн, С=0,1л<кФ.
Решение
1.	Расчет начнем с определения
выражения для напряжения на
конденсаторе:
UC {f) ~ UCnp +UCai 
2.	Принужденная составляющая этого напряжения
uc„p=Uo^20B.
3.	Характеристическое уравнение запишем с использованием
выражения входного сопротивления цепи:
Z(p) = -±-+R + LP,
Ср
откуда получаем
2 R 1 Л
р + — р+-----0
L LC
-56-
или после подстановки численных значений параметров -
р2+12000р + 109 =0.
Корни характеристического уравнения:
р12 =-6000± /31000.
Найденным корням соответствует выражение свободной
составляющей вида
иСсв = е'60°°' (Л cos31 ООО/ + Аг sin 310ОО/) В .
4.	С учетом полученных выражений для иСпр и иСся запишем
ис (/) = 120 + е б000' (4 cos31000/ + Аг sin 31000/) В .	(2.49)
5.	Первое уравнение для нахождения постоянных
интегрирования имеет вид
пс(0) = 120+4-	(2.50)
Для записи второго уравнения продифференцируем (2.49) по /:
= -бОООе”6000' (4 cos31000/ + Аг sin 31000/)+
+31 ОООе"60С0' (-4 sin 31000/ + Аг cos 31000/) В/с,
после чего полученное выражение запишем для t~():
= -60004 + 31 000/!, В/с.
dt 0	1	2 '
В соответствии с законами коммутации
ис(0) = 0;
. с КС '
du,
dt
(2-51)
dt
Тогда решив (2.50) и (2.51) относительно Л2 и Л2, получим
4 = —12013, Л2 =300 В.
Отсюда искомая зависимость для напряжения на конденсаторе
ис (/) = 120 + е 60001 (-120 cos 31000/ + 300sin 31000/) В
или после соответствующих преобразований
ис (/) = 120 + ЗгЗе-6000' sin (31000/ - 21,8° ) В.
6.	По найденному выражению для ис (/) искомый ток
определяется как
/ (/) =	= 1, О2е~6000' sin (з 1000/ - 79,5° ) А.
-57-
Задача 2.21
Рис. 2.29
Определить зависимость
ис (t) при замыкании ключа в цепи
на рис. 2.29, если UB = 250 В ,
R = 100 Ом,	L = 0,1Fh,
С=10 мкФ.
Решение
Зависимость ис (/) ищем в виде
ис {Ч^Чсхр+“<:,*
2.	Поскольку в установившемся послекоммутационном режиме
конденсатор оказывается зашунтированным ветвью с индуктивным
элементом,
испр = 0 •
3.	Характеристическое уравнение составляем на основе
выражения входного сопротивления цепи:
, 1
pL----	,
''	,.l+‘
pC
откуда имеем
p2 ч—— p ч—— = 0
RC LC
или после подстановки численных значений параметров
/>2+1000/> + 106 =0.
Корни характеристического уравнения:
р, 2 = -500 ± у'866.
4.	Соответствующее наеденным корням выражение свободной
составляющей, а следовательно, и полного напряжения (wCn/1 = о)
запишем в виде
ис (z) = иСса = Ле’500' sin (866/ + у/) В.	(2.52)
5.	В соответствии с (2.52) система уравнений для нахождения
постоянных интегрирования имеет вид
ис (0) = 4sin ;	(2.53)
-58-
r/wc
dt
= yl(-500siTH(/ + 866cos^).	(2.54)
О
На основании второго закона коммутации wc(0) = 0. Отсюда
исходя из (2.53) щ — 0 (принять А=0 нельзя, т.к. это означает
отсутствие переходного процесса).
Поскольку в соответствии с первым законом коммутации при 1~0
ток в ветви с индуктивным элементом равен нулю,
= -^- = 2,5-105 В/с.
о RC
duc
dt
Тогда решением (2.54) является А =288,7 В.
Таким образом, искомое выражение напряжения на конденсаторе
ис (/) = 288,7е'500' sin 866/ В .
Задача 2.22
В цепи на рис. 2.30
параллельно R — L нагрузке для
компенсации фазового сдвига
подключен конденсатор С.
Источник	синусоидального
напряжения и = 6,6 кВ отключается,
когда напряжение проходит через
нуль.
Найти напряжение на
конденсаторе, если f = 50 Гц,
7? = 40 Ом, coL = 100 Ом .
Решение
1. Поскольку в цепи осуществляется компенсация фазового
сдвига, мнимая часть входной проводимости цепи
Y = ja>C+---— =-------------+ /
R + jaL /?2+(®z)2
должна быть равна нулю. Следовательно, уравнение для нахождения
величины емкости конденсатора имеет вид
coL
toC—---------
R1 +(a)L\
откуда С = 2,745-10 ’ Ф.
-59-
2. Поскольку контур отключается от источника = 0J,
решение ищем в виде ис (t) = иСсв.
С учетом выражения входного сопротивления контура
относительно места его разрыва
Z(p) = J_ + /? + ip
о?
характеристическое уравнение имеет вид
LCp2 +RCp + ]=0
или после подстановки численных значений входящих в него
параметров -
8,7410 *р2 +1,1-Ю’3р + 1 = 0.
Корни характеристического уравнения:
Р,_2 =-63 + 7332.
Найденным корням соответствует
ис (0 = исс« = Аеsin (332/+^) В .
3. Система уравнений для определения
интегрирования имеет вид
нс(0) = /Isiny/ ;
duc
~dt
Поскольку в момент коммутации напряжение
проходит через нуль, ис(0) = 0, откуда на основании
решение предыдущей задачи) у/ = 0.
Для производной (duc/dt)o можно записать
- f(°)
с С ’
где i(0) как ток, протекающий через индуктивный элемент, находится
на основании первого закона коммутации.
Для его определения рассчитаем комплекс амплитуды тока:
/ =——
” R + jcoL
Таким образом,
= H(-63sin^ + 322cosyz).
о
постоянных
(2.55)
(2.56)
источника
(2.55) (см.
dt
= 86,7е-^2” А.
40 + уЮО
-60-
i (0) = 86,7 sin (-68,2° ) = -80,5 A
и (ducldt)0 = 2,93-IO6 Bic.
Тогда решением уравнения (2.56) является А = 8825 В
Следовательно, искомое напряжение на конденсаторе
нс (/) == 8825е Y’3'sm 332/5 .
Задача 2.23
В цепи на рис. 2.31 Е = 60 В,
Ri = 20 Ом, Я2 = Л, =40 Ом,
L = 0,2 мГн , С = 1 мкФ .
Найти напряжение на
конденсаторе после замыкания
ключа.
Решение
I.	Решение задачи ищем в
виде
ис 0) ~ иСпр + иссв  (2-57)
2.	Принужденная составляющая напряжения
R,
иСт = Е--2— = 40 В.
Спр R,+R2
3.	Выражение входного сопротивления цепи
Z(p) = 7fl +
7^(^+л2)
СР_______
---1-	R
Ср
LCR, рг +(RlR2C+L')p + Rx+ R2
LCp1 + CR2p+\
откуда характеристическое уравнение
LCR'P2 + (R^C + L) p + R, + R2 = 0
или с учетом численных значений входящих в него параметров
р2+2,5105р + 1,5-10'° =0.
Корни уравнения: р, =—105, р2 = -1,5-105, чему соответствует
иСа,=А1е^'+А2е^' (в).
4.	Подстановка полученных выражений иСпр и иСсг в (2.57)
дает
-61 -
uc (t) = 40+	+ А2еВ * * * * * * 15'°’' •' В .
5. Система уравнений для нахождения
интегрирования имеет вид
мс(0) = 40 + Л| +А2;
duc
dt
= -1054-l,5-1054-
О
В соответствии со вторым законом коммутации
z ч R? + А,
ис (О) = Е-----------------~~—
cv ’ r, + r2+r3
постоянных
(2.58)
(2-59)
= 48 Я.
Для определения (duc/dt)o = ic (0)/С воспользуемся
следующими соображениями. Поскольку в момент коммутации ис не
изменяет своей величины, ток в ветви с резистором Rt в момент t = 0
также сохраняет свое значение. Ток в ветви с индуктивным элементом
остается неизменным при t = 0 в соответствии с первым законом
коммутации. Но тогда на основании первого закона Кирхгофа ток
ic (О) также сохраняет свое докоммутационное значение, равное нулю
(в установившемся режиме при нулевой частоте ток через конденсатор
не протекает). Таким образом, (duc/dt) = 0 .
С учетом полученных результатов решение системы уравнений
(2.58) и (2.59) дает Я, = 24 В , А2 = -16 В .
Следовательно, искомое выражение напряжения на конденсаторе
ис (/) = 40 + 24с’’05' -1 бе”1,5 ’°’' В.
В цепи на рис. 2.32
Rt = R2 = R3 = R, =100 Ом,
E = 150 В, L=\Гн, С = 100 мкФ.
Определить зависимости
ыс(0’ (О и zi(0 после
замыкания ключа.
Решение
1. Ищем решение для
ис (/) в виде
«с (0 = «< „₽ +иссе-
-62-
2.
Принужденная составляющая напряжения
ER,
г^=~^Т=100В-
D . D 3
3.	Выражение входного сопротивления цепи относительно
места разрыва ветви с индуктивным элементом
яд
R^ 2 Ср
Z(^LP+-^
/?2 +—
Ср
откуда характеристическое уравнение имеет вид
+ R^ R2Cp2	+ 7?,) + RtR2R^C) р + RyR2 + R^R^ + R2R^ — 0
или после подстановки численных значений параметров -
2рг + 300р+30000 = 0.
Корни уравнения:
й,2 =-75 + /97,
чему соответствует выражение свободной составляющей
иСсв = е'75' (Л, sin 97/ + Аг cos 97/) В .
Таким образом,
пс(/) = 100+е’75' (Я, sin97/ + Аг cos97/) В .
4.	Уравнения для нахождения постоянных интегрирования
имеют вид
ас(0) = 100 + Л2;	(2.60)
= 974-75^.	(2.61)
Расчет начальных условий начнем с определения iL (0) и ис (0)
по схеме на рис. 2.33,а, из которой имеем
duc
~dt~
Для расчета (Jwc/A)o и (dijdt)^ воспользуемся схемой на
рис. 2.33,6, где катушка индуктивности заменена источником тока
iL (0), а конденсатор - источником напряжения ис (0) . Для данной
схемы справедлива система уравнений
/4(0)-г.(0)-г2(0) = 0;
i,(0)+zL(0)-z3(0) = 0;
h(0)-^(0)-ic(0) = 0;
/?,z;(0) + A3ij(0) = £;
7?2z2(0) + wc(0) = £;
/?313(0) + пЛ (0) = пс(0),
решая которую относительно ic (0) и uL (0), получаем: ic (0) = 0,6 А ,
uL (О) = -30 В. Из последнего вытекает:
=к(2)=6.ю35/с;
dt 0 С
diL(Q)	и,(0)
-!±-L =-LXJ- = -30A с.
dt L	'
о
Решив с использованием рассчитанных начальных условий
уравнения (2.60), (2.61), получим: А, = 31 В, А2 = -40 В.
Таким образом,
ис (t) = 100+е"75' (31 sin 971 - 40 cos 97/) =
= 100 + 50, бе"75' sin (97/ - 52,2° ) В.
5.	Решение для тока в ветви с индуктивным элементом ищем в
виде
ii(t) = iItv+iLc,,
где
-64-
Е
E E, „ , ,
l^~ +r Rt+R2~ ’	’
B,+K2	3
6. Выражение свободной составляющей
iLce ~ е 751	s’n 97/ + Вг cos 97/) А.
Таким образом,
iL (0) = 0,5 + е 757 (В, sin 97/ + Вг cos 97/) А .
7. Постоянные интегрирования находим из уравнений
/£(0) = 0,5 + Д2=0,3;
= 97В,-755, =-30,
dt 1	2
0
решая которые, получаем BY = -0,464 А , Вг = -0,2 А .
Следовательно,
i, (/) = 0,5 + е~75< (-0,464 sin 97/ - 0,2 cos 97/) =
= 0,5 + 0,505е"5' sin(977 + 203°) А.
8. Для определения тока z(z) составим уравнение по второму
закону Кирхгофа для контура Е - Д - L - С:
R.i.-L^ + ur = E.
11 dt с
Решая его относительно i, (/), получаем
„ г
E+L—±-—ur
Й')=------R-----"
150+1—(0,5+0,505e“75'
__dA 
sin (97/ + 203° ))-100-50,6е'5; sm(97z-52,3°)
100
= 0,5 +0,253е-75' sin(97/+23,3°) A.
-65-
3.	ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
3.1.	Общие сведения
Сущность операторного метода заключается в следующем:
функции f(t) вещественной переменной t (например, времени),
которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция
F{p) комплексной переменной p = s+ja>, которую называют
изображением. В результате этого производные и интегралы от
оригиналов заменяются алгебраическими выражениями от
соответствующих изображений (дифференцирование заменяется
умножением на оператор р, а интегрирование - делением на него), что,
в свою очередь, определяет переход от системы интегро-
дифференциальных уравнений, записанных относительно оригиналов,
к системе алгебраических уравнений относительно изображений
искомых переменных. При решении этих уравнений находятся
изображения и далее путем обратного перехода - оригиналы. При этом
важнейшим в практическом плане моментом является необходимость
определения только независимых начальных условий (см.разд. 2.2),
что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях
высокого порядка по сравнению с классическим методом.
Изображение /Др) заданной функции /(/) определяется в
соответствии с прямым преобразованием Лапласа:
F{p)=\ep,f(t)dt.	(3.1)
о
В сокращенной записи соответствие между изображением и
оригиналом обозначается как
или F(/’)=Z{/(0}-
Следует отметить, что если оригинал увеличивается с
ростом t, то для сходимости интеграла (3 1) необходимо более быстрое
убывание модуля e~s'. Функции, с которыми встречаются на практике
при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.
В качестве примера в табл. 3.1 приведены изображения
некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе
нестационарных режимов.
-66-
Таблица 3. I. Изображения типовых функций
Номер п/п	Оригинал f (/)	Изображение F(j>)
1	А	a!p
2	е±ш	\!{p + a')
3	sin cot	а>/(рг+a>2)
4	sin (®/ + /?)	(psin/? + ®cos/?)/(p2 + ®2j
5	cos®/	p/(p2+®2)
6	cos®/	(p cos/?-® sin /?)Др2 +®2)
7	shat	«/(p2-«2)
8	chat	/’Др2-»2)
9		«/(p(p+«))
10	te~a‘	x!(p+a)2
11	(1-«/)e“'	p/^p+a)1
В табл. 3.2 приведены некоторые важные свойства изображений,
знание которых необходимо при расчете переходных процессов
операторным методом.
Таблица 3.2. Некоторые свойства изображений___________________________
Свойство	Аналитическое выражение
Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых	е/лотЗХо») А-1	К=1
При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение	Af(t)=AF(p)
С использованием этих свойств и данных табл. 3.1 можно
показать, например, что
-at
Ц, uQ
р р+а
-67-
В табл. 3.3 приведены изображения производных и интеграла, на основании которых, в частности, выводятся выражения для операторных сопротивлений индуктивного и емкостного элементов. Таблица 3.3. Изображения производных и интеграла	
Оригинал	Изображение
Производные: /'(0	pF(p)-/(0)
г(')	р^(р)-р/(о)-/'(°).
И Т.Д.	где У (О) и Д(®) ~ начальные значения функции f (t) и ее
Интеграл	производной
0	р(р)/р
В соответствии с данными табл.3.3 для напряжения на
индуктивном элементе можно записать
ui (О=L^=lp! (р) -Li (°)
или при нулевых начальных условиях
иЛ*) = ь^=Ьр1(р)-
Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности
Z(p) = Lp.
В свою очередь с учетом ненулевых начальных условий для
напряжения на конденсаторе можно записать:
, х If. , х’Др) «С (°)
ис (О - р	+ ис (°)	+ п
С о	СР Р
или при нулевых начальных условиях
mc(0tt^/(p)>
• Ср
откуда операторное сопротивление конденсатора
z(p) = 7--
Ср
-68-
3.2.	Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС
в операторной форме
Пусть имеем некоторую ветвь т-п (см. рис. 3.1), выделенную
из некоторой сложной цепи. Коммутация во внешней цепи приводит
Рис. 3.1
к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви
и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.
Для мгновенных значений переменных можно записать:
м„,„ (0 = М' +L ~ ~ \idt + ис (0) “ е(0 •
Тогда на основании приведенных в разд. 3.1 соотношений
получим
^(p) = f/? + Ap+-J-ll(p)-n(o)+^^-£(p),
\	^р J	р
откуда
U„(p)+U(0)-^+E(p)
---------ДрГ~-----------	(32)
где	Z(p) = R+Lp + \/(Cp)	— операторное сопротивление
рассматриваемого участка цепи.
Следует обратить внимайие на то, что операторное
сопротивление Z(p) соответствует комплексному сопротивлению
Z(ja>) ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на
ущ.
Формула (3.2) есть математическая запись закона Ома для участка
цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с (3.2)
для ветви на рис. 3.1 можно нарисовать операторную схему
замещения, представленную на рис. 3.2.
-69-
R Lp Li(°) CP ~ p E(p)
UmAp)
Puc. 3.2
3.3.	Законы Кирхгофа в операторной форме
Формулировка законов Кирхгофа и их математические
выражения приведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4, Законы Кирхгофа в операторной форме
Закон	Формулировка закона	М атем ати ч еское выражение
Первый закон Кирхгофа	Алгебраическая	сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю	£д(р)=о К=1
Второй закон Кирхгофа	Алгебраическая сумма изображений напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме изображений ЭДС, действующих в этом контуре	т	т К=1	К-1
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует
помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если
они имеют место). С их учетом выражение второго закона Кирхгофа,
приведенное в табл. 3.4, в развернутой записи имеет вид
Ё[к.зАг+рЦ'- W" W*(°)-—] 
к-1 \	Р)	Л-1 V	Р J
В качестве примера запишем выражение для изображений
токов в цепи на рис. 3.3,а для двух случаев: 1 - ис(0) = 0;
2- ис(0)*0.
-70-
В первом случае в соответствии с законом Ома
к у и°(р)
R J_ р(/?Л0’+а1+/?2)’
„ ,	2 Ср
4+------—
Я, + —
2 Ср
Тогда
и0
1
4 (р) = Л - pfR^Cp +я, + я2)
2 Ср
и
4 (р) = А (р)—~~ =-—
Р+-1- ^Cp+^+R,
2 Ср
(3.3)
Во втором случае, т.е. при ис (0) ф 0, для цепи на рис. 3.3,а
следует составить операторную схему замещения, которая приведена
на рис. 3.3,6. Изображения токов в ней могут быть определены любым
методом
токов:
расчета линейных цепей, например методом контурных
Il(p)(Rz+R2)-I„(p)R2=^;
Р
“с (°)
р
“4	+ 4/[ R2 +~ |-
Ч СР)
откуда
I, (/>) = /, (р)=
' ' lyt'j	p(RlR1Cp + Rx+Rl)
I ( ) .^C-(^+^)C«c(0)
"{P'	RlR2Cp + Rl+R1
M fi(p) = //(p)’ /2(р) = Ь(р)~/и(р)’ /з(р)=/а(р)-
В качестве другого примера запишем операторное выражение
напряжения на конденсаторе для цепи на рис. 2.28.
-71 -
С учетом ненулевого
ЧСр R
и Ар) b(o)Q
и Ар)	I
IM Lp}
Рис. 3.4
начального значения тока в цепи, которое
равно i (0) = U0/R, расчетная
операторная схема замещения имеет
вид, представленный на рис. 3.4.
Для этой схемы в соответствии со
вторым законом Кирхгофа можно
записать
А-1 (р)+RI (p)+Lpl(p) = Uo (р)+ Li(0),
Ср
откуда
я YUAp)+LiA>)_ uoc+CLpi(())
{Р)~ ±.+R + Lp ~LCp'+RCp + \
Ср
Тогда для напряжения на конденсаторе имеем

