M. P.I Небес, М. В. Каблукова
ЗАДАЧНИК
по теории линейных
электрических цепей нОДп
ББК 31.211 ШЗО
УДК 621.3.01
Рецензент: кафедра «Линейные электрические цепи» Ленинградского электротехнического института связи (зав. кафедрой — д-р техн, наук, проф. А. Д. Артым)
Шебес М. Р., Каблукова М. В.
ШЗО Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб, пособ. для электротехнич., радиотехнич. спец, вузов.— 4-е изд., перераб. и доп.— М.: Высш, шк., 1990.— 544 с.: ил.
ISBN 5-06-000678-6
В книге даны краткий справочный материал в виде основных положений и соотношений, расчетные формулы, типовые задачи с подробными решениями и пояснениями, примеры применения основных методов расчета электрических цепей в установившемся и переходном режимах, примеры задач с использованием программируемых микрокалькуляторов. 4-е издание (3-е—1982 г.) дополнено задачами на расчет полиномиальных фильтров по рабочим параметрам, активных ЯС-цепей, ЛЯС-фильтров и т. д.
2202020000 (4309000000)—183 х
001 (01)—90	172—9
ББК 31.211 6П2.1
© М. Р. Шебес, М. В. Каблукова, 1990
ISBN 5-06-000678-6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория линейных электрических цепей является основной теоретической базой, которая используется во многих специальных дисциплинах при подготовке инженеров по различным электротехническим и радиотехническим специальностям.
Целью учебного пособия является оказание помощи студентам в их самостоятельной работе. Поэтому к большинству задач даны подробные решения и пояснения, к некоторым — методические указания, к остальным — ответы. В начале каждой главы приведены основные положения теории и важнейшие формулы, которые могут быть использованы при решении задач.
Современный инженер должен владеть вычислительной техникой. В этом смысле курс ТЛЭЦ представляет большие возможности для ее использования. Для этого рекомендуется задачи рассчитывать не с помощью логарифмической линейки и таблиц, а при помощи микрокалькулятора любого типа, что одновременно обеспечивает требуемую точность результатов. Наибольший успех достигается, если воспользоваться широко распространенными программируемыми микрокалькуляторами (ПМК) «Электроника БЗ-34» или им аналогичными (в приложении 1 указаны незначительные их отличия). Расчеты с помощью ПМК значительно сокращают затраты времени, особенно в тех случаях, когда приходится проводить ряд однотипных расчетов по одним и тем же формулам, таковы, например, расчеты АЧХ, ФЧХ и др.
В книге часть программ дана непосредственно в той задаче, с которой она связана, при этом даются пояснения каждого шага операции. Кроме того, в приложении 1 помещен ряд программ, которые могут быть использованы при решении задач из различных глав курса.
Отметим, что хотя ПМК отличаются от ЭВМ по быстродействию и емкости запоминающих устройств, они незаменимы по своей доступности и экономической эффективности, портативности, при решении многих относительно простых
3
задач, значительно повышают производительность труда и обеспечивают высокую точность.
Любая задача, рекомендуемая для решения с помощью ПМК, может быть решена и обычным путем, но затраты времени при этом возрастут.
Буквенные обозначения электрических величин даны по ГОСТ 1492—77. В книге приняты обозначения комплексов ЭДС, напряжения, тока, передаточной функции и других через Е, U, /, Н. Комплексные токи в ветвях обозначены через Д, контурные токи — /кк, токи источников тока—JK. Модули этих же величин обозначены теми же буквами, но без точек над ними.
Нумерация формул, таблиц и рисунков в основных положениях и соотношениях такова: первая буква «О» и далее даются подряд номера формул, которые начинаются с номера главы. Для удобства номера рисунков совпадают с номерами задач.
Гл. 1, 2, 4—10, 12, 15 и приложения написаны канд. техн, наук, проф. М. Р. Шебесом, гл. 3 — канд. техн, наук, доц. М. В. Каблуковой, гл. 11,	13 и 14 совместно
М. Р. Шебесом и М. В. Каблуковой, гл. 16 — совместно проф. М. Р. Шебесом и канд. техн, наук, доц. Ю. В. Жабинским.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам рукописи — преподавателям кафедры ТЛЭЦ ЛЭИС канд. техн, наук, доц. В. И. Котову, д-ру техн, наук, проф. А. Ф. Белецкому, канд. техн, наук, доц. А. Е. Бахмутскому, канд. техн, наук, доц. В. Л. Смрчеку, зав. кафедрой д-ру техн, наук, проф. А. Д. Артыму — за большой труд по рецензированию книги.
Все замечания и пожелания просим направлять по адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая школа».
Авторы
Глава 1
Основные законы и методы расчета
линейных электрических цепей
(на примерах цепей с постоянными токами
и напряжениями)
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Элементы электрической цепи. Пассивный линейный элемент—резистор, имеющий электрическое сопротивление R (рис. 0.1.1, а). Ток I и напряжение Uab электрического сопротивления связаны законом Ома:
Uab = RL	(0.1.1)
Величина, обратная сопротивлению, есть электрическая проводимость
G=i/R.	(0.1.2)
Активные линейные элементы — источники электромагнитной энергии.
Классификация активных элементов: а) независимые и б) зависимые (управляемые) источники.
а.	Независимые источники могут быть идеальные и реальные. Идеальный источник электродвижущей силы характеризуется напряжением Uab. которое не зависит от тока I и характеризуется электродвижущей силой Е (обозначения положительных направлений напряжения и тока показаны на рис. 0.1.1, б):
Uab = E.	(0.1.3)
Внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю.
Реальный источник электродвижущей силы имеет внутреннее сопротивление. Он может быть изображен в виде последовательной схемы, содержащей ЭДС Е и внутреннее сопротивление 7? (на рис. 0.1.1, в показаны положительные направления Е и Uaby
Идеальный источник тока. Ток J источника тока не зависит от напряжения иаь (внутренняя проводимость источника тока равна нулю, сопротивление источника тока бесконечно велико). Обозначения положительных направлений тока и напряжения показаны на рис. 0.1.1, г.
5
Источник тока реальный (с внутренней проводимостью G = 1 /R) может быть изображен в виде параллельной схемы, содержащей источник тока J, численно равный току короткого замыкания источника тока и проводимости G (рис. 0.1.1, д).
Переход от схемы источника электродвижущей силы к эквивалентной схеме источника тока осуществляется по формулам
J—EfR, E=JfG, R=\fG.	(0.1.4)
б.	Зависимые (управляемые) источники. Различают четыре типа зависимых источников: ИНУН, ИНУТ, ИТУН, ИТУТ (см. в гл. 3 рис. 0.3.1 и пояснения к нему).
К числу активных элементов с зависимыми источниками относится также операционный усилитель (ОУ). Это интегральный усилитель широкого назначения. ОУ имеет две пары входных и одну пару выходных зажимов. Простейшая схема ОУ изображена на рис. 0.1.2, а. Согласно ГОСТ отрицательный зажим принято обозначать кружочком (средний рис. 0.1.2, а). Его схема замещения с двумя входами (неинверсным и инверсным) приведена на том же рисунке справа. На рис. 0.1.2, б дана схема ОУ с одним инверсным входом и его схема замещения. На рис. 0.1.2, в приведена схема ОУ, представляющая собой ИНУН с конечным коэффициентом усиления ±к. На рис. 0.1.2, г дана схема ОУ как повторителя напряжения.
2.	Закон Ома. Этот закон применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи (не имеющей разветвлений).
При написании закона Ома следует прежде всего выбрать произвольно некоторое положительное направление тока.
Для ветви, состоящей только из резисторов и не содержащей ЭДС (например, для ветви тп рис. 0.1.3), при положительном направлении тока от точки т к точке п
I=(Vm~Vn)/Rmn=Umn/Rmn,	(0.1.5)
где Vm и Vn — потенциалы точек тип; Umn — разность
6
Рис. 0.1.2
потенциалов или напряжение между точками т и п; /?тп = /?4 + /?5— полное сопротивление ветви между точками т и п.
Для ветви цепи, содержащей ЭДС и резисторы (например, для ветви acbs рис. 0.1.3),
I _Уд~Уь + ЪЕ _Uab^E
1	£>«5	’
(0.1.6)
где иаь =Va~Vb — напряжение на концах ветви acb, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока; —алгебраическая сумма ЭДС, находящихся в этой ветви; 2^&аь~—арифметическая сумма ее сопротивлений.
В ветви acb (рис. 0.1.3) ^Е=Е1—Е2, ^Еаь = &i + R2 + Е9. Формулу (0.1.6) называют обобщенным законом Ома.
Для замкнутой одноконтурной цепи
(0.1.7)
7
где — арифметическая сумма всех внешних и внутренних сопротивлений цепи; —алгебраическая сумма электродвижущих сил.
Со знаком «+» берут те ЭДС, направления которых совпадают с выбранным положительным направлением тока, а со знаком « —»— ЭДС с противоположными направлениями. Примеры приведены в задачах 1.12 и 1.15.
3.	Законы Кирхгофа. Для написания законов Кирхгофа необходимо задаться положительными направлениями токов каждой ветви.
Первый закон Кирхгофа — алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю
£ 4 = 0.	(0.1.8)
k= 1
Токи, направленные от узла, условно принимаются положительными, а направленные к нему — отрицательными (или наоборот).
Второй закон Кирхгофа — алгебраическая сумма ЭДС замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в нем
£ Ек = £ RkIk.	(0.1.9)
к=1	к=1
Направление обхода контура выбирают произвольно. При записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода (независимо от направления тока, протекающего через них), принимаются положительными, а ЭДС, направленные против выбранного направления обхода,— отрицательными. При записи правой части равенства со знаком « + » берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления ЭДС в этих ветвях), а со знаком « —»— падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода. Законы Кирхгофа выполняются в любой момент времени.
4.	Методы расчета сложных цепей постоянного тока. Цепь состоит из N3 ветвей, имеет Ny узлов и NT источников тока. Приводимые далее формулы пригодны для расчета цепей, содержащих и источники напряжения и источники тока. Они справедливы и для тех частных
8
случаев: когда в цепи имеются только источники напряжения или только источники тока.
Применение законов Кирхгофа. Обычно в цепи известны все источники ЭДС и источники токов и все сопротивления. В этом случае устанавливается число неизвестных токов, равное NB — NT. Для каждой ветви задаются положительным направлением тока.
Число У взаимонезависимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы. Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,
K=NB-Ny+l-NT'	(0.1.10)
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока. Общее число уравнений, составляемых по первому и по второму законам Кирхгофа, равно числу (Ув — NT) неизвестных токов.
Примеры приведены в задачах 1.26 и 1.34.
Метод контурных токов (Максвелла). Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа К. определяемого формулой (0.1.10). Он основан на том, что ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При пользовании этим методом выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Из теории известно, что общее число контурных токов К= = NB — Ny + 1 — Nr. Рекомендуется выбирать NT контурных токов так, чтобы каждый из них проходил через один источник тока (эти контурные токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока
J2. ..., JN и они обычно являются заданными условиями задачи), а оставшиеся K=NB — Ny +1 — Nr контурных токов выбирать проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. Для определения последних контурных токов по второму закону Кирхгофа для этих контуров составляют К уравнений в таком виде:
^11/11+^12/22+ ••• +^lfc/fcfc+ ••• +Е^^И = ^1П 1
/^21/11+^22/22+ • +/^2fc/fcfc+ ••• + */«~ ^2 2 5 2
.......................................... (0.1.11)
^1/11+^2/22+ ••• +/?fcfc/fcfc+ ••• +£'/n/?n = /+fc>
9
где Rnn — собственное сопротивление контура п (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур и); Rnt — общее сопротивление контуров ли/, причем Rnl = Rln, если направления контурных токов в общей ветви для контуров п и / совпадают, то Rnl положительно (Лп/>0), в противном случае Rnl отрицательно (7?п/<0); Епп — алгебраическая сумма ЭДС, включенных в ветви, образующие контур л; Rn — общее сопротивление ветви контура л с контуром, содержащим источник тока Jn.
Примеры приведены в задачах 1.37, 1.38 и 1.39.
Метод узловых напряжений. Этот метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа У, равного количеству узлов без одного
У = 7Уу-1.	(О.1.12а)
Сущность метода заключается в том, что вначале решением системы уравнений (0.1.13) определяют потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома по формуле (0.1.6).
При составлении уравнений по методу узловых напряжений вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным). Для определения потенциалов оставшихся (Y = Ny— 1) узлов составляется следующая система уравнений:
Ki^i- И2С12- ... -VSG1S-... -	=	+
1 1
-V.G^ + V.G^- ... -VsG2s- ... -VnG2„ = ^EG + ^J;
2	2
— VnGnl — V2G„2 —... — VsGns — ... + V„Gm=YEG+YJ. n	n
(0.1.13)
Здесь Gss — сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s; Gsq сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q; ^EG— алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу s. на их проводимости; при этом со знаком « + » берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла s, и со знаком « —»—в направлении от узла s; —алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу s; при этом со знаком «+» берутся те токи, которые направлены к узлу s, а со знаком « —»— в направлении от узла s.
ю
Методом узловых напряжений рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.
Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками ЭДС, то число У уравнений, составляемых по методу узловых напряжений, уменьшается:
у ——1,	(0.1.126)
где Уи — число ветвей, содержащих только идеальные источники ЭДС.
Примеры приведены в задачах 1.41; 1.42; 1.44.
Частный случай — двухузловая схема. Для схем, имеющих два узла (для определенности узлы а и Z>), узловое напряжение
Е^+ЕЛ
иаЪ=^------(0.1.14)
YGm т где ^EnGn — алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей (ЭДС считаются положительными, если они направлены к узлу а. и отрицательными, если от узла а к узлу Ь) на проводимости этих ветвей; Jn — токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу а. и отрицательны, если направлены от узла а к узлу 6);	— сумма
проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы а и Ь.
Принцип наложения. Если в электрической цепи заданными значениями являются ЭДС источников и токи источников тока, то расчет токов на основании принципа наложения состоит в следующем. Ток в любой ветви можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней ЭДС каждого источника ЭДС отдельно и током, проходящим по этой же ветви от действия каждого источника тока. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызванных каким-либо одним источником ЭДС или тока, то остальные источники ЭДС в схеме заменяются короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока остальных источников отключаются (ветви с источниками тока размыкаются).
Эквивалентные преобразования схем. Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.
Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током
и
(например, сопротивления /?19 R2 и R9 соединены последовательно (см. рис. 0.1,3), также последовательны сопротивления Т?7 и Rs).
Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из п последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений
^эк~ к= 1
При последовательном соединении п сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям
U1: U2 :... . Un = Rt : R2 : ... :Rn.
В частном случае двух последовательно соединенных сопротивлений
UJU^RJR,, Ur = URrl(R^R2Y U2 = UR2l(Rr + R2), где U—общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два сопротивления Rt и R2 (см. рис. 0.1.3).
Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены параллельно, если все они присоединены к одной паре узлов, например, сопротивления R4_5 = R4_-\-R5 и /?10 (см. рис. 0.1.3).
Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из п параллельно соединенных сопротивлений (рис. 0.1.4),
п	п
-Ь=£|ИЛиСэк=£бк.	(0.1.15)
КЭК k = 1	к = 1
В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений Rt и R2 эквивалентное сопротивление
7?эк = /?1/?2/(/?1 + /?2).	(0.1.16)
При параллельном соединении п сопротивлений (рис. 0.1.4, а) токи в них распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям или прямо пропорционально их проводимостям
Il:I2:...:In = ^.^....^=G1:G2:...:Gn.	(0.1.17)
Рис. 0.1.4
12
5)
Рис. 0.1.5
Ток Is в каждой из них вычисляется через ток I в неразветвленной части цепи
IS = I-^.	(0.1.18)
к= 1
В частном случае двух параллельных ветвей (рис. 0.1.4, б)
2	^2 + ^3
13=ц-^-
3	^2+^3
или
(0.1.19)
Г _ Т ^2	. т _ т ^3
2	^2 + ^’	3	^2 + ^3
Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешанное соединение — это сочетание последовательного и параллельного соединений сопротивлений. Например, сопротивления	R2 и R3
(рис. 0.1.4, б) соединены смешанно. Их эквивалентное сопротивление
> =R I- Л^з _^1^2 + ^2^з + ^1^з
1	Я2 + /?3	Я2 + Я3
(0.1.20)
Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 0.1.5, а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 0.1.5, б), и наоборот, имеют такой вид:
=	^12^31
1	^12 + ^23 + ^31
R __	^23^12	_	^31^23
2	^12 + ^23+^31	3	^12 + ^23 + ^31
GrG2	G2G3
12 Gi+G2 + G3	23 Gy + G2 + G3
G	G3^i
31 g.+g.+g;
где G — проводимость соответствующей ветви.
(0.1.21)
(0.1.22)
13
Формулы (0.1.22) можно записать через сопротивления /?12==/?1 + Л2+^; Я23 = Я2 + Л3+^;
(0.1.23)
/?31=Я3+Л1+^Л1
Пример приведен в задаче 1.49.
Метод эквивалентного источника (метод активного двухполюсника, или метод холостого хода и короткого замыкания). Применение метода целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Рассмотрим два варианта: а) метод эквивалентного источника ЭДС и б) метод эквивалентного источника тока.
При методе эквивалентного источника ЭДС для нахождения тока I в произвольной ветви ab. сопротивление которой R (рис. 0.1.6, а. буква А означает активный двухполюсник), надо эту ветвь разомкнуть (рис. 0.1.6, б), а часть цепи, подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным источником с ЭДС Е9К и внутренним сопротивлением /?эк (рис. 0.1.6, в).
ЭДС Еэк этого источника равняется напряжению на зажимах разомкнутой ветви (напряжение холостого хода):
E„=Uab=(Va-Vb\.
Расчет схем в режиме холостого хода (см. рис. 0.1.6, б) для определения Еэк проводится любым известным методом.
Внутреннее сопротивление /?эк эквивалентного источника ЭДС равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов а и b исходной схемы, из которой исключены все источники [источники ЭДС заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены (рис. 0.1.6, г); буква П указывает на пассивный характер цепи], при разомкнутой ветви ab. Сопротивление можно вычислить непосредственно по схеме рис. 0.1.6, г.
Ток в искомой ветви схемы (рис. 0.1.6, б), имеющей сопротивление R. определяют по закону Ома [см. формулу (0.1.7)]:
1= UabJ(R + R3K) = E3J(R + R3K).	(0.1.24)
При методе эквивалентного источника тока для расчета тока в ветви ab, сопротивление которой Л, надо заменить часть схемы относительно зажимов а и b (при разомкнутой ab) эквивалентным источником тока, ток которого /эк, а проводимость Сэк (рис. 0.1.6, е).
Для нахождения тока /эк надо зажимы а и b закоротить и любым способом рассчитать ток короткого замыкания /к, протекающий по закороченному участку (рис. 0.1.6, ж). При этом J)K = 1К. Сопротивление 7?эк можно найти, как и 14
Рис. 0.1.6
при расчете по методу эквивалентного источника ЭДС (см. рис. 0.1.6, г). Это же сопротивление можно рассчитать, как это видно из схемы замещения заданной схемы в режиме короткого замыкания (рис. 0.1.6, з), по формуле
R3K = E3K/IK = E3K/J3K = 1/Сэк.	(0.1.25)
Ток в ветви R (рис. 0.1.6, и)
(0.1.26)
Примеры приведены в задачах 1.50; 1.51; 1.52; 1.53.
Замена нескольких соединенных параллельно источников ЭДС одним эквивалентным. Если имеется несколько источников с ЭДС Еъ Е2,...,Еп и внутренними сопротивлениями Л2,.работающих параллельно на общее сопротивление нагрузки R (рис. 0.1.7, я), то они могут быть заменены одним эквивалентным источником, ЭДС которого Езк, а
b	ь
Рис. 0.1.7
15
a)	6)
Рис. 0.1.8
внутреннее сопротивление Рэк (рис. 0.1.7, б). При этом п	п
Gk=i/Rk.	(0.1.27)
к=1	к=1
Токи
в сопротивлении R: /=£ЭК/(Р + РЭК);	(0.1.28)
в каждой из ветвей: 1к = (Ек — U)/Rk,	(0.1.29)
где U=Uab = IR.
Замена паралелъно соединенных источников тока одним эквивалентным. Если несколько источников тока с токами J2, и внутренними проводимостями G\, G2, ..>,Gn соединены параллельно (рис. 0.1.8, я), то их можно заменить одним эквивалентным источником тока (рис. 0.1.8, б), ток которого «7ЭК равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя проводимость G3K равна сумме проводимостей отдельных источников
J= Е Л;	(о.1.зо)
k= 1
G3K= Е Gk.	(0.1.31)
к= 1
5. Баланс мощностей. Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Ри, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей Рп, расходуемых в приемниках энергии,
ри=Ел. или Е№4+^Л)=Еь2^,	(0.1.32)
где £ Ек 1к — алгебраическая сумма; здесь положительны те слагаемые, для которых направления действия ЭДС Ек и соответствующего тока 1к совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно; ^UkJk— алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых напряжение на источнике тока (оно определяется расчетом внешней цепи по отношению к зажимам источника тока) и его ток 1к совпадают по направлению (как, например, на рис. 0.1.1. г), в противном случае слагаемое отрицательное;	— арифметическая сумма; здесь должны
быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.
16
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ С НЕЗАВИСИМЫМИ ИСТОЧНИКАМИ*
А. РАСЧЕТ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ И ТОКОВ
1.1. Для цепи схемы рис. 1.1 найти эквивалентные сопротивления между зажимами а и Ь, с и d, d и f, если Rr =6 Ом, /?2 = 5Ом, /?з = 15Ом, 7?4 = ЗООм и Я5 = 6 0м.
Решение. Рассчитываем сопротивление Rab. Эквивалент-
Рис. 1.1	Рис. 1.2
1, по-
кое сопротивление соединенных параллельно сопротивлений
Я4 и Rs найдем по формуле (0.1.16):
р ___ ^4^5	30-6	Г)»»
Сопротивление J?45 соединено последовательно с R2. Их общее сопротивление R' = R2 + J?45 = 5 + 5=10 Ом.
Сопротивление цепи состоит из сопротивления R следовательно с которым соединены два параллельных сопротивления R' и R3:
D п , RfR3 , 10 • 15	~
Rah = R< +--- = 6 +----=12 Ом.
аЬ 1 R' + R3	10+15
Рассчитываем сопротивление Rcd. Сопротивления J?4 и R5 соединены параллельно друг другу; сопротивление R3 присоединено к ним последовательно:
Я" = Я3++^+= 15 + 5 = 20 Ом.
+ К 5
Сопротивление Rcd состоит из двух параллельно соединенных сопротивлений R2 и R":
cd R2 + R" 5 + 20
Рассчитываем сопротивление Rdf. По отношению к зажимам d и / цепь состоит из трех параллельно соединенных сопротивлений J?5, J?4 и J?2 + J?3, и эквивалентное сопротивление может быть определено из формулы (0.1.15): 1 /Rdf = 1 / R5 +11R4 +1 l(R2 + R3) = 1 /6 +1 /30 +1 /20 = 1 /4, откуда Rdf = 4 Ом.
* Расчет цепей с зависимыми источниками рассмотрен в гл.
Таблица 1.1
Рассчитываемое	Нажимаемые клавиши	Показание
значение		индикатора
*эк	40Fl/x50Fl/x + 25Fl/x + Fl/x	11.764703
I	Fl/xl,5 х	1.275001	-01
Ц и занесение резуль-	1,5|40 = П1	3,75	-02
тата в Р1		
12 и занесение резуль-	1,5Т50 = П2	3.	-02
тата в Р2		
Л	1,5|25-	6.	-02
I проверка	ИП1+ИП2 +	1.275000	-01
1.2. Определить эквивалентное сопротивление цепи между точками а и b при разомкнутом и замкнутом контактах Л?(рис. 1.2). Дано: Rr = R2 = R3==R5 = R6 = = 10 Ом.
1.3. Определить сопротивление каждой из цепей (рис.
1.3,	а — г) между зажимами 1 — Г при холостом ходе (точки 2 и 2 ’ разомкнуты) и при коротком замыкании (точки 2 и 2' закорочены). Сопротивления в омах даны на схеме.
1.4.	Определить эквивалентное сопротивление трех параллельных ветвей 7?эк, неразветвленный ток /, токи каждой из ветвей Z1? /2, /3, если Ят=40 Ом, Л2 = 50 Ом, 1?3 = 25 Ом, (7=1,5 В (рис. 1.4). Проверить равенство: z=z1+/2+z3-
Расчеты провести с помощью ПМК в автоматическом режиме.
Решение. Расчетная формула:
1 1
Лэк =---------=--------.
111111
+ +	40 + 50 + 25
Решение в режиме ручных вычислений приведено в табл. 1.1.
Значения токов 1Х и 12 помещены в регистры памяти Р1 и Р2 для последующего их использования при проверке первого закона Кирхгофа. Проверка показывает, что расчеты сделаны правильно.
Рассчитать эквивалентное сопротивление R3K можно и по другой формуле:
R _ RyR2R3 _	40-50-25
эк ” R1R2 + R2R3 + R3Rl “ 40-50 +50-25 + 40-25'
18
Однако в этом случае число нажатий клавиш значительно больше, чем в приведенном ранее варианте расчета.
1.5.	В задаче 1.4 расчет эквивалентного сопротивления проведен в автоматическом режиме. Если таких расчетов надо сделать несколько для разных значений сопротивлений, то целесообразно заранее составить программу расчета jR3K. Для этого примем следующее распределение регистров памяти: для сопротивления R± =Р1, А2 = Р2, F3 = P3. Расчетная формула для jR3K приведена выше. Для перехода в режим «Программирование» микрокалькулятор устанавливается после нажатия клавиш F и ПРГ.
После набора программы для занесения исходных данных из режима «Программирование» переходим в режим «Автоматическая работа» путем нажатия клавиш F и АВТ. Теперь ПМК подготовлен к расчету jR3K по программе для любых заданных значений А1? R2, R3.
а.	Положим, что требуется рассчитать jR3K, если 1^ = 10 Ом, F2 = 20 Ом, R3 = 100 Ом. Вводим исходные данные по следующей форме (здесь впервые подробно указываем порядок ввода в регистры памяти величин); в дальнейшем это будем делать по сокращенной записи, так как это дано в табл. 1.2, п. б.
Программа В/О F ПРГ
Адрес команды	Нажимаемые клавиши	Код операции	Содержание операции
00	ИП1	61	Вызов Rr из регистра 1
01	Fl/x	23	Вычисление 1/jRj.
02	ИП2	62	Вызов R2 из регистра 2
03	F\/x	23	Вычисление 1 /R2
04	+	10	Вычисление 1/jR1 + 1/jR2
05	ипз	63	Вызов R3 из регистра 3
06	Fl/x	23	Вычисление 1/F3
07	+	10	Вычисление 1/1^ + 1/jR2 + 1/jR3
08	Fl/x	23	Вычисление R3K
09	С/П	50	Останов для индикации R3K
			F АВТ
Таблица 1.2
Вводимая переменная	Нажимаемые клавиши	Показание индикатора
Rr — в регистр 1	10ПЗ	10.
jR2 — в регистр 2	20П2	20.
R3 — в регистр 3	ЗОПЗ	100.
Далее нажимаем клавиши В/О и С/П; калькулятор после счета выдает на табло число 6.25. Итак, Азк = 6,25 Ом.
б.	Требуется рассчитать F3K, если jR1=40Om, jR2 = 20Om, F3 = 100 0m. Так как программа набрана, то эти новые значения сопротивлений заносим в регистры памяти: jR1=40 = P1, jR2 = 20 = P2, R3= 1()0 = РЗ. Нажимаем клавиши В/О и С/П, читаем на индикаторе 11.764705. Итак, приближенный с точностью до трех значащих цифр результат jR3K=11.8Om.
1.6.	Рассчитать эквивалентное сопротивление R3K трех параллельно соединенных сопротивлений Rx, R2 и R3, если одно из них может принимать ряд значений, изменяющихся по закону арифметической прогрессии: Rr = 10, 20, 30, ..., 80 Ом. В этом случае в составленную в задаче 1.5 программу надо внести дополнения: после команды 00 надо набрать
19
С/П для фиксации различных значений R{. Кроме того, надо предусмотреть команды останова для значений F3K, соответствующих разным значениям Rt. Полная программа с пояснениями дана ниже. В ней принято следующее распределение регистров памяти: для Л2=Р1, для F2=P2, для Л3 = РЗ.
В/О F ПРГ
Программа
Адрес команды	Наименование клавиши	Код операции	Содержание операции
00	ИП1	61	Вызов Rr из регистра 1
01	С/П	50	Останов для фиксации значения
02	Fl/x	23	Вычисление 1/Ft
03	ИП2	62	Вызов R2 из регистра 2
04	Fl/x	23	Вычисление 1/F2
05	+	10	Вычисление 1 /R j +1 /R2
06	ипз	63	Вызов R3 из регистра 3
07	Fl/x	23	Вычисление 1/Л3
08	+	10	Вычисление 1 /R t -h 1 /R2 +1 /R 3
09	Fl/x	23	Вычисление R3K
10	С/П	50	Останов для индикации R3K
11	ИП1	61	Вызов Rr из регистра 1
12	ИП4	64	Вызов из регистра 4 А7?г
13	+	10	Вычисление нового значения F1H = = Rr + AFt
14	П1	41	Запись R1H в регистр 1
15	/-/	0L	Образование (—F1H)
16	ИП5	65	Вызов Flmax из регистра 5
17	+	10	Вычисление A = Flmax — F1H
18	Fx<0	5С	Окончание расчетов при А = — Climax- 7?1н)<0
19	ОО	00	Возврат на начало программы для проведения расчета при F1H
20	С/П	50	Останов программы F АВТ
После ввода в калькулятор всей программы ОО — 20 нажимаем клавиши F и АВТ и вводим в программную память исходные данные:
F1 = 1O = P1, F2 = 20 = P2, Л3 = 100 = РЗ, АЛ1 = 10 = Р4, Л1тах = 8О = Р5.
Нажимаем клавиши В/О и С/П, калькулятор после счета показывает число 10, соответствующее первому значению F1? далее, нажав клавишу С/П, читаем соответствующее этому Rt значение R3K, равное 6.25. Затем, нажав С/П, читаем следующее значение Ft=20, вновь нажимая С/П, читаем соответствующее ему значение Кэк = 9.090909. Продолжая последовательно нажимать клавишу С/П, получаем все значения 7?! и соответствующие им R3K. Об окончании расчетов будет свидетельствовать появляющееся на табло отрицательное число (—10), равное ( —AFJ. Результаты всех расчетов сведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Ri	R3K	Ri	Rjk
10	6.25	50	12.5
20	9.090909	60	13.043478
30	10.714285	70	13.461538
40	11.764705	80	13.793103
20
1.7.	Три сопротивления R2, R3 соединены параллельно. Сопротивление R{ принимает значения, равные 10, 20, 40, ..., 320 Ом, т. е. изменяется по закону геометрической прогрессии: /^ = 10-2", где и = 0, 1, 2,..., 5. Другие сопротивления имеют следующие значения: /?2 = 20 Ом, R3 = 100 Ом. Составить программу расчета эквивалентного сопротивления R3K и рассчитать его значения.
Далее представлена требуемая программа, в которой принято следующее распределение регистров памяти: для Л1 = Р1, для А2 = Р2, для F3 = P3, для A7min = 0 (т. е. jR1 = 10) = P4, для А«=1=Р5, для «тах = 5 (т. е. Я1 = 320) = Р6.
В/О F ПРГ	Программа
Адрес команды	Нажимаемые клавиши	Код операции	Содержание операции
00	ИП4	64	Вызов переменной п из регистра 4
01	С/П	50	Останов для фиксации значения п
02	t	ОЕ	Пересылка числа п в регистр У
03	2	02	Занесение в регистр X числа 2
04	Fxy	24	Вызов 2" в регистр X
05	ИП1	61	Вызов /^ = 100 из регистра 1
06	X	12	Вычисление 10-2"
07	Fl/x	23	Вычисление 1/(102")
08	ИП2	62	Вызов R2 из регистра 2
09	Fl/де	23	Вычисление 1 /F2
10	+	10	Вычисление 1 /R! +1 / R2
И	ипз	63	Вызов F3 из регистра 3
12	Fl/x	23	Вычисление 1 jR3
13	+	10	Вычисление F3K
14	С/П	50	Останов для индикации R3Vi
15	ИП4	64	Вызов переменной п из регистра 4
16	ИП5	65	Вызов приращения Ап = 1 из регистра 5
17	+	10	Вычисление па = п + Ап
18	П4	44	Запоминание пп в регистре 4
19	/~/	QL	Образование (—пн)
20	ИП6	66	Вызов 77тах из регистра 6
21	+	10	Вычисление итах — па
22	Fx<0	5С	Переход на останов, если (^тах «н) < 0
23	оо	00	Адрес перехода для продолжения расчетов
24	С/П	50	Останов программы
Затем нажимаем клавиши F и АВТ и заносим в регистры памяти: Rx = Ю = Р1, jR2 = 20 = P2, F3 = 100 = P3, «min = 0 = P4, Аи = 1=Р5, цтах = 5 = Р6. Далее нажимаем клавиши В/О С/П, читаем на индикаторе значение п, равное 0; затем нажимаем клавишу С/П, на индикаторе высвечивается соответствующее этому и искомое значение Кэк= 1,6 • 10 ~ С Далее, нажимая С/П, высвечивается п = 1 и затем после нового нажатия С/П читаем соответствующее значение Кэк= 1,1 • 10 1 и т. д., пока на индикаторе не появится значение ( —Аи)= —1, что будет указывать на окончание расчетов.
Результаты расчетов приведены в табл. 1.4.
1.8.	Для схемы цепи (рис. 1.8) рассчитать ее эквивалентное сопротивление R3K, напряжение на параллельном участке Uab, токи /1? /2, 13. Расчеты провести с помощью микрокалькулятора в автоматическом режиме. Дано: 7^ = 5,8 Ом, Я2 = 6,4Ом, А3 = 2,3 Ом, Я4=1,8Ом, U=1 В.
21
Таблица 1.4
п	R3K	п	Rjk
0	1,6 • 10“1	3	7,2500001 • 10-2
1	1,1  10'1	4	6,6250001 -10 2
2	8,5000002 • 10" 2	5	6,3125001  10”2
1.9.	Составить программу для расчета эквивалентного сопротивления, всех токов, напряжений Uab и Ucd для цепочечной схемы цепи (рис. 1.9). Дано: С/=100 В, 1^ = 80 Ом, F2 = 300 0m, Л3 = 160Ом, F4 = 200 Ом, R5 = 20 Ом, R6 — 30 Ом.
Программу наиболее просто составить, если пользоваться последовательно следующими формулами:
1
I\ = U1/R3K\ Uab=U—IlRl; I2 = UabIR2-
I. = h-I2; Ucd= Uab — I3R3; 4=Ucd/R^ 15 = 13-Ц.
Для составления программы принято следующее распределение регистров памяти: Ft = Pl, Я2 = Р2, Я3 = РЗ, Я4 = Р4, А5 = Р5, Л6 = Р6, С=РА.
Далее приведена программа.
В/О F ПРГ	Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИП5	65	18	Fl/x	23	35	41	OL
01	ИП6	66	19	ИПА	6-	36	П9	49
02	+	10	20	X	12	37	С/П	50
03	Fl/x	23	21	П7	47	38	ИПЗ	63
04	ИП4	64	22	С/П	50	39	X	12
05	Fl/x	23	23	ИП1	61	40	ИПВ	6L
06	+	10	24	X	12	41	—	И
07	Fl/x	23	25	ИПА	6-	42	4/	OL
08	ипз	63	26	—	11	43	ПС	4С
09	+	10	27	/ч	OL	44	ИП4	64
10	Fl/x	23	28	пв	4L	45	—	13
11	ИП2	62	29	ИП2	62	46	по	40
12	Fl/x	23	30	=	13	47	С/П	50
13	+	10	31	П8	48	48	ИП9	69
14	Fl/x	23	32	С/П	50	49	—	И
15	ИП1	61	33	ИП7	67	50	/—/	OL
16	+	10	34	—	И	51	с/п	50
17	С/П	50					ГПРГ	
Затем заносим в регистры памяти исходные данные: F1 = 80 = Pl, F2 = 300 = P2, R3 = 160 = РЗ, Я4 = 200 = Р4, Я5 = 20 = Р5, Я6 = 30 = Р6, £7= 100 = = РА. Оперативные регистры: Uab — РВ, Ucd — PC. Регистры 7, 8, 9, 0 для хранения значений токов Ilf /2, 13, /4. В/О и С/П на табло читаем результаты Аэк = 200, затем после каждого нажатия С/П читаем последовательно значения токов: /t = 0,5 А; /2 = 0,2 А; 13 = 0,3 А; /4 = 0,06 А; /5 = 0,24 А. Значения напряжений Uab и Ucd получаем после нажатия клавиш ИПВ (4ь = 60В, ИПС C7cd=12B.
22
Рис. 1.8
1.10. Пользуясь составленной в задаче те же величины, если дано:	= 5 Ом;
Я5 = Я6 = 10 Ом, (/=100 В.
Рис. 1.9
1.9 программой, рассчитать R2 = 60 Ом; R3 = R4 = 20 Ом,
Б. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА.
БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ
1.11.	Источник с ЭДС £=100 В, внутренним сопротивлением Ро = 1 Ом замкнут на внешнее сопротивление R, которое меняется от нуля до бесконечности (рис. 1.11). Определить в функции этого сопротивления: ток /, напряжение на зажимах источника U, мощность, отдаваемую источником во внешнюю цепь, Рвш, мощность, затрачиваемую в самом источнике, Рвт, общую мощность Р, КПД т|. При каком внешнем сопротивлении мощность Рвш будет максимальной? Чему оно равно? Построить кривые: /=^(Р), U=F2{R\ PBm = F3(R), P„ = F^R), P=F5(R), v\ = F6(R). Написать уравнения и построить кривые зависимостей U, Рвш, Рвт, Р и г| в функции тока /.
1.12.	В неразветвленной цепи (рис. 1.12) ЭДС £х = 120В, £2 = 40В, сопротивления Р^ПОм, Р2 = 8 Ом. Определить напряжение между точками а и Ь.
Решение. Задавшись положительным направлением тока по часовой стрелке, на основании закона Ома [см. формулу (0.1.7)]:
1= (£t -Е2 )/(Pt + R2) = (120 -40)/( 12 + 8) = 4 А.
Так как результат оказался положительным, то истинное направление тока совпадает с выбранным. Напряжение
23
Рис. 1.14	Рис. 1.15
между точками а и Ь можно найти по закону Ома [см. формулу (0.1.6)], примененному к участку amb'.
T_Uab-E2
R2 ’
откуда J7ab = E’2 + J?2/=40 + 4-8 = 72 В.
Такой же результат можно получить, если применить ту же формулу к участку Ьпсг.
1=иЬа+Ег или c/fce = 7?i/_£i=4.12_i20=-72 В,
R1
а следовательно, Uab = 72 В.
Замечание. Если на участке цепи, содержащем ЭДС и сопротивление, ток и ЭДС совпадают по направлению, то напряжение на зажимах участка меньше ЭДС на величину падения напряжения в сопротивлении участка, а если направление тока противоположно направлению ЭДС, то напряжение на зажимах участка больше ЭДС на величину падения напряжения в рассматриваемом участке.
1.13.	Определить показание вольтметра (рис. 1.13), сопротивление которого велико по сравнению с Rr и R2.
1.14.	Построить график изменения потенциала вдоль цепи, изображенной на рис. 1.14, при замкнутом и разомкнутом контактах, предполагая в обоих случаях, что точка а заземлена (Иа = 0). В схеме найти точку, равнопотенциальную точке а. Определить, потенциал какой точки следует принять равным нулю, чтобы потенциалы всех остальных точек были положительны (при замкнутом контакте).
ЭДС равны: 2^ = 25 В, Е2 = 5 В, Е3 = 20 В, £4 = 35 В. Внешние сопротивления: 2?х = 8Ом, R2 = 24 Ом, 2?3 = 40Ом и 2?4 = 4Ом. Внутренние сопротивления источников электрической энергии: гг=2 Ом, г2 = 6 Ом, г3 = 2 Ом и г4 = 4 Ом.
1.15.	Определить токи в ветвях цепи (рис. 1.15, а) и показание вольтметра, включенного между точками end, считая, что его сопротивление во много раз превышает сопротивление каждого из элементов цепи. Чему равно показание амперметра, включенного между точками с и d.
24
сопротивление которого считать равным нулю? Дано: ^ = 10 Ом, R2 = R2 = R5 = 25 Ом и Я4 = 50Ом; (7=120 В.
Решение. Расчет показания вольтметра. Из условия вытекает, что его включение не оказывает влияния на распределение токов в цепи. Для расчета токов сначала определяем эквивалентное сопротивление всей цепи (рис. 1.15, а):
R=JR +(/?2 + /?4)(/?3 + 7?5)= 10 + —!°=40 Ом. эк 1 Л2 + /?4 + Л3 + Л5	125
В неразветвленной части цепи проходит ток: It = U/R3K = = 120/40 = 3 А.
Токи, проходящие через сопротивления Т?2 + Т?4 и R3 + Т?5, можно найти различными методами.
1.	В параллельных ветвях токи распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям [см. формулу (0.1.19)]:

Я3 + Я5 э 50
----£---2---=3---
R2 Кд. R3 4“ -^5	125
-----R2±R±----=3 —= 1,8 А
3	1 Л2 + /?4 + Л3 + /?5	125
2.	Найдем напряжение на зажимах параллельных ветвей:
U ____j (^2 4~ R$ )(^з 4~ R$) _ 2 25' 50_9Q в
аЬ~ 1 Я24-Я44-Я34-Я5 ” 125 “
Токи в ветвях с сопротивлениями Т?2 + Т?4 и 7?3 + 7?5 равны
I2 = Uab/(R2 + R4) = 90/75 = 1,2 А;
Л = ^/(*з +*5 >90/50=1,8 А.
Напряжение на зажимах параллельных ветвей можно найти как разность между приложенным напряжением и падением напряжения на сопротивлении Rt : Uab=U—RiIi.
Найдем показание вольтметра, равное напряжению между точками с и d: Uv=Ucd= —I2R2 + I3R3= — 1,2-25 + 1,8-25 = = 15 В.
Вычислим ток, проходящий через амперметр; он равен току короткого замыкания I'cd (рис. 1.15,6). Для его нахождения вычислим токи
г и =144а-
1 R |	|	47	’
R2+R1 Т?4+/?5
/'2 = /'1_A_=Z?A;	=-A.
Л2 + Л3 47	4	Я4 + Я5 47
Искомый ток, проходящий через амперметр, 1^ГеЛ=Г2-Г4 = 24/47 = 0,51 А.
25
Рис. 1.17
1.16.	Для измерения тока использованы амперметры, пределы измерений которых равны 5 и 2,5 А, и шунт, сопротивление которого неизвестно. Первый амперметр, включенный с шунтом в некоторую цепь, показал ток 3,6 А, второй — с тем же шунтом показал в той же цепи ток 2 А. Сопротивления амперметров:	= 0,002 Ом и
Т?2 = 0,004 Ом. Чему равен ток в цепи?
1.17.	Для цепей (рис. 1.17, а и б) определить отношение напряжения на выходе цепи U2 (выходные зажимы цепи разомкнуты) к напряжению на входе цепи Ut. Сопротивления отдельных ветвей цепи в омах указаны на схеме.
1.18.	На какое сопротивление надо замкнуть выходные зажимы схемы рис. 1.17, а (зашунтовать сопротивление 30 Ом), чтобы получить отношение U2 '•	= 1:24?
1.19.	В схеме рис. 1.19 найти сопротивление Rx, если /Г = 2,6А, /3 = 0,6А, Rr = 0,5 Ом, Л2 = 1,4Ом, R3 = 3 Ом, Т?4 = 2,5 Ом.
Найти ЭДС источника £, если его внутреннее сопротивление R = 0,1 Ом.
1.20.	В схеме моста (рис. 1.20) известны сопротивления резисторов 1?! = 1300 Ом, 1?2 = 800 Ом, 2?3 = 400 Ом. Сопротивление гальванометра RT = 600 Ом. Через сопротивление 2?! протекает ток Д = 1 мА. К мосту приложено напряжение U =2,5 В. Найти R4.
1.21.	В цепи (рис. 1.21) найти Е} и Rx, если Е2 = 3 В, =R2 = 1 кОм, 7?3 = 4кОм, А4 = 2 кОм, 1?5 = 1 кОм. Амперметр Аг показывает 4 мА, а А4— 3 мА, полярности приборов показаны на схеме, а их сопротивлениями можно пренебречь.
1.22.	Однопроводная линия с сопротивлением R() на единицу длины, питаемая батареей с ЭДС, равной Е, закорочена на приемном конце (рис. 1.22). На каком месте
26
Рис. 1.23
линия должна иметь утечку с сопротивлением 7?, чтобы ток I на приемном конце был максимальным?
1.23.	Для определения места повреждения изоляции линии применяется схема, изображенная на рис. 1.23, a. и R2— магазины сопротивлений. Правый зажим гальванометра заземлен. Свободные концы т и п линии соединены между собой накоротко. Подбором сопротивлений Rr и R2 добиваются отсутствия тока в гальванометре. Показать, что если сечения обоих проводов одинаковы, то расстояние от места повреждения изоляции до начала линии равно UR^R. + R^.
Указание. Заданная схема может быть заменена схемой рис. 1.23, б.
1.24.	При проверке постоянной С счетчика оказалось, что при токе 10 А и напряжении 120 В якорь его в продолжении 30 с сделал 370 оборотов. Определить ошибку в показаниях счетчика, если на счетчике указано, что 1 кВт • ч соответствует 400 оборотам счетчика.
Примечание. Число ватт-часов, приходящихся на один оборот счетчика, называется его постоянной.
1.25.	Каково должно быть сечение медных проводов линии для передачи потребителю мощности £—16 кВт при условии, что потеря мощности не превысит р = 5%, если длина линии I = 180 м и напряжение в конце линии U2 — -220 В?
1.26.	Для цепи схемы рис. 1.26, пользуясь законами Кирхгофа, найти токи и проверить баланс мощностей, если Et = 15 В, £2 —70 В, £3 —5 В, гг —г2=1Ом, г3 = 2Ом,
27
Рис. 1.26
сопротивления элементов в цепи:	Rt = 5 Ом, R2 = 4 Ом,
Я3 = 8 Ом, R* = 2,5 Ом, /?5 = = 15 Ом. Записать уравнения Кирхгофа в матричной форме.
Решение. Всего на схеме цепи пять ветвей (NB = 5\bf а, adc, ba, be, са), число узлов Ny = 3 (а, Ь, с), источников тока нет (NT = 0), число неиз-
вестных токов равно NB — NT = 5. Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, согласно (0.1.10) равно трем (K=NB — Ny +1 — NT = 5 — 3 +1 — 0 = 3). Таким образом, общее число независимых уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно
числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.
Выберем и обозначим стрелками положительные направления токов и направление обхода трех независимых контуров: I, II, III. Составим систему уравнений Кирхгофа: для узлов а
-/1+/2-/3-/5 = 0;	(1.1)
b
/1 + /з + /4 = 0;	(1.2)
для контуров
I
(£1 + г1)/1-(£3 + г3)/3 = £1 + £3;	(1.3)
II
(7?3 + г3)/3 —Т?4/4 —£5/5= — £3;	(1.4)
III
(7?2 + Г2 ) 12 + ^5 Ц = ^2‘	(1-5)
Уравнения (1.1) — (1.5) после подстановки в них числовых значений имеют следующий вид:
_/1+/2-/3-/5 = 0	(1.1а);	/1+/з + Л = 0	(1.2а);
6^-10/3 = 20 (1.3а);	10/3 —2,5/4—15/5 = — 5 (1.4а);
5/2 + 15/5 = 70 (1.5а).
Решая эту систему уравнений, получим /t = 5A; /2 = 8А; /3 = 1А; /4=—6А; /5 = 2А.
Отрицательный знак для тока /4 означает, что истинное направление тока в /?4 противоположно принятому. Оно обозначено /4 и показано на схеме штриховой стрелкой.
28
При проверке баланса мощностей надо иметь в виду, что в тех ветвях цепи, где направление тока совпадает с направлением ЭДС, соответствующая ЭДС является источником энергии, а в тех участках, где направления ЭДС и тока противоположны, ЭДС — потребитель энергии. Все сопротивления, как внешние, так и источников энергии независимо от направления протекающего через них тока будут потребителями энергии.
Баланс мощностей для рассматриваемой схемы [см. формулу (0.1.32)]
Ei + Е212 — Е3I3 = 12 (7?i + г 1) + 12 (R2 + г2) +
+ ^зС^з + Гз) + ^4 ^4 + ^5 Т?5,
или 15 • 5 + 70 • 8 —5 • 1 = 52 • 6 + 82 • 5 +I2 • 10 + 62 • 2,5 + 22 • 15; получено тождество 630 = 630.
Матричная форма записи уравнений Кирхгофа (1.1а) — (1.5а) имеет вид:
[a] [I]= [F],
где [I] — матрица-столбец токов ветвей; [а] — матрица коэффициентов при токах; [F] — матрица-столбец активных элементов,
1.27.	В схеме рис. 1.27 найти все токи.
1.28.	Для цепи, изображенной на рис. 1.28, рассчитать токи и определить показание вольтметра, если Е1 = 40 В, Е2 = 5 В, Е3 = 25 В, 7?г = 5Ом, R2 = R3 = 10 Ом. Током, протекающим через вольтметр, можно пренебречь.
1.29.	Аккумуляторная батарея из 20 последовательно соединенных элементов работает параллельно с генератором на сеть, имеющую нагрузку 30 А. Каждый аккумулятор имеет ЭДС 1,82 В и сопротивление 0,001 Ом. ЭДС генератора 36,4 В и его сопротивление 0,04 Ом. Определить нагрузку генератора и батареи (т. е. отдаваемые ими токи) и напряжение на зажимах.
29
Е^20В г г 0,20м r-10m
De2 = /,/8
[ J Г2 = 0/+0м
Rr50u
Рис. 1.28
Рис. 1.27
Какую ЭДС должен развивать генератор, чтобы нагрузка распределилась поровну между генератором и батареей?
1.30.	По трехпроводной линии длиной 0,5 км (рис. 1.30) от двух генераторов 7 и 2 питаются две группы ламп 50 Вт, НОВ. В первой группе Л\=200 ламп, во второй N2 = = 600 ламп, сечение крайних проводов я = 35 мм2, а сечение среднего (нулевого) провода д0 = 16мм . Каждый генератор имеет внутреннее сопротивление 0,01 Ом и развивает ЭДС 120 В. Определить токи во всех проводах линии и напряжение на зажимах каждой группы ламп, сопротивления которых считать постоянными. Материал проводов линии— медь.
1.31.	Напряжения, измеренные электростатическим вольтметром, между узловыми точками схемы и землей равны (710= —15В, Z72O = 52B, С7ЗО = 64В (рис. 1.31). Определить токи в ветвях и отходящих проводах при 7^ = 80 В, Е3 = 70 В, 7?t = 5OM, Т?2 = ЮОм, 7?3 = 12Ом.
Указание. Сначала вычисляем напряжение между каждой парой узловых точек, например С12 = t/10 —1/20, и, применяя к ветви 1—2 закон Ома, находим ток Д. Найдя токи во всех ветвях, токи в ответвлениях от узловых точек находим по первому закону Кирхгофа.
1.32.	Для схемы цепи рис. 1.32, а найти токи и проверить баланс мощностей, если С7аЬ=12 В, Ucd = 5,6 В, Л1 = 4Ом, R2 = 5 Ом, 7?з = 3 Ом.
30
Рис. 1.33
Рис. 1.34
Указание. Данную схему можно заменить эквивалентной, в которой между точками а и Ь, с и d включены идеальные источники ЭДС с ЭДС, числовое значение которых Er = Uab и E2 = Ucd (рис. 1.32,6). Обращаем внимание на то, что при включении ЭДС следует соблюдать заданные полярности напряжений.
1.33.	Чему равно показание вольтметра на рис. 1.33, если током вольтметра можно пренебречь по сравнению с токами в нагрузках?
Определить показания ваттметров и убедиться в том, что их сумма равна сумме мощностей, расходуемых в сопротивлениях Т?2, 7?3. Потерями в катушках ваттметров пренебречь.
1.34.	Для цепи (рис. 1.34) определить токи. Дано: Е=20 В, J=2 А, Я=15Ом, ^ = 85 Ом.
Проверить баланс мощностей.
Решение. Выберем положительные направления токов, как это указано на рис. 1.34, и составим уравнения по законам Кирхгофа. Цепь содержит три ветви (Ав = 3), два узла А п В (Уу = 2), один источник тока (Ут=1). Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, У = N —1 = 1, а по второму закону Кирхгофа [см. формулу (0.1.10)]: АГ=Ув-Уу +1 -Ат = 3-2+1 -1 = 1. Уравнение для узла А
(1.1)
Независимый контур выбираем так, чтобы он не содержал источника тока (на рисунке показан штриховой линией). Для него составляем уравнение второго закона Кирхгофа:
IR + Ц Rt = E.	(1.2)
31
Рис. 1.35
Рис. 1.36
Подставляя в уравнения (1.1) и (1.2) цифровые значения и решив их, получим /= — 1,5 A; /t = 0,5A.
Для расчета баланса мощностей необходимо знать напряжение на источнике тока, которое находим по ветвям, внешним по отношению к зажимам источника тока. Напряжение на нем UAB = Ir Rr =42,5 В. Составляем баланс мощностей: UABJ+EI=I2R + I2Rr. Подставляя числовые значения, находим: 42,5 • 2 + 20 •(—1,5) = ( —1,5)2 15 + 0,52 • 85. Получим тождество: 55 = 55.
1.35.	К источнику тока /=0,1 А подключены резисторы, сопротивления которых (рис. 1.35): 7?1 = 12Ом, к2=^Ю Ом, 7?3 = 16Ом, /?4 = 40Ом, /?5 = 60Ом.
Определить напряжение Uab источника тока и все токи. Проверить баланс мощностей.
1.36.	Цепь (рис. 1.36) содержит источник тока, имеющий внутреннюю проводимость G = 5 10"5 См и ток «/=80 мА, и идеальный источник ЭДС с ЭДС Е} = 230 В, сопротивления 7^ = 1 кОм, /?2 = 2кОм. Определить все токи. Проверить баланс мощностей.
В. МЕТОДЫ КОНТУРНЫХ ТОКОВ
И УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
1.37.	В схеме цепи (рис. 1.37) рассчитать токи методом контурных токов. Дано: £\=40В, Е2 — 5 В, Е3 = 10В, 7^=20 Ом, Я2 = 40Ом, 7?3 = 140 Ом.
Решение. Выбрав направления контурных токов, как показано на рис. 1.37, составим исходные уравнения
Л1 (^1 ^2 ) С 2 ^2 = Е\ Е2‘,	/ц 7^2 "Ь + 2 (^2 ^3 ) = Е2 4“Е3.
Подставив числовые значения, получим 60/п — 40/22 = 35; -40711 + 180722 = 15.
Решая эту систему уравнений обычным путем, найдем контурные токи: /п =0,75 А, /22 = 0,25 А. Токи в ветвях: Ц = /п = 0,75 А, /2 = /]1-/22 = 0.5 А. /3 = /22 = 0,5 А. Уравнения можно решать с помощью ПМК. Нажав клавиши F и ПРГ, набираем из приложения П1 программу № 1. Затем, нажав клавиши F и АВТ, в регистры памяти заносим:
я11=60 = Р7, а12=—40 = Р8, а21 = —40 = Р4,
а22 — 180 = Р5, Z>1 = 35 = P2, b2 = 15 = РЗ.
32
Рис. 1.37
Нажимаем клавиши В/О и С/П, калькулятор начинает считать, и на табло высвечивается значение переменной х = /п=0,75. Далее нажимаем клавишу XY, и на табло высвечивается результат ^ = /22=0,25.
1.38.	Методом контурных токов найти токи в цепи, схема которой изображена на рис. 1.38. Дано: Е1 = 100В, Е2 = 30 В, Е3 = 10В, Е4 = 6 В, Л^ЮОм, /?2 = 10Ом, Е4 = 6Ом, /?5 = 5Ом, /?6=15Ом, г4=1Ом.
Решение. Выберем направления контурных токов, которые обозначим через /119 /22, /33.
Составим систему уравнений для контуров:
(^1 + ^2 )Л1 — ^2^22 =^1	~ ^3?
(т?2 + Е5 + Е4) 122 (^4 + Гд)Лз ^2^11~^2
(7?6 + /?4 + г4) /33 (Е4 + г4) /22 — Е3 + £4
После подстановки числовых значений имеем:
20/ц —10/22 = 60;
—10/11 + 22/22 —7/33 = 24;
— 7/22 + 22/33 = 16.
Решив эту систему уравнений, найдем контурные токи: /П = 5А; /22 = 4А; /33 = 2А, а затем — истинные токи во всех ветвях.
В ветви, где действует ЭДС £1? истинный ток Д имеет направление контурного тока /п и равен —	= 5 А.
В ветви с сопротивлением R5 истинный ток /5 имеет направление контурного тока /22 и равен /5 = /22 = 4А.
В ветви с сопротивлением /?2 истинный ток /2 получится от наложения контурных токов /п и /22 и будет иметь направление большего контурного тока С 1: /2 = Ц i — /2 2 = = 5-4=1 А.
В ветвях с сопротивлением Л4 истинный ток /4 получится от наложения контурных токов /22 и /33 и будет иметь направление контурного тока /22: /4 = /22 —/33 = 4 —2 = 2 А.
2 Заказ 2113
33
Рис. 1.39
В ветви, где действует ЭДС £3, истинный ток /3 получится от наложения контурных токов /и и /33 и будет иметь направление тока /11: /3 = /11 — /33 = 5 — — 2 = 3 А.
Для упражнения рекомендуем составить самостоятельно уравнения контурных токов в матричной форме.
1.39.	Цепь (рис. 1.39) содержит источник тока J= 50 мА,
источник ЭДС £=60 В и резисторы, сопротивления которых Лх = 5кОм, 7?2 = 4кОм, /?3 = 16кОм, 7?4 = 2 кОм, £5 = 8кОм. Вычислить все токи методом контурных токов. Проверить баланс мощностей.
Решение. Схема содержит шесть ветвей (Ав = 6), четыре узла (Ау = 4), один источник тока (Ат=1). Число независимых уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно двум (К=6 — 4+1 — 1=2). Зададимся направлениями контурных токов /119 /22, как показано на рис. 1.39. Там же нанесен известный контурный ток источника тока J. Составим систему уравнений для первого и второго контуров: (7?t + /?2 + /?5 )Л1 + ^5^22 + RiJ= Е; К51ц + (/?з + 7?4 + /?5 )/22 ~ — A3J = 0.
Подставляя числовые значения, имеем 17/п+ 8/22= — 190; 16/^ + 26/22 = 800.
Решая эти уравнения, найдем контурные токи: /х х = — 30 и /22 = 40 мА.
Искомые токи: /t = /х t + «/= 20 мА; /2 = — /t t = 30 мА; /3 = — /22 + «/= 10 мА; /4 = /22 = 40 мА; /5 — /i i + /22 ~ Ю мА.
Систему уравнений можно также решить с помощью программы № 1 из приложения П1.
Баланс мощностей: — EI2 + UcdJ= — Е12 + (КГ1Г + £3/3 ) J= = /1/?1+/27?2 + /з/?3+/4/?4 + /5/?5.
Подставляя числовые значения, получим тождество 11,2 Вт=11,2 Вт.
1.40.	Найти все токи и определить потенциалы точек а. Ь, с относительно земли 0 (рис. 1.40). Задачу решить методом контурных токов. Дано: £Г = 85В, £2 = 84В, £3 = 5 В, £4=12В, ^ = 8Ом, 7?2 = ЮОм, Л3 = ЮОм, £4=10Ом, /?5 = ЮОм, 7?6 = 4Ом.
1.41.	Для схемы рис. 1.41, а пользуясь методом узловых напряжений, определить потенциалы узловых точек 7 и 2 (потенциал точки 3 принять равным нулю). Составить уравнения и решить их с помощью программы № 1 из приложения П1. Определив потенциалы V\ и К2, вычислить все токи. Дано: £t = 30B, £2 = 10 В, £3 = 200 В, £4 = 56В,
34
Рис. 1.41
Рис. 1.40
7?! =20 Ом, Л2 = ЗООм, /?3 = 6Ом, Е4 = 8 Ом, Л5 = 15Ом, /?6 = 40Ом, /?7 = ЮОм.
Решение. На основании (0.1.13) запишем систему уравнений для определения потенциалов точек 1 и 2:
P1G1i-P2Gi2 = pG = Ei	(1.1)
-P1G21 + P2G22 = X^=-£1^4f+£2F~£3^-	(1-2)
2	K-i + К7	К2 Кз
Подсчитаем G11 — сумму проводимостей ветвей, присоединенных к узлу 1:
Glr = 1/(7^ + Т?7) + 1/Т?5 + 1/Т?4 +1/7?6 = 1/30+1/15+1/8 +
+ 1/40 = 0,25 См.
Аналогично G22 сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу 2:
G22 = 1/(7?х + Т?7)+ 1/Т?5 + 1/Т?2 +1/7?3 = 1/30+1/15+1/30 +
+ 1/6 = 0,3 См.
Сумма проводимостей, соединяющих первый и второй узлы,
G12 = С21 = 1/(7?, + T?7)+1/T?5 = 1/30+ 1/15 = 0,1 См.
Подставляя числовые значения в уравнения (1.1) и (1.2), получим
0,25 Vr -0,1 V2 = 30 1-561= -6;
1’2 зо 8
0,1К+0,ЗК2= -ЗО1+Ю1-2ОО1= -34.
1,2 зо зо 6
Решив последние два уравнения, найдем потенциалы точек 7 и 2: Vr = — 80 В; У2 = — 140 В.
Применяя закон Ома для отдельных ветвей, определим искомые токи: 2*
35
Т ^1-^2-£1	-804-140-30	. А
I = _J--?----l_=----------= 1 A;
1	Ai4-A7	30
T Уз-У2-УЕ2 1404-10 c A
/ -_2—f—£==----------= 5 A;
2	R2	30
I _^2-^з + £3_-1404-200_10 a.
3	R3 "	6
г _ K3-K1-E4_80-56_
4	~R4	~ 8
/5=rdV80+l4(UA; /6 = Щ°=2А.
5	R5 15	6 R6 40
Направления найденных токов указаны на структурной схеме (рис. 1.41,6) цепи (рис. 1.41, а).
Для упражнений рекомендуем составить самостоятельно уравнения узловых напряжений в матричной форме.
1.42. В схеме рис. 1.42, а рассчитать токи по методу узловых напряжений. Дано: Et=24B, Е2 = 30 В, Е3 — 2 В, Л4=1,2В, Е5 = 5,6 В, 7^ = 5 Ом, А2 = 50Ом. R3 = 10 Ом, R4 = 2Q Ом, А5 = ЮОм, А6 = ЮООм, А7 = 50Ом, 7^8 = 20 Ом.
Расчеты провести с помощью ПМК, воспользовавшись из приложения П1 программой № 2.
Решение. Примем потенциал точки 4, равным нулю. Составим узловые уравнения:
узлы:
1:	K1G11-K2G12-£3G13 = ££G;
1
2:	-£1G21 + K2G22-K3G33=££G;
2
3:	-£1G31-K2G32+r3G33 = X№.
3
Здесь
Gn = 1/Ai 4- 1/Я2 4- 1/Я6 4- 1/Я7 4- 1/Я8-0,3;
С22 = 1/Яз + 1/Я44-1/^=0,17;
G33 = W44-l/^5 + W8 = 0,2;
612 = 621 = 1/Я7 = 0,02;
G23 = G32 — 1/А4 = 0,05;
^13 — ^31 — 1/^8 — 0,05;
S£G = £13- + £22-=5,4;
1	TAj	k2
l£G = £32—£4^ = 0,14;
2	^3	^4
l£G=£43-+£53-=0,62.
3	T<5
36
Рис. 1.42
Таким образом, система узловых уравнений:
0,3 Vx - 0,02 V2 - 0,05 И3 = 5,4;
- 0,02 Vr + 0,17 И2 - 0,05 Г3 = 0,14;
-0,05 V, -0,05 V2 + 0,2 V3 = 0,62.
Набираем согласно инструкции программу № 2:
= Gn =0,3ffl2i =	= —0,02|я31 = G31 = —0,05 В/О С/П
б/12 = С12 = — 0,02$ <з22 = G22 = 0,17$я32 = С32 = -0,05 С/П
«1з = ^1з = -0,005$а23 = 623 = -0,05Jа33 = С33 = 0,2 С/П
Ь1=^Е6 = 5,4|Ь2=^Е6 = 0,14ТЬ3=^ЕС = 0,62 С/П 1	2	3
После набора всей программы на табло высвечивается результат = И3 = 9,6, нажимая клавишу С/П, читаем на табло результат у=И2 = 6, вновь нажимая С/П, на табло имеем х = Vr = 20. Результат V\ хранится в регистре A, V2 — в регистре В, V3 — в регистре С.
Применяя к отдельным ветвям формулы закона Ома, получим значения всех токов, которые нанесены на структурной схеме (рис. 1.42,6): 1Л =0,8 А, 12 = 0,2А, 13 = 0,4А, 4 = 0,12 А, /5=0,4А, /6 = 0,2А, 17 = 0,28А, 18 = 0,52 А.
1.43.	Методом узловых напряжений рассчитать токи в цепи (рис. 1.42, в).
Указание. Если потенциал точки 4, являющейся общей для ЭДС Ег и Е2, принять равным нулю (С4 = 0), то V3 — — Е1? V2 = — Е2, и для решения задачи достаточно составить всего одно уравнение для узловой точки 1.
1.44.	Методом узловых напряжений найти токи в схеме цепи (рис. 1.44,а). Дано: £=100 В; £2 = 10В; £5=40В; 7^ = 20 Ом, Т?2 = ЗООм, 7?3 = 20Ом, 7?4=ЮОм.
Решение. Всего в схеме четыре узла (7Vy = 4), две ветви, содержащие только источники напряжения: ветви ЭДС Е и Е5 (N* = 2). Согласно (0.1.12,6) число уравнений, составляемых по методу узловых напряжений, равно одному: у = ЛГу-^-1=4-2-1 = 1.
Однако при составлении уравнений согласно формулам (0.1.13) для любого из узлов войдут слагаемые, имеющие бесконечно большую проводимость.
Покажем, как обойти указанное затруднение. Известно, что если во все ветви, примыкающие к какому-либо узлу, ввести одинаковые ЭДС, направленные к узлу (или от
37
Рис. 1.44
их сумма равна нулю.
него), то это не окажет влияния на распределение токов в схеме, так как в уравнениях второго закона Кирхгофа для любого контура эти ЭДС взаимно компенсируются. Воспользовавшись этим свойством, введем во все ветви, примыкающие к узлу 7, ЭДС £', направленные к этому узлу и равные Е5 (рис. 1.44, б). Теперь окажется, что в ветви 7—3 действуют две одинаковые и противоположно направленные ЭДС, и
Поэтому точки 7 и 3 равнопотен-
циальны и их можно закоротить (рис. 1.44, в). Эта схема
имеет три узла и содержит одну ветвь, имеющую только ЭДС Е (Nn=l). Поэтому согласно (0.1.126) по методу узловых напряжений надо составить всего одно уравнение. Составим его для базисного узла 7, приняв К4 = 0. Тогда К2 = £=100В. Уравнение для узла 7 имеет такой вид:
- И2С12~ ^4^4 = V, (1 + 1 + 1 + ±)-
^3	^4 /
+—)- vj—+-L) = (£2 + £')—+Е'—.
2\А, r2)	4\а3 л4/ ' 2	’ r2	r4
Подставляя сюда числовые значения, получим 1^ = 60 В.
Найдем токи в ветвях исходной схемы по закону Ома:
Д=2А; /2 = 3 А; 13 = 3 А; Ц = 2 А.
Токи в ветвях с ЭДС Е и Е5 определим по первому закону Кирхгофа:
/=/1+/2 = 5А; /5 = /2-/4=1А.
Для упражнения рекомендуется решить эту задачу, введя в каждую из ветвей, примыкающую к узлу 2, ЭДС Е” = Е.
38
1.45.	Дано: цепь (рис. 1.45) Е{ —100 В, Е2 = 150 В, Е3 = 28 В, 7=2 мА, 7?2 = 2кОм, /?3 = 4кОм, /?4 = 6кОм, /?5 = 8кОм. Простейшим образом рассчитать токи всех ветвей.
Г. ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА В ЗВЕЗДУ И ОБРАТНО
1.46.	Используя принцип наложения, рассчитать токи в схеме цепи рис. 1.46, если Е^ЮВ, Е2 = 40 В, Е3 = 5 В, Г|=5Ом, г2 = г3 = 2Ом, 7?! = 30 Ом, 7?2 = ЗОм, /?3 = 8 0м.
1.47.	Найти токи в ветвях цепи (рис. 1.47). Задачу решить, используя принцип наложения, контурных токов и узловых напряжений.
1.48.	В схеме цепи (рис. 1.48), используя принцип наложения, найти все токи. Дано: £^ = 96 6, £2 = 75 В, 7?3 = 3 Ом, £4=15Ом, Я5 = 10Ом, £6 = 6Ом.
1.49.	Найти эквивалентное сопротивление цепи (рис. 1.49, а) и все токи, если L7= 114 В, 7^ = 30 Ом, R2 = R3 = = 10 Ом, 7?4 = 26 Ом, 7?5 = 11Ом, 7?6 = 10Ом, Т?7 = 40Ом, Т?8 = 50 Ом. Задачу решить, используя преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.
Рис. 1.47
Рис. 1.49
39
Решение. Заменим треугольники сопротивлений abc и dfg эквивалентными звездами (рис. 1.49,6). В преобразованной схеме появились новые узлы т и п. Обратим внимание на то, что в преобразованной схеме сохраняются значения токов I, Ц, /5 в участках цепи, которые не подвергались преобразованию.
Подсчитаем сопротивления лучей звезды эквивалентной треугольнику abc сопротивлений
Aj/?2	4 О	*1*3	4 С\
г< =--1—-— = 6 Ом; г-, =---—— = 6 Ом,
Д7^3	О Z~\
г, =--—— = 2 Ом.
+ R2 + R3
Определим сопротивления лучей звезды эквивалентной треугольнику dfg сопротивлений
^6^7	Л Г\	^6^8	С ГЛ
г4 =--—— = 4 Ом; г5 =-----—— = 5 Ом;
4 Д6 + Д7+«8	5 Д6 + Л7+Д8
г =	=20 Ом.
6 «6 + «7 + а8
Эквивалентное сопротивление всей цепи
R3K = r +Л^_ + г =38 Ом,
1 Л, + Л„ 6
где 7?! = г2 + R± + г4 = 36 Ом; 7?п = r3 + R5 + r5 = 18 Ом.
Ток в неразветв ленной части цепи
1= U/R3K= 114/38 = 3 А.
Токи в параллельных ветвях
Ц = 1—— = 3—— =1 А; 75 = /-/4 = 2А.
4 Л. + Ац	36 + 18	5	4
Теперь найдем токи в сопротивлениях заданной цепи. Для этого предварительно из схемы (рис. 1.49,6) определим напряжения между точками а и 6, а и с, с и 6, d и g,
Ri,
г2,
r2,
Г3,
Л3:
4,	.
R6, R
Г 5,
г6> /?8:
Uab=r1I+r2I4 = 6-3 + 6-1=24 В;
Uac = r1I+r3I5 = 6-3+2-2=22 В;
Ueb = Uab-Uac=(Va-Vb)-(Va-Vc)=Vc-Vb = 24- 22 = 2 В;
Udg = r4/4 + r6I= 4 • 1 + 20 • 3 = 64 В;
{7y9 = r5/5 + r6/=5-2 + 20-3 = 70 В;
Ufi= ufg~ udg=(vf~ ve)-(yd-vg)=
= ^-1^ = 70 - 64 = 6 B.
40
Epr,
Рис. 1.51
Искомые токи:
1Г = Uab/R. = 24/30 = 0,8 A; I2 = Uac/R2 = 22/10 = 2,2 А;
Z3 = С7сЬ/1?3 = 2/10 = 0,2 А; /4 = 1А; /5 = 2А;
16 = иfd/ R6 = 6/10 = 0,6 A; I. = Udg/Rn = 64/40 = 1,6 А;
/8 = [7^/7^8 = 70/50 = 1,4 А.
1.50.	В схеме цепи (рис. 1.50) найти токи, применив преобразование треугольника в звезду. Определить эквивалентное сопротивление между точкамиanb. Определить показание ваттметра и убедиться в том, что оно равно сумме мощностей, расходуемых во всех сопротивлениях.
Д. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ИСТОЧНИКА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИСТОЧНИКОВ.
ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ
1.51.	Для схемы цепи рис. 1.51, а методом эквивалентного источника ЭДС найти ток в ветви резистора, сопротивление которого 7?1? если £Г1 = 18 В, £2 = 21 В, гг = 1 Ом, 1?1 = 2Ом, г2 = 2 Ом, R2 = 7 Ом, R3 = 6 Ом.
Решение. Обозначим положительное направление искомого тока на исходной схеме (рис. 1.51, а). Рассмотрим часть схемы, подключенную к исследуемой первой ветви (обведенную штриховой линией), в качестве эквивалентного источника ЭДС £эк и сопротивлением Аэк. Нарисуем эквивалентную электрическую схему с эквивалентным источником напряжения (рис. 1.51,6).
41
Рис. 1.52
На схеме выбрано произвольно положительное направление ЭДС эквивалентного источника Еэк к точке р. Это позволяет записать для режима холостого хода эквивалентного источника с отключенной первой ветвью (рис. 1.51, в): Еэк = Upqx = (Vp — Vq)х.
Развернутая схема эквивалентного источника в режиме холостого хода показана на рис. 1.51, г. Во внутренних ветвях источника ток
Напряжение холостого хода определяет ЭДС источника: С/МХ = Я3/Х = 61,4 = 8,4В = ЕЭК.
Найдем сопротивление 7?эк эквивалентного источника.
Для подсчета сопротивления источника преобразуем его схему (см. рис. 1.51, г), заменив источник напряжения Е2 короткозамкнутым участком (рис. 1.51,3). Входное сопротивление последней схемы является сопротивлением эквивалентного источника
Возвращаясь к схеме рис. 1.51,6, найдем искомый ток по закону Ома:
р _ £эК + £!	_ 8,4+18 _ д
^эк + ^i + ^i 3,6+1+2
1.52.	Методами эквивалентного источника ЭДС и эквивалентного источника тока найти ток в ветви Л5, если Е{ = = Е2 = 20В, jR1 = /?2 = 40 Ом, Е3 = 10 0м, Е4 = 160Ом, R5 = = 20 Ом (рис. 1.52, я).
Решение. 1. Рассчитаем методом эквивалентного источника ЭДС. Отключим ветвь с R5 (рис. 1.52,6) и найдем его параметры с ЭДС Еэк (т. е. напряжение Uabx холостого хода между точками а и Ь) и R3X — сопротивление схемы рис. 1.52, в между точками а и b в режиме холостого хода при закороченных ЭДС Ег и Е2. Схема эквивалентного источника ЭДС приведена на рис. 1.52, г. ЭДС эквивалентного источника и его сопротивление равны:
42
Uab^E3K=-rR3 + I"R4=--^-R3+-^-R4=l2B,
KjtKj	K2 "г Ад
«эк = Л1^_ + _^±. = 40 Ом.
Ri+Ri R2 + R4
Искомый ток согласно формуле (0.1.24)
15 = Еэк /(7?эк + R5) = 12/(40 + 20) = 0,2 А.
2. При расчете методом эквивалентного источника тока ветвь R5 закорачиваем (рис. 1.52,3). Ток 1к, проходящий по закороченной ветви ab, является током эквивалентного источника тока (/fc = J). Найдем его. Это можно сделать, рассчитав двухузловую схему (рис. 1.52,3) методом узловых напряжений. Приняв потенциал точек а и b равным нулю (^а=^ь = °), найдем
Ел---\-Е2 —
в.
El Е2 Е3 ^4
Для определения тока Ik = J вычисляем Гг и /'3, и по первому закону Кирхгофа вычисляем
IK = j=r3-rr={V-Va)l R.-^V-V^E^I Rr =
= 6,4/10—13,6/40 = 0,3 А.
Сопротивление эквивалентного источника тока 7?эк равно сопротивлению эквивалентного источника напряжения; однако его можно найти по (0.1.25): Яэк = £эк/4=12/0,3 = 40 Ом.
Из схемы эквивалентного источника тока (рис. 1.52, е) по формуле (0.1.26) находим искомый ток I5 = J——— =
Получили тот же результат, что и по методу эквивалентного источника ЭДС.
В заключение рассмотрим вопрос о мощностях, доставляемых источниками при их преобразовании. Из теории известно, что при преобразованиях источников токи в ветвях, не подвергшихся преобразованию, остаются неизменными, а мощности, доставляемые источниками, изменяются. Так, для схем (рис. 1.52, г и е) ток в ветви R5, не подвергшейся преобразованию, в обоих случаях одинаков: /5 = 0,2А. Мощности же в цепях схем (рис. 1.52, г, г) различны: = Еэк/5 = 12 0,2 = 2,4 Вт, р2 = U„J= /5 R5J= 0,2 • 20  0,3 = 1,2 Вт.
43
Рис. 1.53
1.53. Методом эквивалентного источника ЭДС найти ток /5 (рис. 1.53,^), проходящий через резистор, сопротивление которого Л5, если £=120 В, =60 Ом, 1?2 = 15Ом, 7?3 = 90Ом, Т?4 = 60 Ом, Л5 = 12Ом. Тем же методом определить ток в сопротивлении £4.
Решение. На схеме рис. 1.53, а обозначим произвольное положительное направление искомого тока /5. Часть схемы (внешнюю к исследуемой ветви R5) рассмотрим в виде некоторого источника ЭДС £эк, £эк- Стрелку ЭДС Еэк произвольно направим к точке с (рис. 1.53,6). Таким образом, ЭДС источника определится напряжением холо-стого хода: £эк = Ucdx=(Vc- Vd)x.
На развернутой схеме источника в режиме холостого хода (рис. 1.53, в) обозначим токи в ветвях /Ох, /1х, /Зх.
По закону Ома,
/1х = £/(£1 + /?2)= 120/75 = 1,6 А;
/3х = £/(£3 + £4) = 120/150 = 0,8 А;
(^-^)х=^с. = ^Лх = 60 1,6 = 96 В;
(Иа-ИД=г/аах = £3/3х = 90 0,8 = 72 В.
Таким образом, ЭДС эквивалентного источника напряжения:
^эк = (^-^)х = (^-^)х-(^-^)х = 72-96=-24 В.
Найдем сопротивление эквивалентного источника ЭДС двумя методами: 1) путем непосредственного расчета по схеме; для этого в схеме рис. 1.53, в источник напряжения заменим короткозамкнутым участком; после этого схему рис. 1.53, в нарисуем в виде рис. 1.53, г.
44
Сопротивление источника 7?эк равно сопротивлению цепи между точками с и d\
^ J^ = 6045 9^60 = 48
эк R{ + R2 R3 + R±	75	150
2) путем вычисления отношения ЭДС эквивалентного источника к току короткого замыкания; для этого в схеме рис. 1.53,в надо замкнуть точки с и d накоротко, вычислить ток /к, протекающий через короткозамкнутый участок (рис. 1.53,3), и найти сопротивление короткого замыкания по формуле (0.1.25). Источник ЭДС Е в короткозамкнутой схеме рис. 1.53, д нагружаем на эквивалентное сопротивление
D R,R3	60-90 15-60 ло ~
R =———+—---------------+---= 48 Ом.
эк R, + R3 R2 + R±	150	75
Ток источника напряжения
10к = Е/Яэк= 120/48 = 2,5 А.
Токи в ветвях
R2R.
2к 0*Д2+/<
гОк——L_ = 2 5 — =1,5 A;
ОкА1 + ^3	150
' R* = 2,5-=2A.
75
Отсюда /к = /1к — /2к = —0,5 A.
Сопротивление источника
7?эк = £эк//к=-24/(-0,5) = 48 Ом.
Значения сопротивления источника, полученные этими методами, одинаковы.
Возвращаясь к рис. 1.53,6, по закону Ома находим искомый ток
Е —24
15=—^—=—— - —0,4 А.
5 Я5 + Яэк 12 + 48
Таким образом, ток в сопротивлении R5 направлен от точки d к точке с и равен 0,4 А.
Расчет тока резистора, сопротивление которого Л4, методом эквивалентного источника ЭДС проводится аналогично. Заменяем часть схемы, подключенную к точкам d и h ветви с сопротивлением Л4, эквивалентным источником R-ж (рис. 1.53, е). ЭДС источника совпадает с напряжением в режиме холостого хода: £’эК=С/^х.
Для определения этого напряжения рассчитаем вначале токи /з и /'о в развернутой схеме источника в режиме холостого хода (рис. 1.53, ж):
45
I'o =_____Er___?=^А;
„ ЯДЯ3 + /М 95 lx J и-----
Ai + A3 + A5
7'3 = /'o------=- A.
3	°Я1+Я3 + Я5 19
Отсюда находим ЭДС источника
£;к=С/^х = Л5Л + ^2П = 840/19 В.
Для определения сопротивления источника ЭДС рассмотрим соответствующую пассивную схему (в схеме источник ЭДС заменен короткозамкнутым отрезком), показанную на рис. 1.53,з. Для ясности эта схема показана в виде рис. 1.53, и.
Сопротивление источника, равное входному сопротивлению последней схемы, относительно зажимов d и Ь\
R 'эк = ^( 5 + ^ + ^) = 360 Ом RtR2 19 ^3 + ^5+ „	„
ч-	J^2
Находим искомый ток Ц по источника ЭДС (рис. 1.53, е):
схеме эквивалентного
840
Е'эк
^4 + эк
19
360 ~
ГГ60
= 0,56
А.
1.54.	По данным задачи 1.52 для схемы цепи (рис. 1.52) методом эквивалентного источника ЭДС или тока найти ток в ветви с сопротивлением R3.
1.55.	Считая зажимы а и b входными клеммами схем (рис. 1.55, а—Э), определить параметры £эк и 1?эк соответствующих эквивалентных источников (рис. 1.55, е).
1.56.	Для экспериментального исследования двухполюсника собрана схема рис. 1.56. Требуется найти ЭДС и сопротивление источников, эквивалентных исследовавшимся двухполюсникам, по данным двух опытов (для каждого двухполюсника): 1) 6^=20 В; Л =2 A; U2 = 30 В; /2 = 3 А; 2)[Л=20В; 71 = 12А; t/2 = 30 В; /2-14А; 3)С/1=20В; Д-ЗА; С/2 = 30 В; 12 = 5 А.
1.57.	Два источника тока соединены в цепь (рис. 1.57). Ток первого У^ЗмА, его внутренняя проводимость Gx = = 0,05 См, второго — J2 = 2mA, С2 = 0,01 См. Сопротивления
46
Рис. 1.55
Рис. 1.56
Рис. 1.57
Рис. 1.58
Рис. 1.59
R3 = 5 Ом, R4 = 30 Ом. Определить ток, проходящий через сопротивление R4.
1.58.	Три источника, ЭДС которых £1=48 В, £2 = 45 В, £3 = 45 В, а внутренние сопротивления 7^ = 1,2 Ом, /?2 = 1,ООм, /?3 = 1,5 Ом, работают параллельно на общую нагрузку, сопротивление которой К = 4,2 Ом (рис. 1.58). Произвести замену заданных источников ЭДС одним эквивалентным, определив его ЭДС и внутреннее сопротивление. Чему равны токи, проходящие через каждый источник и нагрузку?
1.59.	Цепь (рис. 1.59), содержащая два источника тока (J1 = 30 мА, G^IIO^Cm, J2 = 20mA, G2 = 1,5 • 10"3 См) и источник ЭДС (£3 = 45 В, R3=100 0m), включена на нагрузочное сопротивление RH = 20 Ом. Определить ток /н.
47
1.60.	Воспользовавшись принципом взаимности, найти показания амперметров Л4 и А5 (рис. 1.60). Дано: £=30 В, R3=6 кОм, R2 = 4 кОм, R3 = 8 кОм, Р4 = R5 = 2 кОм.
Е. УСЛОВИЕ ВЫДЕЛЕНИЯ
МАКСИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТИ В НАГРУЗКЕ
1.61.	В схеме цепи (рис. 1.61, а) известно: £=100 В, = 10 Ом, R2 = 40 Ом, £3 = 12 Ом. При каком значении нагрузочного сопротивления £н в нем выделится максимальная мощность и чему она равна?
Определить отношение мощности, расходуемой в £н, к мощности, доставляемой источником. Вычислить коэффициент передачи, т. е. отношение напряжения на RH к ЭДС £.
Решение. Рассчитаем ток /н, проходящий через сопротивление £н, и расходуемую в нем мощность Рн:
J — J ^2	______Е______ ^2
н 1А2 + А3 + АН	Е2(А3 + Ан) а2 + я3+ан
Ki Н--------
^2 + ^3 +^4
er2
^1 (^2 + Е3 + Ан ) + А2 (*3 +	)
р _ г 2 п  _______Е 2 А 2 7?н___
н н н [яД^+^+дД+яД^+яД]2’
(1.1)
(1-2)
Для расчета максимальной мощности, выделяемой в нагрузке, возьмем производную от Рн по RH и приравняем ее нулю. В результате получим
n	RlR2 + RlR3 + R2R2 10-40+ 10 • 12 + 40 • 12 _ ~
£н = ........._+---£_+ =------------------= 20 Ом.
Ri + R2	50
Подставляя найденное значение £н в (1.2), получим искомое значение максимальной мощности
48
Рита = 1002 402 •20 2 = 80 Вт.
итах (Ю-72 + 40-32)2
Вычислим мощность Р, доставляемую источником ЭДС:
Р=ЕЕ =-------f-----= 360 Вт.
1 R ! *2(*3 + *„)
Л2 + Л3 + Лн
Искомое отношение мощностей: г| = Рнтах/Р = 80/360 = = 0,222.
Напряжение на нагрузочном сопротивлении UH = IaRa = = 2 • 20 = 40 В. Коэффициент передачи Н= UH/E= = 40/100 = 0,4.
Часть схемы левее зажимов ab заменим эквивалентным источником напряжения с ЭДС Еэк и сопротивлением 7?эк (рис. 1.61, б). Найдем Еэк и Яэк. Для вычисления Еэк отключим ветвь 7?н (рис. 1.61, в) и определим напряжение Uabx между точками а и b в режиме холостого хода, которая численно равна £эк:
иь =ЕЭК = РЯ2 = -^_=121± = 80 в.
Сопротивление Рэк равно сопротивлению цепи между зажимами а и b при закороченном источнике ЭДС Е (рис. 1.61, г):
к = д +А^ = 12+12^2 = 20 Ом.
эк 3	50
Как известно, в схеме, эквивалентной заданной (см. рис. 1.61,6); максимальная мощность выделится, если сопротивление нагрузки Рн равно внутреннему сопротивлению источника, т. е. при Лн = /?эк = 20 Ом. Следовательно, получено то же значение, которое было найдено. Максимальная
мощность
_	/ р \2	_
Ри max=И «н =	Р» = (80/40)2 • 20 = 80 Вт.
\“^ЭК ’	/
1.62.	К зажимам 1—Г цепей (см. рис. 1.3, а, б) подведено напряжение 1^ = 72 В. При какой величине сопротивления R2, подключенном к зажимам 2—2', в нем выделится максимальная мощность и чему она равна? Определить отношение мощностей, расходуемых в сопротивлении R2, к мощности, доставляемой источником. Вычислить коэффициент передачи, т. е. отношение напряжения на сопротивлении R2 к подведенному.
Ж. ВХОДНЫЕ
И ВЗАИМНЫЕ ПРОВОДИМОСТИ ВЕТВЕЙ
1.63.	Определить входные и взаимные проводимости ветвей схемы цепи (рис. 1.63), необходимые для вычисления
49
Рис. 1.63	Рис. 1.64
токов, если 7^ = 15 Ом, 7?2 = 12Ом, 7?3 = 10Ом, 7?4 = 40 Ом, 7?5 = 20Ом, 7^ = 25 6, Е2 = 20В, Е3 = 50В. Используя найденные значения проводимостей, вычислить все токи.
Вычислить входное (относительно зажимов ab) и взаимные (передаточные) сопротивления между первой и остальными ветвями.
1.64.	В схеме рис. 1.64 известны 7?! = 10 Ом, Т?2 = 16Ом, 7?3 = 60Ом, 7?4 = 7?5 = 40 Ом, Е1 = 120 В, Е3 = 150В, Е5 = 80В.
Рассчитать входные и взаимные проводимости и все токи.
Глава 2
Линейные цепи
при гармоническом воздействии
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Мгновенное значение величины, синусоидально изменяющейся с течением времени,
а = Ат sin (coz + ф) = Ат sin [co(z + \|//со)],	(0.2.1)
где Ат—максимальное значение, или амплитуда; ©Z+ф— фаза (фазовый угол); ф—начальная фаза (начальный фазовый угол); ф/со—начальный фазовый сдвиг; со—угловая частота.
Период Г, угловая частота со и частота f связаны соотношением
^ = 2nf=2n/T; f= 1/Т.	(0.2.2)
По уравнению (0.2.1) на рис. 0.2.1, а построена синусоида, а на рис. 0.2.1, б — соответствующая векторная диаграмма.
2.	Действующие значения синусоидально изменяющихся ЭДС, напряжения и тока:
£=£т/У2 = 0,707£ш, U=Uml^, 1=1тф.	(0.2.3)
3.	Средние значения синусоидально изменяющихся ЭДС, напряжения и тока за положительную полуволну
2	2	2
£cp = -£m = 0,637£m, Uep=-Um, 1ср=-1т.	(0.2.4)
Л	Л	Л
50
Среднее значение синусоидально изменяющейся величины а = Лш8т(соГ + ф) за целый период равно нулю.
4.	Изображение синусоидальной функции вращающимся вектором. Проекция вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью со вектора Ат (рис. 0.2.1,6) на вертикальную ось изменяется во времени по синусоидальному закону: а = sin (соС + ф). Поэтому любая синусоидальная функция (ток, напряжение, ЭДС) может быть изображена вектором.
5.	Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Если оси координат векторной диаграммы (см. рис. 0.2.1,6) считать осями комплексной плоскости, вектор Aw можно рассматривать как комплексную амплитуду Ат (рис. 0.2.1, в).
В курсе ТЛЭЦ используются следующие формы записи комплексного числа:
алгебраическая Am = A'm+jA'^	(0.2.5а)
показательная Ат = Ате^;	(0.2.56)
тригонометрическая Ат = /lmcos\|/+//lmsin ф; (0.2.5в)
полярная Am = Am<\\f.	(0.2.5г)
Здесь А 'т = Ат cos ф = Re [Ат ] — действительная часть комплексного числа Ат, А " = Ат sin ф = Im [Ат ] * — мнимая часть комплексного числа; Ат— модуль комплексного числа; ф —
.71
аргумент комплексного числа; j = ^/ — 1 = е7^ — мнимая единица, или оператор поворота на угол л/2 = 90 (умножение на J сводится к повороту вектора против часовой стрелки
* Re и Im — сокращенные записи английских терминов (реальный, действительный) и imaginary (мнимый) или французских reel (reelle) и imaginaire, а также немецких — real — imaginar.
51
на прямой угол, а умножение на — j = e 2 — к повороту вектора на прямой угол по часовой стрелке).
Обозначения и правила комплексной арифметики:
— 1 =е790 = е7Л/2; 1//=—/=е~790 = е~7Л/2;
-1=е±7‘18°о = е±7Л; /=-1; AiA2 = A1A2ej^i+^^;
41=л1еЛ1=^1е><Ф1~Ф2); х/Т = х/Ле7'* = х/ЛеЛ/2.
А2 A2eJ*2 а2	’ V V	V
Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная и полярная — при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня.
Переход от алгебраической формы к показательной и полярной производится по формулам
^m = V/(/1^)2 + (/1 ™)2; ^ = arctg(^" IA ^).	(0.2.6а)
Для обратного перехода используют формулы
А'т = Л^созф; А" = Атsin\|r	(0.2.66)
Формула Эйлера
е ±7а = cos а ±j sin а.	(0.2.7)
Комплексное число А * = A'— jA" = Ae~j* называется комплексно-сопряженным числу A = A'+JA” = Aej\ Произведение комплексно-сопряженных чисел — действительное число, равное квадрату их модуля:
АА* = А2.	(0.2.8)
Мгновенное значение синусоидальной функции равно мнимой части, изображающей ее комплексной амплитуды, умноженной на е7С0Г:
я = 1т [Лте7Ы] = Im [AmeJ (Git + vk)].
Символ мнимой части Im иногда опускают и последнее выражение записывают в форме яфЛше7С0Г, где =—знак соответствия.
Комплексное действующее значение связано с комплексной амплитудой равенством
A = Amlj2.	(0.2.9)
6.	Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла см. в табл. 0.2.1.
Например, для тока z, падения напряжения на резистивном сопротивлении ию индуктивности uL и емкости z/c, 52
Таблица 0.2.1
Временная и комплексная записи	Функция	Производная функции	Интеграл от функции
Запись во временной области	а = Ат sin (coz + ф)	da	.	. — = а>А „ cos (сог + у)	t iadt=	х
			J	03
			0 х Лшсо5((о/ + ф)
Комплексная функция времени *	eJ(coi + v|/)	а)ЛтеЯш,+,|'+”/2)	— А еЯ(о« + '|/-л/2)
Комплексная	л — А		СО
амплитуда			1 .
			
Комплексное действующее значение	А = Ае*	доЛ	1 . — А
			7®
* Значение ее мнимой части (без у) равно соответствующему гармонически изменяющемуся значению.
соответствующие комплексные амплитуды запишем так: i=Im sin (® t + ф) 1т = 1т е
uR = iR = RIm sin (tot + ty)-*URm = Rim;
UL = L~=&LImcos(o)t + \\i)^ULm=jaLim; l (О2.ю)
t /•
UC = _ idt=	ImCOs(&t + ^UCm=
0
(Здесь стрелка -> означает знак соответствия).
7.	Элементы электрической цепи переменного тока: пассивные и активные. В табл. 0.2.2 приведены пассивные элементы, их изображения и обозначения, формы записи сопротивления и проводимости.
Согласно ГОСТу любое комплексное значение обозначается соответствующей буквой с чертой под ней, например комплексное значение A (Z, У). Однако для величин, изменяющихся с течением времени синусоидально, разрешается комплексные величины обозначать с точкой над соответствующей буквой, таковы Ё, напряжение (7, ток /. Так что такие записи эквивалентны: Е=Ё, U_—U^ I=L Для этих величин будем придерживаться обозначения с точкой над соответствующей буквой.
Пассивный элемент электрической цепи (рис. 0.2.2, а) определяется своим комплексным сопротивлением Z =
53
Таблица 0.2.2
Элементы			Сопротивление при синусоидальном токе	Запись сопротивления в комплексной форме	Проводимость при синусоидальном токе	Запись проводимости в комплексной форме
наименование	СВОЙСТВО	изображение и буквенное обозначение				
Резистор	Электрическое сопротивление		Я	R	G—\/R	G=\/R
Индуктивная катушка	Индуктивность			Z,=jaL	Bl=\^L	YL=VZL = " = -jsL
Конденсатор	Емкость	£==	Хс=1/соС	1 zc=	= усоС 1 = (ОС	Вс = аС	Ic=l/Zc = =j&C
= Ze7<₽— комплексным числом, равным отношению комп-ле ого напряжения на зажимах данного элемента к комплексному току этого элемента:
Z= Ujl=R + jX= Ze\	(0.2.11)
где U и 1—комплексные действующие значения напряжения и тока; R — вещественная часть комплексного сопротивления Z, равная резистивному сопротивлению цепи; X—мнимая часть Z, равная реактивному сопротивлению цепи; Z— модуль комплексного сопротивления цепи, равный полному сопротивлению цепи; ср — аргумент Z, равный углу сдвига фаз между напряжением и током.
Отношение комплексного тока в данной цепи к комплексному напряжению на ее зажимах называется комплексной проводимостью электрической цепи
Y=i)U=G-jB= Уе"7(р,	(0.2.12)
где G, В — вещественная и мнимая части У, равные резистивной и реактивной проводимостям цепи; У—модуль комплексной проводимости цепи, равный полной проводимости цепи; ср — аргумент У, равный углу сдвига фаз между напряжением и током, взятому с обратным знаком.
54
Рис. 0.2.2
Комплексная проводимость обратна комплексному сопротивлению цепи
r=l/Z.	(0.2.13)
Классификация активных элементов для цепей переменного тока та же, что и для цепей постоянного тока, а именно: а) независимые и б) зависимые источники энергии.
а.	Независимые источники энергии. Активные элементы цепи синусоидального тока.
Идеальный источник синусоидальной электродвижущей силы с ЭДС е = Ет sin (cdZ + ф) (его амплитуда Ет и начальная фаза ф) можно полностью охарактеризовать, задав комплексную ЭДС Ё=Е^(E=EmlyjX) (рис. 0.2.2,б).
Источник синусоидальной ЭДС (реальный, с внутренним сопротивлением) может быть изображен в виде схемы, содержащей последовательно соединенные ЭДС Ё и внутреннее сопротивление Z (рис. 0.2.2, в).
Идеальный источник синусоидального тока /=Jmsin(a)r + ^) полностью определяется комплексной амплитудой тока jm и начальной фазой его комплексный ток J = (J = Jm/л/2). Внутренняя проводимость идеального источника тока равна нулю, внутреннее сопротивление бесконечно велико (рис. 0.2.2, г).
Источник синусоидального тока (реальный, с внутренней проводимостью У) может быть изображен в виде схемы, содержащей параллельно соединенные источник тока J и внутреннюю проводимость У (рис. 0.2.2, Э). На рис. 0.2.2, а — д указаны положительные направления тока, ЭДС, напряжения.
Переход от схемы источника ЭДС (рис. 0.2.2, в) к эквивалентному источнику тока (рис. 0.2.2, д) и обратно осуществляется по формулам
)=Ё17. Y=\fZ.	(0.2.14)
б.	Зависимые источники. Такими источниками являются ИНУН, ИНУТ, ИТУН, ИТУТ (см. гл. 1, 3, рис. 0.1.2 и 0.3.1).
55
8.	Закон Ома. Для не содержащего ЭДС участка цепи, сопротивление которого Z (см. рис. 0.2.2, а), закон Ома имеет вид	~
и= йа„ = - uba = va-v„=iz.	(0.2.15а)
Для ветви, содержащей ЭДС и элементы сопротивлений (например, для ветви рис. 0.2.2, в),
/= V„- У„+Ё^(^ + Ё,=Ё-1^,	(0.2.156)
Примеры приведены в задачах 2.21, 2.23.
9.	Законы Кирхгофа. Для записи уравнений по законам Кирхгофа надо выбрать положительные направления всех токов и обозначить их на схеме.
Первый закон Кирхгофа в применении к узлу электрической цепи для мгновенных и соответственно для комплексных токов имеет вид
Е4=о.	(0.2.16)
k=l	к=1
При записи этого уравнения токи, направленные от узла, следует писать со знаком «плюс», а направленные к узлу — со знаком «минус».
Второй закон Кирхгофа применяется к замкнутому контуру цепи и для мгновенных и соответственно комплексных падений напряжения и ЭДС имеет вид
п	п	п	п
Е (Rkik + uLk + uCk)= X	Е 4zfc= Е Ёк, (0.2.17)
к=1	к=1	к=1	к=1
п
где £ IkZk — сумма падений напряжения на комплексных к= 1
сопротивлениях Zk отдельных участков. Со знаком «плюс» берутся те, для которых направление тока совпадает с направлением обхода, а со знаком «минус» — те, для которых направление тока противоположно направлению обхода п
контура; £ Ёк — алгебраическая сумма комплексных ЭДС к — 1
источников ЭДС. Со знаком «плюс» записывают те, положительные направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура, ЭДС, имеющие направления, противоположные обходу контура, записывают со знаком «минус».
При составлении уравнений, по второму закону Кирхгофа, следует выбирать контуры, не содержащие источников тока.
Так, например, уравнение второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и тока, проходящего в
56
одноконтурной цепи, состоящей из последовательно соединенных Л, L и С (рис. 0.2.3), имеет вид
W ---- Ur + Uj U(J.
(0.2.18)
где Ur^IR —падение напряжения на резисторе (0.2.19а);
uL = L	падение напряжения на индук-
Рис. 0.2.3
тивной катушке (0.2.196).
Причем uL = — eL, где ЭДС самоиндукции
т di eL = —L~, L dt
пряжения
i=C—, dt
на
1
z
0
конденсаторе, причем
1 иг = ~
uL dt + i (0); ис — падение на-
idt + uc (0).
о
(О.2.19в)
Запись, соответствующая уравнению (0.2.18) в комплексной форме для действующих значений, имеет вид
IJ= | R + jcoL —J — ) Z= ZZ Здесь
\	соС /	—
Z = R +ju>L-j±=R+j(XL-Xc)=R +jX=
= ^2 + Х2е" = Хе™,	(0.2.20)
I	7	i
где Z = /7?2 + |(dL----—модуль комплексного сопроти-
V	\	«с /
1 coL----
, о)С
вления; ср — arctg-----— аргумент комплексного сопроти
вления.
Обращаем внимание на то, что XL и Хс— положительные величины, а реактивное сопротивление X=XL — XC может быть как положительным (при индуктивном характере ветви, когда XL>XC), так и отрицательным (при емкостном характере ветви, т. е. при XL<XC).
Примеры приведены в задаче 2.31.
10.	Последовательное и параллельное соединение сопротивлений. При последовательном соединении участков цепи комплексное эквивалентное сопротивление равно сумме комплексных сопротивлений отдельных участков
57
Z= f Zk.	(0.2.21)
k= 1
При параллельном соединении ветвей цепи комплексная эквивалентная проводимость равна сумме комплексных проводимостей ветвей п
Z= у Yk.	(0.2.22)
k=l
В частном случае двух параллельно соединенных сопротивлений Zt и Z2 эквивалентное комплексное сопротивление
Z=^i^-.	(0.2.23)
Комплексные токи в каждой из двух параллельных ветвей могут быть рассчитаны через комплексный ток в неразветвленной части цепи' и комплексные сопротивления ветвей по таким формулам:

