/
Similar
Text
ТЕОРИЯ
ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
В УПРАЖНЕНИЯХ
И ЗАДАЧАХ
М. Р. ШЕБЕС
ТЕОРИЯ
ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
В УПРАЖНЕНИЯХ
И ЗАДАЧАХ
Издание второе,
переработанное и дополненное
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов электротехнических
и радиотехнических специальностей
вузов
КЬК- I ис.гси
ТОЭ ОТЦ ТЛЭЦ Электротехника
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва —1973
6П2.1
ШЗО
УДК 6 21.3
Шебес М. Р.
ШЗО Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах.
Учебное пособие для электротехнич. и радиотехнич. специальностей
вузов. М., «Высшая школа», 1973.
656 с. с илл.
Книга состоит из 18 глав. В каждой главе даются краткий теоре-
тический материал и важнейшие расчетные формулы, типовые задачи
с подробными решениями и пояснениями, к остальным задачам даны
ответы; часть задач содержит методические указания.
Даны примеры применения основных методов расчета электриче-
ских цепей как в установившемся, так и в переходном режимах.
Во второе издание внесены изменения: расширен материал по
двухполюсникам, четырехполюсникам, электрическим фильтрам, цепям
с распределенными параметрами, основам синтеза двухполюсников;
даны новые главы по корректирующим цепям и элементам синтеза
четырехполюсников и др.
0338—495 .
001(01)—73127 73
Рецензент — зав. кафедрой ТОЭ Московского института
радиотехники, электроники и автоматики, проф., докт. техн, наук
Бессонов Л. А.
(g) Издательство «Высшая школа» 1973.
Глава первая
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Элементы электрической цепи. Пассивный линейный элемент—
электрическое сопротивление (рис. 1.1). Ток I и напряжение Uab
электрического сопротивления связаны законом Ома
аЬ
где г — сопротивление.
Величина, обратная
димость
сопротивлению, есть электрическая прово-
(1-2)
Фа
Рис. 1.1
—0g
il О
----06
Рис. 1.2
Рис. 1.3
Активные линейные элементы—источники электрической энергии.
Источник напряжения (идеальный). Напряжение UаЬ источника
напряжения не зависит от величины его тока I и характеризуется
его электродвижущей силой (э.д.с.) Е (обозначения положительных
направлений показаны на рис. 1.2):
Uab = Е. (1.3)
Внутреннее сопротивление источника напряжения равно нулю.
Источник тока (идеальный). Ток J источника тока (рис. 1.3) не
зависит от величины приложенного к нему напряжения (внутренняя
проводимость утечки источника тока равна нулю, сопротивление
источника тока бесконечно велико).
Источник э.д.с. (с внутренним сопротивлением), или генератор
(рис. 1.4, а), можно изобразить двояко: 1) в виде генератора напря-
жения—последовательной схемы, содержащей внутреннее (или вход-
ное) сопротивление генератора гг, и источник напряжения с э.д.с.
генератора Ег, численно равней напряжению генератора UаЬ в ре-
4
жиме холостого хода
в виде генератора тока —
параллельной схемы, содержащей сопротивление генератора гГ и источ-
ник тока J, численно равный току короткого замыкания генератора
(рис. 1.4, в).
Переход от схемы гене-
ратора напряжения к схе-
ме генератора тока и об-
ратно осуществляется по
формулам:
Г _ 1
(1.4)
0СГ
Uab
•&b
2. Закон Ома. Этот закон
применяется для ветви или для
одноконтурной замкнутой цепи
(не имеющей разветвлений).
При написании закона Ома
следует прежде всего выбрать
произвольно некоторое положи-
тельное направление тока.
Для ветви, состоящей толь-
ко из сопротивлений и не содер-
жащей э.д.с. (например, для
ветви тп рис. 1.5), при поло-
жительном направлении тока от
точки т к точке п
е
Рис. 1.5
/ Тт — _____Umn
rmn rmn
(1.5)
где и <р„ — потенциалы точек т и га;
Umn — разность потенциалов или напряжение между точка-
ми т и п\
гтп — г1')г г5 — полное сопротивление ветви между точками тип.
Для ветви, содержащей э.д.с. и сопротивления (например, для
ветви acb рис. 1.5),
_ — <Р» + Е _ Uab + ^E
rab И rab
где Uab—4fa—— напряжение на концах ветви acb, отсчитываемое
по выбранному положительному направлению
тока;
SE — алгебраическая сумма э.д.с., находящихся в этой
ветви;
гаь — арифметическая сумма ее сопротивлений.
В ветви acb (см. рис. 1.5) Е Е = Ег— Е2, Zrab = гх + г2 + ге.
формулу (1.6) называют обобщенным законом Ома.
5
Для замкнутой одноконтурной цепи
Ев
(1.7)
где Sr — арифметическая сумма всех внешних и внутренних сопро-
тивлений цепи; S Е — алгебраическая сумма ее электро-
движущих сил.
Со знаком плюс берут те э.д.с., направления которых совпадают с
выбранным положительным направлением тока, и со знаком минус—
э.д.с. с противоположными направлениями. Примеры приведены в
задачах 1.6, и 1.8.
3. Законы Кирхгофа. Для написания законов Кирхгофа необхо-
димо задаться, положительными направлениями токов каждой ветви.
Первый закон ч Кирхгофа — алгебраическая сумма всех токов,
сходящихся в любом узле, равна нулю:
(1-8)
Токи, направленные к узлу, условно принимаются положитель-
ными, а направленные от него — отрицательными (или наоборот).
Второй закон Кирхгофа — алгебраическая сумма э.д.с. замкнуто-
го контура равна алгебраической сумме падений напряжений в нем:
Xi ~~ X rk Ifr
k=\ &=1.
(1.9)
Направление обхода контура выбирается произвольно. При за-
писи левой части равенства э.д.с., направления которых совпадают
с выбранным направлением обхода (независимо от направления^тока,
протекающего через них), принимаются положительными,^ э.д.с.,
направленные против выбранного направления обхода,—отрицатель-
ными. При записи правой части равенства со знаком плюс берутся
падения напряжения в тех ветвях, в которых^выбранное положи-
тельное направление тока совпадает с направлением обхода (неза-
висимо от направления э.д.с. в этих* ветвях), и со знаком минус—
падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное нап-
равление тока противоположно направлению обхода.
Пример приведен в задаче 1.21.
4. Методы расчета сложных цепей постоянного, тока (цепь сос-
тоит из NB ветвей, имеет /Vy узлов и Nr источников тока). Приво-
димые далее формулы пригодны для расчета цепей, содержащих и
источники напряжения, и источники тока. Они справедливы и для
тех частных случаев, когда в цепи имеются либо только источники
напряжения, либо только источники токнг
Применение законов Кирхгофа. Устанавливается
число неизвестных токов, которое равно NB— NT. Для каждой
ветви задаются положительным направлением тока. -
8
Число У взаимонезависимых уравнений, составляемых по перво-
му закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы. Число взаимо-
независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,
K = NB — Ny+1 — NT. (1.10)
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует
выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.
Общее число уравнений, составляемых по первому и второму зако-
нам Кирхгофа, равно числу (Л/в— NT) неизвестных токов.
Примеры приведены в задачах 1.10, 1.14, 1.21 и 1.34.
Метод контурных токов (Максвелла) позволяет умень-
шить количество уравнений системы до числа К, определяемого
формулой (1.10). Метод основывается на том свойстве, что ток в
любой ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической
суммы независимых контурных токов, протекающих по этой ветви. При
пользовании этим методом выбирают и обозначают независимые кон-
турные токи (по любой ветви цепи должен проходить хотя бы один
выбранный контурный ток). Из теории известно, что общее число
независимых контурных токов равно К=AfB—Afy+1 —^т. Рекомендует-
ся выбирать NT независимых контурных токов так, чтобы каждый из
них проходил через один, источник тока (эти контурные токи мож-
но считать совпадающими с соответствующими токами источников
тока Л, ••• > Jм > и они обычно являются заданными условиями
задачи), а оставшиеся К = Л/в — Ny + 1 — NT контурных токов вы-
бирать проходящими по ветвям, не содержащим источников тока.
Для определения последних контурных токов составляют по второ-
му закону Кирхгофа для этих контуров Д уравнений в вйде:
Г11 + г12 ^2 + ••• + + Г1г1 Л + ••• + ririVT J= £1V
f21 + f22^2 + ••• + ^2/? + ^2г1Л + ••• + f2rtfT = £22', (1Ц\
+ rk2^2 + ••• + rkk^k + + — + rkrN JN ==
т т
где rnn — собственное сопротивление контура n (сумма сопротивле-
ний всех ветвей, входящих в контур п);
гп1,— общее сопротивление контуров п и Z, причем гп1 = гм: если
направления контурных токов в общей ветви для конту-
ров п и / совпадают, то гп1 положительно (гл/>0), в про-
тивном случае гп1 отрицательно (rwZ<0);
Епп — алгебраическая сумма э.д.с., включенных в ветви, образую-
щие^ контур /г;
гпг1 — общее сопротивление контура п с контуром, содержащим
источник тока Jt.
Примеры приведены в задачах 1.36, 1.40 и 1.48.
Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить
количество уравнений системы до числа У,« равного количеству узлов
без одного*
У = Ny— i. (1.12а)
7
Сущность метода заключается в том, что вначале по формулам
(1.13) определяются потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей,
соединяющих узлы, определяются с помощью закона Ома по форму-
ле (1.6).
При составлении уравнений по методу узловых потенциалов вна-
чале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его назы-
вают базисным). Для определения потенциалов оставшихся (У —
=~Ny—1) узлов составляется следующая система уравнений:
?igu —'?г£12 — ••• ?.s£is ••• ^п§1п = 2 Eg +
~ ?1 £21 ?2Й22 ••• ?j^2j ••• ?П g%n = 2 Eg "Ь 2^
2 2
— <Р1 gsl — ?2 gS2 — gss — — ?„ gsn = S Eg + 5 J',
s s
(?2§n^ ••• ^sSnS ••• ^tlSnn 2 Eg ~b 2*^.
n n
Здесь gss — сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу 5;
g— сумма проводимостей ветвей, соединяющих узел s с
узлом q\
^Eg— алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей, при*
s мыкающих к узлу s, на их проводимости; при этом со
знаком плюс берутся те из - произведений Eg, в ветвях
которых э.д.с. действуют в направлении узла $, и со
знаком минус—в направлении от узла s;
2 J — алгебраическая сумма источников тока, присоединенных
s к узлу s; при этом со знаком плюс берутся те J, кото-
рые направлены к узлу s, а со знаком минус — в нап-
равлении от узла s.
Методом узловых потенциалов рекомендуется пользоваться в тех
случаях, когда при этом методе число уравнений будет меньше
числа уравнений, составленных по методу контурных токов.
Если в схеме некоторые узлы соединяются источниками напряже-
ния (их сопротивления равны нулю), то число У уравнений, состав-
ляемых по методу узловых потенциалов, уменьшается:
У = Ny — Nn— 1, (1.126)
где УУН — число ветвей, содержащих только источники напряжения.
Примеры приведены в задачах 1.41, 1.42, 1.44, 1.47 и 1.48.
Метод двух узлов. Для схем, имеющих два узла (для
определенности узлы а и Ь), узловое напряжение Uab определяется
формулой
2^rt£rt 4" 2
Uab = -^—--------~---> (1.14)
2 gm
8
где 2 Еп gn — алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей
п (э.д.с. считаются положительными, если они направ-
лены к узлу а, и отрицательными, если направлены
от узлз а к узлу Ь) на проводимости этих ветвей;
Jn — токи источников тока (положительны, если они на-
прзвлены к узлу а, и отрицательны, если нзпрзвлены
от узлз а к узлу Ь)\
S Sm — сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы
т а и Ь.
Пример приведен к зздзче 1.68.
Метод изложения. Если в электрической цепи зздзнными
величинзми являются э.д.с. источников напряжения и токи источ-
ников токз, то рзсчет токов по методу изложения состоит в
следующем. Ток в любой ветви может быть рассчитан кзк
алгебраическая суммз токов, вызывземых в ней э.д.с. кзждого
источники нзпряжения в отдельности и током, проходящим
по этой же ветви от действия кзждого источникз токз. При
этом нздо иметь в виду, что когдз ведется рзсчет токов, выз-
ванных кзким-либо одним генератором, то остальные источники
нзпряжения в схеме ззменяются короткоззмкнутыми учзсткзми
(внутреннее сопротивление источников нзпряжения рзвно нулю), з
ветви с источниками тока остальных генерзторов отключзются
(внутреннее сопротивление источников токз бесконечно). В то же
время сопротивления всех генерзторов схемы сохраняются.
Примеры приведены в задачах 1.49., 1.51 и 1.52.
Методы преобразования. Во всех случаях преобразова-
ния замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна
привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не
подвергшихся преобразованию.
1. Замена последовательных сопротивлений одним эквивалент-
ным. Сопротивления последовательны, если они обтекаются одним
и тем же током (например, сопротивления г2 и г9 соединены по-
следовательно—см. рис. 1.5; также последовательны сопротивления
г7 и г8).
Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из п последователь-
но соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений:
п
&=1
При последовательном соединении п сопротивлений напряжения
на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям:
: U2 : .. : Un = г, : г2 : ... : гп.
В частном случае двух последовательно соединенных сопротив-
лений!
9
где U — общее напряжение, действующее на участке цепи, содер-
жащем два сопротивления гг и г2 (см. рис. 1.5). '
2. Замена параллельных сопротивлений одним эквивалентным.
Сопротивления параллельны, если все они присоединены к одной
паре узлов (например, сопротивления г45 = г4 + г5 и г10; см. рис. 1.5).
Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из п параллельно
соединенных сопротивлений, определяется из формулы
п
(1.15)
В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений
г\ и г2 эквивалентное сопротивление
= ' (1.16)
Г1 + Г2
При параллельном соединении п сопротивлений токи в них рас-
пределяются обратно пропорционально их сопротивлениям или пря-
мо пропорционально их проводимостям:
4 : 4 : - = 4 = — : — = : ••• : gn. (1-17)
Н гп
Ток Is в каждой из них вычисляется через ток 1 в неразветвлен-
ной части цепи:
/s = /—. (1.18)
fe=I
В частном случае двух параллельных ветвей (рис. 1.6, а):
(1-19)
3. Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквива-
лентным. Смешанное соединениеэто сочетание последовательного
и параллельного соединений сопротивлений. Например, сопротивле-
Рис. 1.6
10
ния rv г2 и r3 (см. рис. 1.6, а) находятся в смешанном соединении.
Их эквивалентное сопротивление
г3 = г х +
4. Формулы преобразо-
вания треугольника сопро-
тивлений' (рис. 1.7, а) в экви-
валентную звезду сопротив-
лений (рис. 1.7, б) и наобо-
рот имеют вид:
(1.20)
Рис. 1.7
S/1 §2 . гг _____________ §2 §3
jLz о
gl 4- g2 + ёз gi + g2 + ёз
ёз gi
gl 4“ 4“ ёз
(1.21)
(1.22)
где g — проводимость соответствующей ветви.
Формулы (1.22) можно записать через сопротивления:
Пример приведен в задаче 1.54.
Метод эквивалентного генератора (или метод актив-
ного двухполюсника или метод холостого хода и короткого замыка-
ния). Применение метода целесообразно для определения тока в
какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Имеется два
варианта метода: 1) метод эквивалентного напряжения (ЭГН) и
2) метод эквивалентного генератора тока (ЭГТ).
V 1) Метод ЭГН. Для нахождения тока / в произвольной ветви ab,
сопротивление которой г (рис. 1.8, а; буква А означает активный
двухполюсник), надо эту ветвь разомкнуть (рис. 1.8, б), а часть цепи,
подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным генератором
напряжения с э.д.с. Ет и внутренним сопротивлением гг (рис. 1.8, в).
Э.д.с. Ег этого генератора равняется напряжению на зажимах
разомкнутой ветви (напряжение холостого хода):
Ег — U == (<?а с?ь)х.х*
Расчет схемы в режиме холостого хода (см. рис. 1.8,6) дЛя
определения Ег проводится любым известным способом.
< ' Внутреннее сопротивление гг эквивалентного генератора напряже-
ния равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно
11
зажимов а й b исходной схемы, из которой исключены все источ-
ники (источники напряжения замены короткозамкнутыми участками,
а ветви с источниками тока отключены, рис. 1.8, а; буква П указы-
вает на пассивный характер цепи), при разомкнутой ветви ab. Со-
противление гг может быть вычислено непосредственно по схеме
рис. 1.8, а.
Рис. 1.8
Ток в искомой ветви схемы (рис. 1.8, Э), имеющей сопротивле-
ние г, определяется по закону Ома [см. формулу (1.7)]:
и=Е*........... (1.24)
Г + Гг г + ''г
2) Метод ЭГТ. Для расчета тока по методу ЭГТ в ветви ab, со-
противление которой г, надо часть схемы относительно зажимов а
и b (при разомкнутой ветви ab) заменить эквивалентным генерато-
ром тока, ток которого J, а сопротивление гг (рис. 1.8, а).
Для нахождения тока J надо зажимы а и & закоротить и любым
способом рассчитать ток короткого замыкания /к 3, протекающий по
закороченному участку (рис. 1.8, ж). При этом 7 =/к>3. Сопротив-
ление гг можно найти, как и при расчете по методу ЭГН
(см. рис. 1.8, г). Это же сопротивление может быть рассчитано, как
это видно из схемы замещения заданной схемы вх режиме короткого
замыкания (рис. 1.8, з), по формуле
г
Ет
^К.З
(1.25)
12
Ток в искомой ветви г (рис. 1.8, и)
Примеры приведены в задачах 1.57, 1.58, 1.59, 1.63, 1.64 и 1.65.
Метод замены нескольких параллельных гене-
раторов напряжения одним эквивалентным. Если
имеется несколько генераторов напряжения с э.д.с. Е{1 Е2,Еп и
внутренними сопротивлениями г2> • ••, работающих параллельно
на общее сопротивление нагрузки г (рис. 1.9, а), то они могут быть
Рис. 1.9
заменены одним эквивалентным генератором напряжения, э.д.с. ко-
торого Е9> а внутреннее сопротивление г9 (рис. 1.9, б). При этом
Ток в сопротивлении г
' = (1.28)
г 1 • э
Ток в каждой из ветвей
= , (1.29)
где U = Uab = 1г.
Пример приведен в задаче 1.68.
Л^етод замены параллельно соединенных генера-
торов тока одним эквивалентным. Если несколько гене-
раторов* тока с токами Jv J2, и внутренними -проводимостями
8i> §2, ... , gn соединены параллельно (рис. 1.10, а), то они могут быть
заменены одним эквивалентным генератором тока (рис. 1.10,0, ток
13
которого J равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя про-
водимость g равна сумме внутренних проводимостей отдельных ге-
нераторов:
Рис. 1.10
п
J — S
*=1
п
g = S gk-
(1.30)
(1.31)
5. Принцип компенсации. Любое сопротивление в электрической
цепи может быть без изменения распределения токов в ее ветвях
заменено э.д.с., численно равной падению напряжения в заменяемом
сопротивлении и направленной навстречу току,
6. . Входные и взаимные сопротивления и проводимости. Входное
сопротивление цепи относительно ветви k определяется как отноше-
ние э.д.с. Ek, действующей в этой ветви, к току lk в этой же вет-
ви при э.д.с., в остальных ветвях равных нулю:
= (1-32)
Л?
Входная проводимость ветви k есть величина, обратная входно-
му сопротивлению этой ветви:
• (1.33)
Входная проводимость ветви может быть рассчитана по прира-
щению тока входной ветви Д/л, вызванному приращением э.д.с. ДЕЛ
этой ветви:
Рис. 1.11
(1.34)
Пример. Для схемы рис. 1,11 входные сопро-
тивления цепи относительно ветвей 7, 2 и 3 соот-
ветственно равны:
D D
Г11 — - • • r22 — , J r33 e
+ r3 Г3”Ь Й
D
¥
Г1 + r2 ’ где D — + r2r3 + r^.
14
Взаимная проводимость ветвей k и I — отношение тока lk в вет-
ви с номером k к вызывающей его э.д.с. Et в ветви I (при отсут-
ствии других источников энергии):
(1-35)
Если ток Ik создается единичной э.д.с. Et= 1 в, то взаимная про-
водимость gkt численно равна току Ik.
Если э.д.с. некоторых ветвей цепи не равны нулю, взаимная
проводимость ветвей k и I может быть рассчитана по изменению
токаД Ik ветви k, вызванному изменением э.д.с. Д£, ветви /, по фор-
муле - '
<136>
Пример приведен в задаче 1.74.
Взаимное сопротивление ветвей k и I есть отношение напряже-
ния Uk на ветви k к величине создающего его тока Jt (предпола-
гается, что в ветви / включен источник тока Jz, а все другие
^источники энергии в схеме отсутствуют):
(137)
•ч
Пример приведен в задаче 1.74.
7. Принцип взаимности. В линейной электрической цепи, состав-
ленной из сопротивлений, источников напряжения и источников то-
ка, соответственные взаимные проводимости glk = gkl равны. Из
принципа взаимности следует: если э.д.с. Е, находящаяся в ветви
ab сколь угодно сложной цепи, вызывает ток / в другой ветви cd
этой же цепи, то при переносе этой э.д.с. в ветвь cd она вызовет
в ветви ab такой же ток /.
8. Линейные соотношения. При изменении параметра одного из
элементов линейной электрической цепи (одного сопротивления или
одной э.д.с., Или тока одного из источников тока) связь между лю-
быми двумя напряжениями Ut и t7z, любыми двумя токами /z и Ik,
йежду любым током Ik и произвольным напряжением Ut является
линейной с постоянными коэффициентами at, bh ab ... .
Например,
Ut = + bi IL=ai + bt lk-9 Ik = ak + bk Ut и т. д. (1.38)
Пример приведен в задаче 1.76.
9. Баланс мощностей. Для любой замкнутой электрической цепи .
сумма мощностей Ри, развиваемых источниками электрической энер-
гии, равна сумме мощностей Рп, расходуемых в приемниках энергии:
или £ (Ек 1к + UkJk) = S l2krk, (1.39)
15
где 2 Eklk — алгебраическая сумма; здесь положительны те из сла-
гаемых, для которых направления действия э.д.с. Ek
и соответствующего тока Ik совпадают, в противном
случае слагаемое отрицательно;
2 (7к1 k — алгебраическая сумма; здесь положительны те из сла-
гаемых, для которых напряжение на источнике тока
Uk (оно определяется расчетом цепи внешней по от-
ношению к зажимам источника тока) и его ток Jk сов-
падают по направлению (как, например, на рис. 1.3),
в противном случае слагаемое отрицательно;
2 l\rk— арифметическая сумма; здесь должны быть учтены
как внешние сопротивления, так и сопротивления са-
мих источников энергии.
Примеры приведены в задачах 1.21, 1.32, 1.34 и 1.40.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
/
А. Расчет эквивалентных сопротивлений
1.1. Для цепи рис. 1.12 найти эквивалентные сопротивления между
зажимами а и Ь, с и d, d й если = 6 ом, г2 — 5 ом, г3 = 15 ом,
г^ = 30 ом и г5 = 6 ом.
Решение. Расчет сопротивле-
ния гаЬ. Эквивалентное сопротивле-
ние соединенных параллельно сопро-
тивлений г4 и г5 найдем по форму-
ле (1.16):
30 - 6
30 4-6
5 ом.
Г45 ~
>4 +'б
Рис. 1.12 Оно соединено последовательно
с г2. Их общее сопротивление г' =
= г2 +'г45 = 5 + 5 = 10 ом.
Сопротивление цепи состоит из сопротивления i\, последователь-
но с которым соединены два параллельных сопротивления г' и г3:
'аЬ = Г1 +
г' Г3
г' 4-Гд
10 - 15
10 4-15
= 12 ом.
= 6 +
Расчет сопротивления rcd. Сопротивления г4 и гб теперь соеди-
нены параллельно друг другу; сопротивление г3 к ним включено
последовательно:
г" = г, Н---= 15 -ь 5 = 20 ом.
3 + гъ
Сопротивление rcd состоит из двух параллельно соединенных
сопротивлений г? и г" и равно
Г cd
5 • 20
5 + 20
ОМ.
16
Расчет сопротивления rdf. Эквивалентное сопротивление цепи
между точками d и f состоит из трех параллельно соединенных
сопротивлений r5, г4 и г2 + гз и может быть определено из фор-
мулы (1.15):
_L = -L + -L + —!— = J_ + JL + _r = _L
; rdf rB r4 r2 + r3 6 30 20 4
’.откуда rdf = 4 ом. '
1.2. Определить эквивалентное сопротивление цепи между точка-
ми а н b при разомкнутом и замкнутом ключе К (рис. 1.13, а).
Даны: гх = г2 = г3 = г4 = г5 = гв = г, = 10 ом.
Решение. При разомкнутом ключе заданная схема может быть
изображена согласно рис. 1.13,6.
Рис. 1.13
Искомое сопротивление
?ab
25 10 1О .
------ = 12,1 ОМ.
35
При замкнутом ключе заданная схема может иметь также вид,
изображенный на рис. 1.13, в.
Сопротивление цепи г'аЬ равно сумме двух сопротивлений:
и г", определяемого из формулы
откуда г” = 3,33 ом.
Таким образом,
г'^ = г' + г" = 5 + 3,33 = 8,33 ом.
17
1.3. Определить сопротивление каждой из цепей (рис. 1.14, а—г)
между зажимами 1-Г при холостом ходе (точки 2 и 2' разомкну-
ты) и при коротком замыкании (точки 2 и 2' закорочены). Сопро-
тивления в омах даны на схеме
Рйс. 1.14
1.4. Найти сопротивление между зажимами а и Ь для схемы
рис. 1.15, а. Значения сопротивлений в омах даны на схеме.
перейти к более простым
Решение. От данной схемы можно
схемам, изображенным на рис. 1.15, б и в.
Искомое сопротивление
300 • 450 \
750 7 ...
---------= 144 ом.
300 < 450
750
Г ab
Б. Законы Ома и Кирхгофа. Баланс мощностей
1.5. Источник с э.д.с. Е= 100 а, внутренним сопротивлением
r0 = 1 ом замкнут на внешнее сопротивление г, которое меняется
от нуля до бесконечности (рис. 1.16, а). Определить в функции
18
Итого сопротивления: ток 7; напряжение на зажимах источника 77;
^мощность, отдаваемую источником во внешнюю цепь, Ртеш> мощ-
ность, затрачиваемую в самом источнике, Рвн; общую мощность Робщ;
ж.п.д. V При каком вне-
шнем сопротивлении мо-
щность Рвнеш будет макси-
мальной? Чему оно равно?
Построить кривые: I —
й= Fj (г), U — Fг(г), РВнеш=
I Написать уравнения и
^построить кривые зависи-
мостей U, РВНеш» ^вн, ^обш
р у в функции тока /-.
100
Er ‘ 100г
Го
E2 r
внеш
10 000г
юооо
м •
/ . - ч л >
Рис. 1.16
£2 _ 10 000 .
г + 'о г 4- 1 ’
F внеш
^общ
- /V __
вн 1 г о ;
Определим г, при котором Рвнеш будет максимально. Для этого
вычислим производную от .Рвнеш по г и > приравняем ее нулю:
< ^внеш (г 4“ Го)2 — 2 (г 4’ гв) г Q -
dr ( (г+Го)3 —
";‘ Взяв вторую производную, можем убедиться, что она отрицатель-
М- Это соответствует условию максимума. -
19
Отсюда найдем, что г = rQ, т. е. при внешнем сопротивлении,
равном внутреннему сопротивлению, мощность, поступающая во
внешнюю цепь, максимальна. При этом по уравнению для у к.п.д.
равен 0,5.
Величина максимальной мощности, поступающей во внешнюю
цепь при г = г0,
Е2
внеш шах ~ ~ ~ 2500 6171.
4г0
По написанным выше уравнениям на рис. 1.16, б построены кривые.
Искомые уравнения зависимостей в функции тока /:
и = Е — /г0; РВнеш = El — Za г0; Рвн = /2г0;
Робщ = £Л ^1=1--^-.
£
По этим уравнениям на рис. 1.1£, в построены кривые.
1 1.6. В неразветвленной цепи рис. 1.17 э.д.с.
-----2------- ^1= 120 в, Е2 = 40в, а сопротивления гг =
у4"* /т\ г = 12 ож, г2 = 8 ом. Определить напряжение ме-
2 Жду точками а и Ь.
Решение. Задавшись положительным на-
П г правлением тока по часовой стрелке, на осно-
Т т вании закона Ома [см. формулу (1.7)] ток
L"----*------ г Е1 — Е2 120 — 40 .
/ = —-----~ - 4 а.
Рис. 1.17 + г2 12-1-8
Так как результат оказался положительным, то истинное направ-
ление тока совпадает с выбранным. Напряжение между точками а
и Ь можно найти по закону Ома [см. формулу (1.6)], примененному
к участку amb:
j U ab. Е% '
г*
откуда
аь ~ ~ + 4 • 8 — 72 в.
Такой же результат можно получить, если применить ту же фор-
мулу к участку brio:.
I = , или f/ft£ = rx7 —Ех = 4 • 12 —120 = —72в,
а следовательно, Uab == 72 в.
Замечание. Если на участке цепи, содержащем э.д.с. и сопротивление,
ток и э.д.с. совпадают по направлению, то напряжение на зажимах участка мень-
ше э.д.с. на величину падения напряжения в сопротивлении участка, а если нап-
20
равление тока противоположно направлению э.д.с., то напряжение на зажимах
участка больше э.д.с. на величину падения напряжения в рассматриваемом
участке.
1.7. Определить показание вольтметра (рис.
которого весьма велико по сравнению с ri и г2-
1.8. Построить график изменения потенци-
ала вдоль цепи, изображенной на рис. 1.19, а,
при замкнутом и разомкнутом ключе, предпо-
лагая в обоих случаях, что точка а заземлена
(<ра = 0). В схеме найти точку, равнопотенциаль-
ную точке а. Определить, потенциал какой то-
чки следует принять равным нулю, чтобы по-
тенциалы всех остальных точек были положи-
тельны (при замкнутом ключе).
1.18), сопротивление
Рис. 1.18
Рис. 1.19
Э.д.с. равны: = 25 в, Е2 — 5 в, Е3 = 20 в, Е4 = 35 в. Внешние
сопротивления:' гг = 8 ом, г2 = 24 ом, г3 = 40 ом к = 4 ом. Внут-
ренние сопротивления источников электрической, энергии: г10 = 2 ом,
Г20 === 6 ом, г80 — 2 ом и г40 = 4 ом.
21
Решение. 1. Ключ замкнут. Задавшись положительным нап-
равлением тока по часовой стрелке, на основании закона Ома [см. фор-
мулу (1.7)1 иайдем
/ =______ Е1 + Ei + -------------------------- = Д_ = 0(5 а
Г1 + Г10 4~ г2 + Г20 4* Г3 4" Г30 + Г4 + Г40 90 -
Пользуясь формулами (1.5) и (1.6), вычислим потенциалы всех
точек, обходя контур тока по часовой tстрелке:
= 0;
Ъ = ?а — г/= —0,5 • 8 = — 4 е;
<?, = ъ + E1 — 'ri0I = -4 4- 25-0,5 • 2 = 20 в;
—rj — 20 — 0,5 • 24 = 8 в;
?/ == + £2 — = 8 + 5 — 0,5 • 6 = 10 в\
4g~4f— r3I = — 0,5 • 40 = — 10 в\
Срл == — Е3 — г30/= — 10 — 20 — 0,5 • 2 = 31 в;
= <рй — г4/ = — 31—0,5-4 = — 33 в;
= 4k + £4 “ rJ = 88 + 88 — О’8 ’ 4 == 9-
На рис. 1.19, б начерчен потенциальный график. По оси абсцисс
отложены величины сопротивлений отдельных участов цепи, а по
оси ординат—значения потенциалов в отдельных точках цепи. '
Найдем точку, равнопотенциальную точке а. Из графика видно,
что искомая точка т находится на участке сопротивления fg, так
как в этой точке прямая падения потенциалов пересекает ось абс-
цисс, потенциал которой равен срт = 0. Обозначая участок сопро-
тивления между точками f и т через rfm и применяя к участку
abcdfm формулу закона Ома (1.6) и учитывая, что уа = срт, найдем
/_ w 4^1 + ^2 nr _ 30
Ч 4- г10 + г2 4- г2о 4- rfm 40 4- rfrtl
откуда rfm = 20 ом, т. е. точка т находится на середине сопротив-
ления г3.
Для нахождения точки, потенциал которой следует принять рав-
ным нулю при условии, чтобы потенциалы всех остальных точек
были положительны, следует обратиться к потенциальному графику,
из которого видно, что такой точкой является точка k.
2. Ключ разомкнут. Тока в цепи нет, поэтому точки a ub рав-
нопотенциальны, т. е. <рЛ = срд = 0. Потенциал точки с превышает
потенциал точки Ь на величину э.д.с. Е{ и ср^ = Ег = 25 в; рассуж-
дая аналогично, найдем:
4d = 4с = 25 4f = 4d + Е2 = 30 в, = = 30 в,
4h = 4g —Ез = 10 4k==4h— 10 ^ = ^ + £4= 104-35 = 45^
22
Используя полученные результаты, на рис. Чк 19, б построен гра-
фик/изменения потенциала при разомкнутом ключе.
1.9. Для схемы рис. 1.20 построить потенциальные графики
Qabcdfghkl при разомкнутом и замкнутом ключе.
1.10. Определить токи в ветвях цепи рис. 1.21, а и показание
вольтметра, включенного между точками с и d, считая, что его со-
противление во много раз превышает сопротивление каждого из
элементов цепи.
Рис.~1.20 Рис. 1.21
Чему равно показание амперметра, включенного между точками
end, сопротивление которого считать равным нулю? Сопротивления
элементов цепи: г3 = 10 ом, г2 = г3 = г5 = 25ом и г4 = 50 ом, а при-
ложенное к ней напряжение U = 120 в. ,
Решение. Расчет показания вольтметра. Из условия вытекает,
что его включение не оказывает влияния на распределение токов в
цепи. Для расчета токов сначала определяем эквивалентное сопротив-
ление всей цепи рис. 1.21, а:
r=lг ±2+/-4)(г3+г5) =1р + 75^50' = 40ojK
1 ''г +г44-г3 +гб 125
В неразветвленной части цепи протекает ток
Токи, протекающие через сопротивления г2 + г4 и г3 + г5, можно
найти различными способами.
1. В параллельных ветвях токи распределяются обратно пропор-
ционально их сопротивлениям [см. формулу (1.19)]:
4 = 4-----------------= 3 — = 1,2а;
+ Ч + г3 + г6 125
/8 = /х-----С1+А_-----= з 21 = 1,8 а.
^2 “Ь/Ч “Ь + ^5 125
23
2. Найдем напряжение на зажимах параллельных ветвей:
Ua„ = Л
о 75 • 50 пп
= 3----------- 90 в.
125
Токи в ветвях с сопротивлениями г2 4- г4 и г3 + г5 равны:
/2 = -^. = ^- = = 1,2а; /3=-^- = 21= 1,8 а
г 2 + U 75 г3 + ''б 50
Напряжение на зажимах параллельных ветвей может быть найде-
но как разность между приложенным напряжением и падением на-
пряжения на сопротивлении : Uab = U —
Найдем показание вольтметра, равное напряжению между точка-
ми end:
Uy — Ucd — — +Лгз ~~ —Ь2 • 25+1,8 • 25 —15в.
Наконец, вычислим ток, проходящий через амперметр; он равен
току короткого замыкания I'cd (рис. 1.21, б). Для его нахождения
вычислим токи:
Искомый ток, проходящий через амперметр,
1.11. Для измерения тока применены амперметры, пределы изме-
рений которых равны 5 и 2,5 а, и шунт, сопротивление которого не-
известно. Первый амперметр, включенный с шунтом в некоторую
цепь, показал 3,6 а, второй — с тем же
шунтом показал в той же цепи ток
2 а. Сопротивления амперметров: =
=0,002 ом и г2 = 0,004 ом. Чему равен
ток в цепи?
1.12. Для цепей рис. 1.22, ап б опре-
делить отношение напряжения на выхо-
де U2 (выходные зажимы цепи разомк-
нуты) к напряжению на входе цепи/7г.
Сопротивления отдельных ветвэй цепи
в омах указаны на схеме.
1.13. Каким сопротивлением в схе-
ме рис. 1.22, а надо нагрузить выходные
зажимы (зашунтировать сопротивление
30 ом), чтобы получить отношение
U2 : U± = 1 : 24?
Рис. 1.22
24
1.14. В схеме рис. 1.23 найти сопротивление гх, если /1 = 2,6а,
/3 = 0,6 а, t\ = 0,5 ом, г2 = 1,4 ом, г3 = 3 ом, г4 = 2,5 ом. Найти
э. д. с. батареи Е, если ее внутреннее сопротивление г0 = 0,1о;и.
Решение. На основании первого закона Кирхгофа
/2 ==/х =/8 = 2,6 — 0,6 = 2а.
По закону Ома, примененному к участ-
ку цепи, содержащему сопротивление г2»
^ab — ^2^2 — 2 • 1,4 — 2,8 в.
Применяя закон Ома к участку цепи
ab, содержащему э. д. с. Е и сопротивле-
ния гх и г0, найдем искомую э. д. с.:
Е = Uab + (гх + г0) /х = 2,8 + 0,6 • 2,6 = 4,36в.
Теперь найдем напряжение на параллельных ветвях с сопротив-
лениями г4 и гх и точки в них:
U ас ~ Uab гз^з — 2,8 — 0,6 • 3 = 1 в;
1Х = /3 — /4 = 0,6 — 0,4 = 0,2 а.
Искомое сопротивление
1.15. В схеме моста (рис. 1.24) известны сопротивления гх ==
= 1300ом, г2 =800 ом, г3 =400ом. Сопротивление гальванометра гг =
= 600ож. Через сопротивление t\ протекает ток = 1 ма. К мосту
приложено напряжение U = 2,5 в. Найти сопротивление г4.7
Рис. 1.24 Рис. 1.25 Рис. 1.26
1.16. В цепи рис. 1.25 найти Ег и гх, если Е2 = 3в, гг = г2 =
= 1 ком, г3 = 4 ком, г4 = 2 ком, r5 = 1 ком. Амперметр Ах показыва-
ет 4 ма, а Л4 - 3 ма; полярности приборов показаны на схеме, а их
сопротивлениями можно пренебречь.
25
1.17. Однопроводная линия с сопротивлением г0 на единицу дли-
ны, питаемая батареей с э. д. с., равной Е, закорочена на прием-
ном конце (рис. 1.26). На каком месте линия должна иметь утечку
с сопротивлением г, чтобы ток / на приемном конце был максималь-
ным?
1.18. Для определения места повреждения изоляции линии при-
меняется схема, изображенная на рис. 1.27, а; и г2 — магазины
сопротивлений. Правый зажим гальванометра заземлен. Свободные
концы т и п линии соединены между собой накоротко. Подбором
сопротивлений 1\ и г2 добиваются отсутствия тока в гальванометре.
Показать, что если сечения обоих проводов одинаковы, то расстоя-
ние от места повреждения-изоляции до начала линии равно——.
ri ~Ь
У к а з а н и е. Заданная схема может быть заменена схемой рис. 1.27, б
1.19. При проверке постоянной С счетчика оказалось, что при
токе 10 а и напряжении 120 в якорь его в продолжение ЗОсек сде-
лал 37 оборотов. Определить ошибку в показаниях счетчика, если
на счетчике указано, что 1 гвт • ч соответствует 400 оборотам счет-
чика.
Примечание. Постоянной счетчика называется число ватт-часов, прихо-
дящихся на один оборот счетчика.
1.20. Каково должно быть сечение медных проводов линии для
передачи потребителю мощности Р — \&квт при условии, что поте-
ря мощности не привысит р = 5%, если длина линии 1= 180м и
напряжение в конце линии равно [/2 =220в?
1.21. Для схемы рис. 1.28, поль-
зуясь законами Кирхгофа, найти токи
и проверить баланс мощностей, если
э. д. с. генераторов напряжения:
== 15 в, £2 = 70 в, Е3 = 5 в, их вну-
тренние сопротивления: г10 = =
== 1 ом, г30 = 2 ом, сопротивления эле-
ментов в цепи: гх = 5 ом, г2 = 4 ом\
г3 ^8 ом, г4 = 2,5 ом, г5 = 15 ом.
Решение. Всего в схеме пять
Рис. 1.28
26
,ветвей (N3 =; 5 : bfa, adc, ba, be, ca), число узлов AZy = 3(a, b, и c),
генераторов тока нет(^ = 0), число неизвестных токов равно
— JVT = 5. Число независимых уравнений, составляемых по пер-
вому закону Кирхгофа, равно числу узлов минус единица, т. е. двум
— 1 = 3 — 1=2). Число уравнений, составляемых по второму
закону Кирхгофа, согласно (1.10), равно трем (/( = NB—Wy+1 —
’4— = 5 ^3 + 1 —0 = 3). Таким образом, общее число независимых
уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа,
равно числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.
Выберем положительные направления токов и обозначим их
стрелками. Выберем и обозначим стрелками направление обхода
трех независимых контуров: I, II, и III. Составим систему уравне-
ний Кирхгофа:
для узла а
/1-Л+/з + Л = 0; (1)
для узла b
—Л —/3 —Л = °; (2)
для контура I ~
4“ £3 = (Г1 “Ь Go) Л (G Н” Go) ^3» (3)
для контура II
Е3 = — (г3 + r30)l3 + rj* + г5/5: (4)
для контура III
' /?2 = (Г2 + Г2о) Л + G Л’ (5)
Уравнения (1) — (5) после подстановки в них числовых значений
будут иметь* следующий вид:
Л— /2 + ^3Л + /з+/4 = 0;
6Д — 10/з = 20; — 10/3 + 2,5/4+ 15 /5 = 5; 5/2+ 15/5 = 70.
Решая эту систему уравнений, получим:
Л = 5 а\ /2 = 8 а\ Ц = — 6 а; /5 = 2 а.
Отрицательный знак для тока /4 означает, что истинное направ-
ление тока в сопротивлении г4 противоположно принятому. Истин-
ное направление тока в сопротивлении г4 обозначено /' и показано
на схеме штриховой стрелкой.
При проверке баланса мощностей надо иметь в виду, что в тех
Ветвях цепи, где истинное направление тока совпадает с направле-
нием э. д. с., соответствующая э. д. с. является источником энер-
Ши, а в тех участках, где направления э. д. с. и тока противопо-
ложны, э. д. с. — потребитель энергии. Все сопротивления, как
внешние, так и генераторов энергии, независимо от протекающего
Через них тока будут являться потребителями энергии.
27
Баланс мощностей для рассматриваемой схемы [см. формулы (1.39)]
EJi + Е212 — Е313 = /| (г4 + г10) + /2 (г2 + г20) 4-
+ 123(Г3 + Гзо) + /2г4 + РъГ3,
ИЛИ
15 • 5 + 70 • 8 — 5 • 1 == 52 • 6 + 82 • 5 + I2. 10 + 62 • 2,5 + 22. 15;
получено тождество 630 = 630.
1.22. В схеме рис. 1.29 найти все токи.
1.23. Для цепи, изображенной на рис, 1.30, рассчитать токи и
определить показание вольтметра, если Ех = 40 в, Е2 = 5в9 Е3 = 25в9
г1 = 5ом, г2 = г3 = 10 ом. Током, протекающим через вольтметр,
можно пренебречь.
Гг*50М
Рис. 1.29
Рис. 1.30
Рис. 1.31
1.24. Аккумуляторная батарея из 20 последовательно соединен-
ных элементов работает параллельно с генератором на сеть, име-
ющую нагрузку 30 а. Каждый аккумулятор имеет э. д. с. 1,82 в и
.сопротивление 0,001 ом. Э. д. с. генератора 36,4 в и его сопротив-
ление 0,04 ом. Определить нагрузку генератора и батареи (т. е. от-
даваемые ими токи) и напряжение на их зажимах.
Какую э. д. с. должен развивать генератор, чтобы нагрузка рас-
пределилась поровну между генератором и батареей?
1.25. По трехпроводной линии длиной
0,5 км (рис. 1.31) от двух генераторов 1 и
2 питаются две группы ламп 50 вт, 110 в.
В первой группе Л\ = 200 ламп, а во
второй Af2 = 600 ламп. Сечение крайних
проводов _ = 35 мм29 а сечение среднего
(нулевого) провода q3 = 16 мм2. Каждый
генератор имеет внутреннее сопротивление
0,01 ом и развивает э. д. с. 120 в. Опре-
делить токи во всех проводах линии и
каждой группы ламп, сопротивления кото-
рых считать постоянными. Материал проводов линии — медь.
1.26. Напряжения, измеренные электростатическим вольтметром
между узловыми точками схемы и землей равны' t/10 = — 15 в, =
на зажимах
28
t== 52 в, Uslj = 64 в (рис. 1.32). Определить токи в ветвях и отходя-
>дцих проводах при Ег — 80 в, Е3 = 70 в, t\ = 5 ом, г2 — 10ом, г3= 12 ом.
Решение. Вычислим напряжения между точками 1 и 2, 2 и 3,
3 и 1-.
'i t/10-f/20 = f/12 = -15-52 = -67e;
^20 — Ц)0 = ^23 = 52 — 64 = — 12 в;
^30-^0 = ^ = 64-(- 15) = 79 в.
Произвольно выберем по-
ложительные направления то-
ков ветвей и укажем их
стрелками.
Применяя к ветвям закон
Ома, определим:
79 — 70 п 7С
----------- 0,75 а.
12
— 67 + 80
5
Токи в ответвлениях от узловых точек находим по первому за-
кону Кирхгофа:
^4 =/3 А= 1,85 а; /5 = -|- /2 — 3,8 а;
I& = — /2 — /3 = — 1,95 а.
Рис. 1.33
Рис. 1.34
Токи /4 и /6 получились со знаком минус. Это указывает на то,
что через узлы 1 и 3 в схему протекают «истинные» положительные
токи /' и /g, обозначенные на схеме штриховыми стрелками.
1.27. В цепи рис. 1.33 известны э. д. с. Е1 = 120в, Е2 = 40в,
£3 = 70в и сопротивления гг — 20 ом, г2 = 10ол1, г3 = 40ом. Потен-
циалы точек а, Ь, и с относительно земли соответственно равны
(определены посредством вольтметра) Ua0= 160* a, Ub0~ 180 а,
U cQ — 50 а. Определить токи в ветвях ab, Ьс, са ив проводах аа', bb' и
сс', подходящих к точкам а, Ь и с. "
1.28. В цепи рис. 1.34 найти токи и показания вольтметров,
если известно, что Ех = 32 а, Е2 = 64 а, Е3 — 72 а, = 9 ом, г10 =
= 1 ом, г2~5ом, г2о = 1 ом, г3~2ом, г30 = 1 ом, ^ = 2 ом, г5=^
= 1 ом. Сопротивления вольтметра весьма велики по сравнению с
сопротивлениями элементов цепи.
Рис. 1.35
1.29. Для схемы рис. 1.35, а найти токи и проверить баланс
мощностей, если Uab = 12 a, Ucd = 5,6 в, г\ = 4 ом, г2 = 5 ом, г3 =
= 3 ом.
Указание. Данная схема может быть заменена эквивалентной, в которой
между точками а и b, end включены источники напряжения с э. д. с., числен-
ное значение которых Е± ~Uab и E% — Ucd (рис. 1.35, б) Обращаем внимание на
то, что при включении э. д. с. следует соблюдать заданные полярности напряже-
ний.
1.30. В цепи рис. 1.36 найти токи и проверить баланс мощнос-
тей.
Рис. 1.36
1.31. Чему равно показание вольтметра на рис. 1.37, если током
вольтметра можно пренебречь по сравнению с токами в нагрузках?
Определить показания ваттметров и убедиться в том, что их сум-
ма равна сумме мощностей, расходуемых в сопротивлениях гх, г2
и г3. Потерями в катушках ваттметров пренебречь.
30
1.32. К источнику тока 7 = 0,1 а подключены сопротивления
(рис, 1.38): ft = 12 ом, г2 = 10ом, г3= 16ол«, ri = 4QoM, г5 = 60ол.
J Определить напряжение Uab источника тока и все токи. Прове-
рить баланс мощностей.
К Решение. Вначале найдем сопротивление схемы между зажи-
мами а и Ь:
Напряжение источника тока
Uab = rabJ = 20 -0,1 = 26
По закону Ома находим ток,
который проходит через г2:
. _Uab-Jri _ 2-0,1 • 12 _
/9 --------— ----------- --
Г2 10
= 0,08а.
Ток /3, проходящий через г8,
кона Кирхгофа:
Рис. 1.38
найдем из уравнения первого за-
/3 = J — /2 = 0,1 — 0,08 = 0,02 а.
Этот ток распределяется обратно пропорционально сопротивле-
ниям г4 и г5:
Л = /3 -7- = 0,02 = 0,012 а;
г4 + 100
Л = Л — L = 0,008 а.
и О 4 J
Проверка баланса мощностей. Мощность, доставляемая источни-
ком тока,
Ри = Уад7 = 2 • 0,1 =0,2ет
‘ Мощность, расходуемая в нагрузочных сопротивлениях,
.. Ря = Г1 + Цг, + Ijrs 4- + /| г5 =
^ о,1а. 12 + 0,08’ - 10 + 0,02’ • 16 + 0,0122- 40 + 0,008’ • 60 = 0,2 вт,
е. получено тождество
Ри = Рп = 0,2 вт.
31
1.33. Источник тока J = 30 ма (р.ис. 1.39). Чему равны токи в
ветвях, сопротивления которых = 1,8 лож, г2 — 3ком, г3= 1,5 ком,
г4 = 2 ком? Вычислить напряжение на источнике тока.
1.34. Цепь рис. 1.40 содержит генератор тока, имеющий внут-
реннюю проводимость gr — 5 • Ю"5 сим и ток J = 80 ма, и источник
напряжения с э. д. с. Ех = 230а; сопротивления гг=1ком, г2 —
= 2 ком. Определить все токи. Проверить баланс мощностей.
А Л
——ф| —I । -И.1 ।
В
Рис. 1.40
Решение. Выберем положительные направления токов, как это
указано на рис. 1.40, и составим уравнения по законам Кирхгофа.
Цепь содержит четыре ветви (N3 = 4), *два узла А и В (Му = 2),
один генератор тока (NT = 1). Число уравнений, составляемых по
первому закону Кирхгофа, равно Ny— 1 = 1, а по второму закону
Кирхгофа [см. формулу (1.10)]
K = — Nn+ 1— 2VT = 4 — 2+ 1— 1 = 2.
J *
Выберем два независимых контура I и II, не содержащих источ-
ника тока.
Уравнение для узла А
для контура I
для контура II
rt К + г 212 = Е,;
г2/2- —/ = 0.
£г
Подставляя цифровые значения в эти уравнения и решив их,
получим: = 30 ма\ 12~ 100 лш; / = ма.
Для проверки баланса мощностей вначале определим напряже-
ние на источнике тока:
иаЬ=—1^—j-------10 • 10-3 = 200в.
ab gr 5 • IO'6
32
Мощности, доставляемые источником тока и генератором напря-
жения,
Ри = Uab J J- = 200 • 80 • IO"3 + 230 • 30 • 10“3 = 22,9 вт.
Мощности, расходуемые в сопротивлениях,
Р = IU1+ Цг2+Р — = 0,032- 103 + 0,12-2 • 103 +
gr
+ 0,012----!----= 22,9 em,
• 5 • IO-»
т.е. баланс мощностей соблюдается.
1.35. Два источника тока =
= 100 лш и /2 = 50л£а (рис. 1.41)
включены в схему, содержащую со-
противления гг = 20 ом, г 2 = 50 ом,
г3 = 30 ом.
Вычислить все токи и проверить
баланс мощностей.
В. Методы контурных токов
и узловых потенциалов
1.36. Методом контурных токов
найти токи в цепи, схема которой
изображена на рис. 1.42. Даны: Ег =
= 100 в, Е2 = 30 в, Е3 = 10,в, Е4 = 6 в,
гх = 10 ом, г2 = 10 ом, = Ъом, г5 =
== 5 ом,. г6 = 15 ом, г40 = 1 ом.
Решение. Выберем направления
контурных токов, которые обозначим
через 72, ^з-
Составим систему уравнений для
контуров:
Рис. 1.42
Еъ £4 — (Г2 + Г5 + Г40 + Г4) ^2 + (r40 + З3 — Г2 3 1‘»
^3 ^4 = (гб >*40 Г4) З3 + (г40 4~ г4)
После подстановки числовых значений имеем:
60 = 20^ — 10^2;
24 = — 10 Зх + 22 + 7.73;
t — 16-7J2 + 22X.
’О
V Решив эту систему уравнений, найдем контурные токи:
ч Зх ==5 а\ 32 = 4а\ З3 = — 2 а,
ft затем найдем истинные токи во всех ветвях.
^222 33
В ветви, где действует э. д. с. Еъ истинных ток /х имеет нап-
равление контурного тока Зг и равен /х = Зг = 5 а.
В ветви с сопротивлением г5 истинный ток имеет направление
контурного тока J2 и равен /5 = 32 = 4а.
В ветви с сопротивлением гв истинный ток /в имеет направление,
противоположное контурному току J3, и равен /в=—З3 = 2а.
В ветви с сопротивлением г2 истинный ток /2 получится от на-
ложения контурных токов Зх и 32 и будет иметь направление боль-
шего контурного тока Зг:
В ветви с сопротивлением г4 истинный ток /4 получится от на-
ложения контурных токов 32 и З3 и будет иметь направление кон-
турного тока 32.
Ц = 32 + 33 = 4 + (— 2) = 2а.
В ветвщ где действует э. д. с. Е3, истинный ток /3 получится
от наложения контурных токов 31 и З3 и будет иметь направление
тока Зг:
Покажем, как эта же задача может быть, решена с помощью
определителей. Для этого уравнения контурных токов следует запи-
сать в форме (1.11):
^"12 32 + г13 З3 = £Х1;
, r2i Зг + г22 32 + г2з З3 = Е22;
^31 ^1 + ^32 ^2 4“ ^33 3 =' ^33>
где
ги = ri + гг — 20 ом, г12 = г21 = — г 2 = — 10 ом;
Аз = Г31 = 0, г22 = г2 + г5 + г40 4- Г4 = 22 ом;
г2з = гз2 = + г4 = 7 ом, г33 = г6 + г40 4- Г4 = 22 ом;
Еп=Е1—Е2 —Е3 = 60 в; Е22 = Е2— Е4 = 24 в; Е33=— Е3—Е4=—16 в.
Составим определитель Д и вычислим его значение:
=х 20-22-22 4-(—10) • 7-0 + 0 • (—10) • 7 —0 - 22 - 0 —20 • 7 • 7 —
— (— 10) (— 10) 22 = 9680 — 980 — 2200 = 6500.
34
Вычислим значения алгебраических дополнений определителя, рас-
считав его миноры и умножив каждый из них на (— 1)*+/, где k —
номер вычеркиваемой строки, а / — номер вычеркиваемого столбца!;
д ! —это алгебраическое дополнение, получающееся из основного
определителя А путем вычеркивания первой строки и первого столб-
ца, умноженное на (— 1)1+1:
(— 1)а = 22 - 22 — 7- 7 = 435;
Д12 — алгебраическое дополнение, получающееся из основного опре-
делителя Д при вычеркивании первой строки и второго столбца,
умноженное на(— 1)1+2: '
12 —
— 10 7
0 22
(— I)3 = — (— 10 • 22 — 7 • 0) = 220 = Да.
Аналогично найдем:
Д13 = Д31 = — 70; Д2г — 440; Да — Дз2 — —- 140; Д^ — 340.
Искомые контурные токи:
435
6500
Дц
11 ~г
220 16 (- 70)
6500 6500
Таким образом, получили те же результаты, что и ранее.
1.37. Найти все токи и определить потенциалы точек а, b и о
относительно земли 0 (рис. 1.43). Задачу решить методом контур-
ных токов. Даны: Ех = 85 в, Е2 = 84 в, Е3 = 5 в, s Et = 12 в, = 8 ом,
лА = 10 ом, г3= 10 ом, г4— 10 ом, г5= 10 ом, гв = 4ом.
1.38. Для схемы рис. 1.44 вычислить токи. Даны токи и
внутренние проводимости генераторов тока соответственно первого
. И второго: Jx = 50 ма, gx — 10-4 сим, /2 = 60 ма, g2 = 0,5 • 10"3 сим,
Я* 35
э. д. с. генератора напряжения Е3 = 270 в; сопротивления r3 = 1 ком,
г^ — 2 ком, г3 = 7,5 ком, гв = 3 ком.
1.39. Решить задачу 1.34 методом контурных токов.
Рис. 1.44
1.40. Цепь рис. L45 содержит источник тока J = 50Ma, источ-
ник напряжения с э. д. с.
г2 = 4 ком, г3 — 16 ком, г4 —
Рис. 1.45
Е = 60 в^и сопротивления г{ = 5 ком,
2 ком, г5 = 8 ком.
Вычислить все токи методом кон-
турных токов. Проверить баланс
мощностей.
Решение. Схема содержит
шесть ветвей (NB = 6), четыре узла
(Afy = 4), один генератор тока (2VT =
= 1). Число независимых уравнений,
составляемых по методу контурных
токов, равно двум (/( = 6 — 4 + 1 —
— 1=2). Зададимся направлениями
контурных токов Зх, 32, как показа-
но на рис. 1.45. Там же нанесен из-
вестный контурный ток источника
тока J. Составим систему уравнений
для первого и второго контуров:
+ г 2 + г5) Зх + г5Л.+ г г J = Е\
Г5^1 + (^з + Г4~ЬГ5)^2 -Г3^ — 0-
Подставляя цифровые значения и решая эти уравнения, найдем
контурные токи:
31 = ~ 3®ма и <72=40лш.
Искомые токи:
/х = J 4- = 20 мег, /2 = —Зх = 30 ма\ /3 = J —32 = 10 ма\
14 = 32 = 40 мег, /5 = Зх+ 32 = 10 ма.
36
Баланс мощностей
Е /2 + U cd J — 4" G ^3) —
= G + r2 + P3 ra + /2 r4 + 11 r&.
Подставляя числовые значения, получим тождество: 11,2вт —
= 11,2 вт.
1.41. Для схемы рис. 1.46, а, пользуясь методом узловых потен-
циалов, определить все токи. Дано: Еу = 30 в* £2 — 10 в, £3 = 200 в,
Et = 56в, гг = 20 ом, г 2=30 ом, г3 = 6 ом, г4 = 8ом, г& = 15ом, г6~
= 40 ом и г2 = 10 ом.
Рис. 1.46
Решение. Примем потенциал точки 3 равным нулю (?3 = 0).
Тогда на основании (1.13) запишем систему уравнений для опреде-
ления потенциалов точек 1 и 2:
<Pi §11 — Tagiz = 2 Е & О)
1
~?1§21 + <?2§22 = Её' (2)
2
Подсчитаем gn— сумму проводимостей ветвей, присоединенных к
узлу 1.
Аналогично g22— сумма проводимостей ветвей, присоединенных
к узлу 2:
§22 —
1
ri -F ft г5 гз 30 15 30 6
Сумма проводимостей, соединяющих первый и второй узлы,
1 ! 1 1 . 1 П 1
gl2 = §21 = —— + — = Т7- + т = °’1 сим-
t'l “Т" f’J •5 W
37
Подставляя числовые значения в уравнения (1) и (2), получим:
о,25?1-о,1?2 = зо4--5б4- = -б;
□U о
- 0,1Т1+ 0,3?2 = - 30 + 10 - 200 4 = - 34.
30 ои о
Решив последние два уравнения, найдем потенциалы точек 1 и
2:
=—80 а; <р2 =— 140 а.
Наконец, применяя закон Ома для отдельных ветвей, определим
искомые токи:
— Уз — ?2 + ^2 __ HQ -f-10
^2 80
?2 — <рз + ___— И0 + 200
г3 6
?э — ?i ~ -^4 80 — 56
= 5 а;
= 10 а;
= За;
<?1 — <р2 ______ — 80 4- 140
Гб 15
Направления найденных токов указаны на структурной схеме
рис. 1.46, б цепи рис. 1.46, а.
Рекомендуем читателю решить ту же задачу, приняв за нуль
потенциал узловой точки 1.
1.42. Методом узловых потенциалов определить токи во всех
ветвях схемы, изображенной на рис. 1.47, а. Заданы: Е1 = 20в, Е2 =
= 30в, Е3 = 2а, Е4=1,2в, Е5 = 5,6в, г2 = 50ом, г3=10о>и, г4 =
= 20 ом, г5 = 10 ом, rQ — 100 ом, г1 = 50 ом, г8 = 20 ом.
Рис. 1.47
38
Решение. В цепи имеется ветвь с источником напряжения, не
^содержащая сопротивления. Целесообразно принять равным нулю
потенциал одной из узловых точек, к которой подходит указанная
'ветвь, например потенциал узла 4 (<р4 = 0). Тогда потенциал точки
1 имеет значение, равное т. е. <?1 = 20в. Общее число уравне-
/ний, согласно формуле (1.13), равно двум (Ny = 4, ^=1,У =
== Ny—2VH—-1 = 2). Таким образом, в данной задаче достаточно
составить по методу узловых потенциалов [см. формулу (1.13)] Bee-
г. го два уравнения для узлов 2 и 3:
для узла 2
--- §21 “h ?2 §22 ?3 §23 ?4 §24 — i ^§ ^3 ^4 »
Jdl Л3 .4
* 2
для узла 3
?1§31 ?2§32 + ?3§33 ?4§34 “ ^§ “ ^4““ ’
г4 Г 5
3
Подставляя в эти уравнения числовые значения сопротивлений,
э. д. с., а также значения <рх = 20 в, <р4 = 0, получим после пере-
группировки членов для двух неизвестных потенциалов <р2 и <р3 си-
стему уравнений:
/ 1 , 1 . 1 \ _ 1 _ _2_____ 1,2 20 t
50 10 20 J <Рз 20 10 20 50 ’
1 . / 1 , 1 , 1 \ 1,2 . 5,6 . 20
I — Ср О 1 I Ср л I -~Г "- — —4— I " I I II
т 20 тз\20 20 10/ 20 10 20
ИЛИ
0,17<р2—0,05<р3 = 0,54; —0,05<р2 + 0,2<р3 = 1,62.
Решая эту систему уравнений, найдем:
ф2 = 6 в\ <р3 = 9,6 в.
Наконец, применяя к отдельным ветвям формулы закона Ома,
получим значения всех токов, которые нанесены на структурной
схеме (рис. 1.47,6):
/2 = 0,2а, /3 = 0,4а, /4 = 0,12а, 1Ь = 0,4 а,
/в = 0,2 а, /7 = 0,28 а, /8 = 0,52 а.
Обращаем особое внимание на то, что в ветви без сопротивления
ток /х не определяется законом Ома и вычисляется на основании
первого закона Кирхгофа:
Л = 73-|-/б4-/в — /2 = 0,8 а,
39
1.43. Методом узловых потенциалов рассчитать токи в цепи
(рис. 1.48).
Указание. Если потенциал точки 4, являющейся общей для э. д. с.
Ег и Е2, принять равным нулю (cf>4 = 0), то <р3 = — Еъ <р2 — — Е2 и для реше-
ния задачи достаточно’ составить всего одно уравнение для узловой точки 1.
Рис. 1.48
1.44. По данным задачи 1.38. (см.
рис. 1.44) найти токи методом узло-
вых потенциалов.
Решение. Потенциал узла 4
примем равным нулю (<?4 = 0). Со-
ставим систему уравнений, подобную
системе (1.13), по методу узловых
потенциалов для узлов /, 2, 3.
Для узла 1
<Р1 (5г + Si + ge) — ?2^2 — Фз5в — ?igi = J-i,
для узла 2
— <Р15г + ?2 (gi + 5г + 5з) — ?з5з — Wi = — Л — Л + £з5з!
для узла 3
— ?15в — ?25з + ?з (5з + 5з + 5в) — ?45з = — E3g3.
Подставляя числовые значения в уравнения и решая их, найдем
потенциалы узловых точек: <рх = •—30 в, <р2=—50 в и <р3= — 225 в.
Наконец, определяем по закону Ома токи в каждой из ветвей:
Л = (?4 — ?г) 51 — [0 — (— 50)] 10"4 = 5 • 10'3 а = 5 ма\
Z2 = (?1 —?2)g2 = [—30 —(—50)]0,5 • IO’3 =10- IO’3 а = Юла;
= + - 225 - (- 50) + 270 = д5 . = 95
3 r3 1 • 103
I - - У?-- = 15 . 10-Зд = 15 мег,
/5 = = 30 • IO"3 а = 30 ма\
/6 = -~——= 65 • 10 3 а = 65 ма.
''в
1.45. Решить задачу 1.35 ме-
тодом узловых потенциалов.
1.46. Рассчитать токи в цепи
рис. 1.49. Дано: — 10 ма, gx =
— 1 • 10-3 сим, J2 = 45 ма, g2=
= 2,5- 10-3 сим, Е3= 40 в, г3 =
= 250 ом, = 55 в, г4 = 300 ом,
г5 = 500 ом, г9 = 200 ом.
Рис. 1.49
40
Задачу решить методами контурных токов и узловых потенции*
лов
1.47. Методом узловых потенциалов найти токи в схеме
рис. 1.50, а. Дано: Е = 100 в, Е2 = 10 в, Е5 = 40 в; = 20 ом, г2 =
= 30 ом, г3 = 20 ом, г4 = 10 ом.
Рис. 1.50
Решение. Всего в схеме четыре узла (Ny = 4), две ветви, со-
держащие только источники напряжения: ветви с э. д. с. Е и Е6
(NH = 2). Согласно (1.126) число уравнений^составляемых по мето-
ду узловых потенциалов, равно одному:
У = ДС — Na— 1 =4 — 2 — 1 = 1.
*7
Однако при составлении уравнений согласно формулам (1.13) для
любого из узлов в него войдут слагаемые, имеющие бесконечно
большую проводимость.
Покажем, как обойти указанное затруднение.
Известно, что если во все ветви, примыкающие к какому-либо
узлу, ввести одинаковые э. д. с., направленные к узлу (или от него),
то это не окажет влияния на распределение токов в схеме, так как
в уравнениях второго закона Кирхгофа для любого контура эти
э. д. с. взаимно компенсируются. Воспользовавшись этим свойством,
введем во все ветви, примыкающие к узлу 1, э. д. с. Е', направ-
ленные к этому узлу, и равные Е5 (рис. 1.50, б). Теперь окажется,
что в ветви 1—3 действуют две одинаковые и противоположно на-
правленные э. д. с., а их сумма равна нулю. Поэтому точки 1 и 3
равнопотенциальны и их можно закоротить (рис. 1.50, в). Эта схема
имеет три узла и содержит одну ветвь, имеющую только э. д. с.
E(AfH = 1)- Поэтому согласно (1.12 б) по методу узловых потенциа-
лов надо составить всего одно уравнение. Составим его для узла /,
приняв ср4 = 0.- Тогда <р2 = Е = 100 в. Уравнение для узла 1 будет
иметь вид
?1£11 ?2&12-- ?4&14 “ (----1----Ь — + — --
\ Г1 г2 Гз j \ 1\ Г2 )
-?J—+ -Ц= (Е2-+Е') J- + F-L.
\ ^3 ) г 2 Г4
41
Подставляя сюда числовые значения, получим = 60 в. '
Наконец, найдем токи в ветвях исходной схемы по закону Ома;
f
Ц — 2 а; 4 = 3 а; /3 = 3 а; 4 = 2 а.
Токи в ветвях с э. д. с. Е и Е5 определяем по первому закону
Кирхгофа:
/ = 4 + 4 = 5а; 4 = 4 —4= 1а.
В целях упражнения ре-
комендуется решить эту за-
дачу, введя в каждую из ве-
твей, примыкающую к узлу
2, э. д. с. Е" = Е.
1.48. Даны: цепь (рис.
1.51, а), Ег = 100 а, Е2 =
= 150 в, £3 = 28в, J = 2 ма,
г2 — 2 ком, г3 —А ком, ц =
= 6 ком, гъ = 8 ком. Про-
стейшим способом рассчитать
токи всех ветвей.
Решение. При решении
задачи по методу контурных
токов [см. формулу (1.10)1
надо составить два уравнения
= — дгу + 1 —WT = 6—
— 4+1 — 1 = 2). По методу
узловых потенциалов в соот-
ветствии с формулой (1.12 б)
надо составить также дна
уравнения (У = ЛС — NH —
—1=4—1—1 =2).
Вначале решим задачу
методом контурных токов,
выбрав их направления в со-
ответствии с рис. 1.51, а:
»Рцс. 1.51
(Г4 + Гб) 4“ (Г4 4" Гъ) *^2 + r5J = El,
(f*4 4" б) 4“ (Г2 + G + <4 + ~ ^2
ч
Подставляя числовые значения и решая эти уравнения, найдем
контурные токи: Зг = 3 ма\ 72 = 3 ма и токи в ветвях:
11 = 31 = 3 ма*, 32 — 32 + J = 5 ма*, 33 — 32 — 3 ма*,
I= 3i32 = 6 ма*, 3§ = 3j. + 32 + J = 8 ма.
Если контурный ток J источника тока направить так, как пока-
зано на рис. 1.51,6, а направления остальных контурных токов
42
авить неизменными; то контурные уравнения имеют вид:
+ гб) + (г4 + гб)^2 — = Ег; (1)
(^4 + Гб) + (г2 + + Г4 + гб) *^2 r^J = Е2— Е3. (2)
Решая эти уравнения, найдем контурные токи:
3\ = 3 ма; 32 = 5 ма.
Один из них 32 отличается от ранее найденного 3'2. Однако то-
ки в каждой из ветвей будут иметь те же значения. Действительно,
/х = 3^ =— 3 ма; 12 == 32 ~— 5 ма, 13 == 3J -—: 3 ма,
/4 = 3 х “Ь 32 — J' = 6 ма; 1$ ~ 3-± 32 ~ 3 ма.
Решим задачу методом узловых потенциалов. Примем потенциал
узла 4 равным нулю (?4 = 0), тогда потенциал узла 3 равен у3 =
= 100 в. Согласно (1.13) составим систему уравнений для уз-
лов 1 и 2 (при этом учтем, что проводимость ветви, соединяющей
узлы 1 и 2, g12 = g2i = 0)-
?l£u —?2£12~?з£13 = (— + —)?!= (!')
I v \ r4 r5 / '4
, /1 . 1 \ г- 1 17 1 i
— ?2^21 ~h ?2^22 ?з£>23 — I I I ?2 ^1 — ^2 +
\ >2 r3 ) Г3 Г2
+£37- (2')
r3
Решив эти уравнения, найдем потенциалы точек 1 и 2:
<рх = 64 в; <р2 == 140 в.
Применяя к отдельным ветвям закон Ома, найдем токи ветвей:
/ ?4 ?2 + ^2 0 — 140 -р 150 -
га 2
j У2 —-4 Уз —Ез 140 — 100 — 28 q
-------- — — _ — $
гз 4.
7 _ Уз —?1 __ ЮО — 64 _ «pi. — У4 _ 64 — 0 я
/4 — ————— — - = о дю, 1к — —————— — ———. — ф ма.
г4 6 rs 8,
Ток, проходящий через источник Elt надо находить по первому
закону Кирхгофа, примененному к узлам 3 или 4:
It — 14 —13 = 6 — 3 = 3 ма или I, = /5 — /2 = 8 — 5 = 3 ма.
Проверка показывает, что первый закон Кирхгофа для узлов 1
и 2 соблюдается:
J — /8 — /4 = 8 — 6 — 2 ма или J = /2 — /8 = 5 — 3 = 2 ма.
43
Сопоставление двух приведенных методов решения показывает,
что хотя в обоих случаях приходится составлять одинаковое число
уравнений (по два), второй метод проще, так как одно из уравне-
ний (1) содержит лишь одну неизвестную величину.
Г. Метод наложения. Преобразование треугольника
в звезду и обратно
1.49. Методом наложения рассчитать токи в схеме рис. 1.52, а,
если Ех = 10 в, £*2 = 40 в, Е3 = 5 в, г10 = 5 ом, = 2 ом,
гА = 30 ом, г2 = 3 ом, г3 = 8 ом.
Рис. 1.52
Решение. Обозначим положительные направления токов ис-
ходной схемы на рис. 1.52, а. Предположим, что действует только
э.д.с. Elf а э. д. с. Е2 и Е3 — недействующие (рис. 1.52,6).
Тогда
где
t. f t Г J- (Г2 + Г2о) (Г3 + Гзо) _____________ ОК I 5 • 10 _____ 115
>Тэ = а + Гю + .I,--------~ “4“ ом-
' 2 Т '20 Т ' 3 Т *30 . 1 ° О .
Ток
/' = 10 :
115 6
----= — а.
3 23
Токи в параллельных ветвях определяются по формуле (1.19):
44
Проведем расчет, предполагая, что действует э. д. с. Е2, а
э. д. с. £\ и Е3 не действуют (рис. 1.52, в):
__ ^2
2 ~
г 2Э
где
п
115
ом;
п
2
9
115
72
= — а;
23
гп _ и л _______________________________________________________ 72
3 ~ 2“ 1 ~ *23
72
23
10
46
16
— а;
23
16
23
56
23
а.
н
2
рассчитаем величины токов при действии только
Аналогично
одной э. д. с. £3 (рис. 1.52, а):
гзэ
1
23
115
8
Г20
_ _8_
” 23
= — а.
23
Истинное значение тока в
-- ОМ
8
каждой ветви найдется как алгебраи
ческая сумма токов, определяемых действием каждой э. д. с. в
дельности.
Ток
в первой ветви
6 16 Г
23 ’ 23 "Т" 23
Ток
во второй ветви
з
i
п
2
_4_ . 72
23 + 23
Ток
в третьей ветви
_______2_ 56
3 23 23
8
23
1.50. Найти токи в ветвях цепи рис. 1.53. Задачу решить ме-
тодами наложения, контурных токов и узловых потенциалов.
1.51. В схеме рис. 1.54, а методом наложения найти все токи.
Даны: Ег = 96 в, Е2 = 75 в, г3 = 3 ом, г4 = 15 ом, г5 = 10 ом,
гв = 6 ом.
45
Решение. Положим,
что действует только э. д. с.
£х, а э. д. с. £2 не действует.
В этом случае схема примет
вид рис. 1.54, б. Так как
внутреннее сопротивление ис-
точника напряжения £2 рав-
но нулю, то на его месте
между точками bad пока-
зано короткое замыкание.
Для большей наглядности
схему рис. 1.54, б можно на-
чертить в виде схемы рис.
1.54, в.
Рис. 1.54
Рис. 1.53
Полное сопротивление этой схемы
- — ГзЛе 1 Г1э — -Г г3 "Г Определим все токи: г4гб 3*6 ,15-10 о — = 8 ом. + гъ 9 25
= _£1_ =21= 12а; Г1Э .8
< = /;—---= 12 • — = 8 а; /'=/—/'=4а;
3 1 г3 + г. 9 ‘613
I'. = /'. —= 12- — = 4,8 а; 7,2 а;
4 г4 + г6 25 6 1 4 1
/г = /з — Л = 8 — 4,8 = 3,2 а или /г = /$ — /в = 3,2 а.
Допустим, что действует только э. д. с. £2, а э. д. с. Ех не
действует (рис. 1. 54, г). Схему рис. 1.54, г для большей нагляднос-
ти можно представить в виде схемы рис. 1.54, д. Полное сопротив-
ление схемы
+ —У.8. . =, 2121 + 1121 = 6,25 ом.
-Ь Ге 18 16
46
Вычислим:
V
ггэ
75
6,25
= 12 а;
/; = /з —7е= 10 — 7,5 = 2,5 а.
Складывая алгебраически токи, полученные от действия каждой
& д. с. в отдельности (см. рис. 1.54, б и г), найдем токи в каждой
ветви исходной схемы (см. рис. 1.54, а):
f а
Zj = Л + Л = 12 4- 2,5 = 14,5 а;
/г= /г 4~ /г = 3,2 4~ 12 — 15,2 а;
/3= /з 4- /; = 8 4- 10 = 18 а; /4= Ц — Ц = 4,8 — 2 = 2,8 а;
/5= 15 4- Z5 = 7,2 4- 4,5 = 11,7 а; /3= /в — /в = 7,5 — 4 = 3,5 а.
1.52. Решить задачу 1.34 (см.
рис. 1.40) методом наложения.
Решение. Вначале предполо-
жим, что действует только генера-
тор напряжения с э.д.с. Ег В этом
случае генератор тока следует счи-
тать недействующим, и в схеме надо
оставить лишь его внутреннюю про-
водимость gr (рис. 1.55, а). Для этой
схемы рассчитаем токи. Сначала най-
дем полное сопротивление гэ, кото-
рое является суммой сопротивления
гх и параллельных сопротивлений г2
1
St'
Рис, 1.55
Находим:
2530
31
10~3 а;
2300 «
------10 3 а;
31 *
Теперь допустим, что в цепи действует
при этом .генератор напряжения следует
(Е1==0) и в схеме надо оставить лишь его
/ 230 «
— Л =------10 3 а.
2 31
* i
только генератор тока,
считать недействующим
внутреннее сопротивле-
47
ние (рис. 1.55,6). Имея в виду, что в параллельный ветвях токи
распределяются прямо пропорционально их проводимостям [см. фор-
мулу (1.18)], найдем:
---- = 80-10’3 -10₽ • 10~6--
gi + g2 + gr-------------------------------100 • 10-» + 50 • 10-8 + 5 • 10"»
1600
31
IO’3 a;
l’=J-------—- = — • IO’3 a;
gl + g2 + gr 31
80 . O
= — • 10 3 a
31
I" = j----------------
gl + g2 + gr
Искомые токи в каждой ветви найдем в результате наложения
токов (с учетом их направлений), проходящих в каждой из ветвей,
созданных генератором напряжения и генератором тока:
Д = 1\ —1\ — 30 ми*, 12= ^2 ^2 100 ми\ I = lf Ir/ = 10 ми.
-0 U 0-
Рис. 1.56
1.53. Методом наложения решить
задачу 1.35 (см. рис. 1.41).
1.54. Найти эквивалентное сопро-
тивление цепи (рис. 1.56, а) и все токи,
если U = 114 в, = 30 ом, г2 = г3 =
= 10 ом, г4 = 26 ом, г5 = 11 ом, rQ =
10 ом, г7 = 40 ом, г8 = 50 ом. Задачу
решить методом преобразования треу-
гольника сопротивлений в эквивалент-
ную звезду.
Решение. Заменим треугольники
сопротивлений abc и dfg эквивалентны-
ми звездами (рис. 1.56, б). В преобразо-
ванной схеме появились новые узлы е
и т. Обратим внимание на то, что в
преобразованной схеме сохраняются значения токов I, Ц, /5 в участ-
ках цепи, которые не подвергались преобразованию.
Подсчитаем сопротивления лучей звезды rlQ, r2Q и г30, эквива-
лентной треугольнику abc сопротивлений г19 г2, г3 [см. формулы
(1.21)]:
г10 -----= 6 ом; г20 ------------— = 6 ом;
'i + 'Ч + 'з fi + r2+r3
=------JZs------- 2 0М1
Определим сопротивления лучей звезды ri0, г60, гв0, эквивалент-
ной треугольнику dfg сопротивлений гв, г„ г»:
48
ri0 = ,ГдГ7 ,— = 4 ом; г60 = — = 5 ом;
4" ri 4" г8 4* ri 4” гв
гт =-------------= 20 ом.
г» + г.,+га
Входное сопротивление всей схемы
i
G = Go + , 'I1!-...+ 'во = 38 ом,
I “ Il
b
rf = r%) + G + f40 = 36 0M> Ги = ГЗО + Г5 + Г60 = 18 OM.
Ток в неразветвленной части цепи
Токи в параллельных ветвях:
/5₽/-/4 = 2а.
Теперь найдем токи в сопротивлениях заданной Цепи. Для этого
предварительно из схемы рис. 1.56, б определим напряжения меж-
ду точками а и Ь, а и с, с и b, d и g, f и g, f и d:
Uab = гю/ + r20ll = 6 • 3 + 6 • 1 = 24 в;
и ас = Go/ + гзо4 = 6- 34-2-2 = 22 в;
ucb = Uab — иас = — <Р6) — (<РД — ?с) = = 24 — 22 = 2 в;
Udg = г40/4 4- г60/ = 4 • 1 4- 20 • 3 = 64 в;
Ufg — f 5о^5 4- гед/ = 5-24~ 20 • 3 = 70 в;
иfd = Ufg — Udg = (<pz — <pg) — (4>d — <pff) = <pz — <pd = 70 — 64 = 6 в.
Искомые токи:.
» U al) 24 по / ас ^2 п о
/х = = — = 0,8 а\ /2 = —— = — = 2,2 а\
1 а зо г, 10 ’
49
1.55. В схеме рис. 1.57 найти токи, применив преобразование
треугольника в звезду. Определить эквивалентное сопротивление
между точками а и Ь. Определить показание ваттметра и убедиться
в том, что оно равно сумме мощностей, расходуемых во всех соп-
ротивлениях.
Рис. 1.58
1.56. Вычислить токи, проходящие во всех ветвях схемы
рис. 1.58, если Е = 213 в, Е1 = 90 в, гг = 6 ом, г2 = 40 ом, г3 =
= 10 ом, г4=100 ом, г5 = 60 ом.
Задачу решить преобразованием треугольника в эквивалентную
звезду.
Определить входное сопротивление относительно ветви t\.
Д. Метод эквивалентного генератора.
Преобразование источников. Принцип взаимности
' s.
1.57. Для схемы рис. 1.59, а методом эквивалентного генератора
напряжения найти ток в ветви с сопротивлением гг, если Е± =
= 18 в, Е2 = 21 в, г10=1ом, = 2 ом, г^ = 2ом, г2 = 7 ом,
г3~6 ом
Рис. 1.59
Решение. Обозначим положительное направление искомого
тока Ц на исходной схеме (см. рис. 1.59,, а). Рассмотрим часть
схемы, подключенную к исследуемой первой ветви (обведенную
штриховой линией), в качестве эквивалентного генератора напря-
жения с э. д. с. Ег и сопротивлением гг. Нарисуем эквивалентную
50
электрическую схему с эквивалентным генератором напряжения
(рис. 1.59, б).
На схеме произвольно выбрано положительное направление э. д. с.'
эквивалентного генератора Ег к тбчке р. Это позволяет записать для
режима холостого хода эквивалентного генератора с отключенной
первой ветвью (рис. 1.59, в)
— '-'pqx.x — VYp Tq/X.x. /
Развернутая схема эквивалентного генератора в режиме холос-
того хода показана, на рис. 1.59, г. Во внутренних ветвях генерато-
ра ток '
2 21
х.х
15
Напряжение холостого хода определяет э. д. с. генератора:
РЧ х.х — ' з1 х. х — и 1 и,т о — •-•г •
Найдем сопротивление гг эквивалентного генератора.
Для подсчета сопротивления генератора преобразуем его схему
(см. рис. 1.59, г), заменив источник напряжения Ez короткозамкну-
тым участком (рис. 1.59,3). Входное сопротивление последней схе-
мы является сопротивлением эквивалентного- генератора
(^9 Ч~ 9’6 ___ Q Z? _ ..
--- = 0,0 ОМ.
15
Возвращаясь к схеме рис. 1.59, б, находим искомый ток по за-
кону Ома: .
г
1
1 —
= 4 а.
1.58. Методами эквивалентного генератора напряжения и эквива-
лентного генератора тока найти ток в ветви rs, если Ех = Е2 = 20 в,
ri~ Гг — 40 ом, ra= 10 ом, г4 = 160 ом, ra = 20 ом (рис. 1.60, а).
Решение.' Расчет методом ЭГН. Отключим ветвь с г8
(рис. 1.60, б) и найдем параметры ЭЦН с э. д. с. Ег, т. е. напряже-
ние Uabx.x холостого хода между точками а и Ь и гт — сопротивле-
Рис. 1.60
51
ние схемы рис. 1.60, в между точками а и & в режиме холостого
хода при закороченных э. д. с. Ег и £2- Схема эквивалентного ге-
нератора напряжения приведена на рис. 1.60 г. Э. д. с. эквивалент-,
ного генератора и его сопротивление равны:
.. 4 = 40 ом.
г г 4-г4
Искомый ток согласно формуле (1.24)
/5 = —— = —— = 0,2
гг4-г6 40 4- 20
а.
При расчете методом ЭГТ ветвь г5 закорачиваем (рис. 1.60, д).
Ток /к. з, проходящий по закороченной ветви аЬ, является током
эквивалентного генератора тока (/к. 3 = J)- Найдем его. Это можно
сделать, рассчитав двухузловую схему рис. 1.60, д методом узловых
потенциалов. Приняв потенциал точек а и b равным нулю (<ра ==
= = °), найдем
= 6,4 в.
Для определения тока /к. 3 = J вычисляем и Г3 и по первому
закону Кирхгофа находим
/к. 3 = J = г — Г = Чс-Ча. _Ч 3-^с±Ел = 6Л-------13JL = 0 3
31 г, г. 10 ,40
О Л
Сопротивление эквивалентного генератора тока гг равно сопро-
тивлению эквивалентного генератора напряжения; однако его можно
найти по (1.25):
Из схемы эквивалентного генератора тока (рис. 1.60, е) по фор-
муле (1.26) находим искомый ток:
40
40 4- 20
= 0,2 а.
Получили тот же результат, что и по методу ЭГН.
1.59. Методом ЭГН найти ток /5 (рис. 1.61, а), проходящий через
сопротивление г5, если Е = 120 в, гг = 60 ом, r2 = 15 ом, r3 = 90 ом,
^ = 60 ом, r5= 12 ом. Тем же методом определить ток в сопротив-
лении г4.
Решение. Обозначим на схеме рис. 1.61, а произвольное по-
ложительное направление искомого тока /5. Часть схемы (внешнюю
52
к исследуемой ветви г5) рассмотрим в виде некоторого генератора
напряжения Ет, гг. Стрелку э. д. с. Ет произвольно направим к
точке с (рис. 1.61,6). Таким образом, э.д.с. генератора определит-
ся напряжением холостого хода:
Ег— Ucd х.х— (?с~ Pd)x. х-
На развернутой схеме генератора в режиме холостого хода
(рис. 1.61, в) обозначим токи в ветвях /ох.х> Лх.х, /зх.х-
Рис. 1.61
По закону Ома,
Е 120
(?а ~~ Рс)х.х — Uас х.х — х.х — 60 ' 1 >6 —96 в",
(Ра Р^)х.х — U ad х.х — f з?3 х.х — 90 • J),8 — 72 в.
Таким образом, э. д. с. эквивалентного генератора напряжения
Ег = (<рс — ?Л.х = (Рс — Ра + Ра — Pd)x.x = (Ра ~ Pd)x.x —
— (Ра — Рс)х.х = 72 — 96 = — 24 в.
Найдем сопротивление ЭГН двумя способами:
1. Путем непосредственного расчета по схеме. Для этого в схе-
ме рис. 1.61, в источник напряжения заменим короткозамкнутым
участком. После этого схему рис. 1.61, в нарисуем в виде рис. 1.61, г.
53
Сопротивление генератора гг равно сопротивлению цепи между
точками end:
А +
60-15
75
90-60 ло
-----= 48 ом.
150
2. Путем вычисления отношения э. д. с. эквивалентного генера-
тора К току короткого замыкания. Для этого надо в схеме
рис. 1.61, в замкнуть точки cud накоротко, вычислить ток /к.3,
протекающий через короткозамкнутый участок (рис. 1.61, д), и най-
ти сопротивление короткого замыкания по формуле (1.25). Источ-
ник напряжения Е в короткозамкнутой схеме рис. 1.61, д нагру-
жаем на эквивалентное сопротивление
rirs j г2г4 60-90 . 15-60 . о
г3 = ———|-------= — ---------1-----= 48 ом.
г14-''з >2+ >4 150 . 75
Ток источника напряжения
Л Е 120 ос
‘ок. з — ;— ла —
гэ 48
Токи в ветвях:
1к.з ' ‘ок.з —: W * 1(-Л — 1>*Э Ф
Г1 -у- /*з 1 эО
/ — J Г* _______________ 9 ц . во ____ 9/7
*2к.з **” ‘ок.з . U.
Г 2 + Г4 75
Отсюда
Лс.з “ Ак.З Ак.З “ 0,5 CL.
Сопротивление генератора
£г —24 ло
г = —=----------== 48 ом.
'к.з —0,5
Значения сопротивления генератора, полученные этими способа-
ми, одинаковы.
Возвращаясь к схеме рис. 1.61,6, находим искомый ток /в по
закону Ома:
Таким образом, ток в сопротивлении гб течет от точки d к точ-
ке с и равен 0,4 а. 7
Расчет тока в сопротивлении г4 методом эквивалентного генера-
тора напряжения проводится аналогично. Заменяем часть схемы,
подключенную к точкам d и b ветви с сопротивлением г4, эквива-
лентным генератором гг (рис. 1.61, е). Э. д. с. генератора совпа-
дает с напряжением в режиме холостого хода:
54
Для определения этого напряжения рассчитываем вначале токи
/з и /' в развернутой схеме генератора в режиме холостого хода
(рис. 1.61, ж): -
216 г» >»
---- а \ L =
ПК ’ & О
о
16
19
Отсюда находим э. д. с. генератора:
в.
Т'г dbx.x
840
19
Для определения сопротивления генератора рассмотрим соответ-
ствующую пассивную схему (в схеме генератора источник напряже-
ния заменен короткозамкнутым, отрезком), показанную на рис. 1.61, з,
Для ясности эта схема показана в виде рис. 1.61, и.
Сопротивление генератора, равное входному сопротивлению по-
следней схемы относительно зажимов d и Ь,
Г*
360
19
ОМ.
/ ' 1 Т • 2
Наконец находим искомый ток /4 по
ратора (см. рис. 1.61, е):
схеме эквивалентного гене-
___ г
4 — ”
840
____19
360
19 +
1.60. По данным задачи 1.58 для схемы рис. 1.60 методом
ЭГН иди ЭГТ найти ток в ветви с сопротивлением г3.
1.61 . Считая зажимы а и b входными клеммами схем (рис. 1.62, а—д),
определить параметры Ет и гг соответствующих эквивалентных ге-
нераторов (рис. 1.62, е).
Рис. 1.62
55
1.62. Для экспериментального исследования двухполюсника со-
брана схема рис. 1.63. Требуется найти э. д. с. и сопротивление
генераторов, эквивалентных исследовавшимся двухполюсникам, по
данным двух опытов (для каждого двухпо-
люсника): 1) = 20 в; = 2 а\ U2 = 30 в\
/2 = 3 а; 2) Ux = 20 в; \ = 12 а; U2 = 30 в;
1.63. Определить ток /3 в ветви с сопро-
тивлением г3 = 12 сш (рис. 1.64, а). Э. д. с.
генераторов напряжения Ег = 120 в, Е2 =
= 100 в, их внутренние сопротивления гг ==
= 6 ом, г2 = 4 ом.
Решение. Задачу решаем двумя способами: 1) методом ЭГТ и
2) методом преобразования.
Рис. 1.64
1. Часть схемы, подключенную к зажимам тип ветви с со-
противлением г3 (на рис. 1.64, а обведена штриховой линией), мож-
но рассматривать в виде эквивалентного генератора тока J, гг (на
рис. 1.64, б обведен штриховой линией). Ток генератора J опреде-
ляется по опыту короткого замыкания (рис. 1.64, в).
На развернутой схеме генератора (рис. 1,64, г)
j = А + Ё2.: 45 а,
'1
а внутреннее сопротивление генератора тока равно сопротивлению
пассивной цепи между зажимами т иг п при разомкнутой ветви г3
(рис. 4.64, д).
гг = „ Г1Г 2 = 2,4 ом.
'i + 'a
По схеме эквивалентного генератора тока, представленной на
рис. 1.64, б, находим искомый ток:
56
2. При решении методом преобразования заменяем генераторы
напряжения схемы рис. 1.64s а эквивалентными генераторами тока
(рис. 1.64, е). Токи генераторов:
, £, 120 пп . Е2 100 ос
J. = —1 =--------- 20 а; Д = — =--------= 25 а.
1 гг 6 гг 4
Преобразуем полученную схему, заменив параллельные сопротив-
ления гх и г2, эквивалентным сопротивлением
/ \
6-4 п л
гг — —=-----------= 2,4 ом,
Гг + Г2 6 + 4
и параллельные источники тока Jr н J2 — одним эквивалентным ис-
точником тока J; получим схему рис. 1.64,6, причем
J = /, + /2 = 20 + 25 = 45 а.
Ток J последней схемы разветвляется по сопротивлениям гг и г3
Рис. 1.65
1.64. Два генератора тока соединены в цепь рис. 1.65, а. Ток
первого генератора — 3 ма, его внутренняя проводимость gr =
= 0,05 сим, второго генератора Д = 2 ма, g2 = 0,01 сим. Сопро-
тивления г3 = 5 ом, Гц = 30 ом. Определить ток, проходящий через
сопротивление г4.
Решение. 1. Преобразуем генераторы уока в эквивалентные
генераторы напряжения (рис. 1.65, б). Э. д. с. и внутренние сопро-
тивления генераторов напряжения находим по формулам (1.4):
, = А = = 60 мв\
g, 0,05
— = —— = 20 ом-.
gi 0,05
Е2 — — — —-— = 200 мв; г2 — — = 100 ом.
Si 0.01 g2
57
Далее любым способом находим искомый ток. Выберем метод
узловых потенциалов. Обозначим gx =—-—, находим:
Г1 • + гз
,, Е^ + E2g2 20 + 5 100 _
Uab = —---------------=--------i--------i------i---- = 52.8 ж;
gi + Ег + gi . _
20 + 5 100 30
У
4 j Uпь 52,8 « «л
1 = _22 = —= 1 76 ма.
30
2. Решим задачу методом эквивалентного генератора тока. Для
этого заменим всю цепь, за исключением ветви с г4, эквивалентным
генератором тока (рис. 1.65, в). Для определения его параметров J3
и g3 сначала исключим ветвь с г4, а точки а и b закоротим
(рис. 1.65, г). Найдем ток короткого замыкания, равный /э. Для
этого предварительно определим токи /3 и /2 (рис. 1.65, д):
/3 = ----—------ = 2,4 ма\ /2 = J2 = 2 ма.
Следовательно, ток эквивалентного генератора тока
Jэ = /3 *4“ /2 == 2,4 -f- 2 = 4,4 ма.
Определим внутреннюю проводимость эквивалентного генератора
тока g3 между точками а и Ь. Для этого исключим генераторы то-
ка и оставим лишь их внутренние проводимости (рис. 1.65, е):
g9 = gab = - 1 t - + g2 = 5 20 - + 0.01 = 0,05 CUM.
rs + ~T
В искомой ветви (см. рис. 1.65, в) ток
Л = Л —— = 4,4 —-— = 1,76 ма.
4 3 1 20 + 30
---+ г.
83
1.65. Вычислить ток в ветви с г8 задачи 1.40 (см. рис. 1.45),
пользуясь преобразованием схем с источниками тока в эквивалент-
ные схемы с источниками напряжения, и наоборот.
Решение. 1. Для ясности перерисуем схему рис. 1.45 в виде
рис. 1.66, а. Эквивалентность исходной и новой схем очевидна: к
соответствующим узлам обеих схем подходят одинаковые токи.
В частности, результирующий ток, подводимый к узлу а, равен ну-
лю. Преобразуем генераторы тока J последней схемы в генераторы
с э. д. с. Ег и Е3 (рис. 1.66, б):
58
Еу = Jry = 50 • IO’» • 5 • 103 = 250 в.
Е3 = Jr3 = 50 • IO-3 • 16 • 10» = 800 в.
Складывая последние элементы ветвей, приводим рис. 1.66, б к
виду рис. 1.66, в, для которого:
Е3 = Е — Еу =,60 — 250 = — 190 в;
гв — Гу + rz = 9 ком; rz = г3 + г4 = 18 ком.
Рис. 1.66
Преобразуем схему рис. 1.66, в в схему с источниками тока
(рис. 1.66, г):
ж Ев 190 nil* 7 Е? 800 . . .
/в = —=--------- = —21,1лш; Д==—2- = -— == 44,4 ма.
rQ 9 г7 18
Сложив параллельные элементы, преобразуем схему рис. 1.66, г
к виду схемы рис. 1.66, д:
/э = Iq =—21,1 + 44,4 == 23,3 ма\
-------- 6 ком.
9 4-18
В ветвь г5 ответвляется часть тока /э, равная
/5 = Ц __£&_ = 23,3- — = 10 ма.
Г» 4- rf 14
59
2. Метод ЭГТ. Определим ток ]3 эквивалентного генератора то-
ка, который равен току /к. 3 при замыкании накоротко сопротивле-
ния гб (рис. 1.66, ё). Ток /к. з можно вычислить различными спосо-
бами, например методом контурных токов:
Подставляя числовые значения и решая эти уравнения, найдем:
3' = 2\,\ма- .Г = 44,4 ма\ /э = /к. 3 = 3" — 3' == 23,3 ма.
Затем рассчитаем внутреннюю проводимость g3 генератора тока.
Она равна проводимости пассивной цепи между зажимами а и b
при разомкнутой ветви с г5 (рис. 1.66, ж)\ ветвь, содержащая гене-
ратор тока, показана разомкнутой, так как внутреннее сопротивле-
ние идеального генератора тока бесконечно велико:
g = _—1------1-----!---= —!— сим-, г3= — = 6 • 103 ом.
'i + r2 г3 + г4 6- юз 9 g3
На рис. 1.66, д приведена схема эквивалентного генератора тока
относительно зажимов а и Ь. Из нее находим искомый ток:
/6 = /э —------= 23,3 • IO'8 = 10 • IO'3 а = ю ма.
Э Г5 + Гэ 14-10«
3. Преобразуем треугольник сопротивлений г3/4гБ в эквивалент-
ную звезду (рис. 1.66,з). Ее сопротивления [см. формулы (1.21)]
равны:
/Зг5 64 8 16
Г =------------= — ком-, rh = — ком-, = — ком.
а r3 + ri + rb 13 ь 13 d 13
Полученная схема содержит всего два узла 0 и с. Приняв по-
тенциал узловой точки 0 равным нулю (ср0 = 0), вычислим потенциал
точки с [см. формулу (1.14)]:
Обращаем внимание на то, что в знаменателе последнего выра-
жения отсутствует слагаемое, учитывающее сопротивление rd, это
связано с тем, что сопротивление источника тока бесконечно вели-
ко и прибавление к нему конечного сопротивления rd не изменило
бы бесконечно большое сопротивление ветви источника тока.
По закону Ома найдем токи:
// = Ус - 20 ма. /" = —- = 30 ма
ri + Га г2 + гь
60
и напряжение между точками а и Ь:
Uab = I'ra-I''rb = We.
Наконец находим искомый ток
/5 = ^ = 10 ма.
1.66. Для цепи рис. 1.49 по данным задачи 1.46 найти ток в г4,
пользуясь преобразованиями генераторов тока в генераторы напря-
жения, и наоборот.
1.67. Цепь рис. 1.67, содержащая два генератора тока (Уг =
= 30 ма, £1=1- Ю”3 сим, J2 = 20 ма, g2 = 1,5 • 10"3 сим) и генера-
тор напряжения (Е3 = 45 в, г3 = 100 ом), включена на нагрузочное
сопротивление гн = 20 ом. Определить ток /н.
Рис. 1.67
Рис. 1.68
Г.68. Три генератора напряжений, э. д. с. которых £\ = 48 в,
Е2 = 45 в, Е3 = 45 в, а внутренние сопротивления rx = 1,2 ом, г2 =
= 1 ом, г3=\,5ом, работают параллельно на общую нагрузку,
сопротивление которой г = 4,2 ом (рис. 1.68). Произвести замену
заданных генераторов напряжений одним эквивалентным, определив
его э. д. с. и внутреннее сопротивление. Чему равны токи, проте-
кающие через каждый генератор и нагрузку?
Решение. Значения э. д. с. и внутреннего сопротивления эк-
вивалентного генератора напряжения могут быть определены по
формулам (1.27):
11.1
+ ^2 4* Е3
Е3 = иаЬ = —= -L1L = 46 в;
э ab 1 1 1 2,5
G >з
— == — 4- — — 2,5 сим\ гэ = 0,4 ом.
'З Г2 <3
Ток в нагрузке
i Еэ 46 1Л
I =------— =---------= 10 а
г + r9 4.2-f-0,4
Напряжение на нагрузке
Uab = 1г = 10 • 4,2 = 42 в.
61
Таково же напряжение на каждой из параллельных ветвей. Ток
в каждой из ветвей найдем по формуле (1.29):
/ Bi -t/af, = 5 а; ; = Е^ -иаЬ = 3 а. ,^Et-Uab а
rt . . г3
Проверка показывает,-что ток в нагрузке / равен сумме токов
/2 и Л-
1.69. Воспользовавшись принципом взаимности, найти показания
амперметров Л4 и А5 (рис. 1.69). Даны: Е = 30 в, гг=6 ком, г2 =
= 4 ком, г3 = 8 ком, г^== г5== 2 ком.
Рис. 1.69
г—Д
Рис. 1.70
1.70. В схеме рис. 1.70 простейшим способом вычислить токи.
Даны: Ег = 100 в, Е2 = 80 в, Е3 = 40 в, гх = г2= 10 ом, г3 = 20 ом,
г““ 15 ом.
1.71. По данным задачи 1.50 (см. рис. 1.53) методом эквива-
лентного генератора определить- ток в сопротивлении г4.
Е. Условие выделения максимальной мощности в нагрузке
1.72. В схеме рис. 1.71, а известны: Е = 100 в, = 10 ом,
г2 = 40 ом, г3= 12 ом. При каком значении нагрузочного сопротив-
ления гн в нем выделится максимальная мощность и чему она рав-
на?
Рис. 1.71
Определить отношение мощности, расходуемой в гн к доставляе-
мой источником. Вычислить коэффициент передачи, т. е. отношение
напряжения на гн к э. д. с. Е.
^Решение. 1. Рассчитаем ток /н, проходящий через сопротив-
ление гн, и расходуемую в нем мощность Ра:
62
Для расчета максимальной мощности, выделяемой в нагрузке,
возьмем производную от Рп по гв и приравняем ее нулю. В резуль-
тате получим
rir 2 + rir а 4~ гаг з
Подставляя найденное значение г„ в (2), получим искомую вели-
чину максимальной мощности:
n ЮО2 • 402 • 20 ОЛ "
Ря max = --------------- = 80 вт.
(10 • 72+ 40 • 32)2
Вычислим мощность Р, доставляемую источником э. д. с.:
р = ЕЦ --------—----------= 360 вт.
г г2(г3 + гн)
' + Га + г3 + г„
Искомое отношение мощностей
Напряжение на нагрузочном сопротивлении
U„ = /игн = 2 • 20 = 40 в.
Коэффициент передачи
2. Часть схемы левее зажимов ab заменим эквивалентным гене-
ратором напряжения с э. д. с. Ег и сопротивлением гТ (рис. 1.71,6).
Найдем Ег и гг. Для вычисления Ег отключим ветвь гн(рис. 1.71, -в)
и определим напряжение Uat>x. х между точками а и b в режиме
холостого хода, которая численно равна Ег :
7 7 Е* /7 Ег2 100 •' 40 — —
Uab х. х — Ег ‘— * ^2 — —— ---------- = 80 в.
f\ + г2 50
63
Сопротивление гг равно сопротивлению цепи между зажимами а
и b при закороченном источнике э. д. с. Е (рис. 1.71, г):
г = г3 + - = 12 + = 20 ом
Г 'L + '2 50
Как известно, в схеме, эквивалентной заданной (см. рис. 1.71,6),
максимальная мощность выделится, если сопротивление нагрузки гн
будет равно внутреннему сопротивлению генератора, т. е. при гн =
= Гг = 20 ом. Следовательно, получено то же значение, которое
было найдено. Максимальная мощность
/ 80 V пп ОА
— 20 = 80 вт.
\40/
1.73. К зажимам 1-1' цепи рис. 1.14, а и b подведено напряже-
ние UY = 72 в. При какой величине сопротивления г2, подключенном
к зажимам 2-2', в нем выделится максимальная мощность и чему
она равна? Определить отношение мощностей, расходуемой в сопро-
тивлении г2 к доставляемой источником. Вычислить коэффициент
передачи, т. е. отношение напряжения на г2 к подведенному.
Ж. Входные и взаимные проводимости ветвей
1.74. Определить входные и взаимные проводимости ветвей схе-
мы рис. 1.72, а, необходимые для вычисления токов, если t\ = 15 ом,
г2 = 12 ом, г3 = 10 ом, г4 — 40 ом, г5 = 20 ом, Ег = 25 в, Е2 = 20 в,
Е3 = 50 в. Используя найденные значения проводимостей, вычислить
все токи.
Вычислить входное (относительно зажимов ab) и взаимные (пере-
даточные) сопротивления между первой и остальными ветвями.
Решение. Для определения входной проводимости gu и взаим-
ных проводимостей gni(n = 1, 2, ... , 5) между первой и остальными
ветвями исключим все заданные э.д.с. и положим, что в ветвь с
включена э.д.с., равная 1 в (рис. 1.72, 6) и направленная, как э.д.с.
Ех; при этом вычислим токи, вызванные ею в каждой из ветвей.
Фактически расчет проще проводить методом пропорциональных
величин, задавшись током в крайней первой ветви. В результате
расчета получим, что Л=0,04а, /2 = 0,02 а, /з = 0,G16 а,
Д = 0,004 a, U = 0,02 а. Их числовые значения равны
соответствующим проводимостям, поэтому gu = I\ =0,04 сим, g2j =
= /2 = 0,02 сим, g31 = I3 = 0,016 сим, g41 = /4 = 0,004 сим, g51 ==
= /5 = 0,02 сим.
Затем вычисляем входную проводимость g22 и взаимные прово-
димости между второй и остальными ветвями. Для этого аналогич-
но предыдущему исключим все э.д.с., а в ветвь с г2 вводим э.д.с.,
равную 1 в (рис. 1.72, в) и имеющую направление э.д.с. Е2, и вы-
числим токи, созданные ею в каждой из ветвей. В результате по-
лучим: /2 = 0,035, а; Л = 0,02 а; /3 = 0,028 а; /4 = 0,007 а\ /5 =
64
0,015 а, а соответствующие входная g^ и взаимные £л2 (n =
1, 3, 4, 5) проводимости будут:
'22 = 0,035 сим, gi2 — 0,02 сим, g32 = 0,028 сим, g& — 0,007 сим,
£52 = 0,015 сим.
Рис. 1.72
Аналогично, введя в третью ветвь э.д.с., равную 1 в и направ-
ленную, как и э.д.с. Е3 (рис. 1.17, г), получим; Д,= 0,0424 а; // =
= 0,016 а; ?2 = 0,028 а; Л = 0,0144 а; Л =0,012 а и соответст-
вующие входную и взаимные gn3 (п — 1, 2, 4, 5) проводимости:
£зз = 0,0424 сил; £13 = 0,016 сим\ £23 = 0,028 сим\ £« = 0,0144 сим\
g^ — 0,012 сим.
3—222
65
Расчет входных проводимостей и взаимных проводимостей gnl
между четвертой и остальными ветвями не производим, так как в
ветви г4 нет источника э.д.с. и поэтому при расчете токов соответ-
ствующие проводимости не используются. По тем же соображениям
не вычисляем £55 и gn5.
Отметим, что входная проводимость каждой ветви является сум-
мой взаимных проводимостей между рассматриваемой ветвью и каж-
дой из остальных ветвей, присоединенных к одному из двух узлов,
к которому эта ветвь подключена. Например, ветвь с сопротивлени-
ем присоединена к узлам b и с, ее входная проводимость gn
равняется сумме взаимных проводимостей g2i и ёы или сумме g51,
£41 и £зр Действительно, gn = g21 4- gB1 (0,04 = 0,02 + 0,02) или
£11 = £51 + £41 4-£3i (0,04 = 0,02 + 0,004 + ОД 16), т. е. получены
тождества.
Аналогично,
£22 = £12+ £52 или £22 = £42+ £32;
£зз = £23 + £43 или £зз = £43 + £53 4-£13.
Подставляя числовые значения, убедимся, что и здесь имеются
тождества.
Найдем токи в ветвях. Применив принцип наложения, получим:
Л = £11^1 - £21^2 + £зА = 0,04 • 25 — 0,02 • 20 + 0,016 • 50 = 1,4 а;
/2 = £12^1 —£22^2 + £32^3 = i>2 ъ
~ £13^1 £23^2 4" £зз^з ~ 1,96 а\
— £14^1 4~ £24^2 + £34^3 ~ 0,76 а\
£15^1 4~ £25^2 £35^3 ~ 9,2 а.
Направления найденных токов нанесены на рис. 1.72, а.
Перейдем к определению входного и взаимных (передаточных)
сопротивлений между первой и остальными ветвями. Для этого, ис-
ключая из схемы все э.д.с., к зажимам аЬ подводим источник еди-
ничного тока J = 1 а (рис. 1.72, д) и любым способом (например,
сворачиванием схемы) находим токи в ветвях. В результате расчета
получим:
/j = J = 1 а\ /п = 0,5 а\ /ш = 0,4 а\ /1У = 0,1 а\ /у = 0,4 а.
Вычисляем напряжение на зажимах аЬ источника тока:
Uab == /1г1 + /бг5 = 1 • 15 + 0,5 • 20 = 25 в.
Входное сопротивление есть отношение напряжения/ на входных
зажимах к току J:
г UаЬ 25 лг
f — ------- — --- — 2.0 им.
11 J 1
66
Входное сопротивление всегда величина, обратная входной про-
водимости:
1 1 ос
г ==-----=-------= 25 ом.
gn 0,04
Вычислим взаимные сопротивления между первой и каждой из
остальных ветвей. Взаимное сопротивление есть отношение напряже-
ния на соответствующей ветви к току источника тока J. Поэтому
^2 j I г 2 0,5*12
^3
Г13 “ г
Ли гз 0,4 • 10
—т __ ----------- = 4 QMJ
г 15 — Т
vf5 0л • 50
v— =------------= 20 ом;
Следует заметить, что в общем случае взаимные сопротивления
не обратны соответствующим взаимным проводимостям. Например,
g21 = 0,02 — = — = 0,167 сим;
Г21 6
g3J = 0,016=# — = — = 0,25 сим
Г31 4
И Т. Д.
1.75. В схеме рис. 1.73 известны
= 10 ом, г 2 = 16 ом, г3 — 60 ом,
г. = Гп = 40 ом, Б, = 120 в, Е3 =
= 150 в, Е5 = 80 в.
Рассчитать все входные и взаим-
ные проводимости и все токи.
Рис. 1.73
3. Линейные соотношения
1.76. В цепи рис. 1.74, а сопро-
тивление г является переменной ве-
личиной. Даны: Ei = 100 в, Е2 =
= 120 в, гг = 10 ом, г2 = 20 ом,
г3 = г4 == Ю ом.
Найти зависимости: 1) напряже-
ния U на сопротивлении г от тока /,
протекающего через это сопротивле-
ние; 2) тока /3, проходящего через
г3, от напряжения U на зажимах со-
противления г.
Решение. 1. Воспользуемся ли-
нейным соотношением (см. п. 8 основ-
ных положений)
Рис. 1.74
U = А + В1.
(1)
3*
67
Для определения двух постоянных А иЛ достаточно найти зна-
чения U и / для каких-либо двух режимов работы цепи. Проще
всего это сделать для холостого хода и короткого замыкания.
В режиме холостого хода (т. е. при г = ,оо) ток / == 0, а напря-
жение U =» можно определить, рассчитав токи любым способом
в схеме рис. 1.74, б. Например, по методу контурных токов
Ei —- Е2 = 3 (Г| + Г3"Г2\ Е2~ 3 (г2 •+ г3 +- — 3' г2.
Подставляя цифровые значения и решив эти уравнения, найдем
3" = 4 а\ U == = г*3" = 40 в. Подставляя в уравнение (1) зна-
чения напряжения и тока при холостом ходе ((/==40 в, / = 0), по-
лучим А = 40 в.
В режиме короткого замыкания, т. е. при г — 0, напряжение
U = UK 3 = 0, а ток /к,3 (рис. 1.74, в) может быть найден различны-
ми способами. Определим его по методу узловых потенциалов, для
чего найдем напряжение
£igi 4- _ 100 » 0,1 + 120 » 0,05
gl 4-^2 + Яз О л + 0,05 + 0,1
16
0,25
= 64 в
и ток
Ugb
64
10
= 6,4 а.
Подставляя в уравнение (1) величины напряжения и тока при
коротком замыкании ((/ = (7КЗ = 0; / = /к.3 = 6,4 а), получим
О = Л-Ь6,4В,
откуда
__ Л 40 с лк
В =---------------— — 6 25 ом.
6,4 6,4
Искомая зависимость на основании уравнения (1) имеет вид
(7 = 40 — 6,257.
2. Воспользуемся линейным соотношением
I3 = a + bU. (2)
Для определения постоянных а и b воспользуемся значениями
напряжений в ветви г и токов в ветви г3 при холостом ходе и ко-
ротком замыкании ветви г.
При коротком замыкании (рис. 1.74, в) напряжение U = (7КЗ = 0,
а ток в г3 равен /3 = 1К З = 6,4 а. Подставляя U = (7К>3 = 0 и /3 =
« /к.з = 6,4 а в уравнение (2), найдем а = 6,4 а.
При холостом ходе (см. рис.- 1.74, б), как было найдено, напря-
жение V = (7Х х == 40 а, а ток ветви г3 — Г = 4 а. Подставляя U =
^х.х = 40 в 7 == Г = 4 а в уравнение (2), получим 4 = 6,4 + 640,
отсюда b — — 0,06.
Искомое уравнение примет вид
/3 = 6,4 —0,06 (
68
1.77. На рис. 1.75 изображена схема с сопротивлением г, изме-
няющимся от нуля до бесконечности.
Найти зависимости напряжении U на сопротивлении г от тока /,
протекающего через это же сопротивление, если Et — 45 в, Е2 = 54 в,
t\ = г4 = 5 ом, г2 = г3 = 20 ом. Задачу решить методом эквивалент-
ного генератора и методом линейности исследуемого соотношения
между током и напряжением.
Рис. 1.76
Рис. 1.75
1.78. Источник тока J = 10 ма включен в цепь, сопротивления
элементов которой равны rt =? 1 ком, г2 = 5 ком, г3 4 ком и соп-
ротивление г изменяется от нуля до бесконечности (рис. 1.76).
Найти зависимости каждого из токов напряжения Uab на пере-
менном сопротивлении г.
Глава вторая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Мгновенное значение величины, синусоидально изменяющей-
ся с течением времени,
(2.1)
где Ат — максимальное значение, или амплитуда;
со/ + ф — фаза (фазовый угол);
ф— начальная фаза (начальный фазовый угол);
— — начальный фазовый сдвиг;
о)
со — угловая частота.
Период Г, угловая частота со и частота f связаны соотношением
o = = / = 2.. (2.2)
По уравнению (2.1) на рис. 2.1 построены синусоида и соответ-
ствующая векторная диаграмма (вектор Ат вращается с постоянной
угловой скоростью со против часовой стрелки).
2. Сложение двух синусоид а{ = Л1т sin (со/ + фх) и а2 =
А2т sin (со/ + ф2) одинаковой частоты дает синосоиду а той же
частоты (рис. 2.2):
70
a = at 4- a2 = Aim sin (tof 4- ф^ 4- A2m sin (at 4- ф2) =>
= Am sin (at 4- Ф).
Амплитуда Am и начальная фаза ф синусоиды а равны:
(2.3)
4 = /А21т + А2т + 2 Агт cos (ф, — фг);
Рис. 2.2
(2.4)
В частном случае, когда а{ = Alm sin at (фх = 0), а2 = cos
ф2 = — |, получим (рис. 2.3):
2 j
4 = V Atn + AL • tg • (2.5)
Рис. 2.3
71
3. Действующие значения синусоидально изменяющихся тока,
э.д.с. и напряжения соответственно равны:
I = = 0,707 Im, Е=-^, U = -^L.. (2.6)
/2 /2 /2
4. Средние значения синусоидально изменяющихся тока, э.д.с.
и напряжения за положительную полуволну:
/ср = — 1т = 0,6371т, EQp = — Em, Ucp=-^Um. (2.7)
тс тс тс
Среднее значение синусоидально изменя-
ющейся величины а = Ат sin (<о/ + ф) за це-
лый период равно нулю.
5. Второй закон Кирхгофа. Уравнение
второго закона Кирхгофа для мгновенных
значений напряжений и тока, проходящего в
одноконтурной цепи, состоящей из последо-
вательно соединенных активного сопротив-
ления г, индуктивности L и емкости С
Рис. 2.4
(рис. 2.4), имеет вид
u = ua + uL + ис, (2.8)
где ua — ir — падение напряжения на активном сопротивлении;
г di
uL = L--------падение напряжения на индуктивности, причем
d/ di
uL == — eL, где э.д.с. самоиндукции eL = — L —-,
dt
t
i ~ J uL dt + i (0),
о
uc — падение напряжения на емкости, причем
1 = С ’ Uc = ~С Jol(U + Uc (0)'
6. Цепь из последовательно соединенных элементов. Если цепь,
состоящая из последовательно соединенных г, L и С, включена на
синусоидально изменяющееся напряжение
и = Um sin (со/ + г|>),
то по ней проходит ток
i = lm sin (cot + -ф — <р),
где
т
(2.9а)
72
— 90° < <р < + 90°.
(2.96}
Соотношение (2.9, а) является уравнением закона Ома для ампли-
тудных значений напряжения и тока. Закон Ома для действующих
значений напряжения и тока имеет вид
(2.9в>
где
g)L = xl — индуктивное сопротивление;
—— = хс — емкостное сопротивление;
(оС
coL----L = х = xL — хс — реактивное сопротивление;
(£>С
Обращаем внимание на то, что xL и хс — положительные величины, а ре-
активное сопротивление х может быть как положительным (при индуктивном ха-
рактере ветви, когда xLZ>xc), так и отрицательным (при емкостном характере
ветви, т. е. *£'О*С). Например, для ветви (см. рис. 2.4) при xl—Xi=5 ом,
хс — x2 = 7 ом реактивное сопротивление х = xL — хс =х11х2=:5 — 7 =
= — 2 ом.
Рис. 2.5
7. Треугольник напряжений. Приложенное к цепи напряжение U
может быть разложено на составляющие (рис. 2.5, а и б): Ua = 1г—
активную, совпадающую по фазе с током, и L/p = lx — реактивную;
вектор Up опережает вектор тока / на четверть периода, если в це-
пи преобладает индуктивное сопротивление х — xL — хс > 0
(рис. 2.5, a); U9 отстает от / на четверть периода, если в цепи пре-
обладает емкостное сопротивление х = xL — хс < 0 (рис. 2.5, б);
73
Ua = Ir = I/cos ср; (2.10)
Up = lx = U sin <p; (2.11)
U = V U\ + U2p = Iz. (2.12)
8. Соотношения, связывающие cos<p, sincp и tg<p через сопротив-
ления цепи. Из треугольника сопротивлений (рис. 2.6, а и б) следуют
соотношения:
cos <р = — ,
г .
(2.13)
Рис. 2.6
9. Треугольник токов. Ток /, проходящий в цепи, может быть
разложен на две составляющие (рис. 2.7): /а — активную, совпадаю-
щую по фазе с приложенным напряжением, и /р— реактивную; /р
Рис. 2.7
отстает от напряжения U на четверть периода, когда в цепи преоб-
ладает индуктивное сопротивление х = xL — хс > 0 (рис. 2.7, а) и
опережает U на четверть периода при преобладании емкостного соп-
ротивления х = хд —хс<0 (рис. 2.7,6):
/а = / cos ср = Ug\ (2.14)
Ip = 1 sin ср = Ub; (2.15)
/ = К'а.+ /2Р = Uy. (2.16)
Цепь, состоящая из последовательно соединенных активного г
и реактивного сопротивлений х = xL — хс (см. рис. 2.4), может быть
74
заменена эквивалентной схемой, состоящей из параллельно соединен-
ных активной проводимости g и реактивной проводимости b (рис. 2.8, а).
/Реактивная проводимость может быть положительной величиной
, если цепь имеет индуктивный характер b = bL = —-—
(рис. 2.8, 6), и может быть отрицательной величиной (&<0), если
цепь имеет емкостный характер b = —Ъс = —соСп (рис. 2.8, в).
0 > 0)
Рис. 2.8
10. Треугольник проводимостей (рис. 2.9, а и б) подобен треуголь-
нику токов (см. рис. 2.7):
COS ср = — , Sin ср = — , tg ср = -------- .
У У g
(2.17)
11. Переход от последо-
вательной схемы (см. рис.
2.4) к эквивалентной парал-
лельной схеме (см. рис.
2.8) осуществляется по фор-
мулам:
Рис. 2.9
При переходе от параллельной схемы (см. рис. 2.8) к эквива-
лентной последовательной (см. рис. 2.4) ее параметры определяют-
ся по формулам:
£ £ bb
Г = --2-- _ . х -------- =----
£2 + Ь2 у2 g2 + b2 у2
(2.19)
-Т- — = —.
/g2 + ь2 у
75
12. Мощности. Активная, реактивная и полная мощности опре-
деляются по формулам:
р = /V = 67 cos ср; (2.20)
Q = /2х = UI sin <р; (2.21)
S = V Р2,-Ь Q2=UI = Рг = и2у. (2.22)
Для всякой электрической цепи справедливы следующие балансы
мощностей:
(2.23)
где Ри, QH — мощности источников,
Рп, Фп — мощности потребителей.
Рис. 2.10 *
Рис. 2.11
13. Последовательное соединение
вательном соединении сопротивлений
сопротивлений. При последо-
(рис. 2.10):
Сдвиг фаз между общим напряжением U и током 1
tgcp =
(2.25)
14. Параллельное соединение сопротивлений.
соединении сопротивлений (рис. 2.11):
При параллельном
(2.26)
76
п п
Сдвиг фаз между напряжением U и током /, проходящим в не-
разветвленной части цепи,
п
tg?=.-^-----. (2.27)
2 gk
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Мгновенные значения синусоидального тока,
напряжения, мощности. Их графики
2.1. Построить кривые изменения напряжения и тока во време-
ни и начертить векторы, изображающие заданные синусоидальные
функции:
и = 100 sinf 157/ Н——i = 5 sin(157/ —— \а.
\ ю / V 8 /
Чему равен сдвиг фаз между напряжением и током? Опреде-
лить период, частоту, моменты начала положительных полуволн
напряжения и тока. Какой вид примут уравнения для заданных
напряжения и тока, если за начальную фазу, т. е. фазу, равную
нулю, принять фазу для тока? Для этого случая построить сину-
соиды напряжения и тока, векторную диаграмму.
Решение. Синусоиды и и i и соответствующие им векторы
Um и 1т изображены на рис. 2.12, а.
Период
Т = — = -• 3’14- = 0,04 сек
<й 157
и частота
f == _L == —— = 25 гц.
Т 0,04
Ток по фазе отстает от напряжения на угол
? = —------(— — 'l = — рад (40° 30'
10 \ 8 / 40
77
Моменты начала положительной полуволны напряжения и тока:
п
и Ю 1 2и Т гх гхгхсх п
t =-------— ------------.------=---------= — 0,002 сек = — 2 мсек\
со 20 со 20
те
t" — —8 = —= —— — 0,0025 сек = 2,5 мсек,
со 16 со 16
При начальной фазе тока, равной нулю, уравнения для напряже-
ния и тока примут вид:
и' = 100 sin f 157t + в\
\ 40 )
i' = 5 sin (157/) а.
Кривые и', Г и соответствующие векторы Um и 7гп изображены
на рис. 2.12, б.
2.2. Напряжения и токи изменяются во времени по следующим
законам:
и, = 300 sin (со/ + — ] в, L = 10 sin (со/ 4- —) а,
1 \ 4 \ 6
<0 = 314 сек~\
i = 3 sin (о/--------— | ма,
\ 3 /
со = 6,28- Ю5^^”1;
в) и2 = 300 cos (со/ — 2) в, и3 = 200 cos (со/ — 0,43) в, (о = 105 сек~1.
78
Построить векторные диаграммы и графики изменения напряже-
ний и токов. Для каждого из случаев найти сдвиг фаз между соот-
ветствующей парой синусоидальных функций.
Принимая фазу для (п. a), i3 (п. б) и а2 (п. в) за начальную,
написать уравнения и построить графики напряжений и токов. Для
каждого из указанных случаев построить векторы, изображающие
соответствующие синусоиды. Найти период, частоту и моменты на-
чала положительных полуволн напряжения и тока.
2.3. Найти аналитически и при
помощи векторной диаграммы сумму и
разность двух синусоидальных токов:
ir = ЮО sin (со/ + 30°) ма\
i2 = 120 sin (<о/ — 45°) ма.
Решение. Найдем сумму токов:
i' = + i2 = ЮО sin (со/ 4- 30°) 4-
+120 sin (cot — 45°) = Гт sin (со/ + ф').
Значения Гт и ф' определяем по Рис. 2.13
формулам (2.4), в которых полагаем:
Л1я> = = 100; Л2т =/2„ = 120; ^ = 30°; чр2 = -45°;
4= У 1002 + 1202 + 2 • 100 • 120 cos 75° = 175 ма\
tgi|/
100 sin 30° 4- 120 sin (— 45°)
100 cos 30° 4- 120 cos (— 45°)
= —0,179;
ф' = — 10° 10z.
На рис. 2.13 начерчена векторная диаграмма, из которой (по
масштабу) могут быть получены те же значения
Разность токов
Г = = 100 sin (otf 4- 30°) — 120 sin (<oi — 45°).
Воспользовавшись тригонометрической формулой
— sin а = sin (а + 180°),
перепишем выражение для тока
Г = ЮО sin (со/ 4- 30°) + 120 sin (со/ 4- 135°) = Гт sin (со/ 4- ф"),
где
1т = у ЮО2 + 1202 + 2 • 100 • 120 cos (— 105°) = 135 ма\
tg =
100 sin 30° + 120 sin 135°
100 cos 30° + 120 cos 135°
= 19,4; чу = 87°.
79
2.4. Найти сумму двух синусоидальных напряжений путем не-
посредственных вычислений и при помощи векторной диаграммы
для двух случаев:
1) и, = 100 sin (©/ + — |в; ы2 = 150 sin (ш/4-
1 \ 3 1 ' \
2), и3 = 310cos314£ в;
и.= 180 sin (314/+ — ]в.
\ 3 I
2.5. Катушка с активным сопротивлением г = 10 ом, индуктив-
ностью L = 0,05 гн подключена к источнику синусоидального нап-
ряжения, действующее значение которого U = 120 в, а частота
f = 50 гц.
Определить полное сопротивление катушки, ток и сдвиг фаз меж-
ду напряжением и током. Чему равны активная, реактивная и пол-
ная мощности?
Вычислить активную и реактивную составляющие напряжения
на зажимах катушки. Чему равна э.д.с. самоиндукции, наводимая в
катушке? Построить векторную диаграмму напряжений и тока.
Считая, что ток изменяется синусоидально (i = Im sin о)/), написать
уравнения для мгновенных значений активной wa и реактивной uL
составляющих и всего приложенного напряжения и, активной ра,
реактивной pL и полной мощности р и энергиии магнитного поля.
Начертить кривые зависимостей этих величин в функции времени.
Решение. хг — &L = 2я • 50 • 0,05 = 15,7 ом\
Я-*
z = У Р + (©L)2 = ]Л102 + 15,72 = 18,6 ом;
— =1,57, <р = 57°30';
, U 120 с
1 = — =----------= 6,45 а
г 18,6
Р = Рг = 6,452 • 10 = 416 вт;
Q = Рх = 6,452 • 15,7 = 653 вар;
S = Pz = 6,452 • 18,6 = 773 ва;
Ua — lr — 6,45 • 10 = 64,5 в;
U, = 1х, = 6,45 • 15,7 = 103 в; Е, = — U. = — ЮЗ в.
L Lt L* L*
Векторная диаграмма приведена на рис. 2.14, а.
Запишем уравнения мгновенных значений величин:
i — Im sin at = 6,45 У 2 sin at = 9,1 sin at a;
и = tr = sin©/ = 91 sin®/ в; и. — lmaL cosat = 146cos©/ в;
u = 1201/2810(0) + <p) == 170 sin (co/ + 57° 30') e\
80
ра = iua = I2mr sin2 at = Pr (1 — cos 2<o/) = 416(1 — cos 2at) etn-,
n = ш, = I„ sin at Im aL cos at = P aL sin 2at — 653 sin 2at eap;
Г Ilt. Ill ill 9
p = iu = Im sin at Um sin (at + <?) = U1 [cos <p — cos (2coZ + <f>)] =
= 416 — 773 cos (2at + 57° 30') ea;
10 20 30a
200 4-00 000вт,6ар,ва
0,25 0,50 0,75 дж
Рис. 2.14
7/2 Л/ 7 /2
=—— sin2(of = —— (1 — cos2co/) = 1,04(1 —cos2cof) дж.
По этим уравнениям на рис. 2.14, б построены кривые.
2.6. Для данных предыдущей задачи за начальную фазу принять
фазу приложенного напряжения, т. е. полагать, что и = t/msinco/.
Написать уравнения для г, ua, uL, pL, р и построить кривые
зависимостей этих величин от времени.
2.7. Для определения активного сопротив- .
ления г и индуктивности L катушки в цепь
переменного тока с частотою f = 50 гц были
присоединены вольтметр, амперметр и ваттметр
(рис. 2.15). Приборы дали следующие показа-
ния: U = 65 в, I = 5 a, P = 128ew. Определить
активное сопротивление и индуктивность кату-
шки.
Решение.
Р 125 - и 65
__ ~~ 5 олг 2 = — — —
Р 52 /5
Рис. 2.15
= 13 ом;
4—222
81
xL = ]/22 —r2 = /132 —52 = 12 ом-,
L = —„ 12?x — 0,0382 гн — 38,2 мгн.
co 2n • 50
2.8. При включении индуктивной катушки в цепь постоянного тока
амперметр показал 2,5 а, а вольтметр — 30 в. Затем ту же катуш-
ку включили в цепь переменного тока частотой / = 5 кгц. При
этом вольтметр показал 120 в, а амперметр — 6 а. Чему равны актив-
ное сопротивление г и индуктивность L катушки?
Масштаб' ^огоо'зоов
100 200 300 Вт, Вар, Ва
0,05 0,10,15
Рис. 2.16
2.9. К последовательно соединенным реостату с сопротивлением
г = 120 ом и конденсатору емкостью С = 30 мкф подведено напря-
жение и — 311 sin 314/ (рис. 2.16, а).
Вычислить полное сопротивление цепи, действующие значения
напряжения и тока, мощность, расходуемую в цепи, реактивную
мощность и разность фаз напряжения и тока. Построить векторную ;
диаграмму напряжений и тока. Построить кривые мгновенных зна-
чений приложенного к цепи напряжения и, тока Z, активной состав-
ляющей напряжения иа, реактивной ис, активной мощности ра, реак-
тивной рс и полной мощности р, энергии электрического поля
Решение.
= 106 ом,
2 = )/> + = V1202 + 1062 = 160 ом-
311
U = = 220 в;
/2
220
ТбО
= 1,37 а;
82
р = Pr = .1,372 • 120 = 226 вт,
Q = —Pxc = — 1,37* • 106 = -г- 210 вар-,
= —^£_ =----------— = — 0,885; <₽ = — 41° 30'.
г 120 > . т
Векторная диаграмма приведена на рис. 2.16, б.
Составим уравнения мгновенных значений величин:
i = Im sin (at — <р) = l,37]/2sin(314/ + 41o30') =
= 1,94 sin (314/ + 41° 31') а-,
ил = lmr sin (at — ср) = 233 sin (314/ + 41° 30') в;
ис = Imxc sin (at—<р—90°) = 206 sin (314/ —48°30') в;
рл = i2r = l2mr sin2(<o/ — <р) = 226 [ 1 — cos (628/ + 83°)] вт,
pr — ur i = 210 sin (628/ + 83°) вар;
О О x '
p = ui = 311 sin 314/ • 1,94 sin (314/ + 41° 30') =
= 226 — 302 cos (628/ + 41 °30')
_ 30 . IQ-б 2062 sin2 (314Г — 48° 30')
2
2
= 0,319 [1 — cos (628/ — 97°)] дж.
Рис. 2.17
Соответствующие кривые даны на рис. 2.16, в.
2.10. Если в предыдущей задаче принять равной нулю началь-
ную фазу для тока i = Im sin со/, то как в этом случае изменятся
уравнения мгновенных значений u, иа, ис, р, w3? Начертить вектор-
ную диаграмму напряжений и тока.
2.11. При помощи осциллографа были сняты кривые напряжения и
и тока i на входе пассивного двухполюсника (рис. 2.17). Чему рав-
на частота переменного тока, если масштаб времени Mt — 2,5 мсек!см?
Определить, из каких эквива-
лентных элементов состоит
двухполюсник и чему равны
его эквивалентные параметры.
Масштабы для напряжения и
тока соответственно равны.""
= 100 в!см\ М( =5 а!см.
Решение. Период пере-
менного тока
Т = Mt • 4 см = 2,5 • 10"3 • 4 =
— Ю"2 сек,
4*
83
а его частота
f « _L = _L_ = ЮО гц.
' T IO"2
Из рис. 2.17 находим амплитудные значения напряжения и тока:
Um = Ми • 2 см = 100 • 2 = 200 в;
Im = М, • 1 см = 5 • 1 = 5 а.
Ill 1
Полное сопротивление схемы
Так как напряжение опережает ток, то параметрами эквивалент-
ной схемы являются активное сопротивление и индуктивность. По
рис. 2.17 находим угол сдвига фаз ср = к/6. Таким образом,
гэ = z cos <р = 40 cos — = 34,6 ом\
6
хэ = z sin ср = 40 sin — — 20 ом;
6
L =-^ =—-—= 0,0318 гц = 31,8 мгн.
э О) 2к • 100
2.12. На рис. 2.18 изображены кривые напряжения и тока на
входных зажимах пассивного двухполюсника. Масштабы времени, на-
пряжения и тока соответственно равны:
М, = 0,5 мсек/см; М„ = 50 мв/см; М. = 10 ма/см.
Определить частоту переменного тока и эквивалентные парамет-
ры двухполюсника.
Б. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений
2.13. Последовательно с реостатом, имеющим только активное
сопротивление = 20 ом, включена катушка, параметры которой
г = 6,7 ом и L = 42,7 мгн (рис. 2.19, а). Определить ток, проходя-
щий в цепи, разность фаз между напряжением и током, напряже-
ния на реостате и катушке, а также сдвиг фаз между напряжением
источника и напряжением на катушке, если U = 220 в. Частота пе-
ременного тока f = 50 гц. Вычислйть активную, реактивную и полную
мощность катушки. Построить векторную диаграмму.
Решение.
tt>L = 2к . 50 • 42,7 • 10~3 = 13,4 ом;
zK = ]/г2 + (®L)2 = /б,72 + 13,42 = 15 ом;
га = V(г, + г)2 + (wL)2 = /26,72 4- 13,42 = 29,9 ом.
84
В цепи проходит ток
/ = — = = 7,35 а.
гэ 29,9
Разность фаз между напряжением и током определяется из со-
отношения
tg <р9 = = 41т = 0>5. ?, = 26°30'.
г ~Ь 26,7
а) У,
Рис. 2.18
Рис. 2.19
Напряжения на реостате и катушке
иг = 1г. = 7,35 • 20 = 147 в,
(7К =/?к == 7,35 • 15 = ПО в.
Сдвиг фаз между напряжением источника и напряжением на ка-
тушке ср найдется как разность фазовых углов <рк и срэ (см. вектор-
ную диаграмму рис. 2.19,6):
tg?K = — = 4т-= 2; <Рк = 63°30';
г 6,7
<Р = ?к — ?э = 63° 30'— 26° 30'= 37°.
Активная, реактивная и полная мощности катушки:
рк = Pr = 7,352 • 6,7 = 362 вт;
QK = coL = 7.352 • 13,4 = 724 вар;
SK = UK1 = 110» 7,35 = 808 ва.
85
Рис. 2.20
2.14. По показаниям трех вольтметров, включенных, в цепь
(рис. 2.20), определить мощность, расходуемую в индуктивной ка-
тушке г, L, если гх = 20 ом, а показания приборов равны U = 120 в,
Uy = 80 в, t/2 = 60 в.
У казание. - Задачу проще всего решить, если вначале построить вектор-
ную. диаграмму.
2.15. К цепи, состоящей из последовательно
соединенных активного сопротивления г = 3 ом,
индуктивности L = 8 мгн и емкости С = 15 мкф,
подключено напряжение U = 20 в с частотой f =
=500г4{. Найти ток, напряжение на каждом эле-
менте цепи и мощность, расходуемую в ней. По-
строить векторную диаграмму.
Решение. Сопротивления элементов цепи:
= coL = 2гс • 500 • 8 • 10“3 = 25,2 ом',
= — -------------—-------= 21,2 ом-,
2г. 500 • 15 • 10-е
Z = /г2 + (xL —Хс)2 = ]/За 4-(25,2 — 21,2)4 = 5 ом.
XL
В цепи проходит ток
£
z
20
= 4 а,
который по фазе отстает от напряжения на угол определяемый
из соотношения
tg ? = -L = 1,333; = 53° 10х.
Вычислим напряжения на активном сопротивлении, индуктив-
ности и емкости:
ил = 1г = 4 • 3 = 12 в;
{7 =/х. =4-25,2» 101 в;
Д-*
Uг — 1хГ = 2 • 21,2 « 85 в.
С* С/
В цепи расходуется мощность
Р = UI cos = 20 • 4 cos 53° 10z = 48 вт.
На рис. 2.21 приведена векторная диаграмма.
2.16. Через реостат ц = 40 ом и катушку индуктивности rL —
— 12 ом, d)L = 18 ом, соединенные последовательно, проходит ток
I = 2,2 а.
Чему равно приложенное к цепи напряжение? Подсчитать актив-
ные, реактивные и полные мощности всей цепи и ее отдельных эле-
86
ментов. Каков сдвиг фаз между приложенным напряжением и нап-
ряжением на катушке?
Указание. Решение начать с построения векторной диаграммы.
2.17. К двум последовательно соединенным реактивным катуш-
кам (рис. 2.22), параметры которых ^ = 5,2 ом, 2^ =30 мкгн,
г2 = 4,2 ол, 2>2 ~ 10 мкгн, подведено напряжение U = 120 в. Часто-
та f = 50 кгц. Определить ток, напряжение на зажимах каждой из
катушек иг и U2, активные и реактивные мощности в каждой ка-
Рис. 2.21
Рис. 2.22
тушке и во всей цепи. Построить векторную диаграмму напряже-
ний и тока.