Uo +Lpi(Qj
р(ЬСрг + RCp+l)'
3.4.	Переход от изображений к оригиналам
Переход от изображения искомой величины к оригиналу может
быть осуществлен следующими способами.
I.	Посредством обратного преобразования Лапласа
которое представляет собой решение интегрального уравнения (3.1)
относительно неизвестной функции f (?) и сокращенно записывается
как
/0)==^{гИ-
В практических инженерных расчетах данный способ
применяется относительно редко.
2.	По таблицам соответствия между изображениями и
оригиналами.
В специальной литературе имеется достаточно большое число
формул соответствия (см. табл. 3.1), охватывающих практически все
основные задачи электротехники. Согласно данному способу
-72-
необходимо получить изображение искомой величины в виде,
соответствующем табличному, после чего следует выписать из
таблицы выражение оригинала.
Так, например, для изображения тока в последовательной R-L-
цепи, подключаемой к источнику постоянного напряжения Uo, можно
записать:
' ’ R + Lp p(R+Lp) R p
1 1
R
Р+-
Тогда в соответствии с данными табл. 3.1 (позиции 1 и 2)
л X
-Я 1-е
R
что соответствует известному результату.
В качестве другого примера получим выражение для напряжения
uc(t) на конденсаторе в цепи на рис. 3.3,а. С учетом соотношения
(3.3) изображение искомого напряжения имеет вид
ис (Р)=-L д (р)=——----------------=
Ср п ' р(л,/г2Ср+л1+л2)
ив
RtC
(	R,+R,
Ч ^RZC
где А = R2U0/(R, + R2); а = (Л, + Я2 )/(RtR2C) 
Тогда на основании позиции 9 в табл.3.1
ЦЛ
Rt ч- R2
(3-4)
-4 a____
p(p+a)’
и,
R,+R2.y
1-е
(3-5)
Л;Л,С
3.	С использованием формулы разложения.
В большинстве практических случаев при решении
электротехнических задач изображение искомой переменной имеет
вид рациональной несократимой дроби Т(р) = Д (р)//*’2 (р), у
которой для порядков полиномов числителя т и знаменателя п
-73 -
выполняется условие т <п . В этих случаях оригинал может быть
определен по формуле разложения.
Варианты записи формулы разложения в зависимости от типа
корней характеристического уравнения Р,(р) = О приведены в
табл.3.5.
Таблица 3.5. Варианты записи формулы разложения		
Номер п/п	Корин характеристического полинома	Формула разложения
1	Все корни простые	F2 (Рр)
Имеет место нулевой корень,
Т.е. гг (р) = pFy (р)
Имеет место корень ря+1
кратности а, те.
^2 (р) = ^3 (р)(Р“ Р/|ь1)С
Л,)-У_______^е-_________
ар L	-*р=рк
1 [МрИ
+ («-1)!ф-| Г,(р) .....
В качестве примера использования формулы разложения получим
с ее применением оригинал nc(z), соответствующее которому
изображение определяется выражением (3.4). Согласно ему
( X Л (р)
“с Р =~7П’
PF3 (Р)
где F, (р) = U0R2; F3 (р) = Я,Р2Ср + Р, + Р2.
Корень уравнения Р3 (р) = О
Pl — '	 •
1 RtR2C
Тогда в соответствии с формулой разложения вида (3.7), в
которой F3 (О) = F3 (р)р=0 = Р, + R2 и F3 ( р) = R: R2C, имеем
-74-
«с(0 =
ил , ил c-j^'
R,+R2
RtR2C ' 2
УЛ
r}+r2
1-e
Я,Я2С
что совпадает с результатом (3.5).
Отметим ряд важных замечаний к формуле разложения.
1.	При напичии в цепи синусоидальной ЭДС
е(<) = Ет sin(®Z + <р), изображение которой принимается в виде
для перехода от комплекса к функции времени от
правой части формулы разложения берется мнимая часть, т.е.
выражение при j. Если при этом в цепи также имеют место другие
источники, например постоянной Е и экспоненциальной Еое"а‘ ЭДС, и
начальные условия для токов в ветвях с индуктивными элементами и
напряжений на конденсаторах ненулевые, то они должны быть все
введены в формулу предварительно умноженными на j, поскольку
только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой части от
формулы разложения, т.е.
^+/£+_^+£,(о)_МД'|
p-jto ^р р + а р ?
z(p)
2.	Принужденной составляющей от действия источника
синусоидальной ЭДС в формуле разложения соответствует слагаемое,
определяемое корнем р = jco . Для сложных схем такое ее вычисление
может оказаться достаточно трудоемким, в связи с чем принужденную
составляющую в этих случаях целесообразно определять отдельно
символическим методом, а свободную - операторным.
3.	Комплексно-сопряженным корням уравнения 7^(р) = 0 в
формуле разложения соответствуют комплексно-сопряженные
слагаемые, которые в сумме дают удвоенный вещественный член, т.е.
для к-й пары комплексно-сопряженных корней имеет место
A(/) = 2Re
,	7 е™
F2 U)
-75-
3.5.	Предельные соотношения
Начальное /(0) и установившееся /(со) значения оригинала в
случае непериодического принужденного режима могут быть
определены с использованием предельных соотношений
/(0)=lirnpF(p);	(3.8)
(3-9>
Предельные соотношения могут также служить для оценки
правильности полученного изображения.
В качестве примера применения предельных соотношений
рассчитаем с использованием операторного изображения (3.4)
начальное ис (0) и конечное ис (со) значения напряжения на
конденсаторе в схеме на рис. 3.3,а. В соответствии с (3.8) для wc(0)
имеем
ис (0) = lim pUc (р) = lim----------- о
cv ’	’ ^RxR1Cp + Rl + R1
В свою очередь, на основании (3.9) для ис (со) можно записать
ис (со) - lim pUc (р)~ Нт--—-------=	.
CV > Р^1 cv > P^oRtR2Cp+Rl+R2 Rt+R2
Справедливость полученных результатов может быть достаточно
несложно подтверждена непосредственным визуальным анализом
цепи на рис. 3.3,а, что является косвенной оценкой корректности
операторного выражения (3.4).
3.6.	Последовательность расчета переходных процессов
операторным методом
Расчет операторным методом включает в себя следующие этапы.
1.	Определение независимых начальных условий путем расчета
докоммутационного режима работы цепи (см. разд. 2.2).
2.	Составление операторной схемы замещения цепи (при
нулевых начальных условиях этот этап может быть опущен).
3.	Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам
расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных
условий.
4.	Решение полученных уравнений относительно изображений
искомых переменных.
-76-
5.	Определение оригиналов (с помощью формулы разложения
или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным
изображениям.
3.7.	Примеры расчета переходных процессов операторным
методом
Задача 3.1
Цепь на рис. 2.25 включается на постоянное напряжение
UB = 100 В. Определить ток в ветви с индуктивным элементом, если
А, = 20 Ом, А2 = 30 Ом, L - 1 Гн .
Решение
1.	С учетом нулевого начального значения операторное
изображение искомого тока
/(р) = —-----------=.	(310)
р . RiPL Ъ+pL p(RlR2+(Rt+R2)pLy
1 ' R2 + pL
2.	Для нахождения оригинала iL (/) воспользуемся формулой
разложения (3.7) при нулевом корне:
М	PiFi(Pi)
где F^p^U^, F3(p) = (Rl+R1)Lp + RlRz.
3.	Корень уравнения F3 (р) = О
р,=—-/Л	= -12с~‘.
Т(Л1+Л2)
Тогда
1	R R
и
4.
Е(0) UdR2_U0
F3(0) R,R2 А, ’
Подставив найденные значения слагаемых формулы
разложения в (3.7), получим
= 5(1—е-12') .
'Л ’ R, Rl '	1
-77-
Задача 3.2
начального значения искомого
В цепи на рис. 3.5
Uo = 500 В,	Rt = R3 = 20 Ом,
R2 = R4 = 80 Ом ,	R5 =8 Ом ,
L = 2Th.
Определить закон изменения
тока iL (t) в ветви с индуктивным
элементом после замыкания
ключа.
Решение
I. С учетом нулевого
<а его операторное выражение с
использованием метода эквивалентного генератора определяется
формулой

где
и„,
X¥1"2V ' Ri+R, 4 R2+R3	p{R,+R4 R2+R3) p

^1^4 j ^2F3
+ R4 R2 + R3
= 32 Ом.
Таким образом,
, (r\^ 150 F'^
L{P) p(p+20) PF3(Py
2. В соответствии с (3.7) для искомого оригинала запишем
'40=
F.(°), Ш)
FA°) PiF3(Pt)
где корень уравнения F3(p) = 0	р,=-20с"'’, F3(6j = 20 и
P>F3 (Pi)^~20-
С учетом численных значений рассчитанных параметров
г£(г) = 7,5(1-е-20')я.
-78-
Задача 3.3
В цепи на рис. 2.17 ЭДС источника изменяется по закону
e = 100sin(1000z + 60°) В. Определить ток i(t) после коммутации,
взяв численные значения параметров пассивных элементов из условий
задачи 2.9.
Решение
1.	В соответствии с первым законом коммутации для
нахождения начального значения тока z(o) определим его
комплексную амплитуду в докоммутационном режиме:
________А_______________
7?! + /?2 4"
юоеубО°
50+50 + 71000-0,1
= 0,707ejl5° А.
Отсюда г (о) = 0,707 sin 15° = 0,183 А.
2.	В соответствии с данными табл. 3.1 (позиция 4) операторное
изображение ЭДС е = 100 sin (1000г+60°) определим, используя
выражение
,	100 (р sin 60° +1000 cos 60° ) _ 86,6р + 5 • 104
"	р2+106	~	р2+106
Следовательно, изображение искомого тока
/ х £(р) + Аг (о) _ 0,0183р2 + 86,6р +68300 _ F,(p)
Z> R}+Lp (р2 +Ю6 )(0,lp + 50)	F2(p)'
3.	Оригинал найдем по формуле разложения (3.6), в которой
F2’(p) = 0,3p2 + 100р + 105.
Корни уравнения F2 (р) = 0: р12 - + /1000, р3 = -500.
Подставив их в слагаемые формулы разложения, получим
F( (р,) = 105 ej6a";	F, (р3 ) = 29575 ;	F,’ (р,) = 2,236 • 105 еу153>4°;
F2 (р3) = 125000. Тогда искомое выражение тока
-79-
t(/) = 2Re-
(3-11)
= О,849со5^103г-93,40) + +О,2366е“500' А.
Данную задачу можно решить иначе, применив операторный
метод к расчету свободной составляющей тока. В этом случае
расчетная операторная схема замещения,
-----------—	представленная на рис. 3.6, не содержит
источника ЭДС Е (р).
1.	Для комплексной
принужденной
запишем:
Ic^P^ Lp
амплитуды
составляющей тока
Рис. 3.6
Ё,
(прт
ЮОе76*'
Я1+./®£ 50 + у1000-0,1
= 0,849е'-'3’4’ А,
/„,(0) =-0,053 Л.
откуда inp = 0,894sin(1000/-3,4°) А и inp (о) = -0,053 А.
Тогда с учетом рассчитанного выше значения i(0) = 0,183/1
начальное значение свободной составляющей тока
4,(0) = г(0)-г„Д0)=0,236Л.
2.	Из схемы замещения на рис. 3.6 следует, что
7 ( 1,-£^(°)	°’0236 - °’236
Lp + Rt 0,1р + 50 р + 500’
Отсюда в соответствии с данными табл 3.1 (позиция 2)
i„ = О,236е 590' А.
3.	Суммируя полученные выражения принужденной и
свободной составляющих, получим результат, соответствующий
(3.11).
Задача 3.4
В цепи на рис. 3.7,a Uo = 150 В, R. - R2 = Я, = 100 Ом,
Я4 =300Ол/, Д = L2 =0,2 Гн, М = 0,1 Гн.
Определить ток i2 (/) после размыкания ключа.
-80-
Решение
1. В соответствии с первым законом коммутации начальные
значения токов в ветвях с индуктивными элементами /, (0) = 0 и
Р+ R2R3 Я2+Д3
1 Ъ+Ъ
С их учетом расчетная операторная схема замещения имеет вид
рис. 3.7,6.
2. Для схемы на рис.3.7,б справедливы уравнения
A (z?)(a2 +йз +Ар)~ А (р)Мр= АА (о);
~А (р) Мр +I2	+£2р) = -Л/i, (0),
откуда изображение искомого тока
, ( а_______________-(/?2+А3)Л7/,(0)____________
Л (М2-^2)^+((^+/?з)^+ад)р + (й2+Л3Х
или после подстановки численных значений параметров
Ю___________ Л(р)
0,03р2+100/2+ 60000 Г2(рУ
оригиналу будем использовать формулу
2
Для перехода к
разложения
где F2'(p) = 0,06р + 100 и корни уравнения F2(p)~0 - р(=-785с
р = -2549 с 1.
Тогда
-81 -
i (Л _________~10________е-’85/ ,	-Ю__________e-2549, _
0,06(-785) + 100	0,06 (-2549)+ 100
= 0,19(e'2549'-e-785')
Задача 3.5
Используя теорему об активном двухполюснике, записать
операторное выражение для тока в ветви с индуктивным элементом в
цепи на рис. 3.8,а и по нему определить начальное и конечное
значения этого тока.
Рис. 3.8
Решение
1.	В соответствии с законами коммутации в цепи на рис. 3.8,а
имеют место нулевые начальные условия.
2.	На основании теоремы об активном двухполюснике для
искомого изображения запишем
zM+lp
где (см. рис. 3.8,6)
(р)=~i, (p)-RI2 (р) = (~	°—=и0 (р)~;
СР	kcP Jr + J— i + кср
Ср
R—
Zex (р) = 2—= —Ш—.
v я+J- RCP+\
Ср
-82-
В результате получим
r(tA= °{P)^RCp = U0(l-RCp)
2R + Lp	p (LRCP2 + LP +
l+ЙСр 1
3.	Применив предельные соотношения, для начального и
элементом
(3.12)
конечного значений тока в ветви с индуктивным
соответственно получим:
, ч /ч U0(l-RCp)
i(0)= lim pl(p)= lim-Ц= 0;
v > p >* LCRp2 + Lp+2R
i (oo) = lim pl ( p) = lim -
v ’ v ’ p^LCRp2+Lp + 2R 2R
Задача 3.6
Используя формулу разложения, рассчитать ток в ветви с
индуктивным элементом в цепи на рис. 3.8,а, если UQ=l00B;
R = 20 Ом ; L = 0,1 Гн ; С = 10 мкФ .
Решение
1.	В соответствии с полученным при решении предыдущей
задачи результатом (3.12) для искомого тока имеет место выражение
/(/) =
^з(О)	’
(3.13)
где	F,(p) = U0(1-RCp);	F3(p) = LCRp2 + Lp + 2R;
F3 (p) = 2LCRp + L .
2.	Определим корни характеристического уравнения
F3(p) = 0: р| =-0,44-10’с-'; р2 =-4,56-10’ с"1.
Тогда
F( (р,) = 1/0 (1 - RCPl) = 100(1 - 20 • 10~5 (-0,44 • 1О’)) = 108,8 ;
Р\ ( Рг ) = ио (1 - RCPi) =1 °0 (1 - 20  10 "5 (-4,5 6 • 1О’ ) ) = 191,2;
Р\F3 {Р\) = Рх (2LCRPl +L) =
= -0,44  10’ (2 • 0,1 • 10'5 • 20(-0,44-10’)+1) = -36,256;
-83-
PiF3 (ft ) = P2 (2LCRp2 + L) =
= -4,56103 (2-0,1 -10~5-20(-4,56-103) + l) = 375,744.
3.	Подставив результаты расчетов в (3.13), получим
./\ ЮО 108,8	-0,4410’г	191,2 -4,5610’г
/(/)--------j--------е	ч—-------е —
v ’	40	-36,256	375,744
= 2,5-Зеч,-4ф|о’'+0,5е-4^,°’' А.
Задача 3.7
Решить задачу 2.24 операторным методом.
Решение
1. В соответствии с
определенными	при
решении	задачи 2.24
начальными значениями
тока в ветви с индуктивным
элементом iL (о) = 0,3 А и
напряжения	на
конденсаторе ис (0) = 60 В
расчетная	операторная
схема замещения приведена
на рис. 3.9.
2. Для данной схемы справедлива следующая система
операторных уравнений, записанных по методу контурных токов:
£
Л (p)(Ri + ^з)~Л/ (p)^i ~1ш (p)R3
-h (p)ri + 4 (р)(л1+r2+Lp}~hu (p)lp=Lii. (°);
(	1 1
-Л(р)Лз -4(р)ЛР + /л/(/’) R3+LP+-ZT
\	А
. ч ис (0)
= -ы,_ о—
р
или после подстановки численных значений входящих в них
параметров
I, (р) 200- 1п (р) 100- 1Ш (р) 100 = ^ ;
-/, (р) 100 +1„ (р) (200 + р)- 1И1 (р)р = 0,3;
-84-
60
р
-Л(/7) ioo-/„(p) р+1ш(р) 100+/,+ *£- =_0,3-—
V р ) р
Решением этой системы являются
г г \ , . Р2 +120/7 + 10000
Л(р) = 1>5—Н--------------
р [р +150/7 + 15000)
Л7(р) = 0,3-3#-+-2-5°Р + 25-^;
р[рг +150/7 + 15000)
, /	100+/7
и(р) > р2+150/7 + 15000’
откуда изображения искомых переменных
7, (,)- 7, W-7,(<>) = °.6Р+Ю5р.7500, _ЛМ .
р(р2 + 150р + 15000) PF3(p)’
О,Зр2 +15/7 + 7500 Р'г(р)
р(р2+150/7 + 15000)	pF3(p)’
ГГ /	1 Г мс(°) 60р:+15000/7 + 1500000	F4(p)
Срш{Р)+ р	/,(/,2+150/7 + 15000) ~рГ3(р\
Используя формулу разложения (3.7), для которой корни
характеристического уравнения Fi (р) = 0 - р|2=-75±>97 и
Fy (р) = 2/7 +150, записываем выражения оригиналов:

i/(/) = ---^ + 2Re- F3(0)	^(a) cPi, Pif3(Pi)	= 0,5 + 0,253e 75' sin (97z + 23,3°	p;
, ч F-> (0) ^'>>:(o)+2Re-	P\F3{P\)	 = 0,5 + O,5O5e	sin (97r + 203°}	A',
wc(0 = ~44 + 2Re cU F3(0)	cA, ,рХ(а)	•=100 + 50,6e’75' sin (97/ - 52,2°	B.
Как видно, полученные зависимости совпадают с результатом
решения задачи 2.24 классическим методом.
-85-
3.8.	Формулы включения
Формулу разложения можно использовать для расчета
переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях.
Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к
источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального
напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать
формулы включения, вытекающие из формулы разложения и
являющиеся, по сути, готовыми решениями. Эти формулы приведены
в табл. 3.6.
Таблица 3.6. Формулы включевпя
Тип источника напряжения	Формула включения
Источник постоянного напряжения С/о Источник экспоненциального Г Г напряжения Uoe Источник си нусоидального напряжения [/„, sin(®/ + ^>)	/ 6) = —FV+У °, х	<3 14> W Z(o) ^pKZ'(pK) . , ийеа‘ Л	С„е"-' = (3,5) Z(a) %(pK-a)Z (p,,) z.	L/e'V’' '(<) = Imi-ir~T*+Z7	- ^---[(3.16)
В формулах (3.14)-ь(3.16) Z(p) - входное операторное
сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с
ключом на входе цепи (при расчете тока в произвольной ветви — это
операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома);
рк - к-й корень уравнения Z (р) = 0.
Следует отметить, что формально формулы (3.14) и (3.16) могут
быть получены из формулы включения на экспоненциальное
напряжение (3.15). В первом случае в (3.15) следует подставить а = 0,
а во втором - а = ja> и Uo= UmeJ<1’.
Задача 3.8
На вход последовательной /?-£-цепи в момент времени / = 0
подается импульс напряжения ;/(/) = U„ea‘.
Рассчитать ток в цепи, если Uo = 1 000 В, R = 10 Ом , L = 1 Гн,
а = -5 с-1.
-86-
Решение
В соответствии с формулой (3,15) включения на экспоненциально
изменяющееся напряжение для искомого тока можно записать
Uoea [ Уое»
z(a) (p~a)z'(p\Y
(3-17)
где Lp + R и pt -~R/L = ~10c 1.
Тогда Z(«) = Zrz + 7? = l(-5) + 10 = 5
и (pl-a)Z'(p1) = (p,-a)£ = (-10+5)l=-5.
Подставив рассчитанные значения параметров в (3.17), получим
ф) = 100£е2+ lOOOp = 200(g_s, _е.)0/) А
Задача 3.9
Найти закон изменения тока «(/) в
цепи на рис. 3.10 при ее подключении к
источнику с напряжением «(?) = Uoea',
где Uo - 500 В и а = -100 с-1.
Параметры элементов цепи:
/?,=10<2м, /?2=40Ол», /. = 0,1 Гн,

Рис. 3.10
С = 10 мкФ .
Решение
1.	В соответствии с формулой включения (3.15) для тока в
ветви с индуктивным элементом запишем:

। Л Uoe"
z(«) h(pK-a)z\pKy
(3.18)
где Z(p) = 7?, +Lp
pc
— + Lp +
*г
\ + R2Cp
2.	Определим корни характеристического уравнения Z(p) = 0:
рх = -637 сх, р2 = -1963 с ’.
Тогда
-87-
Z(a) = R+La +—= Ю+0,1(-100) +------------------------ = 41,67;
V 7	1	\ + R2Ca	V ' 1+ 40-10' (-100)

10~5-402
= -38,23;
105-403
(1 + 40-IO'5 (-1963))'
3.	Подставив результаты расчетов в (3.18), получим:
х 500е“,ос' SOOe"6’7' 500е4963'
= 459,74.
' ’	41,67	-38,23	459,74
= 12e100' ~13,08e‘637' + l,08e”1963' A.
Задача 3.10
С использованием формулы включения рассчитать ток в ветви с
резистором /?! в цепи на рис. 2.25 при ее включении на
синусоидальное напряжение w = t/msm(®Z+ /J), где Um=l00B,
® = 314с~‘, /? = 60°. Параметры пассивных элементов цепи:
Я, = R2 = 50Ом; £ = 0,1 Гн.
Решение
1.	В соответствии с (3.16) выражение искомого тока
Umei^ep't
Z(j®) +(p,->)Z'(p1)J ’
z(/) = Im
(3-19)
где Z(p)= R,+ R2Lp[{R2 + £p); Z(yo) = Rt + Я27®£/(Я2 + jcoL) -
= 50 + 50-7314-0,1/(50 + £314 0,1) = 68ey'9’4' Ом;
Z'(p) = R2 Lp!(R2 + Lp)2 •
2.	Корень уравнения Z(p) = 0: p, =-Я1Яг/((Я1 +R,)l)=-250c 1.
Тогда
-88-
(A -7®)Z'(a) = (-250-j314)------------------------ = 160,5e'231'5’,
(502 +0,1 (-250))'
Подставив рассчитанные параметры в (3.19), окончательно
получим:
r(r) = Im.
юоЛ’^60')
68е2'9’4
100еу6° е-250'
+ 160,5е'231,5
= 1,47 sin (314/ + 40,6 ) - 0,092е 250< А.
3.9.	Сведение расчета переходного процесса к расчету
с нулевыми начальными условиями
Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми
начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми
начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные
элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-
параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к
виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с
использованием формул включения.
Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям
иллюстрирует рис. 3.11, на котором исходная схема на рис. 3.11,а
заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 3.11,6, где e(z) = w12(f).
Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на
две схемы; при этом в схеме на рис. 3.11,в составляющая /' общего
тока i равна нулю. Таким образом, полный ток i равен составляющей
тока Г в цепи на рис. 3.11,г, где исходный активный двухполюсник
Рис. 3.11
-89-
АД заменен пассивным 11Д, т.е. схема сведена к нулевым начальным
условиям.
Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то
достаточно рассчитать схему на рис. 3.11,г. При расчете тока в какой-
либо другой ветви АД в соответствии с вышеизложенным он будет
складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней,
определяемого подключением ЭДС e(z) к пассивному
двухполюснику.
Аналогично можно показать, что отключение ветви, не
содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать
включением в нее источника тока, величина которого равна току в
ветви до коммутации и который действует навстречу ему.
Задача 3.11
В цепи на рис. 3.12,а £ = ЗООВ, = R2 = R3 = R^ = 100Ом,
Ь — \Ги. Рассчитать ток в ветви с резистором Т?4, используя формулу
включения.
Решение
1.	Для получения возможности использования формулы
включения сведем расчет переходного процесса в цепи на рис. 3.12,а к
нулевым начальным условиям. Тогда в соответствии с изложенным
искомый ток i в ветви с резистором Л4 будет складываться из тока в
этой ветви до коммутации
е =______--------------= о,бя
р Л2(лз + й4) r2+r3+r,
i\, 4---~-----
/?2 + R3 + й4
-90-
и тока i”, определяемого по схеме на рис. 3.12,6, где Uo - напряжение
на зажимах разомкнутого ключа в цепи на рис. 3.12,а, определяемое в
соответствии с выражением
Uo = R3i' = 60 В.
2.	Применив к расчету Г формулу включения (3.14), запишем
z(o) AZ'(p,)’
(3.20)
где
Z (р) = Л4 + R, (Л, + Lp)/(^ + R2 + Lp) = (ЗОр + 30000}/(0,15р + 200);
Z' (р) = 1500/(0,15р + 200)2; Z (0) = 150.
Корень уравнения Z(p) = 0	р,=-1000с1, Тогда
ptZ'(pt) =-600. Подставив рассчитанные значения параметров в
(3.20), получим
_60 60£‘<//'
150	-600
— 0,4 —О,1<?“1000’
А.
Следовательно, искомый ток
i(r) -/'(r)+i’(r) = l-O,le"1000'л.
Задача 3.12
В цепи на рис. 3.13 Е = 200 В,
Ri = R2 =R. =50Om, L = 0,\Fh,
C = 100 мкФ .
Рассчитать зависимость i (t)
при замыкании ключа.
Решение
I.	Напряжение на зажимах
разомкнутого ключа U0=E = 200 В.
2.	Входное операторное
сопротивление цепи по отношению к разомкнутым зажимам ключа

