/
Text
Е.И.Домрачев А.Г.Корепанов
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Учебное пособие
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет прикладной математики и телекоммуникаций
Кафедра радиоэлектронных средств
Е.И.Домрачев А.Г.Корепанов
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Рекомендовано
Ученым советом ВятГУ в
качестве учебного пособия
Киров 2006
Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского
государственного университета
УДК 621.3.06(07)
Д669
Рецензенты:
доцент кафедры электротехники и электроники ВятГУ,
кандидат технических наук Г.Г.Гаврилов;
доцент кафедры информатики и вычислительной техники
Коми государственного педагогического института,
кандидат физико-математических наук Е.И.Оплеснин
Домрачев Е.И. Переходные процессы в линейных электрических цепях:
Учебное пособие/ Е.И.Домрачев, А.Г.Корепанов. – Киров: - Изд-во ВятГУ, 2006. 167 с.
Изложены основы теории и расчёта переходных процессов классическим и операторным
методами, а также с помощью интегралов наложения. Рассмотрены пассивные и активные цепи,
в которых переходные процессы используются для формирования сигналов. Пособие содержит
лабораторный практикум по переходным процессам.
Для студентов специальностей 201500 “Бытовая радиоэлектронная аппаратура”, 200900
“Сети связи и системы коммутации”, 201800 “Защищённые системы связи”.
Редактор Е.Г.Козвонина
Компьютерная вёрстка Д.А.Владимирова
Подписано в печать
Бумага офсетная
Заказ №
Тираж 225
Усл. печ. л. 10,7
Печать матричная
Бесплатно.
Текст напечатан с оригинала-макета, представленного авторами
610000, г. Киров, ул. Московская, 36.
Оформление обложки, изготовление – ПРИП ВятГУ
© Е.И.Домрачев, А.Г.Корепанов, 2006
© Вятский государственный университет, 2006
3
Содержание
Введение ........................................................................................................................... 5
ГЛАВА 1 Классический метод расчёта переходных процессов ............................... 8
1.1. Определение переходного процесса.................................................................... 8
1.2. Законы коммутации............................................................................................... 9
1.3. Переходный, принуждённый и свободный процессы ..................................... 10
1.4. Порядок расчёта переходного процесса ........................................................... 12
1.5. Включение RL–цепи на постоянное напряжение ............................................ 14
1.6. Экспонента. Постоянная времени цепи. Время переходного процесса ....... 18
1.7. Короткое замыкание RL-цепи............................................................................ 21
1.8. Перенапряжение. Искровой разряд ................................................................... 23
1.9. Включение RC-цепи на постоянное напряжение............................................. 24
1.10. Короткое замыкание RC-цепи.......................................................................... 27
1.11. Включение RL-цепи на синусоидальное напряжение................................... 29
1.12. Включение RC-цепи на синусоидальное напряжение................................... 31
1.13. Включение RLC-цепи на постоянное напряжение ........................................ 34
1.14. Включение колебательного контура на синусоидальное напряжение ....... 44
1.15. Рекомендации по расчёту переходных процессов классическим методом в
разветвлённых электрических цепях.......................................................................... 3
ГЛАВА 2 Расчёт переходных процессов операторным методом ........................... 10
2.1. Преобразование Лапласа и его свойства........................................................... 10
2.2. Изображения по Лапласу напряжений на резисторе, индуктивности и
ёмкости ........................................................................................................................ 11
2.3. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме................................................ 13
2.4. Порядок расчёта переходных процессов операторным методом. Переход от
изображений к оригиналам ....................................................................................... 15
2.5. Применение операторного метода к исследованию электрических цепей ... 17
2.6. Связь между преобразованиями Лапласа и Фурье .......................................... 18
2.7. Примеры расчета переходных процессов операторным методом ................. 20
ГЛАВА 3 Расчёт переходных процессов при произвольных внешних
воздействиях .................................................................................................................. 24
3.1. Единичная ступенчатая функция. Единичная импульсная функция............. 24
3.2. Переходные функции цепи. Импульсная переходная функция ..................... 25
3.3. Расчёт переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля .................... 27
3.4. Расчёт переходных процессов с использованием импульсной переходной
функции ....................................................................................................................... 34
ГЛАВА 4 Применение переходных процессов для формирования сигналов ....... 38
4.1. Пассивные дифференцирующие цепи............................................................... 38
4.2. Пассивные интегрирующие цепи ...................................................................... 45
4.3. Применение операционных усилителей для повышения точности
дифференцирования и интегрирования ................................................................... 50
ГЛАВА 5 Моделирование переходных процессов в линейных электрических
цепях ............................................................................................................................... 55
4
5.1. Лабораторная работа №1 Исследование переходных процессов в цепях
первого порядка .......................................................................................................... 55
5.2. Лабораторная работа №2 Исследование и изучение формирующих цепей.. 61
5.3. Лабораторная работа №3 Исследование переходных процессов в цепях
второго порядка .......................................................................................................... 70
5.4. Основные рекомендации по применению программы EWB-5.12.................. 77
Библиографический список.......................................................................................... 81
5
Введение
За последние два десятилетия в преподавании основ теории цепей для
студентов
радиотехнических,
связных
и
других
специальностей
информационного профиля (201500, 200900, 210100, 220100) сложилась
парадоксальная ситуация. С одной стороны, выросли требования к уровню
подготовки инженеров в этой области, выразившиеся в расширении содержания
типовых программ, стандартов и учебников, куда вошли такие новые темы, как
методы машинного анализа цепей, основы теории многополюсников, синтез
электрических цепей, активные и цифровые фильтры и др. Минимальный объём
учебников по ОТЦ составляет 600 страниц. С другой стороны, в два и более раз
сокращено количество аудиторных часов на изучение этой дисциплины, а
итоговый контроль для ряда специальностей (210100, 220100) сведён лишь к
зачёту. Базовые дисциплины: физика, математика, информатика - изучаются
одновременно с ОТЦ с отставанием по программе (в первом семестре второго
курса, а у специальности 220100 на первом курсе). Всё это неизбежно снижает
уровень качества изложения предмета и вызывает значительные трудности при
его изучении.
В связи с этим возникает сакраментальный вопрос: необходимо ли вообще
инженерам названных специальностей знание теории цепей, если современные
программы машинного анализа позволяют достаточно просто определить любую
характеристику цепи, причём для этого не требуется даже знание законов Ома и
Кирхгофа? Не вдаваясь в полемику, приведём вывод [4], с которым солидарны
авторы данного пособия: “Программы автоматизированного анализа цепей – это
только удобный и чрезвычайно эффективный инструмент позволяющий
сократить рутинную (“ручную”) работу и освободить время для творческого
осмысления задачи и принятия решений”. Таким образом, теорию цепей
необходимо изучать и изучать достаточно глубоко. Вот только как это сделать?
Предлагаемое учебное пособие не претендует на “глубину” и тем более
полноту изложения темы переходных процессов. Эта тема подробно раскрыта в
многочисленных учебниках [1 - 4 и др.], написанных известными учёными и
специалистами в этой области. Пособие может быть использовано в качестве
конспекта лекций с той оговоркой, что в нём не рассмотрена подробно
физическая сторона переходных процессов, которая на лекциях обычно даётся в
виде комментария и подробно изложена в рекомендуемых учебниках.
Главная цель пособия – помощь студентам на примерах простых цепей
первого и второго порядка освоить методику расчёта переходных процессов и
получить при этом качественные интуитивные представления о процессах и
свойствах цепей в целом. Процессы же в цепях более высокого порядка можно
рассматривать как линейную комбинацию процессов в цепях первого и второго
порядков. Такой индуктивный (от частного – к общему) подход к обучению
позволяет ускорить самостоятельное изучение материала. Этому также
способствует детализация математических выкладок, которая обычно отсутствует
в других учебниках.
6
Другая цель пособия – оказать методическую поддержку при выполнении
студентами курсовой работы по ОТЦ. В качестве примеров в пособии приведены
решения (в общем виде) задач аналогичных заданиям на курсовую работу [12]. В
методических рекомендациях использован многолетний опыт преподавания курса
ОТЦ в ВятГУ.
Значительная часть учебного пособия представляет собой теоретические
сведения к лабораторным работам по исследованию переходных процессов в
цепях первого и второго порядка. Эту часть курса ОТЦ студенты изучают
самостоятельно; она включена в экзаменационные билеты.
Особенностью пособия является его практическая направленность.
Аналитические выражения, полученные в результате решения задач, как правило,
обсуждаются; определяются числовые характеристики процессов, показатели
качества цепи; рассматриваются режимы, опасные для цепи. Особое место в
пособии уделено цепям, в которых переходные процессы используются для
формирования сигналов – пассивным и активным дифференцирующим и
интегрирующим цепям. Схемы, которые исследуются в лабораторных работах,
собраны в отдельных файлах, как приложение к пособию.
Терминология и условные обозначения для ряда понятий, касающихся
переходных процессов, к настоящему времени не установились и не
стандартизированы. Это можно объяснить тем, что переходные процессы
актуальны в различных областях техники: электротехнике, радиотехнике,
автоматике, электросвязи и других, где исторически сложилась своя
терминология и условные обозначения.
В пособии использован мажоритарный подход: использованы термины,
употребляемые большинством авторов [1-10], при этом приведены синонимы.
Поскольку первоочередной задачей ОТЦ является “обслуживание” следующего за
ним курса электроники, для передаточной и комплексной передаточной функций
четырёхполюсника выбраны соответственно обозначения K ( p ) и K ( jω ) ,
используемые в электронике. Для переходной функции по напряжению
используется “традиционное” обозначение h(t ) . Для обозначения импульсной
переходной функции вместо часто используемого в связи g (t ) принято k (t ) [3].
Такой выбор оправдан тем обстоятельством, что изображение по Лапласу для
k (t ) равно K ( p) , т.е. k (t ) K ( p) .
Объём учебного пособия ограничен временными рамками курса ОТЦ. В
пособие не вошли разделы, представляющие интерес для специалистов по
радиотехнике и связи: частотные методы анализа переходных процессов,
переходные процессы в цепях с распределёнными параметрами, переходные
процессы в нелинейных цепях, метод переменных состояний, переходные
процессы при “некорректных” коммутациях. Этот материал изложен в учебниках
[1 - 4] и по мере необходимости излагается в профилирующих дисциплинах.
Главы 1 - 4 учебного пособия написаны доцентом Е. И. Домрачевым, глава 5
– доцентом А. Г. Корепановым.
7
Отзывы, замечания и предложения по содержанию пособия просим
направлять по адресу: 610000, г. Киров, ул. Московская, 36, ВятГУ, кафедра
радиоэлектронных средств.
8
ГЛАВА 1
Классический метод расчёта переходных процессов
1.1. Определение переходного процесса
Переходным процессом называется изменение во времени токов и
напряжений в электрической цепи при переходе от одного установившегося
режима к другому.
Установившийся (стационарный) режим создаётся в цепи источником
постоянной ЭДС, источником периодически изменяющейся ЭДС произвольной
формы (в том числе синусоидальной). К этому режиму относится также случай
отсутствия токов в ветвях цепи.
В отличие от установившегося, переходной режим – неустановившийся,
нестационарный процесс, характеризующийся быстрыми изменениями токов и
напряжений.
Переходной процесс начинается с мгновенного изменения состояния цепи,
называемого к о м м у т а ц и е й: замыкания, размыкания, переключения
выключателей, контактов реле и других коммутационных устройств,
объединённых общим названием – «ключи» (рис. 1.1). Под это понятие попадают
также электронные схемы, работающие в ключевом режиме.
1
2
Рис. 1.1
В дальнейшем будем считать, что коммутация происходит при t = 0 .
Момент времени, предшествующий коммутации, будем обозначать t = 0 − , а
момент времени сразу после коммутации – t = 0 + .
В момент коммутации в электрической цепи скачком изменяется
приложенное к ней напряжение или её параметры, причём переходный процесс
возможен только в такой цепи, в состав которой входят реактивные элементы –
индуктивность и (или) ёмкость, способные запасать энергию магнитного и
электрического полей. Переходной процесс отсутствует в цепях, содержащих
лишь активные сопротивления. При коммутации в таких цепях токи и напряжения
устанавливаются мгновенно.
В радиотехнике и связи переходные процессы имеют первостепенное
значение, так как длительность сигналов соизмерима со временем переходных
процессов. Они влияют на форму сигналов. В некоторых схемах они
нежелательны, поскольку являются причиной переходных искажений; в других –
используются для получения сигналов заданной формы.
В автоматическом регулировании параметры переходного процесса
определяют показатели качества системы (перерегулирование, время
регулирования, декремент затухания и др.).
Во время переходных процессов на отдельных участках цепи могут
возникать напряжения и токи, во много раз превышающие установившиеся
9
значения. Это
обстоятельство
электрических и электронных схем.
необходимо
учитывать
при
разработке
1.2. Законы коммутации
Ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации не
могут изменяться скачком, а являются непрерывными функциями времени, т.е.
iL (0 ) = iL (0 );
(1.1)
−
+
uC (0 ) = uC (0 ). (1.2)
−
+
Равенства (1.1) и (1.2) выражают аналитически соответственно первый и
второй законы коммутации.
В схеме на рис. 1.2 а происходит коммутация в цепи постоянного тока,
U
; ток в
R1 + R2
U
установившемся режиме после окончания переходного процесса i2 =
.
R1
содержащей индуктивность. Ток в цепи до коммутации i1 =
а
б
Рис. 1.2
На основании первого закона коммутации,
iL (0− ) = iL (0+ ) = i1 =
U
.
R1 + R2
На рис. 1.2 б показан постепенный, непрерывный процесс установления тока
в цепи после замыкания ключа S.
На рис. 1.3 поясняется второй закон коммутации.
В схеме на рис. 1.3 а за время переходного процесса напряжение на ёмкости
непрерывно изменяется от значения uC1 = E1 до uC 2 = E1 + E2 (рис. 1.3 б).
В момент переключения в цепи при t=0 должен выполняться второй закон
коммутации
uC (0 − ) = uC (0 + ) = E1 .
10
+
E2
2
-
1
R
S
uc
t=0
+
uC
E1
C
uc2=E1+E2
u c1 =E 1
-
t
0
а
б
Рис. 1.3
С физической точки зрения законы коммутации являются частными
проявлениями общего закона природы – закона непрерывности энергии. Энергия
магнитного
поля,
запасённая
в
индуктивности
электрического поля, запасённая в ёмкости
wL =
CuC2
wC =
2
LiL2
2
,
и
энергия
, не могут изменяться
скачком. Действительно, скачкообразное изменение iL или uC влечёт за собой
скачкообразное изменение wL или wC . В этом случае мгновенные мощности в
индуктивности pL =
dwL
dwC
в ёмкости pC =
равны бесконечности, что
dt
dt
лишено физического смысла, так как реальные источники энергии не могут
развивать бесконечно большую мощность.
С другой стороны, если допустить, что в момент коммутации ток iL (или
uC ) изменяется скачком, то напряжение на индуктивности
du
di
u L = L L (ток в ёмкости iC = C c ) примет бесконечно большое значение, и в
dt
dt
напряжение
цепи не будет выполняться второй (или соответственно первый) закон Кирхгофа.
Заметим, что ток в ёмкости и напряжение на индуктивности не являются
носителями энергии, поэтому законам коммутации не подчиняются и могут
изменяться скачком.
1.3. Переходный, принуждённый и свободный процессы
Изучение переходных процессов сводится к исследованию и решению
уравнений равновесия токов в узлах и напряжений в контурах, составленных
применительно к их мгновенным значениям, т.е. в интегро-дифференциальной
форме.
11
Рассмотрим пример подключения последовательного RLC-контура
(рис. 1.4) к источнику непрерывно изменяющейся ЭДС, заданной аналитически.
i
S
R
uR
uL
e
L
uC
C
Рис. 1.4
Полагая uC (0 − ) = uC (0 + ) = 0 , для произвольного t > 0 составим уравнение
равновесия напряжений в контуре
Ri + L
di 1
+ ∫ idt = e .
dt C
(1.3)
Ток i в уравнении (1.3) называется током переходного процесса или
переходным током.
После окончания переходного процесса наступает принуждённый
(вынужденный) режим, который создается в цепи источником ЭДС.
В случае постоянной, синусоидальной или любой периодически
изменяющейся ЭДС принуждённый режим называют также установившимся.
С установлением принуждённого режима уравнение (1.3) примет вид
Riпр + L
где iпр – принуждённый ток.
diпр
dt
+
1
∫ iпр dt = е ,
C
Вычитая из уравнения (1.3) уравнение (1.4) и вводя обозначение
i − iпр = iсв ,
(1.4)
(1.5)
получим
Riсв + L
diсв 1
+ ∫ iсв dt = 0 .
dt C
(1.6)
Ток iсв называется свободным током или током свободного процесса.
Уравнение (1.5) показывает, что переходный процесс в цепи можно
рассматривать как суперпозицию (наложение) двух процессов - принуждённого,
наступающего сразу после коммутации, и свободного, существующего только во
время переходного процесса, т.е.
i = iпр + iсв .
(1.7)
12
Физически существует только один ток – переходный, и представление его в
виде двух составляющих упрощает расчёт переходного процесса, сводящийся к
решению линейного неоднородного дифференциального уравнения.
Частное решение такого уравнения дает принуждённый ток, общее решение
однородного – свободный ток. Тогда переходный ток i = iпр + iсв есть общее
решение неоднородного дифференциального уравнения.
В нахождении принуждённой и свободной составляющих тока или
напряжения (интегрировании дифференциальных уравнений) и заключается
расчёт переходных процессов классическим методом.
1.4. Порядок расчёта переходного процесса
Анализ переходного процесса в разветвлённой цепи начинают с составления
системы уравнений для мгновенных значений токов и напряжений, используя
любой подходящий для расчётов метод (контурных токов, узловых потенциалов,
законов Кирхгофа и др.). Если требуется найти какой-либо один ток i (или
напряжение), то систему исходных дифференциальных уравнений путём
исключения остальных переменных приводят к одному уравнению n-го порядка:
d ni
d n − 1i
di
+ ... + a1 + a0i = u (t ).
+a
n −1 n −1
dt
dt n
dt
(1.8)
Принуждённая составляющая iпр зависит от вида приложенного напряжения
u (t ) – это либо постоянное, либо синусоидальное напряжение; составляющую
iпр находят обычными методами расчёта установившегося режима после
коммутации.
Физическая причина свободного процесса – несоответствие запаса
электромагнитной энергии в реактивных элементах цепи в момент коммутации
тому значению, которое должно быть в них после коммутации.
Свободный ток iсв представляет общее решение однородного уравнения
d ni
d n − 1i
di
св + a
св + ... + a св + a i = 0
1
0
.
n −1
св
−
1
n
n
dt
dt
dt
(1.9)
Решение уравнения (1.9) находят в виде
iсв = Ае pt .
(1.10)
d k iсв
= Ap k e pt в уравнение
Подставив экспоненту Ае и её производные
k
dt
pt
(1.9), после сокращения Ае получают алгебраическое уравнение степени n ,
pt
которое называют х а р а к т е р и с т и ч е с к и м
у р а в н е н и е м:
p n + an −1 p n −1 + ... + a1 p + a0 = 0.
(1.11)
13
Каждый из n корней уравнения (1.11) даёт линейно независимое решение
Ak e
pk t
; общее решение уравнения (1.9) представляет линейную комбинацию этих
решений. Вид корней pk
определяет характер свободного процесса, его
функциональную зависимость от времени.
В частном случае, если корни характеристического уравнения вещественные
и различные, выражение свободного тока имеет вид
iсв = А1e
p1t
+ A2e
p2t
+ ... + Ane
pn t
n
= ∑ Ak e pk t ,
k =1
(1.12)
где Ak – постоянные интегрирования.
Другие варианты возможных решений для iсв рассмотрены ниже
в§
1.13.
Ak в выражении (1.12) определяют из
начальных условий – значений токов и напряжений в цепи при t = 0 + .
Постоянные интегрирования
Прежде всего из законов коммутации (1.1) и (1.2) находят
нез
а в и с и м ы е н а ч а л ь н ы е у с л о в и я (значения), которые справедливы
только для тока через индуктивность и для напряжения на ёмкости. Значения
остальных токов и напряжений при t = 0 + (з а в и с и м ы е н а ч а л ь н ы е у с л о
в и я) определяют по независимым начальным условиям, используя законы
Кирхгофа.
Отметим, что порядок дифференциального уравнения (1.8) (порядок цепи)
равен общему числу индуктивностей и ёмкостей, для которых можно задать
независимые начальные условия.
Ввиду того, что решения для свободного тока (или напряжения) в любой
pt
ветви цепи имеют стандартную форму Ае (1.10), а корни pk уравнения (1.11)
зависят только от параметров цепи R, L, C, нет необходимости всякий раз
составлять и обрабатывать дифференциальные уравнения. Расчёт переходного
процесса рекомендуется вести в следующем порядке.
1. Выбрать условно положительные направления токов в ветвях цепи.
2. Записать для искомого тока общее решение в виде i = iпр + iсв .
3. Найти iпр в установившемся режиме после коммутации.
4. Составить характеристическое уравнение и найти его корни. Его можно
записать по виду дифференциального уравнения (1.9), если последнее известно.
Другой, более простой способ его получения состоит в том, что для цепи находят
комплексное входное сопротивление Z вх , в котором заменяют jω на p , а затем
приравнивают к нулю. Z ( p) можно составить относительно любой ветви цепи,
вх
причём источник ЭДС следует условно закоротить, так как его внутреннее
сопротивление равно нулю.
14
5. По виду корней pk характеристического уравнения записать решение для
свободного тока iсв (см. § 1.13).
6. Определить независимые начальные условия (1.1) и (1.2) iL (0 − ) = iL (0 + )
и uC (0 − ) = uC (0 + ) и, используя их, найти зависимые значения искомых токов
(или напряжений) для t = 0 + по законам Кирхгофа.
7. Найти постоянные интегрирования.
8. Записать окончательные выражения переходных токов и напряжений.
9. Определить необходимые параметры переходного режима (постоянные
времени, время переходного процесса, величину выбросов и др.).
Рассмотрим примеры расчёта переходных процессов, иллюстрирующие
общие положения, изложенные выше.
1.5. Включение RL–цепи на постоянное напряжение
Известны напряжение U , параметры цепи R и L (рис. 1.5). Требуется найти
ток i и напряжения u R и u L после коммутации.
i
+
S
t=0
R
uR
uL
U
L
-
Рис. 1.5
Для контура на рис. 1.5 составим уравнение равновесия напряжений при
t≥0
di
=U
dt
di R U
+ i= .
dt L
L
R i+L
или
(1.13)
Уравнение (1.13) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение
первого порядка имеет решение
i = iпр + iсв .
Как видно из схемы рис. 1.5, принуждённая составляющая тока iпр =
U
. Её
R
можно найти также из уравнения (1.13), полагая в установившемся режиме
di
= 0.
dt
15
Свободный ток найдём, интегрируя однородное уравнение:
diсв R
+ iсв = 0.
dt L
(1.14)
Покажем, что результат совпадает с формулой (1.10). Разделив в уравнении
diсв
R
= − dt и интегрируя полученное равенство, найдём
iсв
L
diсв
R
R
=
−
∫
∫ dt ; ln iсв = − t + const или, представив const как ln A ,
iсв
L
L
i
R
R
ln iсв = − t + ln A , откуда ln cв = − t и
L
L
А
(1.14) переменные
iсв =
R
− t
Аe L
.
(1.15)
Очевидно, что результат (1.15) совпадает с формулой (1.10) при p = −
Составим характеристическое уравнение
Z вх = R + jωL; jω = p;
R
.
L
Zвх ( p) = R + Lp = 0.
R
, что также соответствует формуле (1.15).
L
R
−
t
U
Переходной ток в цепи i = i + i = + Ae L .
пр cв R
Найдём постоянную интегрирования A . На основании первого закона
коммутации, для цепи на рис. 1.5 i (0 − ) = i (0 + ) = 0 .