2.18. Последовательно с реактивной катушкой г, L включено ак-
тивное сопротивление гх; с помощью Вольтметров измерены напря-
жения на зажимах цепи U = 120 в, на активном сопротивлении гх
напряжение = 60 & и на катушке U2 = 80 в. Амперметр показал
ток I = 2 а.
Найти активное сопротивление м и индуктивность L катушки.
Частота переменного тока f = 800 гц.
2.19. Реактивная катушка, параметры кото-
рой rt = 10,5 ом, L = 382 мкгн, и конден-
сатор (с потерями), эквивалентные параметры
которого г2==3,5 ом, С = 0,533 мкф, соеди-
нены последовательно (рис. 2.23). Какое на-
пряжение U приложено к цепи, если ампер-
метр показал ток / = 2,4 а? Частота перемен-
ного тока f = 5 кгц. Определить напряжение
- на катушке UK и конденсаторе с потерями 1/конд,
а также мощность, расходуемую в каждом из этих элементов.
Построить векторную диаграмму напряжений и тока.
Чему равны добротность катушки и добротность конденсатора?
Определить угол потерь конденсатора.
Замечание. Напомним, что добротностью катушки называется отноше-
1
ние , а добротностью конденсатора — отношение Qr ==—.
r2
87
Углом потерь называют угол б = — — I | , где <р — разность фаз тока и нап-
Хг
ряжения на конденсаторе с потерями.
2.20. Для определения параметров эквивалентной схемы пассив-
ного двухполюсника АВ (рис. 2.24, а) были измерены напряжение
и± = 26 в, ток Ц = 4 а и мощность Рл = 40 вт. Для определения
характера эквивалентного реактивного сопротивления этого двухпо-
люсника последовательно с ним включили конденсатор (рис. 2.24,6);
в этом случае при том же приложенном напряжении приборы по-
казали 12 = 5,53 а и Р2 = 76,5 вт. Частота переменного тока
f = 50 гц.
Рис. 2.24
Определить параметры эквивалентной схемы двухполюсника.
Решение. Параметры эквивалентной схемы двухполюсника:
Р 40
гэ = —у =---------= 2,5 ом:
э /2 42
ом;
| хэ| = /г* —г* =Уб,52 — 2,52 = 6 ом.
Из данных второго опыта найдем:
IXI = /г2 — г* = ]/4,72— 2,52 = 4 ом.
При неизменном напряжении, подключенном к цепи, и постоян-
ном активном сопротивлении ток /2 оказался больше тока 1Г Вве-
денное дополнительное емкостное сопротивление уменьшает общее
реактивное сопротивление цепи. Это значит, что х3 имеет индуктив-
ный характер. Величина L3 = = -Л. = 19,1 мгн.
88
Неизвестную величину дополнительно введенного емкостного со-
противления хс можно определить следующим путем. Раньше уста-
новили, что хэ = ± 6 ом, и так как характер полного реактивного
сопротивления заранее не известен, то х = + 4 ом либо х = —4 ом.
Из данных второго опыта следует, что — + хэ = х, отсюда полу-
чаем, что хс — 2 ом или хс = 10 ом.
Укажем, что для определения характера эквивалентного реак-
тивного сопротивления двухполюсника хэ — неизвестная величина
Рг == 370 вт;
Р2 = 34,4 вт;
Рг = 370 вт;
Р2 = 97,8 вт.
дополнительно вводимого емкостного сопротивления хс — должна
быть меньше 2хэ. Это можно видеть из рис. 2.24, в и г, на которых
начерчены векторные диаграммы сопротивлений, соответствующие
второму опыту, Для хэ>0 и при | хс <| 2хэ11|<|?э|(рис. 2.24, в),
а при хэ<0 |?2|>|?э1 (Рис- 2.24, г). Если взять |хе|>|2хэ|,
то каждый из углов [cpj и | <р21 будет больше <рэ.
Если величина дополнительно вводимого сопротивления хс за-
ранее известна, то она может быть взята и более 2хэ.
2.21. Решить предыдущую задачу по данным опытов в двух
случаях:
1) первый опыт: U1= 120 в, У* = 4,3 а,
второй опыт: U2~ 120 в, У2 = 1,31 а,
2) первый опыт: Ux = 120 в, Ух = 4,3 а,
второй опыт: U2 = 120 в, У2 = 2,21 а,
При проведении вторых опытов каждый
раз вводилось емкостное сопротивление, рав-
ное 70 ом.
2.22. Приборы, подключенные к пассив-
ному двухполюснику АВ (на рис. 2.25 ключ
УС разомкнут), показали t/1=100 в, Уг =
= 2 а, Р1== 160 вт. Для определения хара-
ктера реактивного сопротивления двухполю-
сника параллельно ему был подключен кон-
денсатор (ключ К замкнут), емкостное сопротивление которого
—1—= Ю0ол, при этом приборы показали: СУ2 = 100 в, /2 = 2,73 а,
<оС
Р2= 160 вт. Определить эквивалентные параметры двухполюсника.
Решение. Параметры двухполюсника (см. рис. 2.25):
Рис. 2.25
г = ———- = 40 oju, г = —— = 50 ол, I х I = У 50а — 402 = 30 ом;
22 2
g = м , „л, — 0,016 сим: |&| ------------------ 0,012 сим.
403 + 303 1 40а + 303
Проводимость конденсатора
Ье = соС = 0,010 сим.
89
Параметры эквивалентной схемы:
J®L = 2\,6om; га = = 36,7 ом;
2,732 * 2,73
____________ 916
I хвI = 1/36,72 - 21,62 = 29,7 ом; g9 = , - 7--— = 0,016 сим;
^1,0 > I
21,62 + 29,72
= 0,022 сим.
Так как |&э| = |& | 4-6С, то, следовательно, реактивное сопро-
тивление исследуемого двухполюсника имеет емкостный характер.
Тот же результат вытекает и из следующих
соображений. Так как при том же напряжении
U ток после подключения конденсатора стал
больше, чем до подключения, то общая про-
водимость цепи увеличилась. Это может быть
Рис. 2.26 в том случае, когда реактивная проводимость
подключаемой ветви Ьс имеет тот же харак-
тер, что и заданная реактивная проводимость b двухполюсника,
при условии, что |&с|<|2&|?
2.23. Линия передачи электрической энергии (рис. 2.26) обладает
активным сопротивлением гл = 15о.м и индуктивностью Ьл = 0,191 гн.
В конце этой линии присоединен приемник энергии, потребляющий
мощность Р2 = 84 кет при напряжении U2 = 5,1 кв и cos у2 —
= 0,8 (ср2> 0)- Частота тока f = 50 гц. Определить напряжение ис-
точника t/х, подключенного к началу линии, а также падения на-
пряжения и потерю напряжения в линии. Чему равен к.п.д. линии
передачи электрической энергии?
2.24. Генератор, питающий линию передачи электрической энер-
гии, отдает мощность Рг — 27 кет. Напряжение генератора U± =
= 3кв. Параметры линии передачи: гл = 20 ом, хл — 60 ом. Мощ-
ность, потребляемая приемникрм, подключенным в конце линии,
Р2 = 22,5 кет. Определить параметры приемника.
< 2.25. Линия передачи имеет активное сопротивление гл = 2 ом,
индуктивное хл = 4,8 ом. Напряжение в начале линии U± = 1,1 кв.
Определить, при каком сопротивлении приемника, для которого
отношение хп?/гп9 = 3, в нем будет расходоваться максимальная
мощность и вычислить ее величину.
К той же линии приключен приемник с постоянным активным
сопротивлением гпр = 20 ом и изменяющимся реактивным сопротив-
лением хпр. При какой величине хпр приемник поглотит максималь-
ную мощность и какова ее величина?
Определить наибольшую мощность, которую вообще можно полу-
чить при передаче по заданной линии, т. е. полагать, что могут
изменяться и гпр и хпр.
90
Указания. Если <рпр = const, то мощность максимальна если гпр = гл,
при этом
t/f cos <pnp
пр max
При изменении только реактивного сопротивления приемника в нем выделяет-
ся максимальная мощность при условии хпр =—хл, а ее величина
U2 г
и 1 гпр
пр max
Наибольшая мощность, которую вообще можно получить в приемнике, будет,
если сопротивление приемника сопряжено с сопротивлением линии (т. е. гпр == гл и
хпр =—хл). Величина этой мощности
4г л
Рис. 2.27
включенных в цепь (рис. 2.27, а)>
Укажем, что те же условия со-
храняются при передаче мощности
во внешнюю цепь генератора с по-
стоянной э. д. с. и постоянным внут-
ренним сопротивлением zBH.
. 2.26. По показаниям приборов,
определить ток, проходящий в нёразветвленном участке цепи, со-
противление каждой ветви и полное сопротивление цепи. Заменить
данную цепь эквивалентной последовательной цепью гэ, хэ. Постро-
ить векторную диаграмму.
Даны: U = 120 в, = 3 а, /2 = 6 а, /3 = 2 а.
Решение. Сопротивления и проводимости отдельных ветвей и
всей цепи:
сим;
1
= — сим:
20
1
= — сим;
60
1 1 _ 1
20 60 ~ зо
сим
(индуктивный);
= g = 4г сим;
b9= bL — bc
91
Заданная схема цепи может быть заменена другой, ей эквива-
лентной и состоящей из последовательно соединенных элементов,
параметры которой по (2.19) равны:
1
40 . . л
/’Э = '7’ = 7Т^= 4,4 ом;
I |
\ 24 /
1
*, = 4- = = 19,2 °м-
£ (ЛУ
\24/
Проверка.
z3 = ]/ 14,42+ 19,22 = 24 ом.
Определяем ток в неразветвленной части цепи:
, и 120 с
/ = — ---------= 5 а.
г3 24
Векторная диаграмма построена на рис. 2.27, б. Из нее находим
тот же ток
I = V Я + (4 - /3)2 =5 а.
Рис. 2.28
2.27. Для определения параметров конденсатора с потерями его
подключили к источнику синусоидального напряжения U = 19,5 в
(/ = 50 кгц). При этом амперметр показал ток / = 0,3 а, а ват-
тметр— мощность Р= 153 мет. Определить rlt С1 и г2, Съ двух
схем (рис. 2.28, а и б), эквивалентных конденсатору с потерями.
Чему равны тангенс угла потерь указанного конденсатора и его
добротность?
Решение. Определим сдвиг фаз между напряжением U и то-
ком /:
р 1^4. 10-3
cos <р = —— = —-1"-..- = 0,0262; с? = 88°30'.
Т VI 19,5.0,3 Т
92
Из схемы рис. 2.28, а видно, что Р = U1 cos <р = 1ЛЛ, откуда
найдем активную составляющую тока
/. = -JL = iddl = 7 85 . 10-3 а = 7 85 ш
UI 19,5 ,
Так как
/а = Ug = U — = 7,85 • 10~3 а,
Г1
ТО
19 5 • 103
_ = 2 . 103 ом = 2 ко^
1 7,85 '
Если реактивный ток
/р = / sin ср = 0,3 • 0,99966 ~ 0,3 а
и так как
I = иьс = и<йСг = 0,3 а,
то
0,3
= 49 • 10"9 ф = 49 нф.
19,5 • 6,28 • 50 • 103
Для схемы рис. 2.28, б:
Р
и
z = —
15,3 • 10~3 1 7
—-----------= 1,7 ом\
о,з2
19,5
= ------ = 65 ОМ\
0,3
|х2| = / г3 — Г2 = /653 —1,72 « 65 ом.
Отсюда
I х21 = — = 65 ом-, С2=------------5-----= 49 • 10-® = 49 нф.
1 «С, 65 • 2я • 50 • 103
Угол потерь 8 и его тангенс соответственно равны:
8 = 90° — | <Р I = 90° — 88°30'= 1 °30',
tg 8 = —= tg 1°30' = 0,0262.
2
Для схем рис. 2.28, а и б даны соответствующие векторные ди-
аграммы на рис. 2.28, в и г.
Добротность конденсатора
Qc = = 38 (или Qc = .
1,7 g /
93
2.28. По показаниям трех амперметров, включенных в цепь
(рис. 2.29), определить мощность, расходуемую в ветви, состоящей
из последовательно соединенных и Lv Показания приборов:
А — 6,5 a, Ai — 3,5 а, А2 = 4 а. Активное сопротивление г2— 30 ом.
Указание, Задачу проще всего решить, если сначала построить векторную
диаграмму.
2.29. Две параллельные ветви, сопротивления которых гг = 8ом,
xL = 6 ом, г2 = 12 ом, хс = 5 ом, присоединены к источнику на-
пряжения U = 130 в (рис. 2.30, а). Определить токи /v I2, I и эк-
Рис. 2.29 Рис. 2.30
Бивалентные параметры схемы, состоящей из последовательно со-
единенных активного и реактивного сопротивлений. Построить
топографическую векторную диаграмму. Вычислить активные и ре-
активные мощности каждой ветви и всей цепи. Найти напряжение
между точками а и Ь.
Решение. Проводимости отдельных ветвей и всей цепи вы-
числим по формулам (2.18): z
= —-— = 0,08 сим; Ьг — —7 = 0,06 сим;
82-{-62
----—— = 0,071 сим;
— 5
0,0296 сим;
= gi + g2 = 0,151 сим; Ьэ = Ьг + Ь2 = 0,0304 сим (индуктивный);
у3 = ]Л0,1512 + 0,03042 = 0,154 сим.
Токи в ветвях и в неразветвленной части цепи:
Л - 130 = 13 a; tg = 4 = 0,75; = 36°50';
Г82+62 8 \
4 = = 10 a; tg?2=^- =-0,4167;
J/12a+52 12
Л>2 = arctg(—0,4167) = — 22°40';
94
l~Uy9= 130 • 0,154 = 20 a; tg <p9= = 0,201;
<P, = 1 l°20z
На рис. 2.30, б построена топографическая векторная диаграмма:
отложен вектор [/, от него под углом ср1 в сторону отставания от-
ложен вектор тока /х и в фазе с ним вектор lrr1 = Uca (его ко-
нец— точка с), затем от вектора U в сторону опережения на угол
<р2 отложен вектор тока /2 и в противофазе с ним от точки с век-
тор — 12Г2 = U Ьс (его ко-
нец—’Точка Ь).
Параметры схемы, эк-
вивалентной заданной и
состоящей из последова-
тельно соединенных сопро-
тивлений (рис. 2.30, в), оп-
ределяются по формуле
2.19):
0,0304
0,1542
Рис. 2.31
0,151 С QQ Л
• —--------- = 6 зз ом\
9 0,1542
= 1,28 ом (индуктивный).
Активные и реактивные мощности каждой ветви и во всей цепи:
Р, = /*Г1 = 13* • 8 = 1352 вт-,
Р2 = /2Г2 = 1200 вт-,
Q, = /iXj — 132 • 6 = 1014 вар-
Q2 = /2X2 = — 500 вар-,
Р = И1 cos ?9 = 130-20- cos 11 °20' = 2552 вт-,
Q = Ш sin <рэ = 130 • 20 • sin 11°20' = 514 вар.
Проверка показывает, что Р — Рг 4- Р2 и Q = Q, + Qz-
Наконец, найдем напряжение между точками а и Ь. Оно (в при-
нятом масштабе) определяется отрезком ab (см. рис. 2.30, б):
Uab = /(7л)2 + (/2г2)2 - 2 (/л) (/2r2) cos (?, - ?2) = 112 в.
Тот же результат может быть получен непосредственным изме-
рением отрезка ab в масштабе, принятом для напряжения.
2.30. Какое напряжение приложено к цепи (рис 2.31, а), если
напряжение на конденсаторе Uc = 192 в, а сопротивления элемен-
тов цепи равны гг = 28 ом, г2 = 50 ом и хс = 96 ом?
Вычислить все токи и параметры эквивалентной схемы, состоя-
щей из последовательно соединенных элементов. Написать уравне-
ния мгновенных значений ilt i2 и «> если ис = 192 2 sin u>t в.
95
Решение. Ток, проходящий в левой ветви,
, гг г 192
— С/ — ——- — 2/ О,
1 с 96
Напряжение, приложенное к цепи,
U = Д У г?+ %с = 2 ]/ 282 + 962 = 200 в.
Ток правой ветви
Ток в неразветвленной части цепи найдем из уравнений:
= 200 —-— = 0,56 а;
1а 61 282 + 962
ha = Ugz = 200-^- = 4 а;
50
А = + 1ъа — 4,56 tz,
/ = / = — 200 —-— = — 1,92 а;
Р 282 + 962
/ = /2 + /2 = ]/Л4,562 4- 1,922 = 5 а.
Параметры эквивалентной схемы:
ёэ = gi + §2 — 0,0228 сим; b3 = bx = — 0,0096 сим;
уэ= У gl + bl — 0,0247 сим;
z3 = — = 40,4 ом;
Уэ
= 0,0228
у2э 0,02472
= 37,3 ом;
Ь3 __ —0,0096
у2э ~ 0,02472
= — 15,7 ом.
Наконец, запишем уравнения мгновенных значений всех токов и
приложенного к цепи напряжения, полагая, что угол начальной
фазы напряжения на конденсаторе равен нулю:
ис = 192 ]/2 sin (о/ в.
Ток опережает напряжение на конденсаторе ис на 90°, по-
этому \
h = Am sin W + 90°) = 2 "J/IT cos «)/ a.
96
Приложенное к цепи напряжение и отстает от тока /, на угол
<рх, определяемый из соотношения
= -=£• = -3.43; ?1 = -73"45';
и = 200 sin (со/ + 90° — 73°45') = 200 ]/2* sin (со/ + 16° 15') в.
Ток 12 совпадает по фазе с приложенным напряжением, поэтому
/2 = 4 1/2 sin (о/+ 16°15z) а.
Рис 2.32
Рис. 2.33
Рис. 2.34
Ток в неразветвленной части цепи
i = /х 4- /2 = 2 У~2 sin (otf + 90°) + 4 ]/2 sin (со/ + 16° 15') =
= 5 /2" sin (со/ + 39°5') а.
На рис. 2.31, б начерчена векторная диаграмма, в которой по
горизонтальной оси отложен вектор напряжения на конденсаторе
Uc, имеющий заданную начальную фазу, равную нулю.
2.31. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе • изме-
няется по закону иС1 = 35 sin со/ в. Написать уравнения мгно-
венных значений токов i2 и Z, приложенного к цепи напряже-
ния и (рис. 2.32), и построить векторную диаграмму. Параметры
схемы: t\ = 48 ом, хх = — 14 ом, г2 = 15 ом, х2 = —20 ом.
2.32. Цепь, изображенная на рис. 2.33, подключена к источни-
ку синусоидального напряжения U = 96 в. Сопротивления цепи
г = 4 ом, xL = 5 ом, хс = 6 ом. Определить все токи, активную
реактивную и полную мощности. Подсчитать эквивалентные сопро-
тивления схемы замещения, состоящей из последовательно соеди-
ненных активного и реактивного сопротивлений, и начертить ее.
Построить векторную диаграмму.
2.33. По реактивной катушке, сопротивления которой равны
гА = 12 ом и xL= 16 ом, проходит ток /г = 6 а (рис. 2.34). Парал-
лельно к ней присоединена ветвь, состоящая из последовательно
соединенных активного сопротивления г2 = 24 ом и емкостного
хс = 7 ом. Найти ток в неразветвленной части цепи и приложен-
ное к ней напряжение. Подсчитать параметры эквивалентной схемы,
состоящей из последовательно соединенных активного и реактив-
ного сопротивлений, и начертить ее.
97
2.34. Приемник энергии потребляет мощность Р = 2 кет при на-
пряжении U == 220 в и cost? = 0,65 (индуктивный). Частота пере-
менного тока f = 50 гц. Найти емкость и реактивную мощность
батареи конденсаторов, которые устанавливаются для того, чтобы
повысить коэффициент мощности (индуктивный) до 0,9 (рис. 2.35, а).
Решение. В приемнике энергии проходит ток
Р 2 • 1000 . .
------— -----------= 14
U cos ср 220-0,65
О)
После улучшения коэффициента мощности
(cos ср0 ~ 0,90) в неразветвленном участке цепи
проходит ток /0, который может быть найден
из соотношения (см. векторную диаграмму рис.
2.35, б)
/0 COS ср0 = / COS ср,
Рис. 2.35
откуда
определим:
0 = / = 14
cosepo
0,65
0,90
= 10,1 а.
По известным cos <р = 0,65 и cos ср0 = 0,9
ср = 49°30'; ср0 = 25°50'; sin ср = 0,760,
sin ср0 — 0,436.
Через конденсатор проходит ток /с, вели-
чина которого может быть найдена как разность проекций векторов
токов / и /0 на вертикальную ось (рис. 2.35, б):
Ic = I sin ср — /0 sin <р0 == 14 • 0,760 — 10,1 • 0,436 = 6,2 а.
Искомые емкость и реактивная мощность батареи конденсаторов:
6,2
314 • 220
« 90 МКф}
м
Qc = ICU = 6,2 • 220 1360 вар,
2.35. Для приемника энергии предыдущей задачи найти емкость
и реактивную мощность батареи конденсаторов, необходимую для
повышения коэффициента мощности до единицы.
Глава третья
СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Комплексные числа. Комплексное число, соответствующее
точке, в которой лежит конец вектора А (рис. 3.1), может быть
написано в следующих формах:
алгебраической А = аг + ja2i (3.1а)
тригонометрической А = a (cos а + / sin а);
показательной А = aeia = а ехр (/а);
полярной (угловой) А = а^а. (3.1г)
Здесь аг — a cos а = Re [Л]* (3.2a)
— вещественная часть комплексного чи-
сла А;
а2 = a sin а = Im [Д]* (3.26)
— мнимая часть комплексного числа;
. те
/ = = е 2
(3.16)
(3.1В)
Рис. 3.1
(3.2в)
— мнимая единица или оператор поворота на
угол = 90° (умно-
£
жение на / сводится к повороту вектора против часовой стрелки
на угол —
. те
а умножение на — j = е — к повороту вектора на
прямой угол по часовой стрелке);
а = | Л | = j/" а2 == = —01 (3.2г)
r sin а cos а
— модуль комплексного числа А (всегда положителен);
а = arctg (3.2д)
' ^1
— угол (или аргумент) комплексного числа. * 1
* Re и Im -- сокращенные записи английских терминов real (реальный, дейст-
вительный) и imaginary (мнимый) или соответствующих французских терминов
1 (reelle) и imaginaire, а также немецких — real и imaginar.
99
Формула Эйлера
cos а ± j sin а == е^/а.
(3.3)
Комплексное число А = ах — ja2 — ае~/а называется комплексно-
сопряженным числу А = а± + ]а2 = Произведение комплексно-
сопряженных чисел — число вещественное, равное квадрату их мо-
дуля:
АА = ае/а ае~/а — а2.
— оператор поворота на угол ср.
Умножение комплексного числа А на число сводится к по-
вороту вектора А в комплексной плоскости на угол ср: Ае^ =
= ае/ае/<р= ае/(а + (р).
2. Действия над комплексными числами. Сложение и вычитание
комплексных чисел:
А + В = + ja2) ±2 (bx + jb2) = ± bj + j(a2 ± b2). (3.4)
Умножение:
АВ = + ja2) (bt + jb2) = (axbA — a2b2) + i(a2bx + агЬ2\ =
= ae,a be1^ = abe1 (a + P). (3.5)
✓
Деление:
* /
A ___ AB ____ at ja2 ______ axbx 4~ ^2^2 । • fl2^i —«1^2 _ ae/a _____
~B ~ “ bx + /b2 “ 62 + b2 / b2 + b2 -
Возведение в степень:
*
An = (ae/a)n = ane/an = an (cos na + / sin na). (3.7)
Извлечение корня:
«/“: п/ "jZ п/ n Л
|/Д=|/ае7=|/ае , (3.8)
где k — целое число.
При п целом и положительном корень имеет п различных зна-
чений, соответствующих числам k — 0, 1,2, ..., (и — 1) (многознач-
ность извлечения корня).
3. Вращающийся вектор. Проекция вращающегося против часо-
вой стрелки с постоянной угловой скоростью о) вектора Vm на мни-
мую ось числовой плоскости дает мгновенное значение синусоидальной
100
величины v (рис. 3.2). Этот вращающийся вектор записывается в
виде Vme/(to/ + a). Угол а показывает положение вектора Vm в на-
чальный момент t = 0(Vm = Vmea). Числовая величина мнимой час-
ти выражения Vme/(<oZ'ba) дает мгновенное значение синусоидально
изменяющейся величины
Т7 • / л . X Т Гт/ /М + «)1 т
v = Vm sin (a)/ + a) = Im [Vwe J = Im \Vme ).
Символ мнимой части Im иногда опускают
и последнее выражение зап исывают в форме
v == где == — знак соответствия. Комп-
лексное число Vm — Vme* называется комп-
лексной амплитудой.
Комплексное действующее значение, т. е.
комплексное число, V = Ve/a, сопоставляемое
переменной синусоидальной величине v.
Модуль комплексного действующего значения V совпадает с дейст-
вующим значением соответствующей синусоидальной величины, а
аргумент совпадает с начальной фазой этой величины. Комплексные
амплитуда и действующее значение связаны равенством
(3.9)
Рис. 3.3
4. Источник напряжения (рис. 3.3, а) с э. д. с. е = Ewsin(a)/+e)
(амплитуда э. д. с. Ет и начальная фаза е) можно полностью оха-
• _ /е
рактеризовать, задав комплексную амплитуду э. д. с. Ет == Ете
или комплексное действующее значение э. д. с. Ё=Ее'‘ (Е —
\. У2 /
Источник тока (рис. 3.3, б) i = Jm sin + ф) полностью опре-
деляется комплексной амплитудой тока jт = Jme или его комплекс-
ным действующим значением J = Je , где J =
5. Пассивный элемент электрической цепи (рис. 3.3, в) опреде.
ляется своим комплексным сопротивлением Z = ге/? — комплексным
101
числом, равным отношению комплексного напряжения на зажимах
данного элемента к комплексному току этого элемента:
z = = г + jx = ze\ (3.10)
где (J и / —комплексные действующие значения напряжения и
тока;
г — вещественная часть комплексного сопротивления Z,
равная активному сопротивлению цепи;
х— мнимая часть Z, равная реактивному сопротивлению
цепи;
z — модуль комплексного сопротивления цепи, равный
полному сопротивлению цепи;
<р — аргумент Z, равный -углу сдвига фаз между током и
напряжением.
Отношение комплексного тока в данной цепи к комплексному
напряжению на ее зажимах называется комплексной проводимостью
электрической цепи
У == — = g — jb = ye , (3.11)
, U
где g — вещественная часть Y, равная активной проводимости це-
пи;
b — мнимая часть Y, равная реактивной проводимости цепи;
у — модуль комплексной проводимости цепи, равный полной
проводимости цепи; ср — аргумент/, равный углу сдвига
фаз между напряжением и током, взятому с обратным зна-
ком.
Комплексная проводимость обратна комплексному сопротивле-
нию цеци:
У = ±.. (312)
6. Закон Ома для не содержащего э. д. с. участка цепи, со-
противление которого Z (см. рис. 3.3, в), принимая положительное
направление напряжения, совпадающее с положительным направ-
лением тока, имеет вид
с
= = = (3.13а)
Для ветви, содержащей э. д. с. и сопротивление (йапример, для
ветви рис. 3.3, г),
/ = Уа ~~ Уд + я= + Ё = Ё Uqb , (3
%ba % %
7. Законы Кирхгофа. Для записи уравнений на основании зако-
нов Кирхгофа надо выбрать положительные направления для всех
токов и обозначить их на схеме.
102
Первый закон Кирхгофа в применении к узлу электрической це-
пи имеет вид
п
k~l
(3-14)
При записи этого уравнения токи, направленные к узлу, следу-
ет записать со знаком плюс, а направленные от узла — со знаком
минус (или наоборот).
Второй закон Кирхгофа применяется к замкнутому контуру це-
пи и имеет вид
п п
= (3.15)
£=1 k=\
п
где V — алгебраическая сумма комплексных э. д. с. источ-
&=1
ников напряжения. Со знаком плюс записываются
те из них, положительные направления которых
совпадают с выбранным направлением обхода кон-
тура; э, д. с., имеющие направления, противопо-
ложные обходу контура, записываются со знаком
. _ минус;
п
IkZk — падения напряжений на комплексных сопротивле-
ниях Zk отдельных участков. Со знаком плюс бе-
рутся те, для которых направление тока совпадает
с направлением обхода, а со знаком минус — те,
для которых направление тока противоположно на-
правлению обхода контура.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следу-
ет выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.
8. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений.
При последовательном соединении участков цепи комплексное эк-
вивалентное сопротивление равно сумме комплексных сопротивлений
отдельных участков:
п
2 = 2^-
&==1
(3.16)
При параллельном соединении ветвей цепи комплексная эквива-
лентная проводимость равна сумме комплексных проводимостей вет-
вей:
(3.17)
юз
В частном случае двух параллельно соединенных сопротивлений
и Z2 эквивалентное комплексное сопротивление
• (3.18)
“Г
Комплексные токи, проходящие в каждой из двух параллельных
ветвей, могут быть рассчитаны через комплексный ток /, проходя-
щий в неразветвленной части цепи, и комплексные сопротивления
ветвей по формулам:
9. Комплексная мощность
s = {)*=£// cos <Р + /UI sin ср = Р + jQ = Se/,f,
(3.19)
(3.20а)
где S = U1 —полная мощность;
Р = Re [S
= Re
== UI cos ср — активная мощность;
UI
Q = Im UI
Баланс мощностей
= U1 sin ср — реактивная мощность;
/ — сопряженный комплекс
тока.
k=A k=\
здесь Uk — напряжение на источнике тока (оно определяется
расчетом цепи внешней по отношению к зажимам
источника тока);
Jk—комплекс тока, сопряженный току Jk источника то-
ка;
" . *
V EkIk — алгебраическая сумма; здесь положительны те из
&=i
слагаемых, для которых направления действия э. д. с.
Ek и соответствующего тока Ik совпадают, в про-
тивном случае слагаемое отрицательно;
П
— алгебраическая сумма; здесь положительны те из
Й=1
слагаемых, для которых напряжение на источнике
тока Uk и его ток Jk совпадают по направлению
(как, например, на рис. 3.3, а—д), в противном слу-
чае слагаемое отрицательно;
104
2 Л rk — арифметическая сумма; здесь должны быть учтены
как внешние сопротивления, так и сопротивления
самих источников энергии.
Примеры приведены в задачах 3.5, 3.16, 3.20, 3.43 и 3.45.
10. Изображения источников электрической энергии. Как и для
цепей постоянного тока, источник электрической энергии перемен-
ного тока (с потерями) может быть изображен либо в виде генера-
тора напряжения (см. рис. 3.3, а), параметры которого Ег и Zr , ли-
бо в виде генератора тока (см. рис. 3.3, д) с параметрами J и Zr
(см. основные положения и соотношения гл. 1 п. 1).
Переход от генератора напряжения к эквивалентному генерато-
ру тока и обратно осуществляется по формулам:
j= + Er=JZr. (3.21)
zr
11. При расчете цепей4 переменного тока посредством комплекс-
ных чисел остаются справедливыми все методы расчета, применяе-
мые для расчета цепей постоянного тока (см. основные положения
и соотношения, гл. 1. п. 4). При этом во всех уравнениях, приве-
денных в гл. 1, все э. д. с., напряжения, потенциалы, токи, сопро-
тивления и проводимости должны быть записаны в комплексной
форме.
Примеры приведены в задачах 3.16, 3.43 и 3.45.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Различные формы записи комплексных величин.
Активная и реактивная составляющие напряжения и тока.
Последовательное, параллельное и смешанное
соединения сопротивлений.
Активная, реактивная и полная мощности.
Векторные и топографические диаграммы
3.1. Записать в показательной, тригонометрической, алгебраичес-
кой- и полярной формах выражения комплексных действующих зна-
чений тока и напряжения, мгновенные значения которых:
и = 100 У7Г sin (о)/ + 15°) в;
i — 5 1/2” sin (о/ — 20) а.
3.2. Пользуясь счетной линейкой, представить в показательной
форме следующие комплексные числа:
1) 3,2 ±/ 1,25; 2) 1,25 ±/3,2; 3) -3,2 ±/1,25; 4)—1,25±
± / 3,2; 5) 3,2 ± j 12,5; 6) 3,2 — / 0,125; 7) 0,125 + / 3,2;
8) —0,125 ±/3,2; 9) 0,32-/ 1,25; 10) 23+ /0,06; 11) —2,8 —
— /64.
105
. 3.3. Пользуясь счетной линейкой, записать в алгебраической
форме следующие комплексные числа:
1) 32е±/19°; 2) 32е±/71°; 3) 32е±/161°; 4) — 32e±/2O8S';
5) 32е±/87°25'; 6) З2е/О°43'; 7) 32е-'°°12’; 8) 32е/92°35' ; 9) 32е~'177°25';
10) 7,3е—/86°40'; 11) 150е',91°; 12) 28е~/97°30'; 13) е>; 14) 10е_/°’5-
Указание. См. приложение П2.
Рис. 3.4
3.4. Приборы, подключенные к цепи (рис.
3.4), дали следующие показания: U = 65 в\
I ^5 а\ Р = 300 вт.
Вычислить комплексные сопротивления Z и
комплексные проводимости Y цепи для случа-
ев: а) <р > 0; б) с? <0.
Решение. Модуль сопротивления и его
аргумент определяются по формулам
= “.= 13
I 5
ом\
cos <f> = — == — = 0,923; <р = ± 22°40'.
UI 65-5
Искомые комплексные сопротивления и проводимости цепи:
а) <р > 0:
Z = ге" = 13е/22°40' = 13 cos 22°40' + / 13 sin 22°40' ==
= 13 • 0,923 + / 13 • 0,385 = (12 + /5) ом;
S3E
1
13е/22“4°'
— /22°40'
= 0,077е = (7,1 —/2,96) 10"2 сим;
б) tf><0:
Z = 13е~ /22°40' = (12 — /5) ом;
Y = (7,1 + /2,96) • IO’2 сим.
3.5. Комплексное напряжение и ток пассивного двухполюсника
имеют
U « (80 + / 60) в и I =* (24 — j 7) а.
Вычислить комплексные сопротивление Z, проводимость Y и
указать, каковы эквивалентные параметры двухполюсника. Чему
равен сдвиг фаз между напряжением и током? Определить актив-
ную и реактивную составляющие напряжения и тока, активную,
реактивную и полную мощности. Построить векторную диаграмму
напряжений и токов.
106
Решение. Запишем комплексные напряжение и ток в показа-
тельной форме и изобразим их на векторной диаграмме (рис. 3.5):
U = V 80* + 60* e/arctg “ = ЮОе736’80’ в (<ру - 36°50');
t____________ . 7
• _ } arctg ~
I = V 24* + 7* е 24 = 25е а (<?, = —16° 15').
Комплексное сопротивление определяем по формуле (3.10):
Л 1ПЛ J36°50' , коовг
U 100е л / 33 5 /л л > . о
2 -- _____ — 4е (2,4 + /3,2) ом.
1 ZOc
Следовательно, эквивалентными пара-
метрами цепи являются активное сопро-
тивление г = 2,4 ом и индуктивное сопро-
тивление х = 3,2 ом, соединенные после-
довательно.
Комплексная проводимость цепи опре-
деляется по формуле (3.12);
Y = — =------------= (0,15 — / 0,2) сим.
Z 2,4+ /3,2 V '
Рис. 3.5
Эквивалентные параметры цепи: активная g = 0,15 сим и реак-
тивная (индуктивная) b = 0,2 сим проводимости, соединенные па-
раллельно.
Угол сдвига фаз между напряжением и током (он же аргу-
мент Z)
ср = ?(/ — =« 36°50' — (— 16° 15') = 53°05'.
Активные и реактивные составляющие напряжения и тока:
t/a = U cos ср = 100 cos 53°5' 60 в\
Uq = U sin ср = 100 sin 53°5Z« 80 в;
/а = / cos ср = 25 cos 53°5' ж 15 а;
/р = / sin ср = 25 sin 53°5'« 20 а.
Необходимо обратить внимание на то, что вещественные и мни-
мые составляющие комплексных напряжения и тока в общем случае
отличаются от их активных и реактивных составляющих.
Активная, реактивная и полная мощности:
р = Рг — 252 • 2,4 — 1500 вт = 1,5 квт\
Q = р% = 25а • 3,2 = 2000 вар = 2 квар\
S = UI = 100 • 25 = 2500 ва = 2,5 ква.
107
Те же мощности можно определить по формуле (3.20а):
S = Р + jQ = U* = (80 + / 60) (24 + / 7) =1500 + / 2000.
3.6. Дать ответы на вопросы предыдущей задачи при:
a) U = (— 40 + j 40) в,
1 = (2 + /4)а;
. тс
б) и = — ЮОе в,
i = (7 + / 24) а;
») i
Рис. 3.6
' з • 6
в) U = 120е в, / = бе а.
3.7. Последовательно с катушкой, па-
раметры которой г = 3 ом, L = 25 мгн,
включен реостат сопротивлением г = 10 ом
(рис. 3.6, а). Определить напряжение на
катушке UK, его сдвиг фазы по отноше-
нию к приложенному напряжению, а так-
же мощность, расходуемую в катушке. К
цепи подведено напряжение U = 120 в, f =
=50 гц. Построить векторную диаграмму
напряжений и тока.
Решение. Комплексное сопротивле-
ние всей цепи
Z = г + г, + jwL = 13 + /7,85 = 15,2е/3'°5 ом.
Направим вектор U по оси вещественных чисел, т. е. U = U =
= 120 в.
Комплексный ток по формуле (3.13а)
U
120
15,2е731°5'
—/31°5'
Напряжение на катушке
Т1 17 7 О<-' 31°5' /Q ! *7 7 7 31°5' О Л 7 б9°5'
с7к = 7^к = 7,9е (3 + j 7,85) = 7,9е • 8,4е =
„ л 7380
== 66,4е в.
Оно сдвинуто по фазе по отношению к приложенному напряже-
нию на угол ср = 38°. Векторная диаграмма приведена на рис. 3.6,6.
Мощность, расходуемая в катушке,
Рк = Re [с/к/ ] = Re [66,4 е/38° • 7,9е/31°5'] = Re [ 525ez 89°5'] =
= 525 cos 69°5' = 187 вт.
108
Та же мощность может быть подсчитана и другим путем:
Рк = /V = 7,92 • 3 = 187 вт.
3.8. Катушка, параметры которой = 4 ом и = 10 мгн, сое-
динена последовательно с другой катушкой, имеющей активное со-
противление г2 = 5 ом и индуктивность L2 = 1,4 мгн. Катушки
включены на синусоидальное напряжение U = 120 в частотой 7 =
= 1000 ац. Вычислить напряжения на каждой катушке, сдвиг фаз
между ними, а также относительно приложенного напряжения
мощности, расходуемые в каждой из них.
3.9. Последовательно с реостатом, сопротивление которого гг =
= 40 ом, соединена реактивная катушка с активным сопротивлением
20 ом. Через катушку проходит ток I = 2 а, а общее напряже-
ние, приложенное к цепи, U = 122 в. Частота тока f = 50 кгц,
Определить индуктивность катушки.
Рис. 3.7
Рис. 3.8
3.10. Электрическая цепь (рис. 3.7) состоит из активного сопро-
тивления гх = 7 ом и пассивного двухполюсника АВ, содержащего
последовательно соединенные активное сопротивление г — 8 ом и
конденсатор емкостью С == 125 мкф. Напряжение, приложенное к
цепи, U = 120 в. Угловая частота со = 1000 сект1. Чему равен ток,
проходящий в цепи, и какова мощность, расходуемая в двухполюс-
нике?
3.11. Какое напряжение приложено к цепи (рис. 3.8), если ам-
перметр показывает ток / = 0,8 а, а сопротивления ее элементов
а = 12 ом\ —!— = 5 ом\ г2 = 132 ом: —-— = 12 ом?
1 wCi <оС2
3.12. В цепи рис. 3.8. напряжение Ux на участке Сг равно
24 в. Сопротивления и емкости равны = 30 ом, г2 ~ 40 ом, Сг =
= 5 мкф, С2 = 1 мкф. Угловая частота со = 5000 сект*. Чему равно
напряжение, приложенное к цепи?
Решение. Реактивные сопротивления и комплексные сопро-
тивления первого участка и всей цепи:
1 1
=------=----------------= 40 ом*,
wCj 5000 • 5 • 10-е
109
xC2= —-— = 200 ом;
<оС2
Zr = гх — /хС1 = 30 — / 40 = 50е~' 53°10' ом;
Z = rx + r2 — i (хС1 + хс2) = 70 — / 240 = 250е“173°45' ом.
Примем аргумент комплексного напряжения на первом участке
/о°
равным нулю: UY = = 24 в. Тогда комплексный ток в цепи
24
5Ое-''53°10'
Л /53°10'
= 0,48е
Приложенное напряжение
Л _ /53°10' —/73°45' —/20°35'
U = IZ = 0,48е • 250е = 120е в.
3.13. Напряжение (72 на участке г2, С2 равно 40 в (см. рис. 3.8).
Чему равны приложенное к цепи напряжение и расходуемая в ней
мощность? Даны: гх = 10 ом, г2 = 7 ом, —-— =120 ом и —!— =
wCi шС2
= 24 ом.
3.14. К напряжению U = 127 в подключены
последовательно соединенные катушка индуктив-
ности (гг = 10 ом, xL = 50 ом) и конденсатор с
потерями (r2 = 1 ом, хс = 30 ом). Определить ком-
плексные напряжения на катушке иг и конденса-
торе U2 и сдвиг фаз между ними (рис. 3.9).
3.15. Цепь (рис. 3.10, а) питается источником
переменного тока J = 5 а. Построить топографи-
ис* ‘ ческую векторную диаграмму и определить по ней
напряжение между точками а и d, b и е, с и f, а
также напряжение источника тока. Даны: = 10 ом, = 6 ом,
Рис. з.ю
НО
&L2 =»= 18 ом, r2 «= 10 ом, r3 = 14 ом, ------= 7 ом, r4 = 6 ом,
O)C3
—i— = 8 ом.
C0C4
Те же напряжения вычислить аналитически.
Решение. Топографическая диаграмма — геометрическое место
потенциалов ср всех точек цепи, отложенных от общего начала ко-
ординат— точки нулевого потенциала (в рассматриваемом примере
от точки f, так как на схеме точка f заземлена; естественно при-
нять ее потенциал ср/==О).
Построение диаграммы показано на рис. 3.10,6. Примем началь-
ную фазу тока равной нулю и в некотором масштабе отложим по
горизонтальной оси вектор тока, полагая J == /.
Начало координат отметим точкой f (еру = 0). Комплексный по-
тенциал точки е определяется законом Ома
?/+<>./ = <?/+/(-/
Численное значение второго слагаемого Uef правой части напи-
1 7
санного равенства Uef — I----= 5 • 7 = 35 в откладываем в выб-
J <яС
ранном масштабе напряжений (см. рис. 3.10,6) от точки f в на-
правлении— /7, т. е. в направлении, определяемом поворотом век-
тора тока / на прямой угол по часовой стрелке. Конец построенно-
го вектора Uопределяет точку е топографической диаграммы. Точ-
но так же определяется потенциал точки d:
<?d = <?e + ude = <?е + ir3.
Численное значение второго слагаемого (Ude) равно Ude = Ir3 *=
= 70 в и откладывается в направлении / от точки е к искомой точ-
ке d. Аналогично строятся-потенциалы точек с, b, a, h.
Для построения точки g определяем ее потенциал:
<Pg = + Ugf = Ъ - Ugf = Ъ
Вычислив значение 1г4 •== 30 в, откладываем его в направлении,
противоположном направлению тока /, до точки g (см. рис. 3.10,6).
Потенциал точки I
Значение/—-— = 40в откладываем в направлении //, т. е. в
(О С4
направлении, повернутом против часовой стрелки на угол п/2, что и
111
определяет искомую точку I диаграммы. Для нахождения напряже-
ния между- какой-либо парой точек в цепи следует соединить меж-
ду собой соответствующие точки на диаграмме; длина полученного
отрезка в выбранном масштабе даст искомое напряжение. Так, t/ad =
= 130 в; Ube— 150 в; UCf= 125 в, напряжение источника тока Uhl =
= 205в.
Те же результаты могут быть получены аналитическим путем:
Vad — 11 г2 + /<» Lb + Li | =/Г Гг + (coL2 + Ш Li)2 = 130 в;
ъе = 11 f2 + r3 + / ® Li | = 150 в;
(0 Cg
= 125 в;
Рис. 3.11
3.16. Параметры цепи, изображенной на рис. 3.11, а, имеют
следующие значения: = 8 ом, хх = Ъом, г2 = 12 ом, Хс2 = 5 ом.
Вычислить комплексные токи /, I19 12 и мощность, потребляемую
цепью, если U = 130в. Найти напряжение между точками а и Ь.
Построить топографическую векторную диаграмму.
Решение. Примем U = U = 130 в, тогда
/;=£. = J2o_ = 10 4 7 8 = 13 -/Зв»»,’
1 Zi 8-J-/6
4 = — = —= 9,23 + /3,84 = 10 е/22°40’ а-
12 —/5
/ = Д + /2 = 19,6 — / 3,96 = 20 е_/11°20' а.
112
Мощность, потребляемая цепью,
= Re [130 • 2ОеЯ1°20'] =
130 • 20 cos 11° 20' = 2550 вт.
Проверка.
р = /2Г1 + /|г2 = 132 • 8 + 102 • 12 = 1352 + 1200 « 2550вт.
Найдем напряжение между точками а и Ь:
<?d — <?a = ^da = hfl,
Вычитая первое выражение из второго, найдем
йаЬ = (?</ — ъ)—(?d—?«) = А (—/хС2)—ixrt =
Рис. 3.12
= — / 5 (9,23 + /3,84) —8 (10,4—/ 7,8) = — 64 + / 16,2 - 66 е'165°50' в.
Для построения топографической векторной ди-
аграммы поступаем так: на основании проведенного
расчета откладываем векторы токов /2 и /; ве-
кторы составляющих напряжения на отдельных
участках цепи отложены на диаграмме в том же
порядке, в каком следуют на схеме соответствую-
щие элементы цепи (рис. 3.11, б).
3.17. Определить токи во всех ветвях цепи,
показанной на рис. 3.12 при U = 100 в, i\ = \2ом,
хг = —16 ом, г2 = 7 ом, х2 =—24 ом. Построить
топографическую векторную диаграмму.
а) Определить показание вольтметра при условии, что током,
проходящим через вольтметр, можно пренебречь по сравнению с то-
ками ветвей. Чему будет равно показание амперметра, включенного
вместо вольтметра между точками а и Ь?
б) Что покажет вольтметр, если сопротивления г2 и х2 поменять
местами?
ЗЛ8. При каком напряжении U, приложенном к цепи (рис. 3.13),
вольтметр V покажет напряжение, равное 50 в? Частота / — 50 гц.
Параметры цепи: г\ = 5 ом, г = 4 ом, г2 = 10 ом, L = 20 мгн, С =
= 150 м,кф. Током вольтметра пренебречь в сравнении с токами
цепи.
3.19. Найти токи в ветвях и неразветвленной части цепи
(рис. 3.14), если приложенное напряжение U = 220 в, а сопротив-
ления: гг = 55 ом, г2 = 7 ом, х2 = 24 ом, х3 = — 44 ом. Построить
векторную диаграмму.
3.20. В цепи (рис. 3.15, а) даны: U = 120 в, Z = i\ + jxx = (10 +
+ / 6) ом, Z2 = г2 + jx2 — (24 — / 7) ом, Z3 = г3 + /х3 = (15 + / 20) ом.
Б—222
113
Определить токи 7Х, /2, /8, активные и реактивные мощности всей
цепи и отдельных ветвей. Построить векторную диаграмму.
Решение. Полное сопротивление цепи
= 24,4 +
= ю . /6 . (24-/7) • (15 +/20)
"Г 39 +/13
+ /10,8 = 26,7 е/23°55’ол4.
Рис. 3.15
В неразветвленной части цепи проходит ток
120
26,7 е'’23°55'
= 4,5 е-'23065’ а.
Токи в параллельных ветвях могут быть выражены через ток в
неразветвленной части цепи (см. формулы 3.19):
4,5 e"'23’65'
/3 — /А
4" 2g
15 + / 20
39 + / 13
= 2,74 e'I0W а;
== 4,5е
—/23°55*
24-/7
39 4-/ 13
= 2,74е-/68О35'а
114
Токи 12 и 7g можно было бы найти и другим путем:
U.„ - I, 2«s - /,-«!_ - 4,5
ab 1 ab Z2 + Z3 39 + / 13
= 68,4 e-'5’30' r,
7 _ Uab — 68»4 e~~/5°30' _ о 74 /10’45'
/2 — 22 24-/7 ~2,74 e a'
' — йдъ — 68’4 e 75°30' _ 2 74—z58035' a
8 Za 15 + / 20
Найдем активные мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:
Р = Re U L = Re [ 120 • 4,5 е723’55'] = 120 • 4,5 cos 23°55' = 494 вт,
4 L
Рх = /Зг, = 4,52 • 10 = 202 вт; Р2 = /|г2 = 180 вт; Р3 — 1%г3 =112 вт.
Проверка показывает, что Р = Рх 4- Р2 + Р&-
Наконец, определим реактивные мощности всей цепи и отдельных
ее ветвей:
Q = Im [17 *] = Im [120 • 4,5 е723065'] = 120 • 4,5 sin 23°55' = 218еар;
Qx = /2 Xj = 4,52 • 6 == 122 вар, Q2 = х2 = — 52,5 вар,
Q3 = х3 = 150 вар.
Учитывая, что Qt и Q3 положительны (реактивная мощность кату-
шек), a Q2 отрицательно (реактивная мощность конденсатора), полу-
чим
Q = 122 —52,5 + 150 « 218 вар.
На рис. 3.15, б приведена векторная диаграмма. Порядок ее
построения таков: по результатам расчетов отложены векторы токов
4, /2 и /3; затем по направлению отложен вектор /г гА и перпен-
дикулярно к нему в сторону опережения — вектор / х^ /1. Их сумма
дает вектор IyZ±. Далее в фазе с /2 построен вектор 12г2 и перпен-
дикулярно к нему в сторону отставания (так как х2 отрицательно) —
вектор /х2/, а их сумма дает вектор напряжения на параллельном
участке U аЬ. Тот же вектор может быть получен, если в фазе с /3
отложить /3г3 и к нему прибавить вектор ix3Iz, опережающий /3
на гс/2. Сумма векторов I^Zr и Uab дает вектор приложенного напря-
жения.
3.21. Определить токи во всех частях цепи, показанной на
рис. 3.15, а, при U == 100 jwe, Zx = (110 + j 160) ojh, Z2 = (5O—
— /150) ом, Z3 = (200 + /150) ом.
5*
115
3.22. Чему равно напряжение U, подключенное к цепи (рис.
3.16), если известно, что через сопротивление Z3 проходит ток /3 =
= 2 а? Чему рдвен сдвиг фаз между приложенным напряжением и
напряжением между точками а и Ь. Сопротивления: = 27 ом, х, =
=—25 ом, г2= 30ом, х2—— 18 ом, гг= 20 ом, х3= 30ом. Вычислить
активную и реактивную мощности. Построить векторную диаграмму.
Указание. Решение удобно начинать с вычисления напряжения между точ-
ками а и b (даь = > а затем токов /2 и Д и напряжения U.
Рис. 3.16
Рис. 3.17
Рис. 3.18
3.23. В неразветвленной части цепи (рис. 3.17) проходит ток,
изменяющийся по закону = 12 sin со t а. Сопротивления элемен-
тов цепи: соЛг = 22,5 ом, г2 = 40 ом, &L2 = 100 ом, —-— = 20 ом.
со С3
Вычислить действующие значения всех токов и приложенного к
цепи напряжения; написать для них уравнения мгновенных значений.
Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
3.24. Параметры цепи (рис. 3.18): г2 = 40ол1, х2 == Ю0 ом, х3 =
= — 20 ом. Определить величину и характер реактивного сопротив-
ления Zx, если известно, что оно чисто реактивно и через него про-
ходит ток /х = 12 а, а напряжение, приложенное к цепи, U =30 в.
Решение. Сопротивление разветвленной части цепи
аЬ
(40 + / 100) ( — j 20)
40 + j 80
— (2 — / 24) ом.
Общее сопротивленце цепи
с/ зо о с
z = — = — = 2,5 ом.
I, 12
Оно может быть выражено и так:
z = ]/ 2а + (Xj — 24)2 = 2,5 ом,
Отсюда (xj — 24)2 = 2,25, или хх — 24 = ± 1,5.
Возможны два решения задачи: искомое сопротивление имеет
индуктивный характер и равно либо x't — 25,5 ом, либо х’ = 22,5 ом.
116
3.25. Амперметр, включенный в неразветвленную часть цепи (рис.
3.19), показал ток / = 2,4а, а вольтметр — напряжение U =120 в.
Известно, что сопротивление Z1 представляет собой реактивную ка-
тушку с активным сопротивлением гг = 7 ом. Определить величину
индуктивного сопротивления этой катушки, если известны:
Г2 == 20 ом, toL2 = 30oM, г3 = 10 ом,—!— = 20 ом.
Рис. 3.19
Рис. 3.20
3.26. Цепь рис. 3.19 имеет параметры: = (6 4- /8) ом, Z2 =
= (20 — j 8) ом, Z3 = (10 + /8) ом. Через сопротивление Z1 проходит
ток /х = 6 а. Вычислить остальные токи и напряжение, приложенное
к цепи.
Указание. Вычислить полное сопротивление всей цепи Z, затем приложен-
ное к ней напряжение U = IrZ и, наконец, по формулам (3.19) определить токи
/2 и ^з-
3.27. Вычислить все токи в цепи (рис. 3.20) и построить вектор-
ную диаграмму, если известно, что напряжение U = 120 в,
со L = 12 ом,
= 20 ом, Za = гп = 40 ом.
3.28. Через сопротивление нагрузки ZH = (25 4- j 60) ом проходит
ток /н = 0,4а (см. рис. 3.20). Определить все токи и приложенное
к цепи напряжение U. Сопротивления элементов цепи равны: —!— =
(О С
= 40 ом, со L = 10 ом. По-
строить векторную диа-
rjpaMMy токов и напряже-
ний.
3.29. Каким активным
сопротивлением г2 следует
зашунтировать сопротивле-
ние ZA = г} 4- Мр чтобы
ток, проходящий через Zp
отставал от приложенного
напряжения U на 90° (рис
Рис. 3.21
I I7
3.21)? Сопротивления: г = 5 ом, х ®= 11 ом, rt == 10 ом, хг = 25 ом.
Построить векторную диаграмму.
Р е ш е н и е. Обозначим:
Z = г + j х; Z1 = r1 + j х±; Z2 = r2.
Ток в неразветвленной части цепи
U + Z2)
1 + ^1^2 4“
Через сопротивление Zr проходит ток
Для того чтобы ток /х отставал по фазе от напряжения U на
90°, знаменатель последнего выражения должен быть чисто мнимой
(по знаку положительной) величиной.
Выпишем этот знаменатель и выделим в нем вещественную и
мнимую составляющие:
Вещественную часть полученного выражения приравняем нулю:
отсюда
Г + г, + - О,
xXi — rr\ 25 • 11 — 5-10 < с „
г == —1----L =-------------- — 15 ом,
2 г 4- Г1 5 4-Ю
Векторная диаграмма представлена на рис. 3.21, б.
3.30. К напряжению t/=40e подключены два последовательно
соединенных комплексных сопротивления Zt = (3 + / 13) ом и Z2 =
= (10 4- /40) он. Определить, каким чисто емкостным сопротивлением
следует шунтировать сопротивление Z2, для того чтобы ток в не-
разветвленной части цепи (т. е. в сопротивлении ZJ совпал по фазе
с приложенным напряжением. Вычислить при этом все токи и пост-
роить векторную диаграмму.
У Казание. Комплекс полного сопротивления цепи должен быть веществен-
ной величиной, иными словами, мнимую составляющую комплекса полного сопро-
тивления необходимо приравнять нулю.
3.31. В цепи (см. рис. 3.21, а) известны: г = Зом, х = 9ом, =
= 20 он, х± = 10 он. Найти, при каком сопротивлении г2 ток в не-
разветвленной части цепи будет сдвинут по отношению к приложен-
ному напряжению на угол, равный 45°.
118
Указание. Следует вычислить комплекс полного сопротивления
схемы = r8 + j х3, в котором надо принять отношение
= 1 (т. е. tg <р9 = tg 45° =
'э \ г3 )
3.32. Показать, что при угловой частоте <о = —— ток / в
V2LC
неразветвленной части цепи рис. 3.22 при любых значениях актив-
ного сопротивления г является величиной постоянной и равняется
iL, а фаза тока (при изменении г от 0 до оо) изменяется в пре*
делах от Ч-я/2 до —гс/2.
Рис 3.22
Рис. 3.24
Рис. 3.23
Какую емкость С следует включить в цепь для регулирования
фазы при f = 50 гц, если ьндуктивность цепи равна 5 гн? Начертить
кривую изменения фазы в зависимости от г при его изменении от 0
до 1000 ом.
3.33. Из теории'известно, что мост (рис. 3.23) будет уравнове-
шен, если Z1Z4 = Z2Z3. Пользуясь этим условием, определить ве-
личину емкости С4, при которой ток в гальванометре отсутствует.
Известно, что Z1 = 200ojh, Z2~ 100 ом и Z3 =—j 120 ом. Частота
переменного тока f = 50 гц.
3.34. Для определения индуктивности катушки Lx применяется
мост, схема которого изображена на рис. 3.24. Величины гг, г2, г3
и L3 известны.
Показать, что при равновесии моста одновременно должно быть
удовлетворено равенство трех отношений:
Г1 __ г3 ^3
r2 rx Lx
Замечания: 1. Катушка индуктивности Lx всегда обладает активным со-
противлением, величина которого при небольших частотах может быть определена
путем измерения на постоянном токе. При высоких частотах, когда резко выра-
жен поверхностный эффект, активное сопротивление г проводника круглого сечения
при переменном токе может быть определено по формуле
119
где г0 — сопротивление проводника при постоянном токе; а — радиус проводника;
<о — угловая частота тока; р.а — абсолютная магнитная проницаемость; а — удель-
ная электрическая проводимость проводника.
2. Сначала уравновешивают мост на постоянном токе, добиваясь равенства
Гч Г Q
—~ , а затем его уравновешивают при переменном токе (при этом сопро-
Г2 ГХ
тивления /j и г3 не меняют, а и изменяют одновременно так, чтобы сохра-
гз \
нялась пропорция — =------I. ,
Г2 гх /
Обычно на практике для возможности регулировки моста последовательно с
катушкой (LXt гх) включают дополнительно регулируемое активное сопротивле-
ние. и потому под гх надо понимать сумму сопротивлений катушки и этого до-
полнительного сопротивления.
Рис. 3.25
поэтому
3.35. Для определения емкости и потерь мо-
щности в диэлектрике конденсатора (Сх, гх) при
высоком напряжении используется схема моста,
изображенного на рис. 3.25. Величины гх, г3, С3
и С4 известны.
Показать, что
___Г1 0 + 0)2 ^3 гз) р_ ^4 гз
?х — ———- , Сх — - - .
ri (1 + 0)2
Замечания: 1. На практике величина <о2 Cj < 1,
2. Обычно падение напряжения на сопротивлении q и в параллельных ветвях
г8, С3 мало по сравнению с падением напряжения в плече Сх, гх и на С4, по-
этому напряжение на обкладках испытуемого конденсатора Сх можно принять рав-
ным £/; в этом случае потери в диэлектрике конденсатора Сх равны:
U'2 <о2С3С4г|
77 = ~ ’
3.36. Для определения параметров эквивалентной схемы конден-
сатора с потерями (С2 и г2) собран мост по схеме рис. 3.26, ко-
торый уравновешен (Z1Z4 = Z2Z3). Чему равны С2 и г2, если извест-
но, что гА = 2500 (ш, г3 = 10 (Ш, L3 = 1 гн, г4 = 800 ом?
3.37. На рис. 3.27 изображена схема моста, используемого для
измерения частоты. Показать, что при равновесии моста
1
(О = —zz=z •
Г4 с 2 С4
3.38. Параметры цепи (рис. 3.28, а) равны:
2, = + j = (10 + j 80) ом, Z = г + / х = (50 + / 60) ом,
Z2 = г2 = 40 ом.
120
При каком активном сопротивлении г3, включенном в диагональ
моста, ток /lt проходящий через каждое из сопротивлений Zx, бу-
дет сдвинут по отношению к вектору приложенного напряжения
U » 154 в на угол ср = 90°? Для этого случая найти все токи и по-
строить векторную диаграмму напряжений.
Рис. 3.26
-0 0-
Рис. 3.27
Рис. 3.28
Указание. Надо составить систему уравнений Кирхгофа, решив которую,
найти комплексный ток 1г. При решении учесть, что токи в противоположных
ветвях (ad и Ьс, а также ab и de) равны друг другу. Чтобы /х было сдвинуто
по фазе по отношению к U на 90°, надо приравнять нулю вещественную состав-
ляющую в выражении для тока
В результате решения должно быть получено
xxi — гг2— ггх — 2/1/*
По вычисленным значениям на рис 3. 8, б построена векторная диаграмма.
3.39. Для цепи (рис. 3.29) вычислить комплексный коэффициент
передачи—отношение напряжения U2 на ее выходе к напряжению
Ux на входе цепи. Даны: г, = 50 ом, га=150 ол, xCt = 80 ом,
хо — 100 ом. Зажимы 2-2' разомкнуты.
’•Я
121
Каким будет коэффициент передачи, если к зажимам 2-2 подклю-
чить активное сопротивление: а) 125 ом\ б) 1250 ом?
3.40. Вычислить величину активного сопротивления г2, которое
надо подключить к зажимам 2—2' цепи (рис. 3.30), чтобы отноше-
ние напряжения U2 на нем к напряжению Ut на входе цепи равня-
лось k. Числовой расчет проделать при гх = 100 ом, хс = 50 ом,
k=U2: U±== 0,2.
Решение. Входное сопротивление всей цепи
где
Вычислим напряжение U2, для чего сначала найдем токи:
Отсюда находим отношение комплексных напряжений:
а отношение модулей напряжений:
122
Подставляя числовые значения, после простых преобразований
получим квадратное уравнение относительно г3:
— 10г 2 — 500 = 0.
Решение этого уравнения дает величину искомого сопротивле-
ния г2 » 28 ом.
3.41. В схеме рис. 3.31 даны: гг = 25 ом, г3 = 5 ом и хс = 15 ом.
При какой величине активного сопротивления г2 отношение модулей
напряжений U2 : U1 = 0,4?
Рис. 3.32
Рис. 3.31
3.42. Сопротивление цепи (рис. 3.32):
Zx = 18 ом, Z2 »= 12 ом, Z3 = (35 + /15) ом,
Z4 = (10 + / 15) ом и Z5 = (20 — / 30) ом.
Чему равно отношение напряжения Ucd на нагрузочном сопро-
тивлении Z = 25 ом к напряжению Uab, подведенному к цепи?
Б. Применение различных методов к расчету цепей
синусоидального тока
3.43. В цепи рис. 3.33, а даны: Zx = Z2 = (50 + /30) ом, Z3 =
= 100 ом, Ег = 100 в, Е2== 1ООе“/зо°в. Положительные направле-
ния э.д.с. показаны на схеме стрелками. Определить все токи: а) ме-
тодом контурных токов; б) методом узловых потенциалов; в) мето-
дом эквивалентного генератора напряжения определить ток, прохо-
дящий по ветви Z2. Проверить баланс активных мощностей.
Решение, а) Выберем направления контурных токов согласно
рис. 3.33, а. Система уравнений по методу контурных токов
3 1 (^1 4“ *з) 4“ ^2 ^3 — ^1»
^1^3 4” ^г(^2 4~.^3) = ^2*
Решая эти уравнения, получим:
J (Z2 + Z3) — ^2 Z3 = 100 (150 + j 30) — 1ООе~/зо° • 100
1 ZXZ2 + Z2Z3 + Z±Z3 (50 + j 30)2 + 2 (50 + / 30) 100
123
^2 (%i Н~ Z8) Si *з q 452с—^5°
^1^2 4" ^2^3 4" 2jZ
Токи в ветвях:
/,= \ = 0,693e/I3OS0’a, /? = j2 = О,452е-'850 20'а;
/3 = Л + Л = 0,693е/|3°50' + 0,452е-/85°20 = 0,77е-/2,О5°' а.
Рис. 3.33
Уравнение баланса мощностей
или
Re 1100 • 0,693е-/13°50’ ] + Re [100е-/3°° • 0,452е/85О2°'] =•
= 69,3 cos 13° 50' + 45,2 cos 55° 20' = 0.6932 • 50 +
+ 0,4522 • 50 + 0,772 • 100,
или 66,4-4-25,8=24+ 10,2+59, т. е. получено тождество 93,2=93,2.
б) При решении задачи по методу узловых потенциалов вначале
определяем напряжение между точками 1 и 2:
100-------+ 100е“ /30° •-----
Е1У1+ЕгУ2 50 +/30 50 +/ 30
С/ 19 —— ’ — ” ”
Г1 + К2+Г3 1 1 , 1
50 + j 30 + 50 + j 30 100
= (71,5 — /28,6) в.
124
Токи в ветвях находим по закону Ома:
4 = (Д — ()12) KL= (100 —71,5 + /28,6) (0,0147 —/0,00884) =
= О.бЭЗе'130 50' а-,
7г = (£2 —/)12) У2 = (86,6 — /50 — 71,5+ /28,6) (0,0147-/0,00884) =
= О,45е-/8б° 20'а;
h = ^12 Ys = 77е-/21°50' • 0,01 = 0,77е“'8,° а;
в) Для определения тока /2, проходящего по Z2, по методу экви-
валентного генератора напряжения надо найти э.д.с. Ег эквивалент-
ного генератора и его сопротивление Zr (рис. 3.33, б).
Для определения Ет отключим ветвь Z2 (рис. 3.33, в) и вычис-
лим напряжение холостого хода (между точками 3 и 1):
г = —Iv , о12 = /' Z8 = Ет =• = (64,2 - / 12,8) в.
Эквивалентное сопротивление генератора (рис. 3.33, г)
z-3-'- = -(50 + 130) 10°- = (35,9 + /12,8) ом.
Z1 + Z3 150 + j 30
Искомый ток (см. рис. 3.33, б)
43 ’5е /59° = 0,4536-'850 301
’ _ Е2 — Ег = 43,5е~~/59° ____________
2~~ Z2 + Zr ~~ 85,9 +/.42,8 ~ 96е/26°30,
3.44. В схеме рис. 3.33, а известны Ег = Е2 = 400 в, т. е. гене-
раторы синхронизированы, а внутренние сопротивления генераторов
равны: Zr = (0,04 + /0,2) ом, Z2 = (0,06 + /0,3) ом. Сопротивление
нагрузки Z3 = (2,4 +/3,2) ом. Определить все токи методами, ука-
занными в предыдущей задаче.
3.45. В цепи рис. 3.34, а найти токи и проверить баланс мощ-
ностей.
Задачу решить методами: а) контурных токов, б) узловых потен-
циалов, в) преобразованием генератора тока в эквивалентный гене-
ратор напряжения, г) методом эквивалентного генератора напряже-
ния найти ток в ветви v д) то же в ветви г2.
Даны: Ег = 20 в, 1\ = 500 ом, г2 — 300 ом, г3 = 400 ом, xL =
= 600 ом, хс = 250 ом, J = 40 ма. \
Решение, а) В схеме имеется NB == 5 ветвей, AZy = 3 узла,
NT = 1 источник тока. Согласно формуле (1.10) число независимых
уравнений составляемых по методу контурных токов К = NB — +
+ 1—NT = 2. Выберем направления контурных токов и 32 и то-
125
Рис. 3.34
ка источника тока J, как это показано на рис. 3.34, а. Составим
уравнения для первого и второго контуров:
<7j [fi Н" “Ь
2
(1)
[Гг + гз'+ ixL — /хс) — Зх (г8 + ixL — /Хс) + J [г2 — /*с) = 0. (2)
Подставляя в эти уравнения исходные числовые значения и пе-
ренося известные величины в правые части уравнений, получим
(900 + / 350) Зг — (400 4- 7 350) 32 =. 20 — j 10;
— (400 + / 350) Зу + (700 + / 350) 32 = — 0,04 (300 -г- / 250).
Решая эти уравнения, найдем контурные токи:
А = 16,9е-/ 320 ма-, 32 == 15,2 е' 79° ма.
Токи в ветвях равны:
А = Зг = 16,9 е"7 32° ма-, !> — 32-\- J = 45,4 е7 19° ма-,
/, = Зх — 32= 26,3е-/64025' ма-, 'ц = 3х — 32—3 = 37,2е“' 140°201 ма.
Если выбрать положительные направления контурных токов Зх и
j2 такими же, как и прежде, а ток источника тока J направить по
ветви г8, L (рис. 3.34, б), то уравнения для контуров будут:
[fi +
l. 'хс
— J [f3 + /XL)
= 0.
Подставляя сюда числовые значения и решая уравнения, найдем
контурные токи:
Зг = 16,9 е-7 32° ма-, 32 = 45,4 е' 19° ма
и токи в ветвях:
А = <7г = 16,9e—7 32°/ta; /2 = 32 = 45,4 е719° ма,
/8 = «А — <72 4-7 = 26,3 е~7 640 лиг;
А = Л — 32 = 37,2 е~' 140°w' ма.
Получены те же значения токов в ветвях, что и прежде, хотя
не все контурные токи имеют такие же значения, как и ранее.
127
Проверка баланса мощностей. Мощности источников
S = Ej\ + U2 J = 20 4- 16,9 . 10-3 е'320 + (400 + / 600) 26,3 • IO'3 х
X е/й4°25’-40-10~3= 1,038+ /0,071.
Мощности приемников энергии:
р = 7f Г1 + Il r2 + fir3 = (16,9 • 10~3)2 • 500 + (45,4 • 10~3)2 300 +
+ (26,3 • 10-3)2 40 = 1,038 вт,
Q = lfxL — Il хс = (26,3 • 10'3)2 600 — (37,2 • 10-3) 250 = 0,071 вар.
Из полученных результатов видно, что баланс мощностей соб-
людается.
б) Приняв потенциал узла 3 равным нулю (<р3 = 0), составим
уравнения по методу узловых потенциалов [см. формулу (1.13)]:
для узла 1 - ,
/?2у12= ^1^ 15 (3)
для узла 2
--91^21 + ?2^22 = Л (4)
здесь =---------1----F /------сумма проводимостей ветвей, при-
Г\ г2 хс
соединенных к узлу Г,
у22 == j----1---—-------сумма проводимостей ветвей, присоединен-
ие Г3 “Г 1XL
ных к узлу 2;
У2 = У21==/—-------сумма проводимостей ветвей, соединяющих уз-
хс
ли 1 и 2.
Подставляя в уравнения (3) и (4) числовые значения, получим:
К (5,33 + / 4) 10-3 — Т’2 j 4 • 10"3 = 0,04;
— Фх/4 • 10’3 + ч>2(0,77 + /2,85) 10’3 = 40 • 10’3.
Решая эти уравнения, вычислим потенциалы узловых точек 1 и 2:
<рг = 13,6 е119 в, <р2 = 19 е—7 8 в.
Токи в ветвях найдем по закону Ома:
• = _?? -. = -13,6е/19° + 20 /32«
1 500
/2 = ----- = 45,4е719 ма-,
г2 300
128
<P2 — <PS
19е-/80
гз + ixL 400 + j 600
= 26,3 e"' 64°№'ма;
• • iq A J 19°______iq /8°
fl —?2 _ ld’De 1Уе _ 07 9 140’ 20’ un
-------------------------------= О/ c Mu.
— j 250
Проверка показывает, что в узловой точке 2 ток J = /3 — /4.
в) Преобразуем генератор тока в эквивалентный генератор на-
пряжения. Для этого ветвь r3L3, подключенную параллельно к ге-
нератору тока, будем рассматривать как его внутреннее сопротивле-
ние. Параметры эквивалентного генератора напряжения найдем по
формуле (3.21):
Er = j (r8 + ixL) = 40 • IO"3 (400 + / 600) = 28,9е/56°20, в;
Zr = r3 + jxL = (400 + / 600) ом..
Исходная схема после замены генератора тока эквивалентным
генератором напряжения примет вид (рис. 3.34, в). Для этой схемы
токи проще всего рассчитать по методу двух узлов. Приняв <р8 = 0,
по формуле (1.14) найдем потенциал узловой точки 1:
Г 1 г 1 20 28 .Эе'56”20'
<1 г 2Г — jxc 500 + 400 + /600 — j 250
~ 1 1 1 “ 1 _______1 _1_“
П + Zr — 1ХС + г2 500 + 400 + /600 — /250 + 300
= 13,6е'19° в.
Токи в ветвях вычисляем по закону Ома:
— /32°
= 16,9е ма-,
2 = = 45,4е; 19 ма\
= 37.2е- ' ма.
zr — Iх с
Ток в ветви г8, L3 найдем по первому закону Кирхгофа:
— / 64°25' -
/8 = J+ /4 = 26,Зе ма.
/
г)-Расчет тока 4 в ветви методом эквивалентного генератора
напряжения.
Для определения параметров Ег и Zr эквивалентного генератора
напряжения отключим ветвь Ег, гх (рис. 3.34, г). Э. д. с. эквива-
лентного генератора очевидно равна напряжению между точками 1
129
и 3. Для ее вычисления предварительно найдем ток, проходящий по
г2 (ток J распределяется обратно пропорционально сопротивлениям
параллельных ветвей r3, L и г2, С):
_ j гз + jxL = 4() 400 + j 600
2 — r2 + rs + jxL — jxc 700 + j 350
= 36,9е7 29°45' ма.
Искомое напряжение эквивалентного генератора напряжения
it' п г и 1 /29°45'
Ег— (^х- — ^2^*2 — 11,1е в.
Внутреннее сопротивление генератора напряжения Zr находим из
схемы рис. 3.34, д, которая получена из рис. 3.34, г, где исключен
источник тока, внутреннее сопротивление которого бесконечно ве-
лико:
Zf = Г2 + 300 (400 4- / 350) = 2() / 14°35' ом
4~ гз + / (xl — xq) 700 4~ / 350
Искомый ток в ветви (рис. 3.34, е)
20 —11,1е/29°45,
500 + 204е7 14°35'
— 7 32°
16,9е
ма.
д) Отключаем ветвь г2 (рис. 3.34, ж) и находим напряжение
между точками 1 и 3. Для этого предварительно находим контур-
ный ток 7":
3" 0*1 4" ”1“ 4” J (^з 4” ixL) —
Подставляя сюда числовые значения, получим
• Л — 7 101°15*
3 = 25,2е ма.
Искомое напряжение (713 мёжду точками 1 и 3 равно э. д. с.
эквивалентного генератора:
. • • • / 101’15' / 28’30'
^4 = 20—25,2. 10’3е 500 = 25,8е в.
-LJ * х
Находим сопротивление эквивалентного генератора между точ-
ками 1 и 3 (рис. 3.34, з):
ri (Гз + ~ 1хс}
Г Г1 + г3 + i (xL — хс)
500 (400 + j 350)
900 +/ 350
/20°
= 27бе ом.
Искомый ток (рис. 3.34, и)
25,Зе728030'
300 + 276 е/2о°
/19°
= 45,4е ма.
130
ЗЛвг-Для каждой из цепей (рис. 3.35, а — г) рассчитать токи и
найти потенциалы узловых точек, если потенциал точки 1 принять
равным нулю. Задачу решить методом контурных токов или узло-
вых потенциалов. Кроме того, определить ток в ветви с емкостью
по методу эквивалентного генератора напряжения или тока. На схе-
ме э. д. с. даны в вольтах, токи источников тока — в амперах, со-
противления — в омах.
Рис. 3.35
Рис. 3.3В*
131
3.47. Для каждой из частей схем рис. 3.36, а, б, в, расположен-
ных левее штриховой линии ab, найти э. д. с. Ег эквивалентного ге-
нератора напряжения и его внутреннее сопротивление Zr (рис. 3.37, г).
Определить ток /н в ветви нагрузки, расположенной правее линии ab.
Частота переменного тока f.
Решение. Приведем расчет для схемы рис. 3.36, а. Отключим
ветвь правее линии ab (рис. 3.36, д) и найдем напряжение холосто-
го хода между точками а и &, равное Ёг:
Uab х.х /
1
Сопротивление эквивалентного генератора найдем по охеме
(рис. 3.36, е):
Ток в искомой ветви
3.48. К идеальному источнику напряжения Е подключена пепь
(рис. 3.37), сопротивления которой: Zr = Z2 = 100 ом, Z3 = /50 ом,
Z4 = —/50 ом, Z5 = 200 ом, ZQ = (100 + / 100) ом. При разомкну-
том контакте вольтметр показывает напряжение, равное 100 в. Най-
ти, чему равна э. д. с. Е. Методом эквивалентного генератора оп-
ределить показание амперметра Л при замыкании контакта К.
3.49. Воспользовавшись преобразованием треугольника в звезду,
найти все токи в неуравновешенном мостике (рис. 3.38). Прило-
женное к цепи напряжение U = 130 в. Сопротивления элементов
цепи: Zr = 10 ом, Z2 = /5 ом, Z3 = / 10 ом, Z± = 5 ом и Z5 =
= — / 10 ом. Вычислить мощность, расходуемую в цепи.
Рис. 3.37
Рис. 3.38
132
3.50. Решить задачу 3.49 методами контурных токов и узловых
потенциалов, методом эквивалентного генератора напряжения найти
ток, проходящий через конденсатор, и ток в сопротивлений Z4; в
тех же ветвях найти ток методом эквивалентного генератора тока.
Указание. Разобрать решение задачи 1.59.
3.51. Методом эквивалентного генератора напряжения определить
показание амперметра, включенного в цепь рис. 3.39. Даны: Е =
= 40 в, гг = 200 ом, г2 — 160 ом, г3 = 120 ом,
г4 = 80 ом и = 60 ом.
3.52. В цепи рис 3.40 комплексные сопро-
тивления: = (19 — /2) ом, Z2 = 40 ом, Z3 =
=(6 + /8)ojh, Z4 = (5 —j 15) ом, Z5 = (5 —
-г-/ 20) ом и Z6 = (5 + j 15) ом. Напряжение
U = ЮО в. Вычислить все токи путем преобра-
Рис. 3.40
зования треугольника в звезду, методами кон-
турных токов и узловых потенциалов, мето-
дами эквивалентного генератора напряжения и
тока определить ток, проходящий через сопротивление ZB.
3.53. В схеме рис. 3.41 включен источник синусоидального то-
ка, действующее значение которого J = 10 ма. Даны: Z4 — 2 ком,
Z2 = 3 ком, Z3 = — i 10 ком, Z4 = (2 + j 10) ком и Z5 = 5 ком.
Рис. 3.41
Рис. 3.42
Найти все токи методами контурных токов и узловых потенциа-
лов. Определить показание ваттметра и убедиться в том, что оно
равно сумме мощностей, расходуемых во всех активных сопротив-
лениях цепи.
Методами эквивалентного генератора напряжения и эквивалент-
ного генератора тока определить ток в ветви Z4; то же в ветви Z5.
Указание. Разобрать решения задач 1.40, 1.59 и 1,65.
3.54. В цепь рис. 3.42 включены два генератора синусоидально-
го тока: ц = 50 У 2 sinW ма, 12==20У2 sin at ма.
Даны: гг = 10 ком, г2 = 25 ком, г3 = 20 ком и хс — 34 ком.
Определить все токи. Задачу решить методами узловых потенциалов,
донтурных токов, наложения, преобразованием генераторов тока в
эквивалентные генераторы напряжения.
133
В. Условия выделения максимальной мощности в нагрузке
3.55. Сопротивления схемы (рис. 3.43, а)', г = 10 ом, хс = 30 ом,
э. д. с. Е = 100 в.
При каком нагрузочном сопротивлении ZH в нем выделится мак*
симальная мощность и чему она равна? Вычислить к. п. д., т. е.
отношение мощности, выделяемой в ZH, к мощности, доставляемой
источником Е, и коэффициент передачи /С — отношение напряжения
на зажимах 2-2' к Е.
Решение. Часть схемы левее зажимов 2-2'(обведенную штри-
ховой линией) заменим эквивалентным генератором напряжения.
Найдем его э. д. с. Ег и сопротивление Zr (рис. 3.43,6). Отклю-
чив ZH, определим напряжение холостого хода между точками 2-2'>
которое равняется э. д. с. Ег :
п Е / • \ -on пп ап ПК - Л8025'
£ =-------- (— 1Хс) == — /30 ------= 90 — / 30 = 95е в.
r — Jxc 10 —/30
Рис. 3.43
Сопротивление эквивалентного генератора (рис, 3.43, в)
- 1хсг
r - i*c
= 10-]----—----- = (19 — /3) ом.
ю —/зо V J f
Максимум мощности выделяется в нагрузке ZH при условии, что это
сопротивление комплексно сопряжено с сопротивлением эквивалент-
ного генератора, т. е. при ZH = Zr =(19 + /3) ом. Эта мощность
н max
-------- 118 вт.
4 • 19
4гн
Рассчитываем мощность, доставляемую генератором (рис. 3.43, а).
Для этого вначале вычислим ток, проходящий через источник
э. д. с. Е:
134
Г.
Рт — Re [El
= Re 100 • 3,Зе-/28°37'
= 100 • 3,3 cos 28°37' = 290 вт.
К. п. д.
щ = 100о/о = J1L . 100о/о = 40,7%.
Для расчета коэффициента передачи К сначала найдем ток, про-
текающий через ZH:
/ 28°37'
— узо
29 — / 27
= 2,бе"'18’23' а; ’
is _ lig _ 7HZH _ 2,5е (19 /3) _ q ,Jgg— /9°25
3.56. Для цепи рис. 3.44 найти сопро-
тивление ZH, при котором в нем выделится
максимальная мощность и вычислить ее.
Чему равно отношение мощностей, выде-
ляемой в ZH, к мощности, доставляемой
источником, и коэффициент передачи К, =
— — . Рис. 3.44
Е
Даны: Е = 100 в; г = 10 ом; хс = 20 ом.
Г. Круговые диаграммы
3.57. Цепь, состоящая из последовательно соединенных активно-
го сопротивления г и реактивного х, подключена к источнику сину-
соидального напряжения, действующее значение которого U = 120 в.
Построить круговую диаграмму токов для двух случаев: 1) г =
= 30 ом, х изменяется от — оо до + <»; 2) х = 50 ом, г изменяет-
ся от нуля до бесконечности. Пользуясь диаграммой, найти ток:
1) х = 26 ом, 2) г — 20 ом.
3.58. Электрическая цепь состоит из двух параллельных ветвей:
первая содержит последовательно соединенные активное сопротивле-
ние Гх == 10 ом и изменяющееся от нуля до бесконечности
индуктивное сопротивление хг, вторая — последовательно соединен-
ные активное сопротивление г2 = 7,7 ом и емкостное сопротивление
х2 = — 18,6 ом. Напряжение на зажимах цепи переменного тока
U = 75 в.
Построить круговую диаграмму неразветвленного тока /. Поль-
зуясь ею, определить, при каком значении переменной величины х1
наступит резонанс токов и чему при этом равны токи 1 и /г.
3.59. Цепь состоит из двух параллельных ветвей: в первой по-
следовательно соединены rt — 10 ом и х, = 16 ом; во второй ха=
135
= — 6,25 ом и изменяющееся от нуля до бесконечности активное
сопротивление г2.
Построить круговую диаграмму и, пользуясь ею, найти сопро-
тивление г2, при котором в цепи будет резонанс токов. Чему в этом
случае равен ток /? При каких значениях г2 ток / в неразветвлен-
ной части цепи имеет максимум и минимум? Определить их. На-
пряжение U = 120 в.
Глава четвертая
РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
* . _______ v - - . --. -- -
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Й СООТНОШЕНИЯ
или участка цепи, где
г
Рис. 4.1
Резонанс. Если в электрической цепи или участке цепи, содер-
жащем реактивцые элементы, напряжение и, ток совпадают по фазе,
то имеет место явление резонанса. Эквивалентное реактивное сопро-
тивление или реактивная проводимость цепи
имеется резонанс, равны нулю.
2. Резонанс при последовательном соеди-
нении г, L и С. Резонанс напряжений возмо-
жен в цепи или участке цепи, содержащем
последовательно соединенные индуктивность
и емкость. Цепь схемы (рис. 4.1) называют
последовательным колебательным контуром.
Входное комплексное сопротивление после-
довательного контура
o)L------ \ = г + jx = ze/<F, (4.1)
шС /
где х — --------реактивное сопротивление контура;
<лС
г~ ~\ / z2 + fo)L----—полное сопротивление контура;
1
ср = arctg -----------сдвиг фаз между напряжением и током.
Условие резонанса напряжений
х = 0 или o)L = —~. (4.2)
0>С
Угловая резонансная частота
<0 = 2я/ = -L- . (4.3)
При резонансе напряжений применяются следующие соотношения
и формулы:
• Выводы формул данной главы можно найти в [1], [2], [4], [16], [30].
137
характеристическое сопротивление контура — сопротивление каж-
дого из реактивных элементов при резонансе
добротность контура
Q = у- - (4-5)
затухание контура
d = 1/Q. (4.6)
При резонансе напряжений ток в контуре
'0 = 7-’ (4.7)
а напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости:
^lo — со — 1$ — UQ------------—. (4.8)
а
Абсолютная расстройка
Дш = ш — ш0 или Д/ = f — f0.
Относительная расстройка
До> __ Sf
шо fo
Обобщенная расстройка
(4.9)
(4.Ю)
(4.11а)
Зависимость комплексного тока в контуре от обобщенной рас-
стройки:
; <7 С/е-Л> и е-/<р .. 1О .
/ ------------------— =......... - - = —.-----, (4.12а)
Z (/<») г (1 + /5) r yi г
где Z (/«>) = г + jx = г + fir— комплексное полное сопротивление;
z = г]/1 + —модуль полного сопротивления;]
<р = arctg 5 — сдвиг фаз между напряжена-? (4-13)
ем и током.
Уравнение резонансной кривой тока есть отношение модуля тока
при любой частоте к току при резонансной частоте (при неизменных
значениях напряжения и параметров цепи):
(4.14а)
138
Уравнение фазовой характеристики
© = arctg 5 == arctg — = arctg Q (—------------
Г \ <“0 0>
(4.1 16)
Комплексные коэффициенты передачи no напряжению:
(4.15a)
При небольших расстройках формулы (4.11) — (4.15) имеют вид:
При использовании приближенного равенства (4.11в) расчеты по
формулам (4.126)—(4.156) дают относительную ошибку, которая мо-
жет быть определена по формуле
До)
2ш0
(4.16)
Полоса пропускания определяется из условия, что ток на частотах
/1 и /г/ соответствующих границе полосы пропускания, уменьшается
В V2.
Абсолютное и относительное значение полосы пропускания опре-
деляются по формулам:
Sa = f2-A = 4; <417)
ч.
139
3. Резонанс токов может быть в цепи, содержащей параллельно
соединенные индуктивности и емкости.
Резонанс токов для цепи с потерями энер-
гии в обеих ветвях. Цепь рис. 4.2 называют простым параллельным
колебательным контуром.
Условие резонанса
где характеристическое сопротивление
р=/4- <4-2°)
Сопротивление параллельного контура при резонансе
Z₽ = ''p = 2TT7I- <4-21а>
Г1 ~Г '2
Добротность контура
Q =-----2----. (4.22)
+ Г2
Ток в неразветвленной части цепи при резонансе
/Р = — (4.23)
ГР
Частные случаи резонанса токов.для цепи рис. 4.2.
Цепь не имеет потерь (ri = г2 == 0).
Условие резонанса
*
—Ц- = о)рС. (4.186)
Шр/.
Угловая резонансная частота
WP = “о = —==. (4.196)
Сопротивление контура при резонансе
Zp=oo (4.216)
140
Для добротного контура Q > 1 (рис. 4.2 и 4.3), т. е. при малых
потерях можно считать, что
1
<°р <*>о = .
/ LC
(4.19в)
Сопротивление этого контура при резонансе
(4.21в)
где
г = Г1 + Г2-
Токи в каждой из ветвей при резонансе
примерно одинаковы Лр^Лр» и каждый из
них больше тока в неразветвленной части цепи
/р в Q раз:
Рис. 4.3
(4.24)
Мощность, выделяемая в параллельном контуре при резонансе,
Рр = 4гр=/?рг1+4г2. (4.25)
При небольшой расстройке контура (Дю = © — ©р), т. е. когда
|д«|<8“^Р--4г’ <4-26)
комплексное сопротивление можно определять по приближенной фор-
муле
Гг, /{рэ
Z (/(о) =-------2----= —5-----------/ —В = гэ + /хэ = гэе ,
v 9 14-/5 1 -н2 1 -н2 э 9 9
где
= — arctgS,
Подключение простого параллельно-
го контура к генератору напряжения
с э.д.с. Е и внутренним сопротивлени-
ем показано на рис. 4.4.
Ток в неразветвленной части цепи и
напряжение на параллельном контуре
U при любой частоте определяются по
Рис. 4.4
141
формулам:
(4.28)
а при резонансе:
р “
Отношение этих напряжений
где эквивалентная (приведенная) добротность
(4.29)
е“/?э, (4.30)
а угол сдвига фаз напряжения на контуре при любой
му же напряжению при резонансе
<р9 = arctgQj —----—2-
\ <в0 ш
(4.31)
частоте к то-
(4.32)
Полоса пропускания определяется из условия, что — — —— .
ир /2
Абсолютная и относительная полоса пропускания:
S.u = f2-h = ^-, (4.33)
Soy = —=-J-- (4.34)
Комплексный коэффициент передачи по напряжению — отноше-
ние комплексного напряжения на параллельном контуре к э.д.с.
генератора при любой частоте:
Ки (/<*>)
(4.35)
£
Е
При резонансе
Кир — &Up — Qs
(4.36)
142
Их отношение
(4.37)
4. Резонанс токов в сложном параллельном контуре (рис. 4.5).
Для добротных контуров, у которых
coL1---
<dC!
полное сопротивление определяется по прибли- Г
женной формуле «
%1%2 rXiXg
Z =
ХХ1Х2 ।
гтт; = гэ + /хэ,
Рис. 4.5
• — **1*2
3 ..о I о
где
г ___ ГХ^
о । I
Условие резонанса токов (приближенное)
_ , 1 1
~— л2 -----— ~ -----,шр^2>
^pCi фр^2
отсюда угловая резонансная частота
1
<°р ~ wo = —=,
(4.39)
(4.40)
L = + L2 — полная индуктивность контура;
С «в---— полная емкость контура.
Ci + Са
Добротность сложного контура
р
р
------ ,
&рСг
(4.41)
где
Полное сопротивление контура
тивным сопротивлением каждой из
при резонансе определяется
ветвей
*2
реак-
(4.42)
143
где
г = Г1 + Г2.
Если коэффициенты включения обозначить mL = -у-, тс =
то полное сопротивление контура при резонансе
гр = Q2r (tnL — тс)\ (4.43)
Эта формула показывает возможность изменения величины гр в
широких пределах при данных L и С путем их перераспределения по
ветвям, при неизменной частоте резонанса токов.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Резонанс напряжении
4.1. Определить емкость С, которую надо включить последова-
тельно с катушкой, имеющей активное сопротивление г = 16 ом и
индуктивность L = 158 мкгн, для того чтобы цепь была настроена на
резонанс при частоте /0 = 1 Мгц. Найти ток, мощность, выделяемую
в цепи, напряжения на конденсаторе и катушке при резонансе, если
приложенное к цепи напряжение U = 0,8 в.
4.2. Последовательный колебательный контур (г, L, С) подклю-
чен к генератору синусоидальной э.д.с. Е = 1,6 в с внутренним со-
противлением Ri = 16 ом. При какой величине сопротивления кон-
тура г в нем выделится максимальная мощность при резонансе и чему
она будет равна?
4.3. Цепь состоит из индуктивной катушки г, L, соединенной
последовательно с конденсатором без потерь. Приложенное ко всей
цепи напряжение U — 35 в. Определить напряжение на катушке при
резонансе, если при этом напряжение на конденсаторе равно 120 в.
4.4. Цепь схемы рис. 4.1, настроенная на резонанс при угловой
частоте 5000 сек"1, потребляет мощность 0,1 вт при токе 0,1 а. Напря-
жение на конденсаторе 200 в. Найти параметры цепи г, L, С и прило-
женное к ней напряжение.
4.5. Какому условию должны удовлетворять частоты Д и f2, при
которых цепь, составленная из последовательно соединенных г, L и С,
обладает одинаковыми по абсолютной величине, но противополож-
ными по знаку реактивными сопротивлениями?
4.6. Найти параметры катушки (г, L),
Г/ емкость С и сопротивление реостата вклю-
о ---1 ченного в цепь, изображенную на рис. 4.6,
X . Пг 1 если при резонансе приборы показали U =
V U V =200в» = 204*> и*> = 180в’ 7о = 4 а.
Т j./* j Т Частота переменного тока / =
0 I А И *«♦ 1 4.7. реостат с активным сопротивлением
рИСе 4 в г = 100 ом, катушка с индуктивностью L =
144
= 5,05 мгн и конденсатор емкостью С = 0,05 мкф соединены после-
довательно. Вычислить резонансную частоту, характеристическое
сопротивление, затухание контура, напряжения и Uco при
резонансной частоте. При каких частотах напряжения на конден-
саторе t/Cmax и катушке UL шах достигнут максимума?
Чему они будут равны, если действующее значение напряжения
переменной частоты, приложенного к цепи, U = 10 в?
Решение.
1 __________ 1_________
yLC~ ~ 5.05 • 10-’ • 0,05 • 10-«
Шр _ 6,28 • 104
2г. “ 2 • 3,14
=* 6,28 • 104 сект1;
104 гц;
5,05-10"» 01О
—---------= 318 ом;
0,05-1 О'»
100
318
= 0,314;
Ulo = U со = 4р = — Р =
Г
— •318 = 31,8 в.
100
Частоты, при которых напряжения на индуктивности и емкости
максимальны, и значения этих максимальных напряжений опреде-
ляются по формулам, известным из теории:
—— = 6,28 • 104 1 f---------------= 6,45 • 104 сект1;
2 — d* у 2 — 0,3142
Шс = о)о у = 6,13- 104 сект1;
= Л. = Ю250 гц; f с = = 9750 гц;
2к Г 2к
&Lmax ~ U С max------------------------— 32,2 в.
•d/4— d2 0,314 j/4 — 0,3142
4.8. Катушка с индуктивностью L = 5,05х мгн и конденсатор с
емкостью С = 0,05 мкф соединены последовательно с реостатом,
сопротивление которого г. Ответить на вопросы задачи 4.7 для двух
значений сопротивления: 1) г — 318 ом и 2) г == 450 ом.
4.9. Известно, что в последовательном колебательном контуре
(см. рис. 4.1) при резонансной частоте 1 кгц отношение напряжения
на емкости к напряжению на входе равно 50. Емкость С = 0,5 мкф.
Вычислить г и L контура.
4.10. Электрическая цепь состоит из последовательно соединен-
ных активного сопротивления г — 10 ом, катушки индуктивностью
L -= 100 мкгн и конденсатора емкостью С = 100 пф. Определить ре-
6—222
145
зонансную частоту соо, характеристическое сопротивление р, зату-
хание d и добротность Q. Чему равны ток /0, расходуемая в цепи
мощность PQ, напряжения на индуктивности ULQ и емкости UCQ при
резонансе, если контур включен на напряжение U = 1 в? Вычислить
абсолютное значение полосы пропускания контура.
Решение. По формулам (4.3)—(4.8) находим:
ю0 “ —~— —-— - • •1,1----------= Ю7 гекг1;
/ LC у 100 . 10-6 . 100 . 10~12
f0 = « 1,6 • 106 гц = 1,6 Мгц;
L -,/100-10-в 1ПЛА , г 10 пп,
р — 1/ — =1/ ---------------= 1000 ом; а = — ------------------ 0,01;
ус V 100-10-12 р 1000
Q = _₽_ = = 100, /0 = — = — = 0,1 а = 100 лш;
г 10 0 г Ю
. Ро = fir = 0,12 • 10 = 0,1 вт = 100 мет;
uL0 = исо = /ОР = 0,1 • 1000 = 100 в.
Полосу пропускания определяем по формуле (4.17):
Sa = -А = = 16000 гц.
Q 100
4.11. К контуру, данные которого приведены в задаче 4.10, под-
ведено напряжение U = 1 в с угловой частотой <о = 1,002-107 сект1.
Чему при этом равны реактивное и полное сопротивление цепи, ток,
мощность, напряжение на конденсаторе, сдвиг фаз ср между приложен-
ным напряжением и током, сдвиг фаз ф' между приложенным напря-
жением и напряжением на конденсаторе, коэффициенты передача
по току и по напряжению?
Решение. Прежде всего вычислим абсолютную, относитель
ную и обобщенную расстройки по формулам (4.9), (4.10) и (4.11в)
Дш = ш _ «>0 = 0,002 • 107 сек~1; — = 0,002;
S = 2Q — = 2 • 100 • 0,002 = 0,4.
%
Реактивное и полное сопротивление находим из (4.11в) и (4.136)
х = 1г = 0,4 • 10 = 4 ом;
г = г]/1 -Н2 = 10/1 + 0,42 = 10,77 ом.
Ток и расходуемая в контуре мощность:
I = JL = _J— «= 0,093 а = 93 ма;
г 10,77
Р = /V = 0,0932 • 10 = 0,0865 вт = 86,5 мет.
146
Напряжение на конденсаторе находим из (4.156):
и„ = . = -1..„^_==9з8.
П +«а К1+0,4а
Сдвиг фаз между напряжением и током вычисляем из (4.136):
tg ? = Л. = А = 0,4; т=21°50'.
Найдем сдвиг фаз ф' между U и Uc. Так как расстройка положи-
тельна, то <oL > А- и ток / отстает от напряжения на угол’ф; век-
О)С
тор напряжения на конденсаторе Uc отстает
от вектора тока 1 на 90° (рис. 4.7), поэтому
Uc отстает от U на угол ф' = ф + 90Q =
= 111°50'.
При . заданной расстройке коэффициенты
передачи по току и по напряжению 1см.
формулы (4.146) и (4.156)1 равны:
k] = 1 = 1 = 0,93;
У1 + е2 У 1 + о,42
Рис. 4.7
100
у 1 4-0,42
= 93.
4.12. Для контура и данных, рассмотренных в задачах 4.10 и 4.11,
построить амплитудные и фазовые характеристики тока и НаПрЯЖе-
ОЭ
ния на конденсаторе в зависимости от отношения —, от отношения
расстройки частоты питающего генератора А/ к резонансной час-
тоте /о (построение сделать для частот, отличающихся от резонансной
на ± 10%) и от обобщенной расстройки $ (в пределах ±4).
Решение. Построение амплитудной и фазочастотной характе-
f
ристик тока и напряжения на конденсаторе в зависимости от — и
/о
— проводится на основании уравнений, получаемых из (4.14а) и
(4.146), (4.116) и (4.11в), (4.15а):
147
На практике обычно приходится иметь дело с небольшими рас-
стройками До> = <о—<о0. В этом случае, учитывая, что
2 Z
<0 Ю0 _ Ш — <°о _ (<0 + <°о) (Ш — Q
' ~————— _ JU ~ у
C0Q СО СО Q СО COqCO со Q
формулы для /, q>, Uс и «' примут вид:
<р « arctg 2Q----;
“о
<?'« arctg 2Q — + .
ш0 2
Для удобства расчеты сведены в табл. 4.1.
иметь в виду, что Д/7/о = Д<о/<мо и f/f0 = <»/о>0.
При этом следует
Таблица 4.1
Задаваемые величины Величины, рассчитан- ные при промежуточ- ных вычислениях по приближенным фор- мулам Искомые величины, рассчитанные по приближенным формулам
A/7h и ЛИ f/f0 _Лсо_ CD0 2Q — со0 /, ма 9 Lf , в
—0,10 0,90 —0,20 '-Ч —20 5,0 —87° 10' 5,0 2°50'
—0,08 0,92 —0,16 —16 6,2 —86°25' 6,2 3°35'
—0,06 0,94 —0,12 —12 8,3 —85° 15' 8,3 4°45'
—0,04 0,96 —0,08 —8 12,4 —82°50' 12,4 7° 10'
—0,02 0,98 —0,04 —4 24,3 —76° 24,3 14°
0 1,00 0 0 100 0 100 90°
0,02 1,02 0,04 4 24,3 76° 24,3 166°
0,04 1,04 0,08 8 12,4 82°50' 12,4 172°50'
0,06 1,06 0,12 12 8,3 85°15' 8,3 175° 15'
0,08 1,08 0.16 16 6,2 86°25' 6,2 176?25'
0,10 1,10 0,20 20 5,0 87°10' 5,0 177°10'
По данным табл. 4.1 на рис. 4.8 начерчены требуемые кривые в
зависимости от Д///о и /7/0.
Кривые зависимостей от обобщенной расстройки надо строить по
уравнениям (4.12а), (4.13) и (4.15а):
U
<р = arctg 5;
UQ
С-------г .....- »
V1 + ба.
<р
' = arctg В + -у-.
148
Результаты расчетов сведены в табл. 4.2, а соответствующие кри-
вые даны на рис. 4.8.
Рис. 4.8
Таблица 4,2
6 /, мп <р и , в с
—4 24,3 —82°50' 24,3 740'
—3 31,6 —71°35' 31,6 18°25'
—2 44,7 —63°30' 44,7 26°30'
—1 70,7 —45° 70,7 45°
0 100 0 100 90°
1 70,7 45° 70,7 135®
2 44,7 63°30' 44,7 153°30'
3 31,6 71°35' 31,6 161°35'
4 24,3 Е2°50' 24,3 172°50'
Наконец, выясним, каким значениям Д///о и ///0 соответствует фик-
сированная величина t Пусть $ = ± 1. Тогда из выражения 5 ==
'z=z 2Q = ± 1 находим, что
А о) Д/
*°о /о
± 1
2Q 2-100
= ± 0>005,
149
или
= 1-----1 = ± 0,005
/о Го
отсюда
-L = 1 ± 0,005.
f о
Таким образом, значению В = ± 1 соответствуют Д///о = ±0,005,
а ///0 = 1,005, или 0,995, т. е. частота генератора напряжения откло-
няется от резонансной на ±0,5%. Аналогично найдем, что 1 = 2
соответствует Д///о = ±0,01; при 5=3 Д///о = ± 0,015; при 5 = 4
Д///о = ±О,О2.
4.13. Резонансный контур состоит из последовательно включен-
ных L = 100 мкгн, С = 100 пф и активного сопротивления г.
Построить амплитудные и фазовые характеристики для коэффи-
циентов передачи по току kl и по напряжению на емкости kc в за-
висимости от Д///о и ///0 для трех значений активного сопротивления
г = 5 ом, г = 10 ом и г = 20 ом
Указа й и е. Искомые величины рассчитать по (4.146), (4.13, 6) и (4.15а).
Предварительно вычисляем добротности, которые соответственно
равны: Qi = 200; Q2 = Ю0; Q3 = 50. На рис., 4.9 изображены тре-
буемые кривые.
20ом
ГОом
5ом
4
1,0
Амплитддно- частот-
ные характеристики
20
5ш
10ом
20ом^
20см
Юом
5ом
Р>2
0,005 0901 0,15
1 1,005 1JI 1,015 1,02
Рис. 4.9
2Оом
Юом
5'ом
-0,01-0,015-0,01 ‘0,005
М8 0,985 0,99 0,995.
Фаза - частотные
характеристики
Af
to
.f.
4.14. В последовательном колебательном контуре, имеющем до-
бротность Q = 150 и настроенном на резонансную частоту /0 = 2 Мгц
при некотором напряжении U, проходит ток /0 = 60 ма. Определить
150
ток в контуре, сдвиг фаз между напряжением и током, коэффициент
, Uc ~
передачи kc = —при его подключении к генератору такого же
по величине напряжения U, но с частотой / = 2,02 Мгц.
Указание. Вычислив обобщенную расстройку по (4.11в), воспользо-
ваться (4.126), (4.136) и (4.156).
4.15. Последовательный контур настроен на частоту /0 = 1 Мгц,
При какой добротности этот контур пропустит полосу частот:
1) Sa = 2,5 кгц и 2) Sa = 10 кгц>
4.16. Для контура и по данным задачи 4.10 найти частоты, соот-
ветствующие границе полосы пропускания.
4.17. Через последовательный контур (С == 100 пф, rL = 8 ом),
настроенный на резонанс при частоте /0 = 400 кгц, надо пропустить
полосу частот S' = 104 гц так, чтобы отношение тока на частоте
'• + 4 К ТОКУ "Р" I»-'»™"™ I”'"” ™ - ',,У °"Р=-
делить добротность цепи и величину добавочного сопротивления,
которое надо включить в контур для выполнения заданных условий.
Решение. Используя формулу (4.146) согласно условию,
имеем '
= т,
откуда
/о 2/nQ
а г а а у * —
или, так как дг = — , то — =--------—.
2 2 2mQ
Подставляя числовые значения, найдем Q = 30.
Активное сопротивление цепи определим из (4.4) и (4.5):
г = JL =-------------------------------— = 13 з ом
Q w0CQ 2т1-400-103-100-10~г2’30
Таким образом, добавочное сопротивление
гдоб == г — rL = 13,3 — 8 = 5,3 ом.
4.18. Последовательный контур, содержащий постоянные г и L
и регулируемую емкость С, подключен к источнику синусоидального
напряжения неизменной частоты. В результате измерений установ-
лено, что наибольший ток получается при Ср == 250 пф, а ток, в)/2
раз меньший, — при емкостях = 245 пф и С2 = 255 пф, Чему
равна добротность этого контура?
151
• 4.19. В последовательном колебательном контуре емкость С шун-
тируется активным сопротивлением гш > —— (рис. 4.10, а). Как при
этом изменится добротность эквивалентного последовательного кон-
тура? Дать числовой расчет, если известны г = 20 ом, L = 400 мкгн,
С = 625 пф и гш = 80 ком.
Решение. Вычислим эквивалентные параметры гэ и Сэ
(рис. 4.10, б). Лля этого определим комплексное сопротивление:
Рис. 4.10
т-I VK 1
При гш >------- в знаменателях можно пренебречь вторыми сла-
ш0С
гаемыми по сравнению с первыми, тогда эта формула примет вид
1
<1)0С
2
где
__ \ /
гш
Отсюда видно, что шунтирование емкостного сопротивления боль-
шим активным сопротивлением не меняет емкость и вносит в цепь
добавочное активное сопротивление
Проделаем числовой расчет:
Э*
(О0 =
= 2 • 106 сект1,
р = —— = 800 ом,
т. е. выполняется условие гш = 80 •
= 800.
В этом случае добавочное сопротивление
/ 1 \2
о
э
ш
8002 о
---------= 8 ом.
80 • 103
152
Эквивалентная добротность (см. рис. 4.10, б)
28
800
= 28,6.
До шунтирования добротность контура составляла
Q = р/г = 800/20 = 40.
4.20. По данным задачи 4.19 вычислить ток и напряжение на
конденсаторе до и после шунтирования конденсатора при расстройке
частоты генератора на 0,5%, если к контуру приложено напряжение
U = 1 в.
4.21. Последовательный колебательный контур настроен в резо-
нанс на частоту полезного сигнала радиостанции, работающей на
длине волны Хс = 857 м и наводящий в нем э.д.с. Ес = 0,5 мв. До-
бротность контура Q = 50, а его активное сопротивление г == 16 ом.
Чему равен ток, наводимый в контуре от другой радиостанции,
работающей на длине волны Хп = 800 м и создающей э.д.с. помехи
Еп = 1 мв.
Вычислить отношение напряжения сигнала к напряжению помехи
на емкости. Как изменится это отношение, если емкость зашунтиро-
вать сопротивлением гн = 100 ком.
Указание. Длина волны связана @ частотой соотношением Х =
3 • IQ» , . х -
= ——, где Л — в м, f — в гц.
Б. Резонанс Токов
4.22. Цепь, состоящая из трех параллельных ветвей (рис. 4.11),
параметры которых г = 16 ом, L = 1,6 мгн, С = 25 мкф, подключена
к генератору синусоидального напряжения, действующее значение
которого U = 10 в. Найти резонансную
частоту /р и токи /, IL, Jc при резонан- 0
се. Построить кривые токов / = Л(/), / [
Л. = ^2(7), /с= ^(7) и угла сдвига фаз ° I
между U, величина которого поддержива- ___________
ется постоянной, и 1 в зависимости от ча- 0
стоты [ф = Частоту изменять в Рис. 4.11
пределах от 0 до 4/0.
4.23. Генератор, напряжение которого U = 10 в, а- частота со ==
= 5000 сект1, подключен к цепи, изображенной на рис. 4.11. Чему
равна индуктивность L, при которой цепь настроена в резонанс,
если г = 16 ом, С = 25 мкф7
Полагая, что приложенное к цепи напряжение изменяется по за-
кону и = идГТ sin построить в зависимости от времени кривые
/, Рс> Р и кривые энергии шм и w9, запасаемой в магнитном
и электрическом полях цепи.
4.24. Параметры цепи (см. рис. 4.2): L == 4 мгн, С = 0,1 мкф,
ц = 160 ом, г9 = 120 ом. Выяснить, является ли параллельный кон-
153
тур высокодобротным. Вычислить частоту резонанса токов и сопро-
тивление контура при резонансе. При каком значении сопротивления
г2 резонанс вообще невозможен? При каких значениях сопротивлений
Г1 и г2 резонанс в данной цепи будет иметь место при любой частоте?
Решение. Прежде всего вычисляем по формулам (4.4) и (4.5)
характеристическое сопротивление и добротность контура:
Как известно, контур высокодобротен, если Q > 1. В рассматри-
ваемом случае контур низкодобротный. Поэтому резонансную час-
тоту определяем по (4.19а), а сопротивление контура при резонансе
по (4.21а):
__ 1 -j / Р2 ~ _________1_________ f 2002 —- 1602 =
р VTC ' р2 — г* . /4 • 1Р"9 • 0,1 • 10-е У 2002 — 1202
= 5 • 104 • 0,75 = 3,75 . 104 секг^
120 • 160 -|- 2002
280
= 212 ом.
Резонанс в цепи невозможен при г2 > 200 ом.
Резонанс будет иметь место при любой частоте, если q = г2 .=р =
= 200 ом.
4.25. Напряжение U = 20 в, частота которого f == 50 кгц, под-
ключено к цепи, изображенной на рис. 4.2. Определить емкость С,
при которой наступит резонанс, если 1\ = 2 ом, г2 = 3,2 ом, L =
= 9,56 мкгн. Найти токи при резонансе и построить векторную диа-
грамму.
Для каждого из найденных значений емкости С определить сдвиг
фаз между приложенным к цепи напряжением и током, проходящим
через конденсатор. В какой связи находятся найденные углы?
Решение. Сначала вычислим при резонансе сопротивление
xL = coL = 2л-50-103-9,56- 10“6 == 3 ом и, сопоставив его величину
со значениями активных сопротивлений цепи, увидим, что заданный
контур не является высокодобротным. Поэтому задачу решим не по
упрощенным формулам, а следующим образом. Запишем комплекс-
ное сопротивление всей цепи и умножим числитель и знаменатель на
комплекс, сопряженный знаменателю:
I =
Pi 4- j*L ) Р2 — Мс)
П+'И / (XL —ХС^
РУг Pi + ^2) + (r2xL — rtxc) (xL — xc)l -f- / [4- r2) (r2xL — rrxc)-------------------->
Pi 4- r2)2 4- (*L ~ *c)2
— — xc) Pif2 4- xl xc)l
Pi 4-r2)2 4- (xL — xc)2
154
При резонансе полное сопротивление цепи должно быть веществен-
ной величиной, поэтому мнимую составляющую последнего выраже-
ния приравняем нулю:
(гх + Гг) (r2xL — t\xc) — (xL — хс) (t\r2 + xL xc) = 0.
Подставив сюда числовые значения и после упрощения, получим
квадратное уравнение
Зхс — 25хс + 30,72 = 0.
Решая его, найдем:
х„ = 6,83 ом; С' = —= 0,466 мкф;
с <лхс
п 1
хс = 1,5 ojh; С" = —— = 2,12 мкф.
Сопротивления правой ветви при найденных значениях емкостного
сопротивления соответственно равны:
* «*
z' = V г\+хс = ]/ 3,22 4- 6.832 = 7,5 ом;
г’ = V + хс = ]^3,22+ 1,52 = 3,53 ом.
Вещественная часть Z при найденных хс и хс равна
Гэ = 4,6 ом, гэ = 2,4 ом.
Ток в левой ветви
r и 20 .
= —.......... - = —..........= 4 а.
V 4+(<oL)2 /424-32
Токи в правой ветви и в неразветвленной части цепи и сдвиг фаз
между этим током и приложенным напряжением:
при хс = 6,83 ом
г' U 20 о со
0 = —т- =--------= 2,68 ма;
2 г2 7,5
= 4,34 а;
tg ?' = -^ = = 2,135; <?' = 64°55';
при хс = 1,5 ом
г" и 20 с и 20 Л „ .
/, = — = п „ “ 5,67 ма; I" ----------- -- ---------- 8,34 а;
2 z2 3,53 гэ 2,4
tg ?" = — = -1^- = 0,468; <р" = 25°05z.
^2 3,2
155
Обращаем внимание на то, что сумма углов <р' Н- <р" = 90°. Это
имеет место всегда, когда в цепи (см. рис. 4.2) определяется резонанс-
ное значение L или С, а остальные величины являются заданными. Век-
торная диаграмма построена на рис. 4.12.
4.26. В цепи (см. рис. 4.2) даны п = 40 ом, a>L = 30 ом, —- =
шС
= 15 ом. Чему равно г2 при резонансе токов и каково при этом пол-
ное сопротивление цепи?
4.27. К катушке индуктивности, параметры которой г = 11,2 ом,
L = 4 мгн, подключен конденсатор емкостью С = 2>5 мкф (см.
рис. 4.3). При какой частоте наступит резонанс токов? Для найденной
Рис. 4.12
Рис. 4.13
частоты определить полное сопротивление цепи. Построить вектор-
ную диаграмму при резонансе, если U = 10 в.
4.28. Для цепи (см. рис. 4.3) найти значение индуктивности L,
при которой наступит резонанс на угловой частоте со = 5000 сект1.
Параметры цепи: г = 14 ом, С = 2 мкф.
Для каждого из найденных значений L вычислить сдвиг фаз между
приложенным напряжением и током, проходящим по катушке. В ка-
кой связи находятся найденные углы?
4.29. При перемещении ползунка сопротивление г распределя-
ется между ветвями параллельного контура (рис. 4.13).
Определить пределы изменения резонансной частоты контура в
зависимости от параметра k (0 1). Даны: L = 2 мгн, С =
= 500 пф, г = 1 ком.
4.30. Найти резонансную частоту и полное сопротивление парал-
лельного контура (см. рис. 4.2), параметры которого равны: п =
= 9 ом, r2 = 1 ом, L = Г00 мкгн, С = 100 пф. Рассчитать токи,
проходящие в каждой из ветвей при резонансе, и выделяемую в кон-
туре мощность, если приложенное напряжение U = 200 в.
Решение. В данном случае потери малы (Q 1). Действи-
тельно,
1/3Z -1 / юо • ю-e
Q = J—£- = У 100:10Л. = 100.
Г1-|-г2 10
156
Поэтому резонансную частоту можно определить по приближен-
ной формуле (4.19в):
(Dp = о>0 = — — — 107 сект1,
]Аоо • ю-e. loo • 10-12
fp = 1,6 Мгц.
Вычислим сопротивление контура при резонансе
(4.21в):
1 р ~
100-10-6
----------__— = 103 ом = 100
10 - 100 • 10-12
Токи в каждой из ветвей:
, U
по формуле
ком.
200 Л п
= —-----------ж 0,2 а;
. ]Л92 + Ю002
200
ip —
2
2
= 2 • 10~3 = 2 ма.
j = 200
р ~ гр ~ 105
Расходуемая в цепи мощность
Рр = /2Гр = (2 • 10“3)2 • 105 = 0,4 вт.
Та же мощность может быть подсчитана и так:
4.31. Для контура и данных задачи 4.30 определить, чему будут
равны эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления
контура, если вследствие расстройки частота станет на 0,2% больше
резонансной. Для этого случая вычислить все токи и мощность, вы-
деляемую в контуре, полагая, что величина приложенного к цепи
напряжения осталась прежней (U = 200 в). *
Решение. Произведем расчеты при со == 1,002 сор. Найдем
абсолютную и обобщенную расстройки и искомые сопротивления по
формулам (4.9), (4.Ив) и (4.27):
До) = (о — (ор = 0,002(ор = 0,002 • 107 = 2 • 104 сект1;
Лео 0,002<во
В =, 2Q = 2 • 100 —----------= 0,4;
<Ор
ГР 100 ос о
г9 =------------------= 86,2 ком;
1 +£2 1 +0.42
Хэ ^/*э — —0,4 • 86,2 == —34,4 ком,
157
хэ имеет емкостный характер,
лу (4.27)|.
Полное сопротивление при
так как 5 положительно [см. форму-
_____2
э г__
расстройке:
100 по о „
, -.— = 93,3 ком\
. Ха 34,4
9 *
Так как <рэ отрицателен, ток опережает напряжение:
и 200
<рэ = —21°50'.
0,2 а\
1 —
и
. 107 • 100-10-6)2
200
___________1________у
1,002-107* 100* 10“12/
2,15- 10”3 а = 2,15 ма.
I = 200
~ z~ 93,3-103
Расходуемая мощность
P = t//cos<p9 = 200-2,15. 10-3 cos21°50'= 0,4 вт,
или
Р = /1г = 0,22 • 10 = 0,4 вт.
Заметим, что даже при небольшой расстройке (0,2%) в полном
сопротивлении контура появилась значительная реактивная состав-
ляющая хэ, вследствие которой и оказался сдвиг фаз срэ между током /
и напряжением U. Ввиду небольшого изменения частоты реактивные
сопротивления каждой из параллельных ветвей и токи в них почти
не изменились и ненамного изменился ток в неразветвленной части
цепи.
4.32. Для контура и по данным задачи 4.30 построить резонансную
кривую неразветвленного тока в зависимости: а) от отношения рас-
стройки частоты питающего генератора А/ к резонансной частоте /0
(построение сделать для области частот, отличающихся от резонанс-
ной на ±10%); б) от отношения ///0 и в) от обобщенной расстрой-
ки
Построить те же кривые, еслй рассмотренный контур имеет актив-
ное сопротивление: 1) г{ = 4,5 ом и г2 = 0,5 ом; 2) = 18 ом и
г2 = 2 ом.
4.33. Параметры параллельного контура (см. рис. 4.2) имеют сле-
дующие значения: г{ = 15 ом, L = 338 мкгн, r2 = 1 ом, С = 300 пф.
Чему равны резонансная частота и сопротивление контура при резо-
нансе? Вычислить эквивалентные активное, реактивное и полное со-
противления контура при частоте f = 496 кгц. Определить все токи
158
и мощность, выделяемую в контуре, если к нему подведено напряже-
ние V = 150 в.
4.34. Определить эквивалентные величины активной, реактивной
составляющих и полного сопротивления параллельного контура (см.
рис. 4.3) при частоте f по следующим данным: 1) С = 300 пф\ г =
= 16,3 ом, Q = 65; f = 505 кгц\ 2) L = 93,5 мкгн; /р = 1,5 Мгц;
Q = 40; f = 1490 кгц; 3) L — 600 мкгн; Q = 66; гр = 100 ком; f =
= 400 кгц.
4.35. Параллельный контур с малыми потерями (т. е. Q 1) вклю-
чен к генератору с э.д.с. Е = 200 в и внутренним сопротивлением
= 69 ком (см. рис. 4.4). Определить параметры контура г и L,
если известны резонансная частота /р == 500 кгц, емкость С = 300 пф
и что сопротивление контура при резонансе равно внутреннему со-
противлению генератора Rt. Вычислить токи генератора каждой из
ветвей, мощность, доставляемую генератором и выделяемую в нем и в
параллельном контуре при резонансе.
Решение. Находим индуктивность по формуле (4.19в):
£ = —1— = 338 мкгн.
<->рС
Имея в виду, что, по условию, rp = Rt по формуле (4.21в), нахо-
дим активное сопротивление:
г рС
338 - 10~б
69 • 103 • 300 • 10“12
= 16,3 ом.
Ток генератора и напряжение на параллельном контуре при ре-
зонансе:
/о = —-------=-------—------- 1,45 • IO’3 а = 1,45 ма-,
р R; + гр 2 • 69 • 103
ио = 10г0 = 1,45 • 10-3.69 . 10з = юо в.
Г Г V
В каждой из ветвей контура токи:
, U 100 ПЛ п
/1р = — — = ——.....— — — 94,2 ма\
V г2 + (шрЬ)2 '|/'16,32+ I9602
/2р = U<apC = 100 • 2к • 500 • 103. зоо . lQ-‘a = 94,2 • IO-3 а = 94,2 ма:
Мощность, доставляемая генератором (Рг.р), расходуемая в нем
(Рвн) и выделяемая в контуре (Рр):
Рг. р = ЕК = 200 • 1,45 • IO"3 = о,29 вт\
Рв„ = = (1,45 • IO’3)2.69 . юз = 0,145 вт-,
Рр = /₽Гр = (1,45- 10-з)2.69. 103 = 0,145 в/п.
4.36. Для задачи 4.35 определить абсолютное значение и относи-
тельную величину полосы пропускания контура по напряжению.
159
Решение. Предварительно вычислим характеристическое со-
противление и добротность контура:
= 1060 ом', Q =
Искомые значения абсолютной и относительной величины полосы
пропускания контура по напряжению равны [см. формулы (4.33) и
(4.34)]:
С A? / 1 । ГР \ 500- 10» /. , 69 \ 1ЕИАП
= — 14-----=--------- 1 4----= 15400 гц;
Q\Ri) 65 . 69 )
с Ъаи 15400
oqu —-----—------------
fp 500 • 103
= 0,031.
4.37. По данным задачи 4.35 вычислить указанные там величины,
если э.д.с. генератора напряжения останется той же (Е = 200 в),
а вследствие расстройки его частота увеличится на 0,5%.
Указание. Разобрать решение задачи 4.31.
4.38. Для контура и по данным задачи 4.35 (L = 338 мкгн, С ==
== 300 пф, г == 16,3 ом) построить частотные характеристики для
коэффициента передачи (ku— U : Е), для трех значений активного
сопротивления, равных 0,5 г; г; 2г. Построение дать в зависимости
от отношения расстройки частоты питающего генератора к резонанс-
ной частоте А///р (построение сделать для частот, отличающихся от
резонансной на ±10%); отношения частот /7/р (в пределах 0,9 ± 1,1);
обобщенной расстройки £ (в пределах ±4).
Построить также резонансную кривую отношения неразветвлен-
ного тока к току при резонансе (Л; = ///р).
4.39. Найти резонансную частоту и неизвестный параметр парал-
лельного контура (см. рис. 4.4), выделяемую в нем мощность при ре-
зонансе по данным:
1) Е = 150 в, + г2 — 22 ом, С = 300 пф, Q — 60, = 35 ком;
2) Е = 100 в, L = 10,3 мкгн, С = 68 пф, Q = 111, Rt = 30 ком.
Для каждого из случаев вычислить абсолютное значение полосы
пропускания и относительную величину полосы пропускания по на-
пряжению.
4.40. Определить резонансную частоту и эквивалентное сопротив-
ление контура при резонансе нагруженного на сопротивление г
(рис. 4.14), исходя из того, что copL > rt.
Каковы резонансная частота и сопротивле-
ние цепи при резонансе, если г > г4?
Решение. Обозначим:
1
— j----г
Рис. 4.14
(ОрС
160
Комплексное сопротивление цепи, состоящей из параллельно со-
единенных сопротивлений и Z2,
1^2
+ ^2
р'
\ WpV, шр'-' /
Так как copL то в скобках числителя последнего выражения
можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, тогда
комплексное сопротивление
1
1
При резонансе комплексное сопротивление должно быть чисто ве-
щественной величиной, поэтому мнимую компоненту знаменателя
следует приравнять нулю. Решая это уравнение относительно резо-
нансной частоты, найдем
wp /Тс V г ‘
с
При резонансе комплексное сопротивление
р — 'р
2
п2 ’
где
При г гх резонансная частота
р ~ ^0
Заметим, что при г-> оо выражение для сопротивления при ре-
зонансе обратится в гр = , т. е. перейдет в формулу для простого
Г1
параллельного контура.
4.41. Параллельный контур, параметры которого rL = 16,3 оле,
L = 338 мкгн, С = 300 пф, подключен к генератору напряжения,
имеющему э.д.с. Е == 200 в и внутреннее сопротивление = 69 ком.
1. Вычислить эквивалентную добротность контура и полосу его
пропускания. Найти все токи и расходуемую в контуре мощность
при резонансе.
161
а)
2. Чему будут равны эквивалентная добротность контура и полоса
его пропускания, если его нагрузить на активное сопротивление
г = 138 ком (рис. 4.15, а)? Определить для данного случая все токи,
мощности, доставляемую генератором и расходуемую в контуре и в
нагрузочном сопротивлении г при резонансе.
Решение. 1. Для заданного контура
вычисляем:
% = 3,14 • 10* се/с-1; fp « f0
VTjc 2те
=500 кгц-,
if Е men Р 1060 =
р=|/ — = 1060 ом\ Q = — =---------------
Г V С rL 16,3
= 65;
гр = Q2rp = 69 ком
Эквивалентную добротность заданного
контура с учетом внутреннего сопротивления
генератора напряжения и полосу его пропу-
скания определяем по формулам (4.31) и (4.33):
Q3 = = 32,5; S‘aU = А = 154оо гц.
1 I р у*
Rt
Так как данные контура, э.д.с. генератора
и его внутреннего сопротивления те же, что
и в задаче 4.35, то в решении были уже вы-
числены требуемые по условию /р, /1р, /2р»
Рг. р, Рр.
2 . Решение задачи в случае нагрузки кон-
тура на сопротивление г проще всего может
быть получено, если осуществить замену от-
носительно зажимов аЬ заданного генератора
напряжения с Е и и подключенным к нему
параллельно сопротивлением г (рис. 4.15, б),
эквивалентным генератором напряжения с э.д.с. Е3 и внутренним
сопротивлением гэ (рис. 4.15, в). Для определения Е3 отключим па-
раллельный контур (см. рис. 4.15, б и в) и вычислим напряжение
холостого хода Uab, равное Е3:
п Ег 200-138
jC- — ————— — — 133 в.
9 г + R, 69 + 138
Сопротивление короткого замыкания равно внутреннему сопро-
тивлению эквивалентного генератора (рис. 4.15, г):
,, = = 46 ком.
г + R, 69+138
Рис. 4.15
162
Для схемы 4.15, в согласно формулам (4.31) и (4.33) эквивалент-
ные добротность и полоса пропускания соответственно равны:
s'y = 4 = 19200 гц.
Следует отметить* что подключение к контуру сопротивления г
приводит к уменьшению эквивалентной добротности и увеличению
полосы пропускания.
Рассчитаем ток в неразветвленной части заданной цепи, напряже-
ние на контуре, токи в ветвях контура и нагрузочном сопротивле-
нии г, мощности, доставляемую генератором и выделяемую в контуре
и в сопротивлении г:
/ Е 20 ,
/ =------------==-------гос -/(Г = 174 ма;
Р гго 138-69
р .----— 69 +---------
К‘+г + Гр 138 + 69
t/p = Е — rpRt = 200 — 1,74 • 103 • 69 • 103 - 80 в;
80
К16.32 + 10602
Л
= 75,5 ма;
и'
I = —р_ — 75 5 ма;
2р j
<оС
Р'Г. Р = Е/Р = °>348 в/п:
pK.p = /ip/'z. = °’093 вт>
Проверка показывает, что
н.Р= + = 0,58 ма-,
Р'вп = rP2pi = 0,209 вт-,
Р' = Г2 г = 0,046 вт.
Н.р Н.р ’
4.42. Решить задачу 4.41, если принять, что нагрузочное сопро-
тивление:
а) г = и б) г = RJ2. Остальные данные те же, что и в зада-
че 4.41.
В. Резонансы напряжении и токов в сложных контурах
4.43. Параметры параллельного контура (рис. 4.16) имеют сле-
дующие значения: п = 1 ом, = 25 мкгн, С4 = 1600 пф, г2 = 4 ом,
L2 ~ 150 мкгн.
Найти частоты резонанса токов, напряжений и сопротивления
цепи при этих частотах. Чему равна добротность контура и эквива-
лентная добротность при его подключении к генератору с внутренним
сопротивлением Rt = 20 ком? Какова при этом полоса пропускания
163
контура? Определить область частот, при которых модуль сопротив-
ления параллельного контура больше 10 ком. Определить эквива-
лентные активные и реактивные сопротивления контура на границах
этой области. При каком условии сопротивление контура при резо-
нансе токов будет иметь максимально во-
I—зможное значение?
Г . | Как нужно подключить контур к исто-
П Г П П чнику синусоидальной э.д.с. с амплитудой
фЦ 7 U . n . . Ет= 100 в и внутренним сопротивлением
д 5 Н Т р Rt — 20 ком, чтобы мощность, выделенная
^£(1/ ф* в контуре, была максимальна и чему она
q = г равна?
" Т " Решение. Частота резонанса токов
[см. формулу (4.40)]: ~ ’
Рис. 4.16
(ох-=— 4...-' - — = 1,89 • 10е сек~^
V (Lx + L2) С
fi = 1 ’89 10*. —j з . Ю5 гц = 300 квц.
Сопротивление контура при этой частоте [см. формулу (4.22)]
р
х2
(<О1^2)2
>1 4-г2
= 16 ком.
Частота резонанса напряжений:
<о2 — —— • = 5 • 10е сек"1;
/iiCx
р 5 • 10® 'тле
f2 ------= 795 кгц.
2tz
При этой частоте сопротивление каждой из ветвей и всего па-
раллельного контура соответственно равны:
Zi == fl + j = 1 ом\
\ /
%2 ^*2 + /(0L2 = (4 + j 750) ом\
7 ZiZs 1 (4 + /750) .
z =----“— = —1L 1 ом.
Zx + Z2 5 + j 750
Добротность контура [см. формулу (4.41)]
1,89 . 10® . 175 . 10-®
164
и эквивалентная добротность [см. формулу (4.31)]
Полосу пропускания найдем по формуле (4.33):
Sau = fp/Qa = 300/36,8 = 8,15 кгц.
Для определения области частот, при которых модуль сопротив-
ления параллельного контура больше 10 ком, используем формулу
(4.27) для модуля полного сопротивления:
гэ(<о) = 10000
16000
Отсюда найдем обобщенную расстройку $ = ±1,25 и по формуле
(4.27) с учетом величины 6 из (4.26) — соответствующую ей абсолют-
ную расстройку:
Дш = $8 =• s <ri + r*) . = ± . ..bgLJL- = 17900 сек-1,
2 (Lt + Л2) 2 • 175 • 10-*
д; = -Ц900 2850 гц.
2и
Искомая область частот, при которой z9(co) > 10 ком, определяется
из неравенства (fi — Д/) < f < (Л + Д/), или 297 150 гц <Z f<Z
<Z 302 850 гц.
Эквивалентные активное и реактивное сопротивления при 5. 1,25
найдем по (4.27):
а = —— = 6,25 ком, хэ =----------------— В = — 7,81 ком.
9 1 -|Л2 1 +S2
Вычислим максимально возможное сопротивление параллельного
контура при, резонансе токов. Оно имеет место тогда, когда вся индук-
тивность будет сосредоточена в одной из ветвей, а емкость — в дру-
гой. В этом случае согласно формуле (4.21 в)
L 175 • 10 ® о* q 1 ля ____________oi о л
го = — =--------------= 21,8 • 103 ом — 21,8 ком.
р rC 5 • 1600 -10~12
Наконец разрешим вопрос об условиях подключения контура к
источнику э.д.с., с тем чтобы в нем была выделена максимальная
мощность. Как известно, это будет в случае, если сопротивление
контура при резонансе Гр будет равно сопротивлению источника
Для этого используем свойство сложного параллельного контура
изменять свое резонансное сопротивление при перераспределении его
реактивных элементов по отдельным ветвям без изменения частоты
резонанса токов. Обозначим реличину индуктивности правой ветви
165
контура, удовлетворяющей требованиям задачи (Гр = Rt) через
тогда с учетом (4.42)
Отсюда
V 20 • 103 • 5 1П „
= I—---------------= 167 • 10 6 гн
1,89 • IO3
Максимальная мощность, выделяемая в контуре при указанном
условии,
——---------20 • 103 = 0,0625 вт = 6,25 мет.
2 (40 • 103)2
4.44. Для контура, изображенного на рис. 4.5, найти резонансные
частоты и вычислить его активное, реактивное и полное сопротивления
при этих частотах. Даны: г{ = 9,4 ом, Li — 256 мкгн, Ci = 270 пф,
г2 = 12 ом, L2 = 660 мкгн, С2 = 430 пф.
4.45. Как надо перераспределить индуктивности Li и L2 между
отдельными ветвями контура задачи 4.43, чтобы при той же частоте
резонанса токов полное сопротивление параллельного контура рав-
нялось 12 ком?
Решение. Пусть при требуемых условиях (со± остается той же)
полная индуктивность контура L = Li + L2 = 175 мкгн распреде-
лится так, чтобы в левой ветви была индуктивность L', а в правой —
L" = L — L'. При этом полное сопротивление контура [см. формулу
(4.42)] при частоте резонанса токов
гр = 12 000 = .
Р Г, + г2
Отсюда
1/ го Оч + G)
L" = V р = 130 мкгн^
“1
I/ = L — L" = 175 — 130 = 45 мкгн.
Рис.4.17
4.46. Дан колебательный контур (рис. 4.17).
Найти емкости Ci и С2, если известно, что =
=5 ом, Li = 150 мкгн, сопротивление контура
при резонансе г = 20 ком и полная емкость
контура С = 500 пф Как
надо включить элементы этой схемы, чтобы со-
противление контура было максимально и чему
оно при этом равно?
166
4.47. Контур имеет в каждой ветви индуктивность, емкость и
активное сопротивление (см. рис. 4.5). Определить активную и реак-
тивную составляющие эквивалентного сопротивления контура для
частоты, которая на 0,5% отличается от частоты резонанса токов.
Значения параметров контуров взять из задачи 4.44.
Указание. Решение задачи начать с разбора решения задачи 4.31.
4.48. Сложный параллельный контур (см. рис. 4.16), параметры
которого взять из условия задачи 4.43, подключенный к генератору
синусоидальной э.д.с. с амплитудой Ет = 100 в и внутренним сопро-
тивлением Rt = 20 ком, зашунтирован
активным сопротивлением гн = 30 ком (на
рис. 4.16 не показано).
Рассчитать действующее значение тока
генератора, токов в ветвях контура и в
нагрузочном сопротивлении гн в режиме
резонанса токов и при расстройке частоты
генератора на 0,5%.
Какое сопротивление гш надо взять вме-
сто гн, чтобы при резонансе токов в кон-
туре была выделена максимальная мощ-
ность? б)
4.49. Дан контур (см. рис. 4.16) с по-
лосой пропускания 5 кгц, добротностью
100 и индуктивностью L = Lj + L2—
= 400 мкгн. Коэффициент включения
mL = 0,6. Э.д.с. генератора Е = 200 в,
его внутреннее сопротивление Rt—62,5 ком.
Найти Li, L2, С, Г1 и г2 (полагать, что
ri = Гг)- Определить частоты резонансов
токов и напряжений, все токи и мощно-
сти, потребляемые контуром при этих ча-
стотах.
4.50. Определить значение сопротивле- Рис* 4,18
ния г2, при котором в цепи рис. 4.18, а
имеется резонанс напряжений на частоте / = 500 гц. Вычислить
все токи. Построить векторную диаграмму. -
Даны: t\ = 2,7 ом, L = 286 мкгн, С = 318 мкф, U — 30 в.
Решение.
(oL = 2u 500 • 286 • 10“6 = 0,9 ом;
11 1
------------- = 1 ом;
О)С 2к 500 • 318 • 10-8 ’
. 1 г2 _ * 2
гэ = 2,7 4- / 0,9 + ~1 7 = 2,7 + /0,9 + А 2 .
r2-/l ij + \
167
При резонансе реактивная составляющая сопротивления Z3 дол-
жна быть равна нулю, т. е.
= 0, откуда г2 = 3 ом.
При найденном значении г2 полное сопротивление цепи имеет
только вещественную составляющую:
< ' х-
— 2,7 -j----------- 3 ом,
З2 + 1
Ток в неразветвленной части цепи
i и 30.
Д = — —— = 10 а,
Гэ 3
Токи в параллельных ветвях:
Л=71 = ю^П-= 1 -/3 = З,16е-/71035' а;
Гг — 1ХС 3 —/1
i i in з n , -о n e /l825
I, = Л-----— = 10-----------= 9 + /3 = 9,5e a.
3 1 rz — 1XC 3 _ /1 1 '
На рис. 4.18, б начерчена векторная диаграмма. На основе рас-
чета отложены векторы токов /2> 73 и Д, далее построены векторы
1гГ2 =—j —77, и ji^L и = Дг! + ji^L.
(DG
Наконец, построен вектор, являющийся суммой векторов напряже-
ний на неразветвленном и на параллельном /2Z2 участках.
4.51. К зажимам цепи (см. рис. 4.18, а) подведено напряжение U
частотой/. Параметры цепи L и С известны. Определить, каким
минимальным активным сопротивлением г2 можно шунтировать кон-
денсатор С, при котором еще может иметь место резонанс. Чему в
этом случае равен ток в неразветвленной части цепи?
4.52. Определить, при каком значении и характере сопротивле-
ния Zi в цепи рис. 4.19 показание ваттметра наибольшее, если извест-
но, что г2 = 8 ом, xL = 6 омг г3 — 12 ом, хс = 5 ом. U = ПО в.
Чему равно показание ваттметра при этом режиме? Построить век-
торную диаграмму.
Рис. 4.19
Рис. 4.20
168
Указание. Требуемое условие будет выполнено при резонансе напря
жений.
Рис. 4.21
4.53. При каком реактивном сопротивлении Z3 (рис. 4.20) прило-
женное напряжение U и ток /х совпадут по фазе? Даны: Zt =
= (12 + /14) ом, Z2 = (10 + /15) ом. Для найденного значения Z3
вычислить все токи и построить векторную диаграмму при U = 120 в.