(0.2.24)
11.	Расчет цепей переменного тока посредством комплексных чисел. Эти расчеты остаются справедливыми для всех методов, применяемых для расчета цепей постоянного тока (см. гл. 1, п. 4). При этом во всех уравнениях, приведенных в гл. 1, ЭДС, напряжения, по-
тенциалы, токи, сопротивления и проводимости должны быть записаны в комплексной форме.
Примеры приведены в задачах 2.31; 2.42; 2.44; 2.46; 2.47.
12.	Комплексная мощность.
Эту мощность определяют так:
S= Ut* = CZZcos ср H-yC/Zsincp = = р+У2 = 5е7ф,	(0.2.25а)
где S=UI, Р = Re [5] = Re [£//*] =
Рис. 0.2.4
Рис. 0.2.5
58
= [//cos ср, 2 = Im[S] = Im [[//*] = [//sinср — полная, активная и реактивная мощности; 7* — сопряженный комплекс тока.
Баланс мощностей
X (ЁкГк + Uk J*) = £ [12к Rk +jll (XLk - ХСк)].	(0.2.256)
k=l	k=l
Здесь Uk — напряжение на источнике тока (оно определяется расчетом внешней цепи по отношению к зажимам источника тока); j*k — комплекс тока, сопряженный току и
источника тока Jk; (ЁкГк) — алгебраическая сумма; к= 1
здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия ЭДС Ёк и соответствующего тока 1к совпадают,	в противном случае слагаемое
п
отрицательно; £ (UkJ*k)— алгебраическая сумма; здесь к= 1
положительны те из слагаемых, для которых напряжение на источнике тока Uk и его ток jk совпадают по направлению (как, например, на рис. 0.2.2, б), в п
противном случае слагаемое отрицательно; £ (IkRk) — k = i
арифметическая сумма; здесь должны быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.
Примеры приведены в задачах 2.23; 2.44.
13.	Переход от последовательной схемы (рис. 0.2.4, а) к эквивалентной параллельной схеме (рис. 0.2.4, б). Этот переход осуществляется по формулам
r==z R = R п *	= X'
r2+x2 z2’	r2+x2 z2’
Y = JG2 + B2 =   1	= 1.
V	./rW Z
(0.2.26a)
При переходе от параллельной схемы к эквивалентной последовательной ее параметры определяют по таким формулам:
в .
У2’
(0.2.266)
G _G . v_ в g2 + b2~Y2^	~g2 + b1
14.	Частотные характеристики. Единицы измерения частотного интервала. В электрических схемах (рис. 0.2.5, а — в) выделим два зажима, называемые входными (1,1'), к
59
которым подключен источник напряжения, и два зажима, называемые выходными (2,2'), к которым подключена нагрузка.
а.	Отношение выходной величины к входной, выраженных в комплексной форме, называется передаточной функцией цепи
где Л (у со), В (у со) — выходная и входная величины. Если под входной и выходной величинами понимают входное и выходное напряжения, то получают передаточную функцию цепи по напряжению
ЯО’со)^/^.	(0.2.27)
Комплексную величину Я(усо) представим в показательной форме
Я(усо) = Я(со)е7'е(оз),
где Я (со) — отношение модулей выходной и входной величин; 0 (со) — аргумент комплексного числа Я(усо).
Функция Я (со) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) цепи, а функция 0(со) — фазочастотной характеристикой цепи (ФЧХ). Кроме передаточной функции напряжения, используют передаточные функции: тока	взаимной проводимости Ki2=Z2/I^i,
взаимного сопротивления Zi2 = C72//1.
Наряду с фазочастотной используется и характеристика «запаздывания». Запаздывание характеризует наклон ФЧХ в какой-либо точке и определяется как первая производная ФЧХ:
т3(со) = Я0(со)/Ясо.	(0.2.28)
б.	При изменениях амплитуд в широких пределах пользуются логарифмическим масштабом, для чего вводятся логарифмические единицы измерения — децибел (Z>, дБ) и непер (А, Нп):
D (со) - 201g А (со) / В (со),	(О.2.29а)
А (со) = In А (со) / В (со).	(0.2.296)
Для перевода децибелов в неперы и обратно служат соотношения
1 дБ = 0,115 Нп или 1 Нп = 8,69 дБ.	(0.2.30)
В технике электрической связи для расчета модулей двух комплексов одной и той же величины при двух разных частотах используют еще и следующие понятия: октава и декада — единицы измерения частотного интервала.
Октава равна интервалу между двумя частотами, ло
60
гарифм отношения которых при основании два равен единице, что соответствует отношению частот, равному двум.
Декада равна интервалу между двумя частотами, десятичный логарифм отношения которых равен единице, что соответствует отношению частот, равному десяти.
Число децибел на октаву—это двадцать десятичных логарифмов отношения модулей одной и той же величины при изменении частоты в два раза (дБ/окт), (Нп/окт):
в (со)окт = 201g А (2го) / А (со)
ИЛИ
7V(co)OKT = ln А (2со)/ А (со).	(0.2.31)
Если задан интервал частот ш1 — соо, то согласно определению число октав D можно найти из формулы соt/соо = 2D, откуда D = log 2 со1/соо = 3,321gсо1/соо октав.
Число децибел на декаду — это двадцать десятичных логарифмов отношения модулей одной и той же величины при изменении частоты в десять раз (дБ/дек), (Нп/дек):
D (со)дек = 201g А (1 Осо) / А (со)	(0.2.32)
или
N (®)дек = In А (1 Осо) / А (со).
Из приведенных формул следует, что 1 декада = 3,32 октавы, а 1 октава = 0,301 декады.
Пример приведен в задаче 2.64.
15.	Комплексное сопротивление пассивного двухполюсника. Это сопротивление содержит активные и реактивные элементы и определяется выражением
£(„\_А(р)_ ^Р^^-хР^Ч ... +акрк+ - + aiP + a0
В(р) bmpm-hbm-1pm~1-h ... +bkpk+ ... + Z>1p + Z>0’
где p=j&. а ак и Ьк — вещественные коэффициенты, зависящие от элементов схемы двухполюсника. Для любых двухполюсников коэффициенты п и т не могут отличаться более чем на единицу, поэтому возможны случаи п — т = +1 либо п = т\ кроме того, а0 или Ьо могут равняться нулю.
16.	Эквивалентные двухполюсники. Это двухполюсники различной структуры, имеющие одинаковые частотные характеристики. В табл. 0.2.3 приведены некоторые схемы и условия их эквивалентности.
Пример дан в задаче 2.76.
17.	Обратные двухполюсники. Эти двухполюсники с сопротивлениями Z и Z', произведение которых является действительным положительным числом R2, не зависящим от частоты (постоянно):
ZZ=R2.
(0.2.36)
61
Таблица 0.2.3
Сопротивление Z' = T?2/Z называется обратным сопротивлению Z в отношении R2.
Пример приведен в задаче 2.81.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А; МГНОВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА, НАПРЯЖЕНИЯ, МОЩНОСТИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
2.1.	Построить кривые изменения напряжения и тока во времени и начертить векторы, изображающие заданные синусоидальные функции:
и= 100 sin (157r + Ti/10) В; д = 5 sin(157 / — п/8) А.
Чему равен сдвиг фаз между напряжением и током? Определить период, частоту, моменты начала положительных полуволн напряжения и тока. Какой вид примут уравнения для заданных напряжения и тока, если фазу, равную нулю, принять для тока? Для этого случая построить синусоиды напряжения и тока, векторную диаграмму.
Решение. Синусоиды и и i и соответствующие им векторы изображены на рис. 2.1, а.
Период T=2ti/co = 2 • 3,14/157 = 0,04 с, частота f—\JT= = 1/0,04 = 25 Гц.
Ток по фазе отстает от напряжения на угол
cp = 7i/10 — ( — тг/8) = 9тг/40 рад(40°30').
Моменты начала положительной полуволны напряжения и тока
62
t' = — я/(10со) = - 1/20 • 2тг/со = - T/20 = -0,002 c = -2 мс;
t" = я/(8со) =1/16- 2я/со = Г/16 = 0,0025 с - 2,5 мс.
При начальной фазе тока, равной нулю, уравнения для напряжения и тока примут такой вид: и' =100sinх х(157/ + 9я/40) В; z' = 5sin(157/) А.
Кривые и', i' и соответствующие им векторы U'm и Гт изображены на рис. 2.1, 6.
2.2.	Напряжения и токи изменяются во времени по следующим законам:
a)	zz1 = 300sin(co/ + n/4) В, z\ = sin(со£-Ьтг/6) А, со = 314с“1;
б)	z2 = 5sin(co/ + 7i/3) мА, z3 = 3 sin (со/ — я/3) мА, со = 6,28 х х 105 с-1.
Построить векторные диаграммы и графики изменения напряжений и токов. Для каждого из случаев найти сдвиг фаз между соответствующей парой синусоидальных функций.
Принимая фазу, равную нулю, для zzt (см. п. а) и z3 (см. п. б) написать уравнения и построить графики напряжений и токов. Для каждого из указанных случаев построить векторы, изображающие соответствующие синусоиды. Найти период, частоту и моменты начала положительных полуволн напряжения и тока.
2.3.	Катушка с резистивным сопротивлением /?=10Ом, индуктивностью L = 0,05 Гн подключена к источнику синусоидального напряжения, действующее значение которого (7=120 В, а частота /=50 Гц. Определить полное
63
Рис. 2.4
сопротивление катушки, ток и сдвиг фаз между напряжением и током. Чему равны активная, реактивная и полная мощности?
Вычислить активную и реактивную составляющие напряжения на зажимах катушки. Чему равна ЭДС самоиндукции, наводимая в катушке? Построить векторную диаграмму напряжений и тока.
Решение. XL = coL = 2л50 • 0,05 = 15,7 Ом;
z=v/7?2+((o£y=x/1°2+15’72=18’6 Ом;
tgcp = (oL//? = 1,57, ср = 57°30';
I=UjZ= 120/18,6 = 6,45 А;
Р = /2Я = 6,452-10 = 416 Вт;
g = /2XL = 6,452 • 15,7 = 653 вар;
S=/2Z = 6,452 • 18,6 = 773 В - А;
= ZR = 6,45 • 10 = 64,5 В;
^ = 7^ = 6,45 15,7= 103 В; EL=-UL=-X03 В.
Векторная диаграмма приведена на рис. 2.3.
2.4.	Для определения резистивного сопротивления R и индуктивности L катушки в цепь переменного тока с частотой /=50Гц присоединены вольтметр, амперметр и ваттметр (рис. 2.4). Приборы дали следующие показания: U =65 В, 1= 5 А, 7=128 Вт. Определить резистивное сопротивление и индуктивность катушки.
4-2.5. При включении индуктивной катушки в цепь постоянного тока амперметр показал 2,5 А, а вольтметр — 30 В. Затем ту же катушку включили в цепь переменного тока частотой f=5 кГц. При этом вольтметр показал 120 В, а амперметр — 6 А. Чему равны резистивное сопротивление R и индуктивность L катушки?
2.6.	К последовательно соединенным реостату сопротивлением 7= 120 Ом и конденсатору емкостью С =30 мкФ подведено напряжение и = 311 sin 314/, В.
Вычислить полное сопротивление цепи, действующие значения напряжений и тока, мощность, расходуемую в 64
Рис. 2.7
цепи, реактивную мощность и разность фаз напряжения и тока. Построить векторную диаграмму напряжений и тока. Решение.
C~(dC
1
314 - 30•10~6
= 106 Ом;
Z=jR2 + X2c = JnQ2+\M2 = \f>Q Ом;
«7=311/^/2 = 220 В; 1= U/Z=220/160= 1,37 А;
Ur = IR=165 В; Uc = IXC = 145 В;
P = I2R = 1,372 • 120 = 226 Вт;
2= -12ХС = —1,372  106= -210 вар;
tg(p= -XcfR = -106/120= -0,885; ср= -41°30'.
Векторная диаграмма приведена на рис. 2.6.
2.7.	* Последовательно с реостатом, имеющим сопротивление Rr = 20 Ом, включена катушка, параметры которой 7? = 6,7 Ом и L = 42,7 мГн (рис. 2.7, а). Определить ток в цепи, разность фаз между напряжением и током, напряжения на реостате и катушке, а также сдвиг фаз между напряжением источника и напряжением на катушке, если [7=220 В. Частота переменного тока /=50Гц. Вычислить активную, реактивную и полную мощности катушки. Построить векторную диаграмму.
Решение.
= 2п 50 • 42,7 • 10" 3 = 13,4 Ом;
ZK = 7т? 2+(соТ)2 = 7б,72 + 13,42 = 15 Ом;
Z3K = 7(^i+^) +(®£)2 = 726,72+13,42 = 29,9 Ом.
Ток в цепи 1= U/Z3K = 220/29,9 = 7,35 А.
Разность фаз между напряжением и током определяют из выражения tgcp3K = co£/(/? + l?1 )= 13,4/26,7 = 0,5; фэк = 26о30'.
Напряжения на реостате и катушке: Ur = IRt = 7,35 -20 = = 147 В; «7K = ZZK = 7,35-15 = 110 В.
* Задачи 2.7 — 2.17 могут быть также решены с помощью комплексных чисел.
3 Заказ 2113
65
Рис. 2.10
Сдвиг фаз между напряжением источника и напряжением на катушке ср найдется как разность фазовых углов фк и фэк (см. векторную диаграмму рис. 2.7, б): tgcpK = coZ/ R = = 13,4/6,7 = 2; фк = 63°30'; ф = фк-фэк = 63с30,-26с30' = 37°.
Активная, реактивная и полная мощности катушки:
Рк = 72Л = 7,352-6,7 = 362 Вт;
ек = 72со£ = 7,352 • 13,4 = 724 вар;
5к=С/к/=Н0-7,35 = 808 В-А.
2.8.	По показаниям трех вольтметров, включенных в цепь (рис. 2.8), определить мощность, расходуемую в индуктивной катушке R, L, если 7?1=20Ом, а показания приборов £7=120 В, L71 = 80B, Е/2 = 60 В.
Указание. Задачу проще решить, если вначале построить векторную диаграмму.
2.9.	Индуктивная катушка, параметры которой ^ = 10,5 Ом, £ = 382 мкГн и конденсатор (с потерями), эквивалентные параметры которого R2 = 3,5 Ом, С = = 0,533 мкФ, соединены последовательно (рис. 2.9). Какое напряжение U приложено к цепи, если амперметр показал ток 7=2,4 А? Частота переменного тока /=5кГц. Определить напряжение на катушке С/кат и конденсаторе с потерями £7К0НД, а также мощность, расходуемую в каждом из этих элементов. Построить векторную диаграмму напряжений и тока.
Чему равны добротность катушки и конденсатора? Определить угол потерь конденсатора.
66
Замечание. Напомним, что добротностью катушки называется величина, равная отношению Ql = w>L!а добротностью конденсатора Qc=\/(wCR2)-
Углом потерь называют угол 8 = я/2 — |ф|, где ср — разность фаз тока и напряжения на конденсаторе с потерями.
2.10.	Для определения параметров эквивалентной схемы пассивного двухполюсника АВ	измерены на-
пряжения Ur—26 В, ток Д=4А и мощность Рх=40Вт. Для определения характера эквивалентного реактивного сопротивления этого двухполюсника последовательно с ним включили конденсатор (рис. 2.10, б); в этом случае при том же приложенном напряжении приборы показали /2 = 5,53А и Р2 = 76,5 Вт. Частота переменного тока /=50 Гц. Определить параметры эквивалентной схемы двухполюсника.
Решение. Параметры эквивалентной схемы двухполюсника по исходным данным (первый опыт)
Яэк = ЛМ1=40/42 = 2,5 Ом; Z3K =	= 26/4 = 6,5 Ом;
IтэкI = y/Z^-R^ = у/б,52-2,52 = 6 Ом.
Из данных второго опыта найдем
Z=[71/72 = 26/5,53 = 4,7 Ом;
|Х\ = y/Z2-R2K = 74,72-2,52’ = 4 Ом.
При неизменном напряжении, подключенном к цепи, и постоянном резистивном сопротивлении ток 12 оказался больше тока Ц. Введенное дополнительное емкостное сопротивление уменьшает общее реактивное сопротивление цепи. Это значит, что Хэк имеет индуктивный характер. Значение £зк = Уэк/ш = 6/314 = 19,1 мГн.
Неизвестное значение дополнительно введенного емкостного сопротивления Хс можно определить следующим путем. Установлено, что Хзк=±6Ом, а так как характер полного реактивного сопротивления заранее неизвестен, то Х= + 4 Ом или Х=— 4 Ом. Из данных второго опыта следует, что — ХС + ХЗК = Х отсюда получаем, что Хс = 2 Ом или Хс= 10 Ом.
Укажем, что для определения характера эквивалентного реактивного сопротивления двухполюсника Хэк неизвестное значение дополнительно вводимого емкостного сопротивления Хс должно быть меньше 2ХЗК. Это можно видеть из рис. 2.10, в и г, на которых начерчены векторные диаграммы сопротивлений, соответствующие второму опыту. Для Хзк>0 и при |ХС|<|2ХЭК| |ф1|<|срэк| (рис. 2.10, в), а при Хэк<0 I Ф2 I > I Фэк I (рис. 2.10, г). Если взять | Хс | > | 2АЗК |, то каждый из углов | ср! | и | ср21 больше | срэк |.
Если значение дополнительно вводимого сопротивления Хс заранее известно, то оно может быть взято и более 2ХЭК.
2.11.	Решить предыдущую задачу по данным опытов в двух случаях:
67
Рис. 2.12
Рис. 2.13	Рис. 2.15
1)	первый опыт: Ut = 120 В, Z1=4,3 A, Pt = 370 Вт; второй опыт: U2 = 120 В, /2 = 1,31 А, Р2 = 34,4 Вт;
2)	первый опыт: [^ = 120 В, /1=4.3А.	= 370 Вт;
второй опыт: U2 = 120 В, /2 = 2,21 А, Р2 = 97,8 Вт.
При проведении вторых опытов каждый раз вводилось емкостное сопротивление, равное 70 Ом.
2.12.	Приборы, подключенные к пассивному двухполюснику АВ (на рис. 2.12 контакт К разомкнут), показали С7х = 100 В, Д = 2А, Р± = 160 Вт. Для определения характера реактивного сопротивления двухполюсника параллельно ему был подключен конденсатор (контакт К замкнут), емкостное сопротивление которого 1/соС=100 0м, при этом приборы показали: С/2=100 В, /2 = 2,73 А, Р2 = 160Вт. Определить эквивалентные параметры двухполюсника.
Решение. Сопротивления последовательной схемы двухполюсника:
R =	= 160/2 = 40 Ом; Z= [///=100/2 = 50 Ом;
|X| = Vz2-7?2 = \/502-402 = 29 30 Ом-
Параметры его параллельной схемы по (0.2.26а) равны:
G= /° = 0,016 См; |Я| = -/-°- - = 0,012 См.
402 + 302	’	’ 1 1 402 + 302
Проводимость конденсатора 5с = свС = 0,010 См.
Параметры эквивалентной схемы, состоящей из двухполюсника и конденсатора:
Яэк = 160/2,732 = 21,6 Ом; Z3K= 100/2,73 = 36,7 Ом;
Тэк = 736,72-21,62 = 29,7 Ом; Сэк = —-г = 0,016 См;
эк V ’	’	’	’ эк 21,62 + 29,72
29 7
| Вэк I =-= 0,22 См.
1 эк| 21,62 + 29,72
Так как | Вэк | = | В | + Вс, то реактивное сопротивление исследуемого двухполюсника имеет емкостный характер.
68
Тот же результат вытекает и из следующих сображений. Так как при том же напряжении ток после подключения конденсатора стал больше, чем до подключения, то общая проводимость цепи увеличилась. Это может быть в том случае, когда реактивная проводимость подключаемой ветви Вс имеет тот же характер, что и заданная реактивная проводимость В двухполюсника, при условии, что |ВС|<|2В|.
2.13.	Линия передачи электрической энергии (рис. 2.13) обладает резистивным сопротивлением /?л = 15 Ом и индуктивностью £ = 0,191 Гн. В конце этой линии присоединен приемник энергии, потребляющий мощность Р = 84кВт при напряжении 672 = 5,1 кВ и coscp2 = 0,8(cp2>0). Частота тока /=50Гц. Определить напряжение источника подключенного к началу линии, а также падение напряжения и потерю напряжения в линии. Чему равен КПД линии передачи электрической энергии?
2.14.	Генератор, питающий линию передачи электрической энергии, отдает мощность Pt = 2,7 кВт. Напряжение генератора Ur = 3 кВ. Параметры линии передачи: 7?л = 20 Ом, Хл = 60 Ом. Мощность, потребляемая приемником, подключенным в конце линии, Р2 = 22,5 кВт. Определить параметры приемника.
2.15.	По показаниям трех амперметров, включенных в цепь (рис. 2.15), определить мощность, расходуемую в ветви, состоящей из последовательно соединенных Rr и Lt. Показания приборов, А — 6,5 А; А1 —3,5А, А2 — 4 А. Сопротивление Т?2 = 30 Ом.
Указание. Задачу проще всего решить, если сначала построить векторную диаграмму.
2.16.	По показаниям приборов, включенных в цепь (рис. 2.16, а), определить ток, проходящий в неразветвленном участке цепи, сопротивление каждой ветви и полное сопротивление цепи. Заменить данную цепь эквивалентной последовательной цепью 7?эк, Хэк. Построить векторную диаграмму. Дано: U= 120 В, Ц = 3 А, /2 = 6А, Д = 2А.
Указание. Решение целесообразно начать с построения векторной диаграммы (рис. 2.16, б).
Рис. 2.16
69
Рис. 2.17
2.17.	Для определения параметров конденсатора с потерями его подключили к источнику синусоидального напряжения U= 19,5 В (/=50 кГц). При этом амперметр показал ток 7=0,3 А, а ваттметр — мощность Р= 153 мВт. Определить 7?1? и Т?2, С2 двух схем рис. 2.17, а и б, эквивалентных конденсатору с потерями. Чему равны тангенс угла потерь указанного конденсатора и его добротность?
Решение. Определим сдвиг фаз между напряжением U и током Г.
Р 153-103
cos(p = —=1д3-— =0,0262; ф=-88°30'.
ж UI 19,5 0,3	ж
Знак (р отрицателен, так как цепь состоит из резистивного сопротивления и емкости.
Из схемы рис. 2.17, а видно, что Р= (77coscp = UIa. Найдем активную составляющую тока
7а = 7>/(7=0,153/19,5 = 7,85 • 10”3 А = 7,85 мА.
Так как
Ia = UGY = U/R, = 7,85 • IO-3 A, то
R. = u/Ia = (19,5 • 103) / 7,85 = 2 • 48 • 103 Ом = 2,48 кОм.
Если реактивный ток 7р = 7sinф = 0,3-0,99966^0,3 А, а
I= UBc=U&C1 =0,3 А, то С=------------------г = 4910-9Ф.
р с 1	19,5-6,28 50 -103
Для схемы рис. 2.17, б:
Я2 = р/Г = (15,3 10~3)/0,32 = 1,7 Ом;
Z= и 11= 19,5/0,3 = 65 Ом;
|Х21 = y/Z2-Rl = ^/б52-1,72 = 65 Ом.
Отсюда
Х2 = 1/соС2 = 65 Ом; С= 1/(65-2я-50-103) =
= 49 10"9 Ф = 49 нФ.
Угол потерь и его тангенс соответственно равны:
5 = 90° — | <р | = 90° — 88°30' = 1 °30';
70
tg 5 = tgl°30' = 0,0262.
Для схем рис. 2.17, а и б даны соответствующие векторные диаграммы на рис. 2.17, в и г.
Добротность конденсатора
ес = |У2|/7?2 = 65/1,7 = 38 (или QC=BC/Q).
Б. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ
КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН.
АКТИВНАЯ И РЕАКТИВНАЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА.
СОЕДИНЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ.
МОЩНОСТИ. ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ
2.18.	Записать в показательной, тригонометрической, алгебраической формах выражения комплексных действующих значений тока и напряжения, мгновенные значения которых и= 100 ^/2 sin (coZ+15°) В; i = 5 ^/2 sin (coz — 20°) A.
2.19.	Представить в показательной форме следующие комплексные числа:
1)	3,2 ±у 1,25; 2) 1,25 +j 3,2; 3) - 3,2 +j 1,25; 4) —1,25 + ±7'3,2; 5) 3,2+jl2,5; 6) 3,2-7’0,125; 7) 0,125+7'3,2;
8) -0,125+7’3,2; 9) 0,32-7 1,25; 10) 23+7’0,06.
Записать в алгебраической форме следующие комплексные числа:
11)	32е±7,9°; 12) 32е±771°; 13) 32е±7'|6Г; 14) -32е±7'2°зу;
15) 32е±78Г2У; 16) З2е7°°34'; 17) 32е--'°°12'; 18) 32е7'92’зу;
19) 32е->177 25'; 20) 7,3е-/86°40'; 21) 150e/l91”; 22) 28е~'97ЭТ;
23) е7; 24) 10е~'°’5.
2.20.	Приборы, подключенные к цепи (рис. 2.20), дали следующие показания: (7=65 В, 1=5 А, Р=300 Вт.
Вычислить комплексные сопротивления Z и проводимости Y цепи для случаев: а) <р>0; б) <р < 0.
Решение. Модуль сопротивления и его аргумент определяют по формулам: Z= (7/7 = 65/5 = 13 Ом; cos(p = P/(77 = = 300/65-5 = 0,923, ф=±22°40'.
Искомые комплексные сопротивления и проводимости цепи:
а)	<р > 0:
Z=Ze7<₽ = 1 Зе '22’40' = 13 cos 22°40' +j 13 sin 22°40' =
= 13 -0,923+7 13-0,385 = (12+7’5) Ом;
Y= 1/Z= l/Be722'40' = О,О77е_/22 40’ = (7,1 -7’2,96)  10 ’2 См;
71
Рис. 2.20
б)	ср<0:
13е“/22 40 =(12—у5) Ом; Г=(7,1+;2,9б) • 10~2 См.
2.21.	Комплексное напряжение и ток пассивного двухполюсника равны:
(7=(80+/60)В и /=(24—/7) А.
Вычислить комплексные сопротивление Z, проводимость Y и указать, каковы эквивалентные параметры двухполюсника. Чему равен сдвиг фаз между напряжением и током? Определить активную и реактивную составляющие напряжения и тока, активную, реактивную и полную мощности. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
Решение. Запишем комплексные напряжение и ток в показательной форме и изобразим их на векторной диаграмме (рис. 2.21):
£7=^/802 + 602 e 'arctg60/80 = 100еу36°50' В (Ф[; = 36°50');
/= ^242 + 72 е -'arctg7/24 = 25е ~j|6°15' А (ср7 = — 16° 15').
Комплексное сопротивление определим по формуле (0.2.11):
Z =Л=100е':: = 4е'53'5' = (2,4 +j3,2) Ом.
— I 25е~7 6 5	v J 7
Следовательно, эквивалентными параметрами цепи являются резистивное Л = 2,4 Ом и индуктивное Xl = 3,2Om сопротивления, соединенные последовательно.
Комплексную проводимость цепи определяют по формуле (0.2.13):
Y = 1 /Z = 1 / (2,4 +у 3,2) = (0,15 —у 0,2) См.
Эквивалентные параметры цепи: резистивная С = 0,15 См и реактивная (индуктивная) В = 0,2 См проводимости, соединенные параллельно.
Угол сдвига фаз между напряжением и током (он же аргумент Z)
ф =	- ф/ = 36°50' - (- 16° 15') = 53°5'.
72
Резистивные и реактивные составляющие напряжения и тока:
Ua = Ucos ср = 100 cos 53°5'« 60 В;
С7р = sin ср = 100 sin 53°5' 80 В;
/а = /cos ф = 25 cos 53°5' 15 А;
/р = /81пф = 25 sin 53 5'^20 А.
Необходимо обратить внимание на то, что вещественные и мнимые составляющие комплексных напряжения и тока в общем случае отличаются от их активных и реактивных составляющих.
Активная, реактивная и полная мощности:
P=I2R = 252-2,4 = 1500 Вт=1,5 кВт;
Q = I2Х=252 -3,2 = 2000 вар = 2 квар;
£=[//=100 -25 = 2500 В -А = 2,5 кВ А.
Те же мощности можно определить по формуле (0.2.25а): 5=Р+У2=[//* = (80+у60)(24+у7)= 1500+J2000.
2.22.	Дать ответы на вопросы предыдущей задачи при:
а)	[/=( — 40+740) В, /=(2+74) А;
б)	[7= — 100е-м/6 В, /=(7+724) А.
2.23.	Последовательно с катушкой, параметры которой /? = ЗОм, /> = 25 мГн, включен реостат сопротивлением /?1 = 10 Ом (рис. 2.23, а). Определить напряжение на катушке [7К, его сдвиг фазы по отношению к приложенному напряжению, а также мощность, расходуемую в катушке. К цепи подведено напряжение [7= 120 В, /= 50 Гц. Построить векторную диаграмму напряжений и тока.
Решение. Комплексное сопротивление всей цепи
Z = /? + /?1+7co£= 13+77,85 = 15,2еу31°5' Ом.
Направим вектор U по оси вещественных чисел, т. е. [/=[/= 120 В.
Из формулы (0.2.15а) комплексный ток
1= U/Z= 120/15,2е/315 =7,9е ->3,°5' А.
Напряжение на катушке
t7K = /ZK = 7,9e'3l5(3+/7,85) =
= 7,9е -/ЗГ5' • 8,4е/69°5' = 66,4еу38 В.
Оно сдвинуто по фазе по отношению к приложенному напряжению на угол (р = 38°. Векторная диаграмма приведена на рис. 2.23,6.
Мощность, расходуемая в катушке, Рк = ВеГ{7к/*1 = = 66,4е'38 -7,9е'315' = Re[525e'69 5'] = 525cos69°5' = 187 Вт.
73
Рис. 2.25
Та же мощность может быть подсчитана и другим путем: Рк = /27? = 7,92 • 3 = 187 Вт.
2.24.	Последовательно с резистором, сопротивление которого 7^ =40 Ом, соединена индуктивная катушка с сопротивлением R2 = 20 Ом. Через катушку проходит ток 1=2 А, а общее напряжение, приложенное к цепи, 77=122 В. Частота тока /=50кГц.
Определить индуктивность катушки.
2.25.	Какое напряжение приложено к цепи (рис. 2.25), если амперметр показывает то 7=0,8 А, а сопротивления ее элементов 7^ = 12 Ом; 1/соС1 = 5 0м; 7?2 = 132Ом; 1/соС2 = 12 0м?
2.26.	В цепи (рис. 2.25) напряжение Ur на участке 7?1? С\ равно 24 В. Дано: 7^ = 30 Ом, 7?2 = 40Ом, С\ = 5мкФ, С2 = 1мкФ. Угловая частота со = 5000 с-1. Чему равно напряжение, приложенное к цепи?
2.27.	К напряжению U= 127 В подключены последовательно соединенные катушка индуктивности (Т^МООм, Xl = 50 Ом) и конденсатор с потерями (Т?2 = 1 Ом, Хс = 30 Ом). Определить комплексные напряжения на катушке U\ и конденсаторе U2 и сдвиг фаз между ними (рис. 2.27).
2.28.	Параметры цепи, изображенной на рис. 2.28, а, имеют следующие значения: 7^ = 8 Ом, Л\=6Ом, 7?2 = 12Ом, ХС2 = 5Ом. Определить эквивалентное сопротивление параллельных ветвей. Вычислить комплексные токи 7, Ц, 72 и мощность, потребляемую цепью, если U = 130 В. Найти напряжение между точками а и Ь. Построить векторную диаграмму.
Решение. Эквивалентное сопротивление вычислим по программе № 6 из приложения П1. Для этого согласно инструкции набираем программу, далее F АВТ и заносим в регистры памяти: 3 = Р0, 3 = Р1, 6 = Р4, 6 = Р5, At = 8 = P7, А\=6 = Р8, /?2 = 12 = Р9, Х2=-5 = РЛ, 0 = РВ, 0 = РС, В/О С/П калькулятор ведет счет, и в регистре X прочитываем значение Ro = 6,364; С/П, и в регистре X читаем значение XQ = 1,2817. Итак, Z3K = 6,364+j 1,2817.
74
Рис. 2.27
Рис. 2.28
Тот же результат получим по формуле
(8+7'61(12 — j 5)
Z,K =------= '—J—^-----===6,364+7'1,2817 Ом.
- Zl+Z2 20+71
Расчет токов: Примем й= [/=130 В, тогда
1 -+=J2L= 10,4-7'7,8 = 13е '36 5<у А;
1 Z, 8+/6
/, = — = 130 = 9,23 +/3,846 = 1 Ое722 40' А;
Z2 12-7'5
/ = 71+;2 = 19,6З-73,964 = 20е-7" 25’ А.
То же значение Z)K (с точностью до третьего знака) будет получено, если взять отношение
Z.)K = U[ 7 = 130/20е J1125 = 6,5е~j 11 25' Ом.
Мощность, потребляемая цепью,
Р = Re [Ш* ] = Re [130 • 20е71120 ] = 130 • 20 cos 11 °20' = 2550 Вт.
Проверка показывает, что
7) = 727?1+72 R2 = 132 • 8 + 102-12= 1352+1200^2550 Вт.
Найдем напряжение между точками а и Ь'.
vd- v«= vd-vh= i/db=i2(-jxC2).
Вычитая первое выражение из второго, найдем
^ = (К/-ИЛ)--(^-Ий) = 72(-уХС2)-71А1 =
= -j 5 (9,23 + j 3,84)- 8 (10,4-j7,8) = - 6,4 +j 16,2 = 66e'165 5()' B.
Для построения векторной диаграммы поступаем так: на. основании проведенного расчета откладываем векторы токов 11? 12 и 1; векторы составляющих напряжения на отдельных участках цепи отложены на диаграмме в том же порядке, в каком следуют на схеме соответствующие элементы цепи (рис. 2.28, б).
2.29.	Определить токи во всех ветвях цепи, показанной на рис. 2.29, при £7=100 В, Л^ПОм, А\ = —16 Ом, ^2 = ?Ом. Х2=—24 0м. Построить векторную диаграмму.
а.	Определить показание вольтметра при условии, что током, проходящим через вольтметр, можно пренебречь
75
Рис. 2.29
Рис. 2.30
Рис. 2.31
по сравнению с токами ветвей. Чему будет равно показание амперметра, включенного вместо вольтметра между точками а и Ы
б.	Что покажет вольтметр, если сопротивления R2 и Х2 поменять местами?
2.30.	Найти токи в ветвях и неразветвленной части цепи (рис. 2.30), если приложенное напряжение (/ = 220 В, а сопротивления = 55 Ом, R2 = 7 Ом, Х2 = 24 Ом, Х2 — — 44 Ом. Построить векторную диаграмму.
2.31.	В цепи (рис. 2.31, а) дано: (7=120 В, Z1 = R1-\-jX1 = = (10+j6) Ом; Z2 = R2+jX2 = (24-j7) Ом; Z3 = 7?3+jX3 = (15 + +j20) Ом. ~
Определить токи Д, /2, 73, активные и реактивные мощности всей цепи и отдельных ветвей. Построить векторную диаграмму.
Решение. Полное сопротивление цепи
z = Z, + ьь -1 о +J 6+=
~ — Z2 + Z3	394-7’13
= 24,4+j 10,8 = 26,7е>23’55' Ом.
Для определения Z можно также воспользоваться программой № 6, к результатам расчета прибавить Zt.
В неразветвленной части цепи проходит ток
=	= 120/26,7е/23>55' = 4,5е -у2Г55' А.
Токи в параллельных ветвях могут быть выражены через ток в неразветвленной части цепи [см. формулы (0.2.24)] 76
i2 = I1	=4,5е -/23"55’Ц+Л9 = 2,74е710’45' А.
2	Z2 + Z3	39+J13
/ = / -2 = 4 5е ' 5 У ^721 = 2,74е ->58°35' А.
3	Z2 + Z3	39+J13
Токи /2 и /3 можно найти и другим путем:
 Uab = Л Zab = 4	=4,5е -'23 55'(24~>7)(.15+>20) =
z2 + z3	39+J13
= 68,4e/5W В;
j = 68,4е.75” = 2,74е'104у А-
2 z2
;	^ = 68,4е^^=	;5У35. А
3 z3 15+720
Найдем мощности (активные) всей цепи и отдельных ее ветвей:
Р = Re [Ui\ ] = Re [120 • 4.5с '23 55 ] =
= 120-4,5cos23°55' = 494 Вт;
P1=/2R1=4,52-10 = 202 Вт; Р2 = I22R2 = 180 Вт;
P3 = j2r3 = ц2 Вт.
Проверка показывает, что Р=Pt + Р2 + Р3.
Определим реактивные мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:
2 = Im[C7*] = Im[120-4,5e'23 5У] =
= 120-4,5sin23°55' = 218 вар;
е1=/2у1=4,52 -6=122 вар;
23 = НХ3 = 150 вар.
Учитывая, что реактивные положительны, а реактивная	_ _
отрицательна, получим Q = 122 — 52,5 +150 » 218 вар.
На рис. 2.31, б приведена векторная диаграмма. Порядок ее построения следующий: по результатам расчетов отложены векторы токов 119 12 и 13, затем по направлению 4 отложен вектор i1R1 и перпендикулярно ему в сторону опережения — вектор ji1X1. Их сумма дает вектор t1Z1. Далее в фазе с /2 построен вектор I2R2 и перпендикулярно ему. в сторону отставания (так как Х2 отрицательно) вектор jX2I2, а их сумма дает вектор напряжения на параллельном участке \Jab. Тот же вектор можно получить, если в фазе с /3 отложить /37?3 и к нему прибавить вектор jl^X^
Q2 = I2^2=-52,5 вар;
мощности катушек Qx и Q3 мощность конденсатора Q2
77
Рис. 2.32
Рис. 2.33
опережающий /3 на я/2. Сумма векторов и Uab дает вектор приложенного напряжения. .
2.32.	Чему равно напряжение U, подключенное к цепи (рис. 2.32), если известно, что /3 = 2А? Чему равен сдвиг фаз между приложенным напряжением и напряжением между точками а и Ь? Сопротивления Л1=27 0м, А\=—25 0м, Л2 = 30 Ом, Х2 = —18 Ом, Л3 = 20 Ом, Х3 = ЗО Ом. Вычислить активную и реактивную мощности. Построить векторную диаграмму.
Указание. Решение удобно точками а и b (Uab = I3Z3), а
начинать с вычисления напряжения между затем токов /2 и Д и напряжения U.
2.33.	Напряжение на конденсаторе изменяется по закону иС1 = 35^/2 sin соГ В. Написать уравнения мгновенных значе-' ний токов z\, i2 и z, приложенного к цепи напряжения и (рис. 2.33), и построить векторную диаграмму. Параметры схемы: Л1=48 Ом, Хг = — 14 0м, Л2 = 15Ом, Х2= — 20 Ом.
2.34.	В цепи (рис. 2.34) источник тока создает ток г\ = 12 у/2 sin cor А. Сопротивления элементов цепи: coLt = 22,5 Ом, R2 = 40 Ом, со£2 =100 Ом, 1 /соС3 = 20 Ом.
Вычислить действующие значения всех токов и приложенного к цепи напряжения; написать для них уравнения мгновенных значений. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.
2.35.	Параметры цепи (рис. 2.35): Л2 = 40 Ом, Х2 = 100 Ом, Х3= — 20 Ом. Определить значение и характер сопротивления Z1? если известно, что оно чисто реактивно и через него проходит ток ^ = 12 А, а напряжение, приложенное к цепи, U= 30 В.
Решение. Сопротивление разветвленной части цепи \
7 _(40+71QQ)(-j20)
-аЬ 40+J80
= (2-/24) Ом.
Общее сопротивление цепи Z=U/7=30/12 = 2,5 Ом. Оно может быть выражено и так: Z = 4/22±(X1 — 24)2 = 2,5 Ом. Отсюда (Xi —24)2 = 2,25, или Хг — 24= ±1,5.
78
Рис. 2.35
Рис. 2.36
Возможны два решения задачи; искомое сопротивление имеет индуктивный характер и равно либо X\ =25,5 Ом, либо Х1 = 22,5Ом.
2.36.	Каким резистивным сопротивлением R2 следует зашунтировать сопротивление Z1 = R1-\-jX1, чтобы ток, проходящий через Z19 отставал от приложенного напряжения U на 90° (рис. 2.36, а)? Сопротивления: R = 5 Ом, Х=11 Ом, Л1 = ЮОм, А\=25 Ом. Построить векторную диаграмму.
Решение. Обозначим: Z = jR+jX; Z1 = R1+JX1; Z2 = R2,
тогда ZBX = Z+ -1-2 .
gl + Zi
Ток в неразветвленной части цепи
j-u -	^(gi+g2)
ZBX ZZj+Zj Z2 + ZZ2
Через сопротивление Zt проходит ток =----------------и----.
Для того чтобы ток Д отставал по фазе от напряжения U на 90°, знаменатель последнего выражения должен быть чисто мнимым (по знаку положительным) значением.
Выпишем этот знаменатель и выделим в нем вещественную и мнимую составляющие
Z + Z i+	= я + я t+ j (X+X i)+=
z2	Rz
= ( R +RX + RR''^ XX'\+j(x + X x + RX' +R‘X\.
\	R2 /	\	^2	/
Вещественную часть полученного выражения приравняем нулю
79
Рис. 2.40
отсюда
п XX.-RR, 25 11 -5 10
1---1 =---------=15 Ом.
2	R + Rr	5 + 10
Векторная диаграмма представлена на рис. 2.36, б.
2.37.	К напряжению U=40 В подключены два последовательно соединенных комплексных сопротивления Z1=(3+j13)Om и Z2=(10+j40) Ом. Определить, каким чисто емкостным сопротивлением следует шунтировать сопротивление Z2, для того чтобы ток в неразветвленной части цепи (т. е. в сопротивлении ZJ совпал по фазе с приложенным напряжением. Вычислить при этом все токи.
Указание. Комплекс полного сопротивления цепи должен быть вещественным, т. е. мнимую составляющую комплекса полного сопротивления необходимо приравнять нулю.
2.38.	Показать, что при угловой частоте со = 1 / J1LC ток I в неразветвленной части цепи (рис. 2.38) при любых значениях резистивного сопротивления R является величиной постоянной и равняется	а фаза тока (при изменении
R от 0 до оо) изменяется в пределах от +тг/2 до — тг/2.
Какую емкость С следует включить в цепь для регулирования фазы при /=50 Гц? Начертить кривую изменения фазы в зависимости от R при его изменении от 0 до 1000 Ом.
2.39.	Из теории известно, что мост (рис. 2.39) уравновешен, если Z1Z4 = Z2Z3. Пользуясь этим условием, определить емкость С4, при которой ток в \ гальванометре отсутствует. Известно, что 2^=200 Ом, z2 = 100 0m и Z3=— j 120 Ом. Частота переменного тока /=50Гц.
80
2.40.	Для цепи (рис. 2.40, а) вычислить комплексный коэффициент передачи — отношение напряжения U2 на выходе цепи к напряжению Ur на входе цепи. Дано: Rr = 50 Ом, R2 = 150 Ом, ХС1 = 80 Ом, ХС2 = 100 Ом. Зажимы 2—2' разомкнуты.
Каким будет коэффициент передачи, если к зажимам 2—2' подключить резистивное сопротивление: а) 125 Ом, б) 1250 Ом?
2.41.	Вычислить резистивное сопротивление Т?2, которое надо подключить к зажимам 2—2' цепи (рис. 2.40, 6), чтобы отношение напряжения С/2 на этом сопротивлении к напряжению Ur на входе цепи равнялось Н. Числовой расчет проделать при Л^ЮООм, Zc = 50Om, Н= U2/Uy =0,2.
Решение. Входное сопротивление всей цепи
2^  2" [ —2 — 3  Z1;Z2 “bZ2Z3 +Z3Z1
Z2 + Z3	Z2 + Z3
где Zi = Ai, Z2 = R2, Z^2> — —jXc.
Вычислим напряжение U2, для чего сначала найдем токи
у _Ul= £/1(Z24-Z3)
Z Zj Z2 4- Z2 Z3 4- Z3 Zt
T _ T Z3 _ t7xZ3
12 — 1 1	~	’
Z24"Z3 Zj Z2 4-Z2Z3 4-Z3Z1
[>2 = /2z2 =----.
Z1Z24-Z2Z34-Z3Z1	t ZtZ2
£ 1 4~ £ 2 '
Отсюда определим отношение комплексных напряжений
£г
g2
Z,Z2 Z1+Z2+=i=^
Ri
^2
Л + R1 +i 4г2 лс
и отношение модулей напряжений
Ul=*2= я f ч, /«1^2 V
Подставляя числовые значения, после простых преобразований получим квадратное уравнение относительно R2:R 22- 10Л2-500 = 0.
Решение этого уравнения дает значение искомого сопротивления R2 = 28 Ом.
81
В. РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
2.42.	В схеме цепи (рис. 2.42) рассчитать токи, если 2^ = 120 В, £2 = (120+7’10) В, £3 = (70+у25)В,	^=(10+7’30) Ом, Z2 = (15+7’40) Ом,
Z3 = 35 Ом.
Решение. Задачу решаем методом контурных токов, обозначив и выбрав их положительные направления, как указано на рис. 2.42. Контурные уравнения имеют вид
ill(Z1+Z2)-i22Z2 = E1-E2;	(2.1)
-/iiZ2 + /22(Z2 + Z3) = E2-E3,	t	(2.2)
или, подставляя цифровые значения:
(25 +у’7О) Л i - i22 (15 +у40) = 20 -j 10;	(2.1а)
-(15+ у40)Л i + i22 (50 +7’40) = 30-/15.	(2.2а)
Решим эти уравнения с помощью ПМК по программе № 7 из приложения П1, после набора которой нажмем клавиши F АВТ и далее введем В/О: д11=25 = РЛ, />п=70 = РВ С/П, я12 = — 15 = РЯ, />12=—40 = РВ С/П, с11=20 = РД, с12 = — 10 = РВ С/П, «21 = —15 = РЛ, Ь21 =40 = РВ С/П, я22 = 50 = РА Z>22 =40 = РВ С/П, с21=30 = РЛ, с22= - 15 = РЯ С/П. Читаем на табло результат: РХ=хг = Р4 = 3 -4601952 • 10 \ х2 = Р5=—7  6077367 х хЮ’1, У1 = Р7 = 6-7761684-Ю-1, j2 = P8=—7-9350991 • 10-1.
Таким образом неизвестные токи (приближенно) равны: x = l\1+jl\1 = = Д 1= (3,46 • 10 ~1 -7’7,61 • 10 ~1) А,	у = 122 = I'22 +jl2 = (6,67 • 10 ’ 1 -у’7,94 х
х 10 4)А. Проверка показывает, что найденные неизвестные удовлетворяют уравнениям (2.1а) и (2.2а).
Рис. 2.42
2.43.	Рассчитать токи по. методу контурных о токов в схеме цепи (рис. 2.42). Дано: ^ = 10 В, Ё2 = 10e-J45 В, £3 = 0, = Z2 = (40 + /30) Ом, Z3 = 50 Ом.
2.44.	В цепи (рис. 2.44, а) дано: Zt = Z2 = (5О+уЗО) Ом, Z3 = 100 Ом, Д^ЮОВ, £2 = 100e~j3° В. Положительные направления ЭДС показаны на схеме стрелками. Определить все токи методами: а) контурных токов; б) узловых напряжений, в) методом эквивалентного источника ЭДС определить ток ветви Z2. Проверить баланс активных мощностей.
Решение, а. Выберем направления контурных токов согласно рис. 2.44,6/. Система уравнений по методу контурных токов
Л1 (^i +Z3 ) + /22Z3 — £19
Л1	+ Z22 (Z2 + Z3 ) — Ё2.
82
Рис. 2.44
Решая эти уравнения, получим
• _ EjZ2 + Z3)-E2Z3 _100(150+;30)-100е~73О°-100_ 11"z1Z2+Z2Z3 + Z1Z3 = (50+/30)2 + 2 (50+у'ЗО) • 100 “
= 0,693елз 5О'А;
/22 = £2(gi+g3)~£ig3 =о,452е “J85°20' А.
Zy Z2 4-Z2Z3 + Z1Z3
Токи в ветвях
Л = Л! = 0,693ej13 50' А; /2 = /22 = 0,452е ’j85°20' А;
/3 = /11+/22 = 0,693е'135ОЧ0,452е^85 2О' = 0,77е~'215О'А.
Уравнение баланса мощностей
Re[£1r1] + Re[£27*2] = Z2Z?1 + Z2R2 + 72J?3,
или
Re [100 • 0,693е “>13°50' ] + Re [ЮОе " j30° • О,452е'85°20' ] = = 69,3 cos 13°50' + 45,2 cos 55°20' = 0,6932 • 50 + 0,4522 • 50 + + 0,772-100, или 66,4+25,8 = 24+10,2 + 59, т. е. получено тождество 93,2 = 93,2.
б. При решении задачи по методу узловых напряжений вначале определяем напряжение между точками 7 и 2:
100--— + 100с“'3°-?—
[7 =	= 50+J30---------5О+/ЗО = (7 J ,5 _у28,6) В.
Ь+Ь+Ь 1	,	1 I 1
50+/30 50+730 /100
83
Рис. 2.45
Рис. 2.46
Токи в ветвях находим по закону Ома:
Л = (Ёг - U12) Ti = (100 - 71,5 + у28,6)(0,0147 -у0,00884) =
= 0,693eJ13°5O'A;
12 = (Ё2-и12)У2 = (86,6 —/50 -71,5 +/28,6)(0,0147 -
-/0,00884) = 0,45e ~jS5°20'A;
73 = Ci2 У3 = 77е-721°50'-0,01 =0,77e-j21 50 A.
в. Для определения тока по методу эквивалентного источника ЭДС надо найти ЭДС Ёэк эквивалентного источника ЭДС и его сопротивление Z3K (рис. 2.44,6).
Для определения Ёэк отключим ветвь Z2 (рис. 2.44, в) и вычислим напряжение холостого хода (между точками 3 и Г):
Г =	U12 = i'Z2 = Ёэк =	= (64,2 -у 12,8) В.
4-	Z.	4" Z3
Эквивалентное сопротивление источника ЭДС (рис. 2.44, г)
Z3K=^l^-=^±^H^=(35,9+yl2,8) Ом.
~	Z1+Z3	150+/30 V J ’
Искомый ток (см. рис. 2.44,5)
г _ ^2 ^эк
Z2+Z3K
43,5e-j59°
85,9+j42,8
43,5e-j59° 96ej26 30
= 0,453e-j85 3C),A.
2.45.	Определить токи в схеме цепи (рис. 2.45) методом контурных токов, если 7=0.1 Л. Е'1 = 20В, Л1 = 20Ом, Л2 = ЮООм, Л3 = 50Ом, Хс=100 0м.
2.46.	Рассчитать токи в схеме цепи (рис. 2.46). Дано: ^ = 25 В, Е2 = 20 В, /?у = 100 0м, Я2=ЮООм, Я3 = 25 Ом, Я4=100 0м, 7?5 = 50Ом, 17 = 100 Ом.
Решение. Наиболее экономным является метод узловых напряжений. Примем потенциал точки 3 равным нулю. Запишем систему узловых уравнений
^1Гы-И2Г12 = £1Г1;	(2.1)
~У1Ь1 + ^2Ь2 = Ё2Г2	(2.2)
84
или
(1//?! + 1//?3 + 1/Л54-71/Агс)х
хИ1-(1/Л5+у1/Ус)Й2 = £1//г1.	(2.1а)
. -И/А.5+71/Ус)х	.	.
х V, + (1 /R2 +1 /Я4 +1 /Я5 +/1 /Хс) У2 = E2/R2.
(2.2а) Подставляем в эти уравнения числовые значения и для упрощения умножим правые и левые части каждого из этих уравнений на 100, тогда (7+;1)Г1-(2+у1)Г2 = 25;	(2.16)
-(2+у1)Й1+(4+71)Й2 = 20.	(2.26)
Решим эти уравнения с помощью ПМК по программе № 7 из приложения П1, после набора которой нажимаем F АВТ и далее вводим: В/О ап = 7 = РЛ,
/>12=-1=Р#С/П, с11=25 = РЛ, с12 = 0 = РВС/П, я21 = —2 = РД;~ Z>21 = -1 = = Р5С/П, й22=4 = РЛ, 622 = 1=Р#С/П, г21=20 = РЛ; г22=0 = РЯС/П (последний останов).
Читаем на табло хг = 5,88 (это число хранится в регистре 4), из регистра путем нажатия клавиш ИП5 на табло читаем х2 = 1,6 • 10 1, из регистра 7, нажимая ИП7, имеем >4 =7,8 и, наконец, из регистра 8, нажимая ИП8, получаем у2 = IQ-1-
В результате	= Ki+уИ? = х = (5,88 + 1,6 • 10-1 )В, К2=К'2+/р2 =
=j = (7,8-/4-10~ т) В.
Проверка показывает, что полученные значения удовлетворяют уравнениям (2.16) и (2.26).
Вычислим токи в ветвях по закону Ома (с точностью до трех значащих цифр):
Д	)//?1 = 1,91 • 10“1 —/1,6 • 10“3 А;
Д = (Ё2 - V2 )/R2 = 1,22 • 10“14у4 • 10 ’3 А;
/3 = /2^3 = 2,35 • 10“1 +./6,4 • 10”3 А;
Д = К2//?4 = 7,8 • 10“2+у4 • 10“3 А;
/5 = (^2-^M = 3,84 10-2-j1,12 10-2 А;
4-(Й2-И1)/(-7Тс) = 5,6-10“3+71,92-10-2 А.
Проверка показывает, что уравнения первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 удовлетворяются:
узел 1 Д = Д + Д + Д = 2,352 • 10 “1 +;6,4 • 10 “3;
узел 2 /2 = /4 + Z5 + Zc=1,2210“1+j410“3.
2.47.	Методом эквивалентного источника ЭДС найти ток на закороченном участке 3—4 (см. рис. 2.46). Воспользоваться данными задачи 2.46.
Решение. Для определения тока надо определить ЭДС Еэк эквивалентного источника между разомкнутыми точками 3 и 4 (рис. 2.47, а) и сопротивление Z3K между теми же точками при закороченных Ёх и Ё2 (рис. 2.47, б). Определяем Еэк.
85
Рис. 2.48
Рис. 2.49
Г = £1/(7?1 + 7?3) = 0,2 А; 7" = £2/(£2 + 7?4) = 0,1 А;
И1-К4 = Г/?3 = 5В;
К2-К3 = I"R^= 10 в.
Точки 7 и 2 равнопотенциальны. Вычитая в последних двух равенствах одно из другого, получим К4—Г3 = £зк = 5 В.
Расчет Z3K по рис. 2.47,6
Z3K = ^i^-+-^^+^b^= 160-J20 Ом.
-эк R, + R3 Я2 + Я4 R5-jXc
86
Искомый ток
743 = E3K/(Z34 + Z3K) = 5/(0+160—j'20) = 0,031e~77,12A.
2.48.	Для каждой из цепей (рис. 2.48, а—г) рассчитать токи и найти потенциалы узловых точек, если потенциал точки 1 принять равным нулю. Задачу решить методом контурных токов или узловых напряжений. Кроме того, определить ток в конденсаторе по методу эквивалентного источника ЭДС или тока. На схеме ЭДС даны в вольтах, токи источников тока—в амперах, сопротивления — в омах.
2.49.	Для каждой из частей схем рис. 2.49, а—в, расположенных левее штриховой линии ab, найти ЭДС Ёэк эквивалентного источника ЭДС и его внутреннее сопротивление Z3K (рис. 2.49, г).
Определить ток /н в ветви нагрузки, расположенной правее линии ab. Частота переменного тока /.
Решение. Приведем расчет для схемы рис. 2.49,^.Отключим ветвь правее линии ab (рис. 2.49, Э) и найдем напряжение холостого хода между точками а и й, равное Еэк:
иаЬ^Ёэк=-^=Ч t
R-j Н;+-7Г
усоС соС1/
Сопротивление эквивалентного источника найдем по схеме рис. 2.49, е:
1 / 1 \
—j 1 R—j— I
у _ соСД
-эк 7~\ ГТ'
R~j(—+—
\соС coCi у
Ток в искомой ветви
Ан 4- j^LH + Z3K
2.50.	К источнику ЭДС Е подключена цепь (рис. 2.50), сопротивления которой Zt = Z2 =100 Ом, Z3 = /50 Ом, Z4= —у*50 Ом, Z5 = 200 Ом, Z6 = (1OO+j’1OO) Ом. При разомкнутом контакте вольтметр показывает напряжение, равное 100 В. Найти, чему равна ЭДС Ё. Методом эквивалентного источника определить показание амперметра А при замыкании контакта К.
2.51.	Воспользовавшись преобразованием треугольника в звезду найти все токи в неуравновешенном мосте (рис. 2.51). Приложенное к цепи напряжение £7=130 В. Сопротивления элементов цепи: Zt = 10 Ом, Z2 = J5 Ом, Z3 = j 10 Ом,
87
Z4 = 5Om и Z5=— jIO Ом. Вычислить мощность, расходуемую в цени? Решить задачу методами контурных токов и узловых напряжений. Методом эквивалентного источника ЭДС найти токи /5 и /4, в тех же ветвях найти ток методом эквивалентного источника тока.
Указание. Разобрать решение задачи 1.53.
2.52.	В цепь схемы рис. 2.52 включен источник синусоидального тока, действующее значение которого J= 10 мА. Дано: Z1 = 2kOm, Z2 = 3kOm, Z3=—jIOkOm, Z4 = = (2+j10)kOm и Z5 = 5kOm.
Найти все токи методами контурных токов и узловых напряжений. Определить показание ваттметра и убедиться в том, что оно равно сумме мощностей, расходуемых во всех резисторах цепи.
Методами эквивалентного источника ЭДС и эквивалентного источника тока определить ток в ветви Z4, то же, в ветви Z5.
Указание. Разобрать решение задач 1.39 и 1.53.
2.53.	В цепь (рис. 2.53) включены два источника тока: = 50^/2 sin cdZ мА, i2 = 20^/2 sin coz мА. Дано: 1?1 = 10кОм, R2 = 25 кОм, R3 = 20 кОм и Хс = 34 кОм. Определить все токи. Задачу решить методами узловых напряжений, контурных токов, наложения, преобразования источников тока в эквивалентные источники ЭДС.
Рис. 2.53
88
Г. УСЛОВИЯ ВЫДЕЛЕНИЯ
МАКСИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТИ В НАГРУЗКЕ
2.54.	Сопротивления цепи (рис. 2.54,а)\	1?=10Ом,
Ус = ЗООм, ЭДС Е-100В.
При каком нагрузочном сопротивлении ZH в нем выделится максимальная мощность и чему она равна? Вычислить КПД, т. е. отношение мощности, выделяемой в ZH, к мощности, доставляемой источником Е, и коэффициент передачи Н—отношение напряжения на зажимах 2—2' к Е.
Решение. Часть схемы левее зажимов 2—2' (обведенную штриховой линией) заменим эквивалентным источником. Найдем его ЭДС Ёэк и сопротивление Z3K (рис. 2.54,0. Отключив ZH, определим напряжение холостого хода между точками 2—2\ которое равняется ЭДС Ёэк:
£»=^(-л)=->30^=
= 90-у30 = 95е-;|8 “'В.
Сопротивление эквивалентного источника (рис. 2.54, в)
Z
=/?+
-jXcR
R-jXc
= 10+ 730 10 = (19-/3) Ом. 10-/30 v ’
Максимум мощности выделяется в нагрузке ZH при условии, что это сопротивление комплексно сопряжено с сопротивлением эквивалентного источника, т. е. при ZH = = Z*=(19+/3) Ом. Эта мощность Рнтах = £'^/(4/?н) = = 957(4-19) = 118 Вт.
Рассчитываем мощность, доставляемую источником
_____________________J г'	г'
Рис. 2.54
89
Рис. 2.55
(рис. 2.54, а). Для этого вычислим ток
! -/XC(/?1+ZH)
R1 +
100 j30(29 + /3)
29-jll
= 3,3e _y28‘37'A;
P„ = Re [£7*] = Re [100 • 3,3e~'28 37 ] =
= 100 • 3,3 cos 28°37' = 290 Вт.
КПД т|=^ 100% =—100% = 40,7%.
1 Ри	290
Для расчета коэффициента передачи Н найдем ток
~jXc
н
= 3,3е -/28=37 ^Л0_=2	7.2га. А
’	29-jZl
^l+Xa~jXc
^_L/H_/HZH_2,5e-^8 23'(19+j3)_()	_^25,
ЕЕ	100
2.55.	Для цепи (рис. 2.55) найти сопротивление ZH, при котором в нем выделится максимальная мощность и вычислить ее. Чему равно отношение мощности, выделяемой в ZH, к мощности, доставляемой источником, и коэффициент передачи Н= U2 / Е.
Дано: Е=100В; Я=10Ом; Хс = 20 Ом.
Д. АМПЛИТУДНО- И ФАЗОЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТНОГО ИНТЕРВАЛА
2.56.	Рассчитать АЧХ и ФЧХ последовательной Я£-цепи по данным: 7? = 3 Ом, L = 2 мГн, диапазон изменения угловой частоты от (omin = 2000 с-1 Д° <omax—10000 с~г, равномерный шаг ее изменения Дю =1000 с-1.
Решение. Расчетные формулы
Z = '/R2 + (<s>L)2 = 732 + (2 • 10-3<o)2.
Ниже дана программа расчета с пояснениями.
90
B/O F ПРГ Положение переключателя Р-Г в положении Г
Программа
Адрес команды	Нажимаемые клавиши	Код операции	Содержание операции
00	ИП1	61	Вызов со из регистра 1
01	С/П	50	Останов для индикации частоты
02	ИП2	62	Вызов L из регистра 2
03	X	12	Вычисление со£
04	пз	43	Занесение coL в регистр 3
05	Fx2	22	Вычисление (coL)2
06	ИП4	64	Вызов R из регистра 4
07	Fx2	22	Вычисление R2
08	+	10	Вычисление R 2 + (coL)2
09	rF	21	Вычисление Z = R 2 + (со£)2
10	С/П	50	Останов для индикации Z
11	ипз	63	Вызов coL из регистра 3
12	ИП4	64	Вызов R из регистра 4
13	4-	13	Вычисление отношения coL / R
14	Farctg	1L	Вычисление ср = arctg coL / R
15	С/П	50	Останов для индикации ср
16	ИП1	61	Вызов со из регистра 1
17	ИП5	65	Вызов приращения Дсо из регистра 5
18	+	10	Вычисление нового значения сон =
			= со + Дсон
19	ш	41	Запись сон в регистр 1
20	/-/	0L	Образование ( — сон)
21	ИП6	66	Вызов сотах из регистра 6
22	+	10	Вычисление Д = сотах —сон
23	Fx<0	5С	Окончание расчетов при Д<0
24	00	00	Возврат на начало программы для
			проведения расчетов при сон
25	С/П	50	Останов программы
F АВТ. Вводим в программную память исходные данные: comin = 2000 = Pl, £ = 210-3 = Р2, Я = 3 = Р4,	Д(о=1000 = Р5, сотах =
= 10000 = Р6 В/О С/П. Калькулятор начинает считать и на индикаторе высвечивается comin = 2000, при следующих нажатиях клавиши С/П читаем на табло соответствующие этому comin значения Z=50 0m и ср = 53.1301°, при следующем нажатии С/П получим очередное значение со = 3000 (2000 + Дсо = 2000+1000) и затем соответствующие ему Z = 6.7082039, ср = 63-434949°. Итак, продолжая нажимать клавишу С/П, получим поочередно все значения со и соответствующие ему Z и ср. После окончания всех расчетов на индикаторе высвечивается величина ( —со) = (—1000) и по адресу 25 выполняется команда останова, свидетельствующая об окончании
расчетов по программе.
Результаты расчета сведены в табл. 2.1.
9Г'
Таблица 2.1
(0, с 1	Z, Ом	ср, град	со, с 1	Z, Ом	ср, град
2000	5.	53.1301	7000	14.317821	77.905243
3000	6.7082039	63.434949	8000	16.27882	79.380345
4000	8.5440037	69.443954	9000	18.248287	80.537678
5000	10.440306	73.300755	10000	20.223748	81.469234
6000	12.369316	75.963757			
Составить программу для расчета модуля Z (АЧХ) и фазы ср (ФЧХ) полного сопротивления цепи.
Решение. Расчетная формула та же, что и в предыдущей задаче. Ниже дана программа расчета. Переключатель Р-Г на Г.
В/О F ПРГ
Программа
Адрес команды	Нажимаемые клавиши	Код операции	Адрес команды	Нажимаемые клавиши	Код операции
00	ИШ	61	16	С/П	50
01	С/П	50	17	ИП5	65
02	t	OF	18	ИП2	62
03	2	02	19	4-	13
04	Fxy	24	20	Farctg	1L
05	ИП4	64	21	С/П	50
06	X	12	22	ИП1	61
07	С/П	50	23	ИП6	66
08	ИПЗ	63	24	+	10
09	X	12	25	ИШ	61
10	П5	45	26	/-/	0L
11	Fx2	22	27	ИП7	67
12	ИП2	62	28	+	10
13	Fx2	22	29	Fx<0	5С
14	+	10	30	00	00
15		21	31	С/П	50
FABT					
Распределение памяти: nmin — 0 = Р1; F = 3 = P2; L = 2 • 10-3 = РЗ, comin = = 2000 = Р4, Ди=1=Р6, Дтах = 5 = Р7, В/О С/П. Результаты сведены в табл. 2.2. Обратим внимание, что в программе предусмотрен останов для п и соответствующих ему со, Z, ср.
Г АВТ
Таблица 2.2
п	со, с 1	Z, Ом	ср, град	п	со, с 1	Z, Ом	ср, град
0	2000	5.	53.1301	3	15999.999	32.140315	84.644174
1	4000	8.5440037	69.443954	4	31999.994	64.070262	87.316224
2	7999.9992	16.278818	79.380343	5	63999.986	128.03512	88.657375
92
2.57.	Решить предыдущую задачу, если R = 50 Ом, остальные данные те же.
2.58.	В последовательной FL-цепи F = 3 Ом, £ = 2 мГн, частота со принимает значения, равные 2000, 4000, 8000, ..., 64 000 с-1, т. е. ю = 2000 -2", где п = 0, 1, 2, ..., 5.
2.59.	Рассчитать амплитудно- и фазочастотную характеристики модуля фазы сопротивления последовательной FC-цепи, если R =10,2 Ом, С = 20 мкФ. Диапазон изменения частоты от /тй1=10Гц до /тах=Ю0Гц. Шаг изменения частоты А/=10Гц. Расчетные формулы:
Z = У F2 + (1/2ti/C)2 = У Ю2+ 1/(271-20-10 " 6/)2;
Ф = - arctg 1 /(2nfCR) = - arctg 1 /(2л • 20 • 10 ~ 6 • 10,2/).
В/О F ПРГ. Переключатель Р-Г в положении Г. Далее приведена программа (в сокращенной записи).
00 ИП1; 01 С/П; 02 2; 03 х; 04Гл; 05 х; 06 ИП2; 07 х; 08Fl/x; 09ПЗ; 10Fx2; 11 ИП4; 12Fx2; 13 + ; 14fJ~; 15 С/П; 16 ИПЗ; 17 ИП4; 18-; 19Farctg; 20 С/П; 21 ИП1; 22 ИП6; 23 + ; 24 П1; 25 /-/; 26 ИП7; 27 + ; 28 Fx<0; 29 00; 30 С/П F АВТ.
Вводим исходные данные в программную память: /ть—Ю = Р1; С = 2010~6 = Р2; F=10,2 = P4; А/= 10 = Р6; /тах= 100 = Р7 В/О С/П. Результаты расчета приведены в табл. 2.3.	Таблица 2.3
/,Гц	Z, Ом	-ф, град	/, Гц	Z, Ом	-ф, град
10	795.84011	89.26564	60	133.02076	85.602256
20	398.01809	88.531521	70	114.13877	84.872928
30	265.45426	87.797884	80	99.993438	84.145263
40	199.20498	87.064969	90	89.005804	83.419488
50	159.48145	86.333014	100	80.228514	82.695827
2.60.	Для параллельной FL-цепи (рис. 2.60) составить программу расчета эквивалентного сопротивления Z3K и сдвига фаз фэк между приложенным напряжением U и неразветвленным током /, если R = 6 Ом, L=\ мГн, пределы изменения угловой частоты со от 0 до 104 с1, шаг изменения Aw=103c“1. По результатам расчета построить кривые Z3K (АЧХ) и фзк (ФЧХ) в функции СО.
Решение.
_ j^LR _ wLR	pQC _ arctg^L/ R
~эк F+jcoL уя2 + (ю£)2
Расчетные формулы
wLR	.	.
Z3K-—	=; фзк = 90°-arctg(coL/F).
7F2 + (coL)2
B/O F ПРГ. Переключатель Р-Г в положении Г. Далее приведена программа. 00 ИП1; 01 С/П; 02 ИП2; 03 х; 04 ПЗ; 05 F х2; 06 ИП4; 07 Fx2, 08 + ; 09 F^f; 10 Fl/x; 11 ИПЗ; 12 х; 13 ИП4; 14х; 15 С/П, 16 ИПЗ; 17 ИП4; 18-н; 19Farctg; 20 /-/; 21 9; 22 0; 23 +; 24 С/П; 25 ИП1; 26 ИП5; 27 +; 28 П1; 29 /-/; 30 ИП6; 31 +; 32F х<0; 33 00; 34 С/П F АВТ
Вводим исходные данные в программную память со = 0 = Р1; L=l- 10 3 = Р2; F = 6 = P4; Асо=103 = Р5; ютах= 104 = Р6; В/О С/П.
Результаты расчета приведены в табл. 2.4.
93
Таблица 2.4
СО, с-1	Z, Ом			Ф, град	со, с-1		Z, Ом		Ф> град	со, с-1	Z, Ом		ф, град
0 103 2 • 103 3  103	0 9.86-10"1 1.90 2.68			90 80.5 71.6 63.4	4 103 5 • 103 6 • 103 7 • 103		3.33 3.84 4.24 4.56		56.31 50.19 45.0 40,60	8 -103 9 • 103 10 103	4.8 4.99 5.14		36.87 33.69 30.96
											Табл		ица 2.5
со, с 1		Z, Ом	ср, град		со, с~1	Z, Ом		ср, град		со, с-1	Z, Ом	Ф, град	
2 103 ЗЮ3 4 • 103		11.91 11.81 11.67	-6.84 -10.20 -13.50		5 • 103 6 103 7 • 103	11.49 11.29 11.06		-16.70 -19.80 -22.78		8 • 103 9  103 10 103	10.82 10.56 10.29	-25.64 -28.37 -30.96	
2.61.	Для параллельной 7?С-цепи (рис. 2.61) составить программу расчета эквивалентного сопротивления Z3K (АЧХ) и сдвига фаз срзк (ФЧХ) между приложенным напряжением U и неразветвленным током /, если 7?=12Ом, С = 5 мкФ. Угловая частота со изменяется в пределах от Wmin = 2 • 103 с-1 до comax= 104 с-1, шаг изменения Аю=103с-1. По результатам расчета построить кривые Z3K и <рэк как функции со.
Решение.
1
7?--
jcoC R -эк ~ Г = и-уисл
R+J^c
_____________е —j arctg (а>€7?)
71+(<оСЛ)2
Расчетные формулы
Z3K = R / л/1 +(соСА)2; (рэк = — arctg (юСТ?).
В/О F ПРГ. Переключатель Р-Г на Г. Далее приведена программа.
94
00 ИП1; 01 С/П, 02 ИП2; 03 х; 04 ИПЗ; 05 х, 06 П4; 07Fx2; 08 1; 09 +; ЮГ./"; 11 Fl/x; 12 ИПЗ; 13 х; 14 С/П; 15 ИП4; 16 Farctg; 17 /-/; 18 С/П; 19 ИШ; 20 ИП5; 21 +; 22 П1; 23 /-/; 24 ИП6; 25 +; 26 Fx<0; 21 00; 28 С/П.
Вводим исходные данные в программную память: comin = 2 • 103 = Р1; С = 5-10’6 = Р2; Я=12 = РЗ; Аю=103 = Р5; ютах = 104 = Р6; В/О С/П. Результаты расчета даны в таблице 2.5.
2.62.	Параметры последовательного £С-контура (рис. 2.62) имеют следующие значения: £=1,8 мГн, С = 0,5 мкФ.
Составить программу расчета входного сопротивления контура в зависимости от частоты / пределы изменения которой от /min = 3 кГц до /max = 8 кГц, шаг изменения частоты А/=0,5 кГц. По результатам расчета построить график зависимости Z3K как функцию /.
Решение. Расчетная формула
У=2л/£—1/(2л/С) = 2л • 1,8 • 10-3/—1/(2л-0,5 • 10-6/).
В/О F ПРГ. Переключатель Р-Г на Г. Далее приведена программа. 00	2; 01	Т ; 02 Fn; 03 х; 04	ИП1; 05 С/П; 06 х; 07 ПА; 08	ИП2;
09	х; 10	ИПА; 11 ИПЗ; 12 х;	13 Fl/x; 14-; 15 С/П; 16 ИП1; 17	ИП4;
18	+; 19	Ш; 20 /-/; 21 ИП5;	22 +; 23 Fx<0; 24 00; 25 С/П F	АВТ.
Вводим исходные данные	в программную память: /min =	3 = Pl;
£= 1,810"3 = Р2; С=0,5 • 10-6 = РЗ; А/=0,5 = Р4; /тах = 8 = Р5; В/О С/П.
Результаты расчета даны в табл. 2.6.
Таблица 2.6
/ кГц	Z, Ом	/кГц	Z, Ом	/кГц	Z, Ом	/, кГц	Z, Ом
3.0	-72.2	4,5	-19.8	6,0	14.8	7,5	42,4
3.5	-51.4	5,0	-7.1	6,5	24.5	8,0	50,7
4.0	-34.3	5,5	4.3	7,0	33.7		
2.63.	Параллельный £С-контур (рис. 2.63) имеет следующие параметры: £ = 8 мГн; С = 0,2 мкФ.
Составить программу для расчета входного сопротивления ZBX контура в зависимости от частоты / пределы изменения которой от 0 до 8000 Гц, шаг изменения А/=500 Гц. По результатам расчета построить график зависимости ZBX как функцию от /
95
Решение.
= 7<оЫ/(;<оС) jo>L ~вх /ш£+1 (jwC) \—m2LC
Расчетная формула
2л/£
Z^-\-4n2LCf2'
В/О F ПРГ. Переключатель Р-Г в положении Г. Программа приведена ниже. 00 2; 01 Гл; 02 х; 03 ИП1; 04 С/П; 05 х; 06 П6; 07 Fx2; 08 ИП2; 09 х; 10 ИПЗ; 11 х; 12 /-/; 13 1; 14 4-; 15 П7; 16 ИП6; 17 ИП2; 18 х; 19 ИП7; 20	21	С/П; 22 ИП1; 23 ИП4; 24 +; 25 П1; 26 /-/; 27 ИП5;
28 +; 29 Гх<0; 30 00; 31 С/П.
Вводим исходные данные в регистры памяти: /=0 = Р1; £ = 810 3 = Р2; С=2 10-7 = РЗ; Л/=500 = Р4; /тах = 8ООО = Р5.
Результаты расчета даны в таблице 2.7.
Таблица 2.7
/> Гц	Z, Ом	/, Гц	Z, Ом	f, Гц	Z, Ом	Гц	Z, Ом
0	0	2500	207.6	5000	-434.0	7500	-147.6
500	25.5	3000	349.4	5500	-303.6	8000	-132.2
1000	53.7	3500	777.7	6000	-236.7		
1500	87.9	4000	-18883.4	6500	-195.8		
2000	134.5	4500	-810.4	7000	-167.9		
2.64.	В схеме рис. 2.64,а известны 1? = 12Ом, £=1мГн. Найти выражение коэффициента передачи	=
= U2(J(o)/Ui(j(o) и построить кривые изменения его модуля, аргумента и времени запаздывания в функции частоты. Приняв ® = ®i=9 • 103 с-1, определить изменение коэффициента передачи при изменении частоты на октаву и декаду. Выразить найденные величины в децибелах и неперах.
96
R
a)
Рис. 2.64
Решение. Вначале определяем комплексный коэффициент передачи и время замедления при любой частоте
, • / . \ --:-
г 7 / Л __ (./м) _ R-jCdL ____(f)L__ j (9 о - arctg gdL/R)
{J ’ (AO) tAO)
или, обозначив L/R через т, получим
Я (у®) =   ют	ej (9° ° “arctg = Я(®) е	(2.1)
V1 + (мт)2
где
Я(®) =
СОТ х/1 + (®г)2
(2.1а), ф (со)=90° — arctg (ок),
т _t/4>(<o)_ _ т
3 da> 1 + (сот)2
(2-2)
(2.3)
По уравнениям (2.1) — (2.3) на рис. 2.64,6 построены требуемые кривые. Найдем изменение коэффициента передачи на октаву и декаду. По формуле (2.1) имеем
У1 + (w,t)2	У1 + (2сцт)2
27(10(0!) =
10(011
+ (1 ОС£>1Т)2
Их отношения равны
Я(2(О1)_2 / l + fcoti)2 . Я(10со1)_ I 1 4- (cOtT)2 '
Я((О1) у] 1+(2со1т)2 ’ Я(со!) yj ^(lOcOji)2
По формулам (0.2.31) и (0.2.32) и, учитывая, что т =	1 • 10-3/12 с-1, найдем
4 Заказ 2113
97
D =20ig^i>=20ig2 /_1±(L12LL1£W 0KT g Я(Ю1) g y 1 + (2-9  103  1 • 10-3/12 = 201g2 /12|^=2,84 дБ/окт = 0,327 Нп/окт;
Рдек = 201g= 201g 10 /^=4,36 дБ/дек = 0,5 Нп/дек. /i (coi )	у j/,25
2.65.	Схема состоит из последовательно соединенных 7? = 20 Ом и С=1 мкФ. Ответить на вопросы, поставленные в предыдущей задаче, полагая сох = 105 с1. Выходным значением считать напряжение на емкости.
2.66.	Определить максимальное изменение коэффициента передачи напряжения для схемы рис. 2.64 при изменении частоты на октаву и выразить найденное число в децибелах и неперах. Такие же расчеты проделать при изменении частоты в десять раз.
Указание. Надо составить отношение 7/(2со1)///(со1), из которого следует, что коэффициент передачи изменяется не более чем в 2 раза на октаву, так как согласно (0.2.31) D (со) = 201g2%20 0,3 = 6, т. е. не более чем 6 дБ/окт, или на основании (0.2.30) 6 • 0,115 = 0,7 Нп/окт.
Аналогично следует убедиться в том, что при изменении частоты в десять раз коэффициент передачи изменяется не более чем в десять раз на декаду, т. е. изменение коэффициента передачи напряжения меньше, чем 20 дБ/дек, или 2,3 Нп/дек.
2.67.	Решить предыдущую задачу для схемы из последовательно соединенных резистора и конденсатора, полагая коэффициент передачи равным С7с (со)/С7(со).
2.68.	Для простого добротного последовательного колебательного контура, состоящего из R. L и С, найти максимальное изменение коэффициента передачи напряжения в децибелах и неперах на октаву и декаду, считая выходным напряжение на емкости.
Указание. Найдем комплексный коэффициент передачи напряжения H(jw), а по нему модуль //(cd) = 1	1 — (со/соо )2 ]2 + (8со/соо )2 , где
соо= 1/л/ьС, b = R/Rc, Rc = ^L/C. При со<^соо Я(со)«1, при со^соо Я(со) = = 5cd/cD(), при со»соо Н(со) = со/соо. Из сопоставления последних выражений видно, что наибольшие изменения Н(со) будут на высоких частотах. Рассчитывая найдем, что изменение коэффициента передачи напряжения не будет превосходить 12 дБ/окт^ 1,4 Нп/окт и 40 дБ/дек^ ^4,6 Нп/дек.
2.69.	Составить таблицу отношений двух значений, выраженных в обычных числах, децибелах и неперах для следующих чисел: 10~3, 10-2, 101, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106.
2.70.	Как известно, для определения полосы пропускания
98
колебательных контуров принимается уровень, равный 1/^/1. Определить, какому уровню в децибелах и неперах соответствует этот уровень.
2.71.	Уровень напряжения на частоте превышает уровень напряжения на частоте /2 на 10 дБ. Найти отношение напряжений, выразить его в процентах.
Решение. Из (0.2.29а) имеем 201g10 или lg
= 0,5. Потенцируя, получим искомое отношение напряжений: t/(/l)/t/(/2) = 3,16.
Превышение напряжения в процентах составляет
£++++ 1 оо%=3Э6Щ.Л) -щл) i оо%=216%.
2.72.	Найти, какому соотношению амплитуд соответствует изменение (увеличение или уменьшение) на: а) 1 дБ, б) 0,1 Нп.
2.73.	Для цепи (рис. 2.73) опре- 0 ।—।-1......  °
делить диапазон частот, в кото-	I
ром коэффициент передачи умень-	ГК
шается не более чем на 10% от	U	2	Т
максимального значения.
Указание. Из рассмотрения выраже-	о—	-	...-о
ния, составленного для коэффициента не-	р -
ре дачи Я (со), выясняется, что максималь-	' '
ное значение он принимает при со = 0.
Далее составить отношение модулей Я(со)/Я(0) = 0,9, из которого определить граничную частоту, соответствующую требованиям условия задачи.
Е. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ И ОБРАТНЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ
2.74.	В схеме табл. 2.8 известны сопротивления и Х2 реактивных двухполюсников при двух частотах и /2-
Таблица 2.8
Схема двухпо-		Номера вариантов	Значение частоты и соответствующего реактивного сопротивления			
	люсника					
			/ь кГц	Ом	fi, кГц	Х2, Ом
О	. к	1	5,3	+ 90	10,6	+ 225
		2	2,65	-90	10,6	+ 90
	С Л-—	=Т“	3	5,3	0	21,2	+ 225
о-	1	4	2,65	+ 40	7,92	-72
		5	2,65	оо	10,6	-16
	Gt	6	10,6	-40	21,2	-16
о-	__г					
4*						99
Рис. 2.75
Ь^ЮмГн а)
1_о=4ОмГн
Cj=50mk(D
чн
[г=200мГн с 2мкФ 5)
Рис. 2.76
Для каждого варианта найти резонансную частоту и значения индуктивности и емкости. Указать, какие из двухполюсников эквивалентны, а какие обратны.
2.75.	Для схемы цепей реактивных двухполюсников (рис. 2.75, а — г) определить резонансные частоты и начертить (качественно) графики изменения реактивных сопротивлений в функции угловой частоты со.
2.76.	Составить схему и определить элементы двухполюсника, эквивалентные заданному на рис. 2.76, а.
Решение. Заданную схему можно представить в виде схемы а табл. 0.2.3, в которой: Z^/coLb Z2 = l/Q’coQ, ^Zi=jmLo.
Тогда коэффициент а, необходимый для определения элементов эквивалентной схемы (схема б табл. 0.2.3):
= i/Z t =jcoLo//O)Li = 40/10 = 4.
На основе условий эквивалентности (0.2.34) находим коэффициенты Ь, с и d\
b = a(\ +я) = 4- 5 = 20; с = (1 + ^z)2 = 52 = 25; б/=1+б/ = 5.
Сопротивления элементов цепи искомой схемы bZ 1 = ZycoLi = jcolO • IO’3 -20=jco200-10~3 Ом, т. e. £2 = 200 мГн;
в)
800м
г)
a) 200м
5 мГн
500м
ЗОмкФ
Рис. 2.77
10мГн 4/7мкФ
40 мГн
15мкФ
ЮмкФ
4 мГн
100
1200м 80мГн 1000м 18мкФ Ь5мГн ,.5мкФ 5 Ом ЮмГн„16мкФ
Рис. 2.78
_	1	1	25
С Z 2 — С----------—
j^Ci jcd 50 -10 6
=----1—- Ом, т. е. С2 = 2 мкФ;
jcd2-10“6	’	2
dZ\=dj&Lv=j®W -IO-3 • 5 =jco50 x x 10-3 Ом, т. e. £3 = 50мГн.
На рис. 2.76,6 дана эквивалентная схема цепи, на которой указаны значения ее элементов.
2.77.	Найти схемы цепей и па
Рис. 2.79
раметры элементов двухполюсников, обеспечивающих их эквивалентность двухполюсникам, изображенным на рис. 2.77, а — г.
Указание. Использовать табл. 0.2.3.
2.78.	Найти схемы цепей и параметры элементов двухполюсников, эквивалентных двухполюсникам, изображенным на рис. 2.78, а — г.
Указание. Использовать табл. 0.2.3.
2.79.	Вычислить входное сопротивление Z двухполюс
ников на рис. 2.79, а. 6. если Rr = 7^2 = 7^ = x/l/C =500 Ом.
2.80.	Найти коэффициенты ак и Ьк сопротивления двухполюсника на рис. 2.80 и написать уравнение в форме (0.2.33).
2.81.	Составить схему двухполюсника, обратную схеме цепи на рис. 2.81,6/, если R = 100, и определить значения ее элементов, если Т^^мГн, £2 = 5мГн, С3 = 100мкФ, £4 = 5 мГн, 7^5 = 10 Ом, С6 = 25 мкФ, /?7 = 20Ом.
Решение. Найдем по (0.2.34) сопротивление Z'b обратное сопротивлению Zi=jwLy.
_R2 R2 1	1
Z j-------------2---г----,
Zi 7ю£1	• (£1) 7юС1
101
Рис. 2.80
Рис. 2.81
10 мГн
0,05 мкФ
0,25 мкФ
Рис. 2.82
500м 2 мГн 1000м 2мкСр
2000м
Рис. 2.83
где Cl = Li /R 2 = 2 • 10 "3/100 = 20 • 10 " 6 Ф = 20 мкФ — емкость, определяющая элемент, обратный элементу Lt.
Аналогично рассчитываем элементы, обратные индуктивной катушке L2, конденсатору С3, индуктивной катушке L4, резистору J?5, конденсатору С6 и резистору Ry. Это будут соответственно: конденсатор емкостью С2 = = L2/R2 = 5 • 10"3/100 = 5 • 10~5 Ф = 50 мкФ; катушка индуктивности L2 = C2R — 100 • 10“6 • 100= 10-2 Гн = 10 мГн; конденсатор емкостью C'4. = L4./R2 = 5 • 10~3/100 = 5 • 10“5 Ф = 50 мкФ; резистор сопротивлением R'5 = R2/R5 = 100/10 = 10 Ом; катушка индуктивности L'6 = C6R2 = 25 • 10"6 • 100 = 25 • 10~4 Гн = 2,5 мГн; резистор сопротивлением R'7 = R2/R1 = 100/20 = 5 Ом.
Последовательно включенным элементам исходной схемы соответствуют параллельно включенные обратные элементы обратной схемы. Поэтому искомая обратная схема имеет структуру, показанную на рис. 2.81, б.
2.82.	Найти схему и элементы двухполюсника, обратного схеме цепи на рис. 2.82, если Я2 = 106.
2.83.	Найти элементы двухполюсника, обратного схеме цепи на рис. 2.83 при Я2 = 104, и составить его схему.
Указание. Искомая схема, как и заданная, имеет цепочечный вид, при этом каждый последовательный элемент схемы в обратной схеме станет параллельным, но обратным по характеру, и наоборот.
102
Глава 3
Расчет цепей с зависимыми источниками и цепей с обратной связью
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Понятия о зависимых источниках. Источники напряжения или источники тока, в которых напряжение или ток в одной из ветвей зависит от напряжения или тока в другой, называются зависимыми. Эти источники имеют две пары зажимов (рис. 0.3.1): входные 1—Г, к которым подводится задающее напряжение или задающий ток, и выходные 2—2' — к ним подключается нагрузка или другая электрическая цепь. Различают четыре типа зависимых источников: источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) (рис. 0.3.1, а) источник напряжения, управляемый током (ИНУТ) (рис. 0.3.1,6) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) (рис. 0.3.1, в) источник тока, управляемый током (ИТУТ) (рис. 0.3.1, г). На рисунках приведены соотношения, описывающие связи зависимых значений, выраженные через коэффициенты (параметры) к, г, g, р, которые, как правило, являются положительными или отрицательными числами и однозначно и полно характеризуют зависимый источник.
2.	Схема замещения активных элементов. При анализе электрических цепей с усилительными элементами (транзисторами, электронными лампами, операционными усилителями) используют их схемы замещения. Все эти устройства являются нелинейными, поэтому линейные схемы замещения пригодны для режима «малых сигналов», т. е. когда переменные напряжения и токи во всех цепях малы относительно их постоянных значений. Вид схемы замещения усилительного прибора зависит от области частот, в которой этот прибор используется. Простейшие эквивалентные схемы за-
Рис. 0.3.1
103
Наименование элементов
Транзисторы
биполярные
полевые
Тип и схемное изображение
Эквивалентная схема для области нижних частот
р-тип
о Сток
о----©
Затвор
Ъ И ст о к
Эквивалентная схема для области верхних частот
Таблица 0.3.1
Рис. 0.3.2 мещения некоторых усилительных приборов показаны в табл. 0.3.1.
3.	Расчет цепей с зависимыми источниками. Если цепь содержит усилительные приборы, то при расчете они заменяются эквивалентными схемами замещения (табл. 0.3.1). Для расчета цепей, содержащих зависимые источники, применимы все методы, известные для расчета цепей с независимыми источниками. Наиболее часто используются методы узловых напряжений и контурных токов. Примеры даны в задачах 3.1, 3.2, 3.11, 3.12, 3.15, 3.20, 3.21.
4.	Коэффициент усиления. В схеме электрической цепи (рис. 0.3.2) зажимы 1—Г — входные, 2—2' — выходные. К входным зажимам подключается источник ЭДС или тока (воздействие), а к выходным — сопротивление нагрузки или другая цепь. Вся схема дана в виде прямоугольника. Передаточная функция цепи — отношение выходного значения (/2™, Я2т) к входному (/lm, Я1т), выраженные в комплексной форме:
где В (7 со), Л (усо) —комплексные амплитуды или соответственно действующие значения воздействия и реакции цепи. Чаще всего под входным и выходным значениями понимают входное и выходное напряжения
Я^со^ t/2w/t/lw=	(0.3.1)
где	=	(Я(со)— модуль, 0(со)— аргумент
передаточной функции); Я (со) и О (со) определяют соответственно амплитудно-частотную и фазочастотную, характеристики цепи.
В большинстве реальных усилительных устройств на частоте со передаточная функция напряжения больше единицы (Я(со)> 1), поэтому ее называют коэффициентом усиления. Для практики представляют интерес частотные характеристики цепи на ее входных зажимах, определяемые отношениями:	=	или /1ш/Я1ги= У(усо) — это
входное сопротивление (входная проводимость) цепи.
Примеры приведены в задачах 3.20—3.22.
5.	Обратная связь. Передача электромагнитной энергии с выхода устройства обратно на его вход называется обратной связью (ОС). Обычно для такой передачи
105
Рис. 0.3.3
создаются специальные цепи — цепи ОС (рис. 0.3.3). Если цепь ОС построена так, что напряжения йх и Uoc совпадают по фазе, что вызывает увеличение напряжения (/1ос на входе основной цепи, то такая ОС называется положительной (ПОС). Если в цепи напряжение обратной связи Сос противофазно напряжению что уменьшает напряжение [/1ОС, такая ОС называется отрицательной (ООС).
Передаточная функция напряжения цепи, охваченной ОС, определяется выражением
Яос(»=-^ =----Я(//)/	(0.3.2)
где H(j(p)=U2/Uloc— передаточная функция цепи без ОС; B(J<n)=Uoc/U2—передаточная функция цепи ОС, знак «минус»— для ПОС, «плюс» — для ООС.
Обратная связь изменяет не только передаточную функцию, но и входные функции цепи. Изменение входных характеристик под действием ОС зависит от вида ОС (ООС или ПОС) и от того, как включены между собой входные зажимы основной цепи и цепи ОС. Соединение, показанное на рис. 0.3.3, называется последовательным (по входу), ООС, последовательная по входу, увеличивает входное сопротивление:
Zloc (усо) = Zx (у<о) [1 + B{ja)	(0.3.3)
где Zx(yo))— входное сопротивление цепи, не охваченной ОС.
Пример приведен в задаче 3.23.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ С ЗАВИСИМЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
3.1.	В цепи (рис. 3.1) действуют независимый источник тока J и ИНУТ с ЭДС Е=г12. Дано: Ях = 15 Ом, 7?2 = 2 Ом, г = 1 Ом, 7 = 2 мА. Найти напряжение Uab.
Решение. Выберем для решения метод контурных токов. Контурное уравнение: /х х (Ri + R2) + JR2 = Е.
Учитывая, что /2 = Л i + </, получим /х х (J?x + R2) + JR2 = = r(Zn+J) или Дх (Лх + Ri~r) = J(r — R2). Из этого уравнения определим ток /хх = 1 мА. Напряжение Uab = I2R2 = 3 -2 = 6 мВ.
106
b
Рис. 3.1
Рис. 3.2
3.2.	В цепи (рис. 3.2) действуют независимый источник напряжения с ЭДС 2?!= 60 мВ и ИНУН с ЭДС Е2=&С/аЬ. Найти токи в ветвях, если = Т?2 = Е3 = 10 Ом, к=5.
Решение. Для решения выберем метод узловых напряжений. Приняв Кь = 0, запишем уравнение для узла а
Va (1/7?! + 1/Л2 + 1//?з )=El/R1 + E2/R2.
Учитывая, что Uab = Va — Vb, E2 = kVa, имеем
^(1/^ + 1/^ +1/Е3) = Е1/Е1+/гГа/Л2.
Решая уравнение, получим Va= Uab= — 30 мВ. Токи в ветвях: Д = ([/Ья + Е1)/7?1 =90/10 = 9 мА, I2 = (Uab-E2)/R2 = 12 мА, Л = UabfRl — ~ 3 мА.
3.3.	В цепи (рис. 3.3) действуют независимый источник с ЭДС Е=100В и ИТУТ	(₽=-5). Найти токи в
ветвях, если Rr = 1 кОм, 7?2 = 4кОм, Е3 = 1 кОм, 7?4 = 5кОм.
3.4.	В цепи (рис. 3.4) дано: Е=1 В, Я1 = ЮООм, Е2 = 50Ом, 7?3 = 1кОм, Е4 = 2кОм, ИТУН J=gUi3, где £=50мА/В. Найти напряжение U23.
3.5.	В цепи (рис. 3.5), содержащей ИНУН E3 = kUe (к = = —2), найти токи в ветвях, если R1 = R2 = R3 = R4. = R5 = R6 = = 100 Ом, Е2 = 10В, Е4 = 20 В, Е5 = 40В.
3.6.	Цепь (рис. 3.6) содержит независимые источник напряжения Et = 5B, источники тока Ji =0,5 А и J7 = 0,l А и ИНУТ Е(. = г15 (г=-2Ом). Найти токи в ветвях при Rr = r2 = r3 = Е4 = Е5 = R6 = 100 Ом.
3.7.	В цепи с ИТУН J=gUr (рис. 3.7) найти токи в ветвях. Дано: Е2 = 85,8 В, Rx = 50 Ом, 7?2 = 20 Ом, Л3 = ЗО Ом, g = 0,01 A/В, Е4 = 90 Ом.
Рис. 3.3	Рис. 3.4
107
Рис. 3.5
Рис. 3.7
Рис. 3.9
3.8.	Найти токи в ветвях цепи (рис. 3.8), содержащей ИНУТ Е2 = гЦ, если ^=40 6, 7?1=20Ом, 7?2 = 40Ом, 7?3 = = 50Ом, Т?4=100 0м, 7?5 = 200 0м, г = 3 В/А.
3.9.	В цепи (рис. 3.9), содержащей ИНУН kUr, найти токи в ветвях, если Е=5 В, 7?г=100 0м, 7?н=100 0м, 7?! = 50 Ом, Т?2=ЮООм, 7?о = 200Ом, А =10.
3.10.	В цепи с ИТУТ (рис. 3.10) определить токи в ветвях, потенциалы узлов V\ и У2 и отношение V2jJ. Дано: J— 1 мА, 7?г = 20 Ом, 7?н = 40 Ом, RY = 7?0 = 10 Ом, 7?2 = 40Ом, 0=10.
3.11.	Для цепи (рис. 3.11), содержащей зависимые источники E3 = kUab и Е4 = г2/2. найти все токи. Дано: = 1 кОм, 7?4 = 4кОм, R2 = 2 кОм, 7?5 = 5кОм, 7?6 = 6кОм, Е^ЮВ, Е2 = 15 В, к= 1,5, г2 = 4-103 В/А.
Решение. Решим задачу методом контурных токов.
108
Рис. 3.10	Рис. 3.11
Контурные токи: /11? /22, /зз, токи в ветвях: Ц=133. ^2 = Л1~^33, Л=^22 —^33, Ц = ^22~ /11, ^5=Л1? ^6 = ^22- ЗаВИ-симые источники выражаются так: E3=kUab = kI5R5 = kInR5, Е^ = r2I2 = r2(I хх —133). Уравнения контурных токов:
Л1 (^2 + Л4 + R5) ~I22R4 — I33Ri = ~Е4. + Е2= —г2(1ц —
~ 1зз) + Е2;
— /х 1Т?4 +122 (Т?4 + Л6) = Е3 + Ед. = klx 1Л5 + г2 (Л 1 — /33);
— Ц XR2 + /33 [R\ + Т?2) = — Е2 — Е3-\- Е\ = —E2 + Ei — kIxxR5.
Группируя неизвестные и подставляя числовые данные, получим:
/ц15 103-/224 U03-/336 * 103 = 15;
—/ц15,5 IO3 + /2210 103 + /334-103 = 0;
/115,5-103 + /ззЗ-Ю3=-5.
Решение системы уравнений определяет контурные токи: /и =0,45 мА, /22 = 1,7мА, /33 = -2,5мА. Токи в ветвях равны: 1\ = — 2,5 мА, /2 = 2,95мА, /3 = 4,2мА, Ц= 1,25 мА, /5 = 0,45 мА, /6 = 1,7мА.
3.12.	В цепи (рис. 3.12), содержащей ИТУН J=g±Uba и ИНУТ Е3 = г515, найти токи в ветвях методом контурных токов. Дано: £2 = 12В, 7?! = 600 Ом, /?2=150Ом, 7?3 = = 475 Ом, Т?4= 1 кОм, Я5 = 820 Ом, г5 = 80 В/A, g4=10"2 А/В.
Решение. Направления контурных токов и токов ветвей указаны на рис. 3.12. Токи ветвей: Л =/11-/22, /2 = /22, /з = /ц—/зз, Л =/зз, Д = /22-/33- Зависимые источники выражаются: J=g4Uba= - g4Uab= -g4/?4/33 = /ii; E3 = r5I5 = = r5 (/22 — /зз)- Уравнения контурных токов:
— 1цК1 + I22(Ri+ R2 + Rs) ~1ззЕ5= —E2;
— /11^3 — /22^5 + /33 (R3-[- R4. + R5) = E3.
Подставляя полученные выражения для /п и Е3, имеем
109
Рис. 3.12
Z22 (^i +^2 + ^5) +/33 (g4^4^1 —^5)— ~Е2\
— ^22 (^5 + r5) + /33 (&4^4^3 + ^3 +^4 + ^5 + rs) = 0.
Подстановка числовых данных и решение уравнений определяют контурные токи: 122 = —5,4 мА, 122 = —0,68 мА, токи в ветвях Ц = 12,2 мА, 12 ~ — 5,4 мА, /3 = 7,48 мА, ц= -0,68 мА, 15= -4,72 мА.
3.13.	Для цепи (рис. 3.13) с ИТУТ Л = ЗД и ИНУН E2 = kU2Ar определить напряжение t/34, если 7\ = 1А, 7^ = 15 Ом, jR3 = 20Om, 7?4 = 40Ом, 7?5 = 60Ом, Л6 = Л7 = = 50 Ом, ₽ = 0,01, £ = 0,2.
3.14.	В цепи (рис. 3.14), содержащей ИТУТ, действует источник напряжения е= 100sin(wr+17°) В. Найти напряжение wab(0, если Лх = ЮООм, Л2 = ЮОм, С=1мкФ, Л3 = 10кОм, /=100 кГц. Комплексный ток зависимого источника j=fii2, 0 = O,5e-j4°.
Решение. Комплексное действующее значение напряжения источника ЭДС £=^ejl7° В. Так как цепь содержит V2
два узла, решим задачу методом узловых напряжений. При Vb = 0 уравнение для узла а имеет вид
Va (1/1?! + 1//?2 + 1/(1/>С)) = EIRV + J.
Комплексный ток j= 0/2 = 0Йо/1?2. Тогда
Ка(1//?1 + 1//?2+;соС-р/Л2) = £//?1 или
Va(1/100+1/10+76,28 105 1 10 б — 0,5е^/4О710) =
= 70,7717°/100.
Отсюда находим Va — l,06ej67 В или иаЬ = va = 1,06^/2 х х sin(2nl05? —67°) В.
3.15.	В схеме рис. 3.15 с ИТУТ /=0/2, £=50ej4o°B, 77 = 1 кОм, /?2 = 50Ом, 17 = 50 Ом, £3 = 75 Ом, Т?4=1кОм, р = 0,05.
Найти напряжение С723.
Указание. Если принять Ё4 = 0, то УГ = Ё.
НО
Рис. 3.15
Рис. 3.14
Рис. 3.16
Рис. 3.18
Рис. 3.19
3.16.	в цепи (рис. 3.16) с ИТУТ J= 0z3 найти токи всех ветвей, если е = 50^/2 sin (со! + 17°) В, Л^ЮООм, Хс = = 100 Ом, 7?2 = 50Ом, 7?з = 25 Ом, Д4 = 75 Ом, .р = 5<У10 .
3.17.	В цепи (рис. 3.17), содержащей ИТУТ j=0/2, найти напряжение на конденсаторе, если E=5ejM В, 0 = O,7ej23°, Rx = Xc=\ кОм, Л2 = 720 Ом, /?з = 280 Ом.
3.18.	В цепи (рис. 3.18) с ИТУТ найти напряжение на резисторе Rr. Дано: Rr = 150 Ом, 7?2 = 50Ом, 7?3 = Тс = 200 Ом, р=1е“^° , £=10е788 В.
3.19.	В цепи (рис. 3.19) с ИТУТ z = 0z2 определить напряжение на конденсаторе, если е (t) = 20^/2 sin coz, 0 = = 0,5e-j50', Л1=Хс = 2МОм, Л2 = Я=1МОм.
Б. РАСЧЕТ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
3.20.	Найти передаточную функцию напряжения усилителя низкой частоты на триоде (рис. 3.20, а), если Rc= 1 МОм, 7?а = 6 кОм, Х=16мА/В, Ro — внутреннее сопротивление ис
111
точника е = 820 кОм, а внутреннее сопротивление лампы Ri = 20 кОм.
Решение. По определению, передаточная функция напряжения: Н (со) = Ua / Uc.
Если входное воздействие е мало, электронную лампу можно полагать линейным устройством и заменить эквивалентной схемой (рис. 3.20,6), состоящей из зависимого источника тока J и внутреннего сопротивления Rt (см. табл. 0.3.1). Тогда схема усилителя примет вид, показанный на рис. 3.20,5. Ток источника J=Suc. Напряжение на сетке лампы ис равно
ис = —е— Rc.
R0 + Rc
Ток J=Suc = e-—
Ro+R.
jR.' R
Эквивалентное сопротивление в анодной цепи RH =——
Ri + Ra а напряжение на аноде (выходное напряжение усилителя)
_ ip ___ SRcRjRa
а н (Ао + Лс)(Л, + «а)
Передаточная функция напряжения (коэффициент усиления усилителя) определяется
— SRcRjRa
1 (R0 + Rc)(Ri + Ray
(3.1а)
Подставляя заданные числовые значения параметров, получим Н(со) = 40,6. Выражение (3.1а) можно упростить. Если Ro = 0, a Ri^>Ra, то коэффициент усиления H(w) = SRa.
3.21.	Найти передаточные функции напряжения и тока усилителя низкой частоты на биполярном транзисторе, включенном с общей базой, если Ur = 1 В, кн=ЮООм (рис. 3.21, а). Параметры эквивалентной схемы транзистора 7^ = 15 Ом, 7?2 = 200 0м, Л3 = 2Ю6Ом, г=1,9 Ю6Ом.
Решение. При небольшом по значению входном воз-
Рис. 3.20
112
Эквивалентная схема транзистора В)
Рис. 3.21 действии транзистор с общей базой можно заменить эквивалентной схемой (рис. 3.21,5), содержащей ИНУТ rlr. Передаточные функции (коэффициенты усиления) напряжения и тока равны HV=U2IU^	Рассчитаем схему
методом контурных токов
Л (^1 “Ь ^2 )“Ь Л ^2 =
/1Л2 + /2(Л2 + Л3 + ЛН) = ~rh-
Подставив числовые значения, получим:
71215 + 72200=1;
Ц 1,9002 • 106+ /2 2,0003 • 106 = 0.
Решив систему уравнений, найдем
/1 = 3,99 10"2А«40 мА;
/2= —3,79 • 10~2 А% —38 мА.
Выходное напряжение (с учетом принятых положительных направлений 12 и U2) U2 = — I2RH = 3,79 В. Передаточные функции (коэффициенты усиления) напряжения и тока HV=U2IU1=^ 3,79/1 = 3,79;	= Z2/Zt = 3,79-10~2/3,99-10~2 =
= 0,95. В транзисторном каскаде при включении транзистора с общей базой коэффициент передачи напряжения больше единицы, а тока — меньше единицы.
3.22.	В транзисторном каскаде усилителя низкой частоты при включении транзистора с общим эмиттером (рис. 3.22, а) найти передаточные функции напряжения и тока, а также входное и выходное сопротивления. Дано: 1?б = 60Ом,
Эквивалентная / схема транзистора
S)
а)
Рис. 3.22
113
RK = 1 кОм, параметры эквивалентной схемы транзистора 7?! = 340 Ом, Я2 = 16кОм, р = 52.
Решение. Заменим транзистор (табл. 0.3.1) эквивалентной схемой, содержащей ИТУТ (рис. 3.22,6). Ток /б=С/1/1?1.
Напряжение на выходе усилителя U2 определяется следующим образом:

Ri Ri + R^
отсюда передаточная функция напряжения
и _и2 ₽Я2ЯК
v U, R1(R2 + RK)
Найдем передаточную функцию тока Hj = I2IIv Токи Ц =
U1	Т и2 О *2	TV	^R2R6
=----------, /9= — = р—1 —, тогда Нт =---------------.
ЯММЫ RK rR1R2 + RK	(R2 +RK)(Rt +R6)
Входное и выходное сопротивления каскада RBX=U1/Il = __ R6R1 р ____ ТТ ICIT _ R2^k
~Я1 + Яб’ K™*~U2lV16~R^
Подстановка числовых значений дает: HG=144, Я7 = 48,7, Лвх = 338 Ом, /?вых^941 Ом.
В. КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ И ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
3.23.	Для схемы с обратной связью (рис. 3.23, а) найти передаточную функцию напряжения, если Rr = 50 Ом, 7^ = 1 кОм, Л2 = ЗОкОм, R =200 Ом, Яос = 20кОм, (3=100, Лкол =Ю кОм, 1?к = 6 кОм, Ян = 1 кОм.
Решение. Решим эту задачу двумя методами. Первый — метод узловых напряжений. Приняв потенциал узла 1 равным нулю, запишем уравнения для второго и третьего узлов:
V2 (	+— )- К 1/J
2\A, R2 Rr RTp RPJ 3
- V2 1/Яос+ K3(
\ R-ос ^кол	Rn
oc R/
Выразим ток зависимого источника через И2:
Тогда уравнения приобретают такой вид:
У2 (1/7?! + 1 /R2 +1 /Яг +1 /7?тр +1 /Лос)- К3 1 /Roc = UtIRr-- V2 (1 /7?ос - Р/Ятр) + Г3 (1 /Лос + 1 /Акол + 1 /RK + 1 /R„) = 0.
114
Рис. 3.23
Введем обозначения:
1/2?! + 1/Д2 + 1/7?г+ 1//?тр+ 1/Я0С= 1/Лэ1;
1/Л>с + 1/^кол + V^k+ 1/^н= */^э2-
Из второго уравнения следует V2 — V3 — R^R^?—
Кэ2 (Ятр-ряос)
Подставив в первое уравнение, получим
[	_____Rpc^Tp_______1	__ ^1
3 |_яэ1яэ2(ятр-IXJ яос_|-яг'
Передаточная функция или коэффициент усиления
н _и3_	-/?з1/?э2^ос(атр-^ос)
V Щ Лг[Ло2сЛтр-Аэ1Лэ2(7?тр-₽«ос)]-
Подставив исходные данные, получим Hv= —186.
Второй метод—использование соотношения (0.3.2). Рис. 3.23, а можно изобразить так, как показано на рис. 3.23,6, т. е. рассматривать схему как основную цепь, охваченную обратной связью. Тогда коэффициент усиления определяется по (0.3.2). Найдем коэффициент усиления или передаточную
115
^0С2
Рис. 3.26

функцию напряжения основной цепи:
U2=—$IR32,
где 1/Аэ2 = 1/^кол+ 1/^к + Ж- Ток входной цепи равен
т и. 1111
/ =--1— где —==—+—н—.
1 Rr + R'3i R3i R. R2 Rrp
Напряжение между узлами 1 и 2 определяется как С/12 =
т D f UiR'3i	т и 12	UlR^l
=LR3l =—откуда /=—=7---------Ц—.
1 Rr + R3l ’	RTP (Rr + R3i)R,p
Напряжение U2 окончательно равно U2= —Р------------------—Ux,
[Rr-\-R'3l) Ятр или коэффициент усиления напряжения
Т_Г __ ^2_ О *31*32
на рис. 3.23, равна
Найдем передаточную функцию напряжения цепи обратной связи. Отдельно
Передаточная
р___ ^ос _ Кэ
~~U;~R3 + ROC’
цепь ОС показана функция цепи ОС
D RrR'3i
где R =—5——.
э Rr + R'ii
На основании (0.3.2) передаточная функция всей цепи

