/
Tags: физика квантовая теория поля квантовая физика теория групп
Year: 1977
Text
Ю.Б.РУМЕР, А.И.ФЕТ
ТЕОРИЯ ГРУПП
И КВАНТОВАННЫЕ
ПОЛЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
iD-7'H фИЗИКО-МАТЕД1АТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1977
P. 86
530.1
УДК 530.145
Теория групп и квантованные поля. Ю. Б. Р у м е р,
А. И. Ф е т, Главная редакция физико-математиче-
физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1977,
248 стр.
Книга содержит введение в кинематику кванто-
квантованных полей и некоторые общие результаты,
вытекающие из теоретико-группового подхода. Из-
Изложение основано на сшшорпой алгебре, системати-
систематически изложенной в первой части книги. Под-
Подчеркнута связь между динамическими уравне-
уравнениями и неприводимыми представлениями группы
Пуанкаре. Во второй части, после сжатого изложе-
изложения математической схемы квантовой теории поля,
выводится теорема Вайнберга о связи операторов
поля с операторами рождения и уничтожения
частиц, откуда естественно получаются неприводи-
неприводимые представления Вигпера в пространстве состоя-
состояний системы, групповые определения спина и
спиралыюсти и общие теоремы о возможных кван-
квантованных нолях.
Библ. 1С назв., илл. 3.
20402-134 © Главная редакция
1 ~~ ~—~— lit)-// физико-математической литературы
053 @2)-/7 издательства «Паука», 1977
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Часть I. Спинорная алгебра 9
§ 1. Группа Лоренца 9
§ 2. Группа Пуанкаре 25
§ 3. Спиноры и бинарная группа 33
§ 4. Спин-тензоры 55
§ 5. Накрытие группы Лоренца 67
§ 6. Биспипоры Дирака 80
§ 7. Простейшие спинорные поля и уравнения ... 98
§ 8. Алгебры Ли 120
§ 9. Система неприводимых представлений бинар-
бинарной группы и группы Лоренца. 134
Часть II. Квантованные поля 151
§ 10. Операторы теории поля 151
§ 11. Преобразования Фурье квантованных полей . . 178
§ 12. Теорема Вайнберга о связи полей с частицами 186
§ 13. Теорема Паули о связи спйпа со статистикой 196
§ 14. Представления Вигнера для массивных полей 200
§ 15. Спин и спиральность 206
§ 16. Общие ноля для массивных частиц 214
§ 17. Малые группы Вигнера и представления
группы Пуанкаре 221
§ 18. Безмассовые частицы 230
§ 19. Безмассовые поля 236
§ 20. Дискретные преобразования квантованных
полей 241
Приложения 243
Литература 245
Предметный указатель 246
ПРЕДИСЛОВИЕ
Как известно, с каждым видом частиц в квантовой
теории связывается ноле, квантами которого называются
эти частицы. Эти два способа описания физической
действительности связаны между собой, грубо говоря,
преобразованием Фурье.
Частицы (и соответствующие им античастицы)
должны быть описаны с помощью формализма, в ко-
котором их число может меняться; состояния такой си-
системы частиц изображаются векторами пространства
Фока, которое порождается из фиксированного вектора
вакуумного состояния действием операторов рождения
и уничтожения. По самому смыслу этих операторов
они подчиняются простым перестановочным соотноше-
соотношениям, различным для бозонов и фермионов. Из этих
операторов, зависящих от импульса и поляризации
(проекции спина), в конкретных случаях конструи-
конструируются квантованные поля, причем обычно исполь-
используются соображения, подсказываемые соответствую-
соответствующим лагранжевым формализмом. Поля эти суть
векторные функции с операторными значениями, опре-
определенные на пространстве Мипковского и просто пре-
преобразующиеся под действием группы Пуанкаре.
Закон преобразования векторов состояния, т. е.
описание представлений группы Пуанкаре на прост-
пространстве Фока, был найден Вигнером в 1939 г. в резуль-
результате глубокого математического исследования. Равно-
Равносильные ему правила преобразования операторов рож-
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
депия и уничтожения довольно сложны и вошли в оби-
обиход теоретической физики не сразу. Работа Вигнера [7]
и последовавшие за пей работы аналогичного содер-
содержания и до сих пор остаются труднодоступными
для физиков и известны значительно меньше, чем
этого заслуживает их научное значение.
Важные применения группового подхода к кванто-
квантованным полям были сделаны в 1964 г. Вайпбергом.
Определяя частицу по Вигнеру с помощью неприводи-
неприводимого унитарного представления группы Пуанкаре,
поле же — с помощью «полевого» представления той же
группы, заданного некоторым конечномерным пред-
представлением группы Лоренца, действующим на компо-
компоненты поля, Вайпберг установил простое и общее
соотношение между операторами рождения (уничтоже-
(уничтожения) и операторами поля. Соотношение это сводится
к линейному преобразованию, коэффициенты которого
зависят от импульса, и к преобразованию Фурье.
Из этого общего определения связи между полями
и частицами вытекает ряд замечательных следствий.
Сразу же, без всякого использования динамических
уравнений, находятся известные выражения электро-
электромагнитного, электронно-позитронпого, нейтринного по-
полей через операторы рождения и уничтожения их
квантов. Обнаруживаются ограничения на возможные
типы полей в зависимости от спина их квантов, осо-
особенно интересные в случае безмассовых частиц.
Далее такой подход позволяет с новой точки зре-
зрения понять и «уравнения движения» для свободных
частиц. Оказывается, что требование неприводимости
поля по отношению к группе Пуанкаре (включая
в некоторых важных случаях пространственное отра-
отражение) естественно приводит к уравнению Дирака
для электрона, Вейля для нейтрино, Максвелла для
6 ПРЕДИСЛОВИЕ
фотона. Каждое из этих уравнений в рамках развитой
«групповой кинематики» квантованных полей пред-
представляет собой, по выражению Вайнберга, «простое
признание того факта, что поле имеет излишние ком-
компоненты». Попутно получается и знаменитая теорема
Паули о связи спина со статистикой.
Работы [5, а—г] изложены весьма сжато; в них
не приняты во внимание упрощения, возникающие
при замене группы Лоренца двулистной накрывающей
SL B), как ото делается в спинорной алгебре. Но
самым существенным препятствием для ознакомления
с указанными работами начинающих (а может быть,
и не только начинающих) физиков является способ
построения, при котором с самого начала вводятся
бесконечномерные унитарные представления группы
Пуанкаре со ссылкой на упомянутую работу Вигнера.
Результаты этого трудного математического исследо-
исследования в их готовом виде не кажутся нам наилучшим
подходом к рассматриваемому кругу вопросов. По-
Поэтому мы попытались изложить те же результаты в об-
обратном порядке, отправляясь от хорошо известных
свойств квантованных полей. Простой закон их пре-
преобразования при замене наблюдателя позволяет одно-
однозначно выразить квантованные поля через операторы
рождения и уничтожения без использования не только
динамических уравнений, по и представлений Виг-
Вигнера. Более того, такой подход естественно приводит
к этим представлениям.
Систематическое применение спипорной алгебры
неизбежно потребовало начать книгу с ее элементар-
элементарного изложения; это показалось пам тем более жела-
желательным, что такое изложение давно не появлялось
на русском языке (книга [12] уже стала библиографи-
библиографической редкостью).
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
Первая часть предлагаемой книги представляет
собой введение в спинорную алгебру, не предполагаю-
предполагающее у читателя никаких сведений о группах; все необ-
необходимое излагается по мере надобности, так что физик,
не владеющий групповыми методами, найдет здесь
простейшие нримеры их применения.
Изложение спинорной алгебры, по существу сле-
следующее классическим работам Ван дер Вардена, не-
несколько приближено к современному математическому
стилю; спинорная алгебра трактуется при этом как
частный случай тензорной алгебры над комплексным
векторным пространством в последовательно прове-
проведенных тензорных обозначениях. В первой части книги
от читателя требуются лишь простейшие сведения
о линейной алгебре и тензорах.
Для чтения второй части необходимо знание основ-
основных принципов кваптовж механики систем с конечным
числом степеней свободы, а также некоторое зна-
знакомство с применением квантованных полей в кванто-
квантовой электродинамике. Все нужные нам свойства кван-
квантованных полей перечислены и кратко разъяснены;
однако более глубокое понимание их, связанное с их
ролью в динамике, в рамках этой книги не может
быть достигнуто. Нам пришлось, в частности, отка-
отказаться от сколько-нибудь глубокой трактовки дискрет-
дискретных преобразований.
Естественно, мы не претендуем на сколько-нибудь
полный охват необъятного круга вопросов, связанных
с группой Пуанкаре, и ставим себе целью лишь ввести
читателя в эту область. Вычислительные методы раз-
развиты лишь настолько, насколько этого требует план
книги, и разобраны лишь немногие важнейшие примеры.
Во всех случаях мы добивались отчетливости изложе-
изложения, сознательно ограничивая себя в выборе материала.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Конечно, уровень математической строгости, ко-
которого мы придерживаемся, не может быть слишком
высоким. Все относящееся к группам и их предста-
представлениям отчетливо разъясняется, но почти ничего не
доказывается. Что же касается обобщенных функций,
то здесь у читателя предполагается пекоторый опыт
работы с ними, приобретаемый при изучении кванто-
квантовой механики; определения понятий лишь намечены.
Как мы надеемся, эта книга, вводящая читателя
независимо от лагранжева формализма в современную
кинематику квантованных полей, может послужить
полезной подготовкой для изучения их динамики.
Несколько трудов по квантовой теории поля и теории
групп, оказавших на авторов наибольшее влияние,
указаны в списке литературы [2—4, 6, 8—10].
Мы считаем приятным долгом выразить призна-
признательность коллегам, проявившим интерес к этой книге:
Л. Г. Карякину, внимательно прочитавшему большую
часть рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний,
а также А. 3. Паташинскому и Б. Г. Копопельченко,
с которыми обсуждались отдельные вопросы. Особо
нам хотелось бы отметить внимательное отношение
к книге рецензента Б. В. Медведева, критика которого
весьма содействовала ее улучшению.
Часть I
СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Группа Лоренца
Пространство Минковского. В соответствии с прин-
принципами специальной теории относительности простран-
ственпо-временнбе описание природы основывается на
понятии события. Любой наблюдатель воспринимает
событие как физическое явление, происходящее в «до-
«достаточно малой области пространства» и «в достаточно
малом промежутке времени». Однако самое разделе-
разделение «пространственного» и «временного» аспектов со-
события и, тем более, координатное описание «где» и
«когда» произошло событие, зависят от того, какой
наблюдатель его описывает. Чтобы выразить «абсо-
«абсолютный» характер событий, не зависящий от условий
их наблюдения, используется математическая абстрак-
абстракция пространства событий, предложенная Минков-
ским.
Каждому событию сопоставляется точка этого про-
пространства, рассматриваемая как индивидуальный ма-
математический объект, отличимый от всех других объек-
объектов этого рода. Сама по себе точка пространства
Минковского не обладает никакими численными ха-
характеристиками; координаты служат лишь способом
задания точек, принципиально неоднозначным, по-
поскольку ни один из таких способов не имеет преиму-
преимущества перед другими в общем построении теории
относительности. Такое «бескоординатное» понимание
точек характерно для современной концепции матема-
математического пространства и наилучшим образом соответ-
соответствует физическому пониманию событий. Будем обо-
обозначать пространство Мипковского через еМ, а точки
его через Р, Q, ...
10 Часть I, СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Предположим, что каждой упорядоченеюй паре то-
точек (Р, Q) пространства оМ поставлен в соответствие
объект, называемый вектором пространства оМ и обозначае-
обозначаемый через PQ. Если паре точек (Р, Q) и паре точек (R, S)
соответствует один и тот же вектор, это записывают
в виде ~PQ = RS.
Относительно векторов х, у, ... пространства <М
делаются допущения, определяющие геометрическую
структуру этого «пространства событий» и тем самым
имеющие важное физическое значение. Прежде всего,
предполагается, что векторы можно складывать и ум-
умножать на действительные числа А, р, ... с соблюде-
соблюдением обычных алгебраических требований:
A) (x-\-y)-\-z=x-\-(y-\-z) (ассоциативность сложения);
B) х-\-у=у-\-х (коммутативность сложения);
C) Существует вектор 0, для которого х-\-Ь—0;
D) \(
=1х-\-ул; A.1)
F) \{Va) = (kV)x;
G) \.х = х;
(8) 0-ж = 0 (в левой части — число нуль, в пра-
правой — нулевой вектор).
Эти требования объединяют формулировкой: векторы
пространства <М образуют (действительное) векторное
пространство.
Далее предполагается, что точки и векторы оМ свя-
связаны аксиомами Вейля:
A) Для каждой точки Р и каждого вектора х суще-
существует единственная точка Q, для которой PQ = x;
B) Если PQ = x, QR = y, то PR = x-\-y.
Предполагается, что размерность аМ (т. е. наиболь-
наибольшее число линейно независимых векторов СЖ) равна
четырем. Тем самым, все векторы оМ могут быть пред-
представлены в виде линейных комбинаций любых четырех
§ i. ГРУППА ЛОРЕНЦА И
линейно независимых векторов (е0, е15 ег, е3), соста-
составляющих базис векторов оМ-
Наконец, предполагается, что в аМ задано скалярное
произведение векторов, т. е. каждым двум векторам
х, у поставлено в соответствие действительное число
(х, у), причем соблюдаются следующие требования:
A) {Ix+py, z) = l{x, z) + p {у, z), где х, у,
z — векторы, \, ;х — числа;
B) (х, у) = (у, х) (симметричность произведе-
произведения);
C) В оЛ1 существуют векторы х, для которых
(х, х) ^> 0 (времениподобные векторы), и векторы у,
для которых (у, у) < 0 (пространственноподобные
векторы); существует трехмерная плоскость из
нространственноподобных векторов.
Образуя линейные комбинации ~кх-\-ру векторов
указанных видов, легко доказать существование век-
векторов z, для которых (z, z)==0; такие векторы назы-
называются изотропными и составляют световой конус.
Множество всех временинодобных векторов называют
временным конусом, а множество всех пространственно-
подобных — пространственным конусом 1).
Число
I(P, Q) = (PQ, PQ) A.2)
называется интервалом между точками (или собы-
событиями) Р, Q. Если это число положительно, интервал
называется времешшодобпым, если отрицательно —
пространственноподобным.
Можно доказать, что в оМ существуют псевдоорто-
иормированные базисы, т. е. базисы (е0, ех, ег, е3), для
которых
в*=1, е\ = е\ = е\ = ~\. A.3)
В дальнейшем мы будем пользоваться только такими
базисами, не оговаривая это каждый раз. Для каждого
вектора х можно построить его контравариантные
г) Этот термин встречается преимущественно в математи-
математической литературе.
12 Часть I. СШШОРНАЯ АЛГЕБРА
координаты х" относительно выбранного базиса (еа) —
коэффициенты разложения по этому базису
х = х\; A.4)
здесь, как и в дальнейшем, применяется правило Эйн-
Эйнштейна, согласно которому следует суммировать по
любому индексу, встречающемуся в произведении один
раз снизу и один раз сверху. Числа
*.= (*, О A.5)
называются ковариаитными координатами вектора х
относительно того же базиса *).
Скалярное произведение векторов х, у выражается
через их координаты
(х, г/)г=(Ла, у) = х"(у, еа),
откуда
(х, у) = хХ, A-6)
и аналогично, меняя местами х, у, имеем
(*, y) = xjf. A.7)
Чтобы выразить скалярное произведение через одни только
контравариаптные (или ковариантные) координаты, введем
«метрический тензор»
^=(е" ^ A.8,
?oo=1. Sn=g^ = g^=— 1. ?аз = ° (а^Р)-
Тогда
(х,у) = (х\, y%) = g^x«y? =
= х°у° — хУ — хУ — хУ. A.9)
Координаты обоих видов связаны соотношениями
ха = (х, ea) = gx/, A.10)
хо = х°, xkr=-xk (A = 1,2,3),
!) Оба названия связаны с поведением координат при за-
замене базиса, о чем будет речь ниже.
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА 13
поэтому, полагая
g" = l, g"=g* = g* = -l, ^3 = 0 (а=И=3), A.11)
находим
К У) = ga?xjj? = xQyQ — xtfi —¦ х2у, — х3у3. A.12)
Матрица (g) обратна матрице (ga0) и п то же время
совпадает с нею (последнее обстоятельств) связано с нсев-
доортонормированпостыо базиса).
Преобразования Лоренца. Закрепим в пространстве
Минковского точку О (начало отсчета) и рассмотрим
всевозможные преобразования Л этого пространства,
оставляющие неподвижной точку О и сохраняющие интер-
интервалы между точками:
ЦАР, AQ) = I(P, Q). A.13)
Такие преобразования называются преобразованиями Ло-
Лоренца1). Отождествляя точки Р с их радиусами-векто-
радиусами-векторами х = ОР, можно заменить записи вида Р! = АР
равносильными векторными записями х' = Ах, рассма-
рассматривая тем самым Л как преобразование векторов про-
пространства qM. Тогда A.13) принимает вид (Ах — Лг/,
Ах — Лг/) = (х — у, х — у), откуда ввиду симметричности
скалярного произведения получаем
(Ах, Ах) — 2 (Ля, Ау)-\-(Ау, Ау) =
~(х, х) — 2(х, у)-\-(у, у).
Полагая здесь у = 0, находим спачала (Ах, Ах) = (х, х),
и аналогично (Лг/, Лг/) = (у, у), откуда
(Ах, Ау) = (х, у). A.14)
Итак, преобразования Лоренца сохраняют скалярное
произведение. Обратно, из A.14) легко следует A.13),
так что мы получили определение, равносильное исход-
исходному. Можно доказать, что из A.14) следует линейность
г) Достаточно было бы потребовать непрерывности Л и со-
хранмгая светового конуса (если / (Р, (?)=0, то / (АР, AQ)=0),
откуда уже вытекает A.13).
14 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
преобразований Лоренца (как преобразований векторов
пространства аМ);
Л (Xs -f- ад) = )Лх |- аЛг/, A.15)
Подчеркнем, что мы рассматриваем здесь преобразо-
преобразования Лоренца с «активной» точки зрения, т. е. счи-
считаем, что они перев>дят каждый вектор о4{ в другой
(вообще говоря) вектор qM. E'ть иная, «пассивная»,
точка зрения, рассматривающая преобразования Ло-
Лоренца как правила пересчета координат произвольного
(одного и того же) вектора <М при переходе к другой
системе отсчета. Этим истолкованием мы займемся
ниже.
Чтобы выразить преобразования Лоренца в коор-
координатах, фиксируем базис (ej. Тогда имеем
выразим векторы е^ = Леа через исходные базисные век-
векторы:
е;=Л*в=Л?ер, A.16)
откуда
Нетрудно выразить преобразования Лоренца также
в ковариантных координатах; в силу A.14)
(х, О = (А*, ЛО = (*', А1е? = А1(х', вэ),
откуда
A.18)
Заметим, что роль матрицы (Л) = (Л?) в формулах
A.17), A.18) различна. Прежде всего, в A.17) она
служит для выражения новых координат через старые,
а в A.18) — обратно. Далее, в A.17) суммирование
производится по нижнему индексу, который мы будем
считать номером столбца, а в A.18) — по верхнему,
рассматриваемому как помер строки. В таких случаях
мы будем полагать, что при суммировании по номеру
столбца применяется матрица (Л), а при суммиро-
§ i. ГРУППА ЛОРЕНЦА 15
вании по номеру строки — транспонированная матри-
матрица (Af.
Любая из формул A.16)—A.18) задает пекоторое
(одно и то же во всех трех случаях) линейное преобра-
преобразование векторов х'=Лх; выясним, какие условия надо
наложить на матрицу (Л), чтобы Л было преобразова-
преобразованием Лоренца. В силу A.14) для этого необходимо и до-
достаточно, чтобы
(Ах, Ay) = ga} (Ax)" (Ayf = ^
было равно
для любых х, у, т. е.
Считая, как обычно, первый индекс g^ номером строки,
а второй номером столбца, можно записать это в матрич-
матричном виде (учитывая предыдущее соглашение о суммиро-
суммировании):
G = {A)TG(A). A.19)
В силу A.8) матрица (Л) задает преобразование Лоренца
в том и только том случае, когда
0 (а=И=р),
1 (а = р=О), A.20)
-1 (а = р=1, 2, 3).
Матрицы, удовлетворяющие условиям A.20), назы-
называются псевдоортогональными.
Заметим, что из A.19) и detG = —1 следует
dotA=±l; A.21)
з
далее из A.20) имеем (A»J = l -J- 2 (А?J, откуда
, *~1 A.22)
16 Часть I, СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Тем самым преобразования Лоренца разбиваются па
четыре класса, в зависимости от знаков dot Л и Aj>:
Л»>0, detA>0;
Л«>0, detA<0;
Л°<0, detA<0; [ '
Л»<0, dotA>0.
Важными примерами преобразований этих классов явля-
являются:
тождественное преобразование: 1х = х;
пространственное отражение: Р (ж, ?0) = (—х, х°);
обращение времени: Т (ж, х°) — (ж,—х°); ^
полное отражение в пространстве Мипковского:
РТ (х)=-х.
Таким образом, существуют преобразования всех
четырех классов. Как мы увидим ниже, преобразова-
преобразования каждого из этих классов образуют связное мно-
множество, т. е. могут быть переведены друг в друга не-
непрерывным изменением. Отсюда будет следовать, что
указанное разбиение па классы не зависит от выбора
базиса: в самом деле, поскольку условия A.23) сохра-
сохраняются при непрерывном изменении Л, каждый из
классов может быть охарактеризован как класс всех
тех преобразований Лоренца, которые могут быть
переведены непрерывным изменением в одно из четырех
фиксированных преобразований A.24).
Преобразования с dot Л ^> 0 называются собствен-
собственными, с Л° > 0 — ортохронными, с det Л > 0 и Л!} ^>
^> 0 — собственными ортохронными, или специальными.
Рассмотрим, в частности, преобразования, сохраняю-
сохраняющие две из координат, например х2, я3, и тем самым
действующие в плоскости векторов е0, е1. В этом случае
матрица (Л) имеет вид
л; о о\
А| О О
О 1 О
О 0 1/
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА 17
и для Ajjj (a, j3 = O, 1) остается решить уравнения A.20).
Общее решение их без труда выражается через гипер-
гиперболические функции, где 9- — произюлышй действитель-
действительный параметр:
либо
A» = ch&, A° = sha, AJ = sh-a, Ai = chd;
либо
A° = cha, A» = —sha, Aj = sha, Al = —cha,-
либо
A°=—cha, A° = sha, AJ = —sha, Al = ch&;
либо
A» = — cha, AJ = —sha, AJ = _sha, A' = —cha.
Отсюда получаем четыре вида преобразований:
x'o=+xocha-f-x1sha) x'°=±
принадлежащих четырем описанным выше классам. Для
преобразований первого класса (AJ ^> 0, det A > 0) поло-
положим
-=L=-) sha = 7^^-) x = ct, x = x;
V'l — v-lc* V'l — v-jc-
тогда мы приходим к известным простейшим формулам
для преобразовапий Лоренца:
x'=,x-vt , У= *-0Х1е% . A.26)
Групповое свойство преобразований Лоренца. Важ-
Важнейшее свойство преобразований Лоренца состоит в том,
что они образуют группух). Чтобы прийти к этому свой-
г) Это свойство, не замеченное Лоренцом и открытое Эйн-
Эйнштейном, означает, в частности, равноправие «прямого» пре-
преобразования Л п обратного ему Л, т. е, равноправие всех инер-
циальных систем отсчета, что и составляет «принцип относитель-
относительности».
2 Ю. Б. Румер, А, И. Фет
18 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
ству, выполним последовательно два преобразования Ло-
Лоренца, сначала М, затем Л:
х> = Мх, х" = Ах'.
Результат обоих преобразований обозначим через N,
Nx = x"; N есть также преобразование Лоренца, так как
(Nx, Щ) = (х", f) =
= (Ах>, Лу>) = (х', у>) = (Жх, Щ) = (х, у).
N называется произведением преобразований Лоренца Л,
М и обозначается ЛМ, причем справа записывается нре-
образовашге, выполняемое в первую очередь. В фикси-
фиксированном базисе (еа) матрица N является произведением
матриц (Л), (М):
если N = AM, то К* = Л«Мг. A.27)
Легко проверить, что введенное таким образом умно-
умножение ассоциативно, т. е. для любых трех преобразова-
преобразований Лоренца Л, М, N (как, впрочем, и для любых нре-
нреобразований)
(AM)N = A(MN). A.28)
(Конечно, коммутативный закоц здесь не выполняется,
т. е., вообще говоря, ЛМ=^МЛ.)
К числу преобразований Лоренца принадлежит тож-
тождественное преобразование 7, переводящее каждый Рек-
Ректор х в этот же вектор:
1х = х, A.29)
7— единичная матрица.
Для этого преобразования, и только для него,
Л7 = 7Л = Л при всех Л. A.30)
Наконец, для всякого преобразования Лоренца Л
в силу A.21) detA^O, так что существует (однозначно
определенное) обратное преобразование Л:
если Л-1Л = ЛЛ-1 = 7, то (Л^'Л^З;. A.31)
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА If)
Л~1 также оказывается преобразованием Ли]>енца, так
как из А^х — х', Аг1у = у' следует
(A-lx, A-hj)--=(x>, y') = (Ax', Л«/'):=
=--(ЛЛ-]Ж) АЛг1у) = (х, у).
Только что указанные свойства умножения преоб-
преобразований Лоренца прямо приводят пас к попятию
группы, общее определение которого состоит в следую-
следующем. Группой называется множество G элементов
любой природы g, gy, g,2, . . ., для которых введена
операция умножения, ставящая в соответствие каждой
упорядоченной паре элементов gu g2 элемент g того же
множества, называемый произведением g1 на g2 и обо-
обозначаемый ?i?2> причем выполнены следующие условия:
A) Igigz)gs=gi(g2gs) для любых gv g2, g3 (ассо-
(ассоциативность умножения);
B) существует единственный элемент I, для
которого gl=lg=g при всех g (существование еди-
единичного элемента);
C) для каждого g существует единственный эле-
элемент g~l, для которого g~1g=gg~1=I (существо-
(существование обратного элемента).
Из предыдущего яспо, что все преобразования
Лоренца с указанной операцией умножения образуют
группу. Эта группа обозначается через L и называется
полной группой Лоренца (в отличие от некоторых за-
заключенных в ней меньших групп (подгрупп), описывае-
описываемых ниже).
Вращения и бусты. Вернемся к первоначальному
определению преобразований Лоренца. Задание па-
чала отсчета О и базиса (еа) позволяет приписать каж-
каждой точке Р пространства Мипковского (и тем самым
каждому событию) пространственно-временные коор-
координаты (х°, х1, х2, х3) по формуле
ОР = х"еа. A.32)
Таким образом, О и (еа) задают систему отсчета. Та-
Такие системы отождествляются, при произвольном вы-
выборе точки О и псевдоортопормироваппого базиса
(ej, со всевозможными инерциальными системами
2*
20 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
отсчета в смысле специальной теории относительности.
Говорят, что наблюдатель покоится в данной системе
отсчета, если все моменты его жизни — события с од-
одними и теми же координатами х1, х2, х3 относительно
этой системы. Выбор системы отсчета означает, что
события рассматриваются с точки зрения наблюда-
наблюдателя, покоящегося в этой системе отсчета. С этой точки
зрения всевозможные линейные комбинации векторов
ev e2, е3 составляют «обычное» трехмерное пространство
К3, в котором скалярное произведение Минковского
(после перемены знака) задает евклидову геометрию:
—(х, х) ^ 0; векторы же, кратные е0, образуют «вре-
«временную ось». Конечно, такое разложение простран-
пространства Минковского на «пространственную» трехмерною
плоскость и «временную» прямую не имеет объектив-
объективного физического смысла; оно зависит от выбора си-
системы отсчета или, геометрически, системы координат
в оМ. Однако с помощью этого разложения удобно
исследовать строение группы Лоренца.
Заметим прежде всего, что преобразования Лоренца
Л, сохраняющие временную прямую и направление
времени, т. е. такие, что Аео=ео, переводят R3 в себя;
в самом деле, из (х, ео)=0 следует (Ах, Лео)=0, т. е. (Ах,
ео)=0. Тем самым, такие преобразования Лоренца
суть вращения евклидова пространства R3; мы будем
обозначать их буквами R, /?х, R', . . . Всевозмож-
Всевозможные такие вращения образуют группу, входящую как
часть в группу L, т. е. подгруппу L. Эта группа обозна-
обозначается О C) и называется (полной) группой вращений.
Вращения с определителем 1, т. е. переводящие базис
(ех, е%, е3) в базис R3 той же ориентации, называются
собственными вращениями и составляют подгруппу
О C), обозначаемую через SO C) *). Вращения с оп-
определителем —1 не составляют группы, так как их
произведение уже имеет определитель 1. Легко пока-
показать, что группа SO C) связна, т. е. каждое собственное
вращение можпо перевести в любое другое собственное
вращение непрерывным изменением. В самом деле,
х) Происхождение обозначений: О — Orthogonal, 50 — Spe-
Special Orthogonal.
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА 2l
но теореме Эйлера каждое собственное вращение, кроме
тождественного, имеет однозначно определенную ось
вращения п и угол вращения ф вокруг этой оси. Со-
Сохраняя п и уменьшая ср до нуля, можно перевести
каждое собственное вращение в тождественное, а за-
затем, обратной процедурой, в любое другое. Другая
часть группы О C), состоящая из несобственных вра-
вращений, не может быть связана с SO C) непрерывным
изменением, так как знак определителя det H при та-
таком изменении не меняется; однако и эта часть связна.
Чтобы в этом убедиться, заметим, что оператор нро-
странствепного отражения Р (см. A.24)) переводит
эту часть в SO C) и обратно, так как det (Pi?) — — det R.
Поэтому для несобственных вращений Rlt R2 доста-
достаточно непрерывным изменением перевести Pi?x в PR2,
а затем применить оператор Р ко всем промежуточным
вращениям.
Итак, О C) распадается на две компоненты связ-
связности, одаа из которых, содержащая тождественное
вращение /, есть SO C).
По отношению к заданному базису (точнее, к за-
заданному выбору временной оси, и, тем самым, про-
пространственной трехмерной плоскости R3) определяется
также другой тин преобразований Лоренца — бусти 1).
Пусть ё — произвольный ненулевой вектор из R3.
Собственное ортохрошюе иреобразование Лоренца, не
меняющее всех векторов, ортогональных плоскости
{е0, ё), называется бустом в этой плоскости.
Пусть Л — произвольное собственное ортохронное
преобразование Лоренца. Тогда, как мы покажем,
Л можно однозначным образом разложить в произ-
произведение буста и собственного вращения
A = BR. A.33)
В самом деле, пусть Аео=е'ц. Если е'0=е0, до-
достаточно взять B-—I, R=A. Случай Лео=—е0 исклю-
исключается, поскольку для ортохропного Л должно быть
!)' Boost (англ. разг.) — подталкивание, разгонка. В прош-
прошлом «бусты» назывались «преобразованиями Лоренца в узком
смысле». Мы применяем, не без колебания, термин, уже утвер-
утвердившийся в журцальпой литературе.
21 Часть I. СПИПОРНАЯ АЛГЕБРА
{Ае0, ео)~Ag ;> 0. Если е'0^+е0, то векторы ё0) е'п
линейно независимы и, следовательно, задают дву-
двумерную плоскость в оМ. Возьмем в этой плоскости век-
вектор ё, ортогональный е0, и примем его за базисный
вектор ех. Тогда имеем разложение е^Ае^це^, здесь
Х=(Ле0, е0) > 0 и {е'п, е/,)=(Ле0, Аео)=(ео, ео) = 1, откуд-ч
л2—fi2=l; следовательно, существует единственное зна-
значение #, для которого Х=сМ, n=sM. Обозначив
соответствующий буст из первой формулы A.25) (взя-
(взятой со знаком плюс) через В и иол ожив R—B^A,
имеем Re0=e0, так что R — вращение, и разложение
A.33) существует. Единственность его получается сле-
следующим образом. Если A—BR—BJli, то B^lB=R1R~1,
и В~[1В оказывается вращением: В[1Ве0—е0. Но тогда
Вео=В1ео, и вектор е'и для обоих бустов один и тот же,
откуда В=Ви а значит, и R=RV
Существует также однозначное разложение
A = RB. A.34)
Чтобы найти такое разложение, достаточно предста-
представить Л в виде B'R', откуда следует A.34), с R=R'~1,
В=В'~Х.
Заметим, что бусты не образуют группы: хотя для
каждого буста В обратное преобразование снова буст,
произведение двух бустов, вообще говоря, не является
бустом. Напомним еще раз, что самые понятия вращения
и буста зависят от выбора системы отсчета: само
по себе преобразование Лоренца не является пи тем,
пи другим, по данный наблюдатель может его рас-
рассматривать в некоторых случаях как вращение или
буст; другой же наблюдатель определит эти понятия
иначе.
Четыре компоненты связности. Группа Лоренца L
разбивается на четыре части следующим образом (ср.
A.21)—A.23)):
L\ состоит из Л, у которых detA= 1, Л°^>0;
Li A detA = —1, Л»>0;
Li Л detA = 1, Ag<0; (°Э)
Li Л delA = — 1,
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА 23
Очевидно, L\ и Ы вместе образуют подгруппу L*
группы Лоренца (именуемую ортохроииой группой,
т. е. сохраняющей направление времени). Это название
объясняется тем, что если системы отсчета (ej, (e'a) свя-
f)tf
заны преобразованием с Л*>0, то -тг>0, т. е. при
фиксированных х1, х2, х3 и t1 <^ t2 будет также t[ <^ t'v
Далее L\ и L\ вместе образуют подгруппу L+ группы
Лоренца (именуемую собственной группой Лоренца).
Общая часть L^ и Ьл, т. е. L\, называется специальной
группой Лоренца. Наконец, L\ и Li вместе образуют
ортохорную группу Лоренца Ьох).
Покажем, что каждая из частей A.35) группы Лоренца
связна. Для этого воспользуемся преобразованиями Р, Т
(см. A.24)). Так как Li=PLt, Ц = РТЦ, L± = TL$, до-
достаточно установить связность специальной подгруппы L*.
Для специального преобразования Лоренца Л имеем
разложение A.33), где буст В задается некоторым зна-
значением & (см. A.25)). Непрерывным изменением &
можно перевести этот буст в тождественное преобра-
преобразование I (&=0). Тогда Л перейдет во вращение R
с положительным определителем, как и Л. Остается
непрерывным изменением перевести R в I. Итак, спе-
специальные преобразования Л непрерывным изменением
переводятся в /, а тем самым и друг в друга.
Активное и пассивное истолкование преобразований
Лоренца. Мы определили преобразования Лоренца Л
как преобразования, переводящие векторы простран-
пространства Минковского в другие векторы; координатное
описание Л зависит от выбора базиса (еа), но само
преобразование существует независимо от базиса, по-
поскольку векторы аМ считаются индивидуальными объек-
объектами, имеющими независимый от способа описания
смысл.
Наряду с описанным «активным» истолкованием
имеется другое, исторически ему предшествовавшее
истолкование преобразований Лоренца — «пассивное».
Системой отсчета в пространстве Минковского оМ,
х) Этот термин означает: «сохраняющая знак объема». Име-
Имеется в виду знак определителя det \A1\, i, /—1, 2, 3.
24 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
как мы уже знаем, называется совокупность фиксиро-
фиксированной точки О (начала отсчета) и базиса (еа). Физи-
Физический смысл системы отсчета состоит в том, что каж-
каждому событию Р приписывается четыре координаты
Xх по уже указанному правилу A.32); иначе говоря,
задание системы отсчета означает указание определен-
определенного способа измерения пространственно-временных
координат 1). Такой способ измерения естественно при-
приписать наблюдателю, покоящемуся в этой системе
отсчета.
Переход к другой системе отсчета с началом О' и
базисом {e^j означает, что той же точке Р приписыва-
приписываются новые координаты х'л:
ОР = х"е'л. A.36)
Сравнивая это с A.32) и принимая во внимание A.16),
имеем
где а" — координаты «нового» начала О' в «старом»
базисе (еа).
При неизменном начале (О'=0) замена системы
отсчета задается, таким образом, преобразованием
Лоренца Л, переводящим еа в е'а (а=0, 1, 2, 3). Это
и есть «пассивное» истолкование преобразований Ло-
ренца. Если же меняется и начало отсчета, мы при-
приходим к «неоднородным преобразованиям Лоренца»
A.37), также составляющим группу. Эта группа, те-
теперь чаще именуемая группой Пуанкаре, рассматри-
рассматривается в § 2.
«Активная» и «пассивная» точки зрения математи-
математически равносильны, но в случае других групп, не свя-
связанных непосредственно с преобразованиями прост-
пространства-времени, исчезает связь между «пассивным»
х) В этой книге, опирающейся лишь па специальную тео-
теорию относительности, рассматриваются только инерциальные
системы отсчета в смысле этой теории. Следует отметить далее,
что неортозропные преобразования^Лорепца (изменяющие на-
направление времени) не могут быть связаны с переходом к
другому наблюдателю и нуждаются в ином физическом истол-
истолковании.
§ 2. ГРУППА ПУАНКАРЕ 25
истолкованием и позицией наблюдателя. Поэтому
в дальнейшем все преобразования, если не оговорено
противное, будут пониматься в активном смысле, т. е.
как преобразования векторов в другие векторы.
§ 2. Группа Пуанкаре
Определение группы. Мы определили группу Ло-
Лоренца как группу всех преобразований пространства
Минковского оМ, оставляющих неподвижной фикси-
фиксированную точку О и сохраняющих интервалы. Если
не требовать неподвижности какой-либо точки, мы
приходим к наиболее общим преобразованиям про-
пространства оМ, сохраняющим интервалы. Все такие
преобразования составляют группу, называемую груп-
группой Пуанкаре 1). Проверка групповых свойств не со-
составляет труда: если два преобразования сохраняют
интервалы между точками оМ, то их произведение,
т. е. результат их последовательного выполнения,
также сохраняет интервалы; тождественное преобра-
преобразование сохраняет интервалы и играет роль единицы
при умножении преобразований; наконец, обратное пре-
преобразование (существование которого можно вывести
из сохранения интервалов, или просто предположить,
если не углубляться в математику) также сохраняет
интервалы. Обозначим группу Пуанкаре через $".
Пространство Мипковского однородно по отноше-
отношению к группе Пуанкаре, т. е. все точки его равноправны,
что соответствует равноправию событий в теории от-
относительности. Мы можем, однако, закрепить неко-
некоторую точку О для удобства описапия преобразований
и изображать точки пространства еМ их радиусами-
векторами по отношению к этой точке:
х = ОР. B.1)
Тогда в группе <^° выделяется подгруппа всех преоб-
преобразований Л, сохраняющих неподвижной точку О;
согласно определению § 1, это группа Лоренца L.
J) В старой литературе эта группа называлась «неоднород-
«неоднородной группой Лоренца».
26 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Далее мы обнаруживаем в группе &Р подгруппу
сдвигов, или трансляций:
Гах = х + а, B.2)
где а — постоянный вектор. В самом деле (см. A.2)),
1(Тах, Тау) = (ТахТау, ТахТау) = (ху, ху) = 1(х,у).
Последовательное выполнение преобразования Ло-
Лоренца Л и сдвига Та приводит к преобразованию
х^Ах^-а, B.3)
принадлежащему группе Пуанкаре; докажем, что такой
вид имеют все преобразования группы. В самом деле,
если Г принадлежит^", положим а = ОГ(О); тогда Т_аГ
сохраняет не только интервалы, но и точку О и тем
самым является преобразованием Лоренца Л.; следова-
следовательно, Г = ТаА, т. е. Г имеет вид B.3). Обозначим
преобразованиеB.3) с помощью упорядоченной пары (я, Л).
Тогда умножение преобразований (a, A), (b, M) задается
соотношениями
xi^Mx + b, x" = Ax'-{-a,
откуда
х" = АМх-{-(АЬ ~{-а).
Тем самым произведение
(а, Л) F, Ж) = (АЬ + а, ЛМ). B.4)
Мы видим, что закон умножения в группе Пуапкаре
сводится к умножению в группе Лоренца и действию
этой группы в аМ. Из B.4) легко находится обратный
элемент:
(а, Л)-1 = (-Л-Ч Л""*). B.5)
В базисе (еа) преобразования группы Пуанкаре запи-
записываются неоднородными линейными уравнениями
я'а = Л^ + а\ B.6)
Подгруппа Лоренца L состоит из всех пар (О, Л),
подгруппа сдвигов оГ — из всех пар (а, I). Заметим,
§ 2. ГРУППА ПУАНКАРЕ 27
что of — абелева группа, т. е. сдвиги между собой пере-
перестановочны:';
(а, 1)(Ъ, 1) = (Ъ, 1)(а, 1)=Ца + Ь, I).
Четыре компоненты связности. Любое преобразова-
преобразование (а, Л) можно перевести в (О, Л) непрерывным умень-
уменьшением вектора а. Поэтому группа ^ имеет столько же
компонент связности, сколько и L. Обозначим компо-
компоненты, содержащие L\, LI, L\, Li, соответственно через
3°l ofl <ft 3°i.
Закон преобразования полей. Системы, описываемые
в пространстве-времени и играющие главную роль
в этой книге, — это поля. В этом параграфе речь бу-
будет о классических (ноквантованпых) полях. По опре-
определению, классическое поле есть вектор-функция с комп-
комплексными (в частных случаях — действительными) зна-
значениями, заданная в пространстве Минковского. Таким
образом, поле у=ф (х) сопоставляет каждой точке х
вектор некоторого векторного пространства V, раз-
размерность которого обозначим через пх). Выберем
в V базис из п независимых векторов vt, v2, . . . , vh;
тогда вектор-функция Ф (х) выражается через п ска-
скалярных" функций:
<?(*) = 2 Ф,(*К- B-7)
v=l
Поле чаще всего изображается в виде столбца из функ-
функций <Cv(;r), называемых компонентами поля.
В нашу задачу входит лишь описание возможных
полей, но пе их взаимодействий; поэтому все поля,
рассматриваемые в этой книге, относятся к категории
«свободных полей». Как уже было отмечено в преди-
предисловии, при описании взаимодействий вводятся те же
типы полей. Перечень всех возможных полей и их клас-
классификация определяются способом их преобразования
под действием группы Пуанкаре; точнее, самое понятие
поля неразрывно связано с определенными трансфор-
трансформационными свойствами, которые и будут главным
предметом дальнейшего изложения.
х) Подробнее о комплексных векторных пространствах
см. в §'3.
28 Часть I. СПИНОРНЛЯ АЛГЕБРА
Что значит «преобразовать поле» согласно некото-
некоторому преобразованию (а, А) из группы Пуанкаре?
Здесь опять можно придерживаться одной из двух
точек зрения, активной или пассивной. «Активная»
точка зрения состоит в том, что от данного поля пере-
переходят к другому по правилу, связанному с заданным
преобразованием Лоренца Л и заданным сдвигом а.
Если Л сводится к пространственному вращению R,
физический смысл правила состоит в том, что «источ-
«источники» поля в любой момент времени должны быть под-
подвергнуты вращению R и сдвигу а; если же Л является
бустом, то «источники» должны получить в любой мо-
момент времени добавочную составляющую скорости v,
соответствующую по величине и направлению этому
бусту (ср. A.26)). (Отсюда понятен и самый термин
«буст»). Конечно, при этом не имеется в виду факти-
фактически изменить движение «источников» поля, что при-
привело бы к не учитываемым здесь динамическим эффек-
эффектам; речь идет о формальном переходе к другой системе
«источников», движение которой определенным спосо-
способом связано с движением данной. Как мы увидим, ма-
математическое описание преобразования поля не тре-
требует каких-либо представлений о его «источниках»,
которые и не будут играть роли в дальнейшем.
Условно можпо говорить о «движениях» поля
в том же смысле, в каком рассматриваются движения
системы материальных точек в элементарной кипе-
матике, т. с. вне зависимости от причин, вызывающих
такие «движения». Таким образом, все относящееся
к трансформационным свойствам полей можно назвать
кинематикой полей. Ввиду фундаментального харак-
характера общей теории поля эта кинематика зависит только
от основной группы преобразований и, в известном
смысле, проще элементарной кинематики, где на си-
систему накладываются феноменологически заданные
«связи».
Пассивная точка зрения на преобразования полей
состоит в том, что одно и то же поле рассматривается
в другой системе отсчета. Ясно, что она равносильна
активной, так как отношение между «приведенным
в движение» полем и даппым наблюдателем то же.
§ 2. ГРУППА ПУАНКАРЕ 29
что между прежним полем и новым наблюдателем,
движущимся относительно первого со скоростью —v.
Поэтому всевозможные «состояния движения» данного
поля, как они представляются данному наблюдателю,
совпадают с восприятиями одного и того же «состоя-
«состояния движения», отмеченными всевозможными наблю-
наблюдателями. Этих простых соображений достаточно, чтобы
прийти к общему закону преобразования полой.
Предположим, что имеется две системы отсчета
соответственно с координатами х", х"*, «старая» и «но-
«новая». Пусть одно и то же поле описывается «старым»
наблюдателем функциями ф3 (х°, х1, х2, х3), а «новым» —
функциями <)/ (х0', х1', х2', х3'). Тогда значения 6^ (х)
полностью определяют значения ф^, (¦*"')> так как Фи~
зически х и х' соответствуют одному событию в про-
пространство-времени. Итак, ф^ (х') должны выражаться
через ф3(я). Простейшее возможное выражение — ли-
линейное, что соответствует опыту описания всех полей,
удовлетворяющих линейным динамическим уравне-
уравнениям: такие уравнения не могли бы сохранять свой
вид при нелинейных преобразованиях полей х).
Следовательно, при переходе от первого наблюда-
наблюдателя ко второму происходит преобразование описы-
описываемых ими полей по закону
«к, и=2 дли- B-8>
р
Обозначим через (Ь, М) преобразовапио пространства
аМ, соответствующее переходу от первой системы от-
отсчета ко второй. Предположим, что матрица D^
зависит лишь от преобразования Лоренца М, входя-
входящего в преобразовапио Пуанкаре х'=Мх-\-Ь, но но
от сдвига Ь, т. е. что сдвиг влияет лишь на аргументы
поля, но не вызывает преобразования его компонент.
Тогда зависимость D^ от (Ь, М) можно записать в
виде Daa [M]. При переходе от второй системы отсчета
г) Мы оставляем в стороне случай нелинейного («сильпого»)
гравитационного поля; это воле, стоящее в физике особняком,
вызывает особые трудпостп при попытках его «квантования».
30 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
к третьей, связанной со второй преобразованием (а, Л),
имеем
ф; (О=2^ [Л] <!>;(*').
ос
Сопоставляя обе формулы, получаем
С другой стороны, при непосредственном переходе
от первой системы к третьей находим
=•¦ 2 Я
Р
отсюда
Дт3[АМ] = 2/)тДЛ]Оа3[М]. B.9)
Это значит, что при перемножении преобразований
(а, Л), (Ь, М) соответствующие им матрицы D пере-
перемножаются в том же порядке. Как мы увидим, эта си-
ситуация имеет чрезвычайно важное значение для опи-
описания полей. Полагая, наконец, х'=Ах-\-а, имеем
о; (Ах + а) = S Da? [Л] 6р (х). B.10)
Подставим в эту формулу х вместо Ля-fa; тогда из
псе находятся компоненты преобразованных полей
в точке х:
Ф: (*) = 2 Я«з [А] % (А (я - а)). B.11)
Р
Таков закон преобразования полей, когда новая си-
система отсчета связана со старой преобразованием B.6).
Представления группы Пуанкаре. Свойства матриц
D [Л], задающих преобразования компонент поля,
составляют частный случай важного алгебраического
понятия представления группы. Как мы видели, за-
задание преобразования Лоренца Л определяет матрицу
D(A), т. е. преобразование в векторном пространстве
поля V. Эта ситуация встречается очень часто: эле-
§ 2. ГРУППА ПУАНКАРЕ 31
мепты некоторой группы допускают «реализацию» в виде
преобразований (или, что то же, операторов), действую-
действующих на какие-либо объекты, образующие векторное
пространство — поля, векторы состояния и т. и.
Общее определение представления состоит в сле-
следующем. Пусть каждому элементу g группы G поста-
поставлен в соответствие оператор Т' , действующий в не-
некотором векторном пространстве V. Говорят, что
соответствие g -> Т' есть представление группы G
в векторном пространстве V, если выполнены сле-
следующие условия:
A) Пусть в группе G элемент g3~gig2> тогда
оператор Тд3=Гд1Тд2, т. е. оператор Тд3, полу-
получается последовательным выполнением Т_2, а за-
тем Т91.
B) Единичному элементу / группы G соот-
соответствует тождественный оператор: Tr = i.
Первое из этих требований означает, что строение
группы воспроизводится умножением операторов Тд:
каждый элемент группы «изображается» оператором,
причем умножению элементов отвечает умножение
операторов в том же порядке. Второе требование
обеспечивает обратимость операторов Тд. В самом деле,
g~1g=I, откуда в силу A) Тд-'Тв=1; но это и означает,
что оператор T#-i обратеп Тд. В частности, пи один
оператор Тд не равен нулю (т. е. не переводит все
векторы V в пулевой). Наиболее важен случай, когда
различным элементам g соответствуют разные опера-
операторы Т \ в этом случае представление называется точ-
точным, и между исходной группой G и ее операторной
реализацией {Тд}, с алгебраической стороны, имеется
полное тождество {изоморфизм).
р Поскольку матрицы D [Л] задают операторы в про-
пространстве V, соблюдается условие D[AM]=D [Л]х
XD [М] B.9) и тождественному преобразованию Ло-
Лоренца, очевидно, отвечает тождественное преобразова-
преобразование D [/]=1, то определенное выше соответствие
D [А ] есть представление группы Лоренца L в про-
пространстве V. Размерностью (или степенью) этого пред-
32 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
ставления называется размерность пространства пред-
представления, т. е. в нашем случае п.
Покажем теперь, что формула B.11) задает пред-
представление группы Пуанкаре $* в пространстве полей
{ф}. Здесь имеется в виду не конечномерное вектор-
векторное пространство V, которому принадлежат значения
полей ф в отдельных точках, а пространство вектор-
функций ф (х). Это пространство бесконечномерно,
т. е. базис, по которому можно разложить все вектор-
функции ф (х), необходимо содержит бесконечное число
ф'*0 (x). Поэтому и представление B.11) называется
бесконечномерным. Условие B), очевидно, выполнено;
проверим условие A). Пусть (с, N) = (a, Л) (Ь, М);
тогда элементам группы Пуанкаре (Ь, М), (а, Л) со-
сопоставляются последовательные преобразования поля:
й (*)=2 a
Подставляя в первую из этих формул вместо х точку
Л (х — а), находим
ф; (Л (х - а)) = 2 D1? [М] ф„ (М-* (Л-* (х-а)- Ь)) -
= 2 D
ф: (*) = 2 ^ [А] ДтР [М] фр (М-1Л-1 (* - (ЛЬ + а))).
По определению умножения в группе <^° B.4), ЛМ = N,
M"~1A~1 = N~1, ЛЬ-|-а^с. откуда в силу B.9) имеем
ф: (*)=?>? [N^(N-4*-с)).
Но это и есть преобразование поля, соответствующее
(с, N), что и доказывает свойство представления A).
Дискретные преобразования. Мы уже описали два
важных преобразования, входящих в группу Лоренца
(и тем самым в группу Пуанкаре): пространственное
§ 3. СПИНОРЫ И БИНАРНАЯ ГРУППА 33
отражение Р и обращение времени Т. Первое из них
задается формулой
Р(х°, х\ х\ xs) = (x<>, —*\ ~х\ -х\ B.12)
имеет определитель —1 и сохраняет направление вре-
времени. Второе задается формулой
Т(*°, х1, х\ «") = (—ж°, ж1, а3, в»), B.13)
также имеет определитель —1 и меняет направление
времени на обратное.
Произведение РТ = ТР имеет вид
РТ(*°, х\ х\ з?) = {-х\ -х1, -х\ —Xs); B.14)
оно меняет направление времени, а определитель его
равен 1.