4.54. Для цепи рис. 4.21 найти емкостное
сопротивление хс, при котором имеется резо- 11
нанс напряжений. Даны: = 12 ом, г2 =
= 12 ом, xL = \&ом, г3 = 20 ом. Вычислить
для этого режима токи и построить векторную
диаграмму, если U = 220 в.
4.55. При каком индуктивном сопротивле-
нии xL в цепи рис. 4.21 наступит резонанс
напряжений? Вычислить токи и построить
векторную диаграмму, если = 1,5 ом, хс =
= 1,25 ом, г2 = 3 ом, г3 = 5 ом, U = 120 в.
4.56. В неразветвленной части цепи (см. рис. 4.3) при резонансе
проходит ток I ~ 8 а при напряжении U = 100 в. Сопротивление
конденсатора хс = 25 ом. Определить активное и индуктивное со-
противления катушки.
Рис. 4.22
Рис. 4.23
4.57. В цепи рис. 4.21 имеет место резонанс. В этом режиме в ее
неразветвленной части проходит ток I = 2,5 а при U = ПО в. Из-
вестны: = 24 ом, xL = 32 ом, г3 = 40 ом. Вычислить активное
сопротивление г2 и емкостное сопротивление хс. Найти все токи.
4.58. К цепи подведено напряжение U = 30 в (рис. 4.22). Сопро-
тивления элементов цепи: q = 1 ом, Xi = — 3 ом, г2 = 4 ом, х2 =
= 8 ом, г3 •= 4 ом, г± = 3 ом. Найти величину и характер реактивного
сопротивления х4, чтобы в цепи был резонанс токов при указанной
частоте. В этом случае найти все токи и построить векторную диа-
грамму.
Указание. Мнимую часть комплекса полной проводимости надо при-
равнять нулю.
4.59. . Определить частоты резонансов напряжений и токов в цепи
рис. 4.20, если известны = 12 ом, Ц = 0,31 мгн, г2 = 3 ом> L2 =
= 0,29 мгн, С = 11,6 мкф.
169
4.60. Выяснить, при каком значении и характере реактивного со-
противления х4 напряжение U и ток /, проходящий в неразветвлен-
ной части цепи (рис. 4.23), совпадут по фазе. Сопротивления элемен-
тов: Zi = 12 ом, Z2 = (20 + /4) ом, Z3 = (6 + /6) ом, г4 = 8 ом,
Z5 = —/6 ом.
Указание. Треугольник сопротивлений Zx, Z3,Z5 преобразовать в эк-
вивалентную звезду и затем мнимую часть полного сопротивления цепи при-
равнять нулю.
4.61. Определить частоты резонансов напряжения и токов в цепи
рис. 4.20, если известны: rj = 12 ом, Li = 0,31 мгн, г2 = 3 ом,
L2 = 0,29 мгн, С — 11,6 мкф.
Указание. Учесть, что в начале наступает резонанс токов, а затем ре-
зонанс напряжений.
Глава пятая
СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. По схемным признакам различают внутреннюю (рис. 5.1, а) и
внешнюю (рис. 5.1, б) связь двух контуров. Сопротивление Z12 эле-
мента общего для обоих контуров называют сопротивлением связи.
Рис. 5.1
Виды связи: 1) магнитная (рис. 5.2, а — индуктивная или транс-
форматорная; рис. 5.2, б — кондуктивная или автотрансформаторная);
2) электрическая (рис. 5.2, в — емкостная внутренняя; рис. 5.2, г —
емкостная внешняя); 3) комбинированная или смешанная (рис. 5.2, <3—
индуктивно-емкостная; рис. 5.2, е — кондуктивно-емкостная); 4) галь-
ваническая (рис.5.2, ж).
Для количественной оценки взаимного влияния двух контуров
служит коэффициент связи k. Он определяется как среднее геометри-
ческое значений степеней связи ki и k2, определяемых для каждого
контура по отношению к другому
k = ]fk1k2. . (5.1)
Для чисто магнитной (или чисто электрической) связи степень
связи ki первого контура со вторым представляет собой отношение
напряжения на индуктивности (емкости) второго контура в режиме
его холостого хода к полному напряжению на индуктивности (емкости)
первого контура. Аналогично степень связи k2 второго контура с
первым есть отношение напряжения на индуктивности (емкости) пер-
вого контура в режиме его холостого хода к полному напряжению
на индуктивности (емкости) второго контура.
Для схемы рис. 5.2, а
= k2= у-, k = ; (5.2a)
L1 2
171
для схемы рис. 5.2,6
Рис. 5.2
для схемы рис. 5.2, в
(5.2г)
172
2. Индуктивно связанные цепи. Приступая к расчету электриче-
ской цепи с взаимной индуктивностью, следует на схеме отметить
стрелками произвольно выбираемые положительные направления
токов в ветвях (и контурных токов в случае применения метода кон-
турных токов). Кроме того, одинаковыми условными значками (бук-
вами, звездочками, точками и т. п.) обозначить одноименные зажимы
каждой пары индуктивно связанных элементов цепи (катушек).
Одноименными считаются такие зажимы, при одинаковых поло-
жительных направлениях токов относительно которых магнитные
потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются.
Заметим, что при наличии трех (или более) индуктивно связанных
катушек зажимы второй и третьей катушек, являющиеся одноимен-
ными по отношению к какому-либо зажиму первой катушки, могут
в общем случае оказаться разноименными относительно друг друга
(см. задачу 5.41). В таком случае каждая пара одноименных зажимов
отмечается особыми значками.
При составлении уравнений второго закона Кирхгофа с помощью
комплексных чисел (УЕ = ^\ZI) величины э. д. с. взаимной ин-
дукции Eks — — i&M.ksIs обычно из части уравнения, содержащей
э. д. с., переносятся с переменой знака в другую часть, содержащую
падения напряжения, в виде членов типа ± Uks = ± ja)MksIs —
= zb ZksI s.
Верхние (положительные) знаки принимаются тогда, когда при
обходе контура, содержащего ветвь k, направление обхода этой
ветви и направление положительного тока ветви s относительно одно-
именных зажимов одинаковы; в противном случае принимаются отри-
цательные знаки.
Здесь Eks— комплексная э. д. с. взаимной , индукции в fe-й
катушке, определяемая током в s-й катушке;
Mks — взаимная индуктивность этих катушек;
со — угловая частота;
Zks = ja)Mks — сопротивление взаимной индукции.
Указанное правило разметки зажимов и выбора знаков справедли-
во, если М считать всегда положительном.
3. При последовательном соединении двух индуктивно связанных
катушек эквивалентное комплексное сопротивление и эквивалентная
индуктивность определяются по формулам
L — + Е2 zt 2Л112,
(5.3)
где Z-^2 —
Знак плюс соответствует согласному включению катушек, а знак
минус — встречному.
Примеры приведены в задачах 5.4, 5.5 и 5.11.
173
При параллельном соединении двух индуктивно связанных кату-
шек эквивалентное комплексное сопротивление
ZiZ2 — Z|2
(5.4a)
а эквивалентная индуктивность (при условии, что активные сопро-
тивления катушек равны нулю)
LrL2 — М2
Li + L2 Т 2М
(5.46)
Знак минус в знаменателе уравнений (5.4а) и (5.46) ставится при
согласном включении, а знак плюс — при встречном.
Примеры даны в задачах 5.13 и 5.14.
4. Уравнения второго закона Кирхгофа для двух индуктивно свя-
занных контуров (рис. 5.3, а) имеют вид:
^11/1 212/2 — Uy
(5.5)
где
%22^2 ^21А — 0>
+ /^Н — Г22 /^22»
Z12 = Z2i = /(оМ = /Х12*
Рис. 5.3
Zi ^2 + 2Z12
Схема рис. 5.3, а может быть заменена эквивалентной (рис. 5.3, б),
содержащей вносимые в первый контур активное и реактивное сопро-
тивления, соответственно равные
_ (о2Л12 _ <о2М2 . А
^ВН1 9 | 92 ^*22 9 ^22 > (э.о)
^22 ' ^2 *22
(О^М2 <л)2Л42 /е.
^вн1 3=3 '2 *22 = 12 *22* (5.7)
г22 ~гх22 Z22
174
Ток
_____________U1_______________
(r 11 + ^BHl) + / (xll + XBH1)
(5-8)
5. Развязка индуктивных связей. Цепи схем рис. 5.4, а и б соот-
ветственно эквивалентны цепям рис. 5.4, в, г и д, не содержащим
индуктивные связи. Поэтому, например, при анализе схемы рис. 5.3, а
достаточно исследовать схему рис. 5.4, в.
Рис. 5.4
Примеры приведены в задачах 5.21, 5.22, 5.36 и 5.37.
6. Индуктивно связанные резонансные контуры (рис. 5.5.). Соб-
ственное комплексное сопротивление первого контура Z4 = ri + /хь
т 1
где %i = (oLi---------реактивное со-
противление первого контура. Собст-
венное комплексное сопротивление
второго контура Z2 = г2 + Дг с ре-
активным сопротивлением х2 = coL2—
------. Комплексное сопротивление
10С2
СВЯЗИ Z12 = /0)Л1 = /х12.
Действующие значения токов в
Рис. 5.5
связанных контурах:
175
где rBH1 = r12 — вносимое активное сопротивление в первый кон-
*2
тур;
х2
хвн1 = — х2 — вносимое реактивное сопротивление в первый
*2
контур;
х2
гвн2 = Г1 — вносимое активное сопротивление во второй кон-
zi
тур;
xj2
хвн2 =----г Xi — вносимое реактивное сопротивление во второй >
контур.
7. Резонансы в связанных контурах (см. рис. 5.5):
а) Первый частный резонанс достигается при изменении парамет-
ров первого контура при неизменных параметрах второго контура
и постоянном коэффициенте связи А. Условие этого резонанса
*Тэ
*12
= ----ГХ2
Z2
(5.Н)
^14" 'K'BHl
= о*
при этом вторичный ток достигает максимального значения:
Л1 max — ' ’ ' “ •
22 (rl “F гвн1)
б) Второй частный резонанс получается
второго контура при неизменных параметрах
стоянном k. Этот резонанс имеет место при
(5.12)
подбор ом п ар аметр ов
первого контура и по-
= 0. (5.13)
В этом случае ток во вторичном контуре достигает максимума,
равного
Ли max =—(5.14)
^(r2 + rBH2)
в) Сложный резонанс достигается одновременным изменением
параметров одного из контуров и подбором оптимального коэффи-
циента связи k.
При настройке изменением элементов первого контура [должно
соблюдаться условие (5.11)1 оптимальное значение сопротивления
связи
(5.15)
* Выводы формул (5.11) 4-(5.34) можно найти в [4], [16], [30].
176
При настройке вариацией параметров второго контура [должно
соблюдаться условие (5.13)] оптимальному коэффициенту связи соот-
ветствует сопротивление связи:
/ V (5'16)
В этих случаях ток во вторичном койтуре достигает максимально
возможного значения («максимум-максиморум»), равного
_ £1
2 max max ________•
2
(5.17)
г) Полный резонанс имеет место при резонансной настройке по-
рознь каждого из контуров:
x1 — 0t х2 = 0 (5.18)
и при подборе оптимальной связи между контурами &опт = —-— t
V Q1Q2 ’
которой соответствует сопротивление связи:
^12 опт ~ ^1/*2 • (5.19)
При полном резонансе вторичный ток имеет такое же значение,
как и при сложном резонансе [см. формулу (5.17)].
Примеры даны в задачах 5.42, 5.43, 5.44.
8. Резонансные характеристики связанных контуров. Входное
сопротивление' системы связанных контуров (рис. 5.5) определяется
формулой
2 / 2 \
Z(ja) = гг + + /I хг — х2). (5.20)
г2 V z2 /
Если собственные резонансные частоты контуров со01 и со02 между
собой близки и при их небольших расстройках относительно частоты
источника со (Дед! = со — со01 < ^о1 и Лсо2 = со — (о02 < <о02), вход-
ное сопротивление системы связанных контуров
где = — ж 2Qi —обобщенная расстройка первого контура;
Г1 W01
В2 = — ~ 2Q2 —— — обобщенная расстройка второго контура;
Г 2 О)02 -
А = ---фактор связи.
Действующее значение вторичного тока и модуль коэффициента
передачи (амплитудно-частотная характеристика) при одинаковых
7—222 177
резонансных частотах контуров определяются выражениями:
/2 = Е'А.... ; (5.22)
Vу (Л2 +1 - ад2 + (St + е2)2
kc = =------- А . (5.23)
£1 <»С2 Vr^ V И2 +1 - ад 2 + (5, + $2)2
При настройке порознь каждого из контуров на одну и ту же
частоту, т. е когда —-— = (ол, =®0 =<оо2=— . различают еле-
V ^Ci У l2c2
дующие случаи связи: а) сильную (&>#кр), б) критическую (k=
— &кр), в) слабую (k<zkKp). Критической связи соответствует значе-
ние
(5-24)
где dt = — и d2 ------------затухания первого и второго контуров.
Qi Qi
При слабой связи резонансная кривая тока /2 имеет один макси-
мум. При сильной связи резонансная кривая тока /2 имеет два мак-
симума, наступающих при частотах связи (Oj и соп (сог < соо<
При небольших расстройках (Дсо = со — соо < со0) системы оди-
наковых связанных контуров = В2 = В действующее значение вто-
ричного тока и модуль коэффициента передачи:
_________ЕГА________
г V(Л2 + 1 — S2)2 ч- 4£2
QA
1 — ^2)2 4£2
(5.22а)
(5.23а)
Полоса пропускания двух идентичных (<х>01 = <*>02 = со0, = d2 =d)
индуктивно связанных контуров на уровне 1/J/2 «0,707 зависит не
только от затухания контуров d, но и от коэффициента связи k.
При слабой связи и при идентичных контурах относительная
полоса пропускания
з. - “ /(4Г - > + ]/2[> + (4)‘
(5.26)
При критической связи и при идентичных контурах относительная
полоса пропускания
So = У2 d. (5.27)
178
При сильной связи и при идентичных контурах относительная по-
лоса пропускания
So = d 1/(тГ-1 + 2(т)-
У \ а / \ а ]
(5.28)
Максимальная полоса пропускания имеет место при связи, обес-
печивающей в точке нулевой расстройки ток, равный 0,707 /2 max max-
При этом k = 2, 41 d,
S0max = 3,l d. (5.29)
9. Энергетические соотношения в индуктивно связанных конту-
рах. Мощности, выделяемые в каждом из двух связанных контуров:
рг = 2к2=/^1. (5.30)
К. п. д. системы двух связанных контуров находится как отноше-
ние мощности второго контура Р2 ко всей затраченной мощности
Р = Pi + Ръ т. е.
, = . <5.31)
К. п. д. вычисляется по формуле
7)=------£ВН1
При настроенных первичном и вторичном контурах (х4 = 0, х2 =0),
но при любом коэффициенте связи k к. п. д.
т) =--------. (5.33)
При полном резонансе мощность во вторичном контуре достигает
максимального значения, равного
£2 Е2
^2 max max — ? 1 max max == “ = "7 • (5.34)
8ri 4гг
/
При этом к.п.д. составляет 50%.
Примеры даны в задачах 5.48, 5.50, 5.52, 5.53, 5.54, 5.56.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Расчет связанных цепей
5.1. Имеется два индуктивно связанных контура (см. рис. 5.2, а),
собственные частоты которых соответственно равны 8 и 10 Мгц, а
емкости 50 и 80 пф. При какой взаимной индуктивности можно по-
лучить коэффициент связи 0,05? 1
7*
179
5.2. Определить емкость конденсатора связи в схеме с внутренней
емкостной связью (см. рис. 5.2, в), если Ci = С2 = 100 пф, а коэффи-
циент связи равен 0,1.
5.3. В схеме с автотрансформаторной связью (см. рис. 5.2,6)
Lt — 20 мкгн, Ci = 50 пф, L2 = 6 мкгн, собственная резонансная
частота первого контура 4 Мгц.
Найти коэффициент связи между
контурами.
5.4. Определить эквивалентное
комплексное сопротивление цепи
(рис. 5.6, а), ток и напряжения ме-
жду точками а и Ь, с и d, если из-
вестны U = 130 в, = 2 ом, г2=
3 ом, coLi = 3 ом, со£2 = 7 ом,
(J)M = 1 ом.
Рис. 5.6
Решение. Проследив по рис.
5.6, а прохождение тока по вит-
кам обеих катушек, видим, что в
каждой из них потоки самоиндук-
ции и взаимной индукции дейст-
вуют попутно. Таким образом,
катушки включены согласно. За-
данная цепь может быть представ-
лена схемой, показанной на рис.
5.6, б. Составим для нее уравнение
второго закона Кирхгофа:
(7 = Z-J -\-Z12I + Z21 A-Z21l,
где
Z± — j(dL>i — (2-Ь /3) ом;
Z2 == /*2 "Т" /coL2 ~ (3 /7) ом,
Z12 = Z21 = /соМ = /1 ом.
Эквивалентное комплексное сопротивление цепи
Z = Zy + Z2 + 2Z12 = 54-/12= 13е/б7°20' ом,
Искомый комплексный ток
_ й _ 130 _ ~/67°20'
“ Т “ 13е'67°20'
а.
Комплексные напряжения между точками а и Ь, с и d равны:
. . _ ; 30505
иаЬ =1 (Z. + Z2) = 44,7е в;
Ucd = / (Z2 Z21) = 85,5e в.
180
На рис. 5.6, в представлена векторная диаграмма. По веществен-
ной оси отложен вектор напряжения, от него в сторону отставания на
67°20' направлен вектор тока, затем отложены векторы падения на-
пряжения в каждой из катушек.
5.5. Для цепи, изображенной на рис. 5.7, а, найти ток и напря-
жение между точками а и Ь,с и d. Даны: г{ = 2 ом, г2 = 4 ом, (вЦ =
= 6 ом, <йЬ2 = 4 ом, (оЛ4 = 1 ом. К цепи приложено напряжение
Рис. 5.7
U = 100 в. Построить векторную диаграмму.
Решение. Соединение катушек встречное. Для эквивалентной
схемы (рис. 5.7, б) запишем уравнение второго закона Кирхгофа
й = zj-z12i + Z2i-z2j.
/
Искомый ток и напряжения:
и
Zi 4- — 2 Zi2
10 е-/53°10' а;
Ucd = (Z2 - Zt2) I = 50 e-'16’20' в.
На рис. 5.7, в начерчена векторная диаграмма.
5.6. К цепи (см. рис. 5.7, а) приложено напряжение U = 100 в.
Найти ток и напряжения Uab и Ucd, а также построить векторную
диаграмму. Даны г\ = 30 ом, г2 = 50 ом, coL4 == 120 ом, a>L2 = 30 ом.
Коэффициент связи k = 0,75.
Замечание. По результатам решения обратить внимание на то, что
напряжение на одной из катушек отстает по фазе от тбка.
181
5.7. Вычислить ток и напряжение между точками а и Ь, если
= 5 ом, гг = 3 ом, coLi = 4 ом, <bL2 = 2 ом, ®Л4 = 2 ом, —-— =
(О С
= 4 ом, а приложенное к цепи напряжение U = 100 в (рис. 5.8).
Построить векторную диаграмму.
Рис. 5.8
Рис. 5.9
5.8. Чему равно напряжение на конденсаторе емкостью С =
= 43 мкф, включенном между двумя индуктивно связанными катуш-
ками, параметры которых rt = 10,5 ом, — 22 мгн, г2 = 9,2 ом,
L2 = 18 мгн, М = 6,5 мгн? К цепи приложено напряжение U =
= 100 в (рис. 5.9). Частота перемен-
rf • Lf ного тока / = 200 гц. Построить век-
0——Qj—1—1——п торную диаграмму.
I х Гг 2 5-9. Вольтметр и амперметр, вклю-
✓Ч Т* ченные в цепь (рис. 5.10), показали
кр Ь U = 88 мв, I — 2,2 ма. Чему равна
I с / 2 емкость С, если = 9,5 ом, G)Lt =
0—I--------1|------Г =14,6 ом, г2 = 11,6 ом, &L2 = 17 ом,
сйМ — 3,2 ом? Частота тока f = 50 кгц.
Рис. 5.10 Решение. Из уравнения зако-
на Ома
— (a*i 4~ г2) + j Lv + со L2 + 2 со М---------------------------------------
\ (о С
Модуль полного сопротивления определим из показаний приборов
U 88-10'3 с *
как отношение — =-----------= 40 ом. Его можно также наити из
I 2,2 • 10“3
выражения
z = I / (хх + гг)2 + (ш ® L2 + 2 со М----------------------------------
Г (О С
Подставляя числовые значения, будем иметь
40
182
Решая это уравнение,получим
— = 4 ом или — = 72 ом,
(й С о) с
и, наконец, С — 0,796 мкф или С = 0,0442 мкф.
5.10. Ддя цепи предыдущей задачи вычислить коэффициент свя-
зи k, если U = 85 мв, I = 1,7 ма, = 16 ом, coLf = 26 ом, г2 = 14 ом,
<$Ь2 = 28 ом, — = 20 ом. 1
(О С
5.11. Для определения взаимной индуктивности двух катушек
их соединили последовательно и подключили к источнику; были изме-
рены напряжение, ток и мощность в двух случаях: в первом—зажим 2
первой катушки был соединен с зажимом 3 второй катушки
(рис. 5.11, а), во втором — зажим 2 первой катушки был соединен с
Рис. 5.11
зажимом 4 второй катушки (рис. 5.11, б). Показания приборов при
первом опыте: Ui = 120 в, Ц = 12 a, = 864 вт; при втором —*
U2 = 120 в, /2 = 10 а, Р2 = 600 вт.
Чему равна взаимная индуктивность катушек, если частота пе-
ременного тока'/ = 50 гц? Выяснить, в какой из двух схем соедине-
ние катушек соответствует согласному включению.
Решение. По данным первого опыта найдем полное сопротив-
ление схемы Zj , ее активное г7 и реактивное- сопротивления х1 :
Zj = — = 10 ом; гх =— =6 ом; хх = У z\ —г\ = 8 ом.
11
Аналогично из данных второго опыта:
г„ = — = 12 олг, г,. = — = 6 ом; х.. = 2?. —г?. = 10,4 ом.
11 ’ 11 ,9 1 11 г 11 11 '
/2 /2
Равенство полученных значений активного сопротивления г} ~ гп
свидетельствует об отсутствии ошибок измерения. Реактивное же
сопротивление во втором опыте оказалось больше, чем в первом
(*п>Х1)- Это указывает на то, что вторая схема соответствует со-
гласному включению, а первая — встречному.
Искомая взаимная индуктивность найдется из уравнений.
со L} + со Ь2 + 2 со М = хп и со LY + со L2 — 2 со М « xv
183
Вычитая одно уравнение из другого, получим
М =
хjj — 10,4 ~~ 8
4 со 4 • 2 тс • 50
= 1,91 мгн.
5.12. При включении одной первой катушки (рис. 5.12, а) при-
боры показали = 52 в, /4 = 4 a, Pi = 80 вт, а при включении
только одной второй катушки (рис. 5.12, б) U2 = 52 в, /2 = 4,16 а,
Р2 == 60,5 вт. При включении же катушек по схеме рис. 5.12, в
Рис. 5.12
приборы показали U = 76 в, 1 = 4 а.
Выяснить, включены катушки согласно или встречно, и подсчи-
тать взаимную индуктивность М, если частота переменного тока
f = 50 гц.
Рис. 5.13
5.13. Даны две параллельно соединенные катушки (рис. 5.13, а)>
параметры которых г4 = 20 ом, ыЦ — 10 ом, г2 = 20 ом, coL2 = 20 6м
и сопротивление взаимной индукции = 10 сии. К цепи подведено
184
напряжение V — 150 в. Определить все токи и построить векторную
диаграмму. Определить показание каждого ваттметра и мощности
тепловых потерь в каждой из ветвей.
Р е ш е н и е. Из рис. 5.13, а видно, что катушки соединены со-
гласно, так 1^ак каждую из них магнитные потоки само- и взаимной
индукции пронизывают в одном и том же направлении. Ца рис. 5.13, б
начерчена схема заданной цепи.
Введем обозначения:
Z2 = ri + /®M = (20 + /10) ом\
Z2 = г2 + /со£2 = (20 + /20) ом-, Zu = /<оЛ4 = /10 ом.
По законам Кирхгофа,
(/=/\ Zj-j-/2 ZM; (1)
• • •
I = ц + /2.
Решив совместно уравнения (1) и (2) и приняв U = U = 150 е,
получим:
= 4 _ /3 = 5 е-/зб»50' а;
^2-4
/2 = и = 2 — /4 = 4,47е—/63°30’ а;
/ = Д + /2 = 6 — /7 = 9,22 е"/ОТ5' а.
На рис. 5.13, в по уравнениям (1) —(3) построена векторная
диаграмма. По вещественной оси отложен вектор U. На основе ра-
счетов построены векторы 1и /2 и /. Затем на основании уравнения (1)
построены векторы 1гг1г ЩтЦ, 121&М; их сумма дает вектор U.
Аналогично построены векторы по уравнению (2).
Определяем показания каждого из ваттметров:
== Re [150 (4 + /3)] = 150.4 = 600 вт,
Р2 = Re [(7 /J = Re [ 150 (2 + j 4)] = 150 • 2 = 300 em;
Р = Re[(7 / ] = Re [ 150 (6 + /7)] = 150 • 6 = 900вт.
Тепловые потери в первой и второй ветвях соответственно .равны:
д=/2 Г( = 52 • 20 = 500 ет;
д р2 = /2Гг = 4,472.20 = 400 вт,
185
а их сумма \Рг + ^Р2 равна мощности Р, поступающей во всю
рассматриваемую цепь (900 вт).
Активная мощность Pi = 600 вт, потребляемая первой ветвью
от источника энергии, частично расходуется на тепловые потери в
этой ветви (APt = 500 вт), и остальная часть (600 — 500 = 100 вт)
поступает в магнитное поле, откуда вследствие взаимной индукции
передается во вторую катушку. Это видно из следующего.
Напряжение взаимной индукции на первой катушке
41и = ZM 4 = j 10 (2 - / 4) = (40 + j 20) в,
а мощность, передаваемая полем из первой катушки во вторую,
= Re [(40 + j 20)(4 + /3)] = 40 • 4 — 20 • 3 = 100 вт.
Аналогично,
i>2M = ZM 4 = j 10 (4 - /3) = (30 + j 40) в;
P‘ZM —* Re [^2м 12.
=Re [(30 + / 40)(2 + j 4)] = 30 • 2 — 40 • 4 = — 100 em.
Рис. 5.14
5.14. Вычислить токи и построить векторную диаграмму для цепи
схемы (рис. 5.14, а), параметры которой равны = (20 + /10) ом,
Z2 = (20 + /20) ом, = /10 ом. Напряжение U = 150 в.
Указание. Катушки цепи, изображенной на рис. 5.14, б, соединены
встречно. При указанных на схеме положительных направлениях токов си-
стема уравнений Кирхгофа будет:
U == liZi — 12ZM; U = /2^2 — 'А; / Л 4^ /а*
186
По результатам расчетов на рис. 5.14 в построена векторная диаграмма.
5.15. Вычислить токи и построить векторную диаграмму для цепи
рис. 5.14, а, к которой подведено напряжение U — 120 в. Даны:
Zi = (5 + /10) ом, Z2 = (100 + /20) om,*Zm = /10 ом.
Замечание. Получив результат решения задачи, обратить внимание
на то, что ток в одной из ветвей опережает приложенное напряжение.
5.16. Подобрать емкость С так,
чтобы в цепи схемы рис. 5.15 при
угловой частоте со = 5- 105 сек"1 был
резонанс напряжений. Параметры це-
пи: Ti = 100 ом, Li = 0,1 мгн, г2 =
= 100 ом, L2 — 0,2 мгн, М — 0,1 мгн.
При найденной емкости определить
токи и построить векторную диаграм-
му, если U — 75 мв.
5.17. Решить предыдущую задачу
в случае встречного включения ка-
тушек.
5.18. При какой емкости С, вклю- ис’ *
ченной в цепь (рис. 5.16, а), будет
резонанс токов на частоте / = 104а^? Параметры цепи: = 318 мкгн,
L2 = 159 мкгн, М = 124 мкгн. Вычислить токи и построить вектор-
ную диаграмму при U — 40 мв.
о)
Рис. 5.16
Решение. Обозначим:
~ j~ i ® L2,
187
По законам Кирхгофа,
U = Л Л + Z12 /2;
U
— 22 /2 + ^12 1-
Совместное решение этих уравнений даст:
U (^2--- ^12) .
Zj Z2 ’ Z|2
d (zt~z12) ,
Zj Z2 Z|2
(1)
(2)
(3)
Так как цепь содержит только реактивные элементы, то условие
резонанса токов сводится к тому, что ток I в неразветвленной части
цепи должен равняться нулю. Подставляя значения комплексных
сопротивлений в числитель формулы (3) и приравнивая его нулю,
найдем
п 1 1 + . '
С —----------------=---------------------------------=1,1 мкф.
(2 u • 104)2 (318 + 159 — 2 • 124) 10”6
При этом необходимо проверить, что знаменатель не обращается
в нуль. В данном случае это условие удовлетворено.
Расчет токов осуществля-
ется по уравнениям (1) и (2):
Ц = /17,6 • 10”3а = 17,6 ма\
/2 = — / 17,6 • 10~* а =
= —J 17,6jw6Z.
На рис. 5.16, б дана век-
торная диаграмма токов и на-
пряжений.
5.19. Решить предыдущую
задачу при встречном вклю-
чении катушек.
5.20. К первичной обмотке
трансформатора без стального
сердечника подведено напря-
жение U± = 120 в (рис. 5.17, а).
Определить напряжение
U2 на нагрузочном сопротив-
лении Z при = г1 +
Рис. 5.17
188
+/»Lj = (10 + j 42)ом, Z2 = r2 + /® Ь2 — (15 + /70)ом, Z =
= r — j — = (5 — /10) ом, ZM == j co M = /20 ом. Построить вектор-
w С
ную диаграмму.
Решение. Система уравнений второго закона Кирхгофа для
этого случая будет:
Л ^2 — ^Г> (1)
4 (Z2 + Z) I1ZM = 0. (2)
Решая эти два уравнения, получим:
Д = 1— / 3 = 3,16 е“/71035' а; /2 = 0,6 — j 0,8 = 1 е~/53°10' а.
Напряжение на сопротивлении Z
U2 = I2Z = -5—/10 = 11,2е“/116°3(Г в.
Рис. 5.18
Векторная диаграмма
приведена на рис. 5.17, б.
Порядок ее построения та-
ков: на основе расчетов от-
ложены векторы токов
/ь /2, далее в соответствии
с уравнением (1) отложены
векторы /у г19 Л/со
—I2jc&M, их сумма дает
вектор Ui. Аналогично по-
строены векторы по урав-
нению (2).
5.21. Во вторичной об-
мотке трансформатора без
стального сердечника про-
ходит ток /2 = 0,5 а (рис.
5.18, а). Коэффициент связи
между первой и второй обмотками & — 0,5. Вторичная обмотка транс-
форматора замкнута на конденсатор емкостью С. Сопротивления эле-
ментов цепи: Ti = 60 ом, coLi = 80 ом, г2 = 90 ом, ojL2 = 45 ом и
— = 210 ом. -
(О С
Определить ток в первичной обмотке Ц и приложенное к ней на-
пряжение L/p Построить векторную диаграмму.
Решение. Зная, что k — —--------= —...... , найдем
со М = & <о L2 — 0,5 У 80 • 45 = 30 ом.
189
Из уравнения второго закона Кирхгофа для вторичного контура
/2 —/юМ/^О
определим ток в первичной обмотке;
I 1 \
/ = 4------\-----^2 = -2,75-/1,5=3,14 е~/151030' а.
Приложенное к цепи напряжение найдем из уравнения второго
закона Кирхгофа, составленного для первичного контура:
= + /coLjA—/«)Л172 = —45 —/325 = 328e-'97”50' в.
,Та же задача может быть решена и путем замены заданной схемы
другой, ей эквивалентной (рис. 5.18, б), в соответствии с рис. 5.4.
Векторная диаграмма построена на рис. 5.18, в.
Рис. 5.19
5.22. Вблизи колебательного контура
1 без потерь расположена короткозамкну-
тая цепь 2 (рис. 5.19, а). Чему равна резо-
нансная частота, если Li = 9 мгн, L2 =
= 4 мгн, М = 2 мгн, С = 0,2 мкф7
Решение. На рис. 5.19, б представ-
лена схема, эквивалентная заданной (см.
рис. 5.4).
Резонанс токов наступит, когда реак-
тивая проводимость равна нулю. Вычислим
ее, начиная с определения эквивалентного
комплексного сопротивления двух парал-
лельных ветвей, подключенных к точкам
b и с:
___j со М j <о0 (L2 — 44) ___________j <о0 М (L2 — 44) t
/ ^2 ^2
7 7 _1_7 i г ч / Т i 0)0 44 (Л2 44) / ц>р (^i £2 442) t
£ ас ^ab'^bc ^/"Т* г ~ * >
2
или
_________£2_________
j (О0 (Ьг L2 — 442)
2
Yad 4” ^ас 1 ^0 С 4“
отсюда
«, = 1/ -------Ь------= 2,5 • 104 сект1.
5.23. Какое сопротивление ZH следует подключить ко вторичной
обмотке трансформатора без стального сердечника (рис. 5.20), чтобы
190
ток на входе первичной катушки был равен 15 а и совпадал по фазе
с первичным напряжением = 120 в? Даны: = 2 ом, соЦ = 8 ом,
г2 = 3 ом, ®Ь2 = 15 ом, о)М = 10 ом,
5.24. К цепи, изображенной на рис. 0_________ t
5.21,а, подключено напряжение U = 110 в. X ,Х |
Параметры цепи: ri = 20 ом, г2 = 15 ом, .. г/[1 ц я 7 п
г3 = 10 ом, Li = 0,4 гн, Ь2 = 0,3 гн, 1 . Xе у.
М = 0,2 гн. Частота тока f = 50 гц. Най- 2 t I
ти все токи. //
Решение. Выбрав положительные ' ^ЛЛ
Рис. 5.20
направления токов, как это указано на рис.
5.21, а, изобразим заданную цепь схемой,
показанной на рис. 5.21, б.
Рис. 5.21
Для решения задачи воспользуемся методом контурных токов.
В соответствии с выбранными направлениями контурных токов 3i и
по законам Кирхгофа,
С/ = Z^3 j Z-^3^, (1)
0 — Z2232 ~~ ^12^1 • (2)
Здесь:
2Ц =Г1 + Г| + = (30 + /126) олг,
Z22 = г2 + + i<oL2 = (25 + /94,2) ом\
191
Z3 = r3 — 10 ом, Z12 = ju>M = j 62,8 ом.
Решая совместно уравнения (1) и (2), получим:
_ UZ22 11О-97,5е/75°10’ _ „ -/7Г-Ю'
1 “ ZUZ« -(Zs + Z12)» ofioop-'33010' ~ ’
= (0,39 — /1,18) a-,
z _ 17(Z8 + Z12) _ 110(10+ /62,8)
'2 “ Zuzw - (Z3 + Z12)2 _8630e—J33°10'
= (0,33 —/0,74) a.
Искомые токи в отдельных ветвях:
0,81е
—/65°50’
G = Л = 1,24е-'7‘°40' а, /2 = 32 = O,81e-J65°50'
a;
l3 = Л — j2 = 0,06 — /0,44 = 0,444е—/82°20 a.
На рис. 5.21, в построена векторная диаграмма.
5.25. Вычислить токи, прохо-
дящие в цепи, изображенной на
рис. 5.22. Числовые значения ак-
тивных и реактивных сопротивле-
ний и приложенного напряжения
те же, что и в предыдущей задаче.
Рис. 5.22
Рис. 5.23
5.26. Найти емкостное сопротивление хс, при котором в цепи
рис. 5.23, а наступит резонанс напряжений, если известны rt =ь 30 ом,
(dLi = 20 ом, г2 = 50 ом, а)Ь2 = 10 ом, — 10 ом, г3 = 50 ом.
При найденном хс определить все токи и построить векторную диа-
грамму, если U = 120 в.
Решение. Обозначим: = (rt + /(oLj) = (30 + /20) ом*, Z2 =
= (rz + /<oL2) = (50 + /10) OM-, Z3 = r3 — jxc = (50 — /xc); Z12 =
= ja>M — jlO ом.
Наметим ход решения задачи. Для того чтобы в цепи имелся ре-
зонанс напряжений, надо, чтобы приложенное напряжение U и ток 1Г
192
в ее неразветвленной части совпадали по фазе. Поэтому найдем Ц и
вычислим отношение U/Ilt которое должно быть вещественной ве-
личиной.
Для определения токов составим уравнения по законам Кирхгофа:
(1)
(2)
Л — Л + А-
(3)
Решая их, находим:
t/(Z2 + Z3)_______________.
(Zx + Z3) (Z2 + z3) - (Z3 - ZJ2)8 ’
_____________</(Z2-Z12)_____________
3 - (Zx + Z.) (Z2 + Z3) - (Z3 + Z12)3 •
(4)
(5)
Из уравнения (4) определим отношение U //х (входное сопро-
тивление цепи ZBX):
. • 2jZ3 + ZXZ2 + Z2Z3 — 2Z]2Z3 — zf2
Ull^ — ZBX = 7 A. 7 “•
^2 I ^3
Подставив числовые значения всех сопротивлений, выделим ве-
щественную и мнимую составляющие:
(30 + /20) (50 — jxc ) + (30 + /20) (50 + /10)
^вх = * 100 + /(10—хс) +
(50 + /10) (50 — jxc)— /20(50 — jxc) 100
100+ /(10— хс) =
(80х^, — 1600хс + 558 000) + / (10х£ — 2700хс + 126 000)
~ ' 10 000 + (10 — хс )а ' ’ ™
В полученном выражении коэффициент при мнимой части при
равняем нулю:
Юхе - 2700хс + 126 000 = 0.
Решая это квадратное уравнение, получим:
Хс, = 210 ом- хса = 60 ом.
Определим токи.
193
При Xct = 210 ом вещественная часть входного сопротивления
по (7)
„ _ 80-2102 — 1600-210 + 558 000 _ —
— 10 000+(10 —210)2 — 10 ОМ,
а ток
120
75
1,6 а.
По формуле (5) ток
Z2 = (1,44 -/0,32) а,
и, наконец, комплексный ток
/3 = Д —/2 = 1,6 — (1,44 —/0,32) = (0,16 ч- /0,32)а.
При хс2 = 60 ом вещественная часть входного сопротивления
равна 60 ом, а токи Д = 2 а, /2 = (1,2 — /0,4) а,/3 = (0,8 + /0,4)а.
На рис. 5.23, б дана векторная диаграмма напряжений и токов,
построенная для хс2 = 60 ом на основании уравнений (1J—(3).
5.27. Решить задачу 5.26 при условии, если проводники, подхо-
дящие к зажимам второй катушки (г2, Ь2), поменять местами, т. е.
считать, что точка на схеме рис. 5.23, а стоит не справа, а слева.
Параметры цепи: = г2 = Ю ом, coLi = coL2 = 8 ом, а)М = 2 ом,
г3 = 0, U = 100 в.
Рис. 5.24
194
5.28. Для цепи рис. 5.24, а определить емкостное сопротивление
хс, при котором наступит резонанс токов. Сопротивления элементов
цепи: Zj = (20 + /34) ом, Z2 = (12 + /10) ом, Z12 = ]6ом, Z3 == —jxc .
При найденном значении емкостного сопротивления найти все
токи и построить векторную диаграмму, если приложенное напряже-
ние U = 200 в.
У Казани е. Следует сначала определить все токи, а затем напряжение
Uab на участке ab. Резонанс токов будет при условии совпадения по фазе напря-
жения Uab и тока /Р
По результатам вычислений должно быть получено следующее отношение:
U ab
Л
3^12
^2 4" /3
Мнимую часть этого отношения приравниваем нулю, откуда находим
два значения емкостного сопротивления хс = 19 ом и хс == 0. Второе значение
хс = 0 (короткое замыкание) отбрасываем, как не удовлетворяющее требова-
ниям задачи.
По результатам расчетов для хс = 19 ом на рис. 5.24, б построена вектор
ная диаграмма.
5.29. В цепи рис. 5.24, а поменять местами проводники, подхо-
дящие к зажимам второй катушки Z2, т. е. считать, что у нее точка
на схеме стоит не слева, а справа. Определить хс, при котором будет
резонанс токов, если
Zt = (8 + /6) ом', Z2 = (4 + /6) ом; Z12 = — /.2 ом.
Вычислить все токи при U = 120 в.
5.30. При каком коэффициенте связи k в цепи рис. 5.24, а будет
резонанс токов? Даны: ц = 4 ом, х{ = 6 ом, г2 = 4 ом, х2 = 6 ом
и хс — 8 ом. Для указанного случая вычислить токи и построить
векторную диаграмму, если U = 115 в.
5.31. К цепи рис. 5.25, а приложено напряжение U = 250 мв.
Найти токи и определить напряжение между точками а и b схемы.
Рис. 5.25
195
Сопротивления: t\ = 50 ом, aLt — 20 ом, aL2 = 20 ом, <oL3 = 20 ом,
= 50 ом, <лМ12 = 10 ом, алМ23 = 10 ом. Построить, векторную
диаграмму напряжений и токов. Задачу решить методом контурных
токов.
Решение. Обозначим:
Zr = rx 4- /(bLj = (50 + /20) ом, Z2 = /<bL2 = /20 ом-,
Z3 = /| wL,------—| = — /30 ом, Z12 — = /10 om\
Z23 = = /10 ом; Zu = Zx + Z2 = (50 + /40) ojw; Z22 = Z2 +
+ Z3 = —/10 ом.
Пользуясь введенными обозначениями, составим уравнения кон-
турных токов:
Совместное решение этих уравнений дает:
Зг = (1 + /2) ма; 32 = (-4-/8) ма.
Комплексные токи, проходящие в каждой ветви,
/х = Зг = (1 + /2) ма; /2 = Зх + 32 = (— 3—/6) ма; 13 = —32 =
= (4 + /8) ма.
Напряжение между точками аиЬ
йab — 13^3 — I*Z23 — (180 — /90) мв.
Тот же результат можно получить и из уравнений
— U ---- IUab — ^2^2 + Л^12 ^3^23-
Векторная диаграмма построена на рис. 5.25, б.
Рис. 5.26
5.32. Параметры цепи рис. 5.26
при некоторой частоте имеют:
Z^ == г•£ 13 ом; Z2 == г2
Г- == ($ /^2) ом; Z3 =. г3 -Г*
+/o)L3 = (6 + /8) ом;
Z4= г4 /о)£4 = (10 + /15) ом;
z\ = — i- У- = —/20 ом\
Z23 = /шМгз = /6 ОМ\ Z34 = /<о/из4 = /10 ом.
196
Через конденсатор С4, являющийся нагрузкой, проходит ток
= 2 а. Вычислить все токи и напряжение Ulf подведенное к цепи.
Определить отношение напряжения на нагрузке к напряжению 1/р
5.33. В цепи рис. 5.25, а поменять местами проводники, подходя-
щие к зажимам катушки L3. Найти токи и напряжение Uab, если U =
== 120 в, а сопротивления цепи: Z4 = (120 + /30) ом, Z2 = /20 ом,
Z3 = —/20 ом, Z12 = /10 ом, Z23 = 10 ом.
5.34. Определить все токи, если сопротивления элементов цепи
(рис. 5.27, а): ц = 8 ом, ыЦ = 56 ом, г2 = 10 ом, coL2 = 20 ом,
г3 = 15 ом, toL3 = 20 ом, г4 = 5 ом, соЛ412 = 10 ом, соЛ413 = 10 ом.
Напряжение, приложенное к цепи, U = 100 в. Построить векторную
диаграмму. Составить баланс мощностей.
S)
Рис. 5.27
Решение. Z, = (8 + /56) ом; Z2 — (10 4-/20) ом; Z3 =
= (154-/20) ом; Z4 = 5 ом; Zl2 = /10 ом; Zl3 = /10 ом.
Задавшись положительными направлениями токов, обозначенными
на схеме, составим систему уравнений Кирхгофа:
(Z3 Z12) 4* ^2(^2 ^12) /3213
‘з^з м^13 — ”»
Л = /2 + Л-
Решив их, найдем:
4 = 0,56 — /1,92 = 2е-/73°45'а;
/2 = 0,4 — /0,8 = О,894е_/63°30 а;
13 = 0,64 - /0,48 = O.Se-'36050' а;
4 = 0,16 - /1,12 = 1,13е_/82°а.
197
На основе полученных данных построим векторную диаграмму
(рис. 5.27, б).
Проверим баланс мощностей:
£7/jCOS epi = ReltZ/J = /1Гг + I&2 + /зг3+ /^4,
или
Re[100 (0,56+/1,92)] = 22-8 +0,8942.10+0,82- 15+1,132.5,
или
100-0,56 = 32+8+9,6+6,4,
получилось тождество: 56 — 56.
5.35. В цепи рис. 5.27, а поменять местами проводники, подходя-
щие к зажимам второй катушки (г2, Ь2), т. е. считать, что точка по-
ставлена вверху. Сопротивления элементов цепи:
Z, = (17+/44) ом, ' Z2 = (25+/50) ом, Z3 = (37,5+/50) ом,
Z4 = 7,5 ом, Zi2 = ом, Zi3 = /25 ом. Напряжение U = 120 в.
Вычислить все токи и по-
Рис. 5.28
строить векторную диаграм-
му. Задачу решить, пользу-
ясь законами Кирхгофа и ме-
тодом контурных токов.
5.36. В схеме рис. 5.28, а
определить г4 и М, при ко-
торых мост уравновешен. Да-
ны: = 10 ом, г2 = 20 ом,
г3 = 25 ом, Li = 4 мгн,
L2 = 6 мгн. Найти входное
сопротивление цепи, если со =
= 104 сек~х.
Решение. Воспользовавшись развязкой индуктивных связей
(см. п. 5 основных положений), преобразуем исходную схему
рис. 5.28, а в эквивалентную, не содержащую взаимных индуктив-
ностей (рис. 5.28, б); при этом следует обратить внимание на появле-
ние новой узловой точки. Для последней схемы записываем условие
равновесия моста
In + /со (Li —Л4)] г4 = [г2+/со (L2—Л4)] г3.
Приравняем соответственно вещественные и мнимые составляю-
щие:
Г1Г4 = r2r3, со (Li—М)г 4 = CD (L2—M) r3.
Решая эти уравнения, найдем:
r4 = 50 ом\ М = 2 .мгн.
,198
Определяем входное сопротивление цепи:
вх
+ /<»(Ь1 — М)1
Г1[Г2 ~h /ш(^2 М)]
Г4 + Г2 Н” /С°(^2 --- М)
= 41,5e/33°40W
5.37. Вычислить входное сопротивление цепи (рис. 5.29, а), если
= 25 ом, х2 = 40 ом, х3 = 65 ом, xi2 = 20 ом, х23 = 10 ом, х3< ~
= 25 ом, хс = 12,5 ом.
При каком сопротивлении хс в цепи будет резонанс напряжений?
У Казани е. Заданная схема может быть заменена эквивалентной, пред
ставленной на рис. 5.29, б, в которой появились новые узловые точки А, В, С
(см. решение задачи 5.36). В ней следует треугольник сопротивлений АВС за-
менить эквивалентной звездой.
Рис. 5.30
обмотки тр ансформатор а
5.38. Определить емкостное сопроти-
вление хс, при котором в цепи (рис.
5.30) наступит: а) резонанс токов; б)
резонанс напряжений. Для каждого из
случаев определить показания амперме-
тров. Даны: U = 24 в, G = 20 ом,
Xi = 4 ом, х2 = 14 ом, х3 = 18 ом,
х23 = 2 ом.
5.39. Сопротивление первичной
(рис. 5.31, a) Zi = (5+/20) ом, а сопротивления двух частей его вто-
ричной обмотки Z2a = (4+/32) ом, Z2b = (3 + /22) ом. Комплексное
сопротивление взаимной индуктивности между первичной обмоткой
и верхней частью вторичной Zia = j5 ом, а между первичной и ниж-
ней частью вторичной обмотки Zlb = /3 ом. Комплексное сопротив-
ление взаимной индуктивности между отдельными частями вторичной
обмотки Zab — jA ом. Определить все токи, если части вторичной
обмотки трансформатора нагружены на сопротивления, равные
^2а = (6—/7) ом, Z2b = 5 ом, а напряжение источника, подведен-
ного к первичной обмотке трансформатора, = 120 в.
199
Решение. Начертим схему, эквивалентную заданной схеме
(рис. 5.31, б), и наметим положительные направления токов. Для
разметки зажимов катушек трансформатора примем , зажим Н4 за
начало первичной катушки. Тогда, проследив по схеме за направле-
ниями намоток катушек, убедимся в том, что одноименным ему
является зажим Нга верхней части вторичной обмотки; зажим Н2ь
нижней части вторичной обмотки' также одноименен зажиму Н4;
вместе с тем зажимы Н2а и Н2Ь являются одноименными. Поэтому
все три одноименных зажима Hb Н2а и Н2Ь имеют одноименное обозна-
чение — точку.
Рис. 5.31
Обозначим:
Z2fl = Z2a == (10 + /25) ом; Z2if = Z2z> + Z^ = (84- j22)oM.
По второму закону Кирхгофа,
ЛА ^2а^1а ^2b^lb = Ui* (1)
— ЛАа +i2aZ2a + Iza^ab 0; (2)
—K^lb + ^2a^ab + Kb^2b = ,0* (3)
Подставив числовые значения
и решив эти уравнения, найдем
искомые токи:
Рис. 5.32
= / (14—22) = —/8 ом, Z12 = /4
4 = 6,1 Зе-'7™' а, 12а =
= 1,05е“/53<>35’ а; 12ь = 0,&2е~/6(>°а.
5.40. В цепи рис. 5.32 каждая
из трех катушек индуктивно свя-
зана с двумя другими. Вычислить
всё токи, если Z4 = + jaLi =
= (74-/20) ом, Z2 = г24-/со/-2 =
= (64-/16) олг, Z3 = /((oL3---L-) ==
fMf Z23 ==: /5 ом, Z31 = /6 ом.
200
-Напряжение U = 100 в. Точкой отмечены одноименные зажи-
мы каждой из катушек относительно двух других.
Решение. Составим уравнения по методу контурных токов:
Решая их, найдем контурные токи, а затем и токи в ветвях:
4 = \ = 7,76е/40°45' а; /2 = j2 = 5,Зе-'120050' а;
/3 = 3,— 32 = 12,9е/4810 а. '
Рис. 5.33
5.41. В цепи схемы рис. 5.33, а каждая из трех катушек индуктив-
но связана с двумя другими. Сопротивление первой катушки Zi =
= r1+/(oL1 = (54-/15) ом, сопротивление второй катушки Z2 =
= r2+ /со£2 = (2-+-/17) ом, а сопротивление третьей катушки и по-
следовательно включенного с ней конденсатора С3
Z3 — гз "Ь Мз — 1 ис” ~~ 3 + /Ю — /35 — (3 — /25)ом.
Комплексные сопротивления между первой и второй катушками
Z12 =/7 ом, между второй и третьей Z23 = ft ом и между третьей и4
первой Z31 = /5 ом. Вычислить все токи, если к цепи приложено на-
пряжение U = 120 в.
Решение. Пометим одноименные зажимы каждой пары индук-
тивно связанных цепей: звездочкой — одноименные зажимы кату-
шек 1 и 2, квадратиками — одноименные зажимы 2 и 3 и треуголь-
ником — 1 и 3. Следует проследить за направлением намотки кату-
шек, убедиться в правильности разметки одноименных зажимов.-
Далее начертить схему цепи (рис. 5.33, б) и выбрать положительные
направления токов.
201
По законам Кирхгофа, для:
контура I IxZr + /3Z3 + 12Z12 + I3^13 4-/ Ai — 2^32 — i/;
контура II
2^2 4“ Л^21 3^23 ^3^3 Ai 4" ^2^32
= 0;
узла с Л = I2 4- Ц
Совместное решение этой системы уравнений дает следующие зна-
чения токов:
7 1 ЛЛ„—/13°60' /’ л ог^—№о25' т Л Сл/71°20'
1г = 1,04е а; /2 = 4,82е а; /3 = 4,8^ а.
Б. Резонансы в связанных контурах *
5.42. Даны два индуктивно связанных колебательных контура
(рис. 5.5), имеющих параметры: g = 15 ом, Li = 250 мкгн, г2 =
= 100 ом, Ь2 = 300 мкгн, С2 = 1150 пф, коэффициент связи k ==
= 16,5%.
При какой емкости Ct будет выполнено условие первого частного
резонанса, если частота генератора f = 600 кгц?
Чему при этом равны токи первичного и вторичного контуров,
первичная и вторичная мощности и к.п.д., если = 50 мв?
Решение. Вычислим:
ыЬ' = 942 ом; wL2 = ИЗО ом;
—1— = 230 ом;
CDG2
х2 = O)L2------= 900 ом; z2 = V1002 + 9002 = 905 ом;
х12 = <оЛ4 = kyrwL1<i>L2 = 170 ом;
«12 1702 -900 о
— -^вщ 2 *^2 9052 31,0 ОМ,
г2
Так как
X, = ,
то
Xj = 942 31,8 яг 910 ом, С,— 2jt.6oo-ios-9io =292пф.
Далее
, _ *12 1702-100 _ о EQ
Гвн1 — 2~ Г2 — QQC” — 3,53 ОМ,
г2
По формулам (5. 9) и (5. 12) находим токи, а по (5.30) — мощ-
* В данной теме рассматриваются высокодобротные контуры, имеющие важ-
нее практическое значение.
21)2
ности:
, _ Et 50 О7
A/max Г1 + /-ВН1 ~ 15 + 3,53 ~ Мй
_______ Д1Х1% __ 50 * 170 __ л RO7
2/гаах г2(гх + гвн1) “ 905-18,5 ~ и-ои/
fi/niax = ^1/maxG = (2,7-IO’3) • 15 = 110 мквт;-
Pzimn = /г/тахГг = (0,507-10 3)2-100 = 25,8 мквт;
^2/тах
_ р
1 /тах ' *' 2/тах
-25’8 . == о 19
135,8 U’
5.43. В схеме рис. 5.5, параметры которой = 15 ом, =
= 250 мкгн, г2 = 100 ом, Ь2 = 300 мкгн, С2 — 1150 пф, путем на-
стройки первого контура и изменением коэффициента связи k требует-
ся обеспечить режим сложного резонанса при частоте генератора
/ = 600 кгц. Чему при этом равны Сь М, первичный и вторичный
токи, мощности каждого из контуров и к.п.д., если Ei = 50 мв?
Решение. По данным задачи вычисляем:
о/.! = 942 ом; = 1130 ом; —= 230 ом-, х2 = <dL2----------------=
1 u)G2
= 900 ом; z2 = V rl + х2 = 905 ом.
По формуле (5. 15) находим оптимальное сопротивление связи:
1 Г 15 х* 1
^12опт 905 |/ loo — 350 ом; М. = —= 93 мкгн.
Далее из формулы (5. 11) определяем
[ ”^12опт\ 3502 ПАЛ 1 Q Г
y j х2 gQ^2 *900 135 ом,
и так как х1
= 330 пф
Наконец,
то шС1
по формулам (5. 9), (5.
= (dLj — Xj = 807 ом, Сх =
X
17) и (5. 30) определяем токи
и мощности:
Лтахтах г, + 15+15 ~ Ма’’
7ггаах гаах = 2/Ьг == 21/15+00 = 0,645
^шахтах = (1,67• 10’3)2- 15 = 42 МКвМ,
вахтах = (0.645-10'3)2-100 = 42 мквт, V =
203
5.44. Для индуктивно связанных контуров, параметры которых
ft = 15 ом, — 250 мкгн, г2 = 100 ом и L2 = 300 мкгн, требуется
осуществить режим полного резонанса настройкой первого и второго
контуров и подбором оптимальной связи при частоте / = 600 кгц.
Определить С,, С2, ^12опт* Чему равны ТОКИ /fmaxmax» ^2тахтах и МОЩ-
НОСТИ ^imax тах> ^2тахтах И К.П.Д., еСЛИ Ei 50 Л4в?
Решение. При полном резонансе реактивное сопротивление
каждого из контуров равно нулю [см. формулу (5.18)], отсюда
Ct = —— = 281 пф; С2 = —1— = 234 пф.
Оптимальное сопротивление связи по формуле (5.19)
*12опт = V г/г = 1/^15 • ЮО = 38,7 ом.
Искомые токи и мощности:
Е Е
Ашах max “ оТ “ А 67 МО, 7 2m ах max ~ /--=" ~ 0,645 MCI',
2 2
PIm ax max :== Amax max'’i = 42 МКвПТ, , P2max max ~ I2max max ~ 42 МКвПТ,
„ PItnax max HE
• P i p
* imax max т r2max max
5.45. Задана система из двух индуктивно связанных контуров
(см. рис. 5.5) с параметрами: = 12 ом, Li = 400 мкгн, Ct = 333 пф,
г2 = 16 ом, L2 = 500 мкгн и М = 60 мкгн.
Рассчитать емкость С2 второго контура так, чтобы при <о =
= 3« 10е рад/сек было выполнено условие второго частного резонанса.
Чему при этом равны Рштах, Ргптах и Л, если Ех = 20 в?
5.46. Для двух индуктивно связанных контуров, параметры ко-
торых даны в задаче 5.45, определить С2 и Мопт, соответствующие
режиму сложного резонанса. Вычислить при этом режиме Plmax max>
Ргтахтах и Л» если £i = 20 в, (о = 3- 10е рад/сек.
5.47. Параметры двух индуктивно связанных контуров: = 12 ом,
= 400 мкгн, г2 — 16 ом и L2 = 500 мкгн. Рассчитать С4 и С2 и 7И0ПТ>
при которых будет режим полного резонанса. Определить
^тахтах и п , если = 20 в, со = 3- 10е рад/сек.
5.48. Антенный контур I (рис. 5.34) индуктивно связан с входным
контуром II усилителя. Оба контура настроены в резонанс на частоту
Рис. 5.34
204
принимаемого сигнала со = 2,5« 10е рад/сек. В антенном контуре
наводится э.д.с. Et, равная 100 мке. Даны: = 10 ом, Li = 200 мкгн,
г2 = 20 ом, Ь2 = 400 мкгн, коэффициент связи k = 0,03. z
Считая входное сопротивление усилителя бесконечным, определить:
емкости Ci и С2; добротности и Q2 каждого контура; взаимную ин-
дуктивность М, ток во втором контуре /2 и напряжение на сетке'
входной лампы при частоте соо; частоты связи coj и о>п ток 12 и напря-
жение на сетке лампы при этих частотах; полосу пропускания ин-
дуктивно связанных контуров и сравнить ее с полосой пропускания
каждого контура в отдельности.
Решение. По условию имеем
®01= 1 = ю02 = 1 = <оо = 2,5-10® сект1,
V L& V L2C2
отсюда С\ = 800 пф', С2 = 400 пф',
т. е. добротности контуров одинаковы.
Взаимная индуктивность
М = kVLxL2 == 0,03/200- Ю-МОО- 10'® л; 8,5 мкгн.
При <» = о>01 = <1>о2 расстройка 5 = 0, тогда из (5. 22а) и (5. 23а),
учитывая, что фактор связи А — —= = 1,5,
V г Л У ггг2
найдем:
/2 = ElA ____________ = 3,27 мка-,
уГ1г2 У(Д24-1)2
U2 = Exkc = 3,27 мв.
Частоты связи находим по формуле (5. 25), учитывая, что d =
= 1/Q = 0,02 (в расчетах использовано приближенное соотношение
при а<^1: — 1 = 1ща/2|:
У1 ± я '
- 2,5-10» = 2,5-10» _= (2,5.10® —2,8.104) сек-\
У1 + j/0,032—0,022 V1 4-2,24-10”2
Доя = —2,8-104 сек~\
<>„ = 2’5'10е------ = (2,5• 10® + 2,8• 104) сек~\
V1 — Уо.оз2—0,022
До)п = 2,8-104 сек”1.
205
Обобщенная расстройка £ контуров при этих частотах
„Аши 2,8-10«
=2Q^ = 2.50.-2^- = 1,12.
По (5.22а) и (5.23а) ток и напряжение при частотах связи:
/2 = z у.......==, = 3,54 мка;
т rir2 * + 1 )2 46j]
U2 = Е^с^ц) = 3,54 мв.
Относительная полоса пропускания So для связи, большей крити-
ческой (L > d), вычисляется по формуле (5.28):
So = 0,02 У 1+ 2 of = 4,12. ЮЛ
Она значительно превосходит относительную полосу пропускания
So одиночного контура:
So = d = 2- IO’2.
5.49. Решить предыдущую задачу, если коэффициент связи умень-
шен до критического значения йир.
5.50. Два одинаковых индуктивно связанных контура, параметры
которых = L2 = 250 мкгн, = r2 = Ю ом, настроены порознь
на одну и ту же частоту /0 = 5- 105 гц.
Определить: 1) полосу пропускания каждого контура; 2) полосу
пропускания индуктивно связанных контуров при критической свя-
зи; 3) максимальную полосу пропускания двух связанных контуров;
4) при каких коэффициентах связи полоса пропускания друх связан-
ных контуров будет: а) в У 2 меньше, б) в 1,2 раза больше и в) в
2 раза больше по сравнению с полосой пропускания одиночного
контура.
Решение. Относительная полоса пропускания одиночного кон-
тура определяется затуханием контура [см. формулу (4.17)1:
so = d = = 27С-510&-250-10-е = 127,
тогда абсолютная полоса пропускания каждого контура
Sa = f0S0 = 5-105-12,7-10"3 = 6350 гц.
Относительная полоса пропускания двух индуктивно связанных
контуров при критической связи рассчитывается по формуле (5.27):
S0Kp = /2 d = 1,41-0,0127 = 0,018.
При этом абсолютная полоса пропускания
SaKp = ЛДжр = 5. IO6-18.10-3 = 9000 гц.
206
Максимальная полоса пропускания двух индуктивно связанных
контуров [см. формулу (5.29)]:
Somax = 3,1 d = 3,1-0,0127 = 0,0394;
Sa max = АЛ max = 5 • 105 • 39,4 • 10’3 = 19700 8Ц.
Для ответа на вопросы п.4а и 46 данной задачи, условия которых
соответствуют полосе пропускания при связи ниже критической,
для которой 50кр = 1,41 d, нужно воспользоваться формулой (5.26):
или
Решая последнее уравнение относительно k, найдем k = 3,6* 10“3,
или
Решая это уравнение относительно k, найдем k = 10,6- 10-3.
в) Для ответа на вопрос п.4в нужно воспользоваться формулой
(5.28):
или
Решая последнее уравнение, найдем k = 18,4-10”3.\
5.51. Полосовой фильтр состоит из двух одинаковых контуров,
связанных индуктивно (см. рис. 5.5).
Параметру контуров: = L2 = 400 мкгн, Ci = С2 = 100 пф,
= г2 = 10 ом. Определить наибольшую полосу пропускания фильт-
ра и коэффициент связи, при котором эта полоса обеспечивается.
Найти взаимную индуктивность контуров фильтра.
5.52. Система из двух одинаковых индуктивно связанных конту-
ров, настроенных в отдельности на Частоту <о0 = 10е сек"1, имеет абсо-
лютную полрсу пропускания Sa = 5,38- 103 гц и взаимную индуктив-
ность М = 340 мкгн (см. рис. 5.5). Определить, какова связь между
207
контурами (слабая, сильная или критическая) при d = 0,024 и d =
= 0,03. Найти коэффициент связи, индуктивность и активное со-
противление контуров для этих двух значений d.
Решение. Относительная полоса пропускания
Sa 5а2к 5,38. 103.2k q ln3
= 7Г ~ = ~~ioJ----= 33-8‘10 •
Для того чтобы определить, какова связь между контурами, срав-
ним 50 и d:
_____ 0,0338 1Л1 о < л * 1
d 0 024 ИЛИ So — 1,41 d,
что согласно формуле (5.27) соответствует критической связи. При
этом k = d = 0,024.
Вычислим индуктивности контуров при Li = L2 = L.
тл .ММ
Из выражения k = —-------= — находим
V
L = -%- = -3^-°А-У' = 14,2-10'8 гн = 14,2 мгн.
к и, Uz4
Активные сопротивления контуров
г = du0L = 0,024.106.14,2.10"3 = 340 ом.
Для случая d — 0,03 соотношение
So _ 0,0388 _ 1 19о
d 0,03 ,1ZO*
т. е. So = 1,128d, что соответствует слабой связи.
Для определения k воспользуемся формулой (5.26), откуда kid =
= 0,78.
k = 0,78d = 0,78-0,03 = 23,4- IO"3.
Рассчитаем индуктивности контуров. Из выражения k = на-
ходим
, Л411. 340-10-6
L — M\k —-------------= 14,5 мгн.
1 23,4-Ю-з
Активные сопротивления контуров
г = d(o0b = 0,03.106.14,5.10“3 = 435 ом.
5.53. Параметры двух одинаковых индуктивно связанных конту-
ров: Li = L2 = L = 0,8 мгн, = С2 = С = 750 пф, г{ = г2 = г =
= 30 ом, М. ~ 50 мкгн, Э.д.с. Е ~ 120 в. Построить резонансную кри-
вую тока во втором контуре при изменении угловой частоты от 0,9 <оо
до 1,1 о)0, где ш0 — резонансная частота каждого из контуров. Опре-
делить частоты связи и полосу пропускания.
208
Решение. Определим, какова связь между контурами. Для
этого вычислим ®о. d и k и последние величины сравним между собой:
со., = —-----=1.29-10* сек-1-.
у LC
k = — = 6,25 • 10-2;
L
d = = 2,9-IO-2.
<ooL
Отсюда видно, что k > d, следовательно, связь сильная и кривая
имеет два горба.
В дальнейших расчетах необходимо знать величину добротности Q.
Вычислим ее:
______ л / 0,8-10-3
Q = У L'C- = -1--------750'10'"— _ 34,4.
4 г 30
Таблица 5.1
сек~* A ЛЧ-1-42 v /2, a ^a^2max max
0,9 <о0 1,161 —6,9 1,94 —43 45 0,172 0,086
0,92 <d0 1,187 —5,5 1,98 —25,3 27,6 0,287 0,143
0,94 о)0 1,212 —4,13 2,02 —12 14,6 0,552 0,276
0,96 <о0 1,238 —2,75 2,06 —2,3 5,95 1,382 0,691
1,255 —1,87 2,09 1,86 4,18 2,0 1,0
0,98 <0О 1,264 —1,37 2,H 3,58 4,5 1,87 0,935
«о 1,29 0 2,15 5,62 5,62 1,54 0,77
1,02 <D0 1,316 1,37 2,19 3,92 4,77 1,84 0,92
<i>7 j 1,327 1,97 2,22 2,04 4,44 2,0 1,0
1,04 cop 1,342 2,75 2,24 -1,55 5,7 1,572 0,786
1,06 <o0 1,367 4,13 2,28 — 10,9 13,7 0,667 0,333
1,08 <o0 1,393 5,5 Й.32 —23,82 26,3 0,352 0,176 x
1,1 <o0 1,419 6,9 2,37 —41 43,2 0,22 0,11
По результатам табл. 5.1 строим кривую рис. 5.35.
Для построения кривой задаемся различными значениями со, на-
ходим соответствующие им величины Ли S, входящие в формулу
(5.22а). Результаты расчетов для удобства сведены в табл. 5.1, в ко-
торой $ = 2Q-^~ . При выборе точек кривой в табл. 5.1 включены
резонансная Частота со0 и частоты связи (Oj и соп, которые определяют-
ся по формулам (5.25):
1,29-106
/14-0,0556
= 1,255 • 10е сект1;
209
®п = —— Ш° - = -I’29,108 - = 1,327- 10е сек-1.
VKi-o.o®
Значение тока /2 при частотах связи определяем по формуле
(5.17):
/ - £ - Е - 120 - <2а
'2 max max ----------о „п — £и-
2 2л 2-30
г Ха
Для определения полосы пропускания проводим на графике пря-
мую —-—2-----—-— яд 0.707. которая определит границы по-
'2 max max jZ 2
лосы пропускания. Из рис. 5.35 находим граничные частоты:
(Oj = 1,238-10* сек~' и <о2 = 1,344.10е сект1,
а абсолютная полоса пропускания
Sa = ®2 — = 0,106-10* сект1.
Та же полоса может быть вычислена и аналитически по формуле
(5.28)
Sa = ®0So = ®od у _ 1 + 2 /-LV = 0,106-10* сект1.
5.54. Два индуктивно связанных контура имеют параметры: Li =
=400 мкгн, Ci = 500 пф, Г1 = 20 ом, L2 = 360 мкгн, Сл = 580 пф,
г2 = 15 ом, М = 40 мкгн.
210
Амплитуда э.д.с. генератора Е1т — 100 в, его угловая частота
<0 = 2- 10е сек'1. Определить мощности Pt и Р2, расходуемые в первом
и втором контурах, найти к.п.д. при заданной связи.
Определить оптимальную связь, токи в первом и втором конту-
рах, а также значение максимально возможной мощности и к.п.д. во
втором контуре при полном резонансе.
Решение. Реактивные сопротивления каждого контура:
xt = a)L1----5— = — 200 ом; х2 = coL2------!— = — 140 ом.
<оС] (оС2
Эквивалентные активное и реактивное сопротивления соответст-
венно равны:
< ( (wW on । (2.106.40.10-6)2.15 ол о
г1э = г л 4- б™ = г тЬ "—~~ г2 == 20 + ----------------= 24,8ом;
13 1 вн ' z2 2 152+1402
2
*2
= — 155 ом.
(2.106.40-10-бр 140
152 -f- 1402
Мощность, расходуемая в первом контуре,
Р. = — Р г,= — /г. = — 0,6362.20 = 4,05 ат,
1 2 1т 1 2 \ г19 / 1 2
/
где
*1Э = lzwl = IГ1Э + М1э1 = |24,8 — /155| = 157 ом,
11т = = 0,636 а.
г1Э
Мощность, расходуемая во втором контуре,
где
^2тГ 2
4- /Vbki = 4-°>636М’8 == °’973
(юМ)2
Гвн] 2
г2
Г2 = 4,8 ОМ.
К. п. д.
т) = —------= 0,194 = 19,4 %.
Рх+Рг
Оптимальную связь определим по формуле (5.19):
м — Х12°пт — -iCZZZZ = .К20’15 = 8,65* 10”6 = 8,65 мкгн.
/w°nT о со 2-106
При оптимальной связи г1э = 0, тогда
<о2Л42
г19 = г 19 — Tj 4~ гвн1 = = 2г^ = 4Э ом.
Г2
8*
211
Токи в контурах:
__ ^1т
Im max max Q
Zr 1
j __ 1im max max ^^опт = im max max r Г 1^2 9 Ifi л
* 2m max max Z, IO u.
r2 r2
Значение максимально возможной мощности определяется из
формулы (5.34):
Е2
Р2 max max == max max == “ ~ 62,5 61Т1, 7] = 0,5 = 50%.
8fi
5.55. Пользуясь данными задачи 5.54, определить Р2 и к.п.д.,
если взаимная индуктивность М = 10 мкгн, при условии, что оба
контура в отдельности настроены в резонанс с частотой генератора.
5.56. В схеме рис. 5.5 известны параметры L{ « 350 мкгн, Ct =
= 250 пф, rt = 10 ом, L2 = 365 мкгн, г2 = 8 ом. Амплитуда э.д.с.
генератора равна 200 в. Оба контура в отдельности настроены в резо-
нанс на одну и ту же частоту /0-
При каком значении коэффициента связи к.п.д. схемы равен 75%?
Чему при этом равна мощность второго контура Р2? На сколько эта
мощность меньше максимальной?
Решение. Резонансная частота и затухание каждого из конту-
ров:
соо = — .....= 3,4 • 10е сек~1\
V L1C1
dr = = 0,0084; d2 = = 0,00645.
<°(+1 “а£а
Из формулы (5.33) найдем k при у = 75%:
k = У= V 75 10-11 = °>0128>
Взаимная индуктивность
М=£ 1/177= 0,0128 ]Л350 • 10"в • 365 • 10 е = 4,58 мкгн.
Эквивалентное сопротивление:
„ , (<oM)2 1n , 3,42-1012-4,58М0-1«
Аэ = G. = г, + = Ю+-------------------------
г2 О
= 40 ом.
р. - 4- л»'-,-
1 /200\«1П 1ОС
—I — 1 10 = 125 вт
2 V 40 /
Из формулы (5.31)
Р2 = = °’75'125.....= 375 вт.
2 1—0,75
^2 2 -
Значение Р2 тах шах = —= 500 вт.
8гх 8-10
Глава шестая
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Мгновенные значения и комплексы трехфазной симметричной
системы напряжений имеют вид:
иА = t/msinco/; UA = U\
uR = U sin (co/ —
ur = Um sin | cot---------—
c m \ 3
(6.1)
£/B=t/e %
2. Соотношения в симметричной трехфазной цепи. В симметрич-
ной трехфазной цепи комплексные сопротивления составляющих ее
фаз одинаковы.
Для симметричной трехфазной системы при соединении звездой
существуют следующие зависимости между линейными и фазными на-
пряжениями и токами:
ид = У~3~иф- /л = /ф. (6.2)
Для симметричной трехфазной системы при соединении треуголь-
ником линейные и фазные напряжения и токи связаны соотношения-
ми:
/л = уз /ф.
Мощность в симметричной трехфазной системе
р =уз'ия1л cos срф = 3(7ф/фсо8 фф.
(6.3)
(6.4)
3. Расчеты несимметричных трехфазных цепей могут быть про-
ведены с помощью законов Кирхгофа или любого метода расчета
электрических цепей.
Если к трехфазному генератору, соединенному звездой, подключен
приемник энергии, также соединенный звездой, то смещение нейтра-
ли — напряжение UN между нейтральными (нулевыми) точками при-
емника и генератора — определяется по формуле
"аУА +UbYb+UqYc
Un== у а + УВ + Ус + У". '
(6.5)
213
где UA, Uв, Uc — фазные напряжения генератора;
YA , Y в , Yс , YN — проводимости отдельных фаз и нейтрального
(нулевого) провода.
Токи в фазах и нейтральном проводе:
Если нагрузка соединена зве-
здой без нейтрального (нулевого)
провода и известны линейные на-
пряжения U АВ, Uвс, LJ, то фаз-
ные напряжения UА, UB, Uc (рис.
6.1) нагрузки находятся по фор-
мулам:
• АВ У В ~~ ^СА Y С
Ua== Ya+Yb+ У с
Уве Ус Uab У а
В== У А +Ув+ Ус
• •
UcA У А ~ U ВС У В
с= У а 4- У в + Ус
(6.7)
где YA, YB и Yc — проводимости фаз.
Для любой трехфазной системы сумма комплексных линейных
напряжений равна нулю: Л
UАВ + UВС &СА ~~ 6* *
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Симметричная нагрузка и режимы,
возникающие при обрывах проводов
6.1. К симметричному трехфазному генератору с фазной э.д.с.
Е = 127 в и внутренним сопротивлением Zo == (0,3+/0,9) ом через
линию, сопротивление каждого провода которой Znp == (0,5+/1) ом,
подключена симметричная нагрузка Z = (10+/6) ом, соединенная
звездой (рис. 6.2, а). Определить ток в каждой фазе, фазное и линей-
ное напряжения генератора, ток, фазное и линейное напряжения
214
нагрузки, мощность, доставляемую генератором и расходуемую в
нагрузке. Построить векторную диаграмму.
Р е ш е н и ё. Ввиду полной симметрии системы напряжение
между нулевыми точками генератора и нагрузки равно нулю. Каждую
фазу можно рассматривать независимо от других фаз. Так, например,
ток в фазе А находится на основании закона Ома (полагаем ЕА =
= 127 в):
/, =------1-----= —1ZL — = 9,5 е-736”10'
А Ze+Znp+Z 10,84-/7,9 а
Фазные напряжения на зажимах генератора и нагрузки
UA0 = ЕА — 1а2» = 127 — 9,5 е—/36°10’ - (0,3+/0,9) = 119,7 е~72°30' в;
Ua0 = Л-2=9,5 е- 736°10' .(104-/6)= 111е"/5°10' в.
Такие же напряжения в других фазах сдвинуты соответственно
на 120’ и 240°:
UBO = 119,7 е"71220’0' в, (7СО = 119,7 е'7242”30' в;
O\J
UbOi =111 е-/,25°10' в; UcOt =111 е-/245010' в.
Линейные напряжения на зажимах генератора и нагрузки
йдв = йАо-й во = 119,7е-/2°30' -119,7е-/122030' = 2О8е7 27°30' в.
Uab = UaOi - UbOi = 111 е“/5°10' - 111 е-/125°10' = 192 е724’50' в.
Мощность, доставляемая генератором,
Рт = 3.127-9,5 cos 36°10' = 2920 вт.
Мощность в нагрузке Рн = 3- 9,52 - 1(Т = 2710 вт.
Векторная диаграмма построена на рис. 6.2, б.
215
6.2. В трехфазную симметричную сеть, линейное напряжение ко-
торой U„ = 220 в, включены звездой три одинаковых сопротивления
ZA = ZB Zc — Z,p = (10+/10) ом. Определить токи в каждой
фазе нагрузки, фазные напряжения и мощность, расходуемую в трех-
фазной нагрузке.
6.3. Приемник энергии, сопротивления фаз которого одинаковы,
потребляет мощность 5,46 кет при cos <рф = 0,8 (<рф > 0). Линей-
Рис. 6.3
ное напряжение на нагрузке равно 370 в. Чему равна фазная э.длс.
генератора, соединенного звездой, внутреннее сопротивление каждой
фазы которого Zo = (0,3+/0,9) ом, а сопротивление каждого провода
линии Znp == (0,44-/0,8) ом?
6.4. Сопротивления отдельных фаз симметричной нагрузки, со-
единенной звездой, равны Za == Zb = Zc = (204-/15) ом.
К симметричному генератору с фазной э.д.с. Еф = 4500 в и внут-
ренним сопротивлением каждой фазы Z(J) = (0,54-/2) ом через линию,
сопротивление каждого провода которой Znp = (0,54-/1) ом, подклю-
чена указанная нагрузка.
Определить токи каждой фазы генератора и нагрузки, фазные на-
пряжения генератора и нагрузки, мощность, отдаваемую генерато-
ром. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
Замечание. Показать, что мощность, отдаваемая генератором, равна
сумме мощностей, расходуемых в нагрузке, линии и генераторе.
6.5. К трехфазной линии с симметричными линейными напряже-
ниями U„ = 220 в подключен треугольником приемник, сопротивле-
ние каждой фазы которого Z = (10+/10) ом (рис. 6.3, а). Найти токи
216
в каждой фазе нагрузки и линий и показания каждого ваттметра.
Найти те же величины в случае обрыва в точке at.
Решение. Решим задачу, пользуясь символическим методом.
Примем, что комплекс напряжения веществен. Тогда комплексы
линейных напряжений:
"№ = = 220 « „ - 220 е"'“‘ «
Uca = Uс. = 220 е-в" в.
Определим комплексы фазных и линейных токов:
4, = = ЛоТЩГ = 15,6 е~/4S° = (11-/11) а;
he = -^ = 22w+/io° = 15.6е-/,65° = (-15-/4,03) а;
ha = = 2t200|7iT" = 15,6е/75°=(4,03+/15)а/
4 =/в6-4а = 6,97-/26=26,9е-/75’ а;
iB = he - hb = - 26 + /6,97 = 26,9 e/16S° а;
4 = ha ~ he = 19 + /19 = 26,6 e/4S а.
Найдем показания ваттметров:
г
Р. = Re [iLR *Д = Re [220 • 26,9 е^’] = 220 • 26,9 cos 75°= 1530 am,
P2 = Re [йсв /c] = Re[—220 e-/120° . 26,9 e"/45° ] =
= Re [220 e/60° • 26,9 e-/45°l = 220-26,9 cos 15° = 5730 em.
Активная мощность цепи
P = Pi+P2 = 1530+5730 = 7260 вт.
Проверка. P = 3/^ г = 3- 15,56s» 10 = 7260 вт.
На рис. 6.3,6 построена векторная диаграмма напряжений и то-
ков.
Обрыв в точке di (рис. 6,3 в). Токи в фазах нагрузки:
220е~'120° • .. П/1Ч
10+/10 1 15 /4,04) а,
г —I — йсв _ 220 е /120° _ п (. . поч
•аь — ‘са ~ 2Z ~ 2(104-/10) — v,5 +/2,02) а
217
Вычислим линейные токи:
4 =- 1В = Ica - ibc = 22,5 + /6,05 = 23,3 е/15° а.
Определим показания ваттметров:
Р, = 0,
P2=Re [l)cg= Re[220e/60° • 23,3 e-/15°] =
= 220 • 23,3 cos 45° = 3630 em.
6.6. Решить задачу 6.5 при одинаковых сопротивлениях всех фаз
и равных Z = (10—/10) ом.
В дополнение к случаю обрыва в точке cti рассмотреть также
случаи обрывов в точках и Ь2 (см. рис. 6.3, а).
6.7. К зажимам симметричной трехфазной сети, линейное напря-
жение которой равно 1/л, подключены три одинаковых сопротивле-
ния Z, соединенные треугольником. Условные знаки А и X соответст-
венно обозначают «начало» и «конец»
фазы А; В и Y — фазы В\ С и Z —
фазы С.
Определить, во сколько раз умень-
шится ток в подводящих проводах и
потребляемая мощность, если те же со-
А противления при помощи переключателя
о-i П соединить звездой (рис. 6.4).
°””" Замечание. Результаты данной задачи
°—J сравнить с результатами, полученными в зада-
чах 6.2 и 6.5.
6.8. К концу линии, сопротивле-
ние каждого провода которой Znp =
== (0,5+/1,5) ом, подключен соединенный треугольником прием-
ник энергии. Сопротивление каждой фазы его Zab = Zbc = Zca =
= Z = (8,4+/6,6) ом. Линейные напряжения в начале линии U АВ =
== Uвс = UCA = 230 в (рис. 6.5). Рассчитать линейные и фазные
токи, а также напряжения на фазах
нагрузки, соединенной треугольником.
Определить потерю напряжения в ли-
нии. Построить векторную диаграмму.
Указание. Задачу проще решить при
помощи преобразования треугольника сопро-
тивлений нагрузки в эквивалентную звезду.
Рис- 6.5 6.9. Дан симметричный генератор,
соединенный треугольником (рис. 6.6).
Фазные э.д.с. генератора £ф = 230 в, а внутреннее сопро-
тивление каждой его фазы гф = (0,3+/0,9) ом. Через линию, со-
противление каждого провода которой Znp = (0,15+/0,12) ом, гене-
218
Рис. 6.6
Рис. 6.7
ратор соединен с приемником энергии, соединенным звездой. Сопро-
тивление каждой фазы его Z = (2+/1,5) ом. Определить напряжения
у зажимов генератора и приемника энергии и токи в фазах генератора
и приемника энергии.
6.10. Вычислить все
токи и напряжения на фа-
зах симметричной нагру-
зки, соединенной треуголь-
ником, если трехфазный
генератор симметричен, его
фазная э.д.с. £*ф = 230 в,
сопротивление каждой фа-
зы генератора = (0,3+
+/0,9) ом, сопротивление
каждого провода Znp =
= (0,15+/0,12) ом, сопро-
тивление каждой фазы на-
грузки Z = (2+/1,5) ом
(рис. 6.7).
6.11. Для измерения
активной мощности трех-
фазной равномерной на-
грузки, имеющей индук-
тивный характер, соеди-
ненной звездой и подклю-
ченной к симметричной
трехфазной сети, линейное
напряжение которой ил=
= 220 е, были включены
два ваттметра (рис. 6.8),
показания которых Pi =
= 1080 вт и Р2= 1920 вт.
Определить фазное напря-
жение, ток и сдвиг фаз
между ними. Чему равна
общая мощность, расходу-
емая в нагрузке? Построить
векторную диаграмму на-
пряжений и токов.
6.12. Решить задачу 6.
=2,5 кет.
6.13. Для цепи рис. 6.3, а вычислить токи в нагрузке и в линии,
сопротивление каждой фазы нагрузки, общую мощность, если на-
грузка и линейные напряжения симметричны и равны 1/л = 220 в,
а показания ваттметров Pt = 1,65 кет, Р2 = 5,81 кет.
6.14. Чему равно показание ваттметра, включенного в цепь
рис. 6.9, и какую мощность он учитывает? Нагрузка фаз симметрич-
на: гА = гв = гс = 12 ом, хА = хв = хс = 9 ом. Система линей-
ных напряжений тоже симметрична (7Л = 380 е.
1, если ил = 380 е, Pi = 0 и Р2 =
219
6.15. В цепи рис. 6.10 гАВ = гвс = гСА 12 ом, хАВ « хвс =
= хСА = 9 ом. Система линейных напряжений симметрична Un =
= 380 в. Чему равно показание ваттметра и какую мощность он учи-
тывает?
Рис. 6.10
6.16. На расстояние I = 60 км нужно передать мощность Р =
= 3000 кет при линейном напряжении у потребителей 1/л = 35000 в
и cos фф = 0,8 так, чтобы потеря мощности не превышала 5% от по-
лезной. Определить необходимое для этого количество меди (в тон-
нах) при: а) трехфазной и б) однофазной системах передачи энергии.
6.17. Симметричный трехфазный трансформатор питает симмет-
ричную нагрузку, общая мощность которой Р = 600 кет, a cos <рф =
= 0,8 (фф > 0). Линейное напряжение на нагрузке Ufl = 6 кв. От
трансформатора до потребителя проложена
Рис. 6.11
воздушная линия, сечение каждого про-
вода которой s = 35 мм2, а длина / =
= 2,3 км. Материал проводов линии —
медь (удельное сопротивление р =
=0,0175 0М‘ММ2/м). Индуктивное сопро-,
тивдение каждого километра провода равно
0,4 ом.
Вычислить ток и линейное напряжение
в начале линии и построить векторную ди-
аграмму.
6.18. Решить задачу 6.17, полагая, что
вместо воздушной линии проложен кабель
с тем же сечением медных проводов, ин-
дуктивностью которых можно пренебречь.
Остальные данные те же, что и в задаче
6.17.
6.19. Дана двухфазная система э.д.с.
(рис. 6.11, a): Ei = Е2 = 220 в, (Eit Е2) =
=90°. Сопротивление каждой фазы гене-
ратора ZQ = (0,5+/1,5) ом. Сопротивление
каждой фазы нагрузки = Z2 = Z =
= (5,54-/8) ом. Сопротивление провода,
общего для двух фаз, принять равным
нулю. Найти токи в проводах, фазные и
220
линейные напряжения нагрузки. Построить векторную диаграмму.
Решение. Выразим э. д. с. генератора через комплексы. При-
мем, что Ё, = Ег = 220 в, тогда Е2 = Ег е-у90° = — /220 в.
Применяя закон Ома к каждой фазе, получим: ’
А = -Z&- = wW = 10’4-'16-5 = 19,6 е-/57°47’а;
4 = —— = ~/220- = — 16,5 — /10,4 = 19,6 е“/14747’ а.
2 z2+zo 64-/9,5
Ток в проводе, общем для двух фаз,
^=7/= /2 = — 6,1 — /26,9 = 27,6 е-/102°35' а.
Фазные напряжения:
= /1Z1 = (10,4 — /16,5)(5,5 +
4-/8) = 190 — /7,5 = 190е“у2°16 в;
[)2 = /2Z2 = (-16,5 - /10,4)(5,5 4-
+/8) = —(7,5 4-/190)=
= 190 е~/92°16 в.
Комплекс линейного напряже-
ния
(У12 = (4 — t/2= 197,5 4- /182,5 =
=2б9е'42°43' в.
На рис. 6.11, б построена ве-
кторная диаграмма.
Б. Несимметричный режим
6.20. К симметричному трех-
фазному генератору с фазной э.д.с.
Е = 230 вис внутренним сопро-
тивлением Zo == (0,3+/0,9) ом под-
ключена несимметричная нагрузка,
соединенная в звезду с нулевым
проводом (рис. 6.12, а). Сопротив-
ления фаз нагрузки: Za= (24-/4)
Zb ~ (4—/8) ом, Zc = 5 ом. Сопро-
тивление каждого провода линии
Znp = (0,44-/0,3) ом, а сопротив-
ление нейтрального провода ZN =
= 0,5 ом. Определить токи и на-
пряжения на каждой фазе нагрузки
221
и генераторе при наличии нейтрального провода и при его обрыве.
Для каждого случая построить векторную диаграмму.
Решение. Запишем фазные э.д.с. генератора в комплексном
виде: £, = £, = 230 в, Ёв = 230е-/120° = — 115(1+/1,73)в;
Ёс = 230е"/240° = — 115 (1—/1,73) в.
Комплексные проводимости фаз:
А
— = (0,0788 — /0,152) сим\
пр
= (0,0688 + /0,0995) сим\
с
- = (0,168—/0,0354) сим.
пр
----=-------— 2 сим.
N 0,5
При наличии нейтрального провода.
По формуле (6.5) найдем напряжение между точками О! и О:
у 230 (0,0788-/0,152) —115 (1+/T ,73) (0,0688 + /0,0995) — >
—115(1 = 8,03-/9,38 = 12,4 е~/49°25'в,
2,32-/0,088 '
а по формуле (6.6) все токи:
IA = (ea-Un ) Ya = 18,9 —/33=37,9 е-/60°10 а;
4 = (Ёв- Un) Yb = 10,4-/25,2 = 27,4 е-/67°40'а;
L = (Ё_— U., ) Yc = — 13,3 + /39,4 = 41,6 е7108035 а;
с \ с /V /С. ’ -
*
Проверка показывает, что IA —IN =0.
Напряжения на фазах нагрузки:
<4о, = 4 Za = 170е'3°15'в; = I^b = 230 е-/,34О20'в.
= 41с = 208 е/108°35' в.
Напряжения на каждой фазе генератора
^ло = ЁА - IA Zo = 195 е'/2°5' в; йы = ЁВ- iB Zo = 243 е‘/125°в:
Л п / 110°45'
Uгп == Ег — IcZ0 — 2\3 е в.
222
На рис, 6.12,6 построена векторная диаграмма.
При обрыве нейтрального провода (YN —Q).
(]' = + +V.C. = 70,8 -/51,8 = 87,бе- /36°'5’ в.
N YA + Yb + Yc
Токи:
Л = - <4 ) Y а = 20>4 - /20-1 = 28,бе" /44°40' а;
= = 28,6 = 28,бе" /86°15' а;
Гс = (Ёс — UN) Yc = — 22,3 + /48,7 = 53,бе'*14’40' а.
Напряжения на фазах нагрузки:
fr Г 7 10Q /18°45' Л г 7 ~/W°40'
aot А^а 128е в\ U— 1q Zfy 256е в,
= Iс Zc = 268е в.
* V
Напряжения на фазах генератора:
(/^= ЁА — i'A zo = 206 — / 12,3 = 206е" в;
UB0 = ЁВ — Г^о = — 141 — / 192 = 239е /125О2°' в;
Uco = Ёс — /'CZO = — 64,5 + / 205 = 215e/107O2S' в.
На рис. 6.12, в построена векторная
диаграмма в случае обрыва нейтраль-
ного провода.
6.21. Решить задачу 6.20, если Zo=
=0,2 ом.
6.22. В четырехпроводную линию
трехфазной симметричной сети с фазным
напряжением UAO = UB0 = Uco = U$=
= 120 в включены три группы одинако-
вых ламп (рис. 6.13): I = 30 ламп,
II = 25 ламп и III = 20 ламп. Сопро-
тивление каждой лампы считать неизмен-
ным и равным 300 ом.
Определить ток в нейтральном проводе. Под каким напряжением
окажется каждая группа ламп при обрыве нейтрального провода в
точке т?
6.23. К зажимам трехфазного симметричного источника энергии
с линейным напряжением (7л = 380 в подключена соединенная звез-
дой несимметричная нагрузка (рис. 6.14, а), сопротивления фаз кото-
рой ZA = (6 + /8) ом, ZB = (24 + /7) ом и Zc = 20 ом.
223
Определить токи и напряжения на каждой фазе, показания каж-
дого ваттметра, мощность, расходуемую в нагрузке. Построить век-
торную диаграмму токов и напряжений.
Решение. Способ 1. Заданная схема может быть заменена но-
вой (рис. 6.14, б), для которой фазные напряжения
Рис. 6.14
а внутренние сопротивления источников равны нулю.
Проводимости фаз нагрузки:
Ya = j- =------1— = (0,06 — / 0,08) = 0,1 е”/53°10' сим.
А 6 + j 8 *
У = ‘ ---------!---= (0,0384 — / 0,0112) = 0,04 e-'16’16’ CUMi
lb 24 + /7
Yr = -2- — — = 0,05 сим.
с ?С 20
Принимая UА — UА = 220 в, а следовательно, Uв = 220 е~/120° в
и Uc = 220 е/120° в, по формуле (6.5) найдем напряжение между ну-
левыми точками нагрузки и генератора:
(] = 1.364-7 14,13 = 49 0 _ -64 9 = 81 2 е~№°57'
N 0,1484-/0,0912
Напряжения на фазах нагрузки:
^0, = - UN = 171 + /64,9 = 183е720046' а;
224
= ив—иN = — 159 — / 126 = 203 е-/141°42'.в;
% = С/с - -159 + / 255 = 301 е-'121’53’ в;
а токи в фазах:
4 = Yл = 18>3 е“/32024' = (15,46 - / 9,72) а;
4 = ^во, Гв = 8>12 е^*57058'= (-7>51 - / 3,04) а;
4 = Uco Yc = 15,05 е'121’53' = (— 7,95 + / 12,76) а.
О vvj U 4 '
В правильности решения можно убедиться проверкой:
4+4+4= 15,46—/9,72 —7,5!—/3,04—7,95 + / 12,76 = 0.
Способ 2. Напряжения на фазах нагрузки могут быть найдены
по формулам (6.7). Для этого предварительно вычислим комплексы
линейных напряжений. Так как раньше было принято 1/л = 220в,
то
1% = UA — UB = 220 — 22Q е~/120° = 380 е/30° в;
UBC =йв — йс = 220 е—/120° — 220 е/120° = 380 е-/90" в;
UCA =йг—й. = 220 е'120° — 220 = 380 е'1б0° в.
СА G А
Искомые напряжения равны:
j, _ 380 е/30°. 0,04 е-/16°16' —380 е/150° • 0,05 _ 1Яо /20’45' .
UA0t 0,1484-/0,0912 ~ 1йб е в’.
а _ 380 е—/90° • 0,05 — 380 е^30’• 0,1 е—/53°10' _ „„ -/141’46' .
uB0i — 0,1484-/ 0,0912 “ и б’
А _ 380е*150° 0,1 е’/53’10' -380-0,04е-'16’16' _ /121’50'
Ucot 0,1484-/0,0912 — ouie в.
Определим показания каждого ваттметра:
Pv = Re U
18,3 е732"24'] == 3230 в/п;
у св лс_
= Re [380 е790’
15,05 е-/12Р53'] = 4870 вт.
Сумма показаний ваттметров дает мощность, расходуемую в на-
грузке,
P = P1 + P2 = 8100em.
225
Действительно»
Р = РАг. 4- Агд + I2crr = 18.32 • 6 + 8,122 • 24 + 15,05й • 20 =
Л ri D D w U 9
= 2000 + 1580 + 4520 = 8100 вт.
На рис. 6.14, в дана векторная диаграмма напряжений и токов.
6.24. Для цепи рис. 6.8 определить токи и показания ваттметров,
если: а) в фазе А произошел обрыв в точке а*, б) в фазе В — обрыв
в точке Ь\ в) в фазе В — в точке г) фаза А оказалась закорочен-
ной; д) короткое замыкание произошло в фазе В. Для решения зада-
чи воспользоваться данными задачи 6.23.
6.25. Фазы нагрузки, соединенные звездой, имеют чисто активное
сопротивление: гА = 9 ом, гв — 11 ом и гс = 14 ом. Через линию,
активное сопротивление каждого провода которой гпр = 1 ом
(индуктивностью проводов линии пренебречь),
указанная нагрузка подключается к зажимам
симметричного источника трехфазного тока с
"и линейным напряжением ил = 380 в. Определить
токи и напряжения на фазах нагрузки.
’Ок Для определения порядка чередования
фаз применяется схема рис. 6.15, состоящая из
трех равных по модулю сопротивлений, соеди-
Рис. 6.15 ненных звездой, из которых одно емкостное, а
два других — активные (лампы накаливания).
Система линейных напряжений U л симметрична. Определить фазные
напряжения и построить векторную диаграмму.
Замечание. При расчете принять, что к фазе А подключается нагруз-
ка, содержащая конденсатор. Тогда получится, что лампа, включенная в фазу
В, будет находиться под напряжением в 3,71 раза большим, чем та, которая в
фазе С.
6.27. К симметричной системе линейных напряжений (7Л подклю-
чены соединенные звездой, равные по численной величине три сопро-
тивления, одно из которых индуктивное xL, а два других и г2 — ак-
тивные (лампа накаливания). Показать, что если фазу, соединенную
с индуктивностью, считать за первую, то лампа, включенная во вто-
рую фазу, будет находиться под напряжением, в 3,71 раза меньшим,
чем лампа, включенная в третью фазу, т. е. UC/Uв = 3,71.
6.28. Для цепи рис. 6.3, а определить фазные и линейные токи,
общую мощность приемника, показание каждого ваттметра и по-
строить векторную диаграмму, если трехфазный источник симметри-
чен UАВ = Uвс = UCA =220 в, а сопротивления отдельных фаз на-
грузки, соединенных треугольником, равны:
Zab = 10 ом, Zbc = (64-/8) ом, Zca = —/10 ом.
6.29. К симметричной трехфазной системе с линейным напряже-
нием Uл = 220 в подключена нагрузка, соединенная треугольником
(см. рис. 6.5). Сопротивления фаз нагрузок: Zab = (124-/16) ом,
226
Zbc = 20 ом и Zca = (16—/12) ом. Сопротивление каждого провода
Znp = (1+/3) ом. Вычислить фазные и линейные токи, напряжение
на фазах нагрузки, мощность, расходуемую в нагрузке.
6.30. В трехфазную симметричную сеть без нулевого провода с
линейным напряжением ия = 220 в включены три группы одинако-
вых ламп (рис. 6.16). В первой группе имеет-
ся = 17 ламп, во второй — п2 — 23 лампы
и в третьей — га3 = 19 ламп. Сопротивление
каждой лампы считать неизменным и равным
590 ом.
а) Определить линейные и фазные токи;
б) вычислить все токи и напряжения на за-
жимах каждой группы ламп при перегорании
предохранителя на вводе фазы С.
6.31. В трехпроводную систему трехфаз-
ного тока, линейные напряжения которой
симметричны и равны ил = 127 в, включены
-две лампы, потребляющие мощности Pt =
=55 вт и Р2 = 200 вт (рис. 6.17). Рас-
считать токи, проходящие через каждую лам-
пу и в каждом из проводов линии, и по-
строить векторную диаграмму напряжений и
токов. Определить показания ваттметров.
6.32. Вольтметры, подключенные к линей-
ным зажимам трехфазной системы, показали
1/дз = 210 в, UBC = 220 в и UCA = 225 в.
подключен приемник энергии, соединенный
фаз которого ZA = 25 ом, ZB = (24+/’7) ом,
Рис. 6.16
К указанной системе
звездой, сопротивления
Zc = (16—/12) ом (см.
рис. 6.8). Найти токи и фазные
напряжения. Каковы показания
ваттметров?
Рис. 6.18
Рис. 6.17
Указание. По заданным значениям линейных напряжений следует
построить треугольник напряжений АВС (рис. 6.18). Углы векторов йСА и
UBC определяются решением этого треугольника. Например, угол tyBC опре-
227
деляется из следующего равенства:
COS фBG ==
^АВ + UВС ~ ^СА
АВ U ВС
6.33. К трехфазной сети, линейные напряжения которой U —
= 210 в, UBC — 220 в и UCA = 225 в, подключена симметричная на-
грузка, соединенная звездой, сопротивления каждой из фаз которой
равны ZA = ZB = Zc = (204-/15) ом. Найти- напряжения и токи в
каждой фазе.
Указание. Нагрузки всех фаз одинаковы, поэтому задача может быть
решена графически: строится в масштабе треугольник линейных напряжений
и находится точка пересечения его медиан. Соединяя ее с вершинами треуголь-
ника, получим векторы фазных напряжений UA, UB, UG. Векторы токов от-
стают по фазе от соответствующих фазных напряжений на один и тот же угол
6.35. Линейные напряжения
<рф = arctg — = 36°50'.
«MV
6.34. В цепи схемы рис. 6.19
даны: Znp = (14-/2) ом, ZA—
= (84-/10) ом, ZB = 14 ом, Zc —
= (10—/6) ом. Измерения линей-
ных напряжений трехфазной сети
дали следующие величины: UAB
= 120 в, UBC= 110 в и UCA =
= 125 в. Найти токи и напряжения
на фазах нагрузки.
трехфазной сети: U =120 в,
U = по е й UCA = 125 в. К этой сети подключена нагрузка, со-
единенная треугольником, сопротивления фаз которой ZAB = 25 ом,
ZBC = 20 ом и ZCA = (164-/8) ом. Найти линейные и фазные токи.
6.36. Линейные напряжения трехфазной системы: U= 220 в,
U — 215 в и UCA = 225 в. Определить линейные и фазные токи,
если Znp = (14-/3) ом, а сопротивления фаз нагрузки, соединенной
228
треугольником (см. рис. 6.5), Zab = 20 ом, Zhc = (154-/5) ом и Z„ =
= (16—j8) ом.
6.37. Система линейных напряжений симметрична Un = 220 в.
Сопротивления фаз нагрузки (рис. 6.20): ZA = ZB = 20 ом, Zc =
= (24—/7) ом, ZAB = ZBC = (204~/15) ом и ZCA = 20 ом. Вычислить
все токи.
6.38. В цепи рис. 6.21 определить все токи. Даны: ZA = ,ZB =
= Zc = (164-/12) ом, Z^ = ZgC = ZCA = r = 30 ом и Znp =
= (14-/3) ом. Рассчитать напряжения на фазах нагрузки и все токи,
если U= URr — 220 в и Ur, = 210 в.
Указание. Треугольник сопротивлений преобразовать в эквивалент-
ную звезду. В дальнейшем схема упрощается, если учесть, что при симметрич-
ных нагрузках смещения нейтралей равны нулю.
Г лава седьмая
ЦЕПИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Разложение периодических кривых в ряд Фурье. Всякая перио-
дическая функция / (/) с периодом Т, удовлетворяющая условиям
Дирихле (т. е. ограниченная функция, имеющая за период конечное
число разрывов первого рода и конечное число максимумов и мини-
мумов), может быть разложена в тригонометрический ряд.
Разложение периодической функции в тригонометрический ряд
может быть записано в двух формах:
00
(ап cos п <»! t + bn sin п
(7.1)
оо
П=1
(7.2)
Коэффициенты ряда (7.1) равны:
т т
= а« = Y J cos п “1Z di'
О о
Т
bn = -Y J НО sin п «>! t dt.
О
(7.3)
Переход от первой формы ряда (7.1) ко второй форме ряда (7.2)
осуществляется с помощью формул:
cn=Va2n + b2n (7.4)
°п
а обратный переход:
6„ = спсозфп, а„=с„ sin фл.
Обращаем внимание на то, что при определении угла фп по форму-
лам (/.4) по знакам коэффициентов ап и Ьп надо установить, в ка-
кой четверти этот угол находится. Так, если Ьп положительно, а ап
отрицательно, то угол фЛ лежит в четвертой четверти; если Ьп < О
230
и ап <Z 0, то фп — в третьей четверти, если Ьп < О, а ап > О, то фЛ —
во второй четверти. Проверкой этого служат формулы (7.5).
При использовании первой формы разложения в тригонометри-
ческий ряд [см. формулу (7.1)] коэффициенты ап и Ьп зависят от вы-
бора начала отсчета, а при пользовании второй формой разложения
[см. фор’мулу (7.2)] амплитуды гармоник сп не зависят от выбора на-
чала отсчета и определяются только видом кривой; 'аргументы фп за-
висят от начала отсчета. При сдвиге начала отсчета вдоль оси време-
ни t на ±/с амплитуды сп сохраняются, а фазы фЛ получают приращение
±(оп/с (теорема сдвига).
Ряду (7.1) можно придать более компактный вид, если условно
ввести отрицательные частоты и перейти к суммированию по п от
— оо до + °° (в этом случае каждая гармоника, кроме нулевой, вхо-
дит под знак суммы дважды):
со
/ (О = — V (ап cos п t + bn sin п /). (7.6)
Тригонометрическая форма ряда Фурье может быть преобразова-
на в комплексную:
°°
НО = V У! Рп^, (7.7)
£ ^ЯЯ^^^л
где комплексный коэффициент
F „ = а — / b = Fne~*n = F„e
Для наглядности часто составляющие несинусоидальной периоди-
ческой функции изображаются в виде линейчатого (дискретного, не-
прерывного) спектра. Он представляет собой график, на оси абсцисс
которого отложены значения частоты (или порядковые номера гармо-
ник) и из этих точек восставлены перпендикуляры, длины которых
соответствуют значениям модулей комплексных амплитуд Fn (или
если откладывать отрезки как для положительных, так и для
отрицательных частот).
2. Случаи симметрии периодических кривых. Если периодическая
кривая обладает тем или иным видом симметрии, то при ее разложе-
нии в ряд Фурье отсутствуют некоторые со-
ставляющие. В табл. 7.1 дается соответству-
ющая сводка.
3. Разложение в ряд Фурье при различных
аналитических выражениях частей периодиче-
ской кривой. В тех случаях, когда периодиче-
ская кривая в пределах периода имеет не одно
аналитическое выражение, а разным частям
периода соответствуют различные аналитиче-
ские выражения, например для рис. 7.1, при
231
Таблица 7.1
№
пп.
Кривая симметрична относительно
Математическое
условие симметрии
Особенности
разложения
3
/ (0 = / (—О
Оси ординат (четная функция)
Начала координат (нечетная функция)
Оси абсцисс при совмещении двух по-
лупериодов
Оси ординат и оси абсцисс при совме-
щении полуперйодов
Начала координат и оси абсцисс при
совмещении двух полупериодов
/ (0 = - /(- 0
Отсутствуют си-
нусоидальные (bk =
= 0) гармоники
Отсутствуют пос-
тоянная составля-
ющая и косинусои-
дальные гармоники
(а0 = ak = 0)
Отсутствуют
постоянная состав-
ляющая и четные
синусоидальные и
косинусоидальные
гармоники (а0 =
а2П “ = ^2Л
= 0)
Отсутствуют пос-
тоянная составля-
ющая и все сину-
соидальные гармо-
ники, а также чет-
ные косинусоидаль-
ные гармоники
(tz0 — bfc — а2п =
= b 2п == Счп ~ 0)
Отсутствуют пос-
тоянная составля-
ющая и все коси-
нусоидальные гар-
моники, а также
четные синусои-
дальные гармоники
(^0 = ^2Л ~
~ Ь2п = с2п = 0)
232
расчете коэффициентов ряда интегрирование производится по отдель-
ным частям периода, соответствующим различным аналитическим вы-
ражениям (примеры приведены в задачах 7.1 и 7.2).
4. Графические методы разложения кривых в ряд Фурье. Если
периодическая кривая задана в виде графика (а не аналитически),
то ее разложение в ряд производится одним из графо-аналитических
методов. Пример приведен в задаче 7.7.
5. Действующее значение периодической величины f(f).
Действующие значения периодических величин, например э.д.с.
(или напряжений, токов), не зависят от начальных фаз гармоник и
определяются по действующим значениям их гармонических состав-
ляющих: ____________________________
..£ = Е2 + £2 + > __ = у £2 + £1т + . (7,9)
* 2 2
6. Расчет токов в сложных цепях. Если периодическое несинусои-
дальное напряжение подключено к какой угодно разветвленной или
неразветвленной линейной цепи, то расчет токов производится для
каждой из гармоник в отдельности по методам расчета цепей перемен-
ного тока; при этом индуктивные и емкостные сопротивления для k-й
гармоники равны соответственно k со4L и —!—. Расчет постоянной
' k Qi С
составляющей тока производится по методам расчета цепей постоян-
ного тока. После этого могут быть подсчитаны действующие значения
токов, проходящих в отдельных ветвях и действующие значения
напряжения на отдельных участках цепи по формуле (7.9).
В простейшем случае неразветвленной г-, L-, С-цепи с сопротив-
лением для k-й гармоники Zk = zk = г + j(k^L----------------—V к
\ k <&1 С ]
которой подключено периодическое напряжение
И = и0 + 2 Ukm sin (* f + *W’
в цепи устанавливается периодический ток
* = Л) + У 4m sin <* + К—?*)•'
Л=1
В цепи будет постоянная составляющая тока 10, если нет емкости.
Комплексные амплитуды гармоник тока и напряжения связа-
ны соотношением
=/ J (-fk ) иk
km 1 kmс : «у
(7.Ю)
233
7. Активная Р, реактивная Q и полная 5 мощности вычисляют-
ся по формулам:
Р = 2 =uklkcos<?k> (7.11а)
k=0
k—oo
Q=2^ftsinn; (7.116)
k~Q
/ OO 00
s = ui = V S 2 ik . (7.11b)
&=0 k=0
8. Характеристики формы периодических несинусоидальных кри-
вых. Коэффициент формы кривой f (/) есть отношение действующего
значения F к среднему по модулю значению за период Лср:
/ т~
1/ т S
= /- = —-------. (7.12)
Р” 1 г
— J 1/(01 dt
О
Коэффициент амплитуды — отношение максимального значения
F к действующему значению функции f (/):
а
max
(7.13)
Коэффициент искажения — отношение действующего значения
основной гармоники к действующему значению всей функции:
(7.14)
Коэффициент гармоник—отношение действующего значения выс-
ших гармоник к действующему значению основной гармоники:
*Г=-------------• (7.15)
234
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Аналитический и графо-аналитический методы разложения
периодических кривых в ряд Фурье
7.1. Разложить в тригонометрический ряд периодическую функ-
цию напряжения, выражаемую кривой, симметричной относительно
точки перехода через нуль (рис. 7.2, а). Расчеты проделать для:
1) == Т/4, 2) tr = 0, ti = Т/2. Для каждого случая на основе раз-
ложения в ряд построить линейчатый спектр частот.
Рис. 7.2
Решение. Уравнения кривой для различных интервалов пе-
риода: при изменении t от 0 до Ц имеет вид
а = . *
при изменении t от до Т/2
и = Um.
По условию симметрии (табл. 7.1 п.2) в разложении кривой содер-
жатся только синусоиды. Для определения коэффициентов Ьп ряда
по формулам (7.3) разбиваем область интегрирования на два участка
от 0 до /1 и от /j до Т/2 (см. п. 3 основных положений), и так как инте-
грирование производится не за целый период, а за половйну периода,
то перед интегралом появляется множитель 2:
Ь„ = 2 • — Г С — t sin п со. t dt +
" Т L J h -1
0
Взяв интегралы, получим выражение коэффициентов искомого
ряда:
, 4 [Um( 1 ' , । 1 . '
b„ = — — — — t cos n oh t H---sin п (d< / —
г La \ n n’ Д_о
t~L
U 2 2 £7 / 1 \
---^-Icosn^n =—— I--------------sinn <»./.—cos nit). /1)
n nn \n (01 /1 / '
235
1) Значение ti = Т/4 (см. кривую на рис. 7.2, а). Формула для
Ьп примет вид
1 2Um / 2 . л к \
Ь. = —— —sin-----------cos/г Я|.
• пп \п п 2 /
Придавая п значения, равные 1, 2, 3, ... , получцм:
Наконец, запишем искомый ряд:
2Um Г/ 1 2 , Л . . 1 . о . ,
и =------.--------------р 1 sin <ог t----sin 2 t 4-
тс [\ 1 71 / 2
2 \ 1
-------h 1 sin 3 <ог t-----------sin 4 («! t +
7C / 4
в.
2) Значение = 0 (кривая примет вид рис. 7.2, б). При = О'
первое слагаемое в полученном ранее выражении (1) обращается в
неопределенность, раскрывая которую, найдем (путем деления произ-
водной числителя на производную знаменателя и переходя к пределу
при /1 -> 0), что
(sin п, М ______ j
А
Таким образом,
« 2 U m / л \ \ 4 jn . <> л тс
Ь„ =----— (1 + COST? п) =------— sin2 —.
п пп пп 2
Придавая п значения, равные 1, 2, 3, ... , получим:
Искомый ряд
и = [sin t + — sin 3 <о11 + — sin5 сот /... |e.
3) Значение = 7'/2 (кривая примет вид рис. 7.2, в). Ранее полу-,
ченная для Ьп формула (1) примет вид
, 2(/т I 1 . \ 2Um
bn = ——— I Sin n Я — COS n Л ) ---^7 cos n Я.
лтсДлтс / лк
236
При п = 1, 2, 3,... коэффициенты ряда:
bl=V- — ; &2 = “V- —Ь3=4"’ —5
1 тс 2 тс 3 тс
\ ______!_ 2Um
и4 л • , •
4 тс
Искомый ряд х . .
и = /sin (ог t-----— sin 2 (Ох / + — sin 3 (о j /-— sin4a)1Z + ...
тс I 2 .3 4
На рис. 7.3 изображены, спектры пе-
риодических сигналов, соответствующие
кривым 7.2, а, б и в. Графическое изобра-
жение спектра амплитудной характеристи-
ки таково: на оси абсцисс откладывается
номер п гармоники, а на оси ординат —
вертикальные отрезки, имеющие длины,
пропорциональные амплитудам гармоник.
7.2. Разложить в тригонометрический
ряд функцию, выражаемую кривой перио-
дических импульсов напряжения постоян-
ной амплитуды Um длительностью /и (рис.
7.4, а). Даны: Um — 10 в, ta = 0,2 мсек,
Т = 1 мсек.
Полученную функцию представить так-
же в виде комплексного ряда Фурье. По-
строить линейчатый спектр частот в зави-
симости от: а) номера гармоники га и б)
угловой частоты®. Такие же спектры по-
строить, если Т = 2 мсек, остальные дан-
ные те же.
Решение. Уравнение заданной кри-
вой:
в интервале от t = 0 до /и
. /1 (0 = £4;
. в интервале от t = t№ до t = Т
/2(0 = 0.
а)
°пш
-г ill || >>
ОН 3 4581 в9п
опт
5) 81 234587 в'бп
fylttl .
— -I । ч! I ||^1. И II». ...
0123456788п
Рис. 7.3
Разбивая область интегрирования на два участка (см. п. 3 основ-
ных положений), е помощью формул (7.3) находим коэффициенты ряда
и начальные фазы гармоник:
237
UnmiO a)
ft- и
t,5
0,5
'^Зт
A
0
Unm
ТЧмсек; 0,2мсек
7-1 мсек ] 0.2 моек
£л
0 2 4 6 8 10 12M 161820 222426 28M n .0 1
^nm, 6
8 8 wIO’*
0,5
7s 2 мсек; tH s 0,2 мсек 11111
Т*2мсек; inc 0,2мсек
,_________11.111111111 . 111111111.
0 2 4 6 8 10 12 № 1618 20 22 24- 28 28 30 n
.1 IL I I lli I I I I . .1.1 Ibi-Lu_ '
2 J 4 5 8 7 8 9w10*
Рис.
-2a. == 10
(1)
«л
i
cos n<s>itdt 4- J f2 (t) cos no\tdt
P 2U U
i Um cos iWitdt = —— sin пш(/и = —— sin n<oJ‘
J m 1 пшхт ЯП 1 и
о
(2)
ta т
С (t) sin titojdt 4- Jf2(t) sin nw^dt
P ^a
f Um sin nw,tdt ----
J n^T
0
(a 2t/m 11 —COSOW./J;
® Wl 1 и"
X
и
О
и
О
п
т
(3)
пт
T =Ujn
КП
— cos «<!>,/„ I2 =
2Um
—— sin
ГСП
t л *
(4)
238
_ ап ___ Sin__ • П<^и __ , / к /2(о1/и \
п bn 1 —- cos 2 \ 2_2 / s
Ф„ = ——(5)
тп 2 2 v '
Вычисляем коэффициенты ряда и начальные фазы ^гармоник. При
этом имеем в виду, что |
(О, = -у- = = 2тс103 сект1-, = 2*103 • 0,2 • Ю~3 = 0,4* рад.
Для удобства расчеты сведены в табл. 7.2.
Искомый ряд
и — [2 + 3,74 sin (со^ + 0,3^) + 3,03 sin (2(0^ + 0, 1к) +
+ 2,02 sin (Зсо^ — 0,1к) + 0,935 sin (4(0^ — O,3i0 —
-— 0,624 sin (бсо/ — O,7i0 — 0,866 sin (7g)!/ — 0,9k) —
— 0,757 sin (Sco^ — I, Ik) — 0,416 sin — 1,3к) + ...] в,
Таблица 7.2
п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(О^ «в П(О, л. 0 2тс103 4тсЦ)3 6тс10* 8тс10> ЮгсГО3 12тс103 • 14л103 16тс103 18тс103 20тсЮ3
п и _ 2 «□со 10~4 п 0 0,2тс 0,4тс 0,6тс 0,8тс тс 1,2тс 1,4тс 1,6к 1 1,8тс 2к
sin £ 2 0 0,588 0,951 0,951 0,588 0 —0,588 —0,951 —0,951 —0,588 0
U в п,т' 2 3,74 3,03 2,02 0,935 0 —0,624 —0,866 -0,757 —0,416 0
Фл., Рад — 0 ;3lt 0,1тс —0,1* —0,3* —0,7к —0,911 —l.lit —1, Зтс — .
или, учитывая, что —sin (п(о4/ —фп) = sin (ncoi/— ± л), полу-
чим окончательно
н = [2+ 3,74 sin ((Oi/ + 0,3n) +3,03 sin (2(ot/+0,1л) +
+ 2,02 sin (3(0j/ — 0,1л) + 0,935 sin (4(0^ — 0,3л) +
+ 0,624 sin (6(0j/ + 0,3л) + 0,866 sin (7(0^ + 0,1л) +
+ 0,757 sin (8(Oi/ — 0,1л) + 0,416 sin (9(0i/—0,3л) + ...J в.
Для определения ряда Фурье в комплексной форме [см. формулу
(7.7)] находим комплексные амплитуды:
239
Fn = an — /£»„ == — [sin пш^и — /(1 — cos =
, п<"»'и
2ГУ *n • 2
= —- sin —— e
im 2
Таким образом, комплексная форма ряда Фурье
п=+а> /. ‘и
2Um . —
—— sin —— е '
тт 2
п — — со
На основе полученных результатов на рис. 7.4, б изображен ли-
нейчатый спектр напряжения в зависимости от номера гармоники
(расчеты для гг от 1 до 10 даны в табл. 7.2; аналогичные расчеты для
п = 114-30 рекомендуется проделать самостоятельно).
По данным табл. 7.1 на рис. 7.4^ в построен линейчатый спектр в
зависимости от con = ncoj. Для построения графика выбраны масшта-
бы: по оси абсцисс одному делению соответствует !• 10“4 сект*; по оси
ординат в одном делении 100-10"6 в-сек (при построении последнего
-графика спектральные амплитуды приведены к нормированному
масштабу путем деления на соt = — .
Т /
На рис. 7.4, г построен линейчатый спектр в зависимости от п
при Т = 2 мсек, а на рис. 7.4, <3 спектр изображен в нормированном
масштабе в зависимости от соп (расчеты рекомендуется проделать са-
мостоятельно).
Из рис. 7.4, в и д видно, что спектральные характеристики импуль-
сов одной и той же длительности /и зависят от периода Т следования
импульсов, и чем он больше, тем гуще располагаются спектральные
линии, а амплитуды соседних гармоник близки по величине.
На рис. 7.4, б—д отложены значения Un, соответствующие
положительным частотам. Полный спектр может быть получен, если
построить такой же график симметрично относительно вертикальной
оси (т. е. отложить соответствующие отрезки для отрицательных час-
тот).
7.3. Кривая напряжения содержит четыре гармоники:
и = (80 cos (Dj/ + 60 cos x2coi/ — 15 cos Зсо^ — 12 cos +
+ 100 sin coj/ — 20 sin 2соА/ + 30 sin 3(0^ — 8 sin 4(0^) e.
Записать эту кривую напряжения в форме ряда (7.1), содержащего
только синусоиды с начальными фазами, и в комплексной форме
[см. формулу (7.7)]. Начертить линейчатый спектр частот (амплитуд и
фаз) в зависимости от номера гармоники.
7.4. Разложить в тригонометрический ряд функцию тока, .график
которой выражает телеграфные сигналы при периодической передаче
точек (рис. 7.5).
240
7.5. Разложить в тригонометрический ряд функцию напряжения,
выражаемую кривой пилообразного напряжения (рис. 7.6). Сравнить
полученный результат с разложением в ряд функции, рассмотренной
Рис. 7.5
Рис. 7.6
в п. 3 задачи 7.1. По найденному выражению „построить
кривую, составленную только из постоянной составляющей и первой
гармоники разложения функции, и выяснить графически, насколько
пилообразная кривая отличается от
синтезируемой кривой. То же при до-
бавлении к постоянной составляющей
первой и второй гармоники; то же—
при добавлении к предыдущему и тре-
тьей гармоники.
7.6. Напряжение на сетке лампы
имеет вид периодически ломаной ли-
нии, изображенной на рис. 7.7. Ра-
Рис. 7.7
зложить в тригонометрический ряд функцию напряжения, выражае-
мую указанной кривой.
Указание. Уравнение кривой в интервале от 0 до
(Oj/i
а в интервале от «jA до 2я
«2 = ~ (2к - <ох0.
Из общего выражения следует получить частные случаи:
1) (о1^1 = 2к сравнить полученные выражения с результатами задачи 7.5);
2) = 7С, 3) • == ---К.
7.7. Ограничившись тремя гармониками, разложить в ряд Фурье
кривую тока I, изображенную на рис. 7.8, а. По результатам разложе-
ния построить линейчатый спектр (амплитуд и фаз) кривой тока
(рис. 7.8, б).
Решение. Одним из графо-аналитических методов разложения
периодической кривой в тригонометрический ряд является следую-
щий: период кривой / (®10 = / (х) разбивают на т равных частей,
каждая из которых Д (coiO = Дх = , и при подсчете коэффициен-
241
тов ряда по формулам (7.3) вместо интеграла от произведений орди-
нат кривой на ординаты соответствующей синусоиды или косинусоиды
берут суммы следующего вида:
Рис. 7.8
. 2к
— — —-С f(x)dx&
2 2тс J
О
т
1 2к т
— J f (х) cos nxdx «2 — /й (*) cosftnxAx =
П 0 . Я й=1
(1)
2
= — У fk (х) cosknx;
т ~
2 т
Ьп = ~ Л fk (х) sinft пх’
т л"*
где k — переменный индекс, принимающий значения от 1 до т\
fk(x), cosftnx, sinftnx — значения f{x), cosnx, sinnx при x — ЛД*.
242
Переменный индекс k ж* «4 3 jfii п = 1 п « 5
cot/, град Чм V* 3 Ае с из ' ▼4 3 AJ со 8 Ж* «4 3 Ai а СО 3 3 Vi О О Х"ч 3 о •м ’К» 3 OJ А» С НМ СО «и 3 сч as со О О
1 52 15 4-0,259 0,966 4-13,5 +50,1 30 +0,500 +0,866
2 84 30 4-0,500 4-0,866 4-42,0 +72,7 60 4-0,866 +0,500
3 87 45 4-0,707 4-0,707 +61,3 +61,3 90 + 1,0 0
4 86 60 4-0,866 4-0,500 +74,3 +43,0 120 +0,866 —0,500
5 82 75 4-0,966 4-0,259 +79,0 +21,3 150 +0,500 —0,866
6 80 90 4-1,0 0 +80,0 0 180 0 -1,0
7 85 105 4-0,966 —0,259 +82,0 —22,0 210 —0,500 —0,866
§ 8 94 120 4-0,866 —0,500 +81,2 —47,0 240 —0,866 —0,500
9 98 135 4-0,707 —0,707 +69,2 —69,2 270 -1,0 0
10 98 150 4-0,500 —0,866 4-49,0 —84,8 300 —0,866 +0,500
11 95 165 0,259 —0,966 +24,6 —91,8 330 —0,500 4-0,866
12 88 180 0 -1,0 0 —88,0 360 0 +1,0
13 78 195 —0,259 —0,966 —20,2 —75,2 390 +0,500 +0,866
14 64 210 —0,500 —0,866 —32,0 —55,3 420 +0,866 +0,500
15 43 225 —0,707 —0,707 —30,4 —30,4 450 + 1,0 0
16 25 240, 7=0,866 —0,500 —21,6 —12,5 480 +0,866 —0,500
17 8 255 —0,966 —0,259 -7,7 -2,1 510 +0,500 —0,866
18 —6 270 -1,0 0 +6,0 0 540 0 -1,0
19 —20 285 —0,966 4-0,259 +19,3 —5,2 570 —0,500 —0,866
20 —32 300 —0,866 4-0', 500 +27,7 —16,0 600 —0,866 —0,500
21 , —41 315 —0,707 4-0,707 +29,0 —29,0 630 -1,0 0
22- — - 330 —0,500 4-0,866 +20,5 —35,5 660 —0,866 +0,500
23 —28 345 —0,259 4-0,966 +7,3 —27,0 690 —0,500 +0,866
24 0 360 0 4-1,0 0 0 720 0 +1,0
сумма| +10791 +654 —442,6
Таблица 7.3
( п а 3
а 3 3 < а
сч сч со со
ле •се лг
с <Л С т
СЛ О О <3 «К» О Q
с> ** w 3 3
W СО СО / «4
3 3 •к» Лй * г а
ле 3 ® сл о лг Лй
со «о О ч__
+26,0 4-45,0 45 +0,707 +0,707 +36,7 +36,7
+72,6 4-42,0 90 +1,0 0 +84,0 0
4-87,0 0 135 +0,707 - -0,707 +61,4 —61,4
4-74,4 —43,0 180 0 -1,0 0 —86
+41,0 —71,0 225 —0,707 - -57,8 —57,8 —57,8
0 —80,0 270 —1,0. 0 —80,0 0
—42,0 —73,5 315 —0,707 +0,707 —60,0 +60,0
—81,4 —47,0 360 0 н 41,0 о +94,0
—98,0 0 405 +0,707 Н 1-0,707 +69,2 +69,2
—84,8 +49,0 450 +1,0 0 +98 0
—47,5 4-82,3 495 +0,707 - -0,707 +67,1 —67,1
0 +88,3 540 0 -1,0 0 *38
4-39,0 +67,5 585 —0,707 - -0,707 —55,1 —55,1
4-55,4 +32,0 630 —1,0 0 -64,0 0
4-43,0 0 675 —0,707 Н 40,707 —30,4 +30,4
4-21,7 —12,5 720 0 4 41,0 0 +25,0
+4,0 —6,9 765 +0,707 +0,707 +5,7 . +5,7
0 4-6,0 810 +1,0 0 —6,0 0
+10,0 4-17,3 855 +0,707 - -0,707 —14,1 +14,1
+27,7 4-16,0 900 0 -1,0 0 +32,0
+41,0 0 945 —0,707 - -0,707 +29,9 +29,9
4-35,5 —20,5 990 —1,0 0 +41,0 0
4-14,0 —24,2 1035 —0,707 4 40,707 +19,8 —19,8
0 0 1080 0 4 41,0 0 0
+238,1 4-66,8 | I +145,4 —38,2
Точность разложения тем больше, чем больше число частей т.
Если разлагаемая в ряд кривая обладает симметрией того или иного
вида, то заранее известно, какие гармоники содержатся в ее разло-
жении (см. п. 2 основных Положений и соотношений), и только эти
гармоники следует подсчитывать. В этом случае в зависимости от вида
симметрии подсчет средних значений произведений fk (х) cosk их и
fk(x) sin^nx необходимо брать не за целый период, а соответственно
за половину или четверть периода, а результат суммирования умно-
жить соответственно на 2 или на 4.
Разделим период кривой на т = 24 частей. Значения ординат
кривой в точках деления, равные занесены в табл. 7.3. Там же
приводятся значения sinft cos^ncoi/ и их произведения на /Дсо/)
для трех гармоник (п = 1, 2, 3). В табл. 7.3 приведены также вычис-
ления сумм по отдельным столбцам, которые используются при рас-
четах коэффициентов ряда по формулам (1):
'•=v = v2w^ = i 1079=45:
k=\
«I = — У м cosft (- 442>6) = - 36>9;
k=\
S'n* Ю1/ = 654 = 54’5’
&=1
/1т = q =/«?+.&? = 65,6; tg? = ^- =-------------= -0,677;
и i ,0
^ = — 34° 10';
а2 = — 66,8 = 5,6; Ь2 = — 238,1 = 19,8;
24 24
/2т = С2 = / 4 + ^ = 20,6; tg ф2 = %- = = 0,283;
ф2 = 15°50';
а3 = 4-(-38.2) = -3>2: *з=~ W = 12,1;
ф3 = —14°50'.
Следовательно, заданная кривая выражается уравнением
i = [45 + 65,6 sin (<o±Z — 34°10') + 20,6 sin (2^/ + 15950') +
+ 12,5 sin (3(01/ — 14°50')] ма.
244
На рис. 7.8, а построены постоянная составляющая /0 и отдельные
гармоники z’i, i2 и i3 кривой тока Л При графическом построении от-
дельных гармоник необходимо помнить, что масштаб по оси абсцисс
для разных гармоник неодинаков. Например, для третьей гармоники
масштаб абсцисс в три раза мельче, чем для основной гармоники и т. д.
Спектральная характеристика построена на рис. 7.8, б.
Б. Расчет цепей, находящихся под воздействием
периодических источников
7.8. К зажимам цепи рис. 7.9, параметры которой г = 30 ом,
Li = 60 мгн, г{ = 18 ом, приложено напряжение
и == [120 + 200 sin (Hit + 50 sin (Зсо^ + 30°)J в.
Частота основной гармоники /=
= 50гц. Написать выражения мгно- тбГ) f 6Г) л г—
венных значений тока i, напряже- & г
ния иаЬ на участке аЬ. Определить u ИпбЬб/) 1 Г
показания приборов, если AiHVi— 0 Vt J ПГ;
приборы магнитоэлектрической си- I____..........1(^4___-___
стемы без выпрямления — показы-
вают среднее значение, А2 и V2— Рис 7д
приборы индукционной системы — ис. .
показывают действующее зна-
чение переменной составляющей, А3 и V3 — приборы тепловой систе-
мы — показывают действующее значение тока и напряжения. Вычис-
лить активную мощность, расходуемую в цепи.
Примечание. Рубильники Рг, Р2 и Р3 служат для включения в цепь того
или иного амперметра.
Решение. Постоянные составляющие тока и напряжения на
участке аЬ:
. ^(0) 120 ' г 4- 30 ч- 18 UаЬ (0) = = 45 Расчет для первой гармоники / 200 < *т (1) — 7 1 • г ' z(l) г + П + Напряжение на участке аЬ • • abm (1) = itn (1) Zab (1) — Im (1) (f i + = 3,> = 101е/24О5Б' в J 2,5 a; в. — /21°25' 3,88e a. 88e-'!ra' .26, le*-
245
Расчет для третьей гармоники:
4 <•> - ^ = г L - °'674е“ ' *
Z(3) г 4" ri
(Jabm (3) = Zm (3)2(3) = 1т (3) (fj + /BcOjLj = 40е? в.
Уравнения для i и иоь:
i = [2,5 + 3,88 sin (G)it — 2Г25') + 0,674 sin (3®^ — 19°40')[ a;
Uab = 145 + 101 sin (att + 24°55') + 40 sin (3®^ + 52°40')J в.
Наконец, найдем показания приборов:
амперметр Ai /0 = 2,5 а;
Uo= 120 в;
вольтметр
амперметр
вольтметр
амперметр
вольтметр
°’6742 = 2,78 а;
— = 189 в.
2002
2
502 1лс
= 146 в;
3,882 , 0,6742 „
= 3,74 а;
Мощность, расходуемая в
цепи, определяется по формуле (7.11а)
Р = U(0)1 (0) + U(i)/1cos <р(1) + U(3)1 (3) cos <р(3) = 120 • 2,5 +
+ _222_ . cos 2Г55'4- •-^-cos49o40'= 670 вт
У 2 У 2 У 2 У 2
7.9 Цепь, состоящая из последовательно соединенных активного
сопротивления г = 8 ом и индуктивности L=15 мгн, подключена
к периодическому напряжению с действующим значением 220 в, в
разложении которого отсутствуют четные гармоники. Действующие
значения гармоник связаны соотношениями U3 — 0,4 U5=0t2Ut
и 67a 0,05
Гармониками порядка выше седьмого можно пренебречь. Найти
действующее значение тока и коэффициент мощности цепи. Частота
первой гармоники f = 50 гц,
7.10. К цепи из последовательно соединенных активного сопротив-
ления и индуктивности подключено напряжение и=(304-60 sin
Найти действующее значение тока и мощность, расходуемую в цепи,
если г = 3 ом и тгЬ^=Аом. Написать выражения мгновенных значе-
ний тока и напряжения на индуктивности. Построить кривые Л и, uL.
246
7.11. Цепь, составленная из последовательно соединенных актив-
ного сопротивления и конденсатора, находится под действием напря-
жения
и = 100 + 200 sin (Oi/ + 30 sin
1 '
Параметры цепи г — 5 ом, ----------- — 3 ом.
0>lC
4/ ₽
Рис. 7.10
Выразить ток I и напряжение на зажимах конденсатора ис как
функции времени. Вычислить действующие значения напряжения,
тока и мощность, расходуемую в цепи. Определить показание вольт-
метра, подключенного к конденсатору, если это прибор: а) магнито-
электрической (без выпрямления) и б) электродинамической систем.
7.12. На рис. 7.10 изображена схема
цепи, параметры которой при основной
частоте имеют (OiL = 12 ом и —-— =
=30 ом, а активные сопротивления: =
— 6 ом, г2 = 5 ом, г3 = 20 ом. Прило-
женное к цепи напряжение и = (70 +
4- Um (D sin сох/ + Um о) sin (3c0i/ + ф3), где
U(0) 33 30 в, Um (1) = 100 в, Uт (3) = 40 в, и
Ф(з/= 20s.
Записать уравнение мгновенного значе-
ния тока неразветвленного участка цепи.
Определить действующее значение каждого
тока. Вычислить мощность, расходуемую
в цепи.
Решение. Расчет постоянной составляющей.
Эквивалентное сопротивление цепи и величины постоянного тока
в неразветвленной части цепи и в ветвях с сопротивлениями и г3
определяются по формулам: л
Гэ (0) = г1 + - = 10 0М’
г I Г
Г2 Т Г3
Т _____ ^(°) ___ ^0 •___ Q п.
/1(0) —------- — — ’J CL,
гэ(0) Ю
/г (0) = Л (0) ----— — 2,4 а\ /з <о) = /1 (О) — Лг (о) — 0,6;
'г+'з
Л (0) — 0.
Расчет для первой гармоники. Определим комплексное сопротив-
ление трех параллельных ветвей:
1 1 1 Зе 1 ।__J___I 1 __
%аЬ(Д) ^2(1) 23(1) z4(]) 5 4-/ 12 20 —/30
= (79,6-/37,7) 10’3 сим,
247
отсюда
(79,6—/ 37,7) • IO"*
/ 25°20'
= 11,4е = (10,254-/4,831 ом.
Комплексное сопротивление всей цепи
о» = гг + Zab (1) = 16,25 4- /4,83=17е/16<>30' ом.
Комплексные (максимальные) токи в неразветвленной части цепи
напряжение на параллельных ветвях и токи в них:
/ юо сОо~/16°30'
= т—1^ = 5-88е
А / v
Т1 i 7 rqq/-/16°3*' 11 Л /25°20' С7/ 8050'
Uabm (1) — Jim (i) Zab (i) = о,88е • 11,4е = 67е
/ Uabm (1) < 2m (1) — ' 7 — Л2(1) 67eZ - / 58’30' — — 5 i5e a; 5 + j 12
• 7 Uabm (1) J 3m (1) — 7 67е/8°э0 q /8°50' ~ = 3,35e a\ 20
т Uabm (1) /4m (I) — 7 = (!) 67e oq / 98’50' = 2,23e a. — i 30
Расчет для третьей гармоники проводится аналогично:
Zi о) = 6 ом; Z2 (3) •= г2 4- /ScojL = 5 4- /36 = 36,5е/82°10 ом;
2з о) = 20 ом; (з> = — / ——— = — / 30 = — /10 ом;
оо>1С 3
1___
%ab (3)
1
5 + г 36
= (53,77 +/72,8) 10“3
сим\
ZaD{3) = 6,56—/8,9 - 11,05е“/53°35 ом\
2Э(3) =ZX (з) + Zab (3) = 12,56-/8,9 = 15,35е“/35°5' ож;
7 — 40е/ 2°° — о 55°5'
*\пг (3) ___/35°5' 2,бе Ut
15,35е
/, Л /55°5' л л _ —/53°35' / 1°30'
Uabm (3) — 2,бе • 11,Обе = 28,7е а;
i Uabm(3) п-7а^-/а°°Ю' „
J2m (3) — —--------— 0,79e a,
z (3)
7 __ Uabm (3) < ДДр7 1030
hm (3) = —---------= l,44e
Z3 (3)
248
iim о) = = г.вУе'9'030' a.
Z4 (3)
Уравнение тока в неразветвленной части цепи имеет вид
q = [3 4- 5,88 sin (<о^ — 16°30') + 2,6 sin (Зсо^ 4- 55°5')J а.
Действующее значение каждого тока определяется по форму-
ле (7.9):
Л = э! + -“88' + ~ ~ = 5,45 о;
/, _ |/ _ 4.4 а;
I, = "у/” 0,6“ + ..3'52Д = 2,64 а;
/4 .. = 2,57 а.
Мощность, расходуемая в цепи, определяется по формуле (7.11, а):
Р = 30 • 3 + — • 100 • 5,88 • cos 16°30' + -40-2,6 cos35°5'= 415 вт.
2 2
Проверка: .
Р = fa, + 7|г2 4- /|г3 = 5,452- 6 + 4,42- 5 4- 2,642 • 20 =
= 178 4- 97 4- 140 = 415 вт.