Hv^--------------
(^Г + ^Э1)^ТР
I ^э1	Р^э2^э1
(л;1+^ос)(т?г+^;1)^тр
нб
После подстановки числовых данных получим Hv = —186.
3.24.	По данным задачи 3.23 рассчитать и построить зависимость коэффициента усиления Hv от величины Лос, которая принимает следующие значения (в кОм): 5, 10, 20, 30, 50, 100.
3.25.	В цепи (рис. 3.25) рассчитать и построить зависимость коэффициента усиления от величины Лос, задаваясь Roc, равным (в кОм): 1, 2, 5, 7, 10. Параметры схемы: Лг = ЮООм, /?1 = 10kOm, jR2 = 150Om, 3 = 50, Я3 = 50кОм, 7?4 = 5кОм, 7?5 = 1кОм, 7?6=ЮООм.
Обратная связь — отрицательная.
3.26.	В схеме цепи (рис. 3.26) (7?г = 75 Ом, У?! = 150 Ом, /?2 = 5 кОм, /?3 = 800 0м, 7?ос2=1кОм, Р = 25) рассчитать и построить зависимость от 7?ос t коэффициента усиления схемы Hv, коэффициента передачи цепи обратной связи В, входного сопротивления 7?вх. 7?ос1 принимает значения (в омах) 2, 5, 10, 20, 30, 100. Обратная связь — отрицательная.
Указание. При расчете коэффициента передачи основной цепи положить Яос1=0.
3.27.	По данным задачи 3.26 (7?ос1 = 5Ом) рассчитать и построить те же зависимости, придавая Лос2 значения (в кОм) 0,1; 0,5; 1; 5; 10.
Глава 4
Трехфазные цепи
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Мгновенные значения и комплексы трехфазной симметричной системы напряжений выражаются следующим образом:
U4=17msin(oZ; С7Л=С7;
ив = Umsin(o>t — 2л/3); UB = Ue~J2*13;
uc= I7msin((ol —4л/3); Uc= Ue~i4*13.	(0.4.1)
2.	Соотношения в симметричной трехфазной цепи. В симметричной трехфазной цепи комплексные сопротивления составляющих ее фаз одинаковы.
Для симметричной трехфазной системы при соединении звездой существуют следующие зависимости между линейными и фазными напряжениями и токами:
1л = 1ф.	(0.4.2а)
117
Для симметричной трехфазной системы при соединении треугольником линейные и фазные напряжения и токи связаны соотношениями:
ил=Щ; 1л = ^31ф.	(0.4.26)
3.	Мощность в симметричной трехфазной системе. Она вычисляется по формуле
Р=73 ил1л cos <рф = 3 С/ф /ф cos <рф.	(0.4.3)
4.	Расчеты несимметричных трехфазных цепей. Эти расчеты могут быть проведены с помощью законов Кирхгофа или любого метода расчета электрических цепей.
5.	Соединение звезда — звезда. Если к трехфазному генератору, соединенному звездой, подключен приемник энергии, также соединенный звездой, то смещение нейтрали — напряжение UN между нейтральными (нулевыми) точками приемника и генератора — определяется по формуле
UN = UaYa+UbY b+UcY^	(0.4.4)
где UA, UB, Uc — фазные напряжения генератора; Ул, Ув, Ус, Yn — проводимости отдельных фаз и нейтрального (нулевого) провода.
Токи в фазах и нейтральном проводе
iA=(uA-uN)YA-, 1b=(ub-un)yb, )
^c = (Uc—UN) Yc; ^n= UnXn = Ja + +^c* J
Если нагрузка соединена звездой без нейтрального (нулевого) провода и известны линейные напряжения UAB, UBC, UCA, то фазные напряжения UA, UB, Uc (рис. 0.4.1) нагрузки находят по формулам:
118
у ^АВХ.В ~ ^СА Х.С.
Ь + Ь+Zc ’ fl _UbcYc~UabYa UB----------------’
Ya+Yb+Yc у _UcaYa-UbcYb ya+yb+yc ’
(0.4.6)
где YA, Yb, Yc — проводимости фаз.
Для любой трехфазной системы, сумма комплексных линейных напряжений равна нулю: UAB + UBC + UCA = 0.
Пример приведен в задаче 4.3.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. СИММЕТРИЧНЫЕ ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
4.1. К симметричному трехфазному генератору с фазной ЭДС Е = 127 В и внутренним сопротивлением Zo = (0,3 + +/0,9) Ом через линию, сопротивление каждого провода
Z=(10+/6) Ом, звездой Определить в каждой фазе, фаз-и линейное напряже-генератора, ток, фаз-и линейное напряже-нагрузки, мощность,
которой Znp = (0,5+/l) Ом, грузка 7 соединенная (рис. 4.1). ток ное ния ное ния доставляемую генератором и расходуемую в нагрузке. Построить век
подключена симметричная
на-
торную диаграмму.
4.2.	Приемник энергии, сопротивления фаз которого одинаковы, потребляет мощность 5,46 кВт при cos ср* = 0,8 (<рф>0). Линейное напряжение на нагрузке равно э70 В. Чему равна фазная ЭДС генератора, соединенного звездой,
внутреннее сопротивление каждой фазы которого Zo = = (0,3+/0,9) Ом, а сопротивление каждого провода линии
Znp = (0,4+/0,8) Ом?
4.3.	К трехфазной линии с симметричными линейными напряжениями (7Л = 220 В подключен треугольником приемник, сопротивление каждой фазы которого Z=(10+/10)Om (рис. 4.3, а). Найти токи в каждой фазе нагрузки и линии и показания каждого ваттметра. Найти те же величины в случае обрыва в точке аг.
П9
Рис. 4.3
Решение. Задачу решим, пользуясь символическим методом. Примем, что комплекс напряжения UAB действителен. Тогда комплексы линейных напряжений
Uab = Uab = 220 В; UBC = Ubc = 220е ”7120° В;
UCA = Uca = 220e-^B.
Определим комплексы фазных и линейных токов:
/аЬ= C7(lb/Z=220/(10+jl0) = 15,6е-j45° = (l 1 —jl 1) А;
/Ьс = L/,j'Z=220e~J12O7(10-b/10)= 15,6е“'165 =— 15—/4,03А;
tca = UCJZ = 220е ~''2407(10 +j 10) = 15,6е'75° = 4,03 + >15 А;
Л = 4 ~4 = 6,97 -/26 = 26,9е “775° А;
4 = 4 - 4 = ~ 26 +>6,97 = 26,9е>16 5 А;
ic = tca-ibc= 194-/19 = 26,6е>45 ° А.
Найдем показания ваттметров:
Рг = Re [UABt*A ] = Re [220 • 26,9eJ'75° ] = 220 • 26,9 cos 75° =
= 1530 Вт;
P2 = Re [UCBi*c ] = Re [- 220e ~ J120° • 26,9e ~j45° ] =
= Re [220ej6O° 26,9e ~j45° ] = 220 • 26,9 cos 15° = 5730 Вт.
Активная мощность цепи Р=Р1 + Р2 = 15304-5730 = 7260 Вт.
Проверка показывает, что Р = 3/фЛ = 3 • 15,562 • 10 = 7260 Вт.
120
На рис. 4.3, б построена векторная диаграмма напряжений и токов.
Обрыв в точке ах (рис. 4.3, в). Токи в фазах нагрузки
4 = 4(./Z = 220e-jl2O7(10+./10) = - 15-/4,04 А;
4 = 4 = Ucb/2Z= -220e->12O72(10+jl0) = 7,5+j2,02 А.. Вычислим линейные токи: 4 = 0;	4= — tB = ica — 1Ьс =
= 22,5+/6,05 = 23,ЗеЯ5'А.
Определим показания ваттметров:
Л = 0;
Р2 = Re [UCBIc ] = Re [220eJ6O° 23,Зе "J15°] =
= 220 -23,3 cos 45° = 3630 Вт.
4.4.	К зажимам симметричной трехфазной сети, линейное напряжение которой равно С/л, подключены три одинаковых сопротивления Z, соединенных треугольником. Условные знаки А и X соответственно обозначают «начало» и «конец» фазы А; В и Y—фазы В; С и Z—фазы С.
Определить, во сколько раз уменьшится ток в подводящих проводах и потребляемая мощность, если те же сопротивления с помощью переключателя П соединить звездой (рис. 4.4).
4.5.	К концу линии, сопротивление каждого провода которой Znp = (0,5+/1,5) Ом, подключен соединенный треугольником приемник энергии. Сопротивление каждой его фазы Zab = Zbc = Zca = Z=(8,4+/6,6) Ом. Линейные напряжения в начале линии UAB = UBC = UCA = 230 В (рис. 4.5). Рассчитать линейные и фазные токи, а также напряжения на фазах нагрузки, соединенной треугольником. Определить потерю напряжения в линии. Построить векторную диаграмму.
Указание. Задачу проще решить при помощи преобразования треугольника сопротивлений нагрузки в эквивалентную звезду.
4.6.	а. Для измерения активной мощности трехфазной равномерной нагрузки, имеющей резистивно-индуктивный
121
характер, соединенной звездой и подключенной к симметричной трехфазной сети, линейное напряжение которой ил = = 220 В, были включены два ваттметра (рис. 4.6), показания которых Р± = 1080 Вт и Р2 = 1920 Вт. Определить фазное напряжение, ток и сдвиг фаз между ними. Чему равна общая мощность, расходуемая в нагрузке? Построить векторную диаграмму напряжений и токов, б. Решить задачу, если С/Л = 38ОВ, /\=0 и Р2 = 2,5кВт.
4.7.	Чему равно показание ваттметра, включенного в цепь (рис. 4.7), и какую мощность он учитывает? Нагрузка фаз симметрична: RA = RB = Rc = 12 Ом, ХА = Хв = = ХС = 9 Ом. Система линейных напряжений тоже симметрична ил = 380 В.
4.8.	На расстояние / = 60 км нужно передать мощность Р = 3000 кВт при линейном напряжении у потребителей (7л = 35 000 В и со8фф = 0,8 так, чтобы потеря мощности не превышала 5% от полезной. Определить необходимое для этого количество меди (в тоннах) при: а) трехфазной и б) однофазной системах передачи энергии.
4.9.	Симметричный трехфазный трансформатор питает симметричную нагрузку, общая мощность которой р = 600 кВт, а со8срф = 0,8 (срф>0). Линейное напряжение на нагрузке {/л = 6кВ. От трансформатора до потребителя проложена воздушная линия, сечение каждого провода которой 5 = 35 мм2, а длина /=2,3 км. Материал проводов линии — медь (удельное сопротивление р = 0,0175 Оммм2/м). Индуктивное сопротивление каждого километра провода равно 0,4 Ом.
Вычислить ток и линейное напряжение в начале линии.
Б. НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
4.10.	К симметричному генератору, соединенному звездой с фазной ЭДС Еф = 220 В, присоединена несимметричная нагрузка, также соединенная звездой (рис. 4.10). Сопротивления фаз нагрузки: Za=100 0m, Zb = = ( 100+720) Ом, Zc = 80 Ом. Определить токи в каждой фазе генератора.
122
4
Рис. 4.10
Решение. По методу контурных токов имеем
+ ZB) Л1 ZBI22 — Ёа~ Ёв'
—	+ (^в + ^с) А2 ~ ^В ^С-
Подставляя сюда числовые значения, имеем следующую систему уравнений:
(200 + 7’20) Л j - (100 + /20) /22 = 330+7*190,5;
- (100 +7’20) Д i + (180 + /20) /22 = —/381.
Решим эти уравнения при помощи ПМК по программе № 7 из приложения П1, после набора которой нажимаем клавиши F АВТ и далее вводим: В/О я11 = 200 = РЛ, Ьп=20 = РВ С/П, я12 = —100 = РЛ, Z>12=—20 = РВ С/П, сп = 330 = РД, с12 = 190 = РВ С/П, а21 = - 100 = РД, &21 = — 20 = РВ С/П, я22 = 180 = РЛ, Ь22 = 20 = РЯ С/П, с21=0 = РЛ, с22 = -381 =РВ С/П.
В результате решения получим: Xj=2,40, х2 = —0,225; yt = 1,125; у2 =—2,10. Итак, контурные токи
Л t = 2,40 -у0,225 = 2,41 е ~-'5’3 5° А;
/22 = 1,125-7’2,10 = 2,38e~j61,82° А.
Токи в ветвях: /4 = /11 = 2,41e~j5,35 А; /в = /22 — /п = —1,275—7’1,873 = = 2,27е"Я24’2°А; /с = /22 =2,38е";б1’82°А.	ч
4.11.	К симметричному трехфазному генератору с фазной ЭДС Е=230 Вис внутренним сопротивлением Zo = = (0,34-j0,9) Ом подключена несимметричная нагрузка, соединенная в звезду с нулевым проводом (рис. 4.11). Сопротивления фаз нагрузки: Za = (2 +j’4) Ом; Zb = (4 — /8) Ом; Zc = 5 Ом. Сопротивление каждого провода линии Znp = = (0,4+j0,3) Ом, а сопротивление нулевого провода ZN = = 0,5 Ом. Определить токи и напряжения на каждой фазе нагрузки и генератора при наличии нулевого провода и при его обрыве.
4.12.	В четырехпроводную линию трехфазной симметричной сети с фазным напряжением С/ф= UAO = UBo= Uco = 120 В включены три группы одинаковых ламп (рис. 4.12): 1) 30 ламп, 2) 25 ламп, 3) 20 ламп.
Сопротивление каждой лампы считать неизменным и равным 300 Ом.
123
Рис. 4.13
Определить ток в нейтральном проводе. Под каким напряжением окажется каждая группа ламп при обрыве нейтрального провода в точке т?
4.13.	К зажимам трехфазного симметричного источника энергии с линейным напряжением £/л = 380 В подключена соединенная звездой несимметричная нагрузка (рис. 4.13, а), сопротивления фаз которой 2л = (6+/8) Ом, ZB = (24+J7) Ом и Zc = 20 Ом.
Определить токи и напряжения на каждой фазе, показания каждого ваттметра, мощность, расходуемую в нагрузке.
Указания. Способ 1. Заданная схема может быть заменена новой (рис. 4.13, б), для которой фазные напряжения {7ф=?7л/^/з, а внутренние сопротивления источников равны нулю. Затем по (0.4.4) найти C/N, а по (0.4.5) — искомые токи. Способ 2. Сначала найти напряжение на фазах нагрузки по (0.4.6), а затем токи.
4.14.	Для определения порядка чередования фаз применяется схема рис. 4.14, состоящая из трех равных по модулю сопротивлений, соединенных звездой, из которых одно емкостное, а два других—резистивные (лампы накаливания). Система линейных напряжений симметрична. Определить фазные напряжения и построить векторную диаграмму.
124
Замечание. При расчете принять, что к фазе А подключается нагрузка, содержащая конденсатор. Тогда получится, что лампа, включенная в фазу В, находится под напряжением в 3,71 раза больше, чем та, которая в фазе С.
4.15.	В трехфазную симметричную сеть без нулевого провода с линейным напряжением С7Л = 220 В включены три группы одинаковых ламп (рис. 4.15). В первой группе п1 = 17, во второй «2 = 23 и в третьей — п3 = 19 ламп. Сопротивление каждой лампы считать неизменным и равным 590 Ом.
а. Определить линейные и фазные токи. б. Вычислить все токи и напряжения на зажимах каждой группы ламп при перегорании предохранителя на вводе фазы С.
4.16.	В трехпроводную систему трехфазного тока, линейные напряжения которой симметричны и равны С/л = 127 В, включены две лампы, потребляющие мощности 7\ = 55Вт и Р2 = 200 Вт (рис. 4.16). Рассчитать токи каждой лампы и в каждом из проводов линии. Определить показания ваттметров.
4.17.	Вольтметры, подключенные к линейным зажимам трехфазной системы, показали UAB = 210 В, UBC = = 220 В и UCA = 225 В. R указанной системе подключен приемник энергии, соединенный звездой, сопротивления
Рис. 4.17
125
фаз которого Za = 25 Ом, Zb = (24+j7) Ом, Zc = (16— j'12) Ом (см. рис. 4.6). Найти токи и фазные напряжения. Каковы показания ваттметров?
Указание. По заданным значениям линейных напряжений следует построить треугольник напряжений АВС (рис. 4.17). Углы векторов UCA и UBC определяются решением этого треугольника. Например, угол \\fBC определяется из следующего равенства:
4.18.	Линейные напряжения трехфазной сети: UAB = 120 В, (7вс=110 В и UCA=\25 В. К этой сети подключена нагрузка, соединенная треугольником, сопротивления фаз которой Zab = 25 Ом, Z_bc = 20 Ом и Zca = (16+j8) Ом. Найти линейные и фазные токи.
Глава 5
Одиночные колебательные контуры
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Резонанс. Это явление в электрической цепи, содержащей участки, имеющие индуктивный и емкостный характер, при котором разность фаз напряжения и тока на входе цепи равна нулю.
Эквивалентное реактивное сопротивление или реактивная проводимость цепи, где имеется резонанс, равны нулю.
2. Резонанс напряжений. Этот резонанс возможен на участке цепи, содержащем последовательно соединенные индуктивный и емкостный элементы. Цепь схемы (рис. 0.5.1) называют последовательным контуром.
Входное комплексное сопротивление последовательного колебательного контура
Z=A4-j(coL-l/coC) = A+jX=Ze7q>,
(0.5.1)
где X = a>L —I/ouC—реактивное сопротивление контура, Z=х//?2 + (со£— 1/®С)2 — полное сопротивление контура,
со£—1/соС	.
Ф = arctg----——сдвиг фаз между напряжением и током.
Рис. 0.5.1
126
Условие резонанса напряжений
Х=0 или со£=1/соС.	(0.5.2)
Угловая резонансная частота
ю0 = 2л/0 = 1Д/ЕС.	(0.5.3)
При резонансе напряжений применяются следующие соотношения и формулы:
а)	характеристическое сопротивление контура — сопротивление каждого из реактивных элементов при резонансе
р = ю0£= 1/(й0С=^/£/С,	(0.5.4)
б)	добротность контура
2 = Р/Л	(0.5.5)
в)затухание контура
8 = 1/0.	(0.5.6)
При резонансе напряжений ток в контуре
I0=U/R,	(0.5.7)
а напряжение на индуктивности емкости: UL0=UC0 = I0p = UQ=U/t>. Расстройки: абсолютная А(о = ю —соо или А/=/-/о, относительная Ав>/со0 = А///0, обобщенная	равно напряжению на (0.5.8) (0.5.9) (0.5.10)
~ X	со ®о \ ХЛ £=-=——= Q\	2 =2V= Л	R	\соо Здесь v = со/соо — соо/со.	= tgq>.	(0.5.11)
Зависимость комплексного тока расстройки j-й _ U _	_Ue~j* Z К(Д+А) R^/l+t,2 z	в контуре от обобщенной (0.5.12а)
где Z=R+jX= R +j^R— комплексное полное сопротивление, Z = Ry//l +^2 — модуль полного сопротивления, (р = arctg £,— сдвиг фаз между напряжением и током.
127
Уравнение резонансной кривой тока есть отношение модуля тока при любой частоте к току при резонансной частоте (при неизменных значениях напряжения и параметров цепи):
1
Т+71
1 1
(0.5.13)
Уравнение фазовой характеристики
Ф = arctg = arctg - — arctg Q ( —	) = arctg Qv.
(0.5.14)
Комплексные коэффициенты передачи по напряжению
Uc __   •ю о Q . и~ УС0 1+Д;
UL _ . со Q
U~Jw~0T+jl’
При небольших расстройках (т. е. когда формулы (0.5.11а, б) — (0.5.15а, б) имеют вид
^ = X/RK2QAa/o)0-, Х= 2 рАго/го0;
(0.5.15а)
Асо</?/2£)
(0.5.11а)
(0.5.126)
ZkR /l+fzg—Y; <р = arctg2Q —; у \	)	со0
 Q
U~ J Лео
1+726 — ю0
£4 • Q
и ~J Лео l+j'26 — соо
(0.5.156)
Полоса пропускания определяется из условия, что ток на частотах /) и /2, соответствующих границе полосы пропускания, уменьшается по сравнению с резонансным в yJ2 раз. Это соответствует 3 дБ.
Абсолютное и относительное значение полосы пропускания определяют по формулам
2A/o=/2-/i=/o/C;
2А/0//0 = 5=1/е.
(0.5.16)
(0.5.17)
н^т
128
Рис. 0.5.2
3. Резонанс токов. Он может быть на участке электрической цепи, содержащей параллельно соединенные индуктивный и емкостный элементы.
Резонанс токов для цепи с потерями энергии в обеих ветвях. Цепь (рис. 0.5.2) называют простым параллельным колебательным контуром.
Условие резонанса
о	D	со£	1/соС Вл = ~В7 ИЛИ —    - = —; -	77- 1	2	Л( + (<вЛ)2 ^ + (1/юС)2 Угловая резонансная частота	(0.5.18а)
_ 1	/р2-А2 рез vZcVp2-«r где характеристическое сопротивление p=vTc.	(0.5.19а) (0.5.20)
Сопротивление параллельного контура при резонансе
у _ П _р2~Ь^1^2 ^рез-Лрез- R^+R^	 Добротность контура 2 = p/(^i + Л2).	(О.5.21а) (0.5.22)
Ток в неразветвленной части цепи при резонансе
^рез B/Rpe3. Частные случаи резонанса токов для цепи	(0.5.23) рис. 0.5.2.
Цепь не имеет потерь (Rl = R2 = 0).
Условие резонанса 1 /(®рез В) — (Лрез С. Угловая резонансная частота ®рез = Ю0=1/л/ГС. Сопротивление контура при резонансе ^"рез ~	•	(0.5.186) (0.5.196) (0.5.216)
Для добротного контура (рис. 0.5.2 и 0.5.3), т. е.
5 Заказ 2113	129
1
о Пя
и 5 Я
L—_=Т
Рис. 0.5.3
C=r
(0.5.19в)
(O.5.21B)
примерно и каждый из них больше тока в в Q раз:
при малых потерях можно считать, что ®pe3 = ®0=1/v/bC-
Сопротивление этого контура при резонансе Ярез = р2 /CR1 + я2) = р2 /я = е2 я = L/RC, где R = Rl+R2-
Токи в каждой из ветвей при резонансе
ОДИНаКОВЫ Лрез~Лрсз неразветвленной части цепи /рез
Л рез Дрез ~ Л рез /^рез ~ Q •	(0.5.24)
Мощность, выделяемая в параллельном контуре при резонансе,
^рез —^рез^рез —^1рез^1 +^2рез^2-	(0.5.25)
При небольшой расстройке контура (Асо = ш —шрсз), т. е. когда
Асо < + R2 )/2L = R/2L,	(0.5.26)
комплексное сопротивление можно определить по приближенной формуле
У— _ ^рез • Rpe3 £ _ п . • у __ у уфэк
- 1+Л 1+i;2 J 1 + e^-^3K+JA3K-Z3I(e	,
где
(0.5.27)
jr> _ ^рез |z _ _ ^рез £ у ___ ^рез
3k~t+F	эк~7Йр
х г - (йЬ—\/(йС фЭк= -arctg=	....
+ 1<2 Подключение простого параллельного контура к источнику с ЭДС Е и внутренним сопротивлением Ri показано на рис. 0.5.4.
E
Рис. 0.5.4
130
Ток в неразветвленной части цепи и напряжение на параллельном контуре U при любой частоте определяют по формулам
i= E/(Ri + Z); U=EZ/(Ri + Z),	(0.5.28)
а при резонансе
/рез = £/(Л + Лрез); С7рез = £7?реэ/(£; + £рез).	(0.5.29)
Отношение этих напряжений
(0.5.30)
где эквивалентная (приведенная) добротность
1 + 1\рез/Ki
а угол сдвига фаз напряжения на контуре при любой частоте к тому же напряжению при резонансе
<p3K = arctg 2эк( — -\
—^ = arctg23Kv. со у
(0.5.32)
Полосу пропускания определяют из условия, что С//С/рез= 1/^/2.
Абсолютная и относительная полосы пропускания
2А/о=Л-/1=/ре3/2эк;	(0.5.33)
2А/0//рез=1/еэк.	(0.5.34)
Комплексный коэффициент передачи напряжения — отношение комплексного напряжения на параллельном контуре к ЭДС источника при любой частоте
Hv=-=--------(0.5.35)
Е 1 . г» I ®	®°|
1 ~К/С2эк |	I
\соо со у
При резонансе
HUpe3 = Q3Kp/Ri.	(0.5.36)
Отношение
1
Ни
Hfj рез
СО
СОо
(0.5.37)
1 +72 эК
5*
131
Рис. 0.5.5
4.	Резонанс токов в сложном параллельном контуре (рис. 0.5.5).
Для добротных контуров, у которых
7?1<с|Х1| = |ш£1-1/шС1| и Л2^|Х2|-|со£2-1/(оС2|, комплексное сопротивление определяют по приближенной формуле
_ RX,X2 ХХ.Х2
- PTF +^^-R^+jX-	(ОЛ38)
где
п__ г> I Г> V_ V I V Е> __ RX]X2 у _____ ХХ.Х2
Л—ЛмТЛт, Аэк— — —-----Л )К-----г -.
12,	1	ЭК	Д2 + У2’ ЭК R2 + X2
Условие резонанса токов (приближенное)
Xi*-X2 или ®pe3L1-l/(®pe3Ct)«l/(0pe,C2-®pe3Z2,(O.5.39) отсюда угловая резонансная частота
Юрез ~ соо - 1 !sjLC,	(0.5.40)
где L = LxXL2— полная индуктивность контура; С=СГС2/ (Ci + C2)— полная емкость контура.
Добротность сложного контура
Q = pR = ^e3L/R - 1/(сорезС7?),	(0.5.41)
где
p=x/Z/c, r=r1-vr2.
Полное сопротивление контура при резонансе определяется реактивным сопротивлением каждой из ветвей
Rpe,=Xt/R = X}/R,	(0.5.42)
где R = R} 4-R2.
Если коэффициенты включения обозначить mL=LijL. mc = C/Ci. то полное сопротивление контура при резонансе
Rpe^Q2R(mL-mc)2.	(0.5.43)
132
Эта формула показывает возможность изменения 1?рез в широких пределах при данных L и С путем их перераспределения по ветвям при неизменной частоте резонанса токов.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
5.1.	Определить емкость С конденсатора, который надо включить последовательно с катушкой, имеющей резистивное сопротивление R =16 Ом и индуктивность £=158 мкГн, для того чтобы цепь была настроена на резонанс при частоте ./o^l МГц. Найти ток, мощность, выделяемую в цепи, напряжения на конденсаторе и катушке при резонансе, если приложенное к цепи напряжение [7=0,8 В.
5.2.	Последовательный колебательный контур (Л, £, С) подключен к источнику синусоидальной ЭДС £=1,6 В с внутренним сопротивлением Д = 16 Ом. При каком значении сопротивления контура R в нем выделится максимальная мощность при резонансе и чему она будет равна?
5.3.	Цепь состоит из индуктивной катушки (7?, £), соединенной последовательно с конденсатором без потерь. Приложенное ко всей цепи напряжение [7=35 В. Определить напряжение на катушке при резонансе, если при этом напряжение на конденсаторе равно 120 В.
5.4.	Цепь схемы рис. 0.5.1, настроенная на резонанс при угловой частоте 5000 с1, потребляет мощность 0,1 Вт при токе 0,1 А. Напряжение на конденсаторе 200 В. Найти параметры цепи R, £, С и приложенное к ней напряжение.
5.5.	Какому условию должны удовлетворять частоты и /2, при которых цепь, составленная из последовательно соединенных R, £, С, обладает одинаковыми по абсолютному значению, но противоположными по знаку реактивными сопротивлениями?
5.6.	Найти параметры катушки (Л, £), емкость С конденсатора и сопротивление реостата /£. включенного в цепь, изображенную на рис. 5.6, если при резонансе приборы показали [7=200 В, [71О = 204 В, [72О = 180 В, /0 = 4 А. Частота переменного тока /=50Гц.
5.7.	Реостат с резистивным сопротивлением 7?=Ю0Ом, катушка с индуктивностью £ = 5,05 мГн и конденсатор емкостью С = 0,05 мкФ соединены последовательно. Вычислить резонансную частоту, характеристическое сопротивление, затухание контура, напряжения [7L0 и [7С0 при резонансной частоте. При каких частотах напряжения на конденсаторе [/стах и катушке [7Lmax достигнут максимума?
133
Рис. 5.6
Чему они будут равны, если действующее значение напряжения переменной частоты, приложенного к цепи, (7=10 В?
Решение.
соо = 1 /^/Zc = 1 /V5’05 10“3  °’05 • 10“6 = 6,28 • 104 с"1; /о = ®о/2л = 2л104/27г = 104 Гц;
р = Jl[C = ^/5,05-10“3/0,05-10~6 = 318 Ом;
8 = 7?/р = 100/318 = 0,314,
ULO = UC0 = I0p=Up/R = 10-318/100 = 31,8 В.
Частоты, при которых напряжения на индуктивности и емкости максимальны, и значения этих максимальных напряжений определяют по формулам, известным из теории:
= ®оУ2/(2-82) =6,28 • 104Л/2/(2 —0,3142) =6,45 • 104 с"1;
сос = (оОх/(2 —52)/2 =6,13  104 с"1;
/ь = (оь/2л=10 250 Гц; /с = (ос/2л = 9750 Гц;
ULmax = UCmax =	2U =----------2 40	= 32,2 В.
0,314^/4 —0,3142
5.8.	Катушка с индуктивностью £ = 5,05 мГн и конденсатор с емкостью С=0,05 мкФ соединены последовательно с реостатом, сопротивление которого R. Ответить на вопросы задачи 5.7 для двух значений сопротивления: 1) 7? = 318Ом и 2) 7? = 450 Ом.
5.9.	Известно, что в последовательном колебательном контуре (см. рис. 0.5.1) при резонансной частоте 1 кГц отношение напряжения на емкости к напряжению на входе равно 50. Емкость С = 0,5 мкФ. Вычислить R и L контура.
5.10.	Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных резистора, сопротивление которого R =10 Ом, катушки с индуктивностью £=100мкГн и конденсатора с емкостью С=100пФ. Определить резонансную частоту соо? характеристическое сопротивление р, затухание 8 и добротность Q. Чему равны ток /0? расходуемая в цепи мощность Ро, напряжения на индуктивной катушке (7L0 и конденсаторе
134
иСо при резонансе, если контур включен на напряжение U = 1 В? Вычислить абсолютное значение полосы пропускания контура.
Решение. По формулам (0.5.3) — (0.5.8) находим
ю0= Vs/LC =1 /x/l°0-10’6-100-10~12 = 107 с"1;
/о = ю0/2тт = 107/2л«1,6-106 Гц =1,6 МГц;
р = yi/C = У100 • 10’6/(100 • 10"12) = 1 000 Ом;
5 = 7?/р = 10/1000 = 0,01;
Q = p/R = 1000/10= 100; /0 = U/R= 1/10 = 0,1 А=100мА;
Ро = /2/? = 0,12 -10 = 0,1 Вт=100 мВт;
ULO = Uco = Iop = 0,l • 1000 = 100 в.
Полосу пропускания определяют по формуле (0.5.16)
2А/о =/о/С= 1,6 -106/100= 16 000 Гц.
5.11.	К контуру, данные которого приведены в задаче 5.10, подведено напряжение U = 1 В с угловой частотой ш= 1,002 • 107 с-1. Чему при этом равны реактивное и полное сопротивления цепи, ток, мощность, напряжение на конденсаторе, сдвиг фаз ср между приложенным напряжением и током, сдвиг фаз ф' между приложенным напряжением и напряжением на конденсаторе, коэффициенты передачи по току и по напряжению?
Решение. Прежде всего вычислим абсолютную, относительную и обобщенную расстройки по формулам (0.5.9), (0.5.10) и (0.5.Па): Дю - со-ю0 = 0,002 • 107 с"1, Дю/ю0 = 0,002, ^ = 22Дсо/юо = 2 • 100 0,002 —0,4. Реактивное и полное сопротивления находим из (О.5.11а) и (0.5.12а): Х=£)Л = 0,4• 10 = = 4 Ом, И=ЯУГ+^2 =1071+0,42 =10,77 Ом. Ток и расходуемая в цепи мощность: 1= UfZ= 1/10,77 = 0,093 А = = 93 мА, Р = I2R = 0,0932 • 10 = 0,0865 Вт = 86,5 мВт. Напряже-ние на конденсаторе находят из (0.5.156): Uc= UQ/y/T+t? = = 1 -100/71+0,42 =93 В.
Сдвиг фаз между напряжением и током вычисляем из (0.5.11) tg ф =	= 4/10 = 0,4, ф = 21°50'.
Найдем сдвиг фаз ф' между U и £7С. Так как расстройка положительна, то ю£>1/юС и ток 1 отстает от напряжения на угол ф; вектор напряжения на конденсаторе Uc отстает от вектора тока t на 90° (рис. 5.11), поэтому Uc отстает от U на угол Ф' = Ф + 9О° = 111°50'.
При заданной расстройке коэффициенты передачи по
135
и
Рис. 5.11
току и напряжению [см. (0.5.156)]:
Н, = 1 /71 + 7 = 1 Д/1 +0,42 = 0,93;
HL = HC = QlJl+¥ = 100/71+0,42 = 93.
5.12. Для контура и данных, рассмотренных в задачах
5.10 и 5.11, построить амплитудно- и фазочастотные харак-
теристики тока и напряжения на конденсаторе в зависимости от отношения оэ/оэ()л от отношения расстройки частоты питающего генератора А/ к резонансной частоте /0 (построение сделать для частот, отличающихся от резонансной на +10%) и от обобщенной расстройки (в пределах ±4).
Решение. Построение амплитудно- и фазочастотной
характеристик тока и зависимости от ///0 и уравнений, получаемых и (0.5.15а):
напряжения на конденсаторе в проводится на основании из (0.5.13) и (0.5.14), (0.5.11)
Ф = arctg Q (со/соо - ю0 /®);
ф' = arctg Q (со/соо — /®) + л:/2.
На практике обычно приходится иметь дело с небольшими расстройками Асо = со —соо. В этом случае, учитывая, что
(D	С00_С02 — СОо _(co + (Do)(cD — а)о)^2 А®
(Do СО (D0(D	(D0(D	(Do ’
формулы для /, ф, Uc и ф' примут такой вид:
IkiJ /1 + (2С—V; ф»arctg22—;
I у \ CDo J	соо
Uc^UqI ll + flQ—'}2; <р'« arctg 20—+ ^.
/ V \ CDo /	CDo 2
136
Для удобства расчеты сведены в табл. 5.1. При этом следует иметь в виду, что А///о = Аш/Шо и /7/0 = ш/соо.
По данным табл. 5.1 на рис. 5.12 начерчены требуемые кривые в зависимости от и ///0.
Кривые зависимостей от обобщенной расстройки надо строить по уравнениям (0.5.12а), (0.5.14) и (0.5.15а): 1= UIR^i+^2; (p = arctg£,; Uc=UQ/y/l + ^2; <p' = arctg£+^.
Таблица 5.1
Задаваемые значения		Расчеты по приближенным формулам		Искомые значения, рассчитанные по приближенным формулам			
Д///о или f/fo		Лео 2 — со о	Лео 22— еоо	I, мА	Ф	ис, в	ф'
-0,10	0,90	-0,20	-20	5,0	— 87° 10'	5,0	2°50'
-0,08	0,92	-0,16	-16	6,2	— 86°25'	6,2	3°35'
-0,06	0,94	-0,12	-12	8,3	— 85°15'	8,3	4°45'
-0,04	0,96	-0,08	-8	12,4	—82°50'	12,4	7° 10'
-0,02	0,98	-0,04	— 4	24,3	-76°	24,3	14°
0	1,00	0	0	100	0	100	90°
0,02	1,02	0,04	4	24,3	76°	24,3	166°
0,04	1,04	0,08	8	12,4	82°50'	12,4	172°50'
0,06	1,06	0,12	12	8,3	85°15'	8,3	175°15'
0,08	1,08	0,16	16	6,2	86°25'	6,2	176°25'
0,10	1,10	0,20	20	5,0	87° 10'	5,0	177° 10'
137
Таблица 5.2
	I, мА	Ф	Uc, В	ф'
— 4	24,3	— 82°50'	24,3	7° 10'
-3	31,6	— 7Г35'	31,6	18°25'
— 2	44,7	-63°30'	44,7	26°30'
-1	70,7	-45°	70,7	45°
0	100	0	100	90°
1	70,7	45°	70,7	135°
2	44,7	63°30'	44,7	153°30'
3	31,6	71°35'	31,6	161°35'
4	24,3	82°50'	24,3	172°50'
Результаты расчетов сведены в табл. 5.2, а соответствующие кривые даны на рис. 5.12.
Наконец, выясним, каким значениям А//о и flfQ соответствует некоторая фиксированная величина Пусть £,= ±1. Тогда из выражения £; = 20A(d/(Do находим, что
Дю/соо = А//о = ±1/(20) = ±1/(2-100)= ±0,005,
или (/-/о)//о =///о -1 = ± 0,005, отсюда >0 = 1 ± 0,005.
Таким образом, значению S, = ± 1 соответствуют \flfo = = 0,005, а ///0 = 1,005 или 0,995, т. е. частота генератора напряжения отклоняется от резонансной на ±0,5%. Аналогично найдем, что ^ = 2 соответствует А//о=±0,01, при ^ = 3 А//о= ±0,015; при ^ = 4 А///о=±0,02.
5.13.	Резонансный контур состоит из последовательно включенных £=100мкГн, С=100пФ и R.
Построить амплитудные и фазовые характеристики для коэффициентов передачи по току Нг и напряжению на емкости Нс в зависимости от kflfv и ///0 для трех значений сопротивления R = 5 Ом, Л=ЮОм и Я = 20 Ом.
Указание. Предварительно вычислив добротности, искомые величины рассчитать по (0.5.14), (0.5.156) и (0.5.15а).
5.14.	В последовательном колебательном контуре, имеющем добротность 0=150 и настроенном на резонансную частоту /о = 2 МГц при некотором напряжении С7, проходит ток /о = 60мА. Определить ток в контуре, сдвиг фаз между напряжением и током, коэффициент передачи HC=UC{U при его подключении к генератору такого же по величине напряжения U, но с частотой /=2,02 МГц.
Указание. Вычислив обобщенную расстройку по (0.5.11), воспользоваться (0.5.126), (0.5.13) и (0.5.156).
138
Рис. 5.19
5.15.	Последовательный контур настроен на частоту /о=1 МГц. При какой добротности этот контур пропустит полосу частот: 1) 2А/0 = 2,5кГц и 2) 2А/о=10кГц?
5.16.	Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности 100 мкГн, сопротивление потерь которой 15 Ом, и конденсатора емкостью 100 пФ. Тангенс угла потерь конденсатора равен 0,05. Определить добротность контура и полосу его пропускания.
5.17.	К контуру, параметры которого приведены в предыдущей задаче, подведен источник с ЭДС е = 0,3 sin со/ В и внутренним сопротивлением 10 Ом. Определить амплитуду напряжения на конденсаторе при резонансной частоте и на частоте, отличающейся от резонансной на 1%.
5.18.	Через последовательный контур (С=100пФ, А;=8 Ом), настроенный на резонанс при частоте /0 = 400 кГц, надо пропустить полосу частот 2А/=104Гц так, чтобы отношение тока на частоте /0 + 2А//2 к току при резонансной частоте было равно 0,8. Определить добротность цепи и значение добавочного сопротивления, которое надо включить в контур для выполнения заданных условий.
Указание. Согласно условию из (0.5.126) 1Щ = т, отсюда найти Асо/соо = = \flfQ, и учитывая, что А/=2А//2, определить Q.
Далее, воспользовавшись (0.5.4) и (0.5.5), найти R и, наконец, Ra = R — -Rl-
5.19.	В последовательном колебательном контуре конденсатор емкостью С шунтируется резистивным сопротивлением ^m^l/^oC (рис. 5.19). Как при этом изменится добротность эквивалентного последовательного контура? Дать числовой расчет, если известны R = 20 Ом, Г = 400 мкГн, С = 625 пФ и Лш = 80кОм.
Указание. Параллельно соединенные С и заменить последовательно соединенными Сэк и R3K, так как Rm^>Rc, то СЭК^С. Искомая добротность еэк = р/(Д + Дэк).
5.20.	По данным задачи 5.19 вычислить ток и напряжение на конденсаторе до и после его шунтирования при расстройке частоты генератора на 0,5%, если к контуру приложено напряжение U= 1 В.
5.21.	Последовательный колебательный контур настроен в резонанс на частоту полезного сигнала радиостанции, работающей на длине волны Х = 857 м и наводящей в нем
139
ЭДС £’с = 0,5 мВ. Добротность контура 2 = 50, а его резистивное сопротивление Я=16Ом.
Чему равен ток, наводимый в контуре от другой радиостанции, работающей на длине волны Хп = 800 м и создающей ЭДС помехи £п=1мВ.
Вычислить отношение напряжения сигнала к напряжению помехи на конденсаторе. Как изменится это отношение, если конденсатор зашунтировать сопротивлением Rw= 100 кОм.
Указание. Длина волны связана с частотой соотношения Л = 3 - 108//’ где Л в м, f—в Гц.
Б. РЕЗОНАНС ТОКОВ
5.22.	Цепь, состоящая из трех параллельных ветвей (рис. 5.22), параметры которых Л=16Ом, £=1,6 мГн, С = = 25 мкФ, подключена к генератору синусоидального напряжения, действующее значение которого £ =10 В. Найти резонансную частоту /рез и токи /, /L, 1С при резонансе. Построить кривые токов l = Fr(f\ =	Ic = Fi(f) и
угла сдвига фаз ср между U, значение которого поддерживается постоянным и £ в зависимости от частоты Ф = £4(/’). Частоту изменять в пределах от 0 до 4/рез.
5.23.	Генератор, напряжение которого £7=10 В, а частота о) = 5000 с~1, подключен к цепи, изображенной на рис. 5.22. Чему равна индуктивность £, при которой цепь настроена в резонанс, если 7?=16 0м, С = 25 мкФ.
Полагая, что приложенное к цепи напряжение изменяется по закону и = sin со/, построить в зависимости от времени кривые z, fL, ic, Рь, Pc, Р и кривые энергии vvM и w3, запасаемой в магнитном и электрическом полях цепи.
5.24.	Параметры цепи (см. рис. 0.5.2): L = 4 мГн, С=0,1 мкФ, R{ = 160 Ом, /?2^120Ом. Выяснить, является ли параллельный контур высокодобротным. Вычислить частоту резонанса токов и сопротивление контура при резонансе. При каком значении сопротивления R2 резонанс невозможен? При каких значениях сопротивлений Rr и R2 резонанс в данной цепи будет иметь место при любой частоте?
5.25.	Напряжение {7=20 В, частота которого /=50кГц, подключено к цепи, изображенной на рис. 0.5.2. Определить
Рис 5.22
140
емкость С, при которой наступит резонанс, если R} = 2 Ом, R2 = 3,2 Ом, Г = 9,5 мкГн. Найти токи при резонансе и построить векторную диаграмму.
Для каждого из найденных значений емкости С определить сдвиг фаз между приложенным к цепи напряжением и током, проходящим через конденсатор. В какой связи находятся найденные углы?
5.26.	В цепи (см. рис. 0.5.2) даны 7^=40 Ом, со£ = 30 Ом, 1/юС=15 Ом. Чему равно R2 при резонансе токов и каково при этом полное сопротивление цепи?
5.27.	К катушке индуктивности, параметры которой R = = 11,2 Ом, L = 4 мГн, подключен конденсатор емкостью С=2,5 мкФ (см. рис. 0.5.3). При какой частоте наступит резонанс токов? Для найденной частоты определить полное сопротивление цепи. Построить векторную диаграмму при резонансе, если U= 10 В.
5.28.	Для цепи (см. рис. 0.5.3) найти значение индуктивности L, при которой наступит резонанс на угловой частоте со = 5000 с-1. Параметры цепи Л=14Ом, С = 2мкФ.
Для каждого из найденных значений L вычислить сдвиг фаз между приложенным напряжением и током, проходящим по катушке. В какой связи находятся найденные углы?
5.29.	При перемещении ползунка сопротивление R распределяется между ветвями параллельного контура (рис. 5.29).
Определить пределы изменения резонансной частоты контура в зависимости от параметра к (0^А;<1). Дано: Л = 2 мГн, С=500 пФ, 7?=1к0м.
5.30.	Найти резонансную частоту и полное сопротивление параллельного контура (см. рис. 0.5.2), параметры которого равны: Rt =9 Ом, Т?2 = 1Ом, Г=100мкГн, С=100пФ. Рассчитать токи, проходящие в каждой из ветвей при резонансе, и выделяемую в контуре мощность, если приложенное напряжение U = 200 В.
5.31.	Для контура и данных задачи 5.30 определить, чему равны эквивалентные резистивное, реактивное и полное сопротивления контура, если вследствие расстройки частота станет на 0,2% больше резонансной. Для этого случая
Рис. 5.29
141
вычислить все токи и мощность, выделяемую в контуре, полагая, что значение приложенного к цепи напряжения осталось прежним ((7=200 В).
Решение. Вначале определим по (0.5.22) добротность
Q и по (О.5.21в) сопротивление контура при резонансе:
Q =	1 + R2) = 7100-10“6/100-10'12/10 = 100;
Ярез = £/[(/?! + Я2) С] = 100 • 106/(10 • 100 • 10’12) =
= 105 Ом = 100 кОм.
Произведем расчеты при <в= 1,002<врез. Найдем абсолютную и обобщенную расстройки и искомые сопротивления по формулам (0.5.9), (0.5.11а) и (0.5.27):
Аоэ = со - сорез = 0,002сорез = 0,002 • 107 = 2  104 с “1;
^ = 22Асо/сорез = 2 • 100 •0,002сОрез/(Орез = 0,4;
Лэк = Лрез/( 14- 7) = 100/(1 + 0,42) = 86,2 кОм;
Хк = - ^лэк = - 0,4 • 86,2 = - 34,4 кОм.
Аэк имеет емкостный характер, так как положительно [см. формулу (0.5.27)].
Полное сопротивление при расстройке
гэк = Лрез/71+^2 =100/71+0,42 =93,3 кОм;
tg <рэк = ЛГЭК/1?ЭК = -34,4/86,2= -0,4; <рэк = -21°50'.
Так как (рэк отрицательно, ток опережает напряжение
т	и	200	ЛОЛ.
/1...................      -	— ...... — 0,2 А,
^/Pi + M2 792+(1’002 1°7,100'10-6)2
J _ и _	200
2“7я2Ч(1/о2“ /	/	[
= «0,2 А;
2
1 т 1,002-107-100-10“12) 7= [//Z3It = 200/(93,3 • 103) = 2,15 • 10~3 А = 2,15 мА.
Расходуемая мощность
Р= L7coscp3K = 200 -2,15 • 10“3 cos21°50' = 0,4 Вт
или
Р = /2Я = 0,22-10 = 0,4 Вт.
Заметим, что даже при небольшой расстройке (0,2%) в полном сопротивлении контура появилась значительная реактивная составляющая Хэк, вследствие которой и оказался сдвиг фаз срэк между током I и напряжением U. Ввиду небольшого изменения частоты реактивные сопротивления каждой из параллельных ветвей и токи в них почти не
142
изменились и не намного изменился ток в неразветвленной части цепи.
5.32.	Для контура и по данным задачи 5.30 построить резонансную кривую неразветвленного тока в зависимости: а) от отношения расстройки частоты питающего генератора А/к резонансной частоте /0 (построение сделать для области частот, отличающихся от резонансной на ± 10%); б) от отношения ///0; в) от обобщенной расстройки
Построить те же кривые, если рассмотренный контур имеет резистивные сопротивления: 1) ^<=4,5Ом и R2 = = 0,5 Ом; 2) // = 18 Ом и £2 = 2Ом.
5.33.	Параметры параллельного контура (см. рис. 0.5.2) имеют следующие значения: Rr = 15 Ом, £ = 338 мкГн, R2 = = 1Ом, С=300 пФ. Чему равны резонансная частота и сопротивление контура при резонансе? Вычислить эквивалентные резистивное, реактивное и полное сопротивления контура при частоте /=496 кГц. Определить все токи и мощность, выделяемую в контуре, если к нему подведено напряжение £7=150 В.
5.34.	Определить эквивалентные значения резистивной, реактивной составляющих и полного сопротивления параллельного контура (см. рис. 0.5.3) при частоте / по следующим данным: 1) С = 300 пФ; £=16,3 Ом; 2 = 65;/=505 кГц; 2) £ = 93,5 мкГн; /рез=1,5МГц; 2 = 40; /=1490 кГц; 3) £ = = 600 мкГн; 2 = 66; £рез = 100 кОм; /=400 кГц.
5.35.	Параллельный контур с малыми потерями (т. е. 2»1) включен к источнику с ЭДС £=200 В и внутренним сопротивлением А=69 кОм (см. рис. 0.5.4). Определить параметры контура R и £, если известны резонансная частота /Рез = 500 кГц, емкость С =300 пФ и что сопротивление контура при резонансе равно внутреннему сопротивлению генератора Rt. Вычислить токи источника, каждой из ветвей, мощность, доставляемую источником, и выделяемую в нем и в параллельном контуре при резонансе.
Решение. Находим индуктивность из формулы (0.5.19в): £= 1/юрезС = 338 мкГн.
Имея в виду, что по условию £рез = £^, по формуле (0.5.21 в) находим резистивное сопротивление
D L	338 -10 6 lx а
R =----=------г-------— = 16,3 Ом.
АрезС 69 103- 300 -10“12
Ток источника и напряжение на параллельном контуре при резонансе
г Е 200	1	А	А
/рез =-----=-------т =1,45-10 3 А = 1,45мА;
р	Ri + Rp„ 2-69-103
Upe3 = /рез^рез = 1,45 • 10 “3 • 69 • 103 = 100 В.
143
В каждой из ветвей контура токи
I	U
1ре3 JR2+
100
716,32 + 10602
= 94,2 мА;
/2рез = £ЛорезС = 100 • 2к • 500 • 103 • 300 • 10 -12 = = 94,2-10"3 А = 94,2 мА.
Мощность, доставляемая источником (РИрез)? расходуемая в нем (Рвт) и выделяемая в контуре (Ррез):
Рирез = ^/рез = 200 • 1,45 • 10 " 3 = 0,29 Вт;
Рвт = /2Л. = ^ 45.10-зр . 69 . ю3 = 0,145 Вт;
Ррез-/р2ез^рез-(1,45 ’ Ю"3)2 ’ 69 ’ 103 = 0,145 Вт.
5.36.	Для задачи 5.35 определить абсолютное значение и относительную величину полосы пропускания контура по напряжению.
Решение. Предварительно вычислим характеристическое сопротивление и добротность контура
р = У1/С = 1060 Ом; Q = p/R = 65.
Искомые значения абсолютной и относительной величины полосы пропускания контура по напряжению равны [см. формулы (0.5.33) и (0.5.34)]
2А/’0=—fl + —	—)= 15 400 Гц;
Ri J 65	\	69/
2А/о//рез=15 400/(500-103) = 0,031.
5.37.	По данным задачи 5.35 вычислить указанные там величины, если ЭДС источника останется той же (£ = 200 В), а вследствие расстройки его частота увеличится на 0,5%.
Указание. Разобрать решение задачи 5.31.
5.38.	Для контура и по данным задачи 5.35 (£ = 338 мкГн, С = 300 пФ, £=16,3 Ом) построить частотные характеристики для коэффициента передачи (Hu=U[E\ для трех значений резистивного сопротивления, равных 0,5£, £, 2R. Построение дать в зависимости от отношения расстройки частоты питающего генератора к резонансной частоте А///рез (построение сделать для частот, отличающихся от резонансной на ±10%); отношения частот ///рез (в пределах 0,9—1,1), обобщенной расстройки £, (в пределах ±4).
Построить также резонансную кривую отношения нераз-ветвленного тока к току при резонансе
5.39.	Найти резонансную частоту и неизвестный параметр параллельного контура (см. рис. 0.5.4), выделяемую в нем
144
мощность при резонансе по данным: 1) £=150 В, £1+£2 = = 22 Ом, С=300 пФ, 6 = 60, £/ = 35кОм; 2) £=100 В, L = = 10,3 мкГн, С=68 пФ, б=Ш, £г = ЗОкОм.
Для каждого из случаев вычислить абсолютное значение и относительную величину полосы пропускания.
5.40. Определить резонансную частоту и эквивалентное сопротивление контура при резонансе нагруженного на сопротивление £н (рис. 5.40), исходя из того, что сорез£»Ri.
Каковы резонансная частота и сопротивление цепи при резонансе, если £н » 1 /со С?
Рис. 5.40
5.41. Параллельный контур, параметры которого RL = = 16,3 Ом, £ = 338 мкГн, С=300 пФ, подключен к источнику с ЭДС £=200 В и внутренним сопротивлением £/ = 69 кОм.
1. Вычислить эквивалентную добротность контура и полосу его пропускания. Найти все токи и расходуемую в контуре мощность при резонансе.
2. Чему равны эквивалентная добротность контура и полоса его пропускания, если его нагрузить на резистивное сопротивление £н=138кОм (рис. 5.41,а)? Определить для данного случая токи, мощности, доставляемую источником и расходуемую в контуре и нагрузочном сопротивлении £н при резонансе.
Решение. 1. Для заданного контура вычисляем
соо= 1/V/Zc=3,14• 106 с-1, /рез«/о = а)о/2л = 500 кГц;
р = ЛД7с = Ю6О Ом, Q = p/RL= 1060/16,3 = 65;
Лрез = б2Ль = 69 кОм.
Эквивалентную добротность заданного контура с учетом внутреннего сопротивления источника ЭДС и полосу его пропускания определяем по формулам (0.5.31) и (0.5.33): бэк = е/(1 +RPM) = 32,5; 2А/0=/реэ/еэк= 15 400 Гц.
145
Так как данные контура, ЭДС источника и его внутреннего сопротивления те же, что и в задаче 5.35, то в решении были уже вычислены требуемые по условию /рез, т г р р 21рез? 72рез? 1 ирез? 1 рез*
2. Решение задачи в случае нагрузки контура на сопротивление 7?н проще всего получить, осуществив замену относительно зажимов ab заданного источника ЭДС с Е и Ri и подключенным к нему параллельно сопротивлением 7?н (рис. 5.41,6), эквивалентным с ЭДС Еэк и внутренним сопротивлением 7?эк (рис. 5.41, в). Для определения Еэк отключим параллельный контур (см. рис. 5.41,6 и в) и вычислим напряжение холостого хода Uab, равное Еэк:
Еэк = ERn/(7?н + Rt) = 200 • 138/(69 + 138) = 133 В.
Сопротивление короткого замыкания равно внутреннему сопротивлению эквивалентного источника (рис. 5.41, г):
Яэк = RHRi/(Rn + R^ = 69 • 138/(69 +138) - 46 кОм.
Для схемы рис. 5.41, в согласно формулам (0.5.31) и (0.5.33) эквивалентные добротность и полоса пропускания соответственно равны
QL = 2/(1 +Т?рез/Аэк) = 26; 2А/о=/рез/2эК=19 200 Гц.
Следует отметить, что подключение к контуру сопротивления 7?н приводит к уменьшению эквивалентной добротности и увеличению полосы пропускания.
Рассчитываем ток в неразветвленной части заданной цепи, напряжение на контуре, токи в ветвях контура и нагрузочном сопротивлении 7?н, мощности, доставляемую источником и выделяемую в контуре и сопротивлении RH:
, _	Е	200
рез	р р
/X11/vPCi + ^рез
= 1,74 мА;
138-69
69 Н--------
138 + 69
С/;ез = Е- I^3Ri = 200 - 1,74 • 10"3 • 69 • 103 = 80 В;
г/ _____	Грез
* 1рез /-	— — 
7^1+ (®рез£)
80	с .
—------------= 75,5 мА;
716,з2+юбо2
/грез=-^=75,5 мА; I' ез = ^-3 = 0,58 мА;
1	ки
---С (Орез
-Рирез = Е1^3 = 0,348 Вт; Р'т = I^3Rt = 0,209 Вт;
Ркрез = Лре,7?ь = 0,093 Вт; Р' = /'резЛн = 0,046 Вт.
Проверка показывает, ЧТО Рврез = Рнрез +Р^рез +Р’вт-
146
5.42.	Решить задачу 5.41, если принять, что нагрузочное сопротивление: a) Rn = Ri и б) R^Rijl. Остальные данные те же, что и в задаче 5.41.
В. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ОДИНОЧНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ ЦЕПЕЙ
5.43.	Параметры последовательного колебательного контура имеют следующие значения: 7?=10Ом, £=100мкГн, С=100пФ, (7=1 В (см. рис. 0.5.1). Вычислить резонансную частоту. Рассчитать и построить кривые зависимостей в функции со: полного сопротивления Z, тока /, сдвига фаз Ф между Си/, модуля отношения UqIU и его фазу ф'. Пределы изменения со от О,95со0 до 1,05(оо, шаг Асо = 0.01а)о.
Решение. Резонансная частота
coo=l/v/bC = l/V100’10“6'100’10-12 =1°7 с-1-
Расчетные формулы:
• Сс I /е"7ф	/
_Г _.____________;___е - J (ф + 90 )• и jaCU jaCU wCU
ф'= - (ф + 90°).
Для расчета требуемых зависимостей удобно пользоваться следующей программой, которая приведена далее с пояснениями. Переключатель Р-Г в положении Г.
F АВТ. Заносим в регистры памяти: (Omin = 0,95  107 = Pl;	L= 10“4 = Р2;
С=ИГ10 = РЗ; Д=10 = Р4;	С=1=Р5;
Асо=105 = Р6; сотах= 1,05- 107-Р7; В/О С/П. На табло читаем первые значения <omin = 9 500 000 С/П Z=103.1 С/П /=9.7-10“3, С/П ф=—84.4° С/П Я(со)=10.2 С/П ф'=— 56°. Продолжая нажимать С/П, будем поочередно получать все значения в том же порядке. По окончании расчетов на табло высветится (—-Асо) = — 100 000. Результаты расчетов сведены в табл. 5.3. По этим результатам на рис. 5.43 построены кривые.
I z
град
Рис. 5.43
147
B/O F ПРГ
Программа
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
00	ИП1	61	Вызов со из регистра 1
01	С/П	50	Останов для регистрации со
02	ИП2	62	Вызов L из регистра 2
03	X	12	Вычисление coL
04	ИП1	61	Вызов со из регистра 1
05	ИПЗ	63	Вызов С из регистра 3
06	х	12	Вычисление соС
07	F 1/х	23	Вычисление 1/соС
08		11	Вычисление coL — 1 /соС
09	П8	48	Запись этой величины в регистр 8
10	Fx2	22	Вычисление (со L — 1 /со С)2
11	ИП4	64	Вызов R из регистра 4
12	Fx2	22	Вычисление R2
13	+	10	Вычисление R 2 4- (coL — 1 /соС)2
14		21	Вычисление Z
15	П9	49	Запись Z в регистр 9
16	С/П	50	Останов для индикации Z
17	F \/х	23	Вычисление 1 /Z
18	ИП5	65	Вызов U из регистра 5
19	X	12	Вычисление I=U!Z
20	ПО	40	Запись I в регистр 0
21	С/П	50	Останов для индикации I
22	ИП8	68	Вызов со£—1/соС из регистра 8
23	ИП4	64	Вызов R из регистра 4
24	4-	13	Вычисление (coL—1/соС)//?
25	F arctg	1L	Вычисление ср
26	ПА	4-	Занесение ср в регистр А
27	С/П	50	Останов для индикации ср
28	ИП1	61	Вызов со из регистра 1
29	ИПЗ	63	Вызов со из регистра 3
30	X	12	Вычисление соС
31	F 1 /х	23	Вычисление 1/соС
32	ИПО	60	Вызов I из регистра О
33	X	12	Вычисление Н (со) = — ®си
34	ПВ	4L	Запись /7 (со) в регистр В
35	С/П	50	Останов для регистрации //(со)
36	ИПА	6-	Вызов ср из регистра А
37	9	09 1	Запись числа 90 в регистр X
38	0	00 )	
39	+	10	Вычисление ср + 90°
40	/ /	0L	Вычисление ср'
41	С/П	50	Останов для индикации ср'
148
Продолжение программы
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
42	ИП1	61	Вызов со из регистра 1
43	ИП6	66	Вызов Асо из регистра 6
44	+	10	Вычисление сон = со + Асо
45	П1	41	Запись сон в регистр 1
46	14	0£	Образование (— сон)
47	ИП7	67	Вызов сотах из регистра 7
48	+	10	Вычисление А = сотах — сон
49	Fx<0	5С	Проверка условия А<0
50	00	00	Переход при А^0
51	С/П	50	Останов программы
Таблица 5.3
со, с 1	Z, Ом	7, А	<р, град	Н	град
0,95 107	103.1	9,7-10-3	-84.4	10.2	-5.6
0,96  107	82.3	1,2- I02	-83.0	12.7	-7.0
0,97  107	61.7	1,6 -10-2	-80.7	16.7	-9.3
0,98 107	41.6	2,4- 10‘ 2	-76.1	24.5	-13.9
0,99 -107	22.5	4,5- I0 3	-63.6	45.0	-26.4
1,0 107	10	1,0-10’1	0,0	100.0	-90.0
1,01 • 107	22.3	4,5-10“2	63.3	44.5	-153.3
1,02 107	40.9	2,4- 10 2	75.8	24.0	-165.8
1,03 ю7	60	1,7 • 10“2	80.4	16.2	-170.4
1,04 107	79.1	1,3  10“2	82.7	12.2	-172.2
1,05 107	98.1	1,01 10-2	84.2	9.7	-174.2
5.44.	По данным предыдущей задачи составить программу расчета в функции обобщенной расстройки £, следующих величин, по формулам, которые имеют такой вид:
Z=/?71+V; Z=L//(2?X/1+V); <P = arctg^;
Uc=UQlJ\^¥.
Здесь ^ = 2(9——обобщенная расстройка; Q = -J IJC jR— доб-COo
ротность контура. Значения изменять в пределах +0,1 с шагом А£, = 0,01.
149
5.45.	В схеме цепи параллельного колебательного контура с потерями только в индуктивной ветви (см. рис. 0.5.3) рассчитать и построить частотные характеристики сопротивления контура ZK, тока I в неразветвленной части цепи, угла сдвига фаз между входным напряжением U и током I. Дано: U—25 В, Л = 4 Ом, L — 3 мГн; С= 120 мкФ. Независимой переменной считать со, пределы ее изменения 0,5сорез^со^ 1,5сорез, шаг изменения Дсо = 0,1 сорез.
Решение. Вначале по (0.5.19а) и (0.5.20) вычислим характеристическое сопротивление р и резонансную частоту
р=^/3 • 10-3/(120 • 10“6) = 5 Ом.
Отношение R/р = 0,8, т. е. контур весьма низкодобротен
Х/3-1О”3-12О1О“6У 52
Выражения для требуемых зависимостей могут быть получены из формул
ZK=-----/= —
л+;(сол-—) у	соС у
и имеют вид
/(L/C)2+(A/coC)2	U
‘ Л//?2+ (®Ь-1/а>С)2’	Z;
<p= — arctg (R/coL) — arctg (&>Л — 1/<вС)/Л.
Расчетные формулы
625+[4/(120-10'6ю)] 2	_25
16+ [3 - 10“3<в-1/(120 • 10'6со)] 2 ’ ~Z?
<р=—arctg[(4/(3 • 10 Зи)]—arctg[3 • 10 Зсо—1/(120  10 6<о)]/4.
Для расчета характеристик составлена следующая программа. Переключатель Р-Г в положении Г.
150
B/O F ПРГ
Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИП1	61	20	+	10	40	П7	47
01	С/П	50	21	ПД	4Г	41	ИПС	6С
02	ИПЗ	63	22	ИП2	62	42	ИП4	64
03	X	12	23	ИПЗ	63	43	—	13
04	F \/х	23	24	4-	13	44	F arctg	1L
05	П6	46	25	Fx2	22	45	/-/	0L
06	ИП4	64	26	ИП8	68	46	ИП7	67
07	X	12	27	+	10	47	—	11
08	Fx2	22	28	ипд	6Г	48	С/П	50
09	П8	48	29	4-	13	49	ИП1	61
10	ИП1	61	30		21	50	ИПА	6-
11	ИП2	62	31	С/П	50	51	+	10
12	X	12	32	Fl/x	23	52	П1	41
13	П9	49	33	ИП5	65	53	14	0L
14	ИП6	66	34	X	12	54	ИПВ	6L
15	—	11	35	С/П	50	55	+	10
16	ПС	4С	36	ИП4	64	56	Fx<0	5С
17	Fx2	22	37	ИП9	69	57	00	00
18	ИП4	64	38	н-	13	58	С/П	50
19	Fx2	22	39	F arctg	1L		FABT	
Заносим в регистры памяти ПМК: comin = 500 = Р1; £ = 3 10 3 = Р2; С= 120-10 6 = РЗ; £ = 4 = Р4; £=25 = Р5; Асо=100 = РА; comax = 1500 = РВ; В/О С/П и, как и в предыдущей задаче, получим последовательно для каждого со соответствующие ZK, /, ср. Результаты расчетов (округленные) приведены в табл. 5.4.
5.46. Параметры параллельного контура (рис. 0.5.3) таковы: R = 8 Ом, £—1,6 мГн, С=2,5 нФ. Отсюда видно, что контур добротный. Определить те же характеристики, что и в задаче 5.45 при изменении ш от 0,5юр до 1,5о)р, и сопоставить их с полученными в предыдущей задаче.
Указание. Для расчета характеристик рекомендуется воспользоваться программой, составленной в предыдущей задаче, введя в регистры памяти данные этой задачи.
5.47.	Частотные характеристики цепи (рис. 5.47), содержащей параллельный колебательный контур, подключенный к источнику ЭДС Е с внутренним сопротивлением Rh включают в себя зависимости от частоты
Таблица 5.4
со, с-1	ZK, Ом	I, А	Ф, град	со, с-1	ZK, Ом	I, А	Ф, град	со, с-1	ZK, Ом	I, А	Ф, град
500	4.54	5.51	5.78	900	5.82	4.30	2.64	1300	7.58	3.30	-13,61
600	4.78	5.23	5.92	1000	6.25	4.	0.	1400	7.91	3.16	-19,94
700	5.08	4.92	5.51	1100	6.71	3.73	-3.57	1500	8.09	3.09	-26,85
800	5.42	4.61	4.45	1200	7.17	3.49	-8.11				
151
(обобщенной расстройки) полного сопротивления цепи Z, тока I в ее неразветвленной части, отношения напряжения на контуре (7К к напряжению на нем при резонансе С/к0. Выражения указанных зависимостей в функции обобщенной расстройки £ имеют вид
z=ч/(аэк+/?1)2+л'эк; i=eiz-,
u.iul0=
7Z3K Ri 4- Rq
^Ro Zy/l+t,2
где
RiR2 + L/C
R°~' ^/+/^2	’ Лэк-7?о/(1+5 );
хэк=-^эк; /о=г/{^+£о); z3K=T?0/yr+F-
Дано: £=100мкГн, С=100пФ, Л^ЮОм. £2 = 20Ом, 7< = 50кОм, £=200 В.
Составить программу расчета указанных выше зависимостей в функции обобщенной расстройки Пределы ее изменения О^^З, шаг изменения А^ = 0,5.
Исходные данные занимают адресуемые регистры памяти с 0 по 6 и А, В, а результаты промежуточных вычислений хранятся в регистрах 8, 9, С, Д. Ниже приведена программа с пояснениями.
Ввод исходных данных: L= 100 • 10-6 = Р0; ^ = 0 = Р1; С= 100 • 1012 = Р2; Л1=Ю = РЗ; £2 = 20 = Р4; Af = 50 • 103 = Р5; £=200 = Р6; А^ = 0,5 = РА; ^тах = = 3 = РВ В/О С/П. Результаты расчета сведены в табл. 5.5.
Порядок вывода результатов следующий:	Z, I, Uk/Uk0. Про-
грамма позволяет рассчитывать частотные характеристики: цепи, содержащей параллельный контур, подключенный к источнику ЭДС с внутренним сопротивлением /<, простого параллельного контура (при £г = 0), параллельного контура без потерь в цепи конденсатора (при 7< = 0, /?2 = 0).
В/О F ПРГ	Программа
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
00	ипЗ	63	Вызов Rr из per. 3
01	ИП4	64	Вызов R2 из per. 4
02	+	10	Вычисление R = R i + R2
03	П9	49	Запись R в per. 9
04	ИПО	60	Вызов L из per. 0
05	ИП2	62	Вызов С из per. 2
152
B/O F ПРГ
Программа
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
06		13	Вычисление L/C
07	П8	48	Запись L/C в per. 8
08	ИПЗ	63	Вызов Ri из per. 3
09	ИП4	64	Вызов R2 из per. 4
10	X	12	Вычисление RiR2
11	ИП8	68	Вызов L/C из per. 8
12	+	10	Вычисление Si = RiR2 + L/C
13	ИП9	69	Вызов R из per. 9
14	4-	13	Вычисление Ro = /R
15	П8	48	Запись Rq в per. 8
16	ИП1	61	Вызов 6, из per. 1
17	С/П	50	Останов для индикации £
18	Fx2	22	Вычисление
19	1	01	Запись 1 в регистр X
20	+	10	Вычисление 1 +
21	ПД	4Г	Запись 1+^2 в per. Д
22	Fl/x	23	Вычисление 1 /(1 + £2)
23	ИП8	68	Вызов Ао из per. 8
24	X	12	Вычисление R3K
25	П9	49	Запись Аэк в per. 9
26	ИП5	65	Вызов Ri из per. 5
27	+	10	Вычисление R, 4- Яэк
28	Fx2	22	Вычисление (Ai + A3K)2
29	ПС	4С	Запись (А; + 7?эк)2 в per. С
30	ИП9	69	Вызов Лэк из per. 9
31	ИП1	61	Вызов £ из per. 1
32	X	12	Вычисление Гэк = ^э1
33	Fx2	22	Вычисление У2К
34	ИПС	6С	Вызов (Ri + R3K)2 из per. С
35	+	10	Вычисление Z2
36		21	Вычисление Z
37	С/П	50	Останов для индикации Z
38	П9	49	Запись Z в per. 9
39	F 1/х	23	Вычисление 1 /Z
40	ИП6	66	Вызов Е из per. 6
41	X	12	Вычисление 1= E/Z
42	С/П	50	Останов для индикации I
43	ИП5	65	Вызов Ri из per. 5
44	ИП8	68	Вызов Ro из per. 8
45	+	10	Вычисление Af + A0
46	ИП9	69	Вызов Z из per. 9
47		13	Вычисление (Ri + R0)/Z
153
Продолжение программы
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
48	ипд	6Г	Вызов 1 + £ из per. Д
49		21	Вычисление 1 +
50	-4-	13	Вычисление Uk/UkQ
51	С/П	50	Останов для индикации UJUq
52	ИП1	61	Вызов £ из per. 1
53	ИПА	6-	Вызов А^ из per. А
54	+	10	Вычисление £н = + А£
55	П1	41	Запись сн в per. 1
56	/-/	0L	Образование (— )
57	ипв	6L	Вызов ^тах из per. В
58	+	10	Вычисление А = дтах~Чн
59	Fx<0	5С	Проверка условия А < 0
60	16	16	Переход при А>0
61	С/П	50	Останов программы
F	АВТ		
Таблица 5.5
	Z, Ом	Д А	СЖо
0	83340.	2.3999808- 10'	1
5-Ю”1	77823.161	2.569929-10 3	9.5783267-10“1
1.	68722.469	2.9102562-10“3	8.5751111  10"1
1.5	62192.146	3.21584-10“3	7.4332074-10“1
2.	58216.072	3.4354774-10“3	6.4021463-10“1
2.5	55795.878	3.584494-10" 3	5.5473091 -10“1
3.	54263.759	3.685701-10”3	4.856726-10”1
Г. РЕЗОНАНСЫ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ
В СЛОЖНЫХ КОНТУРАХ
5.48.	Параметры параллельного контура (рис. 5.48) имеют следующие значения: А] = 10м, А1=25мкГн, С= 1600 пФ, 7?2 = 4 Ом, L2 = 150 мкГн.
Найти частоты резонанса токов, напряжений и сопротивления цепи при этих частотах. Чему равна добротность контура и эквивалентная добротность при его подключении к источнику с внутренним сопротивлением Ri = 20 кОм? Какова при этом полоса пропускания контура? Определить область частот, при которых модуль сопротивления параллельного контура больше 10 кОм. Определить эквивалентные резистивные и реактивные сопротивления контура на границах этой области. При каком условии сопротивление 154
контура при резонансе токов будет иметь максимально возможное значение?
Как нужно подключить контур к источнику синусоидальной ЭДС с амплитудой Ew=10() В и внутренним сопротивлением = 20 кОм, чтобы мощность, выделенная в контуре, была максимальна и чему она равна?
Решение. Частота резонанса (0.5.40)]
Рис. 5.48 токов [см. формулу
ссц = l/^Li + L2) с = 1,89 • 106 с-1;
Л = 1,89 • 106/6,28 = 3 • 105 Гц = 300 кГц.
Сопротивление контура при этой частоте [см. формулу (0.5.42)]
Ярез = Xj /(/?!+ Я2) = (СО1Г2)2/(Л1 + R2 ) = 16 кОм.
Частота резонанса напряжений:
(o2 = 1/7L1C1 =5 • 106 с-1; /2 = 5 • 106/2л = 795 кГц.
При этой частоте сопротивления каждой из ветвей и всего параллельного контура соответственно равны
Z1 — Ri~\-j\ (1)2^1 —-। — Ri — 1 Ом;
\	«2С J
Z у —	+ i&Ly — 4 -|~ / 750 Ом;
г=^гг='(4+.,таи । Ом.
Z1+Z2	54-/750
Добротность контура [см. формулу (0.5.41)]
„ _ Mi (Lj 4-L2) _ 1,89 • 106  175 • 10“6
У Rt+R2	5
= 66,2
и эквивалентная добротность [см. формулу (0.5.31)]
2эх = е/(1 + ^) = 66,2/(1 +^ = 36,8.
Полосу пропускания найдем по формуле (0.5.33)
2А/0=/Рез/еэк = 300/36,8 = 8,15 кГц.
Для определения области частот, при которых модуль сопротивления параллельного контура больше 10 кОм, используем формулу (0.5.27) для модуля полного сопротивления:
155
-1.
Z3K(co) = 10 ООО7?pe,/x/T+F = 1600/^1+7.
Отсюда найдем обобщенную расстройку = +1,25 и по формуле (0.5.27) с учетом Асо из (0.5.26) — соответствующую ей абсолютную расстройку:
1’25.'5 = 17 9 00 с
2(L1 + L2) 2-175-10~6
А/=17 900/271 = 2850 Гц.
Искомая область частот, при которой Z3K(co)> 10 кОм, определяют из неравенства (/} —A/)</<(/t + A/) или 297 250 Гц </<302 850 Гц.
Эквивалентные резистивное и реактивное сопротивления при ^=1,25 найдем по (0.5.27)
R3K =	= 6,25 кОм, Хэк = - 2Ц ^=—7,81 кОм.
ЭК .	~2	’ ЭК	1 1^2^	’
Вычислим максимально возможное сопротивление параллельного контура при резонансе токов. Оно имеет место тогда, когда вся индуктивность сосредоточена в одной из ветвей, а емкость — в другой. В этом случае согласно формуле (0.5.21 в)
/?ре., = -Л. = -17—<1._=21,8  103 Ом = 21,8 кОм.
рез RC 5 1600-Ю12
Наконец, решим вопрос об условиях подключения контура к источнику ЭДС, с тем, чтобы в нем была выделена максимальная мощность. Как известно, это будет в случае, если сопротивление контура при резонансе 7?рез равно сопротивлению источника Rt. Для этого используем свойство сложного параллельного контура изменять свое резонансное сопротивление при перераспределении его реактивных элементов по отдельным ветвям без изменения частоты резонанса токов. Обозначим значение индуктивности правой ветви контура, удовлетворяющей требованиям задачи (R'^ = R^. через £'2, тогда с учетом (0.5.42) получим
7?рез = (^17/) 2/(7?i + Ri) = Ri-
Отсюда
£'2 =	= 720_1(71 = 167 • ИГ6 Гн.
2	-	1,89-106
С01
Максимальная мощность, выделяемая в контуре при
указанном условии,
Pmax = f	= 1222 20-103 = 0,0625 Вт =
\R'vn+Ri) 2(40-103)2
= 62,5 мВт.
156
5.49.	Для контура, изображенного на рис. 0.5.5, найти резонансные частоты и вычислить его резистивное, реактивное и полное сопротивления при этих частотах. Дано:
= 9,4 Ом, £1 = 256 мкГн, Ct = 270 nO, Я2 = 12Ом, L2 = = 660 мкГн, С2 = 430 пФ.
5.50.	Как надо перераспределить индуктивности катушек Lt и L2 между отдельными ветвями контура задачи 5.48, чтобы при той же частоте резонанса токов полное сопротивление параллельного контура равнялось 12 кОм?
Решение. Пусть при требуемых условиях (cDi остается той же) полная индуктивность контура L = L1 + L2 = 175 мкГн распределится так, чтобы в левой ветви была индуктивность £', а в правой — L" = L — L'. При этом полное сопротивление контура [см. формулу (0.5.42)] при частоте резонанса токов: Rpe3 = 12 000=(&lL")2/(Rl + R2).
Отсюда
L" =	+	= j30 мкГн,
0)1
£' = £-£" = 175-130 = 45 мкГн.
5.51.	Дан колебательный контур (рис.	I	X *
5.51). Найти емкости Ct и С2, если известно, °	[К
что Ri = 5 Ом, £! = 150мкГн, сопротивление V ?== контура при резонансе Rpe3 = 20 кОм и пол- р 1 ная емкость контура С = 500 пФ ( С = С1С^ • (.	|	•----
\ Cl + С2 /	I------1
Как надо включить элементы этой схемы, чтобы сопротивление контура было мак- Рис- 5 51 симально и чему оно при этом равно?
5.52.	Контур имеет в каждой ветви индуктивную катушку, конденсатор и резистор (см. рис. 0.5.5). Определить резистивную и реактивную составляющие эквивалентного сопротивления контура для частоты, которая на 0,5% отличается от частоты резонанса токов. Значения параметров контура взять из задачи 5.49.
Указание. Решение задачи начать с разбора решения задачи 5.31.
5.53.	Сложный параллельный контур (см. рис. 5.48), параметры которого взять из условия задачи 5.48, подключенный к источнику синусоидальной ЭДС с амплитудой £w=100 В и внутренним сопротивлением 7^ = 20 кОм, зашун-тирован резистором с резистивным сопротивлением 7?н = 30 кОм.
Рассчитать действующее значение тока источника, токов в ветвях контура и в нагрузочном сопротивлении 7?н в
157
режиме резонанса токов и при расстройке частоты источника на 0,5%.
Какое сопротивление 2?ш надо взять вместо Rn, чтобы при резонансе токов в контуре была выделена максимальная мощность?
5.54.	Дан контур (см. рис. 5.48) с полосой пропускания 5 кГц, добротностью 100 и индуктивностью L — Li + L2 = = 400мкГн. Коэффициент включения mL = 0,6. ЭДС источника £=200 В, его внутреннее сопротивление £f = 62,5 кОм. Найти £1? L2, С, 7?i, R2 (полагать, что Rt = R2). Определить частоты резонансов токов и напряжений, токи и мощности, потребляемые контуром при этих частотах.
5.55.	Определить значение сопротивления R2, при котором в цепи рис. 5.55, а имеется резонанс напряжений на частоте f= 500 Гц. Вычислить токи. Построить векторную диаграмму. Дано: R1=2,l Ом, £ = 286 мкГн, (S’=318 мкФ, СЛ=30 в.
Решение.
оэ£ = 2я • 500 • 286 • 10 ’ 6 = 0,9 Ом;
—=--------?-----. = 1 Ом;
соС 2л • 500- 318 1(Г6
Z3K = 2,7 +/0,9 +	=2,7 +/0,9 +	’
/<2 —J 1	+ 1
При резонансе реактивная составляющая сопротивления Z3K R2
должна быть равна нулю, т. е. 0,9-------^— = 0, откуда
Л2 = 3 Ом.
При найденном значении Л2 полное сопротивление цепи имеет только вещественную составляющую:
=2,7+ —^— = 2,7+ S- = 3 Ом.
эк ’	А22 + 1	32+1
158
Рис. 5.57	Рис. 5.58
Рис. 5.59
Токи в неразветвленной части цепи и параллельных ветвях
Л = U/R3K = 30/3 = 10 А;
/2 = Л ~jXc = 10-=^-= 1 -;3 = 3,16е"-/71°35' А;
Ri-jXc 3-/1 J
I3 = д _i2 = ю - (1 -j3) = 9 +j3 = 9,5eJ 18°25' A.
На рис. 5.55,6 начерчена векторная диаграмма. На основе расчета отложены векторы токов 12, 1з и далее построены векторы
I2R2 = —iiRx и и	= ДR\
Наконец, построен вектор, являющийся суммой векторов напряжений на неразветвленном IiZi и на параллельном I2Z2 участках.
5.56.	К зажимам цепи (см. рис. 5.55) подведено напряжение частотой /. Параметры цепи Т?19 L и С известны. Определить, каким минимальным активным сопротивлением R2 можно шунтировать конденсатор емкостью С, при котором еще может иметь место резонанс. Чему в этом случае равен ток в неразветвленной части цепи?
5.57.	Определить, при каком значении и характере сопротивления Zx в цепи (рис. 5.57) показание ваттметра наибольшее, если известно, что Л2 = 8Ом, У/2 = 6Ом, 7?з = 12Ом, Хс = 5 Ом, [7=110 В. Чему равно показание ваттметра при этом режиме? Построить векторную диаграмму.
Указание. Требуемое условие будет выполнено при резонансе напряжений.
5.58.	При каком реактивном сопротивлении Z3 (рис. 5.58) приложенное напряжение U и ток 7t совпадут по фазе? Дано: Zt = (12+7*14) Ом, Z2 = (10+j15) Ом. Для найденного значения Z3 вычислить все токи и построить векторную диаграмму при U= 120 В.
5.59.	При каком индуктивном сопротивлении XL в цепи (рис. 5.59) наступит резонанс напряжений? Вычислить токи
159
и построить векторную диаграмму, если /?! = 1,5Ом, Ус=1,25 0м, Л2 = 3 0м, Л3 = 5Ом, 17= 120 В.
5.60.	В цепи (рис. 5.59) имеет место резонанс. В этом режиме в ее неразветвленной части проходит ток 1=2,5 А при (7=110 В. Известно: At=24 Ом, XL = 32 Ом, /?3 = 40 Ом. Вычислить сопротивление R2 и емкостное сопротивление Хс. Найти все токи.
5.61.	Определить частоты резонансов напряжений и токов в цепи (рис. 5.58), если известно, что Л^ПОм, Lx = 0,31 мГн, Л2 = ЗОм, £2 = 0,29 мГн, С=11,6мкФ.
Глава 6
Связанные электрические цепи
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Схемные признаки связи. Различают внутреннюю (рис. 0.6.1, а) и внешнюю (рис. 0.6.1, б) связь двух контуров. Сопротивление элемента, общего для обоих контуров, называют сопротивлением связи.
Для количественной оценки взаимного влияния двух контуров служит коэффициент связи к:
k = ^/kYk2 (къ к2 — степени связи).	(0.6.1)
Для схемы (рис. 0.6.2)
k=Mly/LiLz.	(0.6.2)
2.	Индуктивно связанные цепи. Приступая к расчету электрической цепи с взаимной индуктивностью, следует на схеме отметить стрелками произвольно выбираемые положительные направления токов в ветвях (и контурных токов в случае применения метода контурных токов). Кроме того, одинаковыми условными значками (буквами, звездочками, точками и т. п.) обозначить одноименные зажимы каждой пары индуктивно связанных элементов цепи (катушек).
Одноименными считаются такие зажимы, при одинаковых
160
положительных направлениях токов, относительно которых магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются.
Заметим, что при наличии трех (или более) индуктивно связанных катушек зажимы второй и третьей катушек, являющиеся одноименными по отношению к какому-либо зажиму первой катушки, могут в общем случае оказаться разноименными относительно друг друга. В таком случае каждая пара одноименных зажимов отмечается особыми значками.
Указанное правило разметки зажимов и выбора знаков справедливо, если М считать всегда положительным.
При составлении уравнений второго закона Кирхгофа с помощью комплексных чисел QrZ/=££) ЭДС взаимной индукции Eks=—j(£)Mksis обычно из части уравнения, содержащей ЭДС, переносится с переменой знака в другую часть, содержащую падения напряжения, в виде членов типа ± Uks = ±jaMksIs = ± ZksIs.
Верхние (положительные) знаки принимаются тогда, когда при обходе контура, содержащего ветвь к, направление обхода этой ветви и положительное направление тока ветви s относительно одноименных зажимов одинаковы, в противном случае принимаются отрицательные знаки.
Здесь Eks — комплексная ЭДС взаимной индукции в к-й катушке, определяемая током в 5-й катушке; Mks— взаимная индуктивность этих катушек; со — угловая частота; Zks = =j(dMks—сопротивление взаимной индукции.
3.	Последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек. В этом случае эквивалентное комплексное сопротивление и эквивалентную индуктивность определяют по формулам
Z = Z1 + Z2±2Z12; |
L = Ll + L2±2Ml2, J	( ’ ’ )
где Z12=ycoAY12.
Знаки « + » и « — » соответствуют согласному и встречному включению катушек. Примеры приведены в задачах 6.4 и 6.9.
4.	Параллельное соединение двух индуктивно связанных катушек. Эквивалентное комплексное сопротивление
Z=^2^2.........,	(0.6.4а)
Z 1 + Z 2 + 2Z 1 2
эквивалентная индуктивность (при условии, что резистивные сопротивления катушек равны нулю)
LrL2 — М2 L\-{- Г>2 -4- 2Л/
(0.6.46)
6 Заказ 2113
161
Рис. 0.6.3
В знаменателе этих уравнений знак « —» ставится при согласном, а знак « + »— при встречном включении.
Примеры даны в задачах 6.11 и 6.12.
5. Уравнения второго закона Кирхгофа для двух индуктивно связанных контуров (рис. 0.6.3, а)
Zvdv —Z-1	1 ’
z	О,
(0.6.5)
где
Z 11 — Z i +j®>Li — z i +7^i — Ri i +7^11 +7^i—Ri i +7^i в Z 22 — Z 2 +j®L2 + Z H — Z 2 +j%2 + Zh~ R22 +7^22 +7^2 + + Rh +jXn = R22 +7^22 j
Zi — Rn +7^11, Z2=Rf22^~j^22^ Z*=R»+jXx Xj 1 = Xi 1 + Xi, X22 :=: X22 “h X2, R22=R22~^~Rh^
Z12—Z21 —.i^M—jxX2'
Схему рис. 0.6.3,« можно заменить эквивалентной (рис. 0.6.3, б), содержащей вносимые в первый контур резистивное и реактивное сопротивления, соответственно равные
_ Хм2 вн1 р2 I у 2 К22 T- Л 22
v _	®2м2 v _
^вн1	р2 , К2 Л 22
/\22 “Г А 22
Г _
_co2M2 . K22---r<22?
^22
C02Af2 v “7F~A22;
^22
(R\ 1 + RBni) +j(Xi 1 H-jXbhi )
(0.6.6)
(0.6.7)
(0.6.8)
6. Развязка индуктивных связей. Цепь схемы (рис. 0.6.4, а) эквивалентна цепи схемы рис. 0.6.4, в. а цепь схемы рис. 0.6.4, б—схемам рис. 0.6.4, г, Э, не содержащим индуктивные связи. Поэтому, например, при анализе цепи схемы рис. 0.6.4,« достаточно исследовать цепь схемы рис. 0.6.4, в.
Примеры приведены в задачах 6.17 и 6.25.
7. Индуктивно связанные колебательные контуры. Собственные комплексные сопротивления первого и второго контуров:
162
Z i—и Z_i —	где — G)Z/i — l/wCi, Z2—
= <b£2 — 1/<oC2. Комплексное сопротивление связи Zt2 = =jcoM=jX12.
Действующие значения токов в связанных контурах:
Л1=--..........................   -1?2/*12	....... (0.6.9)
^/(Л1 + Л,Н1)2+ (A'i + A'bhi)2 л/(Л2 + Лв„2)2+ (Л’г + Л.нг)2
f= ExXi2/Z2 = E^/Zl	(0.6.10)
^/(/?1+Л,н1)2+ (А'1+А'Ы11)2	х/(^2 + -^вн2)2+ (Х1 + Хт2)2
D ^12 п
где квн i = —у R2—резистивное сопротивление, вносимое в z2
X2
контур 1; Хвн1 = — ~^Х2— реактивное сопротивление, вно-z2
X2
симое в контур 1, ЛВн2=——резистивное сопротивление, Zi
X2
вносимое в контур 2, Хвн2= —	— реактивное сопротив-
ление, вносимое в контур 2.
8.	Резонансы в связанных контурах (рис. 0.6.5). а. Первый частный резонанс достигается изменением параметров первого контура при неизменных параметрах второго контура и постоянном коэффициенте связи к. Условие этого резонанса
163
Y2 х1эк=Y+Хвн1=Xx - X2=0, ^2
(0.6.11)
при этом вторичный ток достигает максимального значения
Г	£1*12
2Imax Z2(R1 + R,h1\
(0.6.12)
б.	Второй частный резонанс получается подбором параметров второго контура при неизменных параметрах первого контура и постоянном к. Этот резонанс имеет место при
х2эк= Х2 + Хвн2 = Х2 - Ц Xi = 0.
(0.6.13)
В этом случае ток во вторичном контуре достигает максимума
г
2IImax Z1(R2 + R№2y
(0.6.14)
в.	Сложный резонанс представляет собой такой режим цепи, когда одновременно наблюдаются первый и второй частные резонансы.
Коэффициент связи при этом имеет оптимальное значение
^12опТ ——Zyy/RzjRi — у/ZrZ2 .
(0.6.15)
В этом случае ток вторичного контура достигает максимально возможного значения («максимум — максиморум»):
^2 max max = £1/27/?1/?2,	(0.6.16)
а ток первичного контура имеет оптимальное значение: h^ = Ei!2Ri.	(0.6.17)
г.	Полный резонанс имеет место при настройке в резонанс отдельно каждого из контуров
Х1=0, Х2 = 0	(0.6.18)
и при подборе оптимальной связи между контурами копт — = 11у/0л0,2, которой соответствует сопротивление связи
Х12опт = У^Г.	(0.6.19)
При полном резонансе токи контуров имеют такие же значения, как и при сложном резонансе [см. формулы (0.6.16) и (0.6.17)].
Пример дан в задаче 6.38.
9.	Резонансные характеристики связанных контуров. Входное сопротивление системы связанных контуров (рис. 0.6.5) определяется формулой
164
У2	/	V2	\
Z=Rl + ~^R2+j	.	(0.6.20)
^2	\	^2	/
Если собственные резонансные частоты контуров <в01 и соО2 между собой близки, то при их небольших расстройках относительно частоты источника со [Асо г = (со — — (Оо1)<^(оО1 и Aco2 = (a> — соо2)^®о2 ] входное сопротивление системы связанных контуров
/ Л2 \	/
Z = ^1эк+7^1эк^( 1 + "У2 ) +7^1^1 ( 1 —
\ 1/ \
а2
1+^2 W
(0.6.21)
где £ 1 = — 2Q t —обобщенная расстройка первого кон-Ai	Woi
тура, ^2 = —~2£?2——обобщенная расстройка второго кон-(1)02
тура, А = ХГ2)^ RYR2—фактор связи.
Действующее значение вторичного тока 12, отношение этого тока к максимально возможному току во втором контуре /гМтахтах и модуль Нс коэффициента передачи (АЧХ) при одинаковых резонансных частотах контуров определяются выражениями:
j =ЕМ.
\/RiR2 ^/(Л2 + 1 — ^^2)2+ (^i + ^г)2
I2	2А
п2 =-= ——-...	—;
Л max max	Л 2 + 1 —^1^2) 2 + (^1 +^2) 2
н =Uz=____А_______
£1 (пс2лД^Г 7(л2+1 -^^2)2+ -н2)2 *
(0.6.22а)
(0.6.23а)
(0.6.24а)
При настройке отдельно каждого из контуров на одну и ту же частоту, т. е. когда 1/^/ZTcT^cooi =а>02 = различают следующие случаи связи: а) сильную (к>£кр), б) критическую (к = ккр), в) слабую (к<ккр). Критической связи соответствует значение
^ = A:kp = V(8i + 82)/2,	(0.6.25)
где 51 = 1/^21 и ^2 = 1/02 — затухания первого и второго контуров.
При слабой связи резонансная кривая тока 12 имеет один максимум, при сильной резонансная кривая тока 12 имеет два максимума, наступающих при частотах связи сох и соц (coj<coq <соц):
—7 	; соп — —_   
у/1 + Jk2-k^ , V 1 ~ >/^2-Vp
(0.6.26)
165
При небольших расстройках [А« = («> —соо)<к:«о ] системы одинаковых связанных контуров £1=£2 = !;, действующее значение вторичного тока /2, его отношения к максимально возможному току /2/72тахтах и модуль коэффициента передачи Нс определяются выражениями:
_______E.kQ______. R^+k2Q2-^2y+4^2 ’
_Ui_	QA
£1 7(1+д2-е)2+^2’
h _________T-kQ______
I2 max max ^/(1 + & 2g 2 — i;2 ) 2 + 4i;2
(0.6.226)
(0.6.246)
(0.6.235)
Полоса пропускания двух идентичных (coOi =®о2 = ®о, 51=52 = 3) индуктивно связанных контуров на уровне 1/^/2^0,707 зависит не только от затухания контуров 8, но и от коэффициента связи к.
При слабой связи и при идентичных контурах относительная полоса пропускания
(0.6.27а)
При критической связи и идентичных контурах относительная полоса пропускания
2А/о//о = >/28.	(0.6.276)
При сильной связи и при идентичных носительная полоса пропускания
//2	Г
2А/о//о = 8 / - -1 + 2-.
V \ О/	о
контурах от-
(О.6.27в)
Максимальная полоса пропускания имеет место при коэффициенте связи к = 2,418 и равна
2А/О//Отах = 3,18.	(0.6.28)
Примеры даны в задачах 6.34, 6.36, 6.38 и 6.39.
10.	Энергетические соотношения в индуктивно связанных контурах. Мощности, выделяемые в каждом из двух связанных контуров,
л-P2 = I2mR2/2 = I2R2.	(0.6.29)
КПД системы двух связанных контуров находится как отношение мощности второго контура Р2 ко всей затрачен-
166
Рис. 0.6.6
ной мощности Р — Р^ + Р^ т. е.
П = Л/(А+Л).	(0.6.30)
КПД вычисляют по формуле
П = Евн1/(Я1+/?вн1).	(0.6.31)
При настроенных первичном и вторичном контурах (АД = 0, Х2=0), но при любом коэффициенте связи к КПД
т| = £2/(<Л<72+&2).	(0.6.32)
При полном резонансе мощность во вторичном контуре достигает максимального значения, равного
Р2 тахтах = Л тахтах =	.	(0.6.33)
При этом КПД составляет 50%. Пример дан в задаче 6.43.
11.	Трансформатор с ферромагнитным сердечником. В таком трансформаторе (рис. 0.6.6, а) различают основной магнитный поток Ф, замыкающийся по сердечнику и сцепленный как с первой Wi, так и со второй w2 обмотками трансформатора, и магнитные потоки рассеяния Ф1рас и Ф2рас первой и второй обмоток, замыкающиеся по воздуху.
В трансформаторе с ферромагнитным сердечником ЭДС, наводимые основным магнитным потоком в первичной и вторичной обмотках, определяют по формулам
Е. ^4,44/Ф^; Е2 = 4,44/Фши/2.	(0.6.34)
Отсюда отношение
Ei: Е2 = Wi: ю2 = п	(0.6.35)
называют коэффициентом трансформации.
Схема замещения трансформатора с ферромагнитным сердечником, приведенная к первичной обмотке, показана на рис. 0.6.6, б. Здесь Ri и R2 — сопротивленйя провода соответственно первой и второй обмоток трансформатора;
167
Llpac, Г2рас— индуктивности рассеяния обмоток 1 и 2; Во — основная индуктивная проводимость, обусловленная основным магнитным потоком, пронизывающим сердечник; Go — активная проводимость, учитывающая потери в сердечнике. Последовательный вариант схемы замещения трансформатора с индуктивным сопротивлением Хо и сопротивлением потерь в сердечнике Rq показан на рис. 0.6.6, в. Штрихами помечены на схемах замещения величины, измененные в соответствии с правилами приведения к первичной обмотке
й^пйе, i2=-i2;	)
п	(0.6.36)
Z^2 = n2Z2, R2 = n2R2\ Х2 = п2Х2. J
При синусоидальном напряжении уравнения Кирхгофа в символической форме для первичной и вторичной обмоток трансформатора имеют вид
Ui = RiIi +ycoLipac/i + (7ф;	(0.6.37)
+ U2\ )
.	.	>	(0.6.38)
Uf2 = I'2Zf2.	J
Примеры приведены в задачах 6.45, 6.47—6.50.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. РАСЧЕТ ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
6.1.	Резонансные частоты двух индуктивно связанных контуров (см. рис. 0.6.2) соответственно равны 8 и 10 МГц, а их емкости 50 и 80 пФ. При какой взаимной индуктивности можно получить коэффициент связи 0,05?
6.2.	Определить емкость конденсатора связи в схеме с внутренней емкостной связью (см. рис. 0.6.1, я), если С1 = С2 = 100пФ, а коэффициент связи равен 0,1.
6.3.	В схеме цепи с автотрансформаторной связью
= 20 мкГн, Q = 50 пФ, Ь2 = 6 мкГн резонансная частота первого контура 4 МГц. Найти коэффициент связи между контурами.
6.4.	Определить эквивалентное комплексное сопротивление цепи (рис. 6.4, а), ток и напряжения между точками а и Ь, с и d, если известны [7=130 В, Л1=2Ом, R2 = 3 Ом, соГ^ЗОм, (о£2 = 7 Ом, соМ=1 Ом.
Решение. Проследив по рис. 6.4,а прохождение тока по виткам обеих катушек, видим, что в каждой из них
168
потоки самоиндукции и взаимной индукции действуют согласно. Таким образом, катушки включены согласно. Заданную цепь можно представить схемой, показанной на рис. 6.4,6. Составим для нее уравнение второго закона Кирхгофа:
[7= Z|/~|~ Z j 27~l~ Z2/~l~ Z2 1 А
Z1 = 7?i + j&LY =2+уЗ Ом;
Z2 = 7?2+jcoL2 = 3+j7 Ом;
Z12=^21=y®^'=y1 °М-
Эквивалентное комплексное сопротивление цепи
Z=Z1 + Z2 + 2Z12 = 5+jl2=13eJ67°20' Ом.
Искомый комплексный ток
1= U/Z= 130/1 Зе767°20' = 10е ->67°20' А.
Комплексные напряжения между точками а и Ь, с и d*.
C7ab = /(Z1 + Z12) = 44,7e->3°50' В;
t7(.(J = /(Z2 + Z21) = 85,5ej2°5' В.
На рис. 6.4, в изображена векторная диаграмма. По вещественной оси отложен вектор напряжения, от него в
Рис. 6.4
сторону отставания на 67°20' направлен вектор тока, затем отложены векторы падения напряжения в каждой из катушек.
6.5ь	Для цепи (рис. 6.5, а) найти ток и напряжение между точками а и 6, с и d. Дано: Rt=2 Ом, R2 = ^ Ом, ш£х = 6 Ом, со£2 = 4 0м, сшМ=1Ом. К цепи приложено напряжение С/=100 В. Построить векторную диаграмму.
Указание. На рис. 6.5,6 дана эквивалентная схема, а на рис. 6.5, в по результатам расчетов построена векторная диаграмма.
6.6.	К цепи (рис. 6.5, а) приложено напряжение 67=100 В. Найти ток и напряжения Uab, Ucd, а также построить векторную диаграмму. Дано: Rt = 30 Ом, R2 = 50 Ом, (в£1 = 120Ом, (в£2 = ЗООм. Коэффициент связи к = 0,75.
169
Рис. 6.5
Замечание. По результатам решения обратить внимание на то, что напряжение на одной из катушек отстает по фазе от тока.
6.7.	Вычислить ток и напряжение между точками а и Ь. если Rr = 5 Ом, Я2 = ЗОм, со£1=4 0м, св£2 = 2Ом, соЛ/= = 2 Ом, 1/соС = 4 Ом, а приложенное к цепи напряжение U= 100 В (рис. 6.7). Построить векторную диаграмму.
6.8.	Вольтметр и амперметр, включенные в цепь (рис. 6.8), показали [7=88 мВ, 7=2,2 мА. Чему равна емкость С, если Rr = 9,5 Ом, coLi = 14,6 Ом, Т?2 = 11,6Ом, со£2 = 17 0м, соЛ/=3,2 0м? Частота тока /=50кГц.
6.9.	Для определения взаимной индуктивности двух катушек их соединили последовательно и подключили к источнику, были измерены напряжение, ток и мощность в двух случаях: а) зажим 2 первой катушки соединен с зажимом 3 второй катушки (рис. 6.9, а), б) зажим 2 первой катушки соединен с зажимом 4 второй катушки (рис. 6.9, б). Показания приборов при первом опыте: Ux = 120 В, 1Х = 12 А, Рг = 864 Вт; при втором Л/2 =120 В, 72 = 10А, Р2 = 600 Вт. Чему равна взаимная индуктивность катушек, если частота переменного тока /=50 Гц? Выяснить, в какой из двух схем катушки соединены согласно.
Решение. По данным первого опыта найдем полное сопротивление схемы Zl9 ее резистивное R{ и реактивное сопротивления Хт: Zl = UJIi = 10 Ом; R{ = PJI\ = 6 Ом; = = 7-Zi2--«i2 = 8 Ом.
170
Аналогично из данных второго опыта: Zn= С/2//2 = 12 Ом; /?„ = Р2/7^ = 6 Ом; Хп = 7Zg— Rg = 10,4 Ом.
Равенство полученных значений резистивного сопротивления R{ = Rl{ свидетельствует об отсутствии ошибок измерения. Реактивное же сопротивление во втором опыте оказалось больше, чем в первом (yn>^i)- Это указывает на то, что вторая схема соответствует согласному включению, а первая — встречному.
Искомую взаимную индуктивность найдем из уравнений: (в£1 + со£2 + 2соМ=Хп и (dLl + (dL2 — 2®M=Xl.
Вычитая одно уравнение из другого, получим М=(ХП — - )/4со = (10,4 - 8)/(4 • 2л50).= 1,91 мГн.
171
6.10.	При включении одной первой катушки (рис. 6.10, а) приборы показали Ur = 52 В, Ц = 4 А, Рг = 80 Вт, а при включении одной второй катушки (рис. 6.10, б) С/2 = 52В, /2 = 4,16А, Р2 = 60,5 Вт. При включении же катушек по схеме рис. 6.10,в приборы показали {7=76 В, 1=4 А.
Выяснить, включены катушки согласно или встречно, и подсчитать взаимную индуктивность М, если частота переменного тока /=50Гц.
6.11.	Даны две параллельно соединенные катушки (рис. 6.11, а), параметры которых Rr = 20 Ом, соЛ = 10 Ом, R2 = 20 Ом, со£2 = 20 Ом и сопротивление взаимной индукции соМ=10 Ом. К цепи подведено напряжение U =150 В. Найти токи и построить векторную диаграмму. Определить показание каждого ваттметра и мощности тепловых потерь в каждой из ветвей.
Решение. Из рис. 6.11,а видно, что катушки соединены согласно, так как каждую из них магнитные потоки само-и взаимной индукции пронизывают в одном и том же направлении. На рис. 6.11, б начерчена схема заданной цепи. Введем обозначения:
Zt = Pt H-jcoLi = 20+jl0 Ом;
Z2 = Л+7ю£2 = 20+у20 Ом; ZM=jcoAf=jlO Ом.
По законам Кирхгофа:
(6.1) (/=1^+1^,	(6.2)
/=Л+4	(б.з)
Решив совместно уравнения (6.1) и (6.2) и приняв U=U= = 150 В, получим

Z2-ZM ztz2-zj
= 4-j3 = 5e"736°5O'A;
I2 = U	= 2—j4 = 4,47e~y63°30'A;
ztz2-zi
i= Д + i2 = 6 -/7 = 9,22e ~ >49 25' A.
На рис. 6.11, в по уравнениям (6.1) — (6.3) построена векторная диаграмма. По вещественной оси отложен, вектор U. На основе расчетов построены векторы 12 и L Затем на основании уравнения (6.1) построены векторы IXR19 ixjct>L19 i2ja>M; их сумма дает вектор U. Аналогично построены векторы по уравнению (6.2). Определяем показания каждого из ваттметров
Л = Re [{7Д ] = Re [150 (4 + уЗ)] = 150-4 = 600 Вт;
172
Рис. 6.12
Рис. 6.13
Р2 = Re [Ш*2 ] = Re [ 150(2 + ;4)] = 150 • 2 = 300 Вт;
P = Re[t/Z*] = Re[150(6+j7)] = 150-6 = 900 Вт.
Тепловые потери в первой и второй ветвях
АР1=/?Я1 = 52-20 = 500 Вт; АР2 = /^?2 = 4,472-20 = 400 Вт, а их сумма АР1 + АР2 равна мощности Р, поступающей во всю рассматриваемую цепь (900 Вт).
Активная мощность Pt = 600 Вт, потребляемая первой ветвью от источника энергии, частично расходуется на тепловые потери в этой ветви (APt = 500 Вт), а остальная часть (600 — 500=100 Вт) поступает в магнитное поле, откуда вследствие взаимной индукции передается во вторую катушку. Это видно из следующего.
Напряжение взаимной индукции на первой катушке
U1M = ZMt2=jl0(2-j4)=40+j20 В,
а мощность, передаваемая полем из первой катушки во вторую,
Р1М = Re [17, Д ] = Re [(40 +/20)(4 +/3)] =
= 40-4 — 20-3 = 100 Вт.
Аналогично,
I72m = Zm/1=j10(4-j3) = 30+j40 В;
Лм = Re\U2mI*2 ] = Re [(30 +;40)(2 +/4)] =
= 30-2 — 40-4= -100 Вт.
6.12.	Вычислить токи для цепи схемы (рис. 6.12, а), параметры которой равны Z, = (204-/10) Ом, Z2 = (20+/20) Ом, ZM=jl0 Ом. Напряжение 17=150 В.
Указание. Катушки цепи, изображенной на рис. 6.12,6, соединены встречно. При указанных на схеме положительных направлениях токов система уравнений Кирхгофа будет иметь следующий вид: U=IrZ_Y — -l2zu, и=12£2-1^и- /=Л+/2.
6.13.	Подобрать емкость С так, чтобы в цепи схемы рис. 6.13 при угловой частоте <й = 5 105с-1 был резонанс
173
Рис. 6.14
Рис. 6.15
напряжений. Параметры цепи: А^ЮООм, £1=0,1 мГн, 1?2=100 Ом, £2 = 0,2мГн, ЛГ=О,1 мГн. При найденной емкости определить токи и построить векторную диаграмму, если [/=75 мВ.
6.14.	При какой емкости С, включенной в цепь (рис. 6.14), будет резонанс токов на частоте /=104Гц? Параметры цепи £1=318мкГн, £2 = 159мкГн, М=124мкГн. Вычислить токи, если [/=40 мВ.
6.15.	К первичной обмотке трансформатора без стального сердечника подведено напряжение [/х = 120В (рис. 6.15). Определить напряжение на нагрузочном сопротивлении Z при Z1=R1+j(^L1 = (10-\-j42) Ом, Z2 = j?2+jcoL2 = (15 + +/70)Ом, Z=7?-jl/coC=(5-ylO) Ом, Zm=jcoM=/20 Ом.
Решение. Система уравнений второго закона Кирхгофа для этого случая
i^-hz^u,-
ii(z2+z)-ilzM=o.
Решая эти два уравнения, получим
Д = 1-J3 = 3,16 е ~7713 5 А; /2 = 0,6-/0,8 = 1 е -’53°10' А.
Напряжение на сопротивлении Z
[/2 = /2Z= —5—/10= ll,2e~jll6°10 В.
6.16.	Во вторичной обмотке трансформатора без стального сердечника проходит ток /2 = 0,5 А (рис. 6.16, а и б). Коэффициент связи между первой и второй обмотками
Рис. 6.16
174
A: = 0,5. Вторичная обмотка трансформатора замкнута на конденсатор емкостью С. Сопротивления элементов цепи:
= 60 Ом, 0^ = 80 Ом, R2 = 90 Ом, со£2 = 45 Ом и 1/(соС) = = 210 Ом.
Определить ток в первичной обмотке Ц и приложенное к ней напряжение U.
Указание. Зная, что к = ыМ1У/®Ь1®Ь2, найдем а)Л/.
6.17.	Колебательный контур 1 без потерь индуктивно связан с короткозамкнутой цепью 2 (рис. 6.17, а). Чему равна резонансная частота, если Г^^мГн, £2 = 4мГн, М=2 мГн, С=0,2 мкФ?
Рис. 6.17
Решение. На рис. 6.17,б представлена схема, эквивалентная заданной (см. рис. 0.6.4, а ив).
Резонанс токов наступит, когда реактивная проводимость равна нулю. Вычислим ее, начиная с определения эквивалентного комплексного сопротивления двух параллельных ветвей, подключенных к точкам b и с:
_jG)QMjG)0 (L2 -M)Jw0M(L2 - м) J^qL2	L2
b2	£2
Хэк = Y ad + Yac =MC+>o(LiL22_m2) = o, или
(0 c=—-------JT,
отсюда
6.18.	Какое сопротивление ZH следует подключить к вторичной обмотке трансформатора без стального сердечника (рис. 6.18), чтобы ток на входе первичной катушки был равен 15 А и совпадал по фазе с первичным
175
напряжением Ur = 120 В? Дано: Rt —2 Ом, со£х = 8 Ом, R2 = 3 Ом, б)£2 = 15 Ом, ®М= 10 Ом.
6.19.	К цепи, изображенной на рис. 6.19, а, подключено напряжение (7=110 В. Параметры цепи: 7?х = 20 Ом, Я2 = 15Ом, Я3 = 10Ом, £х = 0,4Гн, L2 = 0,3 Гн, Af=0,2 Гн. Частота тока f~5Q Гц. Найти все токи.
Указание. Выбрав положительные направления токов, как это указано на рис. 6.19, а, изобразим заданную цепь схемой, показанной на рис. 6.19,6.
6.20.	Найти емкостное сопротивление Хс, при котором в цепи (рис. 6.20) наступит резонанс напряжений, если известны )?х = ЗООм, ю£х=20 0м, 1?2 = 50Ом, со£2 = ЮОм, соА£=ЮОм, /?3 = 50Ом. При найденном Хс определить все токи, если [/=120 В.
Указание. Для того чтобы в цепи был резонанс напряжений, надо, чтобы приложенное напряжение U и ток Ц в, ее неразветвленной части совпадали по фазе. Поэтому найдем Ц и вычислим отношение иЩ, которое должно быть вещественным значением, для этого коэффициент при мнимой части надо приравнять нулю.
6.21.	Для цепи (рис. 6.21) определить емкостное сопротивление Хс. при котором наступит резонанс токов. Сопротивления элементов цепи: Zx = (20+j34) Ом, Z2 = (12+j‘1O) Ом, Zl12=J6 ОМ? Zl3>~
При найденном значении емкостного сопротивления найти все токи, если (7=200 В.
176
Рис. 6.23	Рис. 6.24
Lt-M гЛ^ЛгМ R,/f )м\^2 У	aS
viz
yA
s)
Указание. Следует сначала определить все токи, а затем напряжение Uab на участке ab. Резонанс токов будет при условии совпадения по фазе напряжения Uab и тока /Р
По результатам вычислений должно быть получено следующее отношение:
_^2^3 ИзИ12
А	^2 + ^3
Мнимую часть этого отношения приравниваем нулю, откуда находим два значения емкостного сопротивления УС1 = 19Ом и ХС2 = 0. Второе значение ХС2 = 0 (короткое замыкание) отбрасываем как не удовлетворяющее требованиям задачи.
6.22.	При каком коэффициенте связи к в цепи (рис. 6.21) будет резонанс токов? Дано: /^=4 Ом, А\ = 6 Ом, Л2 = 4 Ом, Х2 = 6 Ом и Хс = 8 Ом. Для указанного случая вычислить токи и построить векторную диаграмму, если (7=115 В.
6.23.	Определить все токи, если сопротивления элементов цепи (рис. 6.23) Л, =8 Ом, <в£1 = 56Ом, 1?2=10Ом, ®L2 = = 20 Ом, /?3 = 15 0м, <в£3 = 20Ом, 7?4 = 5Ом, соЛ/12 = 10 Ом, юМ13 = 10 Ом.
Напряжение, приложенное к цепи, (7= 100 В. Составить баланс мощностей.
6.24.	В схеме цепи (рис. 6.24, а) определить R4 и М, при которых мост уравновешен. Дано: 7?1 = ЮОм, 7?2 = 20Ом, R3 = 25 Ом, 7^= 4 мГн, £? = 6мГн. Найти входное сопротивление цепи, если ш=10*с~1.
Решение. Воспользовавшись развязкой индуктивных связей (см. п. 6 основных положений), преобразуем исходную схему (рис. 6.24, а) в эквивалентную, не содержащую взаимных индуктивностей (рис. 6.24,6); при этом следует обратить внимание на появление новой узловой точки. Для последней схемы записываем условие равновесия моста
[7?1 +j(o (£3 - М)]	= [Л2 +>(Г2 - М)] /?3.
Приравняем соответственно вещественные и мнимые составляющие: R^R^ = R2R^ ю (7>t ~ Л/) R* = ®(L2 — М) R3. Решая эти уравнения, найдем 7?4 = 50Ом, М=2 мГн. Определим входное сопротивление цепи
177
Рис. 6.26
Рис. 6.27
2	=	^)]  ^4 [^2 +./С0 (^2 — ^)] _ Д | 5е j 3 3 40' QM
R3 + 1^1 +j(o(Z>i —М)	7^4+ 7^2 +J®(£2 —' М)
6.25.	Вычислить входное сопротивление цепи (рис. 6.25, я), если = 25 Ом, Х2 = 40Ом, Х3 = 65Ом, Х12 = 20Ом, Х23 = = 10 Ом, ^31 = 25 Ом, Ус=12,5Ом.
При каком сопротивлении Хс в цепи будет резонанс напряжений?
Указание. Заданную схему можно заменить эквивалентной, представленной на рис. 6.25, б, в которой появились новые узловые точки А, В, С. В ней следует треугольник сопротивлений АВС заменить эквивалентной звездой.
6.26.	Определить емкостное сопротивление Хс, при котором в цепи (рис. 6.26) наступит: а) резонанс токов; б) резонанс напряжений. Для каждого из случаев определить показания амперметров. Дано: С/=24В,	7?! = 20 Ом,
^=4 Ом, ^2=14 Ом, Х3 = 18 0м, Х23 = 2Ом.
6.27.	В цепи (рис. 6.27) каждая из трех катушек индуктивно связана с двумя другими. Вычислить все токи, если 2^ 1 = -\-JoLi = 7 +/20 Ом; Z 2 —	= 6 j 16 Ом, Z —
=У®Т3-;1/<оСз=Д14-22)=-;8 Ом, Z12=/4Om,	Z23 =
=;5 Ом, Z3i =/6 Ом, С/= 100 В.
178
Точкой отмечены одноименные зажимы каждой из катушек относительно двух других.
Б. РЕЗОНАНСЫ В СВЯЗАННЫХ КОНТУРАХ*
6.28.	Даны два индуктивно связанных колебательных контура (см. рис. 0.6.5), имеющих параметры: R{^= 15 Ом, £!=250 мкГн, £2=100 0м, £2 = 300 мкГн, С2 = 1150пФ, коэффициент связи £=16,5%.
При какой емкости Ci будет выполнено условие первого частного резонанса, если частота источника /=600 кГц?
Чему при этом равны токи первичного и вторичного контуров, первичная и вторичная мощности и КПД, если £1 = 50 мВ?
6.29.	В схеме цепи (рис. 0.6.5), параметры которой Ri = 15 Ом, £! = 250 мкГн, £2=100 0м,	£2 = 300 мкГн,
С2 = 1150 пФ, путем настройки первого контура и изменением коэффициента связи к требуется обеспечить режим сложного резонанса при частоте источника /=600 кГц. Чему при этом равны С1? М, первичный и вторичный токи, мощности каждого из контуров и КПД, если Ei = 50 мВ.
6.30.	Для индуктивно связанных контуров, параметры которых Ri = 15 Ом, 7^ = 250 мкГн, Л2 = ЮООм и L2 = = 300 мкГн, требуется осуществить режим полного резонанса настройкой первого и второго контуров и подбором оптимальной связи при частоте /=600 кГц. Определить С19 с2? А\2опт. Чему равны ТОКИ 7lmaxmax, I2 maxmax, мощности ^Imaxmax? ^2maxmax И КПД, вСЛИ Ei 50 мВ.
6.31.	Задана система из двух индуктивно связанных контуров (см. рис. 0.6.5) с параметрами: ^ = 12 Ом, £!=400 мкГн, Ci = 333 пФ, А2=16Ом, £2 = 500 мкГн и М= = 60 мкГн.
Рассчитать емкость С2 второго контура так, чтобы при со = 3 • 106 рад/с было выполнено условие второго частного резонанса. Чему при этом равны P1IImax, Ргптах и В, если £t = 20 В?
6.32.	Для двух индуктивно связанных контуров, параметры которых даны в задаче 6.31, определить С и Мопт, соответствующие режиму сложного резонанса. Вычислить при этом режиме Pimaxmax, Лтахтах и г|, если Ег = 20 В, со = 3-106 рад/с.
6.33.	Параметры двух индуктивно связанных контуров: Ri = 12 Ом, £!=400 мкГн, 7?2 = 16 0м и £2 = 500 мкГн.
* В данной теме рассматриваются высокодобротные контуры, имеющие важное практическое значение.
179
На сетку лампы
Рис. 6.34
Рассчитать Ct и С2 и Мопт, при которых будет режим полного резонанса. Определить Pi maxmax, Р2 maxmax и т|, если £1 = 20 В, св = 3 • 106 рад/с.
6.34.	Антенный контур I (рис. 6.34) индуктивно связан с входным контуром II усилителя. Оба контура настроены в резонанс на частоту принимаемого сигнала со = 2,5х х 106 рад/с. В антенном контуре наводится ЭДС £ь равная 100 мкВ. Дано: £1 = ЮОм, £1 = 200 мкГн, R2 = 1Q Ом, L2 = = 400 мкГн, коэффициент связи & = 0,03.
Считая входное сопротивление усилителя бесконечным, определить: емкости и С2, добротности Qv и Q2 каждого контура, взаимную индуктивность М, ток во втором контуре 12 и напряжение на сетке входной лампы при частоте соо, частоты связи coj и соп, ток 12 и напряжение на сетке лампы при этих частотах; полосу пропускания индуктивно связанных контуров, сравнив ее с полосой пропускания каждого контура в отдельности.
Решение. По условию имеем
cool — L1C1 — ю02 — 1/л/L2C2 — юо — 2,5 • 106 с х, отсюда Ci = 800 пФ, С2 = 400 пФ;
Si = VLi/Ci /£1 = 50; 22 = 7£2/С2/£2 = 50, т. е. добротности контуров одинаковы.
Взаимная индуктивность
M=ky/L1L2 =0,037200-10"6-400-10"6 =8,5 мкГн.
При (0 = 0)0! =®02 расстройка ^ = 0, тогда из (0.6.226) и (0.6.236), учитывая, что фактор связи A = ^12/7^i^2 = = (dM/x/R1R2 = 1,5, найдем 12= --— —-Д  —=3,27 мкА;
П2 = £1Яс = 3,27 мВ.
Частоты связи находим по формуле (0.6.26), учитывая, что 8=1/Q = 0,02 (в расчетаХ-ИСпользовано приближенное соотношение при 7« 1: 1Д/Г±а=+а/2):
180
Vi + V0’032-0’022 V1+2’24'10 2
2,5 IO6	2,5 IO6
СОц-------	.. —.................. —
Vi-7°,032-°>022 Vi-2,24’10'2
= (2,5 • 106 + 2,8 • IO4) c-1;
Aco2 = 2,8 • IO4 c-1.
Обобщенная расстройка S, контуров при этих частотах
^п = 22Асоп/со0 = 2 • 50 • 2,8 • 104/(2,5 • 106)= 1,12.
По (0.6.22а) и (0.6.24а) ток и напряжение при частотах связи
/2 =	, ЕА - = 3,54 мкА; U2 = EiHc = 3,54 мВ,
х/ ^1^2 х/(-42 + 1 — ^п)2 + 4^п
Относительную полосу пропускания для связи, больше критической (к>Ь), вычисляют по формуле (О.6.27в):
2А/о//о = 0,02 /f—V-1+2—=4,12-10“2. \\0,02/	0,02
Она значительно превосходит относительную полосу пропускания одиночного контура:
(2А/О//О)' = 8 = 2 • 10-2.
6.35.	Решить предыдущую задачу, если коэффициент связи уменьшен до критического значения ккр.
6.36.	Два одинаковых индуктивно связанных контура, параметры которых Lx = L2 = 250 мкГн, R{ = R2 = 10 Ом, настроены отдельно на одну и ту же частоту /о = 5-10^Гц.
Определить: полосу пропускания каждого контура, полосу пропускания индуктивно связанных контуров при критической связи, максимальную полосу пропускания двух связанных контуров; при каких коэффициентах связи полоса пропускания двух связанных контуров будет: а) в ^/2 меньше, б) в 1,2 раза больше и в) в 2 раза больше по сравнению с полосой пропускания одиночного контура.
Решение. Относительная полоса пропускания одиночного контура определяется затуханием контура [см. формулу (0.5.17)].
2А/О//О = 8 = -^-
ю
2л:5 105 - 250 - Ю 6
= 0,0127,
тогда абсолютная полоса пропускания каждого контура 2А/О = 5-105-12,7-10~3 = 6350 Гц.
181
Относительную полосу пропускания двух индуктивно связанных контуров при критической связи рассчитывают по формуле (0.6.276):
2А/о//окР = х/2б?= 1,41 -0,0127 = 0,018.
При этом абсолютная полоса пропускания
2А/Окр = 5 • 105 • 18 • 10“3 = 9000 Гц.
Максимальная полоса пропускания двух индуктивно связанных контуров [см. формулу (0.6.28)]:
2А/О//Отах = 3,1 -80,0127 = 0,0394;
2А/отах = 5 • 105 -39,4-10~3 = 19 700 Гц.
Для ответа на вопросы условия п. а и б данной задачи, условия которых соответствуют полосе пропускания при связи ниже критической, для которой 2А/о//оКр= 1,418, нужно воспользоваться формулой (0.6.27а):
или
Решая последнее уравнение относительно к, найдем £ = 3,6 • 10~3;
или
Решая эти уравнения относительно £, найдем к= 10,6 • 10“3;
в) для ответа на вопрос п. в нужно воспользоваться формулой (0.6.27в):
2А/о//о = 8^0У
к
— 1 +2- =28 5
182
или
/ lA 2	к
( - I -1+2- = 4.
\6/	5
Решая последнее уравнение, найдем к= 18,4 • 10“3.
6.37.	Полосовой фильтр состоит из двух одинаковых контуров, связанных индуктивно (см. рис. 0.6.5).
Параметры контуров: LY=L2 = 400 мкГн, С\ = С2 = = 100 пФ, /?! = R2 = 10 Ом. Определить наибольшую полосу пропускания фильтра и коэффициент связи, при котором эта полоса обеспечивается. Найти взаимную индуктивность контуров фильтра.
6.38.	Система из двух одинаковых индуктивно связанных контуров, настроенных отдельно на частоту соо = 106с-1, имеет абсолютную полосу пропускания 2А/О = 5,38 • 103 Гц и взаимную индуктивность М=340 мкГн (см. рис. 0.6.5). Определить, какова связь между контурами (слабая, сильная или критическая) при 8 = 0,024 и 8 = 0,03. Найти коэффициент связи, индуктивность и резистивное сопротивление контуров для этих двух значений 8.
Решение. Относительная полоса пропускания
2А/о2л/соо = 5,38 • 103 • 2тг/106 = 33,8 • 10“3.
Для того чтобы определить, какова связь между контурами, сравним 2А/о//о и 8: 2A/o//o8 = 0,0338/0,024= 1,41 или 2А/0//0 = 1,418, что согласно формуле (0.6.276) соответствует критической связи. При этом к = 8 = 0,024.
Вычислим индуктивности контуров при Lr=L2 = L.
Из выражения к = M!^LXL2 = MIL находим L = M[k = = 340 • 10“6/0,024 = 14,2 • 10“3 Гн= 14,2 мГн. Резистивное сопротивление контуров
R = §соо£ = 0,024 • 106 • 14,2 • 10 “ 3 = 340 Ом.
Для случая 8 = 0,03 соотношение
2А/о//о8 = 0,0388/0,03 = 1,128,
т. е. 2А/о//о = 1,1288, что соответствует слабой связи.
Для определения к воспользуемся формулой (0.6.27а), откуда Zr/8 = 0,78:
к = 0,788 = 0,78 • 0,03 = 23,4 • 10“3.
Рассчитаем индуктивности контуров. Из выражения k = MIL находим £ = М//с = 340• 10“6/(23,4• 10“3)= 14,5 мГн. Резистивные сопротивления контуров R — 8соо£ = 0,03 • 106 х х 14,5 * 10“3 = 435 Ом.
183
В. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТУРОВ
6.39.	Параметры двух одинаковых индуктивно связанных контуров: L1 = L2==L = 0,8 мГн, Q = С2 = С = 750 пФ, Rr = R2 = Я = 30 Ом, М=50мкГн. ЭДС £=120 В (рис. 0.6.5). Построить резонансную кривую тока /2 контура 2 и отношения п2 = 12/12тахтах этого тока к максимально возможному
току Z2 max max контура 2 в зависимости от частоты f с шагом ее изменения
А/=0,02/о. Расчеты провести в пределах изменения частоты 0,9/о^/^ 1,1/0-
Решение. Определим резонансную частоту
/о = 1 /рт^/Тс) = 1 /(2л\/0,8 • 10 ~ 3  750 • 10 ~12)=205 468 Гц.
Шаг изменения частоты и пределы ее изменения равны А/= = 0,02-205 468 = 4109 Гц; 184 923^/^226 013.
Расчет требуемых характеристик проводим по формулам (0.6.226) и (0.6.236), в которых k=M[L, ^ = 2QAf/f0, &f=f—f0, добротность
0,8-10“3
Проводить расчеты вручную громоздко, поэтому можно использовать приведенную далее программу.
В/О F ПРГ Переключатель Р-Г в положении Г
Программа
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
00	ИП1	61	Вызов / из per. 1
01	С/П	50	Останов для индикации f
02	ИП6	66	Вызов /о из per. 6
03	—	11	Вычисление А/=/—/0
04	ИП6	66	Вызов /о из per. 6
05	—	13	Вычисление Xflfo
06	2	02	Запись 2 в per. X
07	X	12	Вычисление 2А///0
08	НПО	60	Вызов Q из per. 0
09	X	12	Вычисление
10	С/П	50	Останов для индикации %
11	Fx2	22	Вычисление V
12	П8	48	Запись	в per. 8
13	4	04	Запись 4 в per. X
14	X	12	Вычисление 4^2
15	П9	49	Запись 4Е,2 в per. 9
16	ИП5	65	Вызов М из per. 5
17	ИПЗ	63	Вызов L из per. 3
18	—	13	Вычисление к
19	ПС	4С	Запись к в per. С
20	ипо	60	Вызов Q из per. 0
21	X	12	Вычисление kQ
22	ПД	4Г	Запись kQ в per. Д
23	Fx1	22	Вычисление (kQ)2
24	1	01	Запись 1 в per. X
25	+	10	Вычисление 1 + (kQ)2
26	ИП8	68	Вызов ^2 из per. 8
27	—	11	Вычисление Si = 1 + (kQ)2 — ^2
184
Продолжение программы
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
28	Fx2	22	Вычисление S2
29	ИП9	69	Вызов 4^2 из per. 9
30	+	10	Вычисление S2 + 4^2
31	/	21	Вычисление ^/S2 + 4£^	
32	F 1/х	23	Вычисление S2 = 1 /^/S2 + 4^2
33	ипд	6Г	Вызов kQ из per. Д
34	X	12	Вычисление kQS2
35	П8	48	Запись kQS2 в per. 8
36	ИП4	64	Вызов Е из per. 4
37	X	12	Вычисление EkQS2
38	ИП2	62	Вызов R из per. 2
39	—	13	Вычисление 12
40	С/П	50	Останов для индикации 12
41	ИП8	68	Вызов kQS2 из per. 8
42	2	02	Запись 2 в per. X
43	X	12	Вычисление п2
44	С/П	50	Останов для индикации п2
45	ИП1	61	Вызов f из per. 1
46	ИПА	6-	Вызов А/ из per. А
47	+	10	Вычисление /Н=/+А/
48	ш	41	Запись f в per. 1
49	/-/	0L	Образование (— /н)
50	ИПВ	6L	Вызов /тах из per. В
51	+	10	Вычисление А=/тах—/н
52	Fx<0	5С	Проверка условия А<0
53	оо	00	Переход при А>0
54	ипо	60	Вызов Q из per. 0
55	F 1/х	23	Вычисление 6=1/2
56	П7	47	Запись 6 в per. 7
57	С/П	50	Останов для индикации 6
58	ИПС	6С	Вызов к из per. С
59	С/П	50	Останов для индикации к
60	—	11	Вычисление А = 6 — к
61	Fx<0	5С	Проверка условия А<0
62	86	86	Переход при А>0
63	ИП7	67	Вызов 6 из per. 7
64	Fx2	22	Вычисление 62
65	/Ч	0L	Образование (—62)
66	ИПС	6С	Вызов к из per. С
67	Fx2	22	Вычисление к2
68	+	10	Вычисление к2 — Ь2	
69		21	Вычисление 53 = ^/к 2 — 62
70	пд	4Г	Запись 53 в per. Д
71	1	01	Запись 1 в per. X
72	+	10	Вычисление 1+ S3
73	г./	21	Вычисление х/1 + £3
74	Fl/x	23	Вычисление 1 / ^/1 + S3
75	ИП6	66	Вызов /о из per. 6
76	X	12	Вычисление f\
77	С/П	50	Останов для индикации fi
78	1	01	Запись 1 в per. X
79	ипд	6Г	Вызов S3 из per. Д
80	—	11	Вычисление 1 — S3
81	F\/	21	Вычисление >/1 — S3
185
Продолжение программы
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
82	F 1/х	23	Вычисление 1 /^/1 — S3
83	ИП6	66	Вызов /о из per. 6
84	X	12	Вычисление /„
85	С/П	50	Останов для индикации /„
86	ИПА	6-	Вызов А/ из per. А
87	С/П	50	Останов программы
После набора программы нажимаем клавиши F и АВТ и заносим в регистры памяти: Q = 34,4 = РО; /=184 923 = Р1; К = 30 = Р2; L = 0,8 • 10” = РЗ; £=120 = Р4; М=50 • 10"ё = Р5;/о = 205 468 = Р6; А/=4109 = = РА; /тах = 226 013 = РВ; В/О С/П.
Результаты расчета сведены в табл. 6.1.
Порядок вывода результатов следующий: /	12, п2.
Таблица 6.1
/, Гц	5	Л, А	«2
184923	-6.87	1.9583447-10“1	9.7917238-10“2
189032	-5.51	3.1839262 Ю1	1.5919631 10-1
193141	-4.13	6.1048283 • 10“1	3.0524142 10 1
197250	-2.75	1.4729407	7.3647036-10“1
201359	-1.38	1.8555429	9.2777148 • 10-1
205468	0	1.5295686	7.6478432 • 10“1
209577	1.38	1.8555429	9.2777148-10“1
213686	2.75	1.4729407	7.3647036-10“1
217795	4.13	6.1048283-10“1	3.0524142-10“1
221904	5.51	3.1839262-10“1	1.5919631 • 10-1
226013	6.87	1.9583447 10 1	9.7917238 • 10“2
После этого, нажимая С/П, выводятся на индикацию ослабление второго контура 62 = 6 и коэффициент связи контуров к. В данной задаче на табло читаем 62 = 2,9069767 • 10”2, к = 6,25 • 10 . Видно, что к>Ь, т. е. связь сильная. Тогда после очередного нажатия С/П программа выдает
частоты связи:
Рис. 6.39
/ = 200009,42, /„ = 211399,36. Программа заканчивается выводом на индикацию значения А/=4109, что свидетельствует о полном завершении программы. По результатам таблицы построена требуемая кривая (рис. 6.39).
6.40.	Два одинаковых индуктивно связанных контура (см. рис. 0.6.5) имеют следующие значения: Q =
= 78,5, Л= 10 Ом, £ = 250 мкГн, Е= 100 В, М=0,9 мкГн,
/о = 500 кГц, А/=10кГц.
Требуется рассчитать частотные характеристики /2 и и 2 в зависимости от частоты f при ее изменении в пределах
470 кГц, 520 кГц.
186
Замечание. При решении обратить внимание, что в этой задаче связь ниже критической (к<<5) и поэтому при расчете по программе, приведенной в предыдущей задаче, после вывода на индикацию требуемых значений, а также 8 и к на табло будет выведено значение Л/=10кГц (частоты связи в данном случае отсутствуют).
6.41.	Два колебательных индуктивно связанных контура (рис. 0.6.5) имеют одинаковые резонансные частоты соо, равные 2,5 • 106 с-1. Параметры контуров: 7^ = 10 Ом, 1^=200 мкГн, 21 = 50, 7?2 = 25 Ом, £2 = 400 мкГн, 22 = 40, М =8 мкГн. Рассчитать частотные характеристики: действующего значения вторичного тока /2, отношения Лг/Л max max этого тока к максимально возможному току в контуре 2, модуля коэффициента передачи Hc—U2IE. Расчеты сделать для значений со, отличающихся друг от друга на	Лео = 2,5 • 103 с-1,	пределы изменения угловой частоты
2 400 000^со^2 600 000.
Решение. Расчет характеристик проводим по формулам (0.6.22а), (0.6.23а) и (О.6.24а). При этом потребуются значения емкости С2 и обобщенные расстройки и ^2:
С2 = -4-=7-------------------- = 4-10~10 Ф = 400 пФ;
со^£2 (2,5 • 106)2-400 • 10“6
^1 = 221Лсо/соо, ^2 = 222Aco/coo.
Расчеты по указанным формулам удобно провести по следующей программе. Исходные данные занимают адресуемые регистры памяти с 0 по 8 и А, В, а результаты промежуточных вычислений хранятся в остальных адресуемых регистрах: 9, С и Д.
После набора программы заносим в программную память: соо = 2,5 • 106 = РО; 2,4 • 106 = Р1; Я1Д2 = 250 = Р2;	£^2 = 8 • 10~8 = РЗ;
М=8- 10~6 = Р4; £=100 = Р5; 2i = 50 = P6; 22 = 40 = Р7; С2 = 400 • 10~12 = Р8; Лсо = 2,5 • 104 = РА; сотах = 2,6 • 106 = РВ; В/О С/П. Результаты расчетов даны в табл. 6.2.
Таблица 6.2
со, с 1			«2	/2, А	Нс
2400000	— 4	-3,2	1.9293395 • 10’1	6.1011071 • 10“1	6.3553197
2425000	-3	-2,4	3.4295046 • 10’1	1.0845045	11.180458
2450000	— 2	-1,6	6.7727162 • 10’1	2.1417209	21.854294
2475000	-1	-0,8	9.9260982-10’1	3.1389079	31.70614
2500000	0	0	9.7300854-10’1	3.0769232	30.76923
2525000	1	-0,8	9.9481968  10’1	3.1458961	31.147485
2550000	2	1,6	7.089862-10’1	2.2420112	21.980501
2575000	3	2,4	3,7061116-10’1	1.1719754	11.378401
2600000	4	3,2	2.1254276 • 10“1	6.7211923 • 10-1	6.4626847
После вывода частотных характеристик на индикацию выводятся (нажатием С/П) значения: £ = 2,8284271 • 10-1; 82 = 2,5 • 10“2 и Лео = 25 000 с"1, что свидетельствует о полном завершении работы программы.
6.42.	Решить задачу 6.41, в которой принять М=6 мкГн, остальные данные те же.
187
B/0 F ПРГ Переключатель Р-Г в положении Г
Программа
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
00	ИП1	61	Вызов со из per. 1
01	С/П	50	Останов для индикации со
02	НПО	60	Вызов соо из per. 0
03	—	11	Вычисление Асо = со —соо
04	НПО	60	Вызов соо из per. 0
05		13	Вычисление Асо/соо
06	2	02	Запись 2 в per. X
07	X	12	Вычисление So = 2Aco/coo
08	П9	49	Запись So в per. 9
09	ИП6	66	Вызов Qi из per. 6
10	X	12	Вычисление
11	ПС	4С	Запись 51 в per. С
12	С/П	50	Останов для индикации 51
13	ИП9	69	Вызов So из per. 9
14	ИП7	67	Вызов Qz из per. 7
15	X	12	Вычисление 5г
16	П9	49	Запись 2 в per. 9
17	С/П	50	Останов для индикации
18	ИПС	6С	Вызов 51 из per. С
19	+	10	Вычисление Si = 51 + %2
20	Fx2	22	Вычисление S2
21	пд	4Г	Запись S2 в per. Д
22	ИПС	6С	Вызов	из per. С
23	ИП9	69	Вызов 5г из per. 9
24	X	12	Вычисление 51^2
25'	П9	49	Запись 51^2 в per. 9
26	ИП1	61	Вызов со из per. 1
27	ИП4	64	Вызов М из per. 4
28	X	12	Вычисление соЛ/
29	ИП2	62	Вызов R\R2 из per. 2
30		21	Вычисление y/RJF
31	4-	13	Вычисление А
32	пс	4С	Запись А в per. С
33	Fx2	22	Вычисление А2
34	1	01	Запись 1 в per. X
35	+	10	Вычисление Л2+1
36	ИП9	69	Вызов 51^2 из per. 9
37	—	11	Вычисление S2 = А 2 + 1 — 515г
38	Fx2	22	Вычисление S2
39	ИПД	6Г	Вызов S2 из per. Д
40	+	10	Вычисление S2 + S2
41	Fy/	21	Вычисление y/Si+S2
42	F 1/х	23	Вычисление 1 )JS2 + S2
188
Продолжение программы
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
43	ИПС	6С	Вызов А из per. С
44	X	12	Вычисление S3 = А/+ S2
45	П9	49	Запись 53 в per. 9
46	2	02	Запись 2 в per. X
47	X	12	Вычисление п2
48	С/П	50	Останов для индикации п2
49	ИП9	69	Вызов S3 из per. 9
50	ИП2	62	Вызов R)R2 из per. 2
51	р у/	21	Вычисление ^/RiR2
52	н-	13	Вычисление S4 = S3/RrR2
53	пд	4Г	Запись S4 в per. Д
54	ИП5	65	Вызов Е из per. 5
55	X	12	Вычисление 12
56	С/П	50	Останов для индикации 12
57	ипд	6Г	Вызов S4 из per. Д
58	ИП1	61	Вызов со из per. 1
59		13	Вычисление S4/cd
60	ИП8	68	Вызов С2 из per. 8
61	4-	13	Вычисление Нс
62	с/п	60	Останов для индикации Нс
63	ИП1	61	Вызов со из per. 1
64	ИПА	6-	Вызов Acd из per. А
65	+	10	Вычисление cdh = cd + Acd
66	ш	41	Запись cdh в per. 1
67	/—/	0L	Образование (—cdh)
68	ИПВ	6L	Вызов CDmax из per. В
69	+	10	Вычисление А = сптах — cdh
70	Fx<0	5С	Проверка условия А<0
71	оо	00	Переход при А>0
72	ИП4	64	Вызов М из per. 4
73	ИПЗ	63	Вызов LrL2 из per. 3
74		21	Вычисление LrL2
75	•4-	13	Вычисление к
76	с/п	50	Останов для индикации к
77	ИП7	67	Вызов Q2 из per. 7
78	F 1/х	23	Вычисление 32
79	С/П	50	Останов для индикации 62
80	ИПА	6-	Вызов Acd из per. А
81	С/П	50	Останов программы
189
Г. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
6.43.	Два индуктивно связанных контура имеют параметры: Li = 400 мкГн, Ct = 500 пФ, Rr = 20 Ом, Ь2 = 360 мкГн, С2 = 580 пФ, Л = 15Ом, Л/=40 мкГн.
Амплитуда ЭДС источника £'1т=100 В, его угловая частота w = 2-10<’c~1. Определить мощности Рг и Р2, расходуемые в первом и втором контурах, найти КПД при заданной связи.
Определить оптимальную связь, токи в первом и втором контурах, а также значение максимально возможной мощности и КПД во втором контуре при полном резонансе.
Решение. Реактивные сопротивления каждого контура: Xi = (oLi — 1 j(i>Cr = — 200 Ом; Х2 = со£2 — 1 /соС2 = —140 Ом.
Эквивалентные резистивное и реактивное сопротивления соответственно равны:
Лэк = Ri + Лн1 = Ri +	R2 = 20 + (21°6-4010~6)2 15 =
= 24,8 Ом;
1ЭК = Л + Твн1 = X, -	Х2 = - 200 +
(2 • 106-40-10-6)2 • 140
- ------------------= —155 Ом.
152 + 1402
Мощность, расходуемая в первом контуре,
Р1=-/12тЛ=-Г—Ул=~0,6362 -20 = 4,05 Вт,
I 2 1m I 2\Zl3J 1	2	’	’
где Z13K = I Лэк +УЛэк I = 124,8 -j 1551 = 157 Ом.
Мощность, расходуемая во втором контуре,
Р2=р22тЛ=|л2тЛн1=^0,6362 -4,8 = 0,973 Вт, где PBHi=(®Af)2P2/Z2 =4,8 Ом. кпд
п = р2/(р1 + р2) = 0,194= 19,4%.
Оптимальную связь определим по формуле (0.6.19)
Л/опт = Л^ = 2^^ = 2^5 = 8,65-10“б Гн = 8,65 мкГн. со со 2 1(г
При оптимальной связи Х1эк = 0, тогда
Лэк = Лэк = Л + Лн1 = Л +	= 27?! = 40 Ом.
190
Токи в контурах
Лттахшах —^1/2^1 =2,5 А;
_^1ттахтах®^^опт_Д. т max max \/-^ 1-^2_ъ 1А А
2т max max	„	„	Z, 10 г\.
К2	К2
Значение максимально возможной мощности находим из формулы (0.6.33)
Лтахтах = Лтахтах = £'12П1/8Л1 = 62,5 ВТ, Г| =0,5 = 50%.
6.44.	В цепи схемы (рис. 0.6.5) известны параметры £! = 350 мкГн, С! = 250 пФ, 1?1 = 10Ом, £2 = 365 мкГн, R2 = 8 Ом. Амплитуда ЭДС источника равна 200 В. Оба контура отдельно настроены в резонанс на одну и ту же частоту f0.
При каком значении коэффициента связи КПД схемы равен 75 %? Чему при этом равна мощность второго контура Р2? На сколько эта мощность меньше максимальной?
Указание. Найти резонансную частоту, затем затухания контуров и из (0.6.32) коэффициент связи и взаимную индуктивность, далее эквивалентное сопротивление Zi3K = 7?i3K+затем, найдя Zim = = Em/R13K, вычисляем Рь а из (0.6.30) — Р2 и, наконец, Р2 юаХтах =
Д. ТРАНСФОРМАТОР СО СТАЛЬНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ
6.45.	При номинальном первичном напряжении потери в стали трансформатора составляют Рст = 1 кВт. Определить потери в стали трансформатора при повышении и понижении напряжения на 10%. Частота и форма кривой ЭДС остаются неизменными.
6.46.	Первичная обмотка трансформатора со стальным сердечником в режиме холостого хода включена на напряжение С] = 100 В и по ней проходит ток Д=5А, отстающий по фазе от напряжения на угол ф15 причем cos ф] =0,7. Эта же катушка при том же напряжении, но без стального сердечника потребляет ток /2=10 А, отстоящий от напряжения на угол ф2, причем cos<p2 = 0,9. Определить потери в стали и меди и построить векторную диаграмму при наличии стального сердечника. С помощью векторной диаграммы определить Ro и Хо в схеме замещения катушки со стальным сердечником.
Решение. При отсутствии сердечника катушка имеет только потери в меди I2R— U1I2cos(p2.
Отсюда резистивное сопротивление обмотки катушки R=Utcosф2/Z2 = 0,9 Ом.
При наличии стального сердечника в катушке расходуется мощность Pi = Uili cos ф1 = 350 Вт.
191
Часть этой мощности PM = IiR = 225 Вт идет на покрытие потерь в меди, а другая часть — на потери в стали Pc? = Pi — -Рм =125 Вт.
Эквивалентная последовательная схема катушки со сталью, не имеющей рассеяния, дана на рис. 6.46, а.
На рис. 6.46,6 приведена векторная диаграмма трансформатора со стальным сердечником в режиме холостого хода. Из нее следует, что резистивная составляющая приложенного напряжения
Ur cosq>i = 7i (R+Ro),
откуда Ro= cos<pi//i —R= 100 0,7/5 — 9 = 13,1 Ом.
Из диаграммы видно, что sincpi =IrX0, и, следовательно, Х(} = Ui sin <pt Щ = 100 • 0,715/5 = 14,3 Ом. Значение ЭДС, наводимой в катушке, £=7Ч/Т?о + 2Го = 75,6 В.
6.47.	В режиме холостого хода трансформатора со стальным сердечником расходуется мощность Р = 0,2 кВт при напряжении [7=100 В и токе 7=10 А. Резистивное сопротивление его первичной обмотки Rt = 0,5 Ом и реактивное сопротивление рассеяния Xlpac = 1 Ом. Частота тока /=50 Гц.
Определить из схемы замещения сопротивления Ro и Хо (см. рис. 0.6.6, в) и составляющую приложенного напряжения 77ф, уравновешивающую ЭДС, которая индуцируется в обмотке катушки основным магнитным потоком, пронизывающим сердечник. При построении диаграммы предполагать, что ток изменяется по гармоническому закону.
Решение. Построение векторной диаграммы показано на рис. 6.47.
Из соотношения P—UIcos ср найдем, что cos ф = 0,2.
192
Отрезок Ob = I(R + R0) = t/cos ср, отсюда Ro = С/cos tyjl— — R=\,5 Ом.
Отрезок be = U sin <p = 97,9 или bc = ae + ef=IX0 + IXip!lc, отсюда Xo = 8,79 Om.
Теперь найдем U^ = y/(Oa)2 + (ae)2 = IУRq + Xq =88,5 B. Реактивный ток /р =/cos a = 10 • 87,9/88,5 = 9,94 A.
6.48.	Однофазный трансформатор U\{U2 = 6600/220 В с номинальной мощностью Р=50кВА имеет потери холостого хода РХ = 38О Вт и КПД при полной нагрузке р = 96,15% с cos ср = 0,8. Определить резистивное сопротивление первичной и вторичной обмоток, считая, что первичные и вторичные потери в меди одинаковы.
Решение. Известно, что ток холостого хода имеет небольшое значение по сравнению с номинальным током. Поэтому при холостом ходе можно пренебречь потерями в обмотке (потерями в меди) и считать, что потери холостого хода приблизительно равны потерям в стали: Рх« % Рст% 380 Вт. Общие потери мощности при нагрузке трансформатора: Рм + Рст = (1 — т\Р) coscp2/100 = 1540 Вт. Отсюда Ри = 1540-380 = 1160 Вт, Л = Р2 = 1160/2 = 580 Вт.
Номинальный ток в первичной цепи при нагрузке: 7] =Р/(71 =7,6 А; резистивное сопротивление первичной обмотки: = Pi/Zf = 10,1 Ом.
Так как по условию резистивное сопротивление первичной обмотки равно приведенному сопротивлению вторичной 1?1 = /?2 = /?2н2, где п = w1/w2 = 6600/220 = 30, то Т?2 = 10,1/302 = = 0,011 Ом.
6.49.	Опыты холостого хода и короткого замыкания однофазного трансформатора дали следующие результаты: f/lx = 400 В, Дх = 0,4А; Р1х = 20 Вт; /71к = 32В; /Ь = 5А; Р1к = 80 Вт.
Данный трансформатор — повышающий и его коэффициент трансформации л = w i / w2 = 1 /15.
Предполагая, что резистивное и реактивное сопротивления рассеяния первичной обмотки равны соответственным приведенным сопротивлениям вторичной обмотки (R1 = R2, ^1Рас — Х2рг1С = Х2), определить их значения.
При холостом ходе можно пренебречь падением напряжения в первичной обмотке, а при коротком замыкании — намагничивающей составляющей первичного тока.
Решение. На рис. 0.6.6,в изображена эквивалентная схема трансформатора.
Из опыта холостого хода, пренебрегая падением напряжения в первичной обмотке, имеем
Zx= (71Х/ДХ= 1000 Ом; coscpx = Plx/(7lx7lx = 0,125 Ом;
Хх = Zx sin <рх = 992 Ом; Лх = Zx cos <рх = 125 Ом.
7 Заказ 2113
193
Rj %ipac R? ^Zpac
o----------------------
Рис. 6.49
Если пренебречь составляющей тока /0, эквивалентная схема трансформатора при коротком замыкании примет вид, изображенный на рис. 6.49, и тогда
ZK== ^71к/Лк 6,4 Ом, cos (piк Р1к/C/1J1K 0,5,
7?i + 7?2 = ZKcospiK = 3,2 Ом;
^lpac + ^2рас = ZK SH1 ф 1к = 5,54 Ом.
Так как
=: Т^2, ^1рас = ^Лрасэ
ТО
7?i = 1,6 Ом; R2 = R'2/« 2 = 360 Ом; Jipac = 2,77 Ом;
^2рас = ^2рас/«2 = 623 Ом.
6.50.	К вторичным зажимам трансформатора предыдущей задачи подключен приемник энергии, имеющий cos ф2 = 0,92 (ф2>0), при этом напряжение на вторичных зажимах {72 = 6000 В, ток во вторичной цепи /2 = 0,25А. Найти напряжение СЛ на первичных зажимах, ток Л в первичной обмотке, КПД т| и коэффициент мощности созфр Найти потери в стали и меди при нагрузке трансформатора.
Решение. Задачу проще всего решить, если применить символический метод к эквивалентной схеме трансформатора (см. рис. 0.6.6, в).
Приведенные значения вторичного напряжения, тока и сопротивлений: С/2 = и{72 = 400 В; /2 = /2М = 3,75 A; Z2h = = С/г/Л = Ю6,6 Ом; 7?2h = Z2hcos ф2 = 98 Ом; X2H = Z2Hsin92 = = 41,6 Ом.
На параллельных ветвях напряжение
U^f2[(R2H + R2) +j(^2H + ^2pac)] = 374+jl67 В,
где 12 направлено по вещественной оси, и, следовательно, Г2 = Г2 = 3,15 А.
В режиме холостого хода сопротивление поперечной ветви
Zo = Rx +jXx = 125 + j 992 Ом.
194
Ток холостого хода
У ^^374+7167^0 4! -J58“50 =0 21_J0 35 А;
0 zQ 125+7992	7
4 = i'2 + i0 = 3,96 —/0,35 = 3,96е ~j5°5' А.
Приложенное напряжение
(А=Л21 + ^Ф = 383,5+/175 = 420е^24,5'В.
Сдвиг фаз между напряжением на входе трансформатора и первичным током ф1 = 24°15' — ( — 5°5') = 29°20'.
Мощность, подводимая к трансформатору, Рг = = UJ1 cos <р t = 1450 Вт.
Мощность, расходуемая в приемнике энергии, Р2 = = U2I2 cos ф2 = 1380 Вт. КПД трансформатора г] = Р2/Р1 = = 0,95.
Потери в стали при нагрузке трансформатора Рст = =1% 7?О = 21 Вт.
Потери в меди при нагрузке трансформатора PM = Pt — — Р2 —Рст = 49 Вт.
6.51.	К трансформатору, рассмотренному в задаче 6.50, приложено напряжение UY = 420 В. Найти напряжение U2 на вторичных зажимах при холостом ходе, пренебрегая при этом падением напряжения в первичной обмотке. Показать возможность такого пренебрежения.
Решение. При холостом ходе можно положить «Ць«420 В. Тогда U2 = UJn = 6300 В.
Падением напряжения в первичной обмотке можно пренебречь, так как	=0,41  3,2/420 = 0,003, т. е. паде-
ние напряжения в первичной обмотке составляет всего 0,3% от приложенного напряжения.
Глава 7
Цепи при периодических негармонических воздействиях
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Разложение периодических кривых в ряд Фурье. Всякая периодическая функция f(t) с периодом Т, удовлетворяющая условиям Дирихле (т. е. ограниченная функция, имеющая за период конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов), может быть разложена в тригонометрический ряд (рис. 0.7.1).
Разложение периодической функции в тригонометрический ряд можно записать в двух формах
195
/(/)=—+ £ (апcosпсо11 + bnsinwco^);
2	п=1
00
/0) = у+ X ^sin^ftV + vK).
2 п = 1
Коэффициенты ряда (0.7.1) равны
т	т
(0.7.1)
(0.7.2)
y=| f(t)dt; ап = ^, f(t)cosne^tdt;
о
о
(0.7.3)
2
bn=- f(t) sin и соrtdt.
О
Переход от первой формы ряда (0.7.1) ко второй форме ряда (0.7.2) осуществляется с помощью формул
(0.7.4)
а обратный переход
Z>„ = cn cosф„; ап = сп sinф„.	(0.7.5)
Обращаем внимание на то, что при определении угла ф„ по формулам (0.7.4), по знакам коэффициентов ап и Ь„ надо установить, в какой четверти этот угол находится. Так, если Ь„ положительно, а ап отрицательно, то угол
лежит в четвертой четверти, если Ьп<0 и ап<0, то v|/„ — в третьей четверти, если Ьп<0, то ап>0. a v|/„ — во второй четверти. Проверкой этого служат формулы (0.7.5)
При использовании первой формы разложения в тригонометрический ряд [см. формулу (0.7.1)] коэффициенты ап и Ьп зависят от выбора начала отсчета, а при использовании второй [см. формулу (0.7.2)] амплитуды зависят от выбора начала отсчета, времени t на сохраняются, а фазы получают
формы разложения
гармоник сп не зависят от выбора При сдвиге начала отсчета вдоль оси tc амплитуды сп приращение ± con tс.
Ряду (0.7.1) можно придать более компактный вид, если условно ввести отрицательные частоты и перейти к суммированию по п от —оо до +оо (в этом случае каждая гармоника, кроме нулевой, входит под знак суммы дважды):
1 00
/(/) = - («nCOSHCD1Z + Z?nsinnCD1Z).
(0.7.6)
196
Тригонометрическую форму ряда Фурье можно преобразовать в комплексную
1	00
(0.7.7)
И = — 00
где комплексный коэффициент
Рп = ап-]Ьп = Рпс~^ = Рпе 7G ф”).
Выражение (0.7.2) следует понимать так, что периодическую функцию /(/) можно представить в виде суммы постоянной составляющей я0/2 и гармонических колебаний с частотами «со1? амплитудами сп и начальными фазами (п=1, 2, ...). Если на оси частот отметить частоты
гармонических составляющих исо19 из этих точек воставить перпендикуляры, длина которых равна сп, то такой график представляет собой амплитудно-частотный спектр функции /(/) (см. рис. 0.7.2, а). Аналогичный график, на котором показаны начальные фазы — фазочастотный спектр функции /(/) (см. рис. 0.7.2, б).
Периодические функции /(/) имеют дискретный спектр.
Функцию /(/) можно изобразить в виде функции времени (рис. 0.7.1) — временное представление функции, можно показать ее амплитудно-частотный и фазочастотный спектры (рис. 0.7.2) — это представление функции в частотной об-
ласти.
2.	Случаи симметрии периодических кривых. Если периодическая кривая обладает тем или иным видом симметрии, то при ее разложении в ряд Фурье отсутствуют некоторые составляющие. В табл. 0.7.1 дается соответствующая сводка.
3.	Разложение в ряд Фурье при различных аналитических выражениях частей периодической кривой. В тех случаях, когда периодическая кривая в пределах периода имеет не одно аналитическое выражение, а разным частям периода
соответствуют различные ана-
литические выражения, например рис. 0.7.1, при расчете коэффициентов ряда, интегрирование производится по от-
дельным частям периода, соответствующим различным аналитическим выражениям (пример приведен в задаче 7.2).
197
Таблица 0.7.1
№ п/п
Кривая симметрична относительно
Математическое условие симметрии
Особенности разложения
Оси ординат (четная функция)
Д') =/(-')
Отсутствуют синусоидальные (6л = 0) составляющие
2	Начала координат		(нечетная
	функция)	\'Т\	
		0		
		7 т/г\	7"
Л0=-/Н)
Отсутствуют постоянная составляющая и косинусоидальные составляющие (а0 = =«л=о)
/(/)=-/(?+Г/2)
3 Оси абсцисс при совмещении двух полупериодов
Отсутствуют постоянная составляющая и четные синусоидальные и косинусоидальные составляющие (ао = «2п = ^2П = = С2„ = 0)
Оси ординат и оси абсцисс при совмещении полупериодов
W	0	,f(t>	\T/t г/г /	, t	
	-t	t		/3/4Т T
		с t	,r/2 \_z\_	

Отсутствуют постоянная составляющая и синусоидальные составляющие, а также четные косинусоидальные составляющие (а0 = = Ь„ = а2„ = с2„=0)
Начала координат и оси абсцисс при совмещении двух полупериодов
/(?)=-/(-,)= = -/(?+Г/2)
Отсутствуют постоянная составляющая и все косинусоидальные составляющие, а также четные синусоидальные составляющие (а0 = = ап = Ь2п = с2п = О)
4. Действующее значение периодической величины
/ т
О
(0.7.8)
198
Действующие значения периодических величин, например ЭДС (или напряжений, токов), не зависят от начальных фаз гармоник и определяются по действующим значениям их гармонических составляющих:
E=^El+El+E22+...