Действие этих преобразований на поля описывается
общим правилом B.11) и зависит от представления
группы Лоренца D [А]. Мы вернемся к этому вопросу,
когда изучим представления группы Лоренца.
Точность представлений. Представление группы
Пуанкаре полями произвольного вида B.7), как легко
видеть, точно, т. е. разным элементам группы (а, Л)
соответствуют разные преобразования полей B.11).
Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть дей-
действие различных преобразований (а, Л) и (Ь, М) на
поле, сосредоточенное вблизи некоторой точки х, и
выбрать эту точку таким образом, чтобы было Ллс-\-а=^=
=?Мх-\-Ъ. Тогда из одного и того же поля получа-
получаются два разных, так что преобразования полей
различны.
§ 3. Спиноры и бинарная группа
Мотивировка спинорной алгебры. Мы приведем
классическую мотивировку введения спиноров, следуя
в основном Вейлю [6].
\ Предположим, что имеется система, состояния ко-
которой описываются векторами некоторого конечномер-
конечномерного векторного пространства V. Такой системой мо-
может быть, например, спин некоторого рода частиц,
3 Ю. Б. Румер, А. И. Фет
34 Часть I. СШШОРНАЯ АЛГЕБРА
например электронный спин, открытый Уленбеком и
Гаудсмитом и теоретически осмысленный Паули, а за-
затем, с релятивистских позиций, Дираком. Когда мы
берем спин в качестве «системы», то отвлекаемся от
всех других свойств рассматриваемой частицы, напри-
например от ее положения в пространстве-времени. Такой
подход вполне законен, точно так же как законно,
в известных -пределах, описание частицы лишь
в пространственно-временных терминах, без учета
спина.
Однако уже простейшие опыты с электронным спи-
спином показали, что в разных системах отсчета спин
одной и той же частицы описывается по-разпому, т. е.
две комплексные компоненты, задающие спиновое со-
состояние системы, оказываются различными для разных
релятивистских наблюдателей. Таким образом, при
изменении системы отсчета в обычном пространстве-
времени одновременно происходит преобразование комп-
комплексного вектора спинового состояния.
Поскольку для каждой системы отсчета вектор
спинового состояния, как и всякий вектор состояния
в квантовой теории, определяется лишь с точностью
до фазового множителя е<а (а действительно), следует
ожидать, что двум последовательным преобразованиям
системы отсчета соответствует два последовательно
выполненных в том же порядке преобразования век-
векторов спинового состояния, заданных с точностью до
фазовых множителей. Пользуясь терминологией, при-
принятой в современной квантовой механике, мы можем
считать, что состояние квантовой системы задается
не одним вектором комплексного пространства, а целым
лучом таких векторов — системой векторов, отличаю-
отличающихся друг от друга непулевыми комплексными мно-
множителями. Тогда вместо преобразования векторов со-
состояния, определенных с точностью до фазовых мно-
множителей, можно говорить о преобразовании лучей
в пространстве векторов состояния (в математической
литературе такие преобразования называются проек-
проективными). Пусть теперь каждому преобразованию
группы G поставлено в соответствие преобразование
лучей спинового пространства, причем произведению
§ 3. СПИНОРЫ И БИНАРНАЯ ГРУППА 35
преобразований из группы соответствует произведе-
произведение преобразований лучей в том же порядке, а тож-
тождественному преобразованию — тождественное преоб-
преобразование лучей. Тогда говорят, что задано проектис-
ное представление группы G в пространстве спиновых
состояний.
[Поскольку «обычные» представления групп линей-
линейными преобразованиями векторов, введенные в § 2,
проще поддаются изучению, чем проективные пред-
представления (именно благодаря линейности представляю-
представляющих операторов Тд), было бы выгодно построить для
той же группы G «обычное» представление {Тд}, заме-
пяющее проективное в следующем смысле: если вектор
v принадлежит лучу б и T/>v=w, то w принадлежит
лучу, получаемому из б преобразованием заданного
проективного представления. Если бы такая замена
была возможна, то представляющие операторы Тд да-
давали бы полную информацию о проективных преобра-
преобразованиях, отвечающих всем элементам G, т. е. о пре-
преобразованиях самих спиновых состояний системы.
Оказывается, в такой формулировке задача о по-
построении представлений, вообще говоря, неразрешима.
Уже в случае электронного спипа, когда векторы спи-
спиновых состояний имеют две компоненты и, следова-
следовательно, пространство спиновых состояний двумерно,
однозначного представления группы вращений (и, тем
более, группы Пуанкаре) в этом пространстве не су-
существует. Мы увидим, однако, что можно построить
в этом случае двузначное представление, вполне при-
приемлемое с точки зрения преобразования физических
состояний, хотя и неприятное в алгебраическом
смысле.
Начнем и группы вращений SO C) и попытаемся
представить вращения линейными преобразованиями
векторов с комплексными координатами f1, ;2. Прием,
ведущий к решению этой задачи, был известен в мате-
математике задолго до возникновения квантовой механики.
Этот прием исходит из так называемой «стереографи-
«стереографической проекции», играющей важную роль в теории
функций комплексного переменного.
3»
36 Часть I, СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Построим в трехмерном евклидовом пространстве
сферу S единичного радиуса и примем центр этой
сферы за начало декартовой системы координат (х,
у, z). Будем рассматривать экваториальную плоскость
(х, у) сферы S как плоскость комплексного перемен-
переменного С—x-\-iy. Для каждой точки С этой плоскости
построим луч, соединяющий эту точку с южным полю-
полюсом сферы @, 0, —1), и пересечем этот луч со сферой S.
Стереографическая проекция ставит в соответствие
точке С полученную в пересечении точку сферы (х, у, z).
Легко подсчитать, что координаты проекции выра-
выражаются через С формулами
2? ¦ 'Ж, 1 —К
(ЗЛ)
или
здесь и в дальнейшем черта сверху означает комплекс-
комплексное сопряжение.
Чтобы включить в это соответствие также и южный
полюс сферы, введем однородные координаты на комп-
лексной'плоскости С: каждую точку С будем описывать
любой парой комплексных чисел (?, ?2), для которой
^/^2=С, парами же вида (?, 0), ?S^0, будем описы-
описывать «бесконечно удаленную точку» плоскости С. Тогда
южный полюс сферы сопоставляется «бесконечно удален-
удаленной точке» и устанавливается взаимно однозначное соот-
соответствие между точками сферы S и точками «расширен-
«расширенной» комплексной плоскости (с включением «беско-
«бесконечно удаленной точки»).
В качестве однородных координат используются лишь
такие пары (Е1, Е2), для которых S1?1 ¦{- ?2!2 =^= 0; норми-
нормируем однородные координаты условием S1?1 -f- ?2Е2 = 1.
Тогда формулы стереографической проекции принимают
вид
х -iy = 2l*l\ z = l41-l42. M
Линейное преобразование однородных координат
Е'1 = в1Е1 + ^2, 6'а = в|?1 + в«Е», C.3)
§ 3. СПИНОРЫ И БИНАРНАЯ ГРУППА 37
сохраняющее нормировку, т. е. удовлетворяющее условию
Е'1Е'1 + Е'"Е'2 = ?Е1 + РЕа, C.4)
называется унитарным. Поскольку
х* + г/2 + z2 = (х + iy) (х - iy) + z2 = (РЕ1 + 12Е2J,
такие преобразования вызывают линейные преобразо-
преобразования координат х, у, г, сохраняющие квадратичную
форму хг-\-у2-\-г2, т. е. вращения.
Как можно показать, любое унитарное преобразо-
преобразование C.3) получается из тождественного (Е'1=Е1,
?'2— ^ непрерывным изменением коэффициентов u'J,
причем в процессе изменения преобразование (мЦ-)
все время остается унитарным. Тогда и соответствую-
соответствующее вращение меняется непрерывно и, значит, все
время остается собственным вращением. Как нетрудно
проверить, таким способом можно получить собствен-
собственное вращение сферы S, переводящее любую ее точку
с заданным в ней касательным направлением в любую
другую точку с заданным в пей направлением; иначе
говоря, всевозможным унитарным матрицам (и) ста-
ставятся в соответствие всевозможные собственные вра-
вращения R. Ясно, что при этом выполнены оба условия,
входящие в определение представления (§ 2), и мы полу-
получаем представление группы всех унитарных матриц
вращениями трехмерного пространства.
Вспомним, однако, что мы исходили из обратной
задачи: найти представление группы вращений в дву-
двумерном комплексном пространстве. Эта задача, в из-
известном смысле, решается обращением предыдущей
процедуры: для каждого вращения R можно взять
унитарное преобразование и, порождающее его ука-
указанным выше способом. Но такое унитарное преобра-
преобразование не однозначно; если взять матрицу (Щ) с об-
обратным знаком, то из нее получается то же вращение
R. Впрочем, можно показать, что этим и исчерпывается
произвол в выборе и; мы приходим, таким образом,
к двузначному представлению группы собственных
вращений SO C) в пространстве (Е1, ?2). Для физиче-
физических целей этого вполне достаточно, поскольку изме-
38 Часть I, СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
нение знака матрицы и не влияет на вызываемое ею
преобразование лучей двумерного комплексного про-
пространства, задающих состояния электронного спина.
Как можно показать, однозначных представлений
группы вращений в двумерном комплексном простран-
пространстве (кроме тривиального представления единичной мат-
матрицей) вовсе не существует. Полученное двузначное
представление называется спинорным. Наряду с пим
существует еще другое двумерное представление груп-
группы вращений, также двузначное, которое получает-
получается заменой матрицы (и$) на комплексно сопряжен-
сопряженную (Щ). Ясно, что эта матрица также унитарна и
можно показать, что соответствующее представление
группы SO C) не эквивалентно предыдущему, т. е.
не существует невырожденной матрицы w, для которой
было бы u=wuw~1. Представление (й) называется ко-
спинорным.
Заметим теперь, что преобразованиям C.3) соот-
соответствуют в плоскости комплексного переменного С
дробно-линейные преобразования
частного вида, поскольку матрица (м?) унитарна.
Общие дробно-липейпые преобразования получатся,
если брать в числителе и знаменателе любые коэффи-
коэффициенты и%, для которых det | и% \ =^=0. Чтобы избе-
избежать здесь избыточности в выборе матриц, потребуем,
чтобы опи были унимодулярны, т. е. удовлетворяли
условию det | мЦ- | =1 (такие матрицы называются
также бинарными). Тогда произвольный множитель
в коэффициентах дробно-линейного преобразования
устраняется. Ясно, что при несохрапении условия пор-
мировки S1^1+f2?=l преобразования вида C.3) уже
не задают вращений трехмерного пространства. Од-
Однако, вводя однородные координаты
Z==
1
x
и записывая формулы стереографической проекции
§ 3. СПИНОРЫ И БИНАРНАЯ ГРУППА 39
C.1) в виде
i C-5)
легко проверить, что полученные таким способом коор-
координаты удовлетворяют уравнению
Тем самым формулы C.5) сопоставляют каждой точке
(Е1, I2) двумерного комплексного пространства точку
пространства Мипковского, лежащую на световом ко-
конусе. Можно показать, что таким образом получаются
все точки светового конуса. Если теперь выполнить
преобразование C.3) с унимодулярной матрицей и,
то координаты (х0, хъ х2, х3) линейным образом пре-
преобразуются в (х'о, х[, х'2, Жд), также изображающие
точку светового конуса. Итак, бинарным преобразо-
преобразованиям и соответствуют линейные однородные преоб-
преобразования в пространстве Минковского, сохраняющие
световой конус, т. е. преобразования Лоренца.
Точно так же, как в случае вращений, проверяется,
что этим путем получаются лишь специальные преоб-
преобразования Лоренца (с AJ > 0 и определителем +1),
и притом все такие преобразования (что мы докажем
в надлежащем месте). Обратно, сопоставляя каждому
специальному преобразованию Лоренца А порождаю-
порождающее его бинарное преобразование C.3), мы получаем
двузначное представление специальной группы Ло-
Лоренца L\ в двумерном комплексном пространстве,
поскольку каждому Л соответствует иара унимодуляр-
пых матриц +м, отличающихся знаком. Это предста-
представление называется спинорным; аналогично зада-
задается коспииорное представление при помощи матриц
Двузначность представлений с алгебраической точки
зрения свидетельствует об искусственности этого по-
построения. Естественно поэтому принять за основную
группу вместо группы Лоренца «бинарную группу» —
группу унимодулярных преобразований- комплексного
40 Часть I. СПИНОРНЛЯ АЛГЕБРА
двумерного пространства, что приводит к значительным
упрощениям в построении представлений и тем самым
всех возможных полей. С этой точки зрения груши
Лоренда L\ рассматривается как специальное (четы-
(четырехмерное) представление бинарной группы.
Векторы двумерного комплексного пространства
(Е1, Е2) называются спинорами. Подобно построению
тензоров из векторов «обычного» пространства или
пространства Минковского, из спиноров строятся спин-
тензоры, служащие для задания «спин-тензорных» по-
полей. Каждое тензорное (в частности, векторное) поле
может быть, как мы увидим, записано в спин-тензор-
спин-тензорном виде, но обратное неверно.
Таким образом, спинорпый анализ включает в себя,
как часть, «обычный» тензорный анализ, а спинор ока-
оказывается, в некотором смысле, более фундаментальным
объектом, чем «вектор» в прежнем смысле этого слова.
Один из основоположников спинорной алгебры Ван
дер Варден формулировал возникающее здесь положе-
положение вещей, иллюстрируемое формулами C.2), C.5),
несколько парадоксальным образом: «спинор — это
квадратный корень из вектора».
Подобно тому, как обычные векторы или векторы
пространства Минковского являются математическими
объектами, существующими независимо от их коорди-
координатного описания, спиноры также нуждаются в «ин-
«инвариантной» трактовке. Такой подход, присущий
современной математике, вовсе не означает возврата
к схоластическим представлениям вроде «абсолютного
пространства и времени». Математика «абсолютизи-
«абсолютизирует» лишь то, что и в природе не зависит от наблю-
наблюдателя, например «события» или «состояния электрон-
электронного спина».
Спиноры и коспиноры. Мы переходим теперь к точ-
точному определению понятий спинора и коспинора. Опре-
Определим сначала, по аналогии с действительным вектор-
векторным пространством, понятие комплексного векторного
пространства. Так называется множество элементов
(именуемых векторами), для которых введены опера-
операции сложения и умножения на комплексные числа
с соблюдением обычных алгебраических свойств A.1),
§ 3. СПИНОРЫ И БИНАРНАЯ ГРУППА 41
где \ [I означают теперь произвольные комплекс-
пые числа. На такие пространства переносится боль-
большая часть построений, выполняемых в действительных
векторных пространствах; при этом линейные комби-
комбинации векторов берутся с комплексными коэффициен-
коэффициентами, и в этом смысле понимаются линейная незави-
независимость векторов, базис и (комплексная) размерность
пространства. Комплексное векторное пространство
называется конечномерным, если в нем существует
базис из конечного числа векторов; в'противном случае
пространство называется бесконечномерным. Беско-
Бесконечномерны, например, гильбертовы пространства, с ко-
которыми мы встретимся дальше 1).*Одномерное комплекс-
комплексное векторное пространство может быть просто ото-
отождествлено с пространством комплексных чисел, так
как любой его вектор выражается в виде кратного
базисного вектора ех, %гъ где z — комплексное число,
задающее вектор. Простейшее комплексное векторное
пространство, представляющее самостоятельный ин-
интерес, следовательно, двумерпо; оно называется спи-
норным пространством, а векторы его — спинорами.
Обозначим спинорное пространство через С2.
Базис С2 состоит из двух линейно независимых
векторов ех, e2, по которым каждый спинор ? разла-
разлагается с комплексными коэффициентами ?, Е2:
t = t\ + t%, C.6)
Координаты спинора Е1, I2 зависят от выбора ба-
базиса и не имеют физического смысла. Спинор следует
рассматривать как индивидуальный геометрический
объект (аналогично точке пространства Минковского),
могущий изображать некоторые физические состояния,
например состояние электронного спина.
Рассмотрим теперь другой экземпляр спинорного
пространства, векторы которого будем считать объек-
объектами, отличными от векторов С2; это пространство
1) Иногда (особенно в математической литературе) понятие
гильбертова пространства формулируется таким образом, что
оно охватывает и конечномерный случай.
42 Часть I. СПИПОРНАЯ АЛГЕБРА
мы назовем коспинорным и обозначим его С2, а век-
векторы его назовем коспинорами и будем обозначать
Ё, tj, ... С логической стороны оба пространства
вполне равноправны, так что введенная терминология
служит лишь для их различения. Предположим, что
для спиноров и коспипоров задано скалярное произ-
произведение A\ | I) с комплексными значениями, со следую-
следующими свойствами:
(линейность относительно спинора);
B) (к\ + ?Ц | С) = I (\ I С) + jl (Ц I С) (анти-
линейность относительно коспинора);
C) Для любого 1=^0 существует такой 1\г v • )
что (^\1)=^=0, и для любого •fJT^O суще-
существует такой 5, что (т) 11) =^= 0 (невырожден-
(невырожденность произведения).
Подчеркнем, что первый множитель произведения здесь
может быть только коспинором, а второй — только
спинором, так что выражения [вида (т) | k) лишены
смысла и вопрос о поведении скалярного произведе-
произведения при перестановке множителей не возникает.
То, что мы потребовали здесь антилинейности (а не
линейности) относительно коспинорного множителя,
очень существенно для ясного понимания роли спино-
спиноров и коспиноров в теории представлений.
Нетрудно показать, 'что для любого базиса (sv e2)
пространства С2 можно построить (причем единственным
образом) дуальный базис (е', е^) пространства С2, связан-
связанный с исходным базисом соотношениями
Произвольный коспинор т] разлагается по дуальному
базису:
il = ^ + 4.f C.9)
5 3. СПИНОРЫ И БИНАРНАЯ ГРУППА 43
(координаты коспиноров но традиции различаются с по-
помощью «пунктированных» индексов). В силу C.6),
C.9) скалярное произведение коспинора на спинор
выражается в координатах по дуальным базисам сле-
следующим образом:
^1-b^=§N1.r. C.10)
В дальнейшем, если не оговорено противное, мы
будем пользоваться только дуальными базисами.
Основная антисимметрическая форма. Мы внесем
теперь в пространства спиноров и коспиноров мет-
метрику, т. е. зададим па этих пространствах билиней-
билинейные формы, напоминающие скалярные произведения.
Однако в отличие от более привычных случаев, таких,
как евклидово пространство или пространство Мин-
ковского, эти формы будут антисимметричны. Стан-
Стандартный способ построения билинейной формы состоит
в использовании линейного оператора: задав такой
оператор С, ищут форму в виде (СЕ| "$• I* нашем слу-
случае, когда Е, т)—спиноры, а скалярное произведение
(Е \ т|) связывает коспипор Е и спипо𠦻), причем анти-
линейно по отношению к первому и линейно по отно-
шению^ко второму, (СЕ| ч\) представляет собой би-
билинейную форму от Е, т) лишь в случае, если оператор
С переводит спиноры в коспипоры и притом антили-
неен, т. е.
C.11)
Предположим, что оператор С обратим; тогда С
также является антилинейпым оператором и перево-
переводит коспиноры в спиноры. Обозначим СЕ через Е,
т. е. той же буквой с точкой вверху:
СЕ = Е", С^Е. C.12)
Требование, чтобы форма (С Е | г\) была аптисим-
метрической, влечет за собой (СЕ |Е)=0; в самом деле,
антисимметрическая форма должна менять знак при
перестановке аргументов и, следовательно, равна нулю,
когда аргументы совпадают; поэтому форма (С Е | т|)
44 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
при т)= I обращается в нуль. Обратно, предположим,
что оператор С обладает свойством
(ё|б)=о. C.13)
Тогда форма
аитисимметрическая, как видно из тождества
Билинейная форма в пространстве коспипоров мо-
может быть задана точно так же с помощью оператора
С; можно искать ее в виде (? | С"?)) или (^| С!).
Однако такая форма оказывается антилииейиой по
отношению к обоим аргументам I, "?), поскольку С —
антилипейпый оператор. Положение легко исправить,
применив к форме комплексное сопряжение.
Итак, мы предполагаем, что задан обратимый анти-
лииейный оператор С, преобразующий спиноры в ко-
спиноры и удовлетворяющий условию C.13), и вво-
вводим с его помощью билинейные формы
Обе эти формы аитисимметршеские, причем
Пользуясь дуальными базисами, можно задать опе-
операторы С, С взаимно обратными матрицами:
O^fV», CTW = C*\; C.16)
в координатах, учитывая антилипейность С, G, имеем
C.17)
§ 3. Спиноры и бинарная группа
45
Тогда билинейные формы C.14), вычисленные по пра-
правилу C.10), принимают вид
¦п) = С^-П\ &(%, %) = &%^. C.18)
Из условия антисимметрии вытекает, что Са = С22 = 0,
С12 = —С21, так что обе формы определяются с точ-
точностью до (взаимно обратных) множителей. Нормируем
обо формы, положив
C.19)
тогда имеем
V
. C.20)
" Принятая нормировка метрических форм C.19) при-
приводит к простой связи между координатами спинора Ч
и коснинора t = Cs (см. C.17)):
?I —I2, h = — I1. C.21)
Введем еще для симметрии обозначений координаты
с нижними индексами для спиноров и с верхними—для
коспипоров:
C.22)
где уже принята во внимание действительность матриц С,
С'1; ввиду C.19) это равносильно
„ .л » C-23)
Ввиду C.21) отсюда следует
C.24)
Здесь подразумевается, конечно, что «пунктированные»
координаты относятся к коышнору ?, связанному »с ?
соотношением ^:=:CS.
46 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Сопоставляя C.18) с C.22), можно записать формы G,
G еще в следующем виде:
Заметим, что расположение индексов, по которым произ-
производится свертывание, здесь по безразлично (в отлично
от случая симметрической метрики).
Группа 8L B). Наиболее о6п,ю линейное преобразо-
преобразование спиноров
?' = «? C.26)
задается в выбранном базисе (е1, е2) матрицей (uj):
"(в,) = и;в, C.27)
или, что равносильно,
&'* = и?&\ C.28)
Отсюда для двух спиноров I, т) имеем ычт >чное равен-
равенство
Переходя к определителям, получаем
G(V, V) = det|i*fJ|-G(e, ij). C.30)
Следовательно, для того чтобы преобразование и
сохрапяло метрическую форму G спинорноп простран-
пространства, необходимо и достаточно условие det |и|==1.
Матрицы и с определителем, равным единице, на-
называются, как уже было сказано, упимодулярными.
Поскольку при умножении матриц их определители
умножаются, произведение унимодулярных матриц есть
опять упимодулярпая матрица; единичная матрица
уиимодулярна; матрица, обратная унимодулярпой,
также унимодулярна. Таким образом, все унимодуляр-
ные матрицы второго порядка образуют группу, на-
называемую унимодулярной группой второго порядка,
или бинарной группой, и обозначаемую SL B) х).
г) Special Linear.
§ 3. СПИНОРЫ И БИНАРНАЯ ГРУППА 47
Как мы увидим, эта группа теснейшим образом свя-
связана с группой Лоренца, но значительно удобнее ее
для построения представлений.
Отметим сразу же следующее свойство бинарных
матриц:
{игу1=СиС-К C.31)
Это свойство озпачает, что если «верхние» координаты
спинора № преобразуются согласно C.28) с помощью
матрицы и, то «нижние» координаты его ^ преобра-
преобразуются с помощью матрицы (и7). Другое истолко-
истолкование этой последней матрицы состоит в том, что опа
задает то же преобразование C.28) в другом базисе,
состоящем из спиноров
• C.32)
Матрицы, задающие одно и то же преобразование в раз-
пых базисах, называются эквивалентными. Итак, би-
бинарные матрицы и и (и7) эквивалентны.
Сопряженное представление. Действие группы
SL B) в спинорном*"пространстве С2, заданное в вы-
выбранном базисе формулой C.28), одновременно служит
и определением этой группы, и ее представлением
в векторном пространстве С2, поскольку элементы
группы с самого начала задаются как линейные пре-
преобразования или, что то же, линейные операторы в С2
(ср. общее понятие представления, § 2). Такое предста-
представление, возникающее из самого способа задания группы,
иногда называется «фундаментальным» х).
Другое представление группы SL B) можно по-
построить в дуальном пространстве <П2 следующим об-
образом. Поставим в соответствие преобразовапию Е' = ц?
*) Этот термин пе имеет, впрочем, ясного логического
смысла, так как одпу и ту же группу можпо задать различными
«матричными» представлениями. Обычно «фундаментальным»
считается точное представление наименьшей размерпости, или
одпо из таких представлений (в случае группы SL B), как
мы сейчас увидим, имеется два различных двумерных пред-
представления).
48 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
пространства С2 преобразование i\'=v1\ пространства
С2, связанное с и соотношением
vC = Cu. C.33)
Иначе говоря, у=СиС~\ откуда
vii = CuCr\ C.34)
Ясно, что v — линейное преобразование коспипоров,
матрица которого, вследствие антилинейности опера-
оператора С, имеет вид СпС'1. В силу C.31) она равна й:
v=u~\ C.35)
где матрица преобразования v, обозначенная той же
буквой, относится к дуальному базису, а крест над
символом матрицы означает эрмитово сопряжение.
Чтобы записать это преобразование в координатах,
заметим, что вообще коспипоры преобразуются по пра-
правилам, аналогичным C.27), C.28):
в'*=1ф\ 4; = <ч,; C.36)
однако суммирование производится в этих формулах
иначе — для преобразования базисных векторов по
нижнему индексу, а для преобразования координат
по верхнему. Мы будем считать стандартным приме-
применение индексов в C.27), C.28), а в случаях, подобных
C.36), будем считать, что применяется транспониро-
транспонированная матрица ц/. Так как надо преобразовать -fj
с помощью матрицы v, мы должны положить в C.36)
w=vT, и из C.35) получаем
!** = (fl-V, 1 C-37)
Ч; = (в-1)»Ч| )(« ДУРНОМ базисе). {^щ
Введем теперь в коснинорном пространстве б2 вместо
базиса (s*, e2), дуального (elt e2), другой базис (s', I-),
связанный с дуальным формулами
8»=^e« = -5cV, C.39)
§ 3. СПИНОРЫ И БИНАРНАЯ ГРУППА 49
(ср. C.32)). Назовем этот базис сопряженным по от-
отношению к (slt s2) (термин не является общепринятым).
Тогда в сопряженном базисе преобразование v задается,
как легко проверить, матрицей Сй'1^1. В силу соот-
соотношения C.31), справедливого для всех бинарных ма-
матриц, эта матрица равна п. Учитывая то ?ке соглаше-
соглашение об употреблении индексов, имеем
C.40)
(в сопряженном базисе). .„ ...
О*-'1)
Пользуясь полученным выражением v C.38), нетрудно
проверить следующее соотношение, связывающее v с it:
для всех спиноров ? и коспиноров 1\
M|uE) = tt|E). C.42)
Обратно, из C.42) получается C.33), так что эти фор-
формулы равным образом могут служить для определе-
определения v. Покажем теперь, что формула C.33) задает пред-
представление группы SL B) в пространстве коспиноров
<С2. В самом деле, если ии и2 — бинарные матрицы
и и3=и1и2, то
v3 = О3СГ1 =
Очевидно также, что матрице it=l соответствует у—-1.
Итак, Tu=v есть представление.
Важно отметить, что это представление существенно
отлично от «фундаментального» представления C.28).
Чтобы уточнить, какие представления считаются «су-
«существенно различными», введем следующее опреде-
определение.
Представление {Тд} группы G в пространстве V
и представление {Т'д} этой же группы в пространстве
V называются эквивалентными, если существует такой
обратимый линейный оператор W, отображающий V
па V, что
Тд' = WTJV-1 для всех g. C.43)
Это значит, что в подходящих базисах, связанных пре-
преобразованием W, оба представления имеют одинако-
одинаковые матрицы (при всех g). В частности, пространства
4 Ю. Б. Румер, А. И. Фет
50 Часть I. СПИНОРНЛЯ АЛГЕБРА
V, V могут совпадать. Так, матрицы (и7), как мы
видели, связаны с и эквивалентностью C.31). Они об-
образуют, как легко видеть, представление группы SL B).
Точно так же для любой группы и любого ее предста-
представления матрицами {и} можно построить так называе-
называемое «контрагредиептное ' представление» из матриц
(и7), которое, однако, в общем случае не эквива-
эквивалентно исходному. Эквивалентность C.31) является,
таким образом, специальным свойством группы SL B).
С этим специальным свойством и связано принятое
выше определение дуальности пространств спиноров
и коспипоров. Если бы мы определили дуальпость
С2 и С2 с помощью билинейного скалярного произве-
произведения" (а не линейного по второму мпожителю и анти-
линейпого по первому, как мы это сделали в C.7)),
то получили бы из C.42) у^м7), т. е. как раз коптра-
гредиентное представление, не дающее для группы
SL B) ничего нового. Напротив, представление C.38)
не эквивалентно «фундаментальному» представлению
{и}. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что
из C.43) следует равенство следов Si[\T'g~SpTg, между
тем как Spu не для всех бинарных матриц равен
Sp и.
Группа 8Щ2). Унимодулярная группа SL B), свя-
связанная, как мы покажем дальше, с группой Лоренца,
содержит подгруппу, связанную с группой вращений.
Чтобы описать эту подгруппу, введем в спинорном
пространстве С2, наряду с антисимметрической били-
билинейной формой G (?, if), эрмитово скалярное произведе-
произведение <^? | т)>, т. е. скалярное произведение со следую-
следующими алгебраическими свойствами:
A)
B)
C) <XE|7i> = X<Eh>; C.44)
D)
E)
F) <6|6>>О при 6=^4
§ 3. СПИНОРЫ II БИНАРНАЯ ГРУППА 51
Таким образом, произведение <( | ^> линейно по второму
множителю и антилинейно по первому, а также поло-
положительно определенно, т. е. скалярный квадрат каж-
каждого ненулевого спинора положителен. Благодаря по-
последнему свойству можно ввести для спиноров норму,
аналогичную длине вектора:
В пространстве коспипоров <С2 эрмитово скалярное
произведение может быть получено из предыдущего
с помощью оператора С: достаточно положить
6Г? C.46)
где 6 = 0-4, ц = Сг\
Комплексное сопряжение в правой части обеспе-
обеспечивает те же алгебраические свойства C.44); например,
для комплексного множителя X, в силу антилипейности
С, имеем
=х <с~Ч | с-ч>=14
Эрмитово скалярное произведение является, ко-
конечно, «новой» алгебраической структурой, вводимой
па пространствах спиноров и коспиноров; оно не вы-
выражается через «старые» структуры ( [), С. Преобра-
Преобразования SL B), сохраняющие билинейную форму G
(см. C.30)), вообще говоря, не сохраняют скалярного
произведения <( | у.
Выделим теперь те преобразования и из SL B),
которые сохраняют это произведение:
C.47)
Легко видеть, что такие преобразования образуют
группу, являющуюся по построению подгруппой SL B);
эта группа называется двумерной специальной унитар-
унитарной группой и обозначается через SU B) *). Заметим,
что эта же группа является подгруппой унитарной
группы U B), состоящей из всех (а не только унимоду-
Special Unitary.
4*
52 Часть I. СПИПОРНЛЯ АЛГЕБРА
лярных) линейных преобразований, сохраняющих про-
произведение <( | у.
Напомним, что базис спинорного пространства
(elt e2) до сих пор выбирался совершенно произвольно.
Для более удобного описания унитарных преобразо-
преобразований этот базис можно специализировать, взяв его
ортонормированным:
<ei|e1>=<ea|ea>=l, <вг | в.2> = <еа | в,) = 0. C.48)
Нормировка билинейной формы G (см. C.19)) должна
теперь относиться к такому базису, если приходится
рассматривать G (?, ?)) и <( ? | т) )> одновременно. Тогда
G(h, h) = G(e2, e2) = 0, 34g
G(e1( ea) = -G(ea, ^ = -1.
Разлагая % и -ц по базису, S ^= S^e , i\ = 7jvev, получаем
координатное выражение скалярного произведения
fy + &Y. C.50)
Базис, дуальный ортопормироваппому, также оказы-
оказывается ортонормировапным; в самом деле, в силу C.16)
C~V = е2, С~ге? = —slt и из C.46) следует
Условия унитарности преобразования и особенно
просто записываются в ортопормироваппом базисе; дей-
действительно,
должно быть равно (е^ \ е^>, т. е.
Эти условия аналогичны условиям ортогональнооти ма-
матрицы; их можно истолковать следующим образом. Если
считать, что столбцы матрицы (и], ufj, (u\, w|) задают
координаты двух спиноров, то C.52) означает, что эти
спиноры составляют ортонормироваппую систему.
§ 3. СПИНОРЫ И БИНАРНАЯ ГРУППА 53
Ввадя транспонированную матрицу ит, можно пере-
переписать C.52) в виде
йги — \, и-1 = пт = й. C.53)
Отсюда видно, что матрица ит унитарна вместе с и:
Поэтому условия C.52) для столбцов матрицы равно-
равносильны аналогичным условиям для строк.
Из C.53) видно, что dot|w| по модулю равен 1, так
как det | ит \ = det | и |, det | й | = det | и |:
|det|»|| = l. C.54)
Таким образом, специальпая унитарная группа SU B)
выделяется из унитарной группы U B) требованием,
чтобы det \и\ был в точности (а не только по модулю)
равен единице.
Заметим теперь, что для унитарной матрицы и
матрица сопряженного представления у=й~1 совпа-
совпадает с и. Это обстоятельство имеет важное значение
при построении представлений группы SU B). Пусть
вообще задано представление {Тд) группы G в вектор-
пом пространстве V, и пусть группа G содержит под-
подгруппу //. Если рассматривать лишь те операторы
Тн, которые соответствуют в данном представлении
элементам h подгруппы //, то получается представле-
представление подгруппы Н в том же пространстве V; {Th} на-
называется сужением или редукцией представления {Тд}
па подгруппу i/. Сужение представлений {и}, {v}
с группы SL B) на ее подгруппу S U B) приводит, как
мы видим, к эквивалентным представлениям, поскольку
в дуальных базисах эти представления имеют одинако-
одинаковые матрицы.
Связность групп SU B) и 8L B). В отличие от
группы вращений О C) и полной группы Лоренца L,
каждая из групп SU B), SL B) связна, т. е. любые
два элемента группы могут быть переведены друг
в друга непрерывным изменением в пределах той же
группы. Начнем с группы SL B), для которой связ-
связность доказывается проще. Пусть и — унимодулярпая
54 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
матрица:
Покажем, что непрерывным изменением элементов
можно превратить и в единичную матрицу. Пусть сна-
сначала u\uly^0. Положим
/аи» ~.и\\
где 0,1 — комплексные параметры. Условие унимоду-
лярпости w8> T приводит к равенству
откуда можно выразить & через т: & = \/( 1-|--й^^/^
При т=1 подкоренное выражение не обращается
в пуль, так как det | и |=1 и u^l^O. Непрерывным
изменением в комплексной плоскости можно пере-
перевести т=1 в х=0 таким образом, чтобы подкоренное
выражение ни разу не обратилось в нуль. Тогда ко-
корень можно определить как однозначную непрерывную
функцию & (х), чем задается непрерывное изменение
унимодулярной матрицы иа т. При т=0 получаем
диагональную матрицу
СЭ- ¦*=«•
Заменим здесь опять а на та, [3 па A/х) [3 и будем
менять комплексный параметр т, не проходя через
нуль, от значения т = 1 до т = 1/а; это и приводит
к единичной матрице. Если u\ul=0, то можно вовер-
шенно аналогично превратить и в матрицу вида
О 14
-1 О)'
а затем уже эту последнюю в единичную матрицу.
В случае группы SU B) надо в процессе непрерыв-
непрерывного изменения элементов матрицы и следить за со-
соблюдением не только унимодулярности, но и унитар-
унитарности матрицы. Мы предоставляем читателю провести
соответствующие операции.
Односвязность групп 8 U B) и SJL B). Другое
важное свойство этих групп составляет их односвяз-
§ 4. СШШ-ТЕНЗОГЫ 55
ностъ. Чтобы определить это понятие, назовем замк-
замкнутым путем в группе G семейство элементов g (Ь),
непрерывно зависящих от & (О^д^а), такое, что
g @)=g (а). Конечно, здесь предполагается, что для эле-
элементов G введено понятие предельного перехода; это
всегда можно сделать для групп, состоящих из матриц.
Будем далее говорить, что замкнутый путь g (Ь) не-
непрерывно деформируется, если в G задано семейство
элементов g (&, х) @ <1 Ь ^ а, О ^ х ^ Ь), непре-
непрерывно зависящих от параметров & и х, такое, что при
любом фиксированном х из семейства получается
замкнутый путь g, (&), т. е. g (О, v)=g (а, х). Замкну-
Замкнутый путь g0 (&) называется начальным, a gb (&) конеч-
конечным замкнутым путем деформации. Если gb (Ь) есть
одна и та же точка при всех Ь, то замкнутый путь
gb(&) называется точечным, а деформация g (Ь, х) —
деформацией замкнутого пути#0(д) в точку. Наконец,
если любой замкнутый путь группы G может быть
деформирован в точку, группа называется односвязной.
Группа вращений SO C) не односвязна; в самом
деле, вращения вокруг одной и той же оси на различ-
различные углы & @ ^ & ^ 2^) образуют замкнутый путь,
поскольку g Bn)=g @), и можно показать, что этот
путь нельзя деформировать в точку в группе SO C).
Хотя доказательство этого факта не совсем просто,
его наглядный смысл нетрудно себе уяснить. Точно
так же не одпосвязна и группа L\.
Напротив, каждая из групп SU B), SL B) одно-
связна. Доказательство выходит за рамки этой книги;
заметим только, что односвязность обеих групп как
раз и обеспечивает однозначность их представлений
и является, тем самым, важным преимуществом этих
групп по сравнению с группами SO C) и L\, которые
они в известном смысле заменяют.
§ 4. Спин-тензоры
Определения. Над каждым векторным простран-
пространством V, действительным или комплексным, можно
построить тензоры любой валентности (ранга) посредст-
посредством формального умножения векторов этого прост-
5!) Часть I. СПИИОРНАЯ ЛЛГЕВРЛ
рапства и ковекторов — векторов дуального прост-
пространства.
Случай, когда исходное пространство V — действи-
действительное, достаточно известен; например, в физике име-
имеют важное значение тензоры над трехмерным евкли-
евклидовым пространством R3 или пространством Мипков-
ского аМ.
Случай комплексного пространства V отличается не-
некоторыми особенностями, которые будут рассмотрены
ниже. При этом мы ограничимся тензорами над спи-
нориым пространством С2 1).
(О (¦>)
Возьмем два экземпляра пространства спиноров С2, С2,
считая спиноры первого из них объектами, отличными
от спиноров второго. Однако выражение «два экземпляра
одного и того же пространства» предполагает, что между
A) B)
спинорами из С2 и С2 раз навсегда установлено взаимно
B) A)
однозначное соответствие ? = /(?), сохраняющее онера-
A) A)
ции сложения и умножения па числа (т. е. /(?'-|~?") =
CD CD (О (О
= /(&') + /(«")- /0Ф = *Ш)- ТаК)е соответствие назы-
называется изоморфизмом векторных пространств. Мы будем
A) B)
для упрощения речи гов)рить: «спинор I пространства С2»
(О
вместо «спинор /(?)».
Построим всевозможные «формальные произведения»
вида
A) B)
S = $®t, D.1)
(к) т
где ?— спинор из С, к=\, 2. Здесь 0 (читается: «тен-
«тензор»)— просто разделительный знак между двумя спи-
спинорами из различных пространств, формальные свойства
которого, как мы увидим дальше, напоминают знак умно-
A) B)
жепия. «Множители» ?, ? выбираются независимо из
О) B)
соответствующих пространств С, С.
*) Более общее изложение тензорной алгебры над комплекс-
комплексными пространствами можно найти, например, в [14].
4, СПИН-ТЕНЗОРЫ
Подобно тому, как один спинор ? порождает линей-
линейную функцию ?(•?)) от коспипора rt по правилу
(где знак сопряжения нужен для того, чтобы получить
линейную, а не антилинейную функцию), формальное
произведение S двух спиноров порождает билинейную
функцию от двух коспиноров •?), •?) по правилу
A) B)
A) B)
Sft, *i) = to|6)-O>|6), (V2)
A) B) A) B)
т. е. функцию, линейную относительно каждого из аргу-
аргументов 1\, i\ при закрепленном втором. Из «мономов»
A) B)
вида D.1) можно составить «формальные полиномы»
вида
A) B) A) B) A) B)
5 6®6 + 6®6+ + 68? D3)
с любым числом слагаемых п (порядок слагаемых без-
безразличен). Каждый такой полином задает билинейную
функцию от коспиноров ¦?), 1\, равную сумме функций
A) B)
D.2), порождаемых его слагаемыми «мономами»:
A) B) J=l A) B)
Можно показать, что наиболее общая билинейная
функция от пары коспипоров может быть представлена
в виде D.4), если выбрать надлежащим образом поли-
полипом S. Но, конечно, такое представление не однозначно:
различные полиномы S, S могут задавать одну и ту же
функцию. Рассмотрим, например, «элементарные пре-
преобразования» следующих типов:
A) если в полиноме S встречается моном вида
A) (J) B)
(?' -|- 5") 0 5, он заменяетса суммой двух мономов
A) B) A) B)
? 0 I -\- ?" 0 «> или, обратно, такая сумма, входя-
входящая в S, заменяется предыдущим мономом;
58 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
B) если в полиноме S встречается моном вида
(DJ B) (I) B)
(k?) (g) Е, он заменяется мономом ? (^) Х?, или, обратно,
такой моном, входящий в S, заменяется предыду-
предыдущим (X — комплексное число).
Полиномы S, S, полученные друг из друга с по-
помощью элементарных преобразований, очевидно, опре-
определяют одну и ту же билинейную функцию S. Обратно,
можно доказать, что если S и S определяют одну и ту же
билинейную функцию от пары коспиноров, то они
могут быть превращены друг в друга некоторым (ко-
(конечным) числом элементарных преобразований. Мы
определим теперь спин-тензор (пока частного вида)
как билинейную функцию, а полиномы S будем рас-
рассматривать как способы задания такой функции:
Спин-тепзором валентности B, 0) называется били-
билинейная функция от двух коспиноров 1\, f\.
A) B)
Совершенно аналогично полиномы от коспиноров 1\, г\,
О) B)
взятых соответственно из двух экземпляров коснинориого
пространства С2, С2, имеют вид
О) B)
A) B) A) B)
и задают билинейные функции от двух спиноров
A) B) " A) B)
i=i (D B)
Такие функции называются спин-тензорами валент-
валентности @, 2).
Наконец, нолипомы «смешанного» вида
S = 6i<8H>i+..-+6,<8H,, D-7)
составленные из спиноров %j пространства С2 и копшно-
ров i\j пространства С2, задают билинейные функции от
спинора \ и коснинора 1\ по правилу
S E, ^)=2(ТГ^)-(%|5); D.8)
§ 4. СПИН-ТЕНЗОРЫ 59
такие функции называются спин-тензорами валент-
валентности A, 1).
С логической точки зрения сшш-тензор есть били-
билинейная функция или, если угодно, класс эквивалент-
эквивалентных полипомов, задающих одну и ту же функцию.
Однако на практике удобнее рассматривать спин-тен-
спин-тензор как полипом, алгебраически построенный из спи-
спиноров и коспипоров и определенный с точностью до
элементарных преобразований. Такая точка зрения
позволяет наиболее естественно ввести «спин-тензорные
представления»: если заданы законы преобразования
спиноров и коспиноров, то составленный из них моном
преобразуется «как их произведение» (см. ниже, D.16)),
а тем самым, ввиду линейности операторов предста-
представления, задается и закон преобразования полиномов.
При этом легко убедиться, что эквивалентные поли-
полиномы преобразуются в эквивалентные.
Чтобы получить координатное представление спин-
тепзоров, выберем в пространствах С2, С2 дуальные ба-
базисы (sj, e2), (е', e^) и возьмем в каждом пространстве
(к) (к) (к)
С2, СB) по экземпляру соответствующего базиса (&ъ е2),
(к)
(е\ е^). Разложим каждый спинор и коспипор по базису
(к) (к)
содержащего его пространства; тогда с помощью эле-
элементарных преобразований каждый спин-тензор описан-
описанных выше типов представляется соответственно в виде
A) B) A) B) A) B) A) B)
s = suSl ® н + s*\ <g> е, -f S21 S + s\ Э
S = S\\e< ® e' + S\ie{ ®еЦ S^ ® e1 + S^ ® e2. D 9)
@ B) A) B) (I) B) A) B) V '
S r= S\si ® ef -|- Sis, (g) в -\- S}s2 (g) e -f Sls2 (g) eS.
Можно показать, что разложения D.9) однозначны.
Обратно, любой набор комплексных чисел S^, 5ц?, 5^
определяот соответствующий спин-тензор 5 по форму-
формулам D.9); числа эти называются координатами или ком-
компонентами S относительно выбранных дуальных базисов.
Наиболее общие спип-тензоры валентности (г, s)
(г, s = Q, 1, 2, ...) определяются по той же схеме. Рас-
60 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
(к)
сматриваются формальные полиномы S от спиноров lj,
принадлежащих г экземплярам снипорного простран-
пространно
ства С2 (&—1, 2, ..., г), и от коспиноров %j, при-
принадлежащих s экземплярам коспинорного пространства
<G2(Z=1, 2, ..., s):
(О
1=1 НУ
" О) (г)
i=i ' J (l) (О
Канодый такой полином задает полилинейную функцию
от г коспиноров и s спиноров
A) («)
^ F, ..... 6, "Ч i|) =
A) (г)
т. е. функцию, линейную относительно каждого ар-
аргумента при закрепленных остальных. Такая функция
называется спин-тензором валентности (г, s), а за-
задающий ее полином определен с точностью до элемен-
элементарных преобразований. Координатное представление
спин-тензора валентности (г, s) имеет вид
A) (г)
s=st\X\ ® • • • ®ч ® »Jl ® • • • ®(^s' DЛ2)
где каждый индекс й , va пробегает, независимо от
остальных, значения 1, 2.
Для спин-тепзоров данной валентности (г, s) можно
определить сложение и умножение на комплексные
числа; для этого надо сложить соответствующие поли-
полилинейные функции или умножить такую функцию на
число. Для полиномов D.10), изображающих спин-
тензоры, сложение означает, что две суммы этого вида
надо соединить знаком плюс; умножение же на комп-
§ 4. СПИН-ТЕНЗОРЫ 61
лексное число "к означает, что в каждом из мономов
D.10) надо умножить па i один из сомножителей (все
равно который, ввиду второго правила элементар-
элементарного преобразовапия). В силу этих определений все
снин-тензоры валентности (г, s) образуют комплекс-
комплексное векторное пространство, которое мы обозначим
через Sr3.
Базис этого пространства составляют спин-тепзоры
(D М
ej, ц, ф . . . ф е_ ф ец, ф ... ф еъ D Л 3)
'••• r r A) (»)
через которые, согласно D.12), выражаются все спин-
тензоры Srs; линейная независимость их следует из
того факта, что на каждой системе коспиноров и спи-
спиноров е*>,.. .,е*>-, вх„ ...,ех4 ненулевое значение прини-
принимает лишь одна из полилинейных функций, заданных
спин-тецзорами D.13): из
Рч.-.P-s V|.--V
следует
и тем самым все коэффициенты ab-V =0.
Поэтому размерность пространства Srs равна числу
наборов
в которых все индексы независимо принимают значе-
значения 1, 2, т. е.
«Метрическая форма» G (?, tj) позволяет определить
операции «подъема и опускания индексов», которые
достаточно разъяснить в случае спип-тензора S ва-
валентности A, 1), имеющего вид монома Ц (§) у:
S* = (е* | g) G (s\ Tj), 5v(l = G (g, e,) (tj | efl). D.14)
откуда
S* = C&S{, S*=CiXSx;. D.15)
f,2 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Следует заметить, что при этих операциях «непупкти-
роваппые» индексы переходят опять в «непунктирован-
ные», а «пунктированные» — опять в «пунктирован-
«пунктированные», так что валентность спин-тепзора по-прежнему
может быть установлена по числу тех и других.
Спин-тензорные представления группы SL B). Вы-
Выражение спин-тепзора D.10) через спиноры и коспиноры
позволяет наиболее естественным образом построить
представления группы SL B) в каждом из спин-тензор-
спин-тензорных пространств Srs. Поскольку каждый полипом
D.10) является суммой мономов, а операторы предста-
представления должны быть, по определению, линейными,
достаточно задать действие этих операторов на мономы.
Для этого примепим к каждому множителю-спипору
Е преобразование «фундаментального» представления и,
а к каждому множителю-коспинору 1\ преобразование
сопряженного представления v; итак, мы ставим в соот-
соответствие каждой бинарной матрице и оператор TH=U,
действующий на пространстве SrB всех спип-тепзоров
валентности (г, s) по правилу
A) (••)
#(Е88?8}8
8 8»
(D («)
A) (г)
8 Э ()
си с»)
Определение операторов U, содержащееся в D.16),
инвариантно, т. е. не зависит от выбора базисов в про-
пространствах спиноров и коспипоров. Нетрудно, далее,
убедиться, что при элементарных преобразованиях
полиномов 5 их образы 175 испытывают такие же эле-
элементарные преобразования. Поэтому формула D.16)
действительно задает преобразование спин-тензоров,
зависящее лить от матрицы и, но не от частного пред-
представления спин-тензора в виде полинома D.10).
Пользуясь дуальными базисами (е,, г.,), (г', г''), за-
запишем преобразование спиноров в виде C.27)
а преобразование коспипоров в виде C.37)
^ = (п-])^\ D.18)
§ 4. СПИН-ТЕНЗОРЫ 63
Применив оператор U D.16) к обеим частям разложе-
разложения D.12) и выполнив элементарные преобразования,
получаем координатное выражение для U в виде
US = S', где
5>",'г = ц'. _.. ^(ц-1)^. ... (Я)*» ??••••?•¦. D.19)
Если вместо дуального базиса взять для коспипо-
ров сопряженный базис ?', ?1, то вместо C.28) при-
придется использовать правило C.41), что приводит к вы-
выражению
S:vb.-v = iivi ... и?*&л ... й«5?<¦¦¦?<•. D.20)
Часто применяется другая запись оператора U — в ком-
компонентах с поднятыми или опущенными индексами.
Подняв все верхние индексы по правилу D.15), имеем
$ь...^1..Л, = С№, ... CM.5'i-.->. D.21)
Точно так же получаются компоненты с поднятыми
индексами спин-тензора S' = US, которые можно вы-
выразить через компоненты того же типа спин-тепзора S.
Как показывает подсчет, использующий C.31), это
приводит к закону преобразования
S'4...->rh...L, = u^ ... и»гй?| ... mj\S*i-..*A...4 D.22)
Аналогичное выражение получается для компонент
с опущенными индексами.
Таким образом, каждой бинарной матрице и поста-
поставлен в соответствие оператор Ти~ U. Бинарной матрице
игиг соответствует, как легко видеть, произведение
операторов иъ U2 в том же порядке, т. е. TUlui=TUll\1;
единичной матрице и=1 соответствует единичный опе-
оператор. Следовательно, мы построили представление
группы SL B) в пространстве Sra', представления этого
рода называются спин-тензорными.
Однако полученные таким образом представления
довольпо сложно устроены. Чтобы выяснить строение
представлений, введем следующие общие^ понятия.