7.13. В схеме рис. 7.11 ток, проходящий по ветви, содержащей
индуктивность, имеет постоянную составляющую /2 (Ь> = 1 а, основ-
ную гармонику /2 (1) = 0,8 а и третью гармонику /2 (3) = 0,3 а. Найти
действующее значение приложенного к цепи напряжения и мощность,
расходуемую в ней, если = 100 ом, г2 = 80 ом, L2 = 0,02 гн и С3 =
= 1 мкф. Частота основной гармоники f = 800 гц.
d
Рис. 7.11
Рис. 7.12
7.14. Найти токи, проходящие в отдельных ветвях (рис. 7.12),
если к цепи приложено напряжение и = (150 -к 100 sin 4-
4-50 sin 3(0!/) в. Даны: = 500 ом, o^Li = 1000 ом, г2 = 1000 ом^
249
(j^iLz = 500 ом, r3 = 600 ом и —5— = 400 ом. Чему равна мощность,
о>1Сз
расходуемая в цепи?
7.15. Для питания нагрузочного сопротивления г2 = 600 ом от
источника двухпол у пер иодного выпрямленного синусоидального на-
пряжения (рис. 7.13, а) применен фильтр, сопротивления элементов
которого при частоте со± равны = 100 ом, = 3000 ом, —— =
<охС
== 20 ом.
Рис. 7.13
Определить отношение постоянной составляющей тока, проходя-
щего через сопротивление г2, к действующему значению всего тока,
проходящего через то же сопротивление при подключении нагрузоч-
ного сопротивления через фильтр (рис. 7.13, б), и сравнить с отноше-
нием тех же величин при непосредственном подключении г2 к источни-
ку однофазного двухполупериодного выпрямленного напряжения.
Разложение в ряд заданной кривой имеет вид
/ 1 । 1 о / 1 л 4
и = ——---------------cos ------------cos 4(0^
к \ 2 1 • 3 3-5 1
Рис. 7.14
----- COS 6(01/ — •••
5.7 1
Рис. 7.15
7.16. Подобрать емкости Ci и С2 так, чтобы цепь рис. 7.14 была
настроена в резонанс напряжений для основной гармоники и не про-
пускала ток третьей гармоники. Угловая частота тока основной гар-
моники coj = 5000 сек'1. Параметры цепи: t\ = 50 ом и L = 2 мгн.
Написать выражения мгновенных значений токов и напряжения на
параллельном участке цепи, если к цепи приложено напряжение
250
и = (20 sin (о4/+10 sin 3(Oi/) в. Подсчитать действующие значения то-
ков, напряжение на параллельном участке и мощность, расходуемую
в цепи.
7.17. К цепи, состоящей из последовательно соединенных г ==
= 100 ом, L = 63,7 мгн и С = 17,7 мкф, подведено напряжение и ==
= (10 sin (0^+5 sin 3(0i/+2 sin 9g)±/) в. Частота основной гармони-
ки /1 = 50 гц. Чему равны активная, реактивная и полная мощности?
7.18. К цепи рис. 7.15 подведено напряжение и =* (50 sin (о±/ +
4- 22 sin 2(0iZ) в. Сопротивления элементов цепи (для основной гар-
моники) равны: Г1 = 12 ом, —-—== 10 ом, г2 = 12 ом, (OiL2 = 8 ом.
Определить сопротивление г3 и действу-
ющее значение тока в каждой ветви, если —
известно, что на второй гармонике цепь £ rf L С 1
находится в режиме резонанса. и l3m V2 ГН
7.19. Напряжение, приложенное к двум у ____J
индуктивно связанным контурам (рис.
7.16), изменяется по закону и == (100+
+70,7 sin cdf/) в. Параметры контуров: Рис- 716
=40 ом, г2 = 60 ом, (OiLi = 30 ом, (o4L2 =
= 60 ом, С01Л4 = 20 ом. Найти выражения мгновенных токов в каж-
дом из контуров.
Решение. Все токи по величине и фазе определяются для каж-
дой гармоники в отдельности. -
Постоянная составляющая тока, проходящая в первом контуре,
во вторичном контуре э.д.с. не наводит..
Уравнения для двух контуров (для основной гармоники) имеют
вид:
£Л=/1(Г1 + /(OiLi) + /(01М12,
• 9
^2 (^2 + /(OiL2) + /(01Л4/1 = 0
или
(40 + /30) 4 + /20/2 = ;
/2
(60 + /60) 4 + j 20/i = 0.
Решая эти уравнения, получим:
4 = 0,984е /31°30' а; 4 = 0,232е 'а.
Постоянная составляющая тока в первом контуре
/0 = = — = 2,5 а.
° гх 40
Мгновенный ток в первом контуре
h = [2,5 + 0,984 /2 sin (со,/ — 31°30')] а
251
и соответственно во втором
i2 = 0,232 ]/Т sin («!/— 166°30')1 а.
действующие значения токов для контуров в цепи
и = (20 sin (Di/4-5 sin Зсо^) в. Параметры
7,20. Найти
рис. 7.17, если
цепи:
coiLi = (DiL2 = 4 ом, r2 == 3 ом,
Рис. 7.17
ом и
(DiM = 1 OM.
Рис. 7.18
7.21. Определить показание теплового амперметра, включенного
в диагональ моста (рис. 7.18), если приложенное напряжение и —
= (30+60 sin (0^+15 sin Зсо^) в, а сопротивления элементов цепи
для основной частоты: = 30 ом, (OiLj = 50 ом, г4 = 30 ом, (OiL2 =
== 30 ом, г3 = 40 ом, (OiL3 = 10 ом, г4 = 30 ом, г5 = 60 ом.
7.22. К цепи рис. 7.19 подводится
Рис. 7.19
напряжение и — (20 sin coi/+10 sin
3(0iZ) в. Сопротивления элементов цепи
для основной частоты: = 5 ом,
co1L1 = 10 ом, (DiL2 = 10 ом,—5— =
й>1С3
= 15 ом, а сопротивление нагрузки
—!— = 24 ом. Вычислить отношение
действующего значения напряжения на нагрузке к
действующему
значению приложенного напряжения.
7.23. В схеме рис. 7.20 известны = 12 ом, —= 18 ом, г2 =
О)/?
= 14 ом, (OiL = 8 ом. Определить показания вольтметра электроди-
намической системы, если
и = [50 + 80 cos (Of/ — 30 sin (2(0j/ + 60°) в.
Считать, что сопротивление вольтметра во много раз превышает
сопротивление каждого из элементов схемы. Что покажет амперметр
252
электродинамической системы, если он включен к тем же зажимам,
что и вольтметр?
7.24. В цепи рис. 7.21 на частоте сеч = 9600 сект1 имеет место ре-
зонанс токов, а на третьей гармонике наступает резонанс напряже-
ний. Определить индуктивности катушек Ц и L2, если = 10 ом,
г2 = 5 ом и С == 2,5 мкф.
Рис. 7.20
Рис. 7121
В. Коэффициенты, характеризующие форму периодической
несинусоидальной кривой
7.25. Вычислить коэффициенты формы, амплитуды и искажения
кривой напряжения, уравнение которой
и = Ulm sin 4- U2m sin 2(0^ (Uim = 100 в и U2m = 30 в).
Решение. Сначала вычислим действующее значение напряже-
ния по формуле (7.9):
+ =73,8 в.
найдем среднее по модулю
напряжения. Ввиду сим-
Затем
значение
метрии кривой и и положительности
ее значений за половину периода
(рис. 7.22) для его определения до-
статочно ограничиться половиной
периода:
£
тс
1 ?
иср=-------- (Ulrn sin + U2m Sin 2fi>10 d(olZ
1C J
0
t/lm COS + -^2- COS 2(o/
Wim
7C
253
Теперь определим максимальную ординату кривой м:
—— Uim cos coj/ 4- 2Um cos 2®^ = 0,
d (®i0
чли, так как cos 2at — 2 cos2 ®t/ — 1,
TO
4(/2m COS2 (Ait 4- Ulm cos ®j/ — 2 = 0,
120 cos2 (Ati + 100 cos ait — 2 = 0,
откуда, решая квадратное уравнение, получим:
cos = 0,404; ®^ = 66°10'
(знак минус перед корнем не годится, так как в этом случае косинус
окажется больше единицы), а
t^max = [ 100 sin ®г/ + 30 sin 2®г/]ш/ = = 116,7 в.
Наконец, по формулам (7.12)—(7.14) вычислим искомые коэффи-
циенты:
= 0,96.
. УТ
73,8
7.26. Найти коэффициенты формы, амплитуды и искажения кри-
вой напряжения и = Uim sin ®4/—U3m sin 3®^ (Uim = 100 e; U3m =
= 30 в).
Глава восьмая
КАТУШКИ И ТРАНСФОРМАТОРЫ
С ФЕРРОМАГНИТНЫМИ СЕРДЕЧНИКАМИ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Цепи с ферромагнитными сердечниками (цепи «со сталью»).
В таких цепях магнитный поток в основном проходит по одному или
нескольким сердечникам.
Особенности цепей с ферромагнитными сердечниками:
а) нет прямой пропорциональности между магнитным потоком Ф
и током I. Это приводит к искажению форм кривых тока и э.д.с.;
индуктивность не является постоянной величиной и зависит от тока.
Уравнение и = ir + L —-, справедливое для катушек без ферро-
4^
магнитного сердечника, должно быть заменено уравнением
и
б) замыкание потока через сердечник связано при переменном
токе с затратой энергии, превращаемой в тепло.
2. Потери в сердечнике. Потери мощности на магнитный гисте-
резис определяются по эмпирической формуле
— = аВт -!--------1- . (8.2)
G 100 m 100 ' '
*•
Для определения индукций в пределах от 1 до 1,6 тл (от 10 000 до
16 000 гс) вместо предыдущей формулы можно пользоваться следую-
щей формулой:
— = агД
G г т 100
Потери на вихревые токи выражаются так:
Г=ОвВ2Ш2.
G т\ 100 /
(8.4)
В
формулах (8.1)—(8.4):
р
—— удельные потери, отнесенные к 1 кг веса сердечника, вт;
f — частота, гц;
— амплитуда магнитной индукции, тл;
255
a, p, or,aB—коэффициенты, зависящие от марки материала, формы
и размеров сердечников. Их значения для листовых
сердечников двух распространенных марок магнит-
ных сталей приведены в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Сорт стали Толщина листов, мм a 3 °г a В Удельные потери при Вт=\тл (вт/кг)
эи 1.0 0,9 3,5 4,4 22,4 7,8
0,5 0,9 3,5 4,4 5,6 3,6
0,35 0,9 3,8 4,7 3,2 3,15
Э42 0,5 0,4 2,6 3,0 1,2 1,8
0,35 0,3 2,1 2,4 0,6 1,35
3. В катушке с ферромагнитным сердечником — дросселем
(рис. 8.1) различают: Фо — основной магнитный поток линии магнит-
ной индукции которого замыкаются через стальной сердечник; Ф8 —
поток рассеяния, линии которого замыкаются через воздух. С основ-
Рис. 8.1
Рис. 8.2
ным магнитным потоком связывают основную индуктивную проводи-
мость Ьо параллельной схемы замещения катушки с ферромагнитным
сердечником (рис. 8.2, а) или основное индуктивное сопротивление х0
последовательной схемы замещения катушки (рис. 8.2, б).
С магнитным потоком рассеяния связывают индуктивность рас-
сеяния Ls и соответствующее индуктивное сопротивление рассея-
ния х8. Потери в сердечнике учитываются активной проводимостью gQ
параллельной схемы замещения или активным сопротивлением г0
последовательной схемы замещения; потери в обмотке катушки (сопро-
тивление провода обмотки) определяются сопротивлением гоб.
Напряжение, приложенное к катушке с ферромагнитным сердеч-
ником, определяется формулой*
и = /гоб + /<oLs/ + иф.
* Расчет пп. 3 и 4 проводится в приближении замены несинусоидальных то-
ков, напряжений, индукций, потоков и т. д. эквивалентными синусоидальными
функциями
256
Здесь напряжение и$ связано с изменением основного магнитного
потока катушки:
иф = 4,44>Фт = 4,44/^SBm.
Реактивная составляющая тока /р и активная
составляющая тока /а схемы замещения (рис.
8.2, а) выражаются формулами:
1р = ифЬ0-, la=U^go. (8.7)
На ррс. 8.3 начерчена векторная диаграмма
катушки со стальным сердечником.
Потери в сердечнике Рф и в обмотке Л>б рас-
считываются по формулам:
Рф = f/Uo = Ро6 = 12го6- <8’8>
Рис. 8.3
4. Трансформатор. В трансформаторе с ферромагнитным сердеч-
ником (рис. 8.4, а) различают основной магнитный поток Фо, замы-
кающийся по сердечнику и сцепленный как с первой wit так и со вто-
рой w2 обмотками трансформатора, й магнитные потоки рассеяния
Ф1з и Ф2з, замыкающиеся по воздуху первой и второй обмоток.
Рис. 8.4
Схема замещения трансформатора с ферромагнитным сердечником,
приведенная к первичной обмотке, показана на рис. 8.4, б. Здесь г1о6
и /*2об — сопротивления провода соответственно первой и второй обмо-
ток трансформатора; Lls и L2s — индуктивности рассеяния обмоток;
bQ — основная индуктивная проводимость катушки; gQ — активная
проводимость, учитывающая потери в сердечнике. Последовательный
вариант схемы замещения трансформатора с основным индуктивным
сопротивлением х0 и сопротивлением потерь в сердечнике г0 показан
на рис. 8.4, в. Штрихами помечены на схемах замещения величины,
257
измененные в соответствии с правилами приведения к первичной об-
мотке:
(8.9)
Отношение называют коэффициентом трансформации.
При синусоидальном напряжении уравнения Кирхгофа в символи-
ческой форме для первичной и вторичной обмоток трансформатора
имеют вид: '
U1 — r 1об^ i+ 1 + иф; (8.10)
• I • < *' • г \
U* = Г206/2 + JG>^2s /2 + ^2 i I
(8.11)
U2 = Л I
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Потери в катушке со стальным сердечником;
ее эквивалентная схема и векторная диаграмма
8.1. Катушка со стальным сердечником (см. рис. 8.1), предназна-
ченная для работы при нормальном напряжении U = 100 в перемен-
Рис. 8.5
ного тока промышленной
частоты f = 50 гц, имеет
обмотку с числом витков
w — 1000 и активным со-
противлением гоб = 100 ом.
Сердечник катушки весом
G = 1,8 кг набран из пла-
стин стали Э42 толщиной
0,5 мм, кривые удельных
потерь которой заданы гра-
фиками рис. 8.5. Общее
сечение стали сердечника
3,2 см2. Пренебрегая ма-
гнитным рассеянием, опре-
делить параметры парал-
лельной схемы замещения
катушки (см. рис. 8.2, а).
Решение. По усло-
вию задачи пренебрегаем
магнитным рассеянием xs = 0.
По схеме замещения (см. рис. 8.2, а) напряжение катушки
U — 1г об +
258
В первом приближении полагаем (7Ф = U = 100 в. По формуле
(8.6) максимальное значение магнитной индукции (в первом прибли-
жении)
100
dU)__ __ ________LVJKJ_____ __ 1Д
т 4,44fwS 4,44-50-1000-3,2. IO"*
По кривым удельных потерь (см. рис. 8.5) определяем соответст-
вующие значения удельных активной Р/G и реактивной QJQ мощнос-
тей, связанных с перемагничиванием сердечника, которые в первом
приближении составляют P(1)/G=3 вт/кг и Q(1)/G=26 ва/кг. Умножая
на вес сердечника, определяем в рассматриваемом приближении:
= 3-1,8 = 5,4 вт\ Q(1) = 26-1,8 = 46,8 ш.
Вычисляем активную /а и реактивную /р составляющие тока схе-
мы (см. рис. 8.2, а).
В первом приближении
—тут- = —= 0,054 а;
100
/<1) - Q(1) _
р ”
В рассматриваемом приближении ток катушки
= 0,468 а.
100
I
/(,) = + 1^ = (0,054 — /0,468) а,
а напряжение
U(l) = (0,054 — /0,468). 100 + 100= 115 е-/'23°55’ в
на 15% превосходит по модулю точное значение U = 100 в.
Для уточнения во втором приближении зададим меньшие значе-
ния
В(£= 1,3 тл и U$} = ^MfwSBrr, = 93 в.
Повторяя аналогично расчет во втором приближении, определим
р(2) q(2) >
— — 2,5вт/кг; — = 16 ва/кг-, Р'' = 4,5 вт; Q'2' = 28,8 ва;
/р2> = W = °’0484 а' = 0>31а!
/(2) =(0,0484 — /0,31) а;
1/(2) = (0,0484 — /0,31). 100 + 93 = 97,8 — /31 = 102,бе”717’35' в.
Напряжение отличается от точного значения U = 100 в на 2,5%.
В последнем приближении параметры схемы замещения (см.
рис. 8.2, а) катушки в номинальном режиме:
259
g0 = = °’0484 = 0,52-10'3 cum;
U™ 93
__ Д _
—1— = 3,33-10-3 cum.
93
8.2. Известно, что при Д = 50 гц потери в стали Р1ст =
= 1,5 вт/кг, а при /2 = Ю0 гц = 4 вт/кг. Разделить потери в
стали на потери от вихревых токов и от магнитного гистерезиса, счи-
тая, что магнитная индукция остается неизменной.
Решение. Потери в стали на магнитный гистерезис при Вт =
= const прямо пропорциональны частоте f [см. формулы (8.2) и 8.3)],
а потери на вихревые токи пропорциональны квадрату частоты [см.
формулу (8.4)], поэтому
Р1ст = afi + б/f = 50 а + 2500 b = 1,5 вт/кг\
Р2с? = af2 + 6/2 = 100 а + 10 000 b = 4 вт/кг,
где а и b — постоянные коэффициенты, зависящие от сорта стали и
величины магнитной индукции.
Решая эти два уравнения, найдем:
а = 0,02 дж/кг\ Ь = 2* 10“4 дж-сек/кг.
Искомые величины:
при Д = 50 гц
Р1г= аД = 0,02* 50 = 1 вт/кг\ PiB — bff= 2* 10"4- 2500 = 0,5 вт/кг
при Д == 100 гц
Р2г = аД = 2 вт/кг\
Р2в= bf2^ 2 вт/кг.
8.3. Потери в стали трансформатора при некоторой частоте
составляют 600 вт. При удвоенной частоте и неизменной амплитуде
магнитной индукции потери в стали увеличиваются втрое. Произвести
разделение потерь на вихревые токи и на гистерезис.
8.4. При номинальном первичном напряжении потери в стали
трансформатора составляют Рст = 1 кет. Определить потери в стали
трансформатора при повышении и понижении напряжения на 10%.
Частота и форма кривой э.д.с. остаются неизменными. Потери на гис-
терезис определять по формуле (8.3).
8.5. Катушка со стальным сердечником включена на напряжение
Ui= 100 в, и по ней проходит ток Д = 5 а, отстающий по фазе от на-
пряжения на угол фь причем cos = 0,7. Эта же катушка при том
же напряжении, но без стального сердечника потребляет ток /2 =
= 10 а, отстающий от напряжения на угол ф2, причем cos<p2=0,9.
Определить потери в стали и меди и построить векторную
диаграмму- при наличии стального сердечника. С помощью векторной
диаграммы определить г0 и х0 в схеме замещения катушки со стальным
сердечником.
260
Решение. При отсутствии сердечника катушка имеет только
потери в меди:
= Uil2 cos(p2-
Отсюда активное сопротивление обмотки катушки
U х COS <Р2 п
г — —----— = 9 ом.
^2
При цаличии стального сердечника в катушке расходуется мощ-
ность
= U Ji cos cpj = 350 вт.
*
Часть этой мощности
Роб = — 225 вт
идет на покрытие потерь в меди, а другая часть — на потери в стали
Рст = Pi — Роб= 125 в.
Эквивалентная после-
довательная схема катуш-
ки со сталью, не имеющей
рассеяния, дана на рис.
8.6, а.
На рис. 8.6, б начерче-
на векторная диаграмма
катушки со стальным се-
рдечником. Из векторной
диаграммы следует, что
активная составляющая
приложенного напряжения
Рис. 8.6
Ui COS Ф1 = /4 (г 4- г ).
откуда
t/icoscpx 100-0,7 п -
г = —л---п-----г =------’----9 = 5 ом.
° G 5
ч
Из диаграммы видно, что
Ui sin ф! = IiXq
и, следовательно,
C/isincp! 100-0,715
г = __1-----------------XL. =:----------= и з ом,
° h 5
Величина э.д.с., наводимой в катушке,
I
E^lV-rl+^o =75,6 в.
8.6. Сердечник-однофазного трансформатора набран из стали ЭН
толщиной листов d = 0,35 мм, имеет прямоугольное сечение 150х
261
х 100 мм2 и длину средней линии магнитной индукции 120 см. Изоля-
ция между листами занимает 10% сечения. Первичная обмотка его
состоит из = 1500 витков и включена на напряжение Ui= 6000 в.
Определить потери в стали. Частота переменного тока f = 50 гц.
У Казани е. Воспользовавшись формулой (8.6), определить магнитный
поток Фт. Зная активное сечение сердечника S = 0,9* 15-10-10~4 м2, найти
магнитную индукцию Вт. Потери в стали найти по формулам (8.3) и (8,4).
8.7. Первичное и вторичное напряжения трансформатора равны
U\ = 3300 в, U2 = 220 в. Сердечник его имеет сечение S = 100 см*
и вес G = 350 кг и набран из листов электротехнической стали ЭИ
толщиной d == 0,35 мм. Максимальная магнитная индукция в сердеч-
нике Вт = 0,8 тл (8000 гс). Определить необходимое число витков
первичной и вторичной обмоток, ток холостого хода и коэффициент
мощности трансформатора при холостом ходе.
Частота перемённого тока f = 50 гц.
Решение. Пренебрегая в опыте холостого хода падением на-
пряжения на сопротивлениях обмоток и индуктивностях рассеяния,,
из формулы (8,6) найдем:
w — —— = i860 витков и tk = = 124 витка.
Средняя длина магнитопровода, равная длине средней линии маг-
нитной индукции, определяется из формулы G = Sid, где плотность
стали d = 7,6 г/см3. Отсюда I = 4,6 м.
По кривой намагничивания для стали ЭН (см. приложение 1) най-
дем, что при Вт = 0,8 тЛ, Н = 318 а/м.
Намагничивающая сила (амплитудное значение)
Saw = Hl = 318-4,6 = 1460 а,
и так как
— Wilim = 1460 а.
то ток намагничивания
Г 2 aw 1460 п ,,,
I. —--------------------= 0,5о5 а.
1/9^ 2-1860
вт.
Потери в стали определяем по формулам (8.2) и (8.4):
Рст = (0,9 - 0,5 - 0,8 + 3,8- 0,5- 0,64 + 3,2- 0,25- 0,64). 350 -
= 2,09-350 = 730
Так как Р„ — Ui/a, то
» 730 л л л
/ -------- = 0,22 a cos ф0 = —
а 3300 11
На рис. 8.7 приведена векторная диаграмма холостого хода транс-
форматора.
= 0,397.
0,555
262
8.8. В катушке со стальным сердечником расходуется мощность
Р — 0,2 кет при напряжении U =? 100 в и токе I = 10 а. Активное
сопротивление обмотки гоб = 0,5 ом и реактивное сопротивление рас-
сеяния xs = 1 ом. Частота тока f = 50 гц.
Определить из векторной диаграммы ток /р параллельной схемы
замещения (см. рис. 8.2, а), сопротивления г0 и х0 последовательной
схемы замещения (см. рис. 8,2, б) и составляющую приложенного на-
Рис. 8.7
Рис. 8.8
пряжения [7ф, уравновешивающую э.д.с., которая индуктируется в
обмотке катушки основным магнитным потоком, пронизывающим'
сердечник. При построении диаграммы предполагать, что ток изме-
няется по гармоническому закону.
Решение. Построение векторной диаграммы показано на
рис. 8.8. .
Из соотношения Р = UI cos ср найдем, что cos ср = 0,2.
Отрезок 0b = I (г + rQ) = U cos ф,
отсюда
(7 cos ф . -
г0 =----—— г = 1,5 ом
Отрезок be = U sin ф = 97,9 или be = ае + ef = IxQ 4- IxSt от-
сюда ,х0 = 8,79 ом.
Теперь найдем
(7Ф = (Оа)2 + (ае)2 = / У г? + х$ = 88,5 в.
Реактивный ток
1 = 1 cosa = 10 = 9,94 а.
р 88,5
t
8.9. Однофазный трансформатор с коэффициентом трансформации
k = wt : u>2 = 2 с разомкнутой вторичной обмоткой подключен к сети
с напряжением U = 220 в. Полагая, что трансформатор изготовлен
из стали марки ЭН (удельный вес 7,8 е/см ), толщина листов которой
d = 0,5 мм, определить потери в стали, величину тока в обмотке и
построить векторную диаграмму. Потоком рассеяния пренебречь.
263
Число витков первичной обмотки Wi = 74, активное сечение сердеч-
ника S = 100 см2, средняя длина сердечника /ср = 150 см. Частота
/ = 50 гц.
Указание. При определении магнитной индукции в стали трансфор-
матора, в первом приближении можно считать напряжение на зажимах
равным э. д. с. обмотки трансформатора. Для определения намагничивающего
тока /х необходимо при расчете магнитной цепи воспользоваться кривой на-
магничивания для листовой стали ЭИ, приведенной в приложении 1.
Б. Трансформатор со стальным сердечником
8.10. Однофазный трансформатор UilU2 — 6600/220 в с номиналь-
ной мощностью Р = 50 ква имеет потери холостого хода Рх х = 380 вт
и к.п.д. при полной нагрузке т] = 96,15% с cos ср = 0,8. Определить
активное сопротивление первичной и вторичной обмоток, считая, что
первичные и вторичные потери в меди одинаковы.
Решение. Известно, что ток холостого хода имеет незначитель-
ную величину по сравнению с номинальным током. Поэтому при хо-
лостом ходе можно пренебречь потерями в обмотке (потерями в меди)
и считать, что потери холостого хода приблизительно равны потерям
в стали: Рх х ~ Рст « 380 вт.
Общие потери мощности при нагрузке трансформатора
' РО6 + Лт = ~71Pcos<P2) = 1540 вт.
00 ст 100
Отсюда
Роб - 1540 — 380 = 1160 в; Р10б = Р2об = = 580 вт.
Номинальный ток в первичной цепи при нагрузке
Ц = —— =7,6 а;
активное сопротивление первичной обмотки
г10б == 10,1 ож.
Так как, по условию, активное сопротивление первичной обмотки
равно приведенному сопротивлению вторичной:
'’юб ~ ^2об = ^2об^2>
где
k _ = “L = зо,
ш2 220
ТО
Г2об = = °>011 ом-
200 30s
264
8.11. Опыты холостого хода и короткого замыкания однофаз-
ного трансформатора дали следующие результаты:
^х = 400в; /1ХХ=0;4а;Р1х =20б/п; UiK,3 = 32 вт;
'.к.з = 5 в< Р!К.З = 80 в-
Данный трансформатор — повышающий и имеет коэффициент
трансформации k = .
w2 15
Предполагая, что активное и реактивное сопротивления рассея-
ния первичной обмотки равны соответственным приведенным сопро-
тивлениям вторичной обмотки (г10б = /*2об» xts = x2s = опреде-
лить их величины.
При холостом ходе можно пренебречь падением напряжения в
первичной обмотке. При коротком замыкании можно пренебречь на-
магничивающей составляющей первичного тока.
Решение На рис. 8.4, в изображена эквивалентная схема
трансформатора.
Из опыта холостого хода, пренебрегая падением напряжения в
первичной обмотке, имеем:
zY = ^1Х-Х- = 1 000 ом;
Х.Х г
11Х.Х
р
cos ср ----------------=0,125 ом;
*х.х Ill
и 1х.х 11Х.Х
х — z sin ср = 992 ом;
х.х х.х ‘х.х ’
Г = Z COS ср = 125 ОМ.
Х.Х Х.Х ‘Х.Х
Если пренебречь составляющей тока
/0, эквивалентная схема трансформатора
при коротком замыкании примет вид,
изображенный на рис 8.9, и ктогда:
2к.з = = 6-4 0М' C0S?lK.3
1 1К.З
0-— "..-.......- -
Рис. 8.9
^1к.з
^Лк.З Лк.з
Поб + гм = ZK 3cos <р1к з = 3,2 ом;
Xis + X2s = 2K.3Sin ?1к.з = 5>54 ом-
Так как
Г1об г2об» Xis X2s’
265
то
Г1об = 1>6 ОМ}
xis = 2,77 ом}
Г2
Г20б = — = 360 ОМ-,
x2s ~ - <2s- ~ 623 ом.
25 №
8.12. Ко вторичным зажимам трансформатора предыдущей зада-
чи подключен" приемник энергии, имеющий cos <р2 = 0,92 (<р2 > 0),
при этом напряжение на вторичных зажимах (72 = 6000 в, ток во вто-
ричной цепи /2 = 0,25 а. Найти напряжение Ui на первичных зажи-
мах, ток 71 в первичной обмотке, к.п.д. т] и коэффициент мощности cos <р±.
Найти потери в стали и меди при нагрузке трансформатора.
Решение. Задачу проще всего решить, если применить сим-
волический метод к эквивалентной схеме трансформатора (см.
> рис. 8.4, в). '
Приведенные величины вторичного напряжения, тока и сопротив-
лений:
и'2 = u2k = 400 в; l'2 = -h- =* 3,75 а;
^2
г'н ----- = 106,6 ом; г2н = ?2н cos <р2 = 98 ом:
4
х'н = z'H sin ср2 =41,6 ом.
На параллельных ветвях напряжение
L/ф = /2 (/2Н + г 2) + ] (^2н + *^2s) = (374 4* /167) в,
где /2 направлено по вещественной оси, и, следовательно,
= Г2 - 3,75 а}
= °,41е—/то’ = (0,21 - /0,35) а;
ZJq IZfU “J— /
4 = /2 + /0 = 3,96 — /0,35 = 3,96е-/5 5 а.
Приложенное напряжение
Ux = iiZi + йф = 383,5 + /175 = 420е~/24°15' в.
Сдвиг фаз между напряжением на входе трансформатора и первич-
ным током
= 24° 15' — (—5°5') = 29°20'.
Мощность, подводимая к трансформатору,
Pt = U cos epi = 1450 вт.
266
Мощность, расходуемая в приемнике энергии,
Р2 === ^2^2 COS ср2 == 1380 ВШ.
К. п. д. трансформатора
= Jjl = о,95.
Потери в стали при нагрузке трансформатора
Р„ = /о^о = 21 вт-
Потери в меди при нагрузке трансформатора
Ров = Pt Р2 — Рст = 49 вт.
8.13. К трансформатору, рассмотренному в задаче 8.12, приложе-
но напряжение U{ = 420 в. Найти величину напряжения U2 на вто-
ричных зажимах при холостом ходе, пренебрегая при этом падением
напряжения в первичной обмотке. Показать возможность такого пре-
небрежения.
Решение. При холостом ходе можно положить « (7Ф =
= 420 в. Тогда
(У2 = £/,/£ = 6300 в.
Пренебречь падением напряжения в первичной обмотке можно,
так как ~ 0,003 = 0,3%, т. е. падение напряжения
в первичной обмотке составляет всего 0,3% от приложенного напря-
жения.
Г лава девятая
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ *
Классический метод решения задач на переходные процессы в
разветвленных цепях с постоянными параметрами, в которых осу-
ществляется коммутация (включение, выключение, переключение, из-
менение параметров цепи и т. п.), сводится к следующему.
1. Составление уравнений по законам Кирхгофа. Для каждой
ветви схемы, получающейся после коммутации, следует задаться по-
ложительным направлением тока и на основании законов Кирхгофа
составить систему уравнений для мгновенных значений напряжений
и токов переходного режима.
Так как
7
, di 1 Г .
е, = — L----- и иг= — \ idt,
L di с с J
о
то в общем случае это будет система неоднородных линейных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами (от интегра-
лов можно освободиться, продифференцировав все члены по /, получив
duc i \
ИГ с~)‘
2. Решение уравнений Кирхгофа. Эта система уравнений может
быть решена относительно одного из токов или напряжения на одном
из элементов цепи (ие , uL, иг). В результате получим неоднородное
линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициен-
тами п-го порядка, где п равно или меньше количества индуктивных
катушек и емкостей в схеме. В соответствии с порядком дифференци-
ального уравнения, составленного для схемы после коммутации, схема
после коммутации имеет порядок п.
3. Общее решение полученного неоднородного линейного диф-
ференциального уравнения представляет собой сумму двух величин:
частного решения неоднородного уравнения, выражающего принуж-
денный режим, задаваемый источниками, и решения однородного
дифференциального уравнения, выражающего свободный режим.
В соответствии с этим для тока (или напряжения на емкости) в неко-
торой ветви получим i = /пр -Н‘св (или ис=== ис ~^ис Здесь /пр>
* В задачах глав 9, 10 и II приняты обозначения: i (0_), и (0_)—значения
соответствующих величин в момент, непосредственно предшествующий коммута-
ции, а / (0+) и и (0+)—в первый момент после коммутации.
268
(или ur )— составляющая тока (или напряжения на емкости}
принужденного режима, или, более кратко, принужденный ток или
принужденное напряжение (при постоянном или синусоидальном на-
пряжении могут бы тьнайдены обычными методами расчета установив-
шегося. процесса в цепи после коммутации); гсв (или ис ) — состав-
ив
ляющая тока (или напряжения) свободного режима (или, более крат-
ко, свободный ток или напряжение).
Вид функции fnp = [или ис — ГД/)] зависит как от формы
действующих в цепи источников напряжения и тока, так и от харак-
тера самой цепи. Вид функции iCB = Г2(/) [или ис = Г2(/)] зависит
только от характера самой цепи.
4. Свободный ток iCB = F2(0 схемы порядка п имеет п линейно
, п
независимых составляющих (собственных функций) ik (/): ZCB= S ik (t)-
*=i
Вид собственных функций определяется видом корней pk (k = 1, 2, ... ,
и) характеристического уравнения схемы. Каждому корню соответст-
вует собственная функция (в рассматриваемой записи — собственный
ток) вида ik (/) = AkePk .
Если корни характеристического уравнения pz = рм = pz+2 == ...
= pUm-i равны между собой (т. е. корень pz имеет кратность т), то
соответствующие им собственные функции имеют вид:
it (О = 4е₽?; Ч+1 (0 = ..... (0= ^А1+т_^г
*
Пример дан в задаче 9.44 (случай 2).
Если имеется пара комплексно сопряженных корней pk =
= —ak ± j®k (ak — собственное затухание, — собственная частота),
то соответствующая ей собственная функция (с двумя постоянными
интегрирования Ak и фй) может быть найдена в виде
‘й (0 + <й+1 (0 = A^~°kt sin (®fe + Фй)>
где Ak, At, ...— постоянные интегрирования, число которых рав-
но порядку п дифференциального уравнения; их
значения определяются из начальных условий.
Примеры приведены в задачах 9.44 (случай 3) и 9.45.
5. Определение начальных условий из законов коммутации. В ка-
честве независимых начальных условий используются величины то-
ков /£(0-), проходящих через каждую индуктивную катушку, и на-
пряжений йс(0_) на емкостях к моменту коммутации. Если коммута-
ция происходит мгновенно в момент / = 0 и если мощность обмена
энергией между отдельными элементами цепи остается конечной, то
имеет место непрерывное изменение всех величин, значения которых
определяют энергию, содержащуюся в реактивных элементах цепи.
В этом случае выполняются следующие законы коммутации: токи
катушек индуктивности и напряжения на емкостях в момент начала
коммутации не изменяются скачками (внезапно), т. е. они являются
269
непрерывными функциями времени. После коммутации ^(0+')=/£А (0.),
^(0+) = Нс*(0-)*.
Начальные значения токов в ветвях, не содержащих индуктивнос-
тей, или напряжений на элементах, не являющихся емкостями, могут
в момент коммутации изменяться скачком. Эти начальные значения
токов и напряжений (зависимые начальные значения)-определяются
по законам Кирхгофа с применением законов коммутации.
Примеры даны в задачах 9.19, 9.44 и 9.45.
6. Характеристическое уравнение. При составлении характерис-
тического уравнения в соответствующей однородней системе уравне-
ний для схемы символы дифференцирования заменяют сомножителем
р, а символы интегрирования — сомножителем 1/р и приравнивают
нулю соответствующий (характеристический) определитель системы.
При составлении характеристического уравнения часто бывает
легче составить характеристическое входное сопротивление схемы,
при этом индуктивностям L приписывают сопротивления pL, а емкос-
тям С — сопротивления 1/рС, и приравнять характеристическое вход-
ное сопротивление нулю.
Примеры даны в задачах 9.38, 9.44 и 9.45.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Расчет цепей, содержащих г, L- или г, С-элементы
9.1. Катушка, индуктивность , которой 0,12 гн и сопротивление
1 ом, включается на постоянное напряжение 30 в. Чему равна по-
стоянная времени этой катушки? С какой скоростью нарастает ток
в начальный момент? Чему равно установившееся значение тока?
9.2. Цепь, содержащая последовательно соединенные активное со-
Рис. 9.1
противление г и индуктивность L,
включается на постоянное напря-
жение U = 120 в. Определить, че-
. рез какой промежуток времени ток
станет равным 99% тока устано-
вившегося режима, если г = 100 ом
и L = 0,2 гн. Найти закон измене-
ния э.д.с. самоиндукции, наводи-
мой при включении, и вычислить,
через какой промежуток времени
после включения скорость нараста-
ния энергии (т. е. мощность рм) в
магнитном поле будет макси-
мальна.
Замечание. На рис. 9.1 изобра-
жены кривые, построенные по резуль-
татам решений.
* Случаи, когда токи в индуктивностях и напряжения на емкостях изме-
няются скачком рассмотрены в задачах 9.58—9.61,
270
9.3. Сопротивление катушки равно 1,2 ом, индуктивность 9 гн.
В момент, когда через катушку проходит ток 50 а, она замыкается
накоротко. С какой скоростью начнет убывать ток в катушке? Чему
равна скорость убывания тока в момент, когда ток равен 25 а?
9.4. Катушка с г = 50 ом и L= 125 мгн находится под постоян-
ным напряжением U = 150 в. После практически полного установле-
ния тока катушка посредством ключа с переходным контактом быстро
Рис. 9.2 Рис. 9.3
отключается от источника электрической энергии и замыкается на
сопротивление = 12,5 ом. Найти закон изменения тока в катушке
(рис. 9.2). Показать, что энергия, выделившаяся в цепи после пере-
ключения в виде тепла, равна первоначальному запасу энергии маг-
нитного поля.
9.5. Цепь с весьма большой индуктивностью (обмотка возбужде-
ния генератора постоянного тока) отключается от источника постоян-
ного тока с напряжением U = 120 в (рис. 9.3). Определить, во сколько
раз повысится напряжение на зажимах вольтметра, а также найти
энергию, которая выделится в вольтметре после размыкания, если
г — 40 ом, L = 100 гн. Сопротивление вольтметра равно 5000 ом.
Его индуктивностью можно пренебречь.
Рис. 9.4
9.6. Определить законы изменения тока и напряжения в каждой
из двух последовательно соединенных индуктивно связанных реак-
тивных катушек, параметры которых г = 40 ом, Ц = 0,2 гн, г —
— 10 ом, Lz = 0,1 гн, а взаимная индуктивность М = 0,1 гн, при
включении их на постоянное напряжение U = 100 в (рис. 9.4, а).
Задачу решить для согласного и встречного соединений катушек.
271
Указание. Составить уравнение второго закона Кирхгофа
(Lj + L2 ± 2М) -у- + (rt 4- r2)i = U.
at
Знак плюс соответствует согласному включению катушек, а знак минус —
встречному.
Характеристическое уравнение, согласно п. 6 основных положений и соот-
ношений, равно
(Li + L2 ± 2М) р + (Г1 + г2) = О
Корни этого уравнения:
р=---------Сз--------. р => —ЮО сек~2\ р2 = —500 сект1,
Р Ц 4- L2±2M ' ™
В результате решения должно быть получено для:
согласного включения
г = 2(1— е~100);
щ = (80 — 20e”looZ) а; и2 == (20 + 20е-100/) в;
встречного включения
/=2(1 — е~500Г) а;
= (80 4- 20е-500') в; и2 = (20 — 2Ое”5ОО0 в.
На рис. 9.4, б даны кривые тока и напряжений для согласного включения.
9.7. При замыкании рубильника и разомкнутом рубильнике
Р2 к источнику постоянного напряжения подключается реактивная
катушка г, L, последовательно с которой соединен реостат с сопротив-
лением fi (рис. 9.5, а). Через сек после замыкания рубильника Pt
Рис. 9.5
замыкается рубильник Р2, который остается в таком состоянии на
продолжительное время.
Построить кривую изменения тока в катушке с момента включе-
ния рубильника Pi до момента практически полного затухания тока
в катушке (например, до 1 % от максимального значения тока).
Решение. При замыкании рубильника Pi и разомкнутом ру-
бильнике Р2 переходный ток в катушке
(1)
272
К моменту включения рубильника Р2 ток в катушке достигнет ве-
личины
. , / _ Г1+Г f ч
/ — (1-е L ) = Л. ' (2)
Второй закон Кирхгофа для контура катушки, замкнутой рубиль-
ником Р2 (при t >• ti), будет
L-&- + if = 0.
dt
Решение этого уравнения дает
ц = Ае ь . (3)
Постоянная интегрирования А найдется из начального условия,
согласно которому для момента t = ток i = Ток по формуле (3)
U
1 — е 1 е
На рис. 9.5, б построены кривые изменения тока.
D.8. Цепь постоянного тока состоит из индуктивности L = 0,1 гн
и двух сопротивлений г = 10 ом и ц = 30 ом (рис. 9.6). Приложенное
напряжение U = 120 в.
Рис. 9.6
Рис. 9.7
Сопротивление Ti внезапно замыкается накоротко. Найти уравнение
тока в катушке после замыкания ключа; начертить график изменения
тока по времени.
9.9. В цепи рис. 9.6 ключ замкнут. Найти закон изменения тока
после внезапного размыкания ключа, вводящего в цепь добавочное
сопротивление Цифровые данные те же, что и в задаче 9.8.
9.10. В цепи постоянного тока (рис. 9.7) реактивная катушка
L2> г2 замыкается накоротко рубильником Р.
Определить законы изменения токов в обеих катушках и в рубиль-
нике спустя 0,05 сек после его замыкания, если = 6 ом,
Li = 0,3 гн, /2 = 4 ом, L2 = 0,8 гн, U = 120 в.
9.11. Телеграфная цепь состоит из батареи, э.д.с. которой 10 в
и внутреннее сопротивление 2 ом, линий, имеющей чисто активное
сопротивление 51,6 ом, и реле, активное сопротивление которого
21,4 ом и индуктивность 1,25 гн. Если якорь реле не притягивается
до тех пор, пока ток не станет равным 0,05 а, то сколько времени
пройдет после замыкания цепи до начала работы реле?
9.12. Цепь рис. 9.8 включается под действие постоянного напря-
жения U = 120 в. Найти выражения для токов q, i2 и i3 и изобразить
их графически; g = 20 ом, г2 == 30 ом, L = 0,3 гн.
Рис. 9.8
Рис. 9.9
9.13. Для замедления скорости нарастания тока в электромагните
г, L его шунтируют активным сопротивлением гш (рис. 9.9, а). Найти
ток i в электромагните и сравнить скорость его нарастания со ско-
ростью нарастания тока электромагнита в случае отсутствия шунта.
Для упрощения положить г = гш.
Решение. Уравнения Кирхгофа в данном случае имеют вид:
(1)
(2)
Ц I “И 1Ш.
(3)
Подставив значение q из уравнения (3) в (1), получим
Подставляя это значение в уравнение (2), найдем
Полагаем
где /пр — ток
подсчитан по
, ^пр "I” ^*св> (5)
принужденного режима в катушке, который может быть
формулам для цепей постоянного тока (в этом случае
274
индуктивность никакой роли не играет, т. е. она как бы закорочена)
Так как при установившемся режиме = 0 (в этом случае i =
= /пр = const), то
<пР= , £Г,Ц,-----• (6)
ггх + ггш 4-Г1Гш
Свободный ток найдется из решения уравнения (4) без правой
части
t
где приняли
т =--------------------------ЬОч + Гш)--. (8)
rrt + ГГШ + ГхГщ I
Таким образом, подставляя (6) и (7) в (5), получим
i = Ае~ ~ Ег™-----.
ГГ1+ ГГШ + Г,ГШ
Постоянная А найдется из начального условия, согласно которо-
му при t = 0 ток i = 0, т. е.
А 4----------------= О,
ГГ1 4- -4-
ИЛИ
л =----------------------------------------- о,
ГГ1 4- ггш ч- rtrm
Окончательно ток
I =----------------(1 _ . (9)
Г1\ + ггш 4- Г1ГШ \ ]
В частном случае при гш = г ток
/ = —£—( 1— е”), (10)
г 4- 2г, \ /
где
г
Если же шунт снять, то, полагая гш = оо в уравнении (9),
i=-£— (1 — е Ч, (12)
г 4- гг \ / /
275
где
(13)
Сравнивая выражения (11) и (13), устанавливаем, что >• т2,
т. е, постоянная времени при наличии шунта больше, чем без него.
Вычислим начальную скорость нарастания тока. При наличии
шунта из формулы (10) имеем
di
(14)
а без шунта из формулы (12) получим
di
dt
Y=o+
(15)
Рис. 9.10
Сравнивая выражения (14) и (15), устанавли-
ваем, что при наличии шунта скорость нараста-
ния тока меньше, чем без него. На рис. 9.9, б по
уравнениям (10) и (12) построены кривые токов.
9.14. Электрическая цепь состоит из актив-
ного сопротивления = 120 олс, последователь-
но с которым соединено электромагнитное реле
rk ~ 50 ом, Lk = 0,75 гн, шунтированное сопро-
тивлением гш= 200 ом (рис. 9.10). Написать
уравнения тока, проходящего через реле при
Рис. 9.11
его внезапном Отключении от источника
напряжения U = 80 в. Пренебрегая
пролетным временем якоря электрома-
гнита, определить также время срабаты-
вания реле, приняв, что ток его сраба-
тывания равен половине тока, проходя-
щего через реле при установившемся
режиме.
9.15. В цепи рис. 9.11, а даны:**йо-
стоянная э. д. с. Е = 30 в, сопротивле-
ния: г = 10 ом, g = 5 ом, г2 = 30 ом
и индуктивность £1 = 2 гн. Найти за-
коны изменения во времени всех токов
и напряжения на параллельном участке
цепи после замыкания рубильника (до
коммутации в цепи был установившийся
режим). Построить кривые изменения
этих величин.
Решение. На основании законов
Кирхгофа:
f— ц “Ь i2,
Г. dil
Е = ir + «У, + Li
(1)
(2)
276
lirl + Li = Z2r2’
(3)
Эту систему уравнений решим совместно относительно одного
из токов. Обычно предпочтительнее выбирать тот ток, для которого
наиболее очевидны начальные условия; в данном случае это ток в
ветви с индуктивностью.
Подставив в уравнение (2) значение i из (1) и значение Z2 == — h +
Гп
diy а
+ — • из уравнения (3), после простых преобразовании
новки числовых значений получим:
dli
и подста-
ва)
£г2
1
dl±
-тт-+ 6,25 i
Общее решение этого уравнения
где Zlnp — установившийся ток, который может быть определен из
уравнения (4), учитывая, что при установившемся режиме = 0:
11,25
*пр= 6,25 = Ь8 а. (6)
Свободный ток цсв найдется как интеграл уравнения (46), когда
в его правой части будет нуль:
Uv 1 рп
+ 6,25 Че» = 0; (7)
— — 6,25 сек~1.
получим
(8)
Постоянная А определяется из начального условия
li f п = = 2а, или (1,8+ Ле-®’25' )/=0 = 2.
f=»0+ Г “Г ' 1
отсюда
где
(г -f- г2) 4 л 1 л
х =------------------==0,16 сек;
ггх 4- гг2 + Г1Г2
Подставляя Zlnp и ZlcB в уравнение (5),
—еда
Z< = 1,8 + Де
отсюда
А = 2.
277
Окончательно
ii = (1,8 + 0,2 е”6’2^ j (9)
Подставляя это значение 1^ в уравнение (3), найдем ток
(2= -1/ ,4-А. = (0,3 — 0,Обе-6’25' ). (10)
г r2 r2 dt ' v '
Подставляя найденные в уравнениях (9) и (10) значения токов
и z*2 в уравнение (1), получим
i = (2,1 + 0)15е-6’2М)а- (11)
Отметим, что по окончании переходного процесса (/ = оо) токи /,
ii и i2, как это следует из выражений (9), (10) и (11), обратятся соот-
ветственно в 2,1; 1,8 и 0,3 а. Нетрудно
Рис. 9.12
проверить, что те же значения полу-
чатся, если токи в данной цепи рас-
считать любым методом расчета уста-
новившихся процессов в цепях посто-
янного тока.
Что же касается начала переход-
ного процесса (/ = 0), то в этот мо-
мент времени ток ц остается таким же,
т. е. 2 а, каким он был до момента за-
мыкания ключа; это объясняется
наличием индуктивности. Токи i и i2
при замыкании ключа изменяются
скачкообразно, сразу принимая зна-
чения i = 2,25 а и i2 = 0,25 а.
Ветви, по которым проходят эти
токи, содержат только активные со-
противления; скачкообразное измене-
ние тока в этих ветвях не связано с
внезапным изменением запаса элек-
тромагнитной энергии и становится
поэтому физически осуществимым.
На рис. 9.11, б построены кривые
токов.
9.16. Цепь рис. 9.12, а, параметры которой = 5 ом, г2 = 10 ом,
г3 = 5 ом, г± = 15 ом, С = 1 мкф, при разомкнутом рубильнике Р
находится в установившемся режиме под воздействием постоянной
э.д.с. Е = 15 в.
Требуется после включения рубильника определить: 1) началь-
ные значения переходных (полных) токов и напряжения на конден-
саторе, а также начальные значения их принужденных и свободных
составляющих и производную свободной составляющей напряжения
на конденсаторе в момент начала переходного процесса; 2) законы
изменения во времени всех токов и напряжения на конденсаторе.
278
Решение. 1. Расчет режима до коммутации (рубильник ра-
зомкнут). Токи в ветвях и напряжение на конденсаторе равны:
Е
ч = 1’г = -г-ттг . , = °>5 «; = 0;
Ч Тг2 Т М
ис = (г2 + ^4) h = 25-0,5 = 12,5 в
Расчет принужденного режима после коммутации (рубильник
замкнут). Токи и напряжение на конденсаторе
Е
^1пр ~ ^2пр 1 (2, 13пр = 0,
^епр := ^2^2пр = Ю-1=10в.
Расчет переходных токов и напряжения на конденсаторе для мо-
мента t — 0+. По законам Кирхгофа составляем уравнения для схемы
после коммутации:
Ч = 4 + h\ (О
^*14 + ^з4+^с — (2)
r2t2 = r3i3 + ис. (3)
По закону коммутации напряжение на конденсаторе не может
измениться скачком, поэтому
ис (0+) = &с(0_) = 12,5 в.
Используя уравнения (1)— (3) для момента t = 0+, с учетом того,
что ис(0+) = 12,5 в, имеем:
4 (0+) = 4 (0+) + £з(0_|_);
П4(О+) + r3f3(0+) 4- 12,5 = 15;
^2 4 (0+) = гз4(0+) Н“ 12,5.
Решая их, находим:
4(0+) = 0,8 а; 4(0+)' = 1,1 а\ 4(0+) = —0,3 а.
Рассчитаем начальные значения свободных составляющих токов
и напряжения на конденсаторе. Для этого каждый переходный ток
и напряжение на конденсаторе представим в виде суммы принужден-
ной (после коммутационной) и свободной составляющих, например
для первого тока
4 (0+) s 4пр (0+) Ч- 4св (0+),
отсюда
Чсв (0+) = Л(0+) — /пр (0+) = 0,8—1 = —0,2 a=Av
Аналогично:
Чсв(0+) = ^(0+) — *2пр(°+) == Ь1—1 = 0,1 а=А2;
*зсв (0+) = h (0+) — *зПр(0+) ~ —0,3—0 = —0,3 а~ А3;
279
иссв (0+) — Uc (0+) — Ucnp(O+) — 12,5—10 — 2,5 в—В.
2. Определение законов изменения во времени искомых величин.
Для этого составляем характеристическое уравнение в виде характе-
ристического входного сопротивления послекоммутационной схемы
(см. основные положения и соотношения, п. 7), которое приравниваем
нулю: ,
'8 ('»+—ТГ) (''I'’2 + Г1Г» + 'Уз) + Г1 +
. Z (р) = Г, + —=-----------------------------------— = 0.
Г» + Г« + —Т PC (Г2 + г9) 4- 1
Единственный корень этого уравнения
Р = Pi = —
с + /Vs + Vs)
= —12-10* сект1.
Так как характеристическое сопротивление имеет только один
корень,- свободная составляющая каждой искомой величины имеет
вид AePt*. Итак, переходные токи и напряжение на конденсаторе:
G — Чпр "Ь *1св —
—4— + А^‘ = (1 -0,2 е-12-10“) а;
Г1 "Г г2
Е
—4— + A2ePtt = (1+ 0,1 е-12-104') а;
-2 — *2пр “Г ^2св —
—12-10*/
е
а;
«с = «сир + “сев = r^2nPPlt + В^‘ = (10 + 2,5 е-12-104') в.
Графики найденных величин изображены на рис. 9.12, б.
9.17. В схеме рис. 9.13 до коммутации (рубильник'замкнут) был
установившийся режим. Даны: 1\ = 50 ом, г2 = 30 ом, г3 = 20 ом,
С = 10 мкф, U = 80 в. Определить после выключения рубильника:
1) начальные значения переходных токов и напряжения на конденса-
торе и их принужденные и свободные составляющие; 2) законы изме-
нения во времени веех токов и напряжения на конденсаторе.
9Л8. В схеме рис. 9.14 до замыкания рубильника был установив-
шийся режим. Даны: = 8 ом, г{ = 10 ом, г2 == 10 ом, L =25 мгн,
г3 = 30 ом, Е = 60 в.
Рис. 9.13
Рис. 9.14
280
<зсв(0+). «Дсв(0+)>
Требуется: I. Найти свободные составляющие (0+), (0+),
; 2. Определить законы изменения всех
токов в цепи после замыкания рубильника.
9.19. Цепь рис. 9.15, а включается под действие постоянного на-
пряжения U = 48 в. Найти законы изменения токов iit i2 и во вре-
мени и изобразить их графически, если = 160 ом, Lx= 100 мгн,
г3 = 90 ом, L2 = 36 мгн.
Рис. 9.15
Решение. Способ /. Уравнения Кирхгофа имеют вид:
Ч = Ч + ht (1)
У = ЧП + Li + 4HJ (2)
r ^2
= Гз (3)
из уравнения (3) в уравнения
Полученную систему уравнений решим относительно одного из
токов.
, t di2
Подставив значение t3 = — • —тг
Гз al
(1) и (2), получим:
di 2
"37
2
(4)
di 1 di о
и тг + тг' <5>
Наконец, подставив из (4) в (5), получим" дифференциальное
уравнение относительно тока i2:
d?l% /^*1 ^3 t Г1Г3 ,
\ТГ + ~/ “зг + м;= ; (6)
Ч = Чпр *4* Чсв (7)
Для нахождения i2np воспользуемся тем, что при установившемся
режиме Чп₽ = const, а = 0, тогда из уравнения (6)
U
*2пр в — (8)
•
281
Этот результат можно было получить непосредственно из схемы
рис. 9.15, а, в которой параллельный участок закорочен катушкой
индуктивности, не имеющей активного сопротивления.
Теперь найдем выражение для свободного тока z2cB. Оно может быть
получено из уравнения (6), в правой части которого следует поставить
нуль. Это решение имеет вид
i2cB = Д e₽‘z+Де Д (9)
где Ai и А2 — постоянные интегрирования;
р и р2 — корни характеристического уравнения
или
р2+ 5000р + 4-106 = О,
откуда
Pi = — 1000 сек \ р2 = —4000 сект1.
Подставляя /2пр из (8) и z2cB из (9) в уравнение (7), получим
/2 = Де'*'Д Де*'. (11)
Для определения At и А2 воспользуемся начальными условиями:
/1(0+) = ч(0_) = 0 (I) и z2(0+) = Z2(0_) = 0 (II).
Следовательно, согласно (1) ток /3(0+) = 0.
Из выражения (11)
Ж) = Л1 + Л2+-^. = 0; (12)
из уравнения (3)
i (0+) = — • = £1 (А^еР1* Д A2p2eplt ) =
3 v +/ r3 dt t=Q+ r3 v 't=0
= ^1P1 4" ^2^2 “ 0. , (13)
Решая уравнения (12) и (13), находим:
л Up* А = ир1
1 Г1(Р1 —Рг) ’ 2 MPa —Pi)
(14)
Подставляя эти значения At и А2 в уравнение (11), найдем i2t а
затем из уравнения (3) — ток i3 и из уравнения (1) — ток
Таким образом, окончательные выражения токов:
282
Так как произведение корней квадратного уравнения равно сво-
„ Г1Г3
бодному члену, т.е. pip2 = ~f-r 1 ™ , ток
(16)
(17)
урав-
4 = 4 + 4-
Подставляя в (15) и (17) числовые значения, получим:
х2 = (0,3—0,4 е +0,1е )
t3 = 0,1о (е — е ) а;
• jf\ q А ОЛ Л—Ю00/ лл —4000/ \
4 “ (0,3 — 0,24 е — 0,0ое ) а.
На рис. 9.15, б даны кривые токов.
Способ 2. Решим задачу, не выписывая дифференциальных
нений системы, а приравнивая нулр характеристическое входное со-
противление цепи (см. основные положения и соотношения, п. 6):
„ , ч т pL2r3 + (riL2 + r3Lr + r8L2)p 4- rrr3
Z (p) - r, + PL, + ------------ - 0.
Подставляя сюда числовые значения, находим два корня р:
р1 == —Ю3 сект1', р2 = —4- 103 сект1. (1)
Так как характеристическое уравнение имеет два корня, то свобод-
ную составляющую каждого из токов определяем в виде zCB = A &рх* +
+ Л2еРг/ , а его производная равна iCR=PiAiePlt + p2A2eP2i .
Входящие в 3TJ1 уравнения постоянные интегрирования Л4 и Л2
найдем по начальным значениям каждого переходного тока и его про-
изводной.
Запишем, например, выражения переходного тока и его первой
производной:
4 = 4пр 4рв = 4пр 4“ Л1е^7 4“ А2еРг ’, (2)
5- - • (3)
Для начального момента времени Z — 0+ после коммутации:
4(0+) = 4пр (0+) + Ai + Л2; (4)
4^1-0 =tL +М,+М2= ^-1°М1-4.10М2. (5)
До коммутации все токи равны нулю.
Рассчитаем принужденный режим после коммутации. Индуктив-
ности Li и L2 не оказывают сопротивления постоянному току, поэтому
283
для этрго режима сопротивление г3 шунтировано накоротко, токи в
ветвях:
и
^1пр ~ ^2пр “ ~ ®>3 6Г, /ЗПр = 0.
Определим начальные значения токов для момента t = 0+. Для
этого составляем уравнения по законам Кирхгофа:
и
/*3^3 — L2
dt
di 2
ИГ'
(6)
(7)
По закону коммутации токи и /2 не могут измениться скачком,
т. е. z’i(0_) = ч(0+) = 0, z2(0_) = «2(0+)= 0. Подставляя эти значения
в уравнения (6)— (8), находим зависимые начальные значения /3(0+) —
U - .
т— == 480а/сек. Подставляя
= 0,
1 0,3 = 0, q(0+) = 0 и
уравнения (4) — (5), вычислим постоянные
^1пр
найденные значения
dix
= 480 а!сек в
интегрирования At =
= —0,24; А2 = —0,06. Следовательно, согласно уравнению (2), ток
it = (0,3—0,24 е-1000' —0,06 е~400“ )а.
Аналогично, ток
h = ^2Пр *2св = 0,3 Ч- BieP1* -V В2^Pit
и его производная
di 2 —
dt t=o+ 1 2
Эти выражения при t = 0+ с учетом найденных принужденного и
начального значений тока Z2 имеют вид:
d^2
~dt
= 0 = — 1000 Bj — 4000 В2.
Совместное решение этих уравнений дает Bt — —0,4 а, В2 = 0,1 а.
Тогда
t2 = (0,3—0,4 е +0,1е ) а.
Ток Z3 находим из уравнения (8):
• г\ i г» / —-lOOOt —4000£ \
— Ч — ^2 0,16 (е — е ) ct,
9.20. При полном разряде конденсатора емкостью С = 200 мкф
на активном сопротивлении выделяется в виде тепловой энергии
1 дж. Спустя 0,06 сек после начала разряда напряжение на обкладках
конденсатора равнялось 5 в. а) До какого напряжения был заряжен
2Я4
конденсатор и какова величина сопротивления, через которое он раз-
ряжается? б) Через какой промежуток времени после начала разря-
да напряжение конденсатора упадет до 0,001 % своего первоначаль-
ного значения?
9.21. Конденсатор емкостью 45 мкф заряжается через.сопротивле-
ние 10 ком от источника энергии с напряжением 500 в. Чему равен
заряд конденсатора, когда ток составляет половину своей начальной
величины? С какой скоростью нарастает заряд в этот момент? Чему
равна ошибка в процентах, если принять, что конденсатор зарядится
полностью в конце десятой секунды?
9.22. Между точками а и Ь включены последовательно соединен-
ные активное сопротивление 1000 ом и конденсатор емкостью 50 мкф,
а между точками b и с включены последовательно соединенные конден-
сатор емкостью 25 мкф и активное сопротивление 500 ом. Чему равны
начальные и конечные напряжения между а и b, Ь и с после того, как
к зажимам а и с будет подведено постоянное напряжение 120 а?
9.23. К цепи, состоящей из активного сопротивления 1000 ом,
соединенного последовательно с двумя параллельными ветвями, под-
водится постоянное напряжение 120 в. В первой ветви включено ак-
тивное сопротивление 1000 ом, а во второй — последовательно соеди-
ненные активное сопротивление 5000 ом и конденсатор емкостью
50 жкф/Чему равны начальные и конечные значения токов в парал-
лельных ветвях?
9.24. Последовательно с активным сопротивлением = 30 ом
включены две параллельные ветви. Одна из них содержит последова-
тельно соединенные активное сопротивление г2 = 50 ом и конденса-
тор С = 2 мкф, вторая — последовательно соединенные активное
сопротивление г3 = 70 ом и катушку индуктивности L == 0,4 гн. Ука-
занная цепь подключается к источнику постоянного напряжения
U = 120 в. Определить начальные и конечные токи и напряжения на
сопротивлении Г1 и на параллельном участке.
9.25. Конденсатор емкостью С, предварительно заряженный до
напряжения UQ, подключается через сопротивление к источнику по-
стоянного напряжения U (рис. 9.16). Найти законы изменения на-
пряжения на обкладках конденсатора и тока, проходящего в цепи при
замыкании рубильника. ; .
Рис. 9.16 Рис. 9.17
9.26. Конденсатор Ci = 10 мкф, заряженный до напряжения
Ui == 100 в, замыкается на цепь, состоящую из последовательно соеди-
ненных активного сопротивления г = 125 ом и заряженного до на-
пряжения U2 = 20 в конденсатора С2 = 40 мкф (рис. 9.17). Найти
285
как функцию времени ток в цепи и напряжение на обкладках каждого
конденсатора, а также построить графики найденных функций.
Найти величину энергии электрического поля до замыкания рубиль-
ника и по окончании переходного процесса.
9.27. Решить задачу 9.26, если полярность заряда конденсато-
ра С2 противоположна той, которая изображена на рис. 9.17. Цифровые
данные те же, что и в предыдущей задаче.
9.28. Конденсатор С4 = 20 мкф, заряженный до напряжения UQ =
= 25 в, замыкается на цепь, состоящую из последовательно соеди-
ненных активного сопротивления г = 125 ом и незаряженного конден-
сатора С2 = 5 мкф. Найти как функцию времени ток в цепи и напря-
жения на обкладках каждого конденсатора, а также построить графи-
ки найденных функций.
9.29. Цепь рис. 9.18 включается на постоянное напряжение.
Найти токи и начертить кривые изменения их во времени. Данные
цепи: U = 10 в, = 40 ом, г2 = 10 ом, С = 25 пф.
Рис. 9.18
Рис. 9.19
9.30. Цепь рис. 9.19 включается на постоянное напряжение U =
= 100 в. Найти выражение для напряжения на конденсаторе С2,
если Ci = 100 мкф, С2 == 20 мкф, = 10 ом, г2 = 100 ом.
9.31. Конденсатор с утечкой, параметры которого С == 2 мкф и
г = 50 ком, отключается от источника постоянного тока с напряже-
нием U =120 в (рис. 9.20). Определить напряжение на конденсаторе
через ti = 0,1 сек после отключения.
Рис. 9.21
9.32. Определить законы изменения напряжения на конденсаторе
и всех токов при замыкании рубильника Р (рис. 9.21) и построить их
кривые. Даны: Е = 24 в, г = 20 ом, гл = 50 ом, г2= 100 ом, С =
= 3 мкф.
9.33. Реактивная катушка с активным сопротивлением г = 10 ом
и индуктивностью L = 364 мгн включается в момент t = 0 под дей-
/ 7С Y
ствие синусоидального напряжения и~ 160 sin 1со/+-з- в.
286
Определить значение тока через два периода после момента вклю-
чения. Частота переменного тока / == 50 гц.
9.34. К переменному напряжению, действующее значение кото-
рого U = 220 в, подсоединена цепь рис. 9.22, а, состоящая из двух
последовательно соединен-
ных приемников энергии
с g = 2 ом, Li = 40 мгн и
г2 = 6 ом, L2 = 9,8 мгн.
Включением рубильни-
ка Р приемник , Li за-
корачивается в момент, ко-
гда мгновенное значение
приложенного напряжения
равно действующему зна-
du
чению И-7Т- > 0. Найти вы-
dt
ражение тока, проходящего
через вторую катушку (г2,
L2), и построить его гра-
фик. Частота переменного
тока f ~ 50 гц.
Решение. Пусть
приложенное к цепи на-
пряжение и =Uт sin (со/ + • Рис. 9.22
+ ф), где ф — угол вклю-
чения, определяемый из условия задачи при / = 0, т. е.
и = Um sin ф =
откуда
sin ф =
и одно из возможных значений угла ф = 459.
До включения рубильника в цепи проходил ток
I = /т sin (и/ + ф —<р),
где
= _____________ит _ 220 У~2 _
т V (Г1 + г2)2 + (“ bi + “i2)2 V& + 15,7» “
-f-a)L2 15,7
+ >2 ~ 8
= 1,962; ф = 63°.
После включения рубильника
U — 4*2^2 + L>2
dl2
287
Принужденный (установившийся) ток
«2пр = 1гт sin (со/ + ф— <р2),
где
/, - _ _ 220 Г2 _
т + Кв*+з,оба
<р2 = arctg—— = arctg 0,51 = 279.
Г2
Свободный ток
____________________________________£»_,
/2СВ ~ Лв •
и общий ток
i2 = Izm sin (со/ + ф — <р2) + Ле .
Начальным условием является непрерывность тока, проходящего
в катушке r2, L2 в момент включения, т. е. при / = 0+, i = /2 или
lim sin (ф — <р2) + Л = lm sin (ф — ср),
отсюда
Л = lm sin (ф — <р) — 12т sin (ф — срг).
Таким образом,
/2 = Izm Sin (со/ + Ф — срг) 4- [/m sin (ф — ср) — /2т sin (ф — Фг)] X
xe't'' = [46 sin (со/ + 18°)'— 19,Те-613' ] а.
На рис. 9.22, б изображен график тока i2.
9.35. К зажимам цепи рис. 9.23 приложено синусоидальное на-
пряжение и = Um sin (со/+ф), Um — 10 в, со = 5000 сект1. Параметры
цепи: rt = 3 ом, t\ = 4 ом, Lt = 0,8 мгн и L2 = 4 мгн. В момент
прохождения тока через положительный максимум включается ру-
бильник Р. Найти уравнения токов и i2 и построить их кривые.
Рис. 9.24
Рис. 9.23
9.36. Цепь рис. 9.24 включается на синусоидальное напряжение.
Построить кривую тока, когда включение производится в момент про-
хождения тока установившегося режима через нулевое значение при
di
— >0. Даны: г — 20 ом, С — 400 мкф, f = 50 гц и Um — 141 в.
at
288
9.37. К цепи рис. 9.24 приложено синусоидальное напряжение,
действующее значение которого равно U. Чему должно быть равно
мгновенное значение напряжения и в момент включения, чтобы не
было свободного тока, и каково при этом начальное значение устано-
вившегося тока?
9.38. В схеме рис. 9.25, а до замыкания рубильника был уста-
новившийся режим. Даны: г' = = 20 ом, г2 = 16 ом, С = 11,1 мкф,
о = 5000 сект1, е (/) = 25 sin (со/ — 30°) в. Найти законы изменения
тока в неразветвленной части цепи и напряжения на конденсаторе
после замыкания рубильника Р.
Рис. 9.25
/
Решение. Расчет режима до коммутации. Сначала найдем
комплексные значения тока и напряжения на конденсаторе Uct
= 0,356 е-'20’45’а;
иа = Ё — (Г| г0 = 4,26 е_/62°5’ в.
Соответствующие мгновенные значения:
it = 0,504 sin (со/—20°45') а;
«о = 6,02 sin (cat — 62°5') в.
289
К моменту начала коммутации ток и напряжение имели значения:
ц (0_) =—0,504 sin 20°45'=—0,175 а;
ис (0_) = —6,02 sin 62°5' = — 5,32 в.
Расчет тока и напряжения на конденсаторе в принужденном ре-
жиме после коммутации. Найдем комплексное выражение тока:
= 0,59 е/15°20';
гт п 'т а пс /55°40'
[/Спр = £*— пЛпр =6,95е в;
qnp = 0,84 sin (со/ + 15°20') а;
аСпр ~ 9,8 sin (со/—55°40') в.
Расчет переходных токов и напряжения на конденсаторе. Выбрав
для послекоммутационной схемы направления контурных токов, как
показано на рис. 9.25, а, составим ур авнения свободных контурных
токов:
(fl + r2) h св— r2in св = 0;
-- -- >*2*тг + -i- f i dt = 0.
4 1св II св 1 С J П св
Подставляя числа и заменяя символ интегрирования сомножите-
лем 1/р (см. основные положения и соотношения, п. 6), получаем ха-
рактеристическую систему:
сз 16/ц св = 0;
~ св + (16 + цд.Ю-вр ) = °-
Составим характеристический определитель этой системы и при-
равняем его нулю, это и будет характеристическое уравнение
Д(р) = 36 ~16 = 0.
—16 164- цд.Ю-вр
Его единственный корень
р = pi = —1,01-104 сект1.
.Свободный ток и напряжение на конденсаторе
св = = Ле-1’01-104';
«ссВ=5ел,= Ве-1’0Ь1°4'.
GCB
290
Переходный ток
it = *i„P + Gcb = 0,84 sin (со/ 4- 15°20') 4- Ле"'’01,10" a
и напряжение на конденсаторе
ис = «спр + «сев = 9,8 sin (о/—55°40') 4-Ве-1'0| ‘|0.4' в.
»
Для определения постоянных интегрирования надо использовать
начальное условие. Независимое начальное условие состоит в том,
что напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, т. е.
ис (0+) = ис(0_), или [9,8 sin (at—55°40') + Be-1'01’104' 1,=0 = — 5,32,
отсюда
В = 2,8 в.
Для нахождения постоянной интегрирования А необходимо знать
начальный ток z\ (0+). Он может быть рассчитан по уравнению Кирх-
гофа .
е4 (/) = г,/! + ис (/),
из которого при t = 0+ получим
в! (0+) - цс (0+) — 25 sin 30“ — 5,32
h (0+) = ------—-------- =-----------------= —0,891 а.
Из выражения для переходного тока zt для момента t = 0+ нахо-
дим А:
z\(0+) = 0,84 sin 15°20' + А = —0,891,
отсюда.
А = — 1,11 а.
Наконец, запишем искомые величины:
=х0,84 sin (5000/+15°20') — 1, 11 е-1'01-104' а;
и = 9,8 sin (5000/ — 55°40') 4- 2,8 е-1’0Ь1°4' в.
На рис. 9.25, б изображены кривые: 1—
— э.д.с. е (/); 2 — ток ц до коммутации;
3 — ток zlcB; 4 — ток zlnp; 5 — переходный
ток if.
9.39. К цепи рис. 9.26 подключается си-
нусоидальное напряжение и = Um sin (со/ 4-
4- ф). Включение происходит в момент, когда
приложенное напряжение имеет положитель-
ный максиму^!. Найти закон изменения на-
Рис. 9.26
пряжения между обкладками конденсатора, если Um =
= 65 мв, i\ — 12 ом, г2~ 3 ом, —тт == 1 ом и <о = 2-105 сек"1.
291
Б. Расчет цепей, содержащих элементы г, L, С
9.40. Конденсатор С = 50 мкф, заряженный предварительно до
напряжения U=500 в, разряжается через цепь, активное сопротивле-
ние которой г = 100 ом и индуктивность L = 10 мгн. Определить,
через какой промежуток времени, считая от начального момента раз-
ряда, ток в цепи достигнет максимального значения и какова величина
последнего. Вычислить, в какой момент времени в индуктивной ка-
тушке наведется максимальная э.д.с.; найти ее величину.
9.41. Ответить на вопросы предыдущей задачи, если
г = 2 j/"(L = 10 мгн и С = 50 мкф), U = 500 в.
9.42. Подсчитать частоту со0 собственных незатухающих колеба-
ний и частоту соо затухающих колебаний контура, изображенного на
рис. 9.27, если L = 25 мгн, С = 2500 пф и г =
I r I 9.43. Сколько потребуется полных колебаний,
чтобы в контуре, имеющем логарифмический декре-
_________| мент затухания 6 = 0,02, амплитуда тока уменьши-
лась до 1% от своей первоначальной величины?
Рис. 9.27 9.44. Цепь рис. 9.28, а включается на постоян-
ное напряжение U = 125 в.
Найти выражение мгновенного значения напряжения ис на кон-
денсаторе для трех случаев: 1) г = 250 ом, L = 667 мгн, С = 2 мкф,
2) г = 100 ом, • L = 40 мгн, С = 1 мкф-, 3) г = 100 ом, L =
= 40 мгн, С = 5 мкф.
Решение. Наметим план решения задачи. Напряжение на кон-
денсаторе будем находить в виде суммы принужденного и свободного
Значений:
UC WCnp + иссь-
(1)
Принужденное значение напряжения на конденсаторе равно нулю
,(wCnp = 0), так как установившееся значение тока /2пр неизменно, и,
следовательно, оно не создает падения напряжения на индуктивности
u/np = uCnp = L - ^пр- = 0 (при установившемся режиме конденсатор
шунтирован индуктивностью катушки накоротко).
Для нахождения вида решения свободной составляющей составим
характеристическое входное сопротивление цепи и приравняем его
нулю (см. основные положения и соотношения, п. 6):
Z (Р) = Г +
(2)
В полученном характеристическом уравнении освободимся от зна-
менателя, приведя его к виду
292
Рис. 9.28
rLCp2 + Lp + г = 0.
(3)
, Это уравнение второго ^порядка и, следовательно, оно имеет два
корня: 1
р1,2 2Тс"~ 4r2c? LC •
Для каждого из трех заданных случаев по уравнению (4) опреде-
лим вид корней (действительные разные, действительные кратные и
комплексно-сопряженные) и в соответствии с ним находим свободное
'решение по одной из формул, указанной в п. 4 основных положе-
ний. Заметим, что свободная составляющая напряжения на конден-
саторе содержит две постоянные интегрирования.
Для определения постоянных интегрирования поступим так. Со-
ставим уравнения по законам Кирхгофа:
Ч = h + *з, 1
U г : । | (5)
и — Г ] Ц ис . J
293
Запишем независимые начальные условия:
«с (0.) = ис (ОД = О, (I) «2(0Д =/2(0Д = 0. (II)
Подставим их в уравнения (5) для начального момента времени
(после коммутации) и получим:
w = h (од + /3(од, )
и = г/1(0+) + Uc (ОД...
Решив их, находим Z3(0+). Затем, используя зависимость /3 =
duc Л
= С' ~ для момента t = 0+, получим
Л du г
‘.(О.)-С(7>
К
Наконец, определим две неизвестные постоянные интегрирования
из уравнения (1), в которое подставляем найденные и„ и и~ , и из
уравнения (7).
Конкретное применение указанной методики расчета рассмотрим
для каждого из трех заданных . случаев.
1. Подставим в уравнение (4) числовые значения первого случая:
п_______ 1 1/7 i V Л
р1.2 “ 2.250-2-10-» V \ 2-250-2-1Q-» А 667-10^3-2-1О’« ~
= (— 1000 ± 500) сект' .
т. е.
= —500 секг1\ р2 ~ —,1500 сект1.
Получены корни" действительные и различные, следовательно,
свободная составляющая напряжения на конденсаторе
“00.= ^' + ^-““ (8)
Далее из уравнений (6) с учетом начальных условий (I) и (II) по-
лучим:
А(ОД = /2(0Д + /3(0+) = 0 +. /3(0+) = «(ОД;
(7 = /-^(ОД 4- ис (ОД = 250/(0Д +"о = 125.
Решая эту систему уравнений, находим /3(0+) = 0,5 а. Подставив
в равенство (1) и в выражение тока i3 уравнение‘(8), получим:
~ «c -“cnp + uceB=0 + ^-5M' + Ae-,500/5
ia = С ~ = 2-10-* (— 500 Л1е“500г — 15ООе“1600').
294
Перепишем эти уравнения для момента t =0+ и затем, подставляя
в них ис (0+) = 0 и /3 (0+) = 0,5 а, получим:
О = + А2; ч
0,5 =—3-Ю-3 Л2.
Отсюда At = А2 = 250 в. Таким образом, согласно (1) и (8), иско-
мое напряжение
wJO = иСсй = (250 е--500' — 250е~1590') в.
График отдельных составляющих решения и суммарного значения
напряжения на конденсаторе построен на рис. 9.28, б: на нем кривая
1 —- 250 е-500'; 2 — 25Ое-1500'; 3 — ис (/) = иСсй (/).
В целях упражнения вычислим также все токи и построим их гра-
фики:
i = с = 2-10-« 4- (25Ое_500' — 250е_,50°') =
. 3 at at v '
= О,75е-1500' — О,25е-500') а;
U — ис 125 -(SSOe-500' -250е-|5009 _ 500г , -1500/ .
*1 — г 250 w,o е -f- е ) а,
i2 = ц _ j3 = (0,5 — 0,75 е"500' + О,25е~1500') а.
Графики токов и напряжения изданы на рис. 9.28, в.
2. Подставим в формулу (4) численные значения второго случая:
р1,2 = — 2-100-1.10-е ± ( 2. 100.1.10-е ) ~ 40- Ю’3-1 • ПР3’
= —S’103 сект1.
Корень — двукратный, следовательно, решение ищем в виде (см.
п. 4 основных положений)
_____ п ’5000/ । rj 1 —5000/ /л\
иссв~ +B2te . . (9)
Далее, как и в первом случае, из уравнений (6) с учетом начальных
условий (I) и (II) найдем /3(0+) = 1,25 а.
Подставив в уравнение (1) и в выражение i3 уравнение (9), получим:
„ О If, n I Da 5000/ . г, . —5000/ .
ис — испр “I” ^ссв и +Веге + B2te ,
i3 = с = 10-® (В2 — 5000 — 5000Я2/) е-5000' .
Переписывая эти уравнения для момента t = 0+ и подставляя в
них ис (0+) = 0 и is(0+) = 1,25 а, получим
0 = В,; 1,25 = 10-в(В2 — 5000 В().
295
Следовательно, В{ = 0, В2 = 1,25* 10е е/сек. Таким образом, ис-
комое напряжение согласно (1) и (9)
иг (t) = иг = 1,25- 1Ов/е-5000' в.
График напряжения испостроен на рис. 9.28, г.
3. Наконец, рассмотрим третий случай численных значений па-
раметров схемы рис. 9.28, а.
Подставляя эти значения в уравнение (4), находим
_ 1 . 1/7 i v “1
^1.2 2-100-5-10-е - V \ 2-100-5-10-е ) . 40-10~8-5-Ю'8 ~
' -(—1000 ±/ 2000) сектУ
Корни характеристического уравнения образуют комплексно со-
пряженную пару чисел (р{ 2 = —а± следовательно, свободную
составляющую напряжения на конденсаторе следует искать в виде
(см. п. 4 основных положений)
иСсв = Ле-0' sin (ш/ + ф) = Ле-1000' sin (2000/ + ф). (10)
‘Ч
По аналогии с предыдущими случаями из уравнений (6) с учетом
начальных условий (I) и (II) получим /3(0+) = 1,25 а. х
Подставив в (1) и в выражение Z3 уравнение (10), получим:
ис = испр + “сев = 0 + Ле~1(,00гзш (2000/ 4- ф);
13 = С =5- 10-« Л12000 cos (2000/ + ф) —
— 1000 sin (2000/ + ф)] е-1000'.
Переписывая эти уравнения для момента / = 0+ и подставляя в них
ис(0+) = 0 и гз(0+) = 1,25 а, имеем:
0 = 5- 10~9 Л sin ф;
1,25 = 5-Л0~в (2000Лсоз ф—1000Л sin ф).
Решая их, находим ф = 0, Л = 125 в. Таким образом, согласно (1)
и (10), искомое’яапряжение
и„ (1) = 125е-1000( sin 2000/ в.
График напряжения построен на рис. 9.28, д.
9.45. Цепь рис. Й.28, а включается на постоянное напряжение
U — 100 в. Параметры цепи: г = 100 ом, L == 40 мгн, С = 5 мкф.
Определить ток Z2 в индуктивности.
Решение. Ищем решение в виде суммы принужденного и сво-
бодного значений:
^2 = ^2пр "Г ^2св'
296
"Рассчитав установившийся режим схемы (после коммутации),
найдем принужденное значение:
100
^Зпр 0» ^2пр ^1пр г ЮО == ^2)
Для определения свободной составляющей тока напишем харак-
теристическое входное сопротивление цепи и приравняем его нулю:
Z(p) = г 4-
После упрощения оно примет вид
p2LCr + pL + г == 0.
Корни характеристического уравнения '
1 т /"7 I \2 Г“
-------2Сг“ V \~2СГ“) — Ис = /20^0) сект1
образуют комплексно сопряженную пару (р{ 2 == —cl ± /со). Поэтому
свободная составляющая решения имеет вид
г2св “ A^~at s*n + ф) = Ле~1000/ sin (2000/ 4- ф). (З)
Для определения постоянных интегрирования Л и гр запишем для
начального .момента времени (после коммутации) выражение тока i2
согласно уравнению (1):
4(0+) = t’2np (0+) + /&В (0+) = 1 + A sin 1|> (4)
и его производную (с учетом уравнения (3))
—77- =—4-----------—О — 1000/4 sin xb 4-
dt /=о+ dt dt /=о+ г
4- 2000Л cos, гр. (5)
Начальные значения определим с помощью независимых началь-
ных условий: ис (0+) = ис (0_) = 0 и i2 (0+) = 12 (0_) = 0.
По закону Кирхгофа для рассматриваемой схемы рис. 9.28, а
dt 2
«t(0+)=L—/=о+ = «с(О+) = О
и, следовательно, отсюда производная тока в начальный момент имеет
вид
^2 I
4 =о-
at |/«о+
297
Подставив найденные начальные значения в уравнения (4) й*(5),
получим: '
О = 1 + A sin тр или — 1 = 4sin ф, (6)
0= — 1000Л sin ф + 2000Л cos ф. . (7)
Для решения уравнений (6) и (7) разделим порознь левую и пра-
вую части уравнения (7) соответственно на левую и правую части урав-
нения (6). В результате получим
о = — 1000 + 2000 -^4- = — 1000 + 2000 ctgib.
* sin 1 ь т
Отсюда ctg ф = 0,5; ф = 63°30'; sin ф = 0,895, а из уравне-
ния(6)Л=-----= —1,12 а. ' '
Окончательно после коммутации по формуле (1) определяем ис-
комый ток
i2 = 1—1,12е-1000' sin (2000/ + 63°30') а. (8)
График тока i2 построен на рис. 9.29.
9.46. Цепь рис. 9.30 включается на постоянное напряжение U =
= 30 в. Найти законы изменения во времени всех токов и напряжения
между обкладками конденсатора, если С = 16 мкф, г == 100 ом и
L = 1 гн. Построить кривые токов и напряжения на конденсаторе.
Выяснить предельное значение сопротивления, при котором процесс
сохраняет еще колебательный характер.
9.47. Цепь рис. 9.31 включается на посто-
——-j янное напряжение U = 120 в. Сопротивления
г-1 ветвей = г2 == г == 40 ом, индуктивность
« т* [U L = 0,08 гн. Показать, что если емкость С =
ZJI тv j = LI г2, то ток I в неразветвленной части це-
Y j пи в любой момент времени имеет постоянное
, j *—f— значение, равное U/r.
Замечание. При заданном выборе параметров
Рис. 9.31 данная цепь имеет резонанс токов при любой частоте.
298
9.48. Схема рис. 9.31 включается под действие синусоидальной
э.д.с. е = Ет sin (at + ip). Полагая, что = r2 = r= 40 ом, L =
= 0,08 гн, С = L/ra, Е= 120 в, а = 314 сект1 и г|> = л/6, определить
законы изменения токов tj, д2 и i во времени.
9.49. Цепь, состоящая из последовательно соединенных г, L и С,
конденсатор которой закорочен, включена на постоянное напряжение
U = 120 в. При установившемся режиме внезапным размыканием ру-
бильника Р конденсатор вводится в цепь (рис. 9.32). Найти напряже-
ние на обкладках конденсатора и ток, проходящий в цепи, в двух
случаях: 1) г = ЮО ом, L = 40 мгн, С = 25 миф; 2) г = 80 ом,
L = 40 мгн, С = 20 мкф. Начертить кривые ис и I.
Рис. 9.32
9.50. Найти токи в цепи рис. 9.33 после включения рубильника Р,
если известны i\ = 20 ом, L = 0,4 мгн, г2 = 10 ом, г3 = 20 ом, С =
= 1 мкф, Е = 60 в.
9.51. До замыкания рубильника Р в цепи (рис. 9.34) имел место
установившийся режим постоянного тока. Конденсатор разряжен.
В момент t = 0 рубильник Р замыкается. Определить начальные зна-
чения тока в индуктивности, напряжения на конденсаторе и их пер-
вые производные. Найти уравнение тока г2 и напряжения на конден-
саторе и их первые производные. Найти уравнение тока t2 и напряже-
ния на конденсаторе (после коммутации). Даны: Е = 60 в, г, = 20 ом,
L — 1 мгн, гг — 10 ом, г3 = 20 ом, С = 1 мкф.
Рис. 9.34
Рис. 9.35
9.52. В цепи рис. 9.35 до замыкания рубильника Р был установив-
шийся режим постоянного тока. Найти уравнение напряжения на
конденсаторе после замыкания рубильника, если Е = 60 в, = 20 ом,
г2 = 40 ом, г3 = 40 ом, L = 0,2 мгн и С = 1 мкф.
299
9.53. До замыкания рубильника Р в цепи рис. 9.36 имеет местб
установившийся режим постоянного тока. Определить: 1) напряже-
ние на г2, на L и на С для t = 0+ и t =оо; 2) первые производные
напряжений на г2, на L и на С по времени
для t =0+. Даны: С = 1 мкф, L = 10 мгн,
G = г2 = г4 = 100 ом, г3 = г5 = 200 ом и
Е = 120 в.
9.54. Для каждой из схем' рис. 9.37,
а—в (не составляя уравнений), определить
степень п характеристического уравнения,
описывающего свободный процесс после
соответствующей коммутации. Дополни-
тельные условия: для схемы рис. 9.37, в:
г2 = 2гъ L2 = 2LP
Решение. Как известно из теории, степень п характеристиче-
ского уравнения, описывающего переходный процесс, равна числу
независимых начальных условий в послекоммутационной схеме.
Рис. 9.37
Рассмотрим схему рис. 9.37, а. Она содержит пять реактивных
элементов, которые определяют четыре начальных значения тока,
протекающих через индуктивности, и одно начальное значение на-
пряжения на емкости. Однако не все эти. пять начальных значений
являются независимыми. Определим число основных независимых
начальных условий. Так, например, если в качестве основных незави-
симых начальных условий принять значения токов, протекающих
через Ь2 и L4, то ток через L3 будет не основным, ибо его начальное
значение определяется первым законом Кирхгофа, примененным
300
узлу А. Таким образом, схема рис. 9.37, а содержит четыре незави-
симых начальных условия, а следовательно, характеристическое урав-
нение будет иметь порядок п = 4.
В схеме рис. 9.37, б пять реактивных элементов, однако число
независимых начальных условий равно 3. В самом деле, если, напри-
мер, в качестве основных принять начальные значения напряжений
на емкостях С, и С3, то из второго закона Кирхгофа, примененного к
контуру, состоящему из емкостей С1г С3, С4, напряжение на емкости С4
будет их следствием. Аналогично из рассмотрения уравнения
Кирхгофа, составленного для контура С4 С2 rlt можно установить, что
напряжение на емкости С2 не будет являться независимым усло-
вием. Итак, п — 3.
В схеме рис. 9.37, в три реактивных элемента, но число основных
независимых условий равно двум. Это определяется подобием парал-
„ / Л Г2 А
лельных ветвей = — , эквивалентное сопротивление кото-
\ М ь2 /
рых будет иметь не второй, а первый порядок, а поэтому характерис-
тическое сопротивление всей схемы будет иметь второй порядок (я=2).
9.55. Определить степень п характеристического уравнения, опи-
сывающего свободный процесс в каждой из цепей рис. 9.38, а—ж,
рассматриваемой после коммутации.
Рис. 9.38
Указание. Учесть, что степень характеристического уравнения опре-
деляется йз рассмотрения послекоммутационной схемы, в которой э. д. с. за-
корочены, а ветви с источниками тока разомкнуты.
В. Переходные Процессы при импульсных воздействиях
9.56. Цепь, состоящая из последовательно соединенных активного
сопротивления г = 5 ом и индуктивности L = 2,5 гн, включается под
действие напряжения, изменяющегося по закону показательной
функции и = Utfrat(UQ = 10 в, а = 4 се/г1).
301
Определить закон изменения тока в цепи и построить кривую тока.
, Решение. Составляем дифференциальное уравнение по второ-
му закону Кирхгофа:
г di
Ue~at.
(1)
Решение* его
* *пр । *св» W
; — общий интеграл уравнения (1) без правой части;
/пр — частное решение уравнения (1).
Найдем /пр. Как известно из курса математики, частное решение
рассматриваемого линейного дифференциального уравнения опреде-
ляется в формё показательной функции:
где *св
= Berat
пр
(3)
Подставляя это значение в (1), получим
—BLaQ~at + Bre~at == U^at
откуда
и, подставляя это значение В в (3), получим
/ __ ^0 p-at
hip “ r_ La е •
(4)
Переходный ток [см. формулу (2)]
I = Ле L
Uy Q-at
(5)
Для определения постоянной интегрирования
чальное условие /(ОД /(ОД = 0:
А используем на-
i(0+) =
e~at
-.---- = о
г —La
отсюда
А= —
Up
г — La
г* , и*
~ г — La
^0
Таким образом,
— ( e~at —е L
La \
= 2(е-2' —
(6)
Кривая тока изображена на рис. 9.39.
302
Ток имеет максимум. Найдем его:
-%- = 2(—2е-2< + 4е-«).
Приравнивая эту производную ну-
лю, получим момент времени t = tm,
при котором величина тока максималь-
на:
e“2/m = 2e~4Zw,
отсюда
. 1п 2 0,693 Л
t = -п- = —— = 0,347 сек.
Подставив это значение в формулу
(6), найдем
/шах = 2(е“0’693 —е“1>386) = 0,5 а.
9.57. Цепь, состоящая из последо-
вательно соединенных г и L, включа-
ется на прямоугольный импульс напря-
жения U, действующий в течение време-
ни /и (рис. 9.40, а). Найти уравнение то-
ка I и напряжения на индуктивности uL
ни. Построить кривые i и uL.
в зависимости от време-
Рис. 9.40
Решение. Классический способ. Для
t = 0 до t = /и ток определяется так же, как
цепи на постоянное напряжение U*.
интервала времени от
и при включении той же
(1)
Напряжение на индуктивности
uL — L
di
dt
(2)
303
Для t>tn напряжение на зажимах цепи равно нулю, поэтому
по ней пройдет только свободный ток, являющийся одновременно
переходным. Его протекание определяется запасом энергии, накоп-
ленной в магнитном поле за время от 0 до /и. Итак, для t > tw когда
и = 0, уравнение второго закона Кирхгофа
ri 4- L -%- = 0.
at
Его
решение
г
(3)
ПостОянную интегрирования А определим из того, что в момент
t = t„ ток в цепи, содержащей индуктивность, не может измениться
скачкообразно:
— 1 —е 'и
—rt.
* (и
отсюда
Г
Подставляя это значение А в уравнение (3), получим уравнение
тока при /и 00:
Уравнение для напряжения на индуктивности при /и * "С <*>
ul = L-£- = u( 1 — е^<и ) е l‘. (4)
По уравнениям (1)—(4) на рис. 9.40, б построены графики. Отме-
тим, что в момент t = 0+ напряжение на индуктивности изменяется
скачком на величину, равную £/. Скачок напряжения на индуктив-
ности имеет место и при t = /и.
Метод наложения. Прямоугольный импульс может быть
рассмотрен как результат действия двух постоянных напряже-
ний: напряжения U, включаемого в момент / = 0 и действующего
неограниченно долго, и отрицательного напряжения, равного —£7,
♦ вступающего в действие в момент t = и также действующего не-
ограниченно долго (рис. 9.40, в).
Итак, для 0 / <ОИ ток определяется, как и прежде, по форму-
ле (1).
Для /и 00
304
Г. Задачи с «некорректно» поставленными
начальными условиями
9.58. В схеме рис. 9.41 рассчитать мгновенные значения тока ис-
точника напряжения при включении рубильника. Даны: Е = 60 в,
rt = г2 = 1 ком, Ct = 1 мкф и С2 = 2 мкф.
Решение. Контур, образованный емкостями С{ и С2, недодер-
жит активных сопротивлений и индуктивностей. Поэтому напряже-
ние. конденсаторов может изменяться ска-
чком за счет мгновенного переброса заря-
да в этом контуре. До коммутации заря-
жен только конденсатор Ct до напряжения
иС\ (0_) = Е = 60 в. Заряд его ^(О.) =
= CiUci (0.) = 6-10"5 к в начальный момент
после коммутации перераспределится ме-
жду емкостями так, что будет выполнять-
ся второй закон Кирхгофа
^ci(0+) = UC2(0+). (1)
Рис. 9.41
При этом суммарный заряд емкостей в начальный момент не из-
менится:
C^ci^) + С2 иС2(0+) = 6-10"5 к.
(2)
Подставляя численные значения и решая уравнения (1)—(2), на-
ходим начальные значения напряжений на емкостях:
^с1(04.) = uc2(0+) = 20 в.
(3)
Ток источника напряжения находим в виде наложения принуж-
денной и свободной составляющих тока:
“ *пр Н” ^СВ’ (4)
Принужденное значение тока в схеме после коммутации
‘пр — Г1 + Гг — 2-10» — 3’10 2а-
Для нахождения свободной составляющей тока напишем харак-
теристическое уравнение, приравнивая нулю характеристическое вход-
ное сопротивление схемы:
2(р) = Г1 Ч-----------------— = о.
pQi + “Ь "т
г2
Характеристическое уравнение преобразуем к виду
HCj + Q+I-t + t-I-O.
\ '2 Г1 ]
305
Единственный корень характеристического уравнения
P1 = с2) = 10»-3.10-’ = •~6’67,102 С6КГ1.
Следовательно,
ZCB = Ле-6-67 102'. . (6)
Для вычисления постоянной интегрирования запишем для началь-
ного момента времени
Ц0+) = ^(0+) + 'iCB(0+) = 3.10-4-4. (7)
Начальное значение тока находим по второму закону Кирхгофа:
Е = л(0+) + «Ci(0+) = i(0+)-104-20 = 60, (8)
откуда
»(0+) = 60~20 =4-10-^. (9)
Подставляя найденное начальное значение в формулу (7), опреде-
ляем значение А = 10‘2 и, следоватёльйо, искомое значение тока
[см. формулу (4)] источника напряжения после коммутации:
i = (3. 10“2+10“2e“6’67 102/) а. (10)
9.59. Вычислить начальные значения напряжения на конденсато-
ре до и после коммутации в схеме рис. 9.42. Даны: =120 в, £2 =»
= 100 в, g = 20 ом и г2 = 80 ом.
“с
Рис. 9.42
Рис. 9.43
9.60. Определить начальное значение тока во вторичной обмотке
трансформатора (рис. 9.43) после мгновенного выключения цепи пер-
вичной обмотки. Даны: Е = 100 в, rt = 10 ом, гг = 2 ом, Ll = L2 —
= 0,02 гн и М — 0,01 гн.
Решение. Схема содержит идеальный выключатель, на зажимах
которого в процессе выключения может наводиться произвольно боль-
шое напряжение. Следовательно, возможны скачки тока в индуктив-
ностях.
До коммутации токи цепи:
q =у- = 10 а, /2 = 0.
306
После коммутации
Ч (0+) = О,
т. е. скачок тока в первичной обмотке
ДЛ(0+) = —10 а.
Для нахождения начального значения тока /г(0+) после коммута-
ции используем уравнение второго закона Кирхгофа для контура
вторичной обмотки в момент коммутации (ограничиваемся бесконеч-
ными слагаемыми и пренебрежем конечной величиной i2r2j:
+ =0,
di di
и проинтегрируем его по «времени начального скачка»:
г=0+ f==0+ f=0+ 6=0+
— М \ dt + dt = —М J dti + L J di2 = 0,
£=0_ /==o_ f=o_ z=o_
t. e.
—Л4Л/1 LAa2 = 0.
4
Из последнего уравнения определим искомое начальное значение
тока во вторичной обмотке трансформатора:
5а.
9.61. Рассчитать ток источника напряжения схемы (рис. 9.44) до
переключения рубильника Р и в начальный момент после мгновенного
переключения его из положения 1 в положение 2. Даны: Е = 100 в9
Li = 1 мгн, L2 = L3 = 3 мгн и г2 = г3 = 10 ом.
Рис. 9.44
Рис. 9.45
ь
9.62. В цепи рис. 9.45 действует ступенчатый источник тока
0(0 == 0 при t < 0, /4(/) = J1 при t 0. Рассчитать все токи в пере-
ходном режиме.
. Решение. Определяем ток индуктивности в виде наложения
принужденного и свободного токов:
/ ~ ^пр Ов*
307
В установившемся режиме ивйпр = 0 ток tnp — J t. Форма свобод-
ного тока определяется видом корней характеристического уравне-
ния, которое составляем, приравнивая нулю входное сопротивление
относительно ветви с индуктивностью:
pL + г2 = 0.
Причем учтено, что входное сопротивление источника тока равно
бесконечности. Единственному корню характеристического уравне-
__
ния р = —-г- соответствует свободный ток гсв ~ Ае Lc постоянной
Рис. 9.46
интегрирования А = —J\. При этом
удовлетвор яется начальное значение то-
ка индуктивности Z(0+) = f(0_) = 0. Окон-
чательно при / 0 ток индуктивности
Напряжение^ иаЬ и ток i2 будут:
9.63. В цепи рис. 9.46 действуют источник постоянного напря-
жения Е = 20 в и источник ступенчатого тока i (t) = 0 при t < 0
i (t) = 0,1 а, при / 0. Параметры цепи: = 0,5 ком, L = I мгн,
С2 =?= 0,02 мкф. Рассчитать переходное напряжение на емкости.
Глава десятая
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Преобразование Лапласа. В основу операторного метода поло-
жено следующее. Функция f (f) [обычнб ток i (t) или напряжение
и (()] вещественного переменного t (времени), называемая оригиналом,
заменяется соответствующей ей функцией F (р) комплексного пере-
менного р, называемой изображением.
Эти функции связаны соотношением
F(p) = J fd^dt,
О
называемым прямым преобразованием Лапласа}
Эта связь сокращенно записывается в виде
F (р) = f (/).
(10.1)
В табл. 10.1 приводятся оригиналы простейших функций и их изоб-
ражения, полученные по фор-
муле (10.1) и используемые
при решении задач на пере-
ходные процессы.
2. Операторное сопротив-
ление. Операторные сопроти-
вления цепей записываются
также, как и сопротивления
для тех же цепей в комплек-
сной форме, в которых /со за-
менено на р. Так, для цепи,
состоящей из последователь-
но соединенных элементов г,
L и С, операторное сопроти-
вление имеет вид
2(р) = г 4- pL + -±. . (Ю.2)
3. Операторная схема за-
мещения. Уравнения для изо-
бражений тока и напряжения
Рис. 10.1
309
Таблица 10.1
Оригинал
Изображение
Оригинал
Изображение
1
2
3
4
5
6
7
8
ЦП
1
t
tn
п — целое поло-
жительное число
Ь(/) —
е/(ш0Г-Ьф)
9 te~at
Ю (1 — a/)e“flZ
11 4”(1 — e~ai)
12 Х[1-е-«<(Ц-а0]
20 sh at
1
1
р
1
р2
п!
1
р ± а
Р
р + а
1
Р±/Шо
p—i^o
1
(р+а)2
Р
(р-Н)2
1
р(р+а)
1
p(p-f-a)2
“---— (е Ы— e-at
а — o'
aQ~ai — berbt
a — b
COS <D(/
sin wot
17 sin (u>ot + ф)
18 e“a*sin w0/
cos co0/
(p 4- a)(p 4- b)
P
(p 4- d)(p 4- b)
p
Pi + “0
мо
P2 + 4
p sin tp 4~ % cos ф
P2 + “0
5*>o_______
(P + a)2 + o>2
P + a
(p + a)2, У® о
a
p2 — a2 .
P
p2 — a2
1_________
p(p 4- a)(p 4- b)
произвольной цепи могут быть получены по законам электри-
ческих цепей (законам Ома и Кирхгофа), записанным для
операторных схем замещения. Операторная схема замещения про-
извольной ветви рис. 10.1, а показана на рис. 10.1, б. При ее со-
ставлении, во-первых, все переменные величины заменяются их опе-
раторными изображениями U (/) на / (р), U (/) и е (/) соответственно на
U (р) и Е (р)]; во-вторых, индуктивности L заменяются последователь-
ными схемами, состоящими из операторного сопротивления pL и ис-
точника напряжения с э.д.с. Li (0_), где i (0_) — начальное значение
тока в индуктивности; в-третьих, емкости С заменяются последова-
тельными схемами, состоящими из операторного сопротивления — и
источника напряжения с э.д.с.—гДе ис Ф-)— начальное значение
напряжения на емкости. Э.д.с. Ы (0.) имеет направление, совпа-
и с (0_)
дающее с током i (/), а э.д.с.---направлена против напряжения на
р
310
емкости. Следует заметить, что показанные на рис. 10.1, б опе-
раторные напряжения на индуктивности и емкости при ненулевых
начальных условиях определяются по формулам:
1 Ur (0 )
UL (р) = pLI(p) - Li(Q_y, Uc (p) = -LI (p) + .
На рис. 10.2, а показан участок электрической цепи, а соответст-
вующая ему операторная схема замещения — на рис. 10.2, б.
Рис. 10.2
На рис. 10.3, а изображены несколько участков индуктивно свя-
занных цепей, а соответствующие им схемы замещения — на
рис. 10.3, б. При этом верхние рисунки даны для случая объединения
одноименных зажимов, средние — при соединении разноименных за-
жимов. На нижних рисунках дана схема трансформатора и соответст-
вующая ему схема замещения.
Замечание. Обращаем внимание на то, что указанные на рис. 10.2, б
ис (0-)
и 10.3, б направления э.д.с. 1г3(0_), —--, L2Z2(O_), ЛН2(0_)
соответствуют направлениям положительных токов и напряжения на конден-
саторе, данным на рис. 10.2, а и 10.3, а.
4. Закон Ома для ветви в операторной форме (с учетом ненулевых
начальных условий). На рис. 10.1, а изображена ветвь аЬ, содер-
жащая последовательно соединенные элементы г, L, С и источники
э.д.с. еЖ) и е2(0, являющаяся частью сложной цепи.
Изображение тока / (р) в ветви аЬ связано с изображением напря-
жения иаь(р), приложенного к зажимам а и b ветви, законом Ома в
операторной форме (рис. 10.1, б)
«с (°-)
Uab(P) + ^i(P) + ~ -о---- ЕЖ»
/(₽) = -------------------ад--------Р~---------- (Ю.З)
311
Рис. 10.3
где Ei(p) и Ег(р) — изображения э.д.с. et(/) и е2(/); i (0_) и «с(0_) —
значения тока в индуктивности и напряжения на конденсаторе в на-
чальный момент времени (положительное направление напряжения
на конденсаторе ис = uej = —ufe следует принимать совпадающим
с выбранным положительным направлением тока, как показано на
рис. 10.1, а).
5. Законы Кирхгофа в операторной форме.
Первый закон
т
2 /Л(р) = 0. (10.4)
Второй закон. В общем случае при ненулевых начальных услови-
ях для какого-либо контура, содержащего N3 ветвей,
312
Na
(10-5fl)
где ^(0_) и ucfc(O-)—начальные значения тока, проходящего через
катушку индуктивности, и напряжения на емкости в ветви А;
Zfe(p) =='* + pLk Н—-----операторное сопротивление ветви k.
Пример. Для узла А (см. рис. 10.2, б) первый закон Кирхгофа в оператор-
ной форме имеет вид
Л(Р) + ^2(Р) в Л(Р) 4- Др)
Для контура рис. 10.2, а и б второй закон Кирхгофа в операторной форме
имеет вид
«с (°-) 1
Е (р) 4- Ь3(0_) 4----------= pLl3(p) 4- r/t(p) —/2(р).
При нулевых начальных условиях формула (10.5а) примет вид
N N,
В в
2 Ek(p) = 5 lk(p) Zk(p). (10.56)
fc=l *=1
6. Теорема разложения. Если изображение искомого тока или
напряжения имеет вид рациональной дроби
Л(р)
f2(p)
атрт + + •• + atp 4- а0
ЬПРП + Ья.хр”-1 + ...+&!₽ + &()
атрт + аш_1рт~1 + , + агр + а0
bn(p — Pi) (р — р2) ... (р — рп)
(10.6)
причем многочлены (относительно р) F^p) и F2(p) удовлетворяют сле-
дующим условиям: степень Fi(p) ниже степени F2(p), ak и Ьк — ве-
щественные числа, а корни р2, ... , рп уравнения F2(p) = 0 различ-
ны, то оригинал определяется выражением
(Ю.7)
fe=l
Если знаменатель последнего выражения имеет один корень, рав-
ный нулю, т. е. F2(p) = pF3{pY то оригинал находится по формуле
п
= ХМ_ = 2М + У е^- ПО 81
f2(p) pfs(p) Fs(0) (1U-b)
Примеры в задачах 10.1, 10.4 и 10.16.
Замечание. Если среди корней уравнения Р2(р) = 0 имеются комп-
лексно сопряженные корни и ₽£• то при вычислении соответствующих им сла-
гаемых стоящих в правой части суммы уравнений (10.7) и (10.8) достаточно
313
определить слагаемое для одного из этих корней, например pk, а для сопряжен-
*
ного корня рь следует взять сопряженное значение этого слагаемого. Сумма,
соответствующая этим двум слагаемым, равна удвоенному значению действи-
тельной части, найденной для одного из корней.
Примеры приведены в задачах 10.5 (случай 3), 10.17.
Если в уравнении (10.8) F2(p) имеет п различных корней (рь р2, ... ,
ps) и из них корень кратностью mt, корень р2 кратностью т2, ко-
рень р3 кратностью тд, то по изображению оригинал вычисли-
Г 2\Р)
ется по формуле
F1(P) V 1 Г dmk-'
&=1
^i(P)ep/
/?2(р)
(p~Pk)mb ^pk
(10.9)
Здесь выражение, стоящее в знаменателе квадратной скобки, надо
сначала сократить на (р — pk)mk и лишь после этого дифференциро-
вать.
Если уравнение F2(p) содержит одновременно и простые и кратные
корни, то для определения слагаемых, соответствующих простым
корням, используется формула (10.7) [или (10.8), если имеется простой
корень р == 0] и для кратных — формула (10.9).
7. Методика решения задач операторным методом сводится к:
а) составлению уравнений Кирхгофа (или соответствующих им
уравнений по тому или иному методу расчета) в операторной форме
с учетом начальных условий;
б) их решению относительно изображения искомой величины;
в) нахождению оригинала (с помощью теоремы разложения, таб-
лиц, связывающих оригиналы и их изображения, или другими метода-
ми) по найденному изображению.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Расчет переходных процессов
при нулевых и ненулевых начальных условиях.
Операторные схемы замещения.
Использование таблицы 10.1 и теоремы разложения
для перехода от изображения к оригиналу
10.1. Для схемы рис. 10.4 операторным методом найти выражения
мгновенных значений тока в неразветвленной части цепи и напряже-
ния на обкладках конденсатора при замыкании контакта Даны:
U = 200 в, = 100 ом. г2 = 400 ом. С =
== 5 мкф.
Решение. Находим изображение
тока в неразветвленной части цепи по за-
кону Ома:
Л(Р) =
<ДР)
Z(P) ’
Рис!. 10.4
314
где изображение постоянного напряжения (см. по табл. 10.1 п. 2)
шр) = 4
а операторное сопротивление
Z(p) = G +
‘2+"рС
Г1Г2Ср + г1 + г2
r2Cp + 1
0,2р + 500
2-10-3р 4- 1
Итак,
А(Р) =
0,4р + 200
р(0,2р + 500) ’
(1)
Оригинал этого тока определим двумя способами.
Способ 1. Используем табл. 10.1, связывающую оригинал и его
изображение. Для этого преобразуем Ц(р) так, чтобы получить таб-
личные изображения.
/}(р) представим в виде суммы двух функций, которые после пре-
образования примут вид формул пп. 5 и 11 табл. 10.1:
, , . 0,4 200 _ 0,4 1 .
— о,2р + 500 + р(0,2р + 500) — 0,2 ‘ 500 +
р + ~^2
500 ' . '
, 200 0,2 0,2 0 1 , _ л 2500
+ 0,2 / 500 \ ’ 500 ~ р 4- 2500 Н U’--p(p + 2500) “
р\р + 0,2 )
= 2е-2500^ + 0,4( 1 — е-2500') = (0,4 + 1,6е-2500/)« = Ч(П.
>
Способ 2. Решим задачу с помощью теоремы разложения 1см.
формулу (10.8)].
В данном случае
Л(р) = 0,4р + 200; F3(p) = 0,2р + 500.
Вычисляем корень:
F3(p) = 0,2р + 500 = 0; Pi = —2500 сект1.
Определяем: х
Л(0) = (ОЛр+гОО)^ =£0^ Л(0) = (0.2P+500U0 = 500;'
Fi(pi) = (О,4р+2ОО)Р=Р1= 0,4 (—2500)+200 = —800;
Гз(р) = 0,2.
315
Подставляя найденные значения в формулу (10.8), получим
/п\ - - °-4р + 200
~ рр8(р) “ Р(0,2р + 500) • F3(0)
Р1Рз(Р1)
200 _800е-25ОО/
5бб~ + -2500-0,2
= (0,4 + l,6e-2S00Z)a = h(t).
Проверка. При t= 0+ ток q (0+) = 0,44-1,6 = 2 а. Действи-
тельно, в момент начала переходного процесса напряжение на конден-
саторе равно нулю. Это соответствует тому, что конденсатор ведет себя
так, будто он закорочен, и тем самым шунтирует сопротивление г2,
поэтому ток «1(0+) определяется только величиной сопротивления п.
Определим напряжение на конденсаторе в операторной форме:
ис(р) = U(p) — Л- g = U(p) (1------------+ 9. Л =
Z(p) 1 1\ГгСр + Г] + г2)
rJJjp) = Ur2 = 8-104
г±г2Ср + + Г2 Р(Г1Г1Ср 4- И + г2) р(0,2р + 500)
Применяя один из указанных выше способов, найдем
ис (0 = 160 (1 — е-2500Э в.
Проверка. При t — 0+ напряжение ис (0+) = 0, что соответст-
Рис. 10.5
вует начальному условию.
10.2. Определить напряжение на разом-
кнутых зажимах 2-2' цепи рис. 10.4 при ее
включении на постоянное напряжение =
= 100 в.
Даны: = г2 = 250 ом, Ci = 20 мкф,
С2 = 4 мкф.
10.3. Решить задачу 9.12 операторным
методом.
10.4. Решить задачу 9.14 операторным методом.
10.5. Решить задачу 9.44 операторным методом.
Решение. Прежде всего найдем операторное сопротивление
цепи
ЭД = /+
rLC{? + Lp + г
p2LC + 1
Далее определим изображение тока /j(p) через изображение вход-
ного напряжения U (р) —
р
Л(р) =
U(P)
Z(p)
UjLCp2 + 1)
p(rLCp2 + Lp + r)'
316
Изображение напряжения на емкости получим умножением изоб-
ражения тока на операторное
сопротивление параллельных
ветвей
pF пС
Uc{p) = Цр)------
_ fi(P)
(1)
где числитель
(2)
а знаменатель
= (Р — Р1)(Р'~ Рг),
(3)
/\(р)
и
причем корни знаменателя
»2 ч 2гС
1 V 1
2rC LC'
(4)
1. Решим задачу для первого варианта численных значений по
формуле разложения (10.7). По формулам (2)—(4) определяем
19^ 1
^1(Р) = 250-2-10-8 = 10е; F2(p) = Р® + 250-2-1Q-8 ?
+ 667-Ю-»• 2-Ю-8 ~ 2000р + 0,75- 10е.
Найдем корни:
Fz(p) = р2+2000р+0,75- 10е = 0; pi = —500 сект1;
р2 = —1500 сект1.
Вычислим производную Fzip) и ее значения при р = pt и р = рг:
F'2(p) = 2р+2000, /^(Pi) = 2(—500)4-2000 = 1000;
^(рг) = 2 (—1500)4-2000 = —1000.
По формуле (1) определяем
ис (Р) = ZileL = _____2^-ю8________
С '-F' Рг(р) р2 + 2000р + 0,75 • 108 '
По формуле разложения (10.7),
Ur(D} 1(р0 -е^ , = Л^Ве"500<
_|_ == 250(e-60W — e-150W)e
UC (0-
317
Те же результаты могут быть получены по формуле п. 13 табл. 10.1,
если знаменатель изображения напряжения на конденсаторе предста-
вить в виде F2(p) = (р+500) (р+1500).
2. Решим задачу, подставляя численные значения второго вариан-
та. По формулам (2)—(4) определяем
f 1^ =-ТОО+ЛО*-= 1’25-10*; ^(р) = (р + 5000)*;
Pi — Рг = —5000 сект1.
Изображение напряжения на емкости [см. формулу (1)1 имеет рид
лЛ-/^ _ ^i(P) - 1>25 10в
Рг(р) (Р + 5000)
В связи с тем что имеются кратные корни (порядок кратности
mi = 2), оригинал находим по (10.9), в которой
tnk = mi = 2, = (2—1)! = 1;
F2(p) = (р + 5000)г .
(P — Pl)mk (Р + 5000)2
Таким образом,
fi(P) Г_Ё_ fi(P)eP< '
Р2(р) dp 1
10’еЛ'
р=р>
= [1,25- 10в/е^]р=Р1 = 1,25-Ю’/е-^в = uc(t).
Можно было также определить оригинал по формуле п. 9 табл.
10.1.
3. Рассмотрим третий вариант цифровых значений. По формулам
(2)—(4) находим:
Fi{p)— 1б0.5 51(Н> ' = °’25‘10в; = Р2+2ОООР+5- 10е;
Pi,2 — —1000+/2000 сект1.
Производная от F2(p) и ее значения при р = Pi и р = р2 равны:
р2(р) = 2р + 2000;
F'2 (рх) = 2 (— 1000 + /2000) + 2000 = /4000;
Р2 (р2) = 2 (— 1000—/2000) + 2000 = —/4000.
Искомый оригинал (с учетом замечания на стр. 313) имеет
вид [см. формулу (10.7)1
318
Л (P)
F2 (P)
0,25 - 10« ^0,25- 10
p2 + 2000p + 5 • 10« ~ /4000
(-* tooo 4- /2000) t
e +
0,25 ♦ IO
— /4000
(— 1000 — /2000/) Г ' _
= 2Re 0,25 • ICe’1*
/20001 I
e
4000e/9°°
= 2Re
'0,25 • КУе-мм*
4000
i (2000/ — 90°)l
e
2 ‘ °’25 ' 10*-e-100W cos (2000/ — 90°) = 125e-1000t sin 2000 в.
4000
Те же результаты можно получить по формуле п. 18 табл. 10.1,
если знаменатель F2(p) представить в виде
F2(p) = (р — Рд(р — Рг) = 1р— (—1000 +/20001 [р— (—1000—
— /2000)1 = (р + 1000)» + 20002.
10.6. Решить задачу 9.46 операторным методом.
10.7. Найти мгновенное значение тока, проходящего по катушке
при включении цепи рис. 10.6. Э.д.с. источника энергии Е, пара-
метры катушки (г, L) сопротивления г, и гг и емкость С известны.
Задачу решить операторным методом.
У 10.8. Определить ток, проходящий по катушке при включении
цепи рис. 10.7. Даны: Е = 40 в, г0 = 100 ом, гш = 2000 ом, г «=
= 110 ом, L = 3 гн и С = 1 мкф.
Рис. 10.8
10.9. К цепи рис. 10.8 подключается синусоидальное напряжение
а = Um sin (®о/+ф). Пользуясь операторным методом, найти выра-
жение для мгновенных значений напряжения между обкладками кон-
денсатора.
У 10.10. К цепи рис. 10.9 подключается гармоническое напряжение
и = (7msin («в,/-Ир). Найти закон изменения во времени тока, прохо-
дящего в неразветвленной части цепи. Даны: г, — 100 ом, гг = 250 ом,
L — 1 гн, Um — 170 в и f = 50 гц.
10.11. Найти законы изменения во времени тока в неразветвлен-
ной части цепи и напряжения ис при включении цепи рис. 10.10 на
синусоидальное напряжение и = (7msiri Даны: Um = 500 в, г =
= 50 ом, L = 0,3 гн, С = 100 мкф и <о0 = 314 сект1.
319
10.12. Решить задачу 9.15 операторным методом.
Решение. Это пример задачи с ненулевым начальным условием
для тока ц, проходящего через индуктивность. Операторная схема
замещения изображена на рис. 10.11. Составляем для нее уравнения
Кирхгофа:
Рис. 10.9
Рис. 10.10
Рис. 10.11
I (р) = Ь(р) + /2(р); (1)
Е (р) = г! (р) 4- гг12 (р); (2)
Е (р) + Li»i(0_) = rl (р) + (n + pLi)Ii (р). (3)
В этих уравнениях Z±(0_) = —----------начальное значение тока,
£
проходящего через индуктивную катушку; Е (р) ---------------изображе-
р
ние постоянной э. д. с.
Уравнения (1)—(3) решим совместно относительно тока /*(/?):
Е / £г (г + r2) гг2 4- г^2 \
/ (n) = \ Р ' 4- 'i / = 4- 45 = 2р 4-11,25
1 Р ['''г 4-ггх 4- 'Т'г 4- (г 4- г2) р] р (4р 4-25) Р (р + В,25) ’
По формуле разложения (10.8) оригинал функции имеет вид
/1(0 =»= (1,8 4~0,2е~6’25/) а.
В целях упражнения эту же задачу решим методом сведения к
нулевым начальным условиям. Для этого вычислим напряжение на
разомкнутом рубильнике (см. рис. 9.11, а):
«руб (0.) = иаЬ (0_) = г^О.) = Jp-.
г 4“
Добавим в ветвь рубильника два встречно
напряжения с э. д. с. £i = £2 = ^РУб =-L"
включенных источника
, как показано на
рис. 10.12, а.
Расчет схемы после коммутации проведем по методу наложения»
Составляющая тока /' (от системы э. д. с. Е и Е^ совпадает со своим
значением ч(0Д до коммутации, так как подключение э. д. с. Ех =»
320
= ируб(0_) (рис. 10.12, б) не вызовет каких-либо изменений в исход-
ной схеме с выключенным рубильником Р.
Таким образом,
Вызываемая действием э. д. с. подключаемой к обесточенной
схеме (рис. 10.12, в), составляющая тока может быть записана в
операторной форме:
Рис. 10.12
Ег (Р) '
Р (г 4- fl) [ГГ1 4- гг2 + (г2 4- г) pLr]
Подставляя численные значения и переходя к оригиналу i\(t) по
формуле (10.8) для искомого тока, получим
Ц = А + А = (1,8 4~ 0,2е 6’25*)
10.13. Решить задачу 9.8 оператор-
ным методом.
10.14. Решить задачу 9.9 оператор-
ным методом.
10.15. Решить задачу 9.32 оператор-
ным методом.
Решение. Эта задача имеет не-
нулевое начальное условие для напря-
жения на конденсаторе ис. Операторная ис‘
схема замещения изображена на рис.
10.13. По методу контурных токов для этой схемы имеем:
(Р) (ri + гг) — 3 (р) г2 ——;
Р
- 31 (р) Г2 + 3 (р) (г + г2 + 4-) = - “с • (2)
\ рС Р
321
Решая эти уравнения относительно 3 (р) и учитывая, что «с(0_) =
= Е, найдем
3 (р) =-----------—---------------
(ГГ1 ч- гг2 + г/2) Ср + rt4-r2
Ег, 1
—’ ...... II———— •---- ----- ---
1
р 4- 6250
Подставив числовые значения, получим
J(p) =
— 3,6 10~8
24 • Ю-’р + 150
— 0,15
На основании (10.7) определим оригинал:
i (/) = — O,15e~62S0' а.
Аналогично из уравнений (I) и (2) можно найти другие токи и на-
пряжение на обкладках конденсатора.
Рис. 10.14
10.16. При установившемся режиме в схеме рис. 10.14, а замыка-
ется рубильник Р, включающий конденсатор С, предварительно за-
ряженный до напряжения UQ. Найти выражение-токов при переход-
ном процессе. Даны: Е = 60 в, гл = 400 ом, г2 ~ 800 ом, L = 0,2 гн,
С = 2,5 мкф и Uo = 20 в.
Решение. Найдем начальное значение тока, проходящего через
индуктивную катушку:
М0-) =
— = 0,05 а
1200
Выберем положительные направления токов, как указано на ис-
ходной схеме (см. рис. 10.14, а), и на операторной схеме замещения
(рис. 10.14, б). Решим задачу методом узловых потенциалов. Напря-
жение в операторной форме между точками а и b (см. рис. 10. 14, б)
U аЬ (₽)
1
+ рЬ
(1)
~ Щ (0J
322
Найдем операторное выражение тока Ц(р) по закону Ома:
f
<Р6 (Р) — Та (Р) +---------
Л (Р) =------------------------------р-
U ab (Р)
Р
(2)
Подставляя сюда UQb(p) из (1) и учитывая, что uc(0_) = t/0, полу-
чим
/ = LC ~ Р2 + ~ + Li* (°-^ ? + £ = Fi (Р) /3)
1{Р> р \r\LCp1 + (г^С + L) р + гх + ra] pFз (р) ’ ' '
где
F! (р) = 0,2 • 2- 5-10"® • 40р2 + (800 • 2,5 • 10"» • 40 + 0,2 - 0,05) р +
+ 60 = 2 • 10"5р2 + 0,09р + 60; (4)
р3 (р) = 400 • 0,2 • 2,5 • 10"®р2 + (400 • 800 • 2,5 • 10"« + 0,2) р +
+ 1200 = 2 • 10"4р2 + р + 1200. (5)
Находим корни уравнения Fs(p) = 0:
Pi — —2000 се/г1; р2 = — 3000 сек"1. (6)
Далее вычисляем:
Л(0) = 60;- 7з(0) = 1200; (7)
Fi (pi) = 2 • IO"5 (— 2000)2 + 0,09 (— 2000) + 60 = — 40; (8),
Fi (р2) = 2 • IO"8 (— 3000)2 + 0,09 (— 3000) +60 .= — 30;
F3(p) = 4- 10"4р + 1; (9)
F'3(pi) = 4- 10"4 (—2000) + 1 = 0,2; (10)
F'3 (p2) = 4 • IO"4 (- 3000) + 1 = -0,2. ин
Подставляя (6)—(11) в формулу разложения (10.8), получим
. ... 60 , — 40е~2000/ , — ЗОе"3000*
I- (I)------—--------------------------------- ->
1200 - 2000 - 0,2 — 3000 (—0,2)
= (0,05 + 0,1е"2000< — 0,05е"3000/) а.
Затем находим мгновенное значение напряжения на параллельных
ветвях и остальные токи:
uab = Е — iji = 60 — (0,05 + 0,1е 2000/ — 0,05е"30009 400 =
= (40 — 40е"2000/ + 20е"3000/) в;
i -С -^-=(0,2е"2000/ — 0,15е"3000<) а;
dt
i2 = tl — i3 == (0,05 — 0,1 e"2000' + 0, le-зюо') a.
323
Проверим правильность полученных результатов для начального
момента. При t =0+ ток /2(0+)= 0,05 а, напряжение иаь(0+)= 20 в,
т. е. результат правильный.
10.17. В схеме рис. 10.15, а при разомкнутом рубильнике имеется
установившийся процесс. В момент / = 0 рубильник замыкается и
накоротко шунтирует сопротивление г4.
Найти выражения для токов и напряжение на конденсаторе при
переходном процессе. Даны: U = 125 в, = 50 ом, г2 = 200 ом,
г4 = 250 ом, L == 0,01 гн и С = 5 мкф.
Рис. 10.15
Задачу решить с помощью теоремы разложения.
Решение. Это пример задачи с ненулевыми начальными усло-
виями. Определим их. Через индуктивную катушку до замыкания
рубильника проходит постоянный ток
= 0,25 а.
Напряжение на конденсаторе до коммутации
ис (0-) ~ г2^2 (0_) = 0,25 - 200 = 50 в.
Для схемы, образующейся после коммутации, начертим оператор-
ную схему замещения (рис. 10.15, б). Найдем, например, ток Л(р)
методом эквивалентного генератора напряжения. Для этого отключаем
первую ветвь (рис. 10.15, в) и найдем операторную э.д.с. эквивалент-
ного генератора ЕГ (р) и его сопротивление Zr (р). Из рис. 10.15, в
следует, что
ис
* о Сг^ип (0_)
Е? (Р) = Uab (р) = rj' (р) = г2----*4- = —, (1)
г 1 _ 1 + рСг2
' 2 J
324
а из рис. 10.15, z
(2)
Ток в первой ветви (рис. 10.15,5)
— + (0_) - Ег (р)
р_______________________
+ pL + Zr (р)
(3)
Подставив сюда Ег (р) и 2Г (р) из (1) и (2), получим
CLr2i1(0_)p2 + [UCri +Lil(0_) — uc(0_)Cr2]p + u F(p) ...
/. (n) ---------------------------------1------------- = _i_v2_ . (4)
p [LCr^p2 + (Crtr2 + L) p + rt + r2] F2 (p)
Подставляя числовые значения, имеем:
Л(р) = 5 • 10е • 0,01 • 0,25 • 200р2 + (125 • 5 • 10"’ • 200 + 0,01 • 0,25 —
— 50 • 5 • 10-« • 200) р + 125 = 2,5 • 10-в р2 + 0,0775р + 125; (5)
F2(p) = pF3(p) = р[0,01 • 5 • IO"’ • 200р2 + (5 • 10-’ • 50 • 200 + 0,01) р +
+ 250] = р(10~5р2+ 0,06р + 250). (6)
По изображению с помощью (4) найдем оригинал тока 1\(/) с по-
мощью теоремы разложения (10.8). Для этого определим значения
функций Ft (р) и Fa(p) при р = 0:
Л(0) = 125; F3(0) = 250. (7)
Затем находим корни уравнения:
F3(p) = 10~5р2 + О.Обр + 250 = 0;
— 0,06 ± V 36 • 10~4 _ 4 . 10& . 250 — 0,06 ± /0.08
О\ 2 =---------------------------------- = ------------- =
2-10-5 2-10-5
= (— 3000 ± /4000) сек~1; (8)
Р1 = (— 3000 + /4000) сек-1, р2 = (- 3000 — /4000) сек~1.
Далее вычислим производную и ее значения при p=pt и р—р2:
F'3 (р) = 2 • IO"5 р о,О6; F'3 (pi) = 2 • IO"5 (— 3000 + /4000) + 6,06 «
= /0,08; (9)
F'3 (p2) = 2 • IO’5 (— 3000 — /4000) + 0,06 = — /0,08. (10)
325
Определим Ft(p) при р — pt и р = р2:
Fi (р^ = 2,5 • IO'6 (— 3000 -I- /4000)2 + 0,0775 (— 3000 + /4000) +
+ 125 = — 125 +/250; (11)
Fi(p2) = 2,5 • 10'e (— 3000 — /4000)2 + 0,0775 (— 3000 — /4000) +
+ 125 =—125 —/250. (12)
Наконец, подставим полученные в уравнениях (7)—(12) значения
в формулу (10.8) и, учитывая замечание на стр. 313, определяем
t1(/) = -1g- + 2Re rkd2L+J250) е(-3000 + /^0)Л =
250 (— 3000 +/4000)/0,08
= 0,5 + 2Re
281е'116°30' е/4000<
5ОООе'126°5о'-О,О8е/9о°
е~зооо/ _
= 0,5 + Re
1,4е
/ (4000/ — 100°20')
е-зооо* = 0,5 +
+ 1,4е-3000/ cos (4000/ — 100°20') = [0,5 +
+ 1,4е-3000' sin (4000/— 10°20')] а.
Проверка. При / =0+ 1,(0) = 0,25 а, что удовлетворяет на-
чальному условию.
Остальные два тока могут быть найдены следующим образом. Ес-
ли из U вычесть падение напряжения на /у Л-ветви, то будет найдено
мгновенное значение напряжения на параллельных ветвях:
Затем определяем токи:
10.18. Решить задачу 9.48 операторным методом.
10.19. Решить задачу 9.49 операторным методом.
10.20. Решить задачу 9.50 операторным методом.
10.21. Решить задачу 9.51 операторным методом.
10.22. Решить задачу 9.35 операторным методом.
Решение. До замыкания рубильника в цепи проходит ток
/Г U .... . '
I = —-----Sin ((00/ + Ф — ср),
где
г = V (п + г2)2 + + <o0L2)2 = 2,5 ом\
Ф = arctg -оМ + W°L2 = arctg 3,43 = 73°44'.
Г1 Ч-Г2
326
По условию задачи в момент включения этот ток максимален, т. е.
I (0.) = i (0+)= - sin (<о0/ + Ф — ?)
/ssso^. 2 25
Отсюда может быть рассчитан угол включения ф:
sin (ф — <р) => 1; ф— Ф = 90°; ф= 90° + ф = 163°44'.
Так как изображение синусоидальной функции определяется срав-
нительно сложной формулой, в данной задаче операторным методом
вычислим только свободную составляющую тока цсв, а принужден-
ную составляющую тока /1пр найдем, рассчитав схему задачи (см.
рис. 9.23) после коммутации символическим методом:
/ = = = Юе/163°44> = 2е/"0‘34' а
1Пр/п ri + ЬЛ 3 4- /5- 108 • 0,8 • 10~8
/1пр = 2 sin (со0/ + 110°34')а; г1пр (0+) = 2 sin 110°34' = 1,87 а.
Начальное значение свободного тока
Чсв (0+) = i (0+) - Цлр (0+) == 0,4- 1,87 == -1,47 а.
Операторная схема замещения
для расчета свободной составляю-
щей переходного процесса с учетом
ненулевых начальных значений
свободных токов вычерчена на рис.
10.16.
По второму закону Кирхгофа
дляхпервого контура имеем
(^+) = АсВ
Рис. 10.16
(г i + pLi)
и, подставляя численные значения и вычисляя изображение свобод-
ного тока, находим
/ („) = (0+) = _ 0,8 • 10“8 • 1,47 _ 1,47 ,
icbW rx-YpLA 3 + 0,8- 10“3р р + 3,75.103
По формуле разложения,
Ч = - 1,47е~ 3’75 * 103‘ а.
Суммирование принужденного и свободного токой определяет
искомый ток
it = [2 sin (®ot + 110’34') — 1,47е“ 3175 ’10''] а.
Аналогично вычисляем ток 12. Отличие заключается в том, что
вынужденный ток равен нулю:
^2прт 5=2 0» ^2пр в О*
327
Поэтому
Рис. 10.17
^2св (0+) = Ш) = * (0_)= 0,4 а.
По второму закону Кирхгофа для второго контура (см. рис. 10.16),
/2 (Р) = Лев (Р) = —ув (0) = 4 ' 10~3' °’4 = ——— .
2\Р) 2cbW r2 + pL2 4 + 4-10-3р р + 103
По формуле разложения,
h. = *2св = 0,4е 10 * а.
10.23. До включения рубильника Р по
цепи проходит синусоидальный ток, вызван-
ный действием синусоидальной э.д.с. е =
= 180sin(314/4-30°) в. В момент t = 0 вклю-
чается рубильник Р (рис. 10.17). Найти
выражения переходных токов, если =
=30 ом, г2= 60 ом, г3 = 50 ом и
= 80 мкф.
Решение. Вычислим ток и напря-
жение на конденсаторе при установившемся режиме до замыкания
ключа:
; ; 180е' 180е' . яч /53°50'
‘1т ~ ‘2т ~ ------------------ = ------------ = 1 >°3е
1т лт 90 —/314 • 80-КГ» 90-/39,8
i -on О 1 оо '53°50' -70 О “/36°10'
иСт = — ]хс12т = — /39,8 • 1,83е == 72,8е в\
ис = 72,8 sin (314/ — 36°10') в.
При t = 0_ напряжение на конденсаторе
ис (0_) = 72,8 sin (— 36°10') = — 43 в.
Составим уравнения по методу контурных токов в операторной '
форме:
(П 4- r3)Jt (р) — г3^2 (р) = Е (р);
--f3^1 (р) + рз + Г2 4- ^2 (р) ----——— •
\ рс) Р
Определим ток J2(p)- Для этого решим последние уравнения отж>
сительно J2(p):
^г(Р) —
Е (р) Cr3p — Uc (0,) (Г! 4- г3) С
(Гуг2 4- г^з 4- r2r3) Ср 4- гх4-гз
= У2(Р).
Перепишем его в комплексной форме. Так как в рассматриваемом
случае действует синусоидальная э.д.с. е (/), то расчет значительно
упрощается, если оперировать с мгновенной комплексной э. д. с.
328
* / (°W “I” Ф)
e (f) = EmQ , изображение которой значительно проще и имеет
вид
Ёт (Р) =
/30°
180е7
р —/314 ‘
Для учета ненулевых условий второе слагаемое умножим на /.
Итак, подставив числовые значения, получим
-----------80 • 10-8. 50р — / (— 43) 80 • 80 • 10“»
р — / 314__________________________________________
(30 • 60 Н- 30 • 50 + 60 • 50> • 80 • 10"вр 4- 80
0,72е/30,°р 0,276
(р — /314) (0,504р 4-80) 1 0,504р 4- 80
Найдем комплексный оригинал тока. Его можно отыскать разными
путями: с помощью пп. 14 и 5 табл. 10.1 или с помощью теоремы раз-
ложения. Изберем первый путь:
/30°
0,72е7
2т 0,504 (р — 314) (р + 159)
0,276
/30° -------1------(_ /• 314е/зш _ 159е-159/)1 + f о,548е-15в/
.—/314—159 'J
/30°
1»43е / /и’ о 14 /31«
- З52е/63°10’ 1
— 159е“159/) +
+/0,548е-159< =
1,27 е'(ЗШ + 56°50' > + 0,646е~159/ е~ /33°10' +
4- j 0,548е-15«] а = /2 (0-
Искомый ток определяется как мнимая часть последнего выраже-
ния:
г2 (/) = Im [ i’2 (/)] = 1,27 sin (314/ + 56°50') +
+ 0,646 sin (—33°10')е-159< + 0,548е-159' =
= [1,27 sin (314/ + 56°50') + 0,196е~159'] а.
Выражения двух других токов и на-
пряжения на конденсаторе рекомендует-
ся рассчитать самостоятельно. При этом
для отыскания комплексного оригинала
использовать теорему разложения.
10.24. Найти переходные токи в цепи
и напряжение на индуктивности при за-
мыкании рубильника Р в момент t = 0 р
(рис. 10.18). Даны: е = 100 sin (314/+
60°) в, и = 25 ом, г2 = 20 ом, г3 = 30 ом и L = 0,1
гн.
329
Задачу решить операторным способом, методами контурных токов
и узловых потенциалов?
10.25. Решить-задачу 9.56 операторным методом.
10.26. Напряжение, изменяющееся по показательному закону.
и = U($~at (UQ = 10 в, а = 2 сект1), включается в цепь, состоящую из
последовательно соединенных
a.)
6
Рис. 10.19
активного сопротивления г = 2 ом и
индуктивности L = 1 гн.
Определить максимальное зна-
чение, тока, которого он достигает
после включения.
10.27. Цепь, состоящая из по-
следовательно соединенных актив-
ного сопротивления г = 2000 ом,
емкости С = 50 мкф, включается
под действие напряжения и =
= 100е“5/ в. Найти законы измене-
ния тока i и напряжения на об-
кладках конденсатора.
10.28. Цепь, состоящая из по-
следовательно соединенных г =
= 10 ом и L = 4 гн, включается
под действие напряжения и =
= 120 (1—е~4/). Найти выражения
тока и напряжения на индуктив-
ности.
10.29. Цепь, состоящая из по-
следовательно соединенных актив-
ного сопротивления г = 104 ом и
конденсатора С = 50 мкф, включа-
ется под действие напряжения ц=
= 120 (1—е~4/) в. Найти выражения
для тока и напряжения на конден-
саторе.
10.30. Цепь, состоящая из генератора постоянного тока (J, гг),
нагруженная на г^-ветвь, находится в установившемся режиме
(рис. 10.19, а). В момент t = 0 замыканием контакта /С осуществляет-
ся коммутация, включающая сопротивление г2. Найти закон измене-
ния тока 4(/), протекающего через ветвь r^L после замыкания контак-
P e ш e н и e. До коммутации по ветви i\L протекал постоянный ток
Начертим эквивалентную операторную схему замещения после
коммутации (рис. 10.19, б) и заменим ее схемой рис. 10.19, в, в которой
параллельно соединенные сопротивления гг и г2 заменим эквивалент-
ным
330
По методу контурных токов имеем
3i (р) (П + г + pL) — J (p)r = Lh(0_).