Для момента t = 0 +
Следовательно, p = −
R
−
⋅0
U
U
i (0 + ) = 0 = + Ae L , откуда A = − , и окончательно
R
R
R
−
t
U U
i= − e L ;
R
u
R
t
L
= Ri = U − Ue
;
(1.16)
−
R
=U −u
L
R
или непосредственно через i
u
R
R
t
L
= Ue
,
−
(1.17)
16
R
R
−
−
t
t
di
U
R
L
L
u L = L = L(− )(− )e
= Ue
.
dt
R
L
(1.18)
Кроме того, найдём закон изменения индуктивного сопротивления X L (t )
после коммутации
R
− t
L
uL
Ue
R
=
=
R
R
− t
t
.
(1.19)
i
U
(1 − e L ) e L − 1
R
На рис. 1.6 а-в приведены кривые изменения iсв , i , u R , u L , X L (t ) во время
X L (t ) =
переходного процесса.
Обратим внимание, что X L (t ) при t = 0 принимает бесконечно большое
значение (“обрыв” цепи на индуктивности), а u L изменяется скачком от 0 до U
(рис. 1.6 б).
t пп = 3 τ
i
U
R
i=
0
U
i пр = R
U (
1− e−t τ )
R
L
τ=R
2τ
i св= − U e−t τ
R
−U
R
а
3τ
t
17
uR u L
U
uR пр = U
uR = U 1− e−τ τ )
)
u L = Ue−τ τ
τ=L
R
0
t пп = 3 τ
2τ
3τ
б
X L (t )
0
τ
2τ
в
Рис. 1.6
3τ
t
t
18
1.6. Экспонента. Постоянная времени цепи.
Время переходного процесса
В цепях первого порядка характеристическое уравнение имеет один
вещественный отрицательный корень p1 , а изменение свободного тока (или
напряжения) подчиняется экспоненциальному закону
iсв = Ae p1t = Ae − t / τ = Ae − β t .
(1.20)
1
В формуле (1.20) величина τ =
называется постоянной времени цепи.
p1
A
При t = τ значение iсв = , т.е. постоянная времени τ равна промежутку
е
времени, в течение которого свободный ток уменьшается в е=2,718 раза.
Величина
β=
1
τ
называется коэффициентом затухания цепи и, подобно p1 ,
−1
имеет размерность c . Значения p1 , τ , β зависят от схемы и её параметров.
Свободный ток затухает тем медленнее, чем больше постоянная времени τ (чем
меньше коэффициент затухания β ).
Для цепи (рис. 1.5) p1 = −
[ ]
[ ]
[ ]
R −1
R
L
c , β = c −1 , τ = c . При любом t
L
L
R
показатель экспоненты в формуле (1.20) – всегда безразмерное число.
Задавая значения t кратными τ , рассчитаем координаты характерных точек
t
−
экспоненты e τ (табл. 1.1) и построим её график (рис. 1.7).
Таблица 1.1
t
t=0
t=τ
t=2τ
t=3τ
t=4τ
t=4,6τ
t=5τ
e-t/τ
e0=1,0
e-1=0,368
e-2=0,135
e-3=0,05
e-4=0,018
e-4,6=0,01
e-5=0,007
19
e −t τ
1
0,75
0,5
0 , 368
0,25
0 ,135
0 , 05
0
τ
2τ
0 , 018
3τ
0 , 007
4τ
5τ
t
Рис.1.7
Проведём касательную к экспоненте в произвольной точке B ( t1 , e
−
t1
τ ) рис.
1.8.
tgα = −tg (180 − α ) = −m
o
e
−
t1
τ
x ,
(1.21)
где x – длина подкасательной; m – масштабный коэффициент для
выравнивания масштабов по осям при вычислении tgα ; m
экспоненте.
e −t τ1
припишем
e −t τ
1
A
e−t1 τ
e −t1 τ A
B
B
1 = 0, 368
e
α
t1
0
D
x
C
Рис. 1.8
t
0
τ
Рис. 1.9
t
20
−
t
−
t
d (me τ )
me τ
=−
Так как tgα =
, то с учётом выражения (1.21)
dt
τ
получим для t = t1
−
−
t1
−
t1
me τ
me τ
=−
,
τ
x
(1.22)
откуда следует, что x = τ , т.е. длина подкасательной в любой точке экспоненты
численно равна τ.
Это обстоятельство указывает на способ определения постоянной времени τ
по экспериментально полученной экспоненте.
Точность нахождения τ будет выше, если касательную к экспоненте
построить при t = 0 (рис. 1.7), так как при малых t экспонента аппроксимируется
прямой. Действительно, разложение экспоненты в степенной ряд [13]
−
t
2
3
t
t
⎛
⎞
⎛
⎞
e τ = 1 − + ⎜ ⎟ / 2!−⎜ ⎟ / 3!+...
τ ⎝τ ⎠
⎝τ ⎠
t
уже t ≤ 0,2τ даёт линейную функцию e
2%.
−t
τ ≈ 1 − t с погрешностью
τ
(1.23)
менее
Другой способ определения τ по экспоненте показан на рис. 1.9.
На уровне 0,368 от начального значения экспоненты проводим прямую АВ
параллельно оси t . Отрезок АВ равен τ .
Время переходного процесса ( t nn ) – наименьшее время, отсчитываемое от
момента коммутации до момента, после которого отклонение переходного тока
(напряжения) от установившегося значения не превышает заданной малой
величины. На практике, как правило, переходный процесс считают
закончившимся по прошествии времени равного 3τ; к этому моменту свободные
составляющие уменьшаются до уровня 0,05 от начального значения, а переходные
токи и напряжения отклоняются на 0,05 от принуждённых значений (табл.1.1, рис.
1.6 а, б).
21
1.7. Короткое замыкание RL-цепи
R1
i
+
U
S
t=0
R
e
L
uL
-
Рис. 1.10
В цепи (рис. 1.10), к которой приложено постоянное напряжение U, в момент
t=0 ключ S замыкает накоротко индуктивную катушку RL. Найти законы
изменения тока в катушке, ЭДС самоиндукции и напряжения на индуктивности.
Переходный ток i = iпр + iсв .
В установившемся режиме после коммутации iпр = 0 и i = iсв . Свободный
ток iсв = Ae
pt
- результат решения однородного дифференциального уравнения
diсв
+ Riсв = 0 , характеристическое уравнение которого Lp + R = 0 имеет
dt
R
корень p1 = − .
L
Постоянную интегрирования A найдём, используя первый закон
U
коммутации: i (0 − ) = i (0 + ) =
.
R1 + R
L
R
Для t = 0 +
− ⋅0
U
U
= Ae L , откуда A =
.
R1 + R
R1 + R
Таким образом, ток в цепи после коммутации
R
t
−
− t
U
U
i = iсв =
e L =
e τ,
R1 + R
R1 + R
(1.24)
22
U
R1 + R
i
i = i св =
U
R1 + R
e −t τ
0
τ = L R
2τ
3τ
t
t пп = 3 τ
а
uL e
e=
R U −t τ
R1 + R e
0
τ
2τ
uL = −
3τ
t
R U −t τ
R1 + R e
б
Рис. 1.11
t
−
di
R
Ue τ ,
ЭДС самоиндукции e = − L
=
dt R1 + R
напряжение на индуктивности
(1.25)
23
t
−
di
R
u L = −e = L = −
Ue τ .
dt
R1 + R
(1.26)
С энергетической точки зрения переходный процесс в цепи состоит в том,
что энергия, накопленная к моменту коммутации в магнитном поле катушки, во
время переходного процесса рассеивается в виде тепла на активном
сопротивлении R. На рис. 1.11 изображены кривые, построенные по формулам
(1.24) – (1.26).
1.8. Перенапряжение. Искровой разряд
При размыкании цепи, содержащей индуктивную катушку (рис. 1.12 а),
ток резко уменьшается и ЭДС самоиндукции e = − L
di
может быть весьма
dt
значительной. На контактах, разрывающих цепь, появляется перенапряжение,
равное сумме напряжения питания и ЭДС самоиндукции. При напряжении около
300 В между расходящимися контактами возникает искровой разряд
(электрическая дуга).
Перенапряжение на индуктивной катушке и сопровождающая его искра на
контактах – нежелательные явления, которые необходимо иметь в виду при
разработке схем, содержащих катушки с большой индуктивностью.
Перенапряжение может вызвать пробой изоляции; искрение приводит к
эрозии, обгоранию контактов и сокращает срок их службы. Кроме того,
i
i
S
t =0
+
+
t =0
S
R
U
R
U
Rp
e
L
L
-
-
а
б
24
+
i
S
t =0
R
U
VD
L
-
в
Рис. 1.12
искровой разряд между контактами является одной из причин импульсных помех
в радио- и проводных линиях связи.
В
частности,
интенсивные
радиопомехи
создают
коллекторные
электрические машины. Это объясняется резкими изменениями тока при переходе
щёток с одной коллекторной пластины на другую и сопутствующему этому
процессу искрению.
Снижение перенапряжений и искрогашение осуществляют с помощью
специальных схем, не допускающих резких изменений тока в цепи с
индуктивностью. Например, обмотку возбуждения (рис. 1.12 б) мощной
электрической машины (при необходимости снять возбуждение) замыкают на
разрядное сопротивление R p . Подобным образом поступают при динамическом
торможении двигателя постоянного тока, шунтируя обмотку якоря
сопротивлением.
В маломощных цепях параллельно с индуктивной катушкой включают диод
(рис. 1.12 в). Если в качестве ключа S используют транзистор, то при его
запирании (размыкании ключа) диод защитит транзистор от пробоя.
Заметим, что схемы на рис. 1.12 б, в замедляют затухание тока в цепи.
Время переходного процесса t ПП = 3τ = 3
сопротивление R контура.
L
будет тем меньше, чем больше
R
1.9. Включение RC-цепи на постоянное напряжение
Известны напряжение U , параметры цепи R и C ; напряжение uC (0 − ) = 0 .
Найти ток i и напряжения u R и
uC после коммутации.
25
i
+
S
t=0
R
uR
uC
U
С
Рис. 1.13
Уравнение равновесия напряжений для контура на рис. 1.13 имеет вид
Ri+ uc = U .
du c
, получим
dt
Выразив ток i через напряжение uC i = C
RC
duc
+ uc = U , (t > 0) .
dt
(1.27)
Переходное напряжение на ёмкости
uc =ucпр +ucсв =U+ Ae pt.
(1.28)
Характеристическое уравнение
R+
имеет корень p1 = −
1
= 0 или RCp + 1 = 0
Cp
1
1
, откуда постоянная времени цепи τ =
= RC .
RC
p1
Используя второй закон коммутации, находим независимое начальное условие
uC ( 0 − ) = uC ( 0 + ) = 0
и постоянную интегрирования из формулы (1.28)
uC (0 + ) = 0 = U + Ae p ⋅0 ; A = −U .
Окончательно
uC = U − Ue
−
t
RC
−t
⎛
= U ⎜1 − e τ ⎞⎟ .
⎠
⎝
(1.29)
Переходный ток в контуре
t
du U −
i = C c = e RC .
dt
R
Напряжение на активном сопротивлении
(1.30)
26
u R = Ri = Ue
−
t
RC
= Ue
−t
τ
.
Закон изменения ёмкостного сопротивления в переходном режиме
−t
⎛
U ⎜1 − e τ ⎞⎟
t
u
X C (t ) = c = ⎝ −t ⎠ = R (e τ − 1) .
U τ
i
e
R
Графики uC , u R , i , X c (t ) представлены на рис. 1.14.
uc
U
u
t пп =3 τ
c пр
=U
uc = u cпр+ uс в=U(1−e − t τ)
0
τ
2τ
3τ
uCсв = − Ue−t τ
а
uR i
U
U
R
uR = Ue −t τ
i=
0
U −t τ
e
R
τ
2τ
б
Рис. 1.14
3τ t
t
(1.31)
27
X C (t )
0
τ
3τ t
2τ
в
Продолжение рис. 1.14
1.10. Короткое замыкание RC-цепи
Заданы параметры цепи, напряжение U ; u C (0 − ) = U .
Найти ток разряда конденсатора и напря- жение uC после замыкания ключа S.
Уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи (рис. 1.15) после
коммутации
i
+
R1
U
S
R
t=0
uC
Рис. 1.15
C
28
Ri + uC = 0 ; RC
duc
+ uC = 0 ; t > 0 .
dt
(1.32)
Принуждённая составляющая напряжения на конденсаторе ucпр = 0.
Решение однородного уравнения (1.32):
−
p1t
uc = ucсв = Ae = Ae
t
RC
−
= Ae
t
τ
,
(1.33)
где p1 – корень характеристического уравнения
RCp + 1 = 0 ;
p1 = −
1
;
RC
τ = RC .
Постоянную интегрирования A определим из начальных условий, используя
второй закон коммутации
uC ( 0 − ) = uC ( 0 + ) = U .
При t = 0 A = U из выражения (1.33)
−
uc = Ue
t
RC
;
(1.34)
t
duc
U − RC
i =C
=− e .
dt
R
(1.35)
Графики uC и i показаны на рис. 1.16.
u
c
U
i
−t τ
u = u = Ue
c св
0
τ =RC
2τ
i = ic в = −
−
U
R
U −t τ
e
R
Рис. 1.16
3τ t
29
Переходные процессы в RC-цепях находят широкое практическое
применение. В электротехнике интерес представляют импульсы тока большой
амплитуды – экстратоки, возникающие при заряде и разряде конденсаторов
большой ёмкости через малые сопротивления. В электронных схемах переходные
процессы в RC-цепях являются причиной переходных искажений. Использование
переходных процессов в RC-цепях для формирования сигналов рассмотрено в
третьей главе пособия.
1.11. Включение RL-цепи на синусоидальное напряжение
При включении RL-цепи (рис. 1.17) на синусоидальное напряжение
u = U m sin(ωt + α u )
Дифференциальное уравнение имеет вид
i
R
S
u
L
Рис. 1.17
L
di
+ Ri = U m sin(ωt + α u ) .
dτ
(1.36)
Принуждённая составляющая переходного тока
iпр = I m sin(ω t + αi ) = I m sin(ω t + αu − ϕ ) ,
Um
ωL
; ϕ = arctg
.
где I m =
2
2
R
R + (ωL )
t
R
−
− t
Свободная составляющая, как и прежде (1.15), равна icв = Ae L = Ae τ ,
гдеτ = L – постоянная времени.
R
Переходный ток
−
t
i = iпр + iсв = I m sin(ωt + α u − ϕ ) + Ae .
τ
30
Используя первый закон коммутации i (0 − ) = i (0 + ) = 0 , найдём постоянную
интегрирования
0 = I m sin(α u − ϕ ) + A ; A = − I m sin(α u − ϕ ) .
−
Окончательно получим
i = Im sin(ω t +αi ) − Im sinαi e
t
τ
,
(1.37)
где α i = α u − ϕ .
i
i пр = I m sin(ω t + α i )
I m sin α i
i = i пр + i св
0
− I msin α i
2τ
τ
αi
t
3τ
i св = − I m sin αi e − t τ
Рис. 1.18
i
i пр = I m sin ⎛⎜ ωt + π ⎞⎟
2⎠
⎝
Im
ωt
0
π
2
− Im
π
t
i max
i св
i = i пр + i св
αi = αu − ϕ =
Рис. 1.18 б
а
π
4
αi =
π
2
На рис. 1.18 а, б изображены кривые переходного тока для двух значений
начальной фазы α i принуждённого тока и различных постоянных времени τ
свободного тока. Они показывают, что ток i во время переходного процесса
31
зависит от
α i и может превышать амплитуду принуждённого тока. При α i = ±
и весьма большой постоянной времени ( R ≈ 0 и τ =
не превышающий 2 I m
2
L
→ ∞ ) возможен сверхток,
R
(рис. 1.18 б).
Из формулы (1.37) следует, что при α i = α u − ϕ = 0 или
принуждённый режим наступает мгновенно, а свободный ток отсутствует.
1.12. Включение RC-цепи на синусоидальное напряжение
i
S
t=0
R
u
uC
C
Рис. 1.19
В схеме на рис. 1.19 u = U m sin(ωt + α u ) ; uC (0 − ) = 0 ;
RC
duc
+ uC = U m sin(ωt + α u ) .
dt
uc = uc пр + uc св ,
π
где U cm
π
u c пр = U cm sin(ωt + α u − ϕ − ) ,
2
Um
1
1
=
⋅ Im , Im =
, tgϕ = −
;
2
ωC
ωCR
⎛ 1 ⎞
R2 + ⎜
⎟
⎝ ωC ⎠
π
uc = uc пр + uc св = U cm sin(ωt + α u − ϕ − ) + Ae
2
где RC = τ – постоянная времени цепи.
u C (0 − ) = u C (0 + ) = 0 ,
−
t
RC ,
αi = π
32
π
π
0 = U cm sin(α u − ϕ − ) + A ; A = −U cm sin(α u − ϕ − ) .
2
2
Переходное напряжение на ёмкости
π
π
uc = U cm sin(ωt + α u − ϕ − ) − U cm sin(α u − ϕ − )e
2
2
−
t
τ.
(1.38)
Ток в цепи
t
duc
Im
π −τ
i=C
= I m sin(ωt + α i ) +
sin(α i − )e .
ωCR
dt
2
(1.39)
Мгновенное значение тока в момент коммутации, с учётом u C (0 + ) = 0 ,
i (0 + ) =
u (0 + ) U m
=
sin α u .
R
R
(1.40)
Формула (1.40) следует также из выражения (1.39)
i(0+ ) = I m sinαi −
=
Im
sinϕ
⎞
⎛
cosαi = I m ⎜ sinαi +
cosαi ⎟ =
ωCR
cosϕ
⎠
⎝
Um
U
sin(αi + ϕ ) = m sinαu .
Z cosϕ
R
Полученные выражения (1.38), (1.39) и (1.40) приводят к следующим
выводам:
1) переходный процесс в RC-контуре зависит от величин α u , R и X C =
2) в случае
αi = αu − ϕ = ±
π
2
наступает установившийся режим;
3) максимальное значение uc
1
;
ωC
переходный процесс не возникает и сразу
не
превышает
удвоенной
амплитуды
1
1 Um
⋅ Im =
⋅
( α i = 0 или π , τ → ∞ );
ωC
ωC Z
Um
4) возможен всплеск тока i (0 + ) =
sin α u , намного превышающий
R
U
π
π
амплитуду I m = m (при малых R << X C , ϕ → − и α u = ± );
2
2
Z
U cm =
33
u c св = Ucme −t τ
u cпр = Ucm sin ⎛⎜ωt − π ⎞⎟
2 ⎠
⎝
uc
Ucm
ωt
0
π
2
π
3π
2
2π
t
u c =u спр+ u ссв
− Ucm
а
Рис. 1.20
i
Im
i пр = Im sin ω t
i = i пр + iсв
ωt
0
π
2π
t пп = 3 τ
iсв
T
− Im
б
Продолжение рис. 1.20
t
34
π
На рис. 1.20 а, б показаны кривые uC и i для частного случая α u = − ;
4
π
π
π
ϕ = − ; α i = α u − ϕ = 0 ; α uc = α u − ϕ − = − .
4
2
2
На рис. 1.20 для заданных значений α u и ϕ
1
= 1;
ωCR
iсв (0 + ) = i(0 + ) = − I m ;
t nn = 3τ =
3T T
≈ .
2π 2
T
= 1;
2 π RC
τ = RC =
T
;
2π
1.13. Включение RLC-цепи на постоянное напряжение
Заданы параметры цепи (рис. 1.21): R , L , C ; напряжение U ; независимые
начальные условия:
i(0 − ) = 0 , uC (0 − ) = 0. (1.41)
Требуется найти ток i и напряжения u R , uC , u L .
t=0
R
S
+
i
uR
U
uL
uC
L
-
C
Рис. 1.21
Составим интегродифференциальное уравнение равновесия напряжений в
контуре
Ri + L
di 1
+ ∫ idt = U .
dt C
Для получения дифференциального уравнения выразим ток i
напряжение uC
i=C
duC
;
dt
(1.42)
через
35
LC
d 2uC
dt
2
+ RC
duC
+ uC = U .
dt
Общее решение уравнения (1.43) имеет вид
u C = u C np + u C CB ; uC np
(1.43)
=U.
Свободная составляющая uC св является общим решением однородного
уравнения
LC
d 2uC св
dt 2
+ RC
duC св
dt
+ uC св = 0 .
(1.44)
Соответствующее характеристическое уравнение
LCp 2 + RCp + 1 = 0 или
1
R
p2 + p +
= 0.
L
LC
(1.45)
Как уже отмечалось ранее в § 1.4, характеристическое уравнение (1.45)
проще составить, записав для цепи комплексное входное сопротивление
Zвх = R + jω L +
При jω = p
1
jω C
Z ( p) = R + Lp +
.
1
.
Cp
Приравняв Z ( p ) к 0, получим характеристическое уравнение (1.45).
Корни уравнения (1.45)
2
1
R
⎛ R⎞
= − β ± β 2 − ω02 ,
(1.46)
p1, 2 = −
± ⎜ ⎟ −
2L
LC
⎝ 2L ⎠
R
1
где β =
– коэффициент затухания; ω0 =
– резонансная частота.
2L
LC
Решение однородного уравнения (1.44) зависит от вида корней p1 и p2 . Из
формулы (1.46) следует, что корни могут быть вещественными неравными
(β
2
2
> ω 02 ), вещественными равными ( β 2 = ω 02 ) и комплексно-сопряжёнными
2
( β < ω 0 ). Соответственно различают три случая свободного процесса в цепи
(рис. 1.21).
1. Апериодический случай: корни p1 и p2 – вещественные, отрицательные и
неравные
2
1
⎛ R⎞
2
2
p2 > p1 ; ⎜ ⎟ >
или β > ω 0 .
LC
⎝ 2L ⎠
36
Каждый из корней даёт независимое решение, и свободная составляющая
напряжения на ёмкости
uC св = Ae p1t + Be p 2 t ,
(1.47)
где A и B – постоянные интегрирования.
Переходное напряжение uC примет вид
uc = uc пр + uc св = U + Ae p1t + Be p 2 t ,
(1.48)
а переходный ток в контуре
duc
= Cp1 Ae p1t + Cp2 Be p 2 t .
(1.49)
dt
Найдём постоянные интегрирования A и B , используя начальные условия
i=C
(1.41) и законы коммутации:
u C ( 0 − ) = u C ( 0 + ) = 0 ; i (0 − ) = i (0 + ) = 0 .
Для момента t = 0 + из выражения (1.48) и выражения (1.49) следует
(1.50)
uc (0 + ) = U + Ae p1 0 + Be p 2 0 = 0 ;
i (0 + ) = Cp1 Ae p1 0 + Cp 2 Be p 2 0 = 0 ;
⎧A + B = −U,
⎨
⎩ p1 A + p2 B = 0,
откуда
A=
(1.51)
− p2U
p1U
; B=
.
p2 − p1
p2 − p1
(1.52)
Подставив A и B в выражение (1.48) и в выражение (1.49), получим
uc = U −
p2U p1t
pU
e + 1
e p2t ;
p2 − p1
p2 − p1
i=−
(1.53)
Cp1 p2U p1t
(e − e p 2 t ) .
p2 − p1
Так как в уравнении (1.46) p1 ⋅ p2 =
1
,
LC
U
(1.54)
(e p1t − e p 2 t ) .
L( p1 − p2 )
Переходные напряжения u R и u L найдём по формулам
di
U
u R = Ri ; u L = L =
( p1e p1t − p2 e p 2 t ) .
dt ( p1 − p2 )
Графики переходного процесса для uC , u L и i построены на рис. 1.22 а, б.
то
i=
37
uc
uL
U
uc пр= U
t пп= 3τ 1
u L = u L св1 + u L св 2
P1U
P2 − P1
u c = u c пр + u c св1 + u c св 2
u c св 2
0
−
τ2
τ1
3τ1
2τ1
t
u c с в1
P2U
P2 − P1
а
i
−
CP1 P2 U
P2 − P1
iсв1
Im
i = iсв1+ iсв2
0
τ2
tm
τ1
iсв2
CP1 P2 U
P2 − P1
б
Рис. 1.22
2τ1
3τ 1
t
38
Найдём максимум (амплитуду) импульса переходного тока (рис. 1.22 б)
Cp p U
di
= − 1 2 ( p1e p1t − p2 e p 2 t ) .
dt
p2 − p1
Приравняв эту производную нулю, получим время максимума
e( p1−p2 )tm =
p2
;
p1
(
p1 − p2 )tm = ln
p2
;
p1
p2
p1
=
.
p1 − p 2
ln
tm
Подставив tm в формулу (1.54), найдём амплитуду импульса I m .