Пусть дано представление {Tg} группы G в векторном
пространстве V. Может случиться, что V содержит
64 Часть I. СПИНОРНЛЯ АЛГЕБРА
подпространство Vt (пе совпадающее с V и не сводя-
сводящееся к нулевому вектору), обладающее следующим
свойством: если х1 — вектор из Vlt то для всех g
из группы G векторы Тдхг также лежат в Vv Такое
подпространство V1 называется инвариантным по от-
ношепию к представлепию {Тд}, а само представление
в таком случае называется приводимым. Для доста-
достаточно просто устроенных групп (к числу которых при-
принадлежат, например, группы вращений, группа Ло-
Лоренца, группы SL B) и SU B)) ¦ можно построить
«дополнительное» к Fx подпространство F2, также инва-
инвариантное относительно {Тд} и такое, что каждый век-
вектор х пространства V однозначно разлагается в сумму
х1-\-х2, где хг лежит в Vlt x2 в V2. Если выбрать базис
пространства^ V так, чтобы первые m векторов соста-
составляли базис Vlt а последние п — базис F2, то в таком
базисе матрицы всех операторов Тд принимают «ящич-
«ящичный вид»:
'Т\ I 0
9\) D.23)
)\Тд
Тем самым представление {Тд} разлагается в сумму
двух представлений {Т1д}, {Тд} меньших размерностей:
Тдх = Тдх -}- Т2дх. Представление, не имеющее инва-
инвариантных подпространств и поэтому не разложимое
в сумму представлений меньших размерностей, назы-
называется неприводимым. Поскольку любое представление,
по крайней мере для встречающихся в физике групп,
разлагается на неприводимые, для приложений важнее
всего изучение неприводимых представлений.
Нетрудно заметить, что построенные выше спип-
тензорные представления, вообще говоря, приводимы.
Так, сшш-тензоры валентности B, 0) разлагаются
в сумму симметрического и антисимметрического снип-
тензоров:
где
§ 4. СПШ1-ТЕН30РЫ 65
которые под действием операторов U переходят соот-
соответственно в симметрические и антисимметрические.
Вопрос о построении всех неприводимых представле-
представлений группы SL B) мы отложим до § 9. Пока же заме-
заметим, что «фундаментальное» представление {и} (см.
C.28)) и сопряженное ему представление {vj (см.
C.38)) пеприводимы. Б самом деле, если бы спинорное
пространство С2 содержало инвариантное подпро-
подпространство относительно {и}, то размерность такого
подпространства была бы равна единице, т. е. сущест-
существовал бы сшшор ?, преобразуемый всеми унимодуляр-
пыми матрицами в кратные А?; но это, как читатель
может убедиться, неверно. Для сопряженного пред-
представления аргументация аналогична. С точностью до
эквивалентности этим исчерпываются двумерные не-
неприводимые представления SL B) (чего мы, впрочем,
не будем доказывать). Одномерное представление должно
сопоставлять каждой матрице и «матрицу первого
порядка», т. е. комплексное число zu, так что zUlUi=
~гЩщ- Можно показать, что единственное одномер-
одномерное представление группы SL B) — «тривиальное»,
для которого zK=l при всех и. Очень важный пример
сшш-тензорпого представления — представление S\,
тесно связанное с группой Лоренца. Мы изучим эту
связь в следующем параграфе.
Место спин-тензоров в тензорной алгебре. Схема
построения спин-тензоров, которой мы придержива-
придерживались выше, близка к обычному современному построе-
построению тензоров над произвольным (действительным
или комплексным) векторным пространством (ср., на-
например, [16], гл. 1; [10], гл. 2 или [14], гл. 3). Един-
Единственное различие состоит в принятом определении
дуальности пространств. Обычно «внешнее скалярное
произведение», служащее для введения дуальности,
предполагается линейным относительно векторов обоих
пространств; для спип-тензоров же целесообразно вос-
воспользоваться скалярпым произведением, линейным от-
относительно одного из аргументов (спинора) и анти-
линейпым относительно другого (коспипора). Поясним,
зачем это нужно. Если бы мы определили дуальное
пространство при помощи билинейного скалярного
5 Ю. Б. Румер, А. И. Фет
66 Часть I. СПИНОРПАЯ АЛГЕБРА
произведения, то по' формуле C.42) унимодулярному
преобразованию и пространства спиноров соответст-
соответствовало бы (в дуальном базисе) преобразование про-
пространства косшшоров с матрицей {и7")'1 (а не й!).
Но ввиду специфических свойств группы SL B) «кон-
траградиентное» представление {(и7)} эквивалентно
«фундаментальному» представлению {и}, как мы по-
показали выше. Вследствие этого «косцинорные» пред-
представления оказались бы равноценными «спинорным»,
и «смешанпые» спип-тензоры валентности (г, s) не давали
бы новых представлений по сравнению с «чистыми» ва-
валентности (r+s, 0). Оказывается, однако, что с помощью
«чистых» спин-тензоров можно получить лишь часть
неприводимых представлений группы SL B); если же
принять определение дуальности в том виде, как это
сделано выше, то разложение «смешанных» предста-
представлений на неприводимые дает полный набор неприво-
неприводимых представлений, т. е. все возможные неприводи-
неприводимые представления с точностью до эквивалентности.
Итак, построение тензорной алгебры над комплекс-
комплексным векторным пространством может быть выполнено
в двух вариантах, в зависимости от принятого опреде-
определения дуальности пространств; для целей теории пред-
представлений в случае пространства С2 с действующей на
нем группой SL B) выгоднее воспользоваться вариан-
вариантом, принятым выше. Такое положение вещей нисколько
пе удивительно, так как основная роль тензоров и со-
состоит в поставке «материала» для представления групп х).
В избранном варианте построения тензорной ал-
алгебры несколько изменяется, по сравнению с привыч-
привычным, закон преобразования компонент при замене
базиса. Пусть базис (г^ г2) в сшшорном пространстве
заменяется базисом
е; = ^,. D-24)
что вызывает замену дуального базиса
в'^ = (п-1)Ы\ D.25)
1) Приведенная здесь точка зрения, обычная у алгебраистов
со времени Фробениуса и Шура, приобрела права гражданства
у физиков лишь в последние годы, в особенности благодаря ра-
работам С. Вайнберга.
§ 5. НАКРЫТИЕ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 67
Тогда компоненты того же спин-тензора S D.12) в но-
новом базисе выражаются через компоненты S в старом
базисе по формуле
Выражение D.26) очень напоминает закон предста-
представления группы SL B), выраженный в компонентах
(ср. D.19)); различие в правых частях сводится к за-
замене и на и'1. Однако эти формулы имеют совершенно
разный смысл: в D.19) речь идет о преобразовании
спин-тензора S в другой спин-тензор S', который
описывается в том же базисе, тогда как в D.26) один
и тот же спин-тензор описывается в разных базисах.
Преобразование D.26) отличается от обычного за-
закона преобразования тензорных компонент тем, что
матрицы, осуществляющие суммирование по нижним
индексам, заменены комплексно сопряженными. Точно
такое же различие получилось в D.19) по сравнению
с тензорными представлениями групп, действующих
в действительных пространствах (например, группы
вращений или группы Лоренца).
Между спин-тензорами и «обычными» тензорами
над пространством Минковского существует важная
связь: каждый «обычный» тензор может быть выражен
через спин-тензор соответствующей валентности; но
спин-тензоры не всегда могут быть выражены через
«обычные» тензоры. Мы вернемся к этому вопросу в сле-
следующем параграфе.
§ 5. Накрытие группы Лоренца
Связь между векторами и спинорами. В исходной
мотивировке введения спиноров, приведенной в на-
начале § 3, были получены формулы C.2), C.5), выра-
выражающие координаты хх как билинейные функции от
двух пар комплексных переменных IP, Г (р, v=l, 2).
Если считать l9' координатами спинора ?, а Г — коор-
координатами коспипора \ с верхними индексами (см.
C.24)), то смешанный спин-тензор вида 1\<^\ имеет
компоненты S^=2 IT. По техническим причинам
68 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
нам будет удобно отождествить хх в формуле C.5)
с ковариантными компонентами вектора х (это при-
приведет к традиционному виду у-матриц Дирака). Тогда
имеем
S2i = t° i S' S^x -x EЛ)
1 1 2s 0 3*
Таким образом можно получить лишь спин-тензоры
частного вида; прежде всего, матрица (S^5) эрмитова,
так как координаты ха действительны. Далее,
del | S^' | = 2llll • 2|2E2 — 2f 1s2 • 21Ч1 = 0,
и из E.1) следует, что (х0J—(xxJ—(x2J—(xsJ.= 0.
Поэтому спин-тензоры E.1) соответствуют лишь изо-
изотропным векторам х. Чтобы расширить соответствие,
мы откажемся теперь от специального вида компо-
компонент S'^'', полученного в начале § 3 из геометрических
соображений, и будем исходить из произвольного сме-
смешанного спин-тепзора S валентности A, 1), заданного
с помощью верхних индексов. Тогда формулы E.1)
устанавливают взаимно однозначное соответствие между
такими спин-тензорами и четверками комплексных
чисел (xj. Изображая спин-тепзоры в виде матриц,
можно переписать E.1) в виде
1Х.Х Хо X3J \ I
где
Рассмотрим случай, когда эти числа действительны
или, что то же, матрица S эрмитова. "
Числа ха можно истолковать как ковариантпые
компоненты вектора х в пространстве Минковского
относительно некоторого псевдоортонормировапного ба-
базиса; соответствующую этому вектору матрицу E.2)
обозначим через х.
§ 5. НАКРЫТИЕ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 69
Введем еще компоненты спин-тензора S с нижними
индексами:
U
2i
E>4)
тогда из E.2) следует симметричная ей формула с кон-
травариантными компонентами вектора х:
Введем матрицы Паули ок (к = 1, 2, 3), матрицы
5ft=:—aft и ао=:5о=:1 (единичная матрица):
/1 0\ /0 1\ /0 —г\ /1 0
j l j { ) aU
E.6)
)' 9г = (-г о).
"о1
Применяя обычное правило подъема индексов к «ма-
«матричным 4^векторам» (aa), Ca), мы можем записать E.2)
и E.5) в виде
(^) = xa3« = x«3a, E.8)
x^. E.9)
Таким образом, установлено взаимно однозначное
линейное соответствие между векторами х простран-
пространства Минковского и смешанными спин-тензорами ?
валентности A, 1), изображаемыми (в данных дуаль-
дуальных базисах) эрмитовыми матрицами. Это соответст-
соответствие имеет фундаментальное значение для спинорного
анализа, поскольку с его помощью понятия, относя-
относящиеся к пространственно-временному описанию со-
событий, переводятся на «спинорный язык». Следует,
однако, отметить, что соответствие х -> хТбыло по-
построено с помощью произвольно фиксированных бази-
70 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
сов (еа) в пространстве Минковского, относительно
которого берутся координаты ха, и (е ) в пространстве
спиноров, относительно которого берутся компоненты
спин-тензоров S^. Неинвариантный характер соответ-
соответствия в этом случае не может быть устранен. При лю-
любом выборе базисов все дальнейшие рассуждения ни-
нисколько не изменяются, так что для.наших целей под-
подходит любое соответствие описанного рода. Надо
только иметь в виду, что не существует какого-либо
«естественного» соответствия между 4-векторами и сме-
смешанными спин-тензорами, которое вытекало бы из са-
самой природы этих объектов.
Приведем еще одну формулу, которая понадобится
нам в дальнейшем. Свертывая нижние и верхние ком-
компоненты спин-тепзора S, из E.2) и E.5) получаем
S^S-* = Ь; (х, х), S^S» = Ь; (х, х). E.10)
Накрытие специальной группы Лоренца. Рассмот-
Рассмотрим представление группы SL B) в пространстве спин-
тензоров S** валентности A, 1). В этом частном слу-
случае набор компонент спин-тензора удобно истолковать
как матрицу, а формулу представления D.22) — пере-
переписать в матричной форме. Согласно D.22)
S'^ = u^alSA. E.11)
При умножении матриц суммирование производится
по одинаковым индексам, а именно по второму индексу
первого множителя, нумерующему столбцы, и первому
индексу второго множителя, нумерующему строки.
Если один из индексов пишется сверху, а другой снизу,
то верхний считается первым, а нижний вторым. По этому
соглашению E.11) должно пониматься как умножение
матриц и, S, й:
S' = uSu. E.12)
Легко непосредственно убедиться, что E.12) задает
представление группы SL B): если и = ихи.,, то из S'==
= a2Su2, 5"/ = в15'й1 следует S" = (ulii2)S(u2u1) = Su
§ 5. НАКРЫТИЕ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 71
Положим теперь в E.12) S=?, т. е. рассмотрим
случай эрмитовой матрицы S. Легко проворить, что
в этом случае и S' оказывается эрмитовой матрицей:
Поэтому S' имеет форму х', где х' — некоторый другой
вектор пространства Минковского, и E.12) припимаст
вид
х' = ихй. E.13)
Ясно, что E.12) задает однозначное преобразование
ж в ж', а ввиду соответствия между 4-векторами х и
матрицами х — также однозначное и притом линейное
преобразование х в х'\
где матрица Л? определяется бинарной матрицей и.
Так как это преобразование переводит действительные
числа х3 опять в действительные числа х'а, коэффи-
коэффициенты Л? действительны.
Переходя в E.12) к определителям и замечая, что
det | и | =det | й | =1,
del | ? | = {xof - {xxf - {x2f - (x3f = (x, x), E.14
имеем (x', x') = (x, x); следовательно, Л — преобразо-
преобразование Лоренца. Итак, мы сопоставили каждой бинар-
бинарной матрице и преобразование Лоренца Л.
Тем самым задано представление группы SL B)
в действительном четырехмерном пространстве Минков-
Минковского. Если применять формулу E.12) к любым комп-
комплексным координатам (ха), то это представление может
быть расширено до представления в четырехмерном
комплексном пространстве; это и есть исходное спин-
тензорное представление валентности A, 1). Итак,
преобразования Лоренца получаются путем выделения
в S\ действительного инвариантного подпространства,
состоящего из спин-тепзоров с эрмитовыми матрицами
(?•"). Заметим еще, что если и — унитарная матрица,
то А оказывается вращением; в самом деле, в этом слу-
случае й=и~1, х' = ихи~1, а потому Sp?' = Spx. Так как
72 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Spx=2x0, Spx'=2xQ, это означает, что х'0=х0, т. е.
Нетрудно показать, что указанным способом полу-
получаются лишь специальные, т. е. собственные ортохрон-
ные преобразования Лоренца. В самом деле, для и=\
имеем det | и \ =1, А% > 0. При непрерывном изме-
изменении и оба эти соотношения должны сохраняться
(ер. A.21), A.22)), и наше утверждение вытекает из
доказанной в § 3 связности группы SL B). Итак, соот-
соответствие и —>¦ Л приводит лишь к специальным пре-
преобразованиям Лоренца. Как мы покажем ниже, таким
способом может быть получена вся группа L*.
Обозначим соответствие и -> Л через h: h(u)=A.
Оказывается, это соответствие переводит произведение
UjU% в произведение соответствующих преобразований
Лоренца Л^Л^:
h (И|М2) = h (и^ h (н2). E.15)
(Отображение одной группы в другую, обладающее
таким свойством, называется гомоморфизмом). Доказа-
Доказательство E.15) не составляет труда: по определению h
А2х = х' равносильно ?' = и2?й2, Агх' = х" равносильно
x!'=uixlul, откуда ?' = (и1и2)х(и1и2)+; а это значит,
что х" получается из х преобразованием к(щи2).
Покажем теперь, что все преобразования из L\.
можно получить описанным выше способом. Прежде
всего рассмотрим бинарную матрицу
а ... ч . а
г = cos -TJ- -f-1 {na) sin -?=
/а .а .а
cos ~2 + in3 sin ~2 i (nl — in2) sin •
i (re, 4- in.,) sin -тт cos -n — in3 sin ¦
где п=п^-\-пгег-\-щеъ — «пространственный» вектор
единичной длины, т. е. п\-\-п\-\-п\=\, Ь — произволь-
произвольный угол, а п<з=п1о1-\-п2о2-\-п3а3— линейная комби-
комбинация матриц Паули. Матрицы г унитарны: так как
имеем
+ а . . а
r=cos -s-— i(n<j) sin-^- ,
§ 5. НАКРЫТИЕ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 73
откуда г?=1. Можно показать, что всякая унитарная
унимодулярная матрица представима в виде E.16);
следовательно, E.16) есть общий вид матриц группы
SU B).
Легко проверить с помощью E.12), что и=г задает
вращение R вокруг оси п на угол &. Таким образом,
эта формула позволяет получить все собственные
вращения (с определителем 1).
Далее рассмотрим бинарную матрицу
¦Chy + B,8h-|- (Bj-fBi)s' л
i -f- гге2) sh ~2 ch -5" — re3 sh -rj-y
с теми же обозначениями. Эта матрица эрмитова. Легко
проверить, что соответствующее преобразование Л
есть буст В, переводящий е0 во времениподобный вектор
х = ch Ь • е0 — пх sh Ь • ех — п2 sh & • е2 — п3 sh & • es. E.18)
Обозначим этот буст через В (х). Так как и и & здесь
произвольны, мы можем получить в качестве Л любой
буст (ср. A.25)).
Теперь уже легко доказать, что когда и пробегает
всю группу SL B), соответствующее преобразование
A.=h (и) пробегает всю специальную группу Лоренца
L\. В самом деле, из разложения A.33) для любого
Л из L\ получаем буст В и собственное вращение R.
Найдем такие бинарные матрицы г, Ь, что R=h (r),
B=h(b); тогда в силу E.15) h(br)=BR=A.
Заметим, что соответствие между бинарными ма-
матрицами и и преобразованиями Лоренца Л не взаимно
однозначно г). Например, если заменить и матрицей —и
(также бинарной), то в силу E.12) получается то же Л.
Оказывается, что для каждого Л существует в точности
1) Взаимно однозначный гомоморфизм одной группы на
другую называется изоморфизмом. Таким образом, группы L+
и SL B), тесно связанные между собой, не изоморфны.
74 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
две матрицы и, для которых h (и)=Л; тогда ясно, что
они отличаются лишь знаком.
В случае, когда Л=/, h (и)=1 означает, что х=ихй
для всех х, т. е. для всевозможных эрмитовых матриц х.
Поскольку каждая матрица есть линейная комбина-
комбинация эрмитовых (например, aj, имеем а=иай для
всех матриц а. Полагая, в частности, я=1, мы видим,
что й=и~1', следовательно, а=иаи~1 для всех матриц а,
т. е. матрица и перестановочна со всеми матрицами
а. Но тогда и кратна единичной матрице: и=Х-1 (это
следует из леммы Шура, Приложение II, или может
быть доказано непосредственно). Поскольку det | и |=1,
должно быть Х=+1, и=+1.
Пусть теперь и, иг — бинарные матрицы; покажем,
что если h {u)=-h (щ), то и1=+и. В самом деле, до-
допустим, что h (u)=h (щ); тогда в силу E.15) /г. (и1и~1) =
=h (u])h(u~1)=h(Uj)h{u)~1=I, откуда, по ранее дока-
доказанному, и1и~1=-\-1 или —1, т. е. ut—+и. Итак,
каждое преобразование Лоренца из группы L\ соот-
соответствует в точности двум бинарным матрицам +и.
Этот факт выражают, говоря, что h есть двулистное
накрытие группы L* группой SL B).
Важно иметь в виду, что двулистный характер на-
накрытия есть «глобальное» явление, т. е. связанное
со строением групп в целом, но не проявляющееся
в окрестности данных элементов Л, и; очевидно, если
h (и) = Л, то для преобразований Лоренца, близких
к Л, однозначно находятся накрывающие бинарные
матрицы, близкие к и. В частности, матрицы и, близ1
кие к 1, и преобразования Л, близкие к /, находятся
во взаимно однозначном соответствии. Это обстоятель-
обстоятельство, как мы увидим, позволяет отождествить алгебры
Ли обеих групп.
Отображение h, рассматриваемое лишь на подгруппе
SU B), задает двулистное накрытие группы собствен-
собственных вращений SO C). В самом деле, как мы видели,
для унитарной матрицы г преобразование h (r) оказы-
оказывается вращением с определителем 1, и каждое собст-
собственное вращение II накрывается двумя матрицами
±г (см. E.16)).
§ 5. НАКРЫТИЕ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 75
Нам понадобятся дальше некоторые специальные
выражения для бинарных матриц, накрывающих бусты.
Фиксируем времениподобный вектор
х = т (oh 8- • е0 ¦¦{-п1 sh & • ех -j- /г., sh & • е2 -)-
¦+B,sh».e8) E.19)
и положим
b(a:) = ch-|- —(#w)sh|-. E.20)
Тогда, как легко проверить, b(xJ=c\i%—(wa)sh&, от-
откуда для эрмитовой матрицы Ъ (х) и матрицы
m-
имеем
(m 0\
— Vo m)
b{x)fhb{x) — x. E.21)
Буст, накрываемый матрицей Ъ (х), обозначим через
В(х). Переменив знак в, получаем матрицу, накрываю-
накрывающую «аптибуст» В'^х). Очевидно, для вектора т=(т,
0, 0, 0) имеем В(х)т=х.
Зададим теперь преобразование Лоренца Л. Тогда
последовательное выполнение преобразований В (х),
Л, В~г(Ах) переводит вектор т в себя (см. схему):
Тем самым при любом фиксированном времениподоб-
ном векторе х преобразование
R (Л, х) = В-1 (Ах) АВ (х) E.22)
есть вращение. Построим теперь бинарную матрицу
и = b (Ax) r (A, x) b-1 (х), E.23)
76 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
где г (Л, х) накрывает R (А, х) (см. E.16)). В силу
свойства гомоморфизма E.15) бинарной матрице и
соответствует
В (Ax)R (А, х)В'1 (х) = В(Ах)В~1 (Ах)АВ (х)В'1 (х) = А,
т. е. то преобразование Лоренца Л, которое было за-
задано вначале. Таким образом, мы приходим к форму-
формулам, выражающим любую бинарную матрицу через
матрицы, накрывающие вращения и бусты; эти выра-
выражения зависят от выбора вектора х (см. E.20)):
u = b(Ax)r(A,x)b-l(x),
u-1 = b(x)r-1(A, x)tl{Ax); (l)< '
rl{A,x)z=b'l{x)u~lb{Ax). ^' °
Как видно из схемы
/77
преобразование г (Л, х) переводит эрмитову матрицу
m в себя, как это и должно быть для унитарной ма-
матрицы ввиду t=r~1.
«Двузначные» представления. Мы начали с поисков
двумерного представления группы Лоренца. Означают
ли предыдущие построения, что эта задача решена?
Строго говоря, это не так. Дело в том, что мы построили
соответствие в обратном направлении: матрицам и
мы сопоставили преобразования Лоренца; представле-
представление же группы требует, чтобы элементам группы —
в данном случае преобразованиям Лоренца — соот-
соответствовали матрицы. При попытке обратить это соот-
соответствие мы видим, что каждому (собственному орто-
хронному) Л соответствуют две матрицы +и. При ум-
умножении Аг па Л2 эти матрицы умножаются с точностью
до знака, т. е. матрица, отвечающая AjAa, может от-
отличаться знаком от произведения матриц, отвечающих
§ 5. НАКРЫТИЕ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 77
Аи Л2. В таком случае говорят, что задано двузначное
представление — в данном случае группы L? — би-
бинарными матрицами.
Это не случайно: можно доказать, что группа L*
вообще не имеет «однозпачных» (т. е. обычных, опре-
определенных выше в § 2) представлений размерности 2,
кроме тождественного, сопоставляющего каждому Л
матрицу 1. Между тем случай размерности 2 в физике
очень важен: двухкомпононтные поля служат для опи-
сапия электрона, позитрона и нейтрино. Отсюда ясно,
почему применяются «двузначные» представления
группы Лоренца.
Однако существует способ обойти эту трудность,
заменив группу L\ бинарной группой. Это имеет три
важных преимущества:
A) Все представления группы SL B) однозначны;
таким образом, отпадает надобность в неестественном
с алгебраической точки зрения понятии, каким
является «двузначное» представление.
B) При отыскании представлений интересуются
прежде всего неприводимыми представлениями, не раз-
разложимыми на более простые. Оказывается, что группа
L\ имеет (однозначные) неприводимые представления
лишь нечетных размерпостей, а в четных размерно-
размерностях — только «двузначные». Между тем группа SLB)
имеет (однозначные) неприводимые представления всех
размерностей.
C) Аналитические свойства группы SL B) проще,
чем у группы Лоренца: сложные условия псевдоорто-
гональпости A.20), налагаемые па матрицы четвер-
четвертого порядка, заменяются здесь единственным усло-
условием dot | и | = 1, которому должна удовлетворять
матрица второго порядка, — правда, с комплексными
элементами. Это обстоятельство весьма облегчает оты-
отыскание представлений.
Связь между представлениями обеих групп состоит
в следующем. Пусть Т — представление группы Ло-
Лоренца Lj в (комплексном или действительном) вектор-
пом пространстве V; это значит, что каждому преоб-
преобразованию Л из L\ соответствует оператор Та, дейст-
действующий в V (или матрица, если в V выбран базис).
78 Часть 1. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Тогда каждой бинарной матрице и можно поставить
в соответствие оператор TJi в том же пространстве V,
получаемый следующим образом: берут для каждой
матрицы и накрываемое ею преобразование h(u)=A,
а затем, пользуясь уже известным представлением Т,
строят матрицу Гд. В результате из каждого предста-
представления L\ получается представление SL B). Попы-
Попытаемся теперь выполнить обратный переход. Пусть
дано представление Т группы SL B) в пространстве
V; тогда каждой бинарной матрице и соответствует
матрица Та, задающая оператор в V. Возьмем специаль-
специальное преобразование Лоренца А; его накрывают две
матрицы +и, и естественно сопоставить преобразова-
преобразованию Л пару матриц Ти, Т_и. Оказывается, что в каждом
представлении группы SL B) либо матрицы Ти, Т_и
совпадают для всех и, либо Т_и=—Ти для всех и. В слу-
случае спин-тензорных представлений Srs, как видно из
их определения D.16), имеем Т_и=Ти при четном r+s,
Т_и= — Ти при нечетном r+s. Соответственно этому из
(однозначных) представлений группы SL B) полу-
получаются однозначные или «двузначные» представления
специальной группы Лоренца.
Два простейших примера получаются из самой проце-
процедуры пакрытия. Рассмотрим «фундаментальное» представ-
представление валентности A, 0) группы SL B), при котором каж-
каждой бинарной матрице и сопоставляется оператор C.28),
действующий на пространстве спиноров С2. В этом
случае Ти можно отождествить с и, поскольку матрица
Ти совпадает с матрицей и по самому определению пред-
представления. Посмотрим, какое представление группы
L* получается из «фундаментального» представления
SL B). По описанному выше правилу надо сопоста-
сопоставить каждому специальному преобразованию Лоренца
Л сначала пару накрывающих его матриц +и, а затем
(совпадающие или нет) операторы представления Ти,
Т_и. В данном случае эти операторы различны, как
и должно быть в случае нечетного r+s, и отождест-
отождествляются с матрицами и, —и. Получается «двузначное»
представление Л -> +и, обратное накрытию h.
В качестве второго примера рассмотрим представле-
представление группы SL B) валентности A, 1), т. е. смешанными
§ 5. НАКРЫТИЕ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА 79
спин-тензорами S'^ . В этом представлении матрицам
и, —и соответствует один и тот же оператор (см. E.12)),
так что Т_ш=Ти. Матрицей Ти=Т_и является как раз
матрица того преобразования Лоренца Л, которое
накрывают и, —и. Поэтому из представления валент-
валентности A,1) группы SL B) получается однозначное
представление, в котором каждому Л соответствует
ГЛ=Л, иначе говоря, «фундаментальное» представле-
представление группы L*. Это представление однозначно, как
и должно быть в случае четного r-\-s. Ряд более инте-
интересных примеров будет рассмотрен в дальнейшем.
Наряду с указанными выше преимуществами группа
SL B) имеет существенный недостаток по сравнению
с группой Лорепца: она соответствует лишь L\, т. е.
связной подгруппе L, содержащей тождественное пре-
преобразование, и не имеет никакого отношения к дискрет-
дискретным преобразованиям Р, Т, играющим важную роль
в теории поля.
Связь между тензорами и спин-тензорами. Основные
формулы E.8), E.9) сопоставляют векторам прост-
пространства Мипковского спин-тензоры валентности A, 1).
Поскольку любой тензор над пространством 4-векторов
(т. е. тензор, компоненты которого преобразуются
по группе Лоренца) может быть представлен в виде фор-
формального полинома от 4-векторов, отсюда сразу же вы-
вытекает общее выражение тензоров через спин-тензоры,
которое мы проиллюстрируем па примере двухвалент-
двухвалентного тензора F^: ему соответствует спин-тензор валент-
валентности B, 2)
Все соотношения тензорной алгебры могут быть пред-
представлены как соотношения между соответствующими
спин-тензорами. Например, свертывание векторов сво-
сводится к свертыванию спин-тензоров (ср. E.10)): если
S=x\, T=y% то
Таким образом, тензорная алгебра может быть пол-
полностью сведена к спин-тензорной: все соотношения,
80 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
формулируемые с помощью тензорного аппарата, могут
быть записаны и на спин-тензорном языке. Обратное,
однако, неверно: не все спин-тензоры могут быть све-
сведены к тензорам. В этом смысле спипорная алгебра
может рассматриваться как обобщение обычной тензор-
тензорной алгебры.
§ 6. Бисшшоры Дирака
Накрытие полной группы Лоренца. Естественно
попытаться расширить построенное выше пакрытие спе-
специальной группы Лорепца L\ бинарной группой SLB)
до накрытия полной группы Лорепца L. Только в этом
случае можно будет удовлетворительно описать спи-
норные поля, допускающие пространственное отраже-
отражение (см. ниже, § 7), а также «обращение времени».
Простейшая идея состоит в том, чтобы расширить
группу SLB) до некоторой группы преобразований
того же пространства С2, накрывающей полную группу
Лоренца. Следующее простое рассуждение (ср. [4])
доказывает, однако, что это невозможпо. Предполо-
Предположим, что в «расширенной» группе существует преобра-
преобразование иР, накрывающее пространственное отражение
Р. Поскольку все вращения R перестановочны с Р,
RP=PR, то должно быть гщ>=+иРг; при г=1 в этом
равенстве должен быть знак плюс, сохраняющийся
при непрерывном изменении г. Следовательно, матрица
up перестановочна со всеми г из группы SU B) и, по-
поскольку «фундаментальное» представление этой группы
неприводимо, иР кратна едипичпой матрице 1 (лемма
Шура, Приложение II). Но тогда иР перестановочпа
со всеми матрицами SLB); в силу накрытия h это вле-
влечет за собой перестановочность Р со всеми преобразо-
преобразованиями группы L\, что неверно. Итак, оставаясь
в пределах того же спинорного пространства С2, нельзя
построить накрывающую группу для L'f (и, тем более,
для всей группы L).
Чтобы сделать возможным такое построение, надо
расширить пространство спиноров. Рассмотрим все-
всевозможные пары, состоящие из спинора и коспинора:
Ч = & *»• F-1)
§ 6. Б11СПИП0РЫ ДИРАКА 81
Назовем такие пары бистшнорами и введем для них
операции сложения и умножения на комплексные числа
«покомпонентно», т. е. по правилам
Полученное комплексное векторное пространство
обозначается С2фС2, где © означает алгебраическую
конструкцию «прямой суммы» пространств, заданную
правилами F.2). Пространство бисшшоров разлагается
па два подпространства в силу соотношения
{?, *!} = {Е,0} + {0, Tj); F.3)
отождествляя биспиноры вида {?, 0} со спинорами ?,
а биспиноры вида {0, tj} с коспинорами т), можно счи-
считать, что каждый биспинор является формальной сум-
суммой спинора и коспипора. Поэтому базисы (е1} е2) и
(е1, e2) в совокупности составляют базис для бисшшо-
бисшшоров; следовательно, пространство биспиноров четырех-
четырехмерно. В компонентах биспинор представляется в виде
или в виде столбца
В этой последней форме биспиноры и были введены
Дираком *). Когда разделение компонент <|> па спинор-
ные и коспинорпые несущественно, мы будем их обозна-
обозначать также через <|»а, р—1, 2, 3, 4.
Среди линейных преобразований пространства би-
спипоров отметим прежде всего преобразования, за-
х) Тот факт, что чотырохкомпонентные «величины» Дирака
сводятся к парам спиноров, был вскоре после этого установлен
Ван дер Варденом.
6 ГО, Б. Румер, А, И. Фет
82 Часть I, СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
данные сопряженными представлениями группы SL B),
{и} и {v}:
Е'=ц?, tj' = ^. F.6)
или в матричной форме, в дуальных базисах: <]/ = ui>,
(и\ 0
й=Н—
Очевидно, представление {й} группы SL B) приводимо:
оно разлагается на неприводимые представления {и},
{v}. Далее, это представление точно, поскольку в нем
разные бинарные матрицы и изображаются разными
преобразованиями м= Ти. В силу взаимно однознач-
однозначного соответствия между бинарными матрицами и пре-
преобразованиями пространства биспиноров й, можно счи-
считать, что эти последние составляют другую реализа-
реализацию группы SL B), накрывающей по указанным выше
правилам специальную группу Лоренца. В этой повой
(четырехмерной) реализации удается осуществить рас-
расширение группы SL B) до большей группы, накрываю-
накрывающей полную группу Лоренца.
Алгебра ^-матриц. Общие преобразования Лоренца
получаются из специальных умножением на один из опе-
операторов Р (пространственного отражения), Т (обраще-
(обращения времени) или РТ- Операторы Р, Т являются част-
частными случаями отражения относительно трехмерной
плоскости пространства Минковского &#, которое можно
определить следующим образом. Пусть а — неизо-
неизотропный вектор оЖ, т. е. (а, а)у^0. Тогда любой вектор х
можно разложить на составляющую х', коллинеарпую
а, их", ортогональную а:
х=х'-\-х», х' = \а, (х",а) = 0, F.8)
откуда без труда находим X; имеем
, (х, а) „ (х, а)
(а, а) > (а, а)
Отражение относительно трехмерной плоскости, орто-
ортогональной а, можно определить как преобразование
§ 6. БИСПИНОРЫ ДИРАКА 83
пространства с4(, но меняющее векторов этой плоскости
и меняющее знак ортогональных ей векторов:
рах" = х", Рах' = ~х', Рах = -х1 -\ - х",
откуда
р х = х-2(^\а. F.9)
а (о, я.) ч '
Легко проверить, что
Р1=1. F.10)
Оператор пространственного отражения и оператор
обращения времени выражаются через операторы Ро:
Р = Ре1Ре,Рез, Т = Р,0. F.11)
Мы хотим построить в пространстве биспиноров С*
линейные преобразования, накрывающие операторы Ра.
Пусть а — единичный или «антиединичпый» вектор,
т. е. (а, а)=+1. Допустим, что построены накрываю-
накрывающие преобразования для операторов Ра, соответствую-
соответствующих таким векторам; обозначим через *( (а) преобразо-
преобразование, накрывающее отражение Ра. Что можно сказать
о зависимости f (а) от вектора а? Построим произ-
произведение этого преобразования па себя: т(а)Т (а)==Т(аJ-
Тогда, прежде всего, из F.10) следует, что ч(аJ должно
накрывать /, поскольку пакрытие должно быть гомо-
гомоморфизмом (ср. E.15)). Если еще предположить, что
для полной группы Лоренца, как и для специальной,
накрывающие одного и того же преобразования Л могут
различаться только знаком, то должно быть
либо т(аJ=1, либо т(аJ=— 1, F.12)
где 1 означает единичную матрицу четвертого порядка.
Когда мы ищем аналитическую зависимость *( (а)
от а, то неестественно ограничиться векторами а, для
которых (а, а)=+1; следует искать выражение т(а)
для всех а, но лишь для единичных и антиединичных
векторов сохранить требование, чтобы т (а) накрывало
Ра. Простейшая зависимость — линейная:
b). F.13)
6*
84 Часть I. СШШОРНАЯ АЛГЕБРА
Для любого неизотропного вектора а имеем а=1а0,
где X — число и (а0, ао)=+1; из F.13) и F.12) следует,
что у (аJ= +(й) я)- Выберем здесь для определенности
знак плюс и будем искать такую линейную зависимость
у(а), для которой у(аJ=(а, а) при всех а. Имеем
Т(а + &J = (т(«) f уF)J =
= т (аJ + у (а) т (Ь) -|- т F) т (а) + Т (&)а.
т (а — бJ = (Т (а) — Т (б)J =
= т (аJ - т (о) у (Ь) - Т (&) Т («) + Т W2-
Вычитая, находим
-(о-Ь, а -6)} = 2 (а, 6). F.14)
Вводя для левой части обозначение [-((а), y(fr)L, полу-
получаем «антиперестановочные соотношения» для у-матриц:
U(a),T(b)\+ = 2(a,b). F.15)
В частности, если а, Ъ — векторы псевдоортонорми-
рованного базиса (ej, для матриц
т:=т(о F-16)
должны быть выполнены соотношения
Отсюда видно, как можно построить систему матриц
у (а); так как искомая зависимость линейна, достаточно
задать четыре матрицы у„» удовлетворяющие соотно-
соотношениям F.17), и выразить через них все у (а); тогда бу-
будет соблюдаться условие F.15).
Произвол в построении системы у-матриц весьма
невелик. Если у (а) — другая система матриц, также
удовлетворяющая соотношениям F.15) и линейно зави-
зависящая от а, то существует такая (не зависящая от а)
матрица W, что
4(a)=W-;(a)W-1 F.18)
для всех а, т. е. обе системы различаются лишь заменой
базиса в пространстве биспиноров С*. При этом матрица
§ 6. БИСПИНОРЫ ДИРАКА 85
V в F.18) определяется с точностью до числового
сожителя *).
Вместо матриц fa вводят обычно матрицы Ta=^Tli
удовлетворяющие перестановочным соотношениям
tT.. Тц]+ = -2*«р (*, Р = 0, 1, 2, 3); F.19)
это значит, что [ja, тДь=° ПРИ а?=$, То=—1. т! =
^= -^| ^= -^| ^= 1. (Применение матриц ^ вместо -^ связано
с традицией, сложившейся в то время, когда метрическая
форма в пространстве Минковского записывалась с об-
обратным знаком: g00——1, gn=g22=gs3= 1.) При замене
базиса в <М матрицы Та==^т1 преобразуются как кова-
риантные компоненты вектора. Часто используются и
соответствующие контравариантпые компоненты, т. е.
матрицы
f=f% Т° = То, Т* = -Т* (fc= 1,2,3), F.20)
удовлетворяющие таким же перестановочным соотно-
соотношениям
IT", Л=-2^ (а, р=0, 1, 2, 3). F.21)
Наконец, вводят еще матрицы
Т4 = Т* = -*То F-22)
и
Т5 = TiT2T3T4= ?ToTiT-2T3. F-23)
для которых
[ТЛр1 = 21? (*, Р = 1, 2, 3,4), F.24)
[Ъ T5]+ = Q (а = 0, 1, 2, 3), Т|=1. F.25)
Заметим, что матрицы ?у5уа (а^О, 1, 2, 3) удовле-
удовлетворяют соотношениям
= 2ga3 («, Р = 0, 1, 2, 3) F.26)
таким же, как матрицы у'л, введенные нами в начале.
Именно эти матрицы ?у5Т« и послужат далее для задания
х) Это предложение иногда называют «фундаментальной
теоремой Паули».
80 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
преобразований пространства биспиноров, накрываю-
накрывающих отражения относительно координатных осей. Оче-
Очевидно, такая более сложная запись (iy5ya вместо *(«)
связана лишь с традицией написания у-матриц.
В дальнейшем мы будем понимать под матрицами fa
всегда Го. Ti» Тг> Тз-
Произведения -(-матриц составляют систему из 16
линейно независимых матриц:
1,
Та.
Т.Тэ («<Р), F-27)
Т.ТзТ» (*<Р<8)
и, тем самым, аддитивный базис всех (комплексных)
матриц четвертого порядка *). Сами же матрицы уа
составляют мультипликативный базис: это значит, что
любая матрица четвертого порядка может быть выра-
выражена как полином с комплексными коэффициентами
от уа (свободный член которого считается кратным еди-
единичной матрице).
Конкретная реализация у-матриц, как уже было
сказано, не однозначна и допускает произвол вида
F.18). Если желательно сохранить разделение биспи-
нора на спинор и коспинор (т. е., в координатной
форме, не смешивать первые две координаты фа с двумя
последними), то берут у-матрицы в виде
О 0 0 г
—I 0 0*0
То — \ _t о 0 0/' Ч\—\ о —г 0 0
\—i 'о 0 ОУ
0 0 . ON F-28)
_ 0 0 0—1
Тз—| —j 0 0 0
0 г 0 0J
г) Аналогичные системы матриц можпо построить во всех
пространствах размерности 2" (п=1, 2,. . .); они порождают так
называемые алгебры, Клиффорда. Например, при п—i имеем
матрицы Oj, о2, которые вместе с 1 и —<з3=га1,оа составляют ад-
аддитивный базис для всех матриц второго порядка.
I 6, БИС1ГИН0РЫ ДИРАКА S7
или, в более краткой записи
/О 1-го
ъ = (~JJ-) {к= 1( 2' 3)- F-29)
Ясно, что каждое из преобразований вида F.29) пере-
переводит спинор в коспинор и обратно. Проверка переста-
перестановочных соотношений F.19) не составляет труда.
При этом
'1 | 0 \
F.30)
В физике имеет важное значение также другой базис
в пространстве биспиноров. Произведем замену коор-
координат:
F-31)
Здесь пары «р=(ф19 ф2)) Х^(Фз> Фг) преобразуются так же,
как декартовы координаты плоскости при повороте
на 45°:
?' = ^=(? + z), *' = ^(-? + z)- F-32)
Однако после преобразования, «смешивающего» спи-
норные и коспинорные компоненты, <р' и ¦? уже не могут
быть истолкованы как спинор и коспинор; это просто
краткие обозначения для пар координат.
В новом базисе те же преобразования F.29) изобра-
изображаются матрицами Дирака — Паули:
Т„= —f- , Т*= —Г—) (*=1.2,3); F.33)
V о | t ) \—«oj о /
при этом
0 I -1
) F-341
88
Часть I, СПННОРНАЯ АЛГЕБРА
(Полученные выражения матриц уа отличаются знаком
от встречающихся у ряда авторов. У этих авторов мет-
метрика пространства Минковского берется в виде ?Оо=—1>
^и=^22=:^зз=1) чт0 приводит к другому правилу
подъема индексов. Матрицы с верхними индексами у",
участвующие в уравнении Дирака (см. § 7), у нас
получаются те же.)
Две основные формы для биспиноров. Пространства
спиноров и коспиноров наделены структурой, состоя-
состоящей из антисимметрических форм G (t, tj), G (^, i\) и
связывающего оба пространства антилинейного опера-
оператора С- С помощью G, G и С можно определить на про-
пространстве биспиноров С4=С20<С2 две формы, первая
из которых билинейна и антисимметрична, а вторая
эрмитова. Именно эта вторая форма играет важную
роль в физике, поскольку она служит для построения
«вектора тока» Дирака.
Пусть <|>, ? — два биспинора:
={Е, С}, х={-п,Ц;
положим
F.35)
F.36)
или, в координатах (см. C.20)),
s1 S2
h
h
Xi
t
+
Хз
X4
. F.37)
Мы обозначим эту форму снова буквой G, указывающей
ее происхождение от форм C.14). Ясно, что форма
^ (t» x) билинейна и антисимметрична относительно
перестановки биспиноров:
G(x, «Ю = -С(ф, х)- F-38)
Далее форма G инвариантна относительно группы
5LB), действующей на биспиноры, т. е.
х); F-39)
§ 6. БИСПИНОРЫ ДИРАКА 89
в самом деле, ввиду C.30)
Мы имеем антилинейный оператор d преобразую-
преобразующий спиноры в коспиноры, и оператор С, преобразую-
преобразующий коспиноры в спиноры. Построим из них оператор,
действующий на биспиноры и обозначаемый также
через С («оператор зарядового сопряжения»):
$ = С(Ф) = С({5, W = h, 1) = {Сг\ СП- F-40)
Ясно, что С — антилипейный оператор, причем (для биспи-
норов)
С2 = /, С = С. F.41)
Таким образом, С «переставляет местами» спинор -и
коспинор в биспиноре <|». Учитывая принятую норми-
нормировку матрицы С (см. C.19)), можно записать С в «раз-
«разделенных» (спинорно-коспинорных) координатах:
С(Е\ &, II, ^ = tf, ч», 1Р Ц= ¦
= (—\ % ?2> —?)• F.42)
или, что то же,
С («к, fc, «!>„ *J=(-?», ?„ ?я, -?i). F.43)
Нетрудно проверить, что оператор С перестановочен
с операторам» и биспинорпого представления группы
SL B): в силу определения F.40) и C.33),
Таким образом,
Си = йС F.44)
Форма G следующим образом изменяется под дей-
действием оператора С:
= — &(Ф, У); F.45)
Часть I. СШШОРНАЯ АЛГЕБРА
в самом деле, если <}» = {?, С}, х=
G(C-J», Cz) = I
то в силу
= G(C, &)—G(S, -»i) = —.
Введем теперь основную форму В от двух биспино-
ров:
В (ф, ^)^G(C!j', х)- F.46)
Легко проверить, что эта форма эрмитова, т. е. при пере-
перестановке аргументов значение ее заменяется комплексно
сопряженным:
В (%, с|>) = #(<{>, х); (^-47)
в самом деле, вследствие F.45), F.41), F.38)
40 = —G(C'2x. C<j>) =
= -G (z, Op) = G (Ct, z)=Д A», z).
В «разделенных» координатах форма В выражается
следующим образом:
(РФ),
Ч», z) = -
Х-2
Xl Х2
Хз
Х4
ф ф
Хз Х4
F.48)
Переходя к координатам Дирака—Паули по форму-
формулам F.31), получаем другое выражение формы В,
из которого эрмитов характер формы становится вполне
очевидным:
в («I», z)=«PiXi + to - to - to- F-49)
Заметим, что вследствие эрмитовости В (<f>, <f) действи-
действительна при всех <|>; но форма В не положительно опре-
определенна, а индефинитна, т. е. может иметь любой
знак х).
*) Форму В иногда записывают с помощью матрицы у0
в виде В (ф, х)=*ФтоХ> где х трактуется как матрица-столбец,
ф — как матрица-строка (§lt ф2, ф3, ф4), а умножение в правой
яасти — как умножение матриц.
§ 6. БИСПИНОРЫ ДИРАКА 91
Фундаментальное свойство формы В состоит в ее
инвариантности по отношению к группе SL B),
В(Щ,йх) = В(Ьх), F.50)
что вытекает из инвариантности G (см. F.39) и F.44):
В(й'Ь, йх) = О(СЦ, йх) =
= G (ОСф, йх) = G (Сф, х) = В (ф, z).
Наконец, по отношению к зарядовому сопряжению
оператор В ведет себя следующим образом:
В(СФ, Cz)=-B(Z> Ф); F.51)
в самом деле, согласно F.38),
= С(ф, Cz) =
Накрытие отражений. Теперь мы покажем, следуя
Ван дер Вардену A4], § 20), как можпо построить дву-
двулистное пакрытие полной группы Лоренца L. По опре-
определению, смешанный спин-тензор S валентности A, 1)
есть билинейная функция от спинора? и коспинора т).
Теперь мы можем истолковать S как линейную функ-
функцию биспинора:
5(ф) = 5F, •?)). F.52)
Пользуясь верхними индексами, можно записать эту
функцию в виде
, i \. F.53)
Зададим представление группы SL B) в пространстве
спин-тензоров S формулой
5'E, <1) = 5(и-16, 1ГЧ|); F.54)
здесь под знаком функции выполняются обратные
преобразования, чтобы преобразования S —> 5" умножа-
умножались в том же порядке, что и преобразования и (ср. опре-
определение преобразования полей в § 2). Легко проверить,
что компоненты S^ преобразуются при этом по пра-
правилу D.22), так что мы возвращаемся к накрытию
92 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
специальных преобразований Лоренца E.13). Однако
трактовка спин-тензора (?>') как функции биспинора <|>
позволяет рассмотреть также некоторые преобразова-
преобразования биспиноров, не сводящиеся к отдельному преобра-
преобразованию спиноров в спиноры и коспиноров в коспи-
норы. Посмотрим, например, как действуют на спип-
тензоры S преобразования биспиноров ха (которые мы
будем записывать в «разделенных» координатах ?*,
?2, 7Ц, rg, приняв тем самым для у-матриц форму F.29)).
Определим, по аналогии с F.54),
При <х=1, 2, 3, 5 Т«1=Та и То1 = ~То; учитывая отожде-
отождествление координат F.4)
(Фь Ф2, Ф„ М = (&\ %\ Щ, И$, F-55)
паходим:
То(Р. ^» 41, ^) = (-^i> ~^2. "И1. -^),
Ti^1. ^2. ii. ij)=(*¦%» ^i- —^2. —г'?1),
Т2(Е1, ^2, ц, ча)=(»2. -ц. -?2> S1), F.56)
Вычисляя компопспты преобразованного бисиинора
(из F.53)), имеем соответственно для а^О, 1, 2, 3, 5:
F.57)
§ 6. БИСПИНОРЫ ДИРАКА 93
Очевидно, при этих преобразованиях эрмитовы
матрицы переходят опять в эрмитовы. Из формулы
E.2), связывающей смешанные спин-тензоры с векто-
векторами пространства Минковского, видно, что yfc (А=1,
2, 3) накрывают отражения Рек относительно про-
странствеппых осей, у0 накрывает «инверсию прост-
пространства» Р=Р,,Р,1Рез, наконец, у5 накрывает «полное
отражение» РТ пространства Минковского. Отсюда
следует, что уГ)у0 накрывает «обращение времени» Т=Р«0.
Таким образом, связь между у-матрицами и отраже-
отражениями пространства Минковского, которая и привела
нас к у-матрицам, подтверждается. Приступим теперь
к построению двулистного накрытия полной группы
Лоренца L. Для этого достаточно присоединить к пре-
преобразованиям й группы SL B) «дискретные преобразо-
преобразования», накрывающие Р и Т, которые мы возьмем
в виде
Р = То, Т = у5у0, F.58)
подсказываемом предыдущими выкладками; в самом деле,
в силу формул ?т5Т* = Той* (А=1> 2> 3)> гДе
0 \-1ак
матрицрл гу5Уй накрывают отражения Рек и выражаются
в виде произведений у0 на матрицы йк, так что введение
отделг.ных накрывающих преобразований для трех Р,к
оказывается излишним. Мы возг.мем, таким образом,
в качестве преобразований биспиноров, накрывающих Р„к,
Р* = 1Ы* (*=1, 2, 3). ^6.59)
При этом, как легко проворить, операторы Ро = Т, Рк
воспроизводят свойства отражений Р«,а:
Pl=U PiP2P3=P («= 0,1,2,3). F.60)
Итак, мы присоединяем к группе SL B), действующей
на биспиноры посредством представления {й}, два ди-
дискретных оператора Р и Т, заданные формулами F.58) *).
1) Поскольку if5 накрывает тождественное преобразование
Лоренца, имеется ряд вариантов построения накрытия (см. ниже);
матрицы Pfc=Yfc были бы неудобны в формальном отношении,
94 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Так как в SLB) имеется уже матрица — 1, в расши-
расширенной группе находятся также —Р и —Т, и двулист-
двулистный характер накрытия сохраняется. Отметим для даль-
дальнейшего перестановочные соотношения
Рй = й-^Р, Tu=^1f, РТ = -ТР. F.61)
Обозначим расширенную таким образом группу
SL B) через L. С помощью соотношений F.61) преобразо-
преобразования группы L можно однозначно представить в одном
из следующих видов:
й, Рй, Tfl, PT й. F.62)
Тем самым L распадается на четыре компоненты связ-
связности, каждая из которых двулистно накрывает соот-
соответствующую компоненту связности группы Лоренца;
обозначим их аналогичными символами в последова-
последовательности, заданной выражениями F.62):
Ц, Li, Lt L*. F.63)
Исследуем теперь, как ведут себя по отношению
к дискретным преобразованиям основные формы G и В.
Заметим сначала, что преобразования ха связаны с обеими
формами, легко проверяемыми соотношениями
В (Т.ф, X) = -В (ф, T.Z) (« = 0, 1, 2, 3).
Отсюда следуют тождества
=-в(ь х) (*=i. 2, 3),
= G(t z) ( }
5 (Tot, 1М = ВЦ, z).
и далее
=-B(<?. Z).