Отсюда, учитывая, что/(/?) = —, найдем
Р
Li(Q_)+—r
ЭМ = — ", = +
Гх 4* г 4- pL ri-J-r / Г1 4- г \
Р^~Л7Г Lp V + ~L ~ /
Используя пп. 5 и 11 табл. 10.1, найдем оригинал каждого из этих
изображений. В результате получим
( Г1ГГ ГгГГ + \
г 2 Н ;— е I •
ri + ''г /
10.31. Каждая из цепей рис. 10.20, а и б находится в установив-
шемся режиме. В момент t = 0 контакт К мгновенно выключается.
Найти закон изменения напряжения uab(t). Задачу решить, если к
входным зажимам был подключен: а) источник постоянного напря-
жения U\ б) источник постоянного тока 7. Для каждой из схем при-
нять g = г2 = = г4 = г.
Рис. 10.20
Рис. 10.21
Б. Расчет переходных процессов в цепях со взаимной индуктивностью
10.32. До замыкания контакта К цепь рис. 10.21, а находилась в
установившемся режиме. Найти выражение тока г2 как функцию вре-
мени после замыкания К. Даны: Е = 30 в, г = 100 ом, г, = 200 ом,
331
Li = l2 = 0,3 гн, M = 0,1 гн. Составить операторную схему заме-
щения.
Решение. Для схемы после коммутации запишем уравнения
Кирхгофа для мгновенных величин:
Е = ir + 1ггх + + Л1 —; (1)
1 1 1 dt dt ' '
Е = ir + L2 + М -^1
dt dt
Перейдем к операторной форме записи
£
нулевое значение тока ц (0_) =----:
этих уравнений, учтя не
Е (р) = г! (р) 4- пЛ (р) 4- рШ1 (р) — ЦЦ (0_) 4- pMlz (р); (1')
Е (р) = rl (р) 4- pL2l2 (р) 4- рМ1х (р) — Mii (0_);
(2')
(3')
/ (Р) = /1(р) 4- /2(Р)-
Рис. 10.22
332
Решим эти уравнения относительно /2(р) и, учитывая, что Е (р) ==
Е
= —, получим
р
/ (п) = р - Р (М - М) ч- Г1М] h (0J) + Ert
2 р [р2 (L1L2 — М2) + р (Lif + L2r + L2rx — 2Mr) + rrt
Подставив числовые значения и сократив числитель и знаменатель
на общий множитель р + 1000, получим
/2 °’3 (1 - е-250'> а = W-
Проверка. При t = 0 ток i2(0) — 0, что соответствует перво-
му закону коммутации. При t — <х> ток z2'(oo) = 0,3 а. Действительно,
при установившемся режиме ветвь r^Li будет закорочена индуктив-
ностью, по которой проходит ток t2(oo) = —- = 0,3 а. Схема замеще-
Г
ния изображена на рис. 14.21, б.
10.33. Схемы рис. 10.22 имеют индуктивно связанные элементы.
Для каждой из них найти закон изменения тока г2(/) после коммута-
ции.
В схемах рис. 10.22, а и б до размыкания контакта К имел место
установившийся режим, вызванный действием постоянных источни-
ков. Параметры схемы рис. 10.22, а: Е — 50 в, = 100 ом, =
= 0,3 гн, г2 = 200 ом, Ls = 0,3 гн, М = 0,2 гн, г3 =100 ом. Для
схемы рис. 10.22, б рассмотреть случаи включения: 1) источника
постоянного напряжения U — 100 в; 2) источника постоянного тока
J — 1а. Параметры этой схемы: = г3 = 150 ом, г2 = 200 ом, г4 =
= 150 ом, г = 50 ом, Lt = 0,2 гн, L2 = 0,1 гн, М = 0,1 гн.
Параметры схемы рис. 10.22, в; Е = 30 в, rt = г2 ~ г3 — 100 ом,
Lt = 0,2 гн, L2 = 0,1 гн, М =0,1 гн.
Глава одиннадцатая
РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ
И СПЕКТРАЛЬНЫМ МЕТОДОМ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Переходные функции. При подключении цепи в начальный
момент t = 0 к источнику единичного напряжения или тока реакция
цепи (напряжение на любом ее участке или^ток в любой ее ветви как
функция времени) называется переходной функцией k (/) (напряжения
или тока соответственно). При подключении цепи к источнику единич-
ного напряжения переходная функция тока называется переходной
проводимостью у (/); при подключении цепи к источнику единичного
тока переходная функция напряжения называется переходным сопро-
тивлением z (/) (см. таблой.1).
Таблица 11.1
Воздействие Реакция
ТОК напряжение
Единичное напряжение у (0 fe(0
Единичный ток fe(0 z(0
При подключении в момент источника постоянного воздействия
Fr (например, напряжения с э.д.с. Ег = Fr или источника тока Jr=
«= Fr) реакция цепи f (/) [и (/) или i (/)] равна
/(/) = Frk(t-td. (11.1)
Переходные функции не зависят от формы и амплитуды действую-
щих в схеме источников э.д.с. и тока и определяются самой схемой и
параметрами ее элементов.
Для определения переходной характеристики цепи можно поль-
зоваться операторным методом.
Так, например, изображение переходной проводимости у (р) мож-
но получить, если учесть, что изображение единичного напряжения
есть \1р (см. п. 2 табл. 10.1):
1
у(р) = —-— = —-—.
Z (р) pZ (р)
334
Оригинал у if) определяется с использованием таблиц изображений
или по теореме разложения.
Приведем примеры
А. При включении на постоянное напряжение U цепи, состоящей
из последовательно соединенных г и L, ток, напряжение на индуктив-
ности и напряжение на активном сопротивлении равны:
1 \
1 — е
где т — Llr — постоянная времени цепи.
Деля эти выражения на величину U, найдем, что переходная про-
(_ _£_\
*С I
1 —е I, а переходные функции для напря-
/
жения на индуктивности и на активном сопротивлении соответственно
_2_
равны kL(f) = е , kT (/) = 1 — е
Б. При включении на постоянное напряжение U цепи, состоящей
из последовательно соединенных г и С, ток и напряжения на емкости
и на активном сопротивлении определяются по формулам:
где т = гС — постоянная времени цепи.
Принимая в этих формулах [7=1, получим
г/(0 = у'е \ \ ^г(/) = е \
Примеры приведены в задачах 11.1 и 11.5.
2. Интеграл Дюамеля. Если на пассив-
ную цепь в момент t = 0 включается во-
здействие /г (/), являющееся непрерывной
функцией времени (рис. 11.1), то реакция
цепи f (t) определяется интегралом Дюа-
меля по формуле '
(Н.2)
где (0) — начальное значение воздействия;
335
Г (т) = — обозначение производной воздействия;
dt t=n
k (t — т) — переходная функция, в которой t заменено на
t — т.
Если функция воздействия /г (/) имеет различные выражения на
разных интервалах времени (например, для рис. 11.2
/г(0 = А(0 при =
Рис. 11.2
кроме того, имеет или не имеет скачки, то интервал интегрирования
разбивается на отдельные участки, а реакция цепи, рассчитываемая
интегралом Дюамеля, записывается для отдельных интервалов вре-
мени. В случае воздействия, изображенного на рис. 11.2, имеем:
1) В первом интервале времени от 0 до (не включая скачок Fri)
f(t) = fr(O)k(t)+ J -x)dv, (11.3a)
0
2) во втором интервале времени от до t2 (не включая скачок
ti
f(O = fr(O)Ai(O+J f't (r)k(t — t)dz + Frik(t — +
0
+ J f2 (t) k(t —x) dt.
t1
(11.36)
Здесь слагаемое Frik (t—обусловлено положительным скачком
воздействия в момент *
336
3) в третьем интервале времени от Z2 до оо
f (t) = f Г (0) k (0 + J f, (т) k (t - T) dx + FГ1 k (t - +
0
'2 t
+ p2 (’) k (t — t) dr — Fr2k (t —12) + J f’s (t) k (t — x) dx. (1 1.3b)
ta
Здесь слагаемое —Гг2й (t — t2) обусловлено отрицательным скач-
ком воздействия в момент /2-
Входящие в формулы (11.3а, би в) k (t—т) есть k (/), в котором t
заменено на t — %.
Примеры даны в задачах 11.7, 11.9, 11.13.
3. Импульсные характеристики. При исследовании действия ко-
ротких импульсов на линейные цепи используется понятие «дельта-
функции» (или «единичной‘импульсной функции»), S (/). Она характе-
ризует собой единичный импульс и определяется следующими равен-
ствами:
8(0 =
' 0 при /<0;
. оо при t = 0;
0 при
Основные свойства дельта-функции:
\b(t)dt = 1;
8(О = 8(р) = 1;
(11.4а)
ОО
ср (т) S (t — т) du ~ ср (/).
—оо
Реакция цепи на действие дельта-функции называется импульсной
характеристикой цепи.
В табл. 11.2 приводятся воздействия и соответствующие им-
пульсные характеристики (реакции) цепи.
Таблица 11.2
Воздействие Реакция
ток напряжение
Единичное импульсное напряжение Единичный импульсный ток у<, (0 (0 fed (0 Z5 (0
337
Поскольку 6 (р) = 1 = р — (см. п. 1 табл. 10.1), изображение лю-
р
бой импульсной характеристики можно получить умножением соот-
ветствующей переходной характеристики на оператор р:
kt(p)^pk(p). (11.46)
Учитывая теорему дифференцирования оригинала, получим
k& (0 = k (0)8(0 +
dk(t)
dt
(11.4в)
Реакция цепи при произвольном ограниченном воздействии F (0
определяется по формуле
f (0 = J F — т) di
о
(11.5а)
или с учетом (11.4а) и (11.4в)
t
f (0 = F (t)k (0) + J F (i)k'^t — i)di. (11.56)
о
Примеры приведены в задачах 11.17, 11.18, 11.19.
Рис. 11.3
Рис. 11.4
4. Дифференцирование и интегрирование сигналов. Простейшие
дифференцирующие (обостряющие) цепи изображены на рис. 11.3, а
и б, а интегрирующие (сглаживающие) — на рис. 11.4, а и б. Эти цепи
осуществляют дифференцирование и интегрирование сигналов с опре-
деленным спектром частот приближенно.
Дифференцирование осуществляется в области частот тем качест-
веннее, чем сильнее выполняется неравенство
тсо 1, (11 .ба)
338
а интегрирование, наоборот, при неравенстве
т® 1. (11.7а)
В формулах (11.6а) и (11.7а) постоянная времени т = гС для
рис. 11.3, а и 11.4, а и т = — для рис. 11.3, б и 11.4, б.
Для импульсных воздействий продолжительностью /и условие
(11.6а) качественного дифференцирования эквивалентно неравенству
T«fH, (11.66)
а условие (11.7а) качественного интегрирования эквивалентно
т»Ги- (11.76)
Цепи, не удовлетворяющие условиям (11.6а и 6)—(11.7а и 6), на-
зываются переходными (разделительными).
Пример дан в задаче 11.22.
5. Интегральные преобразования Фурье. Сущность спектрального ,
представления состоит в замене заданной функции времени суммой
синусоидальных функций различных частот.
Абсолютно интегрируемая функция времени может быть вычис-
лена в виде наложения своих гармонических составляющих с по-
мощью интеграла Фурье:
f (0 = Д- J F (]'</>) е'ш' dm.
—00
(Н.8)
Здесь интенсивность спектральных составляющих определяется
спектральной плотностью F (j<n), которая может быть вычислена по
формуле Фурье:
оо
F(j(a) = J f(t)e~,a>t dt. (11.9)
—00
Выражения (11.8) и (11.9) на-
зываются соответственно обратным
и прямым преобразованиями Фурье.
6. Теорема сдвига (запаздыва-
ния). Если известна спектральная
плотность F (ja>), соответствующая
заданной временной функции f (£)
(кривая / рис. 11.5), то для сдви-
нутой вдоль оси времени на время
запаздывания временной функ-
ции f (t—tt) (кривая 2) спектральная
плотность отличается фазовым множителем е /<ot‘ и имеет вид
F(/m)e-M*.
7. Связь между преобразованием Фурье и Лапласа. Сравнение
формулы Фурье (11.9) с формулой (10.1) показывает, что для неперио-
339
дических временных функций f (/), отличных от нуля лишь при t >0
и удовлетворяющих условию интегрируемости по Фурье [ | / (/) | <
< Me~|fo,/, где М и Со — положительные и действительные величи-
ны], спектральная плотность совпадает с соответствующим изобра-
жением Лапласа, в котором параметр р заменен на /со. Это свойство
позволяет применять таблицы преобразования Лапласа для вычисле-
ния функций спектральной плотности и позволяет для заведомо рав-
ных нулю при / 0 временных функций f (/) вычислить их мгновен-
ные значения, пользуясь изложенной в гл. 10 методикой нахождения
оригиналов.
Спектральная плотность F (ja) реакции цепи [например, спект-
ральная плотность напряжения U (jcn) или тока / (/со) произвольного
элемента цепи] вычисляется по спектральной плотности воздействия
Fr(/co) генератора и соответствующей комплексной функции передачи
цепй К (/со):
F (/©) = /< (/<o)Fr (/<о). (11.10)
Частные случаи комплексной функции цепи — сопротивление
передачи Z (jo) и проводимость передачи Y (ja).
Примеры приведены в задачах 11.26, 11.28, 11.31, 11.33, 11.37,
11.41.
8. Энергия импульса /(/) пропорциональна интегралу энергии:
А = J P(t)dt. (11.11)
— со
Интеграл энергии импульса может быть вычислен по формуле
Релея, если задана его спектральная плотность F (/со):
А = -1-J IF (ja) I2 da.
о
(Н.12)
Функция квадрата модуля | F (/со) |2, определяющая плотность рас-
пределения энергии импульса по спектру, называется энергетиче-
ским спектром данного импульса.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Переходные характеристики. Расчет переходных процессов
с помощью интеграла Дюамеля
11.1. Рассчитать переходную проводимость у (/) схемы (рис. 11.6)
и переходную функцию k (/) передачи по напряжению. Даны: rt ==
= 2 ком, г2 = 4 ком и С = 1 мкф.
340
Решение. 1) Определяем классическим или операторным ме-
тодом ток 12 (/) схемы при подключении к ее зажимам 1-Г в начальный
момент t = 0 постоянного воздействия в виде напряжения (У:
i2 (t) = —-— +------------------е Г1Г‘ t=U> 10-3(- +
Г1 4" г£ гг (Г1 4“ гг) \ 6
Разделив это выражение на ампли-
туду воздействия U, найдем значение
переходной проводимости
у (/) = (1,67 + О,83е-750') 10-4 сим.
2. Выходное напряжение по закону
Ома
«г(0 = r2i2 (t) =t/(0,667+0,333e~750z).
Разделив это выражение на U, по-
лучим переходную функцию передачи по
Рис. 11.6
напряжению:
k (/) = 0,667 + 0,333e-750z .
11.2. Рассчитать в буквенном виде переходную проводимость
схемы рис. 11.7 и переходную функцию передачи по напряжению.
Рис. 11.8
11.3. В схеме рис. 11.8 = г2 = 5 ком и Ci = С2 = 10 мкф.
Определить переходную функцию передачи по напряжению и пере-
ходную проводимость схемы.
11.4. В цепи рис. 11.9 действует источник напряжения с э.д.с.
е (I). Найти переходную функцию k (/) для расчета напряжения на
емкости; переходную проводимость y(t) для расчета тока i (/); пере-
ходную проводимость г/1(/) для расчета тока ц(/).
11.5. В цепи рис. 11.10, а действует источник тока I (/). Вычислить
переходную функцию k (t) для расчета тока i2(t) и переходное сопро-
тивление z (t) для расчета выходного напряжения u2(t).
Решение. Переходная функция k (/) совпадает численно со
значением переходного тока i2(t) в рассматриваемой цепи при воздей-
341
ствии единичной функции тока i — 0 при / <0 и I — J = 1 а при
t > 0 (рис. 11.10, б). Операторная схема замещения для расчета соот-
ветствующего тока показана на рис. 11.10, в. Изображение переход-
ной функции [с учетом того, что J (р) = —Д имеет вид
\ z /
1
К(р) = /2(р) = I (Р)
рС
Переходя к оригиналу, находим
t
(0 = «2(0 = 1-е г,с •
Переходное сопротивление z (/)
численно совпадает с выходным
1
Р (r£p + 1)
Рис. 11.10
Рис. 11.9
напряжением и2(0, возникающим в схеме под действием единичного
тока J == 1 а (см. рис. 11.10, б). Оператор переходного сопротивле-
ния Z (р) численно совпадает с оператором выходного напряжения
U2(p) схемы рис. 11.10, в:
1
Г2 г
Z (Р) = и2 (р) = J (р)---------------
Г2"Ь "тг"
Ср
I
*2 .
р (г2Ср 4- 1)
ч
Переходя к оригиналу, с помощью табл. 10.1 найдем переходное
сопротивление:
11.6. Для цепей рис. 11.11, а и б найти переходные функции
ki(t) и k2(t) для расчета соответственно токов ц(/) и i2(/) и переходное
сопротивление г2(/) для расчета выходного напряжения и2(/).
342
°).
s)
Рис. 11.11
последовательно соединенных г и С,
"с
Рис. 11.12
11.7. Цепь, состоящая из
включается на прямоугольный импульс напряжения U, действующий
в течение времени tH (рис. 11.12, а).
Найти уравнения напряжения на ем-
кости ис и тока I в зависимости от
времени. Построить кривые ис и I.
Решение. Расчет ас ведем с
помощью интеграла Дюамеля. В рас-
сматриваемом случае функция под-
водимого напряжения Ui(/) в момент
t = /и претерпевает скачок, поэтому
для решения должны быть использо-
ваны формулы (11.3а, б и в). Сначала
найдем входящие в эти формулы ве-
личины:
переходную функцию по напряже-
нию (см. пример Б на стр. 335)
k (0 = 1 —е г6 ; k = 1 —
(t— 1)
—е ; напряжение в началь-
ный момент О1(0) = U; производную от
переменной т щ ,(т) = 0.
В интервале времени 0 t < Ги (не включая скачок напряжение)
по формуле (11.3а) определяем
заданной функции по ново й
uc{t) =Oi(0)A(0+ f ux(t)k(t — r)dx = 47(1 — е rC J4-0. (1)
Ток в этом интервале находим с помощью соотношения
(2)
343
В интервале времени t > tt
i
ис(t) = u{(0)£ (О + j* u'i(t) k(t — x)dt — Uk(t —t„) =
(3)
(4)
По уравнениям (1)—(4) на рис. 11.12, б качественно построены
кривые ис и I.
11.8. Цепь имеет переходную функцию по напряжению k (t). За-
писать интеграл Дюамеля для выходного напряжения uz(t) при вклю-
чении этой, цепи на напряжение «Д?) (рис. 11.13, q, б и в).
11.9. Импульс в форме полуволны синусоиды (рис. 11.14,а) вклю-
чается на цепь, содержащую последовательно соединенные г = 10 ом
и L = 0,1 гн.
Уравнение напряжения в интервале времени от 0 до 4 = Tq/2
имеет вид u^t) = t/m sin (&ot(Um = 10 мв, То — 0,02 сек).
Найти уравнение тока в функции времени.
Решение. Задачу решим с помощью интеграла Дюамеля.
В интервале времени 0 t 4 имеем:
/
«1 (0 = Um sin <V; и\ (х) = аоит cos шот;
«i(0)=0; (1)
1/(0 =
(2)
Ток в этом интервале находим по формуле интеграла Дюамеля
[см. формулу (11.3а)]:
344
t
m COS (00T x
sin (OnT
Jo
- 4- <^)
1
г
г t г
— 7- ? р------7- т:
— е J е cos (оотйт*
о
Um • <
sinco0/ —
n
m
<o0Le
L
= —— sin (<в0^ — <р) 4- sin <ре
г
-₽-f
где
2
Ток в интервале времени 4, 00 определяем о помощью ин-
теграла Дюамеля, разбивая интервал интегрирования на два участ-
ка: первый участок (0 -j- /и), где выполняются условия (1), и второй
участок (/„ ч-/), на котором и2 (/) = 0 и и2 (т) = 0):
* Этот интеграл является табличным, он определяется по формуле
Р a cos bx -J- b sin bx Л у
I eaJC cos bxdx =--------:-----------е .
345
i(t) = u(O)y(t) +
p1 i I
= 0 + a)ot7_ cos соот — 11 — e J dt + 0 =
•/ v ** v V \ /
“ (т) У (t — t) dt + J «2<т) у (t — x) dx =
— sin(oo<H—e
<oe
— cos wot 4- <o0 sin <ooT
jL
-------------------------------e
2+<4
И
0
U ftl <
— -T-t
. to0Le **
Sin©,/,,-------.° ,
-r-t
U tn < Л
= —I Sin Qot„---------------2---
r 0 za
Имея в виду, что со0/и = <о0 = к, и поэтому sin соо/и = О,
cos о)0/и = — 1, последнее выражение после некоторых упрощений
примет вид
i (/) =
2
£ *И
(4)
Из выражения (3), полученного для первого интервала времени в
момент t = ta, ток
ит sin <р
г
£ГИ
То же значение имеет ток, полученный из выражения (4). Это про-
верка правильности полученного решения.
По уравнениям (3) и (4) на рис. 11.14, б построена (в масштабе) кри-
вая тока.
11.10. Импульс напряжения в форме полуволны синусоиды (см.
рис. 11.14, а) включается в цепь, содержащую последовательно со-
единенные г и С. Найти уравнение тока. Даны: и = Um sin а></> Um=
= 10 мв, То = 0,002 сек, г = 10 ом и С = 50 мкф.
11.11. С помощью интеграла Дюамеля решить задачи 11.25,
11.27—11.29.
11.12. Цепь, содержащая последовательно соединенные г и С,
включается на напряжение, растущее по линейному закону Uarf.
Найти уравнения тока и напряжения на конденсаторе.
346
11.13. Цепь из последовательно соединенных г = 100 ом и С =
= 25 мкф включается на импульс напряжения, линейно нарастаю-
щий до момента/н= 2 жек: (рис. 11.15). Дано Um = 10 в. Найти урав-
нение напряжения на конденсаторе.
Решение. Переходная функция
(см. стр. 335, пример Б):
«
k(t)= 1— е~~ = 1— е~400/;
k (t-x) = 1 _е-400(/-т) = 1 - е"400' е4<Хк .
Для времени 0 t < t№ напряжение Ut (f) — -^-t = 5-103/,
‘и
«;(O=-^ = 5.io3=«;(4
По формуле интеграла Дюамеля 1см. формулу (11.3а)( для интер-
вала времени 0 I < /и
t
t
uc(t) = Ui (O)k(t) 4- f«;(T)A(Z—T)dT=0 + J 5-103(1 — e-400* e400*)^ =
0 0
5. юзт — 5 • 103e"4004
e400t
400 _л
-*TesU
= 5 • 103l — 12,5 + 12,5e-400' в.
Для интервала времени t > t„ следует учесть скачок входного
напряжения в момент времени tK (спад напряжения от Um до’О). Со-
гласно формуле (И.36) имеем [учитывая, что в рассматриваемом ин-
тервале времени «j (/) = 0, и'х (/) = и'х (т) = 0]
'и
Uc(t) = ut (0)k (t) 4- J ux (x)k(t — x)dx — Umk(t — 1И) 4-
0 .
4-1 «;(т)Л(/— t)dt = 04- I 5-103(l — e-40W.e400x)<fr —
ги u
— 10(1—е_4<юи~'и))+0= f 5-103(l —е-400/е400х)(1т4- f Q-dx —
0
_(/ (!_ е-.400«-/и))= Г5.1O3X _ 5.103e-4001 -^ТИ —
m v ' L 400 Jt=o
— 10(1 — е_400(/_<и>) = 5. юз/и — 4- 12,5e-400' — 10 4-
4- lOe".400"-'»’ = (5- 103Z„ — 10 — г.бе-400*'-'"* 4- 12,5e-40w) e.
347
Подставляя значение /и “ 2-10“3 сек, находим (для t >> /и)
uc(t) = (-2,5е400-2-10'3 + 12,5) е-400/ = 6,94е-40%.
11.14. Импульс напряжения, приведенный в предыдущей задаче
(Um = ю в, /и = 2 мсек) подается на цепь из последовательно соеди-
ненных г = 100 ом и L = 0,2 гн. Найти уравнение тока.
11.15. На вход цепи рис. 11.16, а подается напряжение u^t), имею-
щее форму, показанную на рис. 11.16,6. Найти уравнение напряжения
и2 (t) на ее выходе, если г = 1 ком, С = 1 мкф, U = 100 в, и =
== 4 мсек.
Рис. 11.16,
Рис. 11.17
11.16. Найти уравнение выходного напряжения u2(t) (рис. 11.17),
если на вход подается линейно растущее напряжение u^t) — U^t.
Б. Импульсные характеристики. Расчет переходных процессов
при импульсных воздействиях
11.17. Рассчитать импульсные характеристики цепи рис. 11.6
при воздействии на вход цепи источника напряжения, полагая, что
реакцией является: а) ток в неразветвленной части цепи; б) напря-
жение на сопротивлении.
Решение. Переходные характеристики цепи были определены
в задаче 11.1:
У (/) = (1,67+0,83е—7507) 10-4 сим;
k (0 = 0,667 + 0,333e-75W.
Для определения импульсных характеристик цепи используем
формулу (11.4в):
f/s(0=f/(0)8(0 + ^r- = 10-4(1,67 -ь 0,83)8(0 —
at
— 750- 10“4-0,83e-750z = 2,5- IO"4 8 (t) — 0,062e-75w (сим-сект1),
k. (0 = k (0) 8 (0 + = (0,667 + 0,333) 8 (/) — 750 • O,333e-750' =
dt .
= 8(0 —250e-75W.
348
11.18. Определить в буквенном "виде выражение входной импульс-
ной проводимости цепи рис. 11.7 и импульсную характеристику вы-
ходного напряжения, считая, что на входе пепи действует источник
напряжения.
Решение. Используем операторный метод. Изображение им-
пульсной проводимости неразветвленной цепи, учитывая, что при
единичном импульсном воздействии напряжения £7х(р) = 1, имеет вид
Переходим к оригиналу с учетом соответствии пп. 1 и 5табл. 10.1:
Изображение импульсной характеристики выходного напряже-
ния, учитывая, что С7±(р) = 1, имеет вид
а ее оригинал (см. пп . 1 и 5 табл. 10.1)
* При расчете импульсных характеристик выражение —-— для выделе-
р а
(а \
1 —----).
Р+а)
349
11.19. На вход цепи рис. 11.11, б подан импульс тока i(f) = Je~at.
Найти напряжение и2 (/)> используя импульсную характеристику цепи.
Принять, что Г1 — г2 = г3 =.г.
Решение. Найдем импульсную реакцию выходного напряже-
ния ?8(/). Для этого составим формулу изображения импульсной ха-
рактеристики этого напряжения U2(p). Чтобы ее получить, запишем
Сначала операторное выражение тока /8(р), проходящего через г8:
4 (Р) = J (Р)
Операторное выражение выходного напряжения
t4(p) = 4(P)- ~i , = V(p)
rt + pL
Учитывая, что при единичном импульсном воздействии тока J (р)=
= 1 и что = г2 = >з = Л получим
Переходим к оригиналу:
а -2гг -
4(0=v8<0-^-e 127 = z (0) 8 (0 + г' (/).
Для определения и2 (/) используем формулу (11.4в)
t
и2 (0 = i (0 2 (0) + J I (т) z' (t — т) di =
о
350
11.20. На вход цепи рис. 11.7 подан импульс напряжения «//) «
= U$rat. Найти напряжение ы2(0> используя импульсную характе-
ристику цепи Л8(/). Вычислить импульсную проводимость для рас-
чета тока, протекающего через: а) сопротивление б) индуктив-
ность L. Начертить качественно их временные диаграммы.
С помощью найденных в пп. а) и б) импульсных характеристик
определить токи, протекающие через г4 и L при воздействии заданного
импульса «1(0-
11.21. На вход цепи рис. 11.10, а подан импульс тока i (f) ==.
= Je~at. Найти импульсные характеристики для расчета: а) выход-
ного напряжения и2(/); б) тока, протекающего через в) тока, про-
текающего через емкость.
В. Дифференцирующие и интегрирующие цепи
11.22. Цепь (см. рис. 11.3, а), постоянная времени которой т
включается на прямоугольный импульс напряжения U длитель-
ностью /и. Начертить графики зависимости выходного напряжения
от времени для различных отношений т//и, равных: а) оо; б) 5; в) 1;
г) 0,025; д) 0,05. Какое из этих отношений соответствует наиболее
качественному дифференцированию?
Решение. В задаче 11.7 было получено выражение для i. Вы-
ходное напряжение (на сопротивлении) будет определяться выраже-
ниями:
_ ‘ г
ы2 = = t^e г при 0 t t„,
и2 = ir = U \ е
гС и' I 1 ±
— е / при t > tu.
По этим выражениям на рис. 11.18, а — д построены кривые и2 (О-
Согласно формуле (11.6) приходим к заключению, что наилучшие
условия дифференцирования будут при т//и= 0,05. Необходимо от-
351
метить, что чем меньше отношение т//и,тем короче импульсы на вы-
ходе цепи. При т//и 1 цепь является переходной и форма импульса
на выходе остается почти такой же, как
и на входе.
11.23. Выполняются ли условия ка-
чественного дифференцирования в схеме
рис. 11.3, б с г = 10 ком и С = 2000 пф
в случаях подачи на вход синусоидаль-
ного напряжения, имеющего угловую
частоту: 1) со = 2-103 сект1, 2) со =
= 10б сект1?
Рис. 11.18
То же в схеме рис. 11.3, б, если г =
= 10 ом, L == 0,2 мгн при тех же ча-
стотах.
11.24. На вход цепи, состоящей из
последовательно соединенных г=25 ком
и С = 100 пф, подается прямоугольный
импульс напряжения длительностью /и.
В каком из указанных ниже трех слу-
чаев цепь будет дифференцирующей,
интегрирующей, переходной: 1) /и ==
= 15 мксек, 2) /и = 1 мксек, 3) /и =
=4 мксек?
Замечание. Практически цепь счи-
тают дифференцирующей, если tH > (3 4- 5) т,
интегрирующей при /и<(3-~5)т.
11.25. Выполняются ли условия
интегрирования: а) для цепи рис. 11.4,а
с г = 20 ком и С = 1000 пф при дли-
тельности входного импульса напряже-
ния /и = 100 мксек\ б) для цепи рис.
11.4, б с г = 10 ом, L = 0,5 мгн, tn ==
— 10 мксек?
Г. Частотные характеристики цепей.
Спектры непериодических сигналов (интеграл Фурье).
Прохождение непериодических сигналов через лцнейные цепи
11.26. Для цепи рис. 11.6 вычислить комплексную функцию пере-
дачи по напряжению К (]($)•
Решение. Комплексная функция передачи по напряжению при
синусоидальном воздействии щ = Y 2t/isin со/ представляет собой
отношение действующих значений комплексного напряжения (72(/со)
на г2 к приложенному, которое может быть рассчитано символиче-
ским методом:
352
И так как
/2 (/ш) =
У1 (]а>)
Г' ]о>С
.1 +г»
Fi -----------
/<оС
Гх + ^аЧ- ’
ТО
(1 + /<»СГ1) г2
= Ui W
1 •{- 1<лСг1
К =
11.27. Найти комплексный коэффициент передачи напряжения
К (ja>) для схем рис. 11.7 и 11.8 и комплексную проводимость У (/<о)
для расчета входного тока.
11.28. Для схемы рис. 11.10, а вычислить комплексное сопротив-
ление передачи Z (/©) для расчета выходного напряжения
Решение. Комплексное сопротивление передачи Z (ja>) равно
отношению выходного комплексного напряжения U2 (ja>) к входному
комплексному току 1 (](£>):
1
г2 —"
/ (/<») -------------------
11.29. В цепи рис. 11.11 действует источник синусоидального
тока. Рассчитать комплексные коэффициенты передачи тока
и К2/ (/©) для расчета токов (/со) и /г(/®) и сопротивление передачи
2г (/'<*>) для расчета напряжения на параллельных ветвях.
11.30. В цепи рис. 11.9 g = 1 ком, гг = 200 ом и С = 40 мкф.
Определить, при какой частоте модуль комплексной проводимости,
определяющий ток i3, проходящий через конденсатор (взаимной комп-
лексной проводимости ветвей источника и конденсатора), в
меньше своего максимального значения.
11.31. Рассчитать спектральную плотность прямоугольного им-
пульса тока i (/), показанного на рис. 11.19, а.
Решение. Расчет проведем двумя способами.,
1. По формуле Фурье (11.9):*
353
Здесь
W) - - —.
. “>*и
sin ——-
11 (/®) I ~ 5
2. На рис. 11.19, б по-
казано разложение импуль-
са тока на две ступенча-
тые составляющие тока с
амплитудами 1т и — 1т.
Изображение по Лапласу
первой составляющей (см.
табл. 10.1 п. 2) имеет вид
MP)=f.
а второй составляющей с
учетом сдвига вправо на
/и (по теореме сдвига) —
г / \ ifn —nt
lz(P) = ——e
Изображение заданного
импульса тока равно сум-
ме указанных изображе-
ний его составляющих:
/ (Р) = A (Р) + А (Р) =
=^-(1 _е-₽<и).
р v '
Спектральная плотность
импульса тока получится,
если в найденном изображении 1 (р) заменить р на /со:
sin-----
/ (;ш)= ^-(1 —е_/"‘и) = lmtB-------г
7 /со4 7 т и со/и
f и
е г = । у (/(в)) е*(») ,
Для построения АЧХ и ФЧХ составим табл. 11.3.
На рис. 11.19, в построен график отношения амплитудного спект-
ра | / (/со) | к величине! /(/со)|т=0 = /та4, а на рис. И. 19, г — график
фазового спектра. При построении все ординаты взяты положитель-
ными, а в тех точках, где амплитуды отрицательны, знак минус отне-
сен к фазе, которая в связи с этим уменьшена на л.
354
Таблица 11.3
со <“'и sln-jH- Ф (<»)
0 0 1 0
. п 2/и ± — 4 2/2 п -н- Я -Г" 4
п i2.. 2/„ п * ~2 2 п к | сч и-,
± 3-1- 9/ , Зя * — 2У"2 Зя .р Зя
я + 4 2/н ± я 0 q: я
п ±6— 2/и Зя ± — 2 Зя Зя ¥ -у
я ±8К -г ± 2п 0 Т 2я
11.32. Рассчитать спектральную плотность входного напряжения
прямоугольного импульса и (f), график которого показан на рис. 11.20.
Вычислить энергетический спектр Д)
входного напряжения.
11.33. Определить спектр по-
луволны синусоиды напряжения
(рис. 11.21, а), уравнение которой
и = Um sin при 0 t /и и
и = 0 при 0 > f > /и.
Решение. Решим задачу
двумя способами.
1. По формуле Фурье (11.9):
л
10 мВ
-5 0 о Ф иксен
Рис. 11.20
355
Рис. 11.21
2. Заданная полуволна синусоиды может быть рассмотрена как
результат наложения двух кривых (рис. 11.21,6): 1 — синусоиды,
начинающейся в момент t = 0 и действующей неограниченно долго,
и 2 — синусоиды, начинающейся в момент /и и также действующей
неограниченно долго. Изображение по Лапласу кривой 1 (см.
табл. 10.1) имеет вид
sin wot ,
ю0 +р
* Это табличный интеграл:
е ах sin bxdx =
a sin bx — b cos bx
a2 + b2.
356
а кривой 2 с учетом ее сдвига на ta —
sin «>о(* — U = —тг~Т е~Р‘я
“о + Р
Изображение заданной кривой равно сумме указанных изображе-
ний:
Заменив в полученном выражении р на /со, получим искомую спект
ральную функцию полуволны синусоиды
С1>0 - О)Л
которая после преобразования дает тот же резуль-
тат, что и ранее.
11.34. Рассчитать спектральную плотность вход-
ного напряжения (рис. 11.22), уравнение которого
10 при /<0,
<7е“а/при 0 < t < tn,
0 при t>tn.
Построить графики амплитудно-фазовой
О Ч t
Рис. 11.22
спектр альной характе-
1
ристики входного напряжения, приняв а — •
11.35. Рассчитать спектральную плотность на-
пряжения телеграфной посылки и (/) = 50 sino)0Z
при 0 со0/ 4л и и (/) = 0 при со0/ 0 и
(*)о/ 4л (рис. 11.23), со0 = 2-105 рад/сек.
Построить графики амплитудно-фазовой спек-
тральной характеристики.
u(i)
Указание. При решении удобно рассматривать
заданный импульс в виде синусоидального напряжения, ^ис-
начинающегося в момент t = 0, и накладывающегося на
него такого же отрицательного напряжения, но начинающегося в момент,
равный 4л/соо, для чего использовать теорему сдвига.
11.36. Рассчитать спектральные плотности двух импульсов (/)
и w2(0> составленных из отрезков синусоиды и показанных на
рис. 11.24, а и б.
11.37. Вычислить комплексный коэффициент передачи К (/со)
идеальной линии задержки, обеспечивающей сдвиг входного импульса
на время задержки т = 0,5 мксек. Амплитуда входного' импульса
уменьшается при прохождении линии задержки в 100 раз (.На 40 дб).
357
Решение. Обозначим функцию входного ‘ импульса По
условию задачи функция выходного импульса /2(0 удовлетворяет
уравнению
a)
Рис. 11.24
f® юо
Если Fi(j®) — спектральная плотность входного импульса, то
спектральная плотность выходного импульса
(/®) = 155 e~lanFi (/со).
Таким образом, комплексный коэффициент передачи исследуемой
линии задержки
К (W = IК (М! е'«-' - = 1М- .
Модуль и фазовый угол коэффициента передачи построены на гра-
фиках рис. 11.25.
11.38. Определить комплексный коэффициент передачи идеаль-
ного дифференцирующего фильтра, осуществляющего операцию
МО =0,1-2^-
[где «1(0 — функция входного напряжения; ы2(0 — функция выход-
ного напряжения].
Указание. Дифференцированию оригинала соответствует умножение
изображения на параметр р =» /ш.
11.39. Вычислить комплексный коэффициент передачи операцион-
ного фильтра, осуществляющего преобразование входного напряже-
ния по формуле ' t - -
(О Г
и2 (/) = (I) -ь b + с (О dt.
— 00
358
У Казани е. Интегрированию оригинала «©ответствует веление изобра-
жения на параметр р /о.
11.40. При воздействии на схему ступенчатого напряжения =0
при t < 0 и ut = 100 в при t > 0 выходное напряжение изменяется
по закону ы2(/) = 50 (1—е"600/) в. Вычислить комплексный коэффици-
ент передачи.
Рис. 11,26
11.41. На вход г, С-цепи подается импульс напряжения в виде
равнобедренного треугольника (рис. 11.26, а) продолжительностью
имеющий амплитуду U. Найти спектральную функцию выходного
напряжения (72(/со) на емкости. Построить график модуля спектраль-
ной функции |(/2(/(о) если U = 20 в, г — 100 ом, С = 1 мкф4я =
= 1 мсек.
Решение. Спектральная функция выходного напряжения
реакция цепи (см. п. 7 основных положений и соотношений)
,. . <Л(/о>)
(1)
напряжения
где. Uifjai) У — спектральная функция заданного
(воздействия);
2 (/®) = г + — сопротивление цепи в спектральной
В целях упражнения t/i(/a>) найдем двумя способами.
Способ 1. Найдем спектральную функцию входного
путем использования формулы Фурье (11.5). Для этого запишем урав-
форме.
напряжения
нение импульса:
21/ t„
ы (О = ~7~ t при 0 < / < —;
*и £
359
{ и (t) -----------т— t + 2U при -я- < / < *и;
ги
и (/) = 0 при t > tn.
Подставляя и (/) в (11.5) и учитывая, что функция входного напря-
жения в пределах от — оодо 0 и от /и до +оо равняется нулю, будем
иметь
Ч-оо 2
и1 (/®) = J и (0 ё~'ш‘ dt = f Ze-/“' dt +
—09 О
е-'*0'
dt.
Проинтегрировав, получим
(2)
Подставляя формулу (2) в (1), найдем
где
tg<]>(co) = <оСг, = arctg® Сг.
По этому уравнению на рис. 11.26, б построен график модуля спект-
ральной функции для положительных частот. Такой же симметричный
относительно вертикальной оси, проходящей через начало координат,
должен быть построен график для отрицательных частот. В точке <о=О
модуль равен 10в/ац. Модуль равняется нулю в точках—^— = kn (k —
целое положительное число). Первый нуль (k ~ 1 ) будет в точке со=
360
4те со
= — = 4л- 10® сект1. Это соответствует частоте / = -н- = 2000га «=
*и
= 2 кгц.
Способ 2. Заданное напряжение может быть представлено в виде
наложения трех прямых (см. рис. 11.26, а): 1 — начинается в мо-
мент t — 0 и действует неограниченно долго; 2 — имеет отрицатель-
ный наклон, крутизну, в два раза большую крутизны прямой 1, и
начинается в момент /и/2; 3 — имеет такой же наклон, как и прямая 1,
но начинается в момент /и (прямые 2 и <3 также действуют неограни-
ченно долго).
Уравнение напряжения (прямая /) имеет вид
2t/
и (/) = -г— t.
Соответствующее ему изображение по Лапласу (см. п. 3, табл. 10.1)
имеет вид
2£/
(У (р) = —7—•
*
Изображения по Лапласу прямых 2 и
будут иметь вид:
3 с учетом теоремы сдвига
20 -pt
—_________е ₽'и
<иР2
4U
Uz(P) =-----7Т5- е 2 ; U3(p)
Изображение заданного импульса равно сумме трех полученных
изображений:
7U I _ ц \
U(p) = Ui(P) + U2(P)+U3(P) = -1^r[^- 2е 2 +e-₽'nj.
Заменив в этом выражении р на /®, получим спектральную плот-
ность суммарного импульса входного напряжения
п /• ' 20 40 2U _ja>t .
U 1 (/^) “----7—2-Ь ~~7—2” “7—2— е и =
1 V ' /иСОа /и<02 /ИО)2
-7^
2е 2 — (1 + cosco^u — / sincoQ =
= ~&
<nt
и
2
2У
м<и
2
2 cos2 -5—/2sin-s- cos -5-
£ л
W (, -/^2-
= —Г 1 — COS -5- е
/иы2 \ 2 )
. “<и \2
sin---- \
со/
и
2
------- I е
<*>/„ I
Получен тот же результат, что и при решении задачи способом 1.
361
11.42. Найти спектральные функции напряжений, изображенных
на рис. 11.27, а и б, и построить их амплитудно-частотные характе-
ристики.
11.43. Определить спектральную функцию выходного на-
пряжения, если на вход L, С-цепи (см. рис. 11.17) подается линейно
11.44. Найти временнйе функции и (/), соответствующие частот-
ным спектрам
а) и ТмЛ itt>cr-;
,, UrC
$ и в Т+ '/оСг ’
в) и (/ш) = (в+ (1 + jaCr};
Г) U (/©) = д2] >
Д) (J®) = „ д2] •
Глава двенадцатая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
(ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)
»
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Параметры однородной линии. Первичными параметрами одно-
родной линии на единицу ее длины являются: г0 — активное сопро-
тивление, ом; Lo — индуктивность, гн; Со — емкость, ф; go — прово-
димость изоляции между проводами (утечка), сим.
Формулы для расчета первичных параметров длинных линий
(воздушных двухпроводных, кабельных и коаксиальных) приведены
в приложении 5.
Вторичные параметры однородной линии — ZB и 7. Волновое
сопротивление есть отношение комплексов напряжения и тока в бегу-
щей (например, прямой) волне: -
Z, = ^L=/i±^. (12.1)
'пр
Коэффициент распространения характеризует затухание прямой
(или обратной) волны и изменение ее фазы на единицу длины линии:
Т = /('о + /®Lo) (So + /®со) = IТI еЛ = <* + /?>
(12.2)
где
| 7 | — модуль коэффициента распространения;
5 — аргумент;
а = | 7 cos 5 — коэффициент затухания;
Р = ] 7 sin В — коэффициент фазы.
Коэффициент распространения определяет основные параметры
бегущих волн (длину волны Л, фазовую скорость оф):
2то X со
X = -р-; Оф = -у- = — .
(12.3)
Для воздушных линий из медных, бронзовых и алюминиевых про-
водов имеют место неравенства (особенно при высоких частотах)
©Lo > гв и <оСо > go- В этом случае справедливы приближенные
выражения:
363
уф = 3-108 м/сек.
(12.4)
Примеры приведены в задачах 12.1—12.4.
Начало Конец
линии линии
Рис. 12.1
2. Уравнение линии в виде прямых
и обратных волн. Выражения для
определения комплексов напряжения
и тока в любой точке М линии (рис.
12.1) в виде наложения прямой и об-
ратной бегущих волн:
при отсчете расстояния х от
начала линии-до точки М
при отсчете расстояния
у = I—х от конца линии до точ-
ки М
И- ^обр1 —Unp (#) +^обр (х)
(12.5а)
I (X) =----^2-е-н -
А .
—-— -----е^х ~ /пр (я) /обр(х),
(12.6а)
где Ui и Ц — комплексы напря-
жения и тока в на-
чале линии;
Unpl, Uo6pi — соответствующие
комплексы напря-
жения прямой и
обратной волн в
начале линии;
й(у) =
4“ UoQp2^ —Unp (у) H~f/o6p2 (У)
(12.56)
(72
i (у) = —f2- -
йг
—±— I
1 1 2
——-—/обр(у),
(12.66)
где U2 и /2 — комплексы напря-
жения и тока в кон-
це линии;
иПр2, ^обР2 — комплексы напря-
жения прямой и
обратной волн в
конце линии;
364
Unp и /Пр— прямые (падающие волны);
t/обрИ 4бР— обратные (отраженные) волны. Отношения комплексов
токов или напряжений обратной и прямой волн назы-
ваются коэффициентом отражения р.
В однородной линии с волновым сопротивлением ZB, нагруженной
на сопротивление ZH, коэффициент отражения по напряжению в конце
линии определяется по формуле
______ t/обр ZH
Рн .
£Л]р Zn~\-ZB
(12.7)
Если нагрузка длинной линии ZH= ZB (согласованная нагрузка), то
коэффициент отражения равен нулю, а напряжение (или ток) совпада-
ет с напряжением (или током) прямой волны. Уравнения напряжения
и тока в линии упрощаются, например для напряжения:
U (х)=йпр (х)=йге-^ (12.8а)
и (у) = Unp (tj)=U^y.
(12.86)
Примеры приведены в задачах 12.13, 12.15.
3. Единицы передачи (непер, децибел) характеризуют условия
передачи (затухания) напряжения, тока, мощности.
Коэффициент затухания характеризует отличие выходного напря-
жения (тока, мощности) от входного, выражает степень затухания
сигнала при согласованной нагрузке и определяется выражением
иг 1 и111 1 Рх
а==1п U2 =1п 12 = 2 ln и212 = 2 1п Р2 • (12.9)
С71
Единица коэффициента затухания непер (а = 1 = In 77— ==
1 Pi
= —1п~) —затухание при согласованной нагрузке, при которой
напряжение в конце линии меньше, чем на входе, в 2,7 раза (или мощ-
ности в е2 = 7,4 раза).
Коэффициент затухания может быть выражен в децибелах:
a =201g = 201g -71- = Ю lg ~. (12.10)
U2 2 *2 '
Связь между непером и децибелом:
1 неп = 8,69 дб, 1 <96 = 0,115 неп.
*
Уровень передачи, характеризующий распределение мощностей,
напряжений, токов вдоль линии, есть логарифм отношения некото-
рой величины (мощности, напряжения, тока) в данной точке х к
одноименной величине, принятой для сравнения.
Рассматривают относительный и абсолютный уровни передачи.
365
Относительный уровень передачи по мощности, напряжению, то-
ку соответственно:
неп; pU= In
Рр ==* ~ In
Абсолютный уровень передачи по мощности, напряжению, току
соответственно:
неп\ pt = In Н— неп. (12,11)
I 1О I
(12.12)
_ 1 . р (-мва) . ... у (в)
рцр— 2 1п 1 (мва) ’ Р*и~ 1П 0,775 (в)
/ (ма)
Pa,= 1П1129 (ма)'
Примеры даны в задачах 12.32, 12.33.
4. Уравнения длинной линии в гиперболических функциях । имеют вид:
U = б^сЦя — /tZaSh^x; (12.13а)
. . ut
I = /jch^x — ~— shfx. (12.14а)
=* U2ch^y 4- /2ZBsh-[t/; (12.136)
= /2ch-[t/ + -z—shft/. (12.146)
представляет отношение комплекс-
Входное сопротивление линии
ных напряжения к току в точках подключения генератора:
7 Zn -|- ZBthy/
(12.15)
где
thn=—-
1
или п =----
2
В режимах холостого хода и короткого замыкания входное сопро-
тивление
х-х~ thyZ ’
2к.з = ZB thyZ.
(12.16)
и
О
в
о
Пример приведен в задаче 12.14.
Однородная линия при заданной частоте источника питания может
быть заменена симметричным четырехполюсником, коэффициенты ко-
торого связаны со вторичными параметрами линии соотношениями:
Ан = А22 = ch yZ; А|2 = ZBsh yZ; A2l = • (12.17)
5. Линия без искажений — такая, в которой затухание и скорость
распространения волны не зависят от частоты.
Для неискажающей линии должно выполняться условие
'о __ Z>q
Со
(12.18)
366
При этом
= О)
о»
(О
(12.19)
°ф” р
Линия без потерь (r0 = g0 = 0) — неискажающая; для
нее
ZB = У ZB, оф =
(12.20)
Примеры даны в задачах 12.24, 12.25.
а)
Рис. 12.2
в
Г—. а
О
а = 0, Р = ю
6. Рабочее затухание однородной линии есть половина натураль-
ного логарифма отношения модуля комплексного произведения Ui
на /'1 при непосредственном подключении нагрузочного сопротивле-
ния, равного сопротивлению генератора, к генератору с э.д.с. Е и
внутренним сопротивлением ZT (рис. 12.2, а) к модулю комплексного
произведения U2 на 12 при условии, что нагрузочное сопротивление
ZH подключено к концу линии, в начале которой имеется тот же ге-
нератор с £ и Zr (рис. 12.2, б) ;
неп = 101g
4- In
1 — ргрне-^
где
2-i “ 2В
дб = а/ + In
(12.21)
367
Пример дан в задаче 12.29.
7. Линия без потерь (r0 = g0 — 0). В линии без потерь гипербо-
лические функции заменяются круговыми: ch у/ == ch /0/ — cos 0/;
sh у I = sh /0/ == /sin 0/.
Уравнения длинной линии без потерь в комплексной форме:
при отсчете расстояний х от
начала линии
U(x) =(Ji<tos$x — jl ^sin^x;
(12.22а)
j(x) — li cos fix— j ~ sin p x.
(12.23a)
при отсчете расстояний у от
ее конца
1Ду) =t/2cosfty + / Z2ZB sin pz/;
(12.226)
i(y)'= /2cospi/+/-^-sin0£.
^B
(12.236)
Входное сопротивление линии без потерь
-2-4nWr = z-,h("+'M'
где th п — — у11 или п =-^- 1п
"В *
(12.24)
В режимах холостого хода и короткого замыкания входное сопро-
тивление линии без потерь
Zx.x = ZK.9= jZBtg$l. (12.25)
Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль
линии без потерь при ее нагрузке на чисто активное сопротивление
гн определяется уравнениями (при отсчете расстояния у от конца
линии): __________________
U(y) = U2 Vcos2{3 у + m2sin2fh/;
/(«/) = /m2cos*0 у -ь sin2pz/,
ZB
где т = —1
гн
(12.26)
О степени согласования линии с нагрузкой можно судить по кри-
вой распределения действующих значений напряжения (тока), харак-
теризуемой коэффициентами бегущей волны ^б.в и стоячей волны Дс.в.’
t/mln = ^Р ~ ^обр = 1 - /(отр =/т (При ГН>2В ), 1
Umax t/др 4-1/обр I *4" t^oTp \ j |
— (при гн < zB ),
91 * I
(12.27)
/'Ссеб 1 »/• •
^б.В
368
Примеры даны в задачах 12.34, 12.36, 12.38, 12.40.
8. Применение отрезков линии для согласования сопротивлений
в качестве сопротивлений, в качестве колебательных систем и др.
Примеры даны в задачах 12.44—12.47.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Первичные и вторичные параметры линии. Фазовая скорость.
Длина волны
*
12.1. Рассчитать первичные параметры стальной воздушной двух-
проводной цепи при температуре окружающей среды Р ==—14° С
при сухой погоде, если расстояние между осями проводов а = 60 см,
их диаметр d = 4 мм. Частота тока f = 800 гц. Магнитную прони-
цаемость проводов принять равной 120.
Решение. Вначале по формуле (П5.1) определяем сопротивле-
ние 1 км линии при постоянном токе и при температуре 4-20Q С:
г20 = 0,138-^- =22 ом/км.
Величина р = 0,138 ом-м/мм* взята из табл. П5.1. Сопротивление
при постоянном токе при /° = —14° С находим по формуле (П5.2):
ге = г2о[1+аг(/9—20)1 = 22[1+0,0046(—14—20)1 =
= 18,5 ом!км.
Значение аг= 0,0046 взято из табл. П5.1.
Активное сопротивление 1 км линии при переменном токе опредё-
лим по формуле (П5.3).
Для этого сначала по формуле (П5.4) вычислим коэффициент
X = 7,0 ) -1/_А_ = 7,09 -1/ 800•120 = 5,1.
У 10^1» 10М8,5
Применяя линейное интерполирование, по табл. П5.2 найдем
F (х), соответствующее х = 5,1:
F(x) = 1,043 Ч----i^-1 ’°43 = 1,078.
Итак, по формуле (П5.3) активное сопротивление 1 км линии
г0 = /у [1+/7 (х)] = 18,5-2,078 = 38,4 ом/.км.
Индуктивность 1 км двухпроводной воздушной линии определим
по формуле (П5.5а). Предварительно по табл. П5.2, используя линей-
ное интерполирование, найдем коэффициент Q (х), соответствующий
х = 5,1:
Q(x) = 0,556--------------------- 0,547.
369
Искомая индуктивность по формуле (П5.5а) равна
Lo = 41п -у- + Q (х) р-
10~« = ( 41п-^ + 0,547-12оА 10’4 =
= (4-5,7 + 65,6)-10-* = 88,4-10’4 гн/км.
Емкость 1 км двухпроводной линии вычисляем по формуле (П5.6):
, = 1 -°5 10- = —',°5.„'0~‘. = 5,12.10-’ ф/кя.
Ж1П-4 36!»^
Активную проводимость между проводами найдем по формуле
(П5.7), учитывая, что проводимость изоляции при сухой погоде g' =
= 0,0Ь 10“в сим!км, а п — коэффициент диэлектрических потерь в
изоляторах; при этой погоде равен 0,05* 10"9:
g0 = g'4-п/ = 0,0b 10’6+0,05.10~9-800 = 0,05- 10"в сим/км.
12.2. Для линии длиной I = 38 км, первичные параметры которой
были найдены в задаче 12.1, при частоте f = 800 гц определить: мо-
дуль гв и фазу фв волнового сопротивления, его активную и реактив-
ную составляющие; коэффициенты затухания, фазы и распростране-
ния (а, Р и у); фазовую скорость распространения электромагнитной
волны вдоль линии t/ф и длину волны X; отношение (Лпр/^Апр = Лпр/Лпр
при нагрузке линии на сопротивление, равное волновому, где (/2пр и
/2пр — амплитуды напряжения и тока прямой (падающей) волны в
конце линии, (71пр и /1пр — то же в начале линии.-
Решение. Волновое сопротивление по формуле (12.1) равно
10-8(0,05
__ 1 /г0 + /^о = "\f 38,4-j-/2тг-800-88,4• 10“4 ___
Г g0 + >С0 Г 0,05-10-в+/2тг.800-5,12-10“9
SMe'49'111' = 1510е-^°°21' ом.
10-в-25,7е-'8’°и'
Активная и реактивная составляющие волнового сопротивления:
RB = 1510 cos 20°2Г = 1415. ом;
хв = —1510 sin 20°2Г = —525 ом.
Коэффициент распространения по (12.2)
1 = V(г0 + ja>£0)(g0 4- /шС0) = V 58)8е/49О10'.10-в.25,7е/'89°б2' =
= 38,8-10-3е'69°3,‘ клг1.
Отсюда коэффициенты затухания и фазы:
а = 38,8- 10“3cos 69°31' = 13,6-10~3 неп!км\ '
р = 38,8- 10-3sin 69°31' = 36,4-10’3 рад/км.
Фазовая скорость и длина волны в линии определяются по фо|5му-
370
лам (12.4) и (12.3):
рФ = Т = W = 138000 км/сек'
6,28
38,4-10~3
W.
= 172,6 км.
Отношения амплитуд напряжений и тока для прямой волны в кон-
це и начале линии при согласованной нагрузке, как это следует из
(12.8а), при х = I имеют вид
= _^р_, = |е-V| = e-"z = е-13-6'10” -38 = е~°>5’6 == 0,597.
k'inp '1Пр
12.3. Найти первичные и вторичные параметры симметричной ка-
бельной линии при частоте f == 220 кгц. Жилы медные, диаметром
d = 1,2 мм, расстояние между центрами проводов а = 4,15 мм.
Скрутка звездная (коэффициент р, учитывающий этот тип скрутки
жил кабеля, равен 5). Эквивалентная диэлектрическая проницае-
мость изоляции е = 1,4, тангенс угла потерь tgS = 160-10-4. Темпе-*
ратура среды 20° С. Определить фазовую скорость и длину волны в
кабеле.
Решение. Сопротивление 1 км кабеля при 209 С постоянному
току определяется по формуле (П5.1):
г2о = Р-?п- = 0.01785 = 31,6 ом/км.
и k
Значение р = 0,01785 ‘взято из табл. П5.1.
‘ мм2
Активное сопротивление 1 км кабеля при переменном токе вычис-
лим по формуле (П5.8). Для этого вначале по формуле (П5.4) вычис-
лим коэффициент
х - 7,09 1/-^.... - 7,09 1/22°*103 *1 - 5,9.
V iov2O г ю4.31,б
По табл. П5.2, применяя линейное интерполирование, найдем:
F (X) = 1,36; G (х) = 0,91; Н (х) = 0,57; Q (х) = 0,473.
Активное сопротивление 1 км кабеля определяется по формуле
(П5.8):
4 / / 1 2\2 к
/ 5-0,91 4-^5 \
г' = 31,6 1 + 1,36 Н-----------j = 87,1 ом[км.
\ 1-0-57(4Й5) )
В диапазоне высоких частот (свыше 30 кгц) еще учитывают допол-
нительное сопротивление кабельной линии, обусловливаемое потеря-
ми на вихревые токи в соседних проводниках и свинцовой оболочке
1см. формулу (П5.9)]:
Аг' = 8 1/—I— = 8 1/gJ^.00?. = 8,4 ом/км.
V 200000 V 200000
371
Окончательно получаем величину активного сопротивления еди-
ницы длины кабеля:
г0 = r'4-Ar' = 87,14-8,4 == 95,5 ом/км.
Погонные индуктивность и емкость двухпроводной кабельной
цепи определяем по формулам (П5.5а) и (П5.11):
Lo = Г41п 4,150~0,6 + 0,473) )• 10-4 = 0,76-10-» гн/км-,
Со =------1Л:'j~l5----= 27,5-10-9 Ф/км-
36 In 0,6 —q
Проводимость изоляции 1 км кабельной линии находим по (П5.12):
gQ = coCtg6 = 2*3,14-220-103-27,5- IO’9-160-10~4-
= 610- 10-e cum/km.
Вторичные параметры кабеля находим по (12.1) и (12.2):
2 = 1/ 95,5 + /2-3,14-220-103-0,76-10"3 = i Г 95,5 + Л050
в Г 610-10^ -р/2-3,14-220-1О3-27,5-.1О9 V Ю”3(610Н-/38000)
= л/ Ю50е^4°47/ = 1б6е-?2о9, ом.
у 38000-10-бе>89°5'
7 = / 1050е>84°47'• 38000-10-6е>89°5' = 6,32е'8«О6в' км'1-,
а = 6,32 cos 86°56' = 340-10"3 неп/км\
Р = 6,32 sin86°56z = 6,3 рад/км.
Наконец, по (12.4) и (12.3) вычисляем фазовую скорость и длину
волны в кабеле:
2тс • 800 7ПО ,
си — —тго— = 798 км!сек\
ф 6,3 ’
к = ~ = 0,995 км.
6,3
12.4. Определить первичные и вторичные параметры стандарти-
зованной коаксиальной пары типа КМ-4х2, 52/9,4 с шайбовой поли-
этиленовой изоляцией при частоте f = 220 кгц. Диаметр жилы
d = 2,52 мм, внутренний диаметр внешнего проводника D = 9,4 мм,
эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции 8 == 1,1,
тангенс угла диэлектрических потерь tg6 = 0,5-10'4, температура
20Q С. Найти также длину волны и фазовую скорость.
Решение. Первичные параметры вычисляем по формулам
(П5.13), (П5.14), (П5.15) и (П5.7):
г0 = 8,35 /220-10-3 4- IO’2 = 19,7 ом/км-
372
Lo = 2 In -Ду-Ю-4 = 2 In3,73-IO-4 = 2-1,316-Ю-4 «
= 2,63-10~4 гн/км-,
r 1,1-10-e 1,1-10-e .c - ln„ ,, „
° 94 — 18,1>316 — 46,5-10 ф/км-,
18 ln 2,52
g0 = 2^-220-103-46,5-IO-9-0,5-10~4 = 3,2-10"* сим/км.
Вычислим вторичные параметры. Так как г0 = 19,7 со£о = 364
и go = 3,2-10"6 < (оС0 = 64000-10~6, то расчет можно вести по при-
ближенным формулам (12.4):
у ___ ~\f Lp _____ 2,63- 10 4 __ «р.
— V Со 46,5-10-» ~ 75 0М'
____ го *1/Ср . gp 1/ Lp _______ 19,7 1 3,2-10 6 yj- _
а “ 2 V Lp *" 2 V Со 2 75 "Г 2 . ° “*
= 0,131 неп!км\
= o)]/L0C0 - 2-3,14 - 220-103 /2,63-10~4-46,5• 10'9 = 4,83 рад!км.
Длину волны и фазовую скорость определяем по (12.4) и (12.3):
> 2% 6,28 о
х = — = Ч+Т “ 1>3 м:
Оф = -я- = ——— = 286000 км/сек.
Ф р 4,83
Для сравнения приведем расчет по точным формулам (12.1) и (12.2)
7 т/ 19,7 +/2тс-220-108-2,63-10~4 = -- « дозз/ пм.
Zb V 3,2-10-8 + /2я-220-103-46,5-10-8 ’ ’
7 = /З64е'8во54'-64,2- 10-V900 = (0,13 + /4,8) км~\
т.е. а = 0,13 неп!км, (3 = 4,8 рад/км.
Результаты, полученные по точным формулам, весьма близки к
рассчитанным по приближенным формулам.
12.5. Определить первичные и вторичные параметры воздушной
линии, диаметр проводов которой равен 3 мм и расстояние между
осями проводов составляет 20 см. Состояние погоды: сыро, температу-
ра 20° С. Частота тока 800 гц. Чему равны длина волны в линии и фа-
зовая скорость распространения волн?
12.6. Для линий, данные которых приведены в табл. 12.1, опре-
делить ZB, у, а, |3, Уф, X и вычислить отношение при нагрузке
линии на волновое сопротивление.
373
Таблица 12.1
Название линии ом/км 1 £>0, гн/км Св, ф/км go. сим/км Длина линии, км f. гц
Воздушная стальная линия диаметром 3 мм •29,2 9-IO-3 6.10-9 10-6 100 800
Воздушная бронзовая линия диаметром 3 мм 5,4 2-10-8 6-10-9 10-е 100 800
Телефонный двухпроводный кабель диаметром 2 мм . . . 11,4 0,6-10-3 38-10-» 0,8-10-в 100 800
Морской телеграфный коак- сиальный кабель 7 0,3-10-8 0,2-10-в 0,5-Ю-о 200 800
12.7. Фидер с расстоянием между проводами D = 5 см, радиус
проводов которого г — 2 мм, имеет параметры г0 = 0403 ом/м, gQ =
= 1 • 10~9 сим/м при % = 30 м. Найти ZB, а, (3.
Указание. При высокой частоте, соответствующей длине волны 30 м,
о
можно считать, что Сф = с = 3* 108 м/сек, а из (12.3) находим f ,
12.8. Даны параметры цепей: а) воздушной линии из медных про-
водов при f = 800 гц, г0 = 2,87 ом/км, Lq = 1,94-10~3 гн/км, Сй
= 6,35-10~9 ф/км и g0 = 0,14-10-6 сим/км*, б) воздушной линии из
медных проводов при частоте f = 20000 гц, г0 = 6,76 ом/км,- Lo =
= 1,89- 10"3 гн/км, Со = 6,3- 10-9 ф/км и gQ = 5,7- 10~6 сим/км. Опре-
делить ZB, у, а и |3 и сравнить со значениями, полученными для соот-
ветствующих величин по упрощенным формулам (12.4).
12.9. Даны "параметры кабельной цепи при f = 800 гц: г0 =
= 22,6 ом/км, Lq = 0,6-10~3 гн/км, Со =35,5-10~9 ф/км и gQ =0,7х
X Ю“6 сим/км. Определить ZB, у, а и ₽ и сравнить их со значениями
соответствующих величин, полученными по упрощенным формулам
для кабеля при умеренных частотах (800 гц и меньше), когда r0 z>
<oL0 и go ®Со> что приводит к приближенным равенствам:
12.10. Для стальной воздушной двухпроводной цепи, диаметр
проводов которой d = 4 мм, а расстояние между осями проводов D =
= 60 см, рассчитать первичные (г0, Lo, Со, go) и вторичные параметры
(ZB, у, а, (3), активную и реактивную составляющие волнового сопро-
тивления в диапазоне частот от 0,25 до 10 кгц и для каждой из величин
построить график ее изменения в функции частоты. Расчеты проде-
лать при следующих частотах: 0,25; 0,4; 0,8; 1,5; 2; 2,8; 4; 7; 8; 10 кгц.
Температуру окружающей среды принять Р = —14,7° С; магнит-
ную проницаемость стальных проводов ц = 120.
^Указаны е. Разобрать решения задач 12.1 и 12.2.
374
Б. Согласованная и несогласованная нагрузка линии.
Напряжение, ток, мощность в начале и конце линии.
Входное сопротивление. Прямые и обратные волны
12.11. Экспериментально установлено, что мощность телефонного
аппарата как передатчика на зажимах телефонной цепи составляет
1 мет, а мощность телефонного аппарата как приемника должна быть
порядка 1 мквт, т. е. может быть допущено уменьшение мощности в
1000 раз. Имея это в виду, для воздушной стальной линии, параметры
которой приведены в решении задач 12.1 и 12.2 (полагая, что сопро-
тивление телефонного аппарата согласовано с линией), определить:
а) максимально допустимое затухание; б) допустимую дальность свя-
зи, считая, что все потери энергии сосредоточены в линии (передаю-
щий и приемный аппараты подсоединены непосредственно к линии)
в) отношение модулей напряжения и тока в начале линии к соответ-
ствующим величинам в конце линии.
Решение. Максимально допустимое затухание
b = 4- In 4г- = 4-1п 1000 = 3,45 неп = 3,45-8,69 = 30 дб.
£ Г 2 4
Отсюда для воздушной стальной линии дальность передачи
1 b 3,45 лг«.
= “ = 13,6-10-8 = 254 КМ-
Отношение модулей напряжений и токов равно
44 = 4-= e*z = е3-45 = 31,6.
^2 2
12.12. Линию можно считать бесконечно длинной в том случае,
когда ее собственное затухание достаточно велико (а/>> 2,3 неп).
Исходя из этого условия, найти длины линий: а) воздушной стальной
двухпроводной 4-миллиметровой линии с расстоянием между осями
проводов 60 см при f = 800 гц (см. задачи 12.1 и 12.2); б) медной
двухпроводной линией с диаметром проводов 3 мм и расстоянием меж-
ду осями проводов 20 см при f = 800 гц (см. задачу 12.5); в) симмет-
ричной кабельной линии при f = 220 кгц, параметры которой даны в
условии задачи 12.3; г) стандартизированной коаксиальной пары (см.
задачу 12.4). Во всех случаях линию считать неограниченно длинной,
температуру полагать равной 20° С.
Р е ш е н и е.
а) Расчет параметров в примерах 12.1 и 12.2 был сделан при темпе-
ратуре —14° С. Проведя аналогичный расчет при температуре 209С,
получим:
г0 = 42,4 ом/км; Lq = 94,2 гн/км; Со = 5,12-10“9 ф/км; gQ ==
= 0,05* 10-в сим/км; а == 14,5-10~3 неп/км.
Из условия а/ > 2,3 неп находим искомую длину линии:
2>3 _ 2’3 1RO ..
/ > а 14,5-10~3 км'
б) I >. 522 км; в) / >« 6,7 км; г) I 17,7 км.
375
12.13. Вторичные параметры двухпроводной стальной линии при
f = 800 гц равны: ZB — 1510е_у20°а1/ ом, а = 13,6 мнеп/км, 0 =
— 36,4 мрад/км. Длина линии I = 38 км. Линия не согласована с
нагрузкой, сопротивление которой ZH — 1355е>21°6/ ом. На вход ли-
нии подано напряжение Ut = 10 в частотой 800 гц. Определить: 1) на-
пряжение и ток на нагрузке, ток в начале линии, а также входное
сопротивление нагруженной линии; 2) мощность, расходуемую в на-
грузке и подводимую к линии и к.п.д.
Решение. При расчете потребуются значения yZ, shyZ, cos yZ.
Вычислим их, используя формулы приложения ПЗ:
yZ = а.1 + $Z = 13,6- IO"3 - 38 + /36,4 • 10-3-38 = 0,505 + /1,385 = x+jy-
§ _ •р/’ch 2х — cos2y _ j/"chi ,01 — cos2,77 _ р/" 1,555-|-0,931 __ ।
Следовательно, shyZ = sh(0,505 + /1,385) = Se'fs = 1,114e-'8S°;
1^ch 2x -- cos2t/ _____ ch 1,01 + cos 2,77
1,555—0,931
= 0,56;
tg<ptf = thx• tgу = th0,505-tg 1,385 = 0,466-5,324 = 2,48; = 68°3'.
Итак,
chyZ = ch (0,505 + /1,385) = Ce^c = 0,56e^8 *°3'.
1) Напряжение в конце линии U2 найдем по формуле (12.13, б)
в которой надо принять у = I и учесть, что /2 = , тогда
ZH
U, =------U-j---=--------------------------------- 5,78е-/52°15'в.
ch7/+^shV 0,56е/68°3'4-. 1,114^°
Zh 1355е/21 5 * *
• у 5,78 е~/52°15' —/73°20'
Ток в нагрузке /2 = —- =---------— = 4,27 е ' ма.
ZH 1355 е/2‘ 5
Ток в начале линии определяем-по (12.146):
1\ = /2 ch у I + sh у I = 4,27 e-773’20' . о ,56 е/68°3' +
zB
5 78 е~/52°15'
• +- : » -/2oo-21>1,H4 е^° =5,78е^'лщ.
Входное сопротивление нагруженной линии
=______________10
/\ 5,78 • 10“3 е/32°50
1 700 —/32°50л
1732 е ом.
376
2) Мощности, расходуемая в линии и подводимая к ней, равны:
Р, = Re = Re
10 • 5,78 е—/32°50'] = 48,6 мет-,
Р2 = Re [U2 ZJ = Re [5,78 е-752’15'
4,27 е773’20'] =23,1 мет.
К.п.д.
= Zi== 0 475
Pi 48,6
12.14. По данным задачи 12.13 определить коэффициент отра-
жения от конца линии и входное сопротивление.
Решение. Коэффициент отражения находим по (12.7):
ZH — ZB 1355 е/21°&' — 1510 е”/20°21'
Рн =
_________________________________________ n Q09 р/98°30'
в 1355 е/21°5, 4- 1510 е~'20°21' ~ ’°
Входное сопротивление определяем по (12.15) различными спосо-
бами.
Способ /. Сначала вычисляем п и yl + п:
п = JL in Zb ± = -L In 2680 е~'° 5 = —1п2,62е781°30' =
2 ZB — ZU 2 — 1023 е'98025 ' 2
= —1п2,62 + /—• =0,482 + /0,71Г;
2 2 57,3°
+ п = 0,505 4- /1,385 4- 0,482 + /0,711 = 0,987 4- /2,096 = х 4- jy,
где х = 0,987 неп, у = 2,096 рад, т. е. угол у лежит во второй чет-
верти.
Вычислим модуль и аргумент гиперболического тангенса (см. при-
ложение 3):
. I, . , .Ч| rri -в . / ch 2 х — cos 2
.|th(x+»)|-r=|/ ch2j, + coi2
3,655 + 0,5
|/ 3,655 — 0,5
ch 1,974 — cos 4,192
ch 1,974 + cos 4,192
= 1,147;
sin 2y _sin 4,192 __ —0,867 __ q 247
sh 2x ~ sh 1,974 ~ ’
3,516
отсюда ср, = —13°47' (из приложения 3 видно, что для четных четвер-
тей угол ф, должен быть отрицателен). Следовательно,
Z, = 1510 е—72021 . 1,147е—/13°47' = 1732е-734°8'.
Способ 2. Вычислим входное сопротивление, применив разложе-
ние гиперболического тангенса на действительную и мнимую состав-
ляющие (см. приложение 3):
377
и z । * \ sh 2x
th (X + ty) = ' ——
sh 1,974__________, sin 4,192
ch 1,974 4-cos 4,192 7 ch 1,974 + cos 4,192
sin 2y
3,516 . —0,867
3,155 + ' 3,155
= 1,114 _ /0,2751= 1,143 e-'13’80'.
Входное сопротивление [по формуле (12.15)]
Z, = Za th (x + jy) = 1510 e’/20°21 • 1,143 e“/13OS0' = 1728e-/34°n' ом.
Отметим, что точность расчета по всем приведенным способам
примерно одинакова, однако последний путь с точки зрения затраты
времени является наиболее экономным.
12.15. Для линии задачи 12.13 определить комплексные значения
прямой и обратной волн напряжения в конце и начале линии. Напи-
сать уравнения для мгновенных значений прямой и обратной волн
напряжения в конце и начале линии, если мгновенное значение на-
пряжения в конце линии и2 = U2m sin 03t (Uzm = 14,1 в).
Решение. Вначале по формуле (12.56) определяем комплексные
амплитудные значения прямой и обратной волн напряжения в конце
линии:
• • 17 -4- -~^2т 7
• U Д- I 7 2/П1уВ
т j ___ и2,т ~Г 12т ^в _ .___________
пр 2/я 0 о
1510 е /20°21' —/21°50
1350 е'21 °5' )
^2т 1%т ^в _____л ОО /57°45'
обр2ш — “------------------------е в>
Соответствующие мгновенные значения этих волн в конце линии:
нпр2 = 1,4 sin (со/— 21°50') в\
нОбр2 ~ 0,22 sin (со / + 57°45') в.
Комплексные значения прямой и обратной волн напряжения в
начале линии определяем по следующим формулам (значение yl =
== 0,505 + /1,385 = 0,505 + /79°2Г вычислено в задаче 12.13):
= 0^. .* = 1,4 .-** _ 2.32 е®’"' «;
е-»“ = 0,132е’»™' «.
Уравнения мгновенных значений волн напряжения в начале ли-
нии имеют вид:
ипр 1 = 2,32 sin (со/ + 57°31z) в;
uo6pi == 0,132 sin (со/ — 21°36') в.
378
12.16. Вторичные параметры однородной двухпроводной линии
из медных проводов диаметром 4 мм при частоте f = 104 гц равны
= 548 е“71°10, ом, а = 4,7 мнеп/км, р т= 0,219 рад/км.
Длина линии / = 100 км. Напряжение в конце разомкнутой ли-
нии изменяется по уравнению и2 = U2m sin со / (t/2m = Ю]Л2 в,
f = ДО4 гц). Вычислить комплексные значения напряжения и тока в
начале линии и в точке, отстоящей от конца линии на 20 км. Для тех
же точек линии написать уравнения мгновенных значений напряже-
ния и тока.
12.17. Линия, параметры которой даны в предыдущей задаче,
замкнута накоротко. При этом ток в конце линии i = i2m sin со/
(/2w=10]/2 ма, f = 104 гц). Вычислить комплексные значения
напряжения и тока в начале линии и написать уравнения их мгновен-
ных значений. Определить входные сопротивления линии при холос-
том ходе и коротком замыкании.
12.18. Линия, параметры которой даны в задаче 12.16, нагружена
на сопротивление ZH = 5OOe~/10 ом. Вычислить комплексные значе-
ния напряжения и тока в начале линии и написать уравнения мгно-
венных значений этих величин, если напряжение в конце линии и2 =
= U2m sin со/ (U2m= 10]/2 в, f = 104 гц). Определить комплексные
значения прямой и обратной волн напряжения в начале линии. На-
писать уравнения для мгновенных значений прямой и обратной волн
напряжения в начале и конце линии.
12.19. Линия из медных проводов, параметры которой даны в
задаче 12.16, нагружена на сопротивление ZH. Частота f — 104 гц.
Написать выражения для мгновенных значений напряжения и
тока , q в начале линии, если напряжение на нагрузке и2 =
= U2m sin со/, U2 ~ 10 в. Определить входное сопротивление нагру-
женной лицин при: 1) ZH = 2ZB; 2) ZH = 0,5 ZB.
12.20. Вторичные параметры двухпроводной воздушной цепи из
стальных проводов диаметром 4 мм при частоте / = 800 гц имеют
ZB — 1350 е“/24° ом, а = 17,5 мнеп/км, Р == 0,039 рад/км.
Длина линии 20 км. Концы линии разомкнуты. В начале линии
действует напряжение = ,Uim sin со / (Ui =10 в, f = 800 гц).
Определить действующие значения напряжения в конце линии и
тока в начале линии в режиме холостого хода и написать уравнения
их мгновенных значений.
12.21. Линия, параметры которой приведены в задаче 12.20, замк-
нута на активное сопротивление гн = 1000 ом. К началу линии под-
ведено напряжение = Uim sin со/ (t/ц = 10 в, f = 800 гц).
Вычислить комплексные значения напряжения U2 и тока /2 в кон-
це линии, тока в начале линии Ц и написать уравнения их мгновен^
ных значений. Подсчитать комплексные значения прямой и обратной
волн напряжения и тока в начале и в конце линии.
12.22. Воздушная стальная линия длиной / = 38 км имеет пара-
метры, вычисленные в задачах 12.1 и 12.2. Линия нагружена на со-
379
противление ZH, равное волновому. Напряжение на входе линии
Ui = 10 в, его частота f = 800 гц.
Определить: 1) коэффициент отражения от конца линии; 2) вход-
ное сопротивление нагруженной линии; 3) собственное затухание в
линии; 4) ток в начале линии, напряжение и ток на нагрузке; 5) мощ-
ность, расходуемую в нагрузке и подводимую к линии, и ее к.п.д.
Решение. 1. Коэффициент отражения согласованно нагружен-
ной линии [см. формулу (12.7)] ри = 0.
2. По условию линия нагружена на согласованную нагрузку,
поэтому, как известно, ее входное сопротивление равно волновому
[это легко получить из формулы (12.15)], т. е. ZBX = ZB = 151Ое""/20 21 в.
3. Собственное затухание в линии а/ = 13,6-10"3-38 = 0,505 неп
или а/ = 0,505-8,69 = 4,4 дб.
4. Ток в начале линии
10
1510 е-/20°2И
= 6,62 • 10"3 е/20°21' а.
Ввиду согласованной нагрузки в линии будут только прямые вол-
ны. Напряжение и ток на нагрузке найдем по (12.8а):
йа = и2 = U, =и1е-а/е-де = 10 е-13,6'10-3'38 е-/38Л-10-..з8 =
= 10 е—0,505 е-/1’385 = 6,03е-/79°2,'в;
/ — А — — = 6,03 е 779 21 — 4 . 1 о-3 е“/59° а
< И * 2 _ /9лог>1 г * IV С Lt’.
ZH 1510 е“'20 21
5. Мощности, расходуемая в нагрузке и подводимая к линии,
соответственно равны:
Р2 = Рн = Re [й2 *2] = Re [б,03 е_/79°21' . 4 • 10~3 ё/59°]’ = 22,6 мет-
р = ре [{У. /J = Re [ 10 • 6,62 • 10“3 • е-/2Э°21'] = 62 мет.
A L А X J L *
К.п.д.
fl = = 0,364.
1 Л 62
12.23. Линия, параметры которой даны в задаче 12.16, замкнута
на сопротивление, равное волновому. Напряжение на ее приемном
конце и2 = Usin со/ (U2 = 10 в, f = 104 гц).
Чему равно затухание в линии? Написать уравнения распределе-
ния действующих значений напряжения и тока вдоль линии и по-
строить их кривые. Определить комплексные действующие значения
напряжения и тока в начале и в конце линии. Записать уравнения
мгновенных значений напряжения и тока в начале линии. Вычислить
мощность, расходуемую в нагрузке и подводимую к линии. Начертить
кривые распределения мгновенных значений напряжения вдоль ли-
нии для двух моментов времени: t = 0 и t — 10 мксек.
380
В. Неискажающая линия. Схемы замещения линии
12.24. Первичные параметры двухпроводной медной 4-миллимет-
ровой телефонной линии (при f= 100 кгц)’. rQ = 14 ом/км. Lo =
= 2-10"3 гн/км, gQ = 5-10"6 сим/км, Со = 6,35• 10“9 ф/км.
Вычислить индуктивность которую надо включить на каждый
километр длины, < чтобы линия стала неискажающей. Чему при этом
будут равны вторичные параметры линии?
Решение. Линия не будет вносить искажения, если выполня-
ется соотношение (12.18):
\ _________________________г° =
Lq 4" ' Со
Отсюда
L = — £ = ,!4' 6’35 •19.-А_2 . 10-3 15 8 . 10-32«/kjh.
go 5 • 10-8
Вторичные параметры линии определяем по (12.20):
z = 1/ ..£» + . = 1 Г 17’8' 10-3 = 1675 ом;
V со V 6,35 • 10-9
а = = / 14 • 5 • 10-« =8,37 • Ю-з неп1км-г
= 2 гс • 100- 103/ 17,8 • 10’3 • 6,35 • 10'9 =6,68 рад!км.
12.25. Неискажающая линия длиной I = 100 км, параметры ко-
торой при f = 100 кгц равны г0 == 14 ом/км, LQ = 17,8-10’3 гн/км,
go 5-10~6 сим/км, Со = 6,35-10“9 ф/км (см. задачу 12.24), нагру-
жена на сопротивление, равное волновому. К началу линии подведе-
но напряжение Ui — 10 в. Определить напряжение и ток на нагрузке
и ток на ее входных зажимах. Вычислить мощность, расходуемую
в нагрузке и подводимую к линии. Построить кривые распределения
действующих значений напряжения л тока вдоль линии.
Решение. В расчетах потребуются вторичные параметры,
которые были вычислены в задаче 12.24.
Напряжение и ток в нагрузке вычисляем по (12.8а):
и2 = Ux е“т/ = 10e“(a+/3)Z = 10е“(8,37‘10"8+/6’8б)10С) =
= 10 е"0,837 е">668 = 4,33 е“>668 в;
и\ = 4,33 е~/668
ZB 1675
= 2,58 е~у’668 ма.
Ток на входных защимах определяем исходя из того, что при на-
грузке линии на сопротивление, равное волновому, входное сопротив-
ление такой линии равно волновому:
и± _ 10
ZB ~ 1675
== 5,98 ма.
'Ъ.
381
Мощности, расходуемая в нагрузке и подводимая к линии, соот-
ветственно равны: л
Р2 = U2I2 = 4,33- 2,58-10-3 = 11,2 мвт\
pl = utli = 10-5,98 • 10~3 = 59,8 мет.
Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль
линии находим по уравнениям: \
U (х) = | U, е—н | = U, е"“ = 10 е-8’37'10^ е;
г по -8,37«10**8х
= о,Уое ма.
Эти кривые имеют вид эк-
спонент и построены на рис.
12.3.
12.26. Как следует изме-
нить индуктивность возду-
шной медной линии задачи
12.5, чтббы она удовлетворя-
ла условию неискаженной
передачи? Чему в этокГслучае
равны ZB, а, Р?
Эта неискажающая линия
длиной I = 250 км нагружена
на активное .сопротивление,
равное волновому при напря-
жении на нагрузке U2 =
= 10 в.
Подсчитать напряжение, ток и мощность на входе линии, а также
/2 и Р2 на нагрузке.
12.27. Вычислить сопротивления Т-образной схемы замещения
воздушной двухпроводной линии из медных проводов диаметром
3 мм, длиной I = 100 км при f = 800 гц. Параметры линии взять из
. задачи 12.5.
12.28. Определить ^сопротивления П-образной схемы замещения
однородной воздушной бронзовой линии диаметром 3 мм, длиной
I = 100 км при f = 800 гц. Данные цепи взять из условия задачи
12.6.
Г. Рабочее затухание линии. Определение параметров линии по опытам
холостого хода и короткого замыкания
12.29. К линии, параметры которой даны в задаче 12.13, подведен
источник напряжения с э.д.с. Е = 20 в, частотой f = 800 гц и внут-
ренним сопротивлением ZP == 600 ом. Линия нагружена на сопро-
тивление ZH == 1355е/21°5’ ом, при этом ее входное сопротивление
равно 1732е”/34°8 ом. Определить напряжение и ток в начале линии
и в нагрузке. Чему равно рабочее затухание линии?
382
Решение. Зная входное сопротивление линии между зажимами
1-1', нагруженной на сопротивление ZH, по закону Ома найдем ток Ц
и напряжение t/ j в начале линии:
Е 20
/ 25°30'
ма\
1
вх 600 + 1732е~/34°8'
=/^ = 8,9 • 1О-Зе'25°30' • 1732е—/34°8' = 15,4-'8’38' в.
Напряжение и ток в нагрузке можно вычислить по формулам
(12,136) и (12.146), аналогично тому как это сделано в задаче 12.13.
Не приводя подробных расчетов, запишем окончательные результаты:
U2 = 8,5е в; /2 = 6,27е ма.
Рабочее затухание линии вычислим по формуле (12.21), для этого
сначала определим величины отдельных слагаемых, входящих в эту
формулу:
.Zr — ZB 600 — 1510е_/20021' 968е/147°10' n ARRJ 161’45'.
р = —£—— =--------------------------------------------= 0,466е ;
г Zr + ZB 600+ 15Юе~/20°21' 2080е~/14°35’
рн = 0,382 е/98030’ (найдено в решении задачи 12.-14);
рг рн = 0,466е'161 °45' 0,382е/98°30 = О,178е/260’’5';
fl = 0,505 + /1,385 (найдено в решении задачи 12.13; 1,385 рад =
= 79°21'); рг ,рне-24/ = 0,178 е'260°15'.е-'•°1 е-/,58°42' = 0,065е'101°33' =
= — 0,013 +/0,064;
1п| 1 — ргрне~27/| = 1п| 1,013—/0,0641 =1п| 1,013е“/3035'| =
1п
= In 1,013 =0,013;
600++510е~/20°21'
2 У~600 • 1510е~/2°°21'
2080е— 114°35'
1950е
— / 1О.°1Г
= In 1,09 = 0,086 неп\
In
2 У ZHZB
, 2680е“ 1 °°5'
= 1П --------—-
2860е/О”
1355е''21°5'+ 1510е-'20°21'
2 ]/1355е-'21о5'1510е-'2Э°21'
= 1п 0,936 = — 0,066 неп,.
Наконец, по формуле (12.21) искомое рабочее затухание а0 =
= 0,505 4- 0,086 — 0,066 + 0,013 = 0,538 неп.
383
12.30. Измерения сопротивления холостого хода Zlx.x и корот-
кого замыкания Z1K,3 воздушной двухпроводной телефонной линии
длиной 200 км при угловой частоте со = 5000 сект1 дали результаты:
Zix,x = 747е~726ОЗ°' ом, Z1K,3 = 516е/0°3(Г ом. Определить вторичные
(ZB, а, Р, у) и первичные (r0, LQ, gQ, CQ) параметры линии.
Решение. Входные сопротивления линии при холостом ходе
и коротком замыкании по формулам (12.16) соответственно равны:
^1х.х “ » ^1к.з “ th yl.
Перемножая эти выражения,'найдем
ZB = /Zlx.xZ1K,3 = 620е~/ ,3° = (587 — / 139,5) ом,
а поделив их, получим
/7 у 13°30*
= 0,83е = 0,806 + /0,193,
Zlx.x
но
у/ — 1* V* 2?/
. е — е е е — 1
V -v ' — — 2W ’
е 4- е е е 4- 1
откуда ч
27/ 1-pth 7/ 1,806 4-/0,193 ZJ / (5i° + 360°n)
1 — th т/ 0,194-/0,193
где п — целое число.
т1 21/ 2а/ / 28/ 2а/
Так как е 1 = е е' н, то е — модуль комплексного числа, а
2(3/ —г его аргумент:
е L = 6,72 и а = — In 6,72 = 47,5 • 10“4 неп/км\
21
2р/ = 51Q + 360°п = (0,89 + 2лп) рад.
Для определения величины п, которая должна быть взята в по-
следней формуле целым положительным числом, необходимо прибли-
зительно знать величины Lo и Со измеряемой линии, а следовательно,
знать приблизительно число ?л радиан, которое содержится в выра-
жении 2(3/.
Так как для медных цепей
Р « со]/ LqCq и 2р/ = 2/соУ LqCq ,
приблизительное число окружностей
2/ш УТТс7' z<oyrv"
п =-----!.----- = ----L------,
2к п
384
где L'hC' — приблизительные величины, известные из предыдущих
измерений или вычисленные по теоретическим форму-
лам.
Этой формулой можно пользоваться и для стальных цепей.
В данном случае примем величины (известные из предыдущих
задач) для L' w 2-10-3 гн/км иС'я 6-10~9 ф/км (см., например, от-
вет к задаче 12.5) и тогда
200-5000/2 • 10"» • 6- 10"9 , 1(-
п —--------------------------- 1,15,
ТС
хотя здесь и получается дробное число, но п должно быть взято бли-
жайшим целым числом, т. е. п = 1.
Таким образом,
20/= 0,89 + 2л = 7,17;
8 = 7*--- = 180 • 10-4 рад/км-,
г 2 200
т = а + /0 = (47,5 + /180) 10~4 = 186- 10~4е/75° от1.
Определим первичные параметры линии. Для этого воспользуемся
выражениями (12.1) и (12.2):
7 = V(rQ + /<oLo) (g0 + /<оС0) = 186 • 10-4ez 75° клг1;
= 620e“/I3° ом.
So 4"
Их произведение
?ZB = г0 + /со Lq = (5,4 + /10,2) ом/км.
откуда
г0 = 5,4 ом/км*,
Lo = 10,2/5000 = 2,04-10’3 гн/км.
Из отношения
y/Z3 = go + /°> со = (0,96* 10“6 + /30.10~в) сим/км
найдем,, что
go = 0,96* 10"в сим/км*,
со = 30 • 10~е == 6 - 10-е ф/км.
12.31. Сопротивления воздушной бронзовой линии длиной / =
== 250 км были измерены при частоте f = 800 гц, холостом ходе и
коротком замыкании и оказались равными:
2Х.Х = 525е“' ,7° ом\ ZK,3 = 720е-/9°‘,°' ом.
Определить и у, а также первичные- параметры линии г0. Ц,
go-
385
Д. Расчет уровней передачи
12.32. По данным задачи 12.1.3 для несогласованно нагруженной
линии определить: I) абсолютные уровни передачи по мощности,
напряженйю, току в начале и в конце линии; 2) относительный уро-
вень передачи тех же величин на нагрузке по отношению к началу
линии.
Решение. 1) Абсолютные уровни передачи по мощности, на-
пряжению, току в начале линии по формулам (12.12) соответственно
равны:
Рад!
= 1 1П Pi (мва) __ 1 ln UJr
2 1 (мва) 2 1 ,
1 1 10 • 5,75 о
= —in--------------- 2,03 неп;
2 1
Ра ut = In
0,775 (в)
10v
0,775
= 2,56 неп;
Pa lt — 1П
/1 (ма) __ j 5,75
1,29 (ма) 1,29
= 1,49 неп.
Те же величины в конце линии:
ра р = — In -^-М- = -L In == — In --’45 • 4,02 = 1,54 неп
Ри 2 1 (мва) 2.1 2 1
Раи = In
н
(<?)
0.775(e)
. 5,45 1 1 .
= In-------= 1,14 неп;
0,775
/2 (ма) __ । 4,02
1,29 (ма) 1,29
= 1,14 неп.
2) Относительные уровни передачи по мощности, напряжению и
току на нагрузке по отношению к началу линии равны разности со-
' ответствующих абсолютных уровней:
Рр = :Рарн Ра Pi = 1,54 — 2,03 = — 0,49 неп;
Ри = Ра</Н — PaUt = 1,95 — 2,56 = — 0,61 неп;
Pl = Ра/„ — Pa I, = 1,14- - 1,49 = - -0,35 неп.
Между относительными уровнями передачи р , ри и р, имеется
расхождение, оно объясняется тем, что входное сопротивление цепи
(Л — / 34° \ [ U
ZBX = — = 1740е ом] и сопротивление нагрузки IZH = —— ==
Л21°5, / \ ^2
= 1355е/ 2 cwj отличаются друг от друга.
12.33. По данным задачи 12.22 для согласованно нагруженной
линии рассчитать: 1) абсолютный уровень передачи по мощности,
напряжению и току в начале и в конце линии; 2) относительный уро-
вень передачи тех же величин на нагрузке по отношению к началу
линии.
Ра /„ = 1П
386
Решение. 1. Расчет абсолютных уровней передачи по мощ-
ности, напряжению и току в начале и в конце линии проводим по фор-
мулам (12.12):
Papi - = J- In -P1 (л18а) = In = — In 10'6’в- = 2,096 неп-, 2 1 (мва) 2 12 1 Рас/< = In — = In —=±= 2,557 неп; * 0,775 0,775 ра/=1п /а = In1,635 неп; г 1 1,29(жа) 1,29
Рьр» = = —1п №>.. = —1_ in = JLin -6’03'4 = 1,59 неп; 2 1 (мва) 2 1 2 1 pau = In = In 6,Q— = 2,051 неп\ Р “ 0.775(e) 0,775 ра / = In = 1п —-— — 1,131 неп. r Н 1,29 (ма) 1,29
. 2. Относительные уровни передачи определяем по формулам ,
(12.11):
1 1 Р2 (мва) 1 1 6,03*4 *
р = — 1п —--------- = — In —--------= — 506 неп\
2 Рх(мва) 2 10*6,62
1 U1 6,03 tnz?
Ри == In — = In-------= — 506 неп\
н иг 10
Р/ = In — = In —-— = — 506 неп.
Л 6,62
Все относительные уровни передачи имеют одинаковые значения,ч
что объясняется условиями согласованной нагрузки. Каждый из от-
носительных уровней равен разности соответствующих абсолютных
уровней:
Рр ~ Ра рн Pa Pi’ PU ~ Pa Un Pa Utt Pl = pa /н pa If
E. Линия без потерь. Стоячие волны
12.34 . Энергия передается на высокой частоте от генератора к из-,
лучающей системе с помощью фидера (линии), имеющего индуктив-
ность \Lq = 1,57 мкгн/м и емкость Со = 7,1 пф/м. Потерями в фидере
можно пренебречь (г0 = go = 0). Частота переменного тока f =
== 108 гц.
Определить: а) волновое сопротивление, коэффициенты затуха-
ния и фазы, длину чВолны; б) входное сопротивление отрезка этого,
фидера длиной в 1/8 длины волны при холостом ходе и коротком за-
мыкании; в) расчет повторить для отрезков фидера длиной в 1/4,
3/8 и 1/2 длины волны. Для каждого из рассчитанных случаев начер-.
387
тить эквивалентную схему фидера; г) начертить кривые изменения
входных сопротивлений Zx.x и ZK,3 в функции длины фидера.
Решение, а) Вычислим ZB, ЗиЛ, соответственно по формулам
(12.20) и (12.3):
= 470 ом;
р = — = «j/7/Г = 2к- Ю8 /1,57 • IO’6 • 7,1 • IO’12 = 2,10 рад!км;
\ 2т: 2т- о
X = — =---------= 3 м.
₽ 2,10
б) Из формулы (12.3) находим РХ = 2л, а для фидера длиной
I = — %
8
Входные сопротивления определим по (12.25):
Z,. V = ZB —-— = ZB-------J---= — /ZB — — i 470 ом;
/tg₽/
ZK,3 = /ZB tg ₽/ = /ZB tg = /470 ом.
4
Эквивалентная схема двухполюсника при холостом ходе — ем-
кость с сопротивлением 470 ом, при коротком замыкании — индук-
тивность с сопротивлением 470 ом.
Расчет для других длин фидера рекомендуем проделать самостоя-
тельно:
при I — 4 X Zx <х 0, ZK,3 00 ’
3
при 1 = — X Zxx = /470ож, ZK 3 =— f 470 ом;
8
При / X Zx>x оо f ZK>3
Кривые изменения входного сопротивления в "функции длины I
фидера могут быть рассчитаны по уравнениям (12.25):
при холостом ходе ZH == оо, Zx х =* — jZB tg Ру;
при коротком замыкании ZH = 0, ZKt3 = /ZB tg Ру.
Во всех рассмотренных случаях входное сопротивление линии
является чисто реактивным Z = jx (ZXtX = jxXtX, ZK 3 = /хк,3).
388
Кривая хХеХ = fi (у) имеет вид котангенсоиды, а кривая хк,3 =
= h (у) — тангенсоиды (рис. 12.4, а и б).
12.35 . Линия без потерь, имеющая волновое сопротивление ZB =
= 500 ом, питается напряжением частотой f ~ 108 гц. Определить
амплитуду тока при холостом ходе в точке, находящейся от конца
линии на расстоянии у = 0,5 м, если напряжение на конце линии
U2m = 100 мв.
Рис. 12.4
12.36 . Фидер, параметры которого приведены в предыдущей за-
даче, имеет длину / = 5 м и находится в режиме холостого хода.
Подсчитать действующие значения напряжения в конце и тока в на-
чале линии, если к фидеру подключено напряжение ut = Uim sin со/
(Ui = 10 в, f = 108 гц). Начертить кривые распределения действую-
щих значений напряжения и тока вдоль фидера. Написать уравнения
мгновенных значений напряжения и тока в начале фидера. Начер-
тить кривые распределения мгновенных значений напряжения и тока
вдоль фидера для двух моментов времени: / = 0 и t = 778. Опреде-
лить коэффициенты отражения и бегущей волны.
Р е щ е н и е. Подсчитаем величины, которые потребуются в даль-
нейших расчетах, а именно:
р/ = 2,1-5 = 10,5 рад = (4,22 + 2л) рад;
I cos ₽/ = cos (4,22 + 2л) = —0,472;
sin р/ = sin (4,22 + 2л) = —0,881.
Примем й{ -
того хода (/2 =
конце линии (у
Ui = 10 в. Из формулы (12.226) для режима холос-
0) определим действующее значение напряжения в
2 ------------— = —21,2 в.
2 cos р/ -0,472 ’
389
Действующее значение тока в начале линии вычислим по (12.23,6):
= i -^1 (-0,881)=/39,7 ла.
Комплексные действующие вдоль линии значения напряжений
и токов могут быть записаны на основании формул (12.22,6) и (12’23,6):
U (у) = й2 cos $у = —21,2 cos (2,1г/) в;
7 (у) = /-^-sin £i/ = —j -sin (2, It/) =—/45 sin (2, It/) ма.
2в 470
Действующие значения напряжений и токов соответственно рав-
ны:
£7 (у) = | — 21,2 cos (2,It/) I в;
I (у) = | — 45 sin (2, It/) | ма.
По этим уравнениям на рис. 12.5, а построены соответствующие
кривые.
Запишем в общем виде уравнения мгновенных значений напряже-
ний и токов в режиме холостого хода (/2 = 0):
U
и = U2fncosfiy • sin со/; i =——sin fiy • cos со/.
Для момента t = 0 эти уравнения примут вид: .
и — 0; i == sin Ру = ——-2 sin (2,1у) — — 63,6 sin (2,1у) ма.
£ в 470 ' - - '
Для момента / = 778:
и = U2m cos pysin со — = — 21,2 cos Ру sin — = — 21,2 cos (2,1у) в;
8 .4
U2m • о 21,2 к о л с = /n i \
i = -±22-sin Ру cos co — =--------—- cos —sin Ру = —45 sin (2, ly) ма.
ZQ 8 470 4
На рис. 12.5, б построены кривые напряжения и тока для момен-
тов t = 0 и 778.
Коэффициент отражения со стороны нагрузки определяем по
(12.7):
390
Коэффициент бегущей волны
__ 1 — I Рн I __
1 + I Рн
ч
. 12.37. Фидер без потерь,
параметры которого Lo =
== 1,57 мкгн/м, Со = 7,1 пф/м,
имеет длину I = 35 м и нагру-
жен на сопротивление, равное
волновому. Напряжение на при-
емном конце фидера и2 =
== U2m sin со/ (U2m = 10 мв, f =
= 108 гц).
Написать выражения для
мгновенных значений напряже-
ния ил и тока ii в начале фидера.
Построить кривую распределе-
ния действующих значений на-
пряжения U и тока / вдоль ли-
нии. Определить коэффициенты
отражения и бегущей волны.
Начертить кривые распределе-
ния мгновенных значений тока
и напряжения в функции рас-
стояния для трех моментов
времени: . _
6 = о, t2 = 778, /3 = 774.
12.38. Линия без потерь,
параметры которой Lo —
= 1,67 мкгн/м, Со = 6,67 пф!м
и длина I — 5 м, нагружена на
чисто активное сопротивление г2,
равное 5гв. Напряжение на на-
грузке U2 = 10 в, частота 108 гц.
Определить напряжение и ток в начале линии и входное сопротив-
ление линии. Рассчитать и начертить графики изменения действую-
щих значений напряжения U и тока /, активной гвх и реактивной
хвх составляющих входного сопротивления нагруженной линии. Опре-
делить коэффициенты бегущей и стоячей волн.
Решение. Сначала по (12.20) определяем гв и (3:
Ч Г Ао = Г 1,67 - 10~8
у со У 6,67- 10-12
= 500 ом\
р = со V L0C0 = 2« 10» V 1,67 • 10-6 • 6,67 • 10~12 « 2,1 рад/м.
Сопротивление нагрузки
г2 = 5zB = 5-500 = 2500 ом.
391
Комплексные напряжение и ток в начале линии определяем по
(12.226) и (12.236):
(Л = й2 cos 0Z + / /2zB sin р/ = 10 cos (2,1 • 5)+j -^-500 sin (2,1-5)=
2500
= — 5 — /1,73 = 5,3е“' ,6°О55' в;
К = /2 cos р/ + / sin р/ = cos (2,1.5) + /-^- sin (2,1 • 5)=
= — 2 — /17,3 = 17,5е“/96<>35' ма.
Разделив Ul на /ь получим
£1 5,Зе~^60°5У
ft 17,5 • 10-3е~ ' 96°35'
= 312е-/64°20' ом.
Распределение действующих значений напряжения и тока нахо-
дим по (12.26), в которых т = гв/г2 = 500/2500 = 0,2:
U (у) = £/2]/cos2(ty + m2sin2fiy = 10 |/ cos2Py + 0,04 sin2 fiy ;
I (у) = — V m2cos2 $y + sin2 $y = ]/ 0,04 cos2 Py-b sin2 Py .
zB 500
Для построения кривых U (у) и 7 (у) в функции у удобно соста-
вить табл. 12.2.
Таблица 12.2
cos fiy cos2 p// m2cos2 sin $y sin2 ^y m2 sin2 $y и. в /. ма
0 1 I 0,04 0 0 0 10 4
tc/8 0,924 0,854 0,034 0,383 0,147 0,0059 9,26 9,5
7C/4 0,707 0,5 0,02 0,707 0,5 0,02 7,21 14,4
3^/8 0,383 0,147 0,0059 0,924 0,854 0,034 4,26 18,5
тс/2 0 0 0 0 0 0,04 2,0 20
Кривые U (у) и / (у) являются четными функциями величины $у.
Они изображены на рис. 12.6, а.
Расчет кривых распределения активных гвх и реактивных хвх
составляющих входного сопротивления проводится по формуле (12.24),
в которой после отделения вещественной и мнимой составляющих
получим:
_________тгв_______ 100
вх т2 cos2 $у 4- sin2 $у 0,04 cos2 fry 4- sin2 fiy *
^вх
1 .
-------sin
m2
cos2 fiy 4- — sin2
tn2
6000 sin 23#
cos2 fiy 4- 25 sin2 fiy
392
в функции Ру.
Коэффициенты
По этим уравнениям на рис. 12.6, б построены кривые гвх и хвх
бегущей и стоячей волн определяем по (12.27)’.
А'с-В Кб.в 0,2
Рис. 12.6
12.39. Решить задачу 12.37 при нагрузке фидера на сопротивле-
ние Za = 2ZB. v
12.40. Линия без потерь имеет длину I = 200 м и параметры Lo =
= 2-10"* гн/м и Со = 5,55-10"® мкф!м. Длина волны в линии X =
= 60 м. В конце линии включена индуктивность L = 0,01 мгн.
393
Найти вторичные параметры линии. Доказать, что в линии будут
стоячие волны тока и напряжения.
Найти: 1) на каком расстоянии от конца линии будут ближайшие
пучности напряжения и тока; 2) отношение амплитуд напряжения
и тока в пучности и в конце линий; 3) отношение амплитуд напря-
жения и тока в пучности и в начале линии.
Решение. Волновое сопротивление линии
ZB = VLjC^ = 600 ом.
Коэффициент фазы
Р = — = = 0,1047 рад/м.
X 60
Пользуясь уравнениями (12.136) и (12.146) и имея в виду, что
ZB = zB, 7 = /Р и i2 = U2jix,
- где
/х = /coL = ZH = j2nfL = /2те -1 — 0,01 • 10 3 = /314 ом,
60
получим:
U (у) = ^2 (cos $у + sin фу\ = cos <$у — 8);
\ х / coso
i(.у) = 4 ( cos $у----— sin рИ = — sin (P# — 8),
\ Zb / SHI О
где
8 = arctg — = arctg — °-= 62°30' = 1,09 рад.
х 314 <
Переходя к мгновенным значениям и считая, что напряжение
имеет начальную фазу, равную нулю (т. е. U2 = Uz)> тогда /2 = — /72,
; ., . /9о°
—12 == ]12 = 12е , получим: ’
и ^2.......V.?- cos ($у— 8) sin <&t = (72/ncos(Py — 8) sin coZ;
cos о
Рис. 12.7
i = К2 Л sin ($y— 8) COSCO/ =
sin 6
= I2msrn($y — 8) cos co/ .
Эти уравнения показывают, что
в линии имеют место стоячие
волны (рис. 12.7).
Ближайшая от конца линии пу-
чность напряжения определится из
уравнения cos ((к^ —-6) = 1, т. е.
394
Pz/1 — 8 = 0,
10,5 м.
Ближайшая от конца линии пучность тока^ на расстоянии
Уг = = 10,5 + = 25,5 м.
4 4 ч
Отношение амплитуды напряжения в пучности к амплитуде на-
пряжения в конце линии равно
: и2 = —!---------------= 2,15,
' cos 6 cos б cos 62°30'
«»
а для тока такое отношение имеет вид
• _Л_ : /2 = _!_ = 1;13.
sin б sin б
Отношение амплитуды напряжения в пучности к амплитуде на-
пряжения в начале линии равно
-2г_ : -^2- cos (0/ — 8) =--------!---------=------!--: =
cos б cos б г ' cos (0,1047 • 200— 1,09) cos 19,85
cos (19,85 — бтс) cos 1 cos 57,3°
а для тока такое отношение равно
—^2— : sin (0/ — 8) =--------------- 1,19.
sin б sin б sin 57,3°
12.41. Рассчитать входное сопроти-
вление сверхвысокочастотной длинной
линии без потерь, которая нагружена
на последовательно включенные сопро-
тивление Z и короткозамкнутый шлейф
(короткозамкнутый отрезок длинной ли-
нии без потерь), как показано на рис.
12.8. Даны: волновые сопротивления
длинной линии и шлейфа ZB = ZB>II1 =
—600 ом, сопротивление Z = 500 ом,
длины линии / = 190 см и шлейфа /ш =
= 10 см. Длина волны в линии и шлей-
фе одинакова: X ~ Хш =120 см.
Решение. Входное сопротивление короткозамкнутого шлейфа
по (12.25) равно
2Ш = / \ = 600/tg=
\ ] -у 120 ]
= ом.
395
Сопротивление нагрузки длинной линии складывается из входного
сопротивления короткозамкнутого шлейфа и сопротивления Z:
ZH = Zm + Z = /346 + 500 = 61Ое/34°40' ом.
Входное сопротивление’ длинной линии определяется по (12.15):
/ 3B0°Z \
Zh + / 2В tg I I
Z, = ZB--------------= 1040е/18 20 ом.
в / 360°Z \
4" /4 tg I . I
\ Л /
12.42. Клистронный СВЧ ге-
нератор создает на входе длин-
ной линии без потерь напряже-
ние 10 в (рис. 12.9). Линия с
волновым сопротивлением ZB =
= 100 ом нагружена на согла-
сованное сопротивление ZH =
= 100 ом. В средней части линии
включен короткозамкнутый
шлейф (линия без потерь) с тем
же волновым сопротивлением
ZB.m = ЮО ом и длиной /ш —
—K/S, где X = длина волны,
одинаковая в линии и шлейфе.
Длина линии I— V2. Рассчитать
Рис. 12.10
входное сопротивление линии и ток клистронного генератора.
12.43. На входе высокочастотной линии связи длиной I = 1,5 км
создается сигнал напряжением U{ = 0,5 в и частотой / — 300 кгц.
Линия, состоящая из двух
участков — медной двух-
проводной линии длиной
/1 = 0,7 км с параметрами
ZBi = 586 ом, Pi =
=6,46 рад!км и кабельной
линии длиной /2 = 0,8 км
с параметрами Zb2 = 76 ом,
₽2 = 6,7 рад/км, нагружена
на сопротивление прием-
ника ZH = 600 ом (рис. 12.10). Рассчитать напряжение на прием-
нике. Потерями в линии связи пренебречь.,
Ж. Методы согласования линии с нагрузкой
г
12.44. Линию, параметры которой приведены в задаче 12.38, тре-
буется согласовать с чисто активной нагрузкой г2 = 5гв с помощью
четвертьволнового отрезка.
Определить волновое сопротивление гв1 этого отрезка так, чтобы
в точках аа соединения линии со вставкой не было отражения. Пола-
396
гая, что напряжение на нагрузке U2 = 10 в, f = 108 гц, вычислить
напряжение и ток в начале вставки и в начале линии. Рассчитать и
построить графики распределения действующих значений напряжения
и тока вдоль линии и вставки. Вычислить мощность, подводимую К
линии и расходуемую в нагрузке.
Решение. Схема со-
гласования линии с нагру-
зкой с помощью четверть-
волновой вставки дана на
рис. 12.11, а.
Вычислим длину волны
и коэффициент фазы по
(12.3):
с _ 3 . 108 __ о
-- -- - — 0 Л1,
f 108
2к
-""Т
Длина четвертьволно-
вой вставки
линии
Рис. 12.11
L = 0,75 м.
1 4 4
Входное сопротивление нагруженной четвертьволновой вставки
между точками аа можно определить, используя формулу (12.24).
У такой вставки Ц = 1/4, а следовательно, по (12.3) имеем
- 1 X 4 2
Подставляя найденное значение fl/i в (12.24) и обозначая волновое
сопротивление вставки через гв1, будем иметь
z 7 __г, г2 + /2в1 tg р’1 __ 2
^вх ^в1 ; : 7 г; ^bi z— •
*bi + lr2 tg z [ j Л_
гВ1 "Г Я 2 Ч> 9
Последнее выражение дает неопределенность, раскрывая кото-
рую, получим
22
7 _ zb1
^ВХ
Г2
v
Для согласования линии с нагрузкой необходимо выполнить ус-
ловие
гв1
^вх == ^в1 ИЛИ = 2В.
ч 397
Отсюда
zB1 = V zBr2 — К 500 • 2500 = 1120 ом.
Напряжение и ток в начале вставки (точка аа) найдем по (12.136)
и (12.146), в которой следует принять у = и волновое сопротивле-
ние zb1:
Uaa= йгcos + /AsZbi sin = U2 cos 4- ji2ZB1 sin <=
& L
= /— ZB1=/-^-- 1120«/4,5e;
r2 2500
/aa = I2 cos p/x = / -^2- sin p/x~ /9 ма.
ZB1
Линия в точках аа согласована с нагрузкой. Напряжение и ток
в любой точке такой линии при отсчете с конца определяются форму-
лами:
(7 = (/ааеда; / = .
Действующие значения напряжения и тока представляют собой
модули последних комплексов и соответственно равны:
в;
U аа
----- с
*в
= 1пп 9 ма.
Графики этих величин — прямые, параллельные оси у (рис. 12.11, б). ’
Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль
вставки определяется до (12.26), где
т = zB1/£ = 1120/2500 « 0,45:
U (у). = U2y cos2 $у + tri2, sin2 $у =
= 10 cos2 у^ + 0,45 sin2 yj в;
/ (у) = -Ь_ у m2cos2 Ру 4- sin2 Ру —
т
= 9 г / 0,452cos2 / — у\ + sin2 (—у^| ма.
По этим уравнениям на рис. 12.11, б построены кривые U (у)
и I (у).
398
Расчет мощностей. Действующие значения напряжения и тока
в начале линии, имеют такие же значения, как и в точках аа, т. е.
Ui = 4,5 в, Л = 9 ма, а по фазе совпадают, так как линия согласо-
вана с чисто активной Нагрузкой, а подводимая к. линии мощность
pi = uji = 4,5.9- IO’3 « 40-10~3 вт.
Мощность, расходуемая в нагрузке,
т. е. р2 = Этот результат можно бы предвидеть, если учесть, что
линия идеальная и, следовательно, не имеет потерь, поэтому вся
подводимая к линии мощность расходуется в нагрузке.
12.45. Линию без потерь,
параметры которой ZB = 500 ом, _________I_____________
Р = 2,1 рад/м, длина / = 5 м,
надо согласовать с активнойг 6____________------------------L»
нагрузкой г2 = 2500 ом с помо- zB п
щью короткозамкнутого шлейфа, ___________~_______ft д
имеющего такое же волновое ° 6
сопротивление, как и линия
рис. 12.12. Определить мини- I
мальную длину шлейфа /ш и ме- I
сто его включения, при которых
входное сопротивление в месте
присоединения шлейфа (точки *
bb) будет равно волновому со- Рис. 12.12
противлению линии.
Чему в этом случае равны ток, напряжение и мощности, подводи-
мая к линии и расходуемая в нагрузке? Напряжение на нагрузоч-
ном сопротивлении U2 = 10 в, частота f = 108 гц.
Решение. Из рис. 12.12 видно, что участок линии длиной Г
и шлейф, имеющий длину /ш, соединены параллельно. Вычислим
их эквивалентное сопротивление. Для этого надо определить входные
сопротивления: Z' — участка линии длиной Г и — сопротивление
короткозамкнутой линии без потерь длиной /ш. Каждое из этих со-
противлений вычисляем по формуле (12.24):
1+/— tgpr
т
= jZB tg р/ш.
Входные проводимости этих участков — величины, обратные их
сопротивлениям. Входная проводимость участка линии длиной /'
представляет собой комплексную величину, а входная проводимость
399
шлейфа — мнимую. Эти проводимости
соответственно равны:
Входное сопротивление любого отрезка линии, нагруженного
согласованно, должно быть равно волновому сопротивлению. Это
означает, что входное сопротивление в точках bbf представляющее
собой сопротивление двух параллельных ветвей, тоже должно быть
равно ZB:
Учитывая, что волновое сопротивление линии без потерь является
действительной величиной, получаем
или
и
2- = g', ь' = ьш.
^в
1 1 (~ tg ₽z'
1 __1 \ tn /___________
2Btg?Zm r2 1 + m2 tg2 ₽Z'
(1)
(2)
Уравнение (1) с учетом значения m может быть преобразовано
следующим образом:
т
Следовательно, длина участка линии, находящегося за местом
присоединения шлейфа, может быть найдена по формуле
(3)
400
Подстановка выражения tg (3/' в уравнение (2) дает возможность
найти длину шлейфа /ш. Простейшие преобразования приводят к
формуле
(4)
Формулы (3) и (4) содержат круговые функции, которые много-
значны. Это приводит к многозначности величин I' и 1Ш. При расчете
следует выбирать наименьшее значение /ш, так как это обеспечивает
наименьшие размеры согласовывающего устройства.
Подставляя числовые значения в формулу (4), получим
/ш = — arctg (К* 2500 ‘ = JL arctg 0,56 = — 0,51 = 0,243 м.
ш 2,1 2500 - 500 / 2,1 S 2,1
ч
Здесь принят знак плюс, так как при этом /ш минимально*
Наконец, по формуле (3) находим
Z' = —arctg 1/ — = — arctg2,24 = — 1,15 = 0,548 м
2,1 у 500 2,1 6 2,1
Напряжение в точках bb присоединения шлейфа вычислим по фор-
муле (12.26):
Ubb — U2 /cos2p/' + m2 sin2 —
= 10 V cos2 (2,1 • 0,548) + 0,22sin2(2,l • 0,548) =
= 10 /cos21,15+ 0,22 sin21,15 =
= 10]/0,40852 + 0,22 • 0,91282 -4,46 e.
Так как линия не имеет потерь, то напряжение в ее начале имеет
то же значение, т. е. Ut = 4,46 в. Ток в начале линии (так как ли-
ния нагружена на согласованную нагрузку)
Л - = 4,46/500 = 8,92 • 10'3 а=8,92 ма.
Мощность, поступающая в линию,
= бг1/1 = 4,46 • 6,92 • 10“3 = 40 мет.
Мощность, расходуемая в нагрузке,
Р2 - и2/2 = ю
10 лп
—— = 40 мвпг.
2500
Мощности Pi = Р2, так как линия не имеет потерь.
401
3. Схемы, эквивалентные отрезкам линии
12.46. Резонатор (колебательный контур) выполнен из коротко-
замкнутого отрезка четвертьволновой медной двухпроводной линии
длиной I = 0,75 м (рис. 12.13, а). Диаметр проводов d = 4 мм, рас-
стояние между ними а = 20 см.
Определить длину волны Хо, резонансную частоту /0> первичные
параметры отрезка линии r0, Lo, Со, волновое сопротивление ZB,
коэффициент затухания а и входное сопротивление ZBX короткозамк-
нутого отрезка линии. Вычислить параметры контура эквивалентного
четвертьволновому отрезку линии и его добротность.
Решение. Длина волны и частота соответственно равны:
Ло == 4Z = 4 • 0,75 = 3 м\
f0 = -^- = = 108 гц = 100 Мгц.
Хо 3
Активное сопротивление единицы длины линии найдем по форму-
ле (П5.36):
16,65.10-2/7 16,65.10-2/108 ЛОЛ . п ло
г0 = —----2—---------------4— ----« 420 ом/км = 0,42 ом/м.
Индуктивность и емкость единицы длины провода вычисляем по
формулам (П5.56) и (П5.6):
а 20
Lq = 4 • 10~4 In — = 4 • 10“4 In 77-5 = 1,842 • 10“3 гн/км = 1,842 мкгн/м\
Г0
Со = 7“ == 6,03* 10“9 ф/км = 6,03* 10’12 пф/м.
36 In — 36 In —
/ 0,2
Волновое сопротивление и коэффициент затухания определяем по
(12.4):
Го 0,42
а = 6 кёо = 0,38-10“3 неп/м.
2Zn 2 • 552
Входное сопротивление вычисляем по (12.15) с учетом того, что
£ ЗЮ» ,0
' / 0 = —т---, а = 777— , а/ 1, shaZ а/, chaZ 1;
A0
Z 552
^ВХ = rp== = 6742.0,75 1’94*10* 0М = 1,94
2 2
402
Из теории известно, что эквивалентным коротковолновому чет-
вертьволновому отрезку линии является параллельный контур
(рис. 12.13, б), параметры которого вычисляем по формулам:
' г~~^ Го1 ~ зТр’0,42-0,75 = 0,252 ом-,
L = 4 Lol 1,842-IO"8-0,75 = 1,12-10-® гн =1,12 мкгн-,
О I 1 тг
С =4- С01 = 4- 6,03-10-12-0,75 = 2,26- Ю’12# = 2,26 пф.
£ *
Добротность контура
1 Г1,12-10-е
V 2,26-10”12
0,252
= 2760.
12.47. Резонатор выполнен в виде разомкнутого четвертьволнового
отрезка двухпроводной линии, параметры которой даны в предыду-
щей задаче.
Вычислить параметры контура, эквивалентного разомкнутому
четвертьволновому отрезку, и его добротность.
Решение. Эквивалентным разомкнутому четвертьволновому
отрезку линии является последовательный контур рис. 12.14, пара-
метры которого вычисляем по следующим известным из теории форму-
лам:
го — "о" ~ Т 0,42-0,75 = 0,158 ом;
& и
L= 4т Lal = 4~ 1,842-1 О’® • 0,75 = 0,69-10~« гн-,
С = -4 = 4- -6’03-10-12-°’75 = 3,65-10“12 ф;
-1/0,69-10-е
Г 3,65,10-12
0,158
= 2760 ом.
403
Отметим, что добротность четвертьволнового отрезка линии в ре-
жимах короткого замыкания и холостого хода одна и та же.
12.48. Показать, что подключение к разомкнутому концу линии
без потерь конденсатора емкостью С эквивалентно удлинению ее на
величину /с = "V агс^§ о) С ZB, а включение в конце той же линии
индуктивности L эквивалентно включению отрезка короткозамкну-
X <oL
той линии длиной /£ =-5— arctg -т-.
Глава тринадцатая
ДВУХПОЛЮСНИКИ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Комплексное сопротивление пассивного двухполюсника. Комп-
лексное сопротивление Z (р) пассивного двухполюсника, содержа-
щего активные и реактивные элементы, определяется выражением
7 А р) апрп + ап^рп^ + . . . -f- akpk 4- . . 4- + а0 п
Z ~ bmpm + Ьт^рт^ + . . . 4- bkpk 4-. . . + ^4-^ ’
где р == /со, a ak и bk — коэффициенты, зависящие от элементов схе-
мы двухполюсника. Для любых двухполюсников коэффициенты п
и m не могут отличаться более чем на 1, поэтому возможны случаи
п — т = ±1 либо п = т; кроме того, либо &0 могут равняться
нулю.
2. Эквивалентные двухполюсники — двухполюсники различной
структуры, если их сопротивления взаимно равны при любых значе-
ниях параметров. В табл. 13.1 приведены некоторые схемы и условия
их эквивалентности.
Т а б л и ц а 13.1
Схемы некоторых эквивалентных
двухполюсн иков
Условия
эквивалентности
№
формулы
Схемы эквивалентных двухполюсников, содержащие наименьшее
возможное число элементов в виде сосредоточенных сопротивлений,
емкостей и индуктивностей, называются каноническими.
405
Пример дан в задаче 13.3.
3. Обратные двухполюсники—двухполюсники с сопротивления-
ми Z и Z', произведение которых является действительным положи-
тельным числом /?2, не зависящим от частоты (постоянно):
ZZ' = /?2. (13.4)
R*
Сопротивление Z'= — называетсяч обратным сопротивлению Z
в отношении J?2.
Пример приведен в задаче 13.8.
4. Реактивные двухполюсники — двухполюсники, состоящие толь-
ко из реактивных элементов. Их сопротивления реактивны:
Z (/со) = jx (со). (13.5)
В канонических схемах реактивных двухполюсников (см.
табл. 13.2) общее число их элементов минимально (при условии, что
каждый элемент эквивалентен любому сложному соединению одно-
родных элементов). Число индуктивностей или равно числу емкостей,
или отличается от него на единицу. Общее число резонансных частот
на единицу меньше общего числа реактивных элементов. Частоты
резонансов напряжений и токов реактивных двухполюсников чере-
дуются: между любыми двумя резонансами напряжении имеется
один резонанс токов и между любыми двумя резонансами токов
имеется один резонанс напряжений (см. графики табл. 13.2). При воз-
растании частоты реактивное сопротивление двухполюсника х (со)
в точках непрерывности возрастает (с учетом знака реактивного со-
противления). Если в схеме двухполюсника имеется путь для по-
стоянного тока, то первым будет резонанс токов, а если такого пути
нет, то первым станет резонанс напряжений. Выражения сопротивле-
ний двухполюсников Z (/со) содержат множитель /со, ,при этом если
первым является резонанс напряжений, то этот множитель находит-
ся в знаменателе, а если первым будет резонанс токов, то он находит-
ся в числителе. В формулах сопротивлений Z (/со) числитель содер-
жит произведение разностей квадратов частот резонансов напряже-
ний и любой частоты, а знаменатель — произведение разностей
квадратов частот резонансов токов и любой частоты. В канонической
схеме не должно быть более одного пути как для постоянного тока,
так и для тока бесконечно большой частоты.
В зависимости от характера сопротивления при частотах со -> О
и со -> со (вблизи нуля и бесконечности) двухполюсники делят на
4 класса (см. табл. 13.2). В этой таблице приведены две основные
формы канонических схем двухполюсников, расчетные формулы со-
противлений, их частотные характеристики, расположение нулей и
полюсов. В формулах табл. 13.2 соь со3, ... , co2n-i — частоты резонан-
сов напряжений, со2, со4, ... , со2п_2 — частоты резонансов токов; при
ЭТОМ (01 С02 <^С0 з <С... ^2и-2 <
От канонических схем двухполюсников класса I можно перейти
к соответствующим каноническим схемам двухполюсников класса II,
406
исключив из первой схемы емкость Со и индуктивность Ь2л, а из второй
схемы Ci и L2n.f, Для перехода к классу первой схемы
следует исключить индуктивность L2n, а из второй схемы—L2n~i;
для перехода к классу IV из первой схемы надо исключить Со, а из
второй схемы —
Постоянные Н, входящие в выражение сопротивлений реактивных
двухполюсников, имеют размерность индуктивности для двухполюс-
ников классов I и IV и размерность, обратную емкости, для классов II
и III. Для нахождения постоянной Н надо определить характер сопро^
тивления двухполюсника (индуктивный или емкостный) при часто-
те, превышающей наибольшую резонансную. Если оно имеет емкост-
ный характер, в схеме двухполюсника следует разомкнуть все ветви,
содержащие индуктивности, и определить эквивалентную емкость Сэ
полученной схемы, а затем Н приравнять этой обратной эквивалент-
ной емкости (Н = 1/Сэ). В случае индуктивного характера сопро-
тивления все емкости схемы следует заменить короткозамкнутыми
участками, подсчитать эквивалентную индуктивность Ьэ оставшей-
ся схемы и приравнять ее Н (Н — Ь9).
Примеры приведены в задачах 13.11, 13.13 и 13.15.
5. Частотные характеристики сопротивлений двухполюсников
Z (j®) [или проводимостей Y (/со)! выражаются дробно-рациональ-
ными функциями и могут быть представлены в виде отношений двух
полиномов [см. уравнение (13.1)1:
S ап(]<*)п
---------= Я(со) +/Х(со) = Z(co) еЖш), (13.6)
S ьт (Мт
О
где
Z (со) = V /?2(со) 4- №(<о);
X ((D)
ф (со) = arctg
В этих формулах R (со) и X (со) — соответственно зависимости
вещественной и мнимой частей комплексного сопротивления Z (/со)
от частоты; Z (со) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),
выражающая зависимость модуля полного сопротивления, а ф (со) —
фазочастотная характеристика (ФЧХ), выражающая зависимость
аргумента Z (/со) от частоты.
Вместо АЧХ и ФЧХ можно строить годограф — кривую, описы-
ваемую концом вектора Z (/со) на комплексной плоскости при изме-
нении частоты, или, что то же самое, кривую зависимости X (со) от
Я (<о).
Примеры даны в задачах 13.18 и 13.20.
407
408
Класс двух-, полюсника Нули и полюсы при Характер сопротивления при Число элементов -
СО == 0 со = со СО 0 СО со
1 X Емкостный Индуктивный 2п ✓
11 0 0 Индуктивный Емкостный 2п — 2
111 X 0 Емкостный Емкостный 2п — 1
IV 0 X Индуктивный Индуктивный 2п — 1
Таблица 13.2
Канонические схемы двухполюсни-
ков (схемы Фостера)
первая форма
Класс
двухпо-
люсника
Канонические схемы двухпо-
люсников (схемы Фостера)
Расчетные формулы сопротивлений двухполюсников
вторая форма
Графики частотных характеристик
сопротивлений
Z (joi) =
Я (4 — и2) (<о| — <о2) ... (а>2п г — <о2)
ja> (<о| — и2) (о^ — <о2) ... (“2„_2— “2)
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Эквивалентные и обратные двухполюсники
13.1. В схемах табл. 13.3 известны сопротивления хь х2 реактив-
ных двухполюсников при двух частотах /1 и /2.
Для каждого варианта найти резонансную частоту и значения
индуктивности и емкости. Указать, какие из двухполюсников экви-
валентны, а какие обратны.
Таблица 13.3
Схема Номер варианта Значение частоты и соответствующего реактивного сопротивления
fi, кгц К1, ом /в, кгц х8, ом
0 1 1 2 3 5,3 2,65 5,3 4-90 —90 0 10,6 10,6 21,2 +225 +90 +225
0 — । Jl 1 £= 4 5 6 2,65 2,65 10,6 4" 40 оо —40 7,92 10,6 21,2 —72 —16 —16
13.2. Для схем реактивных двухполюсников (рис. 13.1, а—г) оп-
ределить резонансные частоты и начертить (качественно) графики,
изменения реактивных сопротивлений в функции угловой частоты со.
Рис. 13.1
18.3. Составить схему и определить элементы двухполюсника,
эквивалентного заданному на рис. 13.2, а.
Решение. Заданная схема может быть представлена в виде
схемы а табл. 13.1, в которой
2i = ja)Li,, Z2 = ctZx — jtoLfQ»
410
Тогда коэффициент а, необходимый для определения элементов
эквивалентной схемы (схема б в табл. 13.1), будет равен
aZi jaLf, 40
а= “zT = = То = •
= Wмгн s t Lz=200мгн с2=2 мкф
5)
а)
1_о=ЬОмгн
С,=50 мкф
1л=50мгн
Рис. 13.2
На основе условий эквивалентности (13.2) находим коэффициенты
6, с и d:
b = а (1 4- а) = 4* 5 = 20; с - (1 + а)* = 52 = 25;
d = 1 + а — 5.
Сопротивления искомой схемы будут равны:
bZi = bjwLi = /(olO* 10-3*20 = /со200* 10“3 ом, т. е. L2 = 200 мгн*,
1 1 25 1
cZ2 — с тг- = —— • >-А- - ~—0-тк-йом> т. е- С2 = 2 мкф\
z ]^С1 50-10 6 /со-2-10 6 4
dZ± == djcx)I^x = /colQ-10"3-5 = /со50-10"3 ом, т. е. L3 = 50 мгн.
На рис. 13.2, б дана эквивалентная схема, на которой указаны
значения ее элементов.
13.4. Найти схемы и параметры элементов двухполюсников, обес-
печивающих их эквивалентность двухполюсникам рис. 13.3, а—г.
У Казани е. Использовать табл. 13.1.
13.5. Найти схемы и параметры элементов двухполюсников, эк-
вивалентных двухполюсникам, изображенным на рис. 13.4, а—г.
Рис. 13.4
411
Указание. Использовать табл. 13.1.
13.6. Вычислить входное сопротивление Z двухполюсников
рис. 13.5, а —б, если fi = г2 = г = V L!C= 500 ом.
Рис. 13.5
Рис. 13.6
13.7. Найти коэффициенты ak и bk сопротивления двухполюсника
рис. 13.6 и написать уравнение в форме (13.1).
13.8. Составить схему двух-
полюсника, обратную схеме рис.
13.7, а, если R2 = 100, и опре-
где
делить значения ее элементов,
если Li = 2 мгн, L2 = 5 мгн,
С3 = 100 мкф, L4 = 5 мгн, г5 =
= 10 ом, CQ = 25 мкф, г7=
== 20 ом.
Решение. Найдем по
(13.4) сопротивление ZJ, обрат-
ное сопротивлению = /coLi:
2-Ю3
-рэд- = 20-10”6 ф = 20 мкф —
емкость, определяющая элемент, обратный элементу Lp
Аналогично рассчитываем элементы, обратные индуктивности L2,
емкости С3, индуктивности L4, сопротивлению г5, емкости CQ и со-
противлению г7. Это будут соответственно:
*-^2 О* IV
емкость С' — — 1ПП = 5 • 10-8 ф = 50 мкф-,
4 t\ 1UU
индуктивность L'3 = C3R2 = 100* 10 e* 100 = 10~2 гн == 10 мгн\
U 5-Ю”8
емкость С' = ^2" = “Тоб- Ф = 50 мкф\
412
R2 ЮО
сопротивление r5 = — = = 10 ом;
индуктивность L6 = CqR2 = 25-10“6-100 = 25-10~4 гн = 2,5 мгн\
, R2 ЮО
сопротивление г7 = — = = 5 ом.
Последовательно включенным элементам исходной схемы соответ-
ствуют параллельно включенные обратные элементы обратной схемы.
Поэтому искомая обратная схема имеет структуру, показанную на
рис. 13.7, б.
13.9. Найти схему и элементы двухполюсника, обратного схеме
рис. 13.8, если R2 = 10е.
10 мгн 0,25 мкф
0,05 мкф 5ком
Рис. 13.8
ЗОом 2мгн ЮОом ^МКФ 200пм
Рис. 13.9
13.10. Найти элементы двухполюсника, обратного схеме рис. 13.9
при R2 = 104, и составить его схему.
Указание. Искомая схема, как и заданная, имеет цепочечный вид,
при этом каждый последовательный элемент заданной схемы в обратной схеме
станет параллельным, но обратным по характеру, и наоборот.
Б* Реактивные двухполюсники
13.11. Определить класс двухполюсника, его разонансные часто-
ты и составить уравнение сопротивления двухполюсника рис. 13.10, а,
если Lq = 40 мгн, Lt == 10 мгн, L2 = 200 мгн, L3 = 20 мгн, С =
= 50 мкф.
Рис. 13.10
Пояснить, почему заданная схема не является канонической.
Решение. Класс двухполюсника определяется в зависимости
от карактера сопротивления при со 0 и со -> оо.
413
Из заданной схемы видно, что постоянный ток может проходить
через двухполюсник, поэтому при © -+ 0 его сопротивление стре-
мится к нулю, т. е. оно имеет индуктивный характер. При © -> оо,
как видно из схемы, сопротивление двухполюсника также имеет ин-
дуктивный характер. Сопоставляя эти результаты с табл. 13.2, уста-
навливаем, что двухполюсник относится к классу IV.
В соответствии с табл. 13.1 двухполюсник, составленный из Lo,
Li и С, заменим эквивалентным (см. решение задачи 13.3), а в резуль-
тате получим схему рис. 13.10, б. Объединяя параллельно соединен-
ные индуктивности 50 и 200 мгн в эквивалентную индуктивность
50-200/250 — 40 мгн, получим схему рис. 13.10, в. Ее параллельные
ветви представляют схему в табл. 13.1, в которой а = 40/200 = 0,2.
Преобразуем ее в схему г табл. 13.1, для этого по формулам (13.3)
вычислим коэффициенты:
На рис. 13.10, г дана соответствующая эквивалентная схема.
Для удобства в дальнейших расчетах введем для элементов схемы
рис. 13.10, г буквенные обозначения:
L' = -5- = 6,67 мгн\ С' = 72 мкф\ L" = 20 + = 53,3 мгн.
о и
Вычислим резонансные частоты. Схема рис. 13.10 ,г является
канонической, содержит три элемента, поэтому число резонансных
частот равно двум. Так как в схеме имеется*путь для постоянного
тока, то первым будет резонанс токов. Его резонансная частота
Y 6,67»103»72»10-6
== 1440 сект1.
Частоту резонанса напряжений найдем из условия равенства ну-
лю входного сопротивления схемы рис. 13.10, г:
Отсюда находим
=======- — 1535 сект1.
L'L"
Определим параметр Н, необходимый для составления урабйения
сопротивления двухполюсника. Для этого выясним характер сопро-
тивления двухполюсника при частотах, превышающих наибольшую
резонансную. Очевидно, что при со > (о3 сопротивление схемы имеет
414
индуктивный характер. Поэтому, закорачивая в схеме рис. 13.10, а
емкость С (см. п. 4 основных положений), получим
Н = L =L" = 53,3-10-« гн.
Тот же результат может быть получен из заданной схемы
рис. 13.10, а, в которой емкость С закорочена (см. п. 4 основных по-
ложений). Действительно,
L0L2 I 40-200\
Н = La = Ls 4- T = 20 + -52=- 10-3 = 53,3-10-3 -гн.
x-»0 I* JLg \ ZtV J
Наконец, напишем уравнение сопротивления двухполюсника клас-
са IV:
со?—«о2 15352— <о2
Z (/со) = /со// —----Г = /со 53,3.10-3 ---------
со 2 — to2 14402 — со2
Заданная схема не является канонической, потому что для по-
стоянного тока имеется более одного пути (первый — через L3L0Li,
второй — через L3L2.)
*) г)
Рис. 13.11
13.12. Для каждой из схем рис. 13.11 найти класс двухполюсника,
каноническую схему и ее параметры, резонансные частоты и составить
уравнение сопротивления двухполюсника. На рис. 13.11, а—г индук-
тивности даны в мгн, емкости — в мкф.
Указание. При расчете обратить внимание на то, что в схемах
рис. 13.11, б и в параллельные контуры, а в схеме рис. 13.11, а последователь-
ные контуры подобны, между собой, т. е. отношение сопротивлений соответст-
вующих элементов на любой частоте есть величина постоянная, или, что то же
самое, отношение индуктивностей обратно отношению емкостей контуров.