2. Колебательный случай: корни (1.46) характеристического уравнения
комплексно-сопряжённые
2
1
⎛ R⎞
2
2
; p1, 2 = − β ± j ω 0 − β = − β ± jωC ,
(1.55)
⎜ ⎟ <
2
L
LC
⎝ ⎠
где ωC = ω02 − β 2 – частота собственных (свободных) колебаний контура.
Выражения для uC и i в этом случае можно вывести, воспользовавшись
результатами, полученными ранее для апериодического процесса (1.53), (1.54).
После подстановки p1 и p2 (1.55) в выражение (1.53) с учётом
p2 − p1 = − j 2ωC :
uc = U +
U ⎡
(
− β − jω c )e (− β + jωc ) t − (− β + jω c )e ( − β − jωc )t ⎤
⎥⎦ .(1.56)
j 2ω c ⎢⎣
Используя формулы Эйлера для комплексных чисел, далее получим формулу
U − βt ⎛⎜ e jω c t − e − jω c t
e jω c t + e − jω c t ⎞⎟
β
=
uc = U −
e
+ ωc
⎟
⎜
ωc
2
j2
⎠
⎝
⎛ β
⎞
= U − Ue − β t ⎜⎜
sin ω c t + cos ω c t ⎟⎟.
⎝ ωc
⎠
(1.57)
Дальнейшее упрощение формулы (1.57) возможно,
геометрическую связь между β , ωC и ω0 (1.55) (рис. 1.23):
ω 0 = β 2 + ω 2с
ωс
учесть
ωC
ω
sin α
2
2
2
; sin α = C ; ω 0 = β + ωC ,
= tgα =
cos α
β
ω0
α
β
если
Рис. 1.23
39
⎛ sin ω c t ⋅ cos α + cos ω c t ⋅ sin α ⎞
u c = U − Ue − β t ⎜
⎟=
sin
α
⎝
⎠
= U −U
ω0 −β t
e sin(ω c t + α ).
ωc
(1.58)
Переходный ток i найдём, воспользовавшись формулой (1.56):
i =C
duc
CU
=
dt
j2ωC
(
)
(
)
⎡ β 2 + ω 2 e(−β + jωc )t − β 2 + ω 2 e(−β − jωc )t ⎤ =
c
c
⎢⎣
⎥⎦
CUω02 −β t e jωct − e − jωct
U −β t
=
e
=
e
sinωct,
ωc
j2
ωc L
где
ω02 =
(1.59)
1
.
LC
Переходное напряжение на индуктивности
uL = L
ω
di
ω
= −U 0 e − βt sin(ωct − α ) = U 0 e − βt sin(ωct + π − α )
. (1.60)
ωc
dt
ωc
Графики uC и i представлены на рис. 1.24 а, б.
uc
t пп = 3 = 6 L
β
R
σmax
u c = u c пр+ u c с в
± 0, 05U
U
uc пр =U
0
-U
t
π
Tc = 2
ωc
ω 0 − βt
−U ω e
c
а
uc св
40
i
0
U
e −β t1
ωc L
t1
U e −β(t1+Tc)
ωcL
t1 +Tc
t
б
Рис. 1.24
Для характеристики скорости затухания колебаний используют отношение
называемое декрементом затухания (от англ. decrement – уменьшение, степень
убыли), показывающее, во сколько раз ток или напряжение уменьшаются за
период TC (рис. 1.24 б):
i (t1 )
e − β t1
∆=
= − β (t + T ) = e βTC .
C
1
i (t1 + TC ) e
(1.61)
Натуральный логарифм этого отношения называют логарифмическим
декрементом затухания:
ln ∆ = βTC = 2π
Представив в выражении (1.62)
β
2πβ
.
=
2
2
ωC
ω0 − β
β и ω0 через параметры цепи β =
(1.62)
R
и
2L
1
, получим формулу
LC
π
π
π
,
(1.63)
ln ∆ =
=
=
2
2
2
L 1
R
ρ
Q − 0,25
− 2
−
0
,
25
R LC 4 L
R2
ρ
L
– характеристическое сопротивление; Q = – добротность контура.
где ρ =
C
R
ω0 =
Формула (1.63) показывает связь между логарифмическим декрементом и
добротностью контура. Чем меньше потери в контуре R и соответственно выше
добротность Q , тем медленнее затухают колебания, т.е. тем меньше β и ln ∆ . В
41
предельном (теоретическом) случае при R = 0 , Q = ∞ ,
ω C = ω 0 , α = arctg
ωC π
=
β
2
uc = U − U cos ω0t , i =
U
ω0 L
β = 0 , ln ∆ = 0 ,
из формул (1.58) и (1.60) находим
sin ω 0 t =
U
ρ
sin ω 0 t , u L = U cos ω0t .(1.64)
Таким образом, сразу после коммутации в контуре устанавливается
стационарный режим гармонических колебаний напряжений и тока с частотой
ωC = ω0 , при этом напряжение uC изменяется в пределах от 0 до 2U .
В практических задачах время колебательного переходного процесса (в САР
– время регулирования) отсчитывают в тот момент, когда разность между
мгновенным значением напряжения (или тока) и его принуждённым
(установившимся) значением не превышает заданной малой величины, обычно
± 0,05U уст (рис. 1.24 а). При этом t ПП достаточно близко совпадает с
затуханием огибающей колебания ± U
ω0 − β t
3
за время, равное 3τ = .
e
ωC
β
Найдём число периодов свободных колебаний за время t ПП =
µ=
t ПП 6 L ωC ω0 L ρ
=
⋅
≈
= = Q.
TC
R 2π
R
R
3
β
=6
L
.
R
(1.65)
2
2
1.24
а
Формула (1.65) справедлива при ωC ≈ ω0 , что имеет место при ω 0 << β
(при малых затуханиях) и даёт способ оценки добротности контура с помощью
осциллограммы переходного процесса.
Практический интерес представляет также максимальное отклонение
напряжения от установившегося значения σ max (рис. 1.24 а). Обычно σ max
выражают
σ max [%] =
в
процентах
u C max − u C пр
u C пр
от
U уст .
На
рис.
100% .
В импульсной технике σ max характеризует величину выброса фронта
импульса, в САР – наибольшее перерегулирование.
3. Предельный апериодический (критический) случай: корни p1 и p2 (1.46)
2
1
R
⎛ R⎞
– вещественные, отрицательные и равные, ⎜
, p1, 2 = −
= −β .
⎟ =
L
LC
2
2
L
⎝ ⎠
42
В этом граничном случае выражение для uC можно просто получить из
формулы (1.57), используя предельный переход при ωC → 0 и раскрывая
0
по правилу Лопиталя:
0
⎡
⎞⎤
⎛ β
uc = lim ⎢U − Ue − β t ⎜⎜
sin ωC t + cos ωC t ⎟⎟⎥ =
ωC → 0 ⎣
⎠⎦
⎝ ωC
неопределённость
⎛
⎞
⎛ sin ωC t ⎞
⎟⎟ + lim cos ωC t ⎟⎟ =
= U − Ue − β t ⎜⎜ β lim ⎜⎜
⎝ ωC → 0⎝ ωC ⎠ ωC → 0
⎠
= U − Ue − β t (β t + 1) = U − Ue − β t − β Ute − β t ,
du
i = C c = CUβe − β t − CUβe − β t + Cβ 2Ute − β t = Cβ 2Ute − β t .
dt
(1.66)
(1.67)
Графики переходного процесса для этого случая показаны на рис.
1.25 а,
б. Из формулы (1.66) и графика (рис. 1.25 а) следует, что напряжение uC
устанавливается дольше, чем при апериодическом заряде ёмкости при равных в
обоих случаях постоянных времени τ 1 =
t пп = 5τ 1 =
uc
1
1
и τ = . При расчёте
p1
β
5
β
u c пр = U
U
u c = u c п р+ u c св + u c св2
1
0
τ =1 β
2τ
3τ
4τ
5τ
t
u с св 2 = − β Ute −β t
u с с в1 = − Ue − βt
а
43
i
Imax
0
tmax = τ =1 β
2τ
3τ
4τ
t
б
Рис. 1.25
по формуле (1.66) напряжение
uC
отличается от
uC пр = U
при 3τ на
0,2U (20%) , при 4τ на 0,09U (9%) , при 5τ на 0,042U (4,2%) . Таким образом,
время переходного процесса t ПП можно считать близким к 5τ .
В практических случаях представляет интерес амплитуда импульса тока,
которым заряжается конденсатор.
di
= Cβ 2U (e − β t − β te − β t ) к нулю,
dt
RC
1
= и I max = 0,368Cβ U = 0,184
U.
L
β
Приравняв производную
найдём t max
2
1
⎛ R⎞
, при котором корни характеристического
Из равенства ⎜
⎟ =
LC
⎝ 2L ⎠
уравнения становятся равными, находят граничное значение сопротивления R ,
которое называют критическим:
Rкр = 2
L
= 2ρ.
C
При R ≥ Rкр переходный процесс имеет апериодический характер, при
R < Rкр процесс становится колебательным. Добротность контура в критическом
режиме
Qкр =
ρ
= 0,5.
Rкр
Контур с добротностью Q > 0,5 называют колебательным.
44
1.14. Включение колебательного контура
на синусоидальное напряжение
Последовательный колебательный контур ( Q > 0,5 ) (рис. 1.26) подключается
при t = 0 к источнику синусоидального напряжения u = U m sin(ω t + α u )
t=0
i
L
R
S
u
C
uС
Рис. 1.26
Начальные условия нулевые: uC (0 − ) = 0 , i (0 − ) = 0 . Требуется найти uC и ток
i.
Дифференциальное уравнение равновесия напряжений в контуре составим по
аналогии с уравнением (1.43)
LC
d 2 uC
dt 2
+ RC
duC
+ uC = U m sin(ω t + α u ) .
dt
(1.68)
Общее решение уравнения (1.68):
u c = u c пр + u c св = U Cm sin( ω t + α u c ) + Ae p1t + Be p2t ,
где U Cm =
α uC
i=C
1
1 Um
⋅ Im =
⋅
=
ωC
ωC Z
Um
⎛
⎝
1 ⎞
⎟
ωC ⎠
1
−
L
ω
π
π
ωC .
= α i − = α u − ϕ − ; ϕ = arctg
2
2
R
ωC R 2 + ⎜ ωL −
2
(1.69)
;
du c
= ωCU Cm cos(ωt + α uc ) + Cp1 Ae p1t + Cp 2 Be p2t .
dt
(1.70)
Подставив начальные условия: uC (0 − ) = uC (0 + ) = 0 и i (0 − ) = i (0 + ) = 0 в
уравнения (1.69) и (1.70), получим уравнения для постоянных интегрирования A
и B
⎧ A + B = −U Cm sin α uc ,
⎨
⎩ p1 A + p2 B = −ωU Cm cos α uc ,
(1.71)
45
откуда находим
U Cm
(− p2 sin α uc + ω cosα uc );
p2 − p1
U Cm
( p1 sin α uc − ω cosα uc ).
B=
p2 − p1
A=
(1.72)
(1.73)
В колебательном режиме корни характеристического уравнения равны (1.55)
p1, 2 = − β ± jωC ; p2 − p1 = − j 2ωC .
(1.74)
В результате преобразований выражений (1.72) и (1.73) с учётом формул
(1.74) получаем постоянные интегрирования
⎡
⎢− sin α uc +
⎣
U ⎡
B = Cm ⎢− sin α uc −
2 ⎣
A=
U Cm
2
⎛ ω
⎞⎤
β
j ⎜⎜
cos α uc +
sin α uc ⎟⎟⎥ ;
ωC
⎝ ωC
⎠⎦
⎛ ω
⎞⎤
β
j ⎜⎜
cos α uc +
sin α uc ⎟⎟⎥ .
ωC
⎝ ωC
⎠⎦
(1.75)
(1.76)
Ограничимся решением для наиболее важного для практики случая, когда
контур имеет достаточно высокую добротность. Сначала установим связь между
частотой собственных колебаний контура ωC и его добротностью Q :
R2
1
β2
ωc = ω − β = ω 0 1 − 2 = ω 0 1 − 2 = ω 0 1 − 2
4ρ
4Q
ω0
2
0
2
В формуле (1.77)
ω0 =
коэффициент затухания, p =
1
LC
– резонансная частота,
.
β =−
(1.77)
R
–
2L
ρ
L
– характеристическое сопротивление, Q =
–
C
R
добротность контура.
Расчёты по формуле (1.77) показывают, что при Q = 3,5 ωc = 0,989ω0 , при
Q = 5 ωc = 0,995ω0 . Таким образом, уже при Q = 3,5 можно принять
ωc ≈ ω0
с погрешностью не более 1%, а при Q ≥ 5 – с погрешностью не более
0,5%. Из формулы (1.77) следует также, что при Q > 5
1
β
=
<< 1 и
ω0 2Q
β << ω0 . Полагая ωc ≈ ω0 и β << ωc , предположим также, что частота
ω
приложенного напряжения близка к частоте ωc .
В результате выражения (1.75) и (1.76) можно приближённо представить в
виде
46
U Cm
U
(− sin α uc + j cosα uc ) = − Cm e jα uc ;
j2
2
U
U
B ≈ Cm (− sin α uc − j cos α uc ) = Cm e − jα uc ,
2
j2
A≈
(1.78)
(1.79)
а соотношение (1.69) следующим образом:
uc = U Cm sin(ωt + α uC ) −
U Cm jα uc ( − β + jω 0 )t U Cm − jα uc ( − β − jω 0 )t
+
e
e
=
e
e
j2
j2
= U Cm sin(ωt + α uC ) − U Cm e
− βt
e j (ω 0 +α uC )t − e − j (ω 0 +α uC )t
=
j2
= U Cm sin(ωt + α uC ) − U Cm e − βt sin(ω0t + α uC ) .
(1.80)
duc
= ωCU Cm cos(ωt + α uC ) −
dt
− CU Cm e − β t [ω 0 cos(ω 0 t + α uC ) − β sin(ω 0 t + α uC )] =
i=C
= ωCUCm cos(ωt + α uC ) −
⎤
⎡
β
− ω0 CU Cm e − β t ⎢cos(ω0 t + α uC ) − sin(ω0 t + α uC )⎥ .
ω0
⎦
⎣
π
β
Полагая
≈ 0 ; α uC = α i − , получим
2
ω0
i = I m sin(ωt + αi ) − I me− β t sin(ω0t + αi ) .
(1.81)
В радиотехнике и связи нормальным режимом работы последователь- ного
колебательного контура является режим резонанса напряжений, при котором
частота приложенного напряжения совпадает с резонансной частотой контура, т.е.
ω = ω0 . При этом ϕ 0 = α u − α i = 0 ; Z = R ; амплитуда напряжения на выходе
контура (рис. 1.26)
U Cm0 =
1 Um ρ
⋅
= ⋅ U m = QU m .
ω0C R
R
Для контура, настроенного в резонанс, выражения (1.80) и (1.81) принимают
вид
u C = U Cm 0 (1 − e − β t ) sin(ω 0 t + α uC ) = QU m (1 − e − β t ) sin(ω 0 t + α uC ) ;(1.82)
i = I m0 (1 − e − β t ) sin(ω0t + α i ) .
Как
видно
из
рис.
1.27
а,
огибающая
выходного
(1.83)
напряжения
U Cm (t ) = QU m (1 − e − β t ) нарастает по экспоненциальному закону от нуля до
47
установившегося значения U Cm пр = QU . Время переходного процесса, как и
прежде (§1.13, п. 2), будем считать равным
t ПП =
3
β
=6
L 6ω 0 L
6 ρ 6Q
.
=
=
=
R ω0 R ω0 R ω0
(1.84)
Время установления колебаний тем больше, чем выше добротность контура.
Далее рассмотрим случай расстройки контура, когда частоты ω и ω0
принуждённой и свободной составляющих (1.80) достаточно близки, но не равны
(разность частот мала по сравнению с самими частотами). Если в первом
приближении пренебречь затуханием свободной составляющей ( β = 0 ), то из
формулы (1.80) получим разность двух синусоид с одинаковыми амплитудами и
разными частотами:
uC = U Cm [sin (ωt + α uC ) − sin (ω 0 t + α uC )] =
⎛ ω − ω0 ⎞
⎛ ω + ω0
⎞
= 2U Cm sin ⎜
t ⎟ ⋅ cos⎜
t + α uC ⎟ =
⎠
⎝ 2
⎛ ω + ω0
⎞
= U Cm (t ) cos⎜
t + α uC ⎟ .
⎝ 2
⎠
⎝
2
⎠
(1.85)
Из выражения (1.85) следует, что результирующее напряжение uC
представляет собой произведение двух функций: гармонического колебания со
средней частотой
ω + ω0
2
, близкой к резонансной, и медленно изменяющейся
синусоидальной функции U Cm (t ) (огибающей) с амплитудой 2U Cm и частотой
ω − ω0
2
.
U Cm (t ) = 2U Cm sin
ω − ω0
2
где Ω = ω − ω0 ; Ω << ω0 .
На рис. 1.27 б изображена
t = 2U Cm sin
временная
Ω
t,
2
диаграмма,
периодическое изменение амплитуды результирующего колебания
2U cm ,
до
1 *
так
называемые
(1.86)
показывающая
uc
(1.85) от 0
биения
1
В радиотехнике и связи операция изменения амплитуды колебания высокой частоты (переносчика) под
воздействием низкочастотного сигнала называется амплитудной модуляцией (АМ). Биения представляют пример
разновидности АМ, так называемой балансной (100%) АМ.
. Угловая частота биений Ω =
ω − ω0 , период биений T =
Возникновение биений объясняется набегом текущей фазы
(1.86) до значений, когда sin
Ω
t обращается в 0 или 1.
2
2π
.
Ω
Ωt
в выражении
2
uc
QU m
0
t
− QU m
t п =3 β
п
ω = ω0
а
uc
2 Uсm
U cm (t )
0
− 2 Uсm
t
T = 2π Ω
ω ≠ ω0 ; β = 0
б
3
uc
U cm
0
t
U cm
ω ≠ ω0 ; β ≠ 0
в
Рис. 1.27
При
Ωt
= kπ (k=0, 1, 2,…) огибающая U Cm (t ) и напряжение uC (t )
2
проходят через нуль («узел»); при
Ω t 2k +1
=
π достигают максимума, равного
2
2
2U cm («пучность»). Эффект биений широко применяется в радиотехнике и связи,
например в радиотелеграфии. Другим примером является метод «нулевых
биений». Так как частота биений тем меньше, чем ближе частоты свободных и
вынужденных колебаний, фиксация биений позволяет с большой точностью
установить равенство частот колебаний, когда частота биений падает до нуля, т.е.
констатировать состояние резонанса.
В реальных контурах, работающих при небольших расстройках, свободная
составляющая затухает по экспоненте (1.80), размах биений уменьшается до
установившегося значения
uc пр = U Cm sin(ωt + α uc )
за время t ПП = 3τ =
3
β
(рис. 1.27 в). Как было показано выше (1.84), время установления колебаний
прямо пропорционально добротности контура.
1.15. Рекомендации по расчёту переходных процессов
классическим методом в разветвлённых электрических цепях
Порядок расчёта переходных процессов классическим методом изложен в §
1.4. Однако общий подход не всегда обеспечивает наиболее рациональное (и
простое) решение конкретной задачи, особенно когда цепь разветвлённая. Кроме
того, недостаток навыков в расчётах переходных процессов часто приводит к
4
таким типичным ошибкам, как потеря принуждённой составляющей при
интегрировании тока через ёмкость и напряжения на индуктивности, а также к
ошибкам при определении постоянных интегрирования через зависимые
начальные условия и ряду других.
Рассмотрим примеры решения (в общем виде) типовых задач,
соответствующих уровню заданий на курсовое проектирование по основам
теории цепей [12].
Пример 1.1. Цепь (рис. 1.28) включается на постоянное напряжение;
uc (0 − ) = 0 . Найти токи и напряжение на ёмкости.
Решение задачи удобно начинать
i S
a
i2 сразу с составления характеристичес+
i1 R
кого
уравнения
по
следующим
uc R2
1
соображениям:
во-первых,
это
e C
U
d самостоятельная задача,
c
так как характеристическое уравнение
i
зависит только от схемы цепи; воi3 R3 5 R4
вторых, вид его корней определяет
i
выражение для свободного процесса в
b
4
цепях второго (и более высокого)
Рис. 1.28
порядка.
При попытке найти Z вх ( p ) со стороны входных зажимов возникает
трудность, связанная с необходимостью преобразования треугольника
сопротивлений a-d-c в эквивалентную звезду. Этого можно избежать, если
составить входное сопротивление относительно ветви, содержащей ёмкость.
Условно разорвав ветвь cd и закоротив источник напряжения (так как его Ri = 0 ),
получим следующую цепь (рис. 1.29).
Рис. 1.29
1
+ R24 + R13 ,
pC
R ⋅R
= (R1 R3 ) = 1 3 .
R1 + R3
Z вх ( p ) =
R2 ⋅ R4
; R13
R2 + R4
Приравняв Z вх ( p ) к нулю, найдём корень характеристического уравнения
(
)
где R24 = R2 R4 =
p=−
1
(R24 + R13 )C
.
(1.87)
5
Следующий шаг – выбор неизвестной величины, с нахождения которой
следует начинать расчёт. Для схемы на рис. 1.28 – это напряжение на ёмкости; для
него задано независимое начальное условие uc (0 + ) = 0 , через которое можно
duc
.
dt
uc = uc пр + uc св = uc пр + Ae pt ;
найти ток i5 = C
(1.88)
uc пр = ϕ c − ϕ d ; ϕ c , ϕ d - потенциалы точек с и d относительно узла b.
Приняв ϕ b = 0 , найдём
U
U
uc пр =
R3 −
R4 .
R1 + R3
R2 + R4
Используя второй закон коммутации u c (0 − ) = uc (0 + ) = 0 , найдём А:
0 = uc пр + Ae p 0 ; A = −uc пр ;
(
)
⎛ R3
R4 ⎞
⎟⎟ 1 − e pt ;
−
uc = U ⎜⎜
⎝ R1 + R3 R2 + R4 ⎠
du
i5 = C c = CpA pt = A5e pt ;
dt
i5 (0 + ) = CpA .
Найдём
зависимые
начальные
условия.
При
(1.89)
(1.90)
t = 0+
ϕ c (0 + ) = ϕ d (0 + ) . Схема замещения цепи (рис. 1.28) имеет вид
R1
a
i (0 + )
R3
c
i1 (0 + )
i5 (0+ )
R4
R2
uc (0 + ) = 0 ,
b
d
i 2 (0 + )
U
Рис. 1.30
U
; R12 = (R1 R2 ) ; R34 = (R3 R4 );
R12 + R34
R2
R1
;
.
i1 (0 + ) = i (0 + )
i2 (0 + ) = i (0 + )
R1 + R2
R1 + R2
i (0 + ) =
i1 = i1 пр + A1e pt ;
U
;
где i1 пр =
R1 + R3
i2 = i2 пр + A2 e pt ,
U
.
i2 пр =
R2 + R4
6
i1 (0 + ) = i1 пр + A1 , следовательно,
i2 (0 + ) = i2 пр + A2 , следовательно,
A1 = i1 (0 + ) − i1 пр ;
A2 = i2 (0 + ) − i2 пр .
Остальные токи найдём, используя 1-й закон Кирхгофа для узлов a, c, d (рис.
1.28):
i = i1 + i2 ; i3 = i1 − i5 ; i4 = i2 + i5 .
pt
Для проверки правильности решения можно найти ток i = iпр + De .
iпр =
U
(R1 + R3 ) (R2 + R4 )
;
D = i(0+ ) − i пр .