, RtR2Cp + Rl
(Rl + R2)Cp + \
0,001p2 +0,85p + 100
0,01p + l
3.	В соответствии с формулой включения (3.14) для искомого
тока запишем
-91 -

и0 Uoe"
М°) ЬрЛЛрХ
где Z; ( р) = (10’5 р2 + 2 • 10'3 р - 0,15)/(1 О ' р +1)2.
4.	Корни характеристического уравнения:
Ш=0:
р2 =-709с‘. Для этих корней ptZ^(p,) = 195,6 и
Р22«(/’г) = ~66’12-
В результате получим
200 + 200£^+200е-=2+ 2е-( _3j02e- л.
v ’ 100	195,6	-66,12
-92-
4. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
4.1. Общие сведения
В настоящее время для анализа сложных электрических схем с
помощью ЭВМ используется подход на основе переменных состояния.
В этом методе линейную переменную относительно времени t схему
представляют двумя уравнениями в матричной форме [5]:
[Ф№№][И;	(4-1)
Ь] = МЫ+р][П+([^]И + -)’ (4.2)
где [F] - матрица-столбец идеальных источников электрической
энергии (источников ЭДС и источников тока), которая называется
входным вектором; [у] - матрица-столбец искомых токов и (или)
напряжений на элементах схемы, которая называется выходным
вектором; [л] - матрица-столбец размером п, содержащая и
независимых переменных; [i],	- матрицы-столбцы первых
производных по времени элементов матриц [х] и [И; И» РФ [с],
[£)],	— постоянные действительные матрицы соответствующего
размера, причем [ Л] — всегда квадратная матрица порядка п.
Уравнение (4.1) представляет собой систему из п
дифференциальных уравнений первого порядка и называется
уравнением переменных состояния в нормальной форме.
Вспомогательные переменные х1,	х2,	хп называются
переменными состояния, а матрица-столбец [x] = [xt х, хл]г
называется вектором переменных состояния. Уравнение (4.2)
называется выходным уравнением.
Основным преимуществом подхода на основе переменных
состояния является его совместимость со многими численными
методами анализа, реализуемыми средствами вычислительной
техники.
В любой электрической схеме с сосредоточенными элементами
имеют место три основных типа уравнений: уравнения по первому и
второму законам Кирхгофа и уравнения вольт-амперной
характеристики для каждого из элементов схемы. Если с их помощью
удается получить систему линейно независимых дифференциальных
уравнений первого порядка
-93-
[л] = /([x],r),	(4.3)
где [л] - набор из п независимых вспомогательных переменных, то
говорят, что для данной схемы существуют уравнения переменных
состояния в нормальной форме. В этом случае переменные х,, х2, ...,
хп называются переменными состояния, а п определяет степень
сложности схемы.
Для линейной переменной относительно времени схемы на
сосредоточенных элементах уравнение состояния в нормальной форме
может быть представлено в виде равенства (4.1), а связь между
выходным вектором [у], [л] и входным вектором [Г] определяется
уравнением (4.2). Хотя в состав [у] может входить лишь несколько
представляющих интерес токов и (или) напряжений, всегда нужно
иметь в виду то, что в [у] могут входить все токи и напряжения.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее
решение уравнения (4.1) должно содержать п произвольных
постоянных интегрирования, определяемых с помощью п начальных
условий. Обычно в качестве начальных условий берутся значения
переменных х,, х2, ..., хП в момент t-О. При этом степень сложности
п схемы равна числу независимых начальных условий, которые
задаются в виде электрических величин, обеспечивающих получение
полного решения [*(/)] и, следовательно, . [д’О)]- линейных
схем в качестве таких определяющих величин в соответствии с
законами коммутации всегда могут быть приняты напряжения
(заряды) на конденсаторах и токи (потокосцепления) в катушках
индуктивности.
С точки зрения математики начальные условия означают такой
набор произвольных постоянных, который обусловливает
единственное решение. Физически начальные условия приходится
вводить из-за того, что неизвестна предыстория работы схемы. При
этом напряжения (заряды) на конденсаторах и токи (потокосцепления)
в катушках индуктивности в начальный момент времени (1=0) могут
быть определены в соответствии с законами коммутации для момента
времени 1=0 без дополнительного описания предыстории рабогы
схемы.
Для линейной схемы, содержащей резисторы R, индуктивные
катушки L и конденсаторы С (RIC-схемы), степень сложности равна
числу независимых напряжений на конденсаторах и токов в
-94-
индуктивных катушках. Рассмотрим, каким образом возникает
взаимосвязь между напряжениями на конденсаторах и (или) токами в
катушках индуктивности. Такая зависимость для ТУ.С-схем может
возникнуть при следующих условиях.
Условие 1. В схему входит несколько контуров, содержащих
только конденсаторы и, возможно, идеальные источники ЭДС.
Назовем такие контуры СЕ-контурами. Рассмотрим, например, схему
на рис. 4.1. В этой схеме три независимых контура отмечены
штриховыми линиями. Следовательно, имеем три независимых
уравнения по второму закону Кирхгофа:
Ucl МС2 — иЕ ~ ’
WC3 +мС4 ~«С2 =°;	<4'4)
1<С5 4" UC6 ~ иС1 ~ ® •
Хотя в схеме присутствуют шесть напряжений на конденсаторах,
но только три из них независимы. Если, например, в качестве
независимых напряжений выбрать иС2, нС4 и wC6, то остальные
напряжения иС1, иС) и ucs с помощью (4.4) можно выразить через
UC2 > UC4 и иС6 
Условие 2. В схему входит несколько сечений, образованных
только катушками индуктивности и, возможно, идеальными
источниками тока. Назовем такие сечения LJ-сечениями. Так,
например, в схеме на рис. 4.2 три независимых ТЛсечения отмечены
штриховыми линиями. Следовательно, имеем три независимых
уравнения по первому закону Кирхгофа:
'it 9.2 ~ h = >
«и+гм = °;	(4-5)
Чл ~ 4s ~ 4.6 ~ 0 •
-95 -
Рис. 4.2
Хотя в схеме имеется семь токов в катушках индуктивности, но
только четыре из них, например iL1, iLi, iL6 и iL1, являются
независимыми. Остальные токи с помощью (4.5) могут быть
выражены через выбранные независимые токи.
Следует отметить, что как для СЕ-контуров, так и для £/-сечений
взаимозависимость напряжений на конденсаторах или токов в
катушках индуктивности не зависит от значений параметров этих
элементов.
Отсюда вытекает, что степень сложности ЕЕС-схемы
определяется выражением (2.2), т.е.
n^bLc~nc~nL>	<4-6)
где bLC — полное число конденсаторов и катушек индуктивности в
схеме; пс — число независимых С£-контуров; и, — число
независимых EJ-сечений.
При отсутствии СЕ-контуров и ЕАсечений степень сложности
ЛЕС-схемы равна полному числу элементов LC.
В дальнейшем мы будем рассматривать схемы, содержащие
только положительные ЕЕС-элементы. В схеме могут быть и взаимные
индуктивности, однако при условии, что коэффициент связи всегда
меньше единицы. При этом матрица индуктивностей является
положительно определенной. Предполагается, что схема
удовлетворяет следующим условиям:
-	не содержит контуров, состоящих только из идеальных
источников ЭДС (напряжений);
-	не содержит сечений, в которые входят только идеальные
источники тока.
Если какое-либо из этих условий не выполняется, то схема
оказывается неустойчивой или не имеет единственного решения [5].
-96-
Такие ситуации обычно возникают в идеализированных моделях схем
и могут быть устранены выбором более реальных моделей для
отдельных элементов схемы.
4.2. Составление уравнений переменных состояния
для простейших RLC-схем
Рассмотрим случай, когда схема не содержит С£-контуров и LJ-
сечений. Тогда уравнения переменных состояния (4.1) и (4.2) примут
вид
И=ИМ+И[П;	(4-7)
Ы =	(4-8)
При этом порядок уравнения (4.7) будет равен полному числу
реактивных элементов (конденсаторов и катушек индуктивности). То
есть вектор [х] будет включать напряжения на всех конденсаторах и
токи во всех индуктивных катушках схемы:
Ы = ["с1 - исР Чл 	09)
где р - число конденсаторов, ад- число катушек индуктивности
схемы.
Выразим токи в конденсаторах и напряжения на катушках
индуктивности в виде матрицы-столбца (вектора)
' ’Ср и1Л " ULgJ' 	(4.10)
В соответствии с теоремой компенсации заменим все
конденсаторы схемы идеальными источниками ЭДС, напряжения на
которых равны напряжениям на конденсаторах, а все индуктивные
катушки — идеальными источниками тока, токи которых равны токам в
катушках. В этом случае схема будет содержать только идеальные
источники ЭДС и (или) тока и резистивные элементы. Поскольку
вольт-амперная характеристика резистора представляет собой
алгебраическое уравнение (закон Ома), то в соответствии с принципом
взаимности и принципом суперпозиции будет справедливо уравнение
где коэффициенты матриц	и [£°] определяются только
параметрами резистивных элементов схемы.
Допустим, что исследуемая схема имеет v идеальных источника
электрической энергии, т.е. вектор [К] имеет размерность v.
-97-
Допустим также, что выходной вектор [у] имеет размерность е.
Тогда уравнения (4.11) и (4.8) можно представить в виде
У,
С,
cip ci,p+i
(4.12), как и
коэффициенты
матриц
матриц [С] и [/)] в
и	будут определяться только
элементов схемы. При небольшой
Е _
со

При этом
коэффициенты
параметрами R резистивных
размерности векторов Ы и [И] коэффициенты матриц (4.12) могут
быть определены в соответствии с принципом суперпозиции из
анализа p+q+v частичных резистивных схем.
Допустим, в схеме оставлен только один к-й источник ЭДС,
соответствующий напряжению иа на к-м (1 < к < р) конденсаторе,
при этом остальные источники ЭДС закорочены, а источники тока
разомкнуты. Уравнения (4.12) для такой частичной схемы запишутся в
виде
-98-
Из (4.13) следует, что если задаться значением иа = 1 В и любым
из методов анализа схем рассчитать частичные токи в ветвях с
конденсаторами, напряжения на разомкнутых катушках
индуктивности и значения выходного вектора	то значения
этих величин будут равны коэффициентам к-го столбца
соответственно матриц и [С].
Аналогичным образом, если в схеме оставить только один
источник тока, соответствующий току в 1 -й катушке индуктивности
(1< к<д), то уравнения (4.12) для такой (р + 2)-й частичной схемы
примут вид
(4-14)
Если задаться значением тока iLi = 1 А,
то рассчитанные токи в
ветвях с конденсаторами, напряжения на катушках индуктивности и
значения выходного вектора	по величине будут равны
коэффициентам р+2. столбца соответственно матриц [-Л0] и [С].
И, наконец, если в исследуемой схеме оставить один из элементов
входного вектора vT (1 < т < v) и положить vr = 1, то из расчета такой
(р + д + т)-й частичной схемы можно найти коэффициенты т-го
столбца соответственно матриц и [d]:
-99-
Ap+q+t)
lCl
;(р<Ч+т)
‘q,
(p+g+т)
W£1
vt.	(4.15)
(р+ijlr)
Ы£?
Таким образом, произведя расчет p + q+v частичных
резистивных схем с одним источником электрической энергии, можно
найти все элементы матриц	, [С] и [£>].
Для нахождения элементов матриц [л] и [б] (4.7) запишем в
матричной форме уравнения связи между токами и напряжениями на
конденсаторах и катушках индуктивности:

где [Сс] - диагональная матрица емкостей конденсаторов; [/,] -
симметричная матрица индуктивностей (на главной диагонали) и
взаимоиндуктивностей (вне диагонали) катушек. При отсутствии в
схеме взаимоиндуктивностей матрица [£] будет диагональной, как и
матрица [Сс].
Объединяя оба уравнения (4.16) в одно, будем иметь:
0 d [«с]
М. dt _[’d.
['<] _ |Рс]
.[«dj L 0
(4-17)
или
И=М№

(4. IS)
где
Mb
[Q]
I о мг
MI
МГ‘ 0
. о [if.
(4.19)
Из (4.7), (4.11) и (4.17) следует, что
И=[«г [^]И+[«Г‘[«•](»']
И=1«ГИ;	Й’[«Г‘[«’]
(4.20)
-100-
Так как матрица [Сс] является диагональной, диагональной
будет и матрица [Сс] Поэтому, чтобы получить коэффициенты р
строк матриц [Я] и [/?], нужно коэффициенты р строк матриц [л°] и
[ разделить на емкости соответствующих конденсаторов, т.е.
коэффициенты первой строки разделить на емкость первого
конденсатора, коэффициенты второй строки - на емкость второго
конденсатора и т.д.
При отсутствии в схеме между катушками взаимоицдуктивных
связей матрицы Ш и [£]’ будут также диагональными. В этом
случае для получения коэффициентов следующих q строк матриц [Л]
и [#] нужно коэффициенты q строк матриц ^Л°] и разделить
на индуктивности соответствующих катушек.
Таким образом, при отсутствии в схеме взаимоиндуктивностей
и=
				0	ап Q	а1.р+я Q
ап	а12	а1,р+9				0 ар.р^Ч
°Р1	°р2	’	йР.Р+«		ср	ср	СР
ар+1,1	flp+l,2	ap+l,p+s		«р.п	ар^,2	0
					А	А
	Яр+«,2	ap+q,p±q _		0	°Р+«.2	0 ар+«.р+«
						J
- 101 -
%
С,
to
bp>
сР
Ь°Р^
А
> °
°Р+Я.у
А
(4.21)
В схеме на рис. 4.3 параметры
пассивных элементов следующие:
L = 1 Гн ; С=1 Ф; R,=R2=2Om.
Для данной схемы составить
уравнения переменных состояния для
определения закона изменения во
времени напряжения ивЬ,т.е. [j'] = «„/,-
Решение
1. Векторы [х] (4.9) и [х°] (4.10)
для данной схемы:
2. Уравнения (4.12) для данной схемы будут иметь следующий
вид:
4
«I
«Гг
Uob = [С11
+[d„
«£
О]2
/О
&22
Для нахождения элементов матриц
[Z], [5°], [С] и [£>]

заменим катушку индуктивности в послекоммутационной схеме на
- 102-
источник тока (с током г), а конденсатор - на источник ЭДС, причем в
соответствии с теоремой компенсации ЭДС этого источника должна
быть направлена встречно току i2, т.е. встречно напряжению ис на
конденсаторе. В результате получим резистивную схему рис. 4.4.
Используя принцип суперпозиции, рассмотрим четыре частичные
схемы, в каждой из которых имеется только один источник ЭДС или
тока.
3.	Первая частичная схема (см. рис. 4.5). Оставляем только
источник ЭДС, соответствующий напряжению на конденсаторе ис.
Из анализа схемы следует, что ip = 0;	= ~ис;	= ис .
Таким образом, уравнения (4.13) для этой схемы запишутся в
Подставляя в эти уравнения ис = 1, получим a°t = 0; о?, = —1;
сп = 1.
4.	Вторая частичная схема (см. рис. 4.6). Оставляем только
источник тока, соответствующий току в индуктивной катушке j,.
В этой схеме = it; и® +	+ А' = 0; иаЬ = 4^ • •
Откуда
Ы£ = ~С^2» Uab=^2'h >
- 103 -
Г/(2)"
12
(2)
L«i J
Подставляя в
„о
Д|2
О
а22
Zj или

О
ап
о
.«22 J
uab ~ С12^1 ИЛИ ^2*1 — C12i] 
эти уравнения it = 1, будем иметь а°г = 1;
а^=---Д-Л2=-4,0; c12=jR2=2,0.
5.	Третья частичная схема (см. рис. 4.7). Оставляем только
источник ЭДС с напряжением иЕ.
Из анализа схемы следует,
что = 0 ;	= 4’) • Т?2 = 0;
Так как 4^ = ^° • мд ’	, то полагая иЕ=],
будем иметь b°t = 0; fc21 = 1; dn = 0.
6.	Четвертая частичная схема (см. рис. 4.8). Оставляем
источник тока с током
.(4)
Из схемы следует, что z2 ' = г,;
= R •№ = R -I ‘
Uab “2 *2 Л2 V ’
„(") = -„О) = -R -i
uL — ивЬ — n2 ij -
Так как = b,2  ij;	= b22  ij;
=dn-ij, то полагая ir -1,
- 104-
получим Z>12 = 1; b°2 = — R2 = -2,0; rf12 = R2 = 2,0.
7.	Таким образом, матрицы [A0], [В0], [С] и [Z>] будут иметь
следующий вид:
М“[°1	_Я-[С]=[1 «.]-[! 2];
[7?] = [0 Л2] = [0 2].
Так как в рассматриваемой схеме нет катушек с взаимными
связями, то матрицы [Л/] и [Л7]'1 (4.19) будут диагональными:
Г 1 СО г
М=[о z|; М “
Следовательно, для нахождения элементов матриц [Л] и [В]
можно воспользоваться соотношениями (4.21):
1 + " >5 Ю		=	0 1		+	=	'о -1
0	"0	1		L L - 0	Д  с	L J _ 0	1	“1
д L.	1	1	1 >—< 1		д _L	1 1		1		1
1
-4
При наличии в схеме катушек с взаимоиндуктивными связями
для определения q строк матриц [//] и [В], соответствующих
индуктивным катушкам, представим матрицы Г^°], [Л], и [й]
соответствуют катушкам индуктивностей.
- 105-
Тогда в соответствии с (4.18) и (4.19) матрицы [л,| и
определятся следующим образом:
№РТ'И- (4-23)
Задача 4.2. На рис. 4.9 приведена послекоммутационная схема
воздушного
трансформатора с
параметрами.
Я] =1,8 Ол«;
Я, = 1Ом;
i,	= 1 Гн;
Л2 =0,6 Гн;
Л/=0,5 Гн.
Требуется составить уравнения переменных состояния для
определения токов г, и i2.
Решение
1.	Так как в данном случае выходной вектор представляет
собой вектор переменных состояния [у] = [х], то достаточно
определить только матрицы [л] и [я] (4.7). Матрица [С] (4.8) будет
являться единичной матрицей, а матрица |Г>] - нулевой матрицей.
В данном примере уравнения состояния легко получить
непосредственно из уравнений, составленных по второму закону
Кирхгофа для независимых контуров:
 г	 л
R.-i.+L.----Ь Л/— = с;
1 ' (It dt
R,-i2+L2d^-+M-L = Q.
22	2 dt dt
Отсюда в матричной форме
Г Л/ d if -R,
М Ьг dt 0
1
0
0 h
е
^z_
или
- 106-
dt i2
'l, л/Т'Г-л,
Л/ ij [ о
О 1 i,
.h
лЛ 'Г1
l2J l°
А
м
е.
Последнее уравнение по форме полностью совпадает с
выражением (4.20).
2.	Уравнение переменных состояния в нормальной форме и в
данном случае можно получить, формально используя
вышеприведённый алгоритм, основанный на принципе суперпозиции.
Уравнения (4.12) для данной схемы будут иметь следующий вид:
«и _ «и°
_UL2_	_а21
о Г;
а]2 J,
о
а22 _LZ2
+
%
е.
Заменим катушки индуктивности в исходной схеме источниками
тока (рис. 4.10) и рассмотрим три частичные схемы.
3.	Первая частичная схема (рис. 4.11).
UIA ' “ Л ’ Zl >
««W=0.
Полагая it = 1,
получаем
«2.° = о.
4.	Вторая частичная схема (рис. 4.12).
(2) _ _р ; .
U1.2	~ К212'>
-и(” - о-
Откуда при »2 = I
а12с=0; о,2°=-Л2.
- 107-
5.	Третья частичная схема (рис. 4.13).
м£/3’ = е; uL2^ = 0.
Полагая е=7, получаем
V=i; V=o.
Уравнения связи между
напряжениями и токами в
катушках индуктивности в
матричной форме
«ы _ А М d (
_m£2J \М Ьг dt[j2
или по (4.16)