F.66)
так как ТхТгТз^То- т' е> ие было бы соотношения Рг Р2 Р3=Р,
воспроизводящего свойство отражений. Имеются и более суще-
существенные основания предпочесть выражения F,59), связанные
с сохранением формы В, о чем также будет речь дальше.
§ 6. БИСПИНОРЫ ДИРАКА 93
Форма В, как уже было упомянуто, служит для вве-
введения дираковского 4-вектора тока, В частности,квадра-
частности,квадратичная форма
ВЦ, 1Тоф) = Я(ф, -Т4ф), F.67)
выражающаяся в координатах Дирака—Паули в виде
В Ц, i-ТоФ) = ФЖ + Фафа 4 - ?зФз + ФЖ, F.68)
положительно определенна и используется для введения
плотности заряда. Так как пространственное отражение
не меняет зарядов, следует ожидать, что правильно
построенные операторы пространственных отражений
сохраняют эту форму, что и получается из F.66): при
Р*=*ТбТ*1)
B(Pk'h 1ТоРЛф) = Я(ф, 1Тоф). F.69)
Далее
В(% 1ТоТф) = Я(ф, iTo4) F.70)
(следует, впрочем, заметить, что преобразование спи-
норных полей, соответствующее обращению времени,
включает не только действующий на биспиноры опера-
оператор Т, но и оператор зарядового сопряжения С, ср. § 20).
Оператор С меняет знаки зарядов, откуда и произошло
его название. В самом деле, согласно F.51),
5(Сф, Сх)=-В(х, Ф);
легко проверить, что
СТа = ТаС, F.71)
откуда
Д(СФ, *ТоОф) =
и из действительности F.68) следует
В (Сф, *ТоСф) = ~В (Ф. »ТоФ)- F-72)
1) Заметим, что операторы Pjc="(jc меняли бы знак формы
F.67), т. е. знаки зарядов. Это и есть главный довод в пользу
сделанного выше выбора Рй='у
9E
Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Различные определения дискретных операторов. Как
уже было отмечено, выбранный выше способ накрытия
группы L преобразованиями биспиноров не является
единственно возможным. Различные способы построе-
построения накрытия классифицируются по их отношению
к основным формам. Во всех случаях требуют, чтобы
для обращения времени Т было
Соответственно этому Д1я любого преобразования Л,
накрывающего А, принимают
Ц К РаВЦ, х), F-73)
где рд — временная сигнатура А, равная 1 или —1 в за-
зависимости от знака Ag.
По отношению к форме G используются различные
виды нормировки, определяемые числами еЛ:
G(A>, Ах) = еАС(ф, х). F.74)
В следующей таблице сведены применяемые способы
накрытия группы Лоренца (таблица заимствована из [Ю]I).
Число од означает пространственную сигнатуру А, рав-
равную A°-detA.
Способ
•¦¦ м
1
°А
Ра°а
Ро=Т
IlTsTo
p = P,p.A
±ТГо
±'To
±4 F.75)
1) Иногда эти способы связывают со «спинорами четырех
родов» или «исевдоспинорами». В действительности речь идет
о различных реализациях в пространстве биспиноров группы
SL B), расширенной дискретными операторами до двулистной
накрывающей нолной группы Лоренца L. Описание накрытия
с помощью формы S (С, f|), приведенное выше, относится к пер-
первому из этих способов и должно быть видоизменено в остальных
случаях.
§ 6. БИСПИНОРЫ ДИРАКА 97
Во всех случаях пользуются одним и тем же выра-
выражением оператора зарядового сопряжения С, который
связан непосредственно со структурой пространства
биспиноров, по не со специальными способами построе-
построения дискретных преобразований.
Во всем предыдущем изложении мы строили соот-
соответствие таким образом, что некоторым преобразова-
преобразованиям биспиноров однозначно сопоставлялись преобра-
преобразования Лоренца. Тем самым было построено пред-
представление группы L в пространстве Минковского.
В литературе часто встречается другое описание этого
соответствия; каждому преобразованию Лоренца Л
сопоставляется пара +Л преобразований биспиноров,
причем выполнено, с точностью до знака, свойство
представления
^Х= ±-М* F-76)
В таких случаях говорят о «двузначных представле-
представлениях» группы Лоренца. Предпочтительно, однако,
не отклоняться от обычной алгебраической терминоло-
терминологии, в которой все представления группы однозначны.
Для этого достаточно принять за основную группу
вместо L ее двулистную накрывающую L. Эта накрываю-
накрывающая группа может быть также описана абстрактно,
как группа, порожденная элементами SL B) и операто-
операторами Р, Т, с соотношениями F.61). Такое описание L
не зависит от ее конкретной реализации преобразова-
преобразованиями биспиноров.
| Накрытие группы Пуанкаре. Из проведенного выше
построения сразу же получается двулистное накрытие
группы Пуанкаре. В самом деле, группа Пуанкаре ^°
строится из группы Лоренца L и (абелевой) группы
сдвигов ©Г по алгебраическому правилу, легко поддаю-
поддающемуся обобщению; она состоит из пар (а, Л) с зако-
законом умножения B.4) х).
Построим по этому образцу группу of из группы L,
, накрывающей группу Лоренца, и той же группы сдвигов
пространства Минковского оГ. Элементами группы $"_
1) Группа, построенная таким образом из двух групп, на-
называется в алгебре их «полупрямым произведением».
7 Ю. Б. Румер, А. И. Фет
98 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
являются пары (а, А), где а — сдвиг в пространстве
Минковского, заданный вектором, как это описано
в § 2, а А" — элемент группы L. Правило умножения
таких пар устанавливается следующим образом:
(а, А)(Ь, М) = (Аб + а, Щ, F-77)
где ЛЬ, по определению, есть вектор ЛЬ, в который
переходит Ь под действием преобразования Лоренца Л,
накрываемого Л. Ясно, что алгебраические свойства
группы $* вполне аналогичны свойствам $*; в частности,
обратные элементы находятся по правилу, соответ-
соответствующему B.5), а единичным элементом является
(О, 1), где 1 означает единичную матрицу и.
Накрытие группы Пуанкаре аР только что построен-
построенной группой <?? легко получается из накрытия группы
Лоренца: каждой паре (а, Л) ставится в соответствие
пара (а, Л). Легко видеть, что это соответствие обла-
обладает свойством гомоморфизма (ср. E.15)) и что каждый
элемент (а, Л) группы $* накрывается в точности двумя
элементами (а, + А) группы & (здесь в качестве А взято
любое из двух преобразований биспиноров, накрываю-
накрывающих Л, причем однозначный и непрерывный выбор Л
по Л невозможен!).
Группа of распадается на компоненты связности
#i, <P*t #i, F.78)
накрывающие соответствующие компоненты группы ©Р;
распределение по компонентам пар (а, Л) сразу же полу-
получается из уже описанного разложения F.63) группы L.
В дальнейшем мы часто будем называть ?р просто
группой Пуанкаре, но в формулах будем всегда отчет-
отчетливо различать элементы Л накрывающей группы и
накрываемые ими преобразования Лоренца Л.
§ 7. Простейшие спииориые поля и уравнения
Поля типа (j,j'). Понятие поля было определено
в § 2 весьма общим образом (ср. B.7)): полем называется
любая функция в пространстве Минковского оМ со зна-
§ 7. ПРОСТЕЙШИЕ СПИНОРНЫЕ ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ 99
чениями в конечномерном (комплексном или действи-
действительном) векторном пространстве V. Если выбрать
в V базис, то каждое такое поле изображается системой
функций
При преобразовании (а, Л) группы Пуанкаре поле
преобразуется по правилу B.11): под знаком функций ф„
аргумент х заменяется на А (х—а), компоненты же
подвергаются преобразованию с помощью матрицы
D [А] конечномерного представления группы Ло-
ренца в пространстве V.
Способ преобразования полей является существен-
существенной частью их определения. Поскольку размерность
пространства V определяет уже число компонент поля,
то с логической точки зрения поле можно просто ото-
отождествить с представлением группы Пуанкаре спе-
специального вида B.11).
В соответствии с § 6 мы заменим в определении поля
группу Пуанкаре ее двулистной накрывающей $ и
ограничимся вначале специальпой подгруппой $\,
состоящей из пар (а, и), где а — вектор сдвига про-
пространства аМ, аи — матрица группы SL B). При этом
под знаком функций^, будет производиться преобразо-
преобразование Лорепца А, соответствующее и в силу накрытия,
т. е. в нижеследующей G.2) и во всех аналогичных фор-
формулах предполагается, что и и А связаны накрытием
А=А(и):
К (*) = 2 *>„ [и] t (А (х - а)). G.2)
Если представление/?[и] приводимо, то пространство
V разлагается в прямую сумму неприводимых под-
подпространств, т. е. можно выбрать в V такой базис,
что все матрицы D[u] принимают одновременно «ящич-
«ящичный» вид (ср. определение приводимости в § 4, D.23)).
Тогда поле <|> (х) сводится к некоторому числу полей,
соответствующих полученным пеириводимым представ-
представлениям SL B); каждое из них преобразуется незави-
независимо от остальных, и можно считать <{> (х) набором
100 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
полей более простого строения с меньшим числом ком-
компонент. Отсюда ясно, что преимущественного внимания
заслуживают поля, отвечающие неприводимым пред-
представлениям D[u]. Такие представления подробно изу-
изучаются дальше, в § 9. Чтобы не откладывать примеры
полей, мы будем пользоваться в данном параграфе
некоторыми готовыми результатами из § 9. Каждое
неприводимое представление группы SL B) может быть
построено с помощью спин-тензоров некоторой валент-
валентности (г, s), как это описано в § 4. В пространстве таких
спин-тензоров выделяется инвариантное подпростран-
подпространство, состоящее из спин-тензоров
SfX- G-3)
симметрических как по «непунктированным» индексам
vX). . ., vr, так и по «пунктированным» индексам
p.v. . ., fis. Представление группы SLB) такими спин-
тензорами неприводимо и обозначается символом DU>J'\
где 2j—r, 2j'=s и числа /,/', следовательно, целые или
полуцелые. Этот выбор обозначений связан со спином
и будет мотивирован в дальнейшем. Пока же числа /, /'
вполне заменяют г, s, указывая, таким образом, валент-
валентность спин-тензоров представления G.3). Пусть бинар-
бинарным матрицам и соответствуют в этом представлении
матрицы DM' ¦*"') [и]. Тогда формула G.2) задает, по опре-
определению, поле типа (/, ;'). Все поля сводятся, таким
образом, к полям этого рода, математическое описание
которых требует знания матриц представлений DV- ¦>').
Матрицы 2H'../') [и] будут найдены в § 9. Размерность
этого представления, т. е. размерность пространства
спин-тензоров только что описанного типа G.3), вы-
выражается через ;, /' (см. § 9):
+ 1)- G-'О
Поля типа (j,o). Проще всего поля типов (у',0),
@, ]''). Поскольку последние вполне аналогичны пер-
первым, с заменой «спинорной» валентности на «косшгаор-
ную», достаточно рассмотреть случай (у, 0). Матрицы
неприводимого представления записываются в этом
случае [в виде D(J) [и] вместо Du-0> [и]; это матрицы
§ 7. ПРОСТЕЙШИЕ СПИНОРНЫЕ ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ 101
порядка 2/+1. В частности, когда и пробегает все уни-
унитарные матрицы г, представление D{J) сужается до пред-
представления группы S U B), которое мы обозначим через
RlJ)[r]. Это представление также неприводимо. (За-
(Заметим, что сужение общих представлений ?№'•¦/')
до группы SUB) дает приводимые представления).
Итак, поле типа (/, 0) преобразуется по формуле
% (х) = J^ DU) [и] t (А (х - а)). G.5)
Простейшим примером такого поля является ска-
скалярное поле Паули—Вайскопфа, с /=0. В этом случае
представление D@) [и] оказывается тривиальным, т. е.
всем матрицам и соответствует число 1; поле имеет одну
компоненту, и преобразование в G.5) сводится к за-
замене переменной под знаком <J> (x). При помощи такого
поля описываются скалярные мезоны.
Следующий пример — «нейтринное» (и «антинейт-
«антинейтринное») поле Вейля, с /=1/2. Если взять «фундамен-
«фундаментальное» представление /?(/г)[и]=и, то G.5) задает
закон преобразования поля, связываемого с анти-
антинейтрино. Сопряженному представлению Z?@>'/!)[u]=u
соответствует поле, описывающее щйтрино. Каждое
из этих полей имеет две компоненты.
Напомним, что мы пока ограничились подгруппой
1 группы Пуанкаре, исключив тем самым простран-
пространственные отражения. Такое определение полей при-
пригодно лишь для тех случаев, когда подлежащее описа-
описанию поле не может быть подвергнуто преобразованию
пространственного отражения (говорят, что для такого
поля «не сохраняется четность»). Для описания полей,
допускающих пространственное отражение, надо пе-
перейти к представлениям полной группы Пуанкаре $*.
Для построения поля типа (у, 0) используется непри-
неприводимое представление Du> [и] группы SLB); отсюда,
однако, не следует, что задающее поле бесконечномер-
бесконечномерное представление группы Пуанкаре (ср. § 2) также не-
неприводимо. В самом деле, выделение инвариантного
подпространства этого представления означает наложе-
наложение некоторых линейных соотношений на поля данного
102 Часть I. СПИНОРНАЯ АПГКБРА
типа; однако такие соотношения могут включать не
только линейные комбинации компонент поля (с по-
помощью которых выделяются инвариантные подпро-
подпространства группы SL B)), но также линейные опера-
операторы, действующие на отдельные компоненты, как
на функции от х. В простейшем случае это дифферен-
дифференциальные операторы. Ограничение дифференциальными
операторами и уравнениями означает, что на поле на-
накладываются условия локального характера? соблю-
соблюдение этих условий в данной точке пространства-вре-
пространства-времени не нарушается, если изменить поле вне сколь
угодно малой окрестности этой точки. Такой характер
полей важен в динамике; по этой причине поля опре-
определенного выше рода иногда называют «локальными
полями».
Поскольку мы хотим построить дифференциальные
уравнения, выделяющие инвариантные подпространства
полей, эти уравнения должны быть инвариантны отно-
относительно группы Пуанкаре и относительно замены ба-
базиса в пространстве Минковского и в спинорном про-
пространстве; мы назовем уравнения такого рода просто
инвариантными. Простейшие способы построения та-
таких уравнений подсказываются аппаратом спинорной
алгебры. Соответствующие дифференциальные опера-
операторы должны содержать дифференцирования по х°, х\
х*, xs, т. е. выражаться через операторы д/дх", преобра-
преобразующиеся как ковариантные компоненты 4-вектора.
Как мы уже знаем, в спинорной алгебре 4-вектор за-
задается смешанным спин-тензором валентности A, 1).
Выразим компоненты этого спин-тензора через 9а=
=д/дх", учитывая ковариантный характер последних
(ср. E.2), E.5)); полученный "спин-тензор запишем
в двух видах:
до-д3)>
Наложение линейных соотношений на спин-тензорное
поле можно выполнить инвариантным образом/ свер.
§ 7. ПРОСТЕЙШИЕ СПИНОРНЫЕ ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ ЮЗ
пув этот спин-тензор с одним или несколькими операто-
операторами вида G.G), G.7) по определенным индексам. Как
мы увидим, этот метод весьма эффективен цри построе-
построении неприводимых представлений группы Пуанкаре.
Чаще всего используются уравнения первого норядка,
содержащие одно свертывание только что указанного
типа, и уравнения второго порядка, построенные с по-
помощью «скалярного» дифференциального оператора
1 д^ = д*~ C? + Ч + 91) = - ? G.8)
(см. E.10), где надо подставить вместо х «вектор-опера-
«вектор-оператор» dldx*). D означает здесь известный в математи-
математической физике оператор Даламбера, имеющий, таким
образом, «спинорное разложение» G.8).
Линейные дифференциальные уравнения, выделяю-
выделяющие в пространстве полей данного типа неприводимое
представление группы Пуанкаре, называются «уравне-
«уравнениями движения» для данного типа поля (имеется
в виду «свободное поле», т. е. не взаимодействующее
с другими полями). Как мы увидим, на этом пути есте-
естественно возникают известные уравнения Вейля, Дирака
и Максвелла. Тем самым значительная часть содержа-
содержания физики, исторически сложившаяся в рамках дина-
динамики, может быть включена в групповое описание по-
полей. Поскольку описание взаимодействий включает
поля того же типа, что и «свободные» (превращающиеся
в свободные поля при t—»+oo), можно рассматривать
групповое описание полей как их «кинематику», состав-
составляющую естественную предпосылку любых динами-
динамических теорий.
Поля типа (/, 0) ф @, j). Поля, допускающие про-
пространственное отражение, определяются с помощью
представлений полной группы Пуанкаре <^. Для по-
построения таких представлений переходят к «удвоенным»
представлениям группы SL B), по аналогии с ее биспи-
норным представлением, и задают в полученном про-
пространстве представление расширенной дискретными
преобразованиями группы L. Обозначим через V про-
пространство представления DU); векторы ф этого про-
104 Часть I. СШШОРНАЯ АЛГЕБРА
странства играют в дальнейшем построении роль, анало-
аналогичную спинорам. Введем другой экземпляр комплекс-
комплексного векторного пространства той же размерности
2j+l, который обозначим через V, Пространства V, V
называются дуальными, если для каждого вектора ф
из У и каждого вектора х из ^ определено скалярное
произведение (х1ф), обладающее такими же свойствами,
как скалярное произведение спиноров и коспиноров
(ср. C.7)). Векторы дуального пространства V мы будем
называть ковекторами (по отношению к дуальности
пространств и в отличие от векторов У).
Далее, по аналогии с биспинорами, рассмотрим
«бивекторы» {ф, х}, составляющие пространство VQV,
аналогичное пространству С2фС2 (ср. F.1)); мы берем
в кавычки слово «бивектор», поскольку соответствую-
соответствующий термин имеет в геометрии другое значение, мы же
пе хотим от него отказываться ввиду теспой аналогии
с дираковскими биспинорами). В случае у=1/2 мы воз-
возвращаемся к пространству биспиноров.
Базису (е ) (р. = —/, .. •, ;') пространства V соответ-
соответствует, как можно показать, дуальный базис (е1) про-
пространства V, связанный с ним соотношениями (ev | е ) = 5V.
При этом скалярное произведение вектора i)i = fe икс-
вектора ^=^vev задается обычной формулой
(х!Ф)=^Ф11- G-9)
Поскольку V является пространством представления
DU)=DiJt0\ его размерность, согласно G.4), равна
2/'-|-1; следовательно, размерность V также равна
2/+1, и F можно взять в качестве пространства пред-
представления Д<0>-;>. Мы будем относить матрицы DiJ>0) [и]
к базису (е^), а матрицы Di(l'J) [и] — к дуальному ба-
базису (sv). Оказывается, эти представления сопряжены
относительно дуальности (|) точно так же, как {и} и
{й-1} в § 3 (см. (9.36)):
)м«=(х1^ G.10)
В частности, при y=Va мы возвращаемся к C.42).
§ 7. ПРОСТЕЙШИЕ СПИНОРНЫЕ ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ 105
«Аналогия между «бивекторами» {ф, у) и биспи-
норами {?, •?)}, составляющими их частный случай,
продолжается аптилинейным оператором С, переводя-
переводящим векторы в ковекторы и связывающим представле-
представления (J, 0) и @, у); этот оператор задается в дуальпых ба-
базисах формулами
Св, = С/, х, = С,^<\ G.11)
и с помощью матрицы С в § 9 получается соотношение
D10-J) [и] = CDU'W [и] С~\ G,12)
(см. (9.35)), частным случаем которого при /=1/а яв-
является C.35). В случае биспиноров оператор С был
непосредственно связан с антисимметрической метри-
метрикой в пространствах С2, С2 и входил в основную струк-
структуру пространства биспиноров; в общем случае он мо-
может быть получен из оператора § 3 методами теории
представлений. Если матрицу С для спиноров взять
в виде C.19), то матрица С при любом j оказывается
вещественной и
С2 = (—if G.13)
(см. (9.48)).
Часто бывает полезен другой базис в пространстве V,
не дуальный по отношению к (е ), а связанный с дуаль-
дуальным при помощи той же матрицы С:
Г = С„е\ G.14)
Как и в § 3, мтл назовем этот базис сопряженным по
отношению к (е^). Тогда, как видно из G.12), матрица
нредставюний Du'°\ D@-J'\ записанные в базисах (еД
(lv), связаны простыми соотношениями, частным случаэм
которых является C.41):
[ц]==/)(ло)[ц]. G.15)
Представление, стоящее в правой части G.15), в силу
G.12) эквивалентно представлению Д(о- J), рассмотрен-
рассмотренному выше.
JOB Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Как мы видели в § б, можно отождествить группу
SL B) с группой {й} преобразований биспиноров, имею-
имеющих в дуальных базисах матрицы F.7). Точно так же
каждой бинарной матрице и можно поставить в соот-
соответствие преобразование «бивекторов», описываемое
в дуальных базисах матрицей "порядка 2B/+1):
0 1
.— I
D<».J>\u]\
G.16)
Построим далее матрицы, соответствующие простран-
пространственному отражению и обращению времени по образцу
преобразований биспиноров --f0, "feTo (см.гF.29),F.30)):
о
—i
0
—I
0
—i
G.17)
o"
где блоки представляют собой матрицы порядка 2/+1,
а числа -цр, i\r могут быть выбраны различным обра-
образом для "разных полей. Как видно из (9.35), (9.41),
D(o-J) [и]=Д(Л0) lu-4={Du-0) [и])*; поэтому мат-
матрицы G.16), G.17) удовлетворяют соотношениям, анало-
аналогичным F.61). Тем самым матрицы D[K] образуют
2B/+1)-мерпое представление группы L.
Теперь можно построить представление полной
группы Пуанкаре df в пространстве 2B/-|-1)-компонент-
ных полей <р={ф, х). Нумеруя все компоненты ср подряд,
в последовательности (ф_^,. . -\^р T-jt • •> Zy). положим
<f' (x) = 2 Dli] Й Т, (Л~х (* — ")). G.18)
В некоторых случаях удобно перейти в пространстве
V к сопряженному базису по формуле G.14). В этом ба-
базисе D(OtJ) [и], входящие в G.16), принимают вид
?)и>0) [и]. Что касается матриц Pli\ Ta\ то их можно
по-прежпему взять в виде*G.17). Легко проверить,
что полученное представление группы L (и тем самым
группы <$*) эквивалентно предыдущему.
§ 7, ПРОСТЕЙШИЕ СПЙНОРЙЫЕ ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ 107
До сих пор мы задавали поля с помощью комплекс-
комплексных представлений группы Пуанкаре S*, т. е. представ-
представлений в комплексных векторных пространствах. Суще-
Существуют также поля, определяемые действительными
представлениями; такие поля называются действитель-
действительными. Простой способ их построения состоит в наложе-
наложении некоторого линейного уравнения, выделяющего
из комплексного пространства нолей некоторое действи-
действительное подпространство, т. е. подмножество, содержа-
содержащее вместе с двумя полями их сумму и вместе с каждым
полем все его действительные кратные. В пространстве
полей <р={ф, х) такую роль*играет условие Майорана
. G.19)
Ввиду антилипейности оператора С пространство полей,
удовлетворяющих G.19), инвариантно относительно
умножения на действительные (но не па комплексные)
числа. Пользуясь G.13), можно подобрать такие мно-
множители -цр, г<<г в G.17), чтобы дискретные преобразова-
преобразования PiJ\ Tij) не нарушали условия Майорана. Тогда
пространство полей, удовлетворяющих G.19), обра-
образует представление полной групны Пуанкаре df5. Тем
самым задается действительное поле.
Перейдя к сопряженному базису в V, можно пред-
представить условие G.19) в виде
Ъ(*)=<М*)", {* = -/, -/ + 1, -..,/-1, /• G.20)
Отсюда видно, что действительное поле (ф, у) содержит
2/+1 независимых комплексных компонент и, следова-
следовательно, 2 B/+1) действительных, которые находятся
из соотношений
I о j 'ър -. о [ j *%р in oi \
Как будет показано во второй части книги, каждому
типу классического поля соответствует квантованное
поле, преобразующееся по аналогичному закону.
С каждым квантованным полем связаны его квапты —
частица и античастица, которые в отдельных случаях
могут совпадать (их называют тогда «истинно нейтраль-
нейтральными частицами»). Только что описанным «действитель-
108 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
ным» полям соответствуют как раз квантованные поля,
кванты которых «истинно нейтральны».
Уравнения для скалярных полей. Поле типа @, 0),
т. е. скалярное поле, однокомпонентно. Инвариантные
уравнения, которым оно может удовлетворять, строятся
с помощью оператора Даламбера G.8), также имеющего,
как мы видели, естественную спинорную запись. Из-
Известный квантовомеханический принцип соответствия
Р^М (* = 1, 2, 3), Р>—?-БГ <7-22)
связывает оператор Даламбера с основным реляти-
релятивистским соотношением между энергией, импульсом
и массой
Е2 — р2 = т2 (с=1). G.23)
Соответственно этому можно наложить на скалярное
поле уравнение Клейна—Гордона (в котором мы при-
принимаем 7г=1)
(?— /п2)ф = 0, G.24)
где ? = д\ -\- d| -J- д\ — д%, т ]> 0. Можно показать,
что скалярные поля, удовлетворяющие этому ура-
уравнению, образуют неприводимое представление груп-
группы Пуанкаре &\. Паули и Вайскопф предложи-
предложили такие поля для описания «скалярных мезонов»,
которым приписывается, таким образом, масса т.
Другой вариант уравнения для скалярных полей
получается при /ге=0. В этом случае поле должно
удовлетворять уравнению Даламбера
? Ф = 0, G.25)
а соответствующим частицам приписывается нулевая
масса. «Скалярные» частицы нулевой массы до сих пор
в природе не обнаружены.
Уравнение Вейля. Поле типа (V2, 0) имеет вид
§ 7. ПРОСТЕЙШИЕ СПИНОРНЫН ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ 109
и преобразуется по правилу G.2) с «фундаментальным»
представлением 1)A/г) [и\—и; иначе говоря, для пре-
преобразования компонент поля служат сами матрицы
группы SLB):
«К (*) = «Ж (Л-1 (х - а)) + ЦФ2 (Л-1 (х - а)),
Поле типа (О, V2) имеет тот же вид G,26), но преобра-
преобразуется по сопряженному представлению, т. е. в G,27)
надо заменить матрицу и на v=u~1. Чтобы подчеркнуть
природу обоих полей, мы будем обозначать компоненты
первого (спинорного) поля через Е1, i?, а компоненты
второго (коспинорного) через кц, к]2. Преобразования
указанных полей ограничиваются группой &\_\ они
не допускают ни пространственного отражения, ни обра-
обращения времени по самому своему определению, по-
поскольку в определение поля входит группа, представ-
представления которой задают поле, а в случае нейтринного
поля за такую группу принимается специальная под-
группа &Х группы Пуанкаре. Конечно, такой формаль-
формальный подход позволяет лишь получить сведения о воз-
возможных полях и их свойствах; сопоставление же этих
возможностей с опытом предполагает, что из опыта из-
известны некоторые свойства существующих в природе
полей (или, что то же, частиц, являющихся их кван-
квантами). В случае нейтрино известно, что проекция мо-
момента этой частицы на направление ее движения имеет
всегда определенный знак, связанный с «сортом» ча-
частицы (нейтрино или антинейтрино), о чем будет речь
в части второй. Между тем, поле, допускающее про-
пространственное отражение, может существовать, как мы
увидим, в состояниях с противоположными знаками
этой проекции. Следовательно, поле, связанное с опре-
определенным «сортом» нейтрино, может преобразовываться
лишь по представлениям группы q^, не содержащей
пространственных отражений *).
2) Тем самым исключается и обращение времени, также тре-
требующее «удвоения» представления с помощью биспиноров.
Мн не будем дальше углубляться в этот вопрос.
110 Пасть 1. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Как было сказано, инвариантные подпространства
выделяются в пространствах полей с помощью линей-
линейных дифференциальных уравнений, не изменяющих
вида при замене базиса в пространстве полей и инвари-
инвариантных по отношению к преобразованиям- задающего
поле представления. Такие инвариантные уравнения
для спинорных и коспинорных нолей естественно искать
в виде сверток
Р\ = 0, 3^ = 0, G.28)
где д^\ Зц? — дифференциальные операторы G.6), G.7).
Это и есть уравнения Вейля для нейтринного и анти-
антинейтринного поля.
То обстоятельство, что первое из них связывается
с нейтрино, а второе — с антинейтрино, объясняется
лишь исторически сложившимися названиями этих
частиц: первое из этих уравнений соответствует ча-
частице со спином, противоположным импульсу, а вто-
второе — частице со спином, направленным одинаково
с импульсом, первая из частиц была (совершенно
произвольно) названа нейтрино, а вторая — антиней-
антинейтрино. Инвариантность уравнений G.28) по отношению
к группе S^X прямо следует из свойств преобразования
спиноров, коспиноров и спин-тензоров (§4); в таких
случаях говорят, что уравнения «релятивистски инва-
инвариантны по своей форме». По той же причине уравнения
G.28) имеют одинаковый вид в любых (дуальных) ба-
базисах спинорного и коспинорного пространств. Итак,
уравнения Вейля инвариантны в указанном выше смысле.
Пользуясь выражениями E.8), E.9), можно записать
операторы G.28) через а-матрицы:
(9"*) = д0 + Зл + д.Л + 3Л, G.29)
(с?,,) = д0- dtf - dtf - д&. G.30)
Примем во внимание, что во втором уравнении G.28) сум-
суммирование производится по первому индексу, т. е. использу-
используется транспонированная матрица д^; тогда, введя матрицы
ао = ао, 5fc = —ак (к= 1, 2, 3) и подняв индексы а-матриц
§ 7. ПРОСТЕЙШИЕ СПИНОРНЫЕ ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ 111
по обычному правилу для 4-векторов, можно выразить
уравнения Вейля в следующем видо:
Э"ЭЛ = О, a«3j = 0. G.31)
Уравпсние Дирака. Рассмотрим теперь ноле типа
A/2, 0) ф @, 1/2), т. е. биспинорное поле, возникающее
из представления полной группы Пуанкаре ^ типа
A/2, 0)©@, 1/2):
¦ G.32)
Инвариантные уравнения должны теперь связывать
спинор с коспинором. Такие уравнения проще всего
составить с помощью «спии-тензорпых операторов»
где kv k2 путем умножения I и -fj на подходящие по-
постоянные могут быть сделаны равными:
>\ = №, 3,иР = Ч. G-33)
Отсюда вытекает
C^, _ №$) ? = 0, C,53^ - кЩ tj. = 0;
применив E.10) к спин-тензорам З1", д^, имеем
и аналогичное уравнение для т(*. Для определения коэф-
коэффициента А; нам придется прибегнуть к простым физи-
физическим соображениям.
Это уравнение обращается в уравнение Клейна—
Гордона G-24), если взять число к чисто мпимым:
к=-Нт. Ввиду связи между уравнением Клейна—Гор-
Клейна—Гордона и основным релятивистским соотношением G.23)
число т следует отождествить с массой некоторой ча-
частицы, связанной с полем. Мы вернемся к этому во in о-
J12 Часть I. С1ШН0РНАЯ АЛГЕБРА
рой части книги. Наконец, для частицы в состоянии
покоя собственные значения операторов рк (к=1, 2, 3)
должны быть равны пулю, а собственное значение энер-
энергии pQ=id0 положительно. Решение можно взять в виде
плоской волпы \=еш, 1\=ет, и из выражения G.6)
видно, что следует положить &=—im. Из этих эвристи-
эвристических соображений выясняется окончательный вид
уравнений G.33)
Р\ + im& = 0, д^ -f Ип\> = 0. G.34)
Это уравнение Дирака в спинорном виде. Пользуясь
выражениями G.6), G.7), можно свести G.34) к четырех-
компонентпому уравнению
где За=31а1+З2а2+З3а3 (при этом следует помнить, что
Е преобразуется с помощью транспонированной мат-
матрицы ЗцИ). Умножив еще обе части уравнения на —i
и обозначив Е1, Е2, ТЦ, 4$ в указанной последователь-
последовательности через <]»!, <]»2, фз> ^4 (СР* F-55)), получаем уравне-
уравнение Дирака в первоначальном виде
т«ЭД> + тф = 0, G.36)
где y" получаются поднятием индекса из матриц F.29).
Заметим, что эти уравнения относятся к «разделен-
«разделенному» базису, в котором первые две компоненты ф
относятся к спинору, а последние две — к коспинору.
С точки зрения теории представлений группы Пуанкаре
эта запись наиболее естественна (ср. законы преобразо-
преобразования G.16), G.17)). С другой стороны, если перейти
к базису Дирака—Паули, в котором f-матрицы прини-
принимают вид F.33), то в нерелятивистском пределе сохра-
сохраняется лишь первая пара компонент биспипора, вто-
вторая же стремится к пулю. В этом и состоит практическое
значение базиса Дирака—Пауля. Отсюда ясно также,
что в нерелятивистском пределе спинор Е и коспинор ^
описывается совпадающими компонентами. Это согла-
§ 7. ПРОСТЕЙШИЕ СПИПОРНЫЕ ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ ИЗ
суется с тем, что для матриц г, накрывающих вращения,
f~1=r, и тем самым спиноры и коспиноры преобра-
преобразуются одинаково.
Следует заметить, что видимая простота уравнения
G.36) связана с сокращенной записью -{-матриц, выбор
которых имел довольно сложную физическую мотиви-
мотивировку и не определяется каким-либо однозначным фор-
формализмом; и в самом деле, Tf~MaTPH4bI могут быть вы-
выбраны разными способами, ни один из которых не имеет
принципиальных преимуществ перед другими, что при-
приводит к равносильным уравнениям. Между тем, урав-
уравнения Дирака в спинорной форме G.34) почти одно-
однозначно подсказываются спийорпой алгеброй, и остается
лишь выбрать значение некоторой постоянной. Это за-
заставляет думать, что именно спинорная запись наиболее
адекватна уравнению Дирака, так что разложение би-
спинора па спинорную и коспинорную части, столь
отчетливо возникающее из теории представлений, долж-
нсГиметь глубокий физический смысл.
Инвариантность уравнений Дирака G.34) по отно-
отношению к группе SL{2) прямо видна из формы этих урав-
уравнений (ср. соответствующие замечания о нейтринных
полях). Точно так же легко проверяется, что уравне-
уравнения G.34) инвариантны по отношению к дискретным
преобразованиям Р и Т, заданным формулами G.17).
Наконец, ясно, что вид этих уравнений не зависит
от выбора (дуальных) базисов в пространствах спино-
спиноров и коспиноров. Что касается первоначальной формы
уравнения Дирака G.36), то здесь вид -{-матрицы зави-
зависит от'базиса, выбранного для биспиноров, как это уже
обсуждалось в § 6.
Как мы увидим дальше, с биспинориым полем
Ф (х) связаны кванты этого поля — электроны и пози-
позитроны, являющиеся античастицами по отношению друг
к Другу. По этой причине биспинорпое поле называется
электронно-позитронным полем.
При наличии внешнего электромагнитного поля урав-
уравнение Дирака меняет свой вид; покажем, как записы-
записывается'соответствующее уравнение в сиипорной форме.
Предполагается, что внешнее поле достаточно сильно,
чтобы можно было не учитывать обратное воздействие
8 Ю. Б. Румер, А. И. Фет
114 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
на пего электроино-позитронпого, и что оно (феномено-
(феноменологически) описывается вектор-потенциалом Ла (х).
Заметим сначала, что импульс частицы (ра) есть век-
вектор-оператор, ковариантными составляющими которого
являются ida, и, следовательно,
d.= -ipa- G.37)
Прием «включения внешнего поля», т. е. перехода от
уравнения Дирака для свободного электрона к уравне-
уравнению для электрона во внешнем поле, состоит в замене
импульсов ра па р*—еА*1).
Переходя к ковариаптным компонентам ра—еАл и
заменяя этими операторами ра в G.37), получаем вместо
дл операторы
Пл = -Чрл~еАл) = д„ + ьеА„. G.38)
Теперь остается переписать спинорные уравнения
Дирака G.34), заменив в них дифференциальные онера-
торы д^, д^ на
( Dt-iDt\
\Dl+iDi D0 — D3)'
G-39)
-(
(ср. G.6), G.7)); это приводит к уравнениям
\ = 0. G.40)
Уравнения"?Максвелла. Следующее поле, которое
мы рассмотрим, — действительное поле типа A, 0)ф
ф@, 1) (предыдущие поля были не действительными).
В этом случае надо построить представления группы
SLB) типов A, 0) и @, 1), а затем, как это было описано
выше общим образом, построить представление группы
о^ на сумме соответствующих пространств. Представле-
Представления типов A, 0), @, 1) задаются симметрическими спин-
теизорами валентности A, 0) (соответственно @, 1)),
т. е. двухиндексными симметрическими спип-тепзо-
рами /nv, /jiv. Размерность каждого из этих представле-
х) Мы полагаем здесь й=1, е=1.
§7. ПРОСТЕЙШИЕ СПИНОРНЫЕ ПОЛЯ И УРА1ШЕПИЯ 115
ний равна трем (подчеркнем, что речь идет о комплекс-
комплексной размерности; действительное подпространство для
поля будет выделено дальше). Следовательно, всего
у поля шесть компонент:
f\\(x), fu(x) = hi(x),
Удобно перейти к другой записи тех же снин тензо-
тензоров, подняв один из индексов:
К = С%, fl=Ct!U G.42)
легко видеть, что симметричность спин-тензора/„равно-
спин-тензора/„равносильна «бесследпости» /J:
/; = 0, /» = 0. G.43)
Почти очевидно* как записать инвариантные урав-
уравнения для такого поля:
df*f't = O, &*fl = 0. G.44)
Как мы увидим, это и есть уравнения Максвелла в спи-
норной форме (без правых частей). Заметим, что мат-
матрицы Зр*, д^ в этих уравнениях взаимно транспониро-
транспонированы, так как суммирование производится по разным
индексам; в силу G.6) они комплексно сопряжены.
Ввиду действительности поля имеем в сопряженном
базисе
/? = /?. G-45)
так что уравнения G.44) комплексно сопряжены и тем
самым эквивалентны. Они выделяют действительное
векторное пространство полей, допускающих по общим
правилам G.18) пространствеппое отражепие и обраще-
обращение времени. Описанное действительное поле типа
A, 0)ф@, 1) называется электромагнитным полем.
Компоненты поля f-e нужны лишь для обеспечения
пространственных отражений; описание инвариант-
инвариантного подпространства при помощи обоих уравнений
G.44) в «удвоенном» пространстве полей {f9, /*} пол-
полностью задается одним из этих уравнений. Таким обра-
образом, уравнения G.44) не составляют совместной си-
8*
116 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
стемы уравнений; достаточно рассмотреть, например,
первое из пих.
Прежде чем переходить к сопоставлению уравнений
G.44) с обычными уравнениями для полей Е, Н, запи-
запишем еще соответствующие спинорные уравнения с пра-
правыми частями. 4-вектор тока f заменяется в спинор-
ной трактовке смешанным спин-тензором srf следующего
вида (где, по правилу E.2), в правой части стоят кова-
риантиые компоненты /, т. е. f, —у1, —/2, —/3):
Неоднородные уравнения Максвелла в спинорной форме
следует записать теперь в виде, учитывающем комплекс-
комплексную сопряженность правых частей:
d?4°9 = s°\ d^/* = s*J. - G.47)
Чтобы убедиться в том, что'любоеиз этих (комплексно
сопряженных) уравнений равносильно обычным урав-
уравнениям Максвелла, введем независимые комплексные
координаты F1, F2, F3 для спин-тепзоров f, исключив
лишнюю компоненту; это удобно сделать с помощью сле-
следующей подстановки, напоминающей прием E.2) (но
учитывающей «бесследность» f):
\п /iJ=U+^ -л ;• G-48)
Первое уравнение G.47) принимает теперь вид (ср. G.6)):
(д0 + д3) F* + (д, + id,) (Я - гЯ) = р - Д
(д, - id2) F* + (д0 - д3) (Р- - /Я) = -р- + if,
C0 + 53)(^ + ^) + C1+/32)(-a = -/1-if, K'
(д, - id2) (F1 + IP) + (д0 - ds) (-Fs) = f + f.
Разложим F—(F1, F2, F3) на действительную и мнимую
части:
F=E — iH. G.50)
§ 7. ПРОСТЕЙШИЕ СПИНОРПЫЕ ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ 117
Подставляя это выражение в G.49) и отделяя действи-
действительные и мнимые части, получаем последовательно
восемь действительных уравнений:
Ё3 — (rot Hf + div Е = f — f,
—Я3 — (rot Ef — div H = 0,
—l'P — (rot Ef -\- &¦ — (rot HI = — j\
—Я1 — (rot EI — Ё2 -f (rot Hf = Д
?! — (rot HI + Я2 4- (rot .Ь7J = —у1,
Ё2 — (rot ffJ — Я1 — (rot JE7I = — f,
-~EZ 4- (rot Hf 4- div E = f -f- f,
Hs-\-(robEf—dWH = 0.
Путем сложения и вычитания из этих уравнений полу-
получаются уравнения Максвелла в обычном виде:
vobH-E=j,
div E = ]°, d\vH = 0. ( '
Заметим, что наше пространство представления A ,0O
состоящее из спин-тензоров р, есть трехмерное комплекс-
комплексное пространство, в котором можно считать координа-
координатами F1, F2, F3; аналогично пространство представле-
представления @, 1) имеет координаты F1, F2, F3. Таким образом,
с точки зрения теории представлений естественно зада-
задавать электромагнитное поле комплексными линейными
комбинациями
G.52)
Это помогает выяснить смысл поляризации поля (см.
[13]). Как мы уже знаем, пространства A, 0) и @, 1)
связаны пространственным отражением, чем и объяс-
объясняется необходимость их совместного рассмотрения.
Уравнения Максвелла были впервые записаны в спи-
нориом виде Улепбеком и Лапортом в 1931 году. Это
их выражение представляет еще один пример того,
насколько проще и естественнее могут выглядеть фи-
физические законы в рамках адекватного им математи-
1) Иногда в литературе используются поля H-{-iE, H—iK,
отличающиеся от G.52) множителями i, —i.
118 Чпг.ть Т. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
ческого аппарата, нежели в своем исторически возник-
возникшем виде. Преобразование G.52), связывающее обычно
употребляемую форму уравнений Максвелла с есте-
естественно возникающей из теории представлений, напо-
напоминает аналогичное преобразование биспиноров Ди-
Дирака F.32).
Приведем еще выражение в спинорной форме теп-
зора энергии-импульса электромагнитного поля
и 4-вектора силы Лоренца
Отождествление этих выражений с обычными мы предо-
предоставляем читателю.
Неприводимость классических полей. Напомним,
что общая исходная идея при построении полей состояла
™ выделении неприводимого подпространства в про-
пространстве полей данного тина по отношению к представ-
представлению группы |Пуанкаре, задающему этот тип поля.
Для этой цели и служат «инвариантные дифференциаль-
дифференциальные уравнения», такие, как уравнения Вейля, Дирака и
Максвелла. Мы построили эти уравнения в спинорной
форме, делающей инвариантность соответствующих про-
пространств почти очевидной; это значит, что, например,
преобразования группы Пуанкаре переводят любое
решение уравнения Дирака в другое решение этого
уравнения.
Однако мы не доказали еще, что «инвариантные урав-
уравнения» действительно достигают поставленной цели,
т. е. задают пространства полей, неприводимые по от-
отношению к группе Пуанкаре. Доказательства неприво-
неприводимости представлений, вообще говоря, достаточно
сложны, но в интересующих пас случаях можно, во вся-
всяком случае, объяснить существо дела, не входя в мате-
математические трудности 1). Решения «полевых уравне-
*) В случае бесконечномерных представлений надо точно
определить, в каком пространстве (например, гильбертовом)
строится представление, и в каком смысле понимается непри-
§ 7. ПРОСТЕЙШИЕ СПИНОРНЫЕ НОЛЯ И УРАВНЕНИЯ 119
ний» могут быть построены из «плоских волп», т. е. ре-
решений специального вида
ф^ (Х) = a^'lpv-pv-pv-pv); G.53)
вектор р задает импульс соответствующего полю кванта,
а коэффициенты а^ подбираются таким образом, чтобы
поле G.53) удовлетворяло данному инвариантному
уравнению. Возможность построить из решений вида
G.53) все решения уравнения обеспечивается весьма
общими теоремами математической физики: если ищут
решение уравнепия первого порядка по начальному
условию Коши, т. е. по заданным функциям фи @, ж1,
хъ, а?), то эти функции разлагают в интеграл Фурье
по системе функций eUpx),
и тогда, по теоремам единственности, решение имеет вид
ф^ (х°, х) = J а^ (р) е{(р°*°^>*Нр.
Итак, всякое решение может быть получено супер-
суперпозицией плоских волн. Возьмем волну с заданным
4-импульсом р; тогда коэффициенты а^ (р) должны за-
зависеть от р вполне определенным образом (в случае
уравнения Дирака такие плоские волны описываются
в учебниках квантовой механики). Мощно показать,
что преобразования Лоренца переводят одну такую
волну во все волны, удовлетворяющие рассматривае-
рассматриваемому уравнению. Инвариантное пространство, содержа-
содержащее хотя бы одну такую волпу, содержит тем самым
все волны, удовлетворяющие уравнению; в силу ли-
линейности пространство содержит и все их линейные
комбинации, т. е. все решения вообще. Но тогда не мо-
может быть инвариантного пространства, меньшего, чем
пространство всех решений.
водимость. Мы рассматриваем дальше решения в виде плоских
волн, как если бы они входили в пространство представления,
что в случае гильбертова пространства неверно.
120 Часть I. СШШОРИАЯ АЛГЕБРА
Конечно, это рассуждение не является доказатель-
доказательством неприводимости; надо было бы, например, еще
доказать, что в любом инвариантном пространстве ре-
решений «содержится» (или может быть аппроксимиро-
аппроксимирована решениями из этого пространства) хотя бы одна
плоская волна. Мы имели в виду лишь объяснить,
почему рассмотренные поля в самом деле неприводимы.
§ 8. Алгебры Ли
Экспоненциальное отображение. Пусть а — матрица
произвольной размерности п. Тогда, как известно из
алгебры, можно построить с помощью показательного
ряда матрицу е"; при этом
ese*, (8.1)
В
где Sp а = 2 Чк-
Из (8.1) следует, что матрица е" всегда обратима.
При замене базиса, когда а переходит в a'—waw'1, имеем
e^ — we^w'1, так что экспоненциальное отображение
а -> е" сопоставляет каждому линейному преобразова-
преобразованию а /г-мерного пространства G" невырожденное линей-
линейное преобразование е".
Если матрицы а, Ъ перестановочны (аЪ — Ъа), то легко
вывести соотношение
Для пеперестановочных матриц а, Ъ это соотношение,
как видно на примерах, неверно. Тем не менее «лога-
«логарифмирование» матриц, т. е. представление их в виде
и—еа, имеет важные применения. Главная причина
этого состоит в том, что если матрицы {и} образуют
группу, элементы которой зависят от некоторого числа
непрерывных параметров (группу Ли), то их «логарифмы»
образуют линейную систему матриц: операции сложения
и умножения на действительные числа пе выводят
за пределы этой системы. Эти операции, а также опера-
операция «коммутирования», определяемая ниже, в пекото-
рой степени заменяют групповое умножение. Тем са-
§ 8. АЛГЕБРЫ ЛИ 121
мым изучение груипы значительно облегчается ее ото-
отображением на систему матриц с линейными операциями.
Если грунпа состоит из операторов, действующих
в бесконечномерном пространстве, экспоненциальное
отображение в ряде случаев может быть задано точпо
так же, с надлежащими доказательствами сходимости.
Алгебры Ли. Система матриц *21 называется
алгеброй Ли, если эта система содержит вместе с каж-
каждыми двумя матрицами а, Ъ все их линейные комбина-
комбинации с действительными коэффициентами, а также ком-
коммутатор
{[а, Ь] = |(аЪ-ЪаУ). (8.2)
Подчеркнем, что умножение матриц выводит
за пределы алгебры Ли и не является, таким образом,
допустимой операцией над элементами QI.
В качестве первого примера рассмотрим систему
всех бесследных матриц а второго порядка, т. е. таких
матриц, у которых Sp а—О. В силу (8.1), и=еа есть
унимодулярная матрица; обратно, любая унимодуляр-
пая матрица и, как можно показать, представима в этом
виде. Мы будем, однако, записывать связь между унимо-
дулярными и бесследными матрицами несколько иначе:
и=ё\ (8.3)
Преимущество этой записи состоит в том, что унитарные
матрицы и соответствуют эрмитовым матрицам а; в са-
самом деле, легко проверить, что из &=а следует й—и'1.
Линейные комбинации бесследных матриц (даже с ком-
комплексными коэффициентами) опять бесследны, и
Sp [a, 6]=Sp (ab)—Sp (ba)=0 (даже для всех матриц а,
Ь). Таким образом, бесследные матрицы образуют
алгебру Ли, связанную с группой SLB) экспоненциаль-
экспоненциальным отображением (8.3) и называемую алгеброй Ли
этой группы.
Вторым примером служат эрмитовы матрицы а;
в этом случае линейные комбинации можно брать
J) Мы выбрали определение коммутатора, при котором ком-
коммутатор эрмитовых матриц оказывается эрмитовой матрицей.
В математической литературе множитель 1/i в (8. 2) отбрасы-
отбрасывается, что приводит к несколько иному определению алгебры Ли.
122 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
лишь с действительными коэффициентами, чтобы полу-
получить опять эрмитовы матрицы. Если а, Ъ — эрмитовы
матрицы, то (A/i) [a, b])+=(l/i) [a, b] также эрмитова.
Итак, эрмитовы матрицы образуют алгебру Ли, связан-
связанную с унитарной группой UB) отображением (8.3).
Бесследные эрмитовы матрицы также образуют алгебру
Ли, связанную с группой SUB).
Обратный переход от группы к ее алгебре Ли дости-
достигается следующим приемом. Пусть группа выделяется
с помощью некоторых условий, наложенных на входя-
входящие в нее матрицы и. Тогда, полагая u—ete", где е —
малое число, заменяя eiea рядом l+isa+. . . и сохраняя
в* задающих группу условиях лишь члены нулевого и
первого порядков по е, получаем соответствующие усло-
условия для матриц алгебры Ли а. Например, из условия
A.19), задающего преобразования Лоренца, находим
соотношения для матриц соответствующей алгебры
Ли; это матрицы с чисто мнимыми элементами, для ко-
которых
Читатель легко проверит, что такие матрицы образуют
алгебру Ли, а отображение (8.3) переводит их в пре-
преобразования Лоренца. Точно так же для группы враще-
вращений SOC) алгебра Ли состоит из чисто мнимых анти-
антисимметрических матриц третьего порядка.
Перестановочные соотношения. Поскольку матрицы
алгебры Ли можно складывать и умножать на действи-
действительные числа, они образуют действительное векторное
пространство. Базис этого пространства состоит из мат-
матриц ак, через которые все матрицы алгебры Ли могут
быть выражены как линейные комбинации с действи-
действительными коэффициентами;
т
а= 2 W
Базисные матрицы ак называются образующими
алгебры Ли (в физической литературе также генера-
генераторами). Если известны коммутаторы образующих
§ 8. АЛГЕБРЫ ЛИ 123
[ак, аг], то полностью задается и коммутирование любых
матриц алгебры Ли;
[т т т
Коммутаторы образующих, как и все матрицы алгебры
Ли, могут быть выражены через те же образующие:
|К, at] = cilb. (8.5)
Числа c{t называются структурными постоянными
алгебры Ли; задание образующих и структурных по-
постоянных полностью определяет алгебру Ли. Поскольку
[а, Ъ] — — {Ъ, а], [а, а]=0, достаточно записать по од-
одному перестановочному соотношению (8.5) для каждой
пары образующих ак, а1 {кфЦ. Этим способом удобно
задавать и группы Ли, связанные с алгебрами экспо-
экспоненциальным соотношением (8.3). Следует заметить,
впрочем, что выбор базиса в алгебре~Ли и тем самым
перестановочных соотношений может быть выполнен
различными способами, так что не следует отождеств-
отождествлять алгебру Ли с ее перестановочными соотноше-
соотношениями. Обычно выбирают базис таким образом, чтобы
перестановочные соотношения имели возможно более
простой вид.