Пример 1.2
Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация. В цепи
действует постоянная ЭДС Е. Определить законы изменения во времени
напряжения
uc
и тока i2 .
i1
R1
i3
a
L
uL
i2
I
C
uC
II
S
t=0
E
R3
R2
Рис. 1.31
Составим характеристическое уравнение. Наиболее простым оказывается
уравнение, если записать Z вх ( p ) относительно ветви, содержащей
индуктивность
⎛
1 ⎞
R1 ⎜⎜ R2 +
⎟⎟
pC
⎠.
Z вх ( p ) = R3 + Lp + ⎝
1
R1 + R2 +
pC
Сократив дробь на pC и приравняв Z вх ( p ) к нулю, получим
характеристическое уравнение
(R1 + R2 )LCp 2 + [(R1R2 + R1R3 + R2 R3 )C + L] p + R1 + R3 = 0 ,
7
откуда находим корни p1 и p2 ∗. Поскольку требуется найти напряжение на
ёмкости uC , задачу целесообразно решать через uC , а затем найти ток i2 по
duC
.
dt
uC = uC пр + uC св = uC пр + Ae p1t + Be p2 t ,
R3
.
=E
R1 + R3
формуле i2 = C
где uC пр
(1.91)
Найдём постоянные интегрирования А и В. Для этого необходимо составить
два уравнения для момента t = 0 + .
На основании второго закона коммутации
u c (0 − ) = u c (0 + ) = 0 , из
выражения (1.91) получим
uc (0 + ) = 0 = uC пр + Ae p1 0 + Be p2 0 ;
ER3
.
A + B = −uC пр = −
R1 + R3
(1.92)
Для составления второго уравнения для А и В найдём ток i2 :
i2 = C
duC
= Cp1 Ae p1t + Cp2 Ae p2 t .
dt
(1.93)
Вычислим ток i2 (0 + ) .
Для цепи (рис. 1.31) составим два уравнения по законам Кирхгофа
⎧i1 (0 + ) = i 2 (0 + ) + i3 (0 + ) (для узла а ) ;
⎨
⎩ E = R1i1 (0 + ) + u C (0 + ) + R 2 i 2 (0 + ) (для контура
I ).
(1.94 )
(1.95 )
В уравнении (1.95) u c (0 + ) = 0 , а ток i3 (0 + ) в выражении (1.94) должен
удовлетворять первому закону коммутации
i3 (0 − ) = i3 (0 + ) =
E
.
R1
После подстановки выражения (1.94) в выражение (1.95)
⎡
E⎤
E = R1 ⎢i2 (0 + ) + ⎥ + R2i2 (0 + ) ,
R1 ⎦
⎣
откуда i2 (0 + ) = 0 .
pt
p t
Из выражения (1.93) следует i2 (0 + ) = 0 = Cp1 Ae 1 + Cp 2 Ae 2 ;
p1 A + p2 B = 0 .
∗
(1.96)
В заданиях на курсовую работу [12] численные значения параметров подобраны таким образом, что корни
характеристического уравнения
p1 и p2 - вещественные и различные, т. е. переходный процесс апериодический.
8
Объединив уравнения (1.92) и (1.96) в систему, найдём постоянные
интегрирования А и В
ER3
⎧
;
⎪A + B = −
R1 + R3
⎨
⎪⎩ p1 A + p 2 B = 0;
ER3
p2
;
A=−
⋅
p2 − p1 R1 + R3
B=
p1
ER3
⋅
p2 − p1 R1 + R3 .
После подстановки А и В в выражения (1.91) и (1.93) получим выражения для
переходных напряжения uC и тока i2 .
Пример 1.3 Для цепи на рис. 1.31 определить ток i3 и напряжение на
индуктивности u L .
В этой задаче наиболее просто сначала найти ток через индуктивность ( i3 ), а
di3
:
dt
i3 = i3 пр + i3 св = i3 пр + A3e p1t + B3e p2 t ,
затем напряжение u L = L
где i3 пр =
(1.97)
E
; p1 и p2 - корни характеристического уравнения (см. пример
R1 + R3
1.2).
E
, составим первое
R1
уравнение для определения постоянных интегрирования A3 и B3
Используя первый закон коммутации i3 (0 − ) = i3 (0 + ) =
i3(0+ ) = i3 пр + A3e p10 + B 3e p20
R3 E
E
E
.
(1.98)
−
=
R1 R1 + R3 R1 (R1 + R3 )
Для составления второго уравнения для A3 и B3 , дифференцируя ток (1.97),
получим напряжение u L
di
u L = L 3 = Lp1 A3e p1t + Lp 2 B3e p 2 t .
(1.99)
dt
Найдём u L (0 + ) . Составим уравнения равновесия токов и напряжений для
A3 + B3 = i3 (0 + ) − i3 пр =
цепи на рис. 1.31:
(1)
⎧i1 (0 + ) = i2 (0 + ) + i3 (0 + ) (для узла a );
⎪ E = R i (0 ) + u (0 ) + R i (0 ) (для контура I );
(2)
11 +
C
+
2 2
+
⎨
⎪⎩u L (0 + ) + R3i3 (0 + ) − R2i2 (0 + ) − uC (0 + ) = 0 (для контура II ). (3)
(1.100)
9
В уравнениях (1.100) u c (0 − ) = u c (0 + ) = 0 ; i3 (0 − ) = i3 (0 + ) =
E
; i2 (0 + ) = 0
R1
(см. пример 1.2).
Из третьего уравнения (1.100) следует
u L (0 + ) = − R3i3 (0 + ) = −
R3
E.
R1
(1.101)
Используя выражение (1.99), составим второе уравнение для A3 и B3
( t = 0+ )
u L (0 + ) = −
R3
E = Lp1 A3 + Lp 2 B3 .
R1
(1.102)
Объединив уравнения (1.98) и (1.102) в систему, найдём постоянные
интегрирования A3 и B3
R3 E
⎧
A
B
+
=
,
3
⎪⎪ 3
R1 (R1 + R3 )
⎨
R
⎪ Lp1 A3 + Lp2 B3 = − 3 E ,
⎪⎩
R1
⎛ p2
ER3
1⎞
⋅ ⎜⎜
+ ⎟⎟ ,
откуда A3 =
R1 ( p2 − p1 ) ⎝ R1 + R3 L ⎠
B3 = −
⎛ p1
ER3
1⎞
⋅ ⎜⎜
+ ⎟⎟ .
R1 ( p 2 − p1 ) ⎝ R1 + R3 L ⎠
A3 и B3 в выражения (1.97) и (1.99) получим
окончательно выражения для тока i3 и напряжения u L .
После подстановки
Рассмотренные примеры позволяют наметить некоторые приемы расчёта
переходных процессов в разветвлённых электрических цепях.
1. В разветвлённых цепях первого порядка Z вх ( p ) будет, как правило,
проще, если его составить относительно ветви с реактивным элементом L или C
(пример 1.1).
2. Если цепь имеет второй порядок, перед тем как написать Z вх ( p ) , следует
проанализировать схему, сделать возможные упрощения (например, параллельно
соединенные резисторы заменить одним эквивалентным и т.п.), выбрать ветвь,
относительно которой формула Z вх ( p ) будет наиболее простой (пример 1.2).
3. В цепях второго порядка расчёт рекомендуется вести либо через
напряжение на С, если требуется найти uC и (или) ток в ветви с С, либо
относительно тока через L, если искомыми являются ток в ветви с L и (или)
напряжение на L (примеры 1.2 и 1.3). Остальные токи и напряжения, как правило,
можно найти через полученные величины с помощью законов Кирхгофа.
10
ГЛАВА 2
Расчёт переходных процессов операторным методом
2.1. Преобразование Лапласа и его свойства
Основой операторного метода является интегральное преобразование
Лапласа
∞
F ( p) = ∫ f (t )e − pt dt ,
(2.1)
0
где f (t ) – вещественная функция времени (напряжение или ток),
удовлетворяющая условиям Дирихле и равная нулю при t < 0 , называемая
оригиналом; F ( p ) – функция комплексной переменной (комплексной частоты)
p = s + jω , называемая изображением по Лапласу.
Сокращённо формулу (2.1) (прямое преобразование Лапласа функции f (t ) )
записывают в виде F ( p ) = L{ f (t )}. Связь между f (t ) и F ( p ) обозначают
также, как f (t ) F ( p ) , где « » – знак соответствия.
Что касается ограничений, налагаемых на f (t ) условиями Дирихле, то
реальные напряжения и токи им всегда удовлетворяют.
Найдём изображения для простейших функций времени (напряжений).
1. f (t ) = U ;
∞
⎛ 1⎞
F ( p ) = ∫ Ue − pt dt = U ⎜⎜ − ⎟⎟e − pt
⎝ p⎠
0
U
Таким образом U
.
p
2. f (t ) = Ue
−β t
∞
0
=−
U
U
(0 − 1) = .
p
p
(2.2)
;
∞
U
U − ( p + β )t ∞
=
e
.
0
+
β
p
+
β
p
0
βU
U
U
−β t
3. f (t ) = U (1 − e
)
.
−
=
p p + β p( p + β )
F ( p ) = ∫ Ue − β t e − pt dt = −
(2.3)
(2.4)
jω t
= U m cos ω t + jU m sin ω t
U ω
Um
U p
p + jω
= Um
= 2m 2 + j 2m 2,
( p − jω )( p + jω ) p + ω
p − jω
p +ω
4. U m e
(2.5)
откуда
U m cos ω t U m
p
2
p +ω
2
;
(2.6)
11
U m sin ω t U m
5. U m e
6. Ute
− βt
−β t
sin ωt U m
U
ω
2
p +ω
2
.
(2.7)
ω
.
2
2
(p + β) +ω
1
( p + β )2
(2.8)
.
(2.9)
Подробные таблицы изображений функций приведены в [1,4,13].
Рассмотрим без вывода два важных свойства преобразования Лапласа.
1. Теорема дифференцирования. Изображение первой производной функции
равно изображению функции, умноженному на p , минус значение функции при
t = 0.
∞
L{ f ′(t )} = ∫ { f ′(t )}e − pt dt = pF ( p) − f (0) .
(2.10)
0
В частном случае, когда f (0) = 0 ,
L{ f ′(t )} = pF ( p ) .
2. Теорема интегрирования. Изображение
изображению этой функции, делённому на p .
интеграла
функции
⎫
⎫ ∞⎧t
⎧t
F ( p)
.
L ⎨ ∫ f (t )dt ⎬ = ∫ ⎨ ∫ f (t )dt ⎬e − pt dt =
p
⎭
⎭ 0 ⎩0
⎩0
(2.12)
2.2. Изображения по Лапласу напряжений на резисторе,
индуктивности и ёмкости
Найдём изображения напряжений для простейших цепей
а, б, в), используя обозначения:
u U ( p) ; i I ( p) .
iR
uR
iL
R
а
uL
uC
C
в
Рис. 2.1
(рис. 2.1
iC
L
б
(2.11)
равно
12
В цепи на рис. 2.1 а мгновенные напряжение и ток связаны законом Ома
u R = RiR ,
и изображение имеет вид
U R ( p) = RI R ( p) .
(2.13)
Операторная схема замещения цепи рис. 2.1 а показана на рис. 2.2 а.
Для схемы на рис. 2.1 б
uL = L
diL
.
dt
(2.14)
Используя теорему дифференцирования (2.10), получим формулу для
uL = L
diL
dt
pLI L ( p ) − Li L (0 − ) = U L ( p ) .
Если i L (0 − ) = 0 , то
uL
(2.15)
U L ( p) = pLI L ( p) .
На рис. 2.2 б изображена операторная схема замещения, соответствующая
формуле (2.15).
I C ( p)
I L (p)
I (p )
R
U R(p)
а
U L (p)
R
p
L
U C (p)
Li (0− )
б
1
p
C
uC (0 − )
p
в
Рис. 2.2
Операторная ЭДС Li L (0 − ) , называемая внутренней, учитывает ток через
индуктивность при t = 0 (ненулевое начальное условие) и определяется для
момента t = 0 − , предшествующего коммутации в цепи. Направление ЭДС
Li L (0 − ) совпадает с выбранным направлением тока I L ( p ) .
Напряжение на ёмкости (рис. 2.1 в) находится по формуле
uC =
1
∫ iC dt .
C
В этой формуле не указаны пределы интегрирования. Если учесть, что до
коммутации ёмкость была заряжена до напряжения uC (0 − ) , то мгновенное
напряжение на ёмкости в момент времени t примет вид
1t
uC = uC (0 − ) + ∫ iC dt .
C0
13
В соответствии с формулами (2.2) и (2.12):
u C (0 − ) 1 t
u C (0 − )
и
∫ iC dt
C0
p
I C ( p)
.
pC
В итоге получим изображение для напряжения на ёмкости и операторную
схему замещения (рис. 2.2 в).
u (0 ) I ( p )
1t
uC = uC (0 − ) + ∫ iC dt C − + C
= U C ( p) ,
(2.16)
C0
p
pC
u (0 )
где C − – внутренняя ЭДС.
p
В частном случае при uC (0 − ) = 0
I ( p)
.
U C ( p) = C
pC
u (0 )
Отметим, что внутренняя ЭДС C − (рис. 2.2 в) направлена встречно
p
выбранному направлению тока I C ( p ) .
2.3. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме
На рис. 2.3 изображена ветвь разветвлённой электрической цепи, в которой
происходит коммутация.
i1
i
a
i2
uR
R1
e1
u
L
L
e2
uC
C
+
-
b
u ab
Рис. 2.3
Выберем условно положительное направление напряжения u ab ,
приложенного к концам ветви ab , и согласованное с ним направление тока i .
Положим также, что к моменту коммутации в ветви протекал ток i (0 − ) , а
начальное напряжение на ёмкости равнялось uC (0 − ) . Переходя к изображениям
(2.13), (2.15), (2.16) и используя схемы (рис. 2.2), составим операторную схему
замещения для ветви ab (рис. 2.4).
14
I1 ( p)
I (p)
a
I 2 (p )
E1 (p)
R
UR(p)
Li (0− )
p
L
E2(p)
uC (0− )
1
p
C
p
b
U L (p )
U C (p )
U a (p )
b
Рис. 2.4
u (0 )
1
I ( p) + C − =
pC
p
u (0 )
⎛
1 ⎞
⎟⎟ I ( p ) − E1 ( p ) − Li (0 − ) + E 2 ( p ) + C − . (2.17)
= ⎜⎜ R + pL +
pC ⎠
p
⎝
U ab ( p) = RI ( p ) − E1 ( p ) + pLI ( p ) − Li (0 − ) + E2 ( p) +
Из уравнения (2.17) получаем изображение тока I ( p ) в ветви ab , которое
называется обобщённым законом Ома в операторной форме
I ( p) =
U ab ( p ) + E1 ( p ) + Li (0 − ) − E2 ( p ) −
где Z ( p ) = R + pL +
Z ( p)
uC (0 − )
p
,
(2.18)
1
– операторное сопротивление ветви ab ; Li (0 − ) и
pC
u C (0 − )
– внутренние ЭДС, учитывающие ненулевые начальные условия для L и
p
C.
В частном случае, когда в ветви ab отсутствуют внешние и внутренние
ЭДС, т.е. E1 ( p ) = 0 и E2 ( p) = 0; i (0 − ) = 0 и uC (0 − ) = 0 (начальные условия
нулевые), закон Ома имеет вид
I ( p) =
U ab ( p)
.
Z ( p)
(2.19)
Закон Ома применяется для отдельной ветви, а также для одноконтурной
замкнутой цепи, не имеющей разветвлений.
Законы Кирхгофа в операторной форме используются для расчёта
переходных процессов в разветвлённых электрических цепях, содержащих две и
более ЭДС (внутренних и внешних) в разных ветвях цепи.
Прежде всего для цепи составляют операторную схему замещения, на
которой задают направления токов в ветвях и направления обхода контуров.
П е р в ы й з а к о н К и р х г о ф а. Алгебраическая сумма изображений
токов, сходящихся в любом узле разветвлённой цепи, равна нулю.
15
n
I1 ( p) + I 2 ( p) + L + I n ( p ) = ∑ I k ( p ) = 0 .
(2.20)
k =1
Токи, направленные к узлу, будем условно считать положительными, а токи,
направленные от узла, – отрицательными.
В т о р о й з а к о н К и р х г о ф а. В любом замкнутом контуре
разветвлённой электрической цепи алгебраическая сумма изображений
напряжений равна алгебраической сумме изображений ЭДС.
⎡
∑ Z k ( p ) I k ( p ) = ∑ ⎢ E k ( p ) + Lk i k ( 0 − ) −
k
k
⎣
u Ck (0 − ) ⎤
.
p ⎥⎦
(2.21)
Знаки слагаемых в выражении (2.21) положительные, если направления
токов и ЭДС в ветвях совпадают с направлением обхода контура, и
отрицательные, если не совпадают.
При нулевых начальных условиях: ik (0 − ) = 0 , uCk (0 − ) = 0
∑ Z k ( p) I k ( p ) = ∑ Ek ( p) .
k
(2.22)
k
Для расчёта переходных процессов операторным методом можно
использовать любые методы расчёта цепей постоянного тока, вытекающие из
уравнений Кирхгофа (контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного
генератора, наложения), предварительно составив для заданной цепи
операторную схему замещения. Выбор метода расчёта, как известно, зависит от
конфигурации цепи и имеет целью уменьшить объём вычислений.
2.4. Порядок расчёта переходных процессов операторным методом.
Переход от изображений к оригиналам
Расчёт операторным методом ведётся в следующей последовательности:
2.1.
В исходной цепи до коммутации определяются независимые
начальные условия: iL (0 − ) и uC (0 − ) .
2.1.
Составляется операторная схема замещения цепи после коммутации,
на которой все ЭДС, напряжения и токи заменяются их изображениями
e
u
E ( p ) , U ( p) , i I (p) ]; индуктивности и ёмкости заменяются
[
операторными схемами с внутренними ЭДС (рис. 2.2 а, б). Ключ на схеме не
показывают.
2.1.
Определяются изображения искомых токов и напряжений любым,
подходящим для составленной схемы методом расчёта цепей постоянного тока.
2.1.
Осуществляется обратный переход от изображений к оригиналам
(функциям времени) либо с помощью таблиц изображений функций (формул
соответствия), например (2.2)–(2.9), либо с использованием теоремы разложения.
Т е о р е м а р а з л о ж е н и я. Если изображение тока (или напряжения)
имеет вид рациональной дроби
16
I ( p) =
am pm + am−1 pm−1 +L+ a1 p + a0
(
p bn pn + bn−1 pn−1 +L+ b1 p + b0
причём m < n ; ak и bk – вещественные числа; дробь
)
F1( p)
,
pF2 ( p)
=
(2.23)
F1 ( p )
несократимая, т.е.
pF2 ( p )
многочлены F1 ( p ) и F2 ( p ) не имеют общих корней, то оригинал находится по
формуле
n
F1 ( pk ) p k t
F1 (0)
+ ∑
e ,
i=
F2 (0) k =1 p F ′ ( p )
k 2
k
где
pk
–
различные
и
не
равные
(2.24)
нулю
⎡ dF2 ( p) ⎤
′
F
p
(
)
=
⎥
⎢
F2 ( p) = 0 (k = 1,2...n) ; 2 k
⎣ dp ⎦ p = pk
корни
уравнения
.
Если в знаменателе выражения (2.23) нет множителя p (отсутствует
нулевой корень), то формула разложения (2.24) принимает более простой вид
n F (p )
F1( p)
i = ∑ 1 k e pkt .
(2.25)
′
F2 ( p)
k=1F2 ( pk )
Заметим, что уравнение F2 ( p ) = 0 совпадает с характеристическим
уравнением цепи, а наличие нулевого корня в выражении (2.23) свидетельствует о
том, что оригинал – переходный ток (напряжение) содержит принуждённую
F1 (0)
.
F2 (0)
Если уравнение F2 ( p ) = 0 содержит комплексно-сопряжённые корни pk и
составляющую, равную
pk∗ , то достаточно определить слагаемое сумм в формулах (2.24) или (2.25)
∗
только для одного корня pk , а для корня pk взять значение, сопряжённое этому
слагаемому. Тогда сумма этих слагаемых будет равна удвоенному значению
вещественной части, найденной для корня pk .
Когда среди корней уравнения F2 ( p ) = 0 есть несколько одинаковых
(кратных) корней, формула разложения усложняется. В этом случае
рекомендуется пользоваться таблицами изображений функций по Лапласу. В
частности, если уравнение F2 ( p ) = 0 в (2.25) имеет два равных корня
p1,2 = − β , то определить оригинал можно по формуле (2.9).
В большинстве практических задач использование формул разложения (2.24),
(2.25) является основным способом перехода от изображений к оригиналам.
17
В тех случаях, когда требуется найти только начальное и установившееся
значения тока, т.е. i (0 + ) и i (∞) , то, не прибегая к вычислениям по формулам
(2.24), (2.25), можно использовать следующие предельные соотношения:
i(0+ ) = lim pI( p)
(2.26)
p→ ∞
и
i(∞) = lim pI(p).
p→ 0
(2.27)
Формулы (2.26) и (2.27) позволяют просто определить i (0 + ) и i (∞) , если
установившийся процесс непериодический, и могут быть использованы также для
контроля за правильностью вычислений на стадии получения изображений.
2.5. Применение операторного метода к исследованию электрических цепей
На основе изложенного в §§ 2.1 – 2.3 можно сделать вывод, что
использование преобразования Лапласа позволяет упростить исходные функции
времени, и особенно операции дифференцирования и интегрирования. В
результате решение интегро-дифференциальных уравнений относительно
оригиналов сводится к решению алгебраических уравнений относительно их
изображений.
Отметим аналогию между операторным методом и комплексным методом
расчёта цепей синусоидального тока. В обоих случаях операции над функциями
времени заменяются операциями над их символами (либо изображениями по
Лапласу, либо комплексными числами). Законы Ома, Кирхгофа в операторной
форме (2.18), (2.19), (2.21), (2.22) аналогичны по форме записи тем же законам в
комплексной форме, а операторное сопротивление цепи Z ( p ) совпадает с
комплексным Z при замене p на jω .
Если сравнивать классический и операторный методы, то следует заметить,
что первый позволяет проще интерпретировать переходный процесс с физической
точки зрения, тогда как операторный, подобно другим символическим методам,
является сугубо формальным.
Как показывает опыт, расчёт переходных процессов в цепях первого и
второго порядка классическим методом, как правило, проще, чем операторным. В
цепях более высокого порядка из-за трудностей, возникающих при нахождении
постоянных интегрирования в классическом методе, более рациональным
является операторный метод. Последний широко применяется также в том случае,
когда к цепи приложена внешняя ЭДС сложной формы (отличной от постоянной
и синусоидальной), так как упрощается определение принуждённой
составляющей переходного тока (напряжения).
18
Важнейшей характеристикой четырёхполюсника является передаточная
*
функция ∗ – отношение изображения по Лапласу выходного напряжения
U вых ( p) ко входному U вх ( p) при нулевых начальных условиях (рис. 2.5 а).
U вых ( p )
.
(2.28)
U вх ( p )
K ( p) не зависит от U вх ( p) и определяется только схемой цепи. Она удобна
K ( p) =
для составления уравнений и исследования линейных систем.
U в (p)
х
U в (p) К ( р )
1
х
К ( р ) U вы (p)
х
К 2 (р)
а
(p)
К n (р ) U вы
х
б
Рис. 2.5
Передаточная функция системы выражается через передаточные функции
отдельных её звеньев. Например, если четырёхполюсники (звенья) соединены
последовательно (рис. 2.5 б), то передаточная функция системы из n звеньев
равна произведению передаточных функций всех звеньев
K ( p ) = K1 ( p) ⋅ K 2 ( p)L K n ( p) .
(2.29)
Передаточная функция параллельного соединения n звеньев равна сумме их
передаточных функций
K ( p) = K1 ( p) + K 2 ( p) + L + K n ( p) .
(2.30)
Передаточные функции широко применяются не только для решения задач
анализа, но и для обоснования методов синтеза линейных электрических цепей
[3,4].