где в соответствии с (4.19)
м
А_
1 0,5
0,5 0,6
НГ'=[< =
1,714
-1,429
-1,429
2,857
А
м
Элементы матриц [Л] и
В] найдём по выражениям (4.20) и (4.23):
"1,714 -1,4291г-1,8 01 Г-3,086 1,429
-1,429 2,857 ]|_ 0	-1	2,571 -2,857
1
0
1,714
-1,429
-1,429
2,857
1,714
-1,429
Задача 4.3. В схеме на рис. 4.14 приведена послекоммутационная
схема с известными параметрами пассивных элементов.
Ri	L] i,	i}
Рис. 4.14
Rt = 20 Ом;
Ц =0,1 Гн;
L2 = 0,05 Гн ;
R2 -10 Ом;
С=100 мкФ;
R3 = 30 Ом;
М~0,06Гн.
Требуется
составить
- 108-
уравнения переменных состояния для определения закона изменения
во времени токов t,,i5 и напряжения на резисторе R2 uR2.
Решение
1.
и Гх° | для данной схемы будут иметь
Векторы [х]
следующий вид:
_МЯ2.
Уравнения (4.12) для рассматриваемой схемы:
М =

2.	Найдём коэффициенты матриц	],[с] и [£)].
Предполагая, что известны напряжение на конденсаторе ис и токи
катушек i, и i2, заменим конденсатор источником ЭДС, а катушки -
источником тока. Получим схему, представленную на рис. 4.15.
- 109-
Используя принцип суперпозиции, рассмотрим четыре частичные
схемы, в каждой из которых имеется только один источник.
3.	Первая частичная схема. Оставляем только источник ЭДС
соответствующий напряжению на конденсаторе ис (рис. 4.16).
R,	/0)	j0)	Из анализа схемы следует
г/) - 0; uL((1) - -ис; мЛ2(1) - ис;
^=0;цЯ2,1)=0.
Полагая ис — 1, получим
^„=0; «°=-1; <=1;
СН = 0 ’ С21 — 0 > С31 = 0 •
4.	Вторая частичная схема (рис. 4.17).
Рис. 4.17
42'=h'> «и =-(Ri+^)-hi
UL2 ~ Ri'h ’	= 0'
Полагая it = 1, получим:
«]2 = 1 » а22 ~ ~ (Rl +	~ —50;
аз2 ~ 2?3 = 30; с12 = 1 ; с22 = 1;
С32 ~ 0 -
5.	Третья частичная схема (рис. 4.18).
Рис. 4.18
с2 , = —1; си = R2 -10.
43) = Ч; «I?=-R3 -43) = R3 • «2;
w22 = ~(Д2 + R3 ) ’ f2 ’
43) = 0;	=R2 i2.
Откуда при 12 = 1	= -I;
a^=R3 =30;
а*®1 = - (R2 + R3) = - 40; с13 = 0 ;
- 110 -
6. Четвертая частичная схема (рис. 4.19).
ij4’ = /j4’ — 0; м[4’ = е;
"м ~ О; «Й = О •
Полагая е=/, получим
^=0; &° =1; 6° = 0;
d, j = 0 ; d2] = 0; d3t - 0.
В соответствии с (4.18)
[х°] = [М][х], где для
рассматриваемого примера
м=
К] о“ =
. 0 И.
О
0,06
0,05
[Л/]-1 =
[Q]
о
о
~104 о о
О 35,714 -42,857
О -42,857 71,429
В соответствии с (4.20) окончательно получим
	"ю4	0	0	'0 1	-1
И-1«Г и-	0	35,714	-42,857	-1 -50	30
	0	-42,857	71,429	1	30	-40
О 104	-104
-78,571 -3071 2786
114,286 4286 -4143
J
	”104	0	0	'о'		0
[в]=[м]-[во]=	0	35,714	-42,857	1	-	35,714
	0	-42,857	71,429	0		-42,857
-111 -
4.3.	Составление уравнений переменных состояния для сложных
RLCM-схем
В случае сложных схем, содержащих значительное количество
переменных состояния, а также СЕ-контуры и /J-сечения,
рассмотренный выше подход оказывается непригодным. В общем
случае методика составления уравнений переменных состояния
предполагает использование топологических матриц {гл. /).
Составление уравнений начнем с выбора дерева Т, структура
которого должна удовлетворять следующим условиям:
•	включены все идеальные источники ЭДС (напряжения);
•	отсутствуют идеальные источники тока;
•	включено максимально возможное количество
конденсаторов;
•	включено минимально возможное количество катушек
индуктивности.
Такое дерево, получившее название нормального или правильного,
можно составить всегда. Если для элементов (ветвей) RLC
нормального дерева в качестве второго индекса использовать «7», а
для ветвей связи - «5», то векторы напряжения и тока всех ветвей
можно записать в следующем виде:
При этом каждая матрица-столбец напряжений [н] и токов [г]
будет состоять из восьми векторов. Тогда уравнение (1.10) по первому
закону Кирхгофа для главных сечений можно записать следующим
образом:
-112-
	Ет К]	Су 0	R, 0	£.г Js 0 ;[Л.]	Rs И J	Rs Ы	м	
№]=	0 0	[’сг] 0	0 [’яг]	о о ![^1	[М ы	Из] [Тз]	ы	Ш=[о],
	0	0	0	Mi Ы	ы	Ы		(4.25)
где символом		[1] обозначены единичные			матрицы соответствующего			
размера.								
Используя соотношение (1.14), запишем уравнение (1.6) по
второму закону Кирхгофа для главных контуров:
	Ет	Ст -Pul	Л;	£г ЧМ -[т,1;	т [ъЧ	LS 0	Я, 0	Cs 0
[ЧМ =	ЧМ ЧМ	ЧМ ЧМ!	0	[О]	0	0
	-ръГ ЧМ	ЧМ ЧМ;	0	0	[’rs]	0
	ЧМ ЧсЛ	ЧтЧ' ЧМ;	0	0	0	[’cs]
х[„] = [0	]					(4.26)
Напомним, что		при составлении		нормального		дерева
используются все идеальные источники ЭДС (напряжения) схемы с
последовательным добавлением конденсаторов, резисторов и катушек
индуктивности. В ветви связи конденсатор включается только в том
случае, если он образует контур с каким-либо источником ЭДС Ет
или конденсатором Сг, уже выбранными в качестве ветвей дерева.
Таким образом, главный контур, соответствующий конденсатору в
ветви связи, не будет содержать ни резисторов, ни катушек
индуктивности. Это приводит к тому, что в уравнении (4.26) матрицы
-Ы' и ~Ы' будут нуль-матрицами. Аналогичным образом в
связь графа резистор включается только в том случае, если он образует
конгур с некоторыми из источников ЭДС Ег, конденсаторов Ст и
резисторов RT, уже выбранных в качестве ветвей дерева.
Следовательно, главный контур, соответствующий резистору в связи
графа, не будет содержать катушек индуктивности. Это, в свою
очередь, приводит к тому, что в уравнении (4.26) матрица - [С43]'
- 113-
является нуль-матрицей. В соответствии с этими замечаниями
уравнения (4.25) и (4.26) будут иметь вид
Ет	Ст		E.s	
Рет] И‘-]= ° 0 Ет -кт [в1Ы= '[ГиГ	0 Ьст] 0 0 Ст -кг -КЛ	0	0	|К]	К] 0	0	IK]	К] [1«г] о ;К] К] ° К]; К] К] -КГ -КТ ; К] -КТ -КТ i о	К К к 0 д 0 К]	КГ W-M; 0 (4-27) Д	Cs 0	0 0	0 X
-К] -КТ -КТ	0 : о	0 -КГ -КТ 0	о-о	о х[«] = [0]. В качестве переменных состояния берутся				К] о °	К] (4-28) напряжения на
конденсаторах,	входящих в дерево графа [исг		, и токи в катушках	
индуктивностей, входящих в связи графа [;£Х ], т.е.
Ветви, содержащие пассивные элементы, в матричной форме
описываются приведенными ниже соотношениями.
1.	R—ветви.
Для резисторов, входящих в дерево графа, справедливо уравнение
[ым-] = [^т]Ряг] или [:лт] = [бу][мяг]’	(4-29)
где [Яг] - диагональная матрица сопротивлений резисторов,
входящих в дерево графа; [Gr] = [7?r] ' - диагональная матрица
проводимостей резисторов, входящих в дерево графа.
Для резисторов связей графа
P«s] = [^s][wes] или [was]=	(4.30)
-114-
где [GS] = [J?S] ' - диагональная матрица проводимостей резисторов
связей графа; [/?s] - диагональная матрица сопротивлений резисторов
связей графа.
2.	С - ветви.
Для конденсаторов уравнение связи между токами и
напряжениями в матричной форме можно представить в виде
['ст] _ [Ст]
_['cs]_ _ °
О d [ист]
[Cs] dt [uCs]
(4.31)
где [Сг] и [Cs] - диагональные матрицы емкостей соответственно
дерева и связей графа.
3.	L - ветви.
Для идеальных катушек индуктивностей с учетом возможных
взаимоиндуктивных связей в матричной форме справедливо уравнение
[^тз]	['дт]
[Аи]_ dt _[гы]_
[wtt] _ [Лт]
[мм]_ jAsr]
(4.32)
где [Ln] — симметричная матрица индуктивностей (на главной
диагонали) и взаимоиндуктивностей (вне диагонали) катушек дерева
графа; [ДЛ] — симметричная матрица индуктивностей (на главной
диагонали) и взаимоиндуктивностей (вне диагонали) катушек связей
графа; [£„] = [^7]' “ прямоугольные матрицы взаимоиндуктивностей
между катушками дерева и связей графа.
Из (4.31) и (4.32) следует, что
['сг] = [Сг]“(исг]>	(4.33)

(4.34)
Объединяя (4.33) и (4.34), получим дифференциальные уравнения
с использованием переменных состояния:
[Cj.] О d [мсг]
О [£ю]. dt [i^s]
['ст ]
[мст]~[^зг]“['ст]
(4.35)
Чтобы получить уравнения переменных состояния в нормальной
форме, необходимо выразить входящие в правую часть (4.35) [гсг],
[ии] и ['дг] через переменные состояния [wCT]; рм], независимые
- 115-
источники [u£r ]; [iAS] и параметры пассивных линейных элементов
цепи.
Алгоритм составления уравнений переменных состояния для
сложных RLCM-cx.en рассмотрим вначале на следующем примере. На
рис. 4.20,а приведена схема электрической цепи, содержащая восемь
элементов. Граф этой схемы, составленный в соответствии с
приведенными выше условиями, показан на рис. 4.10. В
рассматриваемой схеме все подматрицы .уравнений (4.27) и
(4.28) являются скалярными и равными 1.
Для данного
примера уравнения (4.27)
и (4.28) запишутся в
следующем виде:
(4.36)
- 116-
	Ет -1	Сг -1	-1	-1	1 ! i
	-1	-1	-1	-1	I о 1
	-1	-1	-1	0	; о
	-1	-1	0	0	! 0
Для катушек индуктивности
уравнения:
	иет	
Ls	Rs	Cs 0	0	o' 1	0	0	ист URT ULT	= [0].	(4.37)
0	1	0 о	0	L будут справ	UJS ULS URS _ucs _ едлш	зы следующие
£;
(4.38)
использованием
ULT
т
dt'Lr + TSdt
ULS ~ LST lLT + ^ss , lLS '
dt dt
Дифференциальные уравнения (4.35) с
переменных состояния будут иметь следующий вид:
г £	-	•
ист — iCT,
dt
(4-39)
, sL- - _/ £
Lss dt 1ls ~ Uls Lst dt 1lt
Чтобы получить уравнения переменных состояния в нормальной
форме, надо в уравнениях (4.39) выразить iCT, uLS и iLT через
переменные состояния ист, iLS, источники иЕТ, iJS и параметры
линейных элементов схемы. Для этого используем следующий
пошаговый алгоритм.
Шаг 1. Выразим ток iCT через токи в связях графа, а напряжение
uls ~ чеРез напряжения на ветвях дерева.
Используя вторые строки (4.36) и (4.37), получим:
1сг ~ ~hs ~ 1ls ~ lcs ” lRS ’
11 is ~uet +ист +ият •	(4.40)
В последних уравнениях необходимо исключить ics , iRS , uRT и
uLr . Начнем с величин ia и uLT .
-117-
Шаг 2. Вначале выразим iLT через токи связей, a ucs - через
напряжения на ветвях дерева. Используя четвертые строки уравнений
(4.36) и (4.37), получим
lLT ~ ~~lJS ~ lLS
UCS ~ иЕТ +иСТ 	(4-^1)
Шаг 3. Выразим напряжение uLT через производные от токов i,s ;
iu, а ток ics — через производные от напряжений иЕТ; ист.
С учетом (4.39) и (4.41) имеем:
d. d	d_.	d_.	d_.
ULT ~ ^TT	+ ^TS	~ ~^ТТ lJS ~ ^TT lLS + LTS & lLS ~
— ~Ltt ~T ‘.is + (“At + ^ts ) ~7 hs 	(4.42)
dt	dt
Аналогично
•	t Л Л О \
‘cs ~ Gs ~Tucs ~ Gs ~2~uet +^s~Tuct •	(4.43)
dt	dt dt
Теперь осталось выразить iRS и ирт.
Шаг 4. Используя третьи строки уравнений (4.36) и (4.37),
получим
Чт ~ ~hs ~ ‘tS ~ 4-S ’ 11 US ~ иЕТ + ист + URT 	(4.44)
В правые части этих уравнений входят величины (А5 и илт.
которые также подлежат замене. С учетом выражений i/tT—GT-uFT;
1Л5 = Gs -иЯ5 запишем первое уравнение (4.44) следующим образом:
гвт = ^тивт ~ ~hs ~ Ш ~~	ист + Илт) (4.45)
или
(Gr + Gs)uRT = —ijg ~ ijj ~ Gsuet — GsuCT.	(4.46)
Введем обозначение
G^GT+GS.	(4.47)
Тогда
~ ~G '  iJS — G~' • iLS — G*1 • Gs  uET —G ' -Gs • uCT. (4.48)
Аналогичным образом с учетом того, чго uRT = RT  iRT, а
urs = 'h<s ’ BTOPoe уравнение (4.44) перепишем в виде
^s*rs = иет ист +	{.~hs ~ hs ~ ins )	(4.49)
или
(./(j + R]-)igs ~uet ~^^ст ~^rhs ~Rrhs 	(4-50)
-118 -
Введем обозначение
R — RT + Rx .	(4.51)
Тогда
*м = 'uet+^ 'ucr~R ‘Rr'hs~R ' Rj 1м •	(4-52)
Шаг 5. Заключительные преобразования. На основе результатов,
полученных в ходе шагов 1-4, получим искомое уравнение состояния.
Запишем первое уравнение (4.39) с учетом выражений для , ics и
lns 
С d	-• -С -г —
'" Г и UCT ~ hs lLS CS UET ''S ’ , UCT
at	dt	dt
—R  ul:T — R • uCT + R  RT • iJS + R • Rr- iLS .	(4.53)
Запишем второе уравнение (4.39) с учетом полученных
выражений для uLS, iLT:
Ass — iLS ~ uET + uCT + uKr + aLT — LST ~^(~hs ~ 4s ) •	(4-54)
Исключив в этом уравнении величины икт и uLT, будем иметь
^ss ~^4s ~ uet + ист — "hs~ G ’4s~G '^s'uet~
dt
& '^s'uct ^js+(	+ ^ts)	{ hs 	(4-55)
Перепишем уравнения (4.53) и (4.55)
(Cr +Cs)-^-Wcr =-Л”' ’«ст +(-1 + Я"’ RT]iis ”R" ’«« +
dt	'	'
+^—1 + A 'Rr)hs ~~Cs —-Ugj..	(4.56)
dt
(.^ss + Ljt LTS
^ST) , 4s ~ (1	' Gj ) UCT
dt '	'
-G-l.iLs+(i-G-'-Gs)x
xuET G ’iJS+( Lj^ + L^t) ijs
dt
(4-57)
В единой матричной форме уравнения (4.56) и (4.57) примут вид
- 119-
•г+с, о
О L$S + ^ТТ — ^ST ~ 1'ТЗ _
-R'	-\ + R-'RT
\-G'-Gs	-G'
ист
d uct
dt _ i^s
-R-'
]-G-'Gs
-1 + /Г1 -R.
G'
UET
lJS
'-'S
0
d
dt tjs
(4.58)
о
'ST _
или
d uct
dt ir e
UCT
d uet
dt tjs
. t5 .
Умножив левые и правые части (4.58) на [Л-/] 1, получим
И-ИйИНФИ'’]
(4.59)
(4.60)