Выпишем перестановочные соотношения для рас-
рассмотренных выше алгебр.'
Группа SL B). Возьмем в качестве образующих бес-
бесследные матрицы
«i=C 1). °2( t) 3G J);
/О i\
Все бесследные матрицы второго порядка линейпо
выран^аются через матрицы (8.6) с действительными
коэффициентами. Заметим, что соотношения хй=1ой
не означают линейной зависимости образующих, так
как алгебра Ли является действительным векторным
пространством; умножение на i в таком пространстве
124 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
следует рассматривать как линейный оператор, дей-
действующий на векторы, но не как умножение векторов
на числб. Перестановочные соотношения для матриц
(8.6) могут быть проверены непосредственно:
К. azl = 2й3, [°2, °3] = 2»1, [з3, oj = 2ia2;
Oi, т2] = — 2^з, К, х3] = —2йь [т3, tJ = — 2й2;
h, ^] = 2fxs, [a,, x3] = 2Jx1, [a,, x1] = 2ix2; (8.7)
Oi, °2] = 2, K, s3] = 2jt1, [x3, Ol] = 2it2;
[°*. TJ = 0 (*=1, 2, 3).
Здесь, как и в дальнейшем, не записываются тривиаль-
тривиальные соотношения вида [а, а]=0. Согласно (8.3) бинар-
бинарные матрицы имеют вид
a = exp i (&Л ¦ f »Л + &3з8 + »Л + Кч + »зх3), (8.8)
где &j., &й — действительные коэффициенты. Из этого
представления ясно, что матрицы и зависят от шести
действительных параметров, т. е. группа SLB) яв-
является шестипараметрической группой.
Группа SUB). В этом случае в качестве образую-
образующих алгебры Ли можно взять бесследные эрмитовы
матрицы ак (к—1, 2, 3) с перестановочными соотноше-
соотношениями, выписанными в первой строке (8.7). Общий вид
матриц группы SU B) указывает, что эта группа зави-
зависит от трех параметров:
(8.9)
Группа L|. Образующие алгебры Ли для группы
Лоренца могут быть получены из образующих для
группы SL B) с помощью накрытия h (§5). Матрицам
о,., Tj. соответствуют однопараметрические семейства
бинарных матриц
е'"Ч = cos 8- -f iak sin », е*'ат* = ch 8- — afc sh 8- (8.10)
(cp. E.16), E.17)). Тогда, как вытекает из E.13), соот-
соответствующие семейства преобразований Лоренца суть
§ 8. АЛГЕБРЫ ЛИ 125
где Мк, Кк принадлежат алгебре Ли группы
О О О\ /О О О О\
00 001 „ 1/000—1
оо oil' 2~т1ооо о
.0 0—10/ \0 1 О 0^
(8.12)
(Q 0 1 0\
j-r IIIVVVI jf I I О О О О
Л1 Tin о п л I» л2— Г1 1 0 0 0
V0 О О
/О 0 0 1\
/л л л м 1
Матрицы 2Mj., 2ЛГЙ удовлетворяют, как легко проверить,
тем же перестановочным соотношениям, что °к, тй; для
вдвое меньших матриц Мк, Кк перестановочные соот-
соотношения несколько упрощаются:
[Ми M2] = iMs, [M2, Ms] = iMv
[Ms, M1] = iM2;
[Kv K.1] = —iMz, [K2, К3] = —1МЪ
[Ks, K1] = —iM2;
[Mx, K2] — IKZ, [M2, ^3] = ^, (8.13)
[Ms, K1] = iK2;
[Ks, M1] = iK2;
[Mk, Kk] = 0 (k=.i, 2, 3).
Нетрудно показать, что все чисто мнимые матрицы,
подчиняющиеся условиям (8.4), линейно выражаются
через матрицы (8.12) с действительными коэффициен-
коэффициентами. Таким образом, Мк, Кк составляют систему
образующих алгебры Ли группы L|. Преобразования
126 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
Лоренца записываются в виде, аналогичном (8.8), и за-
зависят от шести действительных параметров.
Группа SO{3). Для этой группы накрывающей яв-
является SUB). Семейству матриц е<9(Г* соответствует
при накрытии е2<9ж*, где
(8.14)
а перестановочные соотношения те же, что в первой
строке (8.13). Все чисто мнимые антисимметрические
матрицы линейно выражаются через матрицы (8.14)
с действительными коэффициентами. Тем самым SOC)—
трехпараметрическая группа; собственные вращения
записываются в виде, аналогичном (8.9).
Однопараметрические подгруппы. Пусть в некото-
некоторой группе G, состоящей из линейных преобразований и,
задано однопараметрическое семейство элементов ((&)}
удовлетворяющее условию
Такое семейство, как^легко видеть, составляет под-
подгруппу в G, с единичным элементом и@) = 1 (единица
группы^G) и обратными элементами u(&)~1==u(—&).
Примерами таких однопараметрических подгрупп яв-
являются рассмотренные выше семейства (8.10) в группе
SLB), (8.11) в Щ, eib°k в 517B), е2'9ж* в SOC). Можно
показать, что любая однопараметрическая'подгруппа
в G имеет вид
u(8-) = e<9e, (8.16)
где а принадлежит алгебре Ли группы G. Обратно, для
любого элемента а алгебры Ли элементы (8.16) обра-
образуют однопараметрическую подгруппу группы G. Та-
Таким образом, между однопараметрическими подгруп-
подгруппами и элементами алгебры Ли устанавливаетсявзаимно
однозначное соответствие.
§ 8. АЛГЕБРЫ ЛИ 127
Представления алгебры Ли. Представлеиие группы
G есть семейство линейных операторов Ти, действую-
действующих в некотором векторном пространстве V, со свой-
свойствами, описанными в § 2. В частности, каждой одно-
параметрической подгруппе (8.16) группы G соответ-
соответствует однопараметрическая подгруппа \JJ {$) — Tui§v
Примером может служить представление группы SLB)
преобразованиями Лоренца A=h(u), в котором одно-
параметрическим подгруппам (8.10) соответствуют одно-
параметрические подгруппы (8.11). В общем случае
любая однопараметрическая подгруппа ?/(&), состоя-
состоящая из операторов пространства V, также может
быть записана в виде
U(b) = eibA, (8.17)
где А — оператор, однозначно определяемый по под-
подгруппе {?/(&)} разложением
ff(&) = l+iM-f-..., A=jU'@). (8.18)
Мы приходим, таким образом, к следующему соот-
соответствию а -> А: каждому элементу а алгебры Ли
группы G сопоставляется однопараметрическая под-
подгруппа (8.16) этой группы; в заданном представлении G
этой подгруппе соответствует однопараметрическая под-
подгруппа операторов f/(&) = 71B(9); последняя, в свою
очередь, порождается оператором А по формуле (8.17).
Положим А = Та; тогда, как можно показать, спра-
справедливы следующие соотношения:
?) Т*ь = Та + Т;,
2) Т)а = \Та для действительных X;
3) Если A/0 [а, Щ = с, то A/0 [^ ТЬ]=ТС.
Если соответствие а -> Та обладает свойствами
1)—3), оно называется представлением алгебры Ливптро-
странстве V. Итак, каждое представление группы G
задает представление алгебры Ли этой группы в том же
пространстве.
Алгебраические операции a-\-b, \ иA/г) [а, Ъ] вос-
воспроизводятся в любом представлении такими же опера-
128 Часть I. СПИНОРНАЯ АЛГЕБРА
циями А+В, ~кА и A/?) [А, В]. Для определения А = Та
служит разложение (8.18).
Ввиду свойств 1), 2) представление алгебры Ли пол-
полностью задается указанием операторов Т„к, представ-
представляющих образующие алгебры. Тем самым задается и
представление соответствующей группы Ли; в самом
деле, полагая в (8.16) &=1, получаем произвольный
элемент группы u=eia, которому в представлении соот-
соответствует U(l) = eiA (см. (8.17)). Если выразить а через
образующие в виде Ыкак и обозначить Т„к через Ак,
то оператор Ти= U, соответствующий и, представляется
в виде
U = e^XkAk. (8.19)
Только что описанный способ задания представлений
особенно удобен, поскольку требует лишь перечисле-
перечисления конечного числа операторов Ак=Т„к, действующих
в пространстве V, между тем как самое определение пред-
представления группы предполагает задание операторов Ти,
соответствующих всем элементам группы.
Этот метод будет использован в § 9 и во второй части
книги.
Отметим важный случай, когда представление
группы G унитарно. В этом случае операторы представ-
представления (8.17) унитарны, т. е. ?/(&)= и~Щ, и из (8.18)
следует, что 1—?&Л + . . . = 1—i&A-j-. . . при всех дей-
действительных &, откуда А=А. Итак, в унитарных пред-
представлениях группы Ли элементы ее алгебры Ли пред-
представляются эрмитовыми операторами. В этом состоит
причина, по которой «наблюдаемые» квантовой механики
изображаются эрмитовыми операторами, о чем будет
подробно сказано в части второй.
Алгебра Ли группы Пуанкаре. В предыдущих по-
построениях важную роль играло экспоненциальное ото-
отображение (8.3), служившее для установления связи
между группами Ли и их алгебрами Ли, а также для
описания однопараметрических подгрупп. Показа-
Показательная функция е<а может быть определена 'для ли-
линейных преобразований а в конечномерных простран-
пространствах, заданных матрицами, или для операторов а в бес-
§ Я. АЛГЕБРЫ ЛИ 129
конечномерных пространствах; для таких «матричных»
или «операторных» групп мы и построили выше
алгебры Ли и их представления.
Однако в приложениях встречаются и группы ипого
характера, элементы которых не являются линейными
преобразованиями. Элементами группы Пуанкаре яв-
являются пары (а, А), которые можно сопоставить с пре-
преобразованиями пространства Минковского, сохрапяю-
щими интервалы. Поскольку пространство Минков-
Минковского не является векторным пространством (точки
нельзя пи складывать, ни умножать на числа), такие
преобразования не являются линейными и к ним не-
неприменима изложенная выше техника. То же отно-
относится к группе ffi\, накрывающей специальную группу
Пуанкаре: она состоит из нар (а, и), где а — вектор
прострапства Минковского, и — бинарная матрица,
а эти пары непосредственно не связаны с преобразова-
преобразованиями какого-либо пространства.
Трудности, возникающие для таких групп, могут
быть преодолены с помощью общего метода, позволяю-
позволяющего сопоставить алгебру Ли любой группе Ли,
т. е. группе, элементы которой описываются конечным
числом параметров. В такой группе строятся всевоз-
всевозможные одпопараметрические подгруппы (см. (8.15)).
Для матричных групп, как мы видели, такие подгруппы
находятся во взаимно однозначном соответствии с эле-
элементами их алгебр Ли; в общем же случае однопара-
метрические подгруппы группы G просто называются
элементами алгебры Ли этой группы, заменяя таким
образом отсутствующие матрицы а формулы (8.16).
Для одиопараметрических подгрупп группы G уста-
устанавливаются операции сложения, умножения па дей-
действительные числа и коммутирования; с этими опера-
операциями они образуют алгебраическую систему, называе-
называемую алгеброй Ли грудпы G.
Для изучения этой алгебры часто применяется сле-
следующий метод. Пусть некоторой области изменения
параметров, задающих элементы группы, соответствует
часть группы G, содержащая ее единицу; такая часть
называется окрестностью единицы в G. Две группы Ли
G, G' называются локально изоморфными, если суще-
9 Ю. Б. Румер, А. И. Фет
130 Часть I. СПШЮРНАЯ АЛГЕБРА
ствуют окрестность единицы Со в группе G и окрест-
окрестность единицы G'a в группе G', между которыми уста-
установлено взаимно однозначное соответствие, сохраняю-
сохраняющее групповую операцию. Например, группа L| ло-
локально изоморфна ее накрывающей SL B); SO C)
локально изоморфна SUB); raf\ локальпо изоморфна
S'X (во всех этих случаях соответствие окрестностей
задается отображением накрытия).
В частности, изоморфные группы локальпо изо-
изоморфны: в этом случае можно взять в качестве Go всю
группу G и в качестве G'o всю группу G'. Например,
точное представление группы G задает изоморфизм
между этой группой и группой представляющих ее опе-
операторов: и —> Ти; к этому изоморфизму примепимы
формулируемые дальше теоремы.
Как уже было сказано, для любой группы Ли G
может быть определена алгебра Ли, элементами кото-
которой служат однопараметрические подгруппы G. Оказы-
Оказывается, что локально изоморфные группы Ли имеют изо-
изоморфные алгебры Ли, т. е. между их алгебрами Ли
устанавливается взаимно однозначное соответствие,
сохраняющее операции сложения, умножения на дей-
действительные числа и коммутирования. Поэтому строе-
строение алгебры Ли группы G совпадает со строением ал-
алгебры Ли любой локальпо изоморфной ей группы G'.
Оказывается далее, что для любой группы Ли можно
найти локально изоморфную ей группу, состоящую из
линейных операторов некоторого векторного простран-
пространства. Таким образом, строение алгебры Ли любой
группы G может быть изучено с помощью описанных
выше средств, использующих экспоненциальное ото-
отображение.
Нам придется ограничиться здесь формулировкой
этих результатов; мы не останавливаемся при этом на
математической технике, служащей для введения опе-
операций над однопараметрическими подгруппами любой
группы Ли.
Займемся теперь группой а/1];. Как уже было ска-
сказано, она локально изоморфна группе $*\, а эта послед-
последняя имеет точные «полевые» представления (§ 2), из
которых мы воспользуемся простейшим, однокомпо-
§ 8. АЛГЕБРЫ ЛИ 131
нептньш: каждому элементу (а, А) группы Gfl соответ-
соответствует оператор U [а, А], заданный формулой
y = U[a, А] О, (8.20)
где t|/ (х) = ^ (А (х — а)).
Группа, состоящая из операторов U [а, А], имеет
алгебру Ли из операторов а, действующих в том же
пространстве (^-функций. Строение этой алгебры мы
легко изучим с помощью экспоненциального отображе-
отображения; тем самым будет описапа и алгебра Ли группы #j.
Перестановочные соотношения группы _ Пуанкаре.
Однопараметрические подгруппы группы с^°| мы уже
отчасти знаем: это подгруппы (8.10), накрывающие
вращения и бусты. Поскольку эти однопараметриче-
однопараметрические подгруппы принадлежат матричной группе
SL B), входящей в af*, они допускают экспоненциаль-
экспоненциальное представление. К ним следует прибавить четыре
подгруппы сдвигов:
&,(&) = (Ч. 1), *-°, 1. 2, 3. (8.21)
Переходя к локально изоморфной группе {U (а, А)},
получаем десять однопараметрических подгрупп; мы
выпишем по одной подгруппе, соответствующей враще-
вращению, бусту и сдвигу:
U(b) 6 = ^ (хо,х1 cos2» — Хо sin 2», хг sin 2» f- х.г cos 2», хя),
-r3cli2ft), (8.22)
Соответствующие операторы алгебры Ли могут быть
найдены по правилу (8.18):
Ц^). (8.23)
При дифференцировании (8.22) возьмем частные
производные но контравариантиым координатам, что
приводит к упрощению записи операторов алгебры Ли;
сверх того, разделим первые шесть образующих на два
для упрощения перестановочных соотношений. Тогда
9*
t;S2 Часть I. СП ШТОРНАЯ АЛГКНРЛ
десяти одпоиарамстричсским подгруппам (8.22) со-
соответствует десять образующих алгебры Ли:
(«,3 = 0,1,2,3, а<3).
(8-24)
Д'ш удобства записи пере:тан оючпых соотношений пиедем
операторы Д/аЭ для в"-ех значении я, |3, налагая Л/м = 0
и Л/а3 =—Л/'а при я^>3. Тогда, как показывает пря-
прямая проверка, справедлчи'л следующие соотношения:
L^«3. ^T« I =< ^м?.( + ?зтл/а3 - ga,Mro - g?iMJ,
P
Легко видеть, что десять операторов Ма3 (я <; C),
Ра линейно независимы; принимая эти операторы за
Ак в формуле (8.19), получаем семейство элементов
U [а, Л], зависящее от десяти параметров. По группа
Пуанкаре задается как раз с помощью десяти парамет-
параметров: шесть из них задают Л и четыре задают а. Таким
образом, операторы (8.24) составляют полную систему
образующих алгебры Ли, чем и завершается ее пост-
построение.
Операторы Казимира группы Пуанкаре. Любому
представлению группы Ли G соответствует представле-
представление ее алгебры Ли <Л, заданное в том же пространстве
V. Таким образом, каждому элементу а алгебры Ли
соответствует оператор Л, действующий па V. Даже
в случае, когда группа Ли ^21 не состоит из линейных
преобразований, представляющие операторы А можно
умножать, как и любые операторы, действующие в од-
одном и том же пространстве. Конечно, полученные произ-
произведения (в отличие от коммутаторов) уже не являются
представляющими операторами алгебры Ли. Одпако
некоторые полиномы от представляющих операторов
играют важную роль в теории групп Ли. Способ по-
построения таких полипомов задается независимо от
выбора представления символическим полиномом от
§ 8. АЛГЕБРЫ ЛИ 133
элементов алгебры Ли F (а, Ъ, . . .), служащим «образ-
«образцом» для построения операторов того же строения во
всех представлениях: F (Л, В,. . .I). Например, симво-
символическому полиному а2 гЬ2-\с2 соответствуют во всех
представлениях операторы А2—В2 [С1, где А, В, С
суть операторы, представляющие а, Ь, с.
Если для любого представления группы G оператор
F (Л, В,...) перестановочен со всеми операторами,
представляющими ее алгебру Ли QI, то F (а, Ъ.. . .)
называется оператором Казимира группы G. Легко
проверить, что для коммутаторов справедливо тож-
тождество, апалогичное правилу дифференцирования
произведения:
\АВ, С\ = [Л, С\В + А\В, С].
С помощью этого тождества и перестановочных со-
соотношений (8.25) нетрудно проверить, что группа а^+
имеет следующие операторы Казимира:
A) д/2 = р5_рз_р|_рз (8.20)
(где оператор М не определяется вовсе, так что М2 рас-
рассматривается как цельный символ; см. § 10);
B) w* = -wfw\ (8.27)
где w опять не определяется, а операторы
«>? = TV.?PX^V; (8.28)
здесь индексы у Р1 и М^ подняты по обычному пра-
правилу, а числа
0, если X, [a, v, p не псе различны,
1, если (X, а( v( p) состапляют четную
перестановку чисел @, 1, 2, 3),
— 1,еслп (X, a, v, р) соетан'нпот нечетную
пе|:е. rraiii)nKy чисел @, 1, 2, 3).
') Такие символические полиномы, рассматриваемые с точ-
точностью до «олементарпьтх преобразовании» вида аЬ -^> Ьа \ \а, Ь],
где я, Ь -- элементы алгебры Ли, а A/0 \а, Ь\ — их коммутато[),
образуют так называемую универсальную обертывающую ал-
алгебру алгебры Ли.
13't Часть I. СШШОРПАЯ ЛЛГКБРЛ
Можно показать, что всо операторы Казимира грунни
оР\ (а также ,#+) выражаются в внде полиномов от Л/2и и?2.
Роль операторов Казимира в теории представлений
состоит в следующем. В силу (8.19) эти операторы пере-
перестановочны также со всеми операторами, представляю-
представляющими группу Ли, так как эти последние разлагаются
в степенной ряд по Ак. Если представление неприво-
димо, то оператор Казимира К удовлетворяет, таким
образом, условиям леммы Шура (см. Приложение II).
Следовательно, К является гомотетией про-
пространства V, т. с. Kv=w, где X не зависит от v. А назы-
называется «значением» оператора К для данного предста-
представления. Если известна полная система операторов Кази-
Казимира группы G, т. е. такая система Къ К2,. . ., что
каждый оператор Казимира этой группы является
полиномом от Кх, К2,. . ., то в ряде случаев пабор зна-
значений \, \,. . . этих операторов определяет неприво-
неприводимое представление с точностью до эквивалентности.
Во всяком случае, операторы Казимира весьма полезны
для классификации представлений. Как мы увидим
в § 10, опи имеют глубокий физический смысл: с их
помощью определяются понятия массы и спина частицы.
§ 9. Система неприводимых представлений
бинарной группы и группы Лоренца
Симметрические спин-тензоры. Спип-тепзорпые
представления, введенпые в § 4, после разложения на
пеприводимые представления доставляют все возмож-
возможные копечпомерные неприводимые представления
группы SL B). Задача о полпом разложении на пепри-
пеприводимые представления сложна и пе будет здесь обсу-
обсуждаться. Мы ограничимся тем, что выделим подпро-
подпространства спин-тензоров, симметрических по отношению
к спинорам и (отдельно) по отношению к коспипорам;
такие подпространства оказываются инвариантными,
и получающиеся в них представления группы SL B)
составляют уже полную систему неприводимых пред-
представлений этой группы.
Уточним, что здесь имеется в виду. Система непри-
неприводимых представлений некоторой группы G называ-
§ 9. СИСТЕМА НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 135
ется полной, если никакие два различных представле-
представления системы пе эквивалентны друг другу, и если каждое
неприводимое представление G эквивалентно одному
из представлений системы.
Дадим теперь определение симметрического спин-
тензора любой валентности. Пусть задан полипом
(ср. D.10))
Д A) И
5 = 2 &y<8>...<8>&y<8>^<8>...<8>V (9.1)
j-l Ш (SJ
Любая пара подстановок
а=( ), р = (о , в) (9-2)
определяет преобразование (ос, р"), переводящее поли-
полином 5 в полином
V = 21? <g>... ®% ® i,. ® ... (g) v (9.3)
Это значит, что в каждом мономе полинома S произ-
производятся перестановки множителей по правилу (9.2),
одинаковому для всех полипомов. Например, если
/1 2 3 4\ D /1 2 3
ТО
Спин-тензор S называется симметрическим, если
при любых а, р
^5 = 5. (9.4)
Легко видеть, что элементарные преобразования поли-
полиномов S (§ 4) сопровождаются такими же преобразова-
преобразованиями полипомов P^S; следовательно, P^S изобра-
изображает определенный спип-тепзор, зависящий лишь от
исходного снин-тензора, но не от специального выбора
изображающего его полинома. Каждый спипор и каж-
каждый коспипор является симметрическим спин-тензором
13(i Чагтг, I, СПИПОРНЛЯ ЛЛГЕЦРЛ
(валентности A, 0), соответственно @, 1)); в самом деле,
в этих случаях единственно возможными подстанов-
подстановками ос, 3 являются тождественные (к —>• к), так что
условие (9/i) выполнено. Симметрическим епин-тензо-
ром валентности B, 0) является, например, с(х) ?'-\-
j ъ уу *.
Компоненты спин-тензора, заданные форму-
формулой D.12), под действием оператора Ра? изменяются
по простому правилу:
например, в рассмотренном выше случае
; ту С\2н41 с?1:11
так как обратные подстановки а'1, [5 -1 переводят
B 3 4 1) в B 1 3 4) и B i 3) в C 2 1). Поэтому симме-
симметричность спин-тензора «S1 может быть определена
также с помощью компонент: спин-тензор S называ-
называется симметрическим, если компоненты его не меня-
меняются при любой подстановке верхних и (отдельно)
нижних индексов. Теперь уже нетрудно сосчитать
размерность пространства симметрических спин-тен-
спин-тензоров валентности (г, s). Так как значение компо-
компоненты Sl'/.'.'.Ys зависит лишь от состава индексол
vx . . . чг (соответственно 04 ... p.s), но пе от их по-
порядка, то независимые компоненты характеризуются
числами заполнения, указывающими, сколько единиц
и двоек имеется среди vl . . . vr, p.l . . . pis. Достаточно
указать число единиц в обоих случаях, принима-
принимающее значения га-•-(), 1, . . ., г (соответственно in- -0,
1, . . ., s).
Приняв независимые компоненты за координаты
в пространстве симметрических спин-тепзоров валент-
валентности (г, s) и обозначив это пространство через VrK,
имеем следующую формулу для его размерности:
dim vrs — (r-^-1){s-\-l). (;).6)
Метрика в пространствах сшш-тензоров. Выбор
базиса в Srs определяется соображениями, относя-
относящимися пе только к группе SL B), но и к группе SU B),
§ 9. СИСТЕМА НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 137
представления которой мы будем искать одновременно
с представлениями SL B). При определении
группы SU B) использоиалось «внутреннее» скалярное
произведение <[> (см, (8,44)) в пространстве спиноров
и соответственно в пространстве косшшоров.
Мы покажем, что такие «внутренние» произведения
позволяют естественным образом определить эрмитово
скалярное произведение в V's и построить там ортонор-
мированный базис, Г>азис такого рода будет особенно
удобен для изучения представлений SU B); как мы
увидим, тот же базис естественно связан и с подстав-
подставлениями SL B), хотя в этом случае нормировка базис-
базисных векторов и несущественна.
Итак, пусть заданы эрмитовы скалярные произ-
произведения для спиноров и косшшоров; <(?' [ ?"^>,
\7V I тГУ- Поскольку скалярное произведение для
спин-тензоров должно быть линейно относительно вто-
второго сомножителя и антилипейно относительно пер-
первого, достаточно задать его для пары мономов; поло-
положим
(р СО _ СО
СО С»)
СО / .(*)(*>
... ® , ?х) "¦ <л> • • • Qy V= 11 ^ I v 11 'ri I'" >• (¦'•')
со со *¦ | ' '| "со со
Так как любой снин-теизор валентности (г, .?) явля-
является суммой мономов, то этим задается и скалярное
произведение любых снин-тензоров S, Т той же валент-
валентности, линейное относительно второго множителя и
антилинейное относительно первого; достаточно за-
записать S, Т в виде суммы мономов S., Т, и положить
В частности, для базисных спин-тензоров
(О (О
ev,1;;;^ == -% ® ... ® ev ® ?*. ® ... ® s^ (9.9)
to (•*)
138 Часть I. СПИПОРПЛЯ ЛЛГКБРЛ
(ср. D.13)) имеем
откуда паходится выражепие скалярпого произведения
в компонептах:
Из способа построения скалярпого произведе-
произведения (9.7), (9.8) ясно, что оно не зависит ни от специ-
специального представления S, Т в виде полипомов
(так как пе меняется при элемептарных преобразова-
преобразованиях), ни от выбора базиса (так как базис вообще не
участвует в определении (9.7), (9.8)). С другой стороны,
из (9.11) видпо, что <E | Sy > 0 при 5^=0; следова-
следовательно, построенное нами скалярное произведение
снин-тепзоров эрмитово.
Введение эрмитова скалярного произведения пре-
превращает Srs в комплексное евклидово пространство
размерности 2r+s (ипогда комплексные векторные прост-
пространства с эрмитовым скалярпым произведением на-
называются также гильбертовыми пространствами, дру-
другие же авторы сохраняют последний термин лишь
для бесконечпомерпого случая).
Базисные спип-тепзоры (9.9) составляют, в силу
(9.10), ортонормировапный базис в пространстве Sj
всех спип-тензоров валентпости (г, s). Однако эти
спин-тепзоры не симметричны. Чтобы получить базис
для симметрических спин-тепгюров, мы подвергаем
спин-тепзоры (9.9) симметризации. Применим к по-
полиному (9.1) операторы Ра3 со всевозможными под-
подстановками а, 8 и сложим полученпые мономы; по-
полученный полипом разделим, для упрощения дальней-
дальнейших формул, на число его членов г! s\. Тем самым мы
вводим оператор
2
«.Р
называемый оператором симметризации. Легко ви-
видеть, что этот оператор переводит любой спин-тензор
§ 0. СИСТКМЛ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 139
в симметрический; в самом деле, если применить к PS
оператор перестановки P^s, то имеем Р^Р^—Р^.^,
откуда
Vs = ТТЛ 2 W = H712 Р«ь ^
подстановки а у, рос фиксированными у, о пробегают
здесь всевозможные подстановки из г (соответственно s)
чисел, и правая часть совпадает с PS.
Далее для симметрического снин-тензора S
имеем PS—S; в самом деле, в этом случае P^S — S
для всех а, [3, причем сумма в (9.12) содержит столько
членов, сколько есть пар подстановок (а, C), т. с. г! s\;
отсюда и вытекает сделанное утверждение, а заодно
и объяснение множителя в (9.12).
Обозначим теперь через Vra пространство всех
симметрических спин-тензоров валентности г, s. Чтобы
построить базис в Vrs, выберем в С2, (С2 ортонормирован-
ные дуальные базисы (е^), (e;i) и построим из них
сшш-тепзоры (9.9), а затем подвергнем эти последние
действию оператора Р; полученные симметрические
спин-тензоры
p<v::t% (9.13)
как мы покажем, составляют базис в Vra. Покажем
сначала, что любой симметрический сшш-тензор S
разлагается по спин-тензорам (9.13). Для этого раз-
разложим S по базису (9.9) и применим к обеим частям
разложения оператор Р; так как PS=S, получаем
требуемое разложение. Чтобы доказать линейную не-
независимость системы (9.13), достаточно установить ее
ортогональность. Если два полинома (9.13) различа-
различаются составом индексов, то вычисление их скалярного
произведения вследствие (9.8) сводятся к скалярному
умножению мономов (9.9), различающихся хотя бы
одним множителем; но такие произведения равны
нулю в силу (9.7).
Остается нормировать базисные спин-тензоры (9.13).
Пусть числа заполнения, соответствующие (9.13),
равны п и т, т. е. среди индексов v имеется п единиц
140 Часть I. O.IIIilKM'UASI ЛЛГКШ'Л
и г—п двоек, и среди индексов (i. имеется rii единиц
и s—т дн ек. llucjie деления на к! (г—».)! ih\ (s—m)!
и умножения па г! .s1! базисный вектор (9.13) превра-
превращается в сумму s (п, rii) мономов (9.9) с одним и тем же
составом индексов (т. с. одинаковым числом единиц
и двоек сверху и снизу), но с различным расположе-
расположением их. Но этой последней причине все члены в (n,th)
ортогональны друг другу, и скалярный квадрат е (п, rii)
равен, тем самым, числу членов (ср. ((.).7)), т. е. C'fif.
Поэтому нормированный вектор базиса есть
_=1=?(л. rfO = VBl('-B2l^^L'E(n> m), (9.И)
\ 1' г л'
или, что то же,
Ф„,;, — ^Г'а'' Pi'''¦¦¦ -^ (9 15)
\'п ! (г- п)\ rii ! (s — m}\ *;•••*/•• v '
Представления группы <SX B) симметрическими
спин-тензорами. Теперь мы можем определить непри-
неприводимые представления бинарной группы, о которых
уже была речь в § 7. Согласно общему определению
спин-тензорных представлений оператор V, соответ-
соответствующий в представлении бинарной матрице и, дей-
действует на моном по правилу (А. 10). Подвергнем моном
действию оператора Рлр тогда, очевидно, и в правой
части D.16) произойдет такая же перестановка мно-
множителей и, следовательно, в применении к мономам
имеем
^ = P^V. (9.16)
Поскольку операторы U и Ра3 линейны, обе части (9.16)
одинаково действуют на любой спин-тепзор, т. с. (9.16)
справедливо как равенство операторов. Отсюда для
всех матриц и из SL B) имеем
UP = PU. (9.17)
Поэтому операторы представления U переводят сим-
симметрические спин-тензоры опять в симметрические:
если PS=S, то P(US)-U(PS)-US. Полученное
представление группы SL B) в пространстве V\ всех
§ 0. СИСТЕМА НКШЧ-ШОДПМЫХ II 1>КДСТЛИЛKTIПft I'll
симметрических сшш-тензоров валентности (г, s) обо-
обозначается через (j, )'), где 2j--r, 2j'~ s. Это и есть те
представления, на которые мы ссылались в § 7. Легко
убедиться, что все представления (j, j') точны; до-
достаточно для любых двух бинарных матриц и-/-и'
найти симметрический спин-тензор S, переводимый
соответствующими операторами U, V в разные спин-
тензоры. Ми примем без доказательства, что (/', ;')
образуют пол?1ую систему неприводимых представлений
(см. § 7).
Правило вычисления матриц неприводимых пред-
представлений. Сейчас мы изложим алгебраический прием,
позволяющий вычислить для всех бинарных матриц и
соответствующие им в представлениях (/, /') матрицы
DU,l') [и]. Для этого мы фиксируем базис в простран-
пространстве спиноров. Тем самым однозначно задаются ба-
базисы (9.9) во всех спин-тензорных пространствах SrK
и базисы (9.15) в пространствах симметрических сшш-
тензоров. Это дает возможность вести вычисления
в компонентах. Для упрощения записей мы рассмотрим
в дальнейшем только представления тина (j, 0); пе-
переход к общему случаю не требует каких-либо новых
идей, а представления типа @, /'), как будет ясно из
дальнейшего, получаются по формулам, очень просто
связанным с приводимыми в тексте.
Общее правило D.19), задающее представление
в компонентах спин-тензоров, при /'=0 имеет вид
5'"'---"'- = ц"цЛ ... ц"^*'-•-*<¦. (9.18)
То же правило применяется, в частности, к инте-
интересующим нас симметрическим сшш-тензорам. Но для
симметрических спин-тензоров падо учесть совпадения
коэффициентов и выбор ортопормированного ба-
базиса (9.15). Пусть iSVi •••'/• — одна из компонент
симметрического спин-тензора S в базисе
пространства всех спин-тензоров валентности (г, 0).
Пусть среди индексов v содержится п единиц и г—п
двоек. Обозначим через f компоненту того же сим-
симметрического спин-тензора S по отношению к базисному
112 Чпсть Г. СШ1П0ГПЛЯ ЛЛГКПРЛ
спин-тензору Ф (п) пространства симметрических спин-
тензоров, соответствующему этому же числу п (здесь
s—0, rh~-0 и Фи заменяет Ф„т). Тогда, как легко видеть
из (9.14),
f vVl <?'-•''•. (9.20)
'" \п\(г-щ\
Рассмотрим моном вида
(О B) (г)
? y9 ¦= v9 ¦ ¦ ¦ y9 ¦= i W-^ 'J
разложение которого но базису пространства Vo имеет
вид
(О (>¦) (О (г)
ъ • • • S ?vi >o/ ' ' ' *O/ vr' ъ • • • ь . ^o.~i_i^
При подстановке
V=.u*x (9.23)
(О (г)
произведения Г1 ... s'r преобразуются но тому же закону
(9.18), что и компоненты общего снип-тепзора S. Если
A) B) (г)
теперь моном (9.21) симметричен, т. е. ?=?=... = ?,
то его компоненты являются произведениями вида
где « — число единиц и г—п — число двоек среди
индексов Vj . . . vr; естествепно ожидать, что при под-
подстановке (9.23) произведения (9.24) будут преобразо-
преобразовываться подобпо компонентам f симметрического
спин-тензора. Это подтверждается следующим вычис-
лепием.
Возьмем одну из компонент симметрического спин-
тензора S', например
я г-п
'ь.лгТ.Тг— Vre -(r_ n) ¦ /'«. (9.25'
Согласно правилу представления (9.18)
n r-n
...1 2... 2 _ ui ^ ^ ^ Ml M2
§ 9. СИСТЕМА НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 143
Выделим в правой части члены, в которых т индексов
равны единице и г—т — двойке. Все соответству-
соответствующие компоненты
— т)
откуда получается закон преобразования компонепт
симметрических спин-тензоров
= 2 B < • ¦ ¦ «в ¦ ¦ ¦ О фп\(г~т)\Г; (9.20)
внутреннее суммирование производится здесь по всем
наборам (t1x2 . . . хг), содерн\ащим т едишщ и г—т
двоек.
С другой стороны, в разложении
(&' ХГ (S' Т" = («I?1 + "?2)" ("I?1 + "Р2Г" (9-27)
коэффициент при (^1)"! (^2)r"m в точности равен внутреп-
ней сумме в правой части (9.26). Следовательно, ком-
компоненты симметрических спин-тензоров относительно
ортонормированного базиса преобразуются так же,
как произведения
u u (9.28)
V're ! (г— re) !
действием бинарной подстановки (9.23).
Для приложений удобпо переменить нумерацию
базиспых векторов в пространстве представления. По-
Положим /=г/2,
тогда базисные спин-тензоры (9.15) (с одним индексом,
так как s=-0) получают новую нумерацию целыми
или полуцелыми ипдексами:
Ф_у, Ф_м, ••¦, Ф^, Фу, (9.30)
144 Часть I. СНИНОРНЛЯ АЛГЕБРА
а соответствующие компоненты jz преобразуются так
же, как
Наконец, обозначим пространство представлепия V'a
через F2^+1, где верхний индекс, равпый числу ба-
базисных векторов (9.30), означает уже не валентность
спин-тензоров, а размерность заданного ими пред-
представления. Теперь мы располагаем всем необходи-
необходимым для вычисления матриц представления D(jl) [и].
В общем случае представления в пространстве Vrs
для нумерации базисных спип-тензоров (9.15) пола-
полагают r--2/, s—2j'; тогда базис имеет вид
Ф.э (9.32)
(= = —/, -/4 1, ••-/ -1, /;
а компоненты симметрических спип-тепзоров f3i от-
относительно этого базиса преобразуются, как полиномы
V(/-|-a) !(/-a) !(/'-!- о) !(f-a)!
при подстановках
Размерность представления равна числу (ортонормиро-
ванных) базисных спин-тензоров (9.32), т. е. B/-|-1) X
X B/4 1), где /, /' — любые целые или полуцелые
числа.
Из (9.34) легко следует соотношение между матри-
матрицами представлений (/, 0), @, /):
^DiJ-Q> [C\D<J-o)[u]Da-0! [С]'1. (9.35)
Можно показать, что пространства представлений VI,
V°j связаны невырожденным скалярным произведе-
§ 9. СИСТЕМА НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 145
пием (х I ф). подобно пространствам спиноров и ко-
спиноров, причем для всех матриц и
Развитый здесь аппарат спин-тензорпых представ-
представлений принадлежит Э. Картану.
Представления группы SU B). Если, в частности,
брать матрицы и лить из подгруппы SU B), то из
представлений (у, /') получаются представления
группы SU B) тех же размерностей. Эти представле-
представления, вообще говоря, приводимы, но неприводимы
в случаях (/, 0), @, /). Важно заметить, что по отноше-
отношению к построенному выше скалярному произведению
спип-тепзоров <^|> эти представления группы SU B)
унитарны, т. е. для унитарных матриц г
... </?<¦>• ¦>" \r]S\D'*- ¦>" [г]..Г> = <5 | Г>. (9.37)
Чтобы доказать (9.37), заметим, что в силу опреде-
определения сиин-тензорных представлений D.16) и опреде-
определения скалярного произведения (9.7), (9.8) левая
часть (9.37) получается из правой, если в каждом
мономе полипомов S и Т заменить спинорные мно-
множители % на и ? и коспипорные множители 1\ на й'х1\.
Так как г унитарна, ?~х1\ = г1\', все скалярные произ-
произведения в правой части (9.7) сохраняются под дейст-
действием унитарных преобразований г, откуда и сле-
следует (9.37).
Напомним, что скалярные произведения в простран-
пространствах спин-тепзоров и пормировка базисов нужны
были имепно для того, чтобы обеспечить унитарность
представлений (/, у'), суженпых до подгруппы SU B).
Унитарный характер представлений SU B) весьма
важен в приложениях к физике.
Можно показать, что только что описанные пред-
представления D'J) \r] = D(J>0) \r] образуют полную систему
неприводимых представлений группы SU B). Таким
образом, для описания представлений группы SU B),
в отличие от содержащей ее группы SL B), нет па-
добностп в «коспипорных» представлениях.
Заметим еще, что представления (j, j') группы SL B)
не унитарны. Это не случайно: группа SL B), как и
Ю Ю. Б. Румер, А. И. Фет
146 Часть I. СПННОРНЛЯ АЛГЕБРА
группа Пуанкаре, вообще не имеет копечпомерпых
упитарпых представлений, за исключением тривиаль-
тривиального одномерного, в котором всем матрицам и со-
соответствует число 1. Бескопечпомерпые унитарные
представления группы Пуанкаре очень важны для
физики и будут построены во второй части книги;
что касается группы SL B), то ее унитарные пред-
представления нам не понадобятся.
Матричные элементы представлений. Покажем, как
вычисляются элементы представляющих матриц (опять
ограничиваясь случаем (/, 0)).
Пусть дапной матрице u=(uv) соответствует матрица
U—D(J) [и], задающая линейное преобразование
?= 2 UJ,. (9.38)
Тогда закоп преобразования (9.38) совпадает с за
копом преобразования выражений (9.31), т. е.
- У и
_ (9i39)
Д. " V(/ + т) ! (/ - т; I ^ '
Введем перемепную х=|1/|2 и перепишем последнюю
формулу в виде
I Т °) '¦ V — 31 '¦ j-j х,/+т
откуда
i — z)
§ П. СИСТЕМА НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Ш
Выполнив дифференцирование произведения по фор-
формуле Лейбница и подставив х=0, имеем
/ - о) ! U -|- ~.)!(/--)! X
Заметим для дальнейшего, что элементы представля-
представляющей матрицы С7о_ являются однородными функциями
степени 2/ от элемептов исходной матрицы и.
Представление матриц Паули. Начнем с представ-
представления матриц Паули, порождающих алгебру Ли
группы SU B). Для вычисления представляющих
матриц составим однопараметрические подгруппы
{е*'вт*} (см. (8.10)) и построим ооответстнующие им
в представлении подгруппы (8.17). Пользуясь раз-
разложением (8.18) и вычисляя с точностью первого
порядка, имеем для к=1: м—1+йЬ1? т. е. и\=и\=\,
u\=u\=ib. Впося эти значения в (9.41), достаточно
найти лишь члены первого порядка по Ь. Они полу-
получаются при /+о—I—;0, }-\-%—1=1 и при /+а—Z== 1,
/+"—Z=0, так что в матрице (Аа„) отличны от нуля
лишь элементы с ^=о + 1. Проведя аналогичные вы-
выкладки для а2, а3, находим матрицы 1к, соответству-
1 / 1
ющие -х-^к (множитель у вводится для упрощепия пе-
перестановочных соотношений):
±
ю*
114 Часть I. СПИПОРПЛН ЛЛГКПРЛ
Заметим, что матрицы (9.42) эрмитовы, в соответ-
соответствии с тем фактом, что подгруппа SU B) представля-
представляется унитарно. Особо простое выражение /3 связано
с неравноправием осей, с самого начала присутство-
присутствовавшим в построении спипорпых представлений
(см. E.2)).
Представляющие матрицы для образующих 1/2 ~.к
получаются совершенно аналогично; обозначим их
через /;,:
П = Ик D=1, 2, .4). (9.43)
Представление вращений и бустов. Представляющие
матрицы для элементов группы SL B) можно теперь
получить по формуле (8.19). Рассмотрим однопара-
метрическую подгруппу, накрывающую вращения во-
вокруг оси п:
r(ft) —e'a<"'> = cos» f /(«j) sin » (9.44)
(ср. E.10)). Тогда, согласно (8.19), в представлепии D<J)
имеем
Пи>(Ъ) = е*{*пТК (9.45)
Аналогично для бустов
Ъ {%) = evf>('") = eh Э — (пх) sh & (9.46)
имеем представля ощие .матрицы
Ви> (ft) = e2iS<-п'">. (9.47)
Представление некоторых специальных матриц. Нам
понадобятся в дальнейшем матрицы, представляющие
две матрицы специального вида. Первая из них-—ма-
них-—матрица
С-\-\ о)
(ср. C.19)). Эта матрица принадлежит SUB), н под-
подстановка в (9.39) м]:=м! = 0, м'^1, и\ = — 1 дает
f (-1)/+4,_,- (9.48)
§ П. СИСТЕМА ПЕШЧШОДИЛЫХ ПРКДОТЛВЛЕНПП Ш
Рассмотрим да чоо матрицу р, шыбража.ощую вектор
eh -j r0 -f sh -j px -f sh у р., [- sh-j e9), /?i > О:
Эта матрица не уиимодуляриа; мы можем, однако,
найти представляющие ее матрицы, расширив DiJ>
до представления любых матриц второго порядка.
J3 самом деле, формула (9.39) может быть применена
независимо от предположения, что dot и—А. В силу
E.21), p-=mb (p) b+ (p)—-mb (р)г, и в представлении DiJ>
получаем матрицу
U(Jl = m2J'BiJ)(pf, (9.50)
где /?Су| (р) представляет буст Ь (р). Матричные эле-
элементы И'7' нетрудно получить из (9.41). Для наших
целей достаточно заметить, что матричные элементы 11$
суть однородные функции степени 2/ от компонент
импульса ра.
«Повышающие» и «понижающие» операторы
группы SL B). Рассмотрим теперь неприводимое пред-
представление D^' >') группы SL B) в пространстве
y(ijn)c2j'r\)_ ]з этом представлении матрицы алгебры
Ли аА., ik изображаются операторами, которые мы
обозначим, как и в случае четырехмерного представ-
представления в пространстве Минковского, через 2Мк, 2Кк
(ср. (8.12)). Положим еще
()
(А = 1, 2, 3)i).
Тогда для операторов Лк, Вк получаются особеппо
простые перестановочные соотношения:
[Аи A.,\ = iAa, [Л,, AJ^iA^ [A.;, A1\ = iA.2,
[Blt ВЛ\ = ШЙ, [В,, ВА = ^,, [В3, ^1 = Ш2, (9.52)
[Лк, В,\ = 0 (A, Z=l, 2, 3).
При ;'=0, в частности, ЛА=0 (ср. (9. 43)).
150 TaCTi, I. СНИПО1Ч1ЛЯ ЛЛГЕШ'Л
Образующие Ак, а также Bk, в отдсльпости имеют
такие же перестановочные соотношения, как 1к. За-
Заметим, что матрицы iKk, как нетрудно показать, эр-
эрмитовы (в базисе Ф»=); тем самым эрмитовы все ма-
матрицы Ак, Вк. Одпако эти матрицы не принадлежат
представлению алгебры Ли, так как получаются из
представляющих матриц Мк, Кк с помощью комплек-
комплексных линейных комбинаций. Система всевозможных
комплексных комбинаций элементов алгебры Ли на-
называется ее комплексной оболочкой.
Положим
А+ = А1-\-гЛа, А_=г-А1~1А.,,
B+=B1-j-iB.,, B_=B1 — iB2.
Как нетрудно проверить с помощью (9.33), базисные
векторы Фа1 представления D{J' J'n являются собствен-
собственными векторами операторов Ая, Вл:
Л3Ф(Г1 = оФл, ДФ* = 3Фв,, (9.54)
между тем как операторы А±, В± щ)еоб[)азуют их по фор-
формулам
1+ф.1 = slW - 4) (;' -t- * 4-1) ф.. o+i (й < /'),
3H' —з + 1)ф>-1,* (а>—А
Часть II
КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
§ 10. Операторы теории поля
Происхождение основных понятий. В классиче-
классической динамике, гамильтопова форма которой сыграла
особенно важную роль в истории квантовой механики,
состояние движения динамической системы описыва-
описывается конечным числом «динамических переменных»
Чи P<U~1> • • •> п)\ эт0 значит, что движение системы
полностью определяется функциями от времени
Qi @> Pi @- Для определения этих функций служат
уравнения Гамильтона, составленные по заданному
классическому гамильтониану II (q{, pv t).
Будем считать, что координаты q{ полностью задают
положение системы по отношению к выбранной си-
системе отсчета; это значит, что среди q{ должны быть
координаты, фиксирующие положение системы в це-
целом в каждый момент времени, например координаты
центра инерции системы и углы, задающие вращение
системы относительно осей системы отсчета. Тогда, если
подвергнуть систему в целом преобразованиям Гали-
Галилея, мы получаем соответствующую группу преобра-
преобразований фазового пространства системы. Известно, что
из этих преобразований выводятся «законы сохранения»
для некоторых динамических функций от qit р{ (теорема
Нйтер).
Главное отличие квантовой механики от класси-
классической состоит в том, что динамические переменные из
чисел превращаются в операторы, действующие на
некотором гильбертовом пространстве. В связи с этим
происходит своеобразное разделение ролей между
различными частями математического аппарата. Со-
Состояние движения системы задается уже не набором
чисел (<?,•, р{), а вектором указанного гильбертова
152 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
пространства. Если исходить из «картины Гейзенберга»,
более подходящей для наших целей, то «вектор состоя-
состояния» должен рассматриваться как полное описание
движения системы (от 1-~— со до i—со), аналогичное
полной фазовой траектории (qt (t), р{ (t)) классической
механики.
С другой стороны, динамические переменные
Qi @> Pi (О (ДЛЯ системы с постоянным числом частиц)
превращаются в операторы, зависящие от времени и
определяемые из «квантовых уравнений Гамильтона»
и перестановочных соотношений Гейзепберга — Ворпа.
Эти последние представляют собой новый важный закон
природы, выражающий пекоммутативностъ квантовых
динамических переменных. Действительности класси-
классических динамических переменных соответствует ор.ми-
товость квантовых, т. е. действительность их собствен-
собственных значений и средних значений. Эти значения и опи-
описывают измеряемые па опыте характеристики системы
в любой момент времени.
Векторы состояния обычно реализуются в виде функ-
функций ф (q{, t), удовлетворяющих уравнению Шредингера.
Отметим, что в гейзопберговой картине вектор состоя-
состояния есть функция от п-\-1 переменных, включая время
(а не меняющаяся со временем функция от q., как в кар-
картине Шредипгера). Преобразования Галилея вызывают
соответствующие преобразования векторов состояния,
т. о. существует линейное представление группы Гали-
Галилея в гильбертовом пространстве состояний системы.
Поскольку преобразования группы должны сохранять
скалярные произведения, выражающие вероятности
квантовых переходов, это представление должно быть
унитарным. Поэтому алгебра Ли группы Галилея пред-
представляется в пространстве состояний эрмитовыми опе-
операторами, которые называются наблюдаемыми группы
Галилея. К их числу относятся проекции импульса
и момента системы, соответствующие сдвигам и враще-
вращениям, а также оператор энергии, соответствующий вре-
временным сдвигам. Динамические переменные, со своей
стороны, также подвергаются преобразованиям группы
Галилея, и оти преобразования определенным образом
связаны с преобразованиями векторов состояния.
§ 10. ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 153
Термины, которых мы здесь придерживаемся, не
являются общепринятыми. Мы называем динами-
динамическими переменными операторы qt, р{, связанные со
специфической квантовой системой; термин «наблю-
«наблюдаемые» мы сохраняем для операторов, возникающих
из группы Галилея и связанных, таким образом,
с самой структурой пространственно-временного конти-
континуума. Конечно, эти операторы между собой также свя-
связаны; например, импульс Р всей системы в целом
(наблюдаемая) равен сумме импульсов отдельных час-
частиц (динамических переменных). Мы применяем здесь
разные термины, чтобы избежать смешения понятий.
До сих пор речь шла о квантовой механике систем,
состоящих из постоянного числа частиц. Назовем такую
квантовую теорию «элементарной». Переход от эле-
элементарной квантовой механики к квантовой теории
поля, где число частиц может быть неопределенным
и среднее число их зависит от времени, аналогичен
переходу от механики систем с конечным числом сте-
степеней свободы к механике сплошных сред. Квантовые
динамические переменные q{, pt заменяются здесь
квантованными полями ф3 (х), ка (х), где точка про-
пространства-времени х и индекс а «нумеруют» операторы
наподобие индекса I. Квантованные поля удовлетворяют
каноническим перестановочным соотношениям, анало-
аналогичным соотношениям Гейзенберга—Борпа. Для оп-
определения зависимости полей от времени служат урав-
уравнения, аналогичные квантовым уравнениям Гамиль-
Гамильтона. Заметим, что квантованные поля, в отличие от
операторов динамических переменных элементарной
квантовой механики, не обязательно эрмитовы, хотя
и могут быть эрмитовыми в некоторых частных слу-
случаях. Теория квантованных полей была разработана
Гейзенбергом и Паули AУ31).