(0.7.9)
5.	Расчет токов в сложных цепях. Если периодическое несинусоидальное напряжение подключено к какой угодно разветвленной или неразветвленной линейной цепи, то расчет токов производится для каждой из гармоник отдельно по методам расчета цепей переменного тока. При этом индуктивные и емкостные сопротивления для п-й гармоники равны соответственно и l/«cotC. Расчет постоянной составляющей тока производится по методам расчета цепей постоянного тока. После этого можно подсчитать действующие значения токов, проходящих в отдельных ветвях, и действующие значения напряжения на отдельных участках цепи по формуле (0.7.9).
В простейшем случае неразветвленной PLC-цепи с сопротивлением для п-й гармоники Zn = ZnQj<?" = R +y^«co1L —
1 A
-----C /’ K КОТОРОИ подключено периодическое напряжение:
00
u=U0+^	+	в цепи устанавливается пери-
п = 1	0°
одический ток i=I0+ £ /„„sin^to^+^-cpJ.
п = 1
В цепи будет постоянная составляющая тока /0, если нет конденсатора.
Комплексные амплитуды гармоник тока и напряжения связаны соотношением
г =1 ej^n-^=u /Z пт пт	^nm/ — i
(0.7.10)
Примеры приведены в задачах 7.7 и 7.10.
6.	Активная Р, реактивная Q и полная S мощности
Р= £ t/„Z„cos(p„;
п = О
Q= £ t44sin<p„;
п = О
/00	00
s=ui= и« £ 1«-
У п —О и = 0
(0.7.11а)
(0.7.116)
(0.7.11в)
199
7.	Характеристики формы периодических несинусоидальных кривых. Коэффициент формы кривой /(7) — отношение действующего значения F к среднему по модулю значению за период |Fcp|:
=	.	(0.7.12)
J1/(01
о
Коэффициент амплитуды — отношение максимального значения Fma* к действующему значению функции /(/)
k=^=——(0.7.13)
а F /т	v 7
Коэффициент искажения — отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению всей функции
*-7- ;	(0.7.14)
А|и')]"4
Коэффициент гармоник — отношение действующего значения высших гармоник к действующему значению основной гармоники
кг- n=F2 	(0.7.15)
Пример приведен в задаче 7.20.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ КРИВЫХ В РЯД ФУРЬЕ
7.1. Разложить в тригонометрический ряд периодическую функцию напряжения, выражаемую кривой, симметричной относительно точки перехода через нуль (рис. 7.1, а — в). Расчеты проделать для: I) tr = T/4, 2)^ = 0, 3) tr = T/2. Для
200
a)
Опт,5i
5) 2-
Uo-
/,5
0,5
iu
,2^,
-jU
Т-1мс ; 1И-О,2мс
ТЧмс \t^0,2MC
_________	__________________________________	__________________T . T T т . t. Т т T.
О г « 6 8 10 /2/4 16 IS 20 22 2026 ZB 30 n 0 1 2 3 0 5 6 7 8 u-IO'11 Um,&
г) Г-	S)
0,5
Т=2мс ;Ь„=0,2мс Unm
T-2MC ; t^ = 0,2MC
0 2 4 8 8 10 12 10-16 18 20 22 24 26 28 50 n 0 12 5 4 5 6 7 8 ы-10^
Рис. 7.2
каждого случая на основе разложения в ряд построить амплитудно-частотный спектр.
Указание. Из табл. 0.7.1 использовать № 2 и 5.
7.2.	Разложить в тригонометрический ряд функцию, выражаемую кривой периодических импульсов напряжения постоянной амплитуды Um длительностью /и (рис. 7.2, а). Дано: Um — 10 В, /и = 0,2 мс, Т=1 мс.
Полученную функцию представить также в виде комплексного ряда Фурье. Построить амплитудно-частотный спектр в зависимости от: а) номера гармоники п и б) угловой частоты со. Такие же спектры построить, если Г=2мс, остальные данные те же.
Решение. Уравнение заданной кривой: в интервале от / = 0 до tnfi(t)=Um, в интервале от t = t„ до t=T f2(t) = O.
Разбивая область интегрирования на два участка (см. п. 3 основных положений), с помощью формул (0.7.3), учиты-
201
n	0	1	2	3	4
n(i)1 =(f)n	0	2л IO3	4л IO3	6л-103	8л-103
«M„/2 = a)„10-4	0	0,2л	0,4л	0,6л	0,8л
. ^Ми sin	 2	0	0,588	0,951	0,951	0,588
un.m, в	2	3,74	3,03	2,02	0,935
Ф», рад	—	0,3л	0,1л	— 0,1л	-0,3л
ряда
вая, что fi(t) = Um,	находим коэффициенты
и начальные фазы гармоник: t	т
и	и
f1(t)dt+ f2(t)dt * о
f£=10 —= 2;
2	1
aO _ 1 ~2~T
И
*и /»
1
т
о
Umdt=Um±
(7-1)
2 ап = -
f2{t]cQ^n^rtdt =
О	t
и "и
2 |	2U	U
- Umcosnc£)<tdt = ——sinwcOi t= — sinHOL t'
Tj m	1 MCOiT	1 и 7Ш	1 и
о
(7.2)
Ьп=±
fr (/)sinrcco1tafr+ /2(/)sinz2CO1Zt7z =
О	t
и
/» 2U Umsmn&, tdt= ——— Tcosnco, Я m 1	naj1- 1 J
и
_2
~Т
О
х (1 —coshco^h);
Unm = y/a„+bn = — x/sin2n(£i1tn + (\ -coshcojJ2 = v	nn	'	'
2Um . n(Q1ta
= —-sm—1-5;
Tin 2
tg^=5=^^=ctg^=tg(^-^\
bn 1— coswcojZh	2 у 2	2 J
и V
__ m
о ™
(7.3)
(7.4)
(7-5)
202
Таблица 7.1
5	6	7	8	9	10
ЮлЮ3	12л 103	14л-103	16л 103	18л-103	20л 103
л	1,2л	1,4л	1,6л	1,8л	2л
0	-0,588	-0,951	-0,951	-0,588	0
0	-0,624	-0,866	-0,757	-0,416	0
—	-0,7л	-0,9л	— 1,1л	-1,3л	—
фазы гар-
ряда и
начальные
Вычисляем коэффициенты
моник. При этом имеем в виду, что
(£>!= — = —=	• 103 с-1; (a1tsl =
1 т 110“3	1 и
= 2я • 10’3 -0,2 • 10’3 = 0,4я рад.
Для удобства расчеты сведены в табл. 7.1.
Искомый ряд
и = [2 + 3,74 sin (o>1t +0,3л) + 3,03 sin (2®1/+0,1л) +
+ 2,02 sin (За»! t—0,I я) + 0,935 sin (4(0! t—0,3л) — 0,624 x
x sin (6® t1 — 0,7л) — 0,866 sin (7® t1 — 0,9л) —
— 0,757 sin (8®j t — 1,1л) — 0,416 sin (9®! t — 1,3л) + ...], В, или, учитывая, что — sin^®!? — \|/„) = sin(«®1 ? — ф„±л), окончательно получим
+ 2,02 sin (3®j t—0,1 л) + 0,935 sin (4® 11 — 0,3 л) +
+ 0,624 sin (6® 11+0,3 л) + 0,866 sin (7®! t+0,1 л) +
+ 0,757 sin(8®1/ —0,1 л)+ 0,416 sin(9®j/ — 0,3л)+ ...], В.
Для определения ряда Фурье в комплексной форме [см. формулу (0.7.7)] находим комплексные амплитуды
Fn = ап —jb„=[sin п ® j /и -j (1 - cos п ® t /и)] =
_2Um . ncOiГи
~~ ~rm Sm 2 e ‘ Таким образом, комплексная
форма ряда Фурье
, П — СО _ _ т	.	/ .	\
„(,)=! у	h .
На основе полученных результатов на рис. 7.2, б изображен амплитудно-частотный спектр напряжения в
203
Рис. 7.4
(x) ft
зависимости от номера гармоники (расчеты для п от 1 до 10 даны в табл. 7.1; аналогичные расчеты для п = 11 -н 30 рекомендуется проделать самостоятельно).
По данным табл. 7.1 на рис. 7.2, в построен амплитудно-
частотный спектр в зависимости от con = z2co1. Для построения графика выбраны масштабы: по оси абсцисс одному делению соответствует 1-10"4 с-1; по оси ординат в одном делении 100 10-6В с (при построении последнего графика спектральные амплитуды приведены к нормированному масштабу путем деления на со1 = 2л:/Т).
На рис. 7.2, г построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от п при Т=2мс, а на рис. 7.2, д спектр изображен в нормированном масштабе в зависимости от соп (расчеты рекомендуется проделать самостоятельно). 4
Из рис. 7.2, в и д видно, что спектральные характеристики импульсов одной и той же длительности /и зависят от периода Т следования импульсов, и чем он больше, тем
гуще располагаются спектральные линии, а амплитуды соседних гармоник близки по значению.
На рис. 7.2, б—д отложены значения 1/2С/п, соответствующие положительным частотам. Полный спектр можно получить, если построить такой же график симметрично относительно вертикальной оси (т. е. отложить соответствующие отрезки для отрицательных частот).
7.3.	Кривая напряжения содержит четыре гармоники:
и = (80 cos 041 + 60 cos 2со11 — 15 cos 3cot t —
— 12cos4cot^+100 sin 04/ —20 sin 2co1£4-
+ 30 sin 3co11 — 8 sin 4cot t), B.
Записать эту кривую в форме ряда (0.7.2), содержащего только синусоиды с начальными фазами, и в комплексной форме [см. формулу (0.7.7)]. Начертить амплитудно-частотный спектр амплитуд и фаз в зависимости от номера гармоники.
204
7.4.	Разложить в тригонометрический ряд функцию тока, график которой выражает телеграфные сигналы при периодической передаче точек (рис. 7.4).
7.5.	Разложить в тригонометрический ряд функцию напряжения, выражаемую кривой пилообразного напряжения (рис. 7.5). Сравнить полученный результат с разложением в ряд функции, указанной в п. 3 задачи 7.1. По найденному выражению построить кривую, составленную только из постоянной составляющей и первой гармоники разложения функции, выяснить графически, насколько пилообразная кривая отличается от синтезированной кривой. То же, при добавлении к постоянной составляющей первой и второй гармоник, то же —при добавлении к предыдущему и третьей гармоники.
7.6.	Напряжение на сетке лампы имеет вид периодической ломаной линии, изображенной на рис. 7.6. Разложить в тригонометрический ряд функцию напряжения, выражаемую указанной кривой.
Указание. Уравнение кривой в интервале от 0 до
Сп /
<М1
а в интервале от со^ до 2 л
Из общего выражения следует получить частные случаи: 1) (в1/1 = 2л (сравнить полученные выражения с результатами задачи 7.5); 2) ш1/1=л, 3) (о^^Зл/2.
Б. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
7.7.	К зажимам цепи (рис. 7.7), параметры которой R = 30 Ом, 7^ = 60 мГн; 7?, = 18 Ом, приложено напряжение и = [120 + 200 sin со! t + 50 sin (3 сох t + 30°)] В.
Рис. 7.7
Частота основной гармоники /1 = 50Гц. Написать выражения мгновенных значений тока i, напряжения иаЬ на участке ab. Определить показания приборов, если Аг и Kj — приборы магнитоэлектрической системы без выпрямле
205
ния — показывают среднее значение, Л2 и V2— приборы индукционной системы — показывают действующее значение переменной составляющей, Л3 и V3—приборы тепловой системы—показывают действующее значение тока и напряжения. Вычислить активную мощность, расходуемую в цепи.
Решение. Постоянные составляющие тока и напряжения на участке ab:
А;
Uab(O) = ^1Ло) = 45 В.
Расчет для первой гармоники:
А.
Напряжение на участке ab
Uabm(l) = Im(l)Zab(i} =	) =
= 3,88е ^21°25'26,1еЖ20 = 101еу24°55' В.
Расчет для третьей гармоники:
Ли(3) —
t^(3) =----5Ое-'30----= 0 674е	19’40' д.
Z(3) А + Л1 +J^1L1
Uabm(3) — 1т(3)2(3) ~ Zm(3) (-^1 +7 За»! Lr ) — 40е'52 46 В.
Уравнения для i и иаЬ:
i= [2,5 + 3,88 sin (cOj t - 21°25') + 0,674 sin (Зс^ t-19°40')] А; uab = [45 +101 sin (®t t + 24°55') + 40 sin (3®11 + 52°40')] B. Найдем показания приборов: амперметр /О = 2,5 А;
вольтметр Vr {7о = 120В;
А Т	13,882 0,6742	А
амперметр л2 I2 = / ——|—~— = 2,78 А;
TZ ТТ	/2002 , 502
вольтметр V2 U2 = / —I—— 146 В;
л г IЗ^Б2 0Г6742 о А амперметр А3 I3= /2,5Z + —Н—-— = 3,74 А;
вольтметр V3 U3= J 1202 + ^-+~= 189 В.
Мощность, расходуемую в цепи, определяют по формуле (0.7.11а)
206
Р— Цо)Ло)+ Ц1)Л1)СО8Ф1 + Цз)/(3)СО8Ф(3)-
О С i 200 3’88 оюос' > 50	0’674 /1ПСМА/ /с™ Г>
= 120-2,5+-—•-2—cos21°25 + —•——cos49 40 =670 Вт.
V2 V2	V2 V2
7.8.	Цепь, состоящая из последовательно соединенных R = 8 Ом и £=15 мГн, подключена к периодическому напряжению с действующим значением 220 В, в разложении которого отсутствуют четные гармоники. Действующие значения гармоник связаны соотношениями: С7(3) = 0,4С7(1), t/(5) = 0,2t/(1) и Ц7) = 0,05С/(1).
Гармониками порядка выше седьмого можно пренебречь. Найти действующее значение тока и коэффициент мощности цепи. Частота первой гармоники 7^ = 50 Гц.
7.9.	Цепь, составленная из последовательно соединенных резистора и конденсатора, находится под действием напряжения
и = [100 + 200 sin сох t + 30 sin (Зсо11 — л/2)] В.
Параметры цепи R = 5 Ом, 1/(0! С) = 3 Ом.
Выразить ток i и напряжение на зажимах конденсатора ис как функции времени. Вычислить действующие значения напряжения и тока, а также мощность, расходуемую в цепи. Определить показание вольтметра, подключенного к конденсатору, если это прибор: а) магнитоэлектрической (без выпрямления) и б) электродинамической систем.
7.10.	На рис. 7.10 изображена схема цепи, параметры которой при основной частоте имеют значения со1£=12 0м и 1/(со1С) = 30 Ом, а резистивные сопротивления: Rr = = 6 Ом; R2 = 5 Ом; R3 = 20 Ом. Приложенное к цепи напряжение w = {70+ J7W(i)sinco1Z+ (7w(3)sin(3co11 + \|/3), где J7o = 30 В, t/m(1)=100B, ^m(3) = 40 В и ф(3) = 20°.
Записать уравнение мгновенного
значения тока неразветвленного участка цепи. Определить действующее значение каждого тока. Вычислить мощность, расходуемую в цепи.
Решение. Расчет постоянной составляющей. Эквивалентное сопротивление цепи и постоянные составляющие токов в неразветвленной части цепи и в ветвях с сопротивлениями R2 и 7?3 определяют по формулам
Лэк(о) = Л1+^-=100м; IIW = U0/R3KO = 30/10 = ЗА;
^2(0) —Л(0)	, D — 2,4 А; /зсо) —Л(О)~^2(О) = 0,6 А; £цо) = 0-
л2 + л3
207
Расчет для первой гармоники. Определим комплексное сопротивление трех параллельных ветвей
1/^аЬ(1)= 1/^?2(1)+ 1/Z3(1)+ 1/Z4(1) =
= l/(5+j 12)+1/20+l/(—j30) = (79,6—/37,7) 10“3 См, отсюда
Комплексное сопротивление всей цепи
Z3K(i) = /?1 + Zab(1)=16,25+/4,83 = 17e>16°30' Ом.
Комплексные (максимальные) токи в неразветвленной части цепи, напряжение на параллельных ветвях и токи в них:
Лт(1) = 100/17е>16°30' = 5,88е ->16°30' А;
Uabmm = Ami) Zab(1) = 5,88е ->16’30' • 11,4е>25°20' = 67е>8“50' В.
/2m(i)=t/abm(i)/Z2(1) = 67e>8”507(5+;12) =
= 5,15е ~>58°30'А;
/3m(1) = ^m(i)/Z3(1) = 67e>8°5(,720 =
= 3,35е78”50' А;
Am(i)= Cabm(1)/Z4(1) = 67e7'8°507(-7’30) = 2,23e7'98°50' А.
Расчет для третьей гармоники проводится аналогично:
Z1(3) = 6 Ом; Z2(3) = /?2+j3co1Z = 5+j36 = 36,5e782°10' Ом;
Z3(3) = 20 Ом; Z4(3) = -jl/^C)= -7’1/3-30 =
= —у 10 Ом;
1/Za()(3)= l/(5+j36)+1/20+l/(-j Ю) =
= (53,77+7’72,8)-IO”3 Cm;
Zab(3) = 6,56-7’8,9 = ll,05e -7'53°35' Ом;
2ЭК(3) = г1(3)+^йЬ(3)= 12,56-7’8,9= 15,35е-'35°5' Ом;
Лт(3) = 40е7'207 15,35e ~735°5' = 2,6e755°5' A;
Uabm{3) = 2,6ey55°5' 11,05e -'53°35' = 28,7e7 |O30' A;
/2m(3)= СйЬт(3)/г2(3) = 0,79е -780°w A;
Am(3)=Cebm(3)/Z3(3)=l,44ey130 A;
Am(3) = Uabm{3} I z4(3) = 2,87e>9l°30' A.
Ток в неразветвленной части цепи имеет вид
z’j = [3 + 5,88 sin (со! t — 16°30') + 2,6 sin (Зсо х1+55°5')] А.
208
Действующее значение каждого формуле (0.7.9):
тока определяют по
_2 , 5,882 + 2,62 ....
З2 4-----------= 5,45 А;
2
;= /?^±^=2,57А.
Мощность, расходуемую в цепи, находят по формуле (0.7.11 а):	Р=30 • 3 +1/2 • 100 • 5,88cos 16°30'+1/2-40-2,6х
х cos33°5' = 415 Вт.
Проверка
p=i2r1+i2r2+i3r3 =
= 5,452 -6 + 4,42 • 5 + 2,642 -20= 178 + 97 +140 = 415 Вт.
7.11.	В схеме цепи (рис. 7.11) ток, проходящий по ветви, содержащей индуктивность, имеет постоянную составляющую /2(0) = 1 А, основную гармонику /2(1) = 0,8 А и третью гармонику 72(3) = 0,3 А. Найти действующее значение приложенного к цейи напряжения и мощность, расходуемую в ней, если 7?1 = 100 Ом, 7?2 = 80 Ом, £2 = 0,2 Гн и С3 = 1 мкФ. Частота основной гармоники = 800 Гц.
209
7.12.	Найти токи, проходящие в отдельных ветвях цепи (рис. 7.12), если к цепи приложено напряжение и = = (150+100sinсохt + 50sinЗсох1) В. Дано: 7?х = 500 0м, сох£х = = 1000 Ом, Т?2 = ЮОООм, сох£2 = 500 Ом, 1/(сох С3) = 400 Ом. Чему равна мощность, расходуемая в цепи?
7.13.	Для питания нагрузочного сопротивления R2 = = 600 Ом от источника двухполупериодного выпрямленного синусоидального напряжения (рис. 7.13, а) применен фильтр, сопротивления элементов которого при частоте сох равны 7?х = ЮООм, сох£х = 3000 Ом, 1/(сохС) = 20 Ом.
Определить отношение постоянной составляющей тока, проходящего через резистор Т?2, к действующему значению всего тока, проходящего через тот же резистор при подключении нагрузочного сопротивления через фильтр (рис. 7.13, б), и сравнить с отношением тех же величин । при непосредственном подключении R2 к источнику однофазного двухполупериодного выпрямленного напряжения.
Разложение в ряд заданной кривой имеет вид
w = ^^(- + -Lcos 2(30! t — — cos4(0^ t +
n \2 1 -3	1	3-5	1
+ —cos6co< t —... |.
5-7	1	)
7.14.	Подобрать емкости конденсаторов Cx и C2 так, чтобы цепь (рис. 7.14) была настроена в резонанс напряжений для основной гармоники и не пропускала ток третьей гармоники. Угловая частота тока основной гармоники сох = 5000 с-1. Параметры цепи: 7?х = 50Ом и £ = 2 мГн. Написать выражения мгновенных значений токов и напряжения на параллельном участке цепи, если к цепи приложено напряжение и = (20 sin сох t +10 sin Зсох t) В.
Подсчитать действующие значения токов, напряжение на параллельном участке и мощность, расходуемую в цепи.
7.15.	К цепи 7.15 подведено напряжение w = (50sincox/ + + 22sin2cox/) В. Сопротивления элементов цепи (для основной гармоники) J?x = 12 Ом, 1 / (сох Сх) = 10 Ом, R2 = 12 Ом, сох£2 = 8 Ом.
210
Ri L2
Рис. 7.19
Определить сопротивление R3 и действующее значение тока в каждой ветви, если известно, что на второй гармонике цепь находится в режиме резонанса.
7.16.	Напряжение, приложенное к двум индуктивно связанным контурам (рис. 7.16), изменяется по закону и = = (100 + 70,7 8^(0^)В. Параметры контуров: ^=40 Ом, R2 = 60 Ом, со^^ЗООм, (0^2 = 60 Ом, (0^=20 Ом. Найти выражения мгновенных токов в каждом из контуров.
Указание. Все токи по величине и фазе определяют для каждой гармоники отдельно. Постоянная составляющая тока, проходящая в первом контуре, во вторичном контуре ЭДС не наводит.
7.17.	Определить показание амперметра тепловой системы, включенного в диагональ моста (рис. 7.17), если приложенное напряжение и = (30 + 60sina)1/+15sin3(01/)B, а сопротивления элементов цепи для основной частоты: 7?t = = 30 Ом, со1£1 = 50 Ом, R2 = 30 Ом, (0^2 = 30 Ом, R3 = 40 Ом, ®1£3 = 10Ом, Т?4 = ЗООм, 7?5 = 60Ом.
7.18.	В схеме цепи (рис. 7.18) известны 1?1 = 12Ом, 1/(о1С)=18 Ом, Л2 = 14 Ом, co1L = 8 Ом. Определить показания вольтметра электродинамической системы, если м= [50 + + 80 cos &+1 — 30 sin (2®^ + 60°) ] В.
Считать, что сопротивление вольтметра во много раз превышает сопротивление каждого из элементов цепи. Что покажет амперметр электродинамической системы, если он подключен к тем же зажимам, что и вольтметр?
7.19.	В цепи (рис. 7.19) на частоте =9600 с 1 имеет место резонанс токов, а на третьей гармонике наступает резонанс напряжений. Определить индуктивности катушек Lr и Ь2, если Rr = 10 Ом, R2 = 5 Ом и С—2,5 мкФ.
В. КОЭФФИЦИЕНТЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ФОРМУ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НЕСИНУСОИДАЛЬНОЙ КРИВОЙ
7.20.	Вычислить коэффициенты формы, амплитуды и искажения кривой напряжения, уравнение которой:
211
u=Ulm sinco1Z+ U2m sin20)^, (7lm=100B и (72w = 30B.
Решение. Сначала вычислим действующее значение напряжения по формуле (0.7.9):
[/= /1002/2 + 302/2 = = 73,8 В.
Затем найдем среднее по
модулю значение напряжения. Ввиду симметрии кривой и и положительности ее
значений за половину периода (рис. 7.20) для его определения достаточно ограничиться половиной периода
^ср=^ (^ImSinOM+C/^
sin2co1z)d(co1z) =
i- о

(О г t = л
<0^ = О
2£71т_ л
63,7
В.
1
л
Теперь определим максимальную ординату кривой м:
+ = (7lmcosco1/+2{72mcos 2<оЛ=0,
0(04/)
или так как cos2co1Z = 2cos2co1Z—1, то 4(72mcos2co1Z + + (7^0080^ — 2 = 0, 120со82со^+lOOcosco^ —2 = 0, откуда, решая квадратное уравнение, получим cos ю^ = 0,404; о^ =
= 66° 10' (знак « —» перед корнем не ставят, так как в этом случае косинус окажется больше единицы), а (7тах = = [100sino1Z + 30sin2otZ ]ю t=66°io'= 116,7 В. Наконец, по формулам (0.7.12) — (0.7. Й) вычислим искомые коэффициенты: ^ф = 73,8/63,7 = 1,16; fca= 116,7/73,8 = 1,58; £и = 2/73,8 = 0,96.
7.21.	Найти коэффициенты формы, амплитуды и искажения кривой напряжения w= (y^sino^—(Уз^тЗо^ ((7lw = = 100 В; (73т = ЗОВ).
Глава 8
Классический метод расчета переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
Классический метод решения задач на переходные процессы в разветвленных цепях с постоянными параметрами, в которых осуществляется коммутация (включение, выключе-212
ние, переключение, изменение параметров цепи и т. п.) сводится к следующему.
1.	Искомый ток (или напряжение). Его представляют в виде суммы составляющих установившегося и свободного режимов цепи
z = zy + zCB или w = wy + wCB.	(0.8.1)
Установившийся режим цепи обусловлен действием источников энергии, а поэтому составляющая iy (или wy) в случае постоянного или синусоидального напряжения может быть найдена обычными методами расчета установившегося процесса в цепи после коммутации. Вид функции iy = Fr(t) [или uy = Ft(t)] зависит как от формы ЭДС или токов источников энергии, так и от характера самой цепи.
Свободный режим цепи обусловлен несоответствием запаса электромагнитной энергии цепи в момент коммутации тому его значению, которое должно быть после коммутации.
Вид функции iCB(t) = F2(t) [или wCB(/) = F2(/)] зависит только от характера самой цепи.
2.	Общая формула свободного тока iCB(t) = F2(t). Она имеет вид
4в= i	(0.8.2)
к~ 1
где п — порядок характеристического уравнения цепи; рк — значения< корней характеристического уравнения; Ак — постоянные интегрирования.
3.	Характеристическое уравнение. Наиболее простой способ составления характеристического уравнения цепи состоит в следующем: а) записывают формулу входного сопротивления цепи в комплексной форме, б) в формуле Z производят замену сомножителя /со на р, в) полученное выражение Z(p) приравнивают нулю
Z(p) = O.	(0.8.3)
Характеристическое уравнение можно получить путем приравнивания нулю входного сопротивления Z(p) относительно любой ветви цепи. В тех случаях, когда разветвленная цепь имеет лишь один накопитель энергии, удобнее рассматривать формулу входного сопротивления относительно ветви с накопителем энергии.
Если в схеме имеется источник тока, характеристическое сопротивление нельзя рассматривать относительно ветви с источником тока. Его следует рассчитывать относительно любой другой ветви схемы, полагая при этом ветвь с источником тока разомкнутой (пример в задаче 8.10).
213
4.	Свободный ток. Выражение свободного тока определяется видом корней характеристического уравнения.
При различных вещественных корнях выражение свободного тока имеет вид
iCB = A1epit + A2ep2t+ ... +Апер«‘.	(О.8.4а)
Если корни характеристического уравнения равны между собой (т. е. корень р имеет кратность т), то
/св = Лое₽ЧЛ1^ + Л2/2ерЧ ... +Amtmept.	(0.8.46)
В случае пары комплексно-сопряженных корней р^2 = = — a±J<oCB(a—-собственное затухание, юсв — частота свободных колебаний)
zCB = Je“6“sin(o>CBZ + \|/).	(О.8.4в)
В последнем случае постоянными интегрирования являются А и ф.
5.	Начальные условия. Для определения постоянных интегрирования используются начальные условия. В качестве независимых начальных условий берут значения токов индуктивных катушек zL(0) и напряжений на конденсаторах wc(0) к моменту коммутации. Если коммутация происходит мгновенно в момент времени Ми если мощность обмена энергией между отдельными элементами цепи остается конечной, то все значения, определяющие энергию элементов цепи, изменяются непрерывно. В этом случае выполняются следующие законы коммутации: токи в индуктивных катушках и напряжения на конденсаторах в момент коммутации не изменяются скачками, т. е. они являются непрерывными функциями времени:
ZL(0_) = /L(0+), uc(0_ ) = мс(0+).	(0.8.5)
Начальные значения токов в ветвях без индуктивных катушек или напряжений на элементах, не являющихся конденсаторами, в момент коммутации могут изменяться скачком. Эти начальные значения токов и напряжений (зависимые начальные условия) определяются по законам Кирхгофа с применением законов коммутации.
6.	Постоянные интегрирования. Определяют постоянные интегрирования следующим образом.
а.	В случае цепи первого порядка постоянную интегрирования находят из выражения ф), рассматриваемого при Z = 0 + :
z(0+ ) = zy(0 + ) + Л.	(0.8.6)
б.	В случае цепи второго порядка для определения постоянных интегрирования используют уравнения i (0) и z'(0):
214
z(o+)-zy(Q+ )+А+Л;
г"(0+) = /;(0+)+р1Я1+р2Л2
(0.8.7a)
или
z(O+) = zy(O+)+Л sin\|/;	)	Ю8 761
z'(0 + ) = z*y(O+ ) + ob4cos\|/ — aA sin\|/. J	l • A
Значения z(0+) и z'(0+) в общем случае можно найти путем решения уравнений, составленных для цепи по законам Кирхгофа, и первых производных этих уравнений, рассматриваемых при t = 0 +.
Если в цепи имеется ветвь с конденсатором емкостью С, целесообразно начинать расчет с определения ис. Это облегчает определение постоянных интегрирования, так как значения wc(0+) и Wc(0+ ) = zc(0+ )/С легко выявляются из начальных условий.
в.	В случае цепи высшего порядка приходится многократно дифференцировать уравнение z(z) и уравнения, составленные по законам Кирхгофа.
Пр	имеры даны в задачах 8.4, 8.8, 8.9, 8.10, 8.18, 8.22, 8.26.
7. Виды решений переходного процесса в цепях первого и второго порядков. Расчет токов и напряжений в переходном режиме в цепях первого порядка (т. е. содержащих или RC, или RL элементы) сводится к выражению f(t) = A1 + A2e~at при t^O. Для расчета значений f(t) удобно использовать программу № 8 (пример в задаче 8.18).
При расчете переходных процессов в цепях второго порядка решение в зависимости от характера корней характеристического уравнения имеет вид: а) при различных вещественных корнях f(t) = A0 + A1e~ait + A2e~cl2t для t^O, в этом случае для расчета удобно использовать программу № 9 из приложения Ш, б) при кратных корнях f(t) = A0 + + (A1 + A2t)e~at, t^O — программу № 10, в) при комплексносопряженных корнях рх 2= — oc±jco решение имеет вид: /(/) = Ло +Ле-оа8ш((Щ + ф)’ при — программу № 11.
Пример дан в задаче 8.26.
8. Единичная ступенчатая функция. Единичная импульсная функция. Единичная ступенчатая функция, или единичная функция (единичный скачок, или функция Хевисайда), равна нулю при /<0 и равна единице при />0. Ее обозначение 1 (/)• Математическая запись единичной ступенчатой функции такова:
40 = ^1	J	(0.8.8)
' 7 (I при Z^O.J	v ’
Единичная	ступенчатая	функция изображена на
рис. О.8.1,а.
215
Любую функцию времени /(г), действие которой начинается в момент / = 0, можно записать в виде произведения 1 (7)/(7). Так, например, на рис. 0.8.2, а изображены постоянная функция U и синусоидальная функция и= J7wsin((0/ + \|/), а на рис. 0.8.2, б—произведение 1 (/) Z7 и 1 (0 ^ш8т((о^ + ф).
Если единичное воздействие начинается не в момент / = 0, а в более поздний момент то его можно записать с помощью единичной функции с запаздывающим аргументом в виде 1(7 —/t). Эта функция равна нулю при t<tr и единице при (см. рис. 0.8.1,б). Умножение /(/) на 1(Z — означает, что эта функция равна нулю при t<tr и /(/) при
Единичная импульсная функция (дельта-функция или функция Дирака) — функция, которая неограниченно возрастает, когда ее аргумент обращается в нуль (^ = 0), а при любых значениях аргумента, не равных нулю, она равняется нулю (рис. 0.8.3, а). Интеграл от этой функции равен единице при условии, что нулевое значение аргумента лежит внутри пределов интегрирования. Запись импульсной функции следующая:
fo при «О и ,>0;1
' 7 [оо при t = Q. )
216
Если единичная импульсная функция принимает бес-
конечно большое значение не в момент / = 0, а при (рис. 0.8.3, б), а при всех она равна нулю, записывается в виде §(?—Zt):
S(,пр“ ,<л> и v ’ (оо при t=tv
/ = /, >0 то она
(0.8.96)
Единичная функция и единичная импульсная функция связаны между собой соотношением
8(0=^г=1'(0; 8(/-/1)=^i(z-/1).	(0-8-10)
9. Переходные характеристики цепи. При подключении цепи в начальный момент t = 0 к источнику единичного напряжения или тока реакция цепи (напряжение на любом ее участке или ток в любой ее ветви как функция времени) называется переходной характеристикой (напряжения или тока). При подключении
Рис. 0.8.3
цепи к источнику единичного напряжения переходная характеристика тока называется переходной проводимостью у(/), а ПРИ подключении цепи к источнику единичного тока переходная характеристика напряжения — переходным сопротивлением z(t).
При подключении в момент источника постоянного воздействия Fr (например, напряжение с ЭДС Er = Fr или источника тока Jr = Fr) реакция цепи /(/) [w(/) или /(/)] равна
(0.8.11)
Переходные характеристики цепи не зависят от формы и амплитуды действующих в схеме источников ЭДС и тока и определяются самой схемой и параметрами ее элементов.
Пример 1. При включении на постоянное напряжение U цепи, состоящей из последовательно соединенных R и L, ток, напряжение на индуктивной катушке и напряжения на резисторе равны
i— — (1— е т uL=Ue т; uR=U\X— е т ), / L \ J где LfR — x — постоянная времени цепи.
Разделим эти выражение на величину U, найдем, что переходная проводимость у(7) =—I 1—е т I, а переходные характеристики для напряжете \	/	t
ния на индуктивной катушке и резисторе соответственно равны hL(t) = e т;
/?R=1 -е
217
Пример 2. При включении на постоянное напряжение U цепи, состоящей из последовательно соединенных R и С, ток и напряжение на конденсаторе и резисторе определяются по формулам
U --	/	-£\	--
i=—е T; wc=C/ll—е T j; uR = Ue т,
где t = RC—постоянная времени цепи.
Принимая в этих формулах £7=1, получим
1 /1с(/)=1-е i; /1к(/)=е ?.
К
Примеры приведены в задачах 9.26 и 9.30.
10.	Интеграл Дюамеля. Если на пассивную цепь в момент включается воздействие
функцией времени (рис. 0.8.4), то деляют интегралом Дюамеля по
являющееся непрерывной реакцию цепи /(?) опре-формуле
/(О =Л (0) h (?) + f/г' (т) h (t - т) di, О
(0.8.12)
где /г(0)— начальное значение воздействия; /г'С0 = <^г^	—
dr t = t
обозначение производной воздействия, h(t — т) — переходная характеристика, в которой t заменено на t — т.
Если функция воздействия fr(t) имеет различные выраже-
ния на разных интервалах времени (например, для рис. 0.8.5)
/г(0 =/1(0 при 0<?^?ь
Л(0 =/2(0 при ?i<?<?2;
/г(О=/з(О при ?2<?^ОО
и, кроме того, имеет или не имеет скачки, то интервал интегрирования разбивается на отдельные участки, а реакцию цепи, рассчитываемую интегралом Дюамеля, записывают для отдельных интервалов времени. В случае воздействия, изображенного на рис. 0.8.5, имеем:
218
а)	в первом интервале времени от 0 до /1 (не включая скачок Fi)
/(?) =/г (0)/г (?) +\f[ (т) h(t-x) dx;	(0.8.13a)
о
б)	во втором интервале времени от tx до t2 (не включая скачок F2)
Ч
/(?) =/г (0) h (?) +(х) h(t-x)dx + F1h(t-t1) +
О
+ f^(x)/i(?-x)dx,	(0.8.136)
*1
здесь слагаемое F\h (t — 1i) обусловлено положительным скачком воздействия в момент
в)	в третьем интервале времени от t2 до оо t
f(t) =fr (0) h (?) + f/i (x) h (t - x) dx + Frh (t - tr) + о
«2	«
+ f2(x) h(t-x)dx - F2h(t -12) + |/з(х)/г(? —x)dx,	(О.8.13в)
'1	f2
где слагаемое — F2h(t — t2) обусловлено отрицательным скачком воздействия в момент t2.
Входящие в формулу (0.8.13а — в) h(t—т) есть й(Ц, в котором t заменено на t — т.
Примеры даны в задачах 9.34, 9.36.
И. Импульсные переходные характеристики. При исследовании действия коротких импульсов на линейные цепи используется понятие «дельта-функция» (или «единичной импульсной функции») 8(/). Реакция цепи на действие дельтафункции называется импульсной переходной характеристикой цепи (уи(/), МО)-
Связь между импульсной и переходной характеристиками определяют по формуле
/гв(?) = /г(0)8(?) + ^.	(0.8.14)
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
8.1.	Цепь, содержащая последовательно соединенные резистор с сопротивлением 7?=100 0м и катушку, индуктивность которой £ = 0,2 Гн, включается на постоянное напряже
219
ние L7=120 В. Чему равна постоянная времени цепи? С какой скоростью нарастает ток в начальный момент? Определить, через какой промежуток времени ток станет равным 99% тока установившегося режима. Найти закон изменения ЭДС самоиндукции, наводимой при включении, и вычислить, через какой промежуток времени после включения скорость нарастания энергии (т. е. мощность рм) в магнитном поле будет максимальна. Построить кривые зависимостей от времени z, 1ГМ и рм.
Указание. По результатам расчетов на рис. 8.1 изображены требуемые кривые.
8.2.	Сопротивление катушки 1,2 Ом, ее индуктивность 9 Гн. В момент, когда через индуктивную катушку проходит ток 50 А, она замыкается накоротко. С какой скоростью начнет убывать ток в катушке? Чему равна скорость убывания тока в момент, когда ток равен 25 А?
8.3.	Катушка с R = 50 Ом и £=125 мГн находится под постоянным напряжением £7=150 В. После практически полного установления тока катушка посредством ключа с переходным контактом быстро отключается от источника электрической энергии и замыкается на резистивное сопротивление 2?! = 12,5 Ом. Найти ток в катушке (рис. 8.3). Показать, что энергия, выделившаяся в цепи после переключения в виде теплоты, равна первоначальному запасу — запасу энергии магнитного поля.
8.4.	При замыкании контакта К± и разомкнутом контакте К2 к источнику постоянного напряжения подключается индуктивная катушка R, L. последовательно с которой соединен реостат сопротивлением Rt (рис. 8.4, а). Через £ после замыкания замыкается К2. который остается в таком состоянии продолжительное время.
150 -
8 eL
Рис. 8.1
Рис. 8.3
220
(8.1)
(8-2)
Построить кривую изменения тока в катушке с момента замыкания контакта Кг до момента практически полного затухания тока в катушке (например, до 1% от максимального значения тока).
Решение. При замыкании Кг и разомкнутом К2 переходный ток в катушке
Ri+R\	)
К моменту включения К2 ток в катушке / к.+к х it=t	=
1 Ri + R\	J
Второй закон Кирхгофа для контура катушки, замкнутой контактом К2 (при />£), будет
L^+iR = 0.
dt
Решение этого уравнения дает
R
(8.3)
Постоянную интегрирования А найдем из начального условия, согласно которому для момента t = t± ток i=i±. Ток, по формуле (8.3):
тт /	Rl + R \ R
/=_К—(1-е“-
На рис. 8.4,6 построены кривые изменения тока.
8.5.	Цепь постоянного тока состоит из катушки, индуктивность которой £ = 0,1 Гн, и двух резисторов с сопротивлениями 7?=ЮОм и 7?! = 30 Ом (рис. 8.5). Приложенное напряжение U = 120 В.
Резистор R± внезапно замыкается накоротко. Найти выражение тока в катушке после замыкания контакта; начертить график его изменения по времени.
8.6.	Телеграфная цепь состоит из батареи, ЭДС которой 10 В и внутреннее сопротивление 2 Ом, линии, имеющей активное сопротивление 51,6 Ом, и реле, резистивное сопротивление которого 21,4 Ом, а индуктивность 1,25 Гн. Если якорь реле не притягивается до тех пор, пока ток не станет 0,05 А, то сколько времени пройдет после замыкания цепи до начала работы реле?
8.7.	Цепь (рис. 8.7) включается под действие постоянного напряжения С/=120В. Найти выражения токов i2 и z3 и изобразить их графически: ^ = 20 Ом, 7?2 = ЗООм, £ = 0,3 Гн.
221
8.8.	Для замедления скорости нарастания тока в электромагните R, L его шунтируют резистивным сопротивлением 7?ш (рис. 8.8, а). Найти ток i в электромагните и сравнить скорость его нарастания со скоростью нарастания тока электромагнита при отсутствии шунта. Для упрощения положить R = 7?ш.
Решение. Ток в катушке ищем в виде суммы установившегося и свободного токов
i iy И- zCB.	(8.1)
Установившийся ток—это постоянный ток, который рассчитываем по методу расчета цепей постоянного тока:
;=/_?!!!_=---------•	.	(8.2)
Ki Ч----
Свободный ТОК
/св = Ле*,	(8.3)
где р—корень следующего характеристического уравнения
гу/ \  г> ,	__RiR + RiRja + RRjn +pL(Rt +АШ) ~
ZW-K1+R^R^---------------Rm + R+pL	U’
отсюда находим
__	__ RiR + RiRui + RRut
Р~Р1~	L^+R^
Постоянная времени цепи 222
(8.4)
т_ * 1 _ М^+Лщ)
IPi I Л17?+/?1АШ+ААШ
Подставляем (8.2) и (8.3) в (8.1):
.=-----er^----; + А е pt
R1R + R1 Кш + К Аш
(8-5)
(8.6)
Для определения постоянной А используем начальное условие (0.8.5), согласно которому при t = Q ток z(0_) = = z(0+) = 0:
ER.
+ А = О, R]R-\- R\RW +
отсюда
ERW
А= —
RiR + RiRm + RRm
Подставляя это выражение в (8.6), получим искомый ток
._ ERUI
RiR-}-RiRm +RRUI\	J
В частном случае при = R ток
Е l~ R + 2R{
(8-7)
— е
(8-8)
где
т _ L(R+Rt) _ L 1 R(R+2Rt) R ! Rt
1+т
Если же шунт снять, то, полагая в (8.7) 7?ш = оо, получим
Е А i=----- 1 —е *2 ,
(8.9)
(8.10)
где
(8.Н)
L
Т2=------
R + Rr
Сравнивая выражения (8.9) и (8.11), устанавливаем, что т1>т2? т. е. постоянная времени при наличии шунта больше, чем без него.
Вычислим начальную скорость нарастания тока. При наличии шунта из формулы (8.8) имеем
dz dz t = o +
_ Е
(8.12)
223
а без шунта из формулы (8.10) получим
(8.13)
di _ Е
dz t = o+ +
Рис. 8.9
Сравнивая выражения (8.12) и (8.13), устанавливаем, что при наличии шунта скорость нарастания тока меньше, чем без него. На рис. 8.8,6 по уравнениям (8.8) и (8.10) построены кривые токов.
8.9.	В цепи (рис. 8.9, а) дано: £=120 В, R = Rt = £2 = 4 Ом, £ = = 0,1 Гн. Найти токи после внезапного замыкания контакта (до коммутации в цепи был установившийся режим). Построить кривые изменения этих величин.
Решение. Расчет токов в до-коммутационном режиме (контакт разомкнут): i = ir = E/(Ri + £) = 15 А, z2 — 0.
Расчет установившегося режима после коммутации (контакт замкнут):
ч=—1г^=20 А;
У	^1^2
R+— Ri + Rz
. _ . R2 lly lyRl + R2
= 10
А;
z2y — Zy — zly — 10 A.
Расчет переходного режима. Решение целесообразно начать с отыскания тока в ветви с индуктивным элементом, так как при этом наиболее просто воспользоваться начальным условием. Ток ищем в виде И = ^iy 4~ Исв*
Свободная составляющая этого тока /1св = Лер4, где рх— корень характеристического уравнения, которое наиболее просто составить относительно ветви с индуктивностью: Z(p) = £1+p£ + ££2/(£ + £2) = 0.
RRi + RR2 + R1R2 л(\ -1
Отсюда д д,---------+	=-60 с .
Подставляя в выражение найденные значения установившегося zlv и свободного z1CB токов, будем иметь z'j = 10 + ++е“60'.
Постоянную А определяем из начального условия z\ (0+) = z‘i (0-) или 10 + Л = 15, отсюда А = 5.
224
Рис. 8.10
Итак, z1 = 10 + 5e"6Or А.	(8.1)
Для отыскания тока i2 вначале найдем напряжение на параллельном участке: uab = i1Ri + L^ = (4Q— 10е“6Ог) В.
at
Наконец, вычисляем искомые токи:
i2 = Uab/R2 = (10-2,5е~6О9 А;	(8.2)
i = ir + i2 = (20 + 2,5е " 60t) А.	(8.3)
Отметим, что в ветвях с R и R2 в момент коммутации имеет место скачкообразное изменение токов; это возможно, так как в этих ветвях нет накопителей энергии и поэтому оно не связано с внезапным изменением в них запаса электромагнитной энергии и становится физически осуществимым.
На рис. 8.9,6 построены кривые токов в докоммутаци-онном и послекоммутационном режимах.
8.10.	Найти ток в индуктивной катушке (рис. 8.10, а) после включения источника постоянного тока J (т. е. при размыкании контакта К).
Решение. Искомый ток iL ищем в виде суммы установившегося и свободного токов
zL = zLy + zLcB-	(8.1)
Из схемы очевидно, что при установившемся режиме ток iLy = J.	(8.2)
Для определения вида свободного тока составляем выражение характеристического сопротивления относительно ветви с индуктивностью (рис. 8.10,6, при этом согласно п. 3 основных положений и соотношений ветвь с источником тока должна быть разомкнута), которое приравниваем нулю: Z(p)=pL + R2 = 0, отсюда pt = —R2/L.
Таким образом, свободный ток ищем в виде
1Ьсв = Ае^ = Ае	(8.3)
Подставляем (8.2) и (8.3) в (8.1), получим
225
iL — J И- Ac l .
(8.4)
R
Постоянную интегрирования А находим из начального условия (0.8.5)
z’l(O-)- J+Ле
= iL(0 + ) = 0-t = o
Отсюда находим A=—J, подставляем в (8.4) и окон-/ -Ьл чательно получим zL = Jll—е L I.
Обращаем внимание на то, что Rr в решение не вошло, так как оно соединено последовательно с источником тока, сопротивление которого бесконечно велико.
8.11.	Найти выражение напряжения на конденсаторе после включения источника постоянного тока J (см. рис. 8.10, в, т. е. при размыкании контакта К).
8.12.	Найти ис при замыкании накоротко сопротивления Т?4 (рис. 8.12). В цепи действует источник постоянного тока J= 3 А. Сопротивления Rt = 7?3 = 10 Ом, = R2 = 20 Ом, С—6 мкФ.
8.13.	При полной разрядке конденсатора емкостью С—200 мкФ на сопротивлении резистора выделяется в виде тепловой энергии 1 Дж. Спустя 0,06 с после начала разрядки напряжение на обкладках конденсатора равнялось 5 В. а. до какого напряжения был заряжен конденсатор и каково сопротивление, через которое он разряжается? б. Через какой промежуток времени после начала разрядки напряжение конденсатора упадет до 0,001% своего первоначального значения?
8.14.	Конденсатор емкостью 45 мкФ заряжается через резистор, сопротивление которого 10 кОм от источника энергии с напряжением 500 В. Чему равен заряд конденсатора, когда ток составляет половину своего начального значения? С какой скоростью нарастает заряд в этот момент? Чему равна ошибка в процентах, если принять, что конденсатор зарядится полностью в конце десятой секунды?
8.15.	Конденсатор С1 = 10мкФ, предварительно заряженный до напряжения Ux = 100 В, замыкается на цепь, состоящую из последовательно соединенных резистивного сопротивления 7?=125Ом и заряженного до напряжения (72 = 20 В конденсатора С2 = 40мкФ (рис. 8.15). Найти как функцию времени ток в цепи и напряжение на обкладках каждого конденсатора, а также построить графики найденных функций. Найти величину энергии электрического поля до замыкания контакта и по окончании переходного процесса.
226
Рис. 8.17
8.16.	Конденсатор с утечкой, параметры которого С = 2мкФ и У? = 50 кОм, отключается от источника постоянного тока с напряжением U= 120 В (рис. 8.16). Определить напряжение на конденсаторе через tY = 0,1 с после отключения.
8.17.	Цепь рис. 8.17 включается на постоянное напряжение. Найти токи и начертить кривые изменения их во времени. Данные цепи: [7=10 В, 7?1=40Ом, Т?2 = ЮОм, С=25 пФ.
8.18.	Цепь (рис. 8.18, я), параметры которой ^ = 5 Ом, R2 = Ю Ом, 7?з = 5 Ом, 1?4= 15 Ом, С=1 мкФ, при разомкнутом контакте К находится в установившемся режиме под воздействием постоянной ЭДС Е=15В.
После включения требуется определить: 1) начальные значения переходных токов и напряжения на конденсаторе, а также начальные значения их установившихся и свободных составляющих и производную свободной составляющей напряжения на конденсаторе в момент начала переходного процесса; 2) законы изменения во времени всех токов и напряжения на конденсаторе.
8*
227
Рис. 8.19	Рис. 8.20
Решение. Расчет режима до коммутации (контакт разомкнут). Токи в ветвях и напряжение на конденсаторе равны* Z| — Z2 “ £/(/?1 4“ ^2 4“ ^4-) = Aj Z3 = 0; U(j = (-/^2 4“ ^4-) ^2 = = 25 0,5= 12,5 В.
Расчет установившегося режима после коммутации (контакт замкнут). Напряжение на конденсаторе и токи: иСу = = 7?2г2у ~ Ю ’ 1 — Ю В; zly = z2y = £'/(7?i4-7?2) = 1 A; z3y = 0.
Определение законов изменения во времени искомых величин.
Расчет свободного процесса. Составим для послеком-мутационной схемы характеристическое уравнение сопротивления и приравняем его нулю. Наиболее просто составить его относительно ветви с конденсатором: Z(p)= 1/рС+7?3 + + /?17?2/(7?1 + /?2) = 0.
Корень этого уравнения
P=Pi =
--------= - 12 ’ КГ4 С’1 C(T?iA2 +A1A3 +А2А3)
Так как характеристическое сопротивление имеет только один корень, свободная составляющая каждого искомого значения имеет вид АерЛ
Расчет переходного процесса: ис = иСу 4- иСсъ = 10 4- АерЛ
Постоянную А определяем из начального условия: z/c(O_) = z/c(O + ) или 12,5=10 + ^4, откуда 4 = 2,5.
Таким образом,	= (10 + 2,5е —12 10^) В. Находим токи
г3 = С—= —0,Зе~12 104( А; dr
z- =^c+G*3 = i 0де-12 104‘ А. Ri
Таблица 8.1
Г, мкс	0	1	2	3	4	5	6
«с, в	12,5	12,22	11,97	11,74	11,54	11,37	11,22
12, А	1,1	1,089	1,079	1,070	1,062	1,055	1,049
/з, А	-0,3	-0,266	-0,236	-0,209	-0,186	-0,165	-0,146
228
Расчет ис, 12, *3 удобно провести по программе № 8 из приложения П1 (в табл. 8.1 даны округленные значения).
Графики найденных значений изображены на рис. 8.18, б.
8.19.	В схеме рис. 8.19 до коммутации (контакт К замкнут) был установившийся режим. Дано: 7?! = 50Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 20 Ом, С= 10 мкФ, U= 80 В. Определить после размыкания контакта: 1) начальные значения переходных токов и напряжения на конденсаторе и их установившиеся и свободные составляющие; 2) выражения токов и напряжения на конденсаторе.
8.20.	Определить напряжение на конденсаторе и токи при замыкании контакта К (рис. 8.20) и построить их кривые. Дано: Е=24 В, R = 20 Ом, 7?! = 50Ом, 7?2 = ЮООм, С=3 мкФ.
8.21.	Индуктивная катушка (7?=ЮОм,	£ = 364 мГн)
включается в момент t = 0 под действие синусоидального напряжения и = 160 sin (coz-Ь-тс/З) В.
Определить значение тока через два периода после момента включения. Частота переменного тока /=50Гц.
8.22.	В схеме рис. 8.22 до замыкания контакта К был установившийся режим. Дано: R[ = Rr = = 40 Ом, 7?2 = 32 Ом, С=22,5 мкФ, /=100 Гц, e = 25sincozB. Найти напряжение на конденсаторе и ток в неразветвленной части цепи после замыкания контакта.
Решение. Вначале вычислим сопротивление конденсатора, необходимое для дальнейших расчетов: х 22,5 • 10~6) = 70,8 Ом.
Расчет режима до коммутации. Сначала найдем комплексные амплитуды тока 11т и напряжения на конденсаторе UCm\
Рис. 8.22
Ас=1/®С=1/(2л-100х
Е
1
1т =---------------=-------------= 0,233е7б°25' А;
1	УСК2	32-70,8
+	8°-'з2Тж8
иСт = Ёт - tlm (/?; + Ri) = 25 - 0,233е~7б°25' • 80 =
= 6,77е~71755 В.
Соответствующие мгновенные значения: =0,233 sin (<Щ 4-+ 6°25') A, = 6,77 sin (ац—17°55') В.
Расчет комплексных амплитуд тока и напряжения на конденсаторе в установившемся режиме после коммутации
229
=- = 0,37e>10”15' A;
J R2-jXc
B.
Соответствующие мгновенные значения: ir =0,37 sin (cot + + 10°15') A; uc= 10,8 sin (coz—13°55') B.
Расчет свободного процесса. Для послекоммутационной схемы наиболее просто составить характеристическое сопротивление относительно ветви с емкостью. Для нахождения корня приравниваем сопротивление нулю: Z(p) = = 1/(рС) +7?17?2/(7?1 + 7?2) = 0, отсюда
p=Pi = —-------= —------------т = — 2500 c .
r r RiR2C	40 • 32 • 22,5 • 10-6
Свободное напряжение на конденсаторе ищем в виде иСсв = Аер^.
Расчет переходного процесса после коммутации. Напряжение на конденсаторе находим в виде ис = иСу + исСъ = = 10,8 sin (<jor—13°55') + Лер< Постоянную интегрирования А находим из начального условия, согласно второму закону коммутации: wc(0_) = wc(0 + ), или = —10 sin 13°55' + Л, отсюда Л =0,5.
Итак, напряжение на конденсаторе
—13°55')+0,5е-25ООг В.
Находим ток в неразветвленной части
Z1 = Z2 + z3?
— 6,77 sin 17°35' =
wc= 10,8 sin ((от-
цепи
где i2 = uc/R2, i2 = C~. at
Б. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
8.23.	Конденсатор емкостью С =50 мкФ, заряженный предварительно до напряжения U = 500 В, разряжается через цепь, резистивное сопротивление которой 1?=100Ом и индуктивность £=10 мГн. Определить, через какой промежуток времени, считая от начального момента разряда, ток в цепи достигнет максимального значения и какова величина последнего. Вычислить, в какой момент времени в индуктивной катушке наведется максимальная ЭДС, найти ее значение.
8.24.	Подсчитать частоту а)'о собственных колебаний и частоту сосв свободных колебаний контура, изображенного на рис. 8.24, если £ = 25 мГн, С = 2500 пФ и У? = 4000 Ом.
230
Рис. 8.24
8.25.	Сколько потребуется периодов колебаний, чтобы в контуре, имеющем логарифмический декремент затухания колебания 0 = 0,02, амплитуда тока уменьшилась до 1% от своей первоначальной величины?
8.26.	Цепь (рис. 8.26, а) включается на постоянное напряжение 11= 125 В. Найти выражение напряжения на конденсаторе для трех случаев: 1) Л = 250 Ом, £ = 667 мГн, С = 2мкФ; 2) Л=ЮООм, £ = 40 мГн, С=1мкФ; 3) Я=100 0м, £ = 40 мГн, С=5мкФ.
Решение. Наметим план решения задачи. Напряжение на конденсаторе находим в виде суммы установившегося и свободного значений
^С = ^Су + ^Ссв-	(8-1)
231
Установившееся значение напряжения на конденсаторе равно нулю (мСу = 0), так как при установившемся режиме конденсатор шунтирован индуктивностью катушки накоротко.
Для нахождения вида решения свободной составляющей составим характеристическое входное сопротивление цепи и приравняем его нулю
1
7 /  р । PC  RLCp + Lp+ R „ Z(p)_/?+------г--------------0.
рР+ .-, рС
Это уравнение второго порядка и, следовательно, оно имеет два корня
(8.2)
(8.3)
1	/_J_____1_
Р1’2 2RC ±V 4R2C2 LC
Для каждого из трех заданных случаев по уравнению (8.3) определим вид корней (действительные разные, действительные кратные или комплексно-сопряженные) и в соответствии с ним найдем свободное решение иСсв по одной из формул, указанной в п. 4 основных положений. Заметим, что свободная составляющая напряжения на конденсаторе содержит две постоянные интегрирования.
Для определения постоянных интегрирования поступим так. Составим уравнения по законам Кирхгофа:
/1 =/2 + ^35
U—Rii + Uc*
Запишем независимые начальные условия
wc(0-) = wc(0+) = 0, (I)
z2(0_)=z2(0+) = 0. (II)
Подставим их в уравнения (8.4) для начального времени (после коммутации):
h (0+) = i2 (0+) + i3 (0 +), U=Ri. (0 +) + цс (0 +).
Решив их, находим z3(0+). Затем, используя зависимость
&Uc	, л
= для момента ^ = Н + , получим
Мо+)=с^
(8-4)
момента
(8-5)
(8.6)
t = 0 +
Наконец, определим две неизвестные постоянные интегрирования из уравнения (8.1), в которое подставляем найденные иСу и иСсв и из уравнения (8.6).
232
. Конкретное применение указанной методики расчета рассмотрим для каждого из трех заданных случаев.
1.	Подставим в уравнение (8.3) числовые значения первого случая
1	+ //	1 V ।	__
Pl’2 2 250 2 10“б	\2-250-2 10'6/	667-10 3-2-10 б
= (—1000 + 500)с-1,
т. е. /?! = —500 с-1; рг= — 1500 с-1.
Получены корни действительные и различные, следовательно, свободная составляющая напряжения на конденсаторе
иСсв = Я1е-500ЧЛ2е-1500(.	(8.7)
Далее из уравнений (8.5) с учетом начальных условий (I) и (II) получим
h (0+) = z2(0+) +z3 (0+) = 0 + ?з (0 + );
С/=Л/1(0+) +wc(0+) = 250^(0+) +0=125.
Решая эту систему уравнений, находим г3(0+) = 0,5А. Подставив в равенство (8.1) и в выражение тока г3 уравнение (8.7), получим
^с = «су + иссв = 0 + Л1е-5ООг + Л2е-15ООг;
/3 = С<^у = 2-10-б( —500+1e-500t —1500+2е-1500').
Перепишем эти уравнения для момента / = 0+ и затем, подставляя в них wc(0 + ) = 0 и z3(0+) = 0,5A, получим
0 = + t+ + 2; 0,5= - 10-3+t-3 • 10-3+2.
Отсюда +3 = —+2 = 250. Таким образом, согласно (8.1) и (8.7) искомое напряжение
ис==мСси==(250е-5ООг —250е” 1500') В.	(8.8)
Графики отдельных составляющих решения и суммарного значения напряжения на конденсаторе построены на рис. 8.26,6: на нем кривая: 1 — 250e-5OOt; 2—25Ое-1500'; 3— UC (0 = «Сев (0-
Для упражнения вычислим также все токи и построим их графики
i 3 = С—= 2- 10-6-(250e-5OO,-250e-15OOt) = dr	d/'	'
= (0,75е-1500‘ - 0,25е- 500t) А;	(8.9)
U-uc_l25-(250e-soo'-250e-’5O°')_,	500( , р-15000 д.
/!----------------—--------------(0,5-е +е ) А,
(8.10)
233
i2 = iY - i3 = (0,5 - 0,75e"500t + 0,25e’1500t) A.	(8.11)
Расчеты, необходимые для построения графиков, проще всего выполнить с помощью программы № 9 из приложения Ш, в которой А/ принято равным 0,5 мс = 5-10 4 с. Результаты расчетов приведены в табл. 8.2.
Таблица 8.2
Z, мс	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
, А	0,5	0,194	0,116	0,131	0,185	0,236	0,293	0,33	0,368
А	0	0,034	0,10	0,17	0,24	0,29	0,34	0,37	0,40
*з> А	0,5	0,16	0,016	-0,039	-0,055	-0,054	-0,047	-0,04	-0,032
ис, В	0	76,6	95,9	91,7	79,5	65,7	53,0	42,1	33,2
Графики токов и напряжения даны на рис. 8.26, в.
2.	Подставим в формулу (8.3) числовые значения второго случая:
Р1,2 =
1
21001 10"6
1
40 • 10~3•1•10~6
= -5-103с~1.
Корень—двукратный, следовательно, решение ищем в виде (см. п. 4 основных положений)
^ссв = ^1е_5000Ч52/е"500ш.	(8.12)
Далее, как и в первом случае, из уравнений (8.5) с учетом начальных условий (I) и (II) найдем /3(0 + ) = 1,25 А.
Подставив в уравнение (8.1) и в выражение z3 уравнение (8.12), получим
wCy + Wccb — 0 + В]6 5000t _|_ j?2^e 5000t;
i3 =	10“ 6 (B2 - 5000B! - 5000B2?) e“5000t.
Переписывая эти уравнения для момента / = 0+ и подставляя в них мс(0 + ) = 0 и z3(0+)= 1,25 А, получим 0 = Вг; 1,25 = 10’6(В2-500051).
Следовательно, #1=0; В2 = 1,25 • 106. Таким образом, искомое напряжение согласно (8.1) и (8.12). ис = иСсъ = = 1,25 • 1Об/е_’000' В.
Расчеты по этой формуле выполнены по программе № 10 из приложения П1. Результаты приведены в табл. 8.3.
234
Таблица 8.3
t, мс	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
ис, в	0	48,7	75,8	88,6	92,0	89,5	83,7	76,0	67,7
График напряжения ис построен на рис. 8.26, г.
3.	Рассмотрим третий случай числовых значений параметров схемы рис. 8.26, а.
Подставляя эти значения в уравнение (8.3), находим
1 + / 1_____________________1
Р1'2	2 100-5 10"6 — \ 2100-510-6	40 • 10“3  5 • КГ6
= (—1000±;2000) с'1.
Корни характеристического уравнения образуют комплексно-сопряженную пару чисел (pli2 = — 8±jco), следовательно, свободную составляющую напряжения на конденсаторе следует искать в виде (см. п. 4 основных положений)
«сев — Ае ~&t sin (<о/ + ф) = А е ~1000t sin (20001 + ф).	(8.13)
По аналогии с предыдущими случаями из уравнений (8.5) с учетом начальных условий (I) и (И) получим /3 (0+)= 1,25 А.
Подставив в (8.1) и в выражение z3 уравнение (8.13), получим
ис = Ису + «сев = 0 + А е ~1000t sin (2000Z+ф);
z3 = с =5 • 10 ~ 6А [2000 cos (2000/ + ф) -
-1000 sin (20001 + ф)] е ~1 °00'.
Переписывая эти уравнения для момента / = 0+ и подставляя в них ис(0+) = 0 и г3(0+) = 1,25 А, получим 0 = 5-10~бх х A sin ф; 1,25 = 5 • 10 ’ 6 (2000Я cos ф -1000Л sin ф).
Решая их, находим ф = 0, Л = 125. Таким образом, согласно (8.1) и (8.13) искомое напряжение ис= 125е“^000‘ х х sin 2000/ В.
Расчеты выполнены по программе № 11 из приложения Ш. Результаты приведены в табл. 8.4.
Таблица 8.4
t, мс	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
Wc, в	0	63,8	41,8	3,9	-12,8	-9,8	— 1,7	2,5	2,3
235
Рис. 8.28	Рис. 8.29
Рис. 8.27
Рис. 8.30
Рис. 8.32
График напряжения построен на рис. 8.26, д.
8.27.	Цепь (рис. 8.27) включается на постоянное напряжение U = 30 В. Найти выражения всех токов и напряжения на конденсаторе, если С=16мкФ, £=100 Ом и L=\ Гн. Построить кривые токов и напряжения на конденсаторе. Выяснить предельное значение сопротивления, при котором процесс сохраняет еще колебательный характер.
8.28.	Цепь (рис. 8.28) включается на постоянное напряжение [7=120 В. Ее элементы £i = £2 = 7? = 40 Ом, £ = 0,08 Гн. Показать, что если С=£/£2, то ток i в неразветвленной части цепи в любой момент времени имеет постоянное значение, равное U/R.
Замечание. При заданном выборе параметров данная цепь имеет резонанс токов при любой частоте.
8.29.	Цепь, состоящая из последовательно соединенных R, L и С, конденсатор которой закорочен, включена на постоянное напряжение [7=120 В. При установившемся режиме внезапным размыканием контакта К конденсатор вводится в цепь (рис. 8.29). Найти напряжение на обкладках конденсатора и ток в двух случаях: 1) R= 100 Ом, £ = 40 мГн, 236
С=25 мкФ; 2) Я = 80 Ом, L = 40 мГн, С=20 мкФ. Начертить кривые ис и z.
8.30.	Цепь (рис. 8.30) включается под действие постоянного напряжения [/=48 В. Найти токи z\, i2 и /3 и изобразить их графически, если 1?1 = 160Ом, Li = 100 мГн, R3 = 90 Ом, L2 = 36 мГн.
Указание. Решение будет наиболее простым, если его начать с отыскания тока i2 в виде *2 = *2У-Н’2св (8-1). Для расчета свободного режима надо найти корни р! и р2 характеристического уравнения Z(p) = Rx+pLx+pL2R3! dz2 /
(р£24-Я3) = 0. Тогда /2 = /2у + Л1еР1+Д2еР2. Затем найти i3 — L—/R3 и
Ц = /2 + /з- Для определения постоянных интегрирования и А2 следует использовать начальные условия: на основании закона коммутации в момент коммутации токи z\ и i2 не могут изменяться скачком, т. е. z1(O_) = z1(O + ) = O, z2(O_) = z2(O+) = O.
8.31. Цепь рис. 8.31 включается на постоянное напряжение [/=100 В. Найти выражение для напряжения на конденсаторе С2, если = 100 мкФ, С2 = 20мкФ, J?i = 10Om, R2 = = 100 Ом.
8.32.	До замыкания контакта К в цепи (рис. 8.32, а) имел место установившийся режим постоянного тока. Конденсатор разряжен. В момент t = 0 контакт К замыкается. Определить начальные значения тока в индуктивной катушке, напряжения на конденсаторе и их первые производные. Найти ток i2 и напряжение на конденсаторе после коммутации. Дано: Е=60 В, /?1=20Ом, £=1мГн, Л2 = ЮОм, /?3 = 20Ом, С = 1 мкФ.
8.33. В цепи (рис. 8.32,6) до замыкания контакта К был установившийся режим постоянного тока. Найти выражение
напряжения на конденсаторе после замыкания контакта, если L=60 В, 2?i = 20 Ом, R2 = 40 Ом, R3 = 40 Ом, L = 0,2 мГн и С= 1 мкФ.
8.34. До замыкания контакта К в цепи (рис. 8.34) имел место установившийся режим постоянного тока. Определить токи и напряжения на индуктивности для момента замыкания контакта t = 0+ и для установившегося режима (z=oo). Дано: /?1 = Л2 = Л4= 100 Ом, R3 = = /?5 = 200 0м,	£=10мГн, С=
= 1 мкФ и Е= 120 В.
Рис. 8.34
8.35. Для каждой из схем рис. 8.35, а — в определить (не составляя уравнений) степень п характеристического уравнения, описывающего свободный процесс после соответствующей коммутации. Дополнительные условия для схемы (рис. 8.35,в): R2 = 2R^ L2 = 2Li.
237
Рис. 8.35
Решение. Как известно из теории, степень характеристического уравнения, описывающего переходные процессы, равна числу независимых начальных условий в послекоммутацион-ной схеме цепи.
Рассмотрим схему рис. 8.35, а. Она содержит пять реактивных элементов, которые определяют четыре начальных значения тока, протекающих через индуктивные катушки, и одно начальное значение напряжения на конденсаторе. Однако не все эти пять начальных значений являются независимыми. Определим число основных независимых начальных условий. Так, например, если в качестве основных независимых начальных условий принять значения токов, протекающих через L2 и £4, то ток через £3 будет не основным, ибо его начальное значение определяется первым законом Кирхгофа, примененным к узлу А. Таким образом, схема рис. 8.35, а содержит четыре независимых начальных условия, а следовательно, характеристическое уравнение будет иметь порядок (и = 4).
В схеме рис. 8.35,6 пять реактивных элементов, однако число независимых начальных условий равно трем. Если, например, в качестве основных принять начальные значения напряжений на конденсаторах и С2, то из второго закона Кирхгофа, примененного к контуру, состоящему из Ci, С3, С4, напряжение на конденсаторе С4 будет их следствием. Аналогично из рассмотрения уравнения Кирхгофа, составленного для контура C4C2i?i, можно установить, что напряжение на конденсаторе С2 не является независимым условием. Итак, и = 3.
В схеме рис. 8.35, в три реактивных элемента, но число основных независимых условий равно двум. Это определяется подобием параллельных ветвей (T^/Lx =/?2/£2), эквивалентное сопротивление которых имеет не второй, а первый порядок, и поэтому характеристическое сопротивление всей схемы имеет второй порядок (я = 2).
8.36.	Определить степень п характеристического уравнения, описывающего свободный процесс в каждой из схем цепей (рис. 8.36, а — ж), рассматриваемой после коммутации. 238
Рис. 8.36
Указание. Учесть, что степень характеристического уравнения определяется из рассмотрения послекоммутационной схемы, в которой ЭДС закорочены, а ветви с источниками тока разомкнуты.
8.37.	Схема рис. 8.28 включается под действием ЭДС е = Ет sin (го/ + ф). Полагая, что Rl = R2 = R = ^ Ом, L = 0,8 Гн, C=LjR2, £=120 В, ю = 314с'1 и \|/ = тг/6, найти все токи.
В. ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ
8.38.	Рассчитать переходную проводимость y(t) цепи (рис. 8.38) и переходную функцию h(t) по напряжению. Дано: 7^ = 2 кОм, 7?2 = 4кОм и С=1мкФ.
Решение. 1. Определим ток i2(0 в цепи схемы при подключении к ее зажимам 1—Г в начальный момент
/ = 0 постоянного воздействия в виде напряжения ur(t)=U'. R. + R.	,	ч
г’2 = FTF +	- U'10’3G + Ие~75О0 А-
К1 + /<2 К2\К\-Г 1\2)	у О	12	J
Разделив это выражение на амплитуду воздействия U, найдем значение переходной проводимости:	у (/) = (!, 67 +
+0,83e“75Ot)10“4 См.
2. Выходное напряжение, по закону Ома: м2(/) = 7?2г20) = = 17(0,667 + 0, ЗЗЗе~75О,)В.
Разделив это выражение на U, получим переходную функцию передачи по напряжению: h (/) = 0,667 + 0,333 е“750(.
Рис. 8.38
239
Рис. 8.41	Рис- 8 42
Рис. 8.43
8.39.	Рассчитать в буквенном виде переходную проводимость цепей схем рис. 8.39, а и б и переходную функцию по напряжению.
8.40.	Найти переходную проводимость последовательного 2?£С-контура, параметры которого £ = 5 мГн, С=5 103пФ, R= 10 Ом.
8.41.	В цепи (рис. 8.41) действует источник ЭДС e(t). Найти переходную функцию hc(t) для расчета напряжения на конденсаторе, переходную проводимость h(t) для расчета тока i(t), переходную проводимость h1(t) для расчета тока (/).
8.42.	В цепи рис. 8.42 действует источник тока г(/). Вычислить переходную функцию h(t) для расчета тока i(t) и переходное сопротивление z(?) для расчета выходного напряжения u2(t).
8.43.	Для цепей (рис. 8.43, а и б) найти переходные функции hv(t) и h2(t) для расчета токов г’Д?) и i2(t) и переходное сопротивление z(t) для расчета выходного напряжения и2 (/).
240
8.44. Цепь, состоящая из последовательно соединенных R и С, включается на прямоугольный импульс напряжения U, действующий в течение времени ZH (рис. 8.44, а). Найти выражение напряжения на емкости wc(z) и ток i(t) в зависимости от времени. Построить кривые uc(t) и z(Z).
Решение. Расчет uc(t) ведем с помощью интеграла Дюамеля. В рассматриваемом случае функция подводимого напряжения (Z) в момент
t = tu претерпевает скачок, поэтому ри для решения должны быть исполь-	ис*
зованы формулы (0.8.13а — в). Сначала найдем входящие в эти формулы величины:
переходную функцию по напряжению (см. пример 2 в п. 9 основных положений)
/г(1)=1-е~яс'; /г(1-т) = 1 -е~ьс(‘~Х\
напряжение в начальный момент u1(O)=U, производную от заданной функции по новой переменной т Wi(t) = O.
В интервале времени 0 t ZH (не включая скачок напряжения) по формуле (0.8.13а) определим
г	/	-—А
ис (z) = иг (0) h (z) + J и i (т) h (z — т) dr = ul 1 — e RC I + 0. (8.1) о	\	/
Ток в этом интервале находим с помощью соотношения
г = С^=-е“лс'.	(8.2)
dt R	v ’
В интервале времени Z>ZH
z/c (z) = ur (0) h (z) + j и i (t) h (z — t) ck — Uh (t — tu) = о
/ _____1_ \ ___________1_, _
= £711-e +o-(7(l-e *c(z z“)),	(8.3)
г-=С^=-(е"яс'-е“яс('“'")\	(8.4)
d(	J	v ’
По уравнениям (8.1) — (8.4) на рис. 8.44,6 качественно построены кривые ис и z.
8.45.	Записать интеграл Дюамеля для выходного напряжения z/2(Z) ПРИ включении цепи на напряжение i/t(Z) (рис. 8.45, я, 6, в), если известна ее переходная функция по напряжению /z(Z).
241
8.46.	Импульс в форме полуволны синусоиды (рис. 8.46, а)
включается на цепь, содержащую последовательно соединенные 7?=10 Ом и £ = 0,1 Гн.
Напряжение в интервале времени от 0 до /и=Т0/2 имеет вид их (/)= (7wsina)0/((/w= 10 мВ, То = 0,02с).
Найти ток в функции времени.
Решение. Задачу решим с помощью интеграла Дюамеля. В интервале времени 0^/^/и имеем
иг (t) = Umsin(i)()t, и 1 (т) = ю0Umcosюот; мх(0) = 0;
1 /	R \	1 /	R \
у(0=^(1-е г');	т>\
(8.1)
(8-2)
Ток в этом интервале находим по формуле (а) интеграла Дюамеля [см. формулу (0.8.13а)]:
z(/) = w(O)y(/)+ wi (т)у(/ —т)с1т = 0 +
о
242
1 /	R
+ co0C/mcosco0T- 1-e i(‘ T)
A \
0
R
— e~T
1 .
— Sin C0oT (Oo
—t~ t	j * (	(HqLc l
e L cos сопт qt >=—sin conZ----=	x
0 j R ° R A2+(<ooL)2
° *
(7? cos ю0/ 4- (dojL sin coot) e L* — R
r л
sin (cdoz — <р) + sin q>e
(8.3)
где Z=R2 -\-(a0L)2, (p = arctg cooL/7?.
Ток в интервале времени	определяем с помощью
интеграла Дюамеля, разбивая интервал интегрирования йа два участка: первый участок (О-нги), где выполняются условия (8.1), и второй участок (/И-М), на котором м2(/) = 0 и м2(т) = 0:
*и	t
z(z) = w(O)y(z) +
u'l (r)y(z — t)(1t+ u'2(t)j>(z —t)(1t =
J	J
О
=0+ со0С7тсо8Со0т-( 1 — R \
о R г — cos юот + (00 Sin (00Т R
L	т-т и
eL
_ о
R
— e~T
д\2 2
— 1 +(Оо
(7? cos соо/и 4- ю0£ sin соо/и) е ” Г]И — R
R
sincooZH — я bo
R
Um f .	со0£е ь*
—<sma)0/„ —х R [	0 и Л2 + ((ООЬ)2
I U„ I • (=-^^sin«)ozH-J К I
о Le~iT	T)
0)0 e (7?cos(D0/H + (D0Lsin(D0/H)e~ — R k
z2
1 / R
V 1-е’г(,’т)
R
о
T
Имея в виду, что ш0/и = ш0у = л и поэтому sino)o/H = 0, coscd0zh= — 1, последнее выражение после некоторых упрощений можно привести к виду
г = ^|^6+еь'И)е-Е‘.	(8.4)
Из выражения (8.3), полученного для первого интервала
* Этот интеграл является табличным и определяется по формуле a cos bx + b sin bx еах cos bx dx=--------------еах.
a2 + b2
243
времени в момент t = tw, ток
/0и)=£4^(1+е^'и)-
То же значение имеет ток, полученный из выражения (8.4.). Это проверка правильности полученного решения.
По уравнениям (8.3) и (8.4) на рис. 8.58,6 построена (в масштабе) кривая тока.
8.47.	Импульс напряжения в форме полуволны синусоиды (см. рис. 8.46, а) включается в цепь, содержащую последовательно соединенные R и С. Найти ток. Дано: и= ( ш sin оу/, L/w = 10mB, Го = 0,002 с, 7?=ЮОм и С = 50мкФ.
8.48.	Цепь, содержащая последовательно соединенные R и С, включается на напряжение, растущее по линейному закону C7cooZ. Найти выражения тока /(/) и напряжения на
конденсаторе.
8.49.	Цепь из последовательно соединенных Л=ЮООм С=25 мкФ включается на импульс напряжения, линейно нарастающий до момента tw = 2 мс (рис. 8.49). Дано: Um= 10 В. Найти выражение напряжения на конденсаторе.
Указание. В интервале 0<t<tn уравнение напряжения и = — t, а при t>tn u(t) = Q. Для решения использовать формулы интеграла Дюамеля (0.8.13).
8.50.	Импульс напряжения, приведенный в предыдущей задаче ((7ш=10 В, /и = 2мс), подается на цепь из последовательно соединенных R =100 Ом и £ = 0,2 Гн. Найти выражение тока.
8.51.	На вход цепи (рис. 8.51, а) подается напряжение и19 имеющее форму, показанную на рис. 8.51,6. Найти выражение напряжения и2 на выходе цепи, если R = 1 кОм, С=1 мкФ, С7=100В и /1=4мс.
8.52.	Найти выходное напряжение и2 (рис. 8.52), если на вход подается линейно растущее напряжение u^Ua^t.
Рис. 8.51
С-- и?(Ь)
о 11
Рис. 8.52
244
Г. ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПРИ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
8.53.	Рассчитать импульсные характеристики цепи (см. рис. 8.38) при воздействии на вход цепи источника ЭДС, полагая, что реакцией является: а) ток в неразветвленной части цепи; б) напряжение на резистивном элементе.
Решение. Переходные характеристики цепи определены в задаче 8.38: j(0 = (l,674-0,83e~75Ot)• 1(Г4 См; h(t) = = 0,6674-0,ЗЗЗе 750г. Для определения импульсных характеристик цепи используем формулу (0.8.14)
k(/)=j,(0)8(Z)+^=10-4(1,67 + 0,83)8(z)-750-1(T4x
x0,83e~75Ot = (2,5 • 10-48(Z) —О,О62е~750') См-с'1;
/ги (t) = h (0) 8 (Z)+= (0,667 + 0,333) 8 (Z) -
- 750 • 0,ЗЗЗе “750' = 8 (z) - 250е“ 750‘.
8.54.	Определить в буквенном виде выражение входной импульсной проводимости цепи (см. рис. 8.39, а) и импульсную характеристику выходного напряжения, считая, что на входе цепи действует источник ЭДС.
8.55.	На вход цепи (см. рис. 8.43,6) подан импульс тока i = JeTat. Найти напряжение u2(t\ используя импульсную характеристику цепи. Принять R1 = R2 = R3 = R.
8.56.	На вход цепи (см. рис. 8.39, а) подан импульс напряжения ut = UQe~at. Найти напряжение и2, используя импульсную характеристику цепи hn(t). Вычислить импульсную проводимость для расчета тока, протекающего через: а) резистор, сопротивление которого R19 б) индуктивную катушку L. Начертить качественно их временные диаграммы.
С помощью найденных в пп. а) и б) импульсных характеристик определить токи, протекающие через Rr и L при воздействии заданного импульса.
8.57.	Цепь, состоящая из последовательно соединенных R = 50 Ом и £ = 2,5 Гн, включается под действие напряжения и = U0Q~at (Uo = 10 В, я = 4 с-1). Найти ток в цепи и построить его кривую.
Решение. Составляем дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа:
L^+Ri=Ue~a'.	(8.1)
Решение его
Z = ZHp+ZCB>	(8.2)
245
i,A 2
Рис. 8.57	Рис. 8.58
R
где /св = Ле	— общий интеграл уравнения (8.1) без правой
части, znp— частное решение уравнения (8.1).
Найдем /пр. Как известно из курса математики, частное решение рассматриваемого линейного дифференциального уравнения определяется в форме показательной функции:
/Пр = 5е-Й‘.	(8.3)
Подставляя это значение в (8.1), получим — BLaQ~at + + BRe~at=UQe~at, откуда B=UQI(R — La). Подставляя значение В в (8.3), получим
i^=UJ[{R-La^-a\	(8.4)
Переходный ток i [см. формулу (8.2)] я п
(8.5)
R-La	V 7
Для определения постоянной интегрирования А используем начальное условие i (0 _ ) = i (0 + ) = 0:
/(0+) =
К ГТ
R-La
= Л+-^ = 0, t = о	R — La
отсюда
A=-UQI{R-La).
Таким образом,
ТТ /	К \
i =——( Q~at — е	) = 2(е — 2* — е~4t).
R — Lay	J v	7
Кривая тока изображена на рис. 8.57.
(8.6)
246
Ток имеет максимум, найдем его
^ = 2( —2е-2' + 4е~4')•
dt v	7
Приравнивая эту производную нулю, получим момент времени t = tm, при котором значение тока максимально e-2t™ = 2e-44
отсюда /ш = 1п 2/2 = 0,693/2 = 0,347 с.
Подставив это значение в формулу (8.6), найдем /тах = = 2(е-0’693 —е~1,386) = 0,5 А.
8.58.	Цепь, состоящая из последовательно соединенных R и L, включается на прямоугольный импульс напряжения (7, действующий в течение времени /и (рис. 8.58, а). Найти выражение тока i и напряжение на индуктивной катушке uL в зависимости от времени. Построить кривые i и uL.
Решение, а. Классический способ. Для интервала времени от / = 0 до t = tn ток определяется так же, как и при включении той же цепи на постоянное напряжение U:
(r \
1-е	.	(8.1)
Напряжение на индуктивной катушке 1 •	R
иь = Ь^=ие-ь‘.	(8.2)
При t>tn воздействие на цепь отсутствует, поэтому ток содержит только свободную составляющую. Она определяется энергией, накопленной в магнитном поле за время от 0 до /и. Итак, для />/и, когда м = 0, уравнение второго
закона Кирхгофа 2?z + L —= 0. Его решение
R
i = Ae	(8.3)
Постоянную интегрирования А определим из того, что в момент t = ток в цепи, содержащей индуктивную катушку, не может измениться скачкообразно
и/ R \ R
i	=—(1—е	=Ле
отсюда
Подставляя значение А в уравнение (8.3), получим выражение тока при
R	R
U /	\ — —t
l=-(eL — 1)е l.
247
(8-4)
Выражение для напряжения на индуктивной катушке при
R R
uL=L^=U(l-^,')e~L‘.
По уравнениям (8.1) — (8.4) на рис. 8.58, б построены графики. Отметим, что в момент t = 0+ напряжение на индуктивной катушке изменяется скачком на величину, равную U. Скачок напряжения на индуктивности имеет место и при t = tn.
б. Принцип наложения. Прямоугольный импульс можно рассматривать как результат действия двух постоянных напряжений: напряжения U, включаемого в момент t = 0 и действующего неограниченно долго, и отрицательного напряжения, равного — U, вступающего в действие в момент долго как и
t = tn и также действующего неограниченно (рис. 8.58, в). Итак, для	ток определяют,
раньше, по формуле (8.1).
Для /и t оо
R
R
R и( = -(е£ /г
R
импульс £=40 B,
8.59. На вход цепи (рис. 8.59, а) подается прямоугольный ) длительностью = 1 мс, высотой н. Найти выражение выходного напряжения и построить кривые и2 и
напряжения (рис. 8.59, б) и ur (t) Rr = 40 Ом, R2 = 10 Ом, £ = 8 мГ1 и2 для двух интервалов времени; рассчитать и2 в интервале от 0 до ^тах = 5т.
Рис. 8.59
248
Решение. В интервале	действует постоянное напряжение U,
поэтому решение ищем в форме
= ^Ly “Ь (lcb ~ iby “Ь А •	(8.1)
Очевидно, что установившееся значение тока iLy—U/R2. Свободный ток 1ьсв = Аер\ где р—корень характеристического уравнения;
Ri +pL
+ Я2 = 0.
Отсюда
^1 ^2
0=-----------г.
LfAi + Aj
Используя первый закон коммутации для тока zL, находим постоянную интегрирования U iL =---------l-Aept
L , = о R2
откуда A= — UIR2.
Подставляя iLy и А в (8.1), получим
(8-2)
U
=—+А = 0, t=o Ri
/ьу=^(1-е'я). Rz
(8.3)
Выходное напряжение
u'2=U-L — =u(\------^3_ер‘\	(8.4)
dz \ Л1+Л2 )
Перейдем к расчету выходного напряжения и2 для ^сг^оо. В момент t = tr входное напряжение падает до нуля, что соответствует замыканию цепи накоротко (см. рис. 8.59, в). Ток в этот момент согласно (8.3)
Из схемы рис. 8.59, б находим напряжение w2, учитывая, что zL(^i) распределяется обратно пропорционально параллельным сопротивлениям Ri и R2:
R	UR
«2Gi) = 'l(g)^-TT7^ = 7—k^-^''^20’227-	(8 5)
Подставляя в (8.4) и (8.5) числовые значения, получим
м'2 = 40 —32e~lo3t В или u'2 = Ai + A2ept;	(8.6)
i^=2O,227e~103' В или и'1 = Л3 + Л4е₽'.	(8.7)
Здесь для кратности обозначено: Лг=40, А2= — 32, Л3 = 0, Л4 = 20,227.
Для рассматриваемой схемы по (8.2) р= —103, т= — |1/р| = 1 мс, Гтах = = 5 мс.
Составим программу расчета, считая t независимой переменной. В первом интервале (O^Z^Imc) время изменяется с шагом А/'= 0,5 мс, а во втором (1 мс<Г<5 мс) — с шагом Аг" = 1мс.
Для расчета значений выходного напряжения в программе используется одно уравнение: м2 = Л1 + Л2е^.
После выполнения условия t>tr коэффициенты этого уравнения At и А2 заменяются коэффициентами А3 и Л4, а значения tr и Af— значениями /тах и А/". Для организации этой замены в программе используется логическая константа 8, имеющая вначале значение — 1, а после выполнения условия t>tr, принимающая значение +1.
249
Программа содержит 37 команд, и текст ее приведен ниже. Исходные данные вводятся в адресуемые регистры памяти А, В и с 0 по 8. В/О F ПРГ. Переключатель Р-Г в положении Г	Программа
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
00	ИП1	61	Вызов t из per. 1
01	/-/	0L	Образование ( — t)
02	ИП6	66	Вызов р из per. 6
03	X	. 12	Вычисление — pt
04	Fqx	16	Вычисление e~pt
05	ИПЗ	63	Вызов А 2 из per. 3
06	X	12	Вычисление А 2е ~ pt
07	ИП2	62	Вызов Аг из per. 2
08	+	10	Вычисление и'2
09	С/П	50	Останов для индикации и'2
10	ИП1	61	Вызов t из per. 1
11	С/П	50	Останов для индикации t
12	ипв	6L	Вызов из per. В
13	—	И	Вычисление А = t — tj
14	Fx<0	5С	Проверка условия А < 0
15	22	22	Переход к расчету и2
16	ИПА	6-	Вызов АС из регистра А
17	ИП1	61	Вызов t из per. 1
18	+	10	Вычисление Гн = Г + АС
19	ш	41	Запись гн в регистр 1
20	БП	51	Безусловный переход
21	01	01	Адрес команды перехода
22	ипо	60	Вызов 8 из регистра 0
23	Fx<0	5С	Проверка условия 8<0
24	37	37	Переход на останов при 8>0
25	ИП4	64	Вызов А2 из регистра 4
26	П2	42	Запись А2 в регистр 2
27	ИП5	65	Вызов А из регистра 5
28	ПЗ	43	Запись А 4 в регистр 3
29	ИП8	68	Вызов tmaK из регистра 8
30	ПВ	4L	Запись rmax в регистр В
31	ИП7	67	Вызов АС' из регистра 7
32	ПА	4-	Запись АС' в регистр А
33	1	01	Запись 1 в per. X
34	ПО	40	Запись 8=1 в регистр 0
35	БП	51	Безусловный переход
36	ОО	ОО	Адрес команды перехода
37	С/П	50	Останов программы
			F АВТ
Распределение регистров памяти: Г = О = Р1; А1=40 = Р2, А2=—32 = РЗ; А3 = 0 = Р4; А4 = 20,227 = Р5; /?=103 = Р6; АС'=10~3 = Р7; Zmax = 5 • 10~3 = Р8; 8=-1=РО; \tf = 5- 10~4 = РА; г1 = 10'3 = РВ.
250
Порядок вывода результатов: нажимаем клавиши В/О С/П, читаем значение м'2 = 8, далее, нажав С/П, читаем / = 0. Далее после каждого нажатия С/П читаем w'2, затем ts и т. д. Результаты расчетов представлены в табл. 8.5.
Таблица 8.5
w2, В	w 'L в	Z, с	w2, В	«2, В	t, с
8	—	0	—	2,737	2-10"3
20,591	—	5 • 10’4	—	1,007	ЗЮ’3
28,228	—	110"3	—	0,370	4 • 10’3
—	7,741	1•10~3	—	0,136	5-Ю’3
По результатам расчетов на рис. 8.59, г изображены кривые и'2 и w2.
Глава 9
Операторный метод расчета переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Преобразование Лапласа. В основу операторного метода положено следующее. Функция /(/) [обычно ток z(r) или напряжение м(/)] вещественного переменного Z (время), называемая оригиналом, заменяется соответствующей ей функцией F(p) комплексного переменного р, называемой изображением.
Эти функции связаны соотношением
00
F(^)=J/(z)e-^dZ,	(0.9.1)
О
называемым прямым преобразованием Лапласа.
Сокращенно эту связь записывают в таком виде: F(p} = ^Ртабл. 0.9.1 приводятся оригиналы простейших функций и их изображения, полученные по формуле (0.9.1) и используемые при решении задач на переходные процессы.
2.	Операторное сопротивление. Операторные сопротивления цепей записывают так же, как и сопротивления для тех же цепей в комплексной форме, в которых у со заменено на р. Так, для цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L и С, операторное сопротивление имеет вид
Z(p) = R+pL+1/(рС).	(0.9.2)
251
Рис. 0.9.1
Md ==
of
б)
г)
3.	Операторная схема замещения. Уравнения для изображений тока и напряжения произвольной цепи можно получить по законам электрических цепей (Ома и Кирхгофа), записанным для операторных схем замещения. Операторная схема замещения произвольной ветви (рис. 0.9.1, а) показана на рис. 0.9.1, б. При ее составлении, во-первых, все переменные величины заменяются их операторными изображениями [i(t) на l(p), u(t) и е(г) соответственно на U(p) и £(/>)]; во-вторых, индуктивности L заменяются последовательными схемами, состоящими из операторного сопротивления pL и источника напряжения ЭДС Lz(O_), где z(0_)— начальное значение тока в индуктивности, в-третьих, емкости С заменяются последовательными схемами, состоящими из операторного сопротивления 1 /(рС) и источника напряжения с ЭДС г/с(О_)//>С, где z/r(O_) — начальное значение напряжения на емкости. ЭДС Lz(O_) имеет направление, совпадающее с током z(/), а ЭДС г/с(0_)//? направлена против напряжения на емкости. Следует заметить, что показанные на рис. 0.9.1, б операторные напряжения на индуктивности и емкости при ненулевых начальных условиях определяют по формулам
UL(p)=pLI(p)-Li(O_); UM = Xl(p)+^. р
В ЛС-цепях (где имеются только элементы Л и С) при ненулевых начальных условиях в ряде случаев более удобно осуществить замену не схемой замещения с источником напряжения с ЭДС ис(О_)/р (как это показано на рис. 0.9.1, б), а схемой замещения с источником тока, согласно рис. 0.9.1, в. г. для участка цепи ef.
252
Рис. 0.9.2
На рис. 0.9.2, а показана часть электрической цепи, а на рис. 0.9.2, б—соответствующая ей операторная схема замещения.
На рис. 0.9.3, а изображено несколько участков индуктивно связанных цепей, а на рис. 0.9.3, б—соответствующие им схемы замещения. При этом рис. а и б даны для случая объединения одноименных зажимов, в и г — при
253
соединении разноименных зажимов. На рисунках д и е дана схема трансформатора и соответствующая ему схема замещения.
Замечание. Обращаем внимание на то, что указанные на рис. 0.9.2, б и 0.9.3, б направления ЭДС Lz3(0_),	b2z2(0_),	Mz2(0_),
uc (0 _ ) / p соответствуют направлениям положительных токов и напряжениям на конденсаторе, данным на рис. 0.9.2, а и 0.9.3, а.
4.	Закон Ома для ветви в операторной форме (с учетом ненулевых начальных условий). На рис. 0.9.1, а изображена ветвь, содержащая последовательно соединенные элементы Я, L, С и источники ЭДС еДД и e2(t\ являющаяся частью сложной цепи.
Изображение тока 1(р) в ветви ab связано с изображением напряжения Uab(p), приложенного к зажимам а и b ветви, законом Ома в операторной форме (см. рис. 0.9.1, б)
/(₽)=-------------zTpT—?----------.	(О-«)
где £i(/>) и Е2(р}—изображения ЭДС еДД и е2(Д; z(0_) и пс(0_)— значения тока в индуктивной катушке и напряжения на конденсаторе в начальный момент времени (положительное направление напряжения на конденсаторе ис = — uef=—Ufe следует принимать совпадающим с выбранным положительным направлением тока, как показано на рис. 0.9.1, а).
5.	Законы Кирхгофа в операторной форме. Первый закон Кирхгофа:
т
X 4(р) = 0.	(0.9.4)
k= 1
Второй закон Кирхгофа. В общем случае при ненулевых начальных условиях для какого-либо контура, содержащего N* ветвей,
X \Ek(p) + Lkik(O_	Е Ik(p)Zk(p), (0.9.5а)
k=lL	Р J к=1
где 4(0-) и wCfc(0_) — начальные значения тока, проходящего через катушку индуктивности, и напряжения на конденсаторе в ветви k; Zk(p) = Rk+pLk+l 1(рСк) — операторное сопротивление ветви к.
Пример. Для узла А (см. 0.9.2, 6У первый закон Кирхгофа в операторной форме имеет такой вид: Л (р) + Л(р):=Л(р) +Др)-
Для контура, показанного штриховой стрелкой на рис. 0.9.2, а и б, второй закон Кирхгофа в операторной форме имеет следующий вид:
254
Таблица 0.9.1
№ п/п	Оригинал *	Изображение	№ н/п	Оригинал	Изображение
1	5(z)	1	13	1 /р ~bt _ p~at\	1
2	1	l/p		„	A'6	6	' a — b	(p + a)(p + b)
3	t	1/p2	14	ac~at — be~bt	Р
л	fn	n\		a — b	(p + a)(p+b)
		p"+1	15	cos co01	P
					
	п—целое поло-				p2 + (Oo
	жительное чис-				
			16	sin co01	
					
		1			P2 + u>0
5	е+«		17	sin (со0/ + ф)	p sin ф 4- G)o cos ф n2 4- (On
6	3(г)-ае"‘“	p		c~at sin (aQt	p 1 UJ 0 (00
		p + a	18		
					(p+a)2 + coo
		1			
7	р +J<not				p+a
	с	P±J<+,	19	e~at cos(o0Z	
					
8	рД(оог+ф)	e/<|>			(p + tf)2 + (Oo
	и	P-j^o	20	shaZ	a
					2 „2
		1			p —a
9	tc~at				
		(p+a)2	21	chdtf	P
					9	7
					р2-аг
10	(1 — at^Q~at	p			i
		(p+a)2 1	22	1 1 	1	x ab b — a	1
					
	1				P(p+a)(p+b)
11				/ Q — bt	„ — at \	
		P(p+a)		/ e	e \ x		
	1	1		\ b a )	
12	-Jl-e^x a1	1			
		P(p + a)2			
	x (1+щ)]				
* В таблице для сокращения записи под каждой из функций оригиналов f(f) следует понимать f(t) 1 (?)•
E(p) + Li3(0_) + t^^=pLI3(p) + RIi(p)-^-I2(p). Р	рС
При нулевых начальных условиях формула (0.9.5а) примет вид
NB	NB
I Ек(р)= Е 4(p)Zk(p).	(0.9.56)
k=l	k=l
6.	Теорема запаздывания (смещение) оригинала. Она имеет вид
/(/-?о)=?Г(р)е	₽'».
(0.9.6)
255
7.	Теорема смещения изображения. Она имеет вид
F(p + a)=f(t)e~at	(0.9.7)
8.	Произведение изображений. Оно имеет вид
F1(p)F2(p) = \fl(t-x)f2(x)dx = \fl(x)f2(t-x)dx. (0.9.8) О	о
Здесь оригиналом является свертка функций Л(/) и f2(t).
9.	Теорема разложения. Если изображение искомого тока или напряжения имеет вид рациональной дроби
Fi(p)_boPm + biP” l+ -+bm-ip+bm_bop’n + blpm r+ ...+bm-i p+bm F2(p)	р"+а1рп~'+ ...+а„-1р + а„ (p-Pi)(p-p2) (P~P«)
(0.9.9)
причем многочлены (относительно р) Fk(p} и F2(p) удовлетворяют следующим условиям: степень гДр) ниже степени Г2(р), ак и \—вещественные числа, а корни рг, р2, рп уравнения Е2(р) = О различны, то оригинал определяется выражением
(0.9.10)
у FAPk)Qp,t
F2(pY k^F^Pk}
Если знаменатель уравнения Г2(р) = О имеет один корень, равный нулю, т. е. Г2(р)=рЕ3(р), то оригинал находят по формуле
Л(р)_ Л(/>) ^Л(О) . у Л(^) ер„,
F2{p) pF3(p)'F3(0) k^‘ipkF'3(pk}
Примеры в задачах 9.1, 9.4, 9.10.
(0.9.11)
Замечание. Если среди корней уравнения Е2(р) = 0 имеются комплексносопряженные корни рк и рк, то при вычислении соответствующих им слагаемых, стоящих в правой части суммы уравнений (0.9.10) и (0.9.11), достаточно определить слагаемое для одного из этих корней, например рк, а для сопряженного корня рк следует взять сопряженное значение этого слагаемого. Сумма, соответствующая этим двум слагаемым, равна удвоенному значению действительной части, найденной для одного из корней.
Примеры приведены в задачах 9.4 и 9.14.
Если в уравнении (0.9.11) Г2(р) = 0 имеет п различных корней (р15 р2, рп) и из них корень рг кратностью т„, корень р2 кратностью т2, корень р„ кратностью пг„, то по изображению Fk(p) / F2(p) оригинал вычисляют по формуле
Fi(p)^ у 1
F2(p) '	(ли*—1)!
d’V1 Fi(p)e₽'
dp"--1 F2(p) (/’-ft)"'1
(0.9.12)
256
Здесь выражение, стоящее в знаменателе квадратной скобки, надо сначала сократить на [р—рк)тк и лишь после этого дифференцировать.
Если уравнение F2(p) = 0 содержит одновременно и простые, и кратные корни, то для определения слагаемых, соответствующих простым корням, используется формула (0.9.10) или (0.9.11), если имеется простой корень р = 0, а для кратных — формула (0.9.12).
Пример приведен в задаче 9.4, п. 2.
10.	Методика решения задач операторным методом. Она сводится: а) к составлению уравнений Кирхгофа (или соответствующих им уравнений по тому или иному методу расчета) в операторной форме с учетом начальных условий; б) их решению относительно изображения искомого значения; в) нахождению оригинала (с помощью теоремы разложения, таблиц, связывающих оригиналы и их изображения, или другими методами) по найденному изображению.
11.	Переходные характеристики. Для определения переходной функции цепи можно пользоваться операторным методом. Так, например, изображение переходной проводимости Y(p} можно получить, если учесть, что изображение единичного напряжения есть 1/р (см. табл. 0.9.1, № 2):
1
Y(p)=-L- =—L-.	(0.9.13)
z(p) pz(p)	v 7
Лапласовское изображение переходной	функции	по напряжению можно получить	по известной	операторной
передаточной функции Н(р) по	формуле
L [/i (г )] = ^ =/;(/),	(0.9.14)
здесь L—символ изображения по Лапласу.
Оригиналы у(?) и h(t) определяют с использованием таблиц изображений или по теореме разложения.
Так как 3(») = 1=р- (см. табл. 0.9.1, № 1), изображение
р
любой импульсной характеристики можно получить умножением соответствующей переходной характеристики на оператор р\
hM=ph(p)-	(0.9.15а)
Учитывая теорему дифференцирования оригинала, получим
/iH(z) = /z(0)8(i) + ^.	(0.9.156)
Реакция цепи при произвольном ограниченном воздействии F(t) определяется по формуле
257
/(/) = f F(t)^(?-t)</t = F(z)A(0)4JF(t)x 0	0
хЛ^(/-т)бт.	(0.9.16)
Примеры приведены в задачах 9.41 и 9.43.
Из линейности преобразования Лапласа следует следующая связь между импульсной характеристикой и ее передаточной функцией:
Й,(О=Ш	(0.9.17)
В устойчивых цепях
Ит/ги(/) = 0.
(0.9.18)
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.
ОПЕРАТОРНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЦЫ 0.9.1 И ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ
Рис. 9.1
9.1.	Для схемы рис. 9.1 операторным методом найти выражения мгновенных значений тока в неразветв-ленной части цепи и напряжения на обкладках конденсатора при замыкании контакта К. Дано: [7=200 В, /^ = 100 Ом, /?2 = 400 0м, С=5мкФ.
Решение. Находим изображение тока в неразветвленной части цепи
по закону Ома: (/?)= [/(/?)/Z(/>), где изображение постоянного напряжения (см. по табл. 0.9.1, № 2) U(p) = = U / р = 200 !р. а операторное сопротивление
1
r2—
рС Rj	Ry-'rR] 0,2р + 500
1 R2Cp+\ 2 • 10“1 * 3р+1
^2+ —
рС
2^) = ^ +
Итак,
л(р)=
0,4р + 200 р(0,2р + 500)‘
Оригинал этого тока определим двумя способами.
258
Способ 1. Используя табл. 0.9.1, связывающую оригинал и его изображение, преобразуем /Др) так, чтобы получить табличные изображения.
11 (р) представим в виде суммы двух функций, которые после преобразования примут вид формул, данных в табл. 0.9.1, №5 и 11:
Г / \	0,4	.	200	0,4	1
0,2р + 500 р(0,2р 4-500) 0,2	500
р+од
500
200	0,2	0,2 п 1	, А л
— х —,----г- х — = 2----h 0,4 х
0,2	(	500 \ 500	р+2500
Т+от)
X
2500 р(р+2500)
= 2е~25ОО( + 0,4(1
е~ 25001
= (0,4+1,бе “ 2500t) A = z\ (/).
Способ 2. Решим задачу с помощью теоремы разложения [см. формулу (0.9.11)].
В данном случае: Fv (р) = 0,4/+ + 200; F3 (р) = 0,2р + 500.
Вычисляем корень уравнения: F3 (р) = 0,2/, + 500 = 0; pt = = -2500 с’1.
Определяем
Ft (0) = (0,4/? + 200)р=о = 200; F3 (0) = (0,2/? + 500)р=0 = 500;
Ft (pi) = (0,4/? + 200)р=Р1 = 0,4 (- 2500) + 200 = - 800;
Г3(Р1) = 0,2.
Подставляя найденные значения в формулу (0.9.11), получим
I	ОЛр + 200 Т,(0) .
pF3(p) р(0,2р+500) • F3(0) P1F'3(P1)
= S + ^S = <0.4+1.6e—»)A^il(().
Проверка. При / = 0+ ток (0) = 0,4+1,6 = 2 А. Действительно, в момент начала переходного процесса напряжение на конденсаторе равно нулю. Это соответствует тому, что конденсатор ведет себя так, будто он закорочен, и тем самым шунтирует сопротивление R2, поэтому ток ч(0+) определяется только сопротивлением Rr.
Определим напряжение на конденсаторе в операторной форме
=гдр)(1 -//*,444-
£\Р)	\	Ср -т Jy-i + А2 /
_	_ UR2 _	8 104
Rr R2 Cp + Ry + R2	Ri~^~ R2) p(0,2p + 500)
9*
259
о-------------------------о
1'	2
Рис. 9.2
Применяя один из указанных способов, найдем
ис= 160(1 -е~250Ш) В.
Проверка. При Г = 0+ напряжение wc(0+) = 0, что соответствует начальному условию.
9.2.	Определить напряжение на разомкнутых зажимах 2—2' цепи (рис. 9.2) при ее включении на постоянное напряжение [7= 100 В. Дано:	Rr = R2 = 250 Ом, Сг =
= 20 мкФ, С2 = 4 мкФ.
9.3.	Решить задачу 8.7 операторным методом.
9.4.	Решить задачу 8.26 операторным методом.
всего найдем операторное сопротив-
7(гЛ	RLCp2+Lp + R
Z(p) = R +---г= "р'рС+\	•
рС
Далее определим изображение тока через изображение входного напряжения U(p)=U / р:
у Ы-^)_ U(LCp41)
Z(p) p(RLCp2 + Lp + R)'
Изображение напряжения на конденсаторе получим, умножая изображение тока на операторное сопротивление параллельных ветвей:
1
pL—	/
(9.1) pclp2+-—p+—)	2'Л/
рС \ RC LC J
где числитель
F^p^UIRC,	(9.2)
а знаменатель
Решение. Прежде ление цепи
1
Т2 (р) =р2+^р+=(р -Pi) (р -р2), причем корни уравнения F2(/>) = 0
_ 1 + /f 1 У 1
*^1’2 2RC~\J \2RCj LC
(93)
(9.4)
1.	Решим задачу для первого варианта числовых значений по формуле разложения (0.9.10). По формулам (9.2) — (9.4) определяем
260
Fj(/>)= 125/(250-2• 10-6) = 0,25-IO6; F2(p)=
_ 2 ! 1
P +250-2 10’6^ + 667 10-3-2 10~6-
=р2 + 2000р+0,75 • IO6.
Найдем корни уравнения:
F2(p]=p2 + 2000/7 + 0,75 • 106 = 0; P1 = -500 c-1,
p2= — 1500 c-1.
Вычислим производную F'2(p) и ее значения при р=рг и р=р2- F'2(p) = 2p + 2000, F'2(/>1) = 2(-500) +2000= 1000;
F2 (р2) = 2 (— 1500) + 2000 =-1000.
По формуле (9.1) определяем
U (p\_fAp)_	0.25 Ю6
/>2 + 2000р + 0,75Ю6’
По формуле разложения (0.9.10),
U	+	°’25'10бе"5001 +
u^p^F'2(P1f +F'2(pJ	“ юоо +
0,25 • 106e~15OO< z 500t 15Оом R
+—zi5oo-------250(е -е )В-
Те же результаты можно получить по формуле табл. 0.9.1, № 13, если знаменатель изображения напряжения на конденсаторе представить в виде F?(p] = = (р + 500)(р+1500).	V 7
2.	Решим задачу, подставляя числовые значения второго варианта. По формулам (9.2) — (9.4) определим
F1<',)=loo‘2S|o-«-1-25'1°t’; МрМр + ЗОООР;
Pi=p2 — —5000 с-1.
Изображение напряжения на конденсаторе [см. формулу 9.1)] имеет вид
и (д)-Л^)- 1’251°6
СУР fi(p) (р + 5000)2
В связи с тем, что имеются кратные корни (порядок кратности л? = 2), оригинал находим по формуле (0.9.12), в которой
mk=mi = 2, (тк-1)! = (2-1)! = 1;
W) _(Р + 5ООО)2_1
(p-pt)m‘ (Р + 5000)2	'
Таким образом,
261
77(р) = Г£Г1(р)е^П =Г—(1,25 • 106е₽1‘)
Fitp) |_ф> 1 Jp=P1 Ld/ 7Jp=₽!
= [1,25- 106/ept]p=Pi = 1,25 • 106Ze~5OOOf B = mc(z).
Можно также определить оригинал по формуле табл. 0.9.1, № 9.
3.	Рассмотрим третий вариант числовых значений. По формулам (9.2) — (9.4) находим
F1W=100^i0^=°’25'1()6; ^(р)=Р2 + 2000р + 5-106;
Р1 2=-1000±>2000 с-1.
Производная от F2(p) и ее значения при р=р1 и р=р2 равны:
£'2(д) = 2д + 2000;
F'2 (р!) = 2 (-1000 +7'2000)+2000 = /4000;
£ 2 (р2) = 2 (-1000 -/2000)+2000 = -7'4000.
Искомый оригинал (с учетом замечания к п. 9 теоремы разложения) имеет вид [см. формулу 0.9.10]
Л(р)_	0,25 - 10е	^0,25  106 (-iooo + /2ooo)t ,
F2 (р) р2+2000/)+ 5 • 106 ' >4000	’Г
(_1000_J2000)r= Г0 25.106e-looOl^L =
-/400Й	|_	4000ej9°
= 2	10001 е./'(2000г —90°) _2 0,25- Ю6 -1000г
|_	4000	J 4000
X cos (20001- 90°) = 125е-1 °00' sin 20001 K = uc(t).
Те же результаты можно получить по формуле табл. 0.9.1, № 18, если знаменатель F2(p) представить в виде
F2 (р) = (р ~Р1 )(р ~Рг) = [Р - (- 1000 +7'2000)] х
х [р- (-1000 -7'2000)] = (р +1000)2 + 20002.
9.5.	Найти ток в индуктивной катушке при включении цепи (рис. 9.5). ЭДС источника энергии Е, параметры катушки 7?, L сопротивления резисторов R2 и R2 и емкость конденсатора С известны.
9.6.	Определить ток, проходящий по индуктивной катушке при включении цепи (рис. 9.6). Дано: £=40 В; £0 = 100 Ом, £ш = 2000 Ом, £=110 Ом, £ = 3 Гн и С= 1 мкФ.
9.7.	К цепи (рис. 9.7) подключается напряжение м= С7ОТ sin (соо/-|-\|/). Пользуясь операторным методом, найти выражение для мгновенных значений напряжения между обкладками конденсатора.
262
Рис. 9.7
Рис. 9.8
Рис. 9.9
9.8.	К цепи (рис. 9.8) подключается напряжение и= 0^ sin (спог + ф). Найти закон изменения во времени тока, проходящего в неразветвленной части цепи. Дано: Л1 = ЮООм, 7?2 = 250 Ом, £=1Гн, C7w=170B и/=50Гц.
9.9.	Найти законы изменения во времени тока ir в неразветвленной части цепи и напряжения ис при включении цепи (рис. 9.9) на синусоидальное напряжение и = Um sin сооЛ Дано: Um = 500 В, R = 50 Ом, L = = 0,3 Гн, С= 100 мкФ и соо = 314с-1.
9.10.	Решить задачу 8.9 операторным методом.
Решение. Это пример задачи с ненулевым начальным условием для тока z19 проходящего через индуктивную катушку. Операторная схема замещения изображена на рис. 9.10, а. Составляем для нее уравнения Кирхгофа:
Др)=Л(рШ2(р);	(9.1)
£(р) = Л/(р) + А2/2(р);	(9.2)
E(p)^(0J = W№WW	(9.3)
В этих уравнениях (0_ ) = £'/(7?Н-1?1) — начальное значение тока, проходящего	через	индуктивную	катушку
Е(р) = Е)р — изображение постоянной ЭДС.
Уравнения (9.1) — (9.3)	решим	совместно	относительно
тока Zi (р):
263
Рис. 9.10
(L^R+R,) RR2+RtR2\
j I \	\ -Л + -Л1 A + J 8p + 45	2p+ll,25
1	~^[ЛА2 + ЛА1+А1Л2+£1(Л + Л2)р]~р(4р + 25)_рО2-Ьб,25)’
По формуле разложения (0.9.11) оригинал функции имеет вид
(0 = (1,8 + 0,2е~6’25г) А.
Для упражнения эту же задачу решим методом сведения к нулевым начальным условиям. Для этого вычислим напряжение на разомкнутом контакте (см. рис. 8.9, я):
Mfc(0_) = uafc(0_) = /?1/1(0_) = ^.
Добавим в ветвь R2 два встречно включенных источника с ЭДС Е± = Е2==ик = ER1/(R-}-Rr \ как показано на рис. 9.10,б.
Расчет схемы после коммутации проведем по методу наложения. Составляющая тока (от системы ЭДС Е и Ег) совпадает со своим значением (0_ ) до коммутации, так как подключение ЭДС Er=uk(Q~) (рис. 9.10,в) не вызовет каких-либо изменений в исходной схеме с выключенным контактом К. Таким образом, i \ (0 _ ) = = Е/(£ + £х) = 2 А.
Вызываемую действием ЭДС Е29 подключаемой к обесточенной схеме (рис. 9.10, г), составляющую тока i'[ можно записать в операторной форме:
ед=-
_______Ег(р}Л
R^L^X
2 R + R^pLj'
____________ERjR____________
р [pLi (R+R2)RRi+RR2 + RtR2	“Ь )
264
Подставляя числовые значения и переходя к оригиналу по формуле (0.9.11) для искомого тока, получим z1 = z'1 + z" = (l?8 + 0,2e’6’25f) А.
9.11.	Решить задачу 8.5 операторным методом.
9.12.	Решить задачу 8.20 операторным методом.
Рис. 9.12
Решение. Эта задача
имеет ненулевое начальное условие
для напряжения на конденсаторе ис. Операторная схема замещения изображена на рис. 9.12.
Для этой схемы по методу контурных токов имеем
/11(р)(/?1 + /?2)-/22(р)/?2=|;	(9.1)
-Ill(p)R2 + I22(p)(R + R2 + ±\=_u-^.	(9.2)
\	PC J	р
Решая эти уравнения относительно	и учитывая,
что ис (0 _ ) = Е, найдем
т , х	—ERrC	ERr
I? Ар ) =---------------------=---------------х
22 (RRl+RR2+RlR2)Cp + Rl + R2 +	+
1
______-^1+^2______
P + (RRl + RR2 + R1R2)C
Подставив числовые значения, получим
т , ,	-3,6 10“3	„ 1С 1
/,,(») =-----5-----=—0,15-------.
22 7 7 24-10-3р+150	р+6250
На основании (0.9.10) или по табл. 0.9.1, № 5 определим оригинал:
/’(/)=—0,15е~6250' А.
Аналогично из уравнений (9.1) и (9.2) можно найти другие токи и напряжение на конденсаторе.
9.13.	При установившемся режиме в схеме рис. 9.13, а замыкается контакт К. Конденсатор емкостью С предварительно заряжен до напряжения Uo. Найти выражения токов при переходном процессе. Дано: £=60 В; Rt =400 Ом, Я2 = 800 0м, £ = 0,2 Гн, С=2,5 мкФ и 17о = 20 В.
Указание. Операторная схема замещения показана на рис. 9.13,6. Для нее i2 (0 _ ) = E'{R 1 + R2), (0 _ ) = t/0. Задачу удобно решать методом узловых напряжений. Напряжение в операторной форме между точками а и b равно
265
Рис. 9.13
1	, «c(0-) r
pC
Е 1
-•----£z2(0_)
TJ ( . Р Ri	R2+pL р
uab (р) =----j-----j---------
--1------\-pC Ri R2+pL
Операторное выражение тока (p), по закону Ома, E E vb(p)-va(p)+-----------uab(p)
r <	P-P
100	*1	Р-i
LC(E-U0)p2+[R2C(E-U0) + Li2(Q_)]p + E_ F.tp) p [RlLCp2 + {RlR2C^-L)p + Rl+R2 pF3(p)'
Подставляя сюда числовые значения с помощью теоремы разложения, найти z\ (/). Далее определить: uab = Е—z\Rt, z3 = Сz2 = z\ — z3.
dz
9.14.	В схеме (рис. 9.14, а) при разомкнутом контакте имеется установившийся процесс. В момент t = 0 контакт замыкается и накоротко шунтирует сопротивление Т?4.
Рис. 9.14
266
Найти выражения для токов и напряжение на конденсаторе при переходном процессе. Дано: £7=125 В, = 50 Ом, 7?2 = 200 0м, 7?4 = 250 Ом, £ = 0,01 Гн и С=5мкФ.
Решение. Это пример задачи с ненулевыми начальными условиями. Определим их. Через индуктивную катушку до замыкания контакта проходит постоянный ток
(0_) =-------=125/500 = 0,25 А.
Rt +R4+R2
Напряжение на конденсаторе до коммутации: ис(0_) = = /?2i2(0_)=0,25-200 = 50 В.
Для схемы, образующейся после коммутации, начертим операторную схему замещения (рис. 9.14, б). Найдем, например, ток /Др) методом эквивалентного источника ЭДС. Для этого отключаем первую ветвь (рис. 9.14, в) и найдем операторную ЭДС эквивалентного источника Еэк(р) и его сопротивление Z3K(p). Из рис. 9.14, в следует, что
«с(О-)
Ея(р)=иа(р)=Я2Г(р)=К2-^-=С-^,	(9.1)
R1+^c а из рис. 9.14, г
„д
(9.2)
R1+pC
Ток в первой ветви (рис. 9.14, д) и
- + L4 (0_)-Еэк(р)
Л(р) = \+п/+7 (п} 	(9-3)
+pL + Z3K (р)
Подставим сюда Езк(р) и Z3K(p) из (9.1) и (9.2), получим
j , ,CLR2il(0_)p2+[UCR2 + Lil(0_)-uc(0__)CR2]p+U_
1	р [LCR2p2+(CR1R2 + L)p + R1+R2 ]	“
.=Ж	(9-4)
Ei(p)
Подставляя числовые значения, имеем:
Ft (р) = 5 • 106 • 0,01 • 0,25 • 200/ + (125 • 5 • 10~6 • 200 +
+ 0,01 -0,25-50 • 5 • 10~6-200)р +125 =
= 2,5 • 10’6р2 + 0,0775р +125;	(9.5)
F2(p)=pF3(p)=p [0,01 -5-10“6-200р2 + (5-10’6-50-200 +
+ 0,01) р + 250] =р (10 “ 5р2 + 0,06р + 250).	(9.6)
По изображению (9.4) найдем оригинал тока z\ (/) с помощью теоремы разложения (0.9.11). Для этого определим значения функции Ft(p) и F3(p) при р = 0.
Fb(0)=125; F3(0) = 250.	(9.7)
267
Затем находим корни уравнения
F3 (р) = 10 “5 р2 + 0,06/> + 250 = 0;
_ - 0,06 ±л/36 10“4-4 • 10“5 -250_ -0,06±/0,08 _
Р1 ’2	2-10 5	" 2•10“5
= ( — 3000+74000) с’1;	(9.8)
/?! = (- 3000 + /4000) с~1, р2 = (- 3000 -/4000) с~1.
Далее вычислим производную и ее значения при р=рг и р =р2
F3 (/?) = 2 • 10-5р + 0,06; F3(/?1) = 2-10-5( —3000+/4000) +
+ 0,06 =/0,08;	(9.9)
F3 (/>2) = 2 • 10 “5 (— 3000 -/4000) + 0,06 = -/0,08.	(9.10)
Определим F1(p) при р=рг и р=р2.
Ft (pt) = 2,5 • 10-6(- 3000 + /4000)2 + 0,0775(- 3000 +/4000) +
+125= -125+7250;	(9.11)
F3 (р2) = 2,5 • 10 ’ 6 (- 3000 —/4000)2 + 0,0775 (- 3000 -
—/4000) +125 =-125-/250.	(9.12)
Наконец, подставим полученные в уравнениях (9.7) — (9.12) значения в формулу (0.9.11) и, учитывая замечание к и. 9 теоремы разложения, определяем
. /И_125 ?R Г(- 125+/250)е<-30ОО+-,4ООО>' _
?1 ' 250 '	6	(— 3000+/4000)/0,08	“
= 0,5 + 2
_	281е7116 зо'е-'4000'
6 5000eJ126 50 0,08ej9°
е-зооог_
= 0,5 + Re [ 1,4е'<4000'" 100°20 ) ] e ~ 3000' = 0,5 +1,4e ~ 3000< cos x x (4000/—100°20') =
= 0,5 + 1,4e“30001 sin (4000/ -10°20') A.
Проверка. При / = 0 z’i(0) = 0,25A, что удовлетворяет начальному условию.
Остальные два тока могут быть найдены следующим образом. Если из U вычесть падение напряжения на ветви RrL, то можно найти мгновенное значение напряжения на параллельных ветвях:
u^U-R^-A
at
Затем определим токи: i2 = uabIR2. i2 = Cduab/dt.
9.15.	Решить задачи 8.29 и 8.32 операторным методом.
9.16.	Цепь (рис. 9.16) при замкнутом контакте К находится в установившемся режиме. Ток источника тока 7=0,4 А.
268
Рис. 9.16
Параметры схемы: 7?х = 10 Ом, R2 = 15 Ом, R3 = 25 Ом, L= 10 мГн. Рассчитать все токи при мгновенном размыкании контакта К.
Указание. Характеристическое уравнение имеет вид (см. п. 4 основных положений и соотношений)
Z^pj = Ri +Т?2 +	+pL=0.
9.17.	Полагаем, что в схеме рис. 9.16 контакт К разомкнут, и цепь находится в установившемся режиме. Найти токи при замыкании контакта. Цифровые значения всех заданных элементов взять из предыдущей задачи.
б) /?7 pL1 L^(°) Rz pLzL^(°) ^IcsIP)
Рис. 9.18
9.18.	К зажимам цепи (рис. 9.18, а) приложено напряжение и= t/msin(coz + \|/), £7ш=10В, со = 5000 с-1. Параметры цепи: Лх = ЗОм, 7?2 = 4Ом, Li =0,8 мГн, £2 = 4мГн.
В момент прохождения тока через положительный максимум замыкается контакт К. Найти токи и /2.
Решение. До замыкания контакта ток в цепи
z=sin (со/ + \|/ — ср), где t
Z={R\ И- ^2)(g)^i ^L2^ =2,5 Ом;
ср = arctg [(со£х + ю£2)]/(7?х + Т?2) = arctg 3,43 = 73°44'.
По условию задачи в момент включения этот ток максимален, т. е.
Z1(0-) = z'i(0 + )=	sin (го?+\|/ - <р)
L z	Jt=о
^ = - = 0,4 А.
Z 25
Отсюда можно рассчитать угол включения ф: sin(\|/ — ср)= 1; ф —<р = 90°; ф = 90° + ср= 163°44'.
269
Так как изображение синусоидальной функции определяется сравнительно сложной формулой, в данной задаче операторным методом вычислим только свободную составляющую тока z1CB, а установившуюся составляющую тока zly найдем, рассчитав схему задачи (см. рис. 9.18, а) после коммутации символическим методом
/ =—— =----------12^------=2ejll0°34' А;
Л1+>£1 3+75 103 0,8 Ю 3
г1у = 2sin(®/ +110°34') A; zly(0+) = 2sin 110°34'= 1,87 А.
Начальное значение свободного тока: йСв(0+) = г1(0 + ) — -zly(0 + ) = 0,4-1,87=-1,47 А.
Операторная схема замещения для расчета свободной составляющей переходного процесса с учетом ненулевых начальных значений свободных токов показана на рис. 9.18,6.
По второму закону Кирхгофа для первого контура имеем: LiZiCb(0 + ) = 7icb(^)(7?i+^Li) и, подставляя числовые значения и вычисляя изображение свободного тока, находим
J ( \_^1'1св(0 + )_ _ 0,8 10*3-1,47 _ _	1,47
1 свRi+рЦ ~ 3+0,8 10“3р “ р+3,75 • 103'
По формуле разложения: = — 1,47е~3,75 103( А. Суммирование установившегося и свободного токов определяет искомый ток: и = [2sin (о)/+11О 34')—1,47е-3’751°’'] А.
Аналогично вычисляем ток z2. Отличие заключается в том, что установившийся ток равен нулю: /2ут = 0; /2у = 0-
Поэтому z2cb(0+) = z2(0+) = z(0_) = 0,4 А. По второму закону Кирхгофа, для второго контура (рис. 9.18,6)
т т („\ ^20.(0) 4-10-3 0,4	0,4
л<р>-/2"<'’)-+++-4+410
По формуле разложения: /2 = /2СВ = 0,4е*г 1()3t А.
9.19.	До замыкания контакта по цепи (рис. 9.19, а) проходит ток, вызванный действием синусоидальной ЭДС е= 180sin(314/ + 30°) В. В момент / = 0 контакт замыкается. Найти выражения переходных токов, если Rr = 30 Ом, Т?2 = 60Ом, А3 = 50Ом и С = 80 мкФ.
Рис. 9.19
270
9.20.	Найти переходные токи в цепи и напряжение на индуктивной катушке при замыкании контакта К в момент Г = 0 (рис. 9.19,6). Дано: е= 100sin(314^ + 60°) В, 1^ = 25 Ом, R2 = 20 Ом, J?3 = 30 Ом и £ = 0,1 Гн. Задачу решить методами контурных токов и узловых напряжений.
9.21.	Напряжение u=Uoe~6t (Uo= 10 В, 8 = 2 с-1) включается в цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора с сопротивлением R = 2 Ом и катушки, индуктивность которой £=1Гн. Найти закон изменения тока и определить его максимальное значение.
9.22.	Цепь, состоящая из последовательно соединенных R = 2000 Ом и С =50 мкФ, включается под действие напряжения и= 100e-5t. Найти законы изменения тока и напряжения на конденсаторе.
9.23.	Цепь, состоящая из последовательно соединенных J?=104 Ом и С= 50 мкФ, включается под действие напряжения w= 120(1 — е~4г). Найти выражения для тока и напряжения на конденсаторе.
9.24.	Цепь, состоящая из источника постоянного тока (J, /?), нагруженная на Л^-ветвь, находится в установившемся режиме (рис. 9.24, а). В момент Г = 0 замыканием контакта К осуществляется коммутация, включающая резистор сопротивлением R2. Найти закон изменение тока 4, протекающего через ветвь RrL после замыкания.
Решение. До коммутации по ветви RrL проходил постоянный ток: i\ (0) = JR/(R + Rt).
Начертим эквивалентную операторную схему замещения после коммутации (рис. 9.24,6) и заменим ее схемой рис. 9.24, в, в которой параллельно соединенные сопротивления R и R2 заменим эквивалентным: R3K = RR2)(R2 + R). По методу контурных токов имеем I^fj^iJR^+R^+pE) — — J(p)R3K = Li1(0- \ Отсюда, учитывая, что J{p) = Jfp. найдем
п\(о,) + -^_ ,1(0 )	।
^1+^эк+рЬ	^1+Лэк т (	^1+^эк
Р +------ Lplp +-------
Используя табл. 0.9.1, № 5 и 11, найдем оригинал
каждого из этих изображений. В результате получим
(t) = JR
—е^'+-----------------------(1—e~at
R + Ri	RRi-\- RR2 + R1R2
RRi + RR2 4" R1R2 где a =------—-—
£(Л2 + Л)
9.25.	Каждая из цепей (рис. 9.25, а и б) находится в установившемся режиме. В момент t = 0 контакт К мгновенно размыкается. Найти иаь- Задачу решить, если к входным
271
Рис. 9.24
зажимам был подключен: а) источник постоянного напряжения U; б) источник постоянного тока J. Для каждой из схем принять R1 = R2 = R3 = R4 = R,
Б. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ
9.26.	До замыкания контакта К цепь рис. 9.26, а находилась в установившемся режиме. Найти выражение тока i2 как функцию времени после замыкания. Дано: £=30 В, £=100 Ом, £t=200 OM, £1 = £2 = 0,ЗГн, М=0,1 Гн. Составить операторную схему замещения.
Рис. 9.26
272
Решение. Для схемы после коммутации запишем уравнения Кирхгофа для мгновенных значений:
E=iR + ilRl + L1^+M^;	(9.1)
dr dr
E=iR+L2^+iA	(9.2)
dr dr	7
i=i1 + i2.	(9.3)
Перейдем к операторной форме записи этих уравнений, учтя ненулевое значение тока i1(0-) = E/(R + Rl):
E(p)=RI(p) + R1I1(p) +PL1I1(p) -ГДДО-) +рЛ//2(р);(9.1а)
E(p)=RI(p) +pL2I2(p) +pMI1(p) -MzJO-);	(9.2a)
I(p) = Ii(p)+l2(p)-	(9.3a)
Решим эти уравнения относительно /2(Ah и, учитывая, что Е(р) = Е)р, найдем
2 Р p^p^L^-M^+p^R + ^R + URi-^MR^+RR^'
Подставив числовые значения и сократив числитель и знаменатель на общий множитель /7+1000, получим
^ЪтДог0'3’1 -="“') А-^-
Проверка. При г = 0 ток i2 (0) = 0, что соответствует первому закону коммутации. При г=оо ток z2 = 0,3A. Действительно, при установившемся режиме ветвь RiLr будет закорочена индуктивностью, по которой проходит ток г2оо = ВД = 0,3 А. Схема замещения изображена на рис. 9.26,6.
9.27.	Схемы рис. 9.27, а и б имеют индуктивно-связанные элементы. Для каждой из них найти ток i2 после коммутации.
В схеме рис. 9.27, а до размыкания контакта К имел место установившийся режим, вызванный действием постоянных источников. Для этой схемы рассмотреть случаи, когда к входным зажимам был подведен: 1) источник постоянного напряжения U= 100 В; 2) источник постоянного то
Рис. 9.27
273
ка 7=0,5 А. Параметры этой схемы: Rr = А3 = А4 = 150 Ом, Л2 = 200 0м, £1=0,2Гн, Л2 = 0,1 Гн, М = 0,1 Гн.
Параметры схемы на рис. 9.27, d: Е=30 В, /?1 = Л2 = /?3 = = ЮООм, Li =0,2 Гн, £2 = 0,1 Гн, М=0,1 Гн.
Глава 10
Спектральный метод анализа линейных электрических цепей
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Интегральные преобразования Фурье. Сущность спектрального представления состоит в замене заданной функции времени суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малое значение.
Абсолютно интегрируемую функцию времени можно вычислить в виде наложения своих гармонических составляющих с помощью интеграла Фурье:
/0) = ^ j	(0.10.1)
Здесь интенсивность спектральных составляющих определяется спектральной плотностью F(jco), которую можно вычислить по формуле Фурье:
F(jco)= J	(0.10.2)
Выражения (0.10.1) и (0.10.2) называются соответственно обратным и прямым преобразованиями Фурье.
2.	Одностороннее преобразование Фурье и его связь с преобразованием Лапласа. Сравнивая формулы Фурье (0.10.2) с формулой (0.9.1) видим, что для непериодических временных функций /(Z), отличных от нуля лишь при и удовлетворяющих условию интегрируемости по Фурье |/(/) |<Л/е“ |Co|z, где М и с0 — положительные и действительные значения, спектральная плотность совпадает с соответствующим изображением Лапласа, в котором параметр р заменен на /со. Это свойство дает возможность применять таблицы преобразования Лапласа для вычисления функций спектральной плотности и позволяет для заведомо равных нулю при временных функций /(/) вычислить их мгновенные значения, пользуясь изложенной в гл. 8 методикой нахождения оригиналов.
274
Спектральную плотность F(jco) реакции цепи (например, спектральную плотность напряжения J7 (jcd) или тока I(jсо) произвольного элемента цепи) вычисляют по спектральной плотности воздействия Ег(усо) источника и соответствующей комплексной функции передачи цепи
F(jco) = H(jco)Fr(jco).	(0.10.3)
Частные случаи комплексной функции цепи — сопротивление передачи Z(jco) и проводимость передачи У(усо).
Примеры приведены в задачах 10.4; 10.6; 10.10.
3.	Некоторые свойства преобразования Фурье.
Теорема линейности т	т
Z FnIM	(0.10.4а)
п=1	п= 1
Теорема дифференцирования оригинала:
если /(?) -> то	(0.10.46)
Теорема интегрирования оригинала: t
если /(?)-> то /’(?) dt 4»	•	(О.Ю.4в)
— 00
Теорема запаздывания (смещение в области действительного переменного (рис. 0.10.1)):
если f(t) 4» F(jco), то f(t — Zo) F(jco)e"7O)to. (0.10.4г)
Теорема смещения спектра:
если f(t) 4» F(jco), то /(^)е±7Юог F(jcd+jcdo). (О.Ю.4д)
В частном случае: /(Z)cosco0^ = ^ [F(jco— jcoo) +F(jco + +7®о)]-
Теорема изменения масштаба:
если f(t) 4» F(jco), то /^-^ = яЕ(усо).	(О.Ю.4е)
Предельные соотношения:
lim/(/)= lim jcoF(jco) и lim/(z)= lim jcdF(jcd). (О.Ю.4ж) t-*оо	co”*0	t~*0	co-*oo
4.	Способы определения спектров сигналов, а. Использование формулы прямого преобразования Фурье, б. Ис-
275
Рис. 0.10.3
Рис. 0.10.4
пользование таблиц операторных изображений по Лапласу, в которых р заменяется на усо. в. Использование единичной импульсной функции 8(0 при дифференцировании сигнала. В этом случае надо знать спектр функции 8(0F(jco)= 1, который изображается горизонтальной прямой (рис. 0.10.2).
Пример в задаче 10.14.
5.	Расчет тока двухполюсника при непериодическом воздействии (рис. 0.10.3).
Если иг (0 4» Ut (усо), то
(0.10.5)
Пример в задаче 10.9.
6.	Расчет передаточной функции четырехполюсника при непериодическом воздействии (рис. 0.10.4). Если
C7i(j<o), w2(Z)4> [/2(7<о), то
Hv(jfo)=U2 (j(o)/Ui (jco).	(0.10.6)
Аналогично и для других передаточных функций:
Примеры в задачах 10.10; 10.14.
7.	Условия неискажающей передачи сигналов через четырехполюсник (рис. 0.10.5, а — в)
а/ |	6)
Рис. 0.10.5
276
°)
1 О-------1|------J----о 2
С
/ о---------------1 о 2
ut(t)
Рис. 0.10.6
f2(t) = afl(t-t3),
здесь t3 — время задержки сигнала;
F2(j®) = flF1(jG))e-7o,,3
(0.10.7а)
(0.10.76)
или
H(j(o) = F2(j<o)/F1(j(o) = ^((o)e_J'l'<‘o) = fle_J“(’.	(0.10.7в)
8.	Теорема Релея. С помощью этой теоремы можно установить связь между спектральной плотностью сигнала и распределением энергии в его спектре
00	00
'I- J	J [FW]’do>.
— 00	— 00
(0.10.8)
9.	Ширина спектра сигнала. Это ширина полосы частот, в пределах которой сосредоточена основная часть энергии. Ширина спектра сигнала обычно соответствует полосе частот, занятой первым лепестком амплитудного спектра сигнала.
10.	Дифференцирующие и интегрирующие цепи. В настоящее время в современных радиотехнических устройствах широко применяются различные линейные электрические цепи, у которых реакция пропорциональна или производной, или интегралу от приложенного воздействия. Такие цепи называются соответственно дифференцирующими или интегрирующими.
Простейшие дифференцирующие (обостряющие) цепи изображены на рис. 0.10.6, а и б, а интегрирующие (сглаживающие)— на рис. 0.10.7, а и б. Эти цепи осуществляют
277
приближенное дифференцирование и интегрирование сигналов с определенным спектром частот.
Дифференцирование осуществляется тем качественнее, чем лучше выполняется неравенство
тю«1,	(0.10.9а)
а интегрирование при неравенстве
тсо»1.	(0.10.10а)
В формулах (0.10.9а) и (0.10.10а) постоянная времени т = /?С для рис. 0.10.6, а и 0.10.7, а и t = L)R для рис. 0.10.6,6 и 0.10.7,6.
Для импульсных воздействий продолжительностью /и условие (0.10.9а) качественного дифференцирования эквивалентно неравенству
т«Ги,	(0.10.96)
а условие (0.10.10а) качественного интегрирования эквивалентно неравенству
т»/и.	(0.10.106)
Цепи, не удовлетворяющие условиям (0.10.9а и 6) — (0.10.10а и 6), называются переходными (разделительными).
Пример дан в задаче 10.20.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. СПЕКТРЫ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
10.1.	Определить спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса с амплитудой U и длительностью /и (рис. 10.1, а).
Используя это выражение и теорему запаздывания, найти
спектральную плотность
прямоугольного импульса, расположенного симметрично относительно начала координат (рис. 10.2, а). Построить в зависимости от частоты модуль спектральной плотности импульса, если ги=1мкс, £7=10 В.
Указание. Спектральная плотность прямоугольного импульса может быть рассчитана двумя способами. Способ 1. По формуле
278
u(t)^
Рис. 10.2.
Фурье (0.10.2):