Js _
Приведенный выше пошаговый алгоритм составления уравнений
переменных состояния в нормальной форме может быть
распространен на линейную электрическую схему любого порядка.
Вид уравнений при этом не изменится, только скалярные величины
приведенного выше примера в общем случае заменятся на матричные.
Однако поскольку в общем случае матричное умножение не является
коммутативным (в общем случае [Л][.В]*[я][л]), то нужно
соблюдать осторожность при действиях с матрицами.
Ниже приводится пошаговый алгоритм составления уравнений
переменных состояния в нормальной форме в случае линейной RLCM-
схемы любой сложности.
I.	Выразим [»ст] через токи в связях, а ] - через напряжения
на ветвях дерева.
Умножая вторую строку матрицы [ D] (4.27) на матрицу-столбец
токов ветвей [i], получим
[*СТ] = -[^21 ][(в] ~[^22]I'ts]“р23][’ss] ~ [^24 ][*СХ ] 	(4.61)
Аналогично, умножая вторую строку матрицы [В] (4.28) на
матрицу-столбец токов ветвей [г/], будем иметь
[^] = [Л2]'кг] + [^2]ЪСТ] + [^]Ът] + [^]'кг]- (4.62)
II.	Выразим рЛ7 ] через токи катушек связей графа [iis ] и токи
независимых источников тока [гЛ], а [ига] - через напряжения на
- 120-
конденсаторах дерева [wCT] и независимые источники напряжения
(ЭДС) [Ыдт].
Умножая четвертые строки матриц [£>] (4.27) и [Д] (4.28)
соответственно на матрицы [i] и [w], получим
[!tz] ~ _[^4i	[^42 ][lts ]!	(4.63)
[MGs] = [-^14] [М£7-] +[^24] [wcr] •	(4.64)
III.	Выразим [wir] через производные от токов ] и [zts], а
- через производные от [н£Г] и [мсг].
Из (4.32)
<«S)
Подставив (4.63) в (4.65), получим
= ~[^77'][^41]'^’[,JS-] + ([^7s]~[^7t][^42])'^'['zs] ’	(4.66)
Аналогичным образом, с учетом (4.32) и (4.65),
P«] = [G]^kJ = [G][^]'|[M£r] + [Cj.[F24]^[UcT].	(4.67)
Теперь в (4.61) осталось выразить [1ЛУ ], а в (4.62) - [няг].
IV.	Используем третьи строки (4.27) и (4.28).
[*w ] = ~	] [bs ] ~ [-^32 ] Pzs ] “ [	] [(rs ] >	(4.68)
[MRS] = рв] [МЕг] + [^2з] [Мст]+[^з] [WRr]-	(4.69)
Из(4.29) и(4.30) [^] = [Gr][uM];	= [GS][«J.
Подставляя эти выражения в (4.68) с учетом (4.69), получим
|Gr ][н£г ] = —рл ][(,£ ] “[-^32R ] “
—Рзз]РМ([Лз] [М£г] + р2з] [Мст] + рзз] [Ы«г])-	(4-70)
([Gr ] + [/*33 ][G4. ]  [/*33 ] )[няг ] = -[/*3! ][|JS ] - [^32 ][<is ] ~
-[МСЖ’ГЫ 	(4.7i)
- 121 -
Введем обозначение
[G] = [Gr]+[^HGj[r33]f.	(4.72)
Эта матрица положительно определена и имеет обратную [G] '.
Таким образом,
[Ww] = [4 (~[^'3l]['j5]-[^32]Pz.s]_[^33][Gs][T|3] [н£Г]“
"ЫМ^ГИт])-	(4-73)
Аналогичным образом из (4.29) и (4.30) [ндг] = [7?Г][»ЛГ];
[wrs]~[7M1Vs]' Подставляя эти выражения в (4.69) с учетом (4.68),
будем иметь
[^х]['/й] = [Лз] [М£т] + [7*2з] [мст] +
Ч^зИМЧМ'ЧЧМ'^ЧМ^])	(4.74)
([^] + [Лзз] [^г][7'зз])[*ад] - [Лз] [М£т] + [Т'2з] [Мсг]
	«75)
Введем новую матрицу
[яН^Ч^ГРМКз]-	(4.76)
Она является положительно определенной и имеет обратную
[Л]'. Следовательно, из (4.75)
Р«] = [Ч ([Аз] [НЕГ] + 1Аз] [ЫСт]~
-[^з Г К №	] № ][F32 ][i„ ]).	(4.77)
V. Запишем первое уравнение (4.61) с учетом (4.62):
(4.78)
Запишем второе уравнение (4.35) с учетом (4.62) и (4.63):
[И£г] + [7,22] [Мст] + [7*32] [МЛ7 ]+ [-^42] [MZr] +
+[^J[F4.]^[vd+[^][^2]^[^] 	(4-79)
Подставим в (4.78) вместо [ics ] выражение (4.67):
[Q]^[wct]= I/SiH'js] [T'zzJI'zs] [Т'гзК'лу]
- 122-
(MO)
Подставим в (4.79) вместо [и£Г] выражение (4.66):
[^SS 1 ['is ] - [^12 ] ‘[иЕТ ] + [F22 ] Z[WCT ] + [^32 ] ^«KT ] +
+ H^2]Vrr] + [4zM]~bs] +
+ ([^42] ([As]-[^7t][^42]) + [^'St][^42]}^'['1s] •	(4.81)
Из уравнения (4.80) исключим [iAi] с помощью (4.77):
[Ст ]^[ЫСТ ] = ~p21 ]['js ]~[^22]['1S] ~[^23 ][Л] [Лз] г[И£Г]~
Ч^][лГ,р23]К7]-*-Кз]^Г[^.з]и]кз1]['Л]+
~kr ]-[^>][С5][Л4]'-~[нст] 	(4.82)
Преобразовав последнее уравнение, получим
ki^kr]=(-[f»]+k.]Wl['-;,iU]|f;l])k]+
(-[^j+k-M' k>l'k JMkJ-
-(^Н''Г‘11»]'[»ст1-к!][«Г'['з>],кг1-
“Pwlklk’l ^[иьт]_{Л1]к][Л.]/“^[нсг]	(М3)
Из уравнения (4.81) исключим [нЛГ ] с помощью (4.73):
[^]^Ы=И23Кг1Ч^Гкт1+
-[Лз][^5 ][^ 23 ] ["ст]) +(“[^42 ] Z[^rr] + [ Д$т])[Л|	+
+{[^42] ([^ra]~[^rr][^42])+[^sr][^42]}^~['w]-	(4.84)
Преобразовав (4.84), получим
- 123 -
Р»1 - (['» №1 W №. М) ‘ Ы
+(№WW'[№.F»]'Kb
(4.85)
Перепишем (4.84) и (4.85) в единой матричной форме:
[Л/п]	0	£ [и,
. О [л/22]]л[[|-
lLS
?_7J о
о
ИЛИ
(4.86)
где
№
[м„] о ' =
О [mJ
<*[[<«] J’
= к№№]‘	О
Г/4°1= £-Л,0,-1
L J LM мг
-teW'PU J
- 124-
-ИЛ^ГИз]' Ч^НМ^ЖИМИз,]’
WIKI
-Ы[сЖК о
О Ч^ЧЧМ^ЖЖ].
(4.87)
Умножив левые и правые части (4.86) на [Л/] 1, получим
+ [Bii ]	0 d [н£Т]
L ° |Х]р4ы.
или
(4.88)
ИЧЧИЧ^ПП + ИИ’	<4-89)
где
И-[мГИ; 1«]=[«ГК; И-["Г[«“].
Если элементы матрицы [-8°'] не равны нулю, то в уравнение
(4.89) входит производная входного вектора [Ё]. От нее можно
избавиться заменой переменных. Введем новую переменную
[х,] = [х]-[^][Г].	(4.90)
Тогда, подставив (4.90) в (4.89), получим
[х1]+[^][Ё1 = [Я][.г1]+[я][в1][П+И[П + ^,]И
или
[АН-Ф.Н[ВН4£1])[И-	(4.91)
Найдя [xj из (4.91), из (4.90) можно определить
[х] = [х,]+[в1][г].	(4.92)
Рассмотрим теперь, как в общем случае определить
коэффициенты матриц [С], [О] и [т?1], входящих в (4.2), для
- 125-
нахождения выходного вектора [у]. При этом будем иметь в виду, что
в [у] могут входить все неизвестные токи и напряжения схемы.
Допустим вначале, что нам необходимо определить неизвестные
токи всех ветвей. Тогда в соответствии с (4.24) уравнение (4.2) для
неизвестных токов ветвей можно представить в следующем виде:
Таким образом, задача определения элементов матриц [С], [D] и
] в общем случае для всех неизвестных токов ветвей сводится к
нахождению всех матриц, входящих в уравнение (4.93). Рассмотрим,
как это сделать, используя вышеприведенные соотношения.
1.	Токи |/Л!] катушек индуктивности, входящих в дерево графа. В
соответствии с (4.93) можно записать:
[ 9т ] ~	J [ист ]+] [г/Л ]+Г DAl J [иЕ1 ]+] [ ijs ]+
(4"4)
С другой стороны, в соответствии с (4.63)
[4г ] = ~Р41 ]['.« ]	][*М ] >
- 126 -
откуда
[G,] = [0]; [q2] = -pj; [pj,] = [O]; [D'2] = -[F41];
И = |>“]---[0].	(4.95)
2.	Токи [iss] резисторов, входящих в связи графа.
[’«S ] = [G1 ] [МСТ] + [G2 ][’lS ] + [^*51 ][Ы£Г ] + [^52 ][{к j +
+ [D5>	[“ЕТ ] + [^2 ]“ К ] ’	(4-96)
В соответствии с (4.77)
[^]=[лГ'к1з]Кг]+И_,р2з]'кт]-
Отсюда
[с,]-И	И—И ’rJUJr»];
W=l«№>]'; W=-Wt'M'KW;
И = [35]-[0].	(4.97)
3.	Токи [|'яг] резисторов дерева графа.
[•«г ]= [Qi J[исг ]+[С32 ][*ls ]+[ А. J [,zet ]+[ Qi J[(в ]+
• <4-98)
В соответствии с (4.68), (4.96) и (4.97)
[*«r ] = “[^31 ][(к] — [^32]['ts ] — [^33 ][^51 ][МСТ ] -
"[^33 ][^52 J['1S ] ~[Лз]f р51 ][МЕГ ] ~[^3.3 ^52 ][(« ] 	(4.99)
[<-T|] = “[^m][G|J’ [Сз2] = _Рзз][Сз2]-[/^2]; [^1] = ~[Лз][^,51 Ji
[^з';]=И=[0].	(4.100)
4.	Токи [rcs ] конденсаторов, входящих в связи графа.
[•« ] = f Ql J [UCT ] + L^fiZ ] [*LS ] + f £*61J [UIT ] [^62 J[Gs ] +
+[£,6«	] + [^2	] -	(4.101)
- 127-
В соответствии с (4.67)
['« ]= [Q ][ А ]	+[С« ][ А ] *^Ыст 1'
С другой стороны, из (4.88)
~zlUCT ] = [ А I ]["ст ] + Р12 ]['« ] +1-^11 1["ст ] + [ Д 2 ]['л ] + [^11
at
Подставим правую часть уравнения (4.103) в (4.102):
['gs] = [Q][-^24] [^11]["ст]+[А][А] [4г]['ет] +
+[A][Ai] L®ii]["ct]+[A]U24] [®1г]['л] +
ФЖГ1Л ]+[q pl j' )^ы •
Из сопоставления (4.101) и (4.104) следует, что
[C61] = [Cs]Pm]Z(4i] J [Аг]-[А][А] [4г];
K] = [Q][^]Z[5U]; [О'2] = [С5][Г24]'[В12];
[ A’i ] = [A ][F24 ] '[X ]+[С, ][F24 ]'; [£>“ ] = [0].
5.	Токи [/ст] конденсаторов дерева графа.
[ 'ст ] = [Al ] ["СТ ] + [^22 ] [*Ы ] + [ А1 J [и£Т ] + [А>2 ] [''JS ] +
u J at u at
В соответствии с (4.61), (4.96) и (4.101)
['ст] = _[^21 ]['js] ~[^22]['rs]~[^23]['ss ]“[^24]['CS] “
= ~[^21 ]['л ] _ [^22 ] ['LS ] _ [Лз ] 51 ] ["ст ] ~ [Лв ][£s2 ] ['м ] ~
“ [^23][^51 ]["СТ ] ~[^23 ][^*52 ]['Л ]~
~ [ ^24 ] [^6! ] [«ст ] - [F24 ] [Qi ] ['£5 ] ~ [Лм ][ Al ] ["CT ] “
" [А ] [Аг ] [А ] ~ [А ] [ Ai ] ~["ет ] •
Из сопоставления (4.106) и (4.107) следует, что
[ Ai ] = ~[Аз ][/- я ] ~ [А ][С61 ] ’
[CL ] = ЧАНАМ -[ A][Q2 ];
(4.102)
4.103)
(4.104)
(4.105)
(4.106)
(4.107)
-128 -
= —HlHHsjf Дз]-H-jf Дг] ’
И = -ЫП]: И = [0].	(4.108)
6. Токи [i£r] источников ЭДС (напряжения).
[1£Г ] ~ [ G1 J [ЫСТ ] + ГCi2 J [ Д ] + £ Д j J[н£г ] + Г Д 2 ] [bs ] +
<4109>
at	-1 at
Из первой строки уравнения (4.27) следует, что
[*£т] =	ИгИД]-ИзП'юНИ*]!*»] • (4.1 10)
Подставляя в (4.110) вместо [д] и [д] соответственно
выражения (4.96) и (4.101), получим:
['ет ] = —И1 ][ Д Из ][ Д ]— Из ][Д, ][нст ]- [Лэ ][Дг ][ Д ] ~
-Из][ А1 ^][ЫЕт] — Из][ A2][(w]-[^4][Q1 ^“стН
“'[^14]ИМ]1*“]_И'>][Д1][г'£г]_И4]Н62]['2з]_И14][Д1^^'[ггЕг] ’ (4-1 I 1)
Из сопоставления (4.109) и (4.111) следует, что
[С.,] =-Из][/'51]~Н|4][^в1];
[^]=-И2]~Из][^]-И4][^2];
[^]=-Из][Д'.]-И4][^];
[^2]=-И1]-Из][^2]-И4][^2];
[Д':]=-HulH]; И]=[о].	(4.112)
Рассмотрим теперь случай, когда выходным вектором [у]
являются неизвестные напряжения всех ветвей. Тогда в соответствии с
(4.24) уравнение (4.2) для неизвестных напряжений ветвей можно
представить в следующем виде:
- 129-
(4.113)
Определение матриц, входящих в уравнение (4.113), можно
сделать, используя алгоритм, аналогичный алгоритму определения
матриц для выходного вектора токов.
1.	Напряжения на конденсаторах, входящих в ветви связей,
[«га] согласно (4.113):
[ИСХ ] = [Ql ][МСТ ] + [^62 Jpis ] + [ ^61 ] [UET ] + [^*62 ] [(в ] +
+ + (4ЛИ)
С другой стороны, согласно (4.64)
[Ы£т]+[^24] [Мст]-
[q"]=KJ'; [си]=[°];	[^]=[Ф М=[°];
[^] = [0].	(4.115)
2.	Напряжения резисторов дерева графа [uw].
hr Ь [с, ]hr ]+[Q2]h ]+[о“ ][M£Z ]+[р“ ]h]+
- 130-
+L/,u	J + L^n	] 	(4.1 16)
С другой стороны, из (4.73)
[ийг] = _[^] [Л|][(и]—[^] PmH’ls]”
-[<,[^з][А]Из]/Иг]-[^Г1[Аз][А][А3],[ист].	(4-117)
Из сравнения (4.116) и (4.117) следует, что
[Cn] = -[Gr,[FM][Gi][F23]';[c“] = -[G],[F32];
И НАЙМАМ*;
[A] = -[G№ib [£,н] = [0]; [О,,“] = (0].	(4.118)
При известных матрицах fc‘] и ГО' ] для токов [|яг], входящих
в уравнение (4.98), напряжения [иК7] могут- быть также найдены из
[иВТ ] ~	][*ЯГ ] = [А ]р-тI ][“ст ] + [ А ][ Аг ][*tS ] +
+[7?r][^Z)3| J[niT] + [/?7.]^D32 J[(,s].	(4.119)
3.	Напряжения резисторов связей графа [нЛ5].
[ил® ]= [A i ] [“ст ]+f Az ] Pts ]+f Ai ] [“ет- ]+ [ Az ] Pjs ]+
+[^]4br]+[4“]4[vd-	(4i2°)
u at u at
Используя выражение (4.69) с учетом (4.116), получим
[“ад] = [Лз] [мет]+[Аз] [“ст]_[^зз] [6j [^3i][(/s]_
(4-121)
Отсюда
[A]=[АзМ^Ис]-* [^зз][А][Аз]';
[А] = -[Г33]'[СГ‘р32];
[А1]=И3],-[^]М'[Аз][А]ИзГ;
[A2] = -[F33]Z[G]-1[F31]; [А?] = [0]; [А2] = [0].	(4.122)
- 131 -
При известных матрицах [с* 1 и [D' ] для токов , входящих
в уравнение (4.96), напряжения ] могут быть также найдены из
[WRS ] = [ А ] [ А ] ~ [ А ] [ Al ][ИСГ ]+[ A ] [ Аг ] [As ] +
+[A][Ai]kr]+[A][A2][A]-	(4-123)
4.	Напряжения на катушках индуктивности [нЛ7] дерева графа.
Иг]=[а“][«ст]+[^][а]+[А“1][«£т]+[А‘2][а]+
+[А:]|[«£г]+[^]^[А]-	(4.124)
В соответствии с (4.66) и (4.88)
[ULT ] = ~[Ат ][ А|	] + ([ As ] ~[ Ат НА]) [4>i ][ыст]+
+ ([ As ] ~ [ А? ][ Аз ])[ Аз ][*£$ ] + ([ Аз ] - [ Ат ][Аз ])[ А1 ][И£Т ] +
+ ([Аз]~[Аг][А2])[А2][А] + ([Аз]_[Аг][А2])[А2]~;~[А]- (4.125)
Из сопоставления (4.124) и (4.125) следует, что
[А1 ] ~ ([As]-[At][A2])[^21] ; [Аз] = ([As] ~ [Ат ][Аг])[^22 ] ’
[А1] = ([Аз]~[Ат][Аг])[А|] ’ [Аз] = ([As]~[ АгПАзЭДАг] '>
[А'.'] = [о]; [Аз]=([Ал]-[Ь2т][А2])[Аз]-[^][А,] (4-126)
5.	Напряжения на катушках индуктивности [ии] связей графа.
[M£S ] = [ Al ] [wcr ] + [ Аг ] ['ls ]+ [ Ai ] [и£г ] + [Аг ] [ А ] +
+[А:]4Кг]+[Аз]4[А]-	(4127)
*- ш u at
В соответствии с (4.62), (4.116) и (4.124)
[wls] = [Az] [ы£т] + [Аз] [мст] + [Аг] [А1][мсг] +
+[Аг]'[С“ ][А] + [Аг]'[А” ][«£т] + [Аг]'[А“ ][А] +
+[Аг]'[А1][^]+[А2],[АИ2]Р«]+[А2]'[А1]Ьг]+
+[Аг ]'[ А, ][А] +[Аг ]'[Аг ]^[А] 	(4.128)
- 132-
Из сопоставления (4.127) и (4.128) следует, что
[Q ] = [F32] Z[C“ ]+[/<«] z[c^];
[ztf ] = [О];	] = [F42 ] Tz^ ] -	(4.129)
6.	Напряжения на источниках тока [wJS ].
Ь JS ] = [QI J [ UCT ] 4 [*<32 ] [ZiS ] 4 [ Р» ] [UET ] 4 [ A? J [(if ] 4
4[D’,,']4[«iT]4[4“]^[Gsl-	(4.130)
L J at	at
Из первой строки уравнения (4.28) следует, что
[ЫЗу[~[Л|] [М£г] + [^21] [МСт]4[^'з1]	+ [Wir]- (4.131)
Подставляя в (4.131) вместо [няг] и [wir] соответственно
выражения (4.116) и (4.124), получим
[«,s ]=[л.] 'Ы4 Рл 1	1 МЫ4Ь;.] '[G“ ]Ы+
+[^ гиы4 Из>[	]4 ил 'Иы+[^JTcOu+
(4.132)
Из сопоставления (4.130) и (4.132) следует, что
[с“ ] = [Г2) ]'+ [F31 ] '[С“ ] + [F41 ] 'Гс“ ];
[Сз2]=И.]'[С“] + [/-;1]г[с“2];
IM=к. ] г+] т D'n ] 4М гм ];
M] = [F,I]TD“]+[F41],[D“2];
М = [0]; [D’“] = [F4I ]'[£>“].	(4.133)
- 133 -
Задача 4.4. Составить уравнения переменных состояния RLCM-
схемы, изображенной на рис. 4.21, для определения закона изменения
напряжения на идеальном источнике тока м7, ток в источнике ЭДС i,,
ток в конденсаторе in и напряжение между узлами 6 и 0 и№.
R,=50 Ом, R3=25 Ом,
R3=\W Ом, R4=200 Ом,
С,=200 мкФ, С?=500 мкФ,
С)=400 мкФ,
£,=20 мГн, 7., =40 мГн,
Lз=20 мГн,
Мп = Мп = М?3 =10 мГн,
(4=100 В, i^S А.
Решение
1. Выберем дерево
Т таким образом, чтобы в
него входил источник
ЭДС, конденсаторы С3 и
С,, резисторы R3 и R4, а
также катушка L2. На
рис. 4.22 изображен на-
правленный граф после-
коммутационной цепи с
принятой ранее нумераци-
ей ветвей (элементов).
Сплошными линиями изо-
бражены ветви дерева гра-
фа, пунктирными - ветви
связей графа. При сквозной
нумерации ветвей
2. Добавляя связи к
выбранному дереву графа,
сформируем матрицу главных контуров нашей схемы:
- 134-
		ие	с.		Д/	^7	g
		1	3	3	4 5	6	7
	1	’0	0	0	0 1	0	!•
	2	0	1	0	-1 0	-но	
и=	3 4	0 -1	0 1	1 0	-1 0 0 0	-1 0	। 0 |о
	5	0	0	-1	0 1	0	1 0
	6	0	-1	1	0 0	0	I»
8^9
О О
1 О
О 1
О О
О О
О О
%
пТи
о о
о о
о о
1 о
О 1
о о
Q
12
О’
о
о
о
о
1
к
}я,
К,
3. Используя соотношение (1.14), получим матрицу для глав-
ных сечений:
1
2
[Z>]^
4
5
6
11Е
1
'I
о
о
о
о
о
2
О
1
О
О
о
о
т
'~3
О
о
1
о
о
о
Д;
4
О
о
о
I
о
образом:
Rs
кГи
89	__
0_gJ_1_.0J.0i
12
7
|-°
| О |-1 0 | -1 0 11
I о I о -11 о	1 ! -1
T|TotT
о_
о О 1 j О "j" 1 Г* 0 о *“ о
5
О
О
О
О
1
6
О
О
о _ .
0 1-11 о
£

В соответствии с (4.27) эту матрицу можно записать следующим
1 2	ЮГ Су [ИГ- ГТ']	1 4 — 1	Ln ij 1	! Д)1 1 1	, 211	Cs Ли ।	Rs 31.	Cs i р HJ-- |
P>1=J 4	1 •“1— 1	IT']	1	1	1 1 Т F 1	। 311	1 г_ 1 32 ।		1 Г“
5 6	.._!	 1 - »	1 1	J 1 L •ШИм!		0	1	 1 0 1
Отсюда находим соответствующие матрицы для уравнений (4.27):
kn] = O; p]J = [O 0]; р-зН1 0];	р-4] = 0;
К
г т Г°1 г 1 Г~1 о! , , Г-i о! , .
p21]= Q ’ Ри] = Q _J ’ Ра]= Q । ; Рм]-
- 135 -
4.
5.
№
О
-1

1 1
о о
; №
о
о
о
-1
=	[^] = [1 lJ-
Матрицы, описывающие Я-ветви (4.29), (4.30):
№
№
О
о
О
О ’
*2.
100
0
’50
0
о
200
О’
25 ’
К]=
ы=
0,01
о
0,02
0
0
5-10-3
0 ’’
0.04J’
Матрицы описывающие С-ветви (4.31):
№
С, О
О с3
2-10 О
О 410
[CS] = C2 =5-10“*.
6.
[£„] = Ь2 =0,04;
_ °’01
0,01 ’
Матрицы, описывающие /.-ветви (4.32):
Ы = [М|2 М23] = [0,01 0,01];
0,02 0,01’
М12
м23_
А М13
L, ] [0,01 0,02
7. Из уравнений (4.72) и (4.76) имеем
M = [Gr] + [F33]-[Gj-[F,3]'=
[^sr]~
0,01
О
о
0,045 ’
[*№№№]•№
’50
О
о
225
Подставив эти данные в уравнения (4.87) (4.89) и выполнив вы-
числения, получим:

7-10	—510
—5-10~* 910“
[^22] [^Ss] [Ай] [ijs] [^т][^42] + [^42],[^гг][^42] —
-0,02 О
О -4,44-10-


0,04 0,03
0,03 0,04 ’
- 136-
-1 О
О -1
-100 -100'
-100 -юо]’
0,02'
о ’
[^]=-[F„Hcr'[f,.l=
[X ] - К № ] W (MG. ]И.1'= [o];
W=-Mc№,]=
о
0,889
О'
О
1 [^]=-[^J[Q)[fl,J’=[Oj;
[42]=(^1.r,[4]=
-5,848' .
-8,187]’
1316'
1842] ’
42,857
-57,143]’
-1429' _
-1429 ’
-47368
-26,316
2368
1316
’-57,143
42,857
'-1429
-1429
1170
1637 ’
Гл22]=И/22Г,[42]=
[а.]-К.ГК.1=И: I
[в2,]=[м22] [*£]» 0 ; C
8. Подставив найденные значения в уравнение (4.88), получим
уравнение переменных состояния для рассматриваемой схемы:
- 137-
d
dt
w2
«з
4
_ 9 J
47,368
26,316
0
0
9.
—47,368	-5,848	2368	1316 ‘
-26,316	-8,187	1316	1842
-57,143	42,857	-1429	-1429
42,857	-57,143	-1429	-1429
-9 _
112
«з
: 1170
 1637
О
О
Поскольку в данной схеме
М]
.4 -
источники электроэнергии явля-
ются постоянными и = 0, то выходной вектор [у] (4.2) определит-
U-
UE
lt2
из
1
l8
Как следует из (4.133), для определения элементов матриц
L'0’2] необходимо вначале найти матрицы ^Сц],
Из (4.118)
[c“] = -[Gr‘[F33][Gs][F23]'=
о о
о 0,889]’
И = -М'№
-100 -100
о о
- 138-
М=4<'[МСЖ]-
0
о
[д,,2]=ЧсГ'кз1]=
о
22,2
Из (4.126)
[С“] = ([^]-[^][^])[Л21 ] = [0,429 0,429];
И = ][МЫ = [85,7 85,7];
M=([AJ4MM&H0];
[^] = ([Lre]-[^][Fj)K2] = [0]-
Из (4.133)
[G, ] =	]'+[r3I ] '[С“ ]+[F41 ] '[с“ ] = [О -0,89];
[с“2 ]=И. ] '[Q ]+Р«1 ] ‘[<=21 ]=[° °];
]=[Л1] '+рз. 1 ‘[Ч ]+р4, ]	]=[о];
[^2 ] = кз, ]'[ ]+[г4| ] '[££ ] = [-22,2].
Таким образом, для первых строк матриц [С] и [75] уравнение
(4.134) можно записать как
h. с,2 Чз cM>[[c?Jc^]] = [0 -0.89 0 0];
И.
р„ 4гНИИ] = [0 ~22>2]-
Ток источника ЭДС Z; в соответствии с (4.93)
[Сз>]-[ЛГ'Р23Г=
В соответствии с (4.97), (4.105) (4.112)
0,02
0
0
4,44 10~3
[с]2]Н*№з]М^з2] =
Г г ~1 Г Т“1 Г 1 I	0,0^
[/?',] = [«] [F13]'=
- 139-
[4,]=-W'K»l'Mr„]- " ;
V, О'/
[^1] = [С5][/^]'Ц1] = [-0,011 -1,17-10 ’];
[<?«] = [QMJ'K] = [0,526 -0,263];
U] = [QH^]U1]=[o,ou];
[74 НСЖ Ж ] = [~°, 234];
[c;i] = -[Fn][qi]-(/]4][c'1] = [0,022 0];
[4]=-[F12]-[F13][q2]-[^][c;2]=[o о];
[^1] = ~Из][£>я]-р14][^1] = [-0502];
ИН^НШНШИо]-
Таким образом, для вторых строк матриц [С] и [О] (4.134) полу-
чим:
[С2| С22 С23 С24 J — [[Cn ][^12 j] — [0,022 0 0 0];
р21 ^] = [[»;1]И]] = [-0,02 0].
12. Ток i12, протекающий через конденсатор связи графа, в соот-
ветствии с (4.93) определится следующим образом:
Поскольку элементы матриц [с^ ], [с^2], [££1], [оег] Уже
были определены ранее, то для третьих строк матриц [С] и [О] будем
иметь:
[с3, с32 с33 с34] = [-0,011 -1,17-10-3 0,5260 -0,263];
р3, <Z32] = [0,011 -0,234].
13. Напряжение и60 в соответствии со вторым законом Кирхгофа
^60 ~ ив + U4 •
Напряжение ий на катушке дерева графа в соответствии с (4.113)
“в
- 140 -
При этом элементы матриц Гс^ ], Гс2;], Fo^J, опре-
делены ранее.
Напряжение и4 является одним из напряжений на резисторах де-
рева графа. В соответствии с (4.113) для рассматриваемой схемы мож-
но записать:

Поскольку нам нужно знать только закон изменения напряжения
w4, то выделим это напряжение из последнего уравнения:
где элементами мат-
риц [Cn’J,	являются первые строки соответ-
ственно матриц [c“],[cf2[Д"], [Аг]' которые были определе-
ны ранее:
И = [° 0];[С“'] = [~100 -100];[п“'] = [0];[ди'] = [0].
Таким образом, для напряжения и№ можно записать:
•41	с42

При этом
•43	44
42
-14,286];
Гд“,’1=0.
Окончательно матрицы
иметь следующий вид:
[С] и [Р]
для нашего примера будут
№
О
0,02
-0,011
0,429
[£] = 0
-0,889
0
1,17 Ю’3
0,429
0
-0,02
0,011
0
0
0
0,526
-14,286
-22,22'
0
-0,234
0
0
0
-0,263
-14,286
- 141 -
Задача 4.5
Требуется составить уравнения переменных состояния для опре-
деления токов в индуктивных катушках, а также токов в ветвях, со-
единяющих симметричный трехфазный приемник с симметричным
трехфазным источником, при заданных параметрах цепи и законе из-
менения линейных напряжений источника (рис. 4.23).
Рис. 4.23
Ria— R/ь =Rtc^S Ом, СаЬ= Cbc =Сса=100 мкФ,
Ra= Rb =Кс=10 Ом, La= Lb=Lc- Q,5 Гн,
МаЬ= Л/Ас=Л/с„=0,1 Гн; uab = 380^2 sin(314/) ,
= 380>/2sin(314/-1200), иса = 380^2sin(314f + 120°).
Решение
1. Поскольку в трехпроводной трехфазной цепи достаточно
знать два любых линейных напряжения, то расчетную послекоммута-
ционную схему можно представить в виде схемы, изображенной на
рис. 4.24. На рис. 4.25 представлен ориентированный граф этой схемы,
при этом сплошными линиями изображены ветви дерева графа, а
пунктирными - ветви связей графа. При принятой нумерации ветвей
- 142-
Рис. 4.25
2. Добавляя связи к выбранному дереву графа, сформируем
матрицу главных контуров:
1 О О
2 0 0
р] = 3 1 0
4 1 1
Г~4
-1 -1
О -1
-1 О
-1 -1
1	1
RT
5~6^П,
0 10-1
0 0 1-1
-10 0 0
-10 0 0
0 0 0 0
9 10 П1Г13 14
-1] 1 00
-1; о 1 о
о ; о о 1
о { о о о
о I о о о

1 2
5
0
О
3.
ных сечений:
Используя соотношение (1.14),
получим матрицу для глав-
- 143-
12			Су		Rj-				Л- 9 16	и	Rs cs 12^13 14		
			3	4	5	6	7	8					
	'1	0	0	0	0	0	0	0	0 j 0	0	Г1 -1| О'		
	0	1	0	0	0	0	0	0	0 | 0	0	|0 -1 1 0		
	0	0	1	0	0	0	0	0	°l 1	0	i 1 С-1 1 1	1		
	0	0	0	1	0	0	0	0	о[±_	1	1_°_ Ч"1		Г- С у
№	0	0	0	0	1	0	0	0	0 1 0	0	11	1 1 0		
	0	0	0	0	0	1	0	0		0	| 0 0 } 0		А
	0	0	0	0	0	0	1	0	0 1 0	-1	1 0	0 1 0		
	0	0	0	0	0	0	0	1	0 1 1 >!7-	1	1 0 0 1 0		
	о	0	0	0	0	0	0	0		1	0 0 0	) i	Ст
В соответствии				с (4.27) эту матрицу можно записать следующим обра-									
зом:
ие	Ст		Ст |		Rs		
’[I]			1	Л2	Лз		иЕ
	[1]		1	Ч	^23		Ст
		[1]	I	^32	^зз	0	RT
-			N 1	^42	0	0.	Ст
Так как рассматриваемая схема не содержит идеальных источни-
ков тока, то эта матрица не содержит субматриц [F„], [F2I ], [F3I],
[Т4| ]. При формальном использовании вышеприведенного алгоритма
получения уравнений переменных состояния можно элементы этих
матриц принять равными нулю, т.е.
Г 1 Г01 г т Г01 г з
[о ’	~[о ’
О
О
О
О
[^4,] = 0-
Остальные матрицы уравнения (4.27) будут иметь следующий
вид:
, , Го 01 г . Г-1 -11	г . Го’
|2^- о о ’ о -1 ’ о ’
- 144-
4. Матрицы, описывающие
ы=
-1
-1
ы=[» i]-
Л-ветви (4.29), (4.30):
KJ=
K] = W =
о
о
о
0,2
О
О
О
о
Ra
о
о
о
0,1
о
о
О
О
Rb
о
о
о
0,1
о
Kl=
о
о
о
я
о ‘
о
о
°’’.
0,2
О
5
О
О
О
о
10
о
о
о
о
10
о
о
о
о
10
5.
6.
7.
; Kl=
о
0,2
О
о
R,.
5 0
О 5
Матрицы, описывающие С-ветви (4.31):
[Gr] =
-'ab
О
О 
1-104 о
О 1-10
; [Gj = Cco=l-10-’.
Матрицы, описывающие Z-ветви (4.32):
[Zj = Zc=0,5; [ire] = [Mf0 Л/6с] = [0,1
’0,1'
0,1
‘А,
.4*
1
571 [мь
Из уравнений (4.72) и (4.76) имеем:
0,6
О ।
О
О
(G] = [Gr]+[F33][Gs][F33]'=

м«ь
Lb.
0,5
0,1
0,1];
о,1‘
0,5
о
0,1
о
о
'10
5
о
о
0,1
о
5'
10
О
о
о
0,1
1
- 145-
Подставив эти данные в уравнения (4.87) - (4.89) и выполнив вы-
числения, получим:
[M.MqMMQ][aJ'=
2 10“4 I 104
bio-4 2-10~*
[М22] [Ате] [Au] [Аз] [Аг][Аг]+р4г] [Ат][Аг] - пд лв ’
и, ч и, О
Х7];
M=-WWK]=[:“
R ] = -[f« W [Л, ]'- Г0'133 °,W,71;
L 11J L 23JI J L I3J ^0,067 0,133
['>."]=Ь1ГЧч>]'[сГ'Ь.>!|с5]Ь.Г“[: “];
[А?]-, ЫсЖЬМ-
В рассматриваемом примере матрицы ГBt°21, Г В2г 1, ГВ22 I не
вычисляются, т.к. схема не содержи! идеального источника тока.
8.	Таким образом, матрицы [Л/j, [Л°], [В°], входящие в уравне-
ние (4.86), будут иметь следующий вид:
		2-Ю-4 1104	0	0	
		1-104 2-104	0	0	
[Л/] =				
		0	0	0,8 0,4	
		0	0	0,4 0,8	
	-0,133 -0,067 -1	0 ‘			0,133 0,067
[л°]=	-0,067 -0,133 -1	-1			0,067 0,133
	1 1	-20 -10	1. J	0	0
	0 1	-10 -20_		0	0
- 146-
Матрицы [Л] и [5], входящие в (4.89), определяются следующим
образом:
З.ЗЗЗ-Ю3
-666,67-103
О
-25
-3,333-1 о3
-3,333-1 о3
-25
0
0
666,67
0
0
0
-666,67
0,833
0,833
666,67
0
0
0

-666,67
о
1,667
[ -0,833

9.	В рассматриваемом примере выходной вектор [у] (4.2) будет
иметь следующий вид:

*ю
41
4
4
г12
4з
где токи iI0, iu относятся к переменным состояния, ток i, является
током катушки, входящей в дерево графа, ток is является током одно-
го из резисторов дерева графа, а токи il2 и il3 являются токами рези-
сторов связей графа.
В соответствии с уравнениями (4.95), (4.97) и (4.100) элементы
матриц [£>” ],[D*1, ] ,[£*э1 ], входящих в матрицу ^D1 ] (см. 4.2), рав-
ны нулю. Следовательно, выходной вектор [у] определится следую-
щим выражением:
- 147-
10.	Поскольку токи i10, iu являются переменными состояния и
определяются из решения (4.1), то
£|। Ср с,| — с22 0 , С|3 = 1, си = 0, с23 = 0, с2^ — 1 ,
^11 = d\2 — ^21 ~ ^22 ~ 0 •
11.	Ток i9 в соответствии с (4.93) может быть выражен сле-
дующим образом:
и.
I Uab
ju..
при этом согласно (4.95)
[/)'] = [0 0].
Следовательно,
Cj|=O, с32=0, с33=—1, с34=-1, d3l
12. Токи резисторов связей графа /12 и
(4.93) определяются выражением
Г;	11Г[МСг]Ъгг
= 0, d32 = 0 .
/|3 в соответствии с

Из (4.97)
[4] = K[F23]'=
и-4«т5]мл,]-
0,067 -0,067
0,067 0,133 ]’
° 0‘
° °J
'-0,067 0,067
-0,067 -0,133 ’
И=[*№>)'=
с52 = -0,067 ; с53 = 0;
с62 = 0,133;	с63=0;
Таким образом,
с51= 0,067;
с6| = 0,067 ;
=-0,067; di2 =0,067, d6t =-0,067,
13. Ток резисторов дерева графа из (4.93)
щим образом:
с54=0;
<7,4 = 0;
d62 =-0,133.
определяем следую-
- 148-


+ ^3|][МЕг]
при этом из (4.100)
'-0,133
о
о
о
-0,067
О
О
О
О'
О
1
-1
0,133
О
О
О
О
I
О
-1
0,067
О
О
О
Поскольку в рассматриваемом примере нам необходимо опреде-
лить только ток 15, то, используя верхние строки приведенных выше
матриц, получим:
с4| = -0,133; с42 =-0,067; с4}=0; с44=0;
J4, =0,133; dn =0,067.
Окончательно матрицы [CJ и [£>] будут иметь следующий вид:
	0	0	1 О’		0	0
	0	0	0	1		0	0
	0	0	-1 -1		0	0
[ср	-0,133 -0,067 0 0	; [О] =	0,133	0,067
	0,067 -0,067 0	0		-0,067 0,067
	0,067	0,133	0 0		-0,067 -0,133
- 149-
4.4. Решение уравнений переменных состояния
Одним из важных преимуществ метода переменных состояния
является его совместимость с методами современных ЭВМ. Пусть за-
дана линейная динамическая схема, описываемая уравнениями (4.1),
(4.2), начальными условиями [х(0)] и входным вектором при
t > 0. Требуется найти выходной вектор [у (/)] при t > 0.
Рассмотрим вначале один из методов решения дифференциально-
го уравнения первого порядка
x = a-x+b-V(t)	(4.135)
при начальных условиях х(0), который получил название вариации
постоянных.
Положим вначале, что уравнение (4.135) однородное, то есть
V (/) = 0 . Общее решение в этом случае имеет вид
х(/) = е"-К,	(4.136)
где К - произвольная постоянная (выражение е“ - К записано вместо
обычно принятого К  еш только для того, чтобы подчеркнуть сходство
данного выражения с выражениями в матричной форме).
При	решение уравнения (4.135) будем искать, полагая,
что К является функцией /, т.е.
x(t) = ea' K(t).	(4.137)
Поскольку предполагается, что равенство (4.137) является реше-
нием уравнения (4.135), то после подстановки (4.137) в уравнение
(4.135) и дифференцирования получим
а-еа-К^ + е01 k{t)=-a-eB‘-K{t)+b-V(t).	(4.138)
Следовательно,
К (/) = (е°')'' • b • V (/) = е~а1  b • V (t).	(4.139)
Интегрируя обе части уравнения (4.139) в пределах от t=0 до /,
имеем
|к(т)б/т = ^e~aT-b-V^di	(4.140)
о	о
или
- 150-
K(t)= jk“r -b-V(T)dT + к(0).
0
(4.141)
(4.142)
Из уравнений (4.141) и (4.137) получаем
jkO1 -b-V(t)dT + K(<S)
о
х(/) = е°'
Для определения К (0) положим в уравнении (4.136) t=0, тогда
К(0) = х(0).	(4.143)
Таким образом, решение уравнения (4.135) имеет вид
x(t) = е°' - j«"r-b-V(r)dT + ea -х(0).	(4.144)
о
Чтобы получить решение системы уравнений (4.135) способом,
аналогичным приведенному выше для одного уравнения, нужно ска-
лярные величины заменить на матричные. При этом нужно вначале
найти матрицу , а также исследовать некоторые основные ее свой-
ства.
Матричная экспоненциальная функция е^', где [Л] - постоян-
ная квадратная матрица порядка п, задается следующим бесконечным
рядом [5]:
Этот бесконечный ряд сходится при всех значениях t. Как следует
из (4.145), представляет собой квадратную матрицу порядка и,
элементы которой являются функцией t. Находить элементы ,
суммируя члены ряда (4.145), - задача весьма сложная. Поэтому в не-
которых случаях для вычисления величины е^1 может быть исполь-
зована формула Сильвестра [3], согласно которой
„ П(И-аШ)
еИ'	----------ерг> =[д]ей' +[4]е^ +...+[4^'. (4.146)
flU-а)
где Pj — корни характеристического уравнения det([yl]-p[l]) = 0,
они же — собственные значения матрицы [Л]; [1] - единичная матрица
порядка п.
- 151 -
Приведем некоторые основные свойства е^', которые потребу-
ются при решении уравнений переменных состояния.
Свойство 1:	(4.147)
Свойство 2: е^'  е1^' =	, если Только [л][й] = [Я][А] .
(4.148)
Свойство 3:	) =е ^ -	(4.149)
Свойство 4:	—= 1.41^' = е^'' [л].	(4.150)
dt
Свойство 5: j'e^'dt = [Л] ' -lj = ^e^f-1 )[Я] 1.	(4.151)
о
Равенство (4.147) следует из ряда (4.145) при t=0. Равенство
(4.148) можно проверить, разлагая все матричные экспоненты в беско-
нечные ряды. Равенство (4.148) следует из равенства (4.148). Равенство
(4.149) получается дифференцированием обеих частей ряда (4.144) и
выделением [/] из бесконечного ряда. Равенство (4.151) является пря-
мым следствием равенства (4.150).
Теперь рассмотрим решение системы уравнений (4.135). При
этом отметим, что помимо замены скалярных величин на матричные
данное решение точно повторяет решение, приведенное выше для од-
ного дифференциального уравнения.
Общим решением уравнения [л] = является
[х(/)] = еИ'[к],	(4.152)
где [к] - произвольный вектор размером их1 с постоянными эле-
ментами.
Это утверждение проверяется с помощью свойства 4:
И-^ИЬИ^М’ИИ-
Решение уравнения (4.134) будем искать в предположении, что
[/Г] является функцией времени /:
[х(0] = еМ'[к(/)].	(4.153)
Подставим это равенство в уравнение (4.135) и используем урав-
нение (4.150). Тогда
[х] = [ Л][*(/)] +	(Г)] = [Л]еМ‘ [>(/)]+[В][К(/)]. (4.154)
- 152-
Из этого уравнения с учетом (4.149) следует, что
[к(/)] = еИ'[В][И0].	(4.155)
Интегрируя уравнение (4.155) в пределах от 0 до t, получаем
J[k(r)]rfr = je № [в][У(г)рт	(4.156)
О	о
или
[*(')] =	(в][И(г)>+[к(О)] .	(4.157)
О
Из уравнений (4.157) и (4.153) следует, что
[%(/)] = е[А]' Не’Иг [15][г(г-)рг- +[к(0)]|	(4.158)
Io	J
или с учетом (4.157)
И°)]ф(0)].	(4.159)
Таким образом, решение уравнения (4.135) будет иметь вид
= е^' je^r [B][V(r)]dt + e^' рс(О)] =
°	(4-160)
=	[2?][V (г)] dr + е'л1' [x(O)J.
О
Подставив это решение в уравнение (4.136), получим
[ИО] = [С]е(л1‘ [x(0)] + |[C]^' ]е [B]|V(z)]dt +
I о	(4.161)
+[о][и(/)]+[о'][й(0]+-.}.
Первый член в равенстве (4.161) представляет отклик при нуле-
вом входном сигнале-, второй член - отклик при нулевом состоянии.
Рассмотрим изложенным методом расчет переходного процесса в
схеме, приведенной на рис. 4.3 (задача 4.1), если иЕ = е = 4 В; if = 1 А ,
при этом в начальный момент времени t=0 wr (0) = 3 В ; г, (0) = 0,5 А,
т.е.
<-	-1 Г 3 1 Гд
И)]=Ц4П-[,.
Ранее были получены матрицы [Л], [б], [С] и [О] для этой
схемы:
-153-
И=
о 1
1 -2
[С] = [1 2]; [Р] = [О 2].
О 1
; И=
Составляем характеристическое уравнение для определения соб-
ственных значений матрицы [л] (корней pi в уравнении (4.146)) :
det(p]-p[l]) =
-Р
-1
1
-4-р
= 0,
откуда рг + 4р +1 = 0; р, =-0,268с'1; р2=—3,73с"1
По формуле (4.146)
0 1
1 0
0 1