Гильбертово пространство векторов состояния си-
системы, на котором действуют операторы квантованного
ноля, было впервые явно описано В. Л. Фоком. Оно
устроено сложнее, чем пространства состояний элемен-
элементарной квантовой механики. Пространство Фока со-
содержит «га-частичные» подпространства (тг--О, 1,. . .);
вектор каждого такого подпространства изображает
154 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
состояние системы с определенным числом частиц п,
тогда как суммы векторов из разных подпространств
соответствуют состояниям с неопределенным числом
частиц. Операторы квантованного ноля ф3 (х), ^ (х)
изменяют число частиц. Действуя последовательно
операторами с разными х и а па «вектор вакуума»
(изображающий состояние с пулевым числом частиц),
молшо получить базис всего пространства состояний.
Однако операторы квантованного поля порождают
из вакуума не состояния с определенными характери-
характеристиками (импульсом, спином), а смеси («пакеты») со-
состояний такого рода. Операторы, порождающие частицу
с определенными значениями импульса и спина или
уничтожающие такую частицу, были введены Иор-
Иорданом и Вигнером A928). Связь между операторами
квантованного поля и операторами рождения и унич-
уничтожения долго была известна лишь в частных случаях;
в общем виде ее установил Вайпберг A964) с помощью
группового подхода. Доказательство теоремы Вайп-
берга является одной из целей этой книги (см. § 12).
Квантовая теория поля является релятивистской
теорией; это значит, что векторы состояния системы
образуют унитарное представление группы Пуанкаре.
Операторы, представляющие при этом алгебру Ли
группы Пуанкаре, эрмитовы и называются наблюдае-
наблюдаемыми группы Пуанкаре. (Различие между динами-
динамическими переменными и наблюдаемыми здесь прояв-
проявляется с полной очевидностью.) Наблюдаемые имеют
базис из десяти операторов — 4-импульса, трех вра-
вращательных и трех «релятивистских» моментов. Кванто-
Квантованные поля также преобразуются по группе Пуан-
Пуанкаре, и их преобразования определенным образом
связаны с преобразованиями векторов состояния.
Действие преобразований Лоренца и сдвигов на
квантованные поля было ясно в самом начале построе-
построения квантовой теории поля (около 1930 года), хотя
в то время иреобразовапия этих двух типов рассматри-
рассматривались отдельно. Что касается преобразований про-
пространства состояний, то здесь, по-видимому, отсутство-
отсутствовало ясное понимание роли группы Пуанкаре, объеди-
объединяющей преобразования Лоренца и сдвиги. Осознание
§ 10. ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 155
этой роли и иостроеиие унитарных (бесконечномерных)
представлений группы Пуанкаре является заслугой
Вигнера A939). Естественная физическая мотивировка
вигиеровских представлений была одной из целей,
побудивших нас написать эту книгу (см. § 14).
Поля, рассматриваемые в квантовой теории поля,
могут быть построепы по образцу соответствующих
классических полей, как это делается в случае электро-
электромагнитного поля. Однако в других случаях образцом
для построения квантованного поля (для квантования
поля) служит поле, которое может быть отнесено
к «классическим» лишь формально, поскольку прини-
принимает числовые, а не операторные значения. Такую
роль играет электронно-позитроппое поле Дирака
6Т (х). Поскольку операторы фт (х) переводят вектор
вакуума в «одпочастичпые состояния», имеется соот-
соответствие между векторами состояний, в которых си-
система состоит из одной частицы, и полями Дирака.
Отсюда ясно, почему поле Дирака с числовыми зпаче-
ниями, служащее классическим приближением к кван-
квантованному полю, играет в элементарной квантовой ме-
механике роль вектора состояния. Так как уравнение
Дирака для электрона в нерелятивистском пределе
переходит в уравнепиеШредингера, полученное«кван-
полученное«квантованием», т. е. путем операторной аналогии из клас-
классической механики, то процедуру, в которой сами волно-
волновые функции Дирака стаповятся из числовых оператор-
операторными, часто называют «вторичным квантованием».
Пространство состояний квантовой системы. В ос-
основе всякой квантовой теории лежит понятие группы
симметрии. В иптересующем пас случае кваптовой тео-
теории поля роль такой группы играет группа Пуанкаре.
В некоторых случаях (для систем, допускающих про-
пространственное отражение и обращение времени) в ка-
качестве, груцпы симметрии берут полную группу Пуан-
Пуанкаре df5; в других случаях ограничиваются ее специ-
специальной подгруппой <zP\. Если не будет оговорено
противное, мы будем рассматривать в качестве основной
группы 3*1; вопрос о дискретных преобразованиях
будет рассмотрен отдельно. В соответствии со сказан-
156 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
ным в § 6 под группой Пуанкаре имеется в виду двули-
двулистная накрывающая группы # (или #+). Когда идет
речь о преобразованиях пространства Минковского,
в обозначении группы устраняется тильда.
Термин «группа симметрии» имеет в физике два раз-
различных смысла, В первом смысле «группа симметрии»
системы есть группа преобразований системы, пе ме-
меняющих ее состояния, например группа движений
пространства, переводящих в себя кристаллическую
решетку, или группа перестановок, меняющих местами
тождественные частицы. В таких случаях «группа сим-
симметрии» либо измеряет «степень симметричности» си-
системы, либо исправляет несовершенство нашего ап-
аппарата описания, макроскопическое происхождение
которого заставляет изображать одну и ту же ситуацию
по-разному и затем производить отождествление.
Другой смысл «группы симметрии» состоит в зада-
задании кинематики системы. Все возможные состояния
системы образуют «пространство», па котором действует
группа. При этом не обязательно, чтобы пространство
это было линейным (т. е. векторным) пространством 1).
Если фиксировать некоторое исходное состояние си-
системы, то другие состояния можно в ряде случаев
нолучить из исходного действием преобразований
группы; их можно поэтому задавать с помощью со-
соответствующих элементов «группы симметрии», испол-
исполняющих роль лаграпжевых координат (q). Лучше было
бы, по-видимому, называть группы такого характера
«кинематическими», поскольку преобразования таких
групп меняют состояния системы и служат не для изме-
измерения ее «симметричности», а для перечисления и клас-
классификации всех ее состояний.
В квантовой теории поля основной группой явля-
является группа Пуанкаре с#°|, а понятие квантовой системы
определяется следующим образом:
Квантовая система задается унитарным представле-
представлением группы Пуанкаре э^ в некотором гильбертовом
пространстве io.
') В математике пространство, па котором действует группа,
называется однородным пространством.
§ 10, ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 157
Только что приведенное определение можно назвать
«принципом релятивистской инвариантности» кванто-
квантовой теории поля; мотивировка его приводится ниже.
Всякой квантовой системе сопоставляется некото-
некоторое гильбертово пространство 5Ь, служащее для изо-
изображения ее состояний. Лучом Ф в пространстве 5Ь
называется множество ненулевых векторов, получаемых
из одного вектора Ф умножением на всевозможные
комплексные числа ). =/= О, т, е. векторов вида {АФ},
Ясно, что в качестве «порождающего» вектора Ф можно
взять любой вектор луча. (
Определение понятия состояния системы может
быть формулировано следующим образом:
Состояние квантовой системы задается лучом Ф гиль-
гильбертова пространства Й этой системы.
Таким образом, все состояния системы отождествля-
отождествляются с лучами $); сами состояния не образуют вектор-
векторного пространства (их нельзя ни складывать, ни умно-
умножать на числа); но векторы S) можно складывать и
умножать па числа. Поскольку луч можно задать с по-
помощью любого входящего в него вектора Ф («предста-
(«представителя» луча), построение линейных комбинаций в $)
называют суперпозицией состояний, а сами векторы 5Ь —
векторами состояния системы1). Мы будем обозначать
состояние системы той же буквой Ф, что изображающий
ее луч.
Подчеркнем, что лучам здесь приписывается такое
же «абсолютное», не зависящее от наблюдателя значе-
значение, как точкам пространства Минковского в § 1.
Однако каждый релятивистский наблюдатель воспри-
воспринимает состояние системы по-своему, приписывая,
тем самым, лучам абстрактного гильбертова простран-
пространства 9) некоторое координатное выражение; это значит,
что каждый наблюдатель по-своему выбирает базис
в 5Ь, изображая векторы ib координатами в этом базисе.
Так называемый «принцип суперпозиции», согласно
которому линейная комбинация векторов состояния
J) Пространство нсех лучей й называется в математике
комплексным проективным пространством (оно вместе с й бес-
бесконечномерно).
158 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
системы опять изображает возможное состояние той же
системы, полностью содержится в двух предыдущих
определениях.
Рассмотрим другую квантовую систему, иперциально
движущуюся по отношению к первой, по в остальном
физически ей тождественную; точный смысл этого со-
состоит в следующем. Задаются две системы отсчета,
связанные преобразованием (а, и) группы Пуанкаре
оР\. Тогда существует обратимый оператор О (завися-
(зависящих! от (а, и)), устанавливающий взаимно однозначное
соответствие между состояниями «старой» и «новой»
систем,
таким образом, что наблюдатель, связанный с «повой»
системой отсчета, воспринимает состояние X точно
так же, как связанный со «старой» системой воспри-
воспринимает состояние Ф.
Следовательно, при переходе от «старой» квантовой
системы к «новой», иперциально движущейся по отно-
отношению к «старой», происходит преобразование О [а, и]
лучей пространства 5Ь; всевозможные такие преобра-
преобразования, соответствующие всем элементам (а, и) группы
Пуапкаре $*"[, обладают свойствами представления,
т. е. произведению элементов группы of*\ соответствует
произведение преобразований, выполненных в том же
порядке, и тождественному элементу @,1) соответ-
соответствует тождественное преобразование. Соответстипе
(а, и) ~> О [а, и] называется проективным представле-
представлением группы @*1. Заметим, что преобразования О [а, и]
не являются линейными операторами, поскольку лучи
не образуют векторного пространства. Поэтому проек-
проективные представления не являются представлениями
группы в смысле § 2.
Следующий принцип квантовой теории позволяет
вычислить вероятность того, что система, находившаяся
в состоянии Ф), перейдет в результате измерения в со-
состояние Ф2 ((\У означает скалярное произведение в jb):
§ ю. Операторы теории поля 159
Вероятность перехода системы из состояния Фх в со-
состояние Ф2 равна
h'?j7c[ (И ф Г = <ф | ф». (ЮЛ)
Ясно, что выражение A0.1) не зависит от выбора
«представителей», т. е. векторов Ф17 Ф2 в соответствую-
соответствующих лучах. Естественно потребовать, чтобы выражение
вероятности перехода не зависело от системы отсчета
в указанном выше смысле, т. е. чтобы переход «новой»
системы от состояния Хх к состоянию Х2(имел ту же
вероятность, что и переход «старой» от состояния Фх
к состоянию Ф2:
Итак, предполагается, что операторы проективного
представления О сохраняют выражение вероятностей
переходов A0.1).
Неудобство проективных представлений состоит
в том, что их операторы О [а, и] нелинейны. Однако
Вигпер доказал, что каждый такой «проективный» опе-
оператор можно «накрыть» линейным в следующем смысле.
Пусть элементу (а, и) группы Пуанкаре & соот-
соответствует преобразование лучей
О [а, м]Ф = Х,
удовлетворяющее условию A0.2). Тогда существует ли-
линейный или аптилинейпый оператор U [а, и] в гильбер-
товэм пространстве &, такой, что если U [а, и]Ф = Х,
то О [а, и]Ф = Х. Если оператор U линеен, то он уни-
унитарен, т. е. <77Ф | С/Х> = <Ф | Х> для вгех Ф, X. Если же
U антилипееп, то он аитиунитарен, т. е. <77Ф|С7Х^>^
>. Оператор U определяется с точностью до фа-
фаа ( )
^ | ^ рр р
зового множителя е'а (а действительно).
Далее, как доказали Вигпер и Баргмап, можно по-
подобрать фазовые множители таким образом, чтобы опе-
операторы U [а, и], накрывающие проективные преобра-
160 Часть II, КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
зованпя О [а, и\, составляли представление группы
Пуанкаре of в пространстве 5Ь, причем U непрерывно
зависит от (а, и). Поскольку единичному элементу
@,1) соответствует тождественный оператор /, а при
непрерывном изменении унитарный оператор остается
унитарным, из унитарности / следует унитарность
всех операторов U \а, и], соответствующих связной
подгруппе df.|.
Теперь ясно, почему в самое определение квантовой
системы, данное выше, включается унитарное пред-
представление группы Пуанкаре, действующее па про-
пространстве состояний системы. Существование такого
представления вытекает из предыдущих построений,
основанных на принципиальном равноправии всех реля-
релятивистских систем отсчета. По традиции, мы назвали
данное выше «групповое» определение квантовой си-
системы «принципом релятивистской инвариантности»;
«принцип» в результате надлежащего анализа очень
часто оказывается определением.
Заметим, что во всех предыдущих рассуждениях
пространство состояний системы S) фигурировало, так
сказать, в неявном виде: предполагалось, что такое
пространство существует и что в нем определено уни-
унитарное представление группы Пуанкаре, но ничего не
было сказано ни о природе векторов этого пространства,
ни о виде представляющих операторов. Впоследствии
мы придем к более конкретной модели пространств
и представлений, подсказываемой естественными фи-
физическими соображениями. История развития пред-
предмета, впрочем, выглядит иначе: Вигпер пришел к уни-
унитарным представлениям группы Пуанкаре с помощью
глубокого математического построения.
Наблюдаемые группы Пуанкаре. Как мы показали
в § 8, при унитарном представлении группы Пуанкаре
аР? каждой одпопараметрической подгруппе, порождае-
порождаемой элементом а, соответствует однопараметрическая
подгруппа унитарных операторов
и{Щ = е^\ A0.3)
порождаемая эрмитовым оператором Л. Полученные
таким образом операторы представляют алгебру Ли
§ Ш, ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 1(>1
группы Пуанкаре. Элементы а алгебры Ли группы
Пуанкаре мы назовем наблюдаемыми этой группы;
они составляют, таким образом, часть структуры этой
группы и связаны непосредственно с природой нро-
странства-времепи, по не с той или иной специальной
квантовой системой.^ Операторы Л, представляющие
алгебру Ли группы dfl в пространстве состояний й дан-
данной квантовой системы, мы будем называть наблюдае-
наблюдаемыми системы (подразумевая, что сама система задана
унитарным представлением группы оР|). Из § 8 видно,
что операторы А допускают сложение, умножение па
действительные числа и коммутирование, т. е. в резуль-
результате этих операций над наблюдаемыми получаются
опять наблюдаемые. Базис для наблюдаемых составляют
проекции импульса Ра (а=0, 1, 2, 3) и моменты
Ма$ (а> Р=0, 1, 2, 3), связанные перестановочными
соотношениями (8.25).
Оператор масеы. Теперь мы можем определить
важный оператор, действующий на пространстве со-
состояний системы и задающий в качестве собственных
значений возможные значения квадрата ее общей массы.
Будем исходить из основного релятивистского соот-
соотношения между 4-импульсом и массой:
Мг = Р\ — Р\ — Р\~Р\. A0.4)
Естественно сохранить это соотношение, первоначально
установленное для одной релятивистской частицы,
также и для всякой релятивистской системы, т. е. си-
системы, описываемой некоторым унитарным представле-
представлением группы Пуанкаре.
При переходе от классической теории к квантовой
Ра превращаются в операторы, которые можно отожде-
отождествить с введенными выше операторами импульса,
имеющими соответствующее происхождение от сдвигов
пространства Мипковского. Тогда М2 также оказыва-
оказывается эрмитовым оператором, заданным на пространстве
векторов состояния 5э. (Заметим, что оператор М вовсе
не вводится, а значения массы определяются как неот-
неотрицательные квадратные корни из собственных зна-
значений М2). Так как оператор М2 является оператором
И Ю, Б, Румер, Л, И, Фет
162 Часть II, КВАНТОВАННЫЙ ПОЛЯ
Казимира группы Пуанкаре (§ 8), он перестановочен
со всеми операторами представления U [а, и]. Если,
в частности, это представление неприводимо, то по
лемме Шура оператор М2 является гомотетией про-
пространства Jb, т. е. все векторы $у являются собствен-
собственными векторами М2, принадлежащими одному и тому
же собственному значению. Поскольку мы хотим истол-
истолковать это собственное значение как квадрат массы,
допустим, что оно неотрицательно. Как мы увидим
дальше, это накладывает ограничение па неприводи-
неприводимые представления группы Пуанкаре.
Вакуумное состояние. Как мы увидим дальше,
с квантовой системой (в смысле квантовой теории поля)
связываются частицы, именуемые ее квантами. Системе
соответствуют некоторые операторы, так называемые
операторы квантованного поля, применение которых к
вектору состояния приводит к состоянию с увеличенным
или уменьшенным числом частиц. Таким образом, про-
пространство jb всех векторов состояния распадается
в -сумму подпространств .»„, векторы каждого из ко-
которых изображают состояния системы с определенным
числом частиц п.
Такая «неоднородность» пространства состояний при-
приводит, в частности, к тому, что в $Ь должен существовать
особый вектор Фо, изображающий состояние системы
вовсе без частиц. Состояние этого рода называется
вакуумом. Простейшее предположение, которое мы при-
примем, состоит в том, что имеется только одно такое со-
состояние, изображаемое единственным лучом Фо 1). По-
Поскольку при любом иперциальном движении системы
состояние без частиц сохраняет свою особую роль
и одинаково воспринимается всеми релятивистскими
наблюдателями, мы предположим, что оно инвариант-
инвариантно, т. е.
Существует вектор состояния Фо, инвариантный по от-
отношению к группе Пуанкаре $"[. Этот вектор, назы-
называемый вектором вакуума, определяется с точностью
до ненулевого множителя.
*) Существуют попытки построения кваптовой теории поля,
не предполагающие единственности вакуумного состояния.
§ 10. ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 163
Отсюда уже следует, что вакуумное состояние яв-
является состоянием с "определенными значениями проек-
проекций 4-импульса Ра, равными пулю; в самом деле, Фо не
меняется под действием сдвигов, т. е. е*^р<* Ф0=0 при
всех &, откуда
РаФ0 = 0 (а = 0, 1, 2, 3). A0.5)
Таким образом, из инвариантности вакуума уже
следует, что ото состояние имеет нулевую массу.
Квантованные поля 6т (х),'~которые""мн хотим^опре-
делить, не являются, строго'говоря, операторами ни
при каком отдельном значении х. Это обобщенные век-
вектор-функции с операторпыми^значениями.
Напомним, что ^называется "обобщенной ^функцией
«со скалярными значениями» х). Для определения обоб-
обобщенных функций ^фиксируется "класс «основных», или
«пробных», функций ?|{ср (х)}, имеющих непрерывные
производные всех порядков и достаточно хорошо 'убы-
'убывающих па бесконечности (например, быстрее любой
степени |х| = {2 (х*J}'^-; имеется ряд вариантов этого
условия). Для «основных» функций вводится понятие
сходимости, что можно также сделать разными спо-
способами; но при всех этих способах срн -> ср0 влечет за
собой равномерную сходимость срн (х) к ср0 (х) вместе
с производными любого порядка.
Каждая «обычная» функция 6 (х) задает функционал
от «основных» функций но правилу tl)(cp)= I 6(x)f(x)dx;
чтобы придать этому интегралу вид эрмитова ска-
скалярного произведения, будем записывать этот функ-
функционал, несколько отступив от общепринятого пра-
правила, в виде t|> (cp). Тогда
йх. (Ю.6)
Этот функционал линеен и пепрерывен: если срн -> ср0,
т0 Ф (Фя) -*• Ф (То)-!Нетрудно показать, что различным
«обычным» функциям соответствуют при этом разные
функционалы; при сложении функций складываются
J) Иначе обобщенные функции называются «распределени-
яин>> (distributions).
11*
164 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ НОЛЯ
и соответствующие им функционалы, а при умножении
функции на число функционал умножается на то же
число. Таким образом, «обычные» функции находятся
во взаимно однозначном соответствии с линейными
функционалами от ср, составляющими некоторый спе-
специальный класс таких функционалов. Можно поэтому
отождествить «обычную» функцию ф (х) с порождаемым
ею линейным функционалом A0.6), а затем расширить
понятие функции, определив обобщенную функцию как
произвольный линейный непрерывный функционал,
действующий на «основные» функции.
Например, таким функционалом является о-функ-
ция § (х—а), значение которой на основной функции ср,
по определению, равно с (а). По аналогии с A0.6)
для обобщенных функций 6 вместо ф (ср) пишут такой
же интеграл A0.0); по следует иметь в виду условный
характер подобных записей.
Аналогично определяются обобщенные функции
с операторными значениями: по онределению, такая
функция ф (х) есть функционал, сопоставляющий каж-
каждой основной функции ср оператор ф (ср) в некотором
пространстве (в интересующем пас случае — в гиль-
гильбертовом пространстве $)). Оператор ф (ср) также симво-
символически записывается в виде интеграла A0.6), причем
надо иметь в виду, что значение «интеграла» при любой
функции ср есть уже не число, а оператор. Предполага-
Предполагается, что оператор ф (ср) линейно и непрерывно зависит
от ср: ф (фг + фг) есть сумма операторов ф (ср^+ф (фа)'»
ф (Хер) есть кратное Хф (ср) оператора ф (ср); если ср„ -> ср0,
то операторы ф (св„) сходятся к ф (ср0) в некотором смысле
(например, в «сильном» смысле, т. е. для любого век-
вектора Ф пространства 5Ь должно быть ||ф (срн) Ф —
-ф (сро)ФИ -> 0).
Обобщенные вектор-функции ф определяются как
линейные непрерывные функционалы от вектор-функ-
вектор-функций ср (х) = {срт (х)}, где каждая %'(х) — «основная»
функция. Если представить ср (х) в виде суммы вектор-
функций вида @, . . ., 0, срз (х), 0, . . .,),
<р(х) = 2@, ...,0, Ъ(х), 0 0),
§ 10, ОПЕРАТОРЫ Т КОРИ И ПОЛИ 165
то имеем
гдо каждая 6г — обобщенная функция в прежнем смысле,
т. е. линейный непрерывный функционал от скаляр-
скалярной «основной» функции уа(х). Пользуясь для этих
функционалов записью A0.6), имеем символическое
выражение
Определение обобщенных вектор-функций и запись A0.7)
очевидным образом перепосятся на вектор-функции,
значениями которых являются операторы в &.
Закон преобразования квантованных полей 1). Рас-
Рассмотрим опять, наряду с заданной квантовой системой,
другую систему, инерциально движущуюся относительно
первой, но в остальном ей физически тождественную.
Мы будем предполагать, что для всех таких систем,
различающихся лишь в указанном смысле, квантован-
квантованное поле задается одним и тем же функционалом О
(см. A0.7)). Однако вектор-функции w, на которые дей-
действует этот функционал, следует при этом считать за-
зависящими от движения системы, т. е. преобразующимися
по группе Пуанкаре согласно B.11). Таким образом,
мы принимаем описание квантованного поля, при ко-
котором неизменный тип поля характеризуется неизмен-
неизменностью функционала 6, а изменение движения системы —
изменением его аргумента w. Оператор 6 (»'), отвечаю-
отвечающий «новой» квантовой системе, должен исполнять для
нос ту же роль, что и оператор 6 (ср) для «старой».
Это значит, что если <|> (<р) переводит вектор состояния
Ф в вектор состояния X, то ф (<?') должен переводить
вектор ?/Ф в вектор UX, где U=U [а, и] связывает
состояпия обеих систем, как было указано выше. Это
положение вещей можно иллюстрировать следующей
диаграммой, в которой результат последовательного
1) Трактовка этого воироса в основном заимствована из [2].
166 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
действия операторов не зависит от выбора пути (на-
(направо и вниз, или вниз и направо):
U A0.8)
Иначе говоря, должно быть ?/ср (с?)=6 (»') U, или
f/(jJ(cP)f/-1 = 6(?'), U=U[a, u\. A0.9)
Для сравнения этого оператора с 6 (?) обозначим опе-
оператор^ в левой части, зависящий от ср, через 6' (ср).
Тогда имеем
<У(ср) = О(ср'). A0.10)
Чтобы перейти от «функциональной» записи A0.10)
к обычно употребляемому закону преобразования ком-
компонент поля да (х), надо условиться, по какому пред-
представлению группы SL B) преобразуются вектор-функ-
вектор-функции ср (х). Мы примем для них преобразования типа
@, /) (чтобы получить для компопент поля преобразова-
преобразования типа (/, 0), см. ниже; конечно, можно было, бы посту-
поступить и наоборот). Так как Di0'jl \и] = Da•0) [и]~1 =
= D{j) {иГ1} (см. (9.35)), имеем
<?'ЛХ)= 2 В{Р [и-^у^А:1 (х — а)). A0.11)
Из A0.7), A0.11) следует, что
= 1 2 ?- (х) ?' (х) dx ==
^ ( 2 ?, (х) 2 Я, Г"] «Р, (А (ж - а)) Лг =
ДЛ-^х — о))Аг.
§ 10. ОПЕРАТОРЫ TKOPI1I1 ПОЛЯ ]f,7
Выполним замену переменных, полагая х=Ах' -{-а.
Поскольку якобиан, т. е. определитель собственного
преобразования Лоренца, равен 1, имеем
*(?')= J 2B я„[О *
Чтобы сравнить обобщенные функции с операторными
значениями 4и й', мы должны применить их к одной
и той же «основной» вектор-функции ц>; из A0.7) не-
непосредственно следует
и в силу произвольности вектор-функции <р из A0.12),
A0.13) получаем закон преобразования квантованных
полей
K(x) = U[a, u]<ba(x)U^[a, и] =
= 2 Dg[url]b(Ax+a). A0.1/,)
Теперь ясно, с какой целью мы выбрали для вок-
тор-фуикции «дуальный» закон преобразования A0.11):
благодаря этому компоненты квантованного шля преобра-
преобразуются с помощью матриц представюння (/, 0) группы
SL B). Следует заметить, однако, что A0.14) пе задает
представления группы Пуанкаре в обычном смысле.
В самом деле, последовательное выполнение двух преоб-
преобразований (а2, u2), (a1: Uj), кото])ым соответствуют пре-
преобразования Лоренца А2, Лх, приводит к преобразованиям
?'. № = 2 Dc9 \ui' J Vp (V + «i)>
откуда
Ф: (*) = 2 B D.f К'] D?x [uj']) iT (Л2 (Arx + a,) + a,) =
= 2 О„ [(«АГ1] 0t (Л2 (Лхх + a,) + a2),
KiS Чаггь II. КВЛНТ0ЛЛ1ШЫ1С ПОЛЯ
а это преобразование соответствует произведению
(а2, и2)(а1, uj, в котором элементы группы Пуанкаре
перемножены в порядке, обратном порядку выполне-
выполнения преобразований х).
Кроме того, следует иметь в виду, что квантованные
поля но образуют векторного пространства. В самом
деле, если мы хотим иметь в качестве необходимого
признака квантованных полей обычные нерестановоч-
пые соотношения (между 0т (х), 6. (х'), описываемые
в § 12, или между ^ (х) и «сопряженными импульсами»
r.z (x'), не рассматриваемые в этой книге), то эти соот-
соотношения не сохраняются при сложении полей или
их умножении на произвольные числа. Оставляя в сто-
стороне возможные обобщения, мы должны считать, что
преобразования полей A0.14) не составляют представ-
представления группы Пуанкаре еще и по той причипе, что не
задают линейных операторов. Мы видим, что закон
преобразования квантовапных полей A0.14) существенно
отличается от закона преобразования B.11) «класси-
«классических» нолей; термин «представление» применяется
здесь в условном смысле.
Поскольку квантованные поля являются операто-
операторами, можно перейти к сопряжепным операторам, что
в формальпом отношении напоминает комплексное
сопряжение «классических» (числовых) полей. Напом-
Напомним, что операторы Л и А в гильбертовом пространстве
S) пазываются (эрмитово) сопряжеппыми, если для лю-
любых векторов Ф, X этого пространства
(предполагается, что обе части имеют смысл; мы отвле-
отвлекаемся здесь от более топких вопросов, связанных
с областями определения операторов). Переходя
в A0.14) к сопряженным операторам, получаем
.u^iAx + a). A0.15)
-=—j
1) В этом смысле формула A0.14) задаст «антипредставле-
«антипредставление» группы.
§ 10. ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ НОЛЯ 169
Аналогично, исходя из произвольных, в частности при-
приводимых представлений D [и] группы SL B), можно
получить закон преобразования приводимых квантован-
квантованных полей (см. следующий пиже пример электропно-
позитронного поля, которое приводимо по отношению
к специальной группе Пуанкаре оР|).
Прибавим еще, что в предыдущих рассуждениях
имелись в виду, как и во всем этом параграфе, преобра-
преобразования специальной группы Пуанкаре q^|. В случае
пространственного отражения, также допускающего
«пассивное» истолкование, основная формула A0.10)
остается в силе, но закон преобразования квантованных
полей A0.14) усложняется в связи с необходимостью
«удвоения» пространства представления. Наконец,
в случае обращения времени теряет смысл обычное
представление о замене «релятивистского наблюдателя»;
оказывается, в этом случае и основное правило A0.9),
A0.10) должно быть изменено.
Примеры квантованных полей. Примеры кванто-
квантованных полей сразу же получаются из классических,
рассмотренных в § 7. Мы прибавим некоторые другие
(не спинорпые) виды представления электромагнит-
электромагнитного поля.
Нейтринное и антинейтринное поля. Нейтринное
поле имеет две компоненты 6Х (я), ф2 (х), которые в кван-
квантованном случае являются операторными функциями
точки х. Закон преобразования для антинейтринного
поля соответствует представлению A/2, 0) группы
SL B); в формулах A0.14), A0.15) надо при этом отож-
отождествить индексы —1 /2, 1 /2 со «спинорпыми» индексами
1, 2. Если не считать явления «антипредставления», это
по-прежнему «спинорный» закон преобразования полей
> A0Л6)
Нейтринное поле соответствует представлению
@, 1/2) и, следовательно, является «косшшорным»:
_Л'п
U
170
Член, II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Неприводимое представление группы q^| выделяется
уравнениями Вейля.
Электроино-позитронное поле. Это ноле, как и в «не-
кваптованном» случае, соответствует сумме двух пред-
представлений A/2, 0)©@, 1/2) группы SL B); здесь также
существенно представление пространственных отра-
отражений, к чему мы еще позже вернемся. Что касается
группы SL B), то ее матрицам соответствуют преобразо-
преобразования кваптоваппого поля
? (*)
0
0
h (Ax + «)
i,3 (Ax + a)
A0.18)
(ср. преобразование биспиноров, § 6). В базисе Дирака—
Паули «ящичная» форма матриц, преобразующих ком-
компоненты поля, исчезает. _
Неприводимые представления группы S" выделяются
уравнением Дирака, к чему мы вернемся ниже. Заменяя
матрицы G.16) матрицами дискретных преобразований
G.17), получаем представление полной группы Пуан-
Пуанкаре of5.
Электромагнитное поле. Имеется несколько спо-
способов задания электромагнитного поля, употребляемых
в разных случаях.
(&)«Спинорное)> представление. Это представление было
введено для классического (не квантованного) поля
в § 7. Квантованное поле задается представлением типа
(!.' 0)®@, 1) и, следовательно, имеет шесть компонент,
/\ (х), F2 (x), F3 (x) и Рх (х), Рг (х), Р3 (х), причем по-
последние три в том же порядке эрмитово сопряжены трем
первым: Fk (x) = Fk (x). Это условие заменяет в случае
квантованных полей комплексную сопряженность.
«Удвоение» представления и здесь нужно лишь для
представления пространственного отражения. Преоб-
Преобразования группы ofX представляются в виде
F' (x)
F' (x)
fivy A0.1/,) и A0.15).
(F(Ax
[и] )\F{Ax+a)
A0.19)
S ID. ОПЕРАТОРЫ 'ГКО 1Ч1И ПОЛИ 171
Переход к эрмитовым операторам шля Е, Н произ-
производится по обычным правилам: F= Е — iff, F=E -f- IH
(ср. § 7). При этом матрицы, преобразующие компо-
компоненты поля, теряют свою «ящичную» форму. Для про-
простейшего преобразования Лоренца имеем (аргумент
в левых частях х, в правых Лх-\-а; скорость света с
положена равной 1)
[ V [
p. F., - U-F3 р, Р, + ivP3
2 y/jz-^ ' 2 vT=rp- • A0.20)
„, _ ivF., + Fa ,v _ -ivF, + A,
Из этих формул непосредственно видно, что Fk(x) пре-
преобразуется в линейные комбинации Ь\(Ах-)- a), a Fk(x)
отдельно в линейные комбинации Fk (Ax -\- а)х).
(б) Тензорное представление. В релятивистской трак-
трактовке напряженности поля обычно изображаются анти-
антисимметрическим тензором /а3 (а, [3=0, 1, 2, 3). (Под-
(Подчеркнем, что здесь, как и в следующем примере (в),
мы имеем дело с тензорным, а не спин-тензорным по-
полем.) Преобразование квантованного поля произво-
производится с помощью A=h (и):
?„ (х) = (A-i)T (А-1^ /т5-(Ах + а). A0.21)
Поскольку тензор над пространством Мипковского ва-
валентности B, 0) эквивалентен спин-тензору валентности
B, 2) (см. § 5), это представление имеет спин-тензорный
тип B, 2). Однако уже условие антисимметричности
уменьшает пространство представления.
Связь между тензорным представлением /вЭ и пред-
представлением (Е, П) хорошо известна; поэтому тензорное
представление электромагнитного поля эквивалентно
описанному выше спинорному (E+iH).
-1) Предыдущие формулы отличаются от обычцых формул
преобразования компонент электромагнитного поля (зпаком
при у); это связано с разными закопами преобразования клас-
классических и кваптовашплх полей (ср. A0.14) н B.11)).
!72 Чисть II. КПЛПТОИЛПНЫИ ПОЛЯ
(в) Представление вектор-потенциала. Поле зада-
задается 4-вектором Лх(х)с действительными компонентами,
преобразуемым с помощью преобразований Лоренца:
.г + а), Л=Л(м). A0.22)
Ото тензорное поле, которое можно, впрочем, привести
к спин-тензорному виду. Заменяя 4-вектор Л"(х) спип-
тензором а*1' (х) по обычно» формуле
п
Ла~Л3}' llu~°>
убеждаемся, что представление принадлежит типу A/2,
1/2). Ввиду действительности компонент вектор-потеп-
циала, здесь выделяется действительное подпростран-
подпространство всех спин-тензоров а^ с эрмитовыми матрицами
относительно фиксированного базиса, ипвариантпое от-
относительно действия группы SL B). Соответственно
получается представление группы <$Р\ в пространстве
спин-тензоров, зависящих от х. Число действительных
компонент поля равно четырем. Прострапствепное от-
отражение может быть задано в том же пространстве:
Л'*(ас, з*) = —Ак(—х, х°) (&= 1, 2, 3),
ж, хй). A0.2/|)
Все три вида представлений группы af|, с помощью ко-
которых описывается электромагпитное поле, приводимы.
Чтобы выделить неприводимые представления группы
Пуанкаре, поле подчиняют уравнениям Максвелла.
В представлении (а) это делается с помощью спипорного
аппарата, как было показано в § 7. В случаях (б),
(в) запись уравнений Максвелла хорошо известна;
следует иметь в виду, что в представлении вектор-
потенциала к уравнениям Максвелла присоединяется
условие Лоренца или другое, ему равносильное, без
чего представление не будет неприводимым.
Следует отметить еще, что мы рассматриваем здесь
поля лишь с точки зрения законов их преобразования.
Между тем, различные способы задания одного и того же
поля могут иметь и разный физический смысл; так,
представления электромагнитного поля (а), (б) они-
.§ !0. ОПКД'ЛТОРЫ TF.OPIIII ПОЛИ 173
гЫвают напряженности поля, которые могут быть
в принципе измерены, тогда как (в) есть представление
потенциалов, выбор которых принципиально не одно-
однозначен.
Импульсы и квантованные поля. Рассмотрим одпо-
параметрическую подгруппу сдвигов, порожденную вок-
тором а:
S (») = Т,а = (Ч 1), - сю < 0 < оо. (! 0.25)
Согласно § 8 в каждом представлении группы ?Р\ этой
подгруппе соответствует одпопараметрическая под-
подгруппа. В частпости, это справедливо для унитарного
представления U [а, и], действующего в гильбертовом
пространстве Si векторов состояния нашей квантовой
системы. Пусть эта однопарамстрическая подгруппа
порождается оператором А:
U(b) — ei0A, ?/¦(»)= U [Ьа, 1]. A0.26)
В силу унитарности представления семейство U (&)
состоит из унитарных операторов; оператор А эрмитов.
По определению представления алгебры Ли (§ 8) опе-
оператор Л представляет в пространстве S) элемент алгебры
Ли, порождающий однопараметрическую подгрупиу
A0.25), т. е. вектор сдвига а.
Поскольку мы пока пе знаем строения пространства
состояний Si, а только предполагаем его существование,
вид оператора А еще не может быть установлен. Однако
из общего закона преобразования квантованных полей
A0.14) можно вывести перестановочные соотношения,
связывающие этот оператор с операторами поля.
В самом деле, должно быть
U[ba, 1] •:»„(*) f/~4foi, 1]=бЛж-гаа) (Ю.27)
ИЛИ, ЧТО ТО Ж(\
ciU'ba (х — Щ е-;{ы — 6„ (.г).
Разлагая ^ (ж—я) в ряд Тейлора и ограничиваясь чле-
членами нулевого и первого порядка по &, имеем
*„ (х) - »fl« *У^) A - Ш) = 6, (х),
ll'i Часть II. КВАГ1Т0Г.ЛШ1ЫЕ ПОЛЯ
откуда, с той же точностью,
щл, Ф.(*)]=^^;
следовательно,
Возьмем, в частпости, в качестве а один из базисных
векторов еа; тогда аа=1, а3=0 при Р=^а и, обозначая
соответствующий оператор Л через Ра, имеем
Операторы Ра (а=0, 1, 2, 3) называются операто-
операторами 4-импульса или энергии-импульса*). Согласно
§ 8 сложению векторов а соответствует сложение пред-
представляющих их операторов; поэтому из а=Ла следует
Л = ахРа. A0.30)
Отсюда видно, что при замепе базиса в пространстве
Минковского операторы Ра преобразуются как кова-
риантные компоненты 4-вектора, что и оправдывает
даппое им выше название. Соответствующие коптр-
авариантные компоненты 4-импульса имеют вид
Р° = Р0, Рк = ~Рк (А=1, 2, 3). A0.31)
Для сопряженных операторов фа(х) аналогичным спо-
способом получаются из A0.15) перестановочные соотношения
Применяя операторы квантованного поля tya(x)> ФЛ^)
к вектору вакуума Фо, мы получаем векторы состояния
фа(х)Ф0, фа(х)Ф0. Из перестановочных соотношений A0.29)
следует, что
х) Мы выбираем единицы таким образом, чтобы было й=1;
в обычное выражение операторов импульса входит справа мно-
множитель %.
§ 10. ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 175
Так как мы предположили инвариантность вектора ва-
вакуума относительно преобразований группы oFj;, имеем
РаФ0 = 0 (см. A0.5)). Поэтому предыдущее равенство
принимает вид
Применим еще раз к обеим частям оператор Ра. Поскольку
перестановочное соотношение A0.29) справедливо также
для «сдвинутого» поля фз (я-j-8еа), его можно применить
к разностному отношению A /¦&) (фг (а: -|~ ^еа) — tya(x)) и,
в пределе, к ^ я . Теперь из A0.33) следует
Отсюда, пользуясь обозначением ? для оператора Далам-
бера, имеем
= П^(аг)Ф0. A0.34)
Одночастичные состояния. Операторы квантован-
квантованного поля Фс (х)' tya(x)' действующие на пространстве
состояний Jb, сообщают ему f некоторую структуру,
имеющую важный физический'смысл. Рассмотрим сна-
сначала лишь операторы &„(х)- Применив к вектору ва-
вакуума последовательно п операторов поля, получаем
вектор состояния вида
В силу инвариантности вакуума для операторов U =
= U[a, и], представляющих группу Пуанкаре, имеем
?/~^0 = (I>0, откуда
(хп) U-*) Фо =
Таким образом, векторы вида Фи преобразуются в век-
векторы того же вида и, следовательно, их линейные ком-
комбинации составляют инвариаптпоо подпространство
J7fi Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
в $}, которое мы обозначим $)„¦ Вектором й„ приписы-
приписывается следующий физический смысл: считается, что
система в состоянии Фп содержит определенное число
частиц, равное п. Таким образом, применение опера-
оператора tya(x) увеличивает число частиц на одну. В част-
частности, iox состоит из векторов, изображающих одно-
частичные состояния системы, т. е. состояния, в которых
система содержит в точности одну частицу. Век-
Векторы $ух изображают, тем самым, всевозможные со-
состояния частицы, связываемой с квантованным полем
и именуемой его квантом.
Примем теперь, следуя Вигнеру, следующее опре-
определение понятия элементарной частицы:
Квантовая система, описываемая неприводимым пред-
представлением группы Пуанкаре, называется элементарной
частицей.
Это определение, разумеется, предполагает «доста-
«достаточно подробный» способ описания системы, при ко-
котором учитываются все возможные изменения внутрен-
внутреннего состояния системы, связанные с ее «сложностью».
С другой стороны, здесь не учитываются «внутренние
степени свободы», не укладывающиеся в пространст-
пространственно-временную трактовку, т. е. не описываемые груп-
группой Пуанкаре (например, разные виды «унитарного
спина»).
Мы не имеем здесь возможности подробно проанали-
проанализировать понятие «элементарной частицы» в его зави-
зависимости от рассматриваемой группы симметрии. По-
Попытку такого анализа мы предприняли в [14] (гл. 18).
Здесь достаточно отметить, что каждая элементарная
частица в традиционном смысле этого слова описыва-
описывается некоторым неприводимым представлением группы
Пуанкаре (специальной __группы а/0]; или в других
случаях полной группы &). При этом различные элемент-
тарные частицы могут описываться одним и тем же пред-
представлением, а при слишком грубом описании под ука-
указанное определение может подпасть и явно «не элемен-
элементарный» объект, такой, как атомпое ядро.
Если предположить, что квантами рассматривае-
рассматриваемого поля являются элементарные частицы, то одпо-
чпстичпос пространство Лх преобразуется по неправо-
§ 10. ОПЕРАТОРЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 177
димому представлению группы 0Т\ (мы опять оставляем
в стороне дискретные преобразования).
Таким образом, векторы
ф = 6^(.г)Ф0 A0.35)
образуют базис неприводимого представления группы
#4-
Оператор М2 является оператором Казимира группы
Пуанкаре (§ 8), т. е. перестановочен со всеми опера-
операторами любого представления этой группы. Согласно
лемме Шура (см. Приложение II) для только что опи-
описанного неприводимого представления М2 является го-
гомотетией, т. е. умножает все векторы ibi на одно и то же
число, которое мы обозначим через т2:
Сопоставляя это с A0.34), получаем
(? -т*)Ь(х)Ф0=0.
Отсюда, вообще говоря, не следует еще, что поле фа (х)
удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона, поскольку
оператор, переводящий в нуль вектор вакуума, не обя-
обязательно должен переводить в нуль все векторы $у.
Однако мы примем в качестве одного из принципов
квантовой теории поля, что каждое квантованное поле
удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона с тг ^ 0
(т. е., в частности, уравнению Даламбера при т=0):
(D — т2)^(х) = 0. A0.36)
Отметим, что уравнение A0.36) инвариантно отно-
относительно группы Пуанкаре и, как мы уже отметили для
случая классических нолей, обычно является след-
следствием «динамических уравнений», которым подчиня-
подчиняется поле, или само играет роль такого уравнения.
Впрочем, с излагаемой здесь групповой точки зрения
роль таких уравнений состоит в выделении неприводи-
неприводимых полей, т. е. в описании кинематики простейших
возможных полей; поэтому неоднократно обсуждав-
обсуждавшийся вопрос, является ли уравнение Клейпа—Гор-
Клейпа—Гордона «дипамическим уравнением», в настоящее время
вряд ли имеет смысл.
\2 Ю. Б. Румер, А. И. Фет
178 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Применяя к вектору вакуума сопряженные опера-
операторы поля фа (х), мы получаем подпространство S>lf
порождаемое векторами
Ф = ^(х)Ф0. A0.37
Как мы увидим в § 11, это подпространство, вообще
говоря, отлично от описанного выше подпространства
5Ьх и должно поэтому рассматриваться как другое
одночастичпое пространство, связанное с тем же кван-
квантованным полем. Соответствующие частицы должны
иметь ту же массу т, что и частицы, описываемые век-
векторами A0.35), поскольку поле фа (х) удовлетворяет
тому же уравнению A0.36), что и фа (х). Эти частицы
называются античастицами по отношению к предыду-
предыдущим и также считаются квантами рассматриваемого
поля.
_ В случае эрмитова поля имеем фа (х) = фа (х),
5>i=5>i*, в этом случае поле имеет кванты лишь одного
вида, называемые «истинно нейтральными частицами».
Желая сохранить утверждение, что «каждая частица
имеет античастицу», говорят, что такие частицы совпа-
совпадают со своими античастицами.
§ 11. Преобразования Фурье
квантованных полей
Мы начнем с более простого случая «массивных»
полей, т. е. полей, удовлетворяющих уравнению
Клейна—Гордона с положительной массой. В этом па-
параграфе рассматриваются только «массивные» кванто-
квантованные поля.
«Релятивиетекий» интеграл Фурье. Как всегда,
наряду с ^-представлением квантованных полей су-
существует равноправное ему р-представление. Преобра-
Преобразование Фурье квантованного поля фа (х) задается
интегралом
где
(рт) — pnx° — p1^1—p2a:2 — pV A1.2)
§ 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ 179
есть скалярное произведение Минковского, a dp=
= dp°dp1dp2dp3. Множитель перед интегралом соответ-
соответствует принятому для тройного, а не четырехкратного
преобразования Фурье; причина этого состоит в том, что
после учета специфических свойств квантованного поля
интеграл A1.1) сведется к тройному. В самом доле,
в силу уравнения Клейна—Гордона должно быть
(Р2 ~ тя) i (р) = (Р§ ~P2 -~ m*) i (р) = 0. A1.3)
Ото значит, что фа (р) — обобщенная функция, равная
нулю вне гиперболоида
р* — тг=0. A1.4)
Простейшей (и притом лоренц-инвариантной) функ-
функцией такого рода является
-p*-ifi»); A1.5)
можно показать, что фурье-образ квантованного поля
<р„ (р) получается умножением обобщенной функции
A1.5) на обычную дифференцируемую функцию, за-
заданную на гиперболоиде A1.4). Далее удобно разбить
интеграл A1.1) на две части, соответствующие р° >• 0
и р° <[ 0; это позволит нам разделить состояния «с по-
положительной и отрицательной частотой». Выполняя
затем в интеграле с р° <[ 0 замену переменной р°' = —р°
и вводя функцию & (р°), равную единице при р° >• 0
и нулю при р° <[ 0, имеем
{«, (Р) е-" + р„ (р) е{^
P)e'(|W>} X
X 8 (pjj — Jt>2 — m2) »(p°) йр°ф. A1.6)
Здесь, по существу, два отдельных интеграла, соответ-
соответствующих обеим полам гиперболоида, но для удобства
оба они приведены к общей области интегрирования —
положительной части гиперболоида. Операторные функ-
функции аа(р), ра (р) называются соответственно «отрица-
«отрицательно-частотной» и «положительно-частотной» частями
12*
ISO Часть II. КНАНТОВАИНЫЁ ПОЛЯ
фурье-образа поля фз (х). Но существу аа (р) и ра (р)
суть операторы квантованного поля, заданные в ипой
форме. Они, конечно, также действуют на пространстве
векторов состояния ib. Обозначение ра (р) (вместо
К (Р)) выбрано по соображениям, которые скоро вы-
выяснятся. Наметим, что выделение «положительно-ча-
«положительно-частотной» и «отрицательно-частотной» частей фурьр-
образа вытекает из того факта, что гиперболоид имеет
две компоненты связности, но не зависит от выбора ба-
базиса в р-пространстве или в ^-пространстве.
Выполним в A1.6) интегрирование по р° от 0 до со.
Для этого введем новую переменную интегрирования
A1.7)
О, (х) = Bк)-Ч, J (аа (р, со (р)) е-""• -f
где
о) (р) = р° = \Jp* Л- т*, A1.9)
A1.10)
Переходя к сопряженным операторам, имеем
(И-")
Инвариантная мера. Чтобы лучше понять разло-
разложение Фурье A1.8), заметим, что ав, р^ — операторы,
зависящие от точки передней полы гиперболоида
(р°)г—рг=т2, р° > 0, и интегрирование имеет простой
геометрический смысл. Как можно показать,
есть мера на гиперболоиде, инвариантная относительно
преобразований Лоренца Л (мы будем говорить просто
§11. ПРК0БГЛГЮПЛ1ПШ ФУРЬН КПЛНТОПАШТЫХ ТЮЛКП 1S1
«гиперболоид», подразумевая его переднюю полу). Ото
значит, что для любой площадки гиперболоида dS
с проекцией па плоскость р°—0 объема dp и для любого
преобразования Лоренца Л справедливо соотношение
% ~, (M.i:i)
где dp' — объем проекции площадки dS'--/\. (dS)
на ту же плоскость р°—0, а р' = (Лр)°. Таким образом,
в A1.8) интегрирование по гиперболоиду производится
единственно правильным, а именно релятивистски ин-
инвариантным способом.
Преобразование фурье-образов. Из A1.6) сразу же
следует, что преобразования Фурье кваптовапных полей
также образуют представления группы Пуанкаре (одно
для аа (р), другое для р., (р)). В самом деле, согласно
A1.6)
if, (Ах + а) = Bк)/* j (а, (р) ег*Ме-{1р< А*1 +
+ К (Р) е<1ра)е*<-Р- ^1} Ь (р°- — т2) 0 (р°) dp =
= Bт:)-3/, J (а,(р)e-'^'e-'f*->¦ ж' +
+ К (Р) е{{ра)е^», х-)) Ь (р2 — т~) Ь (р°) dp.
Выполнив замену переменных A.'1p = q и учитывая,
что p"=<f и якобиан преобразования равен единице,
т. е. dp=dq, вернемся затем к обозначению р для пере-
переменных интегрирования; тогда имеем
1 (Ля + а) =
{а, (р) е-{^ f ^ (р) е'-(П 8 (р2 - т*) »(р°) ф =•
= B«)-". j {аЛ^^'^ + РЛР)^^1}^, A1.1'.)
где
182 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Таким образом, для tya(Ax-\-a) фурье-образами служат
йЛр)> Ра О5)- В силу A0.14) для преобразованных полей
<|>а (х), §'„ (х) имеем фурье-образы
A1.16)
Это и есть закон преобразования фурье-образов кван-
квантованных полей под действием группы Пуапкаре ^\.
Переходя к сопряженным операторам, получаем
A1.17)
В частном случае однородных преобразований закон
преобразования фурье-образов можно записать в виде
A1.18)
и соответственно
р;(р)= 2
§11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ КВАНТОВАННЫХ НОЛЕЙ 183
Отсюда по самому определению преобразования кванто-
квантованных полей A0.9) имеем
U[0, u]a,(p)U-l[0, в]= Е^Ч^К^Х
T~J A1.20)
U\0, u]b(p)U-i\0, a]=i ^
U[0, a] 4, (p) U-1 [0, B] = 2 /1(Л [B-i 1 ix (Ap),
т^' A1.21)
U[0, и]Ра(рIГЦ0, и]= 2^[в-1]Рх(Ар).
В случае одпигоп (а, 1) из A1.16), A1.17) следует
р(р); ( }
4в(рI
РИр)=е^.«)?в(р); [ '
откуда
С/[a, lja^p)?/^, lJ=e-«f^-4(P), 2/,
(Р).
)рв(Р). ( Э)
Импульсы и квантованные поля. Займемся теперь
перестановочными соотношениями, связывающими опе-
операторы импульса (см. A0.29), A0.32)) с фурье-обра-
зами квантованных полей. Дифференцируя по ха ин-
интегралы A1.8), A1.11), имеем
р*.(р). ...