Поэтому каждая пара указанных контуров может быть заменена одним эквива-
лентным контуром. Для расчета его параметров следует составить выражение
эквивалентного сопротивления соответствующих двух контуров.
13.13. Для двухполюсника рис. 13.12, а найти каноническую
схему, ее параметры и составить уравнение его сопротивления. Даны:
С, = С2 = 0,2 мкф, Сэ — 0,4 мкф, С4 — 1 мкф, L — 40 мгн.
415
Решение. Задача может быть решена наиболее просто, если
треугольник емкостей CiC2C3 преобразовать в эквивалентную звезду,
затем использовать эквивалентные преобразования.
На рис. 13.12, б изображена схема, в которой осуществлена за-
мена треугольника емкостей CtC2C3 эквивалентной, звездой, емкости
которой С5, С6 и С7 вычисляются по известным формулам:
Рис. 13.12
1 1
отсюда
CiC3 082-0,4
С5 = с. + С3 + = 0,2 + 0,4 + —= 1 МКФ-
Аналогично найдем емкости С6 и С7:
мкф, С2~С1 + С2-\--— = 0,5 мкф.
Оз
Объединив последовательно соединенные емкости Сб и С4 в экви-
валентную емкость
_ с4сб ы
с* С4 + С6 = ~ = 0,5 МК&
получим схему рис. 13.12, в.
Далее используем эквивалентные преобразования, для чего осу-
ществим замену схемы из элементов С7, L, С8 схемой из С9, С1о
(рис. 13.12, а). Для расчетов воспользуемся формулами (13.3) и схе-
мами виг табл. 13.1, в которых
1 1
21 = 2а = /<oL’ а 21 = ~/^сГ •
416
Тогда'необходимый для расчетов коэффициент
а =
8
0,5
0?5
По формулам (13.3) находим коэффициенты &, с и d:
/ п \ 2 ft
ь = = 0,5; с = ^—) = 0,25: d =
Теперь находим
неизвестные Li9 С9 и С1о [см. формулы (13.3)]:
= , отсюда С9 = 2С7 = 2-0,5 = 1 мкф;
/С^Сд
, откуда Сю = 2С7 = 1 мкф;
cZ2 = 0,25/coL == /(oLb т. е. Li = 0,25L = 0,25*40 = 10 мгн.
Наконец, объединив в схеме рис. 13.12, г емкости С5 и С9 в экви-
валентную емкость , получим каноническую схему
Ь5 + Сд
рис. 13.12, д.
Каноническая схема содержит три элемента, следовательно, число
резонансных частот равно двум. Так как схема не имеет пути для по-
стоянного тока, то первым будет резонанс напряжений с частотой
которую найдем, приравнивая ее входное сопротивление нулю:
1
1 ...-.
1?---= 0.
Z (/со) =
Решая это уравнение, найдем
а>1 =
= 8170 сек"1.
Далее вычисляем частоту резонанса токов
со2 =
ю /io-io*3-i-io-e 10* сек1.
Найдем коэффициент Н. Для этого выясним характер сопротивле-
ния схемы рис. 13.12, д при со <ю. Очевидно, сопротивление схемы
1
имеет емкостный характер, поэтому Н = , где С9 находится из
схемы рис. 13.12, г, в которой отключена индуктивность Lp
C1OCU 1-0,5 1 1
Сэ = г 1 г • : ~TV = МКФ = Т 10~* Ф-
Cm 4- Сц 1,0 □ Г о
417
Я = Д=3.10в ф-\
Ьэ
X
В целях проверки найдем Я из заданной схемы, в которой индук-
тивность отключена (рис. 13.12, е). Эквивалентная емкость
0,2-0,2
0,4
/ о,2-0,2
\ 67Г“
4-0.44-1
= — мкф.
Тогда Н = 1/Сэ = 3- 10е.
Как видно, получен тот же результат.
Составим выражение сопротивления схемы Z (j®), при этом учтем,
что первым был резонанс напряжений, поэтому множитель /со должен
быть записан в знаменателе этого выражения:
3-106 -81702 — (О2
со? — со2 /<о 100002 — <о2
Рис. 13.13
хар актер сопротивления
13.14. Для двухполюсника рис.
13.13 найти каноническую схему, ее
параметры и составить уравнение его
сопротивления. На рис. 13.13 значе-
ния индуктивностей даны в мгн,
емкости — в мкф.
13.15. Найти класс двухполюсника
рис. 13.14, его каноническую схему,
ее параметры и составить уравнение
его сопротивления. Даны: = С2 =
= С3 = 0,2 мкф, С4 = 0,6 мкф, L=
= 15 мгн.
Решение. Определим класс
двухполюсника. Для этого выясним
и его величину при со -> 0 и со-> оо.
Из заданной схемы видно, что постоянный ток через двухполюсник
проходить не. может, следовательно, при со -> 0 его сопротивле-
ние стремится к бесконечности, т. е. оно имеет емкостный характер;
при со -> оо сопротивление двухполюсника стремится к нулю, т. е.
оно также имеет емкостный характер. Сопоставляя эти результаты
с табл. 13.2, устанавливаем, что двухполюсник относится к
классу III.
Заданная схема не является канонической, так как для тока бес-
конечно большой частоты имеется два (а не один) пути (один — через
CiC3 , другой — через С2С4).
Для определения канонической схемы двухполюсника выберем
независимые контуры согласно рис. 13.14, а, составим уравнения
по методу контурных токов и решим их совместно, установив связь
между U и 3i.
418
Рис. 13.14
Подставляя числовые значения и умножая все члены уравнений
на /со-10~®, получим:
10ji — 10 j2 — 5 j3 = /со 10-в(7;
ЗЛ + 5 Зг + 3J3 = 0;
—10Л+ Юj2 + (Ю — 15<oalO"e)j3 = 0.
Решая эту систему уравнений, находим 31- Беря отношение U к
31, определим входное сопротивление
/ । — 109 —- о8
Z (/со) =--------------- .
/<о.0,25.10-в JL-IOU»-*.
75
419
В этой формуле
Н = — -------------------- 4- 10е dr1
п Сэ 0,25-10-» •
Проверим правильность найденной величины Сэ. Для этого в
заданной схеме следует разомкнуть индуктивность L (так как схема
при со —> о© имеет емкостный характер, см. основные положения
стр. 407) и найти Сэ (рис. 13.14, б):
СА f С2С4 0,2-0,2 0,2-0,б
Ci+Сз + с2 + с4 — 0,4 + 0,8 ~ 0,25 МК$'
Это совпадает с ранее найденной величиной Сэ.
Из полученного для Z (/со) выражения видно, что оно имеет две
резонансные частоты: первая — частота резонанса напряжений со£ =
= 10"9 = 15800 сект1, вторая — частота резонанса токов <о2 =
= j/ 10™ = 16300 сект1, и схема относится к трехэлементному
двухполюснику класса III. График реактивного сопротивления в
функции частоты и каноническая схема двухполюсника показаны на
рис. 13.14, в и г.
Для определения параметров канонической схемы рис. 13,14, в
поступим так: выразим значение ее постоянной Н и резонансные час-
тоты через С5 и С6. Постоянную Н найдем, если в схеме рис. 13,14, в
отбросить ветвь с индуктивностью:
1 U5 т и6 1
Н ~ ~ С5Св 0,25-10-» = 4‘10 ф •
Находим резонансные частоты:
= 15800 сект1}
<о2 =
= 16300 се/г1.
в
Решая уравнения (1)—(3), найдем:
1 / <о2 \2 4
с5 - -тг — = Ю’6 ф « 0,267 мкф\
6
(D1 \2
. Ш2 / _
= — 10-3
16
= 4-10~6 ф = 4 мкф\
0,94 мгн.
(1)
(2)
(3)
13.16. При какой емкости С в цепи рис. 13.15 имеет место резонанс
токов на частоте 5 Мгц. Даны: L, = 0,4 мгн и £2 = 0,5 мгн. Опре-
420
делить класс двухполюсника и составить уравнение его сопротив-
ления.
Рис. 13.15
Рис. 13.16
13.17. Определить элементы двухполюсника (рис. 13.16), если
известны его резонансные частоты cot = 4080 сект1, со2 ~ 7070 сект*,
а при заданной частоте созад = 3200 сект1— модуль его сопротивле-
ния 510 ом.
В. Частотные характеристики двухполюсников
13.18. Получить выражения и
эквивалентных активного R (со) и
от частоты, а также амплитуд-
но-частотной Z (со) и фазоча-
стотной ф (со) характеристик це-
пей рис. 13.17, а и б. Принять
г4 == г2 = г. Построить годограф
входного сопротивления при
изменении частоты.
Решение. Рассмотрим
схему рис. 13.17, а. Ее комп-
лексное входное сбпротивление
1
Г2 --
z (/со) = t\ н----Ц— = г
= 7? (со) + jX (со).
Здесь
R (®) = Г + j (аСг)2 ’ 0)
<оСг
X (со) = - 1 + (соСг)2 ’ (2)
Модуль полного сопротивления
Z (со) = /Я2(со)+Х2(со) (3)
построить кривые зависимостей
реактивного X (со) сопротивлений
Рис. 13.17
421
и его фаза
<р (®) = arctg
(4)
По формулам (1)—(4) на рис. 13.18, а построены соответствующие
кривые. Результаты вычислений сведены в табл. 13.4.
Таблица 13.4
СО <оСг (соСг)2 14-(соСг)2 R (<») Х(а>) Z(<«) tg? (со) ? (<")
0 1 7с 0 0 1 2г 0 2г 0 0
1 1 2 1,5г —0,5г 1,58г —0,333 —18°25'
2 2 4 5 1,2г —0,4г 1,27г —0,333 —18°25'
гС
3 3 9 . 10 1,1г —0,3г 1,14г —0,273 —15°20г
гС
оо оо ''ОО ОО г 0 г 0 0
совместного решения уравнении
Найдем уравнение годографа. Из
(1) и (2) вычисляем
Подставляя это в (1), после преобразований получим
3 р / г \2
R (со) — — q + X2 (со) = j .
Это — уравнение окружности, центр которой расположен на оси
R(®) в точке с абсциссой, равной Зг/2, и радиусом /72. Годограф
входного сопротивления изображен на рцс. 13.18, б.
13.19. Показать, что для цепи рис. 13.19 изображение Z (]($) ==
= 7? (со) + jX (со) является окружностью на плоскости (/?, X), т. е.
годографом, k — числовой коэффициент.
13.20. Найти входные сопротивления цепей рис. 13.20, а и б,
выраженные через три параметра /?, а и Ь, где
R = 1/4, а2 = , b = co VLC.
422
Начертить график модуля сопротивления Z (со) при изменении со
от нуля до бесконечности и рассмотреть влияние а на характер
кривой.
Решение. Рассмотрим схему рис. 13.20, а. Ее комплексное вход-
ное сопротивление
1 I t
„ ' ' ТаС' г — “2ЬСг 4- 1<лЕ ' Л
Z (]<£>} = jcoL Ч-—:— --------------------. fi ' I
г , 1 1 + /о>Сг Hr 4*
4<оС J
Полученное Z (/го) преобразуем, введя вместо g -------------1—
г, coL и гоС их выражения через заданные па-
раметры. Сопротивление г найдем. в результате Рис. 13.19
423
О 12 3 tew/LC*
Рис. 13.20
деления 7? на а, величины coL и соС — в результате соответственного
перемножения и деления b на R. Действительно,
Итак, после соответствующей подстановки получим
1 — + jab
Z (/со) = R---Л'-.
v ' а + jb
Модуль полного сопротивления
Рассматривая а как параметр, построим Z (со) в функции Ь. Для
dZ (<о)
определения минимума Z (со) приравняем —=0.
В результате получим
62 = _ а2+ ]/2а2 + 1.
Величина Ь2 должна быть положительной, поэтому 2а2 + 1 > а4,
или, решая это уравнение, найдем а < 1,55. Это предельное значе-
ние а, при котором функция еще имеет минимум.
По уравнению Z (со) рассчитано семейство кривых при разных а,
которые изображены на рис. 13.20, в.
424
Глава четырнадцатая
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
и токами и i и
гассивного че-
рных направ-
казанных на
одной из сле-
х у р а вне-
2 линеи-
Рис. 14.1
В этой главе рассматриваются линейные, пассивные и активные
неавтономные четырехполюсники.
Активным неавтономным четырехполюсником называется четы-
рехполюсник, внутри которого содержатся зависимые источники энер-
гии например схемы замещения электронных ламп и полупроводнико-
вых триодов (транзисторов). У таких четырехполюсников после их
отключения от остальной части цепи на входных и выходных зажи-
мах нет напряжения.
1. Основные уравнения четырехполюсника. Связь между вход-
ными и выходными напряжениями
ного активного (неавтономного) и 1
тырехполюсников (при положител
лениях напряжений и токов, j
рис. 14.1*) может бь1ть выражена
дующих шести форм о с н о в н ы
ний (или уравнений передачи).
Форма Y:
• • •
Ц — У11 Ui + У 12^2}
Ц = ^21^1 + ^22^2-
Форма Z:
(14.1а)
(14.1,6)
Форма Н:
и^Нп1\ + Н,2й2; 1г-Н211,+ Н22й2. (14.1В)
Форма F:
/1 = FuUi+ Л2/2; U 2 = F2iUi + ^22/2.
(14.1г)
♦ В литературе используются различные варианты выбора положительных
направлений первичного и вторичного токов четырехполюсника. В книге при-
нято так называемое встречное направление первичного и вторичного токов.
Используются также другие варианты: вариант прямой передачи,при котором
положительные направления первичного и вторичного токов выбираются на-
правленными слева направо; вариант обратной передачи, при котором первич-
ный и вторичный токи выбираются направленными справа налево.
425
Форма А:
t/i — Яи(/2— А^/г;
• • •
/1 = Xj21^2 А22/2-
(14.1д>
Форма В:
— B„U 1 — В12/г,
12 = В21^1 ~~ B22l!•
(14.le)
Вместо коэффициентов Ли, Л12> Л21, А22 используется часто их
запись в виде А, В, С и D.
При выбранных положительных направлениях напряжений и то-
ков, согласно рис. 14.1, при нагрузке четырехполюсника со стороны
вторичных зажимов на сопротивление ZH последнее связано с выход-
ным напряжением и током соотношением
U2 ~ 12ZH.
(14.2)
Коэффициенты основных уравнений четырехполюсника (14.1а—е)
называются параметрами четырехполюсника. Они определяются толь-
ко схемой самого четырехполюсника. В общем случае все коэффици-
енты четырехполюсника комплексны.
Связь коэффициентов различных форм уравнений (при выборе
положительных направлений напряжений и токов согласно рис. 14.1
и записи основных уравнений четырехполюсника в виде уравнений
14.1,а—е) приведена в табл. 14. L
Здесь
|Г|= ГИК22 - У12У21;
I Н | » Н цН22 — Н i2H21J
| Л | == АцА22 — А12Л 2±;
|Z|= ZHZ22 — Z12Z2i;
|F| = F nF22— F 12B21;
IВI = BHB22 — Bi2B2f
есть определители, составленные из коэффициентов соответствующих
уравнений четырехполюсников. (
Определители, составленные из К- и Z-параметров, а также из
Н- и F-параметров и Л- и В-параметров взаимно обратны, т. е.
)К|=—, |/7| = —, |4|=-J-. (14.3)
1 1 |Z| 1 |F| 1 |В| ' ’
Для обратимого четырехполюсника существует следующая связь
между коэффициентами каждой формы:
/12 = К21; Z12 = Z21; /у12 s —/У21; В12 = —В21; 1
АцА22 — Л12Л21 == I, ВцВ22 — Bi2B2i =1. J
Таким образом, обратимый несимметричный четырехполюсник
характеризуется тремя независимыми коэффициентами.
426
Таблица 14.1
Опреде- ! ляемые параметры матрицы В зависимости от параметров
Y Z H F A в
у Уц У12 21 У 22 > ^22 ^12 1 -«12 И1 Fu ^22 И| Bu -1
|Z| |Z| —^21. %11 «u Hu «21 |«| ^22 ^22 . —21 1 412 412 —1 4ц &12 ^12 1 £ 1 £22
|Z| |Z| Hu Hu ^22 F 22 412 412 £12 £12
Z У 22 У12 ^11 ^12 Z2I %22 l«| Hu 1 -Fu 4ц | 4 | £22 1
|Г| |У| ^21 У11 Hi2 > Hu -«21 1 Fu F ц f21 |F| 4г1 42i 1 422 «21 В21 l«| «11
1И |Г| 4 ^22 ^22 Fu Fu 42i 421 , £21 £21
Н 1 -У 12 1 Z | z12 Hu «12 ‘-№ ^21 ^22 ^22 ^12 412 1 4 | £12 1
У11 ^21 1И Z22 Z22 -Z21 1 |F| И1 P 21 P11 422 422 1 421 ^11 «11 - 1«| «21
У и Ун ^22 %22 |F| И1 422 422 Ди. £ц
F 1 У 1 -F12 1 — ^12 ^22 ^12 P И P12 Р21 P22 42i —14| £21 —1
У 22 У 22 У21 1 Z11 2ц z2X |Z| |Я| 1Я| -«21 Ни 4ц 4ц 1 412 «22 «22 |«| «12
У 22 У 22 Z11 % и \н\ |Я| 4ц 4Х1 £22 £22
А У 22 1 Zu |Z| -|«|-«11 1 P22 ^11 ^12 4г1 422 £22 £12
^21 '21 -|Г|-Гц Z2I Z2i 1 Z%2 Й й? 1 ез , (N 1 F21 f21 Л1 |F| 1«1 |В| £21 £ц
У 21 ^21 ^21 ^21 «21 «21 ^21 P21 |«| |«|
В -Ун -1 Z22 |Z| 1 «11 -И1 -F22 4гг 4i2 £ц £12 £21 £22
гхг г12 - |Г| -5^22 , JSJ to N N M H* H* to «12 ' «12 «22 |«| F12 Fu -Fu -1 Ml Ml 4г1 4ц
^12 ^12 2i2 Z12 Н12 ^12 P12 P12 Ml Ml
- В симметричном обратимом четырехполюснике помимо зависимос-
тей (14.4) имеется еще следующая связь между его параметрами:
У и — ^22. = ^22, Ни = Нц, Рц = ^22» ^11 = ^22>
Вц = В&. (14.5)
427
Поэтому симметричный обратимый четырехполюсник характери-
зуется лишь двумя независимыми параметрами.
Напомним, что пассивные линейные четырехполюсники всегда
обратимы.
2. Способы определения коэффициентов четырехполюсника. Коэф-
фициенты четырехполюсников могут быть определены различными
способами:
1) составлением уравнений по законам Кирхгофа (либо методом
контурных токов или узловых потенциалов) и представлением их ре-
шения в виде одной из форм уравнений (14.1, а—е);
2) по значениям напряжений и токов в режимах холостого хода
и короткого замыкания [см. формулы (14.6)];
3) разбивкой сложного четырехполюсника на более простые че-
тырехполюсники, параметры которых известны, и определение его
параметров по формулам табл. 14.3;
4) способом эквивалентных преобразований (например, путем
преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звез-
ду).
В табл. 14.2 приводятся формулы коэффициентов формы А неко-
торых простейших пассивных четырехполюсников.
Примеры даны в задачах 14.1 и 14.2.1
Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены по извест-
ным напряжениям и токам в режимах холостого хода и короткого
замыкания по формулам, которые получаются из формул (14.1, а—е):
428
(14.6г)
(14.бе)
Примеры приведены в задачах 14.1 и 14.2.
3. Матричная форма записи уравнений четырехполюсника; виды
соединения четырехполюсников. Основные уравнения четырехполюс-
ника могут быть записаны в матричной форме (основные понятия о
матрицах даны в приложении 4). z
В табл. 14.3 приведены матричные формы записи основных уравне-
ний четырехполюсника (14.1). Там же даны схемы сложных соедине-
ний двух четырехполюсников и формулы для определения их матриц.
Аналогичные формулы справедливы при соединении любого числа
четырехполюсников, Следует иметь в виду, что указанные формулы
нахождения матриц сложных четырехполюсников справедливы лишь
при выполнении условий регулярности их соединений. Со-
единение четырехполюсника регулярно в случае, когда токи, проте-
кающие через оба первичных и оба вторичных зажима каждого из че-
тырехполюсников, равны по величине и обратны по направлению.
Далее указаны некоторые случаи регулярного соединения четы-
рехполюсников:
1) каскадное соединение любых четырехполюсников;
2) параллельное соединение: а) уравновешенных четырехполюс-
ников (т. е. имеющих горизонтальную ось симметрии), б) подобных
четырехполюсников (схемы одинаковы, а сопротивления соответст-
вующих элементов пропорциональны), в) треугольных четырехполюс-
ников, причем так, что их общие зажимы соединены накоротко (таковы
Т- и П-образные схемы);
3) последовательное соединение треугольных четырехполюсни-
ков, общие зажимы которых объединены (например, Т- или П-образ-
ные и соответственно перевернутые Т- или П-образные);
4) соединение любым способом произвольного четырехполюсника
с другим, у которого на входе или (и) выходе включен трансформатор.
Примеры приведены в задачах 14.15, 14.18 и 14.22.
429
Таблица 14.2
Номер рисун- ка Параметры (коэффициенты) Номер формулы
Ац 2^12 Л21 Л22
1 1 Z 2 0 CZJ 0 0. 0 1' г Одноэлементный по- следовательный » 1 z 0 » 1 f (14.7а)
i 430 1 2 п z 0 ♦ 0 /' 2 Одноэлементный па- раллельный 1 0 1 z 1 (14.76)
3 1 . 2 <%—-Г"""! а —0 П? HAzr т г’ Т-образный с Т-входом / 51 сч tsi tsj > zir 1 ^2Г г 1 (14.7в)
Г-образныйс П-входом
Т-образный
П-образный
Мостовой
Номер
рисун-
ка
Параметры (коэффициенты)
Л12
Д21
Л22
Номер
формулы
8
0.
1^3
з
1^3
(14.7з)
где р = Z?
з
Т-образный мостовой
9
1
2
10
11
02'
Трансформатор (об-
щий случай)
М
10
02
02'
Г0
Совершенный транс-
форматор Л4 = ]/ LiL2
•— ------1
1 0——I >*—02
12
12
12
Z12
12
(14.7и)
2
1М
2
(14.7к)
(14.7л)
о
0
0
п
Z'0-t—1 *-+-02'
и________I
Идеальный трансфор-
матор
П р и м е ч а н и е. ?В схемах трансформаторов знак плюс соответствует встречному включению, знак минус — согласному,
Таблица 14.3
GQ
Форма
Н
А
Матричная форма записи основных уравнений
четырехполюсника
и2 J
L<4
= [Я]
= [F]
Использование различных форм основных уравнений четырехполюсника при определении
параметров схем сложных четырехполюсников
матричное уравнение пара-
соединение схема метров сложного четырех- полюсника
[F] = [Г'] + [К*]
Последова-
тельное
Последо-
вательно-
параллель-
ное
Параллель-
но-после-
дователь-
ное
Каскадное
(цепочечное)
I
[Z] = [Z'] + [Z"]
[Я] = [Н'] + [И"]
[X] = [Л'] • [А"]
4. Характеристические параметры четырехполюсника. Помимо па-
раметров, указанных в п. 1, широко применяются характеристические
параметры четырехполюсника: характеристические сопротивления
Zic и Z& и характеристическая (или собственная) постоянная пе-
редачи g, которые также полностью характеризуют четырехполюсник.
Постоянная передачи
g = а + jb,
(14.8)
где а— характеристическое (или собственное) затухание, неп или дб;
Ь — характеристический (или собственный) коэффициент фазы,
рад или град.
Характеристические параметры можно определить через парамет-
ры формы А:
21с = /4^ = /iRF; <14-9>
Г Л21Л22 f Л21Л11
th£ = /4^ : S = 1п «ЛЖ + /1Й?). (14-10)
F /1цЛ22
и, наоборот, коэффициенты формы А могут быть выражены через ха-
рактеристические параметры:
Аи = у ch л12 = Z21<Ас sh g\
V "2С
Д21 = 1..- shg; А22 = 1/ chg.
Vzlcz2c . r zic
'14.11)
Прицеры даны в задачах 14.23 и 14.25.
5. Параметры холостого хода и короткого замыкания. В расчетах
используются также параметры холостого хода Zix.x и Z2x,x и короткого
замыкания ZiK3 и Z2k.3, измеренные соответственно со стороны пер-
вичных и вторичных зажимов, которые связаны между собой соотно-
шением
%1х.х ' ^1к.з
^2х.х ^2к.з
(14.12)
Характеристические параметры выражаются через параметры хо-
лостого хода и короткого замыкания:
21С — V^\х,х 21к.з ’ ^2с — }/%2х.х ^2к.з ’ (14.13)
“г-Утг: =l/fe-
434
Сопротивления холостого хода и короткого замыкания определя-
ются через характеристические параметры или коэффициенты Aiit
Л12, ^21 и А22-
2lx.x = Zlccthg=4iL;
A21
z2x.x = Z* cth g = ф;
Z1K.S = Zlc th g = ;
z2K.3=z2cthg = ^-
All
(14.15)’
Коэффициенты А четырехполюсника вычисляются по сопротивле-
ниям холостого хода и короткого замыкания:
(14.16)
Примеры даны в задачах 14.8, 14.11.
6. Симметричные четырехполюсники. В частном случае симмет-
ричного четырехполюсника все приведенные выше формулы упроща-
ются, если учесть, что при этом имеются равенства:
А и — А 22, Z1C — Z^— Zc, Z|x,x — Z2xx Zx,x , )
7—7—7 f (14.17)
В частности, для симметричного Т-образного четырехполюсника,
у которого Z|T = = Z3T = , Z2T = Z2 (см. -рио. 5 в табл. 14.2),
sh-r==l/^-’ zc = zT = 1/ад (1 +(14.18)
г ^2 Г \ 4^2 /
Для симметричного П-образного четырехполюсника, у которого
Z2n = Z3n = 2Z2 (см. рис. 6 в табл. 14.2),
sh -|- = / JL ; Ze = Zn — A . . (14.19)
2 1/ 1/ zi
F T + 4Z.,
Для симметричного мостового четырехполюсника (см., рио. 7 в
табл. 14.2)
th4-=y4r: 2c=ZM=)/z^’ (14.20)
7. Эквивалентность четырехполюсников. Четырехполюсники экви-
валентны, если они имеют одинаковые: а) параметры коэффициентов
одной из форм основных уравнений (У, Z, Н, F. А или В), либо б) ха-
15* 435
рактеристические параметры, либо в) параметры холостого хода и
короткого замыкания.
8. Входное сопротивление четырехполюсника, (рис. 14.2,а) со
стороны зажимов 1—Г может быть определено либо через его Л-ко-
эффициенты, или через параметры х.х. и к.з., либо через характе-
ристические параметры:
где
Рис. 14.2
п = — In
2
Z2c 2Н
(14.216)
ZH — сопротивление нагрузки.
Если сопротивление генератора Zr не равно характеристическому
сопротивлению четырехполюсника Zlc со стороны входных зажимов
/ = Г, то имеет место несогласованность сопротивлений на входе, и
если сопротивление нагрузки ZH =^= Z^, то несогласованность на вы-
ходе. Относительная величина несогласованности определяется коэф-
фициентами отражения (несогласованности) на входе рг и на выходе
Рп*
(14.22)
Погрешность входного сопротивления — относительная величина
отклонения ZiBX от Z4c, определяемая по формуле
= pHe-2g< (14.23а)
Z1BX + Zlc
Отсюда
1 4- n
+ Рн (14.236)
1 - ₽не 28
Примеры даны в задачах 14.13 и 14.37.
436
Т а б л и ц а 14.4
. Определяемые величины Расчетные формулы
Входное напряжение 41XZH 4~ л12 4uZH “Ь -412 “Ь 42iZHZr 4~ 422Zr
1 Входной ток Ц 42]Zh 4~ 422 4nZH 4" 412 42iZHZr 4~ A22Zr
Выходное напряжение U2 ZH £ 2 4ц ZH 4" Д12 4~ 421ZHZr 4" 422 Zr
Выходной ток /2 —1 Ег 41. ZH 4“ 4j2 4~ 421 Zh Zr 4* 422 Zr
Входное сопротивление Z1BX — / Л 4nZH 4~ 412 42iZh 4- 422
Выходное сопротивление ^2ВЫХ 412 4~ 422Zr 4ц 4~ 421Zr
Коэффициент передачи на- пряжения Ку — U2 /Ui £h 4uZH 4- 4i2
Коэффициент передачи тока К/ = /2 / —1 42i Zh 4- 422
Передаточная проводимость ^пер “ ^г/^1 —1 4ц ZH 4- 4i2
Передаточное сопротивле- ние znep=t/2 / Л Zh Zh 4“ 422
9. Выражение различных величин четырехполюсника, подклю-
ченного к генератору с э. д. с. Ег и внутренним сопротивлением Zr
и нагруженного на сопротивление ZH. Для такого четырехполюсника
(см. рис. 14.2, а) в табл. 14.4 приводятся некоторые важные расчет-
ные формулы, выраженные через Л-параметры.
437
10. Рабочая и вносимая постоянные передачи. Рабочей постоян-
ной передачи при включении четырехполюсника между нагрузкой
ZH и генератором с э.д.с. Ег и сопротивлением Zr (см. рис. 14.2, а)
называется величина, равная
= in _А_ + _L in А. • (14.24)
l2Z«. 2U2 2 Zr
Здесь U' и Г относятся к схеме 14.2, б, в которой сопротивление
нагрузки берется равным сопротивлению генератора Zr и подключа-
ется непосредственно к генератору. Напряжение U2 и ток /2 относят-
ся к схеме рис. 14.2, а, в которой нагрузка ZH подключается к генера-
тору через четырехполюсник.
Рабочая постоянная передачи четырехполюсника может быть вы-
числена по формуле
gp = g + 1П -2г + In Zh ±±_. +
2 j/ ZrZlc 2 у ^н^2с
+ ln(l—ргрне^) = ар + /&р, (14.25)
где g — характеристическая постоянная передачи четырехполюсника;
ар — рабочее затухание;
Ър — рабочая фазовая постоянная;
РгиРн—коэффициенты несогласованности [см. формулы (14.22)1.
Рабочее затухание может быть определено по одной из формул:
+ 1П I 1—
(14.26а)
(14.266)
где а — характеристическое затухание четырехполюсника;
Рг и Рн — коэффициенты отражения (несогласованности) на входе и
выходе.
Вносимая постоянная передачи
• п • и
gm = 4" In = авн + jbM, (14.27)
где и2 и /2 — напряжение и ток на нагрузке при^ непосредственном
подключении ее к генератору (рис. 14.2, в);
U2 и /2 — напряжение и ток в той же нагрузке при подключении
ее к генератору через четырехполюсник (см. рис.
14.2, а);
авн — вносимое затухание;
йвн — вносимая фазовая постоянная.
438
Вносимое затухание
Вносимое и рабочее затухания могут быть отрицательными даже
для пассивной цепи, что характеризует изменение условий согласова-
ния генератора с нагрузкой при включении между ними четырехполюс-
ника.
Пример дан в задаче 14.37.
Рис. 14.3
11. Удлинители — четырехполюсники, составленные из чисто ак-
тивных сопротивлений. Они выполняются по схемам рис. 14.3, а—в.
При расчете удлинителя обычно задаются его характеристическим
затуханием и модулем характеристического сопротивления. В этом
случае элементы удлинителя рассчитываются по формулам:
для схемы рис. 14.3, а
Rt = 2ZT th -%-, = (14.29а)
для схемы рис. 14.3, б
Ri = Znsha, Rz = ———; (14.296)
а
2 th —
2
для схемы рис. 14.3, в
Rt = ZTM, R2=4" (cth -2---------1), R3 = Rt/R* (1 4.29b)
12. Трансформаторы для согласования сопротивления генера-
тора Zr и нагрузки ZH.
А. Идеальный трансформатор ИТ (рис. 14.4) не имеет потерь и рас-
сеяния, индуктивности катушек бесконечно велики, но их отношение
439
конечно и равно квадрату чисел витков:
L2/Lb = = п2, п= L2!Li . (14.30)
Если задаться коэффициентом трансформации
п = UJU, = /ZZ
(14.31)
то ZH и Zr окажутся подключенными со-
гласованно, т. е.
Z1BX = = Zr, Z2BX = n2Zr = ZH.
n2
(14.32)
Б. Переходный трансформатор слу-
ис* * жит для согласования модулей сопро-
тивлений аппаратуры и цепей связи. При
согласовании по модулю сопротивления генератора |Zr| с нагрузкой
| ZH | коэффициент трансформации
(14.33)
Расчет трансформатора ведется по заданной величине рабочего
затухания, которое определяется по формуле*
"4“ ^2 «8»
(14.34)
— постоянная составляющая рабочего за-
тухания;
— переменная составляющая в области
низких частот;
— переменная составляющая в области
высоких частот.
Оптимальная величина индуктивности определяется из равенства
а2 = а3. В этом случае для расчета параметров обмоток трансформа-
тора используются следующие формулы:
г, = IZrI(еа‘- 1); а = 4(е2а‘- 1); L1=-JAL;
<°2 ]/ I (14.35)
Г2 = Г1и2; L2 = Цп2. J
Здесь о — коэффициент рассеяния;
(01 и со2 — соответственно наинизшая и высшая угловые частоты, при
которых должен работать трансформатор.
* Вывод этой формулы можно найти, например, в [10].
(
440
Примеры приведены в задачах 14.45 и 14.46.
13. Минимально-фазовый четырехполюсник. Минимально-фазовым
называют четырехполюсник, у которого все нули функции передачи,
записанной в операторной форме, лежат в левой части комплексной
плоскости р.
Неминимально-фазовым четырехполюсником называют такой че-
тырехполюсник, у которого хотя бы один нуль передаточной функции
лежит в правой части плоскости р.
Примеры даны в задачах 14.48 и 14.49.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Параметры четырехполюсника. Т- и П-схемы замещения
четырехполюсника
14.1. Найти параметры-коэффициенты Ди,
Т-образного * четырехполюсника (рис. 14.5), если
= 200 ом, хс = 100 ом. Проверить вы-
полнимость соотношения АцА22 — A12A2i = !• ]
Решение. Расчет параметров-коэффи"
циентов проведем по формулам (14.7д), в ко“
торых
Z1T = г = 100 ом, Z2T = jxL = /200 ом,
Z3T = —jxc = —/ЮО ом. *
И А 22
А12, ^21
г = 100 ом, Xl =
ХС
11—^2
Рис. 14.5
1Т
2Т
100
/200
12
ИЛ. = (50—/100) ом,
z2T
21 —----- = —/0,005 сим,
Z2T
— = 0,5
2Т
Проверка.
AtiA22 — Ai2A2l = (1 — /0,5) 0,5 — (50 — /100) (—/0,005) = 1.
Искомые коэффициенты можно найти также по формулам (14.6д):
100 + /200
/200
= 1 -/0,5
441
Для определения коэффициента At2 предварительно найдем ток /2
в режиме короткого замыкания:
________t)i /xl = ______.
xL хс i*L — ixc xLxc+ir (XL—XC) '
ixL — jxc
Л12 = (-М =5Л+?Л-М=(5о_/1ОО) om.
\ -/2 /v,=o
Д21 = | —= — /0,005 cum',
\U.2Jil=o ixjt
( h \ L xi —xr
---£1_ = ---------- = _L--c__ = o,5
4 /У.-0 Л ,Xl Xl
jxL — jxc
14.2. Для четырехполюсника задачи 14.1 вычислить Y-, Z-, Н- и
/•-параметры.
Решение. Используя соотношения из табл. 14.1, найдем:
= = -- °’5 = (2 + /4) 10"3 сим\
Л12 50 —/100
---------1— = (—4 — /8) 10-3 сим = У21;
•^12
У22 = _±1_ = (8 + /6) 10-8 сим\
•^12
Z.. = = (100 + /200) ом\ Z.z = —L_ J= /200 ом = Z21;
Л21 Л21
222 = = / ЮО олс,
Д21
п = Л12_ = (100 — /200) ОМ-,
Л22
^i2 = -1L-=2 = -//21;
/*22
//22 = = — /0,05 сим\
Д22
Fн = = (2 — /4) 10"3 сим-, Fi2 = — —— = -0,8 - /0,4 = -F21;
Ли Лц
Л12
Ан
= (80 — /60) ом.
442
14.3. Для четырехполюсников рис. 14.6, а и б вычислить А-,
Z-, Y-, Н- и /•'-параметры. Значения сопротивлений в омах указаны
на рисунках.
20 зо $ 1000
Рис. 14.6
14.4. Найти комплексные сопротивления Т- и П-образных схем,
эквивалентных четырехполюснику, коэффициенты которого
Дц = 0,6 + /0,1, А12 = (17 + /72) ом, А22 = 0,5 4” /0,2.
Указание. Искомые сопротивления найти из формул (14.7д» е).
-
Рис. 14.7
14.5. Параметры трансформатора без стального сердечника
(рис. 14.7, а):
Г1 = 2 ом, Li = 0,5 мгн, г2 = 3 ом и L2 = 0,72 мгн.
Коэффициент связи между обмотками трансформаторами k = 0,5.
Чему равны А-коэффициенты четырехполюсника, эквивалентного
указанному трансформатору, при частоте f = 10 кгц> Определить
комплексные сопротивления Т- и П-образных четырехполюсников,
эквивалентных трансформатору.
Указание. Заданная схема может быть заменена эквивалентной схе-
мой рис. 14.7, б (см. п. 5 основных положений гл. 5).
14.6. Вычислить комплексные сопротивления при частоте f =
== 10 кгц для Т-образной схемы, эквивалентной автотрансформатору
без стального сердечника (рис. 14.8), Параметры которого = 2 ом,
Li = 0,35 мгн, г2 = 3 ом, L2 = 0,5 мгн и М = 0,25 мгн.
443
Указание. Составить уравнения Кирхгофа, затем совместно их ре-
шить так, чтобы первичные напряжения и ток были выражены через вторичные
напряжение и ток. Сравнив коэффициенты полученных уравнений с (14.1д),
получить 4-параметры. Зная их, найти искомые сопротивления по формулам
(14.7д).
Рис. 14.8
Рис. 14.9
14.7. В месте соединения воздушных и кабельных линий связи
используются автотрансформаторы с конденсаторами (рис. 14.9).
Вычислить коэффициенты А и, А12, Д21, А22 четырехполюсника, если
Zt = Z2 = (5 + /20) ом, Zi2 = /10 ом, Z3 = —jxc = —/30 ом.
Б. Входное сопротивление четырехполюсника
14.8. Известны коэффициенты четырехполюсника (см. задачу 14.1)
А а = 1 — /0,5, Л21 = —/0,005 сим, А22 — 0,5. Определить сопро-
тивления холостого хода и короткого замыкания со стороны первич-
ных и вторичных зажимов. Проверить выполнимость соотношения
^1х.х • 21к.з = ^2х.х • ^2к.з*
Решение. Из формулы (14.4) находим коэффициент
Д12 =....- 1 = (50 _ / 100) ом.
Л21
Искомые сопротивления вычисляем по формулам(14.15):
21х.х = = (10° + /20°)ом’ = = /10°ом’
ZiK.3 == ф = (ЮО - /200) ом; Z2K,3 = ф- = (80 - /60) ом.
**22 Л П
Проверка.
Zrx.x _ 100 -j- /200 _ П fi I /О Я ^2х.х ___ /100 _
100 —/200 v,o-r/u,o, z 80 —/60
= -0,6 + /0,8.
14.9. Вычислить сопротивления холостого хода и короткого
замыкания со стороны первичных и вторичных зажимов четырех-
444
полюсника, коэффициенты которого Ait == 0,2 — /0,4, Л12 =
= (—16 — /28) ом, А22 = —0,6 - /0,8.
14.10. Для схем рис. 14.6, он б вычислить входные сопротивления
при холостом ходе и коротком замыкании двумя способами: непо-
средственным вычислением указанных сопротивлений; с помощью
Л-параметров.
14.11. У несимметричного четырехполюсника со стороны первич-
ных зажимов были измерены напряжения, токи и мощности при хо-
лостом ходе и коротком замыкании, а также со стороны вторичных
зажимов — напряжение, ток и мощность при холостом ходе. Опреде-
лить Л-коэффициенты четырехполюсника, если измерения показа-
ли:
U1х.х == Ю 1х.х 316 МО, Pfx.X в/П (ф1х.х -^> 0), •
f/lK.3 == 1к«з 139 МО, Р1К13 0,576 QtTl (ф1^,з 0),
^2х.х ~ 0 в, /2х.х 600 МО, Ргх.х 0 (ф2х.х << 0).
Решение.
р
COS Ф1Х.Х = "Ту 7
1х.х 1х.х
: .г - Q 949*
10-0,316
q>lx.x = 18°25', Zlx.x = zlx xe/<pix.x = 31,бе'18’25' = (30 + /10) ом;
Z1K-3 “ /1К З ~ 0,139 ~ 36 ом''
1К« 3
1К.З
COS Ф1к.з и т
1к.з 1к.з
= 0,83, <р1к,3 = 33°50
21К.З = г1к.3е/<р1к.з =36е/ззо5°' = (30 + /20) ом;
^2х.х
6
= -7TF = Ю ом^
0,6
Так как Р2х.х 0, то Z2x.x имеет чисто реактивный (емкостный)
Характер, т. е. ф2х.х =—90°, поэтому
-^2х.х — г2х.хе/<Р2х-х = Юе /90° = —/10 ом.
Коэффициенты четырехполюсника определяются по формулам
(14.16):
445
^22 — ^21^2х.х — /0»1( /10)--------1;
^12 — ^22^1к.з — —1(30 + /20) — (-—30 —/20) ом. ,
14.12. Для симметричного четырехполюсника опыты холостого
хода и короткого замыкания дали результаты: 1/1х.х .= 10 в, /1х.х = 1 а,
/^iXtX = 10 вт, Ю в, /1к.з = 0,8а, РiK>3 — 8 вт..
Вычислить Л-коэффициенты, этого четырехполюсника и начертить
Т-образную схему заме-
Рис. 14.10
щения.
'14.13. Рассчитать вход-
ное сопротивление со сто-
роны зажимов 1 - Г i четы-
рехполюсника задачи 14.1
при нагрузке зажимов 2-2'
на сопротивление ZH =
== гя = 200 ом. То же при
нагрузке со стороны за-
жимов 1-1' на сопротивле-
ние Zr — гТ = 150 ом.
Решение. Входное сопротивление со стороны зажимов 1-Г
(рис. 14.10, а) определяем по формуле (см. табл. 14.4).
^1вх
(1 — /0,5)200 + (50 — /100)
-/0,005-200 + 0,5
= (260 + /120) ом.
Проверка.
7 _ . I ixL(r« — ixc) _ lnn , /200(200 -/100)
r -Г гн + /(х£ —xc) 1UV + 200+ /(200— 100)
= (260 + /120) ом.
Входное сопротивление co стороны зажимов 2-2' (рис. 14.10, б)
лмгг + А12 0,5-150+ (50-/100) „
2вх Л412г + Лп -/0,005-150+ 1 —/0,5 = 1у/’' + ом-
Проверка.
7 - —iv д. iXL<Гг + - _ит д_ /200<150 + 10°) _
^2вх 1ХС + r + J1W + 250 + ]2(Ю
= (97,7 + /21,8) ом. .
14.14. Определить сопротивление четырехполюсника (см.
рис. 14.10, а) со стороны первичных зажимов (прямая передача) при
нагрузке вторичных зажимов на активное сопротивление ZH= 10 ом.
То же со стороны зажимов 2-2' (обратная передача) при нагрузке
зажимов 1-Г на Zr = 6 ом.
В. Схемы соединения четырехполюсников
14.15. Два одинаковых четырехполюсника задачи 14.1 соединены
каскадно по схемам, изображенным на рис. 14.11, а, б, в. Для каждого
из случаев определить Л-параметры сложного четырехполюсника.
446
Решение, а) Входные зажимы первого четырехполюсника
соединены с входными зажимами второго (рис. 14.11, а).
Рис. 14.11
При каскадном соединении четырехполюсников матрица [Ла1 ре-
зультирующего четырехполюсника равна произведению соответст-
вующих матриц соединяемых четырехполюсников*:
1А1 = [А']-[А"] =
Г А Ап 1 Г Аи А
г '
И 12
д* А”
^21 22
1 А г Я”
л *21 ' 22
Г Д'
21 7111
• Д' Д” -4- Д’ А”
21 21 _ 12 ^22^22,
п
Л1а = 4Л + А12А"2,= (1 — /0,5)2 4- (50 - /100)(—/0,005) = 0,25-
— /1,25;
А
«а = A’ttA;2 + л;2л^ = (25 - /175)ож;
Л' Л" , Л' Я* /Л Г» 1
' А”
22^22
&
«и»
б) Выходные зажимы первого четырехполюсника соединены с вы-
ходными зажимами второго (рис. .14.11, б).
В этом случае в матрице второго четырехполюсника коэффициенты
А’ и А" меняются местами:
I J
М6]=Ь4'НЛ"]
А' А' 1 ГА” А” 1
^11^12 ^22^12
2Г‘22_
-22'*12 11 22 1 12 21 *
а2,аь rki^+>
^11^22 ”Ь ^12^21 = —А®*’
[нл;2 + А12А11 = — /250 ом;
' А"
12Л11
аАн
* См. приложение 4<
447
Д21б = ^1^22 + ^22^21 = —/0,005 CUM\
-^226 = ^21^12 + ^22^11 = —/0,5.
в) Входные зажимы первого четырехполюсника соединены с вход-
ными зажимами второго (рис. 14.11, в).
В этом случае в матрице первого четырехполюсника коэффициен-
ты Дц и Д^2 меняются местами:
[дв] = M'lm =
ГА' А' 1
Z122Z112
А” А"
ЛпЛ12
Див == —/0,5; Д12в == (50 — /100) Д24в=
== (—0,005 — /0,01) сим\ Д22В == —/0,5.
14.16. Решить предыдущую задачу, применив ее условия к двум
одинаковым четырехполюсникам рис. 14.6, а.
Рис. 14.12
14.17. Два одинаковых четырехполюсника задачи 14.1 соедине-
ны каскадно, но так, что выходные зажимы первого перекрещены
(рис. 14.12). Определить Д-параметры результирующего четырехпо-
люсника.
Решение. При перекрещивании выходных зажимов первого
четырехполюсника у всех его Д-параметров знаки меняются на обрат-
ные (перекрещенные параметры имеют верхний индекс в виде крес-
тика):
дх = Ан, Д^ = Д|2, Д^ == Д21, Д^ ~ Д22.
Поэтому коэффициенты результирующего четырехполюсника бу-
дут отличаться от полученных в задаче 14.15* а только знаками:
Ди = ДхД'и + ДхД^ = —0,25 + /1,25;
Д12 = (—25 + /175) ом\ Д21 = (25 + /75) 10~4 сим\
Д22 = 0,25 -f- /0,25.
448
14.18. Два одинаковых четырехполюсника из задачи 14.1 соедине-
ны: а) последовательно, б) параллельно, в) последовательно-парал-
лельно, г) параллельно-последовательно. Для каждого из случаев
начертить схему регулярного соединения и определить А-коэффици-
енты сложного четырехполюсника.
Рис. 14.13
Решение, а) Схема последовательного соединения четырех-
полюсника приведена на рис. 14.13, а. При последовательном соеди-
нении четырехполюсников матрица [Z] результирующего четырех-
полюсника равна сумме матриц соединяемых четырехполюсников:
[Z] = [Z'J + [Z"J;
отсюда
[Z] =
11.12
21 22
Для определения элементов матрицы [Л] результирующего четы-
рехполюсника используем соотношения из табл. 14.1:
449
Л» = -Ш = = 2А' = (100 — /200) ом;
"21 ^21 £
Л21 — у-
"21
д ______ 22
7122 — У
Л21
—г- = 0,5Л' = —/0,0025 сим;
2Z21 21
= _§!_ = = 0,5.
97 7 22
ZZ,2J Д21
б) Схема параллельного соединения дана на рис. 14.13, б. При
параллельном соединении четырехполюсников складываются матри-
цы [У]:
^11^12 2Уц2У12
^21^22 _ _2У212У22_
11 12
21 22
Для определения элементов матрицы [Д] результирующего четы-
рехполюсника используем соотношения из табл. 14.1:
= (25 — /50) ом;
А21 = — -1Д = 2А2. = — /0,01 сим; Л22 = -pi- = А' = 0,5.
г 21 Т 21 U
в) Схема последовательно-параллельного соединения четырех-
полюсников приведена на рис. 14.13, в. Для обеспечения регуляр-
ности соединения потребовалось перекрещивание входных зажимов
второго четырехполюсника. При этом, как известно, все коэффици-
енты матрицы L4"] этого четырехполюсника меняют знак на обрат-
ный:
у4"х = Д' л”* = д' 2Гх = ут /Гх — А»
Г1ц /112 /112, /121 /12р /122 **22*
Коэффициенты матрицы [Н"\ определяются по формулам
табл. 14.1:
"х
22
— 1 — 1 —____Ч' . Н"х= 21 =_____-
21 “ д"Х — у — "2Р “22 д"х д'
л22 л22 rt22 л22
Отсюда видно, что при перекрещивании входных зажимов коэф-
фициенты и сохраняют свой знак, а коэффициенты Н’^ и
Я".х меняют знак на обратный.
450
При последовательно-параллельном соединении складываются мат-
рицы [Я]:
[Я] = [Н'} + [Я"х]=
'2Н'и 0 1 Г ЯЦЯ12 '
О 2Н' ~ Я21Я22
отсюда
Яп = 2Н'п = (200 — /400) ом, Я12 = 0,
Я21 = 0, Я22 = 2Н' = —/0,02 сим.
4
Коэффициенты матрицы 1Л] равны:
А --Ш-- оо- А.-—- оо-
^11 и 00» ^*12 г/ 00 >
«21 «21
^21 = = °°; Лг2 = °°-
Равенство коэффициентов матрицы [Л] бесконечности означает,
что у результирующего четырехполюсника матрица [Л] не существует.
г) Схема параллельно-последовательного соединения четырех-
полюсников приведена на рис. 14.13, г. В целях обеспечения регуляр-
ности соединения выходные зажимы второго четырехполюсника пе-
рекрещены. При параллельно-последовательном соединении склады-
ваются матрицы [FJ:
IF] = [F'J + [F’x]
1Г 12
L 21 22 J
'XP’X
11 * 12
В результате перекрещивания выходных зажимов второго четы-
рехполюсника получаем:
Лцх — Лп; Л(^ Л12; Л21х Л^; А^ Л^.
Элементы матрицы [F1 второго четырехполюсника (см. табл. 14.1):
Элементы матрицы [F] результирующего четырехполюсника:
Fu = 2F'n = (4 — /8) 10“8 сим', Flz — 0;
F2i = 0; F22 = 2F;2 = (—160 + /120) ом.
451
Коэффициенты матрицы [Д]:
л 1 .Л ____ 22 _ . Д ___ ^11 ___ . Д ___ 1^*1 _
Дц — -----00 > ^12 р 00 * ^*21 р °°» ^*22 р
Г21 '21 '21 '21
— ОО .
14.19. Решить задачу 10.18, применив ее условия к двум одинако
вым четырехполюсникам рис. 14.6.
a) j___________________________
Рис. 14.14 Рис. 14.15
14.20. Дан четырехполюсник, параметры которого Ди, Д12, A2i
и А22 известны. Определить Д-параметры результирующего четырех-
полюсника, обведенного штриховой линией на рис. 14.14, а, б, в и г.
14.21. Разорванный четырехполюсник, параметры которого =
= 150 ом, г2 = 200 ом, соединен по схеме рис. 14.15, а с четырех-
полюсником задачи 14.1. Найти параметры Дц} Ai2, Д21, А22 слож-
ного четырехполюсника.
Примечание. Разорванным называется четырехполюсник, входные
и выходные зажимы которого не связаны между собой. Схема разорванного
четырехполюсника приведена на рис. 14.15, б. Его параметры:
1
Zi
К12 У21 0, У 22
1
^2
= Zlt
= Zu
4
12 — ^21 — ^22 — ^2»
= ^21 == 9, Н22 = ’
1
Z2
Указание. Соединение, показанное на рис. 14.15, а, является последо-
вательно-параллельным соединением четырехполюсников. Поэтому матрица
[Н] результирующего четырехполюсника должна быть равна сумме соответст-
вующих матриц соединяемых четырехполюсников.
14.22. Четырехполюсник задачи 14.1 соединен каскадно с иде-
альным трансформатором, коэффициент трансформации которого
452
1 : п = 0,5 (рис. 14.16, а и б). Найти Л-параметры результирующего
четырехполюсника.
Рис. 14.16
Решение, а) Для рис. 14.16, а. Матрица [Л] результирующего
четырехполюсника равна произведению матриц [Д'] соединяемого
четырехполюсника и [Д"] идеального трансформатора:
[л 1 = [Д'] [Д"]
ДцД12
Д21 Дгг_
0 п
г, 1
Ди п Д12П
, 1
Д21 п А22П
Ли = Лц-^- = О —/0,5)0,5 = 0,5 — /0,25, Л12 = A'i2n = (100 —
—/200) ом;
Л21 = Xi = —/0,0025 сим; Л22 = Л^п = 1.
ГV
б) Для рис. 14.16, б:
[Д] = [Д"][Д'1 =
0 п
Д11Д12 Ди Д12
IV
Д21Д22 ИД21 пА.22
Ли = -г 41 = 0,5 — /0,25;
• г
л12 = -1- Л12 = (25 — /50) ом;
Л21 = пА21 = —/0,01 сим; Л22 = пА22 — 1.
Примечание. Следует обратить внимание, что лишь при п = 1 мат-
рица [Л] четырехполюсника не изменяется, независимо от того, где включен
идеальный трансформатор: на входе или на выходе.
Г. Характеристические параметры,
их связь с другими параметрами четырехполюсника.
Повторные параметры
14.23. Для четырехполюсника задачи 14.1 найти характеристиче-
ские параметры Zle, Z2c, g.
Решение. Способ 1. Использование Д-параметров четырехпо-
люсника. По формулам (14.9) получим:
453
-.Г (1—/0,5)(50-/100)
V -/0.005-0,5
0,5(50-/100)
-/0,005(1 -/0,5)
у 5-104=224ол<;
56е-/63030'
0,0056е“/116<>30'
= / 104e/S3° = ЮОе/26’30' ом.
Их формулы (14.10):
е* = ee-e/» = V ЛиЛ22 + V Л12Л21 = /(1 —/0,5)0,5 +
+ /—/0,005(50 — /100) = / О^бе-726’30' + / О.ббе-7153’30' =
= 0,748е-/13°15’ + 0,748е-'76°45' = 0,902-/0,902 = 1,275с-/450 ;
еа = 1,275, а = 1п 1,275 = 0,244 неп;
ejb = е-/4б° f ь = _45° = —0,785 рад;
g = а + jb = 0,244 — /0,785.
Способ 2. Использование параметров холостого хода и короткого
замыкания. Они были найдены в задаче 14.8. По формулам (14.13)
получим:
Zlc = VZ1X.XZK,3 = У(100 + /200)( 100 — /200) = 224 ом\
С = V22x.xZ2k,3 = У /100(80-/60) = У 104е/53° = ЮОе/26030' ом.
По формуле (14.14)
найдем
80 /60 _ ,
/100 у
= 0,446 — /0,895.
Отсюда для определения g, поступим так:
th а = shg __ eg — e~g eg
ch g eg + e-g ’ eg
2к.з
2х.х
е—/127° — е—/63°30'
e2g — 1
откуда
1 + __ 1+0.446-/0,895
1—thg ~ 1 — 0,446+/0,895
= l,63e~/90° j
e2« = 1,63, 2a — In 1,63 = 0,488, a = 0,244 неп-,
= e-W ( 2b = —90°, b = —45° = —0,785 pad.
14.24. Определить характеристические параметры четырехполюс-
ников рис. 14.6, а и б.
454
14.25. Известны характеристические параметры четырехполюс-
ника:
Zlc = 224 ом, = 100е^2в°30', g = 0,244 — /0,785.
Найти его Л-параметры.
Решение. Искомые параметры найдем по формулам (14.11).
Для этого вначале вычислим sh g и ch g (см. приложение 3):
sh g = sh (0,244 — /0,785) = sh 0,244- cos (—0,785) +
• + / ch 0,244 sin (—0,785) = 0,243-0,707 + /1,032 (—0,707) =
= 0,172 — /0,73 = 0,75e-'76°45';
chg = ch (0,244 — /0,785) = ch 0,244-cos (—0,785) +
+ /sh 0,244 sin (—0,785) = 0,75e-/13°15';
4i = / = V°,75e—/13°15' = l,12e_/26°30';
r A12 = 112e“/63O3°' ом; A2i = —/0,005 cum; A22 = 0,5.
14.26. Определить А -параметры симметричного четырехполюсни-
ка, если
Zc = 680е/3026' ом и g = 18,35е'86°15'.
14.27. Найти характеристические параметры сложных четырех-
полюсников задач 14.15, 14.18, 14.21, 14.22.
Указание. При решении задачи 14.14 было установлено, что при по-
следовательно-параллельном соединении у результирующего четырехполюсника
4-параметры не существуют, поэтому расчет рекомендуется вести по формулам
(14.13) и (14.14). Для определения параметров холостого хода и короткого
замыкания удобно схему рис. 14.13, в представить в виде, изображенном на
рис. 14.17, а. При параллельно-последовательном соединении четырехполюсни-
ков схема, удобная для определения 'Параметров холостого хода и короткого
замыкания, приведена на рис. 14.17, б.
Рис. 14.17
14.28. Опыты холостого хода и короткого замыкания для симмет-
ричного четырехполюсника дали результаты:
17х.х = 10 в, /х,х = 0,447 п, Рх,х = 2 вт (<рх.х > 0), 1/к,3 в
== 10 в9 /Kt3 == 0,5 и9 Р& 8 == 3 вт (фх,3 0).
455
Определить характеристическое сопротивление и характеристическую
постоянную передачи четырехполюсника.
14.29. Для несимметричного четырехполюсника задачи 14.1 найти
повторные сопротивления.
Примечание. Повторным сопротивлением называется такое сопро-
тивление нагрузки, при котором входное сопротивление равно этому нагрузоч-
ному.
14.30. При каком сопротивлении нагрузки ZH, подключенной ко
вторичным зажимам симметричного четырехполюсника рис. 14.11, б,
входное сопротивление ZiBX равно ZH?
14.31. Коэффициенты четырехполюсника Лн = 1,2 + /0,2, Ai2 =
= (16+/6) ом, A2i == 0,05 сим. Определить, какое чисто реактивное
сопротивление надо подключить к его выходным зажимам, чтобы пер-
вичные напряжение и ток совпадали по фазе.
14.32. Коэффициенты четырехполюсника А и = 1,3 + /0,2, A2i =
= 0,05 сим, А22 = 1 — /0,5. При каком чисто активном сопротивле-
нии нагрузки напряжение Щ и ток Ц совпадают по фазе?
Д. Эквивалентность четырехполюсников
14.33. Показать, что четырехполюсник задачи 14.1 и четырехпо-
люсник, изображенный на рис. 14.18, эквивалентны. Величины со-
противлений на рисунке даны в омах.
14.34. Показать, что четырехполю-
сник задачи 14.1 не может быть физиче-
ски реализован в виде эквивалентного
П-образного четырехполюсника.
14.35. Найти сопротивления и Z2
мостового четырехполюсника (см. рис. 7
в табл. 14.2), эквивалентного симметри-
чному Т-образному четырехполюснику
(см. рис. 5 в табл. 14.2), элементы кото-
рого ZiT = Z3t, Z2t известны.
четырехполюсник рис. 14.19, а имеет
сопротивления: Z4 = (100 4- /200) ом, Z2 = 200 ом, Z3 = (1000 +
4- /800) ом. Преобразовать его в эквивалентный симметричный че-
тырехполюсник, соединенный каскадно с идеальным трансформато-
ром.
Решение. Рассмотрим два варианта преобразования.
1. Идеальный трансформатор присоединен к выходным зажи-
мам симметричного четырехполюсника (рис. 14.19, б).
Коэффициенты матрицы [Л] заданного несимметричного четырех-
полюсника находим по формулам (14.7д):
Рис. 14.18
14.36. Несимметричный
Af\ — 1,5 4" /, А}2 = 800 (1 -И /3) ом, A2i — 0,00э сим, А22 =
6 4- /4.
456
Матрица [Л] несимметричного четырехполюсника должна быть
равна матрице сложного четырехполюсника:
^11^12
^21^22
ЛцЛ12
Л21 Ли
О
о
п
Ли — Л12 п
Ilf
Л21 Лц п
Рис. 14.19
Отсюда следует
—- = Лп (1), Л12/1 = Л12 (2), Л21 —- = Л21 (3), АцП = Л22 (4).
• > я *
Путем деления формулы (4) на (1) получаем
Из соотношений (1), (2), (3) следует:
Л ц = Л22~ яЛи = 2 (1,5 4- /) = 3 + /2;
л;2 = -4г- = 400(1 + /3) ом;
Л21 = пА21 = 0,01 сим.
457
2. Идеальный трансформатор присоединен к входным зажимам
симметричного четырехполюсника (рис. 14.19, в), тогда
О Лц
п Л21
Л12 _ -4" Л11 4’Л‘2
А® /1Л21 «Ли
-7- Ли = Аи, -i- Л12 = Л^, пАц = А21, пАц = Л22;
иа = -^_ = 4, л = 2;
Л11
Дц = А22 == мА = 3 -|- /2;
• Д12 •= nAi2 = 1600(1 + /3) ом;
Л21 = = 0,0025 сим.
п
Е. Коэффициенты отражения, эхо. Вносимое и рабочее затухания.
Коэффициенты передачи напряжения, тока
14.37. Четырехполюсник задачи 14.1 включен между генерато-
ром, сопротивление которого ZP = /?г = 150 ом, и нагрузкой ZH=
= Rn = 200 ом. Определить коэффициенты отражения со стороны
нагрузки рн и генератора рг . Вычислить входное сопротивление че-
тырехполюсника Z1BX и его отклонение (по модулю в процентах) от
характеристического сопротивления Z4c. Найти затухание эха а9Х0.
Найти вносимое авн и рабочее ар затухания. Подсчитать коэффициен-
ты передачи напряжения Ки и тока .
Р е ш е н и е. Требуемые в дальнейших расчетах величины Zlc,
Z^ и g были найдены в решении задачи 14.23. По формулам (14.22)
находим:
_ :_ 2Н — Z2C __ 200 — ЮОе^ ________q 407р~ 30°45,.
Ря “ ZH + Z2C “ 200 + 100е' 26°30' ’
__ Zr ^ic 150 224 q 2у
Рг Zr+Zlc 150 + 224
Входное сопротивление было вычислено в задаче 14.13:
Z1BI = 260 + /120 = 286е/24Р“’ ом.
Отклонение входного сопротивления от характеристического по
модулю в процентах равно
I^ibxI — tZie.l JOQ _ 286 — 224 10Q = 27 70/ '
I Zic I 224
458
Затухание эха а9х0 — величина, обратная модулю натурального
логарифма р:
, р = = .150~(260+ 7 120) = 0 382е-/ ПбвЮ’
ZT + Z1BX 150 + 260 4- j 120
a9X0 = In —-— = In —-— = In 2,62 = 0,963 неп.
° |p| 0,382
Рабочее и вносимое затухание находим по (14.266) и (14.28). Для
Этого предварительно вычисляем значения отдельных слагаемых, вхо-
дящих в эти выражения; /г = 0,244 неп найдено в задаче 14.23:
01 — In
= In
а2 = In
150 + 224
2 V 150 • 224
= In
289,5 + /44,6
/ 13°15'
2 • 141е
= In 1,02 = 0,0198 неп;
200 + 89,5 + 744,6
2 }^200 •ЮОе7 26°30'
= In = In 1,038 = 0,0375 Hen;
282
a, = In 11 -pr p„e-*«-| = In 11 + 0,27 • 0,407e-'3°°45’• e"2 <°‘244-'°-785>| =
= In 11 + 0,0495e/59 I° | = In11,0254 + /0,04251 = In 1,026 =
== 0,248 неп\
a4 = ln
= In
150 + 200
2 К 150 • 200
= In 1,012 = 0,012 неп.
Итак,
авн = a + at + a2 + a3 — a4 = 0,244 +- 0,0198 + 0,0375 +
+- 0,0248 — 0,012 = 0,314 неп.
Рабочее затухание
ap = авя + at = 0,314 + 0,012 = 0,326 неп.
Коэффициент передачи напряжения и тока находим по форму-
лам табл. 14.4:
„ = С/а = _£н_ = ______________200________ =
и й4 Лиг„+Я12 (1 —/0,5) 200 + 50 —/100
= 0,625е/38О4°';
1 = . 1
“Ь ^22 /0,005 • 200 -j- 0,5
= 0,893е/63оз°'.
459
14.38. Решить задачу 14.37, применив ее условие к четырехпо-
люснику рис. 14.6, а, который включен между Zr = 7?г = 6 ом и
ZH = RH = 10 ом.
14.39. Два симметричных четырехполюсника, параметры которых
А[2, А21, А22 и Л"2, А21, Л"2, соединены в цепочку. К входным
зажимам первого четырехполюсника подведен источник напряжения
с внутренним сопротивлением Zr, а к выходным зажимам второго
присоединена нагрузка с сопротивлением ZH.
Определить входное сопротивление со стороны генератора, коэф-
фициенты передачи напряжения и тока, если характеристические со-
противления четырехполюсников равны (Zlc = Z2c — Zc) и выполня-
ются условия согласования на входе и выходе (Zr = Zlc — Za =
= Z2c = zcy.
14.40. Вычислить рабочее и вносимое затухания четырехполюс-
ника (см. рис. 14.2, а), если Ег = 3 в, ZT — 600 ом, U2 = 0,1 в и
ZH = 400 ом.
14.41. Определить рабочее и вносимое затухание четырехполюс-
ника рис. 14.2, а, если Ц — 1 ма, ZT — Zic — 103 ом, /2 = 0,08 ма,
Za = Z2c = 10® ом.
Ж. Удлинители
14.42. Найти значения сопротивлений, требующихся для составле-
ния Т-, П-образных и Т-образного мостового симметричных уравно-
вешенных удлинителей, имеющих характеристическое сопротивление
500 ом и затухание 1 неп.
lr i 14.43. На рис. 14.20 изображен симмет-
~ !!_!_. я ричный уравновешенный Т-образный удлини-
0 1 1 । 1 1 0 тель, используемый в трактах аппаратуры те-
А лемеханики КП—59, собранный из активных
|р сопротивлений J_ Г1 = 138)5 0Mf Г2 =
7Lri I _ 4
0—г=т—I——0 = 510 OJW.
Определить характеристическое сопротив-
ление и затухание удлинителя. Рассчитать
его входное сопротивление при нескольких
Рис. 14.20
значениях нагрузки /?н, изменяющейся в
пределах от 7?н = 0,5Z2c до 7?н “ 2Z2c, и
построить график зависимости входного
сопротивления удлинителя от нагрузки,
указав на нем точки, соответствующие =
= Z2c, а также режимам холостого хода и
короткого замыкания.
14.44. Для изменения степени подав-
ления сигналов используют удлинитель,
входное сопротивление которого должно
оставаться постоянным при регулировании
уровня сигнала. Рассчитать симметричный
460
уравновешенный Т-образный мостовой удлинитель (рис. 14.21) с вход-
ным сопротивлением = 600 ом в двух случаях:
1) уровень напряжения на выходе должен быть меньше, чем на
входе, на 20 дб\ 2) на 40 дб.
При расчете положить, что удлинитель имеет два переменных
сопротивления г2 и г3 и что rf = r2r3. Для каждого из рассчитанных
случаев указать, во сколько раз напряжение на выходе меньше, чем
напряжение на входе.
Решение.
1. Расчет ведем по формулам (14.29в):
а = 20 дб = 0,115-20 неп = 2,3 неп\ t\ = R = 600 ом\
300 (cth 1,15— 1) = 67 ом\
< Ч 6002 епол —а —23 .
/•„ = — =----------- 5380 ом; — = е — е ’ = 0,1.
3 г2 67 и,
2. а = 40 дб = 0,115 • 40 неп — 4,6 неп; = R = 600 ом;
г2 = 6,06 ом; г3 = 5,94- 104 ом; U2IUt — 0,01.
f
3. Трансформаторы для согласования сопротивлений
четырехполюсника и нагрузки
14.45. Определить коэффициент трансформации идеального транс-
форматора, включенного между генератором с сопротивлением Zr =>
— 200 ,ом и нагрузкой с сопротивле-
нием ZH = 150 ом для согласования
модулей сопротивлений (рис. 14.22).
Показать, что при найденной вели- Ё
чине коэффициента трансформации
происходит согласование. I-----0
Решение. Коэффициент тран-
сформации [см. формулу (14.31)1 Рис. 14.22
= 0,865.
Входное сопротивление трансформатора
ZH -|- 0
п
0 • ZH 4- п
150
0.8652
= 200 ом.
Таким образом,
ZBX = Zr = 200 ом.
14.46. Рассчитать выходной трансформатор усилителя, работаю-
щего в диапазоне частот 100—4000 гц. Внутреннее сопротивление
усилителя rt = 104 ом, сопротивление нагрузки гя— 103 ом. При рас-
461
чете принять, что постоянная составляющая рабочего затухания
трансформатора at = 0,05 неп, а переменные составляющие рабочего
затухания на нижней и верхней частотах а2 = а3 — 1 дб.
Решение. Расчет ведем по формулам (14.35). Коэффициент
рассеяния
в _ 4 Д (е2а — 1) = 4 (е0,23 —1) = 0,0259.
<о2 4000
Параметры первичной обмотки трансформатора равны:
гг - | Zr | (е°« — 1) = г} (е°> — 1) = 104 (eo>os — 1) = 513 ом\
Ц = _1А1_ = —Si— = —. 104 = 15,6 гн.
К4-106 • 0,0259
Коэффициент трансформации
п =
Рис. 14.23
= °’316'
Параметры вторичной обмотки трансформа-
тора:
г2 = П2Г1 = о,3162 . 513 = 51,3 ом;
L2 = = о,3162-15,6 = 1,56 гн.
14.47. Рассчитать автотрансформатор рис.
14.23 для согласования модуля волнового со-
противления воздушной линии | ZB1 | = 600 ом
с модулем волнового сопротивления кабеля
| Zb2 | = 200 ом в диапазоне частот 300 — 10 000гц.
Указание. Характеристические сопротивления авто-
трансформатора:
Zic | ZBi | — 600 ом, = I ?в21 — 200 ом.
Расчет параметров автотрансформатора ведется по формулам:
И. Полюсно-нулевое изображение передаточных и входной функций.
Минимально- и неминимально-фазовые четырехполюсники
14.48. Четырехполюсник задачи 14.1 используется на частоте
/ = 1600 гц. Найти передаточную функцию U2(p)/E(p) в режиме хо-
лостого хода и при активной нагрузке гн = 200 ом. Определить нули
и полюсы этой функции и показать на рисунке полюсно-нулевое изоб-
ражение.
462
Решение. 1. В режиме хо-
лостого хода (рис. 14.24, а):
Uz (р) = / (р) pL = р£;
r pL
К (о\_и* _____ Р^- __ Q (р)
(р) г +pL Р (р)
Нули функции являются кор-
нями уравнения Q (р) — 0, а по-
люсы— корнями уравнения Р (р)=
— 0. В данном случае pL = 0, р4=
= 0, г + pL = 0,
___ Г Гш
р2 -
= — 100 • 2я • 1600 в _ 5020 сек*1.
200
Полюсно-нулевое изображение
показано на рис. 14.24, б.
2. В режиме нагрузки (рис.
14.24, е):
I
I
2 (р) = -г +
рЧС (г + гн) + Р (£ + rr„Q .
р 2LC 4- рГнС + 1
/,(₽)-/,(₽)-—j-
I
*
Рис. 14.24
Ui (P) P2LC
Z (p) p*LC 4- prHC4- 1 ’
и 2 (P) = /2 (P) r =
ugp)
Z(P)
’ P2^- '
p2£C -f- praC + 1
v ip\ _ (P) __Р2гн^-С _ Q (P)
ui(p) P2LC (r +rH) -J- p(L +rrHC)+r P(p)
Определяем нули функции К (р) : Q (р) = p2rHL С = 0, рг = 0,
Находим полюсы функции К (р). Для этого вначале вычисляем £ и С:
200
2^1600
= 0,02 гн;
1------ = IQ”8 ф;
юХс 2то1600 • 100
Р (р) = р2£ С (г + гн) + р (£ + гга С) + г =
«6- 10-*р2 + 0,04р 4- 100 =i 0.
463
Корни этого квадратного уравнения равны:
р2 = (—3,34 + /2,36) 103 сект'-, р4 = (-3,34 -/2,36) 103 сек*.
Полюсно-нулевое изображение показано на рис. 14.24, г.
14.49. В схеме, изображенной на рис. 14.25, а, г = 100 ом, L =
== 20 мгн, С = 1 мкф, = 200 ом. Построить амплитудно-частот-
ную и фазочастотную характеристики коэффициента передачи напря-
жения /Сот (/со). Определить передаточное сопротивление при со =
= Wceic1.
Решение. Расчет Кс/ (/со) ведем по формуле (см. табл. 14.4)
Ku(jto) —
U2 (/<*>)
(7*>)
1
Предварительно по (14.7д) находим выражения коэффициентов
Л и и А12 в функции угловой частоты:
4 = 1 + - = 1 + —
jo>L /а>20 • 10"3
. 5000
I-------
<0
г
9 1 “
/ (О
Результаты расчетов заносим в таблицу 14.5.
Таблица 14.5
со, сек"1 ^12» А 1 Л12 -Г р " Ку (/<О)
0 — оо ОО — оо 0
ю3 1 - /5 — 4900 —/1000 — 23,5 —/10 0,0392ez 157°
104 1 — /0,5 50 —/100 1,25 — / 0,625е'38040'
Ю5 1 — /0,05 99,5-/10 1,498-/0,1 0,667е7 30°60'
106 1-/0,005 100 — / 1,5 —/0,01 0,667е'°°23'
10* 1 —/0,0005 100 — 0,1/ 1,5-/0,001 О,667е/о°6'
оо 1 100 1.5 0,667
464
По результатам расчетов на рис. 14.25, б построен график (в ло-
гарифмическом масштабе оси абсцисс) амплитудно-частотной К (j&)
и фазочастотной arg К (/со) характеристик коэффициента передачи.
Передаточное сопротивление—это отношение напряжения на на-
грузке к входному току:
Рис. 14.25
Коэффициенты Л 21 и Л22 находим по (14.7д): А21 — — /0,005,
Л22 = 0,5. Подставляя эти значения в предыдущую формулу, полу-
чим
14.50. Показать, что четырехполюсник рис. 14.26 является мини-
мально-фазовым.
Решение. Находим в операторной форме t/2(p) и, беря его от-
ношение к (7i(p), получим
*(р) =
^2 (Р)
(Р)
__________________________Р2 (Р^ -Ь r2) CiCtfi__________________________
4 4" р2 (LC3 -f" LCX 4* С1С3Г2^4) 4" Р (£17* 2 4~ ^з^2 4“ 4) 4* 1
Нули функции К (р) равны: р{ = 0, р3 = ~—r2/L.
Функция К (р) не имеет нулей, расположенных в правой полу-
плоскости. Значит, четырехполюсник является минимально-фазо-
вым.
14.51. Показать, что четырехполюсники рис. 14.27, а и б не яв-
ляются минимально-фазовыми.
Решение. Для рис. 14.27, а в режиме холостого хода Ut ==
= Л цй2.
465
Следовательно,
If (п) = 1
W Ut (Р) Дц (Р)
Для - мостового
(14.7ж)]:
симметричного четырехполюсника [см. формулу
11 7 ___ 7
Z2 —
й
Рис. 14.27
Рис. 14.26
1
Л И (Р)
гСр — 1
rCp + 1
Нуль функции К (р) равен pi = —.
гС
Нуль передаточной функции расположен в правой полуплоскости.
Значит, четырехполюсник не является минимально-фазовым.
Рис. 14.28
К. Активные неавтономные четырехполюсники *
14.52. Определить У-параметры четырехполюсника с зависимым
генератором тока (SIA), изображенного на рис. 14.28 (схема замеще-
ния электронной лампы в области низких
частот с общим катодом, работающей без
сеточного тока А = 0).
Решение. Из первого уравнения
(14.1а) при А = 0 следует, что = 0
и У12 =« 0. Согласно первому закону Кирх-
гофа,
где S — крутизна характеристики и — внутреннее сопротивление
лампы переменному току. Приравнивая коэффициенты в последнем
* Задачи данной подтемы составил доц. Б. Ф. Аносович,
466
уравнении к коэффициентам У21 и У22 во втором уравнении (14.1а),
получим:
Рис. 14.29
У21 ==: S; У22 =
14.5& Определить Z-параметры четырехполюсника с зависимым
генератором напряжения изображенного на рис. 14.29 (схема
замещения электронной лампы в области ни-
зких частот с общим катодом, работающей
без сеточного тока, когда к входным зажи-
мам 1-Г (сетка — катод) подключено сопро-
тивление Z). Здесь р — статический коэффи-
циент усиления, Ri — внутреннее сопротивле-
ние лампы переменному току.
Решение. Составим уравнения Кирх-
гофа для контуров 1-Г и 2-2':
zi. + О./2; t/2= + /?£/2 = piZA +
Сопоставляя их с уравнениями (14.16), имеем:
21 — pZ; Z22 —
Примечание. Матрица [Z] такой схемы при отсутствии сопротивления Z
не применяется, так как она теряет смысл.
Рис. 14.30
14.54 . На рис. 14.30, а изображена схема электронной лампы,
параллельно электродам которой включены проводимости Уь У2 и У3
(схема лампы в области высоких частот, работающей без сеточного
тока). Определить У-параметры схемы.
Решение. Заданную схему можно представить как параллель-
ное соединение двух четырехполюсников (рис. 14.30 ,б). Соединение
этих четырехполюсников является регулярным, поэтому можно на-
467
писать, что матрица [У] сложного четырехполюсника равна сумме
матриц I и II четырехполюсников, соединенных параллельно:
[У] = [УЧ + [УЧ.
Уже было доказано (см. задачу 14.52), что матрица [УЧ лампы
имеет вид
gi = 1/^i-
Как известно, матрица [У"1 пассивного П-образного четырехпо-
люсника (см. табл. 14.2 п. 6)
[Г"] =
Поэтому
Yx + У2
--^2
14.55. Определить коэффициент передачи напряжения Кц (коэф-
фициент усиления) схемы рис. 14.30, а, когда проводимость нагрузки
на выходных зажимах 2-2' равна Гн.
Решение. Определим сначала Лс/ в общем виде. Так как
/2 = — Кн Uто из второго уравнения (14.1а) следует
• * •
--= ^21^1 + К22^2*
Отсюда
U х Y22 Н" Y н
Используя найденные значения /21 и У2г из предыдущей задачи,
получим
к Y*~~s
14.56. Определить входное сопротивление четырехполюсника,
изображенного на рис. 14.30, а.
Решение. Согласно уравнениям (14.1а) и, учитывая, что /2 =
== — Ун(72, получим:
== + У 12(72> 0 = Y2iU 1 + (К22 + Ун) (72.
468
Решим эту систему уравнений относительно (72:
где определитель системы Д = (У22 + /н) — У12К21. Подставим
это значение U2 в первое уравнение (14.1а) и получим
Отсюда после простых преобразований
| У I — ^11^22 — У12^21-
где
Подставляя в последнее уравнение К-параметры заданной схемы,
получим
14.57. На рис. 14.31 изо-
бражена схема Т-образного
активного четырехполюсника
с зависимым генератором на-
пряжения Z4/±. Значения эле-
ментов схемы Zi, Z2, Z3, вы-
раженные через Z-параметры,
показаны на схеме. п .
v Рис. 14.31
Определить Z4 при усло-
вии, что уравнения передачи
четырехполюсника в форме Z должны соответствовать уравнениям
(14.16).
Решение. Применяя метод контурных токов, можно для при-
веденной схемы определить матрицу [Z]:
Из равенства матриц следует, что для поставленных условий
должно быть
Z2j = Z4 ~h Z|z
Если Z4 = 0, т. е. Z21 = Z12,
пассивный четырехполюсник.
или Z4 — Z21 —— Z12.
то схема превращается в обратимый
469
14.58. На рис. 14.32 изображена схема П-образного активного
четырехполюсника с зависимым генератором тока YjJv Значения
элементов схемы Yь У2, Y3, выраженные через У-параметры, пока-
заны на схеме.
Определить коэффициент У4 при условии, что уравнения передачи
четырехполюсника в форме Y должны соответствовать уравнениям
(14.16).
Рис. 14.32
Рис. 14.33
14.59. Известны /7б-параметры транзистора в рабочей точке,
включенного по схеме с общей базой (индекс б указывает, что рассмат-
ривается схема с общей базой):
Я11б = 25 ом, Я12б == 1 • Ю“4, #21б == —0,95, //22б — 0,5 • 10“6 сим.
Определить ^-параметры.
14.60. На рис. 14.33 изображена Т-образная схема замещения
транзистора с общей базой в области низких частот с зависимым гене-
ратором напряжения гтЦ. На этой схеме обозначены: Л = /э — ток
эмиттера, /2= /к — ток коллектора, гэ, гб и гк — соответственно со-
противления эмиттера, базы и коллектора.
Определить элементы схемы гэ, гб, гк и гт при значениях Z6-napa-
метров, указанных в задаче 14.59.
Решение. Элементы такой схемы через Z-параметры были в
общем виде определены в задаче 14.57. Поэтому (см. рис. 14.31)
гэ — Z^== Zjig — Zj[2g = 215 — 200 = 15 ом;
Z26 == Z12& == 200 ом;
rK = Z36 = Z226— Z126 2- 106 — 200 = 1999800 ом;
Гт = 4б = 221б — Z126 == 1,9. 10е — 200 = 1899800 ом.
14.61. Определить коэффициент передачи тока /С/ при коротком
замыкании зажимов 2-2' и значениях элементов схемы предыдущей
задачи.
Решение. В этом случае U2 = 0. Поэтому для выходного кон-
тура можно написать уравнение
Л (/•« + Гб) + /1 (гт + гб) = 0.
470
Отсюда
__ rn + r6 rm
------------- ----------- 9
c/2==o гк + гб-----------гк
так как гб < rm и гб « rK.
Следовательно,
/С/ = _ 1 899 800 = _ 0 д5 = 0 95е^
• . 1 999 800
Рис. 14.34
14.62. На рис. 14.34, а изображена схема транзистора с общим
эмиттером для переменного тока, в цепь которого включено сопро-
тивление R (схема усилителя с последовательной обратной связью).
Сопротивление нагрузки ZH= 104 ом, сопротивление генератора Zr =
= 103 ом, R = 100 ом; 2э-параметры транзистора в рабочей точке
равны: Z113 = 275 ом, Zi23 = 25 ом, Z2U = 969 975 ом, Z223 =
= 30 025 ом.
Определить: 1) входное сопротивление ZBX; 2) коэффициенты пере-
дачи напряжения Ки и тока ; 3) выходное сопротивление ZBbIx.
Решение. Представленную схему можно изобразить, как по-
следовательное соединение (регулярное) двух (I и II) четырехполюс-
ников (рис. 14.34, б) с Z-матрицами:
^11Э
. ^21э
^12э
^22э
Матрица сложного четырехполюсника имеет вид
%119 + Я 212э + R
^21э + R 222э R
Подставляя заданные параметры схемы, прдучим: Zu = 375 ом,
Z12 = 125 ом, Z2i = —969 875 ом, Z22 « 30 125 ом. Теперь восполь-
471
вуемся формулами табл. 14.4, заменив в ней с помощью табл. 14.2
Л-параметры Z-параметрами. После преобразований'получим:
|Z| = Z|,Z22 -— = 132,5 • 10е;
1ВХ
------—-------= 3400 ом;
-22-г-н 30 125 + 10 000
Ду = . = —~9ff?ez.e • 10<— = _70 = 70е/х;
| Z | +ZnZH 132,5 • 10» + 375 10»
Д/ -------Ь1---------969 875- = 24 25
Z22 + ZH 36125 + 10 000
| Z | + Z22Zr 132,5 10» + 30 125 10а
2ц + Zr ~ 375 + 1000
Рис. 14.35
14.63. На рис. 14.35, а изображена схема транзистора с общим
эмиттером для переменного тока с последовательно-параллельной
обратной связью.
Известны Лэ-параметры транзистора в рабочей точке и сопротивле-
ния Ri и /?2- Определить в общем виде //-параметры сложного четырех-
полюсника.
Решение. На рис. 14.35,6 представлена та же схема в виде
последовательно-параллельного соединения двух четырехполюсни-
ков I и II. Для того чтобы соединение четырехполюсников было регу-
лярным, провода на входе /-/' четырехполюсника скрещены.
Матрица [h9] активного четырехполюсника I имеет вид
Лэ =
ЛцЭ ^12Э
^21э ^22э .
Матрица [Z] пассивного четырехполюсника II без скрещивания
проводов на входе равна
472
Для определения матрицы (Л] по известной матрице IZ] четырех-
полюсника II воспользуемся табл. 14.1:
Теперь определим Лх — параметры четырехполюсника II, со скре-
щенными проводами на его входе:
fill — flu, fll2 — fl\2, flit -----------fl%l> fla — fl22-
//-параметры сложного четырехполюсника при последовательно-
параллельном соединении образующих его четырехполюсников опре-
деляются уравнениями:
Рис. 14.36
14.64. Два транзистора, включенные по схеме с общим эмиттером,
соединены каскадно (рис. 14.36). Оба транзистора по своим электриче-
ским свойствам одинаковы и в рабочей точке имеют Лэ-параметры:
Лиэ = 2000 ом, fii23 = 15-10-4, h2t3 = 32,3, fi229 = 33,3- 10е сим. Со-
противление нагрузки Zu — 1000 ом.
- Определить: 1) А -параметры сложного четырехполюсника;
2) входное сопротивление; 3) коэффициент передачи напряжения.
473
14.65. На рис. 14.37, а—в изображены три схемы включения
транзистора и их эквивалентные схемы: 1) с общей базой
(рис. 14.37, а), 2) с общим эмиттером (рис. 14.37, б) и 3) с общим
коллектором (рис. 14.37, в).
Рис. 14.37
Для каждой из схем определить Z-, Y- и Л-параметры, выразив
их через известные сопротивления коллектора ZH, базы Z6, эмиттера
Z8 и сопротивление зависимого генератора Zr .
Глава пятнадцатая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Электрические фильтры — четырехполюсники, обладающие из-
бирательными свойствами; они пропускают токи в определенной по-
лосе частот с небольшим затуханием (полоса пропускания, или про-
зрачности), а токи с частотами, лежащими вне этой полосы, — с боль-
шим. затуханием (полоса затухания или задерживания).
Рис. 15.1
2. Звенья и полузвенья фильтров. На рис. 15.1 изображены Т-,
Г—и П-образные схемы фильтров. Звенья Т- и П-образные могут быть
образованы цепочечным соединением соответствующих полузвеньев
Г-образной формы так, что при этом выполняются условия согласова-
ния по характеристическим сопротивлениям. Это связано с тем, что
для всех схем рис. 15.1 характеристические сопротивления со стороны
Т- и П-входов соответственно определяются по одинаковым формулам:
Характеристическое сопротивление реактивного фильтра в полосе
пропускания — активное, а в полосе задерживания — реактивное.
Характеристическая (собственная) постоянная передачи g для Т-
и П-образных схем (рис. 15.1) имеет одну и ту же величину
g = а + jb = g = gn
и вычисляется по одной из формул:
(15.2)
sh —
2
(15.3)
а характеристическая постоянная передачи для Г-образного полу
475
. звена (рис. 15.1) равняется половине характеристической постоянной
передачи Т- и П-образных звеньев, т. е.
(15.4)
Здесь а и b соответственно характеристическое (собственное)
затухание и коэффициент фазы фильтра типа Т или П.
При изучении теории и расчете реактивных фильтров удобно ввес-
ти параметр Q, называемый нормированной частотой, который опре-
деляется по формуле
(15.5)
3. Характеристики фильтров. В табл. 15.1 приведены формулы
характеристик Т- , Г- и П-образных реактивных фильтров (рис. 15.1, а,
б и в)‘, у которых Zt = Z2 = jx2. Выражение этих характерис-
тик в различных областях частот определяется величиной и знаком
отношения ——.
4Z?
Таблица 15.1
Полоса
пропускания
Z,
4Z2
Полоса задер-
живания
21
4Z2
< оо
О
Пример приведен в задаче 15.1.
4. Фильтрами типа k называют Т-, П- и Г-образные схемы, у ко-
торых сопротивления Z4 последовательных и Z2 параллельных плеч
взаимно обратны, т. е.
ZiZ2 = R2. (15.6)
Параметр /? = ’j/Z1Z2 называется номинальным характеристи-
ческим сопротивлением и для данного фильтра является величиной
постоянной.
В табл. 15.2 приведены схемы полузвена и формулы параметров
реактивных фильтров типа k: нижних частот (ФНЧ), верхних частот
(ФВЧ), полосовых (ПФ) и заграждающих (ЗФ).
Примеры даны в задачах 15.3, 15.10, 15.14.
5. Фильтры типа т (рис. 15.2, а и в) являются производными
фильтров типа k (рис. 15.2, б). Изменение плеч полузвена типа k по
476
схеме рис. 15.2, а приводит к последовательно-производному полу-
звену типа т, характеристическое сопротивление Zr которого совпа-
дет с сопротивлением Zr исходного звена типа k — прототипа произ-
водного фильтра. Изменение плеч полузвена типа k по схеме
рис. 15.2, в приводит к параллельно-производному полузвену типа /и,
у которого характеристическое сопротивление Zn совпадет с соответ-
ствующим сопротивлением прототипа — исходного звена типа k.
Рис. 15.2
В табл. 15.3 приведены схемы полузвеньев и характеристики
фильтров типа т.
Характеристические сопротивления Zn т последовательно-произ-
водного и ZTm параллельно-производного фильтров выражаются фор-
мулами:
(15.7)
где ZT и Zn определяются по формуле (15.1.).
Характеристическое затухание а в полосе задерживания и ха-
рактеристическая фаза Ь в полосе пропускания определяются из вы-
ражений:
477
Таблица 15.2
ФНЧ ФВЧ ПФ ЗФ
Схема полузвена t --2 ZT Z I—0 = z„ 0 1|-> 0 /(] 0 _Q —0 Lt 2 ll2C1 0—rV4-f|-r 0 c, 7 £2 _L J A 2 ~r. ? 0- Ф 0 О , <5 1 1 сэ S 5 I, । “ '^o G fcs» ®
0 —0
R = V lxZ2 А A A-A
Частоты среза 1 tc — / гс ^LXC2 fc = ~= 4к VLs/C1 f =_L -./-L’x 1>2 2u[ у LiC2 LjCi _ 1 /t,c.2 f =1 -1/-L+-AT l>2 8л[ у L2Ci LjCi 1 V ЦСу J
Полоса пропус- кания ь sin — 2 при а=0 f fc _ A f 1 “ Q
Полоса задержи- вания а ch 2 f fc fc f |S| 1 |Q|
b rc — rc + rc ± ГС
T R Kl — 22 ±й /'- 2-
Формулы для рас-
чета элементов
фильтра
t f ___
Примечание. 2 = — -----т—, где =
/2 1т
fm
R (h - A)
”(/2-/1)
2
2 . 4itfi/2
2 (/2 - /x)
4^fihR
4* (/2 - fi)R
2 ==
2 —
rf if 2#
Таблица 15.3
ФНЧ
ФВЧ
ПФ
ЗФ
Схема последовательно-
производного полузвена
типа т
Схема параллельно-
производного полузвена
типа т
2т.
Продолжение табл. 15.3
где
Й = -L для ФНЧ, Й = Л для ФВЧ;
fc f
1__Ь. b._bn (15.86)
Й = bi----г— ДЛЯ ПФ, й = bs——Ь_ для ЗФ
f 2 Im Г I m
fm fi fm f
при fm = 1/ДЛ.
В выражения (15.8a) входит функция ch -у-, которая применяется
при 1>(1 —/п2)й2, что соответствует разным знакам Zlm и Z2m, и
функция sh , используемая при 1 < (1 —/п2)й2, что соответст-
вует одинаковым знакам Zlm и Z2m.
В полосе задерживания фильтра типа т частоты f„ , при которых
выполняется равенство
— = 1 —т\
Q2
(15.9а)
соответствуют бесконечному затуханию.
Из (15.9 а) с учетом (15.8а) частоты бесконечного затухания вычи-
сляются по формулам:
для ФНЧ
с ___ fc
/со TZZZZZZT»
V 1 — т2
для ФВЧ
foo = к у \—т* ;
для ПФ
(15.96)
(/г-Л)г ,f
4 (1 — m2) "И т
Таблица 15.4
Наибольшее отклонение Z_ и Z_ Тт Пт от значения номинального характе- ристического сопротивления R, % Значение т Значение нормированной частоты В на границах рабочей полосы частот *
±5 0,59 0,88
±10 0,542 0,94
±15 0,506 0,96
±20 0,473 0,97 *
482
Фильтры типа tn с величиной tn в пределах 0,506—0,62 имеют
значительно более стабильное значение характеристических сопро-
тивлений 2тт и Zxim в значительной части области пропускания
(табл. 15.4). При tn = 1 фильтр типа т переходит в фильтр типа k.
Фильтры типой k и т могут быть соединены каскадно на основе
равенства характеристических сопротивлений при одинаковых часто-
тах среза и номинальных характеристических сопротивлениях.
Примеры приведены в задачах 15.17, 15.19, 15.23.
6. Потери в элементах фильтра. Учет потерь в катушках индук-
тивности и конденсаторах может быть проведен следующим образом.
Вместо идеальных реактивных элементов L и С сопротивление катуш-
ки Zl и проводимость конденсатора Yc рассматривают в виде:
ZL = Rl + j®L == /в) (1 — jdL) L;
У с = Gc + j’coC = Jw (1 —jdc) C,
(15.10)
где
Здесь di; и Ql , dc и Qc — затухание и добротность соответ-
ственно катушки и конденсатора.
Для любого Т- или П-звена фильтра формулы для расчета а и b
получаются из формул (15.3), в которые вместо и Z2 подставляются
значения входящих в них соответствующих элементов с учетом их
потерь по формулам (15.10). В результате получаются следующие
расчетные формулы:
(15.11)
В этих формулах для фильтров типа т надо вместо ZA и Z2 писать
соответственно Zlm и Z2m.
Пример дан в задаче 15.28.
7. Мостовые фильтры. На рис. 15.3, а, б ив показаны три эквива-
лентные формы (последняя — условная) изображения симметричных
мостовых фильтров. Здесь Zj и Z2 — соответственно продольное и
Рис. 15.3
483
диагональное сопротивления моста. Характеристическое сопротивле-
ние ZM мостовой схемы и ее характеристическая постоянная переда-
чи g определяются формулами:
' 1 + "Кт-
thX = 1/А; g=ln------—(15.12)
2 у Z2 ।_ 1 /
F Z2
Характеристическое сопротивление ZM реактивного мостового
фильтра в полосе пропускания — активное, а в полосе задержива-
ния — реактивное. Знак ZM в полосе задерживания совпадает со
знаком реактивного сопротивления продольного плеча Хр
В полосе пропускания знаки характеристической фазы b и со-
впадают, а в полосе непропускания знак b определяется из непрерыв-
ности функции b ~ b (со), которая изменяется скачком на ±л толь-
ко в точках бесконечного собственного затухания, т. е. при Z4 = Z2.
Свойства реактивных мостовых фильтров, имеющих реактивные
сопротивления плеч = jx^ Z2 = jx2, приведены в табл. 15.5.
Таблица 15.5
Примеры приведены в задачах 15.29, 15.30, 15.31.
Характеристическое сопротивление мостового фильтра может быть
сделано постоянным и равным в любом диапазоне частот, если со-
противления Zi и Z2 выбрать взаимно обратными (т. е. ZiZ2 = 7?2).
Собственное затухание мостового фильтра бесконечно при Zt = Z2.
Это позволяет проектировать балансные схемы, имеющие бесконечное
затухание при всех частотах.
484
Мостовой фильтр имеет наиболее общие характеристики и к его
схеме может быть приведен симметричный фильтр произвольной схе-
мы. В частности, симметричные Т- и П-образные фильтры (рис. 15.4, а
Рис. 15.4
и б) эквивалентны друг другу и мостовому фильтру (рис. 15.4, в) при
условии
г,. = = ?Z|"'7 ; = 2Z„ + Лн: = 2z„. (15.i3)
2 Zin + 4Z2n 2
Мостовые фильтры имеют сравнитель-
но много элементов, поэтому их обычно
реализуют эквивалентными Т-, П-образ-
нымй фильтрами, а, также в виде экви-
валентных дифференциально мостовых
«схем с применением идеальных тран-
сформаторов (ИТ), как показано на
рис. 15.5.
Пример в задаче 15.34.
Рис. 15.5
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Задачи на применение общей теории
реактивных Т- и П-образных фильтров
15.1. На рис. 15.6, а—г изображены схемы звеньев симметричных
цепочечных фильтров. Используя общетеоретические положения для
Т- и П-образных фильтров (см. пп. 2 и 3 основных положений и со-
Рис. 15.6
отношений), для каждой из них определить, к какому типу по полосе
пропускания она относится, и вычислить граничные частоты. Соста-
вить уравнения характеристических затухания а и сопротивления Zc,
построить соответствующие кривые в функции со.
485
Даны: для схемы а
для схемы б
для схемы в
для схемы г
Li = 10 мгн,
Li = 10 мгн,
Li = 10 мгн,
Li = 10 мгн,
L2 = 1,5 мгн,
С2 == 2,67 мкф,
Ci = 1 мкф,
L2 = 1'5 мгн,
С2 = 2,67 мкф.
Ci = 1 мкф,
L2 — 1,5 мгн,
С2 = 2 мкф,
Ci = 1 мкф,
Решение. Рассмотрим схему рис. 15.6, а.
Сопротивления Z4 и Z2 соответственно равны:
А = — со2), гДе
VLiCi ’ Z2 — j^L2.
неп
Рис. 15.7
По этим уравнениям на рис.
15.7, а построены (в масштабе) ча-
стотные зависимости Zi и 4Z2. В
соответствии с табл. 15.1 устанав-
ливаем, что граничным частотам
соответствуют точка а, где Zj =
=—4Z2, и точка Ь, где Zi = 0.
Интервал а—b представляет
собой полосу пропускания. Итак,
схема рис. 15.6, а соответствует
полосовому фильтру. Вычислим
частоты среза из условий:
Zj = = —4Z2 =
— —j4aL2
i
и
Zl = — (со? — о)2) = 0.
/’ со ' 1 7
Из первого условия следует
“ 1 -........— — 1 .................. — 7900 сек'1,
V С± (U + 4. L2) У 10'6 (ю . 10-3 4- 4 • 1,5 • IO"3)
а из второго условия
’ VLiCi
.... ...... = Ю4^"1 = (D1.
У ю • ю-3 • io-®
Уравнение кривой характеристического затухания может быть
найдено по формулам (см. табл. 15.1)
486
4Z2
Расчет по формуле ch — проводится в области частот от 0 до ио (где
знаки Zf и Z2 в полосе задерживания разные), а по формуле sh -|—•
в области частот от соь до оо (где знаки Zf и Z2 одинаковые). Уравне-
ние кривой характеристического сопротивления [см. формулу (15.1)]
Расчет кривых характеристического затухания и характеристиче-
ского сопротивления сведен в табл. 15.6.
Таблица 15.6
i-f—у • \ (О / а ch — 2 . а sh — 2 а, неп 2гП» ом
0 ОО оо .TI оо 0
0,5(0! 3 2,24 —- 2,9 / 16,8
0,79 (01 == (Од 0,6 1,0 0 ОО
0,85 (01 0,38 —-- — 33,4
0,9 (01 0,23 — — 21,5
0,95(01 0,105 — — 13,5
(D1 = 0 «МММ 0 0 0
1,58 (01 = (ос 0,6 — 1,0 1,78 / 33,6
2 (01 0,75 — 1,12 1,93 /,44,8
Кривые а (со) и Zfn(co), построенные по результатам расчета, изоб-
ражены на рис. 15.7, б и 15.7, в.
Рассмотрим схему рис. 15.6, б. Сопротивления:
Z1 = /coL1;Z2 =------,
C2 ( Ц - <02)
где
= — - = —....-..-.- - 1 - — 1,58 • 104 сек"1.
VUC* /1,5 • io-3 • 2,67 . io-*
Частотные зависимости и 4Z2, построенные по этим уравнениям,
изображены на рис. 15.8, а.
Найдем граничные частоты. Поскольку в диапазоне частот от со =0
до со = cof сопротивления Z{ и Z2 имеют одинаковые знаки, условие
487
Zi = 0 не может быть использовано. Нижняя граница полосы про-
пускания определяется из условия Z2 = оо : соа == (оА. Используя
условие Zi = —4Z2, получим
г . 4 о)
/“М = —/—; •
С2 (со j — (О2 j
Отсюда
10 • 10’3 -h 4 . 1,5 • 10~8
10 . 10~3 . 1,5 • 10”3 < 2,67 . 10-е
= 2 • 104сек"Ч
Таким образом, полоса пропу-
скания исследуемой схемы начина-
ется с частоты со = (оа и заканчи-
вается на частоте со = соь. Следо-
вательно, схема рис. 15.6, б яв-
ляется схемой полосового фильтра.
Составим уравнения кривой харак-
теристического затухания;
и кривой характеристического со-
Расчет кривых характеристического затухания и характеристиче-
ского сопротивления сведен в табл. 15.7.
Кривые а (со) и Zfn((o), построенные по результатам расчета, изоб-
ражены на рис. 15.8, б и 15.8, в.
Расчеты для схем рис. 15.6, в и 15.6, г рекомендуется проделать
самостоятельно.
488
Таблица 15.7
ш s |е to а ch — 2 sh — 2 а, неп Zcyi, ом
0 1 - 1,3 2,16 0
0,25 Wj 0,937 1,25 2,1 /9,9
0,5 0,75 — 1,12 1,93 j 23,8
0,75(0! 0,437 — 0,85 1,54 /52,7
(О1 0 — —- ОО
1, 1 (О1 —0,21 1 ' - 148
1,2 й>1 —0,44 — —J4 176
1,27 (01 = (о^ —0,6 1,0 — оо
1,5 (о. — 1,25 2,08 —— 2,72 -/79
2 (о. —3 5 —- 4,58 — 1 28,9
15.2. Показать, что два одинаковых индуктивно связанных кон-
тура (рис. 15.9, а) представляют собой полосовой фильтр. Определить
частоты среза этого фильтра.
Рис. 15.9
Решение. Заданная схема может быть заменена эквивалент-
ной схемой рис. 15.9, б. Если использовать коэффициент связи k =
= MIL, формула сопротивления продольного плеча схемы примет
вид
ZY = 2 — Г — о)2 (1 — &)1, где (о0 = ——.
/ ° L Ylc
Сопротивление поперечного плеча Z2 = jwM. Графики Zt (со) и
4г2(со) изображены на рис. 15.9, в. Частоты среза определяются из
условий: 1) Zi = —4Z2; 2) Zt = 0. Используя первое условие, по-
лучим
2у-[с^ —<»г(1 —А)] = — 4/шЛ1.
Отсюда
489
Из второго условия Zi =» 0 следует
VT—k
Таким образом, полоса пропускания расположена между частота-
ми соа и соь, т. е. заданная схема обладает свойствами полосового
фильтра.
Б. Фильтры типа k
15.3. Определить элементы Т-образного фильтра нижних частот
типа k (см. табл. 15.2), номинальное характеристическое сопротивле-
ние которого R = 600 ом, а частота среза /с = 3200 гц. Рассчитать
затухание на частоте / == 6400 гц, выразив его в неперах, децибелах
и простым числом, равным отношению амплитуд входа и выхода, по-
лагая, что при этой частоте фильтр нагружен на характеристическое
сопротивление. Рассчитать и построить кривые зависимостей харак-
теристического сопротивления ZT , затухания а и коэффициента фа-
зы b от частоты.
Начертить Т-схему ФНЧ в уравновешенном виде и написать на
ней величины каждого из ее элементов.
Начертить П- и Г-схемы ФНЧ в уравновешенном виде, имеющие
те же значения R и /с.
Решение. По формулам табл. 15.2 определяем индуктивность,
емкость элементов фильтра и затухание а:
Ь. = _JL_ = ~ 0,03 гн;
2 2тс/с 2тс • 3200
---------=0,166 мкф\
тс 3200 • 600
a = 2 arch f!fz.
При f = 6400 гц
a = 2 arch -6—°..= 2 arch 2 = 2,64 неп
3200
ИЛИ
адб = 8,69 анеп = 8,69 • 2,64 = 23 дб.
Определим отношение амплитуд напряжения входа и выхода1
U±/U2 = еанеп = е2’64 = 14.
Уравнение кривой ZT(co) имеет вид
2т = /?р/" 1-(т)2
490
Коэффициент фазы в полосе задерживания имеет значение 4-л,
а в полосе пропускания
b = 2 arcsin—=2 arcsinti.
/с
Расчет зависимостей ZT, а и b от частоты приведен в табл. 15.8.
Таблица 15.8
Полоса h гц 2 /'1—22 Zy , ОМ ch — 2 а, неп ь sin — 2 b, град
Пррпус- <1 0 800 1600 0 0,25 0,5 0 0,97 0,865 600 582 519 —"* 0 0 0 0 0,25 0,5 0 29 60
кания I 2400 0,75 0,66 396 » III"* 0 0,75 97
Г 3200 1,0 0 0 1,0 0 1,0 180
Задер- 4000 4800 1,25 1,5 f 0,75 Ч 1,12 /450 / 672 1,25 1,5 1,39 1,92 180 180
живания 5600 1,75 Ч 1,44 / 865 1,75 2,32 * 180
к 6400 2,0 Ч 1,73 / 1040 2,0 2,64 ***** 180
По. полученным результатам на рис. 15.10, а построены кривые.
На рис. 15.10, б начерчены схемы фильтров в уравновешенном виде.
Рис. 15.10
491
15.4. Найти элементы П-образного фильтра нижних частот типа k,
номинальное характеристическое сопротивление которого R = 600 ом
и частота среза /с = 3200 гц.
Решение. Определяем индуктивность и емкость по формулам
табл. 15.2:
600
тс 3200
« 0,06 гн\
2 2ти/с# 2тс• 3200• 600 0,083
15.5. Определить частоту среза Т-образного фильтра нижних час-
тот типа k, предназначенного для телеграфирования, у которого
индуктивность каждого плеча равняется 3 гн, а емкость 5,3 мкф.
15.6. Найти индуктивность LJ2 и емкость С.2Т-образного фильтра
нижних частот типа k, номинальное характеристическое сопротивле-
ние которого R = 600 ом, а коэффициент затухания на частоте 5,6 кгц
равен 20 дб. Найти частоту среза и отношение напряжений на вхо-
де Ui и выходе С/2притойже частоте 5,6 кгц, считая, что фильтр согла-
сован с нагрузкой.
15.7. ФНЧ типа k, составленный из двух одинаковых звеньев с
номинальным характеристическим сопротивлением R = 600 ом, дол-
жен иметь затухание, равное 5,28 неп при частоте f .= 6,4 кгц. Опре-
делить частоту среза, индуктивность и емкость одного звена фильтра.
15.8. Для фильтра задачи 15.3 рассчитать и построить в функции
частоты кривые модуля коэффициента передачи по напряжению
| Ку | и In
в режиме холостого хода.
Сравнить кривые характеристического за-
тухания а и In
Рис. 15.11
и объяснить причины
их различия.
Решение. Схема фильтра приведена
на рис. 15.11. В режиме холостого хода на-
пряжения на входе и выходе фильтра могут
быть записаны в ъиде:
-4-') = 1 -^5— (2(1)2 ---------ш2\ .
о)С2 / /2<о \ с )
Отсюда получим формулу модуля коэффициента передачи
и 2 = / .
2 /юС2
= Z7?
492
Результаты расчета зависимостей Ки и In
дены в табл. 15.9.
1
от частоты приве-
Таблица 15.9
f, гц / f \2 2 - m \ 'с / 1 ки In 1 ки
0 2 0,25 4 1,386
800 1,937 0,258 3,88 1 ,356
1600 1,75 0,286 3,5 1 ,253
2400 1,437 0,348 2,88 1 ,058
3200 1 0,5 2,0 0,694
4000 0,438 1,14 0,88 —0,128
4530 0 оо 0 — ОО
4800 —0,25 2 0,5 —0,693
5600 — 1,06 0,472 2,12 0,752
6400 —2 0,25 4 1,386
На рис. 15.12 по полученным данным построены кривые. Сопо-
ставление кривой In
рис. 15.12 с кривой а рис. 15.10, а показы-
вает, что они существенно различаются. Причина этого в том, что
кривая In
соответствует режиму холостого хода, а кривая a (f) —
Рис. 15.12
режиму согласованной нагрузки.
Некоторое сближение кривых
наблюдается лишь при частотах
f /с» так как в этой области со-
противление фильтра Zr велико,
а следовательно, режим согласо-
ванной нагрузки близок к холосто-
му ходу.
15.9. ФНЧ нагружен на постоянное активное сопротивление 7?н
(рис. 15.13). Рассчитать и построить кривую модуля коэффициента
передачи по напряжению К (<о) = U^lUt и кривую In для двух
значений /?н: 1) 7?н = 7?; 2) 7?н = 0,8 7?.
493
Решение. Определяем коэффициенты Alt и А12 четырехполюс-
ника (см. табл. 14.2):
л 1 А II' 1
Al — 1 + — 1 + 1 ~2~ /®^2 = 1-------2---’
(/"М2
Z? <t>Li \ 2 I I <oa.tiC»\
Аг = 2А + -±- = 2/-1 + A_2J_ = /(oLi 1-----------.
2 \ /
/(оС2
(О
Если использовать выражение нормированной частоты Q == —
сос
-, последние формулы примут вид:
— 1 —, Z1J2 — /ш 1^1 \1—TW).
Коэффициент передачи напряжения (см. табл. 14.4).
А
и,
U 2
^12
2
Найдем выражение модуля коэффициента передачи К (со) для двух
заданных случаев:
^12 ___
k- (1 — О?) = /2Д(1 — й2);
*
Ки =
Модуль коэффициента передачи
Ки (®) = /С (со) =
Найдем частоту, при которой это выражение будет максимально.
Для этого достаточно приравнять нулю первую производную подко-
ренного выражения:
(1 — 4Q4 + 4£26) = — 16S23 + 24S26 = О,
отсюда
Й =
со = £2(ос
(0с.
494
При этой частоте
К (®)тах
Расчет кривых К (со) и In
сведен в табл. 15.10.
Таблица 15.10
СО 2 Х(«>) 1 км । 1 In \
0 0 1,0 1,0 0
0,25<ос 0,25 1,01 0,99 0,01
0,5<ос 0,5 1,11 0,9 0,105
0,75<ос 0,75 1,5 0,667 0,405
и а |СЧ |СО wl ьэ| 1,57 0,637 0,551
<ос 1 1,0 1,0 0
1,5<ос 1,5 0,195 5,12 1,633
2<ос 2,0 0,072 13,9 2,632
2. /?н = 0,87? = 0,8 1/5, ф- = /2,562(1 -£22),
Г с2 Ан
К (со) = / /. .
v (1— 222)2 + 6,2522 (1 — 22)2
Найдем частоту, при которой (со) имеет экстремальные значе-
ния. В результате получим:
Qi == 0,862; = 0,862сос;
£2 2 — 0,4; о>2 = 0,4сос.
Экстремальные значе-
ния К (со) следующие:
1пк(ш)
К (со), = 1,36; /С(со)2 =
= 0,925.
Результаты расчета
кривых (со) и In %
приведены в табл. 15.11, а
соответствующие кривые,
построенные по результа-
там расчета, изображены
на рис. 15.14.
Примечание. В рассмо-
тренных случаях режим работы
Рис. 15.14
495
фильтра не является согласованным, так как нагрузка постоянна и для разных частот
не является характеристической.
Т а б л и ц а 15.11
ш 2 К (00) 1 К (<*>) 1 1 1 1п -р- г 1 К (") 1
0 0 1,0 ' 1,0 0
0,4сос 0,4 0,925 1,08 0,077
0,6(ос 0,6 1,0 1,0 0
0,862сос 0,862 1,36 0,735 0,308
о>с 1 1,0 1,0 0
1,5<ос 1,5 0,171 5,85 1,766
2<ос 2,0 0,0605 16,55 2,804
15.10. Требуется рассчитать Т-образный ФВЧ типа k, имеющий
номинальное характеристическое сопротивление = 600 ом. Частота
среза /с = 3200 гц. Построить характеристики a, b, Zt в функции
частоты /ив функции нормированной частоты £2 = /с//.
Решение. Рассчитаем элементы фильтра, используя формулы
табл. 15.2:
R 600
= 2(ОС = 2-2^-3200 ~ 0,015
Сх 2<осД = 2-2^-3200-600 = °’0415 МК&'
Уравнения кривых затухания и коэффициента фазы имеют вид-
в полосе пропускания а == 0, Ь = —2arc sin fc!f = —2 arc sinQ,
в полосе задерживания а = 2 arch /с// = 2archQ, b = —л.
Уравнение кривой характеристического сопротивления имеет
вид ___________
ZT = R У1 - ( £-) 2 = /? У i .
Расчет частотных характеристик сведен в табл. 15.12.
Таблица 15.12
Полоса Л кгц 2 а ch- ь sin — а, неп д, град 2.^ , ом
0 ОО оо оо — 180 —j оо
Задержания 1 0,8 1,6 4 2 4 2 — 4,13 2,64 —180 —180 — j 2320 — / 1040
2,4 1,33 1,33 —• 1,59 — 180 — / 526
3,2 1,0 1,0 -1,0 0 —180 0
4,0 0,8 —0,8 — 106 360
Пропускания | 4,8 0,667 мм» —0,667 —85 . 447
5,6 0,572 м— —0,572 —70 492
6,4 0,5 1 "1 —0,5 —60 520
496
Кривые, построенные по полученным данным, изображены на
рис. 15.15.
15.11. Определить частоту среза П-образного ФВЧ типа k, у ко-
торого 2L2 = 0,4 гн, Ci = 0,7 мкф, и найти затухание при f = 0,5 /с-
15.12. Определить индуктивность и емкость ФВЧ-типа k, если
частота среза /с = 500 гц и номинальное характеристическое сопро-
тивление R = 1000 ом. Чему равно характеристическое затухание
этого фильтра при частоте f = 250 гц?
15.13. ФВЧ типа k, состоящий из двух звеньев с номинальным
характеристическим сопротивлением R = 5000 ом, должен иметь
затухание, равное 8 неп при частоте f = 250 гц. Определить часто-
ту среза, индуктивность и емкость одного звена фильтра.
15.14. Частоты среза П-образного полосового фильтра типа k
fi = 12 кгц, f2 = 15,2 кгц, номинальное характеристическое сопро-
тивление R = 600 ом. Найти параметры элементов этого фильтра.
Построить частотные характеристики a, b, Zn в функции частоты /
и нормированной частоты Q.
Решение. Рассчитаем параметры элементов фильтра, исполь-
зуя формулы табл. 15.2:
R 600
= п (h — fi) = 3,14(15,2— 12) 103 = 0,06
т R(f2-fi) 600(15,2- 12) 10*
4-3,14-15,2-106 “ 0,84 жги,
С = (15,2-12)103
1 ^Rfif2 4-3,14-600-15,2-106 u
1 1
= 7U (f2 — /\) R = 3,14 (15,2— 12) 103-600 = °»167 МКФ-
Уравнения кривых характеристического затухания и коэффициен-
та фазы имеют вид:
в полосе пропускания а =~ 0, b = 2 arcsin Q;
497
в полосе задерживания а = 2 arcch |Q b = zp л,
где
/ ___ fm
р. = 111---f , f = = юз/12-15,2 = 13,5 кгц.
, /2 _ [т
fm h
Уравнение кривой характеристического сопротивления имеет вид
7 ~ *
= —Л--.- - •
/1— Q2
Расчет частотных характеристик сведен в табл. 15.13.
Таблица 15.13
Полоса f, кгц 2 V» а «о| СТ а ch- а, неп Ь, град , ом
0 —оо — - -- оо оо —180 0
Задерживания ' 4 —13 13 6,52 —180 / 46,1
8 —4,65 — 4,65 4,44 — 180 / 132
12 -1,0 -1,0 1,0 0 —180 оо
13 —0,316 —0,316 —37 632
Пропускания 4 13,5 14 0 0,316 0 0,316 —0 37 600 632
15,2 1,0 1,0 1,0 0 180 оо
Задерживания < 18 20 2,46 3,4 2,46 3,4 3,1 3,8 180 180 — /268 — / 185
На рис. 15.16 по полученным результатам построены частотные
характеристики.
15.15. Т-образный полосовой фильтр (ПФ) типа k имеет следующие
параметры: LJ2 = 30 мгн, L2 = 0,84 мгн, 2С4 = 4,66 нф, С2 ==
= 167 нф. Определить характеристическое затухание фильтра при
частоте f = 20 кгц.
15.16. Рассчитать элементы заграждающего фильтра типа k, не
пропускающего полосу частот от Д = 20 кгц до /2 = 23 кгц, и опре-
делить характеристическое затухание фильтра при частоте 21 кгц.
Номинальное характеристическое сопротивление фильтра R = 600 ом.
В. Фильтры типа т. Совместная работа фильтров типа k и т.
Потери в фильтрах
15.17. Последовательно-производный ФНЧ типа т имеет частоту
среза /с = 3200. гц и номинальное характеристическое сопротивление
R = 600 ом. Начертить схему и определить элементы Г-образного
498
Рис. 15.16
полузвена этого фильтра, если отклонение характеристического со-
противления Znm от его номинального значения для рабочей полосы
частот должно быть не более ±10%. Рассчитать и построить кривые
зависимостей характеристического сопротивления Znm> затухания а
и коэффициента фазы b от частоты.
Решение. Схема Г-образного по*
лузвена изображена на рис. 15.17. По
табл. 15.4 находим величину параметра /
т ~ 0,542, обеспечивающего требуемую
степень постоянства величины характе-
ристического сопротивления ±10% в
Рис. 15.17
пределах рабочей полосы частот
(0 ± 0,94) /с в 0 ± 3000 гц. Для расче-
та элементов производного фильтра типа tn определим по формулам
табл. 15.2 элементы прототипа ФНЧ типа
г - R 600
Ly “ nfc ~~ 3,14-3200 = 0’06 гн*
1 1
С* nfcR ~ 3,14-3200-600 = 0,167 мкф.
Расчет элементов Г-образного полузвена произведем по формулам
табл. 15.3:
499
tTlL'i
-5- = -т- = 16,25 мгн-,
1 — т2
2L2m = 2 —1-----------L' = 39 мгн\
г>т 4т 1
«
^2т тС2
—т- = —= 0,045 мкф.
Уравнения кривых зависимостей Znm, а, b от частоты по (15.7)
и (15.8а):
Znm= у=П -(1 -
а = 2 arch
mQ
V | 1 —(1—m2)22|
(при / < /„);
............ (при f > f a,);
/|1 — (1 — m2)S22|
b =2 arcsin —============= (в полосе пропускания);
/I 1 — (1 — m2) Q21 ' r J
b = ±тс, 0 (в полосе задерживания).
До расчета характеристик по (15.9, б) найдем частоту бесконечного
затухания:
f„ = z /с = 3200—... = 38 1 0 гц.
У\—т2 /1— 0,5422
Расчет частотных характеристик сведен в табл. 15.14, а соответст-
вующие кривые даны на рис. 15.18.
500
Таблица 15.14
Полоса S = _L <Л гт | а а сь~ ь sin т а. неп- д. грао Z _ , ом Пт
0 0 _ ,.... 0 - 0 600
Пропускания 800 0,25 0,138 - 16 591
< 1600 0,5 — — 0,298 1 35 571
2400 0,75 0,523 63 546
( 3200 ' 1,0 — 1,0 1,0 0 180 оо
• 3600 1,125 — 1,84 2,44 180 — / 143
Задерживания < 3810 1,19 оо ОО оо 180 0
4000 1,25 2,46 —- 3,27 0 /80
к. 4800 1,5 1 ,06 1,85 0 /316
15.18. Т-образный параллельно-производный ФНЧ типа т имеет
следующие параметры элементов (рис. 15.19): Lim = 30 мгн, С1т =
~ 0,0625 мкф, С2т ~ 0,083 мкф. Определить частоту среза и затуха-
ние фильтра при частоте 5 кгц.
15.19. Сложный ФНЧ имеет
частоту среза /с = 3200 гц, его
номинальное характеристическое
сопротивление R = 600 ом. Фильтр
состоит из звена типа k и звена ти-
па т = 0,542, соединенных каскад-
Рис. 15.19
иметь характер /по-
но на основе согласования харак-
теристических сопротивлений. На
входе и выходе -фильтра характе-
ристическое сопротивление должно
требуется выбрать и начертить схему фильтра, рассчитать его
элементы и построить кривую характеристического затухания в функ-
ции частоты /.
> Решение. При составлении схемы сложного фильтра, состоя-
щего из двух звеньев, на входе и выходе применяют полузвенья типа
т, в середине — звено типа k. Поскольку на входе и выходе фильтра
характеристическое сопротивление должно иметь характер 1х\т, со-
гласование звеньев будет производиться на основе равенства харак-
теристических сопротивлений Zt . Поэтому оконечные полузвенья
типа т должны быть последовательно-производными.
Схема, отвечающая изложенным требованиям, изображена на
рис. 15.20, а. После упрощений схема фильтра принимает вид
рис. 15.20, б. Элементы звеньев рассчитаны в задачах 15.3 и 15.17:
Li = 0,06 гн, С2 = 0,167 мкф, Llm = 0,0325 гн, L2m = 19,5 мгн,
С2т = 0,09 мкф.
501
Параметры элементов сложного фильтра (см. рис. 15.20, б) следую-
щие: L2 == 2L2m = 39 мгн, L3 = g—- = 46 мгн, С{ = -тр- =
= 0,045 мкф, С2 = 0,165 мкф.
Рис. 15.20
При каскадном соединении звеньев на основе согласования харак-
теристических сопротивлений общее затухание равно сумме затуха-
ний отдельных звеньев: а == + ah. Значения ak рассчитаны в за-
даче 15.3, значения ат — в задаче 15.17. Складывая их, получим
зависимость характеристического затухания сложного фильтра от час-
тоты (табл. 15.15).
Таблица 15.15
/, кгц 3,2 3,6 3,81 4,0 4,8 5,6
Q 1 1,125 1,19 1,25 1,5 1,75
неп 0 0,99 1,22 1,39 1,92 2,32
ami неп 0 2,44 ОО 3,27 1,85 1,59
a » -|- ат, неп 0 3,43 оо 4,66 3,77 3,91
сложного фильтра изображена
а,неп
6
Кривая частотной зависимости характеристического затухания
на рис. 15.21.
15.20. Определить параметр т
и элементы оптимального Г-обр аз-
ного последовательно-производного
ФВЧ типа т, характеристическое
сопротивление Znm которого откло-
няется от его номинального значе-
ния R = 600 ом не более чем на
5% в рабочей области частот от
5600 гц и выше. Чему равна частота
среза фильтра?
15.21. ФВЧ задачи 15.11 соеди-
нен каскадно с ФВЧ типа т на
основе согласования характеристических сопротивлений. Начертить
схему сложного симметричного фильтра, имеющего на входе и выходе
характеристическое сопротивление фильтра типа т и найти значение
характеристического затухания при частоте f = 0,5/с, если т ==
= 0,59.
qjf 5£кгц
о',5 1ft /Д
Рис. 15.21
502
15.22. Звенья и полузвенья ФНЧ рис. 15.22, а, б и в имеют оди-
наковую частоту среза и номинальное значение характеристического
сопротивления. То же — ФВЧ на рис. 15.22, г, д, е. Под каждым зве-
ном или полузвеном дана величина параметра т. Указать, в каких
случаях соединение осуществлено по принципу согласования харак-
теристических сопротивлений.
15.23. Полосовой фильтр типа т (т == 0,59) соединен каскадно с
ПФ задачи 15.14 по принципу согласования характеристических со-
противлений так, что получен симметричный фильтр, имеющий на
входе и выходе характеристическое сопротивление фильтра типа т.
Начертить схему соединения, рассчитать параметры элементов звена
типа т и построить частотные зависимости a, b, Z^m этого фильтра.
Рис. 15.23
Решение. Схема каскадного соединения фильтров изображена
на рис. 15.23. Для получения симметричного фильтра звено типа т
разбито на два полузвена. Элементы звена типа k были рассчитаны
503
в задаче 15.14: Lj = 0,06 гн, L2 = 0,84 мгн-, Ct = 2,33 нф, С2 —
= 0,167 мкф.
Элементы полузвеньев типа т рассчитываются по формулам
табл. 15.3:
1т = тЦ = 0,0354 гн; L2m = — = 1,42 мгн;
4т
Sm i m2 ^2 = 3,05jW2K,
Л /1 v
^lm ~ ~ 3,95 нф\
1 — m2
3/n 4m
C2 = 0,046 мкф.
Найдем частоты бесконечного затухания по формулам (15.9 а)
с учетом значения Q из (15.86):
' Лоо = 1/~ (^1)2 I f2---------=
' V 4(1— m2) + 2/1 —m2
П/'(15,2 — 12)2 , 10 г, 15,2—12 1QCO о
= I/ тт:—а коК + 13,52—-------. о- = 13,68 — 2 = 11,68 кгц;
Т 4 (1 —0,592) 1 2/1—0,592
h- = /тт/й + + " 13'68 + 2 = 1ЭД
Уравнения частотных зависимостей а, b приведены в задаче 15.17,
формула нормированной частоты Q — в задаче 15.14. Характеристи-
ческое сопротивление ZTm определяется по формуле (15.7). Расчет
характеристик сведен в табл. 15.16.
Таблица 15.16
f, кгц 2 а sh- а ch — ь sin- а, неп Ь, град Z_ , ом Тт
0 ОО 0,73 — — 1,36 0 0
4 — 13 0,735 — — 1,37 0 /71
8 —4,65 0,745 — 1,38 0 /209
11,68 — 1,24 оо оо ОО —180 оо
12 -1,0 1,0 -1,0 0 — 180 0
13 —0,316 «1 — —0,193 ° ' — —22 610
13,5 0 — 0 — 0 600
14 0,316 " — 0,193 22 610
15,2 1,0 — 1,0 1,0 0 180 0
15,68 1,24 оо оо — оо 180 оо
18 2,46 0,85 — 1,54 0 — / 463
20 3,4 0,785 1,44 0 — / 297
504
Зависимости a, b, Z-[m от частоты изображены на рис. 15.24.
15.24. Вычертить схему и рассчитать элементы Т-образного па-
раллельно-производного ПФ типа т (т = 0,59, R = 1 ком) с поло-
сой частот от ft = 2,0 Мгц ж f2 = 2,2 Мгц. Вычислить его характе-
ристическое затухание при частоте 1 Мгц.
20 /,кгц
У ИГ
Рис. 15.24
15.25. Составить схему согласованного ПФ, имеющего четыре
звена, в том числе: два звена типа k, одно параллельно-производное
звено типа пг (т = mt), одно последовательно-производное звено
типа т (пг = т2). Характеристическое сопротивление сложного фильт-
ра со стороны выхода должно иметь характер Zt.„ •
15.26. Определить частоты бесконечного затухания и величину
характеристического затухания при / = 15 кгц П-образного ЗФ типа
т (т — 0,59, R = 200 ком) с полосой непропускания от 10 до 20 кгц.
15.27. ФВЧ задачи 15.10 включен для работы между генератором
и нагрузкой, сопротивления которых одинаковы и равны Rr = Rtt =
= 600 ом. Рассчитать и построить кривую рабочего затухания в по-
лосе пропускания и задерживания и входного сопротивления в полосе
пропускания.
Решение. Для симметричного фильтра при Zlc = Z2c = Zc
505
и J?r = А!н используются следующие формулы рабочего затухания:
в полосе пропускания
в полосе задерживания
Расчет кривой рабочего затухания сведен в табл. 15.17.
Таблица 15.17
1, кгц а, неп Ь, град \zc 1’ ом 1 /| z. I RH \ п ' с 1 -1 — 1 4 \ «н ЧМ я ' Я сл 1—— 5* I to 1 о ар’ неп
0 оо — 180 оо оо - оо
0,8 4,13 —180 2320 0,01 —- 4,14
1,6 2,64 — 180 1040 —0,548 —- 2,092
2,4 1,59 —180 526 —0,683 —— 0,907
3,2 0 —180 0 — 0 0
4,0 —— — 106 360 1 1 0,265 0,115
4,8 —85 447 0,089 0,043
5,6 —70 492 — 0,036 0,019
6,4 —60 520 . —— 0,015 0,007
Входное сопротивление определяется по формуле (14.21 а и б).
Поскольку в полосе пропускания Zc является активным сопротивле-
нием (т. е. действительным числом), a g = jb,
th (g + и) = th (n + jb).
Гиперболический тангенс комплексного аргумента может быть рас-
считан по следующей формуле (см. приложение 3):
sh 2п
th (и + jb) = —тт—;-----тг
v J ' ch 2n -j- cos 2b
sin 2b
ch 2n 4- cos 2b ’
Расчет входного сопротивления приведен в табл. 15.18.
Таблица 15.18
f, кгц Z , ом п Ь, град sh 2n ch 2n sin 2b cos 2b | th (g+n) | 1 ZBX 1’ °M
3,2 3,46 0 0 f — 180 0 1,0 0 1,0 0 0
228 0,4 —135 0,888 1,337 1,0 0 1,0 228
4,0 360 0,693 — 106 1,87 2,12 0,53 —0,85 1,9 685
4,53 424 0,881 —90 2,73 2,99 0 -1,0 1,37 580
4,8 447 0,965 —84 3,37 3,56 —0,208 —0,98 1,345 602
5,6 492 1,157 —70 4,99 5,09 —0,642 —0,768 1,165 573
6,4 520 1,32 —60 6,97 7,04 —0,867 —0,5 1,071 558
506
Кривые рабочего затухания и входного сопротивления изображены
на рис. 15.25;
15.28. Коэффициент потерь катушек ФНЧ задачи 15.3 равен
d = 0,02. Рассчитать и построить с учетом потерь частотные характе-
ристики затухания а и фазовой постоянной b для полосы пропус-
кания.
Рис. 15.25
Решение. При учете потерь сопротивление продольного плеча
фильтра определяется по формуле (15.10):
Zt= j® Li(l — jd).
Сопротивление поперечного плеча
. \
1 .
* ~ /^с2
Найдем отношение
Zi /^i (1 — jd)
4Z? = 1 = —
jtoC2
(1 _ jd) = - (1 - jd) Q?,
где
(Dc
При учете потерь затухание и фазовая постоянная определяются
по формулам (15.11). Расчет частотных характеристик а и b сведен
в табл. 15.19.
Таблица 15.19
f, кгц 2 21 4±3 21 4Z, + 1 +|/^.+1 ' 4Za » 4Ха а, неп 1 ь, град
0 0 0 1 1 0 0
0,8 0,25 -0,0625(1-/0,02) 0,9374-/0,00125 1,0014 е/,4°30' 0,0028 29
1,6 0,5 -0,25(1-/0,02) 0,754-/0,005 1,006е/3°° 0,012 60
г, 4 0,75 —0,562 (1—/0,02) 0,4384-/0,0112 1,О12^8030’ 0,024 97
3,2 1,0 -(1-/0,02) /0,02 1,1О5е/84030' 0,2 169
507
Характеристики, построенные по полученным результатам, изоб-
ражены на рис. 15.26.
Рис. 15.26
Г. Мостовые фильтры
15.29. Определить, к какому типу по полосе пропускания отно-
сится каждая из схем мостовых фильтров, изображенных на рис. 15.27.
Рис. 15.27
Задачу решить графически анализом сопротивлений продольных
и диагональных плеч, воспользовавшись условиями для определения
полос пропускания мостовых фильтров. Дополнительно задается:
в схеме 15.27, б резонансная частота диагонального плеча совпадает
с частотой резонанса токов продольного плеча; в схеме 15.27, г резо-
нансные частоты плеч не совпадают.
Построить качественно кривую характеристического затухания
фильтра. Указать, при каких частотах характеристическое затухание
фильтра равно бесконечности.
Решение. Рассмотрим схему рис. 15.27, а. Продольное плечо
имеет две резонансные частоты, при этом первой является частота со2
резонанса токов, так как это плечо имеет путь для постоянного тока,
и второй —частота со3 резонанса напряжений (см. п. 4 основных поло-
жений гл. 13). На рис. 15.28, а нанесены графики сопротивлений
продольного плеча Zi и диагонального Z2 в функции со.
Как известно из теории, в полосе пропускания сопротивления Zi
и Z2 должны иметь разные знаки. Эта полоса определяется граничными
частотами со2, где ZY = оо, и со3, где Zj = 0 (на рис. 15.28, а) за-
штрихована. Итак, рассматриваемая схема соответствует полосово-
му фильтру.
508
Рассмотрим схему 15.27, б. График сопротивления продольного
плеча такой же, как и в предыдущем случае, его резонансные частоты
о)2 и со3. Диагональное плечо имеет одну резонансную частоту. По усло-
вию, это со2. Полоса пропускания соответствует разным знакам Z4 и Z2,
это область частот от 0 до <о3 (на рис. 15.28, б эта область заштрихо-
вана). Схема соответствует фильтру нижних частот. Разбор схем
рис. 15.27, в и 15.27, г рекомендуется проделать самостоятельно.
Рис. 15.29
15.30. Мостовой ФНЧ (рис. 15.29) имеет частоту среза fc —
= 3,2 кгц, частоту пика затухания /^ = 4 кгц, при которой Zi =
= Z2 = 400 ом. Определить значение, элементов фильтра Li
Рассчитать характеристическое затухание филь-
тра при нормированных частотах Q = 1,25; 1,5;
2 и построить частотную характеристику. Рас-
считать характеристическое сопротивление и фа-
зовую постоянную при следующих значениях
нормированной частоты: Q = 0,9; 0,75; 0,5; 0
и построить их характеристики. На какие ха-
рактеристики и какое влияние окажет взаимная
замена местами продольного и диагонального
плеч?
Решение. Сопротивления продольного и
фильтра определяются по формулам:
диагонального плеч
— (со2—
со '
Зная значения = z2 при частоте fw, получим:
1
__ 400 л л. п
— =------------------- 0,016 гн;
<°оо 2тс • 4 • 103
<£>29
со
со2 — (О2
оо с
2тт - 4-103.400
—------------------ = 0,044 гн.
4^2 (42 _ з )22)
509
Для определения емкости С2 используем формулу частоты среза
1
С0с —--7==-.
V
Отсюда
Са = ——я— -------------------== 0,0564 мкф.
L-лУ 0,044-4л2-3,2М0«
Характеристические затухание, сопротивление и' коэффициент
фазы (в полосе пропускания) фильтра определяются по формулам,
которые получаются из формулы (15.12) и табл. 15.5:
Z„ = RV 1 - а>, где R= - /„-а^53ое,,;
Ь = 2 arctg
m2
y i —а2
Расчет характеристик приведен в табл. 15.20.
Таблица 15.20
2 mQ th 4 ьэ| о- а, неп Ь, град ZM’ ом
V1—22
0 0,5 0,75 0,9 1,0 1,25 1,6 2,0 0 0,347 0,689 1,24 оо 1,0 0,805 0,695 1?0 0,805 0,695 0 0,347 0,689 . 1,24 оо оо 2,23 1,72 0 38 69 102 180 180 0 0 530 459 350 231 0 /396 /594 /920
Кривые частотных зависимостей a, b, ZM изображены на, рис. 15.30.
Если в схеме рис. 15.29 элементы и Z2 поменять местами, то час-
тотные характеристики а и ZM не изменятся, а фазовая постоянная
изменится на л.
Рис. 15.30
510
15.31. Параметры полосового фильтра (см. рис. 15.27, a): =
= 0,02 гн, Ci 8,8 нф, L3 = 0,0326 гн, L2 = 0,06 гн.
Найти частоты среза и выяснить, имеет ли фильтр полюс затухания,
и если имеет, то найти его. Вычислить затухание при с/ = 5« 104 сект1,
(&” = 12-104 сект1 и построить качественно график затухания в функ-
ции частоты. Определить характеристическую фазу b при со',/= 8х
ХЮ4 сегс1, со"" = 9-104 сект1 и построить качественно ее график. Со-
ставить уравнение характеристического сопротивления и построить
(качественно) его график.
•Решение. Сопротивление продольного плеча фильтра выража-
ется формулой
Zi — /(0L3
<о|---- (О2
(О?---- (О2
где
Ю2=тйг’йз =
Как видно из рис. 15.28, а, частоты среза соответствуют значениям
Z4 = о© и Zi = 0. В соответствий с этим получим:
со2 = = 7,52-104 сек~У f2 = 12 кгц\
со3 = |/~ = 9,55-104 сект1, f3 = 15,2 кгц.
Для выяснения существования полюса затухания используем
условие Z4 = Z2:
(О? - to2
М3 —------~ = /G>L2.
(Ogl —
После преобразований этого уравнения получим:
Г L* 2 2
i»oo = 1 / —г--------= 3,86-104 секту = 6,15 кгц.
/ ^2
т Т7~1
Характеристическое затухание фильтра определяется из форму-
лы (см. табл. 15.5)
при zA<z2 th-y
а
при zx > z2 cth -у
(О? — (О2
о
(О? --- (О2
Рассчитаем характеристическое затухание фильтра при частотах
е/ и ш":
511
при о) = о)' = 5- lOce/r1 (Zj > z2)
a _ -i/0,0326 9,552 —52
2 ~ V 0,06 7,522 — 52
= 1,075;
th = , — 0,932, -4- = arth 0,932= 1,675, a — 3,35 нем;
2 1,0/D z
Рис. 15.31
при (o = o)"= 12- 104 сект1 (z4 < z2)
th -^- = 0,57; a = 1,29 неп, .
£
Частотный график характеристи-
ческого затухания качественно пост-
роен на рис. 15.31, а. Характеристи-
ческая фаза b в области пропускания
определяется по формуле табл. .15.5:
Рассчитаем значения b для частот
'// TI
СО и со
при со = со"' = 8« 104 сект1
ь _ -. /0,0326 9,552 — 82
2 ~ Г 0,06 7,522 —82 —
= 1,425;
= arc tg 1,425 = 55°; Ь = 110°;
при co = со"" = 9> 104 сект1
tg _|. = 0,484; b = 52°.