0
Рис. 10.3
Ue~im,dt=
e
о
sinT
= Ut„——-Q~j 2 . ш?и/2
Способ 2. Путем разложения импульса
на две ступенчатые составляющие (см. рис. 10.1, б) с амплитудами U и
— U. Изображение, по Лапласу, первой составляющей (см. табл. 0.9.1, п. 1) имеет вид Ur(p)=Ulp, а второй — с учетом сдвига вправо на tK U
(по теореме запаздывания) U2(p) =-е pt». Изображение заданного им-
р
пульса равно сумме указанных изображений: U(р) = Ur (р) + U2 (р) =
Спектральная плотность импульса получится, если в последнем выражении заменить р на уш.
10.2.	Найти спектральную плотность двойного прямоугольного импульса, изображенного на рис. 10.2, б.
10.3.	Определить спектральную плотность радиоимпульса /(/) = Ecos о)()/ с прямоугольной огибающей (рис. 10.3). Для упрощения полагать, что в импульсе содержится целое число периодов заполнения, т. е. t^ = nT=n2nl^. Начертить графики распределения спектральной плотности как функции со для двух значений: 1) ги; 2) 2ги.
Указание. Для решения воспользоваться прямым преобразованием Фурье.
Б. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
10.4.	Найти спектральную плотность импульса напряжения, имеющего форму равнобедренного треугольника (рис. 10.4, а). Построить график модуля спектральной плотности, если U=20 В, t=l мс.
279
Решение. В целях упражнения С7(усо) вычислим двумя способами.
Способ 1. Найдем спектральную функцию входного напряжения, используя формулы Фурье (0.10.2). Для этого 2(7
запишем уравнение импульса: u(t) =—t при 0^^ZH/2; и (и
2(7
u(t)= — — t+2U при	м(Г) = О при
Подставляя u(t) в (0.10.2) и учитывая, что функция входного напряжения в пределах от -оо до 0 и от (и до + оо равняется нулю, имеем
С/i (>) =
00
u(t)e~ja“dt =
te 7“'d? +
Проинтегрировав, получим
Ui(j^)=UtJ2
По этому уравнению на рис. 10.4, б построен график
модуля спектральной плотности. В точке со = 0 модуль равен 10 В-с/рад. Модуль равняется нулю в точках со^и/4 = (к— целое положительное число). Первый нуль (к=\) будет в точке со = 4тг/^и = 4тг • 103 с-1. Это соответствует частоте f= со/2я = 2000 Гц = 2 кГц.
Способ 2. Заданное напряжение можно представить в виде
наложения трех прямых (см. рис. 10.4, а), 1—начинается в момент z = 0 и действует неограниченно долго; 2—имеет отрицательный наклон, крутизну, в два раза большую крутизны прямой 7, и начинается в момент £и/2; 3—имеет такой же наклон, как и прямая 7, но начинается в момент /и (прямые
2 и 3 также действуют неограниченно долго).
У равнение	напряже-
ния (прямая 7) имеет вид
Wi (t) = — t. Соответствующее ему изображение по Лапласу (см. табл. 0.9.1, № 3) имеет
ВИД [/!(/>) = — .
280
Рис. 10.6.
Изображения по Лапласу прямых 2 и 3 с учетом теоремы запаздывания будут иметь вид
pt и2(р)=-™е^; Щр)=^.
Изображение заданного импульса равно сумме трех полученных изображений
U(p)=U1(p) + U2(p) + U,(p) = ^-2h-2e-^+e-ptA.
\ /
Заменив в этом выражении р на усо, получим спектральную плотность импульса входного напряжения
Т, I  \	2U	4U	2U _jat
Ui J®)=-—2 + —2e 32----------2e 3 « =
v 7	/иш2	Гиш2	(И(О2
и
_ .^И
2е 3 2 — (1 +cos(o/H— ysinco/n) = :	<ог /	х
_ -	-> (Dt„	. (О/и <В/„ )
2е 32— (2cos2----------/2sin — cos —
\	2	2	2 )
. <о/„ч sin—\ <ot ----- ]e J~2~.
Ш^и J ~Т '
2U tKs>2 2U
/	Ч	(Ot
4С/Л шги\ * Utn
=—J 1-cos— e J 2 = —
ZHco2\	2 J	2
Получен тот же результат, что и при решении задачи способом 1.
10.5.	Найти спектральную плотность: а) пилообразного импульса (рис. 10.5, а), ги=1мкс, Е=10В, б) трапециевид
281
ного импульса (рис. 10.5,6), ^ = 1 мкс, t2 = 1,5 мкс, Е=10В. Для каждого импульса вычислить значение спектральной плотности на частоте 1,5 МГц.
10.6.	Определить спектр полуволны синусоиды напряжения (рис. 10.6,я), уравнения которой и= J7wsinoV при O^Z^ZH и и = 0 при O^Z^ZH.
Решение. Решим задачу двумя способами.
Способ 1. По формуле Фурье (0.10.2):
00	Ги
C/(jco)= w(z)e J<otdr = t/wsincere 7(0Mz* =
— oo	0
-jco sin <oof-<0q cos<oof )0)( <и _ Um
(jw)2 + coo	о Wo-®2
x [ —jg) (sin cooZHe	— 0) — (Do (cos ovHe — 1)] =
<otH
___ ^Лп®о /i ।	\____2t/m(Doe 2 e ' 2 + e 2 _____
“FFF +	<oF®2	2
VJ4jj	JvLjj	UJljg
2C/m(OoCOS	(0Ги	Um-— cos——	юги
=-----2---2-= /	\ 2	/-
Wo —CD	/ П \	/ Ш?и \
\2J ~\~2~J
Способ 2. Заданную полуволну синусоиды можно рассматривать как результат наложения двух кривых (рис. 10.6,6): 1 — синусоиды, начинающейся в момент z = 0 и действующей неограниченно долго, и 2 — синусоиды, начинающейся в момент tn и также действующей неограниченно долго. Изображение по Лапласу кривой 1 (см. табл. 0.9.1) имеет вид sinoo^^o/O^o+p2), а изображение кривой 2 с учетом ее сдвига на /и: sincoo(Z —/и)= 2Ю° 2е~рЧ % +р
Изображение заданной кривой равно сумме указанных изображений
и(р)=
V 7	\(Oo+/> CDo+p J
Заменив в полученном выражении р на у», получим искомую спектральную функцию полуволны синусоиды

* Это табличный интеграл asmbx—bcosbx еах sm bx dx =---=---z----
a2 + />2
282
которая после преобразования дает тот u(t\'
же результат, что и ранее.	-д——i
10.7.	Рассчитать спектральную плотность I \ I \ I напряжения телеграфной посылки w(/) = gf \ / i j > = 50sinwo/ при 0<wo/<4n и м(/) = 0 при	П П t
соо/^0 и (Оо/^4л (рис. 10.7), соо = 2 • 105 с-1.	__\J \J\
Построить графики амплитудно-фазо- Г
вой спектральной характеристики.	рис ю 7
Указание. При решении удобно рассматривать
заданный импульс в виде синусоидального напряжения, начинающегося в момент Г = 0, и накладывающегося на него такого же отрицательного напряжения, но начинающегося в момент, равный 4тг/ш0? для чего использовать теорему запаздывания.
10.8.	Найти спектральную плотность импульсов напряжения:
a) w(z)= 10е-1ООШ • 1 (/) В; б) w(/) = <xZe~atl (z) В; в) w(/) = = (1,5 + 2,1е~4') 1 (г) В.
Построить зависимости модуля спектральной плотности от частоты.
Указание. Воспользоваться табл. 0.9.1 и свойством связи одностороннего преобразования Фурье и Лапласа.
10.9.	Найти временные функции w(Z), соответствующие частотным спектрам U(усо):
а) [7(7(о) = _; б) U(j&)= — С_}
’ v	7 V ' \+j<s>CR
в) U{j(£>\ = ---—— г) U(jсо) = —г.—
'	7 (a+ja>)(l+j<oCR)	'	’ jco[(jco2) +а2]
В. ПРОХОЖДЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ.
АЧХ И ФЧХ ВХОДНЫХ
И ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
10.10.	Импульс напряжения прямоугольной формы высотой U длительностью /„ (см. рис. 10.1, я) включается на цепь из последовательно соединенных R и С. Определить спектры тока и напряжения на конденсаторе.
Решение. Требуемые спектры вычисляют по формулам (0.10.5) и (0.10.9): /(» = С(7(о)/(Д+l/ytoC), Uc(j(o) =
Спектральная плотность прямоугольного импульса по
283
l(jm)=Ut„
лучена в задаче 10.1. Поэтому
“'и
*е - J (~2~ + arctg со CR ) VA2+(1/o>C)2
2
. O)t„
Sm 2	1	(<*»	'J
Uc (jm) = UtK-------  ,	e ~1 VT-+»«‘« » CR+90^
' 7	7((ося)2+1
2
10.11.	Для цепи (рис. 8.28) вычислить комплексную функцию передачи по напряжению H(Jw) = U2 (/со) и найти амплитудно- и фазочастотную (АЧХ и ФЧХ) характеристики и частотную зависимость времени задержки. Дано:	Ом, С=10мкФ.
Решение. Комплексная функция передачи по напряжению при синусоидальном воздействии ur = y/lUi sin со/ представляет собой отношение действующих значений комплексного напряжения U2 (jco) на R2 к приложенному, которое можно рассчитать символическим методом
Н (jm) = и 2 (j со)/ и 1 (у со) = R2I2 (у®)/ U х (у со),
а так как
1 Н- jmCRi Ri 4~ R2 Н-jwCR^R^
ТО
Htj^	=R1	;eJt
V ’ Rl + R2+j<oCRlR2 (Л1 + Л2)2+(ШСЛ1Л2)2
АЧХ
|Я(усо)| = Я(со) = Я2 / .—
1	\ (R^R^+i&CR^)
_ 100
V 4• 104+ (0,1<о)2
ФЧХ
\|/ (со) = arctg mCRi — arctg CRtR2l(Ri + R2) = arctg 10 “ 3co — — arctg 0,5  10~3co.
284
Рис. 10.15 Время задержки
2
0,5
1 + (0,5 • 10“3со)2
т3 (со) = dx|/(co)/dco = 10 3
10.12.	Найти комплексный коэффициент передачи напряжения Я (у со) для схемы рис. 8.39, а и б и комплексную проводимость У(усо) для расчета входного тока.
10.13.	Для цепи схемы рис. 9.32, а вычислить комплексное сопротивление передачи для расчета выходного напряжения и2 О'®)-
Решение. Комплексное сопротивление передачи Z(jco) равно отношению выходного комплексного напряжения U2 (Усо) к входному комплексному току Л (У со):
285
1
z(/о) = U2^ = j,oC = Ri
' ’ л(>)	л(»	1+>СЛ2’
10.14.	В цепи (рис. 9.33) рассчитать комплексные коэффициенты передачи тока Я1/(/(й) = /1 (jco)/Z(j<o) и H2I(j(o) = и сопротивление передачи Hz(jm) напряжения на параллельных ветвях.
10.15.	Для цепей первого порядка (рис. 10.15, а — е) определить передаточные функции Н(j со) = U2 (усо)/Ui (jco), рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ. На схемах даны значения сопротивления в омах, индуктивностей — в мГн, емкостей — в мкФ.
Решение. В качестве примера приведем решение для схемы, изображенной на рис. 10.15, а.
Входное сопротивление схемы
1
Z(» = Rlj<°C +R ^+^2+)^^
V '	1	1+усоСЛ!
т; усоС
Передаточная функция
Н О) = и 2 (j<x>)l Ui (7 со) = R2 /Z (j ю) =
\J )	2\J )l l\.J )	21 \J ) Rr+R2+j(S>CRlR2
АЧХ и ФЧХ
я(®)=/?2
Я(®)=120
l + tcoCflJ2
(Л1 + Л2)2+(ШСА1Л2)2’
ф (©) = arctg «Cl?! — arctg [wCRi^/C^i +^2)]-
Подставляя цифровые значения, имеем
1 + (2 • 10"3<о)2 2802+ (0,24<о)2 ’
ф (<в) = arctg (2-10“ 3<о) — arctg [0,24<в/280].	(10.1)
Вычисления проведем с помощью программы № 12 из приложения Ш. Шаг изменения частоты примем Дсо = 500, а сотах = 2500. Для схемы (рис. 10.15, а) и указанных на ней данных в регистры памяти заносим: со = 0 = Pl, bv = CR1R2 = 0,24 = Р2, b0 = R2 = 120 = РЗ, a1 = CRlR2 = 0,24 = Р4, ao — Ri + Я2 = 280 = Р5, Дсо = 500 = Р6, сотах = 2500 = Р7. В/О С/П. В результате вычислений получим сведенные в табл. 10.1 результаты.
286
Таблица 10.1
(0, с 1	Я(ш)	\|/(со), град	со, с 1	Н(<о)	ф (со), град
0	4-2857142-10“1	0	1500	83205028•10"1	19-440037
500	5•57086-10“1	21-801411	2000	8-9036289•10“1	16-220196
1000	7-276068610“1	22-833651	2500	9-2412909-10“1	13-706961
На ее основе на рис. 10.15, ж построены графики Н(со) и ф (со).
Если диапазон и шаг изменения ю не заданы, то при их выборе руководствуются следующим: вначале определяется значение со1? при котором оба слагаемых числителя подкоренного выражения (10.1) равны друг другу. Шаг изменения Асо принимается примерно равным и округленным до €0х/2. Для схем, у которых в числителе выражения АЧХ содержится только одно слагаемое, рассчитывают значение со2, при котором слагаемые знаменателя подкоренного выражения (10.1) становятся равными друг другу. В этом случае Асо = со2/2. При выборе диапазона изменения со нижним пределом всегда берется значение со = 0, верхний предел изменения частоты сотах принимается равным (5—10) Асо.
10.16.	Для цепей второго порядка (рис. 10.16) определить передаточную функцию по напряжению ЯсДусо) и построить графики АЧХ и ФЧХ. На схемах указаны сопротивления в Ом, индуктивности — в мГн, емкости — в мкФ. Расчеты сделать для угловых частот 800—1200 с-1 с интервалом 100 с-1.
Указание. Для расчетов АЧХ и ФЧХ удобно пользоваться программой №13 из приложения П1.
Рис. 10.16
10.17.	Определить спектральную функцию C/2(jco) выходного напряжения (на емкости), если на вход £С-цепи (см. рис. 9.42) подается линейно растущее напряжение Wi (/)= Uw^t.
10.18.	Вычислить комплексный коэффициент передачи H(jco) идеальной линии задержки, обеспечивающей сдвиг
287
Рис. 10.21
входного импульса на время задержки т = 0,5 мкс. Амплитуда входного импульса уменьшается при прохождении линии задержки в 100 раз (на 40 дБ).
10.19.	Определить комплексный коэффициент передачи идеального дифференцирующего фильтра, осуществляющего операцию
u2(/) = 0,l^, ' 7 dr
где u2(t) — функции входного и выходного напряжений.
Указание. Дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на параметр p=jw.
10.20.	Вычислить комплексный коэффициент передачи операционного фильтра, осуществляющего преобразование входного напряжения щ (/) по
формуле u2(t} = auit + b^-^-+с
иг (z)d/.
Указание. Интегрированию оригинала соответствует деление изображения на параметр p=jw.
Г. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ И ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЦЕПИ
10.21.	ЛС-цепь (см. рис. 0.10.6, а), постоянная времени которой г = RC, включается на прямоугольный импульс напряжения U длительностью /и. Начертить графики зависимости выходного напряжения на сопротивлении от времени для различных отношений тДи, равных: а) оо, б) 5, в) 1, г) 0,25, д) 288
0,05. Какое из этих отношений соответствует наиболее качественному дифференцированию?
Решение. В решении задачи 9.32 получено выражение для z. Выходное напряжение определяется выражениями
u2 = iR =	при
u2 = iR = U(e~кс‘ — е^кс*'-'"’) при t>ta.
По этим выражениям на рис. 10.21, а — д построены кривые. Согласно формуле (0.10.96) приходим к заключению, что наилучшие условия дифференцирования при т/?и = 0,05. Необходимо отметить, что чем меньше отношение т//и, тем короче импульсы на выходе цепи. При т/?и»1 цепь является переходной и форма импульса на выходе остается почти такой же, как и на входе.
10.22.	Выполняются ли условия качественного дифференцирования в схеме рис. 0.10.6, а, если R= 10 кОм и С=2000 пФ в случаях подачи на вход синусоидального напряжения, имеющего угловую частоту: 1) <в = 2-103с~1; 2) со—105 с-1?
То же в схеме рис. 0.10.6,6, если 7?=ЮОм, £ = 0,2 мГн при тех же частотах.
10.23.	На вход цепи, состоящей из последовательно соединенных R — 25 кОм и С = 100 пФ, подается прямоугольный импульс напряжения длительностью /и. В каком из указанных далее трех случаев цепь будет дифференцирующей, интегрирующей, переходной: 1) ?и=15мкс, 2) /и=1 мкс, 3) /и = 4 мкс?
Замечание. Практически цепь считают дифференцирующей, если ги > (3 4- 5) т, интегрирующей при ta < (3 4- 5) т.
10.24.	Выполняются ли условия интегрирования: а) для цепи рис. 0.10.7, а с R = 20 кОм и С=1000 пФ при длительности входного импульса напряжения /и= 100 мкс, б) для цепи рис. 0.10.7,б с R=\Q Ом, £ = 0,5 мГн, ?и=10мкс?
10.25.	Показать, что активные схемы с идеальным операционным усилителем (ц -> оо), изображенные на рис. 10.25, а и б, представляют собой соответственно дифференцирующие и интегрирующие цепи.
Глава 11
Электрические цепи с распределенными параметрами (длинные линии)
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Параметры однородной линии. Первичными параметрами однородной линии на единицу ее длины являются: Ro — сопротивление, Ом, £0 — индуктивность, Гн; Со—емкость,
10 Заказ 2113
289
Ф; Go — проводимость изоляции между проводами (утечка), См.
Формулы для расчета первичных параметров длинных линий (воздушных двухпроводных, кабельных и коаксиальных) приведены в П.4.
Вторичные параметры однородной линии — ZB и у. Волновое сопротивление есть отношение комплексов напряжения и тока в бегущей (например, прямой) волне
ZB=^ = lR°+J<i>Lo.	(0.11.1)
Aip V Go +/шС0
Коэффициент распространения характеризует ослабление прямой (или обратной) волны и изменение ее фазы на единицу длины линии
у = у/(Ro +j(oLo) (Go +./®С0) = уе л = a +j ₽,	(0.11.2)
где у — модуль коэффициента распространения, £— аргумент, а = у cos £—коэффициент ослабления; Р = у sin — коэффициент фазы.
Коэффициент распространения определяет основные параметры бегущих волн (длину волны X, фазовую скорость гф)
X = 2тг/Р; гф = X/Т= ©/₽.	(0.11.3)
Групповая скорость vrp = d®/d$.
Для воздушных линий из медных, бронзовых и алюминиевых проводов имеют место неравенства (особенно при высоких частотах) mLq^> Ro и юС0»С0. В этом случае справедливы приближенные выражения:
ZB — yj Lq)Cq ;
a=V^+G0ZB\ P = ®Vl0C0; > гф = 3 • 108 м/с.
(0.11.4)
Примеры приведены в задачах 11.1 —11.4.
2.	Уравнение линии в виде прямых и обратных волн. Выражения для определения комплексов напряжения и тока
Начало линии
Конец линии
Рис. 0.11.1
290
в любой точке М линии (рис. 0.11.1) в виде наложения прямой и обратной бегущих волн:
при отсчете расстояния х от начала линии до точки М
+ t/1~/1-°e^x=t/npie^+ + C/o6pie^=t/np(x) + t/o6p(x), (0.11.5а)
= /пр (х) - 70бр (х),	(0.11,6а)
где иг и Д—комплексы напряжения и тока в начале линии; (7пр1, (7обр1 —соответствующие комплексы напряжения прямой и обратной волн в начале линии; (7пр, /пр — прямые (падающие волны); (7обр, /обр —обратные (отраженные) волны.
при отсчете расстояния у = = 1—х от конца линии до точки М
й(у)^и2+^2-‘е~1У +
+ и2~'2~‘е-1у=йпр&У +
+ Ц,бре-^=С/пр2(у) +
+ t>o6p2(y),	(0.11.56)
i2+4i 4i _i2
= 4p2(j)-/o6p2(j),	(0.11.66)
где U2 и I2—комплексы напряжения и тока в конце линии; С/Пр2, С/Обр2 — комплексы напряжения прямой и обратной волн в конце линии.
Отношения комплексов токов или напряжений обратной и прямой волн называются коэффициентом отражения р.
В однородной линии с волновым сопротивлением ZB, нагруженной на сопротивление ZH, коэффициент отражения по напряжению в конце линии определяют по формуле
£H=C/o6p/C/np = (ZH-ZB)/(ZH + ZB).	(0.11.7)
Если нагрузка длинной линии ZH = ZB (согласованная нагрузка), то коэффициент отражения равен нулю, а напряжение (или ток) в любой точке равно напряжению (или току) прямой волны. Уравнения напряжения и тока в линии упрощаются, например для напряжения
й(х)=иарх=й^х-й(у)=йар(у)=й2&у.
(0.11.8а)
(0.11.86)
Пример приведен в задаче 11.14.
ю*
291
3.	Единицы передачи. Эти единицы (децибел, непер) характеризуют условия передачи (ослабление) мощности, напряжения, тока.
Коэффициент ослабления характеризует отличие выходной мощности, напряжения, тока от соответствующего входного значения, выражает степень ослабления сигнала при согласованной нагрузке и определяется выражением (в дБ)
А = 101g (А /А) = 20 lg (t/i / С72) = 201g (Д //2),	(0.11,9а)
или (в Ни)
A=lln(A/A) = ln(C/i/t/2) = ln(A/Z2).	(0.11.96)
Связь между децибелом и непером:
1 дБ = 0,115 Нп, 1 Нп = 8,69 дБ.	(0.11.10)
Уровень передачи, характеризующий распределение мощностей, напряжений, токов вдоль линии, есть логарифм отношения некоторого значения (мощности, напряжения, тока) в данной точке х к одноименному значению, принятому для сравнения.
Рассматривают относительный и абсолютный уровни передачи.
Относительные уровни передачи по мощности, напряжению и току соответственно равны (в дБ или Нп)
/7p=ioig(A/Ab или рр=11п(А/А);	(О.и.Па)
Р[/ = 201ё(Дх/До), или ^ = 1п(Дх/Д0);	(0.11.116)
Л = 201ё(Д//о), или P/ = ln(1Х/1О).	(О.Н.Нв)
Абсолютные уровни передачи по мощности, напряжению и току соответственно в дБ или Нп равны:
АР = 101g [Р(мВт)/1 (мВт)],
ИЛИ
рар= 1/2 In [Р(мВт)/1 (мВт)],
PaU = 201g [ U (В)/0,775 (В)],	(0.11.12а)
ИЛИ
Ли = 1п[Д(В)/0,775(B)],
PaI = 201g [/(мА)/1,29 (мА)],	(0.11.126)
или
PaI = In [/(мА)/1,29 (мА)].	(0.11.12в)
Пример дан в задаче 11.28.
292
4.	Уравнения длинной линии в гиперболических функциях.
й= йг ch ух—IlZB х х shyx,	(О.11.13а)
i=I1 ch ух — — х х shyx,	(0.11.14а)
t/2chyy + /2ZB х
х shyy.	(0.11.136)
/=/2chyy+|^ х
х shyy. ”	(0.11.146)
Входное сопротивление линии представляет отношение комплексного напряжения к току в точках подключения источника
Z. =^=ZB~‘,+~'‘th-/=ZBth(y/+«),	(0.11.15)
ZB+Z„thy/ где
,1 ZH	1. Z+Z z
thn = — или =	(n выражает несогласованность
2 Zb-Zh
нагрузки с волновым сопротивлением линии).
В режимах холостого хода и короткого замыкания входное сопротивление
Zx = ZB/thy/; ZK = ZBthy/.	(0.11.16)
Пример приведен в задаче 11.15.
Однородную линию при заданной частоте источника питания можно заменить симметричным четырехполюсником, коэффициенты которого связаны с вторичными параметрами линии соотношениями
Ли —^22 = chу/; 4i2 = ZBshу/; Л21 = shy//ZB.	(0.11.17)
5.	Линия без искажений. Это такая линия, в которой ослабление и фазовая скорость распространения волны не зависят от частоты.
Для неискажающей линии должно выполняться условие
7?0/G0 = £0/C0.	(0.11.18)
При этом
^в = х/^о/^О?	Р “ СО у/LqCq, 1	ГО I I 1QA
гФ=со/р=1/уцс;.	Г
Линия без потерь (l?o = G'o = 0) — неискажающая; для нее
ос = О, р = со yjу = /Р; ZB = Lo/Со,
гф=1/УЕ^о.	(0.11.20)
Пример дан в задаче 11.21.
293
6.	Рабочее ослабление однородной линии. Это ослабление есть половина натурального логарифма отношения модуля комплексного произведения Ur на Д при непосредственном подключении нагрузочного сопротивления, равного . сопротивлению источника, к источнику с ЭДС Ё и внутренним сопротивлением Zr (рис. 0.11.2, а) к модулю комплексного произведения U2 на 12 при условии, что нагру-
а)
Рис. 0.11.2
зочное сопротивление ZH подключено к концу линии, в начале которой имеется тот же источник с Ё и Zr
(рис. 0.11.2, б\.
Ар = 11п
с/2/2
Hn = 101g
UJi u2t2
дБ = а/+1п
zr+zB
+ ln
Z„+Z„ 2Vz^
+ln|l-£r£He 22;|,
(0.11.21)
где
zr-z„	zH-z,
pr==^~^; £H==—-
Zr + ZB	ZH4-Z]
Пример дан в задаче 11.25.
7.	Линии без потерь CRo = Go = 0). В линии без потерь гиперболические функции заменяются круговыми:
chy/=ch(/P/) = cosp/; sh у/=sh (/£/) =jsin р/.
Уравнения длинной линии без потерь в комплексной форме:
при отсчете расстоянии х от начала линии
U(х) = UY cos рх —
—ji1 ZB sin рх;	(0.11.22а)
при отсчете расстоянии у от ее конца
(7(у) = U2 cos pj +
+j/2ZBsinPK (0.11.226)
294
/(x) = /1cospx-y— x	/(y) = /2cosP^+j— X
ZB	ZB
xsinpx	(0.11.23a) x sin ₽j.	(0.11.236)
Входное сопротивление линии без потерь
ZBX = Z в g-+yZ-tgAZ=ZB th (n +j p/),	(0.11.24)
^в+jZntg ₽Z
где
th« = ZH/ZB или м = -In 2 Zb-Zh
В режимах холостого хода и короткого замыкания входное сопротивление линии без потерь
Zx = ZJjtg р/; ZK =jZB tg p/.	(0.11.25)
Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии без потерь при ее нагрузке на чисто активное сопротивление RH определяется уравнениями (при отсчете расстояния у от конца линии)
U(y)=U2 ^/cos^j + m2 sin2 (Зр; 3
>	(0.11.26)
I (у) = — Jm2- cos2 Pj + sin2 Pj, J
m v
где
m = ZB/ZH.
О степени согласования линии с нагрузкой можно судить по кривой распределения действующих значений напряжения (тока), характеризуемой коэффициентами бегущей волны и стоячей волны Ксъ\
&   ^min __ ^пр С)бр _ 1 IР I отр _ (прИ Ан > Z*),	zq
бВ ^тах ^пр+^обр 1+ 1р1отр \ l/т (при Ан < ZB).
4=1/4-
Примеры даны в задачах 11.29, 11.31, 11.34.
8.	Применение отрезков линии в качестве сопротивлений, колебательных систем для согласования сопротивлений и т. д.
Примеры даны в задачах 11.42, 11.43.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. ПЕРВИЧНЫЕ И ВТОРИЧНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ЛИНИЙ.
ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ. ДЛИНА ВОЛНЫ
11	.1.Рассчитать первичные параметры стальной воздушной двухпроводной цепи при температуре окружающей
295
среды —14° С при сухой погоде, если расстояние между осями проводов а = 60 см, их диаметр d=4 мм. Частота тока /=800 Гц. Относительную магнитную проницаемость проводов принять равной 120.
Решение. Вначале по формуле (П.4.1) определяем сопротивление 1 км линии при постоянном токе и температуре + 20° С:
R20 = 0,138^ = 22 Ом/км.
Величина р = 0,138 Ом м/мм* 2 * взята из табл. П.4.1. Сопротивление при постоянном токе при /= — 14° С находим по формуле (П.4.2)
R, = Я20 [1 + aR (/ - 20° С)] = 22 [1 + 0,0046 (-14 - 20)] =
= 18,5 Ом/км. Значение aR = 0,0046 взято из табл. П.4.1.
Резистивное сопротивление 1 км линии при переменном токе определим по формуле (П.4.3а).
Для этого сначала по формуле (П.4.4) вычислим коэффициент
х = 7,09 7/M/(104 *^r) = 7,09 7800 -120/(104-18,5) = 5,1.
Применяя линейное интерполирование, по табл. П.4.2 найдем Г(х), соответствующее х = 5,1: Г(х) = 1,043 + 1,394-1,043
10
Итак, по формуле (П4.3) резистивное сопротивление 1км линии: R0 = Rt [1+F(x)] = 18,5-2,078 = 38,4 Ом/км.
Индуктивность 1 км двухпроводной воздушной линии определим по формуле (П.4.5а). Предварительно по табл. П.4.2, используя линейное интерполирование, найдем коэффициент Q (х), соответствующий х = 5,1: (2 (х) = 0,556 — 0,556 — 0,465_р ~	16	’
Искомая индуктивность, по формуле (П.4.5а),
4 In—+0,547-120 -10~4 =
2
£0= 41п“ + б(х)ц -10“4 =
= 88,4-10“4 Гн/км.
Емкость 1 км двухпроводной линии вычисляем по форм-
уле (П.4.6)
с =_Ь2£ю-6 = 1’0510~6 * * = 5 12-10"9 Ф/км
° а	600	’	1
Резистивную проводимость между проводами найдем по
формуле (П.4.7), учитывая, что проводимость изоляции при
296
сухой погоде G' = 0,01 • 10-6 См/км, а п — коэффициент диэлектрических потерь в изоляторах, при этой погоде он равен 0,05-10"9, проводимость утечки
Go = G' + nf= 0,01 • 10 ~ 6 + 0,05 • 10 ’ 9 • 800 = 0,05 • 10 ’ 6 См/км.
11.	2. Для линии длиной 1= 38 км, первичные параметры которой были найдены в задаче 11.1, при частоте /=800 Гц определить: модуль ZB и фазу срв волнового сопротивления, его резистивную и реактивную составляющие, коэффициенты ослабления, фазы и распространения (а, р и у), фазовую скорость распространения электромагнитной волны вдоль линии гф и длину волны X, отношение и2пр1иг пр = /2пр/Л пр при нагрузке линии на сопротивление, равное волновому, где С/2пр и 4пР — амплитуды напряжения и тока прямой (падающей) волны в конце линии; (71пр и /1пр — то же, в начале линии. Чему равна задержка во времени при прохождении волной всей длины линии?
Решение. Волновое сопротивление, по формуле (0.11.1),
z _ lR0+jaL0_ I 38,4+;2л-800-88,4-104
—B~~7 Go+j®Co“70,05 • 10”6+;2k • 800  5,12 • 10"9”
- I	О».
V 10’6 (0,05+/25,7) у/ 10~6-25,7ej89 S2
Резистивная и реактивная составляющие волнового сопротивления: 7?B=1510cos20°21'=1415 Ом; хв=-1510sin20°21' = = -525 Ом.
Коэффициент распространения по (0.11.2)
у = У58,8е'49°10 * *' • КГ6 • 25,7eJ89°52' = 38,8 • 10~3 е7б9°31' км~1.
Отсюда коэффициенты ослабления и фазы
а = 38,8  10"3cos69°31' = 13,6 КГ3 Нп/км = 0,12 дБ/км;
Р = 38,8 -IO’3 sin 69°31' = 36,4 -10“3 рад/км.
Фазовую скорость и длину волны в линии определяем по формулам (0.11.4) и (0.11.3)
Гф = ^ = 2л • 800/(36,4 • 10 -3) = 138 000 км/с;
Х = у = 6,28/(36,4• 10-3)= 172,6 км.
Отношения амплитуд напряжений и тока для прямой волны в конце и начале линии при согласованной нагрузке, как это следует из (О.11.8а), при х = 1 имеют вид
^Пр/^1пр = /2пр/ЛПр = |е^г1 = е-в' = е-13’6-10-3-38 =
= е-°.516 = о,597.
297
Задержка во времени г = //иф = 38/138 000 = 2,75 • 10-4 с.
11.	3. Найти первичные и вторичные параметры симметричной кабельной линии при частоте /=220 кГц. Жилы медные, диаметром d= 1,2 мм, расстояние между центрами проводов б/ = 4,15 мм. Скрутка звездная (коэффициент р. учитывающий этот тип скрутки жил кабеля, равен 5). Эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции £=1,4, тангенс угла потерь tg 8 = 160 • 10 “ 4. Температура среды 20° С. Определить фазовую скорость и длину волны в кабеле.
Решение. Сопротивление 1 км кабеля при 20° С постоянному току определяют по формуле (П.4.1): Т?20 = = р25 50/б/2 = 0,01785-2550/1,22 = 31,6 Ом/км.
Значение р = 0,01785 9^2*взято из табл. П.4.1. мм
Сопротивление 1 км кабеля при переменном токе вычислим по формуле (П.4.8). Для этого вначале по формуле (П.4.4) вычислим коэффициент
х = 7,09 /_2к—=7,09
V Ю4я20
'220 • 103 • 1 104-31,6
= 5,9.
По табл. П.4.2, применяя линейное интерполирование, найдем +’(%)= 1,36; G(x) = 0,91; Я(х) = 0,57; £>(х) = 0,473.
Резистивное сопротивление 1 км кабеля определяют по формуле (П.4.8)
D, 0 1 4 Л , 1 Ог: , 5-0,91(1,2/4,15)2 \	.
К = 31,6 1 + 1,36+-------—	, = 87,1 Ом/км.
\	1-0,57(1,2/4,15)2у	'
В диапазоне высоких частот (свыше 30 кГц) еще учитывают дополнительное сопротивление кабельной линии, обусловливаемое потерями на вихревые токи в соседних проводниках и свинцовой оболочке [см. формулу (П.4.9)]:
АЯ' = 8 /—^— = 8
У 200000
220000
200000
= 8,4 Ом/км.
Окончательно получаем резистивное сопротивление единицы длины кабеля: R() = R' + А/?' = 87,1 +8,4 = 95,5 Ом/км.
Погонные индуктивность и емкость двухпроводной кабельной цепи определяют по формулам (П.4.5а) и (П.4.11)
Lo—(41п-°’6 + 0,47зУ 10 4 = 0,76 • 10~3 Гн/км;
\	0,6	/
1,4'10 6	г.,, - 1П“9 гь/
Со =----т-----г-= 27,5 • 10 у Ф/км.
/ 4,15\	'
36 In 0,6 — \ °’6 /
298
Проводимость изоляции 1 км кабельной линии находим по (П.4.12)
<7о = озСо tg5 = 2 - 3,14 - 220 -103 - 27,5 - Ю9-16010~4 =
= 610 -10’6 См/км.
Вторичные параметры кабеля находим по (0.11.1) и (0.11.2)
_ / 95,5+7'2 • 3,14 • 220  103  0,76 • 10’3	_
—в\ 610 • 1О’б+;2 • 3,14 • 220 103-27,5 10’9"”
/ 95,5+7'1050	/	1050е'84 47'	™
= /—г?-----------; = /---------г~г+=166е 114 Ом;
Л/ 10’6(610+7'38000) з/ 38000  10’6е'8’
у=7 1050е784 47• 38000• 10"беу89"5' = 6,32е786 56' км’1;
a = 6,32cos86°56' = 340 • 10“3 Нп/кмагЗ дБ/км;
Р = 6,32 sin 86°56' = 6,3 рад/км.
По (0.11.4) и (0.11.3) вычисляем фазовую скорость и длину волны в кабеле:
гф = 2л220-103/6,3 = 219,4-103 км/с Х=2л/6,3 = 0,995 км.
11.	4. Определить первичные и вторичные параметры стандартизированной коаксиальной пары типа КМ-4 х 2, 52/9,4 с шайбовой полиэтиленовой изоляцией при частоте /=220 кГц. Диаметр жилы d= 2,52 мм, внутренний диаметр внешнего проводника .0 = 9,4 мм, эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции £=1,1, тангенс угла диэлектрических потерь tg6 = 0,5 • 10~4, температура 20° С. Найти также длину волны и фазовую скорость.
Решение. Первичные параметры вычислим по формулам (П.4.12) —(П.4.15):
7?0 = 8,35,/220 • 10+3f—+—У 10’2 = 19,7 Ом/км;
u v	у 2,52 9,4 у	1
£° = 2 In~  10’4 = 2 In 3,73 • 10’4 = 2,63 • 10’4 Гн/км;
_	1,1 10’6	1,1 10’6	. 1Л_о - .
С»=—9/=1ГТз1б=46’5-10	ф/км;
18 П£52
(70 = 2л • 220 • 103 • 46,5 • 10’9 • 0,5 • 10“4 = 3,2 • 10“ 6 См/км.
Вычислим вторичные параметры. Так как /?0 = 19,7 << со£о = = 364 и (7О = 3,2- 10’6<§:ft)Co = 64000-10“6, то расчет можно вести по приближенным формулам (0.11.4):
1Т0 /2,63-Ю’1
Z = /— = /----------- = 75Ом
V Со V46,5-10’9
299
a=Ro K.Go /Zo=19J.J_
2 V Lo 2 V Q 2 75
+ 3’2 210 6-75 = 0,131 Нп/км=1,14 дБ/км;
p = co J L0C0 = 2 • 3,14 • 220 • 103 ^2,63 • 10-4-46,5 • 10-9 =
= 4,83 рад/км.
Длину волны и фазовую скорость определяем по (0.11.4) и (0.11.3)
- 2л 6,28	. -	со 2л-220103 ппп ,
Л = —= — = 1,3 м; щ = - =----------= 286 000 км/с.
р 4,83	’	’ ф Р 4,83	1
Для сравнения приведем расчет по точным формулам (0.11.1) и (0.11.2):
I..
—в \ 3,210~6+;2я-22°-103-46,5-10’9
у = 7 364еу86°54' • 64,2 • 10“3е/90 = (0,13 + ;4,8) км'1,
т. е. а = 0,13 Нп/км=1,13 дБ/км, |3 = 4,8 рад/км.
Результаты, полученные по точным формулам, весьма близки к рассчитанным по приближенным формулам.
11.5.	Определить первичные и вторичные параметры воздушной линии, диаметр проводов которой равен 3 мм и расстояние между осями проводов составляет 20 см. Состояние погоды: сыро, температура 20° С. Частота тока 800 Гц. Чему равны длина волны в линии и фазовая скорость распространения волн?
11.6.	Фидер с расстоянием между проводами D = 5cm, радиус проводов которого г = 2 мм, имеет параметры Ro = = 0,03 Ом/м, Со = 1 • 10~9 См/м при Х = 30 м. Найти ZB, ос, р.
Указание. При высокой частоте, соответствующей длине волны 30 м, можно считать, что гф = с = 3 • 108 м/с, а из (0.11.3) находим f=c[X.
11.7.	Даны параметры кабельной цепи при /=800 Гц; 7?0 = 22,6 Ом/км, То = 0,6 • I0'3 Гн/км, СО = 35,5 • 10“9 Ф/км и 6о = 0,7 • 10~6 См/км. Определить ZB, у_, а, Р и сравнить их со значениями соответствующих величин, полученными по упрощенным формулам для кабеля при умеренных частотах (800 Гц и меньше), когда /?о»со£о и Со»(оСо, что приводит к приближенным равенствам
a«p«V/?oa)Co/2; 2в = ч/й0>С0-е-^.
11.8.	Первичные параметры линии: Ro = 26,26 Ом/км, Lo = 12 мГн/км, Go = 0,575 мкСм/км, Со = 5,1 нФ/км. Рассчитать ее вторичные параметры: ZB, у, а, р в зависимости от частоты f и построить соответствующие кривые.
300
Диапазон изменения частоты 300^/^3300 Гц, шаг изменения Л/=500 Гц. Расчетные формулы могут быть записаны следующим образом (см.
формулы 0.11.1, 0.11.2):
2В=/л/ХЖ, Ф„=~(arctgS3 —arctgSj;
7 = \/УS4S2, = -(arctg53 +arctg51); a = ycos^, 0 = ysin^, где S1=($Cq/Gq, $2 = Go + (coCo)2; *$з = (о£о/Ло, S^ = Rq + ^wLq}2.
Расчеты удобно провести по следующей программе:
В/О F ПРГ
Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	2	02	27	П9	49	53	+	10
01	Fk	20	28	ИПО	60	54	2	02
02	X	12	29		11	55	—	13
03	ИП1	61	30	2	02	56	П8	48
04	С/П	50	31	—	13	57	С/П	50
05	X	12	32	С/П	50	58	Feos	1Г
06	П6	46	32	ИП6	66	59	ИП6	66
07	ИП5	65	34	Fx2	22	60	X	12
08	X	12	35	ИП2	62	61	С/П	50
09	П7	47	36	Fx2	22	62	ИП8	68
10	ИП4	64	37	+	10	63	Fsin	1С
11	=	13	38	П8	48	64	ИП6	66
12	Farctg	1L	39	ИП7	67	65	X	12
13	ПО	40	40	-4-	13	66	С/П	50
14	ИП7	67	41		21	67	ИП1	61
15	Fx2	22	42	р х/~	21	68	ИПА	6-
16	ИП4	64	43	С/П	50	69	+	10
17	Fx2	22	44	ИП8	68	70	П1	41
18	+	10	45	ИП7	67	71	/-/	0L
19	П7	47	46	X	12	72	ИПВ	6L
20 21	ИП6 ИПЗ	66 63	47	F./	21	73 74	+ Fx<0	10 5С
22	X	12	48		21	75	оо	00
23	П6	46	49	с/п	50	76	с/п	50
24	ИП2	62	50	П6	46			
25		13	51	ИП9	69			
26	Farctg	IL	52	ИПО	60		F АВТ	
Ввод исходных данных в память ПМК: /=300 = Р1;
Fo = 26,26 = Р2; Lo = 12 • 10~3 = РЗ; Со = 0,575-10 6 = Р4;
Со = 5,1 10 9 = Р5; А/=500 = РА; /тах = 3300 = РВ В/О С/П.
Переключатель Р-Г на Г. Результаты даны в табл. 11.1.
301
J3-102 рад/км
J-W2 ze км' Ом а-103 Нп/км
15
град
100
80
60
40
20
1500
fO-IM-
S'
4 ’
2-
О1 о-
/7г
-10 у
-20-
200 600Rnn1000Jl	18002200 2600 Гц,Г
< оии^т 2000 2400 2800
рад %
Рис. 11.8
Таблица 11.1
Наименование параметра	Рассчитанные значения						
/,Гц	300	800	1300	1800	2300	2800	3300
Фв, град	-22,9	-11,1	-7,10	-5,19	-4,08	-3,36	-2,86
ZB, Ом	1897	1602	1561	1548	1543	1540	1538
у-102, км-1	1,83	4,11	6,50	8,93	11,37	13,82	16,27
град	63,7	77,6	82,1	84,2	85,5	86,3	86,8
а-103, Нп/км	8,107	8,823	8,930	8,963	8,978	8,985	8,990
р-102, рад/км	1,64	4,01	6,44	8,88	11,33	13,79	16,24
Порядок вывода результатов: /, <рв, ZB, у, а, р.
По данным таблицы 11.1 построены кривые (рис. 11.8).
11.9.	Дано: 1) Ro = 2,853 Ом/км, £0 = 1,9396 мГн/км, <7о = 0,035 мкСм/км, Со = 6,34 нФ/км, /=/тах = 500 Гц, А/=1 Гц, 2) Ro = 3,72 Ом/км, Lo = = 1,92 мГн/км, СО = 6,35 нФ/км, СО=1,75 мкСм/км, /=/тах = 5 кГц, А/=1 Гц.
Требуется рассчитать вторичные параметры однородной линии при значениях частот 500 Гц и 5 кГц.
Б. СОГЛАСОВАННАЯ
И НЕСОГЛАСОВАННАЯ НАГРУЗКИ ЛИНИИ.
НАПРЯЖЕНИЕ, ТОК, МОЩНОСТЬ В НАЧАЛЕ
И КОНЦЕ ЛИНИИ.
ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ВОЛНЫ
11.10.	Экспериментально установлено, что мощность телефонного аппарата как передатчика на зажимах телефонной цепи составляет 1 мВт, а мощность телефонного аппарата
302
как приемника должна быть порядка 1 мкВт, т. е. может быть допущено уменьшение мощности в 1000 раз. Имея это в виду для воздушной стальной линии, параметры которой приведены в решении задач 11.1 и 11.2 (полагая, что сопротивление телефонного аппарата согласовано с линией), определить: а) максимально допустимое ослабление; б) допустимую дальность связи, считая, что все потери энергии сосредоточены в линии (передающий и приемный аппараты подсоединены непосредственно к линии); в) отношение модулей напряжения и тока в начале линии к соответствующим величинам в ее конце.
Решение. Максимально допустимое ослабление [см. формулу (0.11.11а)]
А = 101gЛ/Р2 = 101g 1000 = 30 дБ = 30/8,69 = 3,45 Нп.
Отсюда для воздушной стальной линии дальность передачи
/=Л/ос = 3,45/13,6 • 10-3 = 254 км.
Отношение модулей напряжений и токов:
^/а2 = ///2 = еа/ = е3’45 = 31,6.
11.11.	Линию можно считать бесконечно длинной в том случае, когда ее собственное ослабление достаточно велико (ос/^13дБ). Исходя из этого условия, найти длины линий: а) воздушной стальной двухпроводной четырехмиллиметровой линии с расстоянием между осями проводов 60 см при /=800 Гц (см. задачи 11.1 и 11.2); б) медной двухпроводной линии с диаметром проводов 3 мм и расстоянием между осями проводов 20 см при /=800 Гц (см. задачу 11.5); в) симметричной кабельной линии при /=220 кГц, параметры которой даны в условии задачи 11.3; г) стандартизированной коаксиальной пары (см. задачу 11.4). Во всех случаях температуру полагать равной 20° С.
Решение. Расчет параметров в примерах 11.1 и 11.2 был сделан при температуре —14° С. Проведя аналогичный расчет при температуре 20° С, получим: 1?0 = 42,4 Ом/км; £о = 94,2 10"4 Гн/км; Сц=5,12-10"9 Ф/км; 6о = 0,05х х 10 6 См/км; а = 14,5 • 10 3 Нп/км = 0,126 дБ/км.
Из условия а/>13дБ находим искомую длину линии: /^13/а= 13/0,126= 103 км.
11.12.	Воздушная стальная линия длиной /=38км имеет параметры, вычисленные в задачах 11.1 и 11.2. Линия нагружена на сопротивление ZH, равное волновому. Напряжение на входе линии ^ = 10 В, его частота /=800 Гц.
Определить: 1) коэффициент отражения от конца линии; 2) входное сопротивление нагруженной линии; 3) собственное
303
ослабление в линии; 4) ток в начале линии, напряжение и ток на нагрузке; 5) мощность, расходуемую в нагрузке и подводимую к линии, и ее кпд.
Решение. 1. Коэффициент отражения согласованно нагруженной линии [см. формулу (0.11.7)] />н = 0.
2.	По условию линия нагружена на согласованную нагрузку, поэтому ее входное сопротивление равно волновому, т. е. ZBX = ZB=1510e~j2o°21’Ом.
3.	Собственное ослабление в линии а/=13,6 10 3-38 = = 0,505 Нп, или а/=0,505 • 8,69 = 4,4 дБ.
4.	Ток в начале линии
Л = C1/ZBX= 10/1510е-;2О 21' = 6,62 • 10"Зе720 21 А.
Ввиду согласованной нагрузки в линии будут только прямые волны. Напряжение и ток на нагрузке найдем по (О.11.8а):
йя = й2 = е 1 = t/j е ~а'е ~J₽' =
= Юе-13’610’38 .e“j36,4 10 3-38_ |Qe - 0,505 е-j 1,385 _
= 6,03e~J79°21 В;
j i _ С2 6,03е-'79'21 _ з J59.
н" 2-Г_1510е-^1-4 Ш 6 А-
5.	Мощности, расходуемая в нагрузке и подводимая к линии, соответственно равны
P2 = PH = Re[C/2/2] = Re[6,03“j7921-4-10“3е759] = 22,6 мВт;
P1 = Re[C/1/*1] = Re[lO-6,621O“3e~720021 ] = 62 мВт.
КПД т] = Р2/7/=22,6/62 = 0,364.
11.13. Вторичные параметры, однородной двухпроводной линии из медных проводов диаметром 4 мм при частоте /=104Гц равны ZB = 548e~jl°10'Ом, а = 4,7 мНп/км, Р = 0,219 рад/км. При ее нагрузке на волновое сопротивление напряжение на ее приемном конце i/2 = 10 х/2 sin со/ В. Длина линии /=100 км. Найти напряжение и ток в начале линии.
11.14. Вторичные параметры двухпроводной стальной линии при /=800 Гц равны: ZB= 151Ое~720 21'Ом, а = 13,6 мНп/км, Р = 36,4 мрад/км. Длина линии /=38 км. Линия не согласована с нагрузкой, сопротивление которой ZH= 1355ej21’4° Ом. На вход линии подано напряжение [/ = 10 В частотой 800 Гц. Определить: 1) напряжение и ток на нагрузке, ток в начале линии, а также входное сопротивление нагруженной линии, 2) мощность, расходуемую в нагрузке и подводимую к линии и КПД.
Решение. При расчете потребуются значения у/, shy/, cosy/. Вычислим их, используя формулы приложения П.2: 304
yZ=aZ+y₽Z= 13,6 • 10“3 • 38+/36,4 • 10’3 -38 =
= 0,505+jl,385 = x+j>;
_ ^ch 2x—cos 2y ^/ch 1,01 — cos 2,77 ^1,555 + 0,931 _
tgcp = ^=tlb^5 * * * * = 5^4= ц 4- m =85°
ёФг! thx th 0,505 0,466	’ ’
Следовательно, sh у Z=sh (0,505 + j\,385) = SeJ^ = 1,114ej85°,
10
/ch2x+cos2j; /ch 1,01 + cos 2,77	/1,555 — 0,931	_
V 2 V 2 V 2
tg <pc = th x tg у = th 0,505 tg 1,385 = 0,466 • 5,324 = 2,48;
<pc = 68,05°.
Итак, ch у/=ch (0,505 + j 1,385) = Ce7<₽c = 0,56e768’O5°.
Напряжение в конце линии U2 найдем по формуле (0.11.13а), в которой надо принять х = 1 и учесть, что 12 = = й2/гя, тогда
й2=—-—=--------------------
chy/+—shy/ О.ббе-'68,05
= 5,78е“-/52’25° В.
Ток в нагрузке
4 = ^2/ZH = 5,78e-J52’2571355e721’4o = 4,27e-^73’3° мА.
Ток в начале линии определяем по (0.11.146):
/1 = /2chy/+^shYZ=4,27e~J'73-3°-0,56eJ'68’O5° + - zB -
5 78e~j52,25°
+ 7fi0e-j2o,35°'	=5,78ej32,83° mA.
Входное сопротивление нагруженной линии
Z °'	10
1510е"72О°36'
_____________1 114ej85
1355е121,4° ’
^-7Г-5,78-ю-3е^-^32е—Ом.
11.15. По данным задачи 11.14 определить коэффициент отражения от
Решение. Коэффициент отражения находим по (0.11.7):
р ^-Z
— Н
конца линии и входное сопротивление.
ZH+z_
1355с/21,4-1510е-12О'»°	99,26.
1355е121,4 + 1510е^20,35	’
305
Входное сопротивление определяем по (0.11.15) следующими способами.
Способ 1. Сначала вычисляем п и у/Н-лг:
1, ZB + ZH 1. 2677e'j0,66 1 . о	1. о , .1
и = -1п=^——=-1п--------^rF=-ln2,6eJ8U,/4 = -ln2,66+/- х
~ 2 z _Z 2 1031e“j81,4 2	2	z
—н
RO 74°
х^+=0’482+у0’711;
Y/+n = 0,505 +J1,385 + 0,482 +y0,711 = 0,987 + у 2,096 = x + jy,
где x = 0,987 Hn, y = 2,096 рад, т. e. угол у лежит во второй четверти.
Вычислим модуль и аргумент гиперболического тангенса (см. П. 2).
ch2x — cos2y \ ch 2x + cos2j>
'ch 1,974 —cos 4,192 ch 1,974 +cos 4,192
^655+°'5_1147.
3,655-0,5
.	. sin2y sin 4,192
tg(p,= +-------=--------
- sh2x sh 1,974
-0,867
3,516
0,247,
отсюда (pf = —13°47' (из приложения 2 видно, что для четных четвертей угол фг должен быть отрицателен). Следовательно,
Zt = 1510е -,’20°21' • 1,147е 13 47' = 1732е -J34°8' Ом.
Способ 2. Вычислим входное сопротивление, применив разложение гиперболического тангенса на действительную и мнимую составляющие (см. приложение 2)
th (х +jy) =
sh2x , . sin2y --------------J---------------- ch2x + cos2j--ch2x + cos2jt
sh 1,974
ch 1,974 +cos 4,192
.	sin4,192	3,516	.
ch 1,974 +cos 4,192 “ 3,155
-0,867 3,155
= 1,114—/0,275 = l,143e~j13 50
Входное сопротивление, по формуле (0.11.15): Z1=ZBthx х (х+уу)= 1510e~j2O214,143e“jl35O= 1728е-;3411 Ом.
Отметим, что точность расчета по приведенным способам примерно одинакова, однако последний путь, с точки зрения затраты времени, является наиболее экономным.
11.16. Для линии задачи 11.12 определить комплексные значения прямой и обратной волн напряжения в конце и начале линии, нагруженной на сопротивление ZH = = 1355ej21 55 Ом, написать уравнения для мгновенных значений прямой и обратной волн напряжения в конце и начале линии, если мгновенное значение напряжения в конце линии u2=U2msin^t(U2m=l4,\ В).
306
11.17.	Напряжение в конце разомкнутой линии, параметры которой приведены в задаче 11.13, изменяется по закону и2 = Ю^/2sin104 Гц). Вычислить комплексные значения напряжения и тока в начале линии и в точке, отстоящей от конца линии на 20 км. Для тех же точек линии написать
уравнения мгновенных значений напряжения и тока.
11.18. Вторичные параметры двухпроводной воздушной линии из стальных проводов диаметром 4 мм, длиной 20 км
800 Гц имеют волновое сопротивление коэффициент ослабления 17,5 мНп/км, коэф-
при частоте 1350e_j24° Ом,
фициент фазы 0,039 рад/км. Линия замкнута на активное сопротивление, равное 1 кОм. К началу линии подведено напряжение ul = Ulm sin со/ (Ul = 10 В).
Вычислить комплексные значения напряжения U2 и тока
12 в конце линии, тока в начале линии и написать уравнения их мгновенных значений.
11.19.	Линия, параметры которой даны в задаче 11.13, замкнута накоротко. При этом ток в конце линии z = /2wsinco/ (/2w= 10^/2 мА,/=104 Гц). Вычислить комплексные значения напряжения и тока в начале линии и написать уравнения их мгновенных значений. Определить входные сопротивления линии при холостом ходе и коротком замыкании.
11.20.	Линия, параметры которой даны в задаче 11.13, нагружена на сопротивление ZH = 500e-jlo° Ом. Вычислить комплексные значения напряжения и тока в начале линии и написать уравнения мгновенных значений этих величин, если напряжение в конце линии w2 = C/2msincor (U2m= 10^/2 В, f= 104 Гц). Определить комплексные значения прямой и обратной волн напряжения в начале линии. Написать уравнения для мгновенных значений прямой и обратной волн напряжения в начале и в конце линии.
В. НЕИСКАЖАЮЩАЯ ЛИНИЯ.
СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ
ЛИНИИ
11.21.	Первичные параметры двухпроводной медной четырехмиллиметровой телефонной линии (при /=100 кГц): 7?0= 14 Ом/км, £0 = 2 • 10-3 Гн/км, Go = 5 • 10-6 См/км, Со = = 6,35 10~9 Ф/км.
Вычислить индуктивность которую надо включить на каждый километр длины, чтобы линия стала неискажающей. Чему при этом равны вторичные параметры линии?
Решение. Линия не будет вносить искажения, если выполняется соотношение (0.11.18): Ro / (Lo + L1) = G0/C0.
307
Отсюда
L	14 6>3510~9_2.10-3 = 15,8-10~3 Гн/км.
1	Go	5 IO 6	'
Вторичные параметры линии определяем по (0.11.19):
„	Ilo + L1	/17,8-10-3
ZB = /----= /--------=1675 Ом;
V с0 V6’3510
a = x/^oGo = V14’510~6 = 8’3710"3 Нп/км = 0,073 дБ/км;
р = со7(£o + 4)Q = 2л  100• 103 V17,8-10-3-6,35-Ю’9 =
= 6,68 рад/км.
11.22.	К неискажающей линии, параметры которой приведены в предыдущей задаче, подведено напряжение и = = (10sin27il0\ + 5 sin4Til05r) В. Определить мгновенное значение напряжения в конце линии при согласованной нагрузке и холостом ходе.
11.23.	Неискажающая линия длиной /=100 км, параметры которой при /=100 кГц равны: 7?0= 14 Ом/км, £0=17,8х хЮ-3 Гн/км, Go = 5 • 10“6 См/км, СО-6,35 10“9 Ф/км (см. задачу 11.21), нагружена на сопротивление, равное волновому. К началу линии подведено напряжение Ur = 10 В. Определить напряжение и ток на нагрузке и ток на ее входных зажимах. Вычислить мощность, расходуемую в нагрузке и подводимую к линии. Построить кривые распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии.
11.24.	Вычислить сопротивления Т- и П-образных схем замещения воздушной двухпроводной линии из медных проводов диаметром 3 мм, длиной /=100 км при /=800 Гц. Параметры линии взять из задачи 11.5.
Г. РАБОЧЕЕ ЗАТУХАНИЕ ЛИНИИ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНИИ ПО ОПЫТАМ ХОЛОСТОГО ХОДА И КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ
11.25.	К линии, параметры которой даны в задаче 11.14, подведен источник с ЭДС £=20 В, частотой /=800 Гц и внутренним сопротивлением Zr = 600 0M. Линия нагружена на сопротивление ZH= 1355ej21 5 Ом, при этом ее входное сопротивление равно ZBX= 1732е~734 8 Ом. Определить напряжение и ток в начале линии и в нагрузке. Чему равно рабочее ослабление линии?
Решение. Зная входное сопротивление линии между зажимами 1—/', нагруженной на сопротивление ZH, по закону Ома найдем ток и напряжение Ut в начале линии:
/1=—— =----------—г—- = 8,9е725 30' мА;
Zr + ZBX 600+1732е'348
вх
308
t/i = AZbx = 8,9 • 10-3ej25°30 • 1732e~7'34 8'= 15,4e“7'8°38' B.
Напряжение и ток в нагрузке можно вычислить по формулам (0.11.13а) и (0.11.14а), аналогично тому, как это сделано в задаче 11.12. Не приводя подробных расчетов, запишем окончательные результаты: {72 = 8,5е~-'613 В; /2 = 6,27е_-/82°8 мА.
Рабочее ослабление линии вычислим по формуле (0.11.21), для этого сначала определим значения отдельных слагаемых, входящих в эту формулу
п _Zr —ZB_600—151Ое~720 21 _ 968е714710	рЛ6Г45'
/f Zr+ZB 600+ 151Ое->20 21	2080е-714”35'	’
/>H = 0,385ej99°26 (найдено в решении задачи 11.13); ртря = = 0,466е7161 450,385е7" 26 =0,178е726115 . у/=0,505+Д,385 (найдено в решении задачи 11.14); 1,385 рад = 79°2Г; ртряе^211 — = 0,178е1262 29e-1'ole~J158 42 =0,065e7'()' 33' = - 0,013+/0,064;
In 11 -ргряе “ 2тг | = In 11,013 -j0,0641 = In 11,031 e "j 3°36 j =
= In 1,013 = 0,013;
In
zr+z„
2vZrZB
= ln
600+151Oe-720 21	. 2080e-714 35'
—:	= ln ------
2^/600  151Oe~720 21'	1950e 71011
1,09 =
= 0,086 Нп = 0,75 дБ;
In
ZH + ZB 2\/Z HZ B
1355ej21'5 + 1510e”j2° 2r .	268Oe'7'0'5'
—	— = In --------—-
271355e+j'2151510e"j2° 21'	2860e70 11
= In 0,936= -0,066 Hn= -0,57 дБ.
По формуле (0.11.21), искомое рабочее ослабление Ар = = 0,505 + 0,086-0,066 + 0,013 = 0,538 Нп = 4,7 дБ.
11.26.	Измерения сопротивления холостого хода Zlx и короткого замыкания Z1K воздушной двухпроводной телефонной линии длиной 200 км при угловой частоте <в = 5000 с-1 дали результаты: Zlx = 747e-J26 30 Ом, Z1K = = 516е7°30 Ом. Определить вторичные (ZB, а, ₽, у) и первичные (Ro, Lo, Go, Со) параметры линии.
Решение. Входные сопротивления линии при холостом ходе и коротком замыкании по формулам (0.11.16) соответственно равны: Zlx = ZB/thy/; Z1K = ZBthy/.
Перемножая эти выражения, найдем -
Zв = VzlxZ1K = 620е-713° = 587-j 139,5 Ом,
а поделив их, получим
309
th	^Z lx = 0,83e713 30' = 0,806 +>0,193,
HO
откуда
p2?/_ 1 +thy/_ 1,806+/0,193 _ , 7~ j(5i +360"n) l-thy/“0,194-70,193-(’’/2e
где n — целое число.
Так как e21' = e2eie72₽/, то e2ai — модуль комплексного числа, а 2р/—его аргумент;
е2“' = 6,72 и a=lln6,72 = 47,5-10~4Нп/км = 0,04 дБ/км;
2р/ = 51 ° + 360°л = (0,89 + 2пи) рад.
Для определения величины и, которая должна быть взята в последней формуле целым положительным числом, необходимо приблизительно знать величины £0 и Со измеряемой линии, а следовательно, приблизительно число 2л рад, которое содержится в выражении 2р/.
Так как для медных цепей: p = co^/LoCo и 2р/=2/со%/£оСо приблизительное число окружностей
2/(bJL'C' I (bjL'C'
П = —----= —------,
2л	л
где L' и С' — приблизительные значения, известные из предыдущих измерений или вычисленные по теоретическим формулам.
Этой формулой можно пользоваться и для стальных цепей.
В данном случае примем значения, известные из предыдущих задач, для L'zx 12 • 10-3 Гн/км и С'^6 • 10~9 Ф/км z	. 1 оч	200 • 500J2 • 10“3  6 • 10~9 , , с
(см. задачу 11.8) и тогда п =-----------------= 1,15, хотя
л
здесь и получается дробное число, но п должно быть взято ближайшим целым числом, т. е. п=1.
Таким образом, 2р/=0,89 +2л = 7,17; р =	180 • 10’4
рад/км; y = a+j'P = (47,5+jl80) • 10~4 = 186 • 10~4е775° км-1.
Определим первичные параметры линии. Для этого воспользуемся выражениями (0.11.1) и (0.11.2):
у = J(R0+j<»LQ)(G0+jaC0} = 186 • 10 “4е775° км “1;
310
z	/7?o+7to£o = 620e_ .13„ Qm
- V Go+7“CO
Их произведение
у Zв = Ro + jcoLo = (5,4 + j 10,2) Ом/км, откуда
Яо = 5,4 Ом/км; £0= 10,2/5000 = 2,04 • 10“3 Гн/км.
Из отношения
у/Z в = Go +jюС0 = (0,96 • 10 " 6 +j30 • 10 “ 6) См/км
найдем, что (/0 = 0,96 • 10“6 См/км; Co^0^1^ = 6-10~9 Ф/км.
11.27.	Сопротивления воздушной бронзовой линии длиной /=250 км были измерены при частоте /=800 Гц, холостом ходе и коротком замыкании и оказались равными:
Zx = 525e“7’17° Ом; ZK = 72Oe“79°40' Ом.
Определить ZB и у, а также первичные параметры линии Lq, Go, Со-
Д. РАСЧЕТ УРОВНЕЙ ПЕРЕДАЧИ
11.28.	По данным задачи 11.14 для несогласованно нагруженной линии определить: 1) абсолютные уровни передачи по мощности, напряжению, току в начале и в конце линии; 2) относительный уровень передачи тех же величин на нагрузке по отношению к началу линии.
Решение. 1. Абсолютные уровни передачи по мощности, напряжению, току в начале линии по формулам (0.11.12) соответственно равны:
1П1 А (мВт) 1П1 UJr 1П1 10-5,78	г
/Ч = 101gT(hT= g ~=101g~17’6 дБ;
paV = 201g 6/1А = 201g-^- = 22,2 дБ;
И '	6	0,775 (В)	6 0,775	’	’
ра1 =201g 711^1 = 201g — =13 дБ.
Ра1' 6 1,29 (мА) 6 1,29
Те же величины в конце линии:
1П1 Р2(мВт) 1Л1 U2I2 1А, 5,78-4,27	г
= 10 lg цЬйГ 10 >8 — - 10'8 —j—= 13'4 дБ;
Ли =20lg-^ffL_ 20 lg -'-27 „ |6 94 дБ;
Г "	6 0,775 (В)	6 0,775	’
311
paI =201g /2^A\ = 201g^ = 9,87 дБ.
r н b 1,29 (mA)	&1,29
2. Относительные уровни передачи по мощности, напряжению и току на нагрузке по отношению к началу линии равны разности соответствующих абсолютных уровней:
Рр==Рарн~Рар1 = ^А^-^^= -4,19 дБ;
Ри=Раин-Раи} = 16,94 — 22,2 = -5,26 дБ;
Pi =PaiH~Pai1 = 9£>7-13= -3,13 дБ.
Между относительными уровнями передачи рр, pv и рт имеется расхождение, оно объясняется тем, что входное сопротивление цепи (ZBX= = 1734e-j33° Ом) и сопротивление нагрузки (ZH = С/2/Л = 1355ej21°5'Ом) отличаются друг от друга.
11.29. По данным задачи 11.12 для согласованно нагруженной линии рассчитать: 1) абсолютный уровень передачи по мощности, напряжению и току в начале и в конце линии, 2) относительный уровень передачи тех же величин на нагрузке по отношению к началу линии.
Указание. Обратить внимание на то, что все относительные уровни передачи имеют одинаковые значения, что объясняется условиями согласованной нагрузки. Каждый из относительных уровней равен разности соответствующих абсолютных уровней: рр=рар —рар ; Pu=pav —pav ’> Pi = =PaIn-PaIc
E. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
11.30. Энергия передается на высокой частоте от генератора к излучающей системе с помощью фидера (линии), имеющего индуктивность Lo = 1,57 мкГн/м и емкость Со = 7,1 пФ/м. Потерями в фидере можно пренебречь (7?0 = = Go = 0). Частота переменного тока /=108Гц.
Определить: а) волновое сопротивление, коэффициенты ослабления и фазы, длину волны; б) входное сопротивление , - 1
отрезка этого фидера длиной в - длины волны при холостом 8
ходе и коротком замыкании; в) расчет повторить для .	1 з 1
отрезков фидера длиной в - и - длины волны, для
каждого из рассчитанных случаев начертить эквивалентную схему фидера; г) начертить кривые изменения входных
сопротивлений Zx и ZK в функции длины фидера.
Решение, а. Вычислим ZB, р и X соответственно по формулам (0.11.20) и (0.11.3):
/1,57-Ю"6
В V 7,110-12
= 470 Ом;
312
Р = ®/Гф = mjL0C() = 2л • 10871,57-10“6-7,1 -1СГ12 -
= 2,10 рад/м;
Х=2л/р = 2л/2,10 = 3 м.
б.	Из формулы (0.11.3) находим Р = 2л/Х, а для фидера длиной /=Х/8: р/=у-^=^.
Входные сопротивления определим по (0.11.25)
7 = 7 1 —7
о, -^1
Jtgpz
1 jtg7T/4
= —jZB = —j470 Ом;
ZK =jZB tg р/ =jZB tg =7’470 Ом.
Эквивалентная схема двухполюсника при холостом ходе—емкость с сопротивлением 470 Ом, при коротком замыкании— индуктивность с сопротивлением 470 Ом.
Расчет для других значений длины фидера рекомендуем проделать самостоятельно:
при	Zx = 0, ZK = oo;
при /=ЗХ/8 Zx =7’470 Ом, ZK=—у’470 Ом;
при /=Х/2 Zx=oo, ZK = 0.
Кривые изменения входного сопротивления в функции длины фидера можно рассчитать по формулам (0.11.25):
при холостом ходе ZH = оо Z х = —jZB tg fJy;
при коротком замыкании ZH = 0 ZK=7’ZBtgpj\
Во всех рассмотренных случаях входное сопротивление линии является чисто реактивным Z=jX (Zx=jXx, ZK=jX^).
Кривая Хх=/!(у) имеет вид котангенсоиды, а кривая Х=/2(у) — тангенсоиды (рис. 11.30, а и б).
11.31.	Линия без потерь, имеющая волновое сопротивление ZB = 500 Ом, питается напряжением с частотой /=108Гц. Определить амплитуду тока при холостом ходе в точке, находящейся от конца линии на расстоянии у = 0,5 м, если напряжение на конце линии {72т = Ю0мВ.
11.32.	Фидер, параметры которого приведены в задаче 11.30, имеет длину /=5м и находится в режиме холостого хода. Подсчитать действующие значения напряжения в конце и тока в начале линии, если к фидеру подключено напряжение ur = l/lwsincoZ (С4 = 10 В, /= 108 Гц). Начертить кривые распределения действующих значений напряжения и тока вдоль фидера. Написать уравнения мгновенных значений напряжения и тока в начале фидера. Начертить кривые
313
Рис. 11.30 распределения мгновенных значений напряжения и тока вдоль фидера для двух моментов времени: 1 = 0 и t=T^. Определить коэффициенты отражения и бегущей волны. Решение. Подсчитаем величины, которые потребуются в дальнейших расчетах:
р/=2,1 -5 = 10,5 рад = (4,22 + 2л) рад;
cos р/=cos (4,22 + 2л) = — 0,472; sin р/=
= sin (4,22 +2л) =-0,881.
Примем (71 = С/1 = 10В. Из формулы (0.11.22а) для режима холостого хода (/2 = 0) определим действующее значение напряжения в конце линии (х = /):
U2 = и2 /cos р/ = 10/ - 0,472 = - 21,2 В.
Действующее значение тока в начале линии вычислим по (0.11.236):
Ir =jgsinp/=y^(-0,881)=j39,7 мА.
Комплексные действующие значения напряжений и токов можно записать на основании формул (0.11.226) и (0.11.236):
U(y)= £72cosРу= — 21,2cos(2,1у) В;
/(>’)=7^sinPy= -j^sin(2,ly)= -j45sin(2,ly) мА.
Действующие значения напряжений и токов соответственно равны
U(y) = \ -21,2cos(2,ly)| В;
Z(y) = | — 45sin(2,ly)| мА.
314
a)
мА В
Рис. 11.32
По этим уравнениям на рис. 11.32, а построены соответствующие кривые.
Запишем в общем виде уравнения мгновенных значений напряжений и токов в режиме холостого хода (Z2=0):
и = U2m cos Ру sin со/; i =	sin Ру cos со/.
ZB
Эти уравнения примут вид
для момента t = О
и = 0; i=—sin ру = — 2-1’2^2 sin (2,1 у) = — 63,6 sin (2,1у) мА;
470
для момента t=T^
и= t72nicosPysina>^= — 21,2^/2 cos р_у sin =
=-21,2^/2 cos (2, ly) B;
315
Таблица 11.2
Зу	cos $у	cos2 $у	т2 х х cos2 рг	sin $у	sin2 рг	m2 x x sin2 pv	U, В	I, mA
0	1	1	0,04	0	0	0	10	4
л/8	0,924	0,854	0,034	0,383	0,147	0,0059	9,26	9,5
л/4	0,707	0,5	0,02	0,707	0,5	0,02	7,21	14,4
Зл/8	0,383	0,147	0,0059	0,924	0,854	0,034	4,26	18,5
я/2	0	0	0	1,0	1,0	0,04	2,0	20
U2m • о	Т	21,2^/2	Я • о ЛС • /П 1 \ А
i = — sin Bycos со- = — —-cos-sin ру = —45 sin(2,1 у) мА. ZB	8	470	4
На рис. 11.32,6 построены кривые напряжения и тока для моментов / = 0 и Г/8.
Коэффициент отражения со стороны нагрузки определим по (0.11.7):
Л =
К,-]Г = —
1+Ш
ZH-ZB ZH+ZB
Коэффициент бегущей волны
11.33.	Фидер без потерь, параметры которого £0 = = 1,57 мкГн/м, Со = 7,1 ’ пФ/м, имеет длину /=35м и нагружен на сопротивление, равное волновому. Напряжение на приемном конце фидера	и2 = U2m sin со/
(L/2w=10mB; /= 108 Гц).
Написать выражения для мгновенных значений напряжения и тока z\ в начале фидера. Построить кривую распределения действующих значений напряжений U и тока I вдоль линии. Определить коэффициенты отражения и бегущей волны. Начертить кривые распределения мгновенных значений тока и на
316
пряжения в функции расстояния для трех моментов времени: h = 0, t2 = T/S, h = T^.
11.34.	Линия без потерь, параметры которой L() = = 1,67 мкГн/м, Со = 6,67 пФ/м и длина 1=5 м, нагружена на активное сопротивление R2, равное 5ZB. Напряжение на нагрузке С2=Ю В, частота 108 Гц.
Определить напряжение и ток в начале линии и входное сопротивление линии. Рассчитать и начертить графики изменения действующих значений напряжения U и тока 7, резистивной /?вх и реактивной Хвх составляющих входного сопротивления нагруженной линии. Определить коэффициенты бегущей и стоячей волн.
Решение. Сначала по (0.11.20) определяем ZB и р:
z =	= /1,67 Ю'6
В V Со V 6,67-10"12
= 500 Ом;
р = o)jL0C0 = 2л • 10871,67 10“6-6,67 -10"12 = 2,1 рад/м.
Сопротивление нагрузки: R2 = 5ZB = 5 • 500 = 2500 Ом.
Комплексные напряжение и ток в начале линии определим по (0.11.226) и (0.11.236).
Ci = C2cosp/+//2ZBsinр/= 10cos(2,l • 5) +7^^х х 500sin(2,1 -5)= -5-jl,73 = 5,Зе"Л60°55' В;
/1=/2cosp/+;^sin₽/=-^-cos(2,l • 5)+7-^-sin (2,1 -5) = Zl/g	ZDvv	DUU
= -2-jl7,3 = 17,5e-j96 35’ мА.
Разделив на Д, получим Л	с Д^-7’160 55'
ZBX = £‘ =.5,3 , ,qh =312e~J64 20’ Ом.
-вх Ц 17,5 • 10~3e~j96 35
Распределение действующих значений напряжения и тока находим по (0.11.26), в которых и? = ZB/T?2 = 500/2500 = 0,2:
U(у) = U2x/cos2 Ру + т2 sin2 ру = 1 O^/cos2 Ру + 0,04 sin2 Ру;
7(у) = — ^/m2 cos2 Ру + sin2 Ру = — ^/0,04 cos2 Ру + sin2 Ру. ’ '	500 v '
Для построения кривых U (у) и I (у) в функции у удобно составить табл. 11.2.
Кривые U (у) и I (у) являются четными функциями величины Ру. Они изображены на рис. 11.34, а.
Расчет кривых распределения резистивной 7?вх и реактивной Хвх составляющих входного сопротивления проводится по формуле (0.11.24), в которой после отделения
317
вещественной и мнимой составляющих получим
R _ mZB _	100
вх т 2 cos2 + sin2	0,04 cos2 pj> + sin2 pj> ’
0,5ZB( 1--^ )sin2pj>	.
% _	\ mJ _	6000sin2pj>
2 0	1 • 2o	COS2 Pt + 25 sin2 Р/
COS piH-7 sin pj>
m
По этим уравнениям на рис. 11.34, б построены кривые 7?вх и Хвх в функции у. Коэффициенты бегущей и стоячей волн определяем по (0.11.27): К6в= Umin/Umax — 2/10 = 0,2; Ксв = 1//Сбв= 1/0,2 = 5.
11.35.	Линия без потерь имеет длину /=200 м и параметры £о = 2-10~6 Гн/м и Со = 5,55-10~6 мкФ/м. Длина волны в линии Х, = 60 м. В конце линии включена индуктивность £ = 0,01 мГн. Найти вторичные параметры линии. Доказать, что в линии будут стоячие волны тока и напряжения. Найти: 1) на каком расстоянии от конца линии будут ближайшие пучности напряжения и тока; 2) отношение амплитуд напряжения и тока в пучности и в конце линии; 3) отношение амплитуд напряжения и тока в пучности и в начале линии.
Решение. Волновое сопротивление линии
Zb = 7Lo/Co = 600 Ом.
Коэффициент фазы
р = 2тг/Х = 6,28/60 = 0,1047 рад/м.
Пользуясь уравнениями (0.11.226) и (0.11.236) и имея в виду, что
WP, i2 = u2'/jx,
где
jX=joL=Zx=j2nfL=J2n^-0,Ql  КГ3 =/314 Ом,
60
получим
и (у) = u2 f cos ру +	sin ру)=(ру - §);
\	Л j cos о
I[y)=l2(cospy- ^sinpy)= - 2^sin(Py-5), \	ZB J	sin о	'
где
8 = arctg у = arctg	=62°30' = 1,09 рад.
318
Рис. 11.35
Переходя к мгновенным значениям и считая, что напряжение имеет начальную фазу, равную нулю (т. е. U2 = U2\ тогда /2 = — jh, — Л = jl2 =	j9° получим
u = —cos (Ру — 8) sin cor = U2т cos (Ру — 8) sin соГ;
/ =	sin (ру — 8) cos cor = I2m sin (Ру — 8) cos cot
Эти уравнения показывают, что в линии имеют место стоячие волны (рис. 11.35).
Ближайшую от конца линии пучность напряжения находим из уравнения cos (Руi — 8) = 1, т. е. Ру8 = 0, yi = 8/P = = 1,09/0,1047 = 10,5 м.
Ближайшая от конца линии пучность тока—на расстоянии у2=У1 +Х/4= 10,5 + 60/4 = 25,5 м.
Отношение амплитуды напряжения в пучности к амплитуде напряжения в конце линии
и2 = — =-------1--= 2,15,
cos 8 cos 8 cos62°30'
а для тока такое отношение имеет вид
— :/2 =—=1ДЗ.
sin 8	sin 8
Отношение амплитуды напряжения в пучности к амплитуде напряжения в начале линии
:	(cqS р/ _ §) — —-----!-----------------
cos8 cos8'	' cos(0,1047 • 200—1,09) cos 19,85
_________________1	1	— J 8 5 cos (19,85 —6л) cosl cos 57,3°
а для тока такое отношение имеет вид
319
——-smipz — б) = ------= 1,19.
sin 5 sin 5	'	' sin 57,3°
11.36.	Рассчитать входное сопротивление сверхвысокочастотной длинной линии без потерь, которая нагружена на последовательно включенные сопротивление Z и короткозамкнутый шлейф (короткозамкнутый отрезок длинной линии без потерь), как .показано на рис. 11.36. Дано: волновые сопротивления длинной линии и шлейфа ZB = ZBIII = 600 Ом, сопротивление Z=500 Ом, длина линии /=190 см и шлейфа /ш=10см. Длина волны в линии и шлейфе одинакова: X =	= 120 см.
Решение. Входное сопротивление короткозамкнутого шлейфа по (0.11.25)
Z ш=ZBin j tg (₽ш/ш)=ZBnJ tg f	IJ=600/ tg	=
=j346 Ом.
Сопротивление нагрузки длинной линии складывается из входного сопротивления короткозамкнутого шлейфа и сопротивления Z:
ZH = ZUIH-Z=j346H-5OO = 61Oej34°40 Ом.
Входное сопротивление длинной линии определяют по (0.11.15):
ZH+jZBtgl /
Zi = ZB----------1040eJ18°20 Ом.
/ ЗоО \
Z„+JZHtgl —— / \ Л /
11.37.	Клистронный СВЧ-генератор создает на входе длинной линии без потерь напряжение 10 В (рис. 11.37). Линия с волновым сопротивлением Zb=100 0m нагружена
320
на согласованное сопротивление Zh=100 0m. В средней части линии включен короткозамкнутый шлейф (линия без потерь) с тем же волновым сопротивлением Zbui=100 0m и длиной /ш = Х/8, где 1—длина волны, одинаковая в линии и шлейфе. Длина линии /=Х/2. Рассчитать входное сопротивление линии и ток клистронного генератора.
11.38.	На входе высокочастотной линии связи длиной /= 1,5 км создается сигнал напряжением Щ = 0,5 В и частотой /=300 кГц. Линия, состоящая из двух участков — медной двухпроводной линии длиной /=0,7км с параметрами Zbi = 586 Om, pt = 6,46 рад/км и кабельной линии длиной /2 = 0,8 км с параметрами Zb2 = 76Om, р2 = 6,7 рад/км, нагружена на сопротивление приемника ZH = 600 Ом (рис. 11.38). Рассчитать напряжение на приемнике. Потерями в линии связи пренебречь.
Ж. МЕТОДЫ СОГЛАСОВАНИЯ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ
11.39.	Линию, параметры которой приведены в задаче (11.34), требуется согласовать с нагрузкой 7?2 = 5ZB с помощью четвертьволнового отрезка.
Определить волновое сопротивление ZB1 этого отрезка так, чтобы в точках аа соединения линии со вставкой не было отражения. Полагая, что напряжение на нагрузке U2 = Ю В, /= 108 Гц, вычислить напряжение и ток в начале вставки и в начале линии. Рассчитать и построить графики распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии и вставки. Вычислить мощность, подводимую к линии и расходуемую в нагрузке.
Решение. Схема согласования линии с нагрузкой с
помощью четвертьволновой вставки дана на рис. 11.39, а.
Вычислим длину волны и коэффициент фазы по (0.11.3): А, = с//=3 • 108/108 = 3 м; р = 2я/к = 2я/3. Длина четвертьволновой вставки / =1/4 = 3/4 = 0,75 м.
Входное сопротивление нагруженной четвертьволновой вставки между точками аа можно определить, используя формулу (0.11.24). У такой вставки / = к/4, а следовательно, по (0.11.3) имеем
11 Заказ 2113
321
Подставляя найденное значение в (0.11.24) и обозначая волновое сопротивление вставки ZB1, будем иметь
гу ____ гу ^2	tg p/j   у
Z±bx	^в1 ~	, ТТ,	-^bI
ZB1 +jR2 tg PZ1
Rz+jZ^i tg-
TC
ZBi +jRi tg-
Последнее выражение дает неопределенность, раскрывая которую, получим Z^ = ZlilR2.
Для согласования линии с нагрузкой необходимо выполнить условие ZBX = ZB или Zh)R2 = Z^
Отсюда ZB1 = %/zb7?2 = ^/500 • 2500 =1120 Ом.
Напряжение и ток в начале вставки (точки аа) найдем по формулам (0.11.226) и (0.11.236), в которых следует принять j = и волновое сопротивление ZB1:
йаа = и2 COS р/j +j72Zb1 sin p/t = U2 cos +j72Zb1 sin =
=j^ZB1=j— 1120=7'4,5 B;
J R2 b1 j 2500	7
taa = h COS P/i +j^- Sin 0/j =j'9 mA.
Линия в точках аа согласована с нагрузкой. Напряжение и ток в начале линии при отсчете с конца определяем формулами
U=UaaeJ 7=—eJ₽/.
ZB
Действующие значения напряжения и тока представляют собой модули последних комплексов и соответственно равны:
и=\Uaaejf“\ = Uaa = 4,5 В; 7=
= 7аа«9 мА.
Графики этих величин — прямые, параллельные оси у (рис. 11.39 б). Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль вставки определяем по (0.11.26), где
т = ZB1 fR2 = 1120/2500 « 0,45;
U(у) = U2%/cos2 pj + m2 sin2 pj =
I ( 2л \	.	(2л \ __
= 10 /cos2 ( — yj+0,45sm2 / — у I В;
I(у) = — Jm2 cos2 Py+sin2 Py =
' ' m v
/z4 л г о /2л \	0 / 2л \	.
= 9 / 0,45 cos I — у + sin — у мА.
322
По этим уравнениям на рис. 11.39,6 построены кривые U (у) и 1(у).
Расчет мощностей. Действующие значения напряжения и тока в начале линии имеют такие же значения, как и в точках аа, т. е. £4=4,5 В, 4=9 мА, а по фазе совпадают, так как линия согласована с резистивной нагрузкой, а подводимая к линии мощность 4 = Uili = 4,5 • 9 • 10 “3 »40-10“3Вт. Мощность, расходуемая в нагрузке,
р2 = и212 = и2 — =—=40 • 10  3
R 2500
т. е. Р2 = РГ. Этот результат можно было предвидеть, если учесть, что линия идеальная и, следовательно, не имеет потерь, поэтому вся подводимая к линии мощность расходуется в нагрузке.
11.40. Линию без потерь, параметры которой ZB = 500 Ом, (3 = 2,1 рад/м, длина / = 5 м, надо согласовать с резистивной нагрузкой R2 = 2500 0м с помощью ко-
Вт,
Рис. 11.40
роткозамкнутого шлейфа, имеющего такое же волновое сопротивление, как и линия рис. 11.40. Определить минимальную длину шлейфа /ш и место его включения, при
которых входное сопротивление в месте присоединения шлейфа (точки bb) равно волновому сопротивлению линии.
Чему в этом случае равны ток, напряжение и мощность, подводимая к линии и расходуемая в нагрузке? Напряжение на нагрузочном сопротивлении U2 = 10B, частота f= = 108 Гц.
Решение. Из рис. 11.40 видно, что участок линии длиной Г и шлейф, имеющий длину /ш, соединены параллельно. Вычислим их эквивалентное сопротивление. Для этого надо определить входные сопротивления: Z'— участка линии длиной /' и Zm — сопротивление короткозамкнутой линии без потерь длиной /ш. Каждое из этих сопротивлений вычисляем по формуле (0.11.24):
Z' = ^21+^tgp/', где w = ZB//?2; Zmai=jZ^lw. l+j-tgp/' т
Входные проводимости этих участков — величины, обратные их сопротивлениям. Входная проводимость участка
11*
323
линии длиной Г представляет собой комплексную величину, а входная проводимость шлейфа — мнимую. Эти проводимости соответственно равны
1+j-tgp/'
1	1 т
Z' R1 1 +jrn tg Р/'
1 . l+tg2P/' R2 l+m2tg2p/'
----m ) tg p/' m )
14- m 2 tg2 p/'
Znx = -jB = — = -J—.
Входное сопротивление любого отрезка линии, нагруженного согласованно, должно быть равно волновому сопротивлению. Это означает, что входное сопротивление в точках bb, представляющее собой сопротивление двух параллельных ветвей, тоже должно быть равно ZB:
7'7
ZB= ^вхш- или Z + Zbxui
*=l+_L=r+r
ZB 7'	7
°	вх ш
Учитывая, что волновое сопротивление линии без потерь является действительной величиной, получим
1/ZB = G', В' = ВШ,
или
_L=_L..i-Hg2P/'	(111)
ZB R2 l+w2tg2p/'	11	7
1	1 ( ~ - w)tg₽/'
1	_ 1 \т J
Z,t^lm R2 l+m2tg2p/'
(11-2)
Уравнение (11.1) с учетом значения т можно преобразовать следующим образом:
i+™tg2₽/'=l + tg₽/'; tg₽/'=±J=±Д
В
Следовательно, длину участка линии, находящегося за местом присоединения шлейфа, можно найти по формуле
/' = | arctg
(11.3)
324
Подстановка выражения tgpZ' в уравнение (11.2) дает возможность найти длину шлейфа /ш. Простейшие преобразования приводят к формуле
/ш = ^ arctg
R2-Z. )'
(11.4)
Формулы (11.3) и (11.4) содержат круговые функции, которые многозначны. Это приводит к многозначности величин /' и /ш. При расчете следует выбирать наименьшее значение /ш, так как это обеспечивает наименьшие размеры согласовывающего устройства.
Подставляя числовые значения в формулу (11.4), получим
,	1	, / ±,/2500  500 \	1	. Л I а <1 а
/ш = — arctg —-------- =— arctgO,56 = — -0,51=0,243 м.
2,1	2500-500 /2,1	&	2,1
Здесь принят знак плюс, так как при этом значение /ш минимально.
Наконец, по формуле (11.3) находим
Г = — arctg	= — arctg 2,24 = —-1,15 = 0,548 м.
2,1	500	2,1	6	2,1	’
Напряжение в точках bb присоединения шлейфа вычислим по формуле (0.11.26):
Ubb = U2 ^cos* 2 p/' + w2 sin2 р/' =
= lO^cos2 (2,1 -0,548) +0,22sin2(2,l -0,548) =
= 10,ycos21,15 + 0,22sin2 1,15= l(\/0,40852 + 0,22 -0,91282 =
= 4,46 B.
Так как линия не имеет потерь, то напряжение в ее начале имеет то же значение, т. е. Ui = 4,46 В. Ток в начале линии (так как линия нагружена на согласованную нагрузку): Д = C/i/ZB = 4,46/500 = 8,92 • 10“3 А = 8,92 мА. Мощность, поступающая в линию, Pi = Uill =4,46 • 8,92 • 10 3 = 40 мВт.
Мощность, расходуемая в нагрузке, Р2 = U2I2 = 10	=
= 40 мВт. Мощности Pt = P2, так как линия не имеет потерь.
3. СХЕМЫ, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОТРЕЗКАМ ЛИНИИ
11.41. Коаксиальный кабель без потерь при частоте /=100 МГц имеет следующие параметры: Zb=100 0m, 3 = 2,1 рад/м.
Определить: а) значение эквивалентной емкости, заме-
325
Рис. 11.42
няющей этот кабель длиной 50 см, разомкнутый на конце, б) значение эквивалентной индуктивности того же кабеля, но замкнутого на конце накоротко.
11.42. Резонатор (колебательный контур) выполнен из короткозамкнутого отрезка четвертьволновой медной двухпроводной линии длиной /=0,75 м (рис. 11.42, а, б). Диаметр провода d=4 мм, расстояние между ними я = 20 см. Определить длину волны А,о, резонансную частоту /0, первичные параметры отрезка линии 7?0, Lo, Со, волновое сопротивление ZB, коэффициент ослабления а и входное сопротивление ZBX короткозамкнутого отрезка линии. Вычислить параметры контура, эквивалентного четвертьволновому отрезку линии и его добротность.
Решение. Длина волны и соответствующая ей частота соответственно равны:
Хо = 4/=4-0,75 = 3 м; /0 = С0/к0 = 3 • 108/3 = 108 Гц =
= 100 МГц.
Резистивное сопротивление единицы длины линии найдем по формуле (П.4.36): 7?0= 16,65 • lO~2y/f/d= 16,65 • 10-2 х хУ108/4 = 420 Ом/км = 0,42 Ом/м.
Индуктивность и емкость единицы длины провода вычисляем по формулам (П.4.56) и (П.4.6):
Z,o = 4-10~41п —= 4-10-41п —=1,842-10-3 Гн/км = Го	0,2
= 1842 мкГн/м;
1,05 "10	1,05’10	— 9 / г сх'У 1 л -1 2 /Ь /
Со = ---—=--------— = 6,03 10 9 Ф/км = 6,03-10 12 пФ/м.
361п-	361п~;
г0	0,2
Волновое сопротивление и коэффициент ослабления определяем по (0.11.4):
z =	= /1,842-Ю"6
в V Со \ 6,03 10"12
= 552 Ом;
= ^1 = _0Л2_ = 0 38.10-з нп/м = 3,3 • 10"3 дБ/м.
2ZB 2-552	’	'	1
326
Входное сопротивление вычисляем по (0.11.15) с учетом того, что
р 3 ‘ 108	R{) J 1	Z Z	Z1
f0 =---, а =—, а/<^:1, sha/^a/, cha/^1,
70 Хо ’ 2ZB
ZBX = Лрез = — ,=—552. = 1,94 • 106 Ом = 1,94 МОм.
вх рез Rol 0,42-0,75
2	2
Из теории известно, что эквивалентным коротковолновому четвертьволновому отрезку линии является параллельный контур (рис. 11.42,5), параметры которого находим по формулам:
R =1 /?0/=-^0,42-0,75 = 0,252 Ом;
тс2	3,142
L = -гЬ01=—г 1,842• 10’6 0,75 = 1,12• 10“6 Гн= 1,12 мкГн;
л2	3,142
С=1со/=|б,03 • 10~12-0,75 = 2,26-10~12 Ф = 2,26 пФ.
Добротность контура
ГЕ I 1,12 -10“6
Q=ds = y 2^’iQ~12 = 2160.
R 0,252
11.43. Резонатор выполнен в виде разомкнутого четвертьволнового отрезка двухпроводной линии, параметры которой даны в предыдущей задаче. Вычислить параметры контура, эквивалентного разомкнутому четвертьволновому отрезку, и его добротность.
°	Цк
?_____тс
Рис. 11.43
Решение. Эквивалентным разомкнутому четвертьволновому отрезку линии является последовательный контур (рис. 11.43), параметры которого вычисляем по следующим известным из теории формулам:
R = -R„/=1-0,42-0,75 = 0,158 Ом;
2 и 2
£ = 1л0/=1-1,842 • 10~6 -0,75 = 0,69 • 10“6 Гн;
327
С=Асо/=Дб,03 • 10“12 • 0,75 = 3,65 -10“12 Ф;
л л2
L /0,69-10 6
Л 0,158
Отметим, что добротность четвертьволнового отрезка линии в режимах короткого замыкания и холостого хода одна и та же.
11.44. Показать, что подключение к разомкнутому концу линии без потерь конденсатора емкостью С эквивалентно удлинению ее на величину /с = — arctg (coCZB), а включение в конце той же линии индуктивности L эквивалентно включению отрезка короткозамкнутой линии длиной .	1 coL
Глава 12
Четырехполюсники
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1. Основные уравнения четырехполюсника. Активным неавтономным четырехполюсником называется четырехполюсник, внутри которого содержатся зависимые источники энергии, например схемы замещения электронных ламп и полупроводниковых триодов (транзисторов). У таких четырехполюсников после их отключения от остальной части цепи на входных и выходных зажимах нет напряжения.
Связь между входными и выходными 1 <А	напряжениями и токами Ur и /1? U2
---и 12 линейного активного (неавтоном-\й2	ного) и пассивного четырехполюсников
I	(при положительных направлениях на-
---0 2	пряжений и токов, указанных на рис. 0.12.1*) может быть выражена од-
Рис. 0.12.1 ной из следующих шести форм основных уравнений:
* В литературе используются различные варианты выбора положительных направлений первичного и вторичного токов четырехполюсника. В книге принято так называемое встречное направление первичного и вторичного токов. Испольуются также и другие варианты: вариант прямой передачи, при котором положительные направления первичного и вторичного токов выбирают направленными слева направо: вариант обратной передачи, при котором первичный и вторичный токи выбирают направленными справа налево.
328
формы У:
(0.12. la)
(0.12.16)
(0.12.1в)
(0.12.1г)
(О.12.1д)
(О.12.1е)
коэффициентов А и, их запись в виде А
часто ис-
Вместо пользуется
При выбранных положительных направлениях напряжений и токов согласно рис. 0.12.1 при нагрузке четырех
полюсника со стороны вторичных зажимов на сопротивление ZH последнее связано с выходным напряжением и током
соотношением
(0.12.2)
Коэффициенты при напряжениях и токах в основных уравнениях четырехполюсника (0.12.1а—е) называются параметрами четырехполюсника. Они определяются только схемой самого четырехполюсника. В общем случае все параметры четырехполюсника комплексны.
Связь параметров различных форм уравнений (при выборе положительных направлений напряжений и токов согласно рис. 0.12.1 записи основных уравнений четырехполюсника в виде уравнений 0.12.1а—е) приведена в табл. 0.12.1.
В таблице
411^22-412421; 141 = 411422-412421 —определители, со-ставленные из параметров соответствующих уравнений че
тырехполюсников.
329
Таблица 0.12.1
Определяемые параметры матрицы
В зависимости от параметров
330
Определители, составленные из У- и Z-параметров, а также из Я- и F-параметров и А- и В-параметров, взаимно обратны, т. е.
|K| = 1/|Z|, |Я| = 1/|Г|, |Л| = 1/|В|.	(0.12.3)
Для обратимого четырехполюсника существует следующая связь между параметрами каждой формы:
(0.12.4)
Таким образом, обратимый несимметричный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми параметрами.
В симметричном обратимом четырехполюснике кроме зависимостей (0.12.4) имеется еще следующая связь между его параметрами:
(0.12.5)
Поэтому симметричный обратимый четырехполюсник характеризуется лишь двумя независимыми параметрами.
Напомним, что пассивные линейные четырехполюсники всегда обратимы.
2. Способы определения параметров четырехполюсника. Параметры четырехполюсника можно определить различными способами:
1)	составлением уравнений по законам Кирхгофа (либо методам контурных токов или узловых напряжений) и представлением их решения в виде одной из форм уравнений (0.12.1а —е);
2)	по значениям напряжений и токов в режимах холостого хода и короткого замыкания [см. формулы (0.12.6)];
3)	разбивкой сложного четырехполюсника на более простые четырехполюсники, параметры которых известны, и определение его параметров по формулам табл. 0.12.4;
4)	эквивалентными преобразованиями (например, путем преобразования треугольника сопротивлений в эквивалент-ную звезду).
В табл. 0.12.2 приводятся формулы параметров формы А некоторых простейших пассивных четырехполюсников.
Параметры четырехполюсника можно определить по известным напряжениям и токам в режимах холостого хода и короткого замыкания по формулам, которые получаются
331
Таблица 0.12.2
Но-
Схема и наименование четырехполюсника
Л-параметры
ри-
Номер формулы
ка
(0.12.7а)
Одноэлементный последовательный
Одноэлементный параллельный
332
Продолжение табл. 0.12.2
Л-параметры
(О.12.7е)
П-образный
(О.12.7ж)
М
сун-ка
Трансформатор (общий случай)
Номер формулы
Схема и наименование четырехполюсника
Номер
зп
Мостовой
(О.12.7и)
10
(О.12.7к)
Совершенный трансформатор
Т-образный мостовой
333
Продолжение табл. 0.12.2
Номер рисунка
Л-параметры
11
Схема и наименование четырехполюсника
Номер формулы
(О.12.7л)
Идеальный трансформатор
1^1 —^2“
IL2 — const
Примечание. В схемах трансформаторов знак плюс соответствует встречному включению, знак минус—согласному.
из соотношений (0.12.1а — е):
(0.12.6а)
(0.12.66)
(О.12.6в)
(О.12.6г)
(О.12.6д)
(0.12.бе)
Пример приведен в задаче 12.1.
В табл. 0.12.3 приведены существующие матрицы параметров четырех разновидностей зависимых источников.
Таблица 0.12.3
3.	Матричная форма записи уравнений четырехполюсника; виды соединения четырехполюсников. Основные уравнения четырехполюсника могут быть записаны в матричной форме (основные понятия о матрицах даны в приложении 3).
В табл. 0.12.4 приведены матричные формы записи уравнений четырехполюсника (0.12.1а—е). Там же даны схемы сложных соединений двух четырехполюсников и формулы для определения их матриц. Аналогичные формулы справедливы при соединении любого числа четырехполюсников. Следует иметь в виду, что указанные формулы нахождения матриц сложных четырехполюсников справедливы лишь при выполнении условий регулярности их соединений. Соединение четырехполюсников регулярно в случае, когда токи, протекающие через оба первичных и оба вторичных зажима каждого из четырехполюсников, равны по величине и обратны по направлению.
Далее указаны некоторые случаи регулярного соединения четырехполюсников: 1) каскадное соединение любых четырехполюсников; 2) параллельное соединение: а) уравновешен-
335
[Ж: жмо
ных четырехполюсников (т. е. имеющих горизонтальную ось симметрии); б) подобных четырехполюсников (схемы одинаковы, а сопротивления соответствующих элементов пропорциональны); в) треугольных четырехполюсников, причем так, что общие зажимы соединены накоротко (таковы Т- и П-образные схемы); 3) последовательное соединение треугольных четырехполюсников, общие зажимы которых объединены (например, Т- или П-образные и соответственно перевернутые Т- или П-образные); 4) соединение любым способом произвольного четырехполюсника с другим, у которого на входе или (и) выходе включен трансформатор; 5) соединение любым способом произвольного и так называемого «разорванного» четырехполюсника (см. примечание к задаче 12.18). Примеры приведены в задачах 12.13 и 12.18.
4.	Характеристические параметры четырехполюсника. Кроме параметров, указанных в п. 1, широко применяются характеристические параметры четырехполюсника; характеристические сопротивления Zlc и Z2c и характеристическая (или собственная) постоянная передачи Г, которые также полностью характеризуют четырехполюсник.
Постоянная передачи
Г = Л+;В = -1п^Д 2 U2I2
Л = 1п£^+-1п	, Нп;
и2 2	-
о 1
B = -arg -Д4
2	\U2I2
Z2c
ZL
(0.12.8)
zH=z2c
где А — характеристическая (или собственная) постоянная ослабления четырехполюсника,* Нп или дБ; В—характеристическая (или собственная) постоянная фазы четырехполюсника, рад или град.
Характеристические параметры можно определить через параметры формы А:
zlc= /411^ Z2c=/^^;	(0.12.9)
А21А22	' 4.214.11
thr=/^^i; Г = 1п(х/л11Л22 + 7412421), (0.12.10)
* 4.114.22
и, наоборот, параметры формы А могут быть выражены
* Согласно ГОСТ 1494—77 для четырехполюсника введен термин ослабление вместо ранее употребляющегося затухание.
338
Примеры даны в задачах 12.20 и 12.22.
Метод бисекции. Его применение целесообразно при определении характеристических параметров симметричных четырехполюсников. Согласно этому методу четырехполюсник разделяют на две части I и II вертикальной осью симметрии (рис. 0.12.2, а и б). Число проводов, соединяющих эти две части, определяется схемой четырехполюсника.
Характеристические параметры определяют по формулам
(0.12.12)
где Z /ц и Z /ц — соответственно входные сопротивле-
К\2/	Х\2/ ’
ния короткого замыкания (рис. 0.12.2, в) и холостого хода (рис. 0.12.2, г) половины четырехполюсника.
Пример приведен в задаче 12.27.
Если половины схемы симметричного четырехполюсника соединяются парой прямых и парой скрещенных проводов (рис. 0.12.2, Э), входное сопротивление Z следует опре-
делять по схеме рис. 0.12.2, е, a Z /ц—по схеме рис.
0.12.2, ж.	w
5.	Параметры холостого хода и короткого замыкания. В расчетах используются также параметры холостого хода
339
Zix и Z2x и короткого замыкания Z1K и Z2k, измеренные соответственно со стороны первичных и вторичных зажимов, которые связаны между собой соотношением
Zlx/Z2x = Z1K/Z2K.	(0.12.13)
Характеристические параметры выражаются через параметры холостого хода и короткого замыкания:
Z 1с — Z1XZ1K; Z2c — Z2xZ2k;	(0.12.14)
thr=7 z1K/zlx=7 Z2K/Z2x.	(0.12.15)
Сопротивления холостого хода и короткого замыкания определяются через характеристические параметры или А-параметры так:
Zix = Zlccth Г = А ц / Л 21;
Z iK Z i с th Г Л12/Л22,	~ 1 аа
Z2x = Z2ccthT = Л 22 / Л21; [	(O.iz.io)
Z2k = Z2c th Г = Л12 / А и.
A-параметры четырехполюсника вычисляются по сопротивлениям холостого хода и короткого замыкания по формулам
4п=	==; Л12 = г]кГ^^
-^2х ( lx Z1K)	Zlx Z1k	(О 12 17)
.	1	л / Z2x
A 21=—— —7  - .; Л 22 — ------•
7z2x(z1x-z1k) V Zlx-z1K >
Пример дан в задаче 12.20.
6.	Симметричные четырехполюсники. В частном случае симметричного четырехполюсника приведенные формулы упрощаются, если учесть, что при этом имеются равенства
Лц = Л22, Zlc = Z2c = Zc, Zlx = Z2x = Zx,
Z1k = Z2k = Zk.	(0.12.18)
В частности, для симметричного Т-образного четырехполюсника, у которого ZiT = Z3T = Z1/2, Z2T = Z2 (см. рис. 5 в табл. 0.12.2),
sh = = /^; ZC = ZT= ZlZ2(l+^-\	(0.12.19)
Для симметричного П-образного четырехполюсника, у которого Z2n = Z3n = 2Z2 (см. рис. 6 в табл. О. 12.2),
340
Для симметричного мостового четырехполюсника (см. рис. 7 в табл. 0.12.2)
=	(0.12.21)
7.	Эквивалентность четырехполюсников. Четырехполюсники эквивалентны, если они имеют одинаковые: а) параметры одной из форм основных уравнений (У, Z, Н, F, А или В) или б) характеристические параметры, или в) параметры холостого хода и короткого замыкания.
Пример дан в задаче 12.31.
8.	Входное сопротивление четырехполюсника. Это сопротивление со стороны зажимов 1 — Г (рис. 0.12.3, а) можно определить через его Л-параметры или через параметры холостого хода и короткого замыкания, или через характеристические параметры:
Z1M==^H^±4H=zlx^±^ = Zlcth(r+n),	(0.12.22а)
421^н + 422	Z2x + Zh
где
g=!lng2f-+<".	(0.12.226)
2 Z2c~Zh
характеризует несогласованность сопротивления нагрузки ZH четырехполюсника с характеристическим сопротивлением Z2c.
Если сопротивление генератора Zr, не равно характеристическому сопротивлению четырехполюсника Zlc со стороны входных зажимов, то имеет место несогласован
341
ность сопротивлений на входе, а если сопротивление нагрузки ZH^Z2c, то — несогласованность на выходе. Относительная величина несогласованности определяется коэффициентами отражения (несогласованности) на входе рг и на выходе рн:
Pr=(Zr-Zlc)/(Zr + Zlc),
£h = (Zh-Z2c)/(Zh4-Z2c).	(0.12.23)
Погрешность входного сопротивления — относительная величина отклонения Z1BX от Zlc, определяемая по формуле
(Z1BX-Zlc)/(Z1BX + Zlc)=p№e~2r.	(О.12.24а)
Отсюда
Z1BX = zJ+^\	(0.12.246)
1-£не 2-
Пример дан в задаче 12.32.
9.	Выражение различных величин в обобщенной цепи четырехполюсника, подключенного к источнику с ЭДС Е и внутренним сопротивлением Zr и нагруженного на сопротивление ZH. Для такого четырехполюсника (см. рис. 0.12.3, а) в табл. 0.12.5 приводятся некоторые важные расчетные формулы, выраженные через А-параметры.
10.	Рабочая и вносимая постоянные передачи. Рабочей постоянной передачи при включении четырехполюсника между нагрузкой ZH и источником с ЭДС Ё и сопротивлением Zr (см. рис. 0.12.3, а) называется величина, равная
Е2
Гр = 11п^£ = 11п^ = 1пЛ+11п^.	(0.12.25)
-Р 2 U2I2 2 jizB 2t/2 2 zr	V ’
Здесь U' и I' относятся к схеме рис. 0.12.3, б, в которой сопротивление нагрузки берется равным сопротивлению источника Zr и подключается непосредственно к источнику. Напряжение U2 и ток /2 относятся к схеме рис. 0.12.3, а, в которой нагрузка подключается к источнику ЭДС через четырехполюсник.
Рабочая постоянная передача четырехполюсника
Гр = Г + In -^£±^-4-In -н+-2с 4-
2 у / Z г Z 1с	2 Zu Z 2с
4-1п(1-£г£не-2£) = Лр4-уБр,	(0.12.26)
342
Таблица 0.12.5
Определяемые величины	Расчетные формулы
Входное напряжение Ur	.	4114н + 412 £	 411 4н + 412 +4.21 4н4г + 422 4г
Входной ток Д	А	4214н + 422 £	 4ii 4н+412+4214н 4г+422 4г
Выходное напряжение U2	Ё		 4и 4н+412+4г1 4н4г+422 4г
Выходной ток /2	-1 Е	 4и 4н+412+4г1 4н4г+422 4г
Входное сопротивление	IN IN и И + +
Выходное сопротивление Z 2 вых = U2 / -^2	412 +422 4г 4и+421 4г
Коэффициент передачи напряжения Hv =U2I Lfr	ZH 411 4н+412
Коэффициент передачи тока	-1 421 4н + 422
Передаточная проводимость Yn^i^U.	-1 411 4н+412
Передаточное сопротивление 2^пер = U2 / А	—~— '	4214н + 422
где Г — характеристическая постоянная передачи четырехполюсника; Ар— рабочее ослабление; Вр— рабочая фазовая постоянная; рт и рп — коэффициенты несогласованности [см. формулы (0.12.23)].
Рабочее ослабление можно определить по одной из формул
343
.	, Е 1,
Л=1п-----+-1п
р 21/2 2
Z,
(0.12.27a)
Лр = Л + 1п
Zr + Zlc 2VzrZIc
+ ln
Zh + — 2c
2 \/ZlmZlIc
+ ln|l-prpHe 2Г|,
(0.12.276)
где А (в Нп) — характеристическое ослабление четырехполюсника; pv и рк—коэффициенты отражения (несогласованности) ~на входе и выходе.
Вносимая постоянная передачи
1 fl" Т"
Гвн = 11пХЦ2=Лвн+;5вн,	(0.12.28)
Z и2/2
где U 2 и i'z — напряжение и ток на нагрузке при непосредственном подключении ее к источнику ЭДС (рис. 0.12.3, в); U2 и Л — напряжение и ток в той же нагрузке при подключении ее к источнику ЭДС через четырехполюсник (см. рис. 0.12.3, я); Лвн — вносимое ослабление; Ввн —вносимая фазовая постоянная.
Вносимое ослабление (в Нп)
Лвн = ^1п
и'й 2 u2i2
= А 4-In
Zr + Zlc 2x/zrZlc
4-In
ZH + Z2c
2 x/ ZH Z2c
— H
+ ln|l-рт p„e 2Г| —In — -----------	2v-r-H
Вносимое и рабочее ослабление могут быть
(0.12.29)
отрицатель-
ными даже для пассивной цепи, что характеризует изменение условий согласования источника с нагрузкой при включении
между ними четырехполюсника.
Пример дан в задаче 12.32.
11.	Удлинители. Это четырехполюсники, составленные из резистивных сопротивлений и выполненные по схемам рис. 0.12.4, а — в. При расчете удлинителя обычно задаются
Рис. 0.12.4
344
его характеристическим ослаблением и модулем характеристического сопротивления. В этом случае элементы удлинителя рассчитывают по формулам:
для схемы рис. 0.12.4, а
R1 = 2ZTth^, /?2 = ZT/shJ;	(0.12.30а)
для схемы рис. 0.12.4, б
R1 = Z„shA, 7?2 = Zn/2thy;	(0.12.306)
для схемы рис. 0.12.4, в
Rr=Z™, /?2 = ^ctH-l), Я3 = Я?//?2.	(О.12.30в)
Пример дан в задаче 12.39.
12.	Трансформаторы для согласования сопротивлений источника Zr и нагрузки ZH. Идеальный трансформатор ИТ (рис. 0.12.5) не имеет потерь и рассеяния, индуктивности катушек бесконечно велики, но их отношение конечно и равно квадрату чисел витков
L2ILr = W22IWl = n2. n = jL1IL1.	(0.12.31)
Если задаться коэффициентом трансформации
H=[/2/[/1=v/ZH/Zr,	(0.12.32)
то ZH и Zr окажутся подключенными согласованно, т. е.
Zibx = Zh/h = ^г, Z2nx = n2 Zr = ZH.	(0.12.33)
13.	Минимально-фазовый четырехполюсник. Четырехполюсник, у которого все нули функции передачи, записанной в операторной форме, лежат в левой части комплексной
плоскости Р) называют минимально-фазовым, а четырехполюсник, у которого хотя бы один нуль передаточной функции лежит в правой части плоскости р.— неминимально-фазовым. Пример дан в задаче 12.43.
14. Устойчивость. Линейные эле-
ктрические цепи, У которых свобод-	Рис. 0.12.5
ные колебания имеют затухающий
характер, называются устойчивыми. Так, например, любая пассивная цепь является устойчивой. В линейных цепях с зависимыми источниками (например, в цепях с электронными лампами или транзисторами) свободные колебания могут иметь затухающий характер — тогда цепь устойчива,
345
В(р)
а если они неограниченно возрастают, то цепь неустойчива.
Пр^ изучении четырехполюсников практическое значение имеют только такие четырехполюсники, у которых после выключения внешних ЭДС не развиваются непрерывно нарастающие процессы. Такие четырехполюсники называют устойчивыми. Входные и передаточные функции устойчивого четырехполюсника
Р< -\ =	= Ьорт + Ь1рт~Ч ... +Ьт^р+Ьт=н
pn + aYpn~l+ ... +ап^р + ап	(p-Pi)(p-p2)-(Р~Рп)
не содержат полюсов в правой комплексной полуплоскости Re{pk}<0 (ПРИ к=1, 2, ...п), а их полюсы на мнимой оси всегда простые (некратные).
Для проверки на устойчивость достаточно приравнять нулю знаменатель Л (/?) = (), тогда полученное уравнение называется характеристическим, и проверить, что расположение его корней, являющихся нулями полинома А(р) [т. е. полюсами функции F(p)], удовлетворяет указанным выше условиям. Пример в задаче 12.51.
Для проверки того, что нули А(р) (см. задачу 12.66) принадлежат левой комплексной полуплоскости (такие полиномы А(р)) называют полиномами Гурвица (см. сноску в гл. 13, п. 4), можно пользоваться алгебраическими критериями. Так, заведомо не являются полиномами Гурвица полиномы, коэффициенты которых имеют неодинаковые знаки (см. задачу 12.66,6). Полином А(р) является полиномом Гурвица только тогда, когда отношения его четной и нечетной частей могут быть разложены в цепную дробь*
+ 1 , 1
-----------С/л-1-------------
а^р + а^р3 + ...	р 1	1
С1-+—;------Г
Р 1	1
с2-+...+—-
Р 1
Сп~ Р
с точно п положительными коэффициентами ск. Пример в задаче 12.66.
Рассмотрим устойчивый четырехполюсник с передаточной функцией H(p)=U2(p)/U1(p) (рис. 0.12.6,а). Неустойчивым может оказаться четырехполюсник, образованный из устойчивого четырехполюсника после введения положительной обратной связи, как показано на рис. 0.12.6,6. Для проверки устойчивости последнего четырехполюсника можно применить следующий критерий Найквиста. В комплексной плоскости р по часовой стрелке обходится замкнутый контур
* Вопрос о разложении полиномов в цепную дробь подробно освещен в гл. 13 (см., например, задачу 13.5).
346
(рис. 0.12.6, в), образованный мнимой осью p=j& (о изменяется от — оо до + оо, которая замыкается по дуге окружности бесконечного радиуса 7?-»оо). При этом конец вектора, изображающего в комплексной плоскости комплексное число Н(р\ описывает также замкнутую кривую — диаграмму Найквиста (рис. 0.12.6, г). Устойчивость при введении обратной связи (рис. 0.12.6,6) не нарушается тогда, когда диаграмма Найквиста для
Рис. 0.12.6
исходного четырехполюсника (рис. 0.12.6, а) (до введения обратной связи) не охватывает точки р=1. Пример в задаче 12.68.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА.
Т- И П-СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
12.1.	Найти Л-параметры Т-образного четырехполюсника (рис. 12.1,а), если 7?=100 Ом, XL = 200 Ом, Хс= 100 Ом. Проверить ВЫПОЛНИМОСТЬ СООТНОШеНИЯ 411412- 412^21 = 1-
О)	Хс $	20 30
Рис. 12.1
Решение. Искомые Л-параметры найдем по (О.12.6д):
А	01	^^4-jJfL_100+j200_1
W/2 = 0	JXL J'200 J ’ ’
R+jXLjXL
Для определения А 12-параметра предварительно найдем ток в режиме короткого замыкания:
347
Рис. 12.6	Рис. 12.7
// 1.	j^L	UdXL
' 2 1/2-0	Р. Х^Х( JXL-jXc XLXc+jR(XL-Xc)’
КН------
j%L ~j^c
Я12=(-^-У = Xl Xc +jR {Xl ~Xc} = SQ -j 100 Ом;
\ ^2/l72 = O	J*L
A2.=(-b-'\	=-^=->0,005 Cm;
-21	W/2=o jXLl,
Я22=(-Д1)	=-------=*£Z^ = o,5.
\ A/[72=O у j^L ljXL—jXc
Те же результаты можно получить по формулам (О.12.7д).
Проверка'. AYlA22 — АХ2А2Х=(\ — /0,5) 0,5 — (50— j 100)( — j0,005)~ 1.
12.2.	Для четырехполюсника задачи 12.1 (рис. 12.1, а) вычислить У-, Z-, //- и F-параметры.
12.3.	Для четырехполюсника (рис. 12.1, б) вычислить А-, Z- и У-параметры. Значения сопротивлений в омах указаны на рисунке.
12.4.	Найти комплексные сопротивления Т- и П-образных схем, эквивалентных четырехполюснику, параметры которого
А 11 = 0,6+у0,1, Л12 = (17+у72) Ом, Л22 = 0,5+у0,2.
Указание. Искомые сопротивления найти из формул (О.12.7д, е).
348
12.5.	Параметры трансформатора без стального сердечника (рис. 12.5,а): Л1=2Ом, £1 = 0,5мГн, Л2 = 3 Ом и £2 = 0,72 мГн.
Коэффициент связи между обмотками трансформатора fc = 0,5. Чему равны Л-параметры четырехполюсника, эквивалентного указанному трансформатору, при частоте /=10кГц? Определить комплексные сопротивления Т- и П-образных четырехполюсников, эквивалентных трансформатору.
Указание. Заданную схему можно заменить эквивалентной схемой рис. 12.5,6 (см. гл. 6, п. 5 основных положений).
12.6.	Вычислить комплексные сопротивления при частоте /=10кГц для Т-образной схемы, эквивалентной автотрансформатору без стального сердечника (рис. 12.6), параметры которого Л1=2Ом, L. =0,35 мГн, Л2 = ЗОм, £2 = 0,5мГн и М=0,25 мГн.
Указание. Составить уравнения Кирхгофа, затем совместно решить их так, чтобы первичные напряжения и ток были выражены через вторичные напряжения и ток. Сравнив соответствующие коэффициенты полученных уравнений с (О.12.1д), получить Л-параметры. Зная их, найти искомые сопротивления по формулам (О.12.7д).
12.7.	В месте соединения воздушных и кабельных линий связи используются автотрансформаторы с конденсаторами (рис. 12.7). Вычислить Л-параметры четырехполюсника, если Z1 = Z2 = 5+j20 Ом, Z12=jl0 Ом, Z3= — jXc= — уЗО Ом.
Б. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
12.8.	Л-параметры четырехполюсника имеют следующие значения (см. задачу 12.1): All = l—jQ,5\ А21 = — /0,005 См, А 22 =
Определить сопротивления холостого хода и короткого замыкания со стороны первичных и вторичных зажимов четырехполюсника. Проверить выполнимость соотношения 0.12.4.
Указание. Из формулы (0.12.4) найти Л12, а затем искомые сопротивления по (0.12.16).
12.9.	Для схемы (рис. 12.1,6) вычислить входные сопротивления при холостом ходе и коротком замыкании двумя способами: непосредственным вычислением указанных сопротивлений; с помощью Л-параметров.
12.10.	У несимметричного четырехполюсника со стороны первичных зажимов были измерены напряжения, токи и мощности при холостом ходе и коротком замыкании, а
349
также со стороны вторичных зажимов—напряжение, ток и мощность при холостом ходе. Определить Л-параметры четырехполюсника, если измерения показали: С71х=10 В, 71х = 316мА, 7’1х = 3 Вт (ф1х>0); t/1K = 5 В, 71к=139мА, Лк = 0,576 Вт (фи>0); t/2x = 6 В, /2х = 600 мА, Р2х = 0 (ф2х<0).
Указание. Для каждого режима работы четырехполюсника найти полное сопротивление, его фазу и комплексное сопротивление по формулам Z=U[I, cp = arccosP/(CZ), Z=Ze7<p.
Для определения Л-параметров использовать формулы (0.12.17).
12.11.	Для симметричного четырехполюсника опыты холостого хода и короткого замыкания дали результаты t/lx=10B, /1х=1А, Р1х=10Вт, С/1К=1ОВ, /1К = О,8 А, Р1К = 8 Вт.
Вычислить Л-параметры этого четырехполюсника и начертить Т-образную схему замещения.
12.12.	Рассчитать входное сопротивление со стороны зажимов 1 — Г четырехполюсника задачи 12.1 при нагрузке зажимов 2—2' на сопротивление ZH = Лн = 200 Ом. То же со стороны зажимов 2—2' при нагрузке со стороны зажимов 1—Г на сопротивление Zr = Rr~ 150 Ом.
В. СХЕМЫ СОЕДИНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
12.13.	Два одинаковых четырехполюсника задачи 12.1 соединены каскадно по схемам, изображенным на рис. 12.13, а — в. Для каждого из случаев определить Л-параметры сложного четырехполюсника.
Решение, а. Выходные зажимы первого четырехполюсника соединены с входными зажимами второго (рис. 12.13, а).
При каскадном соединении четырехполюсников матрица результирующего четырехполюсника равна произведению соответствующих матриц соединяемых четырехполюсников*:
[4.]=W]=
412	411 412
422---421 422
* См. приложение 3.
350
_ А И Л 11 +412:421 411 4 12+412422
-421411+422421 421412+422422-
4цв=4'114 и +412421 = (I -7'0,5)2 + (50-j 100) х
X (—/0,005) = 0,25—/1,25;
412« = 4'и4Ь + 4'12422 = 25-У175 Ом;
421«=4214'(1+422 421 = -(25+У75)-10-4См;
422« = 4 21 4 Ь +4 2 2 4 22 = - 0,25 —/0,25.
б.	Выходные зажимы первого четырехполюсника соединены с выходными зажимами второго (рис. 12.13,6).
В этом случае в матрице второго четырехполюсника коэффициенты Л'ц и 4 22 меняются местами:
-421 422-11—421 411-
_ 4ii4.22+ 4.124.21 411412+412411
-421422+422421 421412+422411-
4116—4114 22+412 4 21 — “j0,5=А 22б;
4i26 = 4ii4i2 + 4i2 4ii= ”7250 Ом;
4216 “4 21 4 22+4 22 4 21 ~ “~j0,005 См.
в.	Входные зажимы первого четырехполюсника соединены с входными зажимами второго (рис. 12.13, в).
В этом случае в матрице первого четырехполюсника коэффициенты А 'п и Л22 меняются местами:
[Л] = [Т][+"] =
422 412
-421
4ii _
_ 422411+412421 422 412+ 412 422 -421411+411421 4 214 21 +4 и 4 22 _
4iib= ~А5 = Л22в, А 12в = 50—у 100 Ом;
л21в=-0,005-7'0,01 См.
12.14.	Решить предыдущую задачу, применив ее условия к двум одинаковым четырехполюсникам (рис. 12.1,6).
12.15.	Два одинаковых четырехполюсника (см. задачу 12.1) соединены каскадно, но так, что выходные зажимы
351
Рис. 12.15
Рис. 12.17
Рис. 12.18
Определить Л-параметры
первого перекрещены (рис. 12.15).
результирующего четырехполюсника.
Указание. При перекрещивании выходных зажимов первого четырехполюсника у всех его Л-параметров знаки меняются на обратные.
12.16.	Два одинаковых четырехполюсника из задачи рис. 12.1, а соединены: а) последовательно; б) параллельно; в) последовательно-параллельно; г) параллельно-последовательно. Для каждого из случаев начертить схему регулярного соединения и определить Л-параметры сложного четырехполюсника.
12.17.	Дан четырехполюсник, Л-параметры которого известны. Определить Л-параметры результирующего четырехполюсника, обведенного штриховой линией на рис. 12.17, а — г.
12.18.	Разорванный четырехполюсник, параметры которого Rr = 150 Ом, R2 = 200 Ом, соединен по схеме рис. 12.18, а с четырехполюсником задачи 12.1. Найти Л-параметры сложного четырехполюсника.
Пр имечание. Четырехполюсник, входные и выходные зажимы которого не связаны между собой, называется разорванным. Схема разорванного четырехполюсника приведена на рис. 12.18, б. Его параметры:
Zn = l/Zi, Z12=Z21=O, X22 = l/z2;
Zlh—ZlI’, Z12=Z21=^’ Zl22—Zl1\
352
Рис. 12.19
Hi2 = H2i=O, H22 = l/Z2.
Указание. Соединение, показанное на рис. 12.18, а, является последовательно-параллельным соединением четырехполюсников. Поэтому матрица Н результирующего четырехполюсника должна быть равна сумме Я-матриц соединяемых четырехполюсников.
12.19.	Четырехполюсник задачи 12.1 соединен каскадно с идеальным трансформатором, коэффициент трансформации которого 1 :л? = 0,5 (рис. 12.19, а и б). Найти Л-параметры результирующего четырехполюсника.
Примечание. Следует обратить внимание на то, что только при п = 1 матрица А четырехполюсника не изменяется, независимо от того, где включен идеальный трансформатор — на входе или на выходе.
Г. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ, ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ПАРАМЕТРАМИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА. ПОВТОРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
12.20.	Для четырехполюсника задачи 12.1 найти характеристические параметры Zlc, Z2c, Г.
Решение. Способ 1. Использование Л-параметров четырехполюсника. По формулам (0.12.9) получим
ДиД12_ /(l-J0,5)(50-ji00) 421422 V —/0,005-0,5
= х/5-104 = 224 Ом;
z = /422412_ / О,5(5О-/1ОО)~_ / 56е~-'63’30'
~2С * А21А1~у] -/0,005(1-/0,5) V 0,0056e-Jn6'30 “
=ч/104е753°= 100eJ26 3° Ом.
Из формулы (0.12.10):
еГ = еле>в = Уд11Л22 + Ул12Л21 = 7(1-у0,5) 0,5 +
+ 7-/0,005 (50—J100) = 7о,56е^26’30' + 70,56е“Я53°3<)' =
= 0,748е ~J 13°15' + 0,748е “•у76°45' = 0,902 -/0,902 = 1,275е ~'45”;
еА = 1,275, А = In 1,275 = 0,243 Нп = 2,1 дБ;
12 Заказ 2113
353
eJB=e-j45°, в= -45°= -0,785 рад;
Г = A +jB = 0,243 -J0,785.
Способ 2. Использование параметров холостого хода и короткого замыкания (см. ответ к задаче 12.8). По формулам (0.12.14) найдем
Zlc = \/Z ix Z 1к = 7(100 +7'200)(100 -/200) = 224 Ом,
Z2c = 7z2xZ2k = 7/100(80-760) = 7104ej53° =
= 100e^26°3° Ом, а по формуле (0.12.15)
thr=	/е-Л27“ = e-j63°30'=0,446 -7'0,895.
“ v Z2x V /100 v
Отсюда для определения Г поступим так:
1 р, shT е-—е-- е- е2-—1
шГ =—= =--------- — =------,
сЬГ еГ+е - е- е2-+1
откуда
е2Г_е2Л eJ2B__ 1+thjT = 1+0,446—/0,895 __ j ^3 e-j90°.
1 - th г” 1 - 0,446+/0,895
е2Л=1,63, 2Л = In 1,63 = 0,486, A = 0,243 Hn = 2,1 дБ,
eJ 2B __ e — j9o°. 2B= -90°, B= -45°= -0,785 рад.
12.21.	Определить характеристические параметры четырехполюсника (см. рис. 12.1, а).
12.22.	Известны характеристические параметры четырехполюсника: Z1c = 224 Om, Z2c = 100ej26°30 Ом, Г = 0,224 — —/0,785. Найти его Л-параметры.
Решение. Искомые параметры найдем по формулам (0.12.11). Для этого вначале вычислим shT и ch Г (см. приложение 2):
sh Г = sh (0,244 —/0,785) = sh 0,244 cos (- 0,785) 4-j ch 0,244 x
x sin (- 0,785) = 0,243 • 0,707 + j 1,032 (- 0,707) =
= 0,172 —/0,73 = 0,75e ~ J76°45';
ch Г = ch (0,244 -j0,785) = ch 0,244 cos (- 0,785) +
+j sh 0,244 sin (- 0,785) = 0,75 e ~j 13015';
Л11 = /—chr= I -22^- -0,75e ~J13°15 = 1,12e ~J26°30';
—11 Vz2c “ A/lOOe-'26 30
Л22 = 112е“263 30' Ом; Л21 = -/0,005 Cm; Л22 = 0,5.
354
12.23.	Определить Л-параметры симметричного четырехполюсника, если Zc = 680ej3°26 Ом и Г= 18,35ej86°15.
12.24.	Для несимметричного четырехполюсника задачи 12.1 найти повторные сопротивления.
Примечание. Сопротивление нагрузки, при котором входное сопротивление равно этому нагрузочному, называется повторным сопротивлением.
12.25.	При каком сопротивлении нагрузки ZH, подключенной к вторичным зажимам симметричного четырехполюсника (см. рис. 12.13, б), входное сопротивление Z1BX = ZH?
12.26.	Параметры четырехполюсника A1t = 1,3 + j’0,2, А21 =0,05 См, Л22 = 1 — 7*0,5. При каком резистивном сопротивлении нагрузки напряжение и ток Д совпадают по фазе?
12.27.	Методом бисекции определить характеристические параметры четырехполюсника (рис. 12.27, а). Дано: 7?t = = 10 Ом, 7?2 = 20Ом, Л3 = 60Ом.
/'	2'	/'	/'
Рис. 12.27
Решение. Сопротивления к.з и х.х половины четырехполюсника (рис. 12.27,6 и в) равны
Л3 я2 —
Z > =Rr +----7Г = 220 Ом’ z, =Л1 + Л2 = 30 Ом.
V/ Я2+—	Ь)
2
По (0.12.12) находим Zc = 7220 • 30 = 25,7 Ом, th (Гс/2) = = ^22/30 = 0,856. Значение Гс найдем аналогично тому, как это было сделано в задаче 12.20:
err_ea_l + th(E/2) 1+0,856_ 12,89;
1-Л(Гс/2) 1-0,856
ел= 12,89, А = In 12,89 = 2,56 Нп = 22,2 дБ.
Д. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
12.28.	Показать, что четырехполюсник (см. задачу 12.1) и четырехполюсник, изображенный на рис. 12.28, экви-12*	355
Рис. 12.28
валентны. Значения сопротивлений на рисунке даны в омах.
12.29.	Показать, что четырехполюсник задачи 12.1 не может быть физически реализован в виде эквивалентного П-образного четырехполюсника.
12.30.	Найти сопроти-
вления Za и Zb моего-	Рис. 12.31
вого четырехполюсника
(см. рис. 7 в табл. 0.12.2), эквивалентного симметричному
Т-образному четырехполюснику (см. рис. 5 в табл. 0.12.2),
элементы которого Z1T = Z3T, Z2T известны.
12.31.	Несимметричный четырехполюсник (рис. 12.31, а) имеет сопротивления: Zt = (100 +j’200) Ом, Z2 = 200 Ом, Z3 = = (1000 +j’800) Ом. Преобразовать его в эквивалентный симметричный четырехполюсник, соединенный каскадно с идеальным трансформатором.
Решение. Рассмотрим два способа преобразования. Способ 1. Идеальный трансформатор присоединен к выходным зажимам симметричного четырехполюсника (рис. 12.31,6).
Коэффициенты матрицы [А ] заданного несимметричного четырехполюсника находим по формулам (О.12.7д)
4n = l,5+jl; Л12 = 800(1+уЗ) Ом, Л21=0,005 См,
^22 = 6+j4.
Матрица [А ] несимметричного четырехполюсника должна быть равна Л-матрице сложного четырехполюсника
А ц А12 _ 4 i i 412	^1п 0
л21 А22 jLt21 Л'ИЛ° п_
411 -1/и 412«
421’IM 4iiп
356
Отсюда
4ii -=4и, п
(12.1)
Л'12« = 412>
А 2 1 - = d.21^ п
(12.2)
(12.3)
Я'цЛ = Л22.	(12.4)
Путем деления формулы (12.4) на (12.1) получим
2 А 22	6+/4 А гу
=	—L_ = 4 п = 2.
Лп 1,5+J1
Из соотношений (12.1) — (12.3) следует
4ii — 412 —«4ii — 2 (1,5+j 1) — 3+72;
4i2=4i2/« = 400(l+73) Ом; Л'21 =«42i = 0,01 См.
Способ 2. Идеальный трансформатор присоединен к
входным зажимам (рис. 12.31, в), тогда
симметричного четырехполюсника
411
-4.21
412
422
1/п
О
о 4ii 412
П _ _4 21 422
411 -412 п П
иЛ'21 пА'Г1
-411=411, 4i2/«=4i2? «42i=42i> «411=422;
«2 = 422/4и=4, п = 2\ Л11=4 22 = «4п = 34-у2;
412 = «4i2 = 1600(l+j3) Ом; Л 21 =4211п = 0,0025 См.
Е. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ, ЭХО.
ВНОСИМОЕ И РАБОЧЕЕ ОСЛАБЛЕНИЕ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕДАЧИ НАПРЯЖЕНИЯ, ТОКА
12.32.	Четырехполюсник (см. задачу 12.1) включен между генератором,4 сопротивление которого Zr = l?r=150OM, и нагрузкой ZH = 7?н = 200 Ом. Определить коэффициенты отражения со стороны нагрузки £н и источника £г. Вычислить входное сопротивление четырехполюсника Z1BX и его отклонение (по модулю в процентах) от характеристического сопротивления Zlc. Найти ослабление эха Лэхо, вносимое Лвн и рабочее Лр ослабления. Подсчитать коэффициенты передачи напряжения и тока Нг
Решение. Требуемые в дальнейших расчетах значения Zlc и Z2c найдены в решении задачи 12.20. По формулам
357
(0.12.23) находим
£н =
Z„-Z2c 200—ЮОе-126 30 _g 407e-73O 45'. 7 + 7 ,	200+100ej26 30
_Zr~Zlc P г
~	Zr + Zlc
150-224
150 + 224
-0,198.
Входное сопротивление (см. ответ к задаче 12.12):
Z1BX-26O+712O = 286e724 50' Ом.
Отклонение входного сопротивления от характеристического по модулю в процентах
• 100 = 286 2- • 100 = 27,7%.
IZJ	224
Ослабление эха Лэхо—величина, обратная модулю натурального логарифма р:
__Zr Z1BX 150 (260+7'120) q	। e - j 116°1O'.
E Zr+Z1BX“ 150+260+7’120	’
Лэхо = In - = In-+-= In 2,62 = 0,965 Нп = 8,4 дБ. pi U,jo1
Рабочее и вносимое ослабления находим по (0.12.276) и (0.12.29). Для этого предварительно вычисляем значения отдельных слагаемых, входящих в эти выражения; А = = 0,243 Нп найдено в решении задачи 12.20
Л1 =1п
Zr + Zlc
2y/zrZlc
150+224
2^/150-224
=In 1,02 = 0,02 Нп;
Л2 = 1п
z„+z2c
2 х/ ZHZ2c
= ln
200 + 89,5+744,6 27200-iooej26°30'
= ln
289,5+7'44,6
2-141eJ13°15
=ln———=In 1,0356 = 0,035 Hn;
282,8
A3 = ln|l—£rpHe-2r| = ln|l-0,198 -0,407e“-''3O°45' x X e-<0,243-70,785) । = in 11 + 0,0675e75915 | = = In 11,0345 + j0,058| = In 1,036 = 0,035 Hn;
= ln
Итак,
Z,+Za 2^1^,
= ln 150+200 =ln 1,01 =0,01 Hn. 2^/150-200
Л BH = Л + Л! + Л 2 + Л 3 - Л4 = 0,243 + 0,02 + 0,035 + 0,035 -
-0,01=0,323 Нп = 2,8 дБ.
358
Рабочее ослабление А =ЛВН + Л4 = О,323 + 0,01 =0,333 Нп = = 2,9 дБ.
Коэффициент передачи напряжения и тока находим по формулам табл. 0.12.5:
Н v =	---=--------—---------= 0,625 е7 3 840';
+ nZH++12 (1-70,5)200 + 50-7100
Йг=
11=------!----=---------!-------= О,894е763 30'.
Л A2lZH + A22 -70,005 - 200 + 0,5
12.33.	Решить задачу 12.32, применив ее условие к четырехполюснику схемы рис. 12.1, б который включен между Zr = 7?r = 6OM, и Zh = 7?h=10Om.
12.34.	Два симметричных четырехполюсника, параметры КОТОрЫХ	Л 2, Л 21,	^4 2 2 И ^11? Л ч 2,	^21?	2.2,
соединены каскадно. К входным зажимам первого четырехполюсника подведен источник напряжения с внутренним сопротивлением Zr, а к выходным зажимам второго присоединена нагрузка с сопротивлением ZH.
Определить входное сопротивление со стороны источника, коэффициенты передачи напряжения и тока, если характеристические сопротивления четырехполюсников равны (Zlc = Z2c = Zc) и выполняются условия согласования на входе и выходе (Zr = Zlc = ZH = Z2c = Zc).
12.35.	Вычислить рабочее и вносимое ослабление четырехполюсника (см. рис. 0.12.3, я), если Ег = 3 В, Zr = 600 Ом, и2 = 0,1 В и ZH = 400 Ом.
12.36.	Определить рабочее и вносимое ослабления четырехполюсника (см. рис. 0.12.3,4/), если /г = 1мА; Zr = Zlc = = Ю3Ом; /2 = 0,08мА; Zh = Z2c= 105 Ом.
Ж. УДЛИНИТЕЛИ
12.37.	Найти значения сопротивлений, требующихся для составления Т-, П- и Т- образного мостового симметричных уравновешенных удлинителей, имеющих характеристическое сопротивление $00 Ом и ослабление 1 Нп.
12.38.	На рис. 12.38, а изображен симметричный уравновешенный Т-образный удлинитель, используемый в трактах аппаратуры телемеханики КП-59, собранный из резистивных сопротивлений 7^/4= 138,5 Ом, 7?2 = 5ЮОм.
Определить характеристическое сопротивление и ослабление удлинителя. Рассчитать его входное сопротивление при нескольких значениях нагрузки 7?н, изменяющейся в пределах от 7?h = 0,5Z2c до 7?h = 2Z2c, и построить график зависимости
359
б)
Рис. 12.38
входного сопротивления удлинителя от нагрузки, указав на нем точки, соответствующие T?H = Z2c, а также режимам холостого хода и короткого замыкания.
12.39.	Для изменения степени подавления сигналов используют удлинитель, входное сопротивление которого должно оставаться постоянным при регулировании уровня сигнала. Рассчитать симметричный уравновешенный Т-образный мостовой удлинитель (рис. 12.38,6) с входным сопротивлением R = 600 Ом в двух случаях: а) уровень напряжения на выходе должен быть меньше, чем на входе, на 20 дБ; б) на 40 дБ.
При расчете положить, что удлинитель имеет два переменных сопротивления R2 и Л3 и что Rl = R2R3. Для каждого из рассчитанных случаев указать, во сколько раз напряжение на выходе меньше, чем напряжение на входе.
Решение, а) Расчет ведем по формулам (О.12.30в):
Л = 20дБ = 0,115-20 Нп = 2,3 Нп; Л1=Л = 600 Ом;
R2=(cth -1) = 300 (cth 1,15 -1 ) = 67 Ом;
тг3=7?f/_я2 = 6002/67 = 5380 Ом; г72/[/1 = е“л = е-2>3 = 0,1;
б) Л = 40 дБ'=0,115-40 = 4,6 Нп; Л1 = Я = 600 Ом;
Я2 = 6,06Ом; 7?з = 5,94 • 104 Ом; U2IUr = 0,01.
3. ТРАНСФОРМАТОРЫ ДЛЯ СОГЛАСОВАНИЯ
СОПРОТИВЛЕНИЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА И НАГРУЗКИ
12.40.	Определить коэффициент трансформации идеального трансформатора, включенного между генератором с сопротивлением Zr = 200 Ом и нагрузкой с сопротивлением ZH = 150 Ом для согласования модулей сопротивлений (рис. 12.40). Показать, что при найденном значении коэффициента трансформации происходит согласование.
Решение. Коэффициент трансформации [см. формулу (0.12.32)]
360
Входное сопротивление трансформатора рис 12.42
1
— ZH 4” О
ZK, = A'iZ" + A'2=----=^=_^2_ = 200 Ом.
^21^4- А22 0-Zh4-m п 0,865
Таким образом, ZBX = Zr = 200 Ом.
12.41.	Рассчитать выходной трансформатор усилителя, работающего в диапазоне частот 100—4000 Гц. Внутреннее сопротивление усилителя А-=104 Ом, сопротивление нагрузки 7?н=Ю3Ом. При расчете принять, что постоянная составляющая рабочего ослабления трансформатора а± = = 0,44 дБ, а переменные составляющие рабочего ослабления на нижней и верхней частотах я2~я3 = 1дБ.
12.42.	Рассчитать автотрансформатор (рис. 12.42) для согласования модуля волнового сопротивления воздушной линии |ZB11 = 600 Ом с модулем волнового сопротивления кабеля |ZB21 = 200 Ом в диапазоне частот 300—10 000 Гц.
Указание. Характеристические сопротивления автотрансформатора: Z1C = |ZB11 = 600 Ом, Z2c. = |ZB21 = 200 Ом. Расчет параметров автотрансфор-
I	ц -------
матора ведется по формулам: п = VZlc/Z2c — 1; L1=—S/Zlc/Z2c; L1 = Llln2\ (D
С2 = 1/(со2 £2).
И. ПОЛЮСНО-НУЛЕВОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ И ВХОДНОЙ ФУНКЦИЙ. МИНИМАЛЬНО- И НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
12.43.	Четырехполюсник задачи 12.1 используется на частоте /=1600 Гц. Найти передаточную функцию U2(p)/Е(р) в режиме холостого хода и при резистивной нагрузке 7?н = 200 Ом. Определить нули и полюсы этой функции и показать на рисунке полюсно-нулевое изображение.
Решение 1. В режиме холостого хода (рис. 12.43,а)
361
U2(p) = I(p)pL = ^pL-, H(p) =
U2(P) PL Q(P)
Udp) R+pL P(p)
Нули функции U2(p) являются корнями уравнения Q(p) = 0, а полюсы — корнями уравнения Р(р) = 0. В данном случае pL = Q, /?2 =—/?/£=—T?co/XL= —100-2л • 1600/200 = = -5020 с’1.
Полюсно-нулевое изображение показано на рис. 12.43,6.
2. В режиме нагрузки (рис. 12.43, в):
Z(p) = R+
pL
pL + Ан + -—;
p2LC(R+RJ+p(L + RRnC) р2 LC+рС Аи+ 1
/2 (р)=12 (р)——-----=£i(g). PLC-------
1 Zip) p2LC+pCRn+V R„+pL+-p
pC
u2(p)=i2(p)Rr=
Ui(p) p2LCRH
Z(p) p2LC+pCR„+l’
P2R.LC
H(p) _^(p)__________P2R»LC_________Q(p)
P> U.ip) p2 LC(R +RH)+p(L +RRHC) +R P(p)
Определяем нули функции H(p):Q(p)=p2RBLC=0, p1=0. Находим полюсы функции Н(р). Для этого вначале вычисляем L и С:
L =	200 = 0,02 Гн; С=—=-------?----=Ю“6Ф;
со 2ТГ-1600	соХс 271-1600 100
P(p)=p2LC(R + RH)+p(L + RR„ С) + Л = 6 10~6р2 +
+ 0,04р+100 = 0.
Корни этого квадратного уравнения равны
р2 = (_з,34+у2,36) • 103 с"1; р3 = (— 3,34 —у'2,36)  103 с"1.
Полюсно-нулевое изображение показано на рис. 12.43, г.
362
12.44.	В схеме цепи, изображенной на рис. 12.44, а, 7?=100 0м,	£ = 20 мГн,
С=1мкФ, £н = 200 Ом. Построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики коэффициента передачи напряжения Hv (/со). Определить передаточное сопротивление при со=104с~1.
Решение. Расчет Hv (/со) ведем по формулам
Я1/(/со) =
u2(j<o)	1
^10«) лп+412/гн’
Предварительно по (О.12.7д) находим выражения АЛ1 и Л12 в функции угловой частоты:
^и=1+А=1+ jcoL
100	.5000
JCO20 10-3-
\ coC J 1
RwC (1ЛЛ 5 109\	.10®
-J—r=\ 100----— —j—
jcoL \	co / co
Рис. 12.43
Результаты расчетов заносим в табл. 12.1.
Таблица 12.1
со, с 1	Ан	Т12, Ом	Ац +=4.12/^	
0	— 00	— 00	— 00	0
103'	1-J5	- 4900-J1000	-23,5-7'10	0,0392e;157°
104	1—/0,5	50—/100	1,25—71	0,625ej38°4°
ю5	1 -j 0,05	99,5-ylO	1,498-7'0,1	O,667eJ30”50'
106	1 -/0,005	100—71	1,5-7'0,01	0,667ejo°23
00	1	100	1,5	0,667
363
По результатам расчетов на рис. 12.44,6 построен график (в логарифмическом масштабе оси абсцисс) амплитудно-частотной Hl(cd) и фазочастотной argН(/со) характеристик коэффициента передачи. Передаточное сопротивление — это отношение напряжения на нагрузке к входному току
Z -°2 =	°2	_	1
"^1	^21 ^2 ~1~ 22-^2	2 1 ~1~
Параметры Л21 и А22 находим по (О.12.7д): Л21 = = — j 0,005 См; А 22 = 0,5 См. Подставляя эти значения в предыдущую формулу, получим
Z21 =-----!---= 179ej63°40’ Ом.
21	0,5
->°’005 + 200
12.45.	Показать, что четырехполюсник (рис. 12.45) является минимально-фазовым.
Решение. Находим в операторной форме U2(p) и, беря его отношение к Vr (р), получаем
Я(р)=^2(р)/^(р) =
=___________________p2(pL + R2)ClC3R4_______________
р3 LCiC^Ra-^ р1 (ЪСз +LC14- С1Сз/?2^4) +р (C1R2 + C^Rz + С3Л4) +1
Нули функции Н(р) равны: Pi=/?2 = 0. р3 = — R2fL.
Функция Н(р) не имеет нулей, расположенных в правой полуплоскости. Значит, четырехполюсник является минимально-фазовым.
12.46.	Показать, что четырехполюсники рис. 12.46, а и б не являются минимально-фазовыми.
Решение. Для рис. 12.46, а и б в режиме холостого хода {/1 = 4ц1/2.
Следовательно, Н(р) = U2(p)/U1 (р) = 1/4ы (р)-
Для мостового симметричного четырехполюсника [см. формулу (О.12.7ж)]:
364
Рис. 12.45
RCp—1
RCp+1'
Нуль функции Н(р) равен pi = \jRC.
Нуль передаточной функции расположен в правой полуплоскости. Значит, четырехполюсник не является минимально-фазовым.
К. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
С ЗАВИСИМЫМИ ИСТОЧНИКАМИ (АКТИВНЫЕ НЕАВТОНОМНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ)
12.47.	Определить У-параметры. четырехполюсника с зависимым источником тока (SUi), изображенного на рис. 12.47 (схема замещения электронной лампы в области низких частот с общим катодом, работающей без сеточного тока /1 = 0).
Решение. Из первого уравнения (0.12.1а) при ii = Q следует, что Уц = 0 и У12 = 0. Согласно первому закону Кирхгофа,
/2 = 5С71 + 1[72, \ Ri
Рис. 12.47
Рис. 12.48
365
где S—крутизна характеристики; — внутреннее сопротивление лампы переменному току. Приравнивая коэффициенты в последнем уравнении к коэффициентам У21 и У 22 во втором уравнении (0.12.1а), получим У21 = S;
Х22=1/Л.
12.48.	Определить Z-параметры четырехполюсника с зависимым источником напряжения ц(719 изображенного на рис. 12.48 [схема замещения электронной лампы в области низких частот с общим катодом, работающей без сеточного тока, когда к входным зажимам 1 — Г (сетка — катод) подключено сопротивление Z]. Здесь ц—статический коэффициент усиления, Ri — внутреннее сопротивление лампы переменному току.
Решение. Составим уравнения Кирхгофа для контуров 1—Г и 2—2': Vr=Zh + $ t2\ U^VLU^ + Ril^ViZir+Rit^
Сопоставляя их с уравнениями (0.12.16), имеем: Zn=Z;
Zi2 = 0; Z21 = pZ; Z22 = /?j.
Примечание. Матрица [Z] такой схемы при отсутствии сопротивления Z не применяется, так как она теряет смысл.
12.49.	На рис. 12.49, а изображена схема электронной лампы, параллельно электродам которой включены проводимости У19 У2, У3 (схема лампы в области высоких частот, работающей без сеточного тока). Определить У-параметры схемы.
Решение. Заданную схему можно представить как параллельное соединение двух четырехполюсников (рис. 12.49, б). Соединение этих четырехполюсников, является регулярным, поэтому можно написать, что матрица [У] сложного четырехполюсника равна сумме матриц I и II четырехполюсников, соединенных параллельно,
У=[Г] + [Г'].
Уже было доказано (см. задачу 12.47), что матрица
[У'] лампы имеет вид
О О
5 Gi
[Г]=
, где Gi=\/Ri.
Как известно, матрица [Y" ] пассивного П-образного четырехполюсника (см. табл. 0.12.1, 0.12.2)
[Г]-
Поэтому [У] =
Х,+Хг -Хг
Х2+У3
ГХы г12"
-Х21 X22-
13 J
Х1+Х2	-Х2
S-X2 X2+X3+GI
366
12.50.	Определить коэффициент передачи напряжения Ни (коэффициент усиления) схемы цепи рис. 12.49,6, когда проводимость нагрузки на выходных зажимах 2—2’ равна Ун.
Решение. Определим сначала Hv в общем виде. Так как — YnU2, то из второго уравнения (0.12.1а) следует, что - YhU2= Y%iU1+Y22V2. Отсюда
HV=S и и.
_А_Н
Используя найденные значения У21 и Х22 из предыдущей задачи, найдем
1 7 и-----------•
У2+Г3 + ^+Ун
12.51.	Определить входное сопротивление четырехполюсника, изображенного на рис. 12.49,4/.
Решение. Согласно уравнениям (0.12.1а) и учитывая, что /2= — YhU2, получим /1= Уц?71+ Y12U2; О=У21С71.+ + (Х22+ Ун) и2.
Решим эту систему уравнений относительно ’In А"
где определитель системы А= yt (У22+Ун) — У12 У21. Подставим это значение U2 в первое уравнение (0.12.1а) и получим