, Р. (лI = рА(р) (
184 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Выделение положительно-частотной и отрицательно-
частотной частей квантованного поля в результате пере-
перехода к р-представлению позволяет дать более отчетли-
отчетливое физическое истолкование операторов поля но
сравнению с § 10. В самом деле, пусть квантовая
система находится в состоянии с определенным зна-
значением импульса р. Не учитывая других возможных
квантовых чисел, обозначим вектор состояния с опре-
определенным значением импульса р через |/Г>:
A1-28)
Тогда с помощью A1.26) находим
*Ч (Р) I Л> = «. (Р) Р\Р>- Р*а (Р) I Р>,
Р*Лр)\Р> = (Р-Р)*Лр)\Р>, (И-29)
и аналогично с помощью A1.27)
рК(р)\р>=(р+р)К(р)\р> (И-30)
Точно так же с помощью A1.26) и A1.27) получаем
Рк (Р) \Р>=(Р-Р) Р. (Р) \Р>, A1.31)
к (р) i р>- A1 -32)
Полученные соотношения A1.29)—A1.32) можно ис-
истолковать следующим образом. Поскольку аргумент р
пробегает переднюю полу гиперболоида, то р° ^> 0.
Поэтому A1.29) означает, что действие оператора аг(р)
уменьшает энергию системы, а A1.30) — что действие
оператора аг (р) увеличивает эту энергию. Более того,
можно показать, что энергия измепяется по крайней
мере на т: в самом деле, поскольку р принадлежит ги-
гиперболоиду (р°)°—р2=т2, то увеличение или уменьше-
уменьшение энергии происходит порциями, не меньшими т.
Можно истолковать это следующим образом: оператор
К (р) (и аналогично к (р)) связан с рождением ча-
частицы, а оператор о^ (р) (и аналогично |Зг (р)) —
с уничтожением частицы.
Эти частицы, однако, различны для операторов а и р.
В самом деле, из A1.21), A1.20) видно, что состояния
ая (/>) Фо прообразуются но щюдстаи.'юнню группы Пуа.н-
§ 11, ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ КВАНТОВАННЫХ ПОЛЕЙ 185
каре тина @, j), тогда как ^ (р) Фо - - по представлению
типа (/, 0). Так как энергия вакуума не может быть
понижена, должно быть <хг (р) Фо = рг (р) Фо = 0; следова-
следовательно, в силу преобразований Фурье A1.8), A1.11) век-
векторы состояния ФЛж)Ф0 •'инойио выражаются через
рг(/>)Ф0 и обратно, соответственно векторы состояния
Фг(/>)Ф0 линейно выражаются через ^(/^Ф,, и обратно.
Это значит, что векторы первого вида принадлежат
описанному в конце § 10 одночастичному подпростран-
подпространству ibi, а векторы второго вида — подпространству
&!• Первое из них мы будем (чисто условно) связывать
с аптичастицами, а второе — с частицами, называя
те и другие квантами поля. При этом в частных слу-
случаях может оказаться, что операторы поля ^(ж) эр-
эрмитовы; тогда а.3 (р)=рг (р), и у ноля имеются кванты
лишь одного вида («истинно нейтральные» частицы).
Сопоставляя сказанное выше, естественно предпо-
предположить, что
a<j (p) связан с уничтожением частицы импульса р,
?„(/>) — с рождением частицы импульса р и аналогично
Рг (р) связан с уничтожением античастицы импульса р,
рг (р) — с рождением античастицы импульса р.
Этим объясняются и принятые выше обозначения:
буква а относится к частицам, р — к античастицам,
знак плюс — к рождению, отсутствие знака — к унич-
уничтожению.
Однако мы до сих пор не имеем перестановочных со-
соотношений для самих операторов ат (р), о^ (р), рг (р),
рг (р). Мы и не будем искать их, поскольку перестано-
перестановочные соотношения между фурье-образами, совме-
совместимые с законами преобразования A1.20), A1.21),
оказываются сложными и неудобными. Вместо этого
мы покажем, что из этих фурье-образов можно постро-
построить линейные комбинации с коэффициентами, завися-
зависящими от р, которые связаны простыми и естественными
перестановочными соотношениями. Это и составляет
содержание известной теоремы С. Вайпберга, к кото-
которой мы придем, впрочем, в известном смысле обратпым
путем. Возникающая здесь ситуация не сводится к со-
соображениям удобства описания, но имеет более глубо-
]SG Часть II. КВЛНТОВЛППЫК ПОЛЯ
кпй смысл. Будем, для определенности, работать
в р-представлении. Тогда либо мы описываем квантовую
систему с помощью поля, и тогда имеем простой закон
групповых преобразований, но сложные перестановоч-
перестановочные соотношения; либо мы описываем ту же систему
с помощью операторов рождения и уничтожения
с простыми перестановочными соотношениями, по слож-
сложным законом групповых преобразований. Каждый спо-
способ описапия связан с определенными аспектами но-
ведения системы. В частности, второй способ позволит
нам дать физическое истолкование индекса °, связав
его со значениями «проекции спина» частицы.
§ 12. Теорема Вайнберга о связи полей
с частицами
Операторы рождения и уничтожения частиц. По опре-
определению мы назовем так оператор!,! а,(р), аа(р)у о<!(р),
К (р) (о=— /, —/+1, • • •, /—1, /)> действующие на про-
пространстве состояний квантовой системы й и удовлет-
удовлетворяющие следующим перестановочным соотноше-
соотношениям *):;
во всех же других случаях перестановочные друг с дру-
другом. В соотношениях A2.1) мы воспользовались новым
обозначением аргумента: поскольку все операторы рас-
рассматриваются как функции от точки гиперболоида
(роу — р2 = т\ р°>0, A2.2)
достаточно задать вместо р свободно меняющийся трех-
трехмерный вектор импульса р. Смысл перестановочных
соотношений A2.1) можно пояснить следующим об-
образом (мы ограничимся случаем коммутаторов [ ]_).
Оператор а^ (р) прибавляет к системе новую ча-
частицу с импульсом р и «состоянием поляризации» а
J) Как мы увидим в § 13, коммутаторы следует брать в слу-
случае бозонов, а антикоммутаторы — в случае фермиоыов.
§ 12. ТКОРЕМА ВАЙНБЕРГЛ 187
(это понятие будет разъяснено в дальнейшем; пока
достаточно представлять себе, что частицы с данным
импульсом р могут различаться еще одной характери-
характеристикой, также возникающей из группы Пуанкаре).
Оператор а^ (р) уничтожает частицу с только что опи-
описанными свойствами, если она'имеется при заданном
состояпии'системы. Аналогичную"роль играют опера-
операторы о^ (р), Ьз (р) для~античастиц.
Перестановочные соотпошения при о^т или рфр'
озпачают, что^Ъоздание и уничтожение частиц с раз-
разными характеристиками суть независимые операции,
порядок которых безразличен. Напротив, порядок опе-
операций существен, если характеристики частиц совпа-
совпадают. Это проще всего понять, рассматривая дискрет-
дискретный аналогТсоотношений A2.1), в котором р может
принимать лишь изолированные значения: [«,(?><),
&. (рк)]=Ъ:^Ъа:, при o~z, i=.k имеем
Применим это соотношение к вектору вакуума Фо, учи-
учитывая, что az(.р) Фо = 0; тогда имеем а^{р() ajp.) Фо = Фо.
Это зпачит, что рождение из вакуума частицы с харак-
характеристиками (р, а), а затем уничтожение такой же ча-
частицы возвращает систему к исходному состоянию.
Мы видим, таким образом, что вид перестаповочных
соотношений однозначно определяется смыслом опера-
операторов рождения'и уничтожения, во всяком "случае
в дискретном варианте.* По поводу естественного обоб-
обобщения на случай непрерывно меняющегося импульса,
содержащегося в A2.1), мы ограничимся здесь кратким
замечанием *).
Строго говоря, все рассматриваемые здесь опера-
операторы представляют собой обобщенные функции от р
с операторными значениями. Иначе говоря, действие
такого оператора на вектор пространства S) непосред-
непосредственно не определено (или, как говорят в таких
х) Подробную трактовку оппратороп рождения и уничтоже-
уничтожения как в дискретном, так н нонреришюм случае можно найти
ДЮ]
188 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ИОЛ Л
случаях, «приводит к вектору, не принадлежащему
гильбертову пространству й».
Но если «усреднить» такой оператор, например
аа (Р), т- е- умножить его на дифференцируемую, быстро
убывающую на бесконечности функцию <р (р) и про-
проинтегрировать по р, то получается уже «обычный»
оператор
J A2.3)
переводящий векторы 5Ь в векторы того же простран-
пространства. Точный смысл перестановочных соотношений
A2.1) раскрывается после усреднения: умножая az (p)
на <р (р), ах (р1) на / (р1) и интегрируя по р, р', нахо-
находим для всех <р, у1.
КОР). <Шь = ^<х1?Х A2.4)
где
\ A2.5)
Имея в виду этот точный смысл, мы не будем в дальней-
дальнейшем возвращаться к усреднениям, поскольку мате-
математически строгое построение квантовой теории ноля
выходит за рамки этой кпиги (см. [10, 2]). Подчеркнем,
что мы исходим из квантованных полей, заданных
их фурье-образами аг (р), \ (р), ^ (р), ^ (р), и опе-
операторы рождения и уничтожения должны быть по-
построены по этим полям. Мы покажем, что для частиц
положительной массы такие операторы существуют
и связаны с полевыми операторами линейными соотно-
соотношениями
«,(!')= 2 Х„{р)ах{р),
x":j A2.6)
Р.B») = 2 Y,-.(P)k(P\
где Хах (р) и Yax (p) — различные для различных полей
коэффициенты, вид которых однозначно (с точностью
до тривиальной нормировки) определяется методами
§ 12. ТЕОРЕМА ВАЙНБЕРГА 189
теории групп из трансформационных свойств квантован-
квантованных полей. В этом и состоит теорема Вайнберга.
В традиционном изложении коэффициенты опреде-
определяются, исходя из уравнений для соответствующих
классических полей, которые подвергаются так назы-
называемому квантованию; при нашем изложении эти со-
соображения оказываются излишними.
Как видпо из формул A2.6), компонента квантован-
квантованного поля 6s (ж) не является суперпозицией операторов
а0 (р) и Ьа (р), относящихся к одной определенной
«поляризации» кванта, а наоборот, является суперпо-
суперпозицией всех значений «поляризации» а от —у до ;'.
Как принято говорить в квантовой механике, фурье-
юбразы аз (р) и рх (р) относятся к «пакету», состав-
составленному из всех возможных проекций спина, входящих
в «пакет» с интепсивностями \Х3, (р) |2 и \Yax (р) |2.
Функция ty3 (ж)Чшисываот поле с заданным числом ком-
шопент 2/+1. Если Ха_ (р) и Y7_ (p) являются квад-
квадратными матрицами, то число компонент совпадает
с числом возможных спиновых состояний кванта этого
ноля. Как мы увидим, для массивных полей ока-
оказывается возможным выбрать в A2.6) квадратные
матрицы.
Теорема Вайнберга. Итак, мы должны решить сле-
следующую задачу.
Даны формулы преобразования для фурье-обра-
зов A1.20), A1.21), в которых мы положим U [0, и] =
= 17 [и], а(ш(р), р) = а (р), Р(ш(р), /))=Р(Р). и
перестаповочные соотношения для операторов рожде-
рождения и уничтожения A2.1). Следует найти коэффициенты
Х^ (р) и У„ (р) в формулах A2.6).
Из A1.20) и A2.6) имеем формулу преобразования
для операторов а7 (р)
= 2 Л^Л". 2»КЙ), A2.7)
190 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
где
М [и, р] = X'1 {р) D [и] X (Л$). A2.8)
Докажем, что матрица М [и, р] кратна унитарной. Пере-
Переходя в A2.7) к сопряженным операторам, получаем
К (Р1) = U [a] &z (р>) С/ [а] = 2 Мл [и, р>] йх (А?). A2.9)
Применим перестановочные соотношения A2.1) к преобра-
преобразованным операторам A2.7), A2.9), а затем к исходным:
=2 М„ [в, P^ И* [и, р'} [ах (А7), Йх (Kp>)]t =
= 2 М„[ц, р]]Мл\н, p'\bj(Tp-Л?') ^
х, X
Д- V)- A2.10)
Для вычисления §(Лр—Л/?') заметим, что выражени0
<о(р)Ъ(р—р!) есть четырехмерный инвариант, т. е.
«>(р)8(р— р/)=и)(Ар)8(Л^ — Л?) A2.11)
(см. Приложение I). Ввиду A2.11) из A2.10) следует
^ = Щ-У.М^[а, р]Й^[а, р].
ы (Лр) ^
Это значит, что
A2.12)
является унитарной матрицей, т. е.
§ 12. TEOVEMA ВАЙНКЕРГА 191
Подставим теперь в A2.12) вместо Dlu'1] выражение
этой матрицы через произведение буста, вращения и
антибуста; согласно E.24)
P),
иГ1=Ь{р)г1[а, Р\Ь'1А
и в представлении размерности 2/-J-1 получаем
D[u] = B(A^)R[a, p]B-1(p),
D [и1] = В(р) R-} [и, р] В-1 (Ар).
Вводя
{p)B{p), A2.14)
можно записать матрицы A2.12) в виде
N[a, p] =
= F(p)R-1[u, p]F-4Aj>). A2.15)
Из A2.15) имеем
N[a, p]=F-1(Kp>)R[a, p]P(p), A2J6)
N'Hn, p] = F(Tp)R[u, p]F~\p),
и из унитарности N следует
В-1 [и, p]F(a>p)F(aJ)R[u, p]=F(p)F(p). A2.17)
Возьмем, в частности, в качестве и антибуст б (р).
Тогда Ар=т, и в формуле A2.13) Ъ (Лр) = 6 @) = 1,
откуда г [u, p] = l, R [и, р] = 1. Поэтому в рассматри-
рассматриваемом частном случае и=Ь~1 (р) A2.17) принимает вид
P@)F@)=P(p)F{p). A2.18)
Таким образом, матрица FF не зависит от р.' Возвра-
Возвращаясь к общему случаю A2.17), мы видим, что матрица
192 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
FF перестановочна со всеми матрицами R [и, р\ не-
неприводимого представления группы вращений D'J)[r].
По лемме Шура (см. Приложение II), матрица pF
кратна единичной матрице. Заметим еще, что матрица
вида FF всегда положительно определенна, так что
FF=C'l, где с > 0. В силу строения формулы A2.15)
мы можем ввести в X (р) любой ненулевой множитель,
что отражается лишь па нормировке поля. Выберем
этот мпожитель таким образом, чтобы было
FF = \. A2.19)
Тогда матрица F оказывается унитарной и, согласно
A2.14), A2.6),
A2.20)
«. (Р) = 2 V2«> (Р) В (р) Рп (р). /12.21)
Покажем теперь, что ввиду унитарности F операторы
a'AP)=2L"AP) A2.22)
также удовлетворяют перестановочным соотношениям
A2Л)> * л
Поскольку Fn = FM, имеем
JJJ (P') = U (р - р').
X, А
Простейшая нормировка операторов аа (р) получается,
если взять матрицу F не зависящей от р. Лишь при
этом условии в случае вращений и=г состояния \р, °)
с определенными значениями импульса и спина преобра-
преобразуются по одному и тому же представлению группы
вращений, в соответствии с обычным физическим истол-
истолкованием спина (ср. определение A4.1) и A2.33), где
R [г, р]=г). Наконец, переходя к другому базису
в пространстве представления DlJ), можно считать
§ 12. ТЕОРЕМА ВАЙНБЕРГА 193
F=l. Используя формулы A2.20), A2.21), A2.15),
A2.12) п A2.7), получаем окончательно
A2.23)
(р), A2.24)
М |„, />] = л/^Ар! ,у \и, р]= \/^Щл-1 [ц, р1, A2.25)
?
т
Из A2.2')) сопряжением операторов находим
К(р)=Ъ\1Щр) в„(р) <Mw. A2-27)
в из A2.26) закш пре.)браз:>ианим операторов аа(р):
Для онераго|)ов Ьа(р), ^(р) вычисчепия производятся
cone|)iiieiiHo аналогично. Перестановочные соотношения
A2.1) остаются прежними, но вместо первой фэрмулы
A1.20), кото|юй мы пользовали;-,ь для преобразования
аа(/?), придется П|)имепить для Зо(?>). вторую ф)рмулу
A1.21). Вследствие этого матрицы DiJ) заменятся в ис-
исчислениях на Du> и, в ча^тпогти, И(р) на В(р).
Но|)мирующую унитарную матрицу F (см. A2.20)) теперь
удобно выбрать иначе. Именно, езли взять в качестве F
матрицу С =С(У), то имеем С/7-1С=Д-1 (см. (9.33)), и
«3 A2.15) получаем для Ьа(р) тот же заюн преобразования
<A2.26), что для аа(р)', это приводит к однозначной
процедуре в случае «истинно нейтральных частиц», когда
РЛр) = *Ар)-
Итак, вместо A2.24) получаем
МР)' A2-29)
i/2 13 Ю. Б. Румер, А. И. Фет
1П4 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
а вместо A2.26)
U [а] К (Р) U'1 [а] = |/^| 2 Л" [и' Р] Ъ-
Т
Пс?реходя в A2.29) к сопряженным операторам, имеем
к (Р) = 2 \IMP~) В., (Р) С Л (Р). A2.31)
ар
Точно так же из A2.30) получается
U\u]&.(p)U-1\u\ =
A2.32)
Очевидно, преобразования операторов 1)о>кдецпя и уни-
уничтожения, соответствующие сдвигам, точно такие же,
как для операторов а, а, C, р, с которыми они связаны
линейными соотношениями; в самом деле, показатель-
показательные множители в правых частях A1.24), A1.25) зави-
зависят лишь от р, по не от с. Отсюда получаются общие
правила преобразования:
U[a,u]aa(p)U-1[a,a] =
§ 12. ТЕОРЕМА ПАЙПБЕРГА 195
Подставляя выражения A2.24), A2.31) в A1.8), получаем
0а (х) =B«)-'/. { JE В„ (р) {а, (р) е-«Р') +
¦V)
Наконец, используя формулу (9.48) для С4"*', имеем
6, (.г) -= B«) -3/> J J; Д„ (р) {а, (р) ег^Р'1 -\ -
- {-\У^_, {р)е«Р*>) 0^. A2.35)
Найдем сопряженный оператор ^о(^'):
^ (,;) = B«)-а/. J _ 2 _В„ (р) {К (Р) eW +
Т— J
+ (—1)У+Т6_Т (р)е-^*))-ф1=^. A2.36)
Заключительные замечания. Формулы A2.35), A2.36)
оправдывают данное в § 10 истолкование подпро-
подпространств Йц i5i как одночастичных подпространств,
первое из которых содержит векторы состояний анти-
античастиц, а второе — частиц. В самом деле, согласно
A2.35) векторы фа (х) Фо являются линейными комбина-
комбинациями векторов Ъа (р) Фо, так как а^ (р) переводят век-
вектор вакуума в пуль. По операторы о, (р) порождают
из вакуума античастицы; линейные комбинации их
также изображают состояния с одной античастицей,
характеристики которой р, а могут быть неопределен-
неопределенными. Аналогично векторы Ьз (а:)Ф0 являются линей-
линейными комбинациями векторов 3.^ (р) Фо и тем самым
изображают состояния с одной частицей.
Представление об операторах рождения и уничто-
уничтожения, из которого мы исходили в начале этого пара-
параграфа, поддерживается полученными результатами.
В самом деле, поскольку оператор 3^ (р), согласно
A1.32), увеличивает 4-имнульс па р, а вектор вакуума
13*
ПК) Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
имеет нулевой импульс, то
Pf.(p)%=pkK
Поскольку секторы Ьа(р)Ф0 линейно связаны с ?, о
они также изображают состояния с определенным
значением 4-импульса, равным р. Аналогично рас-
рассматривается действие операторов Ьа (р) на любой
вектор состояния с определенным зпачением импульса.
Что касается а, то это другая характеристика век-
векторов, производимых из вакуума операторами Ь. (р);
как мы увидим в дальнейшем, она связана со спином.
Точно так же операторы &а(р) производят частицы
с импульсом р, а операторы аа(р), Ьа(р) уничтожают
частицы с, импульсом р.
§ 13. Теорема Паули о связи спина
со статистикой
Причинность. В определении операторов рождения
и уничтожения были оставлепы две возможности для
перестановочных соотношений — коммутирование и ан-
антикоммутирование. Можно привести некоторые доводы
в пользу того, что эти виды перестановочных соотно-
соотношений являются единственно приемлемыми с точки зре-
зрения физического смысла полей. Рассмотрим переста-
перестановочные соотношения для полей в ^-представлении.
Тогда действие полевого оператора ф, (ж) (или фт (у))
на вектор состояния можпо связать с событием, лока-
локализованным в точке пространства-времени х (или у).
Если вектор х—у прострапствеппонодобен, то события,
происходящие в точках х, у, пе могут быть причинно
связапы. Поэтому естественно предположить, что их по-
порядок безразличен, т. е. что для любого вектора состоя-
состояния Ф векторы
<Ш<кО/)ф, «кШЛ*)® A3-1)
изображают одно и то же состояние квантовой системы.
Но тогда они различаются лишь комплексным множи-
множителем 0
Ясно, что число z здесь не зависит от Ф. В самом деле,
§ 13. ТЕОРЕМА ПАУЛИ 197
если бы для различных Фъ Ф2 соответствующие числа
z1, z2 были не равны, то для A>1+Ф2 соотношение вида
A3.2) вообще было бы несправедливо ввиду линей-
линейности полевых операторов.
Отсюда получаем равенство операторов
При неизменных х, у можно выполнить преобразования
Лоренца, вызывающие нетривиальные преобразова-
преобразования компонент полей (вращения вокруг оси, проходя-
проходящей через х и у). Если z не должно зависеть от выбора
наблюдателя, то следует предположить, что оно не за-
зависит от а, т. Но возможны еще преобразования Ло-
Лоренца, меняющие местами х, у, поэтому естественно
предположить, что z не меняется при перемене местами
х и у. Теперь переменим местами в A3.3) х и у одно-
одновременно с а и х, а затем перейдем к сопряженным опе-
операторам. Это дает
и сравнение с A3.3) свидетельствует, что z — действи-
действительное число. Если еще потребовать полной симмет-
симметрии между частицами и античастицами, т. е. между
$_(х) и фа (х), то для операторов, взятых в обратном
порядке, должно быть 6Т (у) 65 (х) = zia (x) ф,. (у) с тем
же z. Сопоставляя это с A3.3), имеем z2=l, z=+l,
что приводит к двум возможностям:
кЪ = О при (х-у)*<0, A3.4)
it {х), i (У)].= О при (х - yf < 0. A3.5)
Тем самым выделяются два вида перестановочных соот-
соотношений [ ]ь и [ ]_.
В квантовой теории поля предполагается, что для
каждого нида кнантовашюго поля операторы рожде-
рождения и уничтожения удовлетворяют либо перестановоч-
перестановочным соотношениям A2.1) с коммутаторами, и тогда
кианты поля называются боаопами, либо таким же
соотношениям с антикоммутаторами, и тогда кванты
поля называются фермионами.
14 Ю. Б. Румер, А. И. Фет
198 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Соотношения A3.4), A3.5) приводят к следующему
принципу причинности:
Если (х — j/)-<0, то
[<Ы*). <КЫ]± = 0, A3-6)
где для бозонов следует взять знак —, а для фер-
мионов — знак -(-.
Заметим еще, что другие коммутаторы, которые не
будут дальше встречаться, считаются всегда ранными
нулю:
Теорема Паули. Вычислим теперь коммутатор
пользуясь вытекающими из теоремы Байнберга формулами
A2.35), A2.36):
Но
К(Р').
и, следовательно, ввиду четности 2/ —)— 2>с,
„ (Р) Бхх (р) {e-W*-* ^
Принимая во внимание, чтчГпо формуле (9.50)
p) =
= 2 Вп (р) B~xz (p) = m-*J П„ (р), A3.8)
S 13. ТЕОРЕМА ПАУЛИ 199
переписываем A3.7), восстанавливая четырехмерную
запись:
Пвт(р) {ег*р(*-*) ±
Поскольку матричные элементы Н„(р) суть одно-
однородные функции степени 2/ от компонент 4-импульса р,
то имеем
& (*), i (У)к = (-1 Г' ™^' W П„ D1,) J (б"*<*-" +
±( — 1JУ в*"С*-»Э} § (р2 _ щ2) ft (р2) йр_ A3.10)
Покажем, что если
(-1)^ = ^1, A3.11)
где верхний знак берется для антикоммутаторов, а ниж-
нижний для коммутаторов, то требования A3.6) удовлетво-
удовлетворены, а в противном случае они нарушаются. Если соблю-
соблюдается равенство A3.11), то A3.10) может быть запи-
записано в виде
1Ф. (*), i (U)h = (-mf B^'3)Т1„ (-I ?)±(x- у),
A3.12)
где лоренц-инвариантпая обобщенная функция Д (ж—у)
определяется формулой
А (х — у) = j {e-W*-r> — в1'(*-*)} § (р2 — т2) 0 (р°) dp =
— f
J
dP /j3 13)
2ш (р) •
Заменяя во втором интеграле переменные интегрирова-
интегрирования р на —р, получаем
Ь(х-у)= ~2l j еМ*-У) sin (ш (р) « - у*)} -^ .
A3.14)
200 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ НОЛЯ
Мы видим, что Д (х—у)=0 при х°=у°, т. е. при равных
временах. Но так как Д (х—у), согласно A3.13), есть
лоренц-ипвариаптная функция, т. е. Д (Ах—Ау) =
— Д (х—у), то мы можем надлежащим преобразованием
Лоренца найти для любого пространственноподобпого
вектора х—у такую систему координат х'=Ах, для
которой (Ах)°=(Ау)°. Тем самым для любой пары точек
х, у, разделенных пространственноподобным интерва-
интервалом, Д (х—у)=0, и требование принципа причинпости
выполняется.
Если вместо A3.11) Припять, что
(—1J>=+1, A3.15)
где верхний знак берется для антикоммутаторов,
а нижний для коммутаторов, то вместо A3.14) получаем
А1(х-у)=2\ е^-У) cos (ш(р)(*°- */»)} ^, A3.16)
т. е. функцию, которая не исчезает при (х—уJ <С 0.
Итак, доказана теорема Паули:
Закон причинности удовлетворяется при целом j
для коммутаторов и при полуцелом / для антикоммута-
антикоммутаторов. Другими словами, для бозе-полей j является це-
целым числом, и полуцелым для ферми-полей.
§ 14. Представления Вигнера
для массивных полей
Формула преобразования состояний. До сих пор
пространство состояний $) не было определено. Пред-
Предполагалось лишь, что это — гильбертово пространство,
на котором действуют квантованные ноля и операторы,
представляющие группу Пуанкаре и ее алгебру Ли.
Выведенные в § 12 формулы преобразования операторов
рождения и уничтожения открывают, как мы сейчас
увидим, путь к реализации пространства $у и пред-
представления U [а, и].
Мы будем исходить из того, что операторы рождения
частиц аа (р) и античастиц Ьа (р), примененные к век-
вектору вакуума, производят одночастичные состояния.
В самом деле, аа (р) Фо есть состояние с импульсом р
§ 14. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВИП1ЕРА 201
и еще некоторой характеристикой а (—j ^ а ^ /),
имеющей, как мы увидим, смысл проекции спина.
Аналогично описывается о, (р). Положим
где нормирующий множитель выб[)ан для удобства
следующих выкладок. Согласно теореме Вайнберга
A2.33) векторы состояния \р, а\ преобразуются по
представлению (точнее, «антипредставлению») группы
Пуанкаре:
*>, A4.2)
где Л = h (a), a
й<у> = R<•>> [и, р] = В-1 (Ар)D(J) [ц] В (р) =
Поскольку
r[u,p] = b-1(Ap)ub(p) A4.4)
есть матрица вращения, то представляющая ее матрица
RlJ> унитарна; тем самым
Ri{r' = RU). A4.5)
Предположим теперь, что произвольное одночастичноо
состояние Ф является супе1)позицией состояний [ р, о)-:
Конечно, здесь р пробега(>т значения только па гипер-
гиперболоиде р2 — /?г2=0. Но вычисления упрощаются, е:ч,ли
в A4.6) распространить интегрировании на все р-про-
ст])апстно, считая тем самым Фо (р) обобщенными функ-
функциями. Тогда в силу A4.2), A4.5) имеем
U [а, и] Ф = U [а, и] ? J Ф5 (Р) | Р, => dp =
'e) 2 Фо (Р) Д(>) [и, р] | Лр,
202 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Выполним замену переменных p = A~1q:
U [а, и] Ф =
= 2 ( е'Aв) 2 Щ] [и, A-^l Фт (Л?) | д, т> dg. A4.7)
С другой стороны, для
Ф' = С/[а, в]Ф A4.8)
имеем разложение, аналогичное A4.6):
Сравнивая A4.9) с A4.7), получаем закон преобразова-
преобразования вектор-функций Фа(р):
Ф'в(р) = е*М 2 W& [и, р] ©.(A/»), A4.10)
*= -^
где, согласно A4.3),
y-1p). A4.11)
Это и есть основная формула Бигнера, ведущая
к построению пространства состояний $)¦ Проверим
прежде всего, что формула A4.10) задает представ-
представление группы Пуанкаре на пространстве вектор-функ-
вектор-функций. В самом деле, выполним последовательно пре-
преобразования (и2, Ъ), («J, а):
Ф; (р) = еЧМ 2 W\» [Из, р] Фт (M-ip), M = А (и,),
ФЦр) = eW 2 Wi{) [щ, р] Ф (Л/»), Л = h (и,),
?
откуда
— еИра^Н^Р. Ь) 2 И^(>' [«!, р] WW [«a, A^pJ Фт((ЛМ)"».
р
Далее
§ 14. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВИГНЕРА 203
и в силу A4.11)
= В-1 (р) DiJ) [
= В (р) D^> [Й1ца] 5 ((ЛМ)-1 р) = W> [UlUa, p],
откуда
ф; (р) = ««с
Но это и значит, что A4.10) задает представление
группы Пуанкаре. Можно положить, таким образом,
и[а,и]Ф(р) = Ф'(р), A4.12)
где Ф' (р) задается с помощью A4.10).
Заметим, что эта формула представляет реализа-
реализацию преобразования векторов состояния A4.8) в про-
пространстве вектор-функций Фо (р). Закон преобразова-
преобразования Вигнера для векторов состояний A4.10), A4.11)
может быть получен чисто математически при разыска-
разыскании унитарных представлений группы Пуанкаре. Та-
Таков был подход самого Вигнера в его классической
работе [7], и Вайнберг в работе [5] исходит непосред-
непосредственно из этого результата. Нам казалось более
естественным, по крайней мере для предполагаемого
читателя-физика, прийти к этому закону от более
привычных понятий теории поля.
Унитарность представлений. Представление A4.10)
бесконечномерно. Группа Пуанкаре, как и все неком-
некомпактные группы1), не имеет конечномерных унитарных
представлений. Представления в пространстве вектор-
функций, рассмотренные в § 2, бесконечномерны,
по не унитарны. Напротив, правило A4.10), как мы
сейчас убедимся, задает унитарное представление.
х) Группа G называется компактной, если из каждой по-
последовательности ее элементов можно выделить сходящуюся
подпоследовательность. В случае груипы Пуанкаре это требо-
требование, очевидно, не соблюдается.
204 Часть П. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Определим в пространстве функций Ф (р°, р1, р2, рл
скалярное произведсчше
<Ф | Х> = j ^ Ф» Хо (р) dp. ]A4.13)
Тогда это пространство становится гильбертовым. По-
Покажем, что преобразования A4.10) сохраняют скаляр-
скалярные произведения.
13 самом деле,
(Я \и, р] W") \и, р\ Фх (Л» X (Л" V) dp,
'j,t-p ' '
а ото, в силу унитарности матриц WlJ\ сводится к
Выделение неприводимых представлений. Ясно, что
представление A4.10) приводимо; в самом деле, рас-
рассмотрим вектор-фупкции Ф (р), отличные от нуля
лишь на гиперболоиде р2—т2=0. Тогда A4.10) пере-
переводит Ф (р) в вектор-функцию того же рода, и при
любом тп получается инвариантное подпростран-
подпространство io(B{' представления A4.10). Вспомним, что выше
мы как раз и пришли к этому представлению, а затем
уже расширили смысл суммирования на все р. На ин-
инвариантном подпространстве jb'^'' скалярное произ-
произведение можно записать в виде тройного интеграла
(ср. A4.6), A4.13)):
"=— 3
где интегрирование производится по правой поле
гиперболоида рг—т2=0, р° > 0. Как показал Виг-
нер 17], представление A4.10), рассматриваемое на
§ 14. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВИГНЕРА
подпространстве $)^\ иеприводимо при любом т > О
и любом целом или полуцелом j. Обозначим такое пред-
представление через [т, j]+. Все эти представления не
эквивалентны друг другу. Апалогичные представле-
представления [т, /]_ получаются в пространствах, определен-
определенных на левой поле гиперболоида. Далее можно рас-
рассматривать вместо гиперболоидов р2—т2=0 конус
/?2=0, что приводит к другим неприводимым пред-
представлениям, соответствующим частицам нулевой массы
(см. § 18). Что касается одпополых гиперболоидов
р-—с <; 0, то им тоже соответствуют пеприводимые
представления группы Пуанкаре, но не имеющие
физического смысла: на таком подпространстве опе-
оператор квадрата массы принимает отрицательное зна-
значение с, между тем как масса частицы, по существу-
существующим представлениям, должна быть неотрицательной.
Ниже, в § 17, мы вернемся к неприводимым представ-
представлениям группы Пуанкаре.
Полный анализ упитарпых представлений группы
Пуанкаре содержится в работах [7, 1, 11, 2] (см. также
обзор [15]).
Определение понятия элементарной частицы. Виг-
неру принадлежит следующее, общепринятое в па-
стоящее время, определение понятия элементарной
частицы, исходящее из группы симметрии Пуанкаре.
Мы уже пользовались этим определением в § 10:
Квантовая система, описываемая неприводимым
унитарным представлением группы Пуанкаре <^\,
называется элементарной частицей.
Теперь мы знаем (пока для случая положительной
массы) перечень неприводимых унитарных представ-
представлений группы оТ\. Оператор М2—Р1—Р\—Р\—Р%,
для которого пространство &$ неприводимого пред-
представления является собственным подпространством,
имеет на нем неотрицательное собственное значение т2.
Частицы с т > 0 мы будем также называть массив-
массивными, а частицы с т=0 — безмассовыми.
Для частиц, квантованные поля которых допускают
пространственные отражения, предыдущее определе-
определение должно быть видоизменено: вместо представлений
200 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
специальной группы Пуанкаре оР\ их надо задавать
представлениями полной группы $.
Конечно, предложенная Вигнером классификация
элементарных частиц не касается так называемых
«внутренних» симметрии частицы, не связанных не-
непосредственно с перемещениями в пространстве-вре-
пространстве-времени и пе охватываемых группой Пуанкаре. Примером
таких симметрии является упитарная симметрия ад-
ронов, связанпая с группами SU C) и SU F).
§ 15. Спин и спиральность
В этом параграфе рассматриваются только частицы
положительной массы, описываемые, как было ука-
указано выше, представлениями [т,j]+ группы Пуан-
Пуанкаре qF\. Теперь мы находимся в ином положении,
чем в начале нашего изложения, когда пространство
векторов состояния & было просто постулировано,
но не построено. Займемся поэтому заново наблюда-
наблюдаемыми группы Пуанкаре и посмотрим, как они дей-
действуют в одночастичпом пространстве Sb$, где задано
представление [m,j]+.
Импульс и энергия. Рассмотрим сначала вектор-
онератор 4-импульса, соответствующий четырем одно-
параметрическим подгруппам сдвигов. Для сдвига
вдоль оси еа пространства Минковского (а = 0, 1, 2, 3)
имеем подгруппу
порождающую в представлении [т, /]+ однопараметри-
ческую подгруппу операторов
и[Ъеа,1]Фв(р) = е"ъФ,(р) (а=0, 1, 2, 3). A5.2)
Эта подгруппа порождается эрмитовым оператором
умножения па ра:
РМ)=Р**>ЛР)- A5.3)
Таким образом, понятие импульса частицы может
быть определено, исходя из группы Пуанкаре.
Как обычно, оператор 4-импульса имеет непрерывный
спектр. В гильбертовом пространстве представле-
§ 15. СПИН И СПИРЛЛЬНОСТЬ 207
ния $Ь$ не существует собственных векторов онера-
тора Ра. Тем самым векторы состояния Ф с определенным
значением 4-имнульса могут быть получены лишь
с выходом за пределы гильбертова пространства й^',
где задано представление. Фиксируем значение 4-им-
пульса р и целое или полуцелое число а из последо-
последовательности —/, —у—f—1, . . ., j—1, j. Тогда обобщен-
обобщенная вектор-функция
p) A5.4)
изображает состояние с онределенным значением 4-
имнульса, равным р; в самом деле, в силу A5.3)
РФ = X, где Xz(p) = pbj(p-p) = pjij(p- р).
С помощью закона преобразования A4.10) m трудно
убедиться, что вектор U [а, и\Ф является линейной
комбинацией аналогичных векторов с заменой р на Ар,
Л = /г(ц). Наконец, для любой вектор-функции Ф.(р)
получаем разложение по функциям вида A3.4)
Ф, (Р) = 2 ( Ф, (Р) *J (Р - Р) dp. A5.5)
Сравнивая это с A4.6), мы можем отождествить вектор-
функцию A5.4) с «неявно» заданным в § 14 вектором
состояпия |/>, °у. Переходя к функциям, определен-
пым на гиперболоиде, т. е. к гильбертову пространству
со скалярным произведением A4.14), мы можем за-
записать A5.4) как обобщенную функцию трех перемен-
переменных р:
\p,oy = 2m(p)bj(p~p); A5.6)
тогда вместо A5.5) получаем разложение
с интегрированием по инвариантной мере. Итак, мы
выяснили вид собственных векторов 4-импульса. Легко
найти также возможные для представления jbj^'
собственные значения Ра.
Очевидно, A5.4) задает ненулевую функцию па
гиперболоиде р2—т2=0, р2 > 0 лишь при условии,
20S Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
что точка р сама принадлежит этому же гиперболоиду,
т. е. что
(p'f_p2 = m2) /-)о>о. A5.8)
Отсюда ясно, что спектр оператора Ра определяется
следующими неравенствами:
Р° > т, -со < рк < оо (к = 1, 2, 3). A5.9)
Момент. Рассмотрим теперь однопараметрическую
подгруппу вращений вокруг произвольной оси. При-
Принимая эту ось за ось 2, имеем (см. E.10)) накрывающую
однопараметрическую подгруппу в SL B)
г (ft) = cos -i ~(- <Ч, sin \ — еЧ ''. A5.10)
Соответствующая однонараметрическая подгруппа опе-
операторов в $}\?> имеет вид (см. A4.10))
(U [0, г (&)] Ф), (р) = % \У„ \г @), р] Фт (R (Ьрр).
A5.11)
Запишем вращение R (у) вокруг оси z, соответству-
соответствующее г (д):
•х' = х cos & -г- у sin &,
/у' ~ —х sin » -f /у cos ft, A5.12)
Z'=2.
Из E.16), E.17) или непосредственно из определения
буста нетрудно вывести, что для унитарпой матрицы г
и накрываемого ею вращения R
b(Rp)r=rb(p);
поэтому из A4.11) имеем
Тем самым матрица WlJ) сводится к унитарной матрице
DiJ) [r (Ь)], не зависящей от р:
(и[0,г(Ъ)]Ф),(р)= i /?^['-(»IФт(Д(&)-1р). A5.14)
§ 15. СШШ II СНИРАЛЫЮСТЬ 209
Итак, мы нашли однопараметрическую подгруппу опе-
операторов, представляющую вращения вокруг оси z.
Чтобы получить порождающий ее оператор, пред-
представляющий элемент алгебры Ли у а3, продифферен-
продифференцируем A5.14) по Э-, а затем положим д=0. Обозначим
полученный оператор через iM3, вводя, таким обра-
образом, эрмитов оператор М3:
2
,•
Производная в первом слагаемом вычисляется точно
так же, как при вычислении аналогичного оператора
для представления D(i> 0) группы SU B). Поскольку
это представление унитарно, после деления на i
получаем эрмитову матрицу /№ порядка 2/ + 1
(ср. (9.42))
(±) A3.16)
Перейдем теперь ко второму слагаемому A5.15);
в силу A5.12)
cos & — Pisin !>> Pi sin & + Picos
— — (Pijp—Р*-?р)фЛРо, Pv Pz, Pa)- AJ-17)
Следовательно,
»- <15Л8>
Оператор Jkf3 называется проекцией момента. Это
эрмитов оператор в пространстве $)\?,\ представ-
представленный в виде суммы двух слагаемых. Второе из них
есть не что иное, как известный из обычной квантовой
механики оператор О3 проекции орбитального момента.
Этот оператор действует одинаковым образом на все
210 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
компоненты волновой функции Фт (р). Напротив, пер-
первое слагаемое S3 есть оператор, действующий на ком-
понепты, но не меняющий аргумента р. Назовем его
оператором проекции спина или оператором поляри-
поляризации.
Итак,
A5.19)
Естественно, в предыдущих рассуждениях ось z можно
заменить любой осью пространственных вращений.
Но все операторы алгебры Ли, соответствующие вра-
вращениям, линейно выражаются через операторы вра-
вращения вокруг осей х, у, z. Поэтому базис операторов,
представляющих алгебру Ли подгруппы SU B), со-
составляют Mlt М2, М3, с обычными перестановочными
соотношениями (8.13). Разумеется, разделение опера-
оператора момента на спиновое и орбитальное слагаемые
зависит от выбранной системы отсчета (р0, рг, р2, р3)
(точнее, от выделения в пространстве Мипковского
«прострапственной» плоскости R3; от выбора осей
зависят лишь компоненты О и S).
Спектр и собственные функции оператора орбиталь-
орбитального момента детально изучаются в учебниках кван-
квантовой механики; р0 в этом вопросе так же пе играет
роли, как время t в волновых функциях Шредиигера.
Сиектр оператора поляризации сразу же находится
из формулы (9.42). В самом деле, /3 — диагональная
матрица:
-/-1-1
A5.20)
¦ — 1
j
(Если бы мы взяли вращения вокруг оси х или у, то
пришли бы к эквивалентным матрицам 11У /2, име-
имеющим те же собственные значения; но в § 9 базис спин-
тензорпого представления был выбран таким образом,
что /3 представляется проще.) Поэтому собственные
векторы оператора поляризации S3 имеют вид
§ 15. СПИН И СПИРАЛЬНОСТЬ 211
с единственной ненулевой компонентой. Отсюда
Ss<t>m(p) = ^(p). A5.22)
Следовательно, спектр оператора поляризации в пред-
представлении [т, j]+ состоит из чисел
-7, -7 + 1,..., j -1,;. AГ).2.Ч)
Эти собственные значения бесконечно вырождены,
т. е. каждому из них принадлежит бесконечномерное
пространство собственных вектор-функций (см. A5.21)).
Определение спина. Теперь мы в состоянии опреде-
определить понятие спина для элементарной частицы поло-
положительной массы.
Пусть элементарная частица задается некоторым
неприводимым представлением группы Пуанкаре
с положительным собственным значением опера-
оператора М2. Тогда ее спином называется наибольшая
абсолютная величина собственных значений опе-
оператора поляризации в этом представлении.
Для рассмотренных выше неприводимых представ-
представлений [т, j], спин оказывается, таким образом, рав-
равным j. Заметим, что масса частицы определяется по
задающему ее неприводимому представлению как ко-
корень из собственного значения оператора М2, для
которого все пространство представления й^ яв-
является собственным пространством (такие операторы,
постоянные па всем пространстве представления, на-
называются операторами Казимира). Поскольку группа
Пуанкаре имеет еще другой оператор Казимира w2
(см. § 8), естественно ожидать, что снин связан с этим
оператором. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим
«вектор Паули—Любапского» (см. (8.28)), т. е. систему
операторов
^=yW^' (?=0, 1, 2, 3). A5.2/1)
Оператор Казимира w2 выражается через эти опера-
операторы в виде
w* = — ww9. A5.25)
212 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Поскольку все векторы пространства неприводимого
представления &[? являются собственными векторами
оператора Казимира, принадлежащими одному и
тому же собственному значению, для вычисления
этого собственного значения достаточно применить
оператор w1 к одному произвольно выбранному вектору
пространства. Возьмем в качестве такого вектора
т, о^>, т. е. один из векторов с определенным значе-
значением 4-имнульса, равным (т, О, 0, 0). Как мы сейчас
покажем, такой вектор является собственным одно-
одновременно для всех операторов w0. В самом деле, при
вычислении w но формуле A5.24) могут быть отличны
от нуля лишь члены, в которых все числа X, [*, v, p
попарно не равны друг другу. Но в этом случае, со-
согласно перестановочным соотношениям (8.25), M;XV
можно переставить с Рх, и в выражении w | ш, о^>
сохраняются лишь члены с Х=0:
w01 in, а> = М*'Р° | т, а> = М*'т | ш, а>,
где ([л, v, о) образуют положительную перестановку
чисел A, 2, 3). Переходя к одпоиндексному обозначению
для моментов (см. (8.12)) и учитывая, что при р=0
должно быть обязательно ^^=0, так что все члены
в A5.24) обращаются в нуль, имеем
wk | m, оу=тМк | m, -i) (к = 1, 2, 3),
U7o|m, a> = 0.
G другой стороны, из Приложения I A.1) видно, что
функция 8 (р) инвариантна относительно вращений
р-пространства; согласно A5.6) это значит, что каж-
каждый из векторов |т, о^> переводится в нуль операто-
операторами орбитального момента Ок (к=1, 2, 3). Учитывая
¦еще A5.19) и аналогичные разложения для других
координатных осей, имеем
wk I m. 3> =mSk | m, з>, w01 m, o> =0.
Отсюда
, a>, S* = S} -f-5|-f- S*.
§ 15. СПИН И СПИРАЛЬНОСТЬ 213
Применяя к операторам спина Sk общую теорему ки-
кинематики моментов, имеем S2=j (/+1), где j — на-
наибольшее собственное значение любого из операто-
операторов Sk, т. е. спин нашей частицы, совпадающий
с числом /, при помощи которого мы определили пред-
представление группы Пуанкаре 1т, ]]+.
-Итак,
w-1 т, -> = т2/ (/ -f 1) | т, а>,
а поскольку w2 — оператор Казимира, то для всех
векторов пространства SyJ? собственное зпачение w2
(обозначаемое так же, как оператор) выражается
формулой
u;a=ma/(/-f-l). A5.26)
Таким образом, масса и спин частицы полностью
задаются операторами Казимира группы Пуанкаре и
ее неприводимым представлением (при т > 0).
Определение спиральности. Возьмем теперь про-
произвольный вектор состояния с определенным значе-
значением импульса \р, оу, задающий равномерное и
прямолинейное движение частицы, и вычислим для
этого состояния проекцию момента М на направление
движения; иначе говоря, применим к вектору \р, о>
оператор спиралъности ~к (р), зависящий от вектора р:
Как легко проверить, для операторов орбитальпого
момента Ок имеем ^Окрк=0, так что (Мр) сводится
к (Sp). Выбирая направление р за ось z, мы можем
отождествить X (р) с рассмотренным выше операто-
оператором S3. Следовательно,
, °> = з|#, о>, з = —/, —/-1-1, ...,/ — 1, /.
A5.28)
Таким образом, собственные значения спиральности
для частиц положительной массы не зависят от пм-
пульса р и совпадают с собственными зпачениями
поляризации.
214 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Как мы видим, понятие спиралыюсти при т ^> О
не приводит к новой характеристике частицы, но
дает физическое истолкование ее поляризации. Для
частиц нулевой массы дело обстоит иначе: для
них понятие сниральности приобретает самостоятель-
самостоятельный характер, в некотором смысле принимая на себя
одну из функции спина, состоящую в задании непри-
неприводимого представления группы Пуанкаре, возника-
возникающее в этом случае сложное положение вещей рас-
рассматривается в § 19.
§ 16. Общие поля для массивных частиц
Общие поля. Общее определение поля (§ 2) пред-
предполагает, что поля суть вектор-функции, заданные
в пространстве Минковского и преобразующиеся по
некоторому представлению группы Пуанкаре B.11).
В построении этого представления участвует конечно-
конечномерное представление группы Лоренца D[\], которое
в силу накрытия можно считать также представле-
представлением D [и] группы SL B); это представление, вообще
говоря, приводимо. Разлагая D [и] на неприводимые
представления, можно свести данное ноле к «непри-
«неприводимым» полям, каждое из которых задается не-
некоторым спин-тензорным представлением /)(•?'• •?'') [и]
группы SL B). В этом смысле все ноля могут быть
сведены к спин-тензорным.
ЛГы рассмотрели выше простейший случай, когда
представление D [и] имеет тип (/, 0). Как показывают
примеры встречающихся полей (§§ 7, 10), нет оснований
ограничиваться этим случаем. Компоненты поля могут
быть занумерованы любым числом индексов; их можно,
однако, перенумеровать одним индексом, приведя
поле к виду {6v (x)}.
Итак, формулы преобразования нолей (§ 10) можно
считать вполне общими, если не требовать, чтобы
число компопепт совпадало с числом состояний поля-
поляризации поля. Как мы увидим, для электромагнитного
и других безмассовых полей с непулевым спипом от
этого требования действительно приходится отказаться.
§ 16. ОБЩИЕ ПОЛЯ ДЛЯ МАССИВНЫХ ЧАСТИЦ 21Г)
Пока же, ограничиваясь массивными полями, мы
рассмотрим наиболее общие ноля 0v (x), не предполагая
представление группы D [и] неприводимым. Следуя
Вайнбергу, мы покажем, что если представление D,
в известном смысле, «содержит» задаппое неприводи-
неприводимое представление группы вращений R<J), то можно
выразить соответствующее поле через операторы рож-
депия и уничтожения частиц со спином j. При этом
матрицы X, Y в выражениях вида A2,6) оказываются,
вообще говоря, прямоугольными.
Пусть V — пространство представления D группы
SL B) размерности N. Предположим, что операторы
представления D, соответствующие накрывающим вра-
вращений г, оставляют инвариантным некоторое B/'-j-'l)-
мерное подпространство V пространства V; тем самым
в V' задается некоторое представление группы SU B).
Если это представление неприводимо, будем говорить,
что D содержит R(J>.
Итак, предположим, что D содержит RU). Выберем
базис в V из 2/+1 векторов и (о), где о=—j, — у+1, .. •
. . ., /—1, / — номер базисного вектора. По определе-
определению представления R(J>, имеем следующий закон
преобразования векторов и (о) (поскольку здесь запи-
записывается выражение о-го преобразованного вектора
через исходные, суммирование производится по пер-
первому индексу):
откуда для каждой компоненты
t №„(*)¦ A6Л)
1=—3
С другой стороны, для каждого вектора и (о)
(а=—у, —j-\-it . . #) у—1, у) преобразованный век-
вектор и' (о) имеет компоненты
b;oo=2a»mb,,oo,
2К) Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
где суммирование производится по второму индексу,
поскольку преобразование записывайся в компонен-
компонентах. Сопостаыян это с A6.1), находим
Полученная формула снизывает Л^-меркое (вообще
говоря, приводимое) представление D группы SlJ B)
в пространстве V и сужение «того представления па
подгруппу SU B), неприводимое на B/+1)-мерном
подпространстве V'.
Построение «волновых функций». После этой пред-
предварительной подготовки можно выразить УУ-компо-
нентное поле через операторы рождения и уничтоже-
уничтожения частиц со спином j. Для этой цели воспользуемся
компонентами векторов и (о): определим поле ая (/>)
равенством
а„(р) = VMF) 2 Dm[b(p)]u,n(а) ав(р). A6.3)
Сравнивая это определение с A2.24), мы видим прежде
всего, что матрица, с помощью которой ноле выража-
выражается через операторы уничтожения, теперь не квадрат-
квадратная, а, вообще говоря, прямоугольная. Зависящие
от р коэффициенты выражений A6.3) содержат, как
и прежде, матрицы буста, но сверх того еще множи-
множители ит(о), сокращающие число коэффициентов при
операторах с N до 2/+1.