2.6. Связь между преобразованиями Лапласа и Фурье
При замене p на jω в выражении (2.28) получим комплексную
передаточную функцию четырёхполюсника (по напряжению)
K ( jω ) =
U вых ( jω )
;
U вх ( jω )
(2.31)
K ( jω ) = K (ω )e jϕ k (ω ) ,
∗
Кроме
принятого
здесь
обозначения
используются другие обозначения:
(2.32)
передаточной
H(p) [2, 4], T ( p)
функции
[10], W ( p ) .
K ( p)
[1,3,5],
19
U вых (ω )
– передаточная АЧХ,
U вх (ω )
ϕ k (ω ) = α u (ω ) − α u (ω ) – передаточная ФЧХ
вых
вх
где
K (ω ) =
(2.33)
четырёхполюсника.
(2.34)
Значение комплексной передаточной функции на некоторой определённой
частоте (комплексное число) называется комплексным коэффициентом передачи
(по напряжению)
U& вых
&
K=
( ω = const ).
U& вх
(2.35)
Модуль K (коэффициент передачи) при K > 1 выражает коэффициент
усиления, при K < 1 – коэффициент ослабления четырёхполюсника (звена) по
напряжению.
Замена p на jω в формуле (2.1) означает, что преобразование Лапласа
переходит в одностороннее прямое преобразование Фурье
∞
S ( jω ) = ∫ f (t )e − jωt dt ,
(2.36)
0
где комплексная функция частоты S ( jω ) выражает комплексный спектр, точнее,
комплексную спектральную плотность функции f (t ) . Модуль S ( jω ) называют
спектром амплитуд или просто спектром.
Таким образом, комплексная передаточная функция K ( jω) (2.31) – это
отношение комплексных спектров напряжений на выходе и входе
четырёхполюсника:
K ( jω ) =
U вых ( jω ) S вых ( jω )
.
=
U вх ( jω )
S вх ( jω )
(2.37)
Преобразование Фурье обладает теми же свойствами, что и преобразование
Лапласа. С его помощью осуществляется представление вещественных функций
времени f (t ) в виде комплексных функций частоты S ( jω ) .
Оба преобразования Лапласа и Фурье широко применяются для расчёта
переходных процессов и спектров сигналов на выходе линейных
четырёхполюсников. Так, из выражений (2.28) и (2.37) следует:
U вых ( p) = K ( p )U вх ( p) ;
(2.38)
S вых ( jω ) = K ( jω ) ⋅ S вх ( jω ) ,
(2.39)
т.е. для получения изображения (спектра) сигнала на выходе четырёхполюсника
необходимо найти изображение (спектр) входного сигнала uвх (t ) ; определить
передаточную функцию четырёхполюсника ( K ( p ) или K ( jω ) ); вычислить
U вых ( p) и S вых ( jω ) по формулам (2.38) и (2.39) и далее перейти от
20
изображения (спектра) к оригиналу uвых(t), используя способы, изложенные в §
2.3, или с помощью обратного преобразования Фурье
∞
1
uвых(t) =
Sвых( jω) e jω t dω .
∫
2π −∞
(2.40)
На практике переходный процесс на выходе четырёхполюсника исследуют,
как правило, при действии на его входе прямоугольного импульса. По форме
выходного импульса оценивают переходные искажения (спад вершины импульса,
искажение фронтов и др.).
Использование операторного метода для расчёта частотных и переходных
искажений в электронных схемах рассмотрено в учебном пособии [8]. Методы
вычисления спектров детерминированных сигналов – в пособии [7].
2.7. Примеры расчета переходных процессов операторным методом
Пример 2.1
Схема цепи, в которой происходит коммутация, приведена на рис. 1.28;
uc (0 _ ) = 0. Требуется найти ток i5 в ветви cd и напряжение на ёмкости uc .
I ( p)
a
+
I 2( p)
1
R2
pC
I5 (p)
d
UC (p)
I1 ( p) R1
U
p
c
R4
I3 ( p) R 3
-
b
I4(p)
Рис. 2.6
Составим операторную схему замещения (рис. 2.6). Для нахождения только
одного тока в цепи целесообразно использовать теорему об эквивалентном
генераторе
I 5 ( p) =
U cd
xx
( p)
1
+ Rэ cd
pC
,
(2.41)
где U cd xx ( p ) - напряжение холостого хода между узлами c и d (ветвь cd условно
разорвана); Rэ cd - эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов cd
(внутреннее сопротивление эквивалентного генератора).
U cd ( p ) = ϕ c ( p ) − ϕ d ( p ) =
R3
R4
U
U
,
⋅
− ⋅
p R1 + R3 p R2 + R4
где ϕ c ( p ) , ϕ d ( p ) - потенциалы узлов c и d относительно узла b.
(2.42)
21
Rэ
= ( R1 R 3 ) + ( R 2 R 4 ) = R13 + R 24 .
(2.43)
Подставив формулы (2.42) и (2.43) в формулу (2.41), найдём изображение тока
I 5 ( p) :
сd
⎛ R3
U ⎛ R3
R4 ⎞
R4 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ UC⎜⎜
⎟⎟
−
−
+
+
p ⎝ R1 + R3 R2 + R4 ⎠
R
R
R
R
F ( p)
3
2
4 ⎠
⎝ 1
=
I 5 ( p) =
= 1
.
(2.44)
1
1
+
(
+
)
(
)
p
R
R
C
F
p
13
24
2
+ ( R13 + R24 )
pC
Для перехода от изображения I 5 ( p ) к оригиналу i5 используем вариант
формулы разложения, когда в знаменателе I 5 ( p ) отсутствует нулевой корень
(2.25):
F1 ( p1 ) p1t
i5 =
e ,
′
F (p )
2
где p1 - корень уравнения
(2.45)
1
F2 ( p ) = 0;
p1 = −
1
.
( R13 + R24 )C
(2.46)
F2 ( p ) = 0 совпадает с характеристическим
′
уравнением в примере 1.1, (§1.15); F2 ( p1 ) = ( R13 + R24 )C ;
Отметим, что уравнение
⎛ R3
⎛ R3
R4 ⎞
R4 ⎞
⎟⎟
⎟⎟
−
−
UC ⎜⎜
U ⎜⎜
+
+
+
+
R
R
R
R
R
R
R
R
⎝ 1
3
2
4 ⎠ p1t
3
2
4 ⎠ p1t
i5 =
e = ⎝ 1
e .
C ( R13 + R24 )
R13 + R24
(2.47)
Изображение напряжения на конденсаторе с учётом формулы (2.44)
⎛ R3
R4 ⎞
⎟⎟
U ⎜⎜
−
R + R3 R2 + R4 ⎠
F ( p)
1
U C ( p) =
⋅ I 5 ( p) = ⎝ 1
= 1
.
Cp
[1 + p( R13 + R24 )C ] p pF2 ( p)
(2.48)
Формула разложения при наличии в знаменателе нулевого корня имеет вид
(2.24), откуда найдём оригинал
uC =
F1 (0)
F1 ( p )
e p1t
+
′
F2 (0) p F ( p )
1 2
1
uC
⎛ R3
R4 ⎞
⎟⎟
U ⎜⎜
−
R
R
R
R
+
+
⎛ R3
R4 ⎞
3
2
4 ⎠
⎝ 1
⎟⎟ +
e p1t ;
= U ⎜⎜
−
⎤
1
⎝ R1 + R3 R2 + R4 ⎠ ⎡−
⎢
⎥ ( R13+ R24 )C
⎣ ( R13+ R24 )C ⎦
22
⎛ R3
R4 ⎞
⎟⎟ ⋅ (1 − e p1t ).
−
uC = U ⎜⎜
⎝ R1 + R3 R2 + R4 ⎠
Полученные выражения для тока
(2.49)
i5 (2.47) и напряжения uC (2.49)
полностью совпадают с ранее найденными классическим методом i5 (1.90) и uC
(1.89).
Изложенный подход может быть использован для определения любого из
токов в цепи (рис. 2.6).
Пример 2.2
В цепи на рис. 2.7 происходит коммутация. Требуется найти изображения
токов и напряжений на L и C.
S
t=0
i3
i1
R2
R3
i2
E
uC
C
uL
L
R1
Рис. 2.7
I 1 ( p)
R1
I 3 ( p)
I 2 ( p)
1
pC
E
p
R3
1 U 1 ( p)
uC (0 _ )
p
pL
U C ( p)
Li3 (0 _ )
U L ( p)
2
Рис. 2.8
Составим операторную схему замещения (рис. 2.8), на которой внутренние
ЭДС обусловлены независимыми начальными условиями:
u C (0 _ ) =
E ⋅ R3
;
R1 + R2 + R3
i3 ( 0 _ ) =
E
.
R1 + R2 + R3
23
Как видно из схемы на рис. 2.8, наиболее просто можно найти U C ( p ) ,
используя метод узловых потенциалов (двух узлов).
Заземлив узел 2, для узла 1 составим уравнение
У11 ( p)U 1 ( p ) = I11 ( p ).
(2.50)
Узловая проводимость
У11 ( p) =
1
1
.
+ pC +
R1
R3 + pL
(2.51)
Узловой ток
I11 ( p ) =
Li (0 _ )
E 1 u C (0 _ )
.
⋅ +
⋅ pC − 3
p R1
p
R3 + pL
(2.52)
После подстановки выражений (2.51) и (2.52) в выражение (2.50) найдём
U C ( p ) = U 1 ( p ).
Используя обобщённый закон Ома, получим изображения токов в ветвях и
напряжения на индуктивности (не раскрывая U C ( p ) из-за громоздкости
выражений):
I1 ( p ) =
0 − U C ( p) +
E
p
;
R1
U ( p ) + Li3 (0 _ )
I 3 ( p) = C
;
R3 + pL
U L ( p) = U C ( p ) − R3 I 3 ( p ).
I 2 ( p) = [U C ( p ) −
u C (0 _ )
] pC ;
p
U L ( p) = pLI 3 ( p ) − Li3 (0 _ )
или
В заданиях на курсовую работу [12] требуется рассчитать только одну из
величин: ток или напряжение. В этой ситуации рекомендуется получить
изображение искомой величины, а затем перейти к оригиналу. Хотя можно
поступить иначе: если сначала найти оригинал u C , то остальные токи и
напряжение u L в схеме на рис. 2.7 можно рассчитать в вещественной форме,
используя законы Кирхгофа и формулы, связывающие напряжение и ток на L и C:
i1 =
E − uC
;
R1
i2 = C
du C
;
dt
i3 = i1 + i2 ;
Однако такой подход часто усложняет решение задачи.
uL = L
di3
.
dt
24
ГЛАВА 3
Расчёт переходных процессов при произвольных внешних воздействиях
3.1. Единичная ступенчатая функция. Единичная импульсная функция
Единичная ступенчатая функция (синонимы: единичная функция, единичный
скачок, единичное ступенчатое воздействие, функция включения, функция
Хевисайда) изображена на рис. 3.1 а.
1(t )
δ (t )
δ (t − t 0 )
∞
1
t
0
t
0
t0
0
а
б
Рис. 3.1
Математическая запись единичной ступенчатой функции
⎧0
⎪
1(t ) = ⎨
⎪⎩1
∞
при
t < 0,
при
t ≥ 0.
t
в
(3.1)
Единичная импульсная функция (синонимы: единичный импульс, дельтафункция δ (t ) , единичное импульсное воздействие, функция Дирака)
определяется как производная по времени от единичной ступенчатой функции
δ (t ) =
d1(t )
.
dt
(3.2)
δ (t ) не является функцией в обычном смысле, а рассматривается как обобщённая,
обладающая интегральными свойствами,
∞
∞
∫ δ (t )dt = ∫ d1(t ) = 1(t )
−∞
−∞
∞
−∞
= 1 − 0 = 1.
(3.3)
Единичная импульсная функция - чётная функция, равная нулю при всех
значениях t , кроме точки t = 0 , в которой она имеет бесконечное значение (рис.
3.1 б); площадь δ (t ) равна единице.
Так как δ (t ) = 0 везде, кроме t = 0 , то
∞
∞
(3.4)
∫ f (t )δ (t )dt = f (0) ∫ δ (t )dt = f (0).
−∞
−∞
В бесконечно малой окрестности точки 0 непрерывная функция f (t )
постоянна и равна f (0) ; вынося f (0) за знак интеграла и используя формулу
(3.3), получим формулу (3.4). Можно также записать, что
25
∞
∫ f (t )δ (t − to )dt = f (to ),
(3.5)
−∞
где
в).
δ (t − to ) - единичная импульсная функция, смещённая на время t 0
(рис. 3.1
Выражения (3.4) и (3.5) описывают фильтрующее (стробирующее) свойство
функции δ (t ) .
Единичная ступенчатая и единичная импульсная функции относятся к
семейству разрывных или особых функций и используются для
идеализированного представления сигналов.
Эти сигналы, часто называемые в теории цепей единичный скачок
напряжения и единичный импульс, обычно выбираются в качестве типового
внешнего воздействия (возмущения), приложенного ко входу цепи (системы), при
котором переходный процесс носит наиболее неблагоприятный характер. Кроме
того, при помощи интеграла Дюамеля и интеграла свёртки они позволяют
вычислить реакцию цепи на любое внешнее возмущение.
3.2. Переходные функции цепи. Импульсная переходная функция
Переходной функцией называют реакцию цепи на воздействие единичного
скачка напряжения (или тока).
Под реакцией понимают изменение во времени напряжения на любом
участке цепи или тока в любой её ветви. Переходную функцию цепи определяют
при нулевых начальных условиях.
При воздействии на входе цепи скачка напряжения U ток i (t ) в любой ветви
можно представить в виде произведения напряжения U на проводимость
у (t )
i (t ) = U ⋅ у (t ),
а напряжение на каком-либо участке цепи
u (t ) = U ⋅ h(t ) .
Для единичного скачка напряжения, т.е. при U = 1B
i1 (t ) = 1 ⋅ у (t ),
где
(3.6)
у(t )[См] - так называемая переходная проводимость;
u1 (t ) = 1⋅ h(t ) = h(t ),
h(t )
(3.7)
- переходная функция по напряжению - это безразмерная величина,
численно равная напряжению на каком-либо участке цепи, если на вход цепи
подать постоянное напряжение в 1В.
Переходные функции цепи у (t ) и h(t ) , называемые также переходными
характеристиками, можно найти классическим или операторным методом.
26
Пример 3.1
При включении последовательной RL-цепи на постоянное напряжение
U (рис. 1.5) ток и напряжение на резисторе и индуктивной катушке равны (1.16),
(1.17), (1.18):
R
R
R
−
t
−
t
−
t
U
L
L
L
u L = Ue
.
i = (1 − e );
u R = U (1 − e
);
R
Полагая в этих формулах U = 1B , получим переходную проводимость и
переходные функции для напряжений
R
R
R
−
t
−
t
t
−
1
L
L
L
hL (t ) = e
.
;
у (t ) = (1 − e ) [См]; hR (t ) = 1 − e
R
Пример 3.2
Найдём переходные функции последовательной RC-цепи (рис. 1.13), в
которой (1.29), (1.30), (1.31):
t
t
t
−
−
−
U
u R = Ue RC ;
uC (t ) = U (1 − e RC ).
i = e RC ;
R
При U = 1B найдём
t
1 − RC
у (t ) = e
[Cм];
R
hR (t ) = e
−
t
RC ;
hC (t ) = 1 − e
−
t
RC .
k (t ) * называется реакция цепи
воздействие единичной импульсной функции δ (t ) .
Поскольку внешние воздействия 1(t ) и δ (t ) связаны формулой (3.2)
Импульсной переходной функцией
δ (t ) =
на
d1(t )
, то аналогичной зависимостью связаны и их реакции h(t ) и k (t )
dt
(так как цепь линейная):
k (t ) =
Если h(0 + ) ≠ 0, то
dh(t )
при h(0 + ) = 0.
dt
k (t ) = h(0 + )δ (t ) +
dh(t )
.
dt
(3.8)
(3.9)
27
Пример 3.3
Например, при включении RL-цепи на единичный скачок напряжения
переходная
функция hL (t ) = e
−
R
t
L
и h(0 + ) = 1, импульсная переходная
R
R − Lt
.
функция k L (t ) = δ (t ) − e
L
Для RC-цепи hC (t ) = 1 − e
−t
RC ,
hC (0 + ) = 0;
1 − t RC
k C (t ) =
e
.
RC
h(t ) и k (t ) операторным методом их
изображения выражают через передаточную функцию четырёхполюсника K ( p ) :
Для нахождения функций
K ( p ) k (t ) K ( p )
;
.
p
__________________________________________________________________
*
Другие названия импульсной переходной функции: импульсная переходная характеристика,
h(t )
импульсная характеристика, импульсная реакция, отклик, весовая функция и обозначения:
g(t) , h(t) , h u (t) , h δ (t) , w(t) , h ′(t) .
Переходная функция h(t ) и импульсная переходная функция k (t ) являются
основными характеристиками цепи (звена, системы) в вещественной области и
полностью определяют её динамические свойства (поведение в переходном
режиме).
3.3. Расчёт переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля
u (τ )
∆u ≈ u ′(τ )∆τ
∆τ
S
t =0
i (t )
u (t )
П
u ( 0)
0
а
τ
t −τ
б
Рис. 3.2
t
τ
28
Пассивный
двухполюсник
(рис.
3.2
а)
включается
на
непрерывно
изменяющееся напряжение u(t ) (рис. 3.2 б). Требуется найти ток i (t ) в
произвольной ветви двухполюсника после замыкания ключа.
Введём переменную τ , по которой будем вычислять интеграл Дюамеля, а
через t обозначим некоторый (текущий) момент времени, в который будем
определять ток i (t ).
Заменим непрерывную кривую u (τ ) ступенчатой функцией и
просуммируем составляющие искомого тока, вызванные начальным скачком
напряжения u (0) и всеми последующими скачками ∆u , сдвинутыми на время
∆τ друг относительно друга.
Напряжение u (0) вызовет ток u (0) у (t ) , где у (t ) - переходная
проводимость, определённая для ветви, в которой вычисляется
i (t ).
Элементарный скачок напряжения ∆u (рис. 3.2 б) может быть выражен через
производную
∆u ≈ ∆τ
ток, вызванный скачком
du
= ∆τ ⋅ u ′(τ );
dτ
∆u в момент времени τ , равен
∆u ⋅ у (t − τ ) = u ′(τ ) у (t − τ )∆τ .
Суммируя составляющие тока от всех скачков на интервале времени τ = 0 до
τ = t и переходя от суммы к интегралу при ∆τ → 0, получим выражение
t
i (t ) = u (0) у (t ) + ∫ u ′(τ ) у (t − τ ) dτ .
(3.10)
0
Эта формула называется интегралом Дюамеля. С её помощью можно найти
также и напряжение, если вместо у (t ) использовать h(t ).
Если теперь провести замену переменной в подынтегральной функции (3.10):
t − τ = x; τ = t − x; dτ = −dx; u ′(τ ) = u ′(t − x)
0
t
∫ u ′(t − x) у ( x)(− dx) = ∫ u ′(t − x) у ( x)dx
t
и вновь заменить x на
τ
, то
0
получим вторую форму интеграла Дюамеля
t
i (t ) = u (0) у (t ) + ∫ u ′(t − τ ) у (τ )dτ .
0
(3.11)
∫ w dv = wv − ∫ v dw, обозначив
w = у (t − τ ); dw = − у ′(t − τ )dτ ; dv = u ′(τ )dτ ; v = u (τ ),
Интегрируя по частям выражение (3.10)
при этом
получим третью форму интеграла Дюамеля
29
t
i (t ) = u (0) у (t ) + ∫ u′(τ ) у (t − τ )dτ =
0
= u (0) у (t ) + у (t − τ )u (τ )
t
0
t
− ∫ u (τ )[− у′(t − τ )]dτ =
0
t
= u (0) у (t ) + у (0)u (t ) − u (0) у (t ) + ∫ u (τ ) у ′(t − τ )dτ =
0
t
= у (0)u (t ) + ∫ u (τ ) у′(t − τ )dτ
0
.
(3.12)
Наконец, интегрируя по частям формулу (3.11), найдём четвёртую форму
интеграла Дюамеля
t
i (t ) = у (0)u (t ) + ∫ u (t − τ ) у ′(τ )dτ .
(3.13)
0
При расчетах рекомендуется выбрать из формул (3.10) – (3.13) ту, которая
даёт наиболее простое подынтегральное выражение. К примеру, в заданиях на
курсовую работу [12], в которых внешнее воздействие u (t ) задано в виде
отрезков прямых, целесообразно использовать выражение (3.10), так как
производная от линейной функции даёт постоянное число.
Пример 3.4
Напряжение в цепи (рис. 3.3 а) изменяется по линейному закону u (t ) = at ,
u (0) = 0 (рис. 3.3 б).
Найти законы изменения тока в цепи и напряжение uC (t ).
i(t)
t=0
S
u(t )
u(t)
R
uC (t)
C
0
а
t
б
Рис. 3.3
30
i (t )
iпр= a C
aC
i(t ) = a C (1 − e −t/RC )
0
t
icв = −a Ce −t/RC
− aC
в
Продолжение рис. 3.3
u (τ ) = aτ ;
Выбираем формулу (3.10), в которой
у (t ) =
(пример3.2);
у (t − τ ) =
1
R
t −τ
−
e RC ;
hc (t ) = 1 − e
−t
RC
; hc (t − τ ) = 1 − e
−
t −τ
RC
1 − t RC
e
R
.
t −τ
a −t t τ
1 −
i(t ) = u (0) у (t ) + ∫ u ′(τ ) у (t − τ )dτ = 0 + ∫ a ⋅ e RC dτ = e RC ∫ e RC dτ =
R
R
0
0
0
t
t
τ
a −t RC
= e
⋅ RCе RC
R
t
uC (t ) = 0 + ∫ a (1 − e
−
t
0
= aCe
t −τ
RC
) dτ = aτ
−t
t
0
t
RC (e RC
− ae
−t
− 1) = aC (1 − e
t
RC
0
∫e
τ
RC
).
RC
−t
RC ).
(3.14)
dτ =
0
= at − aRC (1 − e
−t
(3.15)
График тока i (t ) приведён на рис. 3.3 в, u C (t ) - на рис. 3.9.
Рассмотрим применение интеграла Дюамеля при сложной форме напряжения
u (t ) на входе пассивного двухполюсника (рис. 3.2 а). Напряжение u (t ) задано в
виде кусочно-непрерывной функции (рис. 3.4).
Требуется найти ток в одной из ветвей двухполюсника; переходная
проводимость ветви у (t ) известна.
31
a
u(t)
ua
u1(t)
u(0)
t2
t1
0
uв
в
c
uc t
u2 (t)
Рис. 3.4
При заданном внешнем воздействии (рис. 3.4) переходный процесс с
помощью интеграла Дюамеля рассчитывают для трёх интервалов времени.
Для первого интервала времени 0 ≤ t < t1
t
i (t ) = u (0) у (t ) + ∫ u1′ (t ) у (t − τ )dτ ,
0
где u1 (t ) - закон изменения
u(t )
в первом интервале без учёта скачка при t = t1 .
Для второго интервала времени t1 ≤ t < t 2
t1
t
0
t1
i (t ) = u (0) у (t ) + ∫ u1′ (τ ) у (t − τ )dτ + (u в − u a ) у (t − t1 ) + ∫ u 2′ (τ ) у (t − τ )dτ ,
закон изменения u (t ) во втором интервале, слагаемое
(uв − ua ) у(t − t1 ) учитывает скачок напряжения (со знаком “минус”) в момент
где
u 2 (t ) -
времени
t1 .
Для третьего интервала времени t 2
≤t<∞
t1
t2
0
t1
i (t ) = u (0) у (t ) + ∫ u1′ (τ ) у (t − τ ) dτ + (uв − u a ) у (t − t1 ) + ∫ u 2′ (τ ) у (t − τ ) dτ +
+ (0 − uC ) у (t − t2 ),
слагаемое (0 − uC ) у (t − t 2 ) учитывает положительный скачок напряжения в
момент времени
t2 .