Частотная кривая фазовой постоянной качественно построена на
рис. 15.31, б.
Уравнение характеристического сопротивления фильтра имеет
вид
- ——.
СО о - со-4
- coaL1L4 .
о>2 — со2
Качественное построение частотной характеристики ZM показано
на рис. 15.31, в.
15.32. Фильтры рис. 15.27, б, в и г имеют параметры:
в схеме б: Li = 0,02 гн, Ci = 8,8 нф, L2 == 0,04 гн, L3 = 0,0326 гн,
С2 = 4,4 нф;
в схеме в: Li = 0,02 гн, Ct = 4 нф, С2 = 8,8 нф;
в схеме г: Li = 0,02 гн, Ci = 8,8 нф, L2 = 0,02 гн, С2 = 4,4 нф.
512
Для каждого из них найти частоты среза, частоту полюса затуха-
ния (там, где он имеется) и затухание при со' = 10б сек'1.
Построить (качественно) графики затухания в функции частоты.
Составить уравнения характеристических сопротивлений и построить
(качественно) их графики.
Решение. 1. Рассмотрим схему рис. 15.27, б; она, как это
установлено в решении задачи 15.29, соответствует схеме ФНЧ.
Частота среза фильтра определяется из условия
-- (О2
= jcoL3 g — — О,
со 2 — <j)d
где
со2 = —7-"' = 7,52-104 сек'1, со3 = 1/ай + * = 9,55-104 сек'1.
Отсюда
<ос = <в3 = 9,55-104 сек'1.
Для выяснения существования полюса затухания рассмотрим ус-
ловие Zi = Z2:
(О3--(О2
/coL3 2~ -
о>2 —
“ р- W -
где
Ю1 = УТ~С2 == “ 032*
Преобразуем последнее уравнение и, подставляя числовые значе-
ния, получим
со4 — 2,09. 1010со 2 + 1,73.1020 =0.
Корни последнего уравнения — комплексные. Следовательно^хе-
ма рис. 15.27, б не имеет полюса затухания.
Характеристическое затухание фильтра при частоте со' (где z2 >z^
можно найти из формулы (см. табл. 15.5)
513
Подставляя числовые значения, получим:
а
th -к- = 0,608; а = 1,41 неп.
Составим уравнение характеристического сопротивления:
м
2 2
со J — СО4
Мз —---------Г
со^ — <о4
= L2L3 ( 0)2 (О2
Частотные характеристики а
ражены на рис. 15.32.
(О2
и ZM, построенные качественно, изоб-
а
о
2. Рассмотрим схему рис. 15.27, в. Она соответствует схеме ФНЧ
Определим частоту среза, используя условие Zi = 0:
А = — i = / — (®* — ©2) = 0, где = -- *
«oQ co ' 1 * * * V' у L±Ci
Отсюда coc = ац = 1,12- IO5 сект1.
Найдем частоту полюса затухания:
1
Zi = Z2 ИЛИ j — = -/
LA (®2—«>?) = 1; ®2= -77->
(0oo = 1/^<0?--7-7Г- = 0,825-105 сект1.
V 1 ^1^2
При Zi > z2 затухание фильтра определяется из уравнения
514
По этой формуле найдем затухание прй со' = 10е сект1, а = 1,6 неп.
Составим уравнение характеристического сопротивления:
гм = /ад = 1/=i/\Mi-4-)-
У со v 4 i^C2 у С2 \ <о- /
Частотные характеристики
а и ZM, построенные каче-
ственно, изображены на
рис. 15.33.
3. Схема рис. 15.27, г
соответствует загр аждаю-
щему фильтру. Сопротив-
ление продольного и диа-
гонального плечей опреде-
ляются по формулам:
Рис. 15.33
Л = Г!“ <— , где «2 = ~т= = 0,79.10® сек^
С1 I о>2 — 0)2 ) У
Z2 = —— (cof—(o2V где о)г- .... = 1,12-10б сект1.
2 1 1 > 1 VT&
Частоты со± и со2 являются частотами среза. Найдем частоту полюса
затухания из условия Zi = Z2:
----_—_---——. __ (О.—nV)»
Ci ( «о2 — <o2) /(0-' 1 '
Отсюда после подстановки числовых значений получим
0)4 _ 1,306- 1010^2 + 0,886- 1020 ж 0
Корни полученного уравнения являются комплексными. Значит,
схема рис. 15.27, г не имеет полюса затухания. Те же результаты мож-
но получить, если построить графики изменения Z4 и Z2 в функции
частоты, из которых можно видеть, что они не пересекаются. При
частоте <о' = 105 сек"1 имеет место соотношение Zj > z2. Поэтому для
определения затухания используем формулу
Подставив числовые значения, получим:
а
cth -5- = 2,46; а == 0,86 неп.
515
Составим уравнение характеристического сопротивления:
м
2 --- (О2
1 (йу — <о2
Качественное построение частотных характеристик а и ZM пока-
ния и определить его значения а и
<о" = 8,7-104 сект*.
зано на рис. 15.34.
15.33 Продольные плечи
мостового ФНЧ (см. рис.
15.27, б) имеют резонанс-
ные частоты со2 = (02с ~
=6-104 сек~\ со3 = со3с =
= 8- 104 сект1, а диагональ-
ные плечи со2 = (о2с= 6 х
X 104 сект1. Известны L3 =
= 0,04 гн, L2 = 0; 02 гн.
Вывести формулу затуха-
а" при со' = 8,2-104 сект1 и
Д. Задачи на различные темы, не рассмотренные
в предыдущих пунктах
15.34. Определить элементы мостового и дифференциально-мос-
тового фильтров, эквивалентных П-образному последовательно-про-
изводному ФНЧ типа m с элементами С1гп = 0,1 мкф, 2L2m = 50 мгн,
С2т!2 = 0,12 мкф (рис. 15.35, а).
Рис. 15.35
Решение. Сопротивление одного плеча эквивалентного мосто-
вого фильтра должно совпадать с сопротивлением поперечного плеча
П-образного фильтра типа m [см. формулу (15.13)1:
2
22м = 2Z2n = 2j($L2m + /(оС2^ •
Сопротивление другого плеча мостового фильтра определяется
516
по формуле (15.13):
7 — 21Т — 2^1П22П
2 ~ Zin + 4Z2n
^1П ^2П
У 21П + 222П
&
Таким образом, продольное плечо мостового фильтра должно со-
1
держать две параллельные ветви с сопротивлениями 2Z2n и -х- 2щ.
&
Соответствующая схема искомого мостового фильтра изображена на
рис. 15.35, б. Ее элементы: 2С1т =0,2 мкф, С2т/2 = 0,12 мкф, 2L2m =
= 50 мгн.
Сопротивления плеч дифференциально-мостового фильтра (см.
рис. 15.5):
4
2^2м — 4Z2n = 4j(aL2rn + ;
2Z1M =
4^2П
Zm + 4Z2n
Последнее сопротивление составлено из двух параллельных вет-
вей:
4Z2n — 2Z2m и Zm
1
Схема дифференциально-мостового фильтра показана на рис. 15.35, в.
Ее элементы: С1т = 0,1 мкф, 4L2m = 100 мгн, С2т = 0,06 мкф.
15.35. Вычертить схему и
определить элементы мосто-
вого фильтра, эквивалентного
Т-образному последователь-
но-производному ФНЧ типа
пг с параметрами пг = 1,27,
R = 1 ком, fc =. 10 кгц.
Решение. Схема по-
следовательно - производного
ФНЧ типа пг изображена на
рис. 15.36, а. Для расчета
Рис. 15.36
его элементов определим по формулам
табл. 15.2 элементы прототипа — ФНЧ типа k: Li = 31,8 мгн,
С2 = 0,0318 мкф. Расчет элементов фильтра типа пг произведем по
формулам для ФНЧ табл. 15.3:
1 _ m2
- = 20,2 мгн; L2m = —— Lt = —3,85 мгн;
С2т — <пС2 — 40,4 нф.
Отрицательное значение L2m, получающееся всегда при tn > 1,
имеет в данном случае только расчетное значение. Такое значение
может быть физически реализовано при наличии индуктивной связи
между продольными и поперечными плечами фильтра. Для определе-
517
ния элементов эквивалентного мостового фильтра используем форму-
лы (15.13):
Отсюда получим параметры элементов мостового фильтра:
£1М = -4s- = 20-2 мгн’>
L2u = 2L2m + - - 7,7 + 20,2 = 12,5 мгн;
Ju
C2vi = -%2- = 0,0202 мкф.
Схема мостового фильтра изображена на рис. 16.36, б.
Рис. 15.37
15.36. Вычертить схему и определить элементы мостового фильт-
ра, эквивалентного П-образному параллельно-производному ФНЧ
типа т с параметрами т = 1,27, R = 1 ком, fc 10 кгц.
15.37. Мостовой ПФ (рис. 15.37, а) собран из расширительных
катушек с индуктивностями LOi = 2 гн и L02 = 1 ан и кварцевых плас-
тин длиной 1т = 41,3 мм, шириной /0 = 20,38 мм, толщиной lt =
= 0,5 мм.
Составить эквивалентную схему фильтра, построить (качественно)
частотные характеристики сопротивлений плеч фильтра и рассчитать
частоты среза.
Решение. Эквивалентная схема фильтра изображена на
рис. 15.37, б. Параметры элементов этой схемы рассчитываются по
формулам:
L = c=kc-^~; Ck = kC,
lQ ll
518
гдеk, kc,kL — коэффициенты, зависящие от электрических и пьезо-
электрических свойств кварца. Для кварцевых пластинок, имеющих
отношение 10/1т л* 0,5, эти коэффициенты имеют следующие значения:
kL = 14,5 гн/мм, kc = 2,7-10~4 пф!мм, k = 125.
Рассчитаем параметры эквивалентной схемы кварцевой пластины:
= 20,38 = ^4’б) 7 * * гн’
С = 2,7-10-® = 0,455 пф-,
Ck= 125-0,455 = 61,4 пф.
Формулы сопротивлений плеч фильтра имеют вид:
— со2)
о)? — О)2 *
Л»
где
2
0>t =
1\»4
1____у
CkLt I
2 [ QL0
Найдем резонансные частоты:
а) частота резонанса токов обоих плеч:
<»2 ----тт-— = 15,3-1010 сек-2;
(o2 = 3,91-105 сек-1;
(1)
(2)
2
2
2
1
б) частоты резонанса напряжений продольного плеча [см., форму-
лы (1) и (2)]:
ю?п = 0,755-10м сек-2; <ош = 0,87-10® сек-1.
<о|п = 15,36 • 1010 сек-2; <озп = 3,92 • Юсекг1-,
в) частоты резонанса напряжений диагонального плеча:
2
2 1
02
1 у 4
= 1,59-101° сек-2; <о1д = 1,26-10® сек-‘; 4Д = 15,34-101° сек’2;
<о3д = 3,916-10® сек"1. '
519
Частотные характеристики сопротивлений плеч качественно по-
строены на рис. 15.38.
Как известно, в полосе пропускания сопротивления плеч фильтра
должны иметь разные знаки. Следовательно, рассматриваемый фильтр
имеет две полосы пропускания, которые на рис. 15.38 выделены
штриховой линией. Частотами среза являются частоты резонанса
напряжения: сощ и <01Д —для первой полосы, со3д и созп — Для
второй полосы пропускания.
Рис. 15.39
15.38. Т-образный параллельно-производный ФНЧ типа т
(рис. 15.39), имеющий частоту среза /с = 3,2 кгц, используется при
коэффициенте нагрузки е = R/RH = 0,94. Определить оптимальное
значение коэффициента т и верхнюю границу эффективно передавае-
мой полосы частот.
Решение. Из теории известно, что в пределах эффективно пе-
редаваемой полосы частот оптимальную нагрузку надо выбирать из
следующего условия:
/?н = 1/zjojz
с max •
Характеристическое сопротивление Zc = ZTfn Т-образного ФНЧ
типа т определяется по формуле (15.7). Рассматривая эту функцию
прий = 0 и исследуя ее на максимум, получим:
2с(0) = /?;
Z =
max
R
2т ]/" 1 — т2
Отсюда
/?н = у ZC(O)ZC max = —-....-.
У 2т 1 — т2
Подставляя значение в выражение коэффициента нагрузки
получим
р /-------------
е = -g— = У 2т 1/ 1 — т2 или 4/n2( 1 —гп2) =
520
Решая последнее уравнение, найдем оптимальную величину т
рассматриваемого фильтра:
mi = 0,855; т2 = 0,515.
Для определения значения нормированной частоты Q 2, соответст-
вующей верхней границе эффективно передаваемой полосы частот,
используем равенство ZC(Q2) = R-
r V 1 —
1 — (1 — т2)
Отсюда находим
]/1 — 2m2
1 — т?
Подстановка в полученную формулу значения mi дает результат
в виде мнимого числа. Это значит, что при т = не может быть
обеспечено использование фильтра с за-
данным коэффициентом нагрузки. Подстав-
ляя в формулу значение т2, получим Й2 =
= 0,932. Найдем верхнюю границу эффек-
тивно передаваемой полосы частот:
/2 = /cq2 = 3,2-0,932 - 2,98 кгц.
15.39. П-образный последовательно-
производный ФНЧ типа т (рис. 15.40)
имеет частоту среза /с = 3,2 кгц. Его коэф-
Рис. 15.40
фициент нагрузки s = RJR = 0,94. Определить верхнюю грани-
цу эффективно передаваемой полосы частот.
Глава шестнадцатая
КОРРЕКТИРУЮЩИЕ ЦЕПИ
Основные положения и соотношения *
Сигналы, проходящие по линии и аппаратуре, претерпевают амп-
литудно- и фазочастотные искажения. Для уменьшения этих искаже-
ний часто используются пассивные четырехполюсники — корректи-
рующие устройства, которые включаются каскадно с рабочей цепью.
1. Амплитудные корректоры применяются для уменьшения ампли-
тудных искажений. Наиболее часто амплитудное корректирование
заключается в таком подборе схемы и элементов корректирующего
устройства (рис. 16.1, а), чтобы в некотором диапазоне частот от Д до
/2 сумма рабочего затухания цепи ар,ц и корректора ак была постоян-
ной величиной (рис. 16.1, б), т. е.
яОб = ^р.ц + ак = const. (16.1)
Рис. 16.1
В качестве амплитудных корректоров получили широкое приме-
нение Т-образцо-мостовые и Г-образные четырехполюсники
(рис. 16.2, а, б и в), имеющие постоянное, не зависящее от частоты
входное сопротивление равное активному сопротивлению нагруз-
ки 7?н = 7?0. Для указанных четырехполюсников это имеет место,
когда комплексные сопротивления Zi и Z2 взаимно обратны, т. е.
ZiZ2 = R20. (16.2)
Иногда в качестве простейшего корректирующего устройства
используется последовательный контур с сопротивлением 2Zt
(рис. 16.2, а) или параллельный — с сопротивлением 1/2Z2
(рис. 16.2, <Э).
* Выводы формул, приводимых в этой главе, можно найти, например, в [10].
522
Схема рис. 16.2, а дает согласова-
ние со стороны входа и выхода кор-
ректора, схемы рис. 16.2, бив дают
согласование только с одной стороны,
а схемы рис. 16.2, г и д не дают согла-
сования ни с одной стороны. Согласо-
вание с обеих сторон обеспечивает
также мостовая схема корректора
рис. 16.2, е.
Как правило, каждый из пассив-
ных двухполюсников корректора (рис.
16.2, а—ё) Zi и Z2 содержит один
активный и реактивные элементы.
При нагрузке четырехполюсников
рис. 16.2, а—е на сопротивление
/?н = Ro постоянная передачи корре-
ктора
^к = 1п(1+-^-). (16.3)
Важными в практике являются
схемы корректоров, у которых Z{
состоит из параллельно соединенных
активного сопротивления и реак-
тивного Xi и, следовательно, в со-
ответствии с формулой (16.2) Z2 —
—из последовательных активного г2
и реактивного ,Х-2 (на рис. 16.3, а—
—в приведены схемы, соответству-
ющие корректорам рис. 16.2, а—в).
В этом случае рабочее затухание
корректора
(16.4)
где Xi — алгебраическая величина,
которая в зависимости от частоты
плавно изменяется и может прини-
мать как положительные, так и от-
рицательные значения, т. е. она может
иметь индуктивный или емкостный
характер.
На рис. 16.4 приведены кривые за- Рис. 16.2
висимостей затухания ак в функ-
523'
ции частоты (для корректоров рис. 16.2, а—е). Кривая 1 соответствует
случаю, когда элемент Xi содержит только емкость С\, кривая 2 — толь-
ко индуктивность Li, кривая 3 — параллельно соединенные Lt и Ci,
Рис. 16.3
Рис. 16.4
кривая 4 — последовательно соединенные Lf и Сь кривая 5 — после-
довательно соединенные Li и Сь шунтированные емкостью Сь кри-
вая 6 — последовательно соединенные Lt и Cit шунтированные ин-
дуктивностью Lp
Для использования четырехполюсников в качестве амплитудных
корректоров крутизну кривой затухания в требуемом интервале час-
тот можно изменять регулированием сопротивлений и
Задача расчета корректирующего устройства обычно состоит в
выборе его схемы и вычисления ее элементов так, чтобы выполнялось
условие (16.1).
2. Фазовые корректоры предназначены для уменьшения фазочас-
тотных искажений, вносимых в передачу линией и аппаратурой.
Фазовый корректор мостового типа, состоящий из чисто реактивных
элементов, пропускает все частоты от 0 до оо. Для обеспечения тре-
буемой частотной характеристики фазовой постоянной b (со) или
группового времени замедления /гр(со) = dbjd^ фазовый корректор
524
включается каскадно и согласованно в корректируемую цепь
(рис. 16.5, а).
Сущность фазовой коррекции поясняется рис. 16.5, б: требуемая
суммарная характеристика фазы b корректора Ьк и цепи &ц в некото-
Рис. 16.5
ром диапазоне частот от Д до /2 обычно должна иметь вид прямой,
что удовлетворяет условию неискаженной передачи огибающей сигнала
b == Ьк + = то + Ьо.
(16.5)
Иными словами, это означает, что суммарная величина времени
задержки /гр, корректора /к и рабочей цепи /и есть величина постоян-
ная (рис. 16.5, в):
Ас + 'Ц='гр- (16.6)
Мостовое звено фазового корректора представляет
собой четырехполюсник мостового типа (рис. 16.6),
у которого сопротивления Zi и Z2 являются взаимно
обратными реактивными двухполюсниками, т. е.
7^2 = /?о = — Х1Х2. (16.7)
Характеристическое сопротивление мостового зве-
на фазового корректора постоянно (не зависит от ча-
стоты) и равно
ZM = VZA = Ro.
Рис. 16.6
(16.8)
При выполнении условия (16.7) фазовая постоянная корректора
и его групповое время замедления tK определяются по формулам:
bK = arg (-р° + у1 'j = 2 arctg . (16.9)
\ Ко — / Ко
t _ dbK __ Ж) dXj -"«5+ 4 (1610)
Характер зависимости Ьк от частоты зависит от сложности звена
(от так называемого порядка звена). Наиболее часто используются
фазовые звенья первого порядка, т. е. такие, у каждого плеча мосто-
525
вой схемы которого имеется по одному реактивному элементу
(рис. 16.7, а), и второго порядка, когда в каждом плече имеется по
два реактивных элемента (рис. 16.7, б).
Рис. 16.7
На практике для уменьшения числа реактивных элементов фазо-
вого корректора вместо мостовых схем применяются эквивалентные
им схемы. Так, для звена фазового контура первого порядка вместо
схемы рис. 16.7, а берется ей эквивалентная схема рис. 16.7, в с коэф-
фициентом связи, равным 1. Для фазовых контуров второго порядка
существует много эквивалентных схем. На рис. 16.7, а, д и е приве-
дены три Т-образные мостовые схемы. Условия их применимости за-
висят от соотношения между коэффициентами- а и (3, где
а = ^уС^Ц, ₽ = 1/Л^р
Для получения требуемой фазовой характеристики (или группо-
вого времени замедления) часто берут несколько каскадно и согла-
сованно соединенных звеньев разного порядка сложности, имеющие
разное время замедления. В целях облегчения подбора звеньев ис-
пользуются приводимые в специальной литературе семейства харак-
теристик времени замедления разных фазовых корректоров? Подбор
числа, типа и характера звеньев может быть осуществлен графически
(с помощью шаблонов), аналитически и с помощью цифровых электрон-
но-вычислительных машин*.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. Корректоры амплитудно-частотных искажений
16.1. Показать, что при нагрузке четырехполюсника (см.
рис. 16.2, а) со стороны зажимов 2-2' на сопротивление 7?0 его входное
сопротивление со стороны зажимов 1-Г равно тому же сопротивле-
<—а------- с
* См., например, К. А. Сильвинская и 3. И. Го л ы ш ко.
Расчет фазовых и амплитудных корректоров. Изд-во «Связь», 1969.
526
ник) Ro, а рабочая постоянная передачи равна собственной постоянной
передачи при условии, что ZtZ2 = /?о-
16.2. Определить элементы и начертить схему Г-образного коррек-
тирующего четырехполюсникаЛ(рис. 16.8, а), имеющего постоянное
входное (повторное) сопротивление ZBX — Ro — 600 ом и элементы
f = 480 ом, Ct = 60 нф. Рассчитать и построить кривую рабочего-
затухания корректирующего контура в диапазоне 0,3 — 8 кгц.
Рис. 16.8
Р е ш е н и е. Из сравнения рис. 16.8, а с рис. 16.2, б (см. формулу
16.2) видно, что заданный корректор должен иметь в продольной вет-
ви параллельно соединенные активное сопротивление Ro и комплекс-
ное сопротивление Zit состоящее из параллельно соединенных и
(см. рис. 16.8, б). Из эквивалентности схем рис. 16.8, а'и б следует,
что г должно равняться параллельно соединенным и Ro, откуда и
находим неизвестное
гг _ fl Ro
fi + Ro ’
где
480-600
600—480
= 2400 ом.
Элементы комплексного сопротивления Z2 поперечной ветви долж-
ны быть обратны сопротивлению Z2 [см. формулу (16.2)]. Определим
их, как это указано в гл. 13:
Ro 6002 .сп
г2 п 2400 “150 ом;
L2= Сх/?о = 60-10-» - 600® = 21,6- IO-3 гн.
Кривую рабочего затухания рассчитываем по формуле (16.4).
Результаты расчетов сведены в табл. 16.1.
527
Таблица 16.1
F, кгц X = 1/coCj, ом wt ц к. «ч ч сч СЧ + сч d + сч + я— / г, \2 1 4- / ) \х1) сч сч + с сч Н| .и u | Ч и а„ неп к»
0,3 8860 0,271 0,074 25,074 1,074 24,8 3,21 1,605
1,0 2650 0,906 0,81 25,81 1,81 14,23 2,655 1,327
4,0 662 3,62 13,1 38,1 14,1 2,7 0,99 0,495
8,0 331 7,25 52,5 77,5 53,5 1,44 0,367 0,184
По данным табл. 16.1 на рис. 16.8, в построен график ак в функ-
ции /.
16.3. Рассчитать элементы и начертить схему Г-образного коррек-
тора (рис. 16.9), входное сопротивление которого постоянно и равно
ZBX = Яо — 1400 ом. Даны:
г' = 420 ом, Li = 50 мгн. По-
строить кривую рабочего зату-
хания корректора в диапазоне
0,3—4 кгц.
16.4. Определить элементы и
начертить схему Г-образного
корректора (рис. 16.10, а) с по-
стоянным входным сопротивле-
нием ZBX = Ro= 600 ом, элемен-
ты которого г' = 480 ом, Li =
~ 4 мгн, Ci = 1 мкф. Опреде-
лить частоту, при которой за-
тухание передачи максимально,
и величину ак тах этого затуха-
ния корректора в полосе частот
от 0 до 4 кгц.
Рис. 16.9
Рис. 16.10
Решение. Схема корректора приведена на рис. 16.10, б. Вы-
числим ее элементы:
528
,'D M
D = 2400 ом; f2 ——— = 150 ом;
R0 — r' >\
L2 = C.Rl = 0,36 гн; C2 =-Ц- = 0,0111 мкф.
«о
Из формулы (16.4) следует, что затухание передачи максимально,
когда реактивное сопротивление продольного плеча = оо, при
этом х2 = 0 и в схеме остаются только активные сопротивления. Со-
противление параллельно соединенных Li и Ci
Отсюда видно, что Xi = о© при coi = == 15800 сект1,
Д = 2520 гц.
По формуле (16.4) находим, что при = оо величина максималь-
ного затухания передачи
«к max
Кривая затухания корректора,
рассчитанная по формуле (16.4), при-
ведена на рис. 16.10, в.
16.5. Найти элементы и начертить
схему Г-образного корректора (рис.
16.11, а), имеющего постоянное вход-
ное сопротивление /?0 =600 ом и
элементы г' = 525 ом, Ci = 0,04 мкф,
Li= 16 мгн, С{ = 0,2 мкф. Опреде-
лить частоту, при которой затухание
передачи ак будет максимально, и
чему эта величина (актах) равна.
Решение. Схема корректора
и значения величин элементов даны
на рис. 16.11, б. Они рассчитаны
аналогично предыдущей задаче. Опре-
делим эквивалентное сопротивление
Xi реактивных элементов:
Рис. 16.11
Затухание передачи максимально при | । = оо, что имеет место,
когда знаменатель выражения х{ будет равен нулю. Как видно из по-
529
лученного для х, выражения, это будет при со = 0 (т. е. / = 0) и при
частоте
Отметим, что /2 есть частота резонанса токов в продольном плече
и частота резонанса напряжений в поперечном плече. Величину мак-
симального затухания (учтя, что при этом = оо) находим по форму-
ле (16.4):
4200 \ о по
600 ) 2’08 неп
к max
М2
16.6. Рассчитать корректор, предназначенный ддя устранения
амплитудных искажений в диапазоне частот 300—10 000 гц, создавае-
мых 200-километровой медной воздушной линией с диаметром прово-
дов 4 мм и расстоянием между ними 20 см. Затухание линии на 1 км
-ее длины и на всю длину / приведено во второй , и третьей строках
табл. 16.2. Схема корректора должна обеспечивать согласование со
стороны его входа и выхода. Нагрузочное сопротивление /?0 = 600 ом.
При расчете принять, что рабочее затухание корректора на самой
высокой частоте корректирования (/в = 10 кгц) составляет 0,1 неп.
Расчет должен быть сделан так, чтобы точность воспроизведения кор-
ректором заданной величины рабочего затухания на всех частотах
была в пределах Дак = ±0,05 неп.
Таблица 16.2
f, гц 300 500 800 1200 2000 3000 5000 7000 10 000
а, мнеп/км 2,4 2,5 2,6 2,6 2,8 3,0 3,5 3,9 4,7 0,94
ал=а1, неп 0,48 0,50 0,52 0,52 0,56 0,60 0,70 0,78
Требуемое ак, неп 0,56 0,54 0,52 0,52 0,48 0,44 0,34 0,26 0,1
Рассчитан- ное ак, неп 0,569 0,566 0,560 0,546 0,511 0,456 0,34 0,248 0,158
Точность воспроизве- дения Дак, неп .... +0,009 +0,026 +0,040 +0,026 +0,031 +0,016 0 —0,012 +0,058
Примечание. Предполагается, что в корректируемом диа-
пазоне частот входное сопротивление^линии согласовано по модулю
с входным сопротивлением корректора с помощью согласущего
трансформатора.
Р е ш е н и е. По данным табл. 16.2 на рис. 16.12 построена кривая
затухания линии ал в функции частоты / (кривая 1). По условию,
сумма рабочих затуханий линии и корректора (аоб = ал + ак) на всех
частотах должна составлять аоб = 0,94 4- 0,1 = 1,04 неп. Отсюда
находим требуемое затухание корректора ак = аоб — ал на всех час-
530
тотах (четвертая строка табл. 16.2). По этим'значениям на рис. 16.12
построена кривая 2, выражающая требуемое затухание корректора.
Перепад рабочего затухания корректора
10 кгц составляет актах— aKmin — 0,56 —
большой перепад затухания. В этом слу-
чае можно воспользоваться схемой корре-
ктора рис. 16.2, а с одной параллельной
ёмкостью (%i = —1/о> С), так как она со-
держит меньшее по сравнению с другими
схемами число элементов и может обеспе-
чить требуемое по условию согласование
как со стороны линии, так и нагрузки.
Выбираем эту схему (рис. 16.13).
Рассматривая характер кривой рабо-
чего затухания выбранного типа коррек-
тора (см. рис. 16.4 кривая /) и сопоставляя
в диапазоне частот 0,3—
0,1 = 0,46 неп. Это не-
п
Рис. 16.13
531
ее с требуемой кривой 2 рис. 16.12, приходим к выводу, что при ча-
стоте f = 0 величину рабочего затухания корректора можно принять
равной 0,57 неп, т. е. ак0 '= 0,57 неп (на рис. 16.12 ход кривой
2 в интервале от f = 0 до f = 300 гц показан точечной штриховой
линией).
Вначале определим величину активного сопротивления Гр Из фор-
мулы (16.4) при частоте f = 0имеем = =—оо. Из (16.4)
получим
«ко = 1п^ +-^ \
откуда
=/?о(е%о—1). (1)
Перейдем к расчету емкости Ср Сопротивление Zp приведенное к
канонической форме, имеет вид
Гх-4-
у __ ____1 ________________ __ ____ <^0
1 ~ У|+ 1 ~ 1+/^! ~ 1+W) ’
где
а0 = G, = 2л С4Г1. (2)
Квадраты модуля выражения (16.4) при / = 0 и при некоторой
частоте f (с учетом введенных далее обозначений Fo и F/) примут вид:
Выражение (4) при f = Д примет вид
Так как рабочее затухание корректора задано, то, взяв его при
частоте Д из формулы (5), получим значение коэффициента
' НЯН" ‘6>
И наконец, из формулы (2) найдем искомую емкость
532
Подставляя в (1) и (3) числовые значения, получим:
гг = Яо(е«ко — 1) = 600(е0’57 — 1) = 600(1,768 — 1) = 460 ом;
Fo = е2ако = е2’0-57 = е1-14 = 3,127.
Для расчета Fi выбираем среднюю частоту диапазона корректи-
рования /ср = А = 5000 гц, для которой ак1 = 0,34 неп (см.
табл. 16.2). Из формул (5), (6) и (7) находим:
= е2ак1 = е2’0134 = 1-,974;
l 1 IЛ Ро Fi __________ 1 iX 3,127 1,974 __ л lf)-4 i/Д 1 ос _
77 И ------------MOO V ””974 - 1----------- 2 1U V 11185 ”
= 2,18-10-4;
Ci = = -тпягйг" = 0,0755.10-’ ф.
1 2лг! 6,28-460
Элементы обратного двухполюсника Z2 будут равны:
Г - R2° _ 60№ = 7R9 пм-
rj 460 782 0М’
L2 = = 6002-0,0755-10-’ = 0,0272 гн.
Теперь вычислим рабочее затухание корректора на всех частотах
по следующей формуле, полученной из формулы (4):
1 , Fo + b^p
ак = -к- In ------з----.
к 2 1 + ь2 р
Для удобства расчеты сведены в табл. 16.3.
Таблица 16.3
f, гц btf b\f* Р» + b‘f‘ I 4- b*f* Р, + ь, f> P. + *>i f’ In ——————— неп к
1 + ь2, f n 2 1 + M2
300 0,0654 0,004 3,131 1,004 3,12 1,138 0,569
500 0,109 0,012 3,139 1,012 3,04 1,132 0,566
800 0,174 0,030 3,157 1,030 ~ 3,065 1,12 0,560
1200 0,262 0,069 3,196 1,069 2,98 1,092 0,546
2000 0,436 0,190 3,317 1,19 2,78 1,022 0,511
3000 0,654 0,428 3,555 1,428 2,49 0,912 0,456
5000 1,09 1,188 4,315 2,188 1,975 0,680 0,34
7000 1,525 2,330 5,457 3,330 1,64 0,495 0,248
10000 2,18 4,750 7,877 5,750 1,37 0,315 0,158
По данным табл. 16.3 на рис. 16.13 построена вычисленная ак
(кривая 3). Рассчитанные значения затухания ак из табл. 16.3. пере-
533
несены в табл. 16.2 (строка 4), а в строке 5 той же таблицы указана
точность воспроизведения (Дак = а* — ак) требуемой кривой затуха-
ния ак. Отсюда видно, что ни в одной из точек диапазона корректиро-
вания кривая а'к не выходит за пределы требуемой точности Дак =
= ±0,05 неп.
В заключение отметим, что если бы требования по точности совпа-
дения полученной и требуемой кривой рабочего затухания не были
бы удовлетворены, следовало бы сделать новые расчеты, задавшись
другим значением ако или немного изменив величину средней частоты
/ср, или меняя и то и другое. Однако если бы все эти вариации не при-
вели к удовлетворительному результату, пришлось бы перейти к бо-
лее сложной схеме корректора.
16.7. Используя условия задачи 16.6, рассчитать амплитудный
корректор и сравнить точность воспроизредения заданной кривой
рабочего затухания, если частоту /ср оставить той же (5000 гц), а для
ако принять: 1) 0,56 неп\ 2) 0,58 неп. Какое наибольшее отклонение
по затуханию и при какой частоте дает каждый из этих корректоров?
16.8. Стальная воздушная линия связи (расстояние между прово-
дами а = 20 см, их диаметр 4 мм, при сухой погоде и температуре
t = 20° С) имеет коэффициент затухания на 1 км при частотах от
0,3 до 5 кгц, равный а (дан в табл. 16.4). Длина линии I = 40 км.
Линия нагружена на активное сопротивление /?0 = 600 ом.
Требуется выбрать схему амплитудного корректора, обеспечиваю-
щую согласование со стороны нагрузки, и рассчитать ее так, чтобы
точность воспроизведения корректором Дак заданной величины рабо-
чего затухания на всех частотах была не более ±0,12 неп. Принять,
534
что рабочее затухание корректора на самой верхней частоте корректи-
рования /в = 5 кгц составляет'0,05 неп*.
Решение. В третьей строке табл. 16.4 вычислено затухание
всей линии ал = al в пределах частот корректирования, а на рис. 16.14
построена кривая 1 затухания линии в функции частоты. В соответст-
вии с условием сумма рабочих затуханий аоб линии ал и корректора ак
на верхней частоте корректирования аоб = ал + ак = 2,124 + 0,05 ==
= 2,174 неп;
Исходя из этого, вычислим требуемое рабочее затухание корректо-
ра ак = аоб — ал на частотах, указанных в табл. 16.4. Результаты
расчетов приведены в четвертой строке табл. 16.4. а на рис. 16.14 по-
строена кривая ак (кривая 2).
Таблица 16.4
1, кгц 0,3 0,5 0,8 1,2 2 3 5
а, мнеп/км 8,8 12 16,2 21,5 29,4 38,4 53,1
ал = а/, неп ..... 0,352 0,480 0,648 0,860 1,176 1,536 2,124
Требуемое ак, неп , . 1,822 1,694 1,526 1,314 0,998 0,638 0,05
Рассчитанное ак, неп . 1,856 1,792 1,645 1,425 1,031 0,559 0,002
Точность воспроизведе- ния Дак +0,034 +0,098 +0,119 +0,111 +0,033 —0,079 —0,048
Перепад рабочего затухания корректора в передаваемой полосе
частот составляет актах — aKmin = 1,822 — 0,05 = 1,772 неп.
Это значительный перепад рабочего затухания, и из рассмотрения
кривых рис. 16.4 следует, что целесообразно выбрать схему корректо-
ра, которому соответствует кривая 4 рис. 16.4, т. е. схему с двумя
последовательно соединенными реактивными элементами (;q =
= си Li----— . Учитывая и условия согласования на выходе линии,
a>Ci j
приходим к выводу, что следует
выбрать схему корректора рис.
16.2,в. Соответствующая подробная
схема дана на рис. 16.15) Найдем
продольное сопротивление Zi двух-
полюсника, которое приведем к
канонической форме:
Zj г1 1 — (d2L1C1
отсюда j
I _ а0 + (Я)8 ‘--------------------------«>2
1 1 + Ьг (if) + b2(jfy ‘ 1 ’ Рис. 16.15
* См. примечание к задаче 16.6.
535
Здесь
aQ = n,
а2 = 4tt2riLiCi,
bi = 2лС1Г1,
&2 =4n?LiCi.
(2)
Из уравнения (1) исключим а2, учитывая, что согласно формуле
(2) а2 = а0Ь2, тогда уравнение (1) примет вид
«о (if)2
1 1 + (//) 4- (if)2 ‘
Подставляя это*в формулу (16.3) и приводя к одному знаменателю,
получим
1 + (/7) + 1 + -у-) ь2 (if)2
1 + М7) + b (if)*
(4)
Взяв модуль от правой и левой частей последнего уравнения, воз-
ведя их затем в квадрат и разделив числитель и знаменатель правой
части на 64/2, найдем
Далее задача состоит в определении неизвестных Lif С4. Так как
рабочее затухание при f = 0 задано и равно ак0, из формулы (5) опре-
делим неизвестное сопротивление
G = *о (е<!к0 — О-
(6)
Для определения Li и поступим так. Ради краткости введем
обозначения:
. г >
(7)
(8)
(9)
Тогда формула (5) примет вид
1 + РаУ2
1 + У2
(Ю)
Отсюда
(Н)
536
В этом выражении знак перед корнем должен быть взят в соот-
ветствии с ходом частотной характеристики последовательного
LjCi-контура, а именно знак минус в полосе частот от 0 до резонанс-
ной частоты /о и знак плюс в полосе от /0 до 00 •
По заданным величинам рабочего затухания корректора ак0 и ак
находим у.
В выражение (7) входят коэффициенты Z?i и Ь2. Для их определения
х можно поступить так. Из формулы (7)
b.-fb^-L. (12)
В передаваемой полосе частот следует взять частоты Л и /2 и опре-
делить при этом из формул (10) и (11) соответствующие Fi и F2, а
также ух и у2. Тогда получим систему из двух уравнений с двумя не-
известными Ьх и Ь2.
Однако можно ограничиться определением не двух, а лишь одного
коэффициента если задаться резонансной частотой последова-
тельного LiCi-контура, которая связана с коэффициентом Ь2 соотно-
шением (2)
&2=1//0. (13)
Итак, окончательно, если знать: 1) рабочее затухание аи0 при
/ = 0; 2) ак1 при Д и 3) резонансную частоту Д> то методика расчета
корректора следующая. По формуле (6) вычисляется гь затем из фор-
мул (8), (9), (11), (13) определяются Fo, Fb ylt b2. Затем из (12) нахо-
дим Ьх и наконец из (2) — Li и С4. Параметры обратного двухполюс-
ника вычисляются по формуле (16.2).
Расчет величины рабочего затухания в заданном диапазоне частот
определяют из формулы (5):
(14)
bxf
В соответствии с изложенной методикой проведем расчет коррек-
тора. Рассматривая кривую рабочего затухания (кривая 2 на
рис. 16.14), приходим к выводу, что при / = 0 следует принять ак0=
= 1,9 неп, а резонансную частоту взять равной 5,5 кгц.
Находим Гх по формуле (6):
Гх = /?0(еа™ — 1) = 600 (е *’9 — 1) = 600(6,686 — 1) = 3410 ом.
Примем Л = 2500 гц, при этом по кривой 2 рис. 16.14 находим ак1=
= 0,8 неп. По формулам (8), (9), (11) и (13) вычисляем:
Ро = е2а^= е2'1’9 = 4.4,70;
= e2aKi = е2'0,8 = 4,953;
537
УI =
О 4 1
—’-3~1— = — 0,316;
44,70—4,953
= 1,005- IO"3.
b2 = — = —— =0,033- 10"e.
/2 55002
/о
Далее из (12) с учетом формулы (13) при / = Д находим Ь^.
У1 (f2 f2 ) ~ 0,316 I 25002 55002
Расчет а'к по формуле (14) сведен в табл. 16.5. Рассчитанные зна-
чения затухания корректора ак занесены в табл. 16.4. Там же приве-
дены результаты сравнения с требуемыми ак, которые показывают,
что во всем диапазоне корректирования точность воспроизведения не
ниже заданного значения Аяк = ±0,12 неп. Если бы на некоторых
частотах не была бы достигнута требуемая точность корректирования,
то пришлось бы сделать новый вариант расчета, изменив принятые
пк0, либо /о,, либо и то и другое.
Индуктивность и емкость продольного плеча находим из (2):
= *’ а 1 = 0,0468-10-‘ ф;
6,28-3410
----°’033-10-6---= 17,8-10“3 гн.
4.3,142.0,0468-10-е
Cx = -±-
2кГ1
L, = =
4k2C1
*
Параметры двухполюсника Z2 находим по формуле (16.2):
6°°2 1ЛЛ
r2 =-----=------- = 106 ом\
rx 3410
L2 = C^o = 0,0468- 10-e-6002 = 16,8-10"» гн\
C2=lk == -17,8> —=0,0495- 10-«ф.
p2 6002
16.9. По данным задачи 1§.8 рассчитать корректор в трех случаях,
приняв: 1) ак0 = 1,9 неп, /0 = 5300 гц\ 2) ак0 = 1,85 неп, f0 =
= 5300 гц, 3) ак0 = 1,9 неп, /0 = 5600 гц.
16.10. Доказать, что схемы рис. 16.7, а и в эквивалентны.
Корректоры фазочастотных искажений
16.11. Для фазового корректора (см. рис. 16.7, а) по известным
индуктивности Li и характеристическому сопротивлению Ro опреде-
лить емкость С2. Получить формулы фазовой постоянной Ь* и времени
замедления /к корректора. Используя их, построить кривые зависи-
мостей Ьк и в функции частоты для двух значений индуктивности:
1) Li = Li = 36 мгн-, 2) Li = L\ = 72 мгн. Для обоих вариантов
538
Таблица 16.5
t, гц Р 1 - ьар i - b2f* bj /1 - b,?\‘ \ bif ) /1 _ b2f*Y к bif ) Числитель формулы (14) Знаменатель формулы (14) Отношение числителя к знаменателю формулы (14) аК, неп
300 9-104 0,997 0,302- 3,29 10,8 484 485 11,8 41 1,856
500 25U04 0,992 0,50 1,98 3,97 177 178 4,97 36 1,792
800 64-104 0,979 0,80 1,21 1,46 65,2 66,2 2,47 26,8 1,645
СП 1200 144 -104 0,952 1,21 0,79 0,623 27,8 28,2 1,63 17,3 1,425
СО О 2000 4-Ю6 0,868 2,01 0,432 0,186 8,32 9,32 1,186 7,86 1,031
2590 6,25-10® 0,793 2,51 0,317 0,1 4,47 5,47 1,1 4,-98 0,803
3000 9-10® 0,702 3,02 0,233 0,054 2,42 3,42 1,054 3,26 0,559
4000 1610е 0,47 4,02 0,175 0,031 1,37 2,37 1,031 2,3 0,416
5000 25-10® 0,175 5,08 0,0345 * 0,002 0,05 f 1,05 1,001 1,005 0,02
5500 30,25-10* 1 5,53 0 0 0 1 1 1 0
принять /?0 = 600 ом. Вычислить параметры эквивалентной схемы
рис. 16.7, в.
Решение. Емкость С2 определим из формулы (16.7):
Отсюда
. С2 = LJRl.
По формулам (16.9) и (16.10) найдем &к и /к, учитывая, что
Xi = со £4:
= 2arctg-^- = 2arctg-^^-f =2arctga1f; (1)
Rq ^0
__ dbK 1 dbK __ ____Qi____
K d<* 2n df к(Г-+а^2)
где
2kL
Проведем числовые расчеты:
1 \ г г * ' 27rLi 6,28-36-10”3 1ОО - 1А.
I) при' Li = Li затухание = --------=---------------= 188,5-10 е;
/?о 600
2) при Lx— L\ затухание а\ = -------— = 377- 10"6. <
Результаты расчетов занесены в табл. 16.6.
Таблица 16.6
t. гц 0 1000 2000 4000 6000 8000 10 000
При L, = L'} ьк> рад tu, мксек I> 0 60 0,37 58 0,72 52,5 1,29 37,2 1,79 26,3 1,97 18,4 2,27 9,8
При Z-i= L\ bK, рад tv, мксек К • / 0 120 0,72 105 1,29 76,7 1,96 36,9 2,3 19,7 2,5 11,8 2,62 7,9
По данным табл. 16.6 на рис. 16.16 построены требуемые кривые.
Определим параметры эквивалентной схемы рис. 16.7, в. Для вариан-
та 1 они равны:
2L'
L\/2 = 18 мгн = М\ 2Сг = ——=0,2 мкф.
540
Для варианта 2
— , 2£,”
Li/2 = 36 мгн — М, 2Сз= —— = 0,4 мкф.
16.12. Показать, что схема рис. 16,7, б эквивалентна схемам
рис. 16.7, г, д и е при указанных на этих рисунках соотношениях
между аи₽, где
16.13. Известны Li, Ci и фазового корректора (см. рис. 16.7, б).
Определить L2 и С2. Получить формулы для 6К и /к корректора и опре-
делить вид этих кривых в функции частоты. Проделать числовые рас-
четы и построить кривые зависимостей Ьк и tK в функции частоты f
для трех случаев: 1) 7?0 = 600 ом, Li = 36 мгн, Ci = 0,025 мкф',
2) Rq = 600 ом, Li = 36 мгн, С4 = 0,05 мкф-, 3) RQ = 600 ом, Li =
*= 36 мгн, Ci » 1,6 мкф. Для каждого из случаев выяснить, какой
541
эквивалентной Т-образно-мостовой схемой (см. рис. 16.7, г, дг е)
может быть заменена заданная схема и каковы ее параметры.
Решение. Продольные и диагональное Z2 сопротивления
корректора соответственно равны (см. гл. 13):
=
С} (D? ------------(О2
Z2 = - о?),
/(О V
(1)
(2)
где <»! и а>2 — резонансные частоты соответственно параллельного и
последовательного контуров, равные:
сог — 1/y 7/jCj ; g>2— L2C2 . (3)
Схема рис. 16.7, б будет фазовым контуром лишь при совпадении
частот <х>! и <о2, т. е. при
(О j С02 COq.
В этом случае из (16.7) имеем
Z& = . —-—.
ю2 -ш2
Отсюда находим искомую индуктивность
г Г>2
---- (О
.(О)* - <0а) = -Ь- = $ •
/о Сх
а из (3) и (4) неизвестную емкость
_ ИИ
2 “ Т"
Ь2
2
2
(4)
(5)
(6)
1*0
Получим требуемые формулы для Ък и /н. Из формулы (1) находим
О) 1 О)
Ci (i>2 — со2 Ci
---- Ц)2
1
Подставляя найденное Xi в (16.9), получим
1 — 4л2Л1С1/2
—_±1
1 — O)2j
(7)
bK = 2arctg —— = 2arctg
#0
Здесь введены обозначения:
= 2arctg
aif
(8)
а.
f2 ’
'О
где
(9)
2nV
542
По (16.10) определяем время замедления корректора:
t = db* = 1 db« = 1 Qi(l + M2)
к '2n df rt a2^2 + 0_kJ2)2
(10)
Беря производную dtjdf и приравняв ее нулю, найдем часто-
ту /max, ПРИ которой время замедления /к будет наибольшим (/к=/тах).
В результате преобразований найдем
Необходимо отметить, что это точка перегиба кривой Ьл и
максимума кривой /к как функция частоты /. Подставляя это
ние /тах в формулу (10), получим выражение для /ктах;
(И)
точка
значе-
(12)
Формулам (11) и (12) можно придать более удобный вид, если ввес-
ти новые параметры т и т]: >
/и = / L2/L1, т] = ///0. (13)
Тогда с учетом (9), и (13) формулы (11), (12) и (10) примут вид:
>
--------Д» (14)
1 1
2^° р2 — 1 — 2т + -
= 1 . ' 1 +
К кт/6 [ in \2
— + (1 -т]2)2
\ т /
(15)
(16)
Анализируя выражение (14), приходим к выводу, что при т
1//3" кривая времени замедления имеет максимум при частоте
/= 0. Это означает, что кривые &к и /к будут изменяться по кривым 1
рис. 16.17. При т> 1/рГ = 0,578 кривые Ьл и обозначены
цифрой 2. Наконец, при иг > 1/-/Т на рис. 16.17 эти кривые обозна-
чены цифрой 3.
Проведем числовые расчеты.
1. Из формулы (3) находим угловую частоту
=— *..... =—---------1 ...... = 3,33-104 сект*
V L1C1 ]/36-10-3.0,025-10-в
543
и частоту
£ £ Ш1 3,33.104 - Q
fi = fo = —- =------------ = 5,3 кгц,
11 10 2г. 6,28 .
а из (5) и (6) — индуктивность L2 и емкость С2 диагонального плеча:
L2 = С\/?о = 0,025 • 1 О’® • 36 • 104 = 9 мгн;
„ Lt 36-IO’8
С2 = —— =-------------= 0,1 мкф.
2 d2 36-104
^0
По формуле (13) вычисляем параметр т:
т = У Ц/Ц = ]/ 9/36 = 0,5.
Так как т <; 1/]ЛЗ = 0,578, то /тах = 0.
Расчет кривых 6К и /к проводим по формулам (8) и (10). Результа-
ты расчетов сведены в табл. 16.7, по которым на рис. 16.17 построены
соответствующие кривые 1.
Таблица 16.7
f, кгц 0 2 4 5,3 8 10 12
ьк, рад 0 1,44 2,59 3,14 4,11 4,35 4,62
tKf мксек 120 106 73,5 60 34,8 26,2 19,7
Теперь выясним, какой эквивалентной схеме соответствует задан-
ная. Для этого
вычисляем а и
по формулам, приведенным в условии задачи 16.12,
Р:
0 1•10-в
=6,67-104;
36-Ю-3
с2 = 1
L, 0.025-10-в
1
а = —
— =-----------------— =1,1Ь109.
L& 36-10~3-0,025•10”в
/
Отсюда видно, что $ < а2, а это соответствует эквивалентной схе-
ме рис. 16.7, е. Ее параметры:
L = L* + 11 = 22,5 мгн; М = А—_ 13,5 мгн,
2 2
Q/2 = 0,0125 мкф; 2С2 = 0,2 мкф,
2. По формулам (3), (5), (6) и (13) определяем:
Ю1 = —----------- -......-1- --------= 2,36-104 сек-1;
V 36-Ю-з-0,05-10-е
f = f = = 2«36 104 = 3 76
10 2л 6,28
544
L2 = = 0,05-10-’- 36-104 = 18 мгн-,
36-io'-® n , .
---------= 0,1 мкф\
36104
т = У L2!LX = У18/36 = 0,707.
Так как т > 1/]ЛЗ, то по формулам (14) и (15) вычисляем/тах и
к max*
1
max — /о У*
tn2
-1
= 2,42 кгц\
1 4
к max
2m
6,28-3,76-103
1,414
= 144 мксек.
По (9) находим и Ь2:
2^1^
2^*36*10~3
600
= 3.77 • IO’6;
= 7,07-10-».
(3.76-103)2
v2- —
/0
По (8) и (10) рассчитываем Ьк и /к, результаты расчета заносим
в табл. 16.8.
Таблица 16.8
/, кгц 0 1 2,42 3,76 6 8 10 12
Ьк, рад 0 0,77 2,0 3,14 4,35 4,87 5,19 5,38
tKi мксек 120 117 144 120 57,6 30,8 18,9 12,7
Кривые &н и /и построены на рис. 16.17 (кривые 2). Как и в ва-
рианте 1, выясняем, что схемой, эквивалентной заданной, является
схема рис. 16.7, е. В результате расчетов получаем а = 3,33-104,
Р = 5,55-10», т. е. 6 < а2. Параметры эквивалентной схемы: L =
= 27 мгн, М = —9 мгн, CJ2 — 0,025 мкф, 2С2 = 0,2 мкф.
3. Определяем f0, L2, С2 и т:
©! = 1— = - -------- 0,416-104 сек"1;
Уц/с, /зб-ю-3 -1,6 • кг»
545
2тг
= 0,662 кгц, L2 = Cfil = 1,6- IO’»-36-104 = 0,576 гн;
_ м
2 2
36' ~~ = 0,1 мкф, т = VLtJLx = V576/36 = 4.
Так как tn > l/j/3 , то по (14) и (15) вычисляем /тах и /ктах:
max
//
tn2
к max
= 0,662 у 1Л
т
Tlf 0
— — 1 =0,662 кгц;
V 4 т2 — 1 — 2т 4- -
2т
= 192 мксек.
Вычисляем значения и Ь2:
а. = ^1_ = 377. ю-в; ьг = — = •
/?о fl (0,662-103)2
Результаты расчетов Ьк и tK заносим в табл. 16.9.
Таблица 16.S
—------- • 10-3 =
л-0,662
= 2,28-10-».
1
f, кгц 0 0,662 2 4 6 8 10 ' 12
Ьк, рад 0 3,14 6,1 6,2 6,23 6,24 6,25 6,26
tK, мксек 120 192 18,3 3,6 2,5 1,5 0,6 0,4
На рис. 16.17 по данным табл. 16.9 построены кривые bK u (кри-
вые 3).
В этом случае схемой, эквивалентной заданной, является схема
рис. 16.7, г, так как расчеты, аналогичные двум предыдущим вариан-
там, дают: а = 1,04-103, 0 = 1,74- 10s, т. е. (3> а2. Параметры этой
схемы:
(L2 — LJ/2 = 0,27 гн >0, = 36 мгн, CJ2 = 0,8 мкф,
2С2 = 0,2 мкф.
16.14. Параметры фазового корректора (см. рис. 16.7, б) имеют
следующие значения: = L2 = 36 мгн,' Ci = С2 = 0,1 мкф. Рас-
считать и построить кривые зависимости Ьк и в функции частоты.
Определить Т-образно-мостовую схему замещения, эквивалентную
заданной, и определить ее параметры.
546
Глава семнадцатая
ОСНОВЫ СИНТЕЗА ДВУХПОЛЮСНИКОВ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Задача синтеза —- нахождение схем электрических цепей и
величин, входящих в них элементов по известным частотным или вре-
менным свойствам цепей.
В данной главе рассматриваются вопросы построения электриче-
ской цепи двухполюсника по заданному уравнению F (р), выражаю-
щему его частотные свойства.
Функция F (р) комплексного переменного (комплексной частоты)
р = а + /о) может быть комплексным сопротивлением Z (р) и комп-
лексной проводимостью Y (р) (или комплексным коэффициентом пе-
редачи Т (р) при синтезе четырехполюсника) некоторой пассивной
электрической цепи с сосредоточенными параметрами.
Термином, обобщающим входные сопротивление Z (р) и проводи-
мость Y (р), является «входная функция». Обобщающим термином
для входных функций и коэффициента передачи является термин
«функция цепи». Входная функция F (р) может быть реализована в
виде электрической цепи с сосредоточенными параметрами при усло-
вии, что она является дробно-рациональной функцией
р (п\ = А = апРп+an-iPn'i + H-giP + ^o _
В (р) bmP™ + . + b1P + b0
__ (P Pol) (P ~~ P02) - • • (P Pon) (17 11
(P — Pi) (p — P2) .. • (P — Pk) • • • (P — Pm) ’
у которой коэффициенты ak и bk — положительные и действительные
числа, Н = an/bm — числовой коэффициент, все полюсы pk —ok+j^k
лежат в левой части комплексной полуплоскости (т. е. 0), в том
числе могут быть простые (не кратные) полюсы, лежащие на мнимой
оси (т. е. pk = /соЛ). Все нули р0А = aok + /со0Л входных функций ле-
жат в левой полуплоскости, в том числе могут быть простые нули,
лежащие на мнимой оси. [Для функции передачи Т (р) нули могут
лежать и в правой полуплоскости (см. гл. 18).]
2. Положительная вещественная функция (п. в. ф.) есть такая
функция F (р), которая удовлетворяет двум условиям: 1) ее вещест-
венная часть положительна при положительных значениях вещест-
венной части р (условие положительности); 2) она вещественна при
вещественных (не комплексных) значениях р (условие веществен-
ности).
3. Свойства входных функций пассивных электрических цепей.
Входная функция F (р) пассивной электрической цепи, т. е. вход-
ное сопротивление Z (р) или входная проводимость Y (р), есть п. в. ф.
547
Необходимое и достаточное условие возможности реализации
рациональной п.в.ф. функции F (р) [см. формулу (17.1)] в виде вход-
ной функции некоторой пассивной цепи заключается в одновремен-
ном выполнении следующих пяти требований:
а) все коэффициенты ak и bk полиномов А (р) и В (р) должны
быть положительными;
б) наибольшие степени р в А (р) и В (р) не могут отличаться бо-
лее чем на, единицу; то же и в отношении минимальных степеней р;
в) в правой полуплоскости F (р) нет полюсов, т. е. все полюсы
лежат в левой полуплоскости, в том числе могут быть полюсы на
мнимой оси; если на мнимой оси имеются полюсы, то они могут быть
только простыми (не кратными) с действительными положительными
вычетами.
Замечание. Напомним, что вычет функции F (р) А (р)/В(р)
в простом полюсе pt вычисляется по формуле
[Resf (р)]^. = [(р-рг)Г(р)]р=р = [^] . (17.2)
1 I \_D {р) Лр=р
где В'(р) — производная от В (р) по р;
г) нули функции F (р) лежат в левой полуплоскости, а если име-
ются нули, расположенные на мнимой оси, то они могут быть только
простыми (не кратными);
д) вещественная часть функции F (р) при чисто мнимых значениях
р (т. е. на мнимой оси, где p=j&) неотрицательна, т. е. Re [F (/со)]>-0.
Пример дан в задаче 17.1.
4. Проверка положительности и вещественности функций в общем
виде. Условие п. в. ф. сформулировано в п. 2, а их проверка — в п. 3.
Проверка условий, указанных в пп. а) и б), затруднений не вызывает
и является очевидной; в пп. в) и г) осуществляется проверка того, что
корни полиномов А (р) = 0 и В (р) = 0 находятся в левой полуплос-
кости или лежат на мнимои оси, но в последнем случае они являются
простыми. Иными словами, надо убедиться в том, что 'полиномы А (р)
и В (р) являются полиномами Гурвица*. Проверка того, что каждый
из полиномов А (р) и В (р) является полиномом Гурвица, может быть
осуществлена различными способами. Укажем один из них.
Если четную часть полинома Д(р) обозначить через ^i(p), а не-
четную—через П1(р), то если отношение /^i(p)Mi(p) представляет собой
функцию реактивного сопротивления (см. п. 5 основных положений
и соотношений), то А (р) есть полином Гурвица (или полином Гурви-
ца, умноженный на четный полином).
Выяснить, является ли mi(p) lrti(p) функцией реактивного сопро-
тивления, можно двояко (см. п. 5 основных положений и соотноше-
ний):
* Полином А (р) = апрп ••• akPk ••• Ф ^iP 4* й0 назы-
вается полиномом Гурвица, если все его коэффициенты ak вещественны и поло-
жительны, ни один из них не равен нулю (за исключением случаев, когда нулю
равны все коэффициенты при четных или нечетных степенях р), а все его нули
лежат в левой полуплоскости или на мнимой оси (нули на оси /со должны быть
простые).
548
1) разложением указанного отношения на элементарные дроби;
2) представлением его в виде цепной дроби.
При разложении (17.1) на элементарные дроби приходится опреде-
лять вычеты функции F (р), которые должны быть положительны. Если
в одном из нулей п^р) вычет окажется равным нулю, то это будет
указывать на то, что этот нуль является одновременно и нулем функ-
ции А (р). Этот нуль легко выделить из А (р), что приведет к упроще-
нию А (р) (см. пример в задаче 17.16 п. г).
Проверка функции А (р) проводится аналогично проверке функ-
ции В (р).
Наконец, остается проверить вещественность заданной входной
функции IZ (р) или Y (р)1, т. е. что ее вещественная часть на мнимой
оси (при р = /со) неотрицательна (п. 3, д основных положений и соот-
ношений).
Если задана
z (Р) = , (17.3)
^2 (Р) + (р)
где m/р) и ni(p) — соответственно четная и нечетная части числителя,
/и2(р) и п2(р) — знаменателя, то ее вещественная часть при р = /со
будет
[ReZ (p)]p=/(D = Re Z (/о» = U («>*) = (17.4)
и является четной функцией со. Очевидно, последнее выражение при
всех частотах должно быть больше или равно нулю. Знаменатель по-
следнего выражения всегда положителен, поэтому значение отноше-
ния (17.4) будет положительно, если его числитель положителен.
Если ввести обозначение х = со2, то должно быть
N (%) = т^т2 — 0- < (17-5)
Проверка последнего условия может быть осуществлена на основа-
нии теории, разработанной Штурмом. Суть ее такова. В рассмотре-
ние вводится ряд вспомогательных функций, называемых функциями
Штурма*. Дадим определение этих функций. Первой функцией Штур-
ма является рассматриваемая функция (%), которую обозначают
через 2V0 (х). Ее производная 2V0 (х), обозначаемая через Л\(х), назы-
вается второй функцией Штурма. Третьей функцией Штурма М2(х)
является остаток от деления первой функции Штурма Af0(x) на вторую
Ni(x), взятый с обратным знаком, т. е. N2(x) равно первому остатку,
взятому с обратным знаком, при этом процесс деления заканчивается,
* Формулировка теоремы Штурма: если вещественные числа и х2
(*i < *2) не являются корнями полинома N0(x), не имеющего кратных корней,
то число изменений по знаку функций Штурма W (xr) > W (х2) и разность
IF (xj— W (х2) равна числу вещественных корней функции N0(x), заключен-
ных между Xi и х2.
649
♦
когда высшая степень х остатка будет на единицу меньше высшей
степени х функции N^x). Четвертой функцией Штурма N3(x) называ-
ется остаток от деления третьей функции Штурма N2(x) на вторую
функцию Штурма N^x) с обратным знаком; процесс деления также
заканчивается, когда высшая степень х остатка будет на единицу
меньше высшей степени х делителя N2(x). Итак, N3(x) равно второму
остатку, взятому с обратным знаком. Аналогично определяют пятую
Л/4(х), шестую N3(x) и т. д. функции Штурма. Процесс деления закан-
чивается, когда последним остатком будет вещественная величина.
Найдя функции Штурма, определяют их знаки (обозначенные.
«+» и «—») для значений х1 и х2 на границе всего диапазона измене-
ния частот, т. е. при Wj = О (чему соответствует xt — 0) и а>2 = °°
(т. е. х2 = оо). ‘
Для значения х4 = 0 определяют число изменений знаков F (xt)
всех функций Штурма, которые получаются из сопоставления знаков
для каждых двух рядом стоящих функций: если они одинаковы, то
изменение знака равно нулю, а если они разные, то изменение знака
равно единице. Если значения каких-либо функций Штурма равны
нулю, то они из рассмотрения отбрасываются. Аналогично определя-
ется число изменений знаков W (х2) всех функций Штурма при х2.
Например, для функций Штурма, представленных в табл. 17.1, число
изменений знаков при xt W (xj = 3: одно изменение при переходе от
Л70(лг1), другое — от N2 (Xi) к N3(xt) и третье — от W3(xi) к W4(xO,
а при х = оо W (х2) =, W (оо) одно изменение [при переходе от
N0(x2) к ЛШ2)1.
Таблица 17.1
N\x) х Nq(x) Wi(x) Л/г(х) ^з(х) yv4(x) Число изменений по знаку U?(x)
X = Xj — 3
X == х2 0 —— 1
Затем определяют разность числа .изменений по знаку W (xt) —
-W(x2).
В рассмотренном примере эта разность равна двум:
W М - W (х2) = 3—1=2.
Если указанная разность числа изменений знаков равна нулю,
т. е. W (xi) — W (х2) = 0, то функция N (х) во всем интервале измене-
ния х не меняет своего знака, и если N (х) при х = 0 положительна,
то она удовлетворяет требованию (17.5), т. е. является положительной
вещественной функцией.
Примеры даны в задачах 17.16 и 17.17/
5. Синтез реактивных двухполюсников (т. е. двухполюсников,
состоящих только из индуктивностей и емкостей). Функции сопротив-
550
ления ZLC (р) и проводимости YLC (р) таких двухполюсников называ-
ются реактивными функциями. Нули и полюсы реактивной функции
простые и лежат на мнимой оси /со, взаимно чередуясь. Значения
реактивной функции F (/со) на мнимой оси /со являются чисто мнимы-
ми и возрастают в точках непрерывности с ростом частоты —0.
d(/w)
Признаком реактивной рациональной -функции является то, что
либо полином числителя четный (а0 + а2р2 + +...), а полином
Знаменателя нечетный (feip + &зР3 + Ььр5 + ... ), либо наоборот.
Рис. 17.1
Функция реактивного сопротивления может быть разложена на
простые дроби в следующем виде:
п
2£C(p) = /So,p+^- + S-^r, ' (17.6)
z=l Р +
где kw — вычет функции ZLC (р) в полюсе р = оо (или для инверсной
величины в полюсе р = 0); k0 — вычет в полюсе р = 0, kt — вычет в
полюсе Pi == jc^i.
Схема реализации функции ZLC (р) имеет вид первой формы Фос-
тера (рис. 17.1, а) — последовательное соединение параллельных
£С-контуров. Ее элементы находятся по формулам:
(17.7а)
Это следует из того, что в операторной форме индуктивное сопро-
тивление записывается в виде pL = kwpr емкостное 1/рС == kQ/p,
сопротивление параллельного контура, состоящего из Lt и Сь равно
1
pct
1
Ci р
pCt
Р2 + <4
(17.76)
551
Функция реактивной проводимости может быть разложена на прос-
тые дроби в следующем виде:
У£с(Р) = О +
(17.8)
где k'w и k'Q— вычеты функции У LC(p) в полюсах р = оо и р=0;
k'£ — вычет в полюсе р~ ]<$’. .
Схема реализации имеет вид второй формы Фостера (рис. 17.1, б),
т. е. параллельное соединение последовательных LC-ветвей. Ее эле-
менты находятся по формулам:
(17.9а)
Это вытекает и того, что в операторной форме индуктивная про-
водимость имеет вид l/pLt = k'Q/p, емкостная проводимость pCt ==
= k'^p, а проводимость последовательно соединенных элементов
и Ci равна
1
тг
;(Р) =
г2
(17.96)
pCt
Пример дан в задаче 17.5.
Две другие формы реализации могут быть получены разложением
заданной функции сопротивления (или проводимости) в цепную дробь,
начиная деление с высших (или низших) степеней р. Разложение, на-
пример, Z (р) в цепную дробь имеет вид
(17.10)
Уп(Р)
Этому выражению соответствует цепная (лестничная) схема.
Для реактивных цепей схемы реализации имеют вид схем, соот-
ветствующих первой (рис. 17.1, в) и второй (рис. 17.1, а) формам
Кауэра.
Пример дан в задаче 17.5.
552
6. Синтез двухполюсников, состоящих из активных сопротивле-
ний и емкостей.
Особенности функции ZrC (р):
а) высшая степень полинома числителя меньше или равна высшей
степени полинома знаменателя;
б) все полюсы и нули расположены на отрицательной веществен-
ной полуоси и взаимно чередуются, причем ближайшим к началу коор-
динат является полюс (он может, в частности, находиться и в начале
координат).
Особенности функции Yrc (р)’.
а) высшая степень полинома числителя больше или равна высшей
степени полинома знаменателя;
б) полюсы и нули расположены на отрицательной вещественной
полуоси, причем первым является нуль.
Функция сопротивления Zrc (р) может быть разложена на следую-
щие простые дроби:
п
Zrc(p) =km + ^- + V-^-,
р p+°i
/=1
(17.11)
где ^оо, kQ и kt — вычеты функции ZrC в бесконечно удаленной точке
(в полюсе р = оо), в начале координат (в полюсе
р = 0) и в полюсах —<jf.
Схема реализации функции Zrc (р) по формуле (17.11) имеет вид
первой формы Фостера (рис. 17.2, а) — последовательное соединение
параллельных г, С-контуров. Ее элементы вычисляются по формулам:
= Со = 1/Лг0; rf = £г/о-г; Ct = l/kt. (17.12а)
Рис. 17.2
Это вытекает из того, что в операторной форме активное сопротив-
ление выражается действительным числом rw = емкостное сопро-
553
тивление \1рС « kolp, а сопротивление параллельного контура, со-
стоящего из rt и Сг, равно 4
(17.126)
Р + °г
Аналогично функция проводимости Yrc (р) может быть разложена
на простые дроби:
уrc (р) = Р 4- + 2j , "g;-, (17.13)
«=1 ₽ ' а‘
где k’ , k' и k'. — вычеты функций — YrC (р) в полюсах р— оо, р = О
и Р = <з'г
Схема реализации функции Yrc (р) по формуле (17.13) имеет вид
второй формы Фостера, показанной на рис. 17.2, б, т. е. параллельное
соединение последовательных rC-ветвей. Ее элементы определяются
по формулам:
го = 1/^; Роэ = ; Ct = k'.le'.. (J7.14а)
Это следует из того, что в операторной форме активная проводи-
мость l/r0 = k'. есть действительное число, емкостная проводимость
записывается в виде pCw = pk'^, а проводимость ветви, состоящей из
последовательно соединенных элементов и Сг, равна
(17.146)
z По аналогии с LC-цепью можно получить две другие формы реа-
лизации разложением заданной функции сопротивления ZrC (р) [или
проводимости Yrc (р)1 в цепную дробь, начиная деление с высших
или низших степеней р. Схемы реализации имеют вид цепных (лест-
ничных) схем, соответствующих первой (рис. 17. 2, в) и второй
(рис. 17.2, г) формам Кауэра.
Пример дан в задаче 17.7.
7. Синтез двухполюсников, состоящих из активных сопротивле-
ний и индуктивностей.
Особенности функции ZrL (pY
а) высшая степень полинома числителя больше или равна высшей
степени полинома знаменателя;
б) полюсы и нули расположены на отрицательной вещественной
полуоси и чередуются, при этом первым к началу координат распо-
554
ложен нуль; в начале координат может располагаться только нуль,
в бесконечности может быть только полюс. -
Свойства функции YrL (р), очевидно, обратны свойствам функ-
ции ZrL (р)-
Функции ZrL (р) и YrL (р) могут быть разложены на простые
дроби:
п
ZrL (р) = k„p + k0 + V(17.15)
" р +
/=1
kQ Л. kt
У,ИР) = ^+ —+ Х—Ч-, (17.16)
Р /=! '’+0'
где kQ и kt — вычеты функции —ZrL (р);
Р
- k' , k'Q и k'. — вычеты функции Уг£ (р) в точках р = о©, р = 0 и
р = — (Ji либо р = — о г
Рис. 17.3
Схемы реализации по формулам (17.15) и (17.16) имеют вид соот-
ветственно первой и второй форм Фостера и показаны на рис. 17.3, а
и б. Их элементы вычисляются по формулам:
/?i, L»i k i!'<з it
(17.17)
Гсх, = LQ— lAk0;
rt = c’/kr Ц = Uk] .
у
Это следует из того, что сопротивление ветви, состоящей из па-
раллельно соединенных элементов и Lit равно
(17.18)
Z-(р) =
riP
k'iP
Р+<Ч
(17.19)
555
Проводимость ветви, состоящей из последовательно соединенных
элементов гг и Lif равна
(17.20)
Следует заметить, что функция сопротивления двухполюсника из
элементов г, L аналогична функции проводимости двухполюсника
из элементов г , С, а функция проводимости двухполюсника из эле-
ментов г, L аналогична функции
Рис. 17.4
1) Выделение из Z (р) чисто
сопротивления из элементов г, С.
Разлагая функцию сопротивле-
ния ZrL (р) [проводимости YrL (р)]
в цепную дробь, начиная деление
с высших или низших степеней р,
можно получить схемы Кауэра
(рис. 17.3, виг).
Пример дан в задаче 17.9.
8. Синтез двухполюсников, со-
стоящих из активных сопротивле-
ний, индуктивностей и емкостей.
Реализация двухполюсников обще-
го вида возможна одним из следу-
ющих методов:
1имых полюсов (если они имеются)
и реализация их в виде последовательного соединения элементов це-
пей без потерь, т. е.
Z(p) = koop + -^
Р
+ Л (р).
(17.21)
Первые два слагаемых и S реализуются в виде реактивных элемен-
тов, показанных на рис. 17.4, а. Далее, если функция Zi(p) имеет
нули на мнимой оси, то их выделяют из функции проводимости Y i(p)
в следующем виде:
и. (р) = —!— = k' р Zt(p) уч 2k} р 1 + — + 2j—+ 777- (17.22) Р Р2 Ч" %ъ(Р) i=\ г 1 1
Этот этап реализации показан на рис. 17.4, б.
Если Z2(p) имеет полюсы на мнимой оси, то они /Вновь выделяются
по аналогии с предыдущим [см. формулу (17.21)]. Наконец, в резуль-
тате будет получена функция Z2(p), не имеющая полюсов и нулей на
мнимой оси. Такая функция называется функцией минимального ре-
активного сопротивления. Если нули и полюсы этой фуйкции лежат
на отрицательной вещественной полуоси, то они реализуются в виде
элементов г, L и (или) г, С.
Пример дан в задаче 17.11.
556
2) Реализация разложением заданной функции в цепную дробь.
Примеры приведены в задачах 17.13 и 17.14.
9. Метод Бруне. Рассмотренные в пп. 5—8 способы реализации
цепи в виде разложения заданной функции Z (р) на элементарные
дроби или в цепную дробь не являются достаточно общими. Так,
они не могут быть применены, если рассматриваемая функция Z (р)
имеет комплексно сопряженные нули и полюсы. В таких случаях
применяют другие более общие методы. Одним из них является метод
Рис. 17.5
Бруне. Реализация заданной п.в.ф. Z (р) может быть осуществлена
в виде следующей последовательности операций:
1) Сначала в любом порядке выделяют все полюсы и нули задан-
ной функции Z (р) на мнимой оси. После этого будет получена функ-
ция Zt(p). Этот этап проводится аналогично тому, как это было рас-
смотрено в п. 8 основных положений и соотношений. Он соответствует
переходу от схемы рис. 17.5, а к схеме рис. 17.5, б [например, если
заданная функция Z (р) имеег полюсы в точках р = 0 и р = ±/соЛ
и после их выделения имеет нуль в начале координат].
2) Далее находят частоту со0, при которой вещественная часть
Zj (р) при р = /со [т. е. Re Zt (р) |р=/ш = Re Z± (/со)] минимальна.
Эта частота может равняться либо нулю, либо бесконечности, либо
иметь конечное значение со0. Для этой частоты подсчитывают мини-
мальную вещественную величину Re Z (/со0), которую обозначаем
г •
'шит
557
3) Вычитая сопротивление rm}n из Z4 (р), получают
22 (р) = 2х(р) — rmin.
Эта операция соответствует переходу от схемы рис. 17.5, б к схе-
ме рис. 17.5, в. .
4) Если минимальное активное сопротивление rmin имеет место
при частоте, равной нулю или бесконечности, то на этой стадии дела-
ется попытка реализовать Z2 (р) в виде лестничной схемы. Если же
rmin имеет место при некоторой конечной частоте соо, то поступают сле-
дующим образом.
5) Вычисляют Z2(p) при р = /со0, которое является чисто мнимой,
величиной, т. е.
^*2 (р) L— ~ = %2 = ®о^2»
откуда
Г ^2
ь2 — — .
%
В этом случае индуктивность L2 может быть либо положительна,
либо отрицательна.
6) Составляют разность Z2(p) — pL2 = Z3(p) и приводят ее к об-
щему знаменателю. Это соответствует переходу от схемы рис. 17.5, в
к схеме рис. 17.5, г.
7) Сопротивление Z3(p) имеет нули на мнимой оси, а ее проводи-
мость У3(р) =. 1/Z3(p) имеет на мнимой оси полюсы, им соответствует
ветвь из последовательно соединенных L3 и С3, проводимость которой
Zkzp/ip2 + cog) (рис. 17.5, д').
8) Наконец, находят оставшуюся для реализации часть проводи-
мости:
У4(р) = У3(р) — 2А3р/(Р2 + ®о).
9) Реализуют И4(р). Ее обратная величина Z4(p) имеет полюс в
бесконечности, выделяя который, получим окончательную схему
рис. 17.5, е. *
Из трех индуктивностей L2, L3, L4 одна отрицательна. Так как
осуществить ее физически невозможно, то прибегают к замене этих
трех индуктивностей идеальным трансформатором со взаимной ин-
дуктивностью Л4, коэффициентом трансформации k, равным единице.
Эта операция замены обратна «развязке» двух индуктивно связанных
цепей (см. п. 5 основных положений и соотношений гл. 5). Связь меж-
ду тремя индуктивностями схемы рис. 17.5, е и 17.5, ж определяется
по формулам: .
М = — L>2 + L3\ Lq = 4- M.
Примеры приведены .в задачах 17.19—17.21.
Существуют и другие способы реализации, рассматриваемые в
литературе по синтезу электрических цепей (см., например, [17],
121]).
558
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
%
А. Положительные вещественные функции
17.1. Проверить положительность и вещественность функции
F(p)
Р2 + р 4-1
р2 + р + 4
Решение. Заданная функция рациональна. Она будет поло-
жительной и вещественной, если выполняются все пять требований,
указанных в п. 3 основных положений и соотношений. Проверим это.
Условие а) выполняется, так как все коэффициенты ak и bk положи-
тельны. Пункт б) также выполняется, так как наибольшие и наимень-
шие степени р соответственно в числителе и знаменателе одинаковы.
Для проверки условия в) выясним расположение полюсов F (р).
Сначала найдем их, приравнивая знаменатель F (р) нулю:
р2 + р + 4 = О,
отсюда рх 2 = —0,5 ± /0,5 У15 , т. е. полюсы лежат в левой, полу-
плоскости, что соответствует выполнению условия.
Проверим выполнимость условия г). Для этого найдем корни чис-
лителя р2 + р + 1 = 0:
р1 = —0,5 ± / ]/ 0,75 , т. е. нули F (р) лежат в левой полуплос-
кости, что соответствует рыполнению условия.
Наконец, проверим выполнимость условия д). Для этого найдем
выражение F (р) на мнимой оси (т. е. при р = /со) и определим его
вещественную часть:
Отсюда видно, что вещественная часть этого выражения при лю-
бых со положительна, т. е. условие д) тоже выполняется. Итак, выпол-
няются все пять условий. Следовательно, заданная функция F (р)
является п. в. ф.
17.2. Проверить положительность и вещественность функций
F(p) =
4р2 4- Р 4- 1 .
Р2 4- Р + 1
17.3. Определить, почему функции
а) Л(Р)= о
р2 -f- 2р 4- 2
в) ^з(Р)=
Зр2 + Р + 1
р34-Р24-р4-1
не являются положительными вещественными функциями.
559
17.4. Показать на комплексной плоскости полюсно-нулевое изоб-
ражение функций:
a) F (р) = —4/7 ; б) F (р) ---------------!---------;
7 W р2 + 2р (р + 1)(р + 2)(р + 3)
в) F (р) =-------—-------- и г) F (р) ==--------1-------.
' (р4-1)(р2+р+1) р4+5р2 + 4
Указать, какие из них являются п. в. ф., а какие таковыми не явля-
ются.
Б. Синтез реактивных двухполюсников
I
17.5. Осуществить реализацию функции сопротивления
2 32
20р3 + 45р
разложением на простейшие дроби и разложением в цепную дробь.
Решение. Заданная функция представляет собой отношение
четного полинома к нечетному, поэтому она является реактивной
функцией (см. п. 5 основных положений и соотношений).
Решим задачу разложением на простейшие дроби [см. формулу
(17.6)1. Для этого найдем корни знаменателя:
20р3 + 45р = 5р (4р2 + 9) = О,
отсюда
Р1 = °> Р2,з = ±/т-
Так как высшая степень полинома числителя больше высшей сте-
пени полинома знаменателя, то делением числителя на знаменатель,
начиная с высших степеней р, выделим слагаемое kwp:
8р4 + 40р2 + 32 20р8 + 45р
.. у- ---! •
2
8р4 -Ь 18р2 ~Р
о
22р2 + 32
Таким образом,
8р4 + 40р2 + 32 2 . 22р2 + 32
Z = 20р3 + 45р = Т Р 20р3 + 45 •
В полученном выражении второе слагаемое, обозначаемое Zi(p),
разложим на простые дроби:
22р2 + 32 _ fe0 2k1P _ fe0 2k1P
Z1{P>~ 20p3 + 45p ” p + p2 + <i>| ~ p (2)
20
где о2 = 45/20 = 9/4.
560
Определим k0 — вычет функции Zt(p) в точке Pi = 0 (см. замеча-
ние к п. 3 основных положений и соотношений):
k0 = [Res Zx (p)]p=s0
32
з
Вычислим kt — вычет Zt (p) при p = p2 = /-s--корень знамена-
теля последнего слагаемого в выражении Z4(p);
/ з \2
kx = [Res Zj (р)] з =
22р2 + 32 V ~J 1 7
60р2 + 45 п> 2 = 3"+ = 36 •
Той же величине 7/36 равен вычет Z^p) при сопряженном значе-
3
нии корня р = Рз = —/ — •
Учитывая найденные значения k0 и kif из формул (1) и (2) оконча-
тельно получим разложение выражения заданного сопротивления в
виде суммы простых дробей:
32
2 45
z (р) = Р + — +
и р
Первое слагаемое представляет собой индуктивное сопротивление,
индуктивность которого равна 2/5, второе — емкостное сопротивле-
ние, емкость которого равна 45/32, а третье — параллельное соедине-
ние индуктивности 14/81 и емкости 18/7, вычисленные по формулам
(17.7, а):
7
2fex _ 2‘1ё 14 Г 1 1 18
L ~ «2 - э “ 81 ’ с “ afe? ~~Т ~ ~'
~ 2 36
На рис. 17.6, а приведена
схема, составленная на осно-
ве формулы (3), т. е. первой
формы Фостера. Все величи-
ны L и С даны в генри и фа-
радах (в ряде случаев расчеты
ведутся в нормализованных
величинах, тогда L и С —
величины безразмерные).
Осуществим разложение
на простейшие дроби функции
Рис. 17.6
проводимости:
Y (р) ==
1 20р3 + 45р
Z (р) = 8р4 + 40р2 + 32 *
561
Найдем корни знаменателя этого выражения:
8р4 + 40р4 + 32 = 8 (ра + 1) (ра + 4) = О,
отсюда
Р1>2 ~ ± j, Р3,4 = ±/2.
Так как наибольшая степень показателя числителя при р в выра-
жении Y (р) меньше наибольшей степени показателя р в знаменателе,
то при разложении по формуле (17.8) нет слагаемого k'm р\ нет и сла-
гаемого k’Jp, так как знаменатель Y (р) не содержит множителя р;
в разложении будут только слагаемые вида 2k'. р/(р* + со'2).
Итак,
У(р) =
2k { р 2k2 р
(4)
Найдем k\ — вычет Y (р) при р = Pi = j (он такой же и при р2 =
48
Аналогично вычислим k2 — вычет Y (р) при р = /2 (такой же вы-
чет и при р = —/2):
k2' = [Res У (р)]р=/2 =
20р3 4- 45р
32р3 + 80р _]р=/2
20 (— j 2)8 + 45 » / 2 _ 35
32 (—/ 2)8 4-80 • /2 48 ‘
Подставляя найденные значения k'{ и k'2 в формулу (4), получим
(5)
По (17.9а) находим элементы первой параллельной ветви, состоя-
щей из последовательно соединенных
25
1 _ 1 _ 24 Г _ 2fel _ 2 48 25
11 = = ~25 ~ 25" И 61 “ = “Т- = 2Г ’
2 48
и второй параллельной ветви, состоящей из последовательно соеди-
ненных
35
1 _ 1 _ 24 Г _2fe2 _ 2 15 _ 35
2 ~ 2k2 ~ 35 35 И “ ш'2 4 96 •
48
562
По полученным результатам на рис. 17.6, б дана схема, соответ-
ствующая уравнению (5), т. е. второй форме Фостера.
Реализуем заданную функцию Z (р) разложением ее в цепную
дробь. Это можно сделать двумя способами:
1. Осуществим деление, начиная с высших степеней р. Для этого
делим числитель на знаменатель, получим первое слагаемое, и прекра-
щаем деление. При этом высшая степень р остатка числителя станет
на два ниже, чем была, и на единицу меньше, чем высшая степень зна-
менателя. Далее делим делитель на этот остаток и т. д., пока процесс
деления не закончится без остатка:
8р« + 40р2 + 32
8р* + 18р2 '
20р3 + 45р
-1 р — Zt (р)
О
Таким образом, цепная дробь имеет вид
2 (р) 5 р + Jo j
ТТ р + 242 1
175 Р + Т75
352 р
(6)
где 2/5 и 242/175 — индуктивности;
видно из выражения Z (р).
Формуле (6) соответствует
схема рис. 17.7, а — первая
форма Кауэра. Все величины
L и С соответственно в генри
и фарадах.
2. Осуществим разложение
Z (р) в цепную дробь, начиная
деление с низших степеней р:
10/11 и 175/352 — емкости. Это
Рис. 17.7
19s
563
232
232 .
— р~
О
405
— Р3
29 г
175
— Р3
29
6728
1575р
128 о
— Р2
9
232
— Р2
9 Р
405
' 939п ^2 (Р)
32
45р Z'
175
29
О
Р3
— - У 4 (Р)
232р 4
Следовательно,
получена следующая цепная дробь:
(7)
>
405 1
>32р~ + 6728 Г“
1575р + ~ТТ5~
232р
где 45/32 и 1575/6728 — емкости; 232/405 и 232/175 — индуктивности.
Формуле (7) соответствует схема рис. 17.7, б, т. е. вторая форма
Кауэра.
17.6. Осуществить реализацию реактивных функций:
2р (р 4- 4) п Р2 4-1
а) 2(р) = ; б) Z(p) = —;
в) Z (р) =
Р (Р2 + 4}
разложением на элементарные дроби и в цепные дроби.
i
В. Синтез двухполюсников, состоящих из элементов г и С или г и L
17.7. Найти схемы по формам Фостера и Кауэра, реализующие
функцию входного сопротивления Z (р) = ц (рЧ-'З)' ’
Решени е. Из выражения данной функции видно, что она опре-
деляет цепь, состоящую только из элементов г и С, так как все ее по-
люсы и нули чередуются и лежат на отрицательной вещественной
564
полуоси, при этом функция сопротивления первым имеет полюс, а
не нуль (см. п. 6 основных положений и соотношений).
Решим задачу методом разложения Z (р) на элементарные дроби
(см. формулу (17.11)]. Вначале из Z (р) выделим постоянную вели-
чину k„, не зависящую от р и равную:
k„ = lim Z + 4р + з )рч.« =
Затем, вычтя ее из Z (р), получим
р2 4- 6р 4- 8 4 2р 4- 5
(р) = Z (р) — 1 = р2 + 4р _р3 — 1 = р2 4р + з •
В рассматриваемой задаче в формуле (17.11) k0 = 0, так как функ-
ция Z (р) не имеет полюса при р = 0.
Итак, согласно (17.11)
Z (р) = б» + “yZjTi + р 4- з •
Найдем kt — вычет функции Zi(p) при р =» —1:
/ 2р 4- 5 \ 3
= [Res Zj (р)]р= — 1 = р з jp-з____। ~ "у •
Аналогично вычислим k2 — вычет функции Z£(p) при р = —3:
/2р 4- 5\ 1
^2 — [Res Zx (р)]р=« —з = ( „ । । ) == “у •
Итак, искомое сопротивление
3 1
2('” = 1 + ггг + ??т- <1б>
Первое слагаемое — активное сопротивление, равное 1; второе
слагаемое представляет собой параллельно соединенные активное со-
противление и емкость, вычисляемые по (17.12а):
Аналогично определяем элемедты третьего слагаемого:
565
Таким образом, уравнение (16) представляет собой три последо-
вательно соединенные цепочки, первая из которых — активное со-
противление, а каждая из двух остальных — параллельное соедине-
ние г и С. Схема реализации изображена на рис. 17.8, а (первая
форма Фостера). Все величины г и С соответственно в омах и фарадах
(если расчеты ведутся в нормализованных величинах, то г и С—безраз-
мерные величины).
Рис. 17.8
Вторую форму Фостера получим разложением на простые дроби
выражения проводимости Y (р), умноженной на 1/р [см. формулу
(17.13)1:
£ Y (Р +1) (р + 3) Ра + 4р + 3
р р (р + 2) (р4- 4) р3 4- 6р2 4- 8р ’
(2а)
Выражение (2а) в соответствии с (17.13) не содержит слагаемого
k'm, так как Y (р) не имеет полюса при р = оо.
Вычислим коэффициенты k', k'. и k't
V 1 &
p2 + 4pd-3 \ _ 3
3p2 + 12p 4- 8 /p=o 8 ’
Г 1 1 I P2 + 4p + 3
k2 = I^Res — Y (рЦр______4 .= ( 3p2 _p 12p4-8
3
8
Подставляя найденные значения k\u k2 в формулу (2a) и умно-
жая обе части равенства на р, получим выражение проводимости
У(р) в виде суммы простых дробей:
1
р 4- 2
з
Y = т +
(26)
566
Первое слагаемое представляет собой активное сопротивление,
равное 8/3; второе и третье слагаемые — последовательно соединен-
ные цепочки, составленные из г и С. Их элементы рассчитываем по
(17.14а):
4
1 1 8 ^2 8'3
Гг = X = ~: Сг = "7“ = ~ = 32-
МММ
8
Таким образом, схема реализации по формуле (26) имеет вид
рис. 17.8, б (см. также рис. 17.2, б).
Осуществим реализацию разложением Z(p) в цепную дробь. Начнем
деление с высших степеней р, поступая аналогично тому, как это было
сделано при решении задачи 17.5:
Итак, получена следующая цепная дробь:
Z (р) = 1 +
(3)
567
где 1, 4/3 и 1/3 — активные сопротивления; 1/2 и 3/2 — емкости.
Схема реализации по формуле (3) представлена на рис. 17.9, а
(см. также рис. 17.2, в), т. е. первая форма Кауэра.
Осуществим разложение в цепную дробь, начиная деление с низ-
ших степеней р, предварительно инвертируя дробь, переписав ее в
следующем виде:
1
2 = 3 + -F р2' *
8 + 6р + р2
Рис. 17.9
Заметим, что непосредственное до инвертирования деление чис-
лителя на знаменатель, начиная с низших степеней р, привело бы к
отрицательному остатку, что не имело бы смысла, так как он не мо-
жет быть реализован положительными элементами г и С:
z6(p)
568
Таким образом, получена следующая цепная дробь:
Z(p) =
(4)
8 32 1
~7р + 49 1 ~
18 + 968 Г
21р ПГ
44
соответствующая активному со-
где 3/8 — активная проводимость,
противлению 8/3;
32/7р — емкостное сопротивление, соответствующее емкости
7/32, и т. д.
Схема реализации по формуле (4) приведена на рис. 17.9, б (см.
также рис. 17.2, г) — вторая форма Кауэра.
17.8. Требуется построить канонические схемы двухполюсников,
состоящих из элементов г и С, по заданным входным функциям путем
разложения на простейшие дроби и в непрерывные дроби:
а) Z (р) =
осу-
17.9. По функции входного сопротивления Z (р) =
ществить реализацию двухполюсника.
Решение. Найдем полюсы и нули функции. Полюс равен
3 2
— , а нуль-g-. Так как оба они лежат на отрицательной дей-
ствительной полуоси и ближайшим к началу координат является нуль
/ 2---------------3 \
I — < — I, то заданная функция может быть реализована простей-
шим образом из элементов г и L (см. п. 7 основных положений и
соотношений).
1. Найдем схему, получающуюся в результате разложения Z (р) на
простые дроби по формуле (17.15). Вычислим входящие в нее коэффи-
циенты A»,, k0 и kt. Коэффициент = 0, так как высшие степени от-
носительно р числителя и знаменателя одинаковы, и это означает,
что Z (р) не имеет полюса в бесконечности. Коэффициенты kQ и kr —
1
вычеты функции — Z (р) соответственно при р = 0 и р « .— oi =
Р
— 3
k0 = Res — Z (р)
0 L р vr/jp=o
3
р=_-
1 ~
569
Итак, заданная функция в соответствии с формулой (17.15) может
быть представлена в следующем виде:
7
feiP 2 ТТ ?
Z(p) = *0 + 7+t = - +--------------• О)
₽+ —
Здесь первое слагаемое [см. формулу (17.17)1 — активное сопро-
тивление Го = 2/3. Второе слагаемое выражает параллельно соеди-
ненные rt и Lit вычисляемые по (17.17):
7
7 ТТ 7
г — b — _ 1 — — = __
Г1 — К1 — 12 ’ 1 01 3 9 •
Согласно формуле (I) схема со-
стоит из последовательно соединен-
ных активного сопротивления г0
и параллельной г4Лгцепочки (рис.
17.10, а), т. е. является первой фор-
мой Фостера.
Рис 1710 Осуществим реализацию по
второй форме Фостера. Для этого
разложим функцию проводимости Y (р) = —- 2' на простые дро-
би по формуле (17.16). Найдем коэффициенты k'm, k'o и k\:
IP=QO
р=оо 5
Коэффициент kQ = 0, так как функция Y (р) не имеет полюса в
гочке р = 0. Наконец, определим k\ — вычет функции Y (р) при
2_ —
5
2
5
Итак, на основании формулы (17.16) функция
мости
25
входной проводи-
25
(2)
Соответствующая этому выражению схема рис. 17.10, б состоит
из двух параллельных ветвей: в первой ветви активная проводимость
4/5 (или сопротивление rw = l/km == 5/4), а вторая ветвь — последо-
570
вательно соединенные активное сопротивление и
£i, определяемые по формулам (17.18):
индуктивность
2
_ ~ 10 1 _ 1 _ 25
G — — = -у- = у» = "Г” = ~ = — •
“1 ________ ________________________
25 25
2. Найдем цепные схемы, получающиеся в результате разложе-
ния заданной функции Z (р) на цепные дроби. Если начать деление
непосредственно с высших степеней р, то получится отрицательный
остаток, указывающий на невозможность реализации цепи положи-
тельными элементами.
Деление с низших степеней р приводит к возможной реализации.
Действительно,
2 4- 5р
3 + 4р
Итак,
2 + 5р 2 1
% = з + 4р = "Г + Т Г *.
7р + Т
12
где 2/3 и 7/12 — активные сопротивления; 9/7 р — индуктивная про-
водимость, имеющая индуктивность 7/9.
Схема реализации по уравнению (3) та же, что и схема рис. 17.10, а
(схема Кауэра).
Наконец получим еще одну форму Кауэра, представив входное
сопротивление в виде
5р -F 4 1
Z (Р) = 4р4-3 = 4р -j- 3
5р4-4
и разложив знаменатель в цепную дробь, начиная деление с высших
степеней р:
571
7
5
5р
10
8
4р+ —
5
25
2
5
о
Следовательно,
Z (р) = -------------
(4)
10
Этому уравнению соответствует схема рис. 17.10, б. В рассмат-
риваемой задаче были получены всего две (вместо четырех) канониче-
ские схемы. Это произошло оттого, что заданная функция имела
простой вид. Заметим, что получение всех четырех канонических схем
не всегда возможно.
3. Найденные схемы рис. 17.10, а и б являются каноническими
(простейшими) и каждая содержит лишь по три элемента. Можно
найти еще и другие схемы, содержащие большее число элементов.
Например, если сопротивление представить в виде суммы двух таких
дробей
то первое слагаемое — параллельный контур, состоящий из и Llr
сопротивление которого определяется по (17.19):
5
отсюда
572
второе слагаемое — также параллельный контур, состоящий из
г2 и С2, сопротивление которого находится по (17.126):
1 1
22(p) = -S^ = —^5-
+ Гч Р +
pCt---------------------г2Сг
отсюда
1 1 г, о 1 _ 3
"СТ = — ’ С2 - 2, - -4-,
Следовательно, формуле (5) соответст-
вует схема рис. 17.11, а.
Можно найти еще одну схему, если за-
писать выражение для проводимости в ви-
де двух слагаемых:
I 4р 4- 3 4р 3
У = Z (р) = 5р-р2 = 5р+2 + 5р + 2•
(6)
Первое слагаемое выражает проводи-
мость последовательно соединенных t\ и
Ci, а второе — проводимость последова-
тельно соединенных г2 и L2. Схема реали-
зации по уравнению (6) дана на рис. 17.11,6.
Рис. 17.11
17.10. Найти канонические схемы двухполюсников, состоящих из
элементов г и L, по заданным входным функциям:
ч 7 / \ 2р {р + 2) . XX
а> z (Р) (р -р) (р + 3) ’
У (Р) =
(р 4- 2) (р 4- 4)
(р 4- 1) (Р 4- 3)
путем разложения на простейшие дроби и в цепные дроби.
Г. Синтез двухполюсников общего вида. Полином Гурвица.
Метод Бруне
17.11. Найти схему и элементы двухполюсника, входное сопро-
тивление которого
7 Р (4р3 4- Юр2 + 44р 4- Ю)
(Р) (р2 4 з) (2р2 4. 8р 4 1)
Решение. Схему реализации будем искать методом постепен-
ного выделения мнимых полюсов и нулей функции сопротивления
(см. п. 8 основных положений и соотношений).
Из выражения Z (р) видно, что имеется пара мнимых полюсов
при р = ± j У 3 . Выделим их. Это рассчитывается так же, как и
при синтезе чисто реактивных двухполюсников (см. п. 5 основных по-
573
ложений и соотношений). Для этого находим вычет ki от Z (р) при р=
= + j V 3 [см. формулу (17.2)]:
*1 = [Res 1 (Р)]р=/ о
То же значение имеет вычет и при р = —j У 3.
Таким образом, из Z (р) может быть выделена функция
4р
= тттрз • представляющая собой параллельный контур [см.
лу (17.46)], элементы которого определяются по (17.4а):
2feip
форму-
, = 2fe, = 2-2 _ 4 с _ 1 __ 1 _ 1
1 Т 3 ’ ' ~ 2kx ~ 2-2 ~ 4
Поэтому Z (р) — --р- + Zt(p) может быть представлено схе-
Р2 + 3
мой рис. 17.12, а, тогда
7 4Р _ 4Р* + 10Р3 + 44Ра + 10Р
^1(Р)—^{Р) р2 + з~ (р2 + 3) (2р2 + 8р + 1)
4Р , _ 2р (р + 1)
— р2 + 3 2р2 + 8р + 1 •
Функция сопротивления Z4(p) имеет нуль при р — 0, или функция
проводимости
1 =2р2 + 8р+1
^(р) 2р(2р + 1)
имеет полюс при р = 0. Аналогично предыдущему выделим его:
[Res Y j (р)]р=о —
2р2 + 8р + 1 ~| _ _1_
8р + 2 _р=о 2
Следовательно, проводимость Y\(р) имеет индуктивность, рав-
ную 2, проводимость которой —— = —
у Ар) =~ + y2(p),
2р
отсюда
Инвертируя эту проводимость, получим сопротивление
22(Р)
2р+ 1
Р + 3 ‘
574
Поэтому рис. 17.12, а можно представить в виде рис. 17.12, б.‘
Функция Z2(p) — функция минимального реактивного сопротив-
ления, состоит только из элементов г и L, так как она содержит
нуль в точке р = —1/2, лежащий ближе к
началу координат, чем полюс в точке
р=—3 (см. п. 7 основных положений и соотно-
шений). Функцию Z2(p) можно разложить на
простые дроби (см. п. 7 основных положений
и соотношений и решение задачи 17.9):
5
1 ~Р
Zzip)—-— + ——
3 р + 3
И
5
Рис. 17.12
которым соответствуют две схемы рис. 17.13, а и б. Если Z2(p) пред-
ставить в виде цепных дробей:
Z2(p)=-------
~ + ~4 Г
5 р+ _5
2
1
то будут получены те же схемы.
Окончательно для Z (р) получим схемы в виде рис. 17.14, а или б.
17.12. Используя выделение мнимых полюсов и нулей, найти
схемы двухполюсников по их входным сопротивлениям. Даны:
Рис. 17.14
Рис. 17.13
575
__ 8р3 + 4р2 + 6р -f- 2
“ р (2р® + р2 + Зр + 1) ’
35р« + 14р8+66р24-24р+8
Р (Р2 + 4) (5р2 + 2р + 1)
17.13. Дана функция входного сопротивления двухполюсника
Z(p) =
24р4 4- 58р3 + 120р2 + 115р J- 20
12р3 4- 26р2 4- 54р 4- 45
Реализовать ее, используя метод разложения, в цепную дробь.
Решение. Осуществим разложение в цепную дробь, начиная
деление с высших степеней р полиномов:
24р4 4" 58р3 4- 120р2 4~ 115р 4- 20
24р4 4- 52р3 4- 108р2 4- 90р
6р3 4- 12р2 4- 25р 4- 20
12р3 4- 26р2 4- 54р 4- 45
2р -> Л (р)
12р3 4- 26р2 4- 54р 4- 45
2) 12р3 4- 24р2 4- 50р + 40
2р2 4- 4р 4- 5
6р3 4- 12р2 4- 25р -4- 20
2 У2 (р)
3) 6р3 4- 12р2 4- 25р 4- 20
2р2 4- 4р 4- 5
6р3 4- 12р2 4- 15р
Зр Z3 (р)
Юр 4- 20
4) 2р2 4- 4р 4- 5 Юр 4~ 20.
-2- + 4р----- ~~Р-+УЛр)
5 5
5) Юр 4-20 5
Юр 4-20 2р 4- 4 (р)
0 0
Таким образом, получена следующая цепная дробь:
Z (р) = 2р +
Ей соответствует схема рис. 17.15.
17.14. Дана функция входного сопротивления двухполюсника
Z(p) =
2р2 4- 9р 4- 2
8р2 4- 4р 4- 2
Реализовать ее в виде электрической цепи,
используя метод разложения, в цепную дробь.
Решение. Осуществим разложение в
цепную дробь, начиная деление с высших
степеней р полиномов:
576
2р2 + 9р + 2
________2р2 4- р 4- 0,5
8р2 4- 4р + 2 8р 4- 1,5
8р2 4- U5p р-^У2(р)
8р2 4- 4р 4- 2
4" -> 2, (р)
4
2,5р 4- 2
Если производить дальнейшее деление 8р + 1,5 на 2,5р + 2,
начиная его с высших степеней р, то получим отрицательный остаток,
который не может быть реализован. Поэтому последующее деление
производим начиная с низших степеней, что приводит к положитель-
ному остатку:
15
3
4
49
8
16
49р
49
ТР
49
о
49
20
Таким образом, Z (р) может быть представлено в виде следующей
цепной дроби:
Рис. 17.16
которой соответствует схема рис. 17.16.
17.15. Требуется реализовать следующие функции входных со-
противлений:
a) Z(p) =
б) Z(p) =
16р3 + 16р2 + 8р + 3 .
8р2 + 5р + 3
6рЗ -|- 7р2 20р + 10
р (2р2 + 7р + 5)
17.16. Проверить положительность следующих функций:
a) Fi(p) = 6р5 + 17р4 + 27р3 + 37р2 + 17р + 16;
б) ^(р) = 2р5 + 2р4 + 6р3 + 2р2 + 4р;
577
в) F3(p) = р4 4- Зр3 + 7р2 + 5р + 8;
г) == 2р4 + р3 + 9ра + 4р + 4. -
Решение, а) В соответствии с п. 4 основных положений и
соотношений составим отношение четной части полинома Fi(p) к его
нечетной части:
17р4 + 37р2 + 16
6р6 + 27р« + 17 р
17р4 + 37р2 + 16
6р(р< + 4,5ра + 2,83) ’
(1а)
Вычислим корни знаменателя:
pi,2 = — 2,25 ± / 2,252 — 2,83 = — 2,25 ± 1,493;
р? = —0,757; pl = —3,743.
Таким образом,
Р4 + 4,5р2 + 2,83 = (р2 - р|) (р2 - р|) = (р2 + 0,757) (р2 + 3,743).
Выражение (1а) разложим на простые дроби 1см. формулу (17.6)]:
17р4 4- 37р2 4- 16 17р4 4~ 37р2 4~ 16
6р (р4 4- 4,5р2 4- 2,83) ~ 6р (р2 4- 0,757) (р2 4- 3,743)
2kxp
р2 4-0,757
2fe2p
р2 4- 3,743
(2а)
Коэффициент km = 0, так как выражение (1а) не имеет полюса в
бесконечное™ (степень числителя ниже степени знаменателя).
Определим коэффициент k0. Он равен вычету выражения (1а) в
полюсе р = 0:
k0 = Res
17р4 + 37ра + 16 ‘
30р« + 81ра + 17 ]р=о
— = 0,941.
17
Коэффициент 2ki найдем как вычет
р2 = — 0,757:
выражения (2а) в полюсе
2kx = Res
17р4 + 37ра + 16
6р (р2 + 0,757) (р2 + 3,743)
р2 + 0,757 1
Р Jp* = — 0,757
17 (— 0,757)2 + 37 (—0,757) + 16
6 (— 0,757) (— 0,757 + 3,743)
— 2,268
— 13,562
= 0,167.
Аналогично найдем 2k3 как вычет выражения (2а) в полюсе р| =
= — 3,743:
2k3 = Res
17р< + 37ра + 16
р2 +3,743
6р (р2 + 0,757) (р2 + 3,743)
р Jp2 = — 3,743
1,725
578
' Таким образом, с учетом найденных значений коэффициентов
k0, 2kt и 2k2 выражение (la) примет вид
? 17р4 + 37Р8 + 16 _ °'941 0Л67 , 1,725
| 6р (р4 + 4,5р2 + 2,83) р р2 +0,757 + р2 + 3,743
Итак, выражение (1а) — реактивная функция и, следовательно,
согласно п. 4 основных положений и соотношений, Fifp) — полином
Гурвица, т. е. положительная функция.
б) Составим отношение четной к нечетной части полинома:
2р< + 2р2 _ р» + р (1бЪ
2р5 + 6р’ + 4р р4 + Зр2 + 2‘ ' '
Найдем корни знаменателя:
+ Зр* 4- 2 = 0; р? = — 1, pl = — 2.
Выражение (16) примет вид
__HpMJ)_ = _р_
(р2 4-1) (р2 4-2) р2 4-2 v г
Следовательно, выражение (16) является реактивной функцией,
т. е. Р^Р} — полином Гурвица (положительная функция).
Наличие в числителе и знаменателе общего множителя (р2 + 1)
указывает на то, что он является множителем заданной функции
F2(p)- Действительно, поделив F2(p) на р2 + 1, получим
2р6 Ч- 2р4 6р8 4- 2р2 4- 4р _р2 4- 1__
2р5 4- 2Р8 2р3 4- 2р2 4- 4
2р4 4- 4р3 4- 2ра 4- 4р
2р4____4- 2р2____
4р3 4- 4р
4р3 4- 4р
~0 ~0
Таким образом, /^(р) может быть представлено в виде
/?2(р) = 2р5 + 2р4 4- 6р3 + 2р2 + 4р = (р2 + 1) (2р3 + 2р2 + 4р).
в) Запишем отношение четной части полинома к его нечетной час-
ти, вычислим корни знаменателя этого отношения и разложим его на
простые дроби:
Зр8 4- бр
р4 4- 7р2 4- 8
Р
2^р
(1в)
Вычисляем
вычеты последней функции в точках р = оо, р = 0 и
ОО ---
k0 = Res р
8
679
1
5
3
Р2
Итак,
1 । 8
тр+т,
8р
8
£ 45
з
т. е. выражение (1в) — реактивная функция, a F3(p) — положитель-
ная функция.
г) Функцию F4(p) рассмотрим аналогично:
2р4 + 9р2 4- 4 k , fe0 . 2fetp
р? 4- 4р °° р р2 4- 4 *
Как и выше, находим:
^оо — ^0
Найдем вычет функции при р2 = —4
Равенство нулю вычета при р2 == —4 означает, что рассматривае-
мая функция F^p) имеет множитель р2 + 4. Для этого достаточно
убедиться в том, что F4(p) делится без остатка на ра + 4. Действи-
тельно,
2р4 4- Р3 4~ 9р2 4- 4р 4- 4 р2 4- 4
2р4 4- 8р2 2р2 4- р 4-1
рз р2 4р4-4
________р3 4- 4р
Р2 4- 4
Р2 4- 4
0 0
Следовательно, функция F^p) может быть представлена в виде
двух сомножителей:
F4(p) = 2р4 + р3 4- 9р2 + 4р + 4 = (р2 + 4) (2р2 + р + 1).
17.17. Проверить вещественность функции
F (о) = 6р& + 17р* + 27р3 + 37р2 + 17р + 16
2р5 4- 2р4 4- 6р3 4- 2р2 4- 4р
Решение. Для проверки вещественности функции F (р) надо
убедиться в том, что ее вещественная часть во всех точках мнимой
580
оси не имеет отрицательных значений, т. е. выполняется неравенство
(17.5), в котором четные и нечетные части числителя и знаменателя
соответственно равны:
т^р) == 17р4 + 37 р2 + 16; п,(р) = 6р5 + 27 р3 + 17р;
т2 (р) = 2р4 + 2р2; п2(р) = 2р5 + 6р3 + 4р;
N (р) = mi (р) т2 (р) — щ (р) п2 (р) = (17р4 4- 37р2 + 16) (2р4 + 2р2) —
— (6р5 + 27р3 + 17р) (2р5 + 6р3 + 4р) = — 12р10 — 56р8 —
— 112р6 — 104р4 — 36р2.
Полагая в этом выражении р = /со, а следовательно, р2 = — со2,
р4 8 оД рв — еД ^8 ___ ^8, pio __ —(£>1°, получим N (со2) = 12со10—
— 56со8 + 112со6 — 104(о4 + Збсо2.
Обозначим со2 через х, последнее выражение примет вид
N (х) = 4 (Зх5 — Их4 4- 28х3 — 26х2 + 9х).
Здесь х может принимать только положительные значения, а пре^
делы его изменения от 0 до оо, так как со может изменяться в тех же
пределах.
Последнее выражение, стоящее в круглых скобках, обозначим
через Nq (х) = Зх5 14х4 + 28х3 — 26х2 + 9х.
Исследование проведем, по методу Штурма (см. п. 4 основных по-
ложений и соотношений). NQ(x) — первая функция Штурма. Вторая
функция Штурма — это производная от первой функции Штурма
(х) = N'q (х) = 15х4 — 56х3 + 84х2 — 52х + 9.
Разделим Nq(x) на А^(х), прекратив деление, когда показатель
высшей степени х остатка будет на единицу меньше высшей степени
делителя:
3Х5 _ 14Х4 + 28х3 — 26х2 4- 9х 15х4 — 56х3 4- 84х2 — 52х 4~ 9
Зх5-—11,2х4 4- 16,8х3— 10,4х2Н-1,8х 0,2х — 0,1867
— 2,8х4 4- П,2х3— 15,6х2 4- 7,2х
— 2,8х4 4- 10,453х3—15,68х2 4- 9,707х —1,68
0,747х8 4-0,08х2 — 2,507х 4-1,68
Итак,
No (х) = о 2х _ о 1867 4- °>747х3 +0>08х2-2>507х + 1>68
^ (х) ’ ’ 15х4 — 56х3 4- 84х2 — 52х 4-9
Найдем третью функцию Штурма N2(x) как остаток от деления
первой функции Штурма на вторую, взятый с обратным знаком:
/V2(X) = _ 0,747x3 — 0,08х2 + 2,507х — 1,68.
Определим четвертую функцию Штурма N3(x) как остаток с обрат-
ным знаком от деления Afi(x) на N2(x):
581
15х4 — 56х® +84х« — 52x4-9 — 0,747х» — 0,08ха + 2,507х — 1,68
15х4 + 1,60х» — 50,36ха + 33,75х — 20,893х + 77,0
— 57,6х8 + 134,36ха —85,75x 4-9
— 57,бх8 — 6,16ха4- 193,05х—129,36
140,52ха — 278,8х 4-138,36
Итак,
N3(x) = — 140,52ха 4- 278,8х — 138,36.
Аналогично находим пятую функцию Штурма А4(х) как остаток
с обратным знаком от деления четвертой функции Штурма на третью:
= 0,00533х 4- 0,0112 4----------°'12*~0’-!?--------
N3(x) — 140,52ха 4-278,8х—138,36
2V4 (%) = — 0,12% + 0,13.
Аналогично находим шестую функцию Штурма М5(х):
МИ*)
1171х — 1063,3 —
0,13
М>(х) = 0,13.
Так как нас интересует положительность функции N (х) во всем
диапазоне частот, т. е. от со = 0 до со = оо, которым соответствуют
х = 0 и х = оо, то определим знаки функций Штурма при указанных
значениях х и занесем их в табл. 17.2.
Таблица 17.2
N (х) х ЛГ.(х> Nt (х) Nt (x) N3 (x) N4 (x) N, (x) w
= 0 0 w—* —L. 2
Х2 = оо 4- — — — • - - — 2
Отсюда видно, что число вариаций знака для крайних значений
корней W (xi) == W (0) = 2 и W (х2) = W (оо) = 2, т. е. одинаково,
а их разность равна W (х4) — W (х2) = 0. Поэтому функция N(x)
не меняет своего знака на всей оси /со. Она всюду положительна,
ибо при Xi = 0 она положительна. Таким образом, установлено, что
вещественная часть F (р) при р = jw больше нуля для всех значе-
ний со. Итак, заданная функция F (р) вещественна.
17 .18. Проверить положительность и вещественность следующих
функций:
5 Ч Г / \ 2р» 4- 6ра 4- Зр 4-1.
а> f'W ,
6) F, (р) - + 6 7Р‘ + ».± »- .
Л 2р4 + р8 + 9ра + 4р + 4
582
17 .19. По методу Бруне реализовать функцию входного сопро-
тивления
Z(p) =
Решение. Легко убедиться, что корни числителя и знаменате-
ля комплексно сопряженные. Поэтому реализацию цепи будем осу-
ществлять в соответствии с методикой, указанной в п. 9 основных по-
ложений и соотношений. ,
< 1. Так как Z (р) не содержит полюсов или нулей на мнимой оси,
то этот пункт выпадает, поэтому Z (р) = Zi(p).
2. Найдем частоту, при которой [Re Z^)] минимально. Для этого
берем производную от [Re Zi(/co)] и приравниваем ее нулю:
d Г (1—2(о2)2
d<& (1 — о>2)2 + <°2
[(1 — to2)2 4- ш2]2(1 — 2ш2) (— 4(D) — (1 — 2<О2)2 • [2 (1 — (О2) (— 2(0) 4-2(0] 0
(1 - (О2)2 4" <02
Отсюда находим со' = 0, со" = оо и со0 — 1/^2 .
Для проверки того, какая из этих трех частот соответствует ми-
нимуму, можно каждую из них подставить в выражение [Re Z^co)]
и результаты сопоставить друг с другом:
[ReZi (я)]со=,^ев0 =
[Re Zj (/cd)]o) = ш" = оо =~
[ReZx (/со)] 1
ш = ш0 = ---
VT
(1 __ ш2)2 — 0)2
3. Из последних трех выражений видно, что при частоте <оо —
= i/j/T вещественная часть функции минимальна, и так как при
этом rmin = 0, то подпункт 3 п. 9 основных положений и соотношений
выпадает.
4. Данный пункт также выпадает, так как rmin имеет место не при
частоте, равной нулю или бесконечности, а при конечной частоте о)о
(рис. 17.17, а):
Z2 (р) = Zi (р) — rmin = Z1 (р).
5. Вычисляем Z2(p) при р = /со0:
— ]'у 2 — /х2,
683
т. е. х2 — ]Л2 . Так как
%2 — ®о^2>
то L — *2 — ^2 __ л
<о0 1
/2
6. Составляем разность Z2(p) — pL2 и приводим ее к общему зна-
менателю (рис. 17.17, б):
Z3 (р) = Z2 (р) -pL2= -2р =
Р2 + Р + 1
(2р2 + 1) (1 - р)
Р2 + Р + 1
Рис. 17.17
7. Проводимость
У з(Р)
1 __ р2 + р + 1
23(р) ~ (2р2+ 1) (1-р)
р2 + р + 1
— 2р3 + 2р2 — р + 1
имеет полюсы на мнимой оси, равные ± /l/p^2 . Им соответствует
ветвь из последовательно соединенных L3 и С3, проводимость которой
равна 2&3р/(р2 + со2), где со2 = 1/2.
Найдем k3 как вычет функции Y3(p) при р = j —
/2
Res Y 8 (р)
= Р2 + Р + 1
р = j — — 6р2 + 4р — 1
V2
1
Р = / —— 4
V2
По формулам (17.9а) находим L3 и С3 (рис. 17.17, в):
584
8. Наконец находим оставшуюся для реализации часть проводи-
мости:
1
У (пХ^У (р) _ 2fe3P = Р2 + Р + 1__________Lj____ = 1
i(P) з(Р) р2 + <о* (2р| + 1) (1 - р) р2 1- 1-р-
Сопротивление
24(Р) = у- = 1 — Р = г4 + рЦ,
^з(р)
отсюда
Г4 = 1, L4 = 1 •
В результате получена схема рис. 17.17, г.
Так как физически невозможно реализовать отрицательную ин-
дуктивность L4, три индуктивности L2t L4 заменяем в соответствии
с п. 9 основных положений и соотношений идеальным трансформато-
ром (рис. 17.17,5), у которого
Ls — L2 + L3 ~ 2 + 2 = 4, Lq = L4 + М — — 14-2—1,
- . М = L3 = 2.
Окончательная схема реализации заданного Z (р) дана на
рис. 17.17, д.
17.20. Реализовать по методу Бруне функцию сопротивления
z z V = 6р5 + 17р4 + 27р3 + 37 р^ + 17 р 4- 16
2р5 2р4 + 6р3 4- 2р2 + 4р
Решение. При решении задачи будем следовать методике,
указанной в п. 9 основных положений и соотношений.
1. Из решения задачи 17.16, п. б) видно, что знаменатель функ-
ции Z (р) имеет множители р и р2 + 1, т. е. Z (р) имеет полюсы в
точках р = 0 и р = ±/. Выделим их. Для этого знаменатель Z (р)
разложим на множители и функцию сопротивления Z (р) представим
в виде элементарных дробей:
6р5 + 17р4 + 27р3 + 37р2 + 17р + 16 _ fe0 2ktp
р (р2 4- 1) (2р2 4- 2р 4- 4) р р2 -4- 1
Pi (Р)
2р2 4- 2р 4- 4
(1)
Умножая обе части последнего выражения на р и принимая р — 0,
найдем
6р6 + 17р« + 27р3 + 37р2 + 17р + 16
(р2 + 1) (2р2 + 2р + 4)
Р ап 0
585
Аналогично, умножая обе части Z (р) на (ра 4* 1)/р и принимая р а=
= —1 (т. е. р — ±/), получим
__ /6 + 17 — / 27 — 37 4-/17 + 16 _ -4-/4 _ _
“ - 1 (-2 4-/2 4-4) _ (24-/2) ~ ‘
Из формулы (1) ясно, что если из Z (р) вычесть k0/p = 4/р и 2klp/(pi+
+ 1) = 2р/(р2 4- 1), то получим
zap)
Pi (р)
2р2 + 2р 4- 4
Z1 (р) =
6р» 4- 17р4 4- 27р* 4- 37р2 4- 17р 4-16_4_2р _ 6р2 4- 5р 4- 9
Р(Ра + 1) (2р2 4-2р 4-4) р р2 4-1 2р24-2р4-4‘
Выражение — = —г-— представляет собой емкость Со, равную
₽ j'
1/4,'а выражение——-------------параллельный контур, элементы
р2 4-1 Р2 4- 1
которого находим по формулам (17.7а):
2^ _ __ 2 __q
1 <о?
2*1 2
Таким образом, в соответствии с формулой (1) приходим к схеме
рис. 17.18, а.
2. Находим частоту со0, при которой вещественная часть Zt(p)
при р = /со минимальна:
[Re Zr (/со)] = Re
/О)
(4 __ 2о>2)2 4- 4(о2
(О
Рис. 17.18
586
Берем отсюда производную и приравниваем ее нулю:
(а>4 _ 3<q8 4- 4) (12<й8 — 16<й) — (Зш« — 8а>2 + 9) (Зо>8 — 6<о)
(а>4 — 3<Л2 + 4)2
__ <о (о>4 — 6<i>2 4-5) _q
~ (о>4 — Зш2 4- 4)а ~
.Находим экстремальные частоты:
<в' = О, со" = со; о/" = УТ;
<оо = 1.
Чтобы определить, какая из найденных четырех частот соответст-
вует минимуму, проще всего найти величины вещественных частей
сопротивления Z^/ю) при каждой из найденных частотах и сопоста-
вить их друг с другом:
О)' =гв О
Аналогично,
I
о>4 — 3<о2 4“ 4
22
3(0 4 — go)2 Q
Таким образом, минимальное значение вещественной части Zt(/co)
имеет место при конечной частоте а>0 = 1 и равняется гш1п = 2.
3. Вычитая гШ|П из Zi(p), получим
Z2 (р) = Z, (р) - гш1п = ^-±-5р + 9 - 2 = -2р- + Р + 1 .
2ра 4- 2р 4- 4 2р2 4- 2р 4- 4
Это соответствует переходу от схемы рис. '17.18, а к схеме
рис. 17.18, б.
4. Минимальное активное сопротивление имеет место при конеч-
ной частоте <оо = 1. Поэтому подпункт 4 п. 9 основных положений и
соотношений выпадает и поступаем в соответствии с п. 5.
5. Вычисляем Z2(p) при р = /<о0 = /1, которое является чисто
мнимой величиной jx2:
Z2(p)
p = i
Т. е. х2 = 0,5.
Отсюда
6. Составляем
2р2 4~ р -f" 1
2р2 4- 2р 4- 4
= /0,5 = /х2,
L2 = х2/соо = 0,5/1 = 0,5.
разность:
Z,(P) - Z,(p) - = g'+^+'4 -0,5р
— р8 4- ра — р 4-1
2ра4-2р4-4
= (1 -р) (1 4-Р2)
2ра 4- 2р 4- 4
587
Это соответствует переходу от схемы рис. 17.18, б к схеме
рис. 17.18,6.
7. Сопротивление Z3(p) имеет нули на мнимой оси при р = ±/,
а следовательно, проводимость Y3(p) имеет в этих точках полюсы:
Y (п) = 1 = 2Р2 + 2Р-+4 = 2Р2 + 2р + 4
SW Z3(p) _рЗ+р2_р+1 (1_р)(1+рг)-
Этим полюсам соответствует ветвь из последовательно соединен-
г /"> ° 2k‘fp 2kg
ных L3 и С3, проводимость которой ------= ——.
Р2 + ®>о Рг + 1
НахоДим вычет k3 функции Y3(p) в точках р = ± /:
^3 [Res Y j (р)]р = /
2р + 2р + 4
— 3₽2 + 2р — 1
р =>s I
По формулам (17.9а) находим элементы ветви L3C3\
L3 = —— = —1— = 0,5; Cs = -4-=---------------!---= 2.
3 2fe3 2-1 3 «>q£3 I2 • 0,5
8. Наконец, находим оставшуюся для реализации часть проводи-
мости
xz /„\ _ v /„A 2ksP _ 2р2 + 2р + 4 2р __ 4
1 4\”/ 1 0| 2 /1 Ч /1 I 9\ 9 1 -- 1 '
р2 + «о (1 — р) (1 + р2) ра Н- 1 1 — р
Величина, обратная проводимости /4(р), — сопротивление
Z4 (р) = = 0,25 — 0,25р
представляет собой последовательно соединенные активное сопротив-
ление г4 = 0,25 и отрицательную индуктивность L4 = —0,25.
Таким образом, получаем схему рис. 17.18,*г.
Заменяем три индуктивности идеальным трансформатором (см. п. 9
основных положений и соотношений), параметры которого
М = L3 = 0,5, L5 = L2 + М = 0,5 + 0,5 == 1,
L6 = £4 + M = —0,25 + 0,5 = 0,25.
Окончательная схема приведена на рис. 17.18, д.
17.21. Осуществить реализацию функции сопротивления по мето-
ду Бруне г
р* Зра + 7ра + + 8
2р4 4- Р3 + 9р2 4- 4р 4- 4
(1)
Решение. В решении задачи 17.16, п. г) установлено, что зна-
менатель Z (р) может быть представлен в виде произведения двух со-
588
множителей (р2 + 4) (2р2 + р + 1). Поэтому Z (р) можно разло-
жить на следующие слагаемые: '
р4 -f- Зр3 4- 7р2 4~ 5р 4~ 8
2р4 + Р3 + 9р2 4- 4р 4- 4
2Z?iP , F1(p)
р2 4~ 4 2р2 4" Р Ч- 1
Коэффициент 2ki найдем как вычет Z (р) при р2= —4 (или р =
= ±/2):
2kx = Res
р4 4- Зр3 4- 7р2 4- 5р 4- 8"
(р2 + 4) (2р2 4-Р 4-1) Jp2= — 4
Вычитая из Z (р) выражение р— = -2р , найдем
р2 4- 4 р2 4- 4
z (о) = р4 + Зр3 7р2 + 5р + 8 2 Р2 4- Р 4- 2
1W (р2 + 4) (2₽2 + р + 1) р2 + 4 2р2 + р + 1
(2)
Таким образом, заданное сопротивление Z (р) может быть представ-
лено в виде суммы:
Z (р) = Zj (р) +
Это сопротивление представляет собой последовательное соедине-
ние Zi(p) и параллельной LC-ветви, элементы которой имеют зна-
чения [см. формулу (17.7а)], равные:
= 0,5.
Формуле (3) соответствует схема рис. 17.19, а.
Рис. 17.19
Числитель и знаменатель выражения (2) имеют комплексно сопря-
женные корни, поэтому реализацию цепи Z^p) осуществим по методу
Бруне (см. п. 9 основных положений и соотношений).
1. Выражение (2) не имеет полюсов на мнимой оси, поэтому п.1
выпадает.
589
2. Находим вещественную часть функции Zt(p) при р = /®:
[Re Z (р)]р = /ш = [Re Z(/to)[ = Re
= Re
= Re
2
2
(4)
Находим частоту <oo, при которой выражение (4) минимально.
Для этого берем производную по ш и приравниваем ее нулю:
A [Re (/«>)] =
(4<о4 — За)2 4- 1) (8<d8—8<о) — (2<о4 —4о>2 -f- 2) (16о>8 — 6<о)
(40)4 — 3^2 1)2
<> (5ш4 —бой + 1)
(4ай —ЗщЗ + 1)2
Отсюда находим:
со' = 0; <о' = оо; а>"' = /0,2; со0 = 1.
Подставляя значения этих частот в формулу (4), получим:
2ай _ 4<»2 + 2
4о>4 — Зой + 1
4(1)4 — 3<1)2 1
16
== " »
О) ш sss "Ио.2 7
2ой 4Ю2 + 2
2о)4 — 4(^2 2
2<i)4 — 4(й2 4" 2
4(J)4 — 3<i)2 4“ 1
4(В4 — 3<O2 _j_ j
ш" = оо
Таким образом, видно, что минимуму активной части (4) соответ-
ствует частота <о0 = 1, при которой гт1п = 0.
3. Так как гт1п = 0, то п. 3 выпадает.
4. Подпункт 4 п. 9 основных положений и соотношений выпадает
тоже, так как частота, при которой имеет место минимум веществен-
ной части заданного сопротивления при р = /со, не равна нулю или
бесконечности.
5. Вычисляем Z2(p) при р = /<о0 = /1, которое должно быть
чисто мнимой величиной /х4:
2] (Р)
—
6. Определяем индуктивность:
М = “ — 1/1 = — 1.
7. Вычитаем pLi из Z4(p):
Z2(P) = ZAP)-pLi = -<-P) =
p2 4- o,5p 4- 0,5
(p2 4- 1) (P4- 1)
pa 4- 0,5p 4- 0,5
590
Величина, обратная Z2(p).
Y2(P) = ^ + °'5P + °J_, (5)
(Р2 4-1) (р 4-1)
8. Проводимость Y2(p) имеет полюсы на мнимой оси, равные ±/.
Им соответствует ветвь из последовательно соединенных L2 и С2,
2k9p
проводимость которой равна —-—, где <оа = 1. Коэффициент к2
р2 +1
находим как вычет функции Y2(p) при р = j:
k2 = ResУ2(р) Ь_z = р* + °^р + °’5 = 0,25.
Зр2 -F 2р -j- 1
Элементы L2 и С2 вычисляем по формулам (17.9а):
-Д- = = 2; С2= —— «——
2k2 2-0,25 (d2£2 12-2
9. Вычитая из Y2(p) выражение
0,5
Р2+ 1
получим прово-
димость оставшейся для реализации схемы:
v 0,5 р2 + 0,5р Н- 0,5 0,5 0,5
з(Р) — 2 (Р) р2 -4- 1 (р2 + 1) (р -Ь 1) р2 Н- 1 = р -f- 1 *
Таким образом, К2(р) представляет собою сумму двух парал-
лельных ветвей: в первой ветви последовательно соединены L2 и С2,
а во второй ветви проводимость Y3(p) (рис. 17. 19, б). Проводимость
У3(р) = 0,5 /(р + 1) = 1/ (2р + 2) представляет собой ветвь из пос-
ледовательно соединенных индуктивности L3 == 2 и активного со-
противления г3=2. В результате получаем схему рис. 17. 19, в с от-
рицательной индуктивностью Li.
10. Так как отрицательная индуктивность физически не может
быть реализована, вводим в схему идеальный трансформатор, эле-
менты которого (см. п. 9 основных положений и соотношений)
A4=L2 = 2гк, L4 = Li + L2 =— 1 + 2 = 1 гн, L3 = L2 4- L3 = 2 4-
4- 2 = 4 гн.
Окончательная схема реализации заданного сопротивления изоб-
ражена на рис. 17. 19, г.
17. 22. Реализовать по Бруне следующие функции сопротивле-
ния:
a) Z (р) =
2р3 + 6р2 4- Зр + 1
Р2 4- р 4-1
_ 4Р6 4- Зр. 4- 21р3 4- 15р2 4- 13р 4- 8
°' Z ^Р' ~ 2р* 4- р3 4- Эр2 4- 4р 4- 4
Глава восемнадцатая
ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Некоторые общие понятия синтеза четырехполюсников. Далее
рассматриваются простейшие 'случаи синтеза пассивных четырехпо-
люсников по заданным операторным выражениям функций, характе-
ризующих эти четырехполюсники. Как известно, пассивный обра-
тимый четырехполюсник полностью определ’яется тремя независи-
мыми параметрами (см. гл. 14). В частности, ими могут быть Z (или
У)-параметры. Таким образом, если известны Zn (р), Z22 (р) и
212 (р) 1или У а (р), У22 (р) и Y12 (р)1, то этим четырехполюсник пол-
ностью задан.
В ряде случаев характеристика четырехполюсника задается не
полностью. Например, могут быть заданы два параметра Zu и Zi2
или Z22 и Zi2 (или Уи и Ki2 или У22 и У i2). Однако весьма часто при син-
тезе четырехполюсников задается лишь одна его передаточная фун-
кция. Она может быть задана при различных условиях: при наличии
или при отсутствии нагрузки на выходе четырехполюсника, кроме
того, с учетом или без учета сопротивления источника энергии ит. п.
Одной задаваемой передаточной функцией может быть ZJ2 = Z21 или
Ki2 = r2i. Иногда задается коэффициент передачи по напряжению
С7 2
в режиме холостого хода ~-тг~ • В литературе его часто обозна-
чают Т12.
При синтезе четырехполюсников используются некоторые новые
понятия.
Условие вычетов. Обозначим вычеты функций Zllt Z22 и Zi2 ( или
/и, У22 и Г12) в каком-либо их полюсе соответственно через kilt &22,
ki2. Тогда должны выполняться условия &ц. > 0 и А22> 0, ki2 может
быть и больше и меньше нуля
ku k22 — k 2> 0. (18.1)
1 At
Последнее соотношение называется условием вычетов. Оно дол-
жно выполняться для каждого из полюсов Z (или К)-параметров на
мнимой оси /со. Если условие (18.1) выполняется для каждого из по-
люсов со знаком равенства, то такой полюс называется компактным,
а соответствующие параметры—компактными Z (или У)-параметрами.
Условие вещественной части. Обозначим вещественные части Z-и У-
параметров через
Ги = Re [Zu (/со)1, г22 = Re lZ22(/(o)], ri2 = Re [Zi2(/co)l, (18.2a)
592
gu = Re IVhC/co)], ^22 = Re [K22(/<*>)L gi2 = Re [F12(/co)]. (18.26)
Тогда на любой частоте должны выполняться следующие условия:
Гц 0, г22 > 0, gu > 0, g22 >0; Г12 И gi2 могут быть и не положи-
тельными:
Ги г22 — г2[2 > 0;
§и£22—g?2>0.
(18.3а)
(18.36)
Условия (18.3а и б) называются условиями вещественной части
(условиями Геверца).
Указанная выше функция Ки = Ti2 (а также Z12, Ki2) представ-
ляет собой дробно-рациональную функцию и имеет вид
г12 =
апрп 4- an-i Р*"1 + ».. + + Др __
ЬтРт 4- Ьт_1Рт-' + ... + Ь1Р+*р “
Рп + ап_х Рп~х 4- •. • + р + Др _
Pm+bm_iP”-> + ... + b'lP+b'Q~
(Р — Poi) (Р — Рог) » > (Р — Ро/г) _ к Р (Р)
(Р — Pl) (Р — Рг) • • • (Р — Pm) ~ * Q (Р)
(18.4)
Здесь poi, ••• , Роп — нули функции 7\2, а рь ... , рт — ее полюсы.
В общем случае нули и полюсы являются комплексными числами. Ко-
эффициент к=ап1Ьт называется коэффициентом усиления. Он не может
быть больше некоторой максимальной величины Ктах. Величину
Ктах ограничивают условия вещественной части.
2. Условия реализации четырехполюсников для полюсов и нулей.
Для физической реализации по заданной передаточной функции ли-
нейного пассивного обратимого четырехполюсника в виде цепи с сос-
редоточенными параметрами должны быть выполнены следующие ус-
ловия: '
А. Для полюсов', а) все полюсы Zi2, У12 и TQ, = Т12 должны нахо-
диться в левой полуплоскости комплексного переменного р; б) ни один
из полюсов функции передачи Т 12(р) не может находиться в нуле
или бесконечности; в) полюсы Z12(p) и Yl2(p) на мнимой оси могут
быть только простыми с вещественными вычетами; г) полюсы Ti2(p)
на мнимой оси простые с мнимыми вычетами; д) Z (р) - и Y (р)-
параметры удовлетворяют условию вычетов во всех полюсах на мни-
мой оси /со.
Б. Для нулей', а) нули Z12(p), Y i2(p) и Т12(р) могут быть кратными
и находиться в любой точке плоскости р; б) число нулей коэффициен-
та передачи должно быть не больше числа полюсов.
В. Для Z (р)-и Y (р) - параметров'. Z (р) -и Y (р)-параметры дол-
жны удовлетворять условию (18.2 а и б) вещественной части.
593
В ряде случаев ставятся дополнительные условия, в которых ука-
зываются, в виде какой схемы должен быть реализован четырехпо-
люсник (например,, в виде Г-схемы, составленной из элементов оп-
ределенного вида, например г, С, или чтобы он был неуравновешен-
ным* без взаимной индуктивности, или уравновешенным, или имел
цепочечный вид и др.). В этих случаях кроме общих условий физичес-
кой реализуемости, сформулированных в п. 2 основных положений,
появляются дополнительные ограничения. О некоторых из них см.
ниже.
В общем случае задача синтеза четырехполюсника неоднозначна
и может иметь не одно, а несколько решений.
3. Синтез цепей по трем заданным Z(p) или Y(р)-параметрам.
В этом случае на основе связей, существующих между Z (р) или
Y (р)-параметрами простейших структур: Т-, П-схем и мостовой
схемы (табл. 18.1), делается попытка реализовать четырехполюсник
по одной из них.
Пример приведен в задаче 18.1.
-Таблица 18.1
Схема
Z-матрица
У-матрица
* Неуравновешенным называется четырехполюсник, имеющий один общий
входной и выходной зажим.
594
4. Реализация передаточной функции в виде Г-образного че-
тырехполюсника (рис. 18.1), составленного из г С (или г -^-эле-
ментов.
Для него
V 7 V _ (P) _ Z* _ P
At/x.x(p) - Ui{p] - Q(p)
= W- (18-5)
£(р)
Здесь Р (р) и Q (р) — заданные полиномы по
степеням р, L (р) — полином от р, который вы-
бирается так, чтобы он имел тот же порядок, что
полиномы Р (р) и Q (р), а его корни чередуются
с корнями уравнений Р (р) = 0 и Q (р)~0. Из
(18.5) находим искомые операторные сопротив-
ления элементов Г-образного четырехполюсника:
Z2(P)— > A(p) £(p)
Ц(Р) Zz(p)
i
1'0----------
Z,(P)
=3—Г-02
02'
Рис. 18.1
(18.6)
~ Двухполюсники Zi(p) и Z2(P) реализуются методами, указанны-
ми в гл. 17.
-- Пример дан в задаче 18.3.
5. Синтез четырехполюсника, нагруженного, на активное сопро-
тивление. Весьма важным является синтез по заданному передаточ-
ному сопротивлению Т2или передаточной проводимости Ту при на-
грузке четырехполюсника на чисто активное сопротивление R„. При
этом для удобства величины Tz или Ту задаются в нормированном
,виде. Это означает, что все сопротивления четырехполюсника умень-
шаются в 7?н раз, что соответствует приведению нагрузки Ra к 1 ом
[табл. 18.2, формулы (18.9) и (18.10)1. В результате синтеза по за-
данной нормированной величине Tz или Ту будут получены норми-
рованные элементы цепи. Для перехода к их истинным значениям на-
до все полученные величины г и L умножить на 7?н, а все емкости С
разделить на 7?н.
6. Синтез четырехполюсников по заданным передаточным функ-
циям. В табл. 18.2 приведены выражения для этих функций и их
связь с Z-и F-параметрами. Выражения Tz и Ту даны в нормализо-
ванном виде.
Таблица 18.2
Определяемая
величина
Схема
Формулы
№ фор-
мулы
Коэффициент
передачи напря-
жения
(18.7)
и, Z“
595
Продолжение
Определяемая
в еличина
Схема
Формулы
№ фор-
мулы
Коэффициент
передачи тока
(18.8)
Передаточное
сопротивление
(нормирован-
ное)
Передаточная
проводимость
(нормирован-
ная)
Задача синтеза четырехполюсника по заданной передаточной функ-
ции может быть решена одним из следующих методов:
1) сначала находят Z (р)-или Y (р)-параметры, а затем по этим
параметрам реализуют четырехполюсник; методика определения этих
параметров зависит от того, какие передаточные функции зада-
ны: a) Tz или Ту; б) Ки или 70 ;*
2) реализация осуществляется непосредственно по передаточной
функции.