Рис. 12.49
367
Отсюда после простых преобразований
ZBX=Ui/ii=(Y22+Yn)/(\ У| + УП Ун),
где |y|=y11y22-Zi2Z2i.
Подставляя в последнее уравнение У-параметры заданной ~	Y2+Y3 + Gi+YH
схемы, найдем ZBX =-------=—.
Ъ (11 + + (I1 + Х.2) (у3+Gi + Ун)
12.52.	На рис. 12.52, а изображена схема транзистора с общим эмиттером, а на рис. 12.52, б его схема замещения. Пользуясь ею, определим коэффициенты передачи напряжения Ни и тока Hj при нагрузке транзистора на сопротивление 7?н, а также входное сопротивление схемы.
Рис. 12.52
Решение. Для схемы замещения система узловых уравнений будет:
(12.1)
12=gU^	(12.2)
Беря отношение (12.2) к
(12.1), получим
Нт = 12 /Л = gR^3.
С учетом выбранных положительных направлений U2 и /2 можно записать: U2= —l2Rn или после подстановки сюда значения 12 из (12.2) и, учитывая, что /2=g£7i, будем иметь U2 = — gRn U1. Отсюда искомое отношение Hu=U2/Ui = = -gR^
Входное сопротивление определяем из (12.1): ZBX = U1/Ii = = R^b-
12.53.	Для транзистора предыдущей задачи найти У-, А-и Н-параметры.
Указание. Записанные там уравнения (12.1) и (12.2) являются уравнениями в У-параметрах. Для нахождения А- и Н-параметров воспользоваться табл. 0.12.1.
12.54.	Известны Яб-параметры транзистора в рабочей точке, включенного по схеме с общей базой: Я11б = 25Ом,
368
Н126= 1 ’10 4, И216 =—0,95, Н22б = 0,5-10 6 См. Определить
^-параметры.
12.55.	На рис. 12.55 изображена Т-образная схема замещения транзистора с общей базой в области низких частот с зависимым источником напряжения Rmii. На этой схеме обозначены: /1 = /э— ток эмиттера, 12 = /к— ток коллектора, 7?э, 7?б, 7?к — соответственно сопротивления эмиттера, базы и коллектора.
Определить элементы схемы 7?э, 7?б, RK и Rm при известных значениях Хб-параметров.
12.56.	Определить коэффициент передачи тока Н{ при коротком замыкании зажимов 2—2' (рис. 12.55) и значениях элементов схемы предыдущей задачи.
12.57.	На рис. 12.57, а изображена схема транзистора с общим эмиттером для переменного тока с последовательнопараллельной обратной связью. Известны Аэ-параметры транзистора в рабочей точке и сопротивления Rr и Л2-Определить в общем виде Я-параметры сложного четырехполюсника.
Решение. На рис. 12.57,б представлена та же схема в виде последовательно-параллельного соединения двух четырехполюсников I и II. Для того чтобы соединение четырехполюсников было регулярным, провода на входе 1—Г четырехполюсника скрещены.
Матрица [h3 ] активного четырехполюсника I имеет вид Г А11э /?12э
h3=	,	,
"21э "22э
Матрица [Z] пассивного четырехполюсника II без скрещивания проводов на входе
Т?2 R2
R2 7?i + 7?2
Рис. 12.57
369
Для определения матрицы [h ] по известной матрице [Z ] четырехполюсника II воспользуемся табл. 0.12.1:
hn = | Z|/Z22 = ^i^2/(^i + ^2); hr2 = Zi2/Z22 = ^2/(^1 + ^2);
^21— —^211^22 = “^2/(^1 +^2)5 h22= 1/Z22= 1/(^1+ ^2)-
Теперь определим Л*-параметры четырехполюсника II со скрещенными проводами на его входе: hi1=hli. Л^2=—Л12, Л21 = —h2i, h22 = h22.
Н-параметры сложного четырехполюсника при последовательно-параллельном соединении образующих его четырехполюсников определяются уравнениями
Нц = Лцэ + ^ii — Лцэ+ „ * -•* ; H12 = h123-]-hi2 =
к1+к2
— hi23~
R2 .
R\ +R2
Н21 = ^21э + ^21 = ^21э +	2-p ; H22 = h223 + h22 =
^1 + i\2
— ^22э H- --•
Д1+Д2
12.58.	На рис. 12.58 изображена схема цепи Т-образного активного четырехполюсника с зависимым источником напряжения Z4/. Значения элементов схемы Z19 Z2, Z3 выражены через Z-параметры и показаны на схеме.
Рис. 12.58
Рис. 12.59
Определить Z4 при условии, что уравнения передачи четырехполюсника в форме Z должны соответствовать уравнениям (0.12.16).
Решение. Применяя метод контурных токов, можно для приведенной схемы определить матрицу [Z]:
Zn
-^21

Z12 _ Zll Z12
Z.22-	-^4 + ^12 Z22_
Из равенства матриц следует, что для поставленных условий должно быть Z2i=Z44-Z12 или Z4 = Z2i—Z12.
370
Если Z4 = 0, т. е. Z21 = Z12, то схема превращается в обратимый пассивный четырехполюсник.
12.59.	На рис. 12.59 изображена схема цепи П-образного активного четырехполюсника с зависимым источником тока У4{7Х. Значения элементов схемы Ух, У2, У3, выраженные через У-параметры, показаны на схеме.
Определить коэффициент У4 при условии, что уравнения передачи четырехполюсника в форме У должны соответствовать уравнениям (0.12.1а).
12.60.	Два транзистора, включенные по схеме с общим эмиттером, соединены каскадно (рис. 12.60). По своим электрическим свойствам оба транзистора одинаковы и в рабочей точке имеют Аэ-парамет-ры: /гХХэ = 2000 Ом, АХ2э = = 15-10"4, Л2Хэ = 32,3, А22э = 33,3 • 10“6 См. Сопротивление нагрузки ZH=1000 Ом. Определить: а) Л-параметры сложного
/'о-------------1
в)
четырехполюсника; б) входное сопротивление; в) коэффициент передачи напряжения.
12.61.	На рис. 12.61, а изображена инвертирующая схема усилителя с обратной связью на операционном усилителе, которая представляет собой схему ИНУН. Найти ее 74-параметры, передаточное напряжение Hv, входное сопротивление Z1BX. ОУ считать идеальным.
Решение. Начертим схему замещения рис. 12.61, б.
Задачу будем решать, используя соотношения (О.12.6д) в режимах холостого хода и короткого замыкания.
Режим холостого хода (рис. 12.61,6). Уравнение по методу узловых напряжений для узла 3:
V2G33=V2Gr или Г3(1//?1 + 1/Л2)=Г3(/?1 + /?2)//?17?2 =
= V2IRy.	(12.1)
371
Используем выражение
У 3)— ^2?
в которое подставив
Vr = - + —Г2 И r, + r2 I
Итак, н=—— и2.
Д1+Д2
Из
из (12.1), получим
= —— v2.
Ri + R2
(12.2)
(12.3)
(124)
Сопоставляя это с первым выражением (О.12.1д), находим 4ц — T?2/(/?i + Т?2)? 412 = 0.
Режим короткого замыкания (12.61в) для узла 3: K3G33 — = 0, но так как С33/0, то К3 —0, тогда из (12.2) следует, что цК1 —К2, но так как в режиме короткого замыкания К2 = 0, то Vt=0. Так как /2/0, то из (О.12.6д) следует, что Л12 = 0 и Л22 = 0. Итак, Л-матрица имеет вид
R2KR1 + R2) о о о
Передаточное напряжение определяем из (12.4): HU=V2/V1 = = (Ri + R2)/Rr.
Входное сопротивление равно бесконечности, так как входной ток /х=0.
Тот же результат следует из первой формулы (0.12.22а).
12.62.	На рис. 12.62 изображена схема инвертирующего усилителя напряжения. Определить его передаточное напряжение Hi=U2Ux и входное сопротивление схемы. Эквивалентная схема дана на рис. 12.62,6.
Точка 0 — базисный узел, ее потенциал Ко = 0. Напряжение на операционном усилителе между точками 0 и 3 равно р(К0-К3)--цК3.
Уравнение для узла 3 из рис. 12.62, а
V2G22=V.G^V2G2 или K3(l//?i + l//?2)-Ki/i?i + K2/i?2,
отсюда находим
372
И3=Н
Ri
R\ + A 2
Ri
Ri 4~ R2
(12.1)
2
Из выражения — цИ3 = V2 имеем
И3=-И2/ц.	(12.2)
Сравнивая выражения (12.1) и (12.2), после простых преобразований получим
( Ri । Ri + R2 \ у R2 ЦА2 /
И2,
которое при ц -> оо дает
И = -£и2.	(12.3)
&2
Коэффициент усиления схемы равен его передаточному напряжению
Kv = Hv=V2IVY=-R2IRr.
(12.4)
Входное сопротивление усилителя равно 7?19 его значение должно быть достаточно большим. Выходное сопротивление определяется выходным сопротивлением ОУ.
В частном случае Rr = R2 выходное напряжение равно входному и отличается от него только знаком. В этом случае схема представляет собой инвертор напряжения.
373
12.63.	На рис. 12.63 изображена схема повторителя напряжения. Полагая ОУ идеальным и пользуясь эквивалентной схемой, показать, что выходное напряжение равно входному, т. е. передаточное напряжение равно 1. Это схема эмиттерного повторителя.
12.64.	Цепь (рис. 12.64) представляет собой сумматор " А
напряжения: (7ВЫХ = — У — Иг-. Подсчитать выходное напря-г=1 Ri
жение, если: t/^ЮВ, U2 = 20 В, С/3 = 25В, 7^ = 5 кОм, Т?2 = 10 кОм, Л3 = 5кОм, 7?0 = 50кОм.
12.65.	На рис. 12.65, а изображена схема конвертора отрицательного сопротивления с инверсией напряжения (КОСН) на операционном усилителе. Пользуясь его схемой замещения, определить его Л-параметры, полагая ОУ идеальным. Найти также передаточную функцию — Hv и входное сопротивление КОСН.
Решение. На рис. 12.65,6 изображена схема замещения КОСН с ИНУН. Составим для нее контурные уравнения (учитывая, что /ц = Л, 122 = и i22Zn=-I2Zn=U2y
t71-n(t71-t/2) = /117?1;	(12.1)
p(t/1-t/2)=-722/?2 + t72.	(12.2)
Из (12.2), собирая подобные члены, получим:
С/1=^С/2--7227?2-	(12.2а)
ц ц
Сопоставляя это с первым выражением (О.12.1д) и приравнивая коэффициенты при соответствующих членах, имеем
Ait — (ц+ 1)/ш А 12 = ^2/ц*
Найдем два других Л-параметра. Для этого поступаем так: из (12.1) имеем
/1=lz±C71+±.f7 Rr Rr
и сюда подставляем значение Ur из (12.2а). После приведения подобных членов получим следующее выражение:
ц Rr
Сопоставляя это со вторым выражением (О.12.1д) и приравнивая коэффициенты при й2 и /2, получим
Л21=—, А22=—— •
-21 цА/ ~22 ц 7?!
При ц -> оо получим
374
1 - ц ' R2 ______ R2
ц	ц—*оо	jRi
Следует обратить внимание, что для активного четырехполюсника определитель | А | / 0.
Воспользовавшись расчетными формулами табл. 0.12.5, найдем передаточную функцию
т т U 2	Z н	Z н 1
Hv = -3 =--=5---= ——— = I.
411ZB+412	1Z„ + O
Входное сопротивление вычисляем по (0.12.22а)
7	_4ц2и + Л12  Z,,	___ Ri „
Al Ibx	d D	~A±»’
A21Ah~^~ All	R2/R1	R2
Таким образом знак входного сопротивления обратен знаку коэффициента конверсии K=RrjR2.
В частном случае Rr = R2 конвертор не изменит входное сопротивление, а изменится только его знак.
Л. УСТОЙЧИВОСТЬ
12.66.	Проверить, являются ли устойчивыми четырехполюсники с передаточными функциями следующего вида: a) Нх (р) = 10/Ср2Н-+1); б) Н2(р) = 2р/(2р2+p-V); в) Я3(р) = (?-1)/(Л+2р + 2); г) Я4(/?) = 2/(/?2-2/? + 2); Д) Н5{р)=р2/(р2 + 1); Н6(р)=р/(р+1)2.
Указание. Для каждой из функций проверить расположение нулей знаменателя на комплексной плоскости.
12.67.	Являются ли полиномами Гурвица следующие полиномы: а) Вг (у?)=/?3 + 3/?2+4/? + 2; б) В2(/?)=/?4—2р2 + 2р2+р', в) 53(р)=-|-р5+^4+^3+Ь2+/?+1; г) В4(/?) = 8/?4+ 1Zu	24 о 2
+ 20/?3 + 40/? 2,+ 45/? + 32.
Решение. Для пункта а). Отношение четной части полинома Вг (/?) к его нечетной части разлагаем в цепную дробь:
2 + Зр2_1.1	1
4р+/г’~2 р Fl Г’
5р + П
2 р
375
Это разложение было выполнено последовательными делениями (с обращением после выполнения каждого этапа деления делителя в делимое и остатка в делитель):
2 + Зр2 4р+р3
-р2 21
5 2
1L
о
-р2 4р+р3 _2_ 4р + 0 8 1
5 Р
Р3
5 1
2 р
Разложение содержит ровно п (п = 3) положительных коэффициентов:	= Значит, выражение
Bi (р) = 2 + 4р + Зр2 + р3 действительно является полиномом Гурвица.
Глава 13
Основы синтеза двухполюсников
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Задача синтеза. Эта задача заключается в нахождении схем электрических цепей и значений, входящих в них элементов по известным частотным или временным свойствам цепей.
В данной главе рассматриваются вопросы построения электрической цепи двухполюсника по заданной функции F(p), выражающей его частотные свойства.
Функция F(p) комплексного переменного (комплексной частоты) р = с +/со может быть комплексным сопротивлением Z(/j), комплексной проводимостью Y(p) (или комплексным коэффициентом передачи Н{р) при синтезе четырехполюс
376
ника) некоторой пассивной электрической цепи с сосредоточенными параметрами.
Термином, обобщающим входные сопротивления Z(p) и проводимость Y(p), является «входная функция». Обобщающим термином для входных функций и коэффициента передачи является термин «функция цепи». Входную функцию F(p) можно реализовать в виде электрической цепи с сосредоточенными параметрами при условии, что она является дробно-рациональной
р/р\_В(р)__bmpm + bm-iрт * + ... +Z>i/> + Z>o__
' Л(р) лпр" + лп-1Р”-1+...+«1Р + л0
= Н	ЮПП
у которой коэффициенты ак и Ьк — положительные и действительные числа; H=bmjan — числовой коэффициент, все полюсы Pk — Gk+j^k лежат в левой части комплексной полуплоскости (т. е. сц^О), в том числе могут быть простые (не кратные) полюсы, лежащие на мнимой оси (т. е. Рк=]<&к)-Все нули Pw = <5Qk+j®o>k входных функций лежат в левой полуплоскости, в том числе могут быть простые нули, лежащие на мнимой оси (для функции передачи Н(р) нули могут лежать и в правой полуплоскости).
2.	Положительная вещественная функция (ПВФ). Это такая функция £(/?), которая удовлетворяет двум условиям: а) ее вещественная часть положительна при положительных значениях вещественной части р (условие положительности); б) она вещественна при вещественных (не комплексных) значениях р (условие вещественности).
3.	Свойства входных функций пассивных электрических цепей. Входная функция F(p) пассивной электрической цепи, т. е. входное сопротивление Z(p) или входная проводимость Y(p) — есть ПВФ.
Необходимое и достаточное условие возможности реализации рациональной ПВФ функции F(p) [см. формулу (0.13.1)] в виде входной функции некоторой пассивной цепи заключаете^ в одновременном выполнении следующих пяти условий.
а.	Все коэффициенты ак и Ьк полиномов А(р) и В{р) должны быть вещественными положительными числами.
б.	Наибольшие степени р в Л(р) и В(р) не могут отличаться более чем на единицу; то же и в отношении минимальных степеней р.
в.	Все полюсы F(p) лежат в левой полуплоскости и могут быть вещественные (pt= — о\) и комплексно-сопряжен
377
[ResF(P)]p=;;=[(^-A.)f(/,)];,=p=l
ные (рл= — Qfc±ja)fc). Кроме того, могут быть полюсы на мнимой оси; такие полюсы только простые (не кратные) с действительными положительными вычетами.
Замечание. Напомним, что вычет функции F(p) = B(p)/A(p) в простом полюсе pi вычисляется по формуле
(0.13.2)
где А'(р)— производная от А(р) по р.
г.	Нули функции Г(р) лежат в левой полуплоскости, а если имеются нули, расположенные на мнимой оси, то они могут быть только простыми (не кратными).
д.	Вещественная часть функции F(p) при чисто мнимых значениях р (т. е. на мнимой оси, где p=j&) неотрицательна, т. е. Re [Г(усо)]^0.
Пример дан в задаче 13.1.
4. Проверка положительности и вещественности функций в общем виде. Условие ПВФ сформулировано в п. 2, а проверка их свойств — в п. 3. Проверка условий, указанных в нп. а и б, затруднений не вызывает и является очевидной; в нп. виг осуществляется проверка того, что корни полиномов А(р) = О и В(р) = О находятся в левой полуплоскости или лежат на мнимой оси, но в последнем случае они являются простыми. Иными словами, надо убедиться в том, что полиномы А(р) и В(р) являются полиномами Гурвица*. Проверку того, что каждый из полиномов А(р) и В(р) является полиномом Гурвица, можно осуществить различными способами. Укажем один их них.
Если четную часть полинома А (р) обозначить через mi(p), а нечетную — через ^(р), и если отношение тх (р)1п1 (р) представляет собой функцию реактивного сопротивления (см. п. 5 основных положений и соотношений), то А(р) есть полином Гурвица (или полином Гурвица, умноженный на четный полином).
Выяснить, является ли тх (р)/п1 (р) функцией реактивного сопротивления, можно двумя путями (см. п. 5 основных положений и соотношений): а) разложением указанного отношения на элементарные дроби; б) представлением его в виде цепной дроби.
При разложении (0.13.1) на элементарные дроби приходится определять вычеты функции Г(р), которые должны быть положительны. Если в одном из нулей пх (р) вычет
* Полином А(р) = апрп + an_Ypn~Y + ... +fliP + fl0 называется строгим полиномом Гурвица, если все его коэффициенты ак вещественны и положительны, ни один из них не равен нулю и. имеет все нули в левой полуплоскости р. Если полином имеет нули, лежащие на мнимой оси (нули на оси у® должны быть простые), то такой полином называется модифицированным (нестрогим) полиномом Гурвица.
378
окажется равным нулю, то это будет указывать на то, что этот нуль является одновременно и нулем функции А (р). Этот нуль легко выделить из А (/?), что приведет к упрощению А(р) (см. пример в задаче 13.16, п. г).
Проверка функции В(р) проводится аналогично проверке функции А(р). Наконец, остается проверить вещественность заданной входной функции [Z(p) или У(/?)], т. е. что ее вещественная часть на мнимой оси (при p=j&) неотрицательна (п. Зд основных положений и соотношений).
Если задана
Z(p) = mi\p\+ni\p\,	(0.13.3)
' 7 ^2(р)+«2(р)
где т1(р) и П1 (/?), т2(р) и п2(р)— соответственно четная и нечетная части числителя и знаменателя, то ее вещественная часть при p=j&
[Кег(р)]„.;„_Ке2(7ш) = ^ = !=1^5	(0.13.4)
и является четной функцией со. Очевидно, последнее выражение при всех частотах должно быть больше или равно нулю. Знаменатель последнего выражения всегда положителен, поэтому значение отношения (0.13.4) положительно, если его числитель положителен. Если ввести обозначение х = со , то
N(x) = m1m2 — n1n2^0.	(0.13.5)
Проверку последнего условия можно осуществить на основании теории, разработанной Штурмом. Суть ее такова. В рассмотрение вводится ряд вспомогательных функций, называемых функциями Штурма*. Дадим определение этих функций. Начальной функцией Штурма является рассматриваемая функция N(x), которую обозначают через No (х). Ее производная N'o (х), обозначаемая через (х), называется цервой функцией Штурма. Второй функцией Штурма N2 (х) является остаток от деления начальной функции Штурма No (х) на первую (х), взятый с обратным знаком, т. е. N2 (х) равно первому остатку, взятому с обратным знаком, при этом процесс деления заканчивается, когда высшая степень х остатка будет на единицу меньше высшей степени х функции Nr (х). Третьей функцией Штурма (х) называется остаток от деления второй
* Формулировка теоремы Штурма: если вещественные числа хг и х2 (хг<х2) не являются нулями полинома N0(x), не имеющего кратных нулей, то число изменений по знаку функций Штурма W(x{) и W(x2) и разность W(xl)—IV(x2) равна числу вещественных нулей функций N0(x), заключенных между и х2.
379
функции Штурма N2 (х) на первую функцию Штурма (х) с обратным знаком; процесс деления также заканчивается, когда высшая степень х остатка будет на единицу меньше высшей степени х делителя N2 (х). Итак, N3 (х) равно второму остатку, взятому с обратным знаком. Аналогично определяют четвертую А4(х), пятую N$(x) и т. д. функции Штурма. Процесс деления заканчивается, когда последним остатком будет вещественное значение.
Найдя функции Штурма, определяют их знаки, обозначенные знаками « + » и « —» для значений х± и х2 на границе всего диапазона изменения частот, т. е. при coi = 0 (т. е. Xt=0) и со2 = °о (т. е. х2 = оо).
Для значения х^О определяют число изменений знаков IV (xt) всех функций Штурма, которые получаются из сопоставления знаков для каждых двух рядом стоящих функций: если они одинаковы, то изменение знака равно нулю, а если они разные, то изменение знака равно единице. Если значения каких-либо функций Штурма равны нулю, то их из рассмотрения исключают. Аналогично определяют число изменений знаков W(х2) всех функций Штурма при х2. Например, для функций Штурма, представленных в табл. 0.13.1, число изменений знаков при хг ИЛ(х1) = 3: одно изменение при переходе от A0(xi) к Ni(xi), другое — от TV2(xi) к Л^з(Х1) и третье — от N2(xi) к A4(xi), а при х = сс Ж(х2)=РГ(оо) одно изменение [при переходе от А0(х2) к Nr(x2)].
Таблица 0.13.1
Хч Х(х) X	МДх)	Ni (х)	Х2(х)	Хз(х)	Х4(х)	Число изменений по знаку
х = х1	+	—	—	+	—	3
х = х2	+	—	0	—	—-	1
Затем определяют разность числа изменений по знаку ИДхО-ИДх,).
В рассмотренном примере эта разность равна двум: Ил(х1)-РЕ(х2) = 3-1=2.
Если указанная разность числа изменений знаков равна нулю, т. е. IVi (хО — 1К(х2) = 0, то функция А(х) во всем интервале изменения х не меняет своего знака, и если N(x) при х = 0 положительна, то она удовлетворяет требованию (0.13.5), т. е. является положительной вещественной функцией.
Примеры даны в задачах 13.16 и 13.17.
5. Синтез реактивных двухполюсников (т. е. двухполюсников, состоящих только из элементов L и 0. Функции
380
сопротивления ZLC(p) и проводимости YLC(p) таких двухполюсников называются реактивными функциями. Нули и полюсы реактивной функции простые и лежат на мнимой оси /со, взаимно чередуясь. Значения реактивной функции F(jco) на мнимой оси /со являются чисто мнимыми и возрастают в точках непрерывности с ростом частоты
do
Признаком реактивной рациональной функции является то, что либо полином числителя четный (bo + b2p2 + + Ь4/24+ ...), а полином знаменателя нечетный (а^р + а^р3 + + а5/?5+ ...), либо наоборот.
Функцию реактивного сопротивления можно разложить на простые дроби в следующем виде:
+ f	(0.13.6)
где к—вычет функции ZLC(p) в полюсе р = оо (или для инверсной величины в полюсе /2 = 0), kQ — вычет в полюсе /? = 0; ki — вычет в полюсе pi=j^i.
Схема реализации функции ZLC(p) имеет вид первой формы Фостера (рис. 0.13.1, а) — последовательное соединение параллельных LC-контуров. Ее элементы находят по формулам
L^ = k^ Со=1/к^ Ц = 2к^Ъ C^l/lki. (О.13.7а)
Это следует из того, что в операторной форме индуктивное сопротивление записывают в виде pL = k^p, емкостное— \[рС=к$1р. сопротивление параллельного контура, состоящего из Ц и Сь равно
1 1
рЦ---	—р
ZlcW—=	(0.13.76)
1	~	1	U Т"
pLi+ — р pCi	LiCi
381
Функцию реактивной проводимости можно разложить на простые дроби в следующем виде:
(0.13.8) р i= 1 р I
где к'а и k'Q— вычеты функции YLC(p) в полюсах р=сс и /? = 0, к-—вычет в полюсе р=]^\.
Схема реализации имеет вид второй формы Фостера (рис. 0.13.1,6), т. е. параллельное соединение последовательных LC-ветвей. Ее элементы находят по формулам
£о=1/^о; СО0 = к'^ Ц=1/2к[; Ci = 2k[/^i.	(0.13.9а)
Это вытекает из того, что в операторной форме индуктивная проводимость имеет вид \[рЦ = кЫр, емкостная проводимость pCi^k^p, а проводимость последовательно соединенных элементов Ц и С,
1
М?)-—
тр
pL<+~ Р2+~Гг pCi	LiCi
2k-р
p2 + ®i
(0.13.96)
Пример дан в задаче 13.5.
Две другие формы реализации могут быть получены разложением заданной функции сопротивления (или проводимости) в цепную дробь, начиная деление с высших (или низших) степеней р. Разложение, например, Z(p) в цепную дробь имеет вид
z(P)=zl{P)+------Ц-------
г2(р) +------—
z,(phW
(0.13.10)
1
2"’1(р)+ад
Этому выражению соответствует цепная (лестничная) схема. Для реактивных цепей схемы реализации имеют вид схем, соответствующих первой (рис. 0.13.1, в) и второй (рис. 0.13.1, г) формам Кауэра. Пример дан в задаче 13.5.
6.	Синтез двухполюсников, состоящих из элементов R и С. Особенности функции ZKC(p): а) высшая степень полинома числителя меньше или равна высшей степени полинома
382
Рис. 0.13.2
знаменателя; б) все полюсы и нули расположены на отрицательной вещественной полуоси и взаимно чередуются, причем ближайшим к началу координат является полюс (он может, в частности, находиться и в начале координат).
Особенности функции YRC(p)'. а) высшая степень полинома числителя больше или равна высшей степени полинома знаменателя; б) полюсы и нули расположены на отрицательной вещественной полуоси, причем первым является нуль.
Функцию сопротивления ZRC(p) можно разложить на следующие простые дроби:
ZRC(p) = k^ + t 4-’	(0.13.11)
р i=rp+<^
где к да, к0 и ki — вычеты функции ZRC(p) в бесконечно удаленной точке (в полюсе р = со), в начале координат (в полюсе р = 0) и в полюсах — с,.
Схема реализации функции ZRC(p) по формуле (0.13.11) имеет вид первой формы Фостера (рис. 0.13.2, а) — последовательное соединение параллельных ЛС-контуров. Ее элементы вычисляют по формулам
R^ = k00; С$=1/к0; Ri^ki/ct; Ci=1/ki.
(0.13.12а)
Это вытекает из того, что в операторной форме резистивное сопротивление выражается действительным числом R<x> = kx, емкостное сопротивление \/рС=к01р, а сопротивление параллельного контура, состоящего из R, и С;,
1
—я,
1	1	д+а,-
Л+в'
(0.13.126)
Аналогично функция проводимости YRC(p) может быть разложена на простые дроби
383
М/>)=^р+£о+£4^’	(0.13.13)
i=iP+^i
где к'^к^ и ki — вычеты функции — YRC(p) в полюсах я=оо, рС
р = 0 и р= — ст/.
Схема реализации функции YRC(p) по формуле (0.13.13) имеет вид второй формы Фостера, показанной на рис. 0.13.2, б, т. е. параллельное соединение последовательных /?С-ветвей. Ее элементы определяют по формулам
7?o=W; C^=k^; Ri=l/k;; =	(0.13.14а)
Это следует из того, что в операторной форме резистивная проводимость \IRQ = k[ есть действительное число, емкостную проводимость записывают в виде рС^=рк'^ а проводимость ветви, состоящей из последовательно соединенных элементов Rt и Сь
?м=—Ц-
Ri+pCt
1
R? _ к[ р
1 p + ®i
р+-----
RiCi
(0.13.146)
По аналогии с LC-цепью можно получить две другие формы реализации разложением заданной функции сопротивления ZRC(p) или проводимости YRC(p) в цепную дробь, начиная деление с высших или низших степеней р. Схемы реализации имеют вид цепных (лестничных) схем, соответствующих первой (рис. 0.13.2, в) и второй (рис. 0.13.2, г) формам Кауэра. Пример дан в задаче 13.7.
7.	Синтез двухполюсников, состоящих из 1?£-элементов. Особенности функции ZRL{p\. а) высшая степень полинома числителя больше или равна высшей степени полинома знаменателя;
б) полюсы и нули расположены на отрицательной вещественной полуоси и чередуются, при этом первым к началу координат расположен нуль; в начале координат может располагаться только нуль, в бесконечности может быть только полюс.
Свойства функции YRL{p). очевидно, обратны свойствам функции ZRL(p).
Функции ZRL{p) и YRL(p) могут быть разложены на простые дроби
ZRl(p) — к^р + к$+
(0.13.15)
384
Укь(р) — к^ + — + X 1 ,
(0.13.16)
где кх, к0 и ki — вычеты функции -ZRL(p); к^, ко и к-—вы-Р
четы функции YRL{p) в точках р = оо, р = 0 и р= — <5h либо р=-о-.
Схемы реализации по формулам (0.13.15) и (0.13.16) имеют вид первой и второй форм Фостера и показаны на рис. 0.13.3, а и б. Их элементы вычисляют по формулам
Ro = ko; Ьх=кж; Ri = kh Ь^к^о	(0.13.17)
Лда = 1/^, Ло = 1/Ц;
Rt = n'ilk[, Ц = \)к!.
Это следует из того, что сопротивление ветви, состоящей из параллельно соединенных элементов и Ц,
(0.13.18)
Zi(p\ = -^L=-^-=-^L.	(0.13.19)
pLi + Ri	Ri p + <y'i	v	7
Р+Ц
Проводимость ветви, состоящей из последовательно соединенных элементов R, и
1
у.(р) = —!_(0.13.20)
47 рЦ + Ri Ri д+с<	v	7
P+Ti
Следует заметить, что функция сопротивления двухполюсника из /?£-элементов аналогична функции проводимости двухполюсника из 7?С-элементов, а функция проводимости двухполюсника из Я£-элементов аналогична функции сопротивления из /?С-элементов.
Разлагая функцию сопротивления ZRL(p) [проводимости Yrl(p)] в цепную дробь, начиная деление с высших или низших степеней р, можно получить схемы Кауэра (рис. 0.13.3, в и г). Пример дан в задаче 13.9.
8.	Синтез двухполюсников, состоящих из /?-, Z- и С-эле-ментов. Реализация двухполюсников общего вида возможна одним из двух способов.
1.	Выделение из Z(p) чисто мнимых полюсов (если они имеются) и реализация их в виде последовательного соединения элементов цепей без потерь, т. е.
+ X +ZJP).	(0.13.21)
г i = I г f
13 Заказ 2113
385
Рис. 0.13.3
Первые два слагаемых и £ реализуются в виде реактивных элементов, показанных на рис. 0.13.4, а. Далее если функция Zt (/?) имеет нули на мнимой оси, то их выделяют из функции проводимости Yi (р) в следующем виде:
Г1М=^Ьг4"/,+
р (=1Р2+о>;2
(0.13.22)

Этот этап реализации показан на рис. 0.13.4,6.
Если Z2(p) имеет полюсы на мнимой оси, то они вновь выделяются по аналогии с предыдущим [см. формулу (0.13.21)]. В результате получают функцию Z2(p), не имеющую полюсов и нулей на мнимой оси. Такая функция называется функцией ми-
Рис. 0.13.4	нимального реактивно-
го сопротивления. Если нули и полюсы этой функции лежат на отрицательной вещественной полуоси, то они реализуются в виде RL- и (или) ЯС-элементов. Пример дан в задаче 13.11.
2.	Реализация разложением заданной функции в цепную дробь. Примеры приведены в задачах 13.13 и 13.14.
Существуют и другие способы реализации, рассматриваемые в литературе по синтезу электрических цепей.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
13.1	. Проверить положительность и вещественность фун-кции F(p) = (p2+p+l)/(p2+p + 4).
386
Решение. Заданная функция рациональна. Она будет положительной и вещественной, если выполняются все пять условий, указанных в и. 3 основных положений и соотношений. Проверим это. Условие а) выполняется, так как все коэффициенты ак и Ьк положительны; условие б) тоже выполняется, так как наибольшие и наименьшие степени р соответственно в числителе и знаменателе одинаковы.
Для проверки условия в) выясним расположение полюсов F(p). Сначала найдем их, приравнивая знаменатель F(p) нулю: р2+р + 4 = 0, отсюда plj2 = — 0,5+j0,5^/15, т. е. полюсы лежат в левой полуплоскости, что соответствует выполнению условия. Проверим выполнимость условия г). Для этого найдем корни числителя р2+р+1=0; /h,2 = — 0,5±/>/0,75, т. е. нули F(p) лежат в левой полуплоскости, что соответствует выполнению условия. Наконец, проверим выполнимость условия д). Для этого найдем F(p) на мнимой оси (т. е. при р=/со) и его вещественную часть
выражение определим
_ — ю2Н-/ю+1 _
—ю2+/ю+4
выражения
_р	JP=JG)
_ (1 — ю2 + /ю) (4 — ю2 —/ю) _ (со2 — 2)2 + /Зю
(4 —ю2Н-/ю)(4 —ю2—/ю) (4 —ю2)2Н-ю2’
Отсюда видно, что вещественная часть этого при любых со положительна, т. е. условие д) тоже выполняется. Итак, выполняются все пять условий. Следовательно, заданная функция F(p) является ПВФ.
13.2	. Проверить положительность и вещественность функций
F(p)=&^±l; F(p)=p22+P+2 .
13.3	. Определить, почему функции
а> F^=^r 6’
>
не являются положительными вещественными функциями.
13.4	. Показать на комплексной плоскости полюсно-нулевое изображение функций
а> f^p~^ «
в) г)
13*
387
Указать, какие из них являются ПВФ, а какие не являются.
Б. СИНТЕЗ РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
13.5	. Осуществить реализацию функции сопротивления
Z(p) =	— разложением на простейшие дроби и
разложением в цепную дробь.
Решение. Заданная функция представляет собой отношение четного полинома к нечетному, поэтому она является реактивной функцией (см. п. 5 основных положений и соотношений).
Решим задачу разложением на простейшие дроби [см. формулу (0.13.6)]. Для этого найдем корни знаменателя уравнения: 20р 3 + 45/> = 5р (4/?2 + 9) = О, отсюда pi=0, р2з = =±4
Так как высшая степень полинома числителя больше высшей степени полинома знаменателя, то делением числителя на знаменатель, начиная с высших степеней р, выделим слагаемое кг, р:
_8р4 * * + 40р2 + 32 20/4 + 45/?
8р4 + 18/?2 Тр
22/4 + 32
Таким образом
( ) = 8р^40р^ = 2	22рЧ32
W	20/?3 + 45/?	5Р 20р3 + 45	V 7
В полученном выражении второе слагаемое, обозначаемое Zt (р), разложим на простые дроби
7 (Ы— 22Р2 + 32 _ I 2/Cj/? _fc0 2/ci/?
1	' 20/?3Н-45/? р /?2 + (d2 р 7 45’
р-\-----
г 20
(13.2)
где со2 = 45/20 = 9/4.
Определим к{)— вычет функции Zt(p) в точке Pi=0 (см. замечание к п. 3 основных положений и соотношений):
/c0 = [ResZ1 (/?)]₽=о =
22р2 + 32
60/?2 + 45 _ Р = о
32
45’
388
Вычислим
в полюсе
.3
при p=p2=J-
Zc1 = [ResZ1(/>)]
P-J 2
22/72+ 32
60/?2+ 45
P = j 2
/ 3\2 22b-I +32
/ 3\2
60 у- +45
\ 2 7
7
36’
вычет Zr(p)
Тому же значению 7/36 равен вычет Zt(p) при со-.3
пряженном значении корня р=Ръ=—]^-
Учитывая найденные значения /с0 и из формул (13.1) и (13.2) получим разложение выражения заданного сопротивления в виде суммы простых дробей:
Первое слагаемое представляет собой индуктивное сопротивление, индуктивность которого 2/5, второе — емкостное сопротивление, его емкость 45/32, а третье — параллельное соединение индуктивности 14/81 и емкости 18/7, вычисляемые по формулам (0.13.7а) 7 2- —
36 _ 14 с_ 1 _ 1 _18 “ToF 9	81’	~2^	7”“Т’
4	-	236
На рис. 13.5, а приведена схема, составленная на основе формулы (13.3), т. е. первой формы Фостера. Величины L и С даны в генри и фарадах (в ряде случаев расчеты ведут в нормализованных величинах, тогда L и С—величины безразмерные).
Разложим на простейшие дроби функцию проводимости
Y (п] = 1 = 20^73+45/7
'Р' Z(p) 8/?4 + 40/?2 + 32’
Найдем корни уравнения знаменателя этого выражения
8р4 + 40/?2 + 32 = 8(р2 + 1)(р2 + 4) = 0,
Pl,2 = ±j 1, РЗА= +Р-
389
Рис. 13.5
г) JfL 1575
232
175
Так как наибольшая степень показателя числителя при р в выражении У(р) меньше наибольшей степени показателя р в знаменателе, то при разложении по формуле (0.13.8) нет слагаемых к^р и к^р, так как знаменатель У(р) не содержит множителя р-, в разложении будут только емые вида 2к[р1(р2 + «>?)• у/ \ = 20р3 + 45р = 2к[р 8/>4+40/>2 + 32 р2+1
Найдем к{— вычет Y(p) при р2=-у'1)
ki- [Res ir(/’)]p=j1-[32p3 + 80/,Jp=j.1-32^1)3 + 8Q/-^-
Аналогично вычислим к2 — вычет Y(p) при p=j2 (такой же вычет и при р = — /2)
20/?3 + 45/?	_	_
_ 32/? 3 +80/7 J Р = j 2 “ 32 (j2)3 Н-80/2 ” 48 ‘
Подставляя найденные значения к[ и к г в формулу (13.4), получим
25
Итак, . 2/^2 Р р2 + 4’ при p=Pi=j\ (он такой
20р3Н-45р
_20(У1)3 + 45У_25
слага-
(13.4)
же и
&2 = [ReS У(/’)]р = у2 =
35 24Р />2Н-4‘
_ 20(j'2)3+45j'2 _ 35
(13.5)
По (0.13.9а) находим элементы первой параллельной ветви, состоящей из последовательно соединенных
25
__ i __ 1 __24	_2^;_2 48_25
25~25 И	1	24’
2- —
48
и второй параллельной ветви, состоящей из последовательно соединенных
35
_ 1 _ 1 _24	_2^_ 48_35
2~2к1	35~35 И 2~~^I
2>48
390
По полученным результатам на рис. 13.5, б дана схема, соответствующая уравнению (13.5), т. е. второй форме Фостера.
Реализовать заданную функцию Z(p) разложением ее в цепную дробь можно двумя способами.
1. Осуществить деление, начиная с высших степеней р. Для этого делим числитель на знаменатель, получаем первое слагаемое и прекращаем деление. При этом высшая степень р остатка числителя станет на два ниже, чем была, и на единицу меньше, чем высшая степень знаменателя. Далее делим делитель на этот остаток и т. д., пока процесс деления не закончится без остатка:
8р4 + 40/?2 + 32
8/74 + 18/72
20/? 3 +45/7
2 ГТ
-/7^Zi(/7)
22/72+ 32
22/72
20р3 + 45/>
, 320 20р3+— р
175
175г w
22/72+ 32
Ю
Y2(p)
32
175 352^Г4(Р)
175
7+ 175
О
Таким образом, цепная дробь имеет вид
7 z(p)=-5p+
1
io i
—p-\-------------
11	242	1
---pH------
175f 175
352P
(13.6)
где 2/5 и 242/175 — индуктивности; 10/11 и 175/352 — емкости.
Это видно из выражения Z(p).
Формуле (13.6) соответствует схема рис. 13.5, в — первая форма Кауэра. Все величины L и С даны в генри и фарадах.
2. Осуществим разложение Z(p) в цепную дробь, начиная деление с низших степеней р
391
232
232 , V"
32 + 40/>2+ 8/74
„	,28 2
32+—
232 , „
-уР2 + 8д
"405	. ч
777-у2 Ср
45/7 Н-20/73
дс 405 3
45'+29^ 175 ;
19р 6728 7777~-Z3 (р) 1 J/эр
45р+20р3
32 ®rZ1(rt
,4

175 232?”*
т. e.
175 , ~WP
175 , ---р 29 Р
О
Следовательно, получена следующая цепная дробь:
Z(p)=— +------------!-------,	(13.7)
'r/ 45/>	405	1	’
232р + 6728 Г
1575/? + Тт?
232р
где 45/32 и 1575/6728 — емкости; 232/405 и 232/175 — индуктивности.
Формуле (13.7) соответствует схема рис. 13.5, г, вторая форма Кауэра.
13.6. Осуществить реализацию реактивных функций:
•)	г)
разложением на элементарные дроби и в цепные
дроби.
В. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ, СОСТОЯЩИХ ИЛИ ЛТ-ЭЛЕМЕНТОВ
ИЗ Re-
13.7. Найти схемы по формам Фостера и Кауэра, реализующие функцию входного сопротивления ^\р) = _(р + 2)(/7 + 4)
(/?+1)(/? + 3)’
392
Решение. Из выражения данной функции видно, что она определяет цепь, состоящую только из R- и С-элементов, так как все ее полюсы и нули чередуются и лежат на отрицательной вещественной полуоси, при этом функция сопротивления первым имеет полюс, а не нуль (см. п. 6 основных положений и соотношений).
Решим задачу методом разложения Z(/?) на элементарные дроби [см. формулу (0.13.11)]. Вначале из Z(p) выделим постоянное значение не зависящее от р и равное
A:00 = limZ(p)p^00 = Р	Л = 1.
\Р ।	J / р—*х>
Затем, вычтя его из Z(p), получим
7	1 Р2 + 6р4-8 1	2р + 5
В рассматриваемой задаче в формуле (0.13.11) /с0 = О, так как функция Z(p) не имеет полюса при р = 0.
Итак, согласно (0.13.11)
ад = ^+±_ + Д.	(13.1а)
Найдем кг — вычет функции Zi (р) при р= — 1:
Аналогично вычислим к2 — вычет функции Zt(p) при р= -3:
Итак, искомое сопротивление
з	1
9	9
zw=,+^+^	<13-1б>
Первое слагаемое — резистивное сопротивление, равное 1; второе слагаемое представляет собой параллельно соединенные резистивные сопротивление и емкость, вычисляемые по (0.13.12а):
з
2
393
Аналогично определяем элементы третьего слагаемого 1
2
Таким образом, выражение (13.16) представляет собой три по
следовательно соединенные цепи, первая из которых — резистивное сопротивление, а каждая из двух остальных — параллельное соединение Ли С. Схема реализации изображена на рис. 13.7, а (первая форма Фостера). Все величины R и С даны в омах и фарадах (если расчеты ведутся в нормализованных величинах, то R и С—безразмерные величины).
Вторую форму Фостера получим разложением на простые дроби выражения проводимости У(р), умноженной на 1/р [см. формулу (0.13.13)],
1	(р+1)(р + 3) _ р2Н-4р + 3 . 1 у/ \	 ki
Р	р(р + 2)(р + 4) р3 + 6р2 + 8р’ р ' ' р р + 2 P + V
(13.2а)
Выражение (13.2а) в соответствии с (0.13.13) не содержит слагаемого к^, так как У(р) не имеет полюса при p=cv.
Вычислим коэффициенты к о, ki и к
ко= Res-K(p) = f р v	\
к[= Res-y(r>)	=
L р zJp=-2
кг= Res-T(p)
р _|р=-4
р2 + 4р + 3 \	_3.
Зр2+ 12р + 8/р = 0	8’
/ р2 + 4р + 3 \	_ 1
\3р2 + 12р + 8/Р= -2 4 / р2 + 4р + 3 \	_
\3p2H- 12р + 8 Jp= -4
Подставляя найденные значения ко, к[ (13.2а) и умножая обе части равенства виде
выражение проводимости Y{p) в дробей:
з
8
и кг в на р, суммы
формулу получим простых
1	3
а
(13.26)
Первое слагаемое представляет противление, равное 8/3; второе и
собой резистивное со-третье слагаемые — по-
394
следовательно соединенные цепи, составленные из R и С. Их элементы рассчитываем по (0.13.14а):
1
=	= 1/4 = 4; ^ = ^/^=4=1/8;
1	3
Д2 = W=-^-=8/3; С2=^/п'2 =|=3/32.
Таким образом, схема реализации по формуле (13.26) имеет вид рис. 13.7,6 (см. также рис. 0.13.2,6).
Осуществим реализацию разложением Z(p) в цепную дробь. Начнем деление с высших степеней р, аналогично тому, как это было сделано при задачи 13.5:
поступая решении
Итак, получена следующая цепная дробь: zW’i+i—Ц—.
2Р+ 4	1
3+3	1
2Р+1
3
(13.3)
395
где 1, 4/3 и 1/3—сопротивления; 1/2 и 3/2—емкости.
Схема реализации по формуле (13.3) представлена на рис. 13.7,в (см. также рис. 0.13.2, в), т. е. первая форма Кауэра.
Осуществим разложение в цепную дробь, начиная деление с низших степеней р, предварительно инвертируя дробь, переписав ее в следующем виде:
Z^^ = 3+4F+p'
8 + 6р+/>2
Заметим, что непосредственное до инвертирования деление числителя на знаменатель, начиная с низших степеней р, привело бы к отрицательному остатку, что не имело бы смысла, так как он не может быть реализован положительными элементами R и С:
396
Таким образом, получена следующая цепная дробь:
£(/>)-,------Ц-------.	(13.4)
8 + 32	1
Тр + 49	1
88 + 968 Г
217 + Т
44
где 3/8 — проводимость, соответствующая резистивному сопротивлению 8/3; 32/7/7—емкостное сопротивление, соответствующее емкости 7/32, и т. д.
Схема реализации по формуле (13.4) приведена на рис. 13.7, г (см. также рис. 0.13.2, г) — вторая форма Кауэра.
13.8.	Требуется построить канонические схемы двухполюсников, состоящих из 2?- и С-элементов по заданным входным функциям путем разложения на простейшие дроби и в цепные дроби a) Z(p) = (p + 1) (j>-Ь 3)/j> (/? 4-2); б) Y(p) = = (/> + W + 4)/(p + 2).
13.9.	По функции входного сопротивления Z(p) = (5p + + 2)/(4/7 + 3) осуществить реализацию двухполюсника.
Указание. Найдя полюсы и нули функции, можно убедиться в том, что они лежат на отрицательной действительной полуоси и ближайшим к началу координат является нуль. Поэтому заданная функция может быть реализована в виде двухполюсника, состоящего только из R- и £-элементов (см. п. 7 основных положений и соотношений).
13.10.	Найти канонические схемы двухполюсников, состоящих из R- и L-элементов, по заданным входным функциям
a) Z(d\- 2р(р+2^ • б) у( п\-(р+2)(р+4)
а) ад-(р+1)(р+3)’ б> YW-(p+i)(P+3)
путем разложения на простейшие дроби и в цепные дроби.
Г. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ ОБЩЕГО ВИДА.
ПОЛИНОМ ГУРВИЦА
13.11.	Найти схему и элементы двухполюсника, входное сопротивление которого
у ( п\ _ Р (4^ 3 + 1QP 2 + 44Р + 1 °) (р2 + 3)(2р2 + 8/>+1) ’
Решение. Схему реализации будем искать методом постепенного выделения мнимых полюсов и нулей функции сопротивления (см. п. 8 основных положений и соотношений).
Из выражения Z(p) видно, что имеется пара мнимых
397
полюсов при p=+jy/3. Выделим их. Они рассчитываются так же, как и при синтезе чисто реактивных двухполюсников (см. п. 5 основных положений и соотношений). Для этого находим вычет кг от Z(p) при p=+jy/l [см. формулу (0.13.2)]:
A:1 = [ResZ(p)]p=Jy3 =
4/>4 + 10/>3 + 44/>2 + Юр
8/>3 + 24/>2 +14/?+ 24
= 2.
То же значение имеет вычет и при
Таким образом из Z{p) можно выделить функцию
2к{ р _ 4р р2 + 3 р2 + 3’
представляющую собой параллельный контур
[см. формулу (0.13.76)], элементы которого определяют
по (0.13.7а):
_2&i_2-2_4	„ _ 1 _ 1 _1
3	3’	1-4'
Поэтому Z(p)=^^+Zi(p) рис. 13.11, а, тогда
можно
представить схемой
Zi(p) = Z(p)
4р _4р4+10р3 + 44р2+10р р2 + 3	(р2 + 3)(2р2 + 8р+1)
4р _ 2р(р+1) р2 + 3	2р2 + 8р+1'
Функция сопротивления Zt(p) имеет нуль при р = 0 или
398
,	лл / ч 1	’2p2 + 8p+l
функция проводимости (/?) =-------= —-----— имеет полюс
Zi(p) 2р(2р+1)
при р = 0. Аналогично предыдущему выделим его:
[Res Ki (/?)] =
2р2 + 8/>-И
8р + 2
1
2’
р = 0
Следовательно, проводимость Yr (р) имеет индуктивность, равную двум, проводимость которой l/pL=\/2p, т. е.
К1(р)=1/2р-4- Г2(р),
отсюда
у (п1=У (М 1 _2р2 + 8р+1 _ 1 _ р + 3
1[Р) 2р 2р^2р+1) 2р 2р+Г
Инвертируя эту проводимость, получим сопротивление: г2(р) = (2р+1)/(р + 3).
Поэтому рис. 13.11, а можно представить в виде рис. 13.11,6.
Функция Z2(/>)— функция минимального реактивного сопротивления, состоит только из R- и L-элементов, так как она содержит нуль в точке р = — 1/2, лежащей ближе к началу координат, чем полюс в точке р = — 3 (см. п. 7 основных положений и соотношений). Функцию Z2 (/?) можно разложить на простые дроби (см. п. 7 основных положений и соотношений и указание к решению задачи 13.9)
5
1
4	5
Р+5
которым соответствуют две схемы рис. 13.11, в и г. Если представить в виде цепных дробей
=	22(„) = 1 + 7Ц,
- + ---Г	— + 7
2
то будут получены те же схемы.
Окончательно для Z(p) получим схемы в виде рис. 13.11, д или е.
399
13.12.	Используя выделение мнимых полюсов и нулей, найти схемы двухполюсников по их входным сопротивлениям. Дано:
„х 7/8р* 3+4р2 + 6р + 2 .	.	, х _35р4+14/>3 + 66/>2 + 24р + 8
>	[Р> р(2р3+р2 + Зр+1У	’	[Р)	р(р2+4)(5р2 + 2р+1) '
13.13.	Дана функция входного сопротивления двухполюсника
\_24р4 + 58/?3+ 120/72+ 115/> + 20
'Р'	12р3 + 26/>2 + 54р + 45	’
Реализовать ее, используя метод разложения в цепную дробь.
Решение. Осуществим разложение в цепную дробь, начиная деление с высших степеней р полиномов:
1)	24/+ 58/7 3+ 120/72 + 115/7 + 20 12/7 3 +26/72+ 54/7+45
24р4 + 52/7 3 +108/72+ 90/7
6/73 +12/72 + 25/7 + 20
6/73 + 12/72 + 25р + 20
2-Т2(р)
2р Zi (/7)
2)	12/7 3 +26/72+ 54/7+ 45 12р3 + 24/72 + 50/7 + 40
2р2+4/7 + 5
3) 6р3 + 12/72 + 25/7 + 20
6/73 + 12/72 + 15/7
2/?2 + 4/?4- 5
3/7 —> Z3(p) ’
10/? + 20
10/7 + 20
|/7^ Г4(/7)
4) 2р2 + 4/7
3 5 2/7 + 4 -+Z5(p)'
Z(p) = 2p+
10/7 + 20
10/7 + 20
Л) 0
Таким образом получена следующая цепная дробь:
1
1
Зр+1—, 5/’+2р + 4'
Схему рекомендуется начертить самостоятельно.
400
13.14.	Дана функция входного сопротивления двухполюсника
7i п А — 2р2 + 9р + 2
'Р' 8р2 + 4р + 2‘
Реализовать ее в виде электрической цепи, используя метод разложения в цепную дробь.
13.15.	Требуется реализовать следующие функции входных сопротивлений:
,	\_16р3+16/>2 + 8р+3.
3	8р2 + 5р+3	’
tz\ rrl \ 6/>3 + 7/?2 + 20/?+10
б)	„(У + 7,,+5) 
13.16.	Проверить положительность следующих функций:
a)	Ft (р) = 6р5 +17р4+27р3 + 37р2+17р+16;
б)	F2(p) = 2p5 + 2p4 + 6p3 + 2p2 + 4p;
в)	F3(p)=p4 + 3p3 + 7p2 + 5p + 8;
г)	F4(/?) = 2p4+/?3 + 9/?2 + 4/7 + 4.
Решение, а. В соответствии с п. 4 основных положений и соотношений составим отношение четной части полинома Fj(p) к его нечетной части:
17р4 + 37р2 + 16_ 17р4 + 37р2 +16
6р5 + 27р 3 + 17р ~ 6р (р 4+4,5р 2 + 2,83) ’
Вычислим нули знаменателя: р212=—2,25 +
+ ч/2,252 —2,83 = -2,25± 1,493; р?=-0.757; р22 = -3,743. Таким образом, р4 + 4,5р2 + 2,83 = (р2 — Pi}(p2 — pi} —
= (р2 + 0,757) (/Р + 3,743).
Выражение (13.1а) разложим на простые дроби [см. формулу (0.13.6)]
17р4 + 37р2 +16 _	17р4 + 37р2 +16	_
6р(р4+4,5р2 + 2,83)"6р (р2 +0,757) (р2 +3,743)"
-к п + к°+ 2к1Р 1 2kiP х1 р р2 + 0,757 р2 + 3,743
Коэффициент као = 0, так как выражение (13.1а) не имеет полюса в бесконечности (степень числителя ниже степени знаменателя). Определим коэффициент к0. Он равен вычету выражения (13.1а) в полюсе р = 0:
—=0,941.
17
(13.1а)
(13.2а)
^Res^37^16!
_30р4+81/>2+17 Jp=o
401
Коэффициент 2кх найдем как вычет выражения (13.2а) в полюсе />1= — 0,757:
17р4 + 37р2 + 16	ер2 + 0,757
Р
2kr Res 6/?	+0,757) (р2 + 3,743)
_ 17(-0,757)2 + 37(-0,757)+16_ -2,268
_ р2= - 0,757
6 (—0,757) (—0,757 + 3,743)	-13,562 ~ °’167’
Аналогично найдем 2к2 как полюсе +=—3,743:
17р4 + 37р2+ 16
вычет выражения (13.2а) в
/>2 +3,743 Р
2к~> = Res ——-------г—;
2	_ 6р (р 2 + 0,757) (р 2 + 3,743)
Таким образом, с учетом найденных значений коэффициентов к0, 2кх и 2к2 выражение (13.1а) примет вид
17р4 + 37/>2 +16 _ 0,941	0,167	1,725
6/> (р 4+ 4,5/>2+ 2,83)	~р~+/>2 + 0,757 + р2 +3,743 ’
Итак, выражение (13.1а) — реактивная функция и, следовательно, согласно п. 4 основных положений и соотношений Г1(/7) — полином Гурвица, т. е. положительная
6. Составим отношение четной к нечетной линома
ip^+lp2 _ р3+р 2р5 + 6р3 +4р р4 + 3/>2 + 2’ Найдем нули знаменателя /74 + 3/72 + 2 = 0; p2=-i, р2=—2. Выражение (13.16) примет вид
p(l2+!)	_ Р
(р2 + 1)(р2 + 2) р2 + 2' Следовательно, выражение (13.16) является функцией, т. е. Г2(/?)	”
функция).
Наличие в числителе и знаменателе общего множителя (/724- 1) указывает на то, что он является множителем заданной функции Г2(/7). Действительно, поделив F2{p) на /7 2 4- 1, получим
р2= —3,743 — 1 ,725.
функция.
части по-
(13.16)
(13.26)
реактивной полином Гурвица (положительная
2р5 + 2р4 + 6р3 + 2р2 + 4/7 2р5	+2/73	р2 +1 2/7 3 +2/7 2+ 4/7
2/74 4-4/73 4-2/72 + 4/7
2/74	4-2/72
4/73 4- 4/7
4/73 4- 4/7
о (Г
402
Таким образом, F2(p\ можно представить в таком виде: Fz(p} = 2p5 + 2/?4 + 6/73 + 2р2 + 4р = (р2 +1)(2/?3 + 2р2+4р).
в. Запишем отношение четной части полинома к его нечетной части, вычислим нули знаменателя этого отношения и разложим его на простые дроби:
/>4 + 7/>2 + 8 , fc0 2ktp
Зр2 + 5р	р р2 + 5/3
Вычисляем вычеты последней функции в точках р = оо, p = Q и Р2=~1
кх 1
оо 3
(13.1в)
,	1;г»	/>4 + 7р2 + 8
кт = -, кп = Res р--
00 3’ 0	[ Зр2+5р Jp=0
8
5
2k. =
_ 8
Р2 = ~1 45
8р
р(3/>2 + 5р) итак, г!±^=^+А+_______________
Зр +5р	3 5р 45(/>2 + 0
т. е. выражение (13.1в)—реактивная функция, a F3(p)— положительная функция.
г. Функцию F^p) рассмотрим аналогично предыдущему 2p4+9p2+4_t	Находим £„ = 2; А:о=1.
р />2 + 4
функции при р2=— 4:
2р4 + 9р2 + 4~	_
/>3 + 4/>
2(-4)2 + 9(-4) + 4_ О _Q _]? = - 4	-4	—4
Равенство нулю вычета при р2=— 4 означает, что рассматриваемая функция F4(p) имеет множитель />2 + 4. Для этого достаточно убедиться в том, что F4(p) делится без остатка на р2 + 4. Действительно,
р3+4/>	°0'
Вычислим вычет 2/t1 = Res^/’ +4 _~2/>4 + 9/>2 + 4’
Р2
P
>2 = -4
2р4+/73 + 9/>2 + 4р + 4	/?2+4
2р*	+8р2	2р2+р+1
р3+р2 + 4р + 4
р2+ 4р
р2 + 4
р2 + 4
О О’
Следовательно, функцию F4(p) можно представить в виде
403
двух сомножителей: F4(/>) = 2/744-/73 4-9р2 + 4/? + 4 = (/?2+4) х х(2/72+р+1).
13.17.	Проверить вещественность функции
F( \_6р5+17/4 + 27/4 + 37/4 +17р+16
2р5 -\-2р4г-\-6р2 + 2р2 + 4р
Решение. Для проверки вещественности функции F(p) надо убедиться в том, что ее вещественная часть во всех точках мнимой оси не имеет отрицательных значений, т. е. выполняется неравенство (0.13.5), в котором четные и нечетные части числителя и знаменателя соответственно равны:
mi (р)= 17/74 + 37/72+ 16; пг (/?) = 6/?54-27/934-17/?;
т2(/7) = 2/74 + 2/72; п2 (/?) = 2р5 4- 6р3 4-4/7;
N(p)=m1(p)m2(p)-nl(p)n2(p) =
= (11р4 + У1р2 + 16)(2р4 + 2р2)-(6р5 + 27р3+Г1р)х
х (2р5 + 6р3 + 4р) = -12р10 - 56р8 -112р 6 - 104/?4 - 36р 2.
Полагая в этом выражении p=j&. а следовательно, р2=— со2; /?4 = cd4; р6=— со6; /?8 = со8, /4°= —ш10, получим 7V(co2) = 12со10 - 56со8 4-112со6 — 104со4 + Збсо2.
Обозначим со2 через х, последнее выражение примет такой вид: 7V(x) = 4(3x5 — 14х4 + 28х3 — 26х2 + 9х).
Здесь х может принимать только положительные значения, а пределы его изменения от 0 до оо, так как со может изменяться в тех же пределах.
Последнее выражение, стоящее в круглых скобках, обозначим через tV0(x) = 3x5 —14х4 + 28х3 —26х2 + 9х.
Исследование проведем по методу Штурма (см. п. 4 основных положений и соотношений). 7V0(x) начальная функция Штурма. Первая функция Штурма — это производная от начальной функции Штурма Nr (х) = N '0 (х) = 15х 4 — — 56х3 + 84х 2 — 52х + 9.
Определим вторую функцию Штурма N2(x). Для этого разделим No (х) на (х), прекратив деление, когда показатель высшей степени х остатка станет на единицу меньше высшей степени делителя.
Зх5- 14х4 + 28х3	— 26х2	+ 9х	15х4-56х3 + 84х2-52х + 9
Зх5 — 11,2х4 + 16,8х3 + Ю,4х2 + 1,8х	0,2х-0,1867
— 2,8х4 + 11,2х3 — 15,6х2 + 7,2х
- 2,8х4 +10,453х3 - 15,68х2 + 9,707х - 1,68
0,747х3 + 0,08х2 — 2,507х+1,68
Итак, N2 (х ) = - 0,747х3 - 0,08х 2 + 2,507х -1,68.
404
Определим третью функцию Штурма N3(x) как остаток с обратным знаком от деления на А2(х):
15л 4 - 56л3 + 84л 2 - 52л + 9	- 0,747л 3 - 0,08л2 + 2,507л -1,68
15л4 + 1,60л3 —50,36л2 + 33,75х	-20,893л+77,0
- 57,6л3 +134,36л2 - 85,75л + 9
- 57,6л3 - 6,16л2 +193,05л -129,36
140,52л2 —278,8л+138,36~
Итак, N3 (х) = - 140,52х2 + 278,8% -138,36.
Аналогично находим четвертую функцию Штурма А4(%) как остаток с обратным знаком от деления N2(x) на А3(х):
=0,00533% + 0,0112 +--------0Д2л-0ДЗ----
W3(x)	-140,52л 2+ 278,8л-138,36
А4(х) = - 0,12х + 0,13.
И наконец, находим пятую функцию Штурма А5(х):
^=1171х-1063,3-----------; А5(х) = 0,13.
7V4(x)	—0,12л+0,13	5' '
Так как нас интересует положительность функции 7V(x) во всем диапазоне частот, т. е. от со = 0 до со=оо, которым соответствуют х = () и х=оо, то определим знаки функций Штурма при указанных значениях и занесем их в табл. 13.1.
Таблица 13.1
	A'o(^)	%,(х)	%2(x)	Л'з(х)	%4(х)	%5(л)	W
=0	0	+	—	—	+	+	2
х2 — GO	+	+	—	—	—	+	2
Отсюда видно, что число вариаций знака для крайних значений корней fV(x1 )= РИ (0) = 2 и JV(x2) = 1Т(оо) = 2, т. е. одинаково, а их разность равна И/(х1)— W(x2J = (). Поэтому функция 7V(x) не меняет своего знака на всей оси /со. Она везде положительна, так как при х = 0 тоже положительна. Таким образом, установлено, что вещественная часть F(p} при p=j& больше нуля для всех значений со. Следовательно, заданная функция F(p) вещественна.
13.18. Проверить положительность и вещественность следующих функций:
а) б) F
р2+р+1	7	2/>4+р3 + 9р2 + 4р + 4
405
Глава 14
Основы синтеза четырехполюсных цепей
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
Приводимый далее материал относится к вопросам синтеза четырехполюсников по их передаточным функциям при нагрузке четырехполюсника на частотно-независимое сопротивление.
1.	Свойства передаточных функций четырехполюсника.
а.	Знаменатель и числитель любой передаточной функции H(p) = Q(p)/ V(p) представляют собой полиномы с вещественными коэффициентами.
б.	Знаменатель У(р) у всех передаточных функций Я(р) является строгим полиномом Гурвица.
в.	Высшая степень полинома числителя Q(pj передаточной функции Я(р) ниже или равна высшей степени знаменателя.
Полином числителя передаточной функции может оказаться и не полиномом Гурвица.
Перечисленные условия являются необходимыми и достаточными для физической реализации четырехполюсника.
Реализация передаточной функции Я(р) в виде пассивного четырехполюсника, нагруженного на согласованное сопротивление, возможна только тогда, когда коэффициент усиления четырехполюсника, т. е. модуль | Н(/<л)| < 1. Если |Я(усо)|>1, то можно найти такое положительное число п, чтобы п>|Н(усо)|, тогда модуль передаточной функции |Я1(усо)| = = -| Я(усо)| < 1, четырехполюсник может быть синтезирован, так как он отличается от |Я(усо)| лишь постоянным множителем п. Для того чтобы на выходе четырехполюсника получить требуемое выходное напряжение U2, надо на выходе четырехполюсника поставить либо идеальный трансформатор с коэффициентом трансформации, равным п, либо усилитель.
Любую передаточную функцию Н(р\ удовлетворяющую условиям реализации, можно синтезировать в виде симметричного мостового четырехполюсника, нагруженного на согласованное сопротивление . Сопротивление ветвей этого четырехполюсника определяют по формулам
(о141б)
406
Отсюда видно, что сопротивления Z„(p) и Zh(p) взаимно обратны, т. е. Za(p)Zbfp)=R%.
Для упрощения схемы в тех случаях, когда это возможно, целесообразно перейти к эквивалентной Т- или П-схеме, используя для этого условия эквивалентности (см. п. 7 основных положений и соотношений гл. 12). Пример дан в задаче 14.1.
2.	Фазовые контуры. Передаточная функция фазового контура при нагрузке на согласованное сопротивление в общем случае имеет вид
H(p)=V(-p)/V(p),	(0.14.2)
где V(p) и — соответственно строгий и сопряженный полиномы Гурвица.
Передаточная функция фазового контура на мнимой оси
"(7“)=!jTW=e~2’''	(ОЛ43)
из которого видно, что ее модуль равен единице и не зависит от частоты, а аргумент равен удвоенному аргументу полинома Гурвица, взятому с обратным знаком.
Передаточные функции фазовых контуров первого и второго порядков имеют вид
"(?)=
д-р. а+р’
Н(р) =
р2 — ар + Ь р2 + ар + Ь
(0.14.4а)
(0.14.46)
Фазовый контур можно реализовать с помощью реактивного мостового четырехполюсника, сопротивления плеч которого определяются через передаточную функцию по формулам (0.14.1а) и (0.14.16). В тех случаях когда это возможно, целесообразно перейти к более простой эквивалентной схеме.
Рис. 0.14.1
407
контура вместо мостовых схем применяются эквивалентные им схемы. Так для звена фазового контура первого порядка вместо схемы рис. 0.14.1, а берется эквивалентная ей схема рис. 0.14.1, в с коэффициентом связи равным единице. Для фазовых контуров второго порядка существует несколько эквивалентных схем. На рис. 0.14.1, г, д и е приведены три Т-образные мостовые схемы. Условия их применимости зависят от соотношения между коэффициентами аир, где а = (1 / Сг)у/С2/р=1/(£1С1). Пример дан в задаче 14.3.
л. Четырехполюсники постоянного резистивного сопротивления. Эти четырехполюсники могут быть реализованы с помощью мостового четырехполюсника, сопротивления плеч которого вычисляют по формулам (0.14.1а и б). Пример дан в задаче 14.5.
4. Синтез цепи по заданной амплитудно-частотной характеристике передаточной функции *. Свойства АЧХ передаточной функции F(o2): она представляет собой отношение двух четных полиномов А (со2)/В(со2). Для возможности реализации по F(co2) четырехполюсника эта функция должна удовлетворять следующим требованиям: а) быть функцией со2 с вещественными коэффициентами; б) положительной при любых значениях со, в) ограниченной при изменении со от 0 до оо.
Этапы синтеза следующие. В	заменяем со2 на
—р2 и находим Г( — р2) = А (р2)/В р2). Приравниваем А(р) и В(р) нулю, находим корни этих уравнений и каждое разложим на сопряженные полиномы: A(p2) = Q(p)Q( — р), B(p2)=V(p)V(—p), где Q(p) и У(р) имеют корни в левой полуплоскости; Q(—т?) и И— р) имеют корни, симметричные по отношению к Q[p) и ?(р), лежащие в правой полуплоскости. Затем находим передаточную функцию Я(р) = = Q(p)/ У(р), которая является единственной минимальнофазовой функцией, имеющей заданную амплитудно-частотную характеристику. Синтез четырехполюсника по найденной Н(р) осуществляется по формулам (О. 14.1а, б). Пример приведен в задаче 14.7.
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
14.1.	Требуется реализовать четырехполюсник с передаточной функцией Я(р)=^—— в форме мостового
* Под амплитудно-частотной характеристикой передаточной функции понимается зависимость квадрата модуля (АКХ) передаточной функции от частоты при p=j(£>.
408
Рис. 14.1
четырехполюсника, нагруженного на частотно-независимое согласованное сопротивление 1?0 = 1.
Решение. По (0.14.1а) определим сопротивление ветви а мостовой схемы

1____
1-Я(р) =	8р2 + 6р+1=8р2+4р+1
1+Я(р)~ 2р	8р2 + 8р+Г
8р2 + 6р+1
Реализуем его. Непосредственное деление числителя на знаменатель приводит к отрицательному слагаемому, которое не может быть реализовано. Поэтому находим Уа(/?) = = 1/Za(p):
Y (р)=Л2+8р+1 = 1+__________
' 8/>2 + 4р+1	8/>2 Н-4р Н-1
= 1 + Ш
Здесь (?£ = !, a 1?1 = 1/G1 = 1.
Схема частичной реализации приведена на рис. 14.1, а. Остаточная функция Ya(p) легко реализуется, если ее инвертировать
гу /	\	1	8р2 + 4р+1	~ I 1 I 1
Zai(p)=	-• - —=2р+1+—.
' ’ Yai(p) 4/> г 4р
Это представляет собой последовательное соединение индуктивности L2 = 2, сопротивления R2 = \ и емкости С2 = 4.
Схема полной реализации ветви а дана на рис. 14.1, б. Сопротивление ветви b обратно сопротивлению ветви а. Ее элементы вычисляют по формуле (0.2.36) (см. пример 2.81):

Ro
Ri
I2
Т
С'2=4=^ = 2; 1^2 = С21?о = 4-12 = 4.
Ко 1
409
Схема реализации ветви b приведена на рис. 14.1, в, а полная схема реализации четырехполюсника — на рис. 14.1, г.
14.2.	Требуется реализовать в форме мостовых четырехполюсников, нагруженных на постоянное согласованное сопротивление 1?0 = 1, передаточные функции которых равны
1)	ЯЬ)=^±1; 2) Н(р\=Р3-р22+4р^1-' ' 9р + 5	р3+р2 + 4р+1
14.3.	Реализовать в виде мостового четырехполюсника фазовый контур второго порядка, нагруженный на входе и выходе цепи на согласованное сопротивление Ro = 1. Рабочая передаточная функция контура имеет вид
JT (
10р2 + 2р+Г
Решение. Так как контур нагружен на согласованные сопротивления, его передаточная функция Я(р) совпадает с заданной Нр(р)- Расчет сопротивления продольного плеча проводим по формуле (О.14.1а)
1	10р2 —2р+1
Z	W2 + 2p+l_ 2р
\ + Н(р) 1 Юр2 — 2р+1	10р2 + Г
1 + 10/>2 + 2/>+1
Полученное выражение реализуется параллельным LC-контуром, параметры которого находим по (0.13.7а). Для этого представим сопротивление плеча а в виде [см. формулу (0.13.6)]
Z 2р - 1 2р - 2‘^1р •
а^Р' 10р2 + 1	10 р2 + 0,1 р2 + 0,1’
£ — 2 0,1 — 2- с — 1 —5 а 0,1	’ а 20,1
Параметры плеча b обратны параметрам плеча а (со-
410
единены они последовательно):	Cb = La/ Rq = 2/12 = 2;
Lb = CaR20 = 5i2 = 5.
Схема реализации четырехполюсника показана на рис. 14.3, а. Эта схема может быть заменена эквивалентной более простой (см. рис. 0.14.1 и формулы для а и р):
а =
1
~Цса
1
Г5
= 0,1.
Здесь р = 0,1 > а 2 = 0,04. Поэтому 8-элементную схему мостового четырехполюсника можно заменить согласно рис. 0.14.1, г 5-элементной (рис. 14.3, б).
14.4.	Требуется синтезировать фазовые контуры первого и второго порядков, нагруженных на согласованное сопротивление, передаточные функции которых имеют следующие значения:
а) Н(р} = ^; б) Н(р)=р22 2р+5
7	4+/	7	114 рг + 2р+5
14.5.	Требуется синтезировать четырехполюсник постоянного сопротивления Ro = 1, коэффициент передачи которого
имеет вид Н(р) =
2 — 2р
3 + 2/
Указание. См. п. 3 основных положений и соотношений.
14.6.	Реализовать Т-схемой четырехполюсник постоянного ослабления, нагрузка которого RH = 600 Ом, а коэффициент передачи Н(р) = 6,2.
Указание. Наиболее просто решить задачу, если вначале найти параметры мостовой схемы Za и Zb, используя соотношения
1-Яг;
Za = Rn----ZaZb = R*,
1
а затем с помощью условий эквивалентности преобразовать ее в Т-схему.
14.7.	Требуется синтезировать четырехполюсник, амплитудно-частотная характеристика которого при Ro = 1 имеет тг/ 2\	со4+17со2 + 16
вид F со ) = -т-----5----•
V 7 о)4 + 29ю2 +100
Решение. Вначале произведем проверку на возможность физической реализации согласно п. 4 основных положений и соотношений: а) выполняется — все коэффициенты вещественны; б) выполняется, так как при любых значениях F(co2)— положительна; в) выполняется, так как при со = 0 F(co2) = 0,16, а при со = оо F(co2)=l, т. е. функция ограничена. АЧХ представляет собой отношение двух полиномов, являющихся функциями со2.
Для синтеза цепи вначале найдем F(—р2), для этого
411
Рис. 14.7 тогда получим
заменим о2 на (— р2\
Fi „2х Р4~17р2 + 16 ' Р ' р4 —29р2 +100
Найдем нули полинома числителя: р4 — 17/?2Н-16 = 0, отсюда Р10,20=16 И />30,40 = 1, а следовательно, р10 = 4, />2о = -4, Рзо = 1, Р40 = — 1-
Аналогично находим нули знаменателя: р4 — 29р 2 +100 = 0, отсюда р 2,2 = 25, р 2,4 = 4; рг = 5, р2 = — 5, р3 = 2, />4 = — 2. Итак,
F(_ и21 _(4+/?)(1+/?). (4~р)(1-р)
1 Р ' (5+р)(2+р) (5 —/?) (2 —/?) ’
Отбрасывая множители, имеющие нули и полюсы в правой полуплоскости, получим
Н( (4+/?)(1+/?) = р2 + 5р+4
КР) (5+р)(2+р) р2 + 7р+10'
Эту передаточную функцию реализуем в виде мостового четырехполюсника. По формуле (0.14.1а) найдем выражение продольного сопротивления
! р2 + 5р + 4
Z	Р2 + 7р+Ю_ Р + 3
'	1+Н(р) р2 + 5р + 4 р2 + 6р + 7’
+р2 + 1р + 10
Так как Za(p) имеет нуль в точке р=со, то для реализации определим Ya (р) = 1 / Za (р).
Последнее выражение раскладываем в цепную дробь:
ул/\Р2 + 6р4-7	Зр + 7	1	1
г-^)=*7^=/,+7«=/,+ Г+Т=?+1—Г-
Зр+7	3 + 9 21
2Р + Т
412
Последнему выражению соответствует схема, изображенная на рис. 14.7, а. Ветвь b обратная ветви а. Ее схема и значения величины элементов даны на рис. 14.7, б. Полная схема реализации четырехполюсника дана на рис. 14.7, в.
14.8.	Реализовать в виде симметричных мостовых схем четырехполюсники, амплитудно-частотные характеристики которых заданы:
\ >7/ ?\ 2со2 + 2 х-х j-,/ \	со4+10со2	+ 9
a) Гаг) =—=—; б) Fco) = —-------------5-.
7 v 7 4со2 + 9	7	v 7 со4 + 20со2 + 64
Глава 15
Электрические фильтры
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
И СООТНОШЕНИЯ
1.	Электрические фильтры. Электрические фильтры — это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания, подведенного к его входу, частотных составляющих определенного спектра частот в заданной полосе частот с небольшим ослаблением (полоса пропускания — ПП) и подавления тех составляющих, которые расположены в других, также заданных полосах частот (полоса задерживания — ПЗ).
2.	Частотная классификация фильтров. Область частот от/=0 до f=co подразделяют на: а) области, где ослабление не превышает некоторое заданное значение ослабления АЛ (полосы пропускания — ПП); б) области, где ослабление не менее некоторого заданного значения As (полосы задерживания— ПЗ); в) переходные области.
По взаимному расположению полос пропускания и задерживания различают четыре типа фильтров: а) фильтры нижних частот (ФНЧ); б) фильтры верхних частот (ФВЧ); в) полосовые фильтры (ПФ); г) режекторные фильтры (РФ). Графически амплитудно-частотные передаточные характеристики идеальных фильтров даны на рис. 0.15.1, а для реальных на рис. 0.15.2 (а — ФНЧ; б—ФВЧ; в — ПФ; г — РФ). Требования по ослаблению для всех четырех типов реальных фильтров показаны на рис. 0.15.2. На этих рисунках со1 и со2 граничные частоты полосы пропускания; cosl и cos2 — граничные частоты полосы задерживания; АЛ — неравномерность характеристики ослабления фильтров в ПП.
413
/HI
перехода a)
Рис. 0.15.2
Рис. 0.15.3
3.	Нагрузка фильтров. Фильтры могут быть нагружены двусторонне (рис. 0.15.3, а) и односторонне (рис. 0.15.3, б, в). Передаточная функция определяется выражением
для схемы рис. 0.15.3, а
для схем рис. 0.15.2, б, в
H(p) = U2(p)/E(p\	(0.15.2)
Ослабление фильтра для всех трех схем вычисляют по формуле А= — 201g| 1/Я(р)|р=>.
4.	Нормирование. При синтезе фильтров широко используется нормирование по сопротивлению и частоте:
414
Z(p) = Z(p) / Ro — нормированное сопротивление;
s=pl^Q	— нормированная комплексная
частота;
Q = co/coo	—нормированная вещественная	(0-15.3)
частота;
Z (/?) = Z (/5) / Яо — нормирование по сопротивлению и частоте.
j
Здесь Ло и соо — нормирующие сопротивление и частота.
Фильтр-прототип (ФП)—это фильтр нижних частот с нормированными значениями сопротивления и частоты, равными единице.
Нормированные сопротивления г, индуктивности /, емкости с вычисляют по формулам
г = 7?/7?н; /=2л/1£/7?н; с = 2^СКп.	(0.15.4)
Денормирование — это переход от нормированных величин к действительным. Коэффициенты денормирования индуктивностей и емкостей определяют по формулам:
^ = /?н/(2тг/1), ^с=1/(2п/1/?н).	(0.15.5)
Истинные индуктивности, емкости и сопротивления вычисляют через коэффициенты денормирования по формулам
L = lkL- С=скс; R = rRn.	(0.15.6)
5.	Полиномиальные фильтры. Полиномиальные фильтры— это такие фильтры, передаточная функция которых определяется выражением
H(p) = b0/v(p).	(0.15.7)
Здесь v(p) — полином Гурвица порядка и; постоянный множитель Ьо определяет величину ослабления фильтра прототипа нижних частот (ФПНЧ) на частоте Q = 0.
По полосе частот полиномиальные фильтры разделяются на: ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ.
Ослабление полиномиального фильтра (т. е. его АЧХ) является четной функцией нормированной частоты вида
^(f2)=101g^?=101g(^2"+>i1f22'”1+-+A)=
= 101g/(Q2).
Здесь |Я(у£1)| — модуль передаточной функции фильтра.
Если Ап-\ = Ап-2 = ••• = Аг =0, а Л0 = Л„=1, то
^^=101gi^W=101g(1+74°Q2")-	(ОЛ5-8)
415
4 J n=2
Для полиномиальных фильтров Баттерворта частоту со принято нормировать на частоте соо, при которой |/Z(jco)| уменьшается до 1/ 5/2 = 0,707 относительно максимального значения Я(0)=1, т. е. когда ослабление составляет 3 дБ (0,35 Нп). При этом Ао = 1 и
л(О)-ю1в'""и' +n2")-	(015.9)
Такие полиномиальные фильтры называются фильтрами с максимально плоской характеристикой или фильтрами с характеристиками Баттерворта.
Передаточная функция этих фильтров
|Я(>)|=^===.	(0.15.10)
На рис. 0.15.4, а, б даны графики модуля передаточной функции и ослабления фильтров Баттерворта для трех значений п при ослаблении на границе полосы пропускания АЛ = 3 дБ на уровне Q = 1. Ослабление в этом случае определяется по (0.15.9).
Если по условиям задачи ослабление в ПП ФНЧ на его граничной частоте не должно превышать некоторого значения АЛ, не равного 3 дБ, то нормирующая частота
Юо = сО1/2^10о’1ЛЛ-1,	(0.15.11)
а ослабление ФНЧ Баттерворта
Л=10^[1 + (10одлл-1)П2"],	(0.15.9а)
где Q = co/co1.
Передаточная функция ФНЧ Баттерворта в нормированных величинах имеет вид
H(s^=bQ/v(s) = bQ/(sn-\-a1sn~i + ... +ял),	(0.15.12)
где и(5) = 5’" + я15и~1+ ... + ап— полином Гурвица, a s=pl^Q, Нули полинома Баттерворта рассчитывают по формулам:
416
при четных п
5^ = cos----+j sin-----,	(O.l5.13a)
при нечетных п
sk = cos - 7i +j sin -тг.	(0.15.136)
В этих формулах к=1, 2,..., 2п. Из этих 2п значений надо выбрать те п значений, для которых sk имеют отрицательные вещественные части. Произведение сомножителей (л — sk\ соответствующие всем sk с отрицательными вещественными частями, образует полином v(s):
v{s) = Tl(s-sk).	(0.15.14)
На основе использования формул (0.15.13а и б) составлена табл. 0.15.1 коэффициентов полиномов Баттерворта для п = 2 — 7.
Таблица 0.15.1
п	ai	а2	«3	й4	а5	«6
2	1,4142	—	—	—	—	—
3	2,0000	2,0000	—	—	—	—
4	2,6131	3,4142	2,6131	—	—	—
5	3,2361	5,2361	5,2361	3,2361	—	—
6	3,8637	7,4641	9,1461	7,4641	3,8637	—
7	4,4940	10,0978	14,5918	14,5918	10,0978	4,4940
Фильтры Чебышева имеют равномерно-колебательную характеристику в полосе пропускания и монотонное возрастание в полосе задерживания. Для таких фильтров квадрат модуля передаточной функции
|Я№)|г = ,+(,„„.Д,)7ЭД.	(0.15.15)
где Т„(Й)— полином Чебышева степени п, он является четным или нечетным.
Зависимость модуля передаточной функции от нормированной частоты для фильтра Чебышева для п нечетного и четного дана на рис. 0.15.5.
Ослабление ФНЧ Чебышева определяют по формуле
А = 101g[l+E2T„2(Q)] =
= 101g [1 +(10°’14л — 1) Г2 (Й)].	(0.15.16)
Здесь Тп (й) = ch (п Arch й)— полином Чебышева степени п, е — коэффициент неравномерности, который связан с р коэффициентом отражения на границе полосы пропускания соотношением е = р/^1 —р2 = х/10о,1ЛЛ—1. Так, например, Для р = 0,1 АЛ =0,044 дБ, для р = 0,15 АЛ=0,099дБ.
14 Заказ 2113
417
На рис. 0.15.6 даны соответствующие кривые ослабления для п нечетного и четного.
Передаточная функция ФНЧ Чебышева имеет вид
Н(5)=------,......-	1-------------.	(0.15.17)
2” 1 ^/Ю°’1ДЛ— 1 -(5 — )($ — 52)...(д —
Здесь произведение всех П^ — sk) также полином Гурвица.
Полюсы передаточной функции фильтра Чебышева, расположенные в левой полуплоскости, рассчитывают по формулам:
. 2/с—1	, ,Q 2k —1
sk = —ysm-----я+jpcos—-—тс,
к	2п	2п
где
у=1(е-1/е), Р=1(е+1/е);
_	/ю°’05ДЛ + 1
£“2nJ Ю^05ДЛ_1-
(0.15.18)
Оптимальные свойства чебышевской аппроксимации заключаются в том, что из всех передаточных функций, все полюсы которых лежат в бесконечности, функция Чебышева имеет наименьшую сложность при заданной неравномерности в полосе пропускания и наибольшую крутизну ослабления при переходе к полосе задерживания. Фильтры Чебышева целесообразно использовать в тех случаях, когда наиболее важным является равномерное прохождение частот во всей полосе пропускания. Однако эти фильтры обладают существенно нелинейной фазовой характеристикой, а следовательно, и непостоянным временем задержки.
418
При расчете полиномиального ФНЧ вначале следует определить порядок п фильтра-прототипа нижних частот по одной из следующих формул:
а)	для фильтра с плоской характеристикой в ПП (фильтра Баттерворта)
..10(0.15.19)
201gQs	v	7
б)	для фильтра с равномерно-колебательной характеристикой в ПП (фильтр Чебышева)
/10о,1Л'—1
л5>A+6-ioig(io°^-i) = Alchy ю°-1АЛ-1.	(0.15.20)
20IgfQ. + T'Qf-l)	ArchQs
Здесь АЛ —максимально допустимое ослабление в полосе пропускания, As — минимально допустимое ослабление в полосе задерживания, Qs = fs — нормированная частота ФНЧ на границе полосы задерживания. Гиперболический ArchQs вычисляется по формуле (0.15.30).
Значения л, полученные по этим формулам, должны быть округлены до ближайшего большего целого числа. Расчет по (0.15.19) удобно проводить по программе № 14 из П1, а по (0.15.20) — по программе № 16 из приложения П1.
В формулах (0.15.19) и (0.15.20) значения нормированной частоты имеют следующие выражения:
для ФНЧ
(0.15.21а)
для ФВЧ
Qs	(0.15.216)
для ПФ
= A’(,/s/./о-/о/Л);	(О.15.21В)
для РФ
^ = [А(Л/./о-./о/Л)]“1-	(0.15.21г)
В (0.15.21а, б) — граничные частоты ПП ФНЧ и ФВЧ. В (0.15.21 в, г) f\ и f2 — граничные частоты ПП ПФ и РФ, где
W0/(/2-/i),	(0.15.22)
А—коэффициент преобразования ширины ПП полосового фильтра в фильтр прототип нижних частот (ФПНЧ), 14*	419
Рис. 0.15.7
=гсз
Рис. 0.15.8
/о = УЛ7г	(0.15.23)
(/0—средняя геометрическая частота ПФ или РФ).
Если по заданию для фильтра Баттерворта на границе полосы его пропускания АЛ имеет значение, не равное 3 дБ, то нормирующую частоту для ФВЧ рассчитывают по формуле
©0 = ®! 2!^/ 10о,1АЛ —1.
(0.15.24)
420
Таблица 0.15.2
п	ИЛИ /1	/2 ИЛИ С 2	с3 ИЛИ /3	/4 ИЛИ С 4	с5 ИЛИ /5	/6 ИЛИ С 6	С7 ИЛИ /7
1	2,0000	—	—	—	—	—	—
2	1,4142	1,4142	—	—	—	—	—
3	1,0000	2,0000	1,0000	—	—	—	—
4	0,7654	1,8478	1,8478	0,7654	—	—	—
5	0,6180	1,6180	2,0000	1,6180	0,6180	—	—
6	0,5176	1,4142	1,9319	1,9319	1,4142	0,5176	—
7	0,4450	1,2470	1,8019	2,0000	1,8019	1,2470	0,4450
Синтез двусторонне нагруженного ФНЧ Баттерворта при Rr = Rn проводится на основе формулы входного сопротивления, которая в нормированных значениях имеет вид
(0.15.25)
v(s) + h(sy
Здесь h (5 )-функция фильтрации, для фильтра Баттерворта n-го порядка она равна
h (5) = sn.	(0.15.26)
Выражение (0.15.25) раскладывается в цепную дробь следующего вида:
zBX(5) = a1sd-------------------j---------
------------------j----------------- 0C2SH----------------
(0.15.27)
которое в случае верхних знаков и в зависимости от четности или нечетности п представляет собой пару схем: рис. 0.15.7, а и в для п нечетных, а для нижних знаков — другую пару схем: рис. 0.15.7, биг для п четных (см. задачу 15.1).
Элементы этих схем выражают собой нормированные индуктивности и емкости. Нормированные значения элементов фильтров Баттерворта 2 — 7 порядков двусторонне нагруженных при Rr = Rn = R, рассчитанные по 0.15.27, в результате разложения в цепную дробь приведены в табл. 0.15.2, а соответствующие схемы на рис. 0.15.8.
Синтез двусторонне нагруженного ФНЧ Чебышева— при = проводят по той же формуле (0.15.25), что и фильтр Баттерворта. В этом случае функцию фильтрации находят так: берут полином Чебышева и-го порядка Tn(fi\ (табл. 0.15.3), вычисляют его нормированное значение ^п(р) путем деления Tn(Q) на 2”-1, в полученном выражении Q заменяют на д, при этом все члены полученно-
421
Таблица 0.15.3
п	Полином Чебышева r„((i)	Нормированный полином Чебышева	Функция фильтрации полинома Чебышева
1	(2	(2	р
2	2(22 — 1	О2-0,5	р2 + 0,5
3	4(23 —3Q	(23 —0,75(2	р3 + 0,75р
4	8(24 -8Q2 + 1	(24 —(22+0,125	/>4+/>2 + 0,125
5	16(25-20Q3 + 5Q	(25 -1,25(2 3 + 0,3125(2	р5 + 1,25р3+0,3125/7
го многочлена вне зависимости от их знаков считают положительными. Полученное таким образом выражение Уп(р) является функцией фильтрации (см. табл. 0.15.3). Пример синтеза ФНЧ Чебышева с использованием табл. 0.15.3 дан в задаче 15.9.
Расчет фильтров Чебышева может быть проведен с помощью табл. 0.15.4. Значения элементов (в омах, генри и фарадах) для нормализованного чебышевского двусторонне нагруженного фильтра (гг = гн =1) при различных значениях ослабления ЛА даны в табл. 0.15.4.
Обозначения емкостей и индуктивностей дано согласно схемам рис. 0.15.8.
Таблица 0.15.4*
АД, дБ	Порядок фильтра	с{ или /;	/2 или с 2	с3 или ''з	/4 или	с5 или l's	с6 или 1'6	с7 или ^7
0,5	3	1,596	1,097	1,596	—	—	—	—
	5	1,706	1,230	2,541	1,230	1,706		
	7	1,737	1,258	2,638	1,344	2,638	1,258	1,737
	3	2,024	0,994	2,024								
1,0	5	2,135	1,091	3,001	1,091	2,135	—	—
	7	2,167	1,112	3,094	1,174	3,094	1,112	2,167
	3	2,711	0,833	2,711	—	—	—	.—
2,0	5	2,831	0,899	3,783	0,899	2,831	—	—
	7	2,865	0,912	3,877	0,954	3,877	0,912	2,865
	3	3,349	0,712	3,349					—		
з,о	5	3,481	0,762	4,538	0,762	3,481	—	—
	7	3,519	0,772	4,639	0,804	4,639	0,772	3,519
* Подробные таблицы приведены в [16, 17, 18].
В табл. 0.15.4 приведены значения элементов только для нечетных значений и, однако в ней нет соответствующих значений элементов для четных п. Это объясняется тем, что для этих случаев при = и всех значений нерав-422
номерности ЛА диапазон значений элементов слишком велик, чтобы фильтр можно было физически осуществить.
Пример использования таблицы приведен в задаче 15.9. Там же на рис. 15.9 даны рисунки, соответствующие обозначениям в табл. 0.15.4.
Замечание. Следует отметить, что при расчете двусторонне нагруженных фильтров Баттерворта и Чебышева при Rr = RH для нечетных значений п и любых АЛ схемы фильтров симметричны относительно вертикальной оси, проведенной по середине фильтра, т. е. каждая половина представляет собой зеркальное отображение другой относительно этой оси.
Синтез односторонне нагруженного фильтра Баттерворта и Чебышева осуществляется так. Образуется выражение входного сопротивления по формуле
(0.15.28)
которое раскладывается в цепную схему (см. задачу 15.3).
После того как определены нормированные Ц и истинные значения индуктивностей и емкостей находят по (0.15.6).
Расчеты ослаблений ФНЧ по Баттерворту проводят по формуле (0.15.9), а по Чебышеву в полосе задерживания — по формуле:
А = 101g [1 +(Ю°’1ЛА-l)ch2 (п Archil)].	(0.15.29)
Расчет гиперболического ареа-косинуса удобно проводить по формуле
Archх = In (х + у/х2 — 1) при х^1.	(0.15.30)
Расчет ослабления по (0.15.9) для фильтра Баттерворта удобно проводить с помощью ПМК по программе № 15, а по (0.15.29) для фильтра Чебышева — по программе № 17 из приложения П1.
Расчет фильтров ВЧ и симметричных ПФ и РФ. Вначале данные этих фильтров с помощью формул (0.15.216, в, г) преобразуются в низкочастотный прототип, порядок которого в зависимости от типа фильтра определяют по (0.15.19) или (0.15.20). Затем в соответствии с табл. 0.15.5 осуществляется преобразование нормированных элементов ФПНЧ в элементы рассчитываемого фильтра.
В формулах (0.15.31в, г) коэффициент к определяют по (0.15.22).
Из таблицы видно, что преобразование ФНЧ в ФВЧ состоит в замене нормированных элементов обратными, т. е. QB=1/Q. Отсюда вытекает связь между любой частотой f ФНЧ и соответствующей частотой /в ФВЧ:
Z/b=/i (/i—граничная частота ФВЧ).	(О.15.31д)
423
Таблица 0.15.5
Преобразование ФНЧ в ПФ основано на симметричном преобразовании частоты, при этом индуктивные элементы преобразуются в последовательное соединение индуктивности и емкости, а емкостные — в параллельное соединение индуктивности и емкости. При преобразовании ФНЧ в РФ происходит замена индуктивности параллельным соединением индуктивности и емкости, а емкости — последовательным соединением индуктивности и емкости.
Для ПФ и РФ при задании одной частоты полосы задерживания или f2s, другую рассчитывают по формуле
2s-
(0.15.32)
424
Если рассчитывают ПФ или РФ при ЛА, отличном от 3 дБ, то при расчете фильтра Баттерворта нормирующая частота приводится к 3 дБ по формуле (0.15.11).
Для определения любой частоты f\ ФНЧ прототипа по заданным частотам и fi2 полосового фильтра используют следующую формулу:
Л=/;2-А-	(0.15.33)
Для обратного перехода используются формулы
Л^/2+vTwW; 1	(О.15.34)
Л1—7 0/Л2-	J
Примеры даны в задачах 15.21, 15.23.
6.	Фильтры Золотарева*. Когда требуется синтезировать фильтр со значительным ослаблением при узкой полосе перехода, т. е. требуется увеличить скорость нарастания ослабления в переходной области, рассмотренные выше полиномиальные фильтры Баттерворта и Чебышева использовать нецелесообразно, так как для их реализации потребуется высокий порядок п, а значит, и большое число элементов. В этих случаях целесообразно использовать фильтры, модуль аппроксимирующей передаточной функции которых имеет нули при конечных частотах полосы задерживания, а следовательно, ослабление в этих точках имеет полюсы, т. е. принимает бесконечно большое значение (это так называемые точки всплеска ослабления). Частотные зависимости таких фильтров имеют вид
Л-ЮЬ 1	_ юь	С0П2- + С1П2-2+...+Си
и ё|ад2| U g(Q2rol-Q2)2(Qi2-Q2)2...(Q2_-Q2)2-
(0.15.35)
Если в полосе пропускания ослабление не должно превышать ЛА, а в полосе задерживания, начиная с некоторой частоты (Bs, ослабление должно быть не менее некоторой частотно-независимой величины As = const, то требования к такому ФНЧ показаны на рис. 0.15.9.
Если для ФНЧ использовать характеристики Золотарева, которые описываются функциями вида
(0.15.36)
И
Л = 101ё[1+(10°’1АЛ-1)Гп(Г1)],	(0.15.37)
* Для решения задачи синтеза фильтров Кауэра использована дробь Золотарева. Поэтому эти фильтры называют также фильтрами Золотарева—-Кауэра, их еще называют эллиптическими.
425
A
^5	fWWW