Пример 3.5
На входе цепи (рис. 3.5) действует прямоугольный импульс (рис. 3.6 а).
Найти напряжение на ёмкости uC (t ) и ток в цепи i (t ).
32
i(t)
R
u(t)
uC (t)
C
Рис. 3.5
Переходная функция по напряжению hC (t ) = 1 − e
hC (t − τ ) = 1 − e
−
1
(t −τ )
RC
;
В первом интервале времени,
−t
RC (пример 3.2):
u (0) = U ; u ′(τ ) = 0.
0 ≤ t < tu , заменив в формуле (3.10) у (t )
hC (t ) , найдём
t
uC1 (t ) = u (0)hC (t ) + ∫ u ′(τ )hC (t − τ )dτ = U (1 − e
i1 (t ) = C
duC U
=
dt
R
−
1
t
RC ) + 0.
0
1
t
−
RC
e
.
Во втором интервале времени, tu
≤ t < ∞ найдём
tu
uC 2 (t ) = u (0)hC (t ) + ∫ u ′(τ )hC (t − τ )dτ − UhC (t − tu ) =
0
= U (1 − e
−
= U − Ue
1
1
t
−
(t − t u )
RC ) + 0 − U [1 − e RC
]=
−
1
t
RC
− U + Ue
−
1
t
t u
RC e RC
tu
= U (e RC
tu
− 1)e
−
1
t
RC .
1
−
t
duC 2
U RC
RC
i2 (t ) = C
= − (e
− 1)e
.
dt
R
tu
U − RC
i2 (tu ) = (e
− 1);
R
i2 (tu ) − i1 (tu ) = −
На рис. 3.6 б и в, качественно построены кривые uC (t ) и i (t ).
U
.
R
на
33
u(t)
U
a
0
uc (t )
tи
τ
U
t
t
- и
RC
U(1−e )
б
uc2 (t )
uc1 (t )
0
tи
t
i (t)
U
R
U−
e
R
tи
RC
в
0
i1 (t )
U
R
tи
t
i2 (t )
t
и
U − RC
(e −1)
R
Рис.3.6
34
3.4. Расчёт переходных процессов с использованием
импульсной переходной функции
Пусть к входу пассивного двухполюсника (рис. 3.2 а) приложено внешнее
воздействие в виде непрерывной функции u (t ) (рис. 3.7). Найдём реакцию на
выходе цепи (напряжение, к примеру, на одном из элементов), если известна
импульсная переходная функция цепи
k (t ).
Представим кривую u (τ ) в виде последовательности примыкающих друг к другу
прямоугольных импульсов с длительностью ∆τ и амплитудой u (τ ) для
моментов времени τ . Для единичного импульса δ (τ ) составляющая реакций в
момент времени t равна импульсной переходной функции k (t − τ ).
u(τ )
∆τ
0
u(τ )
t −τ
τ
t
τ
Рис. 3.7
Но площадь рассматриваемого импульса не равна единице, а равна
u (τ )∆τ , поэтому реакция на него в момент времени t будет k (t − τ )u (τ )∆τ .
Суммируя составляющие реакции от действия всех импульсов, каждый из
которых имеет бесконечно малую длительность ( ∆τ → 0 ) от τ = 0 до τ = t ,
получим полную реакцию на выходе цепи
t
u вых (t ) = ∫ u (τ )k (t − τ )dτ .
(3.16)
0
Формула (3.16) называется с в ё р т к о й двух функций u (t ) и k (t ) .
Заменив переменную в подынтегральном выражении (3.16) , получим вторую
форму интеграла свёртки
t
u вых (t ) = ∫ k (τ )u (t − τ )dτ .
(3.17)
0
35
С помощью формул свёртки (3.16) и (3.17) можно определить реакцию цепи
на внешнее воздействие и в том случае, если оно имеет вид кусочно-непрерывной
функции (например, рис. 3.4).
Формулы свёртки (3.16) и (3.17) являются разновидностью интегралов
Дюамеля (3.10) – (3.13).
Интегралы Дюамеля и свёртки называют также интегралами
нал
о ж е н и я, что отражает возможность их использования для расчёта переходных
процессов только в линейных электрических цепях.
Пример 3.6
На входе цепи (рис. 3.8) действует экспоненциальное напряжение
⎧Ue −α t при t ≥ 0,
⎪
u (t ) = ⎨
⎪0 при t < 0.
⎩
i(t)
R
u(t)
L
uL(t)
Рис. 3.8
Найти напряжение на индуктивности
u L (t ).
R
R − t
k L (t ) = δ (t ) − e L ;
L
R
R
R − L (t −τ )
k L (t − τ ) = δ (t − τ ) − e
= δ (t − τ ) − βe − β (t −τ ) , где β = .
L
L
Используя выражение (3.16), найдём u L (t ) :
t
t
0
0
u L (t ) = ∫ u (τ )k L (t − τ )dτ = ∫ Ue−ατ [δ (t − τ ) − βe − β (t −τ ) ]dτ =
t
=U∫e
−ατ
0
= Ue
−α t
δ (t − τ )dτ − βUe
−β t
t
∫e
0
− (α − β )τ
dτ =
βUe − β t − (α − β )t
βU −α t − β t
−
[e
− 1] = Ue −α t +
(e
−e ) =
− (α − β )
α −β
36
=
αU −α t β U − β t
e
e .
−
α −β
α −β
(3.18)
Пример 3.7
К цепи (рис. 3.3 а) приложено внешнее воздействие
(рис. 3.3 б). Найти напряжение
Для получения
uC
uC
u (t ) = at , u (0) = 0
на ёмкости и ток в цепи.
используем импульсную переходную функцию (пример
3.3):
t −τ
1 − t RC
1 − RC
k C (t ) = hC′ (t ) =
e
; kC (t − τ ) =
e
; u (τ ) = aτ .
RC
RC
Подставляя u (τ ) и k C (t − τ ) в формулу (3.16) и интегрируя по частям,
найдём u C (t ) :
t −τ
a − t RC t τ RC
1 − RC
uC (t ) = ∫ u (τ )kC (t − τ )dτ = ∫ aτ ⋅
e
dτ =
e
∫ τe dτ =
RC
RC
0
0
0
t
=
t
τ
a − t RC
e
(τRCe RC
RC
a
=
e
RC
−t
t
RC [ RCte RC
t
0
t
− ∫ RCe
τ
RC dτ )
=
0
2
− ( RC ) e
t
RC
−t
+ ( RC ) 2 ] =
−t
= at − aRC + aRCe RC = at − aRC(1 − e RC ).
−t
−t
duC
RC
i (t ) = C
= aC − aCe
= aC (1 − e RC ).
dt
u R (t ) = Ri (t ) = aRC (1 − e
−t
RC ).
(3.19)
(3.20)
(3.21)
Результаты выражений (3.19) и (3.20) совпадают с выражениями (3.15) и
(3.14), полученными с использованием интеграла Дюамеля. Графики
u(t ) , uC (t ) , u R (t ) показаны на рис. 3.9.
37
u (t )
uC (t )
uR (t )
uC пр = at − aRC
u ( t ) = at
uR ( t ) = aRC (1 − e−t / RC )
aRC
0
uC ( t ) = at − aRC (1 − e− t/ RC )
t ПП = 3 RC
- aRC
Рис. 3.9
t
38
ГЛАВА 4
Применение переходных процессов для формирования сигналов
4.1. Пассивные дифференцирующие цепи
Линейные пассивные четырёхполюсники при определённых условиях могут
использоваться для получения сигналов требуемой формы.
Наиболее широкое применение получили четырёхполюсники, называемые
д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и м и и и н т е г р и р у ю щ и м и ц е п я м и. У первых
напряжение на выходе приблизительно пропорционально производной, у вторых интегралу от входного напряжения.
Простейшие дифференцирующие цепи изображены на рис. 4.1, а и 4.1 б.
i(t)
R
i
C
uвх (t )
R
u вых ( t )
u вх (t )
а
u вых ( t )
L
б
Рис. 4.1
Передаточная функция цепи (рис. 4.1 а)
K ( p) =
где τ
U вых ( p )
=
U вх ( p )
= RC.
R
1
R+
pC
=
pRC
pτ
=
,
1 + pRC 1 + pτ
(4.1)
Для цепи на рис. 4.1 б
L
U ( p)
pL
R = pτ ,
K ( p ) = вых
=
=
L 1 + pτ
U вх ( p )
R + pL
1+ p
R
L
где τ = .
R
p⋅
(4.2)
Изображение напряжения на выходе обеих схем
U вых ( p ) = K ( p )U вх ( p ) =
pτ
U вх ( p ).
1 + pτ
(4.3)
Четырёхполюсник с передаточной функцией (4.1) и (4.2) не является
дифференцирующим звеном, однако при выполнении условия
39
pτ << 1
U вых ( p) ≈ pτU вх ( p) ,
(4.4)
(4.5)
и в соответствии с теоремой дифференцирования (2.11),
u вых (t ) ≈ τ
du вх (t )
,
dt
(4.6)
т.е. цепи на рис. 4.1 и 4.2 будут практически дифференцирующими.
Точность дифференцирования зависит от степени выполнения неравенства
(4.4) или при p = jω неравенства
ωвτ << 1.
(4.7)
Она тем выше, чем меньше постоянная времени цепи τ ( RC или
ωв
L
) и чем ниже
R
- верхняя частота спектра входного сигнала. Выходное напряжение uвых (t ) ,
как следует из выражения (4.6), снижается пропорционально уменьшению τ .
В другом предельном случае при pτ >> 1
(ωнτ >> 1) напряжение на
выходе цепей рис. (4.1) и (4.2) мало отличается от входного. Такие цепи называют
разделительными.
При исследовании переходных процессов в цепях при воздействии
импульсных сигналов удобно верхнюю граничную частоту спектра выразить
через длительность входного импульса tu .
Теоретически спектр импульса любой формы является бесконечным, однако
на практике его ограничивают диапазоном частот, в пределах которого
сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала. Так, спектр прямоугольного
импульса ограничивают частотой ω в =
2π
, при этом в полосе частот от 0 до
tи
ωв
заключено 90,2% его энергии [7]. Примерно такую же ширину спектра имеет
другой импульс со скачком – экспоненциальный. У импульсов плавной формы
(синусоидальной, треугольной) спектр несколько меньшей протяжённости,
однако для ориентировочных оценок граничную частоту спектров импульсов
любой формы обычно принимают равной (с запасом)
ωв =
2π
tи
f в [ Гц] =
или
(4.8)
1
.
tи
(4.9)
Таким образом, с учётом формулы (4.8) условие точного дифференцирования
ωвτ << 1 примет вид
40
1
τ
2π
<<
≈ 0,16.
⋅ τ << 1 или
tи
2π
tи
(4.10)
Формула (4.10) применима для периодической последовательности
прямоугольных импульсов, а также для сигналов амплитудно-импульсной
модуляции (АИМ), так как ширина их спектра определяется только
длительностью импульсов tи .
Теоретически постоянная времени цепи τ может быть выбрана сколь угодно
ограничена снизу внутренним
малой, однако в реальных схемах величина
сопротивлением источника входного сигнала Ri и паразитной ёмкостью нагрузки
τ
Cн , шунтирующий выход цепи; Ri и Cн необходимо учитывать при выборе
параметров дифференцирующей
RC и RL -цепи (рис. 4.1 а, б) [5].
Пример 4.1
На вход цепи (рис. 4.1 а) подаётся сигнал в виде одиночного прямоугольного
импульса (рис. 4.2 а).
Построить временные диаграммы выходного напряжения для различных
отношений τ к длительности tи входного импульса.
В примере 3.5 рассчитан ток в цепи. Выражения для выходного напряжения в
схеме (рис. 4.1 а) имеют вид
при
0 ≤ t < tи , τ = RC
u вых = Ri = Ue
При
tи ≤ t < ∞
u вых = Ri =
−t
τ.
tи
t
−
−U (e τ − 1)e τ .
(4.11)
(4.12)
На рис. 4.2 а-е по формулам (4.11) и (4.12) построены кривые u вых (t ) для
значений
τ
tи
, равных: а) ∞ ; б)10; в)1,0; г)0,3; д)0,05; е)0.
Формулы ( 4.11) и (4.12) и графики uвых (t ) справедливы также для
RL-цепи (рис. 4.1 б) при τ =
L
.
R
Временные диаграммы (рис. 4.2) наглядно показывают преобразование
формы сигнала на выходе цепи во всем диапазоне изменения отношения
0 до ∞.
При
τ
tи
τ
tи
от
>> 1 (рис. 4.2 б) цепь является разделительной; её назначение–
пропускать сигнал без существенных переходных искажений.
41
При
τ
tи
<< 0,16
RC (RL) - цепь приближается к
(рис. 4.2 д)
τ
дифференцирующей. Чем меньше отношение
, тем короче экспоненциальные
tи
импульсы на выходе цепи в моменты скачков входного напряжения. Результат
идеального дифференцирования прямоугольного импульса в виде двух дельтафункций δ (t ) показан на рис. 4.2 е.
u вх = u вых
U
τ
=∞
tи
a
0
t
tи
uвых
U
∆ U = 0,1U
τ
tи
б
0
= 10
tи
uвых
t
U
τ
tи
в 0
= 1, 0
tи
t
uвых
U
τ
г
= 0,3
tи
0
tи
t
uвых
U
0,5U
τ
t иа
д 0
tи
tи
τ
Uδ (t )
0
duвх
dt
t
uвых
е
= 0,05; uвых =
tи
=0
tи
− Uδ (t − tи )
Рис. 4.2
t
42
Пример 4.2
На входе цепи (рис. 4.1 а, б) действует экспоненциальный импульс
−α t
напряжения uвх (t ) = Ue , t ≥ 0. Построить кривую напряжения на выходе при
соблюдении условия дифференцирования.
В примере 3.6 получено выражение uвых (t ) (3.18) для RL-контура (рис.
4.1 б); u вых (t ) для RC-цепи (рис. 4.1 а) будет идентичным формуле (3.18).
uвых (t ) =
где
αU −α t β U − β t
e −
e ,
α −β
α −β
β – коэффициент затухания цепи; β =
(рис. 4.1 б).
(4.13)
1
(рис. 4.1 а);
RC
β=
R
L
Производная входного напряжения
duвх
= −αUe−α t .
dτ
(4.14)
Для того чтобы из формулы (4.13) получить её приближённое выражение (4.14)
необходимо выполнить условие β >> α .
Для построения графика переходного процесса положим β = 5α , тогда
uвых (t ) =
αU
α − 5α
e −α t −
5αU − β t
e
= −0,25Ue −α t + 1,25Ue − β t .
α − 5α
u вых(t )
1, 25U
1,0U
1, 25Ue −β t
0, 75U
0,5U
u вых= 1, 25 Ue −β t − 0, 25Ue −α t
0, 25U
0
1/ β
2/β
− 0, 25U
участок
ошибок
3 /β
1 /α
− 0, 25Ue −α t
Рис. 4.3
t
u вых =
du вх
dt
43
Из графика рис. 4.3 видно, что через время 3τ =
3
β
в цепи устанавливается
принуждённый режим и u вых (t ) достаточно точно воспроизводит производную
входного сигнала. Сокращение участка ошибок может быть достигнуто за счёт
уменьшения постоянной времени
τ =
1
β
. При этом, как следует из выражения
(4.13), уменьшается уровень выходного сигнала.
Пример 4.3
На рис. 4.4 в качестве дифференцирующего трансформатора используется
широкополосный
(высокочастотный)
импульсный
трансформатор
ИТ,
применяемый для трансформации и формирования импульсов различной формы
с tи до 0,1 мкс.
i1(t)
u вх (t )
M
R1
L1
R2
L2
u вых ( t )
ИТ
Рис. 4.4
Если пренебречь током во вторичной обмотке (и её постоянной времени
τ2 =
L2
), то
R2
u вых ( p ) = M
di1
U вых ( p ) = pMI1 ( p );
dt
I1 ( p ) =
U вх ( p)
;
R + pL1
M
M
p
U ( p)
pM ⋅ U вх ( p )
R =
R ,
K ( p ) = вых
=
=
L 1 + pτ 1
U вх ( p ) ( R + pL1 )U вх ( p )
1+ p 1
R
p
где
K ( p) – передаточная функция апериодического звена.
44
При
pτ 1 << 1
(ω вτ 1 << 1)
получаем
передаточную
функцию
M
K
p
p
(
)
=
⋅
.
ДТ
дифференцирующего трансформатора
R
Если pτ 1 >> 1 (ω нτ 1 >> 1) , то имеем идеальный импульсный трансформатор с
передаточной функцией K ИТ ( p ) =
M
.
L
Обратимся к области применения четырехполюсников, приведенных на рис.
4.1 и 4.4.
Дифференцирующие цепи, отвечающие условию ( 4.7) (ω вτ 1 << 1) , обычно
используют для получения коротких импульсов с крутыми фронтами, а не для
аналогового дифференцирования в установившемся режиме. Они работают в
режиме наибольших переходных искажений, поэтому более точное название
таких цепей укорачивающие (о б о с т р я ю - щ и е), а в импульсной технике –
у с к о р я ю щ и е (ф о р с и р у ю щ и е) цепи.
Длительность выходного импульса tи , обычно отсчитываемая на уровне 0,5
U , называется а к т и в н о й ( t иa на рис. 4.2 д).
Для экспоненциального импульса
− tиа
= 0,5U , откуда tua ≈ 0,7τ .
(4.15)
Разделительные цепи, удовлетворяющие неравенству ω нτ >> 1 , где ωн
Ue
τ
-
нижняя частота спектра входного сигнала, предназначены для передачи сигналов
через четырёхполюсник с допустимыми переходными искажениями.
Цепь на рис. 4.1 а используется для разделения переменной и постоянной
составляющих сигнала, например в цепях межкаскадной связи в усилителях
переменного тока. Импульсный трансформатор на рис. 4.4 применяется в качестве
согласующего;
для
изменения
полярности
импульсов;
обеспечивает
гальваническую развязку входной и выходной цепей и т. д.
Переходные
искажения
разделительных
четырёхполюсников
характеризуются относительным спадом вершины импульса ( ∆ ):
t
−и
t
U − u вых (t и )
−и
∆=
= 1− e τ .
U
τ
(4.16)
в степенной ряд (1.23) и ограничившись двумя членами
Разложив e
этого ряда, что справедливо для малых ∆ ( ∆ ≤ 0,1), получим приближённую
формулу для
∆
при t = tи
45
∆=
τ
tи
tи
τ
.
(4.17)
В примере 4.1 на рис. 4.2 б показан спад вершины импульса для случая
= 10 (
tи
τ
= 0,1). При этом ∆ =
tи
τ
= 0,1(10%),
∆U = ∆ ⋅ U = 0,1U
и
погрешность формулы (4.16) составляет 5%.
Для сигнала на рис. 4.2 в
tи
uвых (tи ) = Ue
∆U = U (1 − e
−
tи
τ
= 1 формула (4.17) не пригодна:
τ
−
tи
τ
= Ue−1 = 0,368U ;
) = 0,632U ; ∆ = 0,63(63%) .
Сравнивая RC-цепь с RL-цепью (рис. 4.1 а, б), отметим, что конструкция и
настройка первой схемы при её реализации проще, чем схемы с индуктивной
катушкой, и RC-цепь имеет преимущественное применение. Тем не менее можно
привести ряд примеров использования дифференцирующей RL-цепи. Так, в
импульсных усилителях применяется простая и эффективная ВЧ индуктивная
коррекция, расширяющая полосу пропускания усилительного каскада в области
верхних частот и уменьшающая искажения фронта импульса [8]. В импульсной
технике находят применение дифференцирующие трансформаторы (пример 4.3).
4.2. Пассивные интегрирующие цепи
Четырёхполюсники на рис. 4.5 а, б при определенных условиях
осуществляют приближенное интегрирование сигналов.
i
i
R
L
u вх (t )
C
u вх ( t )
u вых (t )
а
u вых (t )
R
б
Рис. 4.5
Передаточная функция цепи рис. 4.5 а
46
1
U ( p)
1
1
pC
=
=
=
,
K ( p) = вых
1
U вх ( p)
1 + pRC 1 + pτ
R+
pC
(4.18)
где τ = RC.
Для цепи на рис. 4.5 б
K ( p) =
где τ =
U вых ( p)
R
=
=
U вх ( p) R + pL
1
L
1+ p
R
=
1
,
1 + pτ
(4.19)
L
.
R
Изображение напряжения на выходе схем рис. 4.5
U вых ( p ) = K ( p )U вх ( p ) =
1
U вх ( p ).
1 + pτ
(4.20)
Четырёхполюсник с передаточной функцией (4.18) и (4.19) называется
апериодическим звеном.
При выполнении условия
pτ >> 1
U вых ( p ) ≈
(4.21)
U вх ( p)
,
pτ
(4.22)
и в соответствии с выражением (2.12) (теорема интегрирования)
1t
u вых (t ) ≈ ∫ u вх (t )dt.
τ
(4.23)
0
Точность интегрирования зависит от выполнения неравенства (4.21) или, при
замене p на jω , условия
ω нτ >> 1,
где τ = RC
(4.24)
(рис. 4.5 а) или τ =
L
R
(рис. 4.5 б) - постоянная времени;
ωн –
нижняя граничная частота спектра входного сигнала. Выходное напряжение
(4.23) уменьшается с увеличением .
При интегрировании импульсов условие (4.24) эквивалентно неравенству
τ
τ >> tи .
(4.25)
Если условия (4.24) и (4.25) не выполняются, то цепи (рис. 4.4) становятся
разделительными (переходными).
Пример 4.4
47
Построить кривые напряжения на выходе цепей (рис. 4.5 а, б) при действии
на входе одиночного прямоугольного импульса для различных
τ
tи
.
Для цепей (рис. 4.5 а, б) выражения u вых (t ) , рассчитанные в примере 3.5,
будут одинаковыми:
u вых (t ) = U (1 − e
tи
−t
τ
) при 0 ≤ t < tи ;
−t
(4.26)
при tи ≤ t < ∞.
(4.27)
Временные диаграммы, построенные по формулам (4.26) и (4.27), приведены
на рис. 4.6 а-е.
При идеальном интегрировании в соответствии с формулой (4.23)
u вых (t ) = U (e
uвых (t ) =
1
τ
t
∫ uвхdt = U
0
t
τ
τ
− 1)e
τ
при 0 ≤ t < tи и
u вых (t ) = U m
tu
τ
при
t > tи
(рис. 4.6 е).
На выходе реальной цепи uвых (t ) нарастает по экспоненте (4.26)
б, в).
Представив экспоненту в виде ряда Маклорена (1.23), получим
2
3
1⎛t⎞
1⎛t ⎞
u вых (t ) = U [1 − 1 + − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ...].
τ 2! ⎝ τ ⎠ 3! ⎝ τ ⎠
t
При малых
(рис. 4.6
(4.28)
t
τ
2
1⎛ t ⎞
u вых (t ) ≈ U [ − ⎜ ⎟ ].
τ 2 ⎝τ ⎠
t
(4.29)
Первое слагаемое в выражении (4.29) дает uвых (t ) при идеальном
интегрировании, второе – погрешность интегрирования, которая достигает
наибольшего значения при
t = tu :
2
U ⎛t ⎞
∆= ⎜ u⎟ .
2 ⎝τ ⎠
(4.30)
Относительная погрешность при этом
δ=
t
∆
= u.
t
2τ
U u
τ
(4.31)
48
Например, при
τ
tu
= 10 (рис. 4.6 д) δ = 0,05(5%); выходное напряжение в
момент окончания импульса, согласно выражению (4.29), в 10 раз меньше
входного напряжения
uвых (t ) ≈ U
tu
= 0,1U .
τ
uвых (t ) ,
После окончания входного импульса
в соответствии с выражением
0,05uвых (tu ) за время, равное 3τ .
τ
ωвτ << 1 (или
<< 1 ) цепь является
(4.27), затухает по экспоненте до уровня
При выполнении неравенства
tu
разделительной (рис. 4.6 б). В этом случае переходные искажения выходного
импульса оценивают по времени нарастания (установления) фронта tф от уровня
0,1U
0,1U
до 0,9U и времени спада (среза) импульса tc от уровня
(рис. 4.6 б).