А. Синтез реактивных четырехполюсников.
а) Нахождение Z (р) или Y (р)-параметров по заданной Tz или
Ту. Пусть задано передаточное сопротивление при нормированной
нагрузке
Р(р) = Р (р)
Q (Р) ~т(р)+п(р)'
(18.11)
где т (р) и п (р) — соответственно четная и нечетная части полино-
ма Q (р); Р (р) является либо четным, либо нечетным полиномом.
596
Если Р (р) — четный полином, то числитель и знаменатель фор-
мулы (18.11) делим на нечетную часть знаменателя п (р), а если Р (р) —
нечетный полином, то делим на четную часть знаменателя т (р). Тогда
формула (18.11) примет вид:
для Р (р) четного
для Р (р) нечетного
Р(р),
Tz =------1SPL (18.12а)
j т (р) ’ '
п (р)
Сопоставляя выражения (18.12а и
Tz = —т (р) . (18.126)
1 । п
т (Р)
б) с (18.9), получим:
для Р четного
для Р нечетного
п (р) ’
^22 (Р) —
И (р)
П (р) ’
(18.13а)
(18.136)
Если задана нормированная передаточная проводимость Ту, то
аналогично из сопоставления с формулой (18.10) можно найти Y (р)-
параметры.
Пример дан в задаче 18.5.
б) Нахождение Z (р)-или Y (р)-параметров по заданной в ре-
жиме холостого хода функции Ки (р) или в режиме короткого замы-
кания функции К] (р).
Передаточные функции Ки (р) и Ki (р) представляют собой отно-
шение четных полиномов.
Положим, что задано
(р) = Р (p)/Q (р). (18.14)
Разделим числитель и знаменатель формулы (18.14) на нечетный
полином L (р), степень которого на единицу больше или меньше сте-
пени полинома Q (р), а корни L (р) чередуются с корнями Q (р):
Ки (Р) =
Р (Р)
Ир)
Q (р) ’
Ир)
Сопоставляя (18.15) с (18.7), найдем:
7 Р(Р) v _ Р(Р)
Z21 Ир) 2i L(p) ’
или
v _ Q (Р) v _ Q (Р)
Ир) 22- l (р) •
(18.15)
(18.16)
Пример приведен в задаче 18.8.
597
Если задана передаточная функция К/ (р), то Z (р)-или Y (^-па-
раметры определяются аналогично, используя для сопоставления
формулы (18.8).
Итак, вне зависимости от вида заданной передаточной функции
по формулам (18.13) или.(18.16) находятся два из трех параметров че-
тырехполюсника.
Как известно, двумя параметрами определяется симметричный
четырехполюсник. Поэтому, если искомый четырехполюсник синтези-
ровать по симметричной схеме, то для этого следует принять:
Z22 = ZH; Z12 =Z21; У22 = Уц‘, У12 = Угь
По двум известным Z (или У)-параметрам можно составить мосто-
вую схему, сопротивления которой Zj и Z2 могут быть найдены из
формул табл. 18.1:
Zj “I- Z2 Z2 — Zj
и “ ^22 = 2 ’ ~ ^21 ~ 2 ’
f
откуда
Zi = Zn — Z12, Z2 = 2ц + Z12. (18.17)
Реализация двухполюсников Z£(p) и Z2(p) осуществляется ме-
тодами, изложенными в гл. 17.
Как известно, мостовая схема с точки зрения ее практической ре-
ализации является неэкономной, так как содержит большее число
элементов, чем эквивалентные ей симметричные Т- или П-образные
схемы. Поэтому в тех случаях, когда физически возможен (т. е. все
элементы операторных сопротивлений будут положительны) переход
ют мостовой к Т- или П-образной схеме его следует осуществить. Со-
ответствующие формулы перехода имеют вид .(см. табл. 18.1):
z2 — Zx
Zu = 2зт = Zx; Z2T =-------------9---; (18.18)
Zin —
2ZxZ2
Z2n = 2зп = Z2.
(18.19)
Пример дан в задаче 18.8. . -
Б. Синтез четырехполюсников, состоящих из элементов двух ти-
пов:'г, С или г, L.
В этом случае, как и при синтезе реактивных четырехполюсников,
вначале определяют Z- или У-пара^етры, а затем по ним синтезирует-
ся четырехполюсник. Методика определения этих параметров зави-
сит от того, какие передаточные функции заданы.
а) Определение Z (или У)-параметров по заданным Т z (р) или
Ту (р). Положим, что задано передаточное сопротивление
т z(p) = р (P)/Q (р).
598
Его знаменатель разбиваем на два слагаемых Qt(p) и Q2(p)
как производится разбивка, см. далее). Тогда
Р(Р)
Tz (р) => = —^Й__
Q1(P) + Q2(P) . Q1 (р) '
Q3 (р)
Сопоставляя эту формулу с (18.9), получим:
г _ р № -7 _ Q1 (₽)
Z21 ~ ОЙрГ ’ Z22 “ ОЙрГ ’
(18.20)
Полиномы Qi(p) и <2г(р) выбираются так. Находим корни знаме-
нателя заданного выражения Q (р) и разлагаем его на множители:
Q (р) = (Р +° 1) (Р +° г) ... (р + ап).
Составляем полином Qt(p), число корней которого равно числу
корней Q (р):
Qi(p) = k' (р + <) (р + о’2) ... (р + а;), (18.21)
а его корни ой могут быть найдены одним из следующих двух спо-
собов:
Способ 1. Каждый из корней a’k выбирается так, Чтобы он был
больше соответствующего корня ah, т. е. должны выполняться неравен-
ства
{k = 1,2, ... п). (18.22а)
Постоянная k' выбирается так, чтобы имело место следующее не-
равенство:
A'aja'...о^<а1а2... ап. (18.226)
Способ 2. Корни o’k выбираются так, чтобы каждый из них был
меньше соответствующего корня аЛ, т. е.
0;<ай(А: = 1,2, ... , п). (18.23а)
Постоянная k' должна удовлетворять следующему неравенству:
k' < 1. (18.236)
После того как по одному из указанных способов полином Qi(p)
определен, полином Qz(p) находится из равенства
<2а(р) = Q (Р) - Qi(p). (18.24)
Задача решается аналогично, если задана не Tz (р), а Ту (р)-
Примеры приведены в задачах 18.10 и 18.11.
б) Определение Z (или У)-параметров по заданным Ки (р) или
(Р).
599
Положим, что задано
Ku (р) = Р (p)/Q (p)-
В этом случае метод определения Z (или У)-параметров таков.
Делим числитель и знаменатель последнего выражения на полином
L (р), степень которого равна степени знаменателя Q (р), а корни
чередуются с корнями Q (р):
Р(Р)
(18.25)
Сопоставляя это выражение с (18.7), найдем:
7 __ Р(Р) у _ Р(Р)
21 “ MP) 21“>(р)’
или (18.26)
v Q(P) v _ Q(P)
11 L(p) Г22 L(p) ‘
Задача решается аналогично, если задана не Ku (р), a ТС/ (р).
Таким образом, по любой заданной передаточной функции опрё-
делены два из трех Z (или У)-параметра. Третий параметр выбирает-
ся исходя из условия симметрии схемы, и дальнейшее построение че-
тырехполюсника осуществляется, как в случае синтеза реактивных
четырехполюсников.
Пример дан в задаче 18.13.
7. Синтез четырехполюсника постоянного затухания. Его переда-
точная функция не зависит от частоты и является постоянной величи-
ной, т. е.
К(р) = А.
Такой четырехполюсник может быть реализован по мостовой схеме
(см. рис. в табл. 18.1). Он имеет входное сопротивление, равное R
при его нагрузке на согласованное сопротивление 7?. Его продольное
и диагональное сопротивления определяются по формулам:
1 — е"^ 1 +
7?i = 7? । , Т?2 = 7? ।, (18.27)
где
£ = 1П 4-
8. Синтез четырехполюсника постоянного активного сопротивле-
ния, т. е. такого, у которого входное сопротивление на всех часто-
тах равно постоянной величине R при его нагрузке на активное со-
противление 7?.
600
Частным случаем четырехполюсника постоянного активного со-
противления является симметричный мостовой четырехполюсник,
если сопротивление Zi его продольного плеча обратно сопротивлению
Z2 диагонального плеча, т. е.
ZiZ2 = R*.
В нормализованном мостовом четырехполюснике
ZiZ2 = 1.
(18.28а)
(18.286)
Для мостового четырехполюсника нормализованные передаточ-
ные функции связаны между собой соотношениями Tz = — Ту ==
= Ки = —Ki . Если каждую из них обозначить через К (р), то нор-
мализованное сопротивление продольного плеча определяется по фор-
муле
1 - К (Р)
(18.29)
Таким образом, синтез мостового четырехполюсника постоянного
активного сопротивления осуществляется в следующем порядке.
По (18.29) находим Zit затем по (18.286) определяем Z2. Эти сопротив-
ления реализуются методами, изложенными в гл. 17. Если, по ус-
ловию, R=f=l, то элементы синтезированного четырехполюсника
должны быть нормализованы в отношении R.
Пример приведен в задаче 18.16.
9. Синтез фазового контура или четырехполюсника чисто фазо-
вого сдвига. Такой четырехполюсник, будучи нагруженным на со-
гласованное сопротивление R, представляет собой частный случай
четырехполюсника постоянного активного сопротивления и реали-
зуется, как указывалось.
Пример дан в задаче 18.18.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
18.1. Для некоторого четырехполюсника Z-параметры имеют
следующие выражения:
Зр2 + 2р+1. v 1 v р + 1
И “ р *’ Z12 ~ ~ i Z22 — р
Проверить выполнимость условий вычетов и вещественной части.
Найти схему четырехполюсника, реализующую Z-параметры.
Решение. Проверяем условие вычетов (18.1). Все заданные
параметры имеют единственный полюс при р = 0. Находим вычеты
в этом полюсе:
&и — [Res Zu (р)]Р=во
Res
Зр2 + 2р + 11
1
р=0
^22 — [Res Z22 (р)]р=о 1, kyz — [Res Z12 (p)]p»o — 1-
601
Условие вычетов выполняется, так как
£ц*22 - я ~ 1 • 1 - I2 =0.
IX
Проверяем условие вещественной части (18.2а):
ГЗр2 + 2р + 11 „ — 3<02 + /2
ru = Re[Z„ Ш-/. - Re ---------------- - Re-------------
— г -ЛГ' J J
Г22~ %е [%22 3=3 1‘» 12 32 Re [^12 (р)]р=/а> 33 0*
Условие вещественной части выполнятся, так как
Гцг22 — г22 = 2 • 1 — О2 > 0.
Попутаемся реализовать заданные Z-параметры Т-образной схе-
мой. Для этого воспользуемся Z-матрицей табл. 18.1:
Zu = Zir + Z2T = 3p2^2P + 1 ; (1)
p
ZX2 = Z2T = —; - (2)
P
Z22 = Z2T + Z3T =“ . (3)
P
Решая эти уравнения, из (2) находим
Z2t « 1/р,
а из (1) и (3) — остальные параметры Т-образной схемы:
7 7 7 Зр2 -И 2р + 1 1 ОЛ . О.
Zu = Zn — Z2T ---------------------------- 33 Зр + 2,
Р Р
Z3T == Z22 — Z2T = —--------------- -- 1.
Р Р^
2 3 1 Соответствующая Т-образная схема че-
тырехполюсника изображена на рис. 18.2.
Если попытаться реализовать четырехпо-
люсник П-образной схемой, то окажется,
г _____ 1 что сопротивление Zin Зр2+ 5р + 3 фи-
; зически нереализуемо.
Рис. 18.2 18.2. Выяснить, какие из следующих
выражений Z- и У-параметров могут соот-
ветствовать физически реализуемым четырехполюсникам, и для них
найти соответствующие схемы:
а) — ^12
б) Уц — У12 ж
14р + з
2бр2 + 9р + 1
602
в) Zu — Z22 —
Z12 =
ZX2 —
^22
11 “
p
«
р
з
и 1 .
р
18.3. Четырехполюсник имеет передаточную функцию по напря-
жению при холостом ходе
К ________L___£______
У'(7Х.Х I I О
Реализовать его в виде Г-образной схемы рис. 18.1.
Решение. В соответствии с формулой (18.5) обозначим по-
линомы числителя и знаменателя соответственно через
Р (р) = Р, Q (Р) = 4р2 + 7р + 2.
Находим корни знаменателя из Q (р) = 0:
Pi ж — 0,36; р2 ж — 1,39.
Согласно п. 4 основных положений разделим числитель и знаме-г
натель передаточной функции на полином L(p), корни которого чере-
дуются с корнями Q (р).
Рассмотрим три варианта выбора полинома L(p).
1. Пусть L (р) = р (р + 1), его корни р\ = 0 и р'2 = — 1 череду-
ются с корнями pi и р2 полинома Q (р). Элементы Г-образных плеч
вычисляем по формуле (18.6):
Д(р) = тЯ
Р(р)
P
Согласно (17.126) это выражение представляет собой параллель-
ный контур, состоящий из г = 1 и С = 1.
Сопротивление
Z. (Р) =
<? (р) - Р (Р)
£(Р)
4р2 7р + 2 — р
Р (Р + 1)
Р
Это выражение — последовательное соединение г = 4 и С = 0,5.
Искомый четырехполюсник имеет вид рис. 18.3,а.
Рис. 18.3
603
2. Выберем L (р) = р (2р 4- Г). Его корни р\ = 0 и р'2 = —0,5
также чередуются с корнями pt и р2. Аналогично предыдущему вы-
числяем
Z2 (р) = =------р----= —
Ир) р(2р + 1) 2р+1
Этому сопротивлению соответствует параллельная цепочка из
r = 1 и С = 2.
Сопротивление
Q (р) - Р (р) = 4ра + бр + 2 = 2 2 .
L(p) р(2р + 1) р
Это последовательная цепочка из г = 2 и С — 0,5.
Схема реализации имеет вид рис. 18.3,6.
3. Пусть L (р) = (р + 1) (р + 2), его корни также чередуются
с pt и р2- По (18.6) вычисляем
(р) =
Р _ Р = 1
(р+1)(р + 2) ра + Зр + 2 2
Р + 3 + —
Р
Этому выражению соответствуют три параллельно соединенных
сопротивления, элементы которых г2 = 3, L2 = 0,5, С2 — 1.
Сопротивление
z = ,+У+а = Л-±.4е, = 1 + .
(р + 1) (р + 2) 2 4- Р 1 1
3 + 3
Этому выражению соответствуют последовательное соединение
активного сопротивления r2 = 1 ом и параллельной цепочки из г3 =
=3 ом и L = 3/2 гн.
Схема реализации имеет вид рис. 18.3,в.
Заметим, что наиболее простая схема оказалась в случае 1.
18.4. Реализовать четырехполюсники в виде Г-образных схем,
имеющие следующие передаточные функции по напряжению при холо-
стом ходе:
2р (Р 4- 1)
5р2 4- 9р 4- 2
б) Л/х.х =
2р + 5
Юр 4- 9
18.5. Найти схему реактивного четырехполюсника, нормирован-
ное передаточное сопротивление которого имеет вид
==_____________2,5.10~21р* —б-Ю’Цр2 4-0,5____________
Tz~~ 2,5-10“21р4 4-5-10"18р3 4- 20-10“up2 4-5* 10“8р 4-0,5
Вычислить элементы четырехполюсника, если нагрузкой является
активное сопротивление R = 100 ом.
604
Решение. В данной задаче
Р (р) = 2,5 • Ю’21/?4 — 5 • 10"“р2 + 0,5; m (р) = 2,5 • 10"21р4 +
4- 20 • 10-“р2 + 0,5; п (р) = 5 • 10-18р3 + 5 • 10“8р.
Числитель Tz представляет собой четный полином, поэтому в
соответствии с п. 6, А,а) основных положений и соотношений для
определения нормированных Z-параметров воспользуемся формула-
ми (18.13а):
Р(р) = 2,5-10-21р«—5-10~Цр« + 0,5
п(р) 5-10-18р3 + 5-10-8р ’
= т (р) _ 2,5- 10~Пр* + 20- 10~цр2 + 0,5
— п(р) 5-10-18р3 + 5-10-8р
По этим Z-параметрам по формулам (18.17) находим нормирован-
ные параметры мостовой схемы: ,
7 / а 7 7 25-10-нр2 _ 5-10’р
\Р) — Z11 \Р) \Р>----------7 1Л-1я я ’Г к ------------« . ,П1П >
5 • 10 18р3 + 5 • 10 8р р2 + Ю10
2г (р) — -Zu (р) + Z12 (р) —
5-10-21р4 + 15.10-llp2 + 1
5-10-18р3 + 5- 10-8р
= Ю~3р-[---'10Т...
Р
Сопротивление Zi(p) — параллельно соединенные индуктивность
L1H и емкость С1Н, параметры которых находим по (17.7а), сопротив-
ление Z2(p) — последовательно соединенные L2h и С2н (индекс «н» ука-
зывает на нормированность элементов):
L1H = 5 • ЮЛ С1н=2 • ЮЛ L2h = ЮЛ С2н=5 • ЮЛ
Так как нагрузка 7? = 100 ом, то, переходя от нормированных ве-
личин к действительным, получим:
= LinR = 5- IO'3, юо = 0,5 гн\ С1=С1н/7?=2.10~8/100=2-10“10 ф;
L2 = L2h7? = 10“3.100 = 0,1 гн\ С2 = С2н/7?-5.10'8/100 = 5.10“1() ф.
Схема реализации представлена на рис.
18.4.
18.6. По заданным нормированным пе-
редаточным функциям найти схемы реак-
тивных четырехполюсников и вычислить
значения их элементов, если нагрузкой
является активное сопротивление R:
Рис. 18.4
a) Tz = ---------------+ 1012р----------------, R = 500 ом;
2 р8 + 106 *р2 + 3-1012р + 2-1017 ’
б) 7' ____________________2-105Р2 + 101;. п = 20Г
Y 8р3 + 6 • 106р2 + 2 1012р + 101’ ’
605
18.7. Коэффициент передачи напряжения реактивного четырех-
полюсника в режиме холостого хода имеет вид
К = (р2 + 2) <р2 + 6) <Р + 2°)
£/Х’Х + 4) (р2 + 12) (р2 + 25) ‘
Указать,/какие из приведенных далее выражений функции L (р)
могут быть выбраны для знаменателей Z- и У-параметров формул
(18.16):
М (Р) = (Р2 + 5)(р2 + 16)(р2 + 30); L5 (р) = р (р2 4- 5)(р2 + 12);
L2 (Р) = (Р2 +5) (р2 + 15); L6(p) = Р(Р2 + 5) (р2 + 16);
L3 (Р) = Р (Р2 + 8) (р2 + 10); L7 (р) = р (р2+ 5) (р24- 16) (р2 + 30).
L4 (р) = р (р2 + 7) (р2 + 30);
Решение. Полином Li(p) неприемлем, так как является
четным.
Полином L2(p) не годится, так как его степень отличается от сте-
пени знаменателя Ких.х больще чем йа единицу.
Полином L2{p) не годится, так как его степень отличается от сте-
пени знаменателя Ких.х больше чем на единицу.
Полином L3(p) и L^p) неприемлемы, так как у них нет чередова-
ния нулей с нулями знаменателя Ких.х •
Полином £5(р) так же неприемлем, так как один из его корней
равен корню знаменателя /Qyx.x •
Полиномы Lq(p) и L7(p) приемлемы.
18.8. Реализовать четырехполюсник с передаточной функцией по
напряжению в режиме холостого хода:
„ _ 10’3р2 4-0,5-109
At/x.x — 10-зр2 1>5.109
Решение. Задачу будем решать в соответствии с п. 6Л,б ос-
новных положений и соотношений. Примем степень полинома, на ко-
торый будем делить числитель и знаменатель передаточной функции,
на единицу меньше степени полинома знаменателя Ких.х • Пусть,
• например, L (р) = р. Тогда по (18.16) найдем Z-параметры симмет-
ричного мостового четырехполюсника:
10~3р2 -4-0,5-10»
Р
L(p)
10-3р2 4- 1,5-109
Р
Сопротивления плеч мостового четырехполюсника находим по
(18.17):
Z, = Zu — Z12 = —— ;
1 11 12 q0-»p
606
22 == Zu + Z12 = 2* 10“1 2 3 4 5 6 7р +—.
2 ' 11 12 K o,5-io~9p
Синтезированный четырехполюсник изображен на рис. 18.5,а.
Он содержит шесть элементов. Выясним, нельзя ли его преобразо-
вать в эквивалентный симметричный Т-образный четырехполюсник.
По формулам (18.18) находим элементы эквивалентного Т-образного
четырехполюсника:
\
Zn = ZX= ——; Zzr = -bnEl- ==Ю-3р+ —1-.
1 10-»p 2 lO-’p
Рис. 18.5
Полученные сопротивления могут быть реализованы в виде Т-об-
разной схемы (рис. 18.5,6), которая содержит четыре элемента.
18.9. По заданной передаточной функции четырехполюсника без
потерь в режиме холостого хода осуществить симметричную реализа-
цию в виде мостовой схемы:
„ _ — 2 • 10-12ра + 1
Дох.х-------, •
4 • 10 12р2 +1
Задачу решить в двух вариантах, выбрав полином L (р) так, что-
бы его степень была: 1) на единицу меньше и 2) на единицу больше
степени знаменателя /(и х.х •
с 18.10. Дана нормированная передаточная проводимость
Т = (р + ‘> + 8) <Р + 15)
у (р+.3)(р + 12)(р + 20) ’ . .
Выяснить, какие из приведенных далее полиномов Q4(p) являют-
ся пригодными для возможности реализации четырехполюсника:
1) Qi(p) = 0,05 (р + 2) (р + 4);
2) Qi(p) = 0,02 (р 4- 1) (р + 4) (р + 16) (р + 24);/
3) Qi(p) = 0,03 (р + 4) (р + 7) (р + 14) (р + 16);
4) Qt(p) = 0,7 (р + 5) (р +.16) (р + 25);
5) Qi(p) = 5 (р + 2) (р + 5) (р + 16);
6) Qi(p) = 0,3 (р + 4) (р + 14) (р + 25);
7) Q,(p) = 0,4 (р + 1) (р + 5) (р + 16);
8) Qi(p) = (р + 2) (р + 5) (р + 16).
607
Решение. Полином 1 неприемлем, так как число его корней
меньше числа корней знаменателя Ту .
Полином 2 неприемлем, так как число его корней больше числа
корней знаменателя TY .
Полином 3 неприемлем, так как его корни не чередуются с корня-
ми знаменателя TY .
Полином 4 не годится, так как не выполняется условие (18.226).
Действительно,
0,7 • 5 • 16 • 25 > 3 • 12 • 20.
Полином 5 неприемлем, так как не выполняется условие. 18.236.
Полиномы 6, 7 и 8 приемлемы.
18.11. По заданному нормированному передаточному сопротив-
лению Tz определить Z-параметры четырехполюсника и найти его
схему. Нагрузкой является активное сопротивление 7? = 100 ом.
Сопротивление
т = 0,2р + 0,1»108 = Р(р)
z р + 0,'6.108 Q (р) ’
Решение. Решим задачу двумя способами [(см. п. 6, Б, а) ос-
новных положений и соотношений].
Способ 1. Значение а' выберем больше, чем а4 = 0,6 • 108 [см.
формулу (18.22а)]. Пусть, например, о' = 1 • 108. Коэффициент k'
должен удовлетворять неравенству (18.226):
и / иг <?1 0,6. Ю8 Л
яV- < а, или k < — = —------------ = 0,6.
11 0' ыо8
Примем, например, k' = 0,2. Составим полином Qi(p) согласно
(18.21), a Q2(p) найдем по (18.24):
Qi(p) = k’ (р + < ) = 0,2 (р + 108); Q2 (р) = Q (р) — Q, (р) =
=р + 0,6 • 108 — 0,2р — 0,2 • 108 = 0,8р + 0,4 • 108.
Далее по (18.20) находим Z-параметры:
7 = = 0.2р + 0.1-108 . z = <31 (р) _ 0,2р 4-0,2-1Q8
21 <2г(Р) 0,8р + 0,4-108 ’ 22 Q2 (р) 0,8р 4-0,4-108 "
Параметры (нормализованные) мостовой симметричной схемы оп-
ределяем по (18.17):
7 _7 7 _ 0,2р + 0,2 • 108 0,2р + 0,1 • 108
0,8р + 0,4 • Ю8 0,8р + 0,4-108
0,125-lQ8 .
— р + 0,5 108 ’
7—7 I 7 _ 0.4р + 0,3-108 _ п - 0,Ы08
2 22+21 о,8р + О,4-1О8 ~ ’ -0,8р+ 0.4-108 ’
608
Согласно (17.126) Zi представляет собой параллельно соединенные
активное сопротивление и емкость, нормализованные величины ко-
торых равны г1н = 0,25, С1Н = 8 • 10~8, а их действительные значе-
ния Г1 = r1H R = 0,25 • 100 = 25 ом, Ct = CiH/R = 8 • 10"10 ф. Со-
противление Z2 состоит из последовательного соединения активного
сопротивления и параллельной rC-цепочки. Схема четырехполюс-
ника изображена на-рис. 18.6, а.
Способ 2. Значение oj выберем меньше, чем oi [см. формулу
(18.23а)]. Примем = 0,4 • 108 и k'= 1. Тогда
Qi (р) = 1 • (р + 0,4 • 108); Q2 (р) = 0,2 • 108;
7 _ 0,2р + 0,1-108 . 7 _ р + 0,4-108 .
21 ~ 0,2-108 ’ 22 0,2-108 ’
7 = 0'8Р + O'Llgi = 4-10^ + 1,5, Z2 = 6-Ю-8р + 2,5.
1 0.2-108
Сопротивления Z4 и Z2 — последовательно соединенные индуктив-
ность и активное сопротивление, нормированные величины которых
L1H = 4 • 10’8, г1н == 1,5, L2h == 6 • 10’8, г2н= 2,5. Их истинные ве-
личины равны:
Li = Li R = 4 • 10’6 гн; t = 150 ом; L2 = 6 • 10’6 гн; r2 = 250 ом.
1
Схема четырехполюсника изображена на рис. 18.6, б.
18.12. Синтезировать четырехполюсник по заданному нормиро-
ванному передаточному сопротивлению Tz = 106/(p + 4 • 106), считая,
что нагрузкой является активное сопротивление R = 500 ом.
18.13. Известен коэффициент передачи напряжения в режиме хо-
лостого хода 4
„ (р + 2ЦР+.7Г. .
(Р + в) (р + 10)
Указать, какие из указанных далее полиномов L (р) являются при-
емлемыми для возможности реализации четырехполюсника:
1) L (р) = 2 (р + 3) (р + 5);
2) L (р) = (р + 7) (р + 12);
3) L (р) = 5 (р + 2) (р + 8);
609
4) L (p) - (p + 1) (p + 8) (p + 12);
5) L (p) - 3 (p + 8);
6) L (p) - 8 (p + 2) (p + 7).
18.14. Коэффициент передачи напряжения четырехполюсника в
режиме холостого хода имеет вид
„ 20 + 10*
л\Uх.к == .
2р + 3.106
Осуществить реализацию четырехполюсника в виде мостовой сим-
метричной схемы в двух вариантах: 1) корень полинома L (р) вы-
брать больше корня знаменателя KUx х ; 2) корень L (р) выбрать мень-
ше корня знаменателя /Сс/Х .
18.15. Синтезировать четырехполюсник постоянного затухания,
нагрузка которого R « 600 ом, а коэффициент передачи К (р) = 0,2.
18.16. Требуется синтезировать мостовой четырехполюсник пос-
тоянного активного сопротивления R == 600 ом, нормализованный
коэффициент передачи напряжения которого имеет вид
„ 0,9—9-10“4р
1,1+9.10-р •
Решение. Выражение нормализованного сопротивления про-
дольного плеча мостового четырехполюсника определяем по (18.29):
2i (Р) =
1-К(Р)
1 + К (Р)
0,9 —9-10~4р
------1,1 +9'Ю-4Р- = 0,1 + 9- 10-4р.
0,9—9-10^4р
1 +------------~
1,1 + 9-10"4р
Оно представляет собой последовательное соединение активного
сопротивления и индуктивности, нормализованные величины кото-
рых Г1Н = 0,1 и LiH = 9* 10“4, а истинные л = 0,1 • 600 = 60 ом,
Li = 9 • 10-4 • 600 = 0,54 гн.
Диагональное плечо Z2(p) — двухполюсник, обратный Zi(p) (см.
формулу (18.28а)]. Он представляет собой параллельное соединение
активного сопротивления и емкости (см. гл. 13). Его элементы находим
по формулам:
6002 СЛПЛ п L 0,54 . -
----- == 6000 ом; С2 =--------- = —1— = 1,5-10^
60 R2 6002
Схема реализации показана на рис.
18.7.
18.17. Найти мостовые схемы четы-
рехполюсников постоянного активного
сопротивления R для следующих нор-
мированных передаточных функций:
Рис. 18.7
610
а) Ку =
2-10’p2 + 0,8
2-10"7p2 + 4-10-«p + 1,2 ’
R = 100 ом;
p ____________2p______
z 10"8p2+2p + 4 • 10s ’
R — 200 ом.
18.18. Реализовать в виде симметричного мостового четырехпо-
люсника фазовый контур второго порядка, нагруженный на входе и
выходе цепи на согласованные сопротивления R = 600 ом. Рабочая
передаточная функция контура имеет вид
Л(Р) =
18 • 10~10р2 —6 10~6р + 1
18 • 10-10р2 + 6 • 10~5р + 1
Решение. Поскольку контур нагружен на согласованные со-
противления, его передаточная функция совпадает с заданной. Расчет
сопротивления продольного плеча можно вести’по следующей фор-
муле: ' ’
По сравнению с формулой (18.29) здесь в правой части появился
множитель R; это связано с тем, что К (р) задано в ненормированном
виде. Подставляя в последнюю формулу заданное К (р), найдем
Zi = 600
18 • lQ-i°p2 — 6 • 10~5р + 1
1 ~~ 18 • 10-10р2 + 6 • 10"6р + 1
18 • 10-1°р2 — 6 • 10~5р + 1
18- 10-10р2 + 6 • 10”5р + 1
36-10~3р
18- 10~10р2 + 1
2-10’р
18-10~10
Полученное выражение сопротивления продольного плеча иско-
мой мостовой схемы реализуется параллельным LC-контуром, па-
раметры которого находим по (17.7а):
Ct = 5 • 10~8 ф; Ц = 36 • IO’3 гн.
Элементы диагональных плеч обратны найденным:
L2 = R2o Ci = 6002 • 5 • IO"8 = 18х
п М 36-io-2 1Л_, .
X IO-3 гн; (?2 = - = 10 7 ф.
Л2 6002
Схема реализации показана на рис.
18.8. 7
Рис. 18.8
611
ОТВЕТЫ
К главе 1
1.3. а) г1х х = 120 ом, г1к з = 72 ом; б) г1х х = 20 ом, г1к 3 == 18 ом;
в) г1х х = 838 ом, г1к з е 200 ом; г) г1х х = 40 ом, г1к 3 = 30 ом. 1.7. 15 в.
1.11. 18 а; гш = 0,0005 ом. 1.12. а) 0,15; б) 0,05. 1.13. бом 1.15. 750ом. 1.16.
12 в; 2 ом. 1.17. На середине линии. 1.19. 7,5%. 1.20. Точное значение
41,8 мм2, по ГОСТу надо взять 50 мм2. 1.22. /1= 2,5 а; /г= 1,5 а; А= 1 а.
1.23. /1= 5 а; /2 = 1 а; А= 4 а; Uba = 30 в. 1.24. 20 а; 10 а; 36 в; 36,7 в. 1.25.
/1= 98 а; А= 144 а; А= 46 a; Ui= 102 в; 71 в. 1.27. А = 5 а; А= 9 а;
1з=* 1 а. 1.28. /1= 8 а; /2= 2 а; А= 6 a;(pi= 78 в;<р2= 20 в. 1. 30. /1= 1,2 а;
А= 0,3 а; / «'1,5 а. 1.31. 25 в; Pi= 9 вт; Рч = 15,6 вт. 1.33. А = 10 ма;
1ч=» 4 ма; А = 20 ма; А = 6 ма; U = 30 в. 1.35. /1 « 105 ма; /2 « 45 ма; /3=
== 5 ма. 1.37. /1 = 2 а; 1ч = 2.7 а; А = 0,7 а; А = 2,2 а; А = 4,7 а; А = 2,5 а;
у а =. — 22 в; ь = 47 в; (рс = — 10 в. 1.38. А = 5 ма; 1ч « 10 ма; 1з = 95 ма;
А = 15 ма; /5 « 30 ма; А = 65 ма. 1.41. <р i = 0, 92 = — 60 в, <р з = 80 в, 1.43.
А « 2,25 ма; А =1,4 ма; А = 0,85 ма; U— 0,75 ма; /5 = 0,1 ма; А = 1,5 ма.
1.45. См. ответ к задаче 1.35. 1.46. А = 5 ма; А= 20 ма; А= 140 ма; U— 40 ма;
15 = 60 ма; А = 65 ма. 1.50. А = 0,8 а; /2 = 0,75 а; А = 2 а; А = 1,55 а; / =
и 2,75 а. 1.53. См. ответы к задаче 1.35. 1.55. 0,3 а; 0,2 а; 0,15 а; 0,1 а; 0,15 а;
0,005 а; гаЬ « 100 ом; Р = 9 вт. 1.56. / = 3,8 а; /1= 0,5 а; А = 1,5 а; А = 3,3 а;
А = L8 а; А = 2 а; гц = 33 ом. 1.60. А= 0,56 а; 1.61. а) Ег = kE, гг =
kEr
= k (1 — k); б) Ег = kE — £1, rr = Г] Ф k(l — k) г; в) Ег = —-------— , гг=
A +kr
= 10 ом; 2) Е = 40 в, го = 5 ом; 3) Е — 5 в, го = 5 ом. 1.66. 40 ма. 1.67. 0,4 а.
1.69. А= 3,8 ма; 1Ь = 1 ма. 1.70. А =3,6 а; 1ч — 1,6 а; А = 5,2 а; А = 0. 1.71.
См. ответ к задаче 1.50. 1.73. Для схемы рис. 1.14, а: гг = 45 ом; Рч = 7,2 вт;
Ръ/Рх=> 12,5%; 0,25; для схемы рис. 1.14, б; гч = 20 ом. Рч = 7,2 вт,
Рч/Р\ = 2,63%; C/ai Ui = 1/6. 1.75. £ц = 1/30 сим; g22= 1/48
сим; £33 =
117 1 1
= сим; £44= — сим; £55 = — сим; £12 = £14 = — сим; £13 = —- сим;
75 48 400 60 150
£16 = 2. силе; £23 в 2-0
1 1 1
сим; £24 = — сим; £25 = — сим; £34 = —. сим;
24U oU 6UU
£35 == — сим; £45 == -77ТТ, сал; А= 2,2 а; 1ч = 0,25 а; А == 0,8 a; U = 2,45 а;
200 400
А = 0,55 а. 1.77. U = 40,5 —3,75 /. 1.78. / = 8 * 10“3 — 4-10~4U; А = 8х
X 10“3 — 2-10“4 U; 1ч=> 2-10"4U; А = 2-10“3 + 2-10“4 U.
612
К главе 2
те
2.2. а) (р = —; «1= 300 sin cor
1 £
2те
= 0,02 сек; f = 50 гц; б) ф = — ;
Т = 10 мксек; i = 105 гц; в) ф =
е= 200 sin (&>t 4- 2L ] = 200 cos со/
(те \
(о/ — — ) а;
1 !
/ ' 2те \
/а= 5 sin I (07 ф "~3~l Ma'f t3==
1,57 рад = 90°; и2 = 300 sin
Л 2
в; Т = 0,06 сек, ft 3=3 16
2) 475 sin ((0/ф 79°05') в. 2.6.
=9,1 sin (iat—57°30') а. ил= 91 sin((o/ — 57°30') в; и, » 146 cos (со/ — 57°30') в;
3 sin cat ма;
со/
гц.
в; из =
в;
ра= 416 [1—cos (2<о/ — 115°)] em; pL = 653 sin (2goZ— 115°) вар; p= 416 —
— 773 cos (2(0/ — 57°30') ва; к>=1,04 [1—cos (2(0/ — 115°)] дж. 2.8. 12 ом;
0,51 мгн. 2.10. и = 311 sin ((о/ — 4Г30') в; «а =□ 233 sin <в/в; и0^—
— 206 cos (о/ в; р с=э 226 — 302 cos (2(0/ — 41°30') ва; = 0,319 (1 фсоз 2(о/) дж.
2.12. j= 400 гц; гэ=> 16?2 ом; хэ = 11,8 ом (индуктивное). 2.14. НО вт.
2.16. U = 121 в; Рсх = 252 вт; Qcx = 87,1 вар; Scx « 266 ва; Рреост = 193,6 вт;
Ркат = 58,4 вт; QKaT = 87,1 вар; ф —фкат = 37°30'. 2.17. I = 7,68 a; Ui =
«з 82,5 в; Pi= 307 вт; Qi= 557 вар; U2 = 40 в; Р2=* 248 вт; Q2 == 186 вар;
Рсх = 555 вт; Qcx = 743 вар. 2.18. г = 18,3 ом; L = 7,05 мгн. 2.19. U =
== 120 в; t/кат ==я 38,2 в; Ркат == 60,6 вт; t/конд =а 1^4 в; Рконд ==а 20,2 вт;
<?£= 1,14, Qc= 17,2. 2.21 1) 19,5 ом (емкостный), 2) 19,5 ом (индуктивный).
2.23. Ui = 6,3 кв; ип;и = 1,27 кв; Д U = 1,2 кв; Т| = 93%. 2.24. 1) г2 =
=э 100 ом; х2 = 100 ом; 2) г2 = 100 ом; х2=* —220 ом. 2.25. Рпптяу~
« 18,3 кет; Рпр maxв'60 кет и РПр max'- 161 кет. 2.28. 210 вт. 2.31. z’i==
== 2,5 У 2 cos <ot a; i 2 = 5 У 2 sin ((о/ > 126°55') а; I =□ 7,2 У 2 sin (со/ ф
+ 114°45') а; и = 125 /2 sin (ю/ ф 73°45') в. 2.32. /1= 15 а; /2 = 16 а;
/ = 10,3 а; Р = 900 вт; Q = 415 вар; S == 990 ва; гэ=я 8,5 ом; х — --3,9 ом.
2.33. / = 8,9 a; U = 120 в; гэ = 12,4 ом; хэ = 5,23 ом. 2.35. G = 155 мкф;
Qc =2330 вар.
К главе 3
3.1. и = 100е/15°= 100 cos 15° 4- / 100 sin 15°= 96,6 4- j 25,9 = 100
15° в; / = 5 е~/20° = 5 cos 20°— / 5 sin 20°= 4,7 — / 1,71 = 5^ — 20° а. 3.2.
1) 3,44 е±/21°20’; 2) 3,44 е±/68°40' ; 3)3,44 е±/,58°40' ; 4) 3,44е±/|11°20' ;
5) 12,9 ё/75°40’; 6) 3,2 е—>2°14'; 7)3,2 е'87°46'; 8) 3,2 е''92°14'; 9) 1,29 е-775°40';
10) 23 е/0°9' j 11) 64 е_/92°30'; 3.3. 1) 30,2 ± / 10,4; 2) 10,4 ± j 30 2;
3) —30,2 ± /10,4; 4) —32 Т /1,44; 5) 1,44 ±/32; 6) 32 4- j 0,4; 7)32 —
— / 0,112; 8) —1,44 4- / 32; 9) —32 — j 1,44; 10) 0,425 — / 7,3; 11) — 147 —
— /28,6; 12) —3.66 —/ 27,8; 13) 0,54 > /0,841; 14) 8,78 — / 4,79. 3.6. a) Z=
« (4 f / 12) ом; Y = (0,025 — / 0,075) сим; гэ = 4 ом; хэ е= 12 ом (индук-
тивный); ф = 7Г35'; £7а = 17,9 в; (7Р = 53,6 в; /а = 1,41 а; /р = 4,24 л; Р ==
« 80 вт; Q = 240 вар; S = 253 ва; б) Z = (0,952 ф j 3,888) ом; Y = (0,0595—
— / 0,243) сим; гэ = 0,952 ом; хэ = 3,888 ом (индуктивный); ф = 76е 15'; Ua =
= 23,8 в; L/р = 97 в; /а = 5,95 а; /р = 24,25 а; Р = 595 вт; Q = 2425 вар;
= 2500 ва; в) Z == / 20 ом; Y = — / 0,05 сим; г9 = 0; хэ= 20 ом (индуктив-
ный); ф = 90°; t/a == 0; Un = 120 в; /а = 0; /р = 6 а; Рй =0; Q = 720 вар;
S = 720 ва. 3.8. Ul = 51,1 в; U2 = 69,5 в; а = 2°44'; ф1= — 1°ЗГ; ф2 = 1°13 ;
Pi= 188 вт; Р = 236 вт. 3.9. L = 35 мкгн. 3.10. / «7 а; Р 400 вт. 3.11. U =»
= 116 в. 3.13. и=232в; Р=43,5 вт. 3.14. 284 е/17ОЗ°' в; = 167 е“/149°15'в;
Ui, ih=. 166°45'. 3.17. /1= 5 е/бз°10' а- й = 4е/73045' а; 7= 8,85 е7'62’20' в;
a) Uy = 35,2 а; 1 д ~ 1,2 о; б) 93,5 в. 3.18. U =. 50,8 в. 3.19. 7, = 4 о; 7а =
613
= 8,8 е“'74° а; 73=/5 а; 1 = 7,Зе"728’ а. 3.21. h = (0,384 — / 0,112) ма; 72=
= (0,3744 +/ 0,1408) ма; 73 = (0,0096 — / 0,2528) ма. 3.22. А» 2,06 е787”20' а;
А = 2,94 е/44°25 а; V = 161 е723” в; угол между U и Uaba = 33°20'; Р =
s= 440 вт; Q= 173 вар (емкостный). 3.23. /1= 12 а; А = 2,68 а; /з=14,45а;
U =з 30 в; и = 42,4 sin (о/ — 36°50') в; /г = 3,8 sin (о/ — 153°25') а; is =
= 20,4 sin (cat -ф- 4’45') а; 3.25. <o£i = 51 ом. 3726. /a = 2,56 е738’40’ а; 73 =
= 4,3 е-721’50'; U = 109 е735<>45' в; 3.27. 7 = (8,1 — / 11,35) а; 7Х = (3,25 —
— / 10,5) а; /а = (4,85 — / 0,85) а; /з= (6,8 —/ 7,1) а; /и = (— 3,55 — / 3,4) а.
3.28. U = (3,125 -ф- / 14,5)в; 7 = (— 0,75 4- / 0,4375) a; h =. (—0,2 -ф-/ 0,25) а;
/2 = (—" 0,55 / 0,1875) a; Is = (—0,6 4^ / 0,25) а. 3.30. Xq = 10 ом; А =□
= 10 а. 3.31. Г2 <= 10 ом. 3.32. G с=з 1,012 мкф. 3.33. С = 53 мкф. 3.36. /*2 =
= 2-105 ом; С = 0,5 мкф. 3.38. А = — / 0,5 а; А = (0,8 — / 0,2) а; Is = (—
__ 0,8 — / 0,3) а; / = (0,8 — j 0,7) а. 3.39. й2 : йг = 0,38 е“'91 °20';
а) 0,265 е“/е4°10'; б) 0,38 е-786"50’. 3.41. 50 ом. 3.42. 0,18. 3,44. 7=97 е~754° а;
= 58,2—754° а; =38,8 е—/54° а. 3.46. Схема а: <р2=5,17 е72’7’ в; <р3 =
= 6,15 е-75”55' о; 7г= 0.198 е-70”33^, 72 = 0,0694 е/2°37' а; 73 = 0,206е/2°7' а;
/4 = 0,0615 е—75°55’ а; 1С = 0,0126749°5’ а; Схема б: <р2 = 40,3е—74°'7’в; <р3 =
= 23,6 е714’10' в; l\= 0,632 е72°37' а; /2=0,183е-739°5' а; 73 = 0,403 e-74’7' а;
l‘t = 0,236 е714’10' а; 13 = 0,51 е7'6’28' а; 1С =0,194 е7б3°25' а; Схема в: ф2.=
= 17,1 е_/7°7' в; 71 = 0,186 е7360'5'^, /2 =0,171 е_/7°7'a; ic = 0,153е^^а.
Схема г: <р2 = <р4 = 20 в; <р3 = 7,07 е—745° в; / =0,453 e7S°29’ а; =
= 0,16 е718°25'а; 72 = 0,4а, 70 = 0,55 е75’12' а; 1С = 0,0707 е'45°а. 3.47. Для
схемы рис. 3.36, б: Ег
/о>£)
для схемы
г
рис. 3.36, в: Ёг = > 2Г = - 1 — / . 3.48. Е = 150 в; /д =
= 0,6 а. 3.49. 7= (6—/22) а; = (4 — /6) а; 1г = (12 — /18)а; 73 = (2 —
— /16) а; А = (—6 — /4) а; А =(—8/12) а; Р = 780 вт. 3.50. См. ответ к
задаче 3.49. 3.51. 56 ма. 3.52. /х =1,82 е/20°10'а; 72 = 0,56е~738° а; /3 =
= 2,37. е~753°05' а; Ц = 1,59 е737”35' а; 1'3 = 2,55 е783’35' а; 7в = 1,83 е-'122’20' а.
3.53. 71= 13,1 е758”10” ма; l\ = 11,5 е-774°20' ма; 7й = 23,6 е770’40' ма; Ц
= 22,2 е-784°20' ма; 76 = 11,1 е/85°25' ма; Р = 23,6 вт 3.54. 7j = 35 е72’50' ма;
13 = 17,8 е—78°30’ ма; /3= 17,5 е72”53’ ма; 1С — 3,6 е747’ ма; <р3 = 0; ф, =
= 350 е72050' в; ф2 = 445 е-/8ОЗ°' в. 3.56. ZH = (8 + /4) ом; Ргаах н = 250 вт;
^тах н:^ист = К = 0,5. 3.57. 1) 2,85» а; 2) 2,23 а. 3.58. 15,2 ом или 6,6 ок;
/ = 3,7 а или 6,7 а (соответственно); А = 4,2 а или 6,3 а. 3.59. При резонан-
се Г2= 10 ом; I = 12а; /min = 6,35 а при Г2 = оо; /тах = 15 а при гг= 2,2 ом.
К главе 4
мет. 4.3. 125 в. 4.4. 10 ом;
г
4.1. 160 пф; 50 ма; 40 мет; 49,6 в. 4.2. 16 ом; 40
0,4 гн; 0.1 мкф; 1 в. 4.5. f0= = FbZa-4*6- 24ом; 0,143гн; 70,8 мкф;
614
Г1 = 31 ом. 4.8. 1) ©о = 62,8 • 103 сел”1; ©^ = 88,6 • 103 сел’1; ©с = 44,4 X
X Ю3 сел”1; t/Lmax = t/Cmax = 11,6 е; 2) ©0 = 62,8-103 сел’1; ©L = оо; ©с =»
0; 10 в. 4.9. 6,37 ом; 50,7 мгн. 4.14. 19 ма; 71°30'; 47,5. 4.15. 1) 400; 2) 100.
4.16. 0,995-107 сел”1; 1,005-107 -сел”1. 4.18. 50. 4.20. До шунтирования: 46,4 ма;
37 е; после шунтирования: 34 ма; 27 в. 4.21. /п = 870 мка; Ucc'^Cn = 3,86;
после шунтирования это отношение равно 2,78. 4.22. ©р = 500 сел"1; /р = /а =
== 0,625 а;/Лр = 1Ср = 1,25 а. 4.23. 1,6 мгн; i = — sin ©/; iL «
U /—r U2
= — 2___— cos ©/; ic = У 2 U(&C cos ©/; pL ---------------sin 2©/; pc ==
U* U*
=. (P©C sin 2©/; pr = — (1 — cos 2©/); o?M = — (1 ф cos 2co/); w3= [/2C(1 —
r mL
—cos 2©/)- 4.26. Г2=32 ом, rp=24 ом. 4.27. 9600 сел"1; 143олс.4.28. £' = 19,6 мгн;
L"= 0,4 мгн; <p' = 81°52'; <p" = 8°08'; <p' = n/2. 4.29. /min = 138 кгц;
/max =184 кгц. 4.33. 500 кгц; rp = 70,2 ком; 32,9 ком; 34,9 ком; 48 ком; 3,12 ма;
141 ма; 320 мет. 4.34. 1) 25,6 ком; 33,4 ком; 42 ком; 2) 27,4 ком; 14,6 ком; .31 ком;
3) 50,7 ком; 50 ком; 71,2 ком. 4.37. I == 1,64 е/15 ма; U = 95 е““/18° в; =
= 90 е~;'137О°5' ма; А— 90 е у72° ма; РГ = 317 мет; Рвп = 186 мет; Р =131 мет.
4.39. 1) 400 кгц; 525 мкгн; 136 мет; 21,8 кгц; So = 0,0545. 4.42. a) Qa = 21,7;
SA = 23 кгц; /р = 1,93 ма; Uq — 67 в; Pttp = 64 мет; б) Q3 = 16,25; Sa =
'» 30,8 кгц; /р = 2,18 ма; [7р = 50 в; Рнр = 72,25 мет. 4.44. Резонанс на-
пряжений: а) 605 кгц; 9,4 ом; б) 298 кгц; 12 ом; резонанс токов при 408 кгц;
Гр = 28,8 ком. 4.46. Ci = 1180 пф; Сг = 865 пф; rp тах = 60 ком. 4.47. гэ =
» 13 ком; х3 = ± 14,3 ком; z3 = 19,3 ком. 4.48. I = 2,32 ма; А = А ~ 86 ма;
/н = 0,8 ма. При расстройке: /' = 2,42 ма; l\ = 82Лиа; 12 = 81 ма; 1п =
«= 0,77 ма. гш = 80 ком; Ртах = 50 мет. 4.49. Li = 240 мкгн; L2— 160 мкгн;
С = 400 пф; и = гг = 5 ом; Частота резонанса токов: 2,5-106 сел”1; при этом
/ = 2,55 ма; А = А == 102 ма; Р = 104 мет; частота резонанса напряжений
3,22-10е сел”1, при этом /' = 3,2 ма; = 3,2 ма; Г2 = 0,4 а; Р=* 0,8 вт. 4.51.
U (1 +
Amin = 2©£; / = j - 1 2 2Л,2 * 4.52. Zi = j 1,28 ом; Рmax = 1,9 кет.
ri + А 4- г±г2 о)2С2
4.53 a) Z3 = — / 10 ом; = 6 а; А = ( —2,4 — / 4,8) а; 73 = (8,4 / 4,8) а;
б) Z3 = — / 15,7 ом; /1 = 3,28 а; А = (0,36 — / 5,12) а; /з =(2,92 4“ / 5,12) а.
4.54. хс = 5 ом; А = 10 а; /2= 5,6 е“"^26°35' а; 7з = 5,6 е/26°36, а. 4.55.
1) ©£' = 4ом;1 j = 30 а; / 2 = (15 — / 7,5) а; /3 = (15 Ф / 7,5) а; 2) ©£’ =
г’;
= 16 ом; 11 = 20,4 а; I' 2 = (2,55—j 5,1) а; £3 = (17,85 Ф / 5,1) а. 4.'56. г =
== 10 ом; ©L = 5 ом; 4.57. г2 = 24 ом; хс = 10 ом; 1% = 1,4 е“”/26°30, а; /3 =
= , 4 в/26°30' „ д Кй n v' = ,.W ’ =1 ом- I = 15 а. i ' - : (6 -f. ;-3) а; /2 . =
/3,75) а; I'4 = (9 —/3) а; 2) х’. = <oL" =
а; / j = (2,25 — j 0,75) а; I "3 = (3,75
= 2200 гц; [н = 2800 гц. 4.60. — х'. =
= 8 ом. 4.61. Частоты резонанса напряжений
а. 4.58. 1) х'4 = со£4
= (2,25 — / 0,75) а; /3 = (3,75 4
= 9 ом; Г =
+/3,75) а; i4
1 оп
= —гт— = 88 ом; — х4 = —ттг
2770 или 3480 гц, частота резонанса токов 2200 гц.
= (1—/3) а. 4.59.
615
К главе 5
5.1. 2,5 мкф. 5.2. 900 пф. 5.3. 0,5. 5.6. / = (0,8 — / 0,6) a; Uab = (69
-ф- / 42) в; Ucd = (31 - / 42) в. 5.7. Z = 10 е"'36050' а; Uab = 78е'13°20' в.
5.8. Uc = 74 е 7,28 в. 5.10. k = 0,111. 5.12. Включение встречное. М =
= 11,1 мгн. 5.14. l\ = (8 —/1) а; /2= (6-/2) а; /' = (14 —/3) а. 5.15. А =
= (6,4 = /8,6) а; /2 = (2,1 ф /0,22) а; 1 = (8,5 —j 8,38) а-, 5.16. С =
= 0,0324 мкф-, I = 1,42 ма-, /, = (0,75 ф / 0,17) ма; h = (0,67 — / 0,17) ма.
5.17. С = 0,182 мкф; 1= 1,46 ма; h = (0,82 / 0,07) ма; h = (0,64 —
— / 0,007) ма. 5.19. С = 0,35 мкф; Л = j 2,25 ма; /2 = —j 2,25 ма. 5.23. ZH=
= (3—/7) ом. 5.25. 71= 1,05 е—/59О5°' а; 0,685 е/|44° а; /з=1,7 е-/50°30' а.
5.27. хс = 8 ом; fi= 5 а; 1г = — /5 а; 1з= (5 -ф /5) а. 5.28. /, = (2,4 —
— j 1,8) a; h = —/5 а; /з =(2,4 4- j 3,2) а. 5.29. хс = 10 ом; h = (7,06 —
— / 1,76) а; /2 = (5,3— j 8,82) а; /8 = (1,76 4- j 7,06) а. 5.30. k = _L ; /1=
= 4,55 е-/18’20' a; h = 10,2 e_/81OS0' а; /з = 9,1 е/71°40' а; 5.32 Л = (3,2 +
+ / 4,6) а; /2 = (2,2 + / 2,6) а; /3 = (1 ф / 2) a; h =• 2 a; Ui= (16 ф / 113) в;
^нагр = 0,35. 5.33. Л = (0,64 — / 0,48) а; 4= (1,28— /0,96) а; /3 =
=(—0,64 ф/ 0,48) a; Uab = (19,2 ф / 25,6) в. 5.35. h = (1,85— / 1,42) а; /2=
= (—1,0 — / 0,22) а; /з = (0,93 — / 0,01) а; /4 = (2,85 — / 1,20) а. 5.37. ZBX =
— — /19 ом; хс — 10,24 ом. 5.38. а) х с = 28 ом; Ai = 0; А2 = Аз = 2 а;
б) хс = 20 ом; Ai — 1,2 а; А2= 0,6 а; Аз =1,8 а. 5.45. С2 = 250 пф; Р1мах11 =
= 4,85 в/n; Р2мах11 = 7,85 вт; т] = 0,617. 5.46. Мопт =77 мкгн; = пф;
Pimax max = ?2max max =8,33 вт; Т]= 0,5. 5.47. Ci= 278 пф; С2= 222 пф; Л40пт =
= 4,6 мкгн; Рцпах max ~ P2max max = 8,33 вт; Т) = 0,5. 5.49. Ci = 800 пф; С2=
= 400 пф; Qi= 50; Q2= 50; М — 5,66 мкгн; 72= 3,54 мка; lh— 3,54 мв; So=
= 2,82-IO"2. 5.51. 1250 гц; 0,011; 4,4 мкгн. 5.55. 61,5 вт; 57%.
К главе 6
6.2. /д — I& —7^ — /ф — 8,97 а; £7ф = 127 в; Р = 3,43 кет. 6.3. Еф =
= 230 в. 6.4. /ф.г= /ф.н= 163а; С7фвГ = 4230 в; £7ф.н = 4070в; РГ = 1670 кет.
6.6. /ф = 15,6 а; 1л = 27 a; Pi = 5730 вт; Ръ = 1530 вт. Обрыв в точке aiIbc =
= 15,5 а; = ^ = 7,75 a; Iл = 0; 7B=7c=23,3a; Р = 0; Р2 = 3630 вт.
Обрыв в точке bi: 1са = 15,5 а; 1сЬ = 1Ьа = 7,75 a; Pi = Р2 = 1815 вт. Обрыв
в точке 62: фазные и линейные токи те же, что и при обрыве в точке br. Pi =
= 4950 вт; Ръ = 1330 вт. 6.7. Линейные токи и общая мощность уменьшатся
в три раза. 6.8. /л = 26,8 а; 7ф = 15,5 а; С/ф н = 165 в; A U = 65 в. 6.9. Ur =
= 209 в; /г = 26 a; Unp = 112,5 в; /пр = 45 а. 6.10. /г = 59 а; 102 а;
Un = 148 в; /н = 59 а; 6.11. (/ф = 127 в; / = 8,75 а; фф = 25°50'; Р = 3 кет.
6.12. Уф = 220 в; / = 7,6 а; <рф = 30°; Р = 2,5 кет. 6.13. /н=11а; 7Л =
= 19,05 а; 2ф = (16 / 12) ом. 6.14. 3,34 квар. 6.15. 10,02 квар. 6.16. При
удельном сопротивлении р =1,75- 10~в ом-см и удельном весе d = 8,9 г/см3:
а) 129 т, б) 172 т. ЪА1. 6,3/се. 6.18. 6,1 кв. 6.21. При наличии нейтрального
провода 7Л=» 38,76 е 30 а; 1В = 27,65 е^660 a; ic = 40,3е7108°20' а;
/д, = 26,9 е"”^500 35'а. Напряжения на фазах генератора: Uло = 194 е*”71 °55, в;
Ubq = 246е"”^125° в; йсо = 213,3 е^Н1°5’ в. Напряжение на фазах нагрузки:
616
Ua0 = 173,5 ez l°S5' e; UbOi = 247 e~'1290 20' в, UcOi = 202 e/ 1080 20' e. 6.22. IN=
= 3*46 a; Ui = 108 e; {/„*= 121 в; Uln = 132 в. *6.24. a) lA = 0; IB = lc =
= 8,54 a; Pi = 0; P2 = 3200 em; 6) IA = Ic = 14 a; IB — 0; Pi = 1170 em;
P% = 5080 em; в) lл = Ic— 14 a; lB = 0; Pi = 1190 em; P2 = 3890 em; r) IA —
= 31,8 a; 1B = 15,2 a; Ic = 19 a; Pi = 9160 em; P2 = 3600 вт; д) IA = 38 a;
lB = 35,2 a; lc — 19 a; P± = 8660 вт; Pz = 7220 em. 6.25, 1A = 19,8 a; IB =
= 18,4 a; Ic=16,la; UA= 178 e; UB = 202e; Uc = 225e. 6.28. Если принять
= UАв = 220 в, то Iab = 22 a; lbc = 22 173010' a; lca = 22 e~' 150° a;
i л = (41 ф j 11) a; iB= — (43,8 ф / 2,6) a; I = (2,8 — j 8,4) a; Pi = 9040 em;
P2 =— 1296 em. 6.29. Линейные токи: /л=17,3 a; IB=1§ a; Ic= 14,3 a.
Фазные токи Iab = 8,1 a; Ibc — 10,1 a; Ica = 9,34 a; P = 4220 em'. 6.3Q. а) Ли-
нейные токи: Iл = 11,6 a; IB = 12,9 a; Ic = 13,6 а. Фазные токи: /лв = 6,34 a;
= 8,55 a; ICA = 7,07 а; б) Линейные токи: IA = IB = 10,22 a; Ic = 0.
Фазные токи: l’AB = 6,34 a; IBC — ICA —3,88 a. 6.31. IA — h = 0,433 a; IB =
= 1,83 a; lc= /2=1,57 a; Pi = 28 em; P2 = 227 em. 6.32. 1A = 6,54 e~> 2S° 35' a;
lB = 4,2 e“ ' 146° a; jc = 5,98 e' ln° 20' a; UA = (142 — / 80,8) e; UB = (— 68 —
— j 80,8) в; Uc = (31,8 ф j 115) e; Pi =1,19 кет; P2 = 870 em. 6.33. UA —
= 125,3 e; UB = 122,2 e; Uc = 131 e; IA = 5,01 a; IB = 4,88 a; Ic = 5,24 a.
6.34. IA = 6,43 a; IB = 2,19 a; 7C = 7,03 a; С/Л = 82,2в'; UB 30,7 e; Uc =
= 81,8 e, 6.35. IAB = 4,8 a; !BC = 5,5 a; ICA = 6,98 a; IA = 9,15 a; IB = 8,68 a;
Iq === 11,9 a. 6.36. IA = 19,1 a; IB = 17,2 a; Iq == 14 a; IAB = 8,5 a; Ibq ==
= 10,7 a; /сл=11,1а. 6.37. При U= UAB = 220 в для звезды /л =
= (6,06-/2,68) а; 1в — (—4,95 —/2,69) а. /с =(—1,11-ф/5,37) а; для треуголь-
ника: /лв = (7,04—/5,28) а; 1ВС = (—8,1 —/3,46) а. /сл = (-—5,5 4^/9,5)а,*
на входе линии /л = (18,60— / 17,46) а, /в=(—20,1 —/ 0,87) а, /С=(1,5Ч"-
+ / 18,33) а. 6.38. На фазах звезды UА = Uc = 93,2 е; UB — 97,6 е; на фа-
зах треугольника == ^вс~ 146 в, UCA = 139 е.
К главе 7
7.3 и = 128 sin (о)Х t + 38° 40') + 63,3 sin (2<ох t 4- 108° 25') + 33,6 sin (3a)X t —
1 л=4 .
— 26° 30') + 14,4 sin (4<o^ — 123° 40') e; и (t) = —- У (/„ e/n“1Z, где йг = U_Y =
n==—4
617
К
&
bk
sin k (Oi ti
wi/i (2k —
1 \ Um Mm I 1 A '
+----sin 3(O1Z +•••); 2) и = *—— —-— COS 0>it + — COS 3a>x^ 4-
-T 3 1 j* J 2 тс2 32
. 1 r . । \ q\ m
+ —cos5^+... ; 3) «= ——— Q „ x
5a /2 Зк2
/ 1 1 . , \ Wm [ * 2 ‘ ±
X I sin сох/— —- sin 3(ox/ + —- sin 5(0^ — ... I — —— - I cos <ox/ 4- —• cos 2(ох t +
\ ой О" / ОГСЛ \
4-—- cos 3<nr/-f- cos 4(ox/ 4- ••• I • 7.9. / = 22,4 a; cos cp = 0,82. 7.10. I =»
32 42 j
== 13,1 a; P — 516 em; i — [10 Ф 12 sin ((Oi/ — 53°)] a; uL = 48 cos (<0i/ — 53°) в,
7.11. Z=[34,3sin((01/-tk31o)>5,9sin(3(0i/—78°40')]a; uc «= [100 4> 103 sin ((oi/—
— 59°) ф 5,9 sin (3(0!/— 168°40') e; U = 174 в; I = 24,6 a; P = 3040 вт; a) 100 e;
6) 127 e. 7.13. 280 e; 388 etn. 7.14. ii = [0,1 4> 0,0744 sin (coi/ — 42° 25') 4>
4- 0,0157 sin (3(oi/ —71° 20') a; Z2 = [0,1 4> 0,0336 sin ((0i/— 79° 40') ф 0,00458 x
X sin (3(01/ — 124°20')] a; i3 = [0,052 sin (coi/—19°25')<0,0134 sin (3<oi/—55°30'] a;
P = 17,9 em. 7.15. При подключении через фильтр Z2^0) : 7s «1, без филь-
тра /2(0) : /2 = 0,905. 7.16. Ci = 17,8 мкф; С2 = 2,22 мкф; ii == 0,4 sin toi/ а;
i2= (— 0,05 sin coi/ 4> 0,333 cos 3 (0i/) a; i3 == (0,45 sin (Oi/ — 0,333 cos 3 (Oi/)
uab “ (4,5 cos (Oi/ ф 10 sin 3 (Oi/) в; h = 0,283 a; I2 == 0,238 a; I3 = 0,4 a*
Jab = 7,75 e; p = 4 etn. 7.17. P 0,271 etn; Q « 0,215 eap; S 0,418 ea;
7.18. r3 = 20 ом; Zi=l,8a; Z2=l,06a; I3 =® 0,81 a. 7.20. Zi == 4,26 a; Z2 ==
= 1,18 a. 7.21. 75 = 0,0263 a. 7.22. Uc: U = 1,95. 7.23. 78 e. 7.24. 4,29 мгн
(большее значение); Li= 0,545 мгн. 7.26. k$ = 1,28; kA = 1,76; kn = 0,96.
618
К главе 8
8.3. При частоте j Р1Г = Р1В = 300 вт; при частоте 2J Ргг в ООО вт, Рзв =
jF= 1200 вт. 8.4. При повышении напряжения на 10% потери равны 1,21 кет,
а при понижении напряжения на 10%— 0,81 кет. 8.6. 710 вт. 8.9* РСт = /57 вт;
/о = 26,6 а.
К главе 9
9.1. т = 0,12 сек; 250 а/сек; /пр « 30 а. 9.2. 9,2 мсек; I = 1,2(1 —е“б00/) а;
== — 120 е“б00/ в; == 0,144 (1 —е"*600^)2 дж; рм = 144 (е“500* —e-ipoo/j вт;
1,4 мсек. 9.3. 6,67 а/сек; 3,34 а/сек. 9.4. /=3е“боо/ а; цгм = = 0,5625 дж.
|.5. В 125 раз; 450 дж. 9.8. i «• (12 — 9е-1Оо/) а. 9.9. i -== (3 ♦ 9e~400Z) а.
’9.10. ii == (20—8е~20^) а; 1ч = 12е~б/ а; 7,7 а. 9.11. 7,8 мсек. 9.12. й в 2,4е-40/ а;
t - t
—I»w \
|э - 6 (1 — е“40*) а; й3* й ♦ й. 9.14. й *= 0,4 е х j где т « 3 мсек. ?сраб =
Йи 2,07 мсек. 9.17. 1) й (0) « 1а; й (0) = 0,6 а; й (0) = 0,4 а; ис (0) ® 30 в;
йпр === ^2пр === 6,8 а; йвр == 6, qP с=а 40 в; йсв (6) е= 0,2 а; йРв (6) == —— 0,2 а;
iKB «= 0,4 a; uGcB (0) = — 10 a; 2) h= (0,8 4- 0,2 е"4'104') a; 1г° (0,8 —
й—0,2 е—4’104*) а; I» = 0,4 е—4'|0‘/ д; ис = (40—10 е~4,|°4<) в. 9.18. itCB (0) —
— 0,9 а; i2CB (0) = — 1,1'4 d; iSCB (0) = 0,24 а; иЬсв (0) =
— 12,2 108 в/сек; й=> (3,87 — 0,9 е"»88') а; /2 = (2,905
(0,965 4 0,24 е-«и') а. 9.20. 100 в; 0,23 сек. 9.21.
9.22. При / = 0 Uab = 80 в; U^c = 40 в; при t =
9.23. При t = 0 /1= 54,6 ма; 1%*= 10,9 ма; при
9.24. При t = 0 /1= /а = 1,5 а, /з == О, Ui = 45 в,
18,6 a; f =
\ at jt=a
— 1,14 e“653^) а; й ==
11,25 • 10“3 к; 25 ма.
ОО иаЬ == 40 в, иЬс = 80 в.
t = оо /1 «= 60 ма, /г= 0.
Сй =э 75 в, при t =* оо Л ==
= /з=1,2 a, Ut = 36 в, Ut = 84 в, /2 = 0. 9.25. ис = U 4 (Цо — U) е гв ;
U _ у - — t
I =------------ е с 9.26. i = 0,64 е-1000< а; uCi = (64 e-1G00/ + 36) в; uC2 =
= (— 16 е~10<,0/ 4 36) в; И^нач = 58 мдж; 1FKOH = 32,4 мдж; Й7тепл = 25,6 мдж.
9.27. I = 0,96 е-1000/ а; иС1 = (4 4 96 е-1000/) в; иС2 = (— 4 4 24 е-1000/) в.
9.28. i = 0,2 е“2000/ а; исг = 5(4 4 e~2oaot) в; иС2 = 20 (1 — е-2000') в. 9.29. h =
= (0,2 4 0,05 е-5,|W) а; I, == (0,2 — 0,2 е-5,10’') а; 1з = 0,25 е-6'10”' а.
9.30. иС2 = 81,3 (е-176* — е“в328/) в. 9.31. ис = 120е~10/ в; при < = 0,1 сек ис =
=44,2 в. 9.32. ис = (16 4 8e~6,25'l<w) в; h = (0,16 — 0,1 е—6'25’10’7 а- =
= (0,1640,05 е-е'25'1ОТ) а; i = - 0,15е-6'25'10^ а. 9.33. -0,39 а. 9.35. (, =
= [2 cos (<о/ 4 20° 35') — 1,47 e"3’50'] а; I, = 0,4 е"1000' а. 9.36. i = (sin at—
V
___£ у--------------— j
— tgq> • е г , где г = 1 / ra ( —L_) ; т = гС; tg® --------------------. 9.37. а =
V \ а>С) шСг
7С 1
sin ф, где ф— — 4- <р; tg ср = — —-— . 9.39. иг == 5[ sin (со* ф 22° 40') —
2 тСг
— 0,385 е 12'10-6 ] мвл 9.40. /тах =4,68 а при tm =405 мксек; EL max = 86,5 в
при t =s 21^. 9.41. tmax ==a 13,1 а при == 0,707 мсек; cs 68,5 в при
tm = 1,414 мсек. 9.42. «о = 98 • 103 сеяг1; coo'e 126,4-108 сект1; 9.43. 230 ко>
лебаний. 9.46. й = 0,02 (16е"500/ — e“125Z) а; й == 0,1 (4е“500/ — е”12б/) а; й ==
= 0,08 (е-i28* — е"800') о; ис = (30 — 40е-600/ 4 Юе*128*) в. При г > —
619
имеет место колебательный заряд. 9.48.
— <Pi)e х
• i
, *2 =
*2
• /I ч
-------sm (ф — cpi) е
zi
cob . „
—।-----, z2 —
(оСг
sh bt
U
г
—— sh bt , где
2bL /
= 750 сек"1', а = —— = 1250 сек"1’, 2) ur = U <1— е“а/
2L
LC
2L
О)О
<о0
sin<o0Z
U
? i = — e“^z
г
-—sin а>0/ , где
Zi у
LC
f \
-----1 = 5000 сек:"1; а =
2L /
—— = Ю00 сек"1
2L
9.50.
_2е-5-10Ч
—5-104
-5-104
9.51. (0) = 2а; ис (0) = 0;
— / и, с-з
du^
= 6,67 - IO3 а/сек.',--------—
dt
5 • 10* /е-5'104^.
= 6,67* 10s ejсек,',
/==0
i2 = 2 + 0,94 е—3>10‘z sin (10** — 45°) а; ис = 20 + 21,2 е-3'10** sin (10*/—71°35') в.
9.52. uc = (40 + 24e_|°s/— 16e-1’5’105*) в. 9.53. Для / = 0 u2 = 64,3e, uL =
du9 du, dun
— — 42,9 в, uc = 90 в, —= — 2,32 • 105 вIсек, ---------------— = 1,3 • 10е вIсек, —- =
dt dt dt
=— 2,58* 105 в/сек\ для / = оо,а2 = 40в, wL = 0, uc = 40 в. 9.55. Для схем а—•
-~d/i=l; для схемы в/г=2; для схемы ж п=> 3. 9.59. ис (0_) = 80 в; ис(0+)=>
= —20 в. 9.61. /1 (0_) =» 10 а; h (0+) =» 2,5 а. 9.63. ис =» 20 в при t < 0;
и = по ф 8,5 e-3’62,1°s/ — 58,5 е~1’38,108') в.
К главе 10
10.2. аг= (83,3 — 33,3 е~в00*) в. 10.3. См. ответы к задаче 9.12. 10.4. См.
ответы к задаче 9.14. 10.6. См. ответы к задаче 9.46. 10.7. При вещественных
р r q—^i р г е—аг
корнях i = -------1-------sh₽j; при комплексных корнях i =-------------1------sinwZi
₽ L (г! + r2) о> L (/-j -J- r2)
P f t e"”a^ """
при равных корнях i =----------1-------, где a = — , p = j a> =--------у b2 — 4ae ,
(ri + r2) a 2a
U
,—at
“ f “Г /'ш a \ • 1
-----------— —_ sin — cos (o0/ | V , где a = —
/ wo / JJ 2
in
620
Um sin (<Ь — ср) е
. 10.10. t'i
_ r
f2 sjn /ф — a\ e x
у 4- co2 L2 sin («о/ 4- Ф-— « 4- ₽) — —------------------------------
> где tg а =»
. 10.11. i « [(7,22 sin (3141
<oL (ri + r2) , „ «>Ь L (rt + r2
= ---------; tgp = —— i T= -------
rl r2 r2 rlr2
+ 43° 50') 4- 8,3 e-l00/ sin (1531 — 37° 20')] a; uc == 346 sin (314 t — 46° 10') —
— 412 e~100/ sin (153f—37°20')e. 10.13. См. ответ к задаче 9.8. 10.14. См. от-
вет к задаче 9.9. 10.18. См. ответ к задаче 9.48. 10.19. См. ответ к задаче 9.49.
10.20. См. ответ к задаче 9.50. 10.21. См. ответ к задаче 9.51. 10.24. и =
= [1,18 sin (314* 4- 16° 40') 4- 0,43 е"3^ а. 10.26. 1,85 a. 10.27. («(ОДе"^ —
— 0,05е"5/)а; ис = 200 (е~6< — e-loZ)e. 10.28. i = (12 ♦ 20 е-«< — 32 е-2>5<) а;
uL = 320( е~2’5< — е~«0а. 10.29. i = 0,024 (е"2' — е"4*) а; ис = (120 $• 120e"4'—
1 I 1 ( --Л
— 240е-2')а. 10.31. а) иаЬ = U (9 4- е 3£ / , иаЬ = — rJ 12 -ф- е L ;
4э ' • О' •
1 ( -1 (
б) иаь = “77“ —е /» иаъ = ”Т“ \3—е G I. 10.33. Для ехемы
30 х ' 3 х '
рис. 10.22, а /г (/) = 0,25 (е"2000* — е”400*) а\ для схемы рис. 10.22, б, как
в случае действия [/, так и J, h (/) = 2 (e~6OoZ — е"100/) а; для схемы рис. 10.22, &
h (t) == (10 — 13,5 е“100/ ф 3,5 е-300/) а.
» иаЬ
К главе 11
11.2. y{t) =--------
r2
11.3. y(t) = (5,5e~7-6<
— 0,28е~52л/)в. 11.4. k(f) =
е
1 — е
2
jZ?(/)=l-----—е L(i
Г1 + Г2
fe(/) = (l—0,72e_7'6< —
— A i /
2/
—e Crr' J; h(0 =
1 — е
11.6. Для схемы рис. 11.11, а : kx (t) =
t
1 — е
—S1—2/ I
r2 e J; z (0 =
рис. 11.11, б\ (f)
ri + r3 \
ePlt , где pi
r 2 I r | r e L
4- r2 X 1 2
—ep,<'h kt(f)
r2 + ra /
’’Ч
/i для схемы
11.8. а) аа(0=<Л*(0
(0 =
621
+ u2k (0) при t > 0. в) u2 (t)
при 0 < t < 0; w2 (0 = Uyk (t) — (Ut — U2) k (0) при 0 < t < /2; u2 (0 = Utk (Л —
— (U± — U2) (0) — U2k (t2) при t > t2. 6) u2 (/) = Urk (t) при 0 < t < 0; u2 (t) «
« U.k (t) - (Ut + U2) k(tr) при 0 < t < t2\ u2 (0 = Utk (0 - + U2) (0) +
^2—^1 C
I k (t — t) dz при 0 < t < 0;
о . '
t/2 — ur e
«2 (0 = (О H----------7---- I k V — T) dx >— U2k (0) при t > 0. 11.10. При 0 < t <
о
i
sin
m
lr
z
~~7c
(at — cp) ♦ e °
sin (<*>/ — <p) 4- sin <p • e
tg<p = —
, где z =
- Л Л
. 11.12. i(0=i/o)0CU~e rC hi
Um
= m
z
1 у
0)C / '
2
/ “77 4
X^l — e rC ). 11.14. При 0 < t < 2 • 10“3 сек i (t) = [50/ — 0,1 + 0, hr8»0*] a\
при / >2 • 10-» сек i (t) = Q,\ e"6»0' a.< 11.15. При 0 <1«! u2 = 25 (1 — e~lm) в;
при t > /i u2 = 1340 e 1® * = 24,5 e—*®* g. 11.16. u2 = U [<oq< —
LC <o0 sin
. 11.20. u2(0
aL) erat ~
5 Vi (0 = T-4
— MO-
r?
2
J— e
t
e *-^i"rre
622
ii.2i. fe, ; fe5 (/) = «(/); »8 (0 =4-e r‘c .
C • /j О G ' C
11.23. Для rC-схемы: 1) да; 2) нет; для rL-схемы: 1) да; 2) нет. 11.24. 1) Диф-
ференцирующая, 2) интегрирующая, 3) переходная. 11.25. а) Нет; б) да.
11.27. Для рис. 11.7: Х(/ю) =—Г*(? ; у (/ш) =----£1 + /“L-------
rlr2 + /“Ь Vl + Г1) Г1Г2 + /“b (rl + Гг)
,, e. ,,,, , l+/<oCxr2 /<oC2 (1 +/wC^)
для рис. 11.8: д (/o))=--------*—~ ; r (/<o)==----------—......, где a ==
a a
ж 1 — to2 Cj C%ri^2 + /to (Cj r2 *4“ QZi 4" 11*29. /Cjj (/to) »
^214/w) “ta"'
i Z (/to) «
(fi + /<oL)
11.30.
4 .
fi 4- r2 4~ jtoL
to = 150 рад/сек.
sin 5 • 10~6 * to
11.32. U (/to) = 2 • 10“2 ----------------. 1L34. 117 (/to J ==
to
—2a.f —2af
e "~2e 2^^., ф (a>)aarctg
a2 4" <°^ a °
11.35. и а<л>) =_____2 •107_____
U ' 4 • 1010 — <0«
—/«
sin (n: • 10~6 to) e
e и sin <о/ц
1 — e и cos <о/и
11.36. (/to) X»
4" 7o 8те T’o / <0 To \
= 7 ~Г~г 2 т2 S^n “ ^о’ ^2 (/“) = Гт5 7Tsin2 о ) • 11.38. X (/<») n
4теа — co2 Tq to2 Tq —4k2 \ 2 /
= 0,1 <> e 2 . 11.39. К (/“) = a + / ( ba — —| . 11.40. X (/<o) =-------
\ <0 / jto 500
to
11.42. a) U (ja) = “ e“' аГС S~ ; 6) U (/a>) = sin sin x
aa 4- to2 (<O41)2 2 2
<o/x
ri о Z/11 t rcfA
X e-^‘; в) U (/<0) = £jn---------?-e (“ . 11.43. {/,(/•“) =
“V
U <»o ( - Гг / - -U t
гГггг 1V • П-44, a) «(/) = !/^1-e rC ; б) и (t) = U e t
to2 (<oa LC — 1/ x _ •
1 ( 1-
B)M(0=-i--------тгД e “ — e rC j: г) и (t) =—гЧ1 — COS al);
Д) “ (0 =-^-(chat— 1). ,
u
К главе 12
„ом
12.5. r0 = 5,05----; L0=<=2,06
км
CUM — /12°25'
X 10"e ----; ZB = 620e ом\
км
мгн л $
—; Co = 6.10-» — ; go = 0,7x
f^M KM
IQ 7 1Л~8лУ7б°15 t мнеп
7= 18,7 • 10 8 *e km x; a =*4,45---------
KM
623
моад км
р == 18,2 —— ; = 276000 ------; X = 345 км.
км сек
12. 6.
ZB. ом у, ЯЛГ"1 а, неп!км 3, рад/км и, км/сек х, км 2т/ 1m
134Ое-'15°40' 40-10-3е/72°25' 12,2 • IO”3 38,4 • IO’3 130000 163 0,297
615е-'13020' 18,5-10-3е/74°45’ 4,9 • IO"3 18,1 • IO’3 277000 346 0,62
250е- '37°25' 47,3- 10-3е/52°15' 29,2 • IO"3 37,6 • IO"3 133000 167 0,053
84,6е~/39° у 8,46-lO-V51’ 5,36 • IO”2 6,62 • IO”2 75600 95 0,000025 е
12.7. ZB = 387 ом; а = 39 • 10“6 неп/м; Р = 0,21 рад/м. 12.8. а) По пол-
ным формулам (12.1) ~ (12.2), ZB = 564е“/8°15, ом; а = 2,37 мнеп/км; Р =
= 18,1 мрад/км; по приближенным формулам (12.4) ZB = 554 ом; а =
= 2,64 мнеп/км; $ = 17,6 мрад/км. б) По формулам (12.1) (12.2) ZB =
= 550е“/0°40, ом; а = 7,6 мнеп/км; Р = 435 мрад/км; по приближенным фор-
мулам (12.4) ZB= 546 ом; а = 8,2 мнеп/км; .• £ = 435 мрад/км. 12.9. По
(12.1) ~ (12.2), ZB = 357 е-'41°05' ом; у =
а = 0,042 неп/км; Р = 0,048 рад/км; по приближен-
Г" /45° ом; у = 0,0634 е/45° км~1; а = 0,045 неп/км;
полным формулам
= 0,0634 е/48°40' км'1;
ным формулам ZB — 358 е
Р = 0,045 рад/км.
Ответ к задаче 12.10
f, кгц Вспомогательный параметр к, вы- численный по формуле (П5.4) Го. ом/км $ о а? О и g0, мксим/км ZB. ом WO *я^/ о со Т • 103, \./км а, мнеп/км о. ах
0,25 2,85 23,6 12,68 5,12 0,022 I960/—24°50' 1775 —820 15,75/65° 6,66 14,25
0,40 3,61 28,4 11,28 5,12 0,03 1770/—22°28' 1635 —675 22,7/67°23' 8,65 20,9
0,8 5,1 38,4 8,84 5,12 0,05 1510/—20°2Г 1415 —525 38,8/69°32' 13,6 36,4
1,5 7 50,7 7,08 5,12 0,085 1320/—18°32' 1250 —420 63,6/71°22' 20 60,2
2,0 8,06 58 6,58 5,12 0,11 1252/—17°27' 1193 —375 80,5/72°27' 24 ’ 76,7
2,8 9,57 67,5 5,88 5,12 0,15 1170/—16°32' 1120 —332 105 /73°22' 30 101
4,0 11,4 79 5,26 5,12 0,21 1090/—15°24' 1050 —290 140 /74°29' 37,4 135
7,0 15,1 103,5 4,53 5,12 0,36 998/—13° 42' 970 —236 224,7/76°12' 53,8 219
8,0 16,1 по 4,38 5,12 0,41 980/—13° 12' 955 —224 252 /76°42' 58 245
10,0 18 122,5 4,16 5,12 0,51 960/—12°27' 938 —207 302 /77°27' 63,8 295
12.16. = 11,1 е/17/ в; Zj = 9,1е/169 20 ма; «х=15,5 sin (со/~Н 177°40') в;
Zx = 12,9 sin (<о/ + 169°20') ма; Uy==2Q = 3,4е/195°20' в; Iy=2Q = 17,4е/259°20' ма';
и 20 — 4,8 sin (о)/4- 195°20') в; £//=20=24,6 sin (<о/+259°20л) ма. 12.17. ЦКе3 =
/167° • /177°40'
= 2,74е в; и{к з = 3,88 sin (<о/-}-1670) в; /1к з = 11,07е ма; Z1K3 =
624
— /10°40'
к „ = 248е
1Y»O
7 7 1й О '3°15'
^npi5=5 16,8е в;
в. 12.19. «!== 19,1 sin (<d/-H75°55') в; Z!=27,2sin (<^+173°10') ма;
ом. 12.20. ^2х.х = 12,6в; /1х х = 7,35ма; zz2xx = 17,8 sin X
— 10,4 sin (<о/ 76°50') ма. 12.21. й2 = 5,55е 1 50
А’= 6,05е/15 ма; и2 ~ 7,83 sin (<*>/— 3^°50') в
ма; it = 8,55 sin (ю/ 4- 15°) ма;
1 А А^/17°20'
Лпр=6,65е
2отр 1»63е
12.23. al = 0,47
= 16е в;
= 15,6 sin (®/ + 177’40') ма; Zxx = 1210е/8°2°'
12.18. t/j, = 16,6е/2°3°' в; /х = 31е/4<>50' ма;
^О.бе-'132’20',
ZBX = 705е/2°45'
X («./ — 18’20') в; ilx х
/2 == 5,55е ма;
= 7,83 sin (<о/ 34°50')
в;
ом;
ом.
^обр1 “
в;
г\отр= 1,15е/33020'
= 6,45е-/48О4°' -
. п /102’40’
== ма.
= 18,2е4,7’10”* ма
1й о 7»,02
18,2е ма; 1\ = 0,465 вт; Р2 = 0,182 вт.
в;
ма;
в;
неп;
1
^inp — 9,04е
/еЯО
и
-/4
^2 —
о
в;
1отр = 0,85е'& ма;
2пр—4,5е~127 201 ма>
U (У) = Юе4’7’10”» в.
— 90 1J3’07
- ^9,1е ма; иг = ю
2пр
^20тр
f(y)
61 h
К отв. зад. 12.23
а — кривые действующих значений напряжения и тока вдоль линии; б — спи-
ральная диаграмма изменения величины и фазы действующих значений на-
пряжения; в — кривые распределения мгновенных значений напряжения вдоль
линии для двух моментов времени: 1) t == 0; 2) t = 10 мксек,. 12.26. Индук-
тивность следует увеличить на 41,24 мгн. ZB == 2660е/5°52, ом, а =
мнеп мрад • /1°чг *
= 10,3 ------, ? = 81,4—— = 130,Зе^ 5 в, = 49е/83 2 ма,
км км
= 895 мет, ма, Р2 = 37,6 мет. 12.27. ZIT= Z3T= 2,61е/40°36, ом,
Z2T = 1,96е-/1°2(Г ом. 12.28. Zln = 676е/82°35' ом; Z2n = Z3n = 502е“/75°55' ом.
12.31. ZB = 615е~/13°20’ ом; т = (4,9 + /18,1) • Ю’3 км~1; г0 = 5,4 — ; £0=
км
625
мгн ф сим
= 2------ Со = 6 • 10“* — ; £0 = 1 * Ю“в --------. 12.35. О,173 ма. 12.37. иг =»
км км км
= 10 sin (со/ — 108°45') мв; h == 21,3 sin (о/ — 108°45') мка, при /1 = 0 и =
— 10 sin (2,1#) мв; i = 21,3 sin (2,1 у) мка, при —
8
4- — мв; I = 21,3 sin 2,1# ф — ] мка, при tz — —
4 / \ 4 / 4
i «= 21,3 cos (2,1#) мка. рн == 0, Кб = 1. 12.39.
и = 10 sin ^2,1# -F
и = 10 cos (2,1 #) м;
ui == 5,72 sin (со/ /Ф
4- 235°50') мв; I == 20,4 sin (со/ ф 260°20') мка; рн == —
3
12.42. Zm = 141е~/45° ом; /„=*71 ма. 12.43. 0,081 в.
К6.в = 0,5.
К главе 13
13.1. Для вариантов 2, 3, 4 и 6: L =* 1,8 мгн; С = 0,5 мкф; для вариантов
1 и 5: L = 3,6 мгн, С = 1 мкф. Эквиваленты 2 и 3, 4 и 6. Обратны 1 и 5; 2 и 3
обратны 4 и 6. 13.2 а) сор 5-103 сек'1; б) <ор = 5 • 103 сек"1; в) шр1 =
== 3,54 • 103 сек"1; <ор2 = 5 • 108 сек"1; г) <ор1 = 2,5 • 104 сек"1; <о02 =
«5 • 104 сек"1. Р Р р
13.4.
а) 120ом Ч-5мгн б) 12ом в) 1SOoM 20мк<р г)
60 ом
бОом
10 мкф
отв. зад. 13.4
8 мкф
13.5.
К отв. зад. 13.5
13.6. а) 500 ом; б) 500 ом. (
io -7 7 i \ P3CL1l2. 4- Р2С (Ls^i 4- Цг2) 4- р (ггг2С 4- £i 4- L2) 4- (fi 4- /’г)
,3-7- Z(',)---------------------------p-CL, + „О. + 1------------------------ '
Оз — СЬгЬ2; а2 = С (L^j 4" 2)» ^1 — 2^ 4“ 4~ ^2$ — Г1 4~ /"2! ^2 ^^*2»
b\ = Cf 2; = 1.
13.9.
0----j.-----------
L Юпф Ч5 250мгн
0>2гн< L J
Г 50мгн4 200om[
0—1--------l—J
500OM
К отв. зад. 13.9
626
13.10.
13.12.
ff) К л асе Ш
а) К л acc HL
5 - 10* 10202 — со2
/со 25502 — со2
1,05 - 10* 69002 —со2
/со ’ 316002 — со2 *
г (/со) = /со
13 14.
г) Класс Л
60 • ю~з
102Q2 — со2
9902 — ш2
0,75 - 10й 5780 — со2
/со * 100002 — со2 *
К отв. зад. 13.12 (а, б, в, г)
Z = /со2 • 10~3 •
500002 <— <о2
446002 — <о2"
К отв. зад. 13.14
627
13.16.
13.17.
С= 1,13 пф\ класс IV.
ZO) = h • 222 • IO"® •
(2,22 • 1Q15 —<р2)
(9,85 • Ю14—*
Ci = 0,3 мкф\ Сч = 0,15 мкф*, L == 133 мгн. 13.18. Для рис. 13.17,6.
Z/W); ф(г)
К отв. зад. 13.186
13.19. R(o)) — г
ности, здесь
+ *2 (о))
— уравнение
Окруж-
R(<*)=r 1-
((оСг)2 (k 4- 1)
1 + (<^Cr)2 (k + I)2
шСг
К отв. зад. 13.19
628
13.20. Для схемы рио. 13.20.
б.
1 + а2Ь2
14
14.3. Для рис.
= 6,32 • 10-2е—,71°35'
= 15,83е/71°35
X 1О-2е/123°40'
ом;
К главе
Яп = 3,26е-/10°зг| Л12 = 36, le^’20' ом; Л21=
Л22=1; Z11 = 51,6e/6°°58'
. u = 2,77 • lO-e-'56’29'
Г22 = 9,03 • 10"2e /66°57'
. _ ___—/71°35'
14.6
сим;
а:
12
ОМ; Zj2 == ^21 ==: ^22 ==
сим;
сим; Н
сим;
/66°57
1 12 1 21 — A, I I а
QA 1 J56020' ц
36,1е ем; л12=
Л 1П-2Л-^°О58,
4 • 10 2е сим;
F22 = 11,09е'~~/" ом; для рис. 14.6, б; Ап =
ом; А21 = 3,68 • 10-4е/12°32'
103е/9°19' ом;
Fu= 1,265
v 1 Л7К m-з /21°5Г
У22 = 1,075’10 Зе сим;
( сим;
F22 = 932е
сим;
Я22 = 6,32 • 10”2е
— /169°23'
F21 == 0,306е
/21 °SO'
= 1,075е ; Д12 = 1000
— /18°25'
= 1,265е 1 ; Zn = 2,92 •
— /30°57'
Z22 = 3,44 • 103е 7 ом;
= —10~3 сим;
Н22 = 2,91 . 10~4е
/158°9'
== 0,932е7 ;
=— / 100 ом; Zgp = jz-u т ju\j) им, I т j 14) и/
Z3n = (0,235—/17,9) ом; 14.5. Ди = 1,66— /0,106;
Д21 = — /0,053 сим; Д22 = 2,39 — /0,159. 14.6. ZST
==47,1е ом;
Д21 == 0,2 сим; Д22
z2x.x = (10— /20) ом;
Zix X = 51.4е/6°058' ом;
г, /66°57'
Z2k.3= И,12е ом;
/18°25'
= 790е' ом; Z2x х =3430е
21
cum; A22 =
Z21 = Z12 = 2,72- 103 e~ '12°32' ом;
1СГ3е 718 25 cum. Y12 = F21 =
= Я12 = - H21 = 790e7‘8°25' ом;
Fn = 3,42 • 10~4e /9 19 cum; F12 = — F21 =
—/21°5Г
! ом. 14.4. ZXT~ (10 4- /40) ом; Z2T =
^2п — (20,3— /136) ом-'
Al2 “ (9,76 + /56) ом;
37,6e/86OS5' ом; Z2T =
ом. 14.7. Ди = 2 +/6; Д12 = (65 Я- /10) ом;
— /2. 14.9. Zlx<x = 10 ом; Z1Ke8 = (32 + /4) ом;
22к.з = (40— /60) ом. 14.10. Для рис. 14.6, а:
Z1K.3=ae.le/56020' ом; Z^ х = 15,83е'7,°36' ол,;
аля рис. 14.6, б: Zj = 2910е/Э°14' ом; Z,„ „ =
— /31° „ — 721°50'
! олг» Z2k,3 = 930е ом. 14.12. Ди =
629
= Jz’ л12 —
— /65°
= 10,4e
— /79°42'
= 0,268e
/45й40'
= 235e ом,
л л /56°17'
Д12 = 72,2е
л /55°20'
д12 = 72,2е
/56°20'
А12=18,05е
z==£' ^21 === ^22 == 0
= Л12>
/25 ом; А21~)0,2сим. 14.14. Z1BX = 42,5е/51°10 ом;
ом. 14.16. а) 1411=12,87е , Л12 = 153,2е <
л n nzj — /10°37' хч я я г - , - /12*32
сим, Л22 = 3,26е ; б) Ап = А22 = 5,54е
771°35'
А21= 12,65 • 10~2е сим;
_ /82°12'
ом, Л21 = 0,412е сим.
— /71°40'
ом; А21=0,0316е сим;
л — /71°40'
ом;
____ Ац
21а — ~
Д21 = О, 1264е
11
- ^12 — ^21 — А22 = 00
^223 ~ 4" ^22» 6)
^гвх ~~
ОМ, ^21=ж
-/12°32'
—/10°40'
—/10°40'
п=3,26е »
Л22 = 1; в) Ац = Д12 s
14.20. а) Лца = Лц!
л i ^12 . л
в) АХ1 — А22. = 5,54е
14.19. а) Ап = 3,26е‘
^22 ~ б) А
сим;
— Л12;
. а22
^21В — ^21» ^22В
22Г = Л22 + ZA21.
= 25 • 10“4 (1 — /2) сим;
£=1,2 - /0,111;
— -^21»
^21
/69°20'
= 13,2е ом;
= 1850е/26°25' ом;
= 1,09-10’6 /32°
задачи 14.15:
/41°26’
a) Zlc = 284е ом; Z2c = 78,8е
= Z2c = 224 ом; g — 0,482 + j
/1,57. Для условий задачи
/26°30'
= 448 ом; Z2C = 200е ом;
' /26°30/
нии: Zlr=112 ом; Z2c = 50е ом;
но-параллельном соединении: Z1£. = 446е
параллельно-последовательном соединении:
/36°50'
= 200е ом; g = oo. Для условии задачи
Z2C = 131е ом;
a) Zj^ = 224 ом;
= 56 ом; Z2C = ЮОе
£ = 1,46— /0,5.
^22б — ^22» в) Лцв — Ац 4" ZA21*, Л|2в — ^12 4*
= ^22'* г) ^иг = А1Г; Л12г = Л12 + ZAn; Л2хг ==
14.21. Ли = 1,625—/1,75; Л12 = (125—/100) ом;
14.24. a) Zlc = 43,1е^58°4°
б) Zlc = 1520е"3055'
14.26. Ди- = Д22 = 1,74е /26°2°
ом; Д21 = 2,35 • 10-3е ^38 сим. 14.27. Для
Л 22 — 0,5.
ом; Z2& —
ом, —
Л12 =
условий
/14°54'
•1с
14.31
ний П-образной
1,57; в) Zlc = Z2c = 1ООе/26<>30’ ом; g = 0,482 +
14.18: При последовательном соединении Zlc =
0,244 — /0,785; при параллельном соедине-
g = 0,244 — /0,785; при последователь-
/63°30'
ом; Z2c = /50 ом; g = оо; при
/63°30'
Zlc = 112е ом; Z2c =
14.21: 'Zlc = 220e7 ом;
£ = 0,438—/1,36. Для условий задачи 14.22:
/26°30'
= 400е7 ом; g = 0,244 — / 0,785. б) Zlc =
ом; § = 0,244-/0,785. 14.28.' Zc = 21,2е/58О2°’ ом;
л /'26°30'
ZH1 = 224е ом; ZH2 = 100 ом. 14.30. 224 ом.
— 90 ом. 14.32. 10 ом. 14.34. Одно из сопротивле-
имеет отрицательный знак действительной
14.29.
10 ом или
схемы
части.
14.35. Zi= Z1T; Z2 = ZiT ф 2Z2T. 14.38. рн = 0,74е /108O4°'; Рт =
_0,87e-'“-2”'; Jb±=lbL . 100% _
I ^ic I
<P1BX — J1C 100(% = 12)8o/o; аэх0 = 0,166 неп; авн = — 0,065 неп; а0 =
<Р1С .
= — 0,033 неп; Ки = 0,175е“ >u°w; К, = О,?^24060'. 14.39. Z1BX =
14.40. а„ = 2,5 неп; авн = 2,48 неп. 14.41. ар = 0,223 неп; авн= — 1,396 неп.
14.42. Для Т-схемы: rt = 462 ом; г, = 425 ом; схема П: г, =587,5 ом;
г2 = 540 ом; Т-образно мостовой: гх = 500 ом; г, = 29 1 ом; гя = 860 ом.
14.43. ZT = 454 ом; а = 0,988 неп. 14.47. л = 0,73; L, = 0,844 ен; L, =
= 1,585 гн; С2 = 7 мкф. 14.51. Для рис. 14.27, б нуль функции К. (р) рх =
630
= ------— лежит в правой полуплоскости. 14.58. У* ** Ут — У12. 14.59. Zue^
г 2г 3С
= 215 ом; Z126 200 ом; Z216 = 1,9 • 10е ом; Z226 = 2* 10е ом, 14.64. а119 ==
= — 0,56 • 10”3; Пиэ = ~ 62,1 ом; а21э = — 1,03 • 10”в сим; а22э = — 0,031;
ZBX = 1900 ом; ky =' 495.
14.65.
1 ZK + Zg —
Ра _— (Zr 4" Zg) Z9 4“ Zg .
Здесь
Ра = (Z9 4“ ^б) (ZK 4~ Z$) — Ze (Ze 4- Zr); ре — (Z9 4~ Ze) (Z9 4“ ZK Zr) —
—* (Z9— Zr) Z9;
Pb = (Zr 4" Ze) (Z9 + ZK Zr) ZK (ZK Zr).
К главе 15
15.1. Схема рис. 15.6, в — полосовой фильтр. cofl= 104 сект1; (оь= 1,73-104 сек”1;
Схема рис. 15.6, г — полосовой фильтр. <ofl = Ю4 сек”1; со^ = 1,1-104 сек”1.
15.5. fc = 56,5 гц. 15.6. -^- = 0,03 гн; С2 = 0,167 мкф. 15.7. /> = 3200 гц;
Li=0,06 гн; С2= 0,167 мкф. 15.11. [с = 212 гц; 2,64 неп. 15.12. Ь =
= 0,159 гн; Ci = 0,159 мкф; 2,64 неп. 15.13. fc — 940 гц; £2 = 0,424 гн;
Сх = 0,017 мкф. 15.15. а = 3,8 неп. 15.16. Li = 1,24 мгн; L2— 15,9 мгн;
Ci 44,3 нф; Съ— 3,45 нф; а = 3,73 неп. 15.18. fc = 3200 гц; а = 1,57 неп.
15.20. т = 0,59; 2С1т = 91,5 нф; 2Lzm = 33 мгн; = 49 нф. 15.21 а =
= 4,3 неп.
К отв. зад. 15.21
631
15.22. В схемах б, в, д и е соединение осуществлено по принципу согласования
характеристических сопротивлений; в схемах а и г согласования нет.
15.24. — Lim = 0,469 мгн-, 2Cim = 12,3 пф; — Lam = 6,6 мкгн; 2С3т =
2 *
= 0,875 нф; L2m «6,15 мкгн; С2т = 0,938 нф. а = 1,36 неп.
К отв, зад. 15.24
15.25
полдзвено звено полузвено
тг т.
К отв. зад. 15.25
15.26. £1оо == 10,67 кгц; /2й0 = 18,73 кгц; а = 1,386 неп.
рис. 15.27, в соответствует ФВЧ; схема 15.27, г —ЗФ. 15.33.
тухания (см. решение задачи 15.32).
15.29. Схема
Уравнение за-
2
частота = 8,55 • 104 сек''1.
632
При частотах ф <
зоваться выражением
имеет ^есто соотношение zi < гч; при этом следует поль-
а
th — . При частотах > ф^ (zi > zi) — выражением
cth . При ф' а* = 1,58 неп; при ®" а" == 3,57 неп,
15.36.
К отв. зад. 15.36
^im~20,2 мгн;
С1М=12,5 нф;
С2м = 20,2 нф.
15.39. tn\ 0,855; m2 0,515; =• 2,98 кгц.
К главе 16
16.3. гх = 600 ом; С = 25,5 нф; гг « 3267 ом; затухание при 0,3 и 4 кгц-.
азоо == 12 мнеп; аюоо = 306 мнеп. 16.7. При выборе схемы рис. 16.2, а:
1) п = 450 ом; Fq =* 3,065; Fi = 1,974; bi => 2,12 • 10”4; Ci = 0,075 мкф;
г2= 800 ом; Ьч = 0,027 гн; \ak макс = 0,061 неп при | «= 10000 гц. 2) п =
= 472 ом; Fq = 3,19; Fi ==> 1,974; bi = 2,24 • 10"4; Ci « 0,076 мкф; гч ==
= 760 ом; Lz=* 27,2 мгн; А%1акс = 0,055 неп при £ =* 10000 гц. 16.9. При
выборе схемы рис. 16.2, в: 1) и = 3410 ом; Ci = 0,046 мкф; Li = 19,6 мгн;
гч = 106 ом; L4 = 16,6 мгн; Сч == 0,0543 мкф; А а^макс = ф 0,131 неп при Ц =
= 1200 гц. 2) п = 3216 ом; Ci = 0,0466 мкф; Li “ 19,35 мгн; гч = 112 ом;
16,8 мгн; Сч = 0,0539 мкф; А аймаке Ф 0,1 неп при fi = 800 гц. 3)
== 3410 ом; Ci => 0,0473 мкф; Li =* 17 мгн; гч *=« 106 ом; Li ° 17,05 мгн;
Сч= 0,0472 мкф; AafeMaKC= ф 0,117 неп при j == 1200 гц.
К главе 17
17.3. а) Не п. в. ф., так как наибольшие степени р числителя и знаменате-
ля отличаются более чем на единицу (см. п. 2, б основных положений); б) не
п. в. ф., так как на мнимой оси имеются кратные полюсы в точках ± /1 (см. п. 2,
в основных положениях), в) не п. в. ф., так как вещественная часть Fsija)) на
633
мнимой оси отрицательна при .0,707 < со < 1. 17.4. Пункты б) и в) не п>в. ф.,
так как наибольшие степени р в чрслителе и знаменателе отличаются более
чем на единицу; пункт г) не п. в. ф.» так как имеется нуль в правой полу-
плоскости.
г)
17.6.
Неп.в.ф
^0t5+j0fi7
—7 0
X
-0t5~J0}87
К отв. зад. 17.4
УН
HenJktp
-----о---
0 4-7
У-jZ
К отв. зад. 17.6
634
17.8.
К отв, зад. 17.8
17.10.
К отв зад. 17.10
17.12.
К отв. зад.' 17.12
635
17.15.
К отв. зад. 17.15
17.22.
К отв. зад. 17.22
К главе 18
18.2.
К отв. зад. 18.2
636
г) Не может быть реализован,
18.4.
так как не выполняются условия вычетов
L(p)~P(p+l)(P+2)
К отв. зад. 18.4
18.6.
К отв. зад. 18.6
18.9.
К отв. зад. 18.9
637
(У, = 0,2- IO7, fc'== 1
18.12. Если <Jj «= 107, 0,2,
S)
250ОМ 25-10^гн
500Ш
\7500M 25-10'setf
К отв. зад. 18.12
18.13. 1 — неприемлем, так как нет чередования корней с корнями зна
менателя Кухх ; 4 — неприемлем, так как высшая степень р больше высшей
степени знаменателя Ку XtX ; 5 — неприемлем, так как высшая степень р ниже
высшей степени знаменателя Кцм i 2, 3, 6 — приемлемы
18.14.
L(p)^p+Ws
К отв. зад. 18.14
18.15. 400 ом, 900 ом.
18.17.
20ом 2-10'2гн
200ом
К отв.
зад. 18.17
638
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Данные основной кривой намагничивания, а/ж.
Слабо- и среднелегированная листовая электротехническая сталь (Э11)
в 0.0 0.01/100 0,02/200 0,03/300 0,04/400 0,05/500 «. ' 0,06/600 0,07/700 0,08/800 0,09/900
тл &0
0,4 4000 140 143 146 149 152 155 158 161 164 167
0,5 5000 171 1751 179 183 187 191 195 199 203 207
0,6 6000 211 216 221 226 231 236 241 246 251 256
0,7 7000 261 266 271 276 281 287 293 299 306 312
0,8 8000 318 324 330 337 344 352 360 369 378 387
0,9 9000 397 407 417 427 437 447 458 469 480 491
1,0 10000 502 514 527 541 555 570 585 600 615 631
1,1 11000 647 664 682 701 720 739 759 779 800 821
1,2 12000 843 866 891 918 946 976 1010 1040 1070 1100
1,3 13000 1140 1180 1220 1260 1300 1340 1380 1430 1480 1530
1,4 14000 1580 1640 1710 1780 1860 1950 2050 2150 2260 2380
1,5 15000 • 2500 2640. 2790 2950 3110 3280 3460 3660 3880 4120
1,6 16000 4370 4630 4910 5220 5530 5880 6230 6600 6980 7370
1,7 17000 7780 8200 8630 9070 9630 10100 10600 11100 11600 12200
1.8 12800 13400 20600 14000 21600 14600 15200 15900 16600 17300 18000 18800
1,9 2,0 19700 22600 23600 24600 25600 26800 49500 28200 29600
20000 ' 31100 32500 34300 36500 39000 42000 45500 54500 59500
Примеры пользования таблицей: 1) при В <= 0,8 тл «= 8000 го И = 318 а/м; 2) при В = 1,13 тл » НЗООгс Н *= 701 в/ж.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Переход от алгебраической формы комплексного числа
к показательной и обратный переход с помощью
логарифмической линейки
Если комплексное число С задано в алгебраической форме
С = а + jb,
то его аргумент а и модуль г определяются по формулам:
tga = А; (П2.1)
а
тогда ।
С = а + jb = . (П2.3)
I *
Проще всего находить а и г с помощью логарифмической линейки.
При этом надо иметь в виду, что на шкале тангенсов нанесены углы
только до 45Q. Поэтому надо различать следующие случаи:
1) а> 0, 6 > 0 и — 1; в этом случае угол а находится на шка-
а
ле тангенсов;
2) а > О, b > 0 и ~ > 1; в этом случае на шкале тангенсов Ha-
as
ходится угол (90° — а), так как tg (90° — а) = а/b 1;
3) одно из чисел а или b (или оба) отрицательно. Предварительно
определяем, в какой четверти лежит а. Затем> найдя на линейке ос-
« I ь I
трыи угол, тангенс которого равен -J—1, по известным из тригоно-
|а|
метрии формулам приведения определяем угол а.
Для выполнения указанных операций нужно движок линейки пе-
ревернуть так, чтобы шкалы синусов и тангенсов оказались снаружи.
Рассмотрим несколько типичных случаев.
Пример 1. СА = 26 4- j 11.
Решение. Устанавливаем волосок над меньшим числом 11
на основной нижней шкале и делим его на 26, для этого движок пере-
двигаем до тех пор, пока его конец не станет под числом 26. Тогда на
шкале тангенсов под* волоском найдем а = 22°55'.
Для определения модуля по формуле (П2.2) передвигаем движок
до тех пор, пока под волосок не попадет угол в 22°55', нанесенный на
шкале синусов. Тогда под концом движка на основной шкале най-
дем г = 28,2.
Итак,
Сх = 26 4- /11 = 28,2е'22055’.
Пример 2. С2 == 4 + /7.
640
Решение. Деля, как и в первом примере, меньшее число 4 на
большее 7, найдем на шкале тангенсов угол 29с45'. Так как b > а,
то а - 90° — 29°45' = 60° 15'.
Передвигаем движок и устанавливаем под волоском угол в 29°45'
со шкалы синусов. На основной шкале найдем г = 8,06.
Таким образом, * '.
с2 = 4 +/7 = 8,06е/6(),>15'.
Пример 3. С3 = 382 + /28.
Решение. Так как 28/382<0,1, то угол меньше 5°45' (tg5°45'«
« sin 5°45' «0,1) и находится на средней шкале (где обозначено S
и 7). Деля меньшее число 28 на 382, на этой шкале найдем а = 4°12'.
Так как для углов меньше 5°45' tg а « sin а, то модуль равен
382.
Итак,
С3 = 382 + /28 = 382е/4°12'.
Пример 4. С4 = НО — /90.
Решение. Угол а лежит в четвертой четверти; так как | b | <z
< |а|, то по абсолютной величине он меньше 45°. Деля меньшее число
90 на НО, найдем угол 39°20'. Следовательно, а=—39°20'. Модуль на-
ходится, как в предыдущих примерах:
С4 = по — /90 = 142е_/39020'.
Пример 5. С5 = —8 + /13.
Решение. Угол а лежит во второй четверти. Так как > 13/8 > 1
то а < 135° (tg 135° =—1). Следовательно, а = 90° + угол, найден-
ный на линейке.
Деля меньшее число 8 на 13, найдем угол ЗГ35';
а = 90° + 31°35' = 12Г35'.
Таким образом,
с5 = — 8 + /13 = 15,Зе/121035' .
Рассмотрим, как выполнить обратный переход от показательной
формы к алгебраической.
Пример 6. CQ ~ 74е/28 = 74 cos 28° + /74 sin 28°.
Решение. Устанавливаем волосок над числом 74 на нижней
основной шкале и совмещаем с этим числом конец движка. Умножая
74 на cos 28° = sin 62° (для чего устанавливаем волосок на 62° шка-
лы синусов), получим
74 cos 28Q = 74 sin 62° = 65,3.
Умножая 74 на sin 28°, для чего нужно только передвинуть бегу-
нок так, чтобы под волоском оказалось 28Q шкалы синусов, получим
74 sin 28° = 34,7.
Следовательно, С6 = 74е/28° = 65,3 + /34,7.
641
ПРИЛОЖЕНИЕ3
Расчет гиперболических функций от комплексного аргумента
При расчете четырехполюсников, фильтров, длинных линий при-
ходится определять значения гиперболических синуса, косинуса и
тангенса от комплексного аргумента g = а + jb. Для вычисления
этих функций можно использовать приведенные далее два способа
расчета. При этом следует иметь в виду, что при вычислении по фор-
мулам sh (а + jb) = <Se/tf\ ch (а + jb) — Ct’fc углы ?,и <pc находят-
ся в тех же четвертях окружности, что и угол Ь, причем для нечет-
ных четвертей окружности <ps >- b <рс, а угол <р, > 0; для четных
четвертей окружности b <рс, а угол <р( < 0.
Пример 1. Найти sh (0,65 + /1,334); ch (0,65 + /1,334); tg (0,65+
Решение. Здесь а = 0,65 неп, b = 1,334 рад, или так как
1 рад = 57,3°, то b = 1,334 * 57,3° = 76,5° = 76°30', т. е. угол ле-
жит в первой четверти. ,
По таблицам функций действительного аргумента находим исполь-
зуемые в дальнейших расчетах sh а = sh 0,65 = 0,697;ch a=ch 0,65=
= 1,219; sin&=sin l,334='sin 76°30'=0,972; cos 6=cos76°30' = 0,233;
sh 2a = sh 1,30=1,698; ch 2a — ch 1,30= 1,971; sin 2b = sin 2,668 =
= sin 153° = 0,454; cos 2b = cos 2,668 = — 0,891.
Расчет гиперболического синуса sh (0,65 + /1,334)
Способ 1. sh (a + jb) = sh a • cos b + /ch a • sin b = 0,697 • 0,233 +
+ /1,219 • 0,972 = 0,163 + /1,185 = l,196e/82°12'.
Способ 2. S = /0,5 (ch 2a — cos 2b) = /0,5 (1,971 +0,891) =
= 1,196;
tg <P = t-SA = XZffgO' = -4Л65 _ 7 7 = 82°!2,
* tha tH0,65 0,572
Следовательно, sh (0,65 + /1,334) = l,196e/82°12 .
Расчет гиперболического косинуса ch (0,65 + /1,334)
Способ 1. ch (a + jb) = ch a-cos & + / sh a - sin b = 1,219*0,233 +
+ / 0,697 • 0,972 = 0,284 + /0,677 = 0,735e/67°12'.
Способ 2. C = j/0,5 (ch2a + cos 2b) = / 0,5 (1,971 — 0,891) =
= 0,735, tg <pc = tg b * th a = 4,165 * 0,572 = 2,385, <pc = 67°12'.
Следовательно, ch (0,65 +/ 1,334) = О^Збе7670’2 .
Расчет гиперболического тангенса th (0,65 + j 1,334)
Способ 1. tg (a + jb) = ----------AA------- j --------sin 2&--- _
ch 2a + cos 2b ch 2a -f- cos 2b
_ 1,698 . 0,454 .,^/15°
1,971 —0,891 1,971 —0,891
Способ 2. th (a + /6) =
ch 2a — cos 2b
ch 2a + cos 2b
где
1,971 + 0,891
1,971 —0,891
642
Способ 3.
Sill2* = 2’-454.. = 0,268; Ф» = 15°.
sh 2a 1,698
j_ h\ - sh (° + ib> = = 1 • 196e^82°12'
1 ch (a + jb) 0,735e/67°12'
= 1,628е/15°.
Согласно указанному выше, так как угол b лежит в первой (нечет-
ной) четверти, поэтому <ps = 82°12' > b = 76°30' > <рс== 67°12'.
Пример 2. Найти sh (1,15 + /2,825); ch (1,15 +/ 2,825);
tg (1,15 + /2,825). Здесь а— 1,15 wen; b = 2,825 рад — 162°, т. е.
угол b лежит во второй (четной) четверти.
По таблицам находим: sh 1,15 = 1,421; ch 1,15 = 1,737; sin 2,825 =
= 0,309; cos 2,825 = — 0,951; sh 2,30 = 4,937; ch 2,30 = 5,037;
sin 5,65 = —0,588; cos 5,65 = 0,809.
Расчет гиперболического синуса sh (1,15 + /2,825)
Способ 1. sh (1,15 + / 2,825) = 1,421 (—0,951) + 1,737-0,309 =
= —1,351 +/0,536 = l,454e/158020'.
Способ 2. S = /0,5 (5,037 — 0,809) = 1,454;
tgy = Jg .1-62". = = —0,397; <p = 158°20';
sh (1,15 + /2,825)= 1,454e/158020' .
Расчет гиперболического косинуса ch (1,15 + /2,825)
Способ 1. ch (1,15 + / 2,825) = 1,737 (—0,951) + / 1,421 • 0,309 =
= — 1,652 + /0,439 = l,71e/165°7'.
Способ 2. С = J/0,5 (5,037 + 0,809) = 1,710;
= tg 1629 • th 1,15 = —0,325 • 0,818 = —0,2’66, <pe = 165°7';
ch (1,15 + /2,825) = l,710e/l65°7'.
Расчет гиперболического тангенса th (1,15 + /2,825)
Способ 1. th (1,15 + / 2,825) =-----sh?’30-------1- j---?in.5’65------
ch 2,30 + cos 5,65 ch 2,30-{-cos 5,65
—~0,588— = 0,843 — / 0,100 = 0,850e~ /6°47'.
5,037 + 0,809
Л3!03? — .0-80?. = 0,850;
4,937
Способ 2.
6°47'.
— 0,588 « i in
tg'p/==^r- = “1’119’ *
Способ 3. th (1,15 + j 2,825) = -1 ’454e'X^ = 0,850e- /6°47’.
l,710e'
Так как угол b лежит во второй четверти, то в соответствии с ука-
занным выше имеет место неравенство J
<р8 = 158°20' < b = 162° < ® = 165°7'.
с
643
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Основные понятия о матрицах
Матрица — это прямоугольная таблица, которая характеризует
взаимное расположение коэффициентов в определенной системе ли-
нейных уравнений. Обычно каждый элемент матрицы имеет два ин-
декса. Первый индекс соответствует номеру строки, второй —номеру
столбца. Матрица записывается в виде определителя, но в отличие
от него обрамляется по бокам прямоугольными скобками (существу-
ют и другие формы записи матриц). Далее записана матрица, име-
ющая т строк и п столбцов:
Гл1 __ #21 а22 • • • а2п
^т\^т2 • • • @гпп
Матрицу нельзя отождествлять с определителем системы уравне-
ний, который представляет собой определенное число, если раскрыть
определитель по известным правилам.
Порядок матрицы, имеющей т строк и п столбцов, определяется
произведением т х п.
Классификация матриц. Квадратной матрицей называется такая
матрица, у которой число * строк равно числу столбцов (т = п),
У такой матрицы линия, соединяющая элементы и атпг называется
главной диагональю матрицы. Симметричная матрица — квадратная
матрица, у которой все элементы aik = aki.
Диагональной матрицей называется матрица, все элементы ко-
торой, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю.
Единичная матрица — диагональная матрица, все элементы глав-
ной диагонали которой равны единице. Матрица-строка — табли-
ца, у которой имеется лишь одна строка (т = 1). Матрица-столбец —
таблица, имеющая лишь один столбец (п = 1).
Свойства матриц. 1) Равенство матриц имеет место при равенстве
всех соответствующих элементов. 2) При сложении (вычитании) мат-
риц следует сложить (вычесть) соответствующие элементы этих мат-
риц:
la] + [&]
#11 #12
#2] #22 _
&И&12
_^21^22 _
а11 4“ ^11
#21 4~ ^2]
#12 ^12
#22 4" ^22
3) Перемножать матрицы можно, если число столбцов первой мат-
рицы равно числу строк второй. Умножение производится по пра-
вилу «строка — столбец»: элемент матрицы произведения нахо-
дящийся на пересечении г-й строки первой матрицы и /-го столбца
второй матрицы, равен сумме произведений элементов l-й строки
644
первой матрицы на соответствующие элементы /-го столбца второй
матрицы (ctJ = аг1Ьу 4- ai2b2i + ... + alnbnj) (см. рис. П4.1).
При умножении матриц сохраняет силу сочетательный закон:
1а] lb] • Id = Id] • Id = [а] • Id,
где
Id] = la] • lb], Id = lb] • Id.
Однако умножение матриц
не подчиняется переместитель-
ному закону
* lai • [bl =/= lb] • [al.
Рис. П4.1
Умножение матрицы на чи-
сло k соответствует умножению
каждого ее элемента на это число. Это же соответствует
данной матрицы на диагональную матрицу с элементами
умножению
k. •
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Расчет первичных параметров воздушных и кабрльных линий
А. Воздушные двухпроводные линии (рис. П5.1). Сопротив-
л е н и е проводов двухпроводной линии при постоянном токе на
единицу длины
Гзо = Р --7- = Р —— ом/км*, (П5.1)
юР d1
где р—удельное сопротивление,
/-К/ /'^'Ч ом ' ПРИ температуре 20° С;
-4- 4^4---------------4 4- У - d — ди аметр проводов, мА.
Сопротивление единицы длины
; _________а_________ I линии на постоянном токе при тем-
г* • । пературе t°, отличной от 20° С, вы-
Рнс. П5.1 числяется по формуле
г/« = Гго [ 1 + ar (t° — 20°)] ом/км, (П5.2)
здесь аг — температурный коэффициент сопротивления.
Некоторые характеристики металлов, из которых изготовляются
провода линий, приведены в табл. П5.1.
Таблица П5.1
Наименование металлов р, 0М'ММ*/М аг Удельный вес, г/см3
Медь 0,01785 0,0039 8,9
Алюминий 0,0292 0,0037 2,72
Сталь 0,138 0,0046 7,7
Активное сопротивление единицы длины линии при переменном
токе
Го == rt° П + Р (х)1 ом/кму (П5.3а)
здесь F (х) — поправочный коэффициент, учитывающий увеличение
активного сопротивления линии вследствие поверхностного эффекта;
он является функцией х, определяемой по формуле
1=7даУ^’ (П5Л>
где / — частота, гц-,
Р — магнитная проницаемость (для медных и алюминиевых про-
водов р = 1, для стальных р = 120).
Коэффициент F (х) определяется по табл. П5.2.
* Вывод этой и всех других формул, приведенных в этом приложении, мож-
но найти в [22].
646
Таблица П5.2
X \ F(x) G(x) н (х) Q (х)
0 0 0 0,0417 1
0,5 0,0003 0,001 0,042 0,9998
1,0 0,0052 0,0152 0,053 0,997
1.5 0,0258 0,0691 0,092 0,987
2,0 0,0782 0,1724 0,169 0,961
2,5 0,1756 0,295 0,263 0,913
3,0 0,318 0,405 0,348- 0,845
3,5 0,492 0,499 0,416 0,766
4,0 0,678 0,584 0,466 0,686
4,5 0,862 0,669 0,503 1 0,616
5,0 1,042 0,755 0,530 0,556
6,0 1,394 0,932 0,575 0,465
7,0 1,743 1,109 0,608 0,400
8,0 2,094 1,287 0,634 0,351
9,0 2,446 1,464 0,655 0,313
10,0 2,799 1,641 0,750 0,282
более 10 хУТ — Z х /2 — 1 0,750 2 /2
4 8 X
Активное сопротивление единицы длины медной двухпроводной
линии диаметром d при радиочастотах может быть вычислено по фор-
муле
16,65 -10 2 1/Т7—г /
г0 = ——-— у f (гц) ом/км.
а (мм)
(П5.36)
Индуктивность двухпроводной воздушной линий на еди-
ницу длины при переменном токе определяется по формуле
4 In _2_ + q(x)(X'
10"4 гн/км,
(П5.5а)
здесь а — расстояние между осями проводов;
г — радиус проводов, коэффициент Q (х), учитывающий внут-
реннюю индуктивность линии; определяется по табл. П5.2
в зависимости от х.
При радиочастотах индуктивность
Lo — 4 • 10“4 In — гн/км.
Г
(П5.56)
Емкость двухпроводной воздушной линии на единицу длины
Со = 1,05----10-» ф/км. (П5.6)
36 In —
647
Коэффициент 1,05 учитывает влияние изоляторов и соседних
проводов на емкость линии. При радиочастотах вместо коэффициен-
та 1,05 берут 1.
Проводимость изоляции единицы длины двухпроводной
линии
go = g' + rtf,
(П5.7)
где g' — проводимость изоляции при постоянном токе, равная 0,01 х
X 10"6 сим!км при сухой погоде и 0,5* 10^6 сим/км при сырой погоде;
п — коэффициент диэлектрических потерь в изоляторах, равный при
сухой погоде 0,05 • 10“9, а при сырой — 0,25 • 10“9; f — частота, гц.
Б. Кабельные линии. Сопротивление единицы длины линии при
постоянном токе и температуре + 20° С может быть вычислено по
формуле (П5.1), а при температуре, отличной от 20QC, — по форму-
ле (П5.2).
Активное сопротивление при переменном токе токо-
проводящих жил двухпроводной цепи с учетом дополнительных со-
противлений, обусловленных поверхностным эффектом и эффектом
близости, определяется по формуле
ом/км,
(П5.8)
где а — расстояние между осями проводников;
d — диаметр жилы проводника;
р — коэффициент, учитывающий тип скрутки жил кабеля;
F (%), G (х) и Н (х) — коэффициенты, зависящие от х, которое вычис-
ляется по формуле (П5.4), определяются по табл. П5.2.
В диапазоне высоких частот (свыше 30 кгц) еще учитывают до-
полнительное сопротивление кабельной линии, обусловливаемое по-
терями на вихревые токи в соседних проводниках и свинцовой обо-
лочке, по формуле
Дг' = 8 -yfом! км. (П5.9)
I/ 200 ООО '
Таким образом, активное сопротивление единицы длины кабеля
г0 — г' + br'. (П5.10)
И н Ху ктивность единицы длины цепи кабеля вычисляет-
ся (приближенно) по формуле (П5.5).
Емкость единицы длины кабеля определяют по формуле
Со = ------------— IO’6 ф/км, (П5.11)
36 In 0,6 —
г
648
здесь 8 — эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции,
а 0,6 — среднее значение коэффициента, учитывающего скрутку жил
кабеля.
Проводимость изоляции определяется по формуле
g0 = со Со tgb сим/км, (П5.12)
здесь 8 — угол диэлектрических потерь.
В. Коаксиальные кабели. Первичные па-
раметры коаксиальной пары (рис. П5.2) из
медных проводников вычисляются по форму-
лам:
активное сопротивление (при f > 60 кгц)
г0 = 8,35 Vf (гц)
1
d (мм)
(мм)
X 10~2 ом/км\ (П5.13)
индуктивность
Lo = 2 In — IO"4 гн/км-, (П5.14) Рис' П52
d
емкость
Со =-----—~ 10-® ф/км, (П5.15)
18 In---
d
где е — эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции;
проводимость gQ определяется по формуле (П5.12).
В формулах (П5.13 — П5.15) d — диаметр внутреннего провод-
ника, мм\ D — внутренний диаметр внешнего проводника, мм\ f —
частота, гц.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. А т а б е к о в Г. И. Теоретические основы электротехники. Линейные
электрические цепи. Ч. 1, изд. 4-е. «Энергия», 1970.
2. Атабеков Г. И. Основы теории цепей. «Энергия», 1969.
3. Б е с с о н о в Л. А. Теоретические основы электротехники. Изд. 6-е
«Высшая школа», 1973.
4. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. «Совет-
ское радио», 1964.
5, Зевеке Г. В., И о н к и н П. А. [и др.]. Основы теории цепей.
«Энергия», 1965.
6. 3 е р н о в П. В. и Карпов В. Г. Теория радиотехнических це-
пей. «Энергия», 1972.
7. И о н к и н П. А., Мельников Н. А. [и др.]. Теоретические
основы электротехники. Госэнергоиздат, 1961.
8. К а п л я н с к и й А. Е. [и др.]. Теоретические основы электротех-
ники. Изд. 2-е. «Высшая школа», 1972.
9. К о щ е е в И. А. Основы теории электрической связи. Связьиздат,
1954.
10. К у л ь б а ц к и й К. Е. и АносовичБ. Ф. Лекции по курсу
«Теория электрической связи». Изд. ВЗЭИС, 1968.
И. Кугушев А. М. и Голубева Н. С. Основы радиотехники.
«Энергия», 1969.
12. Л о с е в А. К. Линейные радиотехнические цепи. «Высшая школа»,
1971.
13. Н е й м а н Л. Р. и Демирчян К. С. Теоретические основы
электротехники. «Энергия», 1966.
14. П о л и в а н о в К. М. Теоретические основы электротехники. Ч. 1,
«Энергия», 1965.
15. Жуховицкий Б. Я. и Негневицкий И. Б. Теоретиче-
ские основы электротехники. Ч. 2, «Энергия», 1965.
16. X а р к е в и ч А. А. Основы радиотехники. Связьиздат, 1962.
Дополнительная
17. Балабанян Н. Синтез электрических цепей. Госэнергоиздат,
1961.
18. Бессонов Л. А. Линейные электрические цепи. «Высшая школа»,
1968.
19. Б е л е ц к и й А. Ф. Основы теории линейных электрических цепей.
«Связь», 1967.
20. Г а р д н е р М. Ф. и Бернс Д. А. Переходные процессы в ли-
нейных системах. Физматгиз, 1961.
21. Г и л л е м и н Е. А. Синтез пассивных цепей. «Связь», 1970.
22. Г р о д н е в И. И. и К у р б а т о в Н. Д. Линейные сооружения
связи. Государственное издательство литературы по вопросам связи и радио.
Москва, 1963.
23. К а л л е р М. Я. Теория электрических цепей. Трансжелдориздат,
1956.
24. К о н т о р о в и ч М. И. Операционное исчисление и нестационарные
явления в электрических цепях. Гостехтеоретиздат, 1949.
650
25. К р у г К. А. Переходные и установившиеся процессы в линейных
электрических цепях. Госэнергоиздат, 1948.
26. Максимовичи. Г. Линейные электрические цепи и их преобра-
зования. Госэнергоиздат, 1961.
27. Матханов П. Н. Линейные цепи. Основы анализа электриче-
ских цепей. «Высшая школа», 1972.
28. Р е з а Ф. и Сили С. Современный анализ электрических цепей.
«Энергия», 1964.
29. С е ш у С. и Балабанян Н. Анализ линейных цепей. Госэнер-
гоиздат, 1963.
30. Ш е б е с М. Р. [и др.]. Лекции по теории линейных электрических
цепей. Вып. 3 и 4 . Изд. ВЗЭИС, 1969.
Задачники
31. Бессонов Л. А. [и др.]. Задачник по теоретическим основам
электротехники. Изд. МИРЭиА, 1970.
32. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процес-
сам в электрических цепях. «Высшая школа», 1967.
33. Гольдин* О. Е. Задачник по теории электрических цепей. «Выс-
шая школа», 1969.
34. 3 а е з д н ы й А. М. и ГуревичИ. В. Основы расчетов радио-
технических цепей. «Связь», 1968.
35. Задачник по теоретическим основам электротехники йод ред.
К. М. Поливанова. «Энергия», 1973.
36. 3 а й ц е в И. А. и Л у р ь е А. Г. Задачник по теоретическим осно-
вам электротехники. Госэнергоиздат, 1961.
37. К у р е н е в С. И. и др. Сборник задач по расчету электрических
цепей. «Высшая школа», 1967.
38. Сборник программированных задач по теоретическим основам электро-
техники. Под ред. Н. Г. Максимовича и Ю Е. Б а т р а н и н а.
Изд. Львовского Государственного университета, 1967.
39. С а д о в с к и й А. С. Задачник по теории электрической связи.
Связьиздат, 1963.
40. Ш е б е с М. Р. Сборник упражнений и задач по теоретическим осно-
вам электротехники. «Высшая школа», 1962.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ....................................................... 3
Глава первая
Линейные электрические цепи постоянного тока
Основные положения и соотношения.......................... • . • 9 5
Упражнения и задачи................................................ 18
А. Расчет эквивалентных сопротивлений ...........................18
Б. Законы Ома и Кирхгофа. Баланс мощностей................... z 18
В. Методы контурных токов и узловых потенциалов................ 33
Г. Метод наложения. Преобразование треугольника в звезду и обратно 44
Д. Метод эквивалентного генератора. Преобразование источников. Прин-
цип взаимности ............................................ 50
Е. Условие выделения максимальной мощности в нагрузке............62
Ж. Входные и взаимные проводимости ветвей...................... 64
3. Линейные соотношения........................................ 67
Глава вторая
Электрические цепи однофазного синусоидального тока
Основные положения и соотношения ....................................70
Упражнения и задачи..................................................77
А. Мгновенные значения синусоидального тока, напряжения, мощности.
Их графики................................................... 77
Б. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений ... 84
Главатретья
Символический метод расчета цепей синусоидального тока
Основные положения и соотношения................................... 99
Упражнения и задачи .............................................. 105
А. Различные формы записи комплексных величин. Активная и реак<
тивная составляющие напряжения и тока. Последовательное, парал-
лельное и смешанное соединения сопротивлений. Активная, реактив-
ная и полная мощности. Векторные и топографические диаграммы 105
Б. Применение различных методов к расчету цепей синусоидального тока 123
В. Условие выделения максимальной мощности в нагрузке...........134
Г. Круговы^ диаграммы....................... ..................135
Глава четвертая
Резонанс в электрических цепях
Основные положения и соотношения.................................. 137
Упражнения и задачи............................................... 144
652
А. Резонанс напряжений................................. 144
Б. Резонанс токов.......................................153
В. Резонансы напряжений и токов в сложных контурах......163
Главапятая
Связанные цепи
Основные положения и соотношения ..................................171
Упражнения и задачи............................................ 179
А. Расчет связанных цепей......................................179
Б. Резонансы в связанных контурах............................. 202
Глава шестая
Трехфазные цепи
Основные положения и соотношения................................. 213
Упражнения и задачи.............................................. 214
А. Симметричная нагрузка и режимы, возникающие при обрывах про-
водов ....................................................... 214
Б. Несимметричный режим ...................................... 221
Глава седьм ая
Цепи периодического несинусоидального тока
Основные положения и соотношения.................................. 230
Упражнения и задачи ................................................ 235
А. Аналитический и графо-аналитический методы разложения периоди-
ческих кривых в ряд Фурье........................................235
Б. Расчет цепей, находящихся под воздействием периодических источ-
ников ...........................................................245
В. Коэффициенты, характеризующие форму периодической несинусои-
дальной кривой...................................................253
Глава восьмая
Катушки и трансформаторы с ферромагнитными сердечниками
Основные положения и соотношения....................................255
Упражнения и задачи.................................................258
А. Потери в катушке со стальным сердечником, ее эквивалентная схема
и векторная диаграмма...........................................258
Б. Трансформатор со стальным сердечником . .................. . 264
Глава девятая
Классический метод расчета переходных процессов в электрических цепях
с сосредоточенными параметрами
Основные положения и соотношения . .................................268
Упражнения и задачи.............................................. 270
А. Расчет цепей, содержащих г, £-или г, С-элементы ....... 270
Б. Расчет цепей, содержащих элементы г, L, С.................. 292
В. Переходные процессы при импульсных воздействиях..............301
Г. Решение задач с «некорректно» поставленными начальными условиями 305
Главадесятая
Операторный метод расчета переходных процессов в электрических
цепях с сосредоточенными параметрами
Основные положения и соотношения 309
Упражнения и задачи................................................314
653
А. Расчет переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных
условиях. Операторные схемы замещения. Использование табли-
цы 10.1 и теоремы разложения для перехода от изображения к ори-
гиналу ...................................................... ... 314
Б. Расчет переходных процессов в цепях со взаимной индуктивностью 331
Глава одиннадцатая
Расчет линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами
методом интеграла Дюамеля и спектральным методом
Основные положения и соотношения ...........334
Упражнения и задачи................................. ...............340
А. Переходные характеристики. Расчет переходных процессов с помо-
щью интеграла Дюамеля .........................................340
Б. Импульсные характеристики. Расчет переходных процессов при
импульсных воздействиях.....................................348
В. Дифференцирующие и интегрирующие цепи........................351
Г. Частотные характеристики цепей. Спектры непериодических сигналов
/ (интеграл Фурье). Прохождение непериодических сигналов через
линейные цепи .............................................. 352
Глава двенадцатая
Электрические цепи с распределенными параметрами (длинные линии)
Основные положения и соотношения................................ 363
Упражнения и задачи . .......................................... . 369
А. Первичные и вторичные параметры линий. Фазовая скорость. Длина
волны........................................................ 369
Б. Согласованная и несогласованная нагрузки линии. Напряжение, ток,
мощность в начале и конце линии. Входное сопротивление. Прямые
и обратные волны........................... . .............375
В. Неискажающая линия. Схемы замещения линии....................381
Г. Рабочее затухание линии. Определение параметров линии по опытам
холостого хода и короткого замыкания....................... . 382
Д. Расчет уровней передачи......................................386
Е. Линия без потерь. Стоячие волны .................387
Ж. Методы согласования линий с нагрузкой . 396
3. Схемы, эквивалентные отрезкам линии........................ 402
Глава тринадцатая
Двухполюсники
Основные положения и соотношения ................................ . 405
Упражнения и задачи.............................................. . 410
, А. Эквивалентные и обратные двухполюсники.........................410
Б. Реактивные двухполюсники................................... 413
В. Частотные характеристики двухполюсников.................... 421
Глава четырнадцатая
Четырехполюсники
Основные положения и соотношения ...................................425
Упражнения и задачи.................................................441
А. Параметры четырехполюсника. Т- и П-схемы замещения четырех-
полюсника ......................................................441
Б. Входное сопротивление четырехполюсника -................... 444
В. Схемы соединения четырехполюсников...........................446
Г. Характеристические параметры, их связь с другими параметрами
четырехполюсника. Повторные параметры......................... . 453
654
Д. Эквивалентность четырехполюсников ...................... 456
Е. Коэффициенты отражения, эхо. Вносимое и рабочее затухания. Коэф-
фициенты передачи напряжения, тока...........................458
Ж. Удлинители.................................................460
3. Трансформаторы для согласования сопротивлений четырехполюсника
и нагрузки ..............................Л...................461
И. Полюсно-нулевое изображение передаточных и входной функций.
Минимально- и неминимально-фазовые четырехполюсники .... 462
К. Активные неавтономные четырехполюсники.....................466
Глава пятнадцатая
Электрические фильтры
Основные положения и соотношения.................................475
Упражнения и задачи..............................................485
А. Задачи на применение общей теории реактивных Т- и П- образных
фильтров ................................................. 485
Б. Фильтры типа k........................................... 490
В. Фильтры типа т. Совместная работа фильтров типа k и т. Потери
u в фильтрах ............................................... 498
Г. Мостовые фильтры....................................... 508
Д. Задачи на различные темы, не рассмотренные в предыдущих пунктах 516
Глава шестнадцатая
Корректирующие цепи
Основные положения и соотношения . . . ........................ 522
Упражнения и задачи ........................................... 526
А. Корректоры амплитудно-частотных искажений..................526
Б. Корректоры фазочастотных искажений.........................538
Глава семнадцатая
Основы синтеза двухполюсников
Основные положения и соотношения ...../..........................547
Упражнения и задачи..............................................559
А. Положительные вещественные функции........................559
Б. Синтез реактивных двухполюсников.......................... 560
В. Синтез двухполюсников, состоящих из элементов г и С или г и L 564
Г. Синтез двухполюсников общего вида. Полином Гурвица. Метод Бруне 573
Глава восемнадцатая
Элементы синтеза четырехполюсников
Основные положения и соотношения.................................592
Упражнения и задачи........................‘.....................601
Ответы ..........................................................612
Приложения ....................."................................639
Литература ................................................... 650