+ 3,73
Pt ~Рг
-0,268+3,73
И]=
О 1	10
г 1 г 1	+0,268
[Л]-р,[1] _ L-1 -4]	[° 1J
р,-р, ’	-3,73 + 0,268
1,078
-0,289
-0,078
0,289
0,289
0,078
—0,289
1,078
О
По формуле (4.160)
+ |Х]е₽:(' г)}[£][Г]</г + {[4]ей' +[Л2]еЛ'}х
х[Ц°)] = [4МПеЙ' fe*rdT+[42][B][tr]e/* je~p-Tdr +
о	о
+Ц][х(0)>' +|Л][л-(0)р =[Лр][г]-^--(1-^') +
Pt
+р2][р][К]_1_(1_^<)+[Я|][А.(о)]^+[л][4о)]^-
Рг
Выполним расчеты:
ИИИу-
Pl
1,078
-0,289
0,289 О
-0,078 1
1
-2
4~1 1
1 0,268
6,176
-1,6б]’
НИИу"
Рг
-0,078
0,289
-0,289 О
11Г41 1
1,078 ][1
-2 JL1 J 3,73
-0,176
0,66
[Д][х(0)] =
1,078	0,289	3
-0,289 —0,078j[_0,5
3,377
-0,906
- 154 -
-0,377'
1,406
Окончательно получаем
ис(/) = 6-2,797е'°'268' -0,2ОЗе’3-73';
z, (z) = -l + 0,754e'°’268' + 0,751е’3’та.
Если за выходную величину [у] принять напряжение иАВ, то
№(<>)]=
-0,078
0,289
-0,289
1,078
3
0,5
^=[C][x]+[D][H = [l
2]
М£
Л
= 6-1,ЗеЧ1'268‘+1,Зе'3-7?'
Как следует из приведенного примера, хотя равенство (4.160) яв-
ляется точным решением уравнения (4.135), оно имеет неудобную
форму при использовании ЭВМ. Кроме того, при использовании фор-
мулы Сильвестра (4.146) необходимо определять корни характеристи-
ческого уравнения путем вычисления собственных значений матрицы
[ Л ], что является весьма трудоемкой процедурой для цепей большого
порядка. Однако важным является то обстоятельство, что относитель-
но переменных состояния всегда можно сформировать систему диф-
ференциальных уравнений первого порядка и для решения такой сис-
темы использовать численные методы, которые входят в стандартное
математическое обеспечение современных ЭВМ.
Рассмотрим численное решение уравнений (4.1), (4.2) методом
Рунге-Кутта четвертого порядка с автоматическим выбором шага при
использовании пакета MathCAD.
Предполагаем, что известны элементы матриц [Л], [В], [С], [О],
[D7], (4.1), (4.2), элементы входного вектора [Н, а также начальные
условия, сведенные в матрицу-столбец [xfo)].
Выведем матрицу-столбец переменных состояния [А]. Перед на-
чалом решения присвоим элементам этой матрицы нулевые начальные
условия, т.е. значение напряжений на конденсаторах и токов в индук-
тивных катушках в момент коммутации [л] = [х(р)].
Зададим начальное 1„ и конечное tK время отсчета. Поскольку, как
правило, за начало переходного процесса берется момент времени,
равный нулю, то t„ =0. Чтобы задать конечное время счета, необходи-
мо предварительно оценить длительность переходного процесса. Как
было показано ранее, длительность переходного процесса можно оце-
нить по значениям корней характеристического уравнения, которыми
являются собственные значения матрицы [Л]. Для их определения ис-
пользуется следующая функция MathCAD:
- 155 -
eigenvals(A).
После обращения к этой функции, например 5.= eigenvalsfA),
матрица-столбец [S] будет содержать корни характеристического
уравнения. Тогда конечное время счета можно определить как
5
где | — наименьшее по модулю значение из вещественных значений
корней характеристического уравнения.
При численном решении дифференциальных уравнений (4.1) зна-
чения переменных состояния [х] даются не в виде аналитических вы-
ражений, а виде таблицы, в которой приводятся числовые значения
для определенных моментов времени. Поэтому необходимо знать чис-
ло точек N, где N - количество числовых значений переменных со-
стояния, которые будут сведены в таблицу, на интервале интегрирова-
ния от t„ до tK . После задания значений /к, N запишем матричную
функцию, которая вычислит текущие значения производных перемен-
ных состояния:
dx(t, х) = Ах + В- Г(0,
где А = [Л]; X = [А]; В = [У?]; V(t) = [I].
Если исследуемая схема содержит постоянные ЭДС и источники
тока, то элементы входного вектора V(t) будут содержать постоянные
значения, не зависящие от времени. Если же схема содержит источни-
ки электрической энергии, изменяющиеся в функции времени, то
входной вектор необходимо определить как V(t), при этом элементами
этого вектора будут являться аналитические выражения, содержащие
переменную / (см. приложение).
Теперь обращаемся к функции Rkadapt( ), которая численно ин-
тегрирует систему уравнений (4.1) методом Рунге-Кутта:
Xt := Rkadapt (х, t,„ tK N, dx).
После обращения к этой функции численные значения перемен-
ных состояния помещаются в матрицу Xt. Первый столбец этой матри-
цы содержит значения времени t, для которых определены переменные
состояния, второй столбец - мгновенные значения первой переменной
состояния, третий столбец - мгновенные значения второй переменной
состояния и т.д. Число строк мазрицы Xt будет равно N+1.
Для вычисления выходного вектора [у] по формуле (4.2) необхо-
димо для каждого к-го момента времени первого столбца матрицы Xt
строки матрицы [С] умножать на к-е значение переменных состояния
[х].
- 156-
Создадим матрицу Ytemp, содержащую только к-е значения пере-
менных состояния (0<=k<=N) без значений времени, для которых они
определены. Это можно сделать с помощью следующей функции:
Ytemp = subwatrix ( Xt, I, rows(Xt)-l, 2, cois(Xt)),
где функция rovvs(A7) определяет число строк матрицы Xt, а функция
cols(Xt) определяет число столбцов матрицы Xt.
Функция subwatrix ( ) формирует матрицу, которая является бло-
ком матрицы Xt, расположенным в строках с 1-й по rows(Xt)-l и в
столбцах со 2-й по cols(Xt). Так как ранее было задано для вывода N
числовых значений переменных состояния, а матрица Xt содержит
N+I строк, то в функцию submatrix подставляется значение
rows(Xfyl=N.
Необходимо отметить, что номера первых строк и столбцов мат-
риц хранятся в MathCAD в переменной ORIGIN. По умолчанию в
MathCAD строки и столбцы матриц нумеруются начиная с О
(ORIGIN = О). Поскольку в математической записи обычно использу-
ется нумерация с 1, как показано в обращении к функции subwatrix, то
перед началом работы с матрицами необходимо определить значение
переменной ORIGIN = 1.
После определения матрицы Уктр можно определить по (4.2) чи-
словое значение выходного вектора в диапазоне I<k<N. Для этого вна-
чале зададим диапазон для определения всех к числовых значений вы-
ходного вектора:
к:= /.. rows(Xt)-l.
Теперь выходной вектор можно рассчитать по формуле
Yt^	+ D-V(Xtk4) + .... В последнем выражении задается
~ транспонированная матрица Ylemp. Это делается для того, чтобы
строки матрицы С умножились на строки матрицы YKmp для каждого
к-го момента времени. Величина V(Xt^i) определяет значение входного
вектора для каждого к-го момента времени, поскольку числовые зна-
чения времени, для которых определены переменные состояния, хра-
нятся в первом столбце матрицы Xt.
Чтобы получить значения выходных величин в том же виде, в ка-
ком представлены переменные состояния Xt, необходимо транспони-
ровать полученную матрицу Yt, т.е. выполнить действие: Yt = YtT Те-
перь матрица Yt содержит столбцы значений искомых величин начи-
ная с первого столбца. Сформируем матрицу Yt таким образом, чтобы
первый столбец содержал значения времени, для которых определены
искомые величины. Для этого увеличим на единицу число столбцов Yt
и сдвинем все столбцы вправо на один.
- 157-
При этом операцию необходимо начинать с последнего столбца,
чтобы не потерять данные:
п = cols(Yt)..\ ;
У2<и+1)	у/") _
Чтобы в первом столбце Yt содержались значения времени, пере-
пишем туда эти значения из первого столбца X(t) :
= Xt®.
Теперь матрица Yt будет иметь такую же структуру, как и Xt.
Зная численные значения искомых величин и соответствующие
им моменты времени, нетрудно построить графики временных зави-
симостей, используя соответствующие функции пакета MatbCAD.
Расчет задач, рассмотренных в примерах 4.3 и 4.4, с использова-
нием пакета MathCAD приведен в приложении.
Таким образом, метод переменных состояния дает возможность
получить систему уравнений, описывающих переходный процесс в
линейной электрической цепи практически любой сложности, в ком-
пактной и общей форме и решить эту систему при помощи ЭВМ, ис-
пользуя численные методы решения дифференциальных уравнений,
применимые как к линейным, так и нелинейным динамическим схе-
мам.
- 158-
5. ЗАДАНИЕ
Задание включает в себя два раздела.
1. Расчет переходных процессов в заданной схеме с источником
постоянной ЭДС класс0ческим или операторным методом (выбор
метода - по желанию студента).
2. Расчет переходной процессов в той же цени при воздействии
источника синусоидальной ЭДС методом переменных состояния с
использованием ПЭВМ.
Вариант задания длЯ каждого студента определяется следующим
образом:
- номер схемы равен порядковому номеру, под которым студент
записан в журнале группы (если в группе больше 26 человек,
но недостающие ваРианты указываются преподавателем);
— номер варианта схемы определяется по табл. 5.1.
Таблица 5.1- Варианты задания параметров схемы
Номер группы	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Вариант задания	1	2	h 3	4	5	6	7	8	9	10
Продолжение табл. 5.J П
Номер группы	31	32	33	34	35	36	37			
Вариант задания	1	2	"^3~	4	5	6	7			
Амплитуда синусоидальной ЭДС для второго раздела задания
определяется как JlE , гДе Е ~ значение постоянной ЭДС для первого
раздела задания (см.табл. 5.2).
Таблица 5.2. Варианты параметГЦ?в лли схем 1+26						
Вариант	R1, Ом	R3=F5- СМ	R2=R4, О.м	L, Гн	с, мкФ	65
1	ПО	60	80	0,18	100	100
2	100	50	70	0,14	80	120
3	40	65	75	0,7	60	150
4	35	40	125	0,3	300	200
5	105	55	95	0,25	200	240
6	85	130	40	0,35	400	300
7	80	60	45	0,5	450	320
8	120	125	90	0,21	140	400
9	90	10О	115	0,8	350	450
10	50	20	30	0,6	230	350
- 159-
Вариант задания по час тоте и начальной фазе ЭДС определяется
по первой букве фамилии студента (см.табл. 5.3).
Таблица 5,3 Варианты значений частоты и начальной фазы ЭДС	______
Первая буква фамилии студента	А, Б, В, Г	ДЕ, Ж,3	И, К, Л,М	н,о, П,Р	с,т, У,Ф	Х,ц, ч,ш	Щ.Э, Ю,Я
Частота ЛГц	50	60	70	80	90	100	110
Начальная фаза ®, рад	х/6	тс/4	тс'З	п/2	и/3	тг/4	л/6
Целью расчета переходного процесса в схеме является
определение характера изменения напряжения на конденсаторе и
токов в ветви с индуктивным элементом, а также в ветви с резистором,
выделенным жирным шрифтом на схеме(1 -г-26).
После выполнения расчета студент оформляет отчет, в котором
должны иметь место:
-	схема, параметры, граф цепи с выделенным деревом схемы;
-	напряжение на конденсаторе и токи в ветвях с катушкой
индуктивности и резистором до коммутации;
-	напряжение на конденсаторе и токи в катушке индуктивности и
резисторе R, полученном в исходной схеме - в аналитической и
графической формах для первого раздела задания и в графической -
для второго.
Указанные подпункты, кроме первого, выполняются отдельно для
каждого раздела задания.
Отчет должен содержать достаточно подробные пояснения.
Схемы, таблицы, а также графики рассчитанных переменных должны
быть аккуратно вычерчены.
Схемы к расчетно-графической работе
- 160-
-161 -
Схема 8
Схема 9
Схема 10
-162-
Схема 13
- 163 -
Схема 16
Схема 17
Схема 18
- 164-
Схема 21
Схема 22
- 165-
-166-
ПРИЛОЖЕНИЕ
Расчет переходных процессом в линейных цепях методом переменных
состояния при использовании пакета MathCAD
ВНИМАНИЕ! По умолчанию в MathCAD строки и столбцы матриц нумеруются
начиная с О (ORIGIN-0). Поскольку в дальнейшем используется нумерация
начиная с 1, то перед началом работы с матрицами необходимо определить
значение переменной ORIGIN = I. Это делается следующим образом: в
программе выбирается вкладка: "ииструмснты>свойства таблицы", выбирается
вкладка "переменные", на ней есть строчка "Начальный индекс
MaccHBa(ORIGIN)", в ней ставится вместо нуля единица
Зидана 4.4
Расчетная схема и ее граф
Исходные данные:
R. - 50 Ом R2 — 25 Ом R3 := 100 Ом R4 := 200 Ом
С( := 0.0002	Ф	С2 :» 0.0005	ф	с3 ~ 0.0004	Ф
Ц 0.02	Гн	L2 := 0.04	Гн	Ц 0.02	Гн
М12 ~ 0.01	Гн	М13 := 0.01	Гн	М23 := 0.01	Гн
и £	100 В	ij 5 А
1. Формирование матриц [AJ, [В|, |С], |£>]
Если матрицы [.-1], [В], [С], [D] уже сформированы, то можно перейти сразу к
пункту 2.
- 168-
Формируем матрицу главных, контуров:
т
®S
(В):=
UE CT RT
	1	2	3	4	5	6 i	7	.8 .	9	TO	IT	T2
1	0	0	0	0	1	o;	1	0	0	0	0	0
2	0	1	0	-1	0	-1 !	0	1	0	0	0	0
3	0	0	1	-1	0	1 i	0	0	1	0	0	0
4	>1	1	0	0	0	°;	0	0	0	1	0	0
5	0	0	1	0	1	°!	0	0	0	0	1	0
6	0	-1	1	0	0	0!	0	0	0	0	0	1
RS

Используя соотношение (вг] = _[°аГ, запишем матрицу главных сечений:
UE Ст RT Ч 'тЦ Rg Cs
(D):=
	1	2	3	4	5	6 ! 7	! .8	9 : io	11 ! .12	
1	1	0	0	0	0	Oi 0	L. °.	о; 1	0	0
2	0	1	c	0	0	0! 0	t "1	Oi -1	0	1
3	0	0	1	0	0	6! 0	! o	-1! o	1	-1
4	0	0	0	1	0	0; о	i 1	1; о	0	0
5	0	0	0	0	1	0» -1	1 0	о; о	-1	0
6	0	0	0	0	0	тГЧГ	s—и		о; о	
Че
ct
КТ
Эта матрица имеет следующую структуру:
О
О
О
F,
О
О
О
Формируем подматрицы:
F. ,:=(0)
F, 2 := (0 0)
о
о
о
F2.1
Г, .
О
о
о
F
Fl,2
F2,2
F3,2
F4,2
F1.3
F2.3
F3,3
0
F.
F2.4
О
о
F2.1
F2,2 ’
-1 о
О -1
F4,2:=(* *>
F4j,:=(0)
F, 3-(l
С)
F =
2.3 <0
О
о
F3.3 l О -1
F. 4'-=(0)
F2.4::
- 169-
Матрицы, описывающие R-ветви
Матрица резисторов, входящих в дерево графа-
Матрица резисторов связей графа:
fRl 0
Rs :=
I О R21
Матрицы проводимостей ;
С0.01	0 А
Gt=	-3
V о 5х 10 J
0.02 0
О 0.04
Матрицы, описывающие С-ветви
Матрица конденсаторов, входящих в дерево графа •
Матрица конденсаторов связей графа ;
Cs.-C2	Cs=5xl0-4
Матрицы, описывающие L-ветви
Матрица индуктивностей катушек дерева графа:
Ltt :=L2
Ltt = 0.04
Прямоугольные матрицы взаимоиндуктивностей между катушками дерева и связей 1~рафа:
Lts:=(MJ2 М23)
LstLtsT
Lts = (0.01 0.0!)
0.01
0.01
Lst ~
-110-
Симметричная матрица индуктивностей (на главной диагонали) и мзаимоиндуктивностей (вне
диагонали) катушек святей графа:
Lss :==
Ч М13>
м13 ц J
(0.02 о.ог
Lss = |
kO.Ol 0.02,
Из выражений (4.72) и (4,76) получим:
G:=Gt+F33.G5.F33T
R := Rs + F3 -Rt*F3 3
(0.01
о
о
0.045,
<50 О А
R=	I
<0 225J
Подставив эти данные в выражения (4.87) и выполнив вычисления, получим.
Mlj;=Ct+F2,4CsF2,4
м2 2 := Lss - F4 2Т Lts - Lst-F4 2 + Рд J Ltt F, 2
М1 := augment^M { , М ( 2j
М2 := augment(М2 f,M2 J
М := stack (Ml, М2)
M =
7x 10
-5x
10 4
0
0
- 4
~5x 10
9x 10
0
0
0
0
0.04
0.03
0
0
0.03
0.04,
^t.l^V F2.3
AO
0
0	-4.444x to 3
AO1,2 ' -, 2.2 d F2,3'R f:
3.3 RtF3.2
A%2 =
1 0
0 1
A°2,.:=F2,2 -4.2 G' F3,3GsF2.3
A02.1=
-1 0
0 -1
171
A02.2 =-F3.2T-G Ч,2
A02.2
-100 -100'
-100 -100.
АО:= stac^augmentlAOj j,AO,,|augment(AOu,AO,2))
'-0.02	0
0	— 4.444 x IO"3
-1	0
. 0
1	0 '
0	I
“100 -100
-100 -100,
B0),!:=-F2,3R'4.3T
B01.2:=-F2J+F2.3R’,F3,3TR!F3.1
BQ2.1:=F1.2T-F3.2T-g1F3.3GsF1,3T
“2,2—F3.2Tg"1F3.1
BO := stack(augment(BO,,, BO, augment(BO, ,, BO, J)
r0.02	0	'
0	0,889
0	0
.	0	0
(	3
2.368x 10
M~ 1 = 1 316x IO3
0
0
1.316x io3 о 0
1.842x IO3 О 0
0	57.143	-42.857
0	-42.857	57.143,
Рассчигываем матрицу A:
-47.368 -5.848 2.368x IO3 1.316x IO3
A M -AO
3	3
1.316x 10	1.842x 10
-57.143 42.857
-1.429X 103 -l.«9x IO3
k 42.857 -57.143 -1.429x Ю3 -1.429x IO3
- 172 -
Рассчитываем матрицу В:
В:=М -ВО
47.368 1.17х 103
26.316 1.637х 1О3
О	О
о	о
Определение матриц |С] н |1>]
Cui.i;=-g’1f3.3GsF2.3T
Cu1.2;=-G 4.2
Dui.i:=-G’,'F3,3G’-Fi,3T
D“l,2
Аг1 := submatrix(A,3,4, 1.2)
Cu2 i := (Us - Ш 2) a2|
A22submatrix( A, 3,4,3,4)
Cu2.2:=(LtS-Lt,F4,2)A22
C“2,l
= (0.429 0.429)
Cu2 = (85.714 85.714)
B2 p- submatnx(B ,3;4,1,1)
13^1=0
Du2 , 2= (Lts - Ltt-F, 2)B2 ,
2;= submatrix(B ,3,4,2,2)
Dv2 2:-=(Lts--Ltt-F. 2)B2 2	Du2.2-°
Cu3,I:=F2.I +F3,I C“1,1 + F4.|T’Cu2.I
CU3,2:=F3,1 'Cu1,2 + F4.I Cu2,2
Du3-1~FI,1 +F3.1 Du|,1 + F4.1 Du2, 1
Du3 2:=F3r|T Du, 2 + F4 [T.Du2 2
Cu. =(0 -0.889)
Cu3 2 =(0 0)
Du3_l =(0)
Du3 , =(-22.222)
- 173 -
Таким образом, первые строки матриц [С] и [D] будут выглядеть следующим образом:
С! := augment^Ctij pCiij 2j	Cl = (0 -0.889 0 0)
DI := augment	pDu3 2)	Dl=(0 -22.222)
_ 1	т	f -0.02	0
4,1 =R F2,3	^‘5 1 = |	-3 \ 0	4.444x 10
C\2:=R-lF3,3TRt-F3.2	M”)
4.1 ;=R ’ F1.3T	
- 1 T	( о A
4,2 :=R F3.3 RtF3,l	Di, = 5’2 ^0.8897
A j j := submatrix(A, 1,2,1,2) 4,1 ;=CsF2,4T'A11	Ci j =(-0.011 I.17x 10" 3)
A|2:sb submatrix(A, 1,2,3,4) 4,2:=CsF2.4Ta12	CL 2 = (0.526 -0.263)
В11 := submatrix(B, 1,2,1,1) 4,1 :=Cs F2,4T'BU	Di, . =0.011 o, 1
Bj2submatrix(B, 1,2,2,2) 4,2:=CsF2,4Tb12	Di, , = -0.234 D, 2
4,i ~~Fi,з’4,1 -Fi,4'4,1	Ci, , =(0.02 0)
4,2 ~F1,2 “ Fl,3'4,2 ~ Fl,4'4,2	4,2 =(° °>
4,1 =~F1,3'4,1 ~FI,4'4,1	Di, , =(-0 02)
4,2:=-Fl,l -F1.3'4.2”F1,4'4,2	4,2 = (0)
- 174 -
Таким образом, вторые строки матриц [С] и [D] будут выглядеть следующим образом:
C2 := auginenl^Cij	2j	C2 = (0.02 0 0 0)
D2 := augment^ I,DiJ J	D2 =(-0.02 0)
Третьи строки матриц [С] и [D] :
C3 := augment^ |tC^2)	C3= (-0.011 1.17x 10“3 0.526 -0.26з)
D3 ;= augment ^Di6 pDi6	D3 = (0.011 -0.234)
Формируем первые строки матриц Сщ ।, Cuj.j , Duij , Du
Culj j := submatrix^CUj pl,	1.1,2)	Cut] t =(0 0)
Cuij 2 := submatrb^CUj 2,1,	M.2)	Culj 2 =(-100 -100)
Dul j j := submatri^DUj j, 1,		Dulj ,=(0)
Dulj 2 := submatrix^DUj 2,1.	,1.1.1)	Dulj 2=(0)
Формируем четвертые строки матриц [С] и [D] для напряжения и^:
С41 := Cu2 j -1- Culj
€42^0^ +011^
D41 := Du2 j + Duix j
D42 := Du2 2 + 1)1111 2
C41 = (0.429 0.429)
C42 = (-14.286 -14.286)
D41 = (0)
D42 = (0)
C4 := augment (C41, C42)
D4 := augment (D41,D42)
C4 =(0.429 0.429 -14.286 -14.286)
D4=(0 0)
- 175-
Окончательно матрицы [С] и [DJ для нашего примера будет иметь следующий вид:
С := stack (Cl, С2, СЗ, 04}
г 0	-0.889	О	0 '
0.02	0	0	0
-0.011 1.17x 10-’ 0.526 -0.263
, 0.429	0.429	-14.286 -14.286.
D := st.lck(Dl,D2, D3.D4)
' 0	-22.2221
О
-0.234
2. Численное решение уравнений переменных состояния
Определим время переходного процесса, для этого найдём собственные значения матрицы А:
рj :== eigenvals (А)
шЦ-р^ - 7.474-280.0591
(	3
—2.84х Ю
-7.474+ 280.0591
-7.474 - 280.059i
k -58.098	>
Время переходного процесса
iBii^-ReJpJ)
ik = 0.669
Формируем входной вектор:
- 176-
Определяем начальные условия и сводим их в матрицу X:
X10:« I-R3	X10 = 307.692	ХЗО:= 0
Х20 := I R3	Х20 = 307.692	Х40 - -I
'xi(T
Х20
Х:=
ХЗО
кХ407
Задаем начальное и конечное время счета, а также и число точек на интервале интегрирования:
tO := 0 tl := tk	N := 1000
Записываем матричную функцию, вычисляющую текущие значения производных переменных состояния:
dX(t,X) .-= А-Х + &V
Теперь обращаемся к функции Rkadapt(). которая численно интегрирует систему уравнений
(4.1) методом Рунге - Кутта:
Xt;- Rkadapt(X,tO,tl,N,dX)
Эта функция возвращает решение, которое помещается в матрицу Xt
Результаты:
	1	2>	3	4	5
1	0	307.692	307.692	0	-3.077
2	6.69-10-4	301.245	304.109	0.062	-3.111
3	1.338-10-3	295.127	300.663	0.226	-3.23
4	2.007-10-3	289.397	297.325	0.475	-3.433
5	2.676-1 С-3	284.097	294.056	0.798	-3.711
6	3.345-10-3	279.257	290.823	1.18	-4.051
7	4.014-10-3	274.896	287.596	1.607	-4.439
3	4.683-10-3	271.023	284.35	2.062	•4.857
9	5.352-10-3	267.635	281.067	2.528	-5.289
10	6.021-10-3	264.717	277.735	2.988	-5.716
11	6.69-10-3	262.241	274.349	3.425	-6.123
1-2	7.359 10-3	260.171	270.911	3.822	-6.492
13	8.028-10-3	258.46	267.428	4.166	-6.809
14	8.697 10-3	257.055	263.913	4.444	-7.062
15	9.366-10-3	255.896	260.386	4.647	-7.24
16	0.01	254.919	256.87	4.766	-7.337
Содержимое столбцов матрицы Xt:
ПЕРВЫЙ столбец - время t.
ВТОРОЙ столбец - первая
переменная состояния ujO).
ТРЕТИЙ столбец - вторая
переменная состояния из(1).
ЧЕТВЁРТЫЙ столбец - третья
переменная состояния ig(t).
ПЯТЫЙ столбец — четвертая
переменная состояния 19(1).
-177 -
В матрице Xt строк на 1 больше, чем было задано при вызове RkadaptQ:
rows(Xt) = 1.001 х IO3
Для определения выходного вектора Yt := С- Xt + D-V(t)
создадим матрицу, содержащую только переменные состояния в столбцах без значений времени:
Ytemp:= submatrix(Xt> l,rows(Xt) - l,2,cols(Xt))
Задаем диапазон для охвата значений всей таблицы:
k := L.rows(Xt) - 1
Вычисляем значения выходных величин и записываем их в матрицу Yt:
Yt^ := c (vtempT) + D V
Транспонируем полученную матрицу
Yt := YtT
Теперь матрица Yt содержит столбцы значений искомых величин, начиная с первого столбца
Сформируем матрицу Yt таким образом, чтобы первый столбец содержал значения времени,
для которых определены искомые величины. Для этого увеличим на единицу' число
столбцов Yt и сдвинем все столбцы вправо на один.
n :--cols(Yt) - 1..0
Yt<n+2> •= Yt<n+I^
Заполним первый столбец матрицы Yt значениями времени, для которых определены искомые
величины.
Yt]> := Xt<]>
-178-
Получим численные значения искомых величин и соответствующие им моменты времени:
	1	2	3	4	5
1	0	-384.615	4.154	-2.186	307.692
' 2,-	6.69-104	-381.43	4.025	-2.081	302.994
3	1.338-10-3	-378.367	3.903	-1.903	298.244
	2.007-103	-375.4	3.788	-1.662	293.699
	2.676 10-3	-372.494	3.682	-1.367	289.397
6	3.345-103	-369.621	3.585	-1.029	285.342
7	4.014-10-3	-366.752	3.498	-0.661	281.53
8,	4.683-103	-363.866	3.42	-0.274	277.953
	S.3S2-1O-3	-360.948	3.353	0.117	274.601
10	6.021-103	-357.986	3.294	0.498	271.46
и	6.69-103	-354.977	3.245	0.857	268.514
тг;	7.359-103	-351.921	3.203	1.181	265.747
13,	8.028-10-3	-348-825	3.169	1.46	263.139
14	8.697-10-3	-345-701	3.141	1.683	260.669
/15	S .366-10-3	-342.566	3.118	1.845	258-317
16.	0.01	-339.44	3.098	1.939	256.062
Представим искомые величины в виде графиков переходного процесса:
Результат
Напряжение u7
Время t
Закон изменения напряжения на идеальном источнике тока и?
-179
Результат
45
Время t
Закон изменения тока в источнике ЭДС i!
Время t
Закон изменения тока в конденсаторе П2
- 180-
Результат
Напряжение u6
Время t
Закон изменения напряжения между узлами 6 и О иб
- 18г -
Задача 4,5
Расчетная схема и ее граф
Исходные данные:
Ria := 5 Ом Ra := 10 Ом	Rib .-= 5 Rb := 10	Ом Om	R1c:=5 Om Re := 10 Om
Cab := 0.0001 Ф	Cbc := 0.0001	Ф	Cea := 0.0001 Ф
La := 0.5 Гн	Lb := 0.5	Гн	Lc := 0.5 Гн
Mab :=0.1Ги	Mbc := 0.1	Ги	Mca :=О.1Гн
tlbc = 38O^2-sin\314t - 12<
Uab= 38O^2-sin(3l4-t)
-182-
1. Формирование матриц [Л], [ZJ|, [CJ, |Z>|
Если матрицы [л], [В], [С], (£>] уже сформированы, то можно перейти сразу к
пункту 2.
Формируем матрицу главных контуров:
иЕ Ст RT Ч LS Rs cs
	1	2	3	4	s	, 6'	7	8	9	10	11	12	13	14
1	0	0	’1	-1	0	1	0	-1	-1	1	0	0	0	0
2	0	0	0	-1	0	0	1	-1	-1	0	1	0	0	0
3	1	0	-1	0	-1	0	0	c	0	0	0	1	0	0
4	1	1	-1	-1	-1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
5	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
Используя соотношение [^т] = ~[Ч1. запишем матрицу главных сечений.
ИЕ ст	RT Ч Ц Rs
	1	2	3	4	5	6	7	8	9’	w	11	12.	13	14
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	-1	0
2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	0
3	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	-1
4	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	1	0	1	-1
5	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0
6	0	0	0	0	0	1	0	0	0	-1	0	0	0	0
7	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	-1	0	0	0
8	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0
9	0	0	0	0	0	0	_Sb	0	1	1	1	0	0	0
Эта матрица имеет следующую структуру:
Ч О О О F, 2 F, 3 f] 4'
0,00 F2,2 F2,3 F2,4
0010 F3.2 F3.3 °
О О 0 1 F. . О О
k <2 J
-183 -
Так как рассматриваемая схема не содержит идеальных источников тока, то эта матрица не
содержит субматриц Fij, Fa.iJS.i При формальном использовании’ алгоритма получения
уравнений переменных состояния можно элементы этих матриц принять равными нулю:
F4 1:=(° О)
Матрицы, описывающие R-ветви
Матрица резисторов, входящих в дерево графа:
Матрица резисторов связей графа:
( Rib О Л	<5 О'
Rs :~ I I	Rs — I
V о Ricy	V0 \
Матрицы проводимостей:
Gt :=Rt
Gs := Rs
0.2 0 '
. О 0.2,
V 0 0 0 0.1у
- 184-
Матрицы, описывающие С-ветви
Матрица конденсаторов, входящих в дерево графа:
Ct :=
Cab О
О СЬс
Ct =
1 х 10 О
О ЫО
Матрица конденсаторов связей графа:
Cs := Сса
Cs = I х 10
Матрицы, описывающие L-ветви
Матрица индуктивностей катушек дерева графа:
Lit := Lc	Ltt = 0.5
Прямоугольные матрицы взаимоиндуктивносгей между катушками дерева и связей графе:
Lts .- (Мса МЬс )
Lst := LtsT
Lts =(0 1 0.1)
Lst =
0.1
0.1
Симметричная матрица индуктивностей (на главной Диагонале) и взаимоиндуктивностей
(вне диагонали) катушек связей графа:
Lss :=
La
Mab
Mab
Lb
Lss
f 0.5 0.Л
10.1 o.sj
Из выражений (4.72) и (4.76) получим:
		r0.6	0	0	0 '
т		0	0.1	0	0
G := Gt + s'Gs-Fj	G =	0	0	0.1	0
		k 0	0	0	O.l?
		r10	5 A		
R := Rs + F3 /-Rt-F, 3	R =				
		k5	10J		
Подставив эти данные в выражения (4.87) и выполнив вычисления, получим:
M1,1-=C,+ F2.4CsF2.4T
М2,2 = LSS ~ F4.2T lJS ~ LS* F4,2 + F4,2T Lt, F4.2
- 185-
Ml augment^M] 2j
М2 - augment^M2 j, M2 2J
M stack (Ml, М2)
— 4	- 4
2x 10 lx 10	0 0
lx 10 4 2x 10 4 0 0
0	0	0.8 0.4
0	0	0.4 0.8 J