0,9U до уровня
Вычислим tф и tc :
uвых (t0,9 ) = U (1 − e
−
u вых (t 0,1 ) = U (1 − e
t0,9
τ
t
− 0 ,1
τ
) = 0,9U ;
) = 0,1U .
(4.32)
(4.33)
Из выражений (4.32) и (4.33) найдём
t
− 0,9
= 0,1 ; t0,9 = τ ln10;
t
10
− 0 ,1
e τ = 0,9 ; t0,1 = τ ln ;
9
t ф = t c = t 0,9 − t 0,1 = τ ln 9 ≈ 2,2τ .
e
Таким образом,
tф
τ
и tc зависят только от
(4.34)
τ
( RC или
L
) - постоянной
R
времени цепи.
Простейшие интегрирующие цепи выполняют разнообразные функции. С
частотной точки зрения RC и RL - четырёхполюсники (рис. 4.4) - это фильтры
нижних частот: они подавляют высокочастотные составляющие спектра входного
сигнала и пропускают составляющие низких частот. Такие схемы применяют,
например, для уменьшения воздействия импульсных помех, для сглаживания
пульсаций напряжения на выходе выпрямителей переменного тока в постоянный
и т.п.
49
uвых = uвх
U
τ
tи
a
uвых
=0
tи
0
t
0, 9U
τ
U
tи
0,1U
0
б
uвых tф
tc
U
τ
tи
в
0
tи
u вых
τ
τ
tи = τ
τ
tи
0, 632U
г
0
uвых
д
е
tи
0,1U
0
0
t
u = 1 ∫ u dt
вых τ
вх
0
U
Рис.4.6
t
= 0 ,3
= 1, 0
2τ
= 10
t
t
t
tи
tи
= 0,1
tи
τ
t
50
С помощью интегрирующей цепи можно преобразовать сигналы,
отличающиеся по длительности, в сигналы, отличающиеся по амплитуде (рис.
4.7).
uвх
uвых
uвх
uвых
0
t
Рис.4.7
Сочетание интегрирующих RC - цепей с диодами и активными элементами
(транзисторами и операционными усилителями) значительно расширяет
возможности их использования в схемах фильтров, детекторов, генераторов, в
схемах НЧ коррекции и в других устройствах [5].
4.3. Применение операционных усилителей для повышения точности
дифференцирования и интегрирования
Операционным усилителем (ОУ) называют усилитель постоянного тока
прямого усиления, выполненный в виде интегральной микросхемы, который по
своим характеристикам приближается к идеальному усилителю.
Современные
ОУ
имеют
высокий
коэффициент
усиления
( KU 0 ≈ 105 ÷ 107 ) , широкую полосу частот ( f1 ∗ до 500 МГц), высокое входное
6
10
сопротивление ( Rвх ≈ 10 ÷ 10 Ом) , малое выходное сопротивление ( Rвых ≈
десятки омов) [5].
Такие параметры ОУ ( K U 0 → ∞, Rвх → ∞, Rвых → 0 ) дают основание
считать его идеальным с достаточной точностью при анализе многих схем.
Условное обозначение ОУ показано на рис. 4.8 а.
∗
f1
- частота единичного усиления, на которой модуль коэффициента усиления ОУ равен
единице (0 дБ).
51
IОС ( p )
Z2( p )
Iвх ( p)
Z1( p)
uвх1
uвых
а
Uа ( p)
Uвх(p)
uвх2
Uвых(p)
а
б
Рис. 4.8
o
”обозначен и н в е р т и р у ю щ и й вход ОУ. Сигнал, поданный
Знаком “
на этот вход ( uвх1 ), и сигнал на выходе ОУ ( uвых ) находятся в противофазе.
Сигнал uвх 2 на неинвертирующем входе и uвых совпадают по фазе.
На рис. 4.8 б приведена схема ОУ, в которой с помощью сопротивления
Z 2 ( p ) введена отрицательная обратная связь(ОС) по напряжению.
Найдём передаточную функцию
идеальный ( Rвх = ∞;
K ( p)
четырёхполюсника при условии, что ОУ -
KUО У → ∞ ).
Из схемы на рис. 4.8 б следует
U вх ( p ) = Z1 ( p ) I вх ( p ) + U а ( p ),
U a ( p ) = Z 2 ( p ) I ОС ( p ) + U вых ( p ),
При
Rвх = ∞
Полагая KUОУ
I вх ( p ) =
U вх ( p) − U a ( p)
;
Z1 ( p )
I ОС ( p) =
U а ( p) − U вых ( p)
.
Z 2 ( p)
I вх ( p) = I ОС ( p ),
U вх ( p ) − U a ( p ) U а ( p ) − U вых ( p )
=
.
Z1 ( p )
Z 2 ( p)
U вых ( p)
≈ 0,
→ ∞ , U а ( p) =
KUOC
U вх ( p )
U ( p)
= − вых
,
Z1 ( p )
Z 2 ( p)
52
K ( p) =
U вых ( p)
Z ( p)
=− 2
.
U вх ( p)
Z1 ( p )
(4.35)
Таким образом, передаточная функция ОУ, охваченного отрицательной ОС,
при большом значении K UО У определяется только сопротивлениями внешней
цепи Z 1 ( p ) и Z 2 ( p) . Знак “ минус” показывает инверсию фазы выходного
сигнала относительно входного.
Если в схеме (рис. 4.8 б) Z1 ( p ) =
1
, а Z 2 ( p ) = R , то получим
pC
дифференцирующий усилитель (рис. 4.9 а) с передаточной функцией
K ( p ) = − pRC ,
которой отвечает следующая связь между
(4.36)
uвх (t ) и uвых (t ) :
duвх (t )
.
dt
1
Z1 ( p ) = R и Z 2 ( p) =
pC
1
K ( p) = −
.
pRC
uвых (t ) = − RC
При
(4.37)
(4.38)
В этом случае получим интегратор входного сигнала (рис. 4.9 б), для которого
1 t
uвых (t ) = −
∫ uвх (t )dt.
RC 0
R
(4.39)
C
C
R
uвх ( p)
uвых( p)
а
u вх( t )
uвых( t )
б
Рис. 4.9
Таким образом, если ОУ близок к идеальному, то схемы на рис. 4.9 а, б
обеспечивают точное дифференцирование и интегрирование входного сигнала.
На практике качество дифференцирования и интегрирования зависит от
неидеальности характеристик ОУ.
53
Передаточная функция идеального дифференцирующего усилителя не может
быть реализована из-за ограниченной полосы пропускания и конечного
коэффициента усиления реального ОУ. Кроме того, схема на рис. 4.9 а может
самовозбудиться из-за спада коэффициента усиления ОУ на высоких частотах и
дополнительных фазовых сдвигов, вносимых цепью ОС [5]. Уменьшение
XC =
1
с
ωC
увеличением
частоты
приводит
к
тому,
что
схема
дифференцирующего усилителя имеет высокий коэффициент усиления на
верхних частотах, даже за пределами полосы частот полезного сигнала. Поэтому,
наряду с ВЧ составляющими спектра входного сигнала, схема усиливает
собственные шумы и внешние помехи, которые накладываются на полезный
сигнал и искажают его.
В схеме интегратора на рис. 4.9 б смещение нуля выходного напряжения изза разбаланса ОУ, а также наличие входных токов смещения, обусловленных
конечным значением входного сопротивления, ограничивают максимальную
длительность интегрирования, так как с течением времени напряжение ошибки
будет нарастать. Из-за конечного значения коэффициента усиления ОУ
напряжение на выходе интегратора изменяется по экспоненциальному закону, а
не строго линейно (при интегрировании перепада напряжения), однако при этом
постоянная времени экспоненты и выходное напряжение приблизительно в
KU ОУ раз больше, а погрешность интегрирования в KU ОУ раз меньше, чем у
пассивной интегрирующей цепи при тех же номиналах R и C.
На практике применяют модифицированные схемы дифференцирующего
устройства и интегратора (рис. 4.10 а, б).
Чтобы избежать проявления нежелательных свойств четырёхполюсника на
рис. 4.9 а, используют скорректированную схему (рис. 4.10 а), которая
1
, является усилителем с
R1C1
R
1
KU = − 2 в полосе частот от ω1 = 1 до ω2 =
и интегратором на
R1
R2C2
R1C1
1
частотах выше ω2 =
.
R2C2
дифференцирует сигналы до частоты
ω1 =
54
S
C
C2
R2
R2
R
R1
C1
uвх (t)
uвх ( t )
uвых( t )
а
R1
u вых (t)
б
Рис. 4.10
Такой
четырёхполюсник,
представляющий
собой
интегродифференцирующее звено, можно использовать в качестве полосового
фильтра.
Улучшенная схема интегратора показана на рис. 4.10 б. Резисторы R1 и R2
позволяют уменьшить ошибку интегрирования, вызванную разностью входных
токов и напряжением смещения нуля ОУ. Для сброса интегратора на нуль (при
отсутствии R2 ) перед началом интегрирования конденсатор С кратковременно
закорачивают с помощью электронного ключа S , выполненного на микросхеме
или МОП - транзисторе.
Интеграторы широко применяют при создании генераторов линейно
изменяющегося и синусоидального напряжений, точных фазосдвигающих
устройств, в качестве ARC - фильтров нижних частот и др.
55
ГЛАВА 5
Моделирование переходных процессов в линейных электрических цепях
5.1. Лабораторная работа №1
Исследование переходных процессов в цепях первого порядка
Общие сведения
Реальные электрические процессы всегда отличаются от стационарных и
лишь при некоторых условиях, зависящих от вида воздействия и свойств цепи,
могут приближаться к ним. Если цепь содержит только постоянные активные
сопротивления, то изменения вида внешнего воздействия или вида схемы
«мгновенно» вызывает соответствующие изменения напряжения и тока в ветвях.
Однако при наличии реактивных элементов картина будет принципиально иной.
Переход цепи к новому стационарному состоянию сопровождается появлением
переходных или нестационарных процессов. Возникновение таких процессов
связано с особенностями изменения энергии электромагнитного поля в
реактивных элементах. Из физических соображений ясно, что энергия поля в
индуктивностях и ёмкостях системы не может меняться во времени мгновенно.
Изменение энергии за единицу времени, как известно, представляет собой
мощность, отдаваемую или потребляемую соответствующим элементом схемы,
т.е.
dw
= p . Если допустить, что энергия w изменяется скачком, то величина
dt
производной обращается в бесконечность, и, следовательно, мощность p
принимает бесконечно большое значение. Последний вывод, разумеется, не имеет
физического смысла. Таким образом, в цепи с реактивными (энергоёмкими)
элементами величины, определяющие запас энергии, при переходе к новому
стационарному состоянию должны меняться во времени плавно, без скачков. В
результате выходной ток и напряжение будут в большей или меньшей степени
отличаться по форме от внешнего воздействия. Теоретически все переходные
процессы имеют бесконечно большую продолжительность. Однако на практике
значения напряжения и тока уже по истечении определённых промежутков
времени становятся близкими к установившимся значениям. Нестационарные
явления играют важную роль в работе многих устройств, применяемых в
радиотехнике и электронике. Например, велика их роль в схемах,
предназначенных для получения напряжений (или токов) специальной формы. В
то же время иногда возникновение этих процессов нежелательно. Процесс,
происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух
накладывающихся друг на друга режимов - принуждённого, который как бы
наступил сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного
процесса. Свободная составляющая представляет собой общее решение
однородного дифференциального уравнения, принуждённая отражает частное
решение неоднородного дифференциального уравнения.
56
Цель работы: исследовать электрические процессы в простейших RC- или RLцепях, возникающих при включении источников внешнего напряжения, а также
при коротком замыкании участка цепи.
Задание
1. Рассчитать зависимости u C , iC в RC-цепи при подключении к постоянной ЭДС
(рис. 5.1)
2. Получить осциллограммы u C , iC , по ним определить iC (0 + ) , uC (0 + ) и
постоянную времени τ , сравнить с расчётными значениями.
3. Рассчитать зависимости u L , iL в RL-цепи при подключении к постоянной ЭДС
(рис. 5.3).
4. Получить осциллограммы u L , iL , по ним определить iL (0 + ) , u L (0 + ) и
постоянную времени τ , сравнить с расчётными значениями.
5. Рассчитать зависимости u C , iC , в RC-цепи при подключении конденсатора с
начальным напряжением к источнику синусоидальной ЭДС (рис. 5.5).
6. Получить осциллограммы u C , iC , по ним определить iC (0 + ) , uC (0 + ) и
постоянную времени τ , сравнить с расчётными значениями.
7. Рассчитать зависимости u L , iL , в RL-цепи при подключении катушки
индуктивности с начальным током к источнику синусоидальной ЭДС (рис. 5.4).
8. Получить осциллограммы u L , iL , по ним определить iL (0 + ) , u L (0 + ) и
постоянную времени τ , сравнить с расчётными значениями.
Методические указания
К пункту 1. Открыть файл П1 (рис. 5.1), установить заданные параметры
схемы.
Рассчитать напряжение uC = uV 1 − (uV 1 − uC 0 )e
где τ = RC .
Рис. 5.1
−t
τ
, ток iC = C
duC
,
dt
57
К пункту 2. Запустить программу моделирования EWB. Используя клавишу
«пробел», осуществить коммутацию ключа, зафиксировать осциллограмму, нажав
кнопку «пауза». Используя курсоры расширенной модели осциллографа этой
программы, определить постоянную времени переходного процесса. Для этого
первый курсор устанавливается на момент коммутации, а второй – на уровне 0.63
от установившегося значения напряжения или на уровне 0.37 от установившегося
значения тока (рис. 5.2).
Рис. 5.2
К пункту 3. Открыть файл П2, установить заданные параметры схемы (рис.
5.3).
Рассчитать ток iL = uV 1 / R − (uV 1 / R − iL 0 )e
−t
τ
, напряжение u L = L
diL
.
dt
Рис. 5.3
К пункту 4. Запустить программу моделирования EWB. Используя клавишу
«пробел», осуществить коммутацию ключа, зафиксировать осциллограмму, нажав
кнопку «пауза». Используя курсоры расширенной модели осциллографа этой
программы, определить постоянную времени переходного процесса. Для этого
первый курсор устанавливается на момент коммутации, а второй – на уровне 0.63
58
от установившегося значения напряжения или на уровне 0.37 от установившегося
значения тока (рис. 5.4).
Рис. 5.4
К пункту 5. Открыть файл П3 (рис. 5.5), установить заданные параметры
схемы.
Определить uc по формуле
u c = u c уст + [u c (0 + ) − u c уст (0)]e
−t
τ
, где uc (0 + ) - начальное напряжение на
конденсаторе; u c уст – напряжение на конденсаторе в установившемся режиме.
После подстановки выражения для установившегося значения напряжения
получим
Um
Um
π
π −t
uC =
sin(ω t + α u − ϕ − ) + [uc (0+ ) −
sin(α u − ϕ − )]e τ ,
2
2
1 + (ωRC ) 2
1 + (ωRC ) 2
где ϕ = arctg (−
1
) . Ток iC
ωRC
=C
duc
.
dt
59
Рис. 5.5
К пункту 6. Запустить программу моделирования EWB. Используя клавишу
«пробел», осуществить коммутацию ключа, зафиксировать осциллограмму, нажав
кнопку «пауза». Используя курсоры расширенной модели осциллографа этой
программы, определить постоянную времени переходного процесса. По
осциллограммам определить i C (0 + ) , uC (0 + ) , ∆uC 0 , сравнить с расчётными
значениями.
К пункту 7. Открыть файл П4 (рис. 5.6), установить заданные параметры
схемы.
Рассчитать
−t
Um
Um
iL =
sin(ω t + α u − ϕ ) + [i L (0 + ) −
sin(α u − ϕ )]e τ ,
(ωL ) 2 + R 2
(ωL ) 2 + R 2
⎛ ωL ⎞
⎟
⎝ R ⎠
где ϕ = arctg ⎜
60
Рис. 5.6
К пункту 8. Запустить программу моделирования EWB. Используя клавишу
«пробел», осуществить коммутацию ключа, зафиксировать осциллограмму, нажав
кнопку «пауза». Используя курсоры расширенной модели осциллографа этой
программы, определить постоянную времени переходного процесса. По
осциллограммам определить iL (0 + ) , uL (0+ ) , сравнить с расчётными значениями.
Контрольные вопросы
1. Сформулировать законы коммутации при корректных включениях.
2. Что такое характеристическое уравнение, и как его составить?
3. Как вычисляется постоянная времени переходного процесса в резистивных
схемах с одним конденсатором?
4. Как вычисляется постоянная времени переходного процесса в резистивных
схемах с одной катушкой?
5. Как по графику переходного процесса для схем с одним реактивным элементом
измерить постоянную времени?
6. Каковы необходимые и достаточные условия для возникновения в схемах
переходного процесса?
61
5.2. Лабораторная работа №2
Исследование и изучение формирующих цепей
Общие сведения
Простейшая дифференцирующая цепь приведена на рис. 5.7.
i
C
uвх (t )
R
u вых ( t )
Рис. 5.7
Напряжение на выходе RC-цепи uвых = Ri = RC
du C
. Так как uC = uвх − Ri , то при
dt
du вх
RC
u
≈
достаточно малом R вых
dt , т. е. RC-цепь будет дифференцирующей.
Комплексный коэффициент передачи RC-цепи
K ( jω ) =
U вых (jω )
R
jωRC
=
=
U вх (jω ) R + 1
1 + jωRC
j ωC
jω
на
p , перейдем к изображению по Лапласу
U ( p)
R
pRC
pτ
=
=
=
K ( p) = вых
, где τ = RC - постоянная
1
U вх ( p) R +
1 + pRC 1 + pτ
pC
Заменив
времени RC-цепи.
Определим U вых (p) =
τp
U вх ( p) .
1+τ p
При τ p << 1 U вых (p) ≈ τ pU вх ( p) . Перейдя от изображения к оригиналу,
du вх
. Таким образом, точность дифференцирования зависит от
dt
степени выполнения неравенства ωRC << 1. Это неравенство выполняется тем
точнее, чем меньше τ и чем ниже частоты, входящие в спектр входного сигнала.
Напряжение на выходе цепи снижается пропорционально уменьшению τ . На рис.
получим uвых = τ
5.8 б показан результат точного дифференцирования прямоугольного импульса в
виде двух дельта-функций, соответствующих положительному и отрицательному
62
перепадам входного напряжения. На рис. 5.8 в изображено напряжение на выходе
дифференцирующей цепи при различных отношениях
τ
tи
.
uвх
Um
0
t
tи
а
duвх
dt
+∞
Um δ (t )
tи
0
t
− Um δ (t − tи )
−∞
б
uвых
Um
10
1
0,3
0
0,1
t
0,3
0,1
в
Рис. 5.8
1
10
63
При малых отношениях
uвых
представляет собой два остроконечных
импульса, начала которых совпадают по времени с перепадами uвх . Такая RC цепь выполняет задачу укорочения импульсов. Выражение для
в операторной форме. Так как U вх ( p) =
таблицы
изображений
uвых (t ) = U m e
функций
по
Um
, то
p
U вых ( p ) =
Лапласу,
uвых
можно найти
Um
. Используя
p +1 τ
перейдем
к
оригиналу
−t τ
. Из этого выражения следует, что амплитуда выходных
импульсов равна U m , а длительность на уровне 0,05 равна 3τ = 3RC . Расчёт
дифференцирующей цепи сводится к выбору её элементов R и C по заданной
амплитуде и форме входного
uвх
и выходного
uвых
напряжений. При этом
следует учитывать внутреннее сопротивление источника Ri входного
напряжения и влияние паразитной ёмкости Cп , шунтирующей сопротивление
нагрузки. Ёмкость Cп выполняет роль интегрирующей и искажает форму
выходного импульса (рис. 5.9 б).
uвых,
uвх =Um
,
uвх
C
Ri
uвх
Cп
R
u вых (R i ≠0 ,Сп=0)
′
uвых
′ (R i ≠0 ,С п≠ 0)
uвых
t
а
б
Рис. 5.9
Максимальное напряжение на выходе цепи можно определить по формуле
Um
RC .
( Ri + R)(C п + С )
τ ′ ≈ ( Ri + R )(C + Cп ) .
Постоянная времени равна
Таким образом, наличие Ri и Cп ведёт к уменьшению
′ ≈
U выхm
амплитуды и
длительности импульса на выходе дифференцирующей цепи. При этом
уменьшать ёмкость конденсатора С для получения заданной длительности
выходного импульса можно до определённого предела. Её необходимо выбирать
как C ≥ 3Cп для уменьшения влияния нестабильности паразитных ёмкостей на
64
положение переднего фронта выходных импульсов. При дифференцировании
импульсов с конечной длительностью фронта постоянную времени
укорачивающей цепи рекомендуется выбирать в пределах tф < RC < 5tф , где tф длительность фронта, при этом
tи вых ≈ tф + 0,8 RC
(на уровне 0,5 от
максимального значения амплитуды).
Простейшая интегрирующая цепь изображена на рис. 5.10.
i
R 1 kΩ
u вх (t )
uвых (t )
C
1 µF
Рис. 5.10
t
t
u − uвых u = u = 1 idt = 1 (u − u )dt
вх
вых
С
Ток в цепи равен i = вх
. вых
.
∫
∫
C
RC
0
0
R
При выполнении условия
uвых << uвх цепь будет интегрирующей, т.е.
t
u вых
1
≈
uвх dt .
RC ∫0
Комплексный коэффициент передачи RC-цепи
K ( jω ) =
(1 / jωC ) ⋅ I
1
1
.
=
⋅
( R + 1 / j ωC ) ⋅ I j ωC 1 + 1 / j ω C
В операторной форме K ( p ) =
1
1
1
,
⋅
=
pRC 1 + 1 / pRC 1 + pτ
где τ - постоянная времени цепи.
1
t
1
1
, U вых ( p) =
U вх ( p ) , поэтому uвых = τ ∫ uвх dt .
0
pτ
pτ
Точность интегрирования зависит от выполнения неравенства ωRC >> 1 . Чем
При pτ >> 1 K ( p ) =
больше τ , тем точнее интегрирование. Однако с увеличением τ уменьшается
амплитуда выходных импульсов. Интегрирование прямоугольного импульса
показано на рис. 5.11.
65
uвых
Um
0
t
tи
а
t
1 ∫u
τ
0
вх
dt
Um t и
τ
0
tи
t
б
uвых
Um
0, 1
0, 1
0, 3
0, 3
1
1
10
10
0
tи
t
в
Рис. 5.11
66
Напряжение на выходе идеального интегратора изображено на рис. 5.11 б,
оно равно u вых = U m
tи
τ
= const при t > tи . Напряжение на выходе реальной цепи
имеет вид экспоненты, соответствующей заряду конденсатора (рис. 5.11 в). После
окончания импульса конденсатор разряжается также по экспоненциальному
закону. Расчёт интегрирующей цепи сводится к определению значений R и C по
заданной амплитуде, длительности и форме входного и выходного напряжений.
Допустим на входе этой цепи действует прямоугольный импульс длительностью
tи и амплитудой U m . Найдём напряжение на конденсаторе в операторной форме
для скачка напряжения U вх ( p ) =
U m1 / τ
. Переходя к оригиналу, получим
p( p + 1 / τ )
U вых (p) = U вх (p) K ( p ) =
uвых = U m (1 − e
u вых = U m (e
−t
tи
τ
Um
.
p
) при t < tи . После окончания импульса при t > tи
τ
− 1)e
−t
τ
.
На рис. 5.11 в приведены кривые uвых для различных
τ
tи
. Отсюда видно, что
выходной импульс имеет большую длительность, чем входной и амплитуду
U вых
m
= U m (1 − e
−tи
τ
) . При
τ
tи
≥ 2 U вых m ≈ U m
τ
tи
, при этом ошибка не
превышает 10%.