0	1 Qs Q
Рис. 0.15.9
где Fn(£l)—дробь Золотарева, то в полосе пропускания ослабление фильтра будет иметь равноволновый характер с наибольшим отклонением АЛ, а в полосе задерживания, начиная с некоторой частоты os, наименьшее значение его ослабления As будет максимально возможным по сравнению с другими фильтрами с теми же значениями п и АЛ.
На рис. 0.15.10 дан график частотной зависимости ослабления фильтра с характеристиками Золотарева для п = 5. Схемы ФНЧ пятого порядка показаны на рис. 0.15.11. Схемы ФВЧ для п = 5 приведены на рис. 0.15.12. Примеры расчета фильтров Золотарева будем проводить с помощью табл. 0.15.6, в которой приведены уровни АЛр = 0,044 дБ и АЛ =0,011 дБ (соответственно коэффициенты отражения 10 и 5%), неравномерности ослабления при различных значениях нормированного параметра Qs—граничной частоты полосы эффективного задерживания (Qs=fslfY для ФНЧ и £ls=J\!fs для ФВЧ). Предполагается, что фильтры включены между одинаковыми сопротивлениями 7?г источника сигнала и 7?н — нагрузки. В таблице приведены расчетные значения рабочего ослабления Лр, обеспечиваемого в области задерживания: для ФНЧ />/5; для ФВЧ f<fs.
Расчет фильтров ВЧ, ПФ и РФ на основе низкочастотного прототипа проводят для нормированных значений так же, как и для полиномиальных фильтров, по формулам, приведенным в табл. 0.15.5. Переход к истинным значениям параметров схем проводится по формулам 0.15.6.
Для фильтров Золотарева выбор порядка п проводят по табличным данным Ар. Для этих фильтров в табл. 0.15.6 приведены нормированные элементы для ФНЧ и ФВЧ (рис. 0.15.11, я и б) при одинаковых сопротивлениях источника сигнала и нагрузки. Примеры даны в задачах 15.18, 15.21 и 15.23.
7.	Активные /?С-фильтры. В устройствах техники связи широко применяются фильтры на LC-элементах и активные 7?С-фильтры (ARC). Элементной базой Л7?С-фильтров являются: пассивные (резисторы и конденсаторы) и активные элементы. В качестве активных элементов могут быть использованы источники напряжения и тока с ограниченным коэффициентом усиления к, управляемые напряжением или 426
током (ИНУН, ИТУТ, ИНУТ, ИТУН); источники напряжения и тока с неограниченным коэффициентом усиления (операционные усилители ОУ). Рассмотрим синтез фильтров на базе ИНУН. Это управляемый источник (идеальный усилитель) — активный четырехполюсник со следующими свойствами: 1) выходное и управляемое значение F2 пропорционально входному или управляющему значению Ft:
FJF^kFi,	(0.15.38)
где к — конечный коэффициент усиления, вещественное положительное или отрицательное значение, являющееся управляющим параметром, 2) входное управляющее значение не зависит от выходного управляемого значения F2, поэтому нет передачи сигнала от выхода к входу (т. е. имеется активный односторонний или однонаправленный элемент). Условное изображение ИНУН и его схема замещения приведены на рис. 0.15.13 (см. рис. 0.3.1).
Уравнения, определяющие ИНУН:	/
и2 — киг, з
|А:|^оо; >
z\ =0. J
Входное сопротивление такого ИНУН равно бесконечности (Zr вх = оо), а выходное — нулю (Z2BbIX = 0). При к>0 имеем неинвертирующий	усилитель
(рис. 0.15.13,а), а при к<0— инвертирующий.
Операционные усилители (ОУ), имеющие один инверсный
(0.15.39)
Рис. 0.15.11
Рис. 0.15.12
427
Таблица 0.15.6
ФНЧ (см. рис. 0.15.11)
ЛАр = =0,044 дБ
ЛЛр = =0,011 дБ
ДЛР= = 0,044 дБ
= 0,011 дБ
п = 5
0,04
п = 4
п = 3
ФВЧ (см.
рис. 0.15.12)
	А, дБ	ai	а2	₽2	а3	а4	₽4	а5	«6		а7
1,14	40,1	0,8466	1,205	0,2076	1,243	0,6852	1,112	1,046	0,7267	0,8291	0,4795
1,18	45,3	0,8728	1,242	0,1725	1,329	0,7938	0,8827	1,146	0,8177	0,6596	0,5556
1,24	50,6	0,8951	1,273	0,1431	1,409	0,8972	0,7085	1,243	0,9020	0,5293	0,6230
1,37	60,5	0,9270	1,319	0,1021	1,536	1,064	0,4856	1,402	1,034	0,3614	0,7236
1,20	40,5	0,6744	1,202	0,1712	1,197	0,7840	0,8734	1,049	0,7512	0,6973	0,3467
1,26	45,9	0,6963	1,234	0,1417	1,271	0,8925	0,6935	1,133	0,8396	0,5505	0,4180
0,31	50,1	0,7107	1,255	0,1226	1,324	0,9699	0,5859	1,195	0,9015	0,4628	0,4657
1,47	60,6	0,7387	1,296	0,08589	1,435	1,136	0,3945	1,332	1,031	0,3081	0,5612
1,31	40,0	0,6461	1,112	0,2989	1,227	0,9890	0,5656	1,125	0,8981				
1,41	46,0	0,6957	1,181	0,2323	1,312	1,118	0,4268	1,190	0,8989	—	—
1,52	51,2	0,7304	1,230	0,1883	1,375	1,213	0,3401	1,237	0,8993	—	—
1,41	40,0	0,5153	1,067	0,2572	1,210	0,9923	0,4810	1,070	0,7357				
1,51	45,1	0,5520	1,118	0,2071	1,270	1,089	0,3788	1,121	0,7347	—	—
1,64	50,6	0,5844	1,165	0,1651	1,326	1,178	0,2969	1,167	0,7337	—	—
1,53	40,7	0,8613	1,216	0,1454	1,498	0,9195	0,4338	0,6533						
1,67	45,6	0,8833	1,247	0,1155	1,552	1,001	0,3337	0,7140	—	—	—
2,46	40,3	0,6968	1,179	0,1183	1,287	0,8052	—								
2,85	45,9	0,7245	1,226	0,08436	1,305	0,8037	—	—	—	—	—
4,14	40,7	0,8233	1,052	0,04202	0,8233	—							—		
5,24	47,0	0,8348	1,0721	0,02559	0,8348	—	—	—	—	—	—
я,	А, дБ	1/0С1	1/а2	1/₽2	1/а3	1/а4	MP4	1/а5	1/а6	1/р6	1/а,
Рис. 0.15.13
вход (рис. 0.15.13, а, б) или два входа — инверсный и неинверсный, их условные обозначения показаны на рис. 0.15.13,6, а на рис. 0.15.13, г, д, е—их схемы замещения.
Уравнения, определяющие ОУ:
w2=iw ц=оо; Zibx=go;
zBMX=o. J
(0.15.40)
ARC-фильтры по полосе пропускаемых частот те же, что и LC-фильтры: а) нижних частот (ФНЧ), б) верхних частот (ФВЧ), в) полосовые (ПФ), г) режекторные (РФ). При определении класса активного фильтра по виду полосы его пропускания следует исходить из условия прохождения входного сигнала непосредственно через активный элемент. В связи с этим для активного ФНЧ полоса пропускания лежит в пределах	Для ФВЧ пределы полосы
пропускания оо. Для ПФ границы полосы пропускания определяются неравенствами:	РФ имеет две гра-
ницы полосы пропускания, определяемые неравенствами и	здесь /2 — границы полосы про-
пускания.
Синтез ARC-фильтров проводят по их передаточной функции, записанной в операторной форме,
Я(р) = Я2(р)/Я1(р).
(0.15.41)
Они имеют вид дробно-рациональных функций комплексного переменного р
H(p}=W(p)lv(p),
(0.15.42)
429
a)	5)	5)
Рис. 0.15.14
здесь W (р) — четный или нечетный полином; г(р) — полином Гурвица.
Часто синтез ARC-фильтров осуществляют в виде каскадного развязанного соединения звеньев второго (при п — четном) и одного звена первого порядка (при п — нечетном). В этом случае звено первого порядка включают на выходе фильтра. При каскадном соединении получают наиболее простые схемы, а звенья второго порядка располагают в направлении от входа к выходу в порядке возрастания добротности полюсов звеньев.
Передаточные функции звеньев второго порядка имеют вид биквада
=	(0.15.43)
В частных случаях некоторые коэффициенты могут равняться нулю:
для ФНЧ Л?х=^2 = 0;
для ФВЧ bo = bi=0; b2 = l;
для ПФ bo = b2 = 0;
для РФ Z?t=0, b2 = l, Z?o = coo-
Звенья первого порядка ФНЧ и ФВЧ имеют вид рис. 0.15.14, их передаточные функции соответственно равны:
Н(р) = Ь0/(а0 + а1Р);	(0.15.44)
Я(р) = Ьгр!(аь + агр\	(0.15.45)
На рис. 0.15.14,6 показан развязывающий каскад. Его передаточная функция равна единице.
Важно отметить, что при синтезе фильтров второго порядка приходится сопоставлять коэффициенты при одинаковых степенях р знаменателей передаточной функции с соответствующими коэффициентами знаменателя этой функции, записанной в нормированных величинах s (где s=pl&). При этом число неизвестных коэффициентов в выражении Н(р\ которое зависит от числа параметров схемы (элементов R. С и к\ превосходит число два, равное числу коэффициентов в выражении передаточной функции H(s). Таким образом, при решении имеется два компонентных уравнения, не обеспечивающих однозначного решения. В связи с этим
430
некоторыми параметрами задаются, остальные вычисляются по полученным уравнениям. Те же соображения относятся и к каждому звену фильтра порядка выше второго. Примеры даны в задачах 15.32 и 15.34.
В ARC-фильтрах используются понятия добротности полюса и частоты полюса. Добротность полюса звена второго порядка
Q = у/aQa2/ai.	(0.15.46)
Частота полюса (ее иногда называют резонансной) ®o = Vao/fl2-	(0.15.47)
При синтезе полосовых ARC-фильтров обычно ограничиваются для реализации полосно-пропускающими функциями цепи только второго порядка. Это связано с тем, что чувствительность возрастает с увеличением \стедени реализуемой функции. Полосовые ARC-фильтры можно также синтезировать в виде каскадного соединения ARC ФНЧ и ARC ФВЧ. Такие схемы используют редко.
8.	Чувствительность. В ARC-фильтрах большое влияние на характеристики фильтров могут оказывать отклонения элементов фильтра от расчетных. Меру изменения той или иной характеристики, вызванную изменением одного или нескольких номиналов параметров цепи принято оценивать таким параметром, как чувствительность, которую обозначают буквой Sx{p} с индексами: верхним Н(р\ указывающим функцию цепи, и нижним — х, оказывающим влияние изменяемого параметра.
Существуют различные виды чу ветвите льностей. Здесь рассмотрим только классическую чувствительность.
Под классической чувствительностью понимают отношения относительного отклонения функции АЯ/Я к относительному изменению параметра х:
о н (х)_АЯ/Я
х	kxfx
или при переходе к дифференциальной чувствительности (0.15.40)
е н (х) _ х &Н(р)
х	~Н(р) dx
Понятие классической чувствительности находит важное применение в случаях, когда знаменатель функции цепи является полиномом второго порядка. Аналогично определяется чувствительность добротности Q к параметру цепи х:
^Q_d(lng)_xdg
х	d(lnx) Q dx
(0.15.48)
(0.15.49)
(0.15.50)
431
Чувствительность частоты полюса юп:
=	(0.15.51)
соп dx
Чувствительность можно использовать для сравнения различных схем при одинаковой элементной базе. Само по себе значение чувствительности еще ни о чем не говорит, если неизвестно, какова нестабильность схемных элементов, т. е. величина Ах/х в формуле (0.15.48).
Так, если передаточная функция цепи H{p) = B{p)fA{p\ а влияющим параметром является коэффициент усиления к, то чувствительность комплексной передаточной функции представляет собой разность чувствительностей числителя и знаменателя
=	(0.15.52)
В этих выражениях чувствительность АЧХ равна вещественной, а чувствительность ФЧХ — мнимой части комплексной величины S(p)p=j(ii. При практических расчетах с помощью ПМК чувствительность удобно определять так: придать влияющему параметру Wk достаточно малое приращение от расчетного, например, в 1%. Тогда чувствительность
= lOO^/Fi - 1),	(0.15.53)
где Fx— функции цепи при заданном значении параметра wk; F2 — та же функция при увеличении на 1%.
Расчеты и F2 удобно проводить с помощью ПМК по программе № 13 приложения П.1.
9. Задание на расчет фильтра. Это задание обычно содержит: тип фильтра (Баттерворта или Чебышева); характер фильтра по полосе его пропускания (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ); граничные частоты полосы пропускания (ПП) и полосы задерживания (ПЗ); максимально допустимое ослабление АЛ (дБ) в ПП (вместо него часто задается максимальный коэффициент отражения р (в %), связанный с АЛ соотношением
АЛ = 101g——г,	(0.15.54)
1-р
характер и значения нагрузочных сопротивлений (двусторонние или односторонние значения). При учете потерь в элементах фильтра задается коэффициент потерь 8, нормированное значение которого для так называемых однородных потерь имеет вид
§=^=^=У^ + J_ + J3
Lk Ct 2\Lk Ct) 2\Ql Qc)'
Могут быть заданы и другие дополнительные требования.
432
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. РАСЧЕТ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
15.1 Рассчитать фильтр нижних частот с максимальноплоской характеристикой ослабления (фильтр Баттерворта), если в полосе частот 0	/1 = 3400 Гц неравномерность
характеристики ослабления не должна превышать ЛА = 2 дБ, а при частотах /s>8500 Гц ослабление фильтра не должно быть менее As = 20 дБ. Фильтр используется в режиме двусторонней нагрузки при Дг = 1?н = 600 Ом. Определить ослабление фильтра на частотах: /х, /0, fs, 2fs. Расчет сделать без учета потерь в элементах фильтра.
Решение. Пронормируем граничные частоты полосы пропускания и полосы задерживания к нормирующей частоте полосы пропускания fr: Q=/1//1 = l; Qs=jT/fi = 8500/3400 = 2,5.
По (0.15.19) (или по программе № 14 из приложения Ш) определяем минимально необходимое число элементов в составе фильтра (т. е. порядок фильтра п) 20-101ё(10о1дл-1)_2 8
201g2,5
Так как п должно быть целым числом, то принимаем п = 3. Итак, фильтр должен иметь три реактивных элемента.
По (0.15.11) вычисляем нормирующую частоту /0, при которой ослабление фильтра равно 3 дБ:
/о = 3400/^/10°1 2— 1 = 3718 Гц.
Проведем расчет фильтра аналитическим путем. Определяем передаточную функцию H(s) = l/v(s). Так как п — нечетное, то по (0.15.13,6) вычисляем нормированные значения s ее полюсов (берем к = 2, 3, 4, которые в формуле для s дают отрицательные вещественные части).
2	2
При п = 3 к = 2 s2 = cos-7i+jsin-7i= — 0,5+у0,866;
п = 3 к = 3 5,3 = cos^7i+jsin^7i= — 1;
4	4
п = 3 к = 4	= cos-л+уsin-л =—0,5—/0,866.
Знаменатель передаточной функции H(s):v(s) = (s — s2)x x(s — s3) (s — S4) = (s + 0,5 +j0,866) (s + 0,5—j‘0,866) (tv+l) = tv3 + + 2s 2 + 2s +1.
Получены те же коэффициенты, что и в табл. 0.15.1.
Передаточная функция фильтра имеет вид H(s) = l/(s3 + + 2s2 + 2s+ 1).
Синтез фильтра проведем аналитическим методом с помощью разложения входного сопротивления ZBX(s) (0.15.25) в цепную дробь. Так как при п = 3 по (0.15.26)
433
h(s) = s3, то, беря в (0.15.25) верхние знаки, имеем
( \_^(0 4-/г(у)_2л,34-21у24-2л'4-1 вх ' v(s)—h(s) Is2 4-25 4-1
Этапы разложения znx(s) в цепную дробь следующие: а) делим числитель на знаменатель
( 2s3 + 2s2 + 2s + 1	2s2 + 2s+ 1
(21у3 + 21у2 + 1у	s-+Zi
первый остаток 5+1
б)	первый делитель делим на первый остаток
J 2s2 + 25+1	5+1
(252 + 25	2s-+у2’
второй остаток 1
в)	первый остаток делим на второй остаток
_ U+1
(5
третий остаток 1
г)	делим второй
С1	1
[1 1 — г’
О
1
S~+Z2
остаток на третий остаток
в результате получена следующая цепная дробь:
-вх (4 = Zi + -Ц = -V + -Ц—.
У 2 4--— Ъ 4----—-
z34-l/r	54-1/r
Этому разложению соответствует схема рис. 15.1, а. Ее нормированные элементы: 7Х = 1; с2 = 2; /3=1; /'„ = /', = 1, т. е. те же величины, что и в табл. 0.15.2.
Аналогично, если в (0.15.25) взять нижние знаки и начать деление со знаменателя на числитель, то получим цепную дробь для нормированной входной проводимости
Ьх(4=л+—Ц—=*+ —Ц—• 2 --------------2s 4---------
Тз + 1/r	54-1/г
Ей соответствует схема (рис. 15.1,6) с нормированными элементами: ct = l, /2 = 2, с3 = 1, гг = гн=\.
434
б)
а)
совпадают с данными выбираем схему рис.
Рис. 15.1
Видно, что полученные результаты табл. 0.15.2. Из двух возможных 0.15.1,6, как более технологичную, которая имеет лишь один индуктивный элемент.
Переходим к денормированию элементов. Для этого по (0.15.5) вычисляем коэффициенты денормированных индуктивностей kL и емкостей кс'.
kL =	= 6р0/(2л -3718) = 2,5684 • 10"2 Гн =
= 25,684 мГн;
кс = 1 /(2тг/0/?н) = 1 /(2л -3718- 600) = 7,1344 • 10 "8 Ф =
= 71,344 нФ.
Истинные значения индуктивности и емкостей находим по (0.15.6)
Q = С1кс = 1 • 71,344 = 71,344 нФ = С3;
L2 = l2kL = 2 • 25,685 = 51,370 мГн;
RH = rRH=l 600 = 600 Ом = /?г.
Расчеты ослабления проводим по (0.15.9), или используя программу № 15 из приложения ГН. В память ПМК заносим: /1 = 3400 = Р1; 0,1АЛ = 0,2 = Р2, 2и = 6 = РЗ.
Результаты сведем в табл. 15.1.
Таблица 15.1
f, Гц	/1 = 3400	/с = 3718	л = 8500	2/s=17 ООО
А, дБ	2,0	3,0	21,6	39,6
15.2.	Рассчитать ФНЧ с характеристикой Баттерворта по данным: ослабление на границе полосы пропускания Л = 3,4 кГц не должно превышать АЛ = 1,5 дБ, а при /5 = 6,8 кГц оно должно быть не менее 25 дБ. Нагрузки фильтра Rr = RH= 1000 Ом. Определить ослабление при частотах: 3, 4, 6, 8, 10 кГц.
15.3.	По данным задачи 15.1 реализовать ФНЧ с характеристикой Баттерворта, полагая, что он работает в режиме холостого хода при сопротивлении генератора Rr = 600 Ом.
435
Решение. Передаточная функция этого фильтра имеет такой вид (см. решение задачи 15.1): H(s) = l/v(s) = l/(s3 + + 2.у2 + 2s +1).
Реализация фильтра в режиме холостого хода осуществляется по формуле (0.15.28):
2ц (s) = 600
s3 + 2s2 + 2s+l — s3 + 2s2 —2s + 1
s3 + 2s2 + 2s+l+s3 — 2s2 + 2s — 1
= 600
2s2 +1 s3 + 2s ’
Полученное выражение представим в виде цепной дроби, начиная деление со знаменателя (у которого степень s выше) на числитель.
Шаги:
первый
s3 + 2s ly3 + 0,5ly
2s2+ 1
0,5s	;
первый остаток 1,5s
второй C2s2+1
(2s2
второй остаток 1
третий
1,5s
1,5s третий остаток С
1,5^
4	7
1
1,5s ->у3 = с3.
В результате получена следующая цепная дробь:
*(») =---!_ .
0А+4—т
436
Здесь = 0,5, /2 = 4/3^1,33, с3 = 1,5. Разложению соответствует схема рис. 15.3.
Учитывая множитель 600, получим: с± = 0,5/600 = 8,33 х хЮ'4; с3 = 1,5/600 = 2,5-10“3; /2 = 4/3-600 = 800.
15.4.	Рассчитать ФНЧ с характеристикой Баттерворта, работающий в режиме холостого хода по данным задачи 15.3, полагая, что при f<fc добротность катушек индуктивности 2l = 20, кроме того, Ql^Qc- т. с. потерями в конденсаторах можно пренебречь (Qc=x)- Найти передаточную функцию фильтра с потерями и посмотреть, как это отразится на его ослаблении.
Решение. Нормированное значение коэффициента потерь составляет: А = 8/соо = 1/2(1/2l+ l/Qc) = 1/2• 1/20 = 0,025.
Задачу решаем методом предыскажения, при котором искажения, обусловленные потерями в элементах фильтра, дополняют искаженную характеристику до заданной исходной зависимости. В задаче 15.3 найдена нормированная передаточная функция: H(s) = l/(s3 + 2s2 + 2s +1). На ее основе формируется предыскаженная передаточная функция:
ние на его выходе Н(Усо-А)со = о = 1, тогда кция фильтра Н (s — А) реализации
Я(5-А + А) = Н(5) = -у
V 7 (s-A)3 + 2(s-A)2 + 2(s-A) + 1 s3 + 1,925s2 + l,902s +0,9506
В режиме холостого хода у фильтра без потерь напряже-равняется ЭДС генератора, т. е. ос = 0,9506. Итак, передаточная фун-на элементах с потерями после 0,9506
+ 252 + 25+Г
Она отличается от передаточной функции, реализованной в задаче 15.1, множителем ос = 0,9506, обусловливающим увеличение ослабления фильтра независимо от частоты, вызванное потерями в его элементах, равное А = — 201g ос = = -201g 0,9506 = 0,44 дБ.
15.5.	Синтезировать фильтр Баттерворта верхних частот по данным: граничная частота полосы пропускания = = 4,4 кГц. В этой полосе максимальное ослабление не должно превышать АЛ = 1 дБ, на частоте fs = 1,6 кГц ослабление должно быть не менее 20 дБ. Фильтр работает в режиме двусторонней нагрузки Яг = 7?н = 600 Ом. Рассчитать ослабление при частотах: /1=4,4, 2,2, 1,6 и 1,0 кГц. Построить кривую зависимости А в функции f и Q.
Решение. Используя частотное преобразование, определяем нормированную частоту ФПНЧ: Qs =j\[fs = 4,4/1,6 =
437
По формуле (0.15.19) или по программе № 14 из приложения П1 находим и = 2,94. Так как порядок фильтра должен быть целым числом, принимаем и = 3. Из рис. 15.1 выберем для ФНЧ схему 15.1, а, как более технологичную, у которой при преобразовании ФНЧ в ФВЧ индуктивности 4 и /3=1 преобразуются в емкости с1в = с3в= l//j = 1, а емкость с2 = 2— в индуктивность /2в = 1/с2 = 0,5. На рис. 15.5, а дана схема ФНЧ, а на рис. 15.5, б—схема ФВЧ с указанными на них нормированными значениями элементов фильтров.
Найдем истинные значения элементов фильтра. По (0.15.5), коэффициенты преобразования индуктивностей и емкостей равны
kL = 600/(2л: • 4400) = 2,17 • 10 ~ 2;
кс= 1/(2л -4400 -600) = 6,029  10“8.
Истинные значения индуктивностей и емкостей по (0.15.6):
С1В = С3в = с1вкс = 1 • 6,029 • 10~8 = 6,029 • 10"8 Ф = 602,9 мкФ;
Ь2в = /2А = 0,5-2,17 10“2 = 1,085 • 10“2 Гн= 10,85 мГн.
Для построения кривых зависимостей ослабления А от частоты рассчитаем частоты и соответствующие им нормированные частоты для точек, указанных в условии задачи, при этом учтем, что соответствующие частоты /Н(ПН) ФНЧ и /В(ПВ) ФВЧ связаны соотношением: /н/в=/1 и ПНПВ=1 и Йв=Л//в, П„=Л//1.
Это следует из формул (0.15.11) и (0.15.24).
Расчет ослабления проведен по формуле (0.15.9а) или по программе № 15 из приложения П1. Результаты расчета приведены в табл. 15.2.
Таблица 15.2
ФВЧ	/., кГц «в	4,4 1,0	/»в = 3,512 0,798	2,2 0,5	1,6 0,364	1,0 0,273
ФНЧ	/., кГц	4,4	/он = 5,51	8,8	12,1	19,36
	Он	1	1,25	2,0	2,75	4,4
	А, дБ	1,0	3,0	12,5	20,5	32,7
Здесь /ов и /он рассчитаны соответственно по формулам (0.15.24) и (0.15.11). В качестве примера показано занесение исходных данных в регистры памяти: 2и = 6 = Р1; /1=4,4 = РЗ; /=8,8 = Р2; 0,1ЛЛ = 0,1=Р4 В/О С/П, получаем 12.448019« «12,5.
438
По результатам расчета на рис. 15.5, в, г построены кривые ослабления для ФНЧ и ФВЧ.
15.6.	Рассчитать ФВЧ с максимально плоской характеристикой ослабления по данным: в полосе пропускания при 8500 Гц коэффициент несогласованности р = 0,2, а при fs<3400 Гц оно должно быть не менее 20 дБ.
Указание. По (0.15.53) найти АЛ и по (0.15.19) рассчитать п.
15.7.	Рассчитать параметры симметричного полосового фильтра с плоской характеристикой (фильтр Баттерворта) по следующим данным: граничные частоты полосы пропускания Д^ЮкГц, f2 = 14,4 кГц. В этой полосе ослабление должно быть не более АЛ = ЗдБ, при частоте /52 = 16кГц ослабление должно быть не менее Л5=17 дБ. Сопротивления двусторонне нагруженного фильтра J?r = RH = 600 Ом.
Рассчитать ослабление при частотах, равных /0? Л, /«2, 18, 20, 24 кГц. Начертить график зависимости А от /.
Решение. Определяем среднюю геометрическую частоту ПФ по (0.15.32): /0 = ^/10-14,4=12 кГц.
Затем из (0.15.32) рассчитываем граничную частоту нижней полосы задерживания: fsl =fo/fS2= 144/16 = 9 кГц.
С помощью частотного преобразования элементов и характеристик полосового фильтра пересчитаем его в фильтр-прототип. По (0.15.22): к= 12/4,4 = 2,727272.
По (О.15.21в), нормированная частота фильтра-прототипа Qs = 2,72727 (16/12 —12/16)= 1,591.
Затем по (0.15.19) или по программе № 14 из П1 определяем порядок фильтра-прототипа и = 4,21. Берем п = 5.
По аналогии с тем, как это сделано в задаче 15.1 (по (0.15.136), так как п — нечетное), определяем нули полинома Гурвица, а следовательно, и знаменатель v (л) передаточной функции как произведение всех сомножителей s — sk. В
439
результате получаем (см. также табл. 0.15.1): v(s) = s5 + + 3,236k4 + 5,236k3 + 5,236k2 + 3,236k+l.
Функция фильтрации для полинома Баттерворта пятого порядка по (0.15.26) h(s) = s5. По (0.15.25) составляем выражение входного сопротивления (при верхних знаках)
/ \ 2s5 + 3,2361s44- 5,2361s3 4- 5,2361s24-3,2361 s + 1
2вх	3,2361 s4 4- 5,2361s3 4- 5,2361s2 4- 3,236 Is 4- 1
Раскладываем это выражение в цепную дробь, которая имеет следующий вид:
zBX (‘S') = 0,618s +--------.
1,6180s 4-----------------
2s 4--------------
1,6180s 4------
0,618s 4-1
Если взять нижние знаки, получим аналогичное выражение ДЛЯ УвхСО- Этим разложениям соответствуют схемы ФПНЧ (рис. 0.15.7, а, б).
Нормированные элементы этих схем имеют значения
/t =c'l =0,6180, с2 = /г=1,6180, /3 = Сэ = 2,000;
С4 = Ц= 1,6180, /5 = <?5 = 0,6180 (ср. результаты с табл. 0.15.2).
440
Таблица 15.3
кГц	/о 0	fl И /, 14,4	10	fs2 И 17	8,47	/' и f" 18	8	f’ И f" 20	7,2	Г и f" 24,6	6
Q	0	±1,0	1,591	±2,27	±2,90	±4,09
А, дБ	0	3	20,2	35,6	46,2	61,2
В соответствии с (0.15.21 в) от ФПНЧ (для схемы рис. 15.7, а) переходим к схеме полосового фильтра с нормированными элементами, показанными на рис. 15.7, в.
Нормированные элементы полосового фильтра равны:
/1П = kb = 2,727272 • 0,618 = 1,685 = /5п;
с1п = i/Ar/i = 1/1,685 = 0,5933 = с5п;
= 1 /кс2 = 1 /(2,727272 • 1,618) = 0,2266 = /4п;
с2п = кс2 = 2,727272 • 1,618 = 4,4127 = с4п;
/Зп = kl3 = 2,727272 • 2,000 = 5,4545;
с3п = 1 /kl3 = 1 /5,4545 = 0,1833.
Для перехода к денормированным элементам по (0.15.5) определяем kL и кс: kL = —^-^ = 7,96_3 Гн = 7,96 мГн;
кс =-----!—----= 2,21 • 10"8 Ф = 221 мкФ.
с 2л • 12103•600
По (0.15.6) вычисляем номинальные значения индуктивностей и емкостей полосового фильтра:
Г1п = /1п^ь = 1,685 • 7,96= 13,4 мГн = £5п;
С1п=:С1п^с = 0,5933.221 = 131 мкФ = С5п;
l2akL = 0,2266 • 7,96 = 1,80 мГн = £нп;
C2n = C2n£c = 4,4127-221 =975,2 мкФ = С4п;
L3 = l3nkL = 5,4545 • 7,96 = 43,4 мГн;
С3п = c3nfcc = 0,1833 -221 =40,5 мкФ.
Расчет ослабления полосового фильтра. При этом надо иметь в виду, что его надо вести по соответствующим частотам ФПНЧ.
В табл. 15.3 приведены пары частот /' и f" ПФ, связанные соотношением /0 = yjf'f" и соответствующая им нормированная частота ФПНЧ, определяемая по (0.15.21в) и ослабление которое определяется по формуле (0.15.9).
441
На основе полученных результатов в табл. 15.3 на рис. 15.7, г начерчена кривая ослабления ПФ.
15.8.	Рассчитать режекторный фильтр Баттерворта по следующим требованиям: граничные частоты полосы задерживания 16 кГц ^/^25 кГц. Рабочее ослабление на этих частотах Лр = 3 дБ. В полосах пропускания (на частотах f<fi и />/2) рабочее ослабление должно монотонно убывать. На частотах /i^/X/о и	должно монотонно воз-
растать, а на частотах /51 = 1800 Гц и /S2=/o//si оно должно быть не менее 18 дБ. Сопротивления 7?н = Лг=1кОм.
15.9.	Рассчитать двусторонне нагруженный фильтр нижних частот с равномерно-колебательной характеристикой в полосе пропускания (фильтр Чебышева) с помощью табл. 0.15.4 нормированных элементов, если граничная частота в полосе пропускания ^=4 кГц, а ослабление в этой полосе не должно превышать ЛА = 0,5 дБ. При частотах, больших /5 = 6кГц, ослабление As должно быть не менее 40 дБ. Сопротивления генератора и нагрузки одинаковы 7?г = RH = 600 Ом. Рассчитать ослабление фильтра при частотах 4; 8; 12 кГц.
Решение. Вначале рассчитаем нормированную частоту для частоты fs: Qs =fsffi = 6/4= 1,5.
По формуле (0.15.20) или по программе № 16 из приложения П1 определяем значение п. Для этого в регистры памяти заносим: Л5 = 40 = Р1; Q=1,5 = P2; 0,1 АЛ =0,05 = РХ В/О С/П читаем 6, 595575. Так как п должно быть целым числом, принимаем и = 7. По (0.15.5) вычисляем коэффициенты денормирования: kL = 600/(2я • 4000) = 2,3873242 х х10“2 Гн = 23,873242 мГн, кс= 1/(2л-4000 • 600) = 6,6314558 х хЮ"8 Ф = 66,314558 нФ.
Схема фильтра дана на рис. 15.9. Ее нормированные элементы для схемы 15.9, а согласно табл. 0.15.4: С1 = с7 = 1,737; /2 = /6 = 1,258; с3 = с4 = 2,638; /4 = 1,344.
442
Нумерация элементов на рис. 15.9 соответствует принятой в табл. 0.15.4.
Денормируя по (0.15.6) вычисляем истинные значения элементов фильтра:
Cj = cjcc = 1,737 • 66,314558 = 115,2 нФ = С7;
С3 = с3кс = 2,638 • 66,314558 = 174,9 нФ = С5;
L2 = l2kL = 1,258 • 23,873242 = 30,03 мГн = L6;
£4 = l4kL = 1,344 • 23,873242 = 32,09 мГн.
Расчеты ослабления проводим по (0.15.29) или используя программу № 17 из приложения П1. В регистры памяти заносим, например, для /=8кГц £2=///) =2 = Р1; и = 7 = Р2, 0,1ДЛ = 0,05 = РЗ В/О С/П. Результат 64.91635.
Аналогично для /=4кГц (£1=1), А = 5,000001 • 10 1 дБ; /=12кГц (£2 = 3), А = 92,020846 дБ.
15.10.	Рассчитать чебышевский фильтр верхних частот по следующим данным: граничная частота полосы пропускания (частота среза) /l = 7,4 кГц, при	ослабление
ЛА = 0,5 дБ, граничная частота полосы задержания /s = 3,7 кГц, при которой Л5 = 35дБ, сопротивление RT = RH = —1000 Ом. Вид входа схемы П-образный. Рассчитать ослабление на частотах (в кГц): 3,7, 1,85, 1,5, 1,0.
Решение. Вначале рассчитываем низкочастотный прототип: £2SB =/s//i = 3,7/7,4 = 0,5.
Нормированная частота ФПНЧ: £2S= 1/£2SB = 1/0,5 = 2.
Порядок фильтра определяем по формуле (0.15.20) или по программе № 16 из приложения П1, по которой находим и = 4,38. Берем и = 5, следовательно, должен быть рассчитан фильтр пятого порядка.
Из табл. 0.15.4 при п = 5 и АЛ = 0,5 дБ выписываем нормированные элементы низкочастотного фильтра—прототипа (ФНЧ) (рис. 15.10,а): /1 = 1,706; с2 = 1,230; /3 = 2,541; с4= 1,230; /5 = 1,706.
Нормированные значения схемы ФВЧ (рис. 15.10, б) по табл. 0.15.5 равны: c1B = 1//1 = 1/1,706 = 0,586 = с5в; /2в=1Д'2 = = 1/1,230 = 0,813 = /4в; сзв = 1//з = 1/2,541 = 0,394.
443
По (0.15.5) вычисляем коэффициенты преобразования индуктивностей и емкостей: kL— 1000/(2я -7400) = 2,15 • 102 Гн, кс= 1/(2я • 7400 • 1000) = 2,15 • 10“8 Ф.
Истинные значения элементов ФВЧ по (0.15.6):
С\в = с1вЛс = 0,586-2,15 -10”8 = 1,26-10 8 Ф = С5в;
С3в = 2,15 • 10-8-0,394 = 4,96 • 10~9 Ф;
^2в = /2А = 0,813 -2,15 • 10-2 = 1,75 • ПТ2 Гн.
Схема ФПНЧ и ФВЧ дана на рис. 15.10, а и б.
Расчет ослабления при заданных частотах проводим по формуле (0.15.29) или по программе № 17 из приложения П1. Результаты приведены в табл. 15.4.
Таблица 15.4
Частота ФВЧ, кГц	Нормированная частота ФВЧ	Соответствующая нормированная частота ФНЧ	Ослабление А, дБ
3,6	1	1	0,5
1,85	0,5	2	42,04
1,5	0,405	2,466	52,24
1,0	0,270	3,7	70,95
15.11.	С помощью таблицы 0.15.4 синтезировать фильтр Чебышева верхних частот, если граничная частота в полосе пропускания /^бкГц, ослабление в этой полосе должно быть не более 3 дБ.
При fs^ 10,5 кГц ослабление As должно быть не менее 40 дБ. Нагрузки Лн = Лг = 600 Ом.
15.12.	Рассчитать параметры элементов симметричного полосового фильтра Чебышева, используя таблицу 0.15.4. Заданы граничные частоты полосы пропускания /х^бкГц, /2 = 25кГц, ослабление в полосе пропускания не должно превышать ЛА = 0,5 дБ, при частоте /52 = 32кГц ослабление должно быть не менее Л5 = 20 дБ. Сопротивления генератора и нагрузки одинаковы и равны Rr = RH = 1 кОм.
Решение. По (0.15.23), (0.15.22) и (О.15.21в) вычисляем
/о = V16-25 = 20 кГй> к = 20/(25 -16) = 2,2222222,
Qs = 2,222 (32/20 - 20/32) = 2,167.
По (0.15.20) или по программе № 16 из приложения П1 находим порядок фильтра и = 2,87. Берем п = 3.
Схема низкочастотного прототипа изображена на рис. 15.12, а.
Нормированные элементы схемы берем из табл. 0.15.4 /; = 1,596 = /^; с'2 = 1,097.
444
СЗГГ^З
//-	Cin'1/Kli \
Рис. 15.12

С помощью (0.15.31b) переходим к схеме ПФ (рис. 15.12, б). Нормированные элементы ПФ имеют следующие значения:
/1п = kl i = 2,222 1,596 = 3,546 = /Зп;
с1п = \fkli = 1/3,546 = 0,282 = с3п;
с2п = кс2 = 2,222 • 1,097 = 2,438; /2п = 1/кс'2 = 1/2,438 = 0,410.
По (0.15.6) вычисляем действительные значения элементов ПФ. Для этого предварительно вычислим по (0.15.5) коэффициенты денормирования:
^=1000/[2л(25 ООО- 16 000)] = 1,768 10"2 Гн;
кс=1/[2п(25 ООО-16 000) 1000] = 1,768 10~8 Ф;
Lin = kLlln= 1,768 • 10~2 • 3,546 = 6,269 • 10~2 Гн = 62,69 мГн;
С2п = ^с^2п=1,768-10"8-2,438 = 4,311 -10"8 Ф = 43,11 нФ.
15.13.	Определить элементы симметричного полосового фильтра Чебышева, используя таблицы нормированных элементов (табл. 0.15.4). Дано: /х = ЗкГц, /2 = 6кГц, АЛ = = 1дБ. При /5=12кГц, Л5 = 60дБ. Сопротивления нагрузок одинаковые: Rr = RH = 600 Ом.
15.14.	Рассчитать с помощью табл. 0.15.4 режекторный чебышевский фильтр по данным: в полосах пропускания 0^/<16 000 Гц, 16 000^/>2500 Гц АЛ = 2дБ, в полосе задерживания при >sl = 18 ООО Гц и fS2=folfsi рабочее ослабление должно быть не менее 25 дБ. Сопротивление Лг = 7?н = 1 кОм.
15.15.	Рассчитать аналитическим путем ФНЧ Чебышева по данным: граница полосы пропускания /х = 3,4 кГц, ослабление в ее пределах должно быть не более АЛ = 2 дБ, на частоте /s = 8,5 кГц, ослабление As должно быть не менее 25 дБ. Нагрузка двусторонняя 7?г = 7?н = 600 Ом.
Решение. По (0.15.20) или с помощью программы № 16 из приложения П1 находим п = 2,449, берем п = 3.
По (0.15.18) последовательно вычисляем: 8=1,434788; У = 0,368911; Р = 1,065878; 3 = -0,184455 ±>0,923077; s2 = = -0,368910.
445
Рис. 15.15
Знаменатель передаточной функции — полином Гурвица по (0.15.14): v(s)= П (s-sk) = s3 + 0,737821s2 + 1,022190s + к= 1
+ 0,326890. Функция фильтрации для п = 3 по табл. 0.15.3: h(p)/p=s = s3+0,75s.
По (0.15.25) запишем выражение входного сопротивления
/ \ _253 + 0,73782152+1,7721905+0,326890
Zbx	0,73782152 + 0,2721905+0,326890 ’
Разлагая это выражение в цепную дробь, соответственно при нижних и верхних знаках в (0.15.25) получаем: сг=1[ = 2,7107; /2 = с'=0,8327; с3 = 1^ = 2,7107.
Сравнивая эти результаты с данными табл. 0.15.4, видим полное совпадение. Используя коэффициенты денормирования (0.15.5) и переходя к истинным значениям, по (0.15.6) находим: Сх = Сз = 0,21 мкФ, L2 = L4r = 39 мкГн. Соответствующие схемы даны на рис. 15.15, а и б.
15.16.	По данным задачи 15.15 рассчитать односторонне нагруженный ФНЧ Чебышева (режим холостого хода).
Решение. По (0.15.28) находим выражение входного z ч 53 +1,0221905
“противления
Раскладывая его в цепную дробь, получаем значения нормированных элементов фильтра: сг =1[ = 1,3553; 12 = с'2 = = 1,2740; Сз = /^ = 1,7717.
На рис. (15.16, а и б) дана схема фильтра.
15.17.	Решить задачу 15.9 аналитическим путем, сверив результаты с данными табл. 0.15.4.
Указание. Методику разложения в цепную дробь см. в задаче 15.1.
446
Б. ФИЛЬТРЫ ЗОЛОТАРЕВА
15.18.	Рассчитать ФНЧ нагруженный двусторонне с RT = = 7?н = 75 Ом, граничной частотой /1 = 100 кГц, при частоте fs = 250 кГц ослабление должно быть не менее 40 дБ, а в полосе пропускания — не более 0,05 дБ.
Решение. Расчет порядка для фильтра Баттерворта по формуле (0.15.19) даст л = 8, а для фильтра Чебышева по (0.15.20) л = 5. Поставленным требованиям удовлетворяет фильтр Золотарева порядка п = 4 при Qs = 2,46<£lsO=/s//i = = 2,5, Лр = 40,3, ЛЛр = 0,044 дБ <0,05 дБ. Выбираем схему согласно рис. 0.15.11, а (она имеет меньшее число индуктивностей), чем схема рис. 0.15.11, б. Элементы схемы можно рассчитать по формулам (0.15.4)—(0.15.6) при /?н = 75 Ом, (Oj = 27с/! =6,28 • 100 • 103 = 628 • 103 с-1. В этих формулах вместо I и с надо брать нормированные а и (Г.
С1 = а1/2л/Л=0,6968/(2л • 100 • 103 -75) = 1,48 • 10~8 Ф =
= 14,8 нФ;
£2 = ос27?/2тс/= 1,179 • 7,5/(2л • 100 • 103)= 1,41 • 10-4 Гн =
= 0,141 мГн;
С2 = р2/2л//? = 0,1183/(2л • 100 • 103 -75) = 2,51 • 10 ~9 Ф =
= 2,51 нФ;
Сз = а3 /2тс/7? = 1,287/(2тт • 100 • 103 • 75) = 2,73 • 10 “8 Ф =
= 27,3 нФ;
£4 = а4Я/2л/= 0,8052 • 75/(2л • 105) = 9,6-10~5 Гн = 96 мкГн.
Схема фильтра дана на рис. 15.18.
Рис. 15.18
15.19.	Рассчитать ФНЧ по данным задачи 15.18, в которой вместо 250 кГц взять fs—175 кГц.
Указание. Здесь =175/100 =1,75, можно взять фильтр Золотарева с и = 5, Qs=l,53 и Лр = 40,7 дБ. Схема фильтра имеет вид рис. 0.15.12,6 как более оптимальная.
15.20.	Рассчитать ФНЧ Золотарева, у которого граничная частота полосы пропускания fr = 100 кГц при коэффициенте
447
Рис. 15.21
отражения р=10%, в полосе задерживания при fs^ 175 кГц рабочее ослабление Ар > 45 дБ, нагрузки Лн = 7?г = 75 Ом.
Указание. Вначале по (0.15.54) определить АЛ. Затем по табл. 0.15.6 устанавливаем, что требованиям удовлетворяет ФНЧ Золотарева пятого порядка (п = 5) с ДЛР = 0,044 дБ, Qs=l,67. Искомая схема дана на рис. 0.15.12,6.
15.21.	Рассчитать схему ФВЧ с ослаблением не ниже 45 дБ при частотах ниже /5.= 100кГц (рис. 15.21). В области верхних частот />/! = 550 кГц рабочее ослабление фильтра должно быть не более 0,044 дБ. Сопротивление источника сигнала и нагрузки фильтра R = 75 Ом.
Решение. Рассчитываем параметр расфильтровки ФВЧ: Qs=/t/4 = 550/100 = 5,5. Поставленным условиям удовлетворяет фильтр Золотарева порядка л = 3 (см. табл. 0.15.6) со следующими нормированными параметрами схемы ФВЧ (рис. 0.15.12,6 и 15.21): l/оч = 0,8348, 1 /а2 = 1,0721, 1/р2 = = 0,02559, 1/а3 = 0,8348. Для расчета элементов схемы вычисляем частоту ее»! =	= 6,28-550• 103 = 3,46- 10б рад/с. Затем
расчет истинных значений ведем согласно формулам (0.15.4) —(0.15.6):
G = at	1/coj.R-) = 1/(3,46 • 10б • 75 • 0,8348) =
\ al /
= 0,462 мкФ;
С2 = р2/со11?= 1/((i^R 1) = 1/(3,46 • 10б -75 -0,2559) =
= 0,151 мкФ;
£2 = а2/?/(о1 =«/((0! -) = 75/(3,46 • 10б • 1,0721) = 20,2 мкГн; \ а2 /
С3 = а3/(® 17?) = 1/(с017?-) = 1 /(3,46 • 10б • 75 • 0,8348) = \	а3 /
= 0,462 мкФ.
15.22.	У ФВЧ граница полосы пропускания /х = 100 кГц, в области верхних частот при />/1 рабочее ослабление должно быть не более 0,011 дБ, а в области нижних частот 448
Рис. 15.23	Рис. 15.25
б)
при / = 60 кГц и ниже — не менее 50 дБ, сопротивления Лг = = 7?н = 75 Ом.
Указание. По заданным условиям J2s=/i//j= 1,66. Поэтому согласно табл. 0.15.6 надо взять фильтр с п=6 при Лр=0,011 дБ, Qs=l,64 и Л = 50,6дБ; его параметры: «! = (),5844, а2 = 1,165 и т. д.
15.23.	Рассчитать симметричный полосовой фильтр для нагрузок 7?г = 7?н = /?= 150 Ом, обеспечивающий неравномерность передачи в ПП не более 0,05 дБ в полосе частот /2—/1 = 3 кГц при гарантированном ослаблении не менее 40 дБ в области задерживания с граничными частотами 26 и 13 кГц.
Решение. Из формул для ПФ (О.15.21в и 0.15.22) параметр
Q /2/i=26 J3 = fi-fx 3
Поставленным требованиям удовлетворяет фильтр Золотарева порядка и = 3 при Qs = 4,14 (см. табл. 0.15.6) с параметрами: oci= 0,8233, а2 = 1,052, 02 = 0,04202, а3 — 0,8233 (см. рис. 15.23, а).
Рассчитаем элементы прототипа по (0.15.6) и учтем цо (0.15.22), что /о = v7si/s2 = V13 ‘ 1°3 ’26 ’103 =18,8'103 Г«-
При расчете элементов прототипа по (0.15.6) следует применить условия задания: R =150 Ом, /=3 103Гц:
15 Заказ 2113
449
Li = а1Л/2л/= 0,8233 • 15О/(2л-3 • 103) = 6,55 мГн = £3;
L2 = [i2R/2nf= 0,04202 • 150/(2л • 3 • 103) = 0,334 мГн;
С2 = а2 /(2nfR) = 1,052/(2к • 3 • 103 • 150) = 0,372 мкФ.
При переходе к схеме ПФ по формулам табл. 0.15.5 последовательно каждой индуктивности L прототипа включают емкость С, а параллельно каждой емкости С прототипа— индуктивность L', определяемые по формулам:
С'=1/сОо-Г, £'=1/ЮоС, С00 = ^/(010)2 = V®s 1®з2,
где («о = ^s/fsifsi = 21^/26 • 103 • 15 • 103 = 116 -103 с-1.
Расчеты дают
С' = 1/[(116 • 103)26,55 • 10“3] = 11,4 нФ = С3;
Ь'2 = 1/[(116 • 103)20,372 • 10“ 6] = 2,0 • 10 “4 Гн = 200 мкГн;
С2 = 1/[(П6 • 103)20,334 • 10“3] = 2,23 • 10“7 Ф = 0,223 мкФ.
Схема ПФ дана на рис. 15.23,6.
15.24.	Требуется рассчитать двусторонне нагруженный полосовой фильтр с максимальным отражением р=10% в полосе пропускания j\ = 43,8 кГц, f2 = 48,2 кГц, ослабление As на частоте /51=42кГц должно быть не менее 45 дБ. Сопротивление источника Rr = 1 кОм.
Указание. По 0.15.54 находим АЛ = 0,044 дБ. Далее из (0.15.23) определяем fs2 =fif2lfsi = 52,5 кГц. Затем вычисляем Qs = (/s2-/si)/(/2-—/i)=l,82 и из табл. 0.15.6 видно, что можно использовать фильтр с п = 5, Qs=l,57, Лр = 45,6дБ. Его параметры: at =0,8833, a2 = 1,247 и т. д.
15.25.	Синтезировать режекторный фильтр для нагрузок 75 Ом, обеспечивающий в области пропускания с граничными частотами = 100 кГц и f2 = 150 кГц неравномерность ослабления менее 0,045 дБ. В полосе задерживания с граничными частотами /51 = 113кГц и /х2 = 133кГц ослабление должно быть не менее 40 дБ.
Указание. По условию задачи можно проверить, что им удовлетворяет фильтр Золотарева (см. табл. 0.15.6) порядка и = 4 при Qs = 2,46. Схема ФВЧ прототипа может быть выбрана согласно рис. 0.15.12, б (см. ответ). На рис. 15.25а, б даны схемы ФВЧ прототипа и РФ.
В. АКТИВНЫЕ RC-ЦЕПИ И ARC-ФИЛЬТРЫ
15.26.	Найти передаточную функцию по напряжению ARC-цепи (рис. 15.26,а). Дано: Rr = R2 = R = Ю5 Ом, Сг = = С2 = С=5 мкФ. Активный элемент ИНУН имеет коэффициент усиления к = 2. Определить значения добротности Q и частоты полюса сор. Найти АЧХ — Я (со) и ФЧХ — ф (со) цепи и построить их графики в функции со. Вычислить и построить график частотной зависимости влияния чувствительности элемента к на АЧХ.
450
Решение. Для расчета Н(р) ---------- эквивалентной с конечным ко-усиления к
Рис. 15.26
воспользуемся схемой ИНУН эффициентом (рис. 15.26,6).
Составляем
раторной форме по методу узловых напряжений для узлов а и b (потенциал точки О принят равным нулю): узел а
Va(^+pC2}-Vb^ = 0-, (15.1) \ ^2	у К2
узел b
у»(т+т+рС^~ К4=UiГ+ и^-
Коэффициент усиления к усилителя связан с его и выходным напряжениями соотношением
C7a = fcKa.
Подставляя это в (15.1) и (15.2), в результате совместного решения получаем операторное выражение передаточной функции
H(p] = U2{p}
уравнения в опе-
к
(15.2)
входным
(15.3)
G9) P2RiRi ClC2+p(RlCl + R2C2 + RlC2—kRlCl)+1 или при заданных условиях
к
(15.4)
~р2 (RC)2 + pRC(3 - Г) + f
Подставляя цифровые значения, находим
2	к
(15.5)
Н(р) =------~-------=----=--------,
0,25р2 + 0,5р 4-1 а2р2 + arp + aQ
здесь = #г = 0,5; #2 = 0,25.
По (0.15.46) и (0.15.47) вычисляем Q и сор:
2 = У1 -0,25/0,5=1, юр = 71/0,25 = 2.
(15.6)
15*
451
Таблица 15.5
(0, с 1	Н(ш)	ф(ш), град	ЯЛ»)	сН (ш) ° к
0	2.	0	2,02	1.0
0,5	2.0613012	-14.931413	2.0846563	1.13
1	2.2188008	-33.690068	2.2547676	1.62
2	2	-90	2.0612243	3.06
2,5	1.4590744	-114.22775	1.4985463	2.7
3	1.024295	-129.80558	1.0468429	2.2
4	0.5547002	-146.30993	0.5636919	1.62
5	0.3439469	-154.53665	0.3486647	1.37
10	0.0815817	-168.23172	0.08246547	1.08
Для расчета АЧХ и ФЧХ цепи удобно воспользоваться программой № 13 из приложения П1. Для этого заносим в программную память: а0 = 1 = РО; = 0,5 = Р1; а2 = 0,25 = Р2; />О = 2 = РЗ; &1=0 = Р4; />2 = 0 = Р5.
Вводя поочередно в регистр X различные значения о и нажимая каждый раз В/О С/П, получаем результаты, сведенные в табл. 15.5.
По этим результатам построены кривые рис. 15.26, в.
Определяем чувствительность влияния элемента к на АЧХ. Для этого коэффициенту к даем приращение 1%, т. е. примем к = 2,02. Тогда передаточная функция „ / х 2,02 примет вид: Я. (Р) = „,2у+0	р
По программе № 13 из П1 вычисляем новую АЧХ (со), а по (0.15.53) — чувствительность	График
модуля и фазы И (со) и ф(со) дан на рис. 15.26, в. График чувствительности можно построить по данным табл. 15.5.
а)
Рис. 15.27
б)
Рис. 15.28
452
a)
15.27.	Для схем с идеальным операционным усилителем с инверсным входом (рис. 15.27, а и б) найти передаточную функцию Н(р) и рассчитать Q, <ор АЧХ, ФЧХ при частоте сор:
а)	схема рис. 15.27, а: дано: /?1 = 1?2 = Л3 = 6 103 Ом; С. =7,5-10'8 Ф, С2 = 0,37х хIO"8Ф;
б)	схема 15.27,5: дано: Rl = R2 = R3 = 3  104 Ом, С^З-10'’Ф, С2 = 148пФ.
15.28.	Для схемы рис. 15.28 определить передаточную функцию полиномиального фильтра с операцион-
Рис. 15.29
усиления ц считать
ным усилителем, коэффициент его
конечным, а входную проводимость и выходное сопротивление равными нулю. Чему равна Н(р), если считать ц->оо.
15.29.	Определить передаточную функцию цепи (рис. 15.29, а), в которой идеальный операционный усилитель работает в качестве повторителя напряжения. Вычислить резонансную частоту и добротность полюса. Рассчитать АЧХ и ФЧХ и построить их графики. Рассчитать и построить график функции чувствительности АЧХ относительно элемента Сх. Дано: R1 = R2 = R3 = R = 50 кОм, С1 = 15 1О-10 Ф, С2 = 210“1ОФ.
Решение. Для расчета перечертим заданную схему, заменив операционный усилитель его схемой замещения (рис. 15.29,5).
Составляем уравнения по методу узловых напряжений:
узел а: Уа(т+РС1 \Лз узел Ь: и/' *' +' -х:)	' их-,
y^l ^2 ^3	У ^3	-^1
(15.1)
(15.2)
453
У повторителя напряжения потенциал Va точки а равен U2, подставляем Va=U2 в (15.1), находим Vb, подставляем в (15.2). Отсюда
Н(р) = ^1=------------*---------------.
U1(P) p2C1C2R2+PC2(r1+R3+^\+\+^-
\	R1 / К2
Подставляя сюда числовые значения, получаем
7,5'1(Г10/>2 + 3-1(Г/ + 2'
Резонансная частота и добротность полюса по (0.15.46) и (0.15.47) равны:
со = /----^-—-=51640 с-1,/„ = 8220 Гц;
р х/7,5-1О~10	7р
О =	= 1 29
ЗЮ-5 ’ ’
Расчет АЧХ и ФЧХ проводим по программе № 13 из П1, в которой: я0 = 2; <я1 = 3 10~5; б/2 = 7,5 • 10“10; Ьо=1; bi = b2 = O.
Для примера в табл. 15.6 приводим результаты расчетов для нескольких значений со.
Кривые АЧХ и ФЧХ даны на рис. 15.29, в.
Для расчета чувствительности примем, что Ct увеличилось на 1%, т. е. Ct = 15,15 • 1О~10. В этом случае уравнение Нг (р) примет вид
1 44	7,575 • 10" 10р2+ 3 • 10~5р + 2
По программе № 13 из П1 рассчитаем значения АЧХ: (см. табл. 15.6). Расчет чувствительности проведем по формуле (0.15.53). Результаты модуля чувствительности даны в последнем столбце табл. 15.6. Графики можно построить по данным табл. 15.6.
Таблица 15.6
ш, с 1	Жю)	(<х>), град	ЯДю)	
4 -104	0,69337553	-56,30	0,6965734	0,46
5 • 104	0,6643638	-85,2	0,6650005	0,096
5,164 104	0,6454945	-90	0,6454406	0,0084
6 • 104	0,5177804	-111,25	0,5151267	0,51
7 • 104	0,3722743	-128,6	0,3691045	0,085
454
Рис. 15.31
15.30.	Найти передаточную функцию Н(р) звена активного ЛС-фильтра (рис. 15.30). Коэффициент усиления к чисто вещественный, входное сопротивление и выходная проводимость ОУ бесконечно большие.
Из анализа Н(р) установить, когда звено этого ARC-фильтра перестает быть устойчивым и какова частота генерируемых колебаний на границе устойчивости?
Решение. По методу узловых напряжений составляем уравнение для узла а:
1
Д1+4~ pCi
1
Г
—F-pCi
+ и2(р)(^+рС2 ).	(15.1)
\Л2	/
Кроме того, потенциал точки а связан с U2(p) соотношением
Kr=U2(p)/k.	(15.2)
Решая совместно уравнения (15.1) и (15.2), получаем
1 —к
IJ(n\_ ^2 (Р) _
Н\Р) у z ч	/	С R \
Цепь перестает быть устойчивой, если числитель отрицательный, т. е. при к> 1 отрицательное слагаемое, k<\- C1R1 Ci-Ri + с2я2 Окончательно, условия неравенства: 1< к<1 — + С2Т?2
Границу устойчивости цепи определяют условием равенства нулю коэффициента при р в знаменателе Н(р\.
или, если в знаменателе появится когда ClRl + C2R2+^—^<0 или
неустойчивости цепи находят из
СЛ
455
C,R, + C2R2 + ^ = O
На границе устойчивости передаточная функция достигает максимума при резонансной частоте (»0: — a>oC1C2R1R2 + + 1=0, отсюда (»0 = 1 l2JCiC2RiR2.
15.31.	Рассчитать ARC ФНЧ Баттерворта второго порядка (рис. 15.31), если граничная частота ^ = 30 Гц, а в полосе пропускания неравномерность характеристики не должна быть более ДЛ=2дБ. Дополнительно дано: Rr = R2 = R, С1 = С2 = С=10“7 Ф. Найти R и к.
Решение. Передаточная функция определена в задаче 15.26 и имеет вид
<151’
Передаточную функцию Баттерворта второго порядка можно определить и аналитически с помощью формул (0.15.15) так, как это сделано в задаче 15.1, или с помощью табл. 0.15.1. В нормированных значениях она имеет вид
я (5)=^—!-------.
v 7 ++ 1,41425+ 1
Заменяя в этом уравнении х=р/ы^ имеем
Н(р)=,~у	1---—.	(15.2)
( — ) +1,4142 —+1 \(01/	(Oj
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в знаменателях уравнений (15.1) и (15.2), получим следующую систему компонентных уравнений:
R2C2 = \ или RC= —;	(15.3)
CDi	(Dj
J?C(3-^)=l,4142/co1.	(15.4)
Из уравнения (15.4)	находим R =	]0-?=
= 53052 Ом = 53,05 кОм.
Разделив (15.4) на (15.3), получаем 3 — к =1,4142, отсюда к= 1,59.
Из решения видно, что независимых компонентных уравнений два, а схема содержит пять параметров (7?х, R2, С15 С2, к). Поэтому необходимы три дополнительных условия: Rt = R2, С1 = С2=10"7Ф.
15.32.	Рассчитать ARC ФНЧ с максимально-плоской характеристикой, если частота среза ft = 150 Гц, неравномерность ослабления в полосе пропускания не превышает ЛА = 2 дБ, ослабление в полосе задерживания при частотах
456
fs 300 Гц не менее As = 20 дБ. Дополнительные условия: для звеньев ARC-фильтров воспользоваться схемой рис. 15.26, емкости принять равными 10“7 Ф, сопротивления одинаковыми.
Решение. Определяем порядок фильтра по (0.15.19) или с помощью программы № 14 из П1. Получаем п = 3,7, берем п=4.
Затем находим передаточную функцию, нули ее знаменателя вычисляем по (0.15.13а), так как п — четное. Вещественные части отрицательны при к=3, 4, 5 и 6.
При и=4, к = 3 s3=cos—+>sin—= -0,38268+>0,92388;
8	8
при п = 4, к = 4 s4 = cos^+>sin^= —0,92388+>0,38268;
8	8
при п = 4, к = 5 s5=cos-+>sin-= -0,92388->0,38268;
8	8
при и = 4, к = 6 s6 = cos^+>sin^= —0,38268— >0,92388.
8	8
Вычисляем квадратные трехчлены знаменателя передаточной функции: (5—s3)(s—s6) = s2 + 0,76536s +1; (s—s4)x x(s-s5 ) = ?+!,84776s+l.
Передаточная функция
s2+0,76536s+1 s2+ 1,84776s+1 ~
1
~ s4+2,6131s3 + 3,4142s2 + 2,6131s+r
Видно, что коэффициенты знаменателя совпадают с соответствующими значениями табл. 0.15.1.
Таким образом, фильтр состоит из двух звеньев второго порядка.
Передаточная функция первого звена
Я!(5)=1/(52 + 0,7653б5+1).
Рассчитываем его элементы. Как и ранее (см. решение задачи 15.31), заменяя s на р^, имеем
(р/ш1)2+0,76536р/со1 + 1
и, приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях р с выражением передаточной функции второго порядка (см. выражение (15.1) в решении задача 15.31)
p2R2C2+pRC(3 — k)+l’
457
получаем
l?^oCio = l/®i = 1,126• 10-6 или
R1C1 = 1/(2л/1)=1/(2л-150)= 1,061 -1(Г3 с;	(15.1)
Л10С10 (3 -кк) = 0,76536/0)! = 0,76536/(2я -150) =
= 8,12 -10~4 с.	(15.2)
Решая уравнения (15.1) и (15.2), получаем 3 — kY = = 8,12-10“4/1,061 10”3 = 0,765, отсюда ^ = 2,23. Из (15.1) Rr = 1,061 10“3/10“7 = 10610 Ом= 10,61 кОм.
Аналогично для второй передаточной функции:
Я2 (р)= l/(s2+1,84776s+1);
7?22оС22о = 1/(о? или Т?20С20 = 1/(2я • 150)= 1,061 • 10-3 с; (15.3) /?20С20 (3 - к2) = 1,847765/(2л • 150) = 1,96 • 10" 3 с. (15.4) Решая эти уравнения, находим: к—1,15, /?20 = 10,61 кОм. Рассчитаем добротности звеньев первого и второго по (0.15.46): 0! = 1/0,765 =1,30; g2 = 1/1,8477 = 0,54.
Схема фильтра дана на рис. 15.32, в которой звенья расположены в порядке возрастания добротностей.
15.33.	Рассчитать активный RC ФНЧ с плоской характеристикой по данным, на границе ПП на частоте = 30 Гц ослабление не должно превышать АЛ = 2 дБ, а на частоте ./>60 Гц ослабление должно быть не менее 25 дБ. Для звеньев второго порядка в качестве исходной принять схему рис. 15.26, а. В целях унификации элементов принять: Rk = = R2 = Rl0, С1 = С2 = С1О = 10“7 Ф.
Решение. Порядок фильтра определяем по (0.15.19) или по программе № 14 из Ш, вычисления дают и = 4,54. Берем и = 5, таким образом надо рассчитать фильтр пятого порядка.
Далее вычисляем нули передаточной функции Баттерворта по (0.15.136), так как п—нечетное, вещественные части sk отрицательны при к = 3, 4, 5, 6 и 7. Поэтому при п = 5 и к = 3 53 = cos^n+jsin|n=-0,309017+70,951057;
при п = 5 и к = 4 s4 = cos^n+jsin^n = — 0,809017+j’0,587785;
при л = 5 и к = 5 s5= cos я +j sin л = — 1;
458
при n = 5, k = 6 s6= — 0,809017—j’0,587785;
при n=5, k = l s2 = — 0,309017—/0,951057,
s3 и 57, а также 54 и s6 — комплексно-сопряженные величины.
Вычисляем квадратные трехчлены знаменателя передаточной фуНКЦИИ: (5 —53 )(5 — 57)=52+ 0,6180345+1; (5 — 54) х X (5 —56)=52 +1,6180345+1; 5 —55=5+1.
Передаточная функция
Н СО=--------------?-----------=
(5 - 53 )($ - 57 ) (S - S4 )(S - S6 ) (S - 55 )
1
(++0,618034s+ l)(s2 + 1,618034s+ l)(s+1)’
Эту. формулу можно представить в виде произведения трех сомножителей: H(s) = Ht(s)H2(s)H3(.s), где Hl(s) = = 1/(52 + 0,6185+1), Я2(5)= 1/(54 1,6185+1), Я3(5)=1/(5+1).
Следовательно, фильтр состоит из двух звеньев второго порядка и одного звена первого порядка. Расчет звеньев второго порядка проводим так же, как и ранее (см. решения задач 15.31 и 15.32). Передаточная функция звена второго порядка после денормирования на основе замены s^p/a^.
..1 у" 1------—
\2nfS) +0’6180342л/1 + 1
1
(15.1)
2,8145 • IO’У+ 3,2788 • 10“3р+1
Передаточная функция звена второго порядка при заданных условиях равенства резистивных сопротивлений и емкостей имеет вид
'+<з t i.+r	(151а)
Cio^ioP + и(нчо (3 — Ki )р + 1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем: С2О7?2О = 2,8145 • 10“5 и C10R10 (3 — кл ) = 3,2788 х х 10“3.
Совместное решение этой системы уравнений дает: С1ОЛ1р = 5,305-10’3; 3-^! = 0,618; ^=2,38; /?1О = 5,305х х 10“3/10“7 = 53050 Ом = 53,05 кОм.
Аналогично ведем расчет и для второй передаточной функции Я2(5), в результате получаем С 201? 20 = 2,8154-10“5 и С2ОД2о (3-*+) = 8,584-10“3.
Решение этой системы уравнений дает: С2ОТ?2о = 5,305 х х10“3; 3 — к2 = 1,618; £2 = 1,38; R20 = 53,05 кОм.
Расчет для третьего звена. Его передаточная функция:
459
6,=?//?,
6i = 1/R,
Рис. 15.34
H3(s)= 1/(5+1) или после денормирования
я3(р)=-г^-=-т^—
2лЛ;’+1 2лЗОР+1
1
5,305 • 10“3р+ Г
(15.2)
Эту передаточную функцию можно реализовать пассивной схемой рис. 0.15.14, а. Для нее
H^ = R с р+1
Кзо'-'ЗоР~Г 1
(15.2а)
Приравнивая знаменатели при одинаковых степенях р в (15.2) и (15.2а), имеем 7?зоС3о = 5,305 • 10~3 или так как С3о = Ю-7, то 7?ЗО = 53,05 кОм.
Схема фильтра дана на рис. 15.33, в которой, как это принято, звенья расположены в порядке возрастающей добротности.
15.34.	Рассчитать активный ВЧ-фильтр Баттерворта с плоской характеристикой (рис. 15.34, а*) второго порядка, если R^IR^, С1 = С2 = С=10-8 Ф. Граничная частота /=1000 Гц. Ослабление в пределах полосы пропускания должно быть не более АЛ = 1 дБ.
Решение. Найдем передаточную функцию Н(р), воспользовавшись схемой замещения рис. 15.34,6.
Составляем для нее уравнения по методу узловых напряжений:.
узел а
Va(G2+pC2)-VbpC2 = 0;	(15.1)
* Для данной схемы запись передаточной функции через проводимости G=\jR и S=\[C и обратные емкости компактнее, чем через R и С.
460
узел b
- VapC2+ Vb(Gr +pCr +PC2)=UlPC1 + U2G,-	(15.2)
Va=V2lk.	(15.3)
Совместное решение уравнений (15.1) — (15.3) дает следующее выражение передаточной функции:
__________________кр _______________
p2+p(GlS1+G2S2 + G2Si -kG1S1 ) + GlG2 StS2
(15.4)
Передаточную функцию ФВЧ второго порядка в нормированном виде можно получить на основании преобразования частоты из соответствующей передаточной функции ФНЧ, заменив s на l/s:
ФНЧ
ФВЧ ffG)-TT^—,^,.4',242,+ Г	<15'5’
х '	-з+-----+1
S S
Заменяя здесь s на р[(пг, находим для ФВЧ
Н(п\ —_______(plmi )2___________Р2______	(156)
(р/со1)2-|-1,4142р/ш1-|-1 р2+ 1,4142р+со?
Сравнивая коэффициенты при р и свободные члены в (15.4) и (15.6), получаем систему уравнений
С1С25152 = ®?;	(15.7)
GlS1 + G2S2 + ВД - kG^i = 1,4142®!.	(15.8)
Подставляя в (15.7) и (15.8) цифровые значения, получим систему уравнений:
2G?S2 = (b? или	(15.1а)
<7!5(5-Л)= 1,4142®!.
(15.2а)
Решая последние два уравнения, находим: Gt = = 4,443 • 10-5 См или /?1 = 1/С1 = 22508 Ом = 22,51 кОм; R2 = RJ2= 11,26 кОм k = 3.
15.35.	Рассчитать ARC ФВЧ с максимально-плоской характеристикой, приняв АЛ = 1,5 дБ на граничной частоте полосы пропускания f2 = 3400 Гц, а на граничной частоте полосы задерживания js = 1700 Гц ослабление должно быть не менее 30 дБ. Для звеньев второго порядка в качестве исходной принять схему рис. 15.34, а. В качестве дополнительных условий считать для каждого звена С1 = С2 = С— = 10~8 Ф; Л, =2,5 R2.
461
Рис. 15.36
15.36.	Рассчитать параметры активного симметричного полосового ARC-фильтра с плоской характеристикой по данным граничных частот: fr = 10 кГц, /2 = 14,4 кГц, АЛ = 2 дБ.
Схему фильтра рассмотреть в виде каскадного соединения ARC ФНЧ и ФВЧ (рис. 15.31 и 15.34). Дополнительные условия: все резистивные сопротивления должны быть одинаковыми и равными 18 кОм, емкости должны быть одинаковыми (подлежат определению), вычислить коэффициенты усиления.
Решение. Средняя геометрическая частота по (0.15.32):
/о = ч/10-14,4=12 кГц.
Полоса пропускания фильтра: П =/2 —= 14,4 —10 = = 4,4 кГц. Частота среза на уровне 2 дБ для низкочастотного и высокочастотного прототипов по (0.15.11) и (0.15.24): /сн = = 4,4/</Ю0’2-1 = 5,03 кГц, /св = 4,4лу1О0’2-1=3,85 кГц.
По (0.15.34) вычисляем частоты среза полосового фильтра
/с2 = ^ + J122+(^y = 14,78 кГц;
/с1 = 122/14,78 = 9,78 кГц.
Расчет низкочастотной части звена ПФ (см. решение задачи 15.31):
/?С=1/(2Л/с2);	(15.1)
(15.2)
Из (15.1) находим емкость
С= 1/(2л/с27?)= 1/(2л • 14780-18 • 103) = 5,98 • 10“10 Ф =
= 600 пФ; ^ = 1,59.
Расчет высокочастотной части звена ПФ (см. решение задачи 15.34). При вычислении берем /с1 вместо /с2. В результате: С«905 пФ; 8= 1,105• 109; £2 = 1,59. Схема фильтра представлена на рис. 15.36.
462
Глава 16
Корректирующие цепи
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ
1.	Общие соображения о корректирующих цепях. При прохождении сигнала связи по каналам в аналоговых системах передачи происходит изменение (искажение) его формы (информационного параметра сигнала), вследствие чего искажается передаваемая с помощью сигнала информация.
Искажения формы сигнала на выходе канала, обусловленные неравномерностью его амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) в пределах рабочей полосы частот и связанные с нарушением начальных соотношений между амплитудами гармоник сигнала на входе цепи, называются амплитудно-частотными искажениями (АЧИ).
Искажения формы сигнала, обусловленные нелинейностью фазочастотной характеристики (ФЧХ) канала и связанные с неодинаковостью фазовой скорости гармоник, называются фазочастотными искажениями (ФЧИ).
Для уменьшения искажений широко используются активные и пассивные корректирующие четырехполюсники (КЧ), включаемые согласованно в одном из сечений канала связи (рис. 0.16.1, а). Одним КЧ можно скомпенсировать амплитудные и фазовые искажения. Однако раздельная коррекция выполняется проще, кроме того, АЧИ и ФЧИ играют различную роль при передаче сигналов разных видов. Вследствие этого корректирование обычно проводят раздельно.
Рассмотрим синтезирование схем наиболее простых пассивных корректоров, амплитудных (АК) и фазовых (ФК).
463
2.	Амплитудные корректоры. АК предназначены для снижения АЧИ до значений, допустимых соответствующими нормами. Пассивные АК, как правило, представляют собой КЧ с постоянным повторным сопротивлением, нагруженные согласованно. За счет характеристического ослабления Лкор д корректора выравнивается АЧХ канала в пределах рабочей полосы частот. Требуемое ослабление Лкортр определяется как разность (Лрез — Лкан) между некоторой выбранной постоянной Лрез и ослаблением канала Лкан для каждой частоты. Графическое построение характеристики ослабления Аор.тр показано на рис. 0.16.1, б. Так как АК включается в одном из сечений канала согласованно, то его рабочая постоянная Граб кан не отличается от характеристической ПОСТОЯННОЙ Гкан (слеДОВатеЛЬНО, ^Раб.кан = Аан)-
После определения АЧХ корректора осуществляется синтез его схемы, который слагается из нескольких этапов.
На первом этапе решается аппроксимационная задача — определяется в явном виде выражение аналитической функции, описывающей заданную АЧХ АК и удовлетворяющей условиям физической реализуемости по ней схемы АК.
Как известно, рабочее ослабление Лкор(со) связано с его нормированной амплитудно-квадратичной характеристикой (АКХ) соотношением
Лор (®)= -101g /(со2),
где /(со2) = Н(/со) • Н(-у со) = (Я (/со))2
—квадрат модуля нормированной комплексной передаточной функции Н()ы).
В целях упрощения расчетов при проведении синтеза вместо частоты со широко используют нормированную частоту Q:
(0.16.1)
Q = со/соо,
где соо — нормирующая частота. Все используемые зависимости при этом записываются в функции Q: A(Q), /(Q2) и т. д.
Аппроксимационная задача считается решенной, если найденная функция
F/o 2)=
'	'	+	... +в0
(0.16.2)
является четной, дробно-рациональной и имеет вещественные коэффициенты.
При этом должны выполняться условия: п^т и на всех частотах 0 < F(£l2) < 1.
По условиям физической реализации необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты функции (0.16.2) были
464
бы положительными и коэффициенты числителя не превосходили бы коэффициентов знаменателя при соответствующих степенях.
На втором этапе оценивается точность предсказания заданной АЧХ АК с помощью полученной на первом этапе АКХ. Если указанная точность АЛ в рассматриваемом диапазоне корректирования соответствует требуемой, т. е.
I ^кор. тр ^кор. Д I АЛ доп 9	(О. 16.3)
где Лкор,д — рабочее ослабление АК, синтезированного по найденному выражению АКХ: Лкор.тр — заданное по условию рабочее ослабление, которое должен обеспечить АК; АЛДОП — допустимая неточность предсказания Лкор тр, то переходят к третьему этапу.
Расчет рабочего^ослабления Лкор д с помощью найденного выражения АКХ F(Q2) производят по формуле
Аор.д= -101gF(£l2).	(0.16.4)
На третьем этапе по найденной АКХ определяют нормированное выражение передаточной функции H(s) АК в виде
H(s)=Q(s)/N(s),
где Аф) — полином Гурвица (степень полинома Q(s) не должна превышать степени Аф)); s— нормированная операторная величина, связанная с комплексной переменной р соотношением $=р/ю0. л
Для определения H(s) найденное выражение F(Q2) преобразуется^ в /( —л2) путем замены Q2=— s2. Так как функция F( — s2) получается четной, то ее представляют в виде
=	(0.16.5)
Нули и полюсы функций H(s),	а также нули
полиномов Q(s), Q(—s), N(s), N(—s) расположены в плоскости 5 симметрично относительно мнимой оси.
Из (0.16.5) получают два решения
Я1(5) = 2(5)/А(5), h2(s)=q(-s)/n(-s),	(0.16.6)
по которым и реализуется искомая схема АК. Так^ как N (s') является полиномом Гурвица, то все полюсы H1(s) и Н2 (.s) лежат в левой полуплоскости, а на нули ограничений не накладывается.
Далее на этом этапе определяется схема АК и значения ее элементов. Данная ^задача реализации неоднозначна, так как любой функции H(s) обычно соответствует некоторая совокупность эквивалентных схем. Типовые задачи синтеза
465
h 2
2
-o—i
I
-o-J
lif'Ro’lzi'tRo
Г
Рис. 0.16.2
приводят, как правило, к реализации цепи в виде мостовых и перекрытых Т-образных схем постоянного входного сопротивления, а также лестничных схем.
Мостовая схема АК, согласованная со стороны входа и выхода, представлена на рис. 0.16.2, а. Так как сопротивления Zt и Z2 в схемах КЧ обычно выбирают взаимно обратными:
Z1Z2 = /?§,	(0.16.7)
где 7?О = 7?Н (7?н—сопротивление нагрузки), то имеют место следующие соотношения:
=	(0.16.8)
1 “t“ /I J
Мостовая схема позволяет реализовать любую из передаточных функций, соответствующих найденной аппроксимирующей функции F(£l2). Однако она имеет следующие недостатки: большой расход элементов, уравновешенность структуры и сравнительно высокую чувствительность характеристик к дестабилизирующим воздействиям. Поэтому в
466
аппаратуре связи чаще используют симметричную перекрытую Т-образную схему (рис. 0.16.2, б). При выполнении условия (0.16.7) схема имеет постоянное характеристическое сопротивление Zc = Rq и для нее действительны следующие соотношения:
г1(5) = Л0(1-Я(5))/Я(5); Z2(S) = /?g/Z1(5).	(0.16.9)
К достоинствам схемы относятся: неуравновешенность и простота структуры, а также простота настройки.
При реализации лестничной схемы нельзя записать в общем виде последовательность формул, позволяющих синтезировать цепь по H(s\ так как дополнительно требуется знание порядка функции 77 (s) и расположение ее нулей на плоскости.
В дальнейшем будем рассматривать синтез АК в виде перекрытых Т-образных схем.
Для синтезирования схемы АК необходимо иметь в явном виде выражение функции H(s\ получаемой непосредственно из выражения 7ф2). Так как при решении задачи аппроксимации наиболее оптимальным считается использование трех узлов интерполяции, то выражения F(s2) и для данного случая преобразовываются к виду:
Г(52)^(Л152 + Л0)/(52 + В0);	(0.16.10)
Я(^) = (а15 + а0)/(^ + ^0),	(0.16.11)
где Л19 Ло, Во — неизвестные параметры функции F(s2), определяемые в процессе решения задачи аппроксимации, я19 я0, Ьо — коэффициенты функции 77 (s), определяемые по значениям функции F(s2):
а1 = у/~А1, ао = \/Ло’ ^o = s/^o-	(0.16.12)
Нормированные сопротивления Z1(s) и Z2(s) перекрытой Т-образной схемы (см. рис. 0.16.2, б) АК через коэффициенты H(s) выражаются следующим образом:
Zi(5) = [5(1-ai)+(Z’o-«o)]/(«i^ + «o)-	(0.16.13)
Следует иметь в виду, что так как сопротивления^Z. (s\ Z2(s) плеч АК выбирают взаимообратными Z^s)- Z2(s) = = Rq = \), то для нормированной имеем F0 = l.
В зависимости от соотношений между коэффициентами выражений (0.16.13) могут иметь место три различные схемы сопротивлений Zt(s) и Z2(s) (рис. О.16.3д а — в) АК.
Первый случай. Если аг = \. то Zx(s) и Z2(s) имеют вид схем, представленных на рис. 0.16.3, а. Нормированные значения их элементов вычисляют по формулам:
Г1=(/>о-ао)/«о; о = 1/о; /1=^1 = 1/(^0-«о)-	(0.16.14)
467
a)
Рис. 0.16.3
Второй случай. Если аг<\. то вначале следует вычислить следующие параметры:
g=(l-«i)/«i; d=(b0-a0)/ /(l-aj; 6 = ^/0!.	(0.16.15)
При d>e схемы Z^s) и Z2(s) имеют вид (рис. 0.16.3, б), а нормированные значения элементов рассчитывают по формулам:
G=g; r2=g{d-e)/e, r3 = l/ri;	(0.16.16)
^4= li = ci = l/(d-e)g.
Третий случай. Схемы сопротивлений Zt(s) и Z2(s) для случая, когда ^<1 и d<e, представлены на рис. 0.16.3, в. Для расчета нормированных значений элементов используют формулы:
ri=(dg)/e; r2=g(e — d)/e;
r3 = 4rA ,r4 = \/r2i
l1 = cl=g(e-d)/ei.(O.16A7)
В качестве АК также применяются Г-образные КЧ (см. рис. 0.16.2, в, г), обеспечивающие согласование только с одной стороны. Иногда в качестве простейшего КЧ используется последовательный контур с сопротивлением 2Zt (рис. 0.16.2, д) или параллельный — с сопротивлением 1/(2Z2) (рис. 0.16.2, е), не дающие согласования ни с одной стороны.
Как правило, каждый из пассивных двухполюсников Zt и Z2 АК (см. рис. 0.16.2 а — е) содержит один или несколько резистивных и реактивных элементов в зависимости от соотношения между коэффициентами в выражениях (0.16.8), (0.16.9).
Важными в практике являются также схемы АК, у которых Zt состоит из параллельно соединенных: резистивного и реактивного сопротивлений (рис. 0.16.4, а, б).
Величину Х1 можно плавно изменять в зависимости от частоты, принимая для схем с двумя и более реактивными элементами, включенными в Z19 как положительные, так и отрицательные значения. Частотные зависимости ослабления этих АК представлены на рис. 0.16.5. Сопротивление
468
Рис. 0.16.5
Хг для соответствующих кривых образовано следующими элементами: 1-й—емкость Сг, 2-й—индуктивность 3-й—параллельно соединенные Lr и Сх, 4-й — последовательно соединенные Lt и С1; 5-й—последовательно соединенные L{ и С15 шунтированные емкостью Ci, 6-й—последовательно соединенные Lt и Q, шунтированные индуктивностью L\.
При использовании указанных АК крутизну кривой ослабления в рабочем диапазоне частот можно изменить регулированием сопротивлений Rx и Хг.
Подробно решение задачи синтеза схемы АК рассмотрено в задаче 16.1.
3.	Фазовые корректоры. Фазовые корректоры (ФК) предназначены для формирования требуемой ФЧХ канала связи. При этом предполагается, что АЧХ канала сформирована и не должна изменяться при подключении ФК.
Наиболее часто применение ФК связывают с необходимостью обеспечить линейный характер ФЧХ канала. Если частотная характеристика рабочей фазы канала связи Вкан имеет вид, изображенный на рис. 0.16.6, то требуемая характеристика Вкортр рабочей фазы ФК должна дополнять
469
Дин Д° линейно-частотной зависимости (рис. 0.16.6):
Дан + Дортр = СО?о-	(0.16.18)
ФК также включаются каскадно согласованно в одном из сечений канала связи (рис. 0.16.7). Реализуются они, как правило, с помощью фазовых контуров, представляющих собой четырехполюсники с передаточными функциями вида
H(p)=N(-p)/N(p),	(0.16.19)
где N(p) — полином Гурвица; А( — р) — полином, полученный заменой в N(p) переменной р на — р.
АЧХ фазового контура постоянна во всем частотном диапазоне, а ФЧХ — частотно зависима. Так как фазовые контуры являются цепями неминимально-фазового типа, то они не могут быть реализованы лестничными схемами.
Вследствие этого в качестве ФК широко используется мостовая схема постоянного входного сопротивления (см. рис. 0.16.2, а\ сопротивления плеч которой взаимно обратны, т. е. Zt(jсо)-Z2(усо) = Ло-
Рабочую фазу данной схемы определяют соотношением
Вр = 2 arctg В (со),	(0.16.20)
где В (со) = Zt (у со) / j [Zx (j со) — комплексное сопротивление продольной ветви мостовой схемы (см. рис. 0.16.2, а) ].
Синтезирование схемы ФК, так же как и амплитудного, проводится в три этапа, на каждом из которых решается аналогичная задача.
На первом этапе осуществляется выбор вида и расчет коэффициентов аналитического выражения кривой Вкортр, дополняющей ФЧХ канала связи Икан в заданном диапазоне частот /х 4-/2 до линейно-частотной. Аппроксимация полученной или заданной в виде графика (таблицы) ФЧХ ^кортр осуществляется с помощью тангенс-функции 2?(Q) вида
в^>~к ([!il-адЖ.-ад - •	(0 6 ’
Рис. 0.16.6
Рис. 0.16.7
470
где i = 1, 2, ... — число узлов интерполяции' =ft /f0 — текущее значение нормированной частоты;/0 = (/1+/2)/2—средняя арифметическая граничных частот и /2 заданной рабочей полосы; QOi> Оог> •••, ^ooi, ^оо> ••• — значения нулей и полюсов функции S(QJ; к—постоянный множитель.
Тангенс-функция В(О) связана с ФЧХ корректора Вкортр выражением
B(Q) = [tgBKopTp(Q)]/2.	(0.16.22)
При решении данной задачи аппроксимации также целесообразно использовать три узла интерполяции и тогда выражение (0.16.21) записывается в виде
В^ = к^1~^2\	(0.16.23)
В результате решения задачи аппроксимации определяют значения неизвестных параметров функции	QOi> Hooi
и проверяют условия:
fc>0, QooicQoi	(0.16.24)
физической реализуемости ФК в виде конкретной электрической цепи по полученному выражению B(Q).
При выполнении указанного условия (0.16.24) переходят ко второму этапу — оценке точности предсказания требуемой ФЧХ Хор.тр с помощью ФЧХ Вкор.д ФК, синтезированного по найденному выражению B(Q):
BKop.fl = 2arctgS(Q).	(0.16.25)
Если точность предсказания Вкор тр удовлетворяет предъявляемым требованиям:
AS = ISKOP. д - 5кор. тр | < АВД0П,	(0.16.26)
где А2?доп— допустимая неточность предсказания рабочей фазы ФК, то переходят к третьему этапу—расчету значений элементов плеч ФК, реализуемого по мостовой схеме (см. рис. 0.16.3, а).
Вначале определяют выражение нормированного комплексного сопротивления продольной ветви фазового контура Zi (у®)
Z^j^jB^).	(0.16.27)
Заменив j со на нормированную операторную величину s=р / соо, получим реактансную функцию Z2 \s 1, которую можно реализовать по любой канонической форме. Так как в рассматриваемых задачах принимается, что R0 = RH, то R0 = R0/SH=1, Z1(s)Z2(s)=Rq = 1 и, следовательно, функция Z2 (5) определяется как обратная Z2 (5), т. е.
Z2(i)=l/Z1(5).	(0.16.28)
471
Для случая использования трех узлов интерполяции выражения Z1(s) и Z2(s) записывают в виде
Z2(5)
7	^01).
Рис. 0.16.8
$2 оо 1
k-s(s2-(loi)'
(0.16.29)
Схема ФК, соответствующая полученному решению (0.16.29), приведена на рис. 0.16.8. Сопоставление выражений (0.16.29) со схемой ФК (рис. 0.16.8) позволяет выразить нормированные параметры элементов последнего через параметры тангенс-функции B(Q) следующим образом:
/1=С2=^;
/	_к(а201-с12«,
11 ~Сз
(0.16.30)
^=/3=1 /0(^1-^!)].
Программа 0.16.1
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
64	П1	41	80	—	11
65	F СУ	25	81	Fx>0	59
66	П2	42	82	91	91
67	F СУ	25	83	1	01
68	ПЗ	43	84	ИПВ	6L
69	ипд	6Г	85	—	11
70	Fx^O	59	86	Fx>0	59
71	94	94	87	91	91
72	ипс	6С	88	ИПЗ	63
73	Fx^Q	59	89	БП	51
74	94	94	90	95	95
75	ипв	6L	91	ИП2	62
76	Fx^O	59	92	БП	51
77	94	94	93	95	95
78	ИПД	6Г	94	ИП1	61
79	ипв	6L	95	С/П	50
Номинальные значения элементов схемы ФК определяют с учетом заданных значений Ro и соо:
472
Ci — Ci 1 /(Аошо )•
(0.16.31)
Для решения перечисленной совокупности задач по синтезу схем АК и ФК разработан применительно к ПМК типа БЗ-34 комплекс программ.
1. Программа 0.16.1—аппроксимации, заданной в виде графика или таблицы АЧХ АК, и проверки возможности ее реализации с помощью получаемой АКХ. Программа содержит 96 команд. Область с 0-й по 63-ю ячейку в ней занимает приведенная в приложении № 1 программа № 2 — решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Текст программы 0.16.1 с 64-й команды и до конца приведен ниже.
2. Программа 0.16.2 — оценки точности предсказания рабочего ослабления АК по заданному выражению АКХ.
В/О F ПРГ	Программа 0.16.2
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	П9	49	21	ипд	6Г	42	Fx2	22
01	Fx^O	59	22	+	10	43	fJ~	21
02	ПВ	4L	23	П5	45	44	ИПА	6 —
03	рУУ	25	24	ИП4	64	45	—	11
04	ПС	4С	25	ИПС	6С	46	/-/	0L
05	гСЗ	25	26	X	12	47	Fx^O	59
06	ПД	4Г	27	ипв	6L	48	52	52
07	С/П	50	28	+	10	49	ИП2	62
08	П1	41	29	ИП5	65	50	БП	51
09		25	30		13	51	53	53
10	П2	42	31	Fig	17	52	ИП1	61
11	F^y	25	32	1	01	53	FLO	5Г
12	ПА	4-	33	0	00	54	15	15
13	рСУ	25	34	X	12	55	С/П	50
14	ПО	40	35	/-/	0L	56	ИПВ	6L
15	С/П	50	36	С/П	50	57	С/П	50
16	ПЗ	43	37	/-/	0£	58	ИПС	6С
17		25	38	ИПЗ	63	59	С/П	50
18	С/П	50	39	С/П	50	60	ипд	6Г
19	Fx2	22	40	+	10	61	С/П	50
20	П4	44	41	С/П	50	62	ИП9	69
						63	С/П	50
473
3. Программа 0.16.3 В/О F ПРГ			—синтеза схемы		АК.	Программа 0.16.3			4. Программа 0.16.4 — аппроксимации, заданной в виде таблицы или графика ФЧХ ФК, и проверки возможности ее реализации с помощью полученного выражения тангенс-функции В/О, F ПРГ	Программа 0.16.4								
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код									
00	П2	42	31 32	БП 84	51 84	63 64	С/П БП	50 51	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
									00	ПД	4Г	32	X	12	64	П8	48
																	
01	рУУ	25	33	Fx>0	59	65	84	84									
02	П1	41	34	87	87	66	Fx#0	57	01	F УУ	25	33	—	11	65	рУУ	25
03	С/П	50	35	ИП5	65	67	91	91	02	ПС	4С	34	ИП8	68	66	П7	47
04	пв рУУ	4£	36	—	13	68	3	03	03	Fyy	25	35	ИП6	66	67	ИПВ	6£
05		25	37	П8	48	69	С/П	50	04	пв	4£	36	X	12	68	/-/	0£
06	ПС	4С	38	ИП7	67	70	ИП8	68	05	1	01	37	ИП9	69	69	С/П	50
									06	1	01	38	ИП5	65	70	£х>0	59
07	F УУ	25	39	ИПА	6-	71	ИП7	67	07	П1	41	39	X	12	71	91	91
08	пд	4Г	40		13	72		13	08	3	03	40	—	11	72	Fx/0	57
									09	по	40	41	—	13	73	91	91
09	F	21	41	П9	49	73	ПА	4 —	10	С/П	50	42	ПС	4С	74	Fl/x	23
10	ИПВ	6£	42	С/П	50	74	ИП9	69	11	ипд	6Г	43	ИП2	62	75	ИПА	6-
11		21	43	ИП6	66	75	X	12	12		13	44	ИП5	65	76	X	12
12	П6	46	44	ИП5	65	76	С/П	50	13	КП1	£1	45	ИПС	6С	77	F yf	21
13	—	11	45	4-	13	77	ИПА	6-	14	П2	42	46	X	12	78	С/П	50
14	П7	47	46	П7	47	78	ИПО	60	15	ипс	6С	47			11	79	П5	45
15	1	01	47	С/П	50	79	X	12	16	X	12	48	ИП8	68	80	ИПС	6С
16	ипс	6С	48	ИП9	69	80	С/П	50	17	—	11	49	—	13	81	/-/	0£
17		21	49	—	11	81	ИП7	67	18	КП1	L1	50	ПВ	4£	82		21
18	П5	45	50	ПО	40	82	4-	13									
19	С/П	50	51	Fx<0	5С	83	с/п	50									
20	—	И	52	66	66	84	ИП2	62	19	рУУ	25	51	ИП4	64	83	С/П	50
21	ПА	4 —	53	/-/	0£	85	БП	51	20	ИП2	62	52	ИП7	67	84	ИП5	65
22	Fx = 0	5Е	54	ИП8	68	86	94	94	21	ИПВ	6£	53	ИПС	6С	85	—	И
23	33	33	55	X	12	87	1	01	22	X	12	54	X	12	86	Fx<0	5С
24	ИП7	67	56	Fl/x	23	88	С/П	50	23	—	11	55	—	11	87	91	91
25	ИП6	66	57	С/П	50	89	БП	51	24	КП1	£1	56	ИПА	6-	88	ИП8	68
26	-4-	13	58	Fl/x	23	90	93	93	25	F L0	5Г	57	ИПВ	6£	89	БП	51
27	с/п	50	59	ИП7	67	91	2	02	26	10	10	58	X	12	90	92	92
28	ИП7	67	60	4-	13	92	С/П	50	27	ИП8	68	59	—	11	91	ИП7	67
29	Fl/x	23	61	с/п	50	93	ИП1	61	28	ИПЗ	63	60	ПА	4-	92	С/П	50
30	С/П	50	62	ИП8	68	94	С/П	50	29	X	12	61	С/П	50	93	ИП9	69
									30	ИП9	69	62	П9	49	94	С/П	50
									31	ИП2	62	63	рУУ	25			
474
475
5. Программа 0.16.5 — оценки точности предсказания рабочей фазы ФК по заданному выражению тангенс-функции В (О.).
В/О F ПРГ
Программа 0.16.5
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	П7	47	26	Fx2	22	52	59	59
01		25	27	+	10	53	ИП9	69
02	П8	48	28	П6	46	54	ИП5	65
03	fC^	25	29	ИПВ	6£	55	+	10
04	П9	49	30	Fx2	22	56	БП	51
05	С/П	50	31	ИП5	65	57	59	59
06	ПО	40	32	+	10	58	ИП5	65
07	F^y	25	33	ИП4	64	59	С/П	50
08	Ш	31	34	X	12	60	ИПЗ	63
09	F О1	25	35	ИПС	6С	61	С/П	50
10	П2	42	36	X	12	62	—	И
И	С/П	50	37	ИП6	66	63	С/П	50
12	ПВ	4L	38	-Г-	13	64	Fx2	22
13	F^y	25	39	Farctg	1L	65		21
14	ПС	4С	40	2	02	66	ИП2	62
15	fO	25	41	X	12	67	—	11
16	пд	4Г	42	П5	45	68	/-/	0L
17	С/П	50	43	ИП4	64	69	Fx>0	59
18	ПЗ	43	44	ипд	6Г	70	74	74
19	р(У	25	45	—	11	71	ипо	60
20	П4	44	46	Fx^O	59	72	БП	51
21	С/П	50	47	58	58	73	76	76
22	Fx2	22	48	Fx = 0	5Е	74	ИПО	60
23	1-1	0L	49	53	53	75	/-/	0L
24	П5	45	50	ИП8	68	76	FL1	5L
25	ипд	6Г	51	БП	51	77	17	17
						78	С/П	50
						79	ИП7	67
						80	С/П	50
6. Программа 0.16.6—синтеза схемы мостового ФК.
В/О F ПРГ
Программа 0.16.6
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ПД	4Г	32	ПЗ	43
01	F^y	25	33	ИП6	66
02	ПС	4С	34	4-	13
03	р(У	25	35	П6	46
04	ПВ	4L	36	С/П	50
05	С/П	50	37	ИП4	64
06	П9	49	38	X	12
07	р(У	25	39	С/П	50
08	П8	48	40	ИПЗ	63
09	F О	25	41	Fl/x	23
10	П7	47	42	С/П	50
11	ИП8	68	43	ПЗ	43
12	4-	13	44	ИП5	65
13	П4	44	45	X	12
14	ИП4	64	46	С/П	50
15	ИП8	68	47	ИПС	6С
16	X	12	48	С/П	50
17	Fl/x	23	49	ИП5	65
18	П5	45	50	X	12
19	ИПС	6С	51	С/П	50
20	С/П	50	52	ИП6	66
21	ИП4	64	53	С/П	50
22	X	12	54	ИП5	65
23	С/П	50	55	X	12
24	ипв	6L	56	С/П	50
25	Fx2	22	57	ИПЗ	63
26	ипд	6Г	58	С/П	50
27	Fx2	22	59	ИП4	64
28	П6	46	60	X	12
29	—	11	61	С/П	50
30	ИПС	6С	62	ИП9	69
31	X	12	63	С/П	50
Порядок обращения и работы с программами описаны при решении конкретных задач в разделе «Упражнения и задачи» данной главы.
476
477
УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ
А. КОРРЕКТОРЫ
АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ИСКАЖЕНИЙ
16.1. Рассчитать АК, выравнивающий заданную в виде табл. 16.1 (строки 1, 2) характеристику рабочего ослабления канала Лкан в диапазоне частот J\ = 0,3 кГц-?/2 = 3 кГц с точностью АЛДОП = +1,5 дБ. АК должен быть включен между двумя одинаковыми сопротивлениями RT = RH = Ro = 600 Ом.
Решение. В соответствии с методикой, описанной в п. 2 основных положений, разобьем рассматриваемую задачу на три: А, Б, В и каждую из вновь полученных решим в следующем порядке.
А. Аппроксимация АЧХ АК и проверка возможности ее реализации с помощью АКХ.
Вначале определим требуемую характеристику рабочего ослабления АК Aop.ip- Для этого вычислим границы интервала выбора значения Лрез: ^рез = (1,1 ч-1,3) Актах = = (1,1 1,3) х 8,6 = (9,46 н-11,18) дБ, где Лктах— максимальное значение ослабления канала в рассматриваемом диапазоне частот.
Таблица 16.1
/кГц	0,3	0,5	0,8	1,2	2	3
^кан, ДЕ	8,6	8,2	7,6	6,8	5	3,2
Лкан.тр, ДБ	0,9	1,3	1,9	2,7	4,5	6,3
Й=///о	0,182	0,303	0,4845	0,727	1,212	1,818
Примем Лрез = 9,5 дБ. По формуле: Лкортр(/) = Ирез-— Лкан(/) вычислим для каждой частоты / требуемое значение ослабления АК и занесем полученные значения в строку 3 табл. 16.1.
Определим АКХ F(Q2), используемую для реализации схемы АК. Для этого вначале пронормируем все частоты относительно частоты /0:/0 = (300 + 3000) /2=1650 Гц, по формуле, Q =///0. Полученные значения нормированной частоты Q занесем в строку 4 табл. 16.1.
Аппроксимационную задачу решаем методом интерполяции с использованием трех узлов интерполяции в точках: Qi = 0,182, Q2 = 0,727, Q3 = 1,818. Значения ослабления ЛКОртр в этих точках заданы: Aop.TP(^i ) = 0,9 дБ, Лор.тр(М= = 2,7 дБ, Лкор.тр(П3) = 6,3 дБ.
Используя выражение (0.16.1), вычислим значения F(Q2) в узлах интерполяции по формуле 478
F(Q2)=10“°’1<optp;	(16.1)
F(fi?)=10-O4O’9 = 0,8128;
F(Q1)=1O°’1:!’7 = 0,537;
/(Пз)= IO-0,1 6,3 = 0,2344.
Согласно (0.16.10) при выбранном числе узлов интерполяции функцию F(£l2) записывают в виде
f(Q2) = (^1Q2 + J0)/(Q2 + 50).	(16.2)
Для определения трех неизвестных параметров: А2, Ао, Во—составим систему из трех уравнений вида (16.2):
Я1'°’1|2.2+Л° = о 8128; Л1'°^72+Ло = 0 537;
0,1822 + Во	’	’	0,7272 + Во	’	’
' 1,8182+Я0 _ q 2344
1,8182 + В0
После алгебраических преобразований получим:
А 0+0,0330 • A t - 0,812850 = 0,0266;
Ао + 0,5285 • А! -0,5375о = 0,2838;	(16.3)
Ло + 3,3051 •Л1-0,2344Бо = 0,7747.
Решив с помощью программы 0.16.1 систему (16.3) относительно А2, Ао, Во, находим
Ло = 0,64501, Л =0,09346, Во = 0,76464.
Следовательно, искомая АКХ имеет вид
а/„ 2 \ _ 0,09346 • й2 + 0,64501 '	'	й2 +0,76464	‘
Полученную АКХ можно реализовать, так как все коэффициенты выражения Ао, А2, Во положительны и коэффициенты числителя не превосходят коэффициентов знаменателя при соответствующих степенях, At<l, А0<В0.
При использовании программы 0.16.1 для решения рассматриваемой задачи после ввода текста самой программы необходимо поэтапно ввести требуемые исходные данные:
а)	столбцы коэффициентов при неизвестных в системе уравнений (16.3);
б)	логические константы индикации:
Kr = 111111 — нереализуемости схемы АК из-за отрицательности хотя бы одного из коэффициентов (16.4),
К2 = 222222 — нереализуемости схемы АК из-за невыполнения соотношений между коэффициентами полиномов функции F(Sr),
479
(16-4)
(16.5)
К3 = 999999— реализуемости схемы АК по полученному выражению (16.5).
Ввод данных начинается после нажатия клавиши В/О и производится в следующем порядке. Вначале вводятся данные первого столбца коэффициентов системы (16.3): 1Т1Т1 с/п.
После просчета программа выдает на индикацию: 3. Далее вводятся коэффициенты второго столбца: 0,033; f ; 0,5285; f ; 3,3051; С/П. Индикация при останове: —3,2721.
Затем по аналогии вводятся коэффициенты третьего и четвертого столбцов: —0,8128; $ ; —0,537; $ ; —0,2344; С/П (индикация при останове: — 5.784 • 10“г), 0,0266; $ ; 0,2838; f ; 0,7747; С/П.
После ввода последнего — четвертого столбца программа рассчитывает и выводит на индикацию значения коэффициентов уравнения (16.2) в следующем порядке:
Во = 7.6463782 • 10-1;
Аг =9.3467033 -10"2;
Ло = 6.4501322 • 10-1.
Для получения каждого последующего коэффициента следует нажать клавишу С/П. После выдачи Ло следует ввести константы индикации по следующей схеме: К3; | ; К2; $ ; Кг; С/П и после проверки условий физической реализуемости F(Q2): Ло>0; А1>0; Во>0; At<l; А0<В0, программа выдаст на индикацию соответствующую константу. По результатам решения рассматриваемой задачи на индикацию выводится константа К3, что свидетельствует о возможности использования выражения (16.5) для синтеза схемы АК.
В программе принято следующее распределение информации по адресуемым регистрам памяти:
per.	В-Лх;	per.	i-^i;
per.	с-50;	per.	2-^2;
per.	А-Ло;	per.	3-X3.
Значения коэффициентов Ао, Л15 Вх сохраняются в памяти ПМК до конца работы программы и в случае необходимости могут быть вызваны на индикацию в режиме «Автоматическая работа».
Б. Проверка точности предсказания Лкортр по найденному выражению F(Q2). После того, как установлено, что F(Q2) удовлетворяет условиям физической реализуемости, следует перейти к оценке точности коррекции, которую можно обеспечить с помощью найденного выражения F(Q2). Для этого в произвольно выбранных точках диапазона коррек
480
тирования по (0.16.3) проверяют точность предсказания рабочего ослабления АК. Если условие (0.16.3) выполняется для каждой из проверенных частот, то можно переходить к синтезу схемы АК.
Программа 0.16.2 осуществляет весь комплекс необходимых вычислений значений Лкор д и АЛ [по (0.16.4) и (0.16.3)] и проверяет условие (0.16.3) в каждой из выбранных «п» точек диапазона корректирования. Если указанное условие в какой-либо точке не выполняется, то данный цикл вычислений завершается выводом на индикацию логической константы Кх = 111111, при выполнении условия (0.16.3) выводится логическая константа К2 = 555555. В обоих случаях программа продолжает расчет и проверку условия (0.16.3) для оставшихся непроверенными точек диапазона корректирования.
После полного завершения работы программы на индикацию выводится логическая константа К3 = 999999.
Кроме перечисленных констант К19 К2, К3 и исходных данных Лкортр, АЛДОП, п (число точек, в которых проверяется точность предсказания Лкортр) в программе используются значения коэффициентов Ло, Л1? Во, необходимых для расчета F(Q2) по (16.2). Все исходные данные распределены по адресуемым регистрам памяти следующим образом:
per. А - ЛАдоп;	per.	Д - Во;	per.	1 - Кг;
per. В — Ао;	per.	О —и;	per.	2 — К2;
per. С — А1;	per.	3-ЛкоРтР	per.	9-АГ3.
Для промежуточных вычислений используются регистры 4 и 5.
После ввода текста программы и перехода в режим «Автоматическая работа» нажимается клавиша В/О и осуществляется ввод исходных данных по нижеприведенной схеме (в скобках указана информация, которая выводится на индикацию при останове перед очередным вводом):
1-й ввод: Бо; Т ; Аг ;	$ ; Ао; $ ; К3; С/П; (Во);
2-й ввод: и; $ ; АЛДОП; J ; К2, J ; Кг; С/П; (и);
3-и ввод, fl, f , Лкортр, С/П.
После третьего ввода программой рассчитываются и последовательно выводятся на индикацию значения: Q; Лкорд; АоР.тР; АЛ; константа Кг или К2 в зависимости от результатов проверки условия (0.16.3). Затем производится ввод значений Q и Лкор.тр для следующей проверяемой точки и описанный цикл вычислений повторяется. Таким образом просчитываются все «п» выбранных для проверки точек, после чего программа последовательно выводит на
16 Заказ 2113
481
индикацию коэффициенты Ао, Аг, Во и логическую константу К3, свидетельствующую о завершении ее работы в целом.
Для рассматриваемого примера вводились следующие исходные данные (в скобках приведены показания индикатора при останове перед очередным вводом):
1-й ввод: 0.76464; f ; 0.09346; f ; 0.64501; f ; 999999;
С/П, (7.6464-10’1);
2-й ввод: 6; j ; 1.5; t ; 555555; f ; 111111, С/П. (6).
Число проверяемых точек выбираем равным шести (по числу значений Лкортр, имеющихся в табл. 16.1). Допустимая неточность предсказания АЛДОП принималась равной +1,5 дБ. В процессе третьего ввода для каждой точки вводились значения £2 и Лкортр из табл. 16.1.
Программа рассчитала и выдала на индикацию для всех шести точек значения £2, Лкорд, ^Юптп, АЛ, кДЛ/Д сведенные в табл. 16.2.
Замечание. Покажем, как вычислить ослабление амплитудного корректора Лкорд, не прибегая к ПМК и программе 0.16.2.
При трех узлах интерполяции АКХ имеет вид (16.2). Передаточная функция Я(И) равна корню из этого выражения, а ослабление А = = 201g[l/tf(h)].
Итак,
, 4	/ й2 + В0
Для данной задачи по (16.5), взяв для Q одно из значений в табл. 16.2, например Q = 1,82 • 10 \ имеем
z ч /	(1,82 •10“1)2 + 0,76464
v \ 0,09346(1,82-10“1)2 + 0,64501
Расчет дает тот же, что и в табл. 16.2, результат Акорд = 9.022845 • 10 г. Аналогично можно рассчитать и для других точек, но при этом затрата времени значительно увеличится.
Таблица 16.2
О	Лкор. Д •> дБ	Акор. тр> дБ	АД, дБ	*>(К2)
1.82-10’1	9.022854-10“1	910"1	—2.2854-10“3	555555
3.03-10“1	1.1739579	1.3	1.260421 • 10“1	555555
4.845-10“1	1.7563828	1.9	1.436172-10"1	555555
7.27-10“1	2.7004165	2.7	-4.165 -10“4	555555
1.212	4.5563041	4.5	— 5.63041 10 2	555555
1.818	6.3006327	6.3	— 6.327-10“4	555555
После вывода результатов (табл. 16.2) программа выдает на индикацию значения коэффициентов выражения (16.5):
482
Ло = 6.4501-IO”1; А± = 9.346• 1О~2; Во = 7.6464• 10"1 и константу К3 = 999999.
Результаты расчетов (табл. 16.2) свидетельствуют о том, что точность предсказания рабочего ослабления Лкортр по найденному выражению приемлемая и следует переходить к синтезу схемы АК.
Если условие по точности корректирования (0.16.3) не выполняется для какой-то одной или нескольких частот, то необходимо заново подобрать узлы интерполяции Q2, Q3. Естественно, что функцию F(£l2\ полученную для нового набора узлов интерполяции, необходимо проверить на возможность физической реализации.
В. Синтез схемы АК. Синтез схемы АК осуществляется с помощью программы 0.16.3, обеспечивающей получение числовых значений коэффициентов передаточной функции H(s) (0.16.11) и нормированных элементов операторных сопротивлений Z^s), Z2(s) синтезируемой схемы АК.
В качестве исходных данных в программе используются: Ао, Л1? Во — коэффициенты полиномов выражения F(fi2); Кх = 111111—логическая константа индикации невозможности реализации схемы АК при ал<\ и e = cL К2 = 555555 — логическая константа индикации успешного проведения синтеза схемы АК.
Распределение исходных данных по адресуемым регистрам памяти следующее: per. В — Ао; per. С — А1; per. Д —7?0; per. 1 — Kr; per. 2 — К2.
В качестве рабочих используются регистры: А, О и с 5-го по 9-й. В связи с ограниченностью программной памяти микрокалькулятора параметры: г2—для первого, г3 и г4 — для остальных, а также номинальные значения элементов схем	для всех случаев (см. раздел 0.16.1)
программой не рассчитываются. Их определяют отдельно после окончания работы программы в режиме «Автоматическая работа» по формулам:
r4=i/r2;	(166)
7?; = 7?0;	=	C,i = ci/(J?O(OO).
Исходные данные вводятся после нажатия клавиши В/О в следующем порядке:
1-й ввод:	f ; Л?2; С/П;
2-й ввод: BQ; | ; А1; f ; Ао; С/П.
Вывод результатов осуществляется по следующей схеме. Для всех случаев при первом после полного ввода данных останове на индикацию выводится значение коэффициента ал. Далее в зависимости от его значения на индикацию выводятся:
16*	483
для первого случая (^ = 1) — rj lr=cr\ К2;
для второго случая (^<1, d>e) — d; е; rr; r2; li = c1; К2;
для третьего случая	d<e) — d; е; Ки з; г2?
где Л?и,з — константа индикации выполнения условия: d<e при аг<\. Значение константы записано в тексте программы 0.16.3.
Кроме этих программа различает также следующие случаи:
a)	ar > 1 —на индикацию выводятся: аг; Л?и t; Кх;
б)	ar < 1, e = d—на индикацию выводятся: ar; d; е; АИ2; Л?1? где Хид; А?и,2 — соответственно константы индикации первого и второго случаев невозможности реализации схемы АК.
При невозможности осуществления схемной реализации АК следует либо изменить расположение узлов интерполяции и рассмотреть новое выражение	с измененными
коэффициентами Ло, 50, либо перейти к другому выражению F(Q2) при измененном числе узлов интерполяции, либо использовать другие приемы.
Применительно к рассматриваемому примеру программа синтеза работает следующим образом.
Исходные данные вводятся в следующем порядке:
1-й ввод: 111111; f ; 555555, С/П.
2-й ввод: 0.76464; $ ; 0.09346; | ; 0.64501, С/П.
Результаты вычислений:
^ = 3.0571228-10“1 С/П; л
d=l -027122-10-1 С/П;
е = 2.627062 С/П;
^и,з = ЗС/П	I	Л6 7^
= 8.8792909 • 10“2 С/П;	[	у ’
г 2 — 2.1822565 С/П;
/1 = С1 = 8.3068329-10"1 С/П;
К2 = 555555.	J
Вывод на индикацию константы К2 свидетельствует об успешно проведенном синтезе и завершении работы программы.
Правильность вычисленных ПМК результатов можно проверить непосредственными вычислениями по формулам 0.16.12 и 0.16.14 — 0.16.17.
484
Определим значения нормированных элементов, не рассчитываемых программой гз = 1/г! = 1/0.08879= 11.2625, г4 = = 1/г2 = 1/2.1822 = 0.4582, и номинальные значения элементов схем сопротивлений Z3 и Z2. Так как в данном случае e>d, то имеем третий случай синтеза и схемы Z3 и Z2 имеют вид, представленный на рис. 0.16.3, в. Используя значения Ro — 600 Ом и /0 = 1,65 кГц, получаем
(оо = 2я/0 = 6,28 • 1650 = 10362 с" *;
Rt = riR0 = 0,0888 • 600 = 53,28 Ом;
r2 = r2R0 = 2,1822 • 600 = 1309,3 Ом;
R3 = r3R0 = 11,262 • 600 = 6757,2 Ом;
r4 = r4R0 = 0,4582 • 600 = 274,9 Ом;
Lt = /1/?oMo = 0,8306-600/10 362 = 48,095 мГн;
G = C1 //?o®o = 0,8306/(600-10 362) = 0,133 мкФ.
Расчет АК закончен.
16.2.	Рассчитать АК, выравнивающий характеристику рабочего ослабления канала +кан (табл. 16.3) в диапазоне частот (0,3 = 3) кГц с точностью + 1,5 дБ. АК включается между сопротивлениями = 7?н == 600 Ом.
Таблица 16.3
f кГц	0,3	0,5	0,8	1,2	2	3
Акан, ДБ	10,4	10,6	11		13	15
^кортр, ДБ	6,1	5,9	5,5	4,8	3,5	1,5
Q	0,1818	0,303	0,4848	0,7272	1,212	1,818
Решение. Рассчитаем Арез и f0: Лрез=16,5дБ, f0 = = 1,65 кГц и с их помощью определим +кортр и Q для каждого значения частоты f (табл. 16.3). Выбирая узлы~интерполяции: Qi=0,1818; О2 = 0,727; Q3 = 1,818, имеем F(Qi) = = 0,2454; F(Q2) = 0,3311; F(Q3) = 0,7079. Составляем систему алгебраических уравнений и после преобразований получаем:
+o + 0,0330+i — 0,2454ВО = 0,0081; 3
+о + 0,5288+1-0,3311Во = 0,1751; >	(16.1)
+о + 3,305Ы1-0,7079Во = 2,3397. J
А. Решаем задачу аппроксимации и проверки возможности реализации АКХ с помощью программы 0.16.1.
Результаты расчета по программе: Во= 11,926212;
Аг = 2,3982986; +0 = 2,855648; К2 = 222222.
АК по полученной F(Q2) нереализуем.
485
Изменим узлы интерполяции: Qt =0,1818; Q2 = 0303;
Q3 = 1,212 и определим новую систему уравнений.
Ао + 0,033^- 0,2454ВО = 0,0081; 3
Ло + 0,0918Л1-0,257Во = 0,0236; >	(16.2)
Ао+ 1,4689Л - 0,4467ВО = 0,6562. J
Результаты расчета по программе аппроксимации:
Во = 3,2887614;
At =9,1240873 -10”1;
Ао = 7,850525-10“ ‘;	'
К3 = 999999.
По АКХ с полученными коэффициентами (16.3) АК может быть физически реализован.
Б. Проверка точности предсказания Лкортр по найденному выражению АКХ производилась с помощью программы 0.16.2 в шести точках диапазона корректирования. Точность задания коэффициентов Ао, Л15 Во составляла 6 значащих цифр. Полученные результаты сведены в табл. 16.4.
Таблица 16.4
	-^кор. Д, дБ	-^кор.тр? дБ	АЛ, дБ	К,(К2)
1.818-10"1	6.1010639	6.1	—1.0639 • 10“3	К2
3.03-10“1	5.9006036	5.9	-6.036-10“4	К2
4.848-10“1	5.4722889	5.5	2.77111 • 10“2	к2
7.272-10“1	4.7882238	4.8	1.17762-10”2	к2
1.212	3.4997112	3.5	2.888-10”4	к2
1.818	‘ 2.3928032	1.5	— 8.928032 • 10”1	к2
^о = 7.85052 -НТ1; А3 =9.12409 • КГ1; ВО = 3.28876; Г, = 999999.
В. Результаты проведения синтеза схемы АК по программе 0.16.3:
aY = 9.5520102 -10”1 С/П;
й?= 20.702743 С/П;
е = 9.2758653-10"1 С/П;
Г! = 1.0782179 С/П;
г2 = 9.9985961 • 10”1 С/П;
/1 = С1 =4.6900075-10”2 С/П;
£2 = 555555.
Так как d>e, то имеет место 2-й случай синтеза:
486
g>o = 10362 c j;
r3 = 0.92745;	R3 = 556,5 Ом;
r4= 1.00014;	T?4 = 600,1 Ом;
_R1 = 646.9 0m;	£1 = 2.71мГн;
R2 = 599.9 Ом; Q = 7.54 нФ.
Сопротивления Zx и Z2 имеют вид схемы рис. 0.16.3,6.
Б. КОРРЕКТОРЫ ФАЗОЧАСТОТНЫХ ИСКАЖЕНИЙ
16.3.	Рассчитать ФК по заданной (табл. 16.5) в диапазоне частот: J\ =0 ^-f2 —12 кГц характеристике рабочей фазы корректора Вкортр. ФК должен обеспечивать точность коррекции + 15° и быть включенным между двумя одинаковыми сопротивлениями: Rm = R„ = R0 = 600 Ом.
Таблица 16.5
/, кГц	0	1	2,42	3,76	6	8	10	12
^кор.тр, град	0	44,1	114,6	180	249,2	279	297,4	308,3
п=/7/о	0	0,1666	0,4033	0,6266	1	1,3333	1,6666	2
Решение. В соответствии с методикой, изложенной в п. 3 основных положений, разобьем рассматриваемую задачу на три (А, Б, В) и каждую из них решим приведенным ниже способом.
А. Аппроксимация заданной ФЧХ ФК и проверка возможности ее реализации с помощью получаемой тангенс-функции В (О). В целях упрощения решения задачи прежде всего пронормируем заданные в табл. 16.5 частоты относительно частоты /о :/0 = (/1+/2)/2 = (0+12)/2 = 6 кГц по формуле: Q=///o. Полученные значения Qf занесены в табл. 16.5.
Для решения задачи аппроксимации выбраны следующие три узла интерполяции:
Qi-0.1666; Q2 —1; Q3 = 2.	(16.1)
Значения рабочей фазы Бкор>тр, соответствующие этим частотам, следующие:
5кор.Тр(0.1666) = 44.1°;
ЯкоР.тр(1) = 249.2°;
5КОр.Тр(2) = 308.3°.
Используя выражение B(Q) (0.16.22), определяем значения
487
тангенс-функции в узлах интерполяции:
В (0.1666) = tg [Вкортр (0.1666)/2] = tg	= 0.405042;
В(1) = tg [ВКорТр (1)/2] = tg	= -1.449583;
В (2) = tg [Вкортр (2)/2] = tg	= - 0.484496.
(16.2)
Для нахождения неизвестных параметров функции B(Q) составляется система из трех уравнений типа (0.16.23):
n/гл