Покажем, что введенное таким образом поле A6.3)
преобразуется пс закону A0.14), с представлением D
вместо частного случ^ D''\ для которого был выписан
в § 10 этот закон. Пс определению A0.9) преобразова-
преобразования квантованных полей и по закону преобразова-
преобразования A2.26) операторов уничтожения имеем
(P) 2 Dnm [b (р)] ат (=) U \a] az (p) U'1 [и]
= V2- (р) ^ *>- \Ь (РI »- И У Ч^Щ- X
§ 16. ОБЩИЕ ПОЛЯ ДЛЯ МАССИВНЫХ ЧАСТИЦ 217
Здесь
[и, Р] = Л'[г],
где
пользуясь A6.2), получаем (ср. A1.16))
2 Z?
/2со (А?) 2 (А,и [й (Р)] Dml [Г1] Д/г [б (Ар)]) X
X Drk [b (Aj)] Ujt (t) ат Й) = 2 Dnr [иЦ ar (А?).
Это и есть требуемый закон преобразования полей
под действием бинарных преобразований и; преобра-
преобразование сдвига сводится к умножению на е~' (ap> я) всех
операторов уничтожения, что также дает правильный
закон преобразования полей A1.16). Итак,
<{р)=е-цкр,а) ^Dnm[a-^am(Tp). A6.4)
Зависящие от р коэффициенты в выражении A6.3)
называются (вряд ли удачно) «волновыми функциями»
поля; они равны
и, (Р. °) = \/2
Поле рв (р), соответствующее античастицам, стро-
строится совершенно аналогично при помощи других
«волновых функций» vn (p); подпространство V,
с помощью которого получаются эти функции, во-
вообще говоря, не совпадает с предыдущим. Выраже-
Выражение рв (р) через Ъп (р) такое же, как в A6.3). Пере-
Переходя к сопряженным операторам, получаем выраже-
выражения аи (р), рн (р); в частности (ср. A2.31)),
Ь(р) = ^Щр~) 2 Dnm[b(p)]vm^)Cja(p), A6.6)
(т,т, m
15 Ю. Б. Румер, А, И. Фет
2)8 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
с «волновыми функциями»
vn (р, о) = VMP) 2 Dnm [b (р)] C,zvm (x).
m,i
С помощью A6.3) и A6.6) строится общее квантован-
квантованное поле
A6.7)
и аналогично сопряженное поле tyn (х).
Ясно, что поле <|>и (х) удовлетворяет уравнению
Клейна—Гордона. Что касается условий причин-
причинности A3.6), то можно удовлетворить им, если нало-
наложить на волновые функции условия
а для операторов рождения и уничтожения постули-
постулировать перестановочные соотношения с коммутаторами
или антикоммутаторами в зависимости от спина ча-
частиц 7, как этого требует теорема Паули.
Квантованное поле Дирака. Рассмотрим в качестве
примера биспинорное поле ^ (х) ({*=1, 2, 3, 4), преоб-
преобразующееся по биспинорпому представлению
= %D ЛигЧМАх + а), A6.9)
V
где A—h (и), а матрицы D [и] задаются выраже-
выражением F.7). Пространство биспиноров, играющее в этом
случае роль V, четырехмерно. Выделим в нем под-
подпространства, инвариантные относительно преобразо-
преобразований D [г], представляющих унитарные матрицы г.
Для этого заметим, что матрица
0|1\
§ 16. ОБЩИЕ ПОЛЯ ДЛЯ МАССИВНЫХ ЧАСТИЦ 219
перестановочна с матрицами
(мы пользуемся здесь «разделенными» координатами
§ 6, в которых <J>1; <J>2 задают спинор, фз> % — коспи-
пор). Собствепные подпространства оператора ?у0 при-
принадлежат собствеппым значениям 1 (соответственно —1)
и состоят из биспипоров вида
(«W, <?3, <Ь, М, A6.10)
соотвотстиошю
(*i, <Ь, -Ф1, -Фа)- A6.11)
Каждое из этих подпространств двумерно; обозначим
их через У+, V~. Тогда все пространство биспипоров
разлагается в прямую сумму
V = V+@V~. A6.12)
Из перестановочности D [г] с ?у0 следует, что оба
подпространства У+, V~ инвариаптны относительно
преобразований D [г], и каждое из них может быть
принято, тем самым, за подпространство V предыду-
предыдущего построения.
Для построения «волновых функций» и (р, о) при-
применим к вектору и (а), выбраппому в пространстве V+,
оператор D [Ь (р)]; полученпый вектор и (р, о),
конечно, не будет уже собственным вектором опера-
оператора ?у0, по может быть охарактеризован как собствен-
собственный вектор оператора D [b (j))] i^oD'1 [b (p)]:
U (p, o) = D[b (р)] и (а) = D [Ь (р)] iUl (а) =
= (D[b(p)]i~[oD-i[b(p)])a(p, а). A6.13)
Поскольку для эрмитовых матриц F.7) превращается в
имеем
D [b (p)J iTo = iloD [b-1 (p)] = iloD-i [b (p)].
15*
220 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Отс юда
D [b (p)] i^D'1 [b (p)] = Я2 [b (p)J /To.
Но, как показывает простой подсчет, опирающийся на
E.21)
. IP °\
где
Р =
D2[b(p)}——\ ~
, Ра — Pa —Pi + 1
Pi + hh Ро — Рз/' \—Pi — iP2 Ро + Рз)'
J'
гдод(р) = ЛТ' (ср. § 6).
Теперь из A6.13) имеем
= —imu(p, a).
A6.14)
Точно так же для исходного вектора v(o) из прост-
пространства V~ получаем
t(p)v(p, o) = imv(p, a). A6.15)
Квантованное поле A6.7), составленное с помощью
«волновых функций» и (р, a), v (р, о), в силу A6.14)
и A6.15) удовлетворяет уравнению Дирака. Если взять
вектор и (о) из пространства V~, а вектор у (о) из У+,
то мы приходим к квантованному полю, удовлетворя-
удовлетворяющему «сопряжеппому» уравнению Дирака
Таким образом, уравнение Дирака для квантовап-
пого поля может быть получено из описанного выше
общего выражения квантованных полей через опера-
операторы рождения и уничтожения.
§ 17. МАЛЫЕ ГРУППЫ ВИГНЕРА 221
§ 17. Малые группы Вигнсра
и представления группы Пуанкаре
В этом параграфе мы рассмотрим более подробно
представления накрывающей специальной группы Пуан-
Пуанкаре $\. Напомним, что элементы этой группы имеют
вид (a, it), где а — вектор сдвига в пространстве Мин-
ковского, а и — бинарная матрица; пара (а, и) на-
накрывает пару (а, Л), где Л—-А (и) — собственное орто-
хронное преобразование Лоренца. Имея в виду при-
приложения к полям, рассмотренные выше, мы обозна-
обозначаем здесь точку пространства Минковского через р,
а ее координаты в псевдоортонормированном базисе —
через (р°, р1, р2, ря). Как мы видели, при построении
массивных полей играют важную роль бесконечно-
бесконечномерные представления накрывающей группы Пуан-
Пуанкаре, заданные формулой A4.10). Их построение
зависит, в свою очередь, от выбранного представ-
представления Ru> подгруппы SU B), соответствующего
наибольшему по абсолютной величине значению по-
поляризации, т. е. спину частиц поля.
Мы попытаемся теперь осмыслить роль подгруппы
SU B) в проведенном построении с математической
стороны. Это приведет нас к понятию «малой группы»,
введеппому Вигнером и оказавшемуся весьма плодо-
плодотворным при изучении групп, аналогичных группе
Пуанкаре 1). В частности, с помощью этого метода
ниже будут рассмотрены безмассовые поля, что связано
с некоторыми тонкими математическими и физиче-
физическими вопросами.
' Малая группа для времениподобного вектора. Фик-
Фиксируем времениподобпый вектор m и назовем малой
группой, соответствующей т, подгруппу группы SL B),
состоящую из всех бинарных матриц и, оставляющих
вектор m пеподвижным:
итй = т, A7.1)
х) Такнмгт группами являются, например, группа движений
«обычного» пространства и «пространственные группы» в кристал-
кристаллографии.
222 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
где т пишется вместо т. Выбирая систему координат
так, чтобы ось р° была направлена вдоль вектора ш,
можно считать компопенты m равпыми (т, О, 0, 0),
а матрицу т взять в виде
Тогда условие A7.1) припимает вид ий—1, а это зна-
значит, что матрица и упитарпа. Итак, малая группа
для времепиподобпого вектора есть SU B). Этот факт
стаповится особепно наглядным, если перейти к на-
накрываемой группе L\. Яспо, что в этой группе век-
вектор m сохраняют все пространственпые вращепия
(с положительным определителем), и только опи.
Малая группа для изотропного вектора. Поскольку
все преобразования из SL B) сохраняют направление
времепи, мы рассмотрим лишь случай изотропного
вектора к, принадлежащего передней полости свето-
светового копуса. Чтобы пайти малую группу вектора к,
выберем систему координат, в которой к имеет компо-
компоненты (к, 0, 0, к). Соответствующая эрмитова матрица
*=(о о). <17-3)
а условие ее сохранепия
икй = к~ A7.4)
сводится к
следовательно, матрицы малой группы имеют вид
где и\—е~<? находится из условия det и— 1, a w —
любое комплексное число. Обозначим группу всех
матриц этого вида через GB.
§ 17. МАЛЫЕ ГРУППЫ ВИГПЕРА 223
Чтобы представить себе строение малой группы,
положим в A7.5) w=e~i<fz; тогда имеем
i i
?!+?«) „-¦< (Т.+Т.) (e2''f'z2 + zj
Соответствие /i0, задапное формулой
A7.7)
сопоставляет каждой матрице малой группы пару,
состоящую из угла 2<р и комплексного числа z; эта
пара задает в свою очередь вращение плоскости комп-
комплексного переменного на угол 2<р вокруг начала ко-
координат с последующим сдвигом на z. Из A7.6) видно
что если двум матрицам малой группы соответствуют
пары (zx, 2<рг), (z2, 2<p2), то их произведению соответ-
соответствует пара (е2<?'22+21, 2^х+2ср2); таким образом,
умножению матриц A7.7) соответствует последова-
последовательное выполнение движений плоскости.
Можно истолковать это следующим образом (ср.
§ 3): h0 есть гомоморфизм малой группы на группу
всех движений плоскости. Однако малая группа не
изоморфна этой последней группе, поскольку матри-
матрицам +и соответствует одно и то же движение}
_е<? —e-{fz\ /e? ел\
о -е-'^Но е-и?+*> )-(*, 2? + 2.). A7.8)
Итак, малая группа изотропного вектора есть
двулистная накрывающая группы движений двумерной
действительной плоскости.
Можно было бы пайти малые группы и для других
случаев: для пространствепнонодобного вектора, для
времениподобпого и изотропного векторов, направ-
направленных в сторону убывания времени, и, наконец, для
вектора р=0. Как мы увидим дальше, эти малые
группы не применяются по физическим соображениям.
224 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Представления малой групиы. Для малой группы
времениподобного вектора все представления (группы
SU B)) были найдены в § 9. Найдем неприводимые
унитарные представления малой группы Со изотроп-
изотропного вектора. Группа Go порождается двумя под-
подгруппами: состоящей из матриц
U) A7.9)
и состоящей из матриц
G
<17Л°)
это значит, что каждая матрица из Go (см. A7.5)) полу-
получается как произведение матрицы вида A7.10) на
матрицу вида A7.9). Каждое представление группы Go
задает представление (в том же пространстве) обеих
подгрупп A7.9), A7.10). Если при этом указаны пред-
представления обеих подгрупп, то по определению пред-
представления однозначно находятся и представляющие
операторы для общих матриц Go.
Подгруппа A7.10) изоморфна группе комплексных
чисел с операцией сложения, так как при умножении
матриц вида A7.10) числа z складываются. Так как
комплексная плоскость некомпактна, группа Go тем
более некомпактна, и поэтому не имеет конечно-
конечномерных унитарных представлений, за исключением
одномерного (ср. § 9, где было отмечено аналогичное
свойство группы Пуанкаре). В одномерном представ-
представлении все матрицы A7.10) представляются числом 1.
Что касается матриц A7.9), то в силу унитарности
искомого представления такой матрице должно со-
соответствовать число e'f', где <р' зависит от <р. Поскольку
при умножении матриц A7.9) числа <р складываются,
а представляющие числа е'?' умножаются, сложению
углов <рц <р2 соответствует сложение углов <р/, <р2';
таким образом, <р' имеет вид гсер. При <р=2я, вследствие
однозначности представления, <р' должно быть целым
§ 17. МАЛЫЕ ГРУППЫ ВИГНЕРА 225
кратным 2г.; поэтому п — целое число, и искомое
одномерное представление задается формулой
(о е-
Бее представления A7.11), получаемые при все-
всевозможных целых п, унитарны, и можно доказать,
что никаких других унитарных конечномерных пред-
представлений группа Go не имеет.
Описание всех унитарных представлений группы
Пуанкаре. Формула A4.10), задающая представления
группы &\ в пространстве массивных частиц, служит
образцом для построения всех унитарных представ-
представлений этой группы. Мы укажем полный набор непри-
неприводимых унитарных представлений S^X, т. е. такой,
что каждое неприводимое унитарное представление $\
эквивалентно одному из представлений набора. При
этом, чтобы избежать математических трудностей
(вкратце обсуждаемых ниже), мы ограничимся пред-
представлениями элементов группы S"l, достаточно близ-
близких к единичному.
Действие группы SL B) на пространстве Минков-
ского qM (посредством специальных преобразований
Лоренца А=А (и)) приводит к разбиению оМ на ор-
орбиты — подмножества, точки каждого из которых
можно перевести друг в друга преобразованием группы.
Перечислим типы существующих орбит, обозначая
векторы пространства Минковского через р:
1. (р, р)=т->0, р°>0;
2. (р, р)=т*>0, р»<0;
3. (Р, р) = —та<0;
4. (р, р) = 0, //>>();
•г). (/>, Р):--<\ Р°<0;
6. />=0.
Неприводимое унитарное представление группы ^°+
строится ниже последовательными шагами A)—(8).
При этом лишь па первом и четвертом шаге делаются
226 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
существенные выборы, от которых зависит результат
построения. Итак:
A) Фиксируется некоторая орбита;
B) На выбранной орбите берется произвольный
вектор к;
C) Строится малая группа Go, состоящая из всех
бинарных матриц и, сохраняющих к (ср. A7.4));
D) Задается неприводимое унитарное представле-
представление W малой группы Go;
E) В пространстве представления W выбирается
ортопормированный базис (ео), к которому относятся
векторы этого пространства: Ф=2(^)А!
F) Для каждого вектора р выбранной орбиты
строится бинарная матрица Ъ (р), для которой пре-
преобразование Лоренца Л (p)~h (b (p)) переводит выбран-
выбранный вектор к в р. При этом Ъ (р) должна непрерывно
зависеть от р, по крайней мере в окрестности р=к;
G) Для каждой бинарной матрицы и и каждого
вектора р выбранной орбиты находится матрица малой
группы
г [и, p]=b-1(p)ub(Ar1p), где A=h(u); A7.12)
(8) Строятся матрицы W [и, р], соответствующие
г [и, р] в выбранном унитарном представлении малой
группы. После этого искомое представление группы g^?
определяется в пространстве вектор-функций Ф (р),
заданных на выбранной орбите, следующей формулой:
U[а, и]Ф(р) = Ф'(р),
где
Ф'{р) = е{('>а)^\?ах[и, Р]фЛ^Р~'), Л = А(и). A7.13)
Это представление, с точностью до эквивалентности,
однозначно определяется выбором орбиты и пред-
представления W малой группы (точнее, класса эквивалент-
эквивалентных представлений малой группы). Таким образом,
в предыдущем построении имеются несущественные
выборы, не меняющие, с точностью до эквивалептпости,
окончательного представления группы ^|: а) выбор
вектора па фиксированной орбите; б) выбор упитар-
§ 17. МАЛЫЕ ГРУППЫ ВИГНЕРА 227
ного неприводимого представления W малой группы
из класса эквивалентных представлений такого рода;
в) выбор ортонормированпого базиса (ej в простран-
пространстве представления W; г) выбор семейства бустов Ъ (р),
переводящих к в р и непрерывно зависящих от р.
Бусты Ъ (р), которые должны быть построены на
шестом шаге, не всегда могут быть выбраны непрерыв-
непрерывными относительно р па всей орбите. Это возможно
в случае орбит положительной массы, как мы видели
в § 5, но уже не удается для орбит пулевой массы.
Для векторов р, достаточно близких в к, непрерывный
выбор b (p) всегда возможен; но тогда искомое пред-
представление оказывается определенным лишь для бинар-
бинарных матриц и, достаточно близких к единичной. Из
дальнейшего изложения будет ясно, какие матрицы
считаются в этом смысле «достаточно близкими»
к единичной.
Скалярное произведение A4.13) превращает прост-
пространство вектор-функций Ф (/;) в гильбертово простран-
пространство, и по отношению к этому произведению опреде-
определенные выше представления группы ??"\. унитарны.
Наконец, они образуют полный набор неприводимых
унитарных представлений е^*; представления с раз-
разными орбитами или неэквивалентными W оказыва-
оказываются при этом не эквивалентными друг другу.
В частпом случае орбит первого типа (то2 ^> О,
р° > 0) мы возвращаемся к представлениям для мас-
массивных полей, полученным в § 14 из общих свойств
преобразования полей и перестановочных соотпошений
для операторов рождения и уничтожения. Орбиты
второго типа (с «отрицательными энергиями» р°) ока-
оказываются излишними, если ввести понятие античастицы
и перенести тем самым все поля на положительную
нолу гиперболоида (р, р) = тг; именно таким образом
и поступают в современных изложениях теории поля.
Орбитам третьего типа соответствуют отрицательные
собственные значения оператора Мг=Р'1—Р\—Р\—
—Р'1; поскольку в физике не встречалось до сих пор
надобности приписать каким-либо частицам мни-
мнимую массу, соответствующие представления дальше
228 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
не рассматриваются. Орбиты четвертого типа приводят
к представлениям для безмассовых полей, обсуждаемым
ниже. Орбиты пятого типа оказываются излишними,
если ввести понятие античастиц и перенести все поля
па положительную полу конуса (р, /})--(). Наконец,
для орбит шестого типа к—0 малая группа Со совпа-
совпадает с SL B), и унитарные представления этой
групны W могут быть только бесконечномерными.
Но тогда число компонент соответствующего поля,
как видно из A7.13), также было бы бесконечно. Поля
с бесконечным числом компонент иногда рассматри-
рассматривались в литературе, но пока не ясно, можно ли их
связать с какими-либо экспериментальными объ-
объектами. Поэтому мы не рассматриваем и этого случая.
По только что упомянутой причине и в других
случаях рассматриваются лишь конечномерные уни-
унитарные представления W, чем мы и ограничились
выше.
Для «массивных» представлений, т. е. для орбит
типа A), как мы уже видели, неприводимое представ-
представление группы 3*1 однозначно задается числом т > О
и значением спина ;", совпадающим с индексом B/+1)-
мерного представления RU) подгруппы SU B) (ср. § 9).
В этом случае бусты Ъ (р) могут быть однозначно
заданы для всех р как непрерывные функции от р
(см. § 5); тем самым формулы A7.13) задают представ-
представление группы 3 в целом (а не только для бинарных
матриц, близких к единичной).
Для «безмассовых» представлений, т. е. для орбит
типа D), дело обстоит иначе. В этом случае неприво-
неприводимое представление группы 3*1 задается единствен-
единственным целым числом п, онределяющим представление
малой группы A7.11). В следующем параграфе мы
выясним физический смысл этого числа. Что же ка-
касается бустов Ъ (р), то при их построении встречается
трудность, из-за которой нам пришлось выше ограни-
ограничиться представлением «малых» бинарных преобра-
преобразований. Чтобы не смешивать фиксированный вектор/?,
от которого зависит Ъ (р), с радиусом-вектором лю-
любой точки конуса, будем искать Ъ (q). По определению,
§ 17. МАЛЫЕ ГРУППЫ ВИГПЕРА 22!)
В (q) должно переводить вектор к=(/с, 0, 0, к) в задан-
заданный изотропный вектор q -(qn, q1, г/, q3), q° > 0.
Для построения такого буста можно сначала взять
вектор q' = (q°, 0, 0, q°) и преобразовать квд'с помощью
«гиперболического вращения» в плоскости (р°, р3):
,0
р' =pncbb-}-p*shb, A7.14)
Поскольку к > 0 и #° > 0, существует единственное
значение &, при котором (к, к) переходит в (q°, q°):
ото решение уравнения к (ch$-\-sh$)=--q°. Умножая
обе части его на chft—sh 9, находим
откуда
» = ln^-. A7.15)
Очевидно, преобразование непрерывно зависит от q°,
т. е. от вектора q. Остается произвести пространствен-
пространственное вращение, переводящее вектор @, 0, д°) в q =
= (grl, q2, qs). Но как раз такое вращение и нельзя
определить для всех q как однозначную непрерывную
функцию от #! Это возможно для всех векторов q
с q* > —q°: в этом случае достаточно производить
вращение в плоскости векторов @, 0, q°), (q1, q2, q3).
Таким образом, выражение «В (q) можно построить
непрерывно зависящим от q для всех q, достаточно
близких к к» означает в случае т=0, что д3 > —q°,
т. е. исключаются точки светового конуса вида (q°, 0,
0, -дО).
Накрывающие бинарные матрицы Ъ (р) в этом
случае строятся без труда. Чтобы записать бусты Ъ (р),
обозначим накрывающую бинарную матрицу найден-
найденного выше преобразования A7.14), соответствующего р,
через § (р). Накрывающую бинарную матрицу вра-
230 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
щения на угол, меньший г., переводящего вектор
@, 0, р°) в (р1, р2, р*), с осью вращения, образующей
цравую систему осей с векторами @, 0, р°) и (р1, р2, р*),
обозначим через р (р) (здесь предполагается, что
р3 > —р°). Тогда имеем
ь(р)=?(р)Ир)- A7.16)
Здесь [3 (р) накрывает специальное преобразование
Лорепца A7.14), действующее в плоскости (р°, ps),
и, следовательно, получается из E.17) при п1=п2=^0:
A7.17)
где 9 зависит от р.
Чтобы построить представление «в целом», т. е.
для всех бинарных матриц, требуются математические
средства, выходящие за рамки нашей книги — так
называемые «векторные расслоения» (см. [15]).
Ограничиваясь бинарными матрицами, «близкими
к единичной», можно переписать формулу A7.13)
для безмассовых частиц в виде
U[а, и]Ф(р) = Ф'(р), Ф'(р) = ен!'а)е{'"?Ф(А-1р), A7.18)
где A—h (и), tp определяется по матрице малой
группы A7.12), как это было описано выше (см. A7.5)),
аи — целое число, задающее представление A7.11)
малой группы и тем самым группы <^\.. Как мы видим,
все унитарные представления накрывающей группы
Пуанкаре <^, соответствующие частицам нулевой
массы, задаются на пространстве Sb0 однокомпонеит-
ных функций, определенных на переднем поле светового
конуса (р, р)=0, р° > 0.
§ 18. Безмассовые частицы
Для частиц пулевой массы мы заново просмотрим
определения основных наблюдаемых, данные в § 15,
отмечая возникающие здесь различия. В особенности
значительно различие в определении состояний по-
поляризации, которую для безмассовых частиц при-
приходится, по существу, заменить другим понятием.
§ 18. ВЕЗМАССОВЫЕ ЧАСТИЦЫ 231
Импульс и энергия. Определение операторов 4-им-
пульса, данное в § 15, переносится на безмассовые
частицы. Различие в результатах связано с тем, что
теперь векторы состояния — однокомпонентные функ-
функции Ф (р), заданные на конусе (р, р)=0, р° > 0. Вслед-
Вследствие этого вместо A5.3) получаем
Р<Р (р) = Р*® О9)- A8.1)
Состояния с определенным 4-импульсом имеют тот же
вид, что в § 15, но с выражением ш (р), соответству-
соответствующим конусу, и без индекса а;
| ру = 2ш (р) Ь (q — р), w(p) — \Jp2. A8.2)
Точно так же, как в § 15, показывается, что спектр
операторов 4-импульса задается условием
-2>2 = 0, A8.3)
и, следовательно,
оо <р*< оо (й=1, 2, 3). A8.4)
Случай р°=0 здесь исключается, поскольку функ-
функции Ф (р), па которые действуют операторы пред-
представления Ра, определены лишь при р° > 0 (точка
р—О составляет другую орбиту, типа F), и не
имеет отношения к рассматриваемому представлению
группы of*, заданному формулами A7.18) !). Это
заключение, на первый взгляд формально-матема-
формально-математического характера, в действительности имеет важ-
важное физическое значение: если безмассовая частица,
по определению, задается неприводимым представле-
представлением группы Пуанкаре, то можно доказать, что она
не может находиться в состоянии с нулевой энергией.
Момент. Определение операторов момента, данное
в § 15, также переносится на безмассовые частицы,
по ввиду однокомпонентности функций Ф вычисления
принимают другой характер. Мы должны теперь от-
отправляться от формулы A7.18), задающей представ-
представление группы $\ и тем самым безмассовую частицу.
232 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Однопараметрическая подгруппа вращений вокруг
оси z по-прежнему задается формулой A5.10), причем
матрица
° «Д A8.5)
накрывающая вращение па угол 9, принадлежит
малой группе Go. Поэтому вместо A5.11) полу-
получаем
U[0, г(»)]Ф(р)=е""Ф(Д(»Г1/>), Д(») = й(г(»)), A8.6)
где -f зависит от Ь, как это описано в § 17.
Повторяя выкладки § 15, имеем (ср. A5.15))
Ш3Ф (Р) = ± *« 10 Ф (Р) + A Ф (Д W)^ • A8.7)
Второе слагаемое приводит, в точности как в § 15,
к оператору орбитального момента
Назовем, по аналогии с § 15, первое слагаемое
в A8.7) оператором поляризации. Для вычисления
производной в первом слагаемом заметим, что если
в A7.12) заменить и на г (9), Л — на соответствующее
вращение R (9), то из A7.16) получаем
Поскольку для векторов р и R (9) -1р число р°
одно и то же (см. вывод формулы A7.16)), C (i? (fr)'1/?)^
= Р О3)- Далее, как легко видеть из смысла соответ-
соответствующих вращений,
Внося все это в A8.9), имеем
г И»), />1=Р»г(»)Р(Р)- A8.10)
§ 18. БЕЗМАССОВЫЕ ЧАСТИЦЫ 233
Выразим зависимость <р от 9, записав эту матрицу
в виде
/— \
@ е-*?) = 31(Р) п_)Нр). A8.11)
Разлагая обе части в ряды по у, Ь и сохраняя лишь
первые два члена, находим
/I z\ /1 — з\ /I 0\ jft
(о i)+4o -,)-((, .) + 4Р(
Отсюда видно, что z=0. Так как в силу A7.17)
Р (р) коммутирует с о3, получаем с той же точностью
первого порядка <? = Ь/2, откуда
Возвращаясь к A8.7), можно теперь найти первое
слагаемое (ср. A5.18)):
—— ein9 I —
Таким образом, 9ля безмассовой частицы, задан-
заданной представлением A7.18) группы Пуанкаре ^\,
оператор поляризации сводится к умножению вектора
состояния на целые или полуцелые числа А- п 12.
Следовательно, единственным возможным значением
поляризации как раз и является это число, так что
частица нулевой массы имеет только одно состояние
поляризации.
Точпо так же, как для массивных частиц, мы на-
назовем спином частицы наибольшее абсолютное зна-
значение ее поляризации. Тогда спин j— | n |/2, и
значения спина могут быть только целыми или полу-
полуцелыми. Мы видим, что этот факт, как и в случае мас-
массивных частиц, является следствием самого опреде-
определения элементарной частицы с помощью неприводимого
представления группы Пуанкаре.
Отметим очень важное различие между массив-
массивными и безмассовыми частицами: в то время как для
Ю Ю. Б. Румср, А. И. Фет
234 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
массивной частицы со спипом / возможны все 2/+1
значений поляризации —/, —/+1, ¦ ¦ ¦, /—1, },
для безмассовой частицы со спином j возможно лишь
одно значение поляризации А, равное либо +/, либо —/,
которое называется ее спиралъностъю.
Физическое истолкование спиральности, указанное
в § 15, остается в силе и для безмассовых частиц: спи-
ральность равна проекции момента иперциально дви-
движущейся частицы па направление ее движения. Од-
Однако для частиц нулевой массы это значение опреде-
определяется однозначно, в то время как для массивных
частиц оно может пробегать все (целые или полуце-
полуцелые) значения от —) до /. В частности, по знаку спи-
спиральности безмассовые частицы можно разделить па
«правовинтовые» и «левовинтовые».
Таким образом, все представления группы $,
соответствующие орбите четвертого типа (передняя
пола светового копуса), могут быть занумерованы
спином и знаком спиральности: [/, +], [/, —], /=0,
1/2, 1, 3/2, . . .
Примеры. Безмассовые частицы со спином 0 в при-
природе неизвестны; этот факт не имеет убедительного
теоретического'"объяснения.
При /= 1 /2 и еппралыюсти +1/2 получаем соответ-
соответственно нейтрино и антинейтрино. Теория, основанная
на группе Пуанкаре, не делает различия между элек-
электронным и мюонным нейтрино. Это не противоречит
опыту, а свидетельствует лишь о пеполпоте теории:
одно и то же представление группы 3?% может описы-
описывать разпые частицы, отличающиеся некоторыми «внут-
«внутренними квантовыми числами», не вытекающими из
группы Пуанкаре.
При /=1 и спиральпости +1 получаем правопо-
ляризованный (соответственно левополяризовапный)
фотон. Следует подчеркнуть, что в теории, осно-
основанной на представлениях специальной (связной)
группы $1, мы должны считать эти частицы различ-
различными. Если, однако, перейти к группе <0">, пополнен-
пополненной пространственным отражением, то представления
этой груцпы строятся в виде [у, -М©1/, —], т. е.
§ 18. БЕЗМАССОВЫЕ ЧАСТИЦЫ 235
с помощью «удвоения» пространства представления,
аналогичного тому, которое мы уже встретили для
электрона и позитрона. С этой точки зрения право-
поляризованный и левоноляризованный фотоны ока-
оказываются состояниями одной частицы — фотона.
Теория групп не дает критерия, какие частицы
следует классифицировать по представлениям спе-
специальной группы Пуанкаре и какие — но представ-
представлениям полной группы аР. Действительные основания
для этого приходится, во всяком случае в настоящее
время, брать из эксперимента. Реакции между части-
частицами позволяют ввести для частиц понятие «внутрен-
«внутренней четности», тесно связанное с пространственным
отражением и позволяющее устанавливать связи
между «пространственно симметричными» реакциями.
С случае участия нейтрино и антинейтрино таких
связей между реакциями получить нельзя, так что
этим частицам невозможно разумным образом при-
приписать внутреннюю четность. Поэтому не имеет смысла
говорить о преобразовании вектора состояния нейтрино
или антинейтрино при пространственном отражении.
Мы вынуждены описывать эти частицы представле-
представлениями специальной группы Пуанкаре о?5*. Так как
спиральность обеих частиц, как известно из опыта,
различна, они описываются неэквивалентными непри-
неприводимыми представлениями группы <^ и, тем самым,
должны считаться разными частицами.
Для фотона, напротив, понятие внутренней чет-
четности имеет смысл и позволяет установить связи между
реакциями посредством пространственного отражения.
Мы должны поэтому допустить, что вектор состояния
фотона может быть подвергнут действию оператора
пространственного отражения. По тогда фотон должен
описываться представлением полной группы Пуан-
Пуанкаре $", и оба возможных состояния поляризации
фотона +1 и —1 должны быть связаны с одним не-
неприводимым представлением этой группы (см. § 20).
В этом смысле «правополяризованный» и «левоноляри-
зованный» фотоп считаются состояниями одной и той же
частицы.
16*
2'.W Часть П. КВАНТОВАННЫЙ ПОЛЯ
§ 19. Безмассовые поля
Б § 14 мы пришли к вигперовским представлениям
группы Пуанкаре, отправляясь от трансформационных
свойств полей. При этом в случае массивных полей,
число компонент ноля было взято равным числу ком-
компонент вектор-функций Фг (р), на которых задается
неприводимое унитарное представление группы Пуан-
Пуанкаре (и которые служат векторами состояния системы).
Это простейшее предположение было расширено в § 16,
где наиболее общие массивные ноля конструировались
из неприводимых унитарных представлений группы
Пуанкаре, с помощью которых определяются кванты
этих полей. При этом число компонент поля оказыва-
оказывалось, вообще говоря, больше числа компонент век-
векторов состояния, вследствие чего для получения
неприводимого представления группы Пуанкаре в про-
пространстве нолей приходилось накладывать на компо-
компоненты поля некоторые линейные связи («динамиче-
(«динамические уравнения»).
Б случае безмассовых частиц мы не будем заранее
предполагать, каково число компонент поля; что же
касается вектор-функций вигнеровского представле-
представления, то они, как мы знаем из § 17, в этом случае одно-
компонентны. Используя этот математический резуль-
результат в сочетании с конструкцией полей, аналогичной
построению в § 16, можно вывести замечательную
теорему Байнберга о возможных типах полей для без-
безмассовых частиц.
Общие безмассовые ноля. Как и в § 16, общие поля
для безмассовых частиц строятся как преобразова-
преобразования Фурье от операторов рождения и уничтожения.
Для частиц определенной спиралыюсти А поле фя (х)
выражается через операторы рождения а (р) в виде
(ср. A2.36))
$„(*)= B«)-''» J е«"Ч(Р) & (Р) 2^у, A9.1)
где ип{р) — «волновые функции», ш(р)=\р\, а п
пробегает B/+1)B/' + 1) значений, соответственно раз-
§ 19. ПЕЗМЛССОВЫК ПОЛЯ 237
мерности представления (j, j') бинарной группы, по
которому должны преобразовываться компоненты поля
0п (х). Аналогично строится поле 6В (х).
По общему правилу преобразования полей (ср.
A0.15)) должно быть
U \и] $я (х) f/ \и] = 2 Dnm [и'1] $„ (Ах), A9.2)
т
где A—h(u), D [и'1] — матрица представления (/, /');
вследствие A9.1) это равносильно
<'<;>*>,, /л-А ГТ T.ilA (п\ ГТ-1Г.Л dp
-- S е4 (?>'Ля) 2 Д'» t"]ц» № & (Р) 2^)" =
К», \U ] 11Ю (Р) п (Р) „ Г V •
m
Выполним замену переменных А^1р-^- р; учитывая ишза-
риаптпость миры
dp dp'
ш(р) ~ ш(р') '
имекм
- J е' ('ж) 2 А.» Г"] % (^)«(Й i^j- • (!9-3)
Нормируя состояния с опредогеппым значением им-
импульса, как в A4.1), получаем для безмассовых частиц
V"> (Р) а (р) % =\РУ, V о (Ар) & (Ар) Фо = |
Применив теперь A9.3) к вектору вакуума Фо, имеем
J е* <"\ (р) U [и] {«(p)}-V. | ру ^. =
2,о (р) •
- \ еирл) ^ °«ш I"-'1} ит (Ар) {и
238 Часть П. КВАПТ0ВЛ1ШЫЕ ПОЛЯ
откуда
До сих пор мы использовали лишь закон преобра-
преобразования полей. Теперь воспользуемся законом пре-
преобразования одпочастичных состояштй, следующий из
вигнеровского представления A7.18) для частиц спи-
ральности А=и/2. Для этого возьмем явное выраже-
выражение A8.2) состояний с определенным импульсом, пере-
переписав его в четырехмерном виде:
где q— аргумент функции Ф(д)=8(д—р), ар —
фиксированное зпачепие 4-нмиульса.
Согласно A7.18)
A9.5)
где <р задается матрицей малой группы A7.12):
г[Щ q]=b-1(q)ub(A-^q). A9.6)
В силу уже неоднократно использованной инвариант-
инвариантности 8-функции b(Arxq — p)=b(q — Л/?), A9.5) прини-
принимает вид
U [и] | р) = е*хЧ (q - Ар) = е*1* | Ар>,
или (ср. A5.6))
^±7C A9.7)
здесь <р оп{)еде;1яется матрицей малой грунпгл A9.6),
в которой надо положить q=Ap:
г [и, Лр]=6-1(Лр)ц6B?). A9.8)
§ 19. БЕЗМАССОВЫЕ ПОЛЯ 239
Подставим A9.7) в A9.4); тогда для v (р) =
= {w(Р)}~'1г и (Р) получаем
е»%я (р) = 2 Впт [и*] vm (Tp). A9.9)
Дальнейший иывод основан на этом соотношении.
Положим сначала в A9.9) 2?=к—@, 0, к), Ap = q,
u=b(q); тогда из A9.8) имеем г [и, Л/?]=1, <р=0,
п A9.9) принимает вид
Подставляя это выражение в A9.9), находим
#'* 2 А,и [Ь (Р)\ vm (к) = 2 Dnm [а-1] Пт1 [Ъ (Л?)] vt (к),
in m, /
откуда
2 Dnm [Ь-1 (р) и-Ч» (Aj)j f>M (k) = е-«^, (k). A9.10)
Справа в скобке стоит г [и, Л/?]. Для р, близких к к,
имеем с точностью первого порядка (ср. A7.7))
г [и, Л.р] =
Б представлении D^' j'\ согласно (9.51), (9.53), имеем
R [и, Тру* = 1-2/ {(Л, + Вя) 7 + еИ- + е.,5+}, A9.11)
где ех = iz/2, е2 = —iz/2.
Теперь из A9.10) следует
(Л3-Ь#зЖк)=Ь-(к), A9.12)
A_v(k) = 0, B+v(k)=O. A9.13)
Операторы Л_, S+ задаются соотношениями (9.55),
из которых нетрудно усмотреть, что A9.13) возможно
лишь при
г;(k) = const • Фу,-;'.
240 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Подставляя это в A9.12) и пользуясь (9.54), па-
ходим
/-/'=Х. A9.1/.)
Мы доказали, таким образом, теорему Вайнберга:
Если неприводимое безмассовое поле задается пред-
представлением группы Лоренца (/, /'), то кванты его —
частицы спиральности Х=/—/' 1).
Примеры. 1) Рассмотрим сначала нейтрино (или
антинейтрино). Спиральпость в этом случае равна —1/2
или 1 /2, и согласно теореме Вайнберга для (неприводи-
(неприводимых) нейтринных полей должно быть /'—/=+1/2.
Именно так обстоит дело с полем Вейля, рассмотрен-
рассмотренным в § 7, которое преобразуется по представлению
A/2, 0), и с сопряженным ему полем, преобразующимся
по представлению @, 1/2).
2) Для правополяризованного или левополяризо-
ванного фотона спиралыюсть равна —1, соответст-
соответственно 1. Следовательно, для «фотонного» (неприво-
(неприводимого) поля должно быть /'—/=+1. Таковы поля
F=E—iII, F=E-\~iII, рассмотренные в § 10: они
соответствуют представлениям A, 0), @, 1), как видно
из их размерпости.
3) Шестикомпонентные поля (II, Е) и Fa? пре-
преобразуются по приводимым представлениям группы
Лоренца. В самом деле, эти представления, прежде
всего, эквивалентны, как это видно из обычных ли-
линейных соотношений, выражающих компоненты вто-
второго поля через первое. Первое же из них приводимо,
поскольку в комплексном шестимерном пространстве
с координатами Нк, Ек содержатся инвариантные
подпространства {II+iE}, {II—iE} (напомпим, что
самое понятие приводимости отпосится к комплексным
векторпым пространствам).
4) Рассмотрим, наконец, электромагнитное поле,
заданное 4-потенциалом А*. Это поле преобразуется,
') В литературе (и, в частности, в статье Вайнберга [56])
встречается также другое определенно представлений D4< Jn,
отличающееся от принятого в этой книге перестановкой чисел
I 20. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 241
как 4-вектор, т. е. по представлению A/2, 1/2). Та-
Такое представление, по теореме Вайпберга, недопустимо.
Причина этого запрета состоит в том, что вектор-по-
вектор-потенциал описывает электромагнитпое поле лишь
с точностью до «калибровочных преобразований»; та-
таким образом, истинное поле задается не одним 4-век-
тором, а целым классом эквивалентных вектор-потен-
вектор-потенциалов (см. [10], гл. VI). Необходимость калибро-
калибровочных преобразований, как мы видим, тесно связана
с наиболее общими копструкциями теории квантован-
квантованных нолей.
§ 20. Дискретные преобразования
квантованных полей
По аналогии с# преобразованиями классических
полей (§ 7) мы определим для квантованных полей
преобразования Р, С, Т.
Удвоение числа компонент. Пусть Ьа (х) — кван-
квантованное поле, компоненты которого преобразуются
по некоторому представлению Du<0) группы SL B).
Для каждого элемента (а, и) специальной группы
Пуанкаре S*X с помощью D(^'0) строится преобразо-
преобразование квантованного поля ф„ (х), как это описано
в §10.
Чтобы определить такие преобразования для элемен-
элементов полной группы of\ достаточно задать их для ди-
дискретных преобразований Р, Т. Сверх того, мы одно-
одновременно опишем операцию зарядового сопряжения
квантованных полей. Построим, как в § 7, другое
квантованное поле ^ (х), преобразующееся но сопря-
сопряженному представлению Di0'^\ Тогда компоненты
{Фсг (х)' X* (х)} вместе образуют поле с удвоенным чис-
числом компонент, которое мы обозначим через <рр (ж)'
для всех элементов $ определено преобразование
этого поля, состоящее в отдельном преобразовании
каждого из полей фг (х), ^ (х)- Для поля (р0 (х) и бу-
будут определены дискретные преобразования, а тем
самым и любые преобразования группы $.
242 Часть II. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Пространственное отражение. Как и в § 7, мы зада-
зададим оператор Р с помощью матрицы Yo" пРи этом
допустим фазовый множитель ¦»];>, который может быть
выбран по-разному в зависимости от рассматриваемого
вопроса:
Зарядовое сопряжение. Оператор С определяется
по образцу зарядового сопряжения биспиноров
(см. F.42)), где преобразование спинора производится
с помощью матрицы С, а преобразование коспинора —
с помощью матрицы С~1=—С. Заменяя эти матрицы
представляющими их матрицами в представлениях
D'J'°\ D<0> ¦" и учитывая, что элементы этих матриц
являются однородными функциями степени 2/ от эле-
элементов С (см. (9.48)), мы приходим к следующему
правилу преобразования:
B0.2)
Обращение времени. В § 7 обращение времени
задавалось с помощью матрицы у0у5; следуя Вигнеру,
мы включим в оператор Т добавочное зарядовое
сопряжение, полагая Т= ¦*]'/¦ То TsC1). Тогда имеем
B0.3)
х>,-А
Как можно показать, операторы Р и С, действу-
действующие на пространстве векторов состояния, оказыва-
оказываются унитарными, в то время как оператор Т —
антиунитарным.
Мы вынуждены ограничиться здесь сводкой фор-
формальных правил, по которым выполняются дискрет-
дискретные преобразования. Более глубокий апализ отно-
относится к динамике квантованных полей и выходит
за рамки этой книги.
*) Существует другое определение оператора Т, не вклго-
нающее С (Швингер).
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Преобразования Лоренца и S-фупкция
Мы докажем следующее соотношение:
со (р) S (р - р') = «. (Тр) Ь (Тр - ТД A.1)
где А — любое преобразование Лорепца. Это соотпо-
шепие есть равенство функциопалов, действующих
на функции / (p)=f (р1, р2, р3), бесконечно дифферен-
дифференцируемые и достаточно быстро убывающие на беско-
бесконечности; иначе говоря, требуется доказать, что
\f(p)*(P)*(P-p')dp =
Xjj? A.2)
для всех таких функций. Левая часть A.2), по опре-
определению 5-фупкции, равна / (р')ш (р'). Для вычис-
вычисления правой части выполним замену переменных
Ap=q; в силу свойств инвариантной меры A1.12),
A1.13) правая часть равна
что и требовалось доказать.
II. Лемма Шура
Лемма Шура утверждает, что матрица А, пере-
перестановочная со всеми матрицами Тд некоторого не-
неприводимого представления {Тд} группы Gi кратна
единичной. В самом деле, пусть V — пространство
представления {Тд}. Можно считать, что размерность V
244 ПРИЛОЖЕНИЯ
больше 1 (иначе утверждение леммы тривиально).
Покажем сначала, что в пространстве V найдется
хотя бы один собственный вектор оператора А. Си-
Система уравнений
(Л —Х-1)ж = 0 (П.1)
имеет в качестве детерминанта многочлен от X; по-
поэтому достаточно взять в качестве X какой-либо корень
этого многочлена, чтобы детерминант обратился в нуль,
и тем самым система (II.1) имела ненулевое решение.
Такое решение х и есть собственный вектор А. Пока-
Покажем теперь, что собственные векторы, принадлежащие
собственному значению X, образуют инвариантное под-
подпространство представления {Тд}. Отсюда и будет
следовать лемма, поскольку единственным инвариант-
инвариантным подпространством в силу неприводимости {Т д}
может быть только все пространство V, и, значит,
(II.1) верно для всех х.
Итак, пусть Ах=Ъс. Тогда для любого элемента g
группы G по условию
и вектор Тух — тоже собственный вектор, принадле-
принадлежащий X (или 0). В обоих случаях оператор Тд не
выводит вектор х за пределы собственного подпрост-
подпространства, которое, таким образом, инвариантно.
Лемма Шура может быть распространена, при
надлежащих предположениях, и на бесконечномерные
представления.
ЛИТЕРАТУРА
1. V. Bargmann, On unitary representations of continuous
groups, Ann. Math. 59, 1—46 A954).
2. II. H. Боголюбов, Л. A. JI о г у и о в, И. Т. Т о д о-
р о в, Основы аксиоматического подхода в кваитопой теории
ноля, Физматгиз, 1969.
3. Н.П.Боголюбов, Д. В. Ш и р к о п, Введение и тео-
теорию квантованных полей, 3-е изд., «Наука», 1974.
4. Б. Л. В а и дер В а р д е н, Метод теории групп в кван-
квантовой механике, НТВУ, Харьков, 1938.
5. S. W e i n b e r g, (a) Feynman rules for any spin, I, Phys.
Rev. 133, B1318—1332 A964); F) Feynman rules for any
spin. II. Massloss particles, Ib. 134, B882—896 A964); (в)
Photons and gravitons in S-matrix theory: derivation of
charge conservation and equality of gravitational and inertial
mass, Ib. 135, B1049—1056 A964); (r) Photons and gravitons
in perturbation theory: derivation of Maxwell's and Einstein's
equations, Ib. 138, B988—1002 A965).
6. H. W e у 1, Gruppentheorie und Quantenmechanik, 2. Aufl.,
Ilirzel, Leipzig, 1931.
7. E. P. W i g n e r, On unitary representations of the inhomo-
geneous Lorentz group, Ann. Math. 40, 149—204 A939).
8. A. V i s с о n t i, Thoorie quantique dos champs, tt. I, II, Pa-
Paris, Gauthier-Villars, 1960.
9. P. Й о с т, Основы теории квантованных полей, «Мир»,
1967.
10. D. К a s t 1 е г, Introduction a l'eliictrodynamique quanli-
que, Paris, Dunod, 1961.
11. G. W. M а с k e y, Induced representations of locally compact
groups I. Ann. Math. 55, 101—139 A952).
12. IO. Б. Румер, Снинорный аи алия, ОПТ И, 1936.
13. К). Б. Р у м е р, Л. И. Ф е т, Оператор поляризации в кван-
квантовой теории ноля, ЖЭТФ 55, 1390—1392 A968).
14. 10. Б. Р у м е р, А. И. Ф о т, Теория унитарной симметрии,
«Паука», 1970.
15. D. J. S i m m s, Lie groups and quantum, mechanics, Lecture
Notes in Math. 52, Springer, 1968.
16. С. С т e p h б е р г, Лекции по дифференциальной геомет-
геометрии, «Мир», 1970.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиомы Вейля 10
Алгебра Ли 121
— —, генераторы 122
— —, комплексная оболочка
150
— —, представление 127
— —, структурные постоян-
постоянные 123
— —, универсальпая оберты-
обертывающая 133
Алгебры Клиффорда 86
Лптшхейтрипо 101
Базис аддитивпый 86
— векторов 11
— дуальпыи 42
— мультипликатипый 86
— ортонормировапный 52
— псевдоортонормировапный
11
Безмассовые частицы 205, 230
Бисншюрное иоле 111, 218
Бисхшиоры 81 и далее
Бозоны 197
Буст 21
Грушта-абелева 27
— вращений 20
— компактная 203
— Ли 120
— Лоренца ортохорная 23
— — полная 19
ортохроппая 23
— — полная 19
— — собственная 23
— малая 221
—, представление 30
—, — точное 31
— Пуанкаре 25
— — полная 103
— симметрии 155
Группы Галилея, наблюдае-
наблюдаемые 152
Действительные поля 107
Динамические перемеппые 153
Изоморфизм 31, 56, 73
Ипвариаптныс уравпепия 102
Вакуум 162
Вектор времепиподобньш 11
— изотропный 11
— состояния 157
— пространства 10
— иространствеипоподобнып
11
Временной копус 11
Гомоморфизм 72
Гомотетия 134
Коварпаптные координаты 12
Ковекторы 104
Коптравариаптпые коорди-
координаты 12
Коспиноры 42
Массивные частицы 205
Матрицы бинарные 38
— Паули—Дирака 87
— псевдоортогональные 15
— транспонированные 15, 112
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
247
Матрица уиитарпые 121
— эквивалентные 47
— эрмитовы 121, 219
Метрика 43
Нейтрино 101
Обобщенные вектор-фупкции
164
— функции 163, 179
Оператор Казимира 133
— проекции момента 209
— симметризации 138
— спиральности 213, 232
Операторы квантового поля
162
— рождения 186
— уничтожения 186
Подгруппа трансляций 26
Представление бесконечномер-
бесконечномерное 32
— группы Пуанкаре 202
— коспинорное 38
— неприводимое 64
— приводимое 64
— проективное 158
— — группы 35
—, размерность 32
— спинорное 38
— спин-тензорное 63
—, сужение 53
— унитарное 203
Преобразования Галилея 152
— Лоренца 13 и далее
— —, линейность 14
— —, произведение 18
— ортохронные 16
— проективные 34
— собственные 16
— специальные 16
— тождественные 18
— унитарные 37, 145
Принцип причинности 198
Пространства дуальные 104
II рострацствеппый конус 11
Пространство комплексное век-
векторное 40
— — проективное 157
— однородное 156
—, размерпость 10
— событий 9
Световой конус 11
Связное множество 16
Скалярное поле Паули—Вайс-
копфа 101
— произведение 11
Скалярные мезоны 101
Событие 9
—, интервал 11
Сннпоры 40
Спип-тензоры 4.0, 58
— — симметрические 135, 139
Суперпозиция состояний 157
Теорема Вайнберга 189
— Паули 198
Уравнение Дирака 112, 220
— Клейна—Гордона 177
Уравнения Вейля 108, 140
— Максвелла 114
Условие Майорана 107
Фермиопы 197
Числа заполнения 136
Эрмптово скалярное произведе-
произведение 50
Электромагнитное поле 115
Электронпо-позитронное поле
113
Юрий Борисович Румер,
Абрам Ильич Фет
ТЕОРИЯ ГРУПП
И КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
М., 1977 г., 218 стр. с илл.
Редактор И. Г. Вирко
Технический редактор II. В. Кошелева
Корректор О. А. Сигал
Сдано в пабор 10.02.1977 г. Подписано к печати 18.0S 1977 г.
Бумага 84 X 108/32. Тип. Л'г 1,
Физ. печ. л. 7,75. Условн. печ. л. 13,02. Уч.-изд. л. 10,61.
Тираж 7400 экз. Т-04230. Цена книги 75 кон.
Заказ № 279
Издательство «Наука»
Главная редакция фи.'шко-.математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
1 тип. изд. «Наука». 199034, Ленинград, 13-34, 9 линия, д. 12