После окончания входного импульса через 3τ конденсатор С разряжается до
0,05U вых m . Таким образом, длительность импульса на выходе интегрирующей
цепи на уровне 0,05U вых m составляет tвых = tи + 3τ . Данная формула позволяет
выбрать постоянную времени интегрирующей цепи по заданной длительности
импульса на входе и выходе и рассчитать необходимую амплитуду входного
напряжения по заданному выходному. Определив τ =RC, можно выбрать
величины сопротивления и ёмкости, причем С должна быть в несколько раз
больше паразитной ёмкости этой цепи.
Цель работы: изучение принципа действия формирующих устройств,
исследование переходных процессов в дифференцирующих и интегрирующих
цепях.
67
Задание
1. Для заданных параметров дифференцирующей RC - цепи рассчитать амплитуду
и длительность импульсов на уровне 0,05 на выходе идеализированной цепи
( Ri =0, Cп =0) для значений
τ
tи
=0,1; 0,3; 1.
2. Используя программу EWB, собрать схему реальной цепи для тех же значений
параметров. Получить осциллограммы на входе и выходе этой цепи, измерить
амплитуду и длительность импульсов на уровне 0,05, сравнить расчётные и
экспериментальные результаты.
3. Для заданных параметров интегрирующей RC-цепи рассчитать амплитуду и
длительность импульсов на уровне 0,05 на выходе идеализированной цепи ( Ri =0,
Cп =0) для значений
τ
tи
=0,1; 0,3; 1.
4. Используя программу EWB, собрать схему реальной цепи для тех же значений
параметров. Получить осциллограммы на входе и выходе этой цепи, измерить
амплитуду и длительность импульсов на уровне 0,05, сравнить расчётные и
экспериментальные результаты.
5. Исследовать метод повышения точности дифференцирования на основе
операционного усилителя.
6. Исследовать метод повышения
операционного усилителя.
точности
интегрирования
на
основе
7. Исследовать линию связи при подключении на ее вход сигналов прямоугольной
формы.
Методические указания
К пункту 1. Для расчета необходимых параметров дифференцирующей цепи
воспользоваться общими теоретическими сведениями по этой лабораторной
работе или обратиться к [5].
К пункту 2. В реальной цепи необходимо учитывать сопротивление
источника входного сигнала (типовые значения 50 Ом, 600 Ом), которое
включается последовательно с конденсатором. Кроме этого нужно учесть
паразитную ёмкость монтажа схемы (десятки пикофарад), которая включается
параллельно нагрузке этой цепи.
К пункту 3. Для расчёта необходимых параметров интегрирующей цепи
воспользоваться общими теоретическими сведениями по этой лабораторной
работе или обратиться к [5].
К пункту 4. В реальной интегрирующей цепи сопротивление источника
сигнала суммируется с задающим резистором R, а паразитная ёмкость монтажа
суммируется с задающим конденсатором С.
68
К пункту 5. Открыть файл П5 (рис. 5.12), получить осциллограммы входного
и выходного сигналов для трех режимов функционального генератора
(прямоугольные импульсы, треугольные и синусоидальное напряжение).
Параметры осциллографа подобрать так, чтобы было удобно производить
измерения длительности и амплитуды. Изменить параметры сопротивления
источника сигналов, паразитной ёмкости и оценить характер их влияния на
выходной сигнал. Сделать выводы.
К пункту 6. Открыть файл П6 (рис. 5.13), получить осциллограммы входного
и выходного сигналов для трёх режимов функционального генератора
(прямоугольные импульсы, треугольные и синусоидальное напряжение). Оценить
время установления выходного сигнала.
Рис. 5.12
Рис. 5.13
К пункту 7. Открыть файл П7 (рис. 5.14), запустить программу
моделирования EWB, получить амплитудно-частотную характеристику цепи и
осциллограммы входного и выходного сигналов. Исследовать влияние
сопротивления источника сигналов и сопротивления нагрузки на форму сигналов.
Оценить искажения путем измерений длительности импульсов и длительности
фронтов, сделать выводы.
69
Рис. 5.14
Контрольные вопросы
1. Обьяснить принцип действия дифференцирующей цепи. Каково влияние
внутреннего сопротивления источника сигнала, паразитной ёмкости на форму
выходных импульсов?
2. Обьяснить принцип действия интегрирующей цепи.
3. Каким образом в этих цепях повышают точность дифференцирования и
интегрирования?
4. Привести примеры конкретного использования этих цепей в электронике и
схемотехнике.
5. Почему дифференцирующие и интегрирующие цепи называют ещё
соответственно укорачивающими и расширяющими?
6. Каким фильтрам сигналов соответствуют дифференцирующие и
интегрирующие цепи?
70
5.3. Лабораторная работа №3
Исследование переходных процессов в цепях второго порядка
Общие сведения
Для цепи, состоящей из последовательно соединённых
резистора,
конденсатора и катушки индуктивности, получаем дифференциальное уравнение
второго порядка. Характер свободного процесса зависит только от параметров
цепи, т.е. от вида корней характеристического уравнения
p 2 + R Lp + 1 LC = 0 .
Так как эти корни определяются равенством p1, 2 = − R 2 L ± R 4 L − 1 LC ,
то характер свободного процесса зависит от знака подкоренного выражения,
который и определяет, будут ли корни вещественными или комплексными.
2
2
Если R 4 L > 1 LC или R > 2 L C , то имеет место апериодический характер
свободного процесса. При этом конденсатор разряжается до нуля, т.е. не
происходит перезарядки конденсатора. С энергетической точки зрения это
означает, что при разряде конденсатора отдаваемая им энергия лишь в малой доле
переходит в энергию магнитного поля катушки, а большая её часть поглощается в
резисторе. Начиная с некоторого момента времени, в тепло переходит не только
оставшаяся энергия электрического поля конденсатора, но и энергия, которая
запаслась в магнитном поле катушки. Напряжение на конденсаторе монотонно
уменьшается с некоторого начального значения, а ток, возрастая от нуля,
достигает максимума, а затем также уменьшается. Напряжение на катушке
индуктивности изменяется от некоторого отрицательного значения, затем
проходит через нуль, когда ток максимален, и возрастает до некоторого
положительного максимума, после чего стремится к нулю. Пока ток
алгебраически уменьшается, ЭДС самоиндукции, поддерживая его, будет по
закону Ленца положительной, а напряжение на индуктивности отрицательным.
Когда ток алгебраически начинает возрастать, ЭДС самоиндукции
противодействует ему и будет отрицательной, а напряжение на катушке
положительным. Предельный случай апериодического процесса получается, если
корни вещественны и равны. Кривые изменения токов и напряжений в контуре
при этом по форме не изменяются.
2
2
Если корни уравнения становятся комплексными и сопряженными, разряд
будет колебательным. Ток и напряжение на конденсаторе и катушке
индуктивности представляются затухающими синусоидальными функциями с
угловой частотой собственных колебаний
ωс = ω0 2 − β 2
и
коэффициентом затухания β = R 2 L . Ток в контуре опережает по фазе
напряжение на конденсаторе на угол ϕ и отстает от напряжения на катушке
71
индуктивности на тот же угол. Добротность колебательного контура определяется
как
Q = ρ R , где ρ =
LC
- характеристическое сопротивление контура.
Цель
работы: исследовать процессы разряда конденсатора на катушку
индуктивности при отсутствии потерь в колебательном контуре, при высокой и
низкой добротностях контура.
Задание
1. Рассчитать временные зависимости напряжения на конденсаторе uC и тока iC
через него при переключении реле времени в идеальном колебательном контуре
(рис. 5.15).
2. Получить осциллограммы uC и iC , по ним определить величины T0 и p ,
сравнить с расчетными значениями.
3. Рассчитать энергию в конденсаторе WC и энергию в катушке индуктивности
WL для моментов времени t=0, To/8, To/4, 3To/8, To/2, 5To/8, 3To/4, 7To/8, To.
4. Получить осциллограммы WC и WL , по ним определить экспериментальные
значения энергий в указанные моменты времени, сравнить с расчётными
значениями (рис.5.16).
5. Рассчитать временные зависимости напряжения на конденсаторе uC и тока iC
через него при переключении реле времени в колебательном контуре с высокой
добротностью (рис.5.17), рассчитать параметры ωс и
β.
6. Получить осциллограммы uC и iC , по ним определить величины ωс и β ,
сравнить с расчётными значениями.
7. Рассчитать энергию в конденсаторе WC и энергию в катушке индуктивности
WL для моментов времени t=0,Tсв/8,Tсв/4,3Tсв/8, Tсв/2, 5Tсв/8, 3Tсв/4, 7Tсв/8, Tсв.
8. Получить осциллограммы WC и WL , по ним определить экспериментальные
значения энергий в указанные моменты времени, сравнить с расчётными
значениями (рис.5.18).
9. Рассчитать временные зависимости напряжения на конденсаторе uC и тока iC
через него при переключении реле времени в колебательном контуре с низкой
добротностью (рис.5.19), рассчитать параметры p1 и p2 .
10. Получить осциллограммы тока iC конденсатора при его разряде на
RL-цепь
и тока iL через катушку индуктивности при подсоединении её через резистор к
источнику ЭДС, равной начальному напряжению на конденсаторе.
72
Методические указания
К пункту 1. Открыть файл П8 (рис.5.15), установить заданные параметры схемы,
вычислить uC = U C 0 cos ω0t , i = − U C 0 ρ ⋅ sin ω0t , где ρ = L C .
Рис. 5.15
К пункту 2. Запустить программу моделирования EWB, используя
расширенную модель осциллографа, измерить период To сигнала, амплитуду тока
и амплитуду напряжения на конденсаторе (рис.5.16). Определить
ρ=
Uc
.
Ic
К пункту 3. Для расчета энергий воспользоваться известными выражениями:
CU 2
LI 2
и WL =
, где U, I - установившиеся значения тока и напряжения
WC =
2
2
в соответствующие моменты времени.
Рис. 5.16
73
К пункту 4. Открыть файл П11 (рис.5.17), получить осциллограммы энергий,
по ним определить конкретные значения WC и WL , в заданные моменты времени.
Рис. 5.17
К пункту 5. Открыть файл П9 (рис.5.18).
Переходный процесс при подключении заряженного
последовательной RL-цепочке отображается уравнением
конденсатора
к
d 2i
di
LC 2 + RC + i = 0 , где i - ток в контуре.
dt
dt
Корни
его
характеристического
уравнения
p1, 2 = − β ± j β 2 − ω 02 = − β ± jω с ,
ω с = ω 02 − β 2
2π
Tс =
ωс ,
где
- частота свободных (собственных) колебаний, период
R
1
коэффициент затухания β =
, резонансная частота ω0 =
.
2L
LC
74
Рис. 5.18
Решение уравнения получают в виде
i=−
U c0 − β t
ω
ω
e sin ωсt , u C = 0 U C 0 e − β t sin(ω с t + ϕ ) , где ϕ = arctg с .
ωс L
ωc
β
К пункту 6. Запустить программу моделирования EWB, получить
осциллограммы тока и напряжения, определить путем измерения Tс и β
(рис.5.19).
Рис. 5.19
75
Для определения β необходимо измерить фазовый сдвиг ϕ между током и
2π
β
=
напряжением, а затем вычислить
Tс tgϕ .
К пункту 7. Открыть файл П10 (рис.5.20).
К пункту 8. Выполнить действия, аналогичные действиям пункта 4.
К пункту 9. При разряде конденсатора на катушку индуктивности (рис.5.21)
процесс имеет апериодический характер. Корни характеристического уравнения
являются действительными и вычисляются из выражения
2
p1, 2 = − β ± ω с , где ω с = β −
1
LC .
Рис. 5.20
U c0
U c0
p1t
p2t
i
=
(
e
−
e
)
u
=
( p 2 e p1t − p1e p2t ) . Постоянные времени
C
,
Тогда
2ω с L
2ω с
1 p1 = L R (для нижней схемы) и 1 p2 = RC (для верхней правой схемы).
К пункту 10. Открыть файл П11, запустить программу моделирования EWB,
получить осциллограммы i при разряде конденсатора на RL-цепь и на резистор с
сопротивлением R
76
Рис. 5.21
Контрольные вопросы
1. Какие характерные точки можно выделить на осциллограммах мгновенных
значений энергии в катушке и конденсаторе при разряде конденсатора на
идеальную катушку индуктивности?
2. Как происходит обмен энергией между компонентами схемы при переходном
процессе в отсутствие потерь?
3. Какими величинами характеризуется затухание тока при колебательном
переходном процессе?
4. От чего зависит добротность колебательного контура?
5. Сравнить форму кривых тока и напряжения при апериодическом переходном
процессе с соответствующими кривыми для RL и RC-цепей.
6. Привести примеры конкретного использования
апериодического разрядов в контуре в схемотехнике.
колебательного
и
77
5.4. Основные рекомендации по применению программы EWB-5.12
Для сборки схемы необходимо открыть системное меню щелчком мыши
(левая кнопка) на пиктограмме File (файл). В окне этого меню следующим
щелчком выбрать команду New (создать новую схему). На экране открывается
рабочее поле, на котором можно создавать схему и перемещать ее линейками
вертикальной и горизонтальной прокрутки. Затем выбирается необходимый
элемент из поля компонентов щелчком левой кнопки мыши на второй линейке
пиктограмм. Таким образом, можно открыть панели источников различных
сигналов, пассивных и активных электрорадиоэлементов (ЭРЭ), измерительных
приборов и т.д. Выбрав нужный ЭРЭ и не отпуская левой кнопки, перемещают
его на рабочее поле в удобное место. После отпускания кнопки на элементе
появляется номинал (по умолчанию, например, 1к), и он выделяется красным
цветом. Подведя курсор на выделенный элемент и щёлкнув правой кнопкой
мыши, открывают окно команд, с помощью которых можно удалить его (Gutэлемент удаляется в буфер, Delete –элемент удаляется совсем), повернуть на
90ο(Rotate). Для изменения номинала ЭРЭ нужно дважды щёлкнуть по
выделенному элементу левой кнопкой мыши. Тогда откроется новое окно, в
котором устанавливаются необходимые параметры (Value) выбранного элемента.
Набор параметров осуществляют с клавиатуры, используют также мышь, после
чего левой кнопкой щёлкают по клавише ОК. Разместив все необходимые
элементы, источники на рабочем поле, соединяют их проводниками. Для этого к
выводу компонента подводят указатель мыши. На нем должна появиться большая
черная точка. Не отпуская левой кнопки по прямой линии соединяют эту точку с
такой же точкой другого компонента. Программа сама изменит траекторию
соединения по кратчайшему пути. После соединения проводник можно
переместить, вновь нажав левую кнопку и двигая мышь в нужную сторону.
Удалить проводник можно, нажав правую кнопку, командой Delete. Если в одной
точке соединяются несколько проводников, используют дополнительную точку из
панели пассивных компонентов, перемещая ее левой кнопкой в нажатом
состоянии в нужное место. В процессе рисования схемы возможны разрывы
между элементами и проводниками, которые выявляются путем выделения
элемента (красный цвет) и его смещения с помощью нажатой левой кнопки в
сторону. После того как схема нарисована, подключают измерительные приборы
в выбранные точки схемы. Открыв панель приборов, перемещают выбранный
прибор на рабочее поле. Дважды щёлкнув по нему левой кнопкой, задают режим
измерения: постоянный ток или напряжение - DC, переменный - АС. Для
вольтметра важным параметром является входное сопротивление (по умолчанию
1 Мом), для амперметра - сопротивление измерительной головки (по умолчанию 1
мОм). У этих приборов выделенная толстой линией сторона прямоугольника,
изображающая прибор, соответствует отрицательной клемме. Вольтметр
подсоединяют в нужные точки схемы проводниками, как и обычный компонент, а
амперметр можно наводить непосредственно на проводник, и он автоматически
включается в схему так, как это необходимо. Как и обычный ЭРЭ, любой прибор
°
можно повернуть на 90 . По окончании сборки схемы включают режим измерения
78
специальной кнопкой (0/1), расположенной в правом верхнем углу монитора. На
приборах высветятся показания, которые можно зафиксировать нажатием кнопки
«пауза» или “0”. Для сохранения схемы и результатов измерений необходимо
войти в режим File и выбрать команду Save as (сохранить как) и присвоить имя
этому файлу. При использовании источников переменного напряжения
необходимо указывать действующее значение напряжения, частоту и фазу,
выделяя источник красным цветом и дважды щёлкая по нему мышью. Если по
заданию фаза имеет знак “минус”, нужно пересчитать её 360ο- ψ и указать её
новое значение в параметрах. Для просмотра временных режимов можно
подключить к выбранным точкам осциллограф, переместив его с панели
инструментов на рабочее поле. Дважды щёлкнув по нему левой кнопкой, можно
увеличить его для последующей настройки. Он является двуканальным (канал А и
канал В), настраивается с помощью левой кнопки мыши, как и обычный
осциллограф. Цвет луча задаётся пользователем правой кнопкой мыши командой
Wire Properties и выбирается из таблицы командой ОК. Верхнюю правую клемму
осциллографа необходимо заземлять. Для выполнения моделирования
необходимо в меню Circuit указать команду Show Nodes и щёлкнуть мышью по
кнопке ОК. На схеме появятся номера узлов, доступных для анализа. После этого
в меню Analysis выбрать режим: Transient (расчёт переходных процессов), AC
Freguency (расчет частотных характеристик), Fourier (спектральный анализ). Задав
параметры моделирования в диалоговом окне, получают графики выбранных
режимов в указанных точках схемы. По графикам можно определять конкретные
результаты моделирования. Путем настройки приборов изменяют их шкалы в
зависимости от диапазона измерений, задают вид входных воздействий.
Возможности программы позволяют одновременно наблюдать несколько кривых
на графике, отображать их различными цветами, изменять координаты точек на
графике, импортировать данные в графический редактор для преобразования
рисунков.
Методика проведения измерений с помощью осциллографа следующая. Для
того чтобы наблюдать за процессом, необходимо настроить
Рис. 5.22
79
осциллограф, как реальный прибор. Пусть необходимо исследовать переходный
процесс в RC-цепи с параметрами, приведёнными на рис. 5.22, при включении её
на источник переменного напряжения с частотой 2 кГц.
При этом необходимо измерить максимальное напряжение на резисторе на
третьем периоде тока и начальную точку пересечения тока с осью абсцисс на этом
периоде. Для решения задачи подключают вход канала В к незаземлённому
выводу конденсатора, верхний правый вывод осциллографа заземляют. Учитывая,
что период при частоте 2кГц составляет 0.5 мс, выбирают цену деления такой,
чтобы период составлял примерно 2 клетки. Для этого в поле TIME BASE
устанавливают значение этого параметра 0.2 мс/дел. Далее в системном меню
выбирают пункт Analysis Options. В разделе INSTRUMENTS этого меню задаем
режим «Pause after each screen » (пауза после каждого экрана). В этом же разделе
выберем необходимое количество расчётных точек на цикл. Проще всего это
делать в автоматическом режиме, щёлкнув мышью по строке Generate time steps
automatically. Кроме того, увеличивают для канала В размах кривой напряжения
на экране осциллографа. В результате после запуска схемы получают картинку,
удобную для измерения максимума напряжения на третьем периоде и точки
пересечения с осью абсцисс в начале этого периода (рис. 5.23).
Рис. 5.23
В программе EWB предусмотрена также модель цифрового запоминающего
осциллографа. Она вызывается щелчком мыши на панели Oscilloscope по кнопке
Expand. На лицевой панели расширенной модели имеется 3 дополнительных
табло. Величины, отображаемые на них, обозначают:
Т1 - время, соответствующее позиции первого курсора;
VA1 - напряжение на входе А в этой позиции;
VB1 - напряжение на входе В в этой позиции;
T2 - время, соответствующее позиции второго курсора;
80
VA2 - напряжение на входе А в этой позиции;
VB2 - напряжение на входе В в этой позиции.
Третье
табло
показывает
непосредственно
разность
величин,
соответствующих позициям указанных курсоров. Таким образом, подведя курсор
к соответствующей точке, можно непосредственно считать с табло мгновенное
значение напряжения и момент времени. Поскольку цифровые осциллографы
хранят в памяти информацию для всего измеренного ряда мгновенных значений,
этапы снятия и обработки данных в них могут быть разделены. Линейка
прокрутки внизу экрана позволяет сдвигать картинку от конца процесса до самого
начала, прослеживая в нужном временном масштабе и проводя необходимые
измерения параметров.
Для измерения более двух параметров с помощью осциллографа можно
входе. Для измерения
использовать коммутатор, устанавливаемый на
мгновенных значений тока в цепь последовательно включают вход источника
напряжения, управляемого током, заземлив один из его выходов, а второй
подключив к осциллографу. Для измерения мгновенных значений мощности
используют умножитель, позволяющий получить на выходе сигнал, равный
произведению двух входных напряжений. Подав на входы этого компонента
напряжения, пропорциональные току и напряжению, подключив выход к
осциллографу, можно получить осциллограмму мгновенной мощности. Энергию,
запасаемую в конденсаторе или в катушке индуктивности, измеряют также с
помощью умножителя. Тогда сигнал подают на оба входа умножителя
одновременно, а коэффициент передачи устанавливают в зависимости от
элемента анализа. Для конденсатора коэффициент выбирают как C , а для
2
катушки как L . В результате сигнал на выходе умножителя будет равен
2
величине энергии в соответствующем элементе.
81
Библиографический список
Учебники
1. Бессонов, Л. А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи
[Текст]: учеб. / Л. А. Бессонов. - 10-е изд., перераб. и доп. – М.: Гардарики, 2001. –
638с.: ил.
2. Матханов, П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи [Текст]:
учеб. / П. Н. Матханов. - 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1990 – 399с.
3. Основы теории цепей [Текст]: учеб. / Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В.
Нетушил, С. В. Страхов.- 5-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1989 – 528с.:
ил.
4. Попов, В. П. Основы теории цепей [Текст]: учеб. / В. П. Попов - 4-е изд., испр.
- М.: Высш. шк., 2003 – 575с.: ил.
5. Гусев, В. Г. Электроника и микропроцессорная техника [Текст]: учеб. / В. Г.
Гусев, Ю. М. Гусев. - 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2004. – 790с.: ил.
Учебные пособия
6. Теория электрических цепей [Текст]: метод. указания. Специальности 2009,
2015 / ВятГУ, ФПМТ, каф. РЭС; Сост. Е. И. Домрачев. – Киров, 2003. – 30с.
7. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы [Текст]: учеб. / С. В.
Баскаков. - 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2003. – 462с.: ил.
8. Домрачев, Е. И. Одиночные усилительные каскады [Текст]: учеб. пособие / Е.
И. Домрачев, Е. В. Медведева; ВятГТУ, ФПМТ, каф. РЭС. - Киров, 2001. – 54с.:
ил.
9. Панфилов, Д.И. Электротехника и электроника в экспериментах и упражнениях
[Текст]: практикум на Electronics Workbench: в 2 т. Т.1. Электротехника / Д. И.
Панфилов, С. В. Иванов, И. Н. Чепурин. - М.: ДОДЭКА, 1999.
Задачники
10. Шебес, М. Р. Задачник по теории линейных электрических цепей [Текст]:
учеб. пособие / М. Р. Шебес, М. В. Каблукова - 4-е изд., перераб. и доп. – М.:
Высш. шк., 1990. – 544с.: ил.
11. Сто тридцать задач по основам теории цепей [Текст]: дисциплина “Основы
электроники и электронные устройства”. Специальность 2205, курсы 2, 3, д/о, в/о
/ КирПИ, ФАВТ, каф. КП ЭВА; Сост. Е. И. Домрачев. – Киров, 1992. – 40с.
12. Задания на расчётно- графическую и курсовую работы по дисциплине
“Основы теории цепей” [Текст]: метод. указания для студентов спец. 201500,
200900, 201800 2 к., д/о / ВятГУ, ФПМТ, каф. РЭС; сост. Е. И. Домрачев. – Киров,
2005.
Справочники
13. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и у чащихся
втузов [Текст] / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев – 13-е изд., испр. – М.: Наука,
1986. – 544с.: ил.
Учебное издание
Домрачев Евгений Иванович
Корепанов Александр Гаврилович
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Учебное пособие
i
i(t )
S
t=0
S
+
R
R
U
u (t )
C
uC (t )
e
L