Я(Я2) =
(16.3)
d(s\ \ _ A?Q3 (Qoi — ^з)
Выражение (16.3) преобразуется к каноническому виду: ЛГЯ^1Я1-Л:Я?-В(Я1)Я^1 = -Я?В(Я1); л
= -Q22B(Q2); >	(16.4)
-я^(я3). J
После подстановки числовых значений Я; (16.1) и тангенс-функции B(£li) (16.2) в (16.4) получаем:
0.1666* +0.00463j + 0.405z = -0.0112; 1
*+ у— 1.4496z = 1.4496;	>
2х+	8j — 0.4845z= 1.938, J
где
х = Л?По1, У=~К, z=-Q^i.
(16.5)
(16.6)
Результатом решения системы уравнений (16.5) являются конкретные значения параметров В (Я): К, ЯОь Яда1, используемые для проверки условий (0.16.24) физической реализуемости полученной тангенс-функции (0.16.23). В случае выполнения указанных условий переходят к задаче Б — оценке точности проведения коррекции с помощью полученного выражения В (Я).
Для решения рассматриваемой задачи А, используется программа 0.16.4. После ввода ее в память ПМК необходимо перейти в режим «Автоматическая работа», нажать клавишу В/О и ввести поэтапно числовые значения исходных данных по излагаемой ниже схеме.
488
Вначале вводятся коэффициенты afl первого столбца системы уравнений (16.5), затем второго, третьего и четвертого. Ввод коэффициентов у-столбца осуществляется следующим образом:
ац t a2j t a3j.	(16.7)
При первом останове после ввода данных первого — третьего столбцов производится ввод данных следующего столбца. При подобном останове после ввода данных четвертого столбца системы (16.5) вводятся логические константы:
Ki = 111111 — константа индикации нереализуемости схемы ФК из-за невыполнения условий физической нереализуемости (0.16.24),
К2 = 555555 — константа индикации возможности реализации схемы ФК по полученному выражению В (Я),
К3 = 999999 — константа индикации окончания работы программы.
Ввод указанных констант организуется следующим образом:
Т; К2]; К3- С/П.	(16.8)
После этого программа последовательно рассчитывает и выдает на индикацию значения: К, QOi? ЯХ1, Кг или К2 в зависимости от результатов анализа условий (0.16.24) для полученных значений К. QOi> ^ooi и К3.
Ввод исходных данных для рассматриваемого примера описан ниже:
В/О
1-й ввод —0.1666, Т, 1, I, 2, С/П; (3)
2-й ввод —0.00463, |, 1, Т, 8, С/П; (-6.6177 • 10"1);
3-й ввод —0.405, Т, -1.4496, J, -0.4845, С/П;
(4.4535885 • 10-1);
4-й ввод-----0.0112,	1.4496, J, 1.938, С/П,
(8.8465728 • Ю^1);
5-й ввод—111111,	555555, J, 999999, С/П.
В скобках приведены показания индикатора ПМК при первом останове после соответствующего ввода.
Результаты расчетов, выдаваемые программой после выполнения 5-го ввода:
489
£=2.6266678- IO’3, (С/П);
QOi = 18.352065, (С/П);
£2»! =6.2572779-IO’1, (С/П);	>
К2 = 555555, (С/П);
£3 = 999999.
(16.9)
В скобках указана клавиша, которую нужно нажать для того, чтобы программа рассчитала следующий результат. В программе используется следующее распределение результирующей информации и логических констант по адресу-
емым регистрам памяти: per. 7 — ^ = 111111; per. 8 —Л?2 = 555555; per. 9 — ^3 = 999999;
per. А — ATQoi;
per. В —(-£);
per. С-(-О2да1).
Полученная в результате решения рассматриваемой задачи аппроксимирующая тангенс-функция B(Q) после подстановки числовых значений рассчитанных коэффициентов (16.9) имеет вид
D /Гй _ 0-0026Q (18.35222 - Q2
' '	0.62572- Q2
(16.10)
Присутствие константы К2 в результатах решения (16.9) свидетельствует о том, что полученная тангенс-функция (16.10) удовлетворяет условиям физической реализуемости (0.16.24) и, следовательно, может быть использована для синтеза схемы ФК.
Б. Расчет и оценка неточности предсказания рабочей фазы ФК по найденному выражению тангенс-функции В(П). Данную задачу решают с помощью программы 0.16.5. В процессе своей работы указанная программа по (0.16.25) и (0.16.26) рассчитывает и выдает на индикацию для каждой нормированной частоты заданной пользователем, значения: Вкор.д, Вкор.тр, АВ и константы К2 [К2 = 555555 — логическая константа индикации результатов проверки условия (0.16.26)].
Если в какой-либо точке частотного диапазона условие (0.16.26) не выполняется, то после параметра АВ программа выдает на индикацию отрицательное значение К2 ( — 555555), в противном случае на индикацию выдается положительное значение К2 (555555).
В обоих случаях при нажатии клавиши С/П после индикации К2 программа продолжит весь цикл вычислений для следующей текущей частоты Точность предсказания Дсор.тр программа может проверять в любом числе точек п диапазона корректирования. Завершив расчет и проверку точности предсказания Вкор тр во всех заданных пользовате
490
лем точках, программа выводом на индикацию логической константы К2 = 999999 информирует о полном завершении своей работы.
Кроме перечисленных логических констант К2, К2 и исходных данных п, Вкортр, АВДОП в программе используются значения коэффициентов: к, По1, Фюь входящих в выражение тангенс-функции В(£1) и две постоянные константы: 180 и 360°. Исходные данные и константы распределены по адресуемым регистрам памяти следующим образом:
per.	0- K2;	per.	7 —	K3;		
per.	1 —n;	per.	8 —	180°;		
per. per.	2 —АВДОП; 3	^КОП ТП5	per. per.	9 — В	360°; "^015		(16.11)
per.	4-£2;;	per.	C-	-K;		
per.	5, 6 — рабочие;	per.	Д-	^ool-^		
Исходные данные вводятся самой программой. Порядок работы с программой следующий.
После ввода программы в память ПМК переходят в режим «Автоматическая работа», нажимают клавишу В/О и вводят исходные данные по следующей схеме (в скобках указаны показания индикатора при останове программы перед следующим вводом):
1-й ввод: 360, Т, 180, Т, К3, С/П; (360);	'
2-й ввод: А5ДОП; f; п; J; К2, С/П; (АВД0П); I
3-й ввод: Q.xl; Т; К; П01; С/П; (Q«,i);
4-й ввод: Q;: 5кортр: С/П.
После 4-го ввода программа начинает считать и последовательно выводит на индикацию значения:
Ц, Дсор.д> Дсор.тр, АВ, ±К2.	(16.13)
Знак «+» или «—» при К2 соответствует полученной в данной точке точности предсказания Вкор тр. Для получения каждого последующего после Q; значения в (16.13) нужно нажимать клавишу С/П.
После вывода на индикацию значения константы К2 по схеме (16.12) вводятся очередные значения Q; и Вкор тр, и программа опять рассчитывает и выдает на индикацию серию результатов по схеме (16.13). Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будут просчитаны все п точек, заданных пользователем (ограничений на величину «п» нет). После этого программа выдает на индикацию константу К2.
При решении рассматриваемого примера после ввода программы 0.16.5 в память ПМК и нажатия клавиши В/О осуществляется следующий ввод данных:
491
1-й ввод —360, J, 180, f, 999999, С/П, (360);
2-й ввод: -15, t, 8, j, 555555, С/П, (15);
3-й ввод—0.6257, Т, 0.0026,	18.3521, С/П, >
(6.257-10-1);
4-й ввод — 0, t, 0, С/П.
(16.14)
После проведенных расчетов программа последовательно выдала на индикацию следующие значения:
0, (С/П); >| о, (С/П);
0, (С/П); >
0, (С/П);
5555555. J
(16.15)
В скобках указано наименование клавиши, которую нужно нажать для получения следующего значения в (16.15).
Значение АВ и знак константы К2 в (16.15) свидетельствуют о том, что требуемая точность коррекции ФЧХ в данной точке обеспечивается.
В тот момент, когда на индикаторе высвечивается значение К2, осуществляется ввод очередных значений и Вкор тр: 0.1666,	44.1, С/П.
После расчетов программа выдала на индикацию следующие результаты:
1.666-10"1,	(С/П);
43.705898,	(С/П);
44.1,	(С/П);
— 3.94102-10"S (С/П),
555555.
Подобным образом выполнялись расчеты для оставшихся шести точек. Полученные при этом результаты сведены в соответствующие столбцы табл. 16.6. Их анализ свидетельствует о возможности перехода непосредственно к синтезу схемы ФК.
Замечание. Действительное значение Вкор д можно вычислить без помощи ПМК и программы 0.16.5 так: при трех узлах интерполяции аппроксимирующая функция B(Q) имеет вид (16.10), которая при значении Q = 0,1666 (для примера взято из второй строки табл. 16.6) будет
В (Q) = 0,0026
0,1666 18,35222 — 0,16662
-------—7----------Ц----- = 4,010056 • 10-0,62572 —0,16662
Искомую 2?кор.д определяют по (0.16.25):
Вкор. д = 2 arctg 4,010056 • 10 ~1 = 43,702.
Этот результат с достаточной точностью совпадает с табл. 16.6 (2-я строка).
492
Таблица 16.6
0	^корд, град	-®кортр, град	АВ, град	Логическая константа
0	0	0	0	555555
1.666-10“1	43.70547	44.1	-3.9453-10"1	555555
4.033-10”1	114.08801	114.6	— 5.1199 • I0-1	555555
6.266-10”1	180.23565	180	2.3565  10 1	555555
1	249.74978	249.2	5.4978-10“1	555555
1.3333	280.08591	279	1.08591	555555
1.6666	297.51835	297.4	1.1835-Ю-1	555555
2	308.75727	308.3	4.5727-10-1	555555
Аналогично можно рассчитать Вкор.д и для других точек, но с большей затратой времени.
В. Расчет параметров элементов схемы ФК. Как отмечалось, ФК реализуется по мостовой схеме (рис. 0.16.8). Нормированные и номинальные значения элементов плеч схемы ФК определяют с помощью выражений (0.16.30) и (0.16.31). Решается указанная задача программой 0.16.6. В ней используются следующие исходные данные: flOi? Qooi (параметры тангенс-функции В (О)), Ло, (о0 и логическая константа К2 = 999999, информирующая об окончании работы программы в целом. Распределение исходных данных по адресуемым регистрам памяти следующие:
per.	7 — Ro;	per.	В — Qol;
per.	8 — coo;	per.	C — K;
per.	9 — K3;	per.	Д — Qxl.
После ввода программы в память ПМК необходимо перейти в режим «Автоматическая работа», нажать клавишу В/О и ввести исходные данные по следующей схеме:
1-й ввод: Поь t; К; J; Qxl; С/П; (П01);
2-й ввод: Ro; соо; Т; С/П.
(16.16)
В скобках указан параметр, выводимый на индикацию при первом останове программы после 1-го ввода. После выполнения 2-го ввода программа рассчитывает и последовательно выдает на индикацию значения:
Л, l2, L2\ Ci; С\; с2\ С2\ с3; С3; /3; £3, К2.	(16.17)
Для получения каждого последующего значения в (16.17) необходимо нажать клавишу С/П.
При решении рассматриваемого примера вводились следующие исходные данные:
1-й ввод: 18.3522, Т, 0.0026, J, 0.6257, С/П, (18.3522);
2-й ввод: 600, Т, 37699, Т, 999999, С/П.
493
В результате расчетов программа последовательно выдала на индикацию следующие значения параметров элементов схемы:
/1 = 2.6 10-3 (С/П);
Li = 4.1380406 -10“5 (С/П);
/2 = 2.2341492 (С/П);
L2 = 3.5557693 • 10~2 (С/П);
С1 = 1.1432876 (С/П);
Q = 5.0544558-10“ 8 (С/П);
с2 = 2.6-10“3 (С/П);
С2 = 1.1494558 • 10“10 (С/П);
с3 = 2.2341492 (С/П);
С3 = 9.8771371 • 10“8 (С/П);
/3 = 1.1432876 (С/П);
С3= 1.819604-10“2;
999999.
Итак ФК, соответствующий условиям задачи 16.3, рассчитан. Схема корректора — рис. 0.16.8.
16.4.	Рассчитать ФК, характеристика рабочей фазы которого Вкортр задана в табл. 16.7 в диапазоне частот: 0= 10 кГц. Точность коррекции составляет +15°, ФК должен быть включен между двумя одинаковыми сопротивлениями: Кн = Кг = Ко = 600 Ом.
Решение. Рассматриваемую задачу разобьем на три: А, Б, В.
А. Рассчитаем среднюю арифметическую частоту f0:
/о = (0+Ю)/2 = 5 кГц
и нормированные частоты Q;, соответствующие частотам fi, заданным по условию (табл. 16.7). Полученные значения сведены в табл. 16.7.
Выберем три узла интерполяции и определим соответствующие им значения рабочей фазы Вкортр и тангенс-функции B(Q):
Qi =0.2, ВкорТр = 21.2,	К(0.2) = 0.1871,
Q2 = 0.8, ВкорТр = 73.9, В (0.8) = 0.7522,
Q3 = 2.0, Вкортр= 130.1, В (2.0) = 2.1494.
После подстановки числовых значений и K(Qf) получаем систему уравнений:
494
0.2х + 0.008у+0.1871 z = -0.0075,
0.8x+0.512y + 0.7522z = -0.4814,
2x + 8y + 2.1494z=—8.5976.
Ввод исходных данных производим по следующей схеме: 1-й ввод—0.2; Т; 0,8;	2; С/П; (3);
2-й ввод —0.008; J; 0.512; J; 8; С/П; (-7.92 • 10-1);
3-й ввод —0.1871; |; 0.7522; J; 2.1494; С/П; (-2.784 • 10~2);
4-й ввод—(-0.0075); J; (-0.4814); J; (-8.5976); С/П;
(4.6586909),
5-й ввод—111111, t, 555555, f, 999999, С/П.
Результаты расчета по программе 0.16.4:
Х=9.0098013 • 10-1;
П01 = 2.2739154;
Q оо ! = 2.2319174;
555555;
999999.
Аналитическое выражение тангенс-функции получено
D/r.x 0.901й(2.27392 —fi2)
' '	2.23192-Q2
и оно физически реализуемо (коэффициент К2 положителен). Б. Для решения этой задачи после ввода программы 0.16.5 введем следующие исходные данные:
1-й ввод—360; t; 180; J; 999999; С/П; (360);
2-й ввод—15; Т; 7; J; 555555; С/П; (15);
3-й ввод —2.2319; J; 0.901; f; 2.2739; С/П; (2.2319).
Далее последовательно вводятся значения Q; и 5ко„.тр из табл. 16.7. Результаты вычислений по программе 0.16.5 для каждой текущей частоты Q, сведены в табл. 16.8 и свидетельствуют о том, что точность коррекции во всех точках диапазона корректирования соответствует требуемой.
Таблица 16.7
/, кГц	0	1	2	4	6	8	10
-^кор.тр, град	0	21.2	41.2	73.9	102.5	112.9	130.1
П=>0	0	0.2	0.4	0.8	1.2	1.6	2
495
Таблица 16.8
о	Яор.д, град	^кор. тр? град	АВ, град	К2
0	0	0	0	555555
2-10“1	21.195164	21.2	—4.836 • 10 3	555555
4 -10“1	41.066478	41.2	-1.33522-КГ1	555555
8-10“1	73.90245	73.9	2.45 10“3	555555
1.2	97.434964	102.5	-5.06504	555555
1.6	114.4864	112.9	1.5864	555555
2.0	130.10175	130.1	1.75 -10-3	555555
В. Для расчета параметров элементов схемы ФК после ввода программы 0.16.6 в память ПМК введем следующие исходные данные:
1-й ввод: 2.2739, |, 0.901, |, 2.2319, С/П, (2.2739),
2-й ввод: 600, J, 15708,	999999, С/П.
Результаты расчета по программе приведены ниже:
Zi =9.01 -КГ1;
Lj = 3.4415584• 10-2, Гн;
/2 = 3.4229181 -10"2;
Z,2 = 1.3074553 • 10 3, Гн;
С1 = 5.8648109,
Сх = 6.2227426-10“7, Ф,
с2 = 9.01 -10"1;
С2 = 9.5598839 • 10“8; Ф, с3 = 3.4229181 -10“2;
С3 = 3.6318201 • 10-9; Ф, /3 = 5.8648109,
Г3 = 2.2401875-10"1; Гн.
ФК, соответствующий условиям задания, рассчитан.
16.5.	Рассчитать ФК, характеристика рабочей фазы которого -#кор.™ задана в виде табл. 16.9 в диапазоне частот: (2.5 = 17.5) кГц. Точность коррекции составляет +15°. ФК должен быть включен между одинаковыми сопротивлениями: Дг = Ян = Яо = 600 Ом.
Таблица 16.9
f, кГц	2.5	5	7.5	10	12.5	15	17.5
Дкор.тр, град	117	215	297	359	401	432	459
	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75
Решение. А. Рассчитаем частоту /0: /О = (2.5 +17.5)/2= 10 кГц.
496
Рассчитанные значения нормированной частоты занесены в табл. 16.9.
Вариант 1. В качестве узлов интерполяции выберем следующие:
=0.25, Вкор.тр=117°; В (0.25) = 1.6319;
«2 = 1, Вкор.тр = 359°; В (1) = -0.0087;
О3 = 1.75, Вкор.тр = 459°; В(1.75)= 1.1708.
Система уравнений типа (16.5) для данного случая имеет вид:
0.25х+0.0156_у+ 1.6319z = -0.102,
х+	у — 0.0087г = 0.0087,
1,75x4-5.3594^+1.17082=—3.5857.
С помощью программы 0.16.4 получены следующие результаты:
Х=9.3273886-10-1,
QOi = 1.0037353,
О.уП= 4.4446422-10'1,
555555,
999999,
позволяющие переходить к задаче Б.
Б. Для решения этой задачи использовались следующие значения переменной части исходных данных:
А5ДОП=15°;
н = 7;
««,1 =0.4415;
К= 0.9327;
«01 = 1.0037.
Результаты решения задачи приведены в левой половине табл. 16.10. Из них следует, что при 0 = 0.5 и 0 = 0.75 требуемая точность коррекции ФЧХ канала связи не обеспечивается. Вследствие этого необходимо вновь вернуться к решению задачи А при измененном положении узлов интерполяции.
497
Таблица 16.10
Q	Вариант 1			Вариант 2		
	^кор. д, град	^кор. тр, град	АВ, град	Вкор.д, град	-®кор. тр, град	АВ, град
2.5-101	116.97667	117	-2.333-10"2	116.9973	117	-2.7-10"3
5-10"1	196.88279	215	-18.11721	206.84747	215	-8.15253
7.510-1	279.08043	297	-17.91957	297.00809	297	8.09 10"3
1	359.01256	359	1.256 10’2	371.02928	359	12.02928
1.25	410.73489	401	9.73489	415.6228	401	14.6228
1.5	440.53054	432	8.53054	442.01339	432	10.01339
1.75	458.99955	459	-4.5-10“4	459.00001	459	110"5
А.	Вариант 2. Выберем следующее расположение узлов интерполяции:
=0.25, Лор.тр=П7°; 5(0.25)= 1.6319;
«2 = 0.75, Вкор.тр = 297°; 5(0.75)=-0.6128;
Оз = 1-75, 5кортр = 459°; 5(1.75)= 1.1708.
Система уравнений (16.5) для этого варианта имеет вид:
0.25х+0.0156у+1.6319z = -0.102; 0.75х+0.4219у —1.6128z=0.3447; 1.75х+5.3594у+1.1708z=—3.5857.
Ее решение дало следующие результаты: ^=8.9691123 10'1, «01 = 9.5483502-10“г, «,, =4.2332196-10’1, 555555, 999999.
Выражение тангенс-функции имеет вид
5(«) = 0.8969«°-9548'-^.	(16.1)
' '	0.42332 —Q2	v 7
Б. Результаты проверки точности коррекции, обеспечиваемой с помощью тангенс-функции (16.1), приведены в правой половине табл. 16.10. Требуемая точность коррекции обес-498
печивается во всех точках.
В.	Расчет параметров элементов схемы ФК дал следу ющие результаты:
Л = 8.969-КГ1;
Lr = 8.564744-10“3, Гн;
/2 = 3.6663294;
£2 = 3.5010785 • 10-2, Гн;
d = 1.5222008;
Сг =4.0377534 10-8; Ф,
ФК, соответствующий тан.
с2 = 8.969-10“1;
С2 = 2.3790955 • 10-8; Ф, с3 = 3.6663294;
С3 = 9.7252177-10’8; Ф, /3 = 1.5222008;
£3 = 1.4535913-10’2, Гн,
условиям задания, рассчи-
ОТВЕТЫ
К главе I
1.2. При разомкнутом контакте 12,1 Ом, при замкнутом — 8,33 Ом.
1.3. a) Rlx = 120 Ом, Д1к = 72 Ом; б) Д1х = 20 Ом, Д1к=18 Ом; в) Д1Х = 838 Ом,
Д1к = 200 Ом. 1.8. Дэк = 8,3 Ом, Л = 2,41 А, /2 = 0,941 А, 13 = Ц= 1,469 А.
1.10. Дэк = 25 Ом, Д =4 А, 100
^ = 2,67 В. 1.11. /=—-, Л+ 1
R
П=^77’ Рвшmax = 2500 Вт.
К+1
/2 = 1,ЗЗА, /3 = 2,67 А, /4 = /5 = 1,ЗЗА,
100Д	10 000Д	10 000
U=----- р =--------- Р =--------
Д+Г вш (Д+1)2’ вт (Д+1)2’
^ = 80 В,
Р=
10 000 д+1 ’
Уравнения кривых: U=E—IR, Р„„,= El— IZR, Pm = I~R, Р=Е1, т| = 1-.
1.13. 15 В. 1.14. Va=Vm, где точка т находится на середине сопротивления
R3; при Гк = 0 потенциалы всех точек будут положительны. 1.16. 18 А, Кш = 5-10 4 Ом 1.17. а) 0,15, б) 0,05. 1.18. 6 Ом. 1.19. Rx=5 Ом. 1.20. 750 Ом.
1.21. 12 В, 2 кОм. 1.22. На середине линии. 1.24. 7,5%. Точное значение
41,8 мм2, по ГОСТу надо взять 50 мм2. 1.27. Ц = 2,5 А, 4 = 1,5 А; /3=1 А.
1.28. 4 = 5 А; 4 = 1 А, 4=4 A, СЬо = 30 В. 1.29. 20 А, 10 А, 36 В, 36,7 В. 1.30.4 = 98 А; 4=144 А; /О=46А, С/^ЮЗВ, С2 = 71 В. 1.31. 4=2,6 А, 4=1,2 А, /3 = 0,75 А, 4=1,85 А, 4 = 3,8 А, /6=1,95А. 1.32. 4=2,4 А, 4=1,6 А, 4=0,8 А. 1.33. 25 В, Р1 = 9 Вт, Л, = 15,6 Вт. 1.35. 2 В, 4 = 0,08 А, 4=0,02 А, 4 = 0,012 А, 4 = 0,008 А. 1.36. 4 = 30 мА, 4=100 мА, /=10мА.
1.40. Л =2 А, 4 = 2,7 А, 4 = 0,7 А, 4 = 2,2 А, 4=4,7 А, 4 = 2,5 A; V„ = -22 В;
14=47 В; Гс=-10 В. 1.43. 4=2,25 мА; 4=1,4 мА; 13 = 0,85 мА; 4 = 0,75 мА;
4 = 0,1 мА; /6=1,5мА. 1.45. /,=ЗмА; 4 = 5 мА; /З = 3 мА; /4=6мА;
4 = 8 мА. 1.46. 4 = 1 А; 4 = 3 А; /3 = 2 А. 1.47. 4=0,8 А; 4 = 0,75 А; 4 = 2 А;
4=1,55 А; /=2,75 А. 1.48. 4 = 14,5 А; 4=15,2 А; /3 = 18А; 4 = 2,8 А;
4 = 11,7 А; /6 = 3,5 А.	1.50. 0,3 А; 0,2 А; 0,15 А; 0,1 А;	0,15 А;
0,05 А; /4,= 100 Ом;	Р=9 Вт. 1.54.	4 = 0,56 А. 1.55. а) =кЕ,
kER
R^ = R(}-k); б) E3l. = kE—El, R3X = R1+k(}-k)R; в) Еэк = —-, «1 + л
/ЛП, kRlR .	г	ER3R4
Л,« = (1-А:)Л + ^л + л^ г)	Л1А2 + Л1Лз + А1Л4 + Л2Лз + ЛзЛ4’	R>* =
R^RtR2+R2R3 + R2R3) rir2 +R2R3 + RtR^+R2R3 + Я3Л4’
д) Еэх — E+RJ,	R3K— R + Rv.
1.56.
1)£эк = 0, £эк=10Ом; 2) £„=40 В; R„ = 5 Ом; 3) Еэк = 5 В, Лэк = 5 Ом. 1.57.
4 = 1,76 мА. 1.58. £эк=46 В, £эк = 0,4 Ом; 4 = 5 А; 4 = 3 А; /3 = 2 А; /=10 А. 1.59. 0,4 А. 1.60. 4 = 3,8 А; 4 = 1 МА- 1-62. Для схемы рис. 1.3, а: 45 Ом,
7,2 Вт, Р2/Р1 = 12,5%; t/2/C4 =0,25. Для схемы рис. 1.3,6. 20 Ом, 7,2 Вт, P2/Pj = 2,63%; U^U^l/6. 1.63. Gt2 = 0,02 См; G22 = 0,035 См; G32 = 0,028 См; G42 = 0,007 Cm; G52=0,015 Cm; G13 = 0,016Cm;	G23 =0,028 Cm;
G33 = 0,0424 Cm; G43 = 0,0144 Cm; G53 = 0,012Cm;	4 = 1,4 A; 4 = 1,2 A;
4 = 1,96 A; 4=0,76 A; 4 = 0,2 А; Ли=25Ом; Я12=6Ом; й13 = 4Ом; Л15 = 20Ом. 1.64. Gu = 1/30Cm; G22=l/48 Cm; G33 = l/75 Cm; G44=l/48 Cm; G55 = 7/400 Cm; G12 = G14= 1/60 Cm; G13 = 1/150 Cm; G15 = 1/100 Cm; G23 = = 1/120 Cm; G24=1/240 Cm; G2S = 1/80Cm; G34=1/600 Cm; G35 = 1/200 Cm; G4S = 1/400 Cm; 4 =2,2 A; 4 = 0,25 A; 4 = 0,8 A; 4 = 2,45 A; 4 = 0,55 A.
500
К главе 2
2.2. а) ф = я/12; их = 300 sin со/ В; = 10sin(cor — л/12) А; Т=0,02с; 50 Гц; б) 2л/3; /2 = 5 8т(соГ + 2л/3) мА; i3 = 3 sin cor мА; Т=10мкс; /=105Гц. 2.4. 13 Ом, 38,2 мГн. 2.5. 12 Ом, 0,51 мГн. 2.8. ПО Вт. 2.9. U= 120 В; Гк = 38,2 В; Рк = 60,6 Вт; Гконд = 144 В; РКОНД = 20,2 Вт; 2L=1,14; рс=17,2. 2.11. 1) 19,5 Ом (емкостный), 2) 19,5 (индуктивный). 2.13. U1=63 кВ; (7пад = 1,27 кВ; АГ=1,2кВ; т| = 93%. 2.14. 1)Р2 = ЮООм; У2 = ЮООм; 2)Р2 = ЮООм; Х2=-220 Ом. 2.15.210 Вт. 2.16. 5 А, 40 Ом, 20 Ом, 60 Ом, 2.18. U= = 100 е715 = 100 cos 15° + j 100 sin 15° = 96.6 + /25,9;	I = 5 e “j 20 = 5 cos 20° -
-/5 sin 20° =4,7-j 1,71. 2.19. 1) 3,44e1	-°'- 2) 3,44e±'68°40'; 3) 3,44ewlS8>40’;
4) 3.44е±яи 20'; 5) I2,9e"j75 40; 6) 3,2e "J2 14'; 7) 3.2e'87‘46'- 8) 3,2e'92 14'; 9) l,29e“'75 40'; l0)23eJO9; 11) 30,2+/10,4: 12) 10,4±/30,2; 13) -30,2+/10,4; 14) -32+/1,44; 15) 1,44 ±/32; io; J2-t-/0,4; 17)32-/0,112; 18) -l,44±/32; 19) -32-/1,44; 20) 0,425-/7,3; 21) -147-/28,6; 22) -3,66-/27,8; 23) 0,54 + +/0,841; 24) 8,78-/14,79. 2.22. a) Z=(4+/12) Ом; Г= (0,025-/0,075) См; R.„=4 Ом; Хэк=12Ом (индуктивный); ср = 71°35'; СД=17,9 В; 17р = 53,6 В; 4=1,41 А; /р = 4,24 А; />=80 Вт; Q = 240 вар; 5=253 B A; 6)Z=(0,952 + +/3,888) Ом; Y = (0,0595 -/0,243) См; R3K = 0,952 Ом; Хзк = 3,888 Ом (индуктивный); ср = 75°15'; [/а = 23,8 В; С =97 В; /а = 5,95 А; I=24,25 А; />=595 Вт; 2 = 2425 вар; 5=2500 В А. 2.24. 35 мкГн. 2.25. 116 В. 2.26. С7= 120е -72° 35 В. 2.27. (Д =284е-'17 30 В; С2= 167е“'14915'В; V^U2 = 166°45'. 2.29. 4 = = 5е'5310'А; 4=4е'73 45' А; /=8,85е'62 20'А; а) 35,2 В; 1,2 А; б) 93,5 В. 2.30. 4=4 A; 4 = 8,8е"'74 А; /3=/5А; /=7,3е'28 А. 2.32. /7=161е'23 В; 4 = 2,Обе'87 20 А; /1 = 2,94е'44‘25’A; Uai,=33°20'; 440 Вт; 173 вар (емкостный). 2.33.	//= 2,5^/2cos(W А; 4 = 5v//2sin(a>Z+ 126°55') А;
1=7,2 72 sin (coz+114°45') А; С= 125^2 sin (сое+73°45') В. 2.34. 4 = 12 А; 4 = 2,68 А; /3 = 14,45 А; С=30 В; ic=42,4 sin (сое-36°50') В; i2 = 3,8 sin (col-- 153°25')A; 4 = 20,4sin (col+4°45') A. 2.37. Zc=10Om; 4 = 10 A; 4 = (-3-/l)A;	4 = (13+/1)A.	2.38.	1,012 мкФ. 2.39.	53 мкФ.
Я=0,38е“791 20’; a) 0,265e“'64 10';	6) 0,38e“'86 50'.	2.43.
7n = 1,093 • 10"1—/1,37 • 10-1 A; /22 = 7,897 -10 2—/1,8110 ‘ A. 2.45.41 = = —6,92  10-2+/2,l 15 • 10~2 A; /„=8,46• 10"2+/l,27 • 10-1 A. 2.48. Схема а: И2 = 5,17е'27 В; Й3 = 6,15е“'5 B; 4=0,198e“-'° ” A; 4 = 0,0694e'2 37 A; 4 = 0,206e'2 7 A; /4 = 0,0615e '5 55 А; /с=0,0126е'49 5'А; схема б: Й2 = =40.3e '47 B; И3 = 23,6е'14 10'В; 4 = 0,632е'2 37'А; /,=0,183е'39 5' А; 4=0,403е“'47 А; /4=0,236е'14 10'А; Д = 0,51е'16 28' А; /с = 0,194е'63 25' А; схема в: К, = 17,1 е-'7 7 В; 4 =0,18бе'36 15 А; 4=0,171е-'7 7 А; /с = = 0,153е'56 20 А; схема г: К2=к4 = 20В; К3 = 7,07е '45 В; /=0,453е'6 20'А; /3 =0,16е-'18 25'А; 4 = 0,4 А; /О = 0,55е'512 А; /с=0,0707е'45 А. 2.49. Для
.	£(Al+/co£)	R(RL+jaL)
схемы рис. 2.49,5: Еэк =-------;—; Z3 =---------;—; для схемы рис. 2.49, в:
Р + RL+j(£>L	R + RL+j(£iL
ERr	RR} 1
£эк=р+р"; -эк=R^R~j^c' 2*50, 150 в’ 0,6 А- 2,5L /=<6~722)а; 4=(4-/6)А;	4 = (12—/18) А; . /3 = (2-/16)А; . /4 = (-6-/4) А;
4 = (-8+/12) А; 780 Вт. 2.52. 4 = 13,1е'58 мА; 4= 11,5е“'74 20'мА; 4 = 23,бе'7040'мА; /4 = 22,2е~'84 20'мА; Д = 11,1 е'85 25'мА; 23,6 Вт;. 2.53. 4=35е'2 50 мА; /2= 17.8е“''8 30'мА; /3 = 17,5е72 50' мА; /с = 3,бе'47 мА. 2.55. Zh = (8+/4)Om;	Рнтах = 250 Вт; />нтак: Ри = 0,5; Я=0,5. 2.65.
Д„К1= —5,3 дБ/окт= —0,61 Нп/окт; £>дек= — 16 дБ/дек= —1,84 Нп/дек. 2.67. Мах|Я(2со)/Я(со)| = 6 дБ/окт = 0,7 Нп/окт; Мах|Я(10со)/Я(со)| = 20 дБ/дек = = 2,3 Нп/дек. 2.69.
501
AifA2 в числах	КГ3	10“2	Ю"1	1	10	ю2	ю3	ю4	ю5	ю6
201g(ZtM2), дБ	-60	-40	-20	0	20	40	60	80	100	120
1п(Лх/Л2), Нп	-6,9	-4,6	-2,3	0	2,3	4,6	6,9	9,2	11,5	13,8
2.70.	-3 дБ, -0,346 Нп. 2.72. a) UJU2 = 1,22(4-1 дБ); UJU2 =
= 0,891 (-1 дБ); б) tZ1/CZ2 = 1,105(4-0,1 Нп); ^/^ = 0,905(-0,1 Нп). 2.73. /гр =——(\ + RJR2). 2.74. Для вариантов 2, 3, 4 и 6: £=1,8 мГн; 13/^С
С=0,5 мкФ; для вариантов 1 и 5: £ = 3,6 мГн; С=1мкФ. Эквиваленты 2 и 3, 4 и 6 обратны 1 и 5; 2 и 3 обратны 4 и 6. 2.75. а) и б) 5-103 с"1, в) 3,54-103 с"1 и 5-103 с"1, г) 2,5• 104 с’1; 5-104 с"1.
2.77. См. рисунок.
2.79.	а) 5000 Ом, б) 500 Ом. 2.80. Z(р) =Р—УЬ^+р2^1Rl + L'R^ + p2CL2+pCR2 + l
p(RlR2C+Ll + L2) + R1 + R2
->----------------------; a3 = C£1£2;
a2 — С(£2^14“ £|7^2 )j	— ^1^2C 4- £1H- £2;
aQ — Rr 4- R2, b2 = CL2\ b1 = CR2; b0 — 1.
2.82. См рисунок
//7л<Р=р 250мГц-50мГнj 2000м\_
Рис. 2.82
2.83. См. рисунок.
Рис. 2.83
502
К главе 3
3.3. Л = -6,6 мА; /3 = - 33,3 мА, /4 = 26,66 мА. 3.4. [/„ = -11,ЗВ. 3.5. /1 = 1/10А, /2 = 7/40А, /3=1/8А, /4=+9/40А, /5 = 11/40А, /6 = 1/20А. 3.6. Л =0,30905 А, /2=0,19095 А, /3 = 0,16810А, /4 = 4=0,02285 А, /6 = =0,12285 А. 3.7. 4 = 1 А, /2 = 1,79 А, /3=-0,79А, /4=-0,29А. 3.8.1г = = 0,326 А, /2 = 0,177 А, /3=—0,008 А, /4=0,334 А, Д = 0,169 А. 3.9. /г = = 14,3 мА, Ц = 71,4 мА, /2 = 207,1 мА, /0=-57,1 мА, /„=0,15 мА. 3.10. 7i = -0,103 мА, /0 = 1,31 мА, Л = -0,201 мА, /2=-0,379 мА, 7Н = = -0,379 мА, Г1 = -2,07 мВ, Г2=-15,2мВ, Г2//г= -15,2 Ом. 3.13. [/34 = = 0,5 В. 3.15. (7„= 18,9е7163" В. 3.16. /с= 1,13е'139’ А, Д = 1,13е'49° А; /2= 1,52ё;100‘А, /3 = О,76е“-'110’А. 3.17. Uc= 1,44е~'25" В. 3.18. йг = = 3,75е;88° В. 3.19. 1/с= 17,6е-з39° В, ис(0=17,б72вт(<0Г-39°) В. 3.25. При Яос = 2кОм //[,= 120, при Яос=ЮкОм	3.26. При Яос1 = 2Ом
/4 = 66, В=0,002, Явх = 259 0м, при Яос1 = ЮОм Я=43, 5=0,010, 5М = = 395 Ом 3.27. При Яос2 = ЮООм Hv—\6, 5= 0,0476, Явх=Ю46Ом, при Яов2 = 5 кОм Н=1\, 5=9,9910“4, Явх = 242 Ом.
К главе 4
4.1. /x = 9,5e“j36°10'А; /в=9,5е’л56’10'A, /с=9,5е2’83°50'А; йАО = нО=Н9,7е ;2 30 В; [7ВО = 119,7е“-'122"30'В; йсо= 119,7е;117°30' В; йАВ = = 2О8е-'27°30'В; Uab = 192е'24’50 В; Я„ = 2920 Вт; Я„ = 2710 Вт; 4.2. £ф = 230 В. 4.4. В три раза. 4.5. /л = 6,8 А; /ф= 15,5 А; [/фи = 165 В; Д[/=65 В. 4.6. а) 127 В; 8,75 А; 25°50'; 3 кВт; б) 220 В; 7,6 А; 30°; 2,5 кВт. 4.7. 3,34 квар. 4.8. При удельном сопротивлении р=1,75-10"6 Ом см и удельной массе <7=8,9 г/см3; а) 129 т, б) 172 т. 4.9. 6,3 кВ. 4.11. UaO =170ej3”15’ В; Ub0 =23Oe-J134”20' В; UCOl =2O8eJ108’35 В; /4 = 37,9e-j60"1^ А; /в = 27,4е Jj'67°40'А; /с= = 41,6ел°8"35'А; /к = 24,8е--'49"25'А; при обрыве: /л = 28,6е--'44°40’А; 7i=28,6e‘j86"is А; /Ь = 53,6ез114°40'А. 4.12. 4 = 3,46 А; [/,= 108 В; Un = = 121 В; [/Ш = 132В. 4.13. 1А = 18,Зе“'32°24' А; /в=8,12е ^',57 58 А; 1С = = 15,05е312153 В; UA0 = 183е;20 46' В; йво = 203е“Л4Г42' В; йсо = = 301е /121 °53' В. 4.15. а) Линейные токи: IA = 1 f,6 А; /в=12,9 А; 7С=13,61А. Фазные токи: /лв = 6,34 А; /вс = 8,55 А; /сл = 7,07 А; б) линейные токи: 1'а = 1'в = Ю,22 А; /с = 0. Фазные токи: Глв = 6,34 А; /вс = ^сА = 3,88 А. 4.16. /л = /1 = 0,433 А; 7В=1,83 А; /с = 72 = 1,57 А; Л =28 Вт; Р2 = 227 Вт. 4.17. 4 = 6,54е'29 35'А; /в = 4,2е “;146" А; /с = 5,98еЯ11°20'А; [/л = (142—у8О,8) В; 1/в = (-ф8-;80,8) В;	[7c = (3J„8+j115) В; /4 = 1,19 кВт; 52 = 0,87кВт.
4.18. /лв=4,8 А; /вс = 5,5 А; /сл = 6,98 А; /л = 9,15 А; /в = 8,68 А; /с=11,9 А.
К главе 5
5.1. 160 пФ; 50 мА; 40 мВт; 49,6 В. 5.2. 16 Ом; 40 мВт. 5.3. 125 В. 5.4. 10 Ом; 0,4 Гн; 0,1 мкФ; 1 В. 5.5. /0= 1/2пу/1с=yffj2. 5.6. 24 Ом; 0,143 Гн; 70,8 мкФ; 51 = 26 0m. 5.8. 1) <оо = 62,8 • 103 с-1; <ol = 88,6 • 103 с-1; <ос= = 44,4 103 с-1; i/Lmax=t/Cmax=ll,6B; 2) Ио = 62,8 • 103 с’1; <оь=оо; шс=0; ~ 10 В. 5.9. 6,37 Ом; 50,7 мГн. 5.14. 19 мА; 71°30'; 47,5. 5.15. 1) 400; 2) 100. 5.16. 50; 31,83 кГц. 5.17. 10 В; 8,24 В. 5.18. 30; 5,3 Ом. 5.19. До шунтирования 2 = 40, после шунтирования 2„ = 28,6. 5.20. До шунтирования: 46,4 мА, 37 В; после шунтирования: 34 мА, 27 В. 5.21./п = 870 мкА; Uc^: t/C]] = 3,86;
после шунтирования это отношение равно 2,78. 5.22. 500 с *; 0,625 А; I—	/—
1,25 А. 5.23. 1,6 мГн; i = iR —-sinco/; iL = ——---cosco/; ^ = ^/2 L/coCcosco/;
R	gjL
503
u2	7	и2	и2
Pl—------sin2co/; pc — U coCsin2(dt; pR = — (1—cos2co/); wM =— (l+cos2co/);
co£	R	aoL
w3 = (/2coC(l — cos2co/)- 5.24. Q = Q,715; резонанс невозможен при P2>200 Ом; резонанс будет при любой частоте, если R1 = R2 = Rc = 200 Ом. 5.25. /\=4 А; резонанс будет при: а) С'= 0,466 мкФ; />2,68 мА; /' = 4,34 А; ф' = 64°55'; б) С" = 2,12 мкФ; />5,67 мкА; /" = 8,34 А; ф" = 25°5'. 5.26. Р2 = 32 Ом; Ррез = 24 Ом. 5.27. 9600 с'1; 143 Ом. 5.28. £'=19,6 мГн; £" = 0,4 мГн; Ф=81°52'; ф" = 8°8'; ф' + ф" = я/2. 5.29./min = 138 кГц; /тах=184кГц. 5.30. 107 с’1; 100 кОм; 0,2 А; 2 мА; 0,4 Вт; 5.33. 500 кГц; 70,2 кОм; 32,9 кОм; 34,9 кОм; 48 кОм; 3,12 мА; 141 мА; 32 мВт. 5.34. 1) 25,6 кОм; 33,4 кОм; 42 кОм; 2) 27,4 кОм; 14,6 кОм; 31 кОм; 3) 50,7 кОм; 50 кОм; 71 кОм. 5.37. /=1,64е;15° мА; (/=95е’;18° В; Д = 90е~71О7°5' мА; /2 = 90е772° мА; Рн = 317 мВт; Рвт=186 мВт; Р= 131 мВт. 5.39. 1) 400 кГц; 525 мкГн; 136 мВт; 21,8 кГц; 2 А/о//> 0,0545. 2) 6 МГц; 3,5 Ом; 80,6 мВт; 0,132 МГц; 2А/0//0 = = 0,022. 5.40. сорез=1/х/£С; Ррез = £/СР1; сорез. эк= 1>£C; Ppe3.3K = ^LRJ^L+CR.RJ. 5.42. a) g;K = 21,7; 2bfQ = 23 кГц; /рез =1,93 мА; ЕО = 67 В; Ррез = 64мВт; б) 2эК=16,25; 2А/0 = 30,8 кГц; /рез = 2,18 мА; Ео = 50 В; Рр = = 72,25 мВт. 5.46. со ^5-105с , при со = 0,5со : Z=533 Ом, /=4,69 10 2 А, Ф = 88,5°; при со : Z=80-103 Ом, /=3,12 10А, ф=-0,57°; при со=1,5сор: Z=533 Ом, /=4,69 10 2 А, ф=—89,9°.	5.49. Резонанс напряжении:
а) 605 кГц; 9,4 Ом; б) 298 кГц; 12 Ом; резонанс токов при 408 кГц; 28,8 кОм, 5.51. Ci = 1180 пФ; С2 = 865 пФ; Ррезтах = 60 кОм. 5.52. Рэк = 13 кОм; Хэк = ±14,3 кОм; Z3K=19,3 кОм. 5.53. /=2,32 мА; Л =/2 = 86 мА; /н = 0,8 мА. При расстройке: '/' = 2,42 мА; Д = 82мА; /2 = 81 мА; /н = 0,77 мА; Рш = = 80 кОм; Ртах = 50 мВт. 5.54. £t =240 мкГн; £2 = 160мкГн; С=400 пФ; Ei = P2 = 5OM; частота резонанса токов: 2,5 106с-1 при этом /=2,55 мА; /1 = /2 = 102 мА; Р= 104 мВт; частота резонанса напряжений: 3,22 • 106 с-1; /' = 3,2 мА; /Д = 3,2мА; /2 = 0,4А; Р = 0,8 Вт. 5.56. Р2тт = 2со£; /=
(1 + Р2со2С2)
-	7	5.57. Zr = 1,28 Ом;	Ртах = 1,9 кВт. 5.58. a) Z 3 =
Ri + R2 + RjR 2 co
= -/10 Ом; Д = 6 A; /2 = (-2,4-/4,8) A; /3 = (8,4+/4,8) A; 6)Z3=-/15,7 Ом; 4 = 3,28 A; i2 = (0,36-j5,12) A; /3 = (2,92+/5,12) A. 5.59. a) coE'= 4 Ом; 30 A; (15-/7,5) A; (154-/7,5) А; б)ш£"=16Ом; 20,4 A; (2.55—/5,1) A; (17,85 + +/5,1) A. 5.60. R2 = 24 0m; Ус=ЮОм; /2 = l,4e~j26°36'A; /3 = l,4ey26°30'A. 5.61. />2800 Гц; />2200 Гц.
К главе 6
6.1. 0,25 мкГн. 6.2. 900 пФ. 6.3. 0,5. 6.5. (5+/12) Ом; /= Юе"'67 20 А; [7ab = 44,7e _j3 50' В; t/cd = 85,5eJ2°5' В. 6.6. /=(0,8-/0,6) A; Uab = (69 +/42) В; t/cd = (31-/42) В. 6.7. 10e~j3^°50' А; 78ел^20' В. 6.8. 0,796 мкФ или 0,0442 мкФ. 6.10. Встречное; 11,1 мГн. 6.12. Д = (8-/1) А; 72 = (6-/2)А; /=(14-/3) А; 6.13. 0,0324 мкФ, /=1,42 мА, Д = (0,75+/0,17) мА; /2 = = (0,67-/0,17) мА. 6.14. 1,1 мкФ; 4 = 17,6 мА; /2=-/17,6мА.	6.16.
3,14e"J1^°50' A; 328e’J97^°' В. 6.18. 25,103 с-1. 6.19. Д = 1,24е“;7Г40' А; /2 = 0,81e-j6550'А; /3 = 0,444е ~/82 20 А- 6.20. ХС1 = 210 Ом, при этом 4 = 1,6 А, /2 = (1,44-/0,32) А; /3 = (0,16+/0,32) А; УС2 = 60 Ом, при этом 4 = 2 А; 4 = (1,2-/0,4) А; /3 = (0,8+/0,4) А. 6.21. 4 = (2,4-/1,8) А; /2= -/5 А; /3 = (2,4+/3,2) А.	6.22. 1/3;	4 =4,55e"J18°20'А; /2 = 1О,2е-781°50'А;
/3 = 9,lej714° А; 6.23. 4 =2е^’73°45'А; /2 = 0,894е-;63°30' А; /3 = O,8e-J’36 50'А; 4=1,13е"782° А. 6.25. ZBX= —/19 Ом; Хс=Ю,24 0м. 6.26. а) 28 Ом; Л1=0; Л2 = Л3 = 2А; б) 20 Ом, + 1=0,2A; Л2 = 0,6А; Л3 = 1,8А. 6.27. 4=4i = = 7,76ej4° 45' А; /2 = /22 = 5,Зе ->120°50' А; /3 = /п -/22 = 12,9е;48°10' А. 6.28. 292 пФ; 2,7 мА; 0,507 мА; ПО мкВт; 25,8 мкВт; 0,19. 6.29. 330 пФ; 93 мкГн; 1,67 мА, 0,645 мА; 42 мкВт; 42 мкВт; 0,5. 6.30. 281 пФ; 234 пФ; 38,7 Ом; 1,67 мА; 0,645 мА; 42 мкВт; 42 мкВт; 0,5. 6.31. 250 пФ; 4,85 Вт; 7,85 Вт; 0,617. 6.32. 77 мкГн; 6.35. 800 пФ, 400 пФ; Qr = Q2 = 50; 5,66 мкГн; 3,54 мкА;
504
3,54 мВ; 2А/0//0 = 2,82 • 10’2. 6.37. 1250 Гц; 0,011, 4,4 мкГн. 6.40. 8=1,274-10 2, £ = 3,6-10 3 связь слабая, при q = 0 /2 = 0,262 А, л2 = 5,24 -10-2. 6.42. к = 2,12, связь ниже критической.
К главе 7
1 2	\	1	1 / 1 2	\
у’ ~+ 1 IsincOiZ —-sin2co1r + --l — -• —h 1 Isin3co1r —
1	1	Л
, 2) u =---- sinco1r + -sin3co1r + -sin5(0^+... B; 3) u =
я \	3	5	'
1 . ~ 1
„ 1 м 2U™
7.1. 1) и =-
я _
— sin 4cotr+ ...
4
2C/mZ Л	i
=--- sinco^— sin2co1z + -sin3co1z — sin4(0.z+ ... В. 7.3. u= 128sin((o1r +
я \	2	3	4	/
+ 38°40') + 63,3 sin (2(0^ + 108°25') + 33,6 sin (ЗсоП — 26°30')+ 14,4 sin(4coj—
1	”=4 . . .
— 123°40')B;	u(t)=- X Ц/е7"®1*, U. =	= 128e“751 20' B, t/2 =
2	n= -4
= C/*_2 = 63,3e718 20 B, t/3 = (7*_3 = 33,6e-7116 30' B, t/4 = t/*_4 = 14,4e7146 20' B.
_ л . Am + Am 2(Am~ Am)/ • .J • Q . ' C , A
7.4. i =-----1--------sinco1r+-sin 3co1/ + -sin 5(ол+ ... .
2	я \	3	5	J
Um ( .	1 • ~	> I 1 • T >i	m
—-------sinco1/ + -sin2co1r + -sin3co1/+ ... .	7.6. — = —;
2 я у 2	3	)	22
sin^co^i^ b JlUm sinka^	Um U„.( .
\ k k2	(2я — со^)’ '"2 я у
Um 4Um /	1	1	i
;	2) u =-----z--l cos co. / + —^cos 3co. / + —r cos 5(0. / + ... ;
2 я2 \	1	32	52	/
--mil	2
—T sincoj—?sin Зоэ,/ +—rSin 5(0,/— ... cos(o1r + -^cos2co1r +
Зя2	32	52	1	22	1
1
В,
3	1 4
х---------------.
сохtr (2я —со^)
1 \
+-8^130)!/+ ... I;
_Um
7	2 Зя2 _
1	2
+ -^COS3(01H—-cos4coj + ...
З2	42
+ 5,9sin(3co1Z-78°40')] А; '
-168°40')] В; 174 В; У '
7.5. и =
ак~ к2
1) м = — — — ( sinco1r + -sin2colr +
. 7.8. 22,4 А; 0,82. 7.9./=[34,3 sin ((0^ + 31°) + ис = [100 + ЮЗ sin (cOi/ — 59°)+ 5,9 sin (Зш^— ?4,6 А; 3040 Вт; а) 100 В; б) 127 В. 7.11. 280 В; 388 Вт. 7.12. z\= [0,1+0,0744sin(co1r-42°25') + 0,0157 sin (Зсо1Г-71°20') A; i2 = [0,1 + + 0,0336 sin (сох t- 79°40') + 0,00458 sin (3сог t - 124°20') А;	/3 = [0,052 sin (со^ —
— 19°25') + 0,0134sin(3co1Z —55°30') А; 17,9 Вт. 7.13. При подключении через фильтр /'2(0):/2~h без фильтра /2(0):/2 = 0,905. 7.14.	= 17 мкФ; С2 =
= 2,22 мкФ; ir = 0,4 sin оП A;	i2 = ( — 0,05 sin cot^ + 0,333 cos Зсо^) А; /3 =
= (0,45 8^10)^ — 0,333 cos 3cott) A; wab==(4,5cosco1/+10 sin Зоцг) В; A = 0,283 A; I2 = 0,238 A; /3 = 0,4A; Uab = 7,75 В; P=4 Вт. 7.15. R3 = 20 Ом; Д = 1,8А; /2 = 1,06А;	/3 = 0,81 A. 7.16. i!= [2,5 + 0,984^/2sin(w1Z—3r30') А; г2 =
=0,2325/2sin(<в1г—166°30') А. 7.17. 26,3 мА. 7.18. 78 В. 7.19.	=0,545 мГн;
£2 = 4,29мГн (большее значение). 7.21. кф = 1,28; /са=1,76; ^ = 0,96.
К главе 8
8.1. т = 2 мс; Г = 9,2 мс; eL= - 120е“500г В; Гм=1,39мс. 8.2. 6,67 А/с; 3,34 А/с.
8.3. /=Зе"5ОО< А. 8.5 Z=(12 —9е’100t) А; 8.6. 7,8 мс. 8.7. z\ = = (6-3,6e“40f) А; /2 = 2,4е”4Ш А; /3 = 6(1 -е~40‘) А. 8.12. wc = 20(l--0,4е~104') В; 8.13. а) 100 В 100 Ом, б) 0,23 с. 8.14. 11,25 мК; 25 мК/с, 2,23-10~8%. 8.15. z = 0,64e"lo6ot A; uCi = (64е-1ОООЧ36) В; иС1 = (- ^е"1™0^ + 36) В; и’нач = 58 мДж; wK0H = 32,4 мДж. 8.16. ис= £/+(t/0— U)e~ Rcl В;
а. 8.17. А = (0,2 + 0,05е~5 10Ч‘) А; /2 = 0,2(1-е~5 ’109') А;
/3 = 0,25е~51°9/А. 8.19. ч(0+)=1 А; /2(0+) = 0,6А; /3(0+) = 0,4А; wc(0+) = = 30 В; /1у = /2у = 0,8 А; /3=0; мСу = 40 В; /1св(0+ ) = 0,2 А; /2св(0+)=-0,2 А;
505
/3св(0+)=0,4 А; иСсв(0+)=-10 В. 2) /, =(0,8 + 0,2е-4'10*') А; Z2 = (0,8--О,2е-410*') А; /3 = 0,4е-4 10*'A; wc = (40-10е'4 10*') В. 8.20. ис = (16 + + 8е-6250') В; г\ =(0,16 —О,1е-6250') А; /2 = (О,16 + О,О5е-6250') А; <= —О,15е-6250'А. 8.21. -0,39 А. 8.23. При г„ = 405 мкс /тах = 4,68 А. 8.24. юо = 98 103 с-1; о>о= 126,4 • 103 с-1. 8.25. 230 колебаний. 8.27. q = 0,02 х х(16е-500,-е-125') А; /2 = 0,1 (4е-500,-е-125') А;	г3 = 0,08(е-125'-
_е-5°°<)А; ис = (30—40е-5ОО,+10е-125') В. При R>l-J^. 8.29. 1)ис=1/х
1 / R	1 \	Ц	U	_ ( R	\	R
х{1—е at |ch bt + - (----- sh5z >; i = — e at chZ?/H--shbt , где a = — =
1 L b\2L	RC) \	R \	2bL	J	2L
1 ( R cosco0Z + — —-coo \2L
= 1250 с’1, b =	-^=750 с-1; 2) «с=^|1-е-4'
R \
>; /=——- cos<o0r+-—-sincoo? , где соо= /— -I — 1 = R \ 2<ooL J	у LC \2L)
= 5000 с-1; а=—=1000 с-1. 8.30. it =(0,3-0,24е-1ооо‘-0,Обе-4000') А; /2 =
1 \ ^7 sinov
Л1 /
= (0,3 —0,4e~loO(h + 0,le~4OOOt^A; z = 0,16(e~1000t-e~4000f) A. 8.31. wC2 = 81,3x x(e“175r-e"6325t) В. 8.33. мс = (40 + 24е1О г—16е1’5’101) B. 8.34. Для t= = 0+: /!=386 mA, z2 = 643 mA, z3 = 300 mA, z4= — 257 mA, z5 = 86 mA, ul — = — 42,8 В. Для t=co: z1 = i2 = 0,4A; z3 = z5 = 0,2 A; /4 = 0. uL = 0. 8.36. Для /jJ
схем a — д n=l; для схемы е п = 2; для схемы ж п = 3. 8.37. i = — sin((or + Z 1
-f	Rm •	Rm
+ \|/ — Ф1) — sin(\|/ — cp± )e ;	i2= — sin (cor 4-\|/— cp2)-I----sin (\|/— cp t )e
J ^2
£
= — sin((o/ + \|/), где R
tgcpi = (£)L/R; Z2 =
1 tgq52=-^^- = ctgcp1. (OC^2
ri
RrR2
_____^2___-e ^ + 7^)
Ri + R2
/	R + Ri
x I 1 — e CRRi
8.39. y(t) = -------—-------e £<«i + «2) ;
R2 R2(R1 + R2)
n
8.40.)2(/)=10-3e-looo'sin(2105/). 8.41. h(t)=-—
R~y R
1	/ R -^t\	1	/	R + R'
\; y(t) =--- l+-^e CRRi ; yi(t) =----- 1-e CRR'
^+R\ r	r + r\
ZA2. h(t) = i2(t) = \-e Rzc\ Z(t) = R2( 1-e
R /	V 1
hr(t) = —— M-е	L
R^R
r2 /	—	4	if
=------LKj+T^e L ; для рис. 8.43,5: A](Z) = —-- Я3+-----------x
Я1 + Я2\	/	Я1+М	Rr + R2 + R3
RY	P.t ry	R1R2	—^2(^1+^з)
eP1; Z(t)=------------, где px =---------.
Rl + R2+R3epre	L(Rl + R2 + R2)
u2(t)= UYh(t) при O^ZCZp
|. 8.43. Для рис. 8.43, a: _r1 + r1
^2 (t)-= „	„ ( Я1 + Я2е L
Z(t) =
R1R2
xepi' ; h2(t) = J 2V7 rx + r2+r:
8.45. Для схемы рис. 8.45, а\
u2(t)=U— i — U2)h(t — ti) при tr<t<t2; u2(t)=Ulh(t) — (Ul — U2)hx x(t — tl)—U2h(t — t2) при Z>r2; для схемы рис. 8.45,5: u2(t)=Ulh(t) при O^rc^; и2 (t)= Urh(t)-(t/i + U2	) при tl<t<t2, u2(t)=U	— r +
506
+ U2)h(t—tl)+U2h(t—t2) при t>t2; для схемы рис. 8.45,в: u2(t)=U1h(t) +
U2-U}
при
W2(0 = (/1//(0+-v~i
h
о
о
Um	1
— U2h(t—tl) при t>tr. 8.47. z=— sin(o)/ —ф) + 8Й1фе Rc*
Т при 0 < t < —;
 Um	_J_
z = — sin (coz — ф)-е Rc
4- sin ср • е RC
где Z=
T при _ 2
/	1 \	/	_J_ \
, ф = arctg-----. 8.48. z(/)=L/cooC 1—e Re* ; uc=Ud)Qt —
\ wCR /	\	/
-Uw0CR^-q~Rc J. 8.49. wc(r) = (5  103/—12,5+12,5e“400z) В при 0^/</и; мс(/) = (5-103/и-10-2,5е-4об(г-ги)4-12,5е-4ОШ) В при />/и. 8.50.z(/) = (50/-— 0,1 +0,1е~5ОШ) А при 0</<2 мс; z(/) = 0,le”5OOt А при t>2 мс. 8.51. w2(/) = = 25(1 — е-1000') В при 0^/^С; u2(t)= 1340е~1000(t-ri ) = 24,5е~1000' В при
Г Г оо.	8.52. и2 (t) = U\ соо/ — соо ^/ЬС sin |	= t ) |.	8.54. уи (t) —-х
\	\Jlc //	Д1 + Я2
D2	_ R^R2 t	п	n2 п	_ R^R1 t
х6(0 +-----±2--- Q L(Ri + R2). /zH(/) = —^—§(/)+ - --1- -2- - e L(Ri + R2^
L(R1 + R2)2	hV; Ki + R2	+
R a f 2R2
8.55.ZH(r) = ZH(0)5(O + Z'(O; w2(0 = ^T—e зт\
3 2R	9aL — 6
a~3L
К главе 9
9.2. w2 = (83,3 —33,Зе 600z) В. 9.3. См. ответ к задаче 8.7 9.5. При вещест-ERie~6t , n -----------------------7-----; sh В/;
PL(^ + «)
 ERite" s t, o •
sin or, при равных корнях i = —-----г, где o = b[a, p=jco =
L\Ri + R2)
lac, a = LC(R1 + R2); b = C(R1R2 +RR2 +RR^; c = R + Rr. 9.6. z =
]	2 1/До + Я
sincoor—coscooQ, где o=-l ——--H
венных корнях
ERre ~bt coL + R2)
2a U
Rq + R + Ri
при комплексных корнях
ERxtebl
1
CR^
Rq-\- R + Rm	6
COo
1 Y „-г	C7msin(coor+\|/ —tp)
----- I . "./. Uc = CRm
СОО£
Ro+R
L
Ri + R2 Umsin (\|/ — ф)e
2
+ (сооСЛ1)2
2
+ (coqC/^i)2
9.8.
Um
5^/(7?!^2)2{(^LRi -\-(£iLR2^2
-5Z
507
. z ,	. Rz sin (\|/ — a) e *
sin (со/ - ф - a + p)--------3—----------
Ki + Л2
T = L(Rr + £2)/£1£2. 9.9.
, где tga = coL(R1 + R2)/ z = 7,22 sin(314r + 43°50') + Me = 346sin(314r — 46°10') -4l2e"1^ ' ответ к задаче 8.5. 9.13. z £2 = (0,05-0,le~2OOOt + 0,le"3OOO9 A;
jRiRz- tgP = coL//?2,	,	,
+ 8,3e“100'sm(153z-37°20') A; i/c = 346sin(314z-46°10')-412e"100'sin x x(153z—37°20') B. 9.11. См. ответ к задаче 8.5. 9.13. Z!=(0,05 + + 0.1e 2OOO,-0,05e‘ 3OO‘") A; i2 = (0,05-0,le~2OOO‘ + 0,le_3OOO‘) A; i3 = (O,2e-2000'—O,15e-3000') A. 9.15. См. ответы к задаче 8.29. 9.16. z1=(0,32 — — O,O8e“5000') A; z2=0,08(l+e’5000') A. 9.17. it =(0,24+0,08e 2500') A; i2 = =(0,16 —O,O8e-2500') A. 9.19. z2= 1,27sin(314z +56 50')+0,l96e 159‘A. 9.20. z2 = l,18sin(314z+16°40') +0,43<+ 336' A. 9.21. z=10ze"10' A; /max = 0,368 A. 9.22. z = (0,le“lo‘ —0,05e“5') A; zzc = 200(e“5'-e“10t) B. 9.23. z = 0,024(e~2'—e 4,1 A;
V /	_SR.\	1	/
uc=(120+120e-4' —240e-2') B. 9.25. a) uab= — • 9 + 9e зГ1 ; uat, = -R.I 2 + 45 \	J	6	\
+ Ee 6) uab =—I 10 — e 51c* I; uab = -JRl 3 — e злсЧ. 9.27. 1) Для схемы рис. 9.27, а как при действии U, так и J z2 = 0,l (е~ 60001 — е~1000г) А. Для схемы — sin (со/— ср) + sin ср е Rc Т при — <Г^оо, где Z—
-2500t)A; i2 =
C/J 9.37. i=-
z L z=-^ sin (cor—ф)е «г(г (1) + 8тф -c rc1 f 1 у	/i
— , ф = arctg-------------
kcoC/	V aCR
рис. 9.27,6 z2 = 0,1(1 — e 1500г) A.
T Um .	,____— (t-
0^r<—, z=— sin (cor—<p)e Rc
. 9.38.
i(t) = t/cooCI 1 — e Rc'
К главе 10
при
.	“'и
sin —
2
10.1. £(усо)=£ги--------
соги
sm —
2
10.2. Е(усо) = 2£ги-------cos cor0.	10.3. £(/со) =
2Е _. z	z 5 / sin a _.	_\
=—---------е 7"я<о/<0о81пмдсо/со0. 10.5. Для рис. 10.5, a £(усо) = —I -е Ja —е j2a ),
со2 —соо	v ja\ a	J
где	a = ^, £(1,5 • 106)= 1,08 • 10-6 В-с/рад; для рис. 10.5,6: £(jco) =
sinasinB	Г1 + Г2 со(г2 + гЛ co(r2 — tA
=S-------где S=E-----------a= v \ P = -^------------1, £(1,5 • 106 =0,225 x
a p	2	2	2
x 10-6 В с/рад. 10.7. U(j(£>) = [2	----^sin(1057tco)e~J7t(1° 5“ °’5). Ю.8. a)
t/(jco)= 10/(1000+jco) В с/рад; 6) U(jco) = a (a2 + co2)e~Jarctgft)/a; в) t/(jco) = = (3,6jco + 6)/[jco(/co + 4)]. 10.9. a) z/(r)= 17^1 —e-6) z/(r)= Uq~ rc1; b) u(t) =
1 ( _ -J-A	1
=--------|e at — e Rc I; r) u(t) = — (1 —cosat). 10.12. Для схемы 8.39,а:
1 —aRC \	j	a
rr( . \	^2(^i+jcoL)	Ri-\~j(£iL
H(j(£)) =---Y zco =------------------------------------для схемы
v 7 RvRzYi^E{RvYR2) V 7 RiR2 +jcoL(£1 +£2)
c tq ut • \ l+jcoCi£2	jcoC2(1 4-jcoCi£2)	г
рис. 8.39,6: Я(усо) =------; У(усо) =--------------где а=1—со CiC2x
R?
xRrRz+j^^rRz + CzRr + CzRz). 10.14. Hlz(7co)= р 2	; Я2/(усо) =
7?! 4-Я2+усо£
508
Pi + jwL
Ri + R2 YjifiL = 0,79e"J18’4; в) H=0,632e”J18,4; H=0,316e-J18,4 .
/ \ P2 (R\. + /COp)
Z2 jco =— - + 10.15. б) при co = 2500 c H= R\ + 1?2 4~
при co = 4000 c-1 H= 0,525ej23'2 ; г) при co = 10 000 c'1 д) при co = 500 c-1 H=0,554ej33,7; e) при co=105c’ 10.16. Для всех схем при со= 1000 с1 а) Я=0,235е-747,4;
б) Н=0,362е--'84'4; в) ff=0,735ej72-9 . 10.17. С72(уо>)=—------------------- 10.18.
со (co2LC—1)
е-j 10,5 10 6®
=. 10.19. Я(/со) = 0,1соеjn/2. 10.20. Я(/со) = «+//со —с/со).
10.22. Для RC—схемы: 1) да; 2) нет; для RL — схемы, 1) да, 2) нет. 10.23. 1) Дифференцирующая; 2) интегрирующая; 3) переходная, 10.24. а) нет, б) да.
К главе 11
11.5. Ro = 5,05 Ом/км; L0 = 2fi6 мГн/км; Со = 6 • 10~9 Ф/км; Go = = 0,7 • 10~6 См/км; ZB = 620e“j 12 25 Ом; у = 18,7 • 10~3е776 15' км1; ос = = 4,45 мНп/км; 0= 18,2 мрад/км; Х = 345 км; иф = 276 000 км/с. 11.6. ZB = = 387 Ом; ос = 39 мкНп/м; 0 = 0,21 рад/м. 11.7. По полным формулам (11.1) и (11.2): ZB = 357e-j41 5 Ом, у = 0,0634е748 40 км’1; а = 0,042 Нп/км; 0 = = 0,048 рад/км; по приближенным формулам: ZB = 358e-j45 Ом; у = = 0,0634е745 км-1; ос = 0,045 Нп/км; 0 = 0,045 рад/км. 11.9. При /=500 Гц: фв= —12.5°, ZB = 581 Ом, у= 1,158-10“2 км1, ^ = 77,4°, ос = 2,524 1О 3 Нп/км, 0= 1,1298 • 10 2 рад/км; при/=5000 Гц: фв = —1,513°, ZB = 550,4 Ом, у = 1,098 х х10-1км-1, ^ = 87,98°, ос = 3,862-10~3 Нп/км, 0= 1,097 • 101 рад/км. 11.13. C/l = 15,9еJ174 45 В; / =29,2еЛ75 55' мА. 11.16. ипр2 = 14 sin (сог — 21 °50') В; wo6p2 = = 5,3 sin (cor + 77°) В; мпр1 =23,2 sin (cor 4-57°30') В; wo6pi = 3,2 sin(cor — 2°20') В. 11.17. 1/= ll,leJ177 40 В; / = 9,1е7169 20 мА; иг = 15,5 sin(сог + 177°40') В; / = 12,9 sin (сог+169°20') мА; /v==20 = 3,4е7195 20' В; /, = 20 = 17,4е7259 20 мА; ну=2о = 4,8sin(cor + 195°20') В; /у = 2о = 24,6sin(co/ + 259°20') мА. 11.18. U2 = = 5,55е~734 50'В; / = 5,55е~734 50' мА; / = 6,05еЯ5 мА; и2 = 7,83 sin (со/-— 34°50') В; /2 = 7,83 sin (со/ — 34°50') мА; / = 8,55 sin (со/+15°) мА. 11.19. Ut = = 2,74ej167 В; W1 = 3,88 sin(co/ +167°) В; / = 11,07еJ?77 40'мА; / = 15,6 sin (со/+ + 177°40')мА; Z 1х= 1210е78 20 Ом; Z 1к = 248е~п° 40' Ом. 11.20. t/ = = 16,бе72 30' В; / = 31е74 50' мА; unpl = 16,8е73 15' В; Собр1 =0,6е“П32 20' В. 11.22. При согласованной нагрузке м2пр = 4,33 sin (со/+132°50')+2,16 sin (2со/ — — 95°) В; при холостом ходе и2 = 9,8 sin(со/ + 122°30') +4,32 sin(2сог+ 143°30') В. 11.23. t/2 = 4,32e-j668 В; /2 = 2,58е“7668 мА; / = 5,98 мА; Р2-Н,2мВт; Рг = = 59,8 мВт. 11.24. Z 1TZ3T = 2,61ej4° 36 Ом; Z2r= 1,96е“л 20 Ом. 11.27. ZB = = 615e~J13 20 Ом; у = (4,9+у18,1) • 10~3 км / Р0 = 5,4Ом/км; Lo = 2 мГн/км; Со = 6-10 9 Ф/км; <So=110 6 См/км. 11.29. papi = 18,2 дБ; /^ = 14,2 дБ; рйРн=13,8 дБ; Раин= 17,8 дБ; рй/н = 9,8 дБ; pp=pv=Pl^ -4,4 дБ. 11.31. 0,173 мА. 11.33. иг = 10 sin (со/—108°45') мВ; / =21,3 sin (сог—108°45') мкА; рн = 0; А?бв=1. 11.37. Z^Mle-'45 Ом; /=71 мА. 11.38. 0,081 В. 11.41. Сэк = 27,6 пФ; £эк = 0,276 мкГн.
К главе 12
12.2. Y м =(2+;4) • 10~3 См; Y 12= У21 = - (4+;8) • 10~3 См; У22 = (8 +
509
+/6)* 10 з См; Z11 — (1004-j200) Ом; Z i ?—Z ? i — 200 Ом; Z22 =j 100 Ом; Ян =(100-/200) Ом; Я12=-Я21 = 2;	Я22=-/0,05 См; fn=(2-/4)x
х10“3См;	Fi2=- (0,8+/4)= -£21;	F22=(80—/60) Ом. 12.3. Лп =
= 3,26e~J10“37'; Л 12 = 36,1е>56'20'Ом; А 21 =6,32 • 10~2e~J71°35' См; Л22 = 1; Zn =51,бе'60 58'Ом;	Z12 = Z21=Z22 = 15,83eJ71 35'Ом; Гц=2,77х
х 10“Зе 256 20 См;	Г12 = У21 = 2,77 • 10’2е2123"40' См; у22 = 9,03х
х 10-2е-2б6°57 См. 12.4. Z1t=(10+/40)Om; Z2T=-/100Om; Z3T = (20+ 4-7'50) Ом; Z1B=(17+/72) Ом; Z2n=(20,3-/136) Ом; Z3n = (0,235-/17,9) Ом. 12.5. Ац = 1,66-7'0,106; А 12 = (9,76+7'56) Ом; Л21 = -/0,053 См; Л22=2,39--7'0,159.	12.6. Z1T = 37,6ej86°55 Ом; Z2T = 47,le286'22'Ом; Z3T =
= 15,7ej82"40'Ом. 12.7. Лц = 2+/6; А 12=(65+/10) Ом; Л21=0,2См; А22 = = 1-7'2. 12.8. Zu=(100+7'200) Ом; Z2x=/100 Ом; Z1x = (100-/200) Ом; Z2x=(80—/60) Ом. 12.9. Zix = 51,4e-i6°58 Ом; Z1K = 36,leJ'56°20’ Ом, Z2x = = 15,83eJ71°35 Ом; Z2x = ll,12eJ'66“57' Ом. 12.10. An = l-j% Л12 = (-30-—/20) Ом; Л ? i =—7OJ См; Л ?? =— 1* 12.11. А п ~/2; Л 1 ? = /25 Ом; Л ?, = =7'0,2 См. 12.12. Z 1вх = (260+/120) Ом; Z2bx=(97,7+/21,8) Ом. 12.14. а) Л п = = 12,87е”-'20 11; Л 12 = 153,2е'48 10'Ом; Л 21 = 0,268е~2'79 42' См; Л22 = = 3,26е~210'37'; б) Л ц = Л 22 = 5,54е“у12"32'; Л 12 = 235ej45°40'Ом; Л21 = 12,65х х 10-2ej71"35'См; в) А п = Л 22 = 5,54е“2'12"32’; Л 12 = 72,2ej56"17'Ом; Л21 = = 0,412e-j8212 См. 12.15. А п = -0,25+7'1,25; Л 12 = ( —25+/175) Ом; Л21 = (25+7'75)-IO”4 См; Л 22 = 0,25 +7'0,25. 12.16. а) Лп = 1-/0,5; Л12=(100--7'200) Ом; Л21 = —/0,0025 См; Л22 = 0,5; б) Л n = 1 -/0,5; Л 12 = (25-/50) Ом; Л 21 = —7'0,01 См; Л 22=0,5; в) и г) А п =Л i2 = A 21 =Л 22 = оо. 12.17. a) A llt = ^411	£^i2a	-^12
= 4115 412а=4125 421а —------1~4.215 4г2а =----1~4225 б) 411б = 411+ = 5
Z	Z	Z
4 22
4126 = 4125 4216 = 4214----5 4226=4225 В) 4 11в = 4 11 + 44 215 412в = 412 +
Z
+2Л22; Л21В=Л 21; Л 22в=Л 22; г) Л 11Г = Л tl; Л 12г = Л и + ХЛц; Л21Г = Л21; A22r = A22 + ZA21. 12.18. А п = 1,625-7'1,75; Л 12=(125—JlOO) Ом; Л21=25х х 10~4(1 -7'2) См; Л22 = 0,5. 12.19. а) Л п = 0,5-7'0,25; А 12 =(100-/200) Ом; Л21 = —/0,0025 См; Л22 = 1; б) Л tl =0,5— /0,25; А 12 = (25— /50) Ом; Л21 = = -/0,01 См; Л22=1. 12.21. Zic=43,lej58‘40' Ом; Z2e= 13,2eJ'69’20' Ом; Г= 1,2--/0,111. 12.23. А ц = Л22 = 1,74е_-'26"20’; Л 12 = 1,09• 103e-j32“ Ом; Л21=2,35х х 1О 3е 738 50. 12.24. ZHi = 224ej26 30 Ом; Zh2=100Om. 12.25. 224 0м. 12.26. 10 Ом. 12.27. Одно из сопротивлений П-образной схемы имеет отрицательный знак действительной части. 12.28. Z0 = ZiT; ZB = Z1T+2Z2T. 12.33. Р п =O,74e-J'106’40'; ри=О,87е“-(166“20'; Z 1вх=42,5еj5P10' Ом; —^Zlex х100% = 1,4%; ф1в>-^--е  100% = 12,8%; Лэхо=1,44дБ; Лвя=-0,56дБ; Л„ = ф1е
= -0,29 дБ; Яс, = О,175е“-'24“50’; H,=0,7eJ'24 50'. 12.34. Z1BX= — = —; А.'21 N Л21
HV=H,=-----------	=--------  12.35. Лр = 21,8 дБ; Лв„ =
(4ii + V 412421)2 (4ii+v 412421 )2
= 21,6 дБ (см. рис. 12.35). 12.36. Лр = 2 дБ; Лвн=-12,1дБ. 12.37. Для Т-схемы: 7?!=462 0м; /?2 = 425 Ом; для П-схемы: 7^1 = 587,5 Ом; Я2 = 540 Ом; для Т-образно-мостовой: Я1 = 500 Ом; 7?2 = 291 Ом; 7?3 = 860 Ом. 12.38. ZT = 510
=454 Ом; Л = 8,6 дБ. 12.41. ст=0,0259; «! = 513 0m; £1 = 15,6 Гн; п=0,316' Л2 = 51,3 Ом; £2=1,56Гн. 12.42. п=0,73; £1=0,844 Гн; £2 = 1,585 Гн; С2 = = 7 мкФ. 12.53. Гц = 1/7?6э, Г12=0; У21 =g', Г22=0; Яц=0; Ац= — 1/g, Л21 =
= 0, Л22=1/и«бэ), Яц = «6э, Я12=0, H21=gR63, Н22 = 0. 12.54. Z116=215 Ом; Zi26 = 200 Ом; Z216=1,91(P Ом; Z226 = 2 1 06 Ом. 12.55. R3 = Zli6-Zl26, R6 = = Zi26, «K=Z226-Zi26, «m=Z216-Z126. 12.56. Я,= -ф^. 12.59. Yt=Y2i-AK + Kq
-Y12. 12.60. Л11э= —0,56 • 10“3; Л12э=-62,1 Ом; Я21э= -1,03 • 10~6 См; Л22э=-0,031; Zbx=1900 Om; Яо = 495. 12.64. С/вых = 450 В. 12.66. а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) да; е) нет. 12.67. б) нет; в) нет; г) да.
К главе 13
13.3. а) Не п.в.ф., так как наибольшие степени р числителя и знаменателя отличаются более чем на единицу (см. п. 2,4 основных положений); б) не п.в.ф., так как на мнимой оси имеются кратные полюсы в точках +jl (см. п. 2 в основных положениях); в) не п.в.ф., так как вещественная часть Fs(jco) на мнимой оси отрицательна при 0,707 < со <1. 13.4. Пункты б) и в) не п.в.ф., так как наибольшие степени р в числителе и знаменателе отличаются более чем на единицу; пункт г) не п.в.ф., так как имеется нуль в правой полуплоскости. См. рис. 13.4.
В) j
Не п.в.ф.
-0,5^0,87
-0,5-j0,87
Рис. 13.4
^2
Не п в. (р.
4-
^-j2
13.6.	См.
13.8.	См.
13.9.	См.
13.10.	См.
13.12.	См.
13.14.	См.
13.15.	См.
рис. 13.6.
рис. 13.8.
рис. 13.9.
рис. 13.10.
рис. 13.12.
рис. 13.14.
рис. 13.15.
511
К главе
14.2. См.
14.4.	См.
14.5.	См.
14.6.	См.
14.8. См.
14
рис. 14.2.
рис. 14.4.
рис. 14.5.
рис. 14.6.
рис. 14.8.
Рис. 13.8
512
Рис. 13.10
Рис. 13.12
//4	J/4	М/20
Рис. 13.14
Рис. 13.15
7/1?	1/3	3
Рис. 14.2
Рис. 14.5
ЧОО Ом ЧОО Ом
К главе 15
15.2. п = 5, Аз)4 = 1,5 дБ; Л6>8 = 26,3 дБ; Лю = 43,0дБ; 15.6. и = 4,24; надо взять п = 5. 15.8. и = 2,74; надо взять п = 3, Qs = 2,13. 15.11. п = = 4,57; надо взять и = 5, Qs=l,75. 15.13. и = 3,5; надо взять и = 4, Qs = 3,498. 15.14. и = 2,76, надо взять и = 3, Qs = 2,13.
15.25. См. рис. 15.25.
15.27. Для схемы рис. 15.27, а:
—Ар
/ \	R2	i
H(p)=----------------A-------^	4---, 6 — 3; <o=5000 c-1; A4X=0,
TCiCjAqAi +pCi| Ao + AiH——— j +1 \	^2 /
ФЧХ = л/2. 15.28. Я(р)=7-j---j---1	A17?2-------p—71-------*
[pCl + To+ T+ ТДцрС1 +pC1 + T2) ~ [ T2 ~
Ro
и \
Ro)
1 ’
~R2
Н(р)ц-+ъ-	J	R R \
p2CiC2RoRi+pcA Rq + Ri~\—-— 1+1 \	R2 )
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Программы расчетов на программируемом микрокалькуляторе (ПМК) «Электроника БЗ-34»
Ниже приводятся программы, которые могут быть использованы при решении многих задач.
Для удобства записи программ применяется язык микрокалькулятора БЗ-34. Однако все программы полностью пригодны для других типов ПМК моделей «Электроника». Они имеют такой же машинный язык и одинаковые коды, но лишь некоторые клавиши различаются своими обозначениями. Соответствие обозначений приведено в табл. П.1.1.
Таблица П.1.1
БЗ-34
МК-52, МК-54, МК-56, МК-61
П ип ХУ т arcsin, arccos, arctg А, В, С, D (Е)
Х^П
П^Х
вт
sin \ cos \ tg 1 а, Ь, с, d (е)
Остальные клавиши моделей ПМК «Электроника» имеют одинаковую символику. Для работы ПМК в режиме «Программирование» следует нажать клавиши В/О F ПРГ (при этом на табло высветится код 0) и приступить к набору программы. После этого надо исходные данные занести в регистры памяти, предварительно переведя микрокалькулятор в режим «Автоматическая работа» путем нажатия клавиш F и АВТ. Проверку правильности набора программы следует произвести по данным контрольного примера.
Микрокалькулятор имеет 14 регистров памяти, которые обозначаются Р0, ..., Р9, РА, РВ, РС, РД (и 15-й регистр РЕ в МК-61). Регистры стека обозначаются РХ (высвечивается на индикаторе) и РУ (выводится на индикатор при нажатии клавиши XY).
Засылка числа а, содержимого в регистре X в регистр памяти с номером А, производится последовательным нажатием клавиш а ПА (например, для засылки числа 15 в регистр памяти 2 нажимают клавиши 15 П 2.) Вызов в регистр X числа а, хранящегося в регистре с номером А,— нажатием клавиш ИП А (например, число 15, хранящееся в регистре 2, вызывается в регистр X нажатием клавиши ИП2), после чего оно высвечивается на индикаторе.
В программах для ввода данных в регистровую память принята символическая запись, например: а = 8 = РЗ означает, что число а, равное 8, заносится в регистр 3.
Набранная программа может быть использована многократно для различных числовых данных. Для ввода новых данных надо поступить 516
так: в режиме «Автоматическая работа» нажать клавиши БП и номер на единицу больший последнего адреса программы (например, программа содержит адреса 00—47, то надо набрать БП 48). После этого согласно инструкции к программе ввести в программную память новые исходные данные.
Программа № 1
Решение системы двух линейных уравнений с вещественными коэффициентами
a^x+a12y=bi,
a2ix+a22y = b2.
По формулам Крамера имеем
(П.1.1)
(П.1.2)
а22 *	<212 ,
А	А
<211 ,	<221 ,
у = —
А А
Здесь А = <211<222~<212<221 — определитель системы уравнений (П.1.1) — (П.1.2).
В/О F ПРГ							Программа	
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИП7	67	10	X	12	21	ИП4	64
01	ИП5	65	11	ИП8	68	22	ИП2	62
02	X	12	12	ИПЗ	63	23	X	12
03	ИП8	68	13	X	12	24	—	11
04	ИП4	64	14	—	11	25	ИПО	60
05	X	12	15	ИПО	60	26	—	13
06	—	11	16	—	13	27	ИП1	61
07	ПО	40	17	П1	41	28	с/п	50
08	ИП5	65	18	ИП7	67			
09	ИП2	62	19 20	ИПЗ X	63 12	F АВТ		
Инструкция. Коэффициенты уравнений (П.1.1) и (П.1.2) заносим в регистры: ац=Р7, 0i2 = P8, <22i=P4, я22=Р5, &i = P2, Z>2 = P3, В/О С/П.
Результат’. РХ. = х РУ. =у (чтобы его получить, следует нажать клавишу XY).
Контрольный пример’. 2x4-5j = 24;
4х-2у = 12.
Здесь яц=2 = Р7, я12 = 5 = Р8, я21=4 = Р4, я22=-2 = Р5, Z>1 = 24 = P2, 62 = 12 = РЗ В/О С/П.
Результат’. РХ=х = 4.5; РУ=^ = 3.
Программа № 2
Решение трех линейных уравнений с вещественными коэффициентами методом Гаусса — Крамера (условие я31^0):
a11x + (?12j;4-<2i3Z = <221-* + <222 У + <223^ = Ь2, аз1Х + а32у 4- a33z = b3.
517
B/O F ПРГ	Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	пд	4Г	20	ИП2	62	42	ПС	4С
			21	ИПВ	6L	43	С/П	50
Л1	17 \	/		22	X	12	44	ИП2	62
U1 02	ПС	4С	23 24	КП1	11 L1	45 46	ИП5 ИПС	65 6С
	рСУ		25	FL0	5Г	47	X	12
03		25	26	10	10	48	—	11
04	ПВ	4L	27	ИП8	68	49	ИП8	68
05	1	01	28	ИПЗ	63	50	—	13
06	1	01	29	X	12	51	пв	4£
07	ш	41	30	ИП9	69	52	С/П	50
08	3	03	31	ИП2	62	53	ИП4	64
09	по	40	32	X	12	54	ИП7	67
10	С/П	50	33	—	11	55	ИПС	6С
11	ипд	6Г	34	ИП8	68	56	X	12
12		13	35	ИП6	66	57	—	11
13	КП1	L1	36	X	12	58	ИПА	6-
14	П2	42	37	ИП9	69	59	ИПВ	6L
15	ипс	6С	38	ИП5	65	60	X	12
16	X	12	39	X	12	61	—	11
17	—	11	40	—	11	62	ПА	4-
18	КП1	L\	41	ч-	13	63	С/П	50
19	F СУ	25				F АВТ		
Инструкция. В этой программе коэффициенты и свободные члены вводятся в машину по столбцам
«iiT«2iT«3i В/О С/П
<212 Т «22 Т «32 С/П
«13 Т «23 Т «33 С/П
Т ^2 t ^3 С/П
Результат
z находится в регистрах X, С;
С/П у —»—»—»—»—»—»— X, В;
С/П х —»—»—»—»—»—»— X, А.
Контрольный пример. Решить систему уравнений:
x + 2y + 3z = 20,5; 2х — Ъу — z— — 8; 2х+7_у —z = 22.
Результат'. х = РС = 2.5; у = РВ = 3; z = PA = 4.
Программа № 3
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме
Если Ay=ar+ja2, B=bx+jb2, то АВ=С=су +jc2; С — AB = (ar +ja2)(b1 + +jb2) = aib1—a2b2+j(a2bi + aib2) = ci+jc2, где cr = aibi — a2b2, с2 = а2Ьг +агЬ2.
518
B/O F ПРГ
Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	П5	45	08	—	11	16	П8	48
01	XY	14	09	ИП4	64	17	XY	14
02	П4	44	10	ИП8	68	18	П7	47
03	ИП7	67	11	X	12	19	С/П	50
04	X	12	12	ИП5	65			
05	ИП5	65	13	ИП7	67			
06	ИП8	68	14	X	12			
07	X	12	15	+	10		F АВТ	
Инструкция', ai = P7, я2 = Р8, br—PY (число заносится в регистр X, и нажимается клавиша f, которая переводит его в регистр У), Z>2 = PX В/О С/П.
Результат: с t = РХ с2 = Р Y.
Контрольный пример: (3+j4)(2 — jl).
Результат: с^=10, с2 = 5, С=10 + /5.
Программа № 4
Деление комплексных чисел
A_al+ja2 _a1b1+a2b2-\-j(a2bl —аДД) в bi+ft>2	b2i+b1
— D — di~\~ jd2
Здесь
_a1b1 + a2b2 _a2bx-arb2 l~ ь2+ь22 ’ d2~ bi+b22 •
B/O F ПРГ	Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	П5	45	10	ИП8	68	20	ИП5	65
01	Fx2	22	11	ИП5	65	21	X	12
02	XY	14	12	X	12	22	—	11
03	П4	44	13	+	10	23	ИП6	66
04	Fx2	22	14	ИП6	66	24	—	13
05	+	10	15	—	13	25	П8	48
06	П6	46	16	ИП8	68	26	XY	14
07	ИП7	67	17	ИП4	64	27	П7	47
08	ИП4	64	18	X	12	28	С/П	50
09	X	12	19	ИП7	67			
						F АВТ		
Инструкция: ai — P7, я2 = Р8, br=PY, b2 = PX, B/O С/П.
Результат: РХ = P7 = dx, P Y=P8 = d2.
Контрольный пример: Л//? = (5+у2)/(1+/3).
Результат: dr = \A\ d2= — 1.3, Z)=l,l—/1,3
519
Программа № 5
Преобразование алгебраической формы комплексного числа
в показательную при вычислении аргумента в интервале ] —180°; 180°], или ] — л; л]
Этот переход осуществляется по формулам
A = ar-yja2^=AQ^, где Л = ^/«1+^2, Ф = arctg(а2/ aY).
Ниже приведена программа реализации этих формул.
В/О F ПРГ	Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИП7	67	10	ПВ	4L
01	Т	ОЕ	11	ИП8	68
02	Fx2	22	12	Fx<0	5С
03	ИП8	68	13	17	17
04	Fx2	22	14	ИПВ	6L
05	+	10	15	/-/	0£
06	F^f	21	16	ПВ	4L
07	ПА	4-	17	ИПВ	6L
08	-4-	13	18	ИПА	6-
09	Farccos	1-	19	С/П	50
				FABT	
Инструкция'. аг=Р7, я2=Р8 В/О С/П.
Результат: РХ = РА = А, Р Y = РВ = ф в градусах зависимости от положения переключателя Р-Г.
Контрольный пример: a t + jа2 = — 4 +j 3.
Результат: А — 5, ф= 143.1301 °. Л = 5е7 143,1301 \
или радианах в
Программа № 6
Вычисление эквивалентного сопротивления Z3K двух параллельно соединенных сопротивлений Zt=	и Z2 = R2+jX2 по формуле
Z3K -^эк “Ь j ^эк
^1+^1 Rl+jXl
520
B/O F ПРГ	Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	КИП4	Г4	08	X	12	17	X	12
01	Fx2	22	09	FLO	5Г	18	/-/	0L
02	КИП4	Г4	10	12	12	19	FL1	5L
03	Fx2	22	11	С/П	50	20	22	22
04	+	10	12	ИПВ	6L	21	С/П	50
05	Fl/x	23	13	+	10	22	ИПС	6С
06		ОЕ	14	ПВ	4L	23	+	10
07	КИП5	Г5	15	XY	14	24	ПС	4С
			16	КИП5	Г5	25	БП	51
						FABT		
Инструкция'. 3 = РО 3 = Р1 6 = Р4 6 = Р5 R}=P7 А\=Р8, F2 = P9 Х2 = РА О = РВ О = РС В/О с/п.
Результат'. PX = F3K; С/П РХ = УЭК.
Контрольный пример'. Z=4+j5, Z2 = 7—/2.
Результат'. Z3K = 3.8384615+/1.4076923.
Программа № 7
Решение системы двух линейных уравнений с комплексными коэффициентами
(pii+jbn )x4-(«i2+/^12=	+7^12,
(^21 +jT?21 )х + (<222 +j^22) J = ^21 +7^22?
здесь х и у в общем случае комплексные величины
x^x1+jx2, y=yl+jy2-
В/О F ПРГ	Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	9	09	12	ИПЗ	63	24	ПА	4-	36	X	12
01	ПО	40	13	—	11	25	ИП6	66	37	—	И
02	ПП	53'	14	ПА	4-	26	ИП2	62	38	ИП4	64
03	56	56	15	ИП8	68	27	—	11	39	ИП7	67
04	ПП	53	16	ИП4	64	28	ПВ	4L	40	X	12
05	58	58	17	—	11	29	9	09	41	—	11
06	С/П	50	18	ПВ	4L	30	ПО	40	42	П5	45
07	ПП	53	19	ПП	53	31	ПП	53	43	ИП1	61
08	56	56	20	65	65	32	59	59	44	ИПЗ	63
09	ПП	53	21	ИП5	65	33	ИП2	62	45	ИП7	67
10	58 ,	58	22	ИП1	61	34	ИПЗ	63	46	X	12
11	ИП7	67	23	—	11	35	ИП8	68	47	—	И
521
Продолжение программы
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
48	ИП4	64	60	78	78	72	ПС	4С	84	+	10
49	ИП8	68	61	кпо	LO	73	ИПВ	6L	85	ИПВ	6L
50	X	12	62	XY	14	74	F Вх	0	86	ипс	6С
51	+	10	63	КПО	LO	75	4-	13	87	X	12
52	П4	44	64	В/О	52	76	ПД	4Г	88	ИПА	6-
53	С/П	50	65	ИПА	6-	77	В/О	52	89	ипд	6Г
54	БП	51	66	Т	ОЕ	78	ИПА	6-	90	X	12
55	ОО	00	67	Fx2	22	79	ИПС	6С	91	—	11
56	ПП	53	68	ИПВ	6L	80	X	12	92	В/О	52
57	65	65	69	Fx2	22	81	ИПВ	6L			
58	С/П	50	70	+	10	82	ипд	6Г		Г АВТ	
59	ПП	53	71	—	13	83	X	12			
Инструкция. Ввод данных производится по строкам:
В/О яп=РА 6Ы=РВ С/П я12 = РА Л12 = РВ С/П
Сц=РА с12 = РВ С/П я21 = РА Z?21 = PB С/П
я22 = РА 622 = РВ С/П c2i = PA С22 = РВ С/П
После останова'. хг = РХ=Р4 (результат в регистре Р4) х2 = Р5 уг = Р7 Л> = Р8
Контрольный пример’. (10+у 12)х + (8—/б)у= 16,4+j34;	(8+уб)х+
+ (2+;4)^= 10,8+755,6.
Результат’. x = 2,5+j*4,2; у = 3—у’2,5.
Программа № 8
Вычисление значений функции f(t) = A0-i-A1e~at для
В/О F ПРГ	Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИП1	61	06	ИП4	64	12	Ш	41
01	ИП2	62	07	+	10	13	БП	51
02	X	12	08	С/П	50	14	ОО	ОО
03	Fcx	16	09	ИП1	61			
04 05	ИПЗ X	63 12	10 11	ИП5 +	65 10	Г АВТ		
Инструкция’. г = 0 = Р1; —а = Р2; Лг = РЗ; Л0 = Р4; А/ = Р5; В/О С/П.
Результат'. РУ=/(О); С/П PX=/(0 + At); С/П /(О + 2Л/)...
Контрольный пример'. f(t) = 5 — 2e 100'; At = 0,01.
Результат: /(0) = 3; /(0 + At) =/(0 + 0,01) = 4.2642411. /(0 + 2At) = 4.7293294.
Замечание. Обратить внимание, что в регистр 2 надо заносить не а, а ( — а).
522
Программа № 9
Вычисление значений функции
/(г) = Л0 + А^^у-А2с~а^ для t>0.
В/О F ПРГ							Программа	
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИП1	61	07	ИПЗ	63	15	С/П	50
01	ИП2	62	08	X	12	16	ИП1	61
02	X	12	09	Fex	16	17	ИП7	67
03	Гех	16	10	ИП5	65	18	+	10
04	ИП4	64	11	X	12	19	ш	41
05	X	12	12	+	10	20	БП	51
Ofr	ИШ	61	13	ИП6	66	21	00	00
			14	4-	10			
						F АВТ		
Инструкция-. Г = О = Р1; — а1 = Р2; — а2 = РЗ; Л1 = Р4; Я2 = Р5; Л0 = Р6; Д/ = Р7; В/О С/П.
Результат-. РХ=/(0) С/П; РУ=/(0 + ДН С/П /(0 + 2ДЛ...
Контрольный пример: f(t) = 5 + 2Q 100z —Зе ^00z, Дг = 5-1О 3.
Результат: /(0) = 4; Д0 + Дг)=/(0 + 5 • 1О-З) = 4.738; /(0 + 2Дг) =
Замечание. Обратить внимание, что в регистры 2 и 3 надо заносить соответственно не аг и а2, a ( — at) и (—со-
программа № 10
Вычисление значений функции
/(0 = Ло + (Л1+Л2г)е--
В/О F ПРГ							Программа	
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИШ	61	07	X	12	15	ИП1	61
01	ИП2	62	08	ИП5	65	16	ИП7	67
02	X	12	09	+	10	17	+	10
03	Fqx	16	10	ИПЗ	63	18	П1	41
04	ПЗ	43	И	X	12	19	БП	51
05	ИШ	61	12	ИП6	66	20	ОО	00
06	ИП4	64	13	+	10			
			14	с/п	50	FABT		
Инструкция: г = 0 = Р1, —а = Р2; Л2 = Р4, At — P5, Л0 = Р6, Д/ = Р7, В/О С/П.
Результат: РУ=/(0); С/П РУ=/(0 + Дг); С/П /(0 + 2Дг),...
Контрольный пример: /(z) = 3 + (2 + 500z)e 500', Д/ = 2-10~3.
523
3 Результат: /(0) = 5; /(0 4- Дt) =/(0 + 2 -10 3) = 4.1036383; /(0 + 2.2 • 10 “ 3) =
Замечание. Обратить внимание, что в регистр 2 надо заносить не а, а ( — а).
Программа № 11
Вычисление значений функции f(t) = ^e“aZsin(cor4-\|/), при
3/0 F ПРГ Переключатель Р-Г в положении Р	Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИП1	61	07	X	12	14	ИП1	61
01	ИП2	62	08	ИП1	61	15	ИП6	66
02	X	12	09	ИП5	65	16	4-	10
03	ИПЗ	63	10	X	12	17	П1	41
04	+	10	11	Fex	16	18	БП	51
05	Г sin	1С	12	X	12	19	00	00
06	ИП4	64	13	С/П	50			
						FABT		
Инструкция'. г = 0 = Р1, со = Р2, фрад = РЗ, Л = Р4, — а = Р5, Лг = Р6 В/О С/П.
Результат'. PJT=/(O) С/П РУ==/(р + Дг); С/П /(0 + 2Az), ...
Контрольный пример:	=	^obotsin(104/4-20,2°); Az = 5-10 5, фрад =
= 20^2^/1^80°; /(0) = 1.3811928. /(О + Дг) =/(0 4-5 • 10“ 5) = 2.7252444; /(0 + 2Д/) =
Замечание. Обратить внимание, что в регистр 5 надо заносить не а, а ( — а).
Программа № 12
Вычисление АЧХ и ФЧХ цепей первого порядка
aQ + aYp
= Я(со)е^(<й),
P = J<0
здесь p=jco.
Расчетные формулы АЧХ и ФЧХ имеют вид:
Я(<о) =
Z>j4-6fco2 czo4-«2co2’
Z?iO) аг со ф (со) = arctg —------arctg------.
ао
524
B/O F ПРГ Переключатель Р-Г в положении Г
Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИП1	61	15	ИПЗ	63	29	Гarctg	1L
01	С/П	50	16	Fx2	22	30		11
02	ИП4	64	17	+	10	31	С/П	50
03	X	12	18	ИП8	68	32	ИП1	61
04	ПО	40	19	4-	13	33	ИП6	66
05	Fx2	22	20		21	34	+	10
06	ИП5	65	21	С/П	50	35	ш	41
07	Fx2	22	22	ИП9	69	36	/-/	0L
08	+	10	23	ИПЗ	63	37	ИП7	67
09	П8	48	24	4-	13	38	+	10
10	ИП1	61	25	Farctg	1L	39	Fx<0	5С
1/	ИП2	62	26	ИПО	60	40	00	00
12	X	12	27	ИП5	65	41	С/П	50
13	П9	49	28	—	13			
14	Fx2	22				Г АВТ		
Инструкция. Распределение регистров памяти: со = Р1, ^=Р2, Z?0 = P3, яг = Р4, я0 = Р5, Дсо = Р6, сотах = Р7, В/О С/П.
Порядок вывода результатов’, со; //(со); \|/(со).
Контрольный пример’. со = 5000,	= 5, /?, =2- 10~3, яп=12, а. =5-10~3
Асо=1000.
Результат’. /7 = 4.0317336-10 \ \|/ = — 9.24044-101.
Частный случай'. bQ = 0. Тогда операции 22—30 надо заменить следующими:
Адрес	Контрольный пример’. />о = 0, со = 5000, &1=2-10~3,
22 ИП5 65	^ = 5-IO"3, cz0 = 12.
23 ИП0 60	Результат’. Н= 3.6060922 • 10" \ ф = 67.380135°.
24-13
25 Гarctg 1£
Программа № 13
Вычисление АЧХ и ФЧХ биквадратной функции
Н(р)= о+	=/f(co)eJ<p(<o), здесь p=jw.
^о + а1Р + ^2Р
АЧХ и ФЧХ этой передаточной функции вычисляют по следующей программе для каждого заданного значения со.
525
B/O F ПРГ. Переключатель Г-Р в положении Г
Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИПО	60	24	ПА	4-	45	X	12
01	ПА	4 —				46	FBx	0
02	F	25	25	Р^УУ	25			
03 04 05	Fx2 Т ' 1	22 ОЕ 01	26 27 28 29	ИП5 ИП4 ПП 35	65 64 53 35	47 48 49	fO +	25 10 21
06 07 08 09 10 11	пд Сх ПС fO t ИП2	4Г ОГ 4С 25 ОЕ 62	30 31 32 33 34 35	ИПС ипд с/п БП ОО Fx2	6C 6Г 50 51 00 22	50 51 52 53 54 55	FBx ипд пд F^Cy	13 0 6Г 12 4Г 25
12	ИП1	61				56	F arccos	1-
13	ПП	53				57	ИПС	6С
14 15 16 17	35 ИПС /-/ ПС	35 6С 0L 4С	36 37 38 39	F^y ИПА XY	25 12 6- 14	58 59 60 61	4- ПС г'ГЛ	10 4С 25 ОЕ
	р'СУ		40	—	11	62	В/О	52
18		25	41	Т	ОЕ			
19 20	ипд Fl/x	6Г 23	42	Fx2	22			
21	ПД	4Г	43	Р^У	25		F АВТ	
22	F,Ok	25	44	f<(2)	25			
23	ИПЗ	63						
Инструкция'. д0 = РО, а1=Р1, а2 = Р2, b0 = P3, bt=P4, Ь2 = Р5, со = РХ В/О С/П.
Результат'. РX = РД = Н (со), PY= PC = ср (со).
Контрольный пример: для функции Н(р) =---------j
77(со) = 0.63245553, <р(со) =-18.434942°.	1+2р+5р
1 + 2р + Зр2
при со = 1 получим
Программа № 14
Расчет порядка фильтра-прототипа с максимально-плоской характеристикой (фильтр Баттерворта)
As- 101g(10°’1A^-1) п^-------------------.
201g Qs
В/О F ПРГ	Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	F10*	15	06	X	12	12	2	02
01	1	01	07	/-/	0L	13	0	00
02	—	11	08	ИП1	61	14	X	12
03	Fig	17	09	+	10	15	—	13
04	1	01	10	ИП2	62	16	С/П	50
05	0	00	11	Fig	17			
						FABT		
526
Инструкция. Расределение регистров памяти: Л5 = Р1, QS = P2, 0,1- АЛ = = РХ, В/О с/п.
Результат: п = РХ (его следует округлить до ближайшего большего целого числа).
Контрольный пример: Л5 = 30дБ, Qs = 2, АЛ = 1,5 дБ.
Результат: « = 5.6215937, следует принять « = 6.
Замечание. Программа построена так, что в регистр X следует заносить не АЛ, а 0,1 АЛ.
Программа № 15
Расчет ослабления фильтра Баттерворта нижних частот
А = 101g[1 + (Ю°’1АЛ- 1)Q2"], дБ,
где Q=/1(f—любая частота; —частота на границе полосы пропускания при заданном АЛ).
В/О F ПРГ							Программа	
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИП1	61	07	ИП4	64	14		10
01	Т	ОЕ	08	Г 10х	15	15	Flg	17
02	ИП2	62	09	1	01	16	1	01
03	ИПЗ	63	10	—	11	17	0	00
04	—	13	И	ИП5	65	18	X	12
05	FXr	24	12	X 1	12	19	С/П	50
06	П5	45	13		01	F АВТ		
								
Инструкция. Распределение регистров памяти: 2« = Р1, /=Р2, /1=РЗ, 0,1АЛ = Р4, В/О С/П.
Контрольный пример: п = 4, /=16880, ^=8620, АЛ = 2.
Результат: Л = 21.054182 дБ.
Замечание. Программа построена так, что в регистр Р4 надо заносить не АЛ, а 0,1АЛ.
Программа № 16
Расчет порядка фильтра-прототипа с равномерно-колебательной характеристикой ослабления (фильтр Чебышева) в полосе задерживания
Л5 + 6-10^(10°’1АЛ-1)
201g(Qs+VQs2 -1)
В/О F ПРГ							Программа	
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	Г10х	15	09	—	11	18	+	10
01	1	01	10	6	06	19	Fig	17
02	—	11	11	+	10	20	2	02
03	Fig	17	12	ИП2	62	21	0	00
04	1	01	13	Т	ОЕ	22	X	12
05	0	00	14	Fx2	22	23	—	13
06	X	12	15	1	01	24	С/П	50
07	ИП1	61	16	—	11			
08	XY	14	17	Fy/~	21			
						F АВТ		
527
Инструкция. Распределение регистров памяти: Л5 = Р1, QS = P2, 0,1АЛ = РХ В/О С/П.
Результат: п = РХ (его следует округлить до ближайшего большего целого числа).
Контрольный пример: As = 35 дБ, Qs = 2,5, АЛ = 1,5 дБ.
Результат: « = 3.2952617, следует принять « = 4.
Замечание. Программа построена так, что в регистр X надо заносить не АЛ, а 0,1АЛ.
Программа № 17
Расчет ослабления фильтра Чебышева в полосе задерживания (£1>1) А = 101g[1 +(Ю°’1АЛ-l)ch2(пArchQ)], дБ
В/О F ПРГ	Программа
Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	ИП1	61	12	Fl/x	23	23	X	12
01	Fx2	22	13	+	10	24	1	01
02	1	01	14	2	02	25	+	10
03	—	11	15	4-	13	26	Fig	17
04	F\/~	21	16	Fx2	22	27	1	01
05	ИП1	61	17	П4	44	28	0	00
06	+	10	18	ИПЗ	63	29	X	12
07	Fin	18	19	F10x	15	30	С/П	50
08	ИП2	62	20	1	01			
09	X	12	21	—	И			
10	Fex	16	22	ИП4	64		F АВТ	
11	t	ОЕ						
Инструкция. Распределение регистров памяти: Q = P1, « = Р2, 0,1 АЛ = РЗ В/О С/П.
Результат: А = РХ.
Замечания. Программа для сокращения составлена так, что в регистр 3 надо заносить не АЛ, а 0,1 АЛ. В программе расчет гиперболического ареа-косинуса ведется по формуле Arch х = In(х + ^/х2 — 1).
Контрольный пример: Q = 2, « = 7, АЛ =0,5 В/О С/П.
Результат: 64.916315 дБ.
Программа № 18
Проверка правильности расчета элементов АРС-фильтра.
Для проверки приводится программа вычисления частотной характеристики звена ФНЧ, построенного по схеме рис. 15.31. Эта программа составлена на основании формулы передаточной функции
= R1R2ClC2p2+{RlCl+R2C2FR1C2-kRlCl)p+\
Учитывая, что ослабление Л = 10 lg | l/TT"2 (р) |, заменяя р на jZnf и произведя необходимые преобразования, получим
Л = 10^{[1-(2тг/)2/?1А2С1С2] + (27г/)2[(1-^^1С1 + (^1 + ^2)2С2]}//с2.
На основании этого выражения и построена программа вычислений.
Регистры калькулятора используются в соответствии с табл. П.1.2.
528
Таблица П.1.2
Вводимая величина	Л.	«2	Ct		к
Регистр	1	2	3	4	5
При подготовке к вычислениям необходимо ввести в калькулятор программу, приводимую ниже.
В/О F ПРГ	Программа
Адрес команды	Нажимаемые клавиши	Код	Адрес команды	Нажимаемые клавиши	Код	Адрес команды	Нажимаемые клавиши	Код
00	П8	48	18	-—	11	35	ИП9	69
01	t	0Е	19	Fx2	22	36	Fx2	22
02	2	02	20	ПО	40	37	X	12
03	X	12	21	1	01	38	ипо	60
04	Fit	20	22	ИП5	65	39	+	10
05	X	12	23	—	11	40	ИП5	65
06	П9	49	24	ИП1	61	41	Fx2	22
07	Fx2	22	25	X	12	42	—	13
08	ИПЗ	63	26	ИПЗ	63	43	Fig	17
09	X	12	27	X	12	44	t	ОЕ
10	ИП1	61	28	ИП1	61	45	1 |	01
11	X	12	29	ИП2	62	46	о J	00
12	ИП4	64	30	+	10	47	X	12
13	X	12	31	ИП4	64	48	ПА	4-
14	ИП2	62	32	X	12	49	С/П	50
15	X	12	33	+	10			
16	t	0Е	34	Fx2	22		F АВТ	
17	1	01						
При проведении вычислений после ввода программы в регистры вводятся величины F2, С19 С2, к в соответствии с приведенной выше таблицей, затем на регистре X устанавливается значение текущей частоты /, выраженной в герцах и затем нажатием клавиш В/О и С/П производится пуск калькулятора.
В качестве примера вычислений ниже приводятся следующие данные: =	= 46400 Ом; С1 = С2=10"7Ф; к= 1,57.
В табл. П.1.3 указаны получаемые значения ослаблений для различных частот.
Таблица П.1.3
f, Гц	0	5	10	15	20	40	50	75	100
А, дБ	-4,03	4,01	-4,0	-3,9	-3,6	0,5	3,4	9,7	14,6
Затем нажатием клавиш F и АВТ переходим в режим автоматической работы и заносим исходные данные в регистры памяти по следующей схеме (числовые данные — из примера для фильтра Баттерворта второго порядка при указанных выше числовых данных для частоты 100 Гц).
529
Программа
Вводимая величина	Порядок нажатия клавиши
Rr — в регистр 1 jR2 —в регистр 2 Сз — в регистр 3 С2— в регистр 4 к — в регистр 5 f—в регистр не вводится	46400	П1 П2 1ВП	7/-—7	ПЗ П4 1,59	П5
Так, введя в регистр X любое число, например 100, и нажимая клавиши В/О С/П, калькулятор начинает считать и примерно через 20 с выдает результат А = 14,6 дБ, находящийся также в регистре А, который можно получить, нажимая клавиши ИПА.
Для проверки правильности набора программы можно также сверить промежуточные результаты:
со(ИП9) = 628,318,52 (1 -^2RlR2ClС2)2(ИПО) = 56,243175
Программа № 19
Расчет вторичных параметров однородной линии
Вторичные параметры однородной линии определяются выражениями:
ZB=^'(Ro +jaL0)l{G0 +j&C0) = Zv-eJ*', 1=V(Ro +j<x>L0)  (Go +ja>C0) = у • eл=a + jP
Независимой переменной является частота f.
Программа содержит 76 команд и текст ее приведен в программе. Исходные данные занимают регистры памяти А, В и с 1-го по 5-й, а промежуточные вычисления — с 6-го по 9-й и нулевой регистр.
Сделав допущение, что первичные параметры линии не зависят от частоты, расчетные выражения для ZB и у могут быть записаны в общем виде следующим образом:
ZB = y/^/SJS^, <рв=2 (arctg .S\- arctg Sj,
У = х/\//4гЖ=\	(arctgS3 + arctgSj,
a = у • cos	p = у sin
где
S^coCo/Go, S2 = G02+(<d-C0)2,
£3 = coLo/Ao, *$4 = ^0	 Lq) •
530
B/0 F ПРГ
Программа
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
00	2	02	Запись 2 в per. X
01	Fit	20	Запись 71 в per. X
02	X	12	Вычисление 2л
03	ИП1	61	Вызов / из per. 1
04	С/П	50	Останов для индикации f
05	X	12	Вычисление со = 2тг/
06	П6	46	Запись со в per. 6
07	ИП5	65	Вызов Со из per. 5
08	X	12	Вычисление соСо
09	П7	47	Запись соСо в per. 7
10	ИП4	64	Вызов Go из per. 4
11		13	Вычисление = соСо /Со
12	F arctg	1L	Вычисление ср2 = arctg
13	ПО	40	Запись ср2 в per. 0
14	ИП7	67	Вызов соСо из per. 7
15	Fx2	22	Вычисление (со • Со)2
16	ИП4	64	Вызов Go из per. 4
17	Fx2	22	Вычисление Go
18	4-	10	Вычисление S2 = Go + (со • С0)2
19	П7	47	Запись S2 в per. 7
20	ИП6	66	Вызов со из per. 6
21	3	63	Вызов Lo из per. 3
22	X	12	Вычисление со£о
23	П6	46	Запись со£о в per. 6
24	ИП2	62	Вызов Rq из per. 2
25	4-	13	Вычисление S3 = coLo / Ro
26	Farctg	1L	Вычисление ср t = arctg S3
27	П9	49	Запись cpt в per. 9
28	НПО	60	Вызов cp2 из per. 0
29	—	11	Вычисление ср = ср t — ср 2
30	2	02	Запись 2 в per. X
31	4-	13	Вычисление срв = ср/2
32	с/п	50	Останов для индикации срв
33	ИП6	66	Вызов coLo из per. 6
34	Fx2	22	Вычисление (coLo)2
35	ИП2	62	Вызов Ro из per. 2
36	Fx2	22	Вычисление Rq
37	+	10	Вычисление S4 = Rq + (coLo)2
38	П8	48	Запись S4 в per. 8
39	ИП7	67	Вызов S2 из per. 7
40	4-	13	Вычисление S4/S2
41		21	Вычисление ^SJS2
42	fV	21	Вычисление ZB
43	С/П	50	Останов для индикации ZB
531
Продолжение программы
Адрес	Команда	Код	Содержание операции
44	ИП8	68	Вызов S4 из per. 8
45	ИП7	67	Вызов S2 из per. 7
46	X	12	Вычисление S2 • S4
47	г У	21	Вычисление y/S2 • S4
48	FV	21	Вычисление у
49	с/п	50	Останов для индикации у
50	П6	46	Запись у в per. 6
51	ИП9	69	Вызов фх из per. 9
52	ИПО	60	Вызов ф2 из Рег- 0
53	+	10	Вычисление ф = ф i + ср 2
54	2	02	Запись 2 в per. X
55	—	13	Вычисление = ф/2
56	П8	48	Запись £ в per. 8
57	С/П	50	Останов для индикации £
58	Feos	1Г	Вычисление cos
59	ИП6	66	Вызов у из per. 6
60	X	12	Вычисление а = у cos
61	С/П	50	Останов для индикации ос
62	П8	68	Вызов £, из per. 8
63	Fsin	1С	Вычисление sin
64	ИП6	66	Вызов у из per. 6
65	X	12	Вычисление 0 = у • sin
66	С/П	50	Останов для индикации 0
67	ИП1	61	Вызов f из per. 1
68	ИПА	6-	Вызов А/ из per. А
69	+	10	Вычисление /н =/+ А/
70	П1	41	Запись /н в per. 1
71	/-/	0L	Образование —/н
72	ИПБ	6L	Вызов /тах из per. В
73	+	10	Вычисление А=/тах— /н
74	FX<0	5С	Проверка условия А<0
75	00	00	Переход при А>0
76	с/п	50	Останов программы
	F АВТ		
Пример. Ro = 26,26 Ом/км, Lo= 12 мГн/км, Go = 0,575 мкСм/км, Со = = 5,1 нФ/км. Пределы 300^/^ 1200 Гц, шаг А/=300 Гц.
Исходные данные и порядок их ввода в МК представлены в табл. П.1.4.
Таблица П.1.4
Вводимая переменная	Порядок нажатия клавиш				Показания индикатора
f в per. 1		3 0 0	п	1	300.
Ro в per. 2	2 6	. 2 6	п	2	26.26
L() в per. 3	1 2 ВП	з/-/	п	3	1.2	-02
532
Продолжение табл. П.1.4
Вводимая переменная	Порядок нажатия клавиш	Показания индикатора
Go в per. 4	0 . 5 7 5 ВП 6/—/	П 4	5.75	-07
Co в per. 5	5 . 1 ВП 9/—/	П 5	5.1	-09
А/ в per. a	3 0 0	П А	300.
/max В per. Ь	1	2 0 0	П В	1200.
Результаты вычислений приведены в табл. П.1.5.
Таблица П.1.5
Наименование z параметра	Рассчитанные значения параметров			
/, Гц	300	600	900	1200
Фв, град	-22,918273	-14,210509	-10,00668	— 7,6639865
ZB, Ом	1897,0682	1649,0628	1588,2312	1565,1729
у-102, км1	1,8269629	3,171996	4,5813406	6,0192472
град	63,658765	74,07648	78,851125	81,479315
а-103, Нп/км	8,1065312	8,7024975	8,8584325	8,9185048
р • 102, рад/км	1,6372645	3,0502826	4,4948819	5,9528094
Порядок вывода результатов: /, срв, ZB, у, а, р. Если при расчетах ZB и у требуется учесть зависимость первичных параметров от частоты, то тогда после ввода программы для каждого значения f вводятся свои уточненные исходные данные, нажимают клавиши В/О, С/П и МК рассчитывает искомые параметры (получается не цикл, а серия одиночных расчетов). При этом принимают /тах=/, а А/ равно произвольной положительной величине, например А/= 1 Гц. Для проведения одиночных расчетов можно также ввести только часть указанной программы (табл. 20) с 0-й по 66-ю команду. Дальнейшее проведение расчетов аналогично вышеописанному. Задавать /тах и А/ в данном случае не требуется.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Расчет гиперболических функций от комплексного аргумента
При расчете четырехполюсников, фильтров, длинных линий приходится определять значения гиперболических синуса, косинуса и тангенса от комплексного аргумента Г = Л+/В. Для вычисления этих функций можно использовать приведенные далее два способа расчета. При этом следует иметь в виду, что при вычислении по формулам sh(y4+jB) = SeJ4 с11(Л+/В) = Се7ф<? углы <ps и фс находятся в тех же четвертях окружности, что и угол В, причем для нечетных четвертей окружности ф5^В^фс, а угол ф,>0; для четных четвертей окружности ф5^В^фс, а угол ф,<0.
Пример 1. Найти sh (0,65-bj 1,334); ch (0,65-bj 1,334); th (0,65 +j 1,334).
Решение. Здесь J = 0,65 Нп, B= 1,334 рад или так как 1 рад = 57,3°, то В= 1,334 • 57,3° = 76,5° = 76°30', т. е. угол лежит в первой четверти.
По таблицам функций действительного аргумента находим используемые в дальнейших расчетах: sh A = sh0,65 = 0,697; ch А = ch0,65= 1,219; sinB = = sin 1,334 = sin 76°30' = 0,972; cos B = cos 76°30' = 0,233; sh24 = sh 1,30= 1,698; сЬ2Л =ch 1,30= 1,971; sin 2B = sin 2,668 = sin 153° = 0,454; cos 2B=cos 2,668 = = -0,891.
533
Расчет гиперболического синуса sh (0,65+/1,334).
Способ 1. sh (А +/В) = sh А • cos B+j ch А • sin В = 0,697 • 0,233 + +/1,219-0,972 = 0,163+/!,185= 1,196е;8212.
Способ. 2. 5=Jo,5 (ch 2+-cos2B) = j0,5 (1,971+0,891) = 1,196; tg<ps = tgB tg76°30' 4,165
=— = -----------= ----= 7,27, ф = 82 12.
th Л	th 0,65	0,572	s
Следовательно, sh(0,65 +/1,334) = l,196ej82°12 .
Расчет гиперболического косинуса ch (0,65 +71,334).
Способ 1. ch (A +jB) = ch A cos B+/sh A sin B— 1,219 • 0,233 +/0,697 x x 0,972 = 0,284 + /0,677 = 0,735 e'6712'.
Способ 2. C=JO,5(ch2Л + cos2B) = Jo,5 (1,971 - 0,891) = 0,735, tgфc = = tg В th A = 4,165 • 0,572 = 2,385, фс = 67° 12'.
Следовательно, ch (0,65 + /1,334) = 0,735ej67°12 .
Расчет гиперболического тангенса th (0,65+/1,334).
_	1 z x sh2+	sin 25	1,696
Способ 1. th (Л +/ В) =-------------1-/------------=-------------F
v J 7 ch2+ + cos2B ch2+ + cos2B 1,971-0,891 0 454
+/—J------—=l,57+/0,42=l,628e;i5°.
J 1,971 -0,891 J
Способ 2. th(++/B)= TeJ%
/ch2+-cos2B /1,971+0,891 где T= /---------------= /------------=1,628;
'ych2+ + cos2B Л/ 1,971—0,891
sin IB 0,454
tgo.= +------=-----= 0,268; cp.= 15 .
“ sh2+ 1,698
sh(++/B) Sej(p° l,96eJ8212'
Способ 3. th (A +/B) =------------=----— =--------= 1,628eJ 15.
V J 7 ch(++/B)	0,735ej67 12
Согласно указанному ранее, так как угол В лежит в первой (нечетной) четверти, потому ф5 = 82°12'>В = 76°30'>фс = 67°12'.
Пример 2. Найти sh (1,15+/2,825); ch (1,15+/2,825); th (1,15+/2,825). Здесь Л = 1,15 Нп; 5=2,825 рад =162°, т. е. угол 5 лежит во второй (четной) четверти.
По таблицам находим: sh 1,15 = 1,421; ch 1,15 = 1,737; sin 2,825 = 0,309; cos2,825=-0,951; sh2,30 = 4,937; ch2,30 = 5,037; sin5,65=-0,588; cos5,65 = = 0,809.
Расчет гиперболического синуса sh (1,15+/2,825).
Способ 1. sh(1.15+/2,825)= 1,421 ( — 0,951)+/!,737 • 0,309= — 1,351 + +/0,536= l,454eJl58°.
Способ 2. 5=+>,5(5,037-0,809) = 1,454;
tg 162° -0,325
tg(ps=-S-----=------=-0,397; (ps=158°20';
th 1,15	0,818	Vs
sh (1,15 + /2,825) = 1,454eJ 158°20'.
Расчет гиперболического косинуса ch (1,15+/2,825).
Способ 1. ch(l,15+/2,825) = 1,737( —0,951)+/l,421-0,309= — 1,652 + +/0,439= l,71eJ165°7'.
Способ 2. C=JO,5(5,037 + 0,809) = 1,710;	tgфc = tgl62o,	thl,15 =
=—0,325 • 0,818=—0,266; фс= 165°7'; ch(1,15+/2,825) = l,710e'^5°7'.
Расчет гиперболического тангенса th (1,15+/2,825).
sh2,30	5,65
Способ 1. th(l,15+72,825) = ch230+cos^5+Jch2;30+cos5;65 = =-----------+j —~ °’588	= 0,843 -/0,100=0,850 e "' 6‘47'.
5,037 + 0,809 J 5,037 + 0,809
534
Способ 6°47'.
Способ Так как
/5,037-0,809	-0,588
2. Т= /--------------= 0,850; tg<pt =----------=- 1,119, ср.=
\/ 5,037 + 0,809	4,937
1 454ej158 20'
3. th (1,15 + /2,825)= ----— = 0,850е ~j6 47'.
1,710е7165 7
угол В лежит во второй четверти, то в соответствии с
указанным имеет место неравенство
<ps= 158°20'<В= 162°<срс= 165°7'.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Основные понятия о матрицах
Матрица — это прямоугольная таблица, которая характеризует взаимное расположение коэффициентов в определенной системе линейных уравнений. Обычно каждый элемент матрицы имеет два индекса: первый соответствует номеру строки, второй — номеру столбца. Матрица записывается в виде определителя, но в отличие от него обрамляется по бокам прямоугольными скобками (существуют и другие формы записи матриц). Далее записана матрица, имеющая т строк и п столбцов:
^11^12 ••• а1п
а21а22 •" а2п
ат1ат2 "• атп
Матрицу нельзя отождествлять с определителем системы уравнений, который представляет собой определенное число, если раскрыть определитель по известным правилам.
Порядок матрицы, имеющей т строк и п столбцов, определяется произведением: тхп.
Классификация матриц. Квадратной матрицей называется такая, у которой число строк равно числу столбцов (т = п). У такой матрицы линия, соединяющая элементы аГ1 и атп, называется главной диагональю матрицы. Симметричная матрица — квадратная матрица, у которой все элементы aik = aki.
Диагональной называется матрица, все элементы которой, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю. Единичная матрица — диагональная, все элементы главной диагонали равны единице. Матрица-строка— таблица, имеющая лишь одну строку (т=1); матрица — столбец — таблица, имеющая лишь один столбец (и=1).
Неопределенной называют матрицу, у которой сумма элементов любой строки и любого столбца равна нулю.
Свойства матриц. 1. Равенство матриц имеет место при равенстве всех соответствующих элементов. 2. При сложении (вычитании) матриц следует сложить (вычесть) соответствующие элементы этих матриц:
и+и=
^11^12	^11^12
а21а22_	_^21^22
Й11 +^11 021+^21
й12 + ^12
а22 +^22
3. Перемножать матрицы можно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Умножение производится по правилу «строка-столбец»: элемент матрицы произведения с0, находящийся на пересечении /-й строки первой матрицы и /-го столбца второй матрицы, равен сумме произведений элементов z-й строки первой матрицы на соответствующие элементы /-го столбца второй матрицы
(C.j = +l^lj + «i2^2j+ - + «йА>) (рис. П.3.1).
535
Рис. П.3.1
При умножении матриц сохраняет силу сочетательный закон:
Н-[»]Н=ИН=НЫ-
где
И = [«]-[Н [е] = [й] [с].
Однако умножение матриц не подчиняется переместительному закону
И •№!>]• [а].
Умножение матрицы на число k соответствует умножению каждого ее элемента на это число. Это же соответствует умножению данной матрицы на диагональную матрицу с элементами k.
Обратная матрица. Для квадратной матрицы [а ], если ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу [а]-1. Для этого надо: а) каждый элемент исходной матрицы [а ] заменить его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу (т. е. строки сделать столбцами), в) разделить транспонированную матрицу на определитель исходной матрицы [а ].
Произведение исходной матрицы [а] на транспонированную [« ] ! независимо от порядка перемножения равно единичной матрице
[«]•[«	[«Г1 •[«]= [11-
Пример. Найти матрицу, обратную матрице [а ] =
Сначала
|_а21Л22 _ рассчитываем алгебраические дополнения: вычеркивая первую строку и первый столбец, получаем алгебраическое дополнение Дп ~а22 (— I)1 *1 = «22, вычеркивая первую строку и второй столбец, получаем Д12 = «21 (~ 1)1 + — = —л21, аналогично — вторую строку и первый столбец, получаем Д21 — = «i2(—1)2 + 1 = — ап и2 наконец,— вторую строку и второй столбец, будем иметь Д22 = а11 (—1)2+—ац- Заменив элементы матрицы на алгебраические
дополнения, получим транспонированную матрицу
Следовательно, обратная матрица [«]
а22	~а21
~а12	а11
а22	а12
~а21	а11 
Й11Л22	Л12Л21
Для решения уравнения [«][&]= [с ] относительно матрицы [£> ] надо обе части этого уравнения умножить на [« ] “1, получим [« J1 [«][&] = = [« ] “1 • [с ] и учесть, что [« ]"1 • [« ] = 1, тогда найдем [й ]=[«]“1 • [с ].
536
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Расчет первичных параметров воздушных и кабельных линий
А.	Воздушные двухпроводные линии (рис. П.4.1). Сопротивление проводов двухпроводной линии при постоянном токе на единицу длины
8000	2550
Л2о = Р—^-=р-^-Ом/км,	(П.4.1)
л d	d
р — удельное сопротивление, Ом мм2/м, при температуре 20° С; d— диаметр проводов, мм.
Сопротивление единицы длины линии на постоянном токе при температуре Г, отличной от 20° С, вычисляют по формуле
Яг = Я20 [(1 +ак)(/-20°)] Ом/км.	(П.4.2)
Здесь — температурный коэффициент сопротивления.
Некоторые характеристики металлов, из которых изготовляют провода линий, приведены в табл. П.4.1.
Таблица П.4.1
Наименование металлов	р, Ом-мм2/м		Удельная масса, г/см3
Медь	0,01785	0,0039	8,9
Алюминий	0,0292	0,0037	2,72
Сталь	0,138	0,0046	7,7
Резистивное сопротивление единицы длины линии при переменном токе
RQ = Rt° [1 +F(x)] Ом/км.
(П.4.3а)
Здесь F(x) — поправочный коэффициент, учитывающий увеличение резистивного сопротивления линии вследствие поверхностного эффекта; он является функцией х, определяемой по формуле
/ /ц
х = 7,09	,	(П.4.4)
yj 104Я/	v
где f—частота, Гц; ц — магнитная проницаемость (для медных и алюминиевых проводов ц=1, для стальных ц=120).
Коэффициент F(x) определяется по табл. П.4.2.
Рис. П.4.1
537
Таблица П.4.2
X	F(x)	б(х)	Н(х)	Q(x)
0	0	0	0,0417	1
0,5	0,0003	0,001	0,042	0,9998
1,0	0,0052	0,0152	0,053	0,997
1,5	0,0258	0,0691	0,092	0,987
2,0	0,0782	0,1724	0,169	0,961
2,5	0,1756	0,295	0,263	0,913
3,0	0,318	0,405	0,348	0,845
3,5	0,492	0,499	0,416	0,766
4,0	0,678	0,584	0,466	0,686
4,5	0,862	0,669	0,503	0,616
5,0	1,042	0,755	0,530	0,556
6,0	1,394	0,932	0,575	0,465
7,0	1,743	1,109	0,608	0,400
8,0	2,094	1,287	0,634	0,351
9,0	2,446	1,464	0,655	0,313
10,0	2,799	1,641	0,750	0,282
Более 10	х/1-3	хУ2-1	0,750	2^/2
	4	8		X
Резистивное сопротивление единицы длины медной двухпроводной линии диаметром d при радиочастотах можно вычислить по формуле
16,65 10“2 I----
Ло = —77—— V7(Гц) Ом/км. d (мм)
(П.4.36)
Индуктивность двухпроводной воздушной линии на единицу длины при переменном токе определяют по формуле
£0= 41n^ + 2(x)p
• 10 4 Гн/км.
(П.4.5а)
Здесь а — расстояние между осями проводов; г — радиус проводов, коэффициент 2(х), учитывающий внутреннюю индуктивность линии, определяется по табл. П.4.2 в зависимости от х.
При радиочастотах индуктивность
Lo=4 • 10“41п-Гн/км.	(П.4.56)
Г
Емкость двухпроводной воздушной линии на единицу длины
Со=1,05 ——10 6 Ф/км.	(П.4.6)
< а
Коэффициент 1,05 учитывает влияние изоляторов и соседних проводов на емкость линии. При радиочастотах вместо коэффициента 1,05 берут 1.
Проводимость изоляции единицы длины двухпроводной линии
GQ = G' + nf,	(П.4.7)
где G' — проводимость изоляции	при постоянном токе, равная
0,01 • 10 6 См/км при сухой погоде и 0,5 • 10-6 См/км при сырой погоде: п — коэффициент диэлектрических потерь в изоляторах, равный 0,05 • 10 при сухой погоде и 0,25 -10 9 при сырой; f—частота, Гц.
538
Б. Кабельные линии. Сопротивление единицы длины линии при постоянном токе и температуре +20° С может быть вычислено по формуле (П.4.1), а при температуре, отличной от 20° С,— по формуле (П.4.2).
Резистивное сопротивление при переменном токе токопроводящих жил
двухпроводной цепи с учетом дополнительных сопротивлений, обусловленных поверхностным эффектом и эффектом близости, определяется по
формуле
R=Rt
1+F(x) +-----^4^
1-Я(л)(- ) _
\ a j
Ом/км,
(П.4.8)
где а — расстояние между осями проводников; d—диаметр жилы проводника; р—коэффициент, учитывающий тип скрутки жил кабеля; F(x), G(x) и Н(х) — коэффициенты, зависящие от х, которые вычисляются по формуле (П.4.4) они определяются по табл. П.4.2.
В диапазоне высоких частот (свыше 30 кГц) еще учитывают дополнительное сопротивление кабельной линии, обусловливаемое потерями на вихревые токи в соседних проводниках и свинцовой оболочке, по формуле / /(Гц)
\R' = 8 /—.... -Ом/км.	(П.4.9)
V 200 000
Таким образом, резистивное сопротивление единицы длины кабеля
R0 = R' + AR'.	(П.4.10)
Индуктивность единицы длины цепи кабеля вычисляется (приближенно) по формуле (П.4.5).
Емкость единицы длины кабеля определяют по формуле
£
Со =---------Ю'6 Ф/км.	(П.4.11)
а 361п0,6-г
Здесь 8—эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции; 0,6 — среднее значение коэффициента, учитывающего скрутку жил кабеля.
Проводимость изоляции определяют по формуле (См/км)
(jo = coCotg8.	(П.4.12)
Здесь 6 — угол диэлектрических потерь.
В.	Коаксиальные кабели. Первичные параметры коаксиальной пары (рис. П.4.2) из медных проводников вычисляют по формулам: резистивное сопротивление (при />60 кГц)
Ro = 8,35У7(ГЮ ( -ттЦ+7Т7Ц ) у d (мм) £>(мм)у
•10 2 Ом/км;
(П.4.13)
индуктивность £0 = 21п— 10 Гн/км; (П.4.14) d
емкость Со =-------
0 D
181п — d
•10"6
Ф/км,
(П.4.15)
где £—эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции; Go — проводимость, определяемая по формуле (П.4.12).
В формулах (П.4.13 — П.4.15): d—диаметр внутреннего проводника, мм; D — внутренний диаметр внешнего проводника, мм; /—частота, Гц.
539
ЛИТЕРАТУРА
Учебники
1.	Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей.— М.: Радио и связь, 1986.—544 с.
2.	Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. Линейные .электрические цепи.— М.: Энергия, 1978.—592 с.
3.	Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники.— М.: Высшая школа, 1978.—528 с.
4.	Зевеке Г. В, Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей.— М.: Энергия, 1975.—752 с.
5.	Попов В. П. Основы теории цепей.— М.: Высшая школа, 1985.—496 с.
6.	Лосев А. К. Теория линейных электрических цепей.— М.: Высшая школа, 1987.—512 с.
Учебные пособия
7.	Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники.— Л.: Энергоиздат, 1981.— Т. 1—536 с., Т. 2 — 416 с.
8.	Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы.— М.: Радио и связь, 1986.—512 с.
9.	Зернов П. В., Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей.— Л.: Энергия, 1972.—816 с.
10.	Теория линейных электрических цепей / Б. В. Афанасьев, О. Е. Гольдин, И. Г. Кляцкин. Под ред. И. Г. Кляцкина.— М.: Высшая школа, 1973.— 592 с.
И. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.— М.: Высшая школа, 1981.—333 с.
12.	Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей.— М.: Высшая школа, 1976.—208 с.
13.	Татур Т. А. Основы теории электрических цепей.— М.: Высшая школа, 1980.—271 с.
14.	Хьюлсман Л. П. Активные фильтры.— М.: Мир, 1972.—240 с.
15.	Бессонов Л. А. Сборник задач по ТОЭ.— М.: Высшая школа, 1982.—472 с.
16.	Альбац М. Е. Справочник по расчету фильтров и линий задержки.— М.: Госэнергоиздат, 1963.—209 с.
17.	Зааль Р. Справочник по расчету фильтров.— М.: Радио и связь, 1983.—752 с.
18.	Ханзел Г. Справочник по расчету фильтров.— М.: Сов. радио, 1974.—288 с.
19.	Лосев А. К., Зиемелис Ю. М. Задачник по теории линейных электрических цепей.— М.: Высшая школа, 1989.— 270 с.
20.	Воробиенко П. П. Теория линейных электрических цепей. Сборник задач и упражнений.— М.: Радио и связь, 1989.— 326 с.
540
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................................................... 3
Глава 1. Основные законы и методы расчета линейных электрических цепей (на примерах цепей с постоянными токами и напряжениями) 5
Основные положения и соотношения ................................ 5
Упражнения и задачи ............................................ 17
Расчет цепей с независимыми источниками ........................ 17
А.	Расчет эквивалентных сопротивлений и токов ............. 17
Б. Законы Ома и Кирхгофа. Баланс мощностей ................. 23
В.	Методы контурных токов и узловых напряжений ............ 32
Г. Принцип наложения. Преобразование треугольника в звезду и обратно ............................................... 39
Д. Метод эквивалентного источника. Преобразование источников. Принцип взаимности ...................................... 41
Е. Условие выделения максимальной мощности в нагрузке ....	48
Ж. Входные и взаимные	проводимости ветвей .................. 49
Глава 2. Линейные цепи при гармоническом воздействии ........... 50
Основные положения и соотношения ............................... 50
Упражнения и задачи ............................................ 62
А. Мгновенные значения синусоидального тока, напряжения, мощности. Последовательное и параллельное соединение элементов .................................................. 62
Б. Различные формы записи комплексных величин. Активная и реактивная составляющие напряжения и тока. Соединение сопротивлений. Мощности. Векторные диаграммы ............ 71
В. Различные методы расчета линейных цепей при гармонических воздействиях ............................................ 82
Г. Условия выделения максимальной мощности в нагрузке ....	89
Д. Амплитудно- и фазочастотные характеристики. Единицы измерения частотного интервала ............................ 90
Е. Эквивалентные и обратные двухполюсники .................. 99
Глава 3. Расчет цепей с зависимыми источниками и цепей с обратной связью ........................................................ 103
Основные положения и соотношения .............................. 103
Упражнения и задачи	....................................... 106
А.	Расчет	цепей с	зависимыми источниками ............. 106
Б. Расчет	передаточных	функций ............................ 111
В.	Коэффициент усиления и обратная связь .................. 114
Глава 4. Трехфазные цепи ...................................... 117
Основные положения и соотношения .............................. 117
Упражнения и задачи ........................................... 119
А. Симметричные трехфазные цепи ........................... 119
Б. Несимметричные трехфазные цепи ......................... 122
Глава 5. Одиночные колебательные контуры ...................... 126
Основные положения и соотношения .............................. 126
Упражнения и задачи ........................................... 133
А.	Резонанс напряжений ................................... 133
Б. Резонанс токов ......................................... 140
В.	Частотные характеристики одиночных резонансных цепей ...	147
Г. Резонансы напряжений и токов в сложных контурах ........ 154
Глава 6. Связанные электрические цепи ......................... 160
Основные положения и соотношения .............................. 160
Упражнения и задачи ........................................... 168
А.	Расчет индуктивно связанных электрических цепей ....... 168
Б. Резонансы в связанных контурах ......................... 179
В.	Частотные характеристики связанных электрических контуров ..................................................... 184
Г. Энергетические соотношения ............................. 190
Д. Трансформатор со стальным сердечником .................. 191
Глава 7. Цепи при периодических негармонических воздействиях ...	195
Основные положения и соотношения .............................. 195
Упражнения и задачи ........................................... 200
А.	Аналитический метод разложения периодических кривых в ряд Фурье ................................................. 200
Б. Расчет цепей при несинусоидальных периодических воздействиях ................................................... 205
В.	Коэффициенты, характеризующие форму периодической несинусоидальной кривой ..................................... 211
Глава 8. Классический метод расчета переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами ................................ 212
Основные положения и соотношения .............................. 212
Упражнения и задачи ........................................... 219
А.	Расчет переходных процессов в цепях первого порядка  	219
Б. Расчет переходных процессов в цепях второго порядка  	230
В.	Переходные характеристики. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля ................................. 239
Г. Импульсные характеристики. Расчет переходных процессов при импульсных	воздействиях ....................... 245
Глава 9. Операторный метод расчета переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами ................................ 251
Основные положения и	соотношения ........................... 251
Упражнения и задачи ........................................... 258
А.	Расчет переходных процессов. Операторные схемы замещения. Использование таблицы 0.9.1 и теоремы разложения .......... 258
Б. Расчет переходных процессов в цепях с взаимной индуктивностью ................................................. 272
542
Глава 10. Спектральный метод анализа линейных электрических цепей ......................................................... 274
Основные положения и	соотношения ............................. 274
Упражнения и задачи ........................................... 278
А. Спектры непериодических	сигналов ....................... 278
Б. Использование основных свойств преобразования Фурье ....	279
В.	Прохождение непериодических сигналов через линейные цепи. АЧХ и ФЧХ входных и передаточных функций .................. 283
Г. Дифференцирующие и интегрирующие цепи .................. 288
Гла'ва 11. Электрические цепи с распределенными параметрами (длинные линии) ..................................................   289
Основные положения и соотношения .............................. 289
Упражнения и задачи ........................................... 295
А.	Первичные и вторичные параметры линии. Фазовая скорость. Длина волны ............................................... 295
Б. Согласованная и несогласованная нагрузки линии. Напряжение, ток, мощность в начале и конце линии. Входное
сопротивление. Прямые и обратные волны ................ 302
В. Неискажающая линия. Схемы замещения линии ............. 307
Г. Рабочее затухание линии. Определение параметров линии по опытам холостого хода и короткого замыкания ............... 308
Д. Расчет уровней передачи ..................................... 311
Е. Линия без потерь. Стоячие волны ............................. 312
Ж. Методы согласования линии с нагрузкой ....................... 321
3. Схемы, эквивалентные отрезкам линии ...................... 325
Глава 12. Четырехполюсники .................................. 328
Основные положения и соотношения ............................ 328
Упражнения и задачи .......................................   347
А. Параметры четырехполюсника. Т- и П-схемы замещения четырехполюсника ........................................ 347
Б. Входное сопротивление четырехполюсника ............... 349
В.	Схемы соединения четырехполюсников ................... 350
Г. Характеристические параметры, их связь с другими параметрами четырехполюсника. Повторные параметры .............. 353
Д. Эквивалентность четырехполюсников .................... 355
Е. Коэффициенты отражения, эхо. Вносимое и рабочее ослабление. Коэффициенты передачи напряжения, тока ...........•.	357
Ж. Удлинители ........................................... 359
3. Трансформаторы для согласования сопротивлений четырехполюсника и нагрузки ..................................   360
И. Полюсно-нулевое изображение передаточных и входных функций. Минимально- и неминимально-фазовые четырехполюсники .................................................. 361
К. Четырехполюсники с зависимыми источниками (активные
неавтономные четырехполюсники) ......................... 365
Л. Устойчивость ........................................... 375
Глава 13. Основы синтеза двухполюсников ..................... 376
Основные положения и соотношения ............................ 376
Упражнения и задачи ......................................... 386
А.	Положительные вещественные функции ................... 386
Б. Синтез реактивных двухполюсников ..................... 388
543
В.	Синтез двухполюсников, состоящих из RC- или RL-эле-ментов .................................................... 392
Г.	Синтез двухполюсников общего вида. Полином Гурвица ...	397
Глава 14. Основы синтеза четырехполюсных цепей ................ 406
Основные положения и соотношения .............................. 406
Упражнения и задачи ........................................... 408
Глава 15. Электрические фильтры ............................... 413
Основные положения и соотношения .............................. 413
Упражнения и задачи ........................................... 433
А.	Расчет полиномиальных фильтров ........................ 433
Б. Фильтры Золотарева ..................................... 447
В.	Активные ЯС-цепи и ЛЯС-фильтры ......................... 450
Глава 16. Корректирующие цепи ................................. 463
Основные положения и соотношения .............................. 463
Упражнения и задачи ........................................... 478
А. Корректоры амплитудно-частотных искажений .............. 478
Б. Корректоры фазочастотных искажений ..................... 487
Ответы ........................................................ 500
Приложения .................................................... 515
Литература .................................................... 540
Учебное издание
Шебес Михаил Романович
Каблукова Маргарита Васильевна
ЗАДАЧНИК ПО ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Зав. редакцией В. И. Трефилов. Редактор Е. А. Орехова.
Младший редактор С. А. Пацева. Художественный редактор Т. М. Скворцова. Технический редактор Г. А. Фетисова. Корректор Г. А. Чечеткина
ИБ № 8213
Изд. № ЭР—493. Сдано в набор 05.04.89. Подп. в печать 09.02.90.
Формат 60х901/1б- Бум. кн.-журн. Гарнитура тайме. Печать офсетная.
Объем 34,0 усл. печ. л. 34,0 усл. кр.-отт. 30,85 уч.-изд. л. Тираж 46000 экз.
Зак. № 2113. Цена 1 р. 30 к.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» Госкомпечати СССР. 113054, Москва, Валовая, 28.