[-0.133 -0.067'
AO > =
\-0.067 -0.133,
A0l,2—F2,2+F2.3^'F3.3Tr,F3.2
AO2.1;=F2.2T-F3.2T-G*,F3,3GsF2,3T
AO2,2:=-F3,2T G 4.2
AO
2,1
A°2,2 =
—20 -10A
-10 -2oJ
AO^stackfaugment^O,,, A01 2Jaugmeni(AO, AO, ,))
-0.133 -0.067 -1	0 '
-0.067 -0.133 -I -1
A0 =
1	1	-20 -10
0	1-10 -20
BOt,i =-F2,3R fi,3
B02,1-=F1.2T-F3,2Tg’,F3,3GsF1.3T
В этом примере нет идеальных источников тока, поэтому матршхы B0! Z, В02,2 и В0122 будут
отсутствовать. Матрица ВО будет иметь вид
- 186-
ВО := stack ^augment (ВО^	augment^BO^ J)
(0.133 0.067\
BO-
0.067
0.133
0
0
к 0
0
	6.667 х 103	-З.ЗЗЗх	W1	0	0
м 1 =	-3.333 х ю3	6.667х	ю3	0	0
	0	0		1.667	-0.833
	k	0	0		-0.833	1.667
Рассчитываем матрицу A:
A:«= M-1 AO
	( -666.667	0 -З.ЗЗЗх 103 З.ЗЗЗх ю3
А =	0	3	3 -666.667 -3-333 х 10 -6.667х 10
	1.667	0.833	-25	0
	k -0.833	0.833	0	-25
Рассчитываем матрицу В.
В := М -ВО
(666.667 О
	0	666.667
В =		
	0	0
	< 0	0 ,
Определение матриц (С] и [DJ
Поскольку- токи il0, itl являются переменными состояния и определяются из решения (4,1),
то для первых двух строк матриц [С] и [D] будем иметь:
С,
О О'
0 °,
DI ;=
С1 augment^Cj J
О О
о о
- 18П -
Третьи строки матриц [С] и [D] соответствуют току (9 В соответствии с (4.95)
Ci, ] ;=(0 0)	Ci4I=(0 0)	Di4I:=(0 0)
C,4,2:="F4.2	«4>2=(-1 -П
С2 := augment ^С«4 , Ci4 2j
С2 = (0 О -1 -1)
D2:=Di4i
D2-(0 О)
Для токов резисторов-связей графа il2 и i|j в соответствии с (4.97) будем иметь;
Di5,r=R'4,3T
°*5,|
( -0.067 0.067'
V-0.067 -Ф.133,
Формируем пятые и шестые строки матриц [С] и [D]:
С4 := augment , Ci^ J
f0.067 -0.067 0 O'
1^0.067 0.133 О О,
D4:=Di5J
D4 =
-0.067 0.067
-0.067 -0.133,
Для токов всех резисторов дереве графа в соответствии с (4.100) сформируем матрицы:
C5,l~-F3,3Ci5,l
Ci3,2:=-F3,3CiS,2-F3,2
Di3.1:=-F3,3Di5,l
Поскольку в рассматриваемом примере нам необходимо определить только ток 1$, то
используем верхние строки приведённых выше матриц:
С31И := submatrix^Ci, 1,1,1,2)	Dilj . submairi^Dij );1,1,1,2)
C31i2:= submatrix^Cij 2> 1,1,1,21
- 188 -
СЗ := augment(СЗ lil, СЗ 1 ф
СЗ =(-0.133 -0.067 0 О)
D3:=Dil3 ]
D3 = (0.133 0.067)
Формируем матрицы С и D:
С := stack (С1,С2,СЗ,С4)
D := stack(Dl,D2,D3,D4)
	г 0	0	1	0 '
	0	0	0	1
с =	0	0	-1	-1
	-0.133	-0.067	0	0
	0.067	-0.067	0	0
	< 0.067	0.133	0	0>
	f 0	0 Л
	0	0
	0	0
D =	0.133	0.067
-0.067 0.067
V-0.067 -0.133/
2. Численное решение уравнений переменных состояния
Определим время переходного процесса, для этого найдём собственные значения матрицы А:
р, з= eigenvals(A)
тЦ-р^ = 38.261
f -653.406''
-38.261
-653.406
-38.261,
Время переходного процесса
5
ti.1 (	0.131
k nut(-R<Pi))	k
Формируем входной вектор.
Поскольку в данном случае напряжения источников являются функциями времени, то входной
вектор определяем следующим образом:
V(t) :=
38&1.41-sin(314t)
380-1.41-sin(314t - 2.0944)
где начальная фаза напряжения задана в радианах.
- 189-
В данном примере все начальные условия нулевые.
Х10:=0
( XU?
Х20
X ~
ХЗО
<Х40?
Х20:=0
Х30:=0
Х40:= О
Задаем начальное и конечное время счета, а также и число точек на интервале интегрирования:
tO := О
N ;= 1000
Записываем матричную функцию, вычисляющую текущие значения производных переменных состояния:
dX(t?X) := А-Х+ B-V(t)
Теперь обращаемся к функции Rkadapt(). которая численно интегрирует систему уравнений
(4. i) методом Рунге - Кутта:
Xt - Rlcadapt(X,tO, 11, N,dX)
Эта функция возвращает решение, которое помещается в матрицу Xt.
Результаты
	1	2	3	4	5
1	0	0	0	0	0
2	1.307 10-4	0.93	-39.168	-2.085-10-3	-2.187-10-3
3	2.614-104	3.615	-75.913	-7.893-10-3	-8.69-10-3
4	3.92 104	7.904	-110.365	-0.017	-0.019
5	5227-104	13.654	-142.642	-0.028	-0.034
6- •	6.534-104	20.731	-172.852	-0.042	-0.053
7	7.841-104	29.011	-201.091	-0.056	-0.076
8	9.148-104	38.375	-227.449	-0.072	-0.103
9	1.045-10-3	48.711	-252.007	-0.089	-0.133
10	1.176-10-3	59.914	-274.837	-0.105	-0.167
11	1.307 103	71.884	-296.006	-0.122	-0.205
12	1 437 103	84.528	-315.577	-0.137	-0.246
13	1.568 10-3	97.755	-333.604	-0.152	-0.291
14	1.699 103	111.482	-350.14	-0.166	-0.338
15	1.83-103	125.627	-365.23	-0.179	-0.3S9
16	1.96 10-3	140.115	-378.92	-0.19	-0.442
Содержимое столбцов матрицы Xt-
ПЕРВЫЙ столбец - время г
ВТОРОЙ столбец - первая
переменная состояния 113(1).
ТРЕТИЙ столбец — вторая
переменная состояния 114(1).
ЧЕТВЁРТЫЙ столбец - третья
переменная состояния i jo(t).
ПЯТЫЙ столбец ~ чевертая
переменная состояния i] 1(0-
- 190-
В матрице Xt строк на 1 больше, чем было задано при вызове Rkadapt():
rows(Xt) = l.OOlx l<?
Для определения выходного вектора Yt := C-Xt + D- V(t)
создадим матрицу, содержащую только переменные состояния в столбцах без значений времени'
Ytemp:= submatriX Xt, l,rows(Xt) - l,2,cols(Xt))
Задаем диапазон, для охвата значений всей таблицы:
k := L.rows(Xt) - I
Вычисляем значения выходных величин и записыввем их в матрицу Yt:
Yt^ :=C-(YtempT) + DV^ J
В данном примере мгновенные напряжения источников берутся для тех моментов времени,
которые приведены в первом столбце матрицы Xt.
Транспонируем полученную матрицу:
Yt:=YtT
Теперь матрица Yt содержит столбцы значений искомых величин начиная с первого столбца.
Сформируем матрицу Yt таким образом, чтобы первый столбец содержал значения времени,
для которых определены искомые величины. Для этого увеличим на единицу число
столбцов Yt и сдвинем все столбцы вправо на один.
n := cols(Yt) - 1..0
Заполним первый столбец матрицы Yt значениями времени, для которых определены искомые
величины.

- 191 -
Получим численные значения искомых величин и соответствующие им моменты времени:
	1	i	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	-30.934	-30.934	61.869
2	1.307 10-4	-2.085-10-3	-2.187-10-3	4.27210-3	-26.223	-30.433	56.656
3	2.614 10-4	-7.893-10-3	-8.69-10-3	0.017	-21.859	-29.921	51.78
4	3.92 10-4	0.017	-0.019	0.036	-17.817	-25.395	47.212
5	5.227-10-4	-0.028	-0.034	0.062	-14.075	-28.854	42.929
6	6.534-10-4	-0.042	-0.053	0.095	-10.61	-28.296	38.906
7	7.841-10-4	-0.056	-0.076	0.132	-7.405	-27.72	35.125
8	9.148-10-4	-0.072	-0.103	0.175	-4.441	-27.125	31.566
9	1.045-10-3	-0.089	-0.133	0.222	-1.702	-26.509	28.212
10	1.176 10-3	-0.105	-0.167	0.273	0.826	-25.873	25.047
И	1.307-10-3	-0.122	-0.205	0.327	3.157	-25.215	22.058
12	1.437-10-3	-0.137	-0.246	0.384	5.303	-24.534	19.231
13	1.568-10-3	-0.152	-0.291	0.443	7.277	-23.832	16.555
14	1.699-10-3	-0.166	-0.338	0.505	9 087	-23.107	14.02
15	1.83-10-3	-0.179	-0.389	0.568	10.745	-22.36	11.615
16	1.96-10-3	-0.19	-0.442	0.632	12.258	-21 591	9.333
Представим искомые величины в виде графиков переходного процесса. При этом на одном
графике приведем законы изменения токов в индуктивных катушках (второй, третий и четвертый
столбцы матрицы Yt), а на другом — законы изменения токов, потребляемых от трехфазного
источника (пятый, шестой и седьмой столбцы матрицы Yt).
Результат
4
-4-----------------------------------------------------------*--------------
О	0.02	0.04	0.06	0.08	0.1	0 12
YtM
Время t
192-
60
Результат
Токи i5, il2, il3.
4G
*40*----------------------------------------------------—-------
О 0.01	0.02	0 03	004	0.05	0.06	0.07
Y4J
Время t
- 193 -
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.	Бессонов, Лев Алексеевич. Теоретические основы электротехники:
Электрические цепи: учеб, для студ. электротехн., энерг. и приборостроит. спец вузов.
/Л.А.Бессонов. -7-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш, шк., 1978. -528 с.
2.	Зевеке, Георгий Васильевич. Основы теории цепей: учеб, для вузов
/Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов -5-е изд., перераб. -М.:
Энергоатомиздат, 1989. -528 с.
3.	Нейман, Леонид Робертович. Теоретические основы электротехники: учеб,
для вузов. В 2 т. Т. 1 /Л.Р.Нейман, КСДемирчян. -Л.: Энергоиздат, 1981. -536 с.
4.	Матханов, Платой Николаевич. Основы анализа электрических цепей.
Линейные цепи: учеб, для электротехн. и радиотехи. спец, вузов /Г1.И.Матханов. -3-е
изд., перераб. и доп. -М.: Высш, шк., 1990. -400 с.
5.	Чуа, Л.О. Машинный анализ электронных схем. алгоритмы и
вычислительные методы: пер. с анг. /Л.О. Чуа, Лин Пен-Мин, -М.: Энергия, 1980. -
640 с.
6.	Андреев, Георгий Павлович. Сборник задач и упражнений по теоретическим
основам электротехники: учеб, пособие для вузов /Г.П.Андреев, С.Н.Андреев,
И.И.Баранов, Б.А.Болдов; под рсд. П А.Ионкина. -М.: Энергоиздат, 1982. -768 с
7.	Бессонов, Лев Алексеевич. Сборник задач и упражнений по теоретическим
основам электротехники: учеб, пособие. / Л.А.Бессонов, ИГ.Демидова, М.Е.Заруди,
В.П.Каменская; под ред. Л.А Бессонова. -2-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш шк., 1980.
-472 с.
8.	Голубев, Александр Николаевич. Теория линейных и нелинейных цепей:
курс лекций /А.Н.Голубев; Иван гос. энерг ун-т. -Иваново, 2003. -327 с.
- 194 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................... 3
1	ТОПОЛОГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ И ОСНОВНЫЕ
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ............................................... 5
1.1.	Топологические понятия схемы электрической цепи................ 5
1.2.	Матрица инциденций (соединений). .............................. 7
1.3.	Матрица контуров.............................................   9
1.4.	Матрица сечений............................................... 11
1.5.	Основные соотношения между токами и напряжениями ветвей....... 15
2	. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА...................................... 18
2.1.	Общие сведения..............................................   18
2.2	Начальные условия. Законы коммутации.........................   21
2.3.	Способы составления характеристического уравнения............. 29
2.4.	Корни характеристического уравнения и характер переходного процесса.
Постоянная времени................................................ 36
2.5.	Общая методика расчета переходных процессов классическим
методом........................................................... 41
2	.6.	Примеры расчета переходных процессов классическим методом... 41
2.6.1.	Цепи с одним накопителем энергии при источниках постоянных
напряжения и тока.............................................. 41
2.6.2.	Цепи с одним накопителем энергии при источниках синусоидальных
напряжений и токов............................................. 49
2.6.3.	Цепи с индуктивным и емкостным элементом................. 56
3	ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА......................................... 66
3.1.	Общие сведения................................................ 66
3.2.	Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме.	69
3.3.	Законы Кирхгофа в операторной форме........................... 70
3.4.	Переход от изображений к оригиналам........................... 72
3.5.	Предельные соотношения....................................     76
3.6.	Последовательность расчета переходных процессов операторным
методом..........................................................  76
3.7.	Примеры расчета переходных процессов операторным методом........	77
4	. МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ...................................... 93
4.1.	Общие сведения................................................ 93
4.2.	Составление уравнений переменных состояния для простейших RLC-
схем.............................................................. 97
4.3.	Составление уравнений переменных состояния доя сложных RLCM-
схем............................................................ 112
4.4.	Решение уравнений переменных состояния........................ 150
5	. ЗАДАНИЕ....................................................     159
Приложение........................................................... 167
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК............................................. 194
- 195-
Голубев Александр Николаевич
Мартынов Владимир Александрович
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ:
— Теория
—	Задачи с решениями
—	Задание к расчетно-графической работе
Учебное пособие
Редактор Н.С. Работаева
Лицензия ИД № 05285 от 4 июля 2001 г.
Подписано в печать 18.04.08.	Формат 60x84 1/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 11,39 Уч.-изд. л. 12,4. Тираж 400 экз.
Заказ 141.
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет
имени В.И-Ленина»
153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 34.
Типография «ПресСто»
153025, г. Иваново, ул. Дзержинского,39.
I
6 7